ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
K : Type
Field K
Algebra (Polynomial R) K
IsFractionRing (Polynomial R) K
f : Polynomial R
g : Polynomial R
hg : g.Monic
⊢ ∃ q r,
  r.degree < g.degree ∧
    (algebraMap (Polynomial R) K) f / (algebraMap (Polynomial R) K) g =
      (algebraMap (Polynomial R) K) q + (algebraMap (Polynomial R) K) r / (algebraMap (Polynomial R) K) g
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
h'K : (interior K).Nonempty
h : μ K ≠ 0
h' : μ K ≠ ⊤
⊢ μ.IsHaarMeasure
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
Y Z : C
f : Y = Z
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.eqToHom f) = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
a : ↥(closure s)
x✝ : a ∈ ⊤
⊢ a ∈ Subfield.rangeOfWType s
k m n : Nat
h : k ∣ n
⊢ k ∣ m % n ↔ k ∣ m
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
TopologicalAddGroup α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto Int.fract (𝓝[<] ↑n) (𝓝[<] 1)
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
⊢ ‖deriv f x‖ = ‖fderiv 𝕜 f x‖
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
inst✝⁸ : CommMonoid G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
s : Set M
x x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
p : ι → Prop
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffWithinAt I' I n (f i) Set.univ x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) Set.univ x₀
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
x : ι → α
f : Filter α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
hxy : ¬Tendsto x l f
s : Set α
hs : s ∈ f
hfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n ∉ s
⊢ ∃ ns, Tendsto ns atTop l ∧ ∀ (ms : ℕ → ℕ), ¬Tendsto (fun n => x (ns (ms n))) atTop f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f✝ : α → γ
g✝ : β → γ
f : α → ℝ
g : β → ℝ
h : IdentDistrib f g μ ν
⊢ evariance g ν = ∫⁻ (x : β), ↑‖g x - ∫ (x : α), f x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂ν
a b : Int
H : a ∣ b
⊢ a * b.div a = b
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
r : R
⊢ { toFinsupp := Finsupp.single n r } = (Polynomial.monomial n) r
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
inst✝ : CompleteSpace E
N : ℕ
hN : (↑v.L * v.tDist) ^ N / ↑N ! < 1
⊢ ∃ N K, ContractingWith K FunSpace.next^[N]
R : Type u
S : Type v
a b c✝ d : R
n m : ℕ
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Ring S
c : S
⊢ (X - C c).nextCoeff = -c
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
SMul R L
FunLike F L (Module.End R M)
MulActionHomClass F R L (Module.End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
t : R
x : L
⊢ μ (t • x) = t • μ x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
Preorder ι
OrderBot ι
InfSet ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n : ℕ
ω : Ω
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω =
  MeasureTheory.hitting f (Set.Ici b) (MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n ω) N ω
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁶ : DecidableEq R
inst✝⁵ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝⁴ : NormalizationMonoid R
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝¹ : DecidableEq (Associates (Ideal R))
inst✝ : (p : Associates (Ideal R)) → Decidable (Irreducible p)
I J : Ideal R
hJ : J.IsPrime
hJ₀ : J ≠ ⊥
hI : Associates.mk I ≠ 0
hJ' : Irreducible (Associates.mk J)
⊢ (Associates.mk J).count (Associates.mk I).factors = Multiset.count J (normalizedFactors I)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
i k' : ℕ
hi : abv (∑ i ∈ range (k' + max n i), f i - ∑ i ∈ range (max n i), f i) ≤ ∑ k ∈ range (k' + max n i), a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k
⊢ abv (f (k' + max n i) + (∑ x ∈ range (k' + max n i), f x + -∑ x ∈ range (max n i), f x)) ≤ a (k' + max n i) + (∑ x ∈ range (k' + max n i), a x + -∑ x ∈ range (max n i), a x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
hf : f ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
x : E
hx : x ∈ ((f'.extend I).symm ≫ f.extend I).source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(f.extend I) ∘ ↑(f'.extend I).symm) (Set.range ↑I) x
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
x : α
⊢ Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 (fixedPoint f hf))
I : Type u
inst✝¹⁰ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
Z✝ : C
X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C
inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂
inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃
inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃
inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)
j : I
A Z : C
f g : Z ⊗ tensorObj X₁ (tensorObj X₂ X₃) j ⟶ A
H : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
hZ : HasLeftTensor₃ObjExt Z X₁ X₂ X₃ j
h : ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (h : i₁ + i₂ + i₃ = j), Z ◁ ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = Z ◁ ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g
⊢ f = g
f : StieltjesFunction
l u : ℝ
hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
hfu : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 u)
⊢ Tendsto (fun x => f.measure (Iic x)) atTop (𝓝 (ofReal (u - l)))
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Module (Polynomial R) A
IsScalarTower R (Polynomial R) A
a : A
⊢ ((Polynomial.mkDerivation R) a) Polynomial.X = a
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
Semiring C
Algebra R C
Star C
f : A →⋆ₐ[R] B
g : A →⋆ₐ[R] C
x : A
⊢ (f.prod g) x = (f x, g x)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
l : List ι
x : E
h : ∀ i ∈ l, HasFDerivWithinAt (fun x => f i x) (f' i) s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => (List.map (fun x_1 => f x_1 x) l).prod) (∑ i : Fin l.length, (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.take (↑i) l)).prod • (f' (l.get i)).smulRight (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.drop (↑i).succ l)).prod) s x
d : ℕ
hd0 : d > 0
x : ℕ
⊢ ∀ a ∈ filter x.Coprime (range x), d * a ∈ filter (fun k => (d * x).gcd k = d) (range (d * x))
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
C : P.W α → Prop
ih :
  ∀ (a : P.A) (f' : (P.drop.B a).Arrow α) (f : P.last.B a → P.W α), (∀ (i : P.last.B a), C (f i)) → C (P.wMk a f' f)
x : P.W α
⊢ C x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable (↑f) μ
hgi : Integrable (↑g) μ
hfg : f ≤ g
⊢ 0 ≤ setToSimpleFunc T (g - f)
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
i : Fin n
⊢ Iio i.castSucc = map castSuccEmb (Iio i)
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a : α
⊢ ¬Order.IsSuccLimit a ↔ ∃ b, ¬IsMax b ∧ Order.succ b = a
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
hs : (𝓓 a 𝒜).Shatters s
u : Finset α
hu : u ∈ 𝒜 ∧ u.erase a ∈ 𝒜 ∨ u ∉ 𝒜 ∧ insert a u ∈ 𝒜
ht : s ∩ u ⊆ s
⊢ ∃ u_1 ∈ 𝒜, s ∩ u_1 = s ∩ u
M : Type u_1
Mul M
S : Set (Subsemigroup M)
x : M
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
a n : ℕ
⊢ a ^ n = 0 ↔ a = 0 ∧ n ≠ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
⊢ ∀ (i : ℕ), x ∈ ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ i)
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ≥0
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ n ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : J.Cover X
self : S.Arrow
⊢ S.sieve.arrows self.f
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
⊢ ℵ₀ ≤ sum fun i => #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))
G : Type u_1
Group G
x y : G
h : IsOfFinOrder x
h' : y ∈ Subgroup.zpowers x
⊢ IsOfFinOrder y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrderedSemifield 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid N
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 M
inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 N
h : ∀ ⦃a b : M⦄ ⦃c : 𝕜⦄, a < b → 0 < c → c • a ≤ c • b
hlt' : ∀ (a b : M) (c : 𝕜), a < b → 0 < c → c • a < c • b
⊢ OrderedSMul 𝕜 M
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
hx₁ : x₁.Numeric
hx₂ : x₂.Numeric
hy : y.Numeric
he : x₁ ≈ x₂
⊢ x₁ * y ≈ x₂ * y
α : Type u_1
M : Type u_13
Zero M
P : α → Prop
DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
⊢ ↑f.extendDomain.support ⊆ {x | P x}
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : Module.End R M
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ⨅ m, range (f ^ m) = range (f ^ n)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
x : R
w : p ≠ 0
⊢ eval x p = 0 ↔ eval x (map (algebraMap R R) p) = 0
R : Type u_1
Mul R
a : R
ca : ∀ (b : R), Commute a b
h : IsRightRegular a
⊢ IsLeftRegular a
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
NormedAddCommGroup E
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), MeasureTheory.IntegrableOn f (φ i) μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in φ i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
s : Finset β
f : β → α
⊢ Summable (f ∘ Subtype.val)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
h_eq : ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ≤ f (∑ i ∈ t, w i • p i)
this : ∃ j ∈ t, ∃ k ∈ t, p j ≠ p k
⊢ False
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Ring T
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S T
inst✝⁵ : Algebra R T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S T
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis m R S
c : Basis n S T
x : S
i j : m
k : n
⊢ (leftMulMatrix (b.smulTower c)) ((algebraMap S T) x) (i, k) (j, k) = (leftMulMatrix b) x i j
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
BooleanAlgebra α
BooleanAlgebra β
FunLike F α β
BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (symmDiff a b) = symmDiff (f a) (f b)
E : Type u_4
AddGroup E
p q : AddGroupSeminorm E
⊢ ⇑p < ⇑q ↔ p < q
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ hurwitzZeta (↑x) (-↑k) = -1 / (↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (k + 1)))
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx : x ≠ 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (x ^ n - x ^ m) / (x - 1) = (x ^ m - x ^ n) / (1 - x)
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
⊢ |a / b| = |a| / |b|
α : Type u_1
p q : α × α
⊢ Sym2.Rel α p q ↔ p = q ∨ p = q.swap
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) q) = f ((eval r) q)
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
⊢ UniformContinuous fun p => p.1 + p.2
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ ↑e '' e.source ⊆ e.target
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : NonAssocRing α
a b : α
n✝ : ℤ
n : ℕ
x : α
⊢ Commute (↑-[n+1]) x
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
p q : R[A]
a : A
hlt : ¬D a ≤ supDegree D p
⊢ p a = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
g : N →ₗ[R] Q
⊢ TensorProduct.map 0 g = 0
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b c : α
ha : a ∈ normalizedFactors c
hb : b ∈ normalizedFactors c
h : a ~ᵤ b
⊢ a = b
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C'
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
G : CategoryTheory.Functor C' C
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F) ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D H).obj L)
⊢ ∀ (X_1 : C'), ((CategoryTheory.Functor.LeftExtension.precomp L F G).obj X).hom.app X_1 = X.hom.app (G.obj X_1)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
⊢ (⨆ i, f i) ⊓ a = ⨆ i, f i ⊓ a
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ 0 < Real.Gamma s
ι : Type u_4
Fintype ι
f : ℝ → ι → ℝ
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
hsec : x = 0 ∨ (algebraMap R S) ↑(sec M x).2 = 0
hfst : (sec M x).1 = 0
⊢ Injective ⇑(algebraMap R S)
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x y : ↑F F.M
h : M.mk x = M.mk y
⊢ x = y
R : Type u
Ring R
StrongRankCondition R
ι : Type v
Fintype ι
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
∀ (i : ι), Module.Free R (M i)
∀ (i : ι), Module.Finite R (M i)
⊢ FiniteDimensional.finrank R (⨁ (i : ι), M i) = ∑ i : ι, FiniteDimensional.finrank R (M i)
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addIndex ((fun h => g + h) '' K) V ≤ MeasureTheory.Measure.haar.addIndex K V
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedSemiring A
h : NormNum.IsNat e n
w : Nat.ble 1 n = true
⊢ 0 < e
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p✝ p : α → Bool
l l' : List α
h : l ⊆ l'
x : α
hx : x ∈ l ∧ p x = true
⊢ x ∈ l' ∧ p x = true
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = (R.X ◁ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ R.X ◁ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
y : T
⊢ ∃ x, y * (algebraMap S T) ↑x.2 = (algebraMap S T) x.1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hc : c ≠ 0
h : b⁻¹ * a = c
⊢ a = b * c
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
ϕ : L →ᴸ L'
self : ϕ.Injective
n : ℕ
⊢ Function.Injective fun R => ϕ.onRelation R
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
⊢ ‖x - ↑(x.appr n)‖ < ε
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s = ρ s
α σ : Type u
m : Type u → Type v
β γ : Type u
Monad m
x : m α
f : α → StateCpsT σ m β
s : σ
k : β → σ → m γ
⊢ (StateCpsT.lift x >>= f).runK s k = do
  let a ← x
  (f a).runK s k
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : 1 < finrank ℚ K
x : 𝓞 K
h_nz : x ≠ 0
h_bd : ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
⊢ 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K ≤ ↑|discr K|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
f : γ → δ → ε
g : α → γ
h : β → δ
⊢ Function.uncurry (Function.bicompl f g h) = Function.uncurry f ∘ Prod.map g h
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
⊢ Disjoint I (hC.diffFinset₀ hs hI)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ setToSimpleFunc T (map Neg.neg f) = -setToSimpleFunc T f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategoryᵒᵖ} (θ : X ⟶ Y),
  (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.obj K).map θ = AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.map K θ
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
⊢ ℕ
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
Pow β γ
MeasurablePow β γ
m : MeasurableSpace α
g : α → γ
hg : Measurable g
c : β
⊢ Measurable fun x => c ^ g x
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement univ S
⊢ S.Nonempty
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
P : Type u_4
AddCommGroup P
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
⊢ AdicCompletion.AdicCauchySequence.map I g ∘ₗ AdicCompletion.AdicCauchySequence.map I f =
  AdicCompletion.AdicCauchySequence.map I (g ∘ₗ f)
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
G : Type u_4
AddCommGroup G
Module R G
f : E →ₗ.[R] G
g : F →ₗ.[R] G
x : ↥(f.coprod g).domain
⊢ ↑(f.coprod g) x = ↑f ⟨(↑x).1, ⋯⟩ + ↑g ⟨(↑x).2, ⋯⟩
τ : Type u_1
TopologicalSpace τ
AddCommGroup τ
TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
hf : ∀ (t : τ), Filter.Tendsto (fun x => x + t) f f
t : τ
⊢ omegaLimit f ϕ.toFun (ϕ.toFun t '' s) = omegaLimit f ϕ.toFun s
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Bot α
Sup β
Bot β
f : SupBotHom α β
⊢ ⇑f.toSupHom = ⇑f
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v v' : Valuation R Γ₀
h : v = v'
⊢ v.IsEquiv v'
G : Type u_1
AddMonoid G
a : G
c : Multiplicative G
⊢ ⇑(AddConstMap.addLeftHom c) = c • id
ι : Type uι
inst✝⁷ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ ‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ projectiveSeminorm x * ‖f‖
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_top : ¬a + b = ⊤
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p