ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra K E
inst✝ : Algebra R F
pb : PowerBasis R S
hE : Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)
hfx : IsSeparable R pb.gen
this : DecidableEq F := Classical.decEq F
⊢ ∀ (x : S →ₐ[R] F), (fun σ => σ pb.gen) x = (fun x => ↑x) (pb.liftEquiv' x)
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
⊢ Gamma (a * s + b * t) ≤ Gamma s ^ a * Gamma t ^ b
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y✝ : E b✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module R F
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : E b
⊢ (Pretrivialization.symmₗ R e b) ((Pretrivialization.linearMapAt R e b) y) = y
a b p q : ℝ≥0
h✝ h : p.IsConjExponent q
⊢ q⁻¹ + p⁻¹ = 1
α : Type u
LinearOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ min a ⊤ = a
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
i : ι
ω : Ω
m : ι
hmn : m ≤ m
⊢ hitting u s m m ω = m
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b : β
q✝ : ℚ
x✝ : ∃ q, b < ↑q ∧ ↑q < a
q : ℚ
hbq : b < ↑q
hqa : ↑q < a
⊢ ↑q < inducedMap α β a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y z : F
⊢ ⟪x - y, z⟫_𝕜 = ⟪x, z⟫_𝕜 - ⟪y, z⟫_𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
m' : M'
⊢ IsLocalizedModule.mk' f m s = m' ↔ f m = s • m'
R : Type u_1
MonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
h : f.IsMultiplicative
⊢ f 1 = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X →. Y
hf : ∀ {x : X} {y : Y}, y ∈ f x → PTendsto' f (𝓝 x) (𝓝 y)
s : Set Y
os : IsOpen s
x : X
y : Y
ys : y ∈ s
fxy : y ∈ f x
t : Set X
⊢ f.preimage s ⊆ t → t ∈ 𝓝 x
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
hF : ringChar F = 2
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ quadraticCharFun F a = 1
a b c : Ordinal.{u_1}
hb : b < a
hc : c < a
H : a ≤ c
hab : a - b = a
⊢ False
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
⊢ TendstoUniformlyOn (Complex.cderiv δ ∘ F) (Complex.cderiv δ f) φ K
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ (z * z⁻¹) ≤ y ^ (1 / z) ↔ x ^ z ≤ y
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
d₁ d₂ : G.Dart
h : d₁.toProd = d₂.toProd
⊢ d₁ = d₂
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL : L v = (0, 1)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ
⊢ ∫ (x : E), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E), (B (f' x)) (g x) ∂μ
α : Fin 2 → Type u
⊢ ⇑(piFinTwoEquiv α).symm = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAntiOn f s
c : α
⊢ StrictAntiOn (fun x => c + f x) s
a b : Int
Hpos : a ≠ 0
H : b * a = a
⊢ b = 1
K L : Type
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : IsAlgClosed L
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
this✝ : Algebra (ZMod p) K := ZMod.algebra K p
this : Algebra (ZMod p) L := ZMod.algebra L p
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis (ZMod p) Subtype.val
t : Set L
ht : IsTranscendenceBasis (ZMod p) Subtype.val
⊢ Nonempty (K ≃+* L)
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
x : X
hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}
this : f x = f a
⊢ f a ∈ s
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x : P
⊢ x ∈ FractionalIdeal.spanSingleton S x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M
v : n → M₁
h : ∀ (i j : n), i ≠ j → (B (v j)) (v i) = 0
i j : n
hij : i ≠ j
⊢ (B (v i)) (v j) = 0
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α
⊢ lift.{max u v, u} #α = lift.{max v u, u} #α + lift.{u, v} #β'
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
this✝ : I.IsMaximal := hI
this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I
ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C
⊢ ∃ x, I = vanishingIdeal {x}
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
k m n : ℕ
h : m ≤ n + 1
this : ∀ i < m, i ≤ n
hkm : k < m
⊢ ∏ j ∈ Ico k m, f (n - j) = ∏ j ∈ Ico (n + 1 - m) (n + 1 - k), f j
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
Quiver.HasInvolutiveReverse U
Quiver.HasInvolutiveReverse V
φ.MapReverse
u : U
⊢ φ.costar u = ⇑(Quiver.starEquivCostar (φ.obj u)) ∘ φ.star u ∘ ⇑(Quiver.starEquivCostar u).symm
α : Type u_1
MetricSpace α
β : Type u
Nonempty β
p : Besicovitch.TauPackage β α
⊢ {i | ¬∃ b, p.c b ∉ p.iUnionUpTo i ∧ p.R i ≤ p.τ * p.r b}.Nonempty
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F U W : Set X
hWU : W ⊆ U
x : X
x_in : x ∈ W
hx : ∀ {y : X}, y ∈ W → JoinedIn W x y
⊢ ∀ {y : { x // x ∈ U }}, y ∈ Subtype.val ⁻¹' W → JoinedIn (Subtype.val ⁻¹' W) ⟨x, ⋯⟩ y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
⊢ ((p.derivSeries n) fun x_1 => x) x = (n + 1) • (p (n + 1)) fun x_1 => x
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x y z : 𝕜⦄, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x✝ y x : ℂ
hx : cos x ≠ 0
⊢ tan x * cos x = sin x
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
j : ι
⊢ C.dTo j ≫ C.dFrom j = 0
m n : ℕ∞
x✝ : ℕ
⊢ ↑(↑x✝).toNat = ↑x✝ ↔ ↑x✝ ≠ ⊤
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
s : Set α
a : α
⊢ (insert a s).Intersecting ↔ s.Intersecting ∧ a ≠ ⊥ ∧ ∀ b ∈ s, ¬Disjoint a b
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
DecidableEq β
⊢ (s₁ ∪ s₂).inf f = s₁.inf f ⊓ s₂.inf f
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
A : Type u_3
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
a : A
ha : a ≠ 0
φ : MvPolynomial σ A
i : σ
d : σ →₀ ℕ
⊢ coeff d (C a * φ) ≠ 0 ∧ i ∈ d.support ↔ coeff d φ ≠ 0 ∧ i ∈ d.support
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
MulZeroOneClass α
DecidableEq n
A : Matrix l m α
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A 1 = Matrix.blockDiagonal fun x => A
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
R : Type u_6
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
h : Differentiable 𝕜 f
c : R
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => c • f y
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
⊢ StrictMono ⇑e
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
s : Set A
⊢ (∃ i ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, id i ⊆ s) ↔ ∃ i, True ∧ ↑(B i) ⊆ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
f g : ι → α
Fintype ι
hfg : Antivary f g
⊢ ↑(Fintype.card ι) * ∑ i : ι, f i * g i ≤ (∑ i : ι, f i) * ∑ i : ι, g i
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
α : Type u_1
Preorder α
NoMaxOrder α
a b : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (Set.Icc a b)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
δ : Type u_2
TopologicalSpace δ
g : C(δ, α)
⊢ LipschitzWith 1 fun f => f.compContinuous g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
P' X' Y' Z' : C
fst' : P' ⟶ X'
snd' : P' ⟶ Y'
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
e₁ : P ≅ P'
e₂ : X ≅ X'
e₃ : Y ≅ Y'
e₄ : Z ≅ Z'
commfst : fst ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ fst'
commsnd : snd ≫ e₃.hom = e₁.hom ≫ snd'
commf : f ≫ e₄.hom = e₂.hom ≫ f'
commg : g ≫ e₄.hom = e₃.hom ≫ g'
⊢ CategoryTheory.IsPullback fst' snd' f' g'
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
⊢ s.toFinset = {a} ↔ Multiset.card s ≠ 0 ∧ s = Multiset.card s • {a}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
n : ℕ
⊢ ‖q.comp p n‖₊ * r ^ n ≤ ∑' (i : (n : ℕ) × Composition n), ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ s : Set α
hs : ∀ (f : α → Bool), ContinuousOn f s → ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y
u v : Set α
u_op : IsOpen u
v_op : IsOpen v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
x : α
x_in_s : x ∈ s
x_in_u : x ∈ u
H : s ∩ (u ∩ v) = ∅
y : α
y_in_s : y ∈ s
y_in_v : y ∈ v
hy : y ∉ u
⊢ False
a : Ordinal.{u_1}
a1 : 1 < a
h : a < Ordinal.omega
⊢ a ^ Ordinal.omega = Ordinal.omega
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
r : R
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n * r = n • r
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x : ℝ≥0∞
⊢ (x ^ (↑n)⁻¹) ^ n = x
ι : Type u_1
α : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring α
TopologicalSpace α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
a₁ : α
a₂ : α
hf : HasSum f a₁
⊢ HasSum (fun i => f i * a₂) (a₁ * a₂)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ≥ x_1) (Set.Icc a b)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
⊢ ‖0‖ = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
⊢ inversion c R x = c ↔ x = c ∨ R = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
A : E →ₗ.[𝕜] E
hA : IsSelfAdjoint A
⊢ Dense ↑A.domain
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
v : E
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
h : ¬0 < (s.sup p) v
⊢ {x | True} ∈ 𝓝 0
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i i' : ι
b : β i
h : i ≠ i'
⊢ (DFinsupp.single i b) i' = 0
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
e : ι' ≃ ι
⊢ l.HasBasis (p ∘ ⇑e) (s ∘ ⇑e)
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
⊢ f.trans (PEquiv.refl β) = f
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
h✝ : I ≤ ⊥.jacobson
a : R
h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)
y : R
h1 : (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) a * (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) y = 1
h2 : (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) y * (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) a = 1
⊢ IsUnit a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
⊢ Coplanar k ∅
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
v : π i
⊢ Function.update (s.piecewise f g) i v = s.piecewise (Function.update f i v) g
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B'✝ X✝ Y✝ Y' : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i'✝ : B✝ ⟶ B'✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p' : Y✝ ⟶ Y'
A B A' B' X Y : C
i : A ⟶ B
i' : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk i ≅ Arrow.mk i'
p : X ⟶ Y
hip : HasLiftingProperty i p
⊢ HasLiftingProperty (e.inv.left ≫ i ≫ e.hom.right) p
R : Type u
CommRing R
X Y : QuadraticModuleCat R
i : X ≅ Y
a : ↑X.toModuleCat
⊢ i.toIsometryEquiv a = i.hom.toIsometry a
α : Sort u_2
β : Sort u_3
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (a : α) → P a
x : β
⊢ (Equiv.piCongrLeft' P e) f x = f (e.symm x)
R : Type u_1
CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hMin : I ∈ minimalPrimes R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization.AtPrime S I
J K : Ideal S
J.IsPrime
K.IsPrime
⊢ J = K
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hinj : Function.Injective ⇑f
hclo : IsClosed (Set.range ⇑f)
⊢ ↑(f.equivRange hinj hclo) = f.rangeRestrict
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddZeroClass β
ContinuousAdd β
f g : α →C₀ β
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
f : α → β
⊢ (Multiset.map f s).Nodup → s.Nodup
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)
x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
Y : C
g : Y ⟶ X
⊢ ∃ φ, ∀ {Z : C} (p : Z ⟶ Y) (hp : S.arrows (p ≫ g)), φ ≫ G.map p.op = F.map p.op ≫ (x (p ≫ g) hp).app (op (Over.mk (𝟙 Z)))
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑π = 0
hs : ↑θ + ↑ψ = ↑π
⊢ ↑θ = ↑ψ
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
κ : Cardinal.{w}
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Infinite M
N : ((L.lhomWithConstants (Quotient.out κ)).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory Set.univ).ModelType
this : ↑N ⊨ L.distinctConstantsTheory Set.univ
⊢ lift.{max (max u v) w, w} #↑Set.univ ≤ #↑N
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
⊢ False
m n✝ a✝ b✝ c d b a n : ℕ
h : a * b ≡ 1 [MOD n]
g : ℕ
hh : n = a.gcd n * g
⊢ a.Coprime n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a'✝ : α
b✝ : M
a a' : α
b : M
⊢ a ∈ (single a' b).support ↔ a = a' ∧ b ≠ 0
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
a b : X
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
LinearOrder X
CompactIccSpace X
T2Space X
hf : Continuous f
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Ι a b) μ
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
⊢ ν' = 0 → ν' s = 0
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
this : Epi S.g
⊢ ((opcyclesFunctor C c i).mapShortComplex.obj S).Exact
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁷ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra T S
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : IsDomain S'
inst✝¹ : Algebra T S'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S'
f : S →ₐ[T] S'
h₀ : map (algebraMap T S') p = 0
⊢ map (algebraMap T S) p = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, N i → Prop
