ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → M i) →* γ
h : ∀ (i : ι) (x : M i), f (Pi.mulSingle i x) = g (Pi.mulSingle i x)
val✝ : Fintype ι
x : (i : ι) → M i
⊢ univ.noncommProd (fun i => f (Pi.mulSingle i (x i))) ⋯ = univ.noncommProd (fun i => g (Pi.mulSingle i (x i))) ⋯
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ Disjoint a a ↔ a = ⊥
μ ν : YoungDiagram
h_le : μ.transpose ≤ ν
c : ℕ × ℕ
hc : c ∈ μ.cells
⊢ c.swap ∈ ν
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i : ι
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex C c} (f : X ⟶ Y),
  (HomologicalComplex.cyclesFunctor C c i).map f = HomologicalComplex.cyclesMap f i
n : ℕ
⊢ n.pred = n.ppred.getD 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
Semiring α
InvolutiveNeg β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℕ
⊢ Function.Antiperiodic f (↑n * (2 * c) + c)
G : Type u_1
Group G
g : G
⊢ ↑(Subgroup.zpowers g) = Set.range fun x => g ^ x
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
G : Type u_3
SMul G β
IsScalarTower G β β
a : G
f : CauSeq β abv
⊢ ↑(a • f) = a • ↑f
x y z : ℝ
⊢ 0 < sinh x ↔ 0 < x
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
AddCommGroup V₁
Module K V₁
AddCommGroup V₂
Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂
⊢ Function.Injective ⇑f.dualMap ↔ Function.Surjective ⇑f
α : Type u
Group α
g : GroupTopology α
⊢ Continuous Inv.inv
η : Type u_7
f : η → Type u_8
(i : η) → AddGroup (f i)
I : Set η
⊢ (AddSubgroup.pi I fun i => ⊤) = ⊤
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hx : ‖x‖ < r
⊢ Absorbent 𝕜 ((normSeminorm 𝕜 E).ball x r)
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f✝ : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
g : M →ₗ[R] Q
this : Fact (Function.Injective ⇑f)
r : R
x : N
⊢ { toFun := fun x => ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap ⟨x, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap ((RingHom.id R) r • ⟨x, ⋯⟩)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
𝕜 : Type u_2
Field 𝕜
IsAlgClosed 𝕜
CategoryTheory.Linear 𝕜 C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
X Y : C
∀ (X Y : C), FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ Y)
CategoryTheory.Simple X
CategoryTheory.Simple Y
⊢ FiniteDimensional.finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = if Nonempty (X ≅ Y) then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
f g : α → G₀
l : Filter α
a b : G₀
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
hg : Tendsto g l (𝓝 b)
hy : b ≠ 0
⊢ Tendsto (f / g) l (𝓝 (a / b))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
hfi : Integrable (↑f) μ
i : G'
hi : i ∈ Set.range ↑f
h0 : ¬i = 0
⊢ 0 ≤ i
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
hf : UniformContinuous f
g : SeparationQuotient α → SeparationQuotient β
comm : SeparationQuotient.mk ∘ f = g ∘ SeparationQuotient.mk
⊢ SeparationQuotient.map f = g
p s : ℝ
hs : -1 < s
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 = p
⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-x ^ p)) (Ioi 0) volume
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{v, u, max (max u v) w, max (max (u + 1) (v + 1)) (w + 1)} AddCommGrp
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f : α → β
CommMonoid β
DecidableEq α
hs : ∀ a ∈ s₁, a ∉ s₂ → f a = 1
⊢ ∏ a ∈ s₁ ∪ s₂, f a = ∏ a ∈ s₂, f a
α : Type u_1
A : Type u_3
AddGroup A
Monoid α
DistribMulAction α A
a : α
S : AddSubgroup A
⊢ a • S = AddSubgroup.map ((DistribMulAction.toAddMonoidEnd α A) a) S
α : Type u_1
Fintype α
⊢ PartENat.card α = ↑(Fintype.card α)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
Invertible 2
p : Fin 2 → P
⊢ Finset.centroid k Finset.univ p = 2⁻¹ • (p 1 -ᵥ p 0) +ᵥ p 0
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ ~ l₂
⊢ List.countP p l₁ = List.countP p l₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
ContinuousAdd E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E
⊢ StrictConvex 𝕜 ((fun x => z + x) '' s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
s : Set E
hg : DifferentiableOn 𝕜 f s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y + g y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 g s
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
x : α
hx : Int.fract x ≠ 0
⊢ Int.fract (-x) = 1 - Int.fract x
α : Type u_1
x✝ y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C
this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹
N : ℕ
