ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ 2 * (↑m + 3) / 2 = (((if Even m then (↑m + 2) / 2 else ↑m + 2) ^ 2 * if Even m then ↑m + 3 else (↑m + 3) / 2) * if Even m then ↑m + 5 else (↑m + 5) / 2) - ((if Even m then ↑m + 1 else (↑m + 1) / 2) * if Even m then ↑m + 3 else (↑m + 3) / 2) * (if Even m then (↑m + 4) / 2 else ↑m + 4) ^ 2 ∧ 2 * (↑m + 2) + 1 = ((if Even m then (↑m + 4) / 2 else ↑m + 4) * (if Even m then (↑m + 2) / 2 else ↑m + 2) ^ 3 * if Even m then 16 else 1) - (if Even m then ↑m + 1 else (↑m + 1) / 2) * (if Even m then ↑m + 3 else (↑m + 3) / 2) ^ 3 * if Even m then 1 else 16
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : (filter p s).card = s.card
x : α
hx : x ∈ s
⊢ p x
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ' : QuasiIso φ'
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')
⊢ QuasiIso φ
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
⊢ disjointed f 0 = f 0
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
⊢ HasCountableSeparatingOn (↑t) (fun u => ∃ v, p v ∧ Subtype.val ⁻¹' v = u) Set.univ ↔ HasCountableSeparatingOn α p t
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
S' : Summable fun i => ⟨∫ (x : X) in s i, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩
S'' : ∑' (a : ι), ↑⟨∫ (x : X) in s a, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩ = ↑(∑' (b : ι), ⟨∫ (x : X) in s b, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩)
⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.OrdConnected ↔ ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → [[x, y]] ⊆ s
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
d : ℕ → ℝ≥0∞
hd : ∀ {k : ℕ}, m ≤ k → k < n → edist (f k) (f (k + 1)) ≤ d k
⊢ edist (f m) (f n) ≤ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, d i
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc a b) x
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab' : a < b
g : ℝ → ℝ := fun x => f x - m * x
hg : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt g (f' x - m) (Icc a b) x
c : ℝ
cmem : c ∈ Icc a b
hc : IsMinOn g (Icc a b) c
cmem' : c ∈ Ioo a b
⊢ f' c = m
R : Type u_1
G : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
Group G
Finite G
f : G →* R
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ IsCyclic G
⊢ ∀ {α α_1 : Type u_1} {f : α → α_1} {a : α}, f <$> some a = some (f a)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : Aᵒᵖ
f : X ⟶ Y
U : Dᵒᵖ
Y' : D
f' : Y' ⟶ unop U
hf' : (Sieve.coverByImage G (unop U)).arrows f'
x : unop X ⟶ ℱ.obj (op (unop U))
⊢ appHom (homOver α (unop X)) (unop U) x ≫ ℱ'.val.map ((Nonempty.some hf').lift ≫ (Nonempty.some hf').map).op = x ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf').map.op ≫ α.app (op (Nonempty.some hf').1) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf').lift.op
y : ℝ
hy : 0 < y
x c : ℝ≥0
left✝ : True
hc : ∀ x_1 ∈ Set.Ioi c, x_1 ^ y ∈ Set.Ioi x
hc' : Set.Ioi ↑c ∈ 𝓝 ⊤
a : ℝ≥0∞
ha : a ∈ Set.Ioi ↑c
⊢ ↑x < a ^ y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : eLpNorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < p.toReal
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
self : L.Hom M N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ self.toFun (FirstOrder.Language.Structure.funMap f x) = FirstOrder.Language.Structure.funMap f (self.toFun ∘ x)
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
LinearOrderedCommRing S
abv : AbsoluteValue R S
x : ℤˣ
y : R
⊢ abv (x • y) = abv y
α : Type u_1
f : α → ℚ → ℝ
a : α
self : ProbabilityTheory.IsRatStieltjesPoint f a
t : ℚ
⊢ ⨅ r, f a ↑r = f a t
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a : α
b : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
⊢ (fun x => ↑↑x) ((fun b => ⟨⋯.lift b, ⋯⟩) b) = b
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
k : ℕ
⊢ (A ^ k).adjugate = A.adjugate ^ k
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
A : ↑c ≠ 0
⊢ ℙ {ω | ↑c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ evariance X ℙ / ↑c ^ 2
R : Type u
⊢ Function.Injective (@CommSemiring.toSemiring R)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ha : a ≠ 0
