ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite ν
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)
hE : CompleteSpace E
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
this : SeparableSpace ↑(range (uncurry f) ∪ {0})
s : ℕ → SimpleFunc (α × β) E := SimpleFunc.approxOn (uncurry f) ⋯ (range (uncurry f) ∪ {0}) 0 ⋯
s' : ℕ → α → SimpleFunc β E := fun n x => (s n).comp (Prod.mk x) ⋯
⊢ StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f x y ∂ν
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
inst✝ : f.IsCountablyGenerated
x : ℕ → Set α
hx : f.HasAntitoneBasis x
⊢ ∀ {s : Set α}, s ∈ f ↔ ∃ i, x i ⊆ s
m n : Nat
⊢ (↑m - ↑n).toNat = m - n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
f : Bool → α
⊢ ∏' (i : Bool), f i = f false * f true
G : Type u_1
Group G
S T : Set G
h : Subgroup.IsComplement S T
⊢ S * T = Set.univ
α : Type u_1
One α
⊢ SetSemiring.down 1 = 1
S✝ : Set Ordinal.{u}
S T : Set Ordinal.{u_1}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
hST : S ⊆ T
a : Ordinal.{u_1}
⊢ ∀ (j : Ordinal.{u_1}), (∀ k < j, enumOrd T k ≤ enumOrd S k) → enumOrd T j ≤ enumOrd S j
b : ℕ
hb : 1 < b
⊢ jacobiSym 0 b = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : R
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
⊢ ((c • iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) fun x => 1) = c • (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) fun x => 1
R : Type u
A : Type z
B : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ ⇑(Polynomial.mapAlgHom f) = Polynomial.map ↑f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
inst✝ : SecondCountableTopologyEither E F
v : Basis ι ℝ E
w : Basis ι' ℝ F
⊢ (v.prod w).addHaar = v.addHaar.prod w.addHaar
α : Type u_1
f : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter f
u v : α → ℝ≥0∞
⊢ u * v ≤ᶠ[f] fun x => limsup u f * v x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g).mop = f.mop ≫ g.mop
a b : Ordinal.{u}
hb₁ : b ≠ 1
hb : Principal (fun x x_1 => x + x_1) b
h✝ : 0 < a
⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) (a * b)
J : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat
inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)
inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
s : Cocone F
U V : (Opens ↑↑s.pt)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
j : Jᵒᵖ
w : (Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) (unop j))).map ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).map i.unop) = eqToHom ⋯ ≫ (Opens.map (((forget C).mapCocone s).ι.app (unop j))).map i.unop ≫ eqToHom ⋯
⊢ (s.pt.presheaf.map i ≫ limit.lift ((pushforwardDiagramToColimit F).leftOp ⋙ (evaluation (Opens ↑(Limits.colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ C).obj (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))) { pt := s.pt.presheaf.obj V, π := { app := fun j => (s.ι.app (unop j)).c.app V ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯), naturality := ⋯ } } ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))).inv) ≫ (limit.π (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp j).app (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V))) = ((limit.lift ((pushforwardDiagramToColimit F).leftOp ⋙ (evaluation (Opens ↑(Limits.colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ C).obj (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop U)))) { pt := s.pt.presheaf.obj U, π := { app := fun j => (s.ι.app (unop j)).c.app U ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯), naturality := ⋯ } } ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop U)))).inv) ≫ (limit (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp).map ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).map i.unop).op) ≫ (limit.π (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp j).app (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))
p : ℝ × ℝ
hp_fst : p.1 < 0
⊢ (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2) * cos (x.2 * π)
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : IsClosed ↑I
⊢ I.IsMaximal ↔ ∃ x, idealOfSet 𝕜 {x}ᶜ = I
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A✝ B X X' Y Y' Z : C
inst✝² : Closed A✝
inst✝¹ : Closed B
A : C
inst✝ : Closed A
⊢ (conjugateEquiv (ihom.adjunction A) (ihom.adjunction A)) (𝟙 ((tensoringLeft C).obj A)) = 𝟙 (ihom A)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
ι : Type u_6
Fintype ι
M : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
H : Type u_8
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
u : (i : ι) → M i
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => (c y) u) x
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X : OppositeShift C A
⊢ (shiftFunctorZero (OppositeShift C A) A).hom.app X = ((shiftFunctorZero C A).inv.app (Opposite.unop X)).op
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : α → Type u_11
s : Sigma γ → Set β
⊢ ⋃ ia, s ia = ⋃ i, ⋃ a, s ⟨i, a⟩
A : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n : A
kl : A × A
hlk : kl ∈ antidiagonal n
⊢ n = kl.1 + kl.2
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
⊢ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)‖ ∂ν) μ ↔ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂ν) μ
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
E : Type u_2
EquivLike E S ↥I
AddEquivClass E S ↥I
e : E
⊢ (LinearMap.det (↑ℤ (Submodule.subtype I) ∘ₗ (↑e).toIntLinearMap)).natAbs = Ideal.absNorm I
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Set.Icc a b)
hx : x ∈ Set.Icc a b
hC : ∀ y ∈ Set.Icc a b, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Set.Icc a b) y‖ ≤ C
⊢ ‖f x - taylorWithinEval f n (Set.Icc a b) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Module.Baer R Q
y : N
r : R
hr : r • y ∈ (Module.Baer.extensionOfMax i f).domain
⊢ (Module.Baer.ExtensionOfMaxAdjoin.extendIdealTo i f h y) r = ↑(Module.Baer.extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y, hr⟩
α : Type u_3
p : Prop
q : α → Prop
⊢ (p → ∀ (x : α), q x) ↔ ∀ (x : α), p → q x
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
h : 0 < (minimalPeriod f x).gcd n
⊢ minimalPeriod f x / (minimalPeriod f x).gcd n ∣ minimalPeriod f^[n] x
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (MulOpposite.op x - MulOpposite.op y) * ∑ x_1 ∈ Ico m n, MulOpposite.op y ^ (n - 1 - x_1) * MulOpposite.op x ^ x_1 = MulOpposite.op x ^ n - MulOpposite.op x ^ m * MulOpposite.op y ^ (n - m)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp✝ : ContinuousAt (⇑p) 0
hp : Tendsto (⇑p) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ UniformContinuous ⇑p
α : Type u
a : α
n : ℕ
⊢ (List.replicate n a).tail = List.replicate (n - 1) a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : UniformInducing g
⊢ map (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) ≤ 𝓤 β ↔ map (fun x => ((g ∘ f) x.1, (g ∘ f) x.2)) (𝓤 α) ≤ 𝓤 γ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set (M × M')
⊢ MDifferentiableOn (I.prod I') I Prod.fst s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
hs : s.Nonempty
⊢ IsLeast s (argminOn id ⋯ s hs)
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsLindelof s
f : Filter X
CountableInterFilter f
hf : ∀ x ∈ s, sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f
⊢ sᶜ ∈ f
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝¹⁰ : Traversable t
inst✝⁹ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁸ : Applicative F
inst✝⁷ : Applicative G
inst✝⁶ : LawfulApplicative F
inst✝⁵ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
inst✝⁴ : Traversable t'
h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), map f = Equiv.map eqv f
h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f
h₂ : ∀ {F : Type u → Type u} [inst : Applicative F] [inst_1 : LawfulApplicative F] {α β : Type u} (f : α → F β), traverse f = Equiv.traverse eqv f
F✝ G✝ : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F✝
inst✝² : Applicative G✝
inst✝¹ : LawfulApplicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative G✝
α✝ β✝ γ✝ : Type u
x✝² : β✝ → F✝ γ✝
x✝¹ : α✝ → G✝ β✝
x✝ : t' α✝
⊢ Comp.mk (Equiv.traverse eqv x✝² <$> Equiv.traverse eqv x✝¹ x✝) = Comp.mk (Equiv.traverse eqv x✝² <$> traverse x✝¹ x✝)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
h' : ∃ j ∈ Set.Icc n m₁, u j ω ∈ s
⊢ MeasureTheory.hitting u s n m₁ ω = MeasureTheory.hitting u s n m₂ ω
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M : Mon_ C
⊢ (CategoryTheory.tensor_μ C (𝟙_ C, M.X) (𝟙_ C, M.X) ≫ ((λ_ (𝟙_ C)).hom ⊗ M.mul)) ≫ (λ_ M.X).hom =
  ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ M.X).hom) ≫ M.mul
ι : Type uι
inst✝⁷ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
this : Nonempty { a // a ∈ x.lifts } := nonempty_subtype.mpr (nonempty_lifts x)
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
hp✝ : p ∈ x.lifts
hp : (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p).sum = x
⊢ ‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ (List.sum ∘ List.map fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ↑⟨p, hp✝⟩ * ‖f‖
x y : ℝ
⊢ Irrational (x * y) → Irrational x ∨ Irrational y
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
NonUnitalNonAssocSemiring γ
f : α →ₙ+* β
⊢ NonUnitalRingHom.comp 0 f = 0
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ✝ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ✝ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R n) f).coeff i ≠ 0
hf'_sup : (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support.Nonempty
σ : Fin n →₀ ℕ
hσ1 : σ ∈ (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support
hσ2 : ((((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support.sup fun s => s.sum fun x e => e) = σ.sum fun x e => e
⊢ (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).totalDegree + i ≤ f.totalDegree
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
(i : ι) → AddGroup (α i)
(i : ι) → Lattice (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
⊢ |f| i = |f i|
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X✝ I✝ : Set α
M : Matroid α
Y : Set α
I X : Set ↑Y
⊢ M.Basis (↑I) (↑X ∩ M.E) ∧ ↑X ⊆ Y ↔ M.Basis (↑I) (↑X ∩ M.E)
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
hab : a < b
hcd : c < d
⊢ a * c < b * d
R : Type u
Γ₀ : Type v
CommRing R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
CommRing O
Algebra O R
self : v.Integers O
x : O
⊢ v ((algebraMap O R) x) ≤ 1
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ (f ⊓ g) x = min (f x) (g x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : ↑M.E ↪ β
I : Set ↑M.E
hI : M.Indep ↑I
⊢ M.Indep ↑I ∧ ∃ t, ⇑f '' t = ⇑f '' I
R : Type u
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ ((cyclotomic (p ^ (n + 1)) ℤ).comp (X + 1)).IsEisensteinAt (Submodule.span ℤ {↑p})
x : ℝ
⊢ 1 ≤ √x ↔ 1 ≤ x
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : Inducing (⇑(ofFun 𝔖) ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), ∀ s ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (φ u '' s)
⊢ ContinuousSMul 𝕜 H
P : Type u_1
inst✝ : SemilatticeInf P
x✝ y✝ : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime
x y : P
F : PFilter P := ⋯.toPFilter
⊢ x ∈ F ∧ y ∈ F → x ⊓ y ∈ F
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
f_int : Integrable f μ
lintegral_norm_tendsto_zero : Tendsto (fun n => (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ).toReal) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
x : α
hx : ↑↑(Integrable.toL1 (fs n - f) ⋯) x = (fs n - f) x
⊢ (fun a => ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n - f) ⋯) a‖₊) x = (fun a => ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖) x
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
hl : 1 < l.length
⊢ l.formPerm (l.get ⟨0, ⋯⟩) = l.get ⟨1, hl⟩
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
R : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x : ↥S
P f g : R[X]
hf : (aeval ↑x) f = ↑((aeval x) f)
hg : (aeval ↑x) g = ↑((aeval x) g)
⊢ (aeval ↑x) (f + g) = ↑((aeval x) (f + g))
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
J : LieIdeal R L'
⊢ LieIdeal.map f (LieIdeal.comap f J) ≤ J
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : RankCondition R
J : Set M
v : Basis ι R M
hJ : span R J = ⊤
this : Nontrivial R
⊢ #↑(range ⇑v) ≤ #↑J
X : Scheme
U : (Opens ↑↑((Scheme.Γ.rightOp ⋙ Scheme.Spec).obj X).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ (Opens.map (adjunction.unit.app X).val.base).obj (unop U) ≤ ⊤
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
this : TopologicalAddGroup H
hb : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ∈ 𝓝 0) fun V => {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ V}
⊢ ∀ {i : Set E}, i ∈ 𝓝 0 → ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ j ∈ 𝓝 0, V • {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ j} ⊆ {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ i}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
hsc : count s = 0
hs : s.Finite
⊢ s = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖0‖₊ ∂μ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
β γ : Type
Finite β
ε : β ≃ γ
f : γ → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (f ∘ ⇑ε)
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproduct.reindex ε f).inv =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.lift fun b => CategoryTheory.Limits.biproduct.π f (ε b)
α : Type u_1
a b c : α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : IsModularLattice α
h : Disjoint a b
hsup : Disjoint (a ⊔ b) c
⊢ α
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℤ
hm : m ≤ 0
hn : n ≤ 0
⊢ A ^ (m + n) = A ^ m * A ^ n
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
⊢ 0 < μ (support ↑f)
X : TopCat
x : ↑X
U : (TopologicalSpace.OpenNhds x)ᵒᵖ
⊢ (TopologicalSpace.OpenNhds.map (𝟙 X) x).obj (Opposite.unop U) = Opposite.unop U
α : Type u
PseudoMetricSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun r => 0 < r) fun r => {p | dist p.1 p.2 < ↑r}
n : Nat
⊢ 0 < Int.negSucc n ↔ False
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nonempty ι
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m‖ < ε → ‖f m‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
this : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι
⊢ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι * ∏ i : ι, ‖m i‖
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℕ
⊢ ↑(↑(n + 1))⁻¹ = (↑(n + 1))⁻¹
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => r * f x) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : CategoryTheory.Adjunction.CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
g : X ⟶ G.obj Y
⊢ ((CategoryTheory.Adjunction.mkOfUnitCounit adj).homEquiv X Y).symm g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map g) (adj.counit.app Y)
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G ≃+ N
K : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.map f.toAddMonoidHom K = AddSubgroup.comap f.symm.toAddMonoidHom K
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
⊢ v.IsEquiv v' ↔ ∀ {x : K}, v (x - 1) < 1 ↔ v' (x - 1) < 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
x y : α
hy : y ≠ x
⊢ p y * (pure y) x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Sub α
inst✝² : Bot α
inst✝¹ : Sub β
inst✝ : Bot β
f : α → β
h : ∀ (x y : α), f (x - y) = f x - f y
h₀ : f ⊥ = ⊥
x✝ : WithTop α
⊢ map f (x✝ - ⊤) = map f x✝ - map f ⊤
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingParallelPairOpEquiv.counitIso.app
    (Opposite.op CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one) =
  CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
l : α
hl : l < a
⊢ ∃ l' ∈ Set.Ico l a, Set.Ioc l' a ⊆ s
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
Algebra S C
IsScalarTower R S C
f' : A ⊗[R] B →ₐ[S] C
⊢ ↑(Algebra.TensorProduct.liftEquiv.symm f') =
  (f'.comp Algebra.TensorProduct.includeLeft, (AlgHom.restrictScalars R f').comp Algebra.TensorProduct.includeRight)