ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcs' : μ s ≠ ⊤
t : Set Ω
hcs : μ s = 0
⊢ μ[|s] t * μ s = μ (s ∩ t)
a b : Nat
h : 0 < a
⊢ 0 < a * b ↔ 0 < b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom.op =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (Opposite.op X)).inv
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimit.cocone F).ι.app j = CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
f : α → M
⊢ (s ∩ Function.mulSupport f).mulIndicator f = s.mulIndicator f
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
NoMinOrder α
a : α
⊢ Set.Iic (Order.pred a) = Set.Iio a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ g : ι → Set X
π : X → Sort u_6
f : ℕ → (x : X) → π x
U : X → Set X
hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}.Finite
N : X → ℕ
hN : ∀ (x : X), ∀ n ≥ N x + 1, ∀ y ∈ U x, f n y = f (N x + 1) y
x : X
n : ℕ
y : X
hn : N x < n
hy : y ∈ U x
⊢ f (n, y).1 (n, y).2 = f (N (n, y).2 + 1) (n, y).2
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
hm : x - ↑m ∈ LocalRing.maximalIdeal ℤ_[p]
hn : x - ↑n ∈ LocalRing.maximalIdeal ℤ_[p]
⊢ ↑m = ↑n
K : Type u_1
n : ℤ
inst✝ : Field K
⊢ ↑↑n.negOnePow = (-1) ^ n
p : Char → Bool
s : Substring
⊢ s.Valid → (s.takeWhile p).toString.data = List.takeWhile p s.toString.data
m n : ℕ∞
⊢ ↑(m + n) = ↑m + ↑n
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.X.toFinsupp = Finsupp.single 1 1
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
t' : k
a : MonoidAlgebra k G
⊢ (sum (t' • a) fun m t => t • f m) = (MonoidHom.id k) t' • sum a fun m t => t • f m
R : Type u_1
Ring R
⊢ Polynomial.cyclotomic 2 R = Polynomial.X + 1
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
X✝ Y✝ : Mod_ B
g : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (f.hom ▷ X✝.X ≫ X✝.act) ≫ g.hom = A.X ◁ g.hom ≫ f.hom ▷ Y✝.X ≫ Y✝.act
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
hm : n ∣ m
a : (ZMod m)ˣ
⊢ ((DirichletCharacter.changeLevel hm) χ) ↑a = χ (↑a).cast
α : Type u
L₁ : List (α × Bool)
DecidableEq α
⊢ (FreeGroup.mk L₁).toWord = FreeGroup.reduce L₁
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hl : l.NeBot
this✝ : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
u : ℕ → Set ι
hu : l.HasAntitoneBasis u
this : ∀ (x : β), (map (fun x_1 => f x_1 x) l ×ˢ map (fun x_1 => f x_1 x) l).HasAntitoneBasis fun n => ((fun x_1 => f x_1 x) '' u n) ×ˢ ((fun x_1 => f x_1 x) '' u n)
⊢ MeasurableSet {x | (map (fun n => f n x) l).NeBot ∧ map (fun n => f n x) l ×ˢ map (fun n => f n x) l ≤ uniformity γ}
R : Type u_2
p : ℕ
CommRing R
ExpChar R p
IsReduced R
h : Function.Surjective ⇑(frobenius R p)
⊢ PerfectRing R p
α : Sort u_1
p q : α → Prop
⊢ (∃ x x_1, q x) → ∃ x, q x
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U = ⨆ i, ↑↑i
h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U
n : ↑s → ℕ
hn : ∀ (i : ↑s), (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n i * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x = 0
this : Finite ↑s
val✝ : Fintype ↑s
⊢ ∀ (i : ↑s), (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ Finset.univ.sup n * x) = 0
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
hf : f.NeBot
m : α → β
⊢ (Filter.map m f).NeBot
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ yz a1 (m - n) = xz a1 m * -yz a1 n + yz a1 m * xz a1 n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
n : ℕ
ih : μ (s ∆ (f^[n] ⁻¹' s)) ≤ n • μ (s ∆ (f ⁻¹' s))
hs : NullMeasurableSet (s ∆ (f ⁻¹' s)) μ
⊢ μ ((f^[n] ⁻¹' s) ∆ (f^[n + 1] ⁻¹' s)) ≤ μ (s ∆ (f ⁻¹' s))
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
B : Set (Set α) := {b | b ∈ countableBasis α ∧ ∃ i, b ⊆ s i}
f : ↑B → ι
hf : ∀ (b : ↑B), ↑b ⊆ s (f b)
this : Countable ↑B
i : ι
x : α
xs : x ∈ (fun i => s i) i
⊢ x ∈ ⋃ i ∈ range f, s i
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF
IH : ((e₁.oadd n₁ a₁).mul a₂).repr = (e₁.oadd n₁ a₁).repr * a₂.repr
⊢ (e₁.oadd n₁ a₁ * e₂.oadd n₂ a₂).repr = (e₁.oadd n₁ a₁).repr * (e₂.oadd n₂ a₂).repr
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
LinearOrderedField 𝕝
Module 𝕝 E
ContinuousConstSMul 𝕝 E
LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 𝕝
s : Set E
ContinuousAdd E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E
c : 𝕝
⊢ StrictConvex 𝕜 (z +ᵥ c • s)
α : Type u_2
Group α
a b : α
⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' {b} = {b * a⁻¹}
R : Type u
I : Type v
CommSemiring R
z : R
s : I → R
t : Finset I
⊢ (↑t).Pairwise (IsCoprime on s) → (∀ i ∈ t, s i ∣ z) → ∏ x ∈ t, s x ∣ z
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
h : n = -↑n.natAbs
⊢ T R ↑n.natAbs = T R (-↑n.natAbs)
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
Ring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
⊢ Subalgebra.comap f (Subalgebra.map f S) = S ⊔ Algebra.adjoin R (⇑f ⁻¹' {0})
x n : ℂ
⊢ (starRingEnd ℂ) x ^ n = if x.arg = π then x ^ n else (starRingEnd ℂ) (x ^ (starRingEnd ℂ) n)
⊢ ContinuousOn tan {x | cos x ≠ 0}
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.250723, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 3
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
⊢ 3 < 3 + 1
ι : Type u_1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
f : ι → G₀
⊢ (Function.support fun a => (f a)⁻¹) = Function.support f
R : Type v
CommSemiring R
⊢ ⇑(Polynomial.basisMonomials R) = fun s => (Polynomial.monomial s) 1
α : Type u_2
f g : Equiv.Perm α
x y : α
⊢ f.SameCycle x y → (g * f * g⁻¹).SameCycle (g x) (g y)
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree
hx : IsIntegral A x
⊢ minpoly A x = p
α : Type (max u v)
Small.{v, max u v} α
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk (Shrink.{v, max u v} α)) = Cardinal.mk α
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
g : Γ₀
hx : v x ≤ g
hy : v y ≤ g
⊢ v (x + y) ≤ g
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ ⇑(CocompactMap.id α) = id
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
R' : Type u_5
M' : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
r : R'
n : M'
hn : n ∈ N
x✝ : R'
hx✝ : x✝ ∈ span R' s
y✝ : R'
hy✝ : y✝ ∈ span R' s
ihr : x✝ • n ∈ s • N
ihs : y✝ • n ∈ s • N
⊢ (x✝ + y✝) • n ∈ s • N
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
FiniteDimensional ℝ E
μ.IsAddHaarMeasure
𝕜 : Type u_5
NormedField 𝕜
NormedAlgebra ℝ 𝕜
f g : E → 𝕜
v : E
hf'g : MeasureTheory.Integrable (fun x => (fderiv ℝ f x) v * g x) μ
hfg' : MeasureTheory.Integrable (fun x => f x * (fderiv ℝ g x) v) μ
hfg : MeasureTheory.Integrable (fun x => f x * g x) μ
hf : Differentiable ℝ f
hg : Differentiable ℝ g
⊢ ∫ (x : E), f x * (fderiv ℝ g x) v ∂μ = -∫ (x : E), (fderiv ℝ f x) v * g x ∂μ
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
⊢ head arrows ≫ desc f fs w = f
α : Type u_1
Fintype α
f : α → ENNReal
h : ∑ a : α, f a = 1
a : α
⊢ a ∈ (PMF.ofFintype f h).support ↔ f a ≠ 0
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ c.op.pt = Opposite.op c.pt
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
l : List R
⊢ l.sum ^ p = (List.map (fun x => x ^ p) l).sum
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype m
A : Matrix m n α
⊢ 0 ᵥ* A = 0
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : α → ℝ
hint : Integrable g μ
ℱ : ι → MeasurableSpace α
hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0
A : MeasurableSpace α := m0
hmeas : ∀ (n : ι) (C : ℝ≥0), MeasurableSet {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}
hg : Memℒp g 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hne : ¬eLpNorm g 1 μ = 0
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator g) 1 μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : ℝ≥0 := ⟨δ, ⋯⟩⁻¹ * (eLpNorm g 1 μ).toNNReal
hC : C = ⟨δ, ⋯⟩⁻¹ * (eLpNorm g 1 μ).toNNReal
hCpos : 0 < C
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ i]) x‖₊}.indicator (μ[g|ℱ i])) 1 μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
Semigroup α
s : Set α
a b : α
⊢ a • b • s = (a * b) • s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
⊢ t₁.points i₁ ∈ altitude t₂ j₂
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff ^ 0 ≠ 0
⊢ (p ^ 0).degree = 0 • p.degree
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
i j : α → ℕ
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
p : α
s : Finset α
hps : p ∉ s
ih : (∀ p ∈ s, Prime p) → (∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p ∣ q → p = q) → f (∏ p ∈ s, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ s, p ^ i p) * f (∏ p ∈ s, p ^ j p)
is_prime : ∀ p_1 ∈ insert p s, Prime p_1
is_coprime : ∀ p_1 ∈ insert p s, ∀ q ∈ insert p s, p_1 ∣ q → p_1 = q
hpr_p : Prime p
hpr_s : ∀ p ∈ s, Prime p
hcp_p : ∀ (i : α → ℕ), IsRelPrime (p ^ i p) (∏ p' ∈ s, p' ^ i p')
hcp_s : ∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p ∣ q → p = q
⊢ f (∏ p ∈ insert p s, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ insert p s, p ^ i p) * f (∏ p ∈ insert p s, p ^ j p)
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ (p + q).divX = p.divX + q.divX
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
htu : Disjoint t u
⊢ (ProbabilityTheory.condCount s) (t ∪ u) = (ProbabilityTheory.condCount s) t + (ProbabilityTheory.condCount s) u
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s
c : ℝ≥0∞
hc : c < essSup f μ
d : ℝ≥0∞
cd : c < d
hd : d < essSup f μ
t : Set α := {x | d < f x}
A : 0 < (μ.restrict t) t
B : 0 < (μ.restrict s) t
⊢ c < essSup f (μ.restrict s)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
π : TaggedPrepartition I
c : ℝ≥0
hc : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
⊢ integralSum f vol π ∈ closedBall (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ε
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ IsPushout (0 ≫ 0) 0 0 (b.inr ≫ b.snd)
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝³ : TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂
inst✝² : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShapeSymmetry c₂ c₁ c₁₂
inst✝ : TotalComplexShapeSymmetrySymmetry c₁ c₂ c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
⊢ c₂.σ c₁ c₁₂ i₂ i₁ = c₁.σ c₂ c₁₂ i₁ i₂
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ ↑(map f I) = Submodule.map ↑f ↑I
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)
IJ : I ≤ J
xJ : x ∈ J
left✝ : 1 ∉ I
oJ : ∀ (J : Ideal α) (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J
⊢ y ∈ I
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts
⊢ t.card ≤ (∑ i ∈ P.parts, i.card) / P.parts.card + 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0
⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ Tendsto f l atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : (α → ℕ) → ℤ
⊢ IsPoly f → IsPoly (0 - f)
I : Type u
C : Set (I → Bool)
J K : I → Prop
(i : I) → Decidable (J i)
(i : I) → Decidable (K i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
⊢ Profinite.NobelingProof.ProjRestricts C h ∘ Profinite.NobelingProof.ProjRestrict C K =
  Profinite.NobelingProof.ProjRestrict C J
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C × C × C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightAssocTensor C).obj X =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X.1 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X.2.1 X.2.2)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype l
Fintype m
Fintype n
DecidableEq l
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix l m α
D : Matrix l n α
Invertible A
⊢ Matrix.fromBlocks A B C D =
  Matrix.fromBlocks 1 0 (C * ⅟A) 1 * Matrix.fromBlocks A 0 0 (D - C * ⅟A * B) * Matrix.fromBlocks 1 (⅟A * B) 0 1
⊢ π / 4 ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
x : CentroidHom α
n : ℕ
⊢ (x ^ n).toEnd = x.toEnd ^ n
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ G → ?m.449352
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
S : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S
x y : S
I : Ideal S
⊢ x ∈ span {y} ⊔ I ↔ ∃ a, ∃ b ∈ I, a * y + b = x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
inst✝ : Subsingleton E
x : E
⊢ ‖f x‖ ≤ 0 * ‖x‖
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
Archimedean 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a : 𝕜
x : 𝕜
hx : ↑x ≠ ↑a
⊢ toIcoMod hp a =ᶠ[𝓝 x] toIocMod hp a
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
F.ShiftSequence M
X Y Z : C
n : M
f : X ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj Y
g : Y ⟶ Z
a a' : M
ha' : n + a = a'
