ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π} ×ˢ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π} ∩ {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}, (integralSum f vol x.1, integralSum f vol x.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
K : Type u_1
Field K
ζ : K
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ Polynomial.Splits (RingHom.id K) (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C 1)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
this : ∫⁻ (a : E), ↑‖(1 + ‖a‖) ^ (-r)‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : E), ENNReal.ofReal ((1 + ‖a‖) ^ (-r)) ∂μ
⊢ HasFiniteIntegral (fun x => (1 + ‖x‖) ^ (-r)) μ
α β : Type u
m : Type u → Type v
x : OptionT m α
Monad m
f : α → β
LawfulMonad m
⊢ (f <$> x).run = Option.map f <$> x.run
α : Sort u_3
x y : α
dist : α → α → ℝ
dist_self : ∀ (x : α), dist x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : α), dist x y = dist y x
dist_triangle : ∀ (x y z : α), dist x z ≤ dist x y + dist y z
⊢ 0 ≤ dist x y
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s : Finmap β
h : Finmap.lookup a s = some b
⊢ a ∈ s
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
a : Γ
l✝ : ListBlank Γ
f : Γ → List Γ'
hf : ∃ n, f default = List.replicate n default
l : List Γ
⊢ (cons a ⟦l⟧).bind f hf = append (f a) (bind ⟦l⟧ f hf)
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
⊢ ∃ n, Associated (X ^ n) f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
⊢ T.adj.counit = { app := fun Y => { f := Y.a, h := ⋯ }, naturality := ⋯ }
E : Type u_1
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
T2Space E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
⊢ IsOpen (Euclidean.ball x r)
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
m : M
p : Submonoid M
⊢ closure {m} ≤ p ↔ m ∈ p
M : Type u
X : Type w
PseudoMetricSpace X
SMul M X
IsometricSMul M X
c : M
s : Set X
⊢ Metric.diam (c • s) = Metric.diam s
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hy : P y = W.negY P
⊢ W.Nonsingular P ↔ W.Equation P ∧ (MvPolynomial.eval P) W.polynomialX ≠ 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P
⊢ c ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ dist c p₁ = dist c p₂
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
⊢ ofBoolRing 0 = ⊥
α : Type u_1
Group α
s : Set α
x : α
a : α
⊢ x ∈ a • s ↔ a⁻¹ * x ∈ s
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a b : Associates α
x✝¹ x✝ : α
⊢ (⟦x✝¹⟧ * ⟦x✝⟧).out = Associates.out ⟦x✝¹⟧ * Associates.out ⟦x✝⟧
n x y : ℤ
h : n = x ^ 2 + y ^ 2
hc : IsCoprime x y
⊢ IsSquare (-1)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → Set α
⊢ ⋂ i, f i = ∅ ↔ ∀ (x : α), ∃ i, x ∉ f i
a x✝ z x : ℂ
h : ¬x = 0
⊢ Real.tan x.arg = x.im / x.re
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
a b : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ico (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1)))
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {cmp : α → α → Ordering} {x y : α} [inst : Batteries.OrientedCmp cmp],
  cmp x y ≠ Ordering.gt ↔ cmp y x ≠ Ordering.lt
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} C'
D : CategoryTheory.GlueData C
F : CategoryTheory.Functor C C'
H : (i j k : D.J) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i : D.J
⊢ (D.diagramIso F).inv.app (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.right i) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    ((D.mapGlueData F).diagram.multispan.obj (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.right i))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.yonedaEquiv (CategoryTheory.yoneda.map f) = f
R : Type u_2
Add R
Mul R
c : RingCon R
⊢ ringConGen ⇑c = c
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ A, P x ↑f
h : ∀ᶠ (z : X) in 𝓝ˢ A, g z = f z
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ A, P x ↑g
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex C} (φ : X ⟶ Y), (F.mapShortComplex.map φ).τ₂ = F.map φ.τ₂
n : ℕ
a : UInt8
⊢ n • a = { val := n • a.val }
α : Type u
Zero α
⊢ WithBot.unbot 0 ⋯ = 0
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.Saturated ↔ ∀ (n : ℕ) (g : G), n • g ∈ H → n = 0 ∨ g ∈ H
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid β
s : Finset α
t : Finset γ
f : α → β
g : γ → β
i : (a : α) → a ∈ s → f a ≠ 0 → γ
hi : ∀ (a : α) (h₁ : a ∈ s) (h₂ : f a ≠ 0), i a h₁ h₂ ∈ t
i_inj :
  ∀ (a₁ : α) (h₁₁ : a₁ ∈ s) (h₁₂ : f a₁ ≠ 0) (a₂ : α) (h₂₁ : a₂ ∈ s) (h₂₂ : f a₂ ≠ 0),
    i a₁ h₁₁ h₁₂ = i a₂ h₂₁ h₂₂ → a₁ = a₂
i_surj : ∀ b ∈ t, g b ≠ 0 → ∃ a, ∃ (h₁ : a ∈ s) (h₂ : f a ≠ 0), i a h₁ h₂ = b
h : ∀ (a : α) (h₁ : a ∈ s) (h₂ : f a ≠ 0), f a = g (i a h₁ h₂)
⊢ ∑ x ∈ s, f x = ∑ x ∈ t, g x
a b c : Ordinal.{u}
⊢ a ♯ succ b = succ (a ♯ b)
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
ParacompactSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
u : ι → Set X
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
us : s ⊆ ⋃ i, u i
⊢ ∃ v, (∀ (i : ι), IsOpen (v i)) ∧ s ⊆ ⋃ i, v i ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (i : ι), v i ⊆ u i
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
Fintype ι
𝕜 : Type u_5
SeminormedCommRing 𝕜
b : Basis ι 𝕜 (PiLp p fun x => 𝕜)
A : Matrix ι ι 𝕜
⊢ b.toMatrix ⇑(PiLp.basisFun p 𝕜 ι) * A =
  Matrix.of fun i j => (b.repr ((WithLp.equiv p ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i)).symm (A.transpose j))) i
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
n d : ℤ
hqz : q ≠ 0
qdf : q = n /. d
hd : d ≠ 0
c : ℤ
hc1 : n = c * q.num
hc2 : d = c * ↑q.den
⊢ ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity p q.den).get ⋯) = ↑((multiplicity (↑p) c).get ⋯ + (multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) c).get ⋯ + (multiplicity ↑p ↑q.den).get ⋯)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : PreservesLimit (cospan h i) F
s : IsPullback f g h i
⊢ ((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone s.cone)).π.app WalkingCospan.left = ?refine_1.hom ≫ ⋯.cone.π.app WalkingCospan.left
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_9
Nonempty ι
S : ι → Submodule R M
H : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ iSup S ↔ ∃ i, x ∈ S i
α : Type u_3
NonAssocRing α
a : α
n : ℤ
⊢ Commute (↑n) a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ Monotone 𝓝ˢ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
hs : Summable fun x => ‖f x‖
hs' : (Function.support f).Countable
this✝ : MeasurableSpace β := borel β
this : BorelSpace β
⊢ AEStronglyMeasurable f Measure.count
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ G.obj U
⊢ G.sieveOfSection s ∈ J.sieves (unop U)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
f : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x.asHomogeneousIdeal.toIdeal.primeCompl
⊢ ↑f.den ∉ x.asHomogeneousIdeal
α : Type u_1
DecidableEq α
AddGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.addETransformRight e x).2 = x.2 ∩ (-e +ᵥ x.2)
M : Type u_1
Monoid M
X : Type u
MulAction M X
x : X
f : ↥(MulAction.stabilizerSubmonoid M x)
⊢ (CategoryTheory.ActionCategory.stabilizerIsoEnd M x) f = f
z✝ w : ℍ
r R : ℝ
z : ℍ
⊢ (z.center 0).im = z.im
A : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : Ring A
inst✝¹⁰ : PartialOrder A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : StarOrderedRing A
inst✝⁷ : Algebra ℝ A
inst✝⁶ : TopologicalRing A
inst✝⁵ : ContinuousStar A
inst✝⁴ : StarModule ℝ A
inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ≥0 fun x => 0 ≤ x
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
ha : 0 ≤ a
⊢ cfcHom ha = SpectrumRestricts.starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
n : ℕ
