ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
v : V₁
p₁ p₂ : P₁
c : k
⊢ v +ᵥ (AffineMap.lineMap p₁ p₂) c = (AffineMap.lineMap (v +ᵥ p₁) (v +ᵥ p₂)) c
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
𝓕 : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
FunLike 𝓕 E E₂
SemilinearIsometryClass 𝓕 σ₁₂ E E₂
f : 𝓕
⊢ AntilipschitzWith 1 ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : DecidableEq γ
g : β → γ
f : α →ₛ β
⊢ ↑(map g f).range = ↑(Finset.image g f.range)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
hx : IsBot x
⊢ IsBot x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
head✝ : α
tail✝ : List α
hx✝ : head✝ :: tail✝ ≠ []
h : head✝ :: tail✝ <+: []
hx : ¬False
⊢ head✝ = [].head ⋯
α : Type u_1
CompleteLinearOrder α
s : Set α
b : α
⊢ sInf s < b ↔ ∃ a ∈ s, a < b
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x * y).denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a ((x * y).num * (x.denom * y.denom)) = Polynomial.eval₂ f a (x.num * y.num * (x * y).denom)
α : Type u_1
Min α
n : Nat
a : α
w : min a a = a
⊢ (List.replicate n a).minimum? = if n = 0 then none else some a
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x => ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous (v n ∘ f)
I : ∀ (ν : Measure G), IsFiniteMeasureOnCompacts ν → Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂ν) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂ν))
M : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
I1 : Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'))
⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
x y : EReal
⊢ x.abs = y.abs ∧ SignType.sign x = SignType.sign y ↔ x = y
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
E' : ?m.37693
h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
Y : D
⊢ ∀ (j : CostructuredArrow L Y), (E.coconeAt Y).ι.app j ≫ f₁.right.app Y = (E.coconeAt Y).ι.app j ≫ f₂.right.app Y
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeCommRing α
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hxs : x.IsSupported s
⊢ ∀ {x y : FreeCommRing α}, (map Subtype.val) ((restriction s) x) = x → (map Subtype.val) ((restriction s) y) = y → (map Subtype.val) ((restriction s) (x + y)) = x + y
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
⊢ edgeDensity r s ∅ = 0
b : Bool
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ Nat.bit b n ≠ 0
α : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Nonempty X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
s : Set X
inst✝ : MeasurableSpace.CountablySeparated ↑s
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ s
hgm : NullMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g
U : Set X
hU : MeasurableSet U
x : α
hx : (g ∘ f) x = g x
⊢ x ∈ f ⁻¹' (g ⁻¹' U) ↔ x ∈ g ⁻¹' U
α : Type u
β : α → Type v
s : Sigma β
l : List (Sigma β)
⊢ (s :: l).keys = s.fst :: l.keys
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b0 : 0 < b
d0 : 0 < d
⊢ a /. b ≤ c /. d ↔ a * d ≤ c * b
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
hab : a < b
hω : MeasureTheory.upcrossings a b f ω ≠ ⊤
⊢ ¬((∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, f n ω < a) ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, b < f n ω)
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y : ↥S
⊢ f.toMap x₁ * f.mk' x₂ y = f.mk' (x₁ * x₂) y
a b : ENNReal
⊢ a ≤ b⁻¹ ↔ a * b ≤ 1
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
ContinuousMul G
U V : OpenSubgroup G
⊢ ↑(U ⊔ V) = ↑U ⊔ ↑V
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
ι : Sort u_7
f : G →* N
s : ι → Subgroup G
⊢ Subgroup.map f (iSup s) = ⨆ i, Subgroup.map f (s i)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a (p + b) = toIocDiv hp a b + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder β s
f : r ≼i s
g : s ≼i r
⊢ ⇑(f.antisymm g) = ⇑f
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
s : Set Z
x : Z
hx : f x ∈ e.source
h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝[s] x
fe_cont : ContinuousWithinAt (↑e ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' e.source) x
⊢ ContinuousWithinAt f (s ∩ f ⁻¹' e.source) x
X Y : CondensedSet
f : X ⟶ Y
⊢ Continuous (f.val.app (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1})))
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
h : OpenEmbedding ⇑f
hF : F.IsSheaf
⊢ IsSheaf (⋯.functor.op ⋙ F)
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
inhabited_h✝ : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
A : ∀ (p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤)), ⟦p⟧ = toGHSpace X → ⟦q⟧ = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q
B : ∀ (p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤)), ⟦p⟧ = toGHSpace X → ⟦q⟧ = toGHSpace Y → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y))
A : Type u_4
AddZeroClass A
S : Set A
⊢ AddSubmonoid.toSubmonoid (AddSubmonoid.closure S) = Submonoid.closure (⇑Multiplicative.toAdd ⁻¹' S)
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty
y' : ℤ := (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
y'_def : y' = (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
hy' : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y'
⊢ ↑(abv ((Algebra.norm R) a)) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s✝ S : Set G
s : G
hs : s ∈ S⁻¹
⊢ s ∈ ↑(closure S)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
x : ↑X
⊢ F.stalkSpecializes ⋯ = 𝟙 (F.stalk x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
BoundarylessManifold I M
x : M
⊢ I.IsInteriorPoint x
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
⊢ ∀ (z : ℂ), z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
α : Type u_2
β : Type u_3
Bot α
Bot β
f : BotHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
⊢ ↑(f.inv hf) = (↑f)⁻¹
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
β : Type u_5
hα : IsEmpty α
f : α →ₛ β
y : β
x : α
hxy : ↑f x = y
⊢ False
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
l : List ((k : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin k) ⊕ (n : ℕ) × L.Relations n ⊕ ℕ)
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.encoding.decode l = (FirstOrder.Language.BoundedFormula.listDecode l)[0]?
α : Type u_1
f : Filter α
self : f.Realizer
⊢ self.F.toFilter = f
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝³ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝² : CommMonoid P
R : Type u_4
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
inst✝¹ : SMul R M
inst✝ : IsScalarTower R M M
c : R
a : M
b : ↥S
⊢ OreLocalization.oreNum (c • 1) b • a /ₒ (OreLocalization.oreDenom (c • 1) b * 1) = c • a /ₒ b
I : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq I
Z : I → Type u_2
inst✝² : (i : I) → CommMonoid (Z i)
inst✝¹ : Finite I
G : Type u_3
inst✝ : CommMonoid G
g h : ((i : I) → Z i) →* G
H : ∀ (i : I) (x : Z i), g (Pi.mulSingle i x) = h (Pi.mulSingle i x)
val✝ : Fintype I
k : (i : I) → Z i
⊢ ∏ x : I, g (Pi.mulSingle x (k x)) = ∏ x : I, h (Pi.mulSingle x (k x))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
h : LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x v
c : 𝕜
⊢ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x (c • v)
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
m : ℕ
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ (m • x).coeff n = WittVector.peval (WittVector.wittNSMul p m n) ![x.coeff]
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : (J ⥤ C)ᵒᵖ
X : C
⊢ ((CategoryTheory.cocones J C).obj F).obj X = (Opposite.unop F ⟶ (CategoryTheory.Functor.const J).obj X)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : s.Subsingleton
⊢ StrictConvex 𝕜 s
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
⊢ (Filter.comap (fun x => x.2 - x.1) (𝓝 0)).HasBasis (fun x => True) fun γ => {p | v (p.2 - p.1) < ↑γ}
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
i : S.Arrow
j : StructuredArrow (op i.Y) G.op
eq : lift hF hR s ≫ R.map (StructuredArrow.mk (i.f.op ≫ j.hom)).hom ≫ α.app (StructuredArrow.mk (i.f.op ≫ j.hom)).right = liftAux hF α s (StructuredArrow.mk (i.f.op ≫ j.hom)).hom.unop
⊢ (lift hF hR s ≫ R.map i.f.op) ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op i.Y)).π.app j = s.ι i ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op i.Y)).π.app j
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
h : π.IsPartition
⊢ ∃ s, splitMany I s ≤ π
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
c : F
