ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hg : Inducing g
⊢ Inducing (g ∘ f) ↔ Inducing f
b : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.log b 0 = 0
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
⊢ OrderDual.toDual ↑n = ↑n
α : Type u_1
DecidableEq α
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.count a (Multiset.filter p s) = if p a then Multiset.count a s else 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ Real.cos (EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃) = 0 ↔ EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃ = π / 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 1 / a ≤ b ↔ 1 / b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsOpenMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (f '' s)
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f
v_nbot : ⊥ < limsup v f
v_ntop : limsup v f < ⊤
limsup_v_real : ↑(limsup v f).toReal = limsup v f
x : ℝ
hx : limsup u f + limsup v f < ↑x
y : ℝ
sum_lt_y : limsup u f + limsup v f < ↑y
y_lt_x : ↑y < ↑x
key₁ : limsup u f < ↑y - limsup v f
⊢ limsup (u + v) f ≤ ↑x
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field L
ζ✝ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ ↑n
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K A
inst✝¹ : IsDomain A
ζ : A
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K A
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this : NeZero ↑↑n
⊢ (minpoly K ζ).comp (X - Polynomial.C (-1)) = (minpoly K ζ).comp (X + 1)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : SMulZeroClass R α
r : R
i : m
j : n
a : α
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (r • fun i' j' => if i = i' ∧ j = j' then a else 0) i✝ j✝ = if i = i✝ ∧ j = j✝ then r • a else 0
p n : ℕ
hp : 1 ≤ padicValNat p n
⊢ p ∣ n
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : E
⊢ ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).1 = 0 ↔ x ∈ q
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ (selfAdjointPart R) x = ⟨x, hx⟩
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ insert a (Set.Ioo a b) = Set.Ico a b
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
x : I → Bool
h : ∀ (i : I), x i ≠ false → J i
i : I
⊢ false ≠ x i → J i
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖₊ = ‖fun i j => A i j‖₊
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
⊢ padicValRat p q ≤ padicValRat p (q + r)
x : ℝ
⊢ x.smoothTransition = 0 ↔ x ≤ 0
α : Type u
Add α
x : Multiplicative α
⊢ WithZero.toMulBot ↑x = Multiplicative.ofAdd ↑(Multiplicative.toAdd x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
x : CategoryTheory.nerve C _[n + 1]
⊢ CategoryTheory.SimplicialObject.δ (CategoryTheory.nerve C) 0 x = CategoryTheory.ComposableArrows.δ₀ x
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ ￢a ⊔ a = ⊤
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
x y : α
⊢ ‖x ⊔ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A : Matrix m n R
⊢ (A * Aᴴ).PosSemidef
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (type r).IsLimit
x b : α
hb : b ∈ {x}
⊢ r x (enum r (succ (typein r x)) ⋯)
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
LE α
f : ι →₀ α
i : ι
⊢ Finsupp.orderEmbeddingToFun f i = f i
z w : ℍ
r : ℝ
⊢ dist z w = r ↔ dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im)) = Real.sinh (r / 2)
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
l : Dual R M
i : ι
⊢ (b.dualBasis.repr l) i = l (b i)
R : Type u
k : Type y
Field R
p q : R[X]
Field k
DecidableEq R
DecidableEq k
f : R →+* k
⊢ EuclideanDomain.gcd (Polynomial.map f p) (Polynomial.map f q) = Polynomial.map f (EuclideanDomain.gcd p q)
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J → C
B : CategoryTheory.Limits.Bicone F
⊢ B.toCocone.pt = B.pt
n m : Nat
⊢ n + m.succ = (n + m).succ
n : ℕ
d : ℕ
⊢ Monotone ⇑(Behrend.map d)
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
⊢ (ω ^ 2 ^ (p' + 1)) ^ 2 = (-1) ^ 2
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
⊢ Associated (gcd (b * a) (c * a)) (gcd b c * a)
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
⊢ (e.trans e').toPartialEquiv = e.trans e'.toPartialEquiv
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Comma L R)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (F.comp (CategoryTheory.Comma.snd L R)) R
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cone (F.comp (CategoryTheory.Comma.fst L R))
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cone (F.comp (CategoryTheory.Comma.snd L R))
t₂ : CategoryTheory.Limits.IsLimit c₂
⊢ (CategoryTheory.Comma.coneOfPreserves F c₁ t₂).pt.right = c₂.pt
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hsm : MeasurableSet s
hC : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
⊢ ‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ‖ ≤ C * (μ s).toReal
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_in_E : x ∈ E
⊢ ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x {x | infEdist x E < ENNReal.ofReal δ}ᶜ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct P Q
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct Q P
⊢ (CategoryTheory.Limits.prod.braiding P Q).inv =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ κ.compProdFun η a s = ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a
n : ℕ
⊢ Monoid.exponent (QuaternionGroup n) = 2 * lcm n 2
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
⊢ ⋂ V ∈ 𝓤 α, V ○ t ○ V = ⋂ V ∈ 𝓤 α, V ○ (t ○ V)
m✝ n✝ : ℕ
b : Bool
m n k : ℕ
h : k + 1 ≤ n + 1
⊢ shiftLeft' b m (n - k) = bit b (shiftLeft' b m n) >>> 1 >>> k
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsRefl
x y : M₁
⊢ (B x) y = 0 → (B y) x = 0
r₁ r₂ : ℝ≥0
⊢ ↑r₁ = ↑r₂ ↔ r₁ = r₂
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
h✝ : IsEmpty α
⊢ atTop ×ˢ atTop = atTop
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ : ℝ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (n + 1 + 1), (PolynomialModule.comp (Polynomial.X - Polynomial.C x₀)) ((PolynomialModule.single ℝ k) (taylorCoeffWithin f k s x₀)) = ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (PolynomialModule.comp (Polynomial.X - Polynomial.C x₀)) ((PolynomialModule.single ℝ k) (taylorCoeffWithin f k s x₀)) + (PolynomialModule.comp (Polynomial.X - Polynomial.C x₀)) ((PolynomialModule.single ℝ (n + 1)) (taylorCoeffWithin f (n + 1) s x₀))
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Mul M
Mul N
CommSemigroup P
Q : Type u_8
CommSemigroup Q
h : P →ₙ* Q
f : M →ₙ* P
g : N →ₙ* P
⊢ h.comp (f.coprod g) = (h.comp f).coprod (h.comp g)
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a \ b ≤ c ↔ a ≤ b ⊔ c
n : Nat
H : 0 < n
⊢ n / n = 1
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ
⊢ dist x y ≠ 0 ↔ x ≠ y
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
⊢ IsClosed (derivedSet A)
R : Type u
inst✝² : Ring R
M✝ L M N : ModuleCat R
f : L ⟶ M
inst✝¹ : HasImage f
g : underlying.obj (imageSubobject f) ⟶ N
inst✝ : HasCokernel g
y : ↑N
l : ↑L
⊢ 0 l = 0
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
f : 𝓕
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' Metric.ball 0 ε ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (Metric.closedBall 0 r)ᶜ ⊆ (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' Metric.ball 0 ε
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
M : Type u_4
Monoid M
c : Con M
n : ℕ
w x : M
⊢ c w x → c (w ^ n) (x ^ n)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : 𝕜
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
⊢ ‖(fun s => c • T s) s‖ ≤ ‖c‖ * C * (μ s).toReal
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0 \ Ioc 0 M
⊢ (μ {a | t ≤ f a}).toReal = 0
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
⊢ inl ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.right } = inl ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.right }
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
a₁ a₂ : A
b₁ b₂ : B
c₁ c₂ : C
⊢ (TensorProduct.assoc R A B C) (((a₁ * a₂) ⊗ₜ[R] (b₁ * b₂)) ⊗ₜ[R] (c₁ * c₂)) =
  (TensorProduct.assoc R A B C) ((a₁ ⊗ₜ[R] b₁) ⊗ₜ[R] c₁) * (TensorProduct.assoc R A B C) ((a₂ ⊗ₜ[R] b₂) ⊗ₜ[R] c₂)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ (span R s).toAddSubmonoid
r : R
m : M
hm : m ∈ closure (univ • s)
⊢ r • 0 ∈ closure (univ • s)
V : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝¹ : MonoidalCategory V
H : Grp
X : Action V ((forget₂ Grp MonCat).obj H)
