ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Equiv.Perm α
ι : α ↪ β
x : α
⊢ (e.viaEmbedding ι) (ι x) = ι (e x)
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
⊢ map (↑(opLinearEquiv R).symm) 1 = 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
s t : Set V
sconn : (SimpleGraph.induce s G).Connected
tconn : (SimpleGraph.induce t G).Connected
sintert : (s ∩ t).Nonempty
⊢ (SimpleGraph.induce (s ∪ t) G).Connected
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
⊢ SmoothOn I I' f Set.univ ↔ Smooth I I' f
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
i : ι
⊢ dist I.lower I.upper ≤ ↑I.distortion * (I.upper i - I.lower i)
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : IsEmpty ι
f : M ≃ₗ[R] M
g : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hg : g ≠ 0
⊢ rayOfNeZero R (g.compLinearMap ↑f.symm) ⋯ = rayOfNeZero R g hg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
x y : R
⊢ { toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯ }.toFun y
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ a ∈ Set.Ici a
α : Type u_1
l : List α
i : Fin l.enum.length
⊢ l.enum.get i = (↑i, l.get (Fin.cast ⋯ i))
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
hn : ↑n < φ.order + ψ.order
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ antidiagonal n
hi : φ.order ≤ ↑i
hj : ψ.order ≤ ↑j
⊢ (coeff R (i, j).1) φ * (coeff R (i, j).2) ψ = 0
n✝ b : ℕ
h : 2 ≤ b
f n e : ℕ
hlt : n < b ^ e
h_e_pos : 0 < e
⊢ (b.toDigitsCore f n []).length ≤ e
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞
⊢ (∀ (n : ℕ), ↑n ≤ s.encard → ∃ t ⊆ s, t.encard = ↑n) → ⊤ ≤ s.encard → ∃ t ⊆ s, t.encard = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Set E
hf : StrictConcaveOn 𝕜 t f
hst : s ⊆ t
hs : Convex 𝕜 s
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s f
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Generators R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
s : S
⊢ s * (algebraMap R S) r ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 * IsLocalization.mk' S 1 ⟨r, ⋯⟩ ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 = s
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
f_sur : Surjective f
this : CompactSpace ↑Z
g : X → ↑Z
hg : Continuous g
g_sec : f ∘ g = id
φ : X → X × Bool := Subtype.val ∘ g
hφ : Continuous φ
hφ₁ : ∀ (x : X), (φ x).1 = x
⊢ closure U = φ ⁻¹' Z₂
R : Type u
Ring R
M N : ModuleCat R
φ : (CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).obj M ⟶ (CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).obj N
hφ : ∀ (r : R), φ ≫ N.smul r = M.smul r ≫ φ
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).map (ModuleCat.homMk φ hφ) = φ
σ K : Type u
Fintype K
Field K
Fintype σ
⊢ Module.rank K (MvPolynomial.R σ K) = ↑(Fintype.card (σ → K))
α : Type u
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
p : α
⊢ (FreeCommRing.restriction s) (FreeCommRing.of p) = if H : p ∈ s then FreeCommRing.of ⟨p, H⟩ else 0
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : Mono g
⊢ (kernel.ι (f ≫ g) ≫ f) ≫ g = 0 ≫ g
m n : ℕ
x y : ZMod n
⊢ (x * y).cast = x.cast * y.cast % ↑n
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
F : CategoryTheory.Functor J (Type w)
x y : ↑F.sections
⊢ x = y ↔ ∀ (j : J), ↑x j = ↑y j
A : Type u_2
Monoid A
TopologicalSpace A
i : A
⊢ (ContinuousMonoidHom.diag A) i = ((ContinuousMonoidHom.id A).toMonoidHom i, (ContinuousMonoidHom.id A).toMonoidHom i)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
⊢ card α = 0 ↔ #α = ↑0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
SubtractionMonoid β
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
m : F
f g : Filter α
⊢ Filter.map (⇑m) (f - g) = Filter.map (⇑m) f - Filter.map (⇑m) g
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
ht : Tendsto (fun n => eLpNorm (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)
heq : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x = (μ[g|↑ℱ n]) x
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (μ[g|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
⊢ p %ₘ X = C (eval 0 p)
α✝ : Type u_1
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
p q : Set α✝ → Prop
U✝ : Set α✝
ε : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
pa qa : Set α → Prop
H : μ.InnerRegularWRT pa qa
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
pb qb : Set β → Prop
hAB : ∀ (U : Set β), qb U → qa (f ⁻¹' U)
