ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u → Type u
q : QPF F
p : Fix F → Prop
h : ∀ (x : F (Fix F)), Liftp p x → p (mk x)
x✝ : Fix F
a : (P F).A
f : (P F).B a → WType (P F).B
ih : ∀ (a : (P F).B a), p (Quot.mk Setoid.r (f a))
⊢ p ⟦WType.mk a f⟧
α : Sort u_1
h✝ : IsEmpty α
⊢ ⨆ x, 0 = 0
α : Type u_1
self : OmegaCompletePartialOrder α
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
i : ℕ
⊢ c i ≤ OmegaCompletePartialOrder.ωSup c
M : Type u_1
Mul M
r s : M → M → Prop
h : ∀ (x y : M), r x y → s x y
⊢ conGen r ≤ conGen s
α : Type u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
⊢ Monotone fun n x => ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k x
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
fd_ne_zero : (algebraMap R (FractionRing R)) ↑(↑I).den ≠ 0
⊢ I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) (Units.mk0 ((algebraMap R (FractionRing R)) ↑(↑I).den) fd_ne_zero) = (FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) ⟨integralRep ↑I, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
p q : E × β
hp : p.1 ∈ s ∧ f p.1 < p.2
hq : q.1 ∈ s ∧ f q.1 ≤ q.2
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • p + b • q).1 < (a • p + b • q).2
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
A : Type w
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
F : CategoryTheory.Functor C E
F' : CategoryTheory.Functor D E
CategoryTheory.Localization.Lifting L W F F'
CategoryTheory.HasShift D A
CategoryTheory.HasShift E A
L.CommShift A
F.CommShift A
a : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.Functor.commShiftOfLocalization.iso L W F F' a).hom.app (L.obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F'.map ((L.commShiftIso a).inv.app X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((CategoryTheory.Localization.Lifting.iso L W F F').hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.commShiftIso a).hom.app X)
        ((CategoryTheory.shiftFunctor E a).map ((CategoryTheory.Localization.Lifting.iso L W F F').inv.app X))))
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Inv G
inst✝⁶ : ContinuousInv G
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
ι : Type u_1
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace G₂
inst✝³ : T2Space G₂
inst✝² : Inv G₁
inst✝¹ : Inv G₂
inst✝ : ContinuousInv G₂
⊢ IsClosed (⋂ i, {x | x i⁻¹ = (x i)⁻¹})
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s₁ s₂ : Set α
hd : Disjoint s₁ s₂
h₁ : P s₁
h₂ : P s₂
⊢ ∑ b : Bool, extend m (bif b then s₁ else s₂) = extend m s₁ + extend m s₂
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h : IsPurelyInseparable F K
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
⊢ IsPurelyInseparable E K
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
⊢ (CliffordAlgebra.ofProd Q₁ Q₂) ((CliffordAlgebra.ι (QuadraticMap.prod Q₁ Q₂)) (m₁, m₂)) =
  (CliffordAlgebra.ι Q₁) m₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1 + 1 ᵍ⊗ₜ[R] (CliffordAlgebra.ι Q₂) m₂
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
h : ∃ v, ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₁
p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
⊢ p₃ ∈ affineSpan k {p₁, p₂}
α : Type u_1
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : CovariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => y * ↑x) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : b ≤ c
ha : 0 < ↑a
⊢ b * ↑a ≤ c * ↑a
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hsc : IsClosed s
hs : s ⊆ support ↑f
⊢ IsClosed (↑(extChartAt I c) '' s)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
⊢ Multiset.card (Multiset.map Associates.mk fx) = Multiset.card fx ∧ ∀ b ∈ Multiset.map Associates.mk fx, b = Associates.mk ϖ
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
⊢ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun ∅ = ⊥
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r✝ p : R[X]
n d : ℕ
r : R
⊢ ((monomial n) r * p).coeff (d + n) = r * p.coeff d
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
a b : α
h : Associated a b
ha : normalize a = a
hb : normalize b = b
⊢ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a : α
h : AntitoneOn f (Set.Ici a)
⊢ Set.MapsTo f (Set.Ici a) (Set.Iic (f a))
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : Language
inst✝¹ : (a : α) → L.Structure (M a)
inst✝ : ∀ (a : α), Nonempty (M a)
β : Type u_3
φ : L.Formula β
x : β → (a : α) → M a
⊢ BoundedFormula.Realize φ (fun i => Quotient.mk' (x i)) default = BoundedFormula.Realize φ (fun i => Quotient.mk' (x i)) fun i => Quotient.mk' fun a => default i
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ.restrict t).restrict s = μ.restrict (s ∩ t)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
d✝ : Derivation R A M
a : A
d : Derivation R A M
f : R[X]
⊢ (d.compAEval a) f = derivative f • (AEval.of R M a) (d a)
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
⊢ f.measure (Set.Icc a b) = ENNReal.ofReal (↑f b - Function.leftLim (↑f) a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
M : CategoryTheory.Mat_ C
i : M.ι
⊢ 𝟙 M i i = 𝟙 (M.X i)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
d : D
X✝ Y✝ : (CostructuredArrow F.op (op d))ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (unop X✝).hom.unop ≫ F.map f.unop.left.unop = (unop Y✝).hom.unop
z w : ℍ
r R : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ 0 ≤ sinh (r / 2)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
s : Set ι
x : ι
h : x ∉ s
⊢ v x ∉ span R (v '' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
F : D ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
hF : CategoryTheory.Limits.IsZero F
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero c.pt
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
x : ℕ
⊢ p.coeff x = 0 → ¬p.coeff x = 0 → (if x = p.natDegree then 1 else p.coeff x * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1 - x)) = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ CategoryTheory.IsPullback b.fst b.snd 0 0
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hp : Fact (1 ≤ p)
hm : m ≤ m0
⊢ Isometry (MeasureTheory.lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm)
X Y : Type u
AddMonoid X
AddMonoid Y
e : X ≃+ Y
⊢ e.toAddMonCatIso.hom = AddMonCat.ofHom e.toAddMonoidHom
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
B : Type u₀
CategoryTheory.Category.{v₀, u₀} B
CategoryTheory.MonoidalCategory B
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor B C
G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor D E
⊢ (F.prod G).toFunctor = F.prod G.toFunctor
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
h : (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) p).sum = x
a : R
x✝ : R × ((i : ι) → s i)
⊢ ((fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) x✝ = ((fun x => a • x) ∘ fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) x✝
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
self : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
j : J
⊢ t.ι.app j ≫ self.desc s = s.ι.app j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a' : α → γ
b b' : β → γ
Add γ
⊢ Sum.elim (a + a') (b + b') = Sum.elim a b + Sum.elim a' b'
M : Type u_1
A : Type u_5
Add M
SetLike A M
hA : AddMemClass A M
S' : A
x y : ↥S'
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
M : Type u_1
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass P
f : M →* P
x : M
⊢ (Con.kerLift f) ↑x = f x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : f.natDegree ≠ 0
⊢ (f.aroots f.SplittingField).toFinset.Nonempty
α : Type u
β : Type v
f : β → α → β
b : β
⊢ List.scanl f b [] = [b]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
DecidableRel c.Rel
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber (CategoryTheory.Limits.biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
⊢ HomologicalComplex.cylinder.ι₁ K ≫ HomologicalComplex.cylinder.π K = 𝟙 K
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
T : Submonoid M
hST : S ≤ T
Q : Type u_4
CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
CommMonoid A
l : M →* A
hl : ∀ (w : ↥T), IsUnit (l ↑w)
⊢ (k.lift hl).comp (f.lift ⋯) = f.lift ⋯
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
self : PerfectRing R p
⊢ Function.Bijective ⇑(frobenius R p)
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
H : HoldsForLocalizationAway fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hf : Function.Bijective ⇑f
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : IsLocalization (Submonoid.powers 1) R
⊢ P f
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
a : E
h : IsLocalMin f a
⊢ fderiv ℝ f a = 0
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1
obs : ∀ (x : ℝ), ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, t ^ (p - 1) = x ^ p / p
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Ioc A B)) l fun i => Set.Icc (a i) (b i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.complex.d 1 0) (P.π.f 0) = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
F : Filter X
⊢ ClusterPt x F ↔ ∀ s ∈ F, x ∈ closure s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False
x y z : α
hne : x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z
h₁ : y < x
h₂ : z < y
h₃ : z < x
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : Set M
m : M
⊢ (∃ n f g, ∑ i : Fin n, f i • ↑(g i) = m) ↔ ∃ i x, (∀ (i : Fin i), (x i).2 ∈ s) ∧ ∑ i : Fin i, (x i).1 • (x i).2 = m
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s t : Finset α
n : ℕ
h : ∀ t ∈ powersetCard n s, ¬ThreeGPFree ↑t
⊢ mulRothNumber s < n
n : ℕ
i j : Fin n
hij : i ⟶ j
⊢ (Fin.succFunctor n).map hij = CategoryTheory.homOfLE ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : F
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 n fun x => c) = 0
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
⊢ μ.toFiniteAux Set.univ ≤ 1
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
⊢ HasCompactSupport (f.normed μ)
R : Type u
CommRing R
K L M N : ModuleCat R
f : K ⟶ L
g : M ⟶ N
k : ↑K
m : ↑M
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g) (k ⊗ₜ[R] m) = f k ⊗ₜ[R] g m
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
⊢ finrank ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) = rank K
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero β
Preorder β
s : Set α
f g : α → β
l : Filter α
h : f ≤ᶠ[l ⊓ 𝓟 s] g
⊢ s.indicator f ≤ᶠ[l] s.indicator g
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ
⊢ (↑u).val.Coprime (n + 1)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.Compacts α
⊢ s.carrier = ↑s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
StarAddMonoid F
ContinuousStar F
StarModule 𝕜 F
f' : F
x : 𝕜
h : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun x => star (f x)) (star f') x
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x
⊢ orderOf x / n ≠ 0
b c : Nat
a : Nat
h : b ∣ c
⊢ a * b ∣ a * c
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g✝ : P →ₐ[R] P'
g : P ≃ₐ[R] P'
⊢ map (↑g.symm) (map (↑g) I) = I
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < Fintype.card σ
F : Unit → MvPolynomial σ K := fun x => f
this : ∑ i : Unit, (F i).totalDegree < Fintype.card σ
⊢ p ∣ Fintype.card { x // (eval x) f = 0 }
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
e : CategoryTheory.Bicategory.Equivalence a b
⊢ CategoryTheory.Bicategory.rightZigzagIso e.unit e.counit =
  CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor e.inv ≪≫ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor e.inv).symm
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp_pos : 0 < p
h : (a ^ 1 + b ^ 1) ^ 1 ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ p⁻¹
⊢ (a + b) ^ p ≤ a ^ p + b ^ p
α : Type u
a✝ : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : H
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
hb : y ^ (-n) * b ∈ center G
⊢ a * b = y ^ m * (y ^ (-m) * a * y ^ n) * (y ^ (-n) * b)
R : Type u
M : Type v
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
S : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
DecidableEq ι
Semiring S
Module S M
SMulCommClass R S M
f : ((i : ι) → φ i) →ₗ[R] M
i : ι
⊢ (LinearMap.lsum R φ S).symm f i = f ∘ₗ LinearMap.single i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
J : Type u_1
T : J → CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₁
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₂
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₃
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.productTriangle T).mor₁ = CategoryTheory.Limits.Pi.map fun j => (T j).mor₁
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
hR : IsField R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsMaximal
x : R
hx : C x ∈ I
⊢ x = 0
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ f' x
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
⊢ 0 ≤ f' x
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_5
OrderedCommSemiring S
Algebra S R
Module S M
SMulPosMono S R
IsScalarTower S R M
a : S
v : M
ha : 0 ≤ a
⊢ SameRay R (a • v) v
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.natDegree
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : n.succ ≠ 0
⊢ ∀ b ∈ range n, (P ^ b).degree < (P ^ n).degree
