ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k
h₂ : ∀ (x : S), ∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a = x
⊢ ∑ x ∈ f.support, ∑ x_1 ∈ (a x).support, ((a x) x_1 • f x) ⊗ₜ[R] b x_1 = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => ((fun i => b.repr (b i * x)) i).support, (b.repr (f.sum fun i y => ((fun i => b.repr (b i * x)) i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f m : Dual R M₁
⊢ m ∈ range (dualMap f) ↔ m ∈ Submodule.span R {f}
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁶ : DecidableEq R
inst✝⁵ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝⁴ : NormalizationMonoid R
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝¹ : DecidableEq (Associates (Ideal R))
inst✝ : (p : Associates (Ideal R)) → Decidable (Irreducible p)
I J : Ideal R
hI : I ≠ 0
hJ : J.IsPrime
hJ₀ : J ≠ ⊥
⊢ (Associates.mk J).count (Associates.mk I).factors = Multiset.count J (normalizedFactors I)
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
f : α → G
rels : Set (FreeGroup α)
h : ∀ r ∈ rels, (FreeGroup.lift f) r = 1
x : α
⊢ (PresentedGroup.toGroup h) (PresentedGroup.of x) = f x
n : ℕ
⊢ 1 % (n + 2) = 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).b₆ = ↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.b₆ + 2 * C.r * W.b₄ + C.r ^ 2 * W.b₂ + 4 * C.r ^ 3)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
x : R
⊢ (↑x).re = x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite ν
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν
⊢ (ν.withDensity f).rnDeriv ν =ᵐ[ν] f
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ 0 < deriv^[2] (fun x => x ^ m) x
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) (choose ⋯))⁻¹ * ↑(choose ⋯)
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ count K v I = ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (choose ⋯)).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors))
α β : Type u
S : Set ℕ
h : lift.{u_1, 0} #↑S < ℵ₀
h' : ¬S.Finite
⊢ #ℕ ≤ #↑S
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
c : R
m : ℕ
⊢ derivative ((X - C c) ^ m) = C ↑m * (X - C c) ^ (m - 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hp : 0 < p.toReal
hμ : ¬μ = 0
hc : ¬c = 0
⊢ ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal) < ⊤ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.functorEquivalence J C).functor =
  CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.functor J C
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
x : ℕ → α
n : ℕ
y : ℕ → α
⊢ (∀ i < n, y i = x i) ↔ res y n = res x n
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
m n : ℕ
m.AtLeastTwo
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat m ≤ OfNat.ofNat n ↔ OfNat.ofNat m ≤ OfNat.ofNat n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a - x⁻¹) atTop (𝓝 (a - 0))
⊢ Tendsto (fun x => ↑⌊a * x⌋₊ / x) atTop (𝓝 a)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u✝ v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
P : α → α → Prop
h : ∀ (x : α), ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, P x y ∧ P y x
h' : Transitive P
x y : α
u : Set α := {z | P x z}
A : IsClosed u
B : IsOpen u
C : u.Nonempty
⊢ P x y
M : Type u_1
a : M
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
NeZero a
⊢ 0 < a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
i j : ℕ
hij : i + j = Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ∀ (r : R), ((algebraMap R (MvPolynomial ι R)) r).IsHomogeneous 0
F : ℕᵒᵖ ⥤ Type u
hF : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op)
⊢ Function.Surjective ((CategoryTheory.Limits.Types.limitCone F).π.app (Opposite.op 0))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
𝒯 : CategoryTheory.Limits.LimitCone (CategoryTheory.Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → CategoryTheory.Limits.LimitCone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
X Y : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X 𝒯.cone.pt Y).hom
    (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorHom ℬ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
      (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.leftUnitor 𝒯.isLimit (ℬ 𝒯.cone.pt Y).isLimit).hom) =
  CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorHom ℬ
    (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.rightUnitor 𝒯.isLimit (ℬ X 𝒯.cone.pt).isLimit).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
x : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum.adicCompletion K v
⊢ x ∈ IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum.adicCompletionIntegers K v ↔ Valued.v x ≤ 1
ι : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
f g : ι → M
h : ∀ i ∈ l, f i ≤ g i
⊢ (List.map f l).sum ≤ (List.map g l).sum
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace Q
AddTorsor W Q
f g : P →ᴬ[R] Q
h : f = g
x : P
⊢ f x = g x
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
E : Type u_1
AddCommMonoid E
SMulWithZero ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
ContinuousAdd E
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : f.IsSubordinate U
g : ι → X → E
hg : ∀ (i : ι), ContinuousOn (g i) (U i)
⊢ Continuous fun x => ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x
α : Type u_2
ι : Type u_5
DistribLattice α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
a : α
⊢ s.inf' hs f ⊔ a = s.inf' hs fun i => f i ⊔ a
G : Type u
Group G
H : Subgroup G
g : G
q : G ⧸ H
⊢ H.transferFunction g q ∈ H.transferSet g
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
κ : Kernel α β
a✝ : α
s✝ : Set β
hs : MeasurableSet s✝
⊢ ((κ.comapRight ⋯) a✝) s✝ = (κ a✝) s✝
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
⊢ ∃ m, ∀ t ∈ rootsOfUnity n L, g ↑t = ↑(t ^ m)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ F.map (-f) = -F.map f
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
MeasurableSingletonClass Ω
ω : Ω
t : Set Ω
Decidable (ω ∈ t)
⊢ (ProbabilityTheory.condCount {ω}) t = if ω ∈ t then 1 else 0
M : Type u_1
TopologicalSpace M
x : Mᵐᵒᵖ
⊢ Filter.map MulOpposite.unop (𝓝 x) = 𝓝 (MulOpposite.unop x)
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.Discrete α ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => X.obj { as := j }
⊢ (CategoryTheory.Limits.Pi.cone X).π =
  CategoryTheory.Discrete.natTrans fun x => CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun j => X.obj { as := j }) x.as
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
⊢ (cs.simple i' * cs.simple i) ^ M.M i i' = 1
n : ℕ
K : Type u_1
CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
IsDomain K
CharZero K
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
⊢ minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ p)
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ IsIrreducible (PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I) ↔ I.radical.IsPrime
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f g : R[X]
N n✝ : ℕ
⊢ (reflect N (f + g)).coeff n✝ = (reflect N f + reflect N g).coeff n✝
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
b' : β a'
s : AList β
h : a ≠ a'
⊢ AList.lookup a (AList.insert a' b' s) = AList.lookup a s
s : String
⊢ s.get 0 = s.data.headD default
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
s : Set ↥(maximalIdeal R)
⊢ Function.Surjective ⇑(algebraMap R (ResidueField R))
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ x < y ∨ x ≈ y ∨ y < x ∨ x ‖ y
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : ↑(‖z‖ ^ 2) - (starRingEnd ℂ) (f z) - (f z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1) = z * (starRingEnd ℂ) z - (starRingEnd ℂ) z - (z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1)
⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
C : α → β → Prop
⊢ WellFounded rα →
  WellFounded rβ →
    (∀ (a₁ : α) (b₁ : β), (∀ (a₂ : α) (b₂ : β), Prod.GameAdd rα rβ (a₂, b₂) (a₁, b₁) → C a₂ b₂) → C a₁ b₁) →
      ∀ (a : α) (b : β), C a b
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
f : G →g G'
p : G.Walk u v
⊢ (Walk.map f p).toSubgraph = Subgraph.map f p.toSubgraph
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
⊢ a ∈ lowerClosure ↑(s ⊼ t) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s ∧ a ∈ lowerClosure ↑t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C} (f : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₃.map f = f.f₃
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
h : {I | I.IsPrime}.Finite
⊢ IsPrincipalIdealRing R
α : Type u_2
Semiring α
a b : α
hab : a ∣ b
ha : Even a
⊢ Even b
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulZeroClass α β
Preorder α
Preorder β
PosSMulReflectLT α β
h : a • b < 0
ha : 0 ≤ a
⊢ b < 0
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
hf : LipschitzOnWith C f s
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
p x : ℝ
r : ℚ
⊢ LiouvilleWith p (x + ↑r) ↔ LiouvilleWith p x
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
x : Monoid.Coprod M N
⊢ (Monoid.Coprod.fst x, Monoid.Coprod.snd x) = Monoid.Coprod.toProd x
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ riemannZeta s = ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s
c : Char
it : Iterator
h✝ : it.Valid
l r : List Char
h : ValidFor l r it
⊢ (it.setCurr c).Valid
R : Type u
CommRing R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.obj (Opposite.op U))
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs :
  ∀ (i : ι),
    AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ =
      ((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
⊢ ∃ a' h' iDh',
  U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧
    (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧
      ∀ i ∈ t,
        ((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s =
          AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
U V : TopologicalSpace.Opens X
hU : Nonempty ↥U
hV : Nonempty ↥V
hUV : U ≤ V
⊢ Set.EqOn (↑(e.subtypeRestr hV).symm) (Set.inclusion hUV ∘ ↑(e.subtypeRestr hU).symm) (e.subtypeRestr hU).target
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
inst✝ : SMulZeroClass S R
r : S
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ (r • { toFinsupp := toFinsupp✝ }).coeff n = r • { toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : LocallyCompactSpace α
inst✝¹ : CompactSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β → γ
x : α
U : Set α
hxU : U ∈ 𝓝 x
h : ContinuousOn (↿f) (U ×ˢ univ)
K : Set α
hxK : K ∈ 𝓝 x
hKU : K ⊆ U
hK : IsCompact K
⊢ TendstoUniformly f (f x) (𝓝 x)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K✝ : Multicofork I
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Multicofork I
⊢ ∀ ⦃X Y : WalkingParallelPair⦄ (f : X ⟶ Y), (parallelPair I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap).map f ≫ (fun x => match x with | WalkingParallelPair.zero => I.fstSigmaMap ≫ Sigma.desc K.π | WalkingParallelPair.one => Sigma.desc K.π) Y = (fun x => match x with | WalkingParallelPair.zero => I.fstSigmaMap ≫ Sigma.desc K.π | WalkingParallelPair.one => Sigma.desc K.π) X ≫ ((Functor.const WalkingParallelPair).obj K.pt).map f
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
g : B → A
f : F
h : Function.LeftInverse g ⇑f
x : ↥(NonUnitalStarAlgHom.range f)
⊢ (StarAlgEquiv.ofLeftInverse' h).symm x = g ↑x
k n : Nat
h : 0 < k
⊢ n < n + k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : CommMonoid α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
inst✝⁵ : CommMonoid γ
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
G : Type u_5
G' : Type u_6
inst✝³ : FunLike G α γ
inst✝² : MonoidHomClass G α γ
inst✝¹ : FunLike G' γ α
inst✝ : MonoidHomClass G' γ α
g : G
g' : G'
hg : Continuous ⇑g
hg' : Continuous ⇑g'
hinv : LeftInverse ⇑g' ⇑g
h : Multipliable (⇑g ∘ f)
this : Multipliable (⇑g' ∘ ⇑g ∘ f)
⊢ Multipliable f
a : Ordinal.{u_4}
⊢ a / 0 = 0
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
a b : R
h : a + b = 1
⊢ a • x + b • y = b • y - b • x + (a • x + b • x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (β_ X Y).hom ▷ Z ⊗≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ⊗≫ (β_ Y Z).hom ▷ X =
  𝟙 ((X ⊗ Y) ⊗ Z) ⊗≫ (X ◁ (β_ Y Z).hom ⊗≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ⊗≫ Z ◁ (β_ X Y).hom) ⊗≫ 𝟙 ((Z ⊗ Y) ⊗ X)
G : Type u_1
Group G
s : Set G
h : IsSubgroup s
n : IsNormalSubgroup s
⊢ (Subgroup.of h).Normal
α : Type u_2
β : Type u_3
SupSet α
SupSet β
f : sSupHom α β
⊢ (sSupHom.id β).comp f = f
A E : Type u
TopologicalSpace A
TopologicalSpace E
ρ : E → A
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Function.Surjective ρ
zorn_subset : ∀ (E₀ : Set E), E₀ ≠ Set.univ → IsClosed E₀ → ρ '' E₀ ≠ Set.univ
G : Set E
hG : IsOpen G
⊢ ρ '' G ⊆ closure (ρ '' Gᶜ)ᶜ
a : ↥circle
⊢ (↑a).re ^ 2 + (↑a).im ^ 2 ≠ 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.HomologyData
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero h.right.H
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
hS : S.Finite
⊢ closure (⋃₀ S) = ⋃ s ∈ S, closure s
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
x✝ : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), r • m ⊗ₜ[R] n = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : 0 • x = 0
ihy : 0 • y = 0
⊢ 0 • (x + y) = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
I J : HasZeroMorphisms C
w : ∀ (X Y : C), Zero.zero = Zero.zero
⊢ I = J
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
A : Tendsto (fun x => x + 1) atTop atTop
B : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, x + 1 ≤ rexp x
⊢ Tendsto rexp atTop atTop
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t✝ : Set β
f : Filter β
m : α → β
t' t : Set β
ht : t ∈ f
sub : m ⁻¹' t ⊆ m ⁻¹' t'
⊢ t ⊆ {x | x ∈ range m → x ∈ t'}
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
V : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis p V
f : α →ᵤ[𝔖] β
⊢ 𝓝 f = ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ i, ⨅ (_ : p i), 𝓟 {g | ∀ x ∈ s, ((UniformOnFun.toFun 𝔖) f x, (UniformOnFun.toFun 𝔖) g x) ∈ V i}
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s t : Set α
hs : IsLowerSet s
⊢ IsLowerSet (s / t)
x y : ℝ≥0
hx : x ≠ 0
hy : 1 < y
⊢ ∃ n, x ∈ Set.Ioc (y ^ n) (y ^ (n + 1))
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
⊢ B.flip.IsRefl ↔ B.IsRefl
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
hc : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => Real.cosh (f x)) x
α : Type u
CommGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ a / d < b / c → a < b ∨ c < d
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤
⊢ ∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R
K : Type u_1
Field K
NumberField K
B : ℝ
⊢ Convex ℝ (NumberField.mixedEmbedding.convexBodySum K B)
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
adj : L ⊣ R
L.PreservesMonomorphisms
L.ReflectsMonomorphisms
CategoryTheory.EnoughInjectives D
⊢ CategoryTheory.EnoughInjectives C
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : MeasureTheory.Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
⊢ ∑' (j : ℕ), ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j} < ⊤
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
h : IsGreatest s a
⊢ BddAbove s
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : RCLike K
z✝ : K
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
z : K
⊢ im (OfNat.ofNat n * z) = OfNat.ofNat n * im z
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α} {s t : Set α}, Bornology.IsBounded t → s ⊆ t → Bornology.IsBounded s
α : Type u_1
γ : Type u_2
β : Type u_3
f : α → γ
g : β → γ
b : β
⊢ (Equiv.sumArrowEquivProdArrow α β γ).symm (f, g) (Sum.inr b) = g b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
hφ : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (fun x => Φ x i) ((ContinuousLinearMap.proj i).comp Φ') x
⊢ HasStrictFDerivAt Φ Φ' x
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
⊢ eVariationOn (f ∘ ⇑ofDual) (⇑ofDual ⁻¹' s) = eVariationOn f s
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S
⊢ inst✝¹ = ((algebraMap P S).comp h.symm.symm.toRingHom).toAlgebra
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
⊢ LSeriesSummable (logMul f) s ∧ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.Scheme
f : U ⟶ TopCat.of ↑↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f
⊢ ∀ (X_1 : (TopologicalSpace.Opens ↑U)ᵒᵖ),
  (X.restrict h).presheaf.obj X_1 = X.presheaf.obj (Opposite.op (⋯.functor.obj (Opposite.unop X_1)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hlim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) u (𝓝 (g a))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Tendsto f' atTop (𝓝 (g x))
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f (v n) x
aeSeqLim : α → ℝ≥0∞ := fun x => if x ∈ aeSeqSet h'f p then g x else ⋯.some
x : α
⊢ Tendsto (fun i => aeSeq h'f p i x) atTop (𝓝 (aeSeqLim x))
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
P : Type u_8
Zero M
Zero N
Zero P
f : N → P
hf : f 0 = 0
f₂ : M → N
hf₂ : f₂ 0 = 0
h : (f ∘ f₂) 0 = 0
g : α →₀ M
⊢ Finsupp.mapRange (f ∘ f₂) h g = Finsupp.mapRange f hf (Finsupp.mapRange f₂ hf₂ g)
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ
⊢ (bit a m).ldiff (bit b n) = bit (a && !b) (m.ldiff n)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
⊢ Filter.map Subtype.val Filter.atBot = 𝓝[>] a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort uι
f : α → β
m : ι → MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSpace.map f (⨅ i, m i) = ⨅ i, MeasurableSpace.map f (m i)
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
ht : IsAntichain r t
h : minimals r s ⊆ t
hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → ∃ b ∈ minimals r s, r a b
a : α
ha : a ∈ t
b : α
hb : b ∈ minimals r s
hr : r a b
⊢ a ∈ minimals r s
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
B : C
α : Type v
X : α → C
f : (j : α) → B ⟶ X j
inst✝¹ : HasWidePushout B X f
inst✝ : PreservesColimit (wideSpan B X f) (forget C)
j : α
y : (forget C).obj ((wideSpan B X f).obj (some j))
⊢ (∃ y_1, (head f) y_1 = (colimit.ι (wideSpan B X f) (some j)) y) ∨ ∃ i y_1, (ι f i) y_1 = (colimit.ι (wideSpan B X f) (some j)) y
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B C✝ A C : Finset α
⊢ (A * C).card * ∅.card ≤ (A * ∅).card * (∅ * C).card
V : Type u
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
⊢ (G₁ ⊓ G₂).Adj a b ↔ G₁.Adj a b ∧ G₂.Adj a b
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
k : ℕ
a₁ a₂ : A
p₁ p₂ : R[X]
⊢ a₁ * a₂ * (algebraMap R A) ((p₁ * p₂).coeff k) = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal k, a₁ * (algebraMap R A) (p₁.coeff x.1) * (a₂ * (algebraMap R A) (p₂.coeff x.2))
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCommMonoid G
⊢ ∀ (x y : k[G]ᵐᵒᵖ), __src✝.toAddMonoidHom (x * y) = __src✝.toAddMonoidHom x * __src✝.toAddMonoidHom y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : ModuleCat R
⊢ ∀ (x : ↑X) (y : ↑Y) (z : ↑Z), ((α_ X Y Z).hom ≫ (X.braiding (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) = ((X.braiding Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (X.braiding Z).hom) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)
I : Type u_1
DecidableEq I
Z : I → Type u_2
(i : I) → AddCommMonoid (Z i)
Finite I
M : Type u_3
AddCommMonoid M
g h : ((i : I) → Z i) →+ M
H : ∀ (i : I), g.comp (AddMonoidHom.single Z i) = h.comp (AddMonoidHom.single Z i)
⊢ g = h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
s1 s2 : Set ι
p0 : P
fs1 : Finset ι
hfs1 : ↑fs1 ⊆ s1
w1 : ι → k
hw1 : ∑ i ∈ fs1, w1 i = 1
hp0s1 : p0 = (affineCombination k fs1 p) w1
fs2 : Finset ι
hfs2 : ↑fs2 ⊆ s2
w2 : ι → k
hw2 : ∑ i ∈ fs2, w2 i = 1
hp0s2 : p0 = (affineCombination k fs2 p) w2
ha : (↑fs1).indicator w1 = (↑fs2).indicator w2
⊢ ∃ i, i ∈ s1 ∩ s2