ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : G → H
f' : G → G →L[𝕜] H
x : G
hder : ∀ᶠ (y : G) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y
hcont : ContinuousAt f' x
c : ℝ
hc : 0 < c
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ {x | (fun y => HasFDerivAt f (f' y) y) x} ∩ f' ⁻¹' ball (f' x) c
a b : G
h : (a, b) ∈ ball (x, x) ε
⊢ ‖f (a, b).1 - f (a, b).2 - (f' x) ((a, b).1 - (a, b).2)‖ ≤ c * ‖(a, b).1 - (a, b).2‖
G : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G
Div G
m : MeasurableSpace α
f g : α → G
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableDiv₂ G
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (f / g) μ
R : CommRingCatᵒᵖ
⊢ AlgebraicGeometry.ΓSpec.locallyRingedSpaceAdjunction.counit.app R =
  (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen ↑(Opposite.unop R) ⊤).op
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrderedSemifield 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid N
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 M
inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 N
h : ∀ ⦃a b : M⦄ ⦃c : 𝕜⦄, a < b → 0 < c → c • a ≤ c • b
hlt' : ∀ (a b : M) (c : 𝕜), a < b → 0 < c → c • a < c • b
a b : M
c : 𝕜ˣ
hab : ↑c • a < ↑c • b
hc : 0 < ↑c
⊢ c⁻¹ • c • a < c⁻¹ • c • b
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDomain S
b : Basis ι R S
x : S
⊢ (norm R) x = 0 ↔ x = 0
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a : α
hb : b ≠ ⊤
⊢ ↑a + b = ↑a + c ↔ b = c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : CategoryTheory.Limits.Fork f g
⊢ t.π.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero = t.ι
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedRing 𝕝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a✝ b : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hA : Balanced 𝕜 A
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
⊢ a • insert 0 (interior A) ⊆ insert 0 (interior A)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
m : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin (n + 1)) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), SigmaFinite (μ i)
i : Fin (n + 1)
e : α i × ((j : Fin n) → α (i.succAbove j)) ≃ᵐ ((j : Fin (n + 1)) → α j) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i).symm
s : (i : Fin (n + 1)) → Set (α i)
x✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), MeasurableSet (s i)
x : α i
f : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
⊢ (x, f) ∈ ⇑e ⁻¹' univ.pi s ↔ (x, f) ∈ s i ×ˢ univ.pi fun i_1 => s (i.succAbove i_1)
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
cramer : (traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ (traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
i : Fin B.dim
⊢ ((traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z) i ∈ ⊥
α : Type u_2
self : IndepMatroid α
I : Set α
⊢ self.Indep I → I ⊆ self.E
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}
hle : (altitude t₁ i₃).directionᗮ ≤ (affineSpan ℝ {t₁.orthocenter, t₁.points i₃}).directionᗮ
⊢ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ vectorSpan ℝ (t₁.points '' ↑(univ.erase i₃))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
⊢ ¬μ (s ∪ t) = ⊤ ↔ ¬(μ s = ⊤ ∨ μ t = ⊤)
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Ici a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x + u x * v' x = b' - a'
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_1
MetricSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
SigmaCompactSpace M
K U : ι → Set M
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
⊢ ∃ δ, (∀ (x : M), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, Metric.closedBall x (δ x) ⊆ U i
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ s • t = Finset.image (fun p => p.1 • p.2) (s ×ˢ t)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree ≠ 0
⊢ (Polynomial.derivative p).natDegree < p.natDegree
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
