ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : LinearWeights R L M
χ✝ : L → R
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M
hχ : Nontrivial ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)
m : M
property✝ : m ∈ ↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)
hm₁ : ⟨m, property✝⟩ ∈ ↑(maxTrivSubmodule R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ))
hm₂ : ⟨⟨m, property✝⟩, hm₁⟩ ≠ 0
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
E : Type u_1
AddCommMonoid E
SMulWithZero ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
g : X → E
i : ι
hg : ∀ x ∈ tsupport ⇑(f i), ContinuousAt g x
⊢ Continuous fun x => (f i) x • g x
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s : Finset α
t t' : Finset β
ht : Disjoint t t'
⊢ Disjoint (Rel.interedges r s t) (Rel.interedges r s t')
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
⊢ (∃ a_1 ∈ P.parts.attach, b ∈ (Q ↑a_1 ⋯).parts) ↔ ∃ A, ∃ (hA : A ∈ P.parts), b ∈ (Q A hA).parts
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ : Con M
r : M → M → Prop
c : Con M
h : ∀ (x y : M), r x y → c x y
⊢ conGen r ≤ c
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
⊢ eval x (C a * p) = a * eval x p
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs₀ : μ s ≠ 0
hs : μ s ≠ ⊤
⊢ ⨍⁻ (_x : α) in s, 1 ∂μ = 1
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
⊢ (if 1 = 0 + 1 then 𝟙 X₁ ≫ d₀ else 0) = d₀
a b : ℝ≥0∞
h : a ≠ ⊤ ∨ b ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => a * x) b
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
x : ↑(Metric.sphere 0 1)
⊢ ↑((unitSphereToUnits 𝕜) x) = ↑x
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x : α
h : x ∉ closure s
⊢ ContinuousAt (fun x => (Metric.infDist x s)⁻¹) x
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
r : R
⊢ Polynomial.X * (Polynomial.monomial n) r = (Polynomial.monomial (n + 1)) r
α : Type u_2
β : Type u_3
UniformSpace α
MetricSpace β
f : α → β
h : UniformEmbedding f
⊢ Isometry f
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
hp : p.IsPrimitive
⊢ p.primPart = p
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
DecidableEq β
ht : s.Nonempty
⊢ Finset.image Prod.snd (s ×ˢ t) = t
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
h : f ∈ S.arrows c d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id c ∈ S.arrows c c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCommMonoid α
s t : Multiset α
a : α
h : ∀ x ∈ s, a ≤ x
⊢ a ^ card s ≤ s.prod
α : Type u_1
LE α
s t : LowerSet α
⊢ s.compl ≤ t.compl ↔ s ≤ t
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
f : G →+ G'
H : AddSubgroup G
⊢ Function.Surjective ⇑(f.addSubgroupMap H)
R : Type u
CommSemiring R
⊢ PrimeSpectrum.vanishingIdeal ∅ = ⊤
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderBot α
Nontrivial α
IsAtomic α
⊢ ∃ a, IsAtom a
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j k : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j k
⊢ (inlX φ j i hij ≫ d φ i j) ≫ fstX φ j k hjk = (-F.d j k ≫ inlX φ k j hjk + φ.f j ≫ inrX φ j) ≫ fstX φ j k hjk
α : Type u_1
MetricSpace α
SecondCountableTopology α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (Besicovitch.SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
⊢ ∃ t,
  ↑t ⊆ s ∧
    μ (s \ ⋃ x ∈ t, Metric.closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧
      (↑t).PairwiseDisjoint fun x => Metric.closedBall x (r x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : CompactIccSpace α
inst✝² : atTop.IsMeasurablyGenerated
inst✝¹ : MeasurableNeg α
inst✝ : μ.IsNegInvariant
hf : LocallyIntegrable f μ
hsymm : norm ∘ f =ᶠ[ae μ] norm ∘ f ∘ Neg.neg
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ
h_int : IntegrableOn f (Ici 0) μ
h_map_neg : Measure.map Neg.neg (μ.restrict (Ici 0)) = μ.restrict (Iic 0)
⊢ Integrable (f ∘ Neg.neg) (μ.restrict (Ici 0))
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
t : Finset α
a : α
⊢ {a} ⊼ t = Finset.image (fun x => a ⊓ x) t
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : MeasureTheory.Measure.map X MeasureTheory.volume = ProbabilityTheory.gaussianReal μ v
c : ℝ
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun ω => c * X ω) MeasureTheory.volume =
  ProbabilityTheory.gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
X✝ Y✝ : Augmented C
η : X✝ ⟶ Y✝
⊢ η.left ≫ Y✝.hom.app [0] = (X✝.hom ≫ η.right).app [0]
α : Type u
a✝ : α
inst✝² : Group α
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
a : G
ha : ∀ (x : G), x ∈ zpowers a
k_lt_card_G : a ^ k = 1
⊢ ⊤ ≤ zpowers a
n✝ : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
n : ℕ∞
hf : HasCompactSupport f
h'f : ContDiff 𝕂 n f
hn : 1 ≤ n
C : ℝ
hC : ∀ (x : E'), ‖fderiv 𝕂 f x‖ ≤ C
⊢ LipschitzWith ⟨max C 0, ⋯⟩ f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
⊢ K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ h ≫ K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : CompleteSpace α
f : β → α
⊢ Multipliable f ↔ CauchySeq fun s => ∏ b ∈ s, f b
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a b : α
h : ∀ (c : α), IsAtom c → c ≤ a → c ≤ b
⊢ a ≤ b
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ ⋃ c, c.supp = Set.univ
n m : Nat
⊢ n.succ + m = (n + m).succ
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
BorelSpace α
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
BorelSpace β
h : μ.InnerRegular
f : α → β
hf : Continuous f
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μ).InnerRegular
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / (o.oangle (x + y) y).cos = ‖x + y‖
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
⊢ ∃ y, y + x + x * y = 0 ∧ x + y + y * x = 0
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.range (LinearMap.inr R M M₂) = LinearMap.ker (LinearMap.fst R M M₂)
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
η : ProbabilityTheory.Kernel β γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
⊢ η.comp κ = (κ.compProd (ProbabilityTheory.Kernel.prodMkLeft α η)).snd
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
N : ℕ
ihN : ↑(nearestPtInd e N) x ≤ N
⊢ ↑(nearestPtInd e (N + 1)) x ≤ N + 1
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
s : Set Ω
⊢ μ s ≤ 1
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x y : V
⊢ ↑e (x + y) ≤ ↑e x + ↑e y
α : Type u_1
m n : PosNum
h : ↑m < ↑n
⊢ ↑m + ↑m + 1 + 1 ≤ ↑n + ↑n
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A✝
inst✝³ : Module A✝ M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
A : Type u_7
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
f : M →ₗ[A] M
hf : IsUnit f
g : M →ₗ[A] M
hg : f ∘ₗ g = 1
this : LinearMap.det f * LinearMap.det g = 1
⊢ IsUnit (LinearMap.det f)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁸ : OrderedRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : AddTorsor V P
inst✝⁴ : AddCommGroup V'
inst✝³ : Module R V'
inst✝² : AddTorsor V' P'
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
ι : Type u_6
p : ι → P
ha : AffineIndependent R p
w w₁ w₂ : ι → R
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
h : (Finset.affineCombination R s p) w ∈ affineSpan R {(Finset.affineCombination R s p) w₁, (Finset.affineCombination R s p) w₂}
i : ι
his : i ∈ s
hs : Sbtw R (w₁ i) (w i) (w₂ i)
⊢ Sbtw R ((Finset.affineCombination R s p) w₁) ((Finset.affineCombination R s p) w) ((Finset.affineCombination R s p) w₂)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
⊢ (toDualMap 𝕜 E) x = (toDualMap 𝕜 E) y
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : finrank K V = 1
x : V
hx : x ≠ 0
y : V
this : span K {x} = ⊤
⊢ ∃ c, c • x = y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m✝ n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
m : ℕ
hm : p.degree < ↑m
⊢ (map f p).coeff m = 0
X : Type u
m₁ m₂ : X → X → X
e₁ e₂ : X
h₁ : IsUnital m₁ e₁
h₂ : IsUnital m₂ e₂
distrib : ∀ (a b c d : X), m₁ (m₂ a b) (m₂ c d) = m₂ (m₁ a c) (m₁ b d)
a b c : X
⊢ m₂ (m₂ a b) c = m₂ a (m₂ b c)
R : Type u_1
n✝ x y : ℕ
hyx : y < x
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hneven : Even n
⊢ 0 < n
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ ↑(Finset.image₂ f s t) = Set.image2 f ↑s ↑t
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
⊢ (1 + ε ^ 5 / 100) ^ 2 ≤ 1 + ε ^ 5 / 49
σ : Type u
m : Type u → Type v
β : Type u
s : σ
k : σ → σ → m β
⊢ get.runK s k = k s s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : F.FullyFaithful
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso (F.map f)
⊢ CategoryTheory.IsIso f
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y : α
h : Bornology.IsBounded s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ dist x y ≤ Metric.diam s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∃ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≠ 0
ho : f' =o[l] f'
x : α
hle : ‖f' x‖ ≤ ‖f' x‖ / 2
hne : ‖f' x‖ ≠ 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α × β → Prop
⊢ (∀ (x : α × β), p x) ↔ ∀ (a : α) (b : β), p (a, b)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrderTop (α i)
a : (i : ι) → α i
⊢ (Ioi a).card = ∏ i : ι, (Ici (a i)).card - 1
