ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₂ : CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
h₃ : CategoryTheory.Mono φ.τ₃
h₁ : S₁.LeftHomologyData
⊢ ∀ (h₂ : S₂.LeftHomologyData), CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' φ h₁ h₂)
G : Type u_1
Group G
s t : Set G
ht : IsSubgroup t
h : s ⊆ t
⊢ Group.closure s ⊆ t
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β
k : Filter α
l : Filter β
inst✝ : k.IsCountablyGenerated
s : Set β
hs : s ∈ l
H : s ∉ map f k
⊢ ∃ x, Tendsto x atTop k ∧ ¬Tendsto (f ∘ x) atTop l
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
i : ι
f₁ f₂ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i
g : MultilinearMap R M₁' M₂
x : (i : ι) → M₁ i
c : (i : ι) → (M₁ i →ₗ[R] M₁' i) → M₁' i := fun i f => f (x i)
j : ι
⊢ (update f i f₁ j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (f₁ (x i)) j
G : Type u_1
AddCommMonoid G
x y : G
hx : IsOfFinAddOrder x
hy : IsOfFinAddOrder y
⊢ IsOfFinAddOrder (x + y)
l m r : List Char
p : Char → Bool
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s → Substring.ValidFor (l ++ List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m) r (s.dropWhile p)
α : Type u
l₂ : List α
DecidableEq α
l₁ : List α
h : l₂.Nodup
⊢ (l₁ ∪ l₂).Nodup
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : s.Finite
⊢ IsCompact s
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0
⊢ x ^ z⁻¹ = y ↔ x = y ^ z
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'
hk : S.b = λ * k * -↑η + ↑η * λ * k'
⊢ S.b = λ * ((k - k') * -↑η)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
this : HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ (2 * k) * ((fourier ↑n) ↑x + (fourier (-↑n)) ↑x)) ((-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / ↑(2 * k)! * ↑(bernoulliFun (2 * k) x))
ofReal_two : ↑2 = 2
n : ℕ
⊢ 1 / ↑n ^ (2 * k) * Real.cos (2 * π * ↑n * x) = (1 / ↑n ^ (2 * k) * ((fourier ↑n) ↑x + (fourier (-↑n)) ↑x) / 2).re
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
f : R[X]
⊢ (∀ i ≥ n, f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ ∀ b ∈ f.support, ↑b < ↑n
G : Type u_1
Group G
α : Type u_2
MulAction G α
s : Set α
hs : s.Finite
g : G
⊢ g ∈ MulAction.stabilizer G s ↔ g • s ⊆ s
K : Type u
A : Type v
Field K
Ring A
Algebra K A
⊢ Algebra.IsAlgebraic K A ↔ Algebra.IsIntegral K A
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
Fintype ι
hfg : Antivary f g
⊢ ∑ i : ι, f i * g i ≤ ∑ i : ι, f i * g (σ i)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
n i : ℕ
⊢ ∑ x ∈ Finset.range (i + 1), (lcoeff R n) (X ^ x * C r ^ (i - x) * ↑(i.choose x)) = ↑(i.choose n) * r ^ (i - n)
m n✝ a✝ b✝ c d a b n : ℤ
⊢ n ∣ b - a ↔ ∃ t, b = a + n * t
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
M : Type v
AddCommGroup M
Module R M
N : Type w
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(AdicCompletion.map I f)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
A B : Matrix (n ⊕ o) (l ⊕ m) α
x✝ : A.toBlocks₁₁ = B.toBlocks₁₁ ∧ A.toBlocks₁₂ = B.toBlocks₁₂ ∧ A.toBlocks₂₁ = B.toBlocks₂₁ ∧ A.toBlocks₂₂ = B.toBlocks₂₂
h₁₁ : A.toBlocks₁₁ = B.toBlocks₁₁
h₁₂ : A.toBlocks₁₂ = B.toBlocks₁₂
h₂₁ : A.toBlocks₂₁ = B.toBlocks₂₁
h₂₂ : A.toBlocks₂₂ = B.toBlocks₂₂
⊢ A = B
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → Measure β
hf : Measurable f
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((dirac a).bind f) s = (f a) s
m : Type u_1 → Type u_2
α ε : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
a : α
⊢ ExceptT.lift (pure a) = pure a
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
NoZeroSMulDivisors k V1
p₀ p₁ : P1
h : p₀ ≠ p₁
⊢ Function.Injective ⇑(AffineMap.lineMap p₀ p₁)
a b c : Int
h₁ : a < b
h₂ : b < c
⊢ a < c
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
⊢ span {x} * I ≤ J ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
ι : Type u_2
F G : ι → C
α : (i : ι) → F i ⟶ G i
i j : ι
h : i = j
⊢ α i =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α j) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
p : ι' → Prop
q : ι → ι' → Prop
s : (x : ι) → (y : ι') → p y ∧ q x y → Set α
⊢ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ (h : p y ∧ q x y), s x y h = ⋂ y, ⋂ (hy : p y), ⋂ x, ⋂ (hx : q x y), s x y ⋯
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
Semiring R
F G : (DirectSum ι fun i => A i) →+* R
h : ∀ (i : ι), (↑F).comp (DirectSum.of A i) = (↑G).comp (DirectSum.of A i)
⊢ F = G
a b : ℕ
flip : Bool
ha0 : a > 0
hb2 : b % 2 = 1
hb1 : b > 1
⊢ fastJacobiSymAux a b flip ha0 = if flip = true then -jacobiSym (↑a) b else jacobiSym (↑a) b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝³ : RCLike α
inst✝² : RCLike β
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
⊢ A.IsHermitian ↔ ∀ (x₁ x₂ : n → α), star x₁ ᵥ* Aᴴ ⬝ᵥ x₂ = star x₁ ᵥ* A ⬝ᵥ x₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} ℰ
A : CategoryTheory.Functor C ℰ
CategoryTheory.yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
L : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)) ℰ
e : A ≅ CategoryTheory.yoneda.comp L
CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{v₁, max u₁ v₁, max u₁ v₁, v₁, max u₁ (v₁ + 1), u₂} L
⊢ L.IsLeftKanExtension e.hom
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
IsLocalization.AtPrime S I
x : R
⊢ IsUnit ((algebraMap R S) x) ↔ x ∈ I.primeCompl
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ ↑((selfAdjointPart R) x) = x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜
a : 𝕜
hf : HasDerivAt f 0 (g a)
hfg : f ∘ g =ᶠ[𝓝 a] id
⊢ ¬DifferentiableAt 𝕜 g a
α : Type u_1
M : Type u_2
PartialOrder α
CommMonoid M
f : α → M
a b : α
LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b
⊢ (∏ x ∈ Finset.Ico a b, f x) * f b = ∏ x ∈ Finset.Icc a b, f x
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
X : CategoryTheory.Comma L₂ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).counitIso.hom.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a : α
⊢ {a}.gcd = normalize a
α : Type u_1
Inv α
⊢ 0⁻¹ = 0
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
hvw : G.Adj v w
⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).neighborSet u = (if u = v then {w} else ∅) ∪ if u = w then {v} else ∅
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Prop} {x : Option α}, SatisfiesM p x ↔ ∀ (a : α), x = some a → p a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
h : L.Embedding N P
⊢ Function.Injective h.comp
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c x : α
hab : a ⋖ b
hbc : b ⋖ c
hax : a < x
hxc : x < c
⊢ x = b
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
F G : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
G.PreservesZeroMorphisms
F.PreservesLeftHomologyOf S
G.PreservesLeftHomologyOf S
F.PreservesRightHomologyOf S
G.PreservesRightHomologyOf S
h : S.HomologyData
τ : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData.natTransApp h τ).left =
  CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.natTransApp h.left τ
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b c : α
hab : Disjoint a b
hbc : Codisjoint b c
⊢ a ≤ c
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u_3
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F ↥L
⊢ (IntermediateField.adjoin E ↑L).toSubalgebra = Algebra.adjoin E ↑L
⊢ ⇑PrimeMultiset.coeNatMonoidHom = Coe.coe
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ AntivaryOn f g s → MonovaryOn (⇑OrderDual.toDual ∘ f) g s
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
⊢ (LinearMap.toMatrix v₁ v₁) LinearMap.id = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
e : α ≃ β
⊢ ⇑e '' s = t ↔ Set.BijOn (⇑e) s t
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
this : ∀ (z : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ x, z * (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ↑x.2 = (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) x.1
