ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α : L → R
β : LieModule.Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ LieModule.chainTopCoeff α β + 1 = Nat.find ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Z : Type u_6
R : Type u_7
CommSemiring R
Semiring Y
Algebra R Y
Semiring Z
Algebra R Z
e : Y ≃ₐ[R] Z
g : LocallyConstant X Z
⊢ ∀ (a : X), ((LocallyConstant.congrRightₐ R e).symm g) a = e.symm (g a)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
c : E
hf : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z = f c) ∨ f c = 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this : FiniteDimensional ℝ E
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
f : α → M
s : Set α
⊢ Disjoint s (Function.mulSupport f) ↔ Set.EqOn f 1 s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
F : CategoryTheory.Functor B C
G : CategoryTheory.Functor C D
H K : CategoryTheory.Functor D E
α : H ⟶ K
⊢ CategoryTheory.whiskerLeft F (CategoryTheory.whiskerLeft G α) = CategoryTheory.whiskerLeft (F.comp G) α
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.comp 0 z₂ h = 0
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ abs (∑ m ∈ range j, x ^ m / ↑m.factorial - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial) ≤ abs x ^ n * (↑n.succ * (↑n.factorial * ↑n)⁻¹)
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : Set β
t : ι → Set β
⊢ s ∪ ⋂ i, t i = ⋂ i, s ∪ t i
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
WeaklyLocallyCompactSpace X
T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
⊢ (∃ f, Filter.Tendsto F l (𝓝 f)) ↔
  ∀ (s : Set X), IsCompact s → ∃ f, Filter.Tendsto (fun i => ContinuousMap.restrict s (F i)) l (𝓝 f)
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) '' Ico b c = Ico (b - a) (c - a)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : (s ∩ t).Finite
⊢ s.encard = t.encard ↔ (s \ t).encard = (t \ s).encard
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ Q y * P z ^ 3
⊢ P y ≠ W'.negY P
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
⊢ (Mon_.limitCone F).pt = Mon_.limit F
α : Type u
SizeOf α
x : α
l : List α
hx : x ∈ l
⊢ sizeOf x < sizeOf l
X : AlgebraicGeometry.Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hxU : x ∈ U
⊢ ∃ R f, AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f ∧ x ∈ Set.range ⇑f.val.base ∧ Set.range ⇑f.val.base ⊆ ↑U
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ g
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
t : ℝ
ht : t ≤ 0
x : X
⊢ (F.extend t) x = f₀ x
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
x y : R
r : ℝ
inst✝ : Ring R
p : RingSeminorm R
hp : p 1 ≤ 1
h : p ≠ 0
hp0 : 0 < p 1
⊢ p 1 = 1
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq β
t : Finset β
a : α
⊢ image (fun f => f a) (piFinset fun _i => t) = t
n m m' : Nat
i : Fin n
h : m' + n = m + n
⊢ Fin.cast h (Fin.natAdd m' i) = Fin.natAdd m i
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ : Basis ι R M
N O : Submodule R M
b : Basis ι R ↥O
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬⊥ < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
hgen : generator (ϕ.submoduleImage N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι
⊢ (b.repr ⟨x, ⋯⟩) i ∈ (Finsupp.lapply i ∘ₗ ↑b.repr).submoduleImage N
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
⊢ ∏ i : β, (Icc (0 i) ↑B).card = (B + 1) ^ n
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : R
i : ℕ
⊢ ∀ (i : ℕ), (fun x_1 y => x * y) i 0 = 0
α : Type u
p : α → Bool
l : List α
hl : 0 < (List.dropWhile p l).length
⊢ ¬p ((List.dropWhile p l).nthLe 0 hl) = true
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≥] f a
⊢ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : Type w
AddCommGroup N
Module R N
f : Module.Flat R M
i : N →ₗ[R] M
r : M →ₗ[R] N
h : r ∘ₗ i = LinearMap.id
⊢ Module.Flat R N
x ε : ℝ
⊢ TotallyBounded (Metric.ball x ε)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
⊢ W'.polynomialY =
  MvPolynomial.C 2 * MvPolynomial.X y + MvPolynomial.C W'.a₁ * MvPolynomial.X x * MvPolynomial.X z +
    MvPolynomial.C W'.a₃ * MvPolynomial.X z ^ 3
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x : P
hx : IsIntegral R x
