ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable (↑f) μ
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ x ∈ f.range, x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq : (T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) = (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a))
h_left_eq' : (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a)) = (T (⋃ y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
⊢ (∑ i ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, T (↑f ⁻¹' {i})) (g (↑f a)) = ∑ x ∈ filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
n : ℕ+
⊢ PNat.gcd 1 n = 1
a b : ℤ
h : a < b
⊢ ↑(Finset.Ioo a b).card = b - a - 1
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f g : ↑(X.presheaf.obj (op U))
⊢ Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) (f * g))} = Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)} ∩ Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) g)}
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
ι : Type u_1
pi : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis pi s
⊢ (𝓤 C(α, β)).HasBasis (fun p => IsCompact p.1 ∧ pi p.2) fun p => {fg | ∀ x ∈ p.1, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ s p.2}
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : SMulWithZero ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module ℝ M
φ : ι → X → M
⊢ (support fun i => (ρ i) x₀ • φ i x₀) ⊆ ↑(ρ.finsupport x₀)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
ht : IntegrableOn f t μ
H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ
f' : X → E := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
⊢ ∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
hts : t ⊆ s
hut : u ⊆ t
⊢ s \ t ∪ t \ u = s \ u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ⋖ b
⊢ Ioc a b = {b}
α : Type u_1
s : Cycle α
⊢ s.reverse.reverse = s
α : Type u_2
Group α
b : α
⊢ Finset.preimage 1 (fun x => x * b) ⋯ = {b⁻¹}
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
h : Function.Commute f g
⊢ IsPeriodicPt (f ∘ g) ((minimalPeriod f x).lcm (minimalPeriod g x)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a : α
h : StrictMonoOn f (Set.Ici a)
⊢ Set.MapsTo f (Set.Ioi a) (Set.Ioi (f a))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α
ι : Type u_6
R : Type u_7
F : Filter ι
inst✝ : CompleteLattice R
a : ι → R
⊢ limsup a F ≤ sInf ((fun I => sSup (a '' I)) '' F.sets)
G : Type u_1
AddCommMonoid G
A : Set (G × G)
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
self : IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂
⊢ (x₂, y₁) ∈ A
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
⊢ IsSubring (Set.range ⇑f)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p : ℤ
⊢ (ofHoms ψ).v p p ⋯ = ψ p
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
FiniteDimensional F E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
K : IntermediateField F E
⊢ IntermediateField.adjoin F ↑(Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)).coeffs = K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < 0 → Ordinal.{max u_4 u_5}
⊢ blsub 0 f = 0
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
x : R
⊢ x ∈ s.toSubmonoid ↔ x ∈ s
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
R' : Type u_10
SMul R' M
r : R'
m : M
n : N
⊢ (TensorProduct.SMul.aux r) (FreeAddMonoid.of (m, n)) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
α : Type u
l₁ l₂ : List α
DecidableEq α
a : α
h : ¬a ∈ l₁
⊢ List.indexOf a (l₁ ++ l₂) = l₁.length + List.indexOf a l₂
G : Type u
inst✝² : Group G
N✝ : Subgroup G
nN✝ : N✝.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
N : Subgroup G
nN : N.Normal
x y : G
⊢ y⁻¹ * x ∈ N ↔ x / y ∈ N
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedCommRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
U A : Matrix m m 𝔸
hy : IsUnit U
u : (Matrix m m 𝔸)ˣ
hu : ↑u = U
⊢ exp 𝕂 (↑u * A * (↑u)⁻¹) = ↑u * exp 𝕂 A * (↑u)⁻¹
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
m : M →ₗ[R] P
n : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N
⊢ (((TensorProduct.mk R M N).compr₂ ((((TensorProduct.mk R (M →ₗ[R] P) (N →ₗ[R] Q)).compr₂ ↑(homTensorHomEquiv R M N P Q)) m) n)) x✝¹) x✝ = (((TensorProduct.mk R M N).compr₂ ((((TensorProduct.mk R (M →ₗ[R] P) (N →ₗ[R] Q)).compr₂ (homTensorHomMap R M N P Q)) m) n)) x✝¹) x✝
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
x : P