hAB' : ∀ (K : Set α), pa K → pb (f '' K)
hB₂ : ∀ (U : Set β), qb U → MeasurableSet U
U : Set β
hU : qb U
r : ℝ≥0∞
hr : r < (map f μ) U
⊢ ∃ K ⊆ U, pb K ∧ r < (map f μ) K
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Type u_5
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set α
a : α
⊢ 𝓝[⋃ i ∈ I, s i] a = ⨆ i ∈ I, 𝓝[s i] a
f : StieltjesFunction
l : ℝ
hf : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 l)
x : ℝ
⊢ Tendsto (fun x_1 => f.measure (Ico x x_1)) atTop (𝓝 (ofReal (l - leftLim (↑f) x)))
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.prodMkRight γ (κ + η) =
  ProbabilityTheory.Kernel.prodMkRight γ κ + ProbabilityTheory.Kernel.prodMkRight γ η
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
F : CategoryTheory.Functor (C × D) E
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (Y_1 : D),
  ((CategoryTheory.currying.inverse.obj F).map f).app Y_1 = F.map (f, CategoryTheory.CategoryStruct.id Y_1)
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
u : U
⊢ ∀ (a : Quiver.Costar u), (φ.costar u a).snd = φ.map a.snd
X : Type u_1
TopologicalSpace X
SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
hf : ∀ (x : X), f x ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ ⋃ x ∈ s, f x = Set.univ
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C
⊢ F.map ((((((η.hom.app X ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj X))) ≫ G.map (ε.inv.app (F.obj X))) ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj (G.obj (F.obj X))))) ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj (G.obj (F.obj X))))) ≫ G.map (F.map (η.inv.app X))) ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj X))) ≫ ε.hom.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
Finite ι
F : ι → X → α
x₀ : X
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ (i : ι), ContinuousAt (F i) x₀
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hab : a < b
hb : b ≠ 0
⊢ ∃ p, a.factorization p < b.factorization p
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ k > n, k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
⊢ xn a1 (n - 1) + xn a1 i % xn a1 n < xn a1 n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
this✝ : Countable (Subtype p)
hp : Nonempty (Subtype p)
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)
m : Subtype p → Set δ := fun j => {x | BddBelow (range fun i => f (↑i) x)}
m_meas : ∀ (j : Subtype p), MeasurableSet (m j)
mc_meas : MeasurableSet {x | ∀ (j : Subtype p), x ∉ m j}
⊢ Measurable fun x => ⨆ j, ⨅ i, f (↑i) x
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M : Matrix m n α
⊢ M.map id = M
a b c : ℤ
h : b ∣ a
hb : b ≠ 0
⊢ a / b ∣ c ↔ a ∣ b * c
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace β
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
OrderTopology β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r s : β
⊢ StrictConvex 𝕜 (Set.Ioo r s)
R : Type u_9
S : Type u_10
Ring R
Ring S
IsDomain (R × S)
Nontrivial R
Nontrivial S
⊢ False
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Cardinal.aleph0 * ↑n = Cardinal.aleph0
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} B
CategoryTheory.Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence hF hG).inverse = G
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
x : 𝕜
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (⇑f) x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ h₁' : S.LeftHomologyData
h₂ h₂' : S.RightHomologyData
⊢ leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ = leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ h₁' ≫ leftRightHomologyComparison' h₁' h₂' ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) h₂' h₂
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hne : Even n ∧ ¬Odd n
⊢ a ^ n = b ^ n ↔ a = b ∨ a = -b ∧ Even n
n : Nat
α : Sort u_1
f : Fin n → α → α
x : α
⊢ Fin.foldl n (fun x i => f i.rev x) x = Fin.foldr n f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
inst✝ : CompleteSpace ↥U
⊢ (U.subtypeL.comp ((orthogonalProjection U).comp (T.comp (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))))).IsPositive
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
TopologicalGroup G
μ.IsMulLeftInvariant
μ.Regular
s : Set G
hs : IsOpen s
⊢ μ s = 0 ↔ s = ∅ ∨ μ = 0
A : Type u_3
Ring A
Algebra ℝ A
a : A
⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 ≤ x
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
⊢ log (1 + s) * p < log (1 + p * s)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P') ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.inv M N P'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P R
R.hasPullbacks
⊢ x.Compatible ↔ x.PullbackCompatible
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
A : (∏ i ∈ range (n + 1), f (i + 1) (n - i) ^ n.choose (i + 1)) * f 0 (n + 1) = ∏ i ∈ range (n + 1), f i (n + 1 - i) ^ n.choose i
⊢ ∏ i ∈ range (n + 2), f i (n + 1 - i) ^ (n + 1).choose i = (∏ i ∈ range (n + 1), f i (n + 1 - i) ^ n.choose i) * ∏ i ∈ range (n + 1), f (i + 1) (n - i) ^ n.choose i
V : Type u_1
R : Type u_2
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
LinearOrderedField R
StarRing R
TrivialStar R
⊢ (SimpleGraph.lapMatrix R G).PosSemidef
a b : ℕ+
⊢ (Icc a b).card = (Icc ↑a ↑b).card
b b' : ℕ
h : b' % b = 1
n : ℕ
⊢ n ≡ (b'.digits n).sum [MOD b]
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
h_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : (CategoryTheory.Square C)ᵒᵖ} (φ : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Square.opFunctor.map φ).τ₃ = φ.unop.τ₃.op
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Option α → β → γ
as : List α
bs : List β
⊢ List.map₂Right f as bs = (List.map₂Right' f as bs).1
α : Type u_1
m mα : MeasurableSpace α
hm : m ≤ mα
⊢ Measurable id
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h✝ : f a ∣ f b * f c
a₁ a₂ : β
h : a₁ ∣ f b ∧ a₂ ∣ f c ∧ f a = a₁ * a₂
⊢ ∃ a₁ a₂, a₁ ∣ b ∧ a₂ ∣ c ∧ a = a₁ * a₂
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ ↔ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ < ⊤
n m k : Nat
⊢ n * m * k = n * (m * k)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a ≤ b
hb : 0 ≤ b
⊢ a ≤ 1 * b
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
MulOneClass G
R : Type u_3
Semiring R
f : k →+* R
g : G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G
⊢ (MonoidAlgebra.liftNC ↑f ⇑g) (c • φ) = f c * (MonoidAlgebra.liftNC ↑f ⇑g) φ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.withDensity f)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable g ((μ.withDensity f).restrict s)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
m : M
⊢ ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = (of R M) (Multiplicative.ofAdd m)
f : ℝ → ℝ
c x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (x✝¹ * x) x, (fun x => c) u ∈ Set.Icc (1 * (fun x => c) x) (1 * (fun x => c) x)
R : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Invertible 2
f g : M →ₗ[R] R
⊢ QuadraticMap.associated (QuadraticMap.linMulLin f g) =
  ⅟2 • ((LinearMap.mul R R).compl₁₂ f g + (LinearMap.mul R R).compl₁₂ g f)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ f.IsIdealMorphism
X : Type u
α : Type u_1
x : X
TopologicalSpace X
f g : X → α
h : f =ᶠ[𝓝 x] g
⊢ f x = g x
α : Sort u
r : α → α → Prop
IsRefl α r
a : α
⊢ r a a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
N : Type w
L.Structure N
MN : M ≃[L] N
⊢ L.age M = L.age N
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : f ∈ measurableLE μ ν
hg : g ∈ measurableLE μ ν
A : Set α
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫⁻ (x : α) in A, (fun a => max (f a) (g a)) x ∂μ ≤ ν A
n : ℕ
n2 : 2 < n
⊢ 4 ∣ n ∨ ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ Odd p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : CharP R n
I : Ideal R
⊢ CharP (R ⧸ I) n ↔ ∀ (x : ℕ), ↑x ∈ I → ↑x = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsOpen s
⊢ (closure (s ∩ t))ᶜ ⊆ (s ∩ closure t)ᶜ
R : Type u
EuclideanDomain R
a b : R
⊢ a % b + b * (a / b) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
Std.IdempotentOp gb
h : Function.Semiconj₂ f ga gb
h_inj : Function.Injective f
⊢ Std.IdempotentOp ga
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m✝ m' m : AddContent C
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ m (s \ t) + (m (s ∩ t) - m t) = m (s \ t)
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁴ : Semifield R
inst✝²³ : StarRing R
inst✝²² : MetricSpace R
inst✝²¹ : TopologicalSemiring R
inst✝²⁰ : ContinuousStar R
inst✝¹⁹ : Field S
inst✝¹⁸ : StarRing S
inst✝¹⁷ : MetricSpace S
inst✝¹⁶ : TopologicalRing S
inst✝¹⁵ : ContinuousStar S
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : NonUnitalRing A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : Module S A
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S A A
inst✝⁹ : SMulCommClass S A A
inst✝⁸ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : IsScalarTower R S A
inst✝⁴ : StarModule R S
inst✝³ : ContinuousSMul R S
inst✝² : CompleteSpace R
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h0 : p 0
h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(σₙ S a)
a : A
ha : p a
⊢ ClosedEmbedding ⇑(nonUnitalStarAlgHom (cfcₙHom ⋯) ⋯)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), B' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
Hr : ∀ x ∈ Icc a b, ∀ r > 0, f x ≤ B x + r * (x - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
this : ContinuousWithinAt (fun r => B x + r * (x - a)) (Ioi 0) 0
⊢ f x ≤ B x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
hyp : ∀ (n : ι), ProbabilityTheory.IndepSets (s n) s' μ
⊢ ProbabilityTheory.IndepSets (⋃ n, s n) s' μ
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : SizeOf α
x : α
s : Multiset α
hx : x ∈ s
⊢ sizeOf x < sizeOf s
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
⊢ (W.baseChange B).φ n = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).φ n)
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ (QuadraticMap.Isometry.snd M₁ Q₂).comp (QuadraticMap.Isometry.inl 0 Q₂) = 0
M : Type u
Monoid M
F : Type v
Field F
MulSemiringAction M F
⊢ algebraMap (↥(FixedPoints.subfield M F)) F = (FixedPoints.subfield M F).subtype
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_8
AddCancelMonoid β
T : Set α → β
hT : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
⊢ T ∅ = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r
inst✝ : Finite ι
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
x : (i : ι) → α i
⊢ WellFounded (Pi.Lex r fun {i} => s i)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b))
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x)
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
⊢ False
F : PFunctor.{u}
DecidableEq F.A
Inhabited F.M
ps : PFunctor.Approx.Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
⊢ PFunctor.M.isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (PFunctor.M.mk ⟨a, f⟩) = PFunctor.M.isubtree ps (f i)
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
⊢ Polynomial.Splits i 0
α : Type u_1
Neg α
a : α
⊢ SymAlg.sym (-a) = -SymAlg.sym a
α : Type u_1
self : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a b : α
⊢ a ≤ a + b
R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
Field S
AddCommGroup M
Algebra R S
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
B : LinearMap.BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
⊢ Function.Injective ⇑(B.dualSubmoduleToDual N)
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
g : GenContFract K := of v
nextConts : Pair K := g.contsAux (n + 2)
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
pred_conts_eq : pred_conts = g.contsAux n
⊢ |v - g.convs n| ≤ 1 / (conts.b * nextConts.b)
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
⊢ CauchySeq fun s => ∏ i ∈ s, f i
w x✝ y z p : ℝ
x : ℝ≥0
hx_pos : 0 < x
rpow_pos_of_nonneg : ∀ {p : ℝ}, 0 < p → 0 < x ^ p
hp_neg : p < 0
⊢ 0 < x ^ p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.coequalizer.π (G.map f) (G.map g))
    (CategoryTheory.Limits.coequalizerComparison f g G) =
  G.map (CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
hst : t ⊆ s
⊢ eVariationOn f t ≤ eVariationOn f s
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
x : ι → ℝ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
Fintype ι
hJ : J ≤ I
h : x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I
⊢ (BoxIntegral.TaggedPrepartition.single I J hJ x h).IsSubordinate r ↔ BoxIntegral.Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(r x)
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : α → M
g : M →+ N
hf : (Function.support f).Finite
⊢ g (∑ᶠ (i : α), f i) = ∑ᶠ (i : α), g (f i)
self : TopCat.GlueData.MkCore
i j k : self.J
x : ↥(self.V i j)
h : ↑x ∈ self.V i k
⊢ ↑((self.t j k) ⟨↑((self.t i j) x), ⋯⟩) = ↑((self.t i k) ⟨↑x, h⟩)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.LaxFunctor B C
self : F.PseudoCore
a : B
⊢ (self.mapIdIso a).inv = F.mapId a
n x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range n
⊢ x ≤ n
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ S.Solution'_descent.multiplicity = S.multiplicity - 1