ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
r : R
x : M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ∀ (x : M), x ∈ LinearMap.range (r ^ n • LinearMap.id) ↔ x ∈ LinearMap.range (r ^ m • LinearMap.id)
⊢ ∃ n y, r ^ n.succ • y = r ^ n • x
i j k : ℤ
⊢ (↑(i.gcd j)).gcd k = i.gcd ↑(j.gcd k)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), TotallyBounded (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
t : ι → Set α
htf : ∀ (x : ι), (t x).Finite
ht : ∀ (x : ι), s x ⊆ ⋃ y ∈ t x, {x | (x, y) ∈ U}
⊢ ⋃ i, s i ⊆ ⋃ y ∈ ⋃ i, t i, {x | (x, y) ∈ U}
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
s : Set G
g✝ g : G
⊢ zpowers g = ⊥ ↔ g = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
hI : a₂ ≤ b₂
ha : a₂ < a₁
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ Icc a₁ b₁ ⊂ Icc a₂ b₂
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N P : Submodule R M
r : R
⊢ r ∈ N.colon P ↔ P ≤ Submodule.comap (r • LinearMap.id) N
G : Type u_3
AddGroup G
b : G
⊢ Function.Injective fun a => a - b
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set β)
⊢ Continuous f ↔ ∀ s ∈ b, IsOpen (f ⁻¹' s)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
T : Monad C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f ≫ T.η.app Y }.map (f ≫ g) = (f ≫ T.η.app Y) ≫ T.map (g ≫ T.η.app Z) ≫ T.μ.app Z
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
VAdd M β
m : MeasurableSpace α
g : α → β
MeasurableVAdd M β
μ : MeasureTheory.Measure α
hg : AEMeasurable g μ
c : M
⊢ AEMeasurable (fun x => c +ᵥ g x) μ
c : Prop
d : Decidable c
α : Sort u
t e : α
h : c = False
⊢ (if c then t else e) = e
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι✝ : Sort uι
s t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
ι : Type u_6
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : Nonempty ι
t : ι → Set α
t_meas : ∀ (n : ι), MeasurableSet (t n)
g : ι → α → β
hg : ∀ (n : ι), Measurable (g n)
ht : Pairwise fun i j => EqOn (g i) (g j) (t i ∩ t j)
inhabited_h : Inhabited ι
g' : (i : ι) → ↑(t i) → β := fun i => g i ∘ Subtype.val
ht' : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ t i) (hxj : x ∈ t j), g' i ⟨x, hxi⟩ = g' j ⟨x, hxj⟩
f : ↑(⋃ i, t i) → β := iUnionLift t g' ht' (⋃ i, t i) ⋯
⊢ ∃ f, Measurable f ∧ ∀ (n : ι), EqOn f (g n) (t n)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
hx : x ∉ s
p : P
hp : p ∈ ↑s
this : Nonempty ↥s
⊢ IsConnected ((fun x_1 => x_1.1 • (x -ᵥ p) +ᵥ x_1.2) '' Set.Ioi 0 ×ˢ ↑s)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ limMap (whiskerLeft F (restriction R (f ≫ g))) = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R Z))).inv ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) (F ⋙ evaluation R Z)).hom
R : Type u
S : Type u₁
T : Type u_1
inst✝¹² : Monoid R
inst✝¹¹ : Monoid S
inst✝¹⁰ : Monoid T
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : DistribMulAction R A
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁶ : DistribMulAction S B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : DistribMulAction T C
φ' : S →* R
ψ : S →* T
χ : R →* T
B₁ : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B₁
inst✝² : DistribMulAction R B₁
inst✝¹ : DistribMulAction R B
inst✝ : DistribMulAction R C
f : A →ₙₐ[R] B
g : A →ₙₐ[R] C
x y : A
⊢ { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯ }.toFun (x + y) = { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯ }.toFun x + { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯ }.toFun y
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : G.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel (G.map f)
Z : C
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = 0
⊢ coequalizer.π (G.map f) 0 ≫ cokernelComparison f G ≫ G.map (cokernel.desc f h w) = coequalizer.π (G.map f) 0 ≫ cokernel.desc (G.map f) (G.map h) ⋯
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
ht : ∀ (f : Ultrafilter Y), t ∈ f → ∃ x ∈ t, ↑f ≤ 𝓝 x
f : Ultrafilter (X × Y)
hfs : s ×ˢ t ∈ f
x : X
sx : x ∈ s
hx : map Prod.fst ↑f ≤ 𝓝 x
⊢ ∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
(L.withConstants α).Structure M
(L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
φ : L.Formula α
⊢ M ⊨ FirstOrder.Language.Formula.equivSentence φ ↔ φ.Realize fun a => ↑(L.con a)
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
⊢ ∀ x ∈ (fun x => id x ^ 2) '' σ ℝ a, 0 ≤ x
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra R₁ K
inst✝² : IsFractionRing R₁ K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsFractionRing K L
I : FractionalIdeal K⁰ L
