ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMapOn f s
x : E
hx : x ∈ f ⁻¹' s
⊢ ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source
c : Code
v : List ℕ
i : Cfg'
h₁ : TrCfg (stepNormal c Cont.halt v) i
h₂ : Reaches₁ (TM2.step tr) (init c v) i
⊢ eval (TM2.step tr) (init c v) = halt <$> c.eval v
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
s : σ
a : R
⊢ C a * X s = (monomial (Finsupp.single s 1)) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
h✝ : ¬∀ (x y : α), edist x y = 0 ∨ edist x y = ⊤
⊢ ⋯.choose ≠ 0
a b : Int
h₁ : a = b
c : Int
⊢ a * c = b * c
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
v : Fin n → E
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin n, ‖v i‖
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ T ≤ S ⊔ T
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
ih : ∀ (x : ℤ_[p]), ↑p ^ n ∣ x - ↑(x.appr n)
x : ℤ_[p]
h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0
c : ℤ_[p]
hc : x - ↑(x.appr n) = ↑p ^ n * c
⊢ ↑p ^ (n + 1) ∣ x - ↑(x.appr n) - ↑p ^ n * ↑(toZMod (↑(unitCoeff h) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr n)).valuation - ↑n).natAbs)).val
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x✝ : ↥(skewAdjoint.submodule R A)
x : A
hx : star x = -x
⊢ x = ↑(LinearMap.id ⟨x, hx⟩)
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : ι → Set E
t : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (⋃ i, s i) t = ⋃ i, convexJoin 𝕜 (s i) t
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : ConcreteCategory.forget.obj (pullback f g)
⊢ ↑((pullbackIsoProdSubtype f g).hom x) = ↑⟨((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x), ⋯⟩
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E✝ : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E✝
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
D_comp : CompactSpace ↑D
π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val
π₁_cont : Continuous π₁
π₁_surj : Surjective π₁
E : Set ↑D
left✝ : CompactSpace ↑E
E_onto : π₁ '' E = univ
E_min : ∀ (E₀ : Set ↑E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → E.restrict π₁ '' E₀ ≠ univ
ρ : ↑E → A := E.restrict π₁
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Surjective ρ
ρ' : ↑E ≃ₜ A := ExtremallyDisconnected.homeoCompactToT2 ρ_cont ρ_surj E_min
π₂ : ↑D → B := Prod.snd ∘ Subtype.val
π₂_cont : Continuous π₂
⊢ f ∘ E.restrict π₂ ∘ ⇑ρ'.symm = φ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter γ
t : Set α
⊢ t ∈ (rcomap r (rcomap s l)).sets ↔ t ∈ (rcomap (r.comp s) l).sets
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
H : CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
⊢ CategoryTheory.IsUniversalColimit c
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
Zero β
T2Space β
hf : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ f =ᵐ[μ.restrict tᶜ] 0 ∧ MeasureTheory.SigmaFinite (μ.restrict t)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
inst✝ : IsDomain R₁
M : Matrix ι ι R₁
⊢ ((toLinearMap₂' R₁) M).SeparatingLeft ↔ M.det ≠ 0
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
p : Submodule R P
q : Submodule R Q
⊢ range (mapIncl p q) = Submodule.span R (Set.image2 (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) ↑p ↑q)
α : Type u
a b c : Set α
⊢ (a ∩ b) \ c = a ∩ (b \ c)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
hU : (𝓤 α).HasBasis p s
A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVAB : Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x V) (⋃ x ∈ B, ball x V)
⊢ ∃ i, p i ∧ Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x (s i)) (⋃ x ∈ B, ball x (s i))
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
⊢ corootSpace 0 = ⊥
α : Type u_1
a : Topology.WithLowerSet α
⊢ Topology.WithLowerSet.toLowerSet (Topology.WithLowerSet.ofLowerSet a) = a
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
this : QuasiMeasurePreserving (fun h => h * g⁻¹) μ μ
⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h) μ μ
α : Type u
TopologicalSpace α
LocallyConnectedSpace α
F : Set α
x : α
hF : IsOpen F
