ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
C : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_2} C
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : Linear R C
inst✝¹⁰ : MonoidalCategory C
inst✝⁹ : MonoidalPreadditive C
inst✝⁸ : MonoidalLinear R C
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_3} D
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : Linear R D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : MonoidalPreadditive D
F : MonoidalFunctor D C
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : Functor.Linear R F.toFunctor
r : R
X Y : D
f : X ⟶ Y
Z : D
⊢ (r • f) ▷ Z = r • f ▷ Z
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
f : FreeMonoid (M ⊕ N) →* P
hM₁ : f (FreeMonoid.of (Sum.inl 1)) = 1
hN₁ : f (FreeMonoid.of (Sum.inr 1)) = 1
hM : ∀ (x y : M), f (FreeMonoid.of (Sum.inl (x * y))) = f (FreeMonoid.of (Sum.inl x) * FreeMonoid.of (Sum.inl y))
hN : ∀ (x y : N), f (FreeMonoid.of (Sum.inr (x * y))) = f (FreeMonoid.of (Sum.inr x) * FreeMonoid.of (Sum.inr y))
x : N
⊢ (Monoid.Coprod.clift f hM₁ hN₁ hM hN) (Monoid.Coprod.inr x) = f (FreeMonoid.of (Sum.inr x))
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
DecidableEq β
s₁ s₂ : Finset β
h₁ : s₁.Nonempty
h₂ : s₂.Nonempty
f : β → α
⊢ (s₁ ∪ s₂).inf' ⋯ f = s₁.inf' h₁ f ⊓ s₂.inf' h₂ f
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
h : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ a * b ^ n
this : 0 ≤ a
ha : 0 < a
⊢ 0 ≤ a * b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n✝ n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ⊥ ^ n = ⊥
p : ℕ
h : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hp : p ≠ 2
ha0 : ↑a ≠ 0
⊢ legendreSym p a = (-1) ^ (filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝ y✝ z : X
r✝ s : ℝ
x y : X
r : ℝ
h : y ∈ ball x r
a : X
⊢ a ∈ ball x r ↔ a ∈ ball y r
R : Type v
NonAssocSemiring R
StarRing R
S U : StarSubsemiring R
⊢ S.toSubsemiring = U.toSubsemiring ↔ S = U
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
s : Multiset ι
F : Type u_6
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
f : F
g : ι → α
⊢ (Multiset.map (fun i => f (g i)) s).sum = f (Multiset.map g s).sum
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
ha : a ∈ s
⊢ a ^ 0 ∈ s ^ 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
S₁ S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
⊢ MeasureTheory.cylinder s S₁ ∪ MeasureTheory.cylinder s S₂ = MeasureTheory.cylinder s (S₁ ∪ S₂)
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
m n : ℤ
k l : ℕ
hpm : ↑(p ^ k) ∣ m
hpn : ↑(p ^ l) ∣ n
hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n
hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs
hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs
hpmn' : p ^ (k + l + 1) ∣ m.natAbs * n.natAbs
hsd : p ^ (k + 1) ∣ m.natAbs ∨ p ^ (l + 1) ∣ n.natAbs := Nat.succ_dvd_or_succ_dvd_of_succ_sum_dvd_mul p_prime hpm' hpn' hpmn'
hsd1 : p ^ (k + 1) ∣ m.natAbs
⊢ ↑(p ^ (k + 1)) ∣ m
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
hij : j ≠ i
hj : j ∈ s
⊢ ¬i = j
α : Type u
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α
⊢ U ∈ ⨅ i, s i ↔ ∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ι), V i ∈ s i) ∧ (∀ i ∉ I, V i = Set.univ) ∧ U = ⋂ i ∈ I, V i ∧ U = ⋂ i, V i
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇔ b = a ↔ b = ⊤
n : ℤ
hn : 0 ≤ n
⊢ ‖↑n‖ = ↑n
n : ℕ
⊢ 9 ∣ n ↔ 9 ∣ (Nat.digits 10 n).sum
μ : YoungDiagram
i1 i2 : ℕ
hi : i1 ≤ i2
h_lt : μ.rowLen i1 < μ.rowLen i2
⊢ μ.rowLen i1 < μ.rowLen i1
a : ℤ
e b : ℕ
⊢ jacobiSym (a ^ e) b = jacobiSym a b ^ e
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b₁ b₂ : Basis ι R M
⊢ (∀ (i : ι), b₁ i = b₂ i) → b₁ = b₂
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure 0
⊢ ∫⁻ (_x : α), ⨍⁻ (a : α), f a ∂0 ∂0 = ∫⁻ (x : α), f x ∂0
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
gp_n : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp_n
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some gp_n.b
⊢ 1 ≤ gp_n.b
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Mul γ
ContinuousMul γ
f g : α →ₘ[μ] γ
⊢ ↑(f * g) =ᵐ[μ] ↑f * ↑g
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E₂ : Type u_6
F : Type u_9
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R₂ E₂
NormedAddCommGroup F
Module R F
f₁ : F →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x y : F
⊢ f₁ x = f₁ y ↔ x = y
ι : Type u
γ✝ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
γ : Type w
α : Type x
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
s : Finset α
g : α → Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
h_zero : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
h_add : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ + b₂) = h i b₁ * h i b₂
⊢ ∏ i ∈ s, (g i).prod h = (∑ i ∈ s, g i).prod h
M : Type u_4
N : Type u_5
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
⊢ f.toFun = ⇑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
T2Space E
TopologicalAddGroup E
Module 𝕜 E
ContinuousSMul 𝕜 E
c : E
hc : c ≠ 0
⊢ ClosedEmbedding fun x => x • c
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
t : Affine.Triangle R P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
this : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1 := LinearOrderedRing.decidableLT
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h3 : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
r₁ : R
hr₁0 : 0 < r₁
hr₁1 : r₁ < 1
h₁ : Sbtw R (t.points i₂) ((lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁) (t.points i₃)
r₂ : R
hr₂0 : 0 < r₂
hr₂1 : r₂ < 1
h₂ : Sbtw R (t.points i₁) ((lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂) (t.points i₃)
w : Fin (2 + 1) → R
hw : ∑ i : Fin (2 + 1), w i = 1
hp : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R (Set.range t.points)
h₁' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {(Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationSingleWeights R i₁), (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ r₁)}
h₂' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {t.points i₂, (lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂}
h₁s : SignType.sign (w i₂) = SignType.sign (w i₃)
h₂s : SignType.sign (w i₁) = SignType.sign (w i₃)
⊢ Sbtw R (Finset.affineCombinationSingleWeights R i₁ i₁) (w i₁) (Finset.affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ r₁ i₁)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
M₄ : Type u_8
SeminormedAddCommGroup M₁
NormedSpace 𝕜 M₁
SeminormedAddCommGroup M₂
NormedSpace 𝕜 M₂
SeminormedAddCommGroup M₃
NormedSpace 𝕜 M₃
SeminormedAddCommGroup M₄
NormedSpace 𝕜 M₄
X : Type u_9
TopologicalSpace X
f : X → M₁ ≃L[𝕜] M₂
g : X → M₃ ≃L[𝕜] M₄
hf : Continuous fun x => ↑(f x)
hg : Continuous fun x => ↑(g x)
⊢ Continuous fun x => ↑((f x).prod (g x))
𝕜 : Type u_1
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₁' : Type u_9
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V₁'
NormedSpace 𝕜 V₁'
MetricSpace P₁'
NormedAddTorsor V₁' P₁'
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
φ : P₁' →ᵃⁱ[𝕜] P₂
E : AffineSubspace 𝕜 P₁'
Nonempty ↥E
g : ↥E
⊢ ↑((AffineSubspace.isometryEquivMap φ E) g) = φ ↑g
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p✝ : R[X]
x : S
p : R[X]
n✝ : ℕ
⊢ (if ¬p.coeff n✝ = 0 then if n✝ = p.natDegree then p.leadingCoeff • 1 else p.leadingCoeff • (p.coeff n✝ * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1 - n✝)) else 0) = p.coeff n✝ * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - n✝)
G : Type u_3
Group G
a b c : G
h : a = c * b
⊢ a / b = c
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
g : β → γ
hf : BddBelow (Set.range f)
hg : Monotone g
⊢ BddBelow (Set.range fun x => g (f x))
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ closure s = ∅ ↔ s = ∅
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
ι : Sort ?u.161801
inst✝² : _root_.Finite ι
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
this✝ : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance
f : ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) →ₗ[R] ↥(LinearMap.ker l) := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype = (LinearMap.ker l).subtype ∘ₗ f
hf : Function.Surjective ⇑f
this : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (l ∘ₗ π)
⊢ (Submodule.map (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype (LinearMap.ker f)).FG
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Abelian C
A : Type u₁
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Abelian A
inst✝¹ : Abelian B
L : A ⥤ B
inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms
hL : ∀ (S : ShortComplex A), S.Exact → (S.map L).Exact
X✝ Y✝ : A
f : X✝ ⟶ Y✝
hf : Epi f
⊢ Epi (L.map f)
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I : Ideal α
hI : I.IsMaximal
x : α
hx : x ∉ I
H₁ : 1 ∉ I
H₂ : ∀ (J : Ideal α) (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J
⊢ ∃ y, ∃ i ∈ I, y * x + i = 1
α : Type u_1
s : Set α
x : ↑s.op
⊢ ↑(s.opEquiv_self x) = Opposite.unop ↑x
M : Type u_1
TopologicalSpace M
x : Mᵃᵒᵖ
⊢ Filter.comap AddOpposite.op (𝓝 x) = 𝓝 (AddOpposite.unop x)
α : Type u
f : (α → ℕ) →. ℕ
d : Dioph.DiophPFun f
⊢ Dioph f.Dom
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a✝ b✝ a b : α
l₁ l₂ : List α
⊢ Chain' R (a :: b :: l₁ ++ l₂) ↔ Chain' R (a :: b :: l₁) ∧ Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : α), x ∈ (a :: b :: l₁).getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p
k : ℕ
⊢ p ^ k = match ↑(replicate k ⟨p, hp⟩) with | none => 0 | some s => (Multiset.map Subtype.val s).prod
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
h : p ^ (k - s + 1) = 2
⊢ ↑p ^ (k - s).succ = 2
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G
x : G
hx : x ∈ (↑U)ᶜ
⊢ (fun y => y * x⁻¹) ⁻¹' ↑U ⊆ (↑U)ᶜ
R : Type u
AddGroupWithOne R
n : ℕ
⊢ 0 < n → ↑(n - 1) = ↑n - 1
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
c : ℤ →+* R
g : τ → R
p : MvPolynomial σ ℤ
⊢ eval₂ c (g ∘ f) p = eval₂ c g ((rename f) p)
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
f : Set (α × α) → Filter β
h : Monotone f
⊢ ((𝓤 α).lift fun s => f (s ○ s)) ≤ (𝓤 α).lift f
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
RegularNormedAlgebra 𝕜 A
⊢ uniformity (Unitization 𝕜 A) = uniformity (Unitization 𝕜 A)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : PMF α
s : Set α
⊢ p.toOuterMeasure s ≤ p.toMeasure s
α : Type u_1
f : α → α
n : ℕ
x : α
⊢ { val := n } • x = f^[n] x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
C : ℝ
⊢ Tendsto (fun n => C / ↑n) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h₁ : f₁ =O[l] g
h₂ : f₂ =O[l] g
⊢ (fun x => f₁ x - f₂ x) =O[l] g
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
self : LieModule.LinearWeights R L M
χ : L → R
⊢ LieModule.weightSpace M χ ≠ ⊥ → ∀ (t : R) (x : L), χ (t • x) = t • χ x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : (S.map F).HasHomology
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
⊢ (((S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.map F).rightHomologyData) ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (S.homologyData.right.map F)) ≫ F.map (rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right S.rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.rightHomologyData S.homologyData.right ≫ S.homologyData.iso.inv) = (((S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.map F).rightHomologyData) ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (hr.map F)) ≫ F.map (rightHomologyMap' (𝟙 S) hr S.rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.rightHomologyData S.homologyData.right ≫ S.homologyData.iso.inv)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ c < a → c < b → ¬(a ⊓ b ≤ c ∧ c ≤ a ⊔ b)
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : Irreducible p
b : Associates M
x✝ : b < p
a : Associates M
hab : p = b * a
hb✝ : ¬p ∣ b
hb : IsUnit b
⊢ b = ⊥
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
⊢ ∃ i, 1 ∈ S i
C : ℕ
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu_strict : StrictMono u
hC_nonzero : C ≠ 0
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
⊢ ∑' (b : ℕ), ↑(↑(u (b + 1)) - ↑(u b)) * ↑(f (u b)) = ⊤ ↔ ∑' (b : ℕ), ↑(f b) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ pure (IntCast.intCast (n + 1)) ≤ 𝓝[≥] (↑n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : SurjOn f₁ s₁ t₁
h₂ : SurjOn f₂ s₂ t₂
x : β₁ × β₂
hx : x ∈ t₁ ×ˢ t₂
⊢ x ∈ (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) '' s₁ ×ˢ s₂
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
R : ℝ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
a : ℝ
h0 : 0 < rexp a
hle : rexp a ≤ R
hd : ∀ z ∈ (ball c R \ closedBall c (rexp a)) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
A : Set ℂ := closedBall c R \ ball c (rexp a)
hc : ContinuousOn f A
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) = ∮ (z : ℂ) in C(c, rexp a), (z - c)⁻¹ • f z
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
r : R
⊢ r ∣ p.content ↔ ∀ (i : ℕ), r ∣ p.coeff i
L : Type u
CommRing L
IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
t : Lˣ
ht : t ∈ rootsOfUnity n L
⊢ g ↑t = ↑t ^ (↑((ModularCyclotomicCharacter' L n) g)).val
α : Type u_1
a b a' : α
LE α
h : ¬a ≤ b
eq : a = a'
⊢ ¬a' ≤ b
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.Measure.count s = ∑' (i : ↑s), 1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : IsEmpty V
⊢ G.chromaticNumber = 0
a : ℝ
hapos : 0 < a
halimit : Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)
hπ : π / 2 = a ^ 2 / 2
⊢ Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 √π)
J : Type v
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u
inst✝² : Category.{v, u} D
G : D ⥤ C
inst✝¹ : HasLimits D
inst✝ : PreservesLimits G
A : C
ι : Type v
B : ι → D
f : (i : ι) → A ⟶ G.obj (B i)
g : ∀ (X : D) (h : A ⟶ G.obj X), ∃ i g, f i ≫ G.map g = h
B' : ι → StructuredArrow A G := fun i => StructuredArrow.mk (f i)
hB' : ∀ (A' : StructuredArrow A G), ∃ i, Nonempty (B' i ⟶ A')
⊢ HasInitial (StructuredArrow A G)
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M
V : Submodule K M := φ.maxGenEigenspace 0
hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)
W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)
hVW : IsCompl V W
hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V
hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W
F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV
G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW
ψ : ↥V × ↥W →ₗ[K] ↥V × ↥W := F.prodMap G
e : (↥V × ↥W) ≃ₗ[K] M := V.prodEquivOfIsCompl W hVW
bV : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V) K ↥V := chooseBasis K ↥V
bW : Basis (ChooseBasisIndex K ↥W) K ↥W := chooseBasis K ↥W
b : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V ⊕ ChooseBasisIndex K ↥W) K (↥V × ↥W) := bV.prod bW
hψ : ψ = e.symm.conj φ
⊢ finrank K ↥V = (charpoly φ).natTrailingDegree
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
⊢ (AddMonoid.Coprod.swap G H).range = ⊤
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
u : ℕ → E
hu : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → u ia ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia
hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑n • u n) atTop (𝓝 0)
h_bounded : IsVonNBounded 𝕜 (Set.range fun n => ↑n • u n)
r : ℝ
hr : r > 0
h' : ∀ (c : 𝕜'), r ≤ ‖c‖ → (⇑f '' Set.range fun n => ↑n • u n) ⊆ c • V
n : ℕ
hn : r < ↑n
h1 : r ≤ ‖↑n‖
hn' : 0 < ‖↑n‖
⊢ False
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n a : ℕ
hpa : p a
h : ∀ k < count p n, nth p k < a
ha : a < n
⊢ False
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : HasDerivWithinAt f f' s x
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : x ∈ s
⊢ HasDerivWithinAt f₁ f' s x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Finset S
f : S → R
⊢ trop (s.inf f) = ∑ i ∈ s, trop (f i)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : End X
⊢ α.symm.conj (α.conj f) = f
σ : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
a : R
⊢ (MvPowerSeries.map σ f) ((MvPowerSeries.C σ R) a) = (MvPowerSeries.C σ S) (f a)
K : Type u_1
RCLike K
x : ℝ
⊢ ↑x ≤ 0 ↔ x ≤ 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
T1Space α
Countable α
⊢ borel α = ⊤
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.degree 0 ≤ 0
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
a : α
(𝓝[>] a).NeBot
⊢ (𝓝ˢ (Set.Iic a)).HasBasis (fun x => a < x) Set.Iic
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
hq0_lt : 0 < q
hq0_ne : q ≠ 0
h_one_div_r : 1 / r = 1 / p - 1 / q
p2 : ℝ := q / p
q2 : ℝ := p2.conjExponent
⊢ (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
f : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ dist (f.transnumAuxSeq n) (f.transnumAuxSeq (n + 1)) < 1 / 2 / 2 ^ n
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s : ι → M
indep : Set ι → Prop := fun I => LinearIndependent (ι := ↑I) R (s ∘ Subtype.val)
X : Type u' := { I // indep I }
r : X → X → Prop := fun I J => ↑I ⊆ ↑J
key : ∀ (c : Set X), IsChain r c → indep (⋃ I ∈ c, ↑I)
⊢ ∃ I, (LinearIndependent R fun (x : ↑I) => s ↑x) ∧ ∀ (J : Set ι), I ⊆ J → (LinearIndependent R fun (x : ↑J) => s ↑x) → I = J
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
f g : Polynomial ↥(subfield G F)
hf : f.Monic
hg : g.Monic
hfg : f * g = minpoly G F x
hf2 : f ∣ minpoly G F x
hg2 : g ∣ minpoly G F x
this : Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x (minpoly G F x) = 0
⊢ f = 1 ∨ g = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
σ : Equiv.Perm α
⊢ σ⁻¹.support = σ.support
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
S : Set (Closeds α)
hSf : S.Finite
hS : ∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t
⊢ ↑(sSup S) = ⋃₀ (SetLike.coe '' S)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
⊢ LinearMap.range (f.domRestrict S) ≤ LinearMap.range f
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
s : Set α
f : ↥(MeasureTheory.Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((MeasureTheory.condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f✝ : ℕ → Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
val✝ : Encodable β
g : ℕ → Set α := fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg : g = fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
⊢ HasSum (fun i => ↑v (f i)) (↑v (⋃ i, f i))
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
x : α
hbdd : BddAbove ∅
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup ∅)
⊢ sSup ∅ ∈ ∅
S : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
self : IsCyclotomicExtension S A B
x : B
⊢ x ∈ Algebra.adjoin A {b | ∃ n ∈ S, b ^ ↑n = 1}
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S T : StarSubalgebra R A
⊢ (S ⊓ T).toSubalgebra = S.toSubalgebra ⊓ T.toSubalgebra
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hdeg : finSepDegree F E = 1
x : E
hsep : IsSeparable F x
this : Algebra.IsAlgebraic (↥F⟮x⟯) E
⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Function.Periodic f T
t s : ℝ
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume t₁ t₂
⊢ ∫ (x : ℝ) in t..s + T, f x = (∫ (x : ℝ) in t..s, f x) + ∫ (x : ℝ) in t..t + T, f x
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set β
t : ℕ → Set α
ht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t
⊢ ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (f '' (f ⁻¹' (fun n => f '' t n ∪ (range f)ᶜ) n)) ≤ ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (f '' t n)
V : Type u
Quiver V
a b c : V
p : Quiver.Path a b
e : b ⟶ c
⊢ (p.cons e).length = p.length + 1
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ ⨅ v, Localization.subalgebra.ofField K v.asIdeal.primeCompl ⋯ = ⊥
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
n : ℕ
x : Holor α [d]
y₁ y₂ : Holor α ds
hy₁ : y₁.CPRankMax1
hy₂ : CPRankMax n y₂
⊢ CPRankMax (n + 1) (x ⊗ (y₁ + y₂))
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
⊢ cfc (fun x => 0) a = 0
α : Type u_1
n : ℕ
val : α
⊢ Mathlib.Vector.replicate (n + 1) val = val ::ᵥ Mathlib.Vector.replicate n val