hI : ¬I = 0
⊢ ∀ (x : L), x ∈ I ↔ ∃ x', (algebraMap K L) x' = x
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ Disjoint s (t ∪ u) ↔ Disjoint s t ∧ Disjoint s u
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor g).inv)
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f (CategoryTheory.CategoryStruct.id b) g).inv =
  CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).inv g
c : ℂ
R θ : ℝ
⊢ deriv (circleMap c R) θ = 0 ↔ R = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Monoid α
CommMonoid β
MulDistribMulAction α β
r : α
s : Multiset β
⊢ r • s.prod = (Multiset.map (fun x => r • x) s).prod
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q : ℕ
⊢ (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
b : α
inst✝ : NoMinOrder α
⊢ pred b ⋖ b
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g✝ : E → F
f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x : E
s t✝ : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
g' : G → G'
g : F → G
t : Set F
u : Set G
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
h2g : MapsTo g t u
h2f : MapsTo f s t
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g t (f x)
hg' : DifferentiableWithinAt 𝕜 g' u (g (f x))
⊢ fderivWithin 𝕜 (g' ∘ g ∘ f) s x = (fderivWithin 𝕜 g' u (g (f x))).comp ((fderivWithin 𝕜 g t (f x)).comp (fderivWithin 𝕜 f s x))
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
I : Ideal S
T : Type u_3
CommRing T
f : R →+* T
⊢ Ideal.map f (Ideal.spanNorm R I) = Ideal.span (⇑f ∘ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑I)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
t : Set α
ht : t ⊆ s
⊢ t.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
PreconnectedSpace α
di : DenseInducing i
⊢ PreconnectedSpace β
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
⊢ S = ⊥ ∨ Nontrivial ↥S
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
x✝ y x : G
w : ℕ
hw1 : w > 0
hw2 : IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) w 1
⊢ x ^ w = 1
u v : ℤ
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
⊢ u ≠ v ↔ u = -v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b✝ : α
s : Finset α
a b : α
⊢ ↑s = {a, b} ↔ s = {a, b}
X : Type u_1
x y : X
⊢ ↑x = ↑y ↔ x = y
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Projectivization.Dependent f ↔ ¬LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
r : R
hφ : φ.IsSymmetric
⊢ (r • φ).IsSymmetric
α : Type u
p q : α → Bool
l : List α
⊢ List.filter p (List.filter q l) = List.filter q (List.filter p l)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
FiniteDimensional F E
h : ∀ (x : E), FiniteDimensional.finrank F ↥F⟮x⟯ ≤ 1
⊢ Subsingleton (IntermediateField F E)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommGroup W
inst✝¹³ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : FirstCountableTopology W
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable ?bound μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊
⊢ Tendsto (fun i => i) (𝓝 g) (𝓝 g)
n p : ℕ
⊢ Nat.Prime p → (p ∣ n ! ↔ p ≤ n)
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_7
β : Type u_8
VAdd M α
VAdd M β
VAdd α β
VAddAssocClass M α β
g : N → M
⊢ VAddAssocClass N α β
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
f : ℕ → E
g : ℕ → ℝ
hg : Summable g
h : f =O[Filter.atTop] g
⊢ Summable f
α : Type u_1
n : ℕ
v w : Fin n → α
⊢ Matrix.circulant v = Matrix.circulant w ↔ v = w
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] M
g : N →ₗ[R] N
h : (((mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N))) f) g = (((lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)) f) g
⊢ (trace R (M ⊗[R] N)) (TensorProduct.map f g) = (trace R M) f * (trace R N) g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
hf : Injective f
g : α → γ
g' : β → γ
x : α
⊢ g x ∈ range (extend f g g')
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
⊢ GaloisConnection (LieSubmodule.map f) (LieSubmodule.comap f)
C : ℕ → Sort u
H : (b : Bool) → (n : ℕ) → C (Nat.bit b n)
n : ℕ
⊢ (2 * n + 1).bitCasesOn H = H true n
α : Type u
F : Type u → Type v
Applicative F
LawfulApplicative F
x : F α
⊢ (Seq.seq (pure fun x => x) fun x_1 => x) = x
R : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_4
Monoid M
S : Submonoid M
OreLocalization.OreSet S
MulAction M X
SMul R X
SMul R M
IsScalarTower R M M
IsScalarTower R M X
r : R
x : OreLocalization S X
⊢ (r • 1 /ₒ 1) • x = r • x
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
v : ι → M
i j : ι
h : v i = v j
hij : i ≠ j
