ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
this✝ : CompleteSpace E
this : CompleteSpace F
⊢ ⟪↑(ContinuousLinearMap.adjoint (toContinuousLinearMap ↑(toContinuousLinearMap A))) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, ↑(toContinuousLinearMap A) x⟫_𝕜
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ Set.range ⇑((PreservesPullback.iso forgetToTop (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x))) f).hom ≫ pullback.snd (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))) (forgetToTop.map f))
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : SMulPosMono α β
hab : 0 < a • b
ha : 0 < a
⊢ 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0
α β ι : Type u
hι : Nonempty ι
f : ι → Cardinal.{v}
hf : BddAbove (range f)
hω : ¬IsLimit 0
h : ⨆ i, f i ≤ 0
e : ¬0 ≠ 0
⊢ f hι.some ≤ 0
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ -↑↑↑f =ᶠ[ae μ] fun x => -↑↑↑f x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
u : α → Set β
x : α
xs : x ∈ s
⊢ u x ⊆ ⋃ x ∈ s, u x
R : Type u_1
CommRing R
P : Ideal R
⊢ P.IsPrime → IsDomain (R[X] ⧸ Ideal.map Polynomial.C P)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
p₄ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₂ p₄ p₃).sign
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
⊢ ker (continuousLinearMapOfBilin B) = ⊥
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedDivisionRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
z : ℤ
x : 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (z • x) = NormedSpace.exp 𝕂 x ^ z
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hnR : ↑n ≤ #R
h : F ≠ 0
⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x x' z : M
⊢ (tangentBundleCore I M).coordChange (achart H x) (achart H x') z =
  fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I x') ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (Set.range ↑I) (↑(extChartAt I x) z)
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t t₁ : Set β
h : (s ×ˢ t).Nonempty
⊢ s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t₁ ↔ s = s₁ ∧ t = t₁
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (MeasureTheory.toMeasurable μ s) μ
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
ExistsAddOfLE α
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a * b ≤ 0
ha : a < 0
⊢ 0 ≤ b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : D
Y : C
f f' : X ⟶ F.obj Y
⊢ f ≫ α.hom.app Y = f' ≫ α.hom.app Y ↔ f = f'
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : ¬(q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0)
⊢ ¬q.degree ≤ p.degree → (if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).2 else p).degree < q.degree
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsOpen t
⊢ IsLindelof (s \ t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
⊢ ∃ a ∈ Set.Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * a ^ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
h : W ⟶ X
k : W ⟶ Y
w : h ≫ f = k ≫ g
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.lift h k w ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g = h
m n : Nat
⊢ Int.negOfNat m * ↑n = Int.negOfNat (m * n)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y
zt : z ∈ tᶜ
⊢ s ∈ 𝓝[>] z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s s' : Set β
h : s ⊆ s'
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h_ne_top : ∀ (s : Set β), (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤
⊢ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≤ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s') / (ν a) (countablePartitionSet n x)
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ k₁ k₂ : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
g₁ : j₁ ⟶ k₂
f₂ : j₂ ⟶ k₁
g₂ : j₂ ⟶ k₂
⊢ ∃ s α β,
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₁ α = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ β ∧
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₂ α = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ β
X : Compactum
A : Set X.A
F : Ultrafilter X.A
hF : F ∈ Compactum.basic (Compactum.cl A)
fsu : Type u_1 := Finset (Set (Ultrafilter X.A))
ssu : Type u_1 := Set (Set (Ultrafilter X.A))
ι : fsu → ssu := fun x => ↑x
C0 : ssu := {Z | ∃ B ∈ F, X.str ⁻¹' B = Z}
AA : Set (Ultrafilter X.A) := {G | A ∈ G}
C1 : ssu := insert AA C0
C2 : Set (Set (Ultrafilter X.A)) := finiteInterClosure C1
claim1 : ∀ B ∈ C0, ∀ C ∈ C0, B ∩ C ∈ C0
claim2 : ∀ B ∈ C0, B.Nonempty
claim3 : ∀ B ∈ C0, (AA ∩ B).Nonempty
⊢ X.str F ∈ Compactum.cl A
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
hP0 : ¬P = ⊥
P' : Submonoid S := Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
this✝ : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : IsScalarTower R (Localization.AtPrime P) (Localization P')
h : P' ≤ S⁰
⊢ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R (I * J)) = map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R I * spanNorm R J)
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : C × D ⥤ E
X X' : C
f : X ⟶ X'
Y Y' : D
g : Y ⟶ Y'
⊢ F.map (𝟙 X, g) ≫ F.map (f, 𝟙 Y') = F.map (f, g)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a✝ b✝ : α
p : G.Walk a✝ b✝
hG : G.IsHamiltonian
a b : α
hab : a ≠ b
⊢ G.Reachable a b
α : Type u_2
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Set α
w₁ : ⊤ ∈ s
w₂ : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ⊓ y ∈ s
ι : Type u_7
t : Finset ι
p : ι → α
h : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
⊢ t.inf p ∈ s
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : o.card < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c.ord, f i hi b < c.ord
a : Ordinal.{u}
⊢ lift.{u, u} o.card < c
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
ha : 1 < a.x
⊢ 0 < d
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
⊢ trunc n X = Polynomial.X
a b c : ℤ
ha : 0 < a
⊢ b * a ≤ c * a ↔ b ≤ c
x y : ℝ
h :
  ((∀ (k : ℤ), x ≠ (2 * ↑k + 1) * Real.pi / 2) ∧ ∀ (l : ℤ), y ≠ (2 * ↑l + 1) * Real.pi / 2) ∨
    (∃ k, x = (2 * ↑k + 1) * Real.pi / 2) ∧ ∃ l, y = (2 * ↑l + 1) * Real.pi / 2
⊢ Real.tan (x + y) = (Real.tan x + Real.tan y) / (1 - Real.tan x * Real.tan y)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
α : Type u_1
Z : α → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct Z
b : α
⊢ (CategoryTheory.Limits.Pi.π Z b).op ≫ (CategoryTheory.Limits.opProductIsoCoproduct Z).hom =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (fun x => Opposite.op (Z x)) b
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : IsPeriodicPt f (m + n) x
hm : IsPeriodicPt f n x
⊢ IsPeriodicPt f m x
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
Trivialization.IsLinear R e'
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
y : F
⊢ (b, (Trivialization.coordChangeL R e e' b) y) = ↑e' { proj := b, snd := e.symm b y }
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε₁ ε₂ : ℝ
h : ε₁ ≤ ε₂
⊢ Metric.closedBall x ε₁ ⊆ Metric.closedBall x ε₂
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
⊢ HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
R : Type u
Semiring R
P : Type v
AddCommMonoid P
Module R P
huniv : ∀ (f : (P →₀ R) →ₗ[R] P), Function.Surjective ⇑f → ∃ h, f ∘ₗ h = LinearMap.id
⊢ Module.Projective R P
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
p' : Filter ι'
s' : Set α'
h : UniformCauchySeqOn F p s
h' : UniformCauchySeqOn F' p' s'
u : Set ((β × β') × β × β')
hu : u ∈ 𝓤 (β × β')
⊢ ∀ᶠ (m : (ι × ι') × ι × ι') in (p ×ˢ p') ×ˢ p ×ˢ p', ∀ x ∈ s ×ˢ s', ((fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) m.1 x, (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) m.2 x) ∈ u
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
⊢ spectrum ℂ a = Complex.ofReal' ∘ Complex.re '' spectrum ℂ a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
⊢ I.boundary M = (I.interior M)ᶜ
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
hp : NeZero p
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
this : ∀ (i : ℕ), ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)).vars = {i}
⊢ ((range (n + 1)).biUnion fun i => ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)).vars) = range (n + 1)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Ideal R
⊢ ↑(I * J) = ↑I * ↑J
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ (starRingEnd K) z = z ↔ RCLike.im z = 0
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedRing A
CompleteSpace A
NormedAlgebra 𝕜 A
