ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_11, u_5} C₁₂
F₁₂ : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₁₂)
G : CategoryTheory.Functor C₁₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄)
X₁ : C₁
X₂ Y₂ : C₂
φ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : C₃
⊢ ((CategoryTheory.bifunctorComp₁₂Obj F₁₂ G X₁).map φ).app X₃ = (G.map ((F₁₂.obj X₁).map φ)).app X₃
α : Type u_1
self : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b : α
⊢ a ≤ a * b
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
R' : Type u_3
Semiring R'
MulSemiringAction R' A
SMulCommClass R' R A
m : R'
S : Subalgebra R A
⊢ (m • S).toSubsemiring = m • S.toSubsemiring
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₂ : W
ω₁ : List B
hω₁ : ω₁.length = cs.length (cs.wordProd ω₁)
⊢ cs.length (cs.wordProd ω₁ * w₂) ≤ cs.length (cs.wordProd ω₁) + cs.length w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
K L : CochainComplex C ℤ
n a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
⊢ ∀ (a_1 : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n),
  (CochainComplex.HomComplex.Cochain.rightShiftLinearEquiv R K L n a n' hn') a_1 = a_1.rightShift a n' hn'
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₂₃ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_11, u_6} C₂₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂₃ C₄)
G₂₃ : CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₂₃)
X₁ : C₁
X₂ Y₂ : C₂
φ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : C₃
⊢ ((CategoryTheory.bifunctorComp₂₃Obj F G₂₃ X₁).map φ).app X₃ = (F.obj X₁).map ((G₂₃.map φ).app X₃)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M N K : Mon_ C
f : M ⟶ N
g : N ⟶ K
⊢ (f ≫ g).hom = f.hom ≫ g.hom
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
hA : CantorScheme.Disjoint A
⊢ Function.Injective (CantorScheme.inducedMap A).snd
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
⊢ AddMonoid.Closure (Neg.neg ⁻¹' s) ⊆ AddGroup.closure s
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => Real.log (f y)) (f' / f x) x
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
N m n : ℕ
hm : N ≤ m
hn : N ≤ n
⊢ (SequentiallyComplete.seq hf U_mem m, SequentiallyComplete.seq hf U_mem n) ∈ U N
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J J' : FractionalIdeal S P
h : J ≤ J'
⊢ ⟨↑J * ↑I, ⋯⟩ ≤ ⟨↑J' * ↑I, ⋯⟩
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F
hc : IsLimit c
s : Cocone F.unop
m : (coconeUnopOfCone c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : J), (coconeUnopOfCone c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
⊢ m = (fun s => (hc.lift (coneOfCoconeUnop s)).unop) s
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))
⊢ ↑⋯.unit = 1
a : ℕ
⊢ ZMod.ringEquivCongr ⋯ = RingEquiv.refl (ZMod a)
δ' : Type u_5
π : δ' → Type u_6
(x : δ') → MeasurableSpace (π x)
p : δ' → Prop
DecidablePred p
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.piEquivPiSubtypeProd π p).symm = fun f x => if h : p x then f.1 ⟨x, h⟩ else f.2 ⟨x, h⟩
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : SchwartzMap E F
x : E
⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑f) x
α : Type u_1
a b c : α
Lattice α
BoundedOrder α
IsModularLattice α
h : Disjoint b c
hcomp : IsCompl a (b ⊔ c)
⊢ IsCompl (a ⊔ b) c
X : Type u_2
EMetricSpace X
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric fun x => ⊤) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
g : β → ℝ≥0∞
t : Set β
⊢ ∫⁻ (b : β) in t, g b ∂(piecewise hs κ η) a = if a ∈ s then ∫⁻ (b : β) in t, g b ∂κ a else ∫⁻ (b : β) in t, g b ∂η a
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a b c : α
⊢ a / (b * c) = a / c / b
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hp : 0 < p.toReal
⊢ Memℓp (-f) p
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Top α
Inf β
Top β
f : InfTopHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u
β : Type u_1
l : List α
f : α → β
⊢ (List.ofFn fun i => f l[↑i]) = List.map f l
V : Type
G : SimpleGraph V
G.LocallyFinite
Fact G.Preconnected
Infinite V
⊢ G.end.Nonempty
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ IsOpen {L | Injective ⇑L}
l : Filter ℝ
f g : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atBot, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atBot, deriv g x ≠ 0
hfbot : Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 0)
