ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, Quotient.mk' x = ⟦a⟧) ↔ ∃ y, F y = ⟦a⟧
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
R : Type u_1
CommMonoid R
Fintype R
R' : Type u_2
CommRing R'
DecidableEq R
⊢ ∑ a : R, 1 a = ↑(Fintype.card Rˣ)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
w : Word G
hw : Reduced φ w
d : Transversal φ
w' : NormalWord d
hw'prod : w'.prod = ofCoprodI w.prod
hw'map : List.map Sigma.fst w'.toList = List.map Sigma.fst w.toList
h : H
heq : { toWord := Word.empty, head := h, normalized := ⋯ }.prod = w'.prod
this : { toWord := Word.empty, head := h, normalized := ⋯ }.prod = (base φ) h
⊢ w'.toWord = Word.empty
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
⊢ I' ⊆ X ∧ Disjoint I' B'
M : Type u_1
MulOneClass M
c : Con M
⊢ Function.Surjective ⇑c.mk'
x : ℂ
⊢ HasDerivAt Complex.sinh (Complex.cosh x) x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
I J : HasZeroMorphisms C
⊢ ∀ (X Y : C), Zero.zero = Zero.zero
α : Type u
l : List (α → α)
f : α → α
hl : ∀ (f : α → α), f ∈ l → Function.Injective f
hf : Function.Injective f
⊢ Function.Injective (List.foldl Function.comp f l)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
⊢ (∃ a ∈ s, const α b a = c) ↔ s.Nonempty ∧ b = c
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
t : G
p : G → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (x / t)) ↔ ∀ᵐ (x : G) ∂μ, p x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
compactlyGenerated : ∀ (s : Set Y), IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set Y⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
f_cont : Continuous f
H : ∀ (i : Set Y), IsCompact i → (f ⁻¹' i)ᶜ ∈ cocompact X
K : Set Y
hK : IsCompact K
⊢ IsCompact (f ⁻¹' K)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
h : ∃ n, ProbabilityTheory.IndepSets (s n) s' μ
⊢ ProbabilityTheory.IndepSets (⋂ n, s n) s' μ
α : Type u_1
M : Type u_13
Zero M
P : α → Prop
DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
a : α
⊢ f.extendDomain a = if h : P a then f ⟨a, h⟩ else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≥] f a
b : β
hb : b > f a
⊢ ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
p₁ p₂ : ι → P
hp : ∀ i ∈ s, p₁ i = p₂ i
b : P
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ w₁ i • (p₁ i -ᵥ b) = w₂ i • (p₂ i -ᵥ b)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
v : V
⊢ v ∈ s.direction ↔ ∃ p1 ∈ s, ∃ p2 ∈ s, v = p1 -ᵥ p2
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ b ⇨ a ≠ a ⇨ b ↔ a ≠ b
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Infinite R
h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M
this : Infinite M
⊢ Module.rank R M = #M
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : R
x : M
⊢ x ∈ Submodule.torsionBy R M a ↔ a • x = 0
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
h : Function.Injective f
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk ↑(f '' s)) = Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk ↑s)
w i : Nat
x y : BitVec w
⊢ (x &&& y).getMsb i = (x.getMsb i && y.getMsb i)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
n : ℕ
a : M
b : ↥S
⊢ Localization.mk a b ^ n = Localization.mk (a ^ n) (b ^ n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
F : Type v
Field F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z = 0
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.addU P Q = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Sheaf C X
U V : Opens ↑X
s : PullbackCone (F.val.map (homOfLE ⋯).op) (F.val.map (homOfLE ⋯).op)
⊢ ⋯.some.lift { pt := s.pt, π := { app := fun X_1 => Opposite.casesOn X_1 fun unop => Pairwise.casesOn unop (fun a => ULift.casesOn a fun down => WalkingPair.casesOn down s.fst s.snd) fun a a_1 => ULift.casesOn a fun down => WalkingPair.casesOn down (s.fst ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op) (s.snd ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op), naturality := ⋯ } } ≫ F.val.map (eqToHom ⋯).op ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op = s.fst
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t t' : Finset β
ht : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ t'
⊢ ∀ ⦃a : α × β⦄, a ∈ interedges r s t → a ∉ interedges r s t'
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
