ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ ((gradedMul R 𝒜 ℬ) x) 1 = x
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
hf : (Function.mulSupport f).Finite
⊢ ∏' (b : β), f b = ∏ᶠ (b : β), f b
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
hG : G.IsUniform ε s t
⊢ 0 < ε
l m✝ n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Mul α
inst✝ : AddCommMonoid α
m : ℕ
a b : Fin m → α
⊢ dotProductᵣ a b = a ⬝ᵥ b
β : Type u_2
α : Type u_5
MeasurableSpace α
b : β
⊢ (MeasureTheory.SimpleFunc.const α b).range ⊆ {b}
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
CompleteSpace β
T0Space β
f : pkg.space → β
hf : UniformContinuous f
⊢ pkg.extend (f ∘ pkg.coe) = f
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Finite σ
val✝ : Fintype σ
⊢ FiniteDimensional.finrank K (R σ K) = FiniteDimensional.finrank K ((σ → K) → K)
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime (x * y) z
⊢ IsCoprime y z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : CategoryTheory.Limits.Fork f g
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
Z : C
k : Z ⟶ t.pt
⊢ ↑((CategoryTheory.Limits.Fork.IsLimit.homIso ht Z) k) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp k t.ι
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝³ : Nonempty Z
inst✝² : MetricSpace Z
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hΦ : Isometry Φ
hΨ : Isometry Ψ
i : PseudoMetricSpace (X ⊕ Y) := gluePremetric hΦ hΨ
x✝¹ : TopologicalSpace (X ⊕ Y) := UniformSpace.toTopologicalSpace
x✝ : Z
⊢ (toGlueL hΦ hΨ ∘ Φ) x✝ = (toGlueR hΦ hΨ ∘ Ψ) x✝
x y : ℂ
⊢ sinh ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (sinh x)
R : Type u
a b c d : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ 3 + Polynomial.C b * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C c * Polynomial.X +
      Polynomial.C d).leadingCoeff =
  a
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → β
a : α
b : M
⊢ Finsupp.mapDomain f (Finsupp.single a b) = Finsupp.single (f a) b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
C : β
hC : C ∈ upperBounds (range g)
x : α
⊢ f x ≤ C
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ IsOpen (Metric.ball x ε)
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
AB_dvd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
⊢ p * b ^ 2 - p < (b ^ 2) ^ p - 1
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
h : lowerCentralSeries G n ≤ center G
y : G
hy1 : y ∈ lowerCentralSeries G n
z : G
⊢ z * y = y * z
α : Type u
TopologicalSpace α
s t : Set α
hs : IsPreconnected s
ht : IsClopen t
⊢ Disjoint s t ∨ s ⊆ t
α : Type u_1
Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Ordnode.Valid' o₁ l ↑x
hr : Ordnode.Valid' (↑x) r o₂
H1 : ¬l.size + r.size ≤ 1
H2 : Ordnode.delta * l.size < r.size
H3 : 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5 ∨ r.size ≤ 3
⊢ Ordnode.Valid' o₁ (l.rotateL x r) o₂
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
⊢ o.derivBFamily f = enumOrd (⋂ i, ⋂ (hi : i < o), fixedPoints (f i hi))
x✝ y✝ x y : ℝ
h : x < y
⊢ rexp x < rexp (y - x) * rexp x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
x : ℝ≥0
⊢ ‖↑x‖ = ↑x
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ cocompact (X × Y) ≤ (cocompact X).coprod (cocompact Y)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
⊢ False
q : ℕ+
⊢ Fintype.card (ZMod ↑q × ZMod ↑q) = ↑q ^ 2
X : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
⊢ ∀ (x : X), ContinuousAt (fun x => diracProba x) x
R : Type u_1
M : Type u
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
⊢ Module.rank R (M ⧸ N) + Module.rank R ↥N = Module.rank R M
x y : SetTheory.PGame
⊢ Surreal.Multiplication.IH1 x y → Surreal.Multiplication.IH1 (-x) y
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ {x} * ball y δ = ball (x * y) δ
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
f : A₁ →ₐ[R] A₂
g : A₂ →ₐ[R] A₁
h₁ : f.comp g = AlgHom.id R A₂
h₂ : g.comp f = AlgHom.id R A₁
⊢ (AlgEquiv.ofAlgHom f g h₁ h₂).toLinearMap = f.toLinearMap
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
h : ∀ (x : α), 𝓝 x = comap f (𝓝 (f x))
⊢ ∀ (x : ↑(f ⁻¹' s)), 𝓝 x = comap Subtype.val (comap f (𝓝 (f ↑x)))
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l : List α
o✝ : Option α
a✝ m : α
hr₀ : Irreflexive r
hr₁ : Transitive r
tl : List α
a : α
ih : ∀ {a m : α} {o : Option α}, a ∈ tl → m ∈ foldl (argAux r) o tl → ¬r a m
b : α
o : Option α
hb : b ∈ tl ++ [a]
c : α
hf : foldl (argAux r) o tl = some c
hac : ¬r a c
h : b ∈ [a]
⊢ ¬r b c
G : Type u_1
Group G
x : G
s : Subgroup G
hs : (↑s).Finite
hx : x ∈ s
⊢ orderOf x ≤ Nat.card ↥s
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
h : t.dual.Bounded o₂ o₁
⊢ t.Bounded o₁ o₂
n : ℕ
⊢ gosperCatalan (n + 1) (n + 1) - gosperCatalan (n + 1) 0 = ↑(n + 1).centralBinom / (↑n + 2)
α : Type u_1
x✝ y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C
this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹
N : ℕ
hN : ∀ k ≥ N, ↑k ^ n < rexp ↑k / (rexp 1 * C)
x : ℝ
hx : ↑N < x
⊢ rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C
R : Type u_1
Semiring R
Q : R[T;T⁻¹] → Prop
f : R[T;T⁻¹]
Qf : ∀ {f : R[X]} {n : ℕ}, Q (Polynomial.toLaurent f * LaurentPolynomial.T (-↑n))
⊢ Q f
P : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : P.IsLocal
X Y UX UY : Scheme
inst✝¹ : IsAffine UY
f : X ⟶ Y
iY : UY ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion iY
iX : UX ⟶ X
f' : UX ⟶ UY
h : IsPullback iX f' f iY
hf : targetAffineLocally P f
⊢ P f'
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
β : Type u_4
u : ι ⊕ β → ↑S.X₂
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))
m : ↑S.X₂
a✝ : m ∈ ⊤
cm : β →₀ R
hm : (cm.sum fun i a => a • (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr) i) = S.g m
m' : ↑S.X₂ := cm.sum fun j a => a • u (Sum.inr j)
n : ↑S.X₁
hnm : S.f n = m - m'
hn : ∃ c, (c.sum fun i a => a • v i) = n
⊢ m ∈ span R (range u)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ s
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosMono α
ha : 1 ≤ a
h : b < c
hc : 0 ≤ c
⊢ b < a * c
R : Type u
Ring R
s : Set R
sm : Submonoid R
hm : ↑sm = s
sa : AddSubgroup R
ha : ↑sa = s
x : R
⊢ x ∈ Subring.mk' s sm sa hm ha ↔ x ∈ s
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => ((s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + (s + 1).Gammaℝ * -I * -↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)) / ↑n ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s)
⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (completedSinZeta (↑a) s)
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Nontrivial R
NoZeroSMulDivisors R M
m : M
⊢ Ideal.torsionOf R M m = ⊥ ↔ m ≠ 0
α : Type u_1
r : Rel α α
p : RelSeries r
len_pos : p.length ≠ 0
⊢ (p.tail len_pos).last = p.last
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ ∀ (a : αᵒᵈᵒᵈ), (CompleteLatticeHom.dual.symm f).toFun a = OrderDual.toDual (f (OrderDual.ofDual a))
r x : ℝ
hx : x < 0
⊢ ProbabilityTheory.exponentialPDF r x = 0
D : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
⊢ D.openCover.J = D.J
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
a : α
⊢ a ∈ AddAction.fixedPoints M α ↔ ∀ a' ∈ AddAction.orbit M a, a' = a
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A B : Matrix n n α
h : A * B = 1
⊢ IsUnit A.det
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
⊢ (↑P).normalizer.normalizer = (↑P).normalizer
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered C
inst✝¹ : HasLimits C
𝒢 : Set C
inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : IsCoseparating 𝒢
⊢ HasInitial C
k : Type u
inst✝⁹ : CommRing k
G : Type u
inst✝⁸ : Group G
V : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module k V
inst✝⁵ : Module (MonoidAlgebra k G) V
inst✝⁴ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module k W
inst✝¹ : Module (MonoidAlgebra k G) W
inst✝ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
h : ∀ (v : V), π (i v) = v
g : G
v : V
⊢ (π.conjugate g) (i v) = v
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
x : F
s : Set F
h : DifferentiableOn 𝕜 f s
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ HasGradientAt f (∇ f x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h : l.formPerm x ≠ x
⊢ x ∈ l
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F✝
F F' : Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ F'
⊢ Presieve.IsSheaf J (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)).toPresheaf
α : Type u_1
s : Finset α
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
h : p ≤ q
⊢ Finset.filter p s ⊆ Finset.filter q s
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
n : ℕ
ih : ∀ (A : Fin n → Fq[X]), ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
A : Fin (n + 1) → Fq[X]
⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin (n + 1)), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
f : (Fin n → ℕ) →+ EuclideanSpace ℝ (Fin n) := { toFun := fun f => Nat.cast ∘ f, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
⊢ ThreeAPFree (⇑f '' ↑(sphere n d k))
α : Type u_3
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_5
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (β a)
(a : α) → (b : β a) → Zero (γ a b)
a : α
b : β a
x : γ a b
⊢ Sigma.uncurry (Pi.single a (Pi.single b x)) = Pi.single ⟨a, b⟩ x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
ι : Type v
F : CategoryTheory.Discrete ι ⥤ AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
i : CategoryTheory.Discrete ι
⊢ OpenEmbedding ⇑(CategoryTheory.Limits.colimit.ι F i).base
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
h : IsChain r s
⊢ IsChain (flip r) s
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x y : α
r : ℝ
h : dist x y ≤ K * r
rpos : 0 < r
R : ℝ := scalingScaleOf μ (max (4 * K + 3) 3)
⊢ (∃ r_1, closedBall y r ⊆ closedBall x r_1 ∧ μ (closedBall x (3 * r_1)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ (max (4 * K + 3) 3)) * μ (closedBall y r)) ∨ ¬closedBall y r ⊆ closedBall x (scalingScaleOf μ (max (4 * K + 3) 3) / 4)
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
i j : ι
h : i ≠ j
x : E i
y : E j
⊢ 1 ≤ dist x ⋯.some + 1 + dist ⋯.some y
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
a : α
b : β
⊢ a +ᵥ {b} = {a +ᵥ b}
Ω : Type u_1
β : Type u_2
u : ℕ → Ω → β
τ : Ω → ℕ
AddCommMonoid β
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.stoppedProcess u τ n = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.range n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s : Set β
⊢ r.preimage s = {x | ∃ y ∈ s, r x y}
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
f : X ⟶ Y
U : CategoryTheory.Under Y
⊢ ((CategoryTheory.Under.map f).obj U).right = U.right
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hroot : ∀ m ≤ n, ((⇑Polynomial.derivative)^[m] p).IsRoot t
hnzd : ∀ m ≤ n, m ≠ 0 → ↑m ∈ nonZeroDivisors R
⊢ n < Polynomial.rootMultiplicity t p
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f f' : X ⟶ Y
g : Z ≅ Y
⊢ f ≫ g.inv = f' ≫ g.inv ↔ f = f'
R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
AddCommMonoid M₂
(i : Fin n.succ) → Module R (M i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.succ
x y : M 0
⊢ f (Fin.cons (x + y) m) = f (Fin.cons x m) + f (Fin.cons y m)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a b : α
⊢ Int.cast ⁻¹' Set.Icc a b = Set.Icc ⌈a⌉ ⌊b⌋
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.Comma (𝟭 (CategoryTheory.SimplicialObject C)) (CategoryTheory.SimplicialObject.const C)
⊢ CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.drop.obj X = X.left
x y : ℂ
⊢ abs (cexp x) = abs (cexp y) ↔ x.re = y.re
R : Type u
CommRing R
C C' C'' : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (C.comp C').comp C'' = C.comp (C'.comp C'')
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsLindelof s ↔
  ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X),
    (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → s ∩ ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, u.Countable ∧ s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.34757, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.34761, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.34765, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.34769, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.34773, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.34777, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
α : F ⟶ F'
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
⊢ ((F.map (φ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((α.app (Y₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) = ((α.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F'.map (φ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f g : M →ₗ[R] R
l : M →ₗ[R] M
⊢ (LinearMap.BilinForm.linMulLin f g).compLeft l = LinearMap.BilinForm.linMulLin (f ∘ₗ l) g
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : ↥A
⊢ of ↑a * t⁻¹ = t⁻¹ * (t * of ↑a * t⁻¹)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
S : Subalgebra R B
f : A →ₐ[R] B
x : A
⊢ x ∈ Subalgebra.comap f S ↔ f x ∈ S
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
p : P₁
hp : p ∈ s
⊢ (↑(map f (affineSpan k s)) ∩ ↑(affineSpan k (⇑f '' s))).Nonempty
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
x : B
h : x ⟶ c
⊢ (t.whisker h).unit =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft h t.unit)
    (CategoryTheory.Bicategory.associator h t.lift f).inv
α : Type u_1
self : OmegaCompletePartialOrder α
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
x : α
⊢ (∀ (i : ℕ), c i ≤ x) → OmegaCompletePartialOrder.ωSup c ≤ x
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
TopologicalSpace δ
g : δ → α
b : δ
hf : IsLocalMax f (g b)
hg : ContinuousAt g b
⊢ IsLocalMax (f ∘ g) b
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
c : F
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => f x - c) f' x
H : Type x
TopologicalSpace H
OrderedAddCommGroup H
ContinuousNeg H
a : H
⊢ Filter.Tendsto Neg.neg (𝓝[>] (-a)) (𝓝[<] a)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b = toIcoMod hp 0 (b - a) + a
α : Type u_1
n : ℕ
m : Multiset α
hc : Multiset.card m = n
⊢ (Sym.mk m hc).attach = Sym.mk m.attach ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
x : α
r' : ℝ
⊢ Set.MapsTo (⇑f) (Metric.closedBall x r') (Metric.closedBall (f x) (↑(Dilation.ratio f) * r'))
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
⊢ Continuous ⇑normSq
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
⊢ a * d + b * c ≤ a * c + b * d
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s t : Set α
⊢ ∫⁻ (a : α) in s ∪ t, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂(μ.restrict s + μ.restrict t)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
h0 : 0 < sSupNormIm f 0
h1 : 0 < sSupNormIm f 1
⊢ interpStrip f z = ↑(sSupNormIm f 0) ^ (1 - z) * ↑(sSupNormIm f 1) ^ z
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
r : X → X → Prop
f : X → Y
hr : ∀ (a b : X), r a b → f a = f b
h : Continuous f
⊢ Continuous (Quot.lift f hr)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
p : Submodule K V
hp : p < ⊤
v : V
hpv : v ∉ p
⊢ ∃ f, f ≠ 0 ∧ p ≤ ker f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
f'' : γ ≃ δ
⊢ (e.trans e').transEquiv f'' = e.trans (e'.transEquiv f'')
z : ℂ
⊢ Complex.abs z = √(z.re ^ 2 + z.im ^ 2)
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : LaurentSeries K
⊢ (∃ F, (ofPowerSeries ℤ K) F = f) → ∀ n < 0, f.coeff n = 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
π : ι → Set (Set α)
h : ∀ (n : ι), generateFrom (π n) ≤ m
S : Set ι
ht_p : Finset ι
w✝ : ↑ht_p ⊆ S
ft : ι → Set α
hft_mem_pi : ∀ x ∈ ht_p, ft x ∈ π x
x : ι
hx_mem : x ∈ ht_p
⊢ MeasurableSet (ft x)
α : Type u_5
β : Type u_6
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
e : r ≃r s
t : Set β
⊢ ⇑e ⁻¹' t = ⇑e.symm '' t
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
h : a ≤ b
⊢ ⌊a⌋₊ ≤ ⌊b⌋₊
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
CommRing R
CommRing S
Fintype n
DecidableEq n
f : R →+* S
M : n × n → S
⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.eval₂Hom f M) (Matrix.charpoly.univ R n) = (Matrix.of (Function.curry M)).charpoly
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R
⊢ (WittVector.verschiebung x).coeff 0 = 0
M : Type u
DivInvMonoid M
PseudoEMetricSpace M
IsometricSMul Mᵐᵒᵖ M
a b c : M
⊢ edist (a / c) (b / c) = edist a b
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
hbc : b ≤ c
ha : a < 0
⊢ b + a < c
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : 1 < n
a : K
⊢ X.natDegree < (X ^ n - C a).natDegree
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
h'f : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f₁ f' s x v
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (Y_1 : C),
  ((CategoryTheory.MonoidalCategory.curriedTensor C).map f).app Y_1 = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Y_1
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
u : ℕ → β
N : ℕ
hu : ∀ n ≥ N, u n = 1
n : ℕ
hn : N ≤ n
⊢ ∏ k ∈ range n, u k = ∏ k ∈ range N, u k
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
p : α → Prop
q : β → Prop
h₂ : ComputablePred q
f : α → β
c : Computable f
hf : ∀ (a : α), p a ↔ q (f a)
⊢ ComputablePred p
x y : ℝ*
hx : x.InfinitePos
hy₁ : ¬y.Infinitesimal
hy₂ : 0 < y
r : ℝ
hy₁' : ∃ x, ¬(0 < x → -↑x < y ∧ y < ↑x)
r₁ : ℝ
hy₁'' : ¬(0 < r₁ → -↑r₁ < y ∧ y < ↑r₁)
⊢ ↑r < x * y
α : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn₁ : n ≠ 1
this : Fact (1 < n)
⊢ minOrder (ZMod n) = ↑n.minFac
α : Type u
NatCast α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).down = OfNat.ofNat n
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
s : Set α
⊢ IsOpen {l | s ∈ l}
M : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid M
ExistsAddOfLE M
a d : M
⊢ Set.BijOn (fun x => x + d) (Set.Ioi a) (Set.Ioi (a + d))
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
I : Ideal R
Ibot : ⊥ < I
Itop : I < ⊤
mle : ↑M ⊆ ↑⊥
⊢ False
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.27192, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_9, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_12, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_11, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_13, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_7} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
L₃ : C₃ ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W₃
X Y Z : C₁
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
G : D₁ ⥤ D₂ := Φ.localizedFunctor L₁ L₂
G' : D₂ ⥤ D₃ := Ψ.localizedFunctor L₂ L₃
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G := CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ G
e' : Ψ.functor ⋙ L₃ ≅ L₂ ⋙ G' := CatCommSq.iso Ψ.functor L₂ L₃ G'
⊢ Ψ.homMap L₂ L₃ (Φ.homMap L₁ L₂ f) = (Φ.comp Ψ).homMap L₁ L₃ f
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
⊢ f.closure.inverse.graph = f.inverse.graph.topologicalClosure
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
inst✝ : Nonempty ι
hd : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
⊢ ¬(iInf f).NeBot → ¬∀ (i : ι), (f i).NeBot
E : Type u_4
AddCommGroup E
p q : NonarchAddGroupSeminorm E
x : E
⊢ BddBelow (Set.range fun y => p y + q (x - y))
α : Type u_1
s : Set α
⊢ val '' univ = s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I, J⁆ ≤ I ∧ ⁅I, J⁆ ≤ J
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
h : MeasurableSpace.CountablyGenerated α
n : ℕ
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ ∃ S, ↑S ⊆ MeasurableSpace.countablePartition α n ∧ s = ⋃₀ ↑S
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ C a * X = (monomial 1) a