ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
a : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ (Measure.map id (κ a)) s✝ = (κ a) s✝
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
⊢ gcd a b = a * gcdA a b + b * gcdB a b
α : Type u_2
MeasureTheory.MeasureSpace α
s t : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s MeasureTheory.volume
ht : MeasurableSet t
⊢ MeasureTheory.volume (Subtype.val ⁻¹' t) = MeasureTheory.volume (t ∩ s)
α : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddGroup E
TopologicalSpace α
f : α → E
hf : Continuous f
h : HasCompactSupport f
⊢ ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a
⊢ 1 < ↑a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesFilteredColimits (forget C)
F G : Presheaf C X
f : F ⟶ G
h : ∀ (U : Opens ↑X), Function.Injective ⇑(f.app (op U))
x : ↑X
U₁ : Opens ↑X
hxU₁ : x ∈ U₁
s : (forget C).obj (F.obj (op U₁))
U₂ : Opens ↑X
hxU₂ : x ∈ U₂
t : (forget C).obj (F.obj (op U₂))
hst : (G.germ ⟨x, hxU₁⟩) ((f.app (op U₁)) s) = (G.germ ⟨x, hxU₂⟩) ((f.app (op U₂)) t)
W : Opens ↑X
hxW : x ∈ W
iWU₁ : W ⟶ U₁
iWU₂ : W ⟶ U₂
heq : (F.map iWU₁.op) s = (F.map iWU₂.op) t
e_1✝ : (forget C).obj ((stalkFunctor C x).obj F) = (forget C).obj (F.stalk ↑⟨x, hxW⟩)
⊢ (F.germ ⟨x, hxU₁⟩) s = (F.germ ⟨x, hxW⟩) ((F.map iWU₁.op) s)
X : Type u_1
α : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
S : Type u_7
R : Type u_8
m' : l → Type u_9
n' : l → Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : DecidableEq l
A : X → (i : l) → Matrix (m' i) (n' i) R
hA : Continuous A
x✝¹ : (i : l) × m' i
x✝ : (i : l) × n' i
i₁ : l
i₂ : m' i₁
j₁ : l
j₂ : n' j₁
⊢ Continuous fun a => if h : i₁ = j₁ then A a i₁ i₂ (cast ⋯ j₂) else 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
StandardBorelSpace α
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ Nonempty (α ≃ᵐ ↑s)
K : Type u_1
n : ℕ
s : Stream'.Seq (GenContFract.Pair K)
DivisionRing K
gp_n gp_succ_n : GenContFract.Pair K
s_nth_eq : s.get? n = some gp_n
s_succ_nth_eq : s.get? (n + 1) = some gp_succ_n
⊢ (GenContFract.squashSeq s n).get? n = some { a := gp_n.a, b := gp_n.b + gp_succ_n.a / gp_succ_n.b }
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
H : C ⥤ D
F : J ⥤ C
E : K ⥤ J
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ H.mapCoconeWhisker.hom.hom = 𝟙 (H.obj c.pt)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set (α ⊕ β)
⊢ IsPreconnected s ↔ (∃ t, IsPreconnected t ∧ s = Sum.inl '' t) ∨ ∃ t, IsPreconnected t ∧ s = Sum.inr '' t
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
⊢ ((𝟙 N₂ ◫ N₂Γ₂.inv) ≫ (N₂.associator Γ₂ N₂).inv ≫ Γ₂N₂.natTrans ◫ 𝟙 N₂).app P = (𝟙 N₂).app P
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
h₁ : a < b
h₂ : ¬IsMax b
⊢ Set.Ioo a (Order.succ b) = insert b (Set.Ioo a b)
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
⊢ ∃ c ∈ P.parts, c ≤ b
p n : ℕ
⊢ log 2 n < log 2 (n + 1) → log 2 (n + 1) ≤ padicValNat 2 (n + 1)
R : Type u_1
Ring R
f : Polynomial R
N : ℕ
⊢ Polynomial.reflect N (-f) = -Polynomial.reflect N f
α : Type u_1
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
Lattice α
OrderBot α
f : ι → α
s : Finset ι'
g : ι' ↪ ι
⊢ (Finset.map g s).SupIndep f ↔ s.SupIndep (f ∘ ⇑g)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
⊢ n + 1 = Finset.univ.card
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
a b : M
h : a * b = 1
⊢ IsUnit b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : IsBasis p s
⊢ h.filter = generate {U | ∃ i, p i ∧ s i = U}
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x : α
hx : x ≠ 0
h : ¬IsUnit x
p' : α
hp' : Irreducible p'
hp'x : p' ∣ x
p : α
hp : p ∈ normalizedFactors x
right✝ : p' ~ᵤ p
⊢ ∃ p, p ∈ normalizedFactors x
α β : Type u
c : Cardinal.{u}
⊢ ℵ₀ ≤ lift.{v, u} c ↔ ℵ₀ ≤ c
α : Type u
β : Type v
𝕜 : Type u_2
VAdd 𝕜 β
l : Filter α
f f' : α → 𝕜
g g' : α → β
hf : f =ᶠ[l] f'
hg : g =ᶠ[l] g'
⊢ (fun x => f x +ᵥ g x) =ᶠ[l] fun x => f' x +ᵥ g' x
V : Type u
G : SimpleGraph V
K : Set V
C : G.ComponentCompl K
⊢ Disjoint K ↑C
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
this : CharP R (ringChar R) := (Classical.choose_spec (CharP.exists_unique R)).left
⊢ ∀ (x : ℕ), ↑x = 0 ↔ ringChar R ∣ x
α : Type u_1
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
m0 m1 : MeasurableSpace α
h : m0 ≤ m1
⊢ m.trim ≤ m.trim
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
⊢ ∑ x : σ → K, (eval x) f = 0
α : Type u_1
LinearOrder α
a b x : α
h : a < b
⊢ Set.projIcc a b ⋯ x = ⟨a, ⋯⟩ ↔ x ≤ a
