ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
this : Nonempty (Fin (finrank ℝ E))
⊢ volume (⇑(stdOrthonormalBasis ℝ E).repr.symm ⁻¹' Metric.ball x r) = ENNReal.ofReal r ^ finrank ℝ E * ENNReal.ofReal (√π ^ finrank ℝ E / Gamma (↑(finrank ℝ E) / 2 + 1))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
F : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
X Y Z : CategoryTheory.Grothendieck F
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z
⊢ (CategoryTheory.Grothendieck.comp f g).base = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.base g.base
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ log (y ^ a) / y ^ a ≤ log (x ^ a) / x ^ a
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
⊢ Submodule.map (LinearMap.fst R E F) f.graph = f.domain
α : Sort u_4
β : Sort u_5
Infinite β
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Infinite α
G : Type u_1
GroupWithZero G
a : G
ha : a ≠ 0
⊢ ⇑(Equiv.symm (Equiv.mulLeft₀ a ha)) = fun x => a⁻¹ * x
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
nH : H.Normal
n : G
hn : n ∈ H
g : G
⊢ g⁻¹ * n * g ∈ H
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
⊢ gcd (b * a) (c * a) = gcd b c * normalize a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (φ₁ - φ₂) =
  CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ₁ - CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ₂
M₁ : Type u_5
MulOneClass M₁
⊢ IsIdempotentElem 1
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
i : Fin (n + 1)
x : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
j : Fin n
⊢ i.insertNth x p (i.succAbove j) = p j
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
μ : CyclotomicField n K
h : IsPrimitiveRoot μ ↑n
⊢ CyclotomicRing n A K = ↥(adjoin A {b | ∃ a ∈ {n}, b ^ ↑a = 1})
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
ui : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i)
uβ : β → β
h : ∀ (i : ι) (x : ↑(S i)), f i (ui i x) = uβ (f i x)
u : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hui : ∀ (i : ι) (x : ↑(S i)), u (inclusion ⋯ x) = inclusion ⋯ (ui i x)
x : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
⊢ iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (u x) = f i (ui i ⟨↑x, hi⟩)
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i j : ι
inst✝³ : K.HasHomology i
inst✝² : K.HasHomology j
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology j
⊢ K.homologyι i ≫ K.opcyclesToCycles i j = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
Module 𝕜 β
BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
k : 𝕜
⊢ MeasureTheory.Integrable.toL1 (k • f) ⋯ = k • MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ ∃ n, Order.succ^[n] a = b
K : Type u_1
Field K
Fintype K
⊢ (Polynomial.X ^ q - Polynomial.X).roots = Finset.univ.val
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
q : K[X]
hq : q.degree = 1
h : q.leadingCoeff = 0
⊢ False
G : Type u_3
Group G
a b c : G
h : a * c⁻¹ = b
⊢ a = b * c
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ ∑ a ∈ (toSimpleFunc f).range, (↑‖a‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {a})).toReal = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
q : ℍ
⊢ ‖exp ℝ q‖ = ‖exp ℝ q.re‖
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hb : b ≠ 0
h : a * c⁻¹ = b
⊢ a = b * c
n : ℕ
NeZero n
a b : ZMod n
h : n ≤ a.val + b.val
⊢ a.val + b.val = (a + b).val + n
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c c' : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
e : c ≅ c'
x₁ : X₁
x₂ : X₂
⊢ c.inl x₁ = c.inr x₂ ↔ c'.inl x₁ = c'.inr x₂
a b : Nat
⊢ ((!a == b) = true) = ¬a = b
E : Type u_1
p : ℝ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hp : 0 < p
⊢ μ (Metric.ball 0 1) = ENNReal.ofReal ((∫ (x : E), Real.exp (-‖x‖ ^ p) ∂μ) / Real.Gamma (↑(finrank ℝ E) / p + 1))
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
n : Type w
Fintype n
DecidableEq n
a : A
M : Matrix n n R
⊢ (matrixEquivTensor R A n).symm (a ⊗ₜ[R] M) = M.map fun x => a * (algebraMap R A) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
M N : CategoryTheory.Comonad C
h : M ≅ N
⊢ (CategoryTheory.ComonadIso.toNatIso h).inv = h.inv.toNatTrans
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
k : ℕ
hlt : ∀ (hf : (setOf p).Finite), k + 1 < hf.toFinset.card
a : ℕ
ha : a ∈ insert (nth p k) (filter p (range (nth p k)))
⊢ a ∈ filter p (range (nth p (k + 1)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ : α → β
f : ℕ → α
⊢ EventuallyConst f atTop ↔ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f (m + 1) = f m
w : Nat
x : BitVec w
i : Nat
⊢ x.getLsb i = (decide (i < w) && x.getMsb (w - 1 - i))
n : Nat
z : Int
⊢ ↑n ∣ z ↔ n ∣ z.natAbs
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Countable
ht : t.Countable
f : α → β → γ
⊢ (Set.image2 f s t).Countable
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
s : Set M
⊢ centralizer s.centralizer.centralizer = centralizer s
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ c
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.postcomposing a b c).obj f = CategoryTheory.Bicategory.postcomp a f
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
v : V
⊢ (∀ φ ∈ dualAnnihilator W, φ v = 0) ↔ v ∈ W
R : Type u_1
Nontrivial R
Semiring R
Algebra ℚ R
⊢ CharP R 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u ≤ f b
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
x y : G
⊢ Filter.map (fun x_1 => x_1 + x) (𝓝 y) = 𝓝 (y + x)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x y : E
hy : y ∈ p.closedBall 0 r
hx : (fun x => a • x) y = x
⊢ ‖a‖ * p y ≤ r
f g : CircleDeg1Lift
⊢ Commute f g ↔ Function.Commute ⇑f ⇑g
m n✝ n : ℕ
b : Bool
hn : n = 0 → b = true
⊢ [false] = [] ∨ (n = 0 → b = true)
δ : Type u_4
u : Set δ
MeasureTheory.MeasureSpace δ
hu : MeasureTheory.NullMeasurableSet u MeasureTheory.volume
⊢ MeasureTheory.volume Set.univ = MeasureTheory.volume u
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
self : CategoryTheory.ProjectivePresentation X
⊢ CategoryTheory.Projective self.p
I : Type u
inst✝¹⁰ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
Z : C
X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C
inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂
inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃
inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃
inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
i₁ i₂ i₃ j : I
h : i₁ + i₂ + i₃ = j
⊢ ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ tensorHom f₁ (tensorHom f₂ f₃) j = (f₁ i₁ ⊗ f₂ i₂ ⊗ f₃ i₃) ≫ ιTensorObj₃ Y₁ Y₂ Y₃ i₁ i₂ i₃ j h
α : Type u
β : Type v
f : β → β
b : β
l : List α
⊢ List.foldr (fun x => f) b l = f^[l.length] b
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : sin x ≤ x - x ^ 3 / 6 + x ^ 4 * (5 / 96)
⊢ x - x ^ 3 / 6 + x ^ 4 * (5 / 96) < x
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c : C
⊢ univ.Nonempty
α : Type u_13
β : Type u_14
γ : Type u_15
Zero γ
fg : (α →₀ γ) × (β →₀ γ)
⊢ Finsupp.sumFinsuppEquivProdFinsupp.symm fg = fg.1.sumElim fg.2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
⊢ antidiagonal 0 = map (fun t => (0 - t, t)) (powerset 0)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
d : 𝔸'
z : E
⊢ (d • c') z = (c'.smulRight d) z
α : Type u_1
f g : α → ℝ≥0∞
sf sg : ℝ≥0∞
i : α
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
hi : f i < g i
hsf : sf ≠ ⊤
hf : HasSum f sf
hg : HasSum g sg
⊢ sf < sg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b
⊢ a * b⁻¹ < c ↔ a < b * c
X : Type u_3
TopologicalSpace X
