ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
g : X ⟶ G.obj Y
e_4✝ : (𝟭 C).obj (G.obj Y) = G.obj Y
t : adj.unit.app (G.obj Y) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = 𝟙 (G.obj Y)
⊢ adj.unit.app (G.obj Y) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = 𝟙 (G.obj Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
x : α × β
⊢ ContinuousWithinAt f s (x.1, x.2) ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x_1, (x.1, x.2).2)) {a | (a, (x.1, x.2).2) ∈ s} (x.1, x.2).1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] P
M' : Submodule R M
N : ℕ →o Submodule R M
H : iSup ⇑N = M'
S : Finset M
hS : span R ↑S = M'
f : { x // x ∈ S } → ℕ
hf : ∀ (s : { x // x ∈ S }), ↑s ∈ N (f s)
⊢ ∃ n, M' = N n
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
m : M
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.mk R A M N) m = { toFun := fun x => m ⊗ₜ[R] x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α
f : α → β
H : ∀ (x y : α), r.Rel x y → f x = f y
h : Function.Injective (Quotient.lift f H)
⊢ Setoid.ker f = r
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
x : ↥I
⊢ I.cotangentToQuotientSquare (I.toCotangent x) = (Submodule.mkQ (I ^ 2)) ↑x
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → R⟦X⟧
d : ℕ
s : Finset ι
x : ι →₀ ℕ
a✝ : x ∈ s.finsuppAntidiag d
⊢ ∀ x_1 ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (((Finsupp.mapRange.addEquiv AddEquiv.finsuppUnique.symm).toEmbedding x) x_1)) (f x_1) = (MvPowerSeries.coeff R (single () (x x_1))) (f x_1)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : Nontrivial M
⊢ nilpotencyLength R L M = 1 ↔ IsTrivial L M
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
r : (i : ι) → α i → Finset (α i) → Prop
H_ex : ∀ (i : ι) (s : Finset (α i)), s.Nonempty → ∃ x ∈ s, r i x (s.erase x)
p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop
h0 : p fun x => ∅
step : ∀ (g : (i : ι) → Finset (α i)) (i : ι) (x : α i), r i x (g i) → p g → p (update g i (insert x (g i)))
val✝ : Fintype ι
f : (i : ι) → Finset (α i)
ihs : ∀ t ⊂ univ.sigma f, ∀ (f : (i : ι) → Finset (α i)), univ.sigma f = t → p f
hne : (univ.sigma f).Nonempty
⊢ p f
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
i : (𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackCover f).J
⊢ (pullbackCoverAffineRefinementObjIso f 𝒰 i).inv ≫ (𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackCover f).map i = ((𝒰.obj i.fst).affineCover.pullbackCover (𝒰.pullbackHom f i.fst)).map i.snd ≫ (𝒰.pullbackCover f).map i.fst
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => ((s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + (s + 1).Gammaℝ * -I * -↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)) / ↑n ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s)
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ (s + 1).Gammaℝ * ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s = ((s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + (s + 1).Gammaℝ * -I * -↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)) / 2 / ↑n ^ s
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
i j : Fin (n + 1)
h : j < i
x : α i
p : (k : Fin n) → α (i.succAbove k)
⊢ i.insertNth x p j = Eq.recOn ⋯ (p (j.castPred ⋯))
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
hA : A.det ≠ 0
⊢ {x | (fun δ => ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → ↑m * μ s ≤ μ (f '' s)) x} ∈ 𝓝 0
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm ∘ₗ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι) = LinearMap.id
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0
inj : Function.Injective ⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)
a : Finset ℂ := (p.rootSet ℂ).toFinset
b : Finset ℂ := Finset.image (⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)) (p.rootSet ℝ).toFinset
c : Finset ℂ := Finset.image (fun a => ↑a) ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support
ha : ∀ (z : ℂ), z ∈ a ↔ (aeval z) p = 0
⊢ a.card = b.card + c.card
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
x : S
this✝¹ : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
