ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieRing L₃
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieAlgebra R L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₃
f_inv : L₂ → L₁
f : L₁ → L₂
map_add'✝¹ : ∀ (x y : L₁), f (x + y) = f x + f y
map_smul'✝¹ : ∀ (m : R) (x : L₁), { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun x
map_lie'✝¹ : ∀ {x y : L₁}, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun x, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun y⁆
left_inv✝¹ : LeftInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
right_inv✝¹ : Function.RightInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
g_inv : L₂ → L₁
g : L₁ → L₂
map_add'✝ : ∀ (x y : L₁), g (x + y) = g x + g y
map_smul'✝ : ∀ (m : R) (x : L₁), { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun x
map_lie'✝ : ∀ {x y : L₁}, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun x, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun y⁆
left_inv✝ : LeftInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
right_inv✝ : Function.RightInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
h : { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹, invFun := f_inv, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ }.toLinearEquiv = { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝, invFun := g_inv, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ }.toLinearEquiv
⊢ { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹, invFun := f_inv, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ } = { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝, invFun := g_inv, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ }
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
p₁ p₂ : ι → P
hp : ∀ i ∈ s, p₁ i = p₂ i
⊢ (s.weightedVSub p₁) w₁ = (s.weightedVSub p₂) w₂
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
⊢ (s.sup fun x => ⊥) = ⊥
X Y : Sequential
f : X ≅ Y
a : (CategoryTheory.forget Sequential).obj X
⊢ (Sequential.homeoOfIso f) a = f.hom a
α : Type u
n : ℕ
c : α
⊢ (List.ofFn fun x => c) = List.replicate n c
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
α : ι → Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq κ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset κ
i : ι
x : κ
hx : x ∈ s
⊢ ∏ j ∈ univ.erase i, s.card = s.card ^ (card ι - 1)
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
a b : G₀
h : a = 0 → b = 0
⊢ a * b / a = b
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
h2 : n ≤ p.natDegree
h3 : n < p.natTrailingDegree
⊢ p.mirror.coeff n = 0
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
x : L
D : LieDerivation R L L
⊢ ⁅(LieDerivation.ad R L) x, D⁆ = ⁅x, D⁆
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (E.variableChange C).j = E.j
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{max v u, w} D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : C
W : (J.Cover X)ᵒᵖ
i : ((unop W).index Q).R
⊢ (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) (((unop W).index Q).fstTo i) ≫ η.app (op (((unop W).index Q).fstTo i).Y)) ≫ ((unop W).index Q).fst i = (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) (((unop W).index Q).sndTo i) ≫ η.app (op (((unop W).index Q).sndTo i).Y)) ≫ ((unop W).index Q).snd i
R : Type u
self : InvolutiveStar R
⊢ Function.Involutive star
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
a : G₀
h : Tendsto Inv.inv (𝓝 1) (𝓝 1)
x : G₀
hx : x ≠ 0
⊢ ContinuousAt Inv.inv x
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v : V
w : W
ha : HasFDerivAt (fun w' => (L v) w') (L v) w
y : W
⊢ 2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)) * ↑((L v) y) = ↑((L v) y) * (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
φ : E → ℝ
x₀ : E
φ' : E →L[ℝ] ℝ
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
⊢ ∃ a b, (a, b) ≠ 0 ∧ a • f' + b • φ' = 0
F✝ : Type u → Type v
inst✝¹ : Applicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative F✝
α β γ σ : Type u
F : Type u → Type u_1
F1 : Functor F
p1 : {α : Type u} → α → F α
s1 : {α β : Type u} → F (α → β) → (Unit → F α) → F β
sl1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α
sr1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β
F2 : Functor F
s2 : {α β : Type u} → F (α → β) → (Unit → F α) → F β
sl2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α
sr2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β
L1 : LawfulApplicative F
L2 : LawfulApplicative F
H1 : ∀ {α : Type u} (x : α), pure x = pure x
H2 : ∀ {α β : Type u} (f : F (α → β)) (x : F α), (Seq.seq f fun x_1 => x) = Seq.seq f fun x_1 => x
