ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : CommRingCat
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.topMap (CategoryTheory.CategoryStruct.id R) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (AlgebraicGeometry.Spec.topObj R)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ s : Set α
hs : IsClosed s
H : ∀ (u v : Set α), IsClosed u → IsClosed v → s ⊆ u ∪ v → Disjoint u v → s ⊆ u ∨ s ⊆ v
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
hss : s ⊆ u ∪ v
huv : s ∩ (u ∩ v) = ∅
⊢ s ⊆ u ∨ s ⊆ v
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
hx : x ≠ 0
hex : ∃ k, x.coeff k ≠ 0
⊢ ∃ n x', x'.coeff 0 ≠ 0 ∧ x = (⇑verschiebung)^[n] x'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
⊢ IsTotallyDisconnected s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → ∃ z ∉ s, z ∈ Ioo x y
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
⊢ F.homologicalKernel.P (Triangle.mk f g h).obj₃ ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
CategoryTheory.MonoidalCoherence X Y
⊢  ⊗𝟙 = ⊗𝟙 ▷ Z
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
CommRing k
AddCommGroup V1
AffineSpace V1 P1
Module k V1
c : P1
r : k
p : P1
⊢ (AffineMap.homothety c r) p = (AffineMap.lineMap c p) r
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
f : G ⧸ H → G
hf : ∀ (q : G ⧸ H), ↑(f q) = q
q : G ⧸ H
⊢ ↑((Subgroup.MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q) = f q
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
n : ℕ
⊢ sFiniteSeq μ n ≪ μ.toFiniteAux
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
this : g = (range g).subtype ∘ₗ g.rangeRestrict
⊢ range (rTensor Q ((range g).subtype ∘ₗ g.rangeRestrict)) = range (rTensor Q (range g).subtype)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
G H : SimpleGraph α
hGH : G ≤ H
hG : G.IsHamiltonian
⊢ H.IsHamiltonian
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup Fₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
⊢ ‖ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 E Fₗ‖ ≤ 1
l : List Bool
hl : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool
⊢ 2 * List.count b l ≤ l.length + 1
n : ℕ
⊢ finRotate (n + 1) = finAddFlip.trans (finCongr ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵤ[𝔖] β
x : α
h𝔖 : ∃ V ∈ 𝔖, V ∈ 𝓝 x
hc : ContinuousAt ((toFun 𝔖) f) x
⊢ ContinuousAt (fun fx => (toFun 𝔖) fx.1 fx.2) (f, x)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
x : MvPolynomial Bool R := MvPolynomial.X true
y : MvPolynomial Bool R := MvPolynomial.X false
⊢ ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (ν * (ν - 1)) • bernsteinPolynomial R n ν = (n * (n - 1)) • X ^ 2
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeInf L
OrderTop L
ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x
⊢ ContinuousWithinAt (s.inf f) t x
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : SMul R S
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : R
h : IsUnit ((algebraMap R (End S M)) x)
m m' : M
H : m = x • m'
⊢ ↑h.unit m' = x • m'
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
PartialOrder α
a : α
Preorder β
f : β → α
MulPosStrictMono α
hf : StrictMono f
ha : 0 < a
⊢ StrictMono fun x => f x * a
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.eraseLead ≠ 0
h₂ : ¬0 < f.natDegree
⊢ False
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s₁ s₂ t : Set α
⊢ (s₁ ∪ s₂) ⊼ t = s₁ ⊼ t ∪ s₂ ⊼ t
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
a : α
b : β
⊢ a +ᵥ {b} = {a +ᵥ b}
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
s : Subfield K
f : K →+* L
⊢ ↑(Subfield.map f s) = ⇑f '' ↑s
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
P : Type u_6
inst✝² : Group N✝
inst✝¹ : Group P
K : Subgroup G
N : Type u_7
inst✝ : Group N
f : G →* N
⊢ ↑f.range = ↑⊤ ↔ Set.range ⇑f = Set.univ
α : Type u_1
⊢ Filter.map Real.toNNReal atTop = atTop
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
⊢ (colimit.ι (J.diagram P Y) ((J.pullback f).op.obj (op S))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = (colimit.ι (J.diagram P Y) (op (S.pullback f))) ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
a : α
h : a ∉ s₂
⊢ insert a s₁ ∩ s₂ = s₁ ∩ s₂
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ Filter.Tendsto (Real.BohrMollerup.logGammaSeq x) Filter.atTop (𝓝 (Real.log (Real.Gamma x)))
n : ℤ
⊢ Complex.sin (↑n * ↑Real.pi) = 0
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a - a.im = ↑a.re
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n = 1 ↔ a = 1
α : Type
d : ℕ
ds : List ℕ
Add α
i : ℕ
hid : i < d
x y : Holor α (d :: ds)
⊢ x.slice i hid + y.slice i hid = (x + y).slice i hid
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
D : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid D
φ : CategoryTheory.Functor C D
hφ : Function.Injective φ.obj
⊢ (CategoryTheory.Subgroupoid.map φ hφ S).objs = φ.obj '' S.objs
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i : 𝒰.J
⊢ t 𝒰 f g i i ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map i) = pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map i)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
h : IsUnit (Q m)
⊢ IsUnit ((ι Q) m)
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), y * r = 0 ↔ y = 0
x : G
rx : IsRightRegular x
y : G
yf : y ∈ f.support
hy : y * x ∈ image (fun x_1 => x_1 * x) f.support
⊢ y * x ∈ (f * single x r).support
F : Type u
Field F
CharZero F
f : F[X]
hf : Irreducible f
⊢ f.Separable
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪↑v, x⟫_𝕜 = ⟪↑v, y⟫_𝕜
u : E
hu : u ∈ K
⊢ ⟪u, x - y⟫_𝕜 = 0
G : Type u_2
Group G
⊢ Set.BijOn ConjClasses.mk (↑(Subgroup.center G)) (ConjClasses.noncenter G)ᶜ
α : Type u
β : Type v
m : α → β
a : α
inj : Function.Injective m
large : Set.range m ∈ pure (m a)
⊢ (pure (m a)).comap inj large = pure a
R S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
Algebra.EssFiniteType R S
⊢ Algebra.FormallyUnramified R S ↔
  ∃ t, (∀ (s : S), (1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) * t = 0) ∧ (Algebra.TensorProduct.lmul' R) t = 1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X✝ Y✝ : (prodComonad X).Coalgebra
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ f.f ≫ ((fun A => Over.mk (A.a ≫ prod.fst)) Y✝).hom = ((fun A => Over.mk (A.a ≫ prod.fst)) X✝).hom
A : Type u_1
α : Type u_2
AddMonoid A
SMul α A
Zero α
self : DivisibleBy A α
a : A
⊢ DivisibleBy.div a 0 = 0
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hX : Memℒp X 2 μ
hXint : ∫ (x : Ω), X x ∂μ = 0
⊢ variance X μ = ∫ (x : Ω), (X ^ 2) x ∂μ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
⊢ (b.coord i) (b j) = if i = j then 1 else 0
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
q : ℕ
char_R_q : CharP R q
⊢ q = 0 ∨ IsPrimePow q
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : C(α, β)
U : TopologicalSpace.Opens β
⊢ ↑((TopologicalSpace.Opens.comap f) U) = ⇑f ⁻¹' ↑U
α : Type u_1
x : α
xs : List α
h : x ∈ xs
⊢ (List.map (fun y => s(x, y)) xs).Sublist xs.sym2
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this : Nontrivial S
⊢ IsField R
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : ↑s → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1
hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)
hf01 : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 1
F : X → ↑s →ᵇ ℝ := fun x => { toFun := fun UV => (f UV) x, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
hF : ∀ (x : X) (UV : ↑s), (F x) UV = (f UV) x
x : X
⊢ 𝓝 x ≤ comap F (𝓝 (F x))
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup V
Algebra R A
Module R V
Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
v : V
⊢ (CliffordAlgebra.ofBaseChangeAux A Q) ((CliffordAlgebra.ι Q) v) =
  (CliffordAlgebra.ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (1 ⊗ₜ[R] v)
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
⊢ exp ℝ (log a) = a
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
⊢ a ^ (p / 2) = 1 ∨ a ^ (p / 2) = -1
α : Type u_1
s u v : Set α
hsuv : s ⊆ u ∪ v
H : s ∩ (u ∩ v) = ∅
⊢ Subtype.val ⁻¹' u = (Subtype.val ⁻¹' v)ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f✝ : α → β
inst✝ : Nonempty α
f : α → β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
⊢ invFunOn f s (f x) ∈ s
F : Type u_1
Field F
S : Set F
⊢ Ring.closure S ⊆ Field.closure S
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
⊢ 1 < card α ↔ ↑1 < toPartENat #α
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
⊢ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᶠ[ae μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ Prime v.asIdeal
a : ℕ
⊢ a.factorizationLCMLeft 0 = 1
α : Type u_1
arr : Array α
⊢ arr.pop.data = arr.data.dropLast
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Monoid (G i)
Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
i : ι
g : G i
⊢ Monoid.PushoutI.ofCoprodI (Monoid.CoprodI.of g) = (Monoid.PushoutI.of i) g
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
⊢ (p * q).trailingDegree = p.trailingDegree + q.trailingDegree
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
m : ℕ
⊢ ((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) α = ζ ^ m • α
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ ({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ } + { toFinsupp := toFinsupp✝ }).coeff n = { toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.coeff n + { toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s t : Set α
h₁ : t.Nonempty
h₂ : t ⊆ s
⊢ sInf s ≤ sInf t
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
P : Type u₁
CommRing P
g : (i : ι) → G i →+* P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) (f i j hij x) = (g i) x
i : ι
x : G i
⊢ (Ring.DirectLimit.lift G f P g Hg) ((Ring.DirectLimit.of G f i) x) = (g i) x
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
⊢ Subgroup.zpowers ζ = rootsOfUnity k R
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
l : List (Equiv.Perm α)
⊢ l.prod.support ≤ List.foldr (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⊥ (List.map Equiv.Perm.support l)
n : ℤ
⊢ ↑↑n = ↑n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Antivary f g ↔ ∀ (i j : ι), (f j - f i) • (g j - g i) ≤ 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ ℱ' : CategoryTheory.SheafOfTypes K
i : G.op.comp ℱ.val ≅ G.op.comp ℱ'.val
⊢ (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.sheafIso i).hom.val =
  (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.presheafIso i).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α →ₘ[μ] ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑f a ∂μ = f.lintegral
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
s s' : ↥S
m : M
⊢ LocalizedModule.mk (s' • m) (s * s') = LocalizedModule.mk m s
α : Type u_1
p q : α → Prop
h : ∀ {x : α}, q x → p x
⊢ ∀ (a : { x // q ↑x }), ↑((Equiv.subtypeSubtypeEquivSubtype h) a) = ↑↑a
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
s : Set K
p : K → Prop
x : K
h : x ∈ closure s
mem : ∀ x ∈ s, p x
one : p 1
add : ∀ (x y : K), p x → p y → p (x + y)
neg : ∀ (x : K), p x → p (-x)
inv : ∀ (x : K), p x → p x⁻¹
mul : ∀ (x y : K), p x → p y → p (x * y)
⊢ p x
a b : ℕ
⊢ (a.factorizationLCMLeft b).Coprime (a.factorizationLCMRight b)
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp_pos : 0 < p
h : (a ^ 1 + b ^ 1) ^ 1 ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ p⁻¹
⊢ (a + b) ^ p ≤ a ^ p + b ^ p
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Infinite R
h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M
this : Infinite M
h : lift.{max u v, v} #M = max (lift.{max u v, v} (Module.rank R M)) (lift.{v, u} #R)
⊢ ¬lift.{v, u} #R = lift.{max u v, v} #M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
hy : y ∈ ⋂ i, f '' s i
⊢ y ∈ f '' ⋂ i, s i
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπS_pi : IsPiSystem πS
⊢ IndepFun (fun a i => f (↑i) a) (fun a i => f (↑i) a) κ μ
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F✝ F : Sheaf J A
this : (compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t)) ≫ { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } = (constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ (toSheafify J F.val).app (op t) ≫ (sheafify J F.val).map (ht.from (unop x✝)).op = (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).app x✝ ≫ ((presheafToSheaf J A).map { app := fun x => F.val.map (ht.from (unop x)).op, naturality := ⋯ }).val.app x✝
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
f : (i : α) → E i
c : 𝕜
hf : Memℓp f ⊤
⊢ Memℓp (c • f) ⊤
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
h : G.Colorable n
⊢ G.chromaticNumber = ↑(sInf {n' | G.Colorable n'})
α : Type u_1
Preorder α
a : α
NoMaxOrder α
⊢ ¬BddAbove (Set.Ici a)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x y : M × R
f : M × R →ₗ[R] M × R →ₗ[R] CliffordAlgebra Q := ((Algebra.lmul R (CliffordAlgebra Q)).toLinearMap ∘ₗ (ι Q ∘ₗ LinearMap.fst R M R + Algebra.linearMap R (CliffordAlgebra Q) ∘ₗ LinearMap.snd R M R)).compl₂ (ι Q ∘ₗ LinearMap.fst R M R - Algebra.linearMap R (CliffordAlgebra Q) ∘ₗ LinearMap.snd R M R)
⊢ ((even.lift (Q' Q)) { bilin := f, contract := ⋯, contract_mid := ⋯ }) (((even.ι (Q' Q)).bilin x) y) = ((ι Q) x.1 + (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) x.2) * ((ι Q) y.1 - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) y.2)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g s : ι → Set X
hs : LocallyFinite s
hs' : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
x y : X
i : ι
hi : i ∈ {i | y ∈ s i}
hy : ∀ (i : ι), x ∉ s i → y ∉ s i
⊢ i ∈ {i | x ∈ s i}
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq n
Semiring α
i : n
c : α
⊢ (Matrix.stdBasisMatrix i i c).diag = Pi.single i c
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I
a : A
haI : a ∈ I
ha0 : ⟨a, haI⟩ ≠ 0
⊢ ¬(↑I)⁻¹ ≤ 1
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ p < p.succAbove i ↔ p ≤ i.castSucc
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n i : ℕ
⊢ (Polynomial.erase n p).coeff i = if i = n then 0 else p.coeff i
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n✝² n✝¹ n : ℕ
h : n ≠ 0
n✝ : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))
g_poly : (ZMod (n✝ + 1))[X] := X ^ (n✝ + 1) ^ n - X
hp : 1 < n✝ + 1
aux : g_poly ≠ 0
key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField (n✝ + 1) n)) = (n✝ + 1) ^ n
nat_degree_eq : g_poly.natDegree = (n✝ + 1) ^ n
x : GaloisField (n✝ + 1) n
hx : x ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪ (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField)
⊢ (aeval 0) g_poly = 0
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
⊢ (algebraMap (Polynomial K) (RatFunc K)).comp Polynomial.C = RatFunc.C
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ p.succAbove i ≠ p
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
⊢ (Q q ≫ Q q).f n = (Q q).f n
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x y : L
z : M
n : ℕ
⊢ ((LieModule.toEnd R L M) x ^ n) ⁅y, z⁆ =
  ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal n, n.choose ij.1 • ⁅((LieAlgebra.ad R L) x ^ ij.1) y, ((LieModule.toEnd R L M) x ^ ij.2) z⁆
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
a b : 𝕜
f : 𝕜 → E
h : b ≠ a
⊢ dslope f a =ᶠ[𝓝 b] slope f a
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Set M
⊢ ⨆ i, Submodule.span R (p i) = Submodule.span R (⋃ i, p i)
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
⊢ DenseInducing pkg.coe
G : Type u_1
Group G
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
N.Normal
Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p G
hP : ↑P ≤ N
⊢ (↑P).normalizer ⊔ N = ⊤
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
x x' : ↑X.toTopCat
hxx' : x = x'
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap f x ≫ X.presheaf.stalkSpecializes ⋯ =
  Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap f x'
u : Lean.Level
n✝¹ num✝ : ℤ
n✝ denom✝ : ℕ
inv✝ : Invertible ↑denom✝
h : ↑n✝¹ / ↑n✝ = ↑num✝ * ⅟↑denom✝
⊢ IsRat (↑↑n✝¹ / ↑↑n✝) num✝ denom✝
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
m : ℕ
x : K
n : ℕ
y : K
z : ℕ
H : (⇑(frobenius K p))^[n + z] x = (⇑(frobenius K p))^[m + z] y
⊢ mk K p (n + z + m, (⇑(frobenius K p))^[m + z] y) = mk K p (m + z + n, (⇑(frobenius K p))^[m + z] y)
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H✝ : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x
hl : (insertNth k x s).length = (insertNth (k + 1) x s).length
n : ℕ
hn : n < (insertNth k x s).length
hn' : n < (insertNth (k + 1) x s).length
H : n < k
⊢ (insertNth k x s).nthLe n hn = (insertNth (k + 1) x s).nthLe n hn'
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ ⇑(chainTop α β) = ↑(chainTopCoeff α β) • α + ⇑β
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'
⊢ e.symm ≈ e'.symm
x : SetTheory.PGame
⊢ x - x ≈ 0
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
Fact (1 ≤ p)
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Memℒp (↑f) p μ
⊢ ‖MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp f hf‖ = (MeasureTheory.eLpNorm (↑f) p μ).toReal
⊢ Ordinal.univ.{u, u + 1} = Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
hi : Irreducible f
⊢ f.natSepDegree = 1 ↔ ∃ n y, f = X ^ q ^ n - C y
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
m n k : ℕ
hx : x ^ m = 0
hy : y ^ n = 0
h : m + n ≤ k + 1
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal k
⊢ k.choose (i, j).1 • (x ^ (i, j).1 * y ^ (i, j).2) = 0
α : Type u
β : Type v
c : β
⊢ (Set.range fun x => c).Finite