Algebra L' L
IsScalarTower K L' L
E : IntermediateField L' L
⊢ ↑(IntermediateField.restrictScalars K E) = ↑E
α : Type u_1
Fintype α
CategoryTheory.SmallCategory α
CategoryTheory.FinCategory α
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.FinCategory.AsType α} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z),
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g =
    (Fintype.equivFin (X ⟶ Z))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((Fintype.equivFin (X ⟶ Y)).symm f) ((Fintype.equivFin (Y ⟶ Z)).symm g))
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
M : Subgroup G
nM : M.Normal
h : N ≤ M
x : G ⧸ N
⊢ (QuotientGroup.quotientQuotientEquivQuotientAux N M h) ↑x = (QuotientGroup.map N M (MonoidHom.id G) h) x
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y z : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y ≤ hammingDist x z + hammingDist z y
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulOneClass α
MulOneClass β
f g : α →*o β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
s : String
c : Char
⊢ s.contains c = true ↔ c ∈ s.data
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
ι : Type u_4
Nonempty ι
K : ι → Subalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (Subalgebra.inclusion h)
T : Subalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
x : ↥(K i)
hx : ↑x ∈ T
⊢ (Subalgebra.iSupLift K dir f hf T hT) ⟨↑x, hx⟩ = (f i) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp G)} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Functor.Final.extendCocone.map f).hom = f.hom
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z : C
X Y : C
P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
P' : C
inl' : X ⟶ P'
inr' : Y ⟶ P'
h : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
h' : CategoryTheory.IsPushout f g inl' inr'
⊢ inr' ≫ (CategoryTheory.IsPushout.isoIsPushout X Y h h').inv = inr
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq₁ sq₂ : CategoryTheory.Square C
self : sq₁.Hom sq₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp sq₁.f₃₄ self.τ₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.τ₃ sq₂.f₃₄
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³² : CommRing A
inst✝³¹ : CommRing B
inst✝³⁰ : Algebra A B
inst✝²⁹ : Field K
inst✝²⁸ : Field L
inst✝²⁷ : Algebra A K
inst✝²⁶ : IsFractionRing A K
inst✝²⁵ : Algebra B L
inst✝²⁴ : Algebra K L
inst✝²³ : Algebra A L
inst✝²² : IsScalarTower A B L
inst✝²¹ : IsScalarTower A K L
inst✝²⁰ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁹ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.571927
Bₘ : Type ?u.571930
inst✝¹⁸ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁷ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁴ : Algebra B Bₘ
inst✝¹³ : Algebra A Bₘ
inst✝¹² : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁰ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed B
inst✝³ : Module.Finite A B
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝ : Module.Free A B
x : B
this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
⊢ (intNorm A B) x = (norm A) x
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
p : β → Prop
s : β → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
t : Set (α × α)
⊢ (∃ i, p i ∧ s i ⊆ t) ↔ ∃ i, p i ∧ ∀ (a b : α), (a, b) ∈ s i → (a, b) ∈ t
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ ↑I ⊆ BoxIntegral.Box.Icc I
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ i)
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
s : ι → Set α := fun i => toMeasurable (μ i) {x | f x ≠ mk f ⋯ x}
hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0
hsm : MeasurableSet (⋂ i, s i)
hs : ∀ (i : ι), ∀ x ∉ s i, f x = mk f ⋯ x
g : α → β := (⋂ i, s i).piecewise (const α default) f
⊢ Measurable ((⋂ i, s i)ᶜ.restrict g)
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
i : 𝒰.gluedCover.J
x : ↑↑(𝒰.gluedCover.U i).toPresheafedSpace
j : 𝒰.gluedCover.J
y : ↑↑(𝒰.gluedCover.U j).toPresheafedSpace
h : (𝒰.map i).val.base x = (𝒰.map j).val.base y
e : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (𝒰.map i)) (forgetToTop.map (𝒰.map j))).pt ≅ (PullbackCone.mk (forgetToTop.map (pullback.fst (𝒰.map i) (𝒰.map j))) (forgetToTop.map (pullback.snd (𝒰.map i) (𝒰.map j))) ⋯).pt := (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (𝒰.map i)) (forgetToTop.map (𝒰.map j))).conePointUniqueUpToIso (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (𝒰.map i) (𝒰.map j))
