ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
h : a ⩿ b
⊢ Set.Icc a b = {a, b}
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x
f : (x : α) → p x → γ
g : (x : α) → ¬p x → γ
h : γ → β
x : { x // x ∈ filter (fun x => ¬p x) s }
_hx : x ∈ (filter (fun x => ¬p x) s).attach
⊢ ¬p ↑x
R : Type u_1
CommSemiring R
f : Polynomial R
⊢ (↑f).derivativeFun = ↑(Polynomial.derivative f)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun a => ‖f a‖₊
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
d : n → R
⊢ (diagonal d).det = ∏ i : n, d i
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
⊢ (delayReflRight 1 γ) t = γ t
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ z \ (x \ y ⊔ y \ x) = (z \ x ⊔ z ⊓ x ⊓ y) ⊓ (z \ y ⊔ z ⊓ y ⊓ x)
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
S : Type u_16
SetLike S N
AddSubmonoidClass S N
s : S
f : α →₀ M
g : α → M → N
h : ∀ (c : α), f c ≠ 0 → g c (f c) ∈ s
⊢ f.sum g ∈ s
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
⊢ Stream'.WSeq.map f (Stream'.WSeq.ret a) = Stream'.WSeq.ret (f a)
α : Type u
n : ℕ
h : n ≤ [].length
⊢ [].rotate' n = drop n [] ++ take n []
n : ℤ
z τ : ℂ
this : ‖(jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (0, 1)‖ ≤ ‖jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ‖
⊢ π * ↑|n| ^ 2 * ‖jacobiTheta₂_term n z τ‖ ≤ ‖(jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (0, 1)‖
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
(i : ι) → Field (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
p : Ring.DirectLimit G f
hp : p ≠ 0
⊢ p * Field.DirectLimit.inv G f p = 1
num : Int
den : Nat
den_nz : den ≠ 0
⊢ normalize num den den_nz = { num := num / ↑(num.natAbs.gcd den), den := den / num.natAbs.gcd den, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }
x y : ℝ
⊢ 1 ≤ √x ↔ 1 ≤ x
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - (aeval a) p = (aeval a) q
⊢ ¬IsUnit ((aeval a) (C k - X) * (aeval a) (-(q / (X - C k))))
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝¹ : F.PreservesMonomorphisms
I : D
hI : Injective I
X Y : C
f : X ⟶ G.obj I
g : X ⟶ Y
inst✝ : Mono g
⊢ ∃ h, g ≫ h = f
α : Type u_1
DecidableEq α
n : ℕ
⊢ ∅.sym (n + 1) = ∅
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h✝ : d₁ ≤ d₂
s : Set X
h : d₁ < d₂
⊢ μH[d₂] s ≤ μH[d₁] s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : Unique δ
inst✝ : (i : δ) → MeasurableSpace (π i)
⊢ Measurable uniqueElim
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
⊢ ⨆ i, Substructure.map ((lift L ι G f g Hg).toHom.comp (of L ι G f i).toHom) ⊤ = ⨆ i, Substructure.map (g i).toHom ⊤
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : _root_.IsIntegral R x
hf : Irreducible (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
mem_norm_factors : normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)) ∈ normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
⊢ ∃ a, (normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))).attach = {a} ∧ ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm a) = ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm ⟨normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)), mem_norm_factors⟩)
α : Type u_1
LinearOrderedCommMonoidWithZero α
a : α
n : ℕ
NoZeroDivisors α
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < a ^ n ↔ 0 < a
n : ℕ
⊢ map (Prod.swap ∘ fun i => (i, n - i)) (range (n + 1)) = map ((fun i => (i, n - i)) ∘ fun x => 0 + (n + 1) - 1 - x) (range (n + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
Zero γ
i : α
c : γ
⊢ Sum.elim (Pi.single i c) 0 = Pi.single (Sum.inl i) c
α : Type u_1
s : Set α
DecidableEq α
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ Set.BijOn (⇑(Equiv.swap a b)) s s
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
i : Ordinal.{u}
hi : i < p.lastStep
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
⊢ p.color i < N
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β✝
inst✝ : UniformSpace γ✝
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
uas : Set (UniformSpace α)
ubs : Set (UniformSpace β)
ua : UniformSpace α
ub : UniformSpace β
uc : UniformSpace γ
ha✝ : ua ∈ uas
hb : ub ∈ ubs
hf : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
x✝ : UniformSpace (α × β) := instUniformSpaceProd
ha : UniformContinuous id
⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
SeminormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
μ' : MeasureTheory.Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
h : μ ≤ c • μ'
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
⊢ MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ' T (c.toReal * C)
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
h₁ : HEq ((TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fx) ((TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fy)
⊢ ∃ a f f₁ f₂, ⟨ax, fx⟩ = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ ⟨ax, fy⟩ = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
i : (nim 1).RightMoves
⊢ toRightMovesNim.symm i = ⟨0, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
l : Filter α
u v : α → β
h : u =ᶠ[l] v
⊢ u ~[l] v
α : Type u_2
AddCommSemigroup α
s t : Set α
⊢ s ∪ t + s ∩ t ⊆ s + t
α : Type u_1
UniformSpace α
⊢ UniformContinuous ⇑(UniformSpace.Completion.completionSeparationQuotientEquiv α).symm
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False
a✝ : Nontrivial α
x y : α
hne : x ≠ y
⊢ Finite α
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
LinearOrderedRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
hs :
  (Finset.affineCombination k s p) w ∈
    affineSpan k {(Finset.affineCombination k s p) w₁, (Finset.affineCombination k s p) w₂}
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hi0 : w₁ i = 0
hj0 : w₁ j = 0
hij : SignType.sign (w₂ i) = SignType.sign (w₂ j)
⊢ SignType.sign (w i) = SignType.sign (w j)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∃ F, ContinuousAt F x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
⊢ ContinuousWithinAt f univ x
α : Type u
l : List α
⊢ l.Nodup ↔ Function.Injective l.get
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤
h : ¬∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : α → G
hf : Multipliable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ k ∈ t, f k ∈ e
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
this : (if p i then single i x else 0) i = if p i then (single i x) i else 0
⊢ (if p i then (single i x) i else 0) = if p i then (single i x) i else 0
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
s : Set G
⊢ Subgroup.map f (Subgroup.closure s) = Subgroup.closure (⇑f '' s)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
β : Type u_5
hα : α → False
f : α →ₛ β
y : β
x : α
hxy : ↑f x = y
⊢ False
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ inv (𝟙 A) ≫ factorThruImage g = factorThruImage g
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
⊢ w N = x
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f a = f b
⊢ f (a⁻¹ * b) = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
VSub α β
s : (i : ι) → κ i → Set β
t : Set β
⊢ (⋃ i, ⋃ j, s i j) -ᵥ t = ⋃ i, ⋃ j, s i j -ᵥ t
R : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass R
b : R
inst✝ : Nontrivial R
la : IsLeftRegular 0
x y : R
xy : x ≠ y
⊢ 0 * x = 0 * y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPushout f.op g.op
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackIsoUnopPushout f g).inv ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g =
  (CategoryTheory.Limits.pushout.inl f.op g.op).unop
α : Type u
Semiring α
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement ⊤
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
hp : ∀ e ∈ (SimpleGraph.Walk.cons h p).edges, e ∉ s
⊢ SimpleGraph.Walk.toDeleteEdges s (SimpleGraph.Walk.cons h p) hp =
  SimpleGraph.Walk.cons ⋯ (SimpleGraph.Walk.toDeleteEdges s p ⋯)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : UniformInducing g
⊢ UniformInducing (g ∘ f) ↔ UniformInducing f
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
H : Subgroup G
H.Normal
⊢ IsPGroup p (G ⧸ H)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
IntCast β
n : ℤ
x : α
⊢ ↑n x = ↑n
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousSMul 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
T2Space F
FiniteDimensional 𝕜 E
e : E ≃ₗ[𝕜] F
⊢ ⇑e.toContinuousLinearEquiv = ⇑e
α : Type u_1
TopologicalSpace α
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
⊢ QuasiSober α
R : Type u
Ring R
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ Polynomial.eval 0 (descPochhammer R n) = 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ A.counit.app X✝ ≫ 𝟙 (𝟙_ D) = A.counit.app X✝
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
s : Set M
inst✝ : Fintype ↑s
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
⊢ Module.rank R ↥(span R s) = ↑s.toFinset.card
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Equivalence.TransportsGrothendieckTopology J K e
⊢ K = e.inverse.inducedTopology J
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a ∣ b ^ n ↔ n.ceilRoot a ∣ b
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs : List ((_ : α) × α)
xs₀ : List α
h₀ : map Sigma.fst xs = xs₀
xs₁ : List α
h₁ : map Sigma.snd xs = xs₁
hxs : xs = List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)
hperm : map Sigma.fst (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)) ~ map Sigma.snd (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁))
hnodup : (map Sigma.snd (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁))).Nodup
⊢ xs₀ ~ xs₁
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsSeparable s
⊢ IsSeparable (f '' s)
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Set α
IsRefl α r
hs : IsAntichain r s
⊢ s.PartiallyWellOrderedOn r ↔ s.Finite
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
⊢ F.obj A.X ◁ F.ε ≫ F.μ A.X (𝟙_ C) ≫ F.map (A.X ◁ A.one) ≫ F.map A.mul = F.obj A.X ◁ F.ε ≫ F.μ A.X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ A.X).hom
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ
⊢ derivedSeries R (↥↑I) k = ⊥ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥
α : Type u_1
p : Set α → Prop
he : p ∅
hmono : ∀ (t : Set α), p t → ∀ s ⊆ t, p s
hunion : ∀ (s : Set α), p s → ∀ (t : Set α), p t → p (s ∪ t)
s : Set α
⊢ s ∈ Filter.comk p he hmono hunion ↔ p sᶜ
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
hp : (SimpleGraph.Walk.map f p).IsPath
⊢ p.IsPath
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
hμν : μ ≪ ν.singularPart μ + μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)
⊢ μ ≪ μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
P : K[X]
k : ℕ
sep : P.Separable
nil : minpoly K f ∣ P ^ k
ff : ↥(adjoin K {f}) := ⟨f, ⋯⟩
⊢ ∃ n ∈ adjoin K {f}, ∃ s ∈ adjoin K {f}, IsNilpotent n ∧ s.IsSemisimple ∧ f = n + s
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R A
Module R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
S₁ S₂ : NonUnitalSubalgebra R A
f : F
⊢ S₁ ≤ S₂ → NonUnitalSubalgebra.map f S₁ ≤ NonUnitalSubalgebra.map f S₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x : E
hs : ball 0 r ⊆ s
hr : 0 < r
⊢ gauge s x ≤ gauge (ball 0 r) x
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℤ
x : G
⊢ f (n • a + x) = f x + n • b
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w x : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : G.Adj w x
⊢ p.append (q.concat h) = (p.append q).concat h
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
h : p ≠ 0
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree id p.toFinsupp = p.natDegree
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : AffineSubspace ℝ E
hs : s ≠ ⊤
⊢ μ ↑s = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
f : LocallyConstant X Y
R : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring Y
inst✝¹ : Algebra R Y
inst✝ : TopologicalSemiring Y
r : R
x : X
⊢ ((↑↑{ toFun := toContinuousMap, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R (LocallyConstant X Y)) r)) x = ((algebraMap R C(X, Y)) r) x
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
X : Type u_2
S : Subalgebra R (FreeAlgebra R X) := Algebra.adjoin R (Set.range (ι R))
x : FreeAlgebra R X
hx : x ∈ ⊤
⊢ x ∈ S
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ GradedMonoid.GMul.mul ((tprod R) a) ((tprod R) b) = (tprod R) (Fin.append a b)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.EssSurj
X : C
eX : L.obj X ≅ f.left
Y : C
eY : L.obj Y ≅ f.right
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : eX.hom ≫ f.hom ≫ eY.inv = φ.map L ⋯
⊢ eX.inv ≫ L.map φ.f = f.hom ≫ eY.inv ≫ L.map φ.s
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
K L : Subgroup N
hf : K ≤ f.range
⊢ Subgroup.comap f K ≤ Subgroup.comap f L ↔ K ≤ L
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
A : ι → Submodule R M
inst✝ : DecidableEq M
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
⊢ (DFinsupp.sum x fun x => ⇑(A x).subtype.toAddMonoidHom) = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K✝ : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
K : Type u_9
E : Type u_10
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module K E
s : Submodule K E
x : E
H : x ∈ s → x = 0
c : K
hy : c • x ∈ s
hyx : c • x ∈ span K {x}
⊢ c • x = 0
α : Type u_1
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
Norm G
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
h : f' =Θ[l] g'
⊢ f' =Θ[l] k ↔ g' =Θ[l] k
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
hv : v ∈ M.verts
hvw : M.Adj v w
⊢ h.toEdge ⟨v, hv⟩ = ⟨s(v, w), hvw⟩
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set R
p : R[X]
⊢ (toContinuousMapOnAlgHom s) p ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
α : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α
n : ℕ
⊢ (MeasurableSpace.countablePartition α n).Finite
α : Type u_2
Inv α
s : Set α
⊢ Inv.inv ⁻¹' s = s⁻¹
α : Type u_1
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
InfSet α
g : ι' → α
e : ι ≃ ι'
⊢ ⨅ x, g (e x) = ⨅ y, g y
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
P : Type uP
Q : Type uQ
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid P
Module A P
AddCommMonoid Q
Module R Q
m : M
p : P
q : Q
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.rightComm R A M P Q) ((m ⊗ₜ[A] p) ⊗ₜ[R] q) = (m ⊗ₜ[R] q) ⊗ₜ[A] p
E : Type u_6
F : Type u_7
SeminormedCommGroup E
SeminormedCommGroup F
j : E →* F
b : F
hb : b ∈ closure ↑j.range
f : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < f n
⊢ ∃ a,
  Filter.Tendsto (fun n => ∏ i ∈ Finset.range (n + 1), j (a i)) Filter.atTop (𝓝 b) ∧
    ‖j (a 0) / b‖ < f 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖j (a n)‖ < f n
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
⊢ Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) (cocompact V) (𝓝 0)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
d : 𝕜 → 𝔸
d' : 𝔸
c : 𝔸
hd : HasStrictDerivAt d d' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c * d y) (c * d') x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max v u}
a✝ : ι
⊢ f a✝ < a ↔ (succ ∘ f) a✝ ≤ a
q : ℚ≥0
⊢ ↑q ≠ 0 ↔ q ≠ 0
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
⊢ p ≤ comap LinearMap.id p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F F' : CategoryTheory.Functor C D
F.Faithful
α : F ≅ F'
⊢ F'.Faithful
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
f : M →* N
g : M →* P
x : M
⊢ (f.prod g) x = (f x, g x)
x : ℕ
x.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat x < ⊤
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g h : G
comm : Commute g h
⊢ (fixedBy α g)ᶜ ∈ fixedBy (Set α) h
G : Type u_3
SubNegZeroMonoid G
a : G
⊢ a - 0 = a
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u4
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ Submodule.map (ExteriorAlgebra.map f).toLinearMap (LinearMap.range (ExteriorAlgebra.ι R)) =
  Submodule.map (ExteriorAlgebra.ι R) (LinearMap.range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
f : α → β
fib : Relation.Fibration rα rβ f
a : α
ha : Acc rα a
⊢ Acc rβ (f a)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
y : L'
h₁ : Function.Surjective ⇑f
h₂ : y ∈ LieIdeal.map f I
⊢ ∃ x, f ↑x = y
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
⊢ ∃ A x, IsGalois A
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
v : V
x : P
⊢ dist (v +ᵥ x) x = ‖v‖
α : Type u_1
Div α
a b : α
⊢ ↑(a / b) = ↑a / ↑b
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
a✝ : Nontrivial E
s : Set ↑(sphere 0 1)
hs : s ∈ {s | MeasurableSet s}
r : ↑(Ioi 0)
this : Ioo 0 ↑r = ↑r • Ioo 0 1
hpos : 0 < dim E
⊢ 0 ≤ ↑(dim E)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
DecidableEq ι
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ℳ : ι → Submodule R M
DirectSum.Decomposition ℳ
m : ⨁ (i : ι), ↥(ℳ i)
⊢ (DirectSum.decomposeLinearEquiv ℳ).symm m = (DirectSum.decompose ℳ).symm m
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
⊢ SameRay R (x + y) z
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Finset E
⊢ IsCompactElement (⨆ x ∈ ↑S, F⟮x⟯)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
m n : ℕ
a b : α
⊢ (2 * a + 1) * (2 * b + 1) = 2 * (2 * a * b + b + a) + 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
R' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F E ℝ
inst✝³ : AddGroup E
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p q : NonarchAddGroupSeminorm E
x y : ℝ
⊢ r • max x y = max (r • x) (r • y)
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F✝
inst✝² : Module ℝ F✝
inst✝¹ : TopologicalSpace F✝
inst✝ : T1Space F✝
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
F : Set (Set E)
hFS : F ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F
hFnemp : F.Nonempty
this : Nonempty ↑F
t u : ↑F
⊢ ∃ z, (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ↑t ↑z ∧ (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ↑u ↑z
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J : Set α
⊢ R.leftDual J ∈ R.rightFixedPoints
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ finrank R M = 0 ↔ ∀ (x : M), ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • x = 0