ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg : ∀ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧ ∃ ε_1 > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist ((φ x ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g x) (k x)) z₀ < ε
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
f : α → WSeq β
g : β → WSeq γ
⊢ (map (map g) (map f s)).join.join ~ʷ (map (fun x => (map g (f x)).join) s).join
R : Type u
N : Type w
CommSemiring R
σ : Type u_1
DecidableEq σ
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
AddCommMonoid N
Module R N
p : MvPolynomial σ S
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPolynomial.rTensor (p ⊗ₜ[R] n)) d = MvPolynomial.coeff d p ⊗ₜ[R] n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
x : V
hx : ∀ (n : V), (B.flip x) n = 0
y : V
⊢ ((Module.evalEquiv K V) x) ((B.toDual hB) y) = ((Module.evalEquiv K V) 0) ((B.toDual hB) y)
α : Type u_1
f : Char → α → α
init : α
s : Substring
⊢ s.Valid → Substring.foldr f init s = List.foldr f init s.toString.data
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
i : N →ₗ[R] M
r : M →ₗ[R] N
h : r ∘ₗ i = LinearMap.id
I : Ideal R
hI : I.FG
h₁ : Function.Injective ⇑(lTensor R i)
x : ↥I ⊗[R] N
⊢ (lTensor (↥I) r) ((lTensor (↥I) i) x) = x
α : Type u_1
EDist α
⊢ ∅.einfsep = ⊤
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
r : R
rs : List R
⊢ IsRegular M (r :: rs) ↔ IsSMulRegular M r ∧ IsRegular (QuotSMulTop r M) rs
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)
⊢ (fun i_1 => ⟪↑(lp.single 2 i a) i_1, ↑f i_1⟫_𝕜) = fun b' => if b' = i then ⟪a, ↑f i⟫_𝕜 else 0
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
a : α
cb : Computation β
⊢ Computation.LiftRel R (Computation.pure a) cb ↔ ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
a b : ℤ
⊢ -a * b = -(a * b)
p x : ℝ
⊢ ‖↑(-1 * x)‖ = ‖↑x‖
R : Type u
CommRing R
b c d : R
⊢ preNormEDS b c d 3 = c
R : Type u
I : Type v
CommSemiring R
s : I → R
t : Finset I
DecidableEq I
⊢ Pairwise (IsCoprime on fun i => s ↑i) ↔ ∀ i ∈ t, IsCoprime (s i) (∏ j ∈ t \ {i}, s j)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ 𝟙 Y ≫ retraction f - retraction f = 0
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ
m : ℤ := univ.inf' ⋯ v
w' : Fin (n + 1) → ℕ := fun i => (v i - m).toNat
⊢ ↑(sf n) ∣ (Matrix.vandermonde v).det
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝ : MeasurableSpace γ
s : Set δ
t : (i : δ) → Set (π i)
hs : s.Countable
h : (s.pi t).Nonempty
⊢ MeasurableSet (s.pi t) ↔ ∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
⊢ dblY (map W' f) (⇑f ∘ P) = f (W'.dblY P)
V : Type u_1
TopologicalSpace V
AddCommGroup V
Module ℝ V
ContinuousSMul ℝ V
ContinuousAdd V
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
a b : ℝ≥0
h : a ≤ b
⊢ a • K ≤ b • K
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
h_int : ∀ x ∈ Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) ≤ ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n)))
⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ (-(r⁻¹ * ↑n))) (Ioc 0 1) volume
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)
mem_closure : p ∈ (polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).topologicalClosure
⊢ p.comp (↑f).attachBound ∈ A.topologicalClosure
x : ℝ
h₁ : 0 < x
h₂ : Real.log x = 0
⊢ x = 1
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ SameRay R x z
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
x : α
⊢ Equiv.Perm.toList 1 x = []
α : Type u
l : List α
⊢ l ~r [] ↔ l = []
x y z : ℤ
h✝ : PythagoreanTriple x y z
k : ℤ
hk : k ≠ 0
h : k * x * (k * x) + k * y * (k * y) = k * z * (k * z)
⊢ x * x + y * y = z * z
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
ε : ℝ
hε : ε > 0
g : V → E
hg_supp : HasCompactSupport g
hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2
hg_cont : Continuous g
w : V
hI : dist (∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) 0 < ε / 2
⊢ dist (∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) 0 < ε
ι : Type v
α : ι → TopCat
⊢ (TopCat.sigmaCofan α).pt = TopCat.of ((i : ι) × ↑(α i))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
a b : 𝕜
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : b + a = 1
hfx : f x ≤ f (b • y + a • x)
⊢ f (b • y + a • x) ≤ f y
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
Zero α
⊢ sInf 0 = 0
x : ℝ
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ Real.arcsin (Set.Ici x) x ↔ x ≠ -1
ι : Type u
DecidableEq ι
β : ι → Type u_1
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
⊢ DFinsupp.update i f b = DFinsupp.erase i f + DFinsupp.single i b
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
self : IsLocalization M S
z : S
⊢ ∃ x, z * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) x.1
G : Type u_1
