ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
this : IntegrableOn f S volume ↔ IntegrableOn (fun x => |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p) = |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
⊢ c.op.pt = Opposite.op c.pt
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
k : Filter δ
⊢ Filter.Tendsto (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ((f ×ˢ g) ×ˢ h ×ˢ k) ((f ×ˢ h) ×ˢ g ×ˢ k)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
ν : Measure α
hν : IsFiniteMeasure ν
hμν : μ ≪ ν
t : Set (α × ℝ)
t_count : t.Countable
ts : ∀ p ∈ t, p.1 ∈ s
tr : ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
tν : ν (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0
tdisj : t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
size✝ : ℕ
l✝ : Ordnode α
x✝ : α
r✝ : Ordnode α
hm : (node size✝ l✝ x✝ r✝).Sized
⊢ (if l✝.size < ratio * r✝.size then l.node3L x l✝ x✝ r✝ else l.node4L x l✝ x✝ r✝).size = l.size + size✝ + 1
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝¹⁰ : Module R A
inst✝⁹ : Star A
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : Star B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : Module R C
inst✝³ : Star C
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
h : S.toNonUnitalSubalgebra = T.toNonUnitalSubalgebra
x : A
⊢ x ∈ S ↔ x ∈ T
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hm : m ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (↑m * x) ↔ LiouvilleWith p x
n : ℕ
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulApplicative G
LawfulApplicative F
η : ApplicativeTransformation F G
α β : Type u
f : α → F β
x : Mathlib.Vector α n
⊢ (fun {α} => η.app α) (Mathlib.Vector.traverse f x) = Mathlib.Vector.traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h : c ≤ max a b
⊢ Set.Ioc a b ∪ Set.Ioi c = Set.Ioi (min a c)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
SemilatticeSup γ
F : Filter α
G : Filter β
f : α → γ
g : β → γ
hf : Filter.Tendsto f F Filter.atTop
hg : Filter.Tendsto g G Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) Filter.atTop
a : Int
b : Int
H : 0 < b
⊢ a < (a.div b + 1) * b
G : Type u_1
Add G
a : G
f g : AddConstMap G G a a
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f ∘ ⇑g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
x : E
s : Set E
g : F → G
t : Set F
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g t (f x)
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (g ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' t) x
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
⊢ LipschitzWith 1 ⇑equivRealProd
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
H.IsCartanSubalgebra
IsNoetherian R L
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
CharZero R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : LieModule.weightSpace M χ ≠ ⊥
⊢ ∃ a b, 0 < b ∧ ∀ x ∈ LieAlgebra.corootSpace α, (a • α + b • χ) x = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
a b : CategoryTheory.Quotient (CategoryTheory.pathsHomRel C)
hf : a ⟶ b
⊢ (CategoryTheory.quotientPathsTo C).map hf = Quot.liftOn hf (fun f => CategoryTheory.composePath f) ⋯
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
SeminormedRing 𝕜
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
AddCommGroup E
AddCommGroup E₂
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ E₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f g : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
⊢ p.comp (f + g) ≤ p.comp f + p.comp g
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o✝ : Ordinal.{max (u + 1) v}
h : o✝ < Ordinal.univ.{u, v}
o : Ordinal.{u}
h' : lift.principalSeg.toRelEmbedding o = o✝
⊢ o✝.card < univ.{u, v}
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f g : α →CO β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
⊢ padicValRat p q ≤ padicValRat p (q + r)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
M : Matroid α
hf : Set.InjOn f M.E
D : Set β
⊢ (M.map f hf).Dep D ↔ ∃ D₀, M.Dep D₀ ∧ D = f '' D₀
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra ℂ A
hA : ∀ {a : A}, IsUnit a ↔ a ≠ 0
a : A
z : ℂ
h : z ∈ σ a
⊢ (algebraMap ℂ A) z = a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow C
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
x y : SimplexCategory
g : x ⟶ y
⊢ f.cechConerve.map g =
  CategoryTheory.Limits.WidePushout.desc (CategoryTheory.Limits.WidePushout.head fun x => f.hom)
    (fun i => CategoryTheory.Limits.WidePushout.ι (fun x => f.hom) ((SimplexCategory.Hom.toOrderHom g) i)) ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
f : 𝕜 → ℂ
f' : ℂ
x : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun x => Complex.exp (f x)) (Complex.exp (f x) * f') x
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
x : M
⊢ e x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ ‖RCLike.im z‖ ≤ ‖z‖
α : Type u_1
a b : α
⊢ b ∈ {a} ↔ b = a
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_10
Zero M
Zero N
Zero P
Zero Q
f : ZeroHom M N
g : ZeroHom N P
h : ZeroHom P Q
⊢ (h.comp g).comp f = h.comp (g.comp f)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
h : μ s ≠ 0
d : AddCircle T
hd : ∀ {ι' : Type ?u.7040} {l : Filter ι'} (w : ι' → AddCircle T) (δ : ι' → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι') in l, d ∈ closedBall (w j) (1 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (s ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
⊢ μ s = ENNReal.ofReal T
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : Associates.mk a ⊓ Associates.mk b ≠ 1
⊢ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ a ∧ p ∣ b
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∠ a p b = π
hcpd : ∠ c p d = π
k₁ : ℝ
left✝¹ : k₁ < 0
hab : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
k₂ : ℝ
left✝ : k₂ < 0
hcd : d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)
⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
z : ℂ
hB : BddAbove (norm ∘ f '' Complex.HadamardThreeLines.verticalClosedStrip 0 1)
hd : DiffContOnCl ℂ f (Complex.HadamardThreeLines.verticalStrip 0 1)
hz : z ∈ Complex.HadamardThreeLines.verticalClosedStrip 0 1
⊢ ‖f z‖ ≤
  ‖(↑ε + ↑(Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f 0)) ^ (1 - z) *
      (↑ε + ↑(Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f 1)) ^ z‖
α : Type u
r : α → α → Prop
⊢ List.Sorted r []
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).hom ≫ snd X (Y ⊗ Z) ≫ snd Y Z = snd (X ⊗ Y) Z
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
s : Set (α × β)
h : (μ.prod ν) s = 0
⊢ (fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᵐ[μ] 0
G : Type u_1
Group G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
SubgroupClass S G
a b : G
⊢ a / b ∈ H ↔ b / a ∈ H
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
⊢ P.isoClosure = P ↔ P.RespectsIso
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
CompleteSpace E
f f' : ℝ → ℝ
g g' : ℝ → E
hf : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt f (f' x) x
hg : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt g (g' (f x)) (f x)
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg' : Continuous g'
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g' ∘ f) x = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
φ : L.Hom M N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ φ (FirstOrder.Language.Structure.funMap f x) = FirstOrder.Language.Structure.funMap f (⇑φ ∘ x)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
CategoryTheory.Limits.HasLimit (e.functor ⋙ F)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit F
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
B : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory B
CategoryTheory.Bicategory.Strict B
F : CategoryTheory.Functor I B
i : CategoryTheory.LocallyDiscrete I
⊢ F.toPseudoFunctor.mapId i = CategoryTheory.eqToIso ⋯
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Disjoint (Finset.Ico a b) (Finset.Ico b c)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty α
⊢ BddBelow ∅
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
⊢ (Algebra.adjoin R s).op.toSubsemiring = (Algebra.adjoin R (MulOpposite.unop ⁻¹' s)).toSubsemiring
s : Set ℂ
⊢ ContinuousOn Complex.sin s
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
hx : ∀ (φ : K →+* ℂ), (starRingEnd ℂ) (x φ) = x (ComplexEmbedding.conjugate φ)
c : index K
⊢ ↑(((stdBasis K).repr (fun w => (x (↑w).embedding).re, fun w => x (↑w).embedding)) c) = ∑ x_1 : { w // w.IsReal }, fromBlocks 1 0 0 ((blockDiagonal fun x => !![2⁻¹, 2⁻¹; 2⁻¹ * -I, 2⁻¹ * I]).submatrix Prod.swap Prod.swap) c (Sum.inl x_1) * x (↑x_1).embedding + ∑ x_1 : { w // w.IsComplex }, (fromBlocks 1 0 0 ((blockDiagonal fun x => !![2⁻¹, 2⁻¹; 2⁻¹ * -I, 2⁻¹ * I]).submatrix Prod.swap Prod.swap) c (Sum.inr (x_1, 0)) * x (↑x_1).embedding + fromBlocks 1 0 0 ((blockDiagonal fun x => !![2⁻¹, 2⁻¹; 2⁻¹ * -I, 2⁻¹ * I]).submatrix Prod.swap Prod.swap) c (Sum.inr (x_1, 1)) * x (ComplexEmbedding.conjugate (↑x_1).embedding))
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
hS : ∀ s ∈ S, IsClopen s
⊢ IsClopen (⋂₀ S)
α : Type u_1
l : List α
⊢ List.map List.reverse l.inits = l.reverse.tails.reverse
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)
H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
d : α
hdp : d ∣ p ^ i p
hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'
hd : Prime d
⊢ p ∈ s
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
H : p.length = 0
⊢ q.toFun 0 = p.toFun 0
α : Type u_2
β : Type u_1
f : α → Option β
as : List α
acc : Array β
⊢ List.filterMapTR.go f as acc = acc.data ++ List.filterMap f as
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
c : F
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => c - f y) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
α β : Sort u_1
a : α
a' : β
e : α = β
⊢ cast e a = a' → HEq a a'
R : Type u_3
Rₛ : Type u_4
CommSemiring R
CommRing Rₛ
Algebra R Rₛ
S : Submonoid R
hT : IsLocalization S Rₛ
A : Type u_5
CommRing A
Algebra R A
Aₛ : Type u_6
CommRing Aₛ
Algebra A Aₛ
Algebra Rₛ Aₛ
Algebra R Aₛ
IsScalarTower R Rₛ Aₛ
IsScalarTower R A Aₛ
hA : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid A S) Aₛ
ι : Type u_7
b : Basis ι R A
i : ι
⊢ (Basis.localizationLocalization Rₛ S Aₛ b) i = (algebraMap A Aₛ) (b i)
α : Type u_1
o : { x // x.isSome = true }
⊢ (Equiv.optionIsSomeEquiv α) o = (↑o).get ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)
hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i
⊢ UniformIntegrable f p μ
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ⊤)
⊢ ‖f‖ = ⨆ i, ‖↑f i‖
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : (traceMatrix K ⇑b *ᵥ (traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)
⊢ IsIntegral A (discr K ⇑b • a * x)
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ f.sum DFinsupp.single = f
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
c : n ≃ n
hc : c ∈ univ.erase (Equiv.refl n)
⊢ ∑ i : n, (M.charmatrix (c i) i).natDegree ≤ ∑ x ∈ filter (fun x => c x = x) univ, 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
⊢ derivWithin (fun y => f y - g y) s x = derivWithin f s x - derivWithin g s x
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
CommMonoid β
b : β
⊢ (∏ a ∈ s, f a) * b ^ s.card = ∏ a ∈ s, f a * b
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R
s : σ
n : ℕ
⊢ (X s ^ n).support = {Finsupp.single s n}
u : ℂ
hu : 0 < u.re
⊢ -1 < (u - 1).re
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
⊢ IsPreirreducible (f '' s)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
s : Set M
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map f ((FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s) =
  (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun (⇑f '' s)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
z : N
v : P
⊢ (f.lift hg) z = v ↔ g (f.sec z).1 = g ↑(f.sec z).2 * v
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
n : ℕ
⊢ Multiset.count a (Multiset.replicate n a) = n
ι : Type u_5
σ : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
i : ι
⊢ Continuous (Sigma.mk i)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
e : M ≃ₗ[R] M
f f' : M →ₗ[R] M
h : ∀ (x : M), f x = f' (e x)
⊢ Associated (LinearMap.det (f' ∘ₗ ↑e)) (LinearMap.det f')
R : Type u_1
n : ℕ
x✝ y : ℤ
hx✝ : ¬2 ∣ x✝
hxy : 4 ∣ x✝ - y
hx_odd : Odd x✝
hxy_even : Even (x✝ - y)
hy_odd : Odd y
i : ℕ
x : ℤ
hx : Odd x
⊢ x ^ 2 ^ (i + 1) % 4 = 1
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F
hc : IsColimit c
s : Cone F.unop
m : s.pt ⟶ (coneUnopOfCocone c).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (coneUnopOfCocone c).π.app j = s.π.app j
⊢ m = (fun s => (hc.desc (coconeOfConeUnop s)).unop) s
η : Type u_7
f : η → Type u_8
(i : η) → AddGroup (f i)
H : (i : η) → AddSubgroup (f i)
⊢ AddSubgroup.pi Set.univ H = ⊥ ↔ ∀ (i : η), H i = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P R
t : P.obj (Opposite.op X)
ht : x.IsAmalgamation t
⊢ x.sieveExtend.IsAmalgamation t
X Y : CondensedSet
f : X ⟶ Y
S : CompHaus
x : X.val.obj (Opposite.op S)
this : (fun a => f.val.app (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (CompHaus.const S a).op x)) = fun a => Y.val.map (CompHaus.const S a).op (f.val.app (Opposite.op S) x)
⊢ Continuous fun a => f.val.app (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (CompHaus.const S a).op x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.contractibleTriangleIso X).hom.hom₃ = (⋯.iso ⋯).hom
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ Order.succ a ⨳ b = a ⨳ b ♯ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
F : C ⥤ D
hF : CategoryTheory.Limits.IsZero F
X : C
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero (F.obj X)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.contractibleTriangle X).mor₂ = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace M✝
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : ContinuousMul M✝
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : ι → X → M
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
x₀ : X
U : Set X
hxU : U ∈ 𝓝 x₀
hUf : {i | ((fun i => mulSupport (f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
⊢ ∃ I, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (mulSupport fun i => f i x) ⊆ ↑I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsCoseparator G ↔ ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0) → f = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ Tendsto (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y) (𝓝 ((↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) y))) ↔ Tendsto g (𝓝[s] y) (𝓝 (g y))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsOpen s✝
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s✝ t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s✝
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
f : E →L[ℝ] ℝ
s : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ s✝, f a < s
hf₂ : ∀ b ∈ t, s ≤ f b
hf : IsOpenMap ⇑f
⊢ f ≠ 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
A : ℝ
x : α
⊢ |truncation f A x| ≤ |f x|
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 4 ≠ 0
⊢ W.Ψ₂Sq.leadingCoeff = 4
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
n₀ : ℕ
⊢ F.submodule = Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n₀), ⇑(PolynomialModule.single R i) '' ↑(F.N i)) ↔
  ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
h : (X - C a) * (p /ₘ (X - C a)) = p
⊢ eval a p = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
hX : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
hY : CategoryTheory.Limits.IsTerminal Y
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ filter p s ∩ t ↔ a✝ ∈ filter p (s ∩ t)
x y : ℝ
⊢ cosh (3 * x) = 4 * cosh x ^ 3 - 3 * cosh x
R : Type u_1
DivisionRing R
CharZero R
a : R
⊢ a / 2 - a = -(a / 2)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
⊢ IsLocallyConstant f ↔ ∀ (y : Y), IsOpen (f ⁻¹' {y})
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
p : Rₘ[X]
hp : p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range
n : ℕ
⊢ (p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff))).coeff n ∈ Set.range ⇑(algebraMap R Rₘ)
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
h : n.minFac ^ n.factorization n.minFac = n
hn : n ≠ 1
hn' : n ≠ 0
⊢ IsPrimePow n
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ (Composition.single n h).blocks = [n]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsLocallyFull K
ℱ : CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ (Type v)
ℱ' : CategoryTheory.SheafOfTypes K
α : G.op.comp ℱ ⟶ G.op.comp ℱ'.val
X Y : C
i : G.obj X ⟶ G.obj Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α.app (Opposite.op Y)) (ℱ'.val.map i.op) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (ℱ.map i.op) (α.app (Opposite.op X))
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : x ∈ s
H : hausdorffDist s t < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
⊢ ∃ y ∈ t, dist x y < r
α : Type u_1
M : Type u_2
PartialOrder α
CommMonoid M
f : α → M
a b : α
LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b
⊢ (∏ x ∈ Finset.Ioc a b, f x) * f a = ∏ x ∈ Finset.Icc a b, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : Finite a a
x✝ : a ^ (1 + 1) ∣ a
b : α
hb : 1 = 1 * (a * 1 * b)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
Zero β
PosSMulStrictMono α β
SMulPosMono α β
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ < b₂
h₁ : 0 < a₁
h₂ : 0 ≤ b₂
⊢ a₁ • b₁ < a₂ • b₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
hα : Nonempty α
⊢ (comap Prod.snd f).NeBot ↔ Nonempty α ∧ f.NeBot
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
N : Type u_3
AddCommMonoid N
a : G
b : k
h : G → k → N
h_zero : h a 0 = 0
⊢ Finsupp.sum (AddMonoidAlgebra.single a b) h = h a b
α : Type u
σ : Type v
M : NFA α σ
⊢ M.eval [] = M.start