y : ↑Γ(X, U)
n : ℕ
d : x * (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ↑(y, ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩).2 = (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) (y, ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩).1
⊢ ∃ n y, (y |_ X.basicOpen f) ⋯ = (f |_ X.basicOpen f) ⋯ ^ n * x
α : Type u
DecidableEq α
a : α
l : List α
h : List.indexOf a l < l.length
⊢ l.get ⟨List.indexOf a l, h⟩ = a
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
f : A₁ ≃ₐ[R] A₂
x x' : A₁
⊢ x = x' → f x = f x'
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{?u.377006, u_1} C
inst✝¹² : Category.{?u.377010, u_2} D
inst✝¹¹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : HasZeroObject C
inst✝⁸ : HasZeroObject D
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : Pretriangulated C
inst✝² : Pretriangulated D
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
⊢ F.map (Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃).mor₂ ≫ F.map h.m₃ = F.map (Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃).mor₂
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀✝ x₁✝ x₀ x₁ x₂ x₃ : X
p : Path x₀ x₁
q : Path x₁ x₂
r : Path x₂ x₃
x : ↑I
⊢ ((p.trans q).trans r) x = ((p.trans (q.trans r)).reparam (fun t => ⟨transAssocReparamAux t, ⋯⟩) ⋯ ⋯ ⋯) x
α : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
⊢ ⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), s i h ≤ᶠ[l] ⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), t i h
α : Type u
AddGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
h : a ≤ 0
⊢ a ≤ -a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
B : ModuleFilterBasis R M
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalRing R
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
p : ι → Prop
b : ι → Set M
h : (𝓝 0).HasBasis p b
hsmul : ∀ {i : ι}, p i → ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ j, p j ∧ V • b j ⊆ b i
hsmul_left : ∀ (x₀ : R) {i : ι}, p i → ∃ j, p j ∧ MapsTo (fun x => x₀ • x) (b j) (b i)
hsmul_right : ∀ (m₀ : M) {i : ι}, p i → ∀ᶠ (x : R) in 𝓝 0, x • m₀ ∈ b i
⊢ ∀ (m : M), Tendsto (fun a => a • m) (𝓝 0) (𝓝 0)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
a : A
i : ℕ
⊢ Subtype.val ⁻¹' ↑(pbo ↑(((decompose 𝒜) a) i)) = ⇑(toSpec 𝒜 f) ⁻¹' (sbo HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨↑(((decompose 𝒜) a) i) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }).carrier
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
⊢ eLpNorm (fun x => ⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜) 1 μ < ⊤
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
⊢ μ (tᶜ ∩ s) = 0 ↔ μ {a | a ∉ t ∧ a ∈ s} = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
f : α →C_c β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
C : ManyOneDegree → Prop
d : ManyOneDegree
h : ∀ (p : Set ℕ), C (ManyOneDegree.of p)
⊢ C d
α : Type u_1
f : α → α
x : α
hx : x ∈ Function.periodicPts f
⊢ 0 < Function.minimalPeriod f x
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
u : Set δ
inst✝ : MeasureSpace δ
p : δ → Prop
hu : NullMeasurableSet u volume
⊢ Injective Subtype.val
M : Type u_1
Monoid M
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
f : (i : ι) → κ i → Subgroup Mˣ
⊢ (⨆ i, ⨆ j, f i j).ofUnits = ⨆ i, ⨆ j, (f i j).ofUnits
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
W : Submodule R (Dual R M)
⊢ ker W.quotDualCoannihilatorToDual = ⊥ ∧ ker W.quotDualCoannihilatorToDual.flip = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.HomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIso e h).left.π = h.left.π
d : ℕ
hd0 : d > 0
x : ℕ
⊢ ∀ a₁ ∈ filter x.Coprime (range x), ∀ a₂ ∈ filter x.Coprime (range x), d * a₁ = d * a₂ → a₁ = a₂
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a : R
n✝ : ℕ
H : -1 ≤ a
n : ℕ
this : -2 ≤ a - 1
⊢ 1 + ↑n * (a - 1) ≤ a ^ n
α : Type u_1
f : α → α
x : α
⊢ Function.periodicOrbit f x = Cycle.nil ↔ x ∉ Function.periodicPts f
K : Type u_1
Field K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ (∀ (w : NumberField.InfinitePlace K), (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) x = 0) ↔ x = 0
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
⊢ AddSubmonoid.closure (⋃ i, Set.range (DFinsupp.single i)) = ⊤
M : Type u_1
AddMonoid M
a x y : AddUnits M
⊢ AddSemiconjBy ↑a ↑x ↑y ↔ AddSemiconjBy a x y
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R P)
I : Ideal R
h : IsUnit ↑I
⊢ (↑↑I).FG
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
Preorder E
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ 𝒢
f : ℕ → Ω → E
hfmgle : MeasureTheory.Supermartingale f 𝒢 μ
hfadp : MeasureTheory.Adapted 𝒢 fun n => f (n + 1)
n : ℕ
⊢ f n ≤ᵐ[μ] f 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Hashable α
data : Batteries.HashMap.Imp.Buckets α β
a : α
b : β
⊢ (Batteries.HashMap.Imp.reinsertAux data a b).size = data.size.succ
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f g : A →ₛₙₐ[φ] B
h : f = g
x : A
⊢ f x = g x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ G H I : C ⥤ D
X Y : C
e : X ≅ Y
F : C ⥤ D ⥤ E
Z : D
⊢ (F.map e.hom).app Z ≫ (F.map e.inv).app Z = 𝟙 ((F.obj X).obj Z)
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
self : CategoryTheory.ShiftMkCore C A
n : A
X : C
⊢ (self.add n 0).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯) (self.zero.inv.app ((self.F n).obj X))
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
b : ↑B
⊢ (CommRingCat.KaehlerDifferential.map fac) (CommRingCat.KaehlerDifferential.d b) =
  CommRingCat.KaehlerDifferential.d (g' b)
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R
s : ↥R⁰
h : r /ₒ s ≠ 0
hr : r ≠ 0
⊢ (r /ₒ s * if h : False then 0 else ↑s /ₒ ⟨r, ⋯⟩) = 1 /ₒ 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CommSemiring A
z : E
s : Set E
inst✝² : NormedRing B
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B
inst✝ : Algebra A B
f : E → B
hf : AnalyticAt 𝕜 f z
p : A[X]
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) p) z
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f
⊢ ∀ (x : ProbabilityMeasure Ω), ContinuousAt (fun ν => ν.map ⋯) x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
g : Filter ((i : ι) → α i)
⊢ g ≤ Filter.pi f ↔ ∀ (i : ι), Filter.Tendsto (Function.eval i) g (f i)
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
h : 0 < (1 - r) * (b - a)
⊢ (AffineMap.lineMap (f a) (f b)) r < f ((AffineMap.lineMap a b) r) ↔ slope f ((AffineMap.lineMap a b) r) b < slope f a b
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.172711, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ φ₁.τ₂ = h.h₁ ≫ S₂.f + S₁.g ≫ h.h₂ + φ₂.τ₂
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
inst✝ : Countable α
o : α → Ordinal.{max u_3 u_2}
ho : ∀ (n : α), o n < (aleph 1).ord
⊢ Cardinal.lift.{u_3, u_2} #α < (aleph 1).ord.cof
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
⊢ X ∣ φ ↔ (constantCoeff R) φ = 0
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
s : Set ℝ
h : s.Nonempty
ε : ℝ
hε : ε < 0
⊢ ∃ a ∈ s, sSup s + ε < a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
A₀ A₁ : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
h : A₀.a ≅ A₁.a
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map h.hom) A₁.str = CategoryTheory.CategoryStruct.comp A₀.str h.hom := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.isoMk h w).hom.f = h.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x => f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound✝ : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖
h_suma✝ : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, Summable fun x => ‖f n x‖
ε : ℝ
hε : ε > 0
S : ℝ
hS : HasSum bound S
T : Finset β
hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3
h1 : ∑' (k : ↑(↑T)ᶜ), bound ↑k < ε / 3
