ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
H : (of R ι G f i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x), k ≤ j
hxj : (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) ((DirectSum.lof R ι G i) x) = 0
hx0 : ¬x = 0
⊢ i ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
PerfectRing R p
⊢ ((Polynomial.expand R p) f).roots = p • Multiset.map (⇑(frobeniusEquiv R p).symm) f.roots
n : Nat
a b : Fin n
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (D.comp T.forget) T.toFunctor
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit ((D.comp T.forget).comp T.toFunctor) T.toFunctor
⊢ (CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesColimits.liftedCocone c t).pt =
  CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesColimits.coconePoint c t
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : 0 < p.natDegree
⊢ p.nextCoeff = p.coeff (p.natDegree - 1)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
t s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜
hts : t ⊆ s
⊢ t.card = r - (s \ t).card
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (W.map φ).b₄ = φ W.b₄
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : J ⊔ K = ⊤
⊢ I * K ⊔ J = I ⊔ J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.homologyπ
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ) S₂.homologyι) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.iCycles (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.τ₂ S₂.pOpcycles)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
⊢ ∃ k, dist x ↑k < ε
a b : ℕ
hba : b ∣ a + 1
⊢ (a + 1) / b = a / b + 1
α : Type u
Add α
a b c : WithTop α
IsRightCancelAdd α
ha : a ≠ ⊤
h : b + a = c + a
⊢ b = c
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.CompactOpens α
⊢ IsCompact ↑s
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDomain R
IsDedekindDomain R
I : ↥(Ideal R)⁰
⊢ ↑((FractionalIdeal.mk0 K) I) = ↑↑I
G : Type u_2
Group G
H : Subgroup G
h : G
hh : h ∈ H
⊢ ↑H * {h} = ↑H
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
hx : ∀ (a : ↑s), ↑a • x = 0
⊢ ∀ (a : ↑↑(Ideal.span s)), ↑a • x = 0
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
z : L
hz : z ∈ I
⊢ ⁅↑x, z⁆ = 0
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
⊢ a / 3 + a / 3 + a / 3 = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
⊢ StarConvex 𝕜 0 ↑K
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
a : ℤ
⊢ (GenContFract.of ↑a).s = Stream'.Seq.nil
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
⊢ (monomial (Finsupp.single n e + s)) a = X n ^ e * (monomial s) a
R : Type u
CommRing R
X : AlgebraCat R
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (AlgebraCat R) (ModuleCat R)).obj X = ModuleCat.of R ↑X
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
Monad m
f : α → m PUnit
⊢ forM List.nil f = pure PUnit.unit
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
J : Ideal S
⊢ Ideal.map (algebraMap R S) (Ideal.comap (algebraMap R S) J) = J
n : ℤ
⊢ Complex.cos (↑n * (2 * ↑Real.pi) + ↑Real.pi) = -1
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : ↥⊤
⊢ Submodule.topEquiv x = ↑x
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder α r
IsWellOrder β s
⊢ Ordinal.type r < Ordinal.type s ↔ Nonempty (r ≺i s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β
⊢ (comap m f).NeBot ↔ ∀ t ∈ f, ∃ a, m a ∈ t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
P : CategoryTheory.Sheaf J D
⊢ ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J D).counit.app P).val =
  CategoryTheory.sheafifyLift J (CategoryTheory.CategoryStruct.id P.val) ⋯
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
e : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ ⇑e.toLinearEquiv = ⇑e
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
x y : E
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
h : ↑‖y‖₊ < r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall f (p.changeOrigin y) (x + y) n (r - ↑‖y‖₊)
G : Type u_1
s : Set G
Group G
⊢ Group.conjugatesOfSet s ⊆ Group.normalClosure s
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
h₁ : ∀ (a : α₁) (b : β₁), f₁ a b ⊆ g₁ a b
h₂ : ∀ (a : α₂) (b : β₂), f₂ a b ⊆ g₂ a b
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
⊢ Finset.sumLift₂ f₁ f₂ a b ⊆ Finset.sumLift₂ g₁ g₂ a b
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
s t : Set V
sconn : (H.induce s).Connected
tconn : (H.induce t).Connected
sintert : (s ⊓ t).Nonempty
⊢ (H.induce (s ∪ t)).Connected
⊢ Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ ℂ = 2)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : γ) in s, ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal ∂(κ + η) a = (κ a) s
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime (x + y * z) y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Countable ι
f✝ g : α → β
X : Type u_5
Y : Type u_6
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this✝¹ : MeasurableSpace α := borel α
this✝ : BorelSpace α
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
⊢ IsSeparable (range f)
α : Type u_2
AddMonoid α
f : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f
n : ℕ
⊢ n • s ∈ n • f
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.yn a1 n * Pell.yn a1 n ∣ Pell.yn a1 (n * Pell.yn a1 n)
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
⊢ Symmetric Disjoint
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
⊢ 0 < T n
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
f : ι → MvPolynomial σ R
⊢ (∅.sum f).totalDegree ≤ ∅.sup fun i => (f i).totalDegree
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμν : μ univ = ν univ
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
⊢ ∀ s ∈ {S | ∃ l u, l < u ∧ Ico l u = S}, μ s = ν s
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ
⊢ ((X + C r) ^ n).coeff k = r ^ (n - k) * ↑(n.choose k)
k m n : ℕ+
⊢ (↑m).Coprime ↑k → (↑n).Coprime ↑k → (↑m * ↑n).Coprime ↑k
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
A B : C
hB : B ∈ i.essImage
f : i.obj ((reflector i).obj A) ⟶ B
⊢ (unitCompPartialBijective A hB).symm f = (reflectorAdjunction i).unit.app A ≫ f
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (pullbackIsoProdSubtype f g).hom ≫ pullbackFst f g = pullback.fst f g
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
X : Action V G
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom.hom = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X.V).hom
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (T : C), Function.Bijective fun x => f ≫ x
g : Y ⟶ X
hg : f ≫ g = 𝟙 X
⊢ (fun x => f ≫ x) (g ≫ f) = (fun x => f ≫ x) (𝟙 Y)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Seq α → Seq α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Seq α
r : R s₁ s₂
⊢ s₁ = s₂
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
p : Submodule R M
Module R₂ M₂
e : ↥p ≃ₛₗ[σ₁₂] ↥⊥
⊢ p = ⊥
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y : α
hy : x ≠ y
hx : x ∉ l
h : optParam (x ∈ y :: l ++ [x]) ⋯
⊢ x ∉ y :: l
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
⊢ IsClosed s
α : Type u_1
f : α → ℝ
⊢ (Summable fun a => ↑(f a)) ↔ Summable f
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
hf : Function.Injective ⇑f.toHom
x : N
hx : x ∈ ↑t
h' : x ∈ ↑(Substructure.map f.toHom s)
⊢ x ∈ range ⇑f
α : Type u_1
AddZeroClass α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
b : α
⊢ a ≤ b + a ↔ 0 ≤ b
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
a : ↥S
⊢ (r S) (1, 1) (↑a, a)
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n✝ : ℕ
terminates : (of v).Terminates
n : ℕ
v_eq_conv : v = (of v).convs n
⊢ ∃ q, v = ↑q
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace α✝
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝⁵ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace δ
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
p : α → Prop
inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)
s : Set α
f g : α → β
hp : ∀ a ∈ s ∩ frontier {a | p a}, f a = g a
hf : ContinuousOn f (s ∩ closure {a | p a})
hg : ContinuousOn g (s ∩ closure {a | ¬p a})
⊢ ∀ a ∈ s ∩ frontier {a | p a}, Tendsto g (𝓝[s ∩ {a | ¬p a}] a) (𝓝 (if p a then f a else g a))
p : ℝ[X]
⊢ HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (Polynomial.eval 0⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue 0) 0
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x
hmono : MonotoneOn (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (Icc 0 (π / 2))
