ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
σ : Equiv.Perm α
⊢ σ.support = ∅ ↔ σ = 1
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
OrderBot α
hs : IsUpperSet s
⊢ ⊥ ∈ s ↔ s = Set.univ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
f : X → ℝ
a : X
h : ContinuousAt f a
⊢ ContinuousAt (fun x => Real.arsinh (f x)) a
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f
h₂ : ∀ (x : ℝ≥0), f.symm x = x ^ p
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Game
⊢ BddBelow (Set.range f)
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R✝
R' : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero R'
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
χ : MulChar R R'
⊢ χ ↑(ringChar R) = 0
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : c ≤ b
a : α
⊢ a + b - c = a + (b - c)
α : Type u
Sup α
a b : ULift.{u_1, u} α
⊢ (a ⊔ b).down = a.down ⊔ b.down
α : Type u_1
f g : Poly α
x : α → ℕ
⊢ (f - g) x = f x - g x
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ∈ {∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ, -∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ}
R : Type u_1
CommSemiring R
a b₁ b₂ c₁ c₂ d : R
⊢ a * b₁ = c₁ → a * b₂ = c₂ → c₁ + 0 + c₂ = d → a * (b₁ + b₂) = d
⊢ @AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion =
  (AlgebraicGeometry.topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => OpenEmbedding) ⊓
    AlgebraicGeometry.stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Bijective ⇑f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
x y : C × CategoryTheory.Functor C D
f : x ⟶ y
⊢ (CategoryTheory.evaluationUncurried C D).map f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (x.2.map f.1) (f.2.app y.1)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x
f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩
hf' : ∀ (x : ↑ps), f' x ∈ s ∧ p (f' x) = ↑x
hf'i : Function.Injective f'
f'e : ↑ps ↪ ι := { toFun := f', inj' := hf'i }
hu : map f'e univ = s
x : ↑ps
⊢ p (f' x) = ↑x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : W.a₁ * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - (3 * W.addX x₁ x₂ L ^ 2 + 2 * W.a₂ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₄) = 0 ∧ 2 * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) + (W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₃) = 0
⊢ eval (W.addX x₁ x₂ L) (derivative (W.addPolynomial x₁ y₁ L)) = 0
n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ n.dist m = m - n
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
hf : Measurable f
⊢ Measurable (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ)
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
ι : Sort u_3
hf : Function.Surjective ⇑f
K : ι → Ideal S
⊢ Ideal.map f (⨆ i, Ideal.comap f (K i)) = iSup K
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
F : CategoryTheory.Functor C D
adj : F ⊣ G
B : D
X : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ (CategoryTheory.Monad.MonadicityInternal.counitCofork adj B).ι.app X =
  CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.rec
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj.counit.app (F.obj (G.obj B))) (adj.counit.app B)) (adj.counit.app B) X
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => -f x) (-f') s x
V : Type u
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
DecidableEq V
v : V
⊢ Finset.filter (fun d => d.toProd.1 = v) Finset.univ = Finset.image (G.dartOfNeighborSet v) Finset.univ
n m k : Nat
h₁ : LE.le n m
h₂ : LT.lt m k
⊢ LT.lt n k
x y : ℝ
y✝² y✝¹ y✝ : CauSeq ℚ abs
⊢ (y✝ + y✝¹ - (y✝ + y✝²)).Pos ↔ (y✝¹ - y✝²).Pos
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ
⊢ (k + 1) * k ! * (n + k + 1).choose (k + 1) = k ! * (n + k + 1).choose (n + 1) * (n + 1)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
δ : Type u_4
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderTopology δ
g : γ → δ
f : α → γ
hg : Continuous g
hf : UpperSemicontinuous f
gmon : Antitone g
⊢ LowerSemicontinuous (g ∘ f)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : r₂ ≤ r₁
⊢ Wbtw R x (r₁ • v +ᵥ x) (r₂ • v +ᵥ x)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h : Homotopy f g
i j : ι
⊢ h.symm.hom i j = -h.hom i j
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s t✝ : Set α
ι : Type u_2
l : ι → Filter α
t : Set ι
hd : t.PairwiseDisjoint l
ht : t.Finite
⊢ ∃ s, (∀ (i : ι), s i ∈ l i) ∧ t.PairwiseDisjoint s
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
⊢ SimpleGraph.Dart.edge ∘ SimpleGraph.Dart.symm = SimpleGraph.Dart.edge
C : Type u_1
D : Type ?u.40512
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.40520, ?u.40512} D
K : Coverage C
⊢ toGrothendieck C K = sInf {J | K ≤ ofGrothendieck C J}
α : Type u
R : α → α → Prop
l : List α
⊢ List.Chain' R l.reverse ↔ List.Chain' (flip R) l
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Filter.Tendsto c Filter.atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Filter.Tendsto (fun n => u ⌊c k ^ n⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊) Filter.atTop (𝓝 l)
⊢ Filter.Tendsto (fun n => u n / ↑n) Filter.atTop (𝓝 l)
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
⊢ b ⊔ c \ a = c
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
h₁ : ∀ (n : ℤ), IsZero (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).X₂ ↔ (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).f = 0 ∧ (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).g = 0
h₂ : ∀ (n : ℤ), Mono ((F.shift (n + 1)).map (Triangle.mk f g h).mor₁) ↔ F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯ = 0
⊢ F.homologicalKernel.P (Triangle.mk f g h).obj₃ ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : α ≃ β
f : β ≃ γ
⊢ (FreeGroup.freeGroupCongr e).trans (FreeGroup.freeGroupCongr f) = FreeGroup.freeGroupCongr (e.trans f)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a✝ : A
a : Aˣ
ha : autoParam (p ↑a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => x⁻¹) ↑a = Ring.inverse ↑a
d : ℤ
h₀ : d < 0
a : Solution₁ d
h : a.x ≠ 0 ∧ a.y ≠ 0
⊢ a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 ≠ 1
α : Type u
β : Type v
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).eraseIdx 0 = a :: l ↔ (a :: l).length ≤ 0
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s t : Finset α
⊢ s * t = Finset.image (fun p => p.1 * p.2) (s ×ˢ t)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
SubtractionMonoid β
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
m : F
f : Filter α
⊢ Filter.map (⇑m) (-f) = -Filter.map (⇑m) f
α : Type u
l : List α
n : ℕ
h : n < l.length
⊢ List.take 1 (List.drop n l) = [l.get ⟨n, h⟩]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
⊢ ↑(⨆ i, p i) = ⨆ i, ↑(p i)
b c : EReal
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 0
⊢ (0 + b) * c = 0 * c + b * c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ≅ Y
⊢ f.op.unop = f
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
H : ¬y.gcd z = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ y.natAbs
hpz : p ∣ z.natAbs
⊢ ↑p ∣ x ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)
⊢ MeasurableSet {x | HasFiniteIntegral (f x) (κ x)}
α : Type u_1
Preorder α
s t : Set α
⊢ upperClosure (s ∪ t) = upperClosure s ⊓ upperClosure t
n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ
⊢ Rat.divInt n₁ d₁ * Rat.divInt n₂ d₂ = Rat.divInt (n₁ * n₂) (d₁ * d₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : 1 < s.ncard
a : α
hsf : s.Finite
⊢ ∃ b ∈ s, b ≠ a
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
f : M →ₗ[R] M'
hf_inj : comap (Finsupp.total ι M R v) (LinearMap.ker f) ≤ LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v)
⊢ LinearIndependent R (⇑f ∘ v)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ : C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ≅ Y
⊢ f.inv.unop ≫ f.hom.unop = 𝟙 (Opposite.unop X)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
η : Kernel β γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ ((η ∘ₖ κ) a) s = ((κ ⊗ₖ prodMkLeft α η).snd a) s
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : G → CoeSort.coe A
g : G × G
⊢ (groupCohomology.dOne A) f g = (A.ρ g.1) (f g.2) - f (g.1 * g.2) + f g.1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪o.rightAngleRotation x, y⟫_ℝ = (o.areaForm x) y
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
A : C
f₁ f₂ : A ⟶ S.cycles
⊢ f₁ = f₂ ↔ f₁ ≫ S.iCycles = f₂ ≫ S.iCycles
α : Type u_1
f : α → α
s : Set α
h : Set.BijOn f s s
n : ℕ
⊢ Set.BijOn f^[n] s s
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
ι : Type u_3
Fintype ι
f : ι → R → R
a : A
hf : ∀ (i : ι), ContinuousOn (f i) (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : ∀ (i : ι), f i 0 = 0 := by cfc_zero_tac
⊢ cfcₙ (∑ i : ι, f i) a = ∑ i : ι, cfcₙ (f i) a
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
h : G.Adj a b
⊢ a ≠ b
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Set.Iio a = Set.Iio (a / c)
α : Type u
CompleteBooleanAlgebra α
s : Set α
⊢ (sSup s)ᶜ = sInf (compl '' s)
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
B : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory B
CategoryTheory.Bicategory.Strict B
F : CategoryTheory.Functor I B
⊢ ∀ {a b c : CategoryTheory.LocallyDiscrete I} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c),
  F.toOplaxFunctor.mapComp f g = CategoryTheory.eqToHom ⋯
X₁ : Type u₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TietzeExtension Y
f : C(X₁, Y)
e' : X₁ ≃ₜ ↑(Set.range e) := Homeomorph.ofEmbedding e ⋯
⊢ ∃ g, g.comp { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ } = f
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTop α
OrderTopology α
Nontrivial α
DenselyOrdered α
⊢ (𝓝 ⊤).HasBasis (fun a => a < ⊤) Set.Ici
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : LinearOrderedField R
A : Matrix m n R
⊢ finrank R ↥(LinearMap.range (Aᵀ * A).mulVecLin) = finrank R ↥(LinearMap.range A.mulVecLin)
n m l : ℕ
hln : l ≤ n
⊢ List.filter (fun x => decide (x < l)) (List.Ico n m) = []
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x y : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x y) = (ghostComponent n) (g x y)
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ), (bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ n)
x y : ℝ
⊢ cosh (2 * x) = cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
x : G
hx : ∃ x_1 ∈ H, f x_1 = f x
⊢ x ∈ H ⊔ f.ker
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.expand R p) f).coeff n = if p ∣ n then f.coeff (n / p) else 0
K : Type u_1
g : GenContFract K
DivisionRing K
gp : GenContFract.Pair K
zeroth_s_eq : g.s.get? 0 = some gp
⊢ g.contsAux 2 = { a := gp.b * g.h + gp.a, b := gp.b }
α : Type u_1
M : Type u_4
MulOneClass M
s : Set α
f : α → M
a : α
⊢ sᶜ.mulIndicator f a * s.mulIndicator f a = f a
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set M
⊢ sInf {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} = sInf {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}
α : Type u
⊢ (Types.monoOverEquivalenceSet α).counitIso = CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun s => CategoryTheory.eqToIso ⋯) ⋯
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
g₁ : { x // x ∈ s } → V := fun i => w (f i) • (f i -ᵥ Classical.choice ⋯)
g₂ : P → V := fun i => w i • (i -ᵥ Classical.choice ⋯)
⊢ ∑ x ∈ s.attach, w (f x) • (f x -ᵥ Classical.choice ⋯) = ∑ x ∈ image f univ, w x • (x -ᵥ Classical.choice ⋯)
M : Type u
AddZeroClass M
a : M
⊢ a + 0 = a
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' g : ℝ → E
fdiff : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)
gdiff : DifferentiableOn ℝ g (Icc a b)
hderiv : EqOn (derivWithin f (Icc a b)) (derivWithin g (Icc a b)) (Ico a b)
hi : f a = g a
A : ∀ y ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (derivWithin f (Icc a b) y) (Ici y) y
B : ∀ y ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (derivWithin g (Icc a b) y) (Ici y) y
⊢ ∀ y ∈ Icc a b, f y = g y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap φ).op =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₂.rightHomologyOpIso.inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap (CategoryTheory.ShortComplex.opMap φ)) S₁.rightHomologyOpIso.hom)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀
h1 : (fun x => (f x).proj) ⁻¹' (trivializationAt F E (f x₀).proj).baseSet ∈ 𝓝[s] x₀
⊢ (Prod.fst ∘ fun x => (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1, (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2)) x₀ = ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x₀).proj
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.succ
i : Fin n✝
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
n : ℕ
x : α
b : Fin n → α
⊢ Set.range (cons x b) = insert x (Set.range b)
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
⊢ 1 ≠ 0
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
r : ℕ
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ⇑(r • f) = r • ⇑f
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun ω => ((ProbabilityTheory.condexpKernel μ m) ω) s
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ (g ⊗ inv f) ≫ (h ⊗ f) = (g ⊗ 𝟙 W) ≫ (h ⊗ 𝟙 W)
m : ℤ
p : ↥(Submonoid.powers 2)
⊢ dyadicMap (IsLocalization.mk' (Localization (Submonoid.powers 2)) m p) = ↑m * powHalf (Submonoid.log p)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : F.FullyFaithful
