ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : CommRing C
inst✝³ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι'
b : ι → B
P : Matrix ι ι A
⊢ discr A (b ᵥ* P.map ⇑(algebraMap A B)) = P.det ^ 2 * discr A b
α : Type u_1
⊢ GaloisConnection (fun x => ⋃₀ x) fun x => 𝒫 x
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p q : A
h : ∀ (x : B), x ∈ p ↔ x ∈ q
⊢ p = q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.CosimplicialObject.const C) (𝟭 (CategoryTheory.CosimplicialObject C))}
  (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z) (X_1 : SimplexCategory), (f ≫ g).right.app X_1 = f.right.app X_1 ≫ g.right.app X_1
E : Type u_1
ι : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
U : Set ℂ
z : ℂ
F : ι → ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι), ∀ w ∈ U, ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
⊢ HasSum (fun i => deriv (F i) z) (deriv (fun w => ∑' (i : ι), F i w) z)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
⊢ ∀ (s : Set (C(α, β) × C(α, β))), (∃ i, (IsCompact i.1 ∧ ∃ i_1, 0 < i_1 ∧ {p | dist p.1 p.2 ≤ i_1} ⊆ i.2) ∧ {fg | ∀ x ∈ i.1, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ i.2} ⊆ s) ↔ ∃ t, (∃ i, 0 < i ∧ {p | dist p.1 p.2 ≤ i} ⊆ t) ∧ ∀ (x y : C(α, β)), ((equivBoundedOfCompact α β) x, (equivBoundedOfCompact α β) y) ∈ t → (x, y) ∈ s
α : Type u
R : α → α → Prop
l : List α
h : List.Chain' R l
⊢ List.Chain' R l.dropLast
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
f : (L ≃ₐ[K] L) → Lˣ
⊢ groupCohomology.Hilbert90.aux f ≠ 0
V : Type u_1
V₁✝ : Type u_2
V₂✝ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁✝
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂✝
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁✝ V₂✝
V₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝ : NormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
hf : f = 0
⊢ ‖f‖ = 0
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
f : β ≃ α
⊢ Ordinal.lift.{u, v} (Ordinal.type (⇑f ⁻¹'o r)) = Ordinal.lift.{v, u} (Ordinal.type r)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
⊢ ⁅-x + x, m⁆ = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : ¬i₁ = i₂
hs : ∑ i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) i = 0
⊢ ⟪(univ.weightedVSub s.pointsWithCircumcenter) (mongePointVSubFaceCentroidWeightsWithCircumcenter i₁ i₂), (univ.weightedVSub s.pointsWithCircumcenter) (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂)⟫_ℝ = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Path u v
hw : w ∈ (↑p).support
⊢ List.count w (↑p).support = 1
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
α : Type u
a : m (m (m α))
⊢ joinM (joinM <$> a) = joinM (joinM a)
R : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
c : R
⊢ (algebraMap R Aᵐᵒᵖ) c = MulOpposite.op ((algebraMap R A) c)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace δ
f : α → δ
g : δ → β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (g ∘ f) μ
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
TopologicalSpace M₂
T2Space M₂
Zero M₁
Zero M₂
⊢ IsClosed {f | f 0 = 0}
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
⊢ Dilation.ratio (DilationEquiv.refl X) = 1
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
b : Ordinal.{0}
H : e.repr < b
⊢ (e.oadd n a).NF → (e.oadd n a).NFBelow b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (Y_1 : Cᵒᵖ)
  (g :
    ((fun X =>
            { obj := fun Y => Opposite.unop Y ⟶ X,
              map := fun {X_1 Y} f g => CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.unop g, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ })
          X).obj
      Y_1),
  (CategoryTheory.yoneda.map f).app Y_1 g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f
R : CommRingCatᵒᵖ
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Spec.obj R = AlgebraicGeometry.Spec (Opposite.unop R)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
b : α
H : (Set.Iio b).Nonempty
⊢ (𝓝[<] b).NeBot
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ ψ : W.LeftFraction₂ X Y
⊢ φ.fst.map L ⋯ = ψ.fst.map L ⋯ ∧ φ.snd.map L ⋯ = ψ.snd.map L ⋯ ↔ LeftFraction₂Rel φ ψ
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
NoMinOrder α
hs : IsLUB s a
⊢ s.Nonempty
n : ℕ
hn : Squarefree n
H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3
