ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup W
inst✝⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℂ G
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddRightInvariant
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
⊢ ∫ (x : V), ↑(e (-(L (x - v₀)) w)) • f x ∂μ = ∫ (a : V), ↑(e ((L v₀) w)) • ↑(e (-(L a) w)) • f a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
f : α → β
⊢ (v + w).map f = v.map f + w.map f
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra K L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Finite K L
inst✝³ : Module.Finite R L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Free R M
x y : L
r : R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
aux : (fun i => (b.repr y) i * r + (b.repr x) i) = ⇑(b.repr (r • y + x))
⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp ↑(MvPolynomial.aeval fun i => C ((b.repr y) i) * X + C ((b.repr x) i))) ((↑φ).polyCharpoly b) = charpoly (φ (r • y + x))
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F✝ F : Sheaf J A
this : (compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t)) ≫ { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } = (constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ ({ app := fun Y => U.map (F.val.map (ht.from (unop Y)).op), naturality := ⋯ } ≫ whiskerRight (toSheafify J F.val) U).app x✝ = (whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ whiskerRight ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)).val U).app x✝
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
f : α → Set (Set α)
s : Set α
h : v.FineSubfamilyOn f s
inst✝ : SecondCountableTopology α
ρ : Measure α
hρ : ρ ≪ μ
⊢ s ⊆ (s \ ⋃ p ∈ h.index, h.covering p) ∪ ⋃ p ∈ h.index, h.covering p
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t : Set β
a : α
⊢ a ∈ s -ᵥ t ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x -ᵥ y = a
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ sort f = Equiv.refl (Fin n) ↔ Monotone f
α : Type u_1
⊢ Function.Surjective MulOpposite.op
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
p q : K[X]
h : q ≠ 0
⊢ (p * C q.leadingCoeff⁻¹).degree = p.degree
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
t : Set R
ht : Ideal.span t = ⊤
H : ∀ (g : ↑t), (ker (Localization.awayMap f ↑g)).FG
⊢ (ker f).FG
α : Type u_3
SemilatticeInf α
Nonempty α
p : α × α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α × α) in Filter.atBot, p x) ↔ ∃ a, ∀ k ≤ a, ∀ l ≤ a, p (k, l)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
h : MeasureTheory.Integrable f μ
c : ℝ≥0
⊢ MeasureTheory.Integrable f (c • μ)
M : Type u_10
Mul M
x : M
⊢ (MulHom.id M) x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
h_zero : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → fs n a b = 0
⊢ IsSFiniteKernel (κ.withDensity f)
x : ℂ
n : ℤ
⊢ Complex.tan (x - ↑n * ↑Real.pi) = Complex.tan x
R : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
⊢ Pairwise (IsCoprime on fun i => s ↑i) ↔ ∀ i ∈ t, IsCoprime (s i) (∏ j ∈ t \ {i}, s j)
⊢ Filter.Tendsto (fun k => ∑ i ∈ Finset.range k, (-1) ^ i / (2 * ↑i + 1)) Filter.atTop (nhds (Real.pi / 4))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T0Space α
s : Closeds α
hs : IsAtom s
t : Closeds α
hts : ↑t ⊆ ↑s
ht : (↑t).Nonempty
⊢ ↑t = ↑s
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
Semiring C
Algebra R C
φ : Unitization R A →ₐ[R] C
a : A
⊢ (Unitization.lift.symm φ) a = φ ↑a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ h).π = h.π
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
Semiring R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Function.Exact ⇑f ⇑g
⊢ [Function.Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id, Function.Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id,
    ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ LinearMap.inl R M P ∧ g = LinearMap.snd R M P ∘ₗ ↑e].TFAE
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ 𝓟 s ≤ 𝓝ˢ s
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) = ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F).symm ∘ ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f)
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
CommSemiring E
Semiring K
SMul F E
Algebra E K
Semiring F
Module F K
IsScalarTower F E K
L : Submonoid K
S : Set K
h : ↑L = ↑(Submodule.span F S)
⊢ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin E ↑L) = Submodule.span E S
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Y → Z
hf : IsOpenMap (f ∘ ⇑h)
⊢ IsOpenMap ((f ∘ ⇑h) ∘ ⇑h.symm)
V : Type u
G : SimpleGraph V
x y : G.Subgraph
h : x ≤ y
v : ↑x.verts
⊢ ↑((SimpleGraph.Subgraph.inclusion h) v) = ↑v
R : Type u
Semiring R
s : Set R[X]
s_fin : s.Finite
⊢ ∃ n, Submodule.span R s ≤ Polynomial.degreeLE R ↑n
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atBot
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
⊢ ContinuousAt (⇑f) 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞
⊢ ContMDiff I 𝓘(𝕜, E) n ↑I
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.ULiftHom.up.map f).down = f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f✝ f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
hc : ContinuousWithinAt f s x
⊢ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x = 𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)] ↑(extChartAt I x) x
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cone F
h : IsLimit t
W : C
f f' : W ⟶ t.pt
w : ∀ (j : J), f ≫ t.π.app j = f' ≫ t.π.app j
⊢ (fun b => f ≫ t.π.app b) = fun b => f' ≫ t.π.app b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace γ} {f : α → γ} {g : β → γ}, Measurable f → Measurable g → Measurable (Sum.elim f g)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n : ℕ
X Y : CategoryTheory.SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
⊢ f.app (Opposite.op [n]) ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n =
  AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n ≫ f.app (Opposite.op [n])
s : ℂ
n : ℕ
h1 : -s.re < ↑n
⊢ Complex.GammaAux n s = Complex.GammaAux n (s + 1) / s
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
t : Finset ι
ht : ∀ (j : ι), WellOrderingRel j i → (f j) x ≠ 0 → j ∈ t
⊢ f.toPOUFun i x = (f i) x * ∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t, (1 - (f j) x)
M : Type u_1
α : Type u_3
AddMonoid M
TopologicalSpace α
AddAction M α
ContinuousConstVAdd M α
⊢ AddAction.IsMinimal M α ↔ ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c +ᵥ s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = Set.univ
b a : Prop
⊢ (b ↔ a → b) ↔ a ∨ b
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (shiftFunctorAdd C a 0).hom.app X = eqToHom ⋯ ≫ (shiftFunctorZero C A).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X)
P : ℕ → Prop
base : ∃ n, ∀ m > n, P m
step : ∀ (n : ℕ), (∀ m > n, P m) → P n
n : ℕ
⊢ P n
a b c : Int
H1 : b ≠ 0
H2 : a = c * b
⊢ a / b = c
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Multiset α
H : Symmetric r
hs : Multiset.Pairwise r s
a : α
⊢ a ∈ s → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a ≠ b → r a b
α : Type u_1
A B : Finset α
i : ℕ
h₁ : i + B.card ≤ A.card
h₂ : B ⊆ A
⊢ ∃ C, B ⊆ C ∧ C ⊆ A ∧ C.card = i + B.card
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : β → α
s : Set β
H : BddAbove (f '' s)
c : β
hc : c ∈ s
⊢ f c ≤ ⨆ i, f ↑i
S : Type u_2
A : Type u_3
Semiring S
Semiring A
p : Polynomial S
f : S →+* A
a : A
s : S
hsa : Commute (f s) a
hf : ∀ (s₁ s₂ : S), Commute (f s₁) (f s₂)
⊢ Polynomial.eval₂ f (f s * a) (p.scaleRoots s) = f s ^ p.natDegree * Polynomial.eval₂ f a p
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
⊢ LieSubmodule.lieSpan R L Set.univ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'
mulVec_def : A *ᵥ v = fun i => ∑ j : β, A i j * v j
i : α
j : β
a✝ : j ∈ univ
hsign : A i j ≤ 0
⊢ v j * A i j ≤ ↑B * (A i j)⁺
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
⊢ (∑' (n : ℕ), f n) * ∑' (n : ℕ), g n = ∑' (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), f k * g (n - k)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
g : β → γ
hg : Injective g
⊢ ∀ x ∉ Set.range g, extend g f 1 x = 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
Z : ModuleCat R
⊢ f ▷ Z ≫ (Y.braiding Z).hom = (X.braiding Z).hom ≫ Z ◁ f
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
hi : i ≠ f.natDegree
⊢ f.eraseLead.coeff i = f.coeff i
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
f : G ≃* ↥H
K : Subgroup G
⊢ IsCoatom (Subgroup.map (↑f) K) ↔ IsCoatom K
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
Finite G
⊢ Nontrivial G ↔ ∃ n > 0, Nat.card G = p ^ n
α : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
uc : UniformContinuous (pkg.compare pkg')
uc' : UniformContinuous (pkg'.compare pkg)
a : α
⊢ pkg'.coe a = id (pkg'.coe a)
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).tail! = l
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℝ
⊢ logDeriv rexp x✝ = 1 x✝
f g : CircleDeg1Lift
⊢ Tendsto (fun x => x - 1) atTop atTop
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : ι → Filter α
m : α → β
hf : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
inst✝ : Nonempty ι
s : Set β
hs : m ⁻¹' s ∈ iInf f
i : ι
hi : m ⁻¹' s ∈ f i
⊢ map m (f i) ≤ 𝓟 s
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ Continuous fun f => ∫ (a : α), ↑↑f a ∂μ
a b c d : Nat
p : (a = b) = (c = d)
⊢ (a == b) = (c == d)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (op 0 • s)⁻¹ = 0⁻¹ • s⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
LinearOrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g s
n : ℕ
⊢ AntivaryOn f (n • g) s
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ Subgroup.map f ⊤ = ⊤
X : TopCat
p₀ : ↑X
(U : TopologicalSpace.Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
A : C
⊢ (skyscraperPresheafFunctor p₀).obj A = skyscraperPresheaf p₀ A
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x 0 = 0
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i ≃L[𝕜] E₁ i
⊢ (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMapEquivL G f) g = g.compContinuousLinearMap fun i => ↑(f i)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
f : α × β → γ
h : UniformContinuous f
a : α
⊢ UniformContinuous fun b => f (a, b)
F✝ : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : CompactSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
s : Set β
hs : IsCompact s
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
in_s : ∀ (f : α →ᵇ β) (x : α), f ∈ A → f x ∈ s
H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
M : LipschitzWith 1 Subtype.val
F : (α →ᵇ ↑s) → α →ᵇ β := comp Subtype.val M
⊢ IsCompact (F ⁻¹' A)
n : Nat
x : BitVec n
i : Nat
⊢ x.sshiftRight i = BitVec.ofInt n (x.toInt >>> i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E
b : E
hb : b ∈ Metric.closedBall 0 1
⊢ ‖b⋆ * (x.fst⋆ • (x.fst • b + x.snd * b) + x.snd⋆ * (x.fst • b + x.snd * b))‖ ≤ sSup ((fun x_1 => ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd) x_1‖) '' Metric.closedBall 0 1)
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
p₀ p₁ : P1
⊢ (AffineMap.lineMap p₀ p₁) 0 = p₀
ι : Sort u
α : Type v
LinearOrder α
f : ι → α
a : α
⊢ ⋃ i, Set.Ioc a (f i) = Set.Ioi a ↔ ∀ (x : α), a < x → ∃ i, x ≤ f i
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hzpos : 0 < z
m n : ℤ
hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2
hv2 : ↑x / ↑z = 2 * ↑m * ↑n / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hw2 : ↑y / ↑z = (↑m ^ 2 - ↑n ^ 2) / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
H : (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
co : m.gcd n = 1
pp : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
⊢ h.IsPrimitiveClassified
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηb : p ∣ S.a + ↑η * S.b
⊢ p ∣ λ
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α ↪ β
a : α
s : Finset α
⊢ Finset.map f (insert a s) = insert (f a) (Finset.map f s)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection s) p) = 0 ↔ p ∈ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup α
⊢ [].reverse.alternatingProd = [].alternatingProd ^ (-1) ^ ([].length + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Memℒp f 1 μ
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
⊢ Memℒp f 1 (c • μ)
m n✝ : ℕ
⊢ (finRotate (n✝ + 1 + 1)) (Fin.last (n✝ + 1)) = Fin.last (n✝ + 1) + 1
M : Type u_4
AddMonoid M
a b : M
n : ℕ
⊢ a + b = 0 → n • a + n • b = 0
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
m : M
a : b.toDual m = 0
⊢ m = 0
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing K
inst✝¹⁰ : CommRing L
inst✝⁹ : CommRing M
inst✝⁸ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁷ : ExpChar K p
inst✝⁶ : ExpChar L p
inst✝⁵ : ExpChar M p
inst✝⁴ : ExpChar N p
inst✝³ : PerfectRing M p
inst✝² : IsPRadical i p
inst✝¹ : IsPRadical g p
inst✝ : IsPRadical (g.comp i) p
⊢ (fun f => f.comp (g.comp i)) (lift g (lift i j p) p) = (fun f => f.comp (g.comp i)) (lift (g.comp i) j p)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f (s ×ˢ t) (κ a)
⊢ ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂κ a
α : Type u
β : α → Type v
s : Sigma β
l : List (Sigma β)
⊢ s ∈ l → s.fst ∈ l.keys
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
hc : ¬IsConnected X
hi : IsInitial X → False
⊢ ∃ Y v, (IsInitial Y → False) ∧ Mono v ∧ ¬IsIso v
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
⊢ ∏ p ∈ (a.gcd b).primeFactors, p ∣ a.gcd b
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
⊢ ↑((μ.prod ν).map ⋯) = ↑ν
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
x : idx × ℕ
hx : x ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars
k : ℕ
hk : k ∈ (xInTermsOfW p ℚ n).vars
hx' : x ∈ ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ).vars
⊢ x.2 < n + 1
α : Type ua
s t : Set (α × α)
h : idRel ⊆ s
n : ℕ
⊢ t ⊆ (fun x => s ○ x)^[n] t
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s t : Set α
fin : EMetric.hausdorffEdist s t ≠ ⊤
⊢ Metric.hausdorffDist s t = 0 ↔ closure s = closure t
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
hf : ∀ x ∈ s, {x_1 | x_1 ∈ s → x_1 ∈ f x} ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, f x
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
g : X → E
⊢ (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
AddCommMonoid M
Finsupp.NonTorsionWeight w
s : σ
⊢ w s ≠ 0
ι : Type u_1
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
Group G
DivisionMonoid H
MonoidHomClass F G H
f : F
g h : ι → G
⊢ ⇑f ∘ (g / h) = ⇑f ∘ g / ⇑f ∘ h
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
⊢ Subalgebra.center R A ≤ Subalgebra.centralizer R s
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
⊢ s ∈ memberSubfamily a 𝒜 ∪ nonMemberSubfamily a 𝒜 ↔ s ∈ image (fun s => s.erase a) 𝒜
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
f g : ℕ → R
hf : ∀ n > 0, f n ≠ 0
hg : ∀ n > 0, g n ≠ 0
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ n ∈ s → ∏ i ∈ n.divisors, f i = g n ↔ n ∈ s → ∏ i ∈ n.divisors, (fun n => if h : 0 < n then Units.mk0 (f n) ⋯ else 1) i = (fun n => if h : 0 < n then Units.mk0 (g n) ⋯ else 1) n
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
v : n → α
i : n
x : α
⊢ (Matrix.diagonal v).updateColumn i (Pi.single i x) = Matrix.diagonal (Function.update v i x)
α : Type u_1
β : Type v
f : β → α → β
H : RightCommutative f
b : β
l : List α
⊢ Multiset.foldl f H b ↑l = List.foldl f b l
R : Type u_1
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : StarMul R
u : R
hu : IsUnit u
h_mul : star u * u = 1
⊢ u * star u = 1
z : ℂ
⊢ z ∈ Complex.slitPlane ↔ ¬z ≤ 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b c : α
ha : 0 ≤ a
hbc : b ≤ c
⊢ (fun x => a * x) '' Set.Icc b c = Set.Icc (a * b) (a * c)
x y : UInt32
⊢ (x / y).toNat = x.toNat / y.toNat
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
p : P1
⊢ AffineMap.lineMap p p = AffineMap.const k k p
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
s : Set Ω
⊢ μ s ≤ μ.mass
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
⊢ (a₁, b₁) < (a₂, b₂) ↔ a₁ < a₂ ∧ b₁ ≤ b₂ ∨ a₁ ≤ a₂ ∧ b₁ < b₂
ι : Type u_1
π✝ : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f✝ g✝ : (i : ι) → π✝ i
inst✝ : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
π : ι → Type u_3
t : Set ι
t' : (i : ι) → Set (π i)
f g f' g' h : (i : ι) → π i
hf : f ∈ t.pi t'
hg : g ∈ t.pi t'
⊢ s.piecewise f g ∈ t.pi t'
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
⊢ image (fun s => s.erase a) (filter (fun s => a ∈ s) (𝒜 ∩ ℬ)) = image (fun s => s.erase a) (filter (fun s => a ∈ s) 𝒜) ∩ image (fun s => s.erase a) (filter (fun s => a ∈ s) ℬ)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
c : ℝ≥0
h₀ : ¬0 < ε
⊢ l.RCond ((fun x x => ⟨1, convergenceR.proof_3⟩) c)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Precoherent C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
F : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology D) A
X : Cᵒᵖ
⊢ ((e.sheafCongrPrecoherent A).inverse.obj F).val.obj X = F.val.obj (Opposite.op (e.functor.obj (Opposite.unop X)))
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
s : Set α
hc : IsClosed s
hs : s.Nonempty
B : BddAbove s
⊢ sSup s ∈ s
R : Type u
CommRing R
M : QuadraticModuleCat R
⊢ ↑(QuadraticModuleCat.cliffordAlgebra.obj M) = CliffordAlgebra M.form
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ n ≤ l.length → l.rotate' n = drop n l ++ take n l