ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : IsBigOWith c l f₁ f₂
hc : c < 1
x : α
⊢ -(-f₂ x - f₁ x) = f₁ x + f₂ x
M✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Monoid M✝
inst✝² : SetLike B M✝
inst✝¹ : SubmonoidClass B M✝
S✝ : B
s : Submonoid M✝
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
m : Multiset ↥S
⊢ (Multiset.map Subtype.val m).prod ∈ S
K : Type u
CommRing K
⊢ { toFractionRing := 1 } = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
SemilatticeInf α
f : Filter β
u v : β → α
⊢ (Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f fun a => u a ⊓ v a) ↔
  Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u ∧ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f v
x : ℝ≥0
⊢ NNReal.sqrt (x ^ 2) = x
G : Type u_2
Group G
ι : Sort u_6
S : ι → Submonoid G
⊢ (⨅ i, S i)⁻¹ = ⨅ i, (S i)⁻¹
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
f g : Arrow C
e : f ≅ g
⊢ P f.hom → P g.hom
α : Type u_1
ι : Type u_2
E✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
p : ℝ≥0∞
f✝ : ι → α → E✝
g✝ : α → E✝
E : Type u_4
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ι → α → E
g : α → E
l : Filter ι
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
ε : ℝ≥0∞
hfg : ∀ᶠ (x : ι) in l, essSup (fun x_1 => ↑‖f x x_1 - g x_1‖₊) μ ≤ ENNReal.ofReal δ / 2
n : ι
hn : essSup (fun x => ↑‖f n x - g x‖₊) μ ≤ ENNReal.ofReal δ / 2
hε : 0 < ε
this : essSup (fun x => ↑‖f n x - g x‖₊) μ < ENNReal.ofReal δ
x : α
⊢ x ∈ {x | δ ≤ dist (f n x) (g x)} ↔ x ∈ {x | (fun y => ↑‖f n y - g y‖₊ < ENNReal.ofReal δ) x}ᶜ
α : Type u_1
G : Type u_2
TopologicalSpace G
LinearOrderedAddCommGroup G
OrderTopology G
f : α → G
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
h : ContinuousWithinAt f s a
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => |f x|) s a
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
lv : All (fun x => cmpLT cmp x v) l
vr : All (fun x => cmpLT cmp v x) r
hl : Ordered cmp l
hr : Ordered cmp r
⊢ Ordered cmp (l.balance2 v r)
α : Type u_1
β : Type u_4
Finite (α ⊕ β)
⊢ Finite α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a : α
t : Set α
x : α
⊢ (if x ∈ t then (uniformOfFinset s hs) x else 0) = if x ∈ s ∧ x ∈ t then (↑s.card)⁻¹ else 0
R : Type u_1
M : Type u_3
MonoidWithZero R
Zero M
MulActionWithZero R M
p : Prop
Decidable p
a : M
⊢ (if p then 1 else 0) • a = if p then a else 0
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
h : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ✝.toInteger - 1) = ↑↑p
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTrans α r
IsAntisymm α r
IsTotal α r
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (Finset.sort r s).toFinset = s
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
m : Multiset α
⊢ m.toList = [a] ↔ m = {a}
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V
h : G ≤ G'
⊢ G.chromaticNumber ≤ G'.chromaticNumber
G : Type w
TopologicalSpace G
self : MeasureTheory.Content G
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ ↑K₁ ⊆ ↑K₂ → self.toFun K₁ ≤ self.toFun K₂
n : ℕ
i : Fin (n + 4)
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last (n + 3)
k : ℕ
h : k < n + 2
⊢ ∃ x, ¬i = x ∧ ∀ (x_1 : Fin (2 + 1)), ¬(Hom.toOrderHom ({ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm (Hom.mk { toFun := ![⟨k, ⋯⟩, ⟨k + 1, ⋯⟩, ⟨k + 2, ⋯⟩], monotone' := ⋯ })).down) x_1 = x
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
⊢ (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
α : Type u_1
M : Type u_5
AddMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
m : MeasurableSpace α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => (List.map (fun f => f x) l).sum
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
⊢ (unitization s).range = Algebra.adjoin R ↑s
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
F : Type u_2
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
Module ℝ F
IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →ₗ[ℝ] ℝ
x : F
⊢ fr.extendTo𝕜' x = ↑(fr x) - RCLike.I * ↑(fr (RCLike.I • x))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s✝ t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
m n : ℤ
⊢ (f ^ m) a = (f ^ n) a ↔ m ≡ n [ZMOD ↑s.card]
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : Nontrivial E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → F
⊢ ((μ.toSphere univ).toReal • ∫ (x : ↑(Ioi 0)), f ↑x ∂(Measure.comap Subtype.val volume).withDensity fun r => ↑(↑r ^ (dim E - 1)).toNNReal) = dim E • (μ (ball 0 1)).toReal • ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, y ^ (dim E - 1) • f y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
⊢ LocallyConvexSpace 𝕜 E ↔ ∀ (x : E), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ Convex 𝕜 s) id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
h : HasFiniteIntegral f μ
s : Set α
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, ↑‖f a‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
C : Computation α → Computation β → Prop
b : β
ca : Computation α
⊢ Computation.LiftRelAux R C (Sum.inr ca) (Sum.inl b) = ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CoverPreserving (J.over X) (J.over Y) (CategoryTheory.Over.map f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
f : X → Y
⊢ IsLocalHomeomorphOn f s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ U ∈ 𝓝 x, OpenEmbedding (U.restrict f)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
s : Finset G
h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K V
⊢ index ((fun h => g * h) '' K) V ≤ s.card
α : Type u_1
LinearOrder α
AddSemigroup α
IsCancelAdd α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ s.card + t.card - 1 ≤ (s + t).card
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : R[X]
⊢ (lift i x hx h) (h.map z) = eval₂ i x z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.snd) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
⊢ ¬IsPrimePow 1
α : Type u_2
β : Type u_3
HasCompl α
HasCompl β
a : α × β
⊢ aᶜ.1 = a.1ᶜ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
i : ℕ
m : M
n✝ : ℕ
a✝ : R
⊢ (map R' f) ((monomial n✝) a✝ • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') ((monomial n✝) a✝) • (map R' f) ((single R i) m)
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
inst✝ : Ring R
v : AddValuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
hx : v x < v y
⊢ v x < v (-y)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
h : H.index = 2
a : G
⊢ 2 • a ∈ H
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
⊢ ∀ (x : S), x ∈ Set.range ⇑f
c : ℂ
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹) = 2 * ↑π * Complex.I
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
⊢ p.succAbove i < p.succAbove j ↔ i < j
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
M' : Type u_2
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M'
⊢ e.range = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
NormedSpace ℝ E
f g : β × γ → E
hf : MeasureTheory.Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : MeasureTheory.Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (x : β), ∫ (y : γ), (f + g) (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a =
  ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a + ∫ (x : β), ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ x⁻¹.toNNReal = x.toNNReal⁻¹
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M
v : n → M₁
⊢ B.IsOrthoᵢ v ↔ B.flip.IsOrthoᵢ v
b : ℕ
⊢ Nat.clog b 1 = 0
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
F' : Type u_7
Norm E
Norm F
SeminormedAddCommGroup F'
f : α → E
g' : α → F'
l : Filter α
One F
NormOneClass F
hfg : f =O[l] g'
y : F'
hg : Filter.Tendsto g' l (𝓝 y)
⊢ f =O[l] fun _x => 1
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
⊢ sInf (univ \ A) < N
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
hl : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.get ⟨k, hk⟩ ∈ l
⊢ (k + 1) % l.length = k ↔ l.length ≤ 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
⊢ Module.rank k ↥⊥ ≤ 1
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Semiring S
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R₁
inst✝⁵ : CommSemiring R₂
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R₁ A
inst✝² : Algebra R₂ A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R₁ B
I : Ideal A
J : Ideal B
f : A →ₐ[R₁] B
H : I ≤ comap f J
x : A
⊢ ((quotientMapₐ J f H).comp (Quotient.mkₐ R₁ I)) x = ((Quotient.mkₐ R₁ J).comp f) x
X : Type u
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Z
α : Type u_5
f : X → α → Z
s : Set α
t : Set Z
ht : IsClosed t
hf : ∀ a ∈ s, Continuous fun x => f x a
⊢ IsClosed {x | Set.MapsTo (f x) s t}
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
ι : Type u_3
F : ι → α → E
p : Filter ι
f : α → E
s : Set α
Ffs : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun i => F i x) p (𝓝 (f x))
v : ℝ≥0∞
hv : v < eVariationOn f s
n : ℕ
u : ℕ → α
um : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
