ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Sub G
ContinuousSub G
f g : α → G
l : Filter α
a b : G
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 b)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x - g x) l (𝓝 (a - b))
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L
this : Algebra.IsSeparable (↥K⟮x⟯) L := isSeparable_tower_top_of_isSeparable K (↥K⟮x⟯) L
pbL : PowerBasis (↥K⟮x⟯) L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable (↥K⟮x⟯) L
⊢ (norm K) x = (norm K) (AdjoinSimple.gen K x) ^ finrank (↥K⟮x⟯) L
A : Type u_1
K : Type u_2
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (Polynomial.aeval r) p = 0
⊢ ↑(IsFractionRing.den A r) ∣ p.leadingCoeff
G : CommMonCat
H : Type u
CommMonoid H
f : ↑G →* H
⊢ f.comp (𝟙 G) = f
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
f : α × β → E
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν)
⊢ ∀ᵐ (y : β) ∂ν, MeasureTheory.Integrable (fun x => f (x, y)) μ
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
a : α i
⊢ single i a ≤ f ↔ a ≤ f i
R : Type u_1
AddCommGroup R
f g : ℕ → R
⊢ (∀ n > 0, ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔
  ∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ArithmeticFunction.moebius x.1 • g x.2 = f n
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)
i : ℕ
hid : i < d
⊢ (∑ x_1 ∈ (Finset.range d).attach, if i = ↑x_1 then x.slice ↑x_1 ⋯ else 0) = x.slice i hid
G : Type u_1
SubNegMonoid G
x : G
⊢ -1 • x = -x
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.ΨSq 2 = W.Ψ₂Sq
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), BijOn (f i) (s i) (t i)
g : α → β := hs.piecewise f
hg : g = hs.piecewise f
hg_bij : ∀ (i : ι), BijOn g (s i) (t i)
⊢ Bijective g
α : Type u
R : Stream'.Seq α → Stream'.Seq α → Prop
bisim : Stream'.Seq.IsBisimulation R
s₁ s₂ : Stream'.Seq α
r : R s₁ s₂
⊢ s₁ = s₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
⊢ CompleteLattice.Independent V
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
TopologicalSpace α
g : α → β
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hg : Set.EqOn f g s
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F g p s
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x y : M
h : f.toMap x = f.toMap y
⊢ g x = g y
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁹ : SecondCountableTopology α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁶ : HasBesicovitchCovering α
inst✝⁵ : MetricSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering β
μ : Measure β
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set β
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : ι → α
f' : α → γ
g : ι → β
h : Antivary f g
hf : Antitone f'
⊢ Monovary (f' ∘ f) g
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
p : P₁
⊢ ⇑(AffineEquiv.constVSub k p) = fun x => p -ᵥ x
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
r : R
p : Polynomial R
⊢ (Polynomial.C r * p).content = normalize r * p.content
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g✝ : α → F β
h✝ : β → G γ
f : β → γ
x : t β
g : α → β
h : β → G γ
x✝ : t α
⊢ traverse (h ∘ g) x✝ = (traverse h ∘ map g) x✝
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ 4⁻¹ * (𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖) = -4⁻¹ * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X X' Y Y' Z Z' : C
CategoryTheory.ExactPairing Y Y'
f : X ⟶ Y ⊗ Z
g : X' ⟶ Z'
⊢ (CategoryTheory.tensorLeftHomEquiv (X ⊗ X') Y Y' (Z ⊗ Z')).symm ((f ⊗ g) ≫ (α_ Y Z Z').hom) =
  (α_ Y' X X').inv ≫ ((CategoryTheory.tensorLeftHomEquiv X Y Y' Z).symm f ⊗ g)
k n : ℕ
hk : n.gcd k < k
hk' : ↑k ≠ 0
key : (↑(n.gcd k) % ↑k).toNat = ((↑n * n.gcdA k + ↑k * n.gcdB k) % ↑k).toNat
⊢ ∃ m, n * m % k = n.gcd k
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
