ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α✝
α : Type u_4
a b : α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
s : Set α
h : s.OrdConnected
c : α
hc : c ∈ s
d : α
hd : d ∈ s
hcd : ⟨c, hc⟩ < ⟨d, hd⟩
x : α
hcx : c ⋖ x
hxd : x ≤ d
⊢ ∃ x, ⟨c, hc⟩ ⋖ x ∧ x ≤ ⟨d, hd⟩
X : Type u_1
Y : Sort u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
⊢ IsSeparatedMap f ↔ ∀ (x₁ x₂ : X), f x₁ = f x₂ → x₁ ≠ x₂ → Disjoint (𝓝 x₁) (𝓝 x₂)
G : Type u
Group G
Finite G
N : Subgroup G
N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'],
    Nat.card G' < Nat.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
⊢ K = ⊤
m n k : ℕ
⊢ (∃ x x_1, (x ∣ m ∧ x_1 ∣ n ∧ x * x_1 = k) ∧ m ≠ 0 ∧ n ≠ 0) ↔ ∃ y x, (y ∣ m ∧ m ≠ 0) ∧ (x ∣ n ∧ n ≠ 0) ∧ y * x = k
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H K : AddSubgroup G
f : G →+ N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ AddSubgroup.map f (H ⊓ K) = AddSubgroup.map f H ⊓ AddSubgroup.map f K
ι : Type u
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
⊢ (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧
  (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_14
AddMonoid α
StarAddMonoid α
M : Matrix ((i : o) × m' i) ((i : o) × n' i) α
k : o
⊢ Mᴴ.blockDiag' k = (M.blockDiag' k)ᴴ
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p✝ p'✝ : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
p p' : Submodule R M
h : p ≤ p'
⊢ ker (inclusion h) = ⊥
x : ℝ
⊢ sInf (norm '' {m | ↑m = ↑x}) = min (fract x) (1 - fract x)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
j : (FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom)ᵒᵖ
⊢ F.map (eqToHom ⋯) ≫ (Functor.mapCone F (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op).π.app j = (Cone.whisker (generateEquivalenceOpensLe U hY).op.functor (Functor.mapCone F (opensLeCoverCocone U).op)).π.app j
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M : Submodule R A
n : ℕ
⊢ Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R)) (M ^ n) = Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R)) M ^ n
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : CommSemiring S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
inst✝¹⁷ : Semiring A
inst✝¹⁶ : Algebra R A
inst✝¹⁵ : Algebra S A
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R S A
inst✝¹³ : Semiring B
inst✝¹² : Algebra R B
inst✝¹¹ : Algebra S B
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S B
inst✝⁹ : Semiring C
inst✝⁸ : Algebra R C
inst✝⁷ : Algebra S C
inst✝⁶ : IsScalarTower R S C
inst✝⁵ : Semiring D
inst✝⁴ : Algebra R D
inst✝³ : Semiring E
inst✝² : Algebra R E
inst✝¹ : Semiring F
inst✝ : Algebra R F
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
⊢ (map f g).range = (includeLeft.comp f).range ⊔ (includeRight.comp g).range
β : Type v
π : β → Type u_2
Fintype β
(b : β) → EDist (π b)
f g : (b : β) → π b
⊢ edist f g = Finset.univ.sup fun b => edist (f b) (g b)
α : Type u_1
m n : Num
⊢ n.cmp m = Ordering.lt ↔ m.cmp n = Ordering.gt
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ a ∈ s₁ → a ∈ s₂ → a ∈ s₁ ∩ s₂
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
t : Finset ι
g : ι → Rₛ
hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0
i : ι
hi : i ∈ t
a : ↥S
g' : ι → R
hg' : ∀ i ∈ t, (algebraMap R Rₛ) (g' i) = ↑a • g i
h0 : f (∑ i ∈ t, g' i • v i) = 0
s : ↥S
hs : ∑ x ∈ t, (↑s * g' x) • v x = 0
hv : ↑s * g' i = 0
⊢ (algebraMap R Rₛ) (g' i) = 0
n : ℕ
a₁ b₁ : ℝ
m : ℕ
en : n + 1 = m
rm : ℝ
er : ↑m = rm
h : |Real.exp 1 - Real.expNear m 1 ((a₁ - 1) * rm)| ≤ |1| ^ m / ↑m.factorial * (b₁ * rm)
⊢ |Real.exp 1 - Real.expNear n 1 a₁| ≤ |1| ^ n / ↑n.factorial * b₁
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
Subsingleton R
⊢ AlgebraicIndependent R x
this : Irrational √↑5
⊢ Irrational ψ
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
