ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : PerfectField K
p : K[X]
h : Irreducible p
q : K[X]
sqf : Squarefree (p * q)
dvd : p ∣ q
⊢ False
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
A : BinaryBicone P Q
⊢ F.map A.inl ≫ F.map A.snd = 0
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
⊢ gp.a = 1 ∧ ∃ z, gp.b = ↑z
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : γ → β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : Continuous ↿f
h0K : K.Nonempty
x : γ
y : β
hyK : y ∈ K
h2y : sSup ((fun y => f x y) '' K) = f x y
hy : ∀ y_1 ∈ K, f x y_1 ≤ f x y
this : (∀ a' < f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, a' < f b y) ∧ ∀ a' > f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, f b y < a'
⊢ (∀ a' < f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, a' < sSup (f b '' K)) ∧ ∀ a' > f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, sSup (f b '' K) < a'
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Mul M✝
inst✝² : ContinuousMul M✝
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hright : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)
⊢ Continuous fun p => p.1 * p.2
f : ℍ → ℂ
⊢ UpperHalfPlane.IsZeroAtImInfty f ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ A, ∀ (z : ℍ), A ≤ z.im → Complex.abs (f z) ≤ ε
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
⊢ W'.negAddY P Q * (P z * Q z) ^ 3 = (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) ^ 3
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ✝ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ swap i j • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ → (summand a b (Quotient.mk'' σ)) v = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r : R
hnil : IsNilpotent r
⊢ IsUnit (r - 1)
X : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace X
s : Set X
hs : TopologicalSpace.IsSeparable s
⊢ SecondCountableTopology ↑s
α : Type u_1
Finite α
p : α → Prop
⊢ Nat.card { x // p x } ≤ Nat.card α
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), x + z < f x
x : ℝ
hx : ∀ y ∈ Icc 0 1, f x - x ≤ f y - y
⊢ ∀ (x_1 : ℝ), x_1 + (f x - x) ≤ f x_1
xl xr : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → PGame
x : PGame := mk PEmpty.{u + 1} ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (f ((equivShrink ι).symm i)).RightMoves) PEmpty.elim fun x => (f ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveRight x.snd
i : ι
⊢ x ≤ f i
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (i : Fin2 n) (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' ⟹ α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f i '' univ ⊆ f' i '' univ
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
h' : ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp x i, p i u
j : Fin2 n
y : (P F).B a j
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' ⟹ α
xeq' : abs ⟨a', f'⟩ = x
⊢ f j y ∈ f j '' univ
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.ker ((aeval f) q)
x : M
hx : x ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p)
y : M
hy : y ∈ LinearMap.ker ((aeval f) q)
hxy : x + y = v
h_eval_x : ((aeval f) (p * q)) x = 0
⊢ v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ StrictMono fun x => n • x
J : Type w
f : J → AddCommGrp
⊢ (AddCommGrp.HasLimit.productLimitCone f).cone.pt = AddCommGrp.of ((j : J) → ↑(f j))
β : Type u_7
γ : Type u_8
m m0 : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure β
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderClosedTopology γ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace γ
hm : m ≤ m0
f g : β → γ
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
hfg : f ≤ᵐ[μ] g
⊢ f ≤ᵐ[μ.trim hm] g
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
FunLike F α β
Bornology α
Bornology β
LocallyBoundedMapClass F α β
f : F
s : Set α
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ Bornology.IsBounded (⇑f '' s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
n : ℕ∞
x' : M
hx' : x' ∈ (chartAt H x).source
⊢ ContMDiffAt I I' n f x' ↔
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (Set.range ↑I) (↑(extChartAt I x) x')
M : Type u_11
N : Type u_12
MulOneClass N
SMul M N
IsScalarTower M N N
x : M
y : N
⊢ x • 1 * y = x • y
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
ε : ℝ
Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
⊢ 1 - ε ^ 5 / 50 ≤
  (↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card) /
      (↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card) + 1)) ^
    2
