ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
L.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
⊢ K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ h ≫ (HomologicalComplex₂.total.map φ c₁₂).f i₁₂ = (φ.f i₁).f i₂ ≫ L.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ h
α : Type u
s t : Set α
⊢ symmDiff s t ⊆ s ∪ t
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
x y : F
hxy : x ≠ y
⊢ basisDivisor x y + basisDivisor y x = 1
n : ℕ
⊢ IsOpen (⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) \ {↑a / ↑b})
α β : HeytAlg
e : ↑α ≃o ↑β
a : ↑β
⊢ (HeytAlg.Iso.mk e).inv a = e.symm a
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.8680, u_1} A
inst✝ : Abelian A
X✝ X : SimplicialObject A
n : ℕ
⊢ PInfty.f (n + 1) ≫ ((alternatingFaceMapComplex A).obj X).d (n + 1) n = ((alternatingFaceMapComplex A).obj X).d (n + 1) n ≫ PInfty.f n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Q q).f 0 = 0
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝¹ : α
g f✝ : α → M
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f : α → M
a b c x✝ : α
a✝ : x✝ ∈ Ico a b
⊢ f (c + x✝) = f (x✝ + c)
n : ℕ
a✝ : ℕ × ℕ
⊢ a✝ ∈ map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding (map { toFun := fun d => (n / d, d), inj' := ⋯ } n.divisors) ↔ a✝ ∈ map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding n.divisorsAntidiagonal
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
m : (i : ι) → E i
x : G
⊢ ‖{ toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x‖ ≤ (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) * ‖x‖
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
inst✝ : IsTrans α R
hl : Pairwise R l₂
h : l₁ <+ l₂
⊢ Pairwise R l₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
h : ∀ (i : (Quotient.out o).α), o.familyOfBFamily f i ≤ a
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
⊢ f i hi ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑l.support)
a : α
⊢ (Finsupp.comapDomain f l hf) a = l (f a)
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
AddMonoid ι
self : GradedMonoid.GMonoid A
a : GradedMonoid A
⊢ 1 * a = a
m : ℕ+
p : Nat.Primes
k : ℕ
e_1✝ : PrimeMultiset = Multiset Nat.Primes
⊢ k • PrimeMultiset.ofPrime p = Multiset.replicate k p
α : Type u_1
M : Type u_5
Monoid M
f : α → M
n : ℕ
⊢ (Function.mulSupport fun x => f x ^ n) ⊆ Function.mulSupport f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.NoAtoms (μ i)
f g : (i : ι) → α i
⊢ (Set.univ.pi fun i => Set.Ioo (f i) (g i)) =ᵐ[MeasureTheory.Measure.pi μ] Set.Icc f g
R : Type u_1
ι : Type u_3
Semiring R
⊢ Finsupp.basisSingleOne.repr = LinearEquiv.refl R (ι →₀ R)
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Finset β
⊢ ∅.disjSum t = Finset.map Function.Embedding.inr t
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
point✝ : PointClass F
a✝ : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝)
⊢ (-mk hP).toAffineLift = -(mk hP).toAffineLift
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
h : ∀ (x : α), ‖⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜‖ ≤ ‖‖↑↑f x‖ ^ 2 + ‖↑↑g x‖ ^ 2‖
⊢ eLpNorm (fun a => ‖↑↑f a‖ ^ 2) 1 μ + eLpNorm (fun a => ‖↑↑g a‖ ^ 2) 1 μ < ⊤
ι : Sort u_1
r : ℝ
ha : r ≤ 0
f : ι → ℝ
⊢ (⨅ i, f i) * r = ⨆ i, f i * r
R : Type u_3
S : Type u_4
Ring R
Ring S
p : ℤ[X]
f : R →+* S
r : R
⊢ f (Polynomial.eval₂ (Int.castRingHom R) r p) = Polynomial.eval₂ (Int.castRingHom S) (f r) p
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
j : Fin (n + 1)
hp : Prime (c j.succ)
hp' : c j.succ ∣ r
hi : 1 < j.succ
⊢ 0 < ↑↑j
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : SMulZeroClass R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
s : Set Γ'
hs : s.IsPWO
hys : ((of R).symm y).support ⊆ s
⊢ ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2 = ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ hs a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
ι : Sort u_1
f : R →+* S
s : ι → Subsemiring R
⊢ Subsemiring.map f (iSup s) = ⨆ i, Subsemiring.map f (s i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
⊢ Differentiable 𝕜 Φ ↔ ∀ (i : ι), Differentiable 𝕜 fun x => Φ x i
α : Type u
Monoid α
a b : α
c : α
Invertible c
⊢ a * c = b * c ↔ a = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
⊢ ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
a : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ (κ (id a)) s✝ = (κ a) s✝
