ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
p' : Filter α
p'' : Filter ι
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hp : p'' ≤ p
⊢ TendstoUniformlyOnFilter F f p'' p'
x y : ℝ
h : x ^ 2 < y
⊢ x < √y
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero (Ideal.ramificationIdx f p P)
IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < Ideal.ramificationIdx f p P
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
⊢ Function.Surjective ⇑(Ideal.quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ M.Basis I X ↔ I ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I ∧ I ⊆ X}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Filter α
m : γ → β
n : β → α
⊢ Filter.comap m (Filter.comap n f) = Filter.comap (n ∘ m) f
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
ι : Type u_2
s : Finset ι
f : ι → α
hs : s.Nonempty
t : SignType
h : ∀ i ∈ s, SignType.sign (f i) = t
⊢ SignType.sign (∑ i ∈ s, f i) = t
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y
i j : ι
hne : i ≠ j
x : ↥(H i)
y : ↥(H j)
⊢ Commute ((H i).subtype x) ((H j).subtype y)
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
IsScalarTower R A P
f : TensorProduct R M N →ₗ[A] P
⊢ ↑R (TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry f) = TensorProduct.curry (↑R f)
α : Type u
f : Filter α
p : Prop
q : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in f, p ∨ q x) ↔ p ∨ ∀ᶠ (x : α) in f, q x
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidableEq α
t : Multiset α
⊢ ∀ (s : Multiset α), filter p (s - t) = filter p s - filter p t
α : Type u_1
as : List (Option α)
as' : List α
⊢ as.fillNones as' = as.fillNonesTR as'
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : Monic 0
this : Subsingleton R
⊢ p /ₘ 0 = 0
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ x = (o.rotation θ) x ↔ θ = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SSameSide x y
ho : s.WOppSide x y
hxy : x ∈ s ∨ y ∈ s
⊢ False
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
f : E → F
C : ℝ≥0
⊢ LipschitzWith C f ↔ ∀ (x y : E), ‖f x - f y‖ ≤ ↑C * ‖x - y‖
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
a : G
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ a ∈ MulAction.stabilizer G s ↔ a • s ⊆ s
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
M : Matrix m n α
f : α → β
i : m
j : n
⊢ M.map f i j = f (M i j)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n✝
inst✝ : Fintype n✝
n : ℕ
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree = ↑i
h_monic : ∀ (i : Fin n), (p i).Monic
⊢ ∏ i : Fin n, of (fun i j => (p j).coeff ↑i) i i = 1
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
CommRing R
CommRing S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K : Ideal S
⊢ Ideal.comap f K.radical = (Ideal.comap f K).radical
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommGroup β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s (f - g)
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ J ∈ BoxIntegral.Prepartition.split I i x ↔ ↑J = ↑I ∩ {y | y i ≤ x} ∨ ↑J = ↑I ∩ {y | x < y i}
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D).toBlocks₁₂ = B
α : Type u_1
xs ys : List α
h : xs.Perm ys
⊢ xs.sym2.Perm ys.sym2
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
h : Function.Injective fun n => n • x
⊢ ¬IsOfFinAddOrder x
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
G : Comonad C
X : G.Coalgebra
Y : C
f : G.forget.obj X ⟶ Y
⊢ (X.a ≫ G.map f) ≫ G.ε.app Y = f
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g)ᘁ = (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ Y Yᘁ ≫ Zᘁ ◁ (g ⊗ fᘁ) ≫ (α_ Zᘁ Z Xᘁ).inv ≫ ε_ Z Zᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom
x : ℝ
h : |x| < 1
⊢ HasSum (fun n => x ^ (n + 1) / (↑n + 1)) (-Real.log (1 - x))
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
⊢ (a == b) = decide (a = b)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖
⊢ Integrable (fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * ⨆ i, ‖g i‖) μ
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : IsClosed s
hs : s.Nonempty
⊢ x ∉ s ↔ 0 < infDist x s
x✝ : ZFSet
s : Set ZFSet
hs : Small.{u, u + 1} ↑s
x : ZFSet
⊢ x ∈ (mk (PSet.mk (Shrink.{u, u + 1} ↑s) fun x => Quotient.out ↑((equivShrink ↑s).symm x))).toSet ↔ x ∈ s
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ {a}.dedup = {a}
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
⊢ 0 < ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
⊢ IsBigOWith (‖c‖ / ‖c'‖) l (fun _x => c) fun _x => c'
R : Type u_4
S : Type u_5
CommRing R
LocalRing R
Field S
f : R →+* S
IsLocalRingHom f
x : R
⊢ (LocalRing.ResidueField.lift f) ((LocalRing.residue R) x) = f x
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hseq : seminormFromConst_seq c f c = fun _n => f c
⊢ Tendsto (seminormFromConst_seq c f c) atTop (𝓝 (f c))
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring S
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
Algebra S R
DistribMulAction S A
IsScalarTower S R A
⊢ ⇑(algebraMap S (Unitization R A)) = Unitization.inl ∘ ⇑(algebraMap S R)
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α →ᵇ E
g_mem : Memℒp (⇑g) (↑p.toNNReal) μ
hg : eLpNorm (f - ⇑g) (ENNReal.ofReal p) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p))
⊢ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
inst✝² : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction₂ X Y
F : C ⥤ D
hF : W.IsInvertedBy F
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : F.Additive
this : IsIso (F.map φ.s)
⊢ φ.add.map F hF = φ.fst.map F hF + φ.snd.map F hF
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
this✝ : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable ↑b
A : Type u_3 := { p // Disjoint ↑p.1 ↑p.2 }
q : A → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' ↑(↑p).1 ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' ↑(↑p).2) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : ↑b → Set β := fun s => closure (f '' ↑s) ∩ ⋂ t, ⋂ (ht : Disjoint ↑s ↑t), q ⟨(s, t), ht⟩ \ q ⟨(t, s), ⋯⟩
⊢ MeasurableSet (range f)
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Submodule R M
⊢ s.FG ↔ CompleteLattice.IsCompactElement s
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
p : α → Prop
hp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)
hs : ∀ b ∈ s, p (f b)
⊢ p (s.sup' H f)
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
this : φ ((f * g).toNNReal + (-f).toNNReal * g.toNNReal + f.toNNReal * (-g).toNNReal) = φ ((-(f * g)).toNNReal + f.toNNReal * g.toNNReal + (-f).toNNReal * (-g).toNNReal)
⊢ { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯ }.toFun g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
inst✝ : Nonempty ι
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
t : Set α
⊢ (∃ i, t ∈ l i) ↔ ∃ a b, p (a, b).1 (a, b).2 ∧ s (a, b).1 (a, b).2 ⊆ t
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁷ : EMetricSpace X
inst✝⁶ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ≥0
hd : ↑(finrank ℝ E) < ↑d
⊢ μH[↑d] = 0
α : Type u_1
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : Nontrivial ↑s
⊢ Nontrivial ↑t
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
⊢ ∃ p1 ∈ A✝ ×ˢ B✝, ∃ p2 ∈ A✝ ×ˢ B✝, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p2.1 p2.2
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F G : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J (Type u)
α : F ⟶ G
j : J
x : F.obj j
⊢ CategoryTheory.Limits.colim.map α (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j x) =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι G j (α.app j x)
n✝ b n m r : ℕ
l : List ℕ
e : r + b * m = n
hr : r < b
h : b.digits m = l
b2 : 1 < b
m0 : 0 < m
b0 : 0 < b
n0 : 0 < n
⊢ b.digits n = r :: l
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
p : 𝕜[X]
⊢ fderiv 𝕜 (fun x => Polynomial.eval x p) x =
  ContinuousLinearMap.smulRight 1 (Polynomial.eval x (Polynomial.derivative p))
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
P : K[X]
k : ℕ
sep : P.Separable
nil : minpoly K f ∣ P ^ k
ff : ↥(adjoin K {f}) := ⟨f, ⋯⟩
P' : K[X] := derivative P
nil' : IsNilpotent ((aeval ff) P)
sep' : IsUnit ((aeval ff) P')
⊢ ∃ n ∈ adjoin K {f}, ∃ s ∈ adjoin K {f}, IsNilpotent n ∧ s.IsSemisimple ∧ f = n + s
M : Type u_1
AddZeroClass M
S T : AddSubmonoid M
x y : M
hx : x ∈ S
hy : y ∈ T
⊢ x + y ∈ S ⊔ T
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j
⊢ (C.xPrevIso r).inv ≫ C.dTo j = C.d i j
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
⊢ c • MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy m = MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy (c • m)
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ (f' '' s).OrdConnected
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
TopologicalSpace 𝕜
CommSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
l : Filter α
f : α → WeakBilin B
x : WeakBilin B
hB : Function.Injective ⇑B
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 x) ↔ ∀ (y : F), Filter.Tendsto (fun i => (B (f i)) y) l (𝓝 ((B x) y))
α : Type u_2
DecidableEq α
SubtractionMonoid α
s : Finset α
⊢ IsAddUnit ↑s ↔ IsAddUnit s
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
hσ : σ.IsCycle
⊢ σ.cycleType = ↑[σ.support.card]
M : Type u_2
MeasurableSpace M
Add M
self : MeasurableAdd M
c : M
⊢ Measurable fun x => x + c
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : J → C
G : C ⥤ D
G.PreservesZeroMorphisms
A : CategoryTheory.Limits.Bicone F
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Bicones.functoriality F G).obj A).ι j = G.map (A.ι j)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t✝ : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Infinite α
t : Set β
f : α → β
hf : MapsTo f univ t
ht : t.Finite
⊢ ∃ a b, a < b ∧ f a = f b
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
c : M₁
⊢ (e₁₂.trans e₂₃) c = e₂₃ (e₁₂ c)
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit
S : Set α
H : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b
Se : #↑S = (type r).cof
i : ↑S
⊢ (fun a => #{ x // r x ↑a }) i < (fun x => #α) i
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
self : HahnSeries Γ R
⊢ (Function.support self.coeff).IsPWO
a b c : Int
h : a < b + c
⊢ a - c < b
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
AddMonoid α
StarAddMonoid α
M : Matrix n n α
v : n → α
⊢ Mᴴ = Matrix.diagonal v ↔ M = Matrix.diagonal (star v)
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
⊢ (q * r).num * ↑q.den * ↑r.den = q.num * r.num * ↑(q * r).den
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
hp : p.natDegree ≤ n
hq : q.natDegree ≤ n
⊢ (p + q).natDegree ≤ n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
f : α ≃o β
x y : α
⊢ f (x ⊓ y) = f x ⊓ f y
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
⊢ x ∈ closure (Set.range Nat.cast)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' (-φ) h₁ h₂ = -CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ h₁ h₂
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x ≠ 0
⊢ b ^ logb b x ∈ Ioi 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Finite
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
⊢ MeasurableSet (⋃ b ∈ s, f b)
K : Type u
V : Type v
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Ring E
inst✝ : Algebra F E
hr : finrank F E = 2
i : Nontrivial E := nontrivial_of_finrank_pos (LT.lt.trans_eq zero_lt_two (Eq.symm hr))
S : Subalgebra F E
this✝² : FiniteDimensional F E
this✝¹ : FiniteDimensional F ↥S
this✝ : finrank F ↥S ≤ 2
this : 0 < finrank F ↥S
⊢ S = ⊥ ∨ S = ⊤
R : Type u
S : Type v
T✝ : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : S
inst✝ : Semiring T✝
p : T✝[X]
g : ℕ → T✝ → R[X]
x : S
T : R[X] →+ S := { toFun := eval₂ f x, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
⊢ eval₂ f x (p.sum g) = p.sum fun n a => eval₂ f x (g n a)
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → LE (π i)
x y : (i : ι) → π i
⊢ x ≤ y ↔ ∀ (i : ι), x i ≤ y i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
x : M
hs : s ⊆ f.source
hx : x ∈ f.source
⊢ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I =ᶠ[𝓝 (↑(f.extend I) x)] ↑(f.extend I) '' s
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ (p * q).trailingDegree ≤ ↑(p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree)
α : Type u_1
ι : Type u_5
π : α → Type u_6
(x : α) → AddCommMonoid (π x)
(x : α) → TopologicalSpace (π x)
f : ι → (x : α) → π x
⊢ Summable f ↔ ∀ (x : α), Summable fun i => f i x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ lineDerivWithin 𝕜 f₁ s x v = lineDerivWithin 𝕜 f s x v
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
hI : M.Indep I
h : ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → I = J
⊢ M.Base I
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : ¬x + y = 0
⊢ min x.orderTop y.orderTop ≤ (x + y).orderTop
α : Type u_1
β : Type u_2
p : PMF α
f : α → PMF β
b : β
⊢ b ∈ (p.bind f).support ↔ ∃ a ∈ p.support, b ∈ (f a).support
n p : ℕ
⊢ n.factorization p = 0 ↔ ¬Nat.Prime p ∨ ¬p ∣ n ∨ n = 0
G : Type u_1
Group G
S T : Set G
hST : Subgroup.IsComplement S T
g : G
h1 : 1 ∈ S
hg : g ∈ T
⊢ (hST.equiv g).1 = ⟨1, h1⟩
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
a b : M
d : ↥S
⊢ f.toMap a * f.toMap ↑d = f.toMap b * f.toMap ↑d ↔ f.toMap a = f.toMap b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
l : ι → Filter α
hd : Pairwise (Disjoint on l)
s : ⦃i : ι⦄ → ⦃j : ι⦄ → { s // s ∈ l i }
t : ⦃i : ι⦄ → ⦃j : ι⦄ → { t // t ∈ l j }
hst : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → Disjoint ↑s ↑t
i : ι
⊢ (fun i => ⋂ j, ↑s ∩ ↑t) i ∈ l i
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hn : p ∣ n
hn₀ : n ≠ 0
hq : ∀ (y : ℕ), Nat.Prime y → y ∣ n → y = p
hq' : Nat.Prime p ∧ p ∣ n
⊢ List.count p n.primeFactorsList ≤ List.count p (List.replicate (n.factorization p) p)
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α
a b c d : α
⊢ a ⊔ b = b ↔ a ⊓ b = a
R : Type u_1
Rack R
x : R
y y' : R
⊢ x ◃⁻¹ y = x ◃⁻¹ y' ↔ y = y'
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h✝ : Fintype.card R ≤ 3
h : Fintype.card R < 3
⊢ univ.card ≤ {0, 1, -1}.card
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : k ∈ S f ε h n x
⊢ |f k/ₙ - f x| < ε / 2
α : Type u_1
t : Set α
p : Set α → Prop
⊢ (∀ (s : Set ↑t), p (Subtype.val '' s)) ↔ ∀ s ⊆ t, p s
V W : SemiNormedGrp
i : V ≅ W
h1 : NormedAddGroupHom.NormNoninc i.hom
h2 : NormedAddGroupHom.NormNoninc i.inv
⊢ Isometry ⇑i.hom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
e : PartialEquiv M E := f.extend I
⊢ map (↑e) (𝓝[s] y) = 𝓝[↑e '' (e.source ∩ s)] ↑e y
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
Valued K Γ₀
⊢ Continuous ⇑Valued.v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
a : I.L
⊢ I.multispan.obj (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.left a) = I.left a
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
i : Fin k
⊢ ↑((s.orderIsoOfFin h) i) = (s.orderEmbOfFin h) i
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ ⋯.filter = l
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
hr' : Fintype.card α < r
⊢ ↑𝒜.card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ ↑(∂ 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (r - 1))
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
g : G
n : N
⊢ SemidirectProduct.inl ((φ g)⁻¹ n) = SemidirectProduct.inr g⁻¹ * SemidirectProduct.inl n * SemidirectProduct.inr g
G : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝² : R1Space G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
h3 : ∀ (g : G) {K : Compacts G}, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
K : Compacts G
hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0
U : Set G
h1U : IsOpen U
h2U : U.Nonempty
⊢ μ.outerMeasure U = μ.innerContent { carrier := U, is_open' := h1U }
f✝ : StieltjesFunction
c : ℝ≥0
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
x✝ : a < b
⊢ ofReal (↑c * ↑f b - ↑c * ↑f a) = c • ofReal (↑f b - ↑f a)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : G.Dart
hx : x ∈ (p.takeUntil u h).darts
⊢ x ∈ (p.takeUntil u h).darts ∨ x ∈ (p.dropUntil u h).darts
α : Type u
⊢ ∀ {X Y : Type uᵒᵖ} (f : X ⟶ Y) (g : Opposite.unop X ⟶ α) (a : Opposite.unop Y),
  (CategoryTheory.typeEquiv.functor.obj α).val.map f g a = g (f.unop a)
α : Type u
ι✝ : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c✝ : ι✝ → α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
this : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun r => 0 < r ∧ r < R x) fun r => ball x r
ι : Type u
c : ι → α
r' : ι → ℝ
hr' : ∀ (a : ι), c a ∈ s ∧ 0 < r' a ∧ r' a < R (c a)
hsub' : s ⊆ ⋃ a, ball (c a) (r' a)
hfin : LocallyFinite fun a => ball (c a) (r' a)
r : ι → ℝ
hsub : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
hlt : ∀ (i : ι), r i ∈ Ioo 0 (r' i)
⊢ ∃ ι c r r', (∀ (i : ι), c i ∈ s ∧ 0 < r i ∧ r i < r' i ∧ r' i < R (c i)) ∧ (LocallyFinite fun i => ball (c i) (r' i)) ∧ s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
n : ℕ
hn : Odd n
u : (ZMod n)ˣ := ZMod.unitOfCoprime 2 ⋯
hu : ∀ (a : ZMod n), a + a = 0 ↔ a = 0
i j : ZMod n
h : Commute (sr i, r j).1 (sr i, r j).2
⊢ (fun x => match x with | Sum.inl i => ⟨(sr i, r 0), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inl j) => ⟨(r 0, sr j), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl k)) => ⟨(sr (↑u⁻¹ * k), sr (↑u⁻¹ * k)), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j))) => ⟨(r i, r j), ⋯⟩) ((fun x => match x with | ⟨(sr i, r a), property⟩ => Sum.inl i | ⟨(r a, sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inl j) | ⟨(sr i, sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl (i + j))) | ⟨(r i, r j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j)))) ⟨(sr i, r j), h⟩) = ⟨(sr i, r j), h⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
t : Set E
x : E
a : ℝ
h : {0} ⊆ 0
⊢ gauge {0} = 0