ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r : R
hr : r ≠ 0
I : ↑{I | I ∈ normalizedFactors (span {r})}
x : ↑{d | d ∈ normalizedFactors r}
hx : (normalizedFactorsEquivSpanNormalizedFactors hr) x = I
⊢ multiplicity (↑((normalizedFactorsEquivSpanNormalizedFactors hr).symm I)) r = multiplicity (↑I) (span {r})
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
⊢ (o.oangle x (x + y)).cos * ‖x + y‖ = ‖x‖
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
Nontrivial R
⊢ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) + Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R M') ≤ Module.rank R (M × M')
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
B : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory B
CategoryTheory.Bicategory.Strict B
F : CategoryTheory.Functor I B
⊢ ∀ {a b c : CategoryTheory.LocallyDiscrete I} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c),
  F.toPseudoFunctor.mapComp f g = CategoryTheory.eqToIso ⋯
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.220633, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
P : C
f : P ⟶ S.X₂
inst✝ : Projective P
hf : f ≫ S.g = 0
⊢ hS.liftFromProjective f hf ≫ S.f = f
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : a + b = 1
⊢ a⁻¹⁻¹ + b⁻¹⁻¹ = 1
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ p.closedBall x₁ r₁
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ p.closedBall x₂ r₂
⊢ p (y₁ - x₁ + (y₂ - x₂)) ≤ r₁ + r₂
m n : Num
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I * J ≤ 1
⊢ J ≤ ⟨(↑I)ᵛ, ⋯⟩
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
f : MonoidAlgebra R M
⊢ span R (⇑(of R M) '' ↑f.support) ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (⇑(of R M) '' ↑f.support))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.zeroCoprodIso X).inv = CategoryTheory.Limits.coprod.inr
R : Type u_2
M : Type u_1
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
φ : M →ₗ[R] M
m : M
⊢ Polynomial.X • (Module.AEval'.of φ) m = (Module.AEval'.of φ) (φ m)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a * b ≤ c * d
⊢ (a ≤ c ∨ a ≤ d) ∨ b ≤ c ∨ b ≤ d
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)
⊢ 0 ≤ ↑(finrank ℚ K) ∧ 0 ≤ ‖(basisMatrix K)ᵀ⁻¹‖
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x : ↑s
⊢ s.ordConnectedComponent (s.ordConnectedProj x) = s.ordConnectedComponent ↑x
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : (a : α) → β a → Type u_3
(x : α) → (y : β x) → OmegaCompletePartialOrder (γ x y)
f : ((x : α) → (y : β x) → γ x y) →o (x : α) → (y : β x) → γ x y
hc : OmegaCompletePartialOrder.Continuous f
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous ((Pi.monotoneUncurry α β γ).comp (f.comp (Pi.monotoneCurry α β γ)))
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝³ : Semiring K
inst✝² : SMulWithZero R K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : IsScalarTower R K M
hinj : Injective fun r => r • 1
li : LinearIndependent K v
⊢ LinearIndependent R v
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hX : ¬Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ mgf X μ t = 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / (o.oangle y (y - x)).cos = ‖y - x‖
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
H : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
x : ↑Γ(X, V)
⊢ (↑(X.basicOpen x)).Nonempty → (↑(U ⊓ X.basicOpen x)).Nonempty
M : Type u_1
Mul M
p : M
h : IsIdempotentElem p
⊢ p * p = p
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
p : Fq[X]
hp : p ≠ 0
hp' : (algebraMap Fq[X] (RatFunc Fq)) p ≠ 0
⊢ inftyValuationDef Fq ((algebraMap Fq[X] (RatFunc Fq)) p) = ↑(Multiplicative.ofAdd ↑p.natDegree)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
u : Aˣ
⊢ ∀ (b : A) (v : Aˣ), spectrum R (↑v * b * ↑v⁻¹) ⊆ spectrum R b
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
this : q * r = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0
hr' : r.num /. ↑r.den ≠ 0
hp' : _root_.Prime ↑p
⊢ ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) + ↑((multiplicity (↑p) r.num).get ⋯) - (↑((multiplicity ↑p ↑q.den).get ⋯) + ↑((multiplicity ↑p ↑r.den).get ⋯)) = ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity ↑p ↑q.den).get ⋯) + (↑((multiplicity (↑p) r.num).get ⋯) - ↑((multiplicity ↑p ↑r.den).get ⋯))
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
Fintype (Sym2 α)
Semiring R
(a : α) → Fintype ↑(G.neighborSet a)
DecidableEq α
DecidableRel G.Adj
⊢ SimpleGraph.incMatrix R G * (SimpleGraph.incMatrix R G)ᵀ = fun a b =>
  if a = b then ↑(G.degree a) else if G.Adj a b then 1 else 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ f = 0 ↔ ↑↑f =ᶠ[ae μ] 0
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
j : J
x : K.obj j
⊢ c.ι.app j x ∈ descSet hc {lc.ι.app j { down := x }}
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Semigroup R
inst✝ : StarMul R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
z : R
⊢ IsSelfAdjoint (star z * x * z)
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
h : HolderWith C r f
x y : X
⊢ edist (f x) (f y) ≤ ↑C * edist x y ^ ↑r
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p a : Associates α
hp : Irreducible p
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
a✝ : Nontrivial α
hph : p ^ n ≠ 0
ha : a ≠ 0
⊢ a = p ^ p.count a.factors
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
LinearOrder X
OrderBot X
CompactIccSpace X
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ ↔ MeasureTheory.IntegrableAtFilter f Filter.atTop μ ∧ MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
α : Type u
l : List α
a : α
ha : a ∉ l
hl : l.Nodup
⊢ (a :: l).Nodup
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ
a : ℝ
hS : ∀ (i : ι), f i ≤ a
ha : 0 ≤ a
⊢ ⨆ i, f i ≤ a
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ ↑(s₁ ∩ s₂) = ↑s₁ ∩ ↑s₂
z w : ℂ
⊢ z < w ↔ z.re < w.re ∧ z.im = w.im
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
s : Submonoid R
a : R
ha : a ≠ 0
hfac : ∀ b ∈ factors a, b ∈ s
hunit : ∀ (c : Rˣ), ↑c ∈ s
c : Rˣ
hc : (factors a).prod * ↑c = a
⊢ a ∈ s
m n : PosNum
⊢ ↑(m * n) = ↑m * ↑n
ι✝ : Type u_1
R✝ : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι✝
inst✝⁸ : CommSemiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ N
ι : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
w : ι → R
⊢ ((piEquiv ι R M) v) w = ∑ i : ι, w i • v i
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
⊢ a ∈ lowerBounds s ↔ s ⊆ Set.Ici a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : α → α
x : α
hx : x ∈ Function.periodicPts f
⊢ Cycle.Chain r (Function.periodicOrbit f x) ↔ ∀ (n : ℕ), r (f^[n] x) (f^[n + 1] x)
𝕜✝ : Type u
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type v
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ E✝
F : Type w
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ F
F' : Type x
inst✝⁹ : AddCommGroup F'
inst✝⁸ : Module 𝕜✝ F'
inst✝⁷ : TopologicalSpace F'
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜✝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜✝
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : LocallyCompactSpace E
r : ℝ
rpos : 0 < r
hr : IsCompact (closedBall 0 r)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ProperSpace E
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
y : LocallyConstant ↑(Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o) ℤ
⊢ (Profinite.NobelingProof.Linear_CC' C hsC ho) ((Profinite.NobelingProof.πs C o) y) = 0
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
a✝ : Nontrivial E
⊢ μ.toSphere.prod (volumeIoiPow (dim E - 1)) = map (⇑(homeomorphUnitSphereProd E)) (comap Subtype.val μ)
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
⊢ ∀ {d : α}, a ≤ d → max b c ≤ d → max (max a b) c ≤ d
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
c : ℝ≥0
hf : AntilipschitzWith c ⇑f
⊢ CompleteSpace ↥(LinearMap.range f)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha✝ : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
h_spec : spectrum R a ⊆ {0}
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ a = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ CategoryTheory.whiskerLeft (CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi (ChainComplex C ℕ))
    AlgebraicTopology.DoldKan.N₂Γ₂.hom =
  AlgebraicTopology.DoldKan.N₂Γ₂ToKaroubiIso.hom ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.N₁Γ₀.hom
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (DerivedCategory C)
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ CategoryTheory.Mono ((DerivedCategory.homologyFunctor C n₁).map T.mor₁) ↔
  DerivedCategory.HomologySequence.δ T n₀ n₁ h = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
fa : α → α
fb : β → β
g : α → β
hg : Measurable g
hfg : Semiconj g fa fb
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ fa ⁻¹' (g ⁻¹' s) = g ⁻¹' s
a : Ordinal.{u_1}
b : Ordinal.{u_1}
a0 : a ≠ 0
⊢ a ^ b ≠ 0
a : UnitAddCircle
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => evenKernel a x - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
ι : Type u
γ : Type w
DecidableEq ι
AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
x : γ
⊢ x ∈ iSup S ↔ ∃ f, (DFinsupp.sumAddHom fun i => (S i).subtype) f = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℝ n fun p => ⟪p.1, p.2⟫_𝕜
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α β : X ≅ Y
w : α.hom = β.hom
⊢ α.inv = α.inv ≫ β.hom ≫ β.inv
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
A : C
f₁ f₂ : MonoOver A
⊢ (inf.obj (Quotient.mk'' f₁)).obj (Quotient.mk'' f₂) = (map f₁.arrow).obj ((pullback f₁.arrow).obj (Quotient.mk'' f₂))
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsAlgClosed K
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : Nontrivial V
f : End K V
⊢ ∃ c, c ∈ spectrum K f
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) univ ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ univ)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
n : ℕ
N : ι
hN : ∀ n_1 ≥ N, μ (s ∩ notConvergentSeq f g n n_1) ∈ Icc (0 - ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n)) (0 + ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n))
⊢ ∃ j, μ (s ∩ notConvergentSeq f g n j) ≤ ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddZeroClass α
⊢ (AddMonoidHom.id α).mapMatrix = AddMonoidHom.id (Matrix m n α)
n✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0
hn : n ≠ 1
⊢ (n ^ k).minFac = n.minFac
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.divX * Polynomial.X + Polynomial.C (p.coeff 0) = p
a b c d : Nat
⊢ a ∣ b → c ∣ d → a * c ∣ b * d
a b : SimplexCategory
f g : a ⟶ b
⊢ SimplexCategory.Hom.toOrderHom f = SimplexCategory.Hom.toOrderHom g → f = g
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x : α} {β : Type u_2} {y : β}, (x, y).fst = x
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (fun y => f y i) (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
A : HasIntegral I ⊥ (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) volume.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i ∂volume)
B : HasIntegral I IntegrationParams.GP (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) BoxAdditiveMap.volume (∑ i : Fin (n + 1), (BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume))
i : Fin (n + 1)
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume = (∫ (x : Fin n → ℝ) in ↑(I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in ↑(I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
surj : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsOpenMap ⇑f
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
⊢ (dNext 0) f = 0
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v₁ : Valuation R Γ₀
v₂ : Valuation R Γ'₀
S : Type u_7
Ring S
f : S →+* R
h : v₁.IsEquiv v₂
⊢ (Valuation.comap f v₁).IsEquiv (Valuation.comap f v₂)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
S : Type u_1
Semiring S
f : R →+* S
r : R
⊢ Polynomial.eval₂ f (f r) p = f (Polynomial.eval r p)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
a b x : α
h : IsAtom a
⊢ x ≤ a ↔ x = ⊥ ∨ x = a
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
⊢ (p.append q connect).toFun (Fin.last (p.append q connect).length) = q.toFun (Fin.last q.length)
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y
r : R
hr : (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n + ↑p * r
⊢ (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v : V
h : Exists.choose ⋯ ∈ P.parts
⊢ P.partOfVertex v ∈ P.parts
α : Type u₁
β : Type u₂
R : α → β → Prop
h : Relator.RightTotal R
⊢ ((R ⇒ fun x x_1 => x → x_1) ⇒ fun x x_1 => x → x_1) (fun p => (i : α) → p i) fun q => ∀ (i : β), q i
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
⊢ Scheme.Hom.app f (U.ι ''ᵁ ⊤) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op = Scheme.Hom.app f (⋯.functor.obj ⊤) ≫ X.presheaf.map (((Opens.map f.val.base).map (eqToHom ⋯).op.unop).op ≫ (eqToHom ⋯).op)
α : Type u_2
Group α
b : α
⊢ Finset.preimage 1 (fun x => x * b⁻¹) ⋯ = {b}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
⊢ ∃ l a, ∅ = {x | x ∈ A ∧ a ≤ l x}
R : Type u_1
NonAssocRing R
Fintype R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hR : Fintype.card R = p
⊢ CharP R p
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : α
⊢ (FreeAddGroup.map f) (FreeAddGroup.of x) = FreeAddGroup.of (f x)
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
⊢ b.reindex (Equiv.refl ι) = b
n : ℕ
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
⊢ (Polynomial.cyclotomic' n R).Monic
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
n : ℕ∞
f : E → F
g : G →L[𝕜] E
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
h's : UniqueDiffOn 𝕜 (⇑g ⁻¹' s)
x : G
hx : g x ∈ s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f ∘ ⇑g) (⇑g ⁻¹' s) x = (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s (g x)).compContinuousLinearMap fun x => g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
A B : E →WOT[𝕜]F
x : E
h : ∀ (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), y (A x) = y (B x)
⊢ A x = B x
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
k m : ℕ
hm : k ≤ m
hk : (f.genEigenspace μ) m = ⊥
⊢ (f.genEigenspace μ) k = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.exp.coev A).app (A ⟹ B))
    ((CategoryTheory.exp A).map ((CategoryTheory.exp.ev A).app B)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (A ⟹ B)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F.leftOp
hc : IsLimit c
s : Cocone F
m : (coconeOfConeLeftOp c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : J), (coconeOfConeLeftOp c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
⊢ m = (fun s => (hc.lift (coneLeftOpOfCocone s)).op) s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ∫⁻ (x : α), μ.rnDeriv ν x ∂ν < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddCommMonoid β
ContinuousAdd β
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → C(α, β)
a : α
⊢ (∑ i ∈ s, f i) a = ∑ i ∈ s, (f i) a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
x : E
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') (⇑f) x f
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S F E✝ E'✝ : IntermediateField K L
h : F ≤ E✝
h' : F ≤ E'✝
x : L
E E' : { E // F ≤ E }
⊢ { toFun := fun E => extendScalars ⋯, invFun := fun E => ⟨restrictScalars K E, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } E ≤ { toFun := fun E => extendScalars ⋯, invFun := fun E => ⟨restrictScalars K E, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } E' ↔ E ≤ E'
α : Type u_1
DecidableEq α
l l' : List α
x : α
⊢ (List.zipWith Equiv.swap l l').prod x ≠ x → x ∈ l ∨ x ∈ l'
A : Type u_2
CommRing A
K : Type u_4
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
⊢ IsDedekindDomain A ↔
  IsDomain A ∧ IsNoetherianRing A ∧ Ring.DimensionLEOne A ∧ ∀ {x : K}, IsIntegral A x → ∃ y, (algebraMap A K) y = x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
Semiring R₂
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p p' : Submodule R M
⊢ Submodule.map f p ≤ Submodule.map f p' ↔ p ≤ p' ⊔ LinearMap.ker f
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
Nontrivial R
y : R[X]
⊢ WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.YClass W y ≠ 0
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.codeSupp Turing.ToPartrec.Code.tail k =
  Turing.PartrecToTM2.trStmts₁ (Turing.PartrecToTM2.trNormal Turing.ToPartrec.Code.tail k) ∪
    Turing.PartrecToTM2.contSupp k
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
f : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
⊢ m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
⊢ firstDiff x y < shortestPrefixDiff x s
α : Type ua
s : Set α
UniformSpace α
⊢ 𝓤 ↑s = Filter.comap (Prod.map Subtype.val Subtype.val) (𝓤 α)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
⊢ sSup s ⊓ sSup t = ⨆ p ∈ s ×ˢ t, p.1 ⊓ p.2
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hnm : n ≤ m
hn : MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n ω = N
⊢ MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N m ω = N
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : CompleteSpace G
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
⊢ adjoint (orthogonalProjection U) = U.subtypeL