ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
toOneHom✝¹ : OneHom M N
map_mul'✝¹ : ∀ (x y : M), toOneHom✝¹.toFun (x * y) = toOneHom✝¹.toFun x * toOneHom✝¹.toFun y
map_units'✝¹ : ∀ (y : ↥S), IsUnit ((↑{ toOneHom := toOneHom✝¹, map_mul' := map_mul'✝¹ }).toFun ↑y)
surj'✝¹ : ∀ (z : N), ∃ x, z * (↑{ toOneHom := toOneHom✝¹, map_mul' := map_mul'✝¹ }).toFun ↑x.2 = (↑{ toOneHom := toOneHom✝¹, map_mul' := map_mul'✝¹ }).toFun x.1
exists_of_eq✝¹ : ∀ (x y : M), (↑{ toOneHom := toOneHom✝¹, map_mul' := map_mul'✝¹ }).toFun x = (↑{ toOneHom := toOneHom✝¹, map_mul' := map_mul'✝¹ }).toFun y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
toOneHom✝ : OneHom M N
map_mul'✝ : ∀ (x y : M), toOneHom✝.toFun (x * y) = toOneHom✝.toFun x * toOneHom✝.toFun y
map_units'✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit ((↑{ toOneHom := toOneHom✝, map_mul' := map_mul'✝ }).toFun ↑y)
surj'✝ : ∀ (z : N), ∃ x, z * (↑{ toOneHom := toOneHom✝, map_mul' := map_mul'✝ }).toFun ↑x.2 = (↑{ toOneHom := toOneHom✝, map_mul' := map_mul'✝ }).toFun x.1
exists_of_eq✝ : ∀ (x y : M), (↑{ toOneHom := toOneHom✝, map_mul' := map_mul'✝ }).toFun x = (↑{ toOneHom := toOneHom✝, map_mul' := map_mul'✝ }).toFun y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
h : ∀ (x : M), { toOneHom := toOneHom✝¹, map_mul' := map_mul'✝¹, map_units' := map_units'✝¹, surj' := surj'✝¹, exists_of_eq := exists_of_eq✝¹ }.toMap x = { toOneHom := toOneHom✝, map_mul' := map_mul'✝, map_units' := map_units'✝, surj' := surj'✝, exists_of_eq := exists_of_eq✝ }.toMap x
⊢ toOneHom✝¹ = toOneHom✝
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a : R
ha : 0 < a
c : R
hc : IsRegular c
⊢ 0 < star c * a * c
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
h : HolderWith C r f
hr : 0 < r
⊢ dimH (Set.range f) ≤ dimH Set.univ / ↑r
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
𝕜₄ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
AddCommGroup E
AddCommGroup F
AddCommGroup G
AddCommGroup H
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NontriviallyNormedField 𝕜₄
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ F
Module 𝕜₃ G
Module 𝕜₄ H
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalSpace G
TopologicalSpace H
TopologicalAddGroup G
TopologicalAddGroup H
ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
RingHomIsometric σ₁₂
RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
L : E →SL[σ₁₄] H
⊢ (e₁₂.arrowCongrSL e₄₃).toLinearEquiv L = (↑e₄₃).comp (L.comp ↑e₁₂.symm)
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.230696}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ f '' s
⊢ lift.{u, v} #↑t ≤ lift.{v, u} #↑{x | x ∈ s ∧ f x ∈ t}
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : L ≤ separableClosure F E
x : ↥L
⊢ IsSeparable F x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i : ι
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
K : HomologicalComplex C c
⊢ (HomologicalComplex.homologyFunctor C c i).obj K = K.homology i
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
D : LieDerivation R L L
⊢ D ∈ (ad R L).range
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ Multiset.filter p s ⊆ s
a b d : ℕ
hac : a.Coprime (d * b)
b_dvd_c : b ∣ d * b
⊢ (a * b).gcd (d * b) = b
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = π ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, y = r • x
R : Type u_1
AddCommGroupWithOne R
PartialOrder R
CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass R
NeZero 1
n : ℤ
⊢ ↑n ≤ 0 ↔ n ≤ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
hRA : Function.Injective ⇑(algebraMap R A)
⊢ integralClosure R A = ⊥ ↔ IsIntegrallyClosedIn R A
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
U : UniqueMDiffOn I s
hx : x ∈ s
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
h₁ : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f₁'
⊢ f' = f₁'
p s b : ℝ
hs : -1 < s
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b
hib : 0 < b ^ (-p⁻¹)
⊢ IntegrableOn (fun x => (b ^ (-p⁻¹)) ^ s * (x ^ s * rexp (-x ^ p))) (Ioi 0) volume
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
k : ℕ
h : ∀ a ∈ s, k ∣ count a s
⊢ ∃ u, s = k • u
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
hs : IsPreconnected s
hxs : x ∈ s
hsF : s ⊆ F
this✝ : IsPreconnected (Subtype.val ⁻¹' s)
h2xs : ⟨x, ⋯⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' s
this : Subtype.val ⁻¹' s ⊆ connectedComponent ⟨x, ⋯⟩
⊢ s ⊆ Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' s)
R : Type u_1
AddSemigroup R
a : R
b : R
ha : IsAddLeftRegular a
⊢ IsAddLeftRegular (a + b) ↔ IsAddLeftRegular b
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → Option β
g : α → β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
⊢ Primrec fun a => Option.map (g a) (f a)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
PerfectRing R p
⊢ PerfectionMap p (RingHom.id R)
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
hxq : max 0 x ^ (↑n)⁻¹ < ↑q
hqy : ↑q < y ^ (↑n)⁻¹
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
H : Computation.LiftRel R ca cb
a : α
h : a ∈ ca
⊢ ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
χ : L → R
x : L
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id)
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
⊢ mulSupport f = ∅ ↔ f = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeSup α
inst✝⁵ : OrderTop α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeSup β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s
ha : a ∈ s
⊢ s.truncatedSup a = a
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : F.FullyFaithful
s : A → CategoryTheory.Functor C C
i : (i : A) → (s i).comp F ≅ F.comp (CategoryTheory.shiftFunctor D i)
X : C
⊢ F.map ((CategoryTheory.Functor.FullyFaithful.hasShift.zero hF s i).inv.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorZero D A).inv.app (F.obj X)) ((i 0).inv.app X)
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ multiplicity a b < ⊤ ↔ multiplicity.Finite a b
R : Type u
CommRing R
A B : Type u
CommRing A
Algebra R A
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
Algebra.Smooth R A
Algebra.Smooth A B
⊢ Algebra.Smooth R B
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A / C).card * B⁻¹.card ≤ (A / B⁻¹).card * (B⁻¹ / C).card
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
pa : p a = true
x : α
xs l₂ : List α
h : a ∈ x :: xs
h' : ¬p x = true
⊢ eraseP p (xs ++ l₂) = eraseP p xs ++ l₂
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
X Y : Action V G
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y).V = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X.V Y.V
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ (R.X ⊗ R.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ R.mul ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ actLeft P Q = (R.X ⊗ R.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (α_ R.X R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ R.X ◁ actLeft P Q ≫ actLeft P Q
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
𝕜 : Type u_5
TopologicalSpace 𝕜
AddMonoid β
Monoid 𝕜
DistribMulAction 𝕜 β
ContinuousSMul 𝕜 β
hf : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
c : 𝕜
⊢ MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable (c • f) μ
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
x : X
L : Filter X
h : ¬Tendsto id L (𝓝 x)
U : Set X
U_nhd : U ∈ 𝓝 x
hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U
Uint_nhd : interior U ∈ 𝓝 x
⊢ ¬Tendsto diracProba L (𝓝 (diracProba x))
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f : X → Y
hf : IsLocalHomeomorph g
hgf : OpenEmbedding (g ∘ f)
cont : Continuous f
⊢ OpenEmbedding f
α : Type u
R : α → α → Prop
x : α
l : List α
h : List.Chain' R (x :: l)
y : α
hy : y ∈ l.head?
⊢ R x y
M✝ : Type u_1
inst✝² : Monoid M✝
s✝ : Set M✝
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t✝ : Set A
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s t : Set M
x : M
hx : x ∈ Closure (s ∪ t)
L : List M
HL1✝ : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∪ t
HL2 : L.prod = x
hd : M
tl : List M
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∪ t) → ∃ y ∈ Closure s, ∃ z ∈ Closure t, y * z = tl.prod
HL1 : ∀ x ∈ hd :: tl, x ∈ s ∪ t
y : M
hy : y ∈ Closure s
z : M
hz : z ∈ Closure t
hyzx : y * z = tl.prod
ht : hd ∈ t
⊢ y * (z * hd) = (hd :: tl).prod
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ Memℒp (fun x => c) p μ
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a : R
ha : 0 ≤ a
⊢ a ^ 2 < 1 ↔ a < 1
f : C(ℝ, ℂ)
h_norm : ∀ (K : Compacts ℝ), Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
h_sum : Summable fun n => 𝓕 ⇑f ↑n
x : ℝ
F : C(UnitAddCircle, ℂ) := { toFun := ⋯.lift, continuous_toFun := ⋯ }
this : Summable (fourierCoeff ⇑F)
⊢ ∑' (n : ℤ), f (x + ↑n) = ∑' (n : ℤ), 𝓕 ⇑f ↑n * (fourier n) ↑x
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
CompleteSpace E'
NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((MeasureTheory.condexpL2 E' 𝕜 hm) (MeasureTheory.indicatorConstLp 2 hs hμs x)) a‖₊ ∂μ ≤
  μ (s ∩ t) * ↑‖x‖₊
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
j : ι
h : ¬c.Rel (c.prev j) j
⊢ C.dTo j = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁸ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁴ : G.IsContinuous J K
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify K A
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A
⊢ toSheafify J (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F) ≫ ((G.pushforwardContinuousSheafificationCompatibility A J K).hom.app F).val = whiskerLeft G.op (toSheafify K F)
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
f0 : 2 ≤ f.support.card
⊢ f.eraseLead.natDegree < f.natDegree
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : 𝓞 K
⊢ ↑((Algebra.norm ℤ) x) = (Algebra.norm ℚ) ↑x
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.21752, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.21759, u_2} D
inst✝ : HasStrictInitialObjects C
X : C
h : IsInitial X
F' : Discrete PEmpty.{1} ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ Functor.empty C
f : c'.pt ⟶ (asEmptyCocone X).pt
hf : α ≫ (asEmptyCocone X).ι = c'.ι ≫ (Functor.const (Discrete PEmpty.{1})).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
this : F' = Functor.empty C
⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((asEmptyCocone X).ι.app j)
α : Type u_1
MulOneClass α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b : α
h : 1 < b
⊢ a < b * a
α : Type u_2
GroupWithZero α
s : Set α
⊢ s / 0 ⊆ 0
i n : Nat
c : Char
⊢ i ≠ n + c.utf8Size + i
ι : Type u_1
α : Type u_2
Bornology α
s : Finset ι
f : ι → Set α
⊢ Bornology.IsBounded (⋃ i ∈ s, f i) ↔ ∀ i ∈ s, Bornology.IsBounded (f i)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Nontrivial S
pb : PowerBasis R S
y : S
⊢ y ∈ Submodule.span R (Set.range fun i => pb.gen ^ ↑i)
A : Type u_3
Ring A
PartialOrder A
Algebra ℝ A
NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
x : ℝ≥0
ha : 0 ≤ a := by cfc_tac
⊢ ↑x ∈ spectrum ℝ a ↔ x ∈ spectrum ℝ≥0 a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : W₁.MapFactorizationData W₂ f
⊢ W₂ self.p
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : 𝒰.J
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.openCoverOfRight 𝒰 f g).obj i = CategoryTheory.Limits.pullback f (𝒰.map i ≫ g)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
A : Set Ω
⊢ ↑(μ.restrict A) = (↑μ).restrict A
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : NormOneClass A
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace Ω
m1 _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
SemilatticeInf ι
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
h_indep : ∀ (i : ι), ProbabilityTheory.Indep (m i) m1 μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ _mΩ
h_le' : m1 ≤ _mΩ
hm : Antitone m
⊢ ProbabilityTheory.Indep (⨆ i, m i) m1 μ
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ i ≤ ↑n
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : StarRing B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : StarRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : StarModule R C
S : StarSubalgebra R A
s : Set A
z : A
⊢ (∀ g ∈ s ∪ star s, g * z = z * g) ↔ ∀ g ∈ s, g * z = z * g ∧ star g * z = z * star g
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
⊢ preNormEDS b c d 1 = 1
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
c : ClosureOperator α
⊢ c.IsClosed ⊤
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring Rᵐᵒᵖ
⊢ S.unop.toSubmonoid = S.unop
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
S : Set (Set α)
hc : S.Countable
hμ✝ : ∀ s ∈ S, μ s < ⊤
hU : ⋃₀ S = univ
s : ℕ → Set α
hμ : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤
hs : ⋃ n, s n = univ
⊢ SigmaFinite μ
A : Type u_1
ι : Type u_2
Ring A
B : ι → AddSubgroup A
self : RingSubgroupsBasis B
i j : ι
⊢ ∃ k, B k ≤ B i ⊓ B j
α : Type u_2
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
a b c : α
⊢ Finset.image (fun x => c + x) (Finset.Ioo a b) = Finset.Ioo (c + a) (c + b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.Fork.ι (CategoryTheory.Limits.biprod.sndKernelFork X Y) = CategoryTheory.Limits.biprod.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
DecidableEq β
DecidableEq γ
f : α → β
s : Finset α
t : β → Finset γ
⊢ (Finset.image f s).biUnion t = s.biUnion fun a => t (f a)
F : Type u_1
Field F
n : ℕ
a : F
h : Polynomial.Splits (RingHom.id F) (Polynomial.X ^ n - 1)
⊢ IsSolvable (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a).Gal
m n : ℕ
a b : ℤ
c : ℕ
⊢ ↑a = ↑b ↔ ↑c ∣ b - a
n m : Nat
h : n ≤ m
⊢ ofNat n ≤ ofNat m
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto (fun i => (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize)
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
h_mass : ¬μ.mass = 0
⊢ Tendsto (fun i => (μs i).mass * (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.mass * μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CharZero 𝕜
x : ↑(Metric.sphere 0 1)
⊢ x ≠ -x
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G✝ : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G✝
F G : W.Localization ⥤ D
τ₁ τ₂ : F ⟶ G
h : 𝟙 W.Q ◫ τ₁ = 𝟙 W.Q ◫ τ₂
X : W.Localization
eq : W.Q.obj X.as.obj = X
⊢ τ₁.app X = τ₂.app X
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
r C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0, x ∈ Ioi 0 → ‖((fun x => P.g x - P.g₀) ∘ fun x => x⁻¹) x‖ ≤ C * ‖((fun x => x ^ (-(r + P.k))) ∘ fun x => x⁻¹) x‖
x : ℝ
hx : 0 < x
h_nv2 : ↑(x ^ P.k) ≠ 0
h_nv : P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k) ≠ 0
hC' : ‖((fun x => P.g x - P.g₀) ∘ fun x => x⁻¹) x‖ ≤ C * ‖((fun x => x ^ (-(r + P.k))) ∘ fun x => x⁻¹) x‖
⊢ ‖P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀‖ ≤ ‖P.ε‖ * C * ‖x ^ r‖
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsClosed (range f)
K : Set Y
hK : IsCompact (K ∩ range f)
⊢ IsCompact (f ⁻¹' K)
α : Type u
SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ a ⊔ (b ⊔ c) = b ⊔ (a ⊔ c)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
i : σ
x : MvPolynomial σ R
⊢ (mvPolynomialBasis R σ).repr ((mvPolynomialBasis R σ).repr.symm (Finsupp.single i x)) = (mvPolynomialBasis R σ).repr (x • (D R (MvPolynomial σ R)) (MvPolynomial.X i))
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
r s t w : NumberField.RingOfIntegers K
hr : ¬hζ.toInteger - 1 ∣ r
hs : ¬hζ.toInteger - 1 ∣ s
Hp : ∀ {p : NumberField.RingOfIntegers K}, Prime p → p ∣ t → p ∣ w → Associated p (hζ.toInteger - 1)
H₁ : ∀ {q : NumberField.RingOfIntegers K}, q ∣ r → q ∣ t
H₂ : ∀ {q : NumberField.RingOfIntegers K}, q ∣ s → q ∣ w
⊢ IsCoprime r s
K : Type u
Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
⊢ AdjoinRoot.root (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a) ≠ 0 ↔ a ≠ 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : μ.IsEverywherePos s
h : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
⊢ ν.IsEverywherePos s
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Bool} {a : α} (l : List α), p a = true → List.find? p (a :: l) = some a
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
x : ℝ
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun a => ↑(ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f hf a) x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
e : 𝕜 →ₗ[𝕜] F
⊢ HasStrictDerivAt (⇑e) (e 1) x
R : Type u
Ring R
S : Type v
Semiring S
f g : R →+* S
h : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑⊤
⊢ f = g
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
ham : bit a m ≠ 0
hbn : bit b n ≠ 0
⊢ (if f a b = true then bitwise f m n + bitwise f m n + 1 else bitwise f m n + bitwise f m n) = bit (f a b) (bitwise f m n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b₁✝ b₁ : α
h : (fun b => s(a, b)) b₁✝ = (fun b => s(a, b)) b₁
⊢ b₁✝ = b₁
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Group G
LieGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
n : ℕ∞
f : M → G
s : Set M
x₀ : M
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => (f x)⁻¹) s x₀
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
s : Set (Submodule R M)
p : Submodule R M := { toAddSubmonoid := sSup (toAddSubmonoid '' s), smul_mem' := ⋯ }
⊢ (sSup s).toAddSubmonoid = sSup (toAddSubmonoid '' s)
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
⊢ ∀ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a
H : SimpleGraph β
f : G →g H
hf : Bijective ⇑f
hp : p.IsHamiltonianCycle
⊢ ∀ (x : α), (List.count x p.support - if f x = (List.map (⇑f) p.support).head ⋯ then 1 else 0) = 1
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
P : Type u_4
AddCommMonoid P
Module R P
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g : M [⋀^ι]→ₗ[R] P
⊢ ↑(f.prod g) = (↑f).prod ↑g
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroup α
a b : α
⊢ min a⁻¹ b⁻¹ = (max a b)⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f g : CategoryTheory.Aut X
⊢ α.conjAut (f ≪≫ g) = α.conjAut f ≪≫ α.conjAut g
R : Type u
CommSemiring R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus ∅ = Set.univ
ι : Type u_1
Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x : ι → ℝ
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → ∃ y, Metric.closedBall y (δ / 4) ⊆ Metric.closedBall x δ ∧ Metric.closedBall y (δ / 4) ⊆ interior sᶜ
⊢ ¬Filter.Tendsto
    (fun r => MeasureTheory.volume (closure s ∩ Metric.closedBall x r) / MeasureTheory.volume (Metric.closedBall x r))
    (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
Module.Free ℤ R
Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ FractionalIdeal.absNorm 1 = 1
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
⊢ LinearMap.range ↑b.repr = Finsupp.supported R R Set.univ
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
this : PolishSpace ↑s
⊢ AnalyticSet s