ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
h : e.IsImage s t
⊢ ↑h.restr = ↑e
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
a : Ordinal.{u}
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
hf : lsub f = a
hι : #ι = a.cof
r : ι → ι → Prop
wo : IsWellOrder ι r
hr : (#ι).ord = type r
this✝ : IsWellOrder ι r
r' : ↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i} → ↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i} → Prop := Subrel r {i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}
hrr' : r' ↪r r := Subrel.relEmbedding r {i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}
this : IsWellOrder (↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}) r'
⊢ type r ≤ a.cof.ord
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
⊢ a ≤ ⊥ ∧ b ≤ ⊥ ↔ a = ⊥ ∧ b = ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
⊢ ((Finsupp.single i 1) i * (Finsupp.single j 1) j) • b.coord i ⊗ₜ[R] c.coord j = b.coord i ⊗ₜ[R] c.coord j
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : IsLocalHomeomorph f
⊢ Continuous f
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
⊢ ((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x) = (Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f)
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Ring R
MulSemiringAction M R
a : M
S : Subring R
⊢ a • S = Subring.map (MulSemiringAction.toRingHom M R a) S
α : Type u_1
Zero α
LinearOrder α
a : { x // 0 ≤ x }
⊢ Nonneg.toNonneg ↑a = a
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ Multiset.filter p (s - t) = Multiset.filter p s - Multiset.filter p t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F F' : CategoryTheory.Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ F'
⊢ (CategoryTheory.GrothendieckTopology.toImageSheaf f).val = J.toImagePresheafSheafify f.val
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : Module.Free R M₁
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R M'
⊢ finrank R (M × M') = finrank R M + finrank R M'
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : GroupWithZero α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a
⊢ b₁ < a⁻¹ • b₂ ↔ a • b₁ < b₂
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] 0, ‖f (x + x_1 • v + x_1 • w) - f (x + x_1 • v) - x_1 • (f' x) w - x_1 ^ 2 • (f'' v) w - (x_1 ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * x_1 ^ 2‖
α : Type u
β : Type v
R S : α → β → Prop
H : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S a b
s : Computation α
t : Computation β
⊢ Computation.LiftRel R s t → Computation.LiftRel S s t
D : TopCat.GlueData
i j : D.J
x : ↑(D.U i)
y : ↑(D.U j)
⊢ (D.ι i) x = (D.ι j) y ↔ D.Rel ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ b c d : α
inst✝⁴ : IsRightCancelAdd α
inst✝³ : ZeroLEOneClass α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ 0 ≤ a ^ 2
n : Nat
x : BitVec n
y : Fin (2 ^ n)
⊢ x ≤ { toFin := y } ↔ x.toFin ≤ y
x : SetTheory.PGame
⊢ (-x).LeftMoves = x.RightMoves
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ι : Type u_3
b : ι → Set E
p : ι → Prop
hbasis : (𝓝 0).HasBasis p b
hconvex : ∀ (i : ι), p i → Convex 𝕜 (b i)
⊢ LocallyConvexSpace 𝕜 E
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Nontrivial S
Semiring S
Algebra R S
p q : R[X]
h : IsCoprime p q
s : S
⊢ (Polynomial.aeval s) p ≠ 0 ∨ (Polynomial.aeval s) q ≠ 0
Fq F : Type
inst✝⁴ : Field Fq
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
⊢ ¬IsField ↥(ringOfIntegers Fq F)
M₁ : Type u_5
M₄ : Type u_8
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
TopologicalSpace M₄
AddCommGroup M₄
TopologicalAddGroup M₄
f g : M₁ → M₄
hf : IsCompactOperator f
hg : IsCompactOperator g
⊢ IsCompactOperator (f - g)
β : Type u_1
o : Ordinal.{u_1}
c : Cardinal.{u_1}
ho : o.card ≤ c
hc : ℵ₀ ≤ c
A : Ordinal.{u_1} → Set β
hA : ∀ j < o, #↑(A j) ≤ c
⊢ o.card * ⨆ i, #↑(((fun x => A ↑x) ∘ ⇑o.enumIsoOut.symm) i) ≤ c * c
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m1 m2 m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h1 : m1 ≤ m
h2 : m2 ≤ m
hp1 : IsPiSystem p1
hp2 : IsPiSystem p2
hpm1 : m1 = generateFrom p1
hpm2 : m2 = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ {s | MeasurableSet s}
ht2 : t2 ∈ {s | MeasurableSet s}
⊢ ∀ t ∈ p1, (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t ∩ t2) = (κ a) t * (κ a) t2) t
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i
hs : ∃ i ∈ s, 1 < f i
⊢ 1 < ∏ i ∈ s, f i
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
a : K
ha : a ≠ 0
⊢ LinearMap.ker ((algebraMap K (Module.End K V)) a) = ⊥
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁹ : Nonempty ι
inst✝⁸ : Nonempty ι'
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ Seminorm.IsBounded p (fun s => s.sup p) LinearMap.id
A : Type u_1
A' : Type u_2
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} B'
eA : A ≌ A'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₁ hF).functor = F
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
⊢ IsSelfAdjoint ((U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U)).comp (T.comp (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))))
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.WeaklyRegular
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑f x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f x) ∂μ + ε
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : AEFinStronglyMeasurable f μ
t : Set α := hf.sigmaFiniteSet
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
α : Type u_4
β : Type u_5
γ : Type u_6
f : α → β → γ
hf : Function.Injective2 f
⊢ Function.Injective (Function.uncurry f)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Option α → β
⊢ Injective f ↔ (Injective fun x => f (some x)) ∧ ∀ (x : α), ¬f (some x) = f none
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : ¬i₁ = i₂
⊢ ⟪(univ.weightedVSub s.pointsWithCircumcenter) (mongePointVSubFaceCentroidWeightsWithCircumcenter i₁ i₂), (univ.weightedVSub s.pointsWithCircumcenter) (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂)⟫_ℝ = 0
m k n : Nat
⊢ m + n = k + n ↔ m = k
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
A : C
x₃ : A ⟶ S.L₀.X₃
x₂ : A ⟶ S.L₁.X₂
x₁ : A ⟶ S.L₂.X₁
h₂ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp x₂ S.L₁.g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp x₃ S.v₀₁.τ₃
h₁ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp x₁ S.L₂.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp x₂ S.v₁₂.τ₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp x₃ S.δ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp x₁ S.v₂₃.τ₁
α : Type u_1
l₂ : List α
a : α
DecidableEq α
l₁ : List α
h : a ∈ l₂
⊢ a ∈ l₁ ∪ l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ
H : ∀ (i : ι), Surjective ((U i).restrictPreimage f)
x : β
⊢ ∃ a, f a = x
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)
i : Nat
x✝¹ : i + 1 ≤ as.size
x✝ : β
j : Nat
ij : j + (i + 1) = as.size
j_eq : j = as.size - 1 - i
this✝ : as.size - 1 - i < as.size
this : as[as.size - 1 - i] :: List.drop (j + 1) as.data = List.drop j as.data
x : ForInStep β
⊢ (match x with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn.loop as f i ⋯ b) = match x with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn (List.drop (j + 1) as.data) b f
α : Type u_1
CircularPreorder α
a b c : α
h : sbtw a b c
⊢ sbtw b c a
s : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (-1) ^ k / ↑k.factorial
n : ℕ
⊢ ↑(numDerangements n) / ↑n.factorial = s (n + 1)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
h : 0 < a
b c : α
⊢ (fun x => a * x) '' Set.Icc b c = Set.Icc (a * b) (a * c)
α : Type u
β : Type v
f✝ f : α → β
hf : Bijective f
s : Set α
t : Set β
⊢ s = f ⁻¹' t ↔ f '' s = t
x : ℝ
i : ℕ
⊢ x ^ (2 * i) / ↑(2 * i)! ≤ (↑i !)⁻¹ • (x ^ 2 / 2) ^ i
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : 1 ≤ n
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
s : S.Splitting
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
⊢ (s.map F).s = F.map s.s
C : Type v
CommMonoid C
n : ℕ
NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
⊢ ψ ≠ 1 ↔ ψ 1 ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : Fintype β
f : β → α
⊢ ∏' (b : β), f b = ∏ b : β, f b
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ A⁻¹ = Ring.inverse A
α : Type u_6
β : Type u_7
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
self : CoheytingHom α β
⊢ self.toFun ⊤ = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C → D
self : CategoryTheory.Functorial F
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Functorial.map' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Functorial.map' f) (CategoryTheory.Functorial.map' g)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Ioo a b ↔ x✝ ∈ Ioo ⌊a⌋ ⌈b⌉
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
Invertible D
⊢ IsUnit (Matrix.fromBlocks A B C D) ↔ IsUnit (A - B * ⅟D * C)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
a : α i
⊢ ⟨i, a⟩ ∈ s.sigma t ↔ i ∈ s ∧ a ∈ t i
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1) * xn a1 j
h2 : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1 = xn a1 n * xn a1 n
⊢ xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
x : ℂ
hc : ContinuousAt tan x
h₀ : cos x = 0
⊢ False
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α i}
Δ : SimplexCategory
⊢ (SSet.Augmented.standardSimplex.obj Δ).left = SSet.standardSimplex.obj Δ
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
⊢ AEStronglyMeasurable' m (⇑(toSpanSingleton ℝ x) ∘ ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
s : Set α
ha : 0 ≤ a
hs : IsLUB s b
⊢ IsLUB ((fun b => a * b) '' s) (a * b)
M✝ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
K✝ : Type u_3
inst✝⁶ : Field K✝
inst✝⁵ : Module K✝ M✝
f✝ : End K✝ M✝
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
t : K
h : f.IsSemisimple
ht : t ≠ 0
⊢ (t • f).IsSemisimple
α : Type u₁
β : Type u₂
MulZeroClass β
g₁ g₂ : α →₀ β
a : α
⊢ (g₁ * g₂) a = g₁ a * g₂ a
x : ℝ
⊢ 1 < Real.cosh x ↔ x ≠ 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
⊢ F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ inv ((F.μIso n (𝟙_ M)).inv.app X) ≫ inv ((F.map (ρ_ n).inv).app X) = 𝟙 ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X))
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
CommSemiring R
Semiring A₁
Algebra R A₁
f : A₁ ≃ₐ[R] A₁
a : A₁
⊢ f • a = f a
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
l : Multiset R
b : ↥M
⊢ Localization.mk l.sum b = (Multiset.map (fun a => Localization.mk a b) l).sum
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
t : TopologicalSpace F
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] F
this : TopologicalSpace E := induced (⇑f) t
x : E
⊢ (comap (⇑f) (𝓝 (f x))).HasBasis ((fun x s => s ∈ 𝓝 (f x) ∧ Convex 𝕜 s) x) ((fun x => preimage ⇑f) x)
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M₂ →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
g₁ g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
h : (fun g => g.compLinearMap f) g₁ = (fun g => g.compLinearMap f) g₂
x : ι → M
⊢ g₁ x = g₂ x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ ‖(↑i.symm).compContinuousMultilinearMap (∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c)‖ ≤ I * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j_1 : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j_1)‖
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
V : (Opens ↑Y)ᵒᵖ
x : ↥((Opens.map f).obj (unop V))
⊢ ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app V ≫ germToPullbackStalk C f F ((Opens.map f).obj (unop V)) x = F.germ ⟨f ↑x, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → Option σ
hf : Computable₂ f
this : Partrec fun a => Nat.casesOn (encode (decode a.2)) (Part.some Option.none) fun n => map (f a.1) ↑(decode n)
a : α × ℕ
⊢ (Nat.casesOn (encode (decode a.2)) (Part.some Option.none) fun n => map (f a.1) ↑(decode n)) = (↑fun p => (fun a n => (decode n).bind (f a)) p.1 p.2) a
α : Sort u
β : Sort v
f g : α ≃ β
⊢ f = g ↔ ∀ (x : α), f x = g x
m : Type u_1 → Type u_2
δ : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Monad m
f : δ → α → β → m δ
init : δ
l : Batteries.AssocList α β
⊢ Batteries.AssocList.foldlM f init l =
  List.foldlM
    (fun d x =>
      match x with
      | (a, b) => f d a b)
    init l.toList
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M.Basis I X ↔ M.Indep I ∧ I ⊆ X ∧ ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : b < a
⊢ Finset.Icc a b = ∅
α✝ β✝ : Type u
inst✝ : (P : Prop) → Decidable P
α β γ : Type u
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : γ
⊢ a✝ ∈ image₂ f s t ↔ a✝ ∈ Seq.seq (f <$> s) fun x => t
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
a : α
h : f (f a) = f a ∨ f a = a ∨ f a = a
⊢ f a = 1 a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
⊢ ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
b : β
lc : Filter γ
g : γ → α
hg : Filter.Tendsto g lc l
⊢ (↑b).compTendsto g hg = ↑b
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ b • interior s + a • closure s ⊆ interior s
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
CommRing A₁
CommRing B₁
CommRing A₂
CommRing B₂
Algebra A₁ B₁
Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
Module.Finite A₁ B₁
⊢ Module.Finite A₂ B₂
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
N : Submonoid S
T : Type u_4
CommSemiring T
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
IsLocalization M S
IsLocalization N T
x : T
⊢ ∃ y, x * (algebraMap R T) ↑y.2 = (algebraMap R T) y.1
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
a c : K
⊢ ∃ p > n, Nat.Prime p ∧ a * c ^ p < ↑(p - 1)!
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : optParam (Set M) Set.univ
self : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
⊢ LocallyFinite fun i => Function.support ⇑(self.toFun i)
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set β
hs : ∀ (x : α), f x ∈ s
⊢ AntilipschitzWith K (Set.codRestrict f s hs)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
X : V
⊢ (HomologicalComplex.singleCompEvalIsoSelf V c j).hom.app X = (HomologicalComplex.singleObjXSelf c j X).hom
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
Semiring A
f : R →+* A
H : Function.Injective ⇑f
p : ℕ
ExpChar A p
⊢ ExpChar R p
a : ℕ
⊢ √↑a ≤ ↑a.sqrt + 1
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
y : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U)
hx : hU.fromSpec.val.base y ∈ U
hy : y = hU.primeIdealOf ⟨hU.fromSpec.val.base y, hx⟩
⊢ IsLocalization.AtPrime (↑(X.presheaf.stalk ↑⟨hU.fromSpec.val.base y, hx⟩)) y.asIdeal
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
c : α
hc : CompleteLattice.IsCompactElement c
hcinf : c ≤ a ∧ c ≤ sSup s
⊢ c ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : β → α
h : ∀ (y : β), MeasurableSet (f ⁻¹' {f y})
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
y : α
hy : y ∈ s
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' {y})
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
p : M → Prop
h_zero : p 0
h_homogeneous : ∀ {i : ι} (m : ↥(ℳ i)), p ↑m
h_add : ∀ (m m' : M), p m → p m' → p (m + m')
ℳ' : ι → AddSubmonoid M := fun i => { carrier := ↑(ℳ i), add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }
⊢ ∀ (m : M), p m
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : Set S
t : Set M
⊢ s • span R t = span R (s • t)
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
DecidableEq α
hs : a ∈ lowerClosure ↑s
ht : a ∉ lowerClosure ↑t
⊢ (s ∪ t).truncatedSup a = s.truncatedSup a
α : Type u_2
MulZeroClass α
⊢ IsSquare 0
α : Type u
f g : α → α
h : Function.Commute f g
⊢ Set.BijOn f (Function.fixedPoints (f ∘ g)) (Function.fixedPoints (f ∘ g))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : 𝕜
s : Set 𝕜
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → E
v : 𝕜 → F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hu : DifferentiableWithinAt 𝕜 u s x
hv : DifferentiableWithinAt 𝕜 v s x
⊢ derivWithin (fun y => (B (u y)) (v y)) s x = (B (u x)) (derivWithin v s x) + (B (derivWithin u s x)) (v x)
R : Type u
CommRing R
x y : R
Submodule.IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
⊢ IsBezout.gcd x y ∣ y
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
L : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.Red.Step (L ++ L₁) (L ++ L₂) ↔ FreeGroup.Red.Step L₁ L₂
α : Type u
Preorder α
s : Set α
⊢ ¬BddBelow s ↔ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, ¬x ≤ y
⊢ StrictMonoOn (fun x => 1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn x) (Set.Ioi 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Set β → Set γ
m : α → β
hg : Monotone g
⊢ (Filter.map m f).lift' g = f.lift' (g ∘ Set.image m)