ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R✝ : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : Integrable g μ
hgmeas : StronglyMeasurable g
hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0
hunif : UniformIntegrable (fun n => μ[g|↑ℱ n]) 1 μ
R : ℝ≥0
hR : ∀ (i : ℕ), eLpNorm ((fun n => μ[g|↑ℱ n]) i) 1 μ ≤ ↑R
hlimint : Integrable (limitProcess (fun n => μ[g|↑ℱ n]) ℱ μ) μ
this : ∀ (n : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (x : Ω) in s, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ μ ∅ < ⊤ → ∫ (x : Ω) in ∅, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in ∅, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ
R : Type u_1
m : Type u_2
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
Fintype n₁
Fintype n₂
Semiring R
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
v₁ : n₁ → R
v₂ : n₂ → R
⊢ (A₁.fromColumns A₂).mulVec (Sum.elim v₁ v₂) = A₁.mulVec v₁ + A₂.mulVec v₂
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
v : V
⊢ v +ᵥ z ∈ affineSegment R (v +ᵥ x) (v +ᵥ y) ↔ z ∈ affineSegment R x y
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
Fintype n
t : Matrix.TransvectionStruct n R
⊢ t.inv.toMatrix * t.toMatrix = 1
x : ℤ[i]
⊢ GaussianInt.toComplex x = { re := ↑x.re, im := ↑x.im }
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hμ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
⊢ ∀ (a : ℕ), μ (f a) ≠ ⊤
n : ℕ
⊢ Real.Gamma (-↑n) = 0
M : Type u_1
AddZeroClass M
x : M
⊢ x ∈ ⊥ ↔ x = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
a b : ℚ
hab : a < b
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, upcrossings (↑a) (↑b) f x < ⊤
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Order.Frame α
f : ι → α
ha : IsAtom ⊥
h : ⊥ ≤ ⨆ i, f i
ha' : ∀ (i : ι), ¬⊥ ≤ f i
ha'' : Disjoint ⊥ (⨆ i, f i)
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
⊢ LinearMap.ker g = LinearMap.range f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : p x
⊢ e.extendSubtype x = ↑(e ⟨x, hx⟩)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm (Fin 5)
h : 3 ∈ (c * g').cycleType
hd : c.Disjoint g'
left✝ : c.IsCycle
h3 : c.support.card = 3
⊢ ∀ b ∈ g'.cycleType, b ∣ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f✝ : α → ℝ≥0∞
hf✝ : Measurable f✝
s : ℕ → Finset ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ≥0∞), Measurable (f n r)
hm : Monotone fun n μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ
n : ℕ
⊢ ∑ r ∈ s n, r * ∫⁻ (μ : Measure α), f n r μ ∂m = ∫⁻ (a : Measure α), ∑ r ∈ s n, r * f n r a ∂m
R : Type u_2
Add R
Mul R
c : RingCon R
x : R
⊢ c x x
α : Type u_1
a : WithBot α
⊢ WithTop.ofDual.symm a = WithBot.toDual a
G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : SigmaFinite ν
inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
i : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
K : PositiveCompacts G
K' : PositiveCompacts (G ⧸ Γ) := PositiveCompacts.map QuotientGroup.mk ⋯ ⋯ K
this : μ.IsMulLeftInvariant
finiteCovol : covolume (↥Γ.op) G ν ≠ ⊤
⊢ (μ ↑K' • haarMeasure K').IsHaarMeasure
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
inst✝ : LocallyCompactSpace α
hs : IsCompact s
K : Set α
K_compact : IsCompact K
hK : s ⊆ interior K
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : cthickening δ s ⊆ interior K
⊢ IsCompact (cthickening δ s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
⊢ ↑s.innerDualCone = ⋂ i, ↑{↑i}.innerDualCone
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ
h✝ : IsEmpty ι
⊢ ⨅ i, ↑(f i) = 0 ↔ ∃ i, f i = 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Preorder ι
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ atTop φ
x : α
h : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, x ∈ φ i
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in atTop, x ∈ ⋂ k ∈ Ici i, φ k
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a x y : G₀
⊢ SemiconjBy a⁻¹ x y ↔ SemiconjBy a y x
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCommMonoid G
i₁ : G
r₁ : k
i₂ : G
r₂ : k
⊢ (mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)) * unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁))) = (mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁))) * (mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)))
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → α → α
hassoc : Associative f
a b c : α
l : List α
⊢ foldl f a (c :: l ++ [b]) = foldr f b (a :: c :: l)
α : Type u_3
Group α
f : Multiplicative ℤ →* α
⊢ (zpowersHom α).symm f = f (Multiplicative.ofAdd 1)
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
s : Set α
⊢ Measurable fun x => Metric.infNndist x s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
this : Isometry (Prod.map toReal toReal)
⊢ 2 = 1 * 1 + 1 * 1
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, BddAbove (range fun i => f i y)
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, f i x') s x
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
w w' : InfinitePlace K
⊢ w' ∈ MulAction.orbit (K ≃ₐ[k] K) w ↔ w.comap (algebraMap k K) = w'.comap (algebraMap k K)
l r : List Char
it : String.Iterator
⊢ String.Iterator.ValidFor l r it → it.Valid
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Faithful
⊢ Function.Injective F.map
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
m n : Num
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
xl xr : Type u
x y : PGame
h₁ : x ≤ y
h₂ : x ⧏ y
⊢ x < y ∨ x ≈ y ∨ y < x ∨ x ‖ y
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
x : B
h : c ⟶ x
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension.whiskering h).obj t = t.whisker h
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
⊢ Convex ℝ (p.ball x r)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P
⊢ edist (e x) (e y) = edist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0
⊢ a < b * succ (a / b)
α : Type u_1
SizeOf α
l : List α
n : Nat
⊢ sizeOf (List.drop n l) ≤ sizeOf l
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Cᵒᵖ
s : Cocone (coyoneda.obj X)
m : (colimitCocone X).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : C), (colimitCocone X).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
⊢ m = (fun s x => s.ι.app (unop X) (𝟙 (unop X))) s
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
⊢ (Finset.image f s).val = (Multiset.map f s.val).dedup
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
u₁ u₂ : UniformSpace α
h : u₁ ≤ u₂
a : α
⊢ 𝓝 a ≤ 𝓝 a
α : Type u
CommSemiring α
a b : α
⊢ (a + b) * (a + b) = a * a + 2 * a * b + b * b
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : 2 ≤ n
⊢ n + b ≤ n * b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
b0 : b = 0
⊢ b * (a / b) ≤ a
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
⊢ ∃ f, MeasurableEmbedding f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.kahler x) y = ↑⟪x, y⟫_ℝ + (o.areaForm x) y • Complex.I
a b c : UInt64
⊢ a < b → b < c → a < c
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
LocallyFiniteOrder α
a : α
⊢ Finset.Icc ↑a ⊤ = Finset.insertNone (Finset.Ici a)
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
P : Type u_3
Monoid P
φ : M →* N
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
AddMonoid A
DistribMulAction M A
B : Type u_5
AddMonoid B
DistribMulAction N B
C : Type u_7
AddMonoid C
DistribMulAction P C
Q : Type u_11
D : Type u_12
Monoid Q
AddMonoid D
DistribMulAction Q D
η : P →* Q
θ : M →* Q
ζ : N →* Q
h : C →ₑ+[η] D
g : B →ₑ+[ψ] C
f : A →ₑ+[φ] B
φ.CompTriple ψ χ
χ.CompTriple η θ
ψ.CompTriple η ζ
φ.CompTriple ζ θ
⊢ h.comp (g.comp f) = (h.comp g).comp f
α : Type u_2
G₀ : Type u_4
TopologicalSpace α
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
hs : IsOpen s
hc : c ≠ 0
⊢ IsOpen (c • s)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ α a : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 0
e : α ^ 0 = a
⊢ nthRoots 0 a = Multiset.map (fun x => ζ ^ x * α) (Multiset.range 0)
α : Type u
⊢ Small.{v, u} α ↔ Cardinal.lift.{v + 1, u} #α < Cardinal.univ.{v, max u (v + 1)}
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
Fintype I
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e) ↔ CompleteOrthogonalIdempotents e
G : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N
R : Type u_7
M : Type u_8
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : ι → M
⊢ 0 • ∑ᶠ (i : ι), f i = ∑ᶠ (i : ι), 0 • f i
θ₁ θ₂ : Angle
⊢ (θ₁ + θ₂).expMapCircle = θ₁.expMapCircle * θ₂.expMapCircle
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : [[c, d]] ⊆ [[a, b]]
⊢ |d - c| ≤ |b - a|
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ
t : ℕ → Set ℝ
ht : s ⊆ ⋃ i, t i
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε
g : ℕ → Set ℝ
hg : ∀ (i : ℕ), t i ⊆ g i ∧ MeasurableSet (g i) ∧ f.outer (g i) ≤ f.length (t i) + ↑(ε' i)
⊢ ⨅ (_ : MeasurableSet (iUnion g)), f.outer (iUnion g) ≤ ∑' (a : ℕ), (f.length (t a) + ↑(ε' a))
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf'' : ∀ x ∈ interior D, deriv^[2] f x < 0
⊢ StrictConcaveOn ℝ D f
n : ℕ
f : Equiv.Perm (Fin n)
a : (_ : Fin n) × Fin n
⊢ a ∈ Equiv.Perm.finPairsLT n → ∃ b ∈ Equiv.Perm.finPairsLT n, f.signBijAux b = a
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a b : α} {l : List α}, a ∈ b :: l ↔ a = b ∨ a ∈ l
