ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
L' : Type u_5
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : IsKilling R L
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x' : L'
y : L
hx' : ((killingForm R L') x') (e y) = 0
⊢ ((killingForm R L) (e.symm x')) y = 0 y
R : Type u_1
CommRing R
n : Type u_4
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ (Polynomial.aeval M) M.charpoly = 0
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
⊢ multiplicity (↑p) (x ^ p - y ^ p) = multiplicity (↑p) (x - y) + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsTrans β s
f : r ≺i s
⊢ ⇑{ toRelEmbedding := f.toRelEmbedding, init' := ⋯ } = ⇑f.toRelEmbedding
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ Absorbent 𝕜 (Metric.ball 0 r)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F G : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution X
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.leftDerivedToHomotopyCategory α).app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map
        ((CategoryTheory.NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex))
      (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N
⊢ ∃ S, x = ∑ i ∈ S, i.1 ⊗ₜ[R] i.2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝² : HasInitial C
inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F
this : HasCoproduct X
hi : ∀ (b : ∏ᶜ fun b => F.obj (op (X b))), ∃! a, (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b
b : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X
a✝ : Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj b = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj b
t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
ht₁ : (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) t = b
ht₂ : ∀ (y : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))), (fun a => (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b) y → y = t
y : F.obj (op c.pt)
hy : (fun x => Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = b) y
⊢ F.map (𝟙 (∏ᶜ fun x => op (X x))) = F.map ((opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxU : x ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj ((structureSheaf R).presheaf.obj (op U))
⊢ (localizationToStalk R x) (↑s ⟨x, hxU⟩) = ((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩) s
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
v : V
x y : P
⊢ dist (v +ᵥ x) (v +ᵥ y) = dist x y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hu : u ∈ K
hv : v ∈ Kᗮ
⊢ ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
M : Type u_1
inst✝ : DivisionMonoid M
a b c d : M
hbd : Commute b d
hb : IsUnit b
hd : IsUnit d
⊢ a / b = c / d ↔ a * d = c * b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
IH : ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u} [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu] [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu}, ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) (g ∘ f) s
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B✝ : Type u
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : Algebra R B✝
I✝ : Ideal B✝
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : FormallyUnramified R A
I : Ideal B
hI : IsNilpotent I
⊢ ∀ ⦃S : Type u⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → ∀ [_RB : Algebra R S], Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp
b n : ℕ
⊢ log b n = 0 ↔ n < b ∨ b ≤ 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : LeftCancelMonoid M
L L' : List M
h : L.length = L'.length
h' : ∀ i ≤ L.length, (take i L).prod = (take i L').prod
i : ℕ
h₁ : i < L.length
h₂ : i < L'.length
⊢ L.get ⟨i, h₁⟩ = L'.get ⟨i, h₂⟩
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s t : Finset α
a : α
⊢ a ∈ s - t ↔ ∃ b ∈ s, ∃ c ∈ t, b - c = a
b o : Ordinal.{u_1}
hbo : o < b
ho : o ≠ 0
hb : b ≤ 1
⊢ log b o = 0
α : Type u_1
Mul α
LE α
i : CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
b c : α
bc : b ≤ c
a : α
⊢ b * a ≤ c * a
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ
A : IsClosed (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)
B : x ∉ range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m
⊢ ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝 0, ∀ (m : ℤ), ε ≤ dist x (↑m / ↑n)
R : Type u_1
self : Distrib R
a b c : R
⊢ a * (b + c) = a * b + a * c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioc (f a) b
ha : a ∈ Ici a