⊢ (𝒰.gluedCover.ι i).val.base x = (𝒰.gluedCover.ι j).val.base y
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R
⊢ inst₁ = inst₂ ↔ HAdd.hAdd = HAdd.hAdd ∧ HMul.hMul = HMul.hMul
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ Inducing SeparationQuotient.mk
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
sXY : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X Y
sYZ : CategoryTheory.Limits.BinaryFan Y Z
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit sYZ
s : CategoryTheory.Limits.BinaryFan sXY.pt Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.assoc Q s).fst = CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.fst sXY.fst
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : PseudoEMetricSpace X
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ≥0∞
⊢ (fun x => c • x) ⁻¹' closedBall x r = closedBall (c⁻¹ • x) r
x y : ℂ
⊢ sinh (x - y) = sinh x * cosh y - cosh x * sinh y
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F' x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x => F x t) (F' x t) x
⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
α : Type u
self : OrderedRing α
a b : α
⊢ 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 ≤ a * b
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
p : ↥(closure s) → Prop
a : ↥(closure s)
mem : ∀ (x : R) (hx : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
zero : p 0
add : ∀ (x y : ↥(closure s)), p x → p y → p (x + y)
neg : ∀ (x : ↥(closure s)), p x → p (-x)
mul : ∀ (x y : ↥(closure s)), p x → p y → p (x * y)
b : R
hb : b ∈ closure s
⊢ ∀ (x y : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p ⟨x, x_1⟩) → (∃ (x : y ∈ closure s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x + y ∈ closure s), p ⟨x + y, x_1⟩
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
⊢ hζ.toInteger - 1 ∣ ↑↑p
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : 0 < y
q : ℕ
hq : x⁻¹ < y⁻¹ ^ q
⊢ ∃ n, y ^ n < x
α : Type u_2
M : Matroid α
e : α
I : Set α
hI : M.Indep I
⊢ M.Indep (insert e I) ↔ e ∈ M.E \ M.closure I ∨ e ∈ I
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.181396, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
h : n + 1 = m
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂
h₂₃ : p₂ + 1 = p₃
⊢ (liftCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (↑(fst φ)).v p₂ p₃ h₂₃ = α.v p₁ p₃ ⋯
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
⊢ chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
G : Type u_2
Group G
⊢ commProb G = ↑(Nat.card (ConjClasses G)) / ↑(Nat.card G)
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
hta : Absorbent ℝ t
⊢ ContinuousAt (gaugeRescale s t) 0
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
⊢ M.closure J ∩ I = J
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree
⊢ p %ₘ q = p - q * (p /ₘ q)
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
p : α → Prop
μ : F
⊢ (∀ (a : α), p a) → ∀ᵐ (a : α) ∂μ, p a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ f.coprod g = f ×ˢ ⊤ ⊔ ⊤ ×ˢ g
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
l : Filter X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : l.HasBasis p s
ho : ∀ (i : ι), p i → IsOpen (s i)
i : ι
hi : p i
⊢ interior (s i) ∈ l
α : Type u_1
M : Type u_2
CommMonoid M
f : Option α → M
s : Finset α
⊢ ∏ x ∈ Finset.insertNone s, f x = f none * ∏ x ∈ s, f (some x)
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
⊢ ∑ x ∈ Finset.range (b - a), f (↑a + ↑(x + 1)) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.HasShift D ℤ
L.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive D
L.Additive
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor D n).Additive
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle D
⊢ T ∈ L.essImageDistTriang ↔ T.rotate ∈ L.essImageDistTriang
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
h₂ : ↑nc * ↑da * ↑db * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc
⊢ ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
G : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
Group G
MulAction G X