⊢ IsOpen (connectedComponentIn F x)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
p : Finset (Finset α) → Prop
𝒜 : Finset (Finset α)
empty : p ∅
singleton_empty : p {∅}
subfamily : ∀ (a : α) ⦃𝒜 : Finset (Finset α)⦄, p (nonMemberSubfamily a 𝒜) → p (memberSubfamily a 𝒜) → p 𝒜
u : Finset α := 𝒜.sup id
hu : ∀ s ∈ 𝒜, s ⊆ u
⊢ p 𝒜
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
this : ((p.takeUntil u h).append (p.dropUntil u h)).length = p.length
⊢ (p.takeUntil u h).length ≤ p.length
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
StarAddMonoid F
NormedSpace 𝕜 F
StarModule 𝕜 F
ContinuousStar F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => star (f x)) ((↑(starL' 𝕜)).comp f') x
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R
⊢ ↑(basicOpen (f * g)) = ↑(basicOpen f ⊓ basicOpen g)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
H : ∀ t ⊆ s, MeasurableSet t → μ t = ν t
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ.restrict s) t = (ν.restrict s) t
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivAt f f' y
⊢ slope f x y ≤ f'
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
γ : Type u₁
AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
i : ι
x : β i
⊢ (DirectSum.toAddMonoid φ) ((DirectSum.of β i) x) = (φ i) x
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
ns : List ℕ
IH : ∀ {l : List α}, ns.sum ≤ l.length → map length (l.splitWrtCompositionAux ns) = ns
l : List α
h : n + ns.sum ≤ l.length
this : n ≤ l.length
⊢ map length (take n l :: (drop n l).splitWrtCompositionAux ns) = n :: ns
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hf : Integrable f μ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(condexpL1 hm μ f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
α : Type u
inst✝ : CommMonoid α
x y : α
ux uy : αˣ
⊢ x /ₚ ux * (y /ₚ uy) = x * y /ₚ (ux * uy)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < p.toReal
⊢ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + ε ^ 4 / 3 ≤
  (∑ ab ∈ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts.product (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hV).parts,
      ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) /
    16 ^ P.parts.card
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
h : ∃ u v, u • r₂ = v • r₁ ∧ ↑u * ↑1 = v * ↑1
⊢ r₁ = r₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g✝ g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : SurjOn f s t
g : β → γ
⊢ SurjOn (g ∘ f) s (g '' t)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ
⊢ (Function.support fun i => (coeff.addMonoidHom g) (f i)) ⊆ ↑f.support
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
⊢ f.comp (FirstOrder.Language.Hom.id L M) = f
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
g : ℕ → ℂ → E := fun n z => cexp z ^ n • f z
hg : ∀ (n : ℕ) (z : ℂ), ‖g n z‖ = expR z.re ^ n * ‖f z‖
⊢ ∀ (z : ℂ), 0 < z.re → f z = 0
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hconj : ∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
⊢ ContinuousInv G
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∑ i ∈ s, f i ^ p = 0
⊢ ∀ x ∈ s, f x = 0 ∨ g x = 0
α : Type u
DivisionMonoid α
u₁ u₂ : αˣ
⊢ ↑(u₁ / u₂) = ↑u₁ / ↑u₂
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
⊢ (toLinAlgEquiv v₁) 1 = LinearMap.id
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : Flat R M
i : N →ₗ[R] M
r : M →ₗ[R] N
h : r ∘ₗ i = LinearMap.id
⊢ Flat R N
R : Type u_1
CommSemiring R
f : ArithmeticFunction R
h_mult : f.IsMultiplicative
l : ℕ
t : Finset ℕ
ht : t ⊆ l.primeFactors
⊢ f (∏ a ∈ t, a) = ∏ a ∈ t, f a
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
c : ℝ≥0∞
⊢ a - ⨅ i, f i ≤ c ↔ ⨆ i, a - f i ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : InfiniteDimensionalOrder α
m✝ : WithBot (WithTop ℕ)
hm✝ : ∀ (i : LTSeries α), ↑i.length ≤ m✝
m : ℕ
hm : ∀ (i : LTSeries α), ↑i.length ≤ some (some m)
⊢ m < ↑(LTSeries.withLength α (m + 1)).length
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
∀ (A : C), CategoryTheory.Limits.HasTerminal (CategoryTheory.CostructuredArrow G A)
⊢ G.IsLeftAdjoint
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
