ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder α r
IsWellOrder β s
⊢ Ordinal.type (Prod.Lex s r) = Ordinal.type r * Ordinal.type s
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < c → c < b → a ≠ ⊤
⊢ (b - c) * a = b * a - c * a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMulZeroClass α β
inst✝ : FloorDiv α β
f : ι →₀ β
a : α
⊢ (f ⌊/⌋ a).support ⊆ f.support
γ : Type w
EMetricSpace γ
x y : γ
⊢ 0 < edist x y ↔ x ≠ y
α : Type u_2
Div α
s : Set α
⊢ ∅ / s = ∅
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
m n k : α
H : k ∣ m * n
⊢ k ∣ m * gcd k n
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero α
a b c d x y z : α
n : ℕ
⊢ 0 ≤ a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ LieSubmodule.map N.incl ⊤ = N
ι : Type u_1
n : ℕ
s✝ : Finset ι
s : Multiset (ZMod n)
hs : 2 * n - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = n ∧ t.sum = 0
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
he : IsEmpty σ
a : R
j : σ →₀ ℕ
⊢ ((MvPolynomial.isEmptyAlgEquiv R σ).symm a) j = Pi.single 0 a j
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard✝ : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H i)
hheadtail : i ≠ j
h : H i
hn1 : h ≠ 1
hnh : h ≠ w.head⁻¹
hnot1 : h * w.head ≠ 1
w' : NeWord H i i := (w.mulHead h hnot1).append ⋯ (NeWord.singleton h⁻¹ ⋯)
hw' : (lift f) w'.prod ≠ 1
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
⊢ eVariationOn (f ∘ φ) t = eVariationOn f (φ '' t)
X : TopCat
p₀ : ↑X
(U : TopologicalSpace.Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
CategoryTheory.Category.{u, v} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
𝓕 : TopCat.Presheaf C X
⊢ (StalkSkyscraperPresheafAdjunctionAuxs.unit p₀).app 𝓕 =
  StalkSkyscraperPresheafAdjunctionAuxs.toSkyscraperPresheaf p₀ (𝟙 (((𝟭 (TopCat.Presheaf C X)).obj 𝓕).stalk p₀))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
⊢ ContDiffOn 𝕜 0 f s ↔ ContinuousOn f s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α
⊢ max (a / c) (b / c) = max a b / c
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
f : V → E
hf_int : MeasureTheory.Integrable f MeasureTheory.volume
hvf_int : MeasureTheory.Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) MeasureTheory.volume
⊢ fderiv ℝ (𝓕 f) = 𝓕 (VectorFourier.fourierSMulRight (innerSL ℝ) f)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → One (α i)
i : ι
b : α i
⊢ Pi.mulSingle i '' Set.Ioc 1 b = Set.Ioc 1 (Pi.mulSingle i b)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0
⊢ p₃ ≠ p₂
α : Type u
Add α
a b c : WithTop α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ha : a ≠ ⊤
⊢ b + a < c + a ↔ b < c
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
v : Fin n → M
⊢ (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod ∈ ↑(⋀[R]^n M)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r✝ : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
r : β → β → Prop
inst✝ : IsTrans β r
f : ℕ → β
a : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), a ≤ n → r (f n) (f (n + 1))
b c : ℕ
hab : a ≤ b
k : ℕ
b_lt_k : b.succ.le k
r_b_k : r (f b) (f k)
⊢ r (f b) (f k.succ)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
⊢ D f K ⊆ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
hI : ↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R) ≠ ∅
⊢ ⊤.annihilator ≠ ⊥
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c x : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ EuclideanGeometry.inversion c R x = c ↔ x = c
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0
hf_eq_zero : f =ᶠ[ae μ] 0
⊢ f * g =ᶠ[ae μ] 0 * g
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
r : ℝ≥0∞
h : ∃ y, infEdist y s ≤ ENNReal.ofReal δ ∧ edist x y < r - ENNReal.ofReal δ
⊢ infEdist x s < r
α : Type u
β : Type v
S : WSeq (Computation α)
a : α
h : a ∈ parallel S
⊢ ∃ c, c ∈ S ∧ a ∈ c
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
a b : β
⊢ {a} -ᵥ {b} = {a -ᵥ b}
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
F : CategoryTheory.Functor C D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
⊢ ∀ (a : A ⟶ (CategoryTheory.Monad.comparison adj).obj B),
  (CategoryTheory.Monad.MonadicityInternal.comparisonLeftAdjointHomEquiv adj A B).symm a =
    (CategoryTheory.Limits.Cofork.IsColimit.homIso
          (CategoryTheory.Limits.colimit.isColimit
            (CategoryTheory.Limits.parallelPair (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))))
          B).symm
      ⟨CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map a.f) (adj.counit.app B), ⋯⟩
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsPreimmersion g
inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)
R : Type u
CommRing R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.comap (RingHom.id R) U U ⋯ =
  RingHom.id ↑((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.obj (Opposite.op U))
S : Type u
Semiring S
⊢ ascPochhammer S 0 = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
s : Set M
n : ℕ∞
f : M → M'
g : M → N'
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hg : ContMDiffOn I J' n g s
⊢ ContMDiffOn I (I'.prod J') n (fun x => (f x, g x)) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
f g h : C
η η' : g ⟶ h
θ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f g ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f h
pf_η : η = η'
pf_θ : CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft f η' = θ
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft f η = θ
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
a : α
⊢ a ∈ Stream'.WSeq.cons a s
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.44267, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b) (a ≫ φ₂)
p : ℤ
⊢ (mapOfHomotopy H ≫ (triangle φ₂).mor₃).f p = ((triangle φ₁).mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map a).f p
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
s t : Set α
f : α → E
x : α
⊢ edist (s.indicator f x) (t.indicator f x) = ↑‖(symmDiff s t).indicator f x‖₊
n : ℤ
k p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ↑p ∣ n ^ k
⊢ ↑p ∣ n
E : Type u_1
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
T2Space E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
⊢ Euclidean.closedBall x r = ⇑toEuclidean.symm '' Metric.closedBall (toEuclidean x) r
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : o.card < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c.ord, f i hi b < c.ord
a : Ordinal.{u}
⊢ a < c.ord → o.derivBFamily f a < c.ord
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : M → Prop
hp₀ : p 1
hp₁ : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)
h✝ : ¬(mulSupport ((fun i => f i) ∘ PLift.down)).Finite
⊢ p 1
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.Preadditive V
X Y : Action V G
f : X ⟶ Y
⊢ (-f).hom = -f.hom
α : Type u_5
d x : α
⊢ WithTop.untop' d ↑x = x
α : Type u_1
β : Type v
s : Multiset α
f g : α → Multiset β
⊢ (s.bind fun a => f a + g a) = s.bind f + s.bind g
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ p = {p}.prod
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
f : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ f.num ∈ 𝒜 f.deg
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M.Base ∅ ↔ M = Matroid.loopyOn M.E
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hab : a + b ≤ 1
hp1 : 1 ≤ p
h_le_one : ∀ x ≤ 1, x ^ p ≤ x
ha : a ≤ 1
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ 1
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
⊢ Submodule.span R (Set.range ⇑(ExteriorAlgebra.ιMulti R n)) = ⋀[R]^n M
α✝ : Type u
β : Type v
a b : α✝
inst✝² : CommSemiring α✝
I : Ideal α✝
α : Type u
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : IsDomain α
x y : α
⊢ span {x} = span {y} ↔ Associated x y
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
StrongRankCondition R
N : Submodule R M
Fintype ι
b : Basis ι R M
Fintype ι'
b' : Basis ι' R ↥N
⊢ Fintype.card ι' ≤ Fintype.card ι
X : Type u
m₁ m₂ : X → X → X
e₁ e₂ : X
h₁ : IsUnital m₁ e₁
h₂ : IsUnital m₂ e₂
distrib : ∀ (a b c d : X), m₁ (m₂ a b) (m₂ c d) = m₂ (m₁ a c) (m₁ b d)
⊢ m₁ = m₂
A : Type u_1
SeminormedGroup A
n : ℕ
δ : ℝ
a : A
⊢ a ∈ approxOrderOf A n δ ↔ ∃ b, orderOf b = n ∧ a ∈ Metric.ball b δ
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R ≃+* R'
j : S ≃+* S'
hc : (algebraMap R' S').comp i.toRingHom = j.toRingHom.comp (algebraMap R S)
r : R
x✝ : S
this : (algebraMap R' S') (i r) = j ((algebraMap R S) r)
⊢ ↑j (r • x✝) = ↑i r • ↑j x✝
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_4
DecidableEq ι
i j t : ι
hi : t ≠ i
hj : t ≠ j
c : k
⊢ Finset.affineCombinationLineMapWeights i j c t = 0
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V
h : G.chromaticNumber = 0
⊢ IsEmpty V
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
⊢ W.addX P Q = ((P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) ^ 2 + W.a₁ * (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) * P z * Q z * addZ P Q - W.a₂ * P z ^ 2 * Q z ^ 2 * addZ P Q ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * addZ P Q ^ 2 - Q x * P z ^ 2 * addZ P Q ^ 2) / (P z * Q z) ^ 2
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
β : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
x✝ : D
⊢ ((fun α => { app := fun X => adj₂.unit.app ((R₁ ⋙ G).obj X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => R₂.map ({ app := fun X => α.app (R₁.obj X), naturality := ⋯ }.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => (H ⋙ R₂).map (adj₁.counit.app X), naturality := ⋯ }) ((fun β => { app := fun X => (G ⋙ L₂).map (adj₁.unit.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => L₂.map ({ app := fun X => β.app (L₁.obj X), naturality := ⋯ }.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => adj₂.counit.app ((L₁ ⋙ H).obj X), naturality := ⋯ }) β)).app x✝ = β.app x✝
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
⊢ ∀ (a : X), ∃ x ∈ Set.range fun x => orbit G x, a ∈ x
M : Type u_4
CommMonoid M
x y z : M
hy : x * y = 1
hz : x * z = 1
⊢ y = z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ Bimod.LeftUnitorBimod.inv P ≫ Bimod.LeftUnitorBimod.hom P = 𝟙 P.X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a : α
f : α →₀ M
⊢ (erase a f) a = 0
X Y : Grp
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : ↑X), f x = g x
⊢ f = g
ι : Type u
X : Type v
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝¹ : NormalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
this : Fact (finrank ℝ F = finrank ℝ F)
o : Orientation ℝ F (Fin (finrank ℝ F)) := (stdOrthonormalBasis ℝ F).toBasis.orientation
⊢ o.volumeForm.measure (parallelepiped ⇑b) = 1
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit x
⊢ Ring.inverse x * y = z ↔ y = x * z
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
f g : ↥(Lp E p μ)
s : Set X
⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(f + g) x = (↑↑f + ↑↑g) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) ⋯) x = ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x
n : ℕ
hn : IsPrimePow n
⊢ n.minFac ^ n.factorization n.minFac = n
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
hs : TopologicalSpace.IsSeparable s
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ closure t
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ nonZeroDivisors R
x : R
s c : ↥M
e : ↑c * x * a = 0
⊢ mk' S x s = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f g : Π₀ (i : ι), α i
a✝ : ι
⊢ ¬f a✝ ⊓ g a✝ = 0 ↔ ¬f a✝ = 0 ∧ ¬g a✝ = 0
α : Type u_1
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ Finset.image₂ Prod.mk s t = s ×ˢ t
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c a b : G
⊢ a⁻¹ * (a * b) = b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
self : HasUpperLowerClosure α
s : Set α
⊢ IsOpen s → IsOpen ↑(upperClosure s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x = c • ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ MeasureTheory.condexpInd G hm μ ∅ = 0
⊢ ⋃ r, Set.Iic ↑r = Set.univ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T_open : ∀ t ∈ ∅, IsOpen t
T_count : ∅.Countable
T_int : t = ⋂₀ ∅
⊢ HasSeparatingCover s t
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
⊢ ⟪x, r • x⟫_ℝ = r * (‖x‖ * ‖x‖)
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
R₁ : Type u_5
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
Monoid R₁
DistribMulAction R₁ R
SMulCommClass R₁ R R
r : R₁
x y : PiTensorProduct R fun i => s i
⊢ r • (x + y) = r • x + r • y
s : ℂ
hs : 1 < s.re
h : L (fun n => ↑(ζ n)) s = 0
⊢ False
J : Type v
inst✝² : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J
inst✝ : HasColimit F
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
⊢ (equivShrink (Quot F)) (Quot.mk (Quot.Rel F) ⟨i, xi⟩) = (equivShrink (Quot F)) (Quot.mk (Quot.Rel F) ⟨j, xj⟩) ↔ FilteredColimit.Rel F ⟨i, xi⟩ ⟨j, xj⟩
α : Type u_1
M : Matroid α
I X J : Set α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hJ : M.Basis J X
⊢ ∃ I', M.Basis I' X ∧ I ⊆ I' ∧ I' ⊆ I ∪ J
n : Nat
i : Fin (n + 1)
⊢ (∃ j, j.castSucc = i) ↔ i ≠ Fin.last n
b : Bool
⊢ b = false ∨ b = true ↔ True
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R
⊢ u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0 + u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1 + u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2 = ![u, v, w] 0 0 * ![u, v, w] 1 1 * ![u, v, w] 2 2 - ![u, v, w] 0 0 * ![u, v, w] 1 2 * ![u, v, w] 2 1 - ![u, v, w] 0 1 * ![u, v, w] 1 0 * ![u, v, w] 2 2 + ![u, v, w] 0 1 * ![u, v, w] 1 2 * ![u, v, w] 2 0 + ![u, v, w] 0 2 * ![u, v, w] 1 0 * ![u, v, w] 2 1 - ![u, v, w] 0 2 * ![u, v, w] 1 1 * ![u, v, w] 2 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬Irreducible W.polynomial
f g : R[X]
h0 : { a := -1, b := -W.a₂, c := -W.a₄, d := -W.a₆ }.toPoly = f * g
h1 : { a := 0, b := 0, c := W.a₁, d := W.a₃ }.toPoly = f + g
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : UniqueDiffOn ℝ s
i : ℕ
right✝ : ∀ (m : ℕ), ↑m < ↑n → DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin m f s) s
hf_left : ↑i ≤ ↑n → ContinuousOn (iteratedDerivWithin i f s) s
hi : i < n + 1
⊢ ContinuousOn (iteratedDerivWithin i f s) s
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
⊢ ∑' (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (sFiniteSeq μ n) Set.univ ≤ 1
α : Type u_1
β : Type v
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
s : Multiset α
x : α
h : x ∈ s
⊢ Multiset.map f (s.erase x) = (Multiset.map f s).erase (f x)
α : Type u_1
NonAssocSemiring α
⊢ ⇑(Nat.castRingHom α) = Nat.cast
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
a : α
l : Filter β
s : Set α
f : β → α
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝[s] a) ↔ Filter.Tendsto f l (𝓝 a) ∧ ∀ᶠ (n : β) in l, f n ∈ s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f = 0
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u
ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u
⊢ χ = X ^ r
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
⊢ Wbtw R x y z ↔ z = y ∨ x ∈ ⇑(lineMap z y) '' Set.Ici 1
n : ℕ
A : Type u
α : TypeVec.{u} n
x : MvQPF.Const n A α
⊢ MvQPF.Const.mk x.get = x
ι : Type u_1
l : List ι
f : ι → ℝ
hl : ∀ i ∈ l, 0 ≤ f i
r : ℝ
⊢ (List.map (fun x => f x ^ r) l).prod = (List.map f l).prod ^ r
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
q : ℕ
h2 : ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap E K).range
h1 : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar E q
⊢ ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F K).range
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : SemilatticeSup α
c : ClosureOperator α
x y : α
⊢ c (c x ⊔ c y) = c (x ⊔ y)
X : GrpWithZero
⊢ ⇑(𝟙 X) = id
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U
this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), f.app Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (f.app X x)
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
x : F'.obj X✝
⊢ f.app Y✝ (F'.map f✝ x) = ↑(G.toPresheaf.map f✝ ⟨f.app X✝ x, ⋯⟩)
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto Int.ceil (𝓝[≤] ↑n) (pure n)
P : TopCat → Prop
X Y : CompHausLike P
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
a : ↑((CompHausLike.compHausLikeToTop P).obj Y)
⊢ (CompHausLike.isoOfHomeo f).inv a = f.symm a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : SetLike S R
hSR : NonUnitalSubsemiringClass S R
s : S
this : SMulMemClass S ℕ R
⊢ (unitization s).range = subalgebraOfSubsemiring (Subsemiring.closure ↑s)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
hf : SuperpolynomialDecay l k f
⊢ SuperpolynomialDecay l k (k⁻¹ * f)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R
⊢ (∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m p = coeff m 0) ↔ ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d p = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y Z : C
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), ((BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).inv ≫ ((ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z (tensorObj ℬ X Y)).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Z X Y).inv) ≫ (ℬ (ℬ Z X).cone.pt Y).cone.π.app j = ((ℬ X (ℬ Z Y).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 X) (BinaryFan.snd (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone ≫ ((ℬ Y Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z Y).isLimit.swapBinaryFan).hom)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Z Y).inv ≫ (ℬ (ℬ Z X).cone.pt Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X Z).cone.pt Y).cone ≫ ((ℬ X Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z X).isLimit.swapBinaryFan).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X Z).cone.pt Y).cone ≫ 𝟙 Y))) ≫ (ℬ (ℬ Z X).cone.pt Y).cone.π.app j
n : ℕ
β : Type u_1
CommMonoid β
f : ℕ → β
h_mult : ∀ (x y : ℕ), x.Coprime y → f (x * y) = f x * f y
hf0 : f 0 = 1
hf1 : f 1 = 1
⊢ f n = n.factorization.prod fun p k => f (p ^ k)