ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
Module B P
IsScalarTower R A P
IsScalarTower R B P
SMulCommClass A B P
AddCommMonoid Q
Module R Q
f : M →ₗ[A] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.mapBilinear R A B M N P Q) f) g = TensorProduct.AlgebraTensorModule.map f g
α : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {β : Type u_5} [inst : SeminormedAddCommGroup β] {f : α → β},
  MeasureTheory.StronglyMeasurable f → Measurable fun a => ↑‖f a‖₊
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasRightHomology
inst✝² : S₂.HasRightHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂
⊢ opcyclesMap' (F.mapShortComplex.map φ) (F.mapShortComplex.obj S₁).rightHomologyData (F.mapShortComplex.obj S₂).rightHomologyData ≫ opcyclesMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).rightHomologyData (S₂.rightHomologyData.map F) = opcyclesMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).rightHomologyData (S₁.rightHomologyData.map F) ≫ F.map (opcyclesMap' φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
h : IsComplete ↑K
u : E
⊢ ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
CommRing R
CommRing S
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Algebra R S
Module S N
IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
IsLocalizedModule p f
M' : Submodule R M
x : N
⊢ x ∈ Submodule.localized' S p f M' ↔ ∃ m ∈ M', ∃ s, IsLocalizedModule.mk' f m s = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
⊢ p ≤₁ q → q ≤₁ r → p ≤₁ r
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G H : C ⥤ Dᵒᵖ
α : F.leftOp ⟶ G.leftOp
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (G.map f ≫ (fun X => (α.app (op X)).op) Y).unop = ((fun X => (α.app (op X)).op) X ≫ F.map f).unop
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : l.NeBot
d : E''
c : F''
this : ¬Tendsto (Function.const α ‖c‖) l atTop
⊢ Tendsto (norm ∘ fun _x => c) l atTop → d = 0
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hs : s.Nonempty
hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i
p_pos : 0 < ∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i
s_pos : 0 < ∑ i ∈ s, w i * (z i)⁻¹
this : (∑ i ∈ s, w i * (z i)⁻¹)⁻¹ ≤ (∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i)⁻¹
p_pos₂ : 0 < (∏ i ∈ s, z i ^ w i)⁻¹
⊢ (∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i)⁻¹ ≤ ∏ i ∈ s, z i ^ w i
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
f : ⊤ ↪g G
⊢ ¬G.CliqueFree n
b : ℂ
hb : 0 < b.re
f : ℂ → ℝ → ℂ := fun c x => cexp (-c * ↑x ^ 2)
⊢ ContinuousAt (fun c => ∫ (x : ℝ), cexp (-c * ↑x ^ 2)) b
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
h : 1 ∈ s
⊢ ∀ (x : PrimeSpectrum R), x ∉ zeroLocus s
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
n : ℕ
⊢ 0 ≤ seminormFromConst_seq c f x n
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
Module R M₃
f : MultilinearMap R M₁ M₂
g : MultilinearMap R M₁ M₃
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ (f.prod g) m = (f m, g m)
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
a : R
ha : 0 < a
c : R
hc : IsRegular c
⊢ 0 < star c * a * c
α : Type u
s t : Stream'.WSeq α
h : s ~ʷ t
n : ℕ
⊢ s.drop n ~ʷ t.drop n
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
Ring R
v : AddValuation R Γ₀
⊢ v.IsEquiv v
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : Nonempty α
p : α × α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α × α) in atBot, p x) ↔ ∃ a, ∀ (k l : α), k ≤ a → l ≤ a → p (k, l)
α : Type u_1
L : List α
i j : Nat
h : i + j < L.length
⊢ j < (List.drop i L).length
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥N
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
⊢ False
x : ℝ
⊢ Real.toEReal '' Iic x = Ioc ⊥ ↑x
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
S T : ↑(Subgroup.leftTransversals ↑H)
H.FiniteIndex
⊢ (Subgroup.leftTransversals.diff ϕ S T)⁻¹ = Subgroup.leftTransversals.diff ϕ T S
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∑ v ∈ p.support, (MvPolynomial.monomial v) (MvPolynomial.coeff v p) = p
ι : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
f : ι → β
⊢ ∏ i ∈ filter (fun i => i ∈ ↑t) s, f i = ∏ i ∈ filter (fun i => i ∈ t) s, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
T : Set β
hT : IsClosed T
hS : IsIrreducible (f ⁻¹' T)
hS' : IsClosed (f ⁻¹' T)
hS'' : IsIrreducible (T ∩ range f)
y : α
hx : IsGenericPoint (f y) (closure (T ∩ range f))
hxT : f y ∈ T
⊢ f '' (f ⁻¹' closure (T ∩ range f)) = f '' (f ⁻¹' T)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
InnerProductSpaceable E
⊢ InnerProductSpaceable.innerProp' E RCLike.I
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : ¬b ≤ a
⊢ [[a, b]] = Finset.Icc a b
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
S T : Submodule R M
h : S ≤ T
x : M
⊢ (S.quotientQuotientEquivQuotientAux T h) (Submodule.Quotient.mk (Submodule.Quotient.mk x)) = Submodule.Quotient.mk x
M : Type u_1
Monoid M
a : M
⊢ IsUnit a ↔ (∃ b, a * b = 1) ∧ ∃ c, c * a = 1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
⊢ (algEquiv M S).symm (mk' S x y) = mk x y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
v : V
⊢ AffineIndependent k (v +ᵥ p) ↔ AffineIndependent k p
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (n : ℕ), 1 < c n
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
this : ∀ (k : ℕ), ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c k ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c i ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c i ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
⊢ ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c k ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
a : α
f : α → β
CommMonoid β
DecidableEq α
⊢ a ∉ s → ∏ x ∈ insert a s, f x = f a * ∏ x ∈ s, f x
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : E ⧸ p
⊢ Submodule.Quotient.mk ↑((p.quotientEquivOfIsCompl q h) x) = x
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
CstarRing A
CompleteSpace A
NormedAlgebra ℂ A
StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
ha₂ : SpectrumRestricts (-a) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ a = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : CompleteSpace F
E' : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℂ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
T : E' →L[ℂ] E'
⊢ T.IsPositive ↔ ∀ (x : E'), ↑(re ⟪T x, x⟫_ℂ) = ⟪T x, x⟫_ℂ ∧ 0 ≤ re ⟪T x, x⟫_ℂ
α : Type u_1
Preorder α
a : α
SuccOrder α
NoMaxOrder α
h : Order.IsSuccLimit a
b : α
⊢ Order.succ b ≠ a
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] 0
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π) 0 ≤ ↑ε
R : Type u_1
NonAssocRing R
Pow R ℕ
BinomialRing R
NatPowAssoc R
n k : ℕ
⊢ Ring.choose (↑n) k = ↑(n.choose k)
α : Type u_2
β : α → Type u_1
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (β a)
⊢ α → List ((a : α) × β a)
α : Type u_1
CompleteLattice α
p q : Prop
s : p ∧ q → α
⊢ iInf s = ⨅ (h₁ : p), ⨅ (h₂ : q), s ⋯
δ K x : ℝ
⊢ gronwallBound δ K 0 x = δ * rexp (K * x)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J : Ideal R
hi : I.IsPrimary
hj : J.IsPrimary
hij : I.radical = J.radical
x y : R
x✝ : x * y ∈ I ⊓ J
hxyi : x * y ∈ ↑I
hxyj : x * y ∈ ↑J
hxi : x ∈ I
⊢ x ∈ I ⊓ J ∨ y ∈ J.radical
α : Type u_5
Semiring α
⊢ (Set.range fun x => 2 * x) = {a | Even a}
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
ha : a < a'
hb : b < b'
h₀✝ : 0 ≤ r
h₁ : r ≤ 1
h₀ : 0 < r
⊢ (lineMap a b) r < (lineMap a' b') r
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ 𝟙 V ⊗ g ≫ h = (𝟙 V ⊗ g) ≫ (𝟙 V ⊗ h)
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
self : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
⊢ star B₀ = B₀
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Filter.Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Filter.Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
d✝ : ℤ
c d x y n : ℕ
xy : SqLe x c y d
⊢ SqLe (n * x) c (n * y) d
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
A B C : Set E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hAC : IsExtreme 𝕜 A C
⊢ IsExtreme 𝕜 A (B ∩ C)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
NormedSpace ℝ 𝕜
Module 𝕜 E
Module ℝ E
IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
⊢ Convex ℝ (p.closedBall x r)
z w : ℂ
⊢ √(Complex.normSq (z + w)) ≤ √(Complex.normSq z) + √(Complex.normSq w)
b x✝ y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
x : ℝ
a✝ : x ∈ univ
⊢ x ∈ logb b '' Iio 0
M : Type u_1
MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f g : Equiv.Perm α
⊢ (f * g).support ≤ f.support ⊔ g.support
A : Type u_1
AddCancelMonoid A
Finset.HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ Finset.antidiagonal n
hq : q ∈ Finset.antidiagonal n
⊢ p = q ↔ p.1 = q.1
α : Type u_1
Order.Frame α
⊢ ↑(Frm.of α) = α
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
x : ↥U
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : ↑x ∈ V.carrier
iVU : V ⟶ U
f g : R
hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
s_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
h : R
hxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h
hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V
n : ℕ
c : R
hc : c * g = h ^ (n + 1)
basic_opens_eq : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen h
i_basic_open : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) ⟶ V
