ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
hf : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => f y + c) s x
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousSMul 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
T2Space F
FiniteDimensional 𝕜 E
e : E ≃ₗ[𝕜] F
⊢ e.toContinuousLinearEquiv.toLinearEquiv = e
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : AsBoolAlg α
⊢ ofBoolAlg a * ofBoolAlg b = ofBoolAlg a ↔ a ≤ b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
p : P
hp : p ∈ s
p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s
hv : v = p1 -ᵥ p2
⊢ p1 -ᵥ p2 +ᵥ p ∈ s ↔ 1 • (p1 -ᵥ p2) +ᵥ p ∈ s.carrier
ι : Type u_1
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
I : Ideal R
v : ι → M
f : ι →₀ ↥I
⊢ (Ideal.finsuppTotal ι M I v) f = f.sum fun i x => ↑x • v i
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
hc : ℵ₀ < c.cof
hc' : #ι < c.cof
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c, f i b < c
a : Ordinal.{u}
⊢ a < c → Ordinal.nfpFamily f a < c
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
h : G.Adj a b
⊢ b ≠ a
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ vanishingIdeal s = ⊤ ↔ s = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
MetricSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
SemilatticeSup ι
Nonempty ι
Countable ι
f : ι → α → β
g : α → β
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f n)
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g Filter.atTop tᶜ
a : ℝ
h : a ≠ 0
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => a * x) MeasureTheory.volume = ENNReal.ofReal |a⁻¹| • MeasureTheory.volume
G : Type u_3
SubNegMonoid G
x y : G
⊢ x + (0 - y) = x - y
abv : ℚ → ℚ
IsAbsoluteValue abv
q : ℚ
⊢ CauSeq.Completion.ofRat q = ↑q
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q✝ f g q r : R[X]
hg : g.Monic
h : r + g * q = f ∧ r.degree < g.degree
a✝ : Nontrivial R
h₁ : r - f %ₘ g = -g * (q - f /ₘ g)
h₂ : (r - f %ₘ g).degree = (g * (q - f /ₘ g)).degree
h₄ : (r - f %ₘ g).degree < g.degree
h₅ : q - f /ₘ g = 0
⊢ f /ₘ g = q ∧ f %ₘ g = r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ Monotone CategoryTheory.MorphismProperty.isoClosure
o : Ordinal.{u_2}
⊢ o.cof = 0 ↔ o = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.P q).f n + (AlgebraicTopology.DoldKan.Q q).f n = 𝟙 (X _[n])
α : Type u
Ring α
LinearOrder α
a b : α
MulPosStrictMono α
PosMulStrictMono α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a * b ≤ 0 ↔ 0 ≤ a ∧ b ≤ 0 ∨ a ≤ 0 ∧ 0 ≤ b
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Set R
sm : Submonoid R
hm : ↑sm = s
sa : AddSubmonoid R
ha : ↑sa = s
x : R
⊢ x ∈ Subsemiring.mk' s sm hm sa ha ↔ x ∈ s
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume) * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume
hst : 0 < (s + t).re
⊢ Gamma s * Gamma t = Gamma (s + t) * s.betaIntegral t
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Monoid S
AddCommMonoid M
Module R M
DistribMulAction S M
s : Set S
N p : Submodule R M
⊢ s • N ≤ p ↔ ∀ ⦃r : S⦄ ⦃n : M⦄, r ∈ s → n ∈ N → r • n ∈ p
R : Type u_1
Ring R
I : Type u_3
e : I → R
Fintype I
he : OrthogonalIdempotents e
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents fun x => x.elim (1 - ∑ i : I, e i) e
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : One γ
c : α
f : β → γ
x : β
⊢ (x ∈ mulSupport fun x => f (c⁻¹ • x)) ↔ x ∈ c • mulSupport f
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p₁ p₂ : P
⊢ p₂ -ᵥ midpoint R p₁ p₂ = ⅟2 • (p₂ -ᵥ p₁)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
f : α →o β
⊢ ⇑(c.map f) = ⇑f ∘ ⇑c
⊢ ⇑Cardinal.alephIdx.initialSeg = Cardinal.alephIdx
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R
⊢ φ =
