ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
γ : Type w
AddZeroClass γ
f g : (Π₀ (i : ι), β i) →+ γ
H : ∀ (x : ι), f.comp (DFinsupp.singleAddHom β x) = g.comp (DFinsupp.singleAddHom β x)
⊢ f = g
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : Profinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget Profinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
⊢ (↑(a z)).1 = (↑(b z)).1
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' : Cycle α
s : List α
h : Subsingleton (Quot.mk Setoid.r s)
⊢ formPerm (Quot.mk Setoid.r s) ⋯ = 1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
⊢ ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ Ioc a b = ∅ ↔ ¬a < b
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : ℕ → Opens G
h3 : ∀ (t : Finset ℕ) (K : ℕ → Compacts G), (fun s => ↑(μ.toFun s)) (t.sup K) ≤ ∑ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K i)
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)
t : Finset ℕ
ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)
K' : ℕ → Set G
h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)
h2K' : ∀ (i : ℕ), K' i ⊆ (SetLike.coe ∘ U) i
h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i
L : ℕ → Compacts G := fun n => { carrier := K' n, isCompact' := ⋯ }
⊢ ∑ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (L i) ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent (U i)
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
r : R
x✝ : (expand R 1) (C r * X ^ n) = C r * X ^ n
⊢ (expand R 1) (C r * X ^ (n + 1)) = C r * X ^ (n + 1)
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : a * ↑u = 1
⊢ ↑u⁻¹ = 1 * ↑u⁻¹
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
⊢ Nat.card α = Nat.card (α ⧸ s) * Nat.card ↥s
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ l.rotate (l.length * n) = l
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
⊢ S ⊆ ↑(IntermediateField.adjoin F S)
α : Type u_1
inst1 inst2 : BEq α
h : ∀ (x y : α), (x == y) = (x == y)
⊢ inst1 = inst2
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
pb : PowerBasis R S
y : S
⊢ ∃ f, y = (Polynomial.aeval pb.gen) f
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
d₁0 : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
d₂0 : d₂ ≠ 0
c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
d₁a : ↑d₁ ≠ 0
d₂a : ↑d₂ ≠ 0
h : ↑n₁ / ↑d₁ = ↑n₂ / ↑d₂
⊢ mkRat n₁ d₁ = mkRat n₂ d₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ q✝ : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p✝
inst✝² : DecidablePred q✝
s✝ t✝ s t : Finset α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∀ (i : α), _root_.Disjoint (p i) (q i)
a : α
left✝¹ : a ∈ s
hp : p a
left✝ : a ∈ t
hq : q a
⊢ False
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S'✝ : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
S' : Solution hζ
hS' : S'.multiplicity = S.Solution'_descent.multiplicity
⊢ ∃ S₁, S₁.multiplicity < S.multiplicity
p q : NNReal
h : 1 < p
⊢ p.IsConjExponent q ↔ q = p / (p - 1)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
x : S
y : P.Ring
⊢ (algebraMap S S') x ⊗ₜ[P'.Ring] (D R' P'.Ring) ((algebraMap P.Ring P'.Ring) y) = (algebraMap S S') x ⊗ₜ[P'.Ring] (D R' P'.Ring) (f.toAlgHom y)
α : Type u_1
s t : List α
⊢ s ≠ [] → s ++ t ≠ []
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
⊢ HasProd (fun x => 1) 1
α : Type u_1
f : α → Char → α
init : α
s : Substring
⊢ s.Valid → Substring.foldl f init s = List.foldl f init s.toString.data
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
NoZeroDivisors R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0
⊢ (W.ΨSq n).natDegree = n.natAbs ^ 2 - 1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
⊢ card σ.cycleType = 0 ↔ σ = 1
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ (C (W.preΨ' (2 * (m + 3))) * if Even (2 * (m + 3)) then W.ψ₂ else 1) * W.ψ₂ = (C (W.preΨ' (m + 2)) * if Even (m + 2) then W.ψ₂ else 1) ^ 2 * (C (W.preΨ' (m + 3)) * if Even (m + 3) then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 5)) * if Even (m + 5) then W.ψ₂ else 1) - (C (W.preΨ' (m + 1)) * if Even (m + 1) then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 3)) * if Even (m + 3) then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 4)) * if Even (m + 4) then W.ψ₂ else 1) ^ 2
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : F
t : R
⊢ Continuous ⇑(homothety x t)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
N : ℕ
hK : |NumberField.discr K| ≤ ↑N
⊢ FiniteDimensional.finrank ℚ K ≤ NumberField.hermiteTheorem.rankOfDiscrBdd N
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : Filter α
s : Set α
⊢ (∀ U ∈ f, (U ∩ sᶜ).Nonempty) ↔ s ∉ f
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ (QuotientAddGroup.equivIocMod hp a) 0 = ⟨toIocMod hp a 0, ⋯⟩
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Multiset ι
f g : ι → α
l : List ι
hle : ∀ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, f i ≤ g i
hlt : ∃ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, f i < g i
⊢ (List.map f l).prod < (List.map g l).prod
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
ε δ : ℝ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
x : α
⊢ (∃ z, (∃ z_1 ∈ s, edist z z_1 < ENNReal.ofReal δ) ∧ edist x z < ENNReal.ofReal ε) → ∃ z ∈ s, edist x z < ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g✝ : α → F β
h : β → G γ
f✝ : β → γ
x✝ : t β
f : β → F γ
g : α → β
x : t α
⊢ traverse f (traverse (pure ∘ g) x) = traverse (f ∘ g) x
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
t : Set E
hst : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p t
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : Metric.ball x ε ∩ insert x s ⊆ t
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
K : Type u_3
L : Type u_4
Field K
Field L
Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
Algebra.IsAlgebraic K ↥E2
⊢ (E1 ⊔ E2).toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.StructuredArrow S T
h : f.IsUniversal
c : C
η η' : f.right ⟶ c
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom (T.map η) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom (T.map η')
⊢ η = η'
α : Type u_1
G : Type u_6
Group G
s : Set α
f : α → G
⊢ sᶜ.mulIndicator f = f * (s.mulIndicator f)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
⊢ SuperpolynomialDecay l k f ↔ ∀ (z : ℕ), IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun a => |k a ^ z * f a|
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddMonoid α
InvolutiveNeg β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℕ
⊢ Function.Antiperiodic f ((2 * n + 1) • c)
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
⊢ -b ≡ -a [PMOD p] ↔ a ≡ b [PMOD p]
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
⊢ (List.pmap f l H).length = l.length
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝ : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat db) ≤ num✝.mul (Int.ofNat da)) = true
h : ↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) ≤ ↑(num✝.mul (Int.ofNat da))
ha : 0 ≤ ⅟↑da
⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da ≤ ↑num✝ * ⅟↑db
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq V
A : Matrix V V α
inst✝¹ : MulZeroOneClass α
inst✝ : Nontrivial α
h : A.IsAdjMatrix
v w : V
⊢ ⋯.toGraph.Adj v w ↔ h.toGraphᶜ.Adj v w
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (Set.Ico a b)
n : ℕ
h_nonneg : 0 ≤ (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2
⊢ Real.log (stirlingSeq (n + 1)) - Real.log (stirlingSeq (n + 2)) ≤ (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2 / (1 - (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2)
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
A : Fin n → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
C : Type u_3
D : Type ?u.25151
inst✝¹ : Category.{u_2, u_3} C
inst✝ : Category.{?u.25159, ?u.25151} D
X : C
S T : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ R, IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f
hS : IsSeparatedFor P S ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C
i : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → Z ⟶ W a
e : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → W a ⟶ X
h1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), T (e a)
h2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), i a ≫ e a = g
x : FamilyOfElements P T
hx : x.Compatible
y : FamilyOfElements P S := fun Y g hg => P.map (i hg).op (x (e hg) ⋯)
hy : y.Compatible
left✝ : IsSeparatedFor P S
h2' : ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
z : P.obj (Opposite.op X)
hz : y.IsAmalgamation z
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : T g
R : Presieve Y
hR1 : IsSeparatedFor P R
WW : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → R g → C
ii : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (a : R g) → Z ⟶ WW a
ee : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (a : R g) → WW a ⟶ X
hh1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (a : R g), S (ee a)
hh2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g_1 : Z ⟶ Y⦄ (a : R g_1), ii a ≫ ee a = g_1 ≫ g
Q : C
t : Q ⟶ Y
ht : R t
⊢ (ii ht ≫ i ⋯) ≫ e ⋯ = t ≫ g
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / ((-o).oangle x (x - y)).sin = ‖x - y‖
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜.Shatters s
t : Finset α
⊢ t ∈ image (fun t => s ∩ t) 𝒜 ↔ t ∈ s.powerset
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C n
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), F.obj i = G.obj i
w :
  ∀ (i : ℕ) (hi : i < n),
    F.map' i (i + 1) ⋯ hi =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map' i (i + 1) ⋯ hi) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
⊢ F = G
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ ⇑(addRightEmbedding c) '' Set.Icc a b = Set.Icc (a + c) (b + c)
p q : ℚ
hp : 0 ≤ p
⊢ (p * q).toNNRat = p.toNNRat * q.toNNRat
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ G.Reachable v w → G.connectedComponentMk v = G.connectedComponentMk w
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
s₁ s₂ : Submonoid M
t₁ t₂ : Submonoid N
hs : s₁ ≤ s₂
ht : t₁ ≤ t₂
⊢ s₁.prod t₁ ≤ s₂.prod t₂
n : ℤ
⊢ Real.cos (↑n * (2 * Real.pi) + Real.pi) = -1
x i : Nat
⊢ x.testBit i.succ = (x / 2).testBit i
x y : ℂ
⊢ cosh (2 * x) = cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2
𝕜 : Type u_1
Field 𝕜
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module 𝕜 M
f : Module.End 𝕜 M
⊢ Ideal.span {minpoly 𝕜 f} = Module.annihilator 𝕜[X] (Module.AEval' f)
α : Type u_2
Mul α
a : αᵐᵒᵖ
⊢ IsSquare (MulOpposite.unop a) ↔ IsSquare a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
x✝ : s.Nodup ∧ t.Nodup
h₁ : s.Nodup
h₂ : t.Nodup
a : α
⊢ count a (s ∪ t) ≤ 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ Ico a b ⊆ Icc a b
R' : Type u_6
CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰
⊢ r * x = r * y ↔ x = y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
β : Type u_3
m : β → (i : ι) → α i
l : Filter β
⊢ Tendsto m l (pi f) ↔ ∀ (i : ι), Tendsto (fun x => m x i) l (f i)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
a b : α
⊢ Ordinal.typein r a < Ordinal.typein r b ↔ r a b
ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : UniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1
⊢ Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F))
I : Type u_4
AddMonoid I
c : ComplexShape I
c.TensorSigns
p q : I
⊢ c.ε (p + q) = c.ε p * c.ε q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
⊢ m0 ≤ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
inst✝ : NoAtoms μ
⊢ μ {a} ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
MulOneClass α
MulOneClass β
f : α →* β
s : SetSemiring α
⊢ SetSemiring.down ((SetSemiring.imageHom f) s) = ⇑f '' SetSemiring.down s
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
f : ℤ → M
hf₁ : Summable fun n => f (↑n + 1)
hf₂ : Summable fun n => f (-(↑n + 1))
⊢ Summable f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
OrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : v + ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hv : 0 ≤ v
hq : q ∈ s
⊢ v • f q + ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ≤ f (v • q + ∑ i ∈ t, w i • p i)
G : Type v
X : Type w
PseudoMetricSpace X
AddGroup G
AddAction G X
IsometricVAdd G X
c : G
x : X
r : ℝ
⊢ c +ᵥ Metric.sphere x r = Metric.sphere (c +ᵥ x) r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set (M × M')
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
hs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s p.proj
⊢ tangentMapWithin (I.prod I') I' Prod.snd s p = { proj := p.proj.2, snd := p.snd.2 }
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l (m₁ ++ c :: m₂) r s →
  s.prev { byteIdx := String.utf8Len m₁ + c.utf8Size } = { byteIdx := String.utf8Len m₁ }
x p : ℝ
n : ℕ∞
h : x ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => x ^ p) x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n M N : ℕ
⊢ rothNumberNat (M + N) ≤ rothNumberNat M + rothNumberNat N
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n✝ : ℕ
a : M
m n : ℕ
⊢ a ^ (m + (n + 1)) = a ^ m * a ^ (n + 1)
n : ℕ+
a : ℕ
h : a ∣ ↑n
⊢ a ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : CategoryTheory.Adjunction.CoreHomEquiv F G
Y : D
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.mkOfHomEquiv adj).counit.app Y =
  (adj.homEquiv (G.obj Y) ((CategoryTheory.Functor.id D).obj Y)).invFun (CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.obj Y))
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)
x✝ : Con M
⊢ x✝ ∈ upperBounds S ↔ x✝ ∈ {s | ∀ (x y : M), (∃ c ∈ S, c x y) → s x y}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C n
X : C
f : X ⟶ F.left
⊢ ∀ (a : Fin (n + 1 + 1)), (F.precomp f).obj a = CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.obj F X a
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
⊢ (of R 𝒜 ℬ).symm.symm ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm (((gradedMul R (fun x => ↥(𝒜 x)) fun x => ↥(ℬ x)) ((decompose 𝒜) a₁ ⊗ₜ[R] (DirectSum.of (fun i => ↥(ℬ i)) j₁) b₁)) ((DirectSum.of (fun i => ↥(𝒜 i)) i₂) a₂ ⊗ₜ[R] (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩
h5 : g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ = ⟨finRotate 5, ⋯⟩
⊢ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩} = ⊤
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u✝ v✝ w : V
hconn : G.Connected
u v : V
⊢ ∃ p, p.IsPath ∧ p.length = G.dist u v
α : Type u_1
l : List α
⊢ Multiset.powersetAux l = List.map Multiset.ofList l.sublists
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
G H : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct G H
hH : CategoryTheory.IsSeparator H
⊢ CategoryTheory.IsSeparator (G ⨿ H)
α : Type u_1
CompleteLattice α
carrier : Set α
sSupClosed' : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ⊆ carrier → sSup s ∈ carrier
sInfClosed' : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ⊆ carrier → sInf s ∈ carrier
⊢ (CompleteSublattice.mk' carrier sSupClosed' sInfClosed').carrier = carrier
α : Type u_1
β : Type u_2
Monoid α
Monoid β
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
c d : β
⊢ multiplicity a b ≤ multiplicity c d ↔ ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
j : ι
⊢ Function.update x j (y j) j = if j = j then y j else x j
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
LE α
LE β
LE γ
e : α ≃o β
e' : β ≃o γ
x : α
⊢ (e.trans e') x = e' (e x)
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
h : a ≤ b
⊢ a + (b - a) ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s : Set α
Fintype ↑s
Fintype ↑(f '' s)
⊢ (f '' s).toFinset = Finset.image f s.toFinset
R : Type u_1
CommSemiring R
x y : R
p : R[X][Y]
⊢ Polynomial.eval y (Polynomial.map (Polynomial.evalRingHom x) p) = Polynomial.evalEval x y p
m n✝ n : ℕ
a : ZMod (n + 1)
⊢ a.val = 0 ↔ a = 0
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
this : ∃ l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1, (Finsupp.total P P R id) l = f x
⊢ x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ LinearMap.IsSymm (LinearMap.dualProd R M)
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)
i : ι
⊢ P (f ∣_ Scheme.Hom.opensRange (U i).ι)
α : Sort u_1
inst✝ : IsEmpty α
f : α → ℝ
⊢ sSup (Set.range fun i => f i) = 0
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
DenselyOrdered α
a b : α
h : ∀ (ε : α), ε < 1 → a * ε ≤ b
⊢ a ≤ b
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
s : Set Ω
⊢ μ.toFiniteMeasure s = μ s
ι : Type u_1
I J : Box ι
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
hJ : J ∈ π
J' : Box ι
hJ' : J' ∈ πi J
⊢ (π.biUnionTagged πi).tag J' = (πi J).tag J'
o : Ordinal.{u_4}
⊢ ¬(Order.succ o).IsLimit
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m : ℕ
⊢ ∀ {n : ℕ}, IsPrimitiveRoot μ n → m.Coprime n → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ m)
G : Type u_1
SubNegMonoid G
a : G
n : ℕ
⊢ ↑n • a = n • a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
f : α → γ
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ LowerSemicontinuousWithinAt f s x ∧ UpperSemicontinuousWithinAt f s x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
hs : s.Nonempty
sc : IsClosed s
⊢ a ∈ s
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
_i : Fact (1 ≤ p)
⊢ UniformContinuous Subtype.val
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f✝ : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y✝ z✝ : E
f : 𝕜 → β
x y z : 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 [x-[𝕜]y] f
hz : z ∈ [x-[𝕜]y]
⊢ f z ≤ max (f x) (f y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hf : MonotoneOn f s
hs : Convex 𝕜 s
⊢ QuasiconvexOn 𝕜 s f
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n.succ)
hb : 1 ≤ ↑b
⊢ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
⊢ (engel K x).IsCartanSubalgebra
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
⊢ AddGroup.closure s = AddMonoid.Closure (s ∪ Neg.neg ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β
⊢ x.getRight? = none ↔ x.isLeft = true
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
R : Type u_2
CommSemiring R
A : Type u_3
B : Type u_4
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ ↑f = NonUnitalAlgHomClass.toNonUnitalAlgHom f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 N f
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => (f y) c) x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 n f x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Perm α
f : α ↪ β
b : β
h : b ∉ Set.range ⇑f
⊢ (e.viaFintypeEmbedding f) b = b