ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f g : MultilinearMap R M₁ M₂
h : f = g
x : (i : ι) → M₁ i
⊢ f x = g x
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : SetLike σ R
inst✝⁶ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝⁵ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝⁴ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝³ : Sub ι
inst✝² : OrderedSub ι
inst✝¹ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
inst✝ : Decidable (i ≤ n)
h : ¬i ≤ n
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) i) r * r') n) = 0
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : π₁.IsPartition
h₂ : π₂.IsPartition
⊢ ∑ J ∈ (π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).boxes, (vol J) (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J)) - ∑ J ∈ (π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).boxes, (vol J) (f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J)) = ∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes, (vol x) (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x)) - ∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes, (vol x) (f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ G.neighborSet v ∪ Gᶜ.neighborSet v = {v}ᶜ
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
a✝ : G
⊢ (a✝ ∈ H ↔ f.symm x * a✝ * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (a✝ ∈ H ↔ f.symm (x * f.toEquiv a✝ * x⁻¹) ∈ H)
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h₁ : IsCoprime (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)
h₂ : Associated (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)
⊢ (∃ X, Associated (X ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S)) ∧ (∃ Y, Associated (Y ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S)) ∧ ∃ Z, Associated (Z ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜'
NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜₂ G'
NormedSpace 𝕜' G'
SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
x x' : M
y : F
⊢ (f (x + x')) y = (f x) y + (f x') y
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
⊢ minimals r (s ∪ t) ⊆ minimals r s ∪ minimals r t
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
a : (i : ι) × α i
b : (i : ι) × β i
⊢ Finset.sigmaLift f a b = ∅ ↔ ∀ (h : a.fst = b.fst), f (h ▸ a.snd) b.snd = ∅
α : Type u
self : UniformSpace α
⊢ Filter.Tendsto Prod.swap UniformSpace.uniformity UniformSpace.uniformity
M : Type u
N : Type v
Monoid M
Monoid N
e : M ≃* N
⊢ e.toSingleObjEquiv.counitIso.hom = CategoryTheory.eqToHom ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.ULift.equivalence.inverse = CategoryTheory.ULift.downFunctor
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f g : Module.End R M
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f ∘ ⇑g
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ μ[f j|↑ℱ i] =ᵐ[μ] f i
R : Type u
Mul R
StarMul R
x : R
hx : IsLeftRegular x
⊢ IsRightRegular (star x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a : α
hp : Prime p
k : ℕ
ha : Finite p a
⊢ Finite p (a ^ (k + 1))
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F G : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
i : ι
⊢ (fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (F + G) ∘ₗ lsingle i = ((fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) F + (fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) G) ∘ₗ lsingle i
x : ℝ
hl : 0 ≤ x
hr : x ≤ 2 * π
⊢ sin (x / 2) = √((1 - cos x) / 2)
b : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
⊢ Function.Surjective (Real.logb b)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
x : α
hf : ContinuousOn f s
hx : x ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt f s x
N k m p : ℕ
⊢ m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ ¬m < p ∧ Prime p ∧ p ∣ m ∧ ¬p < k ↔ ((p < N.succ ∧ Prime p) ∧ (p < k → ¬Prime p)) ∧ m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ p ∣ m
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
⊢ Function.Bijective ⇑f ↔ (LinearMap.range f).topologicalClosure = ⊤ ∧ ∃ c, AntilipschitzWith c ⇑f
x : PartENat
hx : Decidable x.Dom
n✝ : ℕ
hy : Decidable (↑n✝).Dom
⊢ x.toWithTop ≤ (↑n✝).toWithTop ↔ x ≤ ↑n✝
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s₁ s₂ : Finset α
t : Finset β
DecidableEq α
⊢ (s₁ ∪ s₂) • t = s₁ • t ∪ s₂ • t
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
⊢ 𝓝 x = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 (EMetric.ball x ε)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X : OppositeShift C A
