ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : f.comp φ = g.comp φ
v : V₁
⊢ (f - g) (φ v) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : CompactSpace X
W : Clopens (X × Y)
U : X × Y → Clopens X
hxU : ∀ x ∈ W, x.1 ∈ U x
V : X × Y → Clopens Y
hxV : ∀ x ∈ W, x.2 ∈ V x
hUV : ∀ x ∈ W, U x ×ˢ V x ≤ W
⊢ ∃ I, W = I.sup fun i => i.1 ×ˢ i.2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedDivisionRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
x : E
h : x ≠ 0
c : 𝕜
⊢ ‖(LinearEquiv.toSpanNonzeroSingleton 𝕜 E x h) c‖ = ‖x‖ * ‖c‖
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁴ : CompactSpace α
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
this : Function.Surjective ⇑(linearIsometryBoundedOfCompact α E 𝕜)
⊢ ↑(LinearMap.range (toLp p μ 𝕜)).toAddSubgroup = ↑(Lp.boundedContinuousFunction E p μ)
α : Type u_1
f : α → α
head✝ : α
l : List α
m : Nat
⊢ (modifyNth f 0 (head✝ :: l))[m + 1]? = (fun a => if 0 = m + 1 then f a else a) <$> (head✝ :: l)[m + 1]?
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
⊢ H.index * Nat.card ↥H = Nat.card G
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
IsNoetherian R M
x : L
⊢ IsNilpotent ((LieModule.toEnd R L ↥↑(LieModule.weightSpace M 0)) x)
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
a : R
⊢ ((monomial n) a).degree ≤ ↑n
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range (n + 1), (X ^ x).coeff k * r ^ (n - x) * ↑(n.choose x) = r ^ (n - k) * ↑(n.choose k)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : a :: l₁ ~ l₂
⊢ a ∈ l₂ ∧ l₁ ~ l₂.erase a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
x : M
⊢ f x ∈ f.range
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K
⊢ -b / a = -(b / a)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ f =O[l] g ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f g
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
⊢ multiplicity p (p * n)! ≠ ⊤ → multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
R : Type u_10
V : Type u_11
P : Type u_12
CommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AffineSpace V P
p : P
⊢ AffineEquiv.toAffineMap ∘ ⇑(AffineEquiv.homothetyUnitsMulHom p) = ⇑(AffineMap.homothetyHom p) ∘ Units.val
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯)
Z✝ : C
u v : Y ⟶ Z✝
huv : f ≫ u = f ≫ v
W : C
w : Y ⟶ W
hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0
hl : IsLimit (KernelFork.ofι (equalizer.ι u v) hw)
m : X ⟶ equalizer u v
hm : m ≫ equalizer.ι u v = f
hwf : f ≫ w = 0
n : (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯).pt ⟶ W
hn : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯) ≫ n = w
⊢ u = v
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A B : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ
h : B ≠ A
⊢ (s.cofan Δ).inj A ≫ s.πSummand B = 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
z : ℂ
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
⊢ 0 < (ε + sSupNormIm f 0) ^ (1 - z.re)
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
⊢ IsSubmonoid ↑S
b : SetTheory.PGame.Domineering.Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ SetTheory.PGame.Domineering.left b
⊢ (m.1, m.2 - 1) ∈ Finset.erase b m
R : Type u
a : R
Semiring R
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ (Polynomial.X ^ n + Polynomial.C a).Monic
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
Y : R
⊢ ![0, Y, 0] 1 ^ 2 * ![0, Y, 0] 2 + W.a₁ * ![0, Y, 0] 0 * ![0, Y, 0] 1 * ![0, Y, 0] 2 + W.a₃ * ![0, Y, 0] 1 * ![0, Y, 0] 2 ^ 2 = ![0, Y, 0] 0 ^ 3 + W.a₂ * ![0, Y, 0] 0 ^ 2 * ![0, Y, 0] 2 + W.a₄ * ![0, Y, 0] 0 * ![0, Y, 0] 2 ^ 2 + W.a₆ * ![0, Y, 0] 2 ^ 3
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 1) n = ∑ i : Fin (n + 2), (-1) ^ ↑i • X.δ i
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝ : μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι → μ
e : { x // x ∈ s } ≃ Fin s.card
⊢ (∃ a, ∑ i : Fin s.card, a i = n ∧ (fun i => if hi : i ∈ s then a (e ⟨i, hi⟩) else 0) = f) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S✝ : Sieve X
R✝ : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
S : Sieve X
R : Presieve X
h : S.arrows ≤ R
hS : IsSheafFor P S.arrows
trans : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f S).arrows
⊢ IsSheafFor P R
c : Char
⊢ 0 + c = { byteIdx := c.utf8Size }
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
L : Type u_1
TopologicalSpace L
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
SemilatticeSup L
OrderBot L
ContinuousSup L
hs : ∀ i ∈ s, Filter.Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
⊢ Filter.Tendsto (s.sup f) l (𝓝 (s.sup g))
K : Type u_1
Field K
NumberField K
ι : Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ (NumberField.RingOfIntegers K)