⊢ ∀ x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)), g ∈ x.asIdeal.primeCompl
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).sin = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
⊢ lift.{0, 0} #ℚ < lift.{0, 0} #ℝ
M : Type u_3
AddCommMonoid M
n : ℕ
i : Fin n
v : Fin n.succ → M
⊢ ∑ j ∈ Finset.Ioi i.succ, v j = ∑ j ∈ Finset.Ioi i, v j.succ
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
x1 x2 y : ℕ × K
H : PerfectClosure.R K p x1 x2
⊢ PerfectClosure.mk K p (x1.1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] x1.2 * (⇑(frobenius K p))^[x1.1] y.2) =
  PerfectClosure.mk K p (x2.1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] x2.2 * (⇑(frobenius K p))^[x2.1] y.2)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ₁ γ₂ γ₃ : OneCochain G U
α β : ZeroCochain G U
h₁₂ : OneCohomologyRelation γ₁ γ₂ α
h₂₃ : OneCohomologyRelation γ₂ γ₃ β
i j : I
T : C
a : T ⟶ U i
b : T ⟶ U j
⊢ (G.map a.op) (β i * α i) * γ₁.ev i j a b = γ₃.ev i j a b * (G.map b.op) (β j * α j)
Ω : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁹ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁸ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁷ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝⁶ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝⁵ : TopologicalSpace Ω
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : BoundedSMul R ℝ≥0
μ : FiniteMeasure Ω
c : R
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ μ.testAgainstNN (c • f) = c • μ.testAgainstNN f
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Set.Ioo b c = Set.Ioo (b + a) (c + a)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
⊢ o.oangle x (x + y) = ↑(Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
p : Seminorm ℝ E
x : E
hp : {r | 0 < r ∧ x ∈ r • p.ball 0 1} = ∅
⊢ gauge (p.ball 0 1) x = p x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
p : α → Prop
x✝ y✝ x y : α
⊢ (if ¬y ≤ x then y else x) = if x < y then y else x
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
x y : ↥H
n : ℕ
⊢ ↑(((LieAlgebra.ad R ↥H) x ^ n) y) = ((LieAlgebra.ad R L) ↑x ^ n) ↑y
p : ℕ
hp : 1 < p
inst✝ : Fintype (ZMod p)ˣ
this : NeZero p
⊢ Fintype.card (ZMod p)ˣ ≤ p - 1
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
hg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, g x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
hgm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m g μ
⊢ g =ᵐ[μ] μ[f|m]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Ring R
Ring R₂
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ (LinearMap.range f).toAddSubgroup = f.toAddMonoidHom.range
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.Finite
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).Finite
ι : Sort u_1
Nonempty ι
a : ℝ≥0
g : ι → ℝ≥0
h : ℝ≥0
H : ∀ (i : ι), a ≤ g i * h
⊢ a ≤ iInf g * h
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ Disjoint f g ↔ Disjoint f.support g.support
α : Type u_1
M : Type u_2
AddMonoidWithOne M
CharZero M
n : ℕ
hn : n ≠ 1
⊢ Function.mulSupport ↑n = Set.univ
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ ⌊a + 1⌋₊ = ⌊a⌋₊ + 1
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l.dedup
⊢ (a :: l).dedup = l.dedup
R : Type u
Ring R
IsDomain R
f : R[X]
⊢ f.integralNormalization.support = f.support
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ IsIrreducible (irreducibleComponent x)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
hi : ¬MeasurableSet i
⊢ ↑v i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
f : Filter α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
u : α → β
b : β
h : b < liminf u f
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
⊢ ∀ᶠ (a : α) in f, b < u a
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
∀ (a : B), CategoryTheory.IsIso (F.mapId a)
∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), CategoryTheory.IsIso (F.mapComp f g)
⊢ ∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c),
  ((CategoryTheory.Pseudofunctor.mkOfOplax' F).mapComp f g).inv = CategoryTheory.inv (F.mapComp f g)
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : Nat.Prime (orderOf σ)
h2 : Fintype.card α < 2 * orderOf σ
⊢ σ.IsCycle
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ addValuationDef 1 = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f : Perm α
⊢ f.IsCycle ↔ f.IsCycle
X : Type u_1
TopologicalSpace X
t : Set X
ht : IsPreirreducible t
⊢ IsPreirreducible (interior t)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
⊢ HasSum (fun n => (↑n.factorial)⁻¹ • x ^ n) (NormedSpace.exp 𝕂 x)
α : Type u_1
s t : Multiset α
h : s ≤ t
⊢ Multiset.card t ≤ Multiset.card s → s = t