hN : ∀ k ≥ N, ↑k ^ n < rexp ↑k / (rexp 1 * C)
x : ℝ
hx : ↑N < x
hx₀ : 0 < x
⊢ rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ≠ p
hp₂ : p₂ ≠ p
hp₃ : p₃ ≠ p
⊢ ∡ p₁ p p₃ - ∡ p₂ p p₃ = ∡ p₁ p p₂
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x ≤ y
hz : z ≤ 0
this : 0 < y
⊢ 0 < y ^ z
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α ↪ β
⊢ Function.Injective ⇑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ z x y : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hb' : 0 < b
ha' : 0 < a
⊢ a • x + b • y ∈ openSegment 𝕜 x y
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
⊢ (p ^ count p n.primeFactorsList).primeFactorsList <+~ n.primeFactorsList
m n k : Nat
⊢ m >>> (n + k) = m >>> n >>> k
α : Type u_3
m m' : PseudoMetricSpace α
h : PseudoMetricSpace.toDist = PseudoMetricSpace.toDist
⊢ m = m'
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
h : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
hp_pos : 0 < p
h_tsum_1 : ∀ (g : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), g i = liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), g i) atTop
⊢ ∫⁻ (a : α), liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) atTop ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Subobject.underlyingIso f).hom f =
  (CategoryTheory.Subobject.mk f).arrow
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
C : P.W α → Prop
ih : ∀ (a : P.A) (f' : (P.drop.B a).Arrow α) (f : P.last.B a → P.W α), C (P.wMk a f' f)
x : P.W α
⊢ C x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm K V
b₁ : B.Nondegenerate
b₂ : B.IsRefl
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
m : ↥(B.orthogonal (Submodule.span K {x}))
hm : ∀ (n : ↥(B.orthogonal (Submodule.span K {x}))), ((B.restrict (B.orthogonal (Submodule.span K {x}))) m) n = 0
y : V
hy : y ∈ Submodule.span K {x}
z : V
hz : z ∈ B.orthogonal (Submodule.span K {x})
this : y + z ∈ Submodule.span K {x} ⊔ B.orthogonal (Submodule.span K {x})
⊢ (B ↑m) (y + z) = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ
hc : c < 1
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, c < 1 - ε x
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedSemiring α
inst✝¹ : Archimedean α
y : α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x : α
hy1 : 1 < y
⊢ ∃ n, x < y ^ n
ι : Sort u_1
M : Type u_2
MulOneClass M
S : ι → Submonoid Mᵐᵒᵖ
⊢ (iSup S).unop = ⨆ i, (S i).unop
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
f : α → β
hf : ¬Measurable f
⊢ v.map f = 0
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
⊢ predictablePart f ℱ μ 0 = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish q φ
j : Fin (n + 2)
hj₁ : j ≠ 0
hj₂ : n + 2 ≤ ↑j + q
⊢ φ ≫ X.δ j = 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty
x : E
hx : x ∈ s \ interior s
y : E
hy : y ∈ s \ interior s
x✝ : x ≠ y
c : 𝕜
hc : c ∈ Icc 0 1
hcs : (lineMap x y) c ∉ frontier s
⊢ ∃ c, (lineMap x y) c ∈ s \ frontier s
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α
hf : f x = x
hg : f (g x) = g x
⊢ (f * g) x = (g * f) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
⊢ Submodule.span 𝕜 (Set.range (gramSchmidt 𝕜 f)) = Submodule.span 𝕜 (Set.range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α
⊢ a ∈ ⨅ i, ⨅ j, f i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), a ∈ f i j
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
x : R
v : P
y : ↥M
⊢ (IsLocalization.lift hg) (IsLocalization.mk' S x y) = v ↔ g x = g ↑y * v
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ x ≠ 0
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ IsOpen (⇑Topology.WithLower.ofLower ⁻¹' s) ↔ TopologicalSpace.IsOpen s
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a : R
⊢ (addVal R) a = ⊤ ↔ a = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
⊢ (Filter.blimsup u f fun x => p x ∨ q x) = Filter.blimsup u f p ⊔ Filter.blimsup u f q
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommRing S
w x y z : S
⊢ C w * (X - C x) * (X - C y) * (X - C z) = { a := w, b := w * -(x + y + z), c := w * (x * y + x * z + y * z), d := w * -(x * y * z) }.toPoly
ι✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ✝ : ι✝ → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α✝
f✝ g✝ : ι✝ → α✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : CommSemiring α
f g : ι → α
⊢ ∏ a : ι, (f a + g a) = ∑ t : Finset ι, (∏ a ∈ t, f a) * ∏ a ∈ tᶜ, g a
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsDomain B
I J : Submodule B L