⊢ Algebra.discr ℤ ⇑b = NumberField.discr K
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ (extChartAt I x).source = (chartAt H x).source
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0
⊢ ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal (m + n), (m + n).choose ij.1 • ⁅((ad R L) x ^ ij.1) y, ((ad R L) x ^ ij.2) z⁆ = 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ IsIso f ↔ IsIso ((forget C).map f)
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑(hC.diffFinset hs ht)
⊢ Disjoint (id t) (id u)
k : ℕ
cf cg : Code
hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ cf.eval n
hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ cg.eval n
n x : ℕ
left✝ : n ≤ k
h : Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => (evaln k (cf.prec cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)).bind fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) (unpair n).2 = some x
⊢ x ∈ Nat.rec (cf.eval (unpair n).1) (fun y IH => IH.bind fun i => cg.eval (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair y i))) (unpair n).2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
h : (fun y => p fun x => y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)
y : E
⊢ (p fun x => y) = 0
a b c : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a
⊢ c ≤ a - b ↔ b + c ≤ a
n : ℕ
h : n ≠ 0
θ : Angle
h' : 0 < ↑n
⊢ (n • ↑θ.toReal).toReal = ↑n * θ.toReal ↔ θ.toReal ∈ Set.Ioc (-π / ↑n) (π / ↑n)
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
self : Configuration.Nondegenerate P L
p₁ p₂ : P
l₁ l₂ : L
⊢ p₁ ∈ l₁ → p₂ ∈ l₁ → p₁ ∈ l₂ → p₂ ∈ l₂ → p₁ = p₂ ∨ l₁ = l₂
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
⊢ ‖fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (iteratedFDeriv ℝ n fun v => fourierPowSMulRight L f v k) w‖ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
⊢ Prod.fst '' s ×ˢ t ⊆ s
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
ν : MeasureTheory.Measure α
hle : ν ≪ μ
⊢ MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s ν
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
p : R[X]
m : ℕ
hm : ∀ (m_1 : ℕ), m ≤ m_1 → p.coeff m_1 = 0
⊢ (a • p).coeff m = 0
α : Type u_1
ι : Type u
f : ι → α
⊢ (Ordinal.type WellOrderingRel).brange (Ordinal.bfamilyOfFamily f) = Set.range f
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
i✝ i : F →+* K
f : F[X]
sep : f.Separable
sp : Splits i f
s : Multiset K
h : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
⊢ (map i f).Separable
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
CategoryTheory.Equivalence.TransportsGrothendieckTopology J K e
X : CategoryTheory.Sheaf K A
⊢ ∀ (X_1 : Dᵒᵖ),
  ((CategoryTheory.Equivalence.sheafCongr.counitIso J K e A).inv.app X).val.app X_1 =
    X.val.map (e.counitIso.hom.app (Opposite.unop X_1)).op
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
LieRing L₃
LieAlgebra R L₃
f : L₂ →ₗ⁅R⁆ L₃
g : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ ↑(f.comp g) = ↑f ∘ₗ ↑g
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯
add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
zero : p 0 ⋯
mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
smul : ∀ (r : R) (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (r • x) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
x : A
hx : x ∈ s ∪ Star.star s
⊢ p x ⋯
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E B I X R J : Set α
M : Matroid α
⊢ M = emptyOn α ∨ M.Nonempty
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ≥0∞
⊢ EMetric.closedBall x r ×ˢ EMetric.closedBall y r = EMetric.closedBall (x, y) r
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : (∑ x ∈ s, (|f x| + |g x|) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x ∈ s, |f x| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x ∈ s, |g x| ^ p) ^ (1 / p)
⊢ (∑ i ∈ s, |f i + g i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, |f i| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, |g i| ^ p) ^ (1 / p)
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
⊢ ∀ (x y : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → (∃ (x : y ∈ adjoin R s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x * y ∈ adjoin R s), p ⟨x * y, x_1⟩
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
b c : α
a : α
⊢ a - b ≤ a - c ↔ c ≤ b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
X : C
Y Y' : D
f : X ⟶ G.obj Y
g : Y ⟶ Y'
⊢ (adj.homEquiv X Y').symm (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (G.map g)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((adj.homEquiv X Y).symm f) g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
⊢ (ConvexCone.positive 𝕜 E).Salient
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
⊢ ContinuousWithinAt f s x
motive : (n : Nat) → Fin n → Sort u_1
zero : (n : Nat) → motive (n + 1) 0
succ : (n : Nat) → (i : Fin n) → motive n i → motive n.succ i.succ
n : Nat
i : Fin n
⊢ i.succ.succRecOn zero succ = succ n i (i.succRecOn zero succ)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ δ > 0, ∀ {a₁ a₂ b₁ b₂ : β}, abv a₁ < K₁ → abv b₂ < K₂ → abv (a₁ - b₁) < δ → abv (a₂ - b₂) < δ → abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
α : Type u_1
b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q c : ℝ≥0
cb : ↑c < b
a : ℝ≥0
hab : ↑a < b
ac : a < c
⊢ ↑a + ↑(c - a) < b
r : ℕ
s t : ℤ
r' : ℕ
s' t' : ℤ
h : 0 < r
⊢ r.xgcdAux s t r' s' t' = (r' % r).xgcdAux (s' - ↑r' / ↑r * s) (t' - ↑r' / ↑r * t) r s t
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
hε₀ : 0 < ε
⊢ 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
⊢ -a - b = -b - a
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
a : α
s : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b
⊢ s ∈ (𝓝 a).sets ↔ ∃ t ∈ b, a ∈ t ∧ t ⊆ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.RightFraction X Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.f φ.leftFraction.s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.s φ.leftFraction.f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ComposableArrows C 1
⊢ S.IsComplex
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : Iᵒᵖ ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.rightOp ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.rightOp ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
⊢ ((colimitHomIsoLimitYoneda (D.rightOp ⋙ coyoneda) F).hom ≫ limit.π ((D.rightOp ⋙ coyoneda).op ⋙ yoneda.obj F) (op i) ≫ (isoWhiskerLeft (D ⋙ Prod.sectl C F) (coyonedaLemma C)).hom.app (op i)) f = { down := f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i)))) }
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
f : CategoryTheory.WithInitial.of X ⟶ CategoryTheory.WithInitial.star
⊢ False
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc
⊢ SimplexCategory.δ i.castSucc ≫ SimplexCategory.σ j.succ = SimplexCategory.σ j ≫ SimplexCategory.δ i
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ IsOpen (interior s)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
n d : F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ W.toAffine.negAddY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (n / (P z * Q z * d)) = (n * (n ^ 2 + W.a₁ * n * P z * Q z * d - W.a₂ * P z ^ 2 * Q z ^ 2 * d ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * d ^ 2 - Q x * P z ^ 2 * d ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * d ^ 2) + P y * Q z ^ 3 * d ^ 3) / (P z * Q z * d) ^ 3
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
x y : α
LinearOrder α
SemilatticeSup β
hf : AntitoneOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ f (x ⊓ y) = f x ⊔ f y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
b : β
⊢ (Equiv.sumAssoc α β γ).symm (Sum.inr (Sum.inl b)) = Sum.inl (Sum.inr b)
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t u : Finset α
⊢ (s.diffs t).diffs u = (s.diffs u).diffs t
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
n : N
q : Q
⊢ (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ rTensor Q g) (n ⊗ₜ[R] q) = (range (rTensor Q f)).mkQ (n ⊗ₜ[R] q)
α : Type u_2
l : Filter α
⊢ 𝓝 l = l.lift' (Set.Iic ∘ 𝓟)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = i₁ ≫ f'
e₂ : g = i₂ ≫ g'
this✝ : P.RespectsIso
this : pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯ = ((pullbackSymmetry (Over.mk f).hom (Over.mk g).hom).hom ≫ ((Over.pullback (Over.mk f).hom).map (Over.homMk i₂ ⋯)).left) ≫ (pullbackSymmetry (Over.mk g').hom (Over.mk f).hom).hom ≫ ((Over.pullback g').map (Over.homMk i₁ ⋯)).left
⊢ P (((pullbackSymmetry (Over.mk f).hom (Over.mk g).hom).hom ≫ ((Over.pullback (Over.mk f).hom).map (Over.homMk i₂ ⋯)).left) ≫ (pullbackSymmetry (Over.mk g').hom (Over.mk f).hom).hom ≫ ((Over.pullback g').map (Over.homMk i₁ ⋯)).left)
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ a b : α
i j : Fin (n + 1)
h : i ≤ j
l : List α
hl : l.length = n
⊢ insertNth b j.succ (insertNth a i ⟨l, hl⟩) = insertNth a i.castSucc (insertNth b j ⟨l, hl⟩)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₃ : (D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i)) ≫ D.f i i = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ffmE : Fact (μ E < ⊤)
hInner : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε
N : ℕ
hfngε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε / 3
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | lowerCentralSeries R L M k = ⊥}
⊢ sInf s = k + 1 ↔ k + 1 ∈ s ∧ k ∉ s