ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a t : α
ts is : List α
IH1 : ∀ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is), l ~ ts ++ t :: is
IH2 : ∀ l ∈ is.permutationsAux [], l ~ is ++ []
l : List α
m : l ∈ (t :: ts).permutationsAux is
⊢ l ~ t :: ts ++ is
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
h2 : n ≤ p.natDegree
⊢ p.mirror.coeff n = p.coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree - n)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
n : ℕ
v : Fin (n + 2) → F
N : 0 < n + 2
⊢ ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, (p c.length) (applyComposition (fun k => if k < n + 2 then p.rightInv i k else 0) c v) = ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, (p c.length) ((p.rightInv i).applyComposition c v)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t → f x = 0
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t)
⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α
h : SurjOn f E N.E
⊢ (N.comapOn E f).Base B ↔ N.Base (f '' B) ∧ InjOn f B ∧ B ⊆ E
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
h'f : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0] fun t => f (x + t • v)
R : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup R
f g : ℕ → R
⊢ (∀ n > 0, ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → γ
g : β → δ
hf : Function.Bijective f
hg : Function.Bijective g
⊢ Function.Bijective (Prod.map f g)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
hS : S ≤ IsAddUnit.addSubmonoid M
x : ↥S.leftNeg
⊢ (S.leftNegEquiv hS).symm (S.fromLeftNeg x) = x
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
hM : IsNilpotent M
a✝ : Nontrivial R
p : R[X] := M.charpolyRev
⊢ IsNilpotent (M.charpoly - X ^ Fintype.card n)
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
x : α
u : Set α
hu : u ∈ 𝓝 x
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝 0, Metric.closedBall x r ⊆ u
a✝ b c a : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < a, k ♯ 0 = k
⊢ a ♯ 0 = a
α : Type u
p : α → Bool
a : α
l : List α
h : a ∈ List.filter p l
⊢ p a = true
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α ≃. β
g : β ≃. γ
a : α
⊢ (f.trans g) a = none ↔ ∀ (b : β) (c : γ), b ∉ f a ∨ c ∉ g b
α : Type u_3
Preorder α
a : α
⊢ Set.Ici a ∈ Filter.atTop
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]
⊢ normSq (-a) = normSq a
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
r C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0, x ∈ Ioi 0 → ‖((fun x => P.g x - P.g₀) ∘ fun x => x⁻¹) x‖ ≤ C * ‖((fun x => x ^ (-(r + P.k))) ∘ fun x => x⁻¹) x‖
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0, x ∈ Ioi 0 → ‖P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀‖ ≤ ‖P.ε‖ * C * ‖x ^ r‖
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.succ
i : Fin n
y✝ : α i.succ
z : α 0
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
x₀ y₀ : α 0
x y : (i : Fin n) → α i.succ
⊢ (∀ (i : Fin n), cons x₀ x i.succ ≤ cons y₀ y i.succ) ↔ x ≤ y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂N₂.inv = AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂N₂.natTrans
ι : Type u_1
F : Type u_3
Fintype ι
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑b.measurableEquiv) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : x i₀ ≤ m
this : Ioc m (y i₀) = Ioi m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)
⊢ (univ.pi fun i => Ioc (update x i₀ m i) (y i)) = {z | m < z i₀} ∩ univ.pi fun i => Ioc (x i) (y i)
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n
A : 0 < μ (u ∩ s)
⊢ 0 < μ n
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, N i → Prop
hN : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ N i), C x ⋯
h0 : C 0 ⋯
hadd : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, N i) (hy : y ∈ ⨆ i, N i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x✝ : M
hx : x✝ ∈ ⨆ i, N i
x y : M
⊢ (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, N i), C x hx) x → (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, N i), C x hx) y → (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, N i), C x hx) (x + y)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ↥(MeasureTheory.Lp β 1 μ)
⊢ ‖f‖ = (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ∂μ).toReal
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : a < b
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-a)
⊢ (fun t => Real.log t • f t) =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f : α →𝒄 β
⊢ ⇑f.toOrderHom = ⇑f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α
⊢ s.WellFoundedOn r ↔ ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
x : L
hx : x ∈ I
⊢ f x ∈ LieIdeal.map f I
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁ K₂ : Subgroup G
⊢ ⁅H₁, H₂⁆ = ⊥ ↔ H₁ ≤ centralizer ↑H₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
c : ℝ≥0
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
H : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop atTop
⊢ False
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
hyp : ∀ m < n + 1 + 1, card ↑(derangements (Fin m)) = numDerangements m
⊢ card ↑(derangements (Fin (n + 1 + 1))) = numDerangements (n + 1 + 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Comonad.id C).obj X = X
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
U : X.Opens
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (CategoryTheory.inv f) U =
  X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op ≫
    CategoryTheory.inv
      (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f ((TopologicalSpace.Opens.map (CategoryTheory.inv f).val.base).obj U))
R : Type u_1
CommRing R
v : Fin 2 → R
hab : IsCoprime (v 0) (v 1)
A : Matrix.SpecialLinearGroup (Fin 2) R
⊢ IsCoprime ((↑A).mulVec v 0) ((↑A).mulVec v 1)
n m k : Nat
h : n + k = m
⊢ n ≤ m
α : Type u_1
l : Language α
x : List α
⊢ x ∈ l∗ ↔ ∃ S, x = S.join ∧ ∀ y ∈ S, y ∈ l ∧ y ≠ []
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
h'f : 0 ≤ f
A : ℝ
x : α
⊢ 0 x ≤ truncation f A x
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
h₁ : ∀ (n : ℤ), IsZero ((F.shift n).obj Z) ↔ (F.shift n).map g = 0 ∧ F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯ = 0
h₂ : ∀ (n : ℤ), Mono ((F.shift (n + 1)).map f) ↔ F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯ = 0
h₃ : ∀ (n : ℤ), Epi ((F.shift n).map f) ↔ (F.shift n).map g = 0
⊢ (∀ (n : ℤ), Epi ((F.shift n).map f) ∧ Mono ((F.shift (n + 1)).map f)) ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Embedding f
x : X
h : Set.range f ∈ 𝓝 (f x)
⊢ Filter.map f (𝓝 x) = 𝓝 (f x)
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a : α
ha : ¬IsMax a
⊢ Set.Ici (Order.succ a) = Set.Ioi a
α : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
g : ℕ → ℝ
h : f =o[atTop] g
hg : 0 ≤ g
h'g : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, g i) atTop atTop
A : ∀ (i : ℕ), ‖g i‖ = g i
B : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ range n, g i‖ = ∑ i ∈ range n, g i
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖∑ i ∈ range x, f i‖ ≤ ε * ‖∑ i ∈ range x, g i‖
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ variationOnFromTo f s a b ≤ 0
X : Type u_2
TopologicalSpace X
A B : DiscreteQuotient X
h : A ≤ B
x : X
⊢ DiscreteQuotient.ofLE h (A.proj x) = B.proj x
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
i : ι
x : β i
h : x ≠ 0
⊢ DFinsupp.support ((DirectSum.of β i) x) = {i}
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase (t.min' ⋯) }
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
x y : M₁
h : (B x) y = 0
⊢ (B y) x = 0
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(Module.Baer.supExtensionOfMaxSingleton i f y)
⊢ ↑x = ↑(Module.Baer.ExtensionOfMaxAdjoin.fst i x) + Module.Baer.ExtensionOfMaxAdjoin.snd i x • y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a✝ : α
d : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ d n
hd : Summable d
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n m : ℕ
hnm : m ≥ n
⊢ dist (f n) (f m) ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
T : Set (TopologicalSpace α)
t₂ : TopologicalSpace β
⊢ Continuous f ↔ ∀ t ∈ T, Continuous f
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ Int.fract a + ↑⌊a⌋ = a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
M : Matroid α
I : Set β
hf : Set.InjOn f M.E
hI : (M.map f hf).Indep I
⊢ ∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ Set.BijOn f I₀ I
R : Type u_1
CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
⊢ (↑(starRingEnd ℂ)).compAddChar φ = φ⁻¹
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ PreconnectedSpace α ↔ ∀ (x : α), connectedComponent x = Set.univ
