ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
r : R
A : (algebraMap R (MvPolynomial S₁ (MvPolynomial S₂ R))) r = C (C r)
B : (algebraMap R (MvPolynomial (S₁ ⊕ S₂) R)) r = C r
⊢ __src✝.toFun ((algebraMap R (MvPolynomial (S₁ ⊕ S₂) R)) r) = (algebraMap R (MvPolynomial S₁ (MvPolynomial S₂ R))) r
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.Integrable f (μ i)
⊢ ∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ s, μ i = ∑ i ∈ s, ∫ (a : α), f a ∂μ i
α : Type u_1
β : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
CancelCommMonoidWithZero β
e : α ≃* β
hα : UniqueFactorizationMonoid α
⊢ UniqueFactorizationMonoid β
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
n : ℕ
⊢ (mapRingHom f) (X ^ n) = X ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
m₁ : MeasurableSpace α
m₂ : MeasurableSpace β
f : α → β
⊢ Measurable f ↔ m₂ ≤ MeasurableSpace.map f m₁
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
c : Cardinal.{v}
⊢ c ≤ Module.rank K V ↔ ∃ s, #↑s = c ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
xl xr : Type u
x y : PGame
k : (x + y).RightMoves
P : (x + y).RightMoves → Prop
hl : ∀ (j : x.RightMoves), P (toRightMovesAdd (Sum.inl j))
hr : ∀ (j : y.RightMoves), P (toRightMovesAdd (Sum.inr j))
⊢ P k
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
H : G.Subgraph
u v : V
h : H.Adj u v
⊢ Relation.Map H.Adj (⇑f) (⇑f) (f v) (f u)
κ : Type u_4
γ : Type u_5
OrderedAddCommGroup γ
UniformSpace γ
UniformAddGroup γ
OrderClosedTopology γ
CompleteSpace γ
f : κ → γ
β : Set κ
h : ∀ (a : κ), 0 ≤ f a
hf : Summable f
⊢ ∑' (b : ↑β), f ↑b ≤ ∑' (a : κ), f a
E : Sort u_1
α : Sort u_3
β : Sort u_4
iE : EquivLike E α β
e : E
⊢ Function.Injective ⇑e
G : Type u_1
AddGroup G
g : G
H : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.zmultiples g ≤ H ↔ g ∈ H
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ LinearMap.range ↑e = ⊤
α : Type u
β : Type v
e : Equiv.Perm α
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
n : ℕ
⊢ (e ^ n).extendDomain f = e.extendDomain f ^ n
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
LinearOrder α
a b : α
P : α → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (Ι a b), P x) ↔
  (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), P x) ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), P x
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
⊢ μ[{ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue f τ)|hσ.measurableSpace] =ᶠ[ae μ] {ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue f τ)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s.ndunion t ≤ s + t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : ℕ
⊢ multiplicity ↑a ↑b = multiplicity a b
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, f y = f c
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
hs : s.Nonempty
⊢ 0 < ∑ i ∈ s, centroidWeights R s i
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
AddCommMonoid β
⊢ ∑ _x ∈ s, 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Fintype.card α ≤ Fintype.card β
α : Type u_3
CommMonoid α
n : ℕ
a : α
⊢ (Multiset.replicate n a).prod = a ^ n
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
⊢ (shiftFunctorAdd' C (a₁ + a₂) a₃ (a₁ + a₂ + a₃) ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd' C a₁ a₂ (a₁ + a₂) ⋯).hom.app X) ≫ 𝟙 ((shiftFunctor C a₃).obj ((shiftFunctor C a₂).obj ((shiftFunctor C a₁).obj X))) = (shiftFunctorAdd' C a₁ (a₂ + a₃) (a₁ + a₂ + a₃) ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C a₂ a₃ (a₂ + a₃) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C a₁).obj X)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
L : IntermediateField F E
IsPurelyInseparable F ↥L
Algebra.IsSeparable F ↥L
⊢ L = ⊥
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
⊢ mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦(P F).wMk a f' f⟧
α : Type u_1
NonUnitalSeminormedRing α
x y : α
⊢ ‖(AddMonoidHom.mulRight x) y‖ ≤ ‖x‖ * ‖y‖
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
⊢ ContMDiffOn I I n (↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e h).symm) (range e)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R
⊢ IsSelfAdjoint (star x + x)
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
a : α
⊢ ∑ᶠ (_ : f a ≠ 0), f a = f a
a b : Cardinal.{v}
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (min a b) = min (Cardinal.lift.{u, v} a) (Cardinal.lift.{u, v} b)
a b c : Ordinal.{u}
h₁ : a < b
h₂ : 0 < c
⊢ a ⨳ c < b ⨳ c
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊
hk : -↑k ≤ s
⊢ ⇑f =O[cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ s
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
ha : Int.fract a ≠ 0
⊢ ↑⌈a⌉ = a + 1 - Int.fract a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : G' → E
g : G' → F
f' : G' →L[𝕜] E
g' : G' →L[𝕜] F
x : G'
hf : HasFDerivAt f f' x
hg : HasFDerivAt g g' x
⊢ HasFDerivAt (fun y => (B (f y)) (g y))
  (((ContinuousLinearMap.precompR G' B) (f x)) g' + ((ContinuousLinearMap.precompL G' B) f') (g x)) x
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
f : ↥(lp E p)
hp₀ : 0 < p
hp' : 0 < p.toReal
this : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : Finset α) in Filter.atTop, dist (∑ b ∈ x, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∀ (x : Finset α), dist (∑ b ∈ x, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε ^ p.toReal → dist (∑ b ∈ x, lp.single p b (↑f b)) f < ε
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f : ↥(Lp E p μ)
h0 : ↑↑0 =ᶠ[ae μ] 0
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f ↔ ↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20583, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.20587, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.20591, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
X Y : Comma L₁ R₁
l : X.left ≅ Y.left
r : X.right ≅ Y.right
h : autoParam (L₁.map l.hom ≫ Y.hom = X.hom ≫ R₁.map r.hom) _auto✝
⊢ X.hom = X.hom ≫ R₁.map (r.hom ≫ r.inv)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
M : Set (Ideal R)
hM : ∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤
hInf : I = sInf M
⊢ I.jacobson = I
I : Type u
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
DecidableEq I
(i : I) → Zero (f i)
(i : I) → Zero (g i)
(i : I) → Zero (h i)
f' : (i : I) → f i → g i → h i
hf' : ∀ (i : I), f' i 0 0 = 0
i : I
x : f i
y : g i
j : I
⊢ f' j (Pi.single i x j) (Pi.single i y j) = Pi.single i (f' i x y) j
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Cycle α
⊢ s.toFinset = ∅ ↔ s = Cycle.nil
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ✝
g : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Integrable g μ
hgtends : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) 1 μ) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ f n =ᶠ[ae μ] μ[g|↑ℱ n]
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r
⊢ 0 < ↑b ^ (log b r⁻¹ + 1)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
inst✝¹ : HasTerminal C
P : C
inst✝ : HasBinaryProduct P (⊤_ C)
⊢ fst ≫ lift (𝟙 P) (terminal.from P) = 𝟙 (P ⨯ ⊤_ C)
x✝ y x : ℝ
⊢ tan (arccos x) = √(1 - x ^ 2) / x
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝
inst✝ : NonAssocSemiring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
U : Subsemiring R := Subsemiring.mk' (⋃ i, ↑(S i)) (⨆ i, (S i).toSubmonoid) ⋯ (⨆ i, (S i).toAddSubmonoid) ⋯
⊢ x ∈ ⨆ i, S i → ∃ i, x ∈ S i
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
M : Type v
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I
P : Multiset (Ideal R) := factors I
⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors I))
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
⊢ (lift Q) ⟨g.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩ = g
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => (f x).toNNReal
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
f : AddConstMap G H a b
⊢ f.comp AddConstMap.id = f