⊢ ↑(FractionalIdeal.adjoinIntegral S x hx) = Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x})
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (μ.everywherePosSubset s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)
v : F
hv : v ∈ K
w_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
H : Type u_1
H' : Type u_3
TopologicalSpace H
TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h1 : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
h2 : f x = g x
hP : P f s x
⊢ P g s x
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
hn : 1 < n
⊢ (X ^ n - X - 1).IsPrimitive
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ IsClosed {f | f (term I ho) = true}
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y U : Scheme
f : Y ⟶ U
g : U ⟶ X
h : IsOpenImmersion g
V : U.Opens
⊢ Scheme.Hom.app f V = (Scheme.Hom.appIso g V).inv ≫ Scheme.Hom.app (f ≫ g) (g ''ᵁ V) ≫ Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b p : ℤ
⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b (a + b) ⋯).inv.app K).f p ≫ ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) b a (a + b) ⋯).hom.app K).f p = (XIsoOfEq K ⋯).hom
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
j : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cofork.ofCocone t).ι.app j =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯) (t.ι.app j)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i i' : ι
b : β i
h : i ≠ i'
⊢ (single i b) i' = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Div α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α
⊢ (equivShrink α) (x / y) = (equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm ((equivShrink α) x) / (equivShrink α).symm ((equivShrink α) y))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (T : C), Function.Bijective fun x => CategoryTheory.CategoryStruct.comp x f
⊢ CategoryTheory.IsIso f
α : Type u
R : α → α → Prop
l l₁ : List α
h : List.Chain' R l
h' : l₁ <:+: l
⊢ List.Chain' R l₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f✝ : α → γ
g✝ : β → γ
f : α → ℝ
g : β → ℝ
h : IdentDistrib f g μ ν
⊢ evariance f μ = evariance g ν
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S
⊢ False
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ Fin.last n - i = i.rev
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
h : (map (⇑f) μ).InnerRegular
⊢ μ = map (⇑f.symm ∘ ⇑f) μ
α : Type u_1
Zero α
One α
Add α
⊢ ↑1 = 1
α : Type u_1
r : Rel α α
x : List α
x_ne_nil : x ≠ []
hx : List.Chain' r x
⊢ (RelSeries.fromListChain' x x_ne_nil hx).length = x.length.pred
M : Type u_1
MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
f g : α → M
Sup M
MeasurableSup₂ M
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable fun a => f a ⊔ g a
⊢ (abscissaOfAbsConv fun n => ↑(ζ n)) = 1
X : Type u_1
UniformSpace X
s : Set X
hs : IsSeqCompact s
u : ℕ → X
hu : ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, u n ∈ s
huc : CauchySeq u
⊢ ∃ x ∈ s, Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
h : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
W : C
f : ULift.{u₁, v₃} (W ⟶ t.pt)
⊢ (h.homIso W).hom f = (t.extend f.down).π
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)
n : ℤ
⊢ P (g ^ n)
p : Prop
h : Decidable p
t f : Bool
⊢ ((if p then t else f) = true) = if p then t = true else f = true
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist a b ≤ ‖a‖ + ‖b‖
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
S : Type u_2
inst✝ : Field S
f : R[X] →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
this : (RingHom.ker f).IsMaximal
g : R[X] ⧸ RingHom.ker f →+* S := Quotient.lift (RingHom.ker f) f ⋯
⊢ (f.comp C).IsIntegral
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
this : ∀ {a : Y} {K : Set X} {U : Set (Y × X)}, MapsTo (⇑(coev X Y a)) K U ↔ {a} ×ˢ K ⊆ U
⊢ ∀ (x : Y) (K : Set X), IsCompact K → ∀ (U : Set (Y × X)), IsOpen U → {x} ×ˢ K ⊆ U → ∀ᶠ (a : Y) in 𝓝 x, {a} ×ˢ K ⊆ U
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
⊢ ↑R ≤ (cauchyPowerSeries f c ↑R).radius
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₁
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
m₁ m₂ m₁₂ : ℤ
h₁₂ : n₁₂ + 1 = m₁₂
h₁ : n₁ + 1 = m₁
h₂ : n₂ + 1 = m₂
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n₁₂ m₁₂ (z₁.comp z₂ h) =
  z₁.comp (CochainComplex.HomComplex.δ n₂ m₂ z₂) ⋯ + n₂.negOnePow • (CochainComplex.HomComplex.δ n₁ m₁ z₁).comp z₂ ⋯
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x : B × F
hx : x ∈ e.target
⊢ proj (↑e.symm x) = x.1
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R₁
inst✝⁴ : Semiring R₂
inst✝³ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ : R₁ →+* R₂
σ' : R₂ →+* R₁
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomSurjective σ₁₂
inst✝ : RingHomSurjective σ₂₃
this : Function.Surjective (⇑σ₂₃ ∘ ⇑σ₁₂)
⊢ Function.Surjective ⇑σ₁₃
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
x y : α
s t : Seq α
h : cons x s = cons y t
⊢ x = y
G : Type u_1
P : Type u_2
PartialOrder G
PartialOrder P
SMul G P
IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
⊢ (s • t).IsPWO
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
hGX : MulAction.IsPretransitive G X
B : Set X
hB : MulAction.IsBlock G B
hBe : B.Nonempty
⊢ MulAction.IsBlockSystem G (Set.range fun g => g • B)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : L.Substructure M
s : Set M
h₁ : s ⊆ ↑S
h₂ : S ≤ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s
⊢ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s = S
θ : Angle
ψ : ℝ
⊢ θ.cos = Real.cos ψ ↔ θ = ↑ψ ∨ θ = -↑ψ
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x y : α
hf : IsSemiringHom f
⊢ ∀ (x y : α), f (x + y) = f x + f y
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun y => μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Icc 0 1
⊢ x + a✝¹ • (y - x) = (1 - a✝¹) • x + a✝¹ • y
α : Type u_2
X : Set α
e : α
M : Matroid α
h : e ∈ X
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ e ∈ M.closure X
α : Type u_5
β : Type u_6
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : TopologicalSpace β] {b : β}, MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => b
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
f : A → M
map_zero_eq_one' : f 0 = 1
map_add_eq_mul' : ∀ (a b : A), f (a + b) = f a * f b
⊢ ⇑{ toFun := f, map_zero_eq_one' := map_zero_eq_one', map_add_eq_mul' := map_add_eq_mul' } = f
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
a b : α
h : |a| = b
⊢ a = b ∨ a = -b
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
h : Injective f
x : G
⊢ x ∈ IsSubgroup.trivial G → x ∈ ker f
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
h : Commute f g
h' : Disjoint (LinearMap.ker f) (LinearMap.ker g)
⊢ LinearMap.ker (f ∘ₗ g) = LinearMap.ker f ⊔ LinearMap.ker g
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s t u : Set α
S : Set (Set α)
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ t ⊆ (fun x => c⁻¹ • x) ⁻¹' s ↔ MapsTo (fun x => c⁻¹ • x) t s
α : Type u
r : α → α → Prop
⊢ Directed r id ↔ IsDirected α r
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
s t : Submodule R M
IsArtinian R ↥t
h : s ≤ t
⊢ IsArtinian R ↥s
s : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (-1) ^ k / ↑k.factorial
n k : ℕ
hk : k ∈ Finset.range (n + 1)
h_le : k ≤ n
⊢ (-1) ^ k * ↑n.factorial * ↑k.factorial = (-1) ^ k * (↑k.factorial * ↑n.factorial)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
g : β → γ
di : DenseInducing i
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)
⊢ ∀ (x : β), s (g x) → ∀ (a : α), i a = x → g (i a) ∈ s
Γ : Type u_1
PartialOrder Γ
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddCommGroup W
Module R W
A B : HVertexOperator Γ R V W
h : ∀ (v : V), A v = B v
⊢ A = B
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
x : M
hx : x ∉ p
hp' : Free R (M ⧸ p)
⊢ ∃ f, f x ≠ 0 ∧ map f p = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : α → E
x : α
hx : f x = AEMeasurable.mk f hf x
⊢ ↑(f x) = ↑(AEMeasurable.mk f hf x)
F : Type u
Field F
ι : Type u_1
Fintype ι
f : ι → F
⊢ (∏ i : ι, (Polynomial.X - Polynomial.C (f i))).Separable ↔ Function.Injective f
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝³ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Finite (Sylow p G)
inst✝ : (↑P).FiniteIndex
hf : Function.Injective ⇑((transferSylow P hP).restrict ↑P) ∧ map (transferSylow P hP) ↑P = ⊤
