ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a b k m n✝ p n : ℕ
⊢ n.primeFactors.Nonempty ↔ 1 < n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ ∫⁻ (x : α) in univ, μ.rnDeriv ν x ∂ν < ⊤
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x✝ y : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_1, ∃ (_ : i_1 ∈ t), p • (a₁ • x₁ + b₁ • y₁) + q • (a₂ • x₂ + b₂ • y₂) ∈ [i-[𝕜]i_1]
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Semiring α
TopologicalSemiring α
s : Subsemiring α
⊢ ↑s.topologicalClosure = closure ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β → γ
x : Option α
g : α → Option β
⊢ Option.map f (x.bind g) = x.bind fun a => Option.map f (g a)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
m n : α
h : Associated m n
k : α
⊢ gcd k m = gcd k n
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x - y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = -(‖x‖ * ‖y‖)
R : Type u
AddSemigroup R
⊢ ↑(AddSemigrp.of R) = R
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.SFinite μ
⊢ MeasureTheory.Measure.sum (MeasureTheory.sFiniteSeq μ) = μ
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
p : G.Walk u u
self : p.IsCircuit
⊢ p ≠ SimpleGraph.Walk.nil
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
r : ℝ
hf' : TendstoUniformlyOn (fun n z => f' n.1 z - f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (Metric.ball x r)
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
this✝ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
this : l.NeBot
hr : 0 < r
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n z => f n.1 z - f n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (Metric.ball x r)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b✝ : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
b : B
⊢ (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ ⇑f) p.roots).prod = (Multiset.map (map f ∘ fun a => X - C a) p.roots).prod
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h✝ : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
h : p /ₘ (X - C x) = 0
⊢ False
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝¹ : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝ : α → X
g : X → Y
f : α → X
s : Set X
hf : DenseRange f
hs : IsOpen s
⊢ s ⊆ closure (f '' (f ⁻¹' s))
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
𝕝 : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕝
NormedAlgebra 𝕜 𝕝
NormedSpace 𝕝 F
IsScalarTower 𝕜 𝕝 F
f : E → 𝕝
g : E → F
z : E
hf : AnalyticAt 𝕜 f z
hg : AnalyticAt 𝕜 g z
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x • g x) z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C × D
⊢ (CategoryTheory.Prod.symmetry C D).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t t' : Finset β
DecidableEq α
DecidableEq β
⊢ s ×ˢ (t ∩ t') = s ×ˢ t ∩ s ×ˢ t'
n : Type u_3
α : Type v
Fintype n
NonAssocSemiring α
⊢ 1 ⬝ᵥ 1 = ↑(Fintype.card n)
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ W.Nonsingular (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))
⊢ ⇑Nat.pairEquiv.symm = Nat.unpair
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
r₁ r₂ : R
s t : ↥S
⊢ r₁ + ↑s -ₒ t + (r₂ -ₒ s) = r₁ + r₂ -ₒ t
A : Type u_1
NonUnitalNormedRing A
CompleteSpace A
PartialOrder A
StarRing A
StarOrderedRing A
CstarRing A
NormedSpace ℂ A
StarModule ℂ A
SMulCommClass ℂ A A
IsScalarTower ℂ A A
a : A
⊢ 0 ≤ ↑a ↔ 0 ≤ a
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l₁ l₂ : List M
h : l₁.Sublist l₂
h₁ : ∀ a ∈ l₂, 1 ≤ a
⊢ l₁.prod ≤ l₂.prod
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.compatibilityOfZerosOfIsLimitKernelFork S hf hg c hc).φK =
  CategoryTheory.Limits.Fork.ι c
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
q p : R[X]
hp : (q * q * p).Separable
⊢ IsUnit q
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
⊢ ↑(FiniteDimensional.finrank R M) = Module.rank R M
α : Type u_1
δ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
a : α
f : α → δ
⊢ f =ᵐ[MeasureTheory.Measure.dirac a] Function.const α (f a)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype o
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Field R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
A : Matrix m n R
⊢ (A * Aᴴ).rank = A.rank
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
Finite ι
Preorder ι'
Nonempty ι'
IsDirected ι' (Function.swap fun x x_1 => x ≤ x_1)
Order.Coframe α
f : ι → ι' → α
hf : ∀ (i : ι), Monotone (f i)
⊢ ⨅ j, ⨆ i, f i j = ⨆ i, ⨅ j, f i j
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix p n R
⊢ B * (Aᴴ * A) = 0 ↔ B * Aᴴ = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
⊢ G.edgeFinset.card + 1 = Fintype.card V
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
e₁ e₂ : G ≃+c[a, b] H
⊢ e₁.toEquiv = e₂.toEquiv ↔ e₁ = e₂
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : G → CoeSort.coe A
⊢ (∀ (a : G × G), (dOne A) f a = 0 a) ↔ ∀ (g h : G), (A.ρ g) (f h) - f (g * h) + f g = 0
x✝ y✝ x y : ℝ
⊢ √x / x = (√x)⁻¹
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h : Fintype.card R ≤ 2
h✝ : Nontrivial R
⊢ univ = {0, 1}
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
t : Finset ι
f : ι → M → G
h : ∀ i ∈ t, SmoothOn I' I (f i) s
⊢ SmoothOn I' I (∏ i ∈ t, f i) s
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R (fun i => M₁ (σ.symm i)) M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
this : DecidableEq ι' := σ.symm.decidableEq
⊢ ∀ (x y : M₁ (σ.symm (σ i))), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) y)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i
h₁ : blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
h₂ : blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p
⊢ blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
C : Type u_2
D : Type ?u.77901
inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝ : Category.{?u.77909, ?u.77901} D
K L : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
h : (∀ {X : C}, ∀ R ∈ K.covering X, IsSheafFor P R) ∧ ∀ {X : C}, ∀ R ∈ L.covering X, IsSheafFor P R
⊢ ∀ {X : C}, ∀ R ∈ (K ⊔ L).covering X, IsSheafFor P R
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
hB : BddAbove (norm ∘ f '' Complex.HadamardThreeLines.verticalClosedStrip 0 1)
⊢ BddAbove (norm ∘ Complex.HadamardThreeLines.F f ε '' Complex.HadamardThreeLines.verticalClosedStrip 0 1)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
e : ι ≃ ι'
⊢ (b.reindex e).sumCoords = b.sumCoords
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
hf : (Function.support f).Finite
n : ℕ
⊢ n • ∑ᶠ (i : α), f i = ∑ᶠ (i : α), n • f i
R : Type u
Nontrivial R
Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
⊢ Polynomial.X ^ n + Polynomial.C a ≠ 1
m k : ℕ
hz : ↑k ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m < ↑n
⊢ ↑m + ↑k < ↑n + ↑k
m n : Nat
⊢ ↑m * Int.negSucc n = Int.negOfNat (m * n.succ)
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
n : ℕ
⊢ ‖↑n‖ = ↑n
α : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSingletonClass α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : PMF α
f : α → E
hf : Integrable f p.toMeasure
⊢ ∫ (a : α), f a ∂p.toMeasure = ∫ (a : α) in p.support, f a ∂p.toMeasure
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n m : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ MvPolynomial.coeff m ((trunc R n) φ) = if m < n then (coeff R m) φ else 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain K F m
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G n
h : n + 1 = m
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂
h₂₃ : p₂ + 1 = p₃
⊢ (CochainComplex.mappingCone.liftCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v p₂ p₃ h₂₃ =
  α.v p₁ p₃ ⋯
M : Type u_1
CommMonoid M
k : ℕ
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ k
p : ℕ
hprime : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ k
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ p) k
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : G → ℝ≥0∞ := fun y => f y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s)
hg : Measurable g
⊢ μ' s * lintegral ν' g = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ'
G : Type v
X : Type w
PseudoMetricSpace X
Group G
MulAction G X
IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ
⊢ (fun x => c • x) ⁻¹' Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (c⁻¹ • x) r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b c : α
⊢ (a + b + a * b) * (a + c + a * c) + (a + b * c + a * (b * c)) + (a + b + a * b) * (a + c + a * c) * (a + b * c + a * (b * c)) = a + b * c + a * (b * c)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
CompleteSpace F
⊢ MeasurableSet {x | DifferentiableAt 𝕜 f x}
α : Type u_1
l : List α
⊢ 0 < l.length ↔ ∃ a, a ∈ l
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
s : PullbackCone f g
⊢ prod.lift (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right) ≫ π₁ ≫ f = prod.lift (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right) ≫ π₂ ≫ g
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁸ : AddGroup M
inst✝⁷ : AddGroup N
inst✝⁶ : AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂
inst✝³ : AddCommMonoid X₃
inst✝² : AddCommMonoid Y₁
inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂
inst✝ : AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Exact ⇑g₁₂ ⇑g₂₃
⊢ Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
s t : Subfield L
f : K →+* L
⊢ Subfield.comap f (s ⊓ t) = Subfield.comap f s ⊓ Subfield.comap f t
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
S : AddSubmonoid N
f : F
x : M
⊢ x ∈ AddSubmonoid.comap f S ↔ f x ∈ S
p q r : ℕ+
⊢ 1 < ADEInequality.sumInv {p, q, r} ↔ ADEInequality.Admissible {p, q, r}
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'
⊢ f.fieldRange.toSubalgebra = f.range
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ha : Absorbent ℝ s
⊢ ContinuousAt (gauge s) x
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
x : AddMonoid.Coprod M N
⊢ (AddMonoid.Coprod.swap M N) x = 0 ↔ x = 0
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : CoalgebraCat R
⊢ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat ◁ ModuleCat.ofHom Coalgebra.counit = (ρ_ (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat)).inv
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
n : ℕ
fι : Fin n → ι
fA : (a : Fin n) → A (fι a)
⊢ (List.ofFn fun a => (of A (fι a)) (fA a)).prod = (of A ((List.finRange n).dProdIndex fι)) ((List.finRange n).dProd fι fA)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
⊢ f.reverse.natTrailingDegree = 0
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
a : α
n : ℕ
⊢ g⁻¹ ^ n • a = a ↔ g ^ n • a = a
a : UnitAddCircle
r : ℝ
⊢ (fun x => (ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r
F : Type v
Field F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ P ≈ ![P x / P z ^ 2, P y / P z ^ 3, 1]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
s : Set α
f : α → β
⊢ Tendsto f (l₁ ⊓ 𝓟 s) l₂ ↔ PTendsto (PFun.res f s) l₁ l₂
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
x : P.Cotangent
⊢ ((map (g.comp f)) x).val = ((↑S (map g) ∘ₗ map f) x).val
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set (β → γ)
t : Set (α → β)
u : Set α
⊢ s.seq (t.seq u) = (((fun x x_1 => x ∘ x_1) '' s).seq t).seq u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoidWithZero M
S : Finset α
p : M
pp : Prime p
g : α → M
hS : ∀ a ∈ S, ¬p ∣ g a
⊢ ¬p ∣ S.prod g
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
e✝ e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ range ⇑e.toIsometryEquiv = univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T T' : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
e : T ≅ T'
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.shortComplexOfDistTriangleIsoOfIso e hT).hom.τ₁ = e.hom.hom₁
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
H : Subgroup G
a : α
⊢ MulAction.orbit (↥H) a ⊆ MulAction.orbit G a
z w : ↥circle
⊢ ↑(z / w) = ↑z / ↑w
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_6
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝³ : (fun y => f y - f x - f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this✝² : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
this✝¹ : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (d n)) =o[l] d
this✝ : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n
this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun x => 1
L1 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) l (𝓝 0)
L2 : Tendsto (fun n => f' (c n • d n)) l (𝓝 (f' v))
L3 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n)) + f' (c n • d n)) l (𝓝 (0 + f' v))
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (f' v))
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n
e : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), weightSpace_ne_bot' := e }
hW : ⇑W = -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)
H₁ : 1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W ≤ chainLength (-α) W
H₂ : (1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W) • ⇑α + ⇑(chainTop (⇑(-α)) W) = (chainTopCoeff (⇑α) β + 1) • ⇑α + ⇑β
this : rootSpace H ((chainTopCoeff (⇑α) β + 1) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
⊢ False
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
⊢ ((Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.h f) x) (Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.fromCoset ⟨b • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) =
  Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.fromCoset ⟨(x * b) • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : cfc 0 a = cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) a
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ a
hx' : 0 < -x
⊢ 0 = (-x) ^ 3
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ T.invRotate.mor₁ = 0 ∧ T.invRotate.mor₂ = 0 ↔ T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
X Y : C
hX : IsInitial X
hY : IsInitial Y
f : X ⟶ Y
⊢ f ≫ hY.to X = 𝟙 X
z : ℍ
k : ℝ
hk : 2 < k
⊢ Summable fun x => ‖x‖ ^ (-k)
G : Type u_3
Semigroup G
a b : G
h : Commute a b
⊢ Function.Commute (fun x => x * a) fun x => x * b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
h : IsLinearMap 𝕜 f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {w | f w ≤ r}
Ω : Type u_1
m' m₁ m₂ : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' m₁ m₂ hm' μ ↔
  ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' {s | MeasurableSet s} {s | MeasurableSet s} μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
V W X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct X Y
f : V ⟶ W
g : X ⟶ V
h : Y ⟶ V
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.desc g h ≫ f = CategoryTheory.Limits.coprod.desc (g ≫ f) (h ≫ f)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
a : α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ a
⊢ ⨆ i, f i ≤ a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
s : Set α
hs : IsPreconnected s
⊢ s ∈ {Icc (sInf s) (sSup s), Ico (sInf s) (sSup s), Ioc (sInf s) (sSup s), Ioo (sInf s) (sSup s), Ici (sInf s), Ioi (sInf s), Iic (sSup s), Iio (sSup s), univ, ∅}
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹² : EMetricSpace X
inst✝¹¹ : EMetricSpace Y
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : BorelSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor E P
inst✝ : BorelSpace P
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : P
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set P
⊢ μH[d] (⇑((AffineEquiv.homothetyUnitsMulHom x) (Units.mk0 c hc)) ⁻¹' s) = ‖c‖₊⁻¹ ^ d • μH[d] s
x y : ℝ
hx : 0 < x
h : x < y
⊢ Real.log x < Real.log y
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} {x_2 : NonAssocSemiring γ} (hnp : β →+* γ) (hmn : α →+* β)
  (x_3 : α), (hnp.comp hmn) x_3 = hnp (hmn x_3)