ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
r : HomRel C
A : Type w
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : HasShift C A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : r.IsCompatibleWithShift A
inst✝ : F.CommShift A
hF : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
a : A
X : C
⊢ 𝟙 ((lift r F hF).obj ((shiftFunctor (Quotient r) a).obj ((functor r).obj X))) ≫ (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).inv.app X) ≫ 𝟙 ((lift r F hF).obj ((functor r).obj ((shiftFunctor C a).obj X))) ≫ 𝟙 (F.obj ((shiftFunctor C a).obj X)) ≫ (F.commShiftIso a).hom.app X ≫ (shiftFunctor D a).map (𝟙 (F.obj X)) ≫ 𝟙 ((shiftFunctor D a).obj ((lift r F hF).obj ((functor r).obj X))) = (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).hom.app X
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
⊢ M.Indep B → (B ⊆ M.E ∧ M.E ⊆ M.closure B ↔ M.closure B = M.E)
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
htendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (ENNReal.ofReal I))
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (max 1 (I + 1))
C : ℕ → Sort u_1
n m k : ℕ
hnm : n ≤ m
hmk : m ≤ k
next : {k : ℕ} → C k → C (k + 1)
x : C n
⊢ Nat.leRecOn ⋯ next x = Nat.leRecOn hmk next (Nat.leRecOn hnm next x)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y U : Scheme
f : Y ⟶ U
g : U ⟶ X
h : IsOpenImmersion g
V : U.Opens
⊢ ↑V = ↑((Opens.map g.val.base).obj (g ''ᵁ V))
a : Nat
⊢ a < UInt64.size → ↑(UInt64.ofNat a).val = a
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
l : List ι
t : Set X
h : ∀ i ∈ l, ContinuousOn (f i) t
x : X
hx : x ∈ t
⊢ ContinuousWithinAt (fun a => (List.map (fun i => f i a) l).prod) t x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
⊢ (TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom = (TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑I ↔ ∀ J ≤ I, (↑J).FG
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
⊢ {0}ᶜ ⊆ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f g : α →₀ ℕ
a✝ : α
⊢ Multiset.count a✝ (toMultiset (f ⊔ g)) = Multiset.count a✝ (toMultiset f ∪ toMultiset g)
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => rexp (-π * (a ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2 + a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t))) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
x : G
NontriviallyNormedField 𝕜
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Sub G
NormedSpace ℝ 𝕜
f g : G → 𝕜
⊢ MeasureTheory.convolution f g (ContinuousLinearMap.mul 𝕜 𝕜) μ x = ∫ (t : G), f t * g (x - t) ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → ℕ
⊢ ∅.EquitableOn f → ∃ b, ∀ a ∈ ∅, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1
α : Type
self : Lake.ModuleFacet α
⊢ Lake.ModuleData self.name = α
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : QPF.Cofix F → QPF.Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : QPF.Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
x y : QPF.Cofix F
⊢ r x y → x = y
X : Scheme
⊢ IsTopologicalBasis (SetLike.coe '' X.affineOpens)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ LieAlgebra.derivedSeries R (↥↑I) k = LieIdeal.comap I.incl (LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k I)
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
β : TypeVec.{u_2} (n + 1)
f g : α.Arrow β
h₀ : TypeVec.dropFun f = TypeVec.dropFun g
h₁ : TypeVec.lastFun f = TypeVec.lastFun g
⊢ f = g
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
s : Finset ι
g : ι → K
eq : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0
j' : ι
hj's : j' ∈ s
hj'g : ¬g j' = 0
⊢ ∃ x x_1, ∃ (_ : ∑ i ∈ x, x_1 i • (⇑f' ∘ b) i = 0), ∃ x_2, ∃ (_ : x_2 ∈ x), ¬x_1 x_2 = 0
L : Type u_2
Field L
Γ₀ : Type u_3
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
val : Valued L Γ₀
hv : Valued.v.RankOne
x : L
hx : Valued.norm x = 0
⊢ x = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → List α
hf1 : IsBadSeq (List.SublistForall₂ r) {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} f
hf2 : ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq (List.SublistForall₂ r) List.length {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} n f
⊢ False
α : Type u
f : Filter α
a : α
⊢ f ≤ pure a ↔ f = ⊥ ∨ f = pure a
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j : ℤ
hj : 0 < j
hb₁ : ∀ s ≥ 0, j ∈ {x | ∃ k > 0, beattySeq s k = x} ↔ j ∈ {x | ∃ k, beattySeq s k = x}
hb₂ : ∀ s ≥ 0, j ∈ {x | ∃ k > 0, beattySeq' s k = x} ↔ j ∈ {x | ∃ k, beattySeq' s k = x}
⊢ j ∈ {x | ∃ k > 0, beattySeq r k = x} ∆ {x | ∃ k > 0, beattySeq' s k = x}
G : Type u_4
F : Type u_6
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup F