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ e e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x✝ : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
x : B × F
hx : x ∈ e'.target
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' e.target ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ e'.setSymm ⁻¹' e.source
α : Type u_1
m : Set (MeasureTheory.OuterMeasure α)
h : m.Nonempty
t : Set α
⊢ ⨆ (_ : t.Nonempty), MeasureTheory.OuterMeasure.sInfGen m t = ⨅ μ ∈ m, μ t
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ U R (n - 1) = 2 * X * U R n - U R (n + 1)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x : α
hx₁ : x ∈ s.ordT5Nhd t
hx₂ : x ∈ t.ordT5Nhd s
a : α
has : a ∈ s
ha : x ∈ (tᶜ ∩ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ).ordConnectedComponent a
⊢ x ∈ ⊥
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
x : M
⊢ AddLocalization.mk x 0 = (AddLocalization.addMonoidOf S).toMap x
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n => ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
⊢ IsUnit (1 + -x * y)
α : Type u
SubtractionMonoid α
a b c : α
h : IsAddUnit c
⊢ a - c = b - c ↔ a = b
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n : ℕ
ω : Ω
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω ≤ MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n ω
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i : I₂
j : I₁
⊢ (K.flip.X i).X j = (K.X j).X i
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
c : ℤ → ℂ := fun n => -I * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2
⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * -I * ↑n.sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
⊢ ⨆ i, (μ.restrict (spanningSets μ i)) s = μ s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Prime ↑p
a✝ b✝ a b : Prop
⊢ Xor' a b = Xor' b a
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s : Set β
⊢ ContinuousWithinAt f s b ↔ Filter.Tendsto (fun x => (f b, f x)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
M : Matrix (m × o) (n × o) α
k : o
i : m
j : n
⊢ M.blockDiag k i j = M (i, k) (j, k)
α : Type u_6
G : Type u_7
AddGroup G
AddAction G α
x y : G
hx : x ∈ AddSubgroup.zmultiples y
a : α
hs : y +ᵥ a = a
⊢ x +ᵥ a = a
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ star a * a = ↑(star a * a).re
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)
intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)
half_pi_pos : 0 < π / 2
cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y
sin_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ interior U → 0 < sin y
tan_cts_U : ContinuousOn tan U
tan_minus_id_cts : ContinuousOn (fun y => tan y - y) U
deriv_pos : ∀ y ∈ interior U, 0 < deriv (fun y' => tan y' - y') y
mono : StrictMonoOn (fun y => tan y - y) (Ico 0 (π / 2))
zero_in_U : 0 ∈ U
x_in_U : x ∈ U
⊢ x < tan x
x : UInt8
⊢ x.toUInt64.toNat = x.toNat
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set α
t : Set β
⊢ (μ.restrict s).prod (ν.restrict t) = (μ.prod ν).restrict (s ×ˢ t)
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.Disjoint []
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
f : α → γ
hf : UpperSemicontinuous f
y : γ
⊢ IsClosed (f ⁻¹' Set.Ici y)
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ 0 ≤ Real.log x ↔ 1 ≤ x
L : Language
L' : Language
⊢ (L.sum L').card = lift.{max u' v', max u v} L.card + lift.{max u v, max u' v'} L'.card
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x : M
hf : ContMDiffWithinAt IM IB n f s x
hg : ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n g s x
he : f x ∈ e.baseSet
he' : f x ∈ e'.baseSet
⊢ (fun y => e.coordChange e' (f y) (g y)) =ᶠ[𝓝[s] x] fun x => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' (f x)) (g x)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : 0 < r
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
⊢ (fun r => (mkMetric'.pre m r) (s ∪ t)) =ᶠ[𝓝[>] 0] fun x => (mkMetric'.pre m x) s + (mkMetric'.pre m x) t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
fst✝¹ : α
snd✝¹ : β
fst✝ : α
snd✝ : β
⊢ (fst✝¹, snd✝¹) ⩿ (fst✝, snd✝) ↔ (fst✝¹, snd✝¹).1 ⩿ (fst✝, snd✝).1 ∧ (fst✝¹, snd✝¹).2 = (fst✝, snd✝).2 ∨ (fst✝¹, snd✝¹).2 ⩿ (fst✝, snd✝).2 ∧ (fst✝¹, snd✝¹).1 = (fst✝, snd✝).1
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
⊢ EuclideanGeometry.angle (p -ᵥ p₁) (p -ᵥ p₂) (p -ᵥ p₃) = EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃
α : Type u
AddGroup α
a : α
⊢ IsAddUnit a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois X
