ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
SemilatticeSup α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ a < a ⊔ b ∨ b < a ⊔ b
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖
⊢ ContinuousAt (f ⋆[L, μ] g) x₀
α : Type u_1
β : Type v
AddCommMonoid β
s : Multiset α
t : α → Multiset β
⊢ (s.bind t).sum = (Multiset.map (fun a => (t a).sum) s).sum
ι : Type u
γ : Type w
DecidableEq ι
AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
(i : ι) → (x : ↥(S i)) → Decidable (x ≠ 0)
x : γ
⊢ x ∈ iSup S ↔ ∃ f, (f.sum fun i xi => ↑xi) = x
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
h : 0 < |ξ - ↑q|
m : ℕ
hm : 1 / |ξ - ↑q| < ↑m
m_pos : 0 < ↑m
q' : ℚ
hbd : |ξ - ↑q'| ≤ 1 / ((↑m + 1) * ↑q'.den)
hden : q'.den ≤ m
den_pos : 0 < ↑q'.den
md_pos : 0 < (↑m + 1) * ↑q'.den
⊢ ∃ q', |ξ - ↑q'| < 1 / ↑q'.den ^ 2 ∧ |ξ - ↑q'| < |ξ - ↑q|
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
f.NeBot
a : α
⊢ a \ Filter.limsup u f = Filter.liminf (fun b => a \ u b) f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
c : 𝕜
⊢ MapsTo (⇑(lineMap x y)) (Ioo 0 1) (insert ((lineMap x y) c) (⇑(lineMap x ((lineMap x y) c)) '' Ioo 0 1 ∪ ⇑(lineMap ((lineMap x y) c) y) '' Ioo 0 1))
α : Type u_1
LE α
s t : LowerSet α
a : α
⊢ a ∈ s ⊓ t ↔ a ∈ s ∧ a ∈ t
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
⊢ ↑(P.energy G) = (∑ uv ∈ P.parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity uv.1 uv.2) ^ 2) / ↑P.parts.card ^ 2
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
OrderTop α
OrderTop β
IsCoatomic β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisCoinsertion l u
htop : l ⊤ = ⊤
h_coatom : ∀ (b : β), IsCoatom b → l (u b) = b
b : β
⊢ IsCoatom (u b) ↔ IsCoatom b
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ a < ↑⌊a⌋.succ
α : Type u_1
b : α
LE α
x : WithBot α
⊢ x ≤ ↑b ↔ ∀ (a : α), x = ↑a → a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
x : Set α
⊢ ⇑f '' minimals r x = minimals s (⇑f '' x)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
f : α → Ordinal.{max u v}
g : β → Ordinal.{max u v}
h : range f ⊆ range g
i : α
hi : f i = mex g
⊢ False
Ω : Type u_1
β : Type u_6
β' : Type u_7
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun f g μ ↔
  ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → μ (f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t) = μ (f ⁻¹' s) * μ (g ⁻¹' t)
a b r : ENNReal
hr₀ : r ≠ 0
hr₁ : r ≠ ⊤
⊢ r * a ≤ b ↔ a ≤ r⁻¹ * b
α : Type u_1
L : List (List α)
h : L ≠ []
⊢ (List.drop (L.length - 1) L).join = L.getLast h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommRing R
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
AddCommGroup M
Module R M
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
N : Submodule R₁ M₁
b : B.IsRefl
⊢ N ≤ (N.orthogonalBilin B).orthogonalBilin B
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).hom ≫ ((fun X Y => prod.braiding X Y) X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom = ((fun X Y => prod.braiding X Y) X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ ((fun X Y => prod.braiding X Y) X Z).hom
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
f : V →ₗᵢ[𝕜] V₂
⊢ ⇑f.toAffineIsometry = ⇑f
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
ha : 0 ≤ a
n : ℕ
⊢ ⌊a + ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ + n
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s t : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
ht : MeasurableSet t
hfs : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
⊢ ∫ (x : X) in s ∩ t, f x ∂μ + ∫ (x : X) in s \ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : I₁ ≤ I₂
x : ↥I₁
⊢ ↑((LieIdeal.inclusion h) x) = ↑x
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
n : ℕ
hn : n ≤ chainBotCoeff α β
⊢ weightSpace M (-↑n • α + ⇑β) ≠ ⊥
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCones F
Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)
c : Cone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
this : ((Functor.const (J × K)).obj c.pt).map (f, 𝟙 k) ≫ c.π.app (j', k) = c.π.app (j, k) ≫ (uncurry.obj F).map (f, 𝟙 k)
⊢ c.π.app (j', k) = c.π.app (j, k) ≫ (F.map f).app k
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s t : Subgroup α
h_le : s ≤ t
f : α ⧸ t → α
hf : Function.RightInverse f QuotientGroup.mk
a : α ⧸ s
b c : α
h : Setoid.r b c
⊢ ((fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) b)⁻¹ * (fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) c ∈ s.subgroupOf t
R : Type u_1
Mul R
AddMonoid R
S1 S2 : R
p1 : isSumSq S1
p2 : isSumSq S2
⊢ isSumSq (S1 + S2)
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
f✝ g✝ : Arrow C
inst✝³ : HasImage f✝.hom
inst✝² : HasImage g✝.hom
sq✝ : f✝ ⟶ g✝
f g : Arrow C
inst✝¹ : HasImage f.hom
inst✝ : HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
map : image f.hom ⟶ image g.hom
map_ι : autoParam (map ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right) _auto✝
map' : image f.hom ⟶ image g.hom
map_ι' : map' ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right
this : map ≫ image.ι g.hom = map' ≫ image.ι g.hom
⊢ map = map'
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ Subalgebra.toSubmodule S ↔ x ∈ S
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
⊢ s ⊆ I.source
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
h₂ : ‖-x + y‖ = ‖x - y‖
h₃ : ‖I • -x + y‖ = ‖I • x - y‖
⊢ 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖ = -(𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset α
h : mulSupport f ⊆ ↑s
⊢ ⋯.toFinset ⊆ s
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
s : Finset ↥(M ⊓ N)
h : LinearIndependent R fun i => ↑i
hs : Nontrivial { x // x ∈ s }
⊢ False
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
⊢ ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u + g u ∈ Set.Icc (min c₁ c₃ * (f x + g x)) (max c₂ c₄ * (f x + g x))
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ
⊢ (∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => ‖f' x‖) g) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f' g
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set R
sg : Subsemigroup R
hg : ↑sg = s
sa : AddSubmonoid R
ha : ↑sa = s
x : R
⊢ x ∈ NonUnitalSubsemiring.mk' s sg hg sa ha ↔ x ∈ s
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
ι : Sort u_1
inst✝ : Group G
t₁ t₂ : TopologicalSpace G
h₁ : TopologicalGroup G
h₂ : TopologicalGroup G
⊢ TopologicalGroup G
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c d : ℝ
⊢ c * ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + c * x) = ∫ (x : ℝ) in d + c * a..d + c * b, f x
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
A : Subalgebra R S
⊢ (Algebra.TensorProduct.comm R ↥⊥ ↥A).trans A.rTensorBot = A.lTensorBot
s✝ n✝ : Nat
step : optParam Nat 1
s n m : Nat
⊢ range'TR.go step n (s + step * (n + 1) - step) ((s + step * (n + 1) - step) :: range' (s + step * (n + 1)) m step) = range' s (n + 1 + m) step
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
p : ℕ
d : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ (MvPolynomial.expand p) ((MvPolynomial.monomial d) r) = MvPolynomial.C r * ∏ i ∈ d.support, (MvPolynomial.X i ^ p) ^ d i
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ Pairwise fun i j => Disjoint (Finset.powersetCard i s) (Finset.powersetCard j s)
G : Type u_1
Group G
φ : G →* G
hφ : MonoidHom.FixedPointFree ⇑φ
⊢ Function.Injective (MonoidHom.commutatorMap ⇑φ)
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A
⊢ (σ a).Nonempty
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
inst✝ : LinearOrder α✝
s✝ : Set α✝
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : ι → Set α
c : Set ι
hn : c.Nonempty
hc : DirectedOn (fun i j => f i ⊆ f j) c
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ ⋃ x, f ↑x
⊢ ∃ i ∈ c, ↑s ⊆ f i
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
K : ℕ → Set X
hc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
huniv : ⋃ n, K n = s
hl : ∀ (n : ℕ), IsLindelof (K n)
⊢ IsLindelof (⋃ n, K n)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
r : R
hr : r * x.leadingCoeff = 1
hx : ¬x = 0
hrz : r ≠ 0
h : 0 = (1 - (single (-x.order)) r * x).orderTop
⊢ False
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
T1Space X
DecidableEq X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
x x' : X
y : Y
hne : x' ≠ x
⊢ ContinuousAt (Function.update f x y) x' ↔ ContinuousAt f x'
f : ℂ → ℂ
x : ℂ
s : Set ℂ
hf : DifferentiableWithinAt ℂ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℂ s x
⊢ derivWithin (fun x => Complex.cos (f x)) s x = -Complex.sin (f x) * derivWithin f s x
E : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
Pow α E
Pow β E
p : α × β
c : E
⊢ (p ^ c).1 = p.1 ^ c
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x (-x) = π
ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹ ≤ ↑p⁻¹
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
s t : Multiset α
h : s < t
⊢ Multiset.map f s < Multiset.map f t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤
h : ¬∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_6
𝔸' : Type u_8
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
DecidableEq ι
Fintype ι
u : Multiset ι
x : ι → 𝔸'
⊢ HasFDerivAt (fun x => (Multiset.map x u).prod)
  (Multiset.map (fun i => (Multiset.map x (u.erase i)).prod • ContinuousLinearMap.proj i) u).sum x
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hf : ¬DifferentiableWithinAt ℝ f s a
⊢ 0 y ≤ 0
m n : ℕ
⊢ m ≠ 0 → n ≠ 0 → m.lcm n ≠ 0
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
h : e.source ⊆ s
⊢ e.restr s = e
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ✝ : K
h : minpoly K f ≠ 0
μ : K
⊢ f.HasEigenvalue μ ↔ μ ∈ (minpoly K f).rootSet K
α : Type u
β : Type v
UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
TopologicalSpace α
L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ F, ContinuousOn F s ∧ ∀ y ∈ s, (f y, F y) ∈ u
⊢ ContinuousOn f s
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
EMetricSpace α
FunLike F α β
PseudoEMetricSpace β
DilationClass F α β
f : F
⊢ UniformEmbedding ⇑f
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
x : { x // x ∈ s }
⊢ ↑((s.orderIsoOfFin h).symm x) = List.indexOf (↑x) (Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s)
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
a b : α
ha : Heyting.IsRegular a
hb : Heyting.IsRegular b
⊢ Heyting.IsRegular (a ⊓ b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
X Y : SheafOfModules R
f g : X ⟶ Y
h : f.val = g.val
⊢ f = g
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Under.mk f).hom = f
α : Type u_1
LE α
NoTopOrder α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) Set.univ
a : ENNReal
⊢ a / 3 + a / 3 + a / 3 = a
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : PseudoEpimorphism β γ
f : PseudoEpimorphism α β
⊢ ⇑(g.comp f) = ⇑g ∘ ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
a b : ℝ≥0
⊢ ↑a ≤ ↑b + dist a b
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (id '' s)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ 1 ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∀ ⦃f : ℕ → α → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) (f n)) → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) fun x => ⨆ n, f n x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
AddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
G : Type u_5
G' : Type u_6
FunLike G α γ
AddMonoidHomClass G α γ
FunLike G' γ α
AddMonoidHomClass G' γ α
g : G
g' : G'
hg : Continuous ⇑g
hg' : Continuous ⇑g'
hinv : Function.LeftInverse ⇑g' ⇑g
⊢ Summable (⇑g ∘ f) ↔ Summable f
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : Module R F
inst✝³ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝² : (x : B) → Module R (E x)
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear R e
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e'
b : B
hb : b ∈ e'.baseSet ∩ e.baseSet
⊢ (coordChangeL R e e' b).symm = coordChangeL R e' e b
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}
⊢ sInf {m | p m} + n = sInf {m | p (m - n)}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f
α : Type u_2
Div α
s t : Set α
⊢ (s / t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
A : Matrix n n α
⊢ A ∈ Matrix.specialUnitaryGroup n α ↔ A ∈ Matrix.unitaryGroup n α ∧ A.det = 1
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
t : R
⊢ p.comp (Polynomial.X + Polynomial.C t) ≠ 0 ↔ p ≠ 0
n : ℕ
j : Fin n
⊢ j.succ.succAbove j = j.castSucc
α : Type u_1
l : List α
r : α → α → Prop
hr : Reflexive r
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b
⊢ List.Pairwise r l
T : ℝ
⊢ ↑(Submonoid.closure (range fourier)) ⊆ range fourier
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
h : p.natDegree = q.natDegree
n : ℕ
⊢ (p.coeff n + q.coeff n) * r ^ ((p + q).natDegree - n) * r ^ (p.natDegree - (p + q).natDegree) = (p.coeff n + q.coeff n) * r ^ (p.natDegree - n)
α : Sort u
β : Sort v
⊢ Uncountable α ↔ IsEmpty (α ↪ ℕ)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
P : C → Prop
A : Type u_2
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : HasShift C A
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms P
X : C
⊢ PredicateShift P 0 X ↔ P X
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ a ≤ b ⇔ c ↔ a ⊓ b ≤ c ∧ a ⊓ c ≤ b
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A
⊢ x✝ ∈ Compactum.cl A ↔ ∃ u, A ∈ u ∧ ↑u ≤ 𝓝 x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
f : ι → Filter α
g : Set α → Set β
hg : ∀ {s t : Set α}, g (s ∩ t) = g s ∩ g t
hg' : g univ = univ
⊢ (𝓟 ∘ g) univ = ⊤
K : Type u_9
E : Type u_10
DivisionRing K
AddCommGroup E
Module K E
p : Submodule K E
x : E
x0 : x ≠ 0
⊢ Disjoint p (Submodule.span K {x}) ↔ x ∉ p
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset γ
t : γ → Finset α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint t
⊢ ∏ x ∈ s.biUnion t, f x = ∏ x ∈ s, ∏ i ∈ t x, f i
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsUpperModularLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a : α
s : Set α
h : ∀ a ∈ s, IsAtom a
hab : a < sSup s
hcon : ¬∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ sSup s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ x ≤ a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n.succ) f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E
⊢ ‖((splitMul 𝕜 E) x).2‖ ≤ √‖((splitMul 𝕜 E) (x⋆ * x)).2‖
α : Type u_1
BEq α
as bs : List α
LawfulBEq α
a : α
⊢ (a :: as).isPrefixOf (a :: bs) = as.isPrefixOf bs
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)
h : a < b
⊢ ∃ k < b, k + 1 ≤ b ∧ b = a + k + 1
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U✝ : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
f : C(X, Y)
x : X
U : Set Y
hx : f x ∈ U
hU : IsOpen U
⊢ ∀ᶠ (x : C(X, Y) × X) in 𝓝 (f, x), x.1 x.2 ∈ U
R✝ : Type u_1
R' : Type u_2
A✝ : Type u_3
T : Type u_4
B✝ : Type u_5
ι✝ : Type u_6
inst✝¹² : Semiring R✝
inst✝¹¹ : Ring R'
inst✝¹⁰ : AddZeroClass A✝
inst✝⁹ : SemilatticeSup B✝
inst✝⁸ : Add B✝
inst✝⁷ : OrderBot B✝
D✝ : A✝ → B✝
p q : R✝[A✝]
hadd✝ : ∀ (a1 a2 : A✝), D✝ (a1 + a2) = D✝ a1 + D✝ a2
R : Type u_7
A : Type u_8
B : Type u_9
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : SemilatticeSup B
inst✝² : OrderBot B
inst✝¹ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
D : A → B
hzero : D 0 = 0
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
ι : Type u_10
s : Finset ι
f : ι → R[A]
⊢ supDegree D (∏ i ∈ ∅, f i) ≤ ∑ i ∈ ∅, supDegree D (f i)
G : Type u_1
Group G
Fintype G
x : G
⊢ Fintype.card ↥(Subgroup.zpowers x) = orderOf x
α : Type u
f g : α → Option α
l : List α
⊢ (∀ (a : α), a ∈ l → f a = g a) → List.lookmap f l = List.lookmap g l
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p ≤ r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hw : Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
⊢ Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ s =ᵐ[μ] Set.univ ↔ μ s = μ Set.univ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
⊢ ∀ {X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C} (f : X ⟶ Y), (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.forget C).map f = f.base
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Monoid M
G : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ FiniteType R (MonoidAlgebra R G) ↔ Group.FG G
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ
ih : ∀ (l : ℕ), lcs (l + k) N₁ ≤ N₂ ↔ lcs l N₁ ≤ ucs k N₂
l : ℕ
⊢ lcs (l + (k + 1)) N₁ ≤ N₂ ↔ lcs l N₁ ≤ ucs (k + 1) N₂
α : Type u
a : α
⊢ a ∈ Stream'.const a
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
𝒜 : Finset (Finset α)
A A₁ A₂ : Finset α
r r₁ r₂ : ℕ
inst✝ : Fintype α
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
⊢ ∀ x ∈ Iic (Fintype.card α), ∀ y ∈ Iic (Fintype.card α), x ≠ y → Disjoint (𝒜 # x) (𝒜 # y)
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
this : aeval (Generators.localizationAway r).val = (↑(mvPolynomialQuotientEquiv S r)).comp (Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.span {C r * X () - 1}))
⊢ Ideal.span {C r * X () - 1} = RingHom.ker ((↑(mvPolynomialQuotientEquiv S r)).comp (Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.span {C r * X () - 1})))
α : Type u_1
Finite α
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
hf : f.IsCycle
⊢ ∃! s, ∃ (h : s.Nodup), s.formPerm h = f
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hb : AddLECancellable b
hc : AddLECancellable c
h₁ : b ≤ a
h₂ : c ≤ a
⊢ a - b < c ↔ a - c < b