ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
s : Set A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ s ∪ star s ⊆ ↑S ↔ s ≤ ↑S
ι : Type u'
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_8
AddCommGroup M
Module R M
v : ι → M
li : LinearIndependent R v
c d : R
i j : ι
hc : c ≠ 0
h : c • v i = d • v j
⊢ i = j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
a : WithTop α
b : β
⊢ WithTop.map₂ f a ↑b = WithTop.map (fun x => f x b) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z
⊢ z = s(a, Mem.other h)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Surjective (image f)
y : β
s : Set α
hs : f '' s = {y}
this : y ∈ {y}
⊢ ∃ a, f a = y
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
ContinuousAdd G
U : Set G
h : IsOpen U
x : G
⊢ IsOpen (AddOpposite.op x +ᵥ U)
E : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
AddCommGroup E
DivisionRing R
DivisionRing S
Module R E
Module S E
r : ℚ
x : E
⊢ ↑r • x = ↑r • x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
U : Set E
c : E
R : ℝ
hf : DifferentiableOn 𝕜 f U
hc : Metric.closedBall c R ⊆ U
⊢ DiffContOnCl 𝕜 f (Metric.ball c R)
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : t ⊆ s
⊢ ⋃₀ insert t ↑(hC.diffFinset hs ht) = s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0
⊢ Tendsto (gauge s) (𝓝 0) (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
a b : α
⊢ ⇑e '' Set.Ioo a b = Set.Ioo (e a) (e b)
α✝ : Sort u
β✝ : α✝ → Sort v
α' : Sort w
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α✝) → β✝ a
a✝ : α✝
b : β✝ a✝
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Sort u_1
a : α
v w : β a
f : (a : α) → β a
⊢ update (update f a v) a w = update f a w
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.nums m = g.nums n
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
x : ℝ
⊢ x ≤ schnirelmannDensity A ↔ ∀ (n : ℕ), 0 < n → x ≤ ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ A) (Finset.Ioc 0 n)).card / ↑n
x y : ↑unitInterval
⊢ x * y ≤ y
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0 : a ≠ 0
hM : 0 ∉ M
this : ⊥.IsMaximal
⊢ ⊥.IsMaximal
α : Type u_1
S : Set (Set α)
⊢ S ⊆ generatePiSystem S
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
IsStronglyCoatomic α
ha : (Set.Iic a).Infinite
hfin : {x | x ⋖ a}.Finite
⊢ ∃ b, b ⋖ a ∧ (Set.Iic b).Infinite
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : Option α × Perm α
x : Option α
σ : Perm α
this : removeNone (swap none x * optionCongr σ) = σ
⊢ (fun σ => (σ none, removeNone σ)) ((fun i => swap none i.1 * optionCongr i.2) (x, σ)) = (x, σ)
α : Type u_1
o : Option α
h : o.isSome = true
⊢ o = some (o.get h)
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
H : IsCyclotomicExtension S A B
⊢ IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
rhs : ℕ → ℕ →* ℤ := fun a => { toFun := fun x => qrSign x a * J(↑x | a), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
rhs_apply : ∀ (a b : ℕ), (rhs a) b = qrSign b a * J(↑b | a)
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
hp : p ≠ 2
hpo : Odd p
q : ℕ
pq : Nat.Prime q
hq : q ≠ 2
⊢ legendreSym q ↑p = (rhs p) ↑q
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x : E
⊢ o = (map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this✝¹ : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
this✝ : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L
this : IsGalois K L := isGalois n K L
⊢ ∏ x : L →ₐ[K] E, (1 - x ζ) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
G : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup G
Archimedean G
H : AddSubgroup G
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Set.Ioo 0 a)
⊢ ∃ b, H = AddSubgroup.closure {b}
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ X.zeroLocus {f} = (X.basicOpen f).carrierᶜ
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
E' : Type u_2
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
x : E'
hf : ContDiff 𝕂 n f
hn : 1 ≤ n
⊢ HasStrictFDerivAt f (fderiv 𝕂 f x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
u₁ u₂ : UniformSpace γ
⊢ uniformSpace α γ = uniformSpace α γ ⊓ uniformSpace α γ
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a : R
ha : a ≠ 0
i j : ℕ
⊢ (monomial i) a = (monomial j) a ↔ i = j
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]
⊢ p.roots = 0 ↔ p = C (p.coeff 0)
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
x y : R
S : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Surjective ⇑f
⊢ (ker f).IsRadical ↔ ∀ (x : R), (∃ n, x ^ n ∈ ker f) → x ∈ ker f
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
⊢ UniformOnFun.topologicalSpace α β 𝔖 =
  ⨅ s ∈ 𝔖,
    TopologicalSpace.induced (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖))
      (UniformFun.topologicalSpace (↑s) β)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
B : Set X
hfB : IsBlock G B
⊢ IsBlock (↥H) B
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ y₁ = y₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
e : α ≃ β
q : β → Prop
h : Computable ⇑e.symm
⊢ q ≤₁ (q ∘ ⇑e)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
⊢ Collinear k ∅
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
r : F.M → Sort u_2
f : (x : ↑F F.M) → r (M.mk x)
fst✝ : F.A
snd✝ : F.B fst✝ → F.M
⊢ f ⟨match 0, CofixA.intro fst✝ fun i => (snd✝ i).approx 0 with | x, CofixA.intro i a => i, fun i => children { approx := Approx.sMk ⟨fst✝, snd✝⟩, consistent := ⋯ } i⟩ = f ⟨fst✝, snd✝⟩
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
CommRing k
CharP k p
PerfectRing k p
a : WittVector p k
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
⊢ ⇑p.subtype = Subtype.val
a b c : ℕ
h : b + c = a
⊢ c = a - b
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P✝ : Finpartition a
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
h : ⊥ ∈ P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts
⊢ False
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
⊢ lift.{max u w, w} #↑(range (Term.realize Subtype.val)) ≤ lift.{w, max u w} #(L.Term ↑s)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ⌈a - OfNat.ofNat n⌉ = ⌈a⌉ - OfNat.ofNat n
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : Type w'
f : J → C
c : CategoryTheory.Limits.Bicone f
g : K ≃ J
k : K
⊢ (c.whisker g).π k = c.π (g k)
f : ℝ → ℝ
hf : Continuous f
hf'' : ∀ (x : ℝ), deriv^[2] f x < 0
⊢ StrictConcaveOn ℝ Set.univ f
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
x a : α
l : List α
h : x ∈ (a :: l).head?
⊢ a :: l = x :: (a :: l).tail
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
b : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M'
v : ι → M'
⊢ (b.map f).det v = b.det (⇑f.symm ∘ v)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
x y z : Finmap β
⊢ x.Disjoint (y ∪ z) ↔ x.Disjoint y ∧ x.Disjoint z
a : Ordinal.{u_1}
h : 1 < a
a0 : 0 < a
b : Ordinal.{u_1}
⊢ (fun x => a ^ x) b < (fun x => a ^ x) (succ b)
α : Type u
DivisionMonoid α
u : αˣ
⊢ ↑u⁻¹ = (↑u)⁻¹
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommSemiring R
f : α → R
s : Finset α
inst✝ : CommSemiring R
x : α → R
n : ℕ
x✝ : { x // x ∈ s.sym n }
a✝ : x✝ ∈ univ
⊢ (Multiset.map x ↑↑x✝).prod = (Multiset.map x ↑↑x✝).noncommProd ⋯
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (f x, g x)
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun z => f z + g z) s x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n : ℤ
⊢ (CochainComplex.mappingCone.triangleRotateShortComplexSplitting φ n).s =
  -(CochainComplex.mappingCone.inl φ).v (n + 1) n ⋯
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.16591, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : HasKernel S.g
inst✝ : HasCokernel S.f
this : HasCokernel (kernel.lift S.g S.f ⋯)
⊢ S.Exact ↔ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F E
s : (x : B) → E x
x₀ : B
⊢ ContMDiffAt IB (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => Bundle.TotalSpace.mk' F x (s x)) x₀ ↔
  ContMDiffAt IB 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E x₀) { proj := x, snd := s x }).2) x₀
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
x : ↑↑U
⊢ LiftPropAt Q (id ∘ inclusion hUV) x
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
⊢ Set.EqOn f (Function.const E (f c)) U
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
⊢ a₁ ∉ J ∧ a₂ ∉ J → a₁ ⊓ a₂ ∉ J
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a : α
⊢ 1 / (1 / a) = a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), f i < sup f
⊢ (sup f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #ι
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f m : Dual R M₁
⊢ m ∈ range (dualMap f) ↔ ∃ a, a • f = m
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ₁ θ₂ : Real.Angle
x : V
⊢ (o.rotation θ₁) ((o.rotation θ₂) x) = (o.rotation (θ₁ + θ₂)) x
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
hn'' : 1 < n
⊢ 0 < eval x (cyclotomic n R)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
x : M₂
⊢ x ∈ Submodule.map f p ↔ ∃ y ∈ p, f y = x
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
s : Set γ
hs : IsClosed s
f : γ → β
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
this : PolishSpace ↑s
⊢ MeasurableSet (range fun x => f ↑x)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
n : ℤ
h : ¬⋯.order = ⊤
⊢ WithTop.map (fun x => ↑x) ⋯.order - ↑(Exists.choose hf) = ↑n ↔ ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g x ∧ g x ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = (z - x) ^ n • g z
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.card s = 1 ↔ ∃ a, s = {a}
α : Type u_1
xs ys zs : LazyList α
⊢ (xs.append { fn := fun x => ys }).append { fn := fun x => zs } =
  xs.append { fn := fun x => ys.append { fn := fun x => zs } }
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
s : R
x y : A
⊢ x * s • y = s • (x * y)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ -Set.Ioo a b = Set.Ioo (-b) (-a)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
s t : Finset α
u : α → Set β
⊢ ⋂ x ∈ s ∪ t, u x = (⋂ x ∈ s, u x) ∩ ⋂ x ∈ t, u x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
⊢ Real.sin (EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃) ≠ 0
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
a b : N ⋊[φ] G
⊢ (a * b).right = a.right * b.right
m n : ℕ
⊢ 1 < ack (m + 1 + 1) (n + 1)
l mr lm r : List Char
e : lm ++ r = { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l }, stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }.str.data
h : { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l }, stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }.startPos ≤ { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l }, stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }.stopPos
⊢ ∃ l_1 m r, ValidFor l_1 m r { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l }, stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ χ' : MulChar R R'
⊢ ⇑(χ * χ') = ⇑χ * ⇑χ'
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
GroupWithZero G
SmoothInv₀ I G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
a : M
hf : SmoothWithinAt I' I f s a
hg : SmoothWithinAt I' I g s a
h₀ : g a ≠ 0
⊢ SmoothWithinAt I' I (f / g) s a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α
r : ℝ≥0
⊢ (r • s).singularPart μ = r • s.singularPart μ
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hr : S.RightHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S.HasHomology
(S.map F).HasHomology
F.PreservesRightHomologyOf S
⊢ S.mapHomologyIso' F = (hr.map F).homologyIso ≪≫ F.mapIso hr.homologyIso.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a * b ≤ c * d
⊢ min a b ≤ max c d
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
Add ι
GradedMonoid.GMul A
i j : ι
a : A i
b : A j
⊢ GradedMonoid.mk i a * GradedMonoid.mk j b = GradedMonoid.mk (i + j) (GradedMonoid.GMul.mul a b)
α : Type u_2
β : Type u_1
R : α → β → Bool
as : List α
bs : List β
⊢ takeWhile₂ R as bs = takeWhile₂TR R as bs
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
⊢ Coalgebra.comul = ↑(TensorProduct.tensorTensorTensorComm R A A B B) ∘ₗ TensorProduct.map Coalgebra.comul Coalgebra.comul
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x✝ y : α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : α
hx : x ∈ s
z : α
hy : x ∈ s
hz : z ∈ Icc x x
⊢ z ∈ s
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ f.toRingHom = ↑f
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ (tensorLeft (𝟙_ C)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ R.one ▷ X P Q ≫ actLeft P Q = (tensorLeft (𝟙_ C)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (λ_ (X P Q)).hom
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : LocalPredicate T
x : ↑X
U : (OpenNhds x)ᵒᵖ
fU : (x_1 : ↥(unop ((OpenNhds.inclusion x).op.obj U))) → T ↑x_1
hU : P.pred fU
V : (OpenNhds x)ᵒᵖ
fV : (x_1 : ↥(unop ((OpenNhds.inclusion x).op.obj V))) → T ↑x_1
hV : P.pred fV
h : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩
W : OpenNhds x
iU : W ⟶ unop U
iV : W ⟶ unop V
w : ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)
⊢ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate) U ⟨fU, hU⟩ = (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨fun w => fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w), ⋯⟩ ∧ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate) V ⟨fV, hV⟩ = (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨fun w => fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w), ⋯⟩
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
⊢ ↑θ = ↑ψ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (volume.restrict (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ z ∈ Metric.ball s v, ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0) volume
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ jacobiTheta₂ z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ)
α : Type u_3
β : Type u_4
Mul α
CommSemigroup β
g : α →ₙ* β
a : α
⊢ (MulHom.coeFn α β) g a = g a
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
a : Set α
ha : 0 < μ a
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
⊢ Integrable (fun x_1 => f x) ((μ a)⁻¹ • μ.restrict a)
α : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
A B : Matrix m n α
Fintype m
Fintype n
Semiring α
DecidableEq m
DecidableEq n
v : m → α
w : n → α
⊢ Matrix.dotProduct (Matrix.vecMul v (A.hadamard B)) w = (Matrix.diagonal v * A * (B * Matrix.diagonal w).transpose).trace
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
c : E
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn (fun x => c) s μ
R : Type u_1
X : Type u_2
PseudoMetricSpace R
Add R
BoundedAdd R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
⊢ ∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f + g) x) ((f + g) y) ≤ C
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
f : M → M' × N'
⊢ Smooth I (I'.prod J') f ↔ Smooth I I' (Prod.fst ∘ f) ∧ Smooth I J' (Prod.snd ∘ f)
R : Type u
σ : Type u_1
a : R
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.C a = a • 1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : mk f = ⊤
⊢ IsIso (ofMkLEMk f (𝟙 Y) ⋯)
α : Type u
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain (Part α)
h : ¬∃ a, Part.some a ∈ c
⊢ Part.ωSup c = Part.none
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
t₁ t₂ : TopologicalSpace β
B₁ B₂ : Set (Set β)
h₁ : IsTopologicalBasis B₁
h₂ : IsTopologicalBasis B₂
⊢ IsTopologicalBasis (image2 (fun x x_1 => x ∩ x_1) B₁ B₂)
a b : Prop
Decidable a
⊢ ¬(a ∧ b) ↔ ¬a ∨ ¬b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
hF : CategoryTheory.Limits.IsImage F
hF' : CategoryTheory.Limits.IsImage F'
⊢ (hF.isoExt hF').inv ≫ F.m = F'.m
G : Type u_3
Group G
a b : G
⊢ a⁻¹ * b = 1 ↔ a = b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → β
hc : MeasurableSpace.CountablyGenerated β
h : NullMeasurable f μ
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
⊢ AEMeasurable f μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
⊢ iteratedDeriv (n + 1) f = deriv (iteratedDeriv n f)
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
⊢ IsPathConnected sᶜ