ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in Filter.cocardinal α hreg, p x) ↔ #↑{x | ¬p x} < c
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
x : ↑X
⊢ HEq ⟦H.evalAt x⟧ (Path.Homotopic.Quotient.mapFn ((prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} ↑I)) X).map (⟦unitInterval.upath01⟧, 𝟙 (fromTop x))) H.uliftMap)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
x : M
c : ℕ
w : n ≤ n + c
h : ∃ y, (f ^ (n + c)) y = x
⊢ x ∈ (fun n => range (f ^ n)) n
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ Subsingleton (M ⧸ p) ↔ p = ⊤
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : { p // p.length = 2 }
⊢ ↑((G.walkLengthTwoEquivCommonNeighbors u v) p) = (↑p).getVert 1
v : Multiset ℕ+
h : ∀ p ∈ v, p.Prime
⊢ (ofPNatMultiset v h).toPNatMultiset.prod = v.prod
α : Type u_1
l✝ : List α
p q : α → Bool
l : List α
⊢ countP (fun a => p ↑a) l.attach = countP p l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
F : CategoryTheory.Limits.ImageFactorisation f.hom
sq : f ⟶ g
CategoryTheory.IsIso sq
⊢ (F.ofArrowIso sq).F = F.F.ofArrowIso sq
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
s t : Set ι
y : α
h_disjoint : s.PairwiseDisjoint f
hy : y ∈ ⋃ i ∈ s, f i
⊢ ∀ (y₁ y₂ : ι), y₁ ∈ s ∧ y ∈ f y₁ → y₂ ∈ s ∧ y ∈ f y₂ → y₁ = y₂
b : Bool
n : ℤ
⊢ (Int.bit b n).lnot = Int.bit (!b) n.lnot
m n k : Nat
⊢ m % (k * n) / n = m / n % k
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
SMul 𝕜 β
ContinuousConstSMul 𝕜 β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
c : 𝕜
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (c • f)
α : Type u
l l' : List α
⊢ l ~r l' ↔ l' ∈ map l.rotate (range (l.length + 1))
x y : Nat
⊢ max x.succ y.succ = (max x y).succ
ι : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
IsDomain R
GCDMonoid R
Unique Rˣ
n : ℕ
c : R
s : Finset ι
f : ι → R
h : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → IsCoprime (f i) (f j)
hprod : ∏ i ∈ s, f i = c ^ n
i : ι
⊢ i ∈ s → ∃ d, f i = d ^ n
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
hf : f < 1
⊢ ∏ i : ι, f i < 1
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
⊢ ¬IsUnramified k w ↔ w.IsComplex ∧ (w.comap (algebraMap k K)).IsReal
X : Type u
Y : Type v
Preorder X
Preorder Y
f : CategoryTheory.Functor X Y
⊢ Monotone f.obj
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsStronglyCartesian f φ
⊢ map p f φ ⋯ φ = 𝟙 a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
hg : Differentiable 𝕜 f
⊢ (Differentiable 𝕜 fun y => f y + g y) ↔ Differentiable 𝕜 g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofiltered C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
L : CategoryTheory.Functor C D
L.IsLeftAdjoint
⊢ CategoryTheory.IsCofiltered D
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
self : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
n a n' : ℤ
h : a + n' = n
X : C
hX : self.GE n X
⊢ self.GE n' ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X)
a b d : ℕ
c : ℕ
H : a % d = b % d
⊢ (c + a) % d = (c + b) % d
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
Zero ι
AddGroupWithOne R
SetLike σ R
AddSubgroupClass σ R
A : ι → σ
SetLike.GradedOne A
z : ℤ
⊢ ↑z ∈ A 0
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
this : (WellFounded fun x x_1 => x > x_1) ↔ ∀ (k : Submodule R M), CompleteLattice.IsCompactElement k
⊢ IsNoetherian R M ↔ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
A : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
H✝ : Type u_3
inst✝² : Group H✝
inst✝¹ : IsSimpleGroup G
inst✝ : Nontrivial H✝
f : G →* H✝
hf : Function.Surjective ⇑f
H : Subgroup H✝
iH : H.Normal
h : comap f H = ⊥
⊢ H = ⊥
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (P.X ⊗ Q.X) ◁ T.one ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
p q : ℝ
hp✝ : 0 ≤ p
hq✝ : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
hp : 0 < p
hq : 0 < q
h2p : 1 < 1 / p
h2pq : (1 / p)⁻¹ + (1 / q)⁻¹ = 1
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ^ p * g a ^ q ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) ^ p * (∫⁻ (a : α), g a ∂μ) ^ q
R : Type uR
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
x✝ : Dual R M₂
⊢ x✝ ∈ ker f.dualMap ↔ x✝ ∈ (range f).dualAnnihilator
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
p : α → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
h₀ : abs ⟨a, f⟩ = x
h₁ : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
⊢ Subtype.val <$> abs ⟨a, fun i => ⟨f i, ⋯⟩⟩ = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : SurjOn f s t
⊢ LeftInvOn (invFunOn f s) f (invFunOn f s '' t)
n : ℕ
ih : ∀ m ≤ n, (treesOfNumNodesEq m).card = catalan m
⊢ ∑ u ∈ antidiagonal n, (pairwiseNode (treesOfNumNodesEq u.1) (treesOfNumNodesEq u.2)).card = ∑ ij ∈ antidiagonal n, catalan ij.1 * catalan ij.2
ι : Type u_1
R : Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
CommRing R
M : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
⊢ (LinearMap.lsum R M R) LinearMap.single = LinearMap.id
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
n : ℕ
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
H : C ⥤ D
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategory.Truncated n ⥤ C} (α : X ⟶ Y) (X_1 : SimplexCategory.Truncated n),
  (((CategoryTheory.CosimplicialObject.Truncated.whiskering C D).obj H).map α).app X_1 = H.map (α.app X_1)
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v : ι → M
v' : ι → M'
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ f (update (update v j (v i)) i (v j)) + f v = 0
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ
z : ℂ
hre : ↑n * ‖Real.log z.re‖ ≤ ‖z.re‖
him : |z.im| ^ n ≤ Real.exp z.re
h₁ : 1 < z.re
hle : |z.im| ≤ z.re
⊢ ↑n * ‖Real.log (max z.re |z.im|)‖ ≤ ‖z.re‖
α : Type u
ι : Type v
A : ι → Set α
s : Set ι
⊢ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk ↑(⋃ x ∈ s, A x)) ≤
  Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk ↑s) * ⨆ x, Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk ↑(A ↑x))
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] E
h : IsProj p f
⊢ IsCompl p (ker f)
α : Type u_1
SeminormedAddCommGroup α
C : ℝ
u : ℕ → α
r : ℝ
hr : r < 1
h : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
⊢ CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Monotone (MeasurableSpace.map f)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
CommMonoidWithZero γ
Nontrivial γ
NoZeroDivisors γ
(i : ι) → DecidableEq (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
g : (i : ι) → β i → γ
⊢ f.prod g = 0 ↔ ∃ i ∈ f.support, g i (f i) = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
h : HasStrongEpiMonoFactorisations C
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ Nonempty (StrongEpiMonoFactorisation f)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
s : Set α
⊢ ⨆ i, (μ.restrict (MeasureTheory.spanningSets μ i)) s = μ s
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
w : InfinitePlace K
⊢ (Finset.filter (fun x => x = w.embedding ∨ x = star w.embedding) Finset.univ).card = w.mult
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
a : F.A
x : F.B a → F.M
i : F.B (M.mk ⟨a, x⟩).head
⊢ F.B (M.mk ⟨a, x⟩).head = F.B a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ ↑N = ⊥ ↔ N = ⊥
s : Finset ℕ
m : ℕ
hm : m ≠ 0 ∧ ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p ∈ s
⊢ m.primeFactors ⊆ s
M : Type u_1
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MeasurableSpace M
inst✝³ : MeasurableMul₂ M
μ ν ρ : Measure M
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ρ
⊢ map (fun x => x.1 * x.2) ((μ + ν).prod ρ) = map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod ρ) + map (fun x => x.1 * x.2) (ν.prod ρ)
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_3
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
M₃ : Type u_4
TopologicalSpace M₃
AddCommGroup M₃
M₄ : Type u_5
TopologicalSpace M₄
AddCommGroup M₄
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
TopologicalAddGroup M₄
e : M ≃L[R] M₂
e' : M₃ ≃L[R] M₄
f : M →L[R] M₄
x : M × M₃
⊢ (e.skewProd e' f) x = (e x.1, e' x.2 + f x.1)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this✝ : Inhabited I
m : Products I →₀ ℤ
hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}
hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
this : (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l) = (Linear_CC' C hsC ho) (m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod)
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
self : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ Continuous self.invFun
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ MulOpposite.op (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
m : Fin 0 → E
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 0 f x) m = f x
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addCHaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) =
  MeasureTheory.Measure.haar.addCHaar K₀ K₁ + MeasureTheory.Measure.haar.addCHaar K₀ K₂
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : K ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
k : K
⊢ (limit.isLimit G).lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm ((isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G)).functor.obj (limit.cone F)) ≫ limit.π G k = limit.π F (e.inverse.obj k) ≫ w.inv.app (e.inverse.obj k) ≫ G.map (e.counit.app k)
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
ϕ : L →ᴸ L'
M : Type u_1
L.Structure M
L'.Structure M
self : ϕ.IsExpansionOn M
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap (ϕ.onFunction f) x = FirstOrder.Language.Structure.funMap f x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : LinearIndependent F v
⊢ LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
ζ ξ : Rˣ
k : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ↑ζ ↑k
hξ : ↑ξ ^ ↑k = 1
⊢ ∃ i < ↑k, ↑ζ ^ i = ↑ξ
n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n (ZMod p)
⊢ (M ^ p).charpoly = M.charpoly
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
GroupWithZero G₀
Bornology G₀
MulAction G₀ α
s t u : Set α
⊢ Absorbs G₀ (s ∩ t) u ↔ Absorbs G₀ s u ∧ Absorbs G₀ t u
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →+* β), ↑f = ↑f
α : Type u_1
CommMonoid α
x y : α
⊢ IsRelPrime x y ↔ IsRelPrime y x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ pathComponent x ⊆ connectedComponent x
p : ℕ →. Bool
n : ℕ
x✝ : true ∈ p n ∧ ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
h₁ : true ∈ p n
h₂ : ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
m : ℕ
hm : m ∈ rfind p
h : n < m
⊢ n ∈ rfind p
α : Type u_1
β : Type u_2
k : α
l : List (α × β)
x : α × β
p : α × β → Bool
f : α × β → β
⊢ x ∈ List.replaceF (fun a => bif p a then some (k, f a) else none) l → x.fst = k ∨ x ∈ l
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
f'' : α → E''
g'' : α → F''
h : ∀ (x : α), g'' x = 0 → f'' x = 0
⊢ f'' =O[Filter.cofinite] g'' ↔ ∃ C, ∀ (x : α), ‖f'' x‖ ≤ C * ‖g'' x‖
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
self : Algebra R A
r : R
x : A
⊢ Algebra.toRingHom r * x = x * Algebra.toRingHom r
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
⊢ (Stonean.pullback.cone f hi).π =
  {
    app := fun j =>
      Option.rec (Stonean.pullback.fst f hi ≫ f)
        (fun val => CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (Stonean.pullback.fst f hi) (Stonean.pullback.snd f hi) val)
        j,
    naturality := ⋯ }
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
h_Union : (⋃ i, s i).Nonempty
⊢ Nonempty ι
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
s : Stream' α
⊢ Stream'.map f (l ++ₛ s) = List.map f l ++ₛ Stream'.map f s
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ IsLinearMap R fun x => x.1 + x.2
α : Type u_1
a a' b b' : α
p : a = b
p₁ : a = a'
p₂ : b = b'
⊢ a' = b'
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_3
S : Finset ι
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
⊢ S.SupIndep fun i => Submodule.torsionBy R M (q i)
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderBot α
Finite α
s : { s // SupIrred s }
Fintype ↥↑s
⊢ OrderIso.supIrredLowerSet.symm s = (↑↑s).toFinset.sup id
α : Sort u
β : α → Sort v
b b' : (a : α) → β a
a : α
h : ∀ (x : α), b x = b' x
⊢ (let x := a;
  b x) =
  let x := a;
  b' x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
c' : 𝕜
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hx : c x ≠ 0
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => (c y)⁻¹) (-c' / c x ^ 2) s x
⊢ {0}ᶜ ∈ cobounded ℂ
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : I ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type u₂)
A : C
i : I
⊢ (coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda F).hom.app A ≫ (limit.π (F.op ⋙ coyoneda) (op i)).app A = (coyoneda.map (colimit.ι F i).op).app A
α : Type u_2
β : Type u_3
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
f : α →*₀ β
⊢ ⇑↑f = ⇑f
α : Type u
β : Type v
e : Equiv.Perm α
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
⊢ (e.extendDomain f)⁻¹ = e⁻¹.extendDomain f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
⊢ a < o.blsub f ↔ ∃ i, ∃ (hi : i < o), a ≤ f i hi
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
hm : m ≠ 0
⊢ ↑m ≠ 0
α : Type u
x a : α
s : Set α
⊢ x ∈ insert a s → x = a ∨ x ∈ s
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
a : ℝ
A : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, HasDerivAt (fun x => Real.log x) x⁻¹ x
⊢ ¬IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Ici a) volume
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
h_le : f ≤ᶠ[ae μ] g
h : ∃ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ g x
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ < ∫⁻ (x : α), g x ∂μ
a x z✝ z : ℂ
hπ : 0 < π
hz : z ≠ 0
N : ℤ
hN : z.arg + ↑N * (2 * π) ∈ Ioc (-π) π
this : (↑(abs z) * (cos ↑(z.arg + ↑N * (2 * π)) + sin ↑(z.arg + ↑N * (2 * π)) * I)).arg = z.arg + ↑N * (2 * π)
⊢ (↑(abs z) * (cos (↑z.arg + ↑N * (2 * ↑π)) + sin (↑z.arg + ↑N * (2 * ↑π)) * I)).arg ∈ Ioc (-π) π
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
I : Ideal S
hI : comap (algebraMap R S) I ≤ P
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
Iₚ : Ideal Sₚ := map (algebraMap S Sₚ) I
hI' : Disjoint ↑(Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl) ↑I
this : Iₚ ≠ ⊤
M : Ideal Sₚ
hM : M.IsMaximal
hM' : Iₚ ≤ M
x : R
hx : x ∈ comap (algebraMap R S) (comap (algebraMap S Sₚ) M)
hx' : x ∉ P
⊢ False
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
f : F →SL[σ₂₃] G
g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F
⊢ ‖f.comp g.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap‖ = ‖f‖
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Computable G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Computable₂ G
a : α
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
m1 : (unpair m).1 < n + 4
m2 : (unpair m).2 < n + 4
⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4)))
a b c : Cardinal.{u_1}
h : b ≤ c
⊢ a ^< b ≤ a ^< c
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
U : Submodule R M
x y : M
⊢ x ≡ y [SMOD U] ↔ x - y ∈ U
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
L : Type u_4
Field L
C : Type u_5
CommRing C
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
Algebra C L
IsIntegralClosure C A L
Algebra A C
IsScalarTower A C L
Algebra.IsAlgebraic K L
⊢ IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid C A⁰) L
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
GroupWithZero α
MulAction α β
s t : Finset β
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ a • symmDiff s t = symmDiff (a • s) (a • t)
a b ab : ℕ
r : ℤ
hab : a % b = ab
hr : Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat ab b = r
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat a b = r
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
⊢ Finset.memberSubfamily a (𝒜 ∪ ℬ) = Finset.memberSubfamily a 𝒜 ∪ Finset.memberSubfamily a ℬ
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
r : L.Relations 2
⊢ M ⊨ r.reflexive ↔ Reflexive fun x y => FirstOrder.Language.Structure.RelMap r ![x, y]
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
f : F
I : Ideal R
x : R
h : x ∈ I
⊢ f x ∈ Ideal.map f I
α : Type u_1
β : Type u_2
s₀ s₁ : Set (α → β)
t₀ t₁ : Set α
hs : s₀ ⊆ s₁
ht : t₀ ⊆ t₁
⊢ s₀.seq t₀ ⊆ s₁.seq t₁
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : M
w : σ → M
hφ : IsWeightedHomogeneous w φ n
d : σ →₀ ℕ
hd : (weight w) d ≠ n
⊢ coeff d φ = 0
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
κ' : κ → Sort u_6
f : (i : κ) → κ' i → Ideal A
h : ∀ (i : κ) (j : κ' i), Ideal.IsHomogeneous 𝒜 (f i j)
⊢ Ideal.IsHomogeneous 𝒜 (⨆ i, ⨆ j, f i j)
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
R : Type u_5
MonoidWithZero R
DistribMulAction R V₂
PseudoMetricSpace R
BoundedSMul R V₂
r : R
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ⇑(r • f) = r • ⇑f
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
⊢ multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) = multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑n
a b m n p✝ p r i : ℕ
pp : Prime p
hr0 : r ≠ 0
h : (p * i + r).factorization p = 0
⊢ ¬p ∣ r
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : (f z - 1) * (starRingEnd ℂ) (f z - 1) = (z - 1) * (starRingEnd ℂ) (z - 1)
⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
CommRing A
LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : Ideal.IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ I.IsPrime ↔ I ≠ ⊤ ∧ ∀ {x y : A}, SetLike.Homogeneous 𝒜 x → SetLike.Homogeneous 𝒜 y → x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.WeaklyRegular
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ K ⊆ s, IsClosed K ∧ μ s < μ K + ε
α : Type u
s : Setoid α
⊢ Cardinal.mk (Quotient s) ≤ Cardinal.mk α
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
StarAddMonoid F
NormedSpace 𝕜 F
StarModule 𝕜 F
ContinuousStar F
f : E → F
x : E
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => star (f y)) x