ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
s : Set E
g : F →L[𝕜] G
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (⇑g ∘ f) s
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
k : Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ j ∈ range n, (∑ k ∈ range n, f k - ∑ k ∈ range (j + 1), f k) * z ^ j) atTop (𝓝 (l - ∑' (i : ℕ), f i * z ^ i))
⊢ Tendsto (fun x => ∑ i ∈ range x, z ^ i) atTop (𝓝 (-1 / (z - 1)))
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : G.Adj v w
v✝ : V
hv : v✝ = v ∨ v✝ = w
⊢ ∃! w_1, (G.subgraphOfAdj h).Adj v✝ w_1
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
a : G
a_min : a ∈ lowerBounds {g | g ∈ H ∧ 0 < g}
a_in : a ∈ H
a_pos : 0 < a
⊢ H = closure {a}
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hf : IsUnit f
⊢ U ≤ X.basicOpen f
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
hM : 0 < M
hε : 0 < ε
z : ℂ
hzl : (1 - z).re < ε
hzr : |z.im| < s * (1 - z).re
H : √((1 - z).re ^ 2 + z.im ^ 2) < M * (1 - √((1 - (1 - z).re) ^ 2 + z.im ^ 2))
⊢ z ∈ stolzSet M
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
ab : a ≤ b
i : ℕ
cv : Icc a b ⊆ Ioo (c i) (d i) ∪ ⋃ x ∈ ↑(s.erase i), Ioo (c x) (d x)
cb : c i < b
is : i ∈ s
bd : b < d i
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i)) + ∑ x ∈ s.erase i, ofReal (↑f (d x) - ↑f (c x))
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g : G
hne : ↑g ≠ 1
hfin : IsOfFinOrder ↑g
⊢ ↑g = 1
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a✝ : Ordinal.{u_3}
α : Type u_3
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
a x : α
x✝ : ∀ (y : α), r y x → Acc r y
IH : ∀ (y : α), r y x → Acc (fun x x_1 => x < x_1) (typein r y)
o : Ordinal.{u_3}
h : o < typein r x
⊢ Acc (fun x x_1 => x < x_1) o
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
a b c d : G₀
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ a / b = c / d ↔ a * d = c * b
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s : Set α
⊢ infClosure.IsClosed s = InfClosed s
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (x : β), f x ∂(ProbabilityTheory.Kernel.deterministic g hg) a = f (g a)
R : Type u
Field R
p : R[X]
DecidableEq R
h : p.Monic
⊢ normalize p = p
α : Type u_1
a : Array α
i j : Fin a.size
⊢ (a.swap i j).swap ⟨↑i, ⋯⟩ ⟨↑j, ⋯⟩ = a
X Y : CondensedSet
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔
  ∀ (S : CompHaus) (y : Y.val.obj (Opposite.op S)),
    ∃ S' φ, ∃ (_ : Function.Surjective ⇑φ), ∃ x, f.val.app (Opposite.op S') x = Y.val.map (Opposite.op φ) y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
⊢ Summable fun i => ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
A B : CategoryTheory.Limits.Cone F
self : CategoryTheory.Limits.ConeMorphism A B
j : J
⊢ self.hom ≫ B.π.app j = A.π.app j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
c : F
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => c - f y) s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_2
Mul α
s t : Set α
a b : α
⊢ a ∈ s → b ∈ t → a * b ∈ s * t
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ (nthRootsFinset (↑n) R).card ≤ ((↑n).divisors.biUnion fun i => primitiveRoots i R).card
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
α : F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.NatIso.op α).inv = CategoryTheory.NatTrans.op α.inv
p n : ℕ
n_big : 2 < n
p_le_n : p ≤ n
big : 2 * n < 3 * p
⊢ n.centralBinom.factorization p = 0
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ContinuousOn f (sphere z r)
hg : ContinuousOn g (sphere z r)
h1 : ContinuousOn (fun w => ((w - z) ^ 2)⁻¹) (sphere z r)
⊢ (∮ (w : ℂ) in C(z, r), ((w - z) ^ 2)⁻¹ • (f - g) w) = (∮ (w : ℂ) in C(z, r), ((w - z) ^ 2)⁻¹ • f w) - ∮ (w : ℂ) in C(z, r), ((w - z) ^ 2)⁻¹ • g w
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
h : Wbtw R x y z
f : P →ᵃ[R] P'
⊢ Wbtw R (f x) (f y) (f z)
α : Type u
m n : ℕ
h : m + 1 + 1 = n + 1 + (n + 1)
x y : α
u : Fin m → α
⊢ Matrix.vecAlt0 h (Matrix.vecCons x (Matrix.vecCons y u)) = Matrix.vecCons x (Matrix.vecAlt0 ⋯ u)
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
⊢ derivative ((expand R p) f) = (expand R p) (derivative f) * (↑p * X ^ (p - 1))
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ ∃ ε > 0, EMetric.ball x ε ⊆ s
α : Type u_1
p : Multiset α → Prop
s : Multiset α
empty : p 0
cons : ∀ (a : α) (s : Multiset α), p s → p (a ::ₘ s)
⊢ p s
