ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X : C
inst✝ : Simple X
Y Z : C
i : X ≅ Y ⊞ Z
h : IsIso biprod.inl
this : Simple (Y ⊞ Z)
⊢ IsZero Z
M : Type u_1
Mul M
⊢ Subsemigroup.closure ∅ = ⊥
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
⊢ IsLowerSet (-s)
X : Type u_2
EMetricSpace X
SecondCountableTopology X
s : Set X
⊢ ⨆ x, Filter.limsup dimH (𝓝[s] x).smallSets = dimH s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i✝ j✝ : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
j : ι
x : α j
y : β (f i)
hys : y ∈ s
hxy : i = j ∧ HEq y (g j x)
⊢ ⟨j, x⟩ ∈ Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
r' : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F α
rxy : r x y
⊢ x = y
o : Ordinal.{u_3}
⊢ o.card ≤ 1 ↔ o ≤ 1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : ↥s
⊢ ↑((orthogonalProjection s) ↑p) = ↑p
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ k ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Z.Opens
V : X.Opens
e : V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ U
⊢ Hom.appLE (f ≫ g) U V e = Hom.app g U ≫ Hom.appLE f (g ⁻¹ᵁ U) V e
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
φ : A →ₐ[𝕜] 𝕜
⊢ ⇑φ.toContinuousLinearMap = ⇑φ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
h : IsPreirreducible s
⊢ PreirreducibleSpace ↑s
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f✝ : ↥(Lp F p μ)
hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ
f g : α → F
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
h_disj : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hPf : P (Memℒp.toLp f hf)
hPg : P (Memℒp.toLp g hg)
s_f : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hs_f : MeasurableSet s_f
hs_f_eq : s_f =ᶠ[ae μ] Function.support f
s_g : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
hs_g : MeasurableSet s_g
hs_g_eq : s_g =ᶠ[ae μ] Function.support g
h_inter_empty : s_f ∩ s_g =ᶠ[ae μ] ∅
f' : α → F := (s_f \ s_g).indicator (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'
⊢ P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.GlueData C
i j k : D.J
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑(CategoryTheory.Limits.pullback (D.f i j) (D.f i k))
⊢ ∃ (eq :
  (TopologicalSpace.Opens.map (D.t k i).base).op.obj
      (Opposite.op
        ((AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor
              (CategoryTheory.Limits.pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).obj
          U)) =
    Opposite.op
      ((AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor
            (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (D.f k i) (D.f k j))).obj
        (Opposite.unop
          (Opposite.op { carrier := ⇑(D.t' k i j).base ⁻¹' ↑(Opposite.unop (Opposite.op U)), is_open' := ⋯ })))),
  AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp (CategoryTheory.Limits.pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) U ≫
      (D.t k i).c.app
          (Opposite.op
            ((AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor
                  (CategoryTheory.Limits.pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).obj
              U)) ≫
        (D.V (k, i)).presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom eq) =
    (D.t' k i j).c.app (Opposite.op U) ≫
      AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (D.f k i) (D.f k j))
        (Opposite.unop
          (Opposite.op { carrier := ⇑(D.t' k i j).base ⁻¹' ↑(Opposite.unop (Opposite.op U)), is_open' := ⋯ }))
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
IsEmpty ι
⊢ LinearIndependent R v
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → count x l₁ ≤ count x l₂
x : α
hx : count x l₁ < count x l₂
y : α
hy : y ∈ x :: l₁
⊢ count y (x :: l₁) ≤ count y l₂
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
u : ℕ → α
hu : DenseRange u
s : Set (ℕ → ℕ) := {x | (⋂ n, closedBall (u (x n)) ((1 / 2) ^ n)).Nonempty}
g : ↑s → α := fun x => Set.Nonempty.some ⋯
A : ∀ (x : ↑s) (n : ℕ), dist (g x) (u (↑x n)) ≤ (1 / 2) ^ n
g_cont : Continuous g
g_surj : Surjective g
s_closed : IsClosed s
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x y : 𝕜
hx : x ∈ Ico a (a + p)
hy : y ∈ Ico a (a + p)
h : ↑x = ↑y
⊢ x = y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
g : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso g
f : Y ⟶ X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y ↔ f = CategoryTheory.inv g
R : Type u_11
Semiring R
S : Type u_13
Semiring S
N' : Type u_16
AddMonoid N'
DistribMulAction S N'
σ : R →* S
f g : R →ₑ+[σ] N'
⊢ f = g ↔ f 1 = g 1
G : Type u
Monoid G
n : ℕ
h : ∀ (g : G), orderOf g ∣ n
⊢ Monoid.exponent G ∣ n
R : Type u
Semiring R
p : ℕ
q : ℕ
hq : ExpChar R q
h : q = p
⊢ ExpChar R p
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
⊢ Cardinal.sum f ≤ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk ι) * iSup f
M : Type u_1
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass P
c : AddCon M
f g : c.Quotient →+ P
h : ∀ (a : M), f ↑a = g ↑a
⊢ f = g
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
hst : s ≤ᵐ[μ] t
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p
hp₀' : 0 ≤ 1 / p.toReal
hp₀'' : 0 < p.toReal
⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε
ζ : ℂˣ
n : ℕ+
hζ : ζ ^ ↑n = 1
⊢ ↑(ζ ^ ↑n) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
hc : Fintype.card α < n
⊢ G.CliqueFree n
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a))) < 2 ^ n * 2
⊢ ↑a ≤ ↑b
a b c : ℕ
P : ℕ → Prop
h✝ : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
seed : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
hs : P seed
hi : ∀ (x : ℕ), seed ≤ x → P x → ∃ y, x < y ∧ P y
n : ℕ
⊢ P n
X : Type u
TopologicalSpace X
x : Multiplicative X
⊢ 𝓝 (Multiplicative.toAdd x) = Filter.map (⇑Multiplicative.toAdd) (𝓝 x)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
i : ι
hf : ∀ᶠ (x : α i) in f i, p i x
⊢ ∀ᶠ (x : (i : ι) → α i) in Filter.pi f, p i (x i)
M : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
SMul M α
SMul M β
a : M
x : α ⊕ β
⊢ (a • x).swap = a • x.swap
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x
c : F
⊢ HasDerivAt (fun x => f x + c) f' x
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (fun x => ‖f x‖) p μ = MeasureTheory.eLpNorm f p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
h : (ν + μ) t ≠ ⊤
h' : s ⊆ t
h'' : (ν + μ) s = (ν + μ) t
⊢ ν s = ν t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformContinuous f
⊢ uniformSpace α γ ≤ UniformSpace.comap (⇑ofFun ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑toFun) (uniformSpace α β)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
hne : (univ.pi s).Nonempty
hc : IsPreconnected (univ.pi s)
i : ι
⊢ IsPreconnected ((fun f => f i) '' univ.pi s)
G : Type u_2
Group G
s : Set G
p : (x : G) → x ∈ Subgroup.closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_left : ∀ (x : G) (hx : x ∈ s) (y : G) (hy : y ∈ Subgroup.closure s), p y hy → p (x * y) ⋯
mul_left_inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ s) (y : G) (hy : y ∈ Subgroup.closure s), p y hy → p (x⁻¹ * y) ⋯
x : G
h : x ∈ Subgroup.closure s
⊢ p x h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : 0 < P.degree
⊢ Tendsto (fun x => |eval x P|) atTop atTop
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m✝ : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ f y = p.partialSum m (y - x)
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
S : AddSubsemigroup M
f : AddHom M N
⊢ AddSubsemigroup.map f (AddSubsemigroup.comap f (AddSubsemigroup.map f S)) = AddSubsemigroup.map f S
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x y z : E
hf : ConcaveOn 𝕜 [x-[𝕜]y] f
hz : z ∈ [x-[𝕜]y]
⊢ min (f x) (f y) ≤ f z
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M
⊢ ∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
α : Sort u_1
a b : α
⊢ (a ≠ b) = ¬a = b
α : Type u_1
M : Type u_4
AddZeroClass M
s : Set α
f : α → M
⊢ sᶜ.indicator f + s.indicator f = f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : HomologicalComplex₂ C (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)
x : ℤ
K.HasTotal (ComplexShape.up ℤ)
n₀ n₁ n₀' n₁' : ℤ
h₀ : n₀ + x = n₀'
h₁ : n₁ + x = n₁'
⊢ ((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ C x).obj K).D₂ (ComplexShape.up ℤ) n₀ n₁ ≫ (K.totalShift₁XIso x n₁ n₁' h₁).hom =
  x.negOnePow • (K.totalShift₁XIso x n₀ n₀' h₀).hom ≫ K.D₂ (ComplexShape.up ℤ) n₀' n₁'
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
⊢ I.IsMaximal ↔ 1 ∉ I ∧ ∀ (J : Ideal α) (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (p.natDegree + 1)
⊢ x ^ i ∈ ↑(↑I)⁻¹
α : Type u_1
LE α
s : LowerSet α
⊢ s.compl.compl = s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.P q ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.P q = AlgebraicTopology.DoldKan.P q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : CategoryTheory.Dial C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
⊢ (CategoryTheory.Dial.tensorHom f g).F =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Limits.prod.map CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.fst) f.F)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Limits.prod.map CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd) g.F)
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I✝ : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hI : IsNilpotent I
x : R
⊢ IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) x) ↔ IsUnit x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι' : Type u_9
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
NontriviallyNormedField 𝕜₂
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
Nonempty ι'
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι'
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ Continuous ⇑f ↔ ∀ (i : ι'), Continuous ⇑((q i).comp f)
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
F : ℕ → R := fun n => ∑' (e : ℕ), f (n ^ e)
⊢ HasProd (F ∘ Subtype.val) (∑' (n : ℕ), f n)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
⊢ (fun x => x ^ p / x ^ q) =ᶠ[Filter.atBot] fun x => x ^ (↑p - ↑q)
R : Type u
A : Type w
ι : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
b : Basis ι R M
h : Function.Bijective ⇑(algebraMap R A)
⊢ ∀ (a : M) (a_1 : ι), ((Basis.algebraMapCoeffs A b h).repr a) a_1 = (algebraMap R A) ((b.repr a) a_1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyFunctor C).obj S = S.rightHomology
α : Sort u_1
ctx : Lean.Data.AC.Context α
h : Std.Commutative ctx.op
x : Nat
xs : List Nat
⊢ Lean.Data.AC.evalList α ctx (Lean.Data.AC.insert x xs) = Lean.Data.AC.evalList α ctx (x :: xs)
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
Preorder β
f : α → β
⊢ IsOrderRightAdjoint f fun y => sSup {x | f x ≤ y}
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
l₀ l₁ : List (Sigma β)
nd₀ : l₀.NodupKeys
nd₁ : l₁.NodupKeys
h : ∀ (x : α) (y : β x), y ∈ List.dlookup x l₀ ↔ y ∈ List.dlookup x l₁
⊢ l₀.Perm l₁
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
f : β → α
s : Cycle β
a : β
l : List β
⊢ List.Chain r (f a) (List.map f l ++ [f a]) ↔ List.Chain (fun a b => r (f a) (f b)) a (l ++ [a])
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : E
⊢ (MeasureTheory.setToFun μ T hT fun x_1 => x) = (T Set.univ) x
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
Trivialization.IsLinear R e'
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
y : F
⊢ (Trivialization.coordChangeL R e e' b) y = (↑e' (↑e.symm (b, y))).2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
h :
  ∀ (e e' : PartialHomeomorph M H),
    e ∈ atlas H M →
      e' ∈ atlas H M →
        ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(e.symm ≫ₕ e') ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ Set.range ↑I)
⊢ SmoothManifoldWithCorners I M
M : Type u_3
Monoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : M
n : ℕ
⊢ a ^ n < b ^ n → a < b
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
x : G
n m : ℕ
⊢ n • x = m • x ↔ n % addOrderOf x = m % addOrderOf x
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
⊢ (↑r * (↑(Real.cos θ) + ↑(Real.sin θ) * I)).arg - θ = 2 * π * ↑⌊(π - θ) / (2 * π)⌋
α : Type u_1
n : ℕ
xs : Mathlib.Vector α n
x y : α
⊢ (x ::ᵥ xs).snoc y = x ::ᵥ xs.snoc y
γ : Type u_3
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
x y : γ
h : Inseparable x y
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ x ∈ s ↔ y ∈ s
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f g : RingQuot s →ₐ[S] B
w : f.comp (mkAlgHom S s) = g.comp (mkAlgHom S s)
x : A
⊢ f ((mkAlgHom S s) x) = g ((mkAlgHom S s) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
f : ↑(Set.Icc a b) → β
⊢ Set.range (Set.IccExtend h f) = Set.range f
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
Fintype ↑G.edgeSet
⊢ G.edgeFinset.card = Fintype.card ↑G.edgeSet
