ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
x : G
⊢ (g ⋆[L.flip, μ] f) x = (f ⋆[L, μ] g) x
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ (↑I ∪ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)).PairwiseDisjoint id
t : ℝ
h₁ : 1 / 2 < 1
h₂ : Tendsto (fun x => 1 + t / x) atTop (𝓝 1)
x : ℝ
hx : 1 / 2 ≤ 1 + t / x
hx' : 0 < 1 + t / x
⊢ (rexp ∘ fun x => x * log (1 + t / x)) x = (fun x => (1 + t / x) ^ x) x
α : Type u_1
o o' : Option α
⊢ (HOrElse.hOrElse o fun x => o') = none ↔ o = none ∧ o' = none
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → P
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ∀ i2 ∈ s, i2 ≠ i → affineCombinationSingleWeights k i i2 = 0
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
f p : R[X]
⊢ (AdjoinRoot.quotMapCMapSpanMkEquivQuotMapCQuotMapSpanMk I f)
    ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {f})) (Ideal.map Polynomial.C I)))
      ((AdjoinRoot.mk f) p)) =
  (DoubleQuot.quotQuotMk (Ideal.map Polynomial.C I) (Ideal.span {f})) p
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
CompactSpace α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
Fact (1 ≤ p)
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
⊢ (LinearMap.range (ContinuousMap.toLp p μ 𝕜)).toAddSubgroup = MeasureTheory.Lp.boundedContinuousFunction E p μ
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
IH : L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data
⊢ List α → List (List α)
k : Type u_1
Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
v : V
s : AffineSubspace k P
p : P
⊢ v +ᵥ p ∈ v +ᵥ s ↔ p ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f g : α →. β
(x : α) → Decidable (f x).Dom
(x : α) → Decidable (g x).Dom
s t : Finset α
h₁ : s = t
h₂ : ∀ x ∈ t, f x = g x
⊢ Finset.pimage f s = Finset.pimage g t
a b : Prop
h : a = b
⊢ (a → b) = True
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
k : ℕ
h : 0 < k + Nat.succ 0
⊢ X.basicOpen (f ^ (k + Nat.succ 0)) = X.basicOpen f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
f : CategoryTheory.Arrow C
⊢ W₂ (self.p.app f)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
⊢ M.comul ≫ M.comul ▷ M.X = M.comul ≫ M.X ◁ M.comul ≫ (α_ M.X M.X M.X).inv
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
t : Set α
htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
hbt : range f ⊆ t
x : α
hx : x ∈ t
⊢ ∃ y, f y = x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p1 p2 : P
p3 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s
⊢ dist p1 p3 = dist p2 p3 ↔
  dist p1 ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p3) = dist p2 ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p3)
a b c : ℕ
h : a ≤ b
x : ℕ
⊢ x = a ∨ a + 1 ≤ x ∧ x ≤ b ↔ a ≤ x ∧ x ≤ b
ι : Type u_2
α : Type u_3
f : ι → Filter α
s : Set α
hs : s ∈ ⨅ i, f i
⊢ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ∈ f i) ∧ s = ⋂ i, t i
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ { pt := (D.U i).presheaf.obj (op U), π := { app := fun j => D.ιInvAppπApp U (unop j), naturality := ⋯ } }.π.app (op (WalkingMultispan.right i)) = (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯)
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
IH : ∀ (M : Matrix (Fin r) (Fin r) 𝕜), ∃ L₀ L₀' D₀, (List.map toMatrix L₀).prod * M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
L₁ L₁' : List (TransvectionStruct (Fin r ⊕ Unit) 𝕜)
hM : ((List.map toMatrix L₁).prod * M * (List.map toMatrix L₁').prod).IsTwoBlockDiagonal
M' : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜 := (List.map toMatrix L₁).prod * M * (List.map toMatrix L₁').prod
M'' : Matrix (Fin r) (Fin r) 𝕜 := M'.toBlocks₁₁
L₀ L₀' : List (TransvectionStruct (Fin r) 𝕜)
D₀ : Fin r → 𝕜
h₀ : (List.map toMatrix L₀).prod * M'' * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀
c : 𝕜 := M' (inr ()) (inr ())
⊢ (List.map (toMatrix ∘ sumInl Unit) L₀).prod * M' * (List.map (toMatrix ∘ sumInl Unit) L₀').prod = diagonal (Sum.elim D₀ fun x => c)
G : Type u_2
Group G
H : Subgroup G
x g : G
h : ↥H.op
⊢ h • (g * x) = g * h • x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : StronglyMeasurable f
this : IsSeparable (closure (⋃ n, range ↑(hf.approx n)))
x : α
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ↑(hf.approx x_1) x ∈ ⋃ n, range ↑(hf.approx n)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
⊢ (CategoryTheory.Presieve.ofArrows X π).EffectiveEpimorphic ↔ CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
h : Module.rank R M < ℵ₀
⊢ Nonempty (Fintype ι)
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
s : Set P₁
⊢ ⇑e.symm '' (⇑e '' s) = s
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
α : ι → Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq κ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset κ
i : ι
j : κ
⊢ (if j ∈ s then ∏ b ∈ univ.erase i, s.card else 0) = if j ∈ s then s.card ^ (card ι - 1) else 0
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
⊢ (of R 𝒜 ℬ).symm.symm ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm ((-1) ^ (j₁ * i₂) • ((decompose 𝒜) a₁ * (lof R ι (fun x => ↥(𝒜 x)) i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι (fun x => ↥(ℬ x)) j₁) b₁ * (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R
⊢ (J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
h : HolderWith C r f
s : Set X
⊢ HolderOnWith C r f s
k : ℕ
⊢ antidiagonalTuple (k + 1) 0 = [0]
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
x' : M
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
hx'' : f x' = f (S.subtype y • x)
a : ↥S
ha : a • x' = a • S.subtype y • x
⊢ ↑(a * y) • x = ↑a • ↑y • x
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Rel.image Eq s = s
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.tails = (List.map List.reverse l.reverse.inits).reverse
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hMN : ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {m : ι → M} {n : ι → N}, ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0 → VanishesTrivially R m n
M' : Submodule R M
x : ↥M' ⊗[R] N
hx : (rTensor N M'.subtype) x = 0
⊢ x = 0
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
x y : (i : ι) → A i
⊢ (PiTensorProduct.tprod R) x * (PiTensorProduct.tprod R) y = (PiTensorProduct.tprod R) (x * y)
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
⊢ Filter.blimsup u f p ≤ Filter.blimsup u f fun x => p x ∨ q x
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.subgroupOf H = ⊤
α β : Type u_1
⊢ (fun x x_1 => x >>= x_1) = Erased.bind
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h : |x| ≠ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : |x| ^ n = 1
⊢ False
α : Type u
h : ∅.Finite
⊢ h.toFinset = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
s : Set β
b : β
⊢ ⨅ x ∈ insert b s, f x = f b ⊓ ⨅ x ∈ s, f x
α : Type u_1
n : ℕ
s : Finset α
⊢ ⊥.IsNClique n s ↔ n ≤ 1 ∧ s.card = n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : E
⊢ HasFDerivAt (stereoInvFunAux v) (ContinuousLinearMap.id ℝ E) 0
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
heq : (fun n => ↑‖(a⋆ * a) ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) = (fun x => x ^ 2) ∘ fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)
h₂ : Tendsto ((fun a => a ^ 2) ∘ fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop (𝓝 (spectralRadius ℂ a ^ 2))
⊢ spectralRadius ℂ a ^ 2 = ↑‖a‖₊ ^ 2
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b✝ c d b : G₀
⊢ 0 ^ 2 * b / 0 = 0 * b
n : ℕ
i : Fin n
⊢ finSuccEquivLast.symm (some i) = i.castSucc
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.unit.1 (e.inverse.obj Y)) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.inverse.toPrefunctor.2 (e.counitInv.app (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ (((e.inverse.mapIso (e.counitIso.app (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))).hom ≫ (e.inverse.mapIso (e.counitIso.app (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))).inv ≫ e.unitInv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)
o : ONote
h : o.fundamentalSequence = Sum.inl none
⊢ o.fastGrowing = Nat.succ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪o.rightAngleRotation x, y⟫_ℝ = -⟪x, o.rightAngleRotation y⟫_ℝ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
x : E × F
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun x => (f x.1) x.2) (f.fpowerSeriesBilinear x) x ⊤
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y : Y
⊢ dist x y = Sum.dist (inr x) (inr y)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
⊢ μ ^ (↑((autToPow R hμ) f)).val = f μ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
⊢ CompactSpace α ↔ Bornology.IsBounded Set.univ
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl
b : A
s : ↥𝔭.primeCompl
eq1 : IsLocalization.mk' (at 𝔭.primeCompl) b s * (mk f).val = 1
c : ↥𝔭.primeCompl
hc : ↑c * (↑f.num * b) = ↑c * (↑f.den * ↑s)
this : ↑f.num ∉ 𝔭
⊢ Localization.mk ↑(f * { deg := f.deg, num := f.den, den := f.num, den_mem := this }).num ⟨↑(f * { deg := f.deg, num := f.den, den := f.num, den_mem := this }).den, ⋯⟩ = val 1
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
z w : ℂ
⊢ f z = f w
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ω : Ω
hN : 0 < N
hab : a < b
hn : n < MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f N ω
⊢ MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n ω < N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
h : ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I)
p : ℕ
p_pos : p > 0
hp_mixedChar : MixedCharZero R p
I : Ideal R
hI_ne_top : I ≠ ⊤
hI_p : CharP (R ⧸ I) p
hI_zero : CharP (R ⧸ I) 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3
⊢ log 2 * 2 ≤ √(↑3 * log 2)
X : LightCondSet
⊢ lightCondSetToTopCat.obj X = X.toTopCat
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f g : N →ₗ[R] P
⊢ LinearMap.rTensor M (f + g) = LinearMap.rTensor M f + LinearMap.rTensor M g
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
Fintype ιa
Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
CommSemiring R'
AddCommGroup N₁
Module R' N₁
AddCommGroup N₂
Module R' N₂
AddCommMonoid Mᵢ
Module R' Mᵢ
DecidableEq ιa
DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
⊢ ↑(a.domCoprod b) = ∑ σ : Equiv.Perm.ModSumCongr ιa ιb, AlternatingMap.domCoprod.summand a b σ
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
⊢ gauge s x < 1 ↔ x ∈ interior s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c₀ : Chain α
c₁ : Chain β
⊢ ωSup (c₀.zip c₁) = (ωSup c₀, ωSup c₁)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
σ : ι₁ ≃ ι₂
m : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
inst✝ : DecidableEq ι₂
v : ι₂ → M₂
i : ι₂
a b : M₂
this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq
⊢ (m fun i_1 => update (v ∘ ⇑σ) (σ.symm i) (a + b) i_1) = (m fun i_1 => update (v ∘ ⇑σ) (σ.symm i) a i_1) + m fun i_1 => update (v ∘ ⇑σ) (σ.symm i) b i_1
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
n k : ℕ
h : k < Nat.count p n
⊢ Nat.nth p k < n
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
A : Type u_9
NormedCommRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
f : α → E → A
s : Set E
N : Finset α
h : ∀ n ∈ N, AnalyticOn 𝕜 (f n) s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun z => ∏ n ∈ N, f n z) s
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
p : X → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : X) in residual X, p x) ↔ ∃ t, IsGδ t ∧ Dense t ∧ ∀ x ∈ t, p x
α : Type u
x : α
BooleanAlgebra α
⊢ xᶜ = ⊤ ↔ x = ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
this : NormalizedGCDMonoid (Ideal A) := toNormalizedGCDMonoid (Ideal A)
hgcd : gcd I J = I ⊔ J
hlcm : lcm I J = I ⊓ J
⊢ (I ⊔ J) * (I ⊓ J) = I * J
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : I * ↑(1 / x) = -1 / (I * ↑x)
hx' : I * ↑x ≠ 0
h2 : ↑a * I * ↑x / (I * ↑x) = ↑a
h3 : 1 / (-I * (I * ↑x)) ^ (1 / 2) = 1 / ↑(x ^ (1 / 2))
⊢ cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * (1 / (-I * (I * ↑x)) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * (↑a * I * ↑x) ^ 2 / (I * ↑x)) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x / (I * ↑x)) (-1 / (I * ↑x))) = ↑(1 / x ^ (1 / 2)) * jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑(1 / x))
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
T : Tape Γ
n : ℕ
⊢ T.right₀.nth n = T.nth ↑n
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
⊢ MapsTo (↑((↑i).extend I)) ((fun i => (↑i).source) i ∩ (fun i => (↑i).source) j) (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source
n : ℕ
⊢ Polynomial.eval 1 (Polynomial.bernoulli n) = bernoulli' n
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι' : Type u_9
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
NormedField 𝕜₂
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_10
Nonempty ι
p : Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ Seminorm.IsBounded (fun x => p) q f ↔ ∀ (i : ι'), ∃ C, (q i).comp f ≤ C • p
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
l : L₁ ⟶ L₂
X : CategoryTheory.Comma L₂ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeft R l).obj X).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (l.app X.left) X.hom
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝ : atTop.IsMeasurablyGenerated
hf : LocallyIntegrableOn f (Ici a) μ
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ
⊢ StronglyMeasurableAtFilter f atTop μ
α : Type u_1
IsEmpty α
⊢ Nat.card α = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfgne✝ : padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
hfgne : padicNorm p (↑f (max ?v1 (max (stationaryPoint hf) ?v3))) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
⊢ ℕ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape Jᵒᵖ C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J Cᵒᵖ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
NonAssocSemiring Y
y : Y
⊢ LocallyConstant.constRingHom y = LocallyConstant.const X y
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
f'_monic : (f * C f.leadingCoeff⁻¹).Monic
q : K[X]
q_monic : q.Monic
q_aeval : (aeval (root f)) q = 0
commutes : (lift (algebraMap K (AdjoinRoot f)) (root f) q_aeval).comp (mk q) = mk f
⊢ (f * C f.leadingCoeff⁻¹).degree ≤ q.degree
n✝ m n : ℕ
i : Fin n.succ
hi : i ∈ Set.range castSucc
⊢ ↑((Equiv.ofInjective castSucc ⋯).symm ⟨i, hi⟩) = ↑i
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
a b : A
⊢ Units.val ⁻¹' spectrum R (a * b) = Units.val ⁻¹' spectrum R (b * a)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
⊢ W'.polynomialX =
  MvPolynomial.C W'.a₁ * MvPolynomial.X y * MvPolynomial.X z -
    (MvPolynomial.C 3 * MvPolynomial.X x ^ 2 + MvPolynomial.C (2 * W'.a₂) * MvPolynomial.X x * MvPolynomial.X z ^ 2 +
      MvPolynomial.C W'.a₄ * MvPolynomial.X z ^ 4)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.783706) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ 1
hf : ContinuousOn f (spectrum R a)
ha : p a
⊢ (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } ≤ 1
α : Type u
β : Type v
SemilatticeSup α
SemilatticeInf β
f : α → β
h : Antitone f
x y : α
⊢ f (x ⊔ y) ≤ f x ⊓ f y
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α ≃ β
⊢ Finsupp.equivMapDomain f 0 = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
x y z : V
⊢ y ∈ segment R x z ↔ Wbtw R x y z
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a b c : M
m n✝ n : ℕ
h : a * b = 1
⊢ a ^ n * a * (b * b ^ n) = a ^ n * (a * b) * b ^ n
α β : Type u
m : Type u → Type u
Applicative m
F : α → m β
x : FreeSemigroup α
⊢ FreeSemigroup.traverse F x = traverse F x
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
B : {t | ([c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
⊢ JoinedIn sᶜ a b
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : IsSupClosedCompact α
⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
k : Type u_1
G : Type u_2
CommSemiring k
Group G
Fintype G
Invertible ↑(Fintype.card G)
g : G
⊢ Finsupp.single g 1 * GroupAlgebra.average k G = GroupAlgebra.average k G
α : Type u_1
I B X : Set α
M : Matroid α
hM : ∃ M_1, M.E = M_1.E ∧ ∀ (I : Set α), M_1.Indep I ↔ M.Indep I
⊢ ∀ (I : Set α), M.Indep I → I ⊆ M.E
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
⊢ a • x' + b • y' < f.symm (a • f x' + b • f y')
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
hs : x✝.IsSpecial
this : sizeOf u.step < sizeOf u
⊢ u.step.reduce.flip.IsSpecial
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
NoncompactSpace X
hs : IsCompact s
⊢ s ≠ Set.univ
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
x z : R
hy : IsRadical (x * z)
h0 : x * z ≠ 0
w : R
dvd : x ∣ w ^ 2
⊢ x * z ∣ w ^ 2 * (z * z)
K : Type u_2
Field K
w w' : NumberField.InfinitePlace K
h : w.IsReal
h' : w'.IsComplex
⊢ w ≠ w'
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ (EuclideanGeometry.reflection s) p = p ↔ p ∈ s
R✝ : Type u_1
inst✝² : Semiring R✝
f : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
⊢ (p * q).trailingCoeff = p.trailingCoeff * q.trailingCoeff