ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
CancelMonoidWithZero α
PartialOrder α
MulPosReflectLT α
⊢ MulPosReflectLE α
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)
a b : Fin n
hab : ⟨a, b⟩.snd < ⟨a, b⟩.fst
⊢ (if f (g a) ≤ f (g b) then -1 else 1) = (if f (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).fst ≤ f (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).snd then -1 else 1) * if g⁻¹ (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).fst ≤ g⁻¹ (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).snd then -1 else 1
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
⊢ μ U = (map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G)) (ν.restrict s)) U
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m✝ m : ℤ
x : 𝕜
h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
this : ∀ (m : ℤ), 0 < m → HasStrictDerivAt (fun x => x ^ m) (↑m * x ^ (m - 1)) x
hm : m < 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => x ^ m) (↑m * x ^ (m - 1)) x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.EnoughInjectives C
Z : C
⊢ CategoryTheory.InjectiveResolution.of Z =
  CategoryTheory.InjectiveResolution.mk (CategoryTheory.InjectiveResolution.ofCocomplex Z) ⋯
    (((CategoryTheory.InjectiveResolution.ofCocomplex Z).fromSingle₀Equiv Z).symm ⟨CategoryTheory.Injective.ι Z, ⋯⟩) ⋯
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Ioo a b = Ioo (b / c) (a / c)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
⊢ IsIntegralCurveAt γ v t₀ ↔ ∃ s ∈ 𝓝 t₀, IsIntegralCurveOn γ v s
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
v : V
⊢ G'.neighborSet v ⊆ G.neighborSet v
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
this : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]
⊢ μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
⊢ ENNReal.ofReal (p + q) = ENNReal.ofReal p + ENNReal.ofReal q
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A[X]
hx : IsIntegral A x
hamonic : a.Monic
ha : (Polynomial.aeval x) a = 0
left✝ : a ≠ 0
c : A[X]
hu : ¬IsUnit c
he : minpoly A x = a * c
hcm : c.Monic
⊢ a.natDegree < (minpoly A x).natDegree
x y : ℤ[i]
⊢ GaussianInt.toComplex (x + y) = GaussianInt.toComplex x + GaussianInt.toComplex y
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
⊢ LinearMap.range (f.prod g) ≤ (LinearMap.range f).prod (LinearMap.range g)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : Polynomial.eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : S
w : R[X]
hzw : h.map w = z
⊢ Polynomial.eval₂ i x (h.repr z) = Polynomial.eval₂ i x w
α : Type u_1
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable σ
β : Type u_4
e : β ≃ α
f : σ → β
⊢ (Primrec fun a => e (f a)) ↔ Primrec f
a✝ b c a : ℕ
h : 0 < a
⊢ Ico (a - 1) a = {a - 1}
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hyo : y % 2 = 1
hzpos : 0 < z
h0 : ¬x = 0
v : ℚ := ↑x / ↑z
w : ℚ := ↑y / ↑z
hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1
hvz : v ≠ 0
⊢ h.IsPrimitiveClassified
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Abelian C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
CategoryTheory.Limits.HasKernel S.g
⊢ S.cyclesIsoKernel.inv = S.liftCycles (CategoryTheory.Limits.kernel.ι S.g) ⋯
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
μ : MeasureTheory.Measure F
μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Filter.Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ FiniteDimensional.finrank ℝ F * φ x) (Bornology.cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
x₀ : F
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g x₀
⊢ Filter.Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ FiniteDimensional.finrank ℝ F * φ (c • (x₀ - x))) • g x ∂μ) Filter.atTop
  (𝓝 (g x₀))
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hfB : IsInvariantBlock G B
g : G
x : X
hx : x ∈ B
⊢ g⁻¹ • x ∈ B
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
h : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R S)