enc : Γ → Mathlib.Vector Bool n
enc0 : enc default = Mathlib.Vector.replicate n false
L R : Turing.ListBlank Γ
⊢ Turing.TM1to1.trTape enc0 (Turing.Tape.mk' L R) = Turing.TM1to1.trTape' enc0 L R
R : Type uR
S : Type uS
A✝ : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Semiring A✝
inst✝⁹ : Algebra R A✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
b✝ : Basis ι R M
inst✝⁶ : Fintype ι
ι' : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ι'
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R N
ij : ι × ι'
k : ι'
⊢ (1 ⊗ₜ[R] if ij.2 = k then b ij.1 else 0) = if ij.2 = k then 1 ⊗ₜ[R] b ij.1 else 0
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
H : Type u_2
AddGroup H
TopologicalSpace H
U : OpenAddSubgroup G
V : OpenAddSubgroup H
⊢ ↑(U.sum V) = ↑U ×ˢ ↑V
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ x ∈ irreducibleComponent x
α : Type u_1
Preorder α
t : Set α
s : UpperSet α
⊢ s ≤ upperClosure t ↔ t ⊆ ↑s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), p (m + n) = 0
⊢ p.radius = ⊤
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
A : y ≠ 0
⊢ ∃ n, ↑x ∈ Ioc (↑y ^ n) (↑y ^ (n + 1))
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : a ∉ l.keys
⊢ List.kerase a l = l
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : F ⟶ L.comp F'
self : F'.IsLeftKanExtension α
⊢ Nonempty (CategoryTheory.StructuredArrow.IsUniversal (CategoryTheory.Functor.LeftExtension.mk F' α))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
hus : u ⊆ s
hut : u ⊆ t
⊢ { ofColex := s \ u } ≤ { ofColex := t \ u } ↔ { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
⊢ (Filter.map₂ m f g).NeBot ↔ f.NeBot ∧ g.NeBot
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
⊢ untrop (sum 0) = (map untrop 0).inf
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
⊢ IsUpperSet (s * t)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
Fintype ↑(G.neighborSet v)
⊢ Disjoint {v} (G.neighborFinset v)
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
F.EssSurj
α : F ≅ G
⊢ G.EssSurj
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
⊢ (Ideal.span {PowerSeries.X}).IsPrime
ι : Type u_5
αi : ι → Type u_6
βi : ι → Type u_7
ei : (i : ι) → PartialEquiv (αi i) (βi i)
⊢ (PartialEquiv.pi ei).symm = PartialEquiv.pi fun i => (ei i).symm
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
⊢ IsClosed ↑(upperClosure s)
α : Type u
NNRatCast α
q : ℚ≥0
⊢ (↑q).down = ↑q
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
⊢ map (↑(opLinearEquiv R)) (M * N) = map (↑(opLinearEquiv R)) N * map (↑(opLinearEquiv R)) M
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
T : Set G
hHT : Subgroup.IsComplement (↑H) T
h g : G
hh : h ∈ H
⊢ hHT.equiv (h * g) = (⟨h, hh⟩ * (hHT.equiv g).1, (hHT.equiv g).2)
motive : Nat → Nat → Sort u_1
zero_zero : motive 0 0
zero_succ : (n : Nat) → motive 0 n → motive 0 (n + 1)
succ_zero : (m : Nat) → motive m 0 → motive (m + 1) 0
succ_succ : (m n : Nat) → motive m n → motive (m + 1) (n + 1)
n : Nat
⊢ Nat.recDiagOn 0 (n + 1) zero_zero zero_succ succ_zero succ_succ =
  zero_succ n (Nat.recDiagOn 0 n zero_zero zero_succ succ_zero succ_succ)
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_6, u_1} A
inst✝² : Category.{u_5, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_8, u_3} B
inst✝ : Category.{u_7, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
ε : eA.functor ≅ F ⋙ e'.inverse
hε : υ hF = ε
X : A
⊢ (equivalence₂ eB hF).unitIso.hom.app X ≫ 𝟙 (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj (eB.inverse.obj (F.obj X))))) ≫ eA.inverse.map (hG.hom.app (eB.inverse.obj (F.obj X))) ≫ eA.unitIso.inv.app (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X))) = eA.unitIso.hom.app X ≫ eA.inverse.map (ε.hom.app X) ≫ eA.inverse.map (e'.inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X))) ≫ eA.inverse.map (hG.hom.app (eB.inverse.obj (F.obj X))) ≫ eA.unitIso.inv.app (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X)))
