ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
a✝ : α
ha : IsWellOrderLimitElement a✝
inst✝¹ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderBot α
a : α
h₁ : ¬a = ⊥
h₂ : ¬∃ b, a = wellOrderSucc b ∧ b < a
⊢ IsWellOrderLimitElement a
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
μ : R
hμp : Disjoint (f.eigenspace μ) p
⊢ eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ ≤ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_3
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : IsCountablySpanning C
hD : IsCountablySpanning D
⊢ IsCountablySpanning (Set.image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D)
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
⊢ ∃ t A,
  (∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)) ∧
    s ⊆ ⋃ n, t n ∧
      (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))) ∧ (s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.128478, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_6, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'
i : IsIso (whiskerLeft G.op α.val)
⊢ α.val = (sheafIso (asIso (whiskerLeft G.op α.val))).hom.val
α : Type u_1
inst✝² : Bornology α
s t : Set α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Nonempty α
h : IsOrderBornology α
⊢ inst✝² = orderBornology
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
self : CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp v₁₂ self.m₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₂₃ v₁₃
R : Type u_1
Ring R
R₂ : Type u_2
Ring R₂
M : Type u_4
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
TopologicalAddGroup M₂
f : M →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑(-f) = -⇑f
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝ : Algebra R F
pb : PowerBasis R S
hf : Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)
this : Nontrivial R
⊢ (algebraMap R F) ((norm R) pb.gen) = ((minpoly R pb.gen).aroots F).prod
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hc : c ≠ 0
h : c * a = b
⊢ a = b / c
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
h✝ : Multiset.card g.cycleType * 2 ≤ card (Fin 5)
h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3
ha : (-1) ^ Multiset.card g.cycleType = 1
⊢ -1 ≠ 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ⟶ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ⟶ G.δ₀
w :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map' 0 1 ⋯ ⋯) (CategoryTheory.ComposableArrows.app' β 0 ⋯) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (G.map' 0 1 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMkSucc α β w).app 0 = α
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
h : v ≠ w
⊢ Set.univ.toFinset.card - {v, w}.toFinset.card = Fintype.card V - 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
⊢ (DerivedCategory.triangleOfSES hS).obj₂ = DerivedCategory.Q.obj S.X₂
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ v : E
h₀ : HasFDerivAt (fun w => ‖w‖ ^ 2) 0 0
h₁ : HasFDerivAt (fun w => (‖w‖ ^ 2 + 4)⁻¹) 0 0
⊢ HasFDerivAt (stereoInvFunAux v) (ContinuousLinearMap.id ℝ E) 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ interior (Set.Iic a) = Set.Iio a
α : Type u
s s' : Computation α
⊢ s.destruct = Sum.inr s' → s = s'.think
p : ℕ →. Bool
n : ℕ
h : n ∈ Nat.rfind p
m : ℕ
⊢ m < n → false ∈ p m
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
⊢ H.Connected
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : ∀ (n : ℕ), (derivative f).coeff n = coeff 0 n
hf : f ≠ 0
f_nat_degree_pos : 0 < f.natDegree
m : ℕ := f.natDegree - 1
hm : m + 1 = f.natDegree
h2 : f = 0
⊢ False
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
m : M
x : L
n : ↥N
hx✝ : x ∈ ⊥
hx : x = 0
hn : ⁅↑⟨x, hx✝⟩, ↑n⁆ = m
⊢ ⁅↑⟨x, hx✝⟩, ↑n⁆ ∈ ↑⊥
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
x₀ : E
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖x - x₀‖ < ε
α : Type u_1
f : α → ℂ
x : ℂ
⊢ HasSum (fun x => (starRingEnd ℂ) (f x)) x ↔ HasSum f ((starRingEnd ℂ) x)
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
a : S
y : ℤ
hy : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y
⊢ ∀ (k i j : ι), abv ((LinearMap.toMatrix bS bS) ((Algebra.lmul R S) (bS k)) i j) ≤ ?convert_5
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Submodule.torsionBySet R M Set.univ = ⊥
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
s : AffineSubspace 𝕜 Q
x : Q
hx : x ∈ ↑s
⊢ IsClosed ↑s.direction ↔ IsClosed ↑s
α : Type u_2
DecidableEq α
AddGroup α
s t : Finset α
⊢ 0 ∈ s - t ↔ ¬Disjoint s t
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑n + x) ↔ Irrational x
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
hs1 : 1 ∈ S
ht1 : 1 ∈ T
⊢ hST.equiv 1 = (⟨1, hs1⟩, ⟨1, ht1⟩)
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
S : Submonoid N
h : S ≤ MonoidHom.mrange f
⊢ Submonoid.map f (Submonoid.comap f S) = S
n d : ℤ
⊢ Rat.divInt n d = ↑n / ↑d
X : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
Y Z : Type u
_tsY : TopologicalSpace Y
_tsZ : TopologicalSpace Z
_csY : CompactSpace Y
_t2Y : T2Space Y
_csZ✝ : CompactSpace Z
_csZ : T2Space Z
f : StoneCech X → Z
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
g_sur : Surjective g
s : Z → Y := fun z => Classical.choose ⋯
hs : g ∘ s = id
t : X → Y := s ∘ f ∘ stoneCechUnit
⊢ ∃ h, Continuous h ∧ g ∘ h = f
V : Type u
G : SimpleGraph V
Finite V
ι : Sort u_1
f : ι → G.Finsubgraph
⊢ ↑(⨆ i, f i) = ⨆ i, ↑(f i)
α : Type u_2
β : Type u_3
AddSemigroup α
AddCommSemigroup β
f g : α → β
hf : IsAddHom f
hg : IsAddHom g
⊢ IsAddHom fun a => f a + g a
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
a : R × R × R × R
⊢ ((QuaternionAlgebra.equivProd c₁ c₂).symm a).imJ = a.2.2.1
R : Type u
CommSemiring R
n k : ℕ
c : R
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[k] ((Polynomial.X + Polynomial.C c) ^ n) =
  n.descFactorial k • (Polynomial.X + Polynomial.C c) ^ (n - k)
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
s : Set α
⊢ CompleteLattice.SetIndependent s ↔ ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → CompleteLattice.SetIndependent ↑t
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ CliffordAlgebra.involute.comp CliffordAlgebra.involute = AlgHom.id R (CliffordAlgebra Q)
x : ℂ
⊢ Complex.cosh x ^ 2 - Complex.sinh x ^ 2 = 1
n : ℕ
pn : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n 0
⊢ Finset.range n = ∅
α : Type u
s : Set α
⊢ Cardinal.mk ↑s = 0 ↔ s = ∅
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
x : R
⊢ 0 < abv x ↔ x ≠ 0
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
y : Fin n → 𝕜
x✝ : Fin n
⊢ y x✝ = y x✝ • 1 x✝
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
c : ℝ
cmem : c ∈ Ioo a b
hc : (b - a) * f' c = (f b - f a) * 1
⊢ f' c = (f b - f a) / (b - a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : Iio a ⊆ Iio b
ab : ¬a ≤ b
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u v : α → β
l : Filter α
h : u ~[l] v
⊢ v =Θ[l] u
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
Module S M
Module S M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S
f : M →ₗ[S] M₂
⊢ IsLinearMap R ⇑f
α : Type u_2
AddMonoid α
l : List (Set α)
a : α
⊢ a ∈ l.sum ↔ ∃ l', (List.map (fun x => ↑x.snd) l').sum = a ∧ List.map Sigma.fst l' = l
𝕜 : Type u
A : Type v
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
IsAlgClosed 𝕜
Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A
⊢ (spectrum 𝕜 a).Nonempty
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
X_emp : Nonempty Ω
⊢ ∃ As, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), diam (As n) ≤ ε) ∧ ⋃ n, As n = univ ∧ Pairwise fun n m => Disjoint (As n) (As m)
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ s.Nontrivial ↔ s ≠ {a}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
⊢ eLpNorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹)
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : Group G✝
inst✝¹ : Fintype G✝
x : G✝
n : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
h : (Nat.card G).Coprime n
g : G
key : g ^ ↑((Nat.card G).gcd n) = g ^ (↑(Nat.card G) * (Nat.card G).gcdA n + ↑n * (Nat.card G).gcdB n)
⊢ (fun g => g ^ n) ((fun g => g ^ (Nat.card G).gcdB n) g) = g
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
p q : (a : α) → β a → Prop
h : ∀ (a : α) (b : β a), p a b → q a b
