ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasInjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits F
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp F.toRightDerivedZero F.rightDerivedZeroIsoSelf.hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id F
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β✝
inst✝ : UniformSpace γ✝
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
ua1 ua2 : UniformSpace α
ub1 ub2 : UniformSpace β
uc1 : UniformSpace γ
h : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
ha : UniformContinuous id
hb : UniformContinuous id
⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
S : Type u_1
inst✝ : UnitalShelf S
x y : S
h : (x ◃ y) ◃ x = (x ◃ y) ◃ x ◃ 1
⊢ (x ◃ y) ◃ x = x ◃ y
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t u : Set α
⊢ MeasureTheory.AEDisjoint μ (s ∪ t) u ↔ MeasureTheory.AEDisjoint μ s u ∧ MeasureTheory.AEDisjoint μ t u
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ C
adj : F ⊣ G
A₁ A₂ : Algebra F
f : A₁ ⟶ A₂
⊢ (adj.homEquiv A₁.a A₁.a) A₁.str ≫ G.map f.f = f.f ≫ (adj.homEquiv A₂.a A₂.a) A₂.str
R : Type u
Ring R
c : R
⊢ Polynomial.derivative (Polynomial.X - Polynomial.C c) = 1
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
PartialOrder α
a : α
Preorder β
f : β → α
ExistsAddOfLE α
PosMulStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAnti f
ha : a < 0
⊢ StrictMono fun x => a * f x
n✝ n : ℕ
⊢ n ≤ n.divisors.sup id
R : Type uR
ι : Type uι
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
Fintype ι
f : MultilinearMap R (fun x => R) M₂
⊢ MultilinearMap.mkPiRing R ι (f fun x => 1) = f
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝¹ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this✝ : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
this : LieModule.IsNilpotent R L M
x✝ : L
m✝ : M
⊢ ⁅f x✝, m✝⁆ = ⁅x✝, m✝⁆
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
CategoryTheory.Preregular C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
∀ (X : C), CategoryTheory.Projective X
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) A} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Presheaf.coherentExtensiveEquivalence.functor.map f).val = f.val
x : ℝ
⊢ HasStrictDerivAt Real.sinh (Real.cosh x) x
n m : ℕ
hm : n ∣ m
⊢ ZMod.unitsMap hm = Units.map ↑(ZMod.castHom hm (ZMod n))
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hR : ringChar R ≠ 0
hch : ↑(ringChar R) = 0
⊢ IsUnit ↑p ↔ ¬p ∣ ringChar R
A : Type u_2
NonUnitalRing A
StarRing A
Module ℂ A
IsScalarTower ℂ A A
SMulCommClass ℂ A A
StarModule ℂ A
a : A
⊢ star a * a + a * star a = 2 • (↑(realPart a) * ↑(realPart a) + ↑(imaginaryPart a) * ↑(imaginaryPart a))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N : LieSubmodule R L M
m : M
h : m ∈ N
⊢ f m ∈ LieSubmodule.map f N
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
⊢ Disjoint I (sSup ({I | IsAtom I} \ {I}))
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E
inst✝ : Preregular C
W X w✝ Y : C
f : Y ⟶ X
hf : EffectiveEpi f
hS : ∃ f_1, ((ofArrows (fun x => Y) fun x => f) = ofArrows (fun x => w✝) fun x => f_1) ∧ EffectiveEpi f_1
this : (ofArrows (fun x => Y) fun x => f).regular
h_colim : IsColimit (Sieve.generate (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)).arrows.cocone
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)
hx : x.Compatible
x_ext : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (Sieve.generate (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)).arrows := x.sieveExtend
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
α : Type u_4
self : DivisionRing α
q : ℚ
⊢ ↑q = ↑q.num / ↑q.den
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
⊢ Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) fun i => ⨆ n ∈ ns i, s n
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : b₁ < b₂
⊢ Ioc a b₁ ⊆ Ioo a b₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (CategoryTheory.Limits.pushoutCoconeOfLeftIso f g).inr = 𝟙 Z
X : Type u_2
TopologicalSpace X
S : DiscreteQuotient X
x : X
⊢ S.Rel x x
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
i j : Fin n
⊢ Matrix.vandermonde v i j = v i ^ ↑j
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ ↑(√(π / b) / 2) = (↑π / ↑b) ^ (1 / 2) / 2
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2
K : Type u
Field K
⊢ RatFunc.X.num = Polynomial.X
R : Type u_1
EuclideanDomain R
GCDMonoid R
p q : R
hp : p ≠ 0
⊢ gcd p q ≠ 0
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Mul G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulRightInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun x => x * g) μ μ
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k
⊢ ((forget₂ C Ab).map (HomologicalComplex.cyclesMap S.f j)) (S.X₁.cyclesMk x₁ k hk ⋯) = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.opcyclesToCycles i j)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₂.pOpcycles i)) x₂)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X✝ : C
p✝¹ : X✝ ⟶ X✝
idem✝¹ : p✝¹ ≫ p✝¹ = p✝¹
p✝ : X✝ ⟶ X✝
idem✝ : p✝ ≫ p✝ = p✝
h_p : p✝¹ ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ p✝
⊢ { X := X✝, p := p✝¹, idem := idem✝¹ } = { X := X✝, p := p✝, idem := idem✝ }
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
s t : Set M
⊢ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun (s ∪ t) =
  (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s ⊔ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun t
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R (Dual R M)
this : IsReflexive R N
⊢ (map (↑e ∘ₗ ↑e.symm) p).dualCoannihilator = map (↑e.flip.symm ∘ₗ ↑e.flip) p.dualCoannihilator
R : Type u_1
M : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
⊢ LinearMap.IsSymm B ↔ B = LinearMap.flip B
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
ε_top : ¬ε = ⊤
easy : ε ≤ ↑P G
aux : ↑P G - ε < liminf (fun Q => ↑Q G) (𝓝 P)
Q : ProbabilityMeasure Ω
hQ : Q ∈ (fun Q => ↑Q G) ⁻¹' {x | ↑P G - ε < x}
⊢ ↑P G < ↑Q G + ε
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
⊢ P (↑(chartAt H' (g' x)) ∘ g' ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : dimH s < ↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E)
⊢ Dense sᶜ
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ (s.gcd fun x => f x * a) = s.gcd f * normalize a
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 < 0
this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2) * cos (x.2 * π)
e_7✝ : normedAddCommGroup = NonUnitalNormedRing.toNormedAddCommGroup
he✝ : NormedField.toNormedSpace = NormedAlgebra.toNormedSpace'
⊢ (p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1 - rexp (log p.1 * p.2) * sin (p.2 * π) * π) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ = rexp (log p.1 * p.2) • -sin (p.2 * π) • π • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ + cos (p.2 * π) • rexp (log p.1 * p.2) • (log p.1 • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ + p.2 • p.1⁻¹ • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F F' : 𝕜 → ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F' x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ ball x₀ ε, HasDerivAt (fun x => F x t) (F' x t) x
⊢ IntervalIntegrable (F' x₀) μ a b ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
this : η.withDensity (κ.rnDeriv η) = ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal).withDensity (κ.rnDeriv η)
⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal * κ.rnDeriv η a x)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
⊢ ∑ i_1 ∈ vi.support, (B (v i)) (vi i_1 • v i_1) = 0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
⊢ (comap C P).IsMaximal
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p q : ℤ
q1 : 1 < q
a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q
a1 : |↑a / ↑b - ↑p / ↑q| < 1 / ↑q ^ (b + 1)
⊢ False
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α ↪o β
⊢ ⇑f.withBotMap = WithBot.map ⇑f
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hp : p.IsHamiltonian
⊢ p.length = Fintype.card α - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
a : α
PosSMulMono α β
ha : a < 0
⊢ ∀ (a_1 : βᵒᵈ), (RelIso.symm (OrderIso.smulRightDual β ha)) a_1 = a⁻¹ • OrderDual.ofDual a_1
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
s : Finset β
f : β → α
b : β
h : b ∈ s
⊢ ∃ a, s.inf (WithTop.some ∘ f) = ↑a
n : Nat
⊢ 0 < n ↔ n ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'
⊢ N ≤ A *ᵥ v ∧ A *ᵥ v ≤ P
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
α : Option ι → Type w
(i : Option ι) → AddCommMonoid (α i)
(i : Option ι) → Module R (α i)
⊢ ∀ (a : α none × DirectSum ι fun i => α (some i)),
  (DirectSum.lequivProdDirectSum R).symm a = DirectSum.addEquivProdDirectSum.invFun a
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ
m : ℤ := univ.inf' ⋯ v
w' : Fin (n + 1) → ℕ := fun i => (v i - m).toNat
hw' : ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑(w' i) = v i - m
⊢ ↑(sf n) ∣ (Matrix.vandermonde v).det
n : ℕ
⊢ n.descFactorial 0 = 0 ↔ n < 0
R : Type u_1
S : Type u_2
P : Cubic R
CommRing R
CommRing S
φ : R →+* S
IsDomain S
⊢ (Cubic.map φ P).roots = (Polynomial.map φ P.toPoly).roots
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
i : Fin (n + 1)
hi : (Hom.toOrderHom θ) i.castSucc = (Hom.toOrderHom θ) i.succ
x : Fin ([n + 1].len + 1)
⊢ (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom (σ i ≫ δ i.succ ≫ θ)) x
𝕜 : Type u
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁹ : AddCommGroup F'
inst✝⁸ : Module 𝕜 F'
inst✝⁷ : TopologicalSpace F'
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜
α : Type u_1
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
E' : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E'
s : Set α
f : α → E'
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
ι : Type u_2 := ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E')
A : E' ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E') → ℝ := (Basis.ofVectorSpace ℝ E').equivFun.toContinuousLinearEquiv
LA : LipschitzWith ‖↑A‖₊ ⇑A
L : LipschitzOnWith (‖↑A‖₊ * K) (⇑A ∘ f) s
g : α → ι → ℝ
hg : LipschitzWith (‖↑A‖₊ * K) g
gs : EqOn (⇑A ∘ f) g s
⊢ ∃ g, LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant E' * K) g ∧ EqOn f g s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
f : E → F
s : Set E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ∀ (y : E), ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun x => (fderivWithin 𝕜 f s x) y) s
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
LinearOrderedCommRing R
g : Matrix.SpecialLinearGroup n R
⊢ ↑↑(Matrix.SpecialLinearGroup.toGLPos g) = ↑g
x : ℝ
⊢ 1 ≤ Real.cosh x
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)
ht : #↑t = Module.rank R (M ⧸ Submodule.span R s)
ht' : LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
sec : M ⧸ Submodule.span R s → M
hsec : ∀ (b : M ⧸ Submodule.span R s), Submodule.Quotient.mk (sec b) = b
hsec' : Submodule.Quotient.mk ∘ sec = id
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ #↑t = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s t : Set E
h : AnalyticWithinOn 𝕜 f t
hs : s ⊆ t
⊢ AnalyticWithinOn 𝕜 f s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : TruncatedWittVector p n R
h : x.out = y.out
i : Fin n
⊢ coeff i x = coeff i y
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ CliffordAlgebra.reverse 1 = 1
α : Type u
PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
x : α
⊢ UniformSpace.ball x {p | dist p.2 p.1 < ε} = Metric.ball x ε
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s
he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r
⊢ IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) (t * t'))
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
x : P.last.M
a₁ : P.A
f₁ : P.last.B a₁ → P.last.M
h₁ : x.dest = ⟨a₁, f₁⟩
a₂ : P.A
f₂ : P.last.B a₂ → P.last.M
h₂ : x.dest = ⟨a₂, f₂⟩
f' : MvPFunctor.M.Path P x ⟹ α
⊢ MvPFunctor.M.dest' P h₁ f' = MvPFunctor.M.dest' P h₂ f'
G : Type u
M✝ : Type v
α✝ : Type w
s : Set α✝
M : Type uM
N : Type uN
α : Type uα
β : Type uβ
inst✝⁷ : MeasurableSpace M
inst✝⁶ : MeasurableSpace N
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : SMul M α
inst✝² : SMul M β
inst✝¹ : MeasurableSMul M β
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure M α μ
f : α → β
hsmul : ∀ (m : M) (a : α), f (m • a) = m • f a
hf : Measurable f
m : M
S : Set β
hS : MeasurableSet S
⊢ μ (f ⁻¹' ((fun x => m • x) ⁻¹' S)) = μ ((fun x => m • f x) ⁻¹' S)
R : Type u
x : R
y : Tropical R
⊢ Tropical.trop x = y ↔ x = Tropical.untrop y
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ici a, HasDerivAt g (g' x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioi a, 0 ≤ g' x
hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)
⊢ ContinuousWithinAt g (Ici a) a
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
h : Disjoint s t
hs : MeasurableSet s
⊢ μ.restrict (s ∪ t) = μ.restrict s + μ.restrict t
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
⊢ I ≤ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
PredOrder α
⊢ GaloisConnection Order.pred Order.succ
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n * p).reverse = p.reverse
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ a +ᵥ ↑s = ↑s
M : Type u_1
Monoid M
S T : Subgroup Mˣ
⊢ S.ofUnits ≤ T.ofUnits ↔ S ≤ T
a b : Int
⊢ b ∣ ↑(a.lcm b)
n : Nat
k : Fin (n + 1)
⊢ k * 1 = k
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f g : S.LocalizationMap N
⊢ f = g ↔ ∀ (x : M), f.toMap x = g.toMap x
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f g : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h : ∀ (x : L₁), f x = g x
⊢ f = g
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
⊢ (Finsupp.total ι M R ⇑b) (b.repr x) = x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α
h : TendstoLocallyUniformly F f p
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
U : α → Set α
t : Finset ↑univ
ht : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x
hU : ∀ (x : { x // x ∈ t }), ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ U ↑↑x, (f y, F n y) ∈ V
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : α), (f x, F n x) ∈ V
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
ε : α
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ i, abv (f j - f k) < ε
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
E : MorphismProperty.LeftFraction.Localization W ≌ D := uniq (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
e : MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W ⋙ E.functor ≅ L := compUniqFunctor (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
f' : E.functor.obj X ⟶ E.functor.obj Y
⊢ ∃ φ, e.inv.app X ≫ f' ≫ e.hom.app Y = φ.map L ⋯
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
r : R
⊢ (TensorAlgebra.ι R) x = (algebraMap R (TensorAlgebra R M)) r ↔ x = 0 ∧ r = 0
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
x : X
L : Filter X
h : ¬Tendsto id L (𝓝 x)
U : Set X
U_nhd : U ∈ 𝓝 x
hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U
Uint_nhd : interior U ∈ 𝓝 x
f : X →ᵇ ℝ≥0
fx_eq_one : f x = 1
f_vanishes_outside : ∀ y ∈ (interior U)ᶜ, f y = 0
⊢ ∀ x ∉ U, ↑(f x) ∉ Ioi 0
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : MeasurableSet s
⊢ (μ.restrict s).toOuterMeasure = (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict s) μ.toOuterMeasure
α : Type u_1
ι : Type u_3
f : ι → α →₀ ℕ
s : Finset ι
⊢ Finsupp.toMultiset (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, Finsupp.toMultiset (f i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ X.rightUnitor.inv.F = CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst
α : Type u_1
s : Set α
PartialOrder α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ maximals (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑(lowerClosure s) = s
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ 1 < a * b⁻¹ ↔ b < a
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
h : FreeGroup.Red L₁ L₂
⊢ L₂.length ≤ L₁.length
R : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Semiring R
Module R M
TopologicalSpace M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace.SeparableSpace R
ContinuousAdd M
ContinuousSMul R M
s : Set M
hs : TopologicalSpace.IsSeparable s
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable ↑(Submodule.span R s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.RightHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ h).Q = h.Q
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
p : X = Y
⊢ F.mapIso (CategoryTheory.eqToIso p) = CategoryTheory.eqToIso ⋯