ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty β
s : Set (α × β)
⊢ (∃ f t, s = Set.graphOn f t) ↔ Set.InjOn Prod.fst s
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ dist x y = (edist x y).toReal
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : LipschitzWith 1 ⇑f
g : E →L[𝕜] ↥(LinearMap.eqLocus f 1)
hg_proj : ∀ (x : ↥(LinearMap.eqLocus f 1)), g ↑x = x
hg_ker : ↑(LinearMap.ker g) ⊆ closure ↑(LinearMap.range (f - 1))
x : E
⊢ Filter.Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) id x_1 x) Filter.atTop (𝓝 ↑(g x))
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ (LinearMap.mulLeft R (e0 Q) ∘ₗ v Q) m = e0 Q * (v Q) m
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
⊢ divided_by_X_pow_order hf * Inv_divided_by_X_pow_order hf = 1
r : ℝ
⊢ ENNReal.ofReal r ≤ ↑‖r‖₊
R : Type u
S : Type v
CommRing R
IsDomain R
CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : Polynomial.eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f (z * f p.leadingCoeff) p.integralNormalization = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
PartialOrder α
Preorder β
h₀ : ∀ (a : α), 0 < a → ∀ (b₁ b₂ : β), b₁ ≤ b₂ → a • b₁ ≤ a • b₂
⊢ PosSMulMono α β
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
h : HasGradientAt f f' x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
i✝ x✝ : n
⊢ (mulVecLin 1 ∘ₗ single i✝) 1 x✝ = (LinearMap.id ∘ₗ single i✝) 1 x✝
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N N₂ : LieSubmodule R L M
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ LieSubmodule.map f (N ⊓ N₂) = LieSubmodule.map f N ⊓ LieSubmodule.map f N₂
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
p : (a : α) ×' β a → Prop
⊢ (∃ x, p x) ↔ ∃ a b, p ⟨a, b⟩
α : Type u_1
n : Type u_3
A : Matrix n n α
⊢ A.IsSymm ↔ ∀ (i j : n), A j i = A i j
α : Type u_1
γ : Type u_3
β : Type u_7
M : Type u_8
Zero M
f : α →₀ M
m : β → γ
h : α → M → Multiset β
⊢ Multiset.map m (f.sum h) = f.sum fun a b => Multiset.map m (h a b)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : r₂ ≤ 0
⊢ Wbtw R (r₁ • v +ᵥ x) x (r₂ • v +ᵥ x)
α : Sort u_1
p q : α → Prop
⊢ (∃ x, p x ∨ q x) ↔ (∃ x, p x) ∨ ∃ x, q x
α : Type u_1
o : Part α
Decidable o.Dom
⊢ ↑o.toFinset = {x | x ∈ o}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
⊢ K.flip.flip = K
α : Type u_1
B : Set α
⊢ (Matroid.emptyOn α).Base B ↔ B = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
this✝¹ : Countable (Subtype p)
hp : Nonempty (Subtype p)
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
this✝ : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)
m : Subtype p → Set δ := fun j => {x | BddBelow (range fun i => f (↑i) x)}
m_meas : ∀ (j : Subtype p), MeasurableSet (m j)
mc_meas : MeasurableSet {x | ∀ (j : Subtype p), x ∉ m j}
j : Subtype p
reparam : δ → Subtype p → Subtype p := fun x => liminf_reparam (fun i => f i x) s p
F0 : Subtype p → δ → α := fun j x => ⨅ i, f (↑i) x
F0_meas : ∀ (j : Subtype p), Measurable (F0 j)
F1 : δ → α := fun x => F0 (reparam x j) x
hF1 : F1 = fun x => F0 (reparam x j) x
g : ℕ → Subtype p := Classical.choose ⋯
Z : ∀ (x : δ), ∃ n, x ∈ m (g n) ∨ ∀ (k : Subtype p), x ∉ m k
this : F1 = fun x => if x ∈ m j then F0 j x else F0 (g (Nat.find ⋯)) x
n : ℕ
⊢ MeasurableSet {x | x ∈ m (g n) ∨ ∀ (k : Subtype p), x ∉ m k}
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hbc : b ≤ a
⊢ a - b < c ↔ a < c + b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
α : G ⟶ F
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cocone F} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose α).map f).hom = f.hom
⊢ Complex.orthonormalBasisOneI.toBasis = Complex.basisOneI
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
S✝ : WSeq (WSeq α)
T✝ : WSeq (WSeq β)
h : LiftRel (LiftRel R) S✝ T✝
s1 : WSeq α
s2 : WSeq β
x✝ : (fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) s1 s2