h2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in 𝓕, dist (∑ k ∈ T, f x k) (T.sum g) < ε
n : α
hn : dist (∑ k ∈ T, f n k) (T.sum g) < ε / 3
h_suma : Summable fun x => ‖f n x‖
h_bound : ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
⊢ ‖∑ x ∈ T, (f n x - g x)‖ < ε / 3
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Set (Subsemiring R)
⊢ (sSup S).op = sSup (Subsemiring.unop ⁻¹' S)
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
CompleteSpace A
a : A
IsStarNormal a
⊢ (continuousFunctionalCalculus a) (ContinuousMap.restrict (spectrum ℂ a) (ContinuousMap.id ℂ)) = ⟨a, ⋯⟩
α : Type u_1
⊢ ∀ {α_1 : Type u_2} {f g : α → α_1} {x : Option α}, (∀ (a : α), a ∈ x → f a = g a) → Option.map f x = Option.map g x
M : Type u
AddRightCancelMonoid M
a b : M
⊢ b ≠ a + b ↔ a ≠ 0
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
⊢ (frobeniusEquiv R p ^ n).symm = (frobeniusEquiv R p).symm ^ n
a b c : ℕ
⊢ Fintype.card ↑(Set.Icc a b) = b + 1 - a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : lsub f = 0
i : ι
this : 0 < 0
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
η : CategoryTheory.Functor.id C ≅ F.comp G
ε : G.comp F ≅ CategoryTheory.Functor.id D
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map ((CategoryTheory.Equivalence.adjointifyη η ε).hom.app X))
    (ε.hom.app (F.obj X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
⊢ a ∈ upperBounds s ↔ s ⊆ Set.Iic a
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
s : (i : ι) → i ∈ S → Set α
⊢ ⋂ x, s ↑x ⋯ ∈ l ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ∈ l
α : Type u_2
DecidableEq α
Group α
a : α
⊢ IsUnit {a}
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R
⊢ (((pullbackSymmetry s.fst (𝒰.map b)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map b) s.fst (𝒰.map b ≫ f) g (𝟙 (𝒰.obj b)) s.snd f ⋯ ⋯) ≫ (gluing 𝒰 f g).ι b) ≫ p2 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ s.snd
α : Type u_1
M : Matroid α
B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
hB₁B₂ : B₁ ⊆ B₂
⊢ B₁ = B₂
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ₁ χ₂ : MulChar R R'
a : Rˣ
⊢ (MulChar.equivToUnitHom (χ₁ * χ₂)) a = (MulChar.equivToUnitHom χ₁) a * (MulChar.equivToUnitHom χ₂) a
b : Bool
⊢ b = false ↔ b ≠ true
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ edist (↑α x) (↑α y) = edist x y
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
x y : Associates R
⊢ ↑((Ideal.associatesEquivIsPrincipal R) (x * y)) =
  ↑((Ideal.associatesEquivIsPrincipal R) x) * ↑((Ideal.associatesEquivIsPrincipal R) y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y Z T : C
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a : ℕ
α : CategoryTheory.Abelian.Ext X Y a₁
β : CategoryTheory.Abelian.Ext Y Z a₂
γ : CategoryTheory.Abelian.Ext Z T a₃
h₁₂ : a₁ + a₂ = a₁₂
h₂₃ : a₂ + a₃ = a₂₃
h : a₁ + a₂ + a₃ = a
⊢ (α.comp β h₁₂).comp γ ⋯ = α.comp (β.comp γ h₂₃) ⋯
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
ab : Reaches f a b
⊢ eval f a = eval f b
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ (0 < -a → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → 0 ≤ -a) ↔ (a < 0 → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → a ≤ 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
f : Filter α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
a : α
hf : autoParam (IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) f) _auto✝
h : ¬∃ᶠ (n : α) in f, a < n
⊢ f.limsSup ≤ a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → G →L[𝕜] H
c' : E →L[𝕜] G →L[𝕜] H
u : E → G
u' : E →L[𝕜] G
hc : HasFDerivAt c c' x
hu : HasFDerivAt u u' x
⊢ HasFDerivAt (fun y => (c y) (u y)) ((c x).comp u' + c'.flip (u x)) x
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }
ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ
hax : a ≤ ↑x
hxb : ↑x ≤ b
y : α
hy : y ∈ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedComponent ↑x
sol1 : y < a → False
⊢ ¬y < a ∧ ¬b < y