ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
Nonempty α
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ ∃ M, ∀ i ∈ s, i ≤ M
K : Type u_1
RCLike K
n : ℤ
⊢ ↑↑n = ↑n
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
⊢ ¬Memℒp X 2 μ → evariance X μ = ⊤
n : ℕ
a : Fin n
⊢ (Finset.Ici a).card = n - ↑a
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
this : 0 ≤ cfc id a ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ id x
⊢ 0 ≤ a ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ x
⊢ typesGrothendieckTopology = Sheaf.canonicalTopology (Type u)
n : ℕ
⊢ 0 < ↑n + 1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
P : (H → H') → Set H → H → Prop
f : M → M'
⊢ LiftProp P f ↔ Continuous f ∧ ∀ (x : M), P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x)
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B : LinearMap.BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
⊢ IsCompl W (B.orthogonal W)
α : Type u
lt : α → α → Prop
DecidableRel lt
a b : α
⊢ (cmpUsing lt a b = Ordering.lt) = lt a b
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A B : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
x : ℍ
e3 : (A * B) • x = A • B • x
⊢ f ((A * B) • x) * ↑(↑↑(A * B)).det ^ (k - 1) * (denom A (smulAux B x) * denom B x) ^ (-k) = f (A • B • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * denom A (B • x) ^ (-k) * ↑(↑↑B).det ^ (k - 1) * denom B x ^ (-k)
s : Finset ℕ
m n✝ p n k : ℕ
hn : n ≠ 1
hk : k ≠ 0
h : Squarefree (n ^ k)
h₁ : ¬k = 1
this : 2 ≤ k
⊢ n * n ∣ n ^ k
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
⊢ legendreSym p (a ^ 2) = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
SemilatticeSup M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.weightedTotalDegree' w p = ⊥ ↔ p = 0
m n : Nat
k : Nat
hmn : m.Coprime n
⊢ (k.gcd m).Coprime n
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : R[X]
m : PolynomialModule R M
⊢ f • m = ((Polynomial.aeval (Finsupp.lmapDomain M R Nat.succ)) f) m
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
i : ι
this : TopologicalAddGroup E
⊢ Continuous ⇑(p i)
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharZero R
u : Rˣ
⊢ u ≠ -u
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
AddGroup G
LieAddGroup I G
⊢ TopologicalAddGroup G
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
TopologicalSpace 𝕜
VAdd 𝕜 β
ContinuousVAdd 𝕜 β
f : α → 𝕜
g : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => f x +ᵥ g x) μ
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X : PresheafedSpace C
U : (Opens ↑↑X)ᵒᵖ
⊢ (𝟙 X).c.app U = X.presheaf.map (𝟙 U)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : 0 ≤ B
⊢ ‖(map f p).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ d * ↑(d.choose (d / 2))
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ map (f ≫ g) = map f ⋙ map g
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
x : AddMonoid.Coprod M N
⊢ (AddMonoid.Coprod.swap N M) ((AddMonoid.Coprod.swap M N) x) = x
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.addFundamentalInterior G s ⊆ s
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ
⊢ (((k + 1)! • hasseDeriv (k + 1)) f).coeff n = ((⇑derivative)^[k + 1] f).coeff n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Comonad C
X : T.Coalgebra
⊢ (CategoryTheory.Comonad.CofreeEqualizer.topMap X).f = T.map X.a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
CategoryTheory.Limits.HasCokernel (CategoryTheory.Limits.image.ι f)
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.factorThruImage f)
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernelImageι f).inv =
  CategoryTheory.Limits.cokernel.desc f (CategoryTheory.Limits.cokernel.π (CategoryTheory.Limits.image.ι f)) ⋯
ι : Type u_1
Small.{u, u_1} ι
f : ι → Surreal
⊢ BddAbove (Set.range f)
α : Type u_4
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
x : α × α
⊢ x.swap ∈ G.interedges s t ↔ x ∈ G.interedges t s
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
A : Set M
α : Type u₁
s t : L.DefinableSet A α
⊢ ↑(s ⊓ t) = ↑s ∩ ↑t
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
⊢ ⊤ ≤ Submodule.span ℝ ↑(unitLattice K)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
f : k →+* R
g : G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G
a : G
b : k
⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (Finsupp.single a (c * b)) = f c * (liftNC ↑f ⇑g) (Finsupp.single a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u v : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
⊢ s ∪ t.erase a = s ∪ t
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ (μ {ω | ε ≤ X ω}).toReal ≤ rexp (-t * ε + cgf X μ t)
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
Zero β
TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
b : β
nhd_b : {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
nhd_o : {b}ᶜ ∈ 𝓝 0
x : α
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (As i).indicator (fun x => b) x) L (𝓝 (A.indicator (fun x => b) x)) ↔
  ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup β
a : FreeAbelianGroup α
f g : α → β
⊢ (FreeAbelianGroup.lift (f + g)) a = (FreeAbelianGroup.lift f) a + (FreeAbelianGroup.lift g) a
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁴ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
a✝ b✝ c : α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (a - 1) * b = a * b - b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.42589, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.42593, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
ψ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h₁.IsPreservedBy F
inst✝ : h₂.IsPreservedBy F
⊢ (h₁.map F).p ≫ F.map ψ.φQ = (F.mapShortComplex.map φ).τ₂ ≫ (h₂.map F).p
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ Finset.image f s.toFinset = (Multiset.map f s).toFinset
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
CompactSpace α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
Fact (1 ≤ p)
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
f : C(α, E)
⊢ ↑↑((ContinuousMap.toLp p μ 𝕜) f) =ᵐ[μ] ⇑f
V : Type u
G : SimpleGraph V
u u' : V
p : G.Walk u u
hu : u = u'
⊢ (p.copy hu hu).IsCircuit ↔ p.IsCircuit
k : ℕ
⊢ (π / 2)⁻¹ * W k = (∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1)) / ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
⊢ ∀ a ∈ Ico 0 (↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹), a ^ d₂ ≤ (↑c • fun r => r ^ d₁) a
G : Type u_2
S : Type u_4
SetLike S G
DivInvMonoid G
SubgroupClass S G
H : S
⊢ ↑H * ↑H = ↑H
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul G G
c : G
⊢ (IsometryEquiv.mulLeft c).toEquiv = Equiv.mulLeft c
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p * q).leadingCoeff = p.leadingCoeff * q.leadingCoeff
α : Type u_1
MeasurableSpace α
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
φ : α → F →L[𝕜] E
μ : MeasureTheory.Measure α
hφ : AEMeasurable φ μ
v : F
⊢ AEMeasurable (fun a => (φ a) v) μ
R✝ : Type u
inst✝²⁷ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝²⁶ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝²⁵ : CommRing S
inst✝²⁴ : Algebra R S
A : Type u
inst✝²³ : CommRing A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Algebra S A
inst✝²⁰ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝¹⁹ : CommRing B
inst✝¹⁸ : Algebra R B
inst✝¹⁷ : Algebra S B
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R S B
f✝¹ : A →ₐ[S] B
F : Type u
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Algebra R F
inst✝¹³ : Algebra S F
inst✝¹² : IsScalarTower R S F
K : Type v
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : Algebra S K
inst✝⁸ : IsScalarTower R S K
f✝ : F →ₐ[S] K
L : Type w
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
g : K →ₐ[S] L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsScalarTower R F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : IsScalarTower R F L
f : K →ₐ[F] L
P : W⟮F⟯
this : Subsingleton (F →ₐ[F] L)
⊢ (map W f) ((baseChange W F K) P) = (baseChange W F L) P
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MonoidWithZero M₀
l✝ : List M₀
a : M₀
l : List M₀
h : 0 ∈ a :: l
hl : 0 ∈ l
⊢ a * l.prod = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
x : β
e : α ≃ { y // y ≠ x }
b : { y // y ≠ x }
⊢ ↑b = x → False
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ LinearMap.range f.dualMap = (LinearMap.ker f).dualAnnihilator
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
g' : cokernel S.f ⟶ S.X₃ := cokernel.desc S.f S.g ⋯
hg' : g' = cokernel.π γ ≫ cokernel.desc γ g' ⋯
⊢ S.RightHomologyData
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
I : Ideal R
Ibot : ⊥ < I
Itop : I < ⊤
⊢ ⊥ < M
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0 : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
⊢ (cfcₙHom ha) f = cfcₙ (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : Nonempty ↑(Ioi a)
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a ∧ Iio a ⊆ s
b : α
hab : a < b
hbs : Ico a b ⊆ s
⊢ ∃ i, a < i ∧ Iio i ⊆ s
α : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
h : a < b
⊢ a - c < b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq0_lt : 0 < q
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = eLpNorm' f q μ ^ q
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c : α
h : IsUnit b
a : α
⊢ b / (a * b) = a⁻¹
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ
hs : s.Nonempty
⊢ ofDual (s.max' hs) = (image (⇑ofDual) s).min' ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
s : Set β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
v : β → α
⊢ ((blimsup (s.piecewise u v) f fun x => x ∈ s) ⊔ blimsup (s.piecewise u v) f fun x => x ∉ s) = (blimsup u f fun x => x ∈ s) ⊔ blimsup v f fun x => x ∉ s
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ (a ⊓ b) ∆ (a ∆ b) = a ⊔ b
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
c1 c2 : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ (c1 * c2).deg = c1.deg + c2.deg
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
this : ν = ν.restrict univ
⊢ (μ.restrict s).prod ν = (μ.prod ν).restrict (s ×ˢ univ)
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
n : ℕ
⊢ (↑n + a) ^ 0 * rexp (-π * (↑n + a ^ 2) * t) = rexp (-π * a ^ 2 * t + ↑n * (-π * t))
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
⊢ W.ΨSq ↑n = W.preΨ' n ^ 2 * if Even n then W.Ψ₂Sq else 1
α : Type u
PseudoMetricSpace α
f : α → ℝ
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
x y : α
⊢ f x ≤ f y + ↑K * dist x y
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
l : L₁ ⟶ L₂
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L₂ R} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comma.mapLeft R l).map f).left = f.left
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s
hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ
g' : α → β := invFun g
⊢ ∃ h, Bijective h
n b m : ℕ
hm : m ≠ 0
this : (b + 2).digits m ≠ []
⊢ m = ofDigits (b + 2) ((b + 2).digits m)
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁✝ K₂✝ : Subgroup G
K₁ K₂ : Subgroup G'
⊢ ⁅H₁, H₂⁆.prod ⁅K₁, K₂⁆ ≤ ⁅H₁.prod K₁, H₂.prod K₂⁆
p : ℝ[X]
⊢ Differentiable ℝ fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x
X : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace X
BaireSpace X
S : Set α
f : (x : α) → x ∈ S → Set X
ho : ∀ (s : α) (H : s ∈ S), IsGδ (f s H)
hS : S.Countable
hd : ∀ (s : α) (H : s ∈ S), Dense (f s H)
⊢ Dense (⋂ s, ⋂ (h : s ∈ S), f s h)
n k : ℕ
hn : 0 < n
hk : 0 < k
⊢ ⟨n, hn⟩ < ⟨k, hk⟩ ↔ n < k
𝓕 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
FunLike 𝓕 E F
MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
⊢ Isometry ⇑f ↔ ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖x‖
J : Type w
X : CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape J
⊢ (CategoryTheory.Limits.widePushoutShapeOp J).obj X = Opposite.op X
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y z : F
⊢ ⟪x, y - z⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪x, z⟫_𝕜
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
⊢ TypeVec.lastFun TypeVec.fromAppend1DropLast = id
G : Type u_10
AddGroup G
a : G
⊢ Function.Bijective fun x => a + x
m n✝¹ n✝ a✝ n : ℕ
hpos : NeZero n
a : ZMod n
⊢ (if a.val ≤ n / 2 then ↑a.val else ↑a.val - ↑n).natAbs = min a.val (n - a.val)
R : Type u
Ring R
r a : R
⊢ Polynomial.rootMultiplicity a (Polynomial.C r) = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β
CommMonoid β
s : Finset α
(x : α) → Decidable (f x ≠ 1)
⊢ ∏ x ∈ Finset.filter (fun x => f x ≠ 1) s, f x = ∏ x ∈ s, f x
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield K
p q : ℚ≥0
⊢ ↑q < 0 ↔ q < 0
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
g : γ → δ
f' : α' → β' → δ
g₁ : α → α'
g₂ : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ a) (g₂ b)
⊢ g '' image2 f s t = image2 f' (g₁ '' s) (g₂ '' t)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalStrip 0 1
⊢ ‖f z‖ ≤ ‖interpStrip f z‖
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
PartialOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioo a b =ᵐ[μ] Set.Ico a b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : ℕ →o (Submodule R M)ᵒᵈ
⊢ ∃ i, ∀ (j : ℕ), i ≤ j → f i = f j
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsCompact s
h's : MeasurableSet s
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ IsSeparable (f '' s)
M : Type u_3
AddCommGroup M
⊢ ⇑AddSubgroup.toIntSubmodule.symm = Submodule.toAddSubgroup
a b : ℝ
n : ℕ
this : ∫ (x : ℝ) in a..b, x ^ 1 = (b ^ (1 + 1) - a ^ (1 + 1)) / (↑1 + 1)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x = (b ^ 2 - a ^ 2) / 2
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
m : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
n : ℕ
⊢ (φ ^ n).IsHomogeneous (m * n)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
r : 𝕜
⊢ ⟪r • f, g⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) r * ⟪f, g⟫_𝕜
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
Add β
MeasurableAdd₂ β
f : ι → Ω → β
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
hf_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hij : i ≠ j
hik : i ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (f i) (f j + f k) κ μ
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L := let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J; { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' ≤ I ∧ J' ≠ I
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : ℕ → Set (β × γ)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf_disj : Pairwise (Disjoint on f)
h_Union : (fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ ⋃ i, f i}) = fun b => (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i})
h_tsum : (fun b => (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i})) = fun b => ∑' (i : ℕ), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ f i}
⊢ ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i}) ∂κ a = ∑' (i : ℕ), κ.compProdFun η a (f i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_3
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
Nontrivial E
⊢ ‖ContinuousLinearMap.lsmul 𝕜 𝕜'‖ = 1
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
DecidableRel f.SameCycle
x : α
n : ℕ
⊢ (f.cycleOf x ^ n) x = (f ^ n) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : ⟪u - v, w⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ⟪u - v, w⟫_ℝ = 0
C : ℕ → Sort u
⊢ Function.Injective fun H n => n.bitCasesOn H
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
f g : ι → α
B : BddAbove (Set.range g)
H : ∀ (x : ι), f x ≤ g x
⊢ iSup f ≤ iSup g
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
⊢ 2 ∣ (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 ∧ 2 ∣ (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 ∧ ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0 ∧ (((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2).gcd (((m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2) = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖↑(toSimpleFunc f) x‖₊ ∂μ).toReal = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
ifp_n : GenContFract.IntFractPair K
nth_stream_eq : GenContFract.IntFractPair.stream v n = some ifp_n
⊢ ifp_n.fr < 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk S.v₁₂.τ₁ S.v₂₃.τ₁ ⋯).Exact
α : Type u_1
l : List (Option α)
x : α
⊢ x ∈ l.reduceOption ↔ some x ∈ l
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
aux' : (fun t => ((1 - rexp (-π * t)) ^ 2)⁻¹) =O[atTop] fun x => 1
ha' : 0 < a
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => rexp (-π * (a ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2 + a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t))) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
C : Type u₁
x y : Cᴹᵒᵖ
⊢ x.unmop = y.unmop ↔ x = y