ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
S : Type u_1
AddMonoidWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
X Y : CategoryTheory.DifferentialObject S C
self : X.Hom Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp X.d ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map self.f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.f Y.d
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : α → F α
x : α
⊢ (corecF g x).dest = (P F).map (corecF g) (repr (g x))
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasLimit (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
CategoryTheory.Limits.HasLimit
    (CategoryTheory.Limits.parallelPair (CategoryTheory.Limits.prod.fst ≫ f) (CategoryTheory.Limits.prod.snd ≫ g))
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f g)
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
g : β → α
h : Isometry f
hg : Function.RightInverse g f
⊢ Isometry g
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
p₁ : Submodule R M
p₂ : Submodule R M₂
⊢ p₁.prod p₂ = ⊤ ↔ p₁ = ⊤ ∧ p₂ = ⊤
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
m₃ : M₃
⊢ ∀ (x_1 : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)), g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) x_1) = m₃ → ∃ k, (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) m₃ = 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ o.oangle x (x - y) = o.oangle (y - x) y
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
C : ℝ≥0
f : E → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
⊢ ∀ᵐ (p : E) ∂μ, LineDifferentiableAt ℝ f p v
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
l : List α
⊢ (l.any fun a => decide (p a)) = true ↔ ∃ a, a ∈ l ∧ p a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
c : 𝕜
⊢ StarConvex 𝕜 (z + c • x) ((fun x => z + c • x) '' s)
y : ℝ
⊢ ((if 0 < y then 0 else if y = 0 then 1 else ⊤) * if 0 < y then 0 else if y = 0 then 1 else ⊤) = if 0 < y then 0 else if y = 0 then 1 else ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Precoherent C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ S ∈ (CategoryTheory.coherentTopology C).sieves X ↔
  ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y π, CategoryTheory.EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
α : Type u_2
Group α
MulDistribMulAction α G
g : α
P : Sylow p G
⊢ ↑(g • P) = g • ↑P
E : Type u_6
F : Type u_7
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
f : E → F
x : E
y : F
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 y) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (x' : E), ‖x' / x‖ < δ → ‖f x' / y‖ < ε
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
⊢ (∀ ⦃d : σ →₀ ℕ⦄, coeff d p ≠ 0 → (weight w) d = 0) ↔ ∀ m ∈ p.support, ∀ (x : σ), m x = 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
s : Set α
h : s.Countable
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
d : α
hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'
hd : Prime d
hdp : d ∣ p
q : α
q_mem : q ∈ s.val
q_mem' : q ^ i q ∈ Multiset.map (fun p' => p' ^ i p') s.val
hdq : d ∣ q
this : p ∣ q
⊢ p ∈ s
α : Sort u_1
n : Nat
f : α → Fin n → α
x : α
⊢ Fin.foldl.loop n f x n = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap (φ + φ') =
  CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ + CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ'
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≃r s
o : Ordinal.{u}
⊢ ∀ (hr : o < type r) (hs : o < type s), f (enum r o hr) = enum s o hs
α : Type u_1
n : Type u_4
Semiring α
StarRing α
DecidableEq n
⊢ Matrix.IsHermitian 1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ
hR : IsJacobson R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsPrime
R' : Subring (R[X] ⧸ I) := ((Quotient.mk I).comp C).range
i : R →+* ↥R' := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
⊢ I.jacobson = I
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
a : S
⊢ (D.liftKaehlerDifferential.compDer (KaehlerDifferential.D R S)) a = D a
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f : M →ₛₗ[σ] M₃
f' : M → M₃
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)) = 0
⊢ (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α) ∈ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) F
