ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁
b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂
fac✝ : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁
α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁
hα : a = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂
hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f
γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'
hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯
this✝¹ : IsIso (L.map β.s)
this✝ : IsIso (L.map γ.s)
Z₂ : C
σ : γ.Y' ⟶ Z₂
hσ : W σ
fac : α.f ≫ β.f ≫ γ.s ≫ σ = T₁.mor₁ ≫ γ.f ≫ σ
Y₃ : C
g : Z₂ ⟶ Y₃
h : Y₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj α.Y'
T₃ : Triangle C := Triangle.mk (β.f ≫ γ.s ≫ σ) g h
hT₃ : T₃ ∈ distinguishedTriangles
hβγσ : W (β.s ≫ γ.s ≫ σ)
ψ₃ : T₂.obj₃ ⟶ T₃.obj₃
hψ₃ : W ψ₃
hψ₁ : T₂.mor₂ ≫ ψ₃ = (β.s ≫ γ.s ≫ σ) ≫ T₃.mor₂
hψ₂ : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map α.s = ψ₃ ≫ T₃.mor₃
ψ : T₂ ⟶ T₃ := T₂.homMk T₃ α.s (β.s ≫ γ.s ≫ σ) ψ₃ ⋯ hψ₁ hψ₂
this : IsIso (L.mapTriangle.map ψ)
⊢ (L.mapTriangle.map (completeDistinguishedTriangleMorphism T₁ T₃ hT₁ hT₃ α.f (γ.f ≫ σ) ⋯) ≫ inv (L.mapTriangle.map ψ)).hom₁ = a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
this : ∀ (U : (Opens ↑↑(D.U i))ᵒᵖ), (D.f i j).c.app U ≫ (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i j).base).obj (unop U))) = ((D.f i k).c.app U ≫ (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i k).base).obj (unop U)))) ≫ (pullback (D.f i j) (D.f i k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
⊢ 𝟙 ((D.V (i, k)).presheaf.obj (op ((Opens.map (D.f i k).base).obj (unop (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)))))) = 𝟙 (((TopCat.Presheaf.pushforward C (D.f i k).base).obj (D.V (i, k)).presheaf).obj (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)))
x y : ℝ
hy : 0 ≤ y
⊢ (x / y).toNNReal = x.toNNReal / y.toNNReal
R : Type u_4
k : ℕ
CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
⊢ h.zmodEquivZPowers.symm ⟨ζ ^ i, ⋯⟩ = ↑i
α : Type u_1
p : α → Bool
as : Array α
⊢ as.any p 0 = as.data.any p
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a b : α
E : Type u_3
EquivLike E α β
OrderIsoClass E α β
e : E
⊢ e a ⩿ e b ↔ a ⩿ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z : CochainComplex.HomComplex.Cocycle F G n
x : R
⊢ ↑(x • z) = x • ↑z
α : Type u
l : List α
⊢ (List.foldl (fun t h => h :: t) [] l).reverse = l
σ : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∃ n f, ∃ (_ : Function.Injective f), ∃ q, p = (MvPolynomial.rename f) q
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddGroup G
r : k
x : G
f : AddMonoidAlgebra k G
y : G
⊢ (AddMonoidAlgebra.single x r * f) y = r * f (-x + y)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
A A₀ A₁ A₂ : Algebra F
f : A₀ ⟶ A₁
g : A₁ ⟶ A₂
h : Limits.IsInitial A
⊢ A.str ≫ strInv h = 𝟙 (F.obj A.a)
R : Type u
Ring R
p : R[X]
q : R[X]
hmq : q.Monic
hq : q ≠ 1
⊢ (p %ₘ q).natDegree < q.natDegree
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in b..a, f x ∂μ = -∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => Complex.sin (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.cos (2 * z * ↑x)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Ioc a b \ Iic c = Ioc (max a c) b
b hd : ℕ
tl : List ℕ
⊢ Nat.ofDigits b (hd :: tl) = hd + b * Nat.ofDigits b tl
x : ℝ
⊢ -↑x ∈ Complex.slitPlane ↔ x < 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
S✝ S : ConvexCone 𝕜 E
⊢ S.Blunt → S.Salient
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
g₁ g₂ : β →ᵈ γ
f : α →ᵈ β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
H : ι → AddSubgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i +ᵥ ↑(H i) = Set.univ
DecidableEq (AddSubgroup G)
j : ι
hj : j ∈ s
hcovers' : ⋃ i ∈ Finset.filter (fun x => H x = H j) s, g i +ᵥ ↑(H i) ≠ Set.univ
⊢ ∃ i ∈ s, H i ≠ H j ∧ (H i).FiniteIndex
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
⊢ ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ ‖MeasureTheory.condexpIndL1Fin hm hs hμs x‖ ≤ (μ s).toReal * ‖x‖
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : α → Prop
hst : s =ᵐ[μ] t
p : α → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) → ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, p x
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
⊢ (GenContFract.of v).h = ↑⌊v⌋
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), (c ^ finrank ℝ V * φ (c • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))
B : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ ∫ (w : V), ((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) • f w = ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w
R : Type u
k : Type y
Field R
p q : R[X]
Field k
f : R →+* k
⊢ Polynomial.map f (p % q) = Polynomial.map f p % Polynomial.map f q
a n : ℕ
⊢ n.floorRoot a = if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else (a.factorization ⌊/⌋ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
a : α
h : a ∈ l
this : ∃ a_1, a_1 ∈ l.attach ∧ ↑a_1 = a
⊢ ⟨a, h⟩ ∈ l.attach
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ ∑ i ∈ s, f i * g (σ i)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
self : RootSystem ι R M N
⊢ Submodule.span R (Set.range ⇑self.root) = ⊤
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
f✝ : (i : ι) × α i → β
inst✝ : CompleteLattice β
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
f : Sigma α → β
⊢ ⨆ ij ∈ s.sigma t, f ij = ⨆ i ∈ s, ⨆ j ∈ t i, f ⟨i, j⟩
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
f g : P1 →ᵃ[k] V2
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
A : Type u_1
M : Type u_2
AddCommGroup A
DivisionCommMonoid M
ψ : AddChar A M
x : A
⊢ ψ⁻¹ x = (ψ x)⁻¹
M : Type u_1
α : Type u_3
VAdd M α
a : M
b : α
⊢ a +ᵥ some b = some (a +ᵥ b)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
inst✝ : Nontrivial α
x y : α
hy : y ≠ x
⊢ {x}ᶜ.Nonempty
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
CharP R n
Fintype R
h : Fintype.card R = n
⊢ Function.Bijective ⇑(ZMod.castHom ⋯ R)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ Quot.mk Setoid.r I = ((QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)).range).comp (MonoidHom.id (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ)) I
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Y → Z
s : Set Y
h : s ⊆ e.target
⊢ (∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f s x) ↔ ∀ ⦃x : Y⦄, x ∈ s → ContinuousWithinAt (f ∘ ↑e) (↑e.symm '' s) (↑e.symm x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
x : X
⊢ μH[0] {x} = 1
K : Type u_4
Field K
L : Type u_7
Ring L
Algebra K L
x : K
⊢ (Algebra.norm K) ((algebraMap K L) x) = x ^ FiniteDimensional.finrank K L
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M✝ N : Submodule R A
m n a : A
M : Submodule R A
⊢ Set.up {a} • M = map (LinearMap.mulLeft R a) M
α : Type u_1
Fintype α
p : α → Prop
DecidablePred p
Fintype { a // p a }
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype p) Finset.univ = Finset.filter p Finset.univ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
Nontrivial P
⊢ affineSpan k s = ⊤ ↔ vectorSpan k s = ⊤
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ τ : Equiv.Perm α
⊢ IsConj σ τ ↔ σ.partition = τ.partition
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s t : Set R
⊢ NonUnitalSubring.closure (s ∪ t) = NonUnitalSubring.closure s ⊔ NonUnitalSubring.closure t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
v✝ : Fin 0 → α
⊢ (circulant v✝).IsSymm ↔ ∀ (i : Fin 0), v✝ (-i) = v✝ i
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B₁ B₂ : LinearMap.BilinForm R M
hB₁ : B₁.IsAlt
hB₂ : B₂.IsAlt
⊢ (B₁ + B₂).IsAlt
w : Nat
x : BitVec w
⊢ x.neg = -x
ι : Type u_1
DecidableEq ι
R : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
N₁ : ι → Submodule R M₁
h₁ : DirectSum.IsInternal N₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
N₂ : ι → Submodule R M₂
h₂ : DirectSum.IsInternal N₂
κ₁ : ι → Type u_7
κ₂ : ι → Type u_8
(i : ι) → Fintype (κ₁ i)
∀ (i : ι), Finite (κ₂ i)
(i : ι) → DecidableEq (κ₁ i)
Fintype ι
b₁ : (i : ι) → Basis (κ₁ i) R ↥(N₁ i)
b₂ : (i : ι) → Basis (κ₂ i) R ↥(N₂ i)
f : M₁ →ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ι), Set.MapsTo ⇑f ↑(N₁ i) ↑(N₂ i)
⊢ (LinearMap.toMatrix (h₁.collectedBasis b₁) (h₂.collectedBasis b₂)) f =
  Matrix.blockDiagonal' fun i => (LinearMap.toMatrix (b₁ i) (b₂ i)) (f.restrict ⋯)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (β × β)
F : ι → β → α
hβ : (𝓤 β).HasBasis p s
⊢ UniformEquicontinuous F ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
m : ℕ
CharP R m
h : m ∣ n
a b : ZMod n
⊢ (a + b).cast = a.cast + b.cast
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
TopologicalSpace M₄
AddCommMonoid M₄
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
R₄ : Type u_9
Semiring R₄
Module R₄ M₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₁₄ : R₁ →+* R₄
RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
e₁₂ : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
e₄₃ : M₄ ≃SL[σ₄₃] M₃
f : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
⊢ (e₁₂.arrowCongrEquiv e₄₃).symm f = (↑e₄₃.symm).comp (f.comp ↑e₁₂)
q : ℍ
⊢ normSq (exp ℝ q) = normSq (exp ℝ q.re • (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im))
y : Int
x : Int
n : Nat
⊢ (x % ↑n + y).bmod n = (x + y).bmod n
m n k : ℕ
⊢ (m &&& n).testBit k = (m.testBit k && n.testBit k)
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₁ : γ₁
⊢ inl c₁ ∈ sumLift₂ f g a b ↔ ∃ a₁ b₁, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ c₁ ∈ f a₁ b₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
s✝ t : Finset α
x : α × α
a : α
ι : Type u_4
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableRel LE.le
inst✝ : DecidableRel LT.lt
s : Finset ι
i j : ι
a✝¹ : i ∈ s
a✝ : j ∈ s
h : i ≠ j
⊢ i < j ↔ i ≤ j
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
Group H
I : Type u_1
Group I
M : Subgroup H
O : Subgroup I
M.Normal
O.Normal
f : G →* H
g : H →* I
hf : N ≤ Subgroup.comap f M
hg : M ≤ Subgroup.comap g O
hgf : N ≤ Subgroup.comap (g.comp f) O := ⋯
x : G ⧸ N
⊢ (QuotientGroup.map M O g hg) ((QuotientGroup.map N M f hf) x) = (QuotientGroup.map N O (g.comp f) hgf) x
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
F_der_I : ∀ x ∈ Ioo 0 X, HasDerivAt (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) (-(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) x
cont : Continuous fun x => (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) x * ↑x ^ s
der_ible : IntervalIntegrable (fun x => -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) volume 0 X
int_eval : (∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + -∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1)) = -((ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s)
⊢ (∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) + (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s = (s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
X✝ Y✝ : (coprodMonad X).Algebra
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ coprod.inl ≫ (coprodMonad X).map f.f ≫ Y✝.a = ((fun A => Under.mk (coprod.inl ≫ A.a)) Y✝).hom
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
C : ℝ
f : α → E
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
⊢ MeasureTheory.setToFun μ 0 hT f = 0
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulLeftInvariant
ν.IsMulLeftInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero β
⊢ UniformFun.toFun 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
⊢ MeasurableSet (⋂ b ∈ s, f b)ᶜ
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
hi : Disjoint x z
hs : x ⊔ z = y
⊢ y \ x = z
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Monotone (Function.rightLim f)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞
⊢ (∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) t y) ↔ ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x i) t y
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
Fintype α₁
Fintype α₂
AddCommMonoid γ
f : α₁ × α₂ → γ
⊢ ∑ x : α₁ × α₂, f x = ∑ x : α₁, ∑ y : α₂, f (x, y)
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
⊢ IsUnit 0 ↔ 0 = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
finite : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
pos : 0 < r
sum_eq : ∀ y ∈ EMetric.ball 0 r, (∑ i ∈ Finset.range n, (p i) fun x => y) = f (x + y)
y✝ : E
hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 r
m : ℕ
hm : m ∉ Finset.range n
⊢ ((p m) fun x => y✝) = 0
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
p : Submodule R (CliffordAlgebra Q)
n : ℕ
⊢ Submodule.comap CliffordAlgebra.reverse (p ^ n) = Submodule.comap CliffordAlgebra.reverse p ^ n
o : Ordinal.{u_3}
⊢ o + 1 = Order.succ o
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
⊢ Tendsto some (coclosedCompact X) (map some (coclosedCompact X) ⊔ pure ∞)
x : ℝ
⊢ UniformContinuous fun x_1 => x * x_1
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ StrictAnti (f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) ↔ StrictMono f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
h : Aᵀ.IsHermitian
⊢ Aᵀᵀ.IsHermitian
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g i j k ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g j k)
        (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g j i) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i j)
