ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (chartAt H x).source
hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x' ↔ ContinuousWithinAt f s x' ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) (↑(extChartAt I x) x')
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasLimit F
x y : limit F
w : ∀ (j : J), limit.π F j x = limit.π F j y
⊢ (limitEquivSections F) x = (limitEquivSections F) y
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
i : ι
x : G i
⊢ (lift L ι G f g Hg).toFun ⟦Structure.Sigma.mk f i x⟧ = (g i) x
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
c : ℝ≥0
ε : ℝ
CompleteSpace F
h : BoxIntegral.Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : BoxIntegral.Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
⊢ dist (BoxIntegral.integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, BoxIntegral.integral J l f vol) ≤ ε
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
NoMaxOrder α
⊢ Order.succ a ≤ Order.succ b ↔ a ≤ b
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
f g : V →ₗ[K] V'
⊢ range (f + g) ≤ range f ⊔ range g
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ m.trim s = m s
α : Type u_1
h : Nat.card α ≠ 0
⊢ Finite α
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
x y z : α
inst✝ : DecompositionMonoid α
H1 : IsRelPrime x y
H2 : IsRelPrime x z
⊢ IsRelPrime x (y * z)
a b : ℝ
nb ne : ℕ
pb : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b nb
pe' : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (a ^ nb) (Int.negOfNat ne)
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (a ^ b) (Int.negOfNat ne)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
⊢ ∃ i, ∀ i_1 ≥ i, ∀ i_3 ≥ i, ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K), x ∈ A f i ((1 / 2) ^ i_1) ((1 / 2) ^ e) ∧ x ∈ A f i ((1 / 2) ^ i_3) ((1 / 2) ^ e)
G : Type u_1
LeftCancelMonoid G
Finite G
x y : G
h : orderOf x = orderOf y
n : ℕ
⊢ (powersEquivPowers h) ⟨x ^ n, ⋯⟩ = ⟨y ^ n, ⋯⟩
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
⊢ Ico a b * Icc c d ⊆ Ico (a * c) (b * d)
α : Type u
β : Type u_1
l : List α
l' : List β
i : ℕ
h : i < (l.zip l').length
⊢ (l.zip l')[i] = (l[i], l'[i])
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
a : R
⊢ MvPolynomial.coeff 0 (MvPolynomial.C a) = a
G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : SigmaFinite ν
inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
K : PositiveCompacts G
K' : PositiveCompacts (G ⧸ Γ) := PositiveCompacts.map QuotientGroup.mk ⋯ ⋯ K
this : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
finiteCovol : ν s ≠ ⊤
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
⊢ ν (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G) ⁻¹' ↑K' ∩ s) ≠ ⊤
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ HasStrictDerivAt id 1 x
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : MulOneClass G
x y : k
⊢ { toFun := (↑__src✝).toFun, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := (↑__src✝).toFun, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := (↑__src✝).toFun, map_one' := ⋯ }.toFun y
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
⊢ ⇑((liftLie R L M N P) f) = ⇑((lift R L M N P) ↑f)
α : Type u_1
f : α → α
x : α
m n : ℕ
hm : m < Function.minimalPeriod f x
hn : n < Function.minimalPeriod f x
⊢ f^[m] x = f^[n] x ↔ m = n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ iteratedDerivWithin 1 f s x = derivWithin f s x
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l : List ι
co : List.Pairwise (Coprime on s) l
hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0
⊢ ↑(chineseRemainderOfList a s l co) < (List.map s l).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℝ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (ρ.IicSnd r) s ≤ ρ.fst s
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
x✝ : ∃ x, (∀ ⦃x_1 : Set X⦄, x_1 ∈ x → IsClosed x_1 ∧ IsNowhereDense x_1) ∧ (compl '' x).Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ x
S : Set (Set X)
hS : ∀ ⦃x : Set X⦄, x ∈ S → IsClosed x ∧ IsNowhereDense x
hc : (compl '' S).Countable
hsub : s ⊆ ⋃₀ S
⊢ S.Countable
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
NormedSpace ℝ E
f g : β × γ → E
hf : MeasureTheory.Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : MeasureTheory.Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) - g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a =
  ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a - ∫ (x : β), ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p q : R[X]
CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
h : p ∣ q
h0 : Polynomial.eval₂ f x p = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f x q = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
hc : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => Real.sin (f x)) x
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
⊢ { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a₁ * a₂) = { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₁ * { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₂
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ ⁅t • x + v, s • x + w⁆ ∈ H.toSubmodule
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
⊢ pure 0 ≤ ⨅ γ, ⨅ (_ : γ ≠ 0), 𝓟 (Iio γ)
α : Type u
p : α → Prop
f : Filter α
⊢ (¬∃ᶠ (x : α) in f, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in f, ¬p x
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p q : α
h : DvdNotUnit p q
hq : Irreducible q
⊢ IsUnit p
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
X : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cocone.equivStructuredArrow F).unitIso.inv.app X).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.pt
a : ℝ≥0∞
⊢ ContinuousOn (fun x => a - x) {x | x ≠ ⊤}
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape J} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape.wideCospan B objs arrows).map f =
    CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape.Hom.casesOn (motive := fun a a_1 t =>
      X = a → Y = a_1 → HEq f t → ((fun j => Option.casesOn j B objs) X ⟶ (fun j => Option.casesOn j B objs) Y)) f
      (fun X_1 h =>
        Eq.ndrec (motive := fun X_2 =>
          Y = X_2 →
            HEq f (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape.Hom.id X_2) →
              ((fun j => Option.casesOn j B objs) X ⟶ (fun j => Option.casesOn j B objs) Y))
          (fun h =>
            Eq.ndrec (motive := fun {Y} =>
              (f : X ⟶ Y) →
                HEq f (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape.Hom.id X) →
                  ((fun j => Option.casesOn j B objs) X ⟶ (fun j => Option.casesOn j B objs) Y))
              (fun f h => 𝟙 ((fun j => Option.casesOn j B objs) X)) ⋯ f)
          h)
      (fun j h =>
        Eq.ndrec (motive := fun {X} =>
          (f : X ⟶ Y) →
            Y = none →
              HEq f (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape.Hom.term j) →
                ((fun j => Option.casesOn j B objs) X ⟶ (fun j => Option.casesOn j B objs) Y))
          (fun f h =>
            Eq.ndrec (motive := fun {Y} =>
              (f : some j ⟶ Y) →
                HEq f (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape.Hom.term j) →
                  ((fun j => Option.casesOn j B objs) (some j) ⟶ (fun j => Option.casesOn j B objs) Y))
              (fun f h => arrows j) ⋯ f)
          ⋯ f)
      ⋯ ⋯ ⋯
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(Metric.sphere 0 1)
⊢ Function.Injective ⇑(mfderiv 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) Subtype.val v)
ι : Type u_1
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
AddGroup G
SubtractionMonoid H
AddMonoidHomClass F G H
f : F
g : ι → G
n : ℤ
⊢ ⇑f ∘ (n • g) = n • ⇑f ∘ g
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
i : K →+* L
DecidableEq K
f g : K[X]
hg0 : g ≠ 0
hg : Polynomial.Splits i g
⊢ Polynomial.Splits i (EuclideanDomain.gcd f g)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a✝ : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
a : 𝕜
ha : r ≤ ‖a‖
x : E
hx : p x < r₂
⊢ p x < ‖a‖ * r₁
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a b : α
⊢ |a * b| = |a| * |b|
S : Set Ordinal.{u}
hS : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
o : Ordinal.{u}
⊢ (o.blsub fun c x => Ordinal.enumOrd S c) ≤ Ordinal.enumOrd S o
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z1‖
⊢ ‖z1‖ = ‖z2‖
α : Type u_2
M : Type u_7
R : Type u_9
TopologicalSpace α
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
f : α → R
f' : α → M
hf : HasCompactSupport f
⊢ HasCompactSupport (f • f')
M : Type u_5
N : Type u_6
Mul M
Mul N
⊢ ⇑(MulHom.fst M N) = Prod.fst
A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a✝ b✝ : A
hb✝ : autoParam (IsSelfAdjoint b✝) _auto✝
a b : Unitization ℂ A
hb : IsSelfAdjoint b
⊢ star a * b * a ≤ ‖b‖ • (star a * a)
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h : Fintype.card n ≠ 1
n✝ : ℕ
h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1
A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ
h_card' : Fintype.card n - 2 + 1 = Fintype.card n - 1
is_reg : IsSMulRegular (MvPolynomial (n × n) ℤ) A'.det
⊢ (fun x => A'.det • x) A'.adjugate.adjugate = (fun x => A'.det • x) (A'.det ^ (Fintype.card n - 2) • A')
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
⊢ (AlgebraicGeometry.sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).toProperty.RespectsIso
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
self : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
⊢ self.i * self.j = self.k
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
n : Type u_5
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix n n A
h : ∀ (i j : n), IsIntegral R (M i j)
⊢ IsIntegral R M.det
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
⊢ δ i ≫ δ j = δ i ≫ δ (j.pred ⋯).succ
R : Type u_1
Mul R
a : R
h : IsSMulRegular R (MulOpposite.op a)
⊢ IsRightRegular a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
P : R[X]
hP₁ : (Minpoly.toAdjoin R x) ((AdjoinRoot.mk (minpoly R x)) P) = 0
⊢ (AdjoinRoot.mk (minpoly R x)) P = 0
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Set.Iic x, ↑‖deriv f y‖₊
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : AddZeroClass E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : DistribSMul 𝕜 E
s t : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
ht : IsVonNBounded 𝕜 t
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ Absorbs 𝕜 U (s + t)
α : Type u_1
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b a : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.fold op b (a ::ₘ s) = Multiset.fold op (op a b) s
a : ℝ≥0∞
⊢ ⊤ * a = if a = 0 then 0 else ⊤
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (x : α), x ∈ a • ↑s ↔ x ∈ ↑s
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
⊢ a.cof.ord = o
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
this : (i : ι) → DecidableEq (α i) := fun i => Classical.decEq (α i)
n : ℕ
IH : ∀ m < n, ∀ (A : (i : ι) → Finset (α i)), ∑ i : ι, (A i).card = m → (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
A : (i : ι) → Finset (α i)
h : ∑ i : ι, (A i).card = n
Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅
i₀ : ι
hi₀ : 1 < (A i₀).card
j₁ j₂ : α i₀
left✝ : j₁ ∈ A i₀
hj₂ : j₂ ∈ A i₀
right✝ : j₁ ≠ j₂
B : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ (A i₀ \ {j₂})
C : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ {j₂}
B_subset_A : ∀ (i : ι), B i ⊆ A i
C_subset_A : ∀ (i : ι), C i ⊆ A i
A_eq_BC : (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j + ∑ j ∈ C i₀, g i₀ j)
Beq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ B i, g i j
Ceq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ C i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ C i, g i j
⊢ (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
n : Nat
i : Fin (n + 1)
h : ¬↑i < n
⊢ i = Fin.last n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
hs : ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
⊢ ∃ m n, m < n ∧ r (f m) (f n)
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
H' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
e : PartialHomeomorph H H
e' : PartialHomeomorph H' H'
he : (contDiffPregroupoid ⊤ I).property (↑e) e.source
he_symm : (contDiffPregroupoid ⊤ I).property (↑e.symm) e.target
he' : (contDiffPregroupoid ⊤ I').property (↑e') e'.source
he'_symm : (contDiffPregroupoid ⊤ I').property (↑e'.symm) e'.target
⊢ e.prod e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ (I.prod I')
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
⊢ ∀ (z : ℝ), ⊥ < ↑z → limsup (u + v) f ≤ ↑z
R : Type u
Ring R
s : Subring R
⊢ ↑s.toSubsemiring = ↑s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ Disjoint (𝓟 s) (𝓝ˢ t) ↔ Disjoint (closure s) t
P : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
P.toProperty.RespectsIso
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
AlgebraicGeometry.IsAffine Z
AlgebraicGeometry.IsAffine Y
⊢ P (f ≫ g) ↔ P f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ (fun i => Sum.elim a b (finSumFinEquiv.symm i)) = Fin.append a b
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
g : ℕ → A⁰_ f := fun j => (m + m).choose j • if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
j : ℕ
hj : j ∈ range (m + m + 1)
h2 : ¬m + m < j
h1 : j ≤ m
⊢ ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = ⟨f ^ i, ⋯⟩ * ⟨f ^ i, ⋯⟩
α : Type u_2
DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ Set.Sized k ↑(Finset.falling k 𝒜)
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Prime p
⊢ ∃ c, c 1 = p ∧ StrictMono c ∧ ∀ {r : Associates M}, r ≤ p ^ n ↔ ∃ i, r = c i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s₁ s₂ : Seq α
a : α
h : a ∈ s₁
⊢ ∀ (b : α) (s' : Seq α), a = b ∨ a ∈ s'.append s₂ → a ∈ (cons b s').append s₂
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f g : ModularForm Γ k
z : ℍ
⊢ (f + g) z = f z + g z
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : α → Option β
h : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'
⊢ l.Nodup → (List.filterMap f l).Nodup
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ↑(padicValNat p (x ^ n - y ^ n)) = ↑(padicValNat p (x - y)) + ↑(padicValNat p n)
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
⊢ ⇑AffineMap.fst = Prod.fst
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
n : ℕ
⊢ f.support.card = n ↔ ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
b c n : ℕ
hc : 1 < c
hb : c ≤ b
hn : n ≠ 0
⊢ c ^ log b n ≤ n
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U : Set ℂ
hU : IsOpen U
c w₀ : ℂ
R : ℝ
f : ℂ → E
hc : closedBall c R ⊆ U
hf : DifferentiableOn ℂ f U
hw₀ : w₀ ∈ ball c R
hf' : DifferentiableOn ℂ (dslope f w₀) U
⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((z - w₀) ^ 2)⁻¹ • f z) = deriv f w₀
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s t u : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
h₂ : t ∩ s = u ∩ s
⊢ 𝓝[t] a = 𝓝[u] a
α : Type u
c1 c2 : Computation (Stream'.WSeq α)
⊢ Computation.LiftRel Stream'.WSeq.Equiv c1 c2 → Stream'.WSeq.flatten c1 ~ʷ Stream'.WSeq.flatten c2
Q : Type v
AddCommGroup Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
h : Module.Baer ℤ Q
f : M →+ N
hf : Function.Injective ⇑f
g : M →+ Q
⊢ ∃ h, h.comp f = g
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
N✝ : Type w
inst✝⁸ : AddCommGroup N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : Small.{v, u} R
flat : Flat R M
N N' N'' : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup N''
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R N''
f : N →ₗ[R] N'
g : N' →ₗ[R] N''
exact : Function.Exact ⇑f ⇑g
π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ
⊢ Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M g)
α : Type u
LinearOrder α
s : Set α
a b : α
h : IsGLB s a
⊢ a < b ↔ ∃ c ∈ s, c < b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ f ×ˢ g = map (fun p => (p.2, p.1)) (g ×ˢ f)
α : Type u_2
β : Type u_3
BEq β
l : List α
f : α → List β
x : β
⊢ List.count x (l.bind f) = (List.map (List.count x ∘ f) l).sum
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
⊢ IsClosed ↑(⨅ v, LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v))
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
f : Equiv.Perm (Subtype p)
⊢ (Equiv.Perm.ofSubtype f).subtypePerm ⋯ = f
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
hn : 1 < n
h : Irreducible (map (Int.castRingHom ℚ) (X ^ n - X - 1))
⊢ Irreducible (X ^ n - X - 1)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝ : Infinite α
f : α → β
hi : Injective f
⊢ (range f).Infinite