ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.48051, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.48055, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.48059, u_3} E
G : Karoubi C ⥤ Karoubi D
P : Karoubi C
⊢ (G.map P.decompId_p).f = ((((whiskeringLeft C (Karoubi C) (Karoubi D)).obj (toKaroubi C) ⋙ functorExtension₁ C D).obj G).obj P).p ≫ (G.map P.decompId_p).f ≫ (((𝟭 (Karoubi C ⥤ Karoubi D)).obj G).obj P).p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
⊢ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
e : ℕ
he : 2 ≤ e
⊢ I = I ^ 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (y : α) in 𝓝 a, ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[s] y, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[s] a, p x
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : Nonempty α
⊢ l.Subsingleton ↔ ∃ a, l ≤ pure a
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
⊢ Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
GroupWithZero α
Preorder α
Preorder β
MulAction α β
PosSMulMono α β
PosSMulReflectLE α β
a : α
ha : 0 < a
b : β
⊢ (OrderIso.smulRight ha) b = a • b
F : PFunctor.{u}
n m : ℕ
x : (n : ℕ) → PFunctor.Approx.CofixA F n
Hconsistent : PFunctor.Approx.AllAgree x
⊢ PFunctor.Approx.head' (x n.succ) = PFunctor.Approx.head' (x m.succ)
s : ℂ
hs : 0 < s.re
this : (fun X => s * s.partialGamma X - ↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) =ᶠ[atTop] (s + 1).partialGamma
⊢ Tendsto (fun X => s * s.partialGamma X - ↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) atTop (𝓝 (s * s.GammaIntegral))
a b c : Ordinal.{u_4}
a0 : 0 < a
⊢ a * b ≤ a * c ↔ b ≤ c
a b c : ℕ
⊢ image (⇑(addLeftEmbedding a)) (Ico 0 b) = Ico a (a + b)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
R : Type u_1
n : Type u_12
CommRing R
Fintype n
J A₁ : Matrix n n R
DecidableEq n
⊢ A₁ ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSkewAdjoint A₁
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)
b a : Prop
hb : b
⊢ a ∧ b ↔ a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
Nonempty β
⊢ (∃ f, Set.InjOn f s) ↔ ∃ f, Function.Injective f
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
h₁ : Q₁ = comp Q₂ f.toLinearMap
⊢ comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap) = Q₁.tmul Q₃
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
ℱ : TopCat.Presheaf C X
U : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (TopCat.Presheaf.Pushforward.id ℱ).inv.app U = 𝟙 (ℱ.obj U)
ι✝ : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype ι✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
⊢ MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι)) volume volume
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
h1 : 0 < a
h2 : a ≤ 1
⊢ 1 ≤ 1 / a
a : PosNum
⊢ a.sub' 1 = a.pred'.toZNum
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Stream' α
⊢ (Stream'.map f s).tail = Stream'.map f s.tail
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction G R
x : R
g : G
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
g' : G ⧸ stabilizer G x
⊢ g • (X - C (ofQuotientStabilizer G x g')) = X - C (ofQuotientStabilizer G x (g • g'))
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
hs : IsClosed s
⊢ a ∈ s ↔ ∃ ι, ∃ (_ : Nonempty ι), ∃ f, (∀ (i : ι), f i ∈ s) ∧ Ordinal.sup f = a
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R
⊢ Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
R : Type u_1
NonUnitalCommRing R
StarRing R
x y : ↥(selfAdjoint R)
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ μ s ≤ μ t
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
f : α × α × α → (α × α) × α × α := fun x => ((x.1 * x.2.2, x.1 * x.2.1), x.2)
this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)
b c d : α
hcd : c ∈ t ∧ d ∈ t
⊢ ((f (b, c, d)).2.1 ∈ t ∧ (f (b, c, d)).2.2 ∈ t) ∧ (f (b, c, d)).1.1 * (f (b, c, d)).2.1 = (f (b, c, d)).1.2 * (f (b, c, d)).2.2
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
t₁ t₂ : List β
p : t₁.Perm t₂
⊢ (l.product t₁).Perm (l.product t₂)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y < z \ x
hxz : x ≤ z
h' : x ⊔ z \ x ≤ x ⊔ y
⊢ (z \ x) \ x ≤ y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
p : R[X]
_hp : p ∈ ⊤
⊢ p ∈ Algebra.adjoin R {X}
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c✝ d✝ : C
f : c✝ ⟶ d✝
⊢ 𝟙 d✝ ∈ discrete.arrows d✝ d✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
⊢ ∃ X, CategoryTheory.Limits.IsZero X
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
⊢ Fintype { x // x ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset }
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
⊢ Monoid.Coprod.toProd.comp Monoid.Coprod.inr = MonoidHom.inr M N
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
⊢ s = t
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
this : (↑(P.subtype ⋯)).normalizer.Normal → (↑(P.subtype ⋯)).Normal
⊢ (↑P).normalizer.normalizer = (↑P).normalizer
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R₁
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
f : M₂ → M₃
hf : IsCompactOperator f
g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
this : Tendsto (⇑g) (𝓝 0) (𝓝 (g 0))
⊢ IsCompactOperator (f ∘ ⇑g)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
a b : α
H₂ : a ≤ b
⊢ (𝓝[Set.Ici a] b).NeBot
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
this : (a :: const a).tail = const a
⊢ (const a).tail = const a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ
g : α → β
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
⊢ Memℒp (fun x => f x • g x) 1 μ
p q r : ℕ+
S : List ℕ+ := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p, q, r}
H : 1 < sumInv ↑S
hS : List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
hpqr : {p, q, r} = ↑S
⊢ (∃ q r, A' q r = ↑S) ∨ (∃ r, D' r = ↑S) ∨ E' 3 = ↑S ∨ E' 4 = ↑S ∨ E' 5 = ↑S
τ : ℍ
h0 : ↑τ ≠ 0
h1 : (-I * ↑τ) ^ (1 / 2) ≠ 0
⊢ jacobiTheta₂ 0 ↑(UpperHalfPlane.mk (-↑τ)⁻¹ ⋯) = (-I * ↑τ) ^ (1 / 2) * (1 / (-I * ↑τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * 0 ^ 2 / ↑τ) * jacobiTheta₂ (0 / ↑τ) (-1 / ↑τ))
α : Type u
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
hB : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B
u : Set α
ou : IsOpen u
⊢ u = ⋃₀ {s | s ∈ B ∧ s ⊆ u}
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
Z : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
g : Y ⟶ Z
x : ↑X.toTopCat
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.residueFieldMap (f ≫ g) x =
  AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.residueFieldMap g (f.val.base x) ≫
    AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.residueFieldMap f x
R : Type u
a b : R
m✝ n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n m : ℕ
r s : R
⊢ ((monomial n) r * (monomial m) s).toFinsupp = ((monomial (n + m)) (r * s)).toFinsupp
α : Sort u
a : α
⊢ Eq { down := a }.down a
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Group G
AddCommMonoid V
Module k V
ρ : Representation k G V
ρ.IsTrivial
⊢ ρ.invariants = ⊤
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ UniformContinuous ⇑Additive.ofMul
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x : G
i : ℤ
h : IsOfFinOrder x
k : ℤ
h' : x ^ k ∈ zpowers x
⊢ IsOfFinOrder (x ^ k)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
h_main : (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ ((α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ P.actLeft ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.IsPell (Pell.pellZd a1 n)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
o : Option ι
s : ι → Set α
⊢ EMetric.diam (⋃ i ∈ o, s i) = ⨆ i ∈ o, EMetric.diam (s i)
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ 0
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ ≤ 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
k : ℕ
⊢ ↑(LieModule.lowerCentralSeries R (↥(LieModule.toEnd R L M).range) M k) = ↑(LieModule.lowerCentralSeries R L M k)
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
OrderedSemiring S
f g : AbsoluteValue R S
⊢ (∀ (x : R), f x = g x) → f = g
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
⊢ dist x y ≤ dist x z + dist y z
X : Type u
TopologicalSpace X
S : Set X
x : ↑S
⊢ (𝓝[≠] x).NeBot ↔ (𝓝[≠] ↑x ⊓ 𝓟 S).NeBot
α : Type u_1
Group α
n : ℕ
hn : (Nat.card α).Coprime n
a : α
⊢ (a ^ (↑n)⁻¹.val) ^ n = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
A B : E →WOT[𝕜]F
hAB : (inducingFn 𝕜 E F) A = (inducingFn 𝕜 E F) B
⊢ A = B
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝² : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
h : (i : ι) → β₂ i → γ
h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
⊢ (mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)).prod h = g.prod fun i b => h i (f i b)
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
AddZeroClass α
M N : Matrix (m × o) (n × o) α
⊢ (M + N).blockDiag = M.blockDiag + N.blockDiag
α : Type u_1
SupSet α
f : ℝ≥0∞ → α
⊢ ⨆ x, f ↑x = ⨆ x, f ↑x
α : Type u
Monoid α
u : αˣ
a : α
h : ↑u * a = 1
⊢ ↑u⁻¹ = a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
CategoryTheory.BraidedCategory E
F : CategoryTheory.BraidedFunctor C D
G : CategoryTheory.BraidedFunctor D E
X Y : C
⊢ (F.comp G).μ X Y = G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ (a ::ₘ s).toFinset = insert a s.toFinset
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P
pred : ι → Prop
DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i
⊢ ((Finset.filter pred s).weightedVSubOfPoint p b) w = (s.weightedVSubOfPoint p b) w
α : Type u_1
⊢ Topology.WithUpper.ofUpper.symm = Topology.WithUpper.toUpper
G : Type u_1
a : G
AddGroup G
s : Set G
hs : IsAddSubgroup s
⊢ -a ∈ s ↔ a ∈ s
α : Sort u
β : α → Sort v
h : ∀ (a : α), Nonempty (β a)
a : α
⊢ Function.Surjective (Function.eval a)
α : Type u_1
SeminormedRing α
NormOneClass α
l : List α
⊢ ‖l.prod‖ ≤ (List.map norm l).prod
M : Type u_2
AddZeroClass M
S₁ S₂ : AddSubmonoid M
⊢ (S₁ ⊔ S₂).op = S₁.op ⊔ S₂.op
x : ℝ
hx : Irrational x
a b : ℤ
p_nonzero : C a * X + C b ≠ 0
x_is_root : (aeval x) (C a * X + C b) = 0
rid : ¬1 < (C a * X + C b).natDegree
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J : Set α
⊢ R.leftDual J ≤ R.leftDual (R.rightDual (R.leftDual J))
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
DivisionRing K
gp ppred pred : GenContFract.Pair K
nth_s_eq : g.s.get? n = some gp
nth_contsAux_eq : g.contsAux n = ppred
succ_nth_contsAux_eq : g.contsAux (n + 1) = pred
⊢ g.conts (n + 1) = { a := gp.b * pred.a + gp.a * ppred.a, b := gp.b * pred.b + gp.a * ppred.b }
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
AddCommGroup V₁
Module K V₁
AddCommGroup V₂
Module K V₂
AddCommGroup V₃
Module K V₃
db : V₂ →ₗ[K] V
eb : V₃ →ₗ[K] V
cd : V₁ →ₗ[K] V₂
ce : V₁ →ₗ[K] V₃
hde : ⊤ ≤ LinearMap.range db ⊔ LinearMap.range eb
hgd : LinearMap.ker cd = ⊥
eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce
eq₂ : ∀ (d : V₂) (e : V₃), db d = eb e → ∃ c, cd c = d ∧ ce c = e
⊢ Module.rank K V + Module.rank K V₁ = Module.rank K V₂ + Module.rank K V₃
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Free R M
Module.Finite R M
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x : L
y : L
hy : y ∈ I
hy' : ∀ m ∈ N, (φ x ∘ₗ φ y) m ∈ N := ⋯
⊢ (LinearMap.trace R M) (φ x ∘ₗ φ y) = (LinearMap.trace R ↥↑N) ((φ x ∘ₗ φ y).restrict hy')
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
CommSemiring S
Algebra S A
CommSemiring R
Algebra R S
r : R
x : RestrictScalars R S A
⊢ (RestrictScalars.ringEquiv R S A) (r • x) = (algebraMap R S) r • (RestrictScalars.ringEquiv R S A) x
M : Type u_5
N : Type u_6
One M
One N
x : M
y : N
⊢ (x, y) = 1 ↔ x = 1 ∧ y = 1
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Finite M
G : Type u_2
inst✝ : Group G
⊢ commProb G = ↑(Nat.card (ConjClasses G)) / ↑(Nat.card G)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
g : F →ₗᵢ[𝕜] G
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑(sa * s₁) = ra * ↑s₂
⊢ (r₃ /ₒ s₃) • ((sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁)) = (r₃ /ₒ s₃) • (sa • r₁ /ₒ (sa * s₁)) + (r₃ /ₒ s₃) • (ra • r₂ /ₒ (sa * s₁))
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s) (expZeta (↑a) s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
CategoryTheory.HasRightDual X
CategoryTheory.HasRightDual Y
f : X ⟶ Y
⊢ η_ Y Yᘁ ≫ Y ◁ fᘁ = η_ X Xᘁ ≫ f ▷ Xᘁ
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p μ)
hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
g : α → F := Exists.choose hf
hg : StronglyMeasurable (Exists.choose hf)
hfg : ↑↑f =ᶠ[ae μ] Exists.choose hf
⊢ Memℒp (Exists.choose ⋯) p (μ.trim hm)
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
s : Set A
t : Set B
⊢ Algebra.adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1})) =
  (Algebra.adjoin R s).prod (Algebra.adjoin R t)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
⊢ ∃ a b, 0 < b ∧ ∀ x ∈ corootSpace α, (a • α + b • χ) x = 0
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ico (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ico (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b
i1 : a * b ^ m < a * b ^ (n + 1)
i2 : a * b ^ n < a * b ^ (m + 1)
⊢ m = n
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h𝒜 : ∀ s ∈ 𝒜, a ∉ s
s : Finset α
⊢ s ∈ memberSubfamily a (image (insert a) 𝒜) ↔ s ∈ 𝒜
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hx : x ≠ 0
hi : i ∈ x.support
⊢ ¬i < ⋯.min ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
h : succ (sup (typein fun x x_1 => x < x_1)) = lsub (typein fun x x_1 => x < x_1)
⊢ sup (typein fun x x_1 => x < x_1) = o
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
ι : Sort u_2
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
u : UniformSpace α
h : (𝓤 α).HasBasis p s
⊢ u = ⊥ ↔ ∃ i, p i ∧ Pairwise fun x y => (x, y) ∉ s i
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
β : Type u_4
Preorder β
f : β → α
hf : Monotone f
c : α
hc : 0 ≤ c
⊢ Monotone fun x => f x / c
α : Type u_1
β : α → Type u_2
F : (a : α) → Equiv.Perm (β a)
⊢ Equiv.symm (Equiv.Perm.sigmaCongrRight F) = Equiv.Perm.sigmaCongrRight fun a => Equiv.symm (F a)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
f : Y → Path x y
g : Y → Path y z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun t => (f t).trans (g t)
α : Type u
m : Type u → Type v
Monad m
LawfulMonad m
β : Type u
f : ℕ → β → α → m β
b : β
as : List α
⊢ List.foldlIdxM f b as = List.foldlM (fun b p => f p.1 b p.2) b as.enum
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p (𝓟 s)
g : γ → α
⊢ UniformCauchySeqOnFilter (fun n => F n ∘ g) p (𝓟 (g ⁻¹' s))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
s : Set E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
hf : LipschitzOnWith C f s
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, DifferentiableWithinAt ℝ f s x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
a b c : α
⊢ a * (b - c) = a * b - a * c
D : GlueData
i : D.J
⊢ ((D.toLocallyRingedSpaceGlueData.ι i).val ≫ (LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.mapIso D.isoLocallyRingedSpace).inv).base = (D.ι i).val.base