ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
h : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (⇑g ∘ f) s x‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
⊢ ‖g‖ ≤ ‖c‖
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
f : E → ℝ
a b : E
l : Filter E
h : IsExtrFilter f l a
h' : Filter.Tendsto (fun t => a + t • b) (𝓝 0) l
⊢ lineDeriv ℝ f a b = 0
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X✝ Y✝ : Mon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (F.ε ≫ F.map X✝.one) ≫ F.map f.hom = F.ε ≫ F.map Y✝.one
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
H : PGame
⊢ H ≈ G ↔ H + G ≈ 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ v ∈ G.connectedComponentMk v
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
this : ↑m = 0
⊢ ContinuousOn f (insert x s) ∧ ∀ x_1 ∈ insert x s, (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x_1 0).uncurry0 = f x_1
a b : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a
⊢ a * b ≤ b ↔ a ^ Ordinal.omega ∣ b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, ∀ (q : ℚ), ⨅ r, f (a, t) ↑r = f (a, t) q
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝ : Infinite ↑s
x : ↑s
h : ¬∃ n, ↑x + n + 1 ∈ s
this : ∀ a ∈ s, a < ↑x + 1
⊢ ∀ a ∈ Multiset.filter (fun x => x ∈ s) (Multiset.range (↑x).succ), a ∈ s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedRing α
inst✝⁴ : LinearOrderedRing β
inst✝³ : FloorRing α
inst✝² : FloorRing β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
⊢ fract (f a) = f (fract a)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
IsDomain R
x : W.CoordinateRing
⊢ ((Algebra.norm R[X]) x).natDegree ≠ 1
α : Type u
s t : Set α
⊢ 𝒫(s ∩ t) = 𝒫 s ∩ 𝒫 t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
t : TopologicalSpace α
h : t ≤ ⨆ s ∈ 𝔖, TopologicalSpace.coinduced Subtype.val inferInstance
u : Set α
hu : ∀ s ∈ 𝔖, IsOpen (Subtype.val ⁻¹' u)
⊢ IsOpen u
ι : Type u_1
X : Type u_2
EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
⊢ ∀ᶠ (p : ℝ≥0∞ × X) in 𝓝 0 ×ˢ 𝓝 x, ∀ (i : ι), p.2 ∈ K i → EMetric.closedBall p.2 p.1 ⊆ U i
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
h'' : ∀ (x y : α), x ∈ s → y ∈ s → P x y → P y x
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ P x y
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ List.count a l = 0 ↔ ¬a ∈ l
α : Type u_1
MonoidWithZero α
p : α
⊢ Irreducible p → p ≠ 0
α : Type u
Preorder α
a a' : α
l l' : List α
h : a' :: l' < a :: l
⊢ a' ≤ a
x y : Nat
pred : ∀ (i : Nat), x.testBit i = y.testBit i
⊢ x = y
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p.totalDegree = 0 ↔ ∀ m ∈ p.support, ∀ (x : σ), m x = 0
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ (node s l x r).toList = l.toList ++ x :: r.toList
Γ : Type u_1
PartialOrder Γ
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddCommGroup W
Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
v : V
⊢ (Function.support ((HahnModule.of R).symm (A v)).coeff).IsPWO
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ 0 < (p.rightInv i).radius
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ≥0∞
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ ((μ.withDensity f).restrict s) t = ((μ.restrict s).withDensity f) t
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
e : L ≃ᴸ L'
⊢ e.symm.toLHom = e.invLHom
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
⊢ ((fun x => ‖f' x‖) =O[l] fun x => ‖g' x‖) ↔ f' =O[l] g'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
t u : Set α
⊢ u ∈ l ⊔ 𝓟 t ↔ ∃ i, p i ∧ s i ∪ t ⊆ u
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
inst✝² : LieRingModule L M✝
inst✝¹ : LieModule R L M✝
inst✝ : IsNoetherian R L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
L' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range
h : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y
s : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}
hs : s.Nonempty
this : ∀ K ∈ s, K ≠ ⊤ → ∃ K' ∈ s, K < K'
_i5 : IsNoetherian R ↥L'
⊢ ⊤ ∈ s
α : Type u
x y : FreeSemigroup α
⊢ (x * y).tail = x.tail ++ y.head :: y.tail
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
X✝ Y✝ : (Mon_ Cᵒᵖ)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ f.unop.hom.unop ≫ ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) Y✝).comul = ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) X✝).comul ≫ (f.unop.hom.unop ⊗ f.unop.hom.unop)
α : Sort u
r : α → α → Prop
IsAntisymm α r
a b : α
⊢ r a b → r b a → a = b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
i : ι
hi : e.f i = i'
hi' : ¬c.Rel i (c.next i)
hj' : e.r j' = none
⊢ (K.extend e).d i' j' = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
this : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
⊢ ↑e.symm ∘ ↑e =ᶠ[𝓝 x] id
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomSurjective τ₂₁
p : Submodule R M
f : M₂ →ₛₗ[τ₂₁] M
hf : ∀ (c : M₂), f c ∈ p
⊢ LinearMap.range (LinearMap.codRestrict p f hf) = Submodule.comap p.subtype (LinearMap.range f)
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x₁ x₂ y₁ y₂ : X
hsat₁ : IsMaximal (last s) x₁
hsat₂ : IsMaximal (last s) x₂
hsaty₁ : IsMaximal (snoc s x₁ hsat₁).last y₁
hsaty₂ : IsMaximal (snoc s x₂ hsat₂).last y₂
hr₁ : Iso (last s, x₁) (x₂, y₂)
hr₂ : Iso (x₁, y₁) (last s, x₂)
e : Fin (s.length + 1 + 1) ≃ Fin (s.length + 1 + 1) := Equiv.swap (Fin.last (s.length + 1)) (Fin.last s.length).castSucc
x✝ : Fin s.length
⊢ x✝.castSucc.castSucc < (Fin.last s.length).castSucc
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
hp : (Polynomial.map f p).Monic
⊢ p.Monic
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f' n x‖ ≤ u n
hx₀ : x₀ ∈ s
hf0 : Summable fun n => f n x₀
hx : x ∈ s
⊢ HasFDerivAt (fun y => ∑' (n : α), f n y) (∑' (n : α), f' n x) x
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
⊢ ∅ ∉ hC.diffFinset₀ hs hI
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
α : Type u_3
φ : L.Formula α
v : α → ↥⊤
⊢ φ.Realize (⇑topEquiv ∘ v) ↔ φ.Realize (Subtype.val ∘ v)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
self : CategoryTheory.Simple X
Y : C
f : Y ⟶ X
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.IsIso f ↔ f ≠ 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
l : Filter E
x : E
⊢ Asymptotics.IsBigOWith ‖f‖ l (fun x' => f (x' - x)) fun x' => x' - x
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
NoMinOrder α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) s ↔ Set.Bounded (fun x x_1 => x > x_1) s
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : Continuous f.toFun
⊢ ⇑{ toLinearMap := f, cont := h } = ⇑f
P : Type u_3
Add P
S : AddSubsemigroup P
⊢ AddSubsemigroup.comap (AddHom.id P) S = S
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hs : ∀ (s : Set X), closure (f '' s) ⊆ f '' closure s
c : Set X
hc : IsClosed c
⊢ f '' closure c = f '' c
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hx : x % 2 = 0
hy : y % 2 = 1
⊢ x % 2 = 0 ∧ y % 2 = 1 ∨ x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d✝ : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : b < a
hc : c < 0
d : α
hcd : 0 = c + d
⊢ c * a < c * b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
g : γ → β
f : β → α
hg : Injective g
⊢ ∏' (x : ↑(Set.range g)), f ↑x = ∏' (x : γ), f (g x)
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.21316, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.21323, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
a : M
f : ShiftedHom X Y a
g : Y ⟶ Z
⊢ f.comp (mk₀ 0 ⋯ g) ⋯ = f ≫ (shiftFunctor C a).map g
n : ℕ
hn : n % 4 = 3
⊢ χ₄ ↑n = -1
α β : Type u
s : Set α
⊢ #↑(ULift.down ⁻¹' s) = lift.{v, u} #↑s
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing Rₘ
inst✝¹² : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R Sₘ
inst✝⁹ : Algebra S Sₘ
inst✝⁸ : Algebra R Rₘ
inst✝⁷ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁶ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝³ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝² : FormallySmooth R Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra Rₘ Q
I : Ideal Q
e : I ^ 2 = ⊥
f✝ : Sₘ →ₐ[Rₘ] Q ⧸ I
this✝ : Algebra R Q := ((algebraMap Rₘ Q).comp (algebraMap R Rₘ)).toAlgebra
this : IsScalarTower R Rₘ Q := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' rfl
f : Sₘ →ₐ[Rₘ] Q := let __src := lift I ⋯ (AlgHom.restrictScalars R f✝); { toRingHom := __src.toRingHom, commutes' := ⋯ }
⊢ ∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ Rₘ I).comp a = f✝
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
x✝² x✝¹ x✝ : OpensLeCover U
f : x✝² ⟶ x✝¹
g : x✝¹ ⟶ x✝
⊢ ({ obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.map (f ≫ g)).left = ({ obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.map f ≫ { obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.map g).left
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
⊢ ↑(-f) = -↑f
V : Type u
G : SimpleGraph V
Fintype V
u v : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
⊢ p.length < Fintype.card V
a b : Int
h : a < b
c : Int
⊢ a - c < b - c
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : DivisionMonoid G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
μ✝ μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ MeasurePreserving (fun t => g / t) μ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing α
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : BoundedSMul α β
s : α
x y : β
⊢ edist (s • x) (s • y) = ‖s‖₊ • edist x y
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
x : V
⊢ midpoint R x (-x) = 0
V : Type v
inst✝² : Category.{w, v} V
inst✝¹ : MonoidalCategory V
C✝ : Type u₁
inst✝ : EnrichedCategory V C✝
C : Type u₁
𝒞 : EnrichedCategory (Type v) C
D : Type u₂
𝒟 : EnrichedCategory (Type v) D
F : C ⥤ D
X : C
⊢ (eId (Type v) X ≫ (fun X Y f => F.map f) X X) PUnit.unit = eId (Type v) ((fun X => F.obj X) X) PUnit.unit
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : TotallyBounded s
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε
α : Type u_1
Group α
DecidableEq α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ min (Monoid.minOrder α) ↑(s.card + t.card - 1) ≤ ↑(s * t).card
b o : Ordinal.{u_1}
⊢ List.Sorted (fun x x_1 => x > x_1) (List.map Prod.fst (Ordinal.CNF b o))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ (CochainComplex.mappingConeCompTriangle f g).mor₁ = CochainComplex.mappingCone.map f (f ≫ g) (𝟙 X₁) g ⋯
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
l : List (Perm α)
h0 : l.prod = σ
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
hl : l.Nodup
⊢ ∀ f ∈ l.toFinset, f.IsCycle
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (f • g) (a • x + b • y) ≤ a • (f • g) x + b • (f • g) y
θ : Real.Angle
⊢ ↑(↑θ.cos + ↑θ.sin * Complex.I).arg = θ
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Equiv M N
a : N
⊢ f (f.symm a) = a
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ↑(x / y).arg = ↑x.arg - ↑y.arg
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
Add M
ContinuousAdd M
f g : X → M
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun x => f x + g x
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
a : α
⊢ a ⊔ ⨆ x, f x = ⨆ x, a ⊔ f x
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
m₁ m₂ m₃ _mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.Indep m₁ m₂ κ μ
h32 : m₃ ≤ m₂
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep m₁ m₃ κ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≺i s
b : β
⊢ s b f.top ↔ ∃ a, f.toRelEmbedding a = b
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
Countable G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α ν
s : Set α
fund_dom_s : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s ν
⊢ MeasureTheory.addCovolume G α ν = ν s
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
Group G
Group H
MulAction G α
MeasurableSpace α
MulAction H β
MeasurableSpace β
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
f : β → α
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f ν μ
e : G → H
he : Function.Bijective e
hef : ∀ (g : G), Function.Semiconj f (fun x => e g • x) fun x => g • x
⊢ MeasureTheory.IsFundamentalDomain H (f ⁻¹' s) ν
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
m n : ℤ
⊢ Commute (a ^ m) (a ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : s =ᶠ[ae μ] univ
