ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f g : α → ℝ
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : ∀ (x : α), f x ≠ 0 ∨ 0 < g x
⊢ Continuous fun x => f x ^ g x
α : Type u
a₀ a₁ a₂ b₀ b₁ b₂ : α
h₀ : a₀ = b₀
h₁ : a₁ = b₁
h₂ : a₂ = b₂
⊢ ![a₀, a₁, a₂] = ![b₀, b₁, b₂]
n : ℕ
⊢ Λ n ≠ 0 ↔ IsPrimePow n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedSemiring α
OrderedSemiring β
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
hf₁ : 0 ≤ f₁
hf₂ : 0 ≤ f₂
h₁ : Monovary f₁ g
h₂ : Monovary f₂ g
⊢ Monovary (f₁ * f₂) g
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
k n : ℕ
μ : R
m : ℕ
hn : k < m + k + 1
hμ : IsPrimitiveRoot μ (m + k + 1)
⊢ ∃ z ∈ adjoin ℤ {μ}, ↑(m + k + 1) = z * (μ - 1) ^ k
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsClopen sᶜ ↔ IsClopen s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
PartialOrder α
Preorder β
a b : α
h : StrictMonoOn f (Set.Icc a b)
⊢ f '' Set.Ico a b ⊆ Set.Ico (f a) (f b)
M : Type u_6
AddCommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ f n = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), if i = 0 then f 0 else f i - f (i - 1)
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module ℂ M
FiniteDimensional ℂ M
Q₁ Q₂ : QuadraticForm ℂ M
hQ₁ : LinearMap.SeparatingLeft (QuadraticMap.associated Q₁)
hQ₂ : LinearMap.SeparatingLeft (QuadraticMap.associated Q₂)
⊢ QuadraticMap.Equivalent Q₁ Q₂
M₀ : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero M₀
r : M₀
⊢ r ∉ nonZeroDivisorsLeft M₀ ↔ {s | s * r = 0 ∧ s ≠ 0}.Nonempty
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p2 -ᵥ p3)
hpi : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p1) (p3 -ᵥ p1) ≠ π
⊢ dist p1 p2 = dist p1 p3
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ‖x - y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2
α : Type u
Add α
a b c d : WithBot α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hb : b ≠ ⊥
hab : a ≤ b
hcd : c < d
⊢ a + c < b + d
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f g : α → β
p : α → Prop
inst✝ : (x : α) → Decidable (p x)
h₀ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | p x} → x ∈ f ⁻¹' s} ∈ l₁
h₁ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | ¬p x} → x ∈ g ⁻¹' s} ∈ l₁
s : Set β
hs : s ∈ l₂
x : α
hp₀ : p x → x ∈ f ⁻¹' s
hp₁ : ¬p x → x ∈ g ⁻¹' s
⊢ (if p x then f x else g x) ∈ s
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
x : α
hx : x ∈ I
h : IsUnit x
⊢ I = ⊤
m : Type u → Type v
Monad m
LawfulMonad m
α : Type u_1
β γ φ : Type u
f : α → m β
g : β → m γ
h : γ → m φ
⊢ (f >=> g) >=> h = f >=> g >=> h
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
H : ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1 = 1
⊢ ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1 = ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
x y : X
⊢ Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y) ↔ x ≠ y
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
F✝ : LaxFunctor B C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : LaxFunctor B C
G : LaxFunctor C D
a✝ b✝ c✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
x✝¹ x✝ : b✝ ⟶ c✝
η : x✝¹ ⟶ x✝
⊢ (G.mapComp (F.map f) (F.map x✝¹) ≫ G.map₂ (F.mapComp f x✝¹)) ≫ G.map₂ (F.map₂ (f ◁ η)) = G.map (F.map f) ◁ G.map₂ (F.map₂ η) ≫ G.mapComp (F.map f) (F.map x✝) ≫ G.map₂ (F.mapComp f x✝)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝ : Fintype ι
h : PowerBasis R S
i✝ j✝ : Fin h.dim
⊢ (BilinForm.toMatrix h.basis) (traceForm R S) i✝ j✝ = of (fun i j => (trace R S) (h.gen ^ (↑i + ↑j))) i✝ j✝
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ Set.MapsTo (↑e) e.source e.target
α : Type u_1
s : Subarray α
⊢ s.size ≤ s.array.size
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ : SimplicialObject.Split C
Φ₁ Φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : ∀ (n : ℕ), Φ₁.f n = Φ₂.f n
⊢ Φ₁ = Φ₂
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α
⊢ μ t = ∑' (g : G), μ (g • t ∩ s)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
x✝ : P
⊢ (reflection s) ((reflection s).symm x✝) = (reflection s) ((reflection s) x✝)
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
CommRing A
Ring B
Ring B'
Algebra A B
Algebra A B'
f : B →ₐ[A] B'
hf : Function.Injective ⇑f
x : B
⊢ minpoly A (f x) = minpoly A x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ ∀ (k' l' : ℕ), k' = k → l' = l → ∀ (hkl : k + l = k' + l') (hs' : (Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s).card = l'), ⟨k', ⟨l', ⟨Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s, hs'⟩⟩⟩ = ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
⊢ IsLindelof s ↔ IsLindelof (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁶ : AddCommMonoid L
inst✝⁵ : TopologicalSpace L
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : TopologicalSpace N
v : VectorMeasure α M
w✝ : VectorMeasure α N
inst✝ : ContinuousAdd M
v₁ v₂ : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
hv₁ : v₁ ≪ᵥ w
hv₂ : v₂ ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑w s = 0
⊢ ↑(v₁ + v₂) s = 0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α
DecidableEq α
h : a ∉ s
h₁ : f a = 1
⊢ Nat.multinomial (insert a s) f = (s.sum f).succ * Nat.multinomial s f
x y : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
hy₁ : -1 ≤ y
hy₂ : y ≤ 1
⊢ Real.arcsin x = Real.arcsin y ↔ x = y
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ colimitMulAux F ⟨j₁, x⟩ ⟨j₂, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₃, x'⟩ ⟨j₂, y⟩
ι : Type u_1
R : Type u_2
Zero ι
One R
⊢ GradedMonoid.GOne.one = 1
⊢ ∀ {β : Type u_1} {β_1 : Type u_2} {s₁ s₂ : β → β_1 → Prop} {α : Type u_3} {α_1 : Type u_4} {r : α → α_1 → Prop}
  {x : α ⊕ β} {y : α_1 ⊕ β_1}, (∀ (a : β) (b : β_1), s₁ a b → s₂ a b) → Sum.LiftRel r s₁ x y → Sum.LiftRel r s₂ x y
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
hφ : ComplexEmbedding.IsReal (mk φ).embedding
⊢ ComplexEmbedding.IsReal φ
G : Type u
AddMonoid G
n : ℕ
h : ∀ (g : G), addOrderOf g ∣ n
⊢ AddMonoid.exponent G ∣ n
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
j : J
⊢ Nonempty (F.toEventualRanges.obj j)
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ S.Exact ↔ LinearMap.ker S.g ≤ LinearMap.range S.f
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b : α
⊢ Associated (gcd a b * lcm a b) (a * b)
α : Type u_1
s t : Multiset α
⊢ s ∈ t.powerset ↔ s ≤ t
α : Type u_1
β : Type v
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
hf : Function.Injective f
x : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.map f (s.erase x) = (Multiset.map f s).erase (f x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ dist p₁ p₂ / Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g s
⊢ iteratedDerivWithin n (f - g) s x = iteratedDerivWithin n f s x - iteratedDerivWithin n g s x
G : Type u_1
Monoid G
x : G
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
⊢ orderOf x = n
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
H : J.OneHypercoverFamily
inst✝ : H.IsGenerating
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), H E → Nonempty (IsLimit (E.multifork P))
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
T : A
x y : T ⟶ P.obj (Opposite.op X)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), S.arrows f → x ≫ P.map f.op = y ≫ P.map f.op
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_3
s : Set α
t : Set β
h : t.Nonempty
⊢ Set.image2 (fun x x_1 => x) s t = s
α : Type u
s t : Set α
⊢ Disjoint (s \ t) (s ∩ t)
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
F : J ⥤ C
⊢ CategoryTheory.Limits.limLax.obj F = CategoryTheory.Limits.lim.obj F
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ (a * b).card = a.card * b.card
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set α
t : Set β
b : β
⊢ b ∈ s • t ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x • y = b
R✝ : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁴ : CommSemiring R✝
inst✝¹³ : CommSemiring S✝
inst✝¹² : Semiring A
inst✝¹¹ : Semiring B
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ A
inst✝⁸ : Algebra R✝ B
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R✝ M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
h : FiniteType R S
inst✝ : IsNoetherianRing R
s : Finset S
hs : adjoin R ↑s = ⊤
⊢ IsNoetherianRing S
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s₁ : Finset σ
q₁ : MvPolynomial { x // x ∈ s₁ } R
s₂ : Finset σ
q₂ : MvPolynomial { x // x ∈ s₂ } R
⊢ ∃ s q₁_1 q₂_1, (rename Subtype.val) q₁ = (rename Subtype.val) q₁_1 ∧ (rename Subtype.val) q₂ = (rename Subtype.val) q₂_1
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTrans α r
IsAntisymm α r
IsTotal α r
s : Multiset α
⊢ ↑(Multiset.sort r s) = s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B : C
X Y : CategoryTheory.Subobject B
h : X = Y
⊢ (X.isoOfEq Y h).hom = X.ofLE Y ⋯
α : Type u_2
A : Set α
D E : Set ↑A
⊢ Subtype.val '' D = Subtype.val '' E ↔ D = E
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s t₁ t₂ : Finset β
DecidableEq β
⊢ s -ᵥ t₁ ∩ t₂ ⊆ (s -ᵥ t₁) ∩ (s -ᵥ t₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
h : 2 ≤ n
this : 1 ≤ n / 2
⊢ decodeSum n = none
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
hS : S.Nonempty
t : Set β
⊢ ⋂ r ∈ S ×ˢ {t}, r.1 ×ˢ r.2 = ⋂ s ∈ S, s ×ˢ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b : Ordinal.{u_4}
⊢ 0 % b = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f✝ g : ι → M
s t : Finset ι
f : ι → M
h₁ : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1
i : ι
m : i ∈ s
i_ne : f i ≠ 1
⊢ ∏ i ∈ s, f i < 1
x : EReal
⊢ IsOpen {z | ↑z.re < x}
Γ : Type u
Γ' : Type v
Inhabited Γ
Inhabited Γ'
self : Turing.PointedMap Γ Γ'
⊢ self.f default = default
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
dm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).natDegree ≤ m + n := fun {m n} {p q} => natDegree_mul_le_of_le
⊢ (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n)
A : Type u_1
NormedCommRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
a : A
z : ℂ
⊢ z ∈ spectrum ℂ a ↔ ∃ f, f a = z
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ball x ε ⊆ s
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
e : R ≃+* S
x : R
⊢ e.symm (e x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
hs : MeasurableSet s
h_meas : Measurable (Function.uncurry fun a b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s})
⊢ Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h_meas_s : MeasurableSet s
h_nonempty : {d | μ ≤ d + ν}.Nonempty
⊢ sInf {d | μ.restrict s ≤ d + ν.restrict s} ≤ sInf ((fun μ => μ.restrict s) '' {d | μ ≤ d + ν})
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ evalEval x y (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃)) = -y - (W.a₁ * x + W.a₃)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
⊢ (Multiset.map (fun n => -(-1) ^ n) f.cycleType).prod = (-1) ^ (f.cycleType.sum + card f.cycleType)
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A✝
inst✝³ : Module A✝ M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
A : Type u_7
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
f : M →ₗ[A] M
hf : IsUnit f
⊢ IsUnit (LinearMap.det f)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace δ
f : α → δ
x : δ
hμ : μ ≠ 0
⊢ ⋃ i, f ⁻¹' Metric.ball x ↑i = univ
S : SSet
self : S.Quasicategory
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
σ₀ : SSet.horn (n + 2) i ⟶ S
_h0 : 0 < i
_hn : i < Fin.last (n + 2)
⊢ ∃ σ, σ₀ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (SSet.hornInclusion (n + 2) i) σ
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
this : ↑(2 * k)! = 2 * ↑k * Complex.Gamma (2 * ↑k)
⊢ (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / (2 * 2 * ↑k * Complex.Gamma (2 * ↑k)) = (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * ↑k) / (2 * 2 * ↑k * Complex.Gamma (2 * ↑k))
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.degree < P.degree
hQ : Q ≠ 0
hnps : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff ≤ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Polynomial.eval x P / Polynomial.eval x Q) Filter.atTop Filter.atBot
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
c₁ : Basis n' R M₁
c₂ : Basis m' R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
⊢ ((toMatrix c₁ b₁) id)ᵀ * (toMatrix₂ b₁ b₂) B * (toMatrix c₂ b₂) id = (toMatrix₂ c₁ c₂) B
M : Type u_1
AddZeroClass M
x : M
⊢ x ∈ ⊤
Γ : Type u_1
PartialOrder Γ
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddCommGroup W
Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
n : Γ
v : V
⊢ (A.coeff n) v = ((HahnModule.of R).symm (A v)).coeff n
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4
X : 𝓞 K
hX : ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 = λ ^ 2 * X
Y : 𝓞 K
hY : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 - 1 = λ ^ 2 * Y
Z : 𝓞 K
hZ : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 - 1 = λ ^ 2 * Z
⊢ ∃ n, λ ^ 2 ∣ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) - ↑n
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GMonoid A
inst✝ : Gmodule A M
x : ⨁ (i : ιB), M i
i : ιB
xi : M i
⊢ (of M (0 +ᵥ i)) (GSMul.smul GOne.one xi) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ιB), M i)) ((of M i) xi)
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
h : p.natDegree < q.natDegree
⊢ p.degree < q.degree
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
⊢ (image₂ f s t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsNormalSubgroup s
⊢ ∀ {a : G}, a ∈ f ⁻¹' s → a⁻¹ ∈ f ⁻¹' s
R : Type u
CommRing R
X : Type u
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor ((ModuleCat.free R).obj X)).hom =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (ModuleCat.Free.ε R) (𝟙 ((ModuleCat.free R).obj X)) ≫
    (ModuleCat.Free.μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫
      CategoryTheory.map (ModuleCat.free R).obj (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
⊢ ∀ (a : α) (b : β), Prod.Lex s r (b, a) (enum (Prod.Lex s r) c l)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
⊢ y ∈ interior s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ n a : ℕ
⊢ a ≤ ⌊↑n⌋₊ ↔ a ≤ n
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
hab : a = b
R : 𝒮
hR : p.obj a = R
⊢ p.IsHomLift (𝟙 R) (CategoryTheory.eqToHom hab)
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : (Finsupp.total F (G → F) F ⇑(toFun G F)) l = (toFun G F) a
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (α × β)
⊢ l.toAssocList.toList = l
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 : (extendIdealTo i f h y) r = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)
⊢ extensionToFun i f h x = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableAt ℝ f y
⊢ slope f x y < deriv f y
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
n : ℤ
hn : Odd n
⊢ a ^ n ≤ 0 ↔ a ≤ 0
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
R S T : CategoryTheory.Subgroupoid C
k : R ≤ S
h : S ≤ T
⊢ CategoryTheory.Subgroupoid.inclusion ⋯ =
  (CategoryTheory.Subgroupoid.inclusion k).comp (CategoryTheory.Subgroupoid.inclusion h)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
s : Set α
hc : IsClosed s
hs : s.Nonempty
B : BddAbove s
⊢ IsGreatest s (sSup s)
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F✝
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝ : SecondCountableTopology F✝
f : E → F✝
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F✝
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F✝) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F✝), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : ⋃ x ∈ T, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x)) = ⋃ x, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x))
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → ↑T → Set E := fun n z => {x | x ∈ s ∧ ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n), ‖f y - f x - (f' ↑↑z) (y - x)‖ ≤ ↑(r (f' ↑↑z)) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z
closure_M_subset : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T), s ∩ closure (M n z) ⊆ M n z
d : ℕ → E
hd : DenseRange d
K : ℕ → ↑T → ℕ → Set E := fun n z p => closure (M n z) ∩ closedBall (d p) (u n / 3)
K_approx : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T) (p : ℕ), ApproximatesLinearOn f (f' ↑↑z) (s ∩ K n z p) (r (f' ↑↑z))
K_closed : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T) (p : ℕ), IsClosed (K n z p)
F : ℕ → ℕ × ↑T × ℕ
hF : Function.Surjective F
⊢ ∃ t A, (∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, t n ∧ (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))) ∧ (s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (G i)
g : Monoid.PushoutI φ
w : Monoid.PushoutI.NormalWord d
⊢ (g • w).prod = g * w.prod
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
j : J
⊢ c.ι.app j ≫ T.η.app c.pt ≫ lambda c t = c.ι.app j ≫ 𝟙 c.pt
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
R : D ⥤ C
inst✝¹ : Coreflective R
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ D
c : Cone ((F ⋙ R) ⋙ comonadicRightAdjoint R) := (comonadicRightAdjoint R).mapCone (limit.cone (F ⋙ R))
this : PreservesLimitsOfShape J (comonadicRightAdjoint R) := PreservesLimitsOfSize.preservesLimitsOfShape
t : IsLimit c := isLimitOfPreserves (comonadicRightAdjoint R) (limit.isLimit (F ⋙ R))
⊢ (F ⋙ R) ⋙ comonadicRightAdjoint R ≅ F
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f' : (P.drop.B a).Arrow α
f : P.last.B a → P.W α
⊢ P.wDest' (P.wMk a f' f) = ⟨a, TypeVec.splitFun f' f⟩
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v w : V
hvw : G.Adj v w
e : Sym2 V
⊢ ∀ (x y : V), s(x, y) ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).edgeSet ↔ s(x, y) ∈ {s(v, w)}
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p.support.Nonempty ↔ p ≠ 0