ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0
⊢ (dual A K I)⁻¹ ≤ I
S : Type u_1
Semigroup S
⊢ Transitive fun a b => ∃ c, SemiconjBy c a b
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
Field K
Field L
Algebra K L
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
⊢ Algebra.discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis =
  (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε + cgf X μ t)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b : α
H : a < b
⊢ Set.Icc a b ∈ 𝓝[<] b
α : Type u_3
MonoidWithZero α
⊢ (fun n => 0 ^ n) =ᶠ[Filter.atTop] fun x => 0
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
⊢ Setoid.r = RightCosetEquivalence ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
hA : A ≠ 0
this : ∃ t, t ≠ 0 ∧ A *ᵥ t = 0 ∧ ‖t‖ ≤ (↑n * max 1 ‖A‖) ^ e
⊢ 1 ≤ ‖A‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
n : ℕ
⊢ ‖↑(n + 1)‖ ≤ ↑(n + 1) * ‖1‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
s : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X Y
⊢ s.π.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left } = s.fst
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
hm : multiplicity.Finite λ S'.c
this : λ ^ 4 ∣ S'.c ^ 3
⊢ 2 ≤ (multiplicity λ S'.c).get hm
R : Type u_1
Semiring R
φ ψ : PowerSeries R
_h : φ.order ≠ ψ.order
H : φ.order < ψ.order
⊢ (φ + ψ).order ≤ φ.order ⊓ ψ.order
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f g : α →o β
x y : α
h₁ : f ≤ g
h₂ : x ≤ y
⊢ f x ≤ g y
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
DecidableEq α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ Finset.Icc a b * Finset.Ico c d ⊆ Finset.Ico (a * c) (b * d)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A X Y Y' : C
CategoryTheory.Closed A
f : X ⟶ (CategoryTheory.ihom A).obj Y
g : Y ⟶ Y'
⊢ CategoryTheory.MonoidalClosed.uncurry (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((CategoryTheory.ihom A).map g)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalClosed.uncurry f) g
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁸ : OrderedRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : AddTorsor V P
inst✝⁴ : AddCommGroup V'
inst✝³ : Module R V'
inst✝² : AddTorsor V' P'
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
ι : Type u_6
p : ι → P
ha : AffineIndependent R p
w w₁ w₂ : ι → R
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
h : ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i
i : ι
his : i ∈ s
hs : Sbtw R (w₁ i) (w i) (w₂ i)
⊢ Sbtw R ((Finset.affineCombination R s p) w₁) ((Finset.affineCombination R s p) w) ((Finset.affineCombination R s p) w₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
f' : β → α
h : Set.InvOn f' f s t
⊢ Set.InvOn f f' t s
x y : ℝ≥0∞
⊢ ↑x ≤ ↑y ↔ x ≤ y
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x : (i : ι) → φ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
⊢ ⨆ i, map (single i) (p i) = pi Set.univ p
α : Type u_2
LinearOrderedField α
FloorRing α
⊢ round (-2⁻¹) = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
⊢ ∃ i j,
  MeasurableSet i ∧
    MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s i ∧
      MeasurableSet j ∧
        MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s j ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 j ∧ IsCompl i j
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
Semiring R₂
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
hf : LinearMap.ker f = ⊥
⊢ Function.Injective (Submodule.map f)
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
u : Finset α
s t : Set α
⊢ ↑u ⊆ s - t → ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ s' - t'
ι : Sort u_4
π : ι → Sort u_5
i : ι
Infinite (π i)
∀ (i : ι), Nonempty (π i)
⊢ Infinite ((i : ι) → π i)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ : P
v₁ v₂ v₃ v : V
⊢ ∠ (v₁ - v) (v₂ - v) (v₃ - v) = ∠ v₁ v₂ v₃
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
x y : X
h : JordanHolderLattice.IsMaximal x y
⊢ JordanHolderLattice.Iso (x, y) (x, y)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalCommRing α
a✝ b✝ c k a b x y : α
hab : k ∣ a - b
hxy : k ∣ x - y
⊢ a * x - b * y = a * x - a * y + (a * y - b * y)
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
⊢ (Algebra.TensorProduct.assoc R A B C).toLinearEquiv = TensorProduct.assoc R A B C
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃
x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂
x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁
h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃
h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂
this✝ : PreservesFiniteLimits (forget₂ C Ab)
this : PreservesFiniteLimits (forget C)
eq : (forget C).map D.δ x₃ = (forget C).map D.v₂₃.τ₁ ((forget C).map D.φ₁ (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂))
eq₁ : (forget C).map (pullback.fst D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₂
eq₂ : (forget C).map (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₃
⊢ D.δ x₃ = D.v₂₃.τ₁ x₁
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
Y' Y'' : C
T : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.StructuredArrow S T
g : f.right ⟶ Y'
g' : Y' ⟶ Y''
⊢ f.homMk' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g g') =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.homMk' g)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((CategoryTheory.StructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom (T.map g))).homMk' g')
      (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
K : Type (max v u)
inst✝⁴ : SmallCategory K
inst✝³ : FinCategory K
inst✝² : HasLimitsOfShape K D
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)
inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))
k : K
j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ
⊢ Multiequalizer.lift ((unop j).index (F.obj k)) (multiequalizer ((unop j).index (limit F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop j).index (limit F)) i ≫ (limit.π F k).app (op i.Y)) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (F.obj k) X) j = (limit.lift (F ⋙ J.diagramFunctor D X) ((J.diagramFunctor D X).mapCone (limit.cone F))).app j ≫ (limit.π (F ⋙ J.diagramFunctor D X) k).app j ≫ (colimit.ι (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip j).app k ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k).hom
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ (homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal ≤ I
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Bot α
Sup β
Bot β
f : SupBotHom α β
⊢ f.toFun = ⇑f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
⊢ ∃ X Y f, Nonempty (triangleOfSES hS ≅ Q.mapTriangle.obj (CochainComplex.mappingCone.triangle f))
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
hx : ∀ (φ : K →+* ℂ), (starRingEnd ℂ) (x φ) = x (NumberField.ComplexEmbedding.conjugate φ)
c : NumberField.mixedEmbedding.index K
⊢ ↑(((NumberField.mixedEmbedding.stdBasis K).repr ((NumberField.mixedEmbedding.commMap K) x)) c) =
  (NumberField.mixedEmbedding.matrixToStdBasis K).mulVec (x ∘ ⇑(NumberField.mixedEmbedding.indexEquiv K)) c
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsReal
B : ℝ≥0
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
this : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT K fun w => if w = w₀ then B else 1)
⊢ ∃ a, ℚ⟮↑a⟯ = ⊤ ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(max B 1)
M : Type u_1
MulOneClass M
N N' : Submonoid M
⊢ N ⊔ N' = Submonoid.closure (↑N ∪ ↑N')
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C : ℝ
y : Y
⊢ BddBelow (Set.range fun x => f (Sum.inl x, Sum.inr y) + C)
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
h₁ : ↑a * (r • ↑a⁻¹ - 1) = r • 1 - ↑a
h₂ : (r • ↑a⁻¹ - 1) * ↑a = r • 1 - ↑a
⊢ IsUnit (r • ↑a⁻¹ - 1)
K : Type u_1
Field K
x : (𝓞 K)ˣ
n : ℤ
⊢ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑(x ^ n) = (algebraMap (𝓞 K) K) ↑x ^ n
x y : ℂ
s1 : sin x = sin ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) + cos ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)
s2 : sin y = sin ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) - cos ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)
⊢ sin x - sin y = 2 * sin ((x - y) / 2) * cos ((x + y) / 2)
m n✝ n : ℕ
a b : ZMod n
h : a.val * b.val < n
⊢ a.val * b.val % n = a.val * b.val
S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Nontrivial S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain S
inst✝³ : Module.Free ℤ S
inst✝² : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
E : Type u_2
inst✝¹ : EquivLike E S ↥I
inst✝ : AddEquivClass E S ↥I
e : E
hI : ¬I = ⊥
ι : Type u_1 := Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (LinearMap.det (↑ℤ (Submodule.subtype I) ∘ₗ (↑e).toIntLinearMap)).natAbs = absNorm I
n : ℤ
⊢ cos (↑n * (2 * π) - π) = -1
a : ℤ
b : ℕ
⊢ (mkRat a b)⁻¹ = Rat.divInt (↑b) a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this : HasSum (fun i => x ^ i * (1 - x)) ((∑' (b : ℕ), x ^ b) * (1 - x))
⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * (1 - x)) atTop (𝓝 1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedCommRing 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
⊢ IsClosed (B.polar s)
m n k : ℕ
⊢ k ∈ (m * n).divisors ↔ k ∈ m.divisors * n.divisors
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a : α
hx : a ∈ l₁
hl : l₁ <:+ l₂
⊢ a ∈ l₂
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
g : G
⊢ MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G (g +ᵥ s) μ
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
⊢ Computable Sum.inr
n k : ℕ
⊢ (n + 1 - (k + 1)) ^ (k + 1) ≤ n.descFactorial (k + 1)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z : L
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1
⊢ (trace A (A ⊗[R] M)) ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z) ∘ₗ (toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) = 0
G : Type u_7
AddGroup G
n : ℕ
f : ℕ → G
⊢ (List.map (fun k => f k - f (k + 1)) (List.range n)).sum = f 0 - f n
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → β
⊢ (∏ x ∈ s, if p x then f x else g x) = (∏ x ∈ Finset.filter p s, f x) * ∏ x ∈ Finset.filter (fun x => ¬p x) s, g x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M₀ : Type u_4
CommMonoidWithZero M₀
Nontrivial M₀
NoZeroDivisors M₀
s : Finset ι
f : ι → κ → M₀
⊢ (Function.support fun j => ∏ i ∈ s, f i j) = ⋂ i ∈ s, Function.support (f i)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝¹ : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
L✝ : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ ℰ
α : A ⟶ yoneda ⋙ L✝
L : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ ℰ
e : A ≅ yoneda ⋙ L
inst✝ : PreservesColimitsOfSize.{v₁, max u₁ v₁, max u₁ v₁, v₁, max u₁ (v₁ + 1), u₂} L
⊢ IsIso e.hom ∧ Nonempty (PreservesColimitsOfSize.{v₁, max u₁ v₁, max u₁ v₁, v₁, max u₁ (v₁ + 1), u₂} L)
K : Type u_3
DivisionRing K
q : ℚ
⊢ ↑q = ↑q.num / ↑q.den
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
G' : Type wG'
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
SeminormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : G →ₗ[𝕜] MultilinearMap 𝕜 E G'
C : ℝ
H : ∀ (x : G) (m : (i : ι) → E i), ‖(f x) m‖ ≤ C * ‖x‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
⊢ ‖MultilinearMap.mkContinuousLinear f C H‖ ≤ max C 0
q✝ : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
q : ℚ
hq : q ≠ 0
⊢ Irrational (x * ↑q⁻¹)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
h0 : 0 < k
⊢ ζ ∈ primitiveRoots k R ↔ IsPrimitiveRoot ζ k
μ : YoungDiagram
i : ℕ
h : i < μ.rowLens.length
⊢ μ.rowLens[i] = μ.rowLen i
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
h₂ : 1 < s.card
⊢ s.min' ⋯ < s.max' ⋯
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
⊢ ContMDiffAt I I' (↑n) f x → ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
a : α
⊢ Cauchy (pure a)
ι : Type u_6
DecidableEq ι
i : ι
Y : ι → Type u_7
(j : ι) → TopologicalSpace (Y j)
f : Y i × ((j : { j // j ≠ i }) → Y ↑j)
j : ι
⊢ (Homeomorph.piSplitAt i Y).symm f j = if h : j = i then ⋯ ▸ f.1 else f.2 ⟨j, h⟩
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
g h : X ⟶ (⨁ f) ⊗ Y
w : ∀ (j : J), g ≫ biproduct.π f j ▷ Y = h ≫ biproduct.π f j ▷ Y
⊢ g ≫ (rightDistributor f Y).hom = h ≫ (rightDistributor f Y).hom
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
f : E → Fu
s : Set E
t : Set Fu
x : E
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
n : ℕ
IH : ∀ m ≤ n, ∀ {Gu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Gu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Gu] {g : Fu → Gu}, ContDiffOn 𝕜 (↑m) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑m) f s → (∀ i ≤ m, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C) → (∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ m → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i) → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 m (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑m ! * C * D ^ m
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
g : Fu → Gu
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) f s
hC : ∀ i ≤ n.succ, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n.succ → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
M : ↑n < ↑n.succ
Cnonneg : 0 ≤ C
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n.succ (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n.succ ! * C * D ^ n.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : Zero α
A : Matrix n n α
h : A.IsDiag
i j : n
g : ¬i = j
⊢ Aᵀ i j = A i j
i j : ℤ
⊢ 0 < (i - j).natAbs ↔ i ≠ j
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
a : α
ha : a ∈ A
⊢ card (t + replicate (n - m) a) = n
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ List.Chain' G.Adj p.support
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I : Finset ι
J : Set ι
hu : univ ⊆ ↑I ∪ J
b : (i : ι) → φ i
hb : ∀ i ∈ J, b i = 0
⊢ b ∈ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : lift.{v, u} #ι < c
⊢ lift.{v, u} #ι < c.ord.cof
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : l → o
e₂ : m ≃ o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o
A : Matrix o n α := M.submatrix (⇑e₂.symm) id
this : M = A.submatrix (⇑e₂) id
⊢ (1 * A).submatrix e₁ id = (A.submatrix (⇑e₂) id).submatrix (⇑e₂.symm ∘ e₁) id
ι : Type u_1
μ : Type u_2
DecidableEq ι
AddCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ
⊢ f ∈ s.finsuppAntidiag n ↔ s.sum ⇑f = n ∧ f.support ⊆ s
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : M → M'
g : M → N'
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hg : ContMDiffWithinAt I J' n g s x
⊢ ContMDiffWithinAt I (I'.prod J') n (fun x => (f x, g x)) s x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
j : S →+* P
y : ↥M
⊢ IsUnit ((j.comp (algebraMap R S)) ↑y)
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
s : NonUnitalSubring R
⊢ s.prod ⊤ = NonUnitalSubring.comap (NonUnitalRingHom.fst R S) s
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
Ms : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
(i : ι) → Module R (Ms i)
Fintype ι
DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
⊢ Function.LeftInverse (Submodule.quotientPi_aux.invFun p) (Submodule.quotientPi_aux.toFun p)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ : ModuleCat R
X₂ : ModuleCat R
X₃ : ModuleCat R
Y₁ : ModuleCat R
Y₂ : ModuleCat R
Y₃ : ModuleCat R
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
⊢ tensorHom (tensorHom f₁ f₂) f₃ ≫ (associator Y₁ Y₂ Y₃).hom = (associator X₁ X₂ X₃).hom ≫ tensorHom f₁ (tensorHom f₂ f₃)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
⊢ f a - f (∅.piecewise b a) = ∑ i ∈ ∅, f fun j => if j ∈ ∅ → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
ι : Type u_3
χ : ι → Type u_4
(i : ι) → TopologicalSpace (χ i)
as bs : (i : ι) → χ i
γ : (i : ι) → Path (as i) (bs i)
⊢ ⇑(Path.pi γ) = fun t i => (γ i) t