⊢ F.shiftMap (f ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map g) a a' ha' = F.shiftMap f a a' ha' ≫ (F.shift a').map g
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l : List α
n : ℕ
hl : (b :: l).Nodup
⊢ List.filter (fun a => elem a (take n l)) l = List.filter (fun a => elem a (b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l)) l
R : Type u_1
NonUnitalSemiring R
s t : Set R
h : s ⊆ t
⊢ NonUnitalSubsemiring.centralizer t ≤ NonUnitalSubsemiring.centralizer s
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ
hn : n < (List.pmap f l h).length
⊢ (List.pmap f l h).get ⟨n, hn⟩ = f (l.get ⟨n, ⋯⟩) ⋯
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
this : InnerProductSpace ℝ E := InnerProductSpace.rclikeToReal 𝕜 E
⊢ T x₀ = ↑(T.rayleighQuotient x₀) • x₀
α : Type u
P : List α → Prop
⊢ (∀ (l : List α), P l) ↔ ∀ (n : ℕ) (f : Fin n → α), P (List.ofFn f)
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : DivisionMonoid M
a b : M
ha : a ∈ center M
⊢ a⁻¹ ∈ center M
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
⊢ ‖term f s 0‖ = if 0 = 0 then 0 else ‖f 0‖ / ↑0 ^ s.re
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' : C
g : X' ⟶ X
CategoryTheory.IsIso g
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation (g ≫ f)
⊢ (CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation.ofIsoComp g F).e = CategoryTheory.inv g ≫ F.e
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ι → Set α
t : Finset ι
p : α → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (⋃ i ∈ t, s i), p x) ↔ ∀ i ∈ t, ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (s i), p x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x✝ x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) A ∧ Convex 𝕜 ((convexHull 𝕜) A \ {x})
⊢ x ∈ A
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
hG : G.Preconnected
hH : H.Preconnected
⊢ (G □ H).Preconnected
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : A
p : R[X]
⊢ (aeval ((algebraMap A B) x)) p = (algebraMap A B) ((aeval x) p)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedCommSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
c : 𝕜
⊢ Convex 𝕜 (c • s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
⊢ S.HasRightHomology
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
x : Γ₀
h : x ≠ 0
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun x => True) fun x_1 => {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) fun r => s ×ˢ Iic ↑↑r
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u
⊢ ∀ a ∈ filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t ×ˢ u), (fun x => match x with | (x, y, z) => {x, y, z}) a ∈ G.cliqueFinset 3
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_3
Finite ι
f : ι → AddSubgroup G
hf : ∀ (i : ι), (f i).index ≠ 0
⊢ (⨅ i, f i).index ≠ 0
E : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_5
inst✝ : CompleteSpace E
g : ι → E →SL[σ₁₂] F
h : ∀ (x : E), ∃ C, ∀ (i : ι), ‖(g i) x‖ ≤ C
⊢ UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)
g : ↥(Lp F' 1 (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g
⊢ ∀ (c : F') {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : (μ.trim hm) s < ⊤), (fun g => (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs ⋯ c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
⊢ Tendsto (fun m => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ seq m)) atTop (𝓝 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ ∅)))
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : ¬Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
⊢ (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / 0)) = 0
R : Type u
CommRing R
x : ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toStalk R x ≫ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.stalkToFiberRingHom R x =
  algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : Filter α
f.IsMeasurablyGenerated
p : Set α → Prop
h : ∀ᶠ (s : Set α) in f.smallSets, p s
⊢ ∃ s ∈ f, MeasurableSet s ∧ p s
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hv : LinearIndependent R v
⊢ CompleteLattice.Independent fun i => Submodule.span R {v i}