ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n
hij : i ≠ j
⊢ (B (v i)) (v j) = 0
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : IsUnit x
hfx : f x ≠ 0
n : ℕ
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
⊢ f (x ^ n) ≠ 0
α : Type u_1
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Finset.filter (fun a => p a ∧ q a) s = Finset.filter p s ∩ Finset.filter q s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : N → M × M'
hf : ContMDiff J (I.prod I') n f
⊢ ContMDiff J I' n fun x => (f x).2
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v
p : E
this✝ : ∀ᵐ (s : ℝ), DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
s : ℝ
hs : DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
h's : DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) (s + 0)
this : DifferentiableAt ℝ (fun t => s + t) 0
t : ℝ
⊢ f (p + s • v + t • v) = ((fun t => f (p + t • v)) ∘ HAdd.hAdd s) t
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0∞
g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
hfg : MeasureTheory.Integrable (fun x => (f x).toReal • g x) μ
⊢ (μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal • g x) = (μ.withDensity f).withDensityᵥ g
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
k : K
s : Turing.TM2to1.StAct k
q : Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
⊢ Turing.TM2to1.trNormal (Turing.TM2to1.stRun s q) = Turing.TM1.Stmt.goto fun x x => Turing.TM2to1.Λ'.go k s q
n : ℕ∞
⊢ 1 ≤ n ↔ 0 < n
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
this : FiniteDimensional ℝ E
⊢ MeasurableSet (fundamentalDomain b)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n
V : Set F
h : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → ∃ x ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia, f x ∉ _root_.id V
hV : V ∈ 𝓝 0
⊢ False
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
⊢ v ∈ f '' closedBall z₀ r
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : RelSeries.head s₁ = RelSeries.head s₂
ht : RelSeries.last s₁ = RelSeries.last s₂
⊢ 0 < s₁.length → 0 < s₂.length
R : Type u_4
k : ℕ
ζ : R
CommRing R
IsDomain R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hk : 0 < k
⊢ ζ ∈ Polynomial.nthRootsFinset k R
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
T : Turing.Tape Γ
⊢ Turing.Tape.write T.head T = T
M : Type u_2
Monoid M
a : M
n : ℕ
⊢ a ^ (n + 1) = a * a ^ n
M : Type u_1
Mul M
s t : Set M
h_mul : ∀ {a b : M}, a ∈ s → b ∈ s → a * b ∈ s
h_mul' : ∀ {a b : M}, a ∈ t → b ∈ t → a * b ∈ t
⊢ { carrier := s, mul_mem' := h_mul } ≤ { carrier := t, mul_mem' := h_mul' } ↔ s ⊆ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧
    ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
α : Type u_2
M : Type u_4
Zero M
LinearOrder M
f g : α → M
⊢ (Function.support fun x => max (f x) (g x)) ⊆ Function.support f ∪ Function.support g
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : r.gcd s = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : m.gcd (r * s) = 1
⊢ False
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
p a b c d x y : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
h1 : p ∣ a * x + b * y
h2 : p ∣ c * x + d * y
⊢ p ∣ gcd ((a * d - b * c) * x) ((a * d - b * c) * y)
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑(insert a s)) => ↑i
⊢ LinearIndependent F fun (i : ↑↑(insert a s)) => (toFun G F) ↑i
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
η : Type u_8
s : Set η
t : η → Set M
hs : DirectedOn (t ⁻¹'o fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, LinearIndependent R fun (x : ↑(t a)) => ↑x
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(⋃ x, t ↑x)) => ↑x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ IsPreconnected (sphere x r)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
InnerProductSpaceable E
r : 𝕜
⊢ InnerProductSpaceable.innerProp' E r
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atBot ↔ n ≠ 0 ∧ c < 0
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
One α
⊢ EMetric.diam 1 = 0
μ : YoungDiagram
⊢ ↑(YoungDiagram.equivListRowLens μ) = μ.rowLens
R : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
hM : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Module.Finite R N
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsCompact s ↔ CompactSpace ↑s
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤
f : ((g : { x // x ∈ S }) → ↥(zpowers ↑g)) →* G := noncommPiCoprod ⋯
hf : Nat.card G ∣ Nat.card ((g : { x // x ∈ S }) → ↥(zpowers ↑g))
⊢ Nat.card G ∣ ∏ _x : { x // x ∈ S }, Monoid.exponent G
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
S : { S // A ≤ S }
⊢ ↑((RelIso.symm A.primeSpectrumOrderEquiv) S).asIdeal = ⇑(A.inclusion ↑S ⋯) ⁻¹' ↑(LocalRing.maximalIdeal ↥↑S)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : BoundedOrder β
f✝ : α ≃o β
inst✝ : ComplementedLattice α
f : α ≃o β
x : β
⊢ ∃ b, IsCompl x b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s μ
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
s₁ s₂ : Finset α
h' : Disjoint (Finset.map f s₁) (Finset.map f s₂)
h : Disjoint s₁ s₂ := ⋯
⊢ Finset.map f (s₁.disjUnion s₂ h) = (Finset.map f s₁).disjUnion (Finset.map f s₂) h'
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ min a b = min b a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
W X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.map f g ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd = CategoryTheory.Limits.biprod.snd ≫ g
t : ↑unitInterval
⊢ 1 / 2 ≤ ↑(unitInterval.symm t) ↔ ↑t ≤ 1 / 2
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DecidableEq ι
P : Type u₁
AddCommGroup P
Module R P
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : Module.DirectLimit G f →ₗ[R] P
x : Module.DirectLimit G f
⊢ F x = (Module.DirectLimit.lift R ι G f (fun i => F ∘ₗ Module.DirectLimit.of R ι G f i) ⋯) x
H : Type u_4
AddGroup H
P : AddSubgroup H
⊢ P.FG ↔ (AddSubgroup.toSubgroup P).FG
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
M : Type u_5
SMul M β
c : M
f : α → β
⊢ (UniformOnFun.ofFun 𝔖) (c • f) = c • (UniformOnFun.ofFun 𝔖) f
α : Type u
s t : Set α
p : α → Prop
⊢ {x | (x ∈ s ∧ x ∈ t) ∧ p x} = {x | x ∈ s ∧ p x} ∩ {x | x ∈ t ∧ p x}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : Memℒp (fun x => ‖f x‖) p μ
⊢ eLpNorm (fun x => ‖f x‖) p μ < ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hfg : Set.EqOn f g (σₙ R a)
⊢ cfcₙ f a = cfcₙ g a
n : ℕ
i : Fin n
⊢ Fin.revPerm i = i.rev
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
contra : ⊥ = ⊤
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
κCond : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) Ω
κ.IsCondKernel κCond
⊢ κ.fst ⊗ₖ κCond = κ
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : LT α
s : Finset ι
f : ι → WithTop α
⊢ ∑ i ∈ s, f i = ⊤ ↔ ∃ i ∈ s, f i = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
s : Set α
x : β
⊢ IsLUB (⇑f '' s) x ↔ IsLUB s (f.symm x)
R : Type u
Ring R
Γ₀ : Type v
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun x => True) fun γ => {x | Valued.v x < ↑γ}
α : Type u
p : α → Prop
PartialOrder α
OrderTop α
OrderTop (Subtype p)
htop : p ⊤
⊢ ↑⊤ = ⊤
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : r < 0
hf : Tendsto f l atBot
⊢ Tendsto (fun x => f x • r) l atTop
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : T2Space X
f : Filter X
inst✝ : CompactSpace X
U : Set X
⊢ (∀ (F : Ultrafilter X), F.lim ∈ U → U ∈ ↑F) → ∀ x ∈ U, ∀ (l : Ultrafilter X), ↑l ≤ 𝓝 x → U ∈ l
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ : Triangle C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
inst✝⁴ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝¹ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
inst✝ : HasZeroMorphisms C
h : ∀ (j : J), (T j).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (T j).mor₁ = 0
this : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₂
⊢ ((Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ inv (piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁)) ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j ≫ (T j).mor₁) = 0
α : Type u_2
Field α
CharZero α
s : Multiset ℚ
⊢ ↑s.prod = (Multiset.map Rat.cast s).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
s : α →ₛ ℝ≥0∞
hs : ↑s ≤ fun a => f a
⊢ r * s.lintegral μ ≤ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ RCLike.re ⟪x, y⟫_𝕜 ≤ ‖x‖ * ‖y‖
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
h : Y ⟶ Y
⊢ f ≫ h = f ↔ h = 𝟙 Y
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
x : F
⊢ (IntermediateField.botEquiv F E) ((algebraMap F ↥⊥) x) = x
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
σ : L ≃ₐ[K] L
ζ : K
hα : α ∈ Multiset.map (fun x => (algebraMap K L) ζ ^ x * rootOfSplitsXPowSubC hn a L) (Multiset.range n)
hζ'✝ : ζ ∈ primitiveRoots n K
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ (autEquivRootsOfUnity ⋯ hn H L) σ • α = σ α
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁷ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁶ : Group G✝
inst✝⁵ : TopologicalGroup G✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
n : G
hn : n ∈ N.topologicalClosure
g : G
⊢ MapsTo (fun h => g * h * g⁻¹) ↑N ↑N
G : Type u_1
Group G
H K L : Subgroup G
hKL : K ≤ L
hHL : H.relindex L ≠ 0
⊢ H.relindex K ≤ H.relindex L
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : Integrable f μ
⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf
M : Type u_1
Add M
S : AddSubsemigroup M
⊢ AddSubsemigroup.map (AddHom.id M) S = S
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < ↑2
h2 : multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b) < ↑2
h3 : multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b) < ↑2
h1'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + S'.b)
h2' : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η * S'.b)
h3' : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)
h1' : ↑((multiplicity λ (S'.a + S'.b)).get h1'✝) = multiplicity λ (S'.a + S'.b)
⊢ False
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
⊢ (Polynomial.cyclotomic n R).Monic
α : Type u_1
p : α → Option α
b✝ : α
l : List α
a a' : α
al✝ : a ∈ b✝ :: l
pa : p a = some a'
b : α
al : Mem a l
pb : p b = none
c c' : α
l₁ l₂ : List α
h₁ : ∀ (b : α), b ∈ l₁ → p b = none
h₂ : p c = some c'
h₃ : l = l₁ ++ c :: l₂
h₄ : replaceF p l = l₁ ++ c' :: l₂
⊢ b :: l = b :: l₁ ++ c :: l₂
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
f : Derivation R A ↥I
x y : A
this : ↑(f x) * ↑(f y) = 0
⊢ (algebraMap A B) x * ↑(f y) + (algebraMap A B) y * ↑(f x) + (algebraMap A B) x * (algebraMap A B) y = 0 + (algebraMap A B) x * ↑(f y) + (↑(f x) * (algebraMap A B) y + (algebraMap A B) x * (algebraMap A B) y)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Y
⊢ Small.{w, v₂} (L.obj X ⟶ L.obj Y)
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
h : p ≤ p'
x : ↥p
⊢ ↑((Submodule.inclusion h) x) = ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
⊢ ⊤ ×ˢ ⊤ = ⊤
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (measurableCylinders α) = MeasurableSpace.pi
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t : Set α
c : α
⊢ c ∈ s ⊼ t ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊓ b = c
α : Type u_1
x : α
xs : FreeAddMonoid α
⊢ FreeAddMonoid.toList (FreeAddMonoid.of x + xs) = x :: FreeAddMonoid.toList xs
α : Type u_6
self : Filter.CountableFilterBasis α
⊢ self.sets.Countable
x y : SetTheory.PGame
⊢ x.LF y ∨ x ≈ y ∨ y.LF x
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ Disjoint {y | y i ≤ x} {y | x < y i}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
⊢ ⋃₀ S = (⋂₀ (compl '' S))ᶜ
⊢ ∀ {X Y : MonCat} (f : X ⟶ Y), MonCat.units.map f = Grp.ofHom (Units.map f)
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ 0 * φ = 0
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
s : Set (Sym2 V)
p : G.Walk v w
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∉ s
⊢ Walk.map (Hom.mapSpanningSubgraphs ⋯) (toDeleteEdges s p hp) = p
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
⊢ map₂ m (pure a) (pure b) = pure (m a b)
x y : SetTheory.PGame
⊢ (-x).Fuzzy y ↔ x.Fuzzy (-y)
R : Type u
CommRing R
M N : Type u
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Coalgebra R M
Coalgebra R N
⊢ Coalgebra.comul = Coalgebra.comul
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
a : M₀
NoZeroDivisors M₀
⊢ a ^ 2 = 0 ↔ a = 0
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ ∀ (i : Ordinal.{u}) (j : i < o), o.nfpBFamily f a ∈ fixedPoints (f i j)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
self : BoxIntegral.Prepartition I
J : BoxIntegral.Box ι
⊢ J ∈ self.boxes → J ≤ I
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s t : (i : ι) → κ i → Set α
h : ∀ (i : ι) (j : κ i), s i j = t i j
⊢ ⋂ i, ⋂ j, s i j = ⋂ i, ⋂ j, t i j
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖I • y‖ * ‖I • y‖
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A✝ : Rep k G✝
G : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : MulAction G A
f : G → A
hf : IsOneCocycle f
⊢ f 1 = 0
R : Type u
EuclideanDomain R
m k : R
⊢ m % k + m / k * k = m
A : Type u_1
B : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Star B
f : A →⋆ₙ+* B
f' : A → B
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
α : Type u_2
Lattice α
L M : Sublattice α
a : α
⊢ a ∈ L ⊓ M ↔ a ∈ L ∧ a ∈ M
x : ℝ
⊢ Real.arcsin x = -(π / 2) ↔ x ≤ -1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
hb : LinearIndependent ℝ b
hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction
hv : ∀ v ∈ s.direction, ∃ t₁ t₂, v = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
t₁ t₂ : ℝ
hpt : p = t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁
hop : t₁ = 0
⊢ p = p₁ ∨ p = p₂
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
m_pos : 0 < ↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜
⊢ ↑(𝒜.sup id).card ≤
  ↑𝒜.card * ↑s.card *
    ((↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card) + 1) /
      ↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
inst✝⁶ : ContinuousStar A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : Algebra R B
x y✝ : A
hy✝¹ : y✝ ∈ elementalStarAlgebra R x
P : (u : A) → u ∈ elementalStarAlgebra R x → Prop
self : P x ⋯
star_self : P (star x) ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (u : A) (hu : u ∈ elementalStarAlgebra R x) (v : A) (hv : v ∈ elementalStarAlgebra R x), P u hu → P v hv → P (u + v) ⋯
mul : ∀ (u : A) (hu : u ∈ elementalStarAlgebra R x) (v : A) (hv : v ∈ elementalStarAlgebra R x), P u hu → P v hv → P (u * v) ⋯
closure : ∀ (s : Set A) (hs : s ⊆ ↑(elementalStarAlgebra R x)), (∀ (u : A) (hu : u ∈ s), P u ⋯) → ∀ (v : A) (hv : v ∈ _root_.closure s), P v ⋯
y : A
hy✝ : y ∈ ↑(adjoin R {x})
hy : y ∈ Algebra.adjoin R ({x} ∪ star {x})
⊢ P y ⋯
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set R
⊢ ↑(Submodule.torsionBySet R M s) = ⋂ y ∈ s, ⇑(DistribMulAction.toLinearMap R M y) ⁻¹' {0}
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
hJ : J ∈ π.biUnion πi
⊢ J ∈ πi (π.biUnionIndex πi J)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
EquivLike F α β
LE α
OrderBot α
PartialOrder β
OrderBot β
OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
⊢ f a = ⊥ ↔ a = ⊥
g g' : ℝ → ℝ
a l : ℝ
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ici a, HasDerivAt g (g' x) x
g'neg : ∀ x ∈ Set.Ioi a, g' x ≤ 0
hg : Filter.Tendsto g Filter.atTop (𝓝 l)
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn g' (Set.Ioi a) MeasureTheory.volume
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)
⊢ (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor'.obj f).X₁ = f.left.left
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a * b⁻¹ = c
⊢ a = c * b
n : ℕ
⊢ n.divisors = ∅ ↔ n = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s : Multiset ι
f : ι → R[X]
⊢ derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯
φ' : W.LeftFraction X Y
hφ' : f' = φ'.map L ⋯
α : W.LeftFraction φ.Y' φ'.Y'
hα : (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).f ≫ α.s = (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).s ≫ α.f
ψ : W.LeftFraction₂ X Y := LeftFraction₂.mk (φ.f ≫ α.f) (φ'.f ≫ α.s) (φ'.s ≫ α.s) ⋯
this : IsIso (L.map φ'.s)
⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