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
h₁ : LieAlgebra.IsNilpotent R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L' L' k = ⊥
⊢ ∃ k, lowerCentralSeries R L L k = ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : K[X]
⊢ factors (span {p}) = Multiset.map (fun q => span {q}) (factors p)
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
s : optParam (Set X) Set.univ
self : BumpCovering ι X s
⊢ 0 ≤ self.toFun
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ ((toMatrix c b) id * (toMatrix c c) f * (toMatrix b c) id).trace = ((toMatrix c c) f * (toMatrix b c) id * (toMatrix c b) id).trace
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape K C
CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.uncurry.obj F)
CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ CategoryTheory.Limits.colim)
j : J
k : K
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι (CategoryTheory.uncurry.obj F) (j, k) ≫
    (CategoryTheory.Limits.colimitUncurryIsoColimitCompColim F).hom =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F.obj j) k ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F ⋙ CategoryTheory.Limits.colim) j
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≤] a
hfs : f '' s ∈ 𝓝[≤] f a
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Iic a) a
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) → (a : α) → Part (β a)
x : α
h' : ∃ i, (Part.Fix.approx f i x).Dom
⊢ Part.fix f x = Part.Fix.approx f (Nat.find h').succ x
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
DecidableEq ι
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ℳ : ι → Submodule R M
DirectSum.Decomposition ℳ
m : M
⊢ (DirectSum.decomposeLinearEquiv ℳ) m = (DirectSum.decompose ℳ) m
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
x : List α
a : α
⊢ M.eval (x ++ [a]) = M.step (M.eval x) a
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
⊢ type (Subrel (fun x x_1 => x < x_1) {o' | o' < ⟦{ α := α, r := r, wo := wo }⟧}) = lift.{u + 1, u} ⟦{ α := α, r := r, wo := wo }⟧
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
hp : (setOf p).Infinite
⊢ GaloisConnection (Nat.count p) (Nat.nth p)
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ ∃ J, M.Basis J X ∧ I ⊆ J
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ -(↑⌊x⌋ + fract x) + fract x = -↑⌊x⌋
R✝ : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R✝
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
R : Type uR
inst✝ : Ring R
r : R → R → Prop
a b c : R
h : Rel r b c
⊢ Rel r (a - b) (a - c)
n : ℕ
⊢ ArithmeticFunction.cardFactors n = 1 ↔ Nat.Prime n
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s t : Finset α
⊢ Finset.filter p s = Finset.filter p t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, p a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ closedBall x δ / {y} = closedBall (x / y) δ
α : Type u
Lattice α
a b : α
⊢ a ⊔ b = a ⊓ b ↔ a = b
R : Type u_1
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
p : Submodule R M
hp : p ≤ Submodule.comap f p
hnp : IsNilpotent f
⊢ IsNilpotent (p.mapQ p f hp)
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
CompleteLattice α
CompleteLattice β
gi : GaloisCoinsertion l u
s : Set α
⊢ u (sSup (l '' s)) = sSup s
α : Type u
β : α → Type u
∀ (a : α), Finite (β a)
⊢ Cardinal.mk (WType β) ≤ max (Cardinal.mk α) Cardinal.aleph0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h₁ : s ≠ t
h₂ : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ ε ≤ ↑|G.edgeDensity (if WellOrderingRel s t then (G.nonuniformWitnesses ε s t).1 else (G.nonuniformWitnesses ε t s).2) (if WellOrderingRel t s then (G.nonuniformWitnesses ε t s).1 else (G.nonuniformWitnesses ε s t).2) - G.edgeDensity s t|
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : FrameHom α β
⊢ (FrameHom.id β).comp f = f
R : Type u_1
CommSemiring R
R'' : Type u_3
Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
Module R'' M
SMulCommClass R R'' M
r s : R''
x : TensorProduct R M N
⊢ (r + s) • x = r • x + s • x
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ℕ → α
k : ℕ
hf : Monotone fun n => ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f i
⊢ ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f (i + k) = ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n + k), f i
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : L → R
m : M
⊢ (∀ (a : L) (b : a ∈ ⊤), ∃ k, (((toEnd R (↥⊤) M) ⟨a, b⟩ - (χ ∘ ⇑⊤.incl) ⟨a, b⟩ • 1) ^ k) m = 0) ↔ ∀ (x : L), ∃ k, (((toEnd R L M) x - χ x • 1) ^ k) m = 0
R : Type u
A : Type z
B : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A ≃ₐ[R] B
⊢ ↑(Polynomial.mapAlgEquiv f) = Polynomial.mapRingHom ↑f