⊢ (C a * X).degree = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
f : Filter β
u : β → α
a : α
hinf : Filter.liminf u f = a
hsup : Filter.limsup u f = a
h : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
h' : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault
⊢ Filter.Tendsto u f (𝓝 a)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
DecidableEq α
⊢ ⇑(f.update a b) = Function.update (⇑f) a b
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Z : Type u_3
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
T2Space Z
s : Set X
t : Set Y
f g : X → Y → Z
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, f x y = g x y
hf : Continuous (Function.uncurry f)
hg : Continuous (Function.uncurry g)
x : X
⊢ x ∈ closure s → ∀ y ∈ closure t, f x y = g x y
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖
R M : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
L : Type u
w✝¹ : AddCommGroup L
w✝ : Module R L
K : Submodule R L
ϕ : P ≃ₗ[R] L ⧸ K
left✝¹ : Free R L
left✝ : Finite R L
hK : K.FG
⊢ ∃ κ x h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t (F (G α))
⊢ traverse Comp.mk x = traverse (Comp.mk ∘ map id ∘ id) x
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.7462, u_1} C
Φ : C ⥤ C
ε : 𝟭 C ⟶ Φ
J : Type u
inst✝² : LinearOrder J
inst✝¹ : IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderBot J
j : J
F : { i // i ≤ j } ⥤ C
i : J
hi : i ≤ j
k₁ k₂ : { k // k < i }
φ : k₁ ⟶ k₂
⊢ ⋯.functor.obj k₁ ≤ ⋯.functor.obj k₂
R : Type u_4
NonUnitalCommSemiring R
r : R
⊢ (RingEquiv.toOpposite R) r = MulOpposite.op r
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.512830
Bₘ : Type ?u.512833
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
⊢ (algebraMap A K) ((intNorm A B) x) = (norm K) ((algebraMap B L) x)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t ≤ f a}).toReal
R : Type u_1
MulZeroClass R
⊢ IsRegular 0 ↔ Subsingleton R
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, ‖f x‖ ∂μ
G : Type u_1
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableAdd G
μ.IsAddRightInvariant
f : G → ENNReal
g : G
⊢ ∫⁻ (x : G), f (x - g) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.108266, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.108270, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.108274, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
⊢ F.map f ≫ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₂))) = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (L.map f))
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
B : ModuleFilterBasis R M
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalRing R
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
p : ι → Prop
b : ι → Set M
h : (𝓝 0).HasBasis p b
hsmul : ∀ {i : ι}, p i → ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ j, p j ∧ V • b j ⊆ b i
hsmul_left : ∀ (x₀ : R) {i : ι}, p i → ∃ j, p j ∧ MapsTo (fun x => x₀ • x) (b j) (b i)
hsmul_right : ∀ (m₀ : M) {i : ι}, p i → ∀ᶠ (x : R) in 𝓝 0, x • m₀ ∈ b i
⊢ ∀ (a : R), Tendsto (fun m => a • m) (𝓝 0) (𝓝 0)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
f : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
eval_f : ∀ i ∈ s, Polynomial.eval (v i) f = 0
⊢ f = 0
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
⊢ LiouvilleWith p (x + ↑r)
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
φ : PowerSeries R
⊢ (PowerSeries.coeff S n) ((PowerSeries.map f) φ) = f ((PowerSeries.coeff R n) φ)
α : Type u_1
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) = fun x x_1 => x ⊆ x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Part.map f Part.none = Part.none
M : Type w
N : Type w'
f : M → N
⊢ ∀ (a : M), (Function.emptyHom f) a = f a
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Set E
x : E
Fintype ι
w : ι → R
z : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i : ι, w i = 1
hz : ∀ (i : ι), z i ∈ s
hx : ∑ i : ι, w i • z i = x
⊢ x ∈ (convexHull R) s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
⊢ F.IsSheafPairwiseIntersections ↔ F.IsSheafPreservesLimitPairwiseIntersections
α : Type u_2
Fintype α
a b : α → ℝ
⊢ AkraBazziRecurrence.p a b = Function.invFun (fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p) 1
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N
⊢ ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹ ≠ 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x y z : α
⊢ y ∈ s.ordConnectedComponent x ↔ x ∈ s.ordConnectedComponent y
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : (i : ι) → AddMonoid (β i)
inst✝ : (i : ι) → DistribMulAction γ (β i)
i✝ : ι
c : γ
x : β i✝
i : ι
⊢ (single i✝ (c • x)) i = (c • single i✝ x) i
E : Type u_5
F : Type u_9
SeminormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
R : Type u_11
S : Type u_12
Semiring R
Ring S
Module S E
Module R F
σ₁₂ : R →+* S
σ₂₁ : S →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
f : F →ₛₗᵢ[σ₁₂] E
a : F
⊢ ↑(f.equivRange a) = f a
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
⊢ (C a * X ^ 3 + C b * X ^ 2 + C c * X + C d).degree ≤ 3
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf1 : (LinearMap.ker f).FG
hf2 : (LinearMap.ker g).FG
hsur : Surjective ⇑f
⊢ (comap f (LinearMap.ker g) ⊓ LinearMap.ker f).FG
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
a : (i : ι) → φ i
h : ∀ (i : ι), a i = 0
⊢ a ∈ ⊥
ι : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : LocallyFiniteOrder ι
i : ι
hi : succFn i ≤ i
j : ι
x✝ : i ≤ j
hij_lt : i < j
h_succFn_eq : succFn i = i
h_glb : IsGLB (↑(Finset.Ioc i j)) i
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
X : C
σ : CategoryTheory.Aut F
x : ↑(F.obj X)
⊢ σ • x = σ.hom.app X x
R : Type u
CommRing R
A : AlgebraCat R
⊢ (ModuleCat.MonModuleEquivalenceAlgebra.inverseObj A).mul = LinearMap.mul' R ↑A
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B : C
X Y : CategoryTheory.Subobject B
f : CategoryTheory.Subobject.underlying.obj X ⟶ CategoryTheory.Subobject.underlying.obj Y
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f Y.arrow = X.arrow
⊢ X ≤ Y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
x : α
hfx : f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x
hgx : g x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x
⊢ {a | AEStronglyMeasurable.mk f hf a < AEStronglyMeasurable.mk g hg a} x = {a | f a < g a} x
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : FinitePresentation R A
e : A ≃ₐ[R] B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
⊢ Surjective ⇑((↑e).comp f) ∧ (RingHom.ker ((↑e).comp f).toRingHom).FG
A : Type u_1
K : Type u_2
CommRing A
S : Submonoid A
CommRing K
Algebra A K
IsFractionRing A K
B : Type u_3
CommRing B
Algebra A B
IsLocalization S B
hS : S ≤ nonZeroDivisors A
x : K
⊢ x ∈ (Localization.mapToFractionRing K S B hS).range ↔ ∃ a s, ∃ (hs : s ∈ S), x = IsLocalization.mk' K a ⟨s, ⋯⟩
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs_m : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
⊢ s.indicator (μ.restrict s[f|m]) =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m])
G : Type v
X : Type w
PseudoMetricSpace X
AddGroup G
AddAction G X
IsometricVAdd G X
c : G
x : X
r : ℝ
⊢ c +ᵥ Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (c +ᵥ x) r
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
f f' : PartialHomeomorph X Y
openness₁ : IsOpen (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)
⊢ (f.symm.trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).symm).trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs) ≈ (ofSet (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s) openness₁).trans f.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖
u : Set α
ul : u ∈ l
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := u ∩ {b | ε < ‖f b‖}
hv : IntegrableOn f v μ
vl : v ∈ l
this✝ : (μ.restrict v) v < ⊤
this : μ v ≠ ⊤
⊢ False
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z : N
⊢ f.toMap (f.sec z).1 * ↑((IsUnit.liftRight (f.toMap.restrict S) ⋯) (f.sec z).2)⁻¹ = z
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
∀ (i : ι), T2Space (π i)
s : Set ((i : ι) → π i)
⊢ IsCompact (closure s) ↔ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (Function.eval i '' s))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) (mfderiv I I' f x) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ count s = ↑hs.toFinset.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → δ
g : δ → β
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
⊢ Integrable g (Measure.map f μ) ↔ Integrable (g ∘ f) μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), CategoryTheory.ULift.upFunctor.map f = f
p : ℝ[X]
⊢ ∑ x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset, 1 ≤ ∑ x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots
m : Type u_1
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
R : Type v
CommRing R
e : m ≃ n
A : Matrix m m R
⊢ ((Matrix.reindex e e) A).det = A.det
R : Type u_17
S : Type u_18
M : Type u_19
N : Type u_20
Semiring R
Semiring S
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Module S M
Module S N
LinearMap.CompatibleSMul M N R S
⊢ ↑R 0 = 0
G : Type u_2
Group G
n : ℕ
v : ↑(Equiv.Perm.vectorsProdEqOne G n)
j k : ℕ
⊢ Equiv.Perm.VectorsProdEqOne.rotate (Equiv.Perm.VectorsProdEqOne.rotate v j) k =
  Equiv.Perm.VectorsProdEqOne.rotate v (j + k)
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ TotallyDisconnectedSpace α ↔ IsTotallyDisconnected Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
s : LowerSet α
g : β ≃o γ
f : α ≃o β
⊢ (LowerSet.map g) ((LowerSet.map f) s) = (LowerSet.map (f.trans g)) s
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x ∈ t, w x
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
⊢ (insert i t).centerMass w z ∈ s
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : V
inst✝¹ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)
inst✝ : Fintype ↑(G.neighborSet v)
⊢ G'.degree v ≤ Fintype.card ↑(G.neighborSet v)
R : Type u_1
CommRing R
a b : R
hab : IsCoprime a b
i : Fin 2
⊢ ∃ g, ↑g i 0 = a ∧ ↑g i 1 = b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : CategoryTheory.Center C
U : C
⊢ (X.tensorObj Y).snd.β U =
  α_ X.fst Y.fst U ≪≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeftIso X.fst (Y.snd.β U) ≪≫
      (α_ X.fst U Y.fst).symm ≪≫ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRightIso (X.snd.β U) Y.fst ≪≫ α_ U X.fst Y.fst
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 ≤ δ
a b : E
⊢ Metric.ball a ε - Metric.closedBall b δ = Metric.ball (a - b) (ε + δ)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : MvQPF.Fix F α
⊢ MvQPF.Fix.mk x.dest = x
c : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), c ≤ Real.log (stirlingSeq (n + 1))
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ ∀ (n : ℕ), a ≤ stirlingSeq (n + 1)
M : Type u_1
α : Type u_3
Monoid M
TopologicalSpace α
MulAction M α
MulAction.IsMinimal M α
x : α
⊢ Dense (MulAction.orbit M x)
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
g : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α} {R : α → α → Prop}, l₁ <+ l₂ → List.Pairwise R l₂ → List.Pairwise R l₁
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
⊢ mk ∘ g ∘ f = (map g ∘ map f) ∘ mk
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s t : Set α
f : α → M
⊢ s.indicator (t.indicator f) = (s ∩ t).indicator f
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a ≤ a) ↔ ∀ (i : (Quotient.out o).α), o.familyOfBFamily f i a ≤ a
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
Bifunctor F
LawfulBifunctor F
α : Type u₀
β : Type u₁
x : F α β
⊢ Bifunctor.snd id x = x
R : Type u
CommRing R
M : ModuleCat R
N₁ N₂ : ModuleCat R
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft M f = ModuleCat.MonoidalCategory.whiskerLeft M f
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
⊢ ‖g.compContinuousLinearMapLRight‖ ≤ ‖g‖
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
ε : C ≌ D
⊢ CategoryTheory.IsIdempotentComplete C ↔ CategoryTheory.IsIdempotentComplete D
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : SMul αᵐᵒᵖ β
inst✝¹ : SMul β γ
inst✝ : SMul α γ
a : α
s : Set β
t : Set γ
h : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), (op a • b) • c = b • a • c
x✝ : γ
⊢ x✝ ∈ (op a • s) • t ↔ x✝ ∈ s • a • t