F.PreservesZeroMorphisms
⊢ F.Additive
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
I : S.Arrow
e : (J.pullback I.f).obj (unop (op S)) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
i : ((unop (op ((J.pullback I.f).obj (unop (op S))))).index P).L
⊢ (P.map (Cover.Arrow.map i e).f.op) (↑x I) = ↑x (Cover.Arrow.base i)
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
Ring A
Ring B
Ring C
f : A →+* B
f_inv : B → A
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : { g // RingHom.ker f ≤ RingHom.ker g }
x : A
⊢ ((f.liftOfRightInverse f_inv hf) g) (f x) = ↑g x
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
I : C(X, ℝ) →ₗ[ℝ] C(X, 𝕜) := ContinuousLinearMap.compLeftContinuous ℝ X ofRealCLM
key : LinearMap.range I ≤ (Submodule.restrictScalars ℝ (Subalgebra.toSubmodule A.toSubalgebra)).topologicalClosure
⊢ ∀ (x : C(X, 𝕜)), x ∈ A.topologicalClosure
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E
x✝ : ℝ
⊢ circleTransformDeriv R z w f x✝ = (circleMap z R x✝ - w)⁻¹ • circleTransform R z w f x✝
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
c : α → Bool
f g : α →. σ
hc : Computable c
hf : Partrec f
hg : Partrec g
⊢ Partrec fun a => bif c a then f a else g a
b : ℕ
h : 2 ≤ b
⊢ b.digitsAux h 0 = []
α : Type u_1
LT α
⊢ DenselyOrdered α ↔ ∀ (a b : α), ¬a ⋖ b
a : ℝ≥0∞
⊢ 0 < a → ∀ (n : ℕ), 0 < a ^ n
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x✝ : G
hx : x✝ ∈ ⨆ i, S i
x y : G
⊢ (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) x → (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) y → (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) (x * y)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.degree = Q.degree
⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 (P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
X : SheafOfModules R
⊢ (𝟙 X).val = 𝟙 X.val
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a : α
IsPredArchimedean α
NoMaxOrder α
⊢ ¬Order.IsPredLimit a
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CharP R p
x : WittVector p R
⊢ (x * ↑p).coeff 0 = 0
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : M
⊢ (contractRight ((ι Q) x)) d = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) (d x)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : a⁻¹ * b = 1
⊢ a = b
α✝ : Sort u_1
cmp : α✝ → α✝ → Ordering
x y : α✝
inst✝ : OrientedCmp cmp
⊢ cmp y x = Ordering.gt.swap ↔ cmp y x = Ordering.lt
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, log u ∈ Set.Icc (c₁ * log x) (c₂ * log x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Finset α
f : α → E
hf : Integrable f (μ.restrict ↑s)
⊢ ∫ (x : α) in ↑s, f x ∂μ = ∑ x ∈ s, (μ {x}).toReal • f x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
ha : a ∈ s
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, s ∈ 𝓝[>] x
x : α
hxs : x ∈ s
hxab : x ∈ Ico a b
y : α
hyxb : y ∈ Ioi x
this : s ∩ Ioc x y ∈ 𝓝[>] x
⊢ (s ∩ Ioc x y).Nonempty
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.Measure.toSignedMeasure 0 = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
⊢ map (map l.get) (finRange l.length).sublists ~ map (map l.get) (finRange l.length).sublists'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : r ≼i s
a a' : α
h : s (f a') (f a)
⊢ ∃ a'_1, f a'_1 = f a' ∧ r a'_1 a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a < b
⊢ EMetric.diam (Ioo a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
Semiring S
AddCommMonoid M₃
Module S M₃
Module R M₃
SMulCommClass R S M₃
Subsingleton ι
i : ι
⊢ ∀ (a : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃),
  (MultilinearMap.ofSubsingletonₗ R S M₂ M₃ i).symm a = (MultilinearMap.ofSubsingleton R M₂ M₃ i).symm a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
p : ℝ
hf : DifferentiableOn ℝ f s
h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun x => f x ^ p) s
α β : Type u
n : ℕ
f : Function.FromTypes (fun a => α) β
⊢ ∀ (a : Fin n → α), (Function.OfArity.curryEquiv n).symm f a = f.uncurry a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (c : β) ∂ν a, Monotone (f (a, c))
R : Type uR
S : Type uS
A✝ : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Semiring A✝