⊢ Algebra.trace R S = 0
α : Type u_1
C : Cycle α → Prop
s : Cycle α
H0 : C Cycle.nil
HI : ∀ (a : α) (l : List α), C ↑l → C ↑(a :: l)
⊢ C s
α : Type u_1
l : List α
h : 0 < l.length
⊢ l.get ⟨0, h⟩ = l.head ⋯
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X : PresheafedSpace C
x : ↑↑X
⊢ (stalkFunctor C x).map (𝟙 X).c ≫ (stalkFunctor C x).map (Pushforward.id X.presheaf).hom = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
a b c : ℕ
h : c ≤ a
⊢ a - c < b - c ↔ a < b
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace ℝ F
NormedSpace 𝕜 F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
NormedAddCommGroup G
BorelSpace G
NormedSpace 𝕜 G
MeasureTheory.SFinite μ
μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
⊢ HasFDerivAt (MeasureTheory.convolution f g L μ)
  (MeasureTheory.convolution f (fderiv 𝕜 g) (ContinuousLinearMap.precompR G L) μ x₀) x₀
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
⊢ finrank R ↥(A ⊔ B) = finrank R ↥A * finrank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type s
CommRing S
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ (WeierstrassCurve.baseChange W B).toAffine.polynomial =
  Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom ↑f) (WeierstrassCurve.baseChange W A).toAffine.polynomial
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q✝ : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
β : Type u_1
a : β
q : Fin n → β
b : β
i : Fin (n.succ + 1)
h : ¬i = 0
j : Fin (n + 1) := i.pred h
ji : j = i.pred h
this : i = j.succ
h' : ¬↑j < n
⊢ snoc q b j = snoc (cons a q) b j.succ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A B : CommMon_ C
f : A ⟶ B
⊢ ((CommMon_.forget₂Mon_ C).map f).hom = f.hom
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
H : AddSubgroup N
⊢ f.ker ≤ AddSubgroup.comap f H
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hn : n ≠ 0
h : p ∣ n
⊢ 0 < n.factorization p
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
hp : Fact (1 ≤ p)
H :
  ∀ (f : ℕ → α → E),
    (∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Memℒp (f n) p μ) →
      ∀ (B : ℕ → ℝ≥0∞),
        ∑' (i : ℕ), B i < ⊤ →
          (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → MeasureTheory.eLpNorm (f n - f m) p μ < B N) →
            ∃ f_lim,
              MeasureTheory.Memℒp f_lim p μ ∧
                Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - f_lim) p μ) Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ CompleteSpace ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.33498, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{?u.33505, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : HasShift E M
X Y Z T : C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (a : M), (shiftFunctor C a).Additive
a b c : M
α : ShiftedHom X Y a
β₁ β₂ : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
⊢ α.comp (β₁ + β₂) h = α.comp β₁ h + α.comp β₂ h
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : 1 ≤ x
n : ℕ
⊢ 1 ≤ x ^ n
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G
a : Fin (n + 1)
⊢ ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom (Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ a.succ.succAbove) 1) = f (a.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g)
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : T2Space β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
f : γ → α
inst✝² : MeasurableSpace.CountablySeparated α
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : StandardBorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_meas : Measurable f
f_inj : InjOn f s
this : UpgradedStandardBorel γ := upgradeStandardBorel γ
tγ : TopologicalSpace γ := inferInstance
⊢ MeasurableSet (f '' s)
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
U : Set α
s : Set M
a : M
Decidable (a ∈ s)
Decidable (0 ∈ s)
⊢ (U.indicator fun x => a) ⁻¹' s = (if a ∈ s then U else ∅) ∪ if 0 ∈ s then Uᶜ else ∅
