ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} W₁
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₂
α : Type u_5
AddRightCancelSemigroup α
One α
DecidableEq α
F : W₁ ⥤ W₂
F.PreservesZeroMorphisms
X : α → W₁
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
⊢ (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down α)).obj (ChainComplex.of X d sq) =
  ChainComplex.of (fun n => F.obj (X n)) (fun n => F.map (d n)) ⋯
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : 𝕜
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
⊢ ‖c‖ * ‖T s‖ ≤ ‖c‖ * (C * (μ s).toReal)
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
r s : R''
x✝ : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), r • m ⊗ₜ[R] n = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : (r + s) • x = r • x + s • x
ihy : (r + s) • y = r • y + s • y
⊢ (r + s) • x + (r + s) • y = r • x + r • y + (s • x + s • y)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
x : L
⊢ φ.nilRank ≤ (charpoly (φ x)).natTrailingDegree
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type u₁
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Semiring C
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
e₁₂ : A ≃ₐc[R] B
e₂₃ : B ≃ₐc[R] C
⊢ ↑(e₁₂.trans e₂₃) = (↑e₂₃).comp ↑e₁₂
α β : Type u
f : α → β
x : FreeSemigroup α
⊢ (Seq.seq (pure f) fun x_1 => x) = f <$> x
α : Type u_1
x y : List α
h : x <+: y
n : ℕ
hn : n < x.length
⊢ x.get ⟨n, hn⟩ = y.get ⟨n, ⋯⟩
w k l : Nat
x : BitVec w
h : k ≤ l
⊢ BitVec.truncate k (BitVec.truncate l x) = BitVec.truncate k x
S : Type u_3
CommSemiring S
G : Type u_4
Group G
MulSemiringAction G S
g : G
f : S[X]
x : S
⊢ Polynomial.eval x (g • f) = g • Polynomial.eval (g⁻¹ • x) f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α →ₘ[μ] β
⊢ f.Integrable → g.Integrable → (f + g).Integrable
J : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat
inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)
inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)
j : J
f : (componentwiseDiagram F U).obj (op j) ⟶ (F.obj j).presheaf.obj (op ((Opens.map (colimit.ι F j).base).obj U)) := (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯).inv.app (op j) ≫ (F.obj j).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ ((pushforward C (colimit.ι F j).base).obj (F.obj j).presheaf).map (eqToHom ⋯)
⊢ f = (F.obj j).presheaf.map (𝟙 (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop (op j))).base).obj U)))
α : Type u_1
DecidableEq α
β : Type u_2
AddCommMonoid β
m : Multiset α
f : α → ℕ → β
⊢ ∑ x ∈ m.toEnumFinset, f x.1 x.2 = ∑ x : m.ToType, f x.fst ↑x.snd
n : Nat
b : Fin n
a : Nat
h : a ≤ ↑b
⊢ ⟨a, ⋯⟩ ≤ b
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ ¬y ≤ x ↔ x ≤ y ∧ ¬y ≤ x ∨ ¬y ≤ x ∧ ¬x ≤ y
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : p.last = q.head
i : Fin p.length
⊢ (if H : ↑i < p.length then p.toFun ⟨↑i, ⋯⟩ else q.toFun ⟨↑i - p.length, ⋯⟩) = p.toFun i.castSucc
V : SemiNormedGrp
⊢ SemiNormedGrp.completion.obj V = SemiNormedGrp.of (UniformSpace.Completion ↑V)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
s : Set α
⊢ (∃ n, 0 < μ (s ∩ MeasureTheory.spanningSets μ n)) ↔ 0 < μ s
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝¹ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
inst✝ : Finite ι
h_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i : ι
⊢ IsClosed (s i \ s i)
x y z : Bool
⊢ (x || (y || z)) = (y || (x || z))
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h0 : ¬x.gcd y = 0
⊢ ⋯.IsPrimitiveClassified
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α ≃ᵐ δ
g : δ → β
⊢ Integrable g (Measure.map (⇑f) μ) ↔ Integrable (g ∘ ⇑f) μ
J : Type v
inst✝² : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J
inst✝ : HasColimit F
t : Cocone F
ht : IsColimit t
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
⊢ t.ι.app i xi = t.ι.app j xj ↔ ∃ k f g, F.map f xi = F.map g xj
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
⊢ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f Set.univ = ftaylorSeries 𝕜 f
⊢ SetTheory.PGame.nim 1 ≈ SetTheory.PGame.star
R : Type u
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
hp : p.Monic
⊢ Irreducible p ↔ p ≠ 1 ∧ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → g.natDegree ∉ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : Monoid.PushoutI.NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i
hgr : g ∉ (φ i).range
⊢ Monoid.PushoutI.NormalWord.cons g w hmw hgr = (Monoid.PushoutI.of i) g • w
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ {x} - Metric.ball 0 δ = Metric.ball x δ
a b c : ℕ
h : b ∣ a
hdiv : a / b ∣ c
⊢ a ∣ b * c
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : Preadditive C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v₁, u_1} D
inst✝⁴ : Preadditive D
E : Type u_2
inst✝³ : Category.{v₁, u_2} E
inst✝² : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
G : D ⥤ E
inst✝ : G.Additive
ι✝¹ : Type
fintype✝¹ : Fintype ι✝¹
X✝¹ : ι✝¹ → C
i✝ : ((F ⋙ G).mapMat_.obj (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).ι
ι✝ : Type
fintype✝ : Fintype ι✝
X✝ : ι✝ → C
j✝ : ((F.mapMat_ ⋙ G.mapMat_).obj (Mat_.mk ι✝ X✝)).ι
f : Mat_.mk ι✝¹ X✝¹ ⟶ Mat_.mk ι✝ X✝
⊢ ((F ⋙ G).mapMat_.map f ≫ ((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝ X✝)).hom) i✝ j✝ = (((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).hom ≫ (F.mapMat_ ⋙ G.mapMat_).map f) i✝ j✝
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
a : (MvQPF.P F).A
f' : ((MvQPF.P F).drop.B a).Arrow α
f : (MvQPF.P F).last.B a → (MvQPF.P F).W α
⊢ MvQPF.wrepr ((MvQPF.P F).wMk a f' f) =
  (MvQPF.P F).wMk'
    (MvQPF.repr (MvQPF.abs (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: MvQPF.wrepr) ⟨a, (MvQPF.P F).appendContents f' f⟩)))
V : Type u
G H : SimpleGraph V
h : H ≤ G
⊢ G.deleteEdges (G.edgeSet \ H.edgeSet) = H
A : Type u
B : Type v
ι : Type w
DecidableEq ι
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Fintype ι
b : ι → B
P : Matrix ι ι A
⊢ Algebra.discr A (P.map ⇑(algebraMap A B) *ᵥ b) = P.det ^ 2 * Algebra.discr A b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False
x y z : α
hne : x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z
h₁ : x < y
h₂ : y < z
h₃ : x < z
⊢ False
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
S : Set G
h : S ∈ AddSubgroup.rightTransversals ↑H
⊢ Nat.card ↑S = H.index
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : Quiver U
inst✝³ : Quiver V
inst✝² : Quiver W
V' : Type u_4
inst✝¹ : Quiver V'
inst✝ : HasReverse V'
φ : V ⥤q V'
⊢ ∀ (X Y : V) (f : X ⟶ Y), (of ⋙q lift φ).map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ (φ.map f))
x : ℝ*
⊢ x⁻¹.InfinitePos ↔ x.Infinitesimal ∧ 0 < x
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ G.Reachable u v
α : Type u_1
β : Type u_2
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain (α × β)
⊢ (OmegaCompletePartialOrder.ωSup c).2 = OmegaCompletePartialOrder.ωSup (c.map OrderHom.snd)
a' x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
this : 0 < (I * ↑x).im
⊢ ContinuousAt (fun x => jacobiTheta₂ (↑a') (I * ↑x)) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pushoutCoconeOfRightIso f g).ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left =
  𝟙 ((CategoryTheory.Limits.span f g).obj CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
self : Module R M
x : M
⊢ 0 • x = 0
b : Bool
n : ℕ
⊢ Int.bit b ↑n = ↑(Nat.bit b n)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
b : Y
⊢ hf.homeomorph.symm b = Quotient.mk'' (Function.surjInv ⋯ b)
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
h : Module.rank K V = 1
⊢ FiniteDimensional K V
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (f * g).Separable
⊢ IsCoprime f g
E : Type u_6
NormedAddGroup E
a b : E
⊢ 0 < ‖a - b‖ ↔ a ≠ b
α β : Type
n : ℕ
f : Vector3 ℕ n → ℕ
df : DiophFn f
g : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) n
dg : VectorAllP DiophFn g
⊢ (DiophFn fun v => v none) ∧ VectorAllP DiophFn fun i v => g i (v ∘ some)
a : ℕ
⊢ Irreducible a ↔ Nat.Prime a
m n k : ℕ+
⊢ k.Coprime m → m.gcd (k * n) = m.gcd n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ s ×ˢ {b} ↔ (x, y) ∈ (fun a => (a, b)) '' s
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
hr : Valid' (↑x) (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
H1 : ¬l.size + (Ordnode.node rs rl rx rr).size ≤ 1
H2 : delta * l.size ≤ rl.size + rr.size
H3 : 2 * (Ordnode.node rs rl rx rr).size ≤ 9 * l.size + 5 ∨ (Ordnode.node rs rl rx rr).size ≤ 3
⊢ Valid' o₁ (l.rotateL x (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂
m n✝ : ℕ
i : Fin (n✝ + 1 + 1)
⊢ (finRotate (n✝ + 1 + 1)) i = i + 1
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
⊢ h.powerBasis.basis = h.basis
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ha : a ≠ 0
⊢ ↑n = ↑n
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
⊢ ∃ c, ‖c‖ = 1 ∧ ↑‖0‖ = c * 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ |⟪x, y⟫_ℝ| / (‖x‖ * ‖y‖) ≤ 1
Y : Type u_1
TopologicalSpace Y
⊢ SimplyConnectedSpace Y ↔ PathConnectedSpace Y ∧ ∀ {x y : Y} (p₁ p₂ : Path x y), p₁.Homotopic p₂
G : Type u_1
AddGroup G
H K L : AddSubgroup G
hKL : K ≤ L
⊢ (H.addSubgroupOf L).relindex (K.addSubgroupOf L) = H.relindex K
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ (AddLocalization.addEquivOfQuotient f) (AddLocalization.mk x y) = f.mk' x y
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
s : Multiset (Ideal R)
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
⊢ Multiset.prod 0 ≤ P ↔ ∃ I ∈ 0, I ≤ P
A : Type u
CommRing A
K : Type v
Field K
Algebra A K
IsDomain A
ValuationRing A
IsFractionRing A K
a b : ValuationRing.ValueGroup A K
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
n p : ℕ
pp : Prime p
⊢ p.properDivisors = {1}
n : ℕ
p i : Fin n
h : p < i
⊢ i.castSucc ≠ 0
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat e n d → decide (0 < ↑n / ↑d) = true → decide (↑n / ↑d < 1) = true → Real.log e ≠ 0
α : Type u_1
AddCommMonoid α
f : Bool → α
⊢ ∑ b : Bool, f b = f true + f false
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : ∀ (m : ℕ), cyclotomic (p ^ (m + 1)) R = ∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ m) ^ i ↔ (∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ m) ^ i) * ∏ x ∈ range (m + 1), cyclotomic (p ^ x) R = X ^ p ^ (m + 1) - 1
n_n : ℕ
n_ih : cyclotomic (p ^ (n_n + 1)) R = ∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ n_n) ^ i
⊢ (∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ (n_n + 1)) ^ i) * ((∏ x ∈ range (n_n + 1), cyclotomic (p ^ x) R) * ∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ n_n) ^ i) = X ^ p ^ (n_n + 1 + 1) - 1
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherianRing R
Module.Finite R M
x : M
⊢ (AdicCompletion.ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I M).symm ((AdicCompletion.of I M) x) = 1 ⊗ₜ[R] x
a b : UInt16
⊢ a < b ↔ a.val < b.val
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ max a b - min a b = |b - a|
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
s : Finset σ
a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
hd : (algebraMap R (MvPolynomial σ R)) r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'
this : (algebraMap R (MvPolynomial { x // x ∈ s } R)) r ∣ a' * b'
⊢ (rename Subtype.val) (C r) ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ (rename Subtype.val) (C r) ∣ (rename Subtype.val) b'
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s ∩ u = t ∩ u ↔ t ∩ u ⊆ s ∧ s ∩ u ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
C : β → Prop
y : β
h_y : y ∈ f '' s
h : ∀ x ∈ s, C (f x)
⊢ C y
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = ⊥ ∨ map N.subtype K = N
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Sup β
f : SupHom α β
a : α
⊢ (SupHom.dual f) a = f a
α : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring α
StarRing α
z : ↥(NonUnitalStarSubsemiring.center α)
⊢ star (CentroidHom.centerToCentroidCenter z) = CentroidHom.centerToCentroidCenter (star z)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : N ≃* P
x : M
⊢ (f.ofMulEquivOfLocalizations k).toMap x = k (f.toMap x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
F_obj : C → D
e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)
he :
  ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y),
    (e X Y') (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h g) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((e X Y) h) (G.map g)
X : C
Y : D
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.adjunctionOfEquivLeft e he).homEquiv X Y = e X Y
α : Type u
s : Set (Set α)
⊢ #↑s ≤ 𝔠 → #↑{t | MeasurableSet t} ≤ 𝔠
α : Type u_1
⊢ ⨅ l, ⨅ (_ : ⊥ < l), 𝓟 (Set.Iio l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ 0), 𝓟 (Set.Iio a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G' : Type u_8
Monoid G'
TopologicalSpace G'
ChartedSpace H G'
SmoothMul I G'
g' : G'
⊢ (smoothRightMul I g') 1 = g'
R : Type u
Ring R
StrongRankCondition R
n : ℕ
⊢ FiniteDimensional.finrank R (Fin n → R) = n
α : Type u
Group α
⊢ ∀ (a : ULift.{u, 0} (Multiplicative ℤ) →* α),
  (MonoidHom.fromULiftMultiplicativeIntEquiv α) a = a (MulEquiv.ulift.symm (Multiplicative.ofAdd 1))
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
f d : ℕ → α
hdisj : Pairwise (Disjoint on d)
hsups : partialSups d = partialSups f
⊢ d = disjointed f
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
H : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
x : ↑Γ(X, V)
⊢ (↑U).Nonempty
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
CategoryTheory.HasLeftDual X
CategoryTheory.HasLeftDual Y
f : X ⟶ Y
⊢ η_ (ᘁY) Y ≫ (ᘁf) ▷ Y = η_ (ᘁX) X ≫ ᘁX ◁ f
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x✝ : G
⊢ (f ⋆[L, μ] 0) x✝ = 0 x✝
α : Type v
Preorder α
NoMinOrder α
⊢ ⋃ a, Set.Ioi a = Set.univ
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
I : (Submodule R A)ˣ
this : 1 ∈ ↑I * ↑I⁻¹
T T' : Finset A
hT : ↑T ⊆ ↑↑I
hT' : ↑T' ⊆ ↑↑I⁻¹
one_mem : 1 ∈ span R (↑T * ↑T')
⊢ 1 ≤ span R (↑T * ↑T')
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
Fintype m
DecidableEq m
A : Matrix m m α
e₁ e₂ : n ≃ m
⊢ (A.submatrix ⇑e₁ ⇑e₂)⁻¹ = A⁻¹.submatrix ⇑e₂ ⇑e₁
n✝ p : ℕ
pp : Prime p
m n : ℕ
hn : p = m * n
this : m = 1 ∨ n = 1
⊢ m = 1 ∨ m = p
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ↑⁅I, N⁆ ≤ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = (fun a => f a) '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
R : Type u
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
AddCommGroup M
Module R M
Module A M
Module B M
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R B M
SMulCommClass A B M
NoZeroSMulDivisors A M
x : A
hx : x ≠ 0
⊢ Function.Injective ⇑((Algebra.lsmul R B M) x)
α : Type u
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ IsTop a ∨ ∃ b, a < b
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
ComplementedLattice α
f : α ≃o β
⊢ ComplementedLattice β
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S T : Submonoid M
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
⊢ (ChainComplex.mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} => succ').X 1 = X₁
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F TotalSpace.proj
this : ∀ z ∈ e.baseSet ×ˢ univ, { proj := z.1, snd := e.symm z.1 z.2 } = ↑e.symm z
⊢ ContinuousOn (↑e.symm) (e.baseSet ×ˢ univ)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f✝ : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f✝