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ ¬IsMin a ↔ ∃ b, b < a
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing M
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : Algebra R M
x : L
int : IsIntegral R x
h : Splits (algebraMap R K) (minpoly R x)
f : K →ₐ[R] L
⊢ Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R x) ≠ 0 ∧ (aeval x) (minpoly R x) = 0
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ Continuous fun x => MeasureTheory.condexpIndL1 hm μ s x
n : ℕ
α : Fin (n + 2) → Type u_1
x : α 0
p : (i : Fin n.succ) → α i.succ
⊢ Fin.cons x p 1 = p 0
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
a : RBNode α
x : α
parent : Path α
b : RBNode α
hb : RBNode.Ordered cmp b
hp : Ordered cmp parent
ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a
xp : RootOrdered cmp parent x
ap : All (RootOrdered cmp parent) a
ha : RBNode.Ordered cmp a
H : All (RootOrdered cmp (right c✝ a x parent)) b
xb : All (cmpLT cmp x) b
bp : All (RootOrdered cmp parent) b
⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.del (a.balRight x b) c✝)
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
⊢ F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram Q (unop X)) W) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
X Y Z : C
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
f : X ⟶ Y
a : M
g : CategoryTheory.ShiftedHom Y Z a
⊢ (CategoryTheory.ShiftedHom.mk₀ m₀ hm₀ f).comp g ⋯ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : CategoryWithHomology C
inst✝¹ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝ : c.QFactorsThroughHomotopy C
K L : HomologicalComplex C c
φ : { as := K } ⟶ { as := L }
⊢ HomotopyCategory.quasiIso C c φ → IsIso (Qh.map φ)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
ι : Type u_3
B : ι → Set X
hB : ∀ (i : ι), IsBlock G (B i)
hι : ¬IsEmpty ι
⊢ IsBlock G (⋂ i, B i)
R : Type u
Ring R
P : Type v
AddCommGroup P
Module R P
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
Module.Projective R M
s : M →ₗ[R] P
hs : Function.Surjective ⇑s
⊢ Module.Projective R P ↔ ∃ i, s ∘ₗ i = LinearMap.id
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
F_inf : IsEmpty (Fintype F)
⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
self : CategoryTheory.PreGaloisCategory C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi : ¬MeasurableSet i
⊢ restrict 0 i ≤ v.restrict i
G : Type u_3
Group G
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)
n : ℤ
⊢ P (g ^ n)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : GroupWithZero G₀
f g : ι → G₀
⊢ (support fun a => f a / g a) = support f ∩ support g
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
hm : m ∈ M
hn : n ∈ N
⊢ m * n ∈ M * N
M : Type u_2
AddZeroClass M
S : Set (AddSubmonoid Mᵃᵒᵖ)
⊢ (sInf S).unop = sInf (AddSubmonoid.op ⁻¹' S)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
se : CategoryTheory.SplitEpi f
⊢ CategoryTheory.Epi f
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₁
CategoryTheory.Category.{u_10, u_3} C₂
CategoryTheory.Category.{u_11, u_5} D₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_6} D₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₁.IsLocalization W₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₂.IsLocalization W₂
X Y : C₁
f : X ⟶ Y
⊢ Φ.homMap L₁ L₂ (L₁.map f) = L₂.map (Φ.functor.map f)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f
⊢ ∃ m n y, m ≠ 0 ∧ (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α
b : ℕ
hb : ∀ a ∈ ↑s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1
x : α
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : f x ≠ b + 1
⊢ (∑ i ∈ s, f i) / s.card = b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
φ : ℝ → ℝ
s : Set E
f : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : 0 ≤ φ
⊢ ConvexOn ℝ s f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ stdSimplex 𝕜 (Fin 2) ⊆ [Pi.single 0 1-[𝕜]Pi.single 1 1]
u : PNat.XgcdType
⊢ u.flip.w = u.z
ι : Type u_1
R : Type u_2
LinearOrderedSemiring R
a b : ι → R
s : Finset ι
H : s.Nonempty
ha : ∀ i ∈ s, 0 ≤ a i
hb : ∀ i ∈ s, 0 ≤ b i
⊢ s.inf' H a * s.inf' H b ≤ s.inf' H (a * b)
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
⊢ Matrix.toLin' (LinearMap.toMatrix' f) = f
o : Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.type (Subrel (fun x x_1 => x < x_1) {o' | o' < o}) = Ordinal.lift.{u + 1, u} o
m c : ℤ
⊢ (2 * c + 1) / 2 * 2 + 1 = 2 * c + 1
ι : Sort u_1
Nonempty ι
a : ℝ≥0
g h : ι → ℝ≥0
H : ∀ (i j : ι), a ≤ g i * h j
⊢ a ≤ iInf g * iInf h
⊢ Tendsto (fun N => -↑(harmonic (N + 1)) + log (↑N + 1) + 1) atTop (𝓝 (-γ + 1))
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => if n = 0 then 0 else s.Gammaℝ * ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s)
  (HurwitzZeta.completedCosZeta (↑a) s)
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun b => ↑b * rexp (-π * (↑b + a ^ 2) * t)) (rexp (-π * (a ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2)
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n✝ m n : ℕ+
⊢ n ≤ PNat.find h ↔ ∀ m < n, ¬p m
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
P' : Type uP'
Q' : Type uQ'
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : Semiring A
inst✝²⁹ : Semiring B
inst✝²⁸ : Algebra R A
inst✝²⁷ : Algebra R B
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : Module R M
inst✝²⁴ : Module A M
inst✝²³ : Module B M
inst✝²² : IsScalarTower R A M
inst✝²¹ : IsScalarTower R B M
inst✝²⁰ : SMulCommClass A B M
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁸ : Module R N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : Module R P
inst✝¹⁵ : Module A P
inst✝¹⁴ : Module B P
inst✝¹³ : IsScalarTower R A P
inst✝¹² : IsScalarTower R B P
inst✝¹¹ : SMulCommClass A B P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R Q
inst✝⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝⁷ : Module R P'
inst✝⁶ : Module A P'
inst✝⁵ : Module B P'
inst✝⁴ : IsScalarTower R A P'
inst✝³ : IsScalarTower R B P'
inst✝² : SMulCommClass A B P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
b : B
f : M →ₗ[A] P
g : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N
⊢ ((curry (map (b • f) g)) x✝¹) x✝ = ((curry (b • map f g)) x✝¹) x✝
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
f : α → G
rels : Set (FreeGroup α)
h : ∀ r ∈ rels, (FreeGroup.lift f) r = 1
x : FreeGroup α
⊢ x ∈ Subgroup.normalClosure rels → (FreeGroup.lift f) x = 1
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C
b : Set (Set α)
bct : b.Countable
left✝ : ∅ ∉ b
bbasis : IsTopologicalBasis b
⊢ ∃ V D, V.Countable ∧ Perfect D ∧ C = V ∪ D
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.Measure.toENNRealVectorMeasure 0 = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
x : E
r : ℝ
y : E
⊢ c⁻¹ • y ∈ ball x r ↔ y ∈ ball (c • x) (‖c‖ * r)
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_in_E : x ∈ E
⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 1
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Finset β
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)
⊢ ↑(s.preimage f hf) = f ⁻¹' ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
⊢ 𝓤 α = comap (fun x => x.2 / x.1) (𝓝 1)
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∩ t).dens + (s \ t).dens = s.dens
a b a' b' c : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a a' → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b b' → b'.mod a' = c.succ → ¬a ∣ b
α : Type u_1
CompleteLattice α
⊢ ⊤.limsSup = ⊤
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C'
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
G : CategoryTheory.Functor C' C
X Y : CategoryTheory.Comma ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D H).obj L) (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F)
φ : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.Functor.RightExtension.precomp L F G).map φ).left = φ.left
α : Type u_3
β : Type u_4
Nonempty α
SemilatticeInf α
Preorder β
NoMinOrder β
f : α → β
h : Filter.Tendsto f Filter.atBot Filter.atBot
⊢ ¬BddBelow (Set.range f)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'
⊢ Valid' o₁ (l.balanceL x r) o₂
R : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a
⊢ ↑n * a + (1 + (a + (a + (a * (↑n * a) + (a * (↑n * a) + (a * a * (↑n * a) + a * a)))))) = ↑n * a + (1 + (a + (a + (a * a + (a * (↑n * a) + (a * (↑n * a) + a * a * (↑n * a)))))))
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : C(X, ℝ)
x : X
⊢ ↑(((f * g).toNNReal + (-f).toNNReal * g.toNNReal + f.toNNReal * (-g).toNNReal) x) = ↑(((-(f * g)).toNNReal + f.toNNReal * g.toNNReal + (-f).toNNReal * (-g).toNNReal) x)
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
⊢ hζ.toInteger - 1 ∣ S.a + ↑⋯.unit ^ 2 * S.b
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.94604, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.94611, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.94618, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.94670, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
this : ∀ (X : Dᵒᵖ), IsIso ((sheafHom i.hom).app X)
⊢ ℱ.val ≅ ℱ'.val