⊢ (∃ a b, p a b) → ∃ a b, q a b
R : Type u
Ring R
⊢ Function.Injective Subring.toSubsemiring
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
P : Ideal R
hPa : f a ^ e a ≤ P
hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P
hPp : P.IsPrime
b : ι
hb : b ∈ s
hPb : f b ^ e b ≤ P
this✝ : (f a).IsPrime
this : (f b).IsPrime
⊢ f a = f b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f x✝)
g' : TangentSpace I' (f x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x✝))
n : ℕ∞
x : M
hf : MDifferentiableAt I I' f x
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
⊢ mfderiv I I'' (g ∘ f) x = (mfderiv I' I'' g (f x)).comp (mfderiv I I' f x)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
h : Continuous f
⊢ Continuous fun y => Real.exp (f y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
self : CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleMorphism T₁ T₂
⊢ T₁.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map self.hom₁ = self.hom₃ ≫ T₂.mor₃
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p : P
l : L
q : P
hq : q ∉ l
val✝ : Fintype P
⊢ lineCount L q = pointCount P l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ = ‖⟪y, x⟫_𝕜‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
⊢ ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w) = ⟪v, w⟫_𝕜 • v
a : Ordinal.{u_1}
h : a ≠ 0 ∧ ω ∣ a
⊢ a.IsLimit
x y z : Nat
⊢ (x + y * z) % z = x % z
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.comap K.subtype H = H.addSubgroupOf K
R : Type u_1
Ring R
Nontrivial R
OreLocalization.OreSet (nonZeroDivisors R)
NoZeroDivisors R
⊢ 0⁻¹ = 0
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a : ℝ
hfi✝ : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc a (b i)) μ
hb : Tendsto b l atTop
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hφ : AECover (μ.restrict (Ioi a)) l fun i => Iic (b i)
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Iic (b i)) (μ.restrict (Ioi a))
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a..b x, ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Iic (b x), ‖f x‖ ∂μ.restrict (Ioi a) ≤ I
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
h : G ≤ H
⊢ G.IsNClique n s → H.IsNClique n s
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
⊢ s ∪ t + s ∩ t ≤ s + t
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
H : ¬μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0
this : NullMeasurableSet (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s}) μ
⊢ False
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
z : S
⊢ (algebraMap R S) (IsLocalization.sec M z).1 = (algebraMap R S) ↑(IsLocalization.sec M z).2 * z
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
hf : Embedding ⇑f
g : Y ⟶ S
H : Set.range ⇑g ⊆ Set.range ⇑f
⊢ IsIso (pullback.snd f g)
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x y : ↥S
⊢ ↑(x - y) = ↑x - ↑y
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Inducing f ↔ ∀ (x : X), 𝓝 x = Filter.comap f (𝓝 (f x))
Ω : Type u_1
β : Type u_2
u : ℕ → Ω → β
τ : Ω → ℕ
AddCommMonoid β
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.stoppedProcess u τ n =
  {a | n + 1 ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), {a | τ a = i}.indicator (u i)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
hi : i = 0
⊢ False
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix m n R
⊢ Matrix.toLin' M = M.mulVecLin
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ Submodule.span R (Set.range v)
i : ι
⊢ (Basis.mk hli hsp) i = v i
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
hf : LipschitzOnWith C f s
A : F ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ F) → ℝ
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (⇑A ∘ f) s x
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
One M
One N
f : α → M
g : α → N
⊢ (Function.mulSupport fun x => (f x, g x)) = Function.mulSupport f ∪ Function.mulSupport g
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
g : G
⊢ g ∈ H.normalizer ↔ ∀ (h : G), h ∈ H ↔ g + h + -g ∈ H
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V : Type u_18
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
f : M → 𝕜
g : M → V
hf : SmoothWithinAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) f s x
hg : SmoothWithinAt I 𝓘(𝕜, V) g s x
⊢ SmoothWithinAt I 𝓘(𝕜, V) (fun p => f p • g p) s x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C n
X : C
i : ℕ
hi : i + 1 < n + 1 + 1
⊢ CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.obj F X ⟨i + 1, hi⟩ = F.obj' i ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n : ℤ
a : G
⊢ a ^ (Int.negSucc 0 + 1) = a ^ Int.negSucc 0 * a
α : Type u_1
S T : Set (Set α)
h : S ⊆ T
⊢ ⋃₀ S ⊆ ⋃₀ T
β : Type u_3
γ : Type u_4
ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
b : β
⊢ LinearOrderedField.inducedMap γ β (LinearOrderedField.inducedMap β γ b) = b
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X Y Z : limit (F ⋙ objects)
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j j' : J
h : j ⟶ j'
⊢ (homDiagram X Z).map h ((fun j => limit.π (homDiagram X Y) j f ≫ limit.π (homDiagram Y Z) j g) j) = (fun j => limit.π (homDiagram X Y) j f ≫ limit.π (homDiagram Y Z) j g) j'
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
⊢ Continuous (GenLoop.toLoop i)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
⊢ ↑0 = 0
a b : Ordinal.{u_4}
H : b ∣ a
⊢ a % b = 0
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
α : Type u'
v : α → M
t : L.Term α
g : L.Embedding M N
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize (⇑g ∘ v) t = g (FirstOrder.Language.Term.realize v t)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
U : CategoryTheory.Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → CategoryTheory.Sieve Y
hU : CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y),
    CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor P (CategoryTheory.Sieve.pullback g (B h)).arrows
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P (CategoryTheory.Sieve.bind U.arrows B).arrows
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∑ i ∈ hs.toFinset, f i
u v : ℤ
hu : IsUnit u
⊢ u = 1 ∨ u = -1
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ Quot.mk Setoid.r I = ClassGroup.mk I
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen V
h'V : μ V < ⊤
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p μ
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
hs : span s = ⊤
n : ℕ
⊢ 1 ∈ span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s)
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
e : R₁ ≃+* R₂
⊢ RingHomInvPair ↑e ↑e.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
f : α → β
f' : β → α
hf : Set.LeftInvOn f' f s
hs : s₁ ⊆ s
⊢ f' '' (f '' s₁) = s₁
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : TopologicalSpace.CompactOpens α
h : ↑s = ↑t
⊢ s = t
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
Δ'' : SimplexCategory
e : unop Δ' ⟶ Δ''
i : Δ'' ⟶ unop A.fst
inst✝¹ : Epi e
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = θ.unop ≫ A.e
⊢ ((splitting K).ι (unop A.fst).len ≫ (obj K).map A.e.op) ≫ (obj K).map θ = Termwise.mapMono K i ≫ (splitting K).ι Δ''.len ≫ map K (Splitting.IndexSet.mk e).e.op
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
h : t ⊆ s
⊢ Finite ↑t
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
L' : FirstOrder.Language
φ : L →ᴸ L'
M : (φ.onTheory T).ModelType
⊢ (FirstOrder.Language.Theory.ModelType.reduct φ M).struc = φ.reduct ↑M
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (x * ↑m) ↔ m ≠ 0 ∧ Irrational x
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y
hxy : orderOf x ∣ orderOf y
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ orderOf y
hd : orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p
⊢ p * orderOf x ∣ orderOf y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ W.Equation x y ↔ y ^ 2 + W.a₁ * x * y + W.a₃ * y = x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (o.oangle (x + y) y).sign = (o.oangle x y).sign
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
S : Set (Set α)
⊢ lowerClosure (⋃₀ S) = ⨆ s ∈ S, lowerClosure s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ d x a b c : α
h : (fun b => Ι b a) b = (fun b => Ι b a) c
⊢ b = c