ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
X : Type v
CommRing R
L : Type w
LieRing L
LieAlgebra R L
f : X → L
g : FreeLieAlgebra R X →ₗ⁅R⁆ L
⊢ ⇑g ∘ FreeLieAlgebra.of R = f ↔ g = (FreeLieAlgebra.lift R) f
α β : Type
n✝ n : ℕ
S : Set (α ⊕ Fin2 n.succ → ℕ)
d : Dioph S
f✝ : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) n.succ
f : (α → ℕ) → ℕ
fl : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) n
⊢ DiophFn f → VectorAllP DiophFn fl → Dioph {v | (v ⊗ fun i => (f :: fl) i v) ∈ S}
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
γ : (a : α) → β a → Sort u_3
δ : (a : α) → (b : β a) → γ a b → Sort u_4
ε : (a : α) → (b : β a) → (c : γ a b) → δ a b c → Sort u_5
p q : (a : α) → (b : β a) → (c : γ a b) → (d : δ a b c) → ε a b c d → Prop
h : ∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b) (d : δ a b c) (e : ε a b c d), p a b c d e ↔ q a b c d e
⊢ (∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b) (d : δ a b c) (e : ε a b c d), p a b c d e) ↔
  ∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b) (d : δ a b c) (e : ε a b c d), q a b c d e
R : Type u_1
n✝ x p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
y : ℕ
hxy : p ∣ x + (y + 1)
⊢ 0 < x + (y + 1)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddGroup α
AddAction α β
ContinuousNeg α
ContinuousVAdd α β
CompactSpace α
⊢ IsClosedMap Quotient.mk'
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
⊢ SimpleGraph.Walk.nil.support = [u]
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m ≤ n.succ ↔ m ≤ n ∨ m = n.succ
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
T2Space M
ContinuousMul M
f : ℕ → M
he : Multipliable fun k => f (2 * k)
ho : Multipliable fun k => f (2 * k + 1)
⊢ (∏' (k : ℕ), f (2 * k)) * ∏' (k : ℕ), f (2 * k + 1) = ∏' (k : ℕ), f k
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
a : R
h : a ≠ 0
⊢ (∀ b ∈ Classical.choose ⋯, Irreducible b) ∧ Associated (Classical.choose ⋯).prod a
a b c d c' : List Γ'
⊢ update (elim a b c d) aux c' = elim a b c' d
α : Type u
β : Type v
DecidableEq β
Fintype α
Fintype β
f : α → β
n : ℕ
hn : Fintype.card β * n < Fintype.card α
⊢ ∃ y, n < (Finset.filter (fun x => f x = y) Finset.univ).card
a✝ b n✝ n a : ℕ
h : ¬(n = 0 ∨ a = 0)
⊢ ((a.factorization ⌈/⌉ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = a.factorization ⌈/⌉ n
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
⊢ Tendsto (↑e.symm) (𝓝 (↑e x)) (𝓝 x)
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
this : ∀ (x : C), ∃ f, ∑ i ∈ y, f i • i = x
⊢ ∃ B₀, B₀.FG ∧ ⊤.FG
α : Type u_2
OrderedAddCommMonoid α
s : Multiset α
⊢ (∀ x ∈ s, 0 ≤ x) → ∀ x ∈ s, x ≤ s.sum
α : Type u_1
β : Type u_2
k : α
BEq α
PartialEquivBEq α
l : List (α × β)
f : α × β → β
H : List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l
⊢ List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true)
  (List.replaceF (fun a => bif a.fst == k then some (k, f a) else none) l)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
⊢ e = s((Quot.out e).2, (Quot.out e).1)
x r : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ ∫⁻ (y : ℝ) in Set.Iio x, ProbabilityTheory.exponentialPDF r y = 0
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
i : I
⊢ ∀ {X Y : (i : I) → C i} (α : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Pi.eval C i).map α = α i
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero N
Unique Mˣ
Unique Nˣ
UniqueFactorizationMonoid M
UniqueFactorizationMonoid N
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
⊢ multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n = multiplicity p m
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i : Set α
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i ⊆ i
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ IsClosedMap Prod.swap
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
A₀ A₁ : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
self : A₀.Hom A₁
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map self.f) A₁.str = CategoryTheory.CategoryStruct.comp A₀.str self.f
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ ((∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ⧏ 0) ∧ ∀ (j : RightMoves 0), x ⧏ moveRight 0 j) ↔ ∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ⧏ 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h_mf : Measurable f
⊢ ∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => c) a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * s.indicator fun x => c) a ∂μ
xl xr : Type u
s : Set PGame
inst✝ : Small.{u, u + 1} ↑s
⊢ BddBelow s
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
g : B →+* C
hg : (g.comp f).FinitePresentation
hf : f.FiniteType
ins1 : Algebra A B := f.toAlgebra
ins2 : Algebra B C := g.toAlgebra
ins3 : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra
a : A
b : B
c : C
⊢ (algebraMap B C) ((algebraMap A B) a) * ((algebraMap B C) b * c) = (algebraMap A C) a * ((algebraMap B C) b * c)
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty J
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.colimitCocone F).ι.app i xi = (CategoryTheory.Limits.Types.colimitCocone F).ι.app j xj ↔
  CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.Rel F ⟨i, xi⟩ ⟨j, xj⟩
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
hb : ¬LinearIndependent K (⇑f ∘ b)
⊢ ¬LinearIndependent S (⇑f' ∘ b)
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
⊢ NonUnitalSubsemiring.map f ⊥ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
p q : α → Prop
h : Measurable p
⊢ MeasurableSet {a | p a}
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
⊢ (List.take (n + 1) l)[n]? = l[n]?
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure ν₁
inst✝³ : IsFiniteMeasure ν₂
inst✝² : ν₁.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝¹ : ν₂.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : (ν₁ + ν₂).HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ ∫⁻ (x : α), (ν₁ + ν₂).rnDeriv μ x ∂μ ≠ ⊤
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : L.Substructure M
α : Type u_3
t : L.Term α
xs : α → M
h : ∀ (a : α), xs a ∈ S
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize xs t ∈ S
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L
⊢ φ.map L hL ≫ L.map φ.s = L.map φ.f
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
⊢ IsIntegralCurveAt γ v t₀ ↔ ∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
a b c : Nat
⊢ max a b < c ↔ a < c ∧ b < c
p n : ℕ
hp : p ≠ 1
hn : 0 < n
⊢ ↑(padicValNat p n) = multiplicity p n
X Y : CondensedSet
f : X ⟶ Y
⊢ Continuous (f.val.app (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1})) ∘ CondensedSet.coinducingCoprod X)
x : ℝ
h₁✝ : x ≠ -1
h₂ : x ≠ 1
h₁ : -1 < x
⊢ HasStrictDerivAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) x ∧ ContDiffAt ℝ ⊤ arcsin x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
ga : α ↪ α
gb : β ↪ β
h : Function.Semiconj ⇑f ⇑ga ⇑gb
⊢ Function.Semiconj (Finset.map f) (Finset.map ga) (Finset.map gb)
n d : ℤ
⊢ (n /. d).num = d.sign * n / ↑(n.gcd d)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (y ⊓ x ⊔ x ⊓ y \ x) ⊓ x \ y = x ⊓ y ⊓ x \ y ⊔ x ⊓ y \ x ⊓ x \ y
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSemiring R
inst✝ : T2Space R
s : Set X
⊢ IsClosed ↑{ carrier := ⋂ i ∈ sᶜ, {x | x i = 0}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
⊢ IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
e₁ : α ≃ β
e₂ : β ≃ γ
⊢ e₁.Computable → e₂.Computable → (e₁.trans e₂).Computable
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s : Set α
t : Set β
m₁ : α → γ
m₂ : β → δ
⊢ (m₁ '' s) ×ˢ (m₂ '' t) = (fun p => (m₁ p.1, m₂ p.2)) '' s ×ˢ t
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ (AddMonoid.Coprod.swap M N).comp (AddMonoid.Coprod.swap N M) = AddMonoidHom.id (AddMonoid.Coprod N M)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.subgroupOf ⊥ = ⊤
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
T2Space M
x : M
⊢ ∑ᶠ (i : ι), (fs.toSmoothPartitionOfUnity i) x = 1 - ∏ᶠ (i : ι), (1 - ↑(fs.toFun i) x)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) ≠ 0
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
this : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∃ x, ε n • ↑x ∉ V
x : ι → ↑S
hx : ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ε x_1 • ↑(x x_1) ∉ V
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, False
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f₁ f₂ : End R M
μ₁ μ₂ : R
h : Commute f₁ f₂
m : M
k₁ : ℕ
hk₁ : ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k₁) m = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k₂) m = 0
⊢ ((f₁ + f₂ - (μ₁ + μ₂) • 1) ^ (k₁ + k₂ - 1)) m = 0
k n : ℕ
hk : n.gcd k < k
hk' : ↑k ≠ 0
key : (fun m => (m % ↑k).toNat) ↑(n.gcd k) = (fun m => (m % ↑k).toNat) (↑n * n.gcdA k + ↑k * n.gcdB k)
⊢ ∃ m, n * m % k = n.gcd k
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
⊢ s.erase a = s \ {a}
c : Cardinal.{u}
⊢ 0 ^ c ≤ 1
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h : f =Θ[l] g
⊢ g =O[l] f
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
i : ι
y : N i
⊢ (insert i (Finset.univ.erase i)).noncommProd (fun j => (ϕ j) (Pi.mulSingle i y j)) ⋯ = (ϕ i) y
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
v : n → R
⊢ (∀ i ∈ Finset.univ, star (v i) * v i = 0) ↔ v = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h₁ : a ≤ d
h₂ : c ≤ b
⊢ Ioc a b ∪ Ioc c d = Ioc (min a c) (max b d)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
p : α × β → Prop
hp : ∀ᶠ (x : α × β) in atTop ×ˢ atTop, p x
⊢ ∀ᶠ (k : α) in atTop, ∀ᶠ (l : β) in atTop, p (k, l)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ∅ = Set.univ
x : ℝ
⊢ Real.tan (2 * x) = 2 * Real.tan x / (1 - Real.tan x ^ 2)
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
⊢ log z.im - log w.im ≤ dist z w
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
a : R
ha : ¬IsUnit a
⊢ χ a = 0
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ ∑ x : Perm ιa × Perm ιb, Perm.sign (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) x) • domDomCongr (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) x) (a.domCoprod b) = domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) (Quotient.mk'' σ)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' : Ideal S
I : Ideal (R × S)
⊢ ∀ (x : R × S), x ∈ I ↔ x ∈ (map (RingHom.fst R S) I).prod (map (RingHom.snd R S) I)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
hc : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ fderiv ℝ (fun x => Real.sin (f x)) x = Real.cos (f x) • fderiv ℝ f x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f
c : KernelFork f
i : IsLimit c
this : Mono (Fork.ι c) := mono_of_isLimit_fork i
⊢ section_ f ≫ i.lift (Fork.ofι (Fork.ofι (𝟙 X - f ≫ section_ f) ⋯).ι ⋯) = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
X : C
Y : D
f : Sum.inr X ⟶ Sum.inl Y
⊢ False
G : Type u
Monoid G
hs : Subsingleton G
⊢ Monoid.exponent G = 1
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
g f : CentroidHom α
⊢ ↑(g.comp f) = (↑g).comp ↑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := B.toSeminormFamily
h : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' : (Filter.pi fun x => 𝓝 0).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun If => If.1.pi fun i => Metric.ball 0 (If.2 i)
⊢ (Filter.comap (fun x y => (B x) y) (Filter.pi fun i => 𝓝 0)).HasBasis B.toSeminormFamily.basisSets _root_.id
n : ℕ
⊢ Function.Involutive Fin2.rev
n2 : 2 < 2 ^ (0 + 1)
⊢ 4 ∣ 2 ^ (0 + 1) ∨ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ 2 ^ (0 + 1) ∧ Odd p
a b n : ℕ
n0 : n ≠ 0
⊢ a ^ n ∣ b ^ n ↔ a ∣ b
a b : Cardinal.{u_1}
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
⊢ a * b ≤ max (max a b) ℵ₀
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
a : α
l : Vector α n
⊢ Tendsto (fun p => p.1 ::ᵥ p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (a ::ᵥ l))
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
h : p.support ⊆ q.support
⊢ p.totalDegree ≤ q.totalDegree
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
AddCommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableAdd₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
⊢ AEMeasurable (∑ i ∈ s, f i) μ
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : SheafOfTypes (J.over Y)
Z : Over X
T : Presieve Z
x : Presieve.FamilyOfElements ((Over.map f).op ⋙ F.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : Over X
W : Over Y
f₁ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₁
f₂ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
h : f₁ ≫ (Over.map f).map g₁ = f₂ ≫ (Over.map f).map g₂
W' : Over X := Over.mk (f₁.left ≫ Y₁.hom)
g₁' : W' ⟶ Y₁ := Over.homMk f₁.left ⋯
g₂' : W' ⟶ Y₂ := Over.homMk f₂.left ⋯
⊢ F.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = F.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set (α × α)
⊢ (∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ s) ↔ ∃ i, 0 < i ∧ (fun p => dist p.1 p.2) ⁻¹' ball 0 i ⊆ s
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens
⊢ ⇑((Opens.toTopCat ↑X.toPresheafedSpace).map i) ⁻¹' ↑W ⊆ ⇑U.ι.val.base ⁻¹' (⇑V.ι.val.base '' ↑W)
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
a : α
b : M
h : α → M → N
h_zero : h a 0 = 0
⊢ (Finsupp.single a b).sum h = h a b
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ Disjoint (LinearMap.range (LinearMap.inl R M M₂)) (LinearMap.range (LinearMap.inr R M M₂))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x < y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] y ≠ ⊥
⊢ f y ∈ upperBounds (f '' Iio y)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ ⇑(algebraMap R (Unitization R A)) = Unitization.inl
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} E
CategoryTheory.Category.{v₆, u₆} F
G : CategoryTheory.Functor A D
H : CategoryTheory.Functor B E
K : CategoryTheory.Functor C F
L₁ : CategoryTheory.Functor A B
R₁ : CategoryTheory.Functor B A
L₂ : CategoryTheory.Functor D E
R₂ : CategoryTheory.Functor E D
L₃ : CategoryTheory.Functor B C
R₃ : CategoryTheory.Functor C B
L₄ : CategoryTheory.Functor E F
R₄ : CategoryTheory.Functor F E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
α : G.comp L₂ ⟶ L₁.comp H
β : H.comp L₄ ⟶ L₃.comp K
⊢ (CategoryTheory.mateEquiv (adj₁.comp adj₃) (adj₂.comp adj₄)) (CategoryTheory.leftAdjointSquare.hcomp α β) =
  CategoryTheory.rightAdjointSquare.hcomp ((CategoryTheory.mateEquiv adj₁ adj₂) α)
    ((CategoryTheory.mateEquiv adj₃ adj₄) β)
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
H : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
⊢ ∀ (a : ↑Γ(X, V)), (X.presheaf.map i.op) a = 0 → a = 0
G : Type u_1
Group G
G' : Type u_2
Group G'
_h : Group.IsNilpotent G
f : G ≃* G'
⊢ Group.IsNilpotent G'
α : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
Add α
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ s + ⋃ i, ⋃ j, t i j = ⋃ i, ⋃ j, s + t i j
R : Type u_1
CommMonoid R
m n : R
hmn : Squarefree (m * n)
⊢ Squarefree m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →ₗ[𝕜] E'
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
hf : Orthonormal 𝕜 (⇑f ∘ ⇑v)
⊢ ⇑(f.isometryOfOrthonormal hv hf) = ⇑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
hst : Disjoint s t
S : Set (Set E) := {C | Convex 𝕜 C ∧ Disjoint C t}
⊢ ∃ C, Convex 𝕜 C ∧ Convex 𝕜 Cᶜ ∧ s ⊆ C ∧ t ⊆ Cᶜ
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
f c : Equiv.Perm α
a : α
ha : a ∈ c.support
hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset
⊢ c = f.cycleOf a
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
hp : p ≠ 0
n✝ : ℕ
⊢ (contract p ((expand R p) f)).coeff n✝ = f.coeff n✝
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hfI : f a = f b
ne : (Icc a b).Nonempty
⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, IsExtrOn f (Icc a b) c
ι : Type u_1
R : Type u_5
One R
AddLeftCancelMonoid R
f : ι → R
⊢ (Function.mulSupport fun x => 1 + f x) = Function.support f
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ (π.biUnion fun x => ⊤) = π
α : Type u_2
MulOneClass α
⊢ IsSquare 1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
NonUnitalNonAssocSemiring C
Module R C
f : A →ₙₐ[R] B
g : B →ₙₐ[R] C
⊢ NonUnitalAlgHom.range (g.comp f) = NonUnitalSubalgebra.map g (NonUnitalAlgHom.range f)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
C : Type u_5
Semiring C
Algebra R C
φ : Unitization R A →ₐ[R] C
a : A
⊢ (Unitization.lift.symm φ) a = φ ↑a
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
x : B × F
hx : x ∈ e.target
⊢ ↑e.symm x ∈ e.source
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ (PInfty.f n ≫ (Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) = PInfty.f n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝ : PartialOrder γ
j i : γ
hj : IsLUB (Iio i) j
⊢ j = i ∨ Iio i = Iic j
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X Y : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
hY : Memℒp Y 2 ℙ
h : IndepFun X Y ℙ
⊢ ((∫ (a : Ω), X a ^ 2) + ∫ (a : Ω), Y a ^ 2) + 2 * ((∫ (a : Ω), X a) * ∫ (a : Ω), Y a) - ((∫ (a : Ω), X a) + ∫ (a : Ω), Y a) ^ 2 = (∫ (a : Ω), X a ^ 2) - (∫ (a : Ω), X a) ^ 2 + ((∫ (a : Ω), Y a ^ 2) - (∫ (a : Ω), Y a) ^ 2)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex V c
φ : K ⟶ L
hφ : ∀ (i : ι), CategoryTheory.Mono (φ.f i)
⊢ CategoryTheory.Mono φ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
h₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.Iic n }) 𝕜 (f ∘ Subtype.val)
⊢ ‖gramSchmidtNormed 𝕜 f n‖ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hf_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ε
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
N : ℕ
hNε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑ε
F : Fin N → α → β := fun n => f ↑n
hF : ∀ (n : Fin N), Memℒp (F n) p μ
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ℕ), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : ι
H : Ordinal.IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ f i (Ordinal.nfpFamily f a) = Ordinal.nfpFamily f a
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ ⨆ i, S i → ∃ i, x ∈ S i
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
f : Sigma α → β
⊢ ⨆ ij ∈ s.sigma t, f ij = ⨆ i ∈ s, ⨆ j ∈ t i, f ⟨i, j⟩
ι : Type u_1
F : Filter ι
f : ι → ℝ
h : Bornology.IsBounded (range f)
c : ℝ
hc : c ∈ upperBounds (range f)
⊢ IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (map f F)
α : Type u_1
LT α
a : WithTop αᵒᵈ
b : WithBot α
⊢ WithTop.ofDual a < b ↔ WithBot.toDual b < a