⊢ η ≫ 𝟙 ((sheafToPresheaf J D).obj { val := Q, cond := hQ }) = η
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤
⊢ (↑s1 ∩ ↑s2).Nonempty
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
g : L.Hom N P
f : L.Hom M N
x : M
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : DivisionSemiring γ
inst✝ : Module γ α
h : Periodic f c
a : γ
⊢ Periodic (fun x => f (a⁻¹ • x)) (a • c)
α : Type u_1
Lattice α
Group α
⊢ 1⁺ᵐ = 1
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
l.NeBot
Filter.TendstoIxxClass Set.Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Filter.Tendsto (fun x => ‖f x‖) l Filter.atTop
hfg : deriv f =O[l] g
⊢ ¬MeasureTheory.IntegrableOn g k MeasureTheory.volume
R : Type u
CommSemiring R
a p : R[X]
hp : p.Monic
ha : ¬IsUnit a
hap : a ∣ p
⊢ 0 < a.degree
n m l : ℕ
hnl : n ≤ l
hml : m ≤ l
⊢ filter (fun x => decide (l ≤ x)) (Ico n m) = Ico l m
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
⊢ LucasLehmerTest p → Nat.Prime (mersenne p)
α ε : Type u
m : Type u → Type v
x : ExceptT ε m α
n : Type u → Type u_1
MonadFunctorT n m
f : {α : Type u} → n α → n α
⊢ (monadMap f x).run = monadMap f x.run
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x✝ y✝ : α
Φ : α → β
bs : Bornology.IsBounded s
bt : Bornology.IsBounded t
x : α
xs : x ∈ s
y : α
yt : y ∈ t
⊢ ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, dist x y ≤ diam (s ∪ t)
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s t : Finset α
⊢ (s * t).card ≤ s.card * t.card
α : Type u
s t u : Set α
h : Disjoint t u
⊢ s ⊆ symmDiff s t ∪ symmDiff s u
x : ℕ
Zsqrtd.Nonsquare x
n : ℕ
⊢ x ≠ n * n
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : Bool → α
⊢ ⨆ b, f b = f true ⊔ f false
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
⊢ Disjoint (Finset.filter IsPrimePow a.divisors) (Finset.filter IsPrimePow b.divisors)
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
I : Set ι
hI : I.Nonempty
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
this : Nonempty ↑I
⊢ (map f) (⨅ i, (comap f) (m ↑i)) = ⨅ i, (map f) ((comap f) (m ↑i))
α : Type u_1
Preorder α
x y : α
h : x < y
⊢ Nontrivial α
α : Type u_1
NonAssocSemiring α
n : ℕ
x : α
⊢ Commute (↑n) x
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg✝ : GrowsPolynomially g
hf : f =Θ[atTop] g
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_pos : 0 < b
c₁ : ℝ
hc₁_pos : 0 < c₁
hf_lb : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, c₁ * ‖g x‖ ≤ ‖f x‖
c₂ : ℝ
hc₂_pos : 0 < c₂
hf_ub : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖f x‖ ≤ c₂ * ‖g x‖
c₃ : ℝ
hc₃_pos : 0 < c₃
c₄ : ℝ
hc₄_pos : 0 < c₄
hg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => ‖g x‖) u ∈ Set.Icc (c₃ * (fun x => ‖g x‖) x) (c₄ * (fun x => ‖g x‖) x)
h_lb_pos : 0 < c₁ * c₂⁻¹ * c₃
h_ub_pos : 0 < c₂ * c₄ * c₁⁻¹
c₂_cancel : c₂⁻¹ * c₂ = 1
c₁_cancel : c₁⁻¹ * c₁ = 1
x : ℝ
hf_pos : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 ≤ f y
h_lb : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → c₁ * ‖g y‖ ≤ ‖f y‖
h_ub : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ‖f y‖ ≤ c₂ * ‖g y‖
hg_bound✝ : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (b * y) y, ‖g u‖ ∈ Set.Icc (c₃ * ‖g y‖) (c₄ * ‖g y‖)
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
hg_bound : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, ‖g u‖ ∈ Set.Icc (c₃ * ‖g x‖) (c₄ * ‖g x‖)
⊢ f u ≤ c₂ * c₄ * c₁⁻¹ * f x
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g g' : G
⊢ (x * of' k G g %ᵒᶠ g) g' = 0
R✝ : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : IsDomain R✝
p q : R✝[X]
inst✝⁴ : CommRing T
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : DecidableEq S
m : R →+* S
d : ℕ
U : Set R
h : U.Finite
π : R[X] → Fin (d + 1) → R := fun f i => f.coeff ↑i
⊢ Set.Finite fun f => f.natDegree ≤ d ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ U
