ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
f : Fin (r + 1) ↪ Fin n
ha : ∀ {a b : Fin (r + 1)}, ↑(f a) % r ≠ ↑(f b) % r ↔ a ≠ b
x y : Fin (r + 1)
d : x ≠ y
c : ⟨↑(f x) % r, ⋯⟩ = ⟨↑(f y) % r, ⋯⟩
⊢ False
α β : DistLat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget DistLat).obj β
⊢ ({ toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Nat.card α = 1 ↔ ∃ x, ∀ (y : α), y = x
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i)) → ∃ i, x ∈ S i
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c
cpos : 0 < c
A : 0 < 1 - c⁻¹
⊢ ∑ i ∈ filter (fun x => j < ↑⌊c ^ x⌋₊) (range N), 1 / ↑⌊c ^ i⌋₊ ^ 2 ≤ c ^ 5 * (c - 1)⁻¹ ^ 3 / j ^ 2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝³ y✝ : E
f : E → ℝ
x✝² : Convex ℝ s
x : E
x✝¹ : x ∈ s
y : E
x✝ : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (fun r => m / 2 * r ^ 2) ‖x - y‖ ↔ (fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2) (a • x + b • y) ≤ a • (fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2) x + b • (fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2) y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}
⊢ ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs (x (n + k))) μ
x : ℤ[i]
y : ℤ[i]
hy : y ≠ 0
⊢ Zsqrtd.norm (x % y) < Zsqrtd.norm y
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set β
⊢ ⋂ i, s i = (⋃ i, (s i)ᶜ)ᶜ
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
hnp : ¬p.Nil
⊢ p.getVert 1 = p.sndOfNotNil hnp
θ : Angle
⊢ (↑(π / 2) - θ).sin = θ.cos
d : ℤ
a b : Solution₁ d
hax : 0 < a.x
hay : 0 < a.y
hbx : 0 < b.x
hby : 0 < b.y
⊢ 0 < (a * b).y
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a b : α
hf : MonotoneOn f s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ f (max a b) = max (f a) (f b)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
x : α
hxs : x ∈ s
y : α
hys : y ∈ s
u : Set β
hu : IsOpen u
hu' : IsOpen (f ⁻¹' u)
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
v : Set β
hv : IsOpen v
hv' : IsOpen (f ⁻¹' v)
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
z : α
hzs : z ∈ s
hzuv : f z ∈ u ∩ v
⊢ (s ∩ (f ⁻¹' u ∩ f ⁻¹' v)).Nonempty
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.coconeLeftOpOfCone c).pt = Opposite.unop c.pt
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
⊢ ∑' (i : ℤ), ‖fourierCoeff (↑↑f) i‖ ^ 2 = ∫ (t : AddCircle T), ‖↑↑f t‖ ^ 2 ∂haarAddCircle
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
u : ↥(center G₀ˣ)
r : G₀
hr : r ≠ 0
⊢ r * ↑↑u = ↑↑u * r
α : Type u_2
n : ℕ
xs : Mathlib.Vector α n
⊢ ∀ {α_1 : Type} {β : Type u_1} {f : α → α_1 → α_1 × β} {x : α} {s : α_1},
  Mathlib.Vector.mapAccumr f (xs.snoc x) s =
    let q := f x s;
    let r := Mathlib.Vector.mapAccumr f xs q.1;
    (r.1, r.2.snoc q.2)
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
FloorRing K
Fintype ι
x : E
⊢ Zspan.fract b x = x ↔ x ∈ Zspan.fundamentalDomain b
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
τ : Type u_9
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁸ : DecidableEq ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq κ
inst✝¹⁶ : DecidableEq τ
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype κ
inst✝¹³ : Fintype τ
inst✝¹² : Finite ι'
inst✝¹¹ : Finite κ'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bP : Basis τ R P
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
A : Matrix ι' ι R
B : Matrix κ' κ R
⊢ (toLin (bM.tensorProduct bN) (bM'.tensorProduct bN')) (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B) = TensorProduct.map ((toLin bM bM') A) ((toLin bN bN') B)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
b : CategoryTheory.Limits.Bicone f
⊢ (F.mapBicone b).pt = F.obj b.pt
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hp : p.Monic
⊢ (p * q).leadingCoeff = q.leadingCoeff
R : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero R
S : Submonoid R
inst✝ : OreSet S
s : ↥S
⊢ ∃ u v, u • 0 = v • 0 ∧ ↑u * ↑1 = v * ↑s
α : Type u
β : Type u_1
a : α
b : β
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ (a, b) ∈ l₁.zip l₂ → a ∈ l₁ ∧ b ∈ l₂
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a : R
ha : a ≠ 0
p q : R⟦X⟧
n : ℕ
h : (coeff R n) p = (coeff R n) q ∨ a ^ n = 0
h' : a ^ n = 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
s : Set E
g : F →L[𝕜] G
h : AnalyticOn 𝕜 f s
x : E
hx : x ∈ s
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ AnalyticAt 𝕜 (⇑g ∘ f) x