⊢ (Differentiable 𝕜 fun y => f y + c) ↔ Differentiable 𝕜 f
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : g ∘ ↑f = ↑gf
y : Y
hy : y ∈ (f.symm.trans gf).source
⊢ g y = ↑(f.symm.trans gf) y
E : Type u_3
F : Type u_5
𝕜₁ : Type u_7
𝕜₂ : Type u_8
NormedDivisionRing 𝕜₁
NormedDivisionRing 𝕜₂
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
RingHomSurjective σ
RingHomIsometric σ
s : Set E
hs : Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ s
f : E →SL[σ] F
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜₂ (⇑f '' s)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : HasAntidiagonal A
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2
⊢ (∑' (n : A), f n) * ∑' (n : A), g n = ∑' (n : A), ∑ kl ∈ antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
DecidablePred fun x => x < c
h : b < c
⊢ Finset.filter (fun x => x < c) (Finset.Icc a b) = Finset.Icc a b
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
n n₁ n₂ : ℤ
h : n₁ + n₂ = n
⊢ 𝟙 ((K.X (n₁ + x)).X (n₂ + y)) ≫ ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) n₂ (n + x) ⋯ ≫ 𝟙 ((((shiftFunctor₂ C y).obj K).total (up ℤ)).X (n + x)) ≫ (K.totalShift₂Iso y).hom.f (n + x) = (x * y).negOnePow • (n₁ * y).negOnePow • 𝟙 ((K.X (n₁ + x)).X (n₂ + y)) ≫ (𝟙 ((K.X (n₁ + x)).X (n₂ + y)) ≫ ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) n₁ (n₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ 𝟙 ((((shiftFunctor₁ C x).obj K).total (up ℤ)).X (n + y))) ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f (n + y) ≫ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).hom.app (K.total (up ℤ))).f n
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ ↑(ContinuousAlgHom.fst R A B) = AlgHom.fst R A B
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C) G
⊢ CategoryTheory.Limits.HasInitial D
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p q x y : E
az bz : 𝕜
haz : 0 ≤ az
hbz : 0 ≤ bz
habz : az + bz = 1
haz' : 0 < az
av bv : 𝕜
hav : 0 ≤ av
hbv : 0 ≤ bv
habv : av + bv = 1
hav' : 0 < av
au bu : 𝕜
hau : 0 ≤ au
hbu : 0 ≤ bu
habu : au + bu = 1
hab : 0 < az * av + bz * au
⊢ (az * av / (az * av + bz * au)) • (au • x + bu • p) + (bz * au / (az * av + bz * au)) • (av • y + bv • q) ∈ (convexHull 𝕜) {p, q, az • x + bz • y}
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹³ : Field A
inst✝¹² : Ring B
inst✝¹¹ : Algebra A B
x : B
R : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
L : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsScalarTower R S L
s : S
⊢ (algebraMap K L).comp (algebraMap R K) = (algebraMap S L).comp (algebraMap R S)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {l : List α}, [a].Disjoint l ↔ ¬a ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : Set α
t : Set β
hs : IsLowerSet s
ht : IsLowerSet t
⊢ IsLowerSet (s ×ˢ t)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤
⊢ HasFiniteIntegral (fun x => (ν (Prod.mk x ⁻¹' s)).toReal) μ
M : Type u_3
Monoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : M
h : a ^ 2 ≤ b * c
⊢ a ≤ max b c
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x) = (ghostComponent n) (g x)
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (g x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (ψ n)
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ : 𝕎 R✝
n : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ), (bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ n)
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 0 ≤ p
n : ℕ
⊢ ENNReal.ofReal (p ^ n) = ENNReal.ofReal p ^ n
n m : ℕ
hnm : n < m
⊢ filter (fun x => decide (x ≤ n)) (Ico n m) = filter (fun x => decide (x < n + 1)) (Ico n m)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid β
r : Finset (α × γ)
s : Finset γ
t : γ → Finset α
h : ∀ (p : α × γ), p ∈ r ↔ p.2 ∈ s ∧ p.1 ∈ t p.2
f : α × γ → β
⊢ ∑ p ∈ r, f p = ∑ c ∈ s, ∑ a ∈ t c, f (a, c)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ 0 ∉ {x}
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
t : α → β
⊢ ⨅ x ∈ insert a s, t x = t a ⊓ ⨅ x ∈ s, t x
ι : Type u_1
Fintype ι
a b : ι → ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (a i) (b i)) = ∏ i : ι, ENNReal.ofReal (b i - a i)
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ G.neighborSet v ∩ Gᶜ.neighborSet v ⊆ ∅