α : Type u_3
Countable G
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
⊢ μ (MeasureTheory.addFundamentalFrontier G s) = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
⊢ h.trans h.symm = Diffeomorph.refl I M n
α : Type u_1
CommMonoid α
p : α
hp : Irreducible p
⊢ ¬p ∣ 1
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
u : Mˣ
n : ℕ
⊢ ↑(u ^ ↑n) = ↑u ^ ↑n
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
x : ℂ
f' : E
h : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt f (reCLM.smulRight f' + I • imCLM.smulRight f') x
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x : L
⊢ LieModule.posFittingCompOf R M x ≤ LieModule.posFittingComp R L M
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
⊢ ∀ (a : 𝕜), (RCLike.complexLinearIsometryEquiv h) a = (RCLike.complexRingEquiv h).toFun a
R : Type uR
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
ψ : Dual R M₂
⊢ ∀ (w : M₁), f w = 0 → (f.dualMap ψ) w = 0
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) 1 μ
⊢ Memℒp (stoppedValue u τ) 1 μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : f.support ⊆ g.support
h' : ∀ x ∈ f.support, f x = g x
this : f.support = g.support
⊢ f = g
α : Type u
β : Type v
f₁ f₂ : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
hl : f₁ =ᶠ[l₁] f₂
h : Filter.Tendsto f₁ l₁ l₂
⊢ Filter.Tendsto f₂ l₁ l₂
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((Norm.norm ∘ g) a) C
ε : ℝ
ε₀ : ε > 0
δ : ℝ
δ₀ : 0 < δ
hδ : A * C * δ < ε
i : α
hf : ‖f i‖ < δ
hg : (Norm.norm ∘ g) i ≤ C
hA : A ≤ 0
⊢ A * ‖f i‖ * ‖g i‖ < ε
a b : ℝ
r : ℂ
h : -1 < r.re
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) MeasureTheory.volume a b
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (extChartAt I' y).source
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ True ∧ ContDiffWithinAtProp I I' n ((↑(chartAt H' y) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ True ∧ ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : MetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
δ : C(X, ℝ≥0)
hδ0 : ∀ (x : X), 0 < δ x
hδ : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, EMetric.closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i
i : ι
x : X
hx : x ∈ K i
⊢ EMetric.closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i
a b d : ℤ
hd_pos : 0 ≤ d
hda : d ∣ a
hdb : d ∣ b
hd : ∀ (e : ℤ), e ∣ a → e ∣ b → e ∣ d
⊢ d = ↑(a.gcd b)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonAssocSemiring α
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix m n α
⊢ M * 1 = M
F✝ : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p : K[X]
F : IntermediateField K L
h : Splits (algebraMap K L) p
hF : ∀ x ∈ p.aroots L, x ∈ F.val.fieldRange
⊢ Splits (algebraMap K ↥F) p
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
h_spec : σₙ R a ⊆ {0}
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ a = 0
n m : Nat
h : m < n
⊢ n - 1 < n
p m : ℕ
pp : Nat.Prime p
H : 2 ≤ m
⊢ m ∣ p ↔ m = p
α : Type u
s t : Set α
x : α
h : x ∈ s \ t
⊢ x ∉ t
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
⊢ ↑⊥ = {0}
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : ↑M.E ↪ β
I : Set β
⊢ (M.mapSetEmbedding f).Indep I ↔ ∃ I₀, M.Indep ↑I₀ ∧ I = ⇑f '' I₀
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hx : x ∈ s \ (SimpleGraph.badVertices G ε s t ∪ SimpleGraph.badVertices G ε s u)
⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(image (fun x_1 => (x, x_1)) (filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u))).card
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
a b : α
⊢ EqvGen r a b ↔ ⊤ ≤ EqvGen r a b
α : Type u₁
self : CategoryTheory.Discrete α
⊢ CategoryTheory.discreteEquiv self = self.as
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : CategoryTheory.WithTerminal.of X ⟶ CategoryTheory.WithTerminal.of Y
g : CategoryTheory.WithTerminal.of Y ⟶ CategoryTheory.WithTerminal.of Z
⊢ CategoryTheory.WithTerminal.down (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.WithTerminal.down f) (CategoryTheory.WithTerminal.down g)
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
hγ' : IsIntegralCurveAt γ' v t₀
h : γ t₀ = γ' t₀
v' : E → E := fun x => (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x)) (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
hv' : v' = fun x => (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x)) (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) (γ t₀)
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := γ t₀, snd := v (γ t₀) }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I (γ t₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))
K : NNReal
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))
hlip✝ : LipschitzOnWith K v' s
