ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
m : β → α
g : Set β → Filter γ
hg : Monotone g
⊢ (Filter.comap m f).lift g = f.lift (g ∘ Set.preimage m)
α : Sort uA
β : Sort uB
s₁ : Setoid α
s₂ : Setoid β
motive : Quotient s₁ → Quotient s₂ → Prop
q₁ : Quotient s₁
q₂ : Quotient s₂
h : ∀ (a : α) (b : β), motive (Quotient.mk s₁ a) (Quotient.mk s₂ b)
⊢ motive q₁ q₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ : α
hl : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.formPerm x ≠ x ↔ 2 ≤ l.length
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
r : ℝ≥0
⊢ nndist f g ≤ r ↔ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
x₀ : X
U : Set X
U_cpct : IsCompact U
U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖uncurry f x‖) '' U ×ˢ s)
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (a : Y) ∂μ.restrict s, ‖f x a‖ ≤ ?intro.intro.intro.bound a
α : Type u_1
f : α → α
x : α
hx : x ∈ Function.periodicPts f
n : ℕ
⊢ Function.minimalPeriod f (f^[n] x) = Function.minimalPeriod f x
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
f : α → β
h_mul : ∀ (a b : α), f (a + b) ≤ f a + f b
s : Multiset α
hs_nonempty : s ≠ ∅
⊢ f s.sum ≤ (Multiset.map f s).sum
x : ℝ
⊢ -(π / 2) ≤ Real.arcsin x
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i j : I
α : Type u_3
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_5
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (β a)
inst✝ : (a : α) → (b : β a) → One (γ a b)
a : α
b : β a
x : γ a b
⊢ uncurry (Pi.mulSingle a (Pi.mulSingle b x)) = Pi.mulSingle ⟨a, b⟩ x
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ I.splitUpper i x = ↑I ↔ x ≤ I.lower i
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤.direction = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = c
M : Type u
TopologicalSpace M
Mul M
self : ContinuousMul M
⊢ Continuous fun p => p.1 * p.2
s : ℂ
⊢ ↑π ^ (-s / 2) * Gamma (s / 2) * (↑π ^ (-(s + 1) / 2) * Gamma ((s + 1) / 2)) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Gamma s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A : CommMon_ C
⊢ ((CommMon_.forget₂Mon_ C).obj A).mul = A.mul
a b : ℤ
h : a ≤ b + 1
⊢ ↑(Finset.Icc a b).card = b + 1 - a
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (Set.image2 f s t).Nonempty
m : Type u
DecidableEq m
K : Type u_3
Field K
Fintype m
A : Matrix m m K
Invertible A
⊢ Function.Injective fun v => Matrix.vecMul v A
R : Type u
σ : Type u_1
CommRing R
p : MvPolynomial σ R
⊢ (-p).vars = p.vars
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun x => x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
F : CategoryTheory.Arrow C
G : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.toArrow.obj X ⟶ F
x : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.SimplicialObject.equivalenceLeftToRight X F G).left.app x =
  CategoryTheory.Limits.WidePullback.lift (X.hom.app x ≫ G.right)
    (fun i => X.left.map ((SimplexCategory.mk 0).const (Opposite.unop x) i).op ≫ G.left) ⋯
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1
⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : μ = ν
⊢ μ.AbsolutelyContinuous ν
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff + q.leadingCoeff ≠ 0
HEq : p.degree = q.degree
hlt : q.degree > (p + q).degree
⊢ (p + q).coeff q.natDegree = 0
s : ℂ
⊢ (1 - s).Gammaℝ * (1 + s).Gammaℝ = (Complex.cos (↑π * s / 2))⁻¹
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
⊢ (Equiv.swap (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) ∞) ((g x) (fromCoset ⟨b • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩)) = fromCoset ⟨(x * b) • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : Monoid.FG ↥M
this : (invSubmonoid M S).FG
⊢ Algebra.FiniteType R S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ ⨅ i ∈ f, (⨆ a ∈ i, u a) ⊓ aᶜ = ⨅ s ∈ f, ⨆ a_1 ∈ s, u a_1 ⊓ aᶜ