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x y : HahnSeries Γ R
xy : ∀ (a : Γ'), (embDomain f x).coeff a = (embDomain f y).coeff a
g : Γ
⊢ x.coeff g = y.coeff g
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
f : α → R
f' : α → M
x : α
hf : HasCompactSupport f
⊢ HasCompactSupport (f • f')
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ p₁ ≠ p₃
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ (Pell.pellZd a1 n).re = ↑(Pell.xn a1 n)
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : Measurable fun x => f ↑x
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict s)
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
δ : Type u_18
ξ : Type u_19
ω : Type u_20
ω' : Type u_21
f : α → β → γ
g : γ → δ → ω
f' : α → ξ → ω'
g' : β → δ → ξ
A : Matrix l m α
B : Matrix n p β
D : Matrix q r δ
φ : ω ≃ ω'
hφ : ∀ (a : α) (b : β) (d : δ), φ (g (f a b) d) = f' a (g' b d)
⊢ ((Matrix.reindex (Equiv.prodAssoc l n q) (Equiv.prodAssoc m p r)).trans φ.mapMatrix)
    (Matrix.kroneckerMap g (Matrix.kroneckerMap f A B) D) =
  Matrix.kroneckerMap f' A (Matrix.kroneckerMap g' B D)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝² : Pretriangulated C
inst✝¹ : HasShift D ℤ
inst✝ : L.CommShift ℤ
H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
T₁ T₂ : Triangle D
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
T₁' : Triangle C
e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'
hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles
T₂' : Triangle C
e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'
hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles
comm₁ : (L.mapTriangle.obj T₁').mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁
comm₁' : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₁
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x x = 0
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : List (Sigma β)
⊢ lookup a s.toAList = dlookup a s
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
h : 0 ∈ S
m✝ m'✝ : M
s✝ s'✝ : ↥S
⊢ mk m✝ s✝ = mk m'✝ s'✝
α : Type u_1
⊢ Nat.card α = 1 ↔ ∃ x, ∀ (y : α), y = x
C : Type u_1
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : ∀ (i : ι), IsZero (S.map (eval C c i)).homology
i : ι
⊢ (𝟙 S.homology).f i = Hom.f 0 i
m : Type u_1 → Type u_2
α σ : Type u_1
Monad m
a : α
s : σ
⊢ (pure a).run s = pure (a, s)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ
hc : c = 0
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) volume (a / c) (b / c)
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
inst✝ : Fact (finrank ℝ F = n + 1)
x : Fin (n + 1) → F
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o
⊢ ((map (Fin (n + 1)) φ.toLinearEquiv) o).volumeForm x = o.volumeForm (⇑φ.symm ∘ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
h : a < 0
⊢ b₁ < a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ < a • b₁
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
ha : DifferentiableWithinAt 𝕜 a s x
n : ℕ
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => a x ^ (n + 1)) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
ts : List α
n : ℕ
h : ts.length < n
⊢ ts.permutations ~ ts.permutations'
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
MulActionWithZero 𝕜 F
BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup (c • f) μ ≤ ‖c‖₊ • MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
K : HomologicalComplex (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) (ComplexShape.up α)
n : α
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.karoubiCochainComplexEquivalence C α).inverse.obj K).p.f n = (K.X n).p
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω
ω : Ω
hω : ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (μ (s (n + 1))).toReal
htends : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, μ (s (k + 1))) atTop (𝓝 ⊤)
⊢ Tendsto (fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, (μ (s (x + 1))).toReal) atTop atTop
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → X → α
S : Set X
x₀ : X
hA : EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) S x₀
hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)
hu₂ : Continuous (eval x₀ ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
x : X
hx : ∀ (i : ↑A), ((u ∘ Subtype.val) i x₀, (u ∘ Subtype.val) i x) ∈ V
hxS : x ∈ S
⊢ ∀ (i : ↑(closure A)), ((u ∘ Subtype.val) i x₀, (u ∘ Subtype.val) i x) ∈ U
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
s : Subring R
⊢ s.prod ⊤ = Subring.comap (RingHom.fst R S) s