inst✝ : LeftRigidCategory V
h : ↑H
⊢ SingleObj H.1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
f : E →ₛₗ[σ₁₃] F →ₛₗ[σ₂₃] G
C : ℝ
hC : ∀ (x : E) (y : F), ‖(f x) y‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
x : E
y : F
⊢ ((f.mkContinuous₂ C hC) x) y = (f x) y
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R
a : ℕ
x✝ : a > 0
x : ℕ × ℕ
_hx : x ∈ a.divisorsAntidiagonal
⊢ μ x.1 • g x.2 = ↑(μ x.1) * g x.2
α : Type u_3
self : TwoPointing α
⊢ self.fst ≠ self.snd
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass A R M₁
inst✝³ : IsScalarTower R A M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm A M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ polarBilin (Q₁.tmul Q₂) = ⅟2 • (polarBilin Q₁).tmul (polarBilin Q₂)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ : P
h : s ⊆ t
x : ↥(affineSpan 𝕜 s)
hx : x ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)
⊢ x ∈ Subtype.val ⁻¹' intrinsicClosure 𝕜 t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
o : Part α
a : α
h : a ∈ o
f : α → Part β
⊢ o.bind f = f a
α : Type u
γ : Type w
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
l : Filter γ
f : γ → α
u v : α
hv : v < u
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 v)
⊢ ∀ᶠ (a : γ) in l, f a ≤ u
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
⊢ Isometry f ↔ ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) = dist x y
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
x : R
n : ℕ
⊢ Polynomial.eval x (↑n * p) = ↑n * Polynomial.eval x p
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i : Set α
hi : ¬MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s i ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.ExistsOneDivLT s i (MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s i)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hf : BoxIntegral.Integrable I l f vol
⊢ BoxIntegral.Integrable I l (-f) vol
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u < f b
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (fun x => 0) p μ = 0
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : IsCyclotomicExtension (S ∪ T) A B
this : {b | ∃ n ∈ S ∪ T, b ^ ↑n = 1} = {b | ∃ n ∈ S, b ^ ↑n = 1} ∪ {b | ∃ n ∈ T, b ^ ↑n = 1}
b : B
⊢ b ∈ adjoin ↥(adjoin A {b | ∃ a ∈ S, b ^ ↑a = 1}) {b | ∃ n ∈ T, b ^ ↑n = 1}
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
f : α → β
comm : (↑l.toFinset).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
hl : l.Nodup
⊢ l.toFinset.noncommProd f comm = (List.map f l).prod
X : Type u_1
TopologicalSpace X
K : CompactExhaustion X
x : X
⊢ x ∈ K.shiftr (K.find x + 1) \ K.shiftr (K.find x)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x : L
χ : Weight K L M
x✝ : χ ∈ Finset.univ
⊢ (finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (Weight.toLinear K L M χ).smulRight (Weight.toLinear K L M χ)) x ∈ span K (range (Weight.toLinear K L M))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
⊢ I.multiforkEquivPiFork.inverse = I.ofPiForkFunctor
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)₀
this : φ (f * g).toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal + φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal - (φ (-(f * g)).toNNReal + φ f.toNNReal * φ g.toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal) = 0
⊢ φ (f * g).toNNReal - φ (-(f * g)).toNNReal - (φ f.toNNReal * φ g.toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal - (φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal)) = 0
v : Nat
x y : BitVec v
⊢ (x &&& y).toNat = x.toNat &&& y.toNat
α : Type u_1
g : GenContFract α
n : ℕ
⊢ g.TerminatedAt n ↔ g.s.get? n = none
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (f k) κ μ
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.functorEquivalence J C).unitIso =
  CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.unitIso J C
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
x₁ x₂ : E
y : F
⊢ (fun x => (x, y)) '' [x₁-[𝕜]x₂] = [(x₁, y)-[𝕜](x₂, y)]
E : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_5
inst✝ : CompleteSpace E
g : ι → E →SL[σ₁₂] F
h : ∀ (x : E), ⨆ i, ↑‖(g i) x‖₊ < ⊤
⊢ UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit
⊢ 1 < o
V : Type u
G : SimpleGraph V
H H' : G.Subgraph
v : V
⊢ (H ⊓ H').neighborSet v = H.neighborSet v ∩ H'.neighborSet v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p : Multiset α
a : α
s : Multiset α
ih : (Multiset.map Associates.mk s).prod = Associates.mk s.prod
⊢ (Multiset.map Associates.mk (a ::ₘ s)).prod = Associates.mk (a ::ₘ s).prod
X Y : AddCommGrp
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : ↑X), f x = g x
⊢ f = g
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q Q' : QuadraticForm R M
B : LinearMap.BilinForm R M
h : LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
m : M
⊢ (CliffordAlgebra.changeForm h) ((CliffordAlgebra.ι Q) m) = (CliffordAlgebra.ι Q') m
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
s : Set (α × α)
⊢ idRel ⊆ s ↔ ∀ (a : α), (a, a) ∈ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofZeros S hf hg).g' = 0
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀
ha : a ∈ s.centralizer
⊢ a⁻¹ ∈ s.centralizer
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : (G.sieveOfSection x).arrows i
this : (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift (homOfLe h) hG') = (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe h)
⊢ F.map i.op ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app U ⟨x, hx⟩) = (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift (homOfLe h) hG')
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
u : Finset α
hu : u ⊆ s ∧ (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t
hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x
a : α
ha : a ∈ s
hau : a ∉ u
H : ∃ b ∈ u, ∃ a_1, a⁻¹ • a_1 ∈ t ∧ b⁻¹ • a_1 ∈ t
⊢ a ∈ u * (t / t)
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
A B : Rep k G
x : CoeSort.coe A
y : CoeSort.coe B
⊢ (β_ A B).inv.hom (y ⊗ₜ[k] x) = x ⊗ₜ[k] y
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
h₁ : p.leadingCoeff = 0
⊢ p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = 0
p q✝ : ℤ[X]
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
k' m' n' : ℕ
hkm' : k' < m'
hmn' : m' < n'
x y z : ℤˣ
hq : q = trinomial k' m' n' ↑x ↑y ↑z
hk : k = k'
hn : n = n'
⊢ q = p ∨ q = -p ∨ q = p.mirror ∨ q = -p.mirror
α : Type u_1
LE α
a : α
⊢ IsTop (OrderDual.toDual a) ↔ IsBot a
k : Type u
inst✝⁷ : Field k
G : Type u
inst✝⁶ : Fintype G
inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)
inst✝⁴ : Group G
V : Type u
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V
W : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W
f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
hf : LinearMap.ker f = ⊥
A : Type u := MonoidAlgebra k G
this✝¹ : Module k W := Module.compHom W (algebraMap k A)
this✝ : Module k V := Module.compHom V (algebraMap k A)
this : IsScalarTower k A W
⊢ ∃ g, g ∘ₗ f = LinearMap.id
α : Type u
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ cmp (a / b) 1 = cmp a b
d : ℤ
a b : ℤ√d
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : b ∣ a
⊢ IsCoprime b.re b.im
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2
⊢ Set.InjOn Int.cast {0, 1, -1}
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
IsIntegralClosure A R B
S : Type u_4
CommRing S
Algebra R S
Algebra S B
IsScalarTower R S B
Algebra R A
IsScalarTower R A B
isIntegral : Algebra.IsIntegral R S
x : S
⊢ (algebraMap A B) ((IsIntegralClosure.lift R A B) x) = (algebraMap S B) x
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ : Weight K (↥H) L
hα : α✝.IsNonZero
α β : { α // α.IsNonZero }
e : ∃ x, ¬x • (rootSystem H).root α ≠ (rootSystem H).root β
⊢ (rootSystem H).root α = (rootSystem H).root β ∨ (rootSystem H).root α = -(rootSystem H).root β
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
IsPurelyInseparable F E
⊢ Field.sepDegree F E = 1
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
hf : Set.EqOn f 0 s
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = 0
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
⊢ Function.Injective ⇑(galActionHom p E)
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
g : G
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (g • s) μ
α : Type u_1
s t : SetSemiring α
⊢ SetSemiring.down s ⊂ SetSemiring.down t ↔ s < t