ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g g' : F[X]
m m' : ℕ
h_expand : (expand F (q ^ m)) g = (expand F (q ^ m')) g'
hg : g.Separable
hg' : g'.Separable
hm : m ≤ m'
⊢ g.natDegree = g'.natDegree
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)
(x : M) → AddCommGroup (V x)
(x : M) → Module 𝕜 (V x)
(x : M) → TopologicalSpace (V x)
FiberBundle F V
VectorBundle 𝕜 F V
⊢ ⇑0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
n : ℕ
ih : Nat.Subtype.toFunAux (ofNat s n) = n
h₁ : ↑(ofNat s n) ∉ filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s n))
h₂ : filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(succ (ofNat s n))) = insert (↑(ofNat s n)) (filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s n)))
⊢ Nat.Subtype.toFunAux (ofNat s (n + 1)) = n + 1
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ (𝓝 1).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {y | ‖y‖ < ε}
ι : Type u_1
α : Type u_3
CommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ Additive.ofMul (∏ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, Additive.ofMul (f i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
C₀ C₁ C₂ : Set X
h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z
f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁
hf : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f₁ ⟨x, ⋯⟩ = f₂ ⟨x, ⋯⟩
x : ↑C₀
hx : ↑x ∈ C₁
this : (j : ↑C₀) → Decidable (j ∈ Subtype.val ⁻¹' C₁) := fun j => decidable_of_iff (↑j ∈ C₁) ⋯
⊢ (comap { toFun := C₁.restrictPreimage Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ } f₁) ⟨x, hx⟩ = f₁ ⟨↑x, hx⟩
α : Type u_1
S : Set (Set α)
h : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c → ∃ lb ∈ S, ∀ s ∈ c, lb ⊆ s
⊢ ∃ m ∈ S, ∀ a ∈ S, a ⊆ m → a = m
z : ℤ
⊢ ↑z = { val := ↑z }
m n : ℕ
⊢ m + n ≤ Nat.pair m n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Filter β
⊢ (⨅ i, f i).prod g = ⨅ i, (f i).prod g
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
m n : ZNum
⊢ ¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
s : Finset α
⊢ ∑ x ∈ s, {x} = s.val
α✝ : Sort ?u.57203
inst✝ : DecidableEq α✝
α : Type u_1
x : α
l : List α
n : Nat
h : n ≤ l.length
⊢ insertNth n x l ~ x :: l
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
φ φ' : B → F ≃L[𝕜] F
U U' : Set B
hU : IsOpen U
hφ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x)) U
h2φ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x).symm) U
hU' : IsOpen U'
hφ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x)) U'
h2φ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x).symm) U'
⊢ ({ toFun := fun x => (x.1, (φ x.1) x.2), invFun := fun x => (x.1, (φ x.1).symm x.2), source := U ×ˢ univ, target := U ×ˢ univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯, open_source := ⋯, open_target := ⋯, continuousOn_toFun := ⋯, continuousOn_invFun := ⋯ } ≫ₕ { toFun := fun x => (x.1, (φ' x.1) x.2), invFun := fun x => (x.1, (φ' x.1).symm x.2), source := U' ×ˢ univ, target := U' ×ˢ univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯, open_source := ⋯, open_target := ⋯, continuousOn_toFun := ⋯, continuousOn_invFun := ⋯ }).source = (U ∩ U') ×ˢ univ
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT₀ : T.mor₃ = 0
inr : T.obj₃ ⟶ T.obj₂
inr_snd : inr ≫ T.mor₂ = 𝟙 T.obj₃
fst : T.obj₂ ⟶ T.obj₁
total : fst ≫ T.mor₁ + T.mor₂ ≫ inr = 𝟙 T.obj₂
this : Mono T.mor₁
eq : fst ≫ T.mor₁ = 𝟙 T.obj₂ - T.mor₂ ≫ inr
⊢ BinaryBiproductData T.obj₁ T.obj₃
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SL(2, R)
i✝ j✝ : Fin 2
this : (↑A).adjugate = !![↑A 1 1, -↑A 0 1; -↑A 1 0, ↑A 0 0]
⊢ !![↑A 1 1, -↑A 0 1; -↑A 1 0, ↑A 0 0] i✝ j✝ = ↑⟨![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]], ⋯⟩ i✝ j✝
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
s : Set ℝ≥0
hs : ¬BddAbove (toReal '' s)
⊢ sSup (toReal '' s) = 0
M : Type u_4
N : Type u_5
One M
One N
x : M
⊢ 1 x = 1
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
h : x ≠ y
f : V →L[R] R
hf : f (x - y) ≠ 0
⊢ ∃ f, f x ≠ f y
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ ∃ v', v < v'
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L
i : E →ₐ[F] K := IsScalarTower.toAlgHom F E K
E' : IntermediateField F K := i.fieldRange
i' : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField i
hi : ⇑(algebraMap E K) = ⇑(algebraMap (↥E') K) ∘ ⇑i'
⊢ (adjoin F (↑E' ∪ ↑L)).toSubalgebra = Algebra.adjoin F (↑E'.toSubalgebra ∪ ↑L)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
⊢ (starRingEnd 𝕜) μ = μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0
heq : (ν.withDensity f).restrict (S ∩ T) = (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).restrict (S ∩ T)
heq' : ∀ (A : Set α), MeasurableSet A → (ν.withDensity f) A = ((ν.withDensity f).restrict (S ∩ T)) A
A : Set α
hA : MeasurableSet A
⊢ (ν.withDensity f) A = (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)) A
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
hμ : f.HasEigenvalue μ
h_unit : IsUnit ((algebraMap R (End R M)) μ - f)
f' : M ≃ₗ[R] M := LinearMap.GeneralLinearGroup.toLinearEquiv h_unit.unit
v : M
hv : f.HasEigenvector μ v
⊢ μ • v - f v = 0
ι : Type u_5
α : Type u_7
LinearOrder α
BoundedOrder α
Nontrivial α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ s.sup f = ⊤ ↔ ∃ b ∈ s, f b = ⊤
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto (fun i => (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize)
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
⊢ Tendsto μs F (𝓝 μ)
x y : ℂ
⊢ x ^ y = if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else Complex.exp (Complex.log x * y)
s : Set ℝ
⊢ interior (Complex.re ⁻¹' s) = Complex.re ⁻¹' interior s
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ ψ : R⟦X⟧
⊢ (coeff R n) (φ * ψ) = ∑ p ∈ antidiagonal n, (coeff R p.1) φ * (coeff R p.2) ψ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z₁ z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n m (z₁ + z₂) = CochainComplex.HomComplex.δ n m z₁ + CochainComplex.HomComplex.δ n m z₂
α : Type u_4
Mul α
a a' : α
⊢ MulOpposite.op a • a' = a' * a
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
δ : γ → Type x
DecidableEq γ
(c : γ) → Zero (δ c)
(c : γ) → (x : δ c) → Decidable (x ≠ 0)
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
s : Π₀ (c : γ), δ c
h : (c : γ) → δ c → Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.subtypeDomain p (s.sum h) = s.sum fun c d => DFinsupp.subtypeDomain p (h c d)
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_9
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommGroup N₂
AddCommGroup N₃
Module R₁ M
Module R₂ N₂
Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f g : M →ₛₗ[σ₁₂] N₂
h : N₂ →ₛₗ[σ₂₃] N₃
⊢ h.comp (g - f) = h.comp g - h.comp f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
f : Y ⟶ A ⟹ X
⊢ ((CategoryTheory.exp.adjunction A).homEquiv Y X).symm f = CategoryTheory.CartesianClosed.uncurry f
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
l : List α
⊢ a ∈ List.insert a l
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ κ.compProdFun η a s = ∑' (n : ℕ), κ.compProdFun (η.seq n) a s
ι : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
UniformSpace α
F : ι → X → α
UniformSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
⊢ UniformInducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ UniformInducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)
R : Type u_2
CommRing R
r : R
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
⊢ (QuotSMulTop.map r) LinearMap.id = LinearMap.id
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞
g_ae_measurable : AEMeasurable g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕))
hπ : Measurable QuotientGroup.mk
⊢ essSup g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕)) = essSup (fun x => g ↑x) μ
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
IsIntegralClosure A R B
A' : Type u_4
CommRing A'
Algebra A' B
IsIntegralClosure A' R B
Algebra R A
Algebra R A'
IsScalarTower R A B
IsScalarTower R A' B
x : A
⊢ (algebraMap A' B) ((IsIntegralClosure.equiv R A B A') x) = (algebraMap A B) x
n : Num
⊢ Computability.decodeNum (Computability.encodeNum n) = n
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
j : α
⊢ (f'.proj j).op = (f'.π.app { as := j }).op
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
hK : IsPGroup p ↥K
hHK : K ≤ H.normalizer
⊢ IsPGroup p ↥(H ⊔ K)
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
⊢ Polynomial.eval₂ (AdjoinRoot.of f) (AdjoinRoot.root f) f = 0
n m : ℕ
y : Fin (n + 1)
hi : y.castSucc ≠ last (n + 1)
⊢ (last n).predAbove y.castSucc = y.castSucc.castPred hi
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictTerminalObjects C
I : C
hI : CategoryTheory.Limits.IsTerminal I
A : C
f g : I ⟶ A
⊢ f = g
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
coe_mono : Monotone toIdeal
⊢ IsGreatest {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ J ≤ I} (homogeneousCore' 𝒜 I)
𝕜 : Type u_1
NonUnitalSeminormedRing 𝕜
x y : ↑(Metric.ball 0 1)
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g✝ : E → F
f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
hg : HasStrictFDerivAt g g' (f x)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ (fun x => g' (((fun p => (f p.1, f p.2)) x).1 - ((fun p => (f p.1, f p.2)) x).2) - (g'.comp f') (x.1 - x.2)) =o[𝓝 (x, x)] fun p => p.1 - p.2
α : Sort u_1
r p q : α → Prop
⊢ (∃ x x_1, r x) ↔ (∃ x x_1, r x) ∨ ∃ x x_1, r x
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this : { data := l ++ m₁ ++ c :: (m₂ ++ r) }.prev { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) }
⊢ { byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ }
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
h₀ : LinearIndependent 𝕜 f
⊢ ‖gramSchmidtNormed 𝕜 f n‖ = 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → P
h : ↑s.card ≠ 0
⊢ Finset.centroid k s p ∈ affineSpan k (Set.range p)
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
t : List α
h : l₁.Perm l₂
⊢ (l₁.bagInter t).Perm (l₂.bagInter t)
n : ℕ+
A : Type u
K : Type w
CommRing A
Field K
Algebra A K
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap (CyclotomicRing n A K) (CyclotomicField n K))
G : Type u_3
Group G
a : G
n : ℤ
hn : n ≠ 0
h : a ^ n = 1
⊢ ∃ n, 0 < n ∧ a ^ n = 1
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
t₁ : List α
p : l₁ ~ l₂
⊢ l₁ ++ t₁ ~ l₂ ++ t₁
⊢ ∀ {X Y : Bipointed} (f : X ⟶ Y) (a : X.X), (Bipointed.swapEquiv.functor.map f).toFun a = f.toFun a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
p : ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑(x * (x - 1)) + (1 - ↑(2 * n) * X) * ↑x + ↑(n ^ 2) * X ^ 2) * bernsteinPolynomial R n x = ↑(n * (n - 1)) * X ^ 2 + (1 - (2 * n) • X) * n • X + n ^ 2 • X ^ 2 * 1
⊢ ↑(n * (n - 1)) * X ^ 2 + (1 - (2 * n) • X) * n • X + n ^ 2 • X ^ 2 * 1 = n • X * (1 - X)
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin b
⊢ Set.Icc a (Order.pred b) = Set.Ico a b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Prop
s : Finset α
hP : ∀ ⦃s t : Finset α⦄, P t → s ⊆ t → P s
⊢ s ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {t | P t} ↔ P s ∧ ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : C(α, β)
⊢ Continuous ⇑f
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ LieSubmodule.ucs 1 ⊥ = LieModule.maxTrivSubmodule R L M
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
hs : ∀ (a_1 : α) (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a a_1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (a_1, b)
⊢ False
α : Type u_2
Preorder α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ s.IsWF
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp : IntFractPair K
stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp
g : GenContFract K := of v
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
⊢ let g := of v; let B := (g.contsAux (n + 1)).b; let pB := (g.contsAux n).b; v - g.convs n = if ifp.fr = 0 then 0 else (-1) ^ n / (B * (ifp.fr⁻¹ * B + pB))
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
n : ℕ
⊢ M ^ n = span R (↑M ^ n)
M : Type u_2
AddCommMonoid M
a b : ℕ
hab : a < b
f : ℕ → M
⊢ ∑ k ∈ Finset.Ico a b, f k = f a + ∑ k ∈ Finset.Ico (a + 1) b, f k
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ a
⊢ a - c < b - c ↔ a < b
ι : Type u_1
⊢ ⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι) = ⇑(WithLp.equiv 2 ((i : ι) → (fun x => ℝ) i))
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
IsDomain R
Algebra R S
IsDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]
hp : (Polynomial.aeval s) p = 0
⊢ minpoly R s ∣ p
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b : α
c : α
h : Disjoint a b
⊢ Disjoint a (b ⊓ c)
R : Type u_1
CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
⊢ Ideal.comap (algebraMap R (Localization.AtPrime I)) (LocalRing.maximalIdeal (Localization I.primeCompl)) = I
R : Type u
Ring R
⊢ ¬IsField R[X]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
F : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
X : CategoryTheory.Grothendieck F
⊢ (CategoryTheory.Grothendieck.forget F).obj X = X.base
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
s : Multiset (MvPolynomial σ R) := Multiset.map (fun i => X i) univ.val
⊢ ∏ i : σ, (Polynomial.X + Polynomial.C (X i)) = ∑ j ∈ range (Fintype.card σ + 1), Polynomial.C (esymm σ R j) * Polynomial.X ^ (Fintype.card σ - j)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝 a
hfs_l : ∀ b < f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Set.Ico b (f a)
hfs_r : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Set.Ioc (f a) b
⊢ ContinuousAt f a
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
h : π₂.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion
⊢ (π₁.disjUnion π₂ ⋯).IsPartition
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
x : M
⊢ x ∈ mker (inl M N) ↔ x ∈ ⊥
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
n : ℕ
hn_pos : 0 < n
hnx : x ^ n = 1
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
hs : Disjoint e.source e'.source
ht : Disjoint e.target e'.target
(x : α) → Decidable (x ∈ e.source)
(y : β) → Decidable (y ∈ e.target)
⊢ ↑(e.disjointUnion e' hs ht).symm = e.target.piecewise ↑e.symm ↑e'.symm
M : Type u_4
CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ ij ∈ Finset.antidiagonal (n + 1), f ij.1 ij.2 ^ (n + 1).choose ij.1 =
  (∏ ij ∈ Finset.antidiagonal n, f ij.1 (ij.2 + 1) ^ n.choose ij.1) *
    ∏ ij ∈ Finset.antidiagonal n, f (ij.1 + 1) ij.2 ^ n.choose ij.2
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ V ∈ 𝓤 α, IsOpen V ∧ ball x V ⊆ s
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : List α
IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s
⊢ (List.map f (a :: s)).prod = ∏ m ∈ (a :: s).toFinset, f m ^ count m (a :: s)
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
⊢ ∑ x ∈ univ.erase (Equiv.refl n), ↑↑(Equiv.Perm.sign x) * ∏ i : n, M.charmatrix (x i) i ∈ degreeLT R (Fintype.card n - 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
m : M
x : ExteriorAlgebra R M
⊢ (((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) (((LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) m) f)) x 0) 0 = (((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) fun i => (f (i + 1)).curryLeft m) x 0) 0
n : Nat
⊢ Not (LE.le n.succ n)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
x : E
hxK : x ∈ K
⊢ f x ∈ ↑↑(PointedCone.map ↑f ↑K)
R : Type u_1
x : R
MonoidWithZero R
hx : nilpotencyClass x = 1
⊢ x = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Y' : C
g : Y ⟶ Y'
CategoryTheory.IsIso g
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation (f ≫ g)
⊢ F.ofCompIso.e = F.e
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
AddCommGroup Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
Module.Free R M
Module.Finite R M
Module.Free R N
Module.Finite R N
⊢ ↑(homTensorHomEquiv R M N P Q) = TensorProduct.homTensorHomMap R M N P Q
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
h : HasDerivWithinAt f f' s x
ht : ∀ x ∈ t, f₁ x = f x
hx : f₁ x = f x
h₁ : t ⊆ s
⊢ HasDerivWithinAt f₁ f' t x
ι : Type u_1
α : Type u_2
OrderedAddCommGroup α
f : ι → Interval α
s : Finset ι
⊢ (∑ i ∈ s, f i).length ≤ ∑ i ∈ s, (f i).length
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
X Y Z : CategoryTheory.StructuredArrow S T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).right = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.right g.right
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : α
⊢ ((Equiv.sigmaFiberEquiv f).symm x).fst = f x
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeSup L
ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x
⊢ ContinuousWithinAt (s.sup' hne f) t x
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a✝ : Nontrivial α
⊢ Type ?u.115707
x : UInt16
⊢ ↑x.val = x.toNat
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ n' a : ℤ
γ : Cocycle K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
⊢ δ n (n + 1) ((↑γ).rightUnshift n hn) = 0
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
H₁ H₂ : Subgroup G
f : G →* G'
⊢ Subgroup.map f ⁅H₁, H₂⁆ = ⁅Subgroup.map f H₁, Subgroup.map f H₂⁆
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ ((α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight) ≫ P.actLeft = P.actLeft ▷ S.X ≫ P.actRight
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
cc : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hcc : CategoryTheory.Limits.IsColimit cc
⊢ (hS.rightHomologyDataOfIsColimitCokernelCofork cc hcc).Q = cc.pt
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
c : ℕ → ℝ
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a + d n ∈ s
hc : Tendsto c atTop atTop
hcd : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
hc' : Tendsto (fun x => ‖c x‖) atTop atTop
⊢ f' y ≤ 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[>] a
f_lim' : Filter.Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[>] a) (𝓝 e)
⊢ HasDerivWithinAt f e (Set.Ici a) a
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C × C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensor C).obj X = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X.1 X.2
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
MeasurableSpace X
BorelSpace X
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hf : Isometry f
hd : 0 ≤ d ∨ Function.Surjective f
⊢ MeasureTheory.Measure.map f μH[d] = μH[d].restrict (Set.range f)
n m k : Nat
h : n < m
hk : k > 0
⊢ k * n < k * m