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
h : ∀ (J : BoxIntegral.Box ι), J ∈ π₁ ↔ J ∈ π₂
⊢ π₁ = π₂
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
⊢ ∑ x ∈ A ×ˢ B, ↑↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card * ((1 - ε ^ 5 / 50) / ↑(↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card)) ≤ ∑ x ∈ A.product B, ↑↑(G.interedges x.1 x.2).card / (↑(↑x.1.card * ↑x.2.card) * (↑A.card * ↑B.card))
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
ha : 0 < a
x : α
⊢ (OrderIso.mulLeft₀ a ha) x = a * x
α : Type u_1
inst✝ : SemilatticeSup α
f : ℕ → α
p : α → Prop
hp : ∀ {a b : α}, p (a ⊔ b) ↔ p a ∧ p b
n : ℕ
⊢ p ((partialSups f) (n + 1)) ↔ ∀ k ≤ n + 1, p (f k)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
t : OrderClosedTopology α
f g : β → α
b : Filter β
a₁ a₂ : α
b.NeBot
hf : Filter.Tendsto f b (𝓝 a₁)
hg : Filter.Tendsto g b (𝓝 a₂)
h : ∀ (x : β), f x ≤ g x
⊢ a₁ ≤ a₂
n : ℕ
⊢ Finset.equivBitIndices n = n.bitIndices.toFinset
α : Type u
s t : Set α
⊢ Disjoint s t ↔ s ∩ t = ∅
l : Lean.Omega.LinearCombo
⊢ (-l).coeffs = -l.coeffs
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter γ
t : Set α
⊢ (∃ x, (∃ x_1 ∈ l, s.core x_1 ⊆ x) ∧ r.core x ⊆ t) ↔ ∃ x ∈ l, r.core (s.core x) ⊆ t
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ ≃ τ
p : MvPolynomial σ R
⊢ (rename ⇑f.symm) ((rename ⇑f) p) = p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
x : Filter α
y : ι → Filter β
⊢ Tendsto f x (⨅ i, y i) ↔ ∀ (i : ι), Tendsto f x (y i)
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s✝ : Finset α
this : s✝.card ≤ Fintype.card α / 2
s : Finset α
ih : ∀ {t₂ : Finset α}, t₂.card ≤ Fintype.card α / 2 → s ⊂ t₂ → (↑t₂).Intersecting → ∃ t, t₂ ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting
_hcard : s.card ≤ Fintype.card α / 2
hs : (↑s).Intersecting
t : Finset α
ht : (↑t).Intersecting
hst : s ⊆ t ∧ s ≠ t
⊢ t.card ≤ Fintype.card α / 2
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ (s \ t) \ u = s \ t ∩ (s \ u)
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
x : E
a b : ℝ
⊢ (restrictScalars ℝ (smulRight 1 x)) { re := a, im := b } = (reCLM.smulRight x + I • imCLM.smulRight x) { re := a, im := b }
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
hf : ¬f = 0
⊢ f.natDegree ≤ f.reverse.natDegree + f.natTrailingDegree
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
h_is_o : (fun t => inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹) =o[𝓝 0] fun x => 1
h_lim : Tendsto (fun y => y - ↑x) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun e => ‖inverse e - ↑x⁻¹‖) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)
α : Type u_1
inst✝² : LT α
inst✝¹ : DecidableRel LT.lt
inst✝ : DecidableEq α
lt_irrefl : ∀ (x : α), ¬x < x
lt_trans : ∀ {x y z : α}, x < y → y < z → x < z
lt_antisymm : ∀ {x y : α}, ¬x < y → ¬y < x → x = y
this : OrientedCmp fun x x_1 => compareOfLessAndEq x x_1
x y z : α
yx : ¬y < x
zy : ¬z < y
⊢ ¬z < x
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < ∑ i ∈ insert i t, w i
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
⊢ (insert i t).centerMass w z ∈ s
X : Type u_1
ι : Type u_2
Y : ι → Type u_3
TopologicalSpace X
(i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
Nonempty X
⊢ Embedding fun g => (ContinuousMap.sigmaMk g.fst).comp g.snd
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G
⊢ ⋃ i ∈ s, g i • ↑H = Set.univ ↔ Set.SurjOn (fun x => ↑(g x)) (↑s) Set.univ
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
LinearOrder ι
TopologicalSpace ι
SecondCountableTopology ι
OrderTopology ι
MeasurableSpace ι
BorelSpace ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
DiscreteTopology ι
hu : MeasureTheory.Adapted f u
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
⊢ MeasureTheory.Adapted f (MeasureTheory.stoppedProcess u τ)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
⊢ 𝟙 S.X₂ ≫ S.g = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
s t : Set α
⊢ s.restrict f '' (Subtype.val ⁻¹' t) = f '' (t ∩ s)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
S : Type u_1
CommRing S
f : R →+* S
P : Fin 3 → R
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.dblXYZ (WeierstrassCurve.map W' f) (⇑f ∘ P) = ⇑f ∘ W'.dblXYZ P
ι : Type u_1
N : Type u_5
DecidableEq ι
AddCommMonoid N
p : ι → AddSubmonoid N
h : Function.Injective ⇑(DFinsupp.sumAddHom fun i => (p i).subtype)
⊢ CompleteLattice.Independent p
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluing 𝒰 f g).t' i j k = AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g i j k
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass A R M₁
inst✝³ : IsScalarTower R A M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm A M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
this : Subsingleton (Invertible 2)
⊢ associated ((BilinMap.toQuadraticMapLinearMap A A (M₁ ⊗[R] M₂)) ((BilinMap.tensorDistrib R A) (associated Q₁ ⊗ₜ[R] associated Q₂))) = (BilinMap.tensorDistrib R A) (associated Q₁ ⊗ₜ[R] associated Q₂)
R : Type u
I : Type v
CommSemiring R
x : R
s : I → R
t : Finset I
⊢ (∀ i ∈ t, IsCoprime x (s i)) → IsCoprime x (∏ i ∈ t, s i)
R r : ℝ
hr : r < R
hr' : 0 ≤ r
z : ℂ
⊢ ∃ x,
  ∀ (y : ↑(Metric.closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])),
    Complex.abs (Complex.circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤
      Complex.abs (Complex.circleTransformBoundingFunction R z ↑x)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
u v : R
⊢ W'.negAddY (u • P) (v • Q) = ((u * v) ^ 2) ^ 3 * W'.negAddY P Q
q : ℕ+
⊢ LucasLehmer.X.ωb * LucasLehmer.X.ω = 1
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
L.Structure P
f : L.Hom M N
g : L.Hom N P
⊢ (g.comp f).range = FirstOrder.Language.Substructure.map g f.range
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₂₁ X₂₂ X₂₃ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₁₂ : X₁₂ ⟶ X₁₃
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₂₂ : X₂₂ ⟶ X₂₃
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₃ ⟶ X₂₃
s : CategoryTheory.IsPullback h₁₂ v₁₂ v₁₃ h₂₂
e : h₁₁ ≫ v₁₂ = v₁₁ ≫ h₂₁
⊢ CategoryTheory.IsPullback (h₁₁ ≫ h₁₂) v₁₁ v₁₃ (h₂₁ ≫ h₂₂) ↔ CategoryTheory.IsPullback h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
Ring 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
x : 𝔸
n : ℕ
⊢ ((NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) = (↑n.factorial)⁻¹ • x ^ n
G : Type u_1
G'✝ : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'✝
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
G' : Subgroup G
H K : Subgroup ↥G'
⊢ Injective ⇑G'.subtype
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type v
v : Basis ι R M
this : Nontrivial R
⊢ #ι ≤ ⨆ ι, #↑↑ι
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
inst✝¹ : IsFiltered (CostructuredArrow yoneda A)
inst✝ : FinallySmall (CostructuredArrow yoneda A)
⊢ IsIndObject A
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeSup α
Preorder β
u : α → β
h : Filter.Tendsto u Filter.atTop Filter.atBot
a : α
b : β
⊢ ∃ a' ≥ a, u a' ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
b : β
DecidablePred fun x => x = b
a : α
⊢ HasProd (fun b' => if b' = b then a else 1) a
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S T : Subalgebra R A
⊢ Subalgebra.toSubmodule S * Subalgebra.toSubmodule T ≤ Subalgebra.toSubmodule (S ⊔ T)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
⊢ limsup (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f = s.sup' hs fun i => limsup (F i) f
V✝ : Type u
G : SimpleGraph V✝
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V : Type u_3
inst✝ : Infinite V
hc : ∃ n, ⊤.Colorable n
⊢ False
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
u : ℤˣ
a : ↥(HNNExtension.toSubgroup A B u)
⊢ ↑((HNNExtension.toSubgroupEquiv φ (-u)) ((HNNExtension.toSubgroupEquiv φ u) a)) = ↑a
R : Type u_3
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
hS' : S.ShortExact
Module.Free R ↑S.X₁
Module.Free R ↑S.X₃
⊢ Module.Free R ↑S.X₂
M : Type u_4
N : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
f : OneHom M N
hmul : ∀ (x y : M), f.toFun (x * y) = f.toFun x * f.toFun y
⊢ ⇑{ toOneHom := f, map_mul' := hmul } = ⇑f
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic' i K = X ^ n - 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : CategoryTheory.Center C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f.f
⊢ (CategoryTheory.Center.isoMk f).inv.f = CategoryTheory.inv f.f
α : Type u_1
l l' : List α
⊢ l.Sublist l' ↔ ∃ f, ∀ (ix : Fin l.length), l.get ix = l'.get (f ix)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsGδ s ↔ ∃ f, (∀ (n : ℕ), IsOpen (f n)) ∧ s = ⋂ n, f n
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hms : MeasurableSet s
hu : IsUniform X s ℙ μ
hnt : ¬μ s = ⊤
hns : ¬μ s = 0
this✝ : HasPDF X ℙ μ
this : IsProbabilityMeasure ℙ
⊢ pdf X ℙ μ =ᶠ[ae μ] s.indicator ((μ s)⁻¹ • 1)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : WfDvdMonoid R
r : R
hr : ∃ x, Irreducible x
⊢ Squarefree r ↔ (r = 0 ∧ ¬∃ x, Irreducible x) ∨ Squarefree r