Nontrivial α
⊢ 2 * Fintype.card ↥(alternatingGroup α) = Fintype.card (Equiv.Perm α)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hs : IsOpen s
⊢ IsQuasiSeparated s ↔ QuasiSeparatedSpace ↑s
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
⊢ #((n : ℕ) × (L.sum L.skolem₁).Functions n) = #((n : ℕ) × L.BoundedFormula Empty (n + 1))
a b : Int
c : Int
H : 0 < c
H' : c ∣ b
⊢ a < b / c ↔ a * c < b
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
n : ℤ
⊢ 1 < normSq ↑(T ^ n • z)
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Finset α
a : α
⊢ { ofColex := {a} } ≤ { ofColex := s } ↔ ∃ x ∈ s, a ≤ x
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape K C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (J × K) C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (K × J) C
j : J
k : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitFlipCompLimIsoLimitCompLim F).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.limit.π (F ⋙ CategoryTheory.Limits.lim) j ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π (F.obj j) k =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (F.flip ⋙ CategoryTheory.Limits.lim) k ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π (F.flip.obj k) j
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
r : ℝ≥0∞
hr : μ K < r
V : Set α
hKV : V ⊇ K
hVo : IsOpen V
hμV : μ V < ⊤
this : Fact (μ V < ⊤)
U : Set α
hKU : K ⊆ U
hUo : IsOpen U
hμU : (μ.restrict V) U < r
⊢ μ (U ∩ V) < r
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
C : Computation α → Computation β → Prop
a : α
cb : Computation β
⊢ Computation.LiftRelAux R C (Sum.inl a) (Sum.inr cb) = ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
t :
  CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (CategoryTheory.CategoryStruct.id c))
⊢ t.ofCompId.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor g).inv t.unit
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L (k + 1) I =
  ⁅LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k I, LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k I⁆
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)
inst✝⁴ : Algebra R' R
inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)
inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
⊢ (fun a => (tprod R) ((MonoidHom.mulSingle A i) a)) 1 = 1
x : ℂ
y : ℝ
⊢ (↑(abs x ^ y) * (↑(Real.cos (x.arg * y)) + ↑(Real.sin (x.arg * y)) * I)).re = abs x ^ y * Real.cos (x.arg * y)
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x y : K
⊢ x ∈ s → y ∈ s → x * y ∈ s
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ
m : ℤ := univ.inf' ⋯ v
w' : Fin (n + 1) → ℕ := fun i => (v i - m).toNat
hw' : ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑(w' i) = v i - m
h : (Matrix.vandermonde v).det = (Matrix.of fun i j => Polynomial.eval ((fun i => ↑(w' i)) i) ((fun i => descPochhammer ℤ ↑i) j)).det
⊢ (Matrix.vandermonde v).det = ↑(sf n) * (Matrix.of fun i j => ↑((w' i).choose ↑j)).det
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : LinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
i : ι
i_s : i ∈ s
b : β
hb : ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a
c : β
hc : ∀ᶠ (a : α) in f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s.sup' hs fun i => F i a) c
a : α
h : (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s.sup' hs fun i => F i a) c
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (F i a) c
q a b c : ℚ
⊢ -1 /. 1 = -1
S : Type u_2
CommRing S
K : Type u_4
Field K
F : Type u_6
Field F
Algebra K S
Algebra K F
Nontrivial S
pb : PowerBasis K S
hf : Polynomial.Splits (algebraMap K F) (minpoly K pb.gen)
⊢ (algebraMap K F) ((Algebra.trace K S) pb.gen) = ((minpoly K pb.gen).aroots F).sum
α : Type u_1
