ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.ShortComplex C)
⊢ ∀ (X_1 : J),
  (((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.counitIso J C).inv.app X).app X_1).τ₃ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.obj X_1).X₃
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
⊢ M.closure J ∩ I = J
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
f g : Polynomial ↥(subfield G F)
hf : f.Monic
hg : g.Monic
hfg : f * g = minpoly G F x
hf2 : f ∣ minpoly G F x
hg2 : g ∣ minpoly G F x
⊢ f = 1 ∨ g = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s : Set β
⊢ ∃ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, 0 ≤ κ.densityProcess ν x_1 a x s
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
t : Set 𝕜
s : Set F
x : 𝕜
⊢ derivWithin f t x ∈ s ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x ∧ derivWithin f t x ∈ s ∨ ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x ∧ 0 ∈ s
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ E
InnerProductSpace ℝ F
f : E → F
x : E
f' : E →L[ℝ] F
h : HasFDerivAt f f' x
⊢ ConformalAt f x ↔ ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (u v : E), ⟪f' u, f' v⟫_ℝ = c * ⟪u, v⟫_ℝ
ι : Type u
Infinite ι
c : ι → Cardinal.{v}
h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i
h₂ : ∀ (i : ι), Cardinal.lift.{u, v} (c i) ≤ Cardinal.lift.{v, u} #ι
⊢ Cardinal.prod c = 2 ^ Cardinal.lift.{v, u} #ι
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i = 0 ↔ x = -1 ∧ Even n
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ↑ε
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
⊢ s ∪ t ⊆ ∅ ↔ s ⊆ ∅ ∧ t ⊆ ∅
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
s : Set X
⊢ (closure s).Subsingleton ↔ s.Subsingleton
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : r ≤ 0
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ p.ball x r ↔ x✝ ∈ ∅
z w : ℍ
⊢ z.im ≤ w.im * rexp (dist z w)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₂ : f₂ =O[l] g₂
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₁ g₁
c : ℝ
cpos : 0 < c
⊢ IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x
R : Type u
M : Type v
Monoid R
AddCommGroup M
DistribMulAction R M
UniformSpace M
UniformAddGroup M
ContinuousConstSMul R M
⊢ UniformContinuousConstSMul R M
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n
jn : n ≤ j
this : 2 * n - j + j ≤ n + j
t : xn a1 (2 * n - (2 * n - j)) + xn a1 (2 * n - j) ≡ 0 [MOD xn a1 n] := xn_modEq_x2n_sub_lem a1 (Nat.le_of_add_le_add_right this)
⊢ xn a1 (2 * n - j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : ClosedEmbedding f
s : Set Y
hs : s ⊆ Set.range f
⊢ IsClosed s ↔ IsClosed (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
n : ℕ
Neg α
a : Fin n.succ → α
⊢ Matrix.vecTail (-a) = -Matrix.vecTail a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ≅ Y
⊢ CategoryTheory.inv f.hom = f.inv
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ
h : evariance X μ < ⊤
this : Memℒp (fun ω => X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) 2 μ
⊢ Memℒp X 2 μ
x y : ℝ
⊢ Real.one.cauchy = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
R : Type u_3
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
s : Set E
f : E → F
c : R
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun y => c • f y) s
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScott α
s : Set α
⊢ IsClosed s → DirSupClosed s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 ↥U
x : E
⊢ (orthogonalProjection U) x = ∑ i : ι, ⟪↑(b i), x⟫_𝕜 • b i
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : MetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
⊢ ∃ δ, (∀ (x : X), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i
G : Type u_1
AddGroup G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
PolishSpace G
Γ : AddSubgroup G
Countable ↥Γ
Γ.Normal
T2Space (G ⧸ Γ)
SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite ν
ν.IsAddHaarMeasure
ν.IsAddRightInvariant
K : TopologicalSpace.PositiveCompacts (G ⧸ Γ)
𝓕 : Set G
h𝓕 : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν
  (ν (QuotientAddGroup.mk ⁻¹' ↑K ∩ 𝓕) • MeasureTheory.Measure.addHaarMeasure K)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c d : α
h₁ : min a b < max c d
h₂ : min c d < max a b
⊢ Set.Icc a b ∪ Set.Icc c d = Set.Icc (min a c) (max b d)
H : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id Set.univ y
⊢ ChartedSpace.LiftPropAt Q (↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x) x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R✝ : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
R : WSeq α → WSeq β → Prop
h1 : R s t
h2 : ∀ {s : WSeq α} {t : WSeq β}, R s t → Computation.LiftRel (LiftRelO R✝ R) s.destruct t.destruct
⊢ ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R✝ R a b → LiftRelO R✝ (LiftRel R✝) a b
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
n : σ
f g : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.degreeOf n (f + g) ≤ max (MvPolynomial.degreeOf n f) (MvPolynomial.degreeOf n g)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ (F.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) f).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).hom)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (F.map f)).inv
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapId a).inv (F.map f)))
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s ∪ t ∪ u = s ∪ u ∪ (t ∪ u)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
U : Set H
hU : IsOpen U
s : Set H
comp : IsCompact s
sU : s ⊆ U
u : Set ↑s := Subtype.val ⁻¹' interior s
u_open_in_s : IsOpen u
x : { x // x ∈ s }
memU : ↑x ∈ U
xs : ↑x ∈ interior s
⊢ ∃ v ∈ {s | IsClopen s}, ↑x ∈ v ∧ v ⊆ U
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter α
h : MeasureTheory.IntegrableAtFilter f l μ
⊢ ∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ (α_ X.X M₁.X N.X).inv ≫ M₁.actLeft ▷ N.X ≫ f.hom ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft M₂ N
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
FunLike F α β
MulOneClass α
MulOneClass β
MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
ContinuousMul β
f : F
⊢ ContinuousMul α
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
r : B
s : Set R
left✝ : s.Finite
hsr : IsIntegral (↥(Subring.closure s)) r
⊢ IsIntegral R r
V : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : V → E
CompleteSpace E
h : Continuous f
hf : MeasureTheory.Integrable f MeasureTheory.volume
h'f : MeasureTheory.Integrable (𝓕 f) MeasureTheory.volume
⊢ 𝓕⁻ (𝓕 f) = f
M : Type u_2
MonoidWithZero M
NoZeroDivisors M
S : Submonoid M
hS : 0 ∉ S
⊢ S ≤ M⁰
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLinearOrder α
a : α
f : ι → α
⊢ iInf f < a ↔ ∃ i, f i < a
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
⊢ (s.sup p) x = 0 ∨ ∃ i ∈ s, (s.sup p) x = (p i) x
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R 2
x y : R
⊢ x - y = x + y
α : Type u_1
One α
a : αˢʸᵐ
⊢ SymAlg.unsym a ≠ 1 ↔ a ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
head✝¹ : α
tail✝¹ : List α
head✝ : α
tail✝ : List α
h : head✝¹ :: tail✝¹ <+: head✝ :: tail✝
hx : ¬False
⊢ head✝¹ = head✝
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x' : Dual 𝕜 E
c : 𝕜
hc : ∀ z ∈ s, ‖x' z‖ ≤ ‖c‖
c_zero : ¬c = 0
eq : ∀ (z : E), ‖c⁻¹ • x' z‖ = ‖c⁻¹‖ * ‖x' z‖
le : ∀ z ∈ s, ‖c⁻¹ • x' z‖ ≤ ‖c⁻¹‖ * ‖c‖
cancel : ‖c⁻¹‖ * ‖c‖ = 1
⊢ c⁻¹ • x' ∈ polar 𝕜 s
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
⊢ dist f g = ⨆ x, dist (f x) (g x)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h✝ e f : L
m✝ : M
μ : R
t : IsSl2Triple h✝ e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m✝ μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
hn : μ = ↑n
h : ¬((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m✝ = 0
this✝ : t.HasPrimitiveVectorWith (((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m✝) (↑n - 2 * (↑n + 1))
m : ℕ
hm : ↑n - 2 * (↑n + 1) = ↑m
this : ↑n < ↑m + 2 * (↑n + 1)
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
F : CategoryTheory.Functor C C
F.Additive
A₁ A₂ : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
α : A₁ ⟶ A₂
⊢ (-α).f = -α.f
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter β
a : α
⊢ (a +ᵥ f).NeBot ↔ f.NeBot
X Y : Type u
Ring X
Ring Y
e : X ≃+* Y
⊢ e.toRingCatIso.hom = e.toRingHom
n : ℕ
hn0 : n ≠ 0
h : 511 < n
⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x y : α
h : Commute x y
hxy : x ≠ y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = (x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m) / (x - y)
A : Type u_1
SeminormedCommGroup A
a : A
n : ℕ
δ : ℝ
han : (orderOf a).Coprime n
⊢ a • approxOrderOf A n δ ⊆ approxOrderOf A (orderOf a * n) δ
x : EReal
y : ℝ
⊢ (x * ↑y).exp = x.exp ^ y
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ x.slt y = (x.msb != y.msb).xor (x.ult y)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : 0 < ε
N : ℕ
hN : 1 / ε < ↑N
i : ℕ
hi : i ≥ N
h : padicNormE (↑f i - ↑(Classical.choose ⋯)) < 1 / (↑i + 1)
⊢ 1 ≤ ↑i * ε + 1 * ε
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.127674, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.127678, u_3} E
X : C
S : Presieve X
inst✝¹ : S.regular
inst✝ : Projective X
F : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
⊢ IsSheafFor F S
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
m : M
⊢ g ((CliffordAlgebra.ι Q) m) * g ((CliffordAlgebra.ι Q) m) = (algebraMap R A) (Q m)
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ logb b x < logb b y ↔ y < x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
w : f ≫ h = g ≫ k
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.desc h k w = k
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
c : CategoryTheory.Limits.Cone (TopCat.Presheaf.SheafConditionEqualizerProducts.diagram F U)
x : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ
⊢ ((TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquivInverse F U).obj c).π.app x =
  CategoryTheory.Pairwise.rec
    (fun a => CategoryTheory.Limits.Fork.ι c ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun i => F.obj (Opposite.op (U i))) a)
    (fun a a_1 =>
      CategoryTheory.Limits.Fork.ι c ≫
        TopCat.Presheaf.SheafConditionEqualizerProducts.leftRes F U ≫
          CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun p => F.obj (Opposite.op (U p.1 ⊓ U p.2))) (a, a_1))
    (Opposite.unop x)
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
hu : m = 0
l : Fin m
⊢ append u v (castAdd n l) = (v ∘ cast ⋯) (castAdd n l)
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
β : G.ComponentCompl K → Prop
f : ∀ ⦃v : V⦄ (hv : v ∉ K), β (G.componentComplMk hv)
⊢ ∀ (v : ↑Kᶜ), β ((induce Kᶜ G).connectedComponentMk v)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
⊢ IsLUB (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2) (⨆ s, ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2)
M : Type u_10
A : Type u_11
AddZeroClass A
self : DistribSMul M A
a : M
x y : A
⊢ a • (x + y) = a • x + a • y
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Rel.core Eq s = s
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f : m → n
hf : Surjective f
g : n → m
hg : Function.RightInverse g f
⊢ Injective ⇑(funLeft R M f)
E : Type u_6
SeminormedGroup E
T0Space E
a : E
⊢ ‖a‖ ≤ 0 ↔ a = 1
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ≥0∞
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hp_nonneg : 0 ≤ p
hp_not_neg : ¬p < 0
h_top_iff_rpow_top : ∀ i ∈ s, w i * z i = ⊤ ↔ w i * z i ^ p = ⊤
⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p = ⊤ → ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p = ⊤
⊢ (¬∀ (α : Type u), lift.{v + 1, u} #α < univ.{v, max u (v + 1)}) ↔ ¬univ.{u, v + 1} ≤ univ.{v, u + 1}
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
F : Type u_9
T1Space M₂
FunLike F M₁ M₂
ContinuousSemilinearMapClass F σ₁₂ M₁ M₂
f : F
⊢ IsClosed ↑(LinearMap.ker f)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
x : Set α
y : Set β
⊢ x ∩ ⇑f ⁻¹' minimals s (⇑f '' x ∩ y) = minimals r (x ∩ ⇑f ⁻¹' y)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
⊢ ∃ f, StrictMono f ∧ f 0 = a
α : Type u
β : Type v
a : α
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ StrictMonoOn f {a}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
x : α
⊢ x ∈ f.Dom ↔ ∃ y, y ∈ f x
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
WfDvdMonoid R
r : R
hr : r ≠ 0
⊢ Squarefree r ↔ ∀ (x : R), Irreducible x → ¬x * x ∣ r
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
⊢ LinearIndependent ℤ (eval (C' C ho)) → LinearIndependent (ι := ↑(MaxProducts C ho)) ℤ (⇑(Linear_CC' C hsC ho) ∘ fun l => Products.eval C ↑l)
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Field S
NonUnitalRing A
Module R A
Module S A
Algebra R S
a b : A
f : S → R
ha : QuasispectrumRestricts a f
h : quasispectrum S a = quasispectrum S b
⊢ QuasispectrumRestricts b f
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * (μ (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ))).toReal + δ * (μ (Icc a b)).toReal < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, dist (f p x) (f q x) < δ
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)
⊢ ∀ a ∈ v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..a.2, f a.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..b₀, f q t ∂μ) < ε
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ μ.withDensityᵥ f = μ.withDensityᵥ g ↔ f =ᵐ[μ] g
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
ih : ∀ m < p.natDegree, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
t : ℕ
hx : p.natDegree < t.succ
hp : ¬p.natDegree = 0
⊢ (⇑derivative)^[t] (derivative p) = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
t : Set α
ht_meas : MeasurableSet t
htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ : SigmaFinite ((μ.trim hm).restrict t)
this : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm)
htf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0
hf_meas_m : StronglyMeasurable f
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ((μ.restrict t).trim hm) s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂(μ.restrict t).trim hm = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ≠ x
H : x < y
⊢ ∃ a b, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e₁ e₂ : A ≃ₗc[R] B
⊢ e₁.toEquiv = e₂.toEquiv ↔ e₁ = e₂
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
j : (FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom)ᵒᵖ
⊢ F.map (eqToHom ⋯ ≫ (opensLeCoverCocone U).op.π.app ((generateEquivalenceOpensLe U hY).op.functor.obj j)) = (Functor.mapCone F (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op).π.app j
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
j : J
⊢ c.ι.app j = c.ι.app j ≫ 𝟙 c.pt
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227041}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
⊢ Nonempty (↑(f ⁻¹' s) ↪ ↑s)
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
x y : ↥S
⊢ x + y = ⟨↑x + ↑y, ⋯⟩
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
⊢ AList.insert a b ∅ = AList.singleton a b