⊢ x ∈ intrinsicFrontier 𝕜 s ↔ ∃ y ∈ frontier (Subtype.val ⁻¹' s), ↑y = x
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
⊢ (kreplace a b l).NodupKeys ↔ l.NodupKeys
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ s.erase a ⊆ s
n : ℕ
α : Type u_1
LinearOrder α
f : Fin n → α
h : f ≠ f ∘ ⇑(Tuple.sort f)
⊢ ∃ i j, i < j ∧ f j < f i
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ QuasiMeasurePreserving (fun x => r • x) μ μ
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
h's : IsGδ s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
U : ℕ → Set X
U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hU : s = ⋂ n, U n
m : Set X
m_comp : IsCompact m
sm : s ⊆ interior m
mt : m ⊆ tᶜ
f : ℕ → C(X, ℝ)
fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s
fm : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 0 (U n ∩ interior m)ᶜ
_hf : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport ⇑(f n)
f_range : ∀ (n : ℕ) (x : X), (f n) x ∈ Icc 0 1
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i
u_sum : Summable u
hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1
⊢ ∃ f, s = ⇑f ⁻¹' {1} ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤
x : α
hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop < ⊤
hppos : 0 < p.toReal
this : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop = liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal
⊢ liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop < ⊤
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : M →ₗ[R] N
m : Fin n → M
⊢ (map f) ((ιMulti R n) m) = (ιMulti R n) (⇑f ∘ m)
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
j : J
x : F.obj j
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.desc F s (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j x) = s.ι.app j x
p q : Prop
d₁ : Decidable p
d₂ : Decidable q
⊢ ¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b : α
⊢ 0 - a + (0 - b) = 0 - (a + b)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
f : α ≃ β
⊢ f.mapMatrix.symm = f.symm.mapMatrix
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e✝ e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
y : R
x : A₁
h : (algebraMap R A₂) y = e x
⊢ (algebraMap R A₁) y = x
k1 k2 : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
⊢ (f * g) ∣[k1 + k2] A = (↑↑A).det • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
⊢ UniformContinuous DFunLike.coe
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x x✝ : R
⊢ eval₂ (evalRingHom x) x✝ = evalEval x x✝
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ map f (I ⊔ f.ker) ≤ map f I
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
⊢ Finset.image f ∅ = ∅
K : Type u_1
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hz : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ cyclotomic n K = cyclotomic' n K
R : Type u_1
CommRing R
a b : R
⊢ a ^ 4 + 4 * b ^ 4 = ((a - b) ^ 2 + b ^ 2) * ((a + b) ^ 2 + b ^ 2)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_one : f 1 = 1
hp_one : p 1
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
⊢ ∀ (s : Multiset α), (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
⊢ ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal ∅ = ⊤
R : Type u_1
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
Monoid R
MulAction R M₁
MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
FunLike F M₁ M₂
MulActionHomClass F R M₁ M₂
c : R
t : Set M₂
⊢ c • ⇑h ⁻¹' t ⊆ ⇑h ⁻¹' (c • t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
S : Set (Set α)
p : α → Prop
⊢ (∀ x ∈ ⋃₀ S, p x) ↔ ∀ s ∈ S, ∀ x ∈ s, p x
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ
⊢ degreeLE R ↑n = Submodule.span R ↑(image (fun n => X ^ n) (range (n + 1)))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ f
⊢ 0 ≤ ∫ (a : α), f a ∂μ
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
t : ↑I
⊢ (if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1) ∈ I
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.Preadditive V
X Y : Action V G
f g : X ⟶ Y
⊢ (f + g).hom = f.hom + g.hom
w : Nat
x : BitVec w
r : Nat
hr : r < w
⊢ x.rotateRight r = x.rotateRightAux r
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ x ⇨ y ≤ x ↔ x = ⊤
α : Type u_3
Nontrivial α
⊢ ∃ x y, x ≠ y
R : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring R
M N P Q : AddSubmonoid R
hmp : M ≤ P
hnq : N ≤ Q
⊢ M * N ≤ P * Q
