ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
t : Affine.Triangle R P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
this : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1 := LinearOrderedRing.decidableLT
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h3 : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
r₁ : R
hr₁0 : 0 < r₁
hr₁1 : r₁ < 1
h₁ : Sbtw R (t.points i₂) ((lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁) (t.points i₃)
r₂ : R
hr₂0 : 0 < r₂
hr₂1 : r₂ < 1
h₂ : Sbtw R (t.points i₁) ((lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂) (t.points i₃)
w : Fin (2 + 1) → R
hw : ∑ i ∈ {i₁, i₂, i₃}, w i = 1
hp : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R (Set.range t.points)
h₁' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {(Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationSingleWeights R i₁), (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ r₁)}
h₂' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {t.points i₂, (lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂}
h₁s : SignType.sign (w i₂) = SignType.sign (w i₃)
h₂s : SignType.sign (w i₁) = SignType.sign (w i₃)
hss : SignType.sign (w i₃) = 1
hs' : SignType.sign (∑ i : Fin 3, w i) = SignType.sign (w i₃)
hs : ∀ (i : Fin 3), 0 < w i
⊢ w i₁ < 1
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : ℝ → F
⊢ ∫ (x : ℝ) in f '' s, g x = ∫ (x : ℝ) in s, |f' x| • g (f x)
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.deriv f 0 = Ordinal.nfp f 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : CategoryTheory.Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X : Cᵒᵖ
m : ↑(A.val.obj X)
⊢ PresheafOfModules.Sheafify.smul α φ 1 m = m
b x y : Ordinal.{u_1}
xy : x ≤ y
hx : ¬x = 0
hb : ¬1 < b
⊢ log b x ≤ log b y
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → γ
l : List α
l' : List β
n : ℕ
h : l.length = l'.length
⊢ (zipWith f l l').rotate n = zipWith f (l.rotate n) (l'.rotate n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
g : α → 𝕜
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
h : 1 / 1 = 1 / ⊤ + 1 / 1
⊢ eLpNorm (fun x => g x • f x) 1 μ < ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
InfSet β
f : α → β
s : Finset α
⊢ ⨅ x ∈ ↑s, f x = ⨅ x ∈ s, f x
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯) (o.derivBFamily f a) = o.derivBFamily f a
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Type u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
hS : iUnion S = univ
t : Set β
⊢ (fun a => ⟨a, ⋯⟩) ⁻¹' (inclusion ⋯ ⁻¹' ⋃ i, inclusion ⋯ '' (f i ⁻¹' t)) = ⋃ i, Subtype.val '' (f i ⁻¹' t)
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
p : ℕ
CharP R p
a : ℕ
⊢ ↑a = ↑(a % p)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : R
⊢ (WeierstrassCurve.map W f).toAffine.Nonsingular (f x) (f y) ↔ W.Nonsingular x y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ balancedCore 𝕜 U ∈ 𝓝 0
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝¹ : BorelSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν
key : ∀ {F : Set Ω}, IsClosed F → μ F = ν F
⊢ μ = ν
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
μ : Measure α
⊢ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => ↑f a), g.lintegral μ = f.lintegral μ
B : Type u
Quiver B
a b c : CategoryTheory.FreeBicategory B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : CategoryTheory.FreeBicategory.Hom₂ g h
⊢ (CategoryTheory.FreeBicategory.Hom₂.whisker_left f η).mk = CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η.mk
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
⊢ S.SupIndep fun i => Submodule.torsionBySet R M ↑(p i)
G : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
F : Filter G
this✝ : UniformSpace G := B.uniformSpace
this : UniformAddGroup G
⊢ Cauchy F ↔ F.NeBot ∧ ∀ U ∈ B, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
hg : AntitoneOn g s
⊢ AntitoneOn (fun x => Set.Ioo (f x) (g x)) s
x : SetTheory.PGame
⊢ SetTheory.PGame.Fuzzy 0 (-x) ↔ SetTheory.PGame.Fuzzy 0 x
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
a : α
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
i : ℕ
isLt✝ : i < n + 1 + m
⊢ append (cons a as) bs ⟨i, isLt✝⟩ = (cons a (append as bs) ∘ cast ⋯) ⟨i, isLt✝⟩
α : Type u_1
p : α → Prop
⊢ {a | p a}ᶜ = {a | ¬p a}
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
p : T[X]
⊢ (-p).aroots S = p.aroots S
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
hF : a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3
h1 : 3 ∣ a * b * c
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → List β
g : α → σ
h : α → β × σ → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
⊢ Primrec fun a => List.foldr (fun b s => h a (b, s)) (g a) (f a)
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
DivisionRing K
gp ppred pred : GenContFract.Pair K
nth_s_eq : g.s.get? n = some gp
nth_contsAux_eq : g.contsAux n = ppred
succ_nth_contsAux_eq : g.contsAux (n + 1) = pred
⊢ g.contsAux (n + 2) = { a := gp.b * pred.a + gp.a * ppred.a, b := gp.b * pred.b + gp.a * ppred.b }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
⊢ p.toOuterMeasure s = 0 ↔ Disjoint p.support s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
f_seq : ℕ → β →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯
hf_seq_meas : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable ↑(f_seq n)
hf_seq_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) μ
hf_seq_int_m : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) (μ.trim hm)
hf_seq_eq : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ = ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ.trim hm
h_lim_1 : Tendsto (fun n => ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β), f x ∂μ))
⊢ ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
⊢ ∀ (s : S), ∃ a, IsUnit ((algebraMap R S) a) ∧ ∃ y, (algebraMap R S) y = s * (algebraMap R S) a
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
C : Set (Set P)
hidl : ∀ I ∈ C, IsIdeal I
hD : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) C
hNe : C.Nonempty
⊢ IsIdeal (⋃₀ C)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
⊢ LinearMap.rTensor N f ^ n = LinearMap.rTensor N (f ^ n)
⊢ Pairwise fun m n => 1 ≤ dist m n
α : Sort u
b c : Prop
Decidable b
x : b → α
u : c → α
y : ¬b → α
v : ¬c → α
h_c : b ↔ c
h_t : ∀ (h : c), x ⋯ = u h
h_e : ∀ (h : ¬c), y ⋯ = v h
⊢ dite b x y = dite c u v
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x✝ : ℤ × Fin n
q : ℤ
r : ℕ
hrn : r < n
⊢ (fun a => (a / ↑n, ↑(a.natMod ↑n))) ((fun p => p.1 * ↑n + ↑↑p.2) (q, ⟨r, hrn⟩)) = (q, ⟨r, hrn⟩)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
K : Type u_6
inst✝ : RCLike K
f : α → K
⊢ Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) p μ ∧ Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ → Memℒp f p μ
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
NormedAlgebra ℝ A
ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
a : A
⊢ IsSelfAdjoint (CFC.log a)
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : IsScalarTower R S A
B : Type u_2
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
a : A
h : IsAlgebraic R a
p : R[X]
hp : p ≠ 0
ha : (aeval a) p = 0
⊢ (aeval (f a)) p = 0
α : Type u_1
l : List α
a : α
h : a ∈ l.tail
⊢ a ∈ l
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ 0 ^ y ≠ 0 ∨ c ≠ ⊤
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ yᶜ ≤ xᶜ ↔ x ≤ y
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t s : Set A
x : A
f : A →ₗ[R] B
hf : ∀ (a₁ a₂ : A), f (a₁ * a₂) = f a₁ * f a₂
h : x ∈ adjoin R s
r : R
this : f 1 ∈ adjoin R (⇑f '' (s ∪ {1}))
⊢ (fun a => f a ∈ adjoin R (⇑f '' (s ∪ {1}))) ((algebraMap R A) r)
X₁ X₂ Y : TopCat
f : C(↑X₁, ↑Y)
g : C(↑X₂, ↑Y)
x₀ x₁ : ↑X₁
x₂ x₃ : ↑X₂
p : Path x₀ x₁
q : Path x₂ x₃
hfg : ∀ (t : ↑I), f (p t) = g (q t)
⊢ ∀ (t : ↑I), (p.map ⋯) t = (q.map ⋯) t
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).reverse = l.reverse.concat a
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
⊢ a ⊔ b ⊓ c = (a ⊔ b) ⊓ (a ⊔ c)
α : Type u_1
R S : α → α → Prop
H : ∀ {a b : α}, R a b → S a b
l : List α
⊢ List.Pairwise R l → List.Pairwise S l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
i j : ℕ
hij : i ≤ j
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ν a[fun x => κ.densityProcess ν j a x s|↑(ProbabilityTheory.countableFiltration γ) i] =ᵐ[ν a] fun x =>
  κ.densityProcess ν i a x s
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : T2Space M
f : ℕ → M
hf : Multipliable f
h : Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 m)
⊢ HasProd f m
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') x
a b c : ℝ≥0∞
h0 : a ≠ 0
hinf : a ≠ ⊤
⊢ a * b ≤ a * c ↔ b ≤ c
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Coplanar k s
⊢ 2 < Cardinal.aleph0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
self : PresheafOfModules R
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
r : ↑(R.obj X)
x : ↑(self.presheaf.obj X)
⊢ (self.presheaf.map f) (r • x) = (R.map f) r • (self.presheaf.map f) x
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n A
⊢ (toFunAlgHom R A n) (invFun R A n M) = M
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] M
⊢ LeftInverse ⇑(map g) ⇑(map f) ↔ LeftInverse ⇑g ⇑f
p x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
m : ℤ
⊢ LiouvilleWith p (↑m - x)
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Set α
⊢ ∀ (x : α), x ∈ 1 • s ↔ x ∈ s
G : Type u_1
Mul G
IsRightCancelMul G
a b c : G
⊢ b * a = c * a ↔ b = c
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
UniformSpace E
UniformAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
H : Submodule 𝕜 (α →ᵤ[𝔖] E)
h : ∀ u ∈ H, ∀ s ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (u '' s)
⊢ ContinuousSMul 𝕜 ↥H
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace G
self : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ LinearMap.range self.leftDeriv = ⊤
a : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊥, ↑a)
x : ℝ
⊢ ↑(Complex.tanh ↑x).re = Complex.tanh ↑x
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
F' : I.Filtration M
IsNoetherianRing R
Module.Finite R M
hF : F.Stable
⊢ (F ⊓ F').Stable
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
y' : S
z' : ↥S⁰
hx : (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})
y : S
z : R
hz0 : z ≠ 0
yz_eq : z • y' = ↑z' * y
injRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
hαβ : Fintype.card α ≤ Fintype.card β
f : α → β
g : β → α
h : Function.RightInverse g f
⊢ ∀ (a : α), (Equiv.ofRightInverseOfCardLE hαβ f g h) a = f a
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb✝ : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
hb : { re := ↑z, im := -↑w }.Nonneg
⊢ ({ re := -↑x, im := ↑y } * { re := ↑z, im := -↑w }).Nonneg
α : Type u_1
M : Matroid α
X Y : Set α
hX : X ⊆ M.E
⊢ Y ∩ X ⊆ M.E
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
⊢ sSup s = ⊥ ↔ s = ∅ ∨ s = {⊥}
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedDerivWithin m f s x) s
Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x => iteratedDerivWithin m f s x) s
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
ι' : Type u_4
f : ι' ↪ ι
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Set ι'
x : ι'
hx : (p ∘ ⇑f) x ∈ (convexHull 𝕜) (p ∘ ⇑f '' s)
⊢ f x ∈ ⇑f '' s
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
f : Equiv.Perm (Subtype p)
h : p a
⊢ ↑((Equiv.Perm.subtypeEquivSubtypePerm p).toFun f) a = ↑(f ⟨a, h⟩)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f₁ g₁ f₂ g₂ : C ⟶ D
h₁ : Homotopy f₁ g₁
h₂ : Homotopy f₂ g₂
i j : ι
hij : ¬c.Rel j i
⊢ (h₁.hom + h₂.hom) i j = 0
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
p : Prop
⊢ IsCoatom p ↔ ¬p
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b : α
⊢ -a - -b = b - a
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
z w : N
⊢ ∃ z' w' d, z + f.toMap ↑d = f.toMap z' ∧ w + f.toMap ↑d = f.toMap w'
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_2
SMul γ β
f g : α → β
l : Filter α
h : f =ᶠ[l] g
c : γ
⊢ (fun x => c • f x) =ᶠ[l] fun x => c • g x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
s : Set M
One M'
⊢ SmoothOn I I' 1 s
α : Type u_1
Preorder α
Nonempty α
NoMaxOrder α
⊢ Infinite α
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
k : ℕ
x✝ : 2 ≤ k + 2
⊢ n.descFactorial (k + 2) < n ^ (k + 2)
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃) = p₁ -ᵥ p₃
n : ℕ
⊢ Fin.revOrderIso.toEquiv = OrderDual.ofDual.trans Fin.revPerm
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
⊢ (1 / ↑|↑n + a| ^ s + 1 / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2 = 1 / ↑|↑↑n + a| ^ s / 2 + 1 / ↑|↑(-(↑n + 1)) + a| ^ s / 2
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
hs : Dense s
ht : IsOpen t
⊢ t = t ∩ closure s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν d : MeasureTheory.Measure α
h : μ ≤ d + ν
⊢ μ - ν ≤ d
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocMod hp a b ≤ toIcoMod hp a b + p
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
x : α
s : Set (Set α)
hs : s ∈ (Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ a ∈ (Besicovitch.vitaliFamily μ).setsAt x, a ⊆ closedBall x ε → a ∈ s
this : Ioc 0 ε ∈ 𝓝[>] 0
a✝ : ℝ
hr : a✝ ∈ Ioc 0 ε
⊢ a✝ ∈ (fun r => closedBall x r) ⁻¹' s
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a / 2 < a - b
⊢ b ≤ a / 2
α : Type u_2
TopologicalSpace α
ι : Sort u_4
s : ι → TopologicalSpace.Closeds α
⊢ ↑(⨅ i, s i) = ⋂ i, ↑(s i)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
h : S ≤ R⁰
⊢ Function.Injective fun I => ↑I
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G
⊢ (d n A) f g = (diagonalHomEquiv (n + 1) A) ((resolution k G).d (n + 1) n ≫ (diagonalHomEquiv n A).symm f) g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →ₗ[𝕜] E'
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
hf : Orthonormal 𝕜 (⇑f ∘ ⇑v)
⊢ (f.isometryOfOrthonormal hv hf).toLinearMap = f
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
⊢ I.ringCon x y ↔ x - y ∈ I
α : Type u
l : List α
n : ℕ
hl : 0 < l.length
⊢ l.rotate n = drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ RingHom.ker (PadicInt.toZModPow n) = Ideal.span {↑p ^ n}
α : Type u_2
Semiring α
⊢ IsCancelMulZero α ↔ IsDomain α ∨ Subsingleton α
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
k : ℕ
hlt : ∀ (hf : (setOf p).Finite), k + 1 < hf.toFinset.card
⊢ Finset.filter p (Finset.range (Nat.nth p (k + 1))) = insert (Nat.nth p k) (Finset.filter p (Finset.range (Nat.nth p k)))
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p q : R[X]
h₁ : p ∣ q
h₂ : q.natDegree < p.natDegree
⊢ q = 0
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
s t : Set α
f : α → β
hf : LocallyLipschitzOn t f
h : s ⊆ t
⊢ LocallyLipschitzOn s f
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ s.diffs (t₁ ∩ t₂) ⊆ s.diffs t₁ ∩ s.diffs t₂
a x z : ℂ
θ : ℝ
⊢ cexp (↑θ * I) = cos ↑(toIocMod ⋯ (-π) θ) + sin ↑(toIocMod ⋯ (-π) θ) * I
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
f : k →+* R
g : G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G
a : G
b : k
⊢ (((liftNC ↑f ⇑g).comp ((smulAddHom k (MonoidAlgebra k G)) c)).comp (singleAddHom a)) b = (((AddMonoidHom.mulLeft (f c)).comp (liftNC ↑f ⇑g)).comp (singleAddHom a)) b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
a : ⨂[R]^n M
⊢ (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul a GradedMonoid.GOne.one) = a
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet {a | a.1 ∈ s}
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
hna : v ≠ w → G.Adj v w
h2' : G.Adj v w
⊢ ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ).card = n - (2 * k - ℓ)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
ha : b * a = 1
⊢ Tendsto ((fun b_1 => b * b_1) ∘ fun x => a * x) (cocompact M) (cocompact M)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
P : α → Prop
a : α
h0 : P 0
h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → P x → P y → P (x * y)
this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α
P_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y
ha0 : ¬a = 0
this✝ : Nontrivial α
this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid
⊢ P (∏ m ∈ (normalizedFactors a).toFinset, id m ^ Multiset.count m (normalizedFactors a))
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i k₂ k₁ k₀ : ι
r₂₁ : c.Rel k₂ k₁
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
⊢ (nullHomotopicMap fun i j => dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0).f k₁ = C.d k₁ k₀ ≫ h k₀ k₁ r₁₀ + h k₁ k₂ r₂₁ ≫ D.d k₂ k₁
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g.Monic
hd : g ∣ Polynomial.map (algebraMap R K) f
⊢ g ∈ Polynomial.lifts (algebraMap (↥(integralClosure R K)) K)
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
⊢ IsTopologicalBasis {s | ∃ x n, s = cylinder x n}
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + x_1 • y ∈ s