      (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i k) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).denom = C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (q / gcd p q)
s : ℕ
h : s ≠ 0
⊢ (s.xgcdAux 1 0 0 0 1).2.1 = 1
n : ℕ
α : Type u_1
Preorder α
f : Fin (n + 1) → α
⊢ Antitone f ↔ ∀ (i : Fin n), f i.succ ≤ f i.castSucc
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
LE α
f g : ι →₀ α
⊢ f ≤ g ↔ ∀ (i : ι), f i ≤ g i
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
⊢ (p.append p').support.tail = p.support.tail ++ p'.support.tail
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
⊢ ‖f‖ ≤ C
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
S T : Submodule 𝕜 E
⊢ S.toConvexCone ≤ T.toConvexCone ↔ S ≤ T
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := s.erase b } ↔ b ≤ a
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
Preorder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
ha : Filter.Tendsto a l Filter.atBot
hb : Filter.Tendsto b l Filter.atTop
⊢ MeasureTheory.AECover μ l fun i => Set.Icc (a i) (b i)
α : Type u_1
s t : Set α
ht : t.Finite
hsub : s ⊂ t
⊢ Nat.card ↑s < Nat.card ↑t
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ⌈OfNat.ofNat n⌉₊ = n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm K V
W : Subspace K V
x : V
hx : ∀ n ∈ W, B.IsOrtho n x
⊢ x ∈ (range (domRestrict B W)).dualCoannihilator
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid α
CommMonoid β
CommMonoid γ
s : Multiset ι
f : α → β → γ
hf : ∀ (a b : α) (c d : β), f (a * b) (c * d) = f a c * f b d
hf' : f 1 1 = 1
f₁ : ι → α
f₂ : ι → β
⊢ (Multiset.map (fun i => f (f₁ i) (f₂ i)) s).prod = f (Multiset.map f₁ s).prod (Multiset.map f₂ s).prod
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : 𝒰.J
⊢ pullback.map (𝒰.map i ≫ f) g f g (𝒰.map i) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (Iso.refl (pullback (𝒰.map i ≫ f) g)).hom ≫ (gluing 𝒰 f g).ι ((Equiv.refl 𝒰.J) i) ≫ (limit.isoLimitCone { cone := PullbackCone.mk (p1 𝒰 f g) (p2 𝒰 f g) ⋯, isLimit := gluedIsLimit 𝒰 f g }).inv
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
⊢ cardPowDegree (x - z) < a
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.18500
s✝ t s : Finset α
⊢ Multiset.map val (powersetCard 1 s).val = Multiset.map val (map { toFun := singleton, inj' := ⋯ } s).val
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Subsemiring S
x : R × S
⊢ x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (RingHom.snd R S) s
x y : ℝ
h : 0 < x
⊢ log x < log 1 ↔ x < 1
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : IsCyclotomicExtension {1} A B
x : B
⊢ x ∈ ⊥
R : Type u
Ring R
X Y : LightCondMod R
f : X ⟶ Y
S T : LightProfiniteᵒᵖ
g : S ⟶ T
x : ↑(X.val.obj S)
⊢ (f.val.app T) ((X.val.map g) x) = (Y.val.map g) ((f.val.app S) x)
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
l : Filter X
CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
⊢ Disjoint l (𝓝ˢ s) ↔ ∀ x ∈ s, Disjoint l (𝓝 x)
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i j : ι
h_le : i ≤ j
hi_max : ¬IsMax i
hj_min : ¬IsMin j
hi : i0 ≤ i
hj : j < i0
⊢ toZ i0 i ≤ toZ i0 j
S : CategoryTheory.Functor Type uᵒᵖ (Type u)
hs : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf CategoryTheory.typesGrothendieckTopology S
α : Type u
f : α → S.obj (Opposite.op PUnit.{u + 1})
⊢ (CategoryTheory.evalEquiv S hs α).symm f = CategoryTheory.typesGlue S hs α f
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : IsNoetherian R M
f : End R M
μ : R
h : optParam (MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) ⋯
⊢ IsNilpotent (LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h)
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k))) = (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k) / (2 * ↑k).Gammaℂ * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
v v₁ v₂ : ℕ
e : unpair v = (v₁, v₂)
⊢ (Seq.seq (some fun x => ofNat α v₁ :: x) fun x => decodeList v₂) = some (ofNat α v₁ :: ofNat (List α) v₂)
α : Type u_3
AddCommGroup α
f : ℕ → α
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
⊢ ∑ k ∈ Finset.range m, f k - ∑ k ∈ Finset.range n, f k = ∑ k ∈ Finset.filter (fun k => n ≤ k) (Finset.range m), f k
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}
ht : IsClosed t
⊢ ∃ b ∈ ↑I, nndist f b < ε
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ (AddLocalization.addEquivOfQuotient f).symm (f.mk' x y) = (AddLocalization.addMonoidOf S).mk' x y