⊢ I ≤ Jᵛ ↔ ∀ m ∈ restrictScalars A I, ∀ n ∈ restrictScalars A J, m * n ∈ comap (↑A (Algebra.trace K L)) 1
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderTop α
a b c : α
⊢ Codisjoint (a ⊓ b) c ↔ Codisjoint a c ∧ Codisjoint b c
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
p : α → Prop
x : α
H : ∃ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ y ∈ closedBall x R, p y
y : α
R : ℝ
hR : R ≥ dist y x
h : ∀ z ∈ closedBall x R, p z
⊢ p y
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
⊢ (2 * dValue N - 1) ^ nValue N ≤ N
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
b n a' : ℤ
ha' : a' + b = n + x
h : a' - x + b = n
⊢ (K.ιTotal (up ℤ) a' b (n + x) ha' ≫ 𝟙 ((K.total (up ℤ)).X (n + x)) ≫ K.totalDesc fun p q hpq => eqToHom ⋯ ≫ ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) (p - x) q n ⋯) = eqToHom ⋯ ≫ ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) (a' - x) b n h
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X₁ X₂
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.pair X₁ X₂) (CategoryTheory.forget C)
x : (CategoryTheory.forget C).obj (X₁ ⨯ X₂)
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Concrete.prodEquiv X₁ X₂) x).1 = CategoryTheory.Limits.prod.fst x
α : Type u
β : Type v
Preorder β
l : Filter α
a : α
b : β
⊢ IsMaxFilter (fun x => b) l a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
⊢ ∀ (j : J), c.ι.app j ≫ T.η.app c.pt ≫ lambda c t = c.ι.app j ≫ 𝟙 c.pt
M : Type u_2
AddCommGroup M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
A : Type u_5
CommRing A
Module A M
ι' : Type u_7
Fintype ι'
DecidableEq ι'
tb : Trunc (Basis ι A M)
b' : Basis ι' A M
f : M →ₗ[A] M
⊢ (LinearMap.detAux tb) f = ((LinearMap.toMatrix b' b') f).det
f : CircleDeg1Lift
⊢ Filter.Tendsto (fun n => (f ^ (n + 1)) 0 / (↑n + 1)) Filter.atTop (𝓝 f.translationNumber)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
⊢ ∀ (a : δ), a ∈ List.map (fun xs' => levenshtein C xs' (y :: ys)) xs.tails → (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑a
R' : Type u
M : Type v
CommSemiring R'
AddCommMonoid M
Module R' M
Module R'ᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R' M
N : Type u_3
P : Type u_4
AddCommMonoid N
Module R' N
Module R'ᵐᵒᵖ N
IsCentralScalar R' N
AddCommMonoid P
Module R' P
Module R'ᵐᵒᵖ P
IsCentralScalar R' P
f : M →ₗ[R'] N
g : N →ₗ[R'] P
⊢ TrivSqZeroExt.map (g ∘ₗ f) = (TrivSqZeroExt.map g).comp (TrivSqZeroExt.map f)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
v : E
hf : Continuous f
⊢ MeasurableSet {x | LineDifferentiableAt 𝕜 f x v}
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a✝ b x✝ : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
y : Set β
a : α
⊢ a ∈ x ∩ f ⁻¹' minimals s (f '' x ∩ y) ↔ a ∈ minimals r (x ∩ f ⁻¹' y)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
⊢ SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' b).symm) (e.baseSet ∩ e'.baseSet)
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : IsAtom p
a b : Associates M
h : p = p * b
ha : a = p
⊢ IsUnit b
θ ψ : Angle
h : 2 • θ + 2 • ψ = ↑π
⊢ |θ.cos| = |ψ.sin|
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ Y
he : ∀ (s : Set Y), IsOpen (⇑e ⁻¹' s) ↔ IsOpen s
⊢ (e.toHomeomorph he).toEquiv = e
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hpu : ¬IsUnit p
⊢ (∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑((p * C p.leadingCoeff⁻¹).natDegree / 2) → q ∣ p * C p.leadingCoeff⁻¹ → IsUnit q) ↔ ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
PartialOrder α
a b : α
ha : μ {a} = 0
⊢ Set.Ioc a b =ᵐ[μ] Set.Icc a b
d₁ d₂ : ManyOneDegree
⊢ d₂ ≤ d₁ + d₂
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
NoZeroSMulDivisors R M
x : L
⊢ CompleteLattice.Independent fun χ => LieModule.weightSpaceOf M χ x
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀
⊢ x ∈ ↑(nonZeroDivisorsLeft M₀) ↔ x ∈ {x | x ≠ 0}
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : n ≠ 0
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => ↑T / (-2 * ↑π * Complex.I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑y) ((fourier (-n)) ↑x) x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), f i = sSup (t i a)
ht' : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), ∀ a_1 ∈ t i a, IsAtom a_1
u : Set α := ⋃ i, ⋃ (hi : i ∈ s), t i hi
hu₁ : u ⊆ {a | IsAtom a}
hu₂ : sSup u = ⨆ i ∈ s, f i
⊢ sSup u ≤ sSup {a | IsAtom a}
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
ι : Type u_3
U : ι → TopologicalSpace.Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f
⊢ OpenEmbedding f ↔ ∀ (i : ι), OpenEmbedding ((U i).carrier.restrictPreimage f)
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
CommSemiring R'
SMul R' R
Algebra R' A
IsScalarTower R' R A
r : R'
⊢ ↑((algebraMap R' ↥S) r) = (algebraMap R' A) r
P : Type u_2
MetricSpace P
s₁ s₂ : EuclideanGeometry.Sphere P
p : P
hs₁ : p ∈ s₁
hs₂ : p ∈ s₂
⊢ s₁.center = s₂.center ↔ s₁ = s₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1 : Computation α
s2 : Computation β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1 s2
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
⊢ ∀ {a : α} {b : β}, R a b → LiftRel S ((pure ∘ f1) a) ((pure ∘ f2) b)
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : CharP R p
h : ↑p = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α →. β
g : α →. γ
x : α
⊢ f.prodLift g x = { Dom := (f x).Dom ∧ (g x).Dom, get := fun h => ((f x).get ⋯, (g x).get ⋯) }
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ::: P.M α ⟹ β ::: P.M β
x : P.M α
h : ∀ (x : P.M α), lastFun g x = dropFun g <$$> x
⊢ g <$$> dest P x = dest P (dropFun g <$$> x)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] F
⊢ ‖f.toContinuousLinearMap‖ ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
p : ι → Prop
f : Subtype p → α
hp : ∀ (i : ι), p i
⊢ range f ⊆ range fun i => f ⟨i, ⋯⟩
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
C₁ C₂ : Set X
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
h : C₁ ∪ C₂ = univ
f : LocallyConstant (↑C₁) Z
g : LocallyConstant (↑C₂) Z
hfg : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f ⟨x, ⋯⟩ = g ⟨x, ⋯⟩
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁
x : X
hx : x ∈ C₂
⊢ (piecewise h₁ h₂ h f g hfg) x = g ⟨x, hx⟩
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α
⊢ (∃ x, ¬B x = a) ↔ ∃ h, a ≠ B h
α : Type u_2
S : Set (Filter α)
⊢ (sInf S).ker = ⨅ f ∈ S, f.ker
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
f : ℝ → ℝ
g : ℝ → ℝ≥0∞
hg : pdf X ℙ volume =ᶠ[ae volume] g
hgi : ∫⁻ (x : ℝ), ↑‖f x‖₊ * g x ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : ℝ), ↑‖f a * (pdf X ℙ volume a).toReal‖₊ < ⊤
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid S
p q : R[X]
f : ℕ → R → S
hf : ∀ (i : ℕ), f i 0 = 0
h_add : ∀ (a : ℕ) (b₁ b₂ : R), f a (b₁ + b₂) = f a b₁ + f a b₂
⊢ { toFinsupp := p.toFinsupp + q.toFinsupp }.sum f = p.sum f + q.sum f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
⊢ (hf.stieltjesFunction a).measure (Set.Iic x) = ENNReal.ofReal (↑(hf.stieltjesFunction a) x)
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
K : AddSubgroup G
H : AddSubgroup N
⊢ AddSubgroup.map f K ≤ H ↔ K ≤ AddSubgroup.comap f H
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
hf0 : ¬f = 0
n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
hvf : valAux K v O hv p f = 0
⊢ (coeff (ModP K v O hv p) p n) f = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s✝ : Set E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0 ∧ Convex ℝ s
⊢ ∃ i', (i' ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i' ∧ Convex ℝ i') ∧ id i' ⊆ id s
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁
⊢ (F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁) ⟨x, hx⟩ ∈ range ((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁))
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
AddCommGroup V₁
Module K V₁
AddCommGroup V₂
Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥(LinearMap.range f.dualMap) = FiniteDimensional.finrank K ↥(LinearMap.range f)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.Limits.Cone F} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), (f ≫ g).hom = f.hom ≫ g.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s✝ t✝ : Set α
μ ν : Measure α
s : Set β
hs : s.Finite
t : β → Set α
⊢ ∀ {a : β} {s : Set β}, a ∉ s → s.Finite → (IntegrableOn f (⋃ i ∈ s, t i) μ ↔ ∀ i ∈ s, IntegrableOn f (t i) μ) → (IntegrableOn f (⋃ i ∈ insert a s, t i) μ ↔ ∀ i ∈ insert a s, IntegrableOn f (t i) μ)
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ'
AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
OrderedAddCommMonoid Γ
AddAction Γ Γ'
IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
MulZeroClass R
SMulWithZero R V
r : R
x : HahnModule Γ' R V
⊢ (HahnSeries.single 0) r • x = r • x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : f 0 = ⊤ ∨ ∑' (b : ℕ), f (b + 1) = ⊤
hf0 : f 0 ≠ ⊤
⊢ ∑' (n : ℕ), f (n + 1) = ⊤