s : HeapNode α
⊢ Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode.rankTR s = s.rank
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Semiring 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
(i : ι) → Module 𝕜 (β i)
⊢ ⇑(PiLp.continuousLinearEquiv p 𝕜 β) = ⇑(WithLp.equiv p ((i : ι) → β i))
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
⊢ (if n % 4 = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ ((4 * (n / 4) + n % 4) / 2)
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
m : ℕ
H : m < n
⊢ p ^ (n - m) ≠ 0
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → E
hF_int : ∀ (i : ι), Integrable (F i) μ
hF_sum : Summable fun i => ∫ (a : α), ‖F i a‖ ∂μ
hE : CompleteSpace E
⊢ ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖F i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeCommRing α
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hxs : x.IsSupported s
⊢ (map Subtype.val) ((restriction s) x) = x
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ ((cyclesFunctor C c j).mapShortComplex.obj S).Exact
θ : ℂ
h : (cexp (θ * I) + cexp (-θ * I)) / 2 = 0 ↔ cexp (2 * θ * I) = -1
⊢ cos θ = 0 ↔ ∃ k, θ = (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
IsNoetherian R M
IsArtinian R M
⊢ IsCompl (LieModule.weightSpace M 0) (LieModule.posFittingComp R L M)
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
⊢ v 0 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
w : f = g
h : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CharP R 2
⊢ 2 = 0
R : Type u_2
LinearOrderedSemiring R
FloorSemiring R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
MeasurableSpace R
OpensMeasurableSpace R
⊢ Measurable Nat.floor
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g [[sInf (f '' [[a, b]]), sSup (f '' [[a, b]])]]
⊢ IntegrableOn g [[sInf (f '' [[a, b]]), sSup (f '' [[a, b]])]] volume
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
X : D
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
⊢ CategoryTheory.Presieve.coverByImage G X f
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
⊢ LocallyIntegrableOn f univ μ ↔ LocallyIntegrable f μ
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s : Finset α
t : Finset β
x : α × β
⊢ x ∈ Rel.interedges r s t ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t ∧ r x.1 x.2
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v₁ : Valuation R Γ₀
v₂ : Valuation R Γ'₀
h : v₁.IsEquiv v₂
⊢ v₂.IsEquiv v₁
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
g : α → γ
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (fun x => (f x, g x)) μ
R : Type u
S : Type v
Ring R
p q : R[X]
Ring S
f : R →+* S
hq : q.Monic
⊢ Polynomial.map f (p %ₘ q) = Polynomial.map f p %ₘ Polynomial.map f q
α : Type u_1
n : ℕ
r : α → α → Prop
IsTrans α r
f : Fin (n + 1) → α
a : α
⊢ ((fun x x_1 => x < x_1) ⇒ r) (Matrix.vecCons a f) (Matrix.vecCons a f) ↔ r a (f 0) ∧ ((fun x x_1 => x < x_1) ⇒ r) f f
a : SignType
⊢ -1 < a ↔ 0 ≤ a
α : Type u_1
a : α
S : Multiset (Multiset α)
⊢ a ∈ S.join ↔ ∃ s ∈ S, a ∈ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
LinearOrderedCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g s
n : ℕ
⊢ AntivaryOn f (g ^ n) s
V : Type u
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
v : V
h : v ∈ e
⊢ Sym2.Mem.other h ≠ v
R : Type uR
M : Type uM
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type uM'
AddCommMonoid M'
Module R M'
M'' : Type uM''
AddCommMonoid M''
Module R M''
u : M' →ₗ[R] M''
v : M →ₗ[R] M'
⊢ Module.Dual.transpose (u ∘ₗ v) = Module.Dual.transpose v ∘ₗ Module.Dual.transpose u
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Sort u_5
s : ι → Set G
⊢ AddSubgroup.closure (⋃ i, s i) = ⨆ i, AddSubgroup.closure (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