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
b : β a
b' : β a'
s : AList β
h : a ≠ a'
⊢ (insert a' b' (insert a b s)).entries ~ (insert a b (insert a' b' s)).entries
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : Add ι
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝ : GNonUnitalNonAssocSemiring A
i j : ι
a : A i
b : A j
⊢ ((toAddMonoid fun x => (toAddMonoid fun x_1 => ((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip).flip) ((of A i) a)) ((of A j) b) = (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul a b)
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
hx : IsUnit ↑x
⊢ ⟨↑hx.unit⁻¹, ⋯⟩ * x = 1
f✝ : StieltjesFunction
c : ℝ≥0
f : StieltjesFunction
⊢ (c • f).measure = c • f.measure
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
SMulCommClass ℝ 𝕜 E
f : α → E
r : 𝕜
⊢ (μ.withDensityᵥ fun x => r • f x) = r • μ.withDensityᵥ f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ : Set α
p q : ℝ≥0∞
f : α → E
hfq : Memℒp f q μ
s : Set α
hf : ∀ x ∉ s, f x = 0
hs : μ s ≠ ⊤
hpq : p ≤ q
⊢ Memℒp f p μ
β✝¹ : Type u_1
β✝ : Type u_2
s : β✝¹ → β✝ → Prop
α✝¹ : Type u_3
α✝ : Type u_4
r : α✝¹ → α✝ → Prop
x : α✝¹ ⊕ β✝¹
y : α✝ ⊕ β✝
h : LiftRel s r x.swap y.swap
⊢ LiftRel r s x.swap.swap y.swap.swap
L : Type u_1
SemilatticeSup L
TopologicalSpace L
ContinuousSup L
α : Type u_2
l : Filter α
f : ℕ → α → L
g : ℕ → L
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Filter.Tendsto (f k) l (𝓝 (g k))
⊢ Filter.Tendsto (fun a => (partialSups fun x => f x a) n) l (𝓝 ((partialSups g) n))
x : ZFSet
h : x.Nonempty
x✝ : ZFSet
⊢ x✝ ∈ (⋂₀ x).toSet ↔ x✝ ∈ ⋂₀ (toSet '' x.toSet)
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Add M
Add N
Add P
e₁ : M ≃+ N
e₂ : N ≃+ P
m : M
⊢ (e₁.trans e₂) m = e₂ (e₁ m)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hx : f x ≠ 0
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => Real.log (f x)) s x
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace β
AddGroup α
AddAction α β
ContinuousConstVAdd α β
s : Set α
t : Set β
⊢ s +ᵥ interior t ⊆ interior (s +ᵥ t)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : _root_.IsIntegral R x
hf : Irreducible (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
mem_norm_factors : normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)) ∈ normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
⊢ Multiset.map (fun f => ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm f)) (normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))).attach = {↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm ⟨normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)), mem_norm_factors⟩)}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.φ₁ S.L₂.f = S.φ₂
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
this : ∀ (U : (Opens ↑↑(D.U i))ᵒᵖ), (D.f i j).c.app U ≫ (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i j).base).obj (unop U))) = ((D.f i k).c.app U ≫ (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i k).base).obj (unop U)))) ≫ (pullback (D.f i j) (D.f i k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
⊢ invApp (D.f i j) U ≫ (D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) (unop (op ((Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).toPrefunctor.1 (unop (op U))))) ≫ (D.V (i, k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
⊢ Valuation.comap (RingHom.id R) v = v
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
x : E
r : ℝ
⊢ c • Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (c • x) (‖c‖ * r)
a b : Ordinal.{u}
⊢ {c | ∀ a' < a, ∀ b' < b, a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' < c ♯ a' ⨳ b'}.Nonempty
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
t : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : PolishSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
tβ : TopologicalSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β
f : α → β
inst✝ : SecondCountableTopology ↑(range f)
