ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : SeparatingDual R V
inst✝ : T2Space R
⊢ T2Space V
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
μ : Measure G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K₀ : PositiveCompacts G
A : (interior (closure ↑K₀)).Nonempty
this : μ = (μ (closure ↑K₀) / (haarMeasure K₀) (closure ↑K₀)) • haarMeasure K₀
⊢ μ = μ ↑K₀ • haarMeasure K₀
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
f : α → β
x✝ y x : FreeGroup α
L : List (α × Bool)
⊢ (map _root_.id) (Quot.mk Red.Step L) = Quot.mk Red.Step L
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
⊢ ∀ (i i_1 : ℚ), i < i_1 → ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, upcrossings (↑i) (↑i_1) f x < ⊤
x✝¹ y x : ℝ
x✝ : x ∈ univ
⊢ log (-rexp x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Neg β
ContinuousNeg β
f : C(α, β)
x : α
⊢ (-f) x = -f x
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ ↑⊤ = Set.univ
n : ℕ
⊢ n.centralBinom = (2 * n).choose n
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ‖f‖ = sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖}
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
N₁ : Type u_4
G₁ : Type u_5
Group N₁
Group G₁
φ₁ : G₁ →* MulAut N₁
f₁ : N →* N₁
f₂ : G →* G₁
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (φ₁ (f₂ g))).comp f₁
⊢ (SemidirectProduct.map f₁ f₂ h).comp SemidirectProduct.inl = SemidirectProduct.inl.comp f₁
R : Type u_1
CommRing R
c₁ c₂ : R
v : R × R
⊢ (CliffordAlgebraQuaternion.Q c₁ c₂) v = c₁ * (v.1 * v.1) + c₂ * (v.2 * v.2)
J : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat
inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)
inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)
j : J
⊢ limMap (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯).inv ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U))).inv ≫ (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).hom.c.app (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U)) ≫ (colimit.ι F j).c.app (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).hom.base).obj ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U))) ≫ ((pushforward C (colimit.ι F j).base).obj (F.obj j).presheaf).map (eqToHom ⋯) = limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
n : ℕ
f : ι → M₀
hn : n ≠ 0
x✝ : ι
⊢ (x✝ ∈ support fun a => f a ^ n) ↔ x✝ ∈ support f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
Module 𝕜 β
BoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
g : α → β
g_aestronglyMeasurable : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => f x • g x) μ
C : Type u
X : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
⊢ ⟦CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.Hom.ρ_inv X⟧ = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * 2⁻¹ ^ n
⊢ C * 2⁻¹ ^ n * 2 = C * 2⁻¹ ^ n / (1 - 2⁻¹)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
x : E
h : Filter.Tendsto (fun r => μ (s ∩ Metric.closedBall x r) / μ (Metric.closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h''t : μ t ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
⊢ (isoSheafify J hP).inv = sheafifyLift J (𝟙 P) hP
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
Zero β
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ∀ x ∈ tsupport f, ContinuousAt f x
⊢ Continuous f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℂ n f s
⊢ ContDiffOn ℂ n (fun x => Complex.sinh (f x)) s
a b : Prop
⊢ (a ∧ b ↔ a) ↔ a → b
θ ψ : Real.Angle
h : θ.sign = ψ.sign
⊢ θ = ψ ↔ |θ.toReal| = |ψ.toReal|
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y✝ : (i : δ) → π i
i : δ
x y : (i : δ) → π i
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
h : ∀ i ∉ s, x i = y i
⊢ (∫⁻ (y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i), f fun i => if hi : i ∈ s then y ⟨i, hi⟩ else x i ∂Measure.pi fun i => μ ↑i) = ∫⁻ (y_1 : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i), f fun i => if hi : i ∈ s then y_1 ⟨i, hi⟩ else y i ∂Measure.pi fun i => μ ↑i
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
E : Set α
x : α
h : x ∉ closure E
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
δ : ℝ
hδ : δ < ε
⊢ ENNReal.ofReal δ < infEdist x E
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ C X * (C W.preΨ₄ * W.ψ₂) ^ 2 - (C W.preΨ₄ * W.ψ₂ * W.ψ₂ ^ 3 - 1 * C W.Ψ₃ ^ 3) * C W.Ψ₃ = C X * C W.preΨ₄ ^ 2 * W.ψ₂ ^ 2 - C W.preΨ₄ * W.ψ₂ ^ 4 * C W.Ψ₃ + C W.Ψ₃ ^ 4
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
MeasurableSingletonClass Ω
s t : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
ht : s ⊆ t
⊢ (ProbabilityTheory.condCount s) t = 1
K : Type u_1
Field K
nf : NumberField K
⊢ Algebra.IsAlgebraic ℚ K
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddGroup α
InvolutiveNeg β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℤ
⊢ Function.Antiperiodic f ((2 * n + 1) • c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.cosimplicialSimplicialEquiv C).inverse.obj F = Opposite.op F.unop
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : AList β
⊢ (AList.erase a s).keys = s.keys.erase a
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
ha : IsMax a
h : a ≤ b
⊢ a = b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
⊢ AffineIndependent k (p ∘ ⇑e) → AffineIndependent k p
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
p : α → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
h₀ : abs ⟨a, f⟩ = x
h₁ : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
⊢ abs ((P F).map Subtype.val ⟨a, fun i => ⟨f i, ⋯⟩⟩) = abs ⟨a, f⟩
x y : ℝ
⊢ ↑(cos (2 * x)) = ↑(2 * cos x ^ 2 - 1)
m n : ℕ
⊢ Even (m / n) ↔ m % (2 * n) / n = 0
x y : SetTheory.PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
⊢ x < y ∨ x ≈ y ∨ y < x
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
e : f ≅ g
⊢ e.inv.right ≫ e.hom.right = 𝟙 g.right
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
S : Type u_1
CommRing S
f : R →+* S
⊢ (WeierstrassCurve.map W' f).toJacobian.polynomialX = (MvPolynomial.map f) W'.polynomialX
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
⊢ IsOpen (range inr)
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
⊢ Continuous ⇑(WithLp.equiv p (α × β))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
hN : IsAtom N
h : ⁅I, N⁆ ≠ ⊥
⊢ ⁅I, N⁆ = N
⊢ Filter.comap (⇑Complex.abs) (nhds 0) = nhds 0
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
M : ℝ
hM : 1 < M
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
g : ℂ → ℂ := fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
B₁ : ℕ
hB₁ : ∀ n ≥ B₁, ‖∑ i ∈ range n, f i - l‖ < ε / 4 / M
F : ℝ := ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖
z : ℂ
zn : ‖z‖ < 1
zm : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)
zd : ‖z - 1‖ < ε / 4 / (F + 1)
B₂ : ℕ
hB₂ : ‖l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n - (1 - z) * ∑ i ∈ range (max B₁ B₂), (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i‖ < ε / 2
⊢ ‖(1 - z) * ∑ i ∈ range (max B₁ B₂), (l - s (i + 1)) * z ^ i‖ < ε / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
g : α → β
hg : MeasureTheory.MeasurePreserving g μ ν
hge : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
s : Set β
⊢ ∫⁻ (a : α) in g ⁻¹' s, f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β) in s, f b ∂ν
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : ∀ (b : Pseudoelement S.X₂), pseudoApply S.g b = 0 → ∃ a, pseudoApply S.f a = b
this : pseudoApply S.g (Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))) = 0
⊢ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ Quot.mk Setoid.r I = mk I
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0
⊢ ↑(p * q) = ↑p * ↑q
x y : SetTheory.PGame
⊢ x ≈ y ↔ y ≈ x
A : Type u_1
M : Type u_2
AddMonoid A
CommMonoid M
ψ : AddChar A M
n : ℕ
a : A
⊢ (ψ ^ n) a = ψ a ^ n
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
f : Y → Z
x : Y
h : x ∈ e.target
⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (f ∘ ↑e) (↑e.symm x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f✝ f : X → Y
hf : Continuous f
U Z : Set Y
hU : IsOpen U
hZ : IsClosed Z
⊢ IsLocallyClosed (f ⁻¹' (U ∩ Z))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
t₁ t₂ : ℝ
⊢ IntervalIntegrable f.vComp MeasureTheory.volume t₁ t₂
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ Filter.comap SeparationQuotient.mk (𝓝ˢ (SeparationQuotient.mk '' s)) = 𝓝ˢ s
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
Zero N
f g : α →₀ N
⊢ f.neLocus g = ∅ ↔ f = g
α : Type u_1
A : Type u_3
AddGroup A
Group α
DistribMulAction α A
a : α
S : AddSubgroup A
x : A
⊢ a • x ∈ a • S ↔ x ∈ S
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i j k : ι
K : HomologicalComplex C c
⊢ ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor' C c i j k).obj K).X₃ = K.X k
n : ℕ
x✝ : Decidable (↑n).Dom
⊢ (↑n).toWithTop = (↑n).toWithTop
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
hf : f.IsSemisimple
μ : R
k : ℕ
hk : 0 < k
⊢ (f.genEigenspace μ) k = f.eigenspace μ
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : closure s ⊆ interior s
⊢ closure s = s ∧ interior s = s
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
x y : ↥S
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
⊢ HasStrictFDerivAt (fun f => f i) (proj i) f
α : Type u_1
Inv α
Small.{u_2, u_1} α
x : α
⊢ (equivShrink α) x⁻¹ = ((equivShrink α) x)⁻¹
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
⊢ (↑k.succ ^ 2)⁻¹ + ∑ k ∈ Ico (k.succ + 1) (max (k + 1) n).succ, (↑k ^ 2)⁻¹ ≤ ((↑k + 1) ^ 2)⁻¹ + ∑ i ∈ Ioc k.succ (max (k + 1) n), (↑i ^ 2)⁻¹
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
⊢ WithSeminorms p ↔ 𝓝 0 = AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₁ c x ε) → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
δ₂ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₂ c x ε) → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
⊢ ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ Metric.closedBall (g I) ε
x y : ℝ
⊢ x.cauchy = y.cauchy → x = y
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
Module R M
Module S M
SMulCommClass R S M
x : M
⊢ (LinearMap.ringLmapEquivSelf R S M).symm x = LinearMap.smulRight 1 x
R : Type u
CommRing R
ι : Type u_1
f : ι → R[X]
s : Finset ι
⊢ (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → IsCoprime (f x) (f y)) → (∀ x ∈ s, (f x).Separable) → (∏ x ∈ s, f x).Separable
R : Type u
⊢ Function.Injective (@AddCommMonoidWithOne.toAddMonoidWithOne R)
α : Type u_1
r s : Setoid α
⊢ r ⊔ s = EqvGen.Setoid (r.Rel ⊔ s.Rel)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : α → Fin n
⊢ (Primrec fun a => ↑(f a)) ↔ Primrec f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
t : ℝ
⊢ ‖f.vComp t‖ ≤ ↑v.C
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
IinS : ↑I ∈ S
⊢ ∃ J, J.IsPrime ∧ I ≤ J ∧ Disjoint ↑F ↑J
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
p : Submodule R N
h : ∀ (v : ι → M), f v ∈ p
v : ι → M
⊢ ↑((f.codRestrict p h) v) = f v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
h : b ∈ f.fix a
h' : b ∈ f.fix a'
fa : Sum.inr a' ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
⊢ (fun x e => Sum.casesOn (motive := fun y => (f a).get ⋯ = y → C a) x (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a a'' ⋯ e ((fun a' h' => fixInduction ⋯ fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → C a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯) a'' e)) ⋯ = hind a a' h' fa (fixInduction h' fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → (fun x => C x) a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯)) (Sum.inr a') ⋯
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i j : ℕ
h2 : ¬m + m < j
h1 : j ≤ m
⊢ (proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j) ∈ 𝒜 (m * i)
F : Type u
inst✝³ : Field F
K : Type v
inst✝² : Field K
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Nontrivial S
f : F →+* S
p : F[X]
H : (map f p).Separable
⊢ p.Separable
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ μ.toSignedMeasure.toMeasureOfZeroLE univ ⋯ ⋯ = μ
M : Type u_1
Mul M
Std.IdempotentOp fun x x_1 => x * x_1
a : M
⊢ IsIdempotentElem a
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
⊢ (ChainComplex.mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} => succ').d 1 0 = d₀
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : Center C
⊢ (𝟙 (𝟙_ (Center C) ⊗ X)).f = 𝟙 (𝟙_ (Center C) ⊗ X).fst
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
l : List (Perm α)
x : α
hx : ∀ f ∈ l, f x = x
⊢ l.prod x = x
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Filter α
s : Set α
a✝ : α
m : α → β
f : Filter β
a : α
⊢ a ∈ (comap m f).ker ↔ a ∈ m ⁻¹' f.ker
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
⊢ (M.map f hf)✶ = M✶.map f hf
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
r' : α → α → Prop
hr : r' ≤ r
h : Set.Unbounded r s
⊢ Set.Unbounded r' s
V : Type u
G : SimpleGraph V
h : G.chromaticNumber ≠ ⊤
⊢ G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
p : Polynomial R
x : R
f : R →+* S
h : f p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ Polynomial.map f (p.scaleRoots x) = (Polynomial.map f p).scaleRoots (f x)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
ι : Sort u_2
S : ι → NonUnitalSubalgebra R A
⊢ (⨅ i, S i).toSubmodule = ⨅ i, (S i).toSubmodule
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p q✝ : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K
q : ℚ
⊢ ↑|q| = |↑q|
F : Type u_1
inst✝ : NormedField F
n : ℕ
χ : DirichletCharacter F n
a : (ZMod n)ˣ
⊢ ‖χ ↑a‖ = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => G.obj (f j)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Discrete.functor f) G
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesProduct.iso G f).hom = CategoryTheory.Limits.piComparison G f
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ ∃ a' b', a' ^ 3 + b' ^ 3 = ↑S'.u * S'.c ^ 3 ∧ IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ λ ^ 2 ∣ a' + b'
n : ℕ
⊢ Nat.fib n = 0 ↔ n = 0
K : Type u₁
Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
CommRing O
Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
⊢ ModP.preVal K v O hv p 0 = 0
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑(hC.diffFinset hs ht)
⊢ u ⊆ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset hs ht)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.castSucc) (Ei (last n) →L[𝕜] G)
m : (i : Fin n) → Ei i.castSucc
x : Ei (last n)
⊢ (f.uncurryRight.curryRight m) x = (f m) x
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X
x✝ : Set ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ x✝ ∈ SetLike.coe '' Set.range X.basicOpen ↔ x✝ ∈ Set.preimage ⇑(TopCat.homeoOfIso (Scheme.forgetToTop.mapIso X.isoSpec)) '' (SetLike.coe '' Set.range PrimeSpectrum.basicOpen)
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
pprime : Nat.Prime p
⊢ f ↑p = ↑p ^ logb (↑p) (f ↑p)
α : Type u_5
MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_6
L : Filter ι
As : ι → Set α
L.IsCountablyGenerated
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
A_mble : MeasurableSet A
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ Filter.Tendsto (fun i => μ (As i)) L (𝓝 (μ A))
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
a : α
⊢ a∗∗ = a∗
a b c : ℕ
h : a * b ∣ c
⊢ b ∣ c / a
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
S : Type u_10
Monoid S
DistribMulAction S N
SMulCommClass R S N
c : S
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
⊢ ⇑(c • f) = c • ⇑f
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
m' : MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep m' ⊥ κ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs ys : List α
h✝ : xs <+ ys
n : ℕ
l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
h : l₁✝ <+ l₂✝
⊢ List.sym (n + 1) l₁✝ <+ List.sym (n + 1) l₂✝
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
⊢ a / 2 ≤ a ↔ 0 ≤ a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
ι : Type u_6
Fintype ι
M : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
H : Type u_8
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H
c' : E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H
hc : HasFDerivAt c c' x
u : (i : ι) → M i
⊢ HasFDerivAt (fun y => (c y) u) (c'.flipMultilinear u) x
a b r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ a ≤ b / r ↔ r * a ≤ b
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
h : e.source = univ
h' : e.target = univ
x : X
⊢ x ∈ univ
X Y : Type u
f : X ⟶ Y
x : X
y : Y
⊢ CategoryTheory.RelCat.graphFunctor.map f x y ↔ f x = y
x : ℂ
⊢ sin (↑π / 2 - x) = cos x
a b : Cardinal.{u_1}
⊢ a + b ≤ max (max a b) ℵ₀
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
⊢ Function.Injective ⇑(unitSphereToUnits 𝕜)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
μ : Measure δ
s : Set ι
f : ι → δ → α
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
g : ι → δ → α := fun i => if hi : i ∈ s then AEMeasurable.mk (f i) ⋯ else fun _b => sSup ∅
this✝ : ∀ i ∈ s, Measurable (g i)
this : ∀ i ∈ s, ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, f i b = g i b
b : δ
hb : ∀ i ∈ s, f i b = g i b
⊢ ⨆ i ∈ s, f i b = ⨆ i ∈ s, g i b
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Module R M
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
m : M
⊢ h.equiv.symm (f m) = 1 ⊗ₜ[R] m