this : Function.Surjective ⇑(transferSylow P hP)
⊢ (transferSylow P hP).ker.IsComplement' ↑P
α : Type u_1
β : Type u_2
r : β → β → Prop
h : Transitive r
f : α → β
⊢ Transitive (r on f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f • g)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
S S₁ S₂ : ShortComplex C
hS : ∀ ⦃A : C⦄ (x₂ : A ⟶ S.X₂), x₂ ≫ S.g = 0 → ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.f
A : C
x₂ : A ⟶ S.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.g = 0
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Group α
a : α
⊢ a⁺ᵐ = if 1 ≤ a then a else 1
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a : α
hf : HasProd f a
i : ι
hb : ∀ (j : ι), j ≠ i → 1 ≤ f j
⊢ f i ≤ a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ (i : ι), ContMDiff I' I n (f i)
hfin : LocallyFinite fun i => Function.mulSupport (f i)
⊢ ContMDiff I' I n fun x => ∏ᶠ (i : ι), f i x
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ Set.up (s ∪ t) = Set.up s + Set.up t
s n : Nat
⊢ (List.range' s n).reverse = List.map (fun x => s + n - 1 - x) (List.range n)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
hp₁ : p₁ ∈ affineSpan ℝ (insert p (Set.range s.points))
hp₂ : p₂ ∈ affineSpan ℝ (insert p (Set.range s.points))
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
I : Set β
hc : I.Countable
s : β → Set α
this : Encodable ↑I
⊢ μ (⋃ b ∈ I, toMeasurable μ (s b)) = μ (⋃ b ∈ I, s b)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4719, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S✝ S₁ S₂ : ShortComplex C
S : ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.ShortExact
this : Epi S.g
⊢ Mono S.unop.f
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
this : Dioph fun v => v &2 = 0 ∧ v &0 = 0 ∨ v &0 * v &2 ≤ v &1 ∧ v &1 < (v &0 + 1) * v &2
z x y : ℕ
⊢ y = 0 ∧ z = 0 ∨ z * y ≤ x ∧ x < (z + 1) * y ↔ z = x / y
α : Type u_1
DecidableEq α
n : ℕ
s : Sym α n
a : α
⊢ ↑((Sym.equivNatSum α n) s) a = Multiset.count a ↑s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasLeftHomology
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ S₂.HasLeftHomology
α : Type u_1
o : Option α
h : o.isSome = true
⊢ some (o.get h) = o
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
CompactSpace α
f : C(α, β)
a : α
⊢ (ZeroAtInftyContinuousMap.ContinuousMap.liftZeroAtInfty f) a = f a
P : Type u_1
SemilatticeSup P
x y : P
I : Order.Ideal P
⊢ x ⊔ y ∈ I ↔ x ∈ I ∧ y ∈ I
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
⊢ T2Space (Quotient (MulAction.orbitRel G X))
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup P
inst✝² : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : μ.IsNegInvariant
L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F
s : Set P
n : ℕ∞
v : P → G
hv : ContDiffOn 𝕜 n v s
f : G → E
g : P → G → E'
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
x : P
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ (fun x => (_root_.id x, v x)) ⁻¹' s ×ˢ univ
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
⊢ C a = a • 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
p q : α → Prop
h : MeasurableSet {a | p a}
⊢ MeasurableSet (p ⁻¹' {True})
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace F
NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
k : ℕ
hk : ↑k ≤ N
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 k fun y => ∑' (n : α), f n y) = fun x => ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x
α : Type u_1
p : α → Prop
β : α → Type u_2
DecidablePred p
f : ((i : { x // p x }) → β ↑i) × ((i : { x // ¬p x }) → β ↑i)
x : α
⊢ (Equiv.piEquivPiSubtypeProd p β).symm f x = if h : p x then f.1 ⟨x, h⟩ else f.2 ⟨x, h⟩
α : Type u_1
Preorder α
s : LowerSet α
a : α
⊢ s.erase a ≤ s
S : Type u
Semiring S
T : Type v
Semiring T
f : S →+* T
n : ℕ
⊢ Polynomial.map f (ascPochhammer S n) = ascPochhammer T n
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x‖ ^ 2 - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2 = (‖x‖ + ‖y‖) ^ 2
hxy₁ : 0 ≤ ‖x - y‖
hxy₂ : 0 ≤ ‖x‖ + ‖y‖
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = -(‖x‖ * ‖y‖)
α : Type u_2
β : Type u_3
Finite β
f : α → β
⊢ (Setoid.ker f).classes.Finite