ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
⊢ Primrec₂ fun p => encode
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
R : Dᵒᵖ ⥤ RingCat
S : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
M N : PresheafOfModules R
α : M ⟶ N
X : Cᵒᵖ
m : ↑((ModuleCat.restrictScalars (φ.app X)).obj (M.obj (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop X)))))
⊢ (PresheafOfModules.Hom.app ((PresheafOfModules.pushforward φ).map α) X) m =
  (PresheafOfModules.Hom.app α (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop X)))) m
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝³ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝² : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid A
U : Submonoid A
R : Type u_6
inst✝ : CommMonoid R
j : U.LocalizationMap R
l : P →* A
hl : ∀ (w : ↥T), l ↑w ∈ U
z : N
⊢ j.toMap (l (k.sec ((f.map hy k) z)).1) * j.toMap (l (g ↑(f.sec z).2)) = j.toMap (l ↑(k.sec ((f.map hy k) z)).2) * j.toMap (l (g (f.sec z).1))
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.prod MeasureTheory.volume) (regionBetween f g s) = ∫⁻ (y : α) in s, ENNReal.ofReal ((g - f) y) ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
a : α
⊢ MeasureTheory.Measure.map f (MeasureTheory.Measure.dirac a) = MeasureTheory.Measure.dirac (f a)
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ ‖Complex.log (1 - z)⁻¹ + Complex.logTaylor (n + 1) (-z)‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
hf : ∀ (z : ℤ), Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)
z z' : ℤ
x : α
hx : k x ≠ 0
⊢ k x ^ (z' + z) * f x = (fun a => k a ^ z' * (k a ^ z * f a)) x
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
⊢ ↑(Submodule.toAddSubgroup I).index = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S₁ S₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C n
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.IsComplex
h₂ : S₂.IsComplex
i j k : ℕ
hij : i + 1 = j := by omega
hjk : j + 1 = k := by omega
hk : k ≤ n := by omega
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.sc'Map φ h₁ h₂ i j k hij hjk hk).τ₁ = φ.app ⟨i, ⋯⟩
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
δ : ℝ≥0∞
h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε
δ_top : ¬δ = ⊤
⊢ levyProkhorovEDist μ ν ≤ δ
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
h✝ : b ≤ a
⊢ a * b + b * a ≤ a * a + b * b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCancelCommMonoid E
ContinuousAdd E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E
⊢ StrictConvex 𝕜 ((fun x => x + z) ⁻¹' s)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
F : A →ₐ[R] B
⊢ F q.j * F q.j = c₂ • 1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
a b : Π₀ (i : ι), α i
⊢ DFinsupp.Lex r s a b ↔ ∃ j, (∀ (d : ι), r d j → a d = b d) ∧ s j (a j) (b j)
α : Type u_2
TopologicalSpace α
a : TopologicalSpace.IrreducibleCloseds α
⊢ TopologicalSpace.IrreducibleCloseds.equivSubtype' a = ⟨a.carrier, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atBot
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : α
g : G
⊢ g⁻¹ • a ∈ fixedBy α g ↔ a ∈ fixedBy α g
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
n : ℕ
⊢ dickson 1 1 (n + 2) = 2 * (Chebyshev.T R ↑(n + 2)).comp (C ⅟2 * X)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (x : X), f x ∈ closure (f '' s) → x ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers C
CategoryTheory.Limits.HasImage f
CategoryTheory.IsIso g
⊢ (CategoryTheory.Limits.image.compIso f g).hom ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι (f ≫ g) =
  CategoryTheory.Limits.image.ι f ≫ g
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
f : α → R
f' : α → M
x : α
hf : HasCompactSupport f'
⊢ HasCompactSupport (f • f')
S₁ : Type u_1
S₂ : Type u_2
S₃ : Type u_3
Shelf S₁
Shelf S₂
Shelf S₃
g : S₂ →◃ S₃
f : S₁ →◃ S₂
x : S₁
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∃ x, BorelSpace α ∧ PolishSpace α ∧ IsClosed s ∧ IsOpen s
R : Type u_1
Semiring R
φ ψ : PowerSeries R
h : φ.order ≠ ψ.order
⊢ (φ + ψ).order = φ.order ⊓ ψ.order
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hc : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ deriv (fun x => Real.sin (f x)) x = Real.cos (f x) * deriv f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
⊢ StarConvex 𝕜 (z + x) ((fun x => z + x) '' s)
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s ∪ (t ∪ u) = s ∪ t ∪ (s ∪ u)
α : Type u
AddMonoid α
u : AddUnits α
a : α
h : ↑u + a = 0
⊢ ↑(-u) = a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} A
G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A) (CategoryTheory.Sheaf J A)
adj : G ⊣ CategoryTheory.sheafToPresheaf J A
P₁ P₂ : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
f : P₁ ⟶ P₂
⊢ J.W f ↔ CategoryTheory.IsIso (G.map f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y✝ z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : dist x z < ε + δ
y : E
hy : dist x y = δ / (ε + δ) * dist x z ∧ dist y z = ε / (ε + δ) * dist x z
⊢ dist x z / (ε + δ) * δ < δ ∧ dist x z / (ε + δ) * ε < ε
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq β
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → Fintype ↑(Rel.image r {a})
r' : α → Finset β := fun a => (Rel.image r {a}).toFinset
h : ∀ (A : Finset α), card ↑(Rel.image r ↑A) = (A.biUnion r').card
h' : ∀ (f : α → β) (x : α), r x (f x) ↔ f x ∈ r' x
⊢ (∀ (A : Finset α), A.card ≤ (A.biUnion r').card) ↔ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : α), f x ∈ r' x
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x✝ : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero M'
inst✝ : CommMonoid N
f : α →₀ M
s : Finset α
hs : f.support ⊆ s
g : α → M → N
h : ∀ i ∈ s, g i 0 = 1
x : α
hxs : x ∈ s
hx : x ∉ f.support
⊢ f x = 0
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ
ε : ℝ
H : ∀ k ≤ n, ∀ (m : ℤ), ε ≤ dist x (↑m / ↑k)
r : ℚ
hr : r.den ≤ n
⊢ ε ≤ dist x ↑r
⊢ Primrec fun a => Nat.Partrec.Code.evaln a.1.1 a.1.2 a.2
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : Fintype l
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
A' : Matrix l p α
B' : Matrix l q α
C' : Matrix m p α
D' : Matrix m q α
i : n ⊕ o
j : p ⊕ q
⊢ (fromBlocks A B C D * fromBlocks A' B' C' D') i j = fromBlocks (A * A' + B * C') (A * B' + B * D') (C * A' + D * C') (C * B' + D * D') i j
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : Inhabited α
l : List α
h : l ≠ []
⊢ l.head! ∈ l
n : Type u_1
Fintype n
DecidableEq n
Q : QuadraticForm ℝ (n → ℝ)
hQ : (QuadraticMap.toMatrix' Q).PosDef
⊢ QuadraticMap.PosDef Q
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w✝ : A.SeparatesPoints
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
w : ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ x ∈ Metric.ball f i, x ∈ ↑A.toSubsemiring
g : C(X, ℝ)
H : ‖g - f‖ < ε
m : g ∈ ↑A.toSubsemiring
⊢ ∃ g, ‖↑g - f‖ < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
Bot β
⊢ ↑⊥ = ⊥
α : Type u_2
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ s.WellFoundedOn r
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
X : ℕ → Ω → E
hℒp : Memℒp (X 0) p ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (fun ω => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ range n, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a) p ℙ) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
s : False → Set α
⊢ Set.iInter s = Set.univ
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
S : Type v
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
x✝ : S ⧸ P
x : S
y✝ : S ⧸ P
y : S
Pe_le_Pi1 : P ^ e ≤ P ^ (i + 1)
val✝ : S ⧸ P ^ e
z : S
hz✝ : Quot.mk Setoid.r z ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1))
hz : z ∈ P ^ (i + 1)
h : z - a * (x - y) ∈ P ^ e
⊢ x - y ∈ P
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
coe_mono : Monotone toIdeal
x : Ideal A
⊢ (∃ x_1 ∈ {a | a.toIdeal ≤ I}, x_1.toIdeal = x) → IsHomogeneous 𝒜 x ∧ x ≤ I
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
FaithfulSMul M X
P Q : { P // IsLprojection X P }
⊢ P ≤ Q ↔ ↑P = ↑(P ⊓ Q)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
b : R
⊢ (MvPolynomial.monomial s) b = 0 ↔ b = 0
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y : ↥S
⊢ f.mk' x₂ y * f.toMap x₁ = f.mk' (x₁ * x₂) y
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
hτ' : 0 < (-1 / τ).im
hj : HasDerivAt (fun w => jacobiTheta₂ (w / τ) (-1 / τ)) (1 / τ * jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ)) z
⊢ jacobiTheta₂' z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) / τ * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ))
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
X : C
h : CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op X) ⋙ CategoryTheory.uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cocones
Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.IsColimit.OfNatIso.homOfCocone h (CategoryTheory.Limits.IsColimit.OfNatIso.coconeOfHom h f) = f
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₁ ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₂
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
⊢ Algebra.Generators.CotangentSpace.map (Algebra.Generators.Hom.id P) = LinearMap.id
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m : Multiset α
a : α
b : δ a
f : (a' : α) → a' ∈ m → δ a'
δ' : α → Sort u_3
φ : ⦃a' : α⦄ → δ a' → δ' a'
a' : α
ha' : a' ∈ a ::ₘ m
⊢ cons m a (φ b) (fun a' ha' => φ (f a' ha')) a' ha' = φ (cons m a b f a' ha')
σ : Type u_1
R : Type u_2
k✝ : Type u_3
inst✝ : Field k✝
φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ k✝
h : (constantCoeff σ k✝) φ₃ ≠ 0
k : φ₁ = φ₂ * φ₃⁻¹
⊢ φ₁ * φ₃ = φ₂
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : AddMonoid N
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup H
s : Finset G
⊢ Group.rank ↥(closure ↑s) ≤ s.card
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℕ → G
hf : Multipliable f
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x✝ : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hg : ∀ (n : α), Differentiable 𝕜 (g n)
hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖deriv (g n) y‖ ≤ u n
hg0 : Summable fun n => g n y₀
x : 𝕜
⊢ deriv (fun y => ∑' (n : α), g n y) x = ∑' (n : α), deriv (g n) x
X : CondensedSet
S : CompHaus
x : X.val.obj (Opposite.op S)
⊢ Continuous fun a => CondensedSet.coinducingCoprod X ⟨⟨S, x⟩, a⟩
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
c : R
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun y => c • f y) (c • f') x L
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
S' : Type u_7
CommRing S'
Algebra R S'
pb : PowerBasis R S
e : S ≃ₐ[R] S'
⊢ (pb.map e).gen = e pb.gen
x : SetTheory.PGame
i : x.LeftMoves
⊢ (x.moveLeft i).LF x
α : Type u
x : Tree α
⊢ 0 < x.numLeaves
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
AddMonoid α
StarAddMonoid α
v : n → α
⊢ (Matrix.diagonal v)ᴴ = Matrix.diagonal (star v)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
x' : M
hx' : x' ∈ (chartAt H x).source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x' ↔
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I)
    (↑(extChartAt I x) x')
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
Algebra K L
x : L
int : IsIntegral K x
F : IntermediateField K L
h : Polynomial.Splits (algebraMap K ↥F) (minpoly K x)
⊢ x ∈ F
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
⊢ ∃ M, eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
⊢ volume (Iio a) = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f g : R[M]
ihf : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = f
ihg : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = g
⊢ ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = f + g
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Preorder α
s : Finset α
c : α
hcs : c ∈ s
this : WellFounded LT.lt
⊢ ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬x < m
α : Type u_1
CompleteLattice α
a : α
⊢ LowerSet.iicsInfHom a = LowerSet.Iic a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
ι_mul : ∀ (x : CliffordAlgebra Q) (m : M), P x → P ((ι Q) m * x)
x : CliffordAlgebra Q
⊢ P (reverse x)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
hn : LieAlgebra.rootSpace H (-n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
⊢ n ≤ ↑(LieModule.chainBotCoeff (⇑α) β)
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ dist ‖a‖ ‖b‖ ≤ ‖a - b‖
⊢ lift.{v, u_1} 𝔠 = 𝔠
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p : P
h : p -ᵥ p₁ = p -ᵥ p₂
⊢ p₁ = p₂
α : Type u_1
n : Nat
⊢ Array.mkEmpty n = #[]
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ 0 = ⊥
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N →ₗ[R] P
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor M f) ↔ Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M f)
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
Archimedean α
x y : α
⊢ LinearOrderedField.inducedMap α β (x + y) = LinearOrderedField.inducedMap α β x + LinearOrderedField.inducedMap α β y
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ Submodule.comap p.subtype (p ⊓ p') ≤ LinearMap.ker (LinearMap.subToSupQuotient p p')
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω → E
⊢ ∫ (x : Ω), f x ∂(↑μ univ)⁻¹ • ↑μ = ∫ (ω : Ω), f ω ∂μ.mass⁻¹ • ↑μ
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
x✝ : X
L : Filter X
h : ¬Tendsto id L (𝓝 x✝)
U : Set X
U_nhd : U ∈ 𝓝 x✝
hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U
Uint_nhd : interior U ∈ 𝓝 x✝
f : X →ᵇ ℝ≥0
fx_eq_one : f x✝ = 1
f_vanishes_outside : ∀ y ∈ (interior U)ᶜ, f y = 0
x : X
x_notin_U : x ∉ U
⊢ ↑(f x) ∉ Ioi 0
n m : Nat
h : Eq (n.ble m) true
⊢ LE.le n m
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocRing α
a b : α
⊢ (a - 1) * b = a * b - b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
Nontrivial E
⊢ Set.range norm = Set.Ici 0
α : Type u
f : Ultrafilter α
s : Set α
hs : s ∈ f
⊢ s ≠ ∅
x : ℕ
r : ℝ
⊢ Nat.cast ⁻¹' Metric.ball (↑x) r = Metric.ball x r
α : Type u_2
LinearOrder α
x y : α
⊢ x < y ↔ ¬y ≤ x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasInjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
n : ℕ
⊢ CategoryTheory.NatTrans.rightDerived (CategoryTheory.CategoryStruct.id F) n =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.rightDerived n)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
mβ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ι → Set Ω
S : Finset ι
f : (x : ι) → Ω → β x
hf : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun mβ f κ μ
hs : ∀ i ∈ S, MeasurableSet (s i)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ S, s i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (s i)
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
a : R
h : a ∈ closure s
b : R
ih✝ : ∃ L, (∀ l ∈ L, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = b
L1 : List (List R)
h1 : ∀ l ∈ L1, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1
x✝ : AddGroup.InClosure (Monoid.Closure s) (List.map List.prod L1).sum
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (List.map (fun x => -x.prod) tl).sum = -(List.map List.prod tl).sum
⊢ (List.map (fun x => -x.prod) (hd :: tl)).sum = -(List.map List.prod (hd :: tl)).sum
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁺ᵐ ⊓ a⁻ᵐ = 1
X : Type u
TopologicalSpace X
LindelofSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, interior (U x) = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq m
i j : m
hij : b i ≤ b j
c : R
r s : m
hrs : b s < b r
⊢ stdBasisMatrix i j c r s = 0
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁶ : NormedField 𝕜
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²³ : PseudoMetricSpace P
inst✝²² : NormedAddTorsor V P
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁹ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁸ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹⁵ : MetricSpace P₁'
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹¹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝¹⁰ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝³ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝² : NormedAddTorsor V₄ P₄
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : NormedSpace ℝ V
x y : P
⊢ dist ((pointReflection ℝ x) y) y = 2 * dist x y
b : ℕ
⊢ Nat.clog b 0 = 0
α : Type u_1
LE α
MulOneClass α
i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : MulLECancellable a
⊢ a ≤ b * a ↔ 1 ≤ b
c : Char
cs : List Char
i : String.Pos
⊢ { s := { data := c :: cs }, i := i + c }.hasNext = { s := { data := cs }, i := i }.hasNext
f g : Turing.ToPartrec.Code
⊢ (f.comp g).eval = fun v => g.eval v >>= f.eval
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
p' : Filter ι'
s' : Set α'
h : UniformCauchySeqOn F p s
h' : UniformCauchySeqOn F' p' s'
u : Set ((β × β') × β × β')
v : Set (β × β)
hv : v ∈ 𝓤 β
w : Set (β' × β')
hw : w ∈ 𝓤 β'
hvw : (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) '' v ×ˢ w ⊆ u
x : (ι × ι') × ι × ι'
hx : (∀ x_1 ∈ s, (F ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.1 x_1, F ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.2 x_1) ∈ v) ∧ ∀ x_1 ∈ s', (F' ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.1 x_1, F' ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.2 x_1) ∈ w
a : α
b : α'
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s'
⊢ ((F x.1.1 a, F' x.1.2 b), F x.2.1 a, F' x.2.2 b) ∈ u
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
⊢ ContinuousAt f b ↔ Tendsto (fun x => (f b, f x)) (𝓝 b) (𝓤 α)
p q : ℚ
hq : 0 ≤ q
⊢ q.toNNRat < p.toNNRat ↔ q < p
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : R[X]
x : R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
p q : R[X]
H : q.IsRoot a
⊢ (p * q).IsRoot a
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
Finite α
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
hy : f y ≠ y
⊢ ∃ i, (f ^ i) x = y
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
⊢ ∀ a ∈ π.boxes, Option.toFinset (↑J ⊓ ↑a) = {a}
b : ℕ
hb : b ≤ 1
n : ℕ
⊢ clog b n = 0
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
I : Ideal R
h : ∀ (i j : n), M i j ∈ I
k : ℕ
⊢ M.charpoly.coeff k ∈ I ^ (Fintype.card n - k)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
F : Set X
f : ℝ → X
hf : ContinuousOn f I
h₀ : f 0 = x
h₁ : f 1 = y
hF : f '' I ⊆ F
⊢ JoinedIn F x y
n : ℕ
z : ℂ
⊢ (Complex.cos z + Complex.sin z * Complex.I) ^ n = Complex.cos (↑n * z) + Complex.sin (↑n * z) * Complex.I
n : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field K
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).dim = (minpoly K ζ).natDegree