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableAdd G
f : G → F
μ.IsAddLeftInvariant
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
g : G
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun t => f (g + t)) μ
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
⊢ ⇑s.subtype = Subtype.val
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
s : S.Splitting
⊢ s.splitEpi_g.section_ = s.s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
r s x✝ : R
⊢ ((ψ.mulShift r).mulShift s) x✝ = (ψ.mulShift (r * s)) x✝
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
this : f =ᶠ[ae μ] fun x => ‖f x‖
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : α), f x ∂μ) = ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootSystem ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
⊢ P₂.coroot i = P₁.coroot i
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Fintype β
f : α ↪ β
h✝ : IsEmpty α
⊢ (map f s).dens ≤ s.dens
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
⊢ ↑(Homeomorph.unitBall 0) = 0
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝² : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimit (F ⋙ G)
E : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} E
H : D ⥤ E
h : HasLimit ((F ⋙ G) ⋙ H)
this : HasLimit (F ⋙ G ⋙ H)
j✝ : J
⊢ H.map (G.map (π F j✝)) = (G ⋙ H).map (π F j✝)
G : Type u
Group G
Finite G
Nontrivial G
⊢ 1 < Monoid.exponent G
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
x✝ : X
⊢ x✝ ∈ closure K ↔ x✝ ∈ ⋃ x ∈ K, {y | Inseparable x y}
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ sinZeta (↑x) (2 * ↑k + 1) = (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k + 1) / (2 * ↑k + 1).Gammaℂ * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : j = i.castSucc
⊢ X.δ i ≫ X.δ j = X.δ i ≫ X.δ i.succ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0
m : MeasurableSpace α
f : α →ₛ F
μ : Measure α
⊢ integral μ f = ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
Xs : Set (Set α)
hne : Xs.Nonempty
h : ∀ X ∈ Xs, M.Basis I X
⊢ M.Basis I (⋃₀ Xs)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f✝ g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
f : X ≅ Y
⊢ f.hom ≫ f.inv = 𝟙 X
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
H : CategoryTheory.Functor D E
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ((CategoryTheory.whiskeringRight C D E).obj H).obj F = F.comp H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
g : Filter β
⊢ limsup u (f ⊔ g) ≤ limsup u f ⊔ limsup u g
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → multiplicity 2 n ! < ↑n
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
a✝ : List (ι →₀ M)
⊢ (sum (Quot.mk Setoid.r a✝)).support ⊆ (map Finsupp.support (Quot.mk Setoid.r a✝)).sup
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : MulZeroClass α
a✝ b✝ : WithTop α
inst✝ : LT α
a b : WithTop α
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ ⊤
⊢ a * b ≠ ⊤
R : Type u
X : Type v
Semiring R
A : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
F : FreeNonUnitalNonAssocAlgebra R X →ₙₐ[R] A
⊢ (FreeNonUnitalNonAssocAlgebra.lift R) (⇑F ∘ FreeNonUnitalNonAssocAlgebra.of R) = F
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
S : PointedCone 𝕜 E
⊢ PointedCone.comap LinearMap.id S = S
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ f.idealRange = ⊤
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
hc : c ≠ 0
⊢ a / c ≤ b / c ↔ a ≤ b
P : (G : Type u_2) → [inst : Group G] → [inst : Group.IsNilpotent G] → Prop
G : Type u_2
Group G
Group.IsNilpotent G
hbase : ∀ (G : Type u_2) [inst : Group G] [inst_1 : Subsingleton G], P G
hstep : ∀ (G : Type u_2) [inst : Group G] [inst_1 : Group.IsNilpotent G], P (G ⧸ Subgroup.center G) → P G
⊢ P G
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
n : ℤ
hn : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = ↑n * π
h0 : 0 ≤ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)
h3lt : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) < π + π + π
hn0 : 0 ≤ n
⊢ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
this : (uncurry.obj F).map (f, 𝟙 k) ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k) ≫ ((Functor.const (J × K)).obj c.pt).map (f, 𝟙 k)
⊢ (F.map f).app k ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k)
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S T : 𝒮
a b c : 𝒳
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
φ : a ⟶ b
ψ : b ⟶ c
inst✝² : p.IsStronglyCartesian g ψ
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian (f ≫ g) (φ ≫ ψ)
inst✝ : p.IsHomLift f φ
a' : 𝒳
h : p.obj a' ⟶ R
τ : a' ⟶ b
hτ : p.IsHomLift (h ≫ f) τ
h₁ : p.IsHomLift (h ≫ f ≫ g) (τ ≫ ψ)