a b : A
⊢ (shiftFunctorAdd' (OppositeShift C A) a b (a + b) ⋯).hom.app X = ((shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
r : R
⊢ (∀ (a : M) (b : a ∈ N), ↑(r • ⟨a, b⟩) = ↑0) ↔ ∀ n ∈ N, r • n = 0
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
M : Matrix V V α
v w : V
⊢ (M * adjMatrix α G) v w = ∑ u ∈ G.neighborFinset w, M v u
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, edist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, edist x y ≤ r
⊢ hausdorffEdist s t ≤ r
R : Type u_1
CommSemiring R
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
Fintype l
DecidableEq l
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
g : (l → R) →ₗ[R] n → R
⊢ LinearMap.toMatrix' (f ∘ₗ g) = LinearMap.toMatrix' f * LinearMap.toMatrix' g
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : InnerProductGeometry.angle x y = 0
⊢ ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
θ : Real.Angle
⊢ θ.sign = 0 ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
p : Path x₀ x₁
x✝ : ↑I
⊢ (p.trans (Path.refl x₁)) x✝ = (p.reparam (fun t => ⟨if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1, ⋯⟩) ⋯ ⋯ ⋯) x✝
α : Type u_2
TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.Opens.comap (ContinuousMap.id α) = FrameHom.id (TopologicalSpace.Opens α)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → count x l₁ ≤ count x l₂
this : l₁ <+~ l₂.diff l₁ ++ l₁
⊢ l₂.diff l₁ ++ l₁ ~ l₂
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
h₁ : ¬(w.comap (algebraMap k K)).IsReal
h₂ : w.IsReal
⊢ False
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
⊢ (B ((P.reflection j) (P.root i))) ((P.reflection j) (P.root j)) = P.pairing i j * (B (P.root j)) (P.root j) - (B (P.root i)) (P.root j)
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
inst✝ : LinearOrder α✝
s✝ : Set α✝
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : ι → Set α
c : Set ι
hn : c.Nonempty
hc : DirectedOn (fun i j => f i ⊆ f j) c
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ ⋃ x, f ↑x
this : Nonempty ↑c
⊢ ∃ i ∈ c, ↑s ⊆ f i
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ ⊤ = closure (⇑f.val.base '' ⊤)
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
hX : s ∈ P.parts
⊢ ↑(Fintype.card α) / (2 * ↑(bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊)) ≤ ↑s.card
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
Countable G
MeasurableSpace G
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α ν
MeasurableVAdd G α
s : Set α
fund_dom_s : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s ν
⊢ MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν
  (MeasureTheory.Measure.map (Quotient.mk (AddAction.orbitRel G α)) (ν.restrict s))
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.toFinsupp 0 = 0
x : ℝ
⊢ 0 ≤ Real.arcsin x ↔ 0 ≤ x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f c : Perm α
a : α
ha : a ∈ c.support
hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset
hfc : c.Disjoint (f * c⁻¹) := Disjoint.symm (disjoint_mul_inv_of_mem_cycleFactorsFinset hc)
hfc2 : Commute c (f * c⁻¹) := Disjoint.commute hfc
⊢ f.cycleOf a = c.cycleOf a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
hfmeas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
g : ι → α → E := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)
⊢ UniformIntegrable f p μ
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
u : α
h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a → α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f '' univ
p : α → Prop
⊢ (∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)) → p u
M : Type u_2
α : Type u_3
Monoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, Measurable f
⊢ Measurable fun x => (List.map (fun f => f x) l).prod
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
Finite G
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α
ht : ∀ (g : G), g • t =ᵐ[μ] t
⊢ μ t = Nat.card G • μ (t ∩ s)
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∑ i ∈ s, f i ^ p = 0
i : ι
his : i ∈ s
⊢ f i = 0
α : Type u_1
Denumerable α
n : ℕ
⊢ ∃ a ∈ Encodable.decodeList n, Encodable.encodeList a = n
Fq F : Type
Field Fq
Field F
Algebra Fq[X] F
Algebra (RatFunc Fq) F
IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
⊢ ¬IsField ↥(FunctionField.ringOfIntegers Fq F)
ι : Type u
α : ι → Type v
i : ι
l : List ι
f : (i : ι) → α i
⊢ (List.TProd.mk (i :: l) f).1 = f i
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
X : ℕ → Ω → E
