ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝²⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝²⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝²³ : Field K
inst✝²² : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝²¹ : Field L
inst✝²⁰ : Algebra S L
inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : Module R V
inst✝¹⁶ : Module K V
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'
inst✝¹³ : Module R V'
inst✝¹² : Module S V'
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''
inst✝⁹ : Module R V''
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : IsNoetherian R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤
hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
M : Submodule R S := Submodule.span R b
h : Module.Finite R (S ⧸ M) := Module.Finite.of_surjective M.mkQ (Submodule.Quotient.mk_surjective M)
n : ℕ
a : Fin n → S ⧸ M
ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤
smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤
⊢ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b) = ⊤
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ f ⁻¹' ⋃ n, t n
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (t i) ^ d
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
ι' : Type u_8
μ : ι → ι' → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (sum fun n => sum (μ n)) s = (sum fun p => μ p.1 p.2) s
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (CliffordAlgebra.contractLeft d) ((CliffordAlgebra.contractLeft d') x) =
  -(CliffordAlgebra.contractLeft d') ((CliffordAlgebra.contractLeft d) x)
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v + 1 - 1)) - v * (↑x ^ (u + 1 - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
s : Set E
g : F →L[𝕜] G
h : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (⇑g ∘ f) s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
r : 𝕜
x : α
hx : ↑↑(r • f) x = (r • ↑↑f) x
⊢ ⟪↑↑(r • f) x, ↑↑g x⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) r • ⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
f : Filter ι
x₀ : α
p : ι × α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : ι × α) in f ×ˢ 𝓝 x₀, p x) ↔ ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∃ ε > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → p (i, x)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
bI : P
hbI : bI ∈ I
bJ : P
hbJ : bJ ∈ J
hb : bI + bJ ∈ I ⊔ J
⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • bJ)
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
x y : R
⊢ x ∣ EuclideanDomain.lcm x y
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
f : Arrow C
inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
S : SplitEpi f.hom
n : ℕ
⊢ (if h : True then (WidePullback.base fun x => f.hom) ≫ S.section_ else WidePullback.π (fun x => f.hom) (Fin.pred 0 ⋯)) = (WidePullback.base fun x => f.hom) ≫ S.section_
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x : α → DirectLimit G f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Quotient.out (x a)).fst)
a : α
⊢ Quotient.out (x a) ≈ Structure.Sigma.mk f i ((f ((Quotient.out ∘ x) a).fst i ⋯) ((Quotient.out ∘ x) a).snd)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
⊢ ∃ x, IsGenericPoint x t
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
W : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory W
CategoryTheory.MonoidalCategory V
CategoryTheory.MonoidalCategory W
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor V W
G : MonCat
⊢ ∀ {X Y : Action V G} (a : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.MonoidalFunctor.mapActionLax F G).map a).hom = F.map a.hom
b : Ordinal.{u_1}
x : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0
⊢ b ^ Ordinal.log b x ≤ x
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
v : E
hv : v ∈ (Module.End.eigenspace T μ)ᗮ
⊢ T v ∈ (Module.End.eigenspace T μ)ᗮ
S : Type
CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
x : ZMod m
hψ : ψ.Odd
⊢ ψ (-x) = -ψ x
⊢ BoolAlg.dual ⋙ CategoryTheory.forget₂ BoolAlg BddDistLat = CategoryTheory.forget₂ BoolAlg BddDistLat ⋙ BddDistLat.dual
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
c : E
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, c ∂μ = ((μ (Set.Iic b)).toReal - (μ (Set.Iic a)).toReal) • c
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α✝
a✝ b✝ c : α✝
α : Type u_3
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ (Icc a b).Nontrivial
J : Type w