K : semiOutParam (Type u_1)
self : RCLike K
z w : K
⊢ z ≤ w ↔ RCLike.re z ≤ RCLike.re w ∧ RCLike.im z = RCLike.im w
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f : R →ₙ+* S
x : R
⊢ ↑(f.rangeRestrict x) = f x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
p : 𝕜[X]
x : 𝕜
⊢ HasFDerivAt (fun x => Polynomial.eval x p)
  (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (Polynomial.eval x (Polynomial.derivative p))) x
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ Pell.yn a1 0 = 0
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : α → β
g : β → γ
t : L.Term α
⊢ FirstOrder.Language.Term.relabel g (FirstOrder.Language.Term.relabel f t) = FirstOrder.Language.Term.relabel (g ∘ f) t
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
⊢ Set.Icc a b \ {a} = Set.Ioc a b
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
G' : Type wG'
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
SeminormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : G →ₗ[𝕜] MultilinearMap 𝕜 E G'
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
H : ∀ (x : G) (m : (i : ι) → E i), ‖(f x) m‖ ≤ C * ‖x‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
⊢ ‖MultilinearMap.mkContinuousLinear f C H‖ ≤ C
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
S T : Set (Set α)
h_gen : m0 = generateFrom S
h_inter : IsPiSystem S
h_sub : T ⊆ S
hc : T.Countable
hU : ⋃₀ T = univ
htop : ∀ s ∈ T, μ s ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ S, μ s = ν s
⊢ μ = ν
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x y : n → α
⊢ (u + v) ⬝ᵥ w = u ⬝ᵥ w + v ⬝ᵥ w
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
g : M' → M''
x : M
hg : SmoothAt I' I'' g (f x)
hf : SmoothAt I I' f x
⊢ SmoothAt I I'' (g ∘ f) x
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'
this✝⁴ : IsCompact s
this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance
this✝² : CompactSpace (Subtype s)
this✝¹ : Nonempty (Subtype s)
ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'
ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'
this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
F : Subtype s → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤) := kuratowskiEmbedding (Subtype s)
this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
A : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤) := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := ⋯, nonempty' := ⋯ }
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ')
c : Cardinal.{u_3}
o : Ordinal.{u_3}
⊢ o < c.ord ↔ o.card < c
α : Type u_1
m : Set (MeasureTheory.OuterMeasure α)
s : Set α
hm : m.Nonempty
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict s) (sInf m) = sInf (⇑(MeasureTheory.OuterMeasure.restrict s) '' m)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
⊢ MeasurableSet {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K}
m : Type u_2
R : Type u_7
α : Type v
β : Type w
Fintype m
DecidableEq m
CommSemiring R
Semiring α
Semiring β
Algebra R α
Algebra R β
f : α →ₐ[R] β
M : Matrix m m α
⊢ f.mapMatrix M = M.map ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
⊢ f '' ⋂ i, s i = ⋂ i, f '' s i
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
hfg : f * g = 1
⊢ g * f = 1
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : Set R
P : R
hP : P ∉ NonUnitalSubring.closure s
⊢ P ∉ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk f g h).obj₂ = Y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
h : ContinuousWithinAt f s x
hg : Tendsto g p (𝓝[s] x)
hunif : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
u₀ : Set (β × β)
hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β
u₁ : Set (β × β)
h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β
u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀
⊢ u₀ ∈ map (fun x_1 => (f x, F x_1 (g x_1))) p
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
(p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
DecidableEq (Associates α)
p a : Associates α
hp : Irreducible p
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
⊢ a = p ^ p.count a.factors
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0
⊢ x ^ z⁻¹ < y ↔ y ^ z < x
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
⊢ (MonoidHom.snd M N).comp Monoid.Coprod.toProd = Monoid.Coprod.snd
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ I.radical.jacobson = I.jacobson
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Fintype α
i : α
m : M
⊢ (if i ∈ univ then m else 0) = m
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)
⊢ P f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
a2 : 2 ≤ a
⊢ 1 / a ≤ 1 - 2⁻¹
α : Type u_1
OrderedSemiring α
a b : α
ha : a = 0
hb : b < 0
⊢ a + b < 0
R : Type u_1
Ring R
r : R
hnil : IsNilpotent r
⊢ IsUnit (1 - r)
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal I
⊢ Tendsto (fun c => ∫⁻ (x : α) in φ c, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ))
a b c : ℕ
⊢ ↑a = ↑b ↔ a % c = b % c
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
n : ℕ
⊢ T_gen p F a ^ 2 ^ n < 1
δ : Type u_1
Finite δ
κ : δ → Type u_2
s : Set ((d : δ) → κ d)
⊢ (∀ (d : δ), (Function.eval d '' s).Finite) ↔ s.Finite
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x
f : (x : α) → p x → γ
g : (x : α) → ¬p x → γ
h : γ → β
x : { x // x ∈ filter (fun x => ¬p x) s }
⊢ ¬p ↑x
α : Type u
Subsingleton α
s : Set α
⊢ s.Subsingleton
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
ContinuousAdd M₁
n : ℕ
n.AtLeastTwo
m : M₁
⊢ (OfNat.ofNat n) m = OfNat.ofNat n • m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
j j' : C
f f' : j ⟶ j'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.IsFiltered.coeqHom f f') =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' (CategoryTheory.IsFiltered.coeqHom f f')
α : Sort u_1
β : Sort u_2
IsEmpty α
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ IsEmpty β
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →L[ℝ] ℝ
x : F
lm : F →ₗ[𝕜] 𝕜 := (↑fr).extendTo𝕜'
h : ¬lm x = 0
⊢ ‖lm x‖ ≤ ‖fr‖ * ‖x‖
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
h : b ⟶ c
⊢ η.inv ▷ h ≫ η.hom ▷ h = 𝟙 (g ≫ h)
n : ℕ
⊢ (2 * n + 1).bitIndices = 0 :: List.map (fun x => x + 1) n.bitIndices
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
H : IsPreirreducible s
⊢ IsPreconnected s
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M✝ : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M✝
inst✝ : Module R M✝
inst : IsNoetherianRing R
I : Ideal R[X]
M : Submodule R R := ⋯.min (Set.range I.leadingCoeffNth) ⋯
hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth
N : ℕ
HN : I.leadingCoeffNth N = M
s : Finset R[X]
hs : Submodule.span R ↑s = I.degreeLE ↑N
hm2 : ∀ (k : ℕ), I.leadingCoeffNth k ≤ M
hs2 : ∀ {x : R[X]}, x ∈ I.degreeLE ↑N → x ∈ Ideal.span ↑s
this : Submodule.span R[X] ↑s = Ideal.span ↑s
k : ℕ
ih : ∀ m < k, ∀ ⦃p : R[X]⦄, p ∈ I → p.natDegree = m → p ∈ Ideal.span ↑s
p : R[X]
hp : p ∈ I
hn : p.natDegree = k
h : N < k
⊢ p ∈ Ideal.span ↑s
R : Type u_1
CommRing R
x y z : R
⊢ IsRelPrime x (x * z + y) ↔ IsRelPrime x y
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → ℝ
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K
this : (K.indicator fun x => g x • f x) = fun x => g x • f x
⊢ Integrable (fun a => g a • K.indicator f a) μ
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F G : J ⥤ Type v
α : F ⟶ G
j : J
x : F.obj j
⊢ CategoryTheory.Limits.colim.map α (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j x) =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι G j (α.app j x)
p : ℝ≥0∞
h : p ≤ 1
n : ℕ
⊢ (binomial p h n) (Fin.last n) = p ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
g : β → Set (Set α)
s : Set β
h_pi : ∀ b ∈ s, IsPiSystem (g b)
T : Finset (Subtype s)
f : Subtype s → Set α
h_t' : ∀ b ∈ T, f b ∈ (g ∘ Subtype.val) b
h_t : ⋂ b ∈ T, f b ∈ generatePiSystem (⋃ b ∈ s, g b)
this : ⋂ b ∈ T, f b ∈ generatePiSystem (⋃ b, (g ∘ Subtype.val) b)
⊢ ∃ T_1 f_1, ↑T_1 ⊆ s ∧ ⋂ b ∈ T, f b = ⋂ b ∈ T_1, f_1 b ∧ ∀ b ∈ T_1, f_1 b ∈ g b
F : PFunctor.{u}
R : F.M → F.M → Prop
self : PFunctor.M.IsBisimulation R
a a' : F.A
f : F.B a → F.M
f' : F.B a' → F.M
⊢ R (PFunctor.M.mk ⟨a, f⟩) (PFunctor.M.mk ⟨a', f'⟩) → a = a'
n : Nat
a b : Fin n
⊢ a.succ ≤ b.succ ↔ a ≤ b
ι : Sort u_1
M : Type u_2
Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : I.IsPrime
x y : A
hx : Homogeneous 𝒜 x
hy : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
⊢ x ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule ∨ y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule