ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n : ℕ
IH : Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) } { l := some (ret q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) }
⊢ some (TM1.stepAux (tr M (ret q)) v ((Tape.move Dir.right)^[n + 1] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)))) = some { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
r : R
⊢ DirectSum.GAlgebra.toFun r = TensorPower.algebraMap₀ r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
NormedAddCommGroup γ
f : α → β
g : α → γ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ ≤ ‖g a‖
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) ⊤ = ⊤
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
k n : ℕ
r : R
⊢ X ^ k * (monomial n) r = (monomial (n + k)) r
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : A ⊆ range n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree ↑A
⊢ False
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft R.X) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.X ◁ R.mul ▷ P.X) (R.X ◁ ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ((α_ R.X (R.X ⊗ R.X) P.X).inv ≫ (α_ R.X R.X R.X).inv ▷ P.X ≫ R.mul ▷ R.X ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).inv ≫ R.mul ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ = R.X ◁ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ≫ P.actLeft
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
x : α
h : Fintype.card α = 1
⊢ {x} = univ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
⊢ ‖A‖ * ‖A‖ ≤ ‖(adjoint A).comp A‖
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝¹ : UniformSpace ι
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
⊢ UniformInducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ F) ↔ UniformInducing F
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝¹ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
inst✝ : Fintype α
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ (s t : Finset α), f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal 0
h : Tendsto (⇑(κ a) ∘ fun m => univ ×ˢ seq m) atTop (𝓝 ((κ a) (⋂ n, (fun m => univ ×ˢ seq m) n)))
⊢ 0 = (κ a) (⋂ n, (fun m => univ ×ˢ seq m) n)
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β → β
H : ∀ (a : α), Monotone (f a)
l : List α
⊢ Monotone fun b => List.foldr f b l
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
f : Quotient (QuotientGroup.rightRel H) → G
hf : ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), Quotient.mk'' (f q) = q
q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)
⊢ (toEquiv ⋯) q = ⟨f q, ⋯⟩
C : Type u_5
D : Type u_3
H : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_5} C
CategoryTheory.Category.{u_1, u_3} D
CategoryTheory.Category.{u_2, u_4} H
RF : CategoryTheory.Functor D H
F : CategoryTheory.Functor C H
L : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ L.comp RF
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
RF.IsRightDerivedFunctor α W
G : CategoryTheory.Functor D H
β : F ⟶ L.comp G
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α.app X) ((RF.rightDerivedDesc α W G β).app (L.obj X)) = β.app X
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
G.Full
G.Faithful
(F.comp G).Initial
⊢ F.Initial
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
Z : Finset R
h : Z.val ⊆ p.roots
⊢ Z.card ≤ p.natDegree
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
⊢ Odd n ↔ ¬Even n
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ∀ (x : ↥⊥), Submodule.botEquivPUnit x = PUnit.unit
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ f '' Set.univ = Set.range f
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α ≃ₜ β
K : TopologicalSpace.Compacts α
⊢ ↑((TopologicalSpace.Compacts.equiv f) K) = ⇑f.symm ⁻¹' ↑K
ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F'✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'✝
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'✝
inst✝¹ : CompleteSpace F'✝
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
h4v : ∀ (x : E), ‖fderiv ℝ v x‖ ≤ ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