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
Zero N
f : α → β
s : α →₀ N
v : α → N → α →₀ M
⊢ Finsupp.mapDomain f (s.sum v) = s.sum fun a b => Finsupp.mapDomain f (v a b)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Ring L
Algebra K L
F E : Subalgebra K L
hfin : FiniteDimensional K ↥E
h_le : F ≤ E
h_finrank : FiniteDimensional.finrank K ↥F = FiniteDimensional.finrank K ↥E
⊢ F = E
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
⊢ StrictConvexOn ℝ (Set.Ioi 0) fun x => x ^ m
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
C : Type u_4
Semiring C
Algebra R C
TopologicalSpace C
f : (A →A[R] B) × (A →A[R] C)
⊢ ContinuousAlgHom.prodEquiv f = f.1.prod f.2
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hG : Group.FG G
inst✝ : H.FiniteIndex
this : Group.FG ↥H
⊢ Group.rank ↥H ≤ H.index * Group.rank G
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝¹ : P.IsPrime
I : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P
Q' : Ideal (S ⧸ I)
Q'_prime : Q'.IsPrime
hQ' : comap (algebraMap (R ⧸ comap (algebraMap R S) I) (S ⧸ I)) Q' = map (Quotient.mk (comap (algebraMap R S) I)) P
⊢ comap ((Quotient.mk I).comp (algebraMap R S)) Q' = comap (Quotient.mk (comap (algebraMap R S) I)) (comap (algebraMap (R ⧸ comap (algebraMap R S) I) (S ⧸ I)) Q')
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
F : Type u_3
Field F
Algebra k K
Algebra k F
Algebra K F
IsScalarTower k K F
w : NumberField.InfinitePlace F
h : NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w
⊢ NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k (w.comap (algebraMap K F))
α β : BoolRing
e : ↑α ≃+* ↑β
x✝ : (forget BoolRing).obj α
⊢ (↑e ≫ ↑e.symm) x✝ = (𝟙 α) x✝
α : Type u
β✝ : Type v
m : Type u → Type v
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
β : Type u
f : ℕ → α → m β
as : List α
⊢ as.mapIdxM f = List.traverse (uncurry f) as.enum
M : Type u_1
Monoid M
Unique Mˣ
x : M
⊢ IsUnit x ↔ x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
a : α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
ha : (Set.Ici a).Infinite
hfin : {x | a ⋖ x}.Finite
h : ∀ (b : α), a ⋖ b → ¬(Set.Ici b).Infinite
⊢ False
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ c.toUnder.pt = CategoryTheory.Under.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.id c.pt)
α : Type u_1
CompleteLattice α
⊢ CompleteLattice.SetIndependent ∅
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
S T : ConvexCone 𝕜 E
h : ∀ (x : E), x ∈ S ↔ x ∈ T
⊢ S = T
a✝ b a : Ordinal.{u}
h : b ≤ b
⊢ b ♯ a ≤ b ♯ a
α : Type u_1
β : Type u_2
ε : Sort u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
f₁ : α → β
f₂ : β → ε
g₁ : γ → δ
g₂ : δ → ε
x : α ⊕ γ
⊢ Sum.elim f₂ g₂ (Sum.map f₁ g₁ x) = Sum.elim (f₂ ∘ f₁) (g₂ ∘ g₁) x
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)₀
this : φ (f * g).toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal + φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal = φ (-(f * g)).toNNReal + φ f.toNNReal * φ g.toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal
⊢ φ (f * g).toNNReal - φ (-(f * g)).toNNReal = φ f.toNNReal * φ g.toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal - (φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
a b c : ℕ
hab : a = b
hbc : b = c
x : ZMod a
⊢ (ringEquivCongr hbc) ((ringEquivCongr hab) x) = (ringEquivCongr ⋯) x
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
⊢ Nat.cast ⁻¹' Set.Ici a = Set.Ici ⌈a⌉₊
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
NoMaxOrder α
s : Set α
hs : Dense s
x : α
⊢ ∃ y ∈ s, x < y
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s : Set α
⊢ s ⊼ s ⊆ s ↔ InfClosed s
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
X✝ Y✝ Z✝ : PresheafOfModules R₀
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ (toPresheaf R.val).map ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map (x✝¹ ≫ x✝)).val = (toPresheaf R.val).map ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map x✝¹ ≫ { obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map x✝).val
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
hne : L.NeBot
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
a✝ : ↑μ F < ⊤
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq
⊢ limsup (fun i => ↑(μs i) F) L ≤ ↑μ F + ↑ε
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s
⊢ f.lintegral μ = ∑ x ∈ s, x * μ (↑f ⁻¹' {x})
