ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
⊢ Smooth I I' f ↔ Continuous f ∧ ∀ (y : M'), SmoothOn I 𝓘(𝕜, E') (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝¹ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝ : v \ u = v
this : x ∉ u
hus : u ⊆ s
⊢ ¬∃ a ∉ (s ∪ v) \ u, insert a ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
ι : Type u_4
κ : Type u_5
G : Type u_8
SeminormedGroup G
f : ι → κ → G
s : Set κ
l : Filter ι
⊢ TendstoUniformlyOn f 1 l s ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, ‖f i x‖ < ε
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
⊢ Finsupp.mapDomain.addMonoidHom id = AddMonoidHom.id (α →₀ M)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
S : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
n : ℤ
hf : S.W ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f)
⊢ S.W f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : CompleteSpace G
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
⊢ ∀ (x : E) (y : ↥U), ⟪(orthogonalProjection U) x, y⟫_𝕜 = ⟪x, U.subtypeL y⟫_𝕜
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
p : TangentBundle I M
q : TangentBundle I H
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).target
⊢ { proj := ↑(chartAt H p.proj).symm q.proj, snd := (fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I q.proj ↑(chartAt H p.proj).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I q.proj) q.proj)) q.snd } = ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm ((TotalSpace.toProd H E) q)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d a✝¹ c✝ : α
h'✝ : r a✝¹ c✝
h✝ : ReflTransGen r c✝ b
a✝ : c✝ = b ∨ ∃ c, r c✝ c ∧ ReflTransGen r c b
⊢ a✝¹ = b ∨ ∃ c, r a✝¹ c ∧ ReflTransGen r c b
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}
a : Ordinal.{max u_4 u_5}
ha : ∀ (i : Ordinal.{u_4}) (hi : i < o), f i hi ≠ a
⊢ o.bmex f ≤ a
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ PInfty.f n ≫ ((Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) ≫ PInfty.f n = PInfty.f n ≫ PInfty.f n
n : ℕ
⊢ n.bodd = (1 &&& n != 0)
α : Type u
β : Type v
f g : Filter β
m : α → β
hf : Set.range m ∈ f
⊢ Filter.comap m f ≤ Filter.comap m g ↔ f ≤ g
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : Nat
⊢ List.findIdx.go p l (n + 1) = List.findIdx.go p l n + 1
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
⊢ ⇑f =O[cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ (-↑k)
K : Type u_2
Field K
n d : ℕ
f : PowerSeries K
H : Valued.v ((HahnSeries.ofPowerSeries ℤ K) f) ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑d))
⊢ n < d → (PowerSeries.coeff K n) f = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ Measurable ULift.down
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
f : M.V ≅ N.V
comm : autoParam (∀ (g : ↑G), M.ρ g ≫ f.hom = f.hom ≫ N.ρ g) _auto✝
g : ↑G
⊢ N.ρ g ≫ f.inv = f.inv ≫ M.ρ g
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (Sum.inr ()) (Sum.inr ()) ≠ 0
i : Fin r
⊢ ((Matrix.Pivot.listTransvecCol M).prod * M * (Matrix.Pivot.listTransvecRow M).prod) (Sum.inl i) (Sum.inr ()) = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteColimits F
⊢ F.leftDerivedZeroIsoSelf.hom = F.fromLeftDerivedZero
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.61160, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.61164, u_3} E
X B : C
π : X ⟶ B
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
⊢ ∀ (Z : (Sieve.ofArrows (fun x => X) fun x => π).arrows.categoryᵒᵖ), Nonempty (op ((Sieve.ofArrows (fun x => X) fun x => π).arrows.categoryMk π ⋯) ⟶ Z)
E : Type u_4
NonUnitalNormedRing E
StarRing E
self : CstarRing E
x : E
⊢ ‖x‖ * ‖x‖ ≤ ‖x⋆ * x‖
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
c : ℝ≥0
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
g : ↥(MeasureTheory.Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊
⊢ ‖f‖₊ ≤ c * ‖g‖₊
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
⊢ Fintype.card (ClassGroup R) = 1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Bool
b : Bool
⊢ Continuous f ↔ IsClopen (f ⁻¹' {b})
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
⊢ ∑ x : ι, ∑ x_1 : κ, ((Finsupp.single x 1) i * (Finsupp.single x_1 1) j) • b.coord x ⊗ₜ[R] c.coord x_1 = b.coord i ⊗ₜ[R] c.coord j
G : Type w
TopologicalSpace G
Neg G
Add G
ContinuousAdd G
ContinuousNeg G
h : G
⊢ Continuous fun g => g + h + -g
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
Group α
MulAction α β
s t : Finset β
a : α
⊢ a • symmDiff s t = symmDiff (a • s) (a • t)
E : Type u_1
PE : Type u_2
F : Type u_3
PF : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MetricSpace PE
inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MetricSpace PF
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
x y : PE
z : PE := midpoint ℝ x y
s : Set (PE ≃ᵢ PE) := {e | e x = x ∧ e y = y}
this : Nonempty ↑s
h_bdd : BddAbove (range fun e => dist (↑e z) z)
R : PE ≃ᵢ PE := (pointReflection ℝ z).toIsometryEquiv
f : PE ≃ᵢ PE → PE ≃ᵢ PE := fun e => ((e.trans R).trans e.symm).trans R
⊢ ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), e x = x → e y = y → e z = z
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
this : ∀ᶠ (x : E × E) in 𝓝 (a, a), ‖f x.1 - f x.2 - f' (x.1 - x.2)‖ ≤ (fun a => ↑a) c * ‖x.1 - x.2‖
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 a, ApproximatesLinearOn f f' s c
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → X → α
x₀ : X
hA : EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) univ x₀
hu : Continuous u
⊢ EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) univ x₀
α₁ : Sort u_1
α₂ : Sort u_2
β₁ : Sort u_3
β₂ : Sort u_4
γ₁ : Sort u_5
γ₂ : Sort u_6
p : α₁ → β₁ → γ₁ → Prop
q : α₂ → β₂ → γ₂ → Prop
eα : α₁ ≃ α₂
eβ : β₁ ≃ β₂
eγ : γ₁ ≃ γ₂
h : ∀ {x : α₁} {y : β₁} {z : γ₁}, p x y z ↔ q (eα x) (eβ y) (eγ z)
⊢ (∀ (x : α₁) (y : β₁) (z : γ₁), p x y z) ↔ ∀ (x : α₂) (y : β₂) (z : γ₂), q x y z
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : α → F α
x : α
⊢ (QPF.Cofix.corec g x).dest = QPF.Cofix.corec g <$> g x
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ ∀ (a : α), a ∈ s₁.ndunion s₂ ↔ a ∈ s₁ + s₂
α : Type u_2
β : Type u_3
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
f : α →*₀ β
⊢ f 1 = 1
p : ℂ × ℂ
hp : p.1 ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2)
  ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ +
    (p.1 ^ p.2 * Complex.log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ)
  p
x : Class
z : ZFSet
hz : z ∈ x
y : ZFSet
right✝ : ↑z y
H : ∀ z ∈ x, ↑y ∈ z
w : ZFSet
hxw : x w
⊢ y ∈ w
R : Type u_1
LinearOrderedRing R
n : ℤ
⊢ ↑n.natAbs = ↑|n|
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
β : Type u_1
AddAction M β
x y : α × β
h : x ∈ AddAction.orbit M y
⊢ x.1 ∈ AddAction.orbit M y.1
R : Type u_4
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
e : R ≃+* S
y : S
⊢ e.toNonUnitalRingHom (e.symm.toNonUnitalRingHom y) = y
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
x✝ : G
⊢ (x /ᵒᶠ 0) x✝ = x x✝
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ MeasureTheory.levyProkhorovEDist μ κ ≤ MeasureTheory.levyProkhorovEDist μ ν + MeasureTheory.levyProkhorovEDist ν κ
n p : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range (p + 1), _root_.bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) = ∑ i ∈ range (p.succ + 1), eval (↑n) ((monomial i) (_root_.bernoulli (p.succ - i) * ↑(p.succ.choose i))) - _root_.bernoulli p.succ
α : Type u_2
One α
s : Finset α
⊢ ↑s = 1 ↔ s = 1
α ι : Type u
a : Cardinal.{u}
Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
l.NeBot
t : Set α
ht : ∀ x ∈ t, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a
⊢ #↑t ≤ a
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
x y z : ℤ_[p]
hz : Polynomial.eval x F - Polynomial.eval y F = z * (x - y)
⊢ ‖z‖ ≤ 1
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
⊢ s.einfsep = ⊤ ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → edist x y = ⊤
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
ι : Type u_9
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
s : Finset ι
g : ι → M₁
⊢ f (∑ i ∈ s, g i) = ∑ i ∈ s, f (g i)
α : Type u
f : α → α
n : ℕ
l : List α
⊢ (List.modifyNth f n l).length = l.length
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
One M
⊢ ↑1 = 1
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{max (u + 1) v}
h : c < univ.{u, v}
a : Cardinal.{u + 1}
e : lift.{v, u + 1} a = c
h' : a < #Ordinal.{u}
⊢ ∃ c', c = lift.{max (u + 1) v, u} c'
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝¹ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
x y : M
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
hy : y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
⊢ x + y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : L₁ ⟶ L₂
βα : β ≫ α = 𝟙 L₁
⊢ (conjugateEquiv adj₁ adj₂) α ≫ (conjugateEquiv adj₂ adj₁) β = 𝟙 R₁
B : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
f₁ : (TotalSpace (F₁ × F₂) fun x => E₁ x × E₂ x) → TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ := fun p => ({ proj := p.proj, snd := p.snd.1 }, { proj := p.proj, snd := p.snd.2 })
f₂ : TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ → (B × F₁) × B × F₂ := fun p => (↑e₁ p.1, ↑e₂ p.2)
f₃ : (B × F₁) × B × F₂ → B × F₁ × F₂ := fun p => (p.1.1, p.1.2, p.2.2)
hf₁ : Continuous f₁
hf₂ : ContinuousOn f₂ (e₁.source ×ˢ e₂.source)
hf₃ : Continuous f₃
b : B
v₁ : E₁ b
v₂ : E₂ b
hb₁ : { proj := b, snd := (v₁, v₂) }.proj ∈ e₁.baseSet
right✝ : { proj := b, snd := (v₁, v₂) }.proj ∈ e₂.baseSet
⊢ { proj := b, snd := v₁ }.proj ∈ e₁.baseSet
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝¹ : NormalizationMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
a b : R
n : ℕ
ha : Irreducible a
hb : b ≠ 0
⊢ ↑n ≤ multiplicity a b ↔ replicate n (normalize a) ≤ normalizedFactors b
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ (groupCohomology.isoTwoCocycles A).hom ≫ ModuleCat.ofHom (groupCohomology.twoCocycles A).subtype =
  groupCohomology.iCocycles A 2 ≫ (groupCohomology.twoCochainsLequiv A).toModuleIso.hom
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (HurwitzZeta.sinZeta (↑a) s)
p a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hpa : p ∈ a.primeFactorsList
⊢ (a * b).factorization p = a.factorization p
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : ∀ (x y : A), Commute (f x) (f y)
⊢ (f.toOpposite hf).toLinearMap = ↑(MulOpposite.opLinearEquiv R) ∘ₗ f.toLinearMap
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x : 𝕎 R
⊢ WittVector.truncateFun n (-x) = -WittVector.truncateFun n x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : C
⊢ { X := X, p := CategoryTheory.CategoryStruct.id X, idem := ⋯ }.X = X
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
f : G ≃ₜ G
h : ∀ ⦃K : Compacts G⦄, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map ⇑f ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
A : Set G
⊢ μ.outerMeasure (⇑f ⁻¹' A) = μ.outerMeasure A
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f p : Perm α
⊢ p ∈ f.cycleFactorsFinset ↔ p.IsCycle ∧ ∀ a ∈ p.support, p a = f a
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
q : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
⊢ q.lift 0 = 0
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
⊢ BddBelow s → BddBelow t → (s ∩ t).Nonempty → sInf s ⊔ sInf t ≤ sInf (s ∩ t)
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
self : RingHom.PropertyIsLocal P
⊢ RingHom.OfLocalizationSpanTarget P
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
z : ℂ
⊢ ContinuousOn (fun w => (circleMap z R w.2 - w.1)⁻¹ ^ 2) (closedBall z r ×ˢ univ)
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ⊓ b = a - (a - b)⁺
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'
h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)
h_fst : κ'.fst = κ.fst
a : α
t : Set (β × Ω)
ht : MeasurableSet t
h_ae : ∀ᵐ (t : β) ∂κ.fst a, (a, t) ∈ {p | (η p) (range e)ᶜ = 0}
⊢ (fun b => ((borelMarkovFromReal Ω η) (a, b)) {c | (b, c) ∈ t}) =ᶠ[ae (κ.fst a)] fun b => ((η.comapRight he) (a, b)) {c | (b, c) ∈ t}
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l : Line α ι
i : ι
a x : α
C : (ι → α) → κ
⊢ (∃ c, ∀ (x : Unit → α), (C fun i => (l.idxFun i).getD (x ())) = c) ↔ ∃ c, ∀ (x : α), (C fun i => (l.idxFun i).getD x) = c
α : Type u
SubtractionCommMonoid α
a : α
h : IsAddUnit a
b : α
⊢ a + b - a = b
R : Type u
CommRing R
P : Ideal R
⊢ (Ideal.map Polynomial.C P).IsPrime ↔ P.IsPrime
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.Point.toAffine W ![1, 1, 0] = 0
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ), IsIso ((J.toPlus P).app X)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
this : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
α : Type u_5
TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
OrderTopology α
BorelSpace α
NoMinOrder α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Set.Ioc a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Set.Ioc a b) = ν (Set.Ioc a b)
⊢ μ = ν
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
x : X
hx : x ∈ s
⊢ 1 ≤ μH[0] s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor.obj sq).right.hom = sq.f₂₄
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
g h : G
a : α
⊢ g • a ∈ MulAction.orbit G (h • a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
s : SignedMeasure α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA₁ : MeasurableSet A
hB₁ : MeasurableSet B
hA₂ : ↑s A ≤ 0
hB₂ : ↑s B ≤ 0
hAB : ↑s (A ∪ B) = 0
⊢ ↑s A = 0
α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
Fintype m
Mul α
AddCommMonoid α
A : Matrix m n α
⊢ (A.transpose * A).IsDiag ↔ A.HasOrthogonalCols
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f d : ℕ → α
hdisj : Pairwise (Disjoint on d)
hsups : partialSups d = partialSups f
n : ℕ
⊢ d n.succ = (partialSups d) n.succ \ (partialSups d) n
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_3
Semiring S
Module R S
r : R
x : PowerSeries S
⊢ (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ S) (r • x) = r • (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ S) x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] norm
a : ℝ
ha : 0 < a
hf : ∀ (i : ℕ), ‖↑f i‖ ≤ a
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ‖↑(f - const norm f.lim) j‖ < a
⊢ ‖f.lim - ↑f N + ↑f N‖ ≤ a
α : Type u
R : α → α → Prop
l : List α
H : List.Pairwise R l
⊢ List.Pairwise (fun l₁ l₂ => List.Lex R l₁.reverse l₂.reverse) l.sublists
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ AEMeasurable g (Measure.map f μ) ↔ AEMeasurable (g ∘ f) μ
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : Module R E
F : Type u_10
inst✝² : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
a : ι → M
b : ι₂ → M
⊢ ((((currySumEquiv R ι (⨂[R] (i : ι ⊕ ι₂), M) M ι₂) (tprod R)) fun i => a i) fun i => b i) = (tprod R) fun i => Sum.elim a b i
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x
i : Fin (minpoly K x).natDegree
⊢ (powerBasisAux hx) i = AdjoinSimple.gen K x ^ ↑i
N : Type u_2
AddMonoid N
P : AddSubmonoid N
⊢ P.FG ↔ (AddSubmonoid.toSubmonoid P).FG
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
CommSemiring R
Fintype σ
Fintype τ
n : ℕ
e : σ ≃ τ
⊢ (MvPolynomial.rename ⇑e) (MvPolynomial.esymm σ R n) = MvPolynomial.esymm τ R n
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
i : Fin (n + 1)
c : ℕ → ℝ
d : ℝ
hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)
hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
Hid : IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth d x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
⊢ Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
⊢ Ideal.span (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) = ideal R S