ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : α → E
hf : ∀ (c : E), (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) =ᶠ[ae μ] 0
s : ℕ → E := denseSeq E
hs : DenseRange s
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ⟪s n, f x⟫_𝕜 = 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
S : Type u_2
LinearOrderedCommRing S
abv : AbsoluteValue ℤ S
x : ℤˣ
⊢ abv ↑x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ts : List α
⊢ map (map f) ts.permutations = (map f ts).permutations
P : ℝ → Prop
x₀ r : ℝ
hr : 1 < r
hx₀ : 0 < x₀
base : ∀ x ∈ Ico x₀ (r * x₀), P x
step : ∀ n ≥ 1, (∀ z ∈ Ico x₀ (r ^ n * x₀), P z) → ∀ z ∈ Ico (r ^ n * x₀) (r ^ (n + 1) * x₀), P z
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ Ico x₀ (r ^ (n + 1) * x₀), P x
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
⊢ (g ⊚ f) i '' univ = g i ∘ f i '' univ
D : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Groupoid D
inst✝² : Category.{?u.11305, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ (F.map f ▷ (ihom (F.obj X)).obj (G.obj X) ≫ F.obj Y ◁ ((ihom (F.obj X)).map (G.map f) ≫ (pre (CategoryTheory.inv (F.map f))).app (G.obj Y))) ≫ (ihom.ev (F.obj Y)).app (G.obj Y) = (ihom.ev (F.obj X)).app (G.obj X) ≫ G.map f
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
⊢ Subgroup.map f H = f.range ↔ Codisjoint H f.ker
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
s : Finset α
a : α
f : α → β
ha : a ∉ s
comm : (↑(Finset.cons a s ha)).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
⊢ (Finset.cons a s ha).noncommProd f comm = f a * s.noncommProd f ⋯
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →L[ℝ] ℝ
x : F
lm : F →ₗ[𝕜] 𝕜 := (↑fr).extendTo𝕜'
h : ¬lm x = 0
⊢ ‖lm x‖ ^ 2 ≤ ‖lm x‖ * (‖fr‖ * ‖x‖)
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ b ∈ Finset.Icc a b ↔ a ≤ b
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry ↑((liftLie R L M N P) f)) m) n = ((AlgebraTensorModule.curry ((lift R L M N P) ↑f)) m) n
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommMonoid β
l : Filter α
f g : α → β
hf : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≤ 0
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atBot
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
v : ℝ → E → E
tMin t₀ tMax : ℝ
x₀ : E
R : ℝ
L C : ℝ≥0
hpl : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R ↑C
⊢ ∃ f, f t₀ = x₀ ∧ ∀ t ∈ Icc tMin tMax, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Icc tMin tMax) t
α : Type u_1
β : Type u_2
G H✝ : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
H : SimpleGraph β
f : H ↪g G
h : ¬H.CliqueFree n
⊢ ¬G.CliqueFree n
n a b : ℕ
⊢ Prime (a * b) ↔ Prime a ∧ b = 1 ∨ Prime b ∧ a = 1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
m n : PosNum
⊢ ¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R T
ι✝ κ✝ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι✝
b✝ : Basis ι✝ R S
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
ι : Type u_4
κ : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite κ
b : Basis ι R S
c : Basis κ S T
x : T
this✝ : DecidableEq ι
this : DecidableEq κ
val✝ : Fintype ι
⊢ (trace R S) ((trace S T) x) = (trace R T) x
ι : Type u
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
(i : ι) → Zero (β₁ i)
(i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
⊢ DFinsupp.mapRange f hf 0 = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
⊢ f =O[⊤] fun p => ‖p.1‖ * ‖p.2‖
k n : ℕ
hkn : n.Coprime k
hk : 1 < k
⊢ ∃ m, n * m % k = 1
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f g : CauchyFilter α
a b : α
ha : Tendsto id (↑f) (𝓝 a)
hb : Tendsto id (↑g) (𝓝 b)
⊢ Tendsto (fun x => ((id ∘ Prod.fst) x, (id ∘ Prod.snd) x)) (↑f ×ˢ ↑g) (𝓤 α) ↔ ↑f ×ˢ ↑g ≤ 𝓤 α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
x : Set ℝ
⊢ x ∈ ⋃ a, {Iic ↑a} ↔ x ∈ Iic '' (Rat.cast '' univ)
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
x : A
⊢ x ∈ ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
F : J ⥤ K ⥤ C
c : (k : K) → CategoryTheory.Limits.ColimitCocone (F.flip.obj k)
j : J
k : K
⊢ ((CategoryTheory.Limits.combineCocones F c).ι.app j).app k = (c k).cocone.ι.app j
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
n : ↥N
hn : map ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd (MulAut ↥N) ↥N) (MulAut.conjNormal (↑n * g))) ↑P = ↑P
this : Function.Injective ⇑(MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g)))
x : G
⊢ (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g))) x ∈ map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g))) (map N.subtype ↑P) ↔ ↑n * g * x * (↑n * g)⁻¹ ∈ map N.subtype ↑P
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
y : ℤ
⊢ round (x - ↑y) = round x - y
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ I J : Ideal A
I_le_J : I ≤ J
⊢ homogeneousHull 𝒜 I ≤ homogeneousHull 𝒜 J
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.id h).φQ = CategoryTheory.CategoryStruct.id h.Q
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 0
⊢ n.gcd m = 1
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
z : ℤ
⊢ a ≡ b [PMOD p] → z • p + a ≡ b [PMOD p]
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
⊢ LiouvilleWith p (↑r + x) ↔ LiouvilleWith p x
q : ℍ
hq : q.re = 0
⊢ HasSum (fun n => (expSeries ℝ ℍ n) fun x => q) (↑(Real.cos ‖q‖) + (Real.sin ‖q‖ / ‖q‖) • q)
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
ha : ∀ (x : α), x ∈ zpowers a
⊢ image (fun i => a ^ i) (range (orderOf a)) = univ
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
this : NumberField K
H : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ 0 - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ 0
⊢ hζ.toInteger - 1 ∣ ↑↑↑p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a : A
X : C
⊢ ((CategoryTheory.Functor.id C).commShiftIso a).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (((CategoryTheory.shiftFunctor C a).comp (CategoryTheory.Functor.id C)).obj X)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A B : Cᵒᵖ
g : Opposite.unop B ⟶ Opposite.unop A
⊢ (CategoryTheory.opEquiv A B).symm g = g.op
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
x : G
⊢ ↑↑0 =ᶠ[ae μ] ↑↑(0 x)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : ¬a ≤ b
⊢ Set.Icc a b = ∅
n : ℕ
⊢ finRotate (2 * n + 1) ∈ alternatingGroup (Fin (2 * n + 1))
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : ↑s), (g ∘ f) ↑a ∂Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) = ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| * (g ∘ f) x ∂μ
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ p.support \ q.support ⊆ (p + q).support
R : Type u_1
CommSemiring R
x : R
⊢ Polynomial.eval₂ (Polynomial.evalRingHom x) = Polynomial.evalEval x
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
n : ℕ
ih : FP (Stream'.drop n a) ⊆ FP a
⊢ FP (Stream'.drop (n + 1) a) ⊆ FP a
a b : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ ⊤
⊢ a.toReal ≤ b.toReal ↔ a ≤ b
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : H₁.Normal
hH₂ : H₂.Normal
hdis : Disjoint H₁ H₂
x y : G
hx : x ∈ H₁
hy : y ∈ H₂
⊢ x * y * x⁻¹ * y⁻¹ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g✝ : β → α
g : ↑(range f) → α
hf₁ : Measurable f
hf₂ : MeasurableSet (range f)
hg : Measurable g
H : LeftInverse g (rangeFactorization f)
⊢ MeasurableEmbedding f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
s : Set E
⊢ Balanced 𝕜 s ↔ Metric.closedBall 0 1 • s ⊆ s
M : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : Monoid M
inst✝⁷ : MulAction M α✝
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul M α✝
N : Type u_4
inst✝⁵ : Monoid N
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : MulAction M α
inst✝³ : MulAction N β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : ContinuousConstSMul N β
σ : M → N
⊢ IsClosed {f | ∀ (c : M) (x : α), f (c • x) = σ c • f x}
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))⌉₊
this : (⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ finrank ℚ K ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Icc (-↑C) ↑C), ↑(map (algebraMap ℤ K) f).roots.toFinset).Finite
⊢ {x | IsIntegral ℤ x ∧ ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B}.Finite
L R : List SetTheory.PGame
i : Fin R.length
⊢ (SetTheory.PGame.ofLists L R).moveRight (SetTheory.PGame.toOfListsRightMoves i) = R.get i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
A₀ A₁ A₂ : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
f : A₀ ⟶ A₁
g : A₁ ⟶ A₂
⊢ CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.Hom.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
ξ : ℝ
q : ℚ
h : |ξ - ↑q| < 1 / (2 * ↑q.den ^ 2)
⊢ ∃ n, (GenContFract.of ξ).convs n = ↑q
K : Type u_1
RCLike K
r s : ℝ
⊢ ↑(r * s) = ↑r * ↑s
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
g : G
hg : g ∈ s
n : G
⊢ n ∈ s ↔ g * n * g⁻¹ ∈ s
n : ℕ
⊢ 2 ^ n * Surreal.powHalf n = 1
z : ℂ
hz : 0 ≤ z
⊢ z = ↑‖z‖
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (z * y + x) y
⊢ IsCoprime x y
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
e : R' →+* S' := (↑e₂).comp ((IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯).comp ↑e₁)
⊢ e = IsLocalization.Away.map R' S' f r
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
M₂ : Type u_10
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
f : M₂ →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
g₁ g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
⊢ g₁.compLinearMap f = g₂.compLinearMap f ↔ g₁ = g₂
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ Set.Iic a ∪ Set.Ioo a b = Set.Iio b
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
C c : ℝ
hc_mem : c ∈ Set.Ioo 0 1
hc : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), C ≤ ↑(r i n)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_9
AddCommMonoid N
Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
Fintype ι'
Fintype ι
Finite κ'
DecidableEq ι
DecidableEq ι'
⊢ (LinearMap.toMatrix b' c') f * b'.toMatrix ⇑b = (LinearMap.toMatrix b c') f
α β : Type u
f : (Fin 2 → α) → β
⊢ Function.OfArity.curry f = Function.curry (f ∘ ⇑(finTwoArrowEquiv α).symm)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
T2Space β
s : Set α
hs : Dense s
⊢ Function.Injective (ContinuousMap.restrict s)
α : Sort u
s : Setoid α
motive : Quotient s → Prop
⊢ (∀ (a : α), motive (Quotient.mk s a)) → ∀ (q : Quotient s), motive q
n : ℕ
⊢ ArithmeticFunction.vonMangoldt n = if IsPrimePow n then Real.log ↑n.minFac else 0
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
J : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism
⊢ LieIdeal.map f (LieIdeal.comap f J) = f.idealRange ⊓ J
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
n : ℕ
⊢ Finset.univ.sym n = Finset.univ
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
s : AddSubmonoid M
t : AddSubmonoid N
⊢ s.prod t = ⊤ ↔ s = ⊤ ∧ t = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
hb : 0 < b
⊢ 0 < a • b ↔ 0 < a
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
f : M → N
g : N → P
Zero P
h : Function.Exact f g
⊢ g ∘ f = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F F' : CategoryTheory.Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ F'
⊢ CategoryTheory.GrothendieckTopology.toImageSheaf f ≫ CategoryTheory.GrothendieckTopology.imageSheafι f = f
f : ℕ → ℂ
⊢ Set.EqOn (deriv (LSeries f)) (-LSeries (LSeries.logMul f)) {s | LSeries.abscissaOfAbsConv f < ↑s.re}
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
parent : Path α
x : α
b a : RBNode α
ha : RBNode.Ordered cmp a
hp : Ordered cmp parent
xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b
xp : RootOrdered cmp parent x
bp : All (RootOrdered cmp parent) b
hb : RBNode.Ordered cmp b
H : All (RootOrdered cmp (left c✝ parent x b)) a
⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.del (a.balLeft x b) c✝)
α : Type u_1
β : Type u_4
SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
x y : α
⊢ ↑(l.toFun ↑x) ∪ ↑(l.toFun ↑y) ⊆ ↑(l.toFun (↑x ∪ ↑y))
β : Type u_2
s : Set β
⊢ (¬s.Nonempty) = (s = ∅)
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
hzero : Tendsto (fun x_1 => -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ (fun x_1 => inverse (1 - -↑x⁻¹ * x_1) * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun _t => 1 * 1
R : Type u
Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : CategoryTheory.Limits.Fan f
x : ↑s.pt
j : J
⊢ (ModuleCat.HasLimit.lift f s) x j = (s.π.app { as := j }) x
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
⊢ s + Metric.closedBall 0 δ = Metric.cthickening δ s
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
LinearOrderedRing R
Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atBot
α : Type u_1
G : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
s : Set α
g : G
⊢ s ∈ AddAction.fixedBy (Set α) g ↔ ∀ (x : α), g +ᵥ x ∈ s ↔ x ∈ s
α : Sort u₁
β : Sort u₂
φ : α → β → Sort u₃
f : (x : α) → (y : β) → φ x y
⊢ Function.swap f = fun y x => f x y
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
S : Multiset α
g1 g2 : α → β
h : ∀ a ∈ S, g1 a ∣ g2 a
⊢ (map g1 0).prod ∣ (map g2 0).prod
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s : AList β
h : a ∉ s
⊢ AList.insert a b s = { entries := ⟨a, b⟩ :: s.entries, nodupKeys := ⋯ }
R : Type u
CommRing R
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
P A : Matrix n n R
h : Invertible P
⊢ (P.lieConj h).symm A = P⁻¹ * A * P
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
x y : M ⧸ S
⊢ ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
