ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => (L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
hK' : IsCompact K'
⊢ Integrable (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) μ
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
⊢ Filter.map Neg.neg (𝓝 0) = 𝓝 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ ↑(e.trans e').symm = ↑e.symm ∘ ↑e'.symm
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
⊢ ∀ (i : α), min (c₂ * (1 - c₃)) ((1 - c₃) * c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
t : Set G
ht : IsOpen t
s : Set G
⊢ closure s * t = s * t
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
⊢ Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹) atTop (𝓝 0)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
N : Submonoid S
T : Type u_4
CommSemiring T
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
IsLocalization M S
IsLocalization N T
y : ↥(IsLocalization.localizationLocalizationSubmodule M N)
⊢ IsUnit ((algebraMap R T) ↑y)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
n : ℤ
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ n).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.unop).op)
    ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).counitIso.hom.app Y) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).counitIso.hom.app X) f
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
AddCommGroup Q
Module R Q
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : TensorProduct R Q N
⊢ (lTensor.inverse_of_rightInverse Q hfg hgh) ((LinearMap.lTensor Q g) y) = Submodule.Quotient.mk y
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l l' : List α
hR : List.Pairwise R l
hl : l ~ l'
hsymm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
⊢ List.Pairwise R l'
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
x' y' : X
hx : x' = x
hy : y' = y
⊢ ⇑(γ.cast hx hy) = ⇑γ
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.powersetCard 0 s = {0}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a✝ : α
m n✝ : ℕ
a : α
n : ℕ
f : Fin n → Set α
⊢ (∃ f_1, (List.ofFn fun i => ↑(f_1 i)).prod = a) ↔ ∃ x, (List.ofFn fun x_1 => ↑(x x_1).snd).prod = a ∧ (fun x_1 => (x x_1).fst) = f
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
A : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
n : ℕ
⊢ ↑(B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
hu : u ∈ S
⊢ f' < slope f x y
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s t u : Set α
fin : EMetric.hausdorffEdist s t ≠ ⊤
⊢ Metric.hausdorffDist s u ≤ Metric.hausdorffDist s t + Metric.hausdorffDist t u
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j₁ j₂ j₃ : J
h₁ : CategoryTheory.Zigzag j₁ j₂
h₂ : CategoryTheory.Zigzag j₂ j₃
⊢ CategoryTheory.Zigzag j₁ j₃
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
n : ℕ∞
h : ContDiff ℂ n f
⊢ ContDiff ℂ n fun x => Complex.sinh (f x)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ
⊢ (((k + 1)! • hasseDeriv (k + 1)) f).coeff n = (derivative ((k ! • hasseDeriv k) f)).coeff n
X : Type u
α : Type u_1
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
f : α → X
b : Filter α
h : ∃ᶠ (x : α) in b, f x ∈ s
hf : Filter.Tendsto f b (𝓝 x)
⊢ x ∈ closure s
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
a : α
⊢ (↑l).erase a = ↑(l.erase a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
⊢ (Aᵀ.map star)ᵀ = Aᵀ
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ X Y Z : C
sXY : BinaryFan X Y
P : IsLimit sXY
sYZ : BinaryFan Y Z
Q : IsLimit sYZ
s : BinaryFan sXY.pt Z
R : IsLimit s
t : Cone (pair X sYZ.pt)
m : t.pt ⟶ (BinaryFan.assoc Q s).pt
w : ∀ (j : Discrete WalkingPair), m ≫ (BinaryFan.assoc Q s).π.app j = t.π.app j
h : (∀ (j : Discrete WalkingPair), m ≫ s.π.app j = (BinaryFan.assocInv P t).π.app j) → m = R.lift (BinaryFan.assocInv P t)
⊢ m = (fun t => R.lift (BinaryFan.assocInv P t)) t
n : ℤ
⊢ ↑n.natAbs = |n|
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
φ : M ↪ₑ[L] N
x y : M