hconc : ConcaveOn ℝ (Icc (π / 2) π) fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
⊢ 0 ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
⊢ a - b ≡ 0 [PMOD p] ↔ a ≡ b [PMOD p]
N : ℕ
NeZero N
j : ℤ
⊢ ↑(ZMod.toCircle ↑j) = cexp (2 * ↑π * Complex.I * ↑j / ↑N)
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ 1 = LinearMap.id
⊢ (fun n => 1 / ↑n ^ (2 * 1 + 1) * Real.sin (2 * π * ↑n * (1 / 4))) = fun n => 1 / ↑n ^ 3 * Real.sin (π * ↑n / 2)
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ Multiset.filter p (s ∪ t) = Multiset.filter p s ∪ Multiset.filter p t
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B₂ F₂ : LinearMap.BilinForm R M
f : Module.End R M
⊢ f ∈ B₂.isPairSelfAdjointSubmodule F₂ ↔ B₂.IsPairSelfAdjoint F₂ f
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (↑n).sign = 1
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ (⋂ i, ⋂ j, s i j).Nonempty ↔ ∃ a, ∀ (i : ι) (j : κ i), a ∈ s i j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom =
  CategoryTheory.Limits.coprod.desc (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) (CategoryTheory.Limits.initial.to X)
α : Type u_1
MulOneClass α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
b : α
⊢ a ≤ b * a ↔ 1 ≤ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ ∃ Z g h,
  CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk f g h ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.distinguishedTriangles C
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
a : α
f : ↑(Set.Ici a) → β
hf : StrictMono f
⊢ StrictMonoOn (Set.IciExtend f) (Set.Ici a)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
Fintype α
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_4
Semiring S
Module S M
SMulCommClass R S M
v : α → M
x : α → R
⊢ (Finsupp.total α M R v) ((Finsupp.linearEquivFunOnFinite R R α).symm x) = ((Fintype.total R S) v) x
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
U : Y.Opens
V V' : X.Opens
e : V ≤ (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U
i : Opposite.op V ⟶ Opposite.op V'
⊢ f.appLE U V e ≫ X.presheaf.map i = f.appLE U V' ⋯
α : Type u_1
t : α
ts is : List α
⊢ (t :: ts).permutationsAux is =
  List.foldr (fun y r => (List.permutationsAux2 t ts r y id).2) (ts.permutationsAux (t :: is)) is.permutations
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
j : J
⊢ (leftDistributor X f).inv ≫ X ◁ biproduct.π f j = biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j
S : Type u_1
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
SMul S R
s : S
⊢ (s • a).imI = s • a.imI
α β : Type u
m n : ℕ
⊢ m < n → m ≤ n
a b : Prop
h : b = True
⊢ (a ↔ b) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
p : Set β
f : r ≺i s
H : ∀ (a : α), f.toRelEmbedding a ∈ p
H₂ : f.top ∈ p
a : α
⊢ (PrincipalSeg.codRestrict p f H H₂).toRelEmbedding a = ⟨f.toRelEmbedding a, ⋯⟩
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
u : αˣ
hu : ↑u = a
⊢ IsUnit a⁻¹
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
a : (i : ι) × α i
⊢ a ∈ s.sigma t ↔ a.fst ∈ s ∧ a.snd ∈ t a.fst
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
M : CategoryTheory.Mat_ C
i j : M.ι
⊢ 𝟙 M i j = if h : i = j then CategoryTheory.eqToHom ⋯ else 0
G : Type u_6
Group G
H : Type u_9
Group H
f : G → H
map_div : ∀ (a b : G), f (a * b⁻¹) = f a * (f b)⁻¹
⊢ ⇑(MonoidHom.ofMapMulInv f map_div) = f
a b : Prop
ha : a
⊢ a ∧ b ↔ b
α : Type u_1
Preorder α
OrderBot α
SuccOrder α
⊢ Order.succ ⊥ = ↑⊥
G : Type u_1
Group G
M : Type u_8
N : Type u_9
MulOneClass M
MulOneClass N
f : G →* M
g : G →* N
⊢ (f.prod g).ker = f.ker ⊓ g.ker
n : ℕ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
DecidableEq σ
DecidableEq τ
e : σ ≃ τ
s : Sym σ n
⊢ Nat.Partition.ofSym (Sym.map (⇑e) s) = Nat.Partition.ofSym s
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Set.Iic (OrderDual.toDual a) = ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Set.Ici a
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : αᵒᵈ
⊢ Finset.Ico (OrderDual.ofDual a) (OrderDual.ofDual b) = Finset.map OrderDual.ofDual.toEmbedding (Finset.Ioc b a)
V : Type u_1
TopologicalSpace V
AddCommGroup V
Module ℝ V
⊢ ↑0 = 0
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x : K
⊢ x ∈ s → -x ∈ s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
hδ : 0 ≤ δ
t : ↑(Icc a b)
n : ℕ
ht : t ∈ Icc (addNSMul h δ n) (addNSMul h δ (n + 1))
⊢ (fun a_1 => ↑a_1) t ≤ ↑(projIcc a b h ?m.54392)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f✝ : ↥(Lp F p μ)
hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ
f g : α → F
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
h_disj : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hPf : P (Memℒp.toLp f hf)
hPg : P (Memℒp.toLp g hg)
s_f : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hs_f : MeasurableSet s_f
hs_f_eq : s_f =ᶠ[ae μ] Function.support f
s_g : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
hs_g : MeasurableSet s_g
hs_g_eq : s_g =ᶠ[ae μ] Function.support g
⊢ P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
a : G
⊢ AddMonoidAlgebra.single a 0 = 0
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
⊢ ⨆ a ∈ s, LinearMap.range (lsingle a) ≤ ⨅ a ∈ t, ker (lapply a)
X : TopCat
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
x : ↥(U ⊓ V)
⊢ (fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x = ⟨↑x, ⋯⟩
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : SimplicialObject.Split C
n : ℕ
⊢ (SimplicialObject.Split.toKaroubiNondegComplexFunctorIsoN₁.inv.app X).f.f n =
  X.s.πSummand (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [n]))
n m : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n → ℕ
g : Mathlib.Vector ℕ n → Mathlib.Vector ℕ m
hf : Nat.Partrec' ↑f
hg : Nat.Partrec'.Vec g
⊢ Nat.Partrec'.Vec fun v => f v ::ᵥ g v
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
S : Subalgebra R A
S₁ : Subalgebra R B
⊢ Subalgebra.toSubmodule (S.prod S₁) = (Subalgebra.toSubmodule S).prod (Subalgebra.toSubmodule S₁)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) ↔ x ∈ ⊥
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
⊢ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittMul p 0) = (map (Int.castRingHom ℚ)) (X (0, 0) * X (1, 0))
n : ℕ
x : ↑I
this : ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial ℝ n ν = 1
⊢ ∑ k : Fin (n + 1), (bernstein n ↑k) x = 1
o : Ordinal.{u_1}
ho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o
ho₂✝ : o ≠ 2
ho₂ : o > 2
⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
Algebra R S₁
f : σ → S₁
r : R
⊢ (MvPolynomial.aeval f) (MvPolynomial.C r) = (algebraMap R S₁) r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
y : E
⊢ y ∈ EMetric.ball x r → ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f y = p.partialSum m (y - x)
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
CommSemiring A
Algebra R A
M : Type u_3
AddCancelCommMonoid M
Module R M
Module A M
D : A →ₗ[R] M
h : ∀ (a b : A), D (a * b) = a • D b + b • D a
⊢ ↑(Derivation.mk' D h) = D
α : Type u_1
E : Type u_3
R : Type u_13
Norm E
SeminormedRing R
f : α → E
l : Filter α
g : α → R
u : Rˣ
c' : ℝ
hc' : 0 ≤ c'
h : Asymptotics.IsBigOWith c' l f g
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (c' * ‖↑u⁻¹‖) l f fun x => ↑u * g x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ interior s
H₁ : Tendsto (fun r => r⁻¹ • x) (𝓝[<] 1) (𝓝 x)
⊢ x ∈ {x | gauge s x < 1}
R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : InvolutiveStar R
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
a : A
x✝ : R
⊢ x✝ ∈ σ (star a) ↔ x✝ ∈ star (σ a)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
TopologicalSpace P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ Set.univ)
⊢ ContinuousOn (fun q => MeasureTheory.convolution f (g q.1) L μ q.2) (s ×ˢ Set.univ)
m n : ℕ
⊢ (m + n).gcd m = n.gcd m
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
⊢ prod.lift (a ≫ 𝟙 Y) (a ≫ 0) ≫ σ = a
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0
c : ℝ → ℝ
hc : ∀ x ∈ Ioo a b, c x ∈ Ioo a x ∧ f x * g' (c x) = g x * f' (c x)
this : ∀ x ∈ Ioo a b, ((fun x' => f' x' / g' x') ∘ c) x = f x / g x
cmp : ∀ x ∈ Ioo a b, a < c x ∧ c x < x
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[Ioo a b] a, c x ∈ Ioi a
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
x : α
y : β
⊢ (MeasureTheory.Measure.dirac x).prod (MeasureTheory.Measure.dirac y) = MeasureTheory.Measure.dirac (x, y)