ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y + g y) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.57464, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j k : ℕ
x✝¹ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel j k
⊢ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) ≫ (s.cofan (op [j])).inj (IndexSet.id (op [j])) ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0
ι : Sort u_1
α : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
Countable ι
s t : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), s i =ᶠ[l] t i
⊢ ⋃ i, s i =ᶠ[l] ⋃ i, t i
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : RankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
⊢ Fintype.card ι ≤ Fintype.card ↑w
α : Type u_1
E : Set α
M : Matroid α
hM : M.E = E
⊢ (M.restrictSubtype E)✶ = M✶.restrictSubtype E
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
h : IsClosed s
⊢ closure s = s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
t : R
x : L
m : M
⊢ ⁅t • x, m⁆ = t • ⁅x, m⁆
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
I J : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
I' J' : Ideal R
hI : ↑I = ↑I'
hJ : ↑J = ↑J'
⊢ ClassGroup.mk I = ClassGroup.mk J ↔ ∃ x y, x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ Ideal.span {x} * I' = Ideal.span {y} * J'
α : Type u_1
r : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
hr : 0 ≤ r
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
h : f =O[l] g
⊢ (fun x => f x ^ r) =O[l] fun x => g x ^ r
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ Embedding ⇑DomAddAct.mk.symm
z τ : ℂ
⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (jacobiTheta₂' (z * τ) τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂ (z * τ) τ) / (2 * ↑π * I) + (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * jacobiTheta₂ (z * τ) τ) + cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * jacobiTheta₂ (z * τ) τ)) = cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (jacobiTheta₂' (z * τ) τ / (2 * ↑π * I) + z * jacobiTheta₂ (z * τ) τ)
R : Type u_2
Ring R
S : Subring R
⊢ ∀ (a : ↥S.op), S.mopRingEquivOp.symm a = MulOpposite.op (S.addEquivOp.symm a)
α : Type u_1
l : List α
⊢ List.map Prod.snd l.enum = l
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : DecidableEq L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : IsDomain R
K' : Type u_4
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R K'
inst✝ : IsFractionRing R K'
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
⊢ (Units.mapEquiv (canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K').toMulEquiv) ((Units.map ↑(canonicalEquiv R⁰ K (FractionRing R))) I) = (Units.mapEquiv ↑(canonicalEquiv R⁰ K K')) I
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type (max v u))
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
t : CategoryTheory.Equalizer.FirstObj P R
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R f
⊢ (CategoryTheory.Equalizer.firstObjEqFamily P R).hom t f hf =
  CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun f => P.obj (Opposite.op f.fst)) ⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩ t
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
l : Batteries.RBNode α
v : α
r : Batteries.RBNode α
lv : Batteries.RBNode.All (fun x => Batteries.RBNode.cmpLT cmp x v) l
vr : Batteries.RBNode.All (fun x => Batteries.RBNode.cmpLT cmp v x) r
hl : Batteries.RBNode.Ordered cmp l
hr : Batteries.RBNode.Ordered cmp r
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmp (l.append r)
α : Type u_1
Mul α
P : Prop
Decidable P
a b c : α
⊢ (if P then a else b) * c = if P then a * c else b * c
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
V : { V // ↑V ≤ U }
⊢ ↑((AlgebraicGeometry.affineOpensRestrict U).symm V) = (TopologicalSpace.Opens.map U.ι.val.base).obj ↑↑V
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : ContinuousWithinAt (dslope f a) s b
⊢ ContinuousWithinAt f s b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ 0
hg : Measurable g
hfi : ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≠ ⊤
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x < g x
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
w : InfinitePlace K
x✝ : w ∈ Finset.univ
⊢ (normAtPlace w) x ≤ convexBodySumFun x
R' : Type u
M : Type v
CommSemiring R'
AddCommMonoid M
Module R' M
Module R'ᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R' M
A : Type u_2
Semiring A
Algebra R' A
⊢ ∀ (a : tsze R' M →ₐ[R'] A), ↑(TrivSqZeroExt.liftEquivOfComm.symm a) = a.toLinearMap ∘ₗ ↑R' (TrivSqZeroExt.inrHom R' M)
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b✝ c✝ u : αˣ
b c : α
h : b = ↑a * c
⊢ ↑a⁻¹ * b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
ι : Type u_3
μ : Measure α
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
hu : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ
p : α → (ℕ → β) → Prop := fun x f' => Tendsto (fun n => f' n) atTop (𝓝 (g x))
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f (v n) x
aeSeqLim : α → β := fun x => if x ∈ aeSeqSet h'f p then g x else ⋯.some
⊢ AEMeasurable g μ
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
U : CategoryTheory.Under X
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id U).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id U.right
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G H : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
X : C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β).app X = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α.app X) (β.app X)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingSpan (CategoryTheory.forget C)
⊢ Function.Surjective ⇑f
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H1 : ¬l.size + r.size ≤ 1
H2 : delta * r.size < l.size
H3 : 2 * l.size ≤ 9 * r.size + 5 ∨ l.size ≤ 3
⊢ delta * r.dual.size < l.dual.size
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
f : Dual R M
⊢ f ∈ range b.toDual
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : β → α
hf : AntitoneOn f s
hg : StrictAntiOn g s
⊢ StrictAntiOn (fun x => f x + g x) s
α : Type u
UniformSpace α
⊢ 𝓤 (SeparationQuotient α) = Filter.map (Prod.map SeparationQuotient.mk SeparationQuotient.mk) (𝓤 α)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
C₁ C₂ : Set X
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
h : C₁ ∪ C₂ = univ
f : LocallyConstant (↑C₁) Z
g : LocallyConstant (↑C₂) Z
hfg : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f ⟨x, ⋯⟩ = g ⟨x, ⋯⟩
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁
x : X
hx : x ∈ C₁
⊢ (if hi : x ∈ C₁ then f ⟨x, hi⟩ else g ⟨x, ⋯⟩) = f ⟨x, hx⟩
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇔ b = a ⊓ b ↔ Codisjoint a b
f✝ f : StieltjesFunction
⊢ {x | leftLim (↑f) x ≠ ↑f x} ⊆ {x | ¬ContinuousAt (↑f) x}
α : Type u_1
LE α
a : WithBot α
b c : α
h : a = ⊥ → b ≤ c
⊢ WithBot.unbot' b a ≤ c ↔ a ≤ ↑c
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
⊢ f.range.subtype.comp f.rangeRestrict = f
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
⊢ ∑ s : Finset α, ↑((𝒜 ∪ ℬ).truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) + ∑ s : Finset α, ↑((𝒜 ⊼ ℬ).truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ∑ s : Finset α, ↑(𝒜.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) + ∑ s : Finset α, ↑(ℬ.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card))
G : Type u_4
E : Type u_5
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure G
f : G → E
g : G
AddGroup G
MeasurableAdd G
μ.IsAddRightInvariant
hf' : ∀ (x : G), f (x + g) = -f x
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.SimplicialCategory C
K L : C
⊢ CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomWhiskerLeft K (𝟙 L) = 𝟙 (CategoryTheory.SimplicialCategory.sHom K L)
m : Nat
xs ys : Lean.Omega.IntList
⊢ ↑m ∣ Lean.Omega.IntList.bmod_dot_sub_dot_bmod m xs ys
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
N : Type u
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
U : TopologicalSpace.Opens M
x : ↥U
f : (smoothSheaf IM I M N).presheaf.obj (Opposite.op U)
⊢ smoothSheaf.eval IM I N (↑x) ((smoothSheaf IM I M N).presheaf.germ x f) = ↑f x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³¹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝³⁰ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²⁹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²⁷ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : FunLike 𝓕 E F
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝¹⁵ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹⁴ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
E' : Type u_11
F' : Type u_12
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
𝕜₁' : Type u_13
𝕜₂' : Type u_14
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₁'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₁' E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₁' : 𝕜₁' →+* 𝕜
σ₁₃' : 𝕜₁' →+* 𝕜₃
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁' σ₁₃ σ₁₃'
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₃'
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃'
inst✝² : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁'
inst✝ : RingHomIsometric σ₂'
f : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
x x' : E
y y' : Fₗ
⊢ (f (x + x')) (y + y') = (f x) y + (f.deriv₂ (x, y)) (x', y') + (f x') y'
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ 0 ≤ 1 / p
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
⊢ IsIrreducible (zeroLocus ↑I) ↔ I.IsPrime
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