h : φ x = φ (if 2 = 1 then x else y) ↔ x = if 2 = 1 then x else y
⊢ φ x = φ y → x = y
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
DecidableEq n
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
k : ℕ
⊢ (M ^ k).PosSemidef
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
xi : ι
xv : A xi
⊢ ((AddMonoidHom.mul.compr₂ (toAddMonoid f)).comp (of A xi)) xv = (((AddMonoidHom.mul.comp (toAddMonoid f)).compl₂ (toAddMonoid f)).comp (of A xi)) xv
M : Type u_2
AddCommMonoid M
a b : ℕ
hab : a ≤ b
f : ℕ → M
⊢ ∑ k ∈ Finset.Ioc a (b + 1), f k = ∑ k ∈ Finset.Ioc a b, f k + f (b + 1)
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
h : a - b < a
⊢ 0 ≠ b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
hp₁ : p₁ ∈ affineSpan ℝ (insert p (Set.range s.points))
hp₂ : p₂ ∈ affineSpan ℝ (insert p (Set.range s.points))
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : Group N
inst✝² : Group P
K✝ : Subgroup G
G₁ : Type u_7
G₂ : Type u_8
inst✝¹ : Group G₁
inst✝ : Group G₂
K : Subgroup G₂
f : G₁ →* G₂
h : f.range ≤ K
k : ↥K
⊢ k ∈ f.range.subgroupOf K ↔ k ∈ (f.codRestrict K ⋯).range
M : Type u_1
AddMonoid M
s : Set M
⊢ s ⊆ AddMonoid.Closure s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
hab : a < b
⊢ Ioo a b ∪ {a} = Ico a b
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
h : q.natDegree ≠ 0
⊢ (p.comp q).Monic
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
p₁ : Path a₁ a₂
p₂ : Path b₁ b₂
⊢ Path.Homotopic.prod ⟦p₁⟧ ⟦p₂⟧ = ⟦p₁.prod p₂⟧
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
ih : μ (s ∆ (f^[n] ⁻¹' s)) ≤ n • μ (s ∆ (f ⁻¹' s))
⊢ μ ((f^[n] ⁻¹' s) ∆ (f^[n + 1] ⁻¹' s)) ≤ μ (s ∆ (f ⁻¹' s))
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
x : E
x✝ : ∃ n, x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F E).range
n : ℕ
y : F
h : (algebraMap F E) y = x ^ ringExpChar F ^ n
⊢ (algebraMap F K) y = i x ^ ringExpChar F ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.IsComplete
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
⊢ Measurable g
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z w : N
⊢ ∃ z' w' d, z * f.toMap ↑d = f.toMap z' ∧ w * f.toMap ↑d = f.toMap w'
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
⊢ { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a₁ * a₂) = { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₁ * { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₂
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ OpenEmbedding id
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
NoZeroSMulDivisors R M
⊢ 0 < Module.rank R M ↔ Nontrivial M
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
⊢ 𝟙 X ∣_ U = 𝟙 ↑(𝟙 X ⁻¹ᵁ U)
a b : ENNReal
⊢ a / b = ⊤ ↔ a ≠ 0 ∧ b = 0 ∨ a = ⊤ ∧ b ≠ ⊤
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
⊢ s ⊆ {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x}
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
⊢ IsPreconnected (Set.uIcc a b)
α : Type u
β : α → Type v
m : Multiset ((a : α) × β a)
h : m.NodupKeys
⊢ m.Nodup
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f g : Equiv.Perm α
h : f.Disjoint g
⊢ (f * g).support.card = f.support.card + g.support.card
α : Type u
LE α
a b : ULift.{u_1, u} α
⊢ a.down ≤ b.down ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
g : γ × β → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (c : γ × β), g c ∂κ.swapRight a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.swap ∂κ a
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
⊢ MvFunctor.supp ⟨a, f⟩ i = f i '' Set.univ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
x y : CliffordAlgebra 0
hx : (liftAlternating (ιMulti R)) x = x
hy : (liftAlternating (ιMulti R)) y = y
⊢ (liftAlternating (ιMulti R)) (x + y) = x + y
R : Type u_1
CommRing R
IsNoetherianRing R
LocalRing R
IsDomain R
h' : Submodule.IsPrincipal (LocalRing.maximalIdeal R)
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
⊢ ∃ n, I = LocalRing.maximalIdeal R ^ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