⊢ ProperSMul G X ↔ IsProperMap fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Set (Subsemiring R)
⊢ (sInf s).toSubmonoid = ⨅ t ∈ s, t.toSubmonoid
α : Type u
β : Type v
BooleanAlgebra α
BooleanAlgebra β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
⊢ GaloisConnection (compl ∘ u ∘ compl) (compl ∘ l ∘ compl)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
h : ∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0
x : E
⊢ T x = 0
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e f : Pretrivialization F proj
⊢ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' e.source = (e.baseSet ∩ f.baseSet) ×ˢ Set.univ
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ (((α_ (𝟙_ C) P.X Q.X).inv ≫ R.one ▷ P.X ▷ Q.X) ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (λ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Monoid G
a : G
n : ℕ
inst✝ : MulAction G H
b : H
⊢ (fun x => a • x)^[n] b = a ^ n • b
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
⊢ ι (f ∘ ⇑ε) b ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Discrete.equivalence ε) (Discrete.natIso fun x => Iso.refl (f (ε x.as)))).hom = ι f (ε b)
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)
s : L.Substructure M
⊢ s.CG ↔ Countable ↥s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
CategoryTheory.IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g (CategoryTheory.inv f))
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom h f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g (CategoryTheory.CategoryStruct.id W))
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom h (CategoryTheory.CategoryStruct.id W))
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ofSuppBddBelow f ⋯ = 0
⊢ n ≤ if h : ofSuppBddBelow f ⋯ = 0 then 0 else ⋯.min ⋯
α : Type u_1
l : List α
k : Nat
⊢ List.take k l = [] ↔ l = [] ∨ k = 0
R : Type u_1
CommRing R
IsArtinianRing R
S : Submonoid R
L : Type u_2
CommRing L
Algebra R L
IsLocalization S L
⊢ Function.Surjective ⇑(algebraMap R L)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a✝ : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
y : E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : a ≠ 0
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ (fun x => a • x) ⁻¹' p.ball y r ↔ x✝ ∈ p.ball (a⁻¹ • y) (r / ‖a‖)
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
⊢ closure s = mrange (FreeMonoid.lift Subtype.val)
G : Type u_1
AddGroup G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
a : G
⊢ IsGLB (-s) (-a) ↔ IsLUB s a
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
s : Set α
t : Set β
⊢ (μ.prod ν) (s ×ˢ t) = μ s * ν t
α : Type u
β : Type u_1
n✝ : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x + 1 ≤ 0
hx0 : x ≤ 0
n : ℕ
ih : if Even n then ∑ i ∈ range n, x ^ i ≤ 0 else 1 ≤ ∑ i ∈ range n, x ^ i
⊢ if ¬Even n then x * ∑ i ∈ range n, x ^ i + 1 ≤ 0 else 1 ≤ x * ∑ i ∈ range n, x ^ i + 1
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : ContinuousAdd 𝕜
inst✝³ : ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
φ ψ : ↑(characterSpace 𝕜 A)
h : RingHom.ker φ = RingHom.ker ψ
x : A
⊢ φ x = ψ x
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
I : Ideal R
hf₁ : RingHom.ker f ≤ I
hf₂ : f.IsIntegral
⊢ Ideal.map f I = ⊤ ↔ I = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E' 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
iSets : ∀ i_1 ∈ s, ∃ r, r.Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r, U i_2
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
α : Type u_1
LT α
a b : α
h : a ⋖ b
⊢ a < b
J : Type w
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝³ : Category.{uD', uD} D
inst✝² : HasZeroMorphisms D
P Q W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct W X
inst✝ : HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ inl ≫ map f g = f ≫ inl
n : ℕ
⊢ 2 * Surreal.powHalf (n + 1) = Surreal.powHalf n
α : Type u_2
NonAssocSemiring α
Preorder α
⊢ ↑(OrderRingHom.id α) = RingHom.id α
α : Type u
SubtractionMonoid α
a b : α
h : IsAddUnit b
⊢ a + b = 0 ↔ a = -b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
Nonempty ι
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ W ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V • W ⊆ U
R : Type u_1
CommSemiring R
p : Polynomial R
hp : p.Monic
⊢ p.IsPrimitive