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ (Filter.cocompact X).NeBot → NoncompactSpace X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
Kg : ℝ≥0
g : β → γ
hg : AntilipschitzWith Kg g
Kf : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith Kf f
x y : α
⊢ ↑Kf * (↑Kg * edist (g (f x)) (g (f y))) = ↑Kf * (↑Kg * edist ((g ∘ f) x) ((g ∘ f) y))
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
X : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace X
hX : Pairwise fun x y => ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
S : Set X
x : X
hx : x ∈ S
y : X
hy : y ∈ S
hxy : x ≠ y
U : Set X
hU : IsClopen U
hxU : x ∈ U
hyU : y ∉ U
hS : (S ∩ (U ∩ Uᶜ)).Nonempty
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
CategoryTheory.Preadditive C
j k : ℕ
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet (Opposite.op [j])
hA : ¬A.EqId
⊢ (s.cofan (Opposite.op [j])).inj A ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [k])) =
  0
α : Type u_1
M : IndepMatroid α
I : Set α
⊢ M.matroid.Indep I ↔ M.Indep I
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
t : ℝ
key : Continuous fun x => (t, x)
⊢ Continuous ↿(γ.truncate t)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
BorelSpace X
ConditionallyCompleteLinearOrder X
ConditionallyCompleteLinearOrder E
OrderTopology X
OrderTopology E
SecondCountableTopology E
hanti : AntitoneOn f s
a b : X
ha : IsLeast s a
hb : IsGreatest s b
hs : μ s ≠ ⊤
h's : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
⊢ c.unop.snd = c.inr.unop
C : Type w
CategoryTheory.Category.{u + 1, w} C
CategoryTheory.HasWeakSheafify (CategoryTheory.coherentTopology CompHaus) C
X : C
⊢ (Condensed.discrete C).obj X =
  (CategoryTheory.presheafToSheaf (CategoryTheory.coherentTopology CompHaus) C).obj
    ((CategoryTheory.Functor.const CompHausᵒᵖ).obj X)
α : Type u_3
s : Finset α
n : ℤ
f : α → ℤ
⊢ (∑ i ∈ s, f i) % n = (∑ i ∈ s, f i % n) % n
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
w : HNNExtension.NormalWord.ReducedWord G A B
hw : HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.prod φ w ∈ HNNExtension.of.range
⊢ w.toList = []
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), (eval x) F = if x ∈ S then 1 else 0
key : ∑ x : σ → K, (eval x) F = ↑(Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 })
i : ι
x✝ : i ∈ s
⊢ (1 - f i ^ (q - 1)).totalDegree ≤ (q - 1) * (f i).totalDegree
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : f =ᶠ[ae μ] g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
ι : Type u_3
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this✝ : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
s : Set β
h1s : IsClosed s
h2s : s.Nonempty
h3s : s ≠ Set.univ
this : Measurable fun x => infNndist (g x) s
h4s : g ⁻¹' s = (fun x => infNndist (g x) s) ⁻¹' {0}
⊢ MeasurableSet (g ⁻¹' s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
⊢ CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty D
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsRefl α r
IsRefl β s
f : r ≃r s
⊢ Order.cof r = Order.cof s
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
x : α
⊢ (dirac x).prod ν = map (Prod.mk x) ν
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
hsc : autoParam sᶜ.Finite _auto✝
⊢ s.ncard + sᶜ.ncard = Nat.card α
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
MulZeroOneClass γ
f : β →*₀o γ
g : α →*₀o β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
n : Q
q : N
⊢ (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g) (n ⊗ₜ[R] q) = (range (lTensor Q f)).mkQ (n ⊗ₜ[R] q)
M : Type u_1
Monoid M
a : M
u : Mˣ
h : Commute (↑u) a
m : ℤ
⊢ Commute (↑(u ^ m)) a
K : Type u_1
Field K
NumberField K
I : (FractionalIdeal (nonZeroDivisors (NumberField.RingOfIntegers K)) K)ˣ
⊢ FiniteDimensional.finrank ℤ ↥↑↑I = FiniteDimensional.finrank ℤ (NumberField.RingOfIntegers K)
n : Type u
R : Type v
DecidableEq n
Fintype n
LinearOrderedCommRing R
Fact (Even (Fintype.card n))
g : ↥(Matrix.GLPos n R)
⊢ ↑(-g) = -↑g
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ a - b = 0 ↔ a ≤ b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₃ ≠ p₂
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ < π / 2
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hf : f.coeff 0 = 0
⊢ f = X * f.divX
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 < a + b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h' : 0 < a + b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ s
⊢ a • x + b • y ∈ s
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
t : Finset σ × σ
h : t ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k
⊢ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
TopologicalRing A
NormedAlgebra ℝ A
CompleteSpace A
ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a := by cfc_tac
⊢ CFC.log (NormedSpace.exp ℝ a) = a
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset α
f : α → β →₀ M
⊢ (s.sum f).support ⊆ s.biUnion fun x => (f x).support
α : Type u_4
OrderedSemiring α
self : FloorSemiring α
a : α
ha : a < 0
⊢ FloorSemiring.floor a = 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop := fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF : ∀ (t : Finset (α × ℝ)), P t → t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
⊢ μ (s \ ⋃ p ∈ ⋃ n, ↑(u n), closedBall p.1 p.2) = 0
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
f : α → E
g : G
h : MeasurableEmbedding fun x => g • x
⊢ ∫ (x : α), f (g • x) ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
b c : Ordinal.{u_4}
h : c ≠ 0
⊢ 0 < b / c ↔ c ≤ b
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommRing R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalRing R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type ?u.1322990) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfcₙ f a ≤ 0 ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, f x ≤ 0
n : ℕ
F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q✝ : MvQPF F✝
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x
a✝ : (P F).M α
⊢ LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: (Quot.mk Mcongr ∘ M.corec (P F) fun x => MvQPF.repr (Quot.lift (fun x => (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) x)) ⋯ x)) ∘ Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) a✝)) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) a✝))
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
a : A
⊢ resolvent a =O[Bornology.cobounded 𝕜] Inv.inv
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : α
⊢ ↑((Equiv.sigmaPreimageEquiv f).symm x).snd = x
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
x : G
⊢ x ∈ center G
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Z ⟶ W
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.map f g ≫ (CategoryTheory.Limits.biprod.braiding Y W).hom =
  (CategoryTheory.Limits.biprod.braiding X Z).hom ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.map g f
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CompatibleRing R
p : FreeCommRing α
v : α → R
x✝ : CompatibleRing (FreeCommRing α) := compatibleRingOfRing (FreeCommRing α)
⊢ Term.realize v (Classical.choose ⋯) = (FreeCommRing.lift v) p
ξ : ℤ
n : ℕ
⊢ (↑ξ).convergent n = ↑ξ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
refl : ∀ (x : α), R x x
symm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
trans : ∀ {x y z : α}, R x y → R y z → R x z
⊢ ∀ {x y z : Computation α}, LiftRel R x y → LiftRel R y z → LiftRel R x z
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hft : Fintype ↑s
h : ∃ a, s.toFinset = {a}
a : α
ha : s.toFinset = {a}
⊢ ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x = a
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
S : SSet
σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S
h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)
m : ℕ
f : Λ[n + 1, i] _[m]
f' : unop (op [m]) ⟶ [n + 1]
hf : (standardSimplex.objEquiv [n + 1] (op [m])).symm f' = ↑f
j : Fin (n + 2)
hji : ¬j = i
hfj : ∀ (k : Fin ((unop (op [m])).len + 1)), (Hom.toOrderHom f') k ≠ j
H : f = Λ[n + 1, i].map (factor_δ f' j).op (face i j hji)
H₁ : (Λ[n + 1, i].map (factor_δ f' j).op ≫ σ₁.app (op [m])) (face i j hji) = (σ₁.app (op [n]) ≫ S.map (factor_δ f' j).op) (face i j hji)
H₂ : (Λ[n + 1, i].map (factor_δ f' j).op ≫ σ₂.app (op [m])) (face i j hji) = (σ₂.app (op [n]) ≫ S.map (factor_δ f' j).op) (face i j hji)
⊢ σ₁.app (op [m]) f = σ₂.app (op [m]) f
α : Type u_2
Group α
t : Set α
ht : t.Nonempty
⊢ Set.univ * t = Set.univ
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r✝ s✝ : R
x y✝ : M
r s : R
y : M
⊢ (r - s) • y = r • y - s • y
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
x y : R
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents ![x, y] ↔ IsIdempotentElem x ∧ y = 1 - x
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
B : Set α
hB : M.Base (B ∩ M.E) ∧ N.Base (B ∩ N.E) ∧ B ⊆ M.E ∪ N.E