α : Type u_1
E : Type u_3
R : Type u_13
Norm E
SeminormedRing R
f : α → E
l : Filter α
g : α → R
c : R
h : f =O[l] fun x => c * g x
⊢ f =O[l] g
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
⊢ x ^ (n % orderOf x + orderOf x * (n / orderOf x)) = x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)
inhabited_h : Inhabited ι
hL : L.NeBot
p : α → (ι → β) → Prop := fun x f' => ∃ l, Tendsto (fun n => f' n) L (𝓝 l)
hp_mem : ∀ x ∈ aeSeqSet hf p, p x fun n => f n x
h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ι), aeSeq hf p n x = f n x
f_lim : α → β := fun x => if h : x ∈ aeSeqSet hf p then Exists.choose ⋯ else ⋯.some
hf_lim : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => aeSeq hf p n x) L (𝓝 (f_lim x))
⊢ ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
VAdd M α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ
MeasurableVAdd M α
c : Mᵈᵃᵃ
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ c +ᵥ (f + g) = c +ᵥ f + (c +ᵥ g)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_surj : range f = ⊤
C : Set V' := Basis.ofVectorSpaceIndex K V'
hC : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V')) K V' := Basis.ofVectorSpace K V'
this : Inhabited V
⊢ ∃ g, f ∘ₗ g = id
n p : ℕ
L : List ℕ
h_nonempty : L ≠ []
h_ne_zero : L.getLast h_nonempty ≠ 0
h_lt : ∀ l ∈ L, l < p
⊢ (p - 1) * ∑ i ∈ range L.length, ofDigits p L / p ^ i.succ = ofDigits p L - L.sum
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≤ 1
⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
⊢ s + t ≤ s ∪ t + s ∩ t
α : Type u_3
TopologicalSpace α
⊢ IsQuasiSeparated Set.univ ↔ QuasiSeparatedSpace α
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
h : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ Measurable (μ.rnDeriv ν) ∧ μ.singularPart ν ⟂ₘ ν ∧ μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝² : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
hF : (W₁.prod W₂).IsInvertedBy F
inst✝¹ : W₁.ContainsIdentities
inst✝ : W₂.ContainsIdentities
⊢ W₂.Q ⋙ (curry.obj (prodLift F hF)).flip = (prodLift₁ F hF).flip
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
NormedAlgebra ℝ A
ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
r : ℝ
⊢ CFC.log ((algebraMap ℝ A) r) = (algebraMap ℝ A) (Real.log r)
⊢ ∀ (a : ↑unitInterval), unitInterval.symmHomeomorph.symm a = unitInterval.symm a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
hμ : μ ≠ 0
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
hf_int : ∀ (b : β), ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ ≠ ⊤
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ b, f b a ∂μ = ⨅ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
α : Type u_1
LE α
⊢ ↑⊤ = Set.univ
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
v₁ v₂ v₃ : V
p : P
⊢ EuclideanGeometry.angle (v₁ +ᵥ p) (v₂ +ᵥ p) (v₃ +ᵥ p) = EuclideanGeometry.angle v₁ v₂ v₃
n✝ n p : ℕ
hi : n.succ ≤ p
hp : Prime p
⊢ ∃ y ∈ {p | Prime p}, n < y
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ 0 1 = 0
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
n : ℤ
⊢ im ↑n = 0
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
n : ℕ
⊢ 0 ≤ a ^ ↑n
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w u' : V
p : G.Walk u' u'
⊢ (p.copy ⋯ ⋯).IsCircuit ↔ p.IsCircuit
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
h : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
hp_pos : 0 < p
h_tsum_1 : ∀ (g : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), g i = liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), g i) atTop
h_liminf_pow : ∫⁻ (a : α), liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) atTop ^ p ∂μ = ∫⁻ (a : α), liminf (fun n => (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p) atTop ∂μ
⊢ ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (fun a => (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p) μ
