ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
l₁ l₂ l₃ : List α
⊢ l₁ <+: l₂ → l₂ <+: l₃ → l₁ <+: l₃
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι
v : V
⊢ (∃ x, (∃ x_1, (x_1 ∈ univ ∧ ¬x_1 = i₀) ∧ p x_1 = x) ∧ x -ᵥ p i₀ = v) ↔ ∃ a, ∃ (_ : a ≠ i₀), p a -ᵥ p i₀ = v
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
C : ℝ≥0
f : E → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure E
hf : LipschitzWith C f
v : E
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => lineDeriv ℝ f x v) ⊤ μ
m n : ℕ
⊢ Odd (m + n) ↔ (Odd n ↔ Even m)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s
⊢ 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
x : Class
y : ZFSet
⊢ (⋃₀ x) y ↔ ∃ z, x z ∧ y ∈ z
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
φ : ↑(WeakDual.characterSpace 𝕜 A)
⊢ ‖WeakDual.toNormedDual ↑φ‖ ≤ ‖1‖
α : Type u_1
Preorder α
self : ClosureOperator α
x : α
⊢ x ≤ self.toFun x
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
g : M ≃[L] N
φ : L.Sentence
⊢ M ⊨ φ ↔ N ⊨ φ
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h : f = g
i j : ι
⊢ (Homotopy.ofEq h).hom i j = 0 i j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
w : f ≠ 0
⊢ ¬CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
⊢ LinearMap.range ((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
⊢ (s.sigma fun i => ∅) = ∅
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : G.obj a ⟶ a'
⊢ (F.mapId a ▷ η.app a ≫ (λ_ (η.app a)).hom ≫ (ρ_ (η.app a)).inv) ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (𝟙 (G.obj a)) f).hom = F.mapId a ▷ η.app a ▷ f ≫ (λ_ (η.app a)).hom ▷ f ≫ (ρ_ (η.app a)).inv ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (𝟙 (G.obj a)) f).hom
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ ⊤.prod ⊤ = ⊤
α : Type u_1
M : Type u_4
Monoid M
f : FreeMonoid α →* M
⊢ FreeMonoid.lift.symm f = ⇑f ∘ FreeMonoid.of
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
GroupWithZero α
MulAction α β
a : α
Fintype β
ha : a ≠ 0
⊢ a • Finset.univ = Finset.univ
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
h : ∀ x ∈ Function.support f, x ∈ s ↔ x ∈ t
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s.biUnion fun x => x • t) = s • t
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty
y' : ℤ := (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
y'_def : y' = (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
⊢ ↑(abv ((Algebra.norm R) a)) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hσ : Finite σ
p : Polynomial (MvPolynomial σ R)
hp : ((optionEquivLeft R σ).symm p).IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
k : ℕ
e : σ ≃ Fin k
e' : Option σ ≃ Fin (k + 1) := e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv k).symm
F : MvPolynomial σ R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin k) R := renameEquiv R e
F' : MvPolynomial (Option σ) R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := renameEquiv R e'
φ : MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := F' ((optionEquivLeft R σ).symm p)
hφ : φ.IsHomogeneous n
⊢ F (p.coeff i) = ((finSuccEquiv R k) φ).coeff i
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ l₂ : List α
t₁ : List β
p : l₁.Perm l₂
⊢ (l₁.product t₁).Perm (l₂.product t₁)
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) '' Iic b = Iic (b - a)
G : Type u
inst✝³ : Groupoid G
inst✝² : IsFreeGroupoid G
T : WideSubquiver (Symmetrify (Generators G))
inst✝¹ : Arborescence (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)
X : Type u
inst✝ : Group X
f : ↑(wideSubquiverEquivSetTotal (wideSubquiverSymmetrify T))ᶜ → X
f' : Labelling (Generators G) X := fun a b e => if h : e ∈ wideSubquiverSymmetrify T a b then 1 else f ⟨{ left := a, right := b, hom := e }, h⟩
F' : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X
hF' : ∀ (a b : Generators G) (g : a ⟶ b), F'.map (of g) = f' g
uF' : ∀ (y : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X), (fun F => ∀ (a b : Generators G) (g : a ⟶ b), F.map (of g) = f' g) y → y = F'
⊢ ∃! F, ∀ (a : ↑(wideSubquiverEquivSetTotal (wideSubquiverSymmetrify T))ᶜ), F ((fun e => loopOfHom T (of (↑e).hom)) a) = f a
X Y : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
x : ↑X
⊢ 0 x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
this : IsFiniteKernel κ
S : Finset (Set γ)
hS_subset : ↑S ⊆ countablePartition γ n
hA : MeasurableSet (⋃₀ ↑S)
h_disj : Pairwise (Disjoint on fun i => ↑i)
⊢ IntegrableOn (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) (⋃ i, ↑i) (ν a)
E'' : Type u_9
NormedAddCommGroup E''
c : E''
⊢ (fun _x => c) =o[Filter.atTop] id
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
h : Red ((x, b) :: L) []
h₁✝ : Red ((x, !b) :: (x, b) :: L) [(x, !b)]
h₂✝ : Red ((x, !b) :: (x, b) :: L) L
L' : List (α × Bool)
h₁ : L' = [(x, !b)]
h₂ : Red L L'
⊢ Red L [(x, !b)]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (range Iic) ≤ MeasurableSpace.generateFrom (range Ioi)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set β
hs : s ∈ 0
⊢ (fun x => 0 • x) ⁻¹' s ∈ g
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius
⊢ 0 < ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ ∨ p₁ = p₂
H : Type u
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph H H
h : e ≈ e'
⊢ e ∈ G ↔ e' ∈ G
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p q : Polynomial R
hq : q ≠ 0
⊢ p ∣ q ↔ p.content ∣ q.content ∧ p.primPart ∣ q.primPart
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕂 F'
f : 𝕂 → F'
f' : F'
x : 𝕂
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasDerivAt f f' x
hn : 1 ≤ n
⊢ HasStrictDerivAt f f' x
α : Type u_1
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict sᶜ] 0
⊢ μ[s.indicator f|m] =ᵐ[μ] s.indicator (μ[f|m])
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
⊢ f.SameCycle (f x) y ↔ f.SameCycle x y
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : InnerProductGeometry.angle x y = 0
⊢ ‖x - y‖ = |‖x‖ - ‖y‖|
α : Type u_2
Div α
f g : Filter α
⊢ f.NeBot → g.NeBot → (f / g).NeBot
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
p q : Subgroup G
h : p.toSubmonoid = q.toSubmonoid
⊢ p = q
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ S ≤ S ⊔ T
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ a + b ∈ Set.Ico c d ↔ a ∈ Set.Ico (c - b) (d - b)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : m ≤ y i₀
⊢ (Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (x i) (Function.update y i₀ m i)) =
  {z | z i₀ ≤ m} ∩ Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (x i) (y i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
f : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => f x ≤ 0
s : Finset α
h0 : Even (filter (fun x => f x ≤ 0) s).card
x : α
x✝ : x ∈ s
hx : 0 < f x
⊢ 0 ≤ f x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ e 0 = 0
E : ℕ → Type u_1
(n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
⊢ ∃ f, (∀ (x : ↑s), f ↑x = x) ∧ Function.Surjective f ∧ Continuous f
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : R
x : ↥(Submodule.torsionBy R M a)
⊢ a • x = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ Continuous (Mathlib.Vector.eraseIdx i)
G : Type u_2
CommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
f : ℕ → G
k : ℕ
⊢ (Multipliable fun n => f (n + k)) ↔ Multipliable f
α β : DistLat
e : ↑α ≃o ↑β
a : ↑β
⊢ (DistLat.Iso.mk e).inv.toSupHom a = e.symm a
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
s s' : σ →₀ ℕ
a b : R
⊢ (MvPolynomial.monomial s) a * (MvPolynomial.monomial s') b = (MvPolynomial.monomial (s + s')) (a * b)
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
Ms : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
(i : ι) → Module R (Ms i)
Ns : ι → Type u_5
(i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
(i : ι) → Module R (Ns i)
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
f : (i : ι) → Ms i →ₗ[R] Ns i
hf : ∀ (i : ι), p i ≤ LinearMap.ker (f i)
x : (i : ι) → Ms i
⊢ (Submodule.quotientPiLift p f hf) (Submodule.Quotient.mk x) = fun i => (f i) (x i)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp F 2 μ)
h_two : ENNReal.ofReal 2 = 2
⊢ eLpNorm (fun x => ‖↑↑f x‖ ^ 2) 1 μ < ⊤
m : Type u → Type u_1
α β σ : Type u
Monad m
LawfulMonad m
f : α → β
x : StateT σ m α
s : σ
⊢ (f <$> x).run s = (fun p => (f p.fst, p.snd)) <$> x.run s
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ ((∃ i, 0 ≤ x.moveLeft i) ∨ ∃ j, moveRight 0 j ≤ x) ↔ ∃ i, 0 ≤ x.moveLeft i
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'
⊢ l.size = 0 → r.size ≤ 1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 < 1 + ε ↑n
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
α : Type u_3
⊢ (ord ⟦α⟧).card = ⟦α⟧
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ≅ g.obj' 5 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀.hom (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁.hom (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂.hom (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
w₃ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 3 4 ⋯ ⋯) app₄.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₃.hom (g.map' 3 4 ⋯ ⋯)
w₄ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 4 5 ⋯ ⋯) app₅.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₄.hom (g.map' 4 5 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.isoMk₅ app₀ app₁ app₂ app₃ app₄ app₅ w₀ w₁ w₂ w₃ w₄).hom =
  CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₅ app₀.hom app₁.hom app₂.hom app₃.hom app₄.hom app₅.hom w₀ w₁ w₂ w₃ w₄
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ a ∈ l₁.bagInter l₂ ↔ a ∈ l₁ ∧ a ∈ l₂
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E
e : α
heI : e ∉ I
heB'' : e ∉ B''
heE : e ∈ M.E
⊢ Disjoint I B''
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₁ c x ε) → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
δ₂ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₂ c x ε) → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < 2 ^ Fintype.card ι
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), ↑t ⊆ s → ∑ i ∈ t, 2 ^ Fintype.card ι * εs i ≤ ε / 2
ε' : ℝ
ε'0 : 0 < ε'
hεI : B I * ε' < ε / 2
δ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun c x => if x ∈ s then δ₁ c x (εs x) else δ₂ c x ε'
π : TaggedPrepartition I
c : ℝ≥0
hπδ : l.MemBaseSet I c (δ c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ dist (∑ x ∈ Finset.filter (fun x => π.tag x ∉ s) π.boxes, (vol x) (f (π.tag x))) (∑ x ∈ Finset.filter (fun x => π.tag x ∉ s) π.boxes, g x) ≤ ε / 2
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a b : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (a * b).re = a.re * b.re + c₁ * a.imI * b.imI + c₂ * a.imJ * b.imJ - c₁ * c₂ * a.imK * b.imK
A : Type uA
AddCommGroup A
c c' : CharacterModule A
h : ∀ (x : A), c x = c' x
⊢ c = c'
α : Type u_1
s : Set α
Fintype ↑s
⊢ Nat.card ↑s = s.toFinset.card
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
hno : s.Nodup
⊢ s ≤ t.dedup ↔ s ≤ t
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : ¬Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
⊢ μ.tilted f = 0
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
x : G
⊢ comap (fun x_1 => x_1 / x) (𝓝 1) = 𝓝 x
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)
H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1
δ'0 : 0 < δ'
C : ℝ≥0 := max π₀.distortion π₀.compl.distortion
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
hπip : ∀ J ∈ π₀, (πi J).IsPartition
hπiδ' : ∀ J ∈ π₀, dist (integralSum f vol (πi J)) (integral J l f vol) ≤ δ'
hπiC : ∀ J ∈ π₀, l.MemBaseSet J C (h.convergenceR δ' C) (πi J)
this✝ : l.MemBaseSet I C (h.convergenceR δ' C) (π₀.biUnionTagged πi)
hU' : π.iUnion = (π₀.biUnionTagged πi).iUnion
this : dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integralSum f vol (πi J)) ≤ ε + δ'
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
W : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
M : Action V G
g : ↑G
⊢ ((F.mapAction G).obj M).ρ g = F.map (M.ρ g)
ι : Type u_2
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : HomotopyEquiv C D
⊢ (HomotopyCategory.isoOfHomotopyEquiv f).inv = (HomotopyCategory.quotient V c).map f.inv
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂
⊢ chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
α : Type u_1
LinearOrder α
Add α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ max (a + c) (b + c) = max a b + c
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
AddCommMonoid M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
r : R
⊢ IsSMulRegular M ((algebraMap R S) r) ↔ IsSMulRegular M r
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Mul M
Mul N
Mul P
g : N →ₙ* P
f : M →ₙ* N
⊢ ⇑(g.comp f) = ⇑g ∘ ⇑f
x : ℂ
⊢ Complex.log x⁻¹ = if x.arg = Real.pi then -(starRingEnd ℂ) (Complex.log x) else -Complex.log x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
l : List ι
x : E
h : ∀ i ∈ l, HasStrictFDerivAt (fun x => f i x) (f' i) x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (List.map (fun x_1 => f x_1 x) l).prod) (∑ i : Fin l.length, (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.take (↑i) l)).prod • (f' (l.get i)).smulRight (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.drop (↑i).succ l)).prod) x
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)) volume 0 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x✝ : Interval α
⊢ ↑(⊥ ⊓ x✝) = ↑⊥ ∩ ↑x✝
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a - (a - b) = min a b
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
⊢ Set.range (WType.elim (↥(closure s)) (Subfield.operate s)) = Set.univ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
u v : Rˣ
m : ℕ
h : ↑u - ↑v = 0 ∨ ϖ ^ m = 0
⊢ u = v
J : Type w
X : CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape J
⊢ CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape.Hom.id X = 𝟙 X
α : Type u_1
β : Type u_2
Sub β
f g : α →ᵤ β
⊢ UniformFun.toFun (f - g) = UniformFun.toFun f - UniformFun.toFun g
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
T T' : L.Theory
⊢ M ⊨ T ∪ T' ↔ M ⊨ T ∧ M ⊨ T'
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
z w : ℂ
⊢ ∀ (c : ℂ), deriv f c = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
⊢ n ∈ J • N
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.32181, u_3} E
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : HasZeroObject C
⊢ IsZero (F.obj 0)
d : ℤ
x y : ℤ
⊢ star { re := x, im := y } = { re := x, im := -y }
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
this : CompleteSpace ↑s
⊢ ∃ y ∈ s, IsFixedPt f y ∧ Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 y) ∧ ∀ (n : ℕ), edist (f^[n] x) y ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n / (1 - ↑K)
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
⊢ ((fun a => l.set n (f a)) <$> some (l.get ⟨n, h⟩)).getD l = l.set n (f (l.get ⟨n, h⟩))
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a : α
h1 : a < 0
h2 : -1 < a
⊢ 1 / a < -1
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
U : Set (α × α)
hs : Dense s
hU : U ∈ 𝓤 α
y : α
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), y ∈ ball i U
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
q : Submodule R ↥p
x : ↥q
⊢ ↑((p.equivSubtypeMap q) x) = (p.subtype.domRestrict q) x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
x y✝ : E × F
x✝ : y✝ ∈ EMetric.ball 0 ⊤
⊢ HasSum (fun n => (f.fpowerSeriesBilinear x (n + 3)) fun x => y✝) ((f x.1) x.2 + (f.deriv₂ (x.1, x.2)) (y✝.1, y✝.2) + (f y✝.1) y✝.2 - ((((∑ x_1 ∈ Finset.range 0, (f.fpowerSeriesBilinear x x_1) fun x => y✝) + (f.fpowerSeriesBilinear x 0) fun x => y✝) + (f.fpowerSeriesBilinear x 1) fun x => y✝) + (f.fpowerSeriesBilinear x 2) fun x => y✝))
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
Field S
StarRing S
MetricSpace S
TopologicalRing S
ContinuousStar S
NonUnitalRing A
StarRing A
Module S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
Algebra R S
Module R A
IsScalarTower R S A
StarModule R S
ContinuousSMul R S
a : A
φ : ContinuousMapZero (↑(quasispectrum S a)) S →⋆ₙₐ[S] A
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
h_id : φ (ContinuousMapZero.id ⋯) = a
⊢ (QuasispectrumRestricts.nonUnitalStarAlgHom φ h) (ContinuousMapZero.id ⋯) = a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w w₁✝ w₂✝ : ι → k
p : ι → V
s : Finset V
hp : AffineIndependent k Subtype.val
w₁ w₂ : V → k
hw : ∑ i ∈ s, w₁ i = ∑ i ∈ s, w₂ i
hwp : ∑ i ∈ s, w₁ i • i = ∑ i ∈ s, w₂ i • i
⊢ ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
n : ℕ
R : Type u_2
Ring R
⊢ (Int.negOfNat n).rawCast = -n.rawCast