  (PowerSeries.X * PowerSeries.mk fun p => (PowerSeries.coeff R (p + 1)) φ) +
    (PowerSeries.C R) ((PowerSeries.constantCoeff R) φ)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
r : Finset (γ × α)
s : Finset γ
t : γ → Finset α
h : ∀ (p : γ × α), p ∈ r ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t p.1
f : γ × α → β
⊢ ∏ p ∈ r, f p = ∏ x ∈ s.sigma t, f (x.fst, x.snd)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f : Finset α → β
DecidableEq α
⊢ Monotone f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄, a ∉ s → f s ≤ f (insert a s)
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial S
p' : R[X]
h₁ : map f p' = p
h₂ : p'.degree = p.degree
h₃ : p'.Monic
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.natDegree = p.natDegree ∧ q.Monic
n : ℕ
hn : 0 < n
w z : ℂ
h : w.re ≤ z.re
⊢ ↑n ^ w.re ≤ ↑n ^ z.re
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
⊢ (s₁ ∪ s₂) • (t₁ ∩ t₂) ⊆ s₁ • t₁ ∪ s₂ • t₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
⊢ (List.ofFn (⇑toDirectSum ∘ fun i => (ι R) (x i))).prod = (DirectSum.of (fun i => ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ (Multiset.toFinsupp s).support = s.toFinset
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁴ : OrderedCommRing R
inst✝¹³ : StarRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.835033) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
a : A
ha : p a
f g : C(↑(spectrum R a), R)
⊢ (cfcHom ha) f ≤ (cfcHom ha) g ↔ f ≤ g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
B : ℕ → Set X := compactCovering X
hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ B n)
hBc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (F ∩ B n)
hBU : ⋃ n, F ∩ B n = F
this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ B n)
n : ℕ
hn : r < μ (F ∩ B n)
⊢ ∃ K ⊆ F, IsCompact K ∧ r < μ K
α : Type u_3
Nonempty α
SemilatticeSup α
Countable α
⊢ Filter.atTop.HasCountableBasis (fun x => True) Set.Ici
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Game
x : PGame
hx : x ∈ upperBounds (Set.range (Quotient.out ∘ f))
⊢ BddAbove (Set.range f)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
U : (Opens ↑↑Z)ᵒᵖ
⊢ ((pullbackConeOfLeftFst f g ≫ f).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) (Y.restrict ⋯).presheaf).app U = (Y.ofRestrict ⋯ ≫ g).c.app U
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝⁴ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝² : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
g₁ : Π₀ (i : ι), β₁ i
g₂ : Π₀ (i : ι), β₂ i
⊢ (zipWith f hf g₁ g₂).support ⊆ g₁.support ∪ g₂.support
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : f x ≠ 0
⊢ logDeriv (fun x => f x ^ n) x = ↑n * logDeriv f x
α : Type u
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ ∃ c, b = a ⊔ c
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone (CategoryTheory.Discrete.functor f)
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Bicone.ofColimitCocone ht).ι j = t.ι.app { as := j }
α : Type u_2
Mul α
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s * t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, a • t ⊆ u
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ Finset.Ioi a ⊆ Finset.Ici a
M : Type u_1
AddZeroClass M
ι : Sort u_4
S : ι → AddSubmonoid M
C : M → Prop
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, S i
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 0
mul : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
⊢ C x
a b : Int
⊢ -a = b ↔ -b = a
V : Type
G : SimpleGraph V
e : ↑G.end
K : (Finset V)ᵒᵖ
L : Finset V
h : Opposite.unop K ⊆ L
⊢ ∃ D, ComponentCompl.hom h D = ↑e K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
n : ℤ
K : CochainComplex C ℤ
