ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u
β : ι → Type v
κ : Type u_1
(i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
⊢ DFinsupp.comapDomain' h hh' 0 = 0
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a ^ Order.succ b = a ^ b * a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ ∀ (i' : Set X), IsLindelof i' → ∃ i, IsLindelof i ∧ f ⁻¹' iᶜ ⊆ i'ᶜ
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x : P
y : P
hy : y ∈ s
⊢ s.WOppSide x y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁹ : UniformSpace α
inst✝⁸ : Group α
inst✝⁷ : UniformGroup α
inst✝⁶ : Group β
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Group γ
inst✝⁴ : UniformSpace γ
inst✝³ : UniformGroup γ
inst✝² : UniformSpace β
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : MonoidHomClass F β γ
f : F
hf : UniformInducing ⇑f
⊢ UniformContinuous fun x => f x.1 / f x.2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : S →₀ S
this : ((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ∘ₗ Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) x = (kerTotal R S).mkQ x
⊢ __src✝.toFun ((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ((Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) x)) = (Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ s : Seq α
⊢ match omap (corec fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (match (nil, s).1.destruct with | none => match (nil, s).2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', (nil, s).2)), s.destruct with | none, none => True | some (a, s), some (a', s') => a = a' ∧ ∃ s_1, s = corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (nil, s_1) ∧ s' = s_1 | x, x_1 => False
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
⊢ IsNilpotent K ↥(engel K x)
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasColimit (pair Y Z)
inst✝ : HasColimit (parallelPair (f ≫ coprod.inl) (g ≫ coprod.inr))
ι₁ : Y ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inl
ι₂ : Z ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inr
c : Y ⨿ Z ⟶ coequalizer (f ≫ ι₁) (g ≫ ι₂) := coequalizer.π (f ≫ ι₁) (g ≫ ι₂)
s : PushoutCocone f g
⊢ f ≫ (BinaryCofan.mk (s.ι.app WalkingSpan.left) (s.ι.app WalkingSpan.right)).ι.app { as := WalkingPair.left } = g ≫ (BinaryCofan.mk (s.ι.app WalkingSpan.left) (s.ι.app WalkingSpan.right)).ι.app { as := WalkingPair.right }
α : Type u_1
l : List α
⊢ (toList ⟨l, ⋯⟩).Nodup ↔ Function.Injective (get ⟨l, ⋯⟩)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
U : TopCat
X : Scheme
f : U ⟶ TopCat.of ↑↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f
V : X.Opens
W : (X.restrict h).Opens
e : W ≤ X.ofRestrict h ⁻¹ᵁ V
⊢ X.ofRestrict h ''ᵁ unop (op W) ≤ V
K : Type u_1
Field K
NumberField K
f : NumberField.InfinitePlace K → NNReal
I : (FractionalIdeal (nonZeroDivisors (NumberField.RingOfIntegers K)) K)ˣ
w₀ : { w // w.IsComplex }
h :
  NumberField.mixedEmbedding.minkowskiBound K I <
    MeasureTheory.volume (NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLT' K f w₀)
⊢ ∃ a ∈ ↑I,
  a ≠ 0 ∧
    (∀ (w : NumberField.InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w a < ↑(f w)) ∧
      |((↑w₀).embedding a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
⊢ ∀ (e : Sym2 α), e ∈ fromRel ⋯
F : Type u_1
L : Type u_3
Field F
Field L
Algebra F L
Normal F L
K : IntermediateField F L
⊢ Normal F ↥K ↔ normalClosure F (↥K) L = K
F : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
AddMonoid M₁
AddMonoid M₂
FunLike F M₁ M₂
AddMonoidHomClass F M₁ M₂
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ AddMonoid.exponent M₂ ∣ AddMonoid.exponent M₁
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Matrix V V α
inst✝¹ : MulZeroOneClass α
inst✝ : Nontrivial α
h : A.IsAdjMatrix
i j : V
hij : (fun i j => A i j = 1) i j
⊢ A j i = 1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
Y : Type u_4
TopologicalSpace Y
f : Y → Path x y
g : Y → ↑I
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun y_1 => (f y_1) (g y_1)
α : Type u_1
s t : Set α
h : s.encard = t.encard
⊢ s.Finite ↔ t.Finite
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y✝ : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : P.obj (op X)
f : P ⟶ Q
h : x.IsAmalgamation t
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : R g
⊢ (f.app (op X) ≫ Q.map g.op) t = f.app (op Y) (x g hg)
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ Q (-x) = Q x
