ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
h_zero : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → fs n a b = 0
hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n
n : ℕ
a : α
b : β
⊢ fs n a b ≤ ↑((fun x x_1 => x + x_1) (↑n) 1)
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
G' : Type u_8
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
f : α → E
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
h : g' =Θ[l] k'
⊢ f =o[l] g' ↔ f =o[l] k'
ι₁ : Type u_3
ι₂ : Type u_4
α : Type u_5
Preorder ι₂
CompleteLattice α
l : Filter ι₁
l.NeBot
f : ι₂ → α
φ : ι₁ → ι₂
hf : Antitone f
hφ : Filter.Tendsto φ l Filter.atBot
⊢ ⨆ i, f i = ⨆ i, f (φ i)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
d0 : ↑d ≠ 0
⊢ ↑{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c } = ↑a / ↑b
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
A : Matrix n n R
hA : A.PosSemidef
m : Type u_5
Fintype m
B : Matrix n m R
⊢ (B.conjTranspose * A * B).PosSemidef
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
x : K
⊢ x ∈ LinearMap.range (↑ℤ (↑↑I).subtype) ↔ x ∈ ↑↑I
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hβ : β.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
h : ⇑β = -1 • ⇑α
⊢ β = -α ∨ β = α
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
X Y : LeftInvariantDerivation I G
f : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
⊢ ⁅X, Y⁆ f = X (Y f) - Y (X f)
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
s t : Set V
sconn : (⊤.induce s).Connected
tconn : (⊤.induce t).Connected
hv : v ∈ s
hw : w ∈ t
ha : G.Adj v w
⊢ (⊤.induce (s ∪ t)).Connected
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
e : Sym2 V
v : V
he : e ∈ G'.edgeSet
hv : v ∈ e
⊢ v ∈ G'.verts
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
s : Set α
t : Set β
f : γ → β → δ
g : α → γ
⊢ Set.image2 f (g '' s) t = Set.image2 (fun a b => f (g a) b) s t
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
z : ℂ
⊢ ↑x ^ (↑y * z) = ↑(x ^ y) ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
x : α
⊢ ↑({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ^ p.toReal) = ↑({x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun a => ‖‖f a‖ ^ p.toReal‖₊) x)
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIciTopology α
Nonempty β
f : β → α
hf : Continuous f
hlim : Filter.Tendsto f (Filter.cocompact β) Filter.atBot
⊢ ∃ x, ∀ (y : β), f y ≤ f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
f✝ f : α → 𝕜
h : Integrable f μ
c : 𝕜
⊢ Integrable (fun x => f x / c) μ
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
y : ModP K v O hv p
hy0 : y ≠ 0
r : O
hxy0 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r * y ≠ 0
hx0 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r ≠ 0
⊢ preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r * y) = preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r) * preVal K v O hv p y
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j
⊢ C.dTo j = (C.xPrevIso r).hom ≫ C.d i j
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
s t : Set α
Φ : α → β
h : Isometry Φ
⊢ Metric.hausdorffDist (Φ '' s) (Φ '' t) = Metric.hausdorffDist s t
α : Type u_1
f : α → α
x : α
⊢ x ∈ Function.fixedPoints f ↔ f x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f✝ f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
n✝ : ℕ
x : β
this : Nonempty ↑s
n : ℕ
⊢ Nat.casesOn (n + 1) y₀ (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s) ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Monotone f
a : α
⊢ Monotone fun x => f x + a
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0
⊢ x ^ z⁻¹ < y ↔ y ^ z < x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
⊢ CategoryTheory.preadditiveYoneda.comp
    ((CategoryTheory.whiskeringRight Cᵒᵖ AddCommGrp (Type v)).obj (CategoryTheory.forget AddCommGrp)) =
  CategoryTheory.yoneda
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
⊢ ↑(p.append p').support = {u} + ↑p.support.tail + ↑p'.support.tail
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
s : Set γ
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ (f.comp g).preimage s ↔ x✝ ∈ g.preimage (f.preimage s)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝¹ m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.degree ≤ 1
n✝ n m : ℕ
⊢ p.coeff m.succ.succ = (C (p.coeff 1) * X + C (p.coeff 0)).coeff m.succ.succ
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
x : (leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 }).V
⊢ (X.ρ x.1⁻¹ * X.ρ x.1) x.2 = x.2
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
G : Type u_2
FunLike G α β
ContinuousMapClass G α β
CompactSpace α
⊢ ZeroAtInftyContinuousMapClass G α β
X : Type u
α : Type u_1
x : X
TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : ∀ a ∉ s, f a = x
⊢ Filter.Tendsto f (l ⊓ 𝓟 s) (𝓝 x) ↔ Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
X I : ι → Set α
hI : ∀ (i : ι), M.Basis (I i) (X i)
h_ind : M.Indep (⋃ i, I i)
⊢ M.Basis (⋃ i, I i) (⋃ i, X i)
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝⁴ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝³ : FiberFunctor F
X Y Z : C
inst✝² : IsConnected X
inst✝¹ : IsGalois Y
inst✝ : IsGalois Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ autMap (f ≫ g) = autMap g ∘ autMap f
l r✝ : List Char
it : Iterator
n : Nat
a : Char
r : List Char
h : ValidFor l (a :: r) it
hn : n + 1 ≤ (a :: r).length
⊢ ValidFor ((List.take (n + 1) (a :: r)).reverse ++ l) (List.drop (n + 1) (a :: r)) (it.next.nextn n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ≅ Y
⊢ f.inv = g.inv ↔ f.hom = g.hom
M : Type u_1
TopologicalSpace M
AddMonoid M
⊢ Continuous fun u => ↑(-u)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N
r : Submodule R P
⊢ Submodule.map₂ f p q ≤ r ↔ ∀ m ∈ p, ∀ n ∈ q, (f m) n ∈ r
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f✝ f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ ((uncurry R M N P) f) (m ⊗ₜ[R] n) = (f m) n
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set X
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
this : (f ⁻¹' u ∩ s).Nonempty → (s ∩ v').Nonempty → (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
X Y : T.Algebra
f g : X ⟶ Y
h : f.f = g.f
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun n y => p.partialSum n (y - x)) f atTop (EMetric.ball x r)
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq0 : q ≠ 0
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)
hqn : ‖q‖ ≠ 0
k : ℝ := ↑(2 * n + 1)!
⊢ k⁻¹ • ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n)) • q = ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / k / ‖q‖) • q
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
f : σ → MvPolynomial τ R
⊢ MvPolynomial.aeval f = MvPolynomial.bind₁ f
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : SpectralMap β γ
g : SpectralMap α β
⊢ ⇑f ∘ ⇑g = ⇑↑f ∘ ⇑↑g
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
⊢ |(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ p₂ - (p₁ -ᵥ p₃))).toReal| < π / 2
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace α✝
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝⁵ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace δ
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
p : α → Prop
inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)
s : Set α
f g : α → β
hp : ∀ a ∈ s ∩ frontier {a | p a}, f a = g a
hf : ContinuousOn f (s ∩ closure {a | p a})
hg : ContinuousOn g (s ∩ closure {a | ¬p a})
⊢ ∀ a ∈ s ∩ frontier {a | p a}, Tendsto f (𝓝[s ∩ {a | p a}] a) (𝓝 (if p a then f a else g a))
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ Nat.card ↥⊤ = Nat.card G
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : α →₀ ℕ
g : α → β
⊢ Multiset.map g (toMultiset f) = toMultiset (mapDomain g f)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
CommRing T
Algebra R T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : PrimeSpectrum.tensorProductTo R S T p₁ = PrimeSpectrum.tensorProductTo R S T p₂
⊢ p₁ ≤ p₂
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable
⊢ f.graph.topologicalClosure = f.closure.graph
J K : Type v
inst✝⁵ : SmallCategory J
inst✝⁴ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝² : HasLimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasLimit G
inst✝ : HasLimit (curry.obj G ⋙ lim)
j : J
k : K
⊢ (limitIsoLimitCurryCompLim G).hom ≫ (limitIsoLimitCurryCompLim G).inv ≫ limit.π G (j, k) = (limitIsoLimitCurryCompLim G).hom ≫ limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ Set.Iic b ∈ 𝓝 a
ι : Type u_4
α : ι → Type u_6
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → Fintype (α i)
⊢ Fintype.card ((i : ι) → α i) = ∏ i : ι, Fintype.card (α i)
E✝ : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E✝
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E✝ → G