T1Space X
x : X
hx : (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ s.Infinite
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h₂ : ¬c₂.Rel i₂ i₂'
⊢ (F.obj (K₁.X i₁)).map (K₂.d i₂ i₂') = 0
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
K : AddSubgroup G
⊢ K.prod ⊤ = AddSubgroup.comap (AddMonoidHom.fst G N) K
ι : Type u_1
Fintype ι
π : ι → Type u_4
Unique ι
(i : ι) → MeasureTheory.MeasureSpace (π i)
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piUnique π)) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : σ
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ (rTensor (X s ⊗ₜ[R] n)) d = if Finsupp.single s 1 = d then 1 ⊗ₜ[R] n else 0
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
a✝ : v ∈ ⊤
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
⊢ ((aeval f) (p * p')) v + ((aeval f) (q * q')) v = v
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J I : Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : Prepartition I
this : ∀ (J : Box ι), ∃ π, π.IsPartition ∧ π.IsHenstock ∧ π.IsSubordinate r ∧ (∀ J_1 ∈ π, ∃ m, ∀ (i : ι), J_1.upper i - J_1.lower i = (J.upper i - J.lower i) / 2 ^ m) ∧ π.distortion = J.distortion
⊢ ∃ π', π'.toPrepartition ≤ π ∧ π'.IsHenstock ∧ π'.IsSubordinate r ∧ π'.distortion = π.distortion ∧ π'.iUnion = π.iUnion
R : Type u_1
CommSemiring R
P : Type u_3
CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
J : Ideal P
hJ : J.IsPrime
f : R →+* P
⊢ I.primeCompl ≤ Submonoid.comap f J.primeCompl ↔ Ideal.comap f J ≤ I
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
s : Finset ι
g : ι → K
eq : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0
j' : ι
hj's : j' ∈ s
hj'g : ¬g j' = 0
a : K
j : ι
hjs : j ∈ s
hgI✝ : a * g j ∉ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))
g'' : (i : ι) → i ∈ s → R
hg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), (algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i
this : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable
g' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0
hg' : ∀ i ∈ s, (algebraMap R K) (g' i) = a * g i
hgI : (algebraMap R S) (g' j) ≠ 0
⊢ ∃ x, ∃ (_ : ∑ i ∈ s, x i • (⇑f' ∘ b) i = 0), ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ s), ¬x x_1 = 0
M : Type u_5
AddMonoid M
α : Type u_13
β : Type u_14
f : α ⊕ β →₀ M
x : α
⊢ (Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp f).1 x = f (Sum.inl x)
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph Z (B × F)
i : Set B
j : IsOpen i
k : e.source = proj ⁻¹' i
l : e.target = i ×ˢ Set.univ
m : ∀ p ∈ e.source, (↑e p).1 = proj p
x : Z
⊢ ↑{ toPartialHomeomorph := e, baseSet := i, open_baseSet := j, source_eq := k, target_eq := l, proj_toFun := m } x = ↑e x
x c : Cardinal.{u_2}
h : c.IsStrongLimit
⊢ x < c → 2 ^ x < c
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
G : Type u_2
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hu : DifferentiableWithinAt 𝕜 u s x
⊢ derivWithin (fun y => (c y) (u y)) s x = (derivWithin c s x) (u x) + (c x) (derivWithin u s x)
α : Type u_2
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t).powerset = s.powerset ⊻ t.powerset
α : Type u_1
β : Type u_2
Add β
Mul β
f : α → β
hf : Function.Surjective f
Mul α
Add α
LeftDistribClass α
add : ∀ (x y : α), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : α), f (x * y) = f x * f y
⊢ LeftDistribClass β
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b : α
H : a < b
⊢ Set.Ico a b ∈ 𝓝[<] b
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
l : f.left ≅ g.left
r : f.right ≅ g.right
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp l.hom g.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom r.hom := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Arrow.isoMk l r h).hom.right = r.hom