hgbot : Filter.Tendsto g Filter.atBot (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) Filter.atBot l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) Filter.atBot l
X : Type u_1
TopologicalSpace X
A : Type u_2
Ring A
StarRing A
Algebra ℝ A
φ : C(X, NNReal) →⋆ₐ[NNReal] A
f : C(X, NNReal)
⊢ φ.realContinuousMapOfNNReal ({ toFun := NNReal.toReal, continuous_toFun := NNReal.continuous_coe }.comp f) = φ f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
x : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
h : ∀ i ∈ t, SmoothWithinAt I' I (f i) s x
⊢ SmoothWithinAt I' I (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) s x
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a b : α
ne : a ≠ b
⊢ ¬(a == b) = true
α : Type u_2
Add α
IsLeftCancelAdd α
DecidableEq α
s : Set α
t : Finset α
⊢ (s.PairwiseDisjoint fun x => x +ᵥ t) ↔ Set.InjOn (fun p => p.1 + p.2) (s ×ˢ ↑t)
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ AddGrp
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit F ↔ Small.{u, max u v} ↑(F ⋙ CategoryTheory.forget AddGrp).sections
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
n : ℕ
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
⊢ ↑‖k‖₊ ≤ ↑‖a ^ (n + 1)‖₊ ^ (1 / (↑n + 1)) * ↑‖1‖₊ ^ (1 / (↑n + 1))
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Tendsto (fun x => 1 / (s - 1) * (1 - 1 / (↑x + 1) ^ (s - 1))) atTop (𝓝 (1 / (s - 1)))
α ε : Type u
m : Type u → Type v
Monad m
n : Type u → Type u_1
MonadLiftT n m
x : n α
⊢ (monadLift x).run = Except.ok <$> monadLift x
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
f : M ≃* N
⊢ f.toEquiv = ↑f
α : Type u
β : Type u_1
a b n : ℕ
⊢ (b - 1) * ∑ i ∈ range n.succ, a / b ^ i = ∑ i ∈ range n, a / b ^ (i + 1) * b + a * b - (∑ i ∈ range n, a / b ^ i + a / b ^ n)
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b p : Associates α
hb : b ≠ 0
hp : Irreducible p
h : a.factors ≤ b.factors
ha : ¬a = 0
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h_sb : b.factors = ↑sb
⊢ p.count a.factors ≤ p.count b.factors
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
π₀ : Prepartition I
hc₁ : π₀.distortion ≤ c
hc₂ : π₀.compl.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : TaggedPrepartition I
hle : π.toPrepartition ≤ π₀
hH : π.IsHenstock
hr : π.IsSubordinate r
hd : π.distortion = π₀.distortion
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
x✝ : l.bDistortion = true
⊢ π₀.compl.iUnion = ↑I \ π.iUnion
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
b : (x : α) → x = a → β
⊢ (∑ x ∈ s, if h : x = a then b x h else 0) = if a ∈ s then b a ⋯ else 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
p : PerfectPairing R M N
⊢ Module.IsReflexive R N
α : Type u_1
β : Type u_8
MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure β
s : Set β
hf : Function.Injective f
hf' : Measurable f
h : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → MeasureTheory.NullMeasurableSet (f '' t) μ
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.comap f μ) (f ⁻¹' s) = μ (s ∩ Set.range f)
M : Type u_4
N : Type u_5
AddMonoid M
AddMonoid N
l : List M
F : Type u_8
FunLike F M N
AddMonoidHomClass F M N
f : F
⊢ (List.map (⇑f) l).sum = f l.sum
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.193906, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0
⊢ h₀ + S₁.f ≫ h₁ = S₁.f ≫ h₁ + h₀
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
hb : b₁ < b₂
ha : a < 0
⊢ a • b₂ < a • b₁
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
a b : α
ha : a ≠ ⊥
hab : Disjoint a b
⊢ a ≠ b
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Icc a b ∪ Set.Ici b = Set.Ici a
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
⊢ Submodule.span R ↑(Submodule.span R s) = Submodule.span R s
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : R
s : ↥S
⊢ (r /ₒ s) • 0 = 0
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
ns : List ℕ
IH : ∀ {l : List α}, ns.sum ≤ l.length → map length (l.splitWrtCompositionAux ns) = ns
l : List α
h : n + ns.sum ≤ l.length
this : n ≤ l.length
⊢ map length (l.splitWrtCompositionAux (n :: ns)) = n :: ns
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
l : Filter α
⊢ Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atTop ↔ Tendsto (Int.cast ∘ f) l atTop
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
T : Set α
a : α
hS : ∀ g ∈ S, g⁻¹ ∈ S
subset : T ⊆ orbit (↥(closure S)) a
not_mem : a ∉ T
nonempty : T.Nonempty
key0 : ¬closure S ≤ stabilizer G T