hlip : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K ((fun x => v') t) ((fun x => s) t)
hsrc : ∀ {g : ℝ → M}, IsIntegralCurveAt g v t₀ → ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, g ⁻¹' (extChartAt I (g t₀)).source ∈ 𝓝 t
hmem : ∀ {g : ℝ → M} {t : ℝ}, g ⁻¹' (extChartAt I (g t₀)).source ∈ 𝓝 t → g t ∈ (extChartAt I (g t₀)).source
hdrv : ∀ {g : ℝ → M}, IsIntegralCurveAt g v t₀ → γ t₀ = g t₀ → ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt (↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g) ((fun x => v') t ((↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g) t)) t ∧ (↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g) t ∈ (fun x => s) t
heq : ∀ {g : ℝ → M}, IsIntegralCurveAt g v t₀ → g =ᶠ[𝓝 t₀] ↑(extChartAt I (g t₀)).symm ∘ ↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g
⊢ γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → Finset β
h : (range f).Finite
⊢ (⋃ x ∈ range f, ↑x).Finite
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
AddRightCancelSemigroup α
One α
DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
j : α
⊢ (ChainComplex.of X d sq).d (j + 1) j = d j
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
h : b ≤ c
h2 : a ≤ c - b
⊢ a + b ≤ c
o : Ordinal.{u_3}
⊢ (Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1) = o
n m : Nat
h : n = m
i : Fin n
⊢ ↑(Fin.cast h i) = ↑i
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ⇑f
m : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ‖m i‖ = 0
⊢ ‖f m‖ = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (x.1 ∪ e • x.2).card + (x.2 ∩ e⁻¹ • x.1).card = x.1.card + x.2.card
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
r : R
⊢ (algebraMap R A) r ∈ S
B : Type u
inst✝¹ : Bicategory B
a b c d e : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
h : b ⟶ c
inst✝ : IsIso η
⊢ inv (η ▷ h) = inv η ▷ h
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ (LinearMap.toSpanSingleton R M x) 1 = x
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n = ↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
s : Set R
a : Subring Rᵐᵒᵖ
⊢ a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ : Finset β
f✝ f g : β → α
hfg : ∀ a ∈ s₁, f a = g a
⊢ s₁.lcm f = s₁.lcm g
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2
R : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : DivisionSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_4
F : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁴ : DivisionSemiring S
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
g' : F
f : α → α
g : α → M
n : ℕ
x : α
⊢ g' (birkhoffAverage R f g n x) = birkhoffAverage S f (⇑g' ∘ g) n x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h✝ h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ
⊢ ⇑h '' Metric.ball x r = Metric.ball (h x) r
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α
a✝ : Nontrivial α
⊢ a.factors = ⊤ ↔ a = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
DecidableEq α
DecidableEq (α ⊕ β)
f : α ⊕ β → γ
i j : α
x : γ
⊢ Function.update f (Sum.inl i) x (Sum.inl j) = Function.update (f ∘ Sum.inl) i x j
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m n α
B : Matrix n m α
⊢ (1 + A * B).det = (1 + B * A).det
α : Type u
l : List α
n : ℕ
hl : 0 = l.length
⊢ l.rotate n = drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
s : Set α
ho : Set.Iio a ⊆ s
hc : s ⊆ Set.Iic a
⊢ s ∈ {Set.Iic a, Set.Iio a}
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
⊢ (∀ (x : M), MDifferentiableAt I I' f x) ↔ MDifferentiable I I' f
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝³ : Semiring R₁
inst✝² : Semiring R₂
inst✝¹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ : R₁ →+* R₂
σ' : R₂ →+* R₁
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
x : R₁
⊢ σ' (σ x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddCommGroup α
InvolutiveNeg β
h : Function.Antiperiodic f c
a : α
⊢ Function.Antiperiodic (fun x => f (a - x)) c
M : Type u_2
AddCommGroup M
A : Type u_5
CommRing A
Module A M
f g : M →ₗ[A] M
⊢ LinearMap.det (f ∘ₗ g) = LinearMap.det f * LinearMap.det g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mod α
a b : Part α
hab : (a % b).Dom
⊢ (a % b).get hab = a.get ⋯ % b.get ⋯
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
z : N
⊢ f.mk' (f.sec z).1 (f.sec z).2 = z
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ p.succAbove i < p ↔ i.succ ≤ p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a✝ b✝ : α
a b : WithTop α
⊢ a < b ↔ ∃ p, a = ↑p ∧ ↑p < b
α : Type u_1
LinearOrder α
b : α
⊢ StrictMonoOn (Set.projIic b) (Set.Iic b)
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
NormedRing R
CompleteSpace R
f : ι → R
g : ι' → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
⊢ Summable fun x => f x.1 * g x.2