ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
E₁ : Type u_3
E₂ : Type u_4
E₃ : Type u_5
NormedAddCommGroup E₁
NormedAddCommGroup E₂
NormedAddCommGroup E₃
NormedSpace 𝕜 E₁
NormedSpace 𝕜 E₂
NormedSpace 𝕜 E₃
g : E₁ × E₂ × E₃ → G
f₁ : F → E₁
f₂ : F → E₂
f₃ : F → E₃
s : Set F
hg : ContDiff 𝕜 n g
hf₁ : ContDiffOn 𝕜 n f₁ s
hf₂ : ContDiffOn 𝕜 n f₂ s
hf₃ : ContDiffOn 𝕜 n f₃ s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => g (f₁ x, f₂ x, f₃ x)) s
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a b : α
⊢ |a| < |b| ↔ a * a < b * b
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ (eraseP (fun x => a == x) l).length = l.length.pred
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S T : Seq (Seq1 α)
⊢ IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
ZeroLEOneClass α
NeZero 1
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a2 : 2 ≤ a
ab : a ≤ b
⊢ a + b ≤ a * b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing α
x y : α
⊢ ‖(AddMonoidHom.mulRight x) y‖ ≤ ‖y‖ * ‖x‖
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ l.dedup ⊆ l
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
x : α
hx : x ∈ ↑σ.support
⊢ ↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨x, hx⟩)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : ℂ → E
hdf : DiffContOnCl ℂ f (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Ioi 0)
hBf : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hdg : DiffContOnCl ℂ g (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Ioi 0)
hBg : ∃ c < 2, ∃ B, g =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → f ↑x = g ↑x
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → f (↑x * Complex.I) = g (↑x * Complex.I)
⊢ Set.EqOn f g {z | 0 ≤ z.re ∧ 0 ≤ z.im}
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Icc (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b) = ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Set.Icc b a
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
inst✝² : LieRingModule L M✝
inst✝¹ : LieModule R L M✝
inst✝ : Subsingleton L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
_h : ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
⊢ lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
ℱ : Filter ι
f : X → α
⊢ (∀ i ∈ 𝔖, Tendsto ((⇑UniformFun.ofFun ∘ i.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ∘ ⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ℱ (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ i.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f)))) ↔ ∀ i ∈ 𝔖, Tendsto (i.restrict ∘ F) ℱ (𝓝 (i.restrict f))
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s t : Submodule R M
ht : IsNoetherian R ↥t
h : s ≤ t
⊢ IsNoetherian R ↥s
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Ring R
Ring R₂
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_12
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
⊢ Disjoint p (LinearMap.ker f) ↔ ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ p, f x = f y → x = y
μ : YoungDiagram
j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2
⊢ μ.colLen j2 ≤ μ.colLen j1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
p : X → Prop
h : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝ˢ s, p y
⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝ˢ s, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 y, p x
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommMonoid Q
hg : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
k : T.LocalizationMap Q
x y : M
h : f.toMap x = f.toMap y
⊢ k.toMap (g x) = k.toMap (g y)
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Polynomial.Splits i p
⊢ (Polynomial.map i p).natDegree = Multiset.card (Polynomial.map i p).roots
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m✝ n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
m : ℕ
hm : ∀ (m_1 : ℕ), m ≤ m_1 → p.coeff m_1 = 0
⊢ (map f p).coeff m = 0
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Div G
ContinuousDiv G
f g : α → G
l : Filter α
a b : G
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 b)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) l (𝓝 (a / b))
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
⊢ ∃ r ⊆ s, Set.BijOn P.part ↑r ↑P.parts
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_11
s : ι → Set α
⊢ ⋂ i, s i ⊆ ⋂ i, ⋂ x, s i
α : Sort u_1
a b : α
⊢ ite False a b = b
θ ψ : Angle
h : 2 • θ = 2 • ψ
⊢ |θ.sin| = |ψ.sin|
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
P : K[X]
k✝ : ℕ
sep : P.Separable
nil : minpoly K f ∣ P ^ k✝
ff : ↥(adjoin K {f}) := ⟨f, ⋯⟩
P' : K[X] := derivative P
nil' : IsNilpotent ((aeval ff) P)
sep' : IsUnit ((aeval ff) P')
s : End K V
mem : s ∈ adjoin K {f}
hss : (aeval ⟨s, mem⟩) P = 0
k : ℕ
hk : (ff - ⟨s, mem⟩) ^ k = 0
⊢ f - s ∈ adjoin K {f}
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
