ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsLindelof K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s
this : f '' K ∈ l
⊢ ∃ x ∈ insert y (range f), ClusterPt x l
this : 𝓝 (π / 2) = 𝓝 ((1 - 0) * (π / 2))
h : ∀ (n : ℕ), (2 * ↑n + 1) / (2 * ↑n + 2) = 1 - 1 / (2 * ↑n + 2)
⊢ Tendsto (fun i => 2 * ↑i + 2) atTop atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
⊢ 𝓝 a ⊓ 𝓟 (s ∩ t) = 𝓝 a ⊓ 𝓟 s ⊓ (𝓝 a ⊓ 𝓟 t)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
⊢ ker f = IsSubgroup.trivial G ↔ ∀ (x : G), f x = 1 → x = 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ LieAlgebra.center R L
y : L
⊢ Commute ((LieModule.toEnd R L M) y) ((LieModule.toEnd R L M) x)
α : Type u_2
Mul α
IsLeftCancelMul α
s t : Set α
⊢ (s.PairwiseDisjoint fun x => x • t) ↔ Set.InjOn (fun p => p.1 * p.2) (s ×ˢ t)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
⊢ dist x y ≤ dist z x + dist z y
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : R
hroot : f.IsRoot x
hmo : f.Monic
i : ℕ
hi : f.natDegree ≤ i
⊢ x ^ i ∈ 𝓟
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
⊢ μ s ≤ (μ.toMeasure ⋯) s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
c : MeasureTheory.ComplexMeasure α
⊢ MeasureTheory.ComplexMeasure.equivSignedMeasure c =
  (MeasureTheory.ComplexMeasure.re c, MeasureTheory.ComplexMeasure.im c)
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ b ≤ 1 * a ↔ b ≤ a
M : Type u_1
inst✝ : MulOneClass M
a b : M
h : 1 * a = b
⊢ a = b
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
a b : α
⊢ ((𝓤 α).lift fun s => (𝓤 α).lift' fun t => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ ball b t) = (𝓤 α).lift fun s => (𝓤 α).lift' fun t => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ {y | (b, y) ∈ t}
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.23384, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P Q : Karoubi C
⊢ 0 = P.p ≫ 0 ≫ Q.p
α : Type u
s : Set (Set α)
⊢ #(Quotient.out (aleph 1).ord).α * ⨆ i, #↑(generateMeasurableRec s i) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
P : Prop
α : Type u_1
Decidable P
x : P → α
⊢ (if h : P then some (x h) else none) = none ↔ ¬P
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
AddCommGroup M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
Fintype ι
x h : (i : ι) → M₁ i
⊢ f (x + h) =
  f x + (f.linearDeriv x) h + ∑ s ∈ Finset.filter (fun x => 2 ≤ x.card) Finset.univ.powerset, f (s.piecewise h x)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
n : ℕ
r : R
⊢ ((toZModPow n).comp (lift f_compat)) r = (f n) r
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hab : b₁ ≤ b₂
hcd : a ≤ d
⊢ b₁ • d + b₂ • a ≤ b₁ • a + b₂ • d
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, Measurable f) → Measurable l.prod
hl : Measurable f ∧ ∀ x ∈ l, Measurable x
⊢ Measurable (f * l.prod)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
γ : Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ γ.v p q hpq ≫ (HomologicalComplex.XIsoOfEq G ⋯).hom = γ.v p q ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : ∀ (s : Set X), IsClosed s → s.Nonempty → IsClosed (f '' s)
⊢ IsClosedMap f
R : Type u_1
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
r : R
⊢ Ideal.span {r} ∈ nonZeroDivisors (Ideal R) ↔ r ∈ nonZeroDivisors R
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : α ≃ β
e'✝ : β ≃ γ
e : α ≃ β
e' : β ≃ γ
f'' : PartialEquiv γ δ
⊢ (e.trans e').transPartialEquiv f'' = e.transPartialEquiv (e'.transPartialEquiv f'')
α : Type u
PartialOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ a < b ∨ a = b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f₂ : E → F × G
h : Differentiable 𝕜 f₂
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => (f₂ x).1
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
i j : J
f : i ⟶ j
x✝ : F.toEventualRanges.obj j
x : F.obj j
hx : x ∈ F.eventualRange j
⊢ ∃ a, F.toEventualRanges.map f a = ⟨x, hx⟩
G : Type u
self : AddCommMagma G
a b : G
⊢ a + b = b + a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x
n : N
a b : CliffordAlgebra Q
⊢ ((CliffordAlgebra.foldr Q f hf) n) (a * b) = ((CliffordAlgebra.foldr Q f hf) (((CliffordAlgebra.foldr Q f hf) n) b)) a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ (Bimod.regular X).whiskerLeft f = M.leftUnitorBimod.hom ≫ f ≫ N.leftUnitorBimod.inv
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
p : ι → Prop
f : Subtype p → α
hp : ∀ (i : ι), p i
⊢ ⨅ i, ⨅ (h : p i), f ⟨i, h⟩ = iInf f
