ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasurableSpace ι
Group β
TopologicalGroup β
hu : MeasureTheory.ProgMeasurable f u
⊢ MeasureTheory.ProgMeasurable f fun i ω => (u i ω)⁻¹
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p1 : P
p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
⊢ ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p2 -ᵥ ⟨p1, hp1⟩) ∈ s.direction
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
K : Subgroup G
f : G →* N
⊢ (f.restrict K).range = Subgroup.map f K
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
disj : ∀ (y : F), (adjoint f) y ∈ K.dual → 0 ≤ ⟪y, b⟫_ℝ
⊢ b ∈ map f K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ⊤ = fun x x_1 x => True
w x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ≥0
⊢ (fun y => y ^ x) (y ^ x⁻¹) = y
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hfg : f =O[l] g
k : β → α
l' : Filter β
hk : Filter.Tendsto k l' l
⊢ (f ∘ k) =O[l'] (g ∘ k)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
Fintype ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
sp : AffineSubspace k P
FiniteDimensional k ↥sp.direction
hle : affineSpan k (Set.range p) ≤ sp
hc : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k ↥sp.direction + 1
⊢ affineSpan k (Set.range p) = sp
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_ind : ∀ J ≤ I, (∀ J' ∈ splitCenter J, p J') → p J
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
⊢ p I
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
N : Submodule R M
x : ↥N
⊢ x ∈ I • ⊤ ↔ N.subtype x ∈ I • N
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : HasFiniteIntegral (fun x => f x - y₀) μ
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ∂μ) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s t : Set α
f✝ g : α → G
a : α
h : s ⊆ t
f : α → G
⊢ (t \ s).mulIndicator f = t.mulIndicator f / s.mulIndicator f
x y : ℝ
⊢ cosh (x - y) = cosh x * cosh y - sinh x * sinh y
α : Type u
LT α
WellFoundedLT α
⊢ WellFounded fun x x_1 => x < x_1
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C 1
left : F.left = G.left
right : F.right = G.right
w : F.hom = eqToHom left ≫ G.hom ≫ eqToHom ⋯
⊢ F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ (eqToIso right).hom = (eqToIso left).hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
F : Type u_4
NormedLatticeAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : c ≤ 0
hf : MeasureTheory.Supermartingale f ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Submartingale (c • f) ℱ μ
a b : Prop
Decidable a
h : a → b
⊢ b ∨ ¬a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ ∑ i : ι, f i • g (σ i) ≤ ∑ i : ι, f i • g i
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r
⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ Tendsto f l atBot
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
InvolutiveInv G
ContinuousInv G
TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
⊢ ContinuousOn f⁻¹ s ↔ ContinuousOn f s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Unique I
⊢ OrthogonalIdempotents e ↔ IsIdempotentElem (e default)
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → Zero (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a
⊢ ↑(f.neLocus g) = {x | f x ≠ g x}
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
t : Set α
hf : IntegrableOn f t μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ (s ∩ t) < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h's : (μ.restrict t) s < ⊤
⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ.restrict t
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
hf0 : ¬f = 0
n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
hvf : ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p n) f) = 0
⊢ (coeff (ModP K v O hv p) p n) f = 0
K : Type u
Field K
n m : ℕ
a : K
hm : Irreducible (Polynomial.X ^ m - Polynomial.C a)
hn :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = Polynomial.X ^ m - Polynomial.C a →
      Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K x))
⊢ Irreducible (Polynomial.X ^ (n * m) - Polynomial.C a)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r✝ C✝ : ℝ
f : ℕ → α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n
hC : 0 ≤ C
this : ∀ n ≥ N, u n = v n
⊢ ℝ
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HAdd.hAdd) LT.lt
a b : α
⊢ Set.Iic a + Set.Iio b ⊆ Set.Iio (a + b)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
x : V
hx : ∀ (n : V), (B.flip x) n = 0
f : Module.Dual K V
⊢ ((Module.evalEquiv K V) x) f = ((Module.evalEquiv K V) 0) f
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : Basis n R M
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
x : M
⊢ ((toLin b b) A⁻¹) ({ toFun := ⇑((toLin b b) A), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
hf : Adapted ℱ f
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_eq_sum : μ[martingalePart f ℱ μ j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f 0 + ∑ k ∈ Finset.range j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i])
h_ge : ∀ (k : ℕ), i ≤ k → μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] 0
⊢ f 0 + ∑ k ∈ Finset.range j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i]) =ᶠ[ae μ] martingalePart f ℱ μ i
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)) volume (1 / 2) 1
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
⊢ lcm (b * a) (c * a) = lcm b c * normalize a
α : Type u_1
l : List α
m n : Nat
⊢ List.take (m + n) l = List.take m l ++ List.take n (List.drop m l)
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
ϕ : L →ᴸ L'
L₁ : FirstOrder.Language
L₂ : FirstOrder.Language
ψ : L₁ →ᴸ L₂
_n : ℕ
⊢ ∀ (a : L.Relations _n ⊕ L₁.Relations _n),
  (ϕ.sumMap ψ).onRelation a = Sum.map (fun f => ϕ.onRelation f) (fun f => ψ.onRelation f) a
G : Type u_1
Group G
g x : G
⊢ (Subgroup.quotientCentralizerEmbedding g) ↑x = ⟨⁅x, g⁆, ⋯⟩
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso f
⊢ pushout.inl f g ≫ inv (pushout.inr f g) = inv f ≫ g
α : Type u
L : List (α × Bool)
β : Type v
f : List (α × Bool) → β
H : ∀ (L₁ L₂ : List (α × Bool)), FreeAddGroup.Red.Step L₁ L₂ → f L₁ = f L₂
⊢ Quot.lift f H (FreeAddGroup.mk L) = f L
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
h : x ∈ (LinearPMap.mkSpanSingleton' x y H).domain
⊢ ↑(LinearPMap.mkSpanSingleton' x y H) ⟨x, h⟩ = y
α : Type u
r : α → α → Prop
l : List α
⊢ ¬List.Lex r l []
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
f : α → M
⊢ s.indicator f a = f a
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Semigroup M
a b : M
ha : a ∈ S.centralizer
hb : b ∈ S.centralizer
g : M
hg : g ∈ S
⊢ g * (a * b) = a * b * g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
a b : List α
⊢ Forall₂ (fun x x_1 => x = x_1) a b = (a = b)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid β
s : Finset γ
t : Finset α
f : γ × α → β
⊢ ∏ x ∈ s ×ˢ t, f x = ∏ x ∈ s, ∏ y ∈ t, f (x, y)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0
h_spanx : spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≠ 0
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≤ I
s : Finset K
hs : span R₁ ↑s = ↑(J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x))
⊢ span R₁ ↑(s * {((algebraMap R₁ K) x)⁻¹}) = ↑J
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
x y z : ℝ
hfs : HasUnitSpeedOn f (Set.Icc x y)
hft : HasUnitSpeedOn f (Set.Icc y z)
⊢ HasUnitSpeedOn f (Set.Icc x z)
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R✝
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
h : I.radical.FG
⊢ ∀ (M₁ M₂ : Submodule R R), (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) M₁ → (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) M₂ → (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) (M₁ ⊔ M₂)
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : α) in s, (μ[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
r : R
n : ℕ
⊢ ∃ j, r • I ^ j ≤ I ^ n
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableEq β
s : Finset γ
f : γ → β
g : β → α
⊢ (Finset.image f s).sup g = s.sup (g ∘ f)
X : CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape CategoryTheory.Limits.WalkingPair
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingSpanOpEquiv.counitIso.hom.app X = 𝟙 X
M : Type u_5
AddCommMonoid M
s : List M
⊢ (List.map (fun i => {i}) s).sum = {s.sum}
α : Type u_1
β : Type u_2
self : Batteries.HashMap.Imp.Buckets α β
i : USize
d : Batteries.AssocList α β
h : i.toNat < self.val.size
⊢ (self.update i d h).val.size = self.val.size
α : Type u_2
Mul α
s t : Set α
⊢ (s * t).Nonempty → t.Nonempty
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq α
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (∏ i ∈ s, if i ∈ t then f i else 1) = ∏ i ∈ s ∩ t, f i
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as
⊢ ∀ (t : ↑I), f (p' t) = H.uliftMap (((Path.refl { down := 0 }).prod p') t)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
X : CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda F
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.costructuredArrowYonedaEquivalence F).inverse.obj X =
  Opposite.op ((CategoryTheory.CategoryOfElements.fromCostructuredArrow F).obj (Opposite.op X))
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * p).degree = p.degree
α β : Type u
f : α → β
⊢ f <$> 1 = 1
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Z
x : X
f : X → Z
hf : ContinuousWithinAt f s x
hxe : x ∈ e.source
ht : t ∈ 𝓝 (f x)
⊢ ∀ a ∈ e.source, (a ∈ s → a ∈ f ⁻¹' t) → (↑e a ∈ ↑e.symm ⁻¹' s ↔ ↑e a ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t))
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
p : β → Prop
⊢ ⨅ i, f i = (⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : ¬p i), f i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
a₁ a₂ a₃ : ℤ
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : ℤ
h₁ : a₁ + b₁ = 0
h₂ : a₂ + b₂ = 0
h₃ : a₃ + b₃ = 0
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' Cᵒᵖ a₁ a₂ a₃ h).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ a₂).map ((CategoryTheory.Pretriangulated.shiftFunctorOpIso C a₁ b₁ h₁).hom.app X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((CategoryTheory.Pretriangulated.shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).hom.app
        ((CategoryTheory.shiftFunctor C b₁).op.obj X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op
        ((CategoryTheory.Pretriangulated.shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).inv.app X)))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
DecidableEq β
Zero β
FunLike F α β
ZeroHomClass F α β
f : F
s : Finset α
⊢ (Finset.imageZeroHom f) s = Finset.image (⇑f) s
p q : ℝ
h : 0 < q
⊢ ENNReal.ofReal p < ENNReal.ofReal q ↔ p < q
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommGroup W
inst✝¹³ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : FirstCountableTopology W
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
hf : Integrable f μ
⊢ ∀ᵐ (a : V) ∂μ, Continuous fun x => e (-(L a) x) • f a
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Sort u_5
S : ι → AddSubgroup G
⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
G : Type u_1
H : Type u_2
MulOneClass G
MulOneClass H
f : Additive G ≃+ Additive H
a : H
⊢ (MulEquiv.toAdditive.symm f).symm a = (MonoidHom.toAdditive.symm f.symm.toAddMonoidHom) a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
⊢ Tendsto (fun x => ↑⌊x⌋₊ / x) atTop (𝓝 1)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : PowerSeries R
n : ℕ
⊢ ((ofPowerSeries ℤ R) x).coeff ↑n = (PowerSeries.coeff R n) x
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
⊢ (↑m)⁻¹ ≤ schnirelmannDensity {n | n % m = 1}
u : Set ℝ≥0∞
h : u.OrdConnected
⊢ (ENNReal.ofNNReal ⁻¹' u).OrdConnected
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
z : ℤ_[p]
hev : Polynomial.eval z F = 0
hnlt : ‖z - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
soln_dist : ‖z - soln‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
h : ℤ_[p] := z - soln
q : ℤ_[p]
hq : Polynomial.eval (soln + h) F = Polynomial.eval soln F + Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
this✝¹ : (Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) + q * h) * h = 0
hne : ¬h = 0
this✝ : Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) + q * h = 0
this : Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) = -q * h
⊢ ‖z - soln‖ < ‖Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F)‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α) in insert a s, f x ∂μ = f a * μ {a} + ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
X : Type u_2
AddAction R X
r : X
s t : ↥S
⊢ ↑s -ₒ t +ᵥ (r -ₒ s) = r -ₒ t
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ UniformEmbedding Sum.inl
I : Type u
f : I → Type v₁
x y : (i : I) → f i
(i : I) → Mul (f i)
⊢ x * y = fun i => x i * y i
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
as : Array α
f : α → m β
motive : Nat → Prop
h0 : motive 0
p : Fin as.size → β → Prop
hs : ∀ (i : Fin as.size), motive ↑i → SatisfiesM (fun x => p i x ∧ motive (↑i + 1)) (f as[i])
⊢ SatisfiesM (fun arr => motive as.size ∧ ∃ eq, ∀ (i : Nat) (h : i < as.size), p ⟨i, h⟩ arr[i]) (foldlM (fun bs a => bs.push <$> f a) #[] as 0)
Δ' Δ : SimplexCategory
i : Δ' ⟶ Δ
hi : Mono i
hi' : Δ ≠ Δ'
h : Δ'.len < Δ.len
⊢ Δ'.len < Δ.len
L : Type u_2
Field L
F : Subfield L
E : IntermediateField (↥F) L
⊢ ↑((RelIso.symm (Subfield.extendScalars.orderIso F)) E) = E.toSubfield
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵈ Y
⊢ Function.Surjective ⇑e
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
X Y : C
e : X ≅ Y
hX : F.obj X = G.obj X
hY : F.obj Y = G.obj Y
h₂ : F.map e.hom = eqToHom ⋯ ≫ G.map e.hom ≫ eqToHom ⋯
⊢ F.map e.inv = eqToHom ⋯ ≫ G.map e.inv ≫ eqToHom ⋯
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.map (fun F => CategoryTheory.Limits.limit F) α = CategoryTheory.Limits.lim.map α
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
s1 s2 : Set ι
p0 : P
fs1 : Finset ι
hfs1 : ↑fs1 ⊆ s1
w1 : ι → k
hw1 : ∑ i ∈ fs1, w1 i = 1
hp0s1 : p0 = (affineCombination k fs1 p) w1
fs2 : Finset ι
hfs2 : ↑fs2 ⊆ s2
w2 : ι → k
hw2 : ∑ i ∈ fs2, w2 i = 1
hp0s2 : p0 = (affineCombination k fs2 p) w2
ha : (↑fs1).indicator w1 = (↑fs2).indicator w2
hnz : ∑ i ∈ fs1, w1 i ≠ 0
i : ι
hifs1 : i ∈ fs1
hinz : w1 i ≠ 0
⊢ ∃ i, i ∈ s1 ∩ s2
n : ℕ
f : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ f⁻¹.signAux = f.signAux
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
X : J
hX : IsInitial X
F : J ⥤ C
inst✝ : ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), IsIso (F.map f)
i j : J
f : i ⟶ j
⊢ F.map f ≫ inv (F.map (hX.to j)) = inv (F.map (hX.to i)) ≫ 𝟙 (F.obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
μ : Measure δ
s : Set ι
f : ι → δ → α
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
g : ι → δ → α := fun i => if hi : i ∈ s then AEMeasurable.mk (f i) ⋯ else fun _b => sSup ∅
this : ∀ i ∈ s, Measurable (g i)
⊢ AEMeasurable (fun b => ⨆ i ∈ s, f i b) μ
x y : ℝ
f g : CauSeq ℚ abs
⊢ mk (f * g) = mk f * mk g
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
p : k[X]
hsep : p.Separable
h : p.roots = 0
hd : p.degree ≤ 0
⊢ p = C (p.coeff 0)
V : Type u_1
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t
⊢ (G.replaceVertex s t).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
h_ninj : ∃ a b, (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) a = (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) b ∧ a ≠ b
⊢ ∃ a < (succ #α).ord, ∃ b < (succ #α).ord, a ≠ b ∧ lfpApprox f x a = lfpApprox f x b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
s : Y ⟶ X
hs : W s
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.RightFraction.ofInv s hs).X' = Y
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
t : Finset ι
hs : ∀ i ∈ t, s i ≠ 0
pp : (↑t).Pairwise (Nat.Coprime on s)
⊢ ↑(Nat.chineseRemainderOfFinset a s t hs pp) < ∏ i ∈ t, s i
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeSup L
ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
x : X
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousAt (f i) x
⊢ ContinuousAt (fun a => s.sup' hne fun x => f x a) x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
hp₁ : p₁ ∈ affineSpan ℝ (insert p (Set.range s.points))
hp₂ : p₂ ∈ affineSpan ℝ (insert p (Set.range s.points))
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (EuclideanGeometry.reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S
hr : ¬r = 0
this : Fintype (S ⧸ span {r}) := (span {r}).fintypeQuotientOfFreeOfNeBot ⋯
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S
⊢ ↑ℤ (Submodule.subtype (span {r})) ∘ₗ (↑(b.equiv (basisSpanSingleton b hr) (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S)))).toIntLinearMap = (Algebra.lmul ℤ S) r
R : Type u
CommSemiring R
f : R[X]
𝓟 : Ideal R
self : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
n : ℕ
⊢ n < f.natDegree → f.coeff n ∈ 𝓟
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
⊢ a₁ ⊓ a₂ ∉ J
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
p' : Filter β
⊢ TendstoUniformlyOnFilter F f p p' ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι × β) in p ×ˢ p', dist (f n.2) (F n.1 n.2) < ε
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < (-y).orderTop
⊢ (x + -y).orderTop = x.orderTop
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a : α
h : ¬Order.IsPredLimit a
⊢ a ∈ Set.range Order.pred
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
f : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ (K →+* ℂ) := (canonicalEmbedding.latticeBasis K).indexEquiv (Pi.basisFun ℂ (K →+* ℂ))
e : index K ≃ Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := (indexEquiv K).trans f.symm
M : Matrix (index K) (index K) ℝ := (mixedEmbedding.stdBasis K).toMatrix ⇑((latticeBasis K).reindex e.symm)
N : Matrix (K →+* ℂ) (K →+* ℂ) ℂ := Algebra.embeddingsMatrixReindex ℚ ℂ (⇑(integralBasis K) ∘ ⇑f.symm) RingHom.equivRatAlgHom
i✝ j✝ : index K
⊢ ((mixedEmbedding.stdBasis K).toMatrix ⇑((latticeBasis K).reindex e.symm)).map (⇑ofReal) i✝ j✝ = (matrixToStdBasis K * ((reindex (indexEquiv K).symm (indexEquiv K).symm) N)ᵀ) i✝ j✝
α : Type u_1
β : Type u_2
as : List α
f : α → β
⊢ (List.map f as).length = as.length
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
p : m.ToType → Prop
⊢ (∀ (x : m.ToType), p x) ↔ ∀ (x : α) (i : Fin (Multiset.count x m)), p ⟨x, i⟩