ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ h.op.h₃ = h.h₀.op
L : Type u_2
Field L
F E : Subfield L
h : F ≤ E
⊢ ↑(Subfield.extendScalars h) = ↑E
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
x : B
h : c ⟶ x
⊢ (t.whisker h).extension = CategoryTheory.CategoryStruct.comp t.extension h
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.HomologyData
⊢ h.op.left = h.right.op
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ 𝟙 W ⊗ g ≫ h = (𝟙 W ⊗ g) ≫ (𝟙 W ⊗ h)
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
x : (leftRegular G ⊗ X).V
⊢ (({ hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2), comm := ⋯ } ≫ { hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2), comm := ⋯ }).hom x).2 = ((𝟙 (leftRegular G ⊗ X)).hom x).2
α : Type u_1
⊢ ⇑(finTwoArrowEquiv α) = (piFinTwoEquiv fun x => α).toFun
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ
hv : v ≠ 0
hn : ‖v‖ ≠ 0
iso_smul : Isometry ⇑(LinearMap.toSpanSingleton ℝ E (‖v‖⁻¹ • v))
⊢ μH[1] ((fun x => ‖v‖ • x) '' (⇑(LinearMap.toSpanSingleton ℝ E (‖v‖⁻¹ • v)) '' s)) = ‖v‖₊ • μH[1] s
R : Type u
A : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
r : R
x : A
⊢ Commute x ((algebraMap R A) r)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ MeasurableSet s ∧ f ⁻¹' s = s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A B C : Set E
X : Finset E
x : E
⊢ x ∈ exposedPoints 𝕜 A ↔ IsExposed 𝕜 A {x}
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
hax : 0 < a.x
n : ℕ
⊢ 0 < (a ^ n).x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
ha : ∃ b, a < b
⊢ ∃ b, a ≤ b ∧ Icc a b ∈ 𝓝[≥] a ∧ Icc a b ⊆ s
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ ∀ ⦃x : ℕ⦄, x ∈ range (sInf (setOf p)) → ¬p x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
W X X' : D
Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ F.obj Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ F.obj Y
⊢ f ≫ g ≫ α.hom.app Y = f' ≫ g' ≫ α.hom.app Y ↔ f ≫ g = f' ≫ g'
α : Type u
β : Type v
Preorder α
NoTopOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIciTopology α
l : Filter β
l.NeBot
f : β → α
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
a : α
⊢ ¬Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
g : β → α
h : Function.RightInverse f g
⊢ g ∘ f = id
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hef : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
h : ↥H
ht : IsSl2Triple (↑h) e f
⊢ h = coroot α
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ
⊢ x✝¹ * x✝ * ↑↑n = x✝¹ * (x✝ * ↑↑n)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom {S | ∃ l u, l < u ∧ Ico l u = S}
α : Type u
Group α
nc : ¬IsCyclic α
⊢ Nontrivial α
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : AnalyticAt 𝕜 f x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
φ : ι → Type u_5
(i : ι) → TopologicalSpace (φ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M →L[R] φ i
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.pi f) = LinearMap.pi fun i => ↑(f i)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Algebra S R
A : ι → Submodule S R
inst✝ : GradedOne A
s : S
⊢ (algebraMap S R) s ∈ A 0
α : Type u
DecidableEq α
l : List α
a : α
⊢ ¬a ∈ l → List.indexOf a l = l.length
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph = g.graph
x : E
⊢ x ∈ f.domain ↔ x ∈ g.domain
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m n n' : M
g : n ⟶ n'
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map g).app ((F.obj m).obj X)) ((F.μ m n').app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ m n).app X) ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft m g)).app X)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
m : ℕ
z : 𝕜
hfg : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 z, x ∈ {z}ᶜ → f x = g x
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z_1 => (z_1 - z) ^ m • f z_1) z
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z_1 => z_1 - z) z
hz : z ∈ {z}ᶜ → f z = g z
⊢ (z - z) • (z - z) ^ m • f z = (z - z) ^ (m + 1) • g z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
⊢ F.ε ≫ F.εIso.inv = 𝟙 (𝟙_ D)
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
x : K
⊢ x ∈ A.carrier ↔ x ∈ A
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
F : CategoryTheory.Functor C A
F.IsHomological
F.ShiftSequence ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (F.homologySequenceComposableArrows₅ T n₀ n₁ h).Exact