x : ℝ
⊢ Tendsto (fun y => Icc x y) (𝓝[>] x) ((vitaliFamily volume 1).filterAt x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z) f)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z) g)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
⊢ p1 -ᵥ p3 = p1 -ᵥ p2 - (p3 -ᵥ p2)
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
IsDedekindDomain R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
x : DedekindDomain.FiniteIntegralAdeles R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ (DedekindDomain.FiniteIntegralAdeles.Coe.addMonoidHom R K) x v = ↑(x v)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
e : α ≃ β
q : β → Prop
h : Computable ⇑e.symm
x✝ : β
⊢ q x✝ = ((q ∘ ⇑e) ∘ ⇑e.symm) x✝
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ⊤)
h : ‖f‖ = 0
⊢ f = 0
α : Type u
f : α → α
m n : ℕ
⊢ Function.Commute f^[m] f^[n]
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommMonoidWithZero R
PartialOrder R
ZeroLEOneClass R
PosMulMono R
f g : ι → R
s : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
⊢ s.prod f ≤ s.prod g
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
DecidableEq o
Zero α
M : o → Matrix m n α
ik : m × o
jk : n × o
⊢ Matrix.blockDiagonal M ik jk = if ik.2 = jk.2 then M ik.2 ik.1 jk.1 else 0
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
Algebra A B
x : B
p : A[X]
pnz : p ≠ 0
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
⊢ (minpoly A x).degree ≤ p.degree
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w✝ : ι✝ → R
z✝ : ι✝ → E
ι : Sort u_8
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
h₁ : ∑ᶠ (i : ι), w i = 1
hz : ∀ (i : ι), w i ≠ 0 → z i ∈ s
hfin_w : (support (w ∘ PLift.down)).Finite
hsub : support ((fun i => w i • z i) ∘ PLift.down) ⊆ ↑hfin_w.toFinset
⊢ ∑ i ∈ hfin_w.toFinset, w i.down = 1
α : Type u
t : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
s : (i : ι) → Set (Set (E i))
hs : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (s i)
a : (i : ι) × E i
x✝ : Set ((i : ι) × E i)
⊢ x✝ ∈ ⋃ i, (fun u => Sigma.mk i '' u) '' s i ∧ a ∈ x✝ ↔ x✝ ∈ (fun i => Sigma.mk a.fst '' i) '' {i | i ∈ s a.fst ∧ a.snd ∈ i}
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U V : X.Opens
W : (↑U).Opens
e : W ≤ U.ι ⁻¹ᵁ V
⊢ Hom.appLE U.ι V W e = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ⊥.FG
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ≥0∞
⊢ x⁻¹ < ⊤ ↔ 0 < x
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R B
inst✝ : Module R C
S T : NonUnitalSubalgebra R A
h : S.toNonUnitalSubsemiring = T.toNonUnitalSubsemiring
x : A
⊢ x ∈ S ↔ x ∈ T
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hf : MonotoneOn f (Icc x₀ (x₀ + ↑a))
⊢ ∫ (x : ℝ) in x₀..x₀ + ↑a, -f x ≤ ∑ x ∈ Finset.range a, -f (x₀ + ↑x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
x✝¹ : Fin 0 → α → σ
x✝ : ∀ (i : Fin 0), Computable (x✝¹ i)
⊢ Computable fun a => []
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
c : σ → K
s : σ
x✝ : s ∈ Finset.univ
⊢ ((X s - C (c s)) ^ (Fintype.card K - 1)).degrees ≤ (Fintype.card K - 1) • {s}
x : ℝ
⊢ Real.exp (-x) = (Real.exp x)⁻¹
n₁ m₁ n₂ m₂ : Nat
h₁ : n₁ ≤ n₂
h₂ : m₁ ≤ m₂
⊢ n₁ * m₁ ≤ n₂ * m₂
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
h : ∀ (i : ι), f₁ i ≤ f₂ i
⊢ Filter.pi f₁ ≤ Filter.pi f₂
a : ℝ
ha : a < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
hd : ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) (x ^ a) x
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ a) (Ioi c) volume
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a : α
ha : MeasurableSet {a}
⊢ ↑{a}.toFinset.card = 1
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
f : κ → Ideal A
h : ∀ (i : κ), Ideal.IsHomogeneous 𝒜 (f i)
⊢ Ideal.IsHomogeneous 𝒜 (⨅ i, f i)
z : ℍ
⊢ 0 < EisensteinSeries.r1 z
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_8
LinearOrder ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
DenselyOrdered ι
FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (⇑μ ∘ s) (nhdsWithin a (Set.Ioi a)) (nhds (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
a b : Int
⊢ a - b = 0 ↔ a = b
α : Type u_1
BEq α
a b : α
l : List α
h : ¬(b == a) = true
⊢ (b :: l).erase a = b :: l.erase a
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : X → A
g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
⊢ ⇑g ∘ FreeAlgebra.ι R = f ↔ g = (FreeAlgebra.lift R) f
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a b : α
f : α ↪o β
h : f a ⩿ f b
⊢ a ⩿ b
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
a₁ a₂ : X
b₁ b₂ : Y
γ₁ : Path a₁ a₂
γ₂ : Path b₁ b₂
⊢ ⇑(γ₁.prod γ₂) = fun t => (γ₁ t, γ₂ t)
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationWithZeroMap N
inst✝ : IsCancelMulZero M
h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsRegular x
this : IsLeftCancelMulZero N
⊢ IsCancelMulZero N
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
⊢ Function.Injective ⇑f ↔ Function.Surjective ⇑f
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
t : Set X
t_in : t ∈ 𝓝 x₀
ht : {i | ((fun i => support ⇑(ρ i)) i ∩ t).Nonempty}.Finite
⊢ {i | x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)}.Finite
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
L : Subalgebra ℝ C(X, ℝ) := A.topologicalClosure
n : (↑L).Nonempty
⊢ ↑A.topologicalClosure = ↑⊤
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
hd : Disjoint x z
hz : z ≤ y
hs : y ≤ x ⊔ z
⊢ y \ x = z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
hs : ⨆ i, ∑ i_1 ∈ s, (↑i).lintegral (μ i_1) = ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)
⊢ ⨆ i_1, (↑i_1).lintegral (μ i) + ∑ i ∈ s, (↑i_1).lintegral (μ i) = (⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)) + ⨆ i, ∑ i_1 ∈ s, (↑i).lintegral (μ i_1)
α : Sort u_3
p : α → Prop
⊢ Nonempty (Subtype p) ↔ ∃ a, p a
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
CompleteSpace F
⊢ MeasurableSet {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Ioi x) x}
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
S : L.Substructure M
htv :
  ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → ↥S) (a : M),
    φ.Realize default (Fin.snoc (Subtype.val ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (Subtype.val ∘ x) ↑b)
⊢ S.IsElementary
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R) (hP : P.IsMaximal), map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) I ≤ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) J
x : R
hx : x ∈ I
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
le : Submodule.colon J (span {x}) ≤ P
⊢ False
α : Type u_1
f : α → α
x y : α
hx : x ∈ Function.periodicPts f
⊢ y ∈ Function.periodicOrbit f x ↔ ∃ n, f^[n] x = y
a : ℤ
b₁ b₂ : ℕ
NeZero b₁
NeZero b₂
⊢ jacobiSym a (b₁ * b₂) = jacobiSym a b₁ * jacobiSym a b₂
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s : Finset α
⊢ Rel.edgeDensity r s ∅ = 0
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
⊢ ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
⊢ W₁.comp W₂ = ⊤ ↔ W₁.HasFactorization W₂
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ
PartialOrder Γ'
VAdd Γ Γ'
IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
AddCommMonoid V
Zero R
SMulWithZero R V
x : HahnModule Γ' R V
⊢ 0 • x = 0
num : ℕ
den : ℤ
n : ℕ
⊢ (↑num /. den) ^ n = ↑num ^ n /. den ^ n
V : Type u
G : SimpleGraph V
Subsingleton V
⊢ G.chromaticNumber ≤ 1
α : Type u
TopologicalSpace α
x y : α
⊢ ConnectedComponents.mk x ≠ ConnectedComponents.mk y ↔ connectedComponent x ≠ connectedComponent y
α : Type u_1
LE α
s t : UpperSet α
⊢ ↑s ⊆ ↑t ↔ t ≤ s