⊢ mk = mk
R : Type u
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type ?u.139799
inst✝¹³ : Semiring S
inst✝¹² : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁴ : Module R M₁'
inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
x : M₁'
i : ι₂
y : M₂ i
⊢ (DFinsupp.mapRange.linearEquiv fun x => TensorProduct.comm R (M₂ x) M₁') ((directSumLeft R M₂ M₁') ((lof R ι₂ M₂ i) y ⊗ₜ[R] x)) = (lof R ι₂ (fun i => M₁' ⊗[R] M₂ i) i) (x ⊗ₜ[R] y)
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* P
g : N →* P
x : M
⊢ ((f.coprod g).comp (inl M N)) x = f x
n : ℕ
α : Type u_1
LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ (f ∘ ⇑σ) ∘ ⇑(Tuple.sort (f ∘ ⇑σ)) = f ∘ ⇑(Tuple.sort f)
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ ∃ c, c ∈ {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ c * ∏ i : ι, ‖m i‖}
α : Type u_1
Finite α
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : p x
⊢ e.extendSubtype x = ↑(e ⟨x, hx⟩)
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ S.a + ↑η * S.b = S.a + S.b + λ * S.b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f = 0
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
as : List α
⊢ findIdxs (fun b => decide (p b)) as = map Prod.fst (indexesValues (fun b => decide (p b)) as)
X : Compactum
A : Set X.A
F : Ultrafilter X.A
hF : F ∈ Compactum.basic (Compactum.cl A)
fsu : Type u_1 := Finset (Set (Ultrafilter X.A))
ssu : Type u_1 := Set (Set (Ultrafilter X.A))
ι : fsu → ssu := fun x => ↑x
C0 : ssu := {Z | ∃ B ∈ F, X.str ⁻¹' B = Z}
AA : Set (Ultrafilter X.A) := {G | A ∈ G}
C1 : ssu := insert AA C0
C2 : Set (Set (Ultrafilter X.A)) := finiteInterClosure C1
claim1 : ∀ B ∈ C0, ∀ C ∈ C0, B ∩ C ∈ C0
claim2 : ∀ B ∈ C0, B.Nonempty
claim3 : ∀ B ∈ C0, (AA ∩ B).Nonempty
claim4 : FiniteInter (finiteInterClosure C1)
claim5 : FiniteInter C0
claim6 : ∀ P ∈ C2, P.Nonempty
T : fsu
hT : ι T ⊆ C1
⊢ ↑T ⊆ finiteInterClosure C1
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
a b c : K
ha : a ≠ 0
h : ∀ (x : K), 0 < a * x * x + b * x + c
this : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c
⊢ discrim a b c < 0
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ ℑ x = 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ∀ i < n, (coeff R i) φ = 0
⊢ ↑n ≤ φ.order
α : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq β'
DecidableEq γ
DecidableEq δ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
g : γ → δ
f' : β' → α → δ
g' : β → β'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' b) a
⊢ Finset.image g (Finset.image₂ f s t) = Finset.image₂ f' (Finset.image g' t) s
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ
g : E →ₗ[ℝ] ℝ
g_eq : ∀ (x : ↥{ domain := p, toFun := ↑f }.domain), g ↑x = ↑{ domain := p, toFun := ↑f } x
g_le : ∀ (x : E), g x ≤ ‖f‖ * ‖x‖
g' : E →L[ℝ] ℝ := g.mkContinuous ‖f‖ ⋯
⊢ ‖f‖ ≤ ‖g.mkContinuous ‖f‖ ⋯‖
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ G.Connected ↔ ∃ v, ∀ (w : V), G.Reachable v w
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
⊢ ∀ (a : A ⊗[R] (M →ₗ[R] N)),
  (LinearMap.tensorProduct R A M N) a =
    (TensorProduct.liftAux
        (↑R { toFun := fun a => a • LinearMap.baseChangeHom R A M N, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }))
      a
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ : C(X, Y)
S : Set X
F : f₀.HomotopyRel f₁ S
t : ↑I
x : X
hx : x ∈ S
⊢ F (t, x) = f₁ x
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : IsIrreducible R L M
⊢ ∃ x y, x ≠ y
n : ℕ
⊢ bernoulli n = ∑ i ∈ range (n + 1), (monomial i) (_root_.bernoulli (n - i) * ↑(n.choose i))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
s : Set α
hs : Dense s
⊢ generateFrom {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a} = generateFrom (Ioi '' s ∪ Iio '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : ↥(Lp E p μ)
hfi' : Memℒp (↑↑f) p μ
this : SeparableSpace ↑(Set.range ↑↑f ∪ {0})
⊢ Tendsto (fun n => ↑(toLp (SimpleFunc.approxOn ↑↑f ⋯ (Set.range ↑↑f ∪ {0}) 0 ⋯ n) ⋯)) atTop (𝓝 f)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : AddGroup E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : DistribMulAction 𝕜 E
s t : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
ht : IsVonNBounded 𝕜 t
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (s - t)
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
h : M ↾ R <r M
⊢ (M ↾ R).E ⊂ M.E
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ Int.fract a = 0 ∨ Int.fract a = a + 1 - ↑⌈a⌉
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
f : α → β
hf : ∀ (i : ι), InjOn f (s i)
x : α
hx✝ : x ∈ ⋃ i, s i
y : α
hy✝ : y ∈ ⋃ i, s i
hxy : f x = f y
i : ι
hx : x ∈ s i
j : ι
hy : y ∈ s j
⊢ x = y
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ (∏ μ ∈ primitiveRoots n R, (X - C μ)).natDegree = n.totient
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ (MulOpposite.opLinearEquiv R).toAddEquiv = MulOpposite.opAddEquiv
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
⊢ IsPreconnected (connectedComponent x)
E : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
mE : MeasurableSpace E
tE : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : T2Space E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
g : E → ℝ
h1 : g 0 = 0
h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x
h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y
h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0
h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x
p : ℝ
hp : 0 < p
F : Type u_1 := E
this✝⁴ : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯
this✝³ : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.mk ⋯
this✝² : TopologicalSpace F := UniformSpace.toTopologicalSpace
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
φ : E ≃L[ℝ] F := (LinearEquiv.refl ℝ E).toContinuousLinearEquiv
ν : Measure F := map (⇑φ) μ
this : ν.IsAddHaarMeasure
⊢ μ {x | g x < 1} = ν (Metric.ball 0 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F G : CategoryTheory.Sheaf J A
f : F ⟶ G
(CategoryTheory.forget A).ReflectsIsomorphisms
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
⊢ CategoryTheory.Sheaf.IsLocallyInjective f ∧ CategoryTheory.Sheaf.IsLocallySurjective f ↔ CategoryTheory.IsIso f
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
f : Filter α
g : Filter β
m : α' → β → γ
n : α → α'
m' : α → β → δ
n' : δ → γ
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β), m (n a) b = n' (m' a b)
⊢ Filter.map₂ m (Filter.map n f) g = Filter.map n' (Filter.map₂ m' f g)
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
Group E
Group F
Group G
p : GroupSeminorm E
g : F →* E
f : G →* F
⊢ p.comp (g.comp f) = (p.comp g).comp f
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
M₀ : Type u_6
M₀' : ?m.1161840
inst✝⁵ : AddCommGroup M₀
inst✝⁴ : Module R M₀
M₁ : Type u_7
M₁' : ?m.1162365
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
M₂ : Type u_8
M₂' : ?m.1162890
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
ex : Exact ⇑g ⇑h
y : LocalizedModule S M₁
m : M₁
s : ↥S
hy : ∃ u, u • h m = u • 0
a : R
aS : a ∈ S
x : M₀
hx : g x = a • m
⊢ mk m s ∈ Set.range ⇑((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g)
α : Type u_1
acc : Array (List α)
ns : List Nat
xs : List α
⊢ List.takeListTR.go ns xs acc =
  match xs.takeList ns with
  | (l, r) => (acc.toList ++ l, r)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
⊢ ((𝟙 X ≫ f) ⁻¹ᵁ U).ι = ((𝟙 X ≫ f) ⁻¹ᵁ U).ι ≫ 𝟙 X
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
⊢ Continuous fun μ => μ.testAgainstNN 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Monad C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.monadToFunctor C).map f = f.toNatTrans
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.L₀X₂ToP S.φ₁ = 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
A : MeasurableEmbedding fun x => x * c
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, f (x * c) ∂volume - ∫ (x : ℝ) in Ioc b a, f (x * c) ∂volume = c⁻¹ • |c| • (∫ (x : ℝ) in (fun x => x * c) ⁻¹' Ioc (a * c) (b * c), f (x * c) ∂volume - ∫ (x : ℝ) in (fun x => x * c) ⁻¹' Ioc (b * c) (a * c), f (x * c) ∂volume)
x : ℝ
⊢ sin (π / 3) ^ 2 = 3 / 4
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
b₁ : α
a : β
b₂ : α
hab : b₁ ≤ b₁ + b₂
d : β
hcd : a ≤ a + d
⊢ b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + b₁ • d ≤ b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + (b₁ • d + b₂ • d)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
h : HasStrongEpiMonoFactorisations C
X Y : D
f : X ⟶ Y
em : StrongEpiMonoFactorisation (F.inv.map f) := ⋯.some
this : Mono (F.map em.m ≫ F.asEquivalence.counitIso.hom.app Y)
⊢ Nonempty (StrongEpiMonoFactorisation f)
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
x y : ↑(Metric.sphere 0 1)
⊢ ↑(x / y) = ↑x / ↑y
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x : F
⊢ ‖x‖ = √(RCLike.re ⟪x, x⟫_𝕜)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' : C
iX : X ≅ X'
iY : Y ≅ Y'
iZ : Z ≅ Z'
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
wf : iX.hom ≫ f' = f ≫ iZ.hom
wg : iY.hom ≫ g' = g ≫ iZ.hom
