ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : CountablySeparated Z
f : X → Z
hf : Measurable f
hsurj : Surjective f
s : Set Z
h : MeasurableSet (f ⁻¹' s)
τ : TopologicalSpace Z
left✝¹ : SecondCountableTopology Z
left✝ : T4Space Z
right✝ : OpensMeasurableSpace Z
⊢ AnalyticSet s
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
hn : ↑g 1 0 ≠ -1
hp : ↑g 1 0 ≠ 1
⊢ ↑g 1 0 = 0
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : {i : Fin2 n} → α i → α i → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ α
xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩
yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), r (f₀ i j) (f₁ i j)
⊢ (fun i t => (↑t).1) <$$> abs ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩ = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> abs ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩ = y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ x + t • y ∈ s
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
qn : q.natDegree ≤ n
⊢ (p - q).natDegree ≤ n ↔ p.natDegree ≤ n
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
j i : ι
hij : ∃ c ∈ lowerBounds (Set.Ioi i), j < c
⊢ j ≤ i
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i✝ : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι'
i : ι'
j✝ : ι
⊢ (toMatrix b b') id i j✝ = b'.toMatrix (⇑b) i j✝
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : MulZeroOneClass α
inst✝ : Nontrivial α
x✝¹ x✝ : V
⊢ ⋯.toGraph.Adj x✝¹ x✝ ↔ G.Adj x✝¹ x✝
F : Type u_8
R : Type u_9
S : Type u_10
Ring R
SeminormedRing S
NormOneClass S
FunLike F R S
RingHomClass F R S
f : F
⊢ NormOneClass R
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
⊢ eqToHom ⋯ ≫ F₁.map (Qinv f.s ⋯) = F₂.map (Qinv f.s ⋯) ≫ eqToHom ⋯
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
i : ι
x : H
⊢ ∃ i_1 x', (inl.comp CoprodI.of) ((φ i) x) = inl (CoprodI.of ((φ i_1) x')) ∧ inr x = inr x'
V : Type u_1
Quiver V
X : V
⊢ (𝟭q V).obj X = X
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
x y : G
⊢ x ∈ H → y ∈ H → x + y ∈ H
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
p q : R[X]
⊢ (Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) Y) =
  p ^ 2 - p * q * (Polynomial.C W.a₁ * Polynomial.X + Polynomial.C W.a₃) -
    q ^ 2 *
      (Polynomial.X ^ 3 + Polynomial.C W.a₂ * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C W.a₄ * Polynomial.X + Polynomial.C W.a₆)
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
⊢ constantCoeff (wittStructureInt p Φ 0) = constantCoeff Φ
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h✝ : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y
hxy : orderOf x ∣ orderOf y
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ orderOf y
hd : orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p
h : ¬p ∣ orderOf x
⊢ p * orderOf x ∣ orderOf y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → ℕ → Prop
h : ∀ (n a : ℕ), ∃ b > a, P n b
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P n (φ n)
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
a : R
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ h₁ h₂
G : Type u_1
G' : Type u_2
P : Type u_3
P' : Type u_4
AddGroup G
AddGroup G'
AddTorsor G P
AddTorsor G' P'
p₁ p₂ : P × P'
⊢ (p₁ -ᵥ p₂).2 = p₁.2 -ᵥ p₂.2
⊢ Turing.PartrecToTM2.tr (Turing.PartrecToTM2.Λ'.ret Turing.PartrecToTM2.Cont'.halt) =
  Turing.TM2.Stmt.load (fun x => none) Turing.TM2.Stmt.halt
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c a' b' c' : P
r : ℝ
h : ∠ a' b' c' = ∠ a b c
hab : dist a' b' = r * dist a b
hcb : dist c' b' = r * dist c b
⊢ dist a' c' = r * dist a c
a✝ b✝ c d m n a b : ℤ
H : b ∣ a
h : b.natAbs > 0
⊢ (a / b).natAbs = a.natAbs / b.natAbs
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ (extChartAt I (fs.c (fs.ind x hx))).source
G : Type u_1
AddCommGroup G
⊢ ⇑(𝟙 (AddCommGrp.of G)) = id
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero β
inst✝² : SMulZeroClass α β
s : Set α
t : Set β
a : α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
ha : a ≠ 0
b : β
hb : b ∈ t
h : (fun x => a • x) b = 0
⊢ 0 ∈ t
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
ι_mul : ∀ (x : CliffordAlgebra Q) (m : M), P x → P ((ι Q) m * x)
x y : CliffordAlgebra Q
hx : P (reverse x)
hy : P (reverse y)
⊢ P (reverse (x + y))
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I✝ I : Ideal R
r : R
h : r - 1 ∈ I.jacobson
s : R
hs : s * 1 * (r - 1) + s - 1 ∈ I
⊢ ∃ s, s * r - 1 ∈ I
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
Subsingleton R
⊢ p.natDegree = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t✝ : Set α
f : α → β
t : Set β
x : β
x✝ : x ∈ range f ∩ t
y : α
h_eq : f y = x
hx : x ∈ t
⊢ x ∈ t
R M : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Flat R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R N
inst✝ : Finite R N
f : N
x : N →ₗ[R] M
h : x f = 0
⊢ ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
⊢ Besicovitch.goodδ E < 1
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.17195, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.17199, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.17203, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.17207, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.17211, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.17215, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
ψ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
x : I₁ × I₂ × I₃
⊢ ((F.obj (X₁ x.1)).map (ψ x.2.1) ≫ (F.map (φ x.1)).app (Y₂ x.2.1)).app (X₃ x.2.2) = ((F.map (φ x.1)).app (X₂ x.2.1) ≫ (F.obj (Y₁ x.1)).map (ψ x.2.1)).app (X₃ x.2.2)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp₁ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_5
l : Filter β
t : β → Set α
ht : ∀ (b : β), MeasurableSet (t b)
hμt : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤
hp : p ≠ ⊤
h : Tendsto (fun b => μ (t b ∆ s)) l (𝓝 0)
hp₀ : p ≠ 0
⊢ ENNReal.toReal 0 ≠ 0 ∨ 0 ≤ 1 / p.toReal
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 2
⊢ AffineIndependent k p ↔ ¬FiniteDimensional.finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) ≤ n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
⊢ ⨅ i, RingHom.ker (WittVector.truncate i) = ⊥
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Finset α
a b : α
⊢ {b}.preimage (fun x => x * a) ⋯ = {b * a⁻¹}
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
y : ↥N
n : ℕ
⊢ ↑(((LieModule.toEnd R L ↥↑N) x ^ n) y) = ((LieModule.toEnd R L M) x ^ n) ↑y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
h : IsClosed ↑A
f g : ↥A
⊢ ↑f ⊔ ↑g ∈ A
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
⊢ I⁻¹ = 1 / I
K : Type u_7
L : Type u_8
Field K
LieRing L
LieAlgebra K L
Module.Finite K L
x : L
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥(LieSubalgebra.engel K x) = (LinearMap.charpoly ((LieAlgebra.ad K L) x)).natTrailingDegree
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ Function.Injective AddSubgroup.ofAddUnits
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (CategoryTheory.tensorMonoidal C).ε = (λ_ (𝟙_ C)).inv
m₁ m₂ n : ℕ
⊢ ack m₁ n ≤ ack m₂ n ↔ m₁ ≤ m₂
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
hI : I ≠ 0
⊢ ‖I‖ = 1
α : Type u_2
DecidableEq α
AddGroup α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ 0 ∈ s - s
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑m * x) ↔ m ≠ 0 ∧ Irrational x
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b c d : α
⊢ 𝓝ˢ (Ici a) = 𝓝 a ⊔ 𝓟 (Ioi a)
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
C : Set X
⊢ AccPt x (𝓟 C) ↔ ClusterPt x (𝓟 (C \ {x}))
α : Type u
LinearOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ min a ⊥ = ⊥
F✝ : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : CompactSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
s : Set β
hs : IsCompact s
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
in_s : ∀ (f : α →ᵇ β) (x : α), f ∈ A → f x ∈ s
H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
M : LipschitzWith 1 Subtype.val
F : (α →ᵇ ↑s) → α →ᵇ β := comp Subtype.val M
⊢ IsCompact A
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
TopologicalSpace E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
UniformSpace F
UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
⊢ UniformConvergenceCLM.instTopologicalSpace σ F 𝔖 =
  TopologicalSpace.induced DFunLike.coe (UniformOnFun.topologicalSpace E F 𝔖)
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ MeasureTheory.SigmaFinite (MeasureTheory.Measure.map f μ)
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
H : ν.IsEverywherePos s
⊢ ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, μ u = ν u
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x : α
hx : x ≠ 0
h : ¬IsUnit x
p' : α
hp' : Irreducible p'
hp'x : p' ∣ x
p : α
hp : p ∈ factors x
right✝ : p' ~ᵤ p
⊢ ∃ p, p ∈ factors x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
g : (b : β) → b ∈ (p.bindOnSupport f).support → PMF γ
⊢ (p.bindOnSupport f).bindOnSupport g = p.bindOnSupport fun a ha => (f a ha).bindOnSupport fun b hb => g b ⋯
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P✝ : Finpartition s
a : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
i : α
P : Finset (Finset α)
PQ : P ⊆ F
hi : i ∈ filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ P ↔ i ∈ u) s
hy₂ : filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ P ↔ i ∈ u) s ⊆ t
j : α
_hj : j ∈ filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ P ↔ i ∈ u) s
⊢ ∃ a ⊆ F.erase t, filter (fun i => ∀ x ∈ F, x ∈ insert t a ↔ i ∈ x) s = filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ P ↔ i ∈ u) s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
h₁ : ∀ (Z : C), Nonempty (X ⟶ Z)
h₂ :
  ∀ ⦃Z : C⦄ (i j : X ⟶ Z), ∃ a, i = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f a ∧ j = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g a
⊢ (CategoryTheory.Limits.parallelPair f g).Initial
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ t ⋖ s ↔ t ⊆ s ∧ (s \ t).card = 1
α : Type u_1
p : PMF α
s : Set α
⊢ p.toOuterMeasure s = 1 ↔ p.support ⊆ s
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.OplaxFunctor B C} (η : CategoryTheory.OplaxNatTrans X Y)
  (θ : CategoryTheory.OplaxNatTrans Y Z) {a b : B} (f : a ⟶ b),
  (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η θ).naturality f =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (X.map f) (η.app b) (θ.app b)).inv
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (η.naturality f) (θ.app b))
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (Y.map f) (θ.app b)).hom
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (η.app a) (θ.naturality f))
            (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (θ.app a) (Z.map f)).inv)))
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
P : R[X]
hmo : P.Monic
f : R →+* S
⊢ (Polynomial.map f P).coeff P.natDegree ≠ 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
k a : ℕ
h : a ≥ k
⊢ a ≤ (fun a => a - k) a + k
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : NormedRing 𝔹
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
r : NNReal
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ‖(↑n !)⁻¹ • ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕂 n 𝔸‖ * ‖↑r ^ n‖ ≤ ↑r ^ n / ↑n !
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F✝ : C ⥤ D
X✝ Y Z : C
f : Y ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
F : C ⥤ D
X : C
⊢ generate (functorPushforward F ⊤).arrows = ⊤
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
u : AddUnits M
h : AddCommute (↑u) a
m : ℤ
⊢ AddCommute (↑(m • u)) a
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : DifferentiableOn ℝ f s
hs : μ s = 0
this : ∀ (A : E →L[ℝ] E), ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t δ → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + 1) * μ t
⊢ μ (f '' s) ≤ 0
f✝ g : CircleDeg1Lift
f : CircleDeg1Liftˣ
n : ℕ
⊢ τ ↑(f ^ ↑n) = ↑↑n * τ ↑f
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ H
⊢ H.index ∣ (map f H).index
R : Type u_1
CommRing R
f : R[X]
I : PrimeSpectrum R[X]
H : I ∈ (PrimeSpectrum.zeroLocus {f})ᶜ
⊢ (PrimeSpectrum.comap Polynomial.C) I ∈ AlgebraicGeometry.Polynomial.imageOfDf f
R : Type u
CommRing R
f₁ f₂ g₁ g₂ : R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hu₁ : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl
hu₂ : ∀ x ∈ U, g₂ ∈ x.asIdeal.primeCompl
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f₁ g₁ U hu₁ * AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f₂ g₂ U hu₂ =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R (f₁ * f₂) (g₁ * g₂) U ⋯
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
⊢ image compl s = sᶜˢ
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice
g : ((i : ι) → κ i) → ι
a : ι
ha : ∀ (b : κ a), ∃ f, ∃ (h : a = g f), h ▸ b = f (g f)
⊢ ⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ ⨅ j, f a j
α : Type u_1
n : ℕ
Sub α
v : Fin n.succ → α
y : α
w : Fin n → α
⊢ v - Matrix.vecCons y w = Matrix.vecCons (Matrix.vecHead v - y) (Matrix.vecTail v - w)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤
⊢ ∃ P, IsAssociatedPrime P M ∧ (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P
α : Type u
pα : Preorder α
⊢ GaloisConnection id id
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
⊢ ⇑f.withBotMap = WithBot.map ⇑f
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing Rₘ
inst✝⁶ : CommRing Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Rₘ
inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝³ : Algebra S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝¹ : Algebra Rₘ S
inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S
x : S
nontriv : Nontrivial Rₘ
p : Rₘ[X]
hp₁ : p.Monic
hp₂ : eval₂ (algebraMap Rₘ S) x p = 0
this : ∃ q, Polynomial.map (algebraMap R Rₘ) q = p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff)) ∧ q.natDegree = (p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff))).natDegree ∧ q.Monic
⊢ ∃ m, IsIntegral R (m • x)
k : ℕ
⊢ (algebraMap ℚ ℝ) (bernoulli' k) = ↑(bernoulli k) + if k = 1 then 1 else 0
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
⊢ ⊤.toProd.2 = intentClosure r Set.univ
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
x' : M
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
hx'' : f x' = f (S.subtype y • x)
a : ↥S
ha : a • x' = a • S.subtype y • x
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.forget F).obj t = t.pt
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)
h : U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f
⊢ ∀ x ∈ s, X.basicOpen x ≤ U
α : Type u
MetricSpace α
x : ℕ → α
a b : α
⊢ dist (KuratowskiEmbedding.embeddingOfSubset x a) (KuratowskiEmbedding.embeddingOfSubset x b) ≤ dist a b
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
x : R
⊢ (∃ i, x ∈ I.leadingCoeffNth i) ↔ ∃ p ∈ I, p.leadingCoeff = x
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
f : ι →₀ R
i : ι
val✝ : Fintype ι
⊢ ((Finsupp.total ι (Dual R M) R ⇑b.dualBasis) f) (b i) = f i
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
⊢ 0 < ∫ (x : E), ExistsContDiffBumpBase.u x ∂MeasureTheory.Measure.addHaar
M : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
VAdd M α
VAdd M β
a : M
b : α
⊢ a +ᵥ Sum.inl b = Sum.inl (a +ᵥ b)
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
∀ (j : ι), Nonempty (α j)
i : ι
f : Filter (α i)
⊢ (Filter.comap (Function.eval i) f).NeBot ↔ f.NeBot
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
h₁ : add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY f₁ f₂
h₂ : add W eX' eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂
⊢ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
FiniteDimensional 𝕜 F
⊢ ContDiff 𝕜 n f ↔ ∀ (y : F), ContDiff 𝕜 n fun x => (f x) y
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
N : E → ℝ
N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x
N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y
hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x
E : Type
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
s : Set E
fs : AnalyticOn ℂ f s
m : ∀ z ∈ s, f z ∈ Complex.slitPlane
⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => Complex.log (f z)) s
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
a b : α × β
⊢ toLex a < toLex b ↔ a.1 < b.1 ∨ a.1 = b.1 ∧ a.2 < b.2
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeSup α
Preorder β
NoMinOrder β
u : α → β
h : Filter.Tendsto u Filter.atTop Filter.atBot
a : α
b : β
⊢ ∃ a' ≥ a, u a' < b
β : Type u_2
ι : Sort u_4
t : Set β
s : ι → Set β
h : ∀ (i : ι), t ⊆ s i
⊢ t ⊆ ⋂ i, s i
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs' : s' ∈ p.basisSets
⊢ Absorbs 𝕜 (id s') s
n : Num
⊢ n.succ.toZNumNeg = n.toZNumNeg.pred
ι : Type u_1
M : Type u_3
Zero M
f : ι →₀ M
⊢ ⇑f.toDFinsupp = ⇑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : dist y a < ε
⊢ ∃ I, ∀ i ≥ I, ‖↑((orthogonalProjection (U i)) y) - y‖ < ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
⊢ FiniteDimensional.finrank 𝕜 ↥K + FiniteDimensional.finrank 𝕜 ↥Kᗮ = FiniteDimensional.finrank 𝕜 E
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
𝒢 : Set C
h𝒢 : CategoryTheory.IsDetecting 𝒢
X : C
P Q : CategoryTheory.Subobject X
h : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, P.Factors f ↔ Q.Factors f
⊢ P = Q
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J
⊢ 𝒰.gluedCoverT' x y z ≫ 𝒰.gluedCoverT' y z x ≫ 𝒰.gluedCoverT' z x y =
  𝟙
    (CategoryTheory.Limits.pullback (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y))
      (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)))
α : Type u
⊢ Function.LeftInverse TopologicalSpace.generateFrom fun t => {s | IsOpen s}
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology
⊢ K.homologyπ j ≫ (K.homologyIsoSc' i j k hi hk).hom = (K.cyclesIsoSc' i j k hi hk).hom ≫ (K.sc' i j k).homologyπ
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ ∃ π, v.valuation π = ↑(Multiplicative.ofAdd (-1))
b : Bool
n : ℤ
⊢ (2 * n + bif b then 1 else 0).bodd = b
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : toNat (Module.rank R M) = toNat ↑n
⊢ finrank R M = n
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Finite ι
x : E
⊢ ∃! v, v +ᵥ x ∈ fundamentalDomain b
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
U : Set α
⊢ Quotient.mk' ⁻¹' (Quotient.mk' '' U) = ⋃ g, (fun x => g +ᵥ x) '' U
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
⊢ cs.rightInvSeq [i] = [cs.simple i]