ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type (max (max (max uE u𝕜) uι) (max uE uι) u𝕜) := (⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)
G' : Submodule 𝕜 F := LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)
e : ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) ≃ₗ[𝕜] ↥(LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)) := (lift f.toMultilinearMap).quotKerEquivRange
this✝ : SeminormedAddCommGroup G := SeminormedAddCommGroup.induced G (↥G') e
this : NormedSpace 𝕜 G := NormedSpace.induced 𝕜 G (↥G') e
f'₀ : MultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := lift.symm (↑e.symm ∘ₗ (lift f.toMultilinearMap).rangeRestrict)
hf'₀ : ∀ (x : (i : ι) → E i), ‖f'₀ x‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖
f' : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := f'₀.mkContinuous ‖f‖ hf'₀
⊢ ‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ ‖f‖ * injectiveSeminorm x
α : Type u
f₁ f₂ : Filter α
h : f₁ ≤ f₂
p : α → Prop
hp : ∀ᶠ (x : α) in f₂, p x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in f₁, p x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
ha : (-1) ^ ((Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2).sum + Multiset.card (Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2)) = 1
h1 : g ≠ 1
h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
h✝ : Multiset.card g.cycleType * 2 ≤ card (Fin 5)
h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3
⊢ IsConj (swap 0 4 * swap 1 3) g
a b✝ c d m n : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
⊢ HEq H0 (match b - b with | ofNat n => inductionOn'.pos b H0 Hs n | -[n+1] => inductionOn'.neg b H0 Hp n)
M : Type u_2
MeasurableSpace M
Add M
self : MeasurableAdd M
c : M
⊢ Measurable fun x => c + x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : One β
f : α → β
s : Set α
hs : ∀ a ∈ frontier s, f a = 1
hf : ContinuousOn f (closure s)
⊢ Continuous (s.mulIndicator f)
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
r : R
k : ℕ
⊢ (Polynomial.monomial n) r ^ k = (Polynomial.monomial (n * k)) (r ^ k)
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
hm : p.Monic
hpu : IsUnit p
a✝ : Nontrivial R
q : R[X]
h : p * q = 1
this : (p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree
⊢ p = 1
x y z : SetTheory.PGame
⊢ x + y + z ≈ x + (y + z)
α : Type u
β' : Type v
Infinite α
leq : Cardinal.lift.{v, u} #α = Cardinal.lift.{u, v} #β'
⊢ #(α ≃ β') = 2 ^ Cardinal.lift.{v, u} #α
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
h1 : 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) * 1 < n + 1
h2 : n + 1 ≤ 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) * 2
⊢ False
α : Type u
s : Set α
p : α → Prop
⊢ {x | x ∈ s ∧ p x} = ∅ ↔ ∀ x ∈ s, ¬p x
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ minimalPeriod (fun x_1 => x ^ n * x_1) 1 = minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1 / (minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1).gcd n
R : Type u
inst₁ inst₂ : Distrib R
⊢ inst₁ = inst₂ ↔ HAdd.hAdd = HAdd.hAdd ∧ HMul.hMul = HMul.hMul
α : Type u_2
CompleteLinearOrder α
s : Set α
hlim : ¬Order.IsSuccLimit (sSup s)
⊢ sSup s ∈ s
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
r : K[X]
hr : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) q * r
d' : R[X]
hr' : Polynomial.map (algebraMap R K) d' * C r.leadingCoeff = r
⊢ r.Monic
ι : Type u_1
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} W₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₂
F : W₁ ⥤ W₂
F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex W₁ c} (f : X ⟶ Y) (i : ι), ((F.mapHomologicalComplex c).map f).f i = F.map (f.f i)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : OpenEmbedding f
Nonempty X
x : X
⊢ ↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph f h).symm (f x) = x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inl ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd = 0
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
w : W
ha : HasFDerivAt (fun w' => (L v) w') (L v) w
w' : W
⊢ 𝐞 (-(L v) w) • -(2 * ↑π * I) • (L v) w' • f v = ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))).comp (-L v)) w' • f v
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun i => (thickening i E).mulIndicator f x) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))
X : Type u_1
Y : Type u_2
F : Type u_3
PseudoMetricSpace X
PseudoMetricSpace Y
EquivLike F X Y
DilationEquivClass F X Y
e : F
⊢ Filter.map (⇑e) (Bornology.cobounded X) = Bornology.cobounded Y
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : Weight K (↥H) L
⊢ span K {(cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)} ≤ ↑(corootSpace ⇑α)
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(I * J) = PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I ∪ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑J
m : Type u → Type u_1
n : Type u → Type u_2
σ α : Type u
Monad m
MonadFunctor n m
f : {β : Type u} → n β → n β
x : StateT σ m α
s : σ
⊢ (monadMap f x).run s = monadMap f (x.run s)
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
S : MeasurableSpace G
BorelSpace G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ μ.measure s = μ.outerMeasure s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
ι : Type u_5
inst✝ : Fintype ι
g : G →L[𝕜] E
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x => E) F
⊢ ‖f.compContinuousLinearMap fun x => g‖ ≤ ‖g‖ ^ Fintype.card ι * ‖f‖
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x - -y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ multiplicity (↑p) (x ^ n + y ^ n) = multiplicity (↑p) (x + y) + multiplicity p n
α : Type u_1
r p : α → α → Prop
s : Set α
H : r ≤ p
hr : s.Pairwise r
⊢ s.Pairwise p
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H I : OplaxFunctor B C
η θ : F ⟶ G
Γ : η ⟶ θ
ι : G ⟶ H
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ F.map f ◁ Γ.app b ▷ ι.app b ≫ (α_ (F.map f) (θ.app b) (ι.app b)).inv ≫ θ.naturality f ▷ ι.app b ≫ (α_ (θ.app a) (G.map f) (ι.app b)).hom ≫ θ.app a ◁ ι.naturality f ≫ (α_ (θ.app a) (ι.app a) (H.map f)).inv = ((α_ (F.map f) (η.app b) (ι.app b)).inv ≫ η.naturality f ▷ ι.app b ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (ι.app b)).hom ≫ η.app a ◁ ι.naturality f ≫ (α_ (η.app a) (ι.app a) (H.map f)).inv) ≫ Γ.app a ▷ ι.app a ▷ H.map f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
k m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hkmn : m * k ≤ n
s t : Multiset (Fin (n + 1))
hsA : ∀ ⦃x : Fin (n + 1)⦄, x ∈ s → x ∈ Iic ↑k
htA : ∀ ⦃x : Fin (n + 1)⦄, x ∈ t → x ∈ Iic ↑k
hs : card s = m
ht : card t = m
this : ∀ (u : Multiset (Fin (n + 1))), (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val u).sum = u.sum
⊢ (map val s).sum = (map val t).sum ↔ (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val s).sum = (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val t).sum
a b : ℝ
h : a ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => a ^ x) b
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)
h : m.Nonempty
t : Set α
⊢ ⨆ (_ : t.Nonempty), sInfGen m t = ⨅ μ ∈ m, μ t
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
a b : α
(𝓝[>] b).NeBot
⊢ Set.Iic a ∈ 𝓝ˢ (Set.Iic b) ↔ b < a
n : ℕ
⊢ ↑n.succPNat = n.succ
x : ℝ
⊢ Real.cosh x ≤ Real.exp (x ^ 2 / 2)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
⊢ Z.toFiberBundleCore.coordChange = fun i j b => ⇑(Z.coordChange i j b)
z : ℂ
⊢ z⁻¹.im = -z.im / normSq z
α : Sort u
β : Sort v
f : α → β
h : Function.Surjective f
⊢ Function.Injective (Function.surjInv h)
α : Type u_2
s : Set α
