ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
this : q * r = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0
hr' : r.num /. ↑r.den ≠ 0
hp' : _root_.Prime ↑p
⊢ ↑((multiplicity (↑p) (q.num * r.num)).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) (↑q.den * ↑r.den)).get ⋯) = ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity ↑p ↑q.den).get ⋯) + (↑((multiplicity (↑p) r.num).get ⋯) - ↑((multiplicity ↑p ↑r.den).get ⋯))
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p b : α
h : p * b ~ᵤ p
hp : p ≠ 0
⊢ IsUnit b
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
⊢ HasSum (fun n => ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - (c + w))⁻¹ • f z)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x y : α
⊢ Sym2.map f s(x, y) = s(f x, f y)
k : Type u_1
G : Type u_2
CommSemiring k
Monoid G
M : Type u_4
AddCommMonoid M
Module (MonoidAlgebra k G) M
r : MonoidAlgebra k G
m : (Representation.ofModule M).asModule
⊢ (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) ((Representation.ofModule M).asModuleEquiv (r • m)) =
  r • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) ((Representation.ofModule M).asModuleEquiv m)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
h : BddBelow s
hs : s.Nonempty
⊢ (𝓟 s).limsInf = sInf s
α : Type u
β : Type v
as : List α
bs : List β
⊢ as.zipRight bs = (as.zipRight' bs).1
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr✝¹ : r ≠ 0
hr✝ : 0 < r
y : E
hy : y ∈ interior (closedBall x r)
hr : dist y x < r
⊢ y ∈ ball x r
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace β
g : β → Set α
⊢ Measurable g ↔ ∀ (a : α), Measurable fun x => a ∈ g x
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s✝ t : Set G
ht : IsOpen t
s : Set G
⊢ closure s * t = s * t
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime x (y * z)
⊢ IsCoprime x y
E : Type u_2
NormedRing E
StarRing E
CstarRing E
U : ↥(unitary E)
A : E
⊢ ‖U • A‖ = ‖A‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
⊢ ∃ x, IsGenericPoint x t
M : Type u_2
Mul M
m : M
⊢ 1 m = m
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
y : S
⊢ y ∈ Ideal.map f I ↔ ∃ x ∈ I, f x = y
a b : CauSeq.Completion.Cauchy abs
⊢ { cauchy := a * b } = { cauchy := a } * { cauchy := b }
A A' : ℝ
h : A ≤ A'
B : ℝ
⊢ UpperHalfPlane.verticalStrip A B ⊆ UpperHalfPlane.verticalStrip A' B
o : Ordinal.{u_1}
i : ↑(Set.Iio o)
⊢ o.toPGame.moveLeft (Ordinal.toLeftMovesToPGame i) = (↑i).toPGame
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
r : R
M : Matrix n n R
⊢ (1 + r • M).det = 1 + M.trace * r + Polynomial.eval r (1 + Polynomial.X • M.map ⇑Polynomial.C).det.divX.divX * r ^ 2
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : F ⟶ G
a : B
⊢ (CategoryTheory.OplaxNatTrans.rightUnitor η).hom.app a = (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (η.app a)).hom
R : Type u
CommRing R
b c d : R
⊢ preNormEDS' b c d 0 = 0
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S
⊢ ((MvPolynomial.map f) p).degrees ⊆ p.degrees
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f : α →𝒄 β
⊢ f.toOrderHom = ↑f
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
h₁ : ¬↑j✝ = ↑j
h₂ : j✝ = j
⊢ 0 = eqToHom ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P X E : C
CategoryTheory.Projective P
f : P ⟶ X
e : E ⟶ X
CategoryTheory.Epi e
⊢ CategoryTheory.Projective.factorThru f e ≫ e = f
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv✝ : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t => f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t
t : ℝ
ht : t ∈ Ico a b
this : dist (f' t) (g' t) ≤ dist (f' t) (v t (f t)) + dist (g' t) (v t (g t)) + dist (v t (f t)) (v t (g t))
hv : dist (v t (f t)) (v t (g t)) ≤ ↑K * dist (f t) (g t)
⊢ εf + εg + ↑K * dist (f t) (g t) ≤ ↑K * dist (f t) (g t) + (εf + εg)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) 0) = 0 i
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
s : Multiset α
h : LeftCommutative f
b : β
⊢ noncommFoldr f s ⋯ b = foldr f h b s
R : Type u_1
Semiring R
⊢ (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) PowerSeries.X = (HahnSeries.single 1) 1
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
⊢ Set.Ioc a b * Set.Ico c d ⊆ Set.Ioo (a * c) (b * d)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := B.toSeminormFamily
h : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' : (Filter.pi fun x => 𝓝 0).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun If => If.1.pi fun i => Metric.ball 0 (If.2 i)
h'' : (Filter.comap (fun x y => (B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun i => (fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)
⊢ ∀ (i : Set F × (F → ℝ)), (i.1.Finite ∧ ∀ i_1 ∈ i.1, 0 < i.2 i_1) → ∃ i', B.toSeminormFamily.basisSets i' ∧ _root_.id i' ⊆ (fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this✝ : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0
H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)
H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty
x₀ : E
hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖
hTx₀ : IsMaxOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x‖) x₀
hx₀ : ‖x₀‖ = ‖x‖
this : IsMaxOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
R : Type u
CommRing R
P A : Type u
CommRing A
Algebra R A
CommRing P
Algebra R P
f : P →ₐ[R] A
Algebra.FormallySmooth R P
g : A →ₐ[R] P ⧸ RingHom.ker f.toRingHom ^ 2
hg : f.kerSquareLift.comp g = AlgHom.id R A
⊢ Algebra.FormallySmooth R A
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ o.oangle x y + o.oangle y z + o.oangle z x = 0
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
sets : ℕ → Set α
h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ
h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x)
h_finite : ∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤
h_norm : ∀ (x : ℕ), ∀ x_1 ∈ sets x, ‖f x_1‖ ≤ ↑x
n : ℕ
⊢ μ.restrict (sets n)[f * g|m] =ᶠ[ae (μ.restrict (sets n))] f * μ.restrict (sets n)[g|m]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
ha : 1 < a
⊢ a ^ m < a ^ m.succ
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
y : ℝ
hy : y ∈ Ico 0 1
B : C(𝕌, ℂ) := { toFun := ofReal' ∘ periodizedBernoulli k, continuous_toFun := ⋯ }
step1 : ∀ (n : ℤ), fourierCoeff (⇑B) n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k
step2 : HasSum (fun i => (-↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑i) ^ k) • (fourier i) ↑y) (B ↑y)
n : ℤ
⊢ 1 / ↑n ^ k * (fourier n) ↑y = -(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * (-↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k) • (fourier n) ↑y
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s✝ : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : ι → κ → G
s : Set κ
l : Filter ι
⊢ UniformCauchySeqOn f l s ↔ TendstoUniformlyOn (fun n z => f n.1 z / f n.2 z) 1 (l ×ˢ l) s
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s
he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r
⊢ IsUnit ((toStalk (↑(unop (op (Γ.obj (op X))))) (X.toΓSpecSheafedSpace.base x) ≫ PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) r)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : CompleteLattice β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h : ∃ᶠ (a : α) in f, u a ≤ x
b : β
hb : b ∈ {a | ∀ᶠ (n : α) in f, a ≤ u n}
hbx : ∃ᶠ (x_1 : α) in f, b ≤ x
⊢ b ≤ x
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁰ : CommRing A
inst✝²⁹ : CommRing B
inst✝²⁸ : Algebra A B
inst✝²⁷ : Field K
inst✝²⁶ : Field L
inst✝²⁵ : Algebra A K
inst✝²⁴ : IsFractionRing A K
inst✝²³ : Algebra B L
inst✝²² : Algebra K L
inst✝²¹ : Algebra A L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.752508
Bₘ : Type ?u.752511
inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹³ : Algebra A Aₘ
inst✝¹² : Algebra B Bₘ
inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : IsGalois (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
⊢ (algebraMap A B) ((intNorm A B) x) = ∏ i : FractionRing B ≃ₐ[FractionRing A] FractionRing B, ((galRestrict A (FractionRing A) (FractionRing B) B).toEquiv i) x
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s ↔ ∃ f', ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' s ∧ ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
R : Type u_1
G : Type u_2
CommSemiring R
Group G
MulAction G R
SMulCommClass G R R
IsScalarTower G R R
x : G
y z : R
⊢ IsCoprime (x • y) (x • z) ↔ IsCoprime y z
α β : FinBddDistLat
e : ↑α.toBddDistLat.toDistLat ≃o ↑β.toBddDistLat.toDistLat
x✝ : (forget FinBddDistLat).obj α
⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ ¬SupPrime a ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, a ≤ b ⊔ c ∧ ¬a ≤ b ∧ ¬a ≤ c
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
hs : s.Subsingleton
⊢ diam s = 0
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ∣ b
⊢ (b / a) ^ c = b ^ c / a ^ c
G : Type uG
x : G
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg : MeasureTheory.ConvolutionExistsAt f g x (ContinuousLinearMap.lsmul ℝ ℝ) μ
hfg' : MeasureTheory.ConvolutionExistsAt f g' x (ContinuousLinearMap.lsmul ℝ ℝ) μ
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
⊢ MeasureTheory.convolution f g (ContinuousLinearMap.lsmul ℝ ℝ) μ x ≤
  MeasureTheory.convolution f g' (ContinuousLinearMap.lsmul ℝ ℝ) μ x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ S ∈ self.sieves X →
  ∀ (R : CategoryTheory.Sieve X),
    (∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → CategoryTheory.Sieve.pullback f R ∈ self.sieves Y) → R ∈ self.sieves X
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
⊢ orderOf a ∣ p - 1
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
r : ℝ
x y : E
h : r ∈ Set.Icc 0 1
⊢ dist (r • x + (1 - r) • y) x ≤ dist y x
R : Type u
CommSemiring R
f g : R
⊢ PrimeSpectrum.basicOpen f ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g ↔ f ∈ (Ideal.span {g}).radical
α : Type u_2
β : Type u_3
GroupWithZero α
MulAction α β
s : Set α
hs : ¬s ⊆ 0
⊢ s • Set.univ = Set.univ
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
a : α
Hf : AntitoneOn f t
Hst : s ⊆ t
⊢ a ∈ upperBounds s → a ∈ t → f a ∈ lowerBounds (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {x_1 : MeasurableSpace β} {x_2 : MeasurableSpace γ} {g : β → γ} {f : α → β},
  Measurable g → Measurable f → Measurable fun x => g (f x)
α : Type u_1
a b : ℕ
h₁ : delta * a < b
h₂ : delta * b < a
⊢ a ≤ delta * (delta * a)
x : SetTheory.PGame
⊢ 0 ≤ x + -x
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
LinearOrder α
PosMulMono α
h : a * b < 0
a0 : 0 ≤ a
⊢ b < 0
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : CategoryTheory.Functor J CategoryTheory.Cat
X Y : CategoryTheory.Limits.limit (F.comp CategoryTheory.Cat.objects)
j : J
⊢ (CategoryTheory.Cat.HasLimits.homDiagram X Y).obj j =
  (CategoryTheory.Limits.limit.π (F.comp CategoryTheory.Cat.objects) j X ⟶
    CategoryTheory.Limits.limit.π (F.comp CategoryTheory.Cat.objects) j Y)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
T₁ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
hT₁ : T₁ ∈ HomotopyCategory.Pretriangulated.distinguishedTriangles C
T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
e : T₂ ≅ T₁
⊢ T₂ ∈ HomotopyCategory.Pretriangulated.distinguishedTriangles C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
x✝¹ : Fin 0 → α → σ
x✝ : ∀ (i : Fin 0), Computable (x✝¹ i)
⊢ Computable fun a => List.ofFn fun i => x✝¹ i a
p : ℕ+
pp : p.Prime
contra : p = 1
⊢ ↑p = 1
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.4583, u_3} D
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_4} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_5} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G : C₁ ⥤ D₂
G' : D₁ ⥤ D₂
inst✝¹ : Lifting L₁ W₁ G G'
F : C₂ ⥤ D₁
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝ : Lifting L₂ W₂ F F'
α : G ⋙ F' ≅ L₁
β : F ⋙ G' ≅ L₂
X : C₂
⊢ (liftNatTrans L₂ W₂ (F ⋙ G') L₂ (F' ⋙ G') (𝟭 D₂) β.hom).app (L₂.obj X) = (Lifting.iso L₂ W₂ (F ⋙ G') (F' ⋙ G')).hom.app X ≫ β.hom.app X
R : Type u_1
S : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : CommSemiring P
inst✝⁴ : CommSemiring Q
M : Submonoid R
T : Submonoid P
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization T Q
g : R →+* P
hT : Submonoid.map g M = T
x : S
⊢ x ∈ RingHom.ker (map Q g ⋯) ↔ x ∈ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker g)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
a k : ℕ
⊢ (↑a * p).coeff k = ↑a * p.coeff k
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace K F
f : E ≃ₗ[K] F
x : F
⊢ x ∈ ⇑f '' fundamentalDomain b ↔ x ∈ fundamentalDomain (b.map f)
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
f : β → α
a : α
b : β
hb : b ∈ s
h : a ≤ f b
⊢ a ≤ s.sup f
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a + (κ.singularPart η) a ⟂ₘ η a
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
x : E
⊢ (if x ∈ s then ((μ s)⁻¹ • 1) x else 0) = if x ∈ s then (μ s)⁻¹ else 0
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
⊢ LocalRing.ResidueField.mapEquiv (RingEquiv.refl R) = RingEquiv.refl (LocalRing.ResidueField R)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Iio b \ Set.Iio a = Set.Ico a b
R : Type u
S : Type u_1
Ring R
Ring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal S
hI : Submodule.IsPrincipal (Ideal.comap f I)
⊢ Submodule.IsPrincipal I
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
Zero β
PosSMulMono α β
SMulPosStrictMono α β
ha : a₁ < a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₂ : 0 ≤ a₂
h₁ : 0 < b₁
⊢ a₁ • b₁ < a₂ • b₂
m x y : Bool
⊢ (m && x) = (m && y) ∧ (m || x) = (m || y) ↔ x = y
α : Type u_1
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : a < 0
⊢ ContinuousAt (⇑SignType.sign) a
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonUnitalCommSemiring R
⊢ inst₁ = inst₂ ↔ HAdd.hAdd = HAdd.hAdd ∧ HMul.hMul = HMul.hMul
α : Type u
β : Type v
f : α → β
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ : Set (TopologicalSpace β)
t : TopologicalSpace β
h₁ : t ∈ t₂
hf : Continuous f
⊢ Continuous f
X : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
Y Z : Type u
_tsY : TopologicalSpace Y
_tsZ : TopologicalSpace Z
_csY : CompactSpace Y
_t2Y : T2Space Y
_csZ✝ : CompactSpace Z
_csZ : T2Space Z
f : StoneCech X → Z
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
g_sur : Surjective g
s : Z → Y := fun z => Classical.choose ⋯
⊢ ∃ h, Continuous h ∧ g ∘ h = f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Nontrivial S
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p q : R[X]
h : IsCoprime p q
s : S
⊢ (aeval s) p ≠ 0 ∨ (aeval s) q ≠ 0
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Fintype R
f g : R[X]
hf2 : f.degree = 2
hg2 : g.degree = 2
hR : Fintype.card R % 2 = 1
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hd : Disjoint (image (fun x => eval x f) univ) (image (fun x => eval x (-g)) univ)
⊢ 0 < (-g).degree
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
x : CategoryTheory.Limits.Types.PullbackObj f g
⊢ c.snd ((CategoryTheory.Limits.PullbackCone.IsLimit.equivPullbackObj hc).symm x) = (↑x).2
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
hnd : l.Nodup
h : ∀ (i : ι), i ∈ l
v : TProd α l
i : ι
hi : i ∈ l
⊢ (TProd.mk l (TProd.elim' h v)).elim hi = v.elim hi
n : ℕ
⊢ Real.cos (Real.pi / 2 ^ (n + 1)) = Real.sqrtTwoAddSeries 0 n / 2
α : Type u_1
SeminormedAddCommGroup α
x : α
⊢ ‖‖x‖‖ = ‖x‖
C : Type u₁
x y : C
⊢ { unmop := x } = { unmop := y } ↔ x = y
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
hinv : Filter.Tendsto (fun x => -x) (𝓝 0) (𝓝 0)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x₀ + x) (𝓝 0)
hconj : ∀ (x₀ : G), Filter.Tendsto (fun x => x₀ + x + -x₀) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ ContinuousNeg G
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : b ≤ c
⊢ Set.Ico a b ∪ Set.Ico b c = Set.Ico a c
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : L.Substructure M
⊢ S.subtype.toHom.range = S
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
⊢ kreplace a b l = l
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : Ω → E
Filter.atTop.IsCountablyGenerated
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
MeasurableSpace ι
SecondCountableTopology ι
BorelSpace ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
hσ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ σ
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ μ[f|⋯.measurableSpace] =ᵐ[μ.restrict {x | τ x ≤ σ x}] μ[f|hτ.measurableSpace]
f : ℕ → ℝ≥0
r : ℝ≥0
⊢ HasSum f r ↔ Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop (𝓝 r)
G : Type u_1
AddGroup G
K : AddSubgroup G
x : G
⊢ x ∈ K.toAddSubmonoid ↔ x ∈ K
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
m : ℕ
inst✝ : CharP R m
n✝ : ℕ
h : m ∣ n✝ + 1 + 1
⊢ ↑1 = 1
w x y z : ℝ
ι : Type u_1
s : Multiset ι
f : ι → ℝ
hs : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
r : ℝ
⊢ (Multiset.map (fun x => f x ^ r) s).prod = (Multiset.map f s).prod ^ r
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : l → o
e₂ : m ≃ o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o
A : Matrix o n α := M.submatrix (⇑e₂.symm) id
this : M = A.submatrix (⇑e₂) id
⊢ submatrix 1 e₁ ⇑e₂ * M = M.submatrix (⇑e₂.symm ∘ e₁) id
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
R : Type u_1
inst✝⁴ : Zero R
inst✝³ : SMulWithZero R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R ℝ≥0∞
inst✝ : DecidableEq R
c : R
⊢ c • ⊤ = if c = 0 then 0 else ⊤
C : Type u
a : CategoryTheory.LocallyDiscrete C
⊢ { as := a.as } = a
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
T : TopologicalSpace α
F : Realizer α
s : Set α
a : α
⊢ s ∈ 𝓝 a ↔ ∃ b, a ∈ F.F.f b ∧ F.F.f b ⊆ s
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
⊢ (N₁Γ₀.app K).hom = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).hom
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
f : M ≃ₗ[R] P
g : N ≃ₗ[R] Q
p : P
q : Q
⊢ (TensorProduct.congr f g).symm (p ⊗ₜ[R] q) = f.symm p ⊗ₜ[R] g.symm q
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : M
⊢ ∀ (m : M) (x fx : CliffordAlgebra Q), ((contractLeftAux Q d) m) ((ι Q) m * x, ((contractLeftAux Q d) m) (x, fx)) = Q m • fx
G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G
⊢ ∫⁻ (x : G), f x ∂μ = ∫⁻ (a : G), f a ∂map (⇑(MeasurableEquiv.mulRight g)) μ
F : Type v
Field F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ Q y * P z ^ 3
⊢ IsUnit (WeierstrassCurve.Jacobian.addU P Q)
a : ℤ
⊢ (↑a.natAbs).natAbs = a.natAbs
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 ≤ z
⊢ (x / y) ^ z = x ^ z / y ^ z