ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => 1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn x
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
e : G ≃+c[a, b] H
⊢ e.trans e.symm = AddConstEquiv.refl a
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
⊢ a / (a * a) = a⁻¹
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : M →* N
⊢ mrange (f.restrict S) = map f S
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommGroup R
α : Type u_3
s t : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
⊢ ⇑(s - t) = ⇑s - ⇑t
α : Type u_2
LE α
x y : α
h : x ≥ y
⊢ y ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
f : Filter β
u : β → α
⊢ (∃ b, ∀ (x : β), r (u x) b) → Filter.IsBoundedUnder r f u
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
s : Finset α
⊢ MeasureTheory.Measure.count ↑s = ↑s.card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
i : ι
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪b i, x⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) ⟪b i, y⟫_𝕜
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
l : List α
a : α
ha : a ∈ l
⊢ ¬↑a < l.minimum
n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsCyclotomicExtension {n} A B
CommRing L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
Field K
Algebra K L
IsDomain L
IsCyclotomicExtension {n} K L
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑n) K)
⊢ (Algebra.norm K) ζ = if n = 2 then -1 else 1
T : ℝ
⊢ Function.Periodic (fun x => expMapCircle (2 * π / T * x)) T
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
⊢ (Matrix.toLinAlgEquiv v₁) 1 = LinearMap.id
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α
i : m
⊢ ∑ j : m, ‖diagonal v i j‖₊ = ‖v i‖₊
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
v₁ v₂ v₃ v : V
⊢ EuclideanGeometry.angle (v₁ + v) (v₂ + v) (v₃ + v) = EuclideanGeometry.angle v₁ v₂ v₃
α : Type u_1
Lattice α
IsModularLattice α
a b : α
⊢ StrictMonoOn (fun c => c ⊔ b) (Set.Icc (a ⊓ b) a)
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁺ᵐ ⊓ a⁻ᵐ = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel (f * g).SameCycle
inst✝ : DecidableRel (g * f).SameCycle
h : f.Disjoint g
x : α
hfx : f x = x
⊢ (f * g).cycleOf x = f.cycleOf x * g.cycleOf x
ι : Type u_1
α : Type u_2
Fintype α
DecidableEq α
Nonempty α
s : Finset ι
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting
⊢ (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
u : ℤˣ
g : G
⊢ (HNNExtension.NormalWord.unitsSMulGroup φ d u g).2 = (⋯.equiv g).2
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ ⊥.IsComplement' ⊤
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
c : Set (Ideal R)
hs : c ⊆ nonPrincipals R
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c
⊢ ∃ I ∈ nonPrincipals R, ∀ J ∈ c, J ≤ I
α : Type u_1
CompleteLattice α
self : CompleteSublattice α
s : Set α
⊢ s ⊆ self.carrier → sSup s ∈ self.carrier
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : DivisionMonoid G
a b c d : G
h : Commute a b
n : ℕ
⊢ (a * b) ^ ↑n = a ^ ↑n * b ^ ↑n
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A₀ : C
x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃
hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₃ = x₁ ≫ S.L₁'.f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ (r • j).negPart = r.toNNReal • j.negPart
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s t : Finset β
⊢ (s -ᵥ t).card ≤ s.card * t.card
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : (MvQPF.P F).W α
⊢ MvQPF.WEquiv x y → MvQPF.WEquiv y x
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Abelian C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
S : ShortComplex C
hS : kernel.ι (F.map S.g) ≫ cokernel.π (F.map S.f) = 0
⊢ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
a b c d : Ordinal.{u_1}
⊢ a ≤ b → c < d → a ♯ c < b ♯ d
G : Type w
TopologicalSpace G
InvolutiveInv G
ContinuousInv G
s : Set G
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed s⁻¹
R : Type uR
ι : Type uι
M₂ : Type v₂
M' : Type v'
CommSemiring R
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M₂
Module R M'
Module R M₂
ι' : Type u_1
⊢ ⇑(MultilinearMap.currySumEquiv R ι M₂ M' ι') = MultilinearMap.currySum
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k S.g = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (h.liftK k hk) h.i = k
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
γ σ₁ ζ σ₂ : Type
s₂ : σ₂
s₁ : σ₁
f₁ : γ → σ₁ → σ₁ × ζ
f₂ : α → β → σ₂ → σ₂ × γ
⊢ Mathlib.Vector.mapAccumr f₁ (Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f₂ xs ys s₂).2 s₁ =
  let m :=
    Mathlib.Vector.mapAccumr₂
      (fun x y s =>
        let r₂ := f₂ x y s.2;
        let r₁ := f₁ r₂.2 s.1;
        ((r₁.1, r₂.1), r₁.2))
      xs ys (s₁, s₂);
  (m.1.1, m.2)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
e : X ≅ Y
n : ℕ
⊢ (s.ofIso e).ι n = s.ι n ≫ e.hom.app (Opposite.op [n])
R : Type u_1
CommSemiring R
a' b c : R
a : ℕ
⊢ ↑a = a' → a' * b = c → a • b = c
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedSpace 𝕜 E
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound t)) (fun x => F x t) (Metric.ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → HasDerivAt (fun x => F x t) (F' t) x₀
⊢ IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
⊢ ∃ c, ∃ ε > 0, ∀ ⦃y : R⦄, dist y 0 < ε → ‖inverse (1 - y)‖ ≤ c * ‖1‖
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
inst✝¹ : Algebra P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
h : R ≃+* P
H : Submonoid.map h.toMonoidHom M = T
⊢ Submonoid.map (h.symm.toMonoidHom.comp h.toMonoidHom) M = Submonoid.map (MonoidHom.id R) M
α : Type u_1
Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
⊢ s.sdiff t ≤ s
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ Function.Involutive ⇑CliffordAlgebra.involute
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
E : Set α
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
⊢ Metric.thickening δ E ∈ 𝓝ˢ E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
x : α
⊢ (𝓝[≠] x).NeBot
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
⊢ round 2⁻¹ = 1
R : CommRingCatᵒᵖ
⊢ AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.counit.app R = (AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso (Opposite.unop R)).inv.op
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
⊢ ¬Disjoint ↑I ↑J ↔ (↑I ∩ ↑J).Nonempty
α : Type u
s₁ s₂ : Stream' α
⊢ s₁.head = s₂.head → s₁ = s₁.tail → s₂ = s₂.tail → s₁ = s₂
x y z : ℝ
f g : ℝ → ℝ
f' g' : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x
h : 0 < f x
⊢ f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * log (f x) = ((((fun x => (f x, g x)) x).2 * ((fun x => (f x, g x)) x).1 ^ (((fun x => (f x, g x)) x).2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (((fun x => (f x, g x)) x).1 ^ ((fun x => (f x, g x)) x).2 * log ((fun x => (f x, g x)) x).1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) (f', g')
R : Type u
CommRing R
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen R ⊤ =
  CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away 1)) ≫
    AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toBasicOpen R 1 ≫
      (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrictOrderedSemiring Γ
x : PowerSeries R
n : ℕ
⊢ ((ofPowerSeries Γ R) x).coeff ↑n = (PowerSeries.coeff R n) x
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
SetLike S R
Monoid R
AddMonoid ι
A : ι → S
SetLike.GradedMonoid A
a : ↥(A 0)
n : ℕ
⊢ ↑(a ^ n) = ↑a ^ n
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ a ⋖ b ↔ a < b ∧ Set.Ioo a b = ∅
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
self : CategoryTheory.Sheaf J A
⊢ (CategoryTheory.sheafToPresheaf J A).obj self = self.val
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕝 E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 𝕝
s : Set E
x : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
c : 𝕝
hc : c ≠ 0
⊢ StrictConvex 𝕜 (c • s)
α : Type u_3
f : Filter α
f.IsCountablyGenerated
f.NeBot
⊢ ∃ x, Filter.Tendsto x Filter.atTop f
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddGroup A
CategoryTheory.HasShift C A
i j : A
h : i + j = 0
⊢ (CategoryTheory.shiftEquiv' C i j h).unitIso = (CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C i j h).symm
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p (x + ↑r)
⊢ LiouvilleWith p x
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ 0 < Real.cos x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f✝ f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
this : Nonempty ↑s
hx : f x ∈ closure (Subtype.val '' closure (Set.range (denseSeq ↑s)))
⊢ Tendsto (fun n => (↑(nearestPt (fun k => Nat.casesOn k y₀ (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)) n) ∘ f) x) atTop (𝓝 (f x))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
h : (succ #ι).ord ≤ mex f
H : ∀ (a : (Quotient.out (succ #ι).ord).α), ∃ i, f i = typein (fun x x_1 => x < x_1) a
g : (Quotient.out (succ #ι).ord).α → ι := fun a => Classical.choose ⋯
hg : Injective g
⊢ succ #ι ≤ #ι
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
f : ℤ[X]
a b : ℤ
b0 : 0 < b
fab : eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f) ≠ 0
ev : ℤ
bi : K
bu : bi * (algebraMap ℤ K) b = 1
hF : (algebraMap ℤ K) ev = (algebraMap ℤ K) b ^ f.natDegree * eval ((algebraMap ℤ K) a * bi) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)
Fa : |↑ev| = ↑b ^ f.natDegree * |eval (↑a * (↑b)⁻¹) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)|
⊢ 1 ≤ |ev|
R : Type u
CommSemiring R
f : R
x : PrimeSpectrum R
⊢ x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen f ↔ f ∉ x.asIdeal
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ List.Forall₂ R l₁ l₂ ↔ l₁.length = l₂.length ∧ ∀ {a : α} {b : β}, (a, b) ∈ l₁.zip l₂ → R a b
G : Type u_10
Group G
a : G
⊢ Equiv.divLeft a = Equiv.trans (Equiv.inv G) (Equiv.mulLeft a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_mono : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
⊢ Tendsto (fun m => ∫ (c : γ), κ.density κ.fst (a, c).1 (a, c).2 (Iic ↑(s m)) ∂κ.fst a) atTop (𝓝 ((κ a) {p | p.1 ∈ univ}).toReal)
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
H : ∀ m < n, (bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R m) = X m
⊢ W_ R n - ∑ x ∈ range n, (bind₁ (W_ R)) (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = X n * C (↑p ^ n)
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
ih : cardQuot (P ^ i) = cardQuot P ^ i
this : P ^ (i + 1) < P ^ i
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
f g : (c : S) → c ∈ P ^ i → S
hg : ∀ (c : S) (hc : c ∈ P ^ i), g c hc ∈ P ^ (i + 1)
hf : ∀ (c : S) (hc : c ∈ P ^ i), a * f c hc + g c hc = c
k : (c' : S ⧸ P ^ i.succ) → c' ∈ map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i) → S
hk_mem : ∀ (c' : S ⧸ P ^ i.succ) (hc' : c' ∈ map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i)), k c' hc' ∈ P ^ i
hk_eq : ∀ (c' : S ⧸ P ^ i.succ) (hc' : c' ∈ map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i)), (mkQ (P ^ i.succ)) (k c' hc') = c'
⊢ Function.Injective fun c' => Quotient.mk'' (f (k ↑c' ⋯) ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) s
k : ι
hk : μ (s k) ≠ ⊤
⊢ μ (⋂ i, s i) = ⨅ i, μ (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : ∀ (z : β), f x < z → ∃ y, x < y ∧ f y < z
u : β
hu : u > f x
v : α
xv : x < v
fvu : f v < u
this : Ioo x v ∈ 𝓝[>] x
⊢ ∀ᶠ (b : α) in 𝓝[>] x, f b < u
p : ℂ × ℂ
hp : p.1 ∈ slitPlane
A : p.1 ≠ 0
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) p
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
C : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C
F : CategoryTheory.Functor C A
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma (F.comp L) R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.preLeft F L R).obj X).hom = X.hom
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ ‖↑↑g x‖
⊢ eLpNorm (↑↑f) p μ ≤ eLpNorm (↑↑g) p μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ S.op.X₂ = Opposite.op S.X₂
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
s : Set α
t : Set β
hs : s ∈ f
ht : t ∈ g
⊢ Set.image2 m s t ∈ Filter.map₂ m f g
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ -(y ^ 2 + W.a₁ * x * y + W.a₃ * y - (x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆)) = 0 ↔ 1 ^ 6 * (W.a₆ + { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * W.a₄ + { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r ^ 2 * W.a₂ + { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r ^ 3 - { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t * W.a₃ - { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t ^ 2 - { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t * W.a₁) = 0
G : Type u
Group G
Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
⊢ (Nat.card ↥↑P).Coprime (↑P).index
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
⊢ List.dropSlice n 0 l = l
m n : ℤ
k : ℕ
k0 : k ≠ 0
h : m ^ k ∣ n ^ k
⊢ m ∣ n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ (↑p ^ (n + 1) * polyOfInterest p n).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
z : ℤ
⊢ ⌊a + ↑z⌋ = ⌊a⌋ + z
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
Add β
f g : α → β
⊢ (UniformOnFun.ofFun 𝔖) (f + g) = (UniformOnFun.ofFun 𝔖) f + (UniformOnFun.ofFun 𝔖) g
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
M₀ : Type u_7
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
f : α → M₀
x : α
hx : f x = 0
hf : (mulSupport f).Finite
a✝ : Nontrivial M₀
⊢ ∏ i ∈ hf.toFinset, f i = 0
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
h : x < y
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
⊢ ltByCases x y h₁ h₂ h₃ = h₁ h
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ (!(Nat.bit (!b) n).testBit m.succ) = !n.testBit m
α : Type u_1
r : Prop → α → Prop
⊢ Relation.Comp (fun x x_1 => x ↔ x_1) r = r
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a : E
⊢ Inseparable a 0 ↔ ‖a‖ = 0
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
N : Submodule R S
⊢ Submodule.LinearDisjoint 1 N
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
⊢ h.symm.symm = h
α : Type u_1
Mul α
Zero α
LinearOrder α
PosMulReflectLT α
⊢ PosMulMono α
M : Type u_4
Monoid M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : M
⊢ a * a ^ (n - 1) = a ^ n
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.C 1 = 1
z w : ℂ
h₂ : 0 < (z, w).2.re
h₁ : 0 < (z, w).1.re ∨ (z, w).1.im ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) (z, w)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → α → E
f_ℒp : ∀ (n : ι), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ
n : ι
⊢ eLpNorm (↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) p μ = eLpNorm (f n - f_lim) p μ
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M✝ M N : Comon_ C
f : M.X ≅ N.X
f_counit : autoParam (f.hom ≫ N.counit = M.counit) _auto✝
f_comul : autoParam (f.hom ≫ N.comul = M.comul ≫ (f.hom ⊗ f.hom)) _auto✝
⊢ f.hom ≫ f.inv ≫ M.comul = (M.comul ≫ (f.hom ⊗ f.hom)) ≫ (f.inv ⊗ f.inv)
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsKilling R L
⊢ (killingForm R L).Nondegenerate
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
f : M → M'
hf : ContMDiff I I' n (e' ∘ f)
this : f = ↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e' h').symm ∘ e' ∘ f
⊢ ContMDiff I I' n (↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e' h').symm ∘ e' ∘ f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᵒᵖ
Y Z : Cᵒᵖ
f : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f).unop =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (Opposite.unop X) f.unop
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0
⊢ (x + y).leadingCoeff = x.leadingCoeff
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ p ∂μ) atTop = liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop ^ p
R : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
StarRing R
s : NonUnitalStarSubsemiring R
x : R
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
NormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
DenselyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sSup ((fun x => ‖f x‖) '' Metric.ball 0 1) = ‖f‖
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
S : Set X
x₀ : X
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : Tendsto (fun x => F x x₀) l (𝓝 (f x₀))
h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀
U : Set α
hU : U ∈ 𝓝 (f x₀)
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVU : ball (f x₀) V ⊆ U
W : Set (α × α)
hW : W ∈ 𝓤 α
hWclosed : IsClosed W
hWV : W ⊆ V
⊢ f ⁻¹' U ∈ 𝓝[S] x₀
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ |(o.areaForm x) y| = ‖x‖ * ‖y‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
W : C
k l : CategoryTheory.Limits.pushout f g ⟶ W
h₀ : CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g ≫ k = CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g ≫ l
h₁ : CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g ≫ k = CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g ≫ l
⊢ k = l
α : Type u_1
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_7
CompleteLattice α
f g : (i : ι) → κ i → α
h : ∀ (i : ι) (j : κ i), f i j ≤ g i j
⊢ ⨆ i, ⨆ j, f i j ≤ ⨆ i, ⨆ j, g i j
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => x ∈ s ∧ IsOpen s) closure
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝¹ : IsDomain R₁
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
d : R₁
J : Ideal R₁
left✝ : d ≠ 0
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑↑J
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s✝ s : Set G
a : G
h : a ∈ closure s
x✝² : G
x✝¹ : InClosure s x✝²
x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x✝²
L : List G
HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s
HL2 : L.prod = x✝²
x : G
hx : x ∈ List.map Inv.inv L.reverse
y : G
hy1 : y ∈ L.reverse
hy2 : y⁻¹ = x
⊢ y ∈ s → y⁻¹⁻¹ ∈ s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
c : k
⊢ (s.weightedVSub p) (c • w) = c • (s.weightedVSub p) w
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
⊢ ⊥.space = ∅
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
a : Set (α × α)
ha : a ∈ 𝓤 α
n : ℕ
hn : ∀ k ≥ n, ∀ l ≥ n, (s k, s l) ∈ a
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ {k | k ≤ n}), s m ∈ {x | (x, s i) ∈ a}
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
i : ℤ
g : G
a : α
⊢ g ^ (↑(period g a) + i) • a = g ^ i • a
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : n → R
⊢ (Aᴴ * A) *ᵥ v = 0 ↔ A *ᵥ v = 0
α : Type u
s : Set α
⊢ s.Nonempty ↔ ∃ x, x ∈ s
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero β
CompactSpace α
⊢ BoundedContinuousFunction.mkOfCompact 0 = 0