hf : Measurable f
b : Set (Set ↑(range f))
b_count : b.Countable
hb : IsTopologicalBasis b
⊢ ∃ t' ≤ t, Continuous f ∧ PolishSpace α
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofHasCokernel S hg).iso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofHasCokernel S hg).H
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ Metric.ball 0 √r • (s.sup p).ball 0 √r ⊆ U
R : Type u_1
CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
⊢ IsPowMul (seminormFromConst' hf1 hc hpm)
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
v w : α
h : ¬(G ⊔ edge v w).CliqueFree (n + 1)
⊢ ¬G.CliqueFree n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomotopyEquiv.refl S).inv = CategoryTheory.CategoryStruct.id S
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝¹ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝ : v \ u = v
this : x ∉ u
hus : u ⊆ s
⊢ insert x ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), σ pb.gen ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E
⊢ ∏ x ∈ univ.sigma fun i => {i}ᶜ, ((e x.snd) pb.gen - (e x.fst) pb.gen) = ∏ x ∈ univ.sigma fun σ => { val := ((minpoly K pb.gen).aroots E).erase (σ pb.gen), nodup := ⋯ }, (x.fst pb.gen - x.snd)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
⊢ (match match Option.map (fun a' => (a', (some <$> s).tail)) (some <$> s.get? 0) with | none => Sum.inl none | some (none, s') => Sum.inr s' | some (some a, s') => Sum.inl (some (a, s')) with | Sum.inl a => Sum.inl a | Sum.inr b => Sum.inr (Computation.corec (fun s => match Option.map (fun a' => (a', Seq.tail s)) (Seq.get? s 0) with | none => Sum.inl none | some (none, s') => Sum.inr s' | some (some a, s') => Sum.inl (some (a, s'))) b)) = Sum.inl (Option.map (fun a => (a, some <$> s.tail)) (s.get? 0))
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
Fintype α
⊢ 𝒜.shatterer.card ≤ ∑ k ∈ Finset.Iic 𝒜.vcDim, (Fintype.card α).choose k
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
r : R
a : ⨂[R]^n M
⊢ (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul a (algebraMap₀ r)) = r • a
α : Sort u
a b : α
h : Eq a b
⊢ Eq b a
R : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalAddGroup R
norm : R → 𝕜
norm_nonneg : ∀ (x : R), 0 ≤ norm x
norm_mul_le : ∀ (x y : R), norm (x * y) ≤ norm x * norm y
nhds_basis : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) fun ε => {x | norm x < ε}
h0 : ∀ (f : R → R), ∀ c ≥ 0, (∀ (x : R), norm (f x) ≤ c * norm x) → Tendsto f (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c
a : α
⊢ Antiperiodic (fun x => f (x - a)) c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : Injective fa
hf : InjOn f (fa '' univ)
⊢ InjOn fb (f '' univ)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ μ U < ⊤ ∧ μ (U ∆ s) < ε
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : TangentBundle I H
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm = ⇑(TotalSpace.toProd H E).symm
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
i : ι
⊢ ↑(EuclideanSpace.proj i) = EuclideanSpace.projₗ i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f : X ⟶ Y.toPresheafedSpace
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.toSheafedSpaceHom Y f).c = f.c
R : Type u
NonAssocSemiring R
x : R
⊢ x ∈ ⊥ ↔ ∃ n, ↑n = x
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
hT : 0 < T
⊢ Tendsto (fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) atTop atTop
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ + ‖y‖ * ‖y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
⊢ SetIndependent (range t)
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
v : V₁
⊢ ∀ (x : P₁), (AffineEquiv.constVAdd k P₁ v) x = v +ᵥ x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
h : Injective ⇑f'
n : ℕ
⊢ Injective ⇑((f' ^ n) ∘ₗ f')
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
⊢ 1 ≤ s.encard ↔ s.Nonempty
i j k : ℤ
⊢ (i.natAbs * j.natAbs).gcd (i.natAbs * k.natAbs) = i.natAbs * j.natAbs.gcd k.natAbs