ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
h : s(v, w) ∈ G.edgeSet
d : G.Dart := { toProd := (v, w), adj := h }
⊢ (filter (fun d => d.edge = s(v, w)) univ).card = 2
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x : W.CoordinateRing
⊢ ∃ p q, p • 1 + q • (mk W) Y = x
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f ∅ μ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
v : ℝ → E → E
tMin t₀ tMax : ℝ
x₀ : E
C R : ℝ
L : ℝ≥0
hpl : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C
⊢ ∃ f, f t₀ = x₀ ∧ ∀ t ∈ Icc tMin tMax, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Icc tMin tMax) t
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : OpenEmbedding f
s : Set X
⊢ IsOpen s ↔ IsOpen (f '' s)
⊢ comap (fun x => ↑|x|) atTop = comap (Int.cast ∘ abs) atTop
n : ℕ
⊢ (fun x => Real.exp x - ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), x ^ i / ↑i !) =o[𝓝 0] fun x => x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
UniformSpace β
f g : β → α
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
⊢ UniformContinuous fun x => f x + g x
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ : ℕ
hf0 : f ≠ 0
g₁ : F[X]
hg₁ : g₁.Separable
hgf₁ : (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
k : ℕ
hgf₂ : (expand F (p ^ (n₁ + k))) g₂ = f
⊢ n₁ = n₁ + k ∧ g₁ = g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a : Option α
b : Option β
α' : Type u_5
f : α' → β → γ
g : α → α'
f' : α → β → δ
g' : δ → γ
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β), f (g a) b = g' (f' a b)
⊢ Option.map₂ f (Option.map g a) b = Option.map g' (Option.map₂ f' a b)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
Preorder ι
OrderBot ι
InfSet ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
ω : Ω
⊢ MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f ⊥ ω = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}
h2 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)}
h3 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)}
h4 : MeasurableSet {a | ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t}
a : α
⊢ IsRatStieltjesPoint f a ↔ ((Monotone (f a) ∧ Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)) ∧ Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)) ∧ ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Multiplicative.ofAdd a < Multiplicative.ofAdd b ↔ a < b
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
⊢ Module.IsTorsionBySet R (M ⧸ I • ⊤) ↑I
x : SetTheory.PGame
⊢ (-x).Fuzzy 0 ↔ x.Fuzzy 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β
g : γ → δ
s : Set β
t : Set δ
⊢ Prod.map f g ⁻¹' s ×ˢ t = (f ⁻¹' s) ×ˢ (g ⁻¹' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x : β
⊢ IsCauSeq abv fun x_1 => x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hz : P z = Q z
mem : Q z ∈ nonZeroDivisors R
⊢ P ≈ Q ↔ P = Q
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
H : OpenEmbedding ⇑f
g : Y ⟶ S
⊢ OpenEmbedding ⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.45694, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d e : ℤ
γ : Cochain F K d
he : 1 + d = e
hf : 0 + e = e
⊢ (Cochain.ofHom (inr φ)).comp ((↑(fst φ)).comp γ he) hf = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset γ
f : γ → α
g : γ → β
this : DecidableEq γ
⊢ ∀ ⦃a : γ⦄ {s : Finset γ}, a ∉ s → (∏ x ∈ s, f x, ∏ x ∈ s, g x) = ∏ x ∈ s, (f x, g x) → (∏ x ∈ insert a s, f x, ∏ x ∈ insert a s, g x) = ∏ x ∈ insert a s, (f x, g x)
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
⊢ (((Equiv.symm τ).trans (g x)).trans τ) ∞ = ∞
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
e : ι ≃ ι₂
⊢ (PiTensorProduct.map fun i => f (e.symm i)) ∘ₗ ↑(PiTensorProduct.reindex R s e) =
  ↑(PiTensorProduct.reindex R t e) ∘ₗ PiTensorProduct.map f
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
⊢ Continuous (NormedSpace.exp 𝕂)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Multiset α
⊢ s ∪ t + u = s + u ∪ (t + u)
s : ℂ
h : s ≠ 0
⊢ (Gamma s)⁻¹ = s * (Gamma (s + 1))⁻¹
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F
s : Set E
x v : E
h : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ lineDerivWithin 𝕜 f₁ s x v = lineDerivWithin 𝕜 f s x v
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : (algebraMap S R) a = 0
⊢ SameRay R v (a • v)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
i₁ : G
r₁ : k
i₂ : G
r₂ : k
⊢ (Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (single (i₂ * i₁) (r₂ * r₁))) = (Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (Finsupp.single i₁ r₁)) * (Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (Finsupp.single i₂ r₂))
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
f₁ f₂ g₁ g₂ : Filter β
⊢ f₁ ≤ f₂ → g₁ ≤ g₂ → f₁ -ᵥ g₁ ≤ f₂ -ᵥ g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
CompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
ι : Sort u_4
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iSup g)
Af : Antitone f
fbot : f ⊥ = ⊤
⊢ f (⨆ i, g i) = ⨅ i, f (g i)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
m : M
h : m ≠ 0
r : R
hr : r ∈ torsionOf R M m
⊢ r = 0
α : Type u
LT α
a b : ULift.{u_1, u} α
⊢ a.down < b.down ↔ a < b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
StarAddMonoid F
NormedSpace 𝕜 F
StarModule 𝕜 F
ContinuousStar F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => star (f x)) ((↑(starL' 𝕜)).comp f') x
α : Type u_1
n : Type u_3
R : Type u_5
SMul R α
A : Matrix n n α
h : A.IsSymm
k : R
⊢ (k • A).IsSymm
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ (r • μ).withDensity (ν.rnDeriv (r • μ)) = (r • μ).withDensity (r⁻¹ • ν.rnDeriv μ)
α : Type u_1
f : α → ℚ → ℝ
a : α
⊢ ProbabilityTheory.toRatCDF (fun p => f p.2) ((), a) = ProbabilityTheory.toRatCDF f a
α : Type u_1
arr arr' : Array α
⊢ arr.append arr' = arr ++ arr'
f : Bool → Bool → Bool
a b : Bool
m n : ℕ
⊢ (bif f false false then -[Nat.bitwise (fun x y => !f x y) (Nat.bit a m) (Nat.bit b n)+1] else ↑(Nat.bitwise f (Nat.bit a m) (Nat.bit b n))) = bit (f a b) (bif f false false then -[Nat.bitwise (fun x y => !f x y) m n+1] else ↑(Nat.bitwise f m n))
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
S : Set (Set α)
hS : S.Countable
⊢ μ (⋃₀ S) = 0 ↔ ∀ s ∈ S, μ s = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Sup β
f : SupHom α β
⊢ f.comp (SupHom.id α) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hf_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ε
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
N : ℕ
hNε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑ε
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ℕ), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
⊢ {p | ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y p.2 < r' → ∀ (z : E), dist z p.2 < r' → ‖f p.1 z - f p.1 y - (L z - L y)‖ < s * r} ∈ 𝓝 (a, x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasWidePushouts C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasWidePushouts C
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
X : C
⊢ (adj.homEquiv X (F.obj X)) (CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)) = adj.unit.app X
P : MorphismProperty Scheme
inst✝² : IsLocalAtSource P
X✝ Y✝ U V : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g : U ⟶ Y✝
inst✝¹ : IsOpenImmersion g
𝒰✝ : X✝.OpenCover
inst✝ : P.IsMultiplicative
hP : ∀ {X Y Z : Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z) [inst : IsOpenImmersion g], P (f ≫ g) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
i : (𝒰.pullbackCover f).J
⊢ P ((𝒰.pullbackCover f).map i ≫ f) ↔ P (𝒰.pullbackHom f i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
⊢ CategoryTheory.IsSeparator (∐ f) ↔ CategoryTheory.IsSeparating (Set.range f)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
x : X
⊢ closure {x} = {x}
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ Function.Injective ⇑(AddMonoid.Coprod.swap M N)
G : Type u_1
Group G
g₁ g₂ : G
⊢ ⁅g₁, g₂⁆⁻¹ = ⁅g₂, g₁⁆
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ
⊢ 𝟙 (F.leftDerivedToHomotopyCategory ⋙ HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n) = 𝟙 (F.leftDerived n)
M : Type u_1
Mul M
ι : Sort u_4
p : ι → Subsemigroup M
⊢ ⨆ i, p i = Subsemigroup.closure (⋃ i, ↑(p i))
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
Countable ι'
m : ι → MeasureTheory.Measure α
m' : ι' → MeasureTheory.Measure β
∀ (n : ι'), MeasureTheory.SFinite (m' n)
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum m).prod (MeasureTheory.Measure.sum m') =
  MeasureTheory.Measure.sum fun p => (m p.1).prod (m' p.2)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ ‖Complex.log (1 + z) - z‖ ≤ ‖z‖ ^ 2 * (1 - ‖z‖)⁻¹ / 2
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
CommSemiring R
f : ι → R[X]
⊢ (∏ i ∈ s, f i).natDegree ≤ ∑ i ∈ s, (f i).natDegree
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ✝.IsMulLeftInvariant
s : Set G
μ : Measure G
⊢ μ (s * closure {1}) ≤ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), μ t
α : Type u_1
LE α
s : NonemptyInterval α
⊢ (NonemptyInterval.dual s).toProd.2 = OrderDual.toDual s.toProd.1
a b c : ℤ
h : a * b ∣ c
⊢ b ∣ c / a
α : Type u_1
xs : List α
Max α
⊢ xs.maximum? = none ↔ xs = []
α : Type u
f : Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ f.sets ↔ s ∈ f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hf : MonotoneOn f s
hs : Convex 𝕜 s
⊢ QuasilinearOn 𝕜 s f
α : Type u_1
AddMonoid α
a : α
ha : a ≠ 0
ha' : IsOfFinAddOrder a
⊢ AddMonoid.minOrder α ≤ ↑(addOrderOf a)
α : Type u_1
E : Set α
⊢ (Matroid.freeOn E).E = E
y z : SetTheory.PGame
h : y.LF z
x : SetTheory.PGame
⊢ (x + y).LF (x + z)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
⊢ s ⊆ balancedCore 𝕜 t
M : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace α
VAdd M α
ContinuousConstVAdd M α
x y : α
h : x ⤳ y
c : M
⊢ (c +ᵥ x) ⤳ (c +ᵥ y)
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s✝ s : Set M
p : (x : M) → x ∈ (closure L).toFun s → Prop
Hs : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
Hfun : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n), ClosedUnder f {x | ∃ (hx : x ∈ (closure L).toFun s), p x hx}
x : M
hx : x ∈ (closure L).toFun s
⊢ ∃ (x_1 : x ∈ (closure L).toFun s), p x x_1
x : ℝ
⊢ Real.sin (Real.arccos x) = √(1 - x ^ 2)
β : Type u_4
AddGroup β
x : β
n : ℤ
⊢ ((zmultiplesHom β) x) n = n • x
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
h : ∀ m ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule), m = 0
⊢ H.normalizer ≤ H
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_4
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ IsIntegrallyClosed R ↔ IsIntegralClosure R R K
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s✝ : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
hq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f z)
x : 𝕜
hx1 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f x)
hx2 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • p.coeff n) (f x)
this : ∀ k < p.order, p.coeff k = 0
s : E
hs1 : (x - z₀) ^ p.order • s = f x
hs2 : HasSum (fun m => (x - z₀) ^ m • p.coeff (m + p.order)) s
⊢ (swap dslope z₀)^[p.order] f x = s
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
r : N → N → Prop
mu : N → N → N
inst✝ : IsSymmOp N N mu
⊢ Covariant N N (flip mu) r ↔ Covariant N N mu r
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 50 / 19 ≤ x
this : 1.38 = 69 / 50
⊢ 0 < 50 / 19
x : ENNReal
⊢ x⁻¹.log = -x.log
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
SMul A B
CommSemiring B
Semiring C
Algebra B C
SMul A C
IsScalarTower A B C
a : A
b : B
⊢ ↑(a • b) = a • ↑b
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : dist x y ≤ δ
⊢ edist x y ≤ ENNReal.ofReal δ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a < b
⊢ Ico a b \ Ioo a b = {a}
U : Type u_1
V : Type u_2
Quiver U
Quiver V
Quiver.HasReverse U
Quiver.HasReverse V
φ : U ⥤q V
φ.MapReverse
u v : U
e : u ⟶ v
⊢ φ.map (Quiver.reverse e) = Quiver.reverse (φ.map e)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
U : Type u_2
CommRing U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
i : R →+* U
x : U
hx : Polynomial.eval₂ i x f = 0
z : S
⊢ (IsAdjoinRoot.lift i x hx h') ((h.aequiv h') z) = (IsAdjoinRoot.lift i x hx h) z
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ WithTop.some '' Set.Ioc a b = Set.Ioc ↑a ↑b
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : Semiring R
α : Type u_3
x : HahnSeries Γ R
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ
⊢ ∀ b ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, (Function.support fun a => (fun i ij => x.coeff ij.1 * (s i).coeff ij.2) a b).Finite
m n : Nat
⊢ List.range m ⊆ List.range n ↔ m ≤ n
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
⊢ finrank 𝕜 (X ⟶ X) = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
⊢ x ∈ D f K
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))
⊢ ((comap g ?w.w.V ((TopologicalSpace.Opens.map (topMap (f ≫ g))).obj (unop (op U✝))) ?w.w.hVW).comp (comap f (unop (op U✝)) ?w.w.V ?w.w.hUV)) x✝ = ((sheafedSpaceMap g ≫ sheafedSpaceMap f).c.app (op U✝)) x✝
α : Type u_2
CompleteLattice α
⊢ IsCoatomistic αᵒᵈ ↔ IsAtomistic α
R : Type u
Star R
r : R
⊢ MulOpposite.op (star r) = star (MulOpposite.op r)
F : Type u_1
inst✝ : NormedField F
n : ℕ
χ : DirichletCharacter F n
a : (ZMod n)ˣ
⊢ ‖χ ↑a‖ ^ Nat.card (ZMod n)ˣ = 1
α✝ : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Monoid α✝
inst✝⁶ : DistribMulAction α✝ M
inst✝⁵ : SMulCommClass α✝ R M
α : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : Module α R
inst✝² : Module α M
inst✝¹ : SMulCommClass α R M
inst✝ : IsScalarTower α R M
a : α
S : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ ↑S
⊢ (DistribMulAction.toLinearMap R M a) x ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
AddMonoid α
AddAction α β
a : α
ha : IsAddUnit a
x y : β
⊢ a +ᵥ x = a +ᵥ y ↔ x = y
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ μ ≪ map (fun x => g * x) (map Inv.inv μ)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
x₀ t : G
ht : g (x₀ - t) = 0
⊢ (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) t = 0
b : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.CNF b 0 = []
X : Compactum
F : Ultrafilter X.A
x : X.A
⊢ ↑F ≤ 𝓝 x → X.str F = x
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.17551
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
y : Y
x : X
x✝ : ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn (fun x => y) U
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
inj : Set.InjOn (fun x => y) U
⊢ {x} ∈ 𝓝 x
G : Type u_3
H : Type u_4
Monoid G
a : G
n : ℕ
MulAction G H
⊢ (fun x => a • x)^[n] = fun x => a ^ n • x
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
MeasurableSpace ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
b : β
⊢ MeasureTheory.ProgMeasurable f fun x x => b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
f : Z ⟶ Y
g : Z ⟶ X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f α.inv = g ↔ f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g α.hom
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.preΨ 4 = W.preΨ₄
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
hs : i ∈ s
ht : (s.pi t).Nonempty
⊢ Function.eval i '' s.pi t = t i
G : Type u_3
AddGroup G
Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Nat.card G
⊢ ∃ x, addOrderOf x = p
α : Type u_1
CompleteLattice α
p q : Prop
s : p ∧ q → α
⊢ iSup s = ⨆ (h₁ : p), ⨆ (h₂ : q), s ⋯
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : E → ℝ
x : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
hg : ContDiffAt ℝ n g x
h : f x ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => f x ^ g x) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r : List (List α)
this : foldl (fun r l => r ++ [l, a :: l]) #[].toList r = (foldl (fun r l => (r.push l).push (a :: l)) #[] r).toList
⊢ foldl (fun r l => r ++ [l, a :: l]) [] r = (foldl (fun r l => (r.push l).push (a :: l)) #[] (toArray r).data).toList
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
m n : ℤ
x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
⊢ ↑x ^ (m + n) = ↑x ^ m * ↑x ^ n
z : ℂ
⊢ HasSum (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)!) (sin z)
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n := lt_of_add_lt_add_right (let_fun this := Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (tsub_add_cancel_of_le k2n))) (Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (two_mul n))) (add_lt_add_left kn n)); this)
xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n
⊢ xn a1 k % xn a1 n = xn a1 n - xn a1 (2 * n - k)
⊢ IsHomeomorphicTrivialFiberBundle ℝ Complex.im
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : Encodable α
inst✝ : Inhabited α
x : α
⊢ (fun n => (decode n).iget) (encode x) = x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
⊢ ‖f‖ ≤ ‖f.flip‖
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f g : CuspForm Γ k
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsTrans α r
s t u : Multiset α
r1 : Multiset.Rel r s t
r2 : Multiset.Rel r t u
⊢ Multiset.Rel r s u
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ t • x ∈ s
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
⊢ EuclideanGeometry.angle p1 (midpoint ℝ p1 p2) p2 = π
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X₁ X₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.binaryProductTriangleIsoBinaryBiproductTriangle X₁ X₂).inv.hom₁ = 𝟙 X₁
a b c : ℤ
hdvd : (¬3 ∣ a ∧ ¬3 ∣ b) ∧ ¬3 ∣ c
⊢ ¬↑a ^ 3 + ↑b ^ 3 = ↑c ^ 3
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S y
⊢ derivWithin f S y ≤ slope f x y
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
self : LieModule R L M
t : R
x : L
m : M
⊢ ⁅t • x, m⁆ = t • ⁅x, m⁆
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁)) x) * (F.map α) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁)) y) = (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃)) x) * (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃)) y')