⊢ HasFDerivWithinAt id (ContinuousLinearMap.id 𝕜 E) s x
R : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
α : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : AddGroup α
inst✝⁵ : Monoid γ
inst✝⁴ : MulAction γ α
inst✝³ : SMul R γ
inst✝² : SMul R α
inst✝¹ : IsScalarTower R γ α
inst✝ : SlashAction β G α γ
k : β
g : G
a : α
r : R
⊢ (r • a) ∣[k;γ] g = r • a ∣[k;γ] g
R : Type u_1
NonAssocRing R
NoZeroDivisors R
CharZero R
n : ℕ
a b : R
h : ↑n * a = ↑n * b
w : n ≠ 0
⊢ a = b
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
χ₁ χ₂ : L → R
h : χ₁ ≠ χ₂
⊢ Disjoint (weightSpace M χ₁) (weightSpace M χ₂)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
HasContinuousInv₀ R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => (f x)⁻¹) a = Ring.inverse (cfc f a)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
⊢ ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource 2 (n + 1) n), ∏ j : Fin e.fst, r * (a ^ e.snd j * p (e.snd j)) = ∏ j : Fin (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n e he).snd.length, r * (a ^ (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n e he).snd.blocksFun j * p ((compChangeOfVariables 2 (n + 1) n e he).snd.blocksFun j))
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
DecidableEq α
x : α
t : Finset α
f : α → β
s : β
hx : x ∉ t
⊢ ⨅ i ∈ insert x t, Function.update f x s i = s ⊓ ⨅ i ∈ t, f i
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
p : α.Arrow (TypeVec.repeat n Prop)
⊢ TypeVec.comp (TypeVec.subtypeVal p) (TypeVec.toSubtype p) = fun x => Subtype.val
G₀ : Type u_1
GroupWithZero G₀
Bornology G₀
(Bornology.cobounded G₀).NeBot
E : Type u_3
AddMonoid E
DistribMulAction G₀ E
s : Set E
⊢ Absorbs G₀ s 0 ↔ 0 ∈ s
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
h : ↑m + 1 ≤ ⊤
⊢ ↑m < ⊤
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
val✝ : Invertible A
⊢ A⁻¹ * A = 1
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
⊢ Prime a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
inst✝² : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset β
b a✝ : β
⊢ a✝ ∈ s ∧ ¬b = a✝ ↔ ¬a✝ = b ∧ a✝ ∈ s
x y : SetTheory.PGame
⊢ (-y).LF x ↔ (-x).LF y
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M : Matrix m n α
i : n
j : m
⊢ Mᵀ i j = M j i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset α
h : mulSupport f ⊆ ↑s
A : mulSupport (f ∘ PLift.down) = ⇑Equiv.plift.symm '' mulSupport f
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ i ∈ s, f i
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
⊢ (max (max (edist x y) (edist x z)) (edist y z)).toReal = max (max (edist x y).toReal (edist x z).toReal) (edist y z).toReal
M : Type u_2
Monoid M
n : ℕ
x : M
⊢ Monoid.npow n x = x ^ n
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
h : P.IsPrime
⊢ Prime P
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
hs : s.einfsep ≠ ⊤
⊢ s.Nontrivial
α : Type u_2
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
s : Finset α
⊢ (↑s).WellFoundedOn r
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
⊢ p.coeff n = 0
z : ℝ
hz : 0 < z
x : ℝ≥0
hx : ↑x < 1
⊢ ↑x ^ z < 1
ι : Type u_1
M : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
SMul M β
r : M
f : ι → α
g : ι → β
e : α → β
⊢ Function.extend f (r • g) (r • e) = r • Function.extend f g e
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup A
inst✝⁴ : CompactSpace A
inst✝³ : ConnectedSpace A
inst✝² : MeasurableSpace A
inst✝¹ : BorelSpace A
μ : Measure A
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
ξ : A
n : ℕ
hn : 0 < n
δ : ℝ
this : IsFiniteMeasure μ
B : ↑(Icc 0 n) → Set A := fun j => closedBall (↑j • ξ) (δ / 2)
hB : ∀ (j : ↑(Icc 0 n)), IsClosed (B j)
h : Pairwise (Disjoint on B)
h' : ⋃ j, B j = univ
hδ : 0 ≤ δ / 2
h'' : ∀ (j : ↑(Icc 0 n)), (B j).Nonempty
⊢ n = 0
α : Type u
β : Type v
Sub β
f f' g g' : α → β
l : Filter α
h : f =ᶠ[l] g
h' : f' =ᶠ[l] g'
⊢ (fun x => f x - f' x) =ᶠ[l] fun x => g x - g' x
x : Class
y : ZFSet
⊢ (⋂₀ x) y ↔ ∀ (z : ZFSet), x z → y ∈ z