inst✝⁹ : Algebra R A✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
b✝ : Basis ι R M
inst✝⁶ : Fintype ι
ι' : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ι'
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R N
ij : ι × ι'
k : ι'
⊢ 1 ⊗ₜ[R] ((b'.linearMap b) ij) (b' k) = (((basis A b').linearMap (basis A b)) ij) ((basis A b') k)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.braiding Y).hom (Y.braiding X).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.tensorObj Y)
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b : α
⊢ -(a + b) = -a + -b
α : Type u
β : Type v
OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hf : IsMaxFilter f l a
hg : IsMinFilter g l a
⊢ IsMaxFilter (fun x => f x - g x) l a
ι : Type u_1
F : Filter ι
f : ι → ℝ
h : Bornology.IsBounded (range f)
c : ℝ
hc : c ∈ lowerBounds (range f)
⊢ IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (map f F)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
P : α → Prop
a : α
h0 : P 0
h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → P x → P y → P (x * y)
this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α
P_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y
ha0 : ¬a = 0
this✝ : Nontrivial α
this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid
⊢ P a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hD : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
⊢ ‖f z‖ ≤ sSupNormIm f z.re
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ (Down.compression a 𝒜).card = 𝒜.card
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f : α → β
x : α
n : ℕ
hn : n ≥ ⌈↑‖f x‖₊⌉₊ + 1
⊢ ↑⌈↑‖f x‖₊⌉₊ < ↑n
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
⊢ List.take n l ++ List.drop n l = l
⊢ 2 * (2 * ↑π)⁻¹ * 1 = 1 / ↑π
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
h0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ 0 ≤ cfcₙ f a ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ f x
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝¹ : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this✝ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime p) Sₚ
pid : IsPrincipalIdealRing (Localization.AtPrime p)
p' : Ideal (Localization.AtPrime p)
hpu : ∀ (y : Ideal (Localization.AtPrime p)), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = p'
hp'0 : p' ≠ ⊥
hp'p : p'.IsPrime
this : LocalRing.maximalIdeal (Localization.AtPrime p) ≠ ⊥
⊢ (LocalRing.maximalIdeal (Localization.AtPrime p)).IsPrime
G : Type u_2
Group G
P H : Subgroup G
hP : P ≤ H
h : ↥H
⊢ MulAut.conj ↑h • P ≤ H
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.17758, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
z : IsZero h.left.H
⊢ S.op.Exact
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
v w : V
⊢ s(v, w) ∈ G.incidenceSet v ↔ w ∈ G.neighborSet v
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑S
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.stalkIso (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap f) p).asIdeal p.asIdeal f ⋯)
      (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.stalkIso (↑S) p).inv) =
  AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap (AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceMap f) p
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
AddMonoid ιA
VAdd ιA ιB
(i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
(i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
DecidableEq ιA
DecidableEq ιB
GradedMonoid.GMonoid A
DirectSum.Gmodule A M
x : ⨁ (i : ιA), A i
y : ⨁ (i : ιB), M i
⊢ x • y = ((DirectSum.Gmodule.smulAddMonoidHom A M) x) y
α : Type u_1
β : Type u_2
x : β
⊢ (Equiv.Set.rangeInr α β) ⟨Sum.inr x, ⋯⟩ = x
α : Type u_7
Preorder α
TopologicalSpace α
self : BoundedGENhdsClass α
a : α
⊢ Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (𝓝 a)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α
x✝ : m
⊢ (v ᵥ* 1) x✝ = v x✝
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ (monomial n) a * C b = (monomial n) (a * b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
this : HasSum (fun n => C * r ^ n) (C / (1 - r))
⊢ C / (1 - r) * r ^ n = ∑' (m : ℕ), r ^ n * (C * r ^ m)
ξ : ℝ
u v✝ : ℤ
hv : 2 ≤ v✝
v : ℕ
h : ContfracLegendre.Ass ξ u ↑v
⊢ ∃ n, ↑u / ↑v = ξ.convergent n
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (eqToHom ⋯).app X ≫ (shiftFunctorAdd C 0 a).hom.app X = 𝟙 (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a }).obj X) ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a }).map ((shiftMonoidalFunctor C A).ε.app X)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
s : Set α
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
hp : 1 ≤ p
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (↑↑f) s μ
n m : ℕ+
⊢ n ∣ n.lcm m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
app : (X : C) → F.obj X ≅ G.obj X
naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), F.map f ≫ (app Y).hom = (app X).hom ≫ G.map f := by aesop_cat
X : C
⊢ (CategoryTheory.NatIso.ofComponents app naturality).inv.app X = (app X).inv
R : Type u_1
Semiring R
r : R
⊢ (Polynomial.C r * Polynomial.X).eraseLead = 0
cmp✝ : ?m.2679 → ?m.2679 → Ordering
inst✝¹ : TransCmp cmp✝
x✝ : Sort ?u.2677
cmp : x✝ → x✝ → Ordering
inst✝ : TransCmp cmp
x y z : x✝
h₁ : cmp x y ≠ Ordering.lt
h₂ : cmp y z ≠ Ordering.lt
this : cmp z y ≠ Ordering.gt → cmp y x ≠ Ordering.gt → cmp z x ≠ Ordering.gt
⊢ cmp x z ≠ Ordering.lt
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
this : IsBigOWith ((fun a => ↑a) K) (𝓝 (x, x)) (fun x => f x.1 - f x.2 - f' (x.1 - x.2) + f' (x.1 - x.2)) fun p => p.1 - p.2
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f s
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
S : Type v
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
x✝ : S ⧸ P
x : S
y✝ : S ⧸ P
y : S
Pe_le_Pi1 : P ^ e ≤ P ^ (i + 1)
val✝ : S ⧸ P ^ e
z : S
hz✝ : Quot.mk Setoid.r z ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1))
hz : z ∈ P ^ (i + 1)
h : ↑((powQuotSuccInclusion f p P i) ⟨Quot.mk Setoid.r z, hz✝⟩) = (Quotient.mk (P ^ e)) (a * x) - (Quotient.mk (P ^ e)) (a * y)
⊢ x - y ∈ P
M : Type u_1
inst✝ : Distrib M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M
x✝¹ x✝ : M
⊢ x✝¹ * (a + b) * x✝ = x✝¹ * ((a + b) * x✝)
n : Nat
motive : Fin (n + 1) → Sort u_1
zero : motive 0
succ : (i : Fin n) → motive i.succ
⊢ Fin.cases zero succ 0 = zero
α : Type u_1
f g h✝ h : Perm α
x✝ : α
⊢ (h * f * h⁻¹) x✝ = x✝ ∨ (h * g * h⁻¹) x✝ = x✝ ↔ f (h⁻¹ x✝) = h⁻¹ x✝ ∨ g (h⁻¹ x✝) = h⁻¹ x✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ ∀ (X_1 : (TopologicalSpace.Opens ↑↑(Y.restrict ⋯))ᵒᵖ),
  (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.isoRestrict f).hom.c.app X_1 =
    f.c.app (Opposite.op ((AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor f).obj (Opposite.unop X_1))) ≫
      X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
⊢ Set.range (derivFamily f) = ⋂ i, fixedPoints (f i)
α : Type u_1
c : Set (Set α)
H : ∀ (a : α), ∃! b, b ∈ c ∧ a ∈ b
x x✝ : α
⊢ (mkClasses c H).Rel x x✝ ↔ (mkClasses c H).Rel x✝ x
θ : Angle
⊢ (2 • θ).toReal = 2 * θ.toReal - 2 * π ↔ π / 2 < θ.toReal
x y : ℝ*
hx : ¬x.Infinite
hy : ¬y.Infinite
⊢ ¬(x + y).Infinite
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
h : FreeAddGroup.Red L₁ L₂
⊢ FreeAddGroup.Red (FreeAddGroup.negRev L₁) (FreeAddGroup.negRev L₂)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s₁ s₂ : Finset α
t : Finset β
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ +ᵥ t ⊆ s₂ +ᵥ t
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : Submodule R M
S : Set (Submodule R M) := {T | ∃ m ∈ p, m ≠ 0 ∧ T = span R {m}}
⊢ p ≤ sSup {T | ∃ m ∈ p, m ≠ 0 ∧ T = span R {m}}
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ Wbtw R x x y
α : Type u_1
β : Type u_2
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
hf : f₁ ≤ f₂
hg : g₁ ≤ g₂
⊢ f₁.coprod g₁ ≤ f₂.coprod g₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
U : CategoryTheory.Functor A B
V : B
F : CategoryTheory.Functor C A
G : CategoryTheory.Functor D B
α : F.comp U ⟶ S.comp G
β : G.obj T ⟶ V
X Y : CategoryTheory.Comma S (CategoryTheory.Functor.fromPUnit T)
φ : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.CostructuredArrow.map₂ α β).map φ).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
h_deg_le : f.degree ≤ ↑s.card
h_deg_eq : f.degree = g.degree
hlc : f.leadingCoeff = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ x ∈ s, Polynomial.eval x f = Polynomial.eval x g
⊢ f = g