ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : LinearOrder α
h : M.BlockTriangular b
⊢ M.det = ∏ k : α, (M.toSquareBlock b k).det
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ↥(Lp ℝ 1 μ)
⊢ ∀ (a : { x // x ∈ ↑(simpleFunc ℝ 1 μ) }), (fun f => integral f = ‖Lp.posPart f‖ - ‖Lp.negPart f‖) ↑a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
I : Set ι
hI : I.Finite
h : ∀ i ∈ I, s i ∈ f i
⊢ I.pi s ∈ pi f
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
DecidableEq α
a : α
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
⊢ (P.bind Q).parts.card = ∑ A ∈ P.parts.attach, (Q ↑A ⋯).parts.card
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
IsDedekindDomain A
I : FractionalIdeal A⁰ K
hI : I ≠ 0
⊢ StrictMono fun x => x * I
q : ℍ
hq : q.re = 0
c s : ℝ
hs : HasSum (fun n => (-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)!) s
hc : HasSum (fun a => ↑((-1) ^ a * ‖q‖ ^ (2 * a) / ↑(2 * a)!)) ↑c
⊢ HasSum (fun n => (expSeries ℝ ℍ n) fun x => q) (↑c + (s / ‖q‖) • q)
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : RegularSpace X✝
x : X✝
s : Set X✝
X : Type u_3
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
h₁ : RegularSpace X
h₂ : RegularSpace X
⊢ RegularSpace X
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
⊢ Pairwise (Disjoint on disjointed f)
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (b * a)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (c * b)⁆)) = 0
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
Finite ι
m : M
i : ι
⊢ (b.toDual m) (b i) = b.equivFun m i
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u : Set V
c : (⊤.deleteVerts u).coe.ConnectedComponent
hM : M.IsPerfectMatching
codd : Odd (Nat.card ↑c.supp)
h : ∀ w ∈ u, ∀ (v : ↑(⊤.deleteVerts u).verts), M.Adj (↑v) w → v ∉ c.supp
⊢ False
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : PredOrder α
h : IsPredLimit (pred a)
H : ¬IsMin a
⊢ False
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0✝ : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H✝ : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero M'
inst✝ : CommMonoid N
f : M → M'
hf : f 0 = 0
g : α →₀ M
h : α → M' → N
h0 : ∀ (a : α), h a 0 = 1
x✝¹ : α
x✝ : x✝¹ ∈ g.support
H : x✝¹ ∉ (mapRange f hf g).support
⊢ h x✝¹ ((mapRange f hf g) x✝¹) = 1
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
F' : I.Filtration M
IsNoetherianRing R
Module.Finite R M
hF : F.Stable
⊢ (F' ⊓ F).Stable
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
⊢ (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.right.map F) ≫ F.map S.homologyData.iso.inv = leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.left.map F)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' n f s x ↔ ContDiffWithinAtProp I I' n f (s ∩ u) x
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
v : n → α
Invertible (Matrix.diagonal v)
⊢ (Matrix.diagonalInvertibleEquivInvertible v) inst✝ = Matrix.invertibleOfDiagonalInvertible v
X Y : LightProfinite
f : X ⟶ Y
⊢ IsClosedMap ⇑f
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R) (hP : P.IsMaximal), map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) I ≤ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) J
x : R
hx : x ∈ I
⊢ x ∈ J
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hb : AddLECancellable b
h : b ≤ a
⊢ a - b + c = a + c - b