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ toIcoMod hp a a = a
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂MeasureTheory.Measure.dirac a = f a
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v w u : V
p : G.Walk u u
⊢ p.IsPath ↔ p = nil
p : ℕ
hp : Prime p
b : ℕ
x✝ : log p 0 < b
⊢ multiplicity p 0! = ↑(∑ i ∈ Ico 1 b, 0 / p ^ i)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
⊢ TotallyBounded s
α : Type u_1
s : Set α
n : ℕ
f : (i : ℕ) → i < n → α
hf : ∀ a ∈ s, ∃ i, ∃ (h : i < n), f i h = a
hf' : ∀ (i : ℕ) (h : i < n), f i h ∈ s
f_inj : ∀ (i j : ℕ) (hi : i < n) (hj : j < n), f i hi = f j hj → i = j
⊢ s.ncard = n
α : Type u
n : ℕ
⊢ finRange n.succ = 0 :: map Fin.succ (finRange n)
α : Type u_1
r : Rel α α
s : RelSeries r
a : α
connect : r s.last a
i : Fin (s.length + 1)
⊢ (s.snoc a connect).toFun i.castSucc = s.toFun i
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n✝ : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
X Y : Finset α
n : ℕ
hXY : 2 * n < (X ∪ Y).card
h₁ : (X ∩ (Y \ X)).card = 0
h₂ : (X ∪ Y).card = X.card + (Y \ X).card
⊢ ∃ C, n < C.card ∧ (C ⊆ X ∨ C ⊆ Y)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Presentation R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S
⊢ RingHom.ker (aeval P.baseChange.val) ≤ Ideal.span (Set.range fun i => (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i))
α : Type u_2
Mul α
f g : Filter α
⊢ Filter.map₂ (fun x x_1 => x * x_1) f g = f * g
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
v : ι → E
⊢ (convexHull R) (Set.range v) = {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (Finset.affineCombination R s v) w = x}
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : M
w : σ → M
hφ : IsWeightedHomogeneous w φ n
d : σ →₀ ℕ
hd : (weight w) d ≠ n
aux : ¬coeff d φ ≠ 0
⊢ coeff d φ = 0
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ (∃ r, a = ↑r * ↑r) ↔ ∃ r, a = r * r
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
⊢ μ.InnerRegularWRT (fun s => IsCompact s ∧ IsClosed s) fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t : Set G
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
⊢ IsClosed (t * s)
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
AddMonoid A
DistribSMul M A
Monoid N
AddMonoid B
DistribMulAction N A
SMulCommClass M N A
DistribMulAction N B
c : Mᵈᵐᵃ
f : A →+[N] B
a : A
⊢ (c • f) a = f (DomMulAct.mk.symm c • a)
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasColimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
c : Cocone F
j✝ : J
⊢ ι (F ⋙ G) j✝ ≫ post F G ≫ G.map (desc F c) = ι (F ⋙ G) j✝ ≫ desc (F ⋙ G) (G.mapCocone c)
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
⊢ Monotone Order.pred
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : RestrictGermPredicate P A x ↑f
h : ∀ᶠ (z : X) in 𝓝ˢ A, g z = f z
⊢ RestrictGermPredicate P A x ↑g
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ IsPathConnected (Metric.sphere x r)
x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(x / y).arg|
n : ℕ
hn : ¬n = 0
⊢ (n.factorization.prod fun a b => a ^ (b - 1) * (a - 1) * a) = n.factorization.prod fun a b => a ^ b * (a - 1)
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
s : Set M
κ : Cardinal.{w'}
h1 : ℵ₀ ≤ lift.{w, w'} κ
h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ lift.{w, w'} κ
h3 : lift.{w', max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w'} κ
h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M
s' : Set (ULift.{w', w} M)
hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ
⊢ ∃ S, s ⊆ ↑S ∧ lift.{w', w} #↥S = lift.{w, w'} κ
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ (η_ X Xᘁ ≫ f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ) = (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ (η_ Y Yᘁ ≫ (g ⊗ (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom))
α : Type u
AddMonoid α
u : AddUnits α
a : α
h : ↑u + a = 0
⊢ a = ↑(-u)
a b c : ℤ
ha : 0 < a
hab : a ∣ c - b
⊢ a + b ≤ c ↔ b < c