R : Type u
CommSemiring R
f : R[X]
𝓟 : Ideal R
self : f.IsEisensteinAt 𝓟
n : ℕ
⊢ n < f.natDegree → f.coeff n ∈ 𝓟
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
z : M
f g : M → E'
hf : MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') f z
hg : MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') g z
⊢ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') (f - g) z
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
T : CentroidHom α
a : α
⊢ T • a = T a
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.Saturated ↔ ∀ (n : ℤ) (g : G), g ^ n ∈ H → n = 0 ∨ g ∈ H
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ OrderDual.toDual (a ⇔ b) = OrderDual.toDual a ∆ OrderDual.toDual b
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
φ : L.Sentence
⊢ T ⊨ᵇ φ ↔ ∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ φ
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
i j : A
⊢ shiftFunctorComm C i j = (shiftFunctorAdd' C i j (i + j) ⋯).symm ≪≫ shiftFunctorAdd' C j i (i + j) ⋯
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddCommMonoid G
⊢ ∀ (a : (G →₀ k)ᵐᵒᵖ), AddMonoidAlgebra.opRingEquiv a = Finsupp.mapRange MulOpposite.op ⋯ (MulOpposite.unop a)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1
⊢ Set.range (s.face h).points = s.points '' ↑fs
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
i : ℕ
⊢ (if h : i < n then TruncatedWittVector.coeff ⟨i, h⟩ (truncateFun n x) else 0) = if i < n then x.coeff i else 0
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : c ≤ 0
hf : Supermartingale f ℱ μ
⊢ Submartingale (c • f) ℱ μ
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
TopologicalSpace.SeparableSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
h : DenseRange f
h' : Continuous f
⊢ TopologicalSpace.SeparableSpace β
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑H = Set.univ
⊢ H.FiniteIndex
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsAlgClosed K
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : Nontrivial V
f : End K V
⊢ ∃ c, f.HasEigenvalue c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.RightHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).p = CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.τ₂ h.p
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ multiplicity a b = ⊤ ↔ ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b
α : Type u_1
a : PosNum
⊢ (Num.pos a).toZNum = pos a
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
I : Ideal S
⊢ Ideal.absNorm I = Submodule.cardQuot I
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
x gradf gradg : F
hf : HasGradientAt f gradf x
hg : HasGradientAt f gradg x
⊢ gradf = gradg
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
B : Type u
CommRing B
_RB : Algebra R B
Algebra.FormallyUnramified R A
I : Ideal B
hI : IsNilpotent I
g₁ g₂ : A →ₐ[R] B
h : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp g₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp g₂
⊢ g₁ = g₂
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃
⊢ φ₁.τ₂ = S₁.g ≫ (h₁₂.h₂ + h₂₃.h₂) + (h₁₂.h₁ + h₂₃.h₁) ≫ S₂.f + φ₃.τ₂
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ f '' s ⊆ Set.range f
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ a + b ∈ Set.Icc c d ↔ a ∈ Set.Icc (c - b) (d - b)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j j' : ι
rij : c.Rel i j
rij' : c.Rel i j'
⊢ C.d i j' ≫ eqToHom ⋯ = C.d i j
α : Type u
Monoid α
a b : α
ab : IsConj a b
⊢ conjugatesOf a = conjugatesOf b
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
hx : ∀ (i : xl) (j : xr), xL i < xR j
_oxl : ∀ (i : xl), (xL i).Numeric
_oxr : ∀ (i : xr), (xR i).Numeric
IHxl : ∀ (i : xl), (fun x => ∀ (z : PGame), z.Numeric → x ⧏ z → ¬z ⧏ x) (xL i)
IHxr : ∀ (i : xr), (fun x => ∀ (z : PGame), z.Numeric → x ⧏ z → ¬z ⧏ x) (xR i)
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
hy : ∀ (i : yl) (j : yr), yL i < yR j
oyl : ∀ (i : yl), (yL i).Numeric
oyr : ∀ (i : yr), (yR i).Numeric
_IHyl : ∀ (i : yl), mk xl xr xL xR ⧏ yL i → ¬yL i ⧏ mk xl xr xL xR
_IHyr : ∀ (i : yr), mk xl xr xL xR ⧏ yR i → ¬yR i ⧏ mk xl xr xL xR
⊢ ((∃ i, mk xl xr xL xR ≤ yL i) ∨ ∃ j, xR j ≤ mk yl yr yL yR) → ¬((∃ i, mk yl yr yL yR ≤ xL i) ∨ ∃ j, yR j ≤ mk xl xr xL xR)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
R : Type u_2
CommSemiring R
A : Type u_3
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSemiring A
⊢ Monotone fun s => s.SeparatesPoints
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
⊢ Disjoint (s.pi t₁) (s.pi t₂) ↔ ∃ i ∈ s, Disjoint (t₁ i) (t₂ i)
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ
⊢ multichoose (-↑n) (n + k + 1) = 0
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ f 0 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.Center.ofBraidedObj X).snd.β Y = β_ X Y
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
x : 𝓞 K
⊢ hζ.toInteger - 1 ∣ x ∨ hζ.toInteger - 1 ∣ x - 1 ∨ hζ.toInteger - 1 ∣ x + 1
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
LinearOrderedField 𝕝
Module 𝕝 E
ContinuousConstSMul 𝕝 E
LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 𝕝
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
c : 𝕝
⊢ StrictConvex 𝕜 (c • s)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ContinuousConstSMul R M
ContinuousAdd M
s t : Submodule R M
h : s ≤ t
⊢ s.topologicalClosure ≤ t.topologicalClosure
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α) (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
⊢ 0 ≤ setToSimpleFunc T f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsIrrefl α r
a✝ a : α
h : ∀ (y : α), r y a → Acc r y
ih : ∀ (y : α), r y a → Acc (CutExpand r) {y}
s : Multiset α
⊢ CutExpand r s {a} → Acc (CutExpand r) s
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ c⁻¹ * a ≤ b ↔ a ≤ b * c
G : CommGrp
H : Type u
CommGroup H
f : ↑G →* H
⊢ f.comp (𝟙 G) = f
α : Type u_1
m n : Num
⊢ Ordering.casesOn (m.cmp n) (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m) → (m.cmp n = Ordering.eq ↔ m = n)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
R₄ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₄
inst✝² : IsDomain R₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : Module R₄ M₄
G : BilinForm R₄ M₄
x y : M₄
a : R₄
ha : a ≠ 0
⊢ (G (a • x)) y = 0 ↔ (G x) y = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : ∑ x ∈ vi.support, vi x * (B (v x)) (v i) = 0
⊢ i ∉ vi.support → vi i * (B (v i)) (v i) = 0
G : Type u_1
Group G
s : Set G
h_one : ∀ {a b : G}, a ∈ s → b ∈ s → a * b ∈ s
h_mul : s 1
h_inv :
  ∀ {x : G},
    x ∈ { carrier := s, mul_mem' := h_one, one_mem' := h_mul }.carrier →
      x⁻¹ ∈ { carrier := s, mul_mem' := h_one, one_mem' := h_mul }.carrier
⊢ ↑{ carrier := s, mul_mem' := h_one, one_mem' := h_mul, inv_mem' := h_inv } = s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
⊢ Computation.IsBisimulation fun c1 c2 => ∃ s t, c1 = (s.append t).destruct ∧ c2 = s.destruct.bind (destruct_append.aux t)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
x : A
⊢ x ∈ StarAlgebra.adjoin R {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ (↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹ / rexp 1) ^ (n - 2) / ↑n
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
⊢ ⨆ t ∈ S, {t} = S
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a b : K
⊢ D (a / b) = b⁻¹ ^ 2 • (b • D a - a • D b)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ e ≈ e
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
⊢ Continuous t.truncateToReal
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
⊢ SpectrumRestricts (a ^ 2) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
K K' : AddSubgroup G
⊢ K ≤ K' → AddSubgroup.map f K ≤ AddSubgroup.map f K'
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.MapsTo f s t
h' : Function.Surjective f
⊢ Set.SurjOn f sᶜ tᶜ
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
L : AddSubgroup G
hHK : H ≤ K
⊢ K.relindex L ∣ H.relindex L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
s t : Set β
hs : Disjoint s t
ha : HasProd (s.mulIndicator f) a
hb : HasProd (t.mulIndicator f) b