this✝ : IsScalarTower R S A
this : IsScalarTower S A A
⊢ x • 1 = f x
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y v₁ v₂ : M
h✝ : SameRay R x y
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h : r₁ • x = r₂ • y
⊢ (r₂⁻¹ * r₁) • x = y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
n : ℕ∞
⊢ ContDiff 𝕜 n f ↔
  (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → Continuous (iteratedDeriv m f)) ∧ ∀ (m : ℕ), ↑m < n → Differentiable 𝕜 (iteratedDeriv m f)
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s t : Subgroup α
h_le : s ≤ t
f : α ⧸ t → α
hf : Function.RightInverse f QuotientGroup.mk
a : α
⊢ ∀ (snd : ↥t ⧸ s.subgroupOf t), (fun a => (Quotient.map' id ⋯ a, Quotient.map' (fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) ⋯ a)) ((fun a => Quotient.map' (fun b => f a.1 * ↑b) ⋯ a.2) (Quotient.mk'' a, snd)) = (Quotient.mk'' a, snd)
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hq0_lt : 0 < q
hpq_eq : ¬p = q
⊢ eLpNorm' f p μ ≤ eLpNorm' f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q)
α β : Type u
β' : Type v
⊢ #(α ↪ β') = 0 ↔ lift.{u, v} #β' < lift.{v, u} #α
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
X : C
T : ↑(K.sieves (G.obj X))
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPushforward G (CategoryTheory.Sieve.functorPullback G ↑T) ∈ K.sieves (G.obj X)
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
P : Type uP
Q : Type uQ
CommSemiring R
CommSemiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
Module B M
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R B M
SMulCommClass A B M
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
IsScalarTower R A P
AddCommMonoid Q
Module R Q
Algebra A B
IsScalarTower A B M
m : M
p : P
q : Q
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.assoc R A B M P Q).symm (m ⊗ₜ[A] p ⊗ₜ[R] q) = (m ⊗ₜ[A] p) ⊗ₜ[R] q
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ Disjoint (insert a s) t ↔ a ∉ t ∧ Disjoint s t
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
RingHomIsometric σ₂₁
l : Filter E
x : E
⊢ (fun x' => x' - x) =O[l] fun x' => e (x' - x)
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
self : IsWellOrderLimitElement a
b : α
hb : b < a
⊢ ∃ c, b < c ∧ c < a
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
⊢ μH[d] s ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompactSpace α
⊢ 𝓝ˢ (diagonal α) = 𝓤 α
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X A : C
f : A ⟶ X
CategoryTheory.Mono f
⊢ (CategoryTheory.MonoOver.mk' f).arrow = f
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s : Set α
hm : Monotone m
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict s) (MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction m m_empty) =
  MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction (fun t => m (t ∩ s)) ⋯
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ : M
X : C
⊢ (F.μ (𝟙_ M) m₂).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.μ m₁ (𝟙_ M ⊗ m₂)).app X ≫ (F.map (α_ m₁ (𝟙_ M) m₂).inv).app X ≫ (F.μIso (m₁ ⊗ 𝟙_ M) m₂).inv.app X = (F.μ (𝟙_ M) m₂).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.map (λ_ m₂).hom).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.obj m₂).map ((F.map (ρ_ m₁).inv).app X)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
t : Set α
a : α
Hf : MonotoneOn f t
Ha : IsLeast t a
⊢ IsLeast (f '' t) (f a)
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : CategoryTheory.GradedObject I C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
X₁.HasTensor Y₁
X₂.HasTensor Y₂
i₁ i₂ i₁₂ : I
h : i₁ + i₂ = i₁₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj X₁ Y₁ i₁ i₂ i₁₂ h)
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom f g i₁₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (f i₁) (g i₂))
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj X₂ Y₂ i₁ i₂ i₁₂ h)
δ K ε x a : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => gronwallBound δ K ε (y - a)) (K * gronwallBound δ K ε (x - a) + ε) x
R : Type u
ι : Type v
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₂
Module R M₃
TopologicalSpace M₂
TopologicalSpace M₃