hlt : v < ∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i))
this : Tendsto (fun j => ∑ i ∈ Finset.range n, edist (F j (u (i + 1))) (F j (u i))) p (𝓝 (∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i))))
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, v < eVariationOn (F n) s
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ), (∀ m < n, X m ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p m) = (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ m)) → X n ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p n) = (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ n)
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
⊢ limsup (u + v) f < a + b
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ S.a + hζ.toInteger * S.b = S.a + S.b + λ * S.b
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
h : p a
_l : List α
⊢ List.count a (List.filter (fun b => decide (p b)) _l) = List.count a _l
R : Type uR
Semiring R
r : R → R → Prop
a b c : R
h : RingQuot.Rel r b c
⊢ RingQuot.Rel r (a + b) (a + c)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
hf : UniformInducing f
F : Filter α
⊢ Cauchy (map f F) ↔ Cauchy F
α : Type u_1
a : ℝ≥0∞
b : α
s : Set α
⊢ (a • MeasureTheory.OuterMeasure.dirac b) s = s.indicator (fun x => a) b
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : 2 * Pell.xn a1 n = Pell.xn a1 (n + 1)
⊢ a = 2 ∧ n = 0
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Independent f ↔ ¬Dependent f
x : ℤ
hx : x ≠ 0
n d : ℤ
⊢ x /. n / (x /. d) = d /. n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
hq : q.Monic
h : p /ₘ q = 0
⊢ p.degree < q.degree
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
⊢ IsPiSystem (Set.Iio '' s)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
z : N
⊢ ∃ x y, f.mk' x y = z
α : Type u
f : α → α
hf : Function.Involutive f
x : α
l : List α
⊢ (∃ y, y ∈ l ∧ f y = x) ↔ f x ∈ l
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
g : β → α
⊢ Function.LeftInverse f g ↔ f ∘ g = id
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
a : α
l : List α
m : Nat
⊢ (modifyNth f (n + 1) (a :: l))[m + 1]? = (fun a => if n + 1 = m + 1 then f a else a) <$> (a :: l)[m + 1]?
α : Type u_1
TopologicalSpace α
AddMonoid α
ContinuousAdd α
⊢ Continuous List.sum
x₁ y₁ x₂ y₂ : SetTheory.PGame
hx : x₁ ≈ x₂
hy : y₁ ≈ y₂
h : x₁ < y₁
⊢ x₂ < y₂
k G : Type u
CommRing k
Group G
A B : Rep k G
⊢ ((CategoryTheory.ihom A).obj B).ρ = (A.ihom.obj B).ρ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
⊢ (pullbackP1Iso 𝒰 f g i).hom ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.snd (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)
α : Type u
Add α
a b c : WithBot α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≠ ⊥
⊢ b + a ≤ c + a ↔ b ≤ c
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
One β
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ∀ x ∈ mulTSupport f, ContinuousAt f x
⊢ Continuous f
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
⊢ ε ^ 5 * ε ^ 5 ≤ ε ^ 5 * ((1 / 49 - 2 / 100) * 100 ^ 2)
c : Cardinal.{u_1}
co : ℵ₀ ≤ c
h : c.ord = 0
⊢ ℵ₀ = 0
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : α
h₀ : 0 < a
h₁ : a ≠ 1
⊢ Function.Injective fun x => a ^ x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSet ∅
α : Type u_1
s : Set α
Fintype ↑s
⊢ s.toFinset = ∅ ↔ s = ∅
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
Field F
Field E
Field K
Algebra F E
Algebra F K
S : Set E
L : Type u_4
Field L
Algebra F L
Algebra L E
IsScalarTower F L E
f : L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral L s ∧ Polynomial.Splits f.toRingHom (minpoly L s)
⊢ ∃ φ, φ.comp (IsScalarTower.toAlgHom F L ↥(IntermediateField.adjoin L S)) = f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R : Type u_5
Zero R
U : Set X
f : LocallyConstant X R
a : X
hU : IsClopen U
h : a ∉ U
⊢ (f.indicator hU) a = 0
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ sInf ↑s ∈ s
α β : Type u
c : Computation α
f : α → Computation β
⊢ c >>= f = c.bind f
M : Type u_11
N : Type u_12
α : Type u_13
VAdd M α
VAdd N α
VAddCommClass M N α
⊢ VAddCommClass N M α
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a : α
s : Set α
hs : s.Infinite
⊢ (insert a s).ncard ≤ s.ncard + 1
a b : ℤ
h : a * b = 0
hlt₁ : 0 < a
hgt₂ : b < 0
⊢ a = 0 ∨ b = 0
G₀ : Type u_2
MeasurableSpace G₀
GroupWithZero G₀
MeasurableMul G₀
g : G₀
hg : g ≠ 0
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.mulLeft₀ g hg) = fun x => g * x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : AntitoneOn f (Set.Icc a b)
⊢ Set.MapsTo f (Set.Icc a b) (Set.Icc (f b) (f a))
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop
⊢ ∀ x_1 ∈ x.support, 0 ≤ x_1
α : Type u
l : List α
⊢ List.foldr List.cons [] l = l
a b : Char
h : a < b
⊢ a ≠ b
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f : α → β
CommMonoid β
h : s₁ ⊆ s₂
hf : ∀ x ∈ s₂, x ∉ s₁ → f x = 1
⊢ ∏ x ∈ s₁, f x = ∏ x ∈ s₂, f x
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : Y
h : x ∈ e.target
⊢ ContinuousAt (↑e.symm) x
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n) (f N) < ε
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
⊢ T2Space X ↔ Pairwise fun x y => Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
ζ' : M
k' : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ' k'
hk : k ≠ 0
hk' : k' ≠ 0
⊢ k' = orderOf ζ'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → β
x : Fin (n + 1)
⊢ f x * ∏ x_1 : Fin n, f (x.succAboveEmb x_1) = f x * ∏ i : Fin n, f (x.succAbove i)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
x y : S
d : ℕ
⊢ y ∈ Submodule.span R (Set.range fun i => x ^ ↑i) ↔ ∃ f, f.degree < ↑d ∧ y = (Polynomial.aeval x) f
α : Type u
Preorder α
OrderTop α
⊢ IsLUB Set.univ ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
a b : A
⊢ (LinearMap.mulLeft R a) b = a * b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => ‖↑↑f x‖ ^ 2
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
CommSemiring R
Fintype σ
Fintype τ
n : ℕ
e : σ ≃ τ
⊢ (MvPolynomial.rename ⇑e) (MvPolynomial.psum σ R n) = MvPolynomial.psum τ R n
x : ℝ
⊢ sin (π / 6) = 1 / 2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
x : E × F
⊢ HasFPowerSeriesAt (fun x => (f x.1) x.2) (f.fpowerSeriesBilinear x) x
α : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Function.Injective (Multiset.replicate n)
X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
g : X → F
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ‖g x‖ ≤ ‖f x‖
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrable g μ
G : Type u_1
AddGroup G
IsAddKleinFour G
⊢ ¬IsAddCyclic G
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
x : α
h : ContinuousWithinAt f t x
hs : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ContinuousWithinAt f s x
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ✝ : Type w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : AddCommGroup γ
f : α → β
g : β → γ
x : FreeAbelianGroup α
⊢ (lift (g ∘ f)) 0 = (lift g) ((map f) 0)
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
f'_monic : (f * C f.leadingCoeff⁻¹).Monic
⊢ minpoly K (root f) = f * C f.leadingCoeff⁻¹
α : Type u
s t s' t' : Set α
l : Filter α
h : s =ᶠ[l] t
h' : s' =ᶠ[l] t'
⊢ s ∆ s' =ᶠ[l] t ∆ t'
n : ℕ
f : Vector ℕ (n + 1) → ℕ
hf : Partrec' ↑f
v : Vector ℕ n
b : ℕ
⊢ (∃ a ∈ Nat.rfind fun n_1 => Part.some (decide (1 ≤ f (n_1 ::ᵥ v))), b = (f (a ::ᵥ v)).pred) ↔ ∃ a ∈ Nat.rfind fun n_1 => ↑(some (ofNat (Option ℕ) (f (n_1 ::ᵥ v))).isSome), ofNat (Option ℕ) (f (a ::ᵥ v)) = some b
a b : Nat
h : b ≤ a
⊢ min a b = b
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : NoZeroDivisors R
ζ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ 2
⊢ ζ ^ 2 = 1 ^ 2
G : Type u_2
Group G
Group.IsNilpotent G
⊢ ∃ n, upperCentralSeries G n = ⊤
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x : HahnSeries Γ R
⊢ x.leadingCoeff = 0 ↔ x = 0
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
i j : A
⊢ shiftFunctorComm C i j = (shiftFunctorAdd C i j).symm ≪≫ shiftFunctorAdd' C j i (i + j) ⋯
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
p : α
hp0 : ¬p = 0
h : Irreducible p
f : Multiset α
hf : (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ p
⊢ Prime p
n k m : Nat
⊢ n + k - (m + k) = n - m
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module Rᵐᵒᵖ M
r : R
m : M
⊢ r •> m + 0 •> 0 = r •> m
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
h✝ : Nontrivial R
⊢ IsField R ↔ IsSimpleOrder (Ideal R)
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
U : ↥(unitary R)
⊢ ↑(star U) = star ↑U
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s ∧ x ∈ {x | ∃ y, r x y}
⊢ x ∈ r.preimage (r.image s)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
p : α → Prop
hom : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
l : List α
comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
base : ∀ x ∈ ⟦l⟧, p x
⊢ p (noncommProd ⟦l⟧ comm)