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝ : Mono f
X Y : Subobject B
h₁ : mk f ≤ X
h₂ : X ≤ Y
⊢ (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) = (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map ⋯.hom
p : ℕ
hp : p ≠ 0
i : ℕ
⊢ |2 ^ p - 1| = 2 ^ p - 1
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ b = a ∨ a < b
K : Type u
Field K
A B : ValuationSubring K
h : ∀ (x : K), x ∈ A ↔ x ∈ B
⊢ A = B
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
hp_zero : ¬p = 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
hr_ne_zero : r ≠ 0
hq_top : ¬q = ⊤
hr_top : ¬r = ⊤
hpq : p < q
⊢ p.toReal < q.toReal
R : Type u_1
NonAssocRing R
Pow R ℕ
NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ
⊢ (descPochhammer ℤ n).smeval r = (ascPochhammer ℕ n).smeval (r - ↑n + 1)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
γ : Type
γtop : TopologicalSpace γ
γpolish : PolishSpace γ
g : γ → α
g_cont : Continuous g
gs : range g = s
this : f '' s = range (f ∘ g)
⊢ ∀ (x : γ), g x ∈ range g
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a
⊢ x ∈ update f i '' Icc a b ↔ x ∈ Icc (update f i a) (update f i b)
α : Type u_1
β : Type u_2
Encodable α
Encodable β
n : ℕ
⊢ Encodable.decode n = Encodable.decodeSum n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
r : ℝ≥0
⊢ (r • s).toJordanDecomposition.toSignedMeasure = (r • s.toJordanDecomposition).toSignedMeasure
M : Type u_4
Monoid M
L : List M
i : ℕ
⊢ (List.take i L).prod * (List.drop i L).prod = L.prod
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃
⊢ φ₁.τ₁ = S₁.f ≫ (h₁₂.h₁ + h₂₃.h₁) + (h₁₂.h₀ + h₂₃.h₀) + φ₃.τ₁
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set E
hs : s₁ ⊆ s₂
ht : t₁ ⊆ t₂
⊢ convexJoin 𝕜 s₁ t₁ ⊆ convexJoin 𝕜 s₂ t₂
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
⊢ Module.End.HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
n : ℕ
x : R
⊢ x ∈ I.leadingCoeffNth n ↔ ∃ p ∈ I, p.degree ≤ ↑n ∧ p.leadingCoeff = x
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪[L] N
htv : ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → M) (a : N), φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) (f b))
⊢ ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty n) (xs : Fin n → M), φ.Realize (⇑f ∘ default) (⇑f ∘ xs) ↔ φ.Realize default xs
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n
⊢ ↑n * (↑2 * ↑n) ^ ↑(2 * n).sqrt * ↑4 ^ ↑(2 * n / 3) ≤ ↑n * (2 * ↑n) ^ √(2 * ↑n) * 4 ^ (2 * ↑n / 3)
R : Type u_1
Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype m
DecidableEq m
Fintype l
DecidableEq l
M : Matrix l m R
N : Matrix m n R
⊢ Matrix.toLinearMapRight' (M * N) = Matrix.toLinearMapRight' N ∘ₗ Matrix.toLinearMapRight' M
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
e : α ≃ β
x : Sym α n
⊢ (Sym.equivCongr e) x = Sym.map (⇑e) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero T.obj₃ ↔ T.mor₂ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
α : Type u_1
Monoid α
a b c : α
h : a ~ᵤ b
⊢ a ∣ c ↔ b ∣ c
A : Type u_1
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
CommRing Aₘ
CommRing Bₘ
Algebra Aₘ Bₘ
Algebra A Aₘ
Algebra B Bₘ
Algebra A Bₘ
IsScalarTower A Aₘ Bₘ
IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
IsLocalization M Aₘ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
IsDomain A
IsIntegrallyClosed A
IsDomain B
IsIntegrallyClosed B
Module.Finite A B
NoZeroSMulDivisors A B
Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
IsDomain Aₘ
IsIntegrallyClosed Aₘ
IsDomain Bₘ
IsIntegrallyClosed Bₘ
NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
Module.Finite Aₘ Bₘ
Algebra.IsSeparable (FractionRing Aₘ) (FractionRing Bₘ)
x : B
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((Algebra.intNorm A B) x) = (Algebra.intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
α : Type u_2
GroupWithZero α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ s / 0 = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝¹ : CharZero k
inst✝ : Fintype ι
h : s.Nonempty
⊢ ∑ i ∈ s, centroidWeights k s i = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
Zero β
hfm : AEMeasurable f μ
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ AEMeasurable (s.indicator f) μ
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
h₀ : 0 ∈ s
absorbs : Absorbent ℝ s
⊢ {x | gauge s x < 1} ⊆ s
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
α : Type u
DecidableEq α
a b : α
l : List α
⊢ b ≠ a → List.indexOf a (b :: l) = (List.indexOf a l).succ
d : ℤ
n x y : ℤ
⊢ ↑n * { re := x, im := y } = { re := n * x, im := n * y }
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r✝ : α → α → Prop
a b : α
r : α → β → Prop
hr : Relator.BiUnique r
a✝ : α
b✝ : β
l₁✝ : List α
l₂✝ : List β
hab : r a✝ b✝
h : Forall₂ r l₁✝ l₂✝
⊢ (fun x x_1 => x ↔ x_1) (a✝ :: l₁✝).Nodup (b✝ :: l₂✝).Nodup
α : Type u
l : List α
⊢ l.rotate l.length = l
this : Set.univ = Set.Iio 0 ∪ Set.Ioi 0 ∪ {0}
⊢ Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[Set.univ] 0) (𝓝 0)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : F.FullyFaithful
⊢ F.Faithful
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
ha : ∀ b ∈ s, (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a
b : α
hb : a < b
⊢ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
AddCommMonoid M₅
AddCommMonoid M₆
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
Module R M₅
Module R M₆
f₁₂ : M →ₗ[R] M₂
f₂₃ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁₂ : M₄ →ₗ[R] M₅
g₂₃ : M₅ →ₗ[R] M₆
⊢ f₂₃.prodMap g₂₃ ∘ₗ f₁₂.prodMap g₁₂ = (f₂₃ ∘ₗ f₁₂).prodMap (g₂₃ ∘ₗ g₁₂)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X Y : C
S : CategoryTheory.Sieve X
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
t : x.Compatible
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ x (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f) ⋯ = P.map g.op (x f hf)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ o.oangle x x = 0
n : ℕ
b : Bool
⊢ bit b n ≠ 0 ↔ n = 0 → b = true
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mΩ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ (fun ω => (((ProbabilityTheory.condexpKernel μ m) ω) s).toReal) =ᵐ[μ.trim hm] μ[s.indicator fun ω => 1|m]
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
s : Set F
hs : IsClosed s
this : (fun x => derivWithin f (Ici x) x) ⁻¹' s = {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ s} ∪ {x | ¬DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x} ∩ {_x | 0 ∈ s}
⊢ MeasurableSet ({x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ s} ∪ {x | ¬DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x} ∩ {_x | 0 ∈ s})
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a✝ b✝ a b : α
⊢ b = a ∨ b = pred a → pred a ≤ b ∧ b ≤ a
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯
⊢ (∃ xs, Realize φ (fun x => Sum.elim (fun x => v x) (fun x => xs (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x))) (f x)) fun x => xs (natAdd (Classical.choose ⋯) x)) ↔ ∃ i, φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
a : ENNReal
⊢ a⁻¹ * a ≤ 1
L₁ : FirstOrder.Language
L₂ : FirstOrder.Language
S : Type u_3
L₁.Structure S
L₂.Structure S
n : ℕ
f : L₂.Functions n
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap (Sum.inr f) = FirstOrder.Language.Structure.funMap f
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* MulAut N
f₁ : N →* H
f₂ : G →* H
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (f₂ g))).comp f₁
f g : N ⋊[φ] G →* H
hl : f.comp inl = g.comp inl
hr : f.comp inr = g.comp inr
⊢ lift (f.comp inl) (f.comp inr) ⋯ = lift (g.comp inl) (g.comp inr) ⋯
⊢ ∃ k, -π - π = 2 * π * ↑k