CommSemiring R
CommSemiring S₃
f : MvPolynomial S₁ R →+* MvPolynomial S₂ S₃
g : MvPolynomial S₂ S₃ →+* MvPolynomial S₁ R
hfgC : (f.comp g).comp MvPolynomial.C = MvPolynomial.C
hfgX : ∀ (n : S₂), f (g (MvPolynomial.X n)) = MvPolynomial.X n
hgfC : (g.comp f).comp MvPolynomial.C = MvPolynomial.C
hgfX : ∀ (n : S₁), g (f (MvPolynomial.X n)) = MvPolynomial.X n
a : MvPolynomial S₂ S₃
⊢ (MvPolynomial.mvPolynomialEquivMvPolynomial R S₁ S₂ S₃ f g hfgC hfgX hgfC hgfX).symm a = g a
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
CompleteLattice α
CompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
f : ι → α
⊢ l (iSup f) = ⨆ i, l (f i)
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
hp✝ : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
hp : 0 = 1
⊢ 1 ≤ { re := ↑0, im := ↑y }
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
J' : Ideal R
hJ' : ↑J' = J⁻¹ * I
⊢ ↑J' ≠ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => (f x)⁻¹) a = Ring.inverse (cfc f a)
𝓕 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
FunLike 𝓕 E F
AddMonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ Continuous ⇑f
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ c ^ c = 2 ^ c
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 b, a ≤ x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
S : Finset M
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement (S.sup fun x => span R {x})
α : Type u
β : Type v
x : α
l : List α
k : Nat
⊢ x ∈ l.eraseIdx k ↔ ∃ i, i ≠ k ∧ l[i]? = some x
G : Type u_1
M : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Fintype G
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : DecidableEq M
inst✝¹ : FunLike F G M
inst✝ : MonoidHomClass F G M
f : F
x y g : G
f' : G →* M := ↑f
⊢ f' g * f' y⁻¹ = f' x ↔ f' g = f' x * f' y
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g)ᘁ = gᘁ ≫ fᘁ
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ (1 / z) ≤ y ^ (z * z⁻¹) ↔ x ≤ y ^ z
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
has : a ∉ s
⊢ (insert a s).offDiag = s.offDiag ∪ {a} ×ˢ s ∪ s ×ˢ {a}
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
⊢ AnalyticWithinOn 𝕜 f univ ↔ AnalyticOn 𝕜 f univ
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
⊢ ‖x‖ = ↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs)
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : PartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑e'.symm ⁻¹' s
hxs : x ∈ s
e : PartialHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ ∃ e ∈ G, EqOn (f ∘ ↑e'.symm) (↑e.toPartialEquiv) (↑e'.symm ⁻¹' s ∩ e.source) ∧ ↑e' x ∈ e.source
a b : Int
h : ¬a ≤ b
⊢ b < a
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
β : ι → Type u_3
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (x : ι) → Ω → β x
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ ∀ (i : ι), MeasurableSpace.comap (f i) (m i) ≤ mΩ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
f' a : 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' a
hf' : f' ≠ 0
⊢ Filter.map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CommSemiring A
z : E
s : Set E
inst✝² : NormedCommRing B
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B
inst✝ : Algebra A B
σ : Type u_5
f : E → σ → B
hf : ∀ (i : σ), AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x i) z
p : MvPolynomial σ A
k : A
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) (C k)) z
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
x : S
h : x ∈ I
⊢ ↑(Ideal.absNorm I) ∣ (Algebra.norm ℤ) x
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
f : M₁ →ₗ[R] M₁
k : ℕ
⊢ (LinearMap.toMatrix v₁ v₁) f ^ k = (LinearMap.toMatrix v₁ v₁) (f ^ k)
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsAffine Y
⊢ AlgebraicGeometry.QuasiSeparated f ↔ QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R✝ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M'
inst✝⁴ : Module R✝ M''
a✝ b✝ : R✝
x✝ y✝ : M✝
