ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ DiscreteTopology α ↔ ∀ (x : α), 𝓝[≠] x = ⊥
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ AddMonoid.minOrder (ZMod p) = ↑p
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
s t : V
h : G.Adj s t
⊢ G ⊔ SimpleGraph.edge s t = G
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x₁ x₂ : R
y₁ y₂ : ↥M
⊢ IsLocalization.mk' S (x₁ * x₂) (y₁ * y₂) = IsLocalization.mk' S x₁ y₁ * IsLocalization.mk' S x₂ y₂
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (MeasureTheory.Measure.map f μ)
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
x : M
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
f : F
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y • f) (c' • f) x
a b : PUnit.{u + 1}
⊢ a ⊓ b = PUnit.unit
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ interior s
hy : y ∈ closure s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g j k) (fV 𝒰 f g j i) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) ≫ pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
m : G
⊢ ((fun F => F.toMulHom.comp (ofMagma k G)) ((fun f => let __src := liftAddHom fun x => (smulAddHom k A).flip (f x); { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }) f)) m = f m
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
α : ι → Type u_1
δ : (i : ι) → α i → Type w
(i : ι) → (j : α i) → AddCommMonoid (δ i j)
(i : ι) → (j : α i) → Module R (δ i j)
f : DirectSum ι fun i => DirectSum (α i) fun j => δ i j
i : ι
j : α i
⊢ ((DirectSum.sigmaLuncurry R) f) ⟨i, j⟩ = (f i) j
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s✝ s t : Set (Sym2 V)
h : s ⊆ t
v w : V
⊢ s(v, w) ∈ s → ¬v = w → s(v, w) ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
x : β
hx : x ∈ U i
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' (f '' s) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' sᶜ)ᶜ
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
T : Tape Γ
i : ℤ
⊢ (move Dir.right T).nth i = (move Dir.left (move Dir.right T)).nth (i + 1)
x y : SetTheory.PGame
⊢ x ≈ y ↔ x ≤ y ∧ y ≤ x
α : Type u
x : Filter α
⊢ Filter.Tendsto id x x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
hgf : UniformInducing (g ∘ f)
⊢ UniformInducing f
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hp : Prime (c 0)
hp' : c 0 ∣ r
hi : 1 < 0
⊢ False
z : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
aux : ∀ (a b c d : ℂ), a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
this : ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) = ↑n
⊢ ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) * ↑n ! ^ 2 / ((∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (z + ↑j)) * ∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (1 - z + ↑j)) = ↑n / (↑n + 1 - z) * (1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)))
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ = ⊤
h1 : ¬p = 1
hp1_lt : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
h0 : ¬∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ = 0
htop : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ ⊤
⊢ (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ (⨆ μ, eigenspace T ↑μ)ᗮ = ⊥
S₁ : Type u_1
S₂ : Type u_2
Shelf S₁
Shelf S₂
f : S₁ →◃ S₂
x y : S₁
⊢ f (x ◃ y) = f x ◃ f y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ f : α → β
hf : LocallyLipschitz f
g : α → γ
hg : LocallyLipschitz g
x : α
Kf : ℝ≥0
t₁ : Set α
h₁t : t₁ ∈ 𝓝 x
hfL : LipschitzOnWith Kf f t₁
Kg : ℝ≥0
t₂ : Set α
h₂t : t₂ ∈ 𝓝 x
hgL : LipschitzOnWith Kg g t₂
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K (fun x => (f x, g x)) t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f f' : α → β
h : f =ᵐ[μ] f'
g : β → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), g (f a) ∂μ = ∫⁻ (a : α), g (f' a) ∂μ
α : Type u_1
LinearOrder α
Fintype α
⊢ { ofColex := Finset.univ } = ⊤
α : Sort u
le lt : α → α → Prop
DecidableRel le
IsTotalPreorder α le
h : ∀ (a b : α), lt a b ↔ ¬le b a
⊢ IsStrictWeakOrder α lt
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
⊢ (fun x => a - x) '' Ioo b c = Ioo (a - c) (a - b)
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
r₁ r₂ : R
s₁ s₂ : ↥S
⊢ r₁ -ₒ s₁ + (r₂ -ₒ s₂) = AddOreLocalization.oreMin r₁ s₂ + r₂ -ₒ (AddOreLocalization.oreSubtra r₁ s₂ + s₁)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
⊢ ↑⊤ = Set.univ