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer = zeroRootSubalgebra R L H
n : ℕ
h : 0 < n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
⊢ ∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i ℤ = ∑ i ∈ range n, X ^ i
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
m : Type u_8
n : Type u_9
Fintype m
A B : Matrix m n 𝕜
i j : n
⊢ ⟪(WithLp.equiv 2 (m → 𝕜)).symm (A.transpose i), (WithLp.equiv 2 (m → 𝕜)).symm (B.transpose j)⟫_𝕜 =
  (A.conjTranspose * B) i j
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
d : ℝ
hs : s.Nontrivial
⊢ s.infsep < d ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ dist x y < d
M✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Monoid M✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace M✝
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : MeasurableMul₂ M
μ ν : Measure M
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite ν
⊢ Measurable Prod.swap
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
⊢ a = 0 ∨ b = 0 → lcm a b = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' : Ideal S
I : Ideal (R × S)
r : R
s : S
⊢ (r, s) ∈ I ↔ (∃ x ∈ I, (RingHom.fst R S) x = r) ∧ ∃ x ∈ I, (RingHom.snd R S) x = s
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s
hwi : w i ≠ 0
⊢ w i * z i = w i * x
α : Type u
Monoid α
HasDistribNeg α
⊢ ↑(-1) = -1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → β
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
S : Set (Set β)
hSc : S.Countable
hc : MeasurableSpace.CountablyGenerated β
h : NullMeasurable f μ
T : Set β → Set α
hTf : ∀ s ∈ S, T s ⊆ f ⁻¹' s
hTm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (T s)
hTeq : ∀ s ∈ S, T s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
U : Set β → Set α
hUf : ∀ s ∈ S, U s ⊇ f ⁻¹' s
hUm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (U s)
hUeq : ∀ s ∈ S, U s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
v : Set α := ⋃ s ∈ S, U s \ T s
hvm : MeasurableSet v
hvμ : μ v = 0
⊢ Measurable (v.restrict (v.piecewise (fun x => default) f))
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ (mk W) (C (W.addPolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) = -(XClass W x₁ * XClass W x₂ * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))
n : ℕ
hpos : 0 < n
R : Type u_1
CommRing R
⊢ ∏ i ∈ n.divisors, Polynomial.cyclotomic i R = Polynomial.X ^ n - 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab✝ : a ≤ b
hf✝ : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
c d : ℝ
hca : c ≤ a
hab : a ≤ b
hbd : b ≤ d
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc c d))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ c d
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ≤ ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ
α : Type u_2
M : Matroid α
F : Set α
⊢ M.Flat F ↔ ∃ (h : F ⊆ M.E), M.subtypeClosure.IsClosed ⟨F, h⟩
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
⊢ ∃! a₁, 1 < a₁.x ∧ 0 < a₁.y ∧ ∀ (a : Pell.Solution₁ d), ∃ n, a = a₁ ^ n ∨ a = -a₁ ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
⊢ UnifIntegrable f p μ
x c : ℂ
h : x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasStrictDerivAt (fun z => z ^ c) (c * x ^ (c - 1)) x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
a : X
ha : a ∈ B
g : G
hg : g ∈ stabilizer G a
⊢ ¬Disjoint (g • B) B
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
g : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
y : ↥(Submonoid.map (algebraMap R S) M) := commonDenomOfFinset (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s
y' : R
hy' : y' ∈ ↑M
e : (algebraMap R S) y' = ↑y
this : (algebraMap R S) y' • ↑s = y' • ↑s
hx₁ : y' • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))
x' : S
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))
hx'' : (algebraMap S S') x' = g (y' • x)
a : R
ha₁ : a ∈ ↑M
ha₂ : ↑⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ * x' = ↑⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ * y' • x
⊢ (⟨a, ha₁⟩ * ⟨y', hy'⟩) • x = a • x'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ (-φ).τ₂ = -φ.τ₂
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
D1 D2 : Derivation R A M
⊢ ⇑(D1 + D2) = ⇑D1 + ⇑D2