⊢ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H : (∃ l', Raised l.size l' ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r' r.size ∧ BalancedSz l.size r'
⊢ Valid' o₁ (l.balanceR x r) o₂
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
x : G
hx : x ∈ K
n : ℤ
⊢ x ^ n ∈ K
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
h_aJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
a₁ : R := choose ⋯
J₁ : Ideal R := choose ⋯
⊢ count K v I = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν₁ ν₂ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ ν₁ + μ = ν₂ + μ ↔ ν₁ = ν₂
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ t ∈ 𝓝 x, ∃ y, ↑y ∈ t
n m : ℕ
⊢ n.succPNat = m.succPNat ↔ n = m
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Infinite α
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
m n : ℕ
h : Infinite.natEmbeddingAux α m = Infinite.natEmbeddingAux α n
hmlen : m ≤ n
hmn✝ : ¬m = n
hmn : m < n
⊢ Infinite.natEmbeddingAux α m = Classical.choose ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
φ : F₁ ⟶ F₂
hφ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.app X)
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ ∃ a' > a, ∃ b' < b, ∀ x < a', ∀ y > b', x < y
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.Integrable f μ
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.Integrable (s.indicator f) μ
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ l → (p x = true ↔ q x = true)
⊢ List.countP p l = List.countP q l
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
x y : R
⊢ x - y ∈ ker f ↔ f x = f y
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLT'Factor K ≠ 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ (PartialHomeomorph.ofSet s hs).symm = PartialHomeomorph.ofSet s hs
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : Quiver U
inst✝³ : Quiver V
inst✝² : Quiver W
V' : Type u_4
inst✝¹ : Quiver V'
inst✝ : HasReverse V'
Φ : Symmetrify V ⥤q V'
hΦinv : ∀ {X Y : Symmetrify V} (f : X ⟶ Y), Φ.map (reverse f) = reverse (Φ.map f)
⊢ ∀ (X Y : Symmetrify V) (f : X ⟶ Y), Φ.map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ ((lift (of ⋙q Φ)).map f))
s : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (-1) ^ k / ↑k.factorial
n k : ℕ
hk : k ∈ Finset.range (n + 1)
h_le : k ≤ n
⊢ (-1) ^ k * (↑n.factorial / ↑k.factorial) / ↑n.factorial = (-1) ^ k / ↑k.factorial
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ ∑' (n : ℤ), rexp (-π * a * ↑n ^ 2) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), rexp (-π / a * ↑n ^ 2)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
m : ℕ
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
⊢ Nat.find h = m ↔ p m ∧ ∀ (n : ℕ), n < m → ¬p n
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R Aᵐᵒᵖ
⊢ S.unop.op = S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan ⥤ C
X : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan
⊢ (CategoryTheory.Limits.diagramIsoSpan F).inv.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → δ
hf : AEMeasurable f μ
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
⊢ map f μ = map (AEMeasurable.mk f hf) μ
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ f.hom ▷ TensorBimod.X N P ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) ≫ AssociatorBimod.inv M N P ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M' N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M' N ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.hom M' N P
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
⊢ HasSum (fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
a b : α → 𝕜
u v : α → E
l : Filter α
hab : a ~[l] b
huv : u ~[l] v
φ : α → 𝕜
hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)
habφ : a =ᶠ[l] φ * b
this : ((fun x => a x • u x) - fun x => b x • v x) =ᶠ[l] fun x => b x • (φ x • u x - v x)
⊢ (fun x => a x • u x) ~[l] fun x => b x • v x
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_4
Semiring S
Module R S
SMulCommClass R R S
SMulCommClass R S S
M N : Submodule R S
ι : Type u_5
m : ι → ↥M
n : ι →₀ ↥N
⊢ (Submodule.mulLeftMap N m) n = n.sum fun i n => ↑(m i) * ↑n
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
⊢ ⇑f.withTopMap = WithTop.map ⇑f
α : Type u_1
R : Type u_3
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
NonUnitalNormedRing R
f : BoundedContinuousFunction α R
⊢ ↑((RingEquiv.lpBCF R).symm f) = ⇑f
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i : ι