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ⟪y, x⟫_ℝ = 0
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
⊢ Polynomial.X.natTrailingDegree = 1
R : Type u
CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
LieModule R L N
AddCommGroup P
Module R P
LieRingModule L P
LieModule R L P
AddCommGroup Q
Module R Q
LieRingModule L Q
LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ P
g : N →ₗ⁅R,L⁆ Q
⊢ ↑(TensorProduct.LieModule.map f g) = TensorProduct.map ↑f ↑g
α : Type u
S : Set (α → ℕ)
p : Poly α
h : ∀ (v : α → ℕ), S v ↔ p v = 0
⊢ Dioph S
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∉ s
⊢ AffineIndependent k ![p₁, p₂, p₃]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ (CategoryTheory.Limits.imageMonoIsoSource f).inv ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι f = f
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hl : S.LeftHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S.HasLeftHomology
F.PreservesLeftHomologyOf S
⊢ S.mapLeftHomologyIso F = (hl.map F).leftHomologyIso ≪≫ F.mapIso hl.leftHomologyIso.symm
R : Type u_1
Semiring R
p : R[X]ᵐᵒᵖ
⊢ ((Polynomial.opRingEquiv R) p).natDegree = (MulOpposite.unop p).natDegree
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
x✝ : Nat.Prime k
kx : k ∣ xn a1 n
ky : k ∣ yn a1 n
p : xn a1 n * xn a1 n - Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n = 1 := pell_eq a1 n
⊢ k ∣ xn a1 n * xn a1 n - Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
⊢ ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x ↔ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_6
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
μ : Measure α
A_mble : MeasurableSet A
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
B : Set α
B_mble : MeasurableSet B
B_finmeas : μ B ≠ ⊤
As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ ∀ (x : ι), Measurable ((As x).indicator 1)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ IsIrreducible {x}
x y : SetTheory.PGame
i : x.RightMoves
j : y.LeftMoves
⊢ (x * y).moveRight (SetTheory.PGame.toRightMovesMul (Sum.inr (i, j))) =
  x.moveRight i * y + x * y.moveLeft j - x.moveRight i * y.moveLeft j
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
⊢ (cyclotomic n R).roots = (primitiveRoots n R).val
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x1 x2 y : ℕ × K
H : R K p x1 x2
n : ℕ
x : K
⊢ R K p ((n, x).1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] (n, x).2 * (⇑(frobenius K p))^[(n, x).1] y.2) ((n + y.1).succ, (frobenius K p) ((⇑(frobenius K p))^[y.1] x * (⇑(frobenius K p))^[n] y.2))
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
this : (F.map f).app k ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k)
⊢ (F.map f).app k ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k)
α : Type u_1
Encodable α
a b : α
⊢ ULower.down a = ULower.down b ↔ a = b
α : Type u_1
C : Multiset α → Sort u_3
C_0 : C 0
C_cons : (a : α) → (m : Multiset α) → C m → C (a ::ₘ m)
C_cons_heq :
  ∀ (a a' : α) (m : Multiset α) (b : C m),
    HEq (C_cons a (a' ::ₘ m) (C_cons a' m b)) (C_cons a' (a ::ₘ m) (C_cons a m b))
a : α
m : Multiset α
⊢ (a ::ₘ m).recOn C_0 C_cons C_cons_heq = C_cons a m (m.recOn C_0 C_cons C_cons_heq)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : Array α
f : Fin a.size → α → β
i : Nat
h : i < (a.mapIdx f).size
⊢ (a.mapIdx f)[i] = f ⟨i, ⋯⟩ a[i]
α : Type u
β : Type v
SemilatticeSup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsMinOn f s a
hg : IsMinOn g s a
⊢ IsMinOn (fun x => f x ⊔ g x) s a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
R : CategoryTheory.Sieve X
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPullback (CategoryTheory.Functor.id C) R = R
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
hn : Nonempty α
hd : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
hb : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
⊢ (iInf f).NeBot
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
t : Set R
ht : Ideal.span t = ⊤
H : ∀ (g : ↑t), (RingHom.ker (Localization.awayMap f ↑g)).FG
⊢ (RingHom.ker f).FG
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
m n : ℤ
k l : ℕ
hpm : ↑(p ^ k) ∣ m
hpn : ↑(p ^ l) ∣ n
hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n
hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs
hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs
⊢ p ^ (k + l + 1) ∣ m.natAbs * n.natAbs