i j : ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftFunctor C n).obj K).d i j = n.negOnePow • K.d (i + n) (j + n)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
N : ℕ
h_B : B N ≤ ε
n : ℕ
hn : n ≥ N
h_sub : eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ liminf (fun m => eLpNorm (f n - f m) p μ) atTop
⊢ liminf (fun m => eLpNorm (f n - f m) p μ) atTop ≤ ε
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (setToL1' 𝕜 hT h_smul) (c • f) = c • (setToL1' 𝕜 hT h_smul) f
n m : Nat
⊢ n.Coprime m ↔ m.Coprime n
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
LocallyCompactSpace X
T2Space X
hs : IsClosed s ∨ IsOpen s
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ ↔ ∀ k ⊆ s, IsCompact k → MeasureTheory.IntegrableOn f k μ
r : ℝ
⊢ ↑r.toNNReal = max r 0
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
R : ℝ≥0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Filter.Tendsto (fun n => f n ω) Filter.atTop (𝓝 c)
α : Type u_1
p : α → Prop
⊢ MeasurableSpace.comap (fun a => ¬p a) inferInstance = MeasurableSpace.comap p inferInstance
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
DecidableEq α
t : L.Term α
s : Set α
h : ↑t.varFinset ⊆ s
v : α → M
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize (v ∘ Subtype.val) (t.restrictVar (Set.inclusion h)) =
  FirstOrder.Language.Term.realize v t
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
⊢ x ∈ e.source ↔ proj x ∈ e.baseSet
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : QPF.IsUniform
α β : Type u
g : α → β
x : F α
⊢ Functor.supp (g <$> x) = g '' Functor.supp x
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
B : Set X
hfB : MulAction.IsInvariantBlock G B
⊢ MulAction.IsFixedBlock G B
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
f : R
inst✝ : IsLocalization.Away f S
e : (↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm).comp (algebraMap R (Localization.Away f)) = algebraMap R S
H : IsIso (CommRingCat.ofHom ↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm)
⊢ IsOpenImmersion (Spec.map (CommRingCat.ofHom ↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm) ≫ Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away f))))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
h : x ∈ Metric.ball c f.rIn
⊢ ↑f =ᶠ[𝓝 x] 1
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
h : Congruence r
X Y : C
f f' : X ⟶ Y
⊢ _root_.Equivalence (CompClosure r)
α : Type u_1
inst✝³ : CompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
⊢ sInf (s / t) = sInf s / sSup t
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
n : ℕ∞
h : ContDiff ℂ n f
⊢ ContDiff ℂ n fun x => Complex.cos (f x)
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
s : Set G
s_count : s.Countable
hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ
⊢ U • {x} ∈ 𝓝 x
K : Type u
inst✝ : Field K
m : ℕ
hm' : m ≠ 1
b : K
k : ℕ
hn : m * k ≠ 0
q : K[X]
H : Irreducible ((X ^ k - C b) * q)
hq : (X ^ k) ^ m - C b ^ m = (X ^ k - C b) * q
this : q.degree = 0
⊢ False
R : Type u_5
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_6
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_7
CommRing P'
Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
⊢ FractionalIdeal.canonicalEquiv S P P' =
  FractionalIdeal.mapEquiv
    (let __src := IsLocalization.ringEquivOfRingEquiv P P' (RingEquiv.refl R) ⋯;
    { toEquiv := __src.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ })
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.1400, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ ((cokernel.desc f (kernel.ι f.op).unop ⋯).op ≫ kernel.lift f.op (cokernel.π f).op ⋯) ≫ equalizer.ι f.op 0 = 𝟙 (kernel f.op) ≫ equalizer.ι f.op 0
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
CharZero R
n : ℕ
⊢ ↑n ≠ 0 ↔ n ≠ 0
z : ℍ
c : ℝ
d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
⊢ EisensteinSeries.r z ≤ Complex.abs (↑c * ↑z + ↑d)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
h : ∀ (S : Finset ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ S, s i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (s i)
S : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ S, f i ∈ (fun i => {s i}) i
a : α
ha : (κ a) (⋂ i ∈ S, s i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (s i)
⊢ (κ a) (⋂ i ∈ S, f i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (f i)
α : Type u_1
G : Type u_6
Group G
s : Set α
f : α → G
⊢ s.mulIndicator f⁻¹ = (s.mulIndicator f)⁻¹
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P : C → Prop
CategoryTheory.ClosedUnderIsomorphisms P
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ P X ↔ P Y
α : Type u
β : Type v
R : α → α → Prop
S : β → β → Prop
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
hl₁ : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
a : α
ha : p a
hl₂ : List.Chain S (f a ha) (List.pmap f l hl₁)
H : ∀ (a b : α) (ha : p a) (hb : p b), S (f a ha) (f b hb) → R a b
⊢ List.Chain R a l
X : LocallyRingedSpace
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : Γ.rightOp.obj X ⟶ op (CommRingCat.of R)
U : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op (CommRingCat.of R))).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ (locallyRingedSpaceAdjunction.counit.app (op (CommRingCat.of R))).unop ≫ Γ.map ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).op ≫ ((pushforward CommRingCat ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.base).obj X.presheaf).map (homOfLE ⋯).op = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : Unique Mˣ
p : M
hp : Prime p
L : List M
hL : ∀ q ∈ L, Prime q
hpL : p ∣ L.prod
⊢ p ∈ L
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M ≃+ M₁
hi : Bijective ⇑i
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
⊢ Module.rank R M = Module.rank R' M₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
s₁ s₂ : Finset α
a : α
h : a ∈ s₂
x : α
this : x = a ∨ x ∈ s₂ ↔ x ∈ s₂
⊢ x ∈ insert a s₁ ∩ s₂ ↔ x ∈ insert a (s₁ ∩ s₂)
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
t : Finset ι'
ws : ι → R
zs : ι → E
wt : ι' → R
zt : ι' → E
hws : ∑ i ∈ s, ws i = 1
hwt : ∑ i ∈ t, wt i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
⊢ ∑ x ∈ s.disjSum t, Sum.elim (fun x => a • ws x • zs x) (fun x => b • wt x • zt x) x = ∑ i ∈ s.disjSum t, Sum.elim (fun i => a * ws i) (fun j => b * wt j) i • Sum.elim zs zt i
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
hG : IsSheaf J G
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
⊢ Presieve.IsSheafFor (presheafHom F G) S.arrows
α : Type u
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
x y : α
⊢ Equiv.swap (f x) (f y) = f * Equiv.swap x y * f⁻¹
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
r : ℝ
⊢ Bornology.IsBounded (Metric.sphere x r)
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsLindelof s
hs' : IsClosed s
⊢ sᶜ ∈ Filter.coclosedLindelof X
R : Type u
CommRing R
UnivLE.{v, w}
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{t, v, w, max (w + 1) u} (AlgebraCat R)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
a : α
x : γ
⊢ κ.rnDeriv η a x = ⊤ ↔ x ∈ κ.mutuallySingularSetSlice η a
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.7311
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
u : U
⊢ ⇑(symmetrifyCostar (φ.obj u)) ∘ φ.symmetrify.costar u = Sum.map (φ.costar u) (φ.star u) ∘ ⇑(symmetrifyCostar u)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i ≠ 1
h' : ∀ x ∈ s, f x = 1
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a
⊢ Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some (f val)) o) (Stream'.cons none s) = Stream'.cons none (Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some (f val)) o) s)
α : Type u_5
β : Type u_6
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : TopologicalSpace β] {b : β},
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => b) μ
V : Type u_1
G G'✝ : SimpleGraph V
M✝ M' : G.Subgraph
v w : V
G' : G.Subgraph
M : G'.coe.Subgraph
hM : M.IsMatching
v✝ : V
hv : v✝ ∈ (Subgraph.coeSubgraph M).verts
⊢ ∃! w, (Subgraph.coeSubgraph M).Adj v✝ w
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ min (f x) (f y) < f (a • x + b • y)
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Γ =
  (CategoryTheory.inducedFunctor AlgebraicGeometry.Scheme.toLocallyRingedSpace).op ⋙
    AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H = ⊥ ↔ Nat.card ↥H = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Simple X
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
w : f ≠ 0
⊢ CategoryTheory.Limits.kernel.ι f = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
h : ∃ Y i e, i ≫ e = 𝟙 Y ∧ e ≫ i = p
⊢ ∃ Y' i' e', i' ≫ e' = 𝟙 Y' ∧ e' ≫ i' = p'
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
S T : AddSubmonoid N
⊢ AddSubmonoid.map f (AddSubmonoid.comap f S ⊓ AddSubmonoid.comap f T) = S ⊓ T
a b : ℝ
h : a < b
⊢ #↑(Set.Ico a b) = 𝔠
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : ℕ
hpq : p < q
⊢ (fun x => x ^ p) =o[atTop] fun x => x ^ q
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
x : ↥S
⊢ ↑x = 0 ↔ x = 0
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c = 0
⊢ a ∣ b ∨ a ∣ c
α : Type u_2
CommMonoidWithZero α
NoZeroDivisors α
Nontrivial α
s : Multiset α
h : 0 ∉ s
⊢ s.prod ≠ 0
f : C(ℝ, ℂ)
hf : ∀ (K : Compacts ℝ), Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
m : ℤ
e : C(ℝ, ℂ) := (fourier (-m)).comp { toFun := QuotientAddGroup.mk, continuous_toFun := ⋯ }
neK : ∀ (K : Compacts ℝ) (g : C(ℝ, ℂ)), ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (e * g)‖ = ‖ContinuousMap.restrict (↑K) g‖
eadd : ∀ (n : ℤ), e.comp (ContinuousMap.addRight ↑n) = e
⊢ fourierCoeff ⋯.lift m = 𝓕 ⇑f ↑m
a✝ n a : ℕ
L : List ℕ
hL✝ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: L)
hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L
haL : ∀ b ∈ L, a + 1 ≤ b
⊢ (map (fun i => 2 ^ i) (a :: L)).sum.bitIndices = a :: L
α : Type u_1
Unique α
h : Fintype α
⊢ Fintype.card α = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ AEMeasurable (↑f) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
⊢ ↑(insert a s) ⊆ ↑(insert a t) ↔ ↑s ⊆ ↑t
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝⁸ : AddMonoid M
inst✝⁷ : HasShift C M
inst✝⁶ : HasShift D M
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithShift M
L : C ⥤ D
inst✝⁴ : L.IsLocalization W
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : L.CommShift M
X Y Z T : C
a : M
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Y
f : SmallShiftedHom W X Y a
n a' : M
h : a + n = a'
⊢ (SmallHom.equiv W L) (f.shift n a' h) = (L.commShiftIso n).hom.app X ≫ (shiftFunctor D n).map ((SmallHom.equiv W L) f) ≫ (shiftFunctor D n).map ((L.commShiftIso a).hom.app Y) ≫ (shiftFunctorAdd' D a n a' h).inv.app (L.obj Y) ≫ (L.commShiftIso a').inv.app Y
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
Semiring R₁
Semiring S₁
Semiring R₂
Semiring S₂
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
Module S₁ N₂
Module S₂ N₂
SMulCommClass S₁ R N₂
SMulCommClass S₂ R N₂
SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁] M₂ →ₛₗ[σ₂] N₂
b₁ : n → M₁
b₂ : m → M₂
i : n
j : m
⊢ (LinearMap.toMatrix₂Aux R b₁ b₂) f i j = (f (b₁ i)) (b₂ j)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
⊢ IsLowerSet s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Iio a ⊆ s