⊢ ∃ σ ∈ S, ∃ a ∈ T, σ • a ∉ T
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
h : ker f ⊔ ker g = ⊤
⊢ (range f).prod (range g) ≤ range (f.prod g)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R B
hf : ∀ (x : A), f x ∈ S
⊢ Function.Injective ⇑(f.codRestrict S hf) ↔ Function.Injective ⇑f
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
HasDistribNeg α
GCDMonoid α
a b : α
⊢ Associated (gcd a (-b)) (gcd a b)
α : Type u
s : Set α
p : ↑s → Prop
⊢ (∀ (x : ↑s), p x) ↔ ∀ (x : α) (h : x ∈ s), p ⟨x, h⟩
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, -nim k = nim k
⊢ -nim o = nim o
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
Fintype ι
FiniteDimensional 𝕜 E
h : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j : ι
⊢ ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i, f j⟫_𝕜 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X : C
n : ℕ
Y : C
⊢ (CategoryTheory.Abelian.extFunctorObj X n).obj Y = AddCommGrp.of (CategoryTheory.Abelian.Ext X Y n)
K : Type u_3
DivisionRing K
a b : K
h : b ≠ 0
⊢ (b - a) / b = 1 - a / b
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i ≃ₗᵢ[𝕜] E₁ i
⊢ ‖g‖ ≤ ‖g.compContinuousLinearMap fun i => (f i).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap‖
b x✝ y✝ : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y
⊢ |y| < |x|
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ |a + b| ≤ |a| + |b|
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Set.Ici 0) fun x => √x
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
IsDomain R
Algebra R S
IsDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
⊢ (Algebra.adjoin.powerBasis' hx).gen = ⟨x, ⋯⟩
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
⊢ Tendsto (fun g => |(↑g • z).re|) cofinite atTop
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.Integrable (s.indicator f) μ
α : Type u
l₁ l₂ : List α
n : ℕ
h₁ : l₁.length ≤ n
h₂ : n < (l₁ ++ l₂).length
⊢ (l₁ ++ l₂).nthLe n h₂ = l₂.nthLe (n - l₁.length) ⋯
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
hq : q.Monic
⊢ (p - q * (Polynomial.C p.leadingCoeff * Polynomial.X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
y : NormedSpace.Dual 𝕜 F
⊢ Continuous fun A => y (A x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
hP : P.RespectsIso
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ P (f ≫ g) ↔ P f
a b c : Prop
Decidable a
h : ¬a → (b ↔ c)
⊢ a ∨ b ↔ a ∨ c
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b c d : α
ExistsAddOfLE α
MulPosMono α
PosMulMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hac : a ≤ c
hdb : d ≤ b
hc : c ≤ 0
hb : 0 ≤ b
⊢ a * b ≤ c * d
α : Type u
P : WithOne α → Prop
x : WithOne α
⊢ P 1 → (∀ (a : α), P ↑a) → P x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ AnalyticOn 𝕜 f (EMetric.ball x r)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s + t = s ∪ t ↔ s.Disjoint t
k : Type u_1
K : Type u_2
Field k
IsAlgClosed k
Field K
f : K →+* k
p : K[X]
⊢ Polynomial.Splits f p
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b : α
⊢ Disjoint a b ↔ a ⊓ b ≤ ⊥
E : Type u_4
AddGroup E
⊢ ⇑0 = 0
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
a : α
b : β
ca : Computation α
cb : Computation β
ma : a ∈ ca
mb : b ∈ cb
ab : R a b
⊢ Computation.LiftRel R ca cb
c : Type u → Type u
hom : ⦃α β : Type u⦄ → c α → c β → (α → β) → Prop
self : CategoryTheory.UnbundledHom hom
α β γ : Type u
Iα : c α
Iβ : c β
Iγ : c γ
g : β → γ
f : α → β
⊢ hom Iβ Iγ g → hom Iα Iβ f → hom Iα Iγ (g ∘ f)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
μ : MeasureTheory.Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
f : ι → Set Ω
hfπ : ∀ (i : ι), f i ∈ π i
hf : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
hπ : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSets π κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSet f κ μ
E : ℕ → Type u_1
x z : (n : ℕ) → E n
hxz : x ≠ z
⊢ dist x z ≤ max (dist x x) (dist x z)
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ
⊢ Integrable (fun v => ∏ x : ι, cexp (-b x * ↑(v x) ^ 2 + c x * ↑(v x))) volume
R : Type u
Nontrivial R
Semiring R
a : R
⊢ (Polynomial.X + Polynomial.C a).degree = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Mul β
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ ↑(f * g) = ↑f * ↑g
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y✝ z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
y : α
