ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn ⊤ f p s ↔ ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑n) f p s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq₁ sq₂ : CategoryTheory.Square C
e : sq₁ ≅ sq₂
⊢ sq₁.IsPushout ↔ sq₂.IsPushout
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
s : Set α
S : Set α := {x | ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ t.sup id = x}
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
hm : ∀ x ∈ S, ¬x > t.sup id
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ sSup s = t.sup id
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℤ
⊢ f (normEDS b c d n) = normEDS (f b) (f c) (f d) n
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ x ∈ pathComponent x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set X
⊢ ⇑h '' interior s = interior (⇑h '' s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
hj : c.next i = j
h : K.d i j = 0
K.HasHomology i
⊢ CategoryTheory.IsIso (K.iCycles i)
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, (nim k).birthday = k
⊢ max (lsub fun i => ((mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).moveLeft i).birthday) (lsub fun i => ((mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).moveRight i).birthday) = o
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Group α
g : GroupTopology α
this✝ : TopologicalSpace α := g.toTopologicalSpace
this : TopologicalGroup α
⊢ Continuous fun p => p.1 * p.2
R : Type u
NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
⊢ M.subsemiringClosure.toAddSubmonoid = AddSubmonoid.closure ↑M
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
⊢ ENNReal.ofReal p = ENNReal.ofReal q ↔ p = q
F : Type u → Type u
q : QPF F
x : F (Fix F)
⊢ (mk ∘ dest) <$> x = id <$> x
R : Type u₁
S : Type u₂
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
⊢ ∀ (x : ModuleCat S),
  (ModuleCat.ExtendRestrictScalarsAdj.counit f).app x = ModuleCat.ExtendRestrictScalarsAdj.Counit.map f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
⊢ (↑ℝ T).IsSymmetric
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
BorelSpace β
f : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable f μ
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
⊢ (LinearEquiv.neg R) x = -x
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
k : K
hk : I = spanSingleton R⁰ k
n : R := choose ⋯
d : ↥R⁰ := choose ⋯
hnd : mk' K n d = k
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑d})).factors)) = I
⊢ ∀ {β : Type u_1} {b : β} {α : Type u_2} {x : α ⊕ β} (h : x.isRight = true), x.getRight h = b ↔ x = Sum.inr b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
P : D → Prop
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : ∀ (X : C), P (F.obj X)
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.fullSubcategoryInclusion P).map ((CategoryTheory.FullSubcategory.lift P F hF).map f) = F.map f
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
j : Fin (n + 1)
a✝ : n + 1 ≤ ↑j + (n + 1)
⊢ ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ (Γ₀.obj K).δ j.succ = 0
𝕜₁ : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁵ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝⁴ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁
inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁'
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂
inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂'
b : B
hb : b ∈ e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet)
L : F₁ →SL[σ] F₂
v : F₁
⊢ b ∈ e₂.baseSet ∩ e₂'.baseSet
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : P
ps : Set P
⊢ affineSpan k (insert p ↑(affineSpan k ps)) = affineSpan k (insert p ps)
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f g : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ (fun a => ↑(f a)) ≤ fun a => ↑(g a) + edist f g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivAt (A i) (A' i) x
⊢ HasFDerivAt (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsFilteredOrEmpty J
s : Set J
hs : Small.{v, u} ↑s
hs' : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (i ⟶ j)
⊢ FinallySmall J
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T : Set α
hT : T ⊆ S
ha : IsAtom (sSup T)
haS : sSup T ≤ sSup S
a : α
haT : a ∈ T
⊢ sSup T ∈ S
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
help : IntervalIntegrable (fun t => t ^ n * (1 - ‖z‖)⁻¹) MeasureTheory.volume 0 1
⊢ ‖log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Computable some
a : Ordinal.{u_4}
⊢ a % a = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure X
l : Filter X
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
f : X → E
b : E
h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
s : ι → Set X
li : Filter ι
hs : Tendsto s li l.smallSets
m : optParam (ι → ℝ) fun i => (μ (s i)).toReal
hsμ : autoParam ((fun i => (μ (s i)).toReal) =ᶠ[li] m) _auto✝
ε : ℝ
ε₀ : 0 < ε
this : ∀ᶠ (s : Set X) in l.smallSets, ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ∈ closedBall b ε
⊢ ∀ᶠ (x : Set X) in l.smallSets, ‖∫ (x : X) in x, f x ∂μ - (μ x).toReal • b‖ ≤ ε * ‖(μ x).toReal‖
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
⊢ ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x c ≤ slope f x y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
t : Finset (AbsConvexOpenSets 𝕜 E)
r : ℝ
hr : 0 < r
S : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
x✝ : S ∈ t
hr' : r = ‖↑r‖ * 1
⊢ IsOpen ((gaugeSeminormFamily 𝕜 E S).ball 0 r)
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
u v w : List (Symbol T g.NT)
huv : g.Produces u v
hvw : g.Derives v w
⊢ g.Derives u w
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
i : ℕ
IH : ∀ (h : i < c.boundaries.card), (take i c.blocks).sum = ↑(c.boundary ⟨i, h⟩)
h : i + 1 < c.boundaries.card
A : i < c.blocks.length
B : i < c.boundaries.card
⊢ (take (i + 1) c.blocks).sum = ↑(c.boundary ⟨i + 1, h⟩)
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ BddAbove ↑(lowerClosure s) ↔ BddAbove s
α✝ : Type u
inst✝² : DecidableEq α✝
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
σ : α → Perm β
a : α
b : β
a' : α
l : List α
ih : l.Nodup → a ∈ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)
hl : (a' :: l).Nodup
⊢ a ∈ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) ((List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b)) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) ((List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b)) = (a, b)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =O[l] g₁
h₂ : f₂ =o[l] g₂
⊢ (fun x => f₁ x * f₂ x) =o[l] fun x => g₁ x * g₂ x
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (AffineMap.lineMap x y) c ∈ interior s
⊢ StrictConvex 𝕜 s
α : Type u_1
Zero α
⊢ 0 ∈ 0
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hyo : y % 2 = 1
hzpos : 0 < z
h0 : ¬x = 0
v : ℚ := ↑x / ↑z
w : ℚ := ↑y / ↑z
hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1
hvz : v ≠ 0
hw1 : w ≠ -1
hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0
hp : (v, w) ∈ {p | p.1 ^ 2 + p.2 ^ 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1}
q : ℚ := (circleEquivGen hQ).symm ⟨(v, w), hp⟩
ht4 : v = 2 * q / (1 + q ^ 2) ∧ w = (1 - q ^ 2) / (1 + q ^ 2)
m : ℤ := ↑q.den
n : ℤ := q.num
hm0 : m ≠ 0
hq2 : q = ↑n / ↑m
hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2
hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0
hx1 : ∀ {j k : ℚ}, k ≠ 0 → k ^ 2 + j ^ 2 ≠ 0 → (1 - (j / k) ^ 2) / (1 + (j / k) ^ 2) = (k ^ 2 - j ^ 2) / (k ^ 2 + j ^ 2)
hw2 : w = (↑m ^ 2 - ↑n ^ 2) / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hx2 : ∀ {j k : ℚ}, k ≠ 0 → k ^ 2 + j ^ 2 ≠ 0 → 2 * (j / k) / (1 + (j / k) ^ 2) = 2 * k * j / (k ^ 2 + j ^ 2)
hv2 : v = 2 * ↑m * ↑n / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
⊢ h.IsPrimitiveClassified
n m : ℕ
i j : Fin n
⊢ i.rev ≤ j ↔ j.rev ≤ i
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : Language
inst✝ : (a : α) → L.Structure (M a)
β : Type u_3
x : β → (a : α) → M a
t : L.Term β
⊢ (fun a => Term.realize (fun i => x i a) t) = Term.realize x t
J : Type u
inst✝ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
f : i ⟶ j
g : j ⟶ k
h : F.eventualRange k = range (F.map g)
⊢ range (F.map (f ≫ g)) ⊆ F.eventualRange k
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t s : Set α
f : Filter α
⊢ 𝓟 s ≤ f ↔ ∀ V ∈ f, s ⊆ V
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
⊢ (stereographic hv).target = Set.univ
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
CommSemiring A
CommSemiring B
Semiring C
Algebra A B
Algebra A C
Algebra B C
IsScalarTower A B C
I J : Submodule B C
⊢ Submodule.restrictScalars A (I * J) = Submodule.restrictScalars A I * Submodule.restrictScalars A J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.GlueData C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
i : D.J
⊢ OpenEmbedding ⇑(D.ι i).base
⊢ RingHom.StableUnderBaseChange @RingHom.FinitePresentation
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
eq : G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n) = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n
⊢ (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n
M : Type u_3
TopologicalSpace M
MulOneClass M
ContinuousMul M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v * w ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hg₁ : S₁.g = 0
c₁ : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S₁.f
hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁
hg₂ : S₂.g = 0
c₂ : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S₂.f
hc₂ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₂
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
comm :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.τ₂ (CategoryTheory.Limits.Cofork.π c₂) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Cofork.π c₁) f
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData.ofIsColimitCokernelCofork φ hg₁ c₁ hc₁ hg₂ c₂ hc₂ f comm).left =
  CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.ofIsColimitCokernelCofork φ hg₁ c₁ hc₁ hg₂ c₂ hc₂ f comm
G : Type u
Group G
Finite G
N : Subgroup G
N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
P : Sylow (Nat.card ↥N).minFac ↥N
⊢ ↑P ≠ ⊥
X : Type u_1
x y : X
⊢ ((toFinsupp.comp ((smulAddHom ℤ (FreeAbelianGroup X)).flip (of x))) 1) y = ((singleAddHom x) 1) y
F : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
FunLike F α β
self : CoheytingHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (a \ b) = f a \ f b
a : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length
k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.length).1
⊢ Primrec fun p => (fun a n => Nat.casesOn (ofNat (ℕ × Code) a.length).1 Option.none fun k' => Code.recOn (ofNat (ℕ × Code) a.length).2 (some 0) (some n.succ) (some (unpair n).1) (some (unpair n).2) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) n let y ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cg) n some (Nat.pair x y)) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cg) n Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) x) (fun cf cg x x => let z := (unpair n).1; Nat.casesOn (unpair n).2 (Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) z) fun y => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup a (k', (ofNat (ℕ × Code) a.length).2) (Nat.pair z y) Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cg) (Nat.pair z (Nat.pair y i))) fun cf x => let z := (unpair n).1; let m := (unpair n).2; do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) (Nat.pair z m) Nat.casesOn x (some m) fun x => Nat.Partrec.Code.lup a (k', (ofNat (ℕ × Code) a.length).2) (Nat.pair z (m + 1))) p.1 p.2
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
m : α → Filter β
p : β → Prop
⊢ (∀ᶠ (y : β) in f.bind m, p y) ↔ ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ᶠ (y : β) in m x, p y
α : Type u_1
Infinite α
⊢ Nat.card α = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x : R[X][Y]
⊢ eval₂ (AdjoinRoot.of (WeierstrassCurve.map W f).toAffine.polynomial) (AdjoinRoot.root (WeierstrassCurve.map W f).toAffine.polynomial) (Polynomial.map (mapRingHom f) x) = (mk (WeierstrassCurve.map W f)) (Polynomial.map (mapRingHom f) x)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s.ndinter t ⊆ t
s : Set ℕ
hs : s.Nonempty
⊢ ↑(sInf s) = ⨅ a ∈ s, ↑a
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
h : Module.rank E ↥(adjoin E ↑S) ≤ Module.rank F ↥S
⊢ sepDegree F K = Module.rank E K
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
Z : C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
F : (A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ) → s.N (Opposite.unop A.fst).len ⟶ Z
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ
⊢ (s.cofan Δ).inj A ≫ s.desc Δ F = F A
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i✝ : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E := fun y J => integral J GP (fun x => f (i.insertNth y x)) BoxAdditiveMap.volume
⊢ HasIntegral I GP (fun x => (f' x) (Pi.single i 1)) BoxAdditiveMap.volume (integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x)) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x)) BoxAdditiveMap.volume)
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommGroup M
AddCommGroup N
f : M → N
x y : M
⊢ QuadraticMap.polar f x y = QuadraticMap.polar f y x
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : λ ∣ x + 1
⊢ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
⊢ 𝓝ˢ s ⊓ 𝓝ˢ t ≤ 𝓝ˢ (s ∩ t)
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * sa • r₂ = rb * ↑s₁
hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S
⊢ ((sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rb • r₁ /ₒ (sb * (sa * s₂)) + ((↑sb * ra) • r₃ /ₒ ⟨↑sb * ra * ↑s₃, hs₃rasb⟩) • (r₁ /ₒ s₁)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cone F} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Limits.Cone.equivCostructuredArrow F).functor.map f).left = f.hom