X Y : C
f g : X ⟶ Y
h : F.map f = F.map g
⊢ f = g
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)
⊢ IsCorner (Prod.map f f '' A) (f x₁) (f y₁) (f x₂) (f y₂) ↔ IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ Function.swap dist x y = dist x y
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x y : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
he : y - x = ↑n * m
⊢ x.natAbs ≤ y.natAbs
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
f g : Filter α
h : g ≤ f
hf : Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) f := by isBoundedDefault
hg : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) g := by isBoundedDefault
⊢ f.limsInf ≤ g.limsInf
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁹ : PartialOrder Γ✝
inst✝⁸ : PartialOrder Γ'
inst✝⁷ : VAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁶ : IsOrderedCancelVAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid Γ
inst✝³ : AddAction Γ Γ'
inst✝² : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
r : R
x : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
⊢ ((of R).symm ((HahnSeries.single 0) r • x)).coeff a = r • ((of R).symm x).coeff a
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
decompose : (X + 1) ^ n = (X + 1) ^ (n % p) * (X ^ p + 1) ^ (n / p)
h_iff : ∀ x ∈ range (n % p + 1) ×ˢ range (n / p + 1), k = x.1 + p * x.2 ↔ (k % p, k / p) = x
⊢ (if (k % p, k / p) ∈ range (n % p + 1) ×ˢ range (n / p + 1) then 1 * ↑((n % p).choose (k % p, k / p).1 * (n / p).choose (k % p, k / p).2) else 0) = (Int.castRingHom (ZMod p)) ↑((n % p).choose (k % p) * (n / p).choose (k / p))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ Differentiable 𝕜 id
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
⊢ s.WOppSide x y ↔ x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
⊢ (SetTheory.PGame.nim o₁ + SetTheory.PGame.nim o₂).Fuzzy 0 ↔ o₁ ≠ o₂
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1
i : Equiv.Perm n
⊢ (↑↑(Equiv.Perm.sign i)).IsHomogeneous 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
c : ℝ
c_nn : 0 ≤ c
⊢ c.toNNReal = ⟨c, c_nn⟩
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
r x : ℝ
hr : 0 < r
ε : ℝ
L₁ L₂ : F
h₁ : x ∈ RightDerivMeasurableAux.A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ RightDerivMeasurableAux.A f L₂ r ε
⊢ ‖L₁ - L₂‖ ≤ 4 * ε
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
⊢ MeasurableSet {a | (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0}
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
M : SheafOfModules R
∀ (X : C), CategoryTheory.HasWeakSheafify (J.over X) AddCommGrp
∀ (X : C), (J.over X).WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
∀ (X : C), (J.over X).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
self : M.LocalGeneratorsData
⊢ J.CoversTop self.X
α : Type u_1
G : Type u_4
PartialOrder α
Group G
f₁ f₂ : G →* α ≃o α
h : α → α
H : ∀ (x : α), IsLUB (Set.range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') x)) (h x)
g : G
⊢ Function.Semiconj h ⇑(f₂ g) ⇑(f₁ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : InjOn f₁ s₁
h₂ : InjOn f₂ s₂
x : α₁ × α₂
hx : x ∈ s₁ ×ˢ s₂
y : α₁ × α₂
hy : y ∈ s₁ ×ˢ s₂
⊢ (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) x = (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) y → x = y
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.IsConjExponent q
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hα : IsIntegral F α
hβ : IsIntegral F β
f : F[X] := minpoly F α
g : F[X] := minpoly F β
ιFE : F →+* E := algebraMap F E
ιEE' : E →+* (Polynomial.map ιFE g).SplittingField := algebraMap E (Polynomial.map ιFE g).SplittingField
⊢ ∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯
a b c d m n : ℤ
h : a * b ∣ c
⊢ b ∣ c / a
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ (OrderIso.mulLeft₀' ha).symm = OrderIso.mulLeft₀' ⋯
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
AddGroup M
AddGroup N
AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
h1 : g.comp f = 0
h2 : ∀ (x : N), g x = 0 → x ∈ f.range
⊢ Function.Exact ⇑f ⇑g
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
s t : Set α
a b : α
⊢ b ∈ doset a s t ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, b = x * a * y
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1
b' : R
hb : (Algebra.linearMap R P) b' ∈ I
⊢ IsInteger R ((Algebra.linearMap R P) b')