p : Pair M i
hm : p.head = 1
⊢ (rcons p).prod = of p.head * p.tail.prod
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c
cpos : 0 < c
A : 0 < c⁻¹ ^ 2
B : c ^ 2 * (1 - c⁻¹ ^ 2)⁻¹ ≤ c ^ 3 * (c - 1)⁻¹
C : c⁻¹ ^ 2 < 1
⊢ ∑ i ∈ filter (fun x => j < c ^ x) (range N), 1 / (c ^ i) ^ 2 ≤ c ^ 3 * (c - 1)⁻¹ / j ^ 2
α : Type u_1
β : Type v
AddZeroClass β
f g : Multiset α →+ β
h : ∀ (x : α), f {x} = g {x}
⊢ f = g
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
v : Fin n → M
⊢ (ιMulti R n) v ∈ ↑(⋀[R]^n M)
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
ρ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x₀ : M
⊢ {i | x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)}.Finite
a : UnitAddCircle
⊢ Tendsto (fun s => s - 1) (𝓝 1) (𝓝 (1 - 1))
n : ℕ
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
⊢ Finset.Icc 1 (n.factorization p) = Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Finset.Ico 1 n)
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
x y : M₁ i
⊢ f (Function.update m i (x + y)) = f (Function.update m i x) + f (Function.update m i y)
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
f g : AdicCompletion I M → N
h : ∀ (a : AdicCompletion.AdicCauchySequence I M), f ((AdicCompletion.mk I M) a) = g ((AdicCompletion.mk I M) a)
⊢ f = g
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b c d : α
⊢ a + b - (c + d) = a - c + (b - d)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
N : E → ℝ
N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x
N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y
hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x
s : ConvexCone ℝ (E × ℝ) := { carrier := {p | N p.1 ≤ p.2}, smul_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯ }
f' : E × ℝ →ₗ.[ℝ] ℝ := (-f).coprod (LinearMap.id.toPMap ⊤)
hf'_nonneg : ∀ (x : ↥f'.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f' x
hf'_dense : ∀ (y : E × ℝ), ∃ x, ↑x + y ∈ s
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : sup f = 0
i : ι
⊢ f i = 0
α : Type u_1
LinearOrderedCommMonoidWithZero α
a : α
⊢ 0 < a ↔ a ≠ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s t : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
st : s ⊆ t
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
h : MDifferentiableWithinAt I I' f t x
⊢ mfderivWithin I I' f s x = mfderivWithin I I' f t x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
v v₁ v₂ : ℕ
e : unpair v = (v₁, v₂)
h : (v₁, v₂).2 ≤ v
⊢ ∃ a ∈ decodeList v.succ, encodeList a = v.succ
α : Type ua
UniformSpace α
a : α
U : Set α
h : U ∈ 𝓝 a
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 a, ∃ t ∈ 𝓤 α, ∀ a' ∈ V, UniformSpace.ball a' t ⊆ U
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : (exponent G).factorization p ≠ 0
⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
α : Type u_1
β : Type v
s : Multiset α
f : α → Multiset β
⊢ (s.bind f).Nodup ↔ (∀ a ∈ s, (f a).Nodup) ∧ Multiset.Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) s
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
k n : ℕ
φ : R⟦X⟧
h₁ : ∀ (i : ℕ), Function.const ℕ φ i = φ
h₂ : ∀ (i : ℕ), ∏ j ∈ range i, Function.const ℕ φ j = φ ^ i
⊢ (coeff R n) (∏ j ∈ range k, Function.const ℕ (Function.const ℕ φ k) j) = ∑ l ∈ (range k).finsuppAntidiag n, ∏ i ∈ range k, (coeff R (l i)) (Function.const ℕ φ k)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
⊢ IsClosed (B.polar s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : ¬r = 0
rinv : r * r⁻¹ = 1
rinv' : r⁻¹ * r = 1
this : r⁻¹ * ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), r⁻¹ * (r * f a) ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
G : Type u_1
Group G
D H : Subgroup G
D.FiniteIndex
hD_le_H : D ≤ H
⊢ ∃ t, ↑t ∈ Subgroup.leftTransversals ↑(D.subgroupOf H) ∧ ⋃ g ∈ t, ↑g • ↑D = ↑H
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_4
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
Module R M
TopologicalAddGroup M
z : ℤ
m : M
⊢ ↑z m = z • m
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s t : Set M
hs : UniqueMDiffOn I s
ht : IsOpen t
⊢ UniqueMDiffOn I (s ∩ t)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd :
  ∀ x ∈ Set.Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Set.Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi :
  MeasureTheory.IntegrableOn (fun z => Complex.I • (f' z) 1 - (f' z) Complex.I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
    MeasureTheory.volume
