ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : (pos a * b).natSize ≤ n.succ
⊢ (b % pos a * pos a).natSize ≤ n
S : Type u_1
CommRing S
⊢ ↑(PowerSeries.invOneSubPow 0) = PowerSeries.invUnitsSub 1
M : Type u_1
Mul M
S : Subsemigroup M
⊢ Subsemigroup.closure ↑S = S
⊢ (SetTheory.PGame.powHalf 0).RightMoves = PEmpty.{u_1 + 1}
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ n, f n a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n✝ : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup L
inst✝¹³ : Module R L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : Fintype ιM
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : DecidableEq ι'
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝³ : Module.Finite R L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Nontrivial R
x✝ : L
inst✝ : IsDomain R
h : ↑(finrank R M) ≤ #R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
bₘ : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
n : ℕ := Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)
aux : ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank).IsHomogeneous (n - φ.nilRank)
x : ChooseBasisIndex R L → R
hx : (eval x) ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank) ≠ 0
c : ChooseBasisIndex R L →₀ R := Finsupp.equivFunOnFinite.symm x
⊢ φ.IsNilRegular (b.repr.symm c)
n : Type u_8
Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ Metric.sphere 0 r = {x | ∑ i : n, x i ^ 2 = r ^ 2}
α : Type u
PseudoMetricSpace α
y : α
⊢ LipschitzWith 1 fun x => dist x y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
φ : α → β
θ : α → γ
ψ : β → δ
ρ : γ → δ
H : ψ ∘ φ = ρ ∘ θ
F : Filter α
⊢ Filter.map ψ (Filter.map φ F) = Filter.map ρ (Filter.map θ F)
R : Type u_1
S : Type u_4
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
h : f.IsIntegral
h' : f.FiniteType
⊢ f.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Bool
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ List.all₂ r l₁ l₂ = true ↔ List.Forall₂ (fun x x_1 => r x x_1 = true) l₁ l₂
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ completedSinZeta (-a) s = -completedSinZeta a s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
n : ℕ∞
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
t : Finset ι
f : ι → E → 𝔸'
h : ∀ i ∈ t, ContDiffAt 𝕜 n (f i) x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (∏ i ∈ t, f i) x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1
hzc : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ LieAlgebra.center A (A ⊗[R] L)
⊢ ⨆ μ, ⨆ k, (((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)).genEigenspace μ) k = ⊤
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : CG L M
f : M →[L] N
hs : Function.Surjective ⇑f
⊢ CG L N
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y z w : ℤ
h1✝ : { re := x, im := y }.re * { re := z, im := w }.re + ↑d * { re := x, im := y }.im * { re := z, im := w }.im = 0
h2✝ : { re := x, im := y }.re * { re := z, im := w }.im + { re := x, im := y }.im * { re := z, im := w }.re = 0
h1 : x * z = -(↑d * y * w)
h2 : x * w = -(y * z)
fin : x * x = ↑d * y * y → { re := x, im := y } = 0
⊢ { re := x, im := y } = 0 ∨ { re := z, im := w } = 0
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y
⊢ (fun f => ⇑f) (fourier 1) x ≠ (fun f => ⇑f) (fourier 1) y
M : Type u_1
α : Type u_2
N : Type u_3
β : Type u_4
SMul M α
SMul N α
SMulCommClass M N α
SMul N β
c : Mᵈᵐᵃ
f : α →ₑ[id] β
a : α
⊢ (c • f) a = f (DomMulAct.mk.symm c • a)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
i : P.vars
⊢ P.cotangentSpaceBasis i = 1 ⊗ₜ[P.Ring] (KaehlerDifferential.D R P.Ring) (MvPolynomial.X i)
a : Int
b c : Int
⊢ c ∣ b → (a * b).div c = a * b.div c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
hf : Pairwise fun i j => ⟪f i, f j⟫_𝕜 = 0
i : ι
hi : f i ≠ 0
⊢ (gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i = (↑‖f i‖)⁻¹ • f i
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).b₄ = ↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.b₄ + C.r * W.b₂ + 6 * C.r ^ 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ⊆ t ∧ ¬t ⊆ s ↔ s ⊂ t
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
f : M ≃+ N
⊢ f.invFun = ⇑f.symm
R : Type v
CommRing R
a b c d : R
⊢ !![a, b; c, d].det = a * d - b * c
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
N : ℝ≥0
hN : ∀ (x : n → α), ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ } x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊
i : m
x✝ : i ∈ Finset.univ
h✝ : IsEmpty n
⊢ ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ≤ N
α : Type u_1
AddZeroClass α
PartialOrder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
hab : 0 ≤ a + b
⊢ b = 0
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s t : Set α
⊢ c • s =ᶠ[ae μ] c • t ↔ s =ᶠ[ae μ] t
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
p : ℝ
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
⊢ ℝ≥0
α : Type u
S : Set α
⊢ Cardinal.mk ↑S < Cardinal.aleph0 ↔ S.Finite
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.withDensity 1 = μ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x : α
r : ℝ
h : r < Metric.infDist x s
⊢ Disjoint (Metric.closedBall x r) s
R : Type u_4
M : Type u_5
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ ⊤.toAddSubgroup = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x✝ r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 r
r' : ℝ≥0
xr' : edist x 0 < ↑r'
hr' : ↑r' < r
this : EMetric.ball 0 ↑r' ∈ 𝓝 x
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ y ∈ EMetric.ball 0 ↑r', ((fun y => f (x✝ + y)) y, (fun n y => p.partialSum n y) n y) ∈ u
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
hj : c.next i = j
h : K.d i j = 0
K.HasHomology i
⊢ (K.iCyclesIso i j hj h).hom = K.iCycles i
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝¹ : CommSemiring α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
n : ℕ
⊢ (∑ a ∈ s, f a) ^ n = ∑ p ∈ piFinset fun _i => s, ∏ i : Fin n, f (p i)
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑(t ^ (a - 1) * rexp (-(r * t))) = ↑t ^ (↑a - 1) * cexp (-(↑r * ↑t))
i : (nim 1).LeftMoves
⊢ toLeftMovesNim.symm i = ⟨0, ⋯⟩
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree
⊢ (p /ₘ q).degree ≤ p.degree
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X : C
G H : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ G
μ : G ⟶ H
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₁ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η μ) =
  CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₁ μ ∘ CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₁ η
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
⊢ map (⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e)) (Measure.pi fun i => μ (e i)) = Measure.pi μ
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
h : s.OrdConnected
⊢ (toNNReal '' s).OrdConnected
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
CommRing R
MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
⊢ a • S = Ideal.map (MulSemiringAction.toRingHom M R a) S
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hs : MeasurableSet s
hfi : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X) in sᶜ, f x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ - ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
a b c d : ℝ
h : a * d - b * c = 1
z : ℂ
hz : 0 < z.im
hc : ↑c ≠ 0
h_denom : ↑c * z + ↑d ≠ 0
h_aux : ↑c * ↑d + ↑c * ↑c * z ≠ 0
⊢ (↑a * z + ↑b) / (↑c * z + ↑d) = ↑a / ↑c - (↑c * ↑d + ↑c * ↑c * z)⁻¹
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
⊢ (𝟙 F).app X = 𝟙 (F.obj X)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
X Y : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
f : X ⟶ Y
h : CategoryTheory.Mono f.f
⊢ CategoryTheory.Mono f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝ : Decidable (a = a')
⊢ (single a b) a' = if a = a' then b else 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤
y : M
h₃ : ∀ I ∈ {P | (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P ∧ P ≠ ⊤ ∧ ∃ y, P = (Submodule.span R {y}).annihilator}, ¬(Submodule.span R {y}).annihilator < I
l : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ (Submodule.span R {y}).annihilator
h₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≠ ⊤
a b : R
hab : (a * b) • y = 0
ha : ¬a • y = 0
⊢ b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp1_real : 1 ≤ p.toReal
⊢ eLpNorm (f + g) p μ ≤ eLpNorm f p μ + eLpNorm g p μ
E : Type u_6
SeminormedGroup E
x : E
⊢ x ∈ closure {1} ↔ ‖x‖ = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.RightHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ h).ι = h.ι
a b c d : ℂ
⊢ (a + b) * (c + d) - (b - a) * (d - c) * -1 = 2 * (a * c + b * d)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x y : S
hy : y ∈ ↑(conductor R x)
⊢ y ∈ ↑(adjoin R {x})
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype α
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulCommClass R S M
v : α → M
inst✝ : DecidableEq α
i : α
r : R
⊢ (∑ x : α, if x = i then r • v x else 0) = r • v i
α : Type u
s : Set α
l : Filter α
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, x ∈ s) ↔ s ∈ l
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
inst✝² : HasColimit F
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
h : HasColimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
j : K
⊢ ι ((E ⋙ F) ⋙ G) j ≫ post (E ⋙ F) G ≫ G.map (pre F E) = ι ((E ⋙ F) ⋙ G) j ≫ pre (F ⋙ G) E ≫ post F G
a : ℝ
h : a ≠ 0
s : Set ℝ
⊢ MeasureTheory.volume ((fun x => x * a) ⁻¹' s) = ENNReal.ofReal |a⁻¹| * MeasureTheory.volume s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
ι : Type u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
⊢ CompleteLattice.Independent N ↔ CompleteLattice.Independent fun i => ↑(N i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
DivInvMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
c : G
hf : Smooth I' I f
⊢ Smooth I' I fun x => f x / c
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x y : α
⊢ y ∈ s.ordConnectedComponent x ↔ x ∈ s.ordConnectedComponent y
α : Type u_1
n : Type u_3
Fintype n
CommSemiring α
A : Matrix n n α
⊢ (A.transpose * A).IsSymm
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
DecidableEq ι
⊢ IsUnit (b.toMatrix ⇑b₂)
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
f'' : α → E''
g'' : α → F''
x : α
⊢ f'' =o[pure x] g'' ↔ f'' x = 0
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ ↑s.powerset = Finset.toSet ⁻¹' 𝒫↑s
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
h : φ.totalDegree < n
⊢ (homogeneousComponent n) φ = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a✝ : α
o : α × WSeq α
md : some o ∈ s.tail.destruct
a : α × WSeq α
am : some a ∈ s.destruct
⊢ ∃ a', some a' ∈ s.head
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
j : K →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
PerfectRing M p
IsPRadical i p
IsPRadical j p
PerfectRing L p
x : L
⊢ (PerfectRing.lift j i p) ((PerfectRing.lift i j p) x) = x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
A' : ι → F
h : ∀ i ∈ u, HasDerivWithinAt (A i) (A' i) s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) s x
n : ℕ
a : ℕ
ha : 0 < a
⊢ (∃ k, a * k < n ∧ n < a * (k + 1)) ↔ ¬a ∣ n
θ : Real.Angle
⊢ (θ + ↑(π / 2)).cos = -θ.sin
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I : FractionalIdeal B⁰ L
⊢ I⁻¹ ≤ FractionalIdeal.dual A K I
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
x : α
u v : αˣ
⊢ x * ↑(u * v) = x * ↑u * ↑v
α : Type u
Add α
LT α
a b : WithTop α
⊢ a + b < ⊤ ↔ a < ⊤ ∧ b < ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
z : TangentBundle I M
⊢ (↑(trivializationAt E (TangentSpace I) x) z).1 = z.proj
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
⊢ LieAlgebra.IsSolvable R ↥↑J → LieAlgebra.IsSolvable R ↥↑I
α : Type u_1
S : Set (Set α)
self : FiniteInter S
s : Set α
⊢ s ∈ S → ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ S → s ∩ t ∈ S
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → α → α
hcomm : Commutative f
hassoc : Associative f
a b c : α
l : List α
⊢ foldl f (f (f a b) c) l = f b (foldl f (f a c) l)
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
A : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
ι : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
k : ℕ
⊢ (toMatrix b b) f ^ k = 0 ↔ f ^ k = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
TotallyDisconnectedSpace α
s : Set α
h : IsPreconnected s
⊢ s.Subsingleton
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
SmoothManifoldWithCorners I M
SmoothManifoldWithCorners I' M'
SmoothManifoldWithCorners I'' M''
he' : PartialHomeomorph.MDifferentiable I' I'' e'
⊢ PartialHomeomorph.MDifferentiable I I'' (e ≫ₕ e')
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
N : Submodule R M
r : R
f : M →ₗ[R] M'
g : M' →ₗ[R] M''
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : LinearMap.range f = LinearMap.ker g
h1 : IsSMulRegular M r
h2 : IsSMulRegular M'' r
y : M
hx : r • f y = 0
⊢ r • y = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
SeminormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => ‖f x‖) μ
α : Type u_1
⊢ ⊤.IsCountablyGenerated
α : Sort u_1
f : Bool → α
H : f false ≠ f true
hxy : f false = f false
⊢ false = false
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : β), μ (Prod.mk x ⁻¹' (Prod.swap ⁻¹' s)) ∂ν = ∫⁻ (y : β), μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s) ∂ν
K : Type u_1
σ : Type u_2
Fintype K
Fintype σ
CommRing K
c : σ → K
⊢ MvPolynomial.indicator c ∈ MvPolynomial.restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
m : MeasurableSpace α
One β
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.MetrizableSpace β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasurableSet (Function.mulSupport f)
R : Type u
Semiring R
q : ℕ
hR : ExpChar R q
n : ℕ
x y : R
h : Commute x y
⊢ (x + y) ^ q ^ n = x ^ q ^ n + y ^ q ^ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.toCostructuredArrow F).rightOp.comp
    (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromCostructuredArrow F) =
  CategoryTheory.Functor.id F.Elements
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
⊢ a * a * a⁻¹ = a
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
⊢ P.IsMaximal
R : Type u_1
N : Type u_3
M' : Type u_5
NormedField R
SeminormedAddCommGroup N
NormedSpace R N
NormedAddCommGroup M'
NormedSpace R M'
Nontrivial M'
f' : M' →L[R] N
hf' : IsConformalMap f'
⊢ f' ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
f : 𝕜 →ₗ[𝕜] E
⊢ ↑f.toContinuousLinearMap₁ = f
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ max (-a) 0 = -a + max a 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
m : M
n : N
p : Submodule R M
q : Submodule R N
hm : m ∈ p
hn : n ∈ q
⊢ (f m) n ∈ Submodule.map₂ f p q
R : Type u
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
DecidableEq ι
i : ι
⊢ ⇑(LinearMap.single i) = Pi.single i
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
hfg : f * g = 1
ginj : Injective ⇑g
i : V →ₗ[K] V
hi : g ∘ₗ i = id
⊢ g * f = 1
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
x y a✝ : α
ha : f a✝ ≠ a✝
hx : a✝ ≠ x
hy : a✝ ≠ y
H : f a✝ = a✝
⊢ False
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
⊢ LocallyCompactSpace X ↔ LocallyCompactSpace Y
α : Type u_1
hd : α
tl : List α
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl.get? ix = l'.get? (f ix)) → tl <+ l'
l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl).get? ix = l'.get? (f ix)
this : ∃ (h : f 0 < l'.length), l'.get ⟨f 0, h⟩ = hd
⊢ hd :: tl <+ l'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ h.triangle.obj₂ = Z₁₃
V : Type u_1
G₁ G₂ : SimpleGraph V
Fintype ↑G₁.edgeSet
Fintype ↑G₂.edgeSet
⊢ G₁.edgeFinset ⊆ G₂.edgeFinset ↔ G₁ ≤ G₂
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y : E
hr✝ : dist y x ≠ 0
hr : 0 < dist y x
hy : y ∈ interior (closedBall x (dist y x))
f : ℝ → E := fun c => c • (y - x) + x
⊢ f ⁻¹' closedBall x (dist y x) ⊆ Icc (-1) 1
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
⊢ M * 1 = M
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : PolishSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : BorelSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Continuous f
hsurj : Surjective f
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
⊢ MeasurableSpace.map f inst✝⁴ = borel Y
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
⊢ (X.restrictFunctor.map i).left.val.base = (TopologicalSpace.Opens.toTopCat ↑X.toPresheafedSpace).map i
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
⊢ (f - g).LimZero
ι : Type u_1
F : Type u_3
Fintype ι
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑b.repr.symm) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume