ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J✝ : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S
h : J ∈ I.minimalPrimes
this✝ : J.IsPrime
K : Ideal R
hK : K.IsPrime
e₁ : comap f I ≤ K
e₂ : K ≤ comap f J
this : RingHom.ker f ≤ K
⊢ comap f J ≤ comap f (map f K)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
hS : 0 ∉ S
I : FractionalIdeal S P
hI : I.num = ⊥
x : P
hx : x ∈ ↑I
h_eq : I.den • ↑I = ⊥
⊢ ↑I.den • x = 0
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
i j : J
⊢ Continuous fun x => ⟨⟨↑↑x, ⋯⟩, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
⊢ Injective fun a => b * a⁻¹
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ s.toList.isEmpty = true ↔ s = 0
a b c : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ a * b = a * c ↔ b = c
ι : Type u_2
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
W : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} W
CategoryTheory.Preadditive W
F : V ⥤ W
F.Additive
c : ComplexShape ι
a : CategoryTheory.Quotient (homotopic V c)
⊢ (F.mapHomotopyCategory c).obj a = (HomotopyCategory.quotient W c).obj ((F.mapHomologicalComplex c).obj a.as)
m✝ m : ℕ
a : Fin m → ℕ
i j : Fin m
hij : i ≠ j
ltij : i < j
⊢ ((↑i + 1) * (Nat.supOfSeq a)! + 1).Coprime ((↑j + 1) * (Nat.supOfSeq a)! + 1)
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
M : HomologicalComplex C c
α : K ⟶ M
β : L ⟶ M
i : ι
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inr.f i ≫ (CategoryTheory.Limits.biprod.desc α β).f i = β.f i
α : Type u_1
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
⊢ (insert a s).ncard = s.ncard
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ R.X (P.tensorBimod Q).X L.X).inv ≫ (P.tensorBimod Q).actLeft ▷ L.X ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ = (R.X ◁ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ R.X ◁ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ G.edgeSet = ∅ ↔ G = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.HomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ h).right =
  CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ h.right
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
a : α
h : a ∉ s₁
⊢ s₁ ∩ insert a s₂ = s₁ ∩ s₂
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
p : ι → Prop
f : Exists p → α
⊢ ⨆ (x : Exists p), f x = ⨆ i, ⨆ (h : p i), f ⋯
ι : Sort u_1
r : ℝ
ha : 0 ≤ r
f : ι → ℝ
⊢ (⨅ i, f i) * r = ⨅ i, f i * r
R : Type u_1
CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Finset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ s.card
⊢ (∏ i ∈ s, (Polynomial.X + Polynomial.C (r i))).coeff k = ∑ t ∈ Finset.powersetCard (s.card - k) s, ∏ i ∈ t, r i
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
f : Module.End R M
⊢ CompleteLattice.Independent f.eigenspace
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ Gamma s * Gamma ((s * 2 + 1) / 2) * (√π * 2 ^ (2 * s - 1)) = Gamma s * Gamma ((s * 2 + 1) / 2) * 2 ^ (2 * s - 1) * √π
a b c : Nat
H : 0 < b
H' : b ∣ a
⊢ a / b = c ↔ a = b * c
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℂ
⊢ (∑ i ∈ s, f i).re = ∑ i ∈ s, (f i).re
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
CommSemiring S
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R S
f : A →ₐ[R] S
g : B →ₐ[R] S
⊢ (Algebra.TensorProduct.productMap f g).comp Algebra.TensorProduct.includeRight = g
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
p : ι → P
⊢ (s.weightedVSub p) w₁ +ᵥ (affineCombination k s p) w₂ = (affineCombination k s p) (w₁ + w₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
⊢ ∀ (x_1 : α), x_1 = x ∨ x_1 ∈ s → ∀ (y : α), y = x ∨ y ∈ s → x_1 ≠ y → ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y ≤ edist x_1 y ∨ s.einfsep ≤ edist x_1 y
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → n.primeFactorsList.prod = n
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter α
g : Filter β
f.NeBot
g.NeBot
⊢ (f • g).NeBot
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
⊢ a / b < 1 ↔ 0 < b ∧ a < b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b < a
α : Type u_1
F : Type u_3
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
f : MeasureTheory.SimpleFunc α F
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f = ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_8
Fintype ι
v : Basis ι R M
Q : QuadraticMap R M N
w : ι → R
⊢ (Q.basisRepr v) w = Q (∑ i : ι, w i • v i)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (↑↑f) p μ < ⊤
α : Type u_7
β : Type u_8
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
p : α → Prop
(a : α) → Decidable (p a)
s : Set α
f g : α → β
hp : ∀ a ∈ s ∩ frontier {a | p a}, f a = g a
hf : ContinuousOn f (s ∩ closure {a | p a})
hg : ContinuousOn g (s ∩ closure {a | ¬p a})
⊢ ContinuousOn (fun a => if p a then f a else g a) s
M : Type u_1
AddMonoid M
S T : AddSubgroup (AddUnits M)
⊢ (S.ofAddUnits ⊔ T.ofAddUnits).addUnits = S ⊔ T
R : Type u
A₁ : Type v
A₂ : Type w
CommRing R
Ring A₁
Ring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
x : A₁
⊢ e.toLieEquiv x = e x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0∞
s : Finset α
h : ∑ a ∈ s, f a = 1
h' : ∀ a ∉ s, f a = 0
a : α
⊢ a ∈ (ofFinset f s h h').support ↔ a ∈ ↑s ∩ Function.support f
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
P : Ideal R[X]
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff Rₘ
inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)) Sₘ
P' : Ideal R := comap C P
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
hφ' : φ.comp (Quotient.mk P') = (Quotient.mk P).comp C
p : Sₘ
p' q : R[X] ⧸ P
hq : q ∈ M'
hp : p * (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) q = (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) p'
⊢ φ'.IsIntegralElem ((algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) p')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Sort u_4
U : Submodule 𝕜 E
V : ι → Submodule 𝕜 E
⊢ U ⟂ iSup V ↔ ∀ (i : ι), U ⟂ V i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ (⇑f.symm '' A)
U : Set α
hAU : U ⊇ ⇑f.symm '' A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < r
this : IsOpen (⇑f.symm ⁻¹' U)
⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ (map (⇑f) μ) U < r
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Add α
A B : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ (A + B) i j = A i j + B i j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y = (X ⨿ Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
B : ℕ → Set α := spanningSets μ
hBU : ⋃ n, s ∩ B n = s
⊢ ∃ K ⊆ s, (fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤) K ∧ r < μ K
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
h : l₁ <+~ l₂
t : List α
⊢ l₁.diff t <+~ l₂.diff t
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in φ i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ Integrable f μ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w x : Fin 3 → R
⊢ ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 0 * ![w 1 * x 2 - w 2 * x 1, w 2 * x 0 - w 0 * x 2, w 0 * x 1 - w 1 * x 0] 0 + ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 1 * ![w 1 * x 2 - w 2 * x 1, w 2 * x 0 - w 0 * x 2, w 0 * x 1 - w 1 * x 0] 1 + ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 2 * ![w 1 * x 2 - w 2 * x 1, w 2 * x 0 - w 0 * x 2, w 0 * x 1 - w 1 * x 0] 2 = (u 0 * w 0 + u 1 * w 1 + u 2 * w 2) * (v 0 * x 0 + v 1 * x 1 + v 2 * x 2) - (u 0 * x 0 + u 1 * x 1 + u 2 * x 2) * (v 0 * w 0 + v 1 * w 1 + v 2 * w 2)
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝² : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝¹ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
inst✝ : DecidablePred p
j : J
i : Subtype p
⊢ (if h : j = ↑i then eqToHom ⋯ else 0) = (if h : p j then ι (Subtype.restrict p f) ⟨j, h⟩ else 0) ≫ π (Subtype.restrict p f) i
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℕ
c d : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ n = 0 ∧ c = d
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : IsSuccArchimedean α
b : α
hb : b ≤ a
c : α
x✝ : b ≤ c
H : IsSuccLimit c → c ≤ b
hc : IsSuccLimit (succ c)
⊢ succ c ≤ b
x : ℝ≥0
⊢ x ^ (-1) = x⁻¹
a : ℝ≥0∞
h : a < ⊤
⊢ AddLECancellable a
a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ
hab : a = b
⊢ b ≤ b
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
H1 : IsConnected s
H2 : x ∈ s
⊢ s ⊆ connectedComponent x
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
n : ℕ
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
⊢ Multiset.card (Polynomial.nthRoots n a) = if ∃ α, α ^ n = a then n else 0
⊢ Tendsto (fun n => ↑(harmonic n) - log ↑n) atTop (𝓝 eulerMascheroniConstant)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
a : ↥S
⊢ Localization.mk (↑a) a = 1
R : Type u_1
CommSemiring R
P : Type u_3
CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
J : Ideal P
J.IsPrime
f : R →+* P
hIJ : I = Ideal.comap f J
x : R
⊢ (Localization.localRingHom I J f hIJ) ((algebraMap R (Localization.AtPrime I)) x) =
  (algebraMap P (Localization.AtPrime J)) (f x)
G : Type u_3
AddGroup G
a x : G
⊢ AddSemiconjBy a x (a + x + -a)
a b : ℕ
⊢ Multiset.range (a + b) = Multiset.range a + Multiset.map (fun x => a + x) (Multiset.range b)
α : Type u_1
Monoid α
Unique αˣ
⊢ Function.Injective Associates.mk
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : r₁ ≤ r₂
⊢ Wbtw R x (r₁ • v +ᵥ x) (r₂ • v +ᵥ x)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (WittVector.polyOfInterest p n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ
h : evariance X μ < ⊤
this : Memℒp (fun ω => X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) 2 μ
⊢ X = (fun ω => X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) + fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
⊢ hζ.toInteger - 1 ∣ ↑↑↑p
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
g₁ g₂ f : CentroidHom α
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
ε : α
⊢ ε > 0 → ∃ i, ∀ j ≥ i, abv ((↑f j)⁻¹ - (↑f i)⁻¹) < ε
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq
⊢ Option.map (g ∘ f) = Option.map g ∘ Option.map f
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
ι' : Type u_4
e : ι ≃ ι'
x✝ : E
⊢ (∀ (i : ι'), (b.repr x✝) (e.symm i) ∈ Set.Ico 0 1) ↔ ∀ (i : ι), (b.repr x✝) i ∈ Set.Ico 0 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y L : R
⊢ C ((C L * (X - C x) + C y) ^ 2 + (C W.a₁ * X + C W.a₃) * (C L * (X - C x) + C y) - (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) = (Y - C (C L * (X - C x) + C y)) * (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃) - C (C L * (X - C x) + C y)) + (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
h : 0 < ↑n
⊢ n • ↑(p / ↑n) = 0 ∧ ∀ m < n, 0 < m → m • ↑(p / ↑n) ≠ 0
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
h : IsRelPrime x y
z : R
⊢ IsRelPrime (z * y + x) y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
H : ↑X ≅ ↑Y
α : (TopCat.Presheaf.pushforward C H.hom).obj X.presheaf ≅ Y.presheaf
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.isoOfComponents H α).hom = { base := H.hom, c := α.inv }
ι : Type u_1
E : Type u_2
Fintype ι
SeminormedGroup E
a : E
⊢ ‖fun x => a‖₊ ≤ ‖a‖₊
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
h₁ : 0 < a
h₂ : a ≤ 1
⊢ 1 ≤ a⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)
εK : 0 < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
⊢ ∃ δ > 0, ∀ {a₁ a₂ b₁ b₂ : β}, abv a₁ < K₁ → abv b₂ < K₂ → abv (a₁ - b₁) < δ → abv (a₂ - b₂) < δ → abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_4
G : Type u_5
TopologicalSpace α
AddCommGroup α
TopologicalAddGroup α
TopologicalSpace β
AddCommGroup β
TopologicalSpace δ
AddCommGroup δ
UniformSpace G
AddCommGroup G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₁ : δ
⊢ ∃ U₂ ∈ Filter.comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W'
w v : Nat
x₁ x₂ : BitVec w
y₁ y₂ : BitVec v
⊢ x₁ ++ y₁ &&& x₂ ++ y₂ = (x₁ &&& x₂) ++ (y₁ &&& y₂)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 y t
⊢ StarConvex 𝕜 (x + -y) (s + -t)
α : Sort u_1
p q : Prop
Decidable p
Decidable q
a : α
b : q → α
c : ¬q → α
⊢ (if p then a else dite q b c) = if hq : q then if p then a else b hq else if p then a else c hq
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
f : α → α
hf : map f μ = μ
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
⊢ μ (f ⁻¹' s) = μ s
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
R : Type u_1
K : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : FunLike F R K
inst✝ : RingHomClass F R K
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
J : Ideal R
x : R
hJ : ker f ≤ J
hxf : x ∉ ker f
hxJ : x ∈ J
y : R
hy : f y = (f x)⁻¹
H : 1 = y * x - (y * x - 1)
⊢ y * x - (y * x - 1) ∈ J
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
T2Space B
s : Set A
hs : Dense ↑(Algebra.adjoin R s)
f g : A →A[R] B
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ f = g
s t : String
⊢ s < t ↔ s.data < t.data
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι✝
m✝¹ : (i : ι✝) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (α✝ i)
inst✝³ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝² : Fintype ι'
ι : Type u
α : ι → Type v
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : IsEmpty ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
e : ((i : ι) → α i) ≃ᵐ Unit := MeasurableEquiv.ofUniqueOfUnique ((i : ι) → α i) Unit
⊢ Measure.map (⇑e) (Measure.pi μ) = Measure.dirac ()
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (μ.restrict s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
this : ∀ᵐ (t : G) ∂μ.restrict s, ‖(L (f t)) (g (x₀ - t))‖ ≤ s.indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g ↑i‖) t
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) (μ.restrict s)
s : Set ℚ≥0
⊢ BddBelow (NNRat.cast '' s)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : Finmap β
⊢ Finmap.extract a s = (Finmap.lookup a s, Finmap.erase a s)
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
f : A →ₗ[R] A'
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor B f) ↔ Function.Surjective ⇑(LinearMap.lcomp R (CharacterModule B) f)
X : Type u
Lattice X
self : JordanHolderLattice X
x y z : X × X
⊢ JordanHolderLattice.Iso x y → JordanHolderLattice.Iso y z → JordanHolderLattice.Iso x z
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
⊢ sᶜˢ ⊆ t ↔ s ⊆ tᶜˢ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val ↔ ∀ t ⊆ s, s ∩ (convexHull 𝕜) t ⊆ t
a b : Int
H : b ∣ a
⊢ a / b * b = a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Mul β
ContinuousMul β
f g : C(α, β)
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f * ⇑g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
ι' : Type u_4
f : ι' ↪ ι
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
⊢ ConvexIndependent 𝕜 (p ∘ ⇑f)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
n : ℕ∞
s : Set E
hf : ContDiffOn ℝ n f s
hs : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ ContDiffOn ℝ n (fun y => √(f y)) s
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
Finite ι
LinearOrderedField 𝕜
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (E i)
⊢ (convexHull 𝕜) (s.pi t) = s.pi fun i => (convexHull 𝕜) (t i)
α : Type u_1
s : α → α → Bool
a b : α
l r : List α
⊢ List.merge s (a :: l) (b :: r) = if s a b = true then a :: List.merge s l (b :: r) else b :: List.merge s (a :: l) r
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α ↪o β
a b : α
⊢ f a < f b ↔ a < b
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : IsNoetherian R M
f : End R M
μ : R
⊢ f.maxGenEigenspace μ = (f.genEigenspace μ) (f.maxGenEigenspaceIndex μ)
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝¹ : LocallyCompactSpace H
this✝ : LocallyCompactSpace M
this : SecondCountableTopology H
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, f x = 0
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
LinearOrder R
LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
F.NeBot
cobdd : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F
⊢ Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) F f
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
⊢ (map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a - x⁻¹) atTop (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (b : R) in atTop, ↑⌊a * b⌋₊ / b ≤ a
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Ioi t) volume ↔ s.re < -1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : Countable α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ✝
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
⊢ μ.toPMF = p ↔ μ = p.toMeasure
a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ
az : ¬a = 0
⊢ a * b / a ∣ a * b * c / a
x p : ℝ
hx_pos : 0 < x
⊢ x.toNNReal ≠ 0
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
j : N
f : ↑(Ω^ N X x)
⊢ ⟦GenLoop.symmAt i f⟧ = ⟦GenLoop.symmAt j f⟧
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.IsCodetecting ∅
α : Type u
GeneralizedBooleanAlgebra α
x y : α
⊢ x ⊓ y ⊔ x \ y = x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
⊢ map f (F ⊓ comap f G) ≤ map f F ⊓ G
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
s : Finset ι
hv : Orthonormal 𝕜 v
h₂ : ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 * ⟪x, v j⟫_𝕜 * ⟪v j, v i⟫_𝕜 = ∑ k ∈ s, ⟪v k, x⟫_𝕜 * ⟪x, v k⟫_𝕜
h₃ : ∀ (z : 𝕜), re (z * (starRingEnd 𝕜) z) = ‖z‖ ^ 2
⊢ re ⟪x, x⟫_𝕜 - (2 * re (∑ i ∈ s, ⟪x, ⟪v i, x⟫_𝕜 • v i⟫_𝕜) - re (∑ x_1 ∈ s, ∑ i ∈ s, ⟪⟪v i, x⟫_𝕜 • v i, ⟪v x_1, x⟫_𝕜 • v x_1⟫_𝕜)) = re ⟪x, x⟫_𝕜 - ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
f : E → F
x : E
f' : E →L[ℝ] F
h : HasFDerivAt f f' x
⊢ ConformalAt f x ↔ ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (u v : E), ⟪f' u, f' v⟫_ℝ = c * ⟪u, v⟫_ℝ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
⊢ ∃ k, ∀ (x : L), (toEnd R L M) x ^ k = 0
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Set.Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + Real.log y
hx : 0 < x
⊢ Filter.Tendsto (Real.BohrMollerup.logGammaSeq x) Filter.atTop (𝓝 (f x - f 1))