ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Ici a)
⊢ Subtype.val '' Set.Ioi b = Set.Ioi ↑b
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
σ : α → Perm β
l : List α
hl : l.Nodup
mem_l : ∀ (x : α), x ∈ l
l_to_finset : l.toFinset = univ
⊢ sign (prodCongrRight σ) = ∏ k : α, sign (σ k)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F), Tendsto u atTop (𝓝 x) → Tendsto (⇑g ∘ u) atTop (𝓝 y) → y = g x
φ : ℕ → E × F
x : E
y : F
hφg : ∀ (n : ℕ), φ n ∈ ↑g.graph
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 (x, y))
⊢ Tendsto (⇑g ∘ Prod.fst ∘ φ) atTop (𝓝 y)
a : Prop
l : List Prop
⊢ (a :: a :: l).TFAE ↔ (a :: l).TFAE
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝² : Nonempty β
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : β → α
a : α
⊢ (∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ioi ia, u x ∈ ball a ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n > N, dist (u n) a < ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.ofZeros φ hf₁ hg₁ hf₂ hg₂).φH = φ.τ₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
ChartedSpace H M
x y : M
hy : y ∈ (extChartAt I x).source
⊢ Filter.map (↑(extChartAt I x).symm) (𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I] ↑(extChartAt I x) y) = 𝓝[s] y
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s t : TopologicalSpace.Closeds α
h : ↑s = ↑t
⊢ s = t
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
hx : x ∈ s
⊢ s.WSameSide z y
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
⊢ Function.Injective Monoid.PushoutI.NormalWord.prod
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
CommRing R''
CommRing S''
Algebra R'' S''
P'' : Algebra.Generators R'' S''
Algebra R R''
Algebra S S''
Algebra R' R''
Algebra S' S''
Algebra R' S''
IsScalarTower R' R'' S''
IsScalarTower R' S' S''
IsScalarTower R R' R''
IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
x : P.Ring
⊢ (g.comp f).toAlgHom x = g.toAlgHom (f.toAlgHom x)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
u v : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 u ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s u
hsv : MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 v ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s v
hs : ↑s (symmDiff u v) = 0
⊢ ↑s (u \ v) = 0 ∧ ↑s (v \ u) = 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
inst✝ : CompleteSpace E
hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀
⊢ ∃ f, f t₀ = x₀ ∧ ∃ ε > 0, ∀ t ∈ Ioo (t₀ - ε) (t₀ + ε), HasDerivAt f (v (f t)) t
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : ArithmeticFunction R
x : ℕ
⊢ ((↑ζ).pmul f) x = f x
n : ℕ
p i : Fin n
h : i < p
⊢ p.castSucc.succAbove i = i.castSucc
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} B
CategoryTheory.Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
X : B
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₂CounitIso eB hF).inv.app X =
  eB.unitIso.hom.app X ≫
    eB.inverse.map (e'.counitIso.inv.app (eB.functor.obj X)) ≫
      eB.inverse.map (e'.functor.map (eA.counitIso.inv.app (e'.inverse.obj (eB.functor.obj X)))) ≫
        eB.inverse.map (hF.hom.app (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj X))))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝ : IsRefl α r
⊢ (insert a s).PartiallyWellOrderedOn r ↔ s.PartiallyWellOrderedOn r
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), Ordinal.IsNormal (f i)
⊢ Ordinal.derivFamily f = Ordinal.enumOrd (⋂ i, Function.fixedPoints (f i))
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x ^ (n + 2) =
  (Real.sin a ^ (n + 1) * Real.cos a - Real.sin b ^ (n + 1) * Real.cos b +
      (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x ^ n) -
    (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x ^ (n + 2)
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : Flat R S
I : Ideal R
⊢ ∀ (x : M) (y : ↥I), (↑R (Module.Flat.auxLTensor R S M I)) (x ⊗ₜ[R] y) = (↑(TensorProduct.rid R M) ∘ₗ lTensor M (Submodule.subtype I)) (x ⊗ₜ[R] y)
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
L' : FirstOrder.Language
φ : L →ᴸ L'
h : φ.Injective
⊢ (φ.onTheory T).IsSatisfiable ↔ T.IsSatisfiable
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2)
hn1 : ↑n + 1 ≠ 0
⊢ ↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 2 - 1) * (centroidWeightsWithCircumcenter univ i - circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2) i) + circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2) i = mongePointWeightsWithCircumcenter n i
β : Type u_1
α : Type u_2
p : α → Bool
f : β → α
b : β
l : List β
⊢ eraseP p (map f (b :: l)) = map f (eraseP (p ∘ f) (b :: l))
d : Nat
n : Int
a : Nat
d0 : d ≠ 0
a0 : a ≠ 0
⊢ normalize (n * ↑a) (d * a) ⋯ = normalize n d d0
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)
h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedCommSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
c : 𝕜
⊢ StarConvex 𝕜 (z + c • x) ((fun x => z + c • x) '' s)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.EffectivelyEnough
X : D
⊢ Nonempty (F.EffectivePresentation X)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
k : ℕ
kpos : 0 < k
x : ℕ
⊢ (f.ppow (k + 1)) x = ((f.ppow k).pmul f) x
n k : ℕ
h : k ≤ n + 1
⊢ LinearIndependent ℚ fun ν => bernsteinPolynomial ℚ n ↑ν
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
s t : Set V
sconn : (H.induce s).Connected
tconn : (H.induce t).Connected
sintert : (s ⊓ t).Nonempty
⊢ (H.induce (s ∪ t)).Connected
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
i : ι
x : ℝ
h : x ∉ Set.Ioo (I.lower i) (I.upper i)
⊢ BoxIntegral.Prepartition.split I i x = ⊤
α : Type u_1
G' : Type u_6
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace ℝ G'
CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
x : G'
⊢ ∫ (a : α) in s, ↑↑((MeasureTheory.condexpInd G' hm μ t) x) a ∂μ = (μ (t ∩ s)).toReal • x
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
r : Rˣ
s : R
a : A
h : IsUnit (r • (algebraMap R A) s - a)
⊢ ↑h.subInvSMul⁻¹ = r • ↑h.unit⁻¹
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
a : A
r s : R
⊢ r + s ∈ spectrum R a ↔ r ∈ spectrum R (-(algebraMap R A) s + a)
q a b c : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
n₃ : ℤ
d₃ : ℕ
h₃ : d₃ ≠ 0
⊢ (n₁ * ↑d₂ + n₂ * ↑d₁) * n₃ /. (↑d₁ * ↑d₂ * ↑d₃) = (n₁ * n₃ * (↑d₂ * ↑d₃) + n₂ * n₃ * (↑d₁ * ↑d₃)) /. (↑d₁ * ↑d₃ * (↑d₂ * ↑d₃))
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ u v : Set α
inst✝ : Countable ι
t : ι → Set α
⊢ AEDisjoint μ s (⋃ i, t i) ↔ ∀ (i : ι), AEDisjoint μ s (t i)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ =
  ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (MeasureTheory.SimpleFunc.map ENNReal.ofNNReal φ).lintegral μ
m : Type u → Type v
Monad m
LawfulMonad m
α : Type u_1
f : ℕ → α → m PUnit.{u + 1}
as : List α
⊢ List.mapIdxM' f as = SeqRight.seqRight (as.mapIdxM f) fun x => pure PUnit.unit
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
X : Type u_6
TopologicalSpace X
f : X → Z
x : X
e : Trivialization F proj
hf_proj : ContinuousAt (proj ∘ f) x
he : proj (f x) ∈ e.baseSet
hf : ContinuousAt (↑e ∘ f) x
⊢ ContinuousAt f x
R : Type u_1
CommSemiring R
f : R[X]
⊢ Polynomial.toLaurentAlg f = Polynomial.toLaurent f
B : Type u_1
B' : Type u_2
M : CoxeterMatrix B
e : B ≃ B'
M' : CoxeterMatrix B' := CoxeterMatrix.reindex e M
⊢ uncurry M'.relation ∘ Prod.map ⇑e ⇑e = ⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) ∘ uncurry M.relation
α : Type u_1
⊢ ∀ (m n : Num), ↑(m ||| n) = ↑m ||| ↑n
a b : Int
⊢ a.div (-b) = -a.div b
d : ℤ
x y : ℤ
prop : x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1
⊢ (Pell.Solution₁.mk x y prop).x = x
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]
⊢ ((taylor r) f).coeff 0 = eval r f
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C✝ C D : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h : ∀ (i : ι), f.f i = g.f i
⊢ f.f = g.f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Monoid M
S : Finset (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R ↑S = ⊤
this : DecidableEq M := Classical.decEq M
⊢ adjoin R (⇑(of R M) '' ↑(S.biUnion fun f => f.support)) = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.integral f = MeasureTheory.L1.integralCLM f
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c
⊢ (∀ (i : ι), f i < c) → iSup f < c
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
rij rij' : c.Rel i j
⊢ C.d i j ≫ eqToHom ⋯ = C.d i j
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x b₁ b₂ : ↥(adjoin A {ζ})
hb₁ : b₁ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
hb₂ : b₂ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
⊢ b₁ * b₂ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
R : Type u_10
M : Type u_11
M₁ : Type u_12
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module R M
Module R M₁
p : Submodule R M
q : Submodule R M₁
f g : M →ₗ[R] M₁
hf : Set.MapsTo ⇑f ↑p ↑q
hg : Set.MapsTo ⇑g ↑p ↑q
hfg : Set.MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑q := ⋯
⊢ f.restrict hf - g.restrict hg = (f - g).restrict hfg
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : x + y ∈ interior s
t : 𝕜
ht : t ∈ Set.Ioc 0 1
⊢ x + t • y ∈ interior s
n : ℕ
NeZero n
Fintype (ZMod n)ˣ
⊢ Fintype.card (ZMod n)ˣ = n.totient
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₂ p₃ : ι
h : p₃ = p₂
p₁ : ι
⊢ K.d p₁ p₂ ≫ (K.XIsoOfEq h).inv = K.d p₁ p₃
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ (g₁✝ ≫ ⋯.choose) ≫ ⋯.choose = (g₂✝ ≫ ⋯.choose) ≫ ⋯.choose
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : ℂ → E
hdf : DiffContOnCl ℂ f (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Iio 0)
hBf : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hdg : DiffContOnCl ℂ g (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Iio 0)
hBg : ∃ c < 2, ∃ B, g =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, f ↑x = g ↑x
him : ∀ x ≤ 0, f (↑x * Complex.I) = g (↑x * Complex.I)
⊢ Set.EqOn f g {z | z.re ≤ 0 ∧ z.im ≤ 0}
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S✝ : Sieve X
R✝ : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
R S : Sieve X
hR : Presieve.IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S)).arrows
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u
ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K ↑v
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = 0
⊢ z' = 0
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
Module.Finite R L
Module.Free R L
Nontrivial R
⊢ φ.nilRank ≤ FiniteDimensional.finrank R M
g : ℂ →L[ℝ] ℂ
h : IsConformalMap g
⊢ (∃ map, ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ map = g) ∨
  ∃ map, ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ map = g.comp ↑Complex.conjCLE
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : Set ((i : ι) → α i)
⊢ s ∈ Filter.pi f ↔ ∃ I t, (∀ (i : ι), t i ∈ f i) ∧ (↑I).pi t ⊆ s
α : Type u_1
inst✝ : SemilatticeSup α
f : ℕ → α
a : α
⊢ a ∈ upperBounds (Set.range ⇑(partialSups f)) ↔ a ∈ upperBounds (Set.range f)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
⊢ X ^ n = (algEquivAevalXAddC t) ((X - C t) ^ n)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
x : R
hx : x ∈ 0 '' σₙ R 0
⊢ x = 0
G : Type u_6
Group G
H : Subgroup G
H.Normal
g : G
⊢ g ^ H.index ∈ H
α : Type u
l : List α
x : α
n : ℕ
h : l.length < n
⊢ List.insertNth n x l = l
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 1 < a
hb : 1 ≤ b
⊢ 1 < a * b
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
f : ℤ[X]
a b : ℤ
b0 : 0 < b
fab : eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f) ≠ 0
ev : ℤ
bi : K
bu : bi * (algebraMap ℤ K) b = 1
hF : (algebraMap ℤ K) ev = (algebraMap ℤ K) b ^ f.natDegree * eval ((algebraMap ℤ K) a * bi) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)
Fa : |↑ev| = |↑b ^ f.natDegree| * |eval ((algebraMap ℤ K) a * (1 / ↑b)) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)|
⊢ 1 ≤ ↑b ^ f.natDegree * |eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)|
α : Type u_1
x y : α
⊢ MulOpposite.op x = MulOpposite.op y ↔ x = y
q : Λ'
c : List Γ'
x : Γ'
b : List Γ'
IH : ∀ (s : Option Γ') (a d : List Γ'), Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.copy, var := s, stk := elim a b c d } { l := some q, var := none, stk := elim (b.reverseAux a) [] c (b.reverseAux d) }
s : Option Γ'
a d : List Γ'
⊢ TransGen (fun a b => b ∈ TM2.step tr a) (TM2.stepAux (tr q.copy) s (elim a (x :: b) c d)) { l := some q, var := none, stk := elim ((x :: b).reverseAux a) [] c ((x :: b).reverseAux d) }
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
R : CommRingCat
f : R ⟶ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X)
β : X ⟶ AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj R
w :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp X.toΓSpec.val.base (AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base =
    β.val.base
h :
  ∀ (r : ↑R),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (X.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen (↑R) (PrimeSpectrum.basicOpen r))
        (β.val.c.app (Opposite.op (PrimeSpectrum.basicOpen r)))
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp X.toΓSpec (AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceMap f) = β
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MonotoneOn f s
a : α
⊢ MonotoneOn (fun x => f x * a) s
k : Type u_2
Field k
f : PowerSeries k
hf : f ≠ 0
⊢ IsUnit (PowerSeries.divided_by_X_pow_order hf)
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝ : Div γ
f : α → β
g₁ g₂ : α → γ
e₁ e₂ : β → γ
⊢ extend f (g₁ / g₂) (e₁ / e₂) = extend f g₁ e₁ / extend f g₂ e₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
S T : ConvexCone 𝕜 E
h : S ≤ T
⊢ S.Pointed → T.Pointed
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
⊢ 0 < 1 / 2
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b✝ a b : α
⊢ a ⊓ b ⊓ ￢(a ⊓ b) = a ⊓ ￢a ⊓ b ⊔ a ⊓ (b ⊓ ￢b)
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
⊢ closure s ⊆ ⇑(AffineMap.homothety x t) '' interior s
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
f : M →ₗ[R] M
v w : M
⊢ ((B.compRight f) v) w = (B v) (f w)
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : CommRing L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
hn : n ≠ 2
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
⊢ (Algebra.norm K) ζ = 1
b : ℝ
⊢ Real.logb b 1 = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hz : P z = Q z
mem : Q z ∈ nonZeroDivisors R
⊢ P ≈ Q → P = Q
n : ℕ
⊢ SetTheory.PGame.powHalf (n + 1) < 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a : 𝕜
s : Set 𝕜
h : a ∉ s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (dslope f a) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
n n' m : Nat
i : Fin n'
h : n' + m = n + m
⊢ Fin.cast h (i.addNat m) = (Fin.cast ⋯ i).addNat m
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
hg : AntitoneOn g s
⊢ AntitoneOn (fun x => Set.Icc (f x) (g x)) s
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a b : α
⊢ ‖a / b‖₊ = ‖a‖₊ / ‖b‖₊
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ IsCompl (LinearMap.range (LinearMap.inl R M M₂)) (LinearMap.range (LinearMap.inr R M M₂))
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs_finite : μ s ≠ ⊤
⊢ μ (s ∩ t) < ⊤
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
f : R →* R'
hf : ∀ (a : R), ¬IsUnit a → (↑f).toFun a = 0
⊢ ⇑{ toMonoidHom := f, map_nonunit' := hf } = ⇑f
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
hx : d x ≠ 0
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y / d y) ((c' * d x - c x * d') / d x ^ 2) s x
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
x : ↑C
i : I
⊢ (if J i then if K i then ↑x i else false else false) = if J i then ↑x i else false
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
Zero β
f : α → β
E : Set α
x : α
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ) in 𝓝[>] 0, (Metric.thickening δ E).indicator f x = (closure E).indicator f x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
l : Filter γ
f : γ → α
e : α ≃o β
⊢ Tendsto (fun x => e (f x)) l atTop ↔ Tendsto f l atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
𝕜 : Type u_5
SMul 𝕜 β
ContinuousConstSMul 𝕜 β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
c : 𝕜
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (c • f) μ
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
r b : ↥R⁰
c : R_hat R K
h : a * ↑↑b = ↑c
n : R_hat R K
⊢ ∃ a_1, a_1 • ↑↑r = n • (a * ↑(↑r * ↑b))
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
as bs cs : (i : ι) → X i
a✝ : Path as bs
⊢ (pi fun i => ⟦a✝.map ⋯⟧) = ⟦a✝⟧
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
x y : S
⊢ h.repr (x + y) - (h.repr x + h.repr y) ∈ Ideal.span {f}
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a : α
ha : ¬IsMax a
⊢ Set.Iio (Order.succ a) = Set.Iic a
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
a : (i : ι) → π i
⊢ 𝓝 a = Filter.pi fun i => 𝓝 (a i)
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring R
s : Set Rᵐᵒᵖ
⊢ sInf {a | s ⊆ MulOpposite.unop ⁻¹' ↑a} = sInf {S | MulOpposite.op ⁻¹' s ⊆ ↑S}
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
⊢ ↑R ((Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] S ⊗[R] M))).flip ((mk R S M) 1)) = mk R S M
q : ℕ+
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).1 = OfNat.ofNat n
R : Type u_1
Semiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype m
M : Matrix m n R
⊢ ⇑M.vecMulLinear = fun v => v ᵥ* M
a₁ a₂ : ℤ
b : ℕ
⊢ (List.map (fun x => legendreSym (↑x) a₁ * legendreSym (↑x) a₂) b.primeFactorsList.attach).prod = (List.map (fun x => legendreSym (↑x) a₁) b.primeFactorsList.attach).prod * (List.map (fun x => legendreSym (↑x) a₂) b.primeFactorsList.attach).prod