⊢ IsSquare (-1)
l : List ℂ
⊢ Complex.exp l.sum = (List.map Complex.exp l).prod
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal S P
⊢ ↑I.num ≤ I
α : Type u_1
p : PMF α
s : Set α
⊢ p.toOuterMeasure s = ∑' (x : α), s.indicator (⇑p) x
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type v
Zero α
DecidableEq m
DecidableEq l
d : m → α
e : l → m
he : Function.Injective e
⊢ (Matrix.diagonal d).submatrix e e = Matrix.diagonal (d ∘ e)
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
DecidableEq ι
(i : ι) → Preorder (π i)
x : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i
⊢ Function.update x i a < Function.update x i b ↔ a < b
R : Type u_1
NormedCommRing R
CompleteSpace R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
⊢ ∏' (p : Nat.Primes), ∑' (e : ℕ), f (↑p ^ e) = ∑' (n : ℕ), f n
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
CeilDiv α β
b : β
⊢ b ⌈/⌉ 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List (List α)
n : ℕ
l : List α
L : List (List α)
ih : (∀ (l : List α), l ∈ L → l.length = n) → Nat.sum (map length L) = n * L.length
H : ∀ (l_1 : List α), l_1 ∈ l :: L → l_1.length = n
sum_map : Nat.sum (map length L) = n * L.length
length_l : l.length = n
⊢ Nat.sum (map length (l :: L)) = n * (l :: L).length
n : ℕ
n1 : n ≠ 1
⊢ Nat.minFacProp n n.minFac
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
hn : f ^ n * f ∈ Ideal.span (h '' ↑t)
⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M''
Module R M'
Module R M''
e : M ≃ₗ[R] M'
B : LinearMap.BilinForm R M
l r : M'' →ₗ[R] M'
⊢ ((LinearMap.BilinForm.congr e) B).comp l r = B.comp (↑e.symm ∘ₗ l) (↑e.symm ∘ₗ r)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
⊢ ∀ (t : (S.index P).L), (Multiequalizer.ι (S.index P) t) ((Multiequalizer.lift (S.index P) (multiequalizer (⊤.index P)) (fun I => Multiequalizer.ι (⊤.index P) (I.map e)) ⋯) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x)) = (Multiequalizer.ι (S.index P) t) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
RCLike 𝕜
TopologicalSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
⊢ (Subalgebra.comap (AlgHom.compLeftContinuous ℝ RCLike.ofRealAm ⋯)
    (Subalgebra.restrictScalars ℝ A.toSubalgebra)).SeparatesPoints
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
f : Filter X
⊢ ClusterPt x f ↔ ∃ u, ↑u ≤ f ∧ ↑u ≤ 𝓝 x
α : Type u
s t : Set α
⊢ (s ∪ t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∨ t.Nonempty
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ ∀ (i : n), ((b₂.repr (r (b₂' j))).sum fun j yj => 0 •> yj •> (B (b₁ i)) (b₂ j)) = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s t : Set P
⊢ affineSpan k (s ∪ t) = affineSpan k s ⊔ affineSpan k t
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : autoParam (MeasureTheory.Measure E) _auto✝
self : MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ
⊢ AEMeasurable X ℙ ∧ (MeasureTheory.Measure.map X ℙ).HaveLebesgueDecomposition μ ∧ MeasureTheory.Measure.map X ℙ ≪ μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i : ι
⊢ K.ExactAt i ↔ (K.sc i).Exact
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.unit.app Y) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.unit.app X)
    (AlgebraicGeometry.Spec.map (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f ⊤))
R : Type u_1
LinearOrderedField R
q : ℚ≥0
⊢ (↑q).imJ = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
K : ℝ≥0
hL : AntilipschitzWith K ⇑L
φ : X → E
h : ¬Integrable φ μ
⊢ ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : ↑(map f I) = ⇑f '' ↑I
⊢ ⇑f '' ↑I = ⇑↑f '' ↑↑I
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
f g : C(α, β)
C : ℝ
C0 : 0 ≤ C
⊢ dist f g ≤ C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
F : C ⥤ D
S : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf K RingCat
F.IsContinuous J K
F.IsContinuous J K
φ : S ⟶ (F.sheafPushforwardContinuous RingCat J K).obj R
M : SheafOfModules R
⊢ ((SheafOfModules.pushforward φ).obj M).val = (PresheafOfModules.pushforward φ.val).obj M.val
α : Type u_2
Mul α
g : Filter α
⊢ ⊥ * g = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ Bimod.whiskerRight (M.whiskerLeft f) P =
  (M.associatorBimod N P).hom ≫ M.whiskerLeft (Bimod.whiskerRight f P) ≫ (M.associatorBimod N' P).inv
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
K : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (K.comp F)
⊢ ((adj.functorialityCounit K).app c).hom = adj.counit.app c.pt
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.UniversallyClosed f ↔ (AlgebraicGeometry.topologically @IsClosedMap).universally f
K : Type u_1
DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
Inhabited Λ
σ : Type u_4
Inhabited σ
M : Λ → Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
k : K
L : List (Γ k)
⊢ (Turing.TM1.eval (Turing.TM2to1.tr M) (Turing.TM2to1.trInit k L)).Dom ↔ (Turing.TM2.eval M k L).Dom
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
hₘ : ∃ m, p (m + n)
hₙ : ∃ n, p n
hn : n ≤ Nat.find hₙ
⊢ Nat.find hₘ + n = Nat.find hₙ
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
δ : Type u_7
inst✝² : MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
μa : Measure α
μc : Measure γ
inst✝¹ : SFinite μa
inst✝ : SFinite μc
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ (map f μa).prod (map g μc) = map (Prod.map f g) (μa.prod μc)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
z : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ f ∉ z.asHomogeneousIdeal ↔ ∃ u ∈ Set.range fun i => basicOpen 𝒜 ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f), z ∈ u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
h : c ≤ a
⊢ Ioc a b ∪ Ioi c = Ioi (min a c)
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k a : ℕ
ha : a ≠ 0
hab : a.Coprime 0
⊢ Finset.filter IsPrimePow (a * 0).divisors = Finset.filter IsPrimePow (a.divisors ∪ divisors 0)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β → γ
hf : Function.Injective2 f
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
⊢ f a₁ b₁ = f a₂ b₂ ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n✝ n : ℕ+
hn : Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L) = ↑n
g : L ≃+* L
c : ZMod ↑n
hc : ∀ t ∈ rootsOfUnity n L, g ↑t = ↑t ^ c.val
⊢ c = (ZMod.ringEquivCongr hn) (toFun n g)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f • -g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
H : X ≅ Y
⊢ ∀ (X_1 : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ ⥤ C) (X_2 : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ),
  ((TopCat.Presheaf.presheafEquivOfIso C H).unitIso.inv.app X_1).app X_2 =
    X_1.map
        ((TopologicalSpace.Opens.mapMapIso H).symm.op.unit.app
          (Opposite.op
            ((TopologicalSpace.Opens.map H.hom).obj ((TopologicalSpace.Opens.map H.inv).obj (Opposite.unop X_2))))) ≫
      X_1.map
          ((TopologicalSpace.Opens.map H.hom).map
              ((TopologicalSpace.Opens.mapMapIso H).symm.op.counit.app
                  (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map H.inv).obj (Opposite.unop X_2)))).unop).op ≫
        X_1.map ((TopologicalSpace.Opens.mapMapIso H).symm.op.unitInv.app X_2)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
hs : (2 • o.oangle (y - x) y).sign = (o.oangle (y - x) y).sign
⊢ |(o.oangle (y - x) y).toReal| < π / 2
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
P✝ : Sylow p G
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
N : Subgroup G
P Q : Sylow p G
hP : ↑P ≤ N
hQ : ↑Q ≤ N
h : P.subtype hP = Q.subtype hQ
⊢ P = Q
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
RankCondition R
ι : Type u_1
Fintype ι
b : Basis ι R M
w : Set M
Fintype ↑w
s : Submodule.span R w = ⊤
⊢ Fintype.card ι ≤ Fintype.card ↑w
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
⊢ Function.Injective ⇑𝒰.fromGlued.val.base
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
AddCommGroup M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
x : M₁ i
⊢ f (Function.update m i (-x)) = -f (Function.update m i x)
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
⊢ (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)
α : Type u_2
Lattice α
L : Sublattice α
a b : α
ha : a ∈ L
hb : b ∈ L
⊢ ⟨a, ha⟩ ⊔ ⟨b, hb⟩ = ⟨a ⊔ b, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
S : Type u_3
Monoid S
DistribMulAction S A
SMulCommClass 𝕜 S A
ContinuousConstSMul S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
s : S
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (s • a).toProd = s • a.toProd
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
pb : PowerBasis K L
Algebra.IsSeparable K L
