ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
⊢ ‖T s + T' s‖ ≤ C * (μ s).toReal + C' * (μ s).toReal
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
X Y : Ω → ℝ
hX : MeasureTheory.Memℒp X 2 ℙ
hY : MeasureTheory.Memℒp Y 2 ℙ
h : ProbabilityTheory.IndepFun X Y ℙ
⊢ ProbabilityTheory.variance (X + Y) ℙ = ProbabilityTheory.variance X ℙ + ProbabilityTheory.variance Y ℙ
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ)
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f)
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁵ : ConcreteCategory D
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
⊢ Function.Bijective ((forget D).map (S.toMultiequalizer (J.plusObj P)))
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝¹ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : J ⥤ C
c₁ : Cofan fun f => F.obj f.fst.1
c₂ : Cofan F.obj
s t : c₁.pt ⟶ c₂.pt
hs : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), c₁.ι.app { as := f } ≫ s = F.map f.snd ≫ c₂.ι.app { as := f.fst.2 }
ht : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), c₁.ι.app { as := f } ≫ t = c₂.ι.app { as := f.fst.1 }
i : Cofork s t
j₁ j₂ : J
f : j₁ ⟶ j₂
⊢ F.map f ≫ c₂.ι.app { as := j₂ } ≫ i.π = (c₂.ι.app { as := j₁ } ≫ i.π) ≫ 𝟙 i.pt
G : Type u_1
Group G
⊢ ⊥.toSubmonoid = ⊥
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type u_2
b : Basis ι K V
⊢ Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s✝ : α → α → Prop
inst✝² : Preorder α
a✝ : α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
s : Set α
inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Monotone f
hf' : Antitone f
a b : α
⊢ f a = f b
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
f' : C(Y, X)
hf : Function.RightInverse ⇑f' ⇑f
b : Y
⊢ hf.homeomorph.symm b = Quotient.mk'' (f' b)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → Set α
⊢ ⋃ i, f i = Set.univ ↔ ∀ (x : α), ∃ i, x ∈ f i
m k p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
hp : Fact (Nat.Prime p)
hchar : CharP R p
μ : R
NeZero ↑m
⊢ (Polynomial.cyclotomic (p ^ k * m) R).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ m
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
b : β
⊢ s +ᵥ {b} = (fun x => x +ᵥ b) '' s
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
s t : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
⊢ ⇑(s + t) = ⇑s + ⇑t
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hl : l.NeBot
this✝ : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
u : ℕ → Set ι
hu : l.HasAntitoneBasis u
this : ∀ (x : β), (map (fun x_1 => f x_1 x) l ×ˢ map (fun x_1 => f x_1 x) l).HasAntitoneBasis fun n => ((fun x_1 => f x_1 x) '' u n) ×ˢ ((fun x_1 => f x_1 x) '' u n)
K : ℕ
x✝ : K ∈ fun i => True
N : ℕ
⊢ MeasurableSet {x | ((fun n => f n x) '' u N) ×ˢ ((fun n => f n x) '' u N) ⊆ {p | dist p.1 p.2 < 1 / (↑K + 1)}}
α : Type u
Preorder α
a b : α
⊢ BddAbove (Set.Ioc a b)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
⊢ K.ιTotalOrZero c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ h
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
⊢ c.toCone.pt = c.pt
𝕜 : Type u_1
inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : ChartedSpace H M
inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²² : TopologicalSpace M'
inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
f✝ f₁ : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
s : Set M
x : M
hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n g s x
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁) n f s x
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => x.1 x.2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, I'⟯ M'
⊢ (Diffeomorph.refl I M n).trans h = h
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ (↑p.toPath).support ⊆ p.support
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
⊢ ↑(l.toFinset ⊔ l.tail.toFinset) ≤ ↑l.toFinset
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_lim : Filter.Tendsto δseq Filter.atTop (𝓝 0)
E : Set α
⊢ Filter.Tendsto (fun n => thickenedIndicatorAux (δseq n) E) Filter.atTop (𝓝 ((closure E).indicator fun x => 1))
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝² : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝¹ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
inst✝ : DecidablePred p
j : J
i : Subtype p
⊢ (ι f j ≫ toSubtype f p) ≫ π (Subtype.restrict p f) i = (if h : p j then ι (Subtype.restrict p f) ⟨j, h⟩ else 0) ≫ π (Subtype.restrict p f) i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J₁ (CategoryTheory.Functor.closedSieves J₁)
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ s.min ∈ Finset.image WithTop.some s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a✝ : α
b : β
a x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ {a} ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ map { toFun := Prod.mk a, inj' := ⋯ } t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