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
f' : F
x v : E
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
⊢ lineDeriv 𝕜 f x v = f'
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
y : E
⊢ ↑PartialHomeomorph.univUnitBall.symm y = (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y
⊢ ∀ {α : Type u_1} {f : α → Bool}, List.nil.any f = false
ι : Type u_2
l : BoxIntegral.IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ l.RCond r
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hst : μ s = μ t
x : F
⊢ (weightedSMul μ s) x = (weightedSMul μ t) x
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hvx : 1 < v x
hpx : v (x ^ p.natDegree) = v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i))
⊢ v (∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i)) < v x ^ p.natDegree
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ (CochainComplex.mappingCone.triangle g).mor₃ ≫ (shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map (CochainComplex.mappingCone.inr f) = (CochainComplex.mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (CochainComplex.mappingCone.triangle (CochainComplex.mappingCone.map f (f ≫ g) (𝟙 X₁) g ⋯)).mor₃
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NonAssocSemiring R✝
inst✝⁴ : NoZeroDivisors R✝
inst✝³ : Nontrivial R✝
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ CharZero R ∨ ∃ p, Fact (Nat.Prime p) ∧ CharP R p
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
cont : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
x : X
hx : x ∈ s
g : PartialHomeomorph Y Z
hxg : f x ∈ g.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (↑g ∘ f) s
hg : IsLocalHomeomorphOn (↑g) (f '' s)
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : ↑g ∘ f = ↑gf
⊢ ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
x : β
⊢ e.symm x ∈ s ↔ x ∈ ⇑e '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j₁ j₂ : JordanDecomposition α
hj : j₁.toSignedMeasure = j₂.toSignedMeasure
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure S ≤ VectorMeasure.restrict 0 S
hS₃ : VectorMeasure.restrict 0 Sᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure Sᶜ
hS₄ : j₁.posPart S = 0
hS₅ : j₁.negPart Sᶜ = 0
⊢ j₁ = j₂
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K : Set G
h1K : IsCompact K
h2K : (interior K).Nonempty
⊢ 0 < MeasureTheory.Measure.haar.prehaar (↑K₀) U { carrier := K, isCompact' := h1K }
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ (fun h => exp 𝕂 x * (exp 𝕂 (0 + h) - exp 𝕂 0 - (ContinuousLinearMap.id 𝕂 𝔸) h)) =ᶠ[𝓝 0] fun h => exp 𝕂 (x + h) - exp 𝕂 x - exp 𝕂 x • (ContinuousLinearMap.id 𝕂 𝔸) h
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ ∀ x ∈ J, ∀ y ∈ I, x * y ∈ I * J
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ ⟪r • (o.rotation ↑(π / 2)) x, x⟫_ℝ = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k n : ℕ
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Monotone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgb : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ Finset.range n, z i‖ ≤ b
⊢ CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, (f (x + 1) + -f x) • ∑ i ∈ Finset.range (x + 1), z i
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u_1} n
a : P.A
f : P.last.B a → P.last.W
g' : (P.drop.B a).Arrow α
g : (j : P.last.B a) → TypeVec.Arrow (P.WPath (f j)) α
⊢ P.wPathDestLeft (P.wPathCasesOn g' g) = g'
α : Type u_1
E : Type u_3
TopologicalSpace α
CompactSpace α
NormedAddCommGroup E
f : C(α, E)
⊢ ‖f‖ = ⨆ x, ‖f x‖
ι : Type u_2
f g : ι → ℝ
s : Finset ι
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
hg : ∀ (i : ι), 0 ≤ g i
⊢ ∑ i ∈ s, √(f i) * √(g i) ≤ √(∑ i ∈ s, f i) * √(∑ i ∈ s, g i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
w : f ≠ 0
⊢ CategoryTheory.Limits.image.ι f ≠ 0
α : Type u_1
Sub α
Bot α
a b : α
⊢ ↑(a - b) = ↑a - ↑b
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.44478, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : (HomologicalComplex V c)ᵒᵖ
i✝ : ι
⊢ (Iso.refl ((unop X).op.unopSymm.X i✝)).hom.op ≫ (Iso.refl (((opInverse V c ⋙ opFunctor V c).obj ((opFunctor V c).obj X)).X i✝)).hom = (𝟙 ((opFunctor V c).obj X)).f i✝
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x y : 𝕜
⊢ ↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.re y) + ↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.im y) * I + (↑(RCLike.re y) * ↑(RCLike.im x) * I - ↑(RCLike.im x) * ↑(RCLike.im y)) = ↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.re y) + ↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.im y) * I + ↑(RCLike.re y) * ↑(RCLike.im x) * I + ↑(RCLike.im x) * ↑(RCLike.im y) * I ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≼i s
a : α
b : β
⊢ s b (f a) ↔ ∃ a', f a' = b ∧ r a' a
α : Type u
PartialOrder α
OrderTop α
a : α
h : ⊤ ≠ a
⊢ a < ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : G' → E
g : G' → F
x : G'
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => (B (f y)) (g y)) x =
  ((ContinuousLinearMap.precompR G' B) (f x)) (fderiv 𝕜 g x) +
    ((ContinuousLinearMap.precompL G' B) (fderiv 𝕜 f x)) (g x)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
hne : u ≠ v
p : G.Walk u v
⊢ ∃ w, ∃ (h : G.Adj u w), ∃ p', p = SimpleGraph.Walk.cons h p'
G : Type u_1
NegZeroClass G
⊢ -0 = 0
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
x : α
f : α → β
h : ∀ (a b : α), Setoid.r a b → f a = f b
⊢ ⟦x⟧.liftOn' f h = f x
β : Type u_1
AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V (ComplexShape.up' b)
i : β
⊢ ((HomologicalComplex.homologicalComplexToDGO b V).obj X).d i = X.d i ((fun b_1 => b_1 + { as := 1 }.as • b) i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s t u : Finset α
a b : α
⊢ _root_.Disjoint {a} s ↔ a ∉ s
α : Type u
s t : Set α
h : s ⊆ t
hs : s = Set.univ
⊢ t = Set.univ
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
h' : Finite R N
d : ℕ
s : Fin d → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
⊢ ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
OrderTop β
⊢ toLex (Sum.inr ⊤) = ⊤
n n✝ : ℕ
a✝ : Fin2 n✝
i_ih : ∀ {α : TypeVec.{u_1} n✝} {x y : α a✝}, ofRepeat (α.repeatEq a✝ (prod.mk a✝ x y)) ↔ x = y
α : TypeVec.{u_1} (n✝ + 1)
x y : α a✝.fs
⊢ ofRepeat (α.repeatEq a✝.fs (prod.mk a✝.fs x y)) ↔ x = y
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
k : ℕ
ih : lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) k = baseChange A (lowerCentralSeries R L M k)
⊢ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) (k + 1) = baseChange A (lowerCentralSeries R L M (k + 1))
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
⊢ OrderIso.prodComm.symm = OrderIso.prodComm
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
SmoothManifoldWithCorners I M
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ Function.Injective ⇑(mfderiv I I' (↑e) x)
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b : α
n : ℤ
⊢ (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra R S
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (X ^ n).rootSet S = {0}
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s s' t : Set α
ht : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t
⊢ t.ite s s' ∩ closure tᶜ = s' ∩ closure tᶜ
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ (e.restr s).toPartialEquiv = e.restr s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J f₂
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f₁
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MulAction M α
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : IsScalarTower M N N
inst✝ : SMulCommClass M N N
r : M
x : N
n : ℕ
⊢ (r • x) ^ (n + 1) = r ^ (n + 1) • x ^ (n + 1)
a : Nat
m n : Nat
h : m ≤ n
⊢ a ^ (n - m) * a ^ m = a ^ n
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
u : F (α ::: β) → β
x y : (P F).W α
a₀ : (P F).A
f'₀ : (P F).drop.B a₀ ⟹ α
f₀ : (P F).last.B a₀ → (P F).W α
⊢ WEquiv ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) y → recF u ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) = recF u y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
⊢ NoetherianSpace α ↔ ∀ (s : Opens α), IsCompact ↑s
α : Type u
f : Filter α
f.NeBot
p : α → Prop
q : Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p x ∨ q) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) ∨ q
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite ι'
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
s : (i : ι) → ℕ → Set (α i)
h1s : ∀ (i : ι) (n : ℕ), s i n ∈ C i
h2s : ∀ (i : ι), ⋃ n, s i n = univ
val✝ : Encodable (ι → ℕ)
e : ℕ → ι → ℕ := fun n => (decode n).iget
⊢ ⋃ n, (fun n => univ.pi fun i => s i (e n i)) n = univ
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
B : {t | ([c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s = ∅
⊢ JoinedIn sᶜ a b
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
m : M
hm : m ∈ span R s
⊢ ∀ x ∈ s, 1 ⊗ₜ[R] x ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
Monoid α
MulDistribMulAction α G
m : G
a : α
S : Subgroup G
⊢ m ∈ S → a • m ∈ a • S
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
p q : α → Prop
x : α
⊢ {x | x ∈ s ∧ p x} = {x | x ∈ s ∧ q x} ↔ ∀ x ∈ s, p x ↔ q x
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
x a : α
⊢ termg 0 x a = a
α : Type u
r : ℕ → ℕ → Prop
n : ℕ
⊢ Chain' r (range n ++ [n]) ↔ ∀ m < n, r m m.succ
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h✝ : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = a * b
h : ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b
⊢ False
a b✝ : ℤ
n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℤ
⊢ 2 ≠ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
iso : E ≃L[𝕜] F
⊢ Differentiable 𝕜 ⇑iso
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x
H : λ ∣ x
⊢ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1 ∨ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
α : Type u_2
f : Filter α
u : α → EReal
b : EReal
⊢ Filter.limsup u f ≤ b ↔ ∀ (c : ℝ), b < ↑c → ∀ᶠ (a : α) in f, u a ≤ ↑c
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
m n : ℕ
⊢ constantCoeff (wittNSMul p m n) = 0
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
⊢ (A / C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
h : ∀ (b : α), ¬r a b
⊢ ReflTransGen r a b ↔ b = a
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.IsComplement' ⊤ ↔ H = ⊥
α : Type u_2
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ Filter.cofinite ⊓ 𝓟 sᶜ = Filter.cofinite
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
s : Set β
x : α
⊢ map f (𝓝[f ⁻¹' s] x) = 𝓝[s] f x
α : Type u_1
as : List α
bs : Array α
⊢ (as.toArrayAux bs).size = as.length + bs.size
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
G H : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct G H
hG : CategoryTheory.IsCoseparator G
⊢ CategoryTheory.IsCoseparator (G ⨯ H)
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
i : n
A : ↥(center (SpecialLinearGroup n R))
⊢ (fun a => ⟨⟨a • 1, ⋯⟩, ⋯⟩) ((fun A => rootsOfUnity.mkOfPowEq (↑↑A i i) ⋯) A) = A
a b c d : Nat
hac : a < c
hbd : b < d
⊢ a * b < c * d
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace δ
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
SecondCountableTopology α
f g : δ → α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable fun a => max (f a) (g a)
R : Type u
a : R
Field R
p q : R[X]
⊢ p / (Polynomial.C a * q) = Polynomial.C a⁻¹ * (p / q)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasEqualizer f g
inst✝ : HasEqualizer (G.map f) (G.map g)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = h ≫ g
⊢ G.map h ≫ G.map f = G.map h ≫ G.map g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
f : Fin (n + 1) → G
x✝ : Fin (n + 1)
x : Fin n
hx : (f 0 • partialProd fun i => (f ↑↑i)⁻¹ * f i.succ) x.castSucc = f x.castSucc
⊢ (f 0 • partialProd fun i => (f ↑↑i)⁻¹ * f i.succ) x.succ = f x.succ
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h0 : μ s ≠ 0
t : ℕ → Set α := fun n => s ∩ f^[n] ⁻¹' s
H : ¬∃ᶠ (m : ℕ) in atTop, μ (s ∩ f^[m] ⁻¹' s) ≠ 0
N : ℕ
hN : μ (t N) ≠ 0
hmax : ∀ n > N, μ (t n) = 0
htm : ∀ {n : ℕ}, NullMeasurableSet (t n) μ
T : Set α := t N \ ⋃ n, ⋃ (_ : n > N), t n
hT : T = t N \ ⋃ n, ⋃ (_ : n > N), t n
hμT : μ T ≠ 0
hTm : NullMeasurableSet T μ
x : α
hxt : x ∈ T
m : ℕ
hm₀ : m ≠ 0
hmt : f^[m] x ∈ T
⊢ False
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
W₁.IsMultiplicative
L : (Φ.LeftResolution X₂)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.LocalizerMorphism.LeftResolution.opFunctor Φ X₂).obj L = (Opposite.unop L).op
M : Type u_5
S : Type u_6
DivInvMonoid M
SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
K : S
x : M
hx : x ∈ K
n : ℤ
⊢ x ^ n ∈ K
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set X
f : BumpCovering ι X s✝
x : X
s : Finset ι := ⋯.toFinset
hs : ↑s = {i | (f i) x ≠ 0}
⊢ ∑ᶠ (i : ι), f.toPOUFun i x = 1 - ∏ᶠ (i : ι), (1 - (f i) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β
g : α → ℕ × β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
n : ℕ
a : α
⊢ Nat.rec (encode (f a) + 1) (fun y IH => encode (Option.map ((fun p => g p.1 p.2) ∘ Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode (IH - 1)))) (Nat.unpair n).2 = encode (Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) (Nat.unpair n).2) + 1