s : WSeq α
t : WSeq β
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
h1 : s1 = s.append S.join
h2 : s2 = t.append T.join
st : LiftRel R s t
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
⊢ ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) (destruct_append.aux S.join a) (destruct_append.aux T.join b)
a : ↥circle
i j : Fin 2
⊢ (LinearMap.toMatrix basisOneI basisOneI) (↑(rotation a).toLinearEquiv) i j = ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im ⋯) i j
a b c : ℕ
h1 : a.pow b = c
⊢ a.pow (2 * b) = c.mul c
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
CommMonoid M
ψ : AddChar R M
⊢ ψ.mulShift 1 = ψ
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
N : AddSubgroup G
x : G
⊢ 𝓝 ↑x = Filter.map QuotientAddGroup.mk (𝓝 x)
o : Ordinal.{u}
ho : o ≠ 0
a : Ordinal.{max u v}
⊢ (o.bsup fun x x => a) = a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a : α
z : ℤ
⊢ ⌈a - ↑z⌉ = ⌈a + ↑(-z)⌉
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
⊢ -x + x + (-y + y) = 0
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux : ∀ y ∈ s, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧ f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
t : ℝ
ht : t ∈ s
xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t)))
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
x y : S
⊢ P.σ x • y = x * y
x : ℂ
⊢ cos (x + ↑π / 2) = -sin x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Antivary f g⁻¹ ↔ Monovary f g
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ a.toBasis.det ⇑b ^ 2 = 1
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ((-o).oangle y (y + x)).sin = ‖x‖ / ‖y + x‖
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
k : K
s : Turing.TM2to1.StAct k
q : Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
⊢ Turing.TM2to1.trStmts₁ (Turing.TM2to1.stRun s q) =
  {Turing.TM2to1.Λ'.go k s q, Turing.TM2to1.Λ'.ret q} ∪ Turing.TM2to1.trStmts₁ q
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : Wbtw R x y z
⊢ Wbtw R z x y ↔ x = y
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
⊢ Ex ≤ Ey
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
inst✝¹ : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))
⊢ Algebra ?R ((forget CommRingCat).obj (((Scheme.Γ.rightOp ⋙ Scheme.Spec).obj X).presheaf.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f))))
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
⊢ (Subalgebra.center R A).toSubring = Subring.center A
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝ : HasOuterApproxClosed Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ι → ProbabilityMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
E : Set Ω
E_nullbdry : μ (frontier E) = 0
⊢ Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : Real.Angle
⊢ ↑(↑r * (↑θ.cos + ↑θ.sin * Complex.I)).arg = θ
⊢ ∀ {X Y : Pointed} (f : X ⟶ Y) (a : { x // x ≠ X.point }),
  pointedToPartialFun.map f a = (PFun.toSubtype (fun x => x ≠ Y.point) f.toFun ∘ Subtype.val) a
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0
this : LocallyCompactSpace G
q₀ : P
x₀ : G
hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀
k' : Set G := -k +ᵥ t
k'_comp : IsCompact k'
g' : P × G → G → E' := fun p x => g p.1 (p.2 - x)
s' : Set (P × G) := s ×ˢ t
A : ContinuousOn (uncurry g') (s' ×ˢ univ)
B : ContinuousOn (fun a => ∫ (x : G), (L (f x)) (g' a x) ∂μ) s'
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ) (q₀, x₀)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (b : β) in s, ↑(ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x ∂ν a = ((κ a) (s ×ˢ Set.Iic x)).toReal
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
RingHomIsometric σ₂₁
RingHomIsometric σ₁₂
Nontrivial E
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ 0 < ‖↑e‖
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hνμ : ν ≪ μ