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
a : α
Monad m
⊢ (throw a).runCatch = pure a
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hi : Irreducible p
a b : K[X]
hab : map (algebraMap R K) p = a * b
c : R
c0 : c ≠ 0
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ a) = C ((algebraMap R K) c) * a
d : R
d0 : d ≠ 0
hd : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ b) = C ((algebraMap R K) d) * b
hcd0 : ¬C (c * d) = 0
u : Rˣ
h1 : C (c * d) * (C ↑u * (integerNormalization R⁰ b).primPart * (integerNormalization R⁰ a).primPart) = C (c * d) * p
hu : c * d * ↑u = (integerNormalization R⁰ a).content * (integerNormalization R⁰ b).content
h0 : a ≠ 0 ∧ b ≠ 0
h : IsUnit (C ↑u * (integerNormalization R⁰ b).primPart)
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime x y
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
a b : R
h : a * x + b * y = 1
⊢ f a * f x + f b * f y = 1
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
s : Set R[X]
hs : s.Finite
contra : Submodule.span R s = ⊤
n : ℕ
hn : Submodule.span R s ≤ degreeLE R ↑n
this : 1 = 0
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Finite R M
⊢ IsClosed (Module.support R M)
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f g φ ψ : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
⊢ ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (-φ)) = -ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ)
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
cv : Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)
ab : a ≤ b
this : ∃ i, c i < b ∧ i ∈ s ∧ b < d i
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
n m : Nat
⊢ n * m.succ = n * m + n
X : Type u_5
TopologicalSpace X
Mul X
ContinuousMul X
x : X
⊢ ⇑(ContinuousMap.mulRight x) = fun y => y * x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c✝ d : α
m n : ℕ
c : α
h : a < b
hc : c ≠ 0
⊢ a * c < b * c
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
hx' : ∀ (z : E), ‖z‖ < r → ‖x' z‖ ≤ 1
hcr : 0 < ‖c‖ / r
⊢ ‖x'‖ ≤ ‖c‖ / r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε
h : Disjoint (ball x δ) (closedBall y ε)
hxy : dist x y < δ + ε
⊢ False
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
t : Multiset α
h : a ∈ t
⊢ (s + t).erase a = s + t.erase a
l m r : List Char
f : Char → Bool
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s → s.all f = m.all f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : Embedding g
s : Set α
⊢ ContinuousOn f s ↔ ContinuousOn (g ∘ f) s
α : Type u_2
CompleteLattice α
self : IsCoatomistic α
b : α
⊢ ∃ s, b = sInf s ∧ ∀ a ∈ s, IsCoatom a
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℕ
⊢ ζ ^ (k * i) = 1
a b c : Int
h : a ≤ b + c
⊢ a - c ≤ b
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : ‖a / b‖ < r
hn : 0 < ↑n
⊢ ↑n * ‖a / b‖ < ↑n * r
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h₁ : a₁ ≤ b₁
⊢ Finset.Icc a₁ b₁ ⊆ Finset.Ioo a₂ b₂ ↔ a₂ < a₁ ∧ b₁ < b₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M : Mon_ (Comon_ C)
⊢ (Bimon_.ofMon_Comon_obj C M).counit.hom = M.X.counit
R : Type uR
inst✝⁵ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁴ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝¹ : Semiring T
B : Type uR
inst✝ : CommRing B
r : B → B → Prop
x : B
⊢ ({ toFun := fun f => { toFun := fun x => Quot.lift ⇑↑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }, invFun := fun F => ⟨F.comp { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨Ideal.Quotient.mk (Ideal.ofRel r), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } x) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.ofRel r)) x
α : Type u_2
TopologicalSpace α
S : Set (TopologicalSpace.Closeds α)
x : α
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ s ∈ S, x ∈ s
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
⊢ Nat.card (Sylow p G) ≡ 1 [MOD p]
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
⊢ μ.restrict s = 0 ↔ μ s = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
F.CommShift A
a b : A
⊢ F.commShiftIso (a + b) = CategoryTheory.Functor.CommShift.isoAdd (F.commShiftIso a) (F.commShiftIso b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
s : Finset ℕ
⊢ map Fin.valEmbedding (Finset.fin n s) = filter (fun x => x < n) s
α : Type u_1
p q : Prop
s : p ∨ q → Set α
⊢ ⋂ (h : p ∨ q), s h = (⋂ (h : p), s ⋯) ∩ ⋂ (h : q), s ⋯
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ IsNormalAddSubgroup s ↔ IsNormalSubgroup s
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c₂ : γ₂
⊢ Sum.inr c₂ ∈ Finset.sumLift₂ f g a b ↔ ∃ a₂ b₂, a = Sum.inr a₂ ∧ b = Sum.inr b₂ ∧ c₂ ∈ g a₂ b₂
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsLower α
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Topology.IsLower.lowerBasis α)
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
⊢ HurwitzZeta.cosZeta (↑x) (2 * ↑k) =
  (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k) / (2 * ↑k).Gammaℂ *
    Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Abelian.OfCoimageImageComparisonIsIso.imageMonoFactorisation f).I = CategoryTheory.Abelian.image f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ :
  ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d),
    ∃ c' t, CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map t) s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map t) s'
d : D
⊢ CategoryTheory.IsCofiltered (CategoryTheory.CostructuredArrow F d)
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
x y : (α →𝒄 β) × α
h : x ≤ y
⊢ x.1 x.2 ≤ y.1 y.2
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
m n : E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : MeasureTheory.Integrable f' MeasureTheory.volume
hbot : Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 m)
htop : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 n)
⊢ ∫ (x : ℝ), f' x = n - m
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : α → β
U : ι → Set β
hU : Set.iUnion U = Set.univ
⊢ Function.Surjective f ↔ ∀ (i : ι), Function.Surjective ((U i).restrictPreimage f)
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
a : R
ha : 0 < a
c : R
hc : IsRegular c
⊢ 0 < c * a * star c
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hx : ¬↑p ∣ ↑x
n : ℕ
hn : Odd n
hxy : ↑p ∣ ↑x + ↑y
⊢ multiplicity (↑p) (↑x ^ n + ↑y ^ n) = multiplicity (↑p) (↑x + ↑y) + multiplicity p n
n x b : ℕ
h : 1 < b + 2
hxb : x < b + 2
n✝ : ℕ
hxy : x ≠ 0 ∨ n✝ + 1 ≠ 0
⊢ 0 < x + (b + 2) * (n✝ + 1)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
this✝ : ExpChar E q
this : ExpChar E[X] q
h : (minpoly F x).natSepDegree = 1
⊢ ∃ n, Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = (X - C x) ^ q ^ n
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s : Set X
hxy : x ≠ y
t : Set X
ht : t ∈ 𝓝[s] x
o : Set X
ho : IsOpen o
hxo : x ∈ o
host : o ∩ s ⊆ t
⊢ o \ {y} ∩ s ⊆ t
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ'₀
Ring R
v₁ : AddValuation R Γ₀
v₂ : AddValuation R Γ'₀
h : v₁.IsEquiv v₂
r s : R
⊢ v₁ r = v₁ s ↔ v₂ r = v₂ s
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ measureUnivNNReal μ = 0 ↔ ↑(measureUnivNNReal μ) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
h : Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) univ) atTop (𝓝 (ρ.fst univ))
⊢ Tendsto (fun m => ((ρ.IicSnd ↑(s m)) univ).toReal) atTop (𝓝 (ρ.fst univ).toReal)
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
hst : G.IsUniform ε s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
⊢ (1 - 2 * ε) * ε ^ 3 * ↑s.card * ↑t.card * ↑u.card ≤
  ↑(Finset.filter
        (fun x =>
          match x with
          | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c)
        (s ×ˢ t ×ˢ u)).card
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : α
⊢ ⇑e '' Ioo a b = Ioo (e a) (e b)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
H : C ⥤ D
F : J ⥤ C
E : K ⥤ J
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ H.mapConeWhisker.hom.hom = 𝟙 (H.obj c.pt)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] g
ι : Type w
R : Type u
Ring R
Nontrivial R
M : Type v
AddCommGroup M
Module R M
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
⊢ i.Maximal ↔ ∀ (κ : Type v) (w : κ → M), LinearIndependent R w → ∀ (j : ι → κ), w ∘ j = v → Function.Surjective j
α : Type u_1
x y : α
h : List.Duplicate x [y]
⊢ False
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
e₁ e₂ : R
he₁ : IsIdempotentElem e₁
he₂ : IsIdempotentElem e₂
H : IsNilpotent (e₁ - e₂)
H' : Commute e₁ e₂
this : (e₁ - e₂) ^ 3 = e₁ - e₂
⊢ e₁ = e₂
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
hs : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
ht : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g +ᵥ x) = f x
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f (μ.restrict s) ↔ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f (μ.restrict t)
K : Type u
DivisionRing K
ι : Type v
hι : Infinite ι
⊢ Module.rank K (ι → K) = #(ι → K)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] E
⊢ HasFDerivAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') x ↔ HasFDerivAt f f' x
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
F G : CategoryTheory.Functor C D
X : C
α : F ⟶ G
⊢ (-α).app X = -α.app X