hℒp : Memℒp (X 0) p ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hmeas : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (X i) ℙ
hint : Integrable (X 0) ℙ
havg : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fun ω => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ range n, X i ω) ℙ
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (fun ω => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ range n, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a) p ℙ) atTop (𝓝 0)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
h1 : 1 ∈ S
⊢ (S.toStarSubalgebra h1).toNonUnitalStarSubalgebra = S
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
k : ℕ
M₂ : Type w₁
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L M₂
LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ LieSubmodule.map f (LieModule.lowerCentralSeries R L M k) ≤ LieModule.lowerCentralSeries R L M₂ k
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] M
hf : IsNilpotent f
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) R M := Module.Free.chooseBasis R M
⊢ IsNilpotent ((toMatrix b b) f)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
M : Ideal A
hM : P < M
⊢ M = ⊤
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
α : Type u_2
DecidableEq ι
t : Finset α
i : ι
g : α → M₁ i
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ f (Function.update m i (∑ a ∈ t, g a)) = ∑ a ∈ t, f (Function.update m i (g a))
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : Affine.Simplex ℝ P 1
⊢ s.circumcenter = Finset.centroid ℝ Finset.univ s.points
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
h₁ : 0 < a
h₂ : 0 < b
⊢ a - b < a
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
MetricSpace X
MetricSpace Y
Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
⊢ Metric.glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inl z) ≤
  Metric.glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inr y) + Metric.glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr y) (Sum.inl z)
M : Type u_1
AddZeroClass M
⊢ Nontrivial (AddSubmonoid M) ↔ Nontrivial M
α : Sort u
β : Sort v
f : α ≃ β
x x' : α
⊢ x = x' → f x = f x'
R : Type u_1
Semiring R
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
ι : Type u_4
c : ComplexShape ι
X Y : HomologicalComplex C c
r : R
f : X ⟶ Y
n : ι
⊢ (r • f).f n = r • f.f n
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (W.Q ⋙ lift G hG).map f = eqToHom ⋯ ≫ G.map f ≫ eqToHom ⋯
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
r : R
⊢ (C r).IsHomogeneous 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
n : ℕ
a : α
h : a ∈ decode n
e : encode a = n
⊢ encode (ofNat α n) = n
A : Type u_6
CommRing A
IsDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
⊢ IsDomain (Localization M)
x y : SetTheory.PGame
⊢ x + y ≤ y + x
α : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝³ : DecidableEq (Associates α)
inst✝² : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ p.count p.factors = 1
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
ha : c ≤ a
⊢ c ∉ Set.Ioo a b
x : ℝ
⊢ π / 2 ≤ Real.arcsin x ↔ 1 ≤ x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card
hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
g : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin P.parts.card
hg : ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(g t) < s.card % P.parts.card
z : { x // x ∈ s } → ℕ := fun a => P.parts.card * ↑(f a).snd + ↑(g (f a).fst)
gl : ∀ (a : { x // x ∈ s }), ↑(g (f a).fst) < P.parts.card
less : ∀ (a : { x // x ∈ s }), z a < s.card
z' : { x // x ∈ s } → Fin s.card := fun a => ⟨z a, ⋯⟩
bij : Function.Bijective z'
⊢ ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card
α : Type u
γ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
f : α → γ
this✝ : TopologicalSpace α := ⊥
this : DiscreteTopology α
⊢ Ultrafilter.extend f ∘ pure = f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
h : Relation.TransGen r a b
⊢ Relation.ReflTransGen r a b
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
a : G
b : H
LinearOrderedAddCommGroup G
Archimedean G
OrderedAddCommGroup H
AddConstMapClass F G H a b
f : F
ha : 0 < a
l : G
⊢ Antitone ⇑f ↔ AntitoneOn (⇑f) (Set.Icc l (l + a))
R : Type u_1
A : Type u_2
p : outParam (A → Prop)
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
self : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
⊢ p 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
n : ℕ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h1 : Measurable fun p => (κ p.1) (↑p.2 ×ˢ s) / (ν p.1) ↑p.2
⊢ Measurable ((fun p => (κ p.1) (↑p.2 ×ˢ s) / (ν p.1) ↑p.2) ∘ fun p => (p.1, ⟨countablePartitionSet n p.2, ⋯⟩))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : α
⊢ (FreeMonoid.map f) (FreeMonoid.of x) = FreeMonoid.of (f x)
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ λ ^ 2 ∣ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3
α : Type u_4
A : Type u_5
AddCommMonoid A
Finset.HasAntidiagonal A
TopologicalSpace α
NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
T3Space α
TopologicalSemiring α
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2
⊢ (∑' (n : A), f n) * ∑' (n : A), g n = ∑' (n : A), ∑ kl ∈ Finset.antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f : α → M
⊢ Set.EqOn (s.indicator f) f s
R S T : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
hf : f.IsIntegral
hg : g.IsIntegral
⊢ (g.comp f).IsIntegral
α : Type u
p : α → Prop
fs : Set (Filter α)
⊢ (∀ᶠ (x : α) in sSup fs, p x) ↔ ∀ f ∈ fs, ∀ᶠ (x : α) in f, p x
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
⊢ ∫ (x : E), ∫ (t : ℝ), (B (f (x, t))) (g' (x, t)) ∂μ = ∫ (x : E), -∫ (t : ℝ), (B (f' (x, t))) (g (x, t)) ∂μ
a b : ℤ
⊢ Finset.Ioo a b = Finset.map (Nat.castEmbedding.trans (addLeftEmbedding (a + 1))) (Finset.range (b - a - 1).toNat)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • 2 • (innerSL ℝ) x₀ + b • 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0
⊢ a • (innerSL ℝ) x₀ + b • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ ((a :: l)[↑0] :: ofFn fun i => (a :: l)[↑i.succ]) = a :: l
E : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
n : ℕ
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : PartialOrder F
inst✝¹ : MeasureSpace F
inst✝ : BorelSpace F
eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ
he_ord : ∀ (x y : F), eL x ≤ eL y ↔ x ≤ y
he_vol : MeasurePreserving (⇑eL) volume volume
f : Fin (n + 1) → F → E
f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E
s : Set F
hs : s.Countable
a b : F
hle : a ≤ b
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x
DF : F → E
hDF : ∀ (x : F), DF x = ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i))
Hi : IntegrableOn DF (Set.Icc a b) volume
he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL
hIcc : ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b) = Set.Icc a b
hIcc' : Set.Icc (eL a) (eL b) = ⇑eL.symm ⁻¹' Set.Icc a b
⊢ ∫ (x : F) in Set.Icc a b, ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i)) = ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Set.Icc (eL a) (eL b), ∑ i : Fin (n + 1), (f' i (eL.symm x)) (eL.symm (e i))
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
j : K →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar M p
PerfectRing M p
IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
h : i y = x ^ p ^ n
⊢ PerfectRing.liftAux i j p x = (iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ
h : a ≤ b
⊢ (volume (Icc a b)).toReal = ∏ i : ι, (b i - a i)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
⊢ ∑ σ : Perm n, ∑ τ : Perm n, (∏ i : n, N (σ i) i) * (↑↑(sign σ) * ↑↑(sign τ)) * ∏ i : n, M (τ i) i = M.det * N.det
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTrans α r
IsAntisymm α r
IsTotal α r
s : Finset α
⊢ ↑(Finset.sort r s) = s.val
R : Type u
A : Type w
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
x : A
r : R
⊢ x * (x - (algebraMap R A) r) = (x - (algebraMap R A) r) * x
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n
⊢ (bind₁ fun k => 1) ((X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)) * C (⅟↑p ^ n)) = 0
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq K
w : m → K
hu : univ ⊆ {i | w i = 0}ᶜ ∪ {i | w i = 0}
hd : Disjoint {i | w i ≠ 0} {i | w i = 0}
B₁ : ⨆ i ∈ {i | w i ≠ 0}, range (stdBasis K (fun x => K) i) = ⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)
⊢ (toLin' (Matrix.diagonal w)).rank = ↑(Fintype.card { i // w i ≠ 0 })
R : Type u_1
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : StarMul R
U : R
hU : U ∈ unitary R
⊢ star (star U) * star U = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G F' G' : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : F' ⟶ G'
X : C
⊢ (α ⊗ β).app X = α.app X ⊗ β.app X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
T : Set (Set β)
hT : T.Nonempty
s : Set α
⊢ s ×ˢ ⋂₀ T = ⋂ t ∈ T, s ×ˢ t
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
t : ℝ
ht₁ : t ≤ 1
ht₀ : t ∈ Ioi 0
⊢ x + t • y ∈ (fun θ => x + θ • y) '' Icc 0 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
⊢ deriv id = fun x => 1