⊢ μ.withDensity (μ.rnDeriv ν)⁻¹ = μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : Countable ι
U : ι → Set α
hU : ⋃ i, U i = univ
hμ : μ ≠ 0
⊢ ∃ i, 0 < μ (U i)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
⊢ Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g φ : α → ℝ≥0∞
hφm : Measurable φ
hφ_le : φ ≤ fun a => f a + g a
hφ_eq : ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), φ a ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
c₀ : OmegaCompletePartialOrder.Chain (α →𝒄 β)
c₁ : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
z : β
⊢ (∀ (i j : ℕ), (c₀ i) (c₁ j) ≤ z) ↔ ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
α : Type u_1
x : α
xs : List α
y : α
BEq α
⊢ List.indexOf y (x :: xs) = bif x == y then 0 else List.indexOf y xs + 1
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
⊢ σ.IsCycle → (σ ∈ l ↔ ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a)
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x y : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ (x - y).coeff n = WittVector.peval (WittVector.wittSub p n) ![x.coeff, y.coeff]
R : Type u
a : R
Semiring R
⊢ (Polynomial.C a).degree < 1
J : Type u
inst✝³ : Category.{w, u} J
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type v
inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
J' : Type (max w v u) := AsSmall J
down : J' ⥤ J := AsSmall.down
F' : J' ⥤ Type (max u v w) := down ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{max u w, v}
this✝ : ∀ (i : J'), Nonempty (F'.obj i)
this : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)
h✝ : Nonempty J
⊢ F.sections.Nonempty
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
s : Set α
hs : f.IsCycleOn s
⊢ s.Countable
R : Type u
a b : R
Semiring R
⊢ Polynomial.C (a + b) = Polynomial.C a + Polynomial.C b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
γ : Type u_7
f : α × β × γ → M
h : (mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (abc : α × β × γ), f abc = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (c : γ), f (a, b, c)
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
hαβ : Fintype.card α ≤ Fintype.card β
⊢ ⇑(G.recolorOfCardLE hαβ) = (SimpleGraph.Embedding.completeGraph ⋯.some).toHom.comp
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (mulETransformLeft e x).1 * (mulETransformLeft e x).2 ⊆ x.1 * x.2
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
f : M₁ →ₗ[R] M₁
⊢ (Matrix.toLinAlgEquiv v₁) ((LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁) f) = f
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
⊢ p.mirror.leadingCoeff = p.trailingCoeff
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Ici a)
⊢ Subtype.val '' Set.Iio b = Set.Ico a ↑b
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => x) μ a b
E : Type u_4
AddGroup E
p q : AddGroupSeminorm E
⊢ (∀ (x : E), p x = q x) → p = q
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ n ∈ χ.conductorSet
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
⊢ x ∈ ⊥
α : Type u_2
Fintype α
s : Finset α
Nonempty α
⊢ s.dens ≠ 1 ↔ s ≠ Finset.univ
r θ : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
hθ : θ ∈ Ioo (-π) π
⊢ (fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2)) (r, θ) ∈ {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : One α
f : Filter α
s : Set α
inst✝² : One β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : OneHomClass F α β
φ : F
⊢ map (⇑φ) 1 = 1
a b : Nat
⊢ (a < b) = (a + 1 ≤ b)
α : Sort u
p : α → Prop
⊢ (Exists fun x => p x) → Nonempty α
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
a : α
⊢ List.count a l₁ = List.count a l₂
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
⊢ G.edgeSet \ (s \ {e | e.IsDiag}) = G.edgeSet \ s
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : μ s = 0
ht : ν t = 0
hst : univ ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ (toMeasurable μ s)ᶜ
hxs : x ∈ s
⊢ x ∈ toMeasurable μ s
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
⊢ LinearMap.range (fderiv ℝ (Subtype.val ∘ ↑(ChartedSpace.chartAt v).symm) (↑(ChartedSpace.chartAt v) v)) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v : Projectivization K V
⊢ v.submodule = Submodule.span K {v.rep}
s : String
p : Char → Bool
⊢ s.split p = List.map String.mk (List.splitOnP p s.data)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
OrderedCommMonoid α
OrderedCommMonoid β
OrderedCommMonoid γ
g₁ g₂ : β →*o γ
f : α →*o β
⊢ (g₁ * g₂).comp f = g₁.comp f * g₂.comp f
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
a b : α
l : List α
h : f a = some b
⊢ lookmap f (a :: l) = b :: l
M : Type u
MulOneClass M
P : Prop
Decidable P
a b : M
⊢ (if P then a * b else 1) = (if P then a else 1) * if P then b else 1
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a✝ o✝ : Ordinal.{u}
f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}
a o o' : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}
hg : o.IsFundamentalSequence o' g
⊢ o' ≤ a.cof.ord
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hk : ContDiffOn ℝ (↑k) f s → DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s y → HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x) (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
coe_lt_succ : ↑k < ↑k.succ
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s t) ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y) s' y
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
IsGalois F E
x : E
⊢ IsSeparable F x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : Cᵒᵖ
⊢ (β_ X Y).unop = β_ (Opposite.unop Y) (Opposite.unop X)
α : Type u_2
β : Type u_3
One α
SemilatticeSup β
OrderBot β
f : α → β
⊢ Finset.sup 1 f = f 1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
h✝ : SecondCountableTopology α
⊢ IsSeparable (f '' s)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
x : α
h : ∃ y, r x y
y : α
⊢ r y (⋯.succ x) ↔ r y x ∨ y = x
α : Type u_1
MetricSpace α
SecondCountableTopology α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Set.Ioo 0 δ).Nonempty
⊢ ∃ t,
  t.Countable ∧
    (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧
      (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧
        μ (s \ ⋃ p ∈ t, Metric.closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => Metric.closedBall p.1 p.2
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft R.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.X ◁ P.actRight ▷ S.X) (R.X ◁ ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ((α_ R.X (P.X ⊗ S.X) S.X).inv ≫ (α_ R.X P.X S.X).inv ▷ S.X ≫ P.actLeft ▷ S.X ▷ S.X) ((α_ R.X P.X S.X).inv ≫ P.actLeft ▷ S.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = R.X ◁ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ≫ P.actLeft
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
a : α
⊢ (s.truncatedInf a)ᶜ = sᶜˢ.truncatedSup aᶜ
α : Type u_1
LE α
a : αᵒᵈ
⊢ IsTop (OrderDual.ofDual a) ↔ IsBot a
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
x : H
U : Set H
memU : x ∈ U
hU : IsOpen U
s : Set H
comp : IsCompact s
xs : x ∈ interior s
sU : s ⊆ U
u : Set ↑s := Subtype.val ⁻¹' interior s
u_open_in_s : IsOpen u
⊢ ∃ v ∈ {s | IsClopen s}, x ∈ v ∧ v ⊆ U
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖b (f x) (g x)‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ * (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)
R₄ : Type u_7
M₄ : Type u_8
CommRing R₄
IsDomain R₄
AddCommGroup M₄
Module R₄ M₄
G : LinearMap.BilinForm R₄ M₄
x y : M₄
a : R₄
ha : a ≠ 0
⊢ G.IsOrtho x (a • y) ↔ G.IsOrtho x y
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.Red L₁ L₂ → L₂.Sublist L₁
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)
x : α
hx : x ∈ mulSupport f
⊢ (f * g) x = f x