x : Int
m : Nat
p : x % ↑m ≥ (↑m + 1) / 2
⊢ x.bmod m = x % ↑m - ↑m
α : Type u
a : α
inst✝³ : Group α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsCyclic α
n : ℕ
hn0 : 0 < n
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g
x : α
hx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ
m : ℕ
hm : g ^ m = x
hgmn : g ^ (m * n.gcd (Fintype.card α)) = 1
⊢ Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α) ∣ m
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : X →ᵇ E
⊢ ‖∫ (x : X), f x ∂μ‖ ≤ ‖f‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
hf : IsLocalHomeomorph f
⊢ IsTopologicalBasis {U | ∃ V, IsOpen V ∧ ∃ s, f ∘ ⇑s = Subtype.val ∧ Set.range ⇑s = U}
a b : Nat
⊢ ↑(a ^ b) = ↑a ^ b
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
⊢ f (↑n + x) ≤ f ↑n + x * log ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
⊢ s.encard + sᶜ.encard = univ.encard
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd
y : ↥f.domain
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).1
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).2
⊢ ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).2
a : ℤ
⊢ AddSubgroup.zmultiples ↑a.natAbs = AddSubgroup.zmultiples a
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
LawfulBitraversable t
α β β' : Type u
f : β → β'
x : t α β
⊢ Bitraversable.tsnd (pure ∘ f) x = pure (Bifunctor.snd f x)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ 0 < μ {x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ}
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁴ : Semiring R₁
inst✝²³ : Semiring R₂
inst✝²² : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝¹⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝¹⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : Module R₁ M'₁
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
x : M₁
⊢ (⇑e.symm ∘ ⇑e) x = id x
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Sub G
ContinuousSub G
TopologicalSpace α
f g : α → G
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun x => f x - g x
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
U : Opens ↑↑(colimit F)
j k : Jᵒᵖ
f : j ⟶ k
⊢ (Opens.map (F.map f.unop).base).op.obj (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop j)).base).obj U)) = op ((Opens.map ((F.map f.unop).base ≫ (colimit.ι F (unop j)).base)).obj U)
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : NormalizationMonoid α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Unique αˣ
m : Multiset α
h : ∀ p ∈ m, Prime p
⊢ normalizedFactors m.prod = m
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R
⊢ truncateFun n (x - y) = truncateFun n x - truncateFun n y
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ
⊢ Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 x)
R : Type u
A : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : PartialOrder R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : StarOrderedRing R
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : PartialOrder A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : StarModule R A
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
c : R
hab : 0 < b - a
hc : 0 < c
⊢ 0 < c • (b - a)
G : Type u_1
Group G
IsKleinFour G
Fintype G
DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y
⊢ {x * y, x, y, 1} = Finset.univ
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K : ℕ
A : Tendsto (fun N => ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N}) atTop (𝓝 (∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j}))
⊢ ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j} ≤ ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
DecidableEq ι
(i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
f g : Π₀ (i : ι), α i
s : Finset ι
hf : f.support ⊆ s
⊢ f ≤ g ↔ ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