⊢ MulAction.IsPretransitive (CategoryTheory.Aut F) ↑(F.obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a : α
d : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ d n
hd : Summable d
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
⊢ dist (f 0) a ≤ tsum d
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x✝ : α
C : ℝ
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompactSpace α
w : ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
c : Continuous fun x => dist (f x) (g x)
x : α
le : IsMaxOn (fun x => dist (f x) (g x)) univ x
⊢ dist f g < C
V : Type u_1
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
⊢ (G.replaceVertex s t).edgeSet = (G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) \ {s(t, t)}
a : ℤ
b : ℕ
h : a.gcd ↑b = 1
⊢ jacobiSym (a ^ 2) b = 1
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : G ≃g G'
e : Sym2 V
h : e ∈ G.edgeSet
⊢ Sym2.map (fun x => { toFun := ⇑f.symm, map_rel' := ⋯ } ({ toFun := ⇑f, map_rel' := ⋯ } x)) e = e
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
h : c < b
⊢ a / b < a / c
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
⊢ utf8Len l + utf8Len r ≤ utf8Len l ↔ r = []
x y z : SetTheory.PGame
⊢ ⟦x * y * z⟧ = ⟦x * (y * z)⟧
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule.IsTrivial L M
m : M
x : ↥I
n : ↥N
h : 0 = m
⊢ m ∈ ↑⊥
α : Type u_1
a : α
⊢ ¬a ∈ none
r : ℝ
hr : 2 < r
⊢ volume {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ r} = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ Wbtw R x y x ↔ y = x
δ : Type u_3
CommGroup δ
f : ℕ → δ
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ ∏ k ∈ Finset.Ico m n, f k = (∏ k ∈ Finset.range n, f k) / ∏ k ∈ Finset.range m, f k
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
⊢ zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t) = closure t
R : Type u_4
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
g : S → R
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : S), (f.inverse g h₁ h₂) a = g a
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j i : ι
⊢ Lagrange.basis {i} v i = 1
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
s : Set P₂
⊢ AffineSubspace.comap (↑f) (affineSpan k s) = affineSpan k (⇑f ⁻¹' s)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : IsUnit p.leadingCoeff
q : R[X]
⊢ p * q = 0 ↔ q = 0
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s₁ s₂ : Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)
⊢ ∃ S, span (Subtype.val '' s₁ * Subtype.val '' s₂) = span (Subtype.val '' S)
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
a b : Heyting.Regular α
⊢ ↑a < ↑b ↔ a < b
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
x : A
⊢ ↑(ℜ x) + I • ↑(ℑ x) ∈ span ℂ ↑(selfAdjoint A)
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
⊢ G.grundyValue = 0 ↔ G ≈ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
g : G ≃ₗᵢ[𝕜] E
f : E → F
x : G
i : ℕ
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 i (f ∘ ⇑g) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f (g x)‖
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
b : m → α
LinearOrder α
Fintype m
M N : Matrix m m R
hM : M.BlockTriangular b
hN : N.BlockTriangular b
⊢ (M * N).BlockTriangular b
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
s : Submodule R M
⊢ Module.rank R ↥s ≤ Module.rank R ↥⊤
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
M : Type u_8
AddCommMonoid M
Module R M
a : ι → M
b : ι₂ → M
⊢ PiTensorProduct.tmul (((PiTensorProduct.tprod R) fun i => a i) ⊗ₜ[R] (PiTensorProduct.tprod R) fun i => b i) =
  (PiTensorProduct.tprod R) fun i => Sum.elim a b i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
⊢ g.lintegral μ = g.lintegral (μ.restrict s)
R : Type u_1
CommSemiring R
f : R[X]
⊢ (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) f = Polynomial.toLaurent f
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ
⊢ {i | i < k}.encard = ↑k
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
h : AffineIndependent k fun p => ↑p
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ (AffineIndependent k fun p => ↑p) ∧ affineSpan k t = ⊤
α : Type u_1
DecidableEq α
AddCommMonoid α
m : Multiset α
⊢ m.sum = ∑ x : m.ToType, x.fst
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
u : Set ι
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ ⋂ n ∈ u, s n
ht2 : t2 ∈ s'
n : ι
hn : n ∈ u
h : IndepSets (s n) s' κ μ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
G : Type u_1
Group G
⊢ Nontrivial (Subgroup G) ↔ Nontrivial G
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑G g‖ < δ
⊢ ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <:+ l₂ → l₁.length ≤ l₂.length
α : Type u_1
E : Type u_3
G : Type u_5
F' : Type u_7
Norm E
Norm G
SeminormedAddCommGroup F'
l : Filter α
f : α → E
g : α → F'
k : α → G
hfg : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
hgk : g =O[l] k
⊢ f =O[l] k
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c w : ℂ
R : ℝ
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • (z - w) • f z) = ∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Set.image Prod.swap = Set.preimage Prod.swap
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
x y : 𝕜
⊢ Set.Icc x y ⊆ [x-[𝕜]y]
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝² : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this✝ : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))
this : ∀ (X : C), IsIso (Gl.map (adj.unit.app X))
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
hc'' : ∀ (j : J), α.app j ≫ Gl.map (c.ι.app j) = c'.ι.app j ≫ f
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
c'' : Cocone (F' ⋙ Gr) := { pt := pullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt), ι := { app := fun j => pullback.lift (Gr.map (c'.ι.app j)) (Gr.map (α'.app j) ≫ c.ι.app j) ⋯, naturality := ⋯ } }
cf : (Cocones.precompose β.hom).obj c' ⟶ Gl.mapCocone c'' := { hom := pullback.lift (inv (adj.counit.app c'.pt)) f ⋯ ≫ (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).inv, w := ⋯ }
⊢ Nonempty (IsColimit c')
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ f₂
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₃ f₄
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPullback (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑i) f s
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑i) g s
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x => f x + g x) s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x + iteratedFDerivWithin 𝕜 i g s x
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α β : Type
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
f : α → ι
g : β → ι
z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)
j : β
k : α
⊢ biproduct.ι (fun a => s (f a)) k ≫ (fun z => biproduct.matrix fun j k => if h : f j = g k then z (f j) ⟨k, ⋯⟩ ⟨j, ⋯⟩ ≫ eqToHom ⋯ else 0) ((fun z i j k => eqToHom ⋯ ≫ biproduct.components z ↑k ↑j ≫ eqToHom ⋯) z) ≫ biproduct.π (fun b => s (g b)) j = biproduct.ι (fun a => s (f a)) k ≫ z ≫ biproduct.π (fun b => s (g b)) j
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : (pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x = b
⊢ Submodule.Quotient.mk ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x) = Submodule.Quotient.mk ((algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩)) + Submodule.Quotient.mk 0
s : Multiset ℝ
⊢ Real.exp s.sum = (Multiset.map Real.exp s).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
⊢ (μ.singularPart ν).singularPart ν = μ.singularPart ν
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
b : B
⊢ trivializationAt F E b ∈ trivializationAtlas F E
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
A : ι → Submodule R M
h : DirectSum.IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
x : M
i j : ι
hij : i ≠ j
a : α j
hx : x ∈ A i
⊢ ((h.collectedBasis v).repr x) ⟨j, a⟩ = 0
a b : ℕ
ha : 2 ≤ a
hb : 2 < b
⊢ Nat.mul 2 a + 1 ≤ a ^ b
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
CommRing A
LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ I.radical.toIdeal = I.toIdeal.radical
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.360, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ D
X B : C
π : X ⟶ B
c : PullbackCone π π
⊢ P.map π.op ≫ P.map c.fst.op = P.map π.op ≫ P.map c.snd.op
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
l : Filter ι
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)
⊢ TendstoInMeasure μ (fun i => AEStronglyMeasurable.mk (f i) ⋯) l (AEStronglyMeasurable.mk g hg)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0
α : Type u_3
LinearOrderedSemiring α
n : ℕ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x ^ n) Filter.atTop Filter.atTop ↔ n ≠ 0
α : Type u_3
MeasurableSpace α
M : Type u_4
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
self : MeasureTheory.VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
⊢ (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → Pairwise (Disjoint on f) → HasSum (fun i => ↑self (f i)) (↑self (⋃ i, f i))