⊢ (CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeOpEquiv J).counitIso = CategoryTheory.Limits.widePushoutShapeUnopOp J
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
c : F
⊢ HasFDerivAtFilter (fun y => c + f y) f' x L
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
b : H
AddCommMonoidWithOne G
AddMonoid H
AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
n : ℕ
n.AtLeastTwo
x : G
⊢ f (OfNat.ofNat n + x) = f x + OfNat.ofNat n • b
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p r : α
h : ∀ {m : α}, m ∈ normalizedFactors r → m = p
hr : r ≠ 0
⊢ p ^ (↑Multiset.card).toFun (normalizedFactors r) ~ᵤ r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
ContinuousAdd α
RegularSpace α
f : β × γ → α
g : β → α
a : α
ha : HasSum f a
hf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f (b, c)) (g b)
⊢ HasSum g a
K : Type u_2
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ ¬w.IsComplex ↔ w.IsReal
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
s : ↥S
⊢ Function.Injective fun m => s • m
l : Lean.Omega.LinearCombo
⊢ (-l).const = -l.const
R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
⊢ DiscreteValuationRing R
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrderTop α
b : α
⊢ b ∉ Finset.Ioi b
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ X₂' : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
g' : R.obj X₂' ⟶ B.obj X₃
γ : X₂' ⟶ X₂
hγ : R.map γ ≫ g = g'
A : w.CostructuredArrowDownwards g
⊢ R.map (γ ≫ A.left.hom) ≫ w.app A.left.right ≫ B.map A.hom.right = g'
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
x : Option α
a : α
h : ∀ (a : α), a ∈ x → p a
ha : a ∈ x
⊢ f a ⋯ ∈ Option.pmap f x h
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hzpos : 0 < z
m n : ℤ
hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2
hv2 : ↑x / ↑z = 2 * ↑m * ↑n / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hw2 : ↑y / ↑z = (↑m ^ 2 - ↑n ^ 2) / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
H : (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
co : m.gcd n = 1
pp : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
hz : z ≠ 0
h2 : y = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ z = m ^ 2 + n ^ 2
⊢ h.IsPrimitiveClassified
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).Exact
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
RCLike 𝕂
NormedCommRing 𝕊
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝕊
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
Algebra 𝕊 𝔸
ContinuousSMul 𝕊 𝔸
IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
⊢ HasStrictFDerivAt (fun u => NormedSpace.exp 𝕂 (u • x)) (NormedSpace.exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
f : E → F × G
s : Set E
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x).2) s
M : Type u_1
AddMonoid M
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
f : (i : ι) → κ i → AddSubmonoid M
⊢ (⨅ i, ⨅ j, f i j).addUnits = ⨅ i, ⨅ j, (f i j).addUnits
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
p : α → (i : ι) → i ∈ S → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), p x i hi) ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x i hi
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a : α
⊢ InfIrred (OrderDual.toDual a) ↔ SupIrred a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ ν : Measure ((i : ι) → α i)
inst✝ : ∀ (i : Finset ι), IsProbabilityMeasure (P i)
hμ : IsProjectiveLimit μ P
⊢ (P ∅) univ = 1
M : Type u_4
CommMonoid M
a : M
l : List M
DecidableEq M
ha : a ∈ l
⊢ a * (l.erase a).prod = l.prod
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
a b : α
hab : Codisjoint a b
h : b ≤ a
⊢ a = ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
s : Set E
x v : E
h : LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x v
ht : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
hx : f₁ x = f x
⊢ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f₁ s x v
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
h₁ : f.comp g = LinearMap.id
h₂ : g.comp f = LinearMap.id
x : M₂
⊢ (LinearEquiv.ofLinear f g h₁ h₂).symm x = g x
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
⊢ x - (toZMod x).cast ∈ maximalIdeal ℤ_[p]
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
⊢ ⋂ x, s ↑x ⋯ ≤ᶠ[l] ⋂ x, t ↑x ⋯
R : Type u_1
M : Type u_3
MonoidWithZero R
Zero M
MulActionWithZero R M
⊢ IsSMulRegular M 0 ↔ Subsingleton M
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ℕ → E
g : ℕ → ℝ
hg✝ : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ range n, g i