f : P ⟶ Q
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.decompId_p f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp { f := f.f, comm := ⋯ } Q.decompId_p
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
Φ : PartialDiffeomorph I J M N n
hx : x ∈ Φ.source
heq : EqOn f (↑Φ.toPartialEquiv) Φ.source
⊢ ContMDiffAt I J n f x
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ x ≤ y ^ z ↔ Real.log x ≤ z * Real.log y
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
h : a ∈ s
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ (s \ {a}).ncard < (s \ {a}).ncard + 1
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
m : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p m) f ≠ 0
n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) g ≠ 0
k : ℕ
hk : (coeff (ModP K v O hv p) p k) (f + g) ≠ 0
⊢ valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (valAux K v O hv p f) (valAux K v O hv p g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
ContinuousAdd α
f : γ → β → α
s : Finset γ
hf : ∀ i ∈ s, Summable (f i)
⊢ Summable fun b => ∑ i ∈ s, f i b
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
motive : (⨂[R] (i : ι), s i) → Prop
z : ⨂[R] (i : ι), s i
tprodCoeff : ∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), motive (PiTensorProduct.tprodCoeff R r f)
add : ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), motive x → motive y → motive (x + y)
C0 : motive 0
x : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → (fun i => s i) i))
⊢ ∀ (x : R × ((i : ι) → s i)) (xs : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))), motive ↑xs → motive (↑(FreeAddMonoid.of x) + ↑xs)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
F.Full
F.Faithful
P : C
hP : CategoryTheory.Projective (F.obj P)
⊢ CategoryTheory.Projective P
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
f : A ⟶ B
h₁ : CategoryTheory.IsIso f.hom₁
h₂ : CategoryTheory.IsIso f.hom₂
h₃ : CategoryTheory.IsIso f.hom₃
⊢ CategoryTheory.IsIso f
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
⊢ U ⊆ V
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
⊢ (b.reindex e) i' = b (e.symm i')
M : Type u_3
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
⊢ ↑(AddSubmonoid.toNatSubmodule S) = ↑S
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Module (MvPolynomial σ R) A
f : σ → A
r : R
⊢ (MvPolynomial.mkDerivationₗ R f) (MvPolynomial.C r) = 0
b x : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0
b0 : b ≠ 0
hb : 1 < b
⊢ b ^ log b x ≤ x
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
IsNoetherian R L
⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
α : Type u
as : List α
b : α
bs : List α
BEq α
a : α
⊢ (a :: as).isPrefixOf (b :: bs) = (a == b && as.isPrefixOf bs)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G
⊢ K ≤ H ⊔ K
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Z : Type u_6
R : Type u_7
CommSemiring R
Semiring Z
Algebra R Z
e : X ≃ₜ Y
g : LocallyConstant X Z
⊢ ∀ (a : Y), ((LocallyConstant.congrLeftₐ R e) g) a = g (e.symm a)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k✝ n✝ k n : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ Set.SurjOn Nat.cast ↑(range k) ↑(Iio ↑k)
α : Type u_1
Zero α
a : αᵃᵒᵖ
⊢ AddOpposite.unop a = 0 ↔ a = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : I.Boundaryless
⊢ IsOpen (↑I.symm ⁻¹' f.target)
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
⊢ A⁻¹ * A = 1
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
n : Num
⊢ 2 * ↑n + ↑1 = 2 * ↑n + 1
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrder R
a b c : R
ha : a ≠ c
hb : b ≠ c
⊢ max a b ≠ c
a : Ordinal.{u_1}
a0 : a ≠ 0
⊢ 0 ^ a = 0
α : Type u_1
s : Set α
h : s.Finite
⊢ s.encard = ↑s.encard.toNat
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
M' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'
⊢ (∃ y, O.subtype y ∈ N ∧ ϕ y = x) → ∃ y, ∃ (yO : y ∈ O), y ∈ N ∧ ϕ ⟨y, yO⟩ = x
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ nodal s v ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.Discrete PUnit.{w + 1} × C
⊢ (CategoryTheory.prod.leftUnitor C).obj X = X.2
s₁ s₂ s₃ : String
⊢ s₁ < s₂ → s₂ < s₃ → s₁ < s₃
α : Type u_1
⊢ GaloisConnection (fun t => OrderDual.toDual {s | IsOpen s}) (TopologicalSpace.generateFrom ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum μ).withDensity f = MeasureTheory.Measure.sum fun n => (μ n).withDensity f
K : Type u
Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
⊢ ⇑(R.mapOfLE S h) ∘ ⇑R.valuation = ⇑S.valuation
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
x : ℕ × ℕ
hx : x.1 + x.2 = n
⊢ ↑x.2 ≤ ↑n
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
h2L₂ : K₂.carrier * L₂ ⊆ U₂
⊢ chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
x✝ : R
⊢ (ψ.mulShift 1) x✝ = ψ x✝
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddMonoid P