a b r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ a < b / r ↔ r * a < b
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
l : List (Equiv.Perm α)
h : List.Pairwise Equiv.Perm.Disjoint l
⊢ l.prod.support = List.foldr (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⊥ (List.map Equiv.Perm.support l)
α : Type u_2
m m' : EMetricSpace α
h : PseudoEMetricSpace.toEDist = PseudoEMetricSpace.toEDist
⊢ m = m'
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
h : IsOpen s
ha : a ∈ s
⊢ 𝓝[s] a = 𝓝 a
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0
⊢ (W.preΨ n).coeff ((n.natAbs ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2) ≠ 0
a b : Prop
Decidable a
⊢ a ∨ b ↔ ¬a → b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞
hr : r < 1
⊢ ∑' (n : ℕ), r ^ n = (1 - r)⁻¹
n : ℕ
⊢ List.map Fin.val (List.finRange n) = List.range n
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n] ⟶ Δ'
hθ : ¬Mono θ
⊢ X.map θ.op ≫ PInfty.f n = 0
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U V : X.Opens
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app U.ι V = X.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
h : Isometry f
x : α
r : ℝ≥0∞
y : α
⊢ y ∈ f ⁻¹' EMetric.ball (f x) r ↔ y ∈ EMetric.ball x r
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_11, u_5} C₅
CategoryTheory.Category.{u_12, u_6} C₆
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ C₃
H₁ : CategoryTheory.Functor C₁ C₄
H₂ : CategoryTheory.Functor C₂ C₅
H₃ : CategoryTheory.Functor C₃ C₆
R₁ : CategoryTheory.Functor C₄ C₅
R₂ : CategoryTheory.Functor C₅ C₆
CategoryTheory.CatCommSq H₁ L₁ R₁ H₂
CategoryTheory.CatCommSq H₂ L₂ R₂ H₃
X : C₁
⊢ CategoryTheory.CatCommSq.iso'.hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (R₂.map ((CategoryTheory.CatCommSq.iso H₁ L₁ R₁ H₂).hom.app X))
    ((CategoryTheory.CatCommSq.iso H₂ L₂ R₂ H₃).hom.app (L₁.obj X))
α : Type u
m : Type u → Type v
Monad m
β : Type u
f : ℕ → α → β → m β
b : β
as : List α
LawfulMonad m
⊢ List.foldrIdxM f b as = List.foldrM (Function.uncurry f) b as.enum
X : TopCat
U V : Opens ↑X
⊢ ↑(⋯.functor.obj ((map U.inclusion).obj V)) = ↑(V ⊓ U)
α : Type u_1
s t : Set α
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty
⊢ hs.min hsn * ht.min htn ≤ ⋯.min ⋯
a b c d✝ m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n d : ℕ
⊢ d * (n / d) = d * (n / d) + n % d ↔ d ∣ n
R : Type u_4
Field R
⊢ LocalRing.maximalIdeal R = ⊥
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Memℒp (↑f) 0 μ
cmp✝ : ?m.5873 → ?m.5873 → Ordering
inst✝¹ : TransCmp cmp✝
x✝ : Sort ?u.5871
cmp : x✝ → x✝ → Ordering
inst✝ : TransCmp cmp
y z x : x✝
yz : cmp y z = Ordering.eq
⊢ cmp x y = cmp x z
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'_nonneg : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
⊢ f x ≤ f y
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
⊢ ∃ g, EqOn f (⇑g) s
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h h' : j ≤ 2 * n
⊢ xn a1 (4 * n - j) + xn a1 (2 * n - j) ≡ 0 [MOD xn a1 n]
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x y : A
x✝¹ : Homogeneous 𝒜 x
x✝ : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q
nx : ℕ
hnx : x ∈ 𝒜 nx
ny : ℕ
hny : y ∈ 𝒜 ny
⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * nx, num := ⟨(proj 𝒜 nx) x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ nx, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal ∨ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * ny, num := ⟨(proj 𝒜 ny) y ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ ny, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
G : Type u
AddGroup G
H : Type v
AddGroup H
φ : G →+ H
⊢ Function.Injective ⇑(QuotientAddGroup.kerLift φ)
G : Type u_1
NormedAddCommGroup G
CompleteSpace G
H : Type u_2
NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : Type u_3
SeminormedAddCommGroup K
j : NormedAddGroupHom K H
hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : ∀ (k : K), ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖k‖
⊢ f.SurjectiveOnWith j.range.topologicalClosure (C + ε)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
AddZeroClass δ
Min δ
C : Levenshtein.Cost α β δ
xs : List α
y : β
ys : List β
⊢ Levenshtein.impl C xs y (suffixLevenshtein C xs ys) = suffixLevenshtein C xs (y :: ys)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hfg : range f = range g