⊢ B = B ∩ M.E ∪ B ∩ N.E
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
self : CategoryTheory.Monad C
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.map (self.η.app X)) (self.μ.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (self.obj ((CategoryTheory.Functor.id C).obj X))
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁺ᵐ * a⁻ᵐ = mabs a
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
α : Type u_4
LinearOrderedField α
MulActionWithZero α ℝ
OrderedSMul α ℝ
Module α E
SMulCommClass α ℝ ℝ
IsScalarTower α ℝ ℝ
IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
symmetric : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
a : α
⊢ gauge (a • s) = |a|⁻¹ • gauge s
α : Type u_1
LinearOrder α
Group α
a : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 1 < a⁻ᵐ ↔ a < 1
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
Fintype n
DecidableEq n
Semiring α
A : Matrix m n α
B : Matrix n n α
Invertible B
⊢ A * ⅟B * B = A
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
not_field : ¬IsField R
h : M = ⊥
_h1 : ⊥ ≠ ⊤
h2 : ∀ (b : Ideal R), ⊥ < b → b = ⊤
⊢ False
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → CommSemiring (A i)
(i : ι) → Algebra R (A i)
x y : ⨂[R] (i : ι), A i
⊢ (PiTensorProduct.mul x) y = (PiTensorProduct.mul y) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν'✝ ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
h1 : μ ≪ ν
ν' : Measure α
s : Set α
hs : ν s = 0 ∧ ν' s = 0
⊢ μ s = 0
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ ↑e.toLinearEquiv = e.toLinearMap
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
hs : NullMeasurableSet s μ
hp : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
⊢ 0 ≤ 1 / p.toReal
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : SecondCountableTopology V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
μ : Measure V
n : ℕ
hf : Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
v : V
⊢ ‖fourierPowSMulRight L f v n‖ ≤ (2 * π * ‖L‖) ^ n * (‖v‖ ^ n * ‖f v‖)
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
R : Type u_8
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
f : X → Matrix (m × p) (n × p) R
a : Matrix (m × p) (n × p) R
hf : HasSum f a
⊢ HasSum (fun x => (f x).blockDiag) a.blockDiag
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h✝ : ContfracLegendre.Ass ξ u v
q : ℚ
h : |ξ - ↑q| < 1 / (2 * ↑q.den ^ 2)
n : ℕ
hn : q = ξ.convergent n
⊢ ∃ n, (GenContFract.of ξ).convs n = ↑q
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : HasTrivialRadical R L
⊢ IsLieAbelian ↥↑⊥
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ G.IsBridge s(v, w) ↔ G.Adj v w ∧ ∀ (p : G.Walk v w), s(v, w) ∈ p.edges
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Hashable α
data : Buckets α β
a : α
b : β
⊢ Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (data.update (mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val (AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data) = Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) data.val.data) + 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
A : Set α
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫⁻ (x : α) in A, f x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in Aᶜ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
α : Type u
β : Type v
f : Filter (α → β)
a : α
⊢ f.seq (pure a) = Filter.map (fun g => g a) f
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Finite I
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
⊢ Pairwise fun i j => IsCoprime (Ideal.span {1 - e i}) (Ideal.span {1 - e j})
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕝
inst✝⁹ : Module 𝕝 E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁴ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝² : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
p : SeminormFamily 𝕝 E ι
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
x✝¹ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
x✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : IsBounded p q f
this : TopologicalAddGroup E
i : ι'
s : Finset ι
C : ℝ≥0
hC : (q i).comp f ≤ s.sup (C • p)
⊢ Continuous fun x => ∑ c ∈ s, (coeFnAddMonoidHom 𝕝 E) (C • p c) x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
p₂ : ι₂ → P
hi₂ : ∀ i ∈ s₂, ∀ j ∈ s₂, p₂ i = p₂ j → i = j
he : p '' ↑s = p₂ '' ↑s₂
⊢ Finset.centroid k s p = Finset.centroid k s₂ p₂