hN : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ N i), C x ⋯
h0 : C 0 ⋯
hadd : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, N i) (hy : y ∈ ⨆ i, N i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, N i
i : ι
x : M
hx : x ∈ N i
⊢ (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, N i), C x hx) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
s✝ t : Set α
f✝ g : α → M
a : α
h : M → β
f : α → M
s : Set α
x : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
this : DecidablePred fun x => x ∈ s := Classical.decPred fun x => x ∈ s
⊢ h (s.mulIndicator f x) = s.piecewise (h ∘ f) (const α (h 1)) x
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
h : BoxIntegral.Integrable I l f vol
π₀ : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ Cauchy (Filter.map (BoxIntegral.integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₀))
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
n a a' : ℤ
ha' : n + a = a'
K : CochainComplex C ℤ
⊢ 𝟙 (((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).obj K).homology a) ≫ 𝟙 ((shortComplexFunctor C (up ℤ) a).obj ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).obj K)).homology ≫ ShortComplex.homologyMap ((shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').hom.app K) ≫ 𝟙 (homology K a') = ShortComplex.homologyMap ((shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').hom.app K)
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
⊢ StronglyMeasurable fun x => derivWithin f (Ici x) x
X : Type u
Preorder X
x y : X
h : x ⟶ y
⊢ ⋯.hom = h
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
h : (ofSpanSingleton a) ⟨a, ⋯⟩ = 0
⊢ a = 0
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x
a : MvPolynomial ι R
⊢ ↑(hx.aevalEquiv a) = (MvPolynomial.aeval x) a
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
p : Finset α
hp : p ∈ ↑P.parts
x : α
hx : x ∈ p
⊢ p ∈ P.part '' ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
⊢ ∀ (l : List α), Tendsto length (𝓝 l) (pure l.length)
α : Type u_1
L : List (List α)
i : ℕ
⊢ List.take (Nat.sum (List.take i (List.map List.length L))) L.join = (List.take i L).join
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
this : P.Λ (↑P.k - s) + (1 / (↑P.k - s)) • P.f₀ + (P.ε / s) • P.g₀ = P.ε • (P.symm.Λ s + (1 / s) • P.g₀ + (P.ε⁻¹ / (↑P.k - s)) • P.f₀)
⊢ P.Λ (↑P.k - s) = P.ε • P.symm.Λ s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x z : M
f g : M → E'
f' g' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
hf : MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') (-f) z
⊢ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') f z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
self : X ≅ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.inv self.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y
this✝¹ : Irrational √↑5
this✝ : Irrational (↑1 + √↑5)
this : Irrational (↑0.5 * (↑1 + √↑5))
⊢ Irrational φ
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
AddCommMonoid S
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
Module R S
f' : P →ₗ[R] S
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ LinearMap.rTensor Q f' ∘ₗ TensorProduct.map f g = TensorProduct.map (f' ∘ₗ f) g
X : Type u_3
E : Type u_1
A : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace A
p : E → X
sep : IsSeparatedMap p
inj : IsLocallyInjective p
g : A → E
PreconnectedSpace A
cont : Continuous g
he : ∀ (a a' : A), p (g a) = p (g a')
a a' : A
⊢ g a = g a'
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) := fun p => ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b => ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p => F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p => F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
⊢ dist ↑⟨p, pt⟩ ↑⟨q, qt⟩ < δ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
p : ℝ≥0∞
hμs : p < μ s
s_mble : MeasurableSet s
⊢ μ sᶜ < 1 - p
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
φ : L.Equiv M N
c : L.Constants
⊢ φ ↑c = ↑c
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Sup β
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
a : α
⊢ ↑(f ⊔ g) a = ↑f a ⊔ ↑g a