ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
j : ι
w : ι → kˣ
⊢ AffineIndependent k fun i => (AffineMap.lineMap (p j) (p i)) ↑(w i)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : (Orientation.map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x : E
⊢ f (o.rightAngleRotation x) = Complex.I * f x
α : Type u
Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (x - y) * ∑ i ∈ Finset.Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = x ^ n - x ^ m * y ^ (n - m)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
ι : Sort u_2
S : ι → NonUnitalSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
R : Type x
Ring R
a b : R
h : Commute a b
⊢ a ^ 2 - b ^ 2 = (a + b) * (a - b)
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ CommRingCat
⊢ Quot.mk Setoid.r CommRingCat.Colimits.Prequotient.one = 1
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
e : X ≃ᵈ X
⊢ ⇑e⁻¹ = ⇑e.symm
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
MeasureTheory.SigmaFinite ν'
hμν' : μ ⟂ₘ ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
⊢ μ.rnDeriv (ν + ν') =ᵐ[ν] μ.rnDeriv ν
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Monoid S
AddCommMonoid M
Module R M
DistribMulAction S M
s : Set S
N : Submodule R M
motive : (x : M) → x ∈ s • N → Prop
x : M
hx : x ∈ s • N
smul₀ : ∀ ⦃r : S⦄ ⦃n : M⦄ (mem₁ : r ∈ s) (mem₂ : n ∈ N), motive (r • n) ⋯
smul₁ : ∀ (r : R) ⦃m : M⦄ (mem : m ∈ s • N), motive m mem → motive (r • m) ⋯
add : ∀ ⦃m₁ m₂ : M⦄ (mem₁ : m₁ ∈ s • N) (mem₂ : m₂ ∈ s • N), motive m₁ mem₁ → motive m₂ mem₂ → motive (m₁ + m₂) ⋯
zero : motive 0 ⋯
⊢ motive x hx
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
hf : S.f = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.pOpcycles (S.opcyclesIsoX₂ hf).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₂
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝ : Monoid M
c : Con M
f : M → M
x y : M
hf : ∀ (x : M), ↑(f x) * ↑x = 1
h : ↑x = ↑y
hf' : ∀ (x : M), ↑x * ↑(f x) = 1
⊢ ↑(f x) = ↑(f y)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m n : ℕ
⊢ 0 ≤ 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b))
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
intF : IntegrableOn F (Ioo a b) volume
A : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
B : ∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x ≤ g b - g a
⊢ False
M' : Type u_5
α : Type u_6
AddZeroClass M'
VAdd M' α
S : AddSubmonoid M'
g : M'
hg : g ∈ S
a : α
⊢ ⟨g, hg⟩ +ᵥ a = g +ᵥ a
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p a : α
hp : Prime p
k : ℕ
⊢ multiplicity.Finite p a → multiplicity.Finite p (a ^ k)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
x✝ : R
a✝ : B
⊢ ((⇑(Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) ∘ fun x => Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1) x✝) a✝ = (Finsupp.single ((algebraMap R B) x✝) 1) a✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
⊢ Orthonormal 𝕜 Subtype.val
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type (max u_2 u_3)
f : ι → Ordinal.{max u_2 u_3}
c : Cardinal.{max u_2 u_3}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
⊢ #ι < c.ord.cof
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C'
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
G : CategoryTheory.Functor C' C
X Y : CategoryTheory.Comma ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D H).obj L) (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F)
φ : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.Functor.RightExtension.precomp L F G).map φ).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
this✝ : ∀ {x : ℕ}, ∀ s ∈ powersetCard x univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x) * ↑((card α).choose x))
this : ∀ n ∈ range (card α + 1), ↑((card α).choose n) / ((↑(card α) - ↑n) * ↑((card α).choose n)) = (↑(card α) - ↑n)⁻¹
⊢ ↑(card α) * ∑ i ∈ range (card α + 1), ↑((card α).choose i) / ((↑(card α) - ↑i) * ↑((card α).choose i)) = ↑(card α) * ∑ x ∈ range (card α).succ, (↑x)⁻¹
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
D : Cocone F
i j : J
x : (forget C).obj (F.obj i)
y : (forget C).obj (F.obj j)
E : Cocone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCocone D
k : J
f : i ⟶ k
g : j ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget C).map f x = (F.map g) y
h1 : (F ⋙ forget C).map f ≫ E.ι.app k = E.ι.app i := E.ι.naturality f
h2 : (F ⋙ forget C).map g ≫ E.ι.app k = E.ι.app j := E.ι.naturality g
⊢ E.ι.app i x = E.ι.app j y
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ab : a ≤ b
c : ℤ√↑d
⊢ c + a ≤ c + b
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
as : Array α
motive : Nat → β → Prop
init : β
h0 : motive as.size init
f : α → β → m β
hf : ∀ (i : Fin as.size) (b : β), motive (↑i + 1) b → SatisfiesM (motive ↑i) (f as[i] b)
⊢ SatisfiesM (motive 0) (Array.foldrM f init as as.size)
M : Type u
LeftCancelMonoid M
a b : M
⊢ a * b ≠ a ↔ b ≠ 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
hlt : a < b
c : ℝ := (a + b) / 2
hac : a < c
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
R : Type u_1
M : Type u_2
Monoid R
MulAction R M
One M
⊢ 1 ⊆ ↑1
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
s : Set (Sym2 V)
⊢ (G.deleteEdges s).Adj v w ↔ G.Adj v w ∧ s(v, w) ∉ s
a b z : ℤ
⊢ a ≡ b [PMOD z] ↔ a ≡ b [ZMOD z]
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ |Int.fract a| = Int.fract a
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_3
AddGroup N
f : G →+ N
x : G
⊢ AddSubgroup.map f (AddSubgroup.zmultiples x) = AddSubgroup.zmultiples (f x)
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
ι : Sort u_1
f : K →+* L
s : ι → Subfield K
⊢ Subfield.map f (iSup s) = ⨆ i, Subfield.map f (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
f : α → Option β
h : ∀ (a : α), (f a).isSome = true
⊢ Primrec f → Primrec fun a => (f a).get ⋯
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this : Finite ι
⊢ #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
S : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
self : IsCyclotomicExtension S A B
n : ℕ+
ha : n ∈ S
⊢ ∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑n
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j : CategoryTheory.ConnectedComponents J
self : CategoryTheory.FullSubcategory fun k => Quotient.mk'' k = j
⊢ (CategoryTheory.Component.ι j).obj self = self.obj
A : Type u_2
AddMonoid A
s : Set A
self : IsAddSubmonoid s
⊢ 0 ∈ s
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(cos y) ^ n) (-↑n * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)) x
⊢ IntervalIntegrable (fun x => Complex.cos (2 * z * ↑x)) volume 0 (π / 2)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
Order.Frame α
a : α
ha : IsAtom a
f : ι → α
⊢ a ≤ iSup f ↔ ∃ i, a ≤ f i
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
ι κ : Type w
inst✝¹ : Fintype ι
b✝ : Basis ι R S
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R S
s : S
⊢ (trace R S) s = ((leftMulMatrix b) s).trace
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N
⊢ iSup p = LinearMap.range ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
σ : Type u
m : Type u → Type v
β γ : Type u
f : PUnit → StateCpsT σ m β
s s' : σ
k : β → σ → m γ
⊢ (set s' >>= f).runK s k = (f PUnit.unit).runK s' k
α : Type u_2
r : α → α → Prop
⊢ Set.univ.WellFoundedOn r ↔ WellFounded r
α : Type u_1
One α
⊢ OrderDual.ofDual 1 = 1
R : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
s : Set E
t : Set F
⊢ (convexHull R) (s ×ˢ t) = (convexHull R) s ×ˢ (convexHull R) t
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
⊢ G.deleteEdges s = G.deleteEdges (s ∩ G.edgeSet)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
hp : p.IsPrimitive
⊢ p.content = 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P
⊢ ((s \ s₂).weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w - (s₂.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) (-w) = (s.weightedVSub p) w
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ star a.im = -a.im
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
⊢ ↑(FiniteDimensional.finrank K V) = Module.rank K V
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderBot β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h✝ : f.NeBot
⊢ limsup (fun a => s.sup fun i => F i a) f = s.sup fun i => limsup (F i) f
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b c d : ℝ
μ ν : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f ν a b
h1 : [[c, d]] ⊆ [[a, b]]
h2 : μ ≤ ν
⊢ IntervalIntegrable f μ c d
α : Type u_3
LinearOrder α
LocallyFiniteOrderBot α
a b : α
⊢ Finset.filter (fun x => x < b) (Finset.Iio a) = Finset.Iio (min a b)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E
⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
α : Sort u_1
p : α → Prop
⊢ (¬∀ (x : α), ¬p x) ↔ ∃ x, p x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : ↥M
⊢ IsLocalization.mk' S (↑x) x = 1
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso P
R S : Type u
R' S' : Type u
CommRing R
CommRing S
