ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
⊢ OrderDual.toDual (sSup s) = sInf (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝¹ : α
ε : ℝ≥0
x : α
hx : x ∈ cthickening (↑ε) s
y : α
hy : y ∈ cthickening (↑ε) s
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < δ
x✝ : EMetric.diam s + 2 * ↑ε < ⊤
⊢ edist x y ≤ EMetric.diam s + 2 * ↑ε + ↑δ
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List (List α)
⊢ L.reverse.join = (map reverse L).join.reverse
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.13014, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
⊢ S.Exact ↔ h.left.i ≫ h.right.p = 0
n : ℕ
⊢ ↑(Tree.treesOfNumNodesEq n) = {x | x.numNodes = n}
L : Language
L' : Language
M✝ : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M✝
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
M : Type w
inst✝ : L[[α]].Structure M
s : Set α
⊢ M ⊨ L.distinctConstantsTheory s ↔ Set.InjOn (fun i => ↑(L.con i)) s
ι : Type u_1
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : Option ι → Set X
⊢ LocallyFinite f ↔ LocallyFinite (f ∘ some)
R : Type u_1
CommRing R
a : R
⊢ Ideal.span {a} ∈ Ideal.isPrincipalSubmonoid R
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
Ring R
Ring R'
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module R M
Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M₁
hi : Function.Surjective ⇑i
hj : Function.Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
⊢ Module.rank R M ≤ Module.rank R' M₁
ι : Type u_1
α' : ι → Type u_2
(i : ι) → Sup (α' i)
f g : (i : ι) → α' i
i : ι
⊢ (f ⊔ g) i = f i ⊔ g i
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
⊢ IsClosed {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ c * ∏ i : ι, ‖m i‖}
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
x : WithLp 1 (Unitization 𝕜 A)
⊢ ‖x‖₊ = ‖((WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)) x).fst‖₊ + ‖((WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)) x).snd‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
Zero β
s : Set α
h : Filter.EventuallyConst s l
c : β
⊢ Filter.EventuallyConst (s.indicator fun x => c) l
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b c : E
⊢ ‖a / c‖ ≤ ‖a / b‖ + ‖b / c‖
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
int : IsIntegral A x
⊢ 2 ≤ (minpoly A x).natDegree ↔ x ∉ (algebraMap A B).range
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
x✝ y✝ : α
e : ∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ * y✝ ∈ I
I : Ideal α
hI : I ∈ s
hI' : x✝ ∉ I
J : Ideal α
hJ : J ∈ s
h : I ≤ J
⊢ y✝ ∈ J
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j : Fin n✝
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : Fin (n + 1)
⊢ i.succ.succAbove 1 = (i.succAbove 0).succ
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C
⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ 𝟙 (F.obj (G.obj (F.obj X))) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
F : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
X Y : CategoryTheory.Grothendieck F
f g : X ⟶ Y
h : f = g
⊢ f.fiber = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯) g.fiber
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F E
⊢ ContMDiff (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n Bundle.TotalSpace.proj
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
h : s.Countable
default x : α
hx : x ∈ s
this : Encodable ↑s := h.toEncodable
⊢ enumerateCountable h default (encode ⟨x, hx⟩) = x
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
f : Fin n → R
⊢ (∑ i : Fin n, Polynomial.C (f i) * Polynomial.X ^ ↑i).degree < ↑n
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
Nonempty ι
f : ι → α
a : α
hf : BddBelow (Set.range f)
⊢ a ≤ iInf f ↔ ∀ (i : ι), a ≤ f i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ
⊢ (PolynomialModule.eval (Polynomial.eval x (Polynomial.X - Polynomial.C x₀))) ((PolynomialModule.single ℝ (n + 1)) (taylorCoeffWithin f (n + 1) s x₀)) = (((↑n + 1) * ↑n !)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀
α : Type u
f : α → α
hf : Function.Involutive f
a : α
l : List α
⊢ a ∈ List.map f l ↔ f a ∈ l
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
⊢ IsMulFreimanHom 2 A B f ↔ Set.MapsTo f A B ∧ ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ A, ∀ c ∈ A, ∀ d ∈ A, a * b = c * d → f a * f b = f c * f d
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : z.re ≤ 0
hz_im : 0 ≤ z.im
H : MapsTo Neg.neg (Iio 0 ×ℂ Ioi 0) (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)
⊢ ‖(f ∘ Neg.neg) z‖ ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
⊢ (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ N → Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x) ∧ ∀ (m : ℕ), ↑m < N → Differentiable 𝕜 fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq α
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (∏ x ∈ s ∩ t, f x) * ∏ x ∈ s \ t, f x = ∏ x ∈ s, f x
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k k' : 𝓞 K
hk : λ * (S.b * (↑η + 1) + λ * k') = λ * (λ * k)
hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'
⊢ S.b = λ * ((k - k') * -↑η)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G : C ⥤ D
X : C
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.FunctorCategory.tensorObj F G).obj X = F.obj X ⊗ G.obj X
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t₁ t₂ : Set β
f : α → β
h₁ : Set.MapsTo f s t₁
h₂ : Set.MapsTo f s t₂
⊢ Set.MapsTo f s (t₁ ∩ t₂)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
l : List α
⊢ (do let x ← l.sublists map (fun x_1 => x_1 ++ x) [a].sublists) = do let x ← l.sublists [x, a :: x]
R : Type u_2
AddZeroClass R
x : R
xs : List R
DecidablePred fun i => (xs ++ [x]).getD i 0 ≠ 0
DecidablePred fun i => xs.getD i 0 ≠ 0
⊢ (xs ++ [x]).toFinsupp = xs.toFinsupp + Finsupp.single xs.length x
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : Monoid α✝
inst✝¹ : Monoid β
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
x✝ : IsConj a b
c : αˣ
hc : SemiconjBy (↑c) a b
⊢ a = b
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
φ : M →[L] N
S : L.Substructure M
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → N
hx : ∀ (i : Fin n), x i ∈ ⇑φ '' ↑S
⊢ funMap f (⇑φ ∘ fun i => Classical.choose ⋯) = funMap f x
F : Type u_7
R : outParam (Type u_5)
Γ₀ : outParam (Type u_6)
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
Ring R
FunLike F R Γ₀
self : ValuationClass F R Γ₀
f : F
x y : R
⊢ f (x + y) ≤ max (f x) (f y)
A : Type u_1
B : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Star B
f : A →⋆ₙ+* B
⊢ (NonUnitalStarRingHom.id B).comp f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Div α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ma / mb ∈ a / b
α : Type u_1
GroupWithZero α
a b : α
⊢ IsConj a b ↔ ∃ c, c ≠ 0 ∧ c * a * c⁻¹ = b
x : ℝ
k : ℤ
h : arctan x = (2 * ↑k + 1) * π / 2
lb : -(π / 2) < arctan x
ub : arctan x < π / 2
⊢ False
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X : C
inst✝ : IsGalois X
x y : ↑(F.obj X)
φ : Aut X
h : φ • x = y
a : AutGalois F
ha : (AutGalois.π F { obj := X, pt := x, isGalois := ⋯ }) a = φ
⊢ ∃ g, g • x = y
α : Type u_1
s : Set (Set α)
⊢ ⋂₀ s = ⋂ i, ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
AddGroup α
AddGroup β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℤ
⊢ f (x + n • c) = ↑n.negOnePow • f x
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
⊢ ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ e.target ⊆ ↑e.symm ⁻¹' e.source
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ga : α → α
gb : β → β
h : Function.Semiconj f ga gb
x : α
⊢ f (ga x) = gb (f x)
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
p : A[X]
hm : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hl : ∀ (q : A[X]), q.degree < p.degree → q = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) q ≠ 0
a✝ : Nontrivial A
hx : IsIntegral A x
h : minpoly A x %ₘ p = 0
r : A[X]
hr : minpoly A x = p * r
hlead : (minpoly A x).leadingCoeff = (p * r).leadingCoeff
⊢ p = p * r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a : α
⊢ p a ≤ 1
α : Type u_1
inst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝¹ : DecidableRel Disjoint
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a✝ b✝ a b : α
⊢ compress (a \ b) (b \ a) b = a
L : Type u_1
K : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
IsGalois K L
x : 𝓞 L
⊢ x ∣ (algebraMap (𝓞 K) (𝓞 L)) ((RingOfIntegers.norm K) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α →. β
g : α → β → σ
hf : Partrec f
hg : Computable₂ g
⊢ Partrec fun a => Part.map (g a) (f a)
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
⊢ it.remainingToString = { data := r }
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i : ι, c i • b'M i
⊢ ∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
⊢ PadicInt.limNthHom f_compat 1 = 1
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f g : ℝ → ℝ
hdf : DifferentiableOn ℝ f (Set.Ioo a b)
hg' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, deriv g x ≠ 0
hfa : Filter.Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Filter.Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : (P F).W α
⊢ recF g x = g (abs ((TypeVec.id ::: recF g) <$$> (P F).wDest' x))
G : Type u_2
AddGroup G
S₁ S₂ : AddSubgroup Gᵃᵒᵖ
⊢ (S₁ ⊓ S₂).unop = S₁.unop ⊓ S₂.unop
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ Set.univ) ρ
⊢ ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ Set.univ, f x ∂ρ
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Sheaf J D
⊢ ((sheafificationAdjunction J D).counit.app P).val = ((presheafToSheaf J D).map (𝟙 P.val) ≫ (sheafificationAdjunction J D).counit.app { val := P.val, cond := ⋯ }).val
α : Type u_1
BEq α
n : Nat
LawfulBEq α
a b : α
h : (!b == a) = true
⊢ (List.replicate n a).erase b = List.replicate n a
ε : ℝ
l : ℕ
⊢ 0 < SzemerediRegularity.initialBound ε l
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ BddAbove (Set.Iio a)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_2
𝔸' : Type u_3
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hd : ∀ i ∈ u, Differentiable 𝕜 (f i)
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => ∏ i ∈ u, f i x
α₁ : Type u_2
β₁ : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α₁
a✝ : α₁
e✝ e : Perm β₁
a a' : α₁
b : β₁
h : a' ≠ a
⊢ (prodExtendRight a e) (a', b) = (a', b)
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
H : Set (X → α)
S : Set X
x₀ : X
h : H.EquicontinuousWithinAt S x₀
f : X → α
hf : f ∈ H
⊢ ContinuousWithinAt f S x₀
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
this : ¬IsUnit (X ^ p - C a)
g : K[X]
hg : Irreducible g
hg' : g ∣ X ^ p - C a
⊢ Irreducible (X ^ p - C a)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing T
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁷ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : Algebra R F
inst✝² : IsScalarTower R L F
pb : PowerBasis K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
⊢ ((BilinForm.toMatrix b) (traceForm K L)).det ≠ 0
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
AddMonoid ι
self : GradedMonoid.GMonoid A
a b c : GradedMonoid A
⊢ a * b * c = a * (b * c)
x y z : ℝ
hx0 : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
hyz : z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ s' s : WSeq α