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
x : ↑F.sections
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.π F j ((CategoryTheory.Limits.Types.limitEquivSections F).symm x) = ↑x j
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.ae μ ⊓ 𝓟 s ≤ MeasureTheory.ae (μ.restrict s)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
⊢ √((1 - ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) * (⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))) * (‖x‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖y‖))) = √(‖x‖ * ‖x‖ * (‖y‖ * ‖y‖) - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ)
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
p : Seminorm ℝ E
⊢ gauge (p.ball 0 1) = ⇑p
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y'
h : F.obj X' ⟶ Y
k : Y ⟶ Y'
w : F.map f ≫ g = h ≫ k
⊢ f ≫ (adj.homEquiv X Y') g = (adj.homEquiv X' Y) h ≫ G.map k
b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
bd : b < d
a' : ℝ≥0
a'c : ↑a' < c
a : ℝ≥0
ac : ↑a < c
aa' : ↑a < ↑a'
⊢ ↑a * b < c * d
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : s.Finite
⊢ IsLindelof s
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
f : α → M
s : Set α
⊢ Disjoint (Function.mulSupport f) s ↔ Set.EqOn f 1 s
R : Type u
CommRing R
R' : Type v
Field R'
self : AddChar.PrimitiveAddChar R R'
⊢ self.char.IsPrimitive
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
⊢ UniformContinuous f
α : Type u_1
f : α → ℝ
hf : ∀ (n : α), 0 ≤ f n
⊢ (Summable fun n => ⟨f n, ⋯⟩) ↔ Summable f
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ Finset.filter p (s.erase a) = (Finset.filter p s).erase a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
x✝ : R
hx : x✝ ∈ NonUnitalSubsemiring.closure ↑M
s : R
sM : s ∈ ↑M
H1 : AddSubmonoid R
H2 : H1 ∈ {S | ↑M ⊆ ↑S}
⊢ s ∈ (fun h => ↑H1) H2
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
⊢ Multiset.count a s ≠ 0 ↔ a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h : IntegrableAtFilter f l μ
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p q u v x y z : E
hz : z ∈ segment 𝕜 x y
hu : u ∈ segment 𝕜 x p
hv : v ∈ segment 𝕜 y q
⊢ ¬Disjoint (segment 𝕜 u v) ((convexHull 𝕜) {p, q, z})
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
this : CompactSpace G
A : ∀ (s : Set G), μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
Z : 1 = μ'.haarScalarFactor μ
⊢ μ' = μ
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
a : R
⊢ (MvPolynomial.C a).totalDegree = 0
α : Type u
DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ List.indexOf a l ≤ l.length
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
Zero M
f : α → M
s : Set β
g : β → α
⊢ g '' s ∩ Function.support f = g '' (s ∩ Function.support (f ∘ g))
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
hn1 : ↑n + 1 ≠ 0
a✝ : Fin (n + 2 + 1)
⊢ ↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 1) * ((if a✝ ∈ univ then (↑univ.card)⁻¹ else 0) - 0) + 0 = (↑(n + 1))⁻¹
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
K : Type u_1
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : NumberField K
b : Basis ι ℚ K
b' : Basis ι' ℚ K
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), IsIntegral ℤ (b.toMatrix (⇑b') i j)
h' : ∀ (i : ι') (j : ι), IsIntegral ℤ (b'.toMatrix (⇑b) i j)
⊢ discr ℚ ⇑b = discr ℚ ⇑b'
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
Fintype ↥(Equiv.Perm.subtypeCongrHom p).range
Fintype (Equiv.Perm { a // p a } × Equiv.Perm { a // ¬p a })
⊢ Fintype.card ↥(Equiv.Perm.subtypeCongrHom p).range = Fintype.card (Equiv.Perm { a // p a } × Equiv.Perm { a // ¬p a })
α : Type u_3
Ring α
a b : α
h : Commute a b
m : ℤ
⊢ Commute (↑m * a) b
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
hμ : MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ⇑⟨μ, hμ⟩ = fun s => (μ s).toNNReal
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
inst✝¹ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp₁ : p ≠ 2
hp₂ : ringChar F ≠ p
⊢ (quadraticChar F) ↑p = (quadraticChar (ZMod p)) (↑(χ₄ ↑(Fintype.card F)) * ↑(Fintype.card F))
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ (a ⊔ b) \ b = a \ b
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → SemilatticeSup (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ ⇑(f ⊔ g) = ⇑f ⊔ ⇑g
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
h : l.HasBasis p s
ht : t ∈ l
⊢ p ↑(h.index t ht)
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ b = ⊥ ↔ a = b
