ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
hm : 0 < m
h : IsCoprime (x ^ m) y
⊢ IsCoprime x y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : CategoryTheory.Limits.Cofan Z
f : CategoryTheory.Limits.Fan fun x => Opposite.op (Z x)
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
hc' : CategoryTheory.Limits.IsColimit c'
hf : CategoryTheory.Limits.IsLimit f
⊢ (CategoryTheory.Limits.opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (CategoryTheory.Limits.opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv =
  (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
f : α → β → γ
K₁ K₂ : ℝ≥0
s : Set α
t : Set β
hf₁ : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K₁ (fun x => f x b) s
hf₂ : ∀ a ∈ s, LipschitzOnWith K₂ (f a) t
⊢ EMetric.diam (Set.image2 f s t) ≤ ↑K₁ * EMetric.diam s + ↑K₂ * EMetric.diam t
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
a b : GradedMonoid fun n => ⨂[R] (x : Fin n), M
h : a.fst = b.fst
h2 : (reindex R (fun x => M) (finCongr h)) a.snd = b.snd
⊢ (reindex R (fun x => M) (Equiv.cast ⋯)) a.snd = b.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
⊢ μ.withDensityᵥ f = (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)).toSignedMeasure - (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).toSignedMeasure
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
X : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.equivCostructuredArrow F).unitIso.inv.app X).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.pt
ι : Type u_1
α : Type u_2
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
s : Finset ι
f : ι → Set α
⊢ (⋃ i ∈ s, f i).WellFoundedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).WellFoundedOn r
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
x : α
s t : Set α
h : UpperSemicontinuousWithinAt f s x
hst : t ⊆ s
⊢ UpperSemicontinuousWithinAt f t x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
f : ι → δ → α
s : Set ι
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)
this : Countable ↑s
⊢ Measurable fun x => sSup ((fun i => f i x) '' s)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
s : l₁ ~ l₂
p p' : α → Bool
hp : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → p x = p' x
⊢ List.countP p l₁ = List.countP p' l₂
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hUAB : ⋃ x ∈ A, ball x (id U) ⊆ Bᶜ
⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x V) (⋃ x ∈ B, ball x V)
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : Cocone F
α : Type u
f : Quot F → α
hc : IsColimit c
j : J
y : F.obj j
⊢ hc.desc (toCocone f) (desc c (ι F j y)) = f (ι F j y)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
⊢ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, b i
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ b ∉ Multiset.Ioo a b
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
h : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ ε ≤ ↑|G.edgeDensity (G.nonuniformWitnesses ε s t).1 (G.nonuniformWitnesses ε s t).2 - G.edgeDensity s t|
α : Type u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
x : α
⊢ Monotone fun n => ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
f : Sigma α → Set β
⊢ ⋃ ij ∈ s.sigma t, f ij = ⋃ i ∈ s, ⋃ j ∈ t i, f ⟨i, j⟩
F : Type u_1
Field F
Finite F
⊢ (AddChar.FiniteField.primitiveChar_to_Complex F).IsPrimitive
x : ℂ
⊢ cos (x - ↑π / 2) = sin x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
A : Set E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
hA : Balanced 𝕜 A
⊢ Balanced 𝕜 (closure A)
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
p' p'' : Filter α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hp : p'' ≤ p'
⊢ TendstoUniformlyOnFilter F f p p''
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