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx0 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r ≠ 0
s : O
hy0 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s ≠ 0
hxy0 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r * (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s ≠ 0
⊢ preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r * (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s) = preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r) * preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
h : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s) 0
c : 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t
s' : Set 𝕜 := (fun t => x + t • v) ⁻¹' s
A : HasDerivAt g c 0
B : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' s' (g 0)
Z : HasDerivWithinAt (fun x_1 => f (x + x_1 • c • v)) (c • f') ((fun t => t * c) ⁻¹' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s)) 0
t : 𝕜
⊢ t ∈ (fun t => x + t • c • v) ⁻¹' s ↔ t ∈ (fun t => t * c) ⁻¹' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s)
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
h : ∀ (r : R), r ≠ 0 → (algebraMap R A) r ∉ s
inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A
inst✝ : AlgHomClass F R (Unitization R ↥s) A
f : F
hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x
r : R
a : ↥s
hx : (algebraMap R A) r = -↑a
⊢ Unitization.inl r = -↑a
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 0, x_1 ∈ Ioi 0 → x + x_1 • y ∈ s
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
h : Commute f g
h' : Disjoint (ker f) (ker g)
x : V
hx : f x = 0
⊢ f (g x) = 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
h : 0 < a
b c : α
⊢ (fun x => a * x) '' Set.Ioo b c = Set.Ioo (a * b) (a * c)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G H : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
α : CategoryTheory.MonoidalNatTrans F G
β : CategoryTheory.MonoidalNatTrans G H
X : C
⊢ (α.vcomp β).app X = α.app X ≫ β.app X
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
LocallyFiniteOrderTop α
⊢ Finset.Icc a b ⊆ Finset.Ici a
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
L R : ListBlank Γ
L✝ : Tape Bool
i : ℕ
IH : (Tape.move Dir.right)^[i] ((Tape.move Dir.left)^[i] L✝) = L✝
⊢ (Tape.move Dir.right)^[i + 1] ((Tape.move Dir.left)^[i + 1] L✝) = L✝
α : Type u_2
β : Type u_3
SupSet α
SupSet β
f : sSupHom α β
⊢ f.comp (sSupHom.id α) = f
α : Type u
⊢ Cardinal.mk (Set α) = 2 ^ Cardinal.mk α
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s
R : Type u_4
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f : R ≃+* S
x y : R
⊢ f (x - y) = f x - f y
M : Type u_1
DivInvMonoid M
a : M
n : ℤ
⊢ DomMulAct.mk (a ^ n) = DomMulAct.mk a ^ n
R : Type uR
A : Type uA
M₂ : Type uM₂
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M₂
Algebra R A
Module R M₂
B₂ : LinearMap.BilinForm R M₂
hB₂ : LinearMap.IsSymm B₂
⊢ LinearMap.IsSymm (LinearMap.BilinMap.baseChange A B₂)
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
s : AddSubmonoid M
⊢ closure ↑s + closure ↑s = closure ↑s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
CategoryTheory.Preadditive D
X : C
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ J.diagramNatTrans 0 X = 0
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m✝ m : ℤ
x : 𝕜
h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
this : ∀ (m : ℤ), 0 < m → HasStrictDerivAt (fun x => x ^ m) (↑m * x ^ (m - 1)) x
hm : m = 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => x ^ m) (↑m * x ^ (m - 1)) x
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.log (x ^ n) = ↑n * Real.log x
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f✝ : ↑Γ(X, U)
V : X.Opens
hV : IsAffineOpen V
f : op U ⟶ op V
this✝ : IsAffine (X.restrictFunctor.obj U).left
this : IsAffine ↑V
⊢ Spec.map (X.presheaf.map ((eqToHom ⋯).op ≫ f)) ≫ (↑U).isoSpec.inv ≫ U.ι = Spec.map (X.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (eqToHom ⋯).op)) ≫ (X.restrictFunctor.obj (unop (op U))).left.isoSpec.inv ≫ (unop (op U)).ι
a b : Cardinal.{u_1}
⊢ a * b < Cardinal.aleph0 ↔ a = 0 ∨ b = 0 ∨ a < Cardinal.aleph0 ∧ b < Cardinal.aleph0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : Module α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
symmetric : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
a : α
⊢ gauge (a • s) = |a|⁻¹ • gauge s
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
ih : i ≠ j.castSucc → i < j.castSucc → swap i j.castSucc ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
ne : i ≠ j.succ
lt : i < j.succ
⊢ swap i j.succ ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
k l : ℕ
I J : LieIdeal R L
hI : LieAlgebra.derivedSeries R (↥↑I) k = ⊥
hJ : LieAlgebra.derivedSeries R (↥↑J) l = ⊥
⊢ LieAlgebra.derivedSeries R (↥↑(I + J)) (k + l) = ⊥
α : Sort u
β : Sort v
Countable α
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Countable β
α : Type u_1
⊢ ∀ {β : Type u_2} {b : β} {l : Batteries.AssocList α β} [inst : BEq α] {a : α},
  (Batteries.AssocList.replace a b l).length = l.length
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp : (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E)).IsConjExponent p
⊢ ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂μ ≤
  ↑(MeasureTheory.lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p) * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂μ) ^ p
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a * f b
x y f : ZFSet
⊢ f ∈ x.funs y ↔ x.IsFunc y f
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i i' : ι
b : β i
⊢ (DFinsupp.single i b) i' = if h : i = i' then Eq.recOn h b else 0
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
M : Type ?u.50075
inst✝ : Monoid M
x : M
hx : IsOfFinOrder x
⊢ x ^ (orderOf x - 1) * x = 1
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
k : ℕ
⊢ eval (-r) (ascPochhammer R (k + 1)) = (-1) ^ (k + 1) * eval r (descPochhammer R (k + 1))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x ∂ν = μ s
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ IsGLB {a} a
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
f : ℕ → M
k : ℕ
h : Summable fun n => f (n + k)
⊢ Summable f
Γ₀ : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
h : Nontrivial Γ₀ˣ
f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0
hf : StrictMono ⇑f
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
⊢ ∃ d, f ↑d < r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
this : IsFiniteKernel κ
S : Finset (Set γ)
hS_subset : ↑S ⊆ countablePartition γ n
hA : MeasurableSet (⋃₀ ↑S)
h_disj : Pairwise (Disjoint on fun i => ↑i)
⊢ ∫ (x : γ) in ⋃ i, ↑i, κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a = ((κ a) ((⋃ i, ↑i) ×ˢ s)).toReal
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
rank_eq : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m = 0
⊢ N = ⊥
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
ι : Sort u_3
t : ι → TopologicalSpace X
h : ∀ (i : ι), SequentialSpace X
this✝ : TopologicalSpace X := ⨆ i, t i
s : Set X
hs : IsSeqClosed s
i : ι
this : TopologicalSpace X := t i
⊢ IsClosed s
S : Type u
Semiring S
n : ℕ
Nontrivial S
NoZeroDivisors S
⊢ (ascPochhammer S n).Monic
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : WithBot α → β
⊢ StrictMono f ↔ (StrictMono fun a => f ↑a) ∧ ∀ (x : α), f ⊥ < f ↑x
K : Type u
Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
L : Type u_1
Field L
Algebra K L
Polynomial.IsSplittingField K L (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
⊢ IsGalois K L
⊢ fibRec.IsSolution fun n => ↑(Nat.fib n)
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
dvd : p ∣ b
⊢ padicValNat p (b / p) = padicValNat p b - 1
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
σ σ' : R →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
⊢ ∀ {x : Module R M} (f : M →ₛₗ[σ] M) (hf : Function.Involutive ⇑f), ⇑(LinearEquiv.ofInvolutive f hf) = ⇑f