⊢ y ∈ closedBall x ε ↔ y ∈ ⋂ δ, ⋂ (_ : δ > ε), ball x δ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
X : J
hX : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
F : J ⥤ C
∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), CategoryTheory.IsIso (F.map f)
i : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfDiagramTerminal hX F).π.app i = CategoryTheory.inv (F.map (hX.from i))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
P : C
π : Y ⟶ P
w : f ≫ π = g ≫ π
⊢ CategoryTheory.Preadditive.cokernelCoforkOfCofork (CategoryTheory.Limits.Cofork.ofπ π w) =
  CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.ofπ π ⋯
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
⊢ map (↑(opLinearEquiv R)) N * map (↑(opLinearEquiv R)) M ≤ map (↑(opLinearEquiv R)) (M * N)
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
he : x₁ ≈ x₃
h₁ : P2 x₁ x₃ y₁
h₃ : P2 x₁ x₃ y₃
h3 : P3 x₁ x₂ y₂ y₃
⊢ P1 x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ y₃
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : f x = 0
⊢ logDeriv (fun x => f x ^ n) x = ↑n * logDeriv f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x✝ : List α
l : Language α
x : List α
⊢ x ∈ l∗ ↔ x ∈ ⨆ i, l ^ i
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ toDual (s.min' hs) = (image (⇑toDual) s).max' ⋯
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : c ≤ 0
hf : Submartingale f ℱ μ
⊢ Supermartingale (-(-c • f)) ℱ μ
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
m0 m1 : MeasurableSpace α
h : m0 ≤ m1
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ m.trim s ≤ m s
n m : ℕ
⊢ m ∈ n.smoothNumbers ↔ ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ m → p < n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
a : α
⊢ ⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b) = ⨅ x, ⨅ (_ : x > 0), 𝓟 {a_1 | a - a_1 < x}
G : Type u_3
SubNegMonoid G
a b : G
⊢ a - b = a + (0 - b)
cs : List Char
c : Char
cs' : List Char
⊢ (if { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size } = 0 then 0 else utf8PrevAux (cs ++ c :: cs') 0 { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size }) = { byteIdx := utf8Len cs }
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
⊢ ∀ i ∈ A ×ˢ B, ↑(interedges G.Adj i.1 i.2).card * ((1 - ε ^ 5 / 50) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card)) ≤ ↑(G.interedges i.1 i.2).card / (↑i.1.card * ↑i.2.card * (↑A.card * ↑B.card))
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ 1 ≤ NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLTFactor K
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
f : M' → M
x : M'
s : Set M'
⊢ ContMDiffWithinAt I' (I.transDiffeomorph e) n f s x ↔ ContMDiffWithinAt I' I n f s x
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
B : Type uB
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : EvenHom Q A
this : AddCommGroup ↥(CliffordAlgebra.even.lift.S f) := AddSubgroupClass.toAddCommGroup (CliffordAlgebra.even.lift.S f)
⊢ CliffordAlgebra Q →ₗ[R] A
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsBezout R
inst✝ : GCDMonoid R
x y : R
⊢ Associated (GCDMonoid.gcd x y) (gcd x y)
β : Type u_4
AddCommMonoid β
f s : ℕ → β
base : s 0 = 0
step : ∀ (n : ℕ), s (n + 1) = s n + f n
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range n, f k = s n
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
h : ∀ (ε : ℝ) (B : Set Ω), δ < ε → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε B) + ENNReal.ofReal ε
⊢ ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), ENNReal.ofReal δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
Field F
Field E
Field K
Algebra F E
Algebra F K
L : Type u_4
Field L
Algebra F L
Algebra L E
IsScalarTower F L E
f : L →ₐ[F] K
hK : ∀ (s : E), IsIntegral L s ∧ Polynomial.Splits f.toRingHom (minpoly L s)
⊢ ∃ φ, φ.comp (IsScalarTower.toAlgHom F L E) = f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] E
⊢ A.IsSymmetric ↔ IsSelfAdjoint A
R : Type u_1
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ pNilradical R p = nilradical R
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (Polynomial.aeval pb.gen) p = 0
⊢ pb.dim ≤ p.natDegree
n✝¹ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
n✝ : ℕ+
hi : n✝ = n
⊢ IsPrimitiveRoot ⟨ζ, ⋯⟩ ↑n✝
α : Type u_2
x y : α
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
h : f.SameCycle x y
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ i ≤ (f.cycleOf x).support.card + 1 ∧ (f ^ i) x = y