a : α
hf : Function.Injective f
⊢ f a ∈ Finset.image f s ↔ a ∈ s
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
K : ℕ∞
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun i => W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun i => W) ℝ) := (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight
I₁ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m ⇑T fun x => L v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x => L)) v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x => L)) v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A : ContDiff ℝ K fun y => T fun x => L y
⊢ (2 * π) ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (fun x => ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) (T fun x_1 => L x)) (f x)) v‖ ≤ (2 * π) ^ n * ((2 * ↑n + 2) ^ k * (‖L‖ ^ n * C))
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a b : α
⊢ (a * b) ^ (-1) = b ^ (-1) * a ^ (-1)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
i j : Fin f.natDegree
⊢ ↑i < f.natDegree
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
H K : AddSubgroup N
hH : H ≤ f.range
hK : K ≤ f.range
⊢ AddSubgroup.comap f H ⊔ AddSubgroup.comap f K = AddSubgroup.comap f (H ⊔ K)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ z ⊓ x ⊓ y ⊔ x \ y = x \ y ⊔ x ⊓ z
R : Type u
CommRing R
f : Polynomial R
x y : R
⊢ Polynomial.eval (x + y) f =
  f.sum fun e a => a * (x ^ e + ↑e * x ^ (e - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2)
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
s : Submodule R M
lt : finrank R ↥s < finrank R M
⊢ s < ⊤
α : Type u_3
β : Type u_4
Zero α
Preorder α
a : α
Nonempty β
⊢ 0 < Function.const β a ↔ 0 < a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
⊢ Presieve.IsSheafFor P S.arrows ↔ ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows), firstMap P S ((firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a) = secondMap P S ((firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a) → ∃! x, forkMap P S.arrows x = (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : E
⊢ ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).2 = 0 ↔ x ∈ p
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : ConcreteCategory.forget.obj (pullback f g)
⊢ (↑((pullbackIsoProdSubtype f g).hom x)).2 = (↑⟨((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x), ⋯⟩).2
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ ‖a + b‖₊ ≤ ‖a‖₊ + ‖b‖₊
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝ : Algebra (ZMod p✝) K
f : K[X]
p : ℕ
hp : CharP K p
this : CharP K p := hp
⊢ (expand K q) f = f ^ q
p : ℝ
x : ℝ≥0
hx_pos : 0 < x
⊢ 0 < x ^ p
G : Type u
Group G
H : Type v
Group H
f : G →* H
x : G
⊢ (Abelianization.map f) (Abelianization.of x) = Abelianization.of (f x)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Unique ι
a b : n → α
x✝ : n
⊢ (col ι a * row ι b).diag x✝ = (a * b) x✝
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
M' : Type w
AddCommMonoid M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
⊢ Submodule.map f (I • N) = I • Submodule.map f N
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.12154
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : ∀ (u : U), Injective (φ.star u)
u v₁ : U
p₁ : Path u v₁
⊢ ∀ ⦃a₂ : PathStar u⦄, (fun p => ⟨φ.obj p.fst, φ.mapPath p.snd⟩) ⟨v₁, p₁⟩ = (fun p => ⟨φ.obj p.fst, φ.mapPath p.snd⟩) a₂ → ⟨v₁, p₁⟩ = a₂
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k✝ n : ℕ
h : IsPrimePow n
hn0 : n ≠ 0
p k : ℕ
hk0 : 0 < k
h1 : n.factorization = Finsupp.single p k
pp : Nat.Prime p
q : ℕ
⊢ (Finsupp.erase p (Finsupp.single p k)) q = (Nat.factorization 1) q
K : Type u
Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
L : Type u_1
Field L
Algebra K L
Polynomial.IsSplittingField K L (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
⊢ Algebra.adjoin K {α} = ⊤
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ.restrict (⋃ i, s i)) t = ⨆ i, (μ.restrict (s i)) t
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
self : DirectSum.Decomposition ℳ
⊢ Function.RightInverse (⇑(DirectSum.coeAddMonoidHom ℳ)) DirectSum.Decomposition.decompose'
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Semiring T
inst✝² : FunLike F R✝ S
rcf : RingHomClass F R✝ S
inst✝¹ : FunLike G T S
rcg : RingHomClass G T S
f : F
g : G
ι : Type u_3
R : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → Semiring (R i)
φ : (i : ι) → S →+* R i
x : S
⊢ x ∈ ker (Pi.ringHom φ) ↔ x ∈ ⨅ i, ker (φ i)
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
x y : X
⊢ edist (SeparationQuotient.mk x) (SeparationQuotient.mk y) = edist x y
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
AddMonoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
φ₁ φ₂ : AddMonoidAlgebra k G →ₐ[k] A
h : (↑φ₁).comp (AddMonoidAlgebra.of k G) = (↑φ₂).comp (AddMonoidAlgebra.of k G)
⊢ φ₁ = φ₂
s t : Set ℝ
⊢ (convexHull ℝ) (s ×ℂ t) = (convexHull ℝ) s ×ℂ (convexHull ℝ) t
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
h : Relation.ReflTransGen r a b
⊢ ∃ l, Chain r b l ∧ (b :: l).getLast ⋯ = b
M : Type u
α : Type v
Monoid M
Group α
MulDistribMulAction M α
a : α
⊢ a ∈ FixedPoints.subgroup M α ↔ ∀ (m : M), m • a = a
α : Type u_1
N : ℕ
g : α → Fin N → ℝ
hg : Summable g
this : ∀ (i : Fin N), Summable fun x => ‖g x i‖
x : α
⊢ 0 ≤ ∑ i : Fin N, ‖g x i‖
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s : Set (Set A)
⊢ zeroLocus 𝒜 (⋃ s' ∈ s, s') = ⋂ s' ∈ s, zeroLocus 𝒜 s'
k : ℕ
⊢ (ArithmeticFunction.sigma k).IsMultiplicative
L : Type u_2
R : Type u_3
Field L
CommRing R
Nontrivial R
φ : R[X] →+* L
hφ : Function.Injective ⇑φ
hφ' : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰ := ⋯
⊢ Function.Injective ⇑(RatFunc.liftRingHom φ hφ')
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ closure s⁻¹ = (closure s)⁻¹
α : Type u_2
LE α
a : α
⊢ WithBot.toDualTopEquiv.symm (OrderDual.toDual ↑a) = ↑(OrderDual.toDual a)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ
h : a ≤ b
⊢ (volume (univ.pi fun i => Ioo (a i) (b i))).toReal = ∏ i : ι, (b i - a i)
R S : Type u
M : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'✝
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'✝
inst✝ : Module R M₁
M' : Submodule R M
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
f : ι₁ → ↥M'
hf : LinearIndependent R f
g : ι₂ → M
hg : LinearIndependent R (Submodule.Quotient.mk ∘ g)
⊢ Disjoint (span R (range fun x => ↑(f x))) (span R (range g))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
⊢ ConvexOn 𝕜 (Ioi 0) fun x => x ^ n
F : Type u_1
Field F
q : ℕ
hF : ExpChar F q
f : Polynomial F
irred : Irreducible f
⊢ Polynomial.HasSeparableContraction q f
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N N₂ : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L M'
⊢ comap N.incl N₂ = ⊤ ↔ N ≤ N₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
l : Filter γ
u : γ → α
v : α → β
hv : Monotone v
hl : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l u
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (v ∘ u)
⊢ 2 * ↑Real.pi * Complex.I ≠ 0
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
f : M ≃[L] N
n : N
⊢ ∃ y, f y = n
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
s : Set α
K : ℝ≥0
⊢ LipschitzOnWith K f s ↔ ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
hx_w : α
hx_h_left : ¬s hx_w = 0
⊢ f hx_w ∈ (mapDomain f s).support
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ (↑l₁).Disjoint ↑l₂ ↔ l₁.Disjoint l₂
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
⊢ ⇑p ≤ ⇑q ↔ p ≤ q