ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
f g : Seq α → Seq β
H : ∀ (s : Seq α), BisimO (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = f s ∧ s2 = g s) (f s).destruct (g s).destruct
⊢ IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s, s1 = f s ∧ s2 = g s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteLimits C
F : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits F
⊢ CategoryTheory.RepresentablyFlat F
α : Type u_1
M : Type u_4
AddMonoid M
f : α → M
l : List α
⊢ (FreeAddMonoid.lift f) (FreeAddMonoid.ofList l) = (List.map f l).sum
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ padicValInt p ↑p = 1
m i : Nat
x : BitVec m
n : Nat
⊢ (x <<< n).getLsb i = (decide (i < m) && !decide (i < n) && x.getLsb (i - n))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ
⊢ f (x - n • c) = (-1) ^ n • f x
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ι'
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
b✝ b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
k : ℕ
H : ↑(MvPolynomial.bind₁ (toMvPolynomial b (Module.Free.chooseBasis R M).end φ)) ((charpoly.univ R (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)).coeff k) = 0
⊢ ↑(MvPolynomial.bind₁ (toMvPolynomial b' (Module.Free.chooseBasis R M).end φ)) ((charpoly.univ R (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)).coeff k) = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
⊢ s.gcd f = 0 ↔ ∀ x ∈ s, f x = 0
α : Type u_1
q : Semiquot α
s : Set α
h : q.s ⊆ s
a : α
⊢ a ∈ q.blur' h ↔ a ∈ s
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
Algebra A B
x : B
Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0
⊢ p * Polynomial.C p.leadingCoeff⁻¹ = minpoly A x
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) = (fun j rj => if x✝¹ + j = n then ↑(r x✝¹) * ↑rj else 0) x✝ (r' x✝)
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p q : A
⊢ ¬p ≤ q ↔ ∃ x ∈ p, x ∉ q
α : Type u_1
β : Type u_7
SeminormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (μ ν : MeasureTheory.Measure α),
  MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive ν T C → 0 ≤ C → MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) T C
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf1 : (LinearMap.ker f).FG
hf2 : (LinearMap.ker g).FG
hsur : Surjective ⇑f
⊢ (map f (comap f (LinearMap.ker g))).FG
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
A B : ↥(Matrix.unitaryGroup n α)
⊢ Matrix.UnitaryGroup.toGL (A * B) = Matrix.UnitaryGroup.toGL A * Matrix.UnitaryGroup.toGL B
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
q : Associates N
hq : q ∈ normalizedFactors n
hq' : Associated (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) q
⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ∈ normalizedFactors n
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
⊢ ψ 1 = 1 → ∀ (x : ZMod n), ψ x = 1
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P✝ P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
n : ℕ
⊢ ⁅f, ((toEnd R L M) f ^ n) m⁆ = ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
p : M → Prop
h_zero : p 0
h_homogeneous : ∀ {i : ι} (m : ↥(ℳ i)), p ↑m
h_add : ∀ (m m' : M), p m → p m' → p (m + m')
ℳ' : ι → AddSubmonoid M := fun i => { carrier := ↑(ℳ i), add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }
t : Decomposition ℳ'
⊢ ∀ (m : M), p m
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
inst✝¹ : IsIso a
inst✝ : Mono f
⊢ f = 𝟙 X ≫ f
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_4
Finite α
f : M →ₗ[R] α → R
s : Function.Surjective ⇑f
⊢ f ∘ₗ f.splittingOfFunOnFintypeSurjective s = LinearMap.id
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t u : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ gauge t x ≠ 0
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ |max a b - max c d| ≤ max |a - c| |b - d|
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal
f : ↥(lp E p)
g : ↥(lp E q)
hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖
⊢ (Summable fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) ∧ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ 0 < a / b
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Precoherent C
W X : C
α : Type
inst✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : Limits.IsColimit (Sieve.generate (Presieve.ofArrows Y π)).arrows.cocone
x : Presieve.FamilyOfElements (yoneda.obj W) (Presieve.ofArrows Y π)
hx : x.Compatible
x_ext : Presieve.FamilyOfElements (yoneda.obj W) (Sieve.generate (Presieve.ofArrows Y π)).arrows := x.sieveExtend
hx_ext : x.sieveExtend.Compatible
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
t : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t → f x = 0
⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
di : DenseInducing i
TopologicalSpace γ
T2Space γ
f : α → γ
a : α
c : γ
hf : Filter.Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 c)
⊢ di.extend f (i a) = f a
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 C)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * g x) l Filter.atTop
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : DecidableEq p
inst✝⁵ : DecidableEq q
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : Fintype q
inst✝ : Fintype l
h : (PD l R)ᵀ * JD l R = fromBlocks 1 1 1 (-1)
⊢ fromBlocks (1 * 1 + 1 * 1) (1 * -1 + 1 * 1) (1 * 1 + -1 * 1) (1 * -1 + -1 * 1) = fromBlocks (2 • 1) (2 • 0) (2 • 0) (2 • -1)
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
VAdd α β
a : α
s : ι → Set β
⊢ a +ᵥ ⋃ i, s i = ⋃ i, a +ᵥ s i
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
⊢ x✝.reduce.v = x✝.v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : r ↪r s
g : s ↪r t
a : α
⊢ (f.trans g) a = g (f a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P : C
Q : C
a : CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement P
⊢ CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply 0 a = 0
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ 𝓝[I.pi s] x = ⊥ ↔ ∃ i ∈ I, 𝓝[s i] x i = ⊥
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : (i' : ι') → κ' i' → Set α
h : ∀ (i' : ι') (j' : κ' i'), ∃ i j, s i j ⊆ t i' j'
⊢ ⋂ i, ⋂ j, s i j ⊆ ⋂ i', ⋂ j', t i' j'
R : Type u_1
Semiring R
Nontrivial R
⊢ PowerSeries.order 1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace δ
NormedAddCommGroup β
f : α → δ
g : δ → β
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable g (MeasureTheory.Measure.map f μ) ↔ MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β → α → α
g : γ → α → α
hfg : Set.range f = Set.range g
a : α
⊢ Set.range (List.foldr f a) = Set.range (List.foldr g a)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
⊢ hs.toFinset ⊂ ht.toFinset ↔ s ⊂ t
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
⊢ Ordinal.CNF 1 o = [(0, o)]
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
⊢ Monotone Finset.upShadow
R : Type u_1
CommRing R
k : ℕ
a : R
⊢ Polynomial.dickson k a 1 = Polynomial.X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedCommRing 𝕜
LinearOrderedCommRing E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set 𝕜
IsScalarTower 𝕜 E E
SMulCommClass 𝕜 E E
f g : 𝕜 → E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f * g)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
cg : KernelFork S.g
hg : IsLimit cg
cf : CokernelCofork S.f
hf : IsColimit cf
e₁ : (Fork.ofι (kernel.ι S.g) ⋯).pt ≅ cg.pt := (kernelIsKernel S.g).conePointUniqueUpToIso hg
e₂ : (Cofork.ofπ (cokernel.π S.f) ⋯).pt ≅ cf.pt := (cokernelIsCokernel S.f).coconePointUniqueUpToIso hf
this : Fork.ι cg ≫ Cofork.π cf = e₁.inv ≫ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f ≫ e₂.hom
⊢ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0 ↔ Fork.ι cg ≫ Cofork.π cf = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
Zero β
T2Space β
hf : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
⊢ f =ᵐ[μ.restrict hf.sigmaFiniteSetᶜ] 0
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Mul M
ContinuousMul M
a b : M
⊢ Filter.Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (a, b)) (𝓝 (a * b))
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
⊢ Function.Exact ⇑f ⇑g ↔ LinearMap.ker g = LinearMap.range f
x : EReal
⊢ x + ⊥ = ⊥
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ h.symm.trans h = Homeomorph.refl Y
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * g x) l Filter.atTop
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Set.InjOn (fun a => insert a s) sᶜ
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
n : ℕ
φ : R⟦X⟧
⊢ (coeff R 1) (φ ^ n) = ↑n * (coeff R 1) φ * (constantCoeff R) φ ^ (n - 1)
m n : ℕ
h : m ≤ n
this : n - m + m = n
⊢ (n - m).gcd n = m.gcd n
R : Type u
Semiring R
x : R
n : ℕ
⊢ Polynomial.eval x ↑n = ↑n
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ EMetric.diam s ≤ EMetric.diam t
α : Type u
CancelMonoid α
a : α
⊢ IsConj 1 a ↔ a = 1
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₁ c x ε) → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
δ₂ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₂ c x ε) → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < 2 ^ Fintype.card ι
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), ↑t ⊆ s → ∑ i ∈ t, 2 ^ Fintype.card ι * εs i ≤ ε / 2
ε' : ℝ
ε'0 : 0 < ε'
hεI : B I * ε' < ε / 2
δ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun c x => if x ∈ s then δ₁ c x (εs x) else δ₂ c x ε'
π : TaggedPrepartition I
c : ℝ≥0
hπδ : l.MemBaseSet I c (δ c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ dist (∑ x ∈ Finset.filter (fun J => π.tag J ∈ s) π.boxes, (vol x) (f (π.tag x))) (∑ x ∈ Finset.filter (fun J => π.tag J ∈ s) π.boxes, g x) ≤ ε / 2
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r : R
hr : r ≠ 0
I : ↑{I | I ∈ normalizedFactors (span {r})}
a : R
ha : a ∈ {d | d ∈ normalizedFactors r}
hx : (normalizedFactorsEquivSpanNormalizedFactors hr) ⟨a, ha⟩ = I
⊢ multiplicity (↑((normalizedFactorsEquivSpanNormalizedFactors hr).symm I)) r = multiplicity (↑I) (span {r})
R : Type u_1
S : Type ?u.189967
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.190432
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.191572
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : FinitePresentation R M
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
I : Type (max u_2 u_1) := Free.ChooseBasisIndex k (k ⊗[R] M)
b : Basis I k (k ⊗[R] M) := Free.chooseBasis k (k ⊗[R] M)
this✝ : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))
f : k ⊗[R] M → M
hf : ∀ (b : k ⊗[R] M), ((TensorProduct.mk R k M) 1) (f b) = b
i : (I →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total I M R (f ∘ ⇑b)
hi : Surjective ⇑i
this : Finite R ↥(LinearMap.ker i)
⊢ ∀ (y : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)), y = 0
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
s : Set α
this : Nonempty { t // s ⊆ ⋃ i, t i }
⊢ c * ⨅ x, ∑' (n : ℕ), m (↑x n) = ⨅ x, c * ∑' (i : ℕ), m (↑x i)
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M
hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite
m : ℤ
hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun q => (↑q.num, ↑q.den)
q₁ : ℚ
h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : ↑q₁.num = ↑q₂.num
hq2 : ↑q₁.den = ↑q₂.den
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * (↑q₁.den * ↑q₂.den)
hd₂ : m ∣ q₁.num * ↑q₂.den - q₂.num * ↑q₁.den
⊢ ∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : ι → Set α
x : β
⊢ (∃ x_1 x_2, x_1 ∈ s x_2 ∧ f x_1 = x) ↔ ∃ i, ∃ x_1 ∈ s i, f x_1 = x
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : ClosedEmbedding f
⊢ IsClosedMap f
x : ℂ
⊢ Complex.cosh (3 * x) = 4 * Complex.cosh x ^ 3 - 3 * Complex.cosh x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
s t : Finset α
⊢ ⨆ x ∈ s ∪ t, f x = (⨆ x ∈ s, f x) ⊔ ⨆ x ∈ t, f x
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
j : ι
hjk : c.Rel j (c.next j)
⊢ (inlX φ (c.next j) j hjk ≫ if hj : c.Rel j (c.next j) then fstX φ j (c.next j) hj ≫ hα.hom (c.next j) j + sndX φ j ≫ α.f j else sndX φ j ≫ α.f j) = hα.hom (c.next j) j
α : Type u
EMetricSpace α
⊢ Continuous fun p => EMetric.infEdist p.1 ↑p.2
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ W (fun x => x ∈ Set.range F.obj) f ↔ IsIso (G.map f)
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
u : ↥S
v : R
h₁ : ↑u * (r₂ - r₁) = 0
h₂ : ↑u = v
⊢ r₁ = r₂
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
CategoryTheory.BraidedCategory V
⊢ (Action.forgetBraided V G).ε = 𝟙 (𝟙_ V)
b f n : ℕ
c : Char
tl : List Char
⊢ (b.toDigitsCore f n (c :: tl)).length = (b.toDigitsCore f n tl).length + 1
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : AddCommMonoid E
n : ι
h_mem : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ Finset.Iio n
⊢ {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => x < n) (Finset.Iio n), {ω | τ ω = i}.indicator (u i) = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.Iio n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MonotoneOn f s
hg : MonotoneOn g s
⊢ MonotoneOn (fun x => f x * g x) s
α : Type u_2
PartialOrder α
BoundedOrder α
⊢ IsSimpleOrder α ↔ IsAtom ⊤
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
m n : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ MvPolynomial.coeff m ((MvPolynomial.monomial n) a) = if n = m then a else 0
m : Type u_2
α : Type v
ι : Type u_6
Star α
v : m → α
⊢ (Matrix.row ι v).conjTranspose = Matrix.col ι (star v)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
hx : x ≠ 0
hr : 0 < r
⊢ r * (‖x‖ * ‖x‖) ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
⊢ IsOpen (Iio ⊤)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
ι₁ : Type u_3
s₁ : Finset ι₁
w₁ : ι₁ → ℝ
p₁ : ι₁ → P
h₁ : ∑ i ∈ s₁, w₁ i = 0
ι₂ : Type u_4
s₂ : Finset ι₂
w₂ : ι₂ → ℝ
p₂ : ι₂ → P
h₂ : ∑ i ∈ s₂, w₂ i = 0
⊢ (-∑ i₁ ∈ s₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₁ i₁ * w₂ i₂ * (‖p₁ i₁ -ᵥ Classical.choice ⋯ - (p₂ i₂ -ᵥ Classical.choice ⋯)‖ * ‖p₁ i₁ -ᵥ Classical.choice ⋯ - (p₂ i₂ -ᵥ Classical.choice ⋯)‖)) / 2 = (-∑ i₁ ∈ s₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₁ i₁ * w₂ i₂ * (dist (p₁ i₁) (p₂ i₂) * dist (p₁ i₁) (p₂ i₂))) / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
CommGroup β
TopologicalGroup β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (g * f) μ ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
ha : a ≠ 0
h : n ≤ m
h1 : m - n + n = m
⊢ a ^ (m - n) = a ^ m * (a ^ n)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
CompleteLattice β
f : α → β
hμν : μ ≪ ν
⊢ essInf f ν ≤ essInf f μ
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
W₁.IsMultiplicative
R R' R'' : Φ.RightResolution X₂
φ : R.Hom R'
ψ : R'.Hom R''
⊢ (φ.comp ψ).f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.f ψ.f
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n
⊢ supp (g <$$> abs (repr x)) i = g i '' supp (abs (repr x)) i
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
hn : p₂ ≠ p₃
h : dist p₁ p₂ = dist p₁ p₃
⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = ↑π - 2 • ∡ p₁ p₂ p₃
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k l : ℕ
a✝ : Nontrivial M
this✝ : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) l
hp : Nontrivial ↥p
f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯
f₂ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ⋯
this : IsNilpotent (f₂ - f₁)
hf₁₂ : f₂ - f₁ = (algebraMap R (End R ↥p)) (μ₁ - μ₂)
⊢ False
α : Type u_1
a b : ℂ
ha : a ≠ 0
cpow_eq : (fun x => a ^ x) = fun x => cexp (Complex.log a * x)
⊢ ContinuousAt (fun x => a ^ x) b
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
x✝ : n ≠ 0
⊢ ↑(Λ n) = ((fun n => 1 ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) n
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
f : R[X]
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : AddMonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
p : R[X]
k : ℕ
fu : ℕ → ℕ
fu0 : ∀ {n : ℕ}, n ≤ k → fu n = 0
fc : ∀ {n m : ℕ}, k ≤ n → n < m → fu n < fu m
φ_k : ∀ {f : R[X]}, f.natDegree < k → φ f = 0
φ_mon_nat : ∀ (n : ℕ) (c : R), c ≠ 0 → (φ ((monomial n) c)).natDegree = fu n
⊢ ∀ (n : ℕ) (r : R), r ≠ 0 → n ≤ p.natDegree → (fun p => (φ p).natDegree = fu p.natDegree) (C r * X ^ n)
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : 1 < n
this : n * 1 < n * n
⊢ n < n * n
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
X : CategoryTheory.Kleisli (CategoryTheory.ofTypeMonad m)
⊢ (CategoryTheory.eq m).inverse.obj X = X
α : Type u_1
Add α
x y : α
⊢ AddOpposite.op (x + y) = AddOpposite.op y + AddOpposite.op x
F : Type u_1
K : Type u_2
Field F
Field K
Algebra F K
h : Normal F K
FiniteDimensional F K
⊢ ∃ p, Polynomial.IsSplittingField F K p
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
IsDedekindDomain A
J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : J ≠ 0
I I' : FractionalIdeal A⁰ K
⊢ I * J ≤ I' * J ↔ I ≤ I'
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, DifferentiableAt ℝ g x
hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt f (deriv f x) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
r b : ↥R⁰
c : R_hat R K
h : a * ↑↑b = ↑c
n : R_hat R K
⊢ (n * c) • ↑↑r = n • (a * ↑(↑r * ↑b))
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
Subsingleton R
⊢ p.degree = ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
h' : ∀ (s : Set α), μ s = ⊤ → μ' s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ's : μ' s < ⊤
hμs : μ s < ⊤
⊢ ‖T s‖ ≤ C * (μ' s).toReal
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ AddSubgroup.centralizer Set.univ = AddSubgroup.center G
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
⊢ 0 < (B (P.root i)) (P.root j) ↔ 0 < P.pairing i j