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
inst✝¹ : IsFiltered (CostructuredArrow yoneda A)
inst✝ : FinallySmall (CostructuredArrow yoneda A)
h₁ : (factoring (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A)) ⋙ inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A))).Final
h₂ : (inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A))).Final
c : Cocone (inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A)) ⋙ CostructuredArrow.proj yoneda A ⋙ yoneda) := Cocone.whisker (inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A))) (Presheaf.tautologicalCocone A)
hc : IsColimit c := (Functor.Final.isColimitWhiskerEquiv (inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A))) (Presheaf.tautologicalCocone A)).symm (Presheaf.isColimitTautologicalCocone A)
⊢ IsIndObject A
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
U : Type u_2
CommRing U
Algebra R U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
x : U
hx : (Polynomial.aeval x) f = 0
z : S
⊢ (IsAdjoinRoot.liftHom x hx h') ((h.aequiv h') z) = (IsAdjoinRoot.liftHom x hx h) z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
⊢ (ENNReal.ofReal (dist x y)).toReal = dist x y
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ : Seminorm 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ (s.sup p).closedBall x r = ⨅ a ∈ s, (p a).closedBall x r
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
s : Subsemigroup M
⊢ s.prod ⊤ = Subsemigroup.comap (MulHom.fst M N) s
n✝ p : ℕ
p_prime : Prime p
m n k l : ℕ
hpm : p ^ k ∣ m
hpn : p ^ l ∣ n
hpmn : p ^ (k + l + 1) ∣ m * n
⊢ p ^ (k + 1) ∣ m ∨ p ^ (l + 1) ∣ n
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f : Dual R R
r : R
⊢ f 1 * r = f (r • 1)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I : Ideal R
h : I.IsPrime
⊢ (I.prod ⊤).IsPrime
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
this : (a : Prop) → Decidable a
hp : ¬p = 0
⊢ (p.scaleRoots s).degree = p.degree
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂
inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄
inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.158489 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄
inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.163940 ⟶ X₂) true ≫ f₂)
inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ (pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).hom ≫ pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.snd f₃ f₄ = pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : IsPeriodicPt f n x
hm : IsPeriodicPt f m x
⊢ IsPeriodicPt f (n + m) x
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
⊢ ∃ a, Tendsto f atBot (𝓝 a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel g.SameCycle
h : f.SameCycle x y
z : α
⊢ (if f.SameCycle x z then f z else z) = (f.cycleOf y) z
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ ⌈a⌉₊ = 0 ↔ a ≤ 0
G : Type u_6
Group G
Fintype G
S : Set G
hS : S.Nonempty
⊢ ↑(powCardSubgroup S hS) = S ^ Fintype.card G
l m r : List Char
x✝ : Substring
h : ValidFor l m r x✝
⊢ Iterator.ValidFor l.reverse (m ++ r) { s := x✝.str, i := x✝.startPos }
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X
⊢ IsSheafFor P R ↔ IsSheafFor P (generate R).arrows
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
⊢ Algebra.discr ℚ ⇑(integralBasis K) ≠ ↑0
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i✝ : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
i : Fin (n + 1)
x✝ : i ∈ Finset.univ
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivWithinAt (fun x => f x i) ((ContinuousLinearMap.proj i).comp (f' x)) (Box.Icc I) x
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousWithinAt (fun y => f y i) (Box.Icc I) x
⊢ HasIntegral I GP (fun x => (f' x) (Pi.single i 1) i) BoxAdditiveMap.volume (integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume)
R : Type u
CommRing R
x y : R
Submodule.IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
h : IsRelPrime x y
⊢ IsCoprime x y
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x y : ℚ_[p]
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (x * y).valuation = x.valuation + y.valuation
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeSemigroup α
⊢ ((FreeSemigroup.map f) x).length = x.length
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
e : E ≃ₗᵢ[R] E
⊢ ⇑e⁻¹ = ⇑e.symm
s : Multiset ℕ
n : ℕ
⊢ s.sum % n = (Multiset.map (fun x => x % n) s).sum % n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.FinitaryPreExtensive C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
⊢ (∃'θ).Realize v xs ↔ ∃ a, θ.Realize v (snoc xs a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
CategoryTheory.MonoidalCoherence Y (𝟙_ C)
⊢  ⊗𝟙 = X ◁ ⊗𝟙 ≫ (ρ_ X).hom
α : Type u_2
LinearOrder α
s t : Set α
hs : s.IsWF
hsn : s.Nonempty
ht : t.IsWF
htn : t.Nonempty
hst : s ⊆ t
⊢ ht.min htn ≤ hs.min hsn
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
hs : IsCompact s
hne : s.Nonempty
⊢ BddBelow s
R : Type u_1
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₁
Module R M
Module R M₁
Semiring S
Module R S
Module S M
IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
⊢ f.smulRight 0 = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ symmDiff s t = ∅ ↔ s = t
F : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
FunLike F α β
self : SpectralMapClass F α β
f : F
⊢ IsSpectralMap ⇑f
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → β i
s : Multiset ι
h : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0
i : ι
H : i ∈ { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨s, h⟩ }.support
⊢ i ∈ s.toFinset.val.toFinset
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
hst : s ⊆ t
hs' : μ s ≠ ⊤
ε : ENNReal
h : μ t < μ s + ε
⊢ μ (t \ s) < ε
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
U W : Submodule K V
h : IsCompl U W
⊢ finrank K ↥U + finrank K ↥W = finrank K V
β : Type u_2
EMetricSpace β
a x : β
r : ℝ≥0∞
h : x ∈ EMetric.ball a r
⊢ 𝓝 x = Filter.map Subtype.val (𝓝 ⟨x, h⟩)
n : ZNum
⊢ castNum <$> Num.ofZNum' n = (↑n).toNat'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
f : ι →₀ α
i : ι
a : α
g : ι → α → β
hg : ∀ (i : ι), g i 0 = 0
hgg : ∀ (j : ι) (a₁ a₂ : α), g j (a₁ + a₂) = g j a₁ + g j a₂
⊢ (f.update i a).sum g + g i (f i) = f.sum g + g i a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x✝ : E
x : 𝕜
⊢ ‖(toSpanSingleton 𝕜 x✝) x‖ ≤ ‖x✝‖ * ‖x‖
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
CommRing B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Surjective ⇑f
Algebra.FinitePresentation R A
Algebra.FinitePresentation R B
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
f : ℂ → ℂ
g : ℝ → ℝ
g' s : ℝ
hf : DifferentiableAt ℂ f ↑s
hg : HasDerivAt g g' s
hfg : ∀ (s : ℝ), f ↑s = ↑(g s)
⊢ HasDerivAt f ↑g' ↑s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
f : X → ℝ
h : Continuous f
⊢ Continuous fun x => Real.arsinh (f x)
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I✝ X R J I E : Set α
⊢ (uniqueBaseOn (I ∩ E) E)✶ = uniqueBaseOn (E \ I) E
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
hu : Bornology.IsBounded (range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s
⊢ μ s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
⊢ image succ univ = {0}ᶜ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
r : ℝ
⊢ Bornology.IsBounded (Metric.closedBall x r)
f : ℂ →ₐ[ℝ] ℂ
⊢ f = AlgHom.id ℝ ℂ ∨ f = ↑conjAe
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝⁷ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : OrderTopology 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : ContinuousAdd E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
x y : E
⊢ (fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' closure (Ioo 0 1) ⊆ closure ((fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' Ioo 0 1)
R : Type u_2
CommSemiring R
n : ℕ
φ : PowerSeries R
⊢ (PowerSeries.coeff R 1) (φ ^ n) = ↑n * (PowerSeries.coeff R 1) φ * (PowerSeries.constantCoeff R) φ ^ (n - 1)
R : Type u_1
Semiring R
f : Polynomial R
⊢ f.natDegree = f.reverse.natDegree + f.natTrailingDegree
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p q p' q' : K[X]
hq : q ≠ 0
hq' : q' ≠ 0
⊢ RatFunc.mk p q = RatFunc.mk p' q' ↔ p * q' = p' * q
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
VAdd M α
MeasurableVAdd M α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ
c : Mᵈᵃᵃ
b : β
⊢ c +ᵥ MeasureTheory.AEEqFun.const α b = MeasureTheory.AEEqFun.const α b
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
A X : C
inst✝ : IsConnected A
⊢ Nat.card (A ⟶ X) ≤ Nat.card ↑(F.obj X)
a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ
⊢ a ≤ b ↔ a < b ∨ a = b