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ P ((g ∘ ↑e.symm) ∘ ↑(e.symm ≫ₕ e').symm) (↑(e.symm ≫ₕ e').symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s)) (↑(e.symm ≫ₕ e') (↑e x)) ↔ P (g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' s) (↑e' x)
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x y : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
⊢ Disjoint (Metric.ball x δ) (Metric.ball y ε) ↔ δ + ε ≤ dist x y
m : ℕ
P : (n : ℕ) → m ≤ n → Prop
base : P m ⋯
succ : ∀ (n : ℕ) (hmn : m ≤ n), P n hmn → P (n + 1) ⋯
n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ P n hmn
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.id.prodMap LinearMap.id = LinearMap.id
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ ContDiffAt 𝕜 n Ring.inverse ↑x
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Div α
SemilatticeSup β
OrderBot β
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (s / t).sup f = s.sup fun x => t.sup fun x_1 => f (x / x_1)
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
hp : coeff 0 0 = 0
⊢ nextCoeffUp 0 = coeff 0 (natTrailingDegree 0 + 1)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq N
inst✝³ : Zero M
inst✝² : DecidableEq P
inst✝¹ : Zero P
inst✝ : Zero N
F : M → N → P
F0 : F 0 0 = 0
f : α →₀ M
g₁ g₂ : α →₀ N
hF : ∀ (f : M), Function.Injective fun g => F f g
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ (zipWith F F0 f g₁).neLocus (zipWith F F0 f g₂) ↔ a✝ ∈ g₁.neLocus g₂
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ a ∈ Set.Iic a
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
(X₂ : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C)
      ((CategoryTheory.MonoidalCategory.curriedTensor C).flip.obj X₂)
X X' : CategoryTheory.GradedObject I C
φ : X ⟶ X'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorUnit) φ)
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.leftUnitor X').hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.leftUnitor X).hom φ
G : Type u_1
Group G
H : ℕ → Subgroup G
n : ℕ
hn : H n = ⊥
hdesc : IsDescendingCentralSeries H
⊢ IsAscendingCentralSeries fun m => H (n - m)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3
⊢ W'.dblXYZ P = ![W'.dblU P ^ 2, W'.dblU P ^ 3, 0]
α : Type u_2
G : Type u_4
TopologicalSpace α
AddGroup G
AddAction G α
ContinuousConstVAdd G α
c : G
⊢ IsClosedMap fun x => c +ᵥ x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
hφ : ∀ (i : ι), Differentiable 𝕜 fun x => Φ x i
⊢ Differentiable 𝕜 Φ
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_9, u_1} C₁
inst✝² : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝¹ : Category.{u_7, u_3} C₃
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
X : GradedObject I C₁
Y : GradedObject J C₂
A : C₃
k : K
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p
f g : mapBifunctorMapObj F p X Y k ⟶ A
h : ∀ (i : I) (j : J) (hij : p (i, j) = k), ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ f = ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ g
⊢ f = g
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k
⊢ ∀ (p : k'[X]), p.Monic → Irreducible p → ∃ x, eval x p = 0
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym α n.succ
⊢ ∃ a s', s = a ::ₛ s'
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddGroup (π i)
f : (i : ι) → π i
⊢ ‖f‖ = ↑(Finset.univ.sup fun b => ‖f b‖₊)
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
⊢ (↑(2 * n)!)⁻¹ • q ^ (2 * n) = ↑((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!)