⊢ (∃ᶠ (x : α) in Filter.cofinite, x ∈ s) ↔ s.Infinite
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
ha : a ≤ 0
⊢ ↑⌊a⌋ ≤ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
⊢ p.radius = liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x = ⊥
⊢ leftLim f x ≤ f y
θ : ℝ
⊢ Real.cos θ = 0 ↔ ∃ k, θ = (2 * ↑k + 1) * Real.pi / 2
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i : Fin n
y : α i.castSucc
z : α (last n)
⊢ p (i.castSucc.castLT ⋯) = p i
X : Type u_1
EDist X
a b : Xᵒᵈ
⊢ edist (OrderDual.ofDual a) (OrderDual.ofDual b) = edist a b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddZeroClass α
h : Function.Periodic f c
⊢ f c = f 0
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ f x ≤ f 0 + ↑⌈x⌉
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c p₁ p₂ : P
⊢ c ∈ AffineSubspace.perpBisector p₁ p₂ ↔ ⟪(Equiv.pointReflection c) p₁ -ᵥ p₂, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
α : Type u
p : Set α
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x ∈ p
⊢ p.Finite
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε
R : Type u_1
n k : ℕ
h : k > n
⊢ ∑ m ∈ Icc k n, m.choose k = (n + 1).choose (k + 1)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
n : ℕ
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) ((s.drop n).destruct >>= tail.aux) ((t.drop n).destruct >>= tail.aux)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
m : ∀ {α : Type ?u.194755} {β : Type ?u.194754} {m : MeasurableSpace α} {mβ : MeasurableSpace β} {x : α}, Measurable (Prod.mk x)
⊢ ∀ ⦃f : ℕ → α × β → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), (fun f => ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ) (f n)) → (fun f => ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ) fun x => ⨆ n, f n x
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a₁ a₂ b : α
⊢ toIocMod hp a₁ (toIcoMod hp a₂ b) = toIocMod hp a₁ b
α : Type u_1
σ τ : Equiv.Perm α
hστ : σ.Disjoint τ
m n : ℤ
⊢ (σ ^ m).Disjoint (τ ^ n)
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
hac : a ⩿ c
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
⊢ a ⩿ b
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.length (cs.simple i * w⁻¹)⁻¹ < cs.length w⁻¹ ↔ cs.length (w * cs.simple i) < cs.length w
α : Type u_1
is : List α
⊢ [].permutationsAux is = []
m n✝ k i n : ℕ
⊢ n ≤ n + i
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ ω ≤ c.ord
α β : FinBoolAlg
e : ↑α.toBoolAlg ≃o ↑β.toBoolAlg
a : ↑α.toBoolAlg
⊢ (FinBoolAlg.Iso.mk e).hom.toSupHom a = e a
M : Type u_5
N : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
M' : Type u_8
N' : Type u_9
MulOneClass M'
MulOneClass N'
⊢ ↑(MulEquiv.prodProdProdComm M N M' N') = Equiv.prodProdProdComm M N M' N'
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : CharP R p
⊢ ↑p ≠ 0
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndep m hm s μ
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m (⨆ a, ⨆ n ∈ ns a, s n) (Filter.limsup s f) hm μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
x : X
y : Y
⊢ Filter.map (Prod.map mk mk) (𝓝 (x, y)) = 𝓝 (mk x, mk y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X Y : C
πX : X ⟶ S
πY : Y ⟶ S
φ : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX)) C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πY)) C
hφ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ πY = πX
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.SmallObject.functorObjLeft f πX)
    (CategoryTheory.SmallObject.functorMapTgt f πX πY φ hφ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.SmallObject.functorMapSrc f πX πY φ hφ)
    (CategoryTheory.SmallObject.functorObjLeft f πY)
α : Type u_1
f : α → α
x : α
⊢ Function.periodicOrbit f x = ↑(List.map (fun n => f^[n] x) (List.range (Function.minimalPeriod f x)))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h0 : p ≠ 0