b : β
H : ∀ a < b, f a = g a
c : β
hc : f c = g b
hcb : c < b
⊢ f b ≤ g b
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
g : G
⊢ g ∈ H.normalizer ↔ ∀ (n : G), n * g ∈ H ↔ g * n ∈ H
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddGroup (π i)
f : (i : ι) → π i
⊢ ‖f‖₊ = Finset.univ.sup fun b => ‖f b‖₊
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
s t : V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
Fintype ↑(G ⊔ SimpleGraph.edge s t).edgeSet
hn : ¬G.Adj s t
h : s ≠ t
⊢ (G ⊔ SimpleGraph.edge s t).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card + 1
a b : Cardinal.{u_1}
⊢ a + b = a ↔ max ℵ₀ b ≤ a ∨ b = 0
m : ℕ
⊢ 1 + ↑m = ↑(Order.succ m)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
DivisionMonoid β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
m : F
s t : Set α
⊢ ⇑m '' (s / t) = ⇑m '' s / ⇑m '' t
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε✝ δ✝ : 𝕜
u v : Finset α
ε δ : 𝕜
a b : α
ab : G.Adj a b
U : Finset α
UP : U ∈ P.parts
V : Finset α
VP : V ∈ P.parts
xU : a ∈ U
yV : b ∈ V
UV : U ≠ V
GUV : G.IsUniform ε U V
εUV : δ ≤ ↑(G.edgeDensity U V)
⊢ δ ≤ ↑(G.edgeDensity V U)
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
h : StarConvex ℝ x s
hne : s.Nonempty
⊢ Continuous fun p => ⟨↑p.1 • x + (1 - ↑p.1) • ↑p.2, ⋯⟩
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
h : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
x : ℝ
xs : x ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s
⊢ eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
E : Type u_4
OrderedRing E
TopologicalSpace E
OrderClosedTopology E
l : E
f : ℕ → E
hfl : Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) Filter.atTop (𝓝 l)
hfa : Antitone f
k : ℕ
⊢ l ≤ ∑ i ∈ Finset.range (2 * k + 1), (-1) ^ i * f i
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
this : Function.Surjective t2Quotient.mk
⊢ DenseRange fun x => ⟦preStoneCechUnit x⟧
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
Fintype α
DecidableEq α
DecidableRel G.Adj
n : ℕ
s : Finset α
⊢ s ∈ G.cliqueFinset n ↔ G.IsNClique n s
α : Type u
s : Set α
x y : α
⊢ s ⊆ {x, y} ↔ s = ∅ ∨ s = {x} ∨ s = {y} ∨ s = {x, y}
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
⊢ Function.Injective ⇑(mixedEmbedding K)
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
⊢ IsUnit (r • ↑a⁻¹ - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
F : ι → α → ℝ≥0∞
f bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, Measurable (F n)
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => Measurable (F n)) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a) x}
⊢ Tendsto ((fun n => ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ) ∘ x) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
hγ : IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x * a) (a • v)
⊢ IsIntegralCurve γ v
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
H : ∀ (x : S), IsUnit x → x ∈ N
x : R
hx : x ∈ ↑M
⊢ (algebraMap R S) x ∈ N
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
hasFun : HasFundamentalDomain G α ν
h : covolume G α ν ≠ ⊤
⊢ IsFiniteMeasure μ
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
g : α → ℝ
h : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ g x
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm g p μ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ edist x y ≠ ⊤
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
self : IsClosed s
⊢ IsOpen sᶜ
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
ProperSpace 𝕜
a : A
ha : (spectrum 𝕜 a).Nonempty
⊢ ∃ k ∈ spectrum 𝕜 a, ↑‖k‖₊ = spectralRadius 𝕜 a
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T0Space X
x y : X
δx_eq_δy : (fun x => diracProba x) x = (fun x => diracProba x) y
x_ne_y : ¬x = y
⊢ False
R : Type u_3
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
Subsingleton S
x : R
⊢ (RingEquiv.zeroRingProd R S) x = (0, x)
L R : List SetTheory.PGame
⊢ (SetTheory.PGame.ofLists L R).LeftMoves = ULift.{u_1, 0} (Fin L.length)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ κ = η ↔ ∀ (a : α) (s : Set β), MeasurableSet s → (κ a) s = (η a) s
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ edist (a₁ + a₂) (b₁ + b₂) ≤ edist a₁ b₁ + edist a₂ b₂
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ ((of R).symm ((x + y) • z)).coeff a = ((of R).symm (x • z + y • z)).coeff a
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S T : IntermediateField F E
h : S = T
⊢ (IntermediateField.equivOfEq h).symm = IntermediateField.equivOfEq ⋯
α : Type u_1
F : Type u_3
q : ℝ
NormedAddCommGroup F
MeasurableSpace α
f : α → F
hq_pos : 0 < q
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f q 0 = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
u : R[X]ˣ
⊢ (↑u).coeff (↑u).natDegree ≠ 0
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ b✝ c d : α
inst✝⁴ : IsRightCancelAdd α
inst✝³ : ZeroLEOneClass α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
ha : a ≤ 0
b : α
hab : 0 = a + b
⊢ 0 ≤ a ^ 2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
⊢ pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.desc (pushout.inl g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) (pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) ⋯ = pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
I : S.Arrow
e : (J.pullback I.f).obj (unop (op S)) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
⊢ (colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ((J.pullback I.f).obj (unop (op S))))) (((J.diagram P I.Y).map e.op) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯) (↑x I))) = (colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ((J.pullback I.f).obj S))) (((J.diagramPullback P I.f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
TopologicalSpace α
AddCommGroup α
TopologicalAddGroup α
TopologicalSpace β
AddCommGroup β
TopologicalSpace γ
AddCommGroup γ
TopologicalAddGroup γ
TopologicalSpace δ
AddCommGroup δ
UniformSpace G
AddCommGroup G
UniformAddGroup G
T0Space G
CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
⊢ Continuous (⋯.extend fun p => (φ p.1) p.2)
p n pow : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
h : p ^ pow ∣ n
⊢ pow ≤ p.maxPowDiv n
α : Type u_1
π : α → Type u_3
(a : α) → NatCast (π a)
n : ℕ
a : α
⊢ ↑n a = ↑n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
X : Type u_5
TopologicalSpace X
f : X → E →L[𝕜] F
g : X → E
s : Set X
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
⊢ ContinuousOn (fun x => (f x) (g x)) s
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Monotone ![a]
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
ab : a ≤ b
i : ℕ
cv : Icc a b ⊆ Ioo (c i) (d i) ∪ ⋃ x ∈ ↑(s.erase i), Ioo (c x) (d x)
cb : c i < b
is : i ∈ s
bd : b < d i
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i)) + ofReal (↑f (c i) - ↑f a)
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
⊢ Nat.card ↥(Stab w) = 1 ∨ Nat.card ↥(Stab w) = 2
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x✝ : X
hx : x✝ ∈ s
hxu : x✝ ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set X
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
this : (f ⁻¹' u ∩ s).Nonempty → (f ⁻¹' v ∩ s).Nonempty → (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty
x : X
hxs : x ∈ s
hxu' : x ∈ u'
hxv' : x ∈ v'
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ filter p s = filter p t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, p a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y)
I : (↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y)) = (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)))
f : X ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X))
g : ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)) ≃ᵢ Y
⊢ Nonempty (X ≃ᵢ Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f ⊤ μ
hmeas : StronglyMeasurable f
hbdd : eLpNormEssSup f μ < ⊤
⊢ ∃ M, eLpNormEssSup ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
S : J.Cover X
x : (CategoryTheory.forget D).obj (P.obj (Opposite.op X))
I : S.Arrow
⊢ ↑(CategoryTheory.Meq.mk S x) I = (P.map I.f.op) x
α : Type u_1
x : WithTop α
⊢ x ≠ ⊤ ↔ ∃ a, ↑a = x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.withDensity (r • f)) s = (r • μ.withDensity f) s
R : Type u_1
S : Type u_4
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
x y : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y
⊢ f.IsIntegralElem (x - y)
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : OnePoint X → Y
⊢ Continuous f ↔ Tendsto (fun x => f ↑x) (coclosedCompact X) (𝓝 (f ∞)) ∧ Continuous fun x => f ↑x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
S : J.Cover X
x y : CategoryTheory.Meq P S
h : ∀ (I : S.Arrow), ↑x I = ↑y I
⊢ x = y