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : α → ι
g : (i : ι) → Equiv.Perm { a // f a = i }
a : α
i : ι
h : f a = i
⊢ DomMulAct.stabilizerEquiv_invFun g a = ↑((g i) ⟨a, h⟩)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : ℝ → 𝕜
c : E
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x • c ∂μ = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) • c
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
PseudoEMetricSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
n : ℕ
x : β
⊢ ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f hf s y₀ h₀ n) x ∈ s
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hfi' : ν S < ⊤
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
⊢ ↑‖∫ (x : X) in S \ s i, f x ∂μ‖₊ ≤ ↑ε
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
Invertible A
⊢ IsUnit A.det
M : Type u_13
M₂ : Type u_14
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
f : M →+ M₂
⊢ LinearMap.ker f.toIntLinearMap = AddSubgroup.toIntSubmodule f.ker
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c c' : E
⊢ indicatorConstLp p hs hμs c - indicatorConstLp p hs hμs c' = indicatorConstLp p hs hμs (c - c')
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
CompleteLattice α
CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
s : Set β
⊢ l (sSup (u '' s)) = sSup s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
⊢ ⨅ l, ⨅ (_ : l < ⊤), 𝓟 (Ioi l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ ⊤), 𝓟 (Ioi a)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
⊢ ramificationIdx f p P = Multiset.count P (factors (map f p))
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
a : α
⊢ (κ + η) a = κ a + η a
α : Type u
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Finset ι
f g : ι → Set α
heq : ∀ i ∈ s, f i =ᶠ[l] g i
⊢ ⋂ i ∈ s, f i =ᶠ[l] ⋂ i ∈ s, g i
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
⊢ (a + b) / 2 < b ↔ a < b
M : Type u_1
Add M
r : M → M → Prop
⊢ addConGen ⇑(addConGen r) = addConGen r
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝ : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
⊢ ∃ t A, (∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, t n ∧ (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))) ∧ (s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y)
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a : α
⊢ Set.Ici (Order.pred a) = insert (Order.pred a) (Set.Ici a)
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
Semiring β
x : α
n : ℕ
f : α →+* β
⊢ f (∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i) = ∑ i ∈ Finset.range n, f x ^ i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : derivative f = 0
hf : f ≠ 0
f_nat_degree_pos : 0 < f.natDegree
⊢ False
G : Type u_3
AddGroup G
a b : G
⊢ a + b = 0 ↔ a = -b
b c n : ℕ
hc : 1 < c
hb : c ≤ b
⊢ Nat.log b n ≤ Nat.log c n
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
⊢ B.flip.dualSubmodule (B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b))) = Submodule.span R (Set.range ⇑b)
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
hs : s.Countable
⊢ μ s = 0 ↔ ∀ x ∈ s, μ {x} = 0
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
inst✝ : Infinite R
⊢ #↑Set.univ = #R
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)
⊢ Tendsto (fun m => (κ a) (univ ×ˢ seq m)) atTop (𝓝 ((κ a) univ))
R : Type u_1
LinearOrderedField R
q : ℚ≥0
⊢ (↑q).im = 0
a b c : Ordinal.{u_4}
h : a < b
c0 : 0 < c
⊢ c * a < c * b
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
Fintype ι
⊢ Convex 𝕜 (stdSimplex 𝕜 ι)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSets s κ μ
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets (s i) (s j) κ μ
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t✝ s : Set A
t : Set B
⊢ adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1})) = (adjoin R s).prod (adjoin R t)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
⊢ tensorHom f (𝟙 (of R R)) ≫ (rightUnitor N).hom = (rightUnitor M).hom ≫ f
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
M : Matrix n n R
⊢ (aeval M) M.charpoly = 0
M : Type u_6
Monoid M
x : M
hx : IsOfFinOrder x
⊢ IsUnit x
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
h_comm : Commute x (-y)
hx : IsNilpotent x
hy : IsNilpotent (-y)
⊢ IsNilpotent (x + -y)
α : Sort u_1
x y : α
⊢ (¬x ≠ y) = (x = y)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Multiset ι
f g : ι → α
hs : s ≠ ∅
hfg : ∀ i ∈ s, f i < g i
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (map f s).prod < (map g s).prod
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ π : Ω → ι
TopologicalSpace ι
SecondCountableTopology ι
OrderTopology ι
MeasurableSpace ι
BorelSpace ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
hπ : MeasureTheory.IsStoppingTime f π
s : Set Ω
⊢ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ π ω}) ↔ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ π ω})
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
hY : QuasiSeparated (terminal.from Y)
inst✝ : QuasiSeparated f
⊢ QuasiSeparated (terminal.from X)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧
    ∀ ⦃x : E⦄,
      x ∈ s →
        ∀ ⦃y : E⦄,
          y ∈ s →
            x ≠ y →
              ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
                0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y < f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LE α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : IsSimpleOrder α
⊢ ⊥ ≠ ⊤
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Nat.log 2 n ≠ padicValNat 2 (n + 1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Precoherent C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
F : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) A
⊢ ∀ {X Y : Dᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), ((e.sheafCongrPrecoherent A).functor.obj F).val.map f = F.val.map (e.inverse.map f.unop).op
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ NonUnitalSubalgebraClass.subtype S = NonUnitalAlgHomClass.toNonUnitalAlgHom (NonUnitalStarSubalgebraClass.subtype S)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : x ⊓ y ⊔ z = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : x ⊓ y ⊓ z = ⊥
⊢ x \ y = z
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Group γ
TopologicalGroup γ
f : α →ₘ[μ] γ
n : ℤ
⊢ ↑(f ^ n) =ᵐ[μ] ↑f ^ n
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : Rᵐᵒᵖ
n : ℕ
⊢ (opRingEquiv R).symm (C r * X ^ n) = op (C (unop r) * X ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set α
f : α ≃ β
x : β
⊢ x ∈ ⇑f '' S ↔ f.symm x ∈ S
α : Type u_1
γ : α → Type u_3
Encodable α
(a : α) → Encodable (γ a)
n : ℕ
⊢ Encodable.decode n =
  (Encodable.decode (Nat.unpair n).1).bind fun a => Option.map (Sigma.mk a) (Encodable.decode (Nat.unpair n).2)
n m l : ℕ
hnl : n ≤ l
⊢ filter (fun x => decide (l ≤ x)) (Ico n m) = Ico l m
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
n : ℤ
y : ℝ := rexp (-π * τ.im)
⊢ ‖cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ ≤ rexp (-π * τ.im) ^ n.natAbs
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
⊢ ((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv = (((AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
⊢ (Equiv.refl α).mapMatrix = Equiv.refl (Matrix m n α)
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ
⊢ closedBall x r = closedBall y r ∨ Disjoint (closedBall x r) (closedBall y r)
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroupWithOne G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℤ
⊢ f (x + ↑n) = f x + n • b