ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
hf : range f = ⊤
p p' : Submodule R₂ M₂
H : comap f p ≤ comap f p'
x : M₂
hx : x ∈ p
⊢ x ∈ p'
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
g : ℕ → ℂ → E := fun n z => cexp z ^ n • f z
hg : ∀ (n : ℕ) (z : ℂ), ‖g n z‖ = expR z.re ^ n * ‖f z‖
z : ℂ
hz : 0 < z.re
⊢ ∀ (n : ℕ), ‖g n z‖ ≤ C
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
LocallyCompactSpace H
⊢ LocallyCompactSpace M
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
n k : ℕ
hk : ∀ n_1 ≥ k, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n_1)‖ < ↑p ^ (-↑n)
this : limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r (max n k)) ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
⊢ limNthHom f_compat r - ↑((f n) r).val ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
c : C
cS : c ∈ S.objs
x : c ⟶ c
hx : x ∈ S.vertexSubgroup cS
y : c ⟶ c
⊢ y * x * y⁻¹ ∈ S.vertexSubgroup cS
α : Type u
t t' : TopologicalSpace α
h : t ≤ t'
⊢ Continuous id
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
IsScalarTower R A P
AddCommMonoid Q
Module R Q
f : M →ₗ[A] P
g : N →ₗ[R] Q
m : M
n : N
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.map f g) (m ⊗ₜ[R] n) = f m ⊗ₜ[R] g n
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
⊢ ⨅ x, ⊤ = ⊤
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
Field K
Field L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
⊢ ∃ u n, Algebra.discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitMono f
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f
i : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.Limits.binaryBiconeOfIsSplitMonoOfCokernel i).pt = Y
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
⊢ a • d < b • d
α : Type u_1
l m r : List Char
f : Char → α → α
init : α
⊢ Substring.foldr f init { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } } = List.foldr f init m
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ IsBaseChange R ↑e
R₃ : Type u_7
CommRing R₃
n : Type u_11
Fintype n
J A : Matrix n n R₃
DecidableEq n
⊢ A ∈ selfAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSelfAdjoint A
α : Type u
β : Type v
f : α → β
ga : α → α
gb : β → β
h : Function.Semiconj f ga gb
⊢ Function.Semiconj (Filter.comap f) (Filter.comap gb) (Filter.comap ga)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ✝ : Type x
γ : Type u_1
P : γ → Set γ → Prop
this : Nonempty γ
c : Set γ → γ
hc : ∀ (t : Set γ), t.Finite → P (c t) t
f : (n : ℕ) → ((m : ℕ) → m < n → γ) → γ := fun n g => c (range fun k => g ↑k ⋯)
u : ℕ → γ := fun n => n.strongRecOn' f
n : ℕ
⊢ P (u n) (u '' Iio n)
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ OpenEmbedding f ↔ Continuous f ∧ Function.Injective f ∧ IsOpenMap f
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
H : IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))
⊢ IsClosed (range ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F))
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ (f + f') m = f m + f' m
op : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
o : Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.Principal op (Ordinal.nfp (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b) o)
x y z : Bool
⊢ (x && (y && z)) = (y && (x && z))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
W : C
k : W ⟶ X
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp k g
⊢ ∃! l, CategoryTheory.CategoryStruct.comp l (CategoryTheory.Limits.equalizer.ι f g) = k
s : Finset ℕ
m p : ℕ
hp₁ : 1 + s.sup id ≤ p
hp₂ : Prime p
⊢ m ∈ factoredNumbers s ↔ ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ s
α : Type u_1
DistribLattice α
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ a ∈ lowerClosure ↑(s ⊼ t) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s ∧ a ∈ lowerClosure ↑t
a b : Prop
⊢ a ∧ a ∧ b ↔ a ∧ b
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m x
hn : IsPeriodicPt f n x
h : n ≤ m
⊢ IsPeriodicPt f (m - n) x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x✝ y✝ : L
hy✝ : y✝ ∈ I
x : L
hx : x ∈ ↑I
y : L
hy : y ∈ ↑I
⊢ ((traceForm R ↥↑I ↥↑N) ⟨x, hx⟩) ⟨y, hy⟩ = (trace R ↥↑N) ((φ x ∘ₗ φ y).restrict ⋯)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
⊢ mk H K a = mk H K b ↔ ∃ h ∈ H, ∃ k ∈ K, b = h * a * k
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊥, ↑a)
α : Type u_1
M : Type u_2
Zero M
⊢ Function.Surjective AList.lookupFinsupp
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ limMap (whiskerLeft F (restriction R (f ≫ g))) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) (F ⋙ evaluation R Z)).inv = (limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R Z))).inv
R : Type u
CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime (x + z * y) y
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑(WittVector.map f)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s✝.destruct t✝.destruct
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct) s t
h : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
⊢ ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R (fun s t => LiftRel R s t ∨ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct) a b
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ MeasureTheory.condexpIndL1Fin hm hs hμs (x + y) =
  MeasureTheory.condexpIndL1Fin hm hs hμs x + MeasureTheory.condexpIndL1Fin hm hs hμs y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
U : TopologicalSpace.Opens M
f : M → M'
x : ↥U
⊢ SmoothAt I I' (fun x => f ↑x) x ↔ SmoothAt I I' f ↑x
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
g_intble' : ∀ (t : ℝ), 0 ≤ t → IntervalIntegrable g volume 0 t
integrand_eq : ∀ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioc 0 (f ω), ENNReal.ofReal (g t)
⊢ AEMeasurable (Function.uncurry fun a => (Ioc 0 (f a)).indicator fun t => ENNReal.ofReal (g t)) (μ.prod volume)
r : ℝ
h₁ : 0 ≤ r
h₂ : r < 1
⊢ Summable fun n => r ^ n
G : Type u_1
A : Type u_2
Group G
AddCommGroup A
MulAction G A
f : G × G → A
hf : groupCohomology.IsTwoCocycle f
g : G
⊢ g • f (g⁻¹, g) - f (g, g⁻¹) = f (1, 1) - f (g, 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Set.BijOn f ∅ ∅
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
x : X
⊢ IsOpen {y | y ≠ x}
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
Nontrivial A
pb : PowerBasis A S
⊢ (minpoly A pb.gen).natDegree = pb.dim
K : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Algebra ℚ A
inst✝ : IsAlgClosed A
x : K
⊢ (range fun φ => φ x) = range fun ψ => ψ x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁✝ : IsBlock G B₁
h₂ : IsBlock G B₂
g : G
h₁ : g • B₁ = B₁
⊢ g • B₁ ∩ g • B₂ = B₁ ∩ B₂ ∨ Disjoint (g • B₁ ∩ g • B₂) (B₁ ∩ B₂)
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
h : p ≠ 0
⊢ ↑(Nat.factorial 1) ∈ nonZeroDivisors R
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 2 ≠ 0
⊢ W.preΨ₄ ≠ 0
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
a : R
⊢ (PowerSeries.coeff R n) ((PowerSeries.monomial R n) a) = a
α : Type u_1
p : Fin 0 → α
x : α
⊢ Fin.snoc p x = fun x_1 => x
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
f g : β → α
⊢ s.sup (f ⊔ g) = s.sup f ⊔ s.sup g
x : ℝ
⊢ (-↑x).abs = (↑x).abs
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
⊢ φ ≫ (Hσ q).f (n + 1) = 0
p s b : ℝ
hs : -1 < s
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b
hib : 0 < b ^ (-p⁻¹)
⊢ Integrable (fun x => x ^ s * rexp (-x ^ p)) (volume.restrict (Ioi 0))
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv' : IntegrableOn (u * v') (Iic a) volume
hu'v : IntegrableOn (u' * v) (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[<] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic a, u x * v' x = a' - b' - ∫ (x : ℝ) in Iic a, u' x * v x
pqr : Multiset ℕ+
H : E' 5 = pqr
⊢ 1 < sumInv pqr
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module 𝕜₁ M₁
inst✝¹ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
S : Set M₁
hS : IsVonNBounded 𝕜₁ S
K : Set M₂
hK : IsCompact K
hKf : ⇑f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr : r > 0
hrS : ∀ (c : 𝕜₁), r ≤ ‖c‖ → S ⊆ c • ⇑f ⁻¹' K
c : 𝕜₁
hc : r < ‖c‖
this : c ≠ 0 := ne_zero_of_norm_ne_zero (Ne.symm (LT.lt.ne (LT.lt.trans hr hc)))
⊢ S ⊆ c • ⇑f ⁻¹' K
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ - ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
⊢ ⨅ a, ker (lapply a) ≤ ⊥
G : Type u_1
P : Type u_2
PartialOrder G
PartialOrder P
VAdd G P
IsOrderedCancelVAdd G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
⊢ {a | (Finset.VAddAntidiagonal hs ht a).Nonempty}.IsPWO
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ ≠ 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : R[X]
x : R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
⊢ eval x (p.comp q) = eval (eval x q) p
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ↑f.ker = LinearMap.ker ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
CompleteLattice β
TopologicalSpace α
Topology.IsLower α
TopologicalSpace β
Topology.IsLower β
f : sInfHom α β
⊢ Continuous ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝² : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
t : ι → Set α
V : ι → Set (β × β)
ht : ∀ (n : ι), t n ∈ 𝔖
hmono : Monotone t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ n, s ⊆ t n
hb : (𝓤 β).HasAntitoneBasis V
this : Nonempty ι
⊢ ∀ (i : ι × ι), True → ∃ i', True ∧ UniformOnFun.gen 𝔖 (t i') (V i') ⊆ UniformOnFun.gen 𝔖 (t i.1) (V i.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
hG : G.LocallyLinear
⊢ (SimpleGraph.map f G).LocallyLinear
α : Type u_5
β : Type u_6
AddMonoid α
AddAction αᵃᵒᵖ β
b : β
a₁ a₂ : α
⊢ AddOpposite.op a₂ +ᵥ (AddOpposite.op a₁ +ᵥ b) = AddOpposite.op (a₁ + a₂) +ᵥ b
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
ι : Type u_6
Fintype n
NonUnitalNonAssocSemiring α
M : Matrix m n α
v : n → α
⊢ Matrix.col ι (M.mulVec v) = M * Matrix.col ι v
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s : Set α✝
t : Set β
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
i : ι
f : Filter (α i)
H : IsEmpty ((j : ι) → α j)
⊢ (comap (eval i) f).NeBot ↔ (∀ (j : ι), Nonempty (α j)) ∧ f.NeBot
x y : ℝ
⊢ Real.cosh x ≤ Real.cosh y ↔ |x| ≤ |y|
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
⊢ Continuous uncurry
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
hs : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)
u v : Set ((i : ι) → π i)
uo : IsOpen u
vo : IsOpen v
hsuv : univ.pi s ⊆ u ∪ v
f : (i : ι) → π i
hfs : f ∈ univ.pi s
hfu : f ∈ u
g : (i : ι) → π i
hgs : g ∈ univ.pi s
hgv : g ∈ v
⊢ (univ.pi s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
R : Type u
CommRing R
f g : R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hu : ∀ x ∈ U, g ∈ x.asIdeal.primeCompl
x : ↥U
⊢ ↑(AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f g U hu) x =
  IsLocalization.mk' (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.Localizations R ↑x) f ⟨g, ⋯⟩
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]
⊢ a.re * b.imK + a.imI * b.imJ - a.imJ * b.imI + a.imK * b.re = a.re * b.imK + a.imI * b.imJ - a.imJ * b.imI + a.imK * b.re
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
T1Space Y
g : X → Y
l : Filter X
b₁ b₂ : Y
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 b₁)
hb : b₁ ≠ b₂
⊢ ∀ᶠ (z : X) in l, g z ≠ b₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → List α
hf1 : IsBadSeq (List.SublistForall₂ r) {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} f
hf2 : ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq (List.SublistForall₂ r) List.length {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} n f
hnil : ∀ (n : ℕ), f n ≠ []
this : ∀ (n : ℕ), (f n).headI ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → r (f (g m)).headI (f (g n)).headI
hf' : ¬IsBadSeq (List.SublistForall₂ r) {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} fun n => if n < g 0 then f n else (f (g (n - g 0))).tail
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S : CategoryTheory.ComposableArrows C (n + 2)
h : (CategoryTheory.ComposableArrows.mk₂ (S.map' 0 1 ⋯ ⋯) (S.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : S.δ₀.Exact
⊢ S.Exact
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ {p | p.2 = x → p.1 ∈ s} ∈ 𝓤 α
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : Set (UniformSpace α)
u₂ : UniformSpace β
u : UniformSpace α
h₁ : u ∈ u₁
hf : UniformContinuous f
⊢ Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β)
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
f g : E →ₗᵢ[R] E
⊢ f * g = f.comp g
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
inst✝ : Nontrivial ↥H
⊢ ∃ x ∈ H, x ≠ 1
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
f : Aut F
A : C
inst✝ : IsGalois A
a : ↑(F.obj A)
⊢ (↑((Aut.unitsEndEquivAut F).symm f)).app { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }.obj { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }.pt = f.hom.app A a
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
⊢ Rel.edgeDensity r s₂ t₂ - Rel.edgeDensity r s₁ t₁ ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α
⊢ ↑s = {a} ↔ s = {a}
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Fintype V
AddCommMonoid α
One α
⊢ (SimpleGraph.adjMatrix α G).trace = 0
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₃)
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
X₁ X₂ : CategoryTheory.GradedObject I C₁
Y₁ Y₂ : CategoryTheory.GradedObject J C₂
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj X₁).obj Y₁).HasMap p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj X₂).obj Y₂).HasMap p
e : X₁ ≅ X₂
e' : Y₁ ≅ Y₂
i : K
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapMapIso F p e e').hom i =
  CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapMap F p e.hom e'.hom i
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W
⊢ cs.length (t * w) ≠ cs.length w
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
l : ι → Filter α
hd : Pairwise (Disjoint on l)
this : Pairwise fun i j => ∃ s t, Disjoint ↑s ↑t
⊢ ∃ s, (∀ (i : ι), s i ∈ l i) ∧ Pairwise (Disjoint on s)
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Set.Iic x)
⊢ Measurable f
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
⊢ CategoryTheory.Subgroupoid.discrete.IsNormal
x y : ℝ
⊢ abs (↑x + ↑y * I) = √(normSq (↑x + ↑y * I))
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
b c : α
⊢ ∃! m, b - m • a ∈ Ico c (c + a)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
⊢ (Pᵀ * J * P).IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) A₁ A₂ ↔ J.IsAdjointPair J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₂ * P⁻¹)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
q : Ideal S
hq : q ∈ I.minimalPrimes
hq' : q ≤ p'
this : q.IsPrime
⊢ p = comap f q
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c ≠ 0
⊢ P.toPoly.natDegree = 1
𝕜 : Type u
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
x : Fin 0 → G
⊢ ‖f x‖ = ‖f‖
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
Subsingleton β
⊢ AEMeasurable f μ
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x : ↥(Submodule.map (LinearMap.fst R E F) g)
⊢ ↑g.toLinearPMap x = Submodule.valFromGraph hg ⋯
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommMonoid α
OrderedCommMonoid β
f g : α →*o β
a : α
⊢ (f * g) a = f a * g a
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
self : Algebra R A
r : R
x : A
⊢ r • x = Algebra.toRingHom r * x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
Div γ
MeasurableDiv γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
c : γ
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib (fun x => c / f x) (fun x => c / g x) μ ν
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
K_pos : 0 < K
⊢ (μ (closedBall c f.rOut)).toReal / K ^ finrank ℝ E ≤ (μ (closedBall c f.rIn)).toReal
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
h : (a ::ₘ s).Nodup
⊢ { val := a ::ₘ s, nodup := h } = Finset.cons a { val := s, nodup := ⋯ } ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
⊢ (fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) ∅
α : Type u_1
β δ : Type
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
C : Levenshtein.Cost α β δ
xs : List α
ys : List β
self : LevenshteinEstimator' C xs ys
⊢ self.bound =
  match self.pre_rev, ⋯ with
  | [], split => ((↑self.distances)[0], ys.length)
  | x, split => (List.minimum_of_length_pos ⋯, self.suff.length)
x m : ℕ
hx : x < x + m + 1
⊢ antidiagonalTuple 0 (x + m + 1 - x) = []
⊢ CategoryTheory.yoneda'.comp (CategoryTheory.sheafOfTypesToPresheaf CategoryTheory.typesGrothendieckTopology) =
  CategoryTheory.yoneda
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ ^ 2 = 1
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
⊢ 2 ∣ n
R : Type u_3
S : Type u_5
T : Type u_7
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
NonAssocSemiring T
f : R →+* S
g : R →+* T
x : R
⊢ (f.prod g) x = (f x, g x)