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
VAdd α β
a : α
s : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ a +ᵥ ⋃ i, ⋃ j, s i j = ⋃ i, ⋃ j, a +ᵥ s i j
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictMono f
hg : Monotone g
⊢ StrictMono fun x => f x + g x
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra K E
inst✝ : Algebra R F
pb : PowerBasis R S
hE : Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)
hfx : IsSeparable R pb.gen
this : DecidableEq F := Classical.decEq F
⊢ ((minpoly R pb.gen).aroots F).prod = ∏ σ : S →ₐ[R] F, σ pb.gen
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm (Fin 5)
h : 3 ∈ (c * g').cycleType
hd : c.Disjoint g'
left✝ : c.IsCycle
h3 : c.support.card = 3
⊢ orderOf g' ∣ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
⊢ DirSupClosed sᶜ ↔ DirSupInacc s
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ
⊢ ↑((k + 1) * k !) * (↑((n + k + 1).choose (k + 1)) * f.coeff (n + k + 1)) = ↑k ! * (↑((n + k + 1).choose (n + 1)) * (↑(n + 1) * f.coeff (n + k + 1)))
q : ℚ
hq : 0 ≤ q
⊢ NNRat.den ⟨q, hq⟩ = q.den
z : ℂ
⊢ Complex.normSq z = z.re * z.re + z.im * z.im
α : Type u
Monoid α
p : ConjClasses α → Prop
⊢ (∀ (a : ConjClasses α), p a) ↔ ∀ (a : α), p (ConjClasses.mk a)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
hy₂ : y₂ = eval x₂ (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))
⊢ Y - C (C (eval x₂ (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁))) + C (X - C x₂) * C (C (-W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) = Y - C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁)
n : ℕ
⊢ 11 ∣ n ↔ 11 ∣ (List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)).alternatingSum
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
r : HomRel C
CategoryTheory.Congruence r
hr : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f₁ f₂ g₁ g₂ : X ⟶ Y), r f₁ f₂ → r g₁ g₂ → r (f₁ + g₁) (f₂ + g₂)
⊢ (CategoryTheory.Quotient.functor r).Additive
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ E
obj : C → D
map : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)
F_obj : C → E
map✝¹ : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (F_obj X ⟶ F_obj Y)
map_id✝¹ : ∀ (X : C), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := F_obj, map := map✝¹ }.obj X)
map_comp✝¹ : ∀ {X Y Z : C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map (f ≫ g) = { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map f ≫ { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map g
inst✝¹ : { obj := F_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.Faithful
G_obj : D → E
map✝ : {X Y : D} → (X ⟶ Y) → (G_obj X ⟶ G_obj Y)
map_id✝ : ∀ (X : D), { obj := G_obj, map := map✝ }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := G_obj, map := map✝ }.obj X)
map_comp✝ : ∀ {X Y Z : D} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), { obj := G_obj, map := map✝ }.map (f ≫ g) = { obj := G_obj, map := map✝ }.map f ≫ { obj := G_obj, map := map✝ }.map g
inst✝ : { obj := G_obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.Faithful
h_obj : ∀ (X : C), { obj := G_obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.obj (obj X) = { obj := F_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.obj X
h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq ({ obj := G_obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.map (map f)) ({ obj := F_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.map f)
⊢ { obj := fun X => { obj := G_obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.obj ({ obj := obj, map := map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X), map := fun {X Y} f => { obj := G_obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.map ({ obj := obj, map := map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map f), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } = { obj := F_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsRefl α r
c : Cardinal.{u_1}
⊢ (∀ {S : Set α}, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) → c ≤ #↑S) → ∀ b ∈ {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}, c ≤ b
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
eX eX' : PartialHomeomorph X X'
eY eY' : PartialHomeomorph Y Y'
h : (eX.prod eY).source.Nonempty
x : X
y : Y
this✝² : Nonempty X
this✝¹ : Nonempty X'
this✝ : Nonempty Y
this : Nonempty Y'
⊢ eX.prod eY = eX'.prod eY' ↔ eX = eX' ∧ eY = eY'