ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K✝
inst✝³¹ : Field L✝
inst✝³⁰ : Algebra A K✝
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝
inst✝²⁸ : Algebra B L✝
inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this : IsIntegralClosure B A L
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z x : E
hx : x ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
h : a • (fun x => z + x) x + b • (fun x => z + x) y ∈ interior s
⊢ a • x + b • y ∈ (fun b => z + b) ⁻¹' interior s
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
n : ℕ
hn : Odd n
hχ : χ ^ n = 1
⊢ χ (-1) = 1
G : Type u₂
Monoid G
k : Type u_4
A : Type u_5
CommSemiring k
Semiring A
Algebra k A
⊢ MonoidAlgebra.mapDomainAlgHom k A (MonoidHom.id G) = AlgHom.id k (MonoidAlgebra A G)
f✝ : StieltjesFunction
c : ℝ≥0
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
x✝ : a < b
⊢ (c • f).measure (Ioc a b) = (c • f.measure) (Ioc a b)
α : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Nonempty X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : MeasurableSpace.CountablySeparated X
f : α → α
g : α → X
h : PreErgodic f μ
hgm : Measurable g
hg_eq : g ∘ f = g
U : Set X
hU : MeasurableSet U
⊢ f ⁻¹' (g ⁻¹' U) = g ⁻¹' U
n : ℕ
⊢ Finset.range n.succ = insert n (Finset.range n)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SSameSide x y
⊢ (↑s).Nonempty
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ ⊤ → ContDiffOn 𝕜 (↑m) f s) ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
⊢ ‖(ContinuousLinearMap.adjoint A).comp A‖ = ‖A‖ * ‖A‖
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b
⊢ multinomial {a, b} f = (f a + f b).choose (f a)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : Set (Set E)
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X
h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
⊢ (⋂₀ F).Nonempty
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ x : ι → ℝ
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ π
hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁
J₂ : Box ι
h₂ : J₂ ∈ π
hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂
i : ι
H : ∀ (x_1 : ι), J₁.lower x_1 = x x_1 ↔ J₂.lower x_1 = x x_1
hi₁ : J₁.lower i = x i
⊢ (Set.Ioc (J₁.lower i) (J₁.upper i) ∩ Set.Ioc (J₂.lower i) (J₂.upper i)).Nonempty
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.ShortComplex C)} (φ : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.inverse J C).map φ).τ₁ =
    CategoryTheory.whiskerRight φ CategoryTheory.ShortComplex.π₁
θ : Angle
⊢ 0 ≤ Real.cos θ.toReal ↔ -(π / 2) ≤ θ.toReal ∧ θ.toReal ≤ π / 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : DenselyOrdered α
⊢ (Ioo a b).Nonempty ↔ a < b
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
NontriviallyNormedField α
NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖ = ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ }‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
h₂ : a ≤ d
x : α
⊢ a ≤ x ∧ x < b ∨ c ≤ x ∧ x < d ↔ (a ≤ x ∨ c ≤ x) ∧ (x < b ∨ x < d)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
x : α
hx : (-llr μ ν) x = llr ν μ x
hx_exp_log : rexp (llr ν μ x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal
⊢ rexp (-llr μ ν x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
Field R
StarRing R
MetricSpace R
CompleteSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
Ring A
StarRing A
TopologicalSpace A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
a : A
ha : p a
⊢ cfcₙHom ha = cfcₙHom_of_cfcHom R ha
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W
⊢ cs.length (w * t) ≠ cs.length w
z w : ℍ
r R a : ℝ
y₁ y₂ : ℍ
⊢ dist (a +ᵥ y₁) (a +ᵥ y₂) = dist y₁ y₂
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
r : A
s : ↥(nonZeroDivisors A)
⊢ IsLocalization.mk' K r s = (algebraMap A K) r / (algebraMap A K) ↑s
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ⊤ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
δc : HasSum δ c
c_lt : c < 1
r : ℕ → ℝ
rpos : ∀ (n : ℕ), 0 < r n
hr : ∀ (n i : ℕ), i ≤ n → ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i (r n • g n) x‖ ≤ ↑(δ n)
⊢ ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : p.order ≠ 0
⊢ p ≠ 0
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
i : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i
⊢ Trivialization.symmL R (Z.localTriv i) b = Z.coordChange i (Z.indexAt b) b
x y : PSet
⊢ (∀ (w : PSet), w ∈ x ↔ w ∈ y) → x.Equiv y
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
c : α
hc : CompleteLattice.IsCompactElement c
hcinf : c ≤ a ∧ c ≤ sSup s
t : Finset α
ht1 : ↑t ⊆ s
ht2 : c ≤ t.sup id
⊢ a ⊓ t.sup id ≤ a ⊓ t.sup id
m : Type u_2
R : Type u_7
α : Type v
β : Type w
Fintype m
DecidableEq m
CommSemiring R
Semiring α
Semiring β
Algebra R α
Algebra R β
f : α ≃ₐ[R] β
⊢ f.mapMatrix.symm = f.symm.mapMatrix
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
t : Set Y
hf : Continuous f
⊢ f ⁻¹' interior t ⊆ interior (f ⁻¹' t)
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ✝ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ✝
f : X →ᵇ ℝ≥0
μ : Measure X
⊢ (∫⁻ (x : X), ↑(f x) ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : X), ENNReal.ofReal ↑(f a) ∂μ).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 64 ≤ N
⊢ 2 < √(log ↑N)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
⊢ ∀ (i_1 : ι × κ), ((dualDistrib R M N ∘ₗ dualDistribInvOfBasis b c) ((b.tensorProduct c).dualBasis (i, j))) ((b.tensorProduct c) i_1) = (LinearMap.id ((b.tensorProduct c).dualBasis (i, j))) ((b.tensorProduct c) i_1)
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedCommMonoid N
f : ι → N
hf : ∀ (x : ι), 1 ≤ f x
⊢ Monotone fun s => ∏ x ∈ s, f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a b : E → 𝔸
ha : DifferentiableOn 𝕜 a s
hb : DifferentiableOn 𝕜 b s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => a y * b y) s
x y : ℝ
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
t : Finset β
⊢ s.biUnion f ∩ t = s.biUnion fun x => f x ∩ t
o : Ordinal.{u_1}
i : o.toPGame.LeftMoves
⊢ ↑(Ordinal.toLeftMovesToPGame.symm i) < o
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b✝ : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
b : AffineBasis ι k V
v : V
hb : ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) v) = v
⊢ ∑ i : ι, (b.coord i) v • b i = v
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
⊢ HasFDerivWithinAt f f' (insert y s) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddGroup β
f : α → β
hf : ∀ (x y : α), f (x + y) = f x + f y
⊢ IsAddGroupHom f
𝕜 : Type u_1
SeminormedRing 𝕜
NormOneClass 𝕜
x : ↑(Metric.closedBall 0 1)
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
inj : Function.Injective ⇑f
⊢ { toFun := ⇑f, inj' := inj } = f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
i : ι
⊢ f (Function.update x i (y i)) = (f.toFormalMultilinearSeries (1 + (Fintype.card ι - 1))) ((↑((?h.inr.refine_1 ∘ ⇑(Fintype.equivFinOfCardEq ⋯)) i)).piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
α : Type u_1
AddCancelCommMonoid α
s t : Set α
a : α
x y : ↑(s.addAntidiagonal t a)
h : (↑x).2 = (↑y).2
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ (⇑f.symm '' A)
U : Set α
hAU : U ⊇ ⇑f.symm '' A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < r
⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ (map (⇑f) μ) U < r
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
⊢ LieAlgebra.IsNilpotent R L ↔ LieAlgebra.IsNilpotent R L'
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ max x 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
hmain : ∀ (m : ℕ) (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-↑m - 1) * x₀) (2 ^ (-↑m) * x₀) → f z = 0
⊢ f x = 0
d : ℤ
n : ℤ
⊢ (↑n).re = n
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q Q' : QuadraticMap R M N
h : Q = Q'
x : M
⊢ Q x = Q' x
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H₁ : r.size = 0 → l.size ≤ 1
H₂ : 1 ≤ r.size → 1 ≤ l.size → l.size ≤ delta * r.size
H₃ : 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5 ∨ r.size ≤ 3
⊢ Valid' o₂ (r.dual.balanceL x l.dual) o₁
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : ContinuousMul G
h : IsClosed {1}
x : G
⊢ IsClosed {x}
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk v u
h : G.Adj u v
⊢ (s(u, v) ∉ p.edges ∧ p.edges.Nodup) ∧ cons h p ≠ nil ∧ p.support.Nodup ↔ p.support.Nodup ∧ s(u, v) ∉ p.edges
α : Type u
AddCommGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a < b - c ↔ c < b - a
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p✝ : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.succ
z : α✝ 0
p : ℕ
α : Type u_1
a : Fin m → α
b : Fin n → α
c : Fin p → α
i : Fin (m + n + p)
⊢ append (append a b) c i = append a (append b c) (cast ⋯ i)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a b : α
ab : a ≠ b
s : Multiset α
l : List α
⊢ count a (erase ⟦l⟧ b) = count a ⟦l⟧
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : C
⊢ (reflectorAdjunction i).unit.app (i.obj ((reflector i).obj X)) = i.map ((reflector i).map ((reflectorAdjunction i).unit.app X))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
h : ∀ (X : C), CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J (CategoryTheory.yoneda.obj X)
⊢ CategoryTheory.Sheaf.Subcanonical J
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
f : β → α
⊢ (s.attach.sup fun x => f ↑x) = s.sup f
α : Type u_1
s : Set α
SemilatticeSup α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | ¬b ≤ a}) ↔ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℤ
f : AddCircle T → AddCircle T := fun y => n • y + x
e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))
he : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
h : n - 1 ≠ 0
hnx : n • DivisibleBy.div x (n - 1) = x + DivisibleBy.div x (n - 1)
y : AddCircle T
⊢ (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) y = n • y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ ∀ {X Y : C × D} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Prod.snd C D).map f = f.2
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Subtype Numeric
⊢ BddBelow (Set.range fun i => ⟦f i⟧)
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
IsDomain R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Finite R M
Module.Free R M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ
⊢ LinearMap.charpoly φ = Polynomial.X ^ FiniteDimensional.finrank R M
K : Type u_1
RCLike K
z w : K
⊢ z = w ↔ RCLike.re z = RCLike.re w ∧ RCLike.im z = RCLike.im w
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
p : PrimeSpectrum R
s : Set M
hs : Submodule.span R s = ⊤
⊢ p ∈ Module.support R M ↔ ∃ m ∈ s, (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ p.asIdeal
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
x : AddMonoid.Coprod M N
⊢ AddMonoid.Coprod.snd ((AddMonoid.Coprod.swap M N) x) = AddMonoid.Coprod.fst x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0
h : ν ⟂ₘ μ
⊢ r • ν ⟂ₘ μ
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖sinKernel (↑a) x‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 x
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜₁ : Type u_7
𝕜₂ : Type u_8
inst✝⁹ : NormedDivisionRing 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedDivisionRing 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
s : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜₁ s
f : E →SL[σ] F
σ_iso : Isometry ⇑σ
this : map (⇑σ) (𝓝 0) = 𝓝 0
hf₀ : Tendsto (⇑f) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ IsVonNBounded 𝕜₂ (⇑f '' s)
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
β : Type u_2
f : β → α
h : (Monotone fun s => m ↑s) ∨ Function.Surjective f
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) (MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy m) =
  MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy fun s => m (f '' s)
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
homeo : ↑(X ⨯ Y) ≃ₜ ↑(of (↑X × ↑Y)) := homeoOfIso (X.prodIsoProd Y)
⊢ induced (⇑homeo) (of (↑X × ↑Y)).topologicalSpace_coe = induced (⇑prod.fst) X.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s✝ t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ ∃ n < s.card, (f ^ n) a = b
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
⊢ Memℒp (f + -g) p μ
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
h : b < 1
⊢ a * b < a
α : Type u_2
SemilatticeInf α
⊢ InfClosed Set.univ
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
N : Matroid α
hI : N.Indep I
hNM : N.Restriction M
⊢ M.Indep I
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
⊢ primitiveRoots n K ⊆ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
⊢ (((M.Indep I ∧ I ⊆ R) ∧ I ⊆ X) ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → y ⊆ R → y ⊆ X → I ⊆ y → I = y) ↔ ((M.Indep I ∧ I ⊆ X ∧ I ⊆ R) ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → y ⊆ X → y ⊆ R → I ⊆ y → I = y) ∧ I ⊆ R
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Finite M
⊢ ↑(Nat.card { p // Commute p.1 p.2 }) ≤ ↑(Nat.card M) ^ 2
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
r : ℝ
hf' : UniformCauchySeqOn f' l (Metric.ball x r)
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasDerivAt (f n) (f' n y) y
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
⊢ UniformCauchySeqOn f l (Metric.ball x r)
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
⊢ ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
Invertible A
Invertible A.det
⊢ (⅟A).det = ⅟A.det
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0
⊢ W'.addY P Q = (-(Q x * P z)) ^ 3 * P y
K : Type u_1
RCLike K
h : RCLike.I = 0
a : K
⊢ (RCLike.realRingEquiv h) a = RCLike.re a
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
⊢ (↑(Int.negOfNat 1))⁻¹ = ↑(Int.negOfNat 1)
n m : WithBot ℕ
h : n < m
⊢ n + 1 ≤ m
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
X : C
S : CategoryTheory.Presieve X
T : CategoryTheory.Sieve X
h : S.FactorsThru T.arrows
⊢ S ≤ T.arrows
⊢ ∀ {α : Type u_1} {dflt : α} {acc : Array α} (n : Nat) (l : List α),
  List.takeDTR.go dflt n l acc = acc.data ++ List.takeD n l dflt
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
SemilatticeInf T
OrderTop T
Semiring R
AddMonoid A
AddMonoid T
CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
n : ℕ
f : AddMonoidAlgebra R A
⊢ n • f.support.inf degt ≤ (f ^ n).support.inf degt
α : Type u_1
LT α
DecidableRel LT.lt
DecidableEq α
BEq α
LawfulBEq α
LE α
lt_irrefl : ∀ (x : α), ¬x < x
lt_trans : ∀ {x y z : α}, x < y → y < z → x < z
not_lt : ∀ {x y : α}, ¬x < y ↔ y ≤ x
le_antisymm : ∀ {x y : α}, x ≤ y → y ≤ x → x = y
⊢ Batteries.LawfulCmp fun x x_1 => compareOfLessAndEq x x_1
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ ∀ (x : 𝒰.J), (𝒰.pushforwardIso f).obj x = 𝒰.obj x
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp : IntFractPair K
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp
s_nth_eq : (of v).s.get? n = some { a := 1, b := ↑ifp.b }
⊢ ∃ ifp_1, IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_1 ∧ ↑ifp_1.b = { a := 1, b := ↑ifp.b }.b
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ AEMeasurable (fun x => ↑(f x)) μ ↔ AEMeasurable f μ
z : ℂ
⊢ (starRingEnd ℂ) z = z ↔ z.im = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
α : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsEmpty α
β : α → Type u_5
m : (a : α) → MeasurableSpace (β a)
μ : (a : α) → Measure (β a)
x : optParam ((a : α) → β a) fun a => isEmptyElim a
this : ∀ (a : α), SigmaFinite (μ a)
s : (i : α) → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : α), MeasurableSet (s i)
⊢ (dirac x) (univ.pi s) = ∏ i : α, (μ i) (s i)
n n' : ℕ
h : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n n'
⊢ ¬Nat.Prime n' → ¬Nat.Prime n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
⊢ s ∥ ⊥ ↔ s = ⊥
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSingletonClass (MeasureTheory.NullMeasurableSpace α μ)
x : α
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet {x} μ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
AlgebraicGeometry.Surjective (f ≫ g)
⊢ AlgebraicGeometry.Surjective g
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
r : ℝ
z : K
⊢ im (↑r * z) = r * im z
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
NormedSpace 𝕜 E
SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
f : SchwartzMap V E
⊢ ⇑((SchwartzMap.fourierTransformCLM 𝕜) f) = 𝓕 ⇑f
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ λ ^ 2 ∣ S'.a + S'.b ∨ λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η * S'.b ∨ λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b
x a' : ℝ
⊢ oddKernel (-↑a') x = -oddKernel (↑a') x
R : Type u_1
Semiring R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
T : Type u_3
Semiring T
f : R →+* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
r : R
⊢ (OreLocalization.universalHom f fS hf) (OreLocalization.numeratorHom r) = f r
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
x y : lc.pt
hn : x ≠ y
j : J
z : K.obj j
hx : lc.ι.app j { down := z } = x
hy : lc.ι.app j { down := z } = y
⊢ False