C✝ : ℝ
s : Set E✝
x y : E✝
f' g' : E✝ → E✝ →L[𝕜] G
φ : E✝ →L[𝕜] G
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E → G
C : ℝ≥0
hf : Differentiable 𝕜 f
bound : ∀ (x : E), ‖fderiv 𝕜 f x‖₊ ≤ C
A : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 E
⊢ LipschitzOnWith C f univ
R : Type u
CommSemiring R
toFinsupp : AddMonoidAlgebra R ℕ
⊢ ((Polynomial.toFinsuppIsoAlg R).symm toFinsupp).toFinsupp = toFinsupp
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : TopologicalSpace F
hι : Nonempty ι
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
this✝ : TopologicalAddGroup F
x✝ : TopologicalSpace E := TopologicalSpace.induced (⇑f) inferInstance
this : TopologicalAddGroup E
⊢ ⨅ i, comap (⇑f) (comap (⇑(q i)) (𝓝 0)) = ⨅ i, comap (⇑(q.comp f i)) (𝓝 0)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
⊢ 0 < μ ((Function.support fun x => rexp (t * X x)) ∩ Set.univ)
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
E : Type u_7
Field E
Algebra K E
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsAlgClosed E
x : L
⊢ (algebraMap K E) ((Algebra.norm K) x) = ∏ σ : L →ₐ[K] E, σ x
R : Type u
a : R
Ring R
p : R[X]
hp : 0 < p.degree
⊢ (p - Polynomial.C a).degree = p.degree
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun i => s.Gammaℝ / ↑|↑i + a| ^ s / 2 / s.Gammaℝ) (completedHurwitzZetaEven (↑a) s / s.Gammaℝ)
⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (completedHurwitzZetaEven (↑a) s / s.Gammaℝ)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f : Finset α → β
⊢ Antitone f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄ (ha : a ∉ s), f (Finset.cons a s ha) ≤ f s
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{u_11, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{u_13, u_3} C₃
inst✝⁴ : Category.{u_14, u_4} C₄
inst✝³ : Category.{?u.57419, u_5} C₁₂
inst✝² : Category.{?u.57423, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ Y₃ : GradedObject I₃ C₃
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
inst✝¹ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
inst✝ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).HasMap p
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).map f₁).app X₂).app X₃ ≫ (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).map f₂).app X₃ ≫ (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).map f₃) (i₁, i₂, i₃) ≫ ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h = ((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃) ≫ ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h
R : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_4
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
AddOreLocalization.AddOreSet S
AddAction M X
VAdd R X
VAdd R M
VAddAssocClass R M M
VAddAssocClass R M X
r : R
x : X
⊢ r +ᵥ (x -ₒ 0) = r +ᵥ x -ₒ 0
α : Type u_1
Monoid α
⊢ ⊥ = 1
R : Type u_4
NormedRing R
k : ℕ
r₁ : R
r₂ : ℝ
h : ‖r₁‖ < r₂
⊢ (fun n => ↑n ^ k * r₁ ^ n) =o[Filter.atTop] fun n => r₂ ^ n
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
CompactSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ IsCompact (Set.range f)
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a : α
⊢ IsOpen {a}
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x - g x) s x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
⊢ (match match Option.map (fun a' => (a', (some <$> s).tail)) ((some <$> s).get? 0) with | none => Sum.inl none | some (none, s') => Sum.inr s' | some (some a, s') => Sum.inl (some (a, s')) with | Sum.inl a => Sum.inl a | Sum.inr b => Sum.inr (Computation.corec (fun s => match Option.map (fun a' => (a', Seq.tail s)) (Seq.get? s 0) with | none => Sum.inl none | some (none, s') => Sum.inr s' | some (some a, s') => Sum.inl (some (a, s'))) b)) = Sum.inl (Option.map (fun a => (a, some <$> s.tail)) (s.get? 0))
K : Type u_1
Field K
NumberField K
DecidableEq (K →+* ℂ)
α : NumberField.RingOfIntegers K
i : K →+* ℂ
⊢ (NumberField.basisMatrix K).transpose⁻¹.mulVec
    (fun j => (NumberField.canonicalEmbedding K) ((algebraMap (NumberField.RingOfIntegers K) K) α) j) i =
  ↑((((NumberField.integralBasis K).reindex (NumberField.equivReindex K).symm).repr ↑α) i)
x : ℝ
⊢ 0 ≤ Real.sinh x ↔ 0 ≤ x
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
⊢ IsAddSubmonoid s ↔ IsSubmonoid s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
a : α
⊢ f.fn a = (f a).get
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
f g : Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
h_zero : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
h_add : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ + b₂) = h i b₁ * h i b₂
⊢ ∀ x ∈ f.support ∪ g.support, x ∉ f.support → h x (f x) = 1
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ q) (B ^ q)
H₁ : Summable fun i => f i * g i
H₂ : ∑' (i : ι), f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)
hA : A = (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p)
⊢ ∃ C ≤ A * B, HasSum (fun i => f i * g i) C
q : ℚ
x : ℝ
h : Irrational (x - ↑q)
⊢ Irrational x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
r n : ℕ
⊢ ↑(n + 1 - r) ^ r / ↑r ! ≤ ↑(n.choose r)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
⊢ K.sieves (G.obj X) ⊤
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactors
⊢ p ≤ n
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : DecidableEq m
d : o → m → α
i : m
k : o
j : m
k' : o
⊢ (if k = k' ∧ i = j then d k i else 0) = if i = j ∧ k = k' then d k i else 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ : C
r : X₂ ⟶ X₁
⊢ (CategoryTheory.Biprod.unipotentLower r).inv = CategoryTheory.Biprod.ofComponents (𝟙 X₁) 0 (-r) (𝟙 X₂)
m n : ℕ+
⊢ (↑m).gcd ↑n = ↑m ↔ m.gcd n = m
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ i.predAbove (last (n + 1)) = last n
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
TopologicalSpace P₁
⊢ (ContinuousAffineEquiv.refl k P₁).symm = ContinuousAffineEquiv.refl k P₁
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution' hζ
⊢ multiplicity.Finite (hζ.toInteger - 1) S'.c
α : Type u_1
n : ℕ
w : Vector3 α n
⊢ [].append w = w
R : Type u_1
Semiring R
V : Type u_2
AddCommGroup V
Module R V
k : ℕ
f : LaurentSeries V
n : ℤ
⊢ ((LaurentSeries.hasseDeriv R k) f).coeff n = Ring.choose (n + ↑k) k • f.coeff (n + ↑k)
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
U : Set G
hU : IsOpen U
⊢ U + closure {0} = U
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ (p + q).support ⊆ p.support ∪ q.support
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeInf α
s : Finset β
t : Finset γ
h : (s ×ˢ t).Nonempty
f : β × γ → α
⊢ (s ×ˢ t).inf' h f = t.inf' ⋯ fun i' => s.inf' ⋯ fun i => f (i, i')
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g i j k ≫
    AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g j k i ≫
      AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g k i j ≫
        CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i j)
            (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i k) ≫
          CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫
            CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i j)
      (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i k) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarAddMonoid R
NonUnitalSemiring A
Star A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
a : A
⊢ ↑((Unitization.inrRangeEquiv R A) a) = ↑(Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom R A) a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f g : α → ℂ
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
h0 : ∀ a ∈ s, f a ∈ Complex.slitPlane
⊢ ContinuousOn (fun x => f x ^ g x) s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
n : ℕ
⊢ s.tail.drop n = s.drop (n + 1)
z : ℍ
k : ℝ
hk : 2 < k
⊢ 0 ≤ (fun x => ‖x‖ ^ (-k)) ∘ ⇑(finTwoArrowEquiv ℤ).symm
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.ΨSq 1 = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μ).restrict s = MeasureTheory.Measure.map f (μ.restrict (f ⁻¹' s))
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this✝ : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (range fun i => bK i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom K (RingHom.op L.subtype)
ιL : Type u
bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
t : TopologicalSpace γ
inst✝ : CompactSpace γ
u u' : UniformSpace γ
h : toTopologicalSpace = t
h' : toTopologicalSpace = t
⊢ 𝓤 γ = 𝓤 γ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
ιM' : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ιM'
inst✝ : DecidableEq ιM'
bₘ' : Basis ιM' R M
f : Polynomial (MvPolynomial ι R) → Polynomial (MvPolynomial ι R) := Polynomial.map (aeval X).toRingHom
hf : Function.Injective f
⊢ f (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = f (φ.polyCharpolyAux b bₘ')