⊢ HasProd ((s ∪ t).mulIndicator f) (a * b)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
ha : a < 0
k : ℤ
⊢ a ^ (2 * k) * a < 0
z w : ℂ
⊢ (z * w).re = z.re * w.re - z.im * w.im
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ
a✝ : (HMul.hMul 0)^[n] a ≤ id a
⊢ 0 * (HMul.hMul 0)^[n] a ≤ a
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsSigmaCompact s
⊢ IsLindelof s
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
⊢ ∀ (x y_1 : S), D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y_1 * y) = (TensorProduct.lmul' R) (x ⊗ₜ[R] y_1) • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y_1)
α : Type u_1
BooleanRing α
a b c : α
⊢ (a ⊔ b) ⊓ (a ⊔ c) ⊔ (a ⊔ b ⊓ c) = a ⊔ b ⊓ c
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ J.IsAdjointPair J A₁ A₁ ↔ J.IsSelfAdjoint A₁
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q : Associates M
n : ℕ
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
m : Finset (Associates M)
hm : ∀ r ∈ m, r ≤ q
⊢ m.card ≤ n + 1
K : Type u
L : Type v
M : Type w
Field K
Field L
Algebra K L
Field M
Algebra K M
IsSepClosed M
E : Type u_1
Field E
Algebra K E
Algebra L E
IsScalarTower K L E
Algebra.IsSeparable L E
⊢ Function.Surjective fun φ => φ.comp (IsScalarTower.toAlgHom K L E)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
M : R[X] → Prop
f : R[X]
f0 : f.natDegree ≠ 0
h_C_add : ∀ {a : R} {p : R[X]}, M p → M (C a + p)
h_add : ∀ {p q : R[X]}, M p → M q → M (p + q)
h_monomial : ∀ {n : ℕ} {a : R}, a ≠ 0 → n ≠ 0 → M ((monomial n) a)
⊢ ∀ (p q : R[X]), p.natDegree = 0 ∨ M p → q.natDegree = 0 ∨ M q → (p + q).natDegree = 0 ∨ M (p + q)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
⊢ ∀ (a : Option α), e.optionCongr a = Option.map (⇑e) a
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
i : ι × κ
r : R
⊢ (finsuppTensorFinsupp' R ι κ).symm (Finsupp.single i (1 * r)) = Finsupp.single i.1 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 r
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Inv (f i)
s : Set I
(i : I) → Decidable (i ∈ s)
f₁ g₁ : (i : I) → f i
⊢ s.piecewise f₁⁻¹ g₁⁻¹ = (s.piecewise f₁ g₁)⁻¹
α : Type u_6
LE α
self : LowerSet α
⊢ IsLowerSet self.carrier
ι : Type uι
R : Type uR
A : ι → Type uA
DecidableEq ι
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
DirectSum.GAlgebra R A
i j : ι
a : A i
b : A j
⊢ ((DirectSum.gMulLHom R A) a) b = GradedMonoid.GMul.mul a b
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
⊢ f' < slope f x y
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ a b c : α
l : List α
ih : (permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)
this : ∀ (a b : α), (map (cons c) (permutations'Aux a l)).bind (permutations'Aux b) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b))
⊢ map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ (map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b))) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ (map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)))
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
s : Set 𝕜
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ s, HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
h1 : s ∈ 𝓝 x
h2 : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
⊢ HasDerivAt g (g' x) x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)
i : ι
this : NormedSpace 𝕜 ↥(lp (fun _i => 𝕜) 2) := inferInstance
⊢ b.repr (↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) = b.repr (b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) i))
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
⊢ -h ≠ 0
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
Nonempty α
f : α →₀ M
⊢ f.support.card ≤ 1 ↔ ∃ a b, f = Finsupp.single a b
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
⊢ ⇑p ⁻¹' Metric.closedBall 0 r = {x | p x ≤ r}
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : ⨂[R]^i M
b : ⨂[R]^j M
⊢ ((TensorProduct.mk R (⨂[R]^i M) (⨂[R]^j M)).compr₂ ↑mulEquiv).compr₂ toTensorAlgebra = (LinearMap.mul R (TensorAlgebra R M)).compl₂ toTensorAlgebra ∘ₗ toTensorAlgebra
α : Type u_1
LinearOrderedField α
FloorRing α
x : ℚ
⊢ ⌊↑x⌋ = ⌊x⌋