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospanExt iX iY iZ wf wg).inv.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.one = iZ.inv
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ (PolyEquivTensor.toFunLinear R A) (1 ⊗ₜ[R] 1) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
SemilatticeInf β
ContinuousInf β
f g : C(α, β)
⊢ ⇑(f ⊓ g) = ⇑f ⊓ ⇑g
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
⊢ ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.coeff ↑i) * z ^ ↑i = ∑ n ∈ p.support, f (p.coeff n) * z ^ n
p : Type u_2
q : Type u_3
R : Type u₂
DecidableEq p
DecidableEq q
CommRing R
Fintype p
Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
A : ↥(LieAlgebra.Orthogonal.so' p q R)
⊢ ↑((LieAlgebra.Orthogonal.soIndefiniteEquiv p q R hi) A) =
  (LieAlgebra.Orthogonal.Pso p q R i)⁻¹ * ↑A * LieAlgebra.Orthogonal.Pso p q R i
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ), (coeff S n) ((1 - X) * mk 1) = (coeff S n) 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
hf : S.f = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.opcyclesIsoX₂ hf).hom S.pOpcycles = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.opcycles
G : Type u_1
Group G
h : Group.IsNilpotent (G ⧸ Subgroup.center G)
⊢ Group.IsNilpotent G
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.leadingCoeff = 1
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
x : α
⊢ ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, MeasurableSet a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ : M
X : C
⊢ (F.μ (𝟙_ M) m₂).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.μ m₁ (𝟙_ M ⊗ m₂)).app X ≫ (F.map (α_ m₁ (𝟙_ M) m₂).inv).app X ≫ (F.μIso (m₁ ⊗ 𝟙_ M) m₂).inv.app X = (F.obj m₂).map (F.εIso.inv.app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.map (ρ_ m₁).inv).app X)
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : TopologicalSpace.Opens ↑Z
⊢ (TopologicalSpace.Opens.mapComp f g).inv.app U = CategoryTheory.eqToHom ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
z : M
f : M → E'
hf : MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') f z
s : 𝕜
⊢ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') (s • f) z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F₁ F₂ F₃ : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ ψ)
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵈ Y
⊢ Dilation.ratio e.symm = (Dilation.ratio e)⁻¹
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
⊢ (Action.forgetMonoidal V G).toFunctor = Action.forget V G
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)
ι : Type u_2
Encodable ι
F : ι → Type u_3
(i : ι) → MetricSpace (F i)
x y : (i : ι) → F i
i : ι
h : dist x y < (1 / 2) ^ Encodable.encode i
⊢ dist (x i) (y i) ≤ dist x y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
x : E
r : ℝ
⊢ c • closedBall x r = closedBall (c • x) (‖c‖ * r)
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
⊢ support ↑f ⊆ (chartAt H c).source
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝³ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →ₗ[R] P
x✝ : DirectLimit G f
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i
⊢ ((fun i => F ∘ₗ of R ι G f i) j) ((f i j hij) x) = ((fun i => F ∘ₗ of R ι G f i) i) x
UnivLE.{u, v}
UnivLE.{v, w}
⊢ UnivLE.{u, w}
α : Type u_1
ι : Type u_3
PseudoMetricSpace α
g : α → ι → ℝ
K : ℝ≥0
hg : ∀ (i : ι), LipschitzWith K fun x => g x i
a₀ : α
hga₀b : Memℓp (g a₀) ⊤
a : α
⊢ Memℓp (g a) ⊤
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : ↥R⁰
m n : R_hat R K
⊢ (m * n * ↑↑r) • ↑↑r = m • ↑↑r * n • ↑↑r
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q
h : ∀ (r : P), b -ᵥ r = m -ᵥ r + (m -ᵥ a)
⊢ ‖a -ᵥ p‖ * ‖b -ᵥ p‖ = |‖b -ᵥ q‖ ^ 2 - ‖p -ᵥ q‖ ^ 2|
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id η = CategoryTheory.OplaxNatTrans.Modification.id η
M : Type u_3
α : Type u_5
Monoid M
SMul M α
m : M
hm : IsUnit m
a : α
⊢ hm.unit • a = m • a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
self : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
⊢ s ∈ self.faces → t ∈ self.faces → (convexHull 𝕜) ↑s ∩ (convexHull 𝕜) ↑t ⊆ (convexHull 𝕜) (↑s ∩ ↑t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᴹᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : Cᴹᵒᵖ), (X.tensorLeftIso.hom.app X_1).unmop = 𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X_1.unmop X.unmop)
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ I
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
i : ι
hi : (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ I
⊢ ENNReal.ofReal (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ ENNReal.ofReal I