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans F G
a b c : B
a' : C
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : G.obj c ⟶ a'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (η.naturality (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)).hom h)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (G.map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)) h).hom
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (η.app a) (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (G.mapComp f g) h))) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapComp f g) (η.app c)) h)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (F.map g) (η.app c)).hom
        h)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map g) (η.app c)) h).hom
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
          (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f)
            (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (η.naturality g).hom h))
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
            (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (η.app b) (G.map g))
                h).inv
            (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
              (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight
                (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (η.app b) (G.map g)).inv h)
              (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
                (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight
                  (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (η.naturality f).hom (G.map g)) h)
                (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
                  (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight
                    (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (G.map f) (G.map g)).hom h)
                  (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a)
                      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map f) (G.map g)) h).hom)))))))
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ ‖a / b‖ = ‖b / a‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
T : Type u_3
TopologicalSpace X
CompactSpace X
TopologicalSpace Y
CompactSpace Y
MetricSpace T
f : C(X, Y)
g : C(Y, T)
⊢ (ContinuousMap.compRightContinuousMap T f) g = g.comp f
K : Type u_1
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
x y : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) (x + y) ≤
  (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) x + (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) y
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
⊢ ↑((selfAdjointPart ℝ) a) = 2⁻¹ • (a + star a)
S : Set Ordinal.{u}
hS : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
⊢ StrictMono (Ordinal.enumOrd S)
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
hf : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h : spectrum S a ⊆ Set.range ⇑(algebraMap R S)
s : S
hs : s = 0 ∨ s ∈ spectrum S a
⊢ (algebraMap R S) (f s) = s
a b c d a' b' : Ordinal.{u}
ha✝ : a' ≤ a
hb : b' ≤ b
ha : a' < a
⊢ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' ≤ a ⨳ b ♯ a' ⨳ b'
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)
sp_eq : spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }) = f '' spectrum R a
⊢ cfc (g ∘ f) a = cfc g (cfc f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
Mul β
ContinuousMul β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
c : β
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => c * f x) μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
x y : E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
⊢ y ∈ openSegment 𝕜 x y ↔ x = y
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ {x | IsUnit x} ∈ 𝓝 ↑x
G : Type u_1
H : Type u_2
MulOneClass G
AddZeroClass H
f : Additive G ≃+ H
a : G
⊢ (AddEquiv.toMultiplicative' f) a = (AddMonoidHom.toMultiplicative' f.toAddMonoidHom) a
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
n : ℕ
CompleteSpace E
I : BoxIntegral.Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (BoxIntegral.Box.Icc I) x
Hd : ∀ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (BoxIntegral.Box.Icc I) x
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I BoxIntegral.IntegrationParams.GP (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (Pi.single i 1) i)
  BoxIntegral.BoxAdditiveMap.volume
  (∑ i : Fin (n + 1),
    (BoxIntegral.integral (I.face i) BoxIntegral.IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i)
        BoxIntegral.BoxAdditiveMap.volume -
      BoxIntegral.integral (I.face i) BoxIntegral.IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i)
        BoxIntegral.BoxAdditiveMap.volume))
Γ : Type u_1
i✝ : Inhabited Γ
L₁ L₂ : ListBlank Γ
l₁ l₂ : List Γ
H : ∀ (i : ℕ), (mk l₁).nth i = (mk l₂).nth i
h✝ : l₁.length ≤ l₂.length
i : ℕ
h : i < l₂.length
h₂ : i < (l₁ ++ List.replicate (l₂.length - l₁.length) default).length
⊢ (l₁ ++ List.replicate (l₂.length - l₁.length) default).get ⟨i, h₂⟩ = l₂.get ⟨i, h⟩
α : Type u_1
PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x : α
⊢ x ≤ c x
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ o.oangle x y = θ ↔ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
U W : Set X
hW : IsPathConnected W
hWU : W ⊆ U
⊢ IsPathConnected (Subtype.val ⁻¹' W)
x : ℝ
⊢ |Real.exp x| = Real.exp x
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p : β → Prop
u v : β → α
h : ∀ (x : β), p x → u x ≤ v x
⊢ Filter.bliminf u f p ≤ Filter.bliminf v f p
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hg : ∀ i ∈ s, 0 < g i
⊢ MonovaryOn f⁻¹ g⁻¹ s ↔ MonovaryOn f g s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
hB : ∀ (n_1 : M), (B (v.repr.symm vi)) n_1 = 0
⊢ v.repr.symm vi = 0
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H : AddSubgroup G
f : G →+ N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ AddSubgroup.map f H = ⊥ ↔ H = ⊥
n : ℕ
NeZero n
⊢ ↑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
⊢ I ≤ J ↔ BoxIntegral.Box.Icc I ⊆ BoxIntegral.Box.Icc J
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ
⊢ Even (∑ x ∈ filter (fun x => ¬Even (f x)) s, f x) ↔ Even (filter (fun x => Odd (f x)) s).card
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : InitiallySmall J
i : J
⊢ ∃ j ∈ Set.range (fromInitialModel J).obj, Nonempty (j ⟶ i)
A : Type u_5
B : Type u_6
M : Type u_7
AddMonoid A
DistribSMul M A
AddZeroClass B
c : M
f : A →+ B
a : A
⊢ (DomMulAct.mk c • f) a = f (c • a)
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
⊢ (x :: xs).length.multichoose n + xs.length.multichoose (n + 1) = (xs.length + 1).multichoose (n + 1)
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j✝ : Fin n✝
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
⊢ i.succ.succAbove j.succ = (i.succAbove j).succ
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} T
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex (T ⥤ V) c} (f : X ⟶ Y) (t : T) (i : ι),
  ((HomologicalComplex.complexOfFunctorsToFunctorToComplex.map f).app t).f i = (f.f i).app t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
b : β
⊢ (∃ a ∈ s, b ∈ f a) ∧ p b ↔ ∃ a ∈ s, b ∈ f a ∧ p b
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p q : α
h : DvdNotUnit p q
⊢ p ≠ q
α : Sort u_1
β : Sort u_2
⊢ ∀ (a : PLift α × PLift β),
  Equiv.pprodEquivProdPLift.symm a = (Equiv.plift.symm.pprodCongr Equiv.plift.symm).symm ⟨a.1, a.2⟩
α : Type u_1
l : List α
a : α
⊢ (l ++ [a])[l.length]? = some a
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.comp a ⊓ Booleanisation.lift b = Booleanisation.lift (b \ a)
x y z : ℂ
⊢ sin z = sin ↑z.re * cosh ↑z.im + cos ↑z.re * sinh ↑z.im * I
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
hb : b ≠ 0
hab : b ∣ a
⊢ b * (a / b) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
⊢ (a = b ∨ ∃ c, r a c ∧ ReflTransGen r c b) → ReflTransGen r a b
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X Y
inst✝ : PreservesBinaryBiproduct X Y F
W : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
⊢ F.map (lift f g) ≫ (F.mapBiprod X Y).hom = lift (F.map f) (F.map g)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
a b : R ⟶ X✝
X Y Z A : C
g : Y ⟶ Z
a₁ a₂ : A ⟶ Y
h : IsKernelPair g a₁ a₂
f : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback f (a₁ ≫ g)
s : PullbackCone (pullback.fst f g) (pullback.fst f g)
m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₁ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₂ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) ⋯).pt
hm : ∀ (j : WalkingCospan), m ≫ (PullbackCone.mk (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₁ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₂ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) ⋯).π.app j = s.π.app j
⊢ m = (fun s => pullback.lift (s.fst ≫ pullback.fst f g) (h.lift (s.fst ≫ pullback.snd f g) (s.snd ≫ pullback.snd f g) ⋯) ⋯) s
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
y : E b
⊢ (Pretrivialization.linearMapAt R e b) y = if b ∈ e.baseSet then (↑e { proj := b, snd := y }).2 else 0
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
hψ : ψ.IsPrimitive
a : ZMod n
⊢ ψ a = 1 ↔ a = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α
⊢ {x}ᶜ ∈ cobounded α
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
TopologicalSpace α
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ x ∈ s, Filter.Tendsto (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) (p ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 β)
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Finite ι
f : ι → Set X
⊢ interior (⋂ i, f i) = ⋂ i, interior (f i)
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
n : Nat
⊢ (Fin.last n).succ = Fin.last n.succ
a b c : ℕ
hac : a ≤ c
x : ℕ
⊢ (∃ a_1, (a ≤ a_1 ∧ a_1 < b) ∧ c - a_1 = x) ↔ c + 1 - b ≤ x ∧ x < c + 1 - a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq
⊢ map f (cons a ⟨s, al⟩) = cons (f a) (map f ⟨s, al⟩)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
k : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ k).content = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
x y : ENNReal
⊢ x.log < y.log ↔ x < y
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap R B) x) 1) ⊆ Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1
G : Type u
Group G
H : Subgroup G
g : G
g_in_H : g ∈ H
⊢ g ^ Monoid.exponent ↥H = 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_9
AddCommMonoid N
Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
Fintype ι'
Finite κ
Fintype ι
Fintype κ'
DecidableEq ι
DecidableEq ι'
⊢ c.toMatrix ⇑c' * (LinearMap.toMatrix b' c') f * b'.toMatrix ⇑b = (LinearMap.toMatrix b c) f
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
y : Y
hf : Filter.Tendsto f (Filter.coLindelof X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
⊢ IsLindelof (insert y (Set.range f))
α : Type u
SemilatticeInf α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ (fun x x_1 => x ⊓ x_1) = minDefault
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
M : Submonoid R
IsLocalization M S
⊢ Embedding ⇑(PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S))
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioi a) = n - 1 - ↑a
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ (-o).oangle x (x - y) = ↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x - y‖))
a b c d m n✝ k : ℕ
p q P Q : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
⊢ (¬∀ ⦃n : ℕ⦄, 0 < n → n ≤ k → ¬P n) ↔ ∃ n, 0 < n ∧ n ≤ k ∧ P n
α : Type u_1
M : Type u_2
Zero M
DecidableEq α
l : AList fun _x => M
a : α
⊢ l.lookupFinsupp a = (AList.lookup a l).getD 0
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
CategoryTheory.BraidedCategory V
M : Action V G
⊢ (Action.forgetBraided V G).obj M = M.V
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
⊢ map (↑(f.extend I).symm) (𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y) = 𝓝[s] y
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
hdiff : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, derivWithin f (Icc a b) x = 0
H : ∀ x ∈ Ico a b, ‖derivWithin f (Icc a b) x‖ ≤ 0
⊢ ∀ x ∈ Icc a b, f x = f a
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m m₁ m₂ : OuterMeasure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ m₁.trim s ≤ m₂ s ↔ m₁ s ≤ m₂ s
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R
⊢ ![X, Y, 1] 1 ^ 2 * ![X, Y, 1] 2 + W.a₁ * ![X, Y, 1] 0 * ![X, Y, 1] 1 * ![X, Y, 1] 2 + W.a₃ * ![X, Y, 1] 1 * ![X, Y, 1] 2 ^ 2 = ![X, Y, 1] 0 ^ 3 + W.a₂ * ![X, Y, 1] 0 ^ 2 * ![X, Y, 1] 2 + W.a₄ * ![X, Y, 1] 0 * ![X, Y, 1] 2 ^ 2 + W.a₆ * ![X, Y, 1] 2 ^ 3 ↔ Y ^ 2 + W.toAffine.a₁ * X * Y + W.toAffine.a₃ * Y = X ^ 3 + W.toAffine.a₂ * X ^ 2 + W.toAffine.a₄ * X + W.toAffine.a₆
P : Type u_1
Preorder P
x : P
⊢ x ∈ Order.Ideal.principal x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
G : C
hG : CategoryTheory.IsDetector G
⊢ CategoryTheory.WellPowered C
A : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
⊢ ⇑(NonUnitalStarRingHom.id A) = id
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, BddAbove (range fun i => f i y)
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousAt (f i) x
⊢ LowerSemicontinuousAt (fun x' => ⨆ i, f i x') x