f : ↑(WeakDual.characterSpace 𝕜 A)
⊢ ⇑(WeakDual.CharacterSpace.equivAlgHom f) = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t✝ : Set α
f : α → β
t : Set β
x : β
x✝ : x ∈ range f ∩ t
y : α
h_eq : f y = x
hx : x ∈ t
⊢ y ∈ f ⁻¹' t
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
a : α
⊢ Finset.singletonMulHom a = {a}
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
hx : x ∈ e.source
⊢ UniqueMDiffWithinAt I' (e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
α : Type u_9
β : Type u_10
CommMonoid β
Subsingleton α
Fintype α
f : α → β
a : α
⊢ ∏ x : α, f x = f a
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
⊢ ∀ ⦃x : ℙ K V⦄, x ∈ ⊤ → x ∈ span Set.univ
ι : Type u_1
X : Type u_4
Y : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : ι → Set X
g : X → Y
hf : LocallyFinite f
h_cl : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
h_cont : ∀ (i : ι), ContinuousOn g (f i)
⊢ ContinuousOn g (⋃ i, f i)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g μ → Integrable g μ'
⊢ IsClosed {f | (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) ↑↑f}
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Set.range Sum.inr ∪ Set.range Sum.inl = Set.univ
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R A
Module R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalSubalgebra R B
f : F
x : A
⊢ x ∈ NonUnitalSubalgebra.comap f S ↔ f x ∈ S
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
h : f ⁻¹' e.source = univ
⊢ Continuous f ↔ Continuous (↑e ∘ f)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ AddSubmonoid.closure (Set.range ⇑AddMonoid.Coprod.inl ∪ Set.range ⇑AddMonoid.Coprod.inr) = ⊤
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ x + y - y = x
x : ↥circle
⊢ AddCircle.homeomorphCircle'.symm x = ↑(↑x).arg
ι : Type u_1
M : Type u_4
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
f : ι → M
s t : Finset ι
h : s ⊆ t
⊢ ∑ x ∈ s, f x ≤ ∑ x ∈ t, f x
x y : ℝ
⊢ Ioo ↑↑x ↑↑y = Ioo ↑x ↑y
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
x : S
⊢ eval₂ f x (p - q) = eval₂ f x p - eval₂ f x q
α β : Type u
m : Type u → Type u
Applicative m
F : α → m β
LawfulApplicative m
⊢ Function.comp (traverse F) ∘ HMul.hMul = fun x y =>
  Seq.seq ((fun x x_1 => x * x_1) <$> traverse F x) fun x => traverse F y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
M : (x : C) → Z ⟶ F.obj x
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M x) (F.map f) = M y
x : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.WithInitial.liftStar F M hM).hom
    ((CategoryTheory.WithInitial.lift F M hM).map
      (CategoryTheory.WithInitial.starInitial.to (CategoryTheory.WithInitial.incl.obj x))) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M x) ((CategoryTheory.WithInitial.inclLift F M hM).hom.app x)
a b m n✝¹ p n n✝ : ℕ
hk : n✝ + 1 ≠ 0
⊢ (n ^ (n✝ + 1)).primeFactors = n.primeFactors
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ioo a c ⊆ Set.Ioc a b ∪ Set.Ico b c
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
CommSemiring R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
b : Basis ι R S
x : S
hx : x ≠ 0
i : ι
⊢ ↑((Ideal.basisSpanSingleton b hx) i) = x * b i
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
⊢ (wittStructureRat p Φ n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
X Y : Profinite
Z : Stonean
e : Stonean.toProfinite.obj Z ⟶ Y
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
⊢ Profinite.lift e f ≫ f = e
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
M : Subgroup H
hM : M ∈ {H_1 | IsCoatom H_1}
⊢ ⨅ a ∈ {H | IsCoatom H}, a ≤ comap φ M
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
x : AddUnits M
⊢ x ∈ S.addUnits ↔ ↑x ∈ S ∧ ↑(-x) ∈ S
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
⊢ add' W f₁ f₂ ≫ g = add' W (f₁ ≫ g) (f₂ ≫ g)
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
Field F
Field E
Field K
Algebra F E
Algebra F K
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Polynomial.Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
⊢ ∃ φ, φ.comp L.val = f
k : ℕ
⊢ (primitiveRoots k ℂ).card = k.totient
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α✝
α : Type u_6
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice β
f : Filter α
u v : α → β
h : ∀ᶠ (a : α) in f, u a = v a
⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : α) in f, u n ≤ a} = limsup v f
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
x y z : R
inst✝ : IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
hx : Ideal.span {x} ≤ Ideal.span {z}
hy : Ideal.span {y} ≤ Ideal.span {z}
⊢ Ideal.span {x} ≤ Ideal.span {z} ∧ Ideal.span {y} ≤ Ideal.span {z}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Cycle α
⊢ Cycle.map f s = Cycle.nil ↔ s = Cycle.nil
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
hx : ∀ b ∈ s, a < b
⊢ (insert a s).chainHeight = s.chainHeight + 1
α : Type u_2
β : α → Type u_3
DecidableEq α
Fintype α
(a : α) → Fintype (β a)
⊢ (Fintype.piFinset fun a => Finset.univ) = Finset.univ
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
hr : ‖↑r‖ * ‖↑r.den‖ = ‖↑r.num‖
⊢ False
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set M
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
⊢ #↑s ≤ ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
⊢ ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_ℝ = 0
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ sinKernel ↑a =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a : α
⊢ ¬InfIrred a ↔ IsMax a ∨ ∃ b c, b ⊓ c = a ∧ a < b ∧ a < c
α : Type u_1
β : Type v
s : Multiset α
⊢ (s.bind fun x => 0) = 0
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeInf L
ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x
⊢ ContinuousWithinAt (s.inf' hne f) t x
num : Int
den : Nat
nz : den ≠ 0
⊢ ∃ d, d ≠ 0 ∧ num = (normalize num den nz).num * ↑d ∧ den = (normalize num den nz).den * d
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₁.RightHomologyData
h₁' : S₂.LeftHomologyData
h₂' : S₂.RightHomologyData
⊢ leftHomologyMap' φ h₁ h₁' ≫ leftRightHomologyComparison' h₁' h₂' = leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ ≫ rightHomologyMap' φ h₂ h₂'
α : Type u_1
β : Type u_2
Pow α β
p : Prop
Decidable p
a : α
b : p → β
c : ¬p → β
⊢ (a ^ if h : p then b h else c h) = if h : p then a ^ b h else a ^ c h
n : Nat
k : Fin n
m : Nat
⊢ (Fin.castAdd m k).rev = k.rev.addNat m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : Set.MapsTo g s f'.source
⊢ ContinuousWithinAt (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I)
    (↑(f.extend I) y) ↔
  ContinuousWithinAt g s y
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ
hF_norm : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), ‖F f‖ ≤ ‖f‖ / 3
hF_dist : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), dist ((F f).compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
g : ℕ → Y →ᵇ ℝ := fun n => (fun g => g + F (f - g.compContinuous e))^[n] 0
g0 : g 0 = 0
g_succ : ∀ (n : ℕ), g (n + 1) = g n + F (f - (g n).compContinuous e)
hgf : ∀ (n : ℕ), dist ((g n).compContinuous e) f ≤ (2 / 3) ^ n * ‖f‖
hg_dist : ∀ (n : ℕ), dist (g n) (g (n + 1)) ≤ 1 / 3 * ‖f‖ * (2 / 3) ^ n
hg_cau : CauchySeq g
this : Tendsto (fun n => (g n).compContinuous e) atTop (𝓝 ((limUnder atTop g).compContinuous e))
hge : (limUnder atTop g).compContinuous e = f
⊢ ‖f‖ ≤ ‖limUnder atTop g‖
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
⊢ ∑ s : Finset α, ↑((𝒜 ∪ ℬ).truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) + ∑ s : Finset α, ↑((𝒜 ⊻ ℬ).truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) = ∑ s : Finset α, ↑(𝒜.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) + ∑ s : Finset α, ↑(ℬ.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card))
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : Algebra R C
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra S A
r : R
⊢ (algebraMap R (A ⊗[R] B)) r = 1 ⊗ₜ[R] (algebraMap R B) r
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝¹ : μ
s : Finset ι
n✝ : μ
f : ι → μ
n x₁ x₂ : μ
⊢ (x₁, x₂) ∈ (Equiv.boolArrowEquivProd μ).finsetCongr (univ.piAntidiag n) ↔ (x₁, x₂) ∈ antidiagonal n
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : (fun x => ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db)) (na * ↑db + nb * ↑da) = (fun x => ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db)) (↑k * nc)
⊢ ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc