ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L₁' L₂' : LieSubalgebra R L
⊢ L₁'.toSubmodule = L₂'.toSubmodule ↔ L₁' = L₂'
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ∃ U ∈ 𝓝 x, U ∩ s = {x}
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ μ.tilted 0 = μ
α : Type u_1
⊢ Nonempty (TwoPointing α) ↔ Nontrivial α
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s ∪ t ⊆ u ↔ s ⊆ u ∧ t ⊆ u
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
hdeg : 1 < f.natDegree
⊢ h.coeff h.root = Pi.single 1 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E
⊢ gauge s x ≤ a ↔ ∀ (i : ℝ), a < i → x ∈ i • s
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
H : ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i})) → a = 0
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
i : ι
hn : ¬l i = 0
⊢ l i • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i}))
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (ν (Prod.mk a ⁻¹' s)).toReal ∂μ = (μ.prod ν) s
b : ℂ
hb : 0 < b.re
⊢ ContinuousAt (fun c => ∫ (x : ℝ), cexp (-c * ↑x ^ 2)) b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
f f' : ↥(Lp E p μ)
a : α
ha1 : ↑↑(hg.compLp g0 f) a = (g ∘ ↑↑f) a
ha2 : ↑↑(hg.compLp g0 f') a = (g ∘ ↑↑f') a
ha3 : ↑↑(hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f') a = (↑↑(hg.compLp g0 f) - ↑↑(hg.compLp g0 f')) a
ha4 : ↑↑(f - f') a = (↑↑f - ↑↑f') a
⊢ ‖↑↑(hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f') a‖ ≤ ↑c * ‖↑↑(f - f') a‖
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hi : Irreducible p
a b : K[X]
hab : map (algebraMap R K) p = a * b
c : R
c0 : c ≠ 0
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ a) = C ((algebraMap R K) c) * a
d : R
d0 : d ≠ 0
hd : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ b) = C ((algebraMap R K) d) * b
hcd0 : ¬C (c * d) = 0
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
w : E
⊢ ↑((orthogonalProjection K) w) + ↑((orthogonalProjection Kᗮ) w) = w
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
AddCommGroup Q
Module R Q
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ Function.Exact ⇑(LinearMap.rTensor Q f) ⇑(LinearMap.rTensor Q g)
x : ℝ*
⊢ x.Infinite ↔ ¬∃ r, x.IsSt r
p q : NNReal
⊢ p.IsConjExponent q ↔ 1 < p ∧ p⁻¹ + q⁻¹ = 1
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
a : L
ha : a ∈ I
⊢ IsIntegral A (((traceForm K L) ((algebraMap B L) b)) a)
α : Type u_1
a b : PosNum
this : Ordering.casesOn (b.cmp a) (↑b < ↑a) (b = a) (↑a < ↑b)
⊢ Ordering.casesOn ((neg a).cmp (neg b)) (↑(neg a) < ↑(neg b)) (neg a = neg b) (↑(neg b) < ↑(neg a))
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t ↔ (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv (forkMap P S.arrows t) = x
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
c : α
h : a ≤ b
⊢ min a c ≤ min b c
𝕜 : Type u_1
CommRing 𝕜
V : Type u_2
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
MeasurableSpace V
W : Type u_3
AddCommGroup W
Module 𝕜 W
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
TopologicalSpace 𝕜
TopologicalRing 𝕜
TopologicalSpace V
BorelSpace V
TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
w : W
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)₀
this : φ ((f * g).toNNReal + (-f).toNNReal * g.toNNReal + f.toNNReal * (-g).toNNReal) = φ ((-(f * g)).toNNReal + f.toNNReal * g.toNNReal + (-f).toNNReal * (-g).toNNReal)
⊢ { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun g
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
p : α → Prop
DecidablePred p
ep : Equiv.Perm { a // p a }
en : Equiv.Perm { a // ¬p a }
⊢ Equiv.Perm.sign (ep.subtypeCongr en) = Equiv.Perm.sign ep * Equiv.Perm.sign en
x : EReal
⊢ 0 < x → x * ⊤ = ⊤
a x z✝ z : ℂ
h₁ : 0 ≤ z.im
h₂ : z ≠ 0
⊢ z.arg = Real.arccos (z.re / abs z)
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
⊢ HasSum (fun n => ZetaAsymptotics.term (n + 1) 1) (1 - γ)
F : Type u_1
β : Type v
γ : Type w
UniformSpace β
UniformSpace γ
Zero γ
FunLike F β γ
ZeroAtInftyContinuousMapClass F β γ
f : F
⊢ UniformContinuous ⇑f
α : Sort u_2
DecidableEq α
β : α → Sort u_1
a : α
v w : β a
f : (a : α) → β a
⊢ Function.update (Function.update f a v) a w = Function.update f a w
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
⊢ o.card = 1 ↔ o = 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
a✝ : α
ha✝ : a✝ ∈ A
a : α
ha : a ∈ t + replicate (n - m) a✝
⊢ a ∈ A
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f✝ : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝ : Algebra R S
f : R →+* S
I : Ideal R
hf₁ : RingHom.ker f ≤ I
hf₂ : f.IsIntegral
⊢ map f I = ⊤ → I = ⊤
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
hfi : ¬Integrable f μ
⊢ (if Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpL1 hm μ f)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ f.toMap x * f.mk' 1 y = f.mk' x y
G : Type u_3
CommGroup G
a b c : G
⊢ c * a / (c * b) = a / b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι
⊢ Submodule.span k ((fun x => p i₀ -ᵥ x) '' (p '' (univ \ {i₀}))) = Submodule.span k (range fun i => p i₀ -ᵥ p ↑i)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
p_ne_zero : map i p ≠ 0
hsplit : Splits i p
⊢ (map i p).degree = ↑(Multiset.card (map i p).roots)
n k : ℕ
⊢ (n - k) * (n - k) ^ k ≤ (n - k) * n.descFactorial k
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a : Associates α
ha : a ≠ 0
b : Associates α
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ p.count a.factors ≠ 0 → p.count b.factors = 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K V : Set G
hK : IsCompact K
hV : (interior V).Nonempty
this : sInf (Finset.card '' {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}) ∈ Finset.card '' {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
⊢ ∃ t, K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V ∧ t.card = index K V
α : Sort u_2
β : Sort u_1
f : α → β
p : α → Prop
q : β → Prop
⊢ (∀ (b : β) (a : α), p a → f a = b → q b) ↔ ∀ (a : α), p a → q (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι → Set α
g : ι' → Set β
hs : s.PairwiseDisjoint f
ht : t.PairwiseDisjoint g
⊢ (s ×ˢ t).PairwiseDisjoint fun i => f i.1 ×ˢ g i.2
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
ha : 1 < a
hbc : b < c
⊢ b < a * c
R : Type u
S : Type v
A : Type w
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra S A
Algebra R A
IsScalarTower R S A
⊢ algebraMap R A = (algebraMap S A).comp (algebraMap R S)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
⊢ Ioc (pred a) b = Icc a b
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ l : List α}, (l₁ ++ l₂).Disjoint l ↔ l₁.Disjoint l ∧ l₂.Disjoint l
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ (Antitone fun x => x ∈ s) ↔ IsLowerSet s
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
w : HNNExtension.NormalWord.ReducedWord G A B
⊢ ∃ w',
  HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.prod φ w'.toReducedWord = HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.prod φ w ∧
    List.map Prod.fst w'.toList = List.map Prod.fst w.toList ∧
      ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w'.head⁻¹ * w.head ∈ HNNExtension.toSubgroup A B (-u)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q R : C
J : Type u_1
s : Finset J
f : P ⟶ Q
g : J → (Q ⟶ R)
⊢ f ≫ ∑ j ∈ s, g j = ∑ j ∈ s, f ≫ g j
a b : ℝ
n k : ℕ
ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = 2 * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)
⊢ (sin 0 ^ (2 * k + 1 + 1) * cos 0 - sin π ^ (2 * k + 1 + 1) * cos π) / ↑(2 * k + 1 + 2) + ↑(2 * k + 1 + 1) / ↑(2 * k + 1 + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = ↑(2 * k + 2) / ↑(2 * k + 3) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝ : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : ⋃ x ∈ T, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x)) = ⋃ x, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x))
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
⊢ ∃ t A, (∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, t n ∧ (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))) ∧ (s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y)
K : Type u_1
RCLike K
⊢ (starRingEnd K) (-RCLike.I) = RCLike.I
α : Type u_4
⊢ Function.Injective Finset.toSet
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
hΦ : Isometry Φ
⊢ infDist (Φ x) (Φ '' t) = infDist x t
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
(i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
x : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.succ
⊢ Fin.cons x p ≤ q ↔ x ≤ q 0 ∧ p ≤ Fin.tail q
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
⊢ Cardinal.toNat (Cardinal.mk α) = Cardinal.toNat (Cardinal.mk β)
α : Type u_1
CommSemigroup α
a b : α
h : a ∣ b
c : α
⊢ a ∣ c * b
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
h' : Epi f.base
this✝ : ∀ (U : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ), IsIso (f.c.app U)
this : IsIso f.c
t : ↑↑X ≃ₜ ↑↑Y := (Homeomorph.ofEmbedding ⇑f.base ⋯).trans { toFun := Subtype.val, invFun := fun x => ⟨x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
⊢ IsIso f.base
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (Finset.Ioo f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Finset.Icc (f i) (g i)).card - 2
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
σ : L ≃ₐ[K] L
ζ : K
hζ'✝ : ζ ∈ primitiveRoots n K
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ n
hα : ∃ a_1 < n, (algebraMap K L) ζ ^ a_1 * rootOfSplitsXPowSubC hn a L = α
⊢ (autEquivRootsOfUnity ⋯ hn H L) σ • α = σ α
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →L[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ closedBall 0 r, ‖f z‖ ≤ c
⊢ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c / r * ‖x‖
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x ≤ y ∧ Disjoint x z
⊢ x \ z ≤ y \ z
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑R
inst✝ : Algebra ↑R ↑S
y : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk p)
r : ↑R
hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r
s' : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen r)))
e : (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y
s : ↑S
n : ℕ
hsn : s' * (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) ↑(s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).2 = (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) (s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).1
⊢ (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, trivial⟩) ((toOpen ↑S ⊤) ((algebraMap ↑R ↑S) ↑(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2)) * y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
ξ : Kernel γ δ
inst✝ : IsSFiniteKernel ξ
η : Kernel β γ
κ : Kernel α β
⊢ ξ ∘ₖ η ∘ₖ κ = ξ ∘ₖ (η ∘ₖ κ)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
a : α
ha : a ∈ s
⊢ (map f s).prod = (map f t).prod ↔ s.prod = t.prod
G : Type u_1
AddGroup G
a : G
m n : ℤ
⊢ AddCommute (m • a) (n • a)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
hx : f.rOut ≤ dist x c
⊢ ↑f x = 0
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DecidableEq ι
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
H : (Module.DirectLimit.of R ι G f i) x = 0
⊢ ∃ j, ∃ (hij : i ≤ j), (f i j hij) x = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h : ⟪x, y⟫_𝕜 = 0
⊢ re ⟪x, y⟫_𝕜 = 0
R : Type u
CommSemiring R
S : Type u_1
CommSemiring S
p : ℕ
ExpChar R p
ExpChar S p
Algebra R S
x : S
⊢ (LinearMap.frobenius R S p) x = x ^ p
α : Type u_1
X : Set α
M : Matroid α
B : Set ↑X
⊢ (M.restrictSubtype X).Base B ↔ M.Basis' (↑B) X
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.107784, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q
⊢ (δ 0 1 (snd φ)).v p q hpq = (-(↑(fst φ)).comp (Cochain.ofHom φ) ⋯).v p q hpq
α : Type u
s : Stream' α
⊢ s.even.head = s.head
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ p : MvPolynomial σ R
⊢ (∀ ⦃d : σ →₀ ℕ⦄, coeff d p ≠ 0 → (weight w) d = 0) ↔ ∀ s ∈ p.support, (weight w) s = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly✝ : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
hq_poly : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b' * x) x, (fun x => ‖deriv q x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖deriv q x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖deriv q x‖) x)
h_tendsto : Tendsto (fun x => b' * x) atTop atTop
n : ℕ
hn : ∀ u ∈ Set.Icc (b' * ↑n) ↑n, ‖deriv q u‖ ∈ Set.Icc (c₁ * ‖deriv q ↑n‖) (c₂ * ‖deriv q ↑n‖)
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
h_ge_n₀ : R.n₀ ≤ n
h_n_pos : 0 < n
h_bn : 1 < b' * ↑n
⊢ ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖ ≤ c₂ * ‖deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)‖
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Monoid α
a b : α
⊢ a ∈ (ConjClasses.mk b).carrier ↔ ConjClasses.mk a = ConjClasses.mk b
x✝ y x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ log x + 1 ≤ x
R : Type u_1
M : Type u_3
a b : R
SMul R M
Mul R
IsScalarTower R R M
ha : IsSMulRegular M a
⊢ IsSMulRegular M (a * b) ↔ IsSMulRegular M b
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ 𝓚 (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + (y - z)‖ * ‖x + (y - z)‖) + I * 𝓚 (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ - ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖) = 𝓚 (‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖ + (‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖)) + I * 𝓚 (‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖ - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖ + (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ - ‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖))
𝕜✝ : Type u
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type v
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ E✝
F : Type w
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ F
F' : Type x
inst✝⁹ : AddCommGroup F'
inst✝⁸ : Module 𝕜✝ F'
inst✝⁷ : TopologicalSpace F'
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜✝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜✝
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : LocallyCompactSpace E
r : ℝ
rpos : 0 < r
hr : IsCompact (closedBall 0 r)
⊢ ProperSpace E
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
𝕜 : Type u_3
CommSemiring 𝕜
A : Type u_4
TopologicalSpace A
Semiring A
TopologicalSemiring A
StarRing A
ContinuousStar A
Algebra 𝕜 A
f : X ≃ₜ Y
a : C(X, A)
⊢ (Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 A f).symm a = (ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A f.symm.toContinuousMap) a
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq α
⊢ image2 f (insert a ↑s) ↑t = (fun b => f a b) '' ↑t ∪ image2 f ↑s ↑t
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.cos (angle x (x - y)) = ‖x‖ / ‖x - y‖
n : Nat
a b : Fin n
⊢ a - b = ⟨(n - ↑b + ↑a) % n, ⋯⟩
a b n : ℕ
hn : 0 < n.succ
⊢ (a ^ n).Coprime b ∧ a.Coprime b ↔ a.Coprime b
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Z : C
inst✝ : HasLeftDual Z
f : Y ⟶ ᘁZ
⊢ 𝟙 Y ⊗≫ (η_ (ᘁZ) Z ▷ Y ≫ (ᘁZ ⊗ Z) ◁ f) ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z = f ⊗≫ η_ (ᘁZ) Z ▷ ᘁZ ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
M : PresheafOfModules R
x : ↑(M.obj X)
⊢ (PresheafOfModules.restrictionApp f M) x = (M.map f) x
α : Type u_4
p : Finset α → Prop
DecidableEq α
s : Finset α
empty : p ∅
insert : ∀ ⦃a : α⦄ {s : Finset α}, a ∉ s → p s → p (insert a s)
⊢ p s
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ AddMonCatMax
CategoryTheory.IsFiltered J
j : J
⊢ 0 = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk F ⟨j, 0⟩
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.71408, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
⊢ n + (up ℤ).prev i = (up ℤ).prev i'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
a b x✝ : ℝ≥0
⊢ nndist a b ≤ x✝ ↔ max (a - b) (b - a) ≤ x✝
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R B
h : S ≤ f.range
⊢ map f (comap f S) = S
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ (-o).oangle y (x + y) = ↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖x + y‖))
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : FractionalIdeal A⁰ (FractionRing A) ≃+* FractionalIdeal A⁰ K := mapEquiv (FractionRing.algEquiv A K)
x : FractionalIdeal A⁰ (FractionRing A)
⊢ x ≠ ⊥ → x * x⁻¹ = 1 ↔ h.toEquiv x ≠ ⊥ → h.toEquiv x * (h.toEquiv x)⁻¹ = 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
⊢ ¬s1 ≤ s2 ↔ ∃ p ∈ s1, p ∉ s2
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
SecondCountableTopology V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
μ : MeasureTheory.Measure V
n : ℕ
hf : MeasureTheory.Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : α → Prop
t : Finset α
h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)
s : Set α := {x | p x}
this : mulSupport (s.mulIndicator f) ⊆ ↑t
x : α
hx : x ∈ t
hxs : x ∉ s
⊢ f x = 1
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun ω => (((ProbabilityTheory.condexpKernel μ m) ω) s).toReal) μ
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
r : R
⊢ ((WittVector.teichmuller p) r).coeff 0 = r
n : ℕ
⊢ (starRingEnd ℂ) ↑n = ↑n