⊢ intrinsicInterior 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicInterior 𝕜 s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : α → E
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
⊢ edist (Memℒp.toLp f hf) (Memℒp.toLp g hg) = eLpNorm (f - g) p μ
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
π' : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ π.biUnion πi ≤ π' ↔ ∀ J ∈ π, πi J ≤ π'.restrict J
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l : List α
⊢ List.Pairwise R l ↔ List.Pairwise (fun x y => x ∈ l ∧ y ∈ l ∧ R x y) l
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
H : FreeAddGroup.Red.Step L₁ L₂
⊢ FreeAddGroup.reduce L₁ = FreeAddGroup.reduce L₂
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
f : κ → Ideal A
h : ∀ (i : κ), Ideal.IsHomogeneous 𝒜 (f i)
⊢ Ideal.IsHomogeneous 𝒜 (⨆ i, f i)
h : Tendsto (fun z => z / 2 * Gamma (z / 2)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 1)
h' : Tendsto (fun s => 2 * ↑π ^ (-s / 2)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 2)
z : ℂ
⊢ z * z.Gammaℝ = 2 * ↑π ^ (-z / 2) * (z / 2 * Gamma (z / 2))
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
⊢ (-o).oangle (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x + x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree
hx : IsIntegral A x
hnz : ¬minpoly A x - p = 0
⊢ (minpoly A x - p).degree < (minpoly A x).degree
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : G ≃g G'
e : Sym2 W
h : e ∈ G'.edgeSet
x✝ : W
a✝ : x✝ ∈ e
⊢ { toFun := ⇑f, map_rel' := ⋯ } ({ toFun := ⇑f.symm, map_rel' := ⋯ } x✝) = id x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f
mul_g : α ≃+ α := DistribMulAction.toAddEquiv α g
⊢ ∑' (i : β), g • f i = 0
α : Type u_1
Mul α
x y : α
h : Commute x y
⊢ Commute (MulOpposite.op x) (MulOpposite.op y)
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
t : Finset ι
ht : ∀ (j : ι), WellOrderingRel j i → (f j) x ≠ 0 → j ∈ t
⊢ f.toPOUFun i x = (f i) x * ∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t, (1 - (f j) x)
R : Type u_1
CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
x : R
⊢ seminormFromConst_seq c f x = fun n => f (x * c ^ n) / f c ^ n
α : Type u_1
NonAssocSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ n • a = a * ↑n
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝⁴ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
α : Type u_4
inst✝³ : SMul α R
inst✝² : SMul α A
inst✝¹ : IsScalarTower α R A
inst✝ : IsScalarTower α A A
n : ℤ
y : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ (n • y).val = n • y.val
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
h : ∀ (s : Set (α × α)), s ∈ 𝓤 α ↔ ∃ t ∈ 𝓤 β, ∀ (x y : α), (f x, f y) ∈ t → (x, y) ∈ s
⊢ UniformInducing f
α : Type u_1
s : Set α
B : FilterBasis α
⊢ s ∈ B.sets ↔ s ∈ B
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
c : F
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) fun x => c) = 0
G : Type u
AddMonoid G
h : ∀ (g : G), 0 < addOrderOf g
⊢ AddMonoid.exponent G ≠ 0 ↔ (Set.range addOrderOf).Finite
n : ℕ
NeZero n
⊢ Function.Surjective Nat.cast
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => (1 / (↑n + ↑a) ^ s - 1 / (↑n + 1 - ↑a) ^ s) / 2) (hurwitzZetaOdd (↑a) s)
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
⊢ p.degree ≤ (k • p).degree
m : ℤ
x : ℝ
⊢ Irrational (x / ↑m) ↔ m ≠ 0 ∧ Irrational x
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
B : IntegrableOn (fun a => a ^ s.re) (Set.Ioo 0 t) volume
⊢ -1 < s.re
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s₁ s₂ : Stream' α
⊢ s₁.tail ⋈ s₂.tail = (s₁ ⋈ s₂).tail.tail
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ BddBelow t → BddBelow s
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
s t : Finset α
hst : s ⊆ t
n : ℕ
⊢ n • s ⊆ n • t
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