h_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm f p μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae μ] 0
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a ∣ m
bn : b ∣ n
⊢ a = m.gcd (b * a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (i : ι), IsClosed (Subtype.val ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ a b c : α
l : List α
ih : (permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)
⊢ (permutations'Aux a (c :: l)).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b (c :: l)).bind (permutations'Aux a)
R : Type u_1
Semiring R
a : R
⊢ (PowerSeries.monomial R 0) a = (PowerSeries.C R) a
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : 0 < a
hb : ¬b = 0
⊢ a ^ ω ≤ b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
⊢ affineSpan k s = ⊥ ↔ s = ∅
α : Fin 0 → Sort u_1
P : ((i : Fin 0) → α i) → Prop
⊢ (∃ x, P x) ↔ P finZeroElim
α : Type u
Preorder α
s : Set αᵒᵈ
⊢ BddAbove (⇑OrderDual.toDual ⁻¹' s) ↔ BddBelow s
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : 0 < x + 1
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0
hx' : x < 0
⊢ 0 < ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), x ^ i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
x : E
h : AnalyticAt 𝕜 f x
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, AnalyticAt 𝕜 f y
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
hc : Convex ℝ s
h₀ : s ∈ 𝓝 0
⊢ UniformContinuous (gauge s)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤
h : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
hlt : s1.direction ⊔ s2.direction < (s1 ⊔ s2).direction
⊢ False
X : TopCat
p₀ : ↑X
(U : TopologicalSpace.Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
CategoryTheory.Category.{u, v} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
𝓕 : TopCat.Presheaf C X
c : C
f : 𝓕 ⟶ skyscraperPresheaf p₀ c
⊢ StalkSkyscraperPresheafAdjunctionAuxs.toSkyscraperPresheaf p₀ (StalkSkyscraperPresheafAdjunctionAuxs.fromStalk p₀ f) = f
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
⊢ EssFiniteType R S
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R
⊢ (∃ c, ↑c * (algebraMap R S) x = ↑c * (algebraMap R S) y) → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
f : α → β
⊢ Set.MapsTo f Set.univ t ↔ ∀ (x : α), f x ∈ t
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
P' : C
fst' : P' ⟶ X
snd' : P' ⟶ Y
h : IsPullback fst snd f g
h' : IsPullback fst' snd' f g
⊢ (isoIsPullback X Y h h').inv ≫ fst = fst'
α : Type u
a b : Array α
i j : Nat
h : a.size ≤ i
⊢ (a ++ b).extract i j = b.extract (i - a.size) (j - a.size)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x₁ x₂ : α
y : β
⊢ dist (x₁, y) (x₂, y) = dist x₁ x₂
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {p₁ : (α → α_1) → Prop} {f : m (α → α_1)} {p₂ : α → Prop} {q : α_1 → Prop} [inst : Applicative m]
  [inst_1 : LawfulApplicative m] {x : m α},
  SatisfiesM p₁ f →
    SatisfiesM p₂ x → (∀ {f : α → α_1} {a : α}, p₁ f → p₂ a → q (f a)) → SatisfiesM q (Seq.seq f fun x_1 => x)
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a))) < 2 ^ n * 2
⊢ 1 ≤ ↑b / ↑a
α : Type u_1
Preorder α
lo : WithBot α
t : Ordnode α
hi : WithTop α
self : Ordnode.Valid' lo t hi
⊢ t.Sized
R : Type u_1
n : Type u_12
CommRing R
Fintype n
J J₂ A₁ : Matrix n n R
DecidableEq n
⊢ A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ J.IsAdjointPair J₂ A₁ A₁
S : Type u'
M : Type v
N : Type u_1
α : Type u_2
SetLike S α
SMul M N
SMul M α
Monoid N
MulAction N α
SMulMemClass S N α
IsScalarTower M N α
s : S
r : M
x : α
hx : x ∈ s
⊢ r • ⟨x, hx⟩ = ⟨r • x, ⋯⟩
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
x y : ℤ_[p]
⊢ ↑x = ↑y → x = y
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : CompleteLattice α
c : ClosureOperator α
p✝ p : α → Prop
hsinf : ∀ (s : Set α), (∀ a ∈ s, p a) → p (sInf s)
a : α
⊢ a ≤ (fun a => ⨅ b, ↑b) a
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I J : TwoSidedIdeal R
⊢ (I ⊔ J).ringCon = I.ringCon ⊔ J.ringCon
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
head✝ : Γ
left✝ right✝ : ListBlank Γ
⊢ mk' { head := head✝, left := left✝, right := right✝ }.left { head := head✝, left := left✝, right := right✝ }.right₀ = { head := head✝, left := left✝, right := right✝ }
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
a₁ a₂ a₃ : (i : ι) → A i
ha : SemiconjBy a₁ a₂ a₃
⊢ SemiconjBy ((PiTensorProduct.tprod R) a₁) ((PiTensorProduct.tprod R) a₂) ((PiTensorProduct.tprod R) a₃)
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
∀ (A : C), CategoryTheory.Limits.HasInitial (CategoryTheory.StructuredArrow A G)
A : C
B : D
g : (⊥_ CategoryTheory.StructuredArrow A G).right ⟶ B
⊢ (CategoryTheory.leftAdjointOfStructuredArrowInitialsAux G A B) g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (⊥_ CategoryTheory.StructuredArrow A G).hom (G.map g)
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
⊢ LinearEquiv.ofEq p p ⋯ = LinearEquiv.refl R ↥p
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
I : Ideal R
p : R
z : S
hp : p ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) (conductor R x)
hz' : z ∈ Ideal.map (algebraMap R S) I
⊢ (algebraMap R S) p * z ∈
  ⇑(algebraMap (↥(Algebra.adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(Algebra.adjoin R {x})) I)
G : SetTheory.PGame
self : G.Impartial
⊢ G.ImpartialAux
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
Nonempty β
SemilatticeSup β
NoMaxOrder β
u : β → α
a : α
⊢ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 a) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n > N, dist (u n) a < ε
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ : LieModule.Weight R L M
⊢ LieModule.weightSpace M ⇑χ ≠ ⊥
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
p q r : R[X]
C : Type z
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A ≃ₐ[R] B
g : B ≃ₐ[R] C
x : A[X]
⊢ ((mapAlgEquiv f).trans (mapAlgEquiv g)) x = (mapAlgEquiv (f.trans g)) x
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²² : Semiring R₁
inst✝²¹ : Semiring R₂
inst✝²⁰ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M₄
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
inst✝⁸ : Module R₁ M'₁
inst✝⁷ : Module R₂ M₂
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝⁴ : Module R₁ M₂
inst✝³ : TopologicalSpace R₁
inst✝² : ContinuousSMul R₁ M₂
inst✝¹ : ContinuousSMul R₁ M₁
inst✝ : ContinuousAdd M₁
x y : M₁
⊢ (toSpanSingleton R₁ (x + y)) 1 = (toSpanSingleton R₁ x + toSpanSingleton R₁ y) 1
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hsm : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0
hf : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)
hsm' : MeasurableSet (s⁻¹ ×ˢ s⁻¹)
⊢ (map (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) (μ.prod μ)) (s⁻¹ ×ˢ s⁻¹) = 0
h : Summable ({p | Nat.Prime p}.indicator fun n => 1 / ↑n)
k : ℕ
hk : ∑' (x : ℕ), ({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator (fun n => 1 / ↑n) x < 1 / 2
h' : Summable (({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator fun n => 1 / ↑n)
p : ℕ
hp : p ∈ (4 ^ (k.primesBelow.card + 1)).succ.primesBelow \ k.primesBelow
hp₁ : p ∈ (4 ^ (k.primesBelow.card + 1)).succ.primesBelow.val
hp₂ : p ∉ k.primesBelow
⊢ 1 / ↑p = ({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator (fun n => 1 / ↑n) p
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
hl₂ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R t
⊢ (Finsupp.total ι M R v) l₁ = 0
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
Fintype ι
DecidableEq ι
i : ι
⊢ (fun x => if i = x then 1 else 0) ∈ stdSimplex 𝕜 ι