f : M →+ P
g : N →+ P
comm : ∀ (m : M) (n : N), AddCommute (f m) (g n)
⊢ (f.noncommCoprod g comm).comp (AddMonoidHom.inl M N) = f
C : Type u_4
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_3
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
s : A → CategoryTheory.Functor D D
i : (a : A) → F.comp (s a) ≅ (CategoryTheory.shiftFunctor C a).comp F
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Full
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((i 0).hom.app X) (F.map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).hom.app X))
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
P : C(X, Y) → Prop
self : f₀.HomotopyWith f₁ P
t : ↑I
⊢ P { toFun := fun x => self.toFun (t, x), continuous_toFun := ⋯ }
α : Type u
⊢ ¬(Computation.empty α).Terminates
V : Type u
Nonempty V
⊢ ⊥.chromaticNumber = 1
M : Type u_1
N : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : SMul M α✝
inst✝⁵ : SMul M β
inst✝⁴ : SMul N α✝
inst✝³ : SMul N β
a✝ : M
x : α✝ × β
α : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : DistribMulAction M α
a : M
c : β
⊢ a • (0, c) = (0, a • c)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : K
⊢ (mixedEmbedding K) x ∈ convexBodySum K B ↔ ∑ w : InfinitePlace K, ↑w.mult * ↑w x ≤ B
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b c : α
ExistsAddOfLE α
MulPosMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : b ≤ a
hc : c ≤ 0
⊢ a * c ≤ b * c
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ HasFDerivWithinAt ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (fderivWithin 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
p : γ → Prop
a : α
l₁ : List α
b : β
l₂ : List β
h : l₁.length = l₂.length
⊢ Forall p (zipWith f (a :: l₁) (b :: l₂)) ↔ Forall₂ (fun x y => p (f x y)) (a :: l₁) (b :: l₂)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g h i j : C
α : f ⟶ g
β : g ⟶ h
η : h ⟶ i
ηs : i ⟶ j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (CategoryTheory.CategoryStruct.comp β (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η ηs)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η ηs)
α✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
F✝ : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g✝ : E✝ → F✝
c : ℝ≥0
α : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
K' : ℝ≥0
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : E → F
hL : Memℒp (g ∘ f) p μ
hg : UniformContinuous g
hg' : AntilipschitzWith K' g
g0 : g 0 = 0
A : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ↑K' * ‖g (f x)‖
⊢ Memℒp f p μ
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod (2 * n)
⊢ orderOf (a i) = 2 * n / (2 * n).gcd i.val
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω
ω : Ω
hω : ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (μ (s (n + 1))).toReal
⊢ Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) k]) ω) atTop atTop
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
⊢ (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).target = ↑s
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a b : M
⊢ (ι Q) a * (ι Q) b * (ι Q) a = (ι Q) (QuadraticMap.polar (⇑Q) a b • a - Q a • b)
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
⊢ -(1 / 2) = 1 / 2 - 1
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
g : β → γ
f : (a : α) → p a → β
s : Multiset α
H : ∀ a ∈ s, p a
⊢ Multiset.map g (Multiset.pmap f s H) = Multiset.pmap (fun a h => g (f a h)) s H
α : Type u
Subsingleton α
Zero α
s : Set α
h : s.Nonempty
⊢ s = {0}
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
⊢ (∀ (n : ℕ∞), ContDiffOn 𝕜 n f s) ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
H : s ≤ᵐ[μ] t
⊢ μ s ≤ μ t
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
⊢ Associates.out 1 = 1
R : Type u
Ring R
I : Ideal R
⊢ I.jacobson = I ↔ ∀ x ∉ I, ∃ M, (I ≤ M ∧ M.IsMaximal) ∧ x ∉ M
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s t : Set X
x✝ y✝ : X
s' : Set X
r : ENNReal
r0 : r ≠ 0
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
r' : ENNReal
r0' : r' ≠ 0
hr' : ∀ x ∈ s', ∀ y ∈ t, r' ≤ edist x y
x : X
hx : x ∈ s ∪ s'
y : X
hy : y ∈ t
⊢ x ∈ s → min r r' ≤ edist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g g' : δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
hg : ∀ b ∈ s, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
hg' : EqOn g g' sᶜ
g'_meas : Measurable g'
⊢ Measurable g
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq α
inst✝⁵ : DecidableEq β
inst✝⁴ : SemilatticeInf α
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : FunLike F α β
inst✝¹ : InfHomClass F α β
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b c : α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
⊢ filter (fun x => a ≤ x) (s ⊼ t) = filter (fun x => a ≤ x) s ⊼ filter (fun x => a ≤ x) t
α : Type u_2
DecidableEq α
Inv α
s : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ a⁻¹ ∈ s⁻¹