ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X✝ : Scheme
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
h : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this : IsAffine ↑U
e_1✝ : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U) = ↑↑(Spec (X.presheaf.obj (op U))).toPresheafedSpace
⊢ ↑⟨genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace, ⋯⟩ = ↑(genericPoint ↑↑(↑U).toPresheafedSpace)
α : Type u_2
Sub α
s t : Set α
⊢ s - t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
i : n
A B : ↥(center (SpecialLinearGroup n R))
⊢ ((scalar n) (↑↑A i i) * (scalar n) (↑↑B i i)) i i = (scalar n) (↑↑A i i) i i * (scalar n) (↑↑B i i) i i
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ P ?m.19557 (↑(e.symm ≫ₕ e').symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s)) (↑e' x) ↔ P (g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' s) (↑e' x)
α : Type u_1
E : Type u_3
TopologicalSpace α
CompactSpace α
NormedAddCommGroup E
f : C(α, E)
Nonempty α
M : ℝ≥0
⊢ ‖f‖₊ < M ↔ ∀ (x : α), ‖f x‖₊ < M
M : Type u_1
Add M
c d : AddCon M
⊢ ⇑(c ⊓ d) = ⇑c ⊓ ⇑d
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ e.trans e.symm ≈ ofSet e.source
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
self : CategoryTheory.Bicategory.Strict B
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f = CategoryTheory.eqToIso ⋯
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : s =ᶠ[𝓝[≠] x] t
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 f t x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
ca : Computation α
b : β
⊢ LiftRel R ca (pure b) ↔ ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b
D : GlueData
h : MkCore
i j : h.J
x : ↥(h.V j i)
⊢ (h.t i j) ((h.t j i) x) = x
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
⊢ A = ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues) * star ↑hA.eigenvectorUnitary
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
a : α
m : M
⊢ m ∈ AddAction.stabilizerAddSubmonoid M a ↔ m +ᵥ a = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 y t
⊢ StarConvex 𝕜 (x - y) (s - t)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
h1 : (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) ^ Group.rank ↥(closureCommutatorRepresentatives G)
h2 : Nat.card ↥(_root_.commutator ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) ∣ (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ^ ((center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index * Nat.card ↑(commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) + 1)
⊢ Nat.card ↥(_root_.commutator G) ≤ cardCommutatorBound (Nat.card ↑(commutatorSet G))
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
x : ↑S.X₁
⊢ S.g (S.f x) = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
i : ι
h :
  ∀ (i : ι),
    Set.MapsTo (⇑(Module.preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (Set.range ⇑root) (Set.range ⇑root)
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
j : ι
⊢ (RootPairing.equiv_of_mapsTo p root coroot i h hp) j = ⋯.choose
⊢ (HurwitzZeta.hurwitzEvenFEPair 0).symm = HurwitzZeta.hurwitzEvenFEPair 0
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x y : MvPolynomial R ℚ
⊢ ghostMap (teichmullerFun p (x * y)) = ghostMap (teichmullerFun p x) * ghostMap (teichmullerFun p y)
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
⊢ n + k ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → ℂ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => Complex.exp (f x)) s x
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ≅ Y
Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f.hom Z)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f.inv Z) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Z)
α : Type u_4
β : Type u_5
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
Mf : Monotone f
x : α
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[>] x) (𝓝 (sInf (f '' Set.Ioi x)))
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E
a : 𝕜
y : E
hy : y ∈ s
hxy : (fun x => a • x) y = c • x
hc : c ≠ 0
⊢ ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x ≤ ↑‖a‖₊
α : Type u_1
Semiring α
f : α → ℕ → α
a : α
b a' b' c : ℕ
⊢ f = HPow.hPow →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a a' →
    Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b b' → a'.pow b' = c → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (f a b) c
α : Type u_1
Group α
s t : Subgroup α
H : Subgroup α
h : s ≤ t
g : ↥H
⊢ Subgroup.quotientSubgroupOfMapOfLE H h ↑g = ↑g
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hs : (s ∩ Function.mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ Function.mulSupport f).Finite
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i =
  (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
α✝ : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y x' y' : α
ex : x = gcd x y * x'
ey : y = gcd x y * y'
h : gcd x y ≠ 0
⊢ gcd x y * 1 = gcd (gcd x y * x') (gcd x y * y')
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
A A' : DiscreteQuotient X
B : DiscreteQuotient Y
cond : DiscreteQuotient.LEComap f A B
h : A' ≤ A
c : Quotient A'.toSetoid
⊢ DiscreteQuotient.map f cond (DiscreteQuotient.ofLE h c) = DiscreteQuotient.map f ⋯ c
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
a : CliffordAlgebra Q
r : R
⊢ (CliffordAlgebra.contractRight (a * (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) d =
  (CliffordAlgebra.contractRight a) d * (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r
α : Type u_1
MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
⊢ (v + w).restrict i = v.restrict i + w.restrict i
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
this✝¹ : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this✝ : Encodable ↑b
A : Type u_3 := { p // Disjoint ↑p.1 ↑p.2 }
this : ∀ (p : A), ∃ q, f '' ↑(↑p).1 ⊆ q ∧ Disjoint (f '' ↑(↑p).2) q ∧ MeasurableSet q
⊢ MeasurableSet (range f)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i
v : F
⊢ cast ⋯ (↑(Z.localTriv i).symm (b, v)).snd = (Z.coordChange i (Z.indexAt b) b) v
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
⊢ prod.snd ≫ t.to (A ⨯ I) = 𝟙 (A ⨯ I)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
f : α ↪ β
a : α
⊢ ↑(map f {a}) = ↑{f a}
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x y : L
⊢ x ∈ S → y ∈ S → x + y ∈ S
α : Type u_2
Add α
s t : Set α
⊢ AddOpposite.op '' s +ᵥ t = t + s
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.48505, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.48509, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.48513, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_10, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_8, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.48525, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
⊢ (homEquiv W L₁ L₂) (𝟙 (L₁.obj X)) = 𝟙 (L₂.obj X)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
hr : Reflexive r
ht : Transitive r
h : ∀ (a b c : α), r a b → r a c → Relation.Join r b c
⊢ Equivalence (Relation.Join r)
a n : ℤ
⊢ a % n ≡ a [ZMOD n]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
μc : MeasureTheory.Measure γ
g : β → γ
f : α → β
hg : MeasureTheory.MeasurePreserving g μb μc
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μa μb
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (g ∘ f) μa μc
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
⊢ FractionalIdeal.count K v I =
  ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Classical.choose ⋯)).factors) -
    ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {Classical.choose ⋯})).factors)
α : Type u
m : ℕ
n' : Type uₙ
B : Fin m.succ → n' → α
j : n'
⊢ (Matrix.vecTail fun i => B i j) = fun i => Matrix.vecTail B i j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
s : Set (E × F)
p : E × F
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n Prod.snd s p
l : List Bool
hl : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
⊢ List.count true l ≤ List.count false l + 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
X Y : G.Coalgebra
f : X ⟶ Y
h : CategoryTheory.Epi f.f
⊢ CategoryTheory.Epi f
α : Type u_6
n : Type u_7
Zero α
Sub n
⊢ Matrix.circulant 0 = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
X : Type u_2
C : FreeAlgebra R X → Prop
h_grade0 : ∀ (r : R), C ((algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r)
h_grade1 : ∀ (x : X), C (ι R x)
h_mul : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a * b)
h_add : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a + b)
a : FreeAlgebra R X
s : Subalgebra R (FreeAlgebra R X) := { carrier := C, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := h_grade0 }
of : X → ↥s := Subtype.coind (ι R) h_grade1
of_id : AlgHom.id R (FreeAlgebra R X) = s.val.comp ((lift R) of)
⊢ C a
R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
Fintype ι₁
Fintype ι₂
DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
ij : ι₂ × ι₁
⊢ (b₁.linearMap b₂) ij = (Matrix.toLin b₁ b₂) ((Matrix.stdBasis R ι₂ ι₁) ij)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑p ∈ nonunits ℤ_[p]
α : Type u_2
Group α
s t : Set α
⊢ Nat.card ↑(s / t) ≤ Nat.card ↑s * Nat.card ↑t
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S
⊢ f.mk' x₁ y₁ = f.mk' x₂ y₂ ↔ f.toMap (x₁ * ↑y₂) = f.toMap (x₂ * ↑y₁)
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
⊢ (PiTensorProduct.liftIsometry 𝕜 E (⨂[𝕜] (i : ι), E i)) (PiTensorProduct.tprodL 𝕜) =
  ContinuousLinearMap.id 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ ~ l₂ ↔ l₂ ~ l₁
x y : ℝ
⊢ x = y ↔ x.cauchy = y.cauchy
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
h : a ≠ 0
⊢ a / a = 1
α : Type u
β : Type v
Preorder α
SemilatticeSup β
f g : α → β
hf : Antitone f
hg : Antitone g
⊢ Antitone (f ⊔ g)
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
hpq : p ≠ q
hp₁ : p % 2 = 1
hq₁ : q % 2 = 1
hq₂ : ringChar (ZMod q) ≠ 2
⊢ legendreSym q ↑p * legendreSym p ↑q = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2))
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f ⁻¹' s) = ⊤
this : ↑K ^ ↑d * μH[↑d] s = ⊤
⊢ μH[↑d] s = ⊤
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
⊢ (Filter.coprodᵢ f).NeBot ↔ (∀ (i : ι), Nonempty (α i)) ∧ ∃ d, (f d).NeBot
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Group G✝
A✝ : Rep k✝ G✝
k G A : Type u
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : DistribMulAction G A
inst✝ : SMulCommClass G k A
f : ↥(twoCoboundaries (Rep.ofDistribMulAction k G A))
x : G → CoeSort.coe (Rep.ofDistribMulAction k G A)
hx : (dOne (Rep.ofDistribMulAction k G A)) x = (twoCocycles (Rep.ofDistribMulAction k G A)).subtype ↑f
⊢ IsTwoCoboundary ↑↑f
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
⊢ ∀ s ∈ univ, True
M : Type u_1
Mul M
c : Con M
⊢ conGen ⇑c = c
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ -a ≤ -b ↔ b ≤ a
n : ℕ
⊢ 1⁻¹ = 1
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
f : G → H
hf : ∀ (x : G), f (x + a) = f x + b
⊢ ⇑{ toFun := f, map_add_const' := hf } = f
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : F ⟶ L.comp F'
F'.IsLeftKanExtension α
G : CategoryTheory.Functor D H
β : F ⟶ L.comp G
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α.app X) ((F'.descOfIsLeftKanExtension α G β).app (L.obj X)) = β.app X
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Top α
Inf β
Top β
f : InfTopHom α β
⊢ (InfTopHom.id β).comp f = f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
h : CategoryTheory.IsSeparating ∅
⊢ Quiver.IsThin C
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x : K
⊢ x ∈ s.toSubmonoid ↔ x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
H : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y
k : α →. σ
hk : Partrec k
K : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
a : α
x : σ
this : (k a).Dom
h : x ∈ g a
h' : (k a).get this ∈ f a
⊢ (k a).get this = x
α : Type u_1
β : Type u_2
x : β
⊢ (Sum.inr x).getRight? = some x
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : IsEmpty ι
x : ⨂[R] (i : ι), s i
⊢ ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), (fun r => r • (tprod R) isEmptyElim) ({ toFun := ⇑(lift (constOfIsEmpty R s 1)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x → (fun r => r • (tprod R) isEmptyElim) ({ toFun := ⇑(lift (constOfIsEmpty R s 1)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun y) = y → (fun r => r • (tprod R) isEmptyElim) ({ toFun := ⇑(lift (constOfIsEmpty R s 1)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (x + y)) = x + y
w : Nat
x y : BitVec w
c : Bool
⊢ x.adc y c = (BitVec.carry w x y c, x + y + BitVec.zeroExtend w (BitVec.ofBool c))
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
a₁ a₂ : α
⊢ a₂ ∈ MulAction.orbit M a₁ ↔ ∃ x, x • a₁ = a₂
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
a b : A
n x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range n.succ
⊢ 1 / (↑x ! * ↑(n - x)!) = ↑(n.choose x) / ↑n !
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
G.PreservesZeroMorphisms
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
CategoryTheory.Limits.HasCokernel (G.map f)
Z : C
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernelComparison f G ≫ G.map (CategoryTheory.Limits.cokernel.desc f h w) =
  CategoryTheory.Limits.cokernel.desc (G.map f) (G.map h) ⋯
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
β : Type u_5
SeminormedAddCommGroup β
Nonempty ι
b : β
⊢ ‖(WithLp.equiv p (ι → β)).symm (Function.const ι b)‖ = ↑↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖b‖
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Af : Antitone f
ne : s.Nonempty
H : BddAbove s
⊢ f (sSup s) = sInf (f '' s)
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule (↥K') M
_i4 : LieModule R (↥K') M
h : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)
⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥K') M
b : ℝ
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ Real.logb b (∏ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, Real.logb b (f i)
m n : ℕ
⊢ m.gcd (m + n) = m.gcd n
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
NoMaxOrder α
hs : IsUpperSet s
⊢ s.Nonempty → ¬BddAbove s
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
hE : IsCompact E
hδ : 0 ≤ δ
⊢ Metric.cthickening δ E = ⋃ x ∈ E, Metric.closedBall x δ
G : Type u_4
E : Type u_5
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure G
f : G → E
g : G
Group G
MeasurableMul G
μ.IsMulRightInvariant
hf' : ∀ (x : G), f (x * g) = -f x
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ = 0
R : Type u₁
S : Type u₂
Ring R
Ring S
f : R →+* S
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
s : S
g : ↑((ModuleCat.restrictScalars f).obj (ModuleCat.mk S)) →ₗ[R] M
s' : S
⊢ (s • g) s' = g (s' * s)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
f : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter f
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f
x : X
hx : x ∈ s
⊢ sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
ncs : CauSeq ℤ_[p] norm
⊢ Filter.Tendsto (fun i => Polynomial.eval (↑ncs i) F) Filter.atTop (𝓝 (Polynomial.eval ncs.lim F))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : LinearOrder γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsGreatest s b
⊢ IsGreatest ({a} ∪ s) (max a b)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
s : Fin n → R
y : R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
⊢ (eval (Fin.cons y s)) f = Polynomial.eval y (Polynomial.map (eval s) ((finSuccEquiv R n) f))
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₂ V₃
⊢ f.comp 0 = 0
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ≤ y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z ≤ y
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hst : s =ᶠ[ae μ] t
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ = ∫ (x : X) in t, f x ∂μ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
p : TangentBundle I M
st : s ⊆ t
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
h : MDifferentiableWithinAt I I' f t p.proj
⊢ (mfderivWithin I I' f s p.proj) p.snd = (mfderivWithin I I' f t p.proj) p.snd
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im < 0
⊢ (-x).arg = x.arg - π ↔ 0 < x.im ∨ x.im = 0 ∧ x.re < 0
p n : ℕ
z : ZMod p
NeZero p
⊢ ↑n = z ↔ ∃ k, n = z.val + p * k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c x y z : β
⊢ max y z < x ↔ x > y ∧ x > z
α : Type u_1
X : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Nonempty X
MeasurableSpace X
s : Set X
MeasurableSpace.CountablySeparated ↑s
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ s
hgm : MeasureTheory.NullMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᵐ[μ] g
⊢ ∃ c, g =ᵐ[μ] Function.const α c
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
b : ι → α
B : α
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Iio B)) l fun i => Set.Iic (b i)
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
h : p.IsRoot a
hlt : 0 ≥ p.degree
⊢ False
c t e : Prop
Decidable c
h : if c then t else e
hnc : ¬c
⊢ e
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
k : ℕ
h : LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)
m : ℕ
⊢ LinearMap.ker (f ^ k) ≤ LinearMap.ker (f ^ (k + (m + 1)))
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
σ : Equiv.Perm α
s : Finset α
f : α → α → β
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ ↑s
⊢ ∑ x ∈ s, f (σ x) x = ∑ x ∈ s, f x ((Equiv.symm σ) x)
a b m✝ n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
m : ℕ
pr : n < m
⊢ ∏ p ∈ Finset.filter Prime (Finset.range m), p ^ padicValNat p n = n.factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1
α β γ : Type u
F : Type u → Type v
Applicative F
LawfulApplicative F
f : β → γ
x : F (α → β)
y : F α
⊢ (f <$> Seq.seq x fun x => y) = Seq.seq ((fun x => f ∘ x) <$> x) fun x => y