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ
⊢ ⟪↑((MeasureTheory.condexpL2 E 𝕜 hm) f), g⟫_𝕜 = ⟪f, g⟫_𝕜
V : Type u
x : { adj // (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true }
v w : V
⊢ (fun v w => ↑x v w = true) v w → (fun v w => ↑x v w = true) w v
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β
⊢ (!decide (x.isLeft = x.isRight)) = true
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
DecidableEq ι
l : DirectSum ι fun i => G i
i : ι
v : G i
⊢ ⟪(V i) v, DFinsupp.sum l fun j => ⇑(V j)⟫_𝕜 = ⟪v, l i⟫_𝕜
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Surjective ⇑f
p : MvPolynomial σ S₁
⊢ ∃ a, (map f) a = p
a b : ℕ
hb : 0 < b
⊢ 1 ≤ a / b ↔ b ≤ a
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j
⊢ C.dFrom i = C.d i j ≫ (C.xNextIso r).inv
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
N : Submodule R S
⊢ Submodule.mulMap 1 N = N.subtype ∘ₗ ↑N.lTensorOne
α : Type u
a b : Set α
⊢ a ∩ b = b ∩ a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P
h : perpBisector p₁ p₂ = ⊤
⊢ p₁ = p₂
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
Fintype α
DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
⊢ (∏ i ∈ s, f i) * ∏ i ∈ sᶜ, f i = ∏ i : α, f i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (π i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : Set ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x₁ x₂ : π i
y : (i : ι) → π i
⊢ update y i '' [x₁-[𝕜]x₂] = [update y i x₁-[𝕜]update y i x₂]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → ℝ≥0∞
⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ Iic ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ≤ ε
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
S T : NonUnitalSubring R
h : ∀ (x : R), x ∈ S ↔ x ∈ T
⊢ S = T
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
self : Algebra.Flat R S
⊢ Module.Flat R S
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
hn : ¬n = 0
⊢ IsSolvable (X ^ n - 1).Gal
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : Seminorm 𝕜 F
hq : Continuous ⇑q
hq' : Tendsto (⇑q) (𝓝 0) (𝓝 0)
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hε : {y | ‖y‖ < ε} ⊆ ⇑q ⁻¹' Iio 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (x : F), q x ≤ C * ‖x‖
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
x : E
r : ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
h : q ≤ p
⊢ p.closedBall x r ⊆ q.closedBall x r
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x
hp_sup : p s.prod
hp_a : p a
⊢ f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
I : Ideal R
inst✝ : IsPrincipal I
x : R
hx : x ∈ I
⊢ x ∣ generator I ↔ I = Ideal.span {x}
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a
⊢ (∏ a ∈ s, f a).toNNReal = ∏ a ∈ s, (f a).toNNReal
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α
φ : α → β
hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)
h : u =ᶠ[l] φ * v
x✝ : α
⊢ ((fun x => (φ x)⁻¹) * fun x => (v x)⁻¹) x✝ = ((φ * v) x✝)⁻¹
α : Sort u_1
p : α → Prop
P Q : (x : α) → p x → Prop
H : ∀ (x : α) (h : p x), P x h → Q x h
h₁ : ∀ (x : α) (h : p x), P x h
x : α
h : p x
⊢ Q x h
α : Type u
n : ℕ
⊢ Cardinal.mk α = ↑n ↔ Nonempty (α ≃ Fin n)
p✝ : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |p / 2| ≤ p / 2
⊢ ‖↑(p / 2)‖ = |p / 2|
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.card ≤ 1 ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
s : ι → Set X
hs : ∀ i ∈ ∅, MeasurableSet (s i)
h's : (↑∅).Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ i ∈ ∅, IntegrableOn f (s i) μ
⊢ ∫ (x : X) in ⋃ i ∈ ∅, s i, f x ∂μ = ∑ i ∈ ∅, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset ι
inst✝ : CommMonoid α
f : ι → α
h : ∀ c ∈ s, IsSquare (f c)
⊢ ∃ c, ∏ i ∈ s, f i = c ^ 2
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r✝ : R
M''' : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup M'''
inst✝ : Module R M'''
r : R
f₁ : M →ₗ[R] M'
f₂ : M' →ₗ[R] M''
f₃ : M'' →ₗ[R] M'''
h₁₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
h₂₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
h : IsSMulRegular M''' r
this : IsSMulRegular (M'' ⧸ LinearMap.range f₂) r
⊢ Exact ⇑((r • ⊤).mapQ (r • ⊤) f₁ ⋯) ⇑((r • ⊤).mapQ (r • ⊤) f₂ ⋯)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s t : Multiset α
⊢ a ∉ s ∧ t.Disjoint s ↔ a ∉ s ∧ s.Disjoint t