y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0
⊢ (x ^ y⁻¹) ^ y = x
X : Type u_3
Z : Type u_5
MeasurableSpace X
StandardBorelSpace X
MeasurableSpace Z
f : X → Z
MeasurableSpace.CountablySeparated ↑(Set.range f)
hf : Measurable f
hr : MeasurableSet (Set.range f)
s : Set Z
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s) ↔ MeasurableSet (s ∩ Set.range f)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ ⋃ n, Ico (a + n • p) (a + (n + 1) • p) = univ
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ K) ↑(p ^ k)
this : NumberField K
pB₁ : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
⊢ (algebraMap ℤ ℚ) (NumberField.discr K) = (algebraMap ℤ ℚ) ((-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)))
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
⊢ primitiveRoots n K ⊆ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset
α : Type u_1
LT α
lt_irrefl : ∀ (x : α), ¬x < x
l : List α
⊢ ¬l < l
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝓤 : X.OpenCover
j : 𝓤.J
⊢ (𝟙 𝓤).app j = 𝟙 (𝓤.obj j)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑g ⁻¹' {y}) < ⊤
x : E
hx_ne : x ≠ 0
⊢ μ (↑g ⁻¹' {-x}) < ⊤
p : ℕ
hp : 0 < p
⊢ φ p = p - 1 ↔ Prime p
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ (α_ X.X M₁.X N.X).inv ≫ (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (X.X ◁ f.hom ▷ N.X ≫ X.X ◁ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ TensorBimod.actLeft M₂ N
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
n : ℕ
IH : ∀ m < n, p.removeZero.rightInv i m = p.rightInv i m
⊢ p.removeZero.rightInv i n = p.rightInv i n
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
α' : TypeVec.{u_2} (n + 1)
f : α.drop.Arrow α'.drop
g : α.last → α'.last
⊢ TypeVec.dropFun (TypeVec.splitFun f g) = f
n m a b n✝ : ℕ
ha : a < n✝ + 1 + 1
hb : b < n✝ + 1 + 1
h : a < b
⊢ a + 1 < n✝ + 1 + 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
⊢ HasStrictDerivAt f f' x ↔ HasStrictFDerivAt f (ContinuousLinearMap.smulRight 1 f') x
R : Type u
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₂
f : R →+* S₂
⊢ MvPolynomial.eval₂Hom f 0 = f.comp MvPolynomial.constantCoeff
α : Type u_1
ι : Sort v
l : ι → Language α
x : List α
⊢ x ∈ ⨆ i, l i ↔ ∃ i, x ∈ l i
⊢ ∀ {X Y : Semigrp} (f : ↑X →ₙ* ↑Y), MonCat.adjoinOne.map f = WithOne.map f
α : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid M
AddAction M α
m₁ m₂ : M
⊢ AddAction.fixedBy α m₁ ∩ AddAction.fixedBy α m₂ ⊆ AddAction.fixedBy α (m₁ + m₂)
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ ↑e.symm = (↑e).symm
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
⊢ W'.negAddY P Q = (P x * Q z) ^ 3 * W'.negY Q
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
i : Fin (n + 1)
x : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
q : (j : Fin (n + 1)) → α j
⊢ q ≤ i.insertNth x p ↔ q i ≤ x ∧ (fun j => q (i.succAbove j)) ≤ p
K : Type u_1
Field K
NumberField K
f : NumberField.InfinitePlace K → NNReal
h : NumberField.mixedEmbedding.minkowskiBound K 1 < MeasureTheory.volume (NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLT K f)
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ ∀ (w : NumberField.InfinitePlace K), w ↑a < ↑(f w)
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t : Multiset ι
f : ι → R[X]
⊢ (∀ i ∈ t, (f i).Monic) → (Multiset.map f t).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) t).sum
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
⊢ Multiset.count a {b} = if a = b then 1 else 0
l m r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s → String.Iterator.ValidFor l.reverse (m ++ r) s.toIterator
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring R
⊢ ∀ (a : ↥S.op), S.mopRingEquivOp.symm a = MulOpposite.op (S.addEquivOp.symm a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.IsIso T.mor₁
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero T.obj₃
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0
this : IsTrans X fun x y => d x y = 0
x y : X
l : List X
ihn : ∀ m < l.length, ∀ (x y : X) (l : List X), l.length = m → d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum
L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y])
hL_len : L.length = l.length + 1
⊢ d x y ≤ 2 * L.sum
G₀ : Type u_4
GroupWithZero G₀
E : Type u_5
Zero E
MulActionWithZero G₀ E
TopologicalSpace E
T1Space E
ContinuousConstSMul G₀ E
c : G₀
s : Set E
⊢ closure (c • s) = c • closure s
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
δ : Type u_1
Monad m
l : Batteries.AssocList α β
init : δ
f : α × β → δ → m (ForInStep δ)
⊢ forIn l init f = forIn l.toList init f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
h : G ≤ G'
⊢ CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf.homOfLe h ≫ G'.ι = G.ι
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
⊢ ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α], (∀ (W : α → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)) → ∀ (W : Option α → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ≅ Y
Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f.inv Z)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f.hom Z) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.IsEquivalence
⊢ F.asEquivalence.functor = F
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
t : Affine.Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂
⊢ dist t.orthocenter
    ((EuclideanGeometry.reflection (affineSpan ℝ (t.points '' {i₁, i₂}))) (Affine.Simplex.circumcenter t)) =
  Affine.Simplex.circumradius t
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → F) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Memℒp f p μ → Memℒp g p μ → StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → F⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f p μ → P f → P g
f : α → F
hf : Memℒp f p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
f_Lp : ↥(Lp F p μ) := toLp f hf
hfm_Lp : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f_Lp) μ
⊢ ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → (fun f => P ↑↑f) (toLp f hf) → (fun f => P ↑↑f) (toLp g hg) → (fun f => P ↑↑f) (toLp f hf + toLp g hg)
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
self : G.IsNClique n s
⊢ s.card = n
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
c : C
⊢ 1 = CategoryTheory.CategoryStruct.id c
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
SMul α β
s : ι → Set α
t : Set β
⊢ (⋃ i, s i) • t = ⋃ i, s i • t
α : Type u_1
p : α → Prop
l₁ l₂ : List α
⊢ (∀ (x : α), x ∈ l₁ ++ l₂ → p x) ↔ (∀ (x : α), x ∈ l₁ → p x) ∧ ∀ (x : α), x ∈ l₂ → p x
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ hurwitzZetaEven a s = (hurwitzZetaEven a s + hurwitzZetaOdd a s + (hurwitzZetaEven a s + -hurwitzZetaOdd a s)) / 2
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
⊢ Cardinal.toPartENat (Cardinal.mk α) = Cardinal.toPartENat (Cardinal.mk β)
n✝ p i n : ℕ
h : 2 ≤ p
⊢ n / p ^ i = ofDigits p (List.drop i (p.digits n))
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
⊢ ρ s ≤ ↑p * μ s
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
H : ∀ (i : ι), f i < sup f
⊢ (sup f).cof ≤ #ι
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
h₁ : f 1 = 1
h₂ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := ⇑f, map_one' := h₁ }.toFun (x * y) =
      { toFun := ⇑f, map_one' := h₁ }.toFun x * { toFun := ⇑f, map_one' := h₁ }.toFun y
h₃ : (↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun 0 = 0
h₄ :
  ∀ (x y : A),
    (↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun (x + y) =
      (↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun x +
        (↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun y
h₅ :
  ∀ (r : R),
    (↑↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂, map_zero' := h₃, map_add' := h₄ }).toFun ((algebraMap R A) r) =
      (algebraMap R B) r
⊢ { toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂, map_zero' := h₃, map_add' := h₄, commutes' := h₅ } = f
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ⊓ b + a ⊔ b = a + b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
M : Matroid α
hf : Set.InjOn f M.E
B : Set α
hB : B ⊆ M.E
⊢ (M.map f hf).Base (f '' B) ↔ M.Base B
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
H : DifferentiableOn 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s)
y : F
hy : y ∈ s
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s y
T a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
⊢ 1 / ↑(b - a) * (f b * (↑(b - a) / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑b) - f a * (↑(b - a) / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑a) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x * (↑(b - a) / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑x)) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((f b - f a) * (fourier (-n)) ↑a - ↑(b - a) * (1 / ↑(b - a) * ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x * (fourier (-n)) ↑x))