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R R'
Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
IsLocalization.Away r R'
IsLocalization.Away (f r) S'
⊢ P (Localization.awayMap f r) ↔ P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)
α : Type u_2
One α
⊢ Set.toFinset 1 = 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
DivisionMonoid β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
m : F
s t : Set β
hs : s ⊆ Set.range ⇑m
ht : t ⊆ Set.range ⇑m
⊢ s / t ⊆ Set.range ⇑m
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ 0 < SimpleGraph.triangleRemovalBound ε
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Topology.scottHausdorff α ≤ Topology.lawson α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hg : AEMeasurable g μ
hgf : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < f x + (↑n)⁻¹
x : α
hlt : ∀ (i : ℕ), g x < f x + (↑i)⁻¹
hle : f x ≤ g x
⊢ g x ≤ f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' f₁' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
H : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
h₁ : HasFDerivWithinAt f f₁' s x
⊢ f' = f₁'
n : ℕ
x r₁ r₂ : ℝ
⊢ Real.expNear n x r₁ - Real.expNear n x r₂ = x ^ n / ↑n.factorial * (r₁ - r₂)
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
h : (↑P).Normal
this : Unique (Sylow p G)
⊢ ∀ (ϕ : G ≃* G), Subgroup.map ϕ.toMonoidHom ↑P = ↑P
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
B₂ : LinearMap.BilinForm R₂ (n → R₂)
⊢ ((BilinForm.toMatrixAux fun j => (LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) B₂).toBilin'Aux = B₂
α : Type u
l : List α
r : α → α → Prop
hl : l.Nodup
h : {x | x ∈ l}.Pairwise r
⊢ List.Pairwise r l
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
⊢ SameRay R x y ∨ SameRay R x (-y) ↔ ¬LinearIndependent R ![x, y]
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
ν.IsAddLeftInvariant
hν : ν ≠ 0
⊢ μ ≪ ν
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
⊢ (minpoly A x).natDegree ≠ 0
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
AddRightCancelMonoid N
f g h : α →₀ N
⊢ (f + h).neLocus (g + h) = f.neLocus g
α : Type u_1
o : Option α
a b : α
ha : a ∈ o
hb : b ∈ o
⊢ a = b
β : Type u_7
γ : Type u_8
m m0 : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace.MetrizableSpace γ
hm : m ≤ m0
f g : β → γ
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
hfg : f =ᵐ[μ] g
⊢ f =ᵐ[μ.trim hm] g
I : Type u_1
J : Type u_2
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
p : I → J
∀ (j : J), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete ↑(p ⁻¹' {j})) C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.GradedObject I C} (φ : X ⟶ Y) (i : J),
  (CategoryTheory.GradedObject.map C p).map φ i = CategoryTheory.GradedObject.mapMap φ p i
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
r : A
x : ↥(RingHom.ker (algebraMap A B))
⊢ { toFun := fun x => 1 ⊗ₜ[A] (D R A) ↑x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id A) r • { toFun := fun x => 1 ⊗ₜ[A] (D R A) ↑x, map_add' := ⋯ }.toFun x
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
hP0 : ¬P = ⊥
P' : Submonoid S := Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
this✝ : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : IsScalarTower R (Localization.AtPrime P) (Localization P')
⊢ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R (I * J)) = map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R I * spanNorm R J)
α : Type u_1
p : PMF α
s t : Set α
h : s ∩ p.support ⊆ t
⊢ p.toOuterMeasure s ≤ p.toOuterMeasure t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
hg : Measurable g
a✝¹ : γ
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ (0 (g a✝¹)) s✝ = (0 a✝¹) s✝
n : ℕ
i k : Fin (n + 3)
m : SimplexCategoryᵒᵖ
h : univ ⊆ {i, k}
this : univ.card ≤ 2
⊢ False
α : Type u_1
Add α
Preorder α
DecidableEq α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap HAdd.hAdd) LE.le
LocallyFiniteOrderBot α
a b : α
⊢ Finset.Iic a + Finset.Iic b ⊆ Finset.Iic (a + b)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤
y : M
h₃ : ∀ I ∈ {P | (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P ∧ P ≠ ⊤ ∧ ∃ y, P = (Submodule.span R {y}).annihilator}, ¬(Submodule.span R {y}).annihilator < I
l : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ (Submodule.span R {y}).annihilator
h₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≠ ⊤
a b : R
hab : a * b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator
⊢ a ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator ∨ b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