CompleteSpace α
l : Filter β
f : β → α
l.NeBot
⊢ Cauchy (Filter.map f l) ↔ ∃ x, Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
Nontrivial R
l : List R[X]
⊢ l.prod.degree = (List.map Polynomial.degree l).sum
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
⊢ ContinuousAt toLevyProkhorov P
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
GroupWithZero α
Zero β
MulActionWithZero α β
PosSMulMono α β
PosSMulReflectLE α β
s : Set β
a : α
ha : 0 < a
⊢ BddAbove (a • s) ↔ BddAbove s
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
φ' : S' ⟶ R
X Y : Dᵒᵖ
f : X ⟶ Y
x : ↑(R.obj X)
⊢ ((PresheafOfModules.DifferentialsConstruction.relativeDifferentials' φ').map f) (CommRingCat.KaehlerDifferential.d x) =
  CommRingCat.KaehlerDifferential.d ((R.map f) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ↑‖MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf‖₊ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
TopologicalSpace R
AddCommGroup M
Module R M
B : ModuleFilterBasis R M
x₀ : R
U : Set M
hU : U ∈ B
⊢ ∃ V ∈ B, V ⊆ (fun x => x₀ • x) ⁻¹' U
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : s.Countable
B : Basis ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E) ℝ E
I1 : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∀ v ∈ s, lineDeriv ℝ f x (∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • B i) = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • lineDeriv ℝ f x (B i)
I2 : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∀ v ∈ s, LineDifferentiableAt ℝ f x v
x : E
hx : ∀ v ∈ s, lineDeriv ℝ f x (∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • B i) = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • lineDeriv ℝ f x (B i)
h'x : ∀ v ∈ s, LineDifferentiableAt ℝ f x v
L : E →L[ℝ] ℝ := LinearMap.toContinuousLinearMap ((B.constr ℝ) fun i => lineDeriv ℝ f x (B i))
v : E
hv : v ∈ s
⊢ HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
A : C
X✝ Y✝ : MonoOver A
k : X✝ ⟶ Y✝
g : MonoOver A
⊢ pullback.lift (pullback.fst g.arrow X✝.arrow) (pullback.snd g.arrow X✝.arrow ≫ k.left) ⋯ ≫ pullback.snd g.arrow Y✝.arrow ≫ Y✝.arrow = pullback.snd g.arrow X✝.arrow ≫ X✝.arrow
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b x y : α
hy : IsUnit y
h : y * x ∈ I
⊢ x ∈ I
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
CommSemiring k
Monoid G
Monoid H
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
e : G ≃* H
f : MonoidAlgebra A G
h : H
⊢ ((MonoidAlgebra.domCongr k A e) f) h = f (e.symm h)
a b c : ENNReal
hb0 : b ≠ 0 ∨ c ≠ ⊤
hbt : b ≠ ⊤ ∨ c ≠ 0
⊢ a / b ≤ c ↔ a ≤ c * b
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∀ (i : ι'), Continuous ⇑((q i).comp f)
⊢ Continuous ⇑f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiff I' I n (f i)
⊢ ContMDiff I' I n (∏ i ∈ t, f i)
α β : Type u
ι : Type u_1
f : ι → Cardinal.{max u_1 u_2}
i : ι
⊢ f i ≤ sum f
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
n : ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((F.mapTriangleCommShiftIso n).hom.app X).hom₁ = (F.commShiftIso n).hom.app X.obj₁
α : Type u_1
β : α → Type u_2
a b : α
ha : Nonempty (β a)
he : IsEmpty (β b)
⊢ Infinite (WType β)
⊢ WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Ioi ⊥ = univ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m₁✝ m₂✝ : M × R
m₁ : M
r₁ : R
m₂ : M
r₂ : R
h1 : e0 Q * (v Q) m₁ * (e0 Q * (v Q) m₂) = (v Q) m₁ * (v Q) m₂
h2 : -(r₂ • e0 Q * (v Q) m₁) = (v Q) m₁ * r₂ • e0 Q
h3 : -(algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) (r₁ * r₂) = r₁ • e0 Q * r₂ • e0 Q
⊢ e0 Q * (v Q) m₁ * (e0 Q * (v Q) m₂) + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ - r₂ • e0 Q * (v Q) m₁ - (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) (r₁ * r₂) = (v Q) m₁ * (v Q) m₂ + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ + (v Q) m₁ * r₂ • e0 Q + r₁ • e0 Q * r₂ • e0 Q