⊢ ∃! χ, p.IsHomLift h χ ∧ χ ≫ φ = τ
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace β
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
OrderTopology β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r : β
⊢ StrictConvex 𝕜 (Set.Iio r)
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K1 K2 : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
f1 : X →ᵇ ℝ≥0
f_test_function_K1 : (∀ x ∈ K1, 1 ≤ f1 x) ∧ Λ f1 < rieszContentAux Λ K1 + ε / 2
f2 : X →ᵇ ℝ≥0
f_test_function_K2 : (∀ x ∈ K2, 1 ≤ f2 x) ∧ Λ f2 < rieszContentAux Λ K2 + ε / 2
⊢ rieszContentAux Λ (K1 ⊔ K2) ≤ rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2 + ε
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
inst✝ : DecidableEq α
p : Finset α → Prop
h0 : p ∅
step : ∀ (a : α) (s : Finset α), (∀ x ∈ s, x < a) → p s → p (insert a s)
ihs : ∀ t ⊂ ∅, p t
⊢ p ∅
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
⊢ b.toMatrix (⇑b) i j = 1 i j
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
K.HasHomology i
K.HasHomology j
⊢ K.opcyclesToCycles i j ≫ K.iCycles j = K.fromOpcycles i j
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ {a, b}.ncard = 2
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
a✝ b : α
a : ↑(Iic b)
⊢ a ⋖ ⊤ ↔ ↑a ⋖ b
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x y : 𝕎 R
⊢ WittVector.truncateFun n (x * y) = WittVector.truncateFun n x * WittVector.truncateFun n y
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
⊢ (List.ofFn f)[i]? = List.ofFnNthVal f i
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
h : ∀ (x : E), p x = q x
⊢ p = q
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : AEMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
⊢ essSup g (Measure.map f μ) = essSup (g ∘ f) μ
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra K L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Finite K L
inst✝³ : Module.Finite R L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Free R M
x y : L
⊢ (LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly R M x y).natDegree = finrank R M
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s t : Set X
hu : t ⊆ insert y s
⊢ insert x s ∈ 𝓝[t] x
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
(i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ (y : (i : ι) × E i), dist x y < ε → y ∈ s
M : Type u_3
G : Type u_6
AddZeroClass M
AddCommGroup G
f g : M →+ G
x : M
⊢ (f - g) x = f x - g x
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M₂ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
x : ↥⊥
⊢ 0 ↑x = x
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)
X : Dᵒᵖ
a b : (forget A).obj (F.obj X)
h : (f.app X) a = (f.app X) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ map = g
⊢ ((whiskerLeft H.op f).app (Opposite.op Z)) ((forget A).map (F.map map.op) a) = ((whiskerLeft H.op f).app (Opposite.op Z)) ((forget A).map (F.map map.op) b)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
U : Set X
hU_nhds : U ∈ 𝓝 x
hU_inter : U ∩ s = {x}
t : Set X
ht_sub : t ⊆ U
ht_open : IsOpen t
ht_x : x ∈ t
⊢ {x} ⊆ t ∩ s
τ : Type u_1
TopologicalSpace τ
AddMonoid τ
ContinuousAdd τ
α : Type u_2
TopologicalSpace α
self : Flow τ α
t₁ t₂ : τ
x : α
⊢ self.toFun (t₁ + t₂) x = self.toFun t₁ (self.toFun t₂ x)
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R[X]
x : R
⊢ x ∈ I.leadingCoeffNth 0 ↔ Polynomial.C x ∈ I
n : ℕ
h : Odd n
⊢ 2 * (n / 2) + 1 = n
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsSeparable F E
⊢ Field.finInsepDegree F E = 1
i : Nat
w : Nat
⊢ (BitVec.intMax w).getLsb i = decide (i < w)
α : Type u_1
β : Type u_2
as : Array α
f : α → β
p : Fin as.size → β → Prop
hs : ∀ (i : Fin as.size), p i (f as[i])
⊢ ∃ eq, ∀ (i : Nat) (h : i < as.size), p ⟨i, h⟩ (Array.map f as)[i]
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ m.size ≤ n.size
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset γ
f : γ ↪ β
g : β → α
⊢ (Finset.map f s).inf g = s.inf (g ∘ ⇑f)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
⊢ e.det ⇑e = 1
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α
⊢ a.factors.prod = a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
one : p 1 ⋯
add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
neg : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s), p x hx → p (-x) ⋯
mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
a : R
ha : a ∈ closure s
⊢ p a ha
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
⊢ f.eraseLead.leadingCoeff = f.nextCoeff
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
h : IsAddUnit a
⊢ ∃ b, a + b = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
f : α → β → β
l₁ l₂ : List α