⊢ ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring P
x : R
inst✝¹⁶ : Away x S
g : R →+* P
Q : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring Q
inst✝¹⁴ : Algebra P Q
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : Algebra R A
B : Type u_6
inst✝¹¹ : CommRing B
inst✝¹⁰ : Algebra R B
Aₚ : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing Aₚ
inst✝⁸ : Algebra A Aₚ
inst✝⁷ : Algebra R Aₚ
inst✝⁶ : IsScalarTower R A Aₚ
Bₚ : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing Bₚ
inst✝⁴ : Algebra B Bₚ
inst✝³ : Algebra R Bₚ
inst✝² : IsScalarTower R B Bₚ
f : A →ₐ[R] B
a : A
inst✝¹ : Away a Aₚ
inst✝ : Away (f a) Bₚ
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsLocalization (Submonoid.map f.toRingHom (Submonoid.powers a)) Bₚ
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → HImp (π i)
a b : (i : ι) → π i
⊢ a ⇨ b = fun i => a i ⇨ b i
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
⊢ ¬(ComplexShape.up ℕ).Rel 0 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformInducing g
f : α → β
hf : UniformInducing f
⊢ comap (fun x => ((g ∘ f) x.1, (g ∘ f) x.2)) (𝓤 γ) = 𝓤 α
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ a ∈ ↑l ↔ a ∈ l
Γ : Type u_4
T : Type u_5
TopologicalSpace T
VAdd Γ T
self : ProperlyDiscontinuousVAdd Γ T
K L : Set T
⊢ IsCompact K → IsCompact L → {γ | (fun x => γ +ᵥ x) '' K ∩ L ≠ ∅}.Finite
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => x - a) '' Set.Ioi b = Set.Ioi (b - a)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
f : (i : ι) × α i → β
SemilatticeSup β
OrderBot β
⊢ (s.sigma t).sup f = s.sup fun i => (t i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x y : V
p : G.Walk x y
hp : ¬p.Nil
⊢ (p.tail hp).length + 1 = p.length
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
⊢ v.intValuationDef r ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set α
hB : M.Base B
f : α → β
hf : InjOn f M.E
⊢ ∃ B₀, M.Base B₀ ∧ f '' B = f '' B₀
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
h : IsOpenMap ⇑f
x : ↑X
U : TopologicalSpace.OpenNhds x
⊢ ((h.functorNhds x).obj U).obj = h.functor.obj U.obj
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
f : Equiv.Perm (Subtype p)
⊢ ↑((Equiv.Perm.subtypeEquivSubtypePerm p) f) = Equiv.Perm.ofSubtype f
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.Finite
this : Fintype ↑s
⊢ s.encard = ↑h.toFinset.card
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
SeminormedAddCommGroup G
BorelSpace G
SecondCountableTopology G
μ.IsAddLeftInvariant
MeasureTheory.SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : MeasureTheory.Integrable f μ
hf : Function.support f ⊆ Metric.ball 0 R
hmg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ Metric.ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ dist (MeasureTheory.convolution f g L μ x₀) (∫ (t : G), (L (f t)) z₀ ∂μ) ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
m : Num
n : ZNum
⊢ m ∈ Num.ofZNum' n ↔ n = m.toZNum
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
⊢ s • IsLocalizedModule.mk' f m s = f m
x y✝ z : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
⊢ y ∈ x
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
q : Stmt Bool Λ' σ
v : σ
L' R' : ListBlank Bool
a : Bool
l₂ : List Bool
IH : ∀ (l₁ l₂' : List Bool), l₂'.length = l₂.length → stepAux (write l₂ q) v (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append l₂' R')) = stepAux q v (Tape.mk' (ListBlank.append (l₂.reverseAux l₁) L') R')
l₁ : List Bool
b : Bool
l₂' : List Bool
e : l₂'.length = l₂.length
⊢ stepAux (write (a :: l₂) q) v (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append (b :: l₂') R')) = stepAux q v (Tape.mk' (ListBlank.append ((a :: l₂).reverseAux l₁) L') R')
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν✝
μ : Measure α
ν : Measure β
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : generateFrom C = inst✝⁶
hD : generateFrom D = inst✝⁴
h2C : IsPiSystem C
h2D : IsPiSystem D
h3C : μ.FiniteSpanningSetsIn C
h3D : ν.FiniteSpanningSetsIn D
μν : Measure (α × β)
h₁ : ∀ s ∈ C, ∀ t ∈ D, μν (s ×ˢ t) = μ s * ν t
s : Set α
hs : s ∈ C
t : Set β
ht : t ∈ D
⊢ (μ.prod ν) ((fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t) = μν ((fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Div Y
f g : LocallyConstant X Y
⊢ ⇑(f / g) = ⇑f / ⇑g
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
x y : R
⊢ v.intValuationDef (x + y) ≤ max (v.intValuationDef x) (v.intValuationDef y)