h : IsGreatest s a
⊢ s.Nonempty
α : Type u
Preorder α
f : ℤ → α
hf : ∀ (n : ℤ), f n < f (n + 1)
⊢ StrictMono f
M : Type w
N : Type w'
f : M ≃ N
⊢ ⇑f.empty = ⇑f
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x y : MvPolynomial R ℚ
⊢ ghostMap (teichmullerFun p (x * y)) = ghostMap (teichmullerFun p x * teichmullerFun p y)
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ Even (m - n) ↔ (Odd m ↔ Odd n)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
hn : Nonempty α
hd : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
hb : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (iInf f).NeBot
α : Type u
β : Type u
b : β
n : ℕ
⊢ Function.OfArity.const α b n.succ = fun x => Function.OfArity.const α b n
ι : Sort u_1
g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
f : ι → ℝ≥0
⊢ (⨆ i, ↑(f i)).toNNReal = ⨆ i, f i
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n
⊢ IsColimit (Cocone.whisker (Discrete.equivalence e).symm.functor c)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
pₗ : Submodule R N
qₗ : Submodule R N₂
fₗ : N →ₗ[R] N₂
c : R
⊢ ∀ ⦃x : N⦄, x ∈ comap fₗ qₗ → x ∈ comap (c • fₗ) qₗ
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ ({a} ∩ s).Nonempty ↔ a ∈ s
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ Disjoint {a} s ↔ a ∉ s
R : Type u_1
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
Module S M₂
SMulCommClass R S M₂
v : M
f : M →ₗ[R] M₂
⊢ ((LinearMap.applyₗ' S) v) f = f v
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ ∀ (x : α), x ∉ s₁ ∩ (s₂ \ s₁)
n i : ℕ
⊢ n &&& 2 ^ i = (n.testBit i).toNat * 2 ^ i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.refl φ).h₂ = 0
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommGroup N'
inst✝⁶ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M
v' : ι → M'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M
s : Equiv.Perm ι
x y : ι
hxy : x ≠ y
hI : g (v ∘ ⇑s) = Equiv.Perm.sign s • g v
⊢ g (v ∘ ⇑(s * Equiv.swap x y)) = Equiv.Perm.sign (s * Equiv.swap x y) • g v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
⊢ s.val = {a} ↔ s.val = {a}.val
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
F : J ⥤ K ⥤ C
c : (k : K) → CategoryTheory.Limits.ColimitCocone (F.flip.obj k)
k : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.combineCocones F c).pt.obj k = (c k).cocone.pt
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ (a • s)⁻¹ = op a⁻¹ • s⁻¹
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ a ∈ l ↔ ∃ n h, l[n] = a
α : Type u_1
a b : List α
h₁ : a.length = b.length
h₂ : ∀ (i : Nat) (hi₁ : i < a.length) (hi₂ : i < b.length), a.get ⟨i, hi₁⟩ = b.get ⟨i, hi₂⟩
⊢ a = b
α : Type u_1
CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k < n + 1), u k = (⨆ k, ⨆ (_ : k < n), u k) ⊔ u n
X : Type u_1
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
U : Set X
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
⊢ μ U ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f₁ : MeasureTheory.SimpleFunc α γ
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f₂ : MeasureTheory.SimpleFunc β γ
⊢ (f₁.extend g hg f₂).comp g ⋯ = f₁
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
⊢ Function.leftLim f x ≤ f y
a b m n p✝ p r i : ℕ
pp : Prime p
hr0 : r ≠ 0
h : p ∣ r
⊢ Prime p ∧ p ∣ p * i + r ∧ p * i + r ≠ 0
R : Type u
CommRing R
f g h : R[X]
⊢ (AdjoinRoot.mk f) g = (AdjoinRoot.mk f) h ↔ f ∣ g - h
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this✝ : Inhabited I
m : Products I →₀ ℤ
hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}
hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
this : (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l) = (Linear_CC' C hsC ho) (m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod)
hse : LinearMap.range (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).f = LinearMap.ker (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).g
⊢ False
α : Type u
β : Type v
σ : Type w₂
f : α → σ → σ × β
x : List α
s : σ
⊢ (List.mapAccumr f x s).snd.length = x.length
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
T2Space M
f : ℤ → M
hf₁ : Multipliable fun n => f ↑n
hf₂ : Multipliable fun n => f (-(↑n + 1))
⊢ ∏' (n : ℤ), f n = (∏' (n : ℕ), f ↑n) * ∏' (n : ℕ), f (-(↑n + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (z : β × γ) in s ×ˢ Set.univ, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β) in s, ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : (fun x => f x ^ p) =ᶠ[ae μ] 0
x : α
⊢ ¬f x = 0 → ¬f x ^ p = 0