⊢ (Algebra.traceMatrix K ⇑pb.basis).det ≠ 0
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
⊢ (spectralRadius ℝ a).toReal = ‖a‖
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
ϕ : p.Gal
hϕ : (galActionHom p E) ϕ = 1
x : p.SplittingField
hx : x ∈ p.rootSet p.SplittingField
key : (rootsEquivRoots p E) (ϕ • ⟨x, hx⟩) = (rootsEquivRoots p E) ⟨x, hx⟩
⊢ ϕ x = 1 x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk f g h).mor₃ = h
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Sub α
s : ι → Set α
t : Set α
⊢ (⋂ i, s i) - t ⊆ ⋂ i, s i - t
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal
hpP' : (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨p, hpp⟩ < (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨P, ⋯⟩
this : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p).IsPrime
⊢ False
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
H : C
h : H ⟶ Y
hG : IsDetector H
hf : ∀ (h : H ⟶ Y), ∃! h', h' ≫ f = h
hH : H ∈ {H}
⊢ ∃! h', h' ≫ f = h
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
g : ↥A
w : NormalWord d
this : Cancels 1 (↑g • w) ↔ Cancels 1 w
⊢ (if h : Cancels 1 (↑g • w) then unitsSMulWithCancel φ 1 (↑g • w) h else let g' := unitsSMulGroup φ d 1 (↑g • w).head; cons (↑g'.1) 1 ((↑g'.2 * (↑g • w).head⁻¹) • ↑g • w) ⋯ ⋯) = ↑(φ g) • if h : Cancels 1 w then unitsSMulWithCancel φ 1 w h else let g' := unitsSMulGroup φ d 1 w.head; cons (↑g'.1) 1 ((↑g'.2 * w.head⁻¹) • w) ⋯ ⋯
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S T : StarSubalgebra R A
h : ∀ (x : A), x ∈ S ↔ x ∈ T
⊢ S = T
M : Type u_1
N : Type u_2
φ : M → N
ψ : N → M
h : Function.RightInverse φ ψ
χ : M → M
inst✝ : IsId χ
⊢ ψ ∘ φ = χ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
h : SmoothWithinAt I I' f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f g : CategoryTheory.Under X
hr : f.right ≅ g.right
hw : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom hr.hom = g.hom
⊢ (CategoryTheory.Under.isoMk hr hw).inv.right = hr.inv
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
hv : n = 0
l : Fin m
⊢ append u v (castAdd n l) = (u ∘ cast ⋯) (castAdd n l)
p : GHSpace
⊢ ⟦Quot.out p⟧ = p
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
s t : Set X
hs : IsGδ s
ht : IsGδ t
hsc : Dense s
htc : Dense t
⊢ Dense (⋂ b, bif b then s else t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
o : Ordinal.{u}
ho : type r = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → α
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
⊢ familyOfBFamily' r ho f (enum r i ⋯) = f i hi
z x✝ y x p : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
hx : x ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x
a b m n✝ p n k : ℕ
ih : (n ^ k).factorization = k • n.factorization
hn : n ≠ 0
⊢ (n ^ (k + 1)).factorization = (k + 1) • n.factorization
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
a : K
b c : K
fract_a_ne_zero : Int.fract a ≠ 0
⊢ (↑⌊a⌋ * b + c) / Int.fract a + b = (b * a + c) / Int.fract a
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type v
v : Basis ι R M
this : Nontrivial R
⊢ ⨆ ι, #↑↑ι ≤ #ι
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S : StarSubalgebra ℂ A
a✝ : Nontrivial A
a' : ↥(elementalStarAlgebra ℂ a) := ⟨a, ⋯⟩
h : IsUnit (star a * a)
h₁ : ↑‖star a * a‖ ≠ 0
u : (↥(elementalStarAlgebra ℂ a))ˣ := (Units.map ↑(algebraMap ℂ ↥(elementalStarAlgebra ℂ a))) (Units.mk0 (↑‖star a * a‖) h₁)
⊢ ‖star a' * a' - (algebraMap ℂ ↥(elementalStarAlgebra ℂ a)) ↑‖star a * a‖‖ < ‖star a * a‖
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
hstf : f ≤ 𝓟 (s ∩ t)
x : X
hsx : x ∈ s
hx : ClusterPt x f
this : x ∈ t
⊢ ∃ x ∈ s ∩ t, ClusterPt x f
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
B : LinearMap.BilinForm K V
x : V
⊢ B.orthogonal (Submodule.span K {x}) = LinearMap.ker (B.toLinHomAux₁ x)
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B✝ : Set (Set α)
s : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
B : Set (Set β)
hB : IsTopologicalBasis B
f : α → β
⊢ Continuous f ↔ ∀ s ∈ B, IsOpen (f ⁻¹' s)
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s t : Set X
x y : X
s' : Set X
r : ENNReal
r0 : r ≠ 0
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
r' : ENNReal
r0' : r' ≠ 0
hr' : ∀ x ∈ s', ∀ y ∈ t, r' ≤ edist x y
⊢ IsMetricSeparated (s ∪ s') t