ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SecondCountableTopology H
s : Set M
hs : ⋃ x ∈ s, (chartAt H x).source = univ
hsc : s.Countable
⊢ SecondCountableTopology M
ι : Sort u_1
G : Type u_2
Group G
S : ι → Subgroup G
⊢ (iInf S).op = ⨅ i, (S i).op
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M : Matrix m n α
⊢ Mᵀᵀ = M
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Group β
f✝ : α → β
hf✝ : IsGroupHom f✝
f : α → β
hf : IsGroupHom f
h : Function.Injective f
x✝ : α
⊢ f x✝ = f 1 → x✝ = 1
p : Real.Angle → Prop
θ : Real.Angle
h : ∀ (x : ℝ), p ↑x
⊢ p θ
α : Type u_2
Group α
a : α
⊢ (fun x => a⁻¹ * x) ⁻¹' 1 = {a}
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x : ℝ
⊢ ⊥ < ↑x → limsup (u + v) f ≤ ↑x
α : Type u_1
s : Set α
x : ↑s
⊢ Set.inclusion ⋯ x = x
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x
fy₁ : ↥(map f I₁) := ⟨f y₁, ⋯⟩
fy₂ : ↥(map f I₂) := ⟨f y₂, ⋯⟩
⊢ ⁅f y₁, f y₂⁆ ∈ ⁅map f I₁, map f I₂⁆
α : Type u_1
DecidableEq α
AddCommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ e +ᵥ (Finset.addDysonETransform e x).2 ⊆ (Finset.addDysonETransform e x).1
m : ℕ
h : 2 ≤ 2 + m
⊢ (finRotate (2 + m)).cycleType = {2 + m}
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
DecidableEq κ
g : ι → κ
h : ∀ i ∈ s, g i ∈ t
f : ι → α
⊢ ∏ j ∈ t, ∏ i ∈ Finset.filter (fun i => g i = j) s, f i = ∏ i ∈ s, f i
α : Type u_2
M : Matroid α
X Y : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M.closure X ⊆ M.closure Y ↔ X ⊆ M.closure Y
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : IsOpenMap f
hfc : Continuous f
s : Set Y
⊢ f ⁻¹' frontier s = frontier (f ⁻¹' s)
α : Type ua
UniformSpace α
t : Set (α × α)
⊢ closure t = ⋂ d ∈ 𝓤 α, d ○ (t ○ d)
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder β
l : Filter α
f g : α → β
h : ∀ (n : α), f n ≤ g n
⊢ Filter.Tendsto f l Filter.atTop → Filter.Tendsto g l Filter.atTop
V : Type u_1
G₁ G₂ : SimpleGraph V
Fintype ↑G₁.edgeSet
Fintype ↑G₂.edgeSet
Fintype ↑(G₁ ⊔ G₂).edgeSet
DecidableEq V
⊢ (G₁ ⊔ G₂).edgeFinset = G₁.edgeFinset ∪ G₂.edgeFinset
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
hc : 0 < c
⊢ a / b < c ↔ a / c < b
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeInf L
OrderTop L
ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
x : X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousAt (f i) x
⊢ ContinuousAt (s.inf f) x
ι : Type u_1
LinearOrder ι
SuccOrder ι
IsSuccArchimedean ι
PredOrder ι
i0 : ι
⊢ Function.Injective (toZ i0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
e : α ≃ β
a b : α →₀ M
⊢ mapDomain (⇑e) (a + b) = mapDomain (⇑e) a + mapDomain (⇑e) b
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ g i
⊢ CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r : ℝ
hpos : 0 < r
hr : Pairwise fun x x_1 => r ≤ dist x x_1
⊢ UniformSpace.toTopologicalSpace = ⊥
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x
⊢ x ^ y ≤ x ^ z ↔ y ≤ z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Group G
LieGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
n : ℕ∞
f : M → G
s : Set M
hf : ContMDiffOn I' I n f s
⊢ ContMDiffOn I' I n (fun x => (f x)⁻¹) s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
n : ℕ
inst✝ : Fintype α
P : α → ℕ
hP : ∑ i : α, P i = n
a : α
⊢ Multiset.count a (Finsupp.toMultiset (Finsupp.equivFunOnFinite.symm P)) = (Multiset.map (fun b => Multiset.count a (↑⟨P, hP⟩ b • {b})) univ.val).sum
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
Finite ι
Preorder ι'
Nonempty ι'
IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1
Order.Coframe α
f : ι → ι' → α
hf : ∀ (i : ι), Antitone (f i)
⊢ ⨅ j, ⨆ i, f i j = ⨆ i, ⨅ j, f i j
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.prod ν)
A : ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (z : α × β), AEMeasurable.mk f hf z ∂μ.prod ν
B : ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), AEMeasurable.mk f hf (x, y) ∂ν ∂μ
⊢ ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
s : Set (Set β)
f : α → β
h : ∀ t ∈ s, MeasurableSet (f ⁻¹' t)
⊢ Measurable f
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Module.IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Module.Dual R M
⊢ ↑(e ≪≫ₗ e.flip.symm.dualMap) = Module.Dual.eval R N
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m : M
hm : m ∈ Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ
hm' : m ∉ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support
⊢ (fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ) m = 0
α : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Conservative id μ
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ volume (Metric.closedBall x r) = ENNReal.ofReal r ^ finrank ℝ E * ENNReal.ofReal (√π ^ finrank ℝ E / Gamma (↑(finrank ℝ E) / 2 + 1))
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
Monoid M
S : Set (MonoidAlgebra R M)
hS : Algebra.adjoin R S = ⊤
⊢ Algebra.adjoin R (⋃ f ∈ S, ⇑(MonoidAlgebra.of R M) '' ↑f.support) = ⊤
R : Type u_2
M : Type u_5
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
NoZeroSMulDivisors R M
c : R
x : M
⊢ c • x = 0 ↔ c = 0 ∨ x = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsCoatom (ker f)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s ∩ (t ∩ u) = s ∩ t ∩ (s ∩ u)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
⊢ (-A).det = (-1) ^ Fintype.card n • A.det
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f : α → β
l' : Filter α
h : Filter.EventuallyConst f l
hl' : l' ≤ l
⊢ Filter.EventuallyConst f l'
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
⊢ f '' minimals r x = minimals s (f '' x)
α : Sort u
β : Sort v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
ha : WellFounded r
hb : WellFounded s
⊢ WellFounded (PSigma.RevLex r s)
α : Type u_1
a : α
Inhabited α
l : List α
⊢ l.head? = some a → l.head! = a
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : SetLike σ R
inst✝⁶ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝⁵ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝⁴ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝³ : Sub ι
inst✝² : OrderedSub ι
inst✝¹ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
inst✝ : Decidable (i ≤ n)
h : i ≤ n
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) i) r * r') n) = ↑r * ↑(r' (n - i))
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
hval : padicValRat p q ≠ padicValRat p r
⊢ padicValRat p (q + r) = min (padicValRat p q) (padicValRat p r)
ι : Type u_1
G : Type u_9
LinearOrderedAddCommGroup G
f : ι → G
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
⊢ |∑ i ∈ s, f i| = ∑ i ∈ s, f i
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_5
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
⊢ LinearMap.eqLocus f f = ⊤
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : AEMeasurable φ μ
f : β → G
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (MeasureTheory.Measure.map φ μ)
⊢ ∫ (y : β), f y ∂MeasureTheory.Measure.map φ μ = ∫ (x : α), f (φ x) ∂μ
n : ℕ
⊢ Subsingleton (ZMod n) ↔ n = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
⊢ ∀ (x : E), (∃ i, ∃ (_ : ‖i‖ ≤ 1), x ∈ a • i • s) → ∃ i, ∃ (_ : ‖i‖ ≤ 1), x ∈ i • s
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
s : σ
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ MvPowerSeries.X s ∣ φ ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), m s = 0 → (MvPowerSeries.coeff R m) φ = 0
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c ≠ 0
⊢ P.toPoly.leadingCoeff = P.c
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
f g : α →o β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous (sSup {f, g})
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
unmop : C
⊢ (CategoryTheory.mopFunctor C).obj unmop = { unmop := unmop }
X : Type u
m₁ m₂ : X → X → X
e₁ e₂ : X
h₁ : EckmannHilton.IsUnital m₁ e₁
h₂ : EckmannHilton.IsUnital m₂ e₂
distrib : ∀ (a b c d : X), m₁ (m₂ a b) (m₂ c d) = m₂ (m₁ a c) (m₁ b d)
⊢ Std.Commutative m₂
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℤ
⊢ P (g ^ n)
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : ↑u = a
⊢ ↑u⁻¹ * a = 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
c : k
⊢ ∑ x ∈ s, (c • weightedVSubVSubWeights k j i) x + ∑ x ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i x = 1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ ⌊a⌋ ≤ -1 ↔ a < 0
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
a : α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : IsDirected β fun x x_1 => x ≥ x_1
inst✝ : Nontrivial β
⊢ ∃ a b, a < b
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ ⇑f.toContinuousLinearMap = ⇑f
G : Type u_12
DivisionCommMonoid G
⊢ (MulEquiv.inv G).symm = MulEquiv.inv G
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
X✝ Y✝ : StructuredArrow F (const J)
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J
⊢ ((fun c => { pt := c.right, ι := c.hom }) X✝).ι.app j ≫ f.right = ((fun c => { pt := c.right, ι := c.hom }) Y✝).ι.app j
α : Type u_1
Countable α
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
⊢ p.toMeasure.toPMF = p
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
f✝ : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
M₀ : Type u_4
inst✝ : Zero M₀
f : X → M₀
⊢ f =ᶠ[𝓝 x] 0 ↔ x ∉ closure (Function.support f)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
X : StructuredArrow S T
⊢ (eqToHom ⋯).right = eqToHom ⋯
R₃ : Type u_7
CommRing R₃
ι : Type u_12
DecidableEq ι
Fintype ι
B : LinearMap.BilinForm R₃ (ι → R₃)
⊢ (LinearMap.BilinForm.toMatrix' B).Nondegenerate ↔ B.Nondegenerate
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ interior s = Set.univ ↔ s = Set.univ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H K : LieSubalgebra R L
h₁ : H ≤ K
h₂ : K ≤ H.normalizer
⊢ ∀ (x y : L), x ∈ K → y ∈ H → ⁅x, y⁆ ∈ H
X : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingParallelFamilyEquivWalkingParallelPair.counitIso.inv.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
this : (bind₁ (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ))) (W_ ℚ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)
⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ (wittStructureInt p Φ)) (W_ ℤ n)) = (map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ)
X : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace X
Monoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
f : C(X, M)ˣ
x : X
⊢ ↑((ContinuousMap.unitsLift.symm f) x)⁻¹ = ↑f⁻¹ x
R : Type u
S : Type v
CommRing R
f : R[X]
DistribSMul S R
IsScalarTower S R R
a : S
x : R[X]
⊢ a • (AdjoinRoot.mk f) x = (AdjoinRoot.mk f) (a • x)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v w : HeightOneSpectrum R
hw : w ≠ v
hw_fact : ↑w.asIdeal = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑w.asIdeal
hw_ne_zero : ↑w.asIdeal ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hw' : Irreducible (Associates.mk w.asIdeal)
⊢ ¬⟨Associates.mk v.asIdeal, hv⟩ = ⟨Associates.mk w.asIdeal, hw'⟩
σ : Type u_1
M : Type u_3
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
s : σ
f : σ →₀ ℕ
hs : f s ≠ 0
⊢ w s ≤ (Finsupp.weight w) f
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring S✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid A
inst✝⁹ : Algebra R S✝
inst✝⁸ : Module S✝ A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R S✝ A
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x : S
a : Set S
hx : x ∈ span R a
⊢ (algebraMap S T) x ∈ span R (⇑(algebraMap S T) '' a)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hμst : μ (symmDiff s t) ≠ ⊤
⊢ μ s ≠ ⊤ ↔ μ t ≠ ⊤
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}
⊢ (⨆ i, f i) + c = ⨆ i, f i + c
α : Type u_1
DecidableEq (Option α)
s : Finset (Option α)
⊢ Finset.insertNone (Finset.eraseNone s) = insert none s
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
v : ℕ → ℝ
v_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < v n
v_lim : Tendsto v atTop (𝓝 0)
this : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a| < v i * ↑⌊c ^ n⌋₊
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a| < v i * ↑⌊c ^ n⌋₊
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, truncation (X i) ↑i) a‖ ≤ ε * ‖↑⌊c ^ x⌋₊‖
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (o.oangle x (y - x)).sign = (o.oangle x y).sign
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddGroup G
f : α →₀ G
a a' : α
h : a ≠ a'
⊢ (erase a f) a' = (f - single a (f a)) a'
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : α → Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : (i : α) → Set (β i)
f : (i : { x // p x }) → β ↑i
g : (i : { x // ¬p x }) → β ↑i
i : α
⊢ (piEquivPiSubtypeProd p β).symm (f, g) i ∈ s i ↔ (∀ (b : p i), f ⟨i, b⟩ ∈ s i) ∧ ∀ (b : ¬p i), g ⟨i, b⟩ ∈ s i
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ Filter.Tendsto (Metric.closedBall x) (𝓝 0) (𝓝 x).smallSets
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1
⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun μ (weightedSMul μ) ⋯ f + setToFun ν (weightedSMul ν) ⋯ f
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
u : Fin (rank K) → (𝓞 K)ˣ
w₁ w₂ : InfinitePlace K
e₁ : { w // w ≠ w₁ } ≃ Fin (rank K)
e₂ : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K)
f : Fin (rank K + 1) ≃ InfinitePlace K := (finSuccEquiv (rank K)).trans ↑((Equiv.optionSubtype w₁).symm e₁.symm)
g : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K) := (f.symm.subtypeEquiv ⋯).trans (finSuccAboveEquiv (f.symm w₂)).symm
h_col : |((Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).submatrix (⇑(g.trans e₂.symm)) id).det| = |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).det|
⊢ ∀ (i : Fin (rank K)), ∑ j : Fin (rank K + 1), Matrix.of (fun i w => ↑(f w).mult * Real.log ((f w) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u i)))) i j = 0
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b : G
⊢ a - b - a = -b
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
hH : H ≤ K
⊢ K.subtype.comp (AddSubgroup.inclusion hH) = H.subtype
R L K : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsAlgClosed K
ι : Type u
v : ι → K
hv✝ hv : IsTranscendenceBasis R v
⊢ max (max (max #R #ι) ℵ₀) ℵ₀ = max (max #R #ι) ℵ₀
M : Type u_1
CommMonoid M
a : M
⊢ IsUnit a ↔ ∃ b, a * b = 1
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
n : ℕ
h : ¬p = 0
⊢ ↑n < p.degree ↔ n < p.natDegree
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝ : MeasurableSpace ι
h : ProgMeasurable f u
i : ι
⊢ StronglyMeasurable (u i)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
c : β
⊢ Antitone fun x => c
R : Type u
M : Type v
SMul R M
p : SubMulAction R M
⊢ ⇑p.subtype = Subtype.val
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
ts : Set (TopologicalSpace E)
h : ∀ t ∈ ts, LocallyConvexSpace 𝕜 E
⊢ LocallyConvexSpace 𝕜 E
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime
⊢ x ⊓ xᶜ ∈ I
α : Type u
Ord α
a b : ULift.{u_1, u} α
⊢ compare a.down b.down = compare a b
p : ZFSet → ZFSet → Prop
x y z : ZFSet
⊢ z ∈ ZFSet.pairSep p x y ↔ ∃ a ∈ x, ∃ b ∈ y, z = a.pair b ∧ p a b
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
⊢ (S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom) ≫ S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι = S.iCycles ≫ S.pOpcycles
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
i : σ
c : R
⊢ p.degrees = (C c).degrees + p.degrees
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommSemiring K
i : R →+* K
a b : R
bi : K
N : ℕ
f g : R[X]
x✝¹ : DenomsClearable a b N f i
x✝ : DenomsClearable a b N g i
Df : R
bf : K
bfu : bf * i b = 1
Hf : i Df = i b ^ N * eval (i a * bf) (Polynomial.map i f)
Dg : R
bg : K
bgu : bg * i b = 1
Hg : i Dg = i b ^ N * eval (i a * bg) (Polynomial.map i g)
⊢ i b ^ N * eval (i a * bf) (Polynomial.map i f) + i b ^ N * eval (i a * bg) (Polynomial.map i g) = i b ^ N * eval (i a * bf) (Polynomial.map i f) + i b ^ N * eval (i a * bf) (Polynomial.map i g)
R : Type u_1
CommSemiring R
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
n : ℕ
x y : R
⊢ (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
i : SigmaFinite ν
i' : HasFundamentalDomain G α ν
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn univ)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : (forget C).obj X), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
AddGroup β
LE β
CovariantClass β β (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : α → β
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] g - f ↔ f ≤ᵐ[μ] g
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
G' : Type u_8
Norm E
Norm F
SeminormedAddCommGroup G'
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
k : α → G'
hfg : f =o[l] g
hgk : g =O[l] k
⊢ f =o[l] k
α : Type u_2
Lattice α
L : Sublattice α
s : Set α
hs : s = ↑L
⊢ ↑(L.copy s hs) = s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Mon_ (CategoryTheory.Functor C C)
⊢ (CategoryTheory.Monad.ofMon M).η = M.one
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
hx : IsIntegral A x
⊢ (if hx : IsIntegral A x then ⋯.min (fun x_1 => x_1.Monic ∧ eval₂ (algebraMap A B) x x_1 = 0) hx else 0).Monic
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
⊢ integral μ (map (ENNReal.toReal ∘ g) f) = (∫⁻ (a : α), g (↑f a) ∂μ).toReal
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
f : α → βᵐᵒᵖ
⊢ MulOpposite.unop (∑ x ∈ s, f x) = ∑ x ∈ s, MulOpposite.unop (f x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
f_seq : ℕ → β →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯
hf_seq_meas : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable ↑(f_seq n)
hf_seq_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) μ
hf_seq_int_m : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) (μ.trim hm)
hf_seq_eq : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ = ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ.trim hm
⊢ ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Compacts α
a : ι
s : Finset ι
x✝ : a ∉ s
h : ↑(s.sup f) = s.sup fun i => ↑(f i)
⊢ ↑(f a) ∪ ↑(s.sup f) = ↑(f a) ∪ s.sup fun i => ↑(f i)