⊢ μ.withDensityᵥ (f - g) = μ.withDensityᵥ f - μ.withDensityᵥ g
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
MulPosStrictMono α
bc : b < c
ha : a ≤ 1
a0 : 0 < a
c0 : 0 ≤ c
⊢ b * a < c
n k : ℕ
⊢ Finset.univ.piAntidiag n = Finset.Nat.antidiagonalTuple k n
α : Type u_1
CommMonoid α
a b : α
⊢ IsRelPrime (Associates.mk a) (Associates.mk b) ↔ IsRelPrime a b
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
⊢ oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
CoheytingAlgebra γ
CoheytingAlgebra δ
f : CoheytingHom γ δ
g : CoheytingHom β γ
h : CoheytingHom α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
M : Type u_1
Monoid M
⊢ Monotone Subgroup.ofUnits
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
M : Submodule R A
h : M.FG
n : ℕ
⊢ (M ^ n).FG
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
n : ℕ
⊢ countP p (n • s) = n * countP p s
z y✝ x✝ : ℝ
x y : ℂ
a✝ : ‖y - x‖ < 1
⊢ 2 * ‖cexp x‖ * dist y x = (1 + 1) * ‖cexp x‖ * ‖y - x‖
m : Type u_2
n : Type u_3
α : m → n → Type v
(i : m) → (j : n) → AddGroup (α i j)
β : m → n → Type w
(i : m) → (j : n) → AddGroup (β i j)
f : ⦃i : m⦄ → ⦃j : n⦄ → α i j →+ β i j
M N : DMatrix m n α
⊢ ((M - N).map fun i j => ⇑f) = (M.map fun i j => ⇑f) - N.map fun i j => ⇑f
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n d : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n * p).coeff (d + n) = p.coeff d
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
Module ℝ E
IsScalarTower ℝ 𝕜 E
ContinuousSMul ℝ E
s : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
⊢ (gaugeSeminormFamily 𝕜 E s).ball 0 1 = ↑s
α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
⊢ 0 ∈ box n ↔ n = 0
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
g' : S →ₗ[R] N
⊢ map f g ∘ₗ lTensor M g' = map f (g ∘ₗ g')
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M × N
⊢ mulSupport f = (mulSupport fun x => (f x).1) ∪ mulSupport fun x => (f x).2
G : Type u_1
α : Type u_3
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableVAdd G α
c : G
⊢ (MeasurableEquiv.vadd c).symm = MeasurableEquiv.vadd (-c)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : MeasurableSet s
⊢ μ s + μ sᶜ = μ Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ
H : ∀ (i : ι), Surjective ((U i).restrictPreimage f)
x : β
i : ι
hi : x ∈ U i
⊢ ∃ a, f a = x
R : Type u_3
CommRing R
⊢ Quaternion.imK 0 = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : OrderedRing α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l atBot
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝¹ : Reflective i
A : C
inst✝ : IsSplitMono ((reflectorAdjunction i).unit.app A)
η : 𝟭 C ⟶ reflector i ⋙ i := (reflectorAdjunction i).unit
this✝¹ : IsIso (η.app (i.obj ((reflector i).obj A)))
this✝ : Epi (η.app A)
this : IsIso (η.app A)
⊢ A ∈ i.essImage
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α} (l : List α), l ++ l₁ <+: l ++ l₂ ↔ l₁ <+: l₂
n : Nat
i : Int
⊢ (BitVec.ofInt n i).toInt = i.bmod (2 ^ n)
R : Type u
σ : Type u_1
CommRing R
DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ (p - q).degrees ≤ p.degrees ⊔ q.degrees
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ContinuousAt (⇑p) 0
this : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
⊢ Continuous ⇑p
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
M : Type w
L.Structure M
M ⊨ T
Nonempty M
⊢ ↑(FirstOrder.Language.Theory.ModelType.of T M) = M
p : Char → Bool
c : Char
l r : List Char
⊢ (let_fun this := ⋯; let pos := { data := (c :: l).reverse ++ r }.prev { byteIdx := utf8Len (c :: l) }; if p ({ data := (c :: l).reverse ++ r }.get pos) = true then some pos else { data := (c :: l).reverse ++ r }.revFindAux p pos) = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (match !p c with | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l | false => c :: l).tail?
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
S : AddSubmonoid M
T : AddSubmonoid N
⊢ AddSubmonoid.map f S ≤ T ↔ S ≤ AddSubmonoid.comap f T
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.61456, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
n : ℤ
X : Cᵒᵖ
⊢ (shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app (Opposite.unop ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X)) ≫ ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).map ((shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op).unop = 𝟙 (Opposite.unop ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X))
α : Type u
s : Stream'.Seq α
⊢ s.append Stream'.Seq.nil = s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r✝ r : List (List α)
l : List α
ih : sublistsAux a r = r.bind fun l => [l, a :: l]
⊢ sublistsAux a (r ++ [l]) = (r ++ [l]).bind fun l => [l, a :: l]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
s : Set γ
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen s
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ (cobounded E).NeBot
x y : ℚ
⊢ dist x y = |↑x - ↑y|
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
⊢ φ.op.X' = Opposite.op φ.Y'
X : BddLat
⊢ ↑((CategoryTheory.forget₂ BddLat BddOrd).obj X).toPartOrd = ↑X.toLat
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
F : CategoryTheory.Functor C (Type v₁)
f : CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op X) ⟶ F
⊢ CategoryTheory.coyonedaEquiv f = f.app X (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
t : (ZMod ↑n)ˣ
this : NeZero ↑↑n
⊢ minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).gen
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
⊢ upcrossingStrat a b f N n ω ≤ 1
R : Type u_1
Semiring R
φ ψ : PowerSeries R
⊢ φ = ψ ↔ ∀ (n : ℕ), (PowerSeries.coeff R n) φ = (PowerSeries.coeff R n) ψ
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
x₁ x₂ : Fin n.succ → ℕ
hx₁ : ∀ (i : Fin n.succ), x₁ i < d
hx₂ : ∀ (i : Fin n.succ), x₂ i < d
h : (map d) x₁ = (map d) x₂
this : x₁ 0 = x₂ 0
⊢ x₁ 0 = x₂ 0 ∧ (map d) (x₁ ∘ Fin.succ) = (map d) (x₂ ∘ Fin.succ)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
⊢ 1 ≤ (haarContent K₀).outerMeasure ↑K₀
α : Sort u_1
γ : Sort u_4
r : α → α → Prop
f : α → γ
h : ∀ (a₁ a₂ : α), r a₁ a₂ → f a₁ = f a₂
⊢ Function.Surjective (Quot.lift f h) ↔ Function.Surjective f
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X' : Type u_4
α : Type u_7
uα : UniformSpace α
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
k : κ
hk : EquicontinuousOn F S
⊢ EquicontinuousOn F S
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
hf : ¬f = 0
hf1 : (expand R p) f ≠ 0
n : ℕ
hn : ↑(f.natDegree * p) < ↑n
⊢ ((expand R p) f).coeff n = 0
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
h' : Finite R N
⊢ ∃ d k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
this : DecidableEq V
⊢ ∃ w, w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)
α : Type u_2
Zero α
⊢ ⇑Filter.pureZeroHom = pure
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
⊢ Finset.Icc a b = Finset.subtype p (Finset.Icc ↑a ↑b)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 1
⊢ y ≠ 0
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
n : ℤ
hn : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = ↑n * π
h0 : 0 ≤ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)
h3lt : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) < π + π + π
⊢ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] F
x : F
⊢ (ContinuousLinearMap.adjointAux A) x = (InnerProductSpace.toDual 𝕜 E).symm ((ContinuousLinearMap.toSesqForm A) x)
ι : Type u
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
hg : ∀ (i : ι), 0 ≤ g i
hf_sum : Summable fun i => f i ^ p
hg_sum : Summable fun i => g i ^ q
⊢ (Summable fun i => f i * g i) ∧
  ∑' (i : ι), f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)
M : ℝ
hM : 1 < M
⊢ Filter.map Complex.ofReal' (𝓝[<] 1) ≤ 𝓝[Complex.stolzSet M] 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝³ : EquivLike F α β
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
e : M ≃* N
f : P →* M
⊢ (↑e.symm).comp ((↑e).comp f) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : Set.BijOn f s t
htt' : t ⊆ t'
ht' : t' ⊆ Set.range f
⊢ ∃ s', s ⊆ s' ∧ Set.BijOn f s' t'
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
hgi : IntegrableOn g k volume
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_4
Monoid M
S : Submonoid M
OreLocalization.OreSet S
MulAction M X
SMul R X
SMul R M
IsScalarTower R M M
IsScalarTower R M X
r : R
x : X
s : ↥S
⊢ r • (x /ₒ s) = OreLocalization.oreNum (r • 1) s • x /ₒ OreLocalization.oreDenom (r • 1) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M N : Mon_ C
⊢ (M ⊗ N).mul = CategoryTheory.tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hg : EqOn f g (EMetric.ball x r)
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ x + y ∈ EMetric.ball x r
α : Type u_2
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in Filter.cofinite, p x) ↔ {x | ¬p x}.Finite