hf : ∀ (i : ℕ), ‖f i‖ ≤ g i
ε : ℝ
hε : ε > 0
N n : ℕ
hn : n ≥ N
hg : ‖∑ k ∈ Ico N n, g k‖ < ε
⊢ ‖∑ k ∈ Ico N n, f k‖ < ε
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Opens ↑↑Z.toPresheafedSpace
⊢ (pullbackRestrictIsoRestrict (f ≫ g) U).inv ≫ pullback.snd (f ≫ g) (Scheme.Opens.ι U) = ((pullbackRestrictIsoRestrict f (g ⁻¹ᵁ U)).inv ≫ pullback.snd f (g ⁻¹ᵁ U).ι) ≫ (pullbackRestrictIsoRestrict g U).inv ≫ pullback.snd g (Scheme.Opens.ι U)
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a b c : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi
ci : ι
cx : A ci
⊢ ((mulHom A) (((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx))) ((of A ci) cx) = ((mulHom A) ((of A ai) ax)) (((mulHom A) ((of A bi) bx)) ((of A ci) cx))
α : Type u_1
s t✝ t : Finset α
val✝ : Multiset α
nodup✝ : val✝.Nodup
⊢ { val := val✝, nodup := nodup✝ } ∈ t.powerset ↔ { val := val✝, nodup := nodup✝ } ⊆ t
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t u : Finset α
⊢ s + t ⊆ u ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x + y ∈ u
n : ℕ
α : Type u_1
Preorder α
f : α → Fin (n + 1)
hf : ∀ (a : α), f a ≠ 0
hf₂ : StrictMono f
⊢ StrictMono fun a => (f a).pred ⋯
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < abv x
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ (X.restrictFunctor.obj U).left = ↑U
n m : ℕ
h : n ∈ m.divisors
⊢ n ∣ m
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hf : LSeriesSummable (logMul 1) s
⊢ LSeriesSummable (fun n => ↑(Λ n)) s
n : ℕ
f : ∀ x ∈ range n, ¬n + 1 - x = 1
x : ℕ
hx : x ∈ range n
⊢ (if n + 1 - x = 1 then 1 else 0) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = 0
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : F_nat 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : F_nat 1 (1 - a) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
this : F_int 1 ↑a =ᶠ[atTop] fun t => F_nat 1 a t + F_nat 1 (1 - a) t
⊢ min p q ≤ q
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑π
⊢ x ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
AddGroupWithOne α
AddGroupWithOne β
n : ℤ
⊢ (↑n).2 = ↑n
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : AddZeroClass β
f g : Multiset α →+ β
h : ∀ (x : α), f {x} = g {x}
s : Multiset α
⊢ f s = g s
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
h : ∃ n, G.Colorable n
⊢ G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
α : Type u_1
s : Set α
a : α
InvolutiveStar α
⊢ star a ∈ star s ↔ a ∈ s
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
m : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (β a)
⊢ ∀ (a : α) (s : Multiset α), card (s.pi t) = (map (fun a => card (t a)) s).prod → card ((a ::ₘ s).pi t) = (map (fun a => card (t a)) (a ::ₘ s)).prod
M : Type u
Monoid M
X : CategoryTheory.Discrete M
⊢ λ_ X = CategoryTheory.Discrete.eqToIso ⋯
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E' →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
f : E' →SL[σ₁₂] F
hf : ⇑f ∈ closure (DFunLike.coe '' closedBall f₀ r)
hr : 0 ≤ r
x : E'
this : IsClosed {g | ‖g x - f₀ x‖ ≤ r * ‖x‖}
⊢ ‖(f - f₀) x‖ ≤ r * ‖x‖
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : z ≠ 0
⊢ x ^ z⁻¹ = y ↔ x = y ^ z
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
hint : IsIntegral ℤ B.gen
this : FiniteDimensional ℚ K := finiteDimensional {p ^ k} ℚ K
H : Algebra.discr ℚ ⇑B.basis • x ∈ adjoin ℤ {B.gen}
u : ℤˣ
n : ℕ
hun : Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n
⊢ x ∈ adjoin ℤ {ζ}
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
v : V
⊢ v +ᵥ z ∈ affineSegment R (v +ᵥ x) (v +ᵥ y) ↔ z ∈ affineSegment R x y
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m n : E
⊢ fract b m = fract b n ↔ -m + n ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, x < f l
⊢ ∀ᶠ (x : R) in F, x < l
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
p : Submodule R M
h : ∀ {x : L} {m : M}, m ∈ p.carrier → ⁅x, m⁆ ∈ p.carrier
x : M
⊢ x ∈ { toSubmodule := p, lie_mem := h } ↔ x ∈ p
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α
i : ι
a : α
⊢ a ∈ (f.rangeIcc g) i ↔ f i ≤ a ∧ a ≤ g i
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
HasGroupoid M G
⊢ atlas H M ⊆ StructureGroupoid.maximalAtlas M G
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
⊢ 0 ≤ Quaternion.normSq a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
s : Set γ
x✝ : α
⊢ (∃ b, ∃ a ∈ s, b ∈ g x✝ ∧ a ∈ f b) ↔ ∃ y x, (x ∈ s ∧ x ∈ f y) ∧ y ∈ g x✝
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
a : n
M : Matrix n n α
⊢ (M * stdBasisMatrix i j c) a j = M a i * c
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
⊢ seminormFromConst' hf1 hc hpm 1 = 1
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
Zero β
f : α → β
x : α
⊢ x ∉ tsupport f ↔ f =ᶠ[𝓝 x] 0
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
a : α
⊢ Measurable fun x => κ.rnDeriv η a x
α : Type u_1
E : Set α
hE : E.Finite
⊢ (Matroid.loopyOn E).Finite
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : TopologicalSpace.Compacts X
f : X →ᵇ ℝ≥0
h : ∀ x ∈ K, 1 ≤ f x
⊢ rieszContentAux Λ K ≤ Λ f
α : Type u_1
DecidableEq α
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a a
hp : p.IsHamiltonianCycle
h : a ≠ b
⊢ List.count b p.support = 1
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
⊢ s.SSameSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ (-p).radius = p.radius
α : Type u_1
P Q : α → Prop
H : ∀ (a : α), P a → Q a
t : Ordnode α
⊢ Ordnode.All P t → Ordnode.All Q t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
DecidableEq ι
l : List ι
x : { i // i ∈ l } → 𝔸
⊢ HasFDerivAt (fun x => (List.map x l.attach).prod)
  (∑ i : Fin l.length,
    (List.map x (List.take (↑i) l.attach)).prod •
      (ContinuousLinearMap.proj (l.attach.get (Fin.cast ⋯ i))).smulRight
        (List.map x (List.drop (↑i).succ l.attach)).prod)
  x
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
⊢ f.eraseLead.coeff f.natDegree = 0
n : ℕ
α : Type u_1
l : List α
c : Composition n
i : ℕ
hi : i < (l.splitWrtComposition c).length
⊢ (l.splitWrtComposition c)[i] = List.drop (c.sizeUpTo i) (List.take (c.sizeUpTo (i + 1)) l)
x : ℍ
⊢ √(⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 0, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 0⟫_ℝ + ⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 1, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 1⟫_ℝ + ⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 2, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 2⟫_ℝ + ⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 3, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 3⟫_ℝ) = √(x.re ^ 2 + x.imI ^ 2 + x.imJ ^ 2 + x.imK ^ 2)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernelBiprodInrIso.hom =
  CategoryTheory.Limits.colimit.desc (CategoryTheory.Limits.parallelPair CategoryTheory.Limits.biprod.inr 0)
    (CategoryTheory.Limits.biprod.inrCokernelCofork X Y)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
f : ℕ → α
H : ∀ (n : ℕ), r (f (n + 1)) (f n)
⊢ ⇑(RelEmbedding.natGT f H) = f
K : Type u
DivisionRing K
S : Type u_1
SetLike S K
h : SubfieldClass S K
x : K
s : S
q : ℚ≥0
hx : x ∈ s
⊢ q • x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s
⊢ (∃ x ∈ s, x ≠ a) → s.Nontrivial
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p' p q : ℤ
hpq✝ : p + 0 = q
hpq : p = q
⊢ F.d p' p ≫ (ofHoms ψ).v p q hpq✝ = F.d p' q ≫ ψ q
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f g : C(X, Y)
h : f.Homotopic g
⊢ g.Homotopic f
x : ℝ
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ Real.arcsin (Set.Iic x) x ↔ x ≠ 1
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : Ordinal.IsNormal f
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ f b < Ordinal.nfp f a ↔ b < Ordinal.nfp f a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
inst✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), (filter (fun x => a ∈ x) B).card = n
⊢ ∑ s ∈ B, s.card = Fintype.card α * n
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
⊢ Tendsto (fun j => closedBall (w j) (δ j)) l ((vitaliFamily μ K).filterAt x)
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
DecidableEq ι
Fintype ι
b : Basis ι R M
x : M →ₗ[R] N
⊢ (dualTensorHom R M N) ((dualTensorHomEquivOfBasis b).symm x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
μ : ProbabilityTheory.Kernel α β
κ η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel μ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
⊢ μ.compProd (κ + η) = μ.compProd κ + μ.compProd η
R S : Type u
CommRing R
CommRing S
R' S' : Type u
CommRing R'
CommRing S'
f : R →+* S
Algebra R R'
Algebra S S'
r : R
IsLocalization.Away r R'
IsLocalization.Away (f r) S'
hf : f.FiniteType
⊢ (IsLocalization.Away.map R' S' f r).FiniteType
α : Type u_1
ι : Type u_4
f : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : f.HasCountableBasis p s
⊢ f.IsCountablyGenerated
α : Type u_2
TopologicalSpace α
a : TopologicalSpace.IrreducibleCloseds α
⊢ TopologicalSpace.IrreducibleCloseds.equivSubtype a = ⟨a.carrier, ⋯⟩