o : Option α
f : α → β
⊢ ⨆ x ∈ o.toFinset, f x = ⨆ x ∈ o, f x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N : LieSubmodule R L M
⊢ ↑(LieSubmodule.map f N) = ⇑f '' ↑N
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
f g : α → G₀
l : Filter α
a b : G₀
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 b)
hy : b ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (f / g) l (𝓝 (a / b))
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
a : 𝓞 K
h : (minpoly ℤ ((algebraMap (𝓞 K) K) a)).natDegree = finrank ℚ K
⊢ (minpoly ℤ ↑a).natDegree ≤ rankOfDiscrBdd N
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
L.IsAlgebraic
L.IsRelational
n : ℕ
a : L.Relations n
⊢ (FirstOrder.Language.LHom.ofIsEmpty L L').onRelation a = ⋯.elim a
α : Type u_1
n : ℕ
s : Finset α
⊢ (Finset.powersetCard n s).card = s.card.choose n
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_2 := (n : ι) × β n
F : γ → α := fun x => match x with | ⟨n, x⟩ => f n x
F_cont : Continuous F
⊢ AnalyticSet (⋃ n, s n)
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
⊢ (CategoryTheory.BasedFunctor.id 𝒳).comp F = F
α : Type u_4
β₁ : α → Type u_1
β₂ : α → Type u_2
β₃ : α → Type u_3
F : (a : α) → β₁ a ≃ β₂ a
G : (a : α) → β₂ a ≃ β₃ a
⊢ (Equiv.sigmaCongrRight F).trans (Equiv.sigmaCongrRight G) = Equiv.sigmaCongrRight fun a => (F a).trans (G a)
X : TopCat
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ ⋯.functor.obj ((TopologicalSpace.Opens.map U.inclusion).obj V) = V ⊓ U
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
S : StarSubalgebra R A
⊢ s ∪ star s ⊆ ↑S ↔ s ≤ ↑S
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
⊢ (⨅ i, l i).HasBasis (fun If => If.fst.Finite ∧ ∀ (i : ↑If.fst), p (↑i) (If.snd i)) fun If => ⋂ i, s (↑i) (If.snd i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a
hb : ¬IsMax b
⊢ succ a ≤ succ b ↔ a ≤ b
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X ≃ Y
hf : Continuous ⇑f
C : Set X
hC : IsClosed C
⊢ IsClosed (⇑f.symm ⁻¹' C)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ (eval P) W.polynomialX = W.a₁ * P 1 * P 2 - (3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2)
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
hRS : R = S
b : 𝒳
hb : p.obj b = S
⊢ p.IsHomLift (CategoryTheory.eqToHom hRS) (𝟙 b)
α : Type u_1
Preorder α
s t : Set α
hs : DirSupInacc s
ht : DirSupInacc t
⊢ DirSupInacc (s ∪ t)
α : Sort u_1
p q : α → Prop
h : ∀ (x : α), p x ↔ q x
a1 : { x // p x }
a2 : { x // q x }
⊢ HEq a1 a2 ↔ ↑a1 = ↑a2
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ ∀ (x : 𝒰.J), (𝒰.pushforwardIso f).map x = 𝒰.map x ≫ f
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
⊢ J ∈ π₁.disjUnion π₂ h ↔ J ∈ π₁ ∨ J ∈ π₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
⊢ MDifferentiableOn 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
NormalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
μ.WeaklyRegular
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ MeasureTheory.Integrable (⇑g) μ
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range (n + 1), eval 1 ((monomial (n - i)) (_root_.bernoulli i * ↑(n.choose i))) = bernoulli' n
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
x : ↥K
⊢ (LieModule.toEnd R (↥K) M) x = (LieModule.toEnd R L M) ↑x
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)) atTop (𝓝 (Gamma s))
d n : Int
h : d ∣ n
H : n / d = 0
⊢ n = 0
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
δ✝ : Type u_5
inst✝⁶ : LE α✝
inst✝⁵ : LE β✝
inst✝⁴ : LE γ✝
α : Type ?u.63266
β : Type ?u.63269
γ : Type ?u.63272
δ : Type ?u.63275
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α ≃o γ
g : β ≃o δ
p : α →o β
⊢ (⇑g.symm ∘ ⇑g) ∘ ⇑p ∘ ⇑f.symm ∘ ⇑f = ⇑p
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
f₁ : F → 𝕜
h : HasGradientAt f f' x
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ HasGradientAt f₁ f' x
G : Type u_1
M : Type u_3
Group G
Monoid M
MulAction G M
SMulCommClass G M M
IsScalarTower G M M
m : M
g : G
h : IsUnit m
⊢ IsUnit (g • m)
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⊤.toAddSubmonoid = ⊤
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
p : P
v : V
hp : p ∈ spanPoints k s
hv : v ∈ vectorSpan k s
⊢ v +ᵥ p ∈ spanPoints k s
a b c : Ordinal.{u_1}
b0 : ¬b = 0
a0 : ¬a = 0
a1 : 1 = a
⊢ a ^ (b * c) = (a ^ b) ^ c
K : Type u_3
V : Type u_4
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (Basis.ofVectorSpace K V) x = ↑x
𝕜 : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
ι : Type u_5
E : ι → Type u_6
(i : ι) → AddCommMonoid (E i)
(i : ι) → SMul 𝕜 (E i)
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (E i)
ht : ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → Convex 𝕜 (t i)
⊢ Convex 𝕜 (s.pi t)
ι : Type u_1
LinearOrder ι
SuccOrder ι
IsSuccArchimedean ι
PredOrder ι
i0 : ι
i : ι
hi : i0 ≤ i
⊢ Order.succ^[(toZ i0 i).toNat] i0 = i
A : Type u_4
K : Type u_5
CommRing A
IsDomain A
L : Type u_6
Field K
Field L
Algebra A K
IsFractionRing A K
Algebra A L
Algebra K L
IsScalarTower A K L
FiniteDimensional K L
⊢ IsFractionRing (↥(integralClosure A L)) L
a : ENNReal
h : a ≠ 0
⊢ ∃ n, (↑n)⁻¹ < a
A : Type u_4
α : Type u_5
Monoid A
Pow A α
Zero α
RootableBy A α
n : α
hn : n ≠ 0
⊢ Function.Surjective fun a => a ^ n
M : Type u_1
Neg M
a : Mᵈᵃᵃ
⊢ DomAddAct.mk.symm (-a) = -DomAddAct.mk.symm a
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
i : Fin n
y : α i.succ
⊢ Fin.tail (Function.update q i.succ y) = Function.update (Fin.tail q) i y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f μ
hμt : μ univ < ⊤
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
⊢ LinearMap.ker (Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) = kerTotal R S
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd G G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
x y : G
⊢ edist (-x) y = edist x (-y)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
x✝ : Discrete (ι × ι)
⊢ F.map ((leSupr U x✝.as.1).op ≫ ((U x✝.as.1).infLELeft (U x✝.as.2)).op) = F.map ((leSupr U x✝.as.2).op ≫ ((U x✝.as.1).infLERight (U x✝.as.2)).op)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l l' : Filter α
⊢ l' ∈ closure {l} ↔ l' ∈ Ici l
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M✝ : Type u_4
M : Type u
inst✝ : LeftCancelMonoid M
a b : M
⊢ a * b = a ↔ a * b = a * 1
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
x✝ : n
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
⊢ A (g x✝) x✝ = ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g x✝) x✝).coeff 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
κ : Kernel α β
hf : MeasurableEmbedding f
hκ : ∀ (a : α), (κ a) (Set.range f) = 1
a : α
⊢ ((κ.comapRight hf) a) Set.univ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : ↥(MeasureTheory.Lp β 1 μ)
⊢ edist f g = ∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this✝ : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
this : rexp (-4 * √(log ↑N)) = rexp (-2 * √(log ↑N)) * rexp (-2 * √(log ↑N))
⊢ rexp (-2 * √(log ↑N)) * rexp (-2 * √(log ↑N)) ≤ ↑N ^ (-(2 / ↑n)) * (rexp (2 - ↑n) / ↑n)
α : Type v
G : Type u
AddGroup G
AddAction G α
a : G
b : α
n : ℕ
⊢ (n % Function.minimalPeriod (fun x => a +ᵥ x) b) • a +ᵥ b = n • a +ᵥ b
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ coequalizer.π (kernel.ι f) 0 ≫ (coimageIsoImage' f).hom = coequalizer.π (kernel.ι f) 0 ≫ cokernel.desc (kernel.ι f) (factorThruImage f) ⋯
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF
this✝ : a₁.NF
this : a₂.NF
h' : (a₁.sub a₂).repr = a₁.repr - a₂.repr
ee : (e₁.cmp e₂).Compares e₁ e₂
⊢ (match e₁.cmp e₂ with | Ordering.lt => 0 | Ordering.gt => e₁.oadd n₁ a₁ | Ordering.eq => match ↑n₁ - ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then a₁.sub a₂ else 0 | k.succ => e₁.oadd k.succPNat a₁).repr = (e₁.oadd n₁ a₁).repr - (e₂.oadd n₂ a₂).repr
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
u : Set δ
inst✝ : MeasureSpace δ
p : δ → Prop
hu : NullMeasurableSet u volume
⊢ ∀ (s : Set { x // x ∈ u }), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (Subtype.val '' s) volume
a : ℤ
ha0 : 0 < a
⊢ ↑(↑a)⁻¹.den = a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁ h₂)
⊢ S.HasHomology