⊢ ClassGroup.mk0 I = ClassGroup.mk0 J ↔ ∃ x y, ∃ (_ : x ≠ 0) (_ : y ≠ 0), Ideal.span {x} * ↑I = Ideal.span {y} * ↑J
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
h_mon : f.leadingCoeff = 1
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b
q : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = 1
⊢ b.leadingCoeff * ?refine_2.hf.b = 1
⊢ Λ 1 ≠ 0 ↔ IsPrimePow 1
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
ι : Sort u_3
K : ι → Ideal R
⊢ Ideal.map f (iSup K) = ⨆ i, Ideal.map f (K i)
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K V
⊢ Submodule.dualRestrict W ∘ₗ W.dualLift = 1
β : Type w
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : α → C
g : β → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct g
p p' : α → β
q : (a : α) → f a ⟶ g (p a)
q' : (a : α) → f a ⟶ g (p' a)
hp : p = p'
hq : ∀ (a : α), q a ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯ = q' a
⊢ CategoryTheory.Limits.Sigma.map' p q = CategoryTheory.Limits.Sigma.map' p' q'
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ
PartialOrder Γ'
VAdd Γ Γ'
IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
AddCommMonoid V
AddCommMonoid R
SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
⊢ (x + y) • z = x • z + y • z
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
Nontrivial E
LocallyCompactSpace E
⊢ ProperSpace 𝕜
α : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
CardinalInterFilter l c
a : Cardinal.{u}
hac : a < c
⊢ CardinalInterFilter l a
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
s : Set β
⊢ HasProd (f ∘ Subtype.val) a ↔ HasProd (s.mulIndicator f) a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
⊢ (∀ (i : Fin n), TruncatedWittVector.coeff i ({ toFun := truncateFun n, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } x) = 0) ↔ ∀ i < n, x.coeff i = 0
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ Function.Injective NonUnitalSubring.toSubsemigroup
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F.op
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit F
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∑ x ∈ s, f x = ⊤ ↔ ∃ a ∈ s, f a = ⊤
α : Type u
a : α
inst✝³ : Group α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsCyclic α
n : ℕ
hn0 : 0 < n
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g
m : ℕ
hm : Fintype.card α = n.gcd (Fintype.card α) * m
hm0 : 0 < m
⊢ (↑(zpowers (g ^ (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α))))).toFinset.card ≤ n
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1
⊢ [DiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime, Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1, ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_5
CommSemiring S
Module R S
SMulCommClass R R S
SMulCommClass R S S
IsScalarTower R S S
M : Submodule R S
N : Submodule R S
ι : Type u_6
m : ι → ↥M
⊢ Submodule.mulLeftMap N m = N.mulRightMap m
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
h : ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 < 1
⊢ T_gen p F a < 1
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype n
Finite m
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
x : M₁
⊢ (LinearMap.toMatrix v₁ v₂) f *ᵥ ⇑(v₁.repr x) = ⇑(v₂.repr (f x))
m n k : ℕ
⊢ m.Coprime (n + m * k) ↔ m.Coprime n
s : Set ℕ
Infinite ↑s
x : ↑s
⊢ ∃ n, ↑x + n + 1 ∈ s
F : Type u
Field F
f : F[X]
h : f.natDegree = 0
⊢ f.natSepDegree = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
l : List (Equiv.Perm α)
h : List.Pairwise Equiv.Perm.Disjoint l
⊢ l.prod.support.card = (List.map (Finset.card ∘ Equiv.Perm.support) l).sum
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}
hVo : IsOpen V
u : ℤ → ℝ := fun n => 2 * π * ↑|n| * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))
⊢ ContinuousOn (fun p => jacobiTheta₂' p.1 p.2) V
a✝ n a : ℕ
L₀ : List ℕ
hL₀ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L₀
hL✝ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀)
hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (map (fun x => x + a + 1) L₀)
haL : ∀ b ∈ map (fun x => x + a + 1) L₀, a + 1 ≤ b
x✝ : L₀.length < (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀).length
hrw : ((fun x => 2 ^ x) ∘ fun x => x + a + 1) = fun i => 2 ^ a * (2 * 2 ^ i)
⊢ (2 ^ a + 2 ^ a * (2 * (map (HPow.hPow 2) L₀).sum)).bitIndices = a :: map (fun x => x + a + 1) L₀
m s step n : Nat
h : ∀ (i : Nat), i ≤ n ↔ i = 0 ∨ ∃ j, i = j.succ ∧ j < n
⊢ (m = s ∨ ∃ i, i < n ∧ m = s + step + step * i) ↔ m = s ∨ ∃ b a, a = b + 1 ∧ b < n ∧ m = s + step * a
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
ha : a ≠ 0
hcb : c ∣ b
hc : ¬c = 0
⊢ a * (c * (a * b / (a * c))) = a * b
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ 2 * (a * yn a1 (n + 1)) ≡ 2 * (n + 1) [MOD 2]
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x : Option (Option α)}, x.join ≠ none ↔ ∃ z, x = some (some z)
α : Type u_1
l : List α
⊢ l = [] ∨ ∃ L b, l = L.concat b