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
hexI₀ : ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
⊢ False
M : Type u
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
hmul : Filter.Tendsto (Function.uncurry fun x x_1 => x + x_1) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x₀ + x) (𝓝 0)
⊢ ContinuousAdd M
α : Type u
self : SemilatticeInf α
a b : α
⊢ a ⊓ b ≤ a
M : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
VAdd M X
ContinuousVAdd M X
a b : M
x y : X
h₁ : a ⤳ b
h₂ : x ⤳ y
⊢ (a +ᵥ x) ⤳ (b +ᵥ y)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
this : HasSum (fun n => C * r ^ n) (C / (1 - r))
⊢ C * r ^ n / (1 - r) = ∑' (m : ℕ), C * r ^ (n + m)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f : α → β
x : α
n : ℕ
hn : n ≥ ⌈↑‖f x‖₊⌉₊ + 1
⊢ x ∉ {x | ↑n ≤ ↑‖f x‖₊}
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
U V : TopologicalSpace.Opens M
hUV : U ≤ V
f : ↥V → M'
x : ↥U
⊢ ChartedSpace.LiftPropAt P f (Set.inclusion hUV x) ↔ ChartedSpace.LiftPropAt P (f ∘ Set.inclusion hUV) x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
I J : Ideal R
inst✝ : J.IsPrime
e : I ≤ J
c : Set (Ideal R)
hc : c ⊆ {p | IsPrime p ∧ I ≤ OrderDual.ofDual p}
hc' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
J' : (Ideal R)ᵒᵈ
hJ' : J' ∈ c
⊢ I ≤ OrderDual.ofDual (OrderDual.toDual (sInf c))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
t : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (s n)
ht : ∑' (i : ℕ), μ (t i) ≠ ⊤
⊢ μ (⋂ n, ⋃ i, t (i + n)) ≤ 0
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
⊢ Continuous fun p => min p.1 p.2
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
H : ∀ (r : ↑s), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ M'
⊢ x ∈ M'
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
f : M → Bundle.TotalSpace F E
x₀ : M
he : f x₀ ∈ e.source
⊢ SmoothAt IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) f x₀ ↔
  SmoothAt IM IB (fun x => (f x).proj) x₀ ∧ SmoothAt IM 𝓘(𝕜, F) (fun x => (↑e (f x)).2) x₀
α : Type u_1
f : α → ℂ
x : ℂ
h : HasSum f x
⊢ HasSum (fun x => (f x).im) x.im
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝³ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
g✝ : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) ((f i j hij) x) = (g✝ i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
h✝ : Nonempty ι
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g✝ i) a = 0 → a = 0
i✝ : ι
g : G i✝
hz : (lift R ι G f g✝ Hg) ((of R ι G f i✝) g) = 0
⊢ (of R ι G f i✝) g = 0
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hM : Disjoint ↑M ↑I
a : R
ha : a ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I)
b : ↥I
s : ↥M
h : (algebraMap R S) (↑s * a) = (algebraMap R S) ↑b
⊢ a ∈ I
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra R M
x✝ : L
int✝ : IsIntegral R x✝
h✝ : Splits (algebraMap R K) (minpoly R x✝)
inst✝³ : Algebra K M
inst✝² : IsScalarTower R K M
x : M
int : IsIntegral R x
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsScalarTower R K L
h : Splits (algebraMap R L) (minpoly R x)
⊢ Splits (algebraMap K L) (minpoly K x)
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace M
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M β
inst✝⁵ : MeasurableSMul M β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : Measure α
G : Type u_5
inst✝³ : Group G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MulAction G β
inst✝ : MeasurableSMul G β
c : G
h : Measurable fun x => c • f x
⊢ Measurable f
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : PerfectField E
eq : perfectClosure F E = ⊥
p : ℕ := ringExpChar F
this : ExpChar E p
⊢ PerfectField F
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b = a ∆ ⊥ ↔ b = ⊥
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
i : Set ι
s : (a : ι) → Set (π a)
hi : i.Finite
hs : ∀ a ∈ i, IsOpen (s a)
⊢ IsOpen (i.pi s)
α : Type u
Semiring α
x : α
⊢ ∑ i ∈ Finset.range 1, x ^ i = 1
α : Type u_1
Monoid α
a : α
b c : α
h : b ~ᵤ c
⊢ a * b ~ᵤ a * c