⊢ ↑f.rangeS = Set.range ⇑f
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : (Ideal.span {r}).IsPrime
this : r ≠ 0
⊢ C r ≠ 0
α β : Type u
f : α → Ordinal.{max u v}
g : β → Ordinal.{max u v}
h : Set.range f ⊆ Set.range g
⊢ Ordinal.mex f ≤ Ordinal.mex g
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU' : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
left✝ : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ ∃ V ∈ p.basisSets, V ⊆ (fun x => -x) ⁻¹' U
α : Type u_1
s t : Set α
hs : s.Finite
h : s ⊆ t
hst : t.encard = s.encard + 1
⊢ ∃ a, t = insert a s
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ a.im.im = a.im
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
LocallyCompactPair X Y
⊢ Continuous fun p => p.1 p.2
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeftTensor X Y).hom.app Z =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
α : F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.postcomposeEquivalence α).inverse = CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose α.inv
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X Y : C
f g h k : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.SemiadditiveOfBinaryBiproducts.leftAdd X Y
    (CategoryTheory.SemiadditiveOfBinaryBiproducts.rightAdd X Y f g)
    (CategoryTheory.SemiadditiveOfBinaryBiproducts.rightAdd X Y h k) =
  CategoryTheory.SemiadditiveOfBinaryBiproducts.rightAdd X Y
    (CategoryTheory.SemiadditiveOfBinaryBiproducts.leftAdd X Y f h)
    (CategoryTheory.SemiadditiveOfBinaryBiproducts.leftAdd X Y g k)
G : Type u_1
Group G
s t : Set G
⊢ s ⊆ t → Group.normalClosure s ⊆ Group.normalClosure t
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
a b : α
⊢ {a} - {b} = {a - b}
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a b : α
Subsingleton αˣ
⊢ a ∣ b → b ∣ a → a = b
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
σ : Perm n
inst✝ : CommRing R
⊢ (Perm.permMatrix R σ).det = ↑↑(Perm.sign σ)
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
n : ℕ
⊢ ↑(Nat.fib (n + 1) + Nat.fib n) = ∑ x : Fin 2, ![1, 1] x * ↑(Nat.fib (n + ↑x))
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian (p.map φ) φ
inst✝ : IsIso (p.map φ)
⊢ IsIso φ
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
S : Type v
CommRing S
J : Ideal A
I : Ideal S
f : A →+* S
H : J ≤ Ideal.comap f I
x : R₁
⊢ (Ideal.quotientMap I f H) ((algebraMap R₁ (A ⧸ J)) x) = (Ideal.Quotient.mk I) (f ((algebraMap R₁ A) x))
G : Type u_4
E : Type u_5
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableAdd G
μ.IsAddLeftInvariant
f : G → E
g : G
⊢ ∫ (x : G), f (g + x) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
q : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
⊢ QuaternionAlgebra.lift q = q.liftHom
f : ℝ → ℂ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc 0 (π / 2))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, ↑(Real.cos x) ^ n * f x) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Real.cos x ^ n))
  Filter.atTop (𝓝 (f 0))
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
S : AddSubmonoid N
h : S ≤ AddMonoidHom.mrange f
⊢ AddSubmonoid.map f (AddSubmonoid.comap f S) = S
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U✝ V✝ : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U✝
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V✝ ⟶ X
f' : V✝ ⟶ U✝
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
U V : Scheme
f₁ : U ⟶ pullback f g
f₂ : V ⟶ pullback f g
hU : IsAffine U
hV : IsAffine V
hf₁ : IsOpenImmersion f₁
hf₂ : IsOpenImmersion f₂
e_1✝ : pullback (pullback.diagonal f) (pullback.map (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) f f (f₁ ≫ pullback.fst f g) (f₂ ≫ pullback.fst f g) g ⋯ ⋯) = pullback (pullback.diagonal f) (pullback.map (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) f f (f₁ ≫ pullback.fst f g) (f₂ ≫ pullback.fst f g) g ⋯ ⋯)
e_2✝ : pullback (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) = pullback (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g)
⊢ (pullbackDiagonalMapIso f g f₁ f₂).hom ≫ pullback.mapDesc f₁ f₂ (pullback.snd f g) = pullback.snd (pullback.diagonal f) (pullback.map (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) f f (f₁ ≫ pullback.fst f g) (f₂ ≫ pullback.fst f g) g ⋯ ⋯)
⊢ Set.BijOn Real.sin (Set.Icc (-(Real.pi / 2)) (Real.pi / 2)) (Set.Icc (-1) 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : AEStronglyMeasurable f ρ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (y : Ω), f (x, y) ∂ρ.condKernel x) ρ.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CommGroup β
s : Set α
t u : Finset α
d : ℕ
a : α
⊢ MulDissociated ∅
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
⊢ (comap Prod.snd f).NeBot ↔ Nonempty α ∧ f.NeBot
R : Type u_1
CommRing R
IsReduced R
p k m : ℕ
ExpChar R p
x : R
⊢ x ^ (p ^ k * m) = 1 ↔ x ^ m = 1
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
s : Cone F.rightOp
m : s.pt ⟶ (coneRightOpOfCocone c).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (coneRightOpOfCocone c).π.app j = s.π.app j
⊢ m = (fun s => (hc.desc (coconeOfConeRightOp s)).op) s
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
CommMonoid N
f : α →₀ M
a : α
g : α → M → N
h₀ : ∀ (b : α), f b ≠ 0 → b ≠ a → g b (f b) = 1
h₁ : f a = 0 → g a 0 = 1
⊢ f.prod g = g a (f a)
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : MeasureTheory.Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => ProbabilityTheory.IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), ProbabilityTheory.IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Filter.Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) Filter.atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : R₁
hx : x ≠ 0
⊢ ↑(Ideal.span {x}) * (↑(Ideal.span {x}))⁻¹ = 1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hseq : seminormFromConst_seq c f c = fun _n => f c
⊢ Tendsto (fun _n => f c) atTop (𝓝 (f c))
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α
⊢ c +ᵥ s ∈ MeasureTheory.ae μ ↔ s ∈ MeasureTheory.ae μ
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
x : α
⊢ (fun x i => ((diagonal α ι).idxFun i).getD x) x = fun x_1 => x
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
Zero β
f : α → β
R1Space α
K : Set α
hK : IsCompact K
hfK : ∀ x ∉ K, f x = 0
⊢ HasCompactSupport f
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hHK : H ≤ K
hKL : K ≤ L
⊢ (H.subgroupOf L).relindex (K.subgroupOf L) * K.relindex L = H.relindex L
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
A : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.OuterRegular
⊢ μ A = ⨅ U, ⨅ (_ : A ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ U
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.Full
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.EffectivelyEnough
inst✝ : Preregular D
X : C
S : Sieve X
this : Preregular C
⊢ S ∈ (regularTopology C).sieves X ↔ S ∈ (F.inducedTopology (regularTopology D)).sieves X
R : Type u
k : Type y
Field R
p : R[X]
CommRing k
IsDomain k
f : R →+* k
x : k
hp : p ≠ 0
⊢ x ∈ (Polynomial.map f p).roots ↔ Polynomial.eval₂ f x p = 0
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_2
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
e : (V →ₗ[K] K) ≃ₗ[Kᵐᵒᵖ] ι → Kᵐᵒᵖ
⊢ Module.rank Kᵐᵒᵖ (ι → Kᵐᵒᵖ) = #(ι → Kᵐᵒᵖ)
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype σ
⊢ Module.rank K (↑{s | ∀ (n : σ), s n ≤ Fintype.card K - 1} →₀ K) = #↑{s | ∀ (n : σ), s n ≤ Fintype.card K - 1}
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
⊢ IsSFiniteKernel (κ.withDensity f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts D
F : C ⥤ D
F.Additive
X : C
⊢ (CategoryTheory.Mat_.embeddingLiftIso F).inv.app X = CategoryTheory.Limits.biproduct.lift fun x => 𝟙 (F.obj X)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ : SimplicialObject.Split C
Φ₁ Φ₂ : S₁.Hom S₂
h : ∀ (n : ℕ), Φ₁.f n = Φ₂.f n
⊢ Φ₁ = Φ₂
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
ρ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x₀ : M
⊢ ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x₀, ρ.finsupport y ⊆ ρ.fintsupport x₀
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.sym2 = ∅ ↔ s = ∅
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G✝ : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G✝
G : W.FunctorsInverting D
X : C
⊢ (𝟙 G).app X = 𝟙 ((lift G.obj ⋯).obj (W.Q.obj X))
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
⊢ deriv (log ∘ Gamma) (↑n + 1) = -γ + ↑(harmonic n)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : Monoid G
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : SmoothMul I G
H' : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
G' : Type u_7
inst✝³ : Monoid G'
inst✝² : TopologicalSpace G'
inst✝¹ : ChartedSpace H' G'
inst✝ : SmoothMul I' G'
⊢ Smooth I I fun a => 1
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
a : α
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : a ∉ s
d : Fintype ↑(insert a s)
⊢ Fintype.card ↑(insert a s) = Fintype.card ↑(insert a s)
n : ℕ
⊢ Function.Injective Fin.succ
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
h : P ≈ Q
⊢ W'.Equation P ↔ W'.Equation Q
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
F : CategoryTheory.Functor C C
F.Additive
A₁ A₂ : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
α β : A₁ ⟶ A₂
⊢ (α - β).f = α.f - β.f
α : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
f : Option α → M
s : Finset α
⊢ ∑ x ∈ Finset.insertNone s, f x = f none + ∑ x ∈ s, f (some x)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra S S'
f : P.Hom P'
⊢ (Algebra.Generators.Hom.id P').comp f = f