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →+* β), 0 = 1 ↔ f 1 = 0
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
p : ℕ
h : ringChar R = p
⊢ CharP R p
α : Type u_1
Lattice α
s t : Interval α
⊢ Disjoint ↑s ↑t ↔ Disjoint s t
d : ℤ
a₁ : Pell.Solution₁ d
h : Pell.IsFundamental a₁
a : Pell.Solution₁ d
hax : 1 < a.x
⊢ a₁.x ≤ a.x
⊢ Cardinal.univ.{u, max (u + 1) v} = Cardinal.univ.{u, v}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofIsLimitKernelFork S hf c hc).H = c.pt
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
this✝ : Countable (Subtype p)
hp : Nonempty (Subtype p)
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)
m : Subtype p → Set δ := fun j => {x | BddBelow (range fun i => f (↑i) x)}
m_meas : ∀ (j : Subtype p), MeasurableSet (m j)
mc_meas : MeasurableSet {x | ∀ (j : Subtype p), x ∉ m j}
j : Subtype p
reparam : δ → Subtype p → Subtype p := fun x => liminf_reparam (fun i => f i x) s p
F0 : Subtype p → δ → α := fun j x => ⨅ i, f (↑i) x
⊢ Measurable fun b => ⨅ i, f (↑i) b
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
InfSet α
InfSet β
InfSet γ
g : sInfHom β γ
f₁ f₂ : sInfHom α β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
⊢ CategoryTheory.Sheaf.Subcanonical CategoryTheory.typesGrothendieckTopology
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | x.2⁻¹ * x.1 ∈ U i}
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin id s x = 1
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
x : X
⊢ F (1, x) = f₁ x
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α
⊢ f x = M.corec g x
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
⊢ max (max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday)) (max (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yL b).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yR b).birthday)) = max ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b')
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
⊢ ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
ContinuousAdd γ
f g : α → γ
hf : UpperSemicontinuous f
hg : UpperSemicontinuous g
⊢ UpperSemicontinuous fun z => f z + g z
p i : ℕ
⊢ LucasLehmer.sZMod p i = ↑(LucasLehmer.sMod p i)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
Invertible D
Invertible (A - B * ⅟D * C)
Invertible (Matrix.fromBlocks A B C D)
⊢ ⅟(Matrix.fromBlocks A B C D) =
  Matrix.fromBlocks (⅟(A - B * ⅟D * C)) (-(⅟(A - B * ⅟D * C) * B * ⅟D)) (-(⅟D * C * ⅟(A - B * ⅟D * C)))
    (⅟D + ⅟D * C * ⅟(A - B * ⅟D * C) * B * ⅟D)
L : FirstOrder.Language
n : ℕ
f : L.Functions n
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.IsAtomic (FirstOrder.Language.Formula.graph f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
η : F ⟶ G
X : CategoryTheory.WithTerminal C
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.map₂ η).app X =
  match X with
  | CategoryTheory.WithTerminal.of x => η.app x
  | CategoryTheory.WithTerminal.star => CategoryTheory.CategoryStruct.id CategoryTheory.WithTerminal.star
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Ioc A B)) l fun i => Set.Ico (a i) (b i)
a : ℤ
ha : 0 ≤ a
b : ℕ
⊢ 0 ≤ mkRat a b
G : Type u_3
H : Type u_4
Inv G
Inv H
p : G × H
⊢ p⁻¹.swap = p.swap⁻¹
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₁
Module R M
Module R M₁
f : M →ₗ[R] M₁
p : Submodule R M
q : Submodule R M₁
hf : ∀ x ∈ p, f x ∈ q
x : ↥p
⊢ (f.restrict hf) x = ⟨f ↑x, ⋯⟩
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ (homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal = (⨆ i, { toSubmodule := span (⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I), is_homogeneous' := ⋯ }).toIdeal
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
s : Set α
⊢ ⇑e.symm '' (⇑e '' s) = s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
⊢ ContinuousOn p.sum (EMetric.ball ?m.404882 ⊤)
z : ℍ
r : ℝ
⊢ dist ↑z ↑(z.center r) = z.im * (Real.cosh r - 1)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
⊢ I ≤ J⁻¹ ↔ J ≤ I⁻¹
m n✝ n : ℕ
a : ℤ
inst✝ : NeZero n
hle : 0 ≤ ↑(↑a).val
⊢ ↑(↑a).val = a % ↑n
n : ℕ
NeZero n
h : ¬0 = Fin.last n := ⋯
⊢ Fin.castPred 0 h = 0
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
x y z : M
x✝¹ : y ∈ powers x
x✝ : z ∈ powers x
n₁ : ℕ
h₁ : x ^ n₁ = y
n₂ : ℕ
h₂ : x ^ n₂ = z