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable ↑↑f
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ := (minkowskiBound K I * ↑(convexBodySumFactor K)⁻¹).toReal ^ (1 / ↑(finrank ℚ K))
h_le : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)
x✝ : K
⊢ (minkowskiBound K I * ↑(convexBodySumFactor K)⁻¹).toReal = ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial * √|↑(discr K)|
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hF : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ t → (b, a) ∈ t
htmem : t ○ t ⊆ u
this : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × α × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p' ×ˢ p', (f ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.2, F ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.1 ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.2) ∈ t ∧ (f ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.2, F ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.1 ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.2) ∈ t
⊢ ∀ (a b : ι) (b_1 : α), (f b_1, F a b_1) ∈ t → (f b_1, F b b_1) ∈ t → (F a b_1, F b b_1) ∈ u
α : Type u
SemilatticeInf α
a b c : α
⊢ a ⊓ b ⊓ c = a ⊓ c ⊓ (b ⊓ c)
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
⊢ r < ↑b ^ (Int.log b r + 1)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
n : ℕ
X₁ X₂ : Cᵒᵖ
f : X₁ ⟶ X₂
Y₁ Y₂ : C
g : Y₁ ⟶ Y₂
α : ↑(((fun X => extFunctorObj (Opposite.unop X) n) X₁).obj Y₁)
⊢ n + 0 = n
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : UniformSpace.Completion α
⊢ dist x y = dist y x
α : Type u
p : α → Prop
a : α
l : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ a :: l → p x
x : α
⊢ x ∈ l → p x
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
r : A
hr : r = 0
⊢ ↑(((decompose 𝒜) r) i) ∈ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : ℝ
hc : 0 < c
x : α
⊢ x ∈ {x | (fun x => ‖0‖ ≤ c * ‖g' x‖) x}
α : Type u
GeneralizedBooleanAlgebra α
x y : α
⊢ x ⊓ y ⊓ x \ y = ⊥
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E
⊢ StrictConvex 𝕜 ((fun x => x + z) '' s)
N : ℕ
NeZero N
R : Type u_1
CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ χ ↑u * gaussSum χ e = gaussSum χ e
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
⊢ insert a s = s ↔ a ∈ s
α : Type u_1
Lattice α
⊢ IsModularLattice α ↔ ∀ (x y z : α), x ⊓ z ⊔ y ⊓ z = (x ⊓ z ⊔ y) ⊓ z
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤
⊢ (iInf f).toNNReal = ⨅ i, (f i).toNNReal
l : List ℕ
a m n : ℕ
h : n.greatestFib = 0
⊢ n = 0
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
p : G₀ˣ → Prop
⊢ (∃ g, p g) ↔ ∃ g hg, p (Units.mk0 g hg)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
n k : ℕ
hk : ∀ n_1 ≥ k, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n_1)‖ < ↑p ^ (-↑n)
this : limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r (max n k)) ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
⊢ ↑p ^ n ∣ ↑(nthHom f r (max n k)) - ↑((f n) r).val
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
⊢ X.toΓSpecSheafedSpace.c =
  (TopCat.Sheaf.restrictHomEquivHom
      (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf ↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X))).val
      ((TopCat.Sheaf.pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.𝒪) ⋯)
    X.toΓSpecCBasicOpens
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : s.gcd r = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : (r * s).gcd m = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = r * s * m
hrsz : r * s ≠ 0
h2b0 : b' ≠ 0
i : ℤ
hi' : ¬m = -i ^ 2
hi : m = i ^ 2
d : ℤ
hd' : ¬r * s = -d ^ 2
hd : s * r = d ^ 2
j : ℤ
hj : r = j ^ 2 ∨ r = -j ^ 2
hj0 : j ≠ 0
k : ℤ
hk : s = k ^ 2 ∨ s = -k ^ 2
hk0 : k ≠ 0
hj2 : r ^ 2 = j ^ 4
hk2 : s ^ 2 = k ^ 4
hh : i ^ 2 = j ^ 4 + k ^ 4
hn : n ≠ 0
hic : i.natAbs < c.natAbs
hic' : c.natAbs ≤ i.natAbs
⊢ False
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
b : WithTop α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → b ≤ ↑a
⊢ b ≤ l.minimum
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V
⊢ midpoint R x y +ᵥ midpoint R x y = midpoint R x y +ᵥ midpoint R y x
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
⊢ Gamma (a * s + b * t) ≤ Gamma s ^ a * Gamma t ^ b
r n : ℕ
h : r < n / 2
⊢ n.choose (r + 1) * (r + 1) ≤ n.choose (r + 1) * (n - r)
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
⊢ 0 < ↑N
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ￢a ≤ ￢(a ⊔ b) ⊔ b
α : Type u_1
DecidableEq α
l l' : List α
⊢ (∀ (x : α), x ∈ l ↔ x ∈ l') → l.toFinset = l'.toFinset
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b✝ x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hba : b ≠ a
⊢ f a ≠ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Sheaf J D
φ : F₁ ⟶ F₂
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J ((CategoryTheory.sheafToPresheaf J D).map φ) ↔
  CategoryTheory.Sheaf.IsLocallyInjective φ
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
x : α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ round (x - OfNat.ofNat n) = round x - OfNat.ofNat n
a : Ordinal.{u_4}
b : Ordinal.{u_4}
b0 : b ≠ 0
⊢ b * a / b = a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
⊢ ∀ {X Y : SheafOfModules R} (φ : X ⟶ Y), (SheafOfModules.forget R).map φ = φ.val
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
hx : x ∈ Icc a b
hC : ∀ y ∈ Icc a b, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ C
h : a < b
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Icc a b)
h' : ∀ y ∈ Ico a x, ‖((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C
A : ∀ t ∈ Icc a x, HasDerivWithinAt (fun y => taylorWithinEval f n (Icc a b) y x) (((↑n !)⁻¹ * (x - t) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) t) (Icc a x) t
this : ‖taylorWithinEval f n (Icc a b) x x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C * (x - a)
⊢ ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
W₁.IsMultiplicative
L L' L'' : Φ.LeftResolution X₂
φ : L ⟶ L'
ψ : L' ⟶ L''
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ ψ).f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.f ψ.f
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : (s ∩ t).Finite
⊢ s.encard < t.encard ↔ (s \ t).encard < (t \ s).encard
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
PartialOrder α
a : α
Preorder β
f : β → α
MulPosStrictMono α
hf : StrictAnti f
ha : 0 < a
⊢ StrictAnti fun x => f x * a
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F G H : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
α : CategoryTheory.BasedNatTrans F G
β : CategoryTheory.BasedNatTrans G H
⊢ (α.comp β).toNatTrans = α.vcomp β.toNatTrans
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommRing R
t : Multiset R
ht : 0 < Multiset.card t
a✝ : Nontrivial R
⊢ (Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.coeff (Multiset.card t - 1) = (Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.nextCoeff
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
j : α
⊢ ((f'.proj j).op ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).hom) ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv = (f'.π.app { as := j }).op
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ γ₁✝ γ₂✝ : Cochain K L n✝
n' a : ℤ
γ₁ γ₂ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
⊢ (rightShiftAddEquiv K L n a n' hn).symm (γ₁ + γ₂) = γ₁.rightUnshift n hn + γ₂.rightUnshift n hn
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i : n
h : ∀ (j : n), b j = A j i
⊢ A.cramer b = Pi.single i A.det
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ a ≠ 0 → b ≠ 0 → padicValNat p (a * b) = padicValNat p a + padicValNat p b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
a₁ : α
b : β
a₂ : α
⊢ (G □ H).Adj (a₁, b) (a₂, b) ↔ G.Adj a₁ a₂
α : Type u
s : Set α
x : α
h : x ∉ s
⊢ x ∈ sᶜ
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Countable ι
⊢ MeasurableSet ↑I
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
u : V →L[R] R
ux : u x = 1
uy : u y ≠ 0
⊢ ∃ f, f x = 1 ∧ f y ≠ 0
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq α'
DecidableEq γ
DecidableEq δ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
g : γ → δ
f' : α' → β → δ
g' : α → α'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' a) b
⊢ Finset.image g (Finset.image₂ f s t) = Finset.image₂ f' (Finset.image g' s) t
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
k : α
hk : a = 2 * k + 1
⊢ -a = 2 * -(k + 1) + 1
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
a : G
n : ℕ
⊢ ↑(a ^ n) = ↑a ^ n
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
⊢ f.ofMulEquivOfLocalizations (MulEquiv.refl N) = f
n : ℕ
NeZero n
a : ZMod n
⊢ a.val ≤ n
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ ClosedEmbedding ULift.down
α : Type u
n : α → Filter α
ι : α → Sort u_1
p : (a : α) → ι a → Prop
s : (a : α) → ι a → Set α
hb : ∀ (a : α), (n a).HasBasis (p a) (s a)
hpure : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → a ∈ s a i
hopen : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → ∀ᶠ (x : α) in n a, s a i ∈ n x
a : α
t : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.mkOfNhds n
⊢ n a ≤ 𝓝 a
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ IsGenericPoint (f.val.base (genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace)) ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMapIso' e h₁ h₂).inv = CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' e.inv h₂ h₁
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hs : s ≠ univ
this : ∀ (t : Finset α), (↑(card α) - ↑({s}.truncatedSup t).card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = if t ⊆ s then (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) else 0
⊢ 1 = ∑ x : Finset α, (↑(card α) - ↑({s}.truncatedSup x).card) / ((↑(card α) - ↑x.card) * ↑((card α).choose x.card))