ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
⊢ Injective ⇑f ↔ Surjective ⇑f
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty J
s : Set J
Small.{v, u} ↑s
hs : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (i ⟶ j)
⊢ CategoryTheory.FinallySmall J
α : Type u
s t : Stream'.Seq α
h : ∀ (n : ℕ), s.get? n = t.get? n
⊢ s = t
α : Type u_1
CompleteLattice α
a : α
s : Set α
⊢ sSup (insert a s) = a ⊔ sSup s
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
t : Affine.Triangle R P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
this : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1 := LinearOrderedRing.decidableLT
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h3 : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
r₁ : R
hr₁0 : 0 < r₁
hr₁1 : r₁ < 1
h₁ : Sbtw R (t.points i₂) ((lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁) (t.points i₃)
r₂ : R
hr₂0 : 0 < r₂
hr₂1 : r₂ < 1
h₂ : Sbtw R (t.points i₁) ((lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂) (t.points i₃)
w : Fin (2 + 1) → R
hw : ∑ i : Fin (2 + 1), w i = 1
hp : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R (Set.range t.points)
h₁' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {(Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationSingleWeights R i₁), (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ r₁)}
h₂' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {t.points i₂, (lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂}
h₁s : SignType.sign (w i₂) = SignType.sign (w i₃)
h₂s : SignType.sign (w i₁) = SignType.sign (w i₃)
⊢ Sbtw R ((Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationSingleWeights R i₁)) ((Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w) ((Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ r₁))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₂ : 𝕜 → F
n : ℕ
⊢ ContDiff 𝕜 (↑(n + 1)) f₂ ↔ Differentiable 𝕜 f₂ ∧ ContDiff 𝕜 (↑n) (deriv f₂)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 +
    (↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S) ^ 3 =
  ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) *
    ((hζ.toInteger - 1) ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3
G : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G
Div G
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableDiv G
hf : AEMeasurable f μ
c : G
⊢ AEMeasurable (fun x => c / f x) μ
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
⊢ Submodule.map (Submodule.subtype I) (LinearMap.ker I.toCotangent) = I ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset (α × β)
f : α × β → M
this : ∀ (a : α), ∏ i ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s), f (a, i) = (Finset.filter (fun x => x.1 = a) s).prod f
⊢ ∏ i ∈ s, f i = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (_ : b ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s)), f (a, b)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {L : List (List α)}, a ∈ L.join → ∃ l, l ∈ L ∧ a ∈ l
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
R : Type u_1
Ring R
n : ℤ
⊢ (↑n).natDegree ≤ 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
m : α → β
a : α
inj : Injective m
large : range m ∈ pure (m a)
⊢ 𝓟 (m ⁻¹' {m a}) = ↑(pure a)
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
x y : α
⊢ f.support \ {x, y} ≤ (Equiv.swap x y * f).support
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
adj3 : F'' ⊣ G''
f : G ⟶ G'
g : G' ⟶ G''
X : D
⊢ adj1.unit.app (G.obj X) ≫ f.app (F.obj (G.obj X)) ≫ G'.map (adj1.counit.app X) ≫ g.app X = f.app X ≫ g.app X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
l : Filter β
f : β → α
y : α
⊢ Tendsto f l (𝓝 y) ↔ Tendsto (fun x => edist (f x) y) l (𝓝 0)
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
κ : Type u_1
h : ι ≃ κ
f : ⨁ (i : ι), β i
k : κ
⊢ ((equivCongrLeft h) f) k = f (h.symm k)
α : Type u_1
a a' a₁ a₂ b b' b₁ b₂ c : α
inst✝ : AddGroup α
p : a - b = 0
H : a' - b' - (a - b) = 0
⊢ a' - b' = 0
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
f : Filter α
b : α
⊢ Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) f → b < f.limsInf → ∀ᶠ (a : α) in f, b < a
α : Type u_2
I : Type u_1
CommMonoid α
DecompositionMonoid α
x : α
s : I → α
t : Finset I
⊢ (∀ i ∈ t, IsRelPrime x (s i)) → IsRelPrime x (∏ i ∈ t, s i)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : ι → Set X
e : ι' ≃ ι
⊢ LocallyFinite (f ∘ ⇑e) ↔ LocallyFinite f
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
s : Finset α
b : β
(a : α) → Decidable (r a b)
a : α
⊢ a ∈ Finset.bipartiteBelow r s b ↔ a ∈ s ∧ r a b
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
g₁ g₂ : FrameHom β γ
f : FrameHom α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s✝ : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
s : Set M
⊢ ↑(closure s) = {1} ∪ ↑(Subsemigroup.closure s)
m n : ℕ
f : Vector ℕ m → Vector ℕ n
h : Vec f
⊢ Computable f
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
⊢ p.primPart = p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
x : M
f : M → M'
g : M → M''
hf : MDifferentiableAt I I' f x
hg : MDifferentiableAt I I'' g x
⊢ MDifferentiableAt I (I'.prod I'') (fun x => (f x, g x)) x
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
F✝ : LaxFunctor B C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : LaxFunctor B C
G : LaxFunctor C D
a✝ b✝ c✝ d✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g : b✝ ⟶ c✝
h : c✝ ⟶ d✝
⊢ (G.mapComp (F.map f) (F.map g) ≫ G.map₂ (F.mapComp f g)) ▷ G.map (F.map h) ≫ (G.mapComp (F.map (f ≫ g)) (F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp (f ≫ g) h)) ≫ G.map₂ (F.map₂ (α_ f g h).hom) = (α_ (G.map (F.map f)) (G.map (F.map g)) (G.map (F.map h))).hom ≫ G.map (F.map f) ◁ (G.mapComp (F.map g) (F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp g h)) ≫ G.mapComp (F.map f) (F.map (g ≫ h)) ≫ G.map₂ (F.mapComp f (g ≫ h))
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
⊢ Topology.IsLower αᵒᵈ ↔ Topology.IsUpper α
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
⊢ a ∈ s.toList ↔ a ∈ s
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op
⊢ pushout.inr f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op = (pullback.snd f g).op
P : ℕ → Prop
⊢ (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → P i) ↔ ∀ (i : ℕ), P (i + 1)
a : ℂ
ha : a ≠ 0
x y : ℂ
⊢ InnerProductGeometry.angle (a * x) (a * y) = InnerProductGeometry.angle x y
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
f g : Filter β
⊢ (f -ᵥ g).NeBot → g.NeBot
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ
this : ↑(u * u⁻¹) = ↑1
⊢ (↑u).val * (↑u⁻¹).val ≡ 1 [MOD n + 1]
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : Grp
A : Action V (MonCat.of ↑G)
g : ↑G
⊢ A.ρ (g * g⁻¹) = 𝟙 A.V
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Zero γ
x : α → β
⊢ 0 ∘ x = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
a b : α
⊢ IsOpen (Set.Ioo a b)
α : Type u
⊢ List.sublistsAux = fun a r => (Array.foldl (fun r l => (r.push l).push (a :: l)) #[] (List.toArray r) 0).toList
a : ℂ
⊢ Filter.Tendsto (fun s => s / 2) (𝓝[≠] a) (𝓝[≠] (a / 2))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
h : s ≪ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
⊢ μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ) = s
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o₂) ℤ
⊢ ∀ (a : Products I), a < l ∧ eval (π C fun x => ord I x < o₂) a = f ↔ a < l ∧ (πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) a) = f
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ac : a < c
bd : b < d
⊢ a * b < c * d
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : ∃ n, 3 ∣ ↑u - ↑n
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta 3 ℚ K) ↑3
⊢ u = 1 ∨ u = -1
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x : T
⊢ ∃ y, x * (algebraMap R T) ↑y.2 = (algebraMap R T) y.1
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => u ⌊c k ^ n⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 l)
⊢ ∀ (a : ℝ), 1 < a → ∃ c, (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧ Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n => u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ : C
⊢ CategoryTheory.Pretriangulated.binaryBiproductTriangle X₁ X₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
x : ℝ
⊢ (Complex.exp (↑x * Complex.I)).im = Real.sin x
α✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : BorelSpace X
inst✝⁸ : R1Space X
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
inst✝⁴ : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ν
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
α : Type u_5
l : Filter α
f : α → ↥(Lp E p ν)
f₀ : ↥(Lp E p ν)
g : α → C(X, Y)
g₀ : C(X, Y)
hf : Tendsto f l (𝓝 f₀)
hg : Tendsto g l (𝓝 g₀)
hgm : ∀ (a : α), MeasurePreserving (⇑(g a)) μ ν
hgm₀ : MeasurePreserving (⇑g₀) μ ν
hp : p ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun a => (Lp.compMeasurePreserving ⇑(g a) ⋯) (f a)) l (𝓝 ((Lp.compMeasurePreserving (⇑g₀) hgm₀) f₀))
a b p : ℕ
⊢ a * b / p ^ (a * b).factorization p = a / p ^ a.factorization p * (b / p ^ b.factorization p)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f g : X ⟶ Y
h : f = g
ℱ : TopCat.Presheaf C X
U : (TopologicalSpace.Opens ↑Y)ᵒᵖ
⊢ (TopCat.Presheaf.pushforwardEq h ℱ).hom.app U = ℱ.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℝ n Real.arsinh
M : Type u_4
N : Type u_5
Monoid M
Monoid N
f : M →* N
hf : ∀ (x : M), IsUnit (f x)
x : M
⊢ ↑((IsUnit.liftRight f hf) x) = f x
n✝ : ℕ
c✝ : Composition n✝
n : ℕ
hn : 0 < n
c : Composition n
⊢ ¬c ≠ single n hn ↔ ¬∀ (i : Fin c.length), c.blocksFun i < n
R : Type u_1
M : Type u_2
N✝ : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N✝
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N✝
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N✝
g : N✝ →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
N : Submodule R M
⊢ Exact ⇑(rTensor Q N.subtype) ⇑(rTensor Q N.mkQ)
α : Type u
l : List α
⊢ l.Nodup ↔ Function.Injective fun i => l[↑i]
n : ℕ
⊢ Complex.cos (↑n * (2 * ↑Real.pi) + ↑Real.pi) = -1
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
G'' : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α) (x : F), (T s) x ≤ (T' s) x
f : MeasureTheory.SimpleFunc α F
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f ≤ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T' f
α : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
TopologicalSpace α
Preorder α
InfConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_anti : Antitone f
ha : IsGLB (Set.range f) a
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
α : Sort u
C : α → Sort v
r : α → α → Prop
hwf : WellFounded r
F : (x : α) → ((y : α) → r y x → C y) → C x
x : α
⊢ hwf.fix F x = F x fun y x => hwf.fix F y
M : Type u_1
inst✝² : Semigroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r
s : Set M
snemp : s.Nonempty
s_compact : IsCompact s
s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s
M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }
⊢ ∃ m ∈ s, m * m = m
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⇑normalize = Associates.out ∘ Associates.mk
⊢ ∀ x_1 ∈ normalizedFactors (x * y), Irreducible x_1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hf₀ : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α), f x ∂μ) = (∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ) / μ Set.univ
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedRing 𝕝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a✝ b✝ : 𝕜
inst✝ : SMulCommClass 𝕝 𝕜 E
hs : Balanced 𝕝 s
a : 𝕜
b : 𝕝
ha : a • x ∈ s
hba : ‖b‖ ≤ ‖a‖
⊢ b • x ∈ s
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
x : C
h : x ∈ s ⊔ t
⊢ ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x
α : Type u_1
Preorder α
⊢ UpperSet.map (OrderIso.refl α) = OrderIso.refl (UpperSet α)
x : ℝ
h : 0 < x
⊢ ⊥ * ↑x = ⊥
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
n : ℕ
f : ↑s →₀ α
hf✝ : (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) f = 1
hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1
this : 1 ∈ span ((fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support)
a✝ : α
hx : ∃ x ∈ ↑f.support, (f x * ↑x) ^ (n + 1) = a✝
⊢ a✝ ∈ ↑(span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s))
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool
⊢ l.length - 1 ≤ 2 * count b l
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ padicValNat p (p ^ n) = n
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M
⊢ ((((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv).comp (Finsupp.singleAddHom yi)) yv = (((((AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv).comp (Finsupp.singleAddHom yi)) yv
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
h : a < b
hb : ¬IsMax b
⊢ Order.succ a < Order.succ b
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P g
i : ((S.affineCover.pullbackCover f).pullbackCover (pullback.fst f g)).J
e : pullback (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≅ pullback (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) := pullbackSymmetry (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ pullbackRightPullbackFstIso f g ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ asIso (pullback.map ((S.affineCover.pullbackCover f).map i ≫ f) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i) ≫ S.affineCover.map i) g (𝟙 ((S.affineCover.pullbackCover f).obj i)) (𝟙 Y) (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≪≫ (pullbackRightPullbackFstIso (S.affineCover.map i) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i))).symm
this✝ : e.hom ≫ pullback.fst (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) = (S.affineCover.pullbackCover f).pullbackHom (pullback.fst f g) i
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
⊢ Q (pullback.snd g (S.affineCover.map i))
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.75332
inst✝ : MulAction R X
r₁ r₂ : R
s₁ s₂ : ↥S
r' : R
s' : ↥S
huv : ↑s' * r₁ = r' * ↑s₂
⊢ r₁ /ₒ s₁ * (r₂ /ₒ s₂) = r' * r₂ /ₒ (s' * s₁)
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A
⊢ (shiftFunctorAdd C i j).inv.app X ≫ (shiftFunctor C (i + j)).map f ≫ (shiftAdd Y i j).hom = (shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j).map f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LocallyLipschitz f
n : ℕ
⊢ LocallyLipschitz (f^[n] ∘ f)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).updateColumn i fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)).det
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid α
CommMonoid β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
f : F
s : Multiset α
⊢ f s.prod = (Multiset.map (⇑f) s).prod
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsUpperModularLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a : α
s : Set α
h : ∀ a ∈ s, IsAtom a
hab : a < sSup s
x : α
hx : x ∈ s
hcon : ¬a ⋖ x ⊔ a
h_inf : x ⊓ a = x
⊢ x ≤ a
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
ndeg_eq_zero : (minpoly A x).natDegree = 0
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
Y : C
η : CategoryTheory.yoneda.obj Y ⟶ A
X : C
s : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ A
p : CategoryTheory.OverPresheafAux.OverArrows η s
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.yoneda.map p.val) η = s
R : Type u_1
CommSemiring R
a : R
⊢ Nat.rawCast 1 * a = a
x : ℝ
H : ∀ (p : ℝ), LiouvilleWith p x
n b : ℕ
hb : 1 < b
a : ℤ
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < ↑b ^ (-↑n)
⊢ ∃ a b, 1 < b ∧ x ≠ ↑a / ↑b ∧ |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Cardinal.aleph o * ℵ₀ = Cardinal.aleph o
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
n : ℕ
h : n ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ (n • θ).toReal = ↑n * θ.toReal ↔ θ.toReal ∈ Set.Ioc (-π / ↑n) (π / ↑n)
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
self : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
⊢ B₁ ^ 2 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
p : α → Prop
q : β → Prop
⊢ p ≤₁ q → p ≤₀ q
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
L : Filter F
⊢ HasGradientAtFilter f f' x L ↔ (fun x' => f x' - f x - ⟪f', x' - x⟫_𝕜) =o[L] fun x' => x' - x
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type u₁
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Semiring C
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
e₁₂ : A ≃ₐc[R] B
e₂₃ : B ≃ₐc[R] C
⊢ ↑(e₁₂.trans e₂₃) = (↑e₁₂).trans ↑e₂₃
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
a b : { x // p x }
⊢ Subtype.val ⁻¹' Set.Ioo ↑a ↑b = Set.Ioo a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x✝ x : E
⊢ x ∈ support (fderiv 𝕜 f) → x ∈ tsupport f
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
x : α
adhs : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ f, t ×ˢ t ⊆ s ∧ ∃ y, (x, y) ∈ s ∧ y ∈ t
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ s ∈ f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
c : β
⊢ Integrable (fun x => c) μ ↔ c = 0 ∨ μ univ < ⊤
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq : ∀ (i j : ι), IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
⊢ ∃ a' h' iDh', U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧ (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧ ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s = const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Presentation R S
i : P.rels
⊢ (MvPolynomial.aeval P.val) (P.relation i) = 0