⊢ univ ∪ t =ᶠ[ae μ] univ
z : ℂ
⊢ |z.im / Complex.abs z| ≤ 1
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u✝ : Multiset α
a b : α
s t u : Multiset α
h : ¬s ∩ t + u = (s + u) ∩ (t + u)
⊢ False
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Module S M
r : R
s : S
x : M
⊢ (addEquiv R S M).symm ((algebraMap R S) r • s • x) = r • (addEquiv R S M).symm (s • x)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s t : Set α
hs : IsComplete s
ht : IsComplete t
⊢ IsComplete (s ∪ t)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W.IsStableUnderFiniteProducts
J : Type
Finite J
⊢ W.IsStableUnderProductsOfShape J
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → n ≠ 1 → n ≠ 2 → 2 < n
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 ≤ x
hyz : y ≤ z
⊢ log x * y ≤ log x * z
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
z : ℤ
hx : x < ↑z
⊢ 1 - fract x ≤ |x - ↑z|
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝
s✝ s₁ s₂ t : Set α✝
α : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
hfin : ∃ i, μ (f i) ≠ ⊤
s : ι → Set α := fun i => ⋂ j, ⋂ (_ : j ≤ i), f j
iInter_eq : ⋂ i, f i = ⋂ i, s i
⊢ μ (⋂ i, f i) = ⨅ i, μ (⋂ j, ⋂ (_ : j ≤ i), f j)
α : Type u_4
β : Type u_5
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
Mf : Monotone f
x : α
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (sSup (f '' Set.Iio x)))
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ
m : ℤ := univ.inf' ⋯ v
w' : Fin (n + 1) → ℕ := fun i => (v i - m).toNat
hw' : ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑(w' i) = v i - m
h : (Matrix.vandermonde fun i => ↑(w' i)).det = (Matrix.of fun i j => Polynomial.eval ((fun i => ↑(w' i)) i) ((fun i => descPochhammer ℤ ↑i) j)).det
⊢ ↑(sf n) ∣ (Matrix.vandermonde v).det
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
hd : s1.direction = s2.direction
hn : (↑s1 ∩ ↑s2).Nonempty
⊢ s1 = s2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : α → β
TopologicalSpace β
FirstCountableTopology β
OrderTopology β
hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) (MeasureTheory.ae μ) f := by isBoundedDefault
⊢ μ {y | f y < essInf f μ} = 0
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo ψ (φ '' t) t
hψ : MonotoneOn ψ (φ '' t)
⊢ eVariationOn (f ∘ id) (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Bornology M
inst✝ : SMul M α
s t : Set α
hs : Absorbent M s
ht : t.Finite
⊢ Absorbs M s t
a b c d : Ordinal.{u_1}
⊢ a < b → c ≤ d → a ♯ c < b ♯ d
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F'
f : E → F
g : E' → F'
x : E
y : E'
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g univ y
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (Prod.map f g) univ (x, y)
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
x : F
⊢ (MeasureTheory.weightedSMul μ s) x = (μ s).toReal • x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s : Multiset α
⊢ (∀ r ∈ 0, Prime r) → p ∣ Multiset.prod 0 → ∃ q ∈ 0, p ~ᵤ q
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
d : ℤ
h_nonsquare : ∀ (n : ℤ), d ≠ n * n
a : ℤ√d
ha : a.norm = 0
⊢ a.re = re 0 ∧ a.im = im 0
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
AddAction α β
s : Set β
a : α
x : β
⊢ a +ᵥ x ∈ a +ᵥ s ↔ x ∈ s
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : CommGroup G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
n : G
hn : n ∈ s
g : G
⊢ g * n * g⁻¹ ∈ s
n : ℕ
⊢ Equiv.Perm.sign (finRotate (n + 1)) = (-1) ^ n
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
inst✝² : Fintype ↑(G.neighborSet v)
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
x✝ y✝ : V
⊢ s(x✝, y✝) ∈ G.incidenceFinset v ↔ s(x✝, y✝) ∈ filter (Membership.mem v) G.edgeFinset
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : TopologicalSpace R
inst✝³ : NonarchimedeanRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : TopologicalSpace S
inst✝ : NonarchimedeanRing S
U V : OpenAddSubgroup R
H : ↑V ×ˢ ↑V ⊆ (fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' ↑U
v a : R
ha : a ∈ ↑V
b : R
hb : b ∈ ↑V
hv : (fun x x_1 => x * x_1) a b = v
hy : v ∈ U
⊢ v ∈ ↑U