inst✝ : HasKernels C
X : C
A B : Cᵒᵖ
f : A ⟶ op X
g : B ⟶ op X
hf : Mono f
hg : Mono g
h : Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
⊢ Subobject.lift (fun A f x => Subobject.mk (kernel.ι f.unop)) ⋯ (Subobject.mk f) ≤ Subobject.lift (fun A f x => Subobject.mk (kernel.ι f.unop)) ⋯ (Subobject.mk g)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ ↑(-θ).expMapCircle ≠ 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.AlternatingFaceMapComplex.ε.app X).f (n + 1) = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
M₁ : Submodule R M
N₁ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
⊢ ∃ M', ∃ (hM : M' ≤ M₁), Module.Finite R ↥M' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor (↥N₁) (Submodule.inclusion hM)))
β : Type w
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : α → C
g : β → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
e : β ≃ α
iso : (j : β) → g j ≅ f (e j)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasProduct g
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ (a != a) = false
n : ℕ
x y : Fin (n + 1)
⊢ x.succAbove = y.succAbove ↔ x = y
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this✝ : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1
this : maximalIdeal R ≠ ⊥
⊢ (∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) ↔ ∀ (P : Ideal R), P ≠ ⊥ → P.IsPrime → P = maximalIdeal R
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
B : Set (Set α)
empty_mem : ∅ ∈ B
subset_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ⊆ s₁, s₂ ∈ B
union_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ∈ B, s₁ ∪ s₂ ∈ B
sUnion_univ : ⋃₀ B = univ
x : α
⊢ {x} ∈ B
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv γ δ
⊢ (e.prod e').source = e.source ×ˢ e'.source
α : Type u_5
ι : Type u_6
κ : Type u_7
C : (ι → Option α) → κ
self : Combinatorics.Line.AlmostMono C
x : α
⊢ C ((fun x i => (self.line.idxFun i).getD x) (some x)) = self.color
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
⊢ SupIrred a ↔ ¬IsMin a
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴} (α : CategoryTheory.BasedNatTrans X Y)
  (β : CategoryTheory.BasedNatTrans Y Z), CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β = α.comp β
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : R[X]
hi : Irreducible p
x : R
hx : p.IsRoot x
⊢ p.degree = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : α → β × γ
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn (fun x => (f x).1) s
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
α : Sort u_3
x y : α
dist : α → α → ℝ
dist_self : ∀ (x : α), dist x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : α), dist x y = dist y x
dist_triangle : ∀ (x y z : α), dist x z ≤ dist x y + dist y z
⊢ dist x y + dist y x = 2 * dist x y
α : Type u
s₁ s₂ : Stream' α
⊢ s₁.head = s₂.head → (∀ (β : Type u) (fr : Stream' α → β), fr s₁ = fr s₂ → fr s₁.tail = fr s₂.tail) → s₁ = s₂
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.3951, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
⊢ (unop A.fst).len = (unop Δ).len ↔ (unop Δ).len ≤ (unop A.fst).len
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
q : ℕ
h✝¹ : ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F K).range
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar E q
x : K
n : ℕ
y : F
h : (algebraMap F K) y = x ^ q ^ n
⊢ ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap E K).range
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_11
AddCommMonoid M'
Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O
x : M'
⊢ x ∈ ϕ.submoduleImage N ↔ ∃ y, ∃ (yN : y ∈ N), ϕ ⟨y, ⋯⟩ = x
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝ : d = ur.a
⊢ w * z = (x * y).succPNat ∧ a = a' * d ∧ b = b' * d ∧ z * a' = (x * ↑b').succPNat ∧ w * b' = (y * ↑a').succPNat ∧ ↑z * ↑a = x * ↑b + ↑d ∧ ↑w * ↑b = y * ↑a + ↑d