h : (map ret s).join = s'
⊢ ∀ {ca cb : Computation (Option (α × WSeq α))}, (∃ s, ca = (map ret s).join.destruct ∧ cb = s.destruct) → LiftRelAux (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => (map ret s2).join = s1) (fun c1 c2 => ∃ s, c1 = (map ret s).join.destruct ∧ c2 = s.destruct) ca.destruct cb.destruct
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
⊢ range f ⊆ insert 1 (f '' mulSupport f)
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
⊢ ‖MeasureTheory.L1.SimpleFunc.integralCLM α E μ‖ ≤ 1
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ p.comp q = p.sum fun e a => Polynomial.C a * q ^ e
G : Type u
Group G
Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
⊢ Nat.card ↥↑P = p ^ (Nat.card G).factorization p
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
n : ℕ
x : α
s : Multiset α
y : α
⊢ count y (replicate n x ∩ s) = count y (replicate (min n (count x s)) x)
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
⊢ P (CommRingCat.ofHom (e₁.toCommRingCatIso.hom ≫ CommRingCat.ofHom (IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯)) ≫ e₂.toCommRingCatIso.hom) = P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)
a : ℝ
⊢ ContinuousOn (fun x => cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))) (Ioi 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
w : f ≠ 0
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f) → False
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
DivisionRing K
n_lt_m : n < m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.contsAux m = g.contsAux (n + 1)
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
I : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ I, IsOpen (s i)
⊢ ∃ T ⊆ I, T.Countable ∧ ⋃ i ∈ T, s i = ⋃ i ∈ I, s i
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
o : Ordinal.{u_1}
h : G ≈ nim o
⊢ G.grundyValue = o
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
q : ℕ
x y : L
hy : IsPrimitiveRoot y q
hx : IsPrimitiveRoot x 0
hirr : Irreducible (cyclotomic (Nat.lcm 0 q) K)
⊢ φ (Nat.lcm 0 q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
a : α
b : β
⊢ Finset.image₂ f {a} {b} = {f a b}
x : Int
w : 1 < x.natAbs
⊢ x.bmod (x.natAbs + 1) = -x.sign
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
f : α ↪ β
t : Set β
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique t ↔ t.Subsingleton ∨ ∃ s, G.IsClique s ∧ ⇑f '' s = t
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
⊢ (↑({ toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun l => (lift.symm ↑l).mkContinuous ‖l‖ ⋯) l))).compMultilinearMap (tprod 𝕜) = (↑l).compMultilinearMap (tprod 𝕜)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero β
inst✝² : SMulZeroClass α β
s : Set α
t : Set β
a : α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
ha : a ≠ 0
⊢ 0 ∈ a • t → 0 ∈ t
x : ℂ
n : ℤ
y : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ x ^ (↑n * y) = (x ^ y) ^ n
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderTop α
inst✝¹ : IsCoatomic α
inst✝ : OrderTop β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
h_coatom : ∀ (a : α), IsCoatom a → u (l a) = a
b : β
hb : IsCoatom b
a : α
ha : IsCoatom a
hab : u b ≤ a
⊢ IsCoatom (u b)
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
⊢ m.toFinset.card ≤ Multiset.card m
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α
⊢ sᶜ ∪ s = univ
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
m : M
a : α
n : ℕ
n_pos : 0 < n
n_lt_period : n < MulAction.period m a
⊢ m ^ n • a ≠ a
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
p q r : P
h : ¬y < x
⊢ ltTrichotomy x y p q r = if x < y then p else q
α : Type u_1
LinearOrderedCommRing α
a b : α
⊢ |a - b| * |a - b| = a * a + b * b - (1 + 1) * a * b
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.spanningSetsIndex μ ⁻¹' {n} = disjointed (MeasureTheory.spanningSets μ) n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
x : ZMod (p ^ n)
⊢ (TruncatedWittVector.zmodEquivTrunc p n) x = (ZMod.castHom ⋯ (TruncatedWittVector p n (ZMod p))) x
x y : ZFSet
⊢ x ⊆ y ↔ ∀ ⦃z : ZFSet⦄, z ∈ x → z ∈ y
c : Cardinal.{u}
⊢ ℵ₀ ≤ c → c < c ^ c.ord.cof
α : Type u_1
n : ℕ
IH : ∀ (m : PosNum), ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
hdiv2 : ∀ (m : ℕ), (m + m).div2 = m
⊢ ↑0 = ↑(pos one) >>> (n + 1)
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G : A ⥤ D
H : B ⥤ E
K : C ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : D ⥤ E
R₂ : E ⥤ D
L₃ : B ⥤ C
R₃ : C ⥤ B
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : H ⋙ L₄ ⟶ L₃ ⋙ K
c : C
⊢ ({ toFun := fun α => whiskerLeft ((R₃ ⋙ R₁) ⋙ G) { homEquiv := fun X Z => (adj₄.homEquiv (L₂.obj X) Z).trans (adj₂.homEquiv X (R₄.obj Z)), unit := adj₂.unit ≫ whiskerLeft L₂ (whiskerRight adj₄.unit R₂) ≫ (L₂.associator (L₄ ⋙ R₄) R₂).inv, counit := (R₄.associator R₂ (L₂ ⋙ L₄)).hom ≫ whiskerLeft R₄ (whiskerRight adj₂.counit L₄) ≫ adj₄.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft (R₃ ⋙ R₁) α) (R₄ ⋙ R₂) ≫ whiskerRight { homEquiv := fun X Z => (adj₃.homEquiv (L₁.obj X) Z).trans (adj₁.homEquiv X (R₃.obj Z)), unit := adj₁.unit ≫ whiskerLeft L₁ (whiskerRight adj₃.unit R₁) ≫ (L₁.associator (L₃ ⋙ R₃) R₁).inv, counit := (R₃.associator R₁ (L₁ ⋙ L₃)).hom ≫ whiskerLeft R₃ (whiskerRight adj₁.counit L₃) ≫ adj₃.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.counit (K ⋙ R₄ ⋙ R₂), invFun := fun β => whiskerRight { homEquiv := fun X Z => (adj₃.homEquiv (L₁.obj X) Z).trans (adj₁.homEquiv X (R₃.obj Z)), unit := adj₁.unit ≫ whiskerLeft L₁ (whiskerRight adj₃.unit R₁) ≫ (L₁.associator (L₃ ⋙ R₃) R₁).inv, counit := (R₃.associator R₁ (L₁ ⋙ L₃)).hom ≫ whiskerLeft R₃ (whiskerRight adj₁.counit L₃) ≫ adj₃.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.unit (G ⋙ L₂ ⋙ L₄) ≫ whiskerRight (whiskerLeft (L₁ ⋙ L₃) β) (L₂ ⋙ L₄) ≫ whiskerLeft ((L₁ ⋙ L₃) ⋙ K) { homEquiv := fun X Z => (adj₄.homEquiv (L₂.obj X) Z).trans (adj₂.homEquiv X (R₄.obj Z)), unit := adj₂.unit ≫ whiskerLeft L₂ (whiskerRight adj₄.unit R₂) ≫ (L₂.associator (L₄ ⋙ R₄) R₂).inv, counit := (R₄.associator R₂ (L₂ ⋙ L₄)).hom ≫ whiskerLeft R₄ (whiskerRight adj₂.counit L₄) ≫ adj₄.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (whiskerRight α L₄ ≫ whiskerLeft L₁ β)).app c = (whiskerLeft R₃ ({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ G) adj₂.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₂ ≫ whiskerRight adj₁.counit (H ⋙ R₂), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit (G ⋙ L₂) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₂ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ H) adj₂.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } α) ≫ whiskerRight ({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₃ ⋙ H) adj₄.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₃ α) R₄ ≫ whiskerRight adj₃.counit (K ⋙ R₄), invFun := fun β => whiskerRight adj₃.unit (H ⋙ L₄) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₃ β) L₄ ≫ whiskerLeft (L₃ ⋙ K) adj₄.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } β) R₂).app c
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
u : AddUnits α
n : ℤ
⊢ ↑(n • u) = n • ↑u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
BorelSpace β
MeasurableSpace γ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace γ
OpensMeasurableSpace γ
SecondCountableTopology γ
g : β → γ
hg : Measurable g
f : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.compMeasurable g hg (MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf) = MeasureTheory.AEEqFun.mk (g ∘ f) ⋯