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ Continuous fun x => Metric.infDist x s
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c x y : P
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
R : ℝ
⊢ dist (EuclideanGeometry.inversion c R x) (EuclideanGeometry.inversion c R y) = R ^ 2 / (dist x c * dist y c) * dist x y
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ G.IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) s x ↔ x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source
α : Type u_2
s : Set α
⊢ IsOpen (Set.Iic (𝓟 s))
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : β →CO γ
g : α →CO β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝ : SeminormedRing R
f : α →ᵇ R
n : ℕ
⊢ ⇑(npowRec (n + 1) f) = ⇑f ^ (n + 1)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
Star α
Star β
A : Matrix m n α
f : α → β
hf : Function.Semiconj f star star
⊢ Aᴴ.map f = (A.map f)ᴴ
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : β → α → β
b : β
a : α
l : List α
⊢ scanl f b (a :: l) = [b] ++ scanl f (f b a) l
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
⊢ [].sum = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y Z : C
n : ℕ
α : CategoryTheory.Abelian.Ext X Y n
m : ℕ
β : CategoryTheory.Abelian.Ext Y Z m
p : ℕ
h : n + m = p
⊢ (-α).comp β h = -α.comp β h
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
NoZeroDivisors R
p : ℕ
hp : CharP R p
p_ne_zero : p ≠ 0
⊢ Nat.Prime p
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
hs : MeasurableSet s
t : Set G
ht : MeasurableSet t
h1 : ν' s * ∫⁻ (y : G), t.indicator (fun x => 1) y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s) ∂ν' = ∫⁻ (x : G), t.indicator (fun x => 1) x ∂ν'
h2 : μ' s * ∫⁻ (y : G), t.indicator (fun x => 1) y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s) ∂ν' = ∫⁻ (x : G), t.indicator (fun x => 1) x ∂μ'
⊢ μ' s * ν' t = ν' s * μ' t
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 ≤ r ∧ r • x = y) ↔ SameRay R x y
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ ∃ I, M.Basis I X
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
h : ∀ (r : R), r ≠ 0 → (algebraMap R A) r ∉ s
inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A
inst✝ : AlgHomClass F R (Unitization R ↥s) A
f : F
hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x
r : R
a : ↥s
hx : (algebraMap R A) r + ↑a = 0
⊢ Unitization.inl r + ↑a = 0
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
l : List (Equiv.Perm α)
hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap
⊢ Equiv.Perm.sign l.prod = (-1) ^ l.length
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝²⁹ : CommRing A
inst✝²⁸ : CommRing B
inst✝²⁷ : Algebra A B
inst✝²⁶ : Field K
inst✝²⁵ : Field L
inst✝²⁴ : Algebra A K
inst✝²³ : IsFractionRing A K
inst✝²² : Algebra B L
inst✝²¹ : Algebra K L
inst✝²⁰ : Algebra A L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.262054
Bₘ : Type ?u.262057
inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ
inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Aₘ
inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed B
inst✝¹ : Module.Finite A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
⊢ (algebraMap A K) ((intTrace A B) x) = (trace K L) ((algebraMap B L) x)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R⟦X⟧
n d : ℕ
⊢ ∀ b ∈ antidiagonal (d + n), b ≠ (n, d) → (coeff R b.1) (X ^ n) * (coeff R b.2) p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
f : α → β
hf : Continuous f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable f
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
c : 𝕜
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Polynomial.eval x P) Filter.atTop (𝓝 c) ↔ P.leadingCoeff = c ∧ P.degree ≤ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
CommRing R
CommRing S
Fintype n
DecidableEq n
f : R →+* S
⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.map f) (Matrix.charpoly.univ R n) = Matrix.charpoly.univ S n
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
x : E
hx : gauge t x ≠ 0
⊢ gauge t (gaugeRescale s t x) = gauge s x
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
p : P
hp : p ∈ {x, y, z}
⊢ ∃ r, p = r • (z -ᵥ x) +ᵥ x
α : Type u
s : Set α
p : α → Prop
x : α
⊢ x ∈ {x | x ∈ s ∧ p x} ↔ x ∈ s ∧ p x
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
x : α
⊢ hs.out (hs.proj x) = hs.some (hs.index x)