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * Complex.I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * Complex.I)) +
      Complex.I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * Complex.I)) -
    Complex.I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * Complex.I) =
  ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re,
    ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, Complex.I • (f' (↑x + ↑y * Complex.I)) 1 - (f' (↑x + ↑y * Complex.I)) Complex.I
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
self : Bimod A B
⊢ A.mul ▷ self.X ≫ self.actLeft = (α_ A.X A.X self.X).hom ≫ A.X ◁ self.actLeft ≫ self.actLeft
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
IsWellOrder ι r
f : ι → α
g : α → β
⊢ (fun i hi => g (Ordinal.bfamilyOfFamily' r f i hi)) = Ordinal.bfamilyOfFamily' r (g ∘ f)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r₁✝ r₁ : List (List α)
l : List α
ih : ∀ (r₂ : List (List α)), sublists'Aux a r₁ r₂ = r₂ ++ map (cons a) r₁
r₂ : List (List α)
⊢ sublists'Aux a (r₁ ++ [l]) r₂ = r₂ ++ map (cons a) (r₁ ++ [l])
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ (Finset.Icc a b).card = ↑b + 1 - ↑a
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
Finite ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
h : π₁.iUnion = π₂.iUnion
⊢ π₁.compl = π₂.compl
α : Type u_1
l : List (Option α)
⊢ l.reduceOption.length = l.length ↔ ∀ (x : Option α), x ∈ l → x.isSome = true
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion.isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯ = f
E : Type u_1
PE : Type u_2
F : Type u_3
PF : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MetricSpace PE
inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MetricSpace PF
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
f : PE ≃ᵢ PF
x y : PE
e : PE ≃ᵢ PE := ((f.trans (pointReflection ℝ (midpoint ℝ (f x) (f y))).toIsometryEquiv).trans f.symm).trans (pointReflection ℝ (midpoint ℝ x y)).toIsometryEquiv
hx : e x = x
hy : e y = y
hm : e (midpoint ℝ x y) = midpoint ℝ x y
⊢ f (midpoint ℝ x y) = midpoint ℝ (f x) (f y)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ ContMDiffWithinAt (I.prod J) J n Prod.snd s p
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
Nonempty M
Nonempty N
s : Subsemigroup M
t : Subsemigroup N
⊢ s.prod t = ⊤ ↔ s = ⊤ ∧ t = ⊤
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
H : ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i})) → a = 0
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
i : ι
⊢ l i = 0
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∉ MonoidHom.range f
r : g = h
⊢ False
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
this : 0 < f.natDegree
⊢ 0 < f.natDegree
β : Type v
NormedField β
f : ℕ → β
hf : CauchySeq f
⊢ IsCauSeq norm f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
sq : CategoryTheory.Square C
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (sq.map F).f₃₄ = F.map sq.f₃₄
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
⊢ Monoid.Coprod.lift Monoid.Coprod.inr Monoid.Coprod.inl = Monoid.Coprod.swap M N
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : W f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L.map f) (CategoryTheory.Localization.isoOfHom L W f hf).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.obj X)
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕂
CharZero 𝕂
NormedCommRing 𝕊
NormedRing 𝔸
NormedSpace 𝕂 𝕊
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
Algebra 𝕊 𝔸
ContinuousSMul 𝕊 𝔸
IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasFDerivAt (fun u => NormedSpace.exp 𝕂 (u • x))
  ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (NormedSpace.exp 𝕂 (t • x))) t
α : Type u
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
x : α
⊢ Filter.comap (dist x) Filter.atTop = Filter.cocompact α
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
⊢ -a = 0 - a
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ 1 < mabs a ↔ a ≠ 1
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ affineSegment R x y = affineSegment R y x
α : Type u
⊢ Cardinal.mk α ≤ Cardinal.aleph0 ↔ Countable α
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddGroup A
CategoryTheory.HasShift C A
n : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map ((CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app X) =
  (CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj X)