lcomm : LeftCommutative f
p : l₁ ~ l₂
b : β
⊢ foldr f b l₁ = foldr f b l₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
s : S.Splitting
⊢ CategoryTheory.Mono S.f
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : ↑((inhomogeneousCochains A).X 2)
y : G × G × G
⊢ (A.ρ y.1) (x (Fin.cons y.2.1 (Fin.cons y.2.2 finZeroElim))) - x (Fin.cons (y.1 * y.2.1) (Fin.cons y.2.2 finZeroElim)) + x (Fin.cons y.1 (Fin.cons (y.2.1 * y.2.2) finZeroElim)) - x (Fin.cons y.1 (Fin.cons y.2.1 finZeroElim)) = (A.ρ ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) 0)) (x fun i => (Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) i.succ) + ∑ j : Fin 3, (-1) ^ (↑j + 1) • x (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y)))
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x
⊢ a.y = b.y
α : Type u_1
CompleteLattice α
p : α → Prop
hsinf : ∀ (s : Set α), (∀ a ∈ s, p a) → p (sInf s)
a : α
⊢ (ClosureOperator.ofCompletePred p hsinf) a = ⨅ b, ↑b
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 : Presheaf C X
c : C
f : 𝓕.stalk p₀ ⟶ c
U : (OpenNhds p₀)ᵒᵖ
⊢ (if h : p₀ ∈ (unop U).obj then 𝓕.germ ⟨p₀, h⟩ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from (𝓕.obj (op (unop U).obj))) ≫ eqToHom ⋯ = colimit.ι ((OpenNhds.inclusion p₀).op ⋙ 𝓕) U ≫ f
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ∀ {x : Decidable (Part.Dom (OfNat.ofNat n))}, (OfNat.ofNat n).toWithTop = OfNat.ofNat n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]
⊢ I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial (Polynomial.map (Quotient.mk I) f) = (Quotient.mk (map C I)) f
f : StieltjesFunction
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (range Ioi) ≤ f.outer.caratheodory
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a✝ b a : α
s t : Multiset α
⊢ a ::ₘ (s ∪ t) = a ::ₘ s ∪ a ::ₘ t
⊢ deriv AkraBazziRecurrence.smoothingFn =o[Filter.atTop] fun x => x⁻¹
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
x✝ : ι → R
⊢ (MultilinearMap.mkPiRing R ι 0) x✝ = 0 x✝
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
rj : R ∈ J.sieves X
sj : S ∈ J.sieves X
⊢ ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), R.arrows f → Sieve.pullback f (R ⊓ S) ∈ J.sieves Y
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
Nonempty V
⊢ ∃ v, G.maxDegree = G.degree v
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → α → Prop
f : β → α
s : Set β
⊢ (f '' s).WellFoundedOn r ↔ s.WellFoundedOn (r on f)
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
⊢ Tendsto (fun a => ∑' (a_1 : { x // x ∉ a }), ↑(f ↑a_1)) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c d : α
⊢ a ≤ max (a - c) (b - d) + max c d ∧ b ≤ max (a - c) (b - d) + max c d
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
this✝ : ∀ (n : ℤ), -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k = -↑k ! / (2 * ↑π * I) ^ k * (1 / ↑n ^ k)
this : (fun x => ‖1 / ↑x ^ k‖) = fun x => |1 / ↑x ^ k|
⊢ Summable fun x => |1 / ↑x ^ k|
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : C ⟶ D
i : ι
⊢ (-f).f i = -f.f i
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
hom : Type u_3
UniformSpace β
DiscreteTopology β
AddGroup β
UniformAddGroup β
FunLike hom α β
AddMonoidHomClass hom α β
f : hom
⊢ UniformContinuous ⇑f ↔ IsOpen ↑(↑f).ker
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β
⊢ inr b ∈ s.disjSum t ↔ b ∈ t
G : Type u_1
LeftCancelMonoid G
a : G
⊢ Nat.card ↥(Submonoid.powers a) = orderOf a
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
M : ℝ
⊢ Tendsto (fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n) (𝓝[stolzSet M] 1) (𝓝 l)
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a ⊔ b ⇨ c = (a ⇨ c) ⊓ (b ⇨ c)
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
⊢ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ⇑(PolynomialModule.single R i) '' ↑(F.N i)) = F.submodule.toAddSubmonoid
β : Type u_2
f g : β → ℝ≥0
r : ℝ≥0
hgf : ∀ (b : β), g b ≤ f b
hfr : HasSum f r
⊢ ∃ p ≤ r, HasSum g p
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
I : (d : D) → colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
d : D
this : Nonempty (StructuredArrow d F)
X₁ : C
f₁ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₁
X₂ : C
f₂ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₂
y₁ : colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) := colimit.ι (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) X₁ f₁
y₂ : colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) := colimit.ι (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) X₂ f₂
⊢ Zigzag { left := { as := PUnit.unit }, right := X₁, hom := f₁ } { left := { as := PUnit.unit }, right := X₂, hom := f₂ }