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
a b c d : R
h' : a * d - b * c ≠ 0
s t : R
hst : s • (a • x + b • y) + t • (c • x + d • y) = 0
H : (s * a + t * c) • x + (s * b + t * d) • y = 0
I1 : s * a + t * c = 0
⊢ s = 0 ∧ t = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
μ' : Measure α := ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
h₁ : μ'.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv (ν.withDensity f)
h₂ : μ.rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] μ'.rnDeriv ν
this : SigmaFinite μ'
hμ' : (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν x
⊢ μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x
ι : Type u_1
Fintype ι
I J : BoxIntegral.Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r
⊢ I.distortion = J.distortion
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
x : P₂
hx : x ∈ F
⊢ ∃ a, (φ.restrict ⋯) a = ⟨x, hx⟩
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ Filter.Tendsto u f (𝓝 a) ↔ Filter.Tendsto (fun x => (a, u x)) f (𝓤 α)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Algebra P Q
IsLocalization T Q
x : R
y : ↥M
⊢ (IsLocalization.map Q g hy) (IsLocalization.mk' S x y) = IsLocalization.mk' Q (g x) ⟨g ↑y, ⋯⟩
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (∃ g, g 0 • ![x, r • x + y] 0 + g 1 • ![x, r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0) ↔ ∃ g, g 0 • ![x, y] 0 + g 1 • ![x, y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0
hg₂' : ↑g₂ ≠ 0
⊢ ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂
⊢ -π < π / 2 ∧ π / 2 ≤ π
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.densityToFinite x ∂μ.toFinite ≠ ⊤
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < ↑δ
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ↑δ
α : Type u
Group α
s : Set (GroupTopology α)
⊢ (sInf s).toTopologicalSpace = sInf (GroupTopology.toTopologicalSpace '' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
I : CategoryTheory.InjectiveResolution Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.ι.f 0) (I.cocomplex.d 0 1) = 0
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝¹ : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
hx : x ≠ ↑a
inst✝ : DiscreteTopology ↥(zmultiples p)
⊢ ContinuousOn { toFun := QuotientAddGroup.mk, invFun := fun x => ↑((equivIco p a) x), source := Ioo a (a + p), target := {↑a}ᶜ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.invFun { toFun := QuotientAddGroup.mk, invFun := fun x => ↑((equivIco p a) x), source := Ioo a (a + p), target := {↑a}ᶜ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.target
M : Type u_1
MulOneClass M
s : Set M
⊢ ↑(Submonoid.closure s) = {1} ∪ ↑(Subsemigroup.closure s)
G : Type u_1
Group G
φ : G →* G
Finite G
hφ : MonoidHom.FixedPointFree ⇑φ
h2 : (⇑φ)^[2] = id
⊢ ⇑φ = fun x => x⁻¹
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i : ι
K.HasHomology i
⊢ HomologicalComplex.opcyclesMap (𝟙 K) i = 𝟙 (K.opcycles i)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
α : Type u
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
⊢ MeasurePreserving (⇑MeasurableEquiv.finTwoArrow) (Measure.pi fun x => μ) (μ.prod μ)
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
h3 : ↑x ^ (3 / 2) ≠ 0
⊢ oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
⊢ MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f 0 = 0
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ o.bsup f = o.blsub f ∨ Order.succ (o.bsup f) = o.blsub f
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
y : Set β
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
hy : y ⊆ f '' x
⊢ x ∩ f ⁻¹' minimals s y = minimals r (x ∩ f ⁻¹' y)
α : Type u_4
Fintype α
⊢ Fintype.card (Multiplicative α) = Fintype.card α
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
a : S
y : ℤ
hy : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y
⊢ abv ((LinearMap.toMatrix bS bS) ((Algebra.lmul R S) (∑ i : ι, (bS.repr a) i • bS i))).det ≤ normBound abv bS * y ^ Fintype.card ι
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.associator (𝟙_ (CategoryTheory.Dial C)) Y).hom
    (CategoryTheory.Dial.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) Y.leftUnitor.hom) =
  CategoryTheory.Dial.tensorHom X.rightUnitor.hom (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
⊢ ω ^ e.repr ≤ (e.oadd n a).repr
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a : ℤ
x : R
⊢ (x • γ).shift a = x • γ.shift a
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s t : CategoryTheory.Bicategory.RightLift f g
h : s ⟶ t
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight h.left f) t.counit = s.counit
b : Ordinal.{u_1}
x y : Ordinal.{u_1}
xy : x ≤ y
⊢ Ordinal.log b x ≤ Ordinal.log b y
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
⊢ map g (I * J) = map g I * map g J
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
⊢ 2⁻¹ • 2 • (x -ᵥ y) +ᵥ y = x
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : Preorder α
a b c d : α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha₀ : 0 ≤ a
ha₁ : a ≤ 1
n✝ m✝ : ℕ
h : n✝.le m✝
⊢ a * a ^ m✝ ≤ a ^ n✝
motive : Nat → Nat → Sort u_1
zero_zero : motive 0 0
zero_succ : (n : Nat) → motive 0 (n + 1)
succ_zero : (m : Nat) → motive (m + 1) 0
succ_succ : (m n : Nat) → motive (m + 1) (n + 1)
⊢ Nat.casesDiagOn 0 0 zero_zero zero_succ succ_zero succ_succ = zero_zero
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
B : Type u_2
TopologicalSpace B
Ring B
TopologicalRing B
Algebra R B
f : B →ₐ[R] A
f' : B ≃ₜ A
w : ⇑f = ⇑f'
⊢ Subalgebra.comap f s.topologicalClosure = (Subalgebra.comap f s).topologicalClosure
m n✝ k n : ℕ
h✝ : k = n + 1
x : ZMod (namedPattern k (n + 1) h✝)
⊢ ↑(if x.val ≤ namedPattern k (n + 1) h✝ / 2 then ↑x.val else ↑x.val - ↑(namedPattern k (n + 1) h✝)) = x
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
⊢ s - Metric.ball 0 δ = Metric.thickening δ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
⊢ ∃ r > 0, Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → (i : α) → E i
hf : ∀ i ∈ s, Memℓp (f i) p
⊢ Memℓp (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) p
a b c : ℕ
h✝ : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
i : ℕ
hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true
hi' : ∀ (j : ℕ), i < j → (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit j = false
h : c.testBit i = true
⊢ c ^^^ v < c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] F
S : PointedCone 𝕜 F
⊢ ↑(PointedCone.comap f S) = ⇑f ⁻¹' ↑S
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
x y : E × F
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ [x.1-[𝕜]y.1] ×ˢ [x.2-[𝕜]y.2]
R : Type u_1
A : Type u
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSpace R
TopologicalSpace A
ContinuousSMul R A
⊢ ⇑(algebraMapCLM R A) = ⇑(algebraMap R A)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab✝ : a ≤ b
hf✝ : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
c d : ℝ
hca : c ≤ a
hab : a ≤ b
hbd : b ≤ d
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc c d))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ c d
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, f x ∂μ ≤ ∫ (x : ℝ) in Ioc c d, f x ∂μ
α : Type u_2
AddGroup α
a b : α
⊢ {b}.preimage (fun x => x + a) ⋯ = {b + -a}
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesLimit F G
inst✝³ : HasLimit F
inst✝² : PreservesLimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J D
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J
⊢ (G.map (limMap f) ≫ (preservesLimitIso G Y✝).hom) ≫ limit.π (Y✝ ⋙ G) j = ((preservesLimitIso G X✝).hom ≫ limMap (whiskerRight f G)) ≫ limit.π (Y✝ ⋙ G) j
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Set.Iio b
hs : s.Nonempty → ∃ a < b, Set.Ioo a b ⊆ s
⊢ Filter.comap Subtype.val (𝓝[<] b) = Filter.atTop
α : Type u_7
β : Type u_8
Add α
Mul α
Add β
Mul β
f : α ≃+* β
⊢ ∀ (a : βᵐᵒᵖ), (RingEquiv.op f).symm a = MulOpposite.op ((↑f).symm (MulOpposite.unop a))