ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
f : α →ᵤ[𝔖] β
h : 𝔖.Nonempty
h' : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
⊢ (𝓝 f).HasBasis (fun SV => SV.1 ∈ 𝔖 ∧ SV.2 ∈ 𝓤 β) fun SV => {g | (g, f) ∈ UniformOnFun.gen 𝔖 SV.1 SV.2}
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
a : AdicCompletion.AdicCauchySequence I R
n : ℕ
⊢ ↑((AdicCompletion.mkₐ I) a) n = (Ideal.Quotient.mk (I ^ n • ⊤)) (↑a n)
α : Type u
c : Cardinal.{v}
⊢ toPartENat (lift.{u, v} c) = toPartENat c
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
sne : s.Nonempty
hsb : b ∈ upperBounds s
⊢ ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
s : ↥(nonZeroDivisors R)
⊢ ↑((IsUnit.liftRight ((↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom).restrict (nonZeroDivisors R)) ⋯) s)⁻¹ = (v.intValuation ↑s)⁻¹ ∨ ↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom r = 0
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
x : L₁
⊢ 0 x = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ EuclideanGeometry.Cospherical {p₁, p₂}
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
ContinuousAdd M₂
f g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
⊢ IsTensorProduct (↑R ((Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] S ⊗[R] M))).flip ((mk R S M) 1)))
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : J.sheafify P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : J.toSheafify P ≫ η = J.toSheafify P ≫ γ
⊢ (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P)) ≫ η = (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P)) ≫ γ
α : Type u_1
s : Finset (Option α)
p : Option α → Prop
⊢ (∀ a ∈ Finset.eraseNone s, p (some a)) ↔ ∀ (a : α), some a ∈ s → p (some a)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
⊢ IsClosed (coborder s ↓∩ s)
α β : Type u
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
f : α → β → m α
x : α
xs : t β
⊢ Traversable.foldlm f x xs = List.foldlM f x (Traversable.toList xs)
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ (f + g) v = f v + g v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ S ∈ (CategoryTheory.GrothendieckTopology.trivial C).sieves X ↔ S = ⊤
R : Type u
Semiring R
⊢ AddSubmonoid.closure {p | ∃ n a, p = (Polynomial.monomial n) a} = ⊤
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
⊢ Monotone x.appr
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w u' v' : V
p : G.Walk u' v'
⊢ (p.copy ⋯ ⋯).IsTrail ↔ p.IsTrail
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
A : Set (Ideal R)
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
h : ∀ J ∈ A, RingHom.ker f ≤ J
⊢ ∀ b ∈ map f '' A, map f (sInf A) ≤ b
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
⊢ 0 • x ∈ span R (s • t)
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b p : Associates α
hb : b ≠ 0
hp : Irreducible p
ha : ¬a = 0
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h : sa ≤ sb
h_sb : b.factors = ↑sb
⊢ Multiset.count ⟨p, hp⟩ sa ≤ Multiset.count ⟨p, hp⟩ sb
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
φ : M ↪ₑ[L] N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ φ (FirstOrder.Language.Structure.funMap f x) = FirstOrder.Language.Structure.funMap f (⇑φ ∘ x)
⊢ FinBddDistLat.dualEquiv.inverse = FinBddDistLat.dual
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : α ≃o β
⊢ IsSimpleOrder α ↔ IsSimpleOrder β
α : Type u
l : List α
⊢ l.cyclicPermutations = [[]] ↔ l = []
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hn : upcrossingsBefore a b f N ω < n
⊢ upperCrossingTime a b f N n ω = N
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s✝ : Set α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
t : Set ↑s
c : ↑s
hct : c ∈ t
B : ↑s
hB : B ∈ lowerBounds t
⊢ sInf (Subtype.val '' t) ∈ s
b n m : ℕ
⊢ b.digits n = b.digits m ↔ n = m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
α : Type u_6
inst✝ : AddCommMonoid α
m M N : ℕ
f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α
g : (n : ℕ) × Composition n → α
h : ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource m M N), f e = g (compChangeOfVariables m M N e he)
⊢ ∑ e ∈ compPartialSumSource m M N, f e = ∑ e ∈ compPartialSumTarget m M N, g e
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
self : CategoryTheory.Comonad C
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.δ.app X) (self.map (self.δ.app X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.δ.app X) (self.δ.app (self.obj X))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : eLpNorm f p μ < ⊤
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
g : β → γ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g ν
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μ ν
⊢ (MeasureTheory.AEEqFun.mk g hg).compQuasiMeasurePreserving f hf = MeasureTheory.AEEqFun.mk (g ∘ f) ⋯
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
⊢ IsComplete (⋃ i, s i)
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set α
h : ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i ≠ 1
⊢ s.Nonempty
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ 𝓒 u v s
ha : a ∉ s
⊢ Disjoint v a
α : Type u_1
n : ℕ
x : α
s : Sym α n
⊢ (x ::ₛ s).attach = ⟨x, ⋯⟩ ::ₛ Sym.map (fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) s.attach
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set (M × M')
x : M × M'
⊢ HasMFDerivWithinAt (I.prod I') I' Prod.snd s x (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2))
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y a b c d : E
⊢ convexJoin 𝕜 (segment 𝕜 a b) (segment 𝕜 c d) = (convexHull 𝕜) {a, b, c, d}
α : Type u_1
dec : DecidableEq α
P : RegularExpression α
a : α
⊢ P.star.deriv a = P.deriv a * P.star
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w x : K
⊢ 0 ≤ re x ∧ im x = 0 ↔ ∃ s, x = star s * s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
x : M
hg : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n g x
hf : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F₁) n f x
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F₂) n (fun x => (g x) (f x)) x
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
n : ℕ
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n > 0
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < n
e : (fun x => ζ ^ x) i = (fun x => ζ ^ x) j
this : ⋯.unit ^ i = ⋯.unit ^ j
⊢ i = j
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * ↑n) ↑n, c * f ↑n ≤ f u
α : Type u
β : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ s t : Set α
⊢ IsSeparable (s ∪ t) ↔ IsSeparable s ∧ IsSeparable t
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ √x = 0 ↔ x = 0
α : Type u
s t u : Stream'.WSeq α
⊢ (s.append t).append u = s.append (t.append u)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
⊢ logDeriv id x = 1 / x
R : Type u_2
LinearOrderedField R
Archimedean R
⊢ Filter.comap Rat.cast Filter.atBot = Filter.atBot
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
this : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0
⊢ ∀ᶠ (r : 𝕜) in 𝓝 0, {x} + r • s ⊆ u
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ ‖↑i.symm‖ * a + ‖↑i.symm‖ * (C * ∑ i_1 ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ i_1 * ∑ i_2 ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ i_2.length * ∏ j : Fin i_2.length, ‖p.rightInv i (i_2.blocksFun j)‖) = I * a + C * (I * ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖)
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ ∃ c, b = c + a
⊢ ↑2⁻¹ = 2⁻¹
q : Λ'
s : Option Γ'
L : List ℕ
c d : List Γ'
o : Option Γ' := List.casesOn L none fun x x => some Γ'.cons
⊢ TransGen (fun a b => (match a with | { l := none, var := var, stk := stk } => none | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) = some b) { l := some (Λ'.clear (fun x => decide (x = Γ'.consₗ)) main (unrev q)), var := o, stk := elim (trList L.tail) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat L.headI).reverseAux []) c d } { l := some q, var := none, stk := elim (trNat L.headI ++ [Γ'.cons]) [] c d }
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i1 i2 j : ℕ
hi : i1 ≤ i2
cell : (i2, j) ∈ μ
h : i1 = i2
⊢ T i1 j ≤ T i2 j
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDedekindDomain R
inst✝⁴ : Module.Free ℤ R
inst✝³ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
a : ↥R⁰