⊢ x ^ (n₁ + n₂) = y * z
α : Type u_2
Zero α
a : α
⊢ Filter.pureZeroHom a = pure a
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * I)) + I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)) - I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * I) = ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (↑x + ↑y * I)) 1 - (f' (↑x + ↑y * I)) I
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx : IsUnit x
h : (C x).degree ≠ 0
⊢ False
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
p : M → Prop
hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a * b)
nonempty : s.Nonempty
base : ∀ x ∈ s, p (f x)
⊢ Multiset.map (fun x => f x) s.val ≠ ∅
x y : ℂ
hj : ∀ (j : ℕ), ∑ m ∈ range j, (x + y) ^ m / ↑m.factorial = ∑ i ∈ range j, ∑ k ∈ range (i + 1), x ^ k / ↑k.factorial * (y ^ (i - k) / ↑(i - k).factorial)
⊢ CauSeq.lim ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, (x + y) ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ = (⟨fun n => ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ * ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, y ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩).lim
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
⊢ K = ⊥ ↔ ∀ x ∈ K, x = 0
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
CategoryTheory.Limits.HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
⊢ CategoryTheory.Limits.WidePushout.head arrows ≫ CategoryTheory.Limits.WidePushout.desc f fs w = f
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
μ : Measure E
⊢ μ.toSphere univ = ↑(dim E) * μ (ball 0 1 \ {0})
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hT' : (T.restrict ⋯).IsSymmetric
⊢ (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ = ⊥
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R T
ι✝ κ✝ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι✝
b✝ : Basis ι✝ R S
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
ι : Type u_4
κ : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite κ
b : Basis ι R S
c : Basis κ S T
x : T
this✝ : DecidableEq ι
this : DecidableEq κ
val✝¹ : Fintype ι
val✝ : Fintype κ
⊢ ∑ i : ι, ((leftMulMatrix b) (∑ i : κ, ((leftMulMatrix c) x).diag i)).diag i = ∑ x_1 : ι, ∑ y : κ, ((leftMulMatrix (b.smulTower c)) x).diag (x_1, y)
α : Type u_2
Mul α
s t : Set α
⊢ s * t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
C : FloatCfg
this : 0 ≤ ↑(2 * FloatCfg.emax) - ↑prec
⊢ 0 ≤ ↑FloatCfg.emax * 2 - ↑prec
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
n : ℕ
h : ∀ (i : η), Group.nilpotencyClass (Gs i) ≤ n
⊢ ∃ n, lowerCentralSeries ((i : η) → Gs i) n = ⊥
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
⊢ (expand R (p ^ Nat.zero)) f = (⇑(expand R p))^[Nat.zero] f
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsUpperModularLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a b : α
hab : a < b
⊢ ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ b
G : Type u_1
AddMonoid G
x y : G
DecidableEq G
hx : IsOfFinAddOrder x
⊢ y ∈ AddSubmonoid.multiples x ↔ y ∈ Finset.image (fun x_1 => x_1 • x) (Finset.range (addOrderOf x))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
X : CategoryTheory.OppositeShift C A
a b : A
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd (CategoryTheory.OppositeShift C A) a b).hom.app X =
  ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a b).inv.app (Opposite.unop X)).op
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f g : α → Multiset β
f' : α → List β
h' : ∀ (a : α), f a = ↑(f' a)
this : f = fun a => ↑(f' a)
⊢ (s.bind f).Nodup ↔ (∀ a ∈ s, (f a).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) s
x : ℂ
⊢ Complex.cos x = 1 ↔ ∃ k, ↑k * (2 * ↑Real.pi) = x
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
this : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
w : ℝ≥0∞
hw : w < ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
m : ℝ≥0∞
hm₁ : w < m
hm₂ : m < ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
i : ι
hi : m ≤ ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ
⊢ ∃ i, w < ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
IsDedekindDomain R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
x : DedekindDomain.ProdAdicCompletions R K
hx : x.IsFiniteAdele
⊢ (-x).IsFiniteAdele