Subsingleton ι
i : ι
f : ContinuousMultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
x : M₂
⊢ ((ContinuousMultilinearMap.ofSubsingleton R M₂ M₃ i).symm f) x = f fun x_1 => x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}
t₁ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₂, p₄], independent := ⋯ }
t₂ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₃, p₄], independent := ⋯ }
⊢ p₁ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius ∧ p₂ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius ∧ p₃ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius ∧ p₄ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d d' : ℝ≥0
hsd' : μH[↑d'] s = ⊤
hdd' : d < d'
⊢ μH[↑d] s = ⊤
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
x✝ : (i : ι) → s i
⊢ ((map fun i => LinearMap.id).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = (LinearMap.id.compMultilinearMap (tprod R)) x✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
CategoryTheory.IsIso g
p : CategoryTheory.inv f = CategoryTheory.inv g
⊢ f = g
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : CompactSpace β
v : Set β
hv₁ : IsOpen v
hv₂ : ω f ϕ s ⊆ v
⊢ ∀ᶠ (t : τ) in f, MapsTo (ϕ t) s v
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v
⊢ {v_1 | v_1 ∈ p.support} = p.toSubgraph.verts
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
DecidableRel R
a : α
⊢ List.Chain' R (List.destutter' R a l)
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M₁
⊢ Module.rank R ↥(LinearMap.range f) ≤ Module.rank R M
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ t) ∩ range ↑I = ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t
R : Type u_4
Mul R
Add R
⊢ ↑(RingEquiv.refl R) = AddEquiv.refl R
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
hfin : Fintype ι
H : ι → AddSubgroup G
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → AddCommute x y
⊢ (AddSubgroup.noncommPiCoprod hcomm).range = ⨆ i, H i
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Semiring R
MulSemiringAction M R
m : M
r : R
S : Subsemiring R
⊢ r ∈ m • S ↔ ∃ s ∈ S, m • s = r
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
x : M
i : ι
hx : x ∈ ℳ i
⊢ (DirectSum.decompose ℳ) x = (DirectSum.of (fun i => ↥(ℳ i)) i) ⟨x, hx⟩
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : One α
⊢ ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm fun x => 1‖₊ = NNReal.sqrt ↑(Fintype.card n) * ‖1‖₊
a x✝ z x : ℂ
hr : x.re = 0
hi : 0 < x.im
⊢ (if 0 ≤ x.re then -Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ -x.im then Real.arcsin (x.im / abs x) + π else Real.arcsin (x.im / abs x) - π) = if x.re < 0 ∧ x.im = 0 then π else -if 0 ≤ x.re then Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ x.im then -Real.arcsin (x.im / abs x) + π else -Real.arcsin (x.im / abs x) - π
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ evalEval x y (C (C W.a₁) * Y - C (C 3 * X ^ 2 + C (2 * W.a₂) * X + C W.a₄)) = W.a₁ * y - (3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄)
K : Type u_2
Field K
NumberField K
⊢ NumberField.InfinitePlace.NrRealPlaces K + 2 * NumberField.InfinitePlace.NrComplexPlaces K =
  FiniteDimensional.finrank ℚ K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
Div γ
ContinuousDiv γ
f g : C(β, γ)
h : C(α, β)
⊢ (f / g).comp h = f.comp h / g.comp h
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f : N →ₗ[R] P
⊢ (rTensorHom M) (-f) = -(rTensorHom M) f
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P Q
H :
  ∀ {X Y : AlgebraicGeometry.Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : AlgebraicGeometry.IsAffine Y] (𝒰 : X.OpenCover),
    Q f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), Q (𝒰.map i ≫ f)
⊢ AlgebraicGeometry.IsLocalAtSource P
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (Metric.sphere 0 ‖x₀‖) x₀
⊢ Module.End.HasEigenvector (↑T) (↑(T.rayleighQuotient x₀)) x₀
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_7
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → α
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : (s.inf fun i => (t i).sup (f i)) = (s.pi t).sup fun g => s.attach.inf fun i => f (↑i) (g ↑i ⋯)
c : α
h : ∀ (b : (a : ι) → a ∈ insert i s → κ a), (∀ (a : ι) (h : a ∈ insert i s), b a h ∈ t a) → f i (b i ⋯) ⊓ s.attach.inf ((fun i_1 => f (↑i_1) (b ↑i_1 ⋯)) ∘ fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ≤ c
a : κ i
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
ha : a ∈ t i
hg : ∀ (a : ι) (h : a ∈ s), g a h ∈ t a
⊢ (f i a ⊓ s.attach.inf fun i => f (↑i) (g ↑i ⋯)) ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
hf : Injective f
g : α → γ
g' : β → γ
⊢ range g ∪ g' '' (range f)ᶜ ⊆ range (extend f g g')
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
z : ℤ
⊢ (z % ↑(addOrderOf x)) • x = z • x
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
Nonempty ι
f : ι → G.Subgraph
⊢ (⨅ i, f i).Adj a b ↔ ∀ (i : ι), (f i).Adj a b
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
pa : p a = true
x : α
xs l₂ : List α
h : a ∈ x :: xs
h' : ¬p x = true
⊢ a = x → p x = true
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
s : Finset ι
f : ι → R[A]
⊢ ∑ i ∈ s, (f i).support.inf degt = (Multiset.map ((fun f => f.support.inf degt) ∘ fun i => f i) s.val).sum
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
s : Set α
r : α → R
m : M
⊢ (s.indicator fun x => r x • m) = fun x => s.indicator r x • m
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
x : F
⊢ (IntermediateField.botEquiv F E).symm x = (algebraMap F ↥⊥) x
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
NonUnitalSemiring α
StarRing α
v w : m → α
⊢ star v ⬝ᵥ star w = star (w ⬝ᵥ v)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P ↔
  ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit (S.multifork P))
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
Nontrivial S
f : F
⊢ RingHom.ker f ≠ ⊤
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
n : ℕ
X : C
inst✝ : Projective X
⊢ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj (ProjectiveResolution.self X).complex).ExactAt (n + 1)
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
f : K[X]
hf : f.natDegree ≤ 1
⊢ Polynomial.Splits i f
α : Type u_1
Preorder α
l r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Ordnode.Valid' o₁ l o₂
hr : Ordnode.Valid' o₁ r o₂
sep : Ordnode.All (fun x => Ordnode.All (fun y => x < y) r) l
⊢ Ordnode.Valid' o₁ (l.merge r) o₂ ∧ (l.merge r).size = l.size + r.size
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a b : α
NoMinOrder α
h : a ≤ b
⊢ Set.Ioc (Order.pred a) b = insert a (Set.Ioc a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v : VectorMeasure α M✝
w✝ : VectorMeasure α N
M : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v₁ v₂ : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
hv₁ : v₁ ≪ᵥ w
hv₂ : v₂ ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑w s = 0
⊢ ↑(v₁ - v₂) s = 0
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
hω : ¬IsSuccLimit (⨆ i, f i)
⊢ ∃ i, f i = ⨆ i, f i
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α
⊢ Measurable (MeasurableSpace.mapNatBool α)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
h : s.chainHeight ≠ ⊤
⊢ ∃ n, ∀ l ∈ s.subchain, l.length ≠ n
α : Type u_1
xs : List α
p : α → Bool
w : findIdx? p xs = none
i : Nat
⊢ match xs.get? i with | some a => ¬p a = true | none => true = true
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
A : CategoryTheory.Subobject X
h : A.arrow ≫ f = 0
⊢ A ≤ CategoryTheory.Limits.kernelSubobject f
α : Type u_1
l r : Ordnode α
H : (∃ l', Raised l.size l' ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r' r.size ∧ BalancedSz l.size r'
⊢ (∃ l', Raised l' r.size ∧ BalancedSz l' l.size) ∨ ∃ r', Raised l.size r' ∧ BalancedSz r.size r'
R : Type u_1
Semiring R
CharP R 2
x : R
⊢ x + x = 0
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i j : n
⊢ (A.updateRow i (Pi.single j 1)).det = (A.updateColumn j (Pi.single i 1)).det
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
this : IntegrableOn f S volume ↔ IntegrableOn (fun x => |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume
⊢ IntegrableOn (fun x => (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn (fun x => |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume