ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
p : AddLocalization S → Sort u
f : (a : M) → (b : ↥S) → p (AddLocalization.mk a b)
H : ∀ {a c : M} {b d : ↥S} (h : (AddLocalization.r S) (a, b) (c, d)), ⋯ ▸ f a b = f c d
a : M
b : ↥S
⊢ AddLocalization.rec f H (AddLocalization.mk a b) = f a b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
x : β
y₁ y₂ : α ⧸ stabilizer α x
g₁ g₂ : α
H : g₁ • x = g₂ • x
⊢ Setoid.r g₁ g₂
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Polynomial.Chebyshev.U R 1 = 2 * Polynomial.X
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
h : I ≤ J
⊢ (↑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLE h)).comp (DoubleQuot.quotQuotMk I J) = Ideal.Quotient.mk J
m n a : Nat
hmn : m.Coprime n
hm : m ∣ a
hn : n ∣ a
⊢ m * n ∣ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
ha : (Iio a).Nonempty
⊢ interior (Ici a) = Ioi a
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : a ≤ 0
hb : b < c
⊢ a + b < c
z : ℂ
hz : ‖z‖ = 1
⊢ z⁻¹ = (starRingEnd ℂ) z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
⊢ ThreeAPFree (frontier s)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
x✝ : N
⊢ ∀ (x : G), (∀ (h : G), h ∈ H ↔ x * h * x⁻¹ ∈ H) → f x = x✝ → ∀ (h : N), (∃ x ∈ H, f x = h) ↔ ∃ x ∈ H, f x = x✝ * h * x✝⁻¹
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 2 ≤ n
hq' : 1 < q
⊢ (q - 1) ^ φ n < eval q (cyclotomic n ℝ)
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
a b : G
h : Doset.doset a ↑H ↑K = Doset.doset b ↑H ↑K
⊢ Doset.mk H K a = Doset.mk H K b
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
PerfectField K
α : LieModule.Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ LieAlgebra.rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ LieAlgebra.rootSpace H (-⇑α)
⊢ ⁅e, f⁆ =
  ((killingForm K L) e) f • ↑((LieAlgebra.IsKilling.cartanEquivDual H).symm (LieModule.Weight.toLinear K (↥H) L α))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0
⊢ Tendsto ENNReal.toNNReal (𝓝 ↑a) (𝓝 (↑a).toNNReal)
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card
⊢ minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a / b * c = a * (c / b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a : ι → ℝ≥0∞
h : ∀ i ∈ ∅, Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))
h' : ∀ i ∈ ∅, a i ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun b => ∏ c ∈ ∅, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ ∅, a c))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
f : CocompactMap γ δ
g : CocompactMap β γ
h : CocompactMap α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑∅) => ↑x
α : Type u_1
⊢ Multiset.toList 0 = []
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜' 𝕜
NormedSpace 𝕜' G
IsScalarTower 𝕜' 𝕜 G
(i : ι) → NormedSpace 𝕜' (E i)
∀ (i : ι), IsScalarTower 𝕜' 𝕜 (E i)
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.restrictScalars 𝕜' f‖ = ‖f‖
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.num ≠ 0
⊢ ↑(q.den * r.num) ≠ 0
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
A : Type u_4
Field R
Ring A
Algebra R A
SetLike S A
hSA : NonUnitalSubringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
h1 : 1 ∉ s
FunLike F (Unitization R ↥s) A
AlgHomClass F R (Unitization R ↥s) A
f : F
hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x
⊢ Function.Injective ⇑f
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
ι : Type u_3
Preorder ι
u : ι → α
x : α
hu : CauchySeq u
⊢ CauchySeq fun n => x * u n
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Finite
hf : ∀ i ∈ s, IsCompact (f i)
l : Ultrafilter X
i : ι
his : i ∈ s
hi : f i ∈ l
⊢ ∃ x ∈ ⋃ i ∈ s, f i, ↑l ≤ 𝓝 x
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
t : Set β
⊢ Set.image2 f ∅ t = ∅
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
⊢ (a + b) ^ p ≤ a ^ p + b ^ p
R : Type u
Ring R
s t : Set R
ht : IsSubring t
⊢ s ⊆ t → Ring.closure s ⊆ t
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg : ∀ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧ ∃ ε_1 > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist ((φ x ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g x) (k x)) z₀ < ε
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
A : Subalgebra R S
a : ↥A
⊢ A.lTensorBot.symm a = 1 ⊗ₜ[R] a
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
⊢ addOrderOf x = 0 ↔ ¬IsOfFinAddOrder x
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
⊢ (Finset.filter (fun i => w i ≠ 0) t).centerMass w z = t.centerMass w z
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f
c : KernelFork f
i : IsLimit c
⊢ section_ f ≫ (splitMonoOfIdempotentOfIsLimitFork C ⋯ (isLimitForkOfKernelFork (isKernelCompMono i (section_ f) ⋯))).retraction = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
s : Set E
hs : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
⊢ ∀ c ⊆ {b | Orthonormal 𝕜 Subtype.val}, IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub ∈ {b | Orthonormal 𝕜 Subtype.val}, ∀ s ∈ c, s ⊆ ub
α : Type u
L₁ L₂ : List α
⊢ L₁.append L₂ = L₁ ++ L₂
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
⊢ (∃ x, ψ x ≠ 1) ↔ ψ 1 ≠ 1
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u
S : Type v
r : R✝
e : ℕ
n m : σ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
s t : Set σ
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
F : MvPolynomial σ ℤ
F' : MvPolynomial { x // x ∈ s } ℤ
hF' : (rename Subtype.val) F' = F
⊢ ∃ f, ∀ (x : σ → R), f (x ∘ Subtype.val) = (aeval x) F
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
⊢ A.adjugate⁻¹ = h.unit⁻¹ • A
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ sinZeta (↑x) (2 * ↑k + 1) = (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k + 1) / 2 / ↑(2 * k + 1)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
f : (R ⧸ j)[X]
hf : f ∈ ⊥.jacobson
r1 : X ≠ 0
r2 : f * X + 1 = C ((f * X + 1).coeff 0)
⊢ f ∈ ⊥
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → E
c : PE
a b : k
⊢ slope (fun x => f x +ᵥ c) a b = slope f a b
m n✝ n : ℕ
x : ZMod (n + 1)
⊢ x.valMinAbs = 0 ↔ x = 0
p : ℕ
⊢ 1 < mersenne p ↔ 1 < p
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
⊢ s - t + t ∩ s = s
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
α : Type u_3
hA : PartialOrder α
A B : OrderBot α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ ⊥ ≤ ⊥
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
t : Measure α := μ.withDensity (ρ.rnDeriv μ)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Finset M
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement (Submodule.span R ↑S)
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : Field K
a b : K
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a⁻¹ - b⁻¹ = (b - a) / (a * b)
α β : Sort u
a : α
b : β
h : HEq a b
⊢ α = β
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H
⊢ Filter.map (↑I) (𝓝 x) = 𝓝[Set.range ↑I] ↑I x
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
x₀ : X
U : Set X
U_cpct : IsCompact U
U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖uncurry f x‖) '' U ×ˢ s)
⊢ Integrable ?intro.intro.intro.bound (μ.restrict s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
hposbdd : ∫ (ω : α), max (f ω) 0 ∂μ ≤ (μ univ).toReal • ↑r
⊢ (∫ (a : α), ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal 1 ∂μ) ^ (ENNReal.toReal 1)⁻¹ ≤ (2 * μ univ * ↑r).toReal
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound✝ : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
this : NormedSpace ℝ G := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 G
g : ℝ → E := ⇑(AffineMap.lineMap x y)
segm : MapsTo g (Icc 0 1) s
hD : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) (Icc 0 1) t
bound : ∀ t ∈ Ico 0 1, ‖(f' (g t)) (y - x)‖ ≤ C * ‖y - x‖
⊢ ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
s : Finset ↥(M ⊓ N)
h : LinearIndependent R fun i => ↑i
hs : Nontrivial { x // x ∈ s }
a b : { x // x ∈ s }
hab : a ≠ b
⊢ LinearIndependent R ![↑a, ↑b]
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
⊢ Continuous f
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
N₁ : Type u_4
G₁ : Type u_5
Group N₁
Group G₁
φ₁ : G₁ →* MulAut N₁
f₁ : N →* N₁
f₂ : G →* G₁
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (φ₁ (f₂ g))).comp f₁
g : N ⋊[φ] G
⊢ ((SemidirectProduct.map f₁ f₂ h) g).left = f₁ g.left
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Neg G
ContinuousNeg G
TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => -f x) s x
G : Type u_1
Add G
a : G
⊢ ∀ (a_1 : G), (AddConstEquiv.refl a) a_1 = a_1
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0
a✝ : Disjoint (Function.support ↑f₁) (Function.support ↑f₂)
h₁ : ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₁ x) ∂μ ≠ ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑f₁ x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₁ x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
h₂ : ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₂ x) ∂μ ≠ ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑f₂ x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₂ x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(↑(f₁ + f₂) x) ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑(f₁ + f₂) x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑(f₁ + f₂) x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hn : upcrossingsBefore a b f N ω < n
⊢ stoppedValue f (upperCrossingTime a b f N (n + 1)) ω - stoppedValue f (lowerCrossingTime a b f N n) ω = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
k l m n : α
u v : M
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
⊢ single k u + single l v = single m u + single n v ↔ k = m ∧ l = n ∨ u = v ∧ k = n ∧ l = m ∨ u + v = 0 ∧ k = l ∧ m = n
M : Type u_1
Monoid M
DecidableEq M
n : M
h : Function.Injective fun m => n ^ m
x y : ↥(Submonoid.powers n)
⊢ Submonoid.log (x * y) = Submonoid.log x + Submonoid.log y
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) ρ
⊢ ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂ρ
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
C₁ C₂ : Set X
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
h : C₁ ∪ C₂ = univ
f : LocallyConstant (↑C₁) Z
g : LocallyConstant (↑C₂) Z
hfg : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f ⟨x, ⋯⟩ = g ⟨x, ⋯⟩
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁
x : X
hx : x ∈ C₂
⊢ (if hi : x ∈ C₁ then f ⟨x, hi⟩ else g ⟨x, ⋯⟩) = g ⟨x, hx⟩
α : Type u
⊢ Stream'.WSeq.nil.toList = Computation.pure []
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
t : Batteries.RBNode α
h : Batteries.RBNode.WF cmp t
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmp t ∧ ∃ c n, t.Balanced c n
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b
w₁ : m ∈ b
w₂ : (m.1 - 1, m.2) ∈ Finset.erase b m
⊢ 2 ≤ Finset.card b
A : Type u_8
A' : Type u_9
AddGroup A
AddGroup A'
f : A →+ A'
⊢ (AddMonoidHom.toMultiplicative f).ker = AddSubgroup.toSubgroup f.ker
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
this : Continuous fun p => (p.1⁻¹, p.2)
H : (⇑S.subtype ⁻¹' (((fun p => p.1 * p.2) ∘ fun p => (p.1⁻¹, p.2)) '' K ×ˢ L)ᶜ)ᶜ.Finite
⊢ {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅}.Finite
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R
a : Γ
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s
⊢ (x * y).coeff a = ∑ ij ∈ Finset.addAntidiagonal hs ⋯ a, x.coeff ij.1 * y.coeff ij.2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
LT ι
(i : ι) → LE (α i)
a b : Σₗ (i : ι), α i
⊢ a ≤ b ↔ a.fst < b.fst ∨ ∃ h, h ▸ a.snd ≤ b.snd
z : ℂ
⊢ z.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
x : E
⊢ i x ∈ perfectClosure F K ↔ x ∈ perfectClosure F E
n : ℕ
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
⊢ Polynomial.cyclotomic' n R ≠ 0
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
Module R S
φ : PowerSeries S
a : R
⊢ (PowerSeries.constantCoeff S) (a • φ) = a • (PowerSeries.constantCoeff S) φ
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
l : Filter α
⊢ Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop ↔ Tendsto (norm ∘ f) l atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this : (a : Prop) → Decidable a
ε : α
ε0 : ε > 0
nk : ∀ (x : α), 0 < x → ∀ (x_1 : ℕ), ∃ x_2, ∃ (_ : x_1 ≤ x_2), abv (↑f x_2) < x
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V
⊢ G'.deleteVerts (G'.verts ∩ s) = G'.deleteVerts s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y x' y' : α
⊢ edist (x, y).1 (x, y).2 ≤ edist (x', y').1 (x', y').2 + 2 * edist (x, y) (x', y')
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hmn : ↑m ≤ n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ContinuousOn (iteratedDerivWithin m f s) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
f : α → β
l : Language α
⊢ (map f) (⨆ i, l ^ i) = ⨆ i, (map f) l ^ i
k : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r : k
ha : a ≤ a'
hb : b ≤ b'
h₀ : 0 ≤ r
h₁ : r ≤ 1
⊢ (AffineMap.lineMap a b) r ≤ (AffineMap.lineMap a' b') r
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f : E → ℝ
⊢ StrongConvexOn s m f ↔ ConvexOn ℝ s fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.prod.rightUnitor X).inv ≫ CategoryTheory.Limits.prod.map f (𝟙 (⊤_ C)) =
  f ≫ (CategoryTheory.Limits.prod.rightUnitor Y).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
T2Space α
ContinuousAdd α
f : γ → β → α
s : Finset γ
hf : ∀ i ∈ s, Summable (f i)
⊢ ∑' (b : β), ∑ i ∈ s, f i b = ∑ i ∈ s, ∑' (b : β), f i b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
BC : B ⊆ ⇑f ⁻¹' this.extend ⋯
hC : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V' := Basis.extend this
Vinh : Inhabited V
b : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
fb_eq : f ↑b = hC ⟨f ↑b, ⋯⟩
⊢ ((hC.constr ℕ) (C.restrict (invFun ⇑f))) (f (hB b)) = hB b
α : Type u_1
n : ℕ
l : List α
m : ℕ
⊢ (List.enumFrom n l)[m]? = Option.map (fun a => (n + m, a)) l[m]?
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α
⊢ Pairwise (fun a b => b ≠ a) l ↔ l.Nodup
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
⊢ (homologyMap' φ S₁.homologyData S₂.homologyData).op = (S₂.op.leftHomologyIso.symm ≪≫ S₂.leftHomologyOpIso ≪≫ S₂.rightHomologyIso.symm.op).inv ≫ homologyMap' (opMap φ) S₂.op.homologyData S₁.op.homologyData ≫ (S₁.op.leftHomologyIso.symm ≪≫ S₁.leftHomologyOpIso ≪≫ S₁.rightHomologyIso.symm.op).hom
α : Type u_1
LE α
a b : WithTop α
⊢ WithTop.toDual a ≤ WithTop.toDual b ↔ b ≤ a
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
K : CompactExhaustion X
x : X
⊢ ¬K.shiftr.find x ≤ K.find x
⊢ ∀ ⦃R S T : Type u_1⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], (algebraMap R T).FiniteType → Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom.FiniteType
a b : ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
⊢ a * b ≤ a ^ p / ENNReal.ofReal p + b ^ q / ENNReal.ofReal q
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E
⊢ ConvexCone.comap LinearMap.id S = S
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : Set α
a : α
h1 : s ∈ 𝓝 a
h2 : t ∈ 𝓝[s] a
⊢ t ∈ 𝓝 a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
h : L.ElementarilyEquivalent M N
⊢ Nonempty M ↔ Nonempty N
α : Type u_1
r₁ r₂ : Setoid α
⊢ r₁ = r₂ ↔ ∀ (x : α), {y | r₁.Rel x y} = {y | r₂.Rel x y}
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Set (Subsemiring Rᵐᵒᵖ)
⊢ (sSup S).unop = sSup (Subsemiring.op ⁻¹' S)
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (cauSeqAbs (exp' x + -const (⇑abs) (∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial))).lim ≤ abs x ^ n * (↑n.succ * (↑n.factorial * ↑n)⁻¹)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
DecidableEq ι
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ℳ : ι → Submodule R M
DirectSum.Decomposition ℳ
r : R
x : M
⊢ (DirectSum.decompose ℳ) (r • x) = r • (DirectSum.decompose ℳ) x
R : Type u_1
n✝ x y : ℕ
hyx : y < x
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hneven : Even n
⊢ multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) + ↑1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 n
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
g h : X ⟶ (⨁ f) ⊗ Y
w : ∀ (j : J), g ≫ biproduct.π f j ▷ Y = h ≫ biproduct.π f j ▷ Y
⊢ g = h
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
⊢ a + b ≡ b [PMOD p] ↔ a ≡ 0 [PMOD p]
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
i : F.obj 0 ≅ 0
X Y : C
⊢ F.map 0 ≫ F.map 0 = F.map 0 ≫ (i.hom ≫ i.inv) ≫ F.map 0
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => cexp (2 * ↑π * I * ↑n * ↑y / ↑T)) (2 * ↑π * I * ↑n / ↑T * cexp (2 * ↑π * I * ↑n * ↑x / ↑T)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
x : α
s : Set α
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝[f '' s] f x)