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
hs✝ : S.FG
s : Finset A
hs : Algebra.adjoin R ↑s = S
⊢ Algebra.adjoin R ↑(Finset.image (⇑f) s) = Subalgebra.map f S
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : ℂ → E
hdf : DiffContOnCl ℂ f (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Iio 0)
hBf : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hdg : DiffContOnCl ℂ g (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Iio 0)
hBg : ∃ c < 2, ∃ B, g =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → f ↑x = g ↑x
him : ∀ x ≤ 0, f (↑x * Complex.I) = g (↑x * Complex.I)
⊢ Set.EqOn f g {z | 0 ≤ z.re ∧ z.im ≤ 0}
X₀ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X₀
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
LocallyCompactSpace Y
f : X₀ → X
hf : QuotientMap f
g : Y × X → Z
hg : Continuous fun p => g (p.1, f p.2)
⊢ Continuous g
f g : CircleDeg1Lift
n : ℤ
⊢ Function.Commute ⇑f fun x => x - ↑n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
R : Type u_3
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
s : Set E
f : E → F
x : E
c : R
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun y => c • f y) s x
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ ↑((associatesEquivIsPrincipal R) 1) = 1
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
hconst : Tendsto (fun _n => ↑‖a‖₊) atTop (𝓝 ↑‖a‖₊)
⊢ spectralRadius ℂ a = ↑‖a‖₊
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p q : R[X]
⊢ (p * q).leadingCoeff = p.leadingCoeff * q.leadingCoeff
R : Type u_1
CommRing R
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ Polynomial.cyclotomic (p ^ (n + 1)) R = ∑ i ∈ Finset.range p, (Polynomial.X ^ p ^ n) ^ i
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Set E
⊢ (convexHull R) s = ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), (convexHull R) ↑t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
hg : S.g = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.rightHomologyι (S.opcyclesIsoRightHomology hg).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id S.rightHomology
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f : α →𝒄 β
⊢ OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.toMono f = ↑f
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : 1 < finrank ℚ K
x : 𝓞 K
h_nz : x ≠ 0
h_nm : 1 ≤ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x|
h_bd : 1 ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
⊢ 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K ≤ ↑|discr K|
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
IsNoetherian R L
⊢ LieAlgebra.zeroRootSubalgebra R L H = H ↔ H.IsCartanSubalgebra
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p q : Multiset α
⊢ Multiset.Rel Associated p q ↔ Multiset.map Associates.mk p = Multiset.map Associates.mk q
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
⊢ Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
⊢ affineSpan k (Set.range ⇑b) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : CommSemiring β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
hg : SuperpolynomialDecay l k g
z : ℕ
⊢ Tendsto (fun a => k a ^ z * (f * g) a) l (𝓝 0)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
x y : α
z : β
h : f y = z
⊢ f x ≠ z ↔ x ≠ y
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
VSub α β
s t : Set β
Fintype ↑s
Fintype ↑t
Fintype ↑(s -ᵥ t)
⊢ (s -ᵥ t).toFinset = s.toFinset -ᵥ t.toFinset
M : Type u_1
AddZeroClass M
c : AddCon M
⊢ AddCon.ker c.mk' = c
N : Type u_5
Group N
K : Subgroup N
⊢ Subgroup.comap (MonoidHom.id N) K = K
J : Type w
X : (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape J)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeUnop J).obj X = Opposite.unop X
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : ∀ (k : ℕ), padicNorm p (↑f k) = padicNorm p (↑g k)
⊢ f.norm = g.norm
σ : Type u_1
k : Type u_3
Field k
φ ψ : MvPowerSeries σ k
h : (MvPowerSeries.constantCoeff σ k) ψ ≠ 0
⊢ ψ⁻¹ = φ ↔ φ * ψ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
s✝ t : Set α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)
s : (b : β) → Set (π b)
c : ℝ≥0∞
h : ∀ (b : β), c ≤ (s b).einfsep
x : (i : β) → π i
hx : ∀ (i : β), x i ∈ s i
y : (i : β) → π i
hy : ∀ (i : β), y i ∈ s i
hxy : x ≠ y
i : β
hi : x i ≠ y i
⊢ c ≤ edist x y
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.IsReflexive R M
m : M
⊢ (Module.evalEquiv R M) m = (Module.Dual.eval R M) m
α : Type u
β : Type v
UniformSpace β
f : α → β
TopologicalSpace α
L : ∀ (x : α), ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∃ F, ContinuousAt F x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
⊢ Continuous f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α
h : Acc r a
⊢ Acc (Relation.TransGen r) a
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖↑r - ↑↑↑n‖ < 1
⊢ ‖↑x - ↑n‖ < 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
⊢ y ∈ f '' closedBall b ε
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
c : Set (Set α)
H1 : ∀ s ∈ c, x ∈ s
H2 : ∀ s ∈ c, IsPreconnected s
⊢ IsPreconnected (⋃₀ c)
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace 𝕜
T1Space 𝕜
Field 𝕜
HasContinuousInv₀ 𝕜
ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : Set.EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
⊢ Set.EqOn f g S ∨ Set.EqOn f (-g) S
α : Type u_2
Fintype α
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ (Finset.cons a s h).dens = s.dens + (↑(Fintype.card α))⁻¹
Ω : Type u_1
m' m₁ m₂ mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h1 : m₁ ≤ mΩ
h2 : m₂ ≤ mΩ
hp1 : IsPiSystem p1
hp2 : IsPiSystem p2
hpm1 : m₁ = MeasurableSpace.generateFrom p1
hpm2 : m₂ = MeasurableSpace.generateFrom p2
hyp : ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' p1 p2 μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' m₁ m₂ hm' μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s t✝ : Set α
f : α → β
t : Set ↑s
⊢ (∀ (a : α) (b : a ∈ s), ⟨a, b⟩ ∈ t → ∀ (a_2 : α) (b : a_2 ∈ s), ⟨a_2, b⟩ ∈ t → edist (f a) (f a_2) ≤ ↑K * edist a a_2) ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s ∩ Subtype.val '' t → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ Subtype.val '' t → edist (f x) (f y) ≤ ↑K * edist x y
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
hε' : 0 < ε / 3
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ = 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ = 1 → ε / 3 ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
δ' : ℝ := min (1 / 2) (min (ε / 3) (δ / 3))
x : E
hx : ‖x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
hx' : 1 - δ' < ‖x‖
hy' : 1 - δ' < ‖y‖
hδ' : 0 < 1 - δ'
h₁ : ∀ (z : E), 1 - δ' < ‖z‖ → ‖‖z‖⁻¹ • z‖ = 1
h₂ : ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ 1 → 1 - δ' ≤ ‖z‖ → ‖‖z‖⁻¹ • z - z‖ ≤ δ'
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 - δ'
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : S
x✝ : IsAlgebraic R a
f : R[X]
hf₁ : f ≠ 0
hf₂ : (aeval a) f = 0
⊢ (aeval ((algebraMap S A) a)) f = 0
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
BorelSpace X
ConditionallyCompleteLinearOrder X
ConditionallyCompleteLinearOrder E
OrderTopology X
OrderTopology E
SecondCountableTopology E
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hs : IsCompact s
hanti : AntitoneOn f s
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
α : Type u_1
LinearOrder α
a x : α
⊢ Set.projIci a x = ⟨a, ⋯⟩ ↔ x ≤ a
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLinearOrder γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
f : α → γ
⊢ f x ≤ liminf f (𝓝[s] x) → LowerSemicontinuousWithinAt f s x