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ ∅, u j ω ∈ s
h : ¬n ≤ m
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Preregular C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} A
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.regularTopology C) F ↔
  CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.regularTopology D) (e.inverse.op.comp F)
B X : Stonean
π : X ⟶ B
⊢ [CategoryTheory.EffectiveEpi π, CategoryTheory.Epi π, Function.Surjective ⇑π].TFAE
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀✝ : WithTop (Box ι)
I J✝ : Box ι
i✝ : ι
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
I₀ : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : ℝ → Box (Fin n) → G
fb : ↑(Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I₀.face i)] G
hf : ∀ (x : ℝ) (hx : x ∈ Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) (J : Box (Fin n)), f x J = (fb ⟨x, hx⟩) J
J : Box (Fin (n + 1))
hJ : J ≤ I₀
j : Fin (n + 1)
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Ioo (J.lower j) (J.upper j) → Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitLower j x) + Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitUpper j x) = (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) J
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
t : Set β
ht : t.Nonempty
⊢ 0 • t = 0
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
H : J ≤ comap f I
h : comap f I ≤ J
⊢ Injective ⇑(quotientMap I f H)
R : Type u_1
Semiring R
x y : R
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ (x + y) ^ n = ∑ m ∈ Finset.antidiagonal n, n.choose m.1 • (x ^ m.1 * y ^ m.2)
P : Type u_1
Preorder P
p : P
⊢ (Order.Ideal.principal p).toLowerSet = LowerSet.Iic p
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ f '' s ⊆ f '' t
α : Type u_1
f : α → Char → α
s : String
a : α
⊢ foldl f a s = List.foldl f a s.data
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a \ a ∆ b = a ⊓ b
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
terminates : (of v).Terminates
⊢ ∃ q, v = ↑q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
⊢ CategoryTheory.Limits.equalizer.ι f 0 = CategoryTheory.Limits.kernel.ι f
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝ : L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h2 : lift.{max w u v, w'} #M ≤ lift.{max w' u v, w} κ
N0 : (L.elementaryDiagram M).ModelType
hN0 : lift.{max (max u w') v w, w} κ ≤ #↑N0
⊢ ∃ N, Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
α : Type u
l₁ l₂ : List α
h₁ : l₁ ≠ []
h₂ : l₂ ≠ []
h₃ : l₁ = l₂
⊢ l₁.getLast h₁ = l₂.getLast h₂
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ s ⊆ ⋂ i, ⋂ j, t i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), s ⊆ t i j
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Z : Type u_6
R : Type u_7
CommSemiring R
Semiring Z
Algebra R Z
e : X ≃ₜ Y
g : LocallyConstant Y Z
⊢ ∀ (a : X), ((LocallyConstant.congrLeftₐ R e).symm g) a = g (e a)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ ↑s.direction = (fun x => x -ᵥ p) '' ↑s
x✝ y z x : ℝ
hx : x ∈ interior (Ici 0)
⊢ 0 < deriv (fun x => sinh x - x) x
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
i : ι
y : 𝕜
⊢ deriv (Pi.single i) y = Pi.single i 1
c : Cardinal.{u_2}
⊢ c.ord.cof ≤ c
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hv : vectorSpan k (insert p₁ s) = vectorSpan k {p₁, p₂, p₃}
⊢ Collinear k (insert p₁ s) ↔ Collinear k {p₁, p₂, p₃}
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
r : R
i : σ
⊢ (MvPolynomial.C r * MvPolynomial.X i).IsHomogeneous 1
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
R : Type u_13
𝕜' : Type u_16
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedRing R
NormedDivisionRing 𝕜'
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
Module R E'
BoundedSMul R E'
Module 𝕜' F'
BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'
⊢ (fun x => k₁ x • f' x) =O[l] fun x => k₂ x • g' x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
g : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso g
f : Y ⟶ X
h : g ≫ f = 𝟙 X
⊢ IsIso f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A₁ A₂ : C
f : A₁ ⟶ B
g : A₂ ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
CategoryTheory.Mono g
h : CategoryTheory.Subobject.mk f = CategoryTheory.Subobject.mk g
⊢ (CategoryTheory.Subobject.isoOfMkEqMk f g h).hom = CategoryTheory.Subobject.ofMkLEMk f g ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C