I₀ : Ideal R
h : a • ↑I = Submodule.map (Algebra.linearMap R K) I₀
⊢ ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑I.den| ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₂ : f' =O[l] g'
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l k₁ k₂
⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
M : Matrix n m N₂
i✝¹ : n
i✝ : m
⊢ (((toLinearMap₂ (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m)) M ∘ₗ single i✝¹) 1 ∘ₗ single i✝) 1 = (((toLinearMap₂' R) M ∘ₗ single i✝¹) 1 ∘ₗ single i✝) 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
f' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => Complex.cos (f x)) (-Complex.sin (f x) • f') x
S : Type u_2
CommRing S
K : Type u_3
Field K
Algebra K S
IsDomain S
Module.Finite K S
I J : Ideal S
⊢ Ideal.spanNorm K (I * J) = Ideal.spanNorm K I * Ideal.spanNorm K J
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
⊢ ↑(corootSpace ⇑α) = span K {coroot α}
α : Type u_1
SemilatticeInf α
BoundedOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
b a : α
⊢ {b}.truncatedInf a = if b ≤ a then b else ⊥
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
Infinite R
n : ℕ
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ (x : Fin n → R), (MvPolynomial.eval x) p = 0
⊢ p = 0
𝕜 : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
E : Type u_2
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
Module 𝕜 E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
K L : PointedCone 𝕜 E
⊢ K.closure = L ↔ closure ↑K = ↑L
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
⊢ (I ^ (n + 2)).radical = I.radical
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
⊢ lcm (b * a) (c * a) = lcm b c * normalize a
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ adjoin A ((cyclotomic (↑n) A).rootSet B) = adjoin A {b | ∃ a ∈ {n}, b ^ ↑a = 1}
α : Type u_1
a : α
Min α
LE α
anti : Antisymm fun x x_1 => x ≤ x_1
le_refl : ∀ (a : α), a ≤ a
min_eq_or : ∀ (a b : α), min a b = a ∨ min a b = b
le_min_iff : ∀ (a b c : α), a ≤ min b c ↔ a ≤ b ∧ a ≤ c
xs : List α
⊢ xs.minimum? = some a ↔ a ∈ xs ∧ ∀ (b : α), b ∈ xs → a ≤ b
R : Type u_1
n : ℕ
NatCast R
n.AtLeastTwo
⊢ ↑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B
⊢ (singleObjHomologySelfIso c j A).inv ≫ homologyMap ((single C c j).map f) j = f ≫ (singleObjHomologySelfIso c j B).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
f : ↑(Icc a b) → β
⊢ range (IccExtend h f) = range f
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
ι : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
TopologicalSpace X
OpensMeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
x : X
t : Set X
f : X → E
hx : ContinuousWithinAt f t x
ht : MeasurableSet t
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝[t] x) μ
s : ι → Set X
li : Filter ι
hs : Filter.Tendsto s li (𝓝[t] x).smallSets
m : ι → ℝ := fun i => (μ (s i)).toReal
hsμ : (fun i => (μ (s i)).toReal) =ᶠ[li] m := by rfl
⊢ (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ - m i • f x) =o[li] m
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
⊢ (e ≫ π₁) ≫ f = (e ≫ π₂) ≫ g
α : Type u_1
a : α
⊢ Function.Injective fun x => Multiset.replicate x a
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
⊢ ((if hi : c.Rel i (c.next i) then (XIsoBiprod φ i (c.next i) hi).hom ≫ biprod.snd else (XIso φ i hi).hom) ≫ if hi : c.Rel i (c.next i) then biprod.inr ≫ (XIsoBiprod φ i (c.next i) hi).inv else (XIso φ i hi).inv) = 𝟙 (X φ i)
R✝ : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R✝
S✝ : Submonoid R✝
P✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing P✝
inst✝⁶ : Algebra R✝ P✝
loc : IsLocalization S✝ P✝
R : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
S : Submonoid R
P : Type u_4
inst✝³ : Nontrivial P
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
hR : IsNoetherianRing R
hS : S ≤ R⁰
I : FractionalIdeal S P
⊢ (↑I).FG
x y : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
hy₁ : -1 ≤ y
hy₂ : y ≤ 1
⊢ Real.arccos x = Real.arccos y ↔ x = y
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ici 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ici 0
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : ℝ≥0 := ⟨x, hx⟩
y' : ℝ≥0 := ⟨y, hy⟩
a' : ℝ≥0 := ⟨a, ⋯⟩
b' : ℝ≥0 := ⟨b, ⋯⟩
hxy' : x' ≠ y'
hab' : a' + b' = 1
⊢ a • (fun x => x ^ p) x + b • (fun x => x ^ p) y < (fun x => x ^ p) (a • x + b • y)
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ K, dist (Complex.cderiv δ f x) ((Complex.cderiv δ ∘ F) n x) < ε
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
PartialOrder α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
a b : α
hb : μ {b} ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Icc a b) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ico a b) μ
R : Type u
a b : R
Ring R
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C a).IsRoot b ↔ a = b
a b : Int
H1 : 0 ≤ a
H2 : a < b
⊢ a.mod b = a
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
⊢ (locallyRingedSpaceMap (f ≫ g)).val = (locallyRingedSpaceMap g ≫ locallyRingedSpaceMap f).val
f : ℝ → ℝ
hf : Differentiable ℝ f
C : ℝ
le_hf' : ∀ (x : ℝ), deriv f x ≤ C
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ f y - f x ≤ C * (y - x)
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K✝ : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
hne : φ.NeBot
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hK : IsCompact K
⊢ TendstoUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (_root_.deriv f) φ K
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.3910, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : Karoubi (HomologicalComplex C c)
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j
⊢ (fun i j => { f := P.p.f i ≫ P.X.d i j, comm := ⋯ }) i j = 0
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
m n : ℕ
H : m ≤ n
p : R[X]
hpI : p ∈ I
hpdeg : p.degree ≤ ↑m
⊢ (p * X ^ (n - m)).degree ≤ ↑n
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p q : R[X]
⊢ p.comp q = 0 ↔ p = 0 ∨ Polynomial.eval (q.coeff 0) p = 0 ∧ q = Polynomial.C (q.coeff 0)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
j : ι
hj₁ : j ∈ Set.Icc n m₁
hj₂ : u j ω ∈ s
⊢ sInf (Set.Icc n m₁ ∩ {i | u i ω ∈ s}) = sInf (Set.Icc n m₂ ∩ {i | u i ω ∈ s})
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁₂ : S₁.Hom S₂
φ₂₃ : S₂.Hom S₃
⊢ (φ₁₂.comp φ₂₃).τ₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁₂.τ₁ φ₂₃.τ₁
a : Bool
⊢ ∀ {w : Nat} {x : BitVec w} {i : Nat}, (BitVec.cons a x).getMsb (i + 1) = x.getMsb i
G : Type u_3
AddCommGroup G
⊢ (Submodule.torsion ℤ G).toAddSubgroup = AddCommGroup.torsion G
α : Type u_1
f : α → α
a : α
n : ℕ
b : α
⊢ b ∈ iterate f a n ↔ ∃ m < n, b = f^[m] a
y z : ℝ
n : ℕ
hy : 0 < y
hx : 0 ≤ 0
h : log 0 < z * log y
⊢ 0 < y ^ z
x : ℝ
z : ℍ
⊢ ↑(x +ᵥ z) = ↑x + ↑z
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
⊢ cocompact α ≤ atBot
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
h : q.degree < p.degree
⊢ (p + q).leadingCoeff = p.leadingCoeff
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : CountableInterFilter f
h : f ≤ 𝓟 s ∧ ∀ x ∈ s, ¬ClusterPt x f
⊢ ∃ ι U, (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) ∧ s ⊆ ⋃ i, U i ∧ ∀ (t : Set ι), t.Countable → ¬s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
n : ℕ
⊢ |ArithmeticFunction.moebius n| ≤ 1
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
⊢ f.graph ≤ g.graph ↔ f ≤ g
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin (n + 1) → M
⊢ φ.Realize v (xs ∘ fun i => if ↑i < n then i.castSucc else i.succ) = φ.Realize v (xs ∘ castSucc)
p : ℚ → Prop
x✝ : ∃ r, p r
r : ℚ
hr : p r
⊢ ↑r.num / ↑↑r.den = r
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
DecidableEq α
hs : a ∈ lowerClosure ↑s
ht : a ∈ lowerClosure ↑t
⊢ (s ∪ t).truncatedSup a = s.truncatedSup a ⊔ t.truncatedSup a
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a ⨳ Order.succ b = a ⨳ b ♯ a
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring C
Module R C
Star C
f : A →⋆ₙₐ[R] B
g : B →⋆ₙₐ[R] C
⊢ NonUnitalStarAlgHom.range (g.comp f) ≤ NonUnitalStarAlgHom.range g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderBot β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h✝ : f.NeBot
s_nemp : s.Nonempty
a : α
⊢ (s.sup fun i => F i a) = s.sup' s_nemp fun i => F i a