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
a₁ a₂ : A
⊢ (a₁ * a₂) ᵍ⊗ₜ[R] 1 = a₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1 * a₂ ᵍ⊗ₜ[R] 1
K : Type u
Field K
p q : K[X]
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).denom ∣ q
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
ht : 1 ∈ Set.Icc 0 1
hyx : (lineMap x z) 1 ≠ x
hyz : (lineMap x z) 1 ≠ z
⊢ (lineMap x z) 1 ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
hl : 1 < l.length
⊢ l.formPerm (l.nthLe 0 ⋯) = l.nthLe 1 hl
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
y : ℤ
h : x = ↑y ∧ y * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n
⊢ -(↑n * 2) < x.valMinAbs * 2 - y * 2 ∧ x.valMinAbs * 2 - y * 2 < ↑n * 2
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
h : G.Adj u v
⊢ G.singletonSubgraph u ≤ G.subgraphOfAdj h
α : Type u_1
l₁ l₂ : Lists' α true
⊢ l₁ ⊆ l₂ ↔ ∀ a ∈ l₁.toList, a ∈ l₂
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
Field F
Field E
Field K
Algebra F E
Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Polynomial.Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
hS : IntermediateField.adjoin F S = ⊤
x : E
y : K
hy : (Polynomial.aeval y) (minpoly F x) = 0
⊢ ∃ φ, φ x = y
d n : ℕ
h : d ∣ n
⊢ (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization
R : Type u_1
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
p : Polynomial R
s : Set R
a : R
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => Polynomial.eval x p) s a
α : Type u
S : Stream'.WSeq (Stream'.WSeq α)
⊢ S.think.join = S.join.think
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
CommSemiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ ((MvPolynomial.map f) p).vars = p.vars
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hm : 0 < m
hmn : n.Coprime m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A n δ
b : A
hab : a ∈ ball b δ
hb : b ^ m ∈ {u | orderOf u = n}
⊢ (fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)
S : ShortComplex Ab
x : ↑S.X₁
⊢ 0 x = 0
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
⊢ (ofNatCode (n + 4)).encodeCode = n + 4
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
a : M
hs : IsSubmonoid s
h : a ∈ s
n : ℕ
⊢ a ^ n * a ∈ s
z w : ℂ
⊢ (z + w).im = z.im + w.im
C : Type w
CategoryTheory.Category.{v, w} C
X Y Z : Condensed C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g).val = f.val ≫ g.val
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ω : Ω
hω₁ : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hω₂ : ∀ (i : ℕ), |predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
this : |f (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - (f i ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| = |f (i + 1) ω - f i ω - (predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω)|
⊢ |f (i + 1) ω - f i ω - (predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| ≤ ↑(R + R)
α : Type u_1
M : Type u_4
MulOneClass M
s : Set α
f : α → M
⊢ s.mulIndicator f * sᶜ.mulIndicator f = f
n m : Nat
h : n * m ≠ 0
⊢ n ≠ 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hf : Adapted ℱ f
hab : a < b
this : upcrossingsBefore a b f N = fun ω => ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i
⊢ Measurable fun ω => ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝³ : LocallyCompactSpace H
this✝² : LocallyCompactSpace M
this✝¹ : SecondCountableTopology H
this✝ : SecondCountableTopology M
this : MetrizableSpace M
x✝ : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, f x = 0
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ F.map₂ (λ_ f).hom = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) (𝟙 a) f).hom ≫ (F'.mapIdIso a).hom ▷ F.map f ≫ (λ_ (F.map f)).hom
x : ℝ≥0
⊢ NNReal.sqrt x ^ 2 = x
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
ExistsAddOfLE α
PosMulStrictMono α
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
ha : a < 0
b c : α
⊢ cmp (a * b) (a * c) = cmp c b
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u_3
Field K
Algebra F K
ι : Sort u_4
f : E →ₐ[F] K
s : ι → IntermediateField F E
⊢ IntermediateField.map f (iSup s) = ⨆ i, IntermediateField.map f (s i)
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : IsFiniteMeasure κ
dμκ_finite : levyProkhorovEDist μ κ ≠ ⊤
⊢ levyProkhorovDist μ κ ≤ levyProkhorovDist μ ν + levyProkhorovDist ν κ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ ⇑(Homeomorph.prodPUnit X) = fun p => p.1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
⊢ smulRight 1 (deriv f x) = fderiv 𝕜 f x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
CompactSpace Y
CompactSpace X
⊢ Function.Surjective fun I => I.sup fun i => i.1 ×ˢ i.2
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ
this : ↑(u * u⁻¹) = 1
⊢ ↑((↑u).val * (↑u⁻¹).val) = ↑(u * u⁻¹)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : Module.End R R
⊢ f (f 1) = f 1 ↔ ∀ (x : R), (f * f) x = f x
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace β
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
H : ∀ (x₀ : α), ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ↑A), dist (↑i x) (↑i x') < ε
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
εε₁ : ε₁ < ε
ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2
ε₂0 : ε₂ > 0
U : α → Set α
hU : ∀ (x : α), x ∈ U x ∧ IsOpen (U x) ∧ ∀ y ∈ U x, ∀ z ∈ U x, ∀ {f : α →ᵇ β}, f ∈ A → dist (f y) (f z) < ε₂
tα : Set α
left✝¹ : tα ⊆ univ
hfin✝ : tα.Finite
htα : univ ⊆ ⋃ x ∈ tα, U x
val✝¹ : Fintype ↑tα
tβ : Set β
left✝ : tβ ⊆ univ
hfin : tβ.Finite
htβ : univ ⊆ ⋃ y ∈ tβ, ball y ε₂
val✝ : Fintype ↑tβ
⊢ ∃ β_1 x F, ∀ (x y : ↑A), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
n : ℕ
hn₀ : n > 0
⊢ (∃ a b, n = a ^ 2 * b ∧ IsSquare (-1)) ↔ ∀ {q : ℕ}, Prime q → q % 4 = 3 → Even (padicValNat q n)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : Tendsto (Box.lower ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.lower)
hJu : Tendsto (Box.upper ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.upper)
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork (f - g)
i : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
s : CategoryTheory.Limits.Fork f g
⊢ (CategoryTheory.Preadditive.isLimitForkOfKernelFork i).lift s = i.lift (CategoryTheory.Preadditive.kernelForkOfFork s)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ EuclideanGeometry.orthogonalProjectionFn s p = ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p)
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
⊢ (RingHom.fst (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientMulEquivQuotientProd J coprime) = Ideal.Quotient.factor (I * J) I ⋯
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S : Set (NonUnitalSubalgebra R A)
⊢ (sInf S).toNonUnitalSubsemiring = sInf (NonUnitalSubalgebra.toNonUnitalSubsemiring '' S)
D : GlueData
i₁ i₂ : D.J
x✝ : (fun x x => PUnit.{u + 1}) i₁ i₂
⊢ (fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂) i₁ i₂ x✝ ≫ D.ι i₁ = (fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁) i₁ i₂ x✝ ≫ D.ι i₂
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
m' : ℤ
⊢ (if Even m' then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (m' / 2) = (if Even (↑(M.M i i') * 2 - m') then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - m') / 2)
α : Type u
L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.Red.Step L₁ L₃ →
  FreeGroup.Red.Step L₂ L₄ → L₁ = L₂ → L₃ = L₄ ∨ ∃ L₅, FreeGroup.Red.Step L₃ L₅ ∧ FreeGroup.Red.Step L₄ L₅
α : Type u_1
r : α → α → Prop
h : Pairwise r
s : Set α
⊢ s.Pairwise r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Unique ι
⊢ ∀ x ∈ stdSimplex 𝕜 ι, x = fun x => 1
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ a ∈ s ∪ t ↔ a ∈ s ∨ a ∈ t
G : Type u_1
Add G
a : G
f : AddConstMap G G a a
n : ℕ
⊢ ⇑(f ^ n) = (⇑f)^[n]
X : Type u_1
TopologicalSpace X
BaireSpace X
T : Set (Set X)
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
hc : T.Countable
hc' : ∀ t ∈ T, IsClosed t
hU : s ⊆ ⋃₀ T
⊢ Dense (⋃ t ∈ T, interior t)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
OrderedSemiring 𝕜
(i : ι) → AddCommMonoid (π i)
(i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : Set ι
x y : (i : ι) → π i
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ s.pi fun i => [x i-[𝕜]y i]
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
⊢ ∃ t, (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ (∀ (i : ι), μ (t i) = 0) ∧ Pairwise (Disjoint on fun i => s i \ t i)
R : Type u
Ring R
⊢ StrictMono fun s => s.toSubmonoid
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j}
⊢ MeasurableSet {ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j}
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s t : Localization.Away f
h_eq : (toBasicOpen R f) s = (toBasicOpen R f) t
⊢ s = t
n : ℤ
help : ∀ (m : ℤ), 0 ≤ m → m < 8 → χ₈' ↑m = if m % 2 = 0 then 0 else if m = 1 ∨ m = 3 then 1 else -1
⊢ χ₈' ↑n = if n % 2 = 0 then 0 else if n % 8 = 1 ∨ n % 8 = 3 then 1 else -1
s : Set ℤ
h1 : s.Nonempty
h2 : BddAbove s
⊢ sSup s = ↑((Classical.choose h2).greatestOfBdd ⋯ h1)
f : ℕ → ℕ
hf : StrictMono f
m n : ℕ
⊢ m + f n ≤ f (m + n)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s✝ t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
n : ℕ
⊢ (f⁻¹ ^ (n + 1)) a = a ↔ ↑s.card ∣ Int.negSucc n
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddBelow s
⊢ sInf s = sInf ∅
R : Type u_1
CommRing R
Invertible 2
⊢ Polynomial.C ⅟2 * 2 = 1
M : Type u_1
Monoid M
n : M
P : Submonoid M
⊢ Submonoid.powers n ≤ P ↔ n ∈ P
F : Type u_1
NormedField F
n : ℕ
χ : DirichletCharacter F n
a : (ZMod n)ˣ
⊢ ‖χ ↑a‖ = 1
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0
this : p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ p * C p.leadingCoeff⁻¹ = minpoly A x
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ ↑(Icc a b * Ico c d) ⊆ ↑(Ico (a * c) (b * d))
x y : ℝ≥0∞
x_real : 0 < x.toReal
⊢ (x * y).log = x.log + y.log
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
g : G
X : LeftInvariantDerivation I G
f : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
⊢ (X f).comp (𝑳 I g) = X (f.comp (𝑳 I g))
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : Tendsto (Box.lower ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.lower)
hJu : Tendsto (Box.upper ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.upper)
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atBot ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atTop
R : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a
⊢ 1 + ↑(n + 2) * a + (↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a) = (1 + a) * (1 + a) * (1 + ↑n * a)
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_succ_diff : SuccDiffBounded 2 fun x => 2 ^ x
x✝ : ℕ
⊢ 2 ^ x✝ = ↑(2 ^ (x✝ + 1)) - ↑(2 ^ x✝)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
⊢ (↑(AffineSubspace.mk' p direction)).Nonempty
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E
e : α
heI : e ∉ I
heB'' : e ∉ B''
heE : e ∈ M.E
⊢ e ∈ X ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint (insert e I) B
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, b ≤ c → b ∈ t
⊢ upperClosure t ⊓ s.sdiff t = s
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∉ s
h₁ : f a = 1
⊢ (∑ x ∈ s, f x + 1) * (∑ x ∈ s, f x)! / ∏ x ∈ s, (f x)! = (s.sum f).succ * ((∑ x ∈ s, f x)! / ∏ x ∈ s, (f x)!)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
F.PreservesZeroMorphisms
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
⊢ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).X i₁).X i₂ = (F.obj (K₁.X i₁)).obj (K₂.X i₂)
x y : ℝ
⊢ AntitoneOn (fun x => log x / x) {x | rexp 1 ≤ x}
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
q : ℕ
hqa : q ∈ a.primeFactorsList
hqb : q ∈ b.primeFactorsList
⊢ Prime q
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
R : Type u_6
CommSemiring R
Semiring Y
Algebra R Y
x : X
⊢ ∀ (a : LocallyConstant X Y), (LocallyConstant.evalₐ R x) a = a x
R L : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
x : L
p : { x_1 // x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0 } := Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯
⊢ x ∈ (↑p).aroots L
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepSets m' hm' s μ
hST : Disjoint S T
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' (piiUnionInter s S) (piiUnionInter s T) μ
R : Type u
CommRing R
S : Type u
CommRing S
f : R →+* S
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
V : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top S)
hUV : V.carrier ⊆ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) ⁻¹' U.carrier
a b : R
hb : ∀ x ∈ U, b ∈ x.asIdeal.primeCompl
⊢ (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.comap f U V hUV) (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R a b U hb) =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const S (f a) (f b) V ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v, u'} D
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
CategoryTheory.WellPowered Cᵒᵖ
𝒢 : Set C
Small.{v, u} ↑𝒢
h𝒢 : CategoryTheory.IsSeparating 𝒢
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.PreservesColimits F
⊢ F.IsLeftAdjoint
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
⊢ ‖q.compAlongComposition p c‖ ≤ ‖q c.length‖ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