ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f✝ : X✝ → Y✝
g : Y✝ → Z
X : ι → Type u_6
Y : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
f : (i : ι) → X i → Y i
h : ∀ (i : ι), IsProperMap (f i)
⊢ IsProperMap fun x i => f i (x i)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
x y : G
hy : y ∈ closure {x}
⊢ ∀ (x_1 : G), (∃ n, x ^ n = x_1) → ∃ n, x ^ n = x_1⁻¹
x y : ℝ
hx : 0 < x
⊢ |x| = x
α : Type u_1
CircularOrder α
a b : α
⊢ btw a b b
C : Type u
CategoryTheory.CategoryStruct.{v, u} C
X Y : CategoryTheory.LocallyDiscrete C
f g : X ⟶ Y
η : f ⟶ g
⊢ f = g
n : ℕ
x : ℝ
⊢ (aeval x) (hermite n) = (-1) ^ n * ((-1) ^ n * (aeval x) (hermite n) * Real.exp (-(x ^ 2 / 2))) / Real.exp (-(x ^ 2 / 2))
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
S : Set G
hS : S ∈ Subgroup.rightTransversals ↑H
g : G
⊢ g * (↑(Subgroup.MemRightTransversals.toFun hS g))⁻¹ ∈ H
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β
⊢ Bijective (map f) ↔ Bijective f
P : Type u_1
Preorder P
s t : Order.PFilter P
h : ↑s = ↑t
⊢ s = t
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
hn : G ‖ 0
⊢ ∃ i, G.moveLeft i ≈ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : multiplicity J I ≤ ↑n
⊢ count J (normalizedFactors I) ≤ n
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
F G : f₀.Homotopy f₁
h : ∀ (x : ↑I × X), F x = G x
⊢ F = G
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hy : y ∈ s
⊢ edist x y ≤ infEdist x s + diam s
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf y ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t : Set α
a b : α
f : α ↪ β
hs : s.Subsingleton
⊢ (s.Subsingleton ∨ ∃ s_1, G.IsClique s_1 ∧ ⇑f '' s_1 = ⇑f '' s) ↔ G.IsClique s
m : Nat
n : Nat
h : 0 < m
⊢ m.gcd n ≤ m
α : Type u_4
β : Type u_5
Monoid α
Monoid β
a : α
b : β
⊢ orderOf (a, b) = (orderOf a).lcm (orderOf b)
A : Type u_4
B : Type u_5
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
pb : PowerBasis A B
b : B
⊢ ∃ a, pb.gen ∣ b - (algebraMap A B) a
R : Type x
CommRing R
NoZeroDivisors R
a b : Rˣ
⊢ a ^ 2 = b ^ 2 ↔ a = b ∨ a = -b
s : Multiset ℤ
n : ℤ
⊢ s.sum % n = (Multiset.map (fun x => x % n) s).sum % n
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U = ⨆ i, ↑↑i
h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U
⊢ ∃ n, f ^ n * x = 0
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ (↑(Finset.powersetCard n ∅)).Subsingleton
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
RingHomIsometric σ₂₁
RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ Subsingleton E ∨ 0 < ‖↑e.symm‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h : c ≠ 0
⊢ u ~[l] const α c ↔ Tendsto u l (𝓝 c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
X Y : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y
h : CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
⊢ CategoryTheory.Mono c.inr
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd) =
  CategoryTheory.Limits.prod.snd
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
s : Set X
hs : IsOpen s
hx : x ∈ s
hy : y ∉ s
⊢ ¬(x ~ᵢ y)
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
⊢ MeasureTheory.AEDisjoint μ t s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
s t : Set ι
f g : ι → α
h : s.PairwiseDisjoint f
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
⊢ ¬Disjoint (f i) (f j) → i = j
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Prop
inst✝ : LocalRing R
h_pos : ∀ (p : ℕ), IsPrimePow p → CharP R p → P
h_equal : Algebra ℚ R → P
h_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P
p : ℕ
p_pos : p ≠ 0
p_char : CharP R p
⊢ P
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
f : G →* H
s : Set G
a : H
⊢ a ∈ Subgroup.map f (stabilizer G s) → a ∈ stabilizer H (⇑f '' s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A B : C
e : A ≅ B
⊢ (CategoryTheory.MonoOver.mapIso e).unitIso =
  ((CategoryTheory.MonoOver.mapComp e.hom e.inv).symm ≪≫
      CategoryTheory.eqToIso ⋯ ≪≫ CategoryTheory.MonoOver.mapId A).symm
K : Type u_2
DivisionRing K
q : ℚ≥0
⊢ ↑↑q = ↑q
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
ω' : List B
hw : cs.wordProd (i :: ω') ≠ 1
h : (i :: ω').length = cs.length (cs.wordProd (i :: ω'))
h₁ : i :: ω' ≠ []
⊢ ∃ i_1, cs.IsLeftDescent (cs.wordProd (i :: ω')) i_1
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), f x < x + z
x : ℝ
hx : ∀ y ∈ Icc 0 1, f y - y ≤ f x - x
⊢ τ f ≤ f x - x
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
f : α →C_c β
⊢ ⇑f.toContinuousMap = ⇑f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_6
NormedRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
h : E → R
S : Set E
hf : DifferentiableOn 𝕜 h S
hz : ∀ x ∈ S, IsUnit (h x)
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => Ring.inverse (h x)) S
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
f g : ℕ → E
h : f ~[Filter.atTop] g
⊢ Summable f ↔ Summable g
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n => ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
⊢ IsUnit (1 + -x * y)
S : Type u
Semiring S
R : Type u_1
CommSemiring R
n : ℕ
p : R[X]
Algebra R S
x : S
⊢ Polynomial.eval x ((ascPochhammer S n).comp (Polynomial.map (algebraMap R S) p)) =
  Polynomial.eval (Polynomial.eval₂ (algebraMap R S) x p) (ascPochhammer S n)
m n : ℕ
self : Fin2.IsLT m n
⊢ m < n
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∀ (i : ι'), Continuous ⇑((q i).comp f)
this : TopologicalAddGroup F
i : ι'
⊢ Tendsto (⇑(q i) ∘ ⇑f) (𝓝 0) (𝓝 0)
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
hi : I.IsLocal
x : R
⊢ x ∈ I.jacobson ∨ ∃ y, y * x - 1 ∈ I
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
h : l.HasBasis p s
ht : t ∈ l
⊢ s ↑(h.index t ht) ∈ l
α : Type u_2
β : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
h' : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault
⊢ ∃ c, Filter.Tendsto u f (𝓝 c)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
self : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.f' self.φK = CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.τ₁ h₂.f'
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)
hp' : p ≠ 0
H₁ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
H₂ : (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
⊢ ∃ C ≤ A + B, HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
a✝ b✝ c d m n a b : ℤ
hb : 0 < b
h : a < b
⊢ a.toNat < b.toNat
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
R : Type u_3
CommRing R
Nontrivial R
χ : MulChar R R'
⊢ χ ↑(ringChar R) = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
W : C
g : W ⟶ Y
i : S.Arrow
h : G.obj W ⟶ i.Y
w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f
r : S.Relation := { fst := { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ }, snd := i, r := { Z := { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ }.Y, g₁ := 𝟙 { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ }.Y, g₂ := h, w := ⋯ } }
⊢ s.ι { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ } = s.ι i ≫ R.map h.op
α : Type u
Order.Coframe α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
f : ι → α
g : ι' → α
⊢ (⨅ i, f i) ⊔ ⨅ i, g i = ⨅ i, f i.1 ⊔ g i.2
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass M'
MulOneClass N'
f : M →* M'
g : N →* N'
x : N
⊢ (Monoid.Coprod.map f g) (Monoid.Coprod.inr x) = Monoid.Coprod.inr (g x)
P Q : ℕ → Prop
DecidablePred P
DecidablePred Q
hPQ : ∀ (n : ℕ), P n → Q n
n : ℕ
⊢ Nat.findGreatest P n ≤ Nat.findGreatest Q n
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
f : α →C_c β
⊢ HasCompactSupport ⇑f
α : Type u
PartialOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ a < b ∨ a = b
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
x : AddMonoidAlgebra k G
g g' : G
h : ∃ d, g' = g + d
⊢ (x.modOf g) g' = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : 𝓢(ℝ, F)
M : ℝ
hMp : 0 ≤ M
hM : ∀ (x : ℝ), |x| ^ k * ‖iteratedDeriv n (⇑f) x‖ ≤ M
⊢ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k n) f ≤ M
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
P : Finpartition Finset.univ
u : Finset α
hP : P.IsEquipartition
hu : u ∈ P.parts
⊢ 4 ^ P.parts.card * ↑m ≤ ↑u.card
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
AddMonoid ι
GradedMonoid.GMul A
GradedMonoid.GOne A
n : ℕ
a : GradedMonoid A
⊢ GradedMonoid.mk (n.succ • a.fst) (GradedMonoid.GMonoid.gnpowRec n.succ a.snd) =
  ⟨n • a.fst, GradedMonoid.GMonoid.gnpowRec n a.snd⟩ * a
G : Type u_1
Group G
S T : Set G
⊢ S ∈ Subgroup.leftTransversals T ↔ ∀ (g : G), ∃! s, (↑s)⁻¹ * g ∈ T
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M : Mon_ C
⊢ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ M.one)) ≫ (λ_ M.X).hom = M.one
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
p : β → Prop
s : β → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
t : Set (α × α)
⊢ t ∈ 𝓤 α ↔ ∃ i, p i ∧ ∀ (a b : α), (a, b) ∈ s i → (a, b) ∈ t
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})
h : J = ⊤
hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * Submodule.span R {v}
this : 1 ∈ ↑↑I * Submodule.span R {v}
w : A
hw : w ∈ ↑↑I
hvw : w * v = 1
⊢ ↑I⁻¹ * spanSingleton S w ≤ 1
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
⊢ ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
R : Type u
Semiring R
P : R[X] → Prop
⊢ (∀ (p : R[X]), P p) ↔ ∀ (q : R[ℕ]), P { toFinsupp := q }
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : a ≤ 0
hbc : b ≤ c
⊢ a + b ≤ c
x✝ y✝ z✝ w x y z : ℝ
ι : Type u_1
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
f : ι → ℝ
h : ∀ x ∈ ∅, 0 ≤ f x
⊢ a ^ ∑ x ∈ ∅, f x = ∏ x ∈ ∅, a ^ f x
α : Type u_1
DecidableEq α
l l₁ l₂ : List α
h₁ : l ⊆ l₁
h₂ : l ⊆ l₂
⊢ l ⊆ l₁ ∩ l₂
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Finset.Icc ↑a ↑b = Finset.map Function.Embedding.some (Finset.Icc a b)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : Filter β
p : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (a : α) in Filter.comap f l, p a) ↔ ∃ᶠ (b : β) in l, ∃ a, f a = b ∧ p a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
⊢ ∑ i : I, (⇑f ∘ e) i = 1
α : Type u
Monoid α
a : α
b : ConjClasses α
⊢ a ∈ b.carrier ↔ ConjClasses.mk a = b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
LinearOrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : AntivaryOn f g₁ s
h₂ : MonovaryOn f g₂ s
⊢ AntivaryOn f (g₁ - g₂) s
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
NormedSpace ℝ X
x : X
⊢ ConformalAt id x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i j : ℕ
h : i ≠ j
a : α
hj : j < (l.set i a).length
⊢ (l.set i a)[j] = l[j]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ ⇑({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map (f✝ ≫ g✝)) ∘ FreeAlgebra.ι R = ⇑({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map f✝ ≫ { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map g✝) ∘ FreeAlgebra.ι R
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x) ↔ s.indicator f =ᶠ[ae μ] s.indicator g
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ ∀ (X_1 X_2 : C),
  (((CategoryTheory.MonoidalCategory.curriedAssociatorNatIso C).inv.app X).app X_1).app X_2 =
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X X_1 X_2).inv
⊢ Real.cos (Real.pi / 6) ^ 2 = 3 / 4
H : Type u
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℂ H
CompleteSpace H
S : VonNeumannAlgebra H
x : H →L[ℂ] H
⊢ x ∈ S.toStarSubalgebra ↔ x ∈ ↑S
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
r : R
x : A
⊢ ↑({ toFun := fun x => ⟨⅟2 • (x + star x), ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x)) = ↑((RingHom.id R) r • { toFun := fun x => ⟨⅟2 • (x + star x), ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun x)
K : Type u
Field K
L : Type u
Field L
f : K →+* L
a : L
x : RatFunc K
h : Polynomial.eval₂ f a x.denom = 0
⊢ RatFunc.eval f a x = 0
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
⊢ 0 < (haarContent K₀).outerMeasure ↑K₀
G : Type u_8
α : Type u_9
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → MeasureTheory.AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ
⊢ Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on fun g => g • s)
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝² : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, μ t = 0
⊢ μ s = 0
α : Type u_1
l : Ordnode α
x₁ x₂ : α
r₁ r₂ : Ordnode α
H : Raised r₁.size r₂.size
⊢ Raised (l.size + r₁.size + 1) (l.size + r₂.size + 1)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
CompleteLattice α
f : ι → ι' → α
⊢ ⨆ i, ⨆ j, f i j = ⨆ j, ⨆ i, f i j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
⊢ T.IsSymmetric ↔ sesqFormOfInner.IsSelfAdjoint T
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
p : K[X]
h : p ≠ 0
⊢ (p * C p.leadingCoeff⁻¹).Monic
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
S : Set (Set α)
hc : S.Countable
hμ : ∀ s ∈ S, μ s < ⊤
hU : ⋃₀ S = univ
⊢ SigmaFinite μ
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
p : 𝕜[X]
a : A
⊢ p ∈ annIdeal 𝕜 a ↔ ∃ s, p = s • annIdealGenerator 𝕜 a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Inv γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
⊢ Function.extend f g⁻¹ e⁻¹ = (Function.extend f g e)⁻¹
R : Type u_1
Ring R
R₂ : Type u_2
Ring R₂
M : Type u_4
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
f : M →SL[σ₁₂] M₂
x y : M
⊢ f (x - y) = f x - f y
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
m : Multiset L
⊢ (∀ a ∈ m, a ∈ S) → m.prod ∈ S
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a✝ b✝ a b : α
l₁ l₂ : List α
⊢ Chain R a (l₁ ++ b :: l₂) ↔ Chain R a (l₁ ++ [b]) ∧ Chain R b l₂
n : ℕ
i : Fin n.succ
h : i ≠ Fin.last n
⊢ ↑((finRotate (n + 1)) i) = ↑i + 1
I : Type u_4
AddMonoid I
c : ComplexShape I
c.TensorSigns
⊢ c.ε 0 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ f '' s = ⋃ i ∈ s, {f i}
α β : Type
n : ℕ
f : Vector3 ℕ n → ℕ
df : DiophFn f
g : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) n
dg : VectorAllP DiophFn g
⊢ VectorAllP DiophFn ((fun v => v none) :: fun i v => g i (v ∘ some))
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
S : AddSubmonoid M
a : α
⊢ AddAction.orbit (↥S) a ⊆ AddAction.orbit M a
α : Type u_1
⊢ toBoolAlg.symm = ofBoolAlg
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ index ((fun h => g * h) '' K) V = index K V
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
hI : (M ↾ R).Indep I
⊢ M.Indep I
x y : ℝ*
hip : x.InfinitePos
hnin : ¬y.InfiniteNeg
r : ℝ
⊢ ↑r < x + y
α : Sort u
φ : α → Sort v
a a' : α
h : a = a'
p : φ a
⊢ HEq (Eq.recOn h p) p
p : Prop
⊢ ∀ {x : Decidable p} (q r : Prop), (¬if p then q else r) = if p then ¬q else ¬r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ min p.radius q.radius ≤ (p + q).radius
I : Type u
f : I → Type v
DecidableEq I
(i : I) → Group (f i)
i : I
x y : f i
⊢ Pi.mulSingle i (x / y) = Pi.mulSingle i x / Pi.mulSingle i y
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
R : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid Y
Module R Y
ContinuousAdd Y
ContinuousConstSMul R Y
f : LocallyConstant X Y
⊢ (LocallyConstant.toContinuousMapLinearMap R) f = ↑f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Arrow C} (F : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.CosimplicialObject.cechConerve.map F = CategoryTheory.Arrow.mapCechConerve F
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s₁ s₂ : Simplex ℝ P n
h : Set.range s₁.points = Set.range s₂.points
⊢ s₁.mongePoint = s₂.mongePoint
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ (f.inv ⊗ g) ≫ (f.hom ⊗ h) = (𝟙 W ⊗ g) ≫ (𝟙 W ⊗ h)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
R : Type u_2
SMul R ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
c : R
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ (c • m).trim = c • m.trim
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
⊢ Function.Injective Matrix.transpose
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
ha : 0 < a
⊢ a * b < 0
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ (convexHull 𝕜) ((convexHull 𝕜) s ∪ (convexHull 𝕜) t) = convexJoin 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) ((convexHull 𝕜) t)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
a : Multiset α
l : List (Multiset α)
⊢ a.Disjoint l.sum ↔ ∀ b ∈ l, a.Disjoint b
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y
x : ↑X.toTopCat
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap e.inv (e.hom.val.base x) ≫
    AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap e.hom x =
  X.presheaf.stalkSpecializes ⋯
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIcoDiv hp (a - c) b = toIcoDiv hp a (b + c)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
v : ι → E
hon : Orthonormal 𝕜 v
hsp : (Submodule.span 𝕜 (Set.range v))ᗮ = ⊥
⊢ ⇑(OrthonormalBasis.mkOfOrthogonalEqBot hon hsp) = v
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
⊢ IsUnit z ↔ ‖z‖ = 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
n : ℕ
⊢ ↑n ≤ f a ↔ ↑n ≤ a
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace X'
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Y'
eX : PartialHomeomorph X X'
eY : PartialHomeomorph Y Y'
⊢ ↑(eX.prod eY) = fun p => (↑eX p.1, ↑eY p.2)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
x y : α
⊢ MeasureTheory.Measure.dirac x = MeasureTheory.Measure.dirac y ↔ ∀ (A : Set α), MeasurableSet A → (x ∈ A ↔ y ∈ A)
R : Type v
CommRing R
n : ℕ
p : Fin n → Polynomial R
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree ≤ ↑i
⊢ (Matrix.of fun i j => (p j).coeff ↑i).BlockTriangular id
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
TopologicalSpace β
a b : α
f : α → β
h : a < b
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Icc a b) b ↔ ContinuousWithinAt f (Set.Iic b) b
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
a : P
ha : a ∈ ↑↑I
⊢ (DistribMulAction.toLinearMap R P (S.subtype ⟨Exists.choose ⋯, ⋯⟩)) a ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R P)