ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f g : α → F'
s✝ : Set α
m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hf : Integrable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a✝ : μ s < ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, (μ[μ[f|m₂]|m₁]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, (μ[f|m₁]) x ∂μ
α : Type u_1
F : Type u_3
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : MeasureTheory.SimpleFunc α F
⊢ ‖MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f‖ ≤ C * ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
⊢ QuadraticMap.polar (⇑Q) x (-y) = -QuadraticMap.polar (⇑Q) x y
n : ℕ
⊢ (finRotate (n + 2)).support = Finset.univ
x y : SetTheory.PGame
⊢ x < y ∨ x ≈ y ∨ y.LF x
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable
⊢ ∃! f', f.graph.topologicalClosure = f'.graph
p : ℚ≥0 → Prop
⊢ (∃ q, p q) ↔ ∃ q, ∃ (hq : 0 ≤ q), p ⟨q, hq⟩
L : Type u
CommRing L
IsDomain L
n : ℕ+
⊢ ModularCyclotomicCharacter.toFun n (RingEquiv.refl L) = 1
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
IsDedekindDomain R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
a : DedekindDomain.FiniteAdeleRing R K
⊢ (∃ c, a = ↑c) ↔
  ∀ (v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R),
    (fun v => ↑a v) v ∈ IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum.adicCompletionIntegers K v
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f i)
hfu : MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), MeasureTheory.eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
c : ℂ
hf : DifferentiableAt ℂ f x
h0 : c ≠ 0 ∨ f x ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun x => c ^ f x) x
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
MulZeroClass α
A : Matrix l m α
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A 0 = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
x : B
⊢ (aeval x) (minpoly A pb.gen) = 0 ↔ (aeval x) (map (algebraMap A B) (minpoly A pb.gen)) = 0
G : Type u_1
AddGroup G
H₁ H₂ K : AddSubgroup G
⊢ H₁.addSubgroupOf K = H₂.addSubgroupOf K ↔ H₁ ⊓ K = H₂ ⊓ K
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
m : M
hm : m ∈ span R s
⊢ ∀ (a : R) (x : M), 1 ⊗ₜ[R] x ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s) → 1 ⊗ₜ[R] (a • x) ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)
V : Type u
G G' : SimpleGraph V
h : G ≤ G'
n : ℕ
hc : G'.Colorable n
⊢ G.Colorable n
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
Nonempty n'
Nontrivial R
A : Matrix n' n' R
ha : IsUnit A.det
z : ℤ
⊢ A ^ z ≠ 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
E : Type u_5
MeasurableSpace E
NormedAddCommGroup E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : MeasureTheory.Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), ProbabilityTheory.IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
⊢ MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
n m : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ MvPolynomial.coeff m (MvPowerSeries.truncFun n φ) = if m < n then (MvPowerSeries.coeff R m) φ else 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → α → M
x : Filter α
a : ι → M
x✝ : ∀ i ∈ [], Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))
⊢ Tendsto (fun b => (List.map (fun c => f c b) []).prod) x (𝓝 (List.map a []).prod)
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
M : Type u_5
N : Type u_6
Pₗ : Type u_12
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid Pₗ
Module R M
Module S N
Module R Pₗ
Module S Pₗ
SMulCommClass S R Pₗ
R' : Type u_16
S' : Type u_17
Semiring R'
Semiring S'
Module R' M
Module S' N
Module R' Pₗ
Module S' Pₗ
SMulCommClass S' R' Pₗ
SMul S' S
IsScalarTower S' S N
IsScalarTower S' S Pₗ
SMul R' R
IsScalarTower R' R M
IsScalarTower R' R Pₗ
B B' : M →ₗ[R] N →ₗ[S] Pₗ
⊢ LinearMap.restrictScalars₁₂ R' S' B = LinearMap.restrictScalars₁₂ R' S' B' ↔ B = B'
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
S : Set E
⊢ Algebra.IsSeparable F ↥(IntermediateField.adjoin F S) ↔ ∀ x ∈ S, IsSeparable F x
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : PartialHomeomorph H₃ H₂
he : e ∈ atlas H₂ H₃
f : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : PartialHomeomorph H₃ H₂
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
f' : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx : (x ∈ f.target ∧ ↑f.symm x ∈ e.target) ∧ ↑e.symm (↑f.symm x) ∈ e'.source ∧ ↑e' (↑e.symm (↑f.symm x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source
hxs' : x ∈ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ((e.symm ≫ₕ e').source ∩ ↑(e.symm ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : PartialHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ : EqOn (↑(f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toPartialEquiv) (↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ φ.source)
hs : IsOpen (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').source
⊢ (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr ((f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').source ∩ φ.source) ∈ G₁
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid R
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
g : Rˣ
hg : ∀ (x : Rˣ), x ∈ Subgroup.zpowers g
χ₁ χ₂ : MulChar R R'
⊢ χ₁ = χ₂ ↔ χ₁ ↑g = χ₂ ↑g
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
x y : α
⊢ [x].formPerm.toList y = []
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β →o γ
f : α →o β
a : NonemptyInterval α
⊢ NonemptyInterval.map g (NonemptyInterval.map f a) = NonemptyInterval.map (g.comp f) a
a b c : Nat
⊢ a - b ≤ c ↔ a ≤ b + c
α : Type u
Group α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
h : a ≤ 1
⊢ a ≤ a⁻¹
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
i : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ (HomogeneousLocalization.mk i).val = Localization.mk ↑i.num ⟨↑i.den, ⋯⟩
M : Type u_1
TopologicalSpace M
x : Mᵈᵐᵃ
⊢ Filter.comap (⇑DomMulAct.mk) (𝓝 x) = 𝓝 (DomMulAct.mk.symm x)
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ f₂ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
G : f₁.Homotopy f₂
t : ↑I
snd✝ : X
⊢ (F.trans G).symm (t, snd✝) = (G.symm.trans F.symm) (t, snd✝)
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
Countable ι
t : ι → Set α
⊢ MeasureTheory.AEDisjoint μ s (⋃ i, t i) ↔ ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEDisjoint μ s (t i)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle x (x + y)).cos * ‖x + y‖ = ‖x‖
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x y : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
x✝ : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ ((fun x => ((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯) (x + y)) x✝ = ((fun x => ((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯) x + (fun x => ((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯) y) x✝
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
r : ℝ
ha : r ≤ 0
f : ι → ℝ
⊢ (⨆ i, f i) * r = ⨅ i, f i * r
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a < b * c
hle : c ≤ 1
⊢ a < b
σ : Type u_1
R : Type u_2
k✝ : Type u_3
inst✝ : Field k✝
φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ k✝
h : (constantCoeff σ k✝) φ₃ ≠ 0
k : φ₁ * φ₃ = φ₂
⊢ φ₁ = φ₂ * φ₃⁻¹
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace M
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M β
inst✝⁵ : MeasurableSMul M β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : Measure α
G : Type u_5
inst✝³ : Group G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MulAction G β
inst✝ : MeasurableSMul G β
c : G
h : AEMeasurable (fun x => c • f x) μ
⊢ AEMeasurable f μ
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
a : I
as : List I
ha : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: as)
c : Products I →₀ ℤ
hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}
m : Products I
hm : c m ≠ 0
hsm : ∀ (c : ℤ) (x : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ), e (π C fun x => x ∈ s) a * c • x = c • (e (π C fun x => x ∈ s) a * x)
⊢ e (π C fun x => x ∈ s) a * Products.eval (π C fun x => x ∈ s) m ∈ Submodule.span ℤ (Products.eval (π C fun x => x ∈ s) '' {m | ↑m ≤ a :: as})
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
u : ℕ → α
⊢ CauchySeq u ↔ ∀ V ∈ 𝓤 α, ∃ N, ∀ k ≥ N, ∀ l ≥ N, (u k, u l) ∈ V
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
⊢ maximals (Function.swap r) s = minimals r s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : 0 < ad
hbd : 0 < bd
hgcd : 0 < gcd
⊢ (a ≤ b) = (1 / gcd * (bd * a') ≤ 1 / gcd * (ad * b'))
α : Type u_1
M : Matroid α
I X Y : Set α
hIX : M.Basis I X
hIY : M.Basis I Y
⊢ M.Basis I (X ∪ Y)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyιNatTrans C).app S = S.rightHomologyι
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j : ι
h : ¬c.Rel i j
this : ∀ (a : T), (C.d i j).app a = NatTrans.app 0 a
⊢ (fun i j => (C.d i j).app t) i j = 0
α : Type u_1
β : ?m.6008
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
h : GenerateOpen {t | ∃ a, (Ici a)ᶜ = t} s
⊢ IsLowerSet s
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
⊢ r ↪r s → ∀ [inst : IsStrictOrder β s], IsStrictOrder α r
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H : AddSubgroup G
h : H.Normal
f : G →+ N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (AddSubgroup.map f H).Normal
K : Type u_1
Field K
f : Polynomial K
g : Polynomial K
hg : g ≠ 0
⊢ (Polynomial.idealX K).valuation (RatFunc.mk f g) =
  (Polynomial.idealX K).intValuation f / (Polynomial.idealX K).intValuation g
n : ℕ
⊢ Surreal.toGame ↑n = ↑n
x : ℝ
h0x : 0 ≤ x
hxp✝ : x ≤ π / 2
h✝ : 0 < x
hxp : x = π / 2
⊢ 0 ≤ tan x
α : Sort u_1
f : α → ℝ
hf : ¬BddBelow (Set.range f)
⊢ ⨅ i, f i = 0
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a✝ b c a : α
⊢ a / b < a / c ↔ c < b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
⊢ (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv (ν.withDensity f)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C} (f : X ⟶ Y), (F.mapTriangle.map f).hom₃ = F.map f.hom₃
a b : Ordinal.{u_1}
h : ¬a = 0
⊢ a ^ succ b = a ^ b * a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
w✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
⊢ Presieve.ofArrows Y π ∈ (coherentCoverage C).covering X
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁷ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁶ : Countable ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : MeasurableSpace ι
inst✝³ : BorelSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j}
⊢ MeasurableSet ({ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j})
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
s : Set A
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y v₁ v₂ : M
h : SameRay R x y
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ r, 0 ≤ r ∧ r • x = y
α : Type u_2
Zero α
Add α
Neg α
⊢ [].alternatingSum = 0
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1
⊢ ∀ (y : ↑(sphere 0 1)), ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) y) ∘ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) y).source)
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
acc : Array α
xs : List α
⊢ l = acc.data ++ xs → List.extractP.go p l xs acc = (List.find? p xs, acc.data ++ List.eraseP p xs)
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {cmp : α → α → Ordering} {x y z : α},
  Batteries.RBNode.cmpLT cmp x y → Batteries.RBNode.cmpLT cmp y z → Batteries.RBNode.cmpLT cmp x z
R Rₘ : Type u
CommRing R
CommRing Rₘ
M : Submonoid R
Algebra R Rₘ
IsLocalization M Rₘ
⊢ Algebra.FormallySmooth R Rₘ
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
x✝ : b ∣ a
c : R
e : a = b * c
⊢ b * c = b * (b * c / b)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
⊢ I.radical = I.jacobson ↔ ⊥.radical = ⊥.jacobson
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
eq_bot_or_top : ∀ (I : Ideal R), I = ⊥ ∨ I = ⊤
I J : Ideal S
hI : spanNorm R I = ⊤
⊢ spanNorm R (I * J) ≤ spanNorm R I * spanNorm R J
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
this : (c.embedding (c.index j)) (c.invEmbedding j) ∈ Set.range ⇑(c.embedding (c.index j))
⊢ j ∈ Set.range ⇑(c.embedding (c.index j))
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)
j : ι
⊢ ⟪if h : j = i then ⋯ ▸ a else 0, ↑f j⟫_𝕜 = if j = i then ⟪a, ↑f i⟫_𝕜 else 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
S₃.HasRightHomology
φ₁ : S₁ ⟶ S₂
φ₂ : S₂ ⟶ S₃
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁ φ₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ₁)
    (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ₂)
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < x - y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h₁ : s ⊆ t
h₂ : μ t ≤ μ s
hsm : MeasurableSet s
ht : μ t ≠ ⊤
⊢ s =ᵐ[μ] t
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
⊢ LieModule.IsNilpotent R L M ↔ ∃ k, ucs k ⊥ = ⊤
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : Semiring R₁
inst✝¹⁷ : Semiring S₁
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring S₂
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁹ : Module R N₂
inst✝⁸ : Module S₁ N₂
inst✝⁷ : Module S₂ N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m N₂
i : n
j : m
⊢ (toMatrix₂Aux R (fun i => (LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1) fun j => (LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) (toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂ f) i j = f i j
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
h1 : ∀ (n : ℕ), 2 * ↑k ≠ -↑n
⊢ hurwitzZetaEven (↑x) (1 - 2 * ↑k) = -1 / (2 * ↑k) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if ↑a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
u✝ u : XgcdType
h : u.r ≠ 0
⊢ (if x : u.r = 0 then u.finish else u.step.reduce.flip) = u.step.reduce.flip
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => Encodable.encode (Encodable.decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → β × List β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
⊢ Primrec fun a => List.casesOn (f a) (g a) fun b l => h a (b, l)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g x‖
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x + f₂ x‖ ≤ (c₁ + c₂) * ‖g x‖
n : ℕ
α : Type u_1
f : Fin (n + 1) → α
⊢ (Fin.last n).removeNth f = Fin.init f
f : ℝ → ℝ
x a c d : ℝ
l : Filter ℝ
hl : l ≤ 𝓝[≠] x
hf : Filter.Tendsto (fun y => (f y - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
h' : Filter.Tendsto (fun y => y + c * (y - x) ^ 2) l l
⊢ Filter.Tendsto (fun y => (f (y + c * (y - x) ^ 2) - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
α : Type u
Preorder α
Inhabited α
l l' : List α
h : l' < l
hl' : l' ≠ []
⊢ l'.head! ≤ l.head!
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.mgf 0 μ t = (μ Set.univ).toReal
α : Type u_2
β : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
f : α →ₙ+* β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
a b c : Int
⊢ a ≤ b + c ↔ a - c ≤ b
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
AddZeroClass Y
⊢ ∀ (a : LocallyConstant X Y) (a_1 : X), LocallyConstant.coeFnAddMonoidHom a a_1 = a a_1
n : ℕ
b : Bool
⊢ Nat.bit b n ≠ 0 ↔ n = 0 → b = true
α : Type u
β : Type v
K : Type u
inst✝ : DivisionSemiring K
I : Ideal K
⊢ 1 ∉ I → I = ⊥
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
X : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ (X_1 : C),
  (((CategoryTheory.Idempotents.functorExtension₂CompWhiskeringLeftToKaroubiIso C D).hom.app X).app X_1).f =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.obj X_1)
E : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
R : Type u_12
Ring R
Module R E
p : Submodule R E
hp : p = ⊤
x : E
⊢ ↑((LinearIsometryEquiv.ofTop E p hp).symm x) = x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
(i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
(i : ι) → Module R (t' i)
φ ψ : PiTensorProduct R fun i => s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i
⊢ (φ + ψ).piTensorHomMapFun₂ = φ.piTensorHomMapFun₂ + ψ.piTensorHomMapFun₂
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ✝ φ : R →+* A
hφ : Function.Injective ⇑φ
x✝¹ x✝ : EllipticCurve R
h : (fun E => E.map φ) x✝¹ = (fun E => E.map φ) x✝
h1 : x✝¹.map φ = x✝.map φ
h2 : (Units.map ↑φ) x✝¹.Δ' = (Units.map ↑φ) x✝.Δ'
⊢ x✝¹ = x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Monoid α
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : MulAction α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α β
hb : 0 < b
⊢ b ≤ a • b ↔ 1 • b ≤ a • b
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r✝ : α → α → Prop
a b : α
r : α → β → Prop
hr : Relator.BiUnique r
⊢ (fun x x_1 => x ↔ x_1) [].Nodup [].Nodup
R : Type u_1
n : ℕ
CommRing R
x y : R
h : ↑n ∣ x - y
⊢ ↑n ∣ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
⊢ ∃ g, ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → r (f (g m)) (f (g n))
R : Type u
k : Type y
Field R
p : R[X]
Field k
f : R →+* k
⊢ IsUnit (Polynomial.map f p) ↔ IsUnit p