⊢ f v = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
⊢ {x | x ∈ Multiset.map f s.val}.Pairwise Commute
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
⊢ f u < f v
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
⊢ φ.nilRankAux b ≤ φ.nilRankAux b'
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
p : L.Substructure N
⊢ f.range ≤ p ↔ FirstOrder.Language.Substructure.comap f p = ⊤
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
a : α
self : Finpartition a
⊢ ⊥ ∉ self.parts
α : Type u
β : Type v
inst✝ : AddCommGroup β
f : α → β
x : α
e_1✝ : β = Multiplicative β
⊢ f x = (FreeGroup.lift f) (FreeGroup.of x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
P : C
ι : P ⟶ X
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp ι f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ι g
⊢ (CategoryTheory.Limits.Fork.ofι ι w).ι = ι
α✝ : Type u
β✝ : Type v
α : Type u_1
β : Type u_2
fst✝¹ : Perm α
snd✝¹ : Perm β
fst✝ : Perm α
snd✝ : Perm β
h : (sumCongrHom α β) (fst✝¹, snd✝¹) = (sumCongrHom α β) (fst✝, snd✝)
⊢ fst✝¹ = fst✝ ∧ snd✝¹ = snd✝
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DistribLattice α
x y z a b c : α
⊢ (a ⊔ b) ⊓ c = a ⊓ c ⊔ b ⊓ c
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
inst✝¹ : Precoherent C
A : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : IsSheaf (coherentTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)
⊢ F ≅ e.functor.op ⋙ e.inverse.op ⋙ F
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
p : α × β × γ
⊢ (RelIso.symm (G.boxProdAssoc H I)) p = ((p.1, p.2.1), p.2.2)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A C
e : B ≃ₐ[A] C
x : B
x✝ : C
⊢ ((lmul A C) (e x)) x✝ = (e.toLinearEquiv.conj ((lmul A B) x)) x✝
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b v : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
⊢ (∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then s.piecewise a v j else if i = j then s.piecewise a v j - b j else b j) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s then if j < i then a j else if j = i then a j - b j else b j else v j
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MetricSpace β
μ : Measure α
inst✝⁴ : SemilatticeSup ι
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : Countable ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f : ι → α → β
g : α → β
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : Set α
left✝ : t ⊆ univ
ht : MeasurableSet t
htendsto : μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop (univ \ t)
⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
f : α → ℝ
s : Set α
⊢ (μ.tilted f) s = ∫⁻ (a : α) in s, ENNReal.ofReal (rexp (f a) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) ∂μ
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
n : ℕ
⊢ ↑(- -[n+1]) = -↑-[n+1]
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
A : y ≠ 0
n : ℤ
hn : y ^ n ≤ x
h'n : x < y ^ (n + 1)
⊢ ∃ n, ↑x ∈ Ico (↑y ^ n) (↑y ^ (n + 1))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G.IsCoverDense K
U : D
⊢ CategoryTheory.Sieve.coverByImage G U ∈ K.sieves U
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp✝ : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx : v ↑p ^ (1 / ↑p) < v ((algebraMap O K) r)
s : O
hy : v ↑p ^ (1 / ↑p) < v ((algebraMap O K) s)
h1p : 0 < 1 / ↑p
hvp : 0 < v ↑p
⊢ v ↑p ^ 1 ≤ v ↑p ^ (1 / ↑p) * v ↑p ^ (1 / ↑p)
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
TopologicalSpace E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
T2Space F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ
⊢ T2Space (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
R : Type u
Ring R
n : ℕ
⊢ descPochhammer R (n + 1) = Polynomial.X * (descPochhammer R n).comp (Polynomial.X - 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ CategoryTheory.Sieve.sieveOfSubfunctor S.functorInclusion = S
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype m
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix m n 𝕜
x : EuclideanSpace 𝕜 n
⊢ ‖(EuclideanSpace.equiv m 𝕜).symm (A *ᵥ x)‖ ≤ ‖A‖ * ‖x‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : T.mor₃ = 0
⊢ CategoryTheory.Epi T.mor₂
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
third_ε_pos : 0 < ε / 3
third_ε_pos' : 0 < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Es : ℕ → Set Ω
Es_mble : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Es n)
Es_bdd : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (Es n)
Es_diam : ∀ (n : ℕ), diam (Es n) ≤ ε / 3
Es_cover : ⋃ n, Es n = univ
Es_disjoint : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
N : ℕ
hN : ↑P (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite
Gs : Set (Set Ω) := (fun J => thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j)) '' {J | J ⊆ Iio N}
Gs_open : ∀ (J : Set ℕ), IsOpen (thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j))
mem_nhds_P : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → {Q | ↑P G < ↑Q G + ENNReal.ofReal (ε / 3)} ∈ 𝓝 P
Q : ProbabilityMeasure Ω
δ : ℝ
B : Set Ω
δ_gt : 2 * (ε / 3) < δ
x✝ : MeasurableSet B
JB : Set ℕ := {i | B ∩ Es i ≠ ∅ ∧ i ∈ Iio N}
B_subset : B ⊆ (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) ∪ (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ
subset_thickB : ⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i) ⊆ thickening δ B
hQ : ↑P (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) < ↑Q (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) + ENNReal.ofReal (ε / 3)
⊢ ↑Q (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) + ENNReal.ofReal (ε / 3) + ENNReal.ofReal (ε / 3) ≤ ↑Q.toLevyProkhorov (thickening δ B) + ENNReal.ofReal δ
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)
K : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : IsGalois F E
K_le : K ≤ IntermediateField.fixedField K.fixingSubgroup
⊢ finrank (↥K) E = finrank (↥(IntermediateField.fixedField K.fixingSubgroup)) E
R : Type u_1
CommSemiring R
r : R
f : PowerSeries R
⊢ (r • f).derivativeFun = r • f.derivativeFun
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hR : R ≠ 0
⊢ dist (inversion c R x) y * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0 : a ≠ 0
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M
hM' : 0 ∉ M'
this✝ : IsDomain (Localization M')
this : ⊥.IsMaximal
isloc : IsLocalization (Submonoid.map φ M) (Localization M')
⊢ (IsLocalization.map (Localization M') (quotientMap P C ⋯) ⋯).IsIntegral
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {cmp : α → α → Ordering} {x y : α} [inst : Batteries.OrientedCmp cmp],
  cmp x y = Ordering.gt ↔ cmp y x = Ordering.lt
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
hr : Transitive r
⊢ ReflTransGen r = ReflGen r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
a : α
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ Set.SurjOn f s (f '' s)
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hgt₂ : b < 0
this : 0 < 0
⊢ a = 0 ∨ b = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : B
h : IsIntegral R x
n : ℕ
⊢ x ∈ Algebra.adjoin R {x}
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : MeasureTheory.Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∃ g,
  (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧
    UpperSemicontinuous g ∧
      MeasureTheory.Integrable (fun x => ↑(g x)) μ ∧ ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ - ε ≤ ∫ (x : α), ↑(g x) ∂μ
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : WithLp p (α × β)
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ edist ((WithLp.equiv p (α × β)) x) ((WithLp.equiv p (α × β)) y) ≤ ↑1 * edist x y
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ Monotone MeasureTheory.OuterMeasure.trim
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' g' : F
x : 𝕜
h : HasStrictDerivAt f f' x
h' : f' = g'
⊢ HasStrictDerivAt f g' x
ι : Type u_1
G : Type u_2
Group G
ConditionallyCompleteLattice G
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty ι
f : ι → G
hf : BddBelow (Set.range f)
a : G
⊢ (⨅ i, f i) / a = ⨅ i, f i / a
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
Nonempty α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ AhlswedeZhang.infSum 𝒜ᶜˢ + AhlswedeZhang.supSum 𝒜 = ↑(Fintype.card α) * ∑ k ∈ Finset.range (Fintype.card α), (↑k)⁻¹ + 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
⊢ AntivaryOn f (-g) s ↔ MonovaryOn f g s
n : ℕ
α : Type u_1
x₀ : α
x : Fin n → α
⊢ Function.Injective (Fin.cons x₀ x) ↔ x₀ ∉ Set.range x ∧ Function.Injective x
α : Type u_1
⊢ Quiver.SingleObj.toPrefunctor.symm (𝟭q (Quiver.SingleObj α)) = id
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a✝ : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
hts : t ⊆ s
a : α
ha : a ∈ t
b : α
Q : Finset (Finset α)
_hQ : Q ⊆ F
hu : filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ Q ↔ i ∈ u) s ∈ (atomise s F).parts
hau : a ∈ s ∧ ∀ u ∈ F, u ∈ Q ↔ a ∈ u
hb : b ∈ s ∧ ∀ u ∈ F, u ∈ Q ↔ b ∈ u
⊢ b ∈ t
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
M.FiniteRk
hB : M.Base B
⊢ B.Finite
G : Type u_1
Group G
a b : G
⊢ a * b⁻¹ * b = a