ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
s : Set A
p : ↥(StarAlgebra.adjoin R s) → Prop
a : ↥(StarAlgebra.adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((algebraMap R ↥(StarAlgebra.adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(StarAlgebra.adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(StarAlgebra.adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(StarAlgebra.adjoin R s)), p x → p (star x)
⊢ p a
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : Module.End.HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 < RCLike.re ⟪x, T x⟫_𝕜
⊢ 0 < μ
ι : Sort u
α : Type v
LinearOrder α
a : α
f : ι → α
h : IsLUB (Set.range f) a
⊢ ⋃ x, Set.Iio (f x) = Set.Iio a
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
f' : 𝕜 →L[𝕜] F
⊢ HasFDerivAt f f' x → HasDerivAt f (f' 1) x
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s t u : Finset α
⊢ s / t ⊆ u ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x / y ∈ u
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ∀ x_1 ∈ Set.range fun p => projectiveSeminormAux ↑p, 0 ≤ x_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : CategoryTheory.CosimplicialObject C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (n : SimplexCategory), f.app n = g.app n
⊢ f = g
G : RingCat
H : Type u
Ring H
f : ↑G →+* H
⊢ f.comp (𝟙 G) = f
x : ℝ
hx : x ∈ interior (Icc (-(π / 2)) (π / 2))
⊢ deriv^[2] cos x < 0
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
self : Monoid.CoprodI.Word M
⊢ List.Chain' (fun l l' => l.fst ≠ l'.fst) self.toList
α β : SemilatSupCat
e : α.X ≃o β.X
x✝ : (forget SemilatSupCat).obj α
⊢ ({ toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_bot' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
x : A
hx : x ∈ S
r : R
⊢ r • x ∈ S
X : TopCat
F : TopCat.Sheaf CommRingCat X
U V W UW VW : TopologicalSpace.Opens ↑X
e : W ≤ U ⊔ V
x :
  ↥((RingHom.comp (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op)
          (RingHom.fst ↑(F.val.obj (Opposite.op U)) ↑(F.val.obj (Opposite.op V)))).eqLocus
      (RingHom.comp (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op)
        (RingHom.snd ↑(F.val.obj (Opposite.op U)) ↑(F.val.obj (Opposite.op V)))))
y : ↑(F.val.obj (Opposite.op W))
h₁ : UW = U ⊓ W
h₂ : VW = V ⊓ W
⊢ (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE e).op) ((F.objSupIsoProdEqLocus U V).inv x) = y ↔
  (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op) (↑x).1 = (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op) y ∧
    (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op) (↑x).2 = (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op) y
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ unop U
f₂ : Y₂ ⟶ unop U
h₁ : (G.sieveOfSection s).arrows f₁
h₂ : (G.sieveOfSection s).arrows f₂
e : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ G.toPresheaf.map g₁.op (G.familyOfElementsOfSection s f₁ h₁) = G.toPresheaf.map g₂.op (G.familyOfElementsOfSection s f₂ h₂)
R₁ : Type u_4
M₁ : Type u_5
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B₁ : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
x y z : M₁
⊢ (B₁ x) (y - z) = (B₁ x) y - (B₁ x) z
α : Type u_2
Zero α
s : Set α
⊢ s ⊆ 0 ↔ s = ∅ ∨ s = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Subsingleton A
⊢ (Algebra.leftMulMatrix pb.basis) pb.gen = Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0
α : Type u_5
TopologicalSpace α
_m : MeasurableSpace α
SecondCountableTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
BorelSpace α
NoMaxOrder α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Set.Ico a b) = ν (Set.Ico a b)
⊢ μ = ν
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
hc : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ fderiv ℝ (fun x => Real.cosh (f x)) x = Real.sinh (f x) • fderiv ℝ f x
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r : X
s : ↥S
⊢ 0 • r /ₒ (1 * 1) = 0
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ : Split C
F₁ : S₁.X ⟶ S₂.X
f₁ : (n : ℕ) → S₁.s.N n ⟶ S₂.s.N n
c₁ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₁.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
F₂ : S₁.X ⟶ S₂.X
c₂ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₂.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
h : ∀ (n : ℕ), { F := F₁, f := f₁, comm := c₁ }.f n = { F := F₂, f := f₁, comm := c₂ }.f n
⊢ F₁ = F₂
M : Type u_5
N : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
m : M
n : N
⊢ Commute ((MonoidHom.inl M N) m) ((MonoidHom.inr M N) n)
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ s₁ ∩ (s₂ \ s₁) = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
⊢ (single a b).support ⊆ {a}
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
⊢ Function.Bijective AddEquiv.symm
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndep m hm s μ
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m (Filter.limsup s f) (Filter.limsup s f) hm μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T' f = c • MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
hs : ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
H : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f m) (f n)
m n : ℕ
hmn : f m ≠ f n
h : n < m
⊢ rᶜ (f m) (f n)
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s : Finset β
f : β → α
⊢ p ∣ s.prod f → ∃ i ∈ s, p ∣ f i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 3
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂ (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₃ app₀ app₁ app₂ app₃ w₀ w₁ w₂).app 0 = app₀
z : ℂ
⊢ |z.im| < abs z ↔ z.re ≠ 0
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f : A →ₛₙₐ[φ] B
⊢ f.toDistribMulActionHom = ↑f
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x + y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ multiplicity p (x ^ n + y ^ n) = multiplicity p (x + y) + multiplicity p n
α : Type u_1
β : Type u_2
X : PartialFun
a : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj X
⊢ (fun a => ⟨some a, ⋯⟩) ((fun a => Option.get ↑a ⋯) a) = a
X : Scheme
inst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : IsNilpotent s
x : ↥U
⊢ (X.presheaf.germ x) s = 0
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Mul M
Mul N
Mul P
f : M →ₙ* N × P
⊢ ((MulHom.fst N P).comp f).prod ((MulHom.snd N P).comp f) = f
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
⊢ ↑(ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal t) = {f | ∀ x ∈ t, f ∈ x.asHomogeneousIdeal}
ι✝ : Sort u_1
f✝ g : ι✝ → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ι : Sort u_2
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → ℝ≥0∞
x : ℝ≥0∞
h : x ≠ ⊤
⊢ x * iInf f = ⨅ i, x * f i
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t u : Set α
⊢ s ⊻ t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ⊔ b ∈ u
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
z : 𝕜
⊢ (-f) z = ((fun x => -1) • f) z
x y : SetTheory.PGame
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
⊢ ⟦x.mulOption y i k⟧ < -⟦x.mulOption (-y) j l⟧ ↔
  Surreal.Multiplication.P1 (x.moveLeft i) x (x.moveLeft j) y (y.moveLeft k) (-(-y).moveLeft l)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
this✝ : IsIso (L.map z₂.s)
this : IsIso (L.map z₃.s)
⊢ z₁.map L ⋯ ≫ z₂.map L ⋯ = (z₁.comp₀ z₂ z₃).map L ⋯
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
f : M →ₗ[R] M'
hv : comap (Finsupp.total ι M R v) (LinearMap.ker f) = ⊥
⊢ Disjoint (span R (range v)) (LinearMap.ker f)
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
Fintype ι
m m' : (i : ι) → M₁ i
⊢ f (m + m') = ∑ s : Finset ι, f (s.piecewise m m')
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
x : X
hf : ContinuousAt f x
s : Set Y
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, f y ∈ s
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : Type u_3
Fintype γ
(a : α) → AddCommMonoid (β a)
a : α
g : γ → (a : α) → β a
⊢ (∑ c : γ, g c) a = ∑ c : γ, g c a
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝ : μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι → μ
hn : n ≠ 0
⊢ ∀ (x : ι → μ), x ∉ ∅.piAntidiag n
α : Type u
ι : Sort x
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
⊢ (iInf f).sets = ⋃ i, (f i).sets
K : Type u_1
Field K
NumberField K
r : ℝ
x : (𝓞 K)ˣ
hr : 0 ≤ r
h : ‖(NumberField.Units.logEmbedding K) x‖ ≤ r
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ |Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x))| ≤ ↑(Fintype.card (NumberField.InfinitePlace K)) * r
n : ℕ
A : Type u_2
AddGroup A
f : { f // f ↑n = 0 }
⊢ ⇑((ZMod.lift n) f) ∘ Int.cast = ⇑↑f
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
b : β
⊢ IsGreatest {a | l a ≤ b} (u b)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
f : α ↪ β
⊢ (M.mapEmbedding f).E = ⇑f '' M.E
R₁ : Type u_2
M₁ : Type u_7
ι : Type u_16
CommRing R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
DecidableEq ι
Fintype ι
IsDomain R₁
B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
b : Basis ι R₁ M₁
⊢ B.SeparatingLeft ↔ ((LinearMap.toMatrix₂ b b) B).det ≠ 0
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
A B : Submodule R M
hAB : A ≤ B
⊢ A ⋖ B ↔ IsSimpleModule R (↥B ⧸ Submodule.comap B.subtype A)
⊢ MDifferentiable 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) (jacobiTheta ∘ UpperHalfPlane.coe)
R : Type u
Ring R
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
⊢ (p.toSubring T hp).degree = p.degree
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
M : Type u_5
SMul M β
c : M
f : α →ᵤ[𝔖] β
⊢ (UniformOnFun.toFun 𝔖) (c • f) = c • (UniformOnFun.toFun 𝔖) f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν' : μ ⟂ₘ ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
h_ac : ν ≪ ν + ν'
⊢ μ.rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν
p : Prop
Decidable p
⊢ Not p → Eq (decide p) false
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
f : M₂ → M
h₁ : Function.LeftInverse f (↑e).toFun
h₂ : Function.RightInverse f (↑e).toFun
⊢ { toLinearMap := ↑e, invFun := f, left_inv := h₁, right_inv := h₂ } = e
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : α → Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : (i : α) → Set (β i)
f : (i : { x // p x }) → β ↑i
g : (i : { x // ¬p x }) → β ↑i
⊢ (∀ (i : α), (piEquivPiSubtypeProd p β).symm (f, g) i ∈ s i) ↔ ∀ (x : α), (∀ (b : p x), f ⟨x, b⟩ ∈ s x) ∧ ∀ (b : ¬p x), g ⟨x, b⟩ ∈ s x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G.op ⊣ F.op
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
⊢ (h.unit.app (Opposite.op Y) ≫ F.op.map (g.op ≫ f.op)).unop = F.map f ≫ (h.unit.app (Opposite.op Y) ≫ F.op.map g.op).unop
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A
⊢ #(ULift.{u, v} { x // IsAlgebraic R x }) ≤ #(ULift.{v, u} R[X]) * ℵ₀
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
f g : X → Y
h : f =ᵐ[μ] g
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ f = g
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : Submodule R M
h : ∀ {x : L} {m : M}, m ∈ N.carrier → ⁅x, m⁆ ∈ N.carrier
⊢ { toSubmodule := N, lie_mem := h } = ⊥ ↔ N = ⊥
a : UnitAddCircle
⊢ Differentiable ℂ (HurwitzZeta.completedHurwitzZetaOdd a)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).tan = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU : ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β), (∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) → U s1 s2
n : ℕ
IH : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)}, LiftRel (LiftRel R) S T → ∀ {a : Option (α × WSeq α)}, S.join.destruct.Results a m → ∃ b, b ∈ T.join.destruct ∧ LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a n
⊢ ∃ b, b ∈ T.join.destruct ∧ LiftRelO R U a b
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
T1Space E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : Bornology.IsVonNBounded ℝ t
⊢ Continuous (gaugeRescale s t)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
CommMonoid M
ψ : AddChar R M
u : R
hu : IsUnit u
⊢ ψ.mulShift u = 1 ↔ ψ = 1
f : Bool → Bool → Bool
⊢ bitwise (swap f) = swap (bitwise f)
n : PosNum
⊢ ↑n = ↑n.pred' + 1
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
e : { w // w ≠ w₀ } ≃ Fin (rank K)
⊢ |(Matrix.of fun x => ↑((logEmbeddingEquiv K) (Additive.ofMul ⟦fundSystem K (e x)⟧))).det| = |(Matrix.of fun i => (logEmbedding K) (fundSystem K (e i))).det|
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
p0 : P
hp0s1 : ∃ fs, ↑fs ⊆ s1 ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 = (affineCombination k fs p) w
hp0s2 : ∃ fs, ↑fs ⊆ s2 ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 = (affineCombination k fs p) w
⊢ ∃ i, i ∈ s1 ∩ s2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
i : Fin (Composition.ones n).length
hjn : 0 < (Composition.ones n).blocksFun i
hj1 : 0 < 1
⊢ ((Composition.ones n).embedding i) ⟨0, hjn⟩ = Fin.castLE ⋯ i
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
hs : s₁ ⊆ s₂
⊢ MeasureTheory.extend m s₁ ≤ MeasureTheory.extend m s₂
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
⊢ ∀ {d : α}, d ≤ a → d ≤ min b c → d ≤ min (min a b) c
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty
⊢ StrictConvex 𝕜 s
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y✝ : E
hs : IsBounded s
ht : IsBounded t
Rs : ℝ
hRs : ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ Rs
Rt : ℝ
hRt : ∀ x ∈ t, ‖x‖ ≤ Rt
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
⊢ ‖(fun x x_1 => x * x_1) x y‖ ≤ Rs + Rt
α : Type u_1
DecidableEq α
k : ℕ
⊢ Finset.shadow^[k] ∅ = ∅
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
a b : M₀
h : Commute a b
⊢ Ring.inverse (a * b) = Ring.inverse b * Ring.inverse a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
this : Fintype α
⊢ Nat.card α ≤ 1 ↔ Subsingleton α
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, c ∂μ = ((μ (Iic b)).toReal - (μ (Iic a)).toReal) • c
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ffmE : Fact (μ E < ⊤)
hInner : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε
N : ℕ
hfngε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε / 3
n : ℕ
hn : n ≥ N
hmfngE : AEStronglyMeasurable (E.indicator (f n - g)) μ
hfngEε : eLpNorm (E.indicator (f n - g)) p μ ≤ ε / 3
hmgEc : AEStronglyMeasurable (Eᶜ.indicator g) μ
hgEcε : eLpNorm (Eᶜ.indicator g) p μ ≤ ε / 3
⊢ eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin n → M
⊢ (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f n) v
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧
⊢ ↑a ∈ MulAction.orbit (↥H) c ↔ ↑b ∈ MulAction.orbit (↥H) c
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
Archimedean α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ LinearOrderedField.inducedMap α β a
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
I : Ideal R
IsDomain R
IsIntegrallyClosed R
IsDedekindDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : Ideal.comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : IsIntegral R x
hf : Irreducible (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
⊢ Irreducible (Ideal.map (algebraMap R S) I)
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ I * span {x} ≤ J * span {x} ↔ I ≤ J
z w : ℂ
⊢ (z / w).im = z.im * w.re / normSq w - z.re * w.im / normSq w
a : NatOrdinal
⊢ a + 1 = Order.succ a
x x' y : SetTheory.PGame
ih :
  ∀ (a : Surreal.Multiplication.Args),
    Surreal.Multiplication.ArgsRel a (Surreal.Multiplication.Args.P1 x y) → Surreal.Multiplication.P124 a
h : x'.IsOption x
⊢ (x' * y).Numeric
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
a b : R
r r' s t s' t' : R
p : EuclideanDomain.P a b (r, s, t)
p' : EuclideanDomain.P a b (r', s', t')
⊢ EuclideanDomain.P a b (EuclideanDomain.xgcdAux r s t r' s' t')
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
v : M
r : R
⊢ SameRay R (r • v) (-v) ↔ r ≤ 0 ∨ v = 0
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
⊢ dual A K I ≠ 0
α : Type u_2
M : Type u_4
Preorder M
Zero M
s : Set α
f : α → M
h : ∀ a ∈ s, f a ≤ 0
a : α
⊢ s.indicator f a ≤ 0
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CategoryTheory.Functor J C)
j : J
⊢ ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.functor J C).obj S).obj j =
  S.map ((CategoryTheory.evaluation J C).obj j)
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
n : ℕ
NoZeroSMulDivisors ℕ α
hn : n ≠ 0
⊢ n • a ≡ n • b [PMOD n • p] ↔ a ≡ b [PMOD p]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
C₁ C₂ : ℝ
hg : ‖g‖ ≤ C₂
hf : ‖f‖ ≤ C₁
⊢ 0 ≤ C₂
S : Type u_5
OrderedSemiring S
R : Type u_6
Semiring R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
x : R
⊢ abv x = 0 ↔ x = 0
q : ℚ
⊢ (q * q).num = q.num * q.num
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x y : 𝕎 R
⊢ WittVector.ghostFun (x + y) = WittVector.ghostFun x + WittVector.ghostFun y
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η θ : F ⟶ G
Γ : CategoryTheory.OplaxNatTrans.Modification η θ
b c : B
a' : C
f : a' ⟶ F.obj b
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map g) (Γ.app c)))
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (θ.naturality g)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (η.naturality g))
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (Γ.app b) (G.map g)))
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
n : ℕ
⊢ ‖x‖ ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ x ∈ Ideal.span {↑p ^ n}