ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
x : M × M₂
⊢ x ∈ range (inl R M M₂) ↔ x ∈ ker (snd R M M₂)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
h : LowerSemicontinuous f
x : α
⊢ LowerSemicontinuousAt f x
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p q : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K
hq : 0 < q
⊢ 0 < ↑q.num / ↑q.den
α : Type u_3
SemilatticeSup α
⊢ Filter.atTop = Filter.generate (Set.range Set.Ici)
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
⊢ ∀ (a : α) (u : Set α), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ {U | IsOpen U}, a ∈ v ∧ v ⊆ u
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
X : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
Es : ℕ → Set X
Es_mble : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (Es i)
Es_disj : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
decr : Antitone fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i
nothing : ⋂ n, ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i = ∅
key : Tendsto (⇑μ ∘ fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i)))
⊢ Tendsto (⇑μ ∘ fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i) atTop (𝓝 0)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I J : Ideal S
x : S
hxI : x ∈ ↑I
y : S
hyJ : y ∈ ↑J
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) x y ∈ ↑(I * J)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι : Type u_5
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
b : ℝ≥0∞
b_ne_top : b ≠ ⊤
xs : ι → ℝ≥0∞
le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b
aux : ∀ᶠ (i : ι) in F, (xs i).toReal = b.truncateToReal (xs i)
aux' : (limsup xs F).toReal = b.truncateToReal (limsup xs F)
key : b.truncateToReal (limsup xs F) = limsup (b.truncateToReal ∘ xs) F
⊢ limsup (fun a => b.truncateToReal (xs a)) F = b.truncateToReal (limsup xs F)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
A : Set M
α : Type u₁
⊢ ↑⊤ = Set.univ
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), ((ℬ (tensorObj ℬ Y₁ Y₂) Y₃).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (tensorObj ℬ X₁ X₂) X₃).cone ≫ (ℬ Y₁ Y₂).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₁ X₂).cone ≫ f₁) (BinaryFan.snd (ℬ X₁ X₂).cone ≫ f₂))) (BinaryFan.snd (ℬ (tensorObj ℬ X₁ X₂) X₃).cone ≫ f₃)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫ (ℬ Y₁ (ℬ Y₂ Y₃).cone.pt).cone.π.app j = ((BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (ℬ Y₁ (tensorObj ℬ Y₂ Y₃)).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₁ (ℬ X₂ X₃).cone.pt).cone ≫ f₁) (BinaryFan.snd (ℬ X₁ (ℬ X₂ X₃).cone.pt).cone ≫ (ℬ Y₂ Y₃).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₂ X₃).cone ≫ f₂) (BinaryFan.snd (ℬ X₂ X₃).cone ≫ f₃))))) ≫ (ℬ Y₁ (ℬ Y₂ Y₃).cone.pt).cone.π.app j
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsOpen t
⊢ IsCompact (s \ t)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ ⇑(P.reflection i) '' Set.range ⇑P.root = Set.range ⇑P.root
α : Type u_1
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidablePred SupIrred
a b : α
⊢ (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) (a ⊓ b) = (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) a ∩ (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) b
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteDistribLattice α
f : Filter β
u : β → α
g : Filter β
⊢ Filter.liminf u (f ⊔ g) = Filter.liminf u f ⊓ Filter.liminf u g
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
hd : p ∣ a
q : α
hq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a
hpq : p ~ᵤ q
⊢ ∃ a_1, ∃ (h : a_1 ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a), ⟨Associates.mk a_1, ⋯⟩ = ⟨Associates.mk p, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_1
U : ι → Submodule R M
⊢ ⨆ i, (U i).dualAnnihilator ≤ (⨅ i, U i).dualAnnihilator
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
⊢ frobeniusPolyAux p n = X (n + 1) - ∑ i ∈ range n, ∑ j ∈ range (p ^ (n - i)), (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * frobeniusPolyAux p i ^ (j + 1) * C ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩))
α : Type u
f : Ultrafilter α
s : Set α
⊢ sᶜ ∈ f ↔ s ∉ f
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α
h : x.1 + x.2 = ↑l
this : DecidableEq α
⊢ x ∈ ↑(powersetAux l).revzip
B : Type u₁
Quiver B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : B ⥤q C
⊢ ∀ {a b : CategoryTheory.FreeBicategory B} {f g : a ⟶ b} (a_1 : Quot CategoryTheory.FreeBicategory.Rel),
  (CategoryTheory.FreeBicategory.lift F).map₂ a_1 = Quot.lift (CategoryTheory.FreeBicategory.liftHom₂ F) ⋯ a_1
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
p x : 𝕜
⊢ ↑(x + p) = ↑x
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
self : HopfAlgebra R A
⊢ LinearMap.mul' R A ∘ₗ LinearMap.rTensor A HopfAlgebra.antipode ∘ₗ Coalgebra.comul =
  Algebra.linearMap R A ∘ₗ Coalgebra.counit
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
pn : p.natDegree < n
⊢ (q + p).coeff n = q.coeff n
β : Type u_2
π : β → Type u_3
Fintype β
(b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
x : (b : β) → π b
r : ℝ
h : 0 < r ∨ Nonempty β
⊢ Metric.sphere x r = (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' Metric.sphere (x i) r) ∩ Metric.closedBall x r
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
h1 : f (f x) = x
h : swap x (f x) * f = 1
⊢ -1 * 1 = -(-1) ^ 2
ι : Type u_1
α : Type u_3
Preorder ι
Preorder α
l : Filter ι
u : ι → α
h : Monotone u
l.NeBot
hu : Filter.Tendsto u l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto u Filter.atBot Filter.atBot
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
⊢ M.IsPerfectMatching ↔ ∀ (v : V), ∃! w, M.Adj v w
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
I : Ideal S
hI : I.IsPrime
H : ∀ (I : Ideal S), I.IsMaximal → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
s : S
⊢ ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) = ∫ (θ : ℝ) in Icc 0 (2 * π), deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)
α : Type u
⊢ ⇑FreeAddMagma.toFreeAddSemigroup ∘ FreeAddMagma.of = FreeAddSemigroup.of
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s t : Multiset α
x✝ : s ≤ t ∧ a ∈ t
l : s ≤ t
m : a ∈ t
h : a ∉ s
⊢ s ≤ t
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : C
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ X✝.mor₂ ≫ (𝟭 C).map f.hom₃ ≫ (shiftEquiv C 1).counitIso.inv.app Y✝.obj₃ = X✝.mor₂ ≫ f.hom₃ ≫ (shiftEquiv C 1).counitIso.inv.app Y✝.3
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ Φ(p, k) (b • c • x) = b • Φ(p, k) c • x
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : μ'.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : μ s ≠ ⊤
h's : μ' s ≠ ⊤
c : ℝ≥0 := μ'.haarScalarFactor μ
⊢ μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZetaOdd (↑x) (-(2 * ↑k)) =
  -1 / (2 * ↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))
r s : ℤ
h : IsCoprime r s
⊢ IsCoprime (r ^ 2 + s ^ 2) (r * s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
m n : ℕ
⊢ (s.get? m).Terminates → (s.get? m).Terminates
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
𝔸 : Type u_3
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
t : Finset ι
f : ι → E → 𝔸'
h : ∀ i ∈ t, ContDiffWithinAt 𝕜 n (f i) s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun y => ∏ i ∈ t, f i y) s x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
CompleteSpace E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
disj : b ∉ ProperCone.map f K
⊢ ∃ y, (ContinuousLinearMap.adjoint f) y ∈ K.dual ∧ ⟪y, b⟫_ℝ < 0
x₀ : ℝ
a : ℕ
f : ℝ → ℝ
hf : AntitoneOn f (Set.Icc x₀ (x₀ + ↑a))
⊢ ∫ (x : ℝ) in x₀..x₀ + ↑a, f x ≤ ∑ i ∈ Finset.range a, f (x₀ + ↑i)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
x : C
h : x ∈ closure (↑s ∪ ↑t)
⊢ ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = 1
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ : List α
a : α
l₂ : List α
hl₁ : l₁.Nodup
⊢ List.filter (fun a_1 => decide (decide (a_1 ∉ l₂) = true ∧ decide (a_1 ≠ a) = true)) l₁ = List.filter (fun x => decide (x ∉ a :: l₂)) l₁
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
⊢ ∃ a, b ≡ (algebraMap A B) a [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b n : α
a_nonneg : 0 ≤ a
a_lt_n : a < n
b_nonneg : 0 ≤ b
b_lt_n : b < n
⊢ a < n + b ∧ b < n + a
D : GlueData
i j k : D.J
z : ↑(pullback (D.f j i) (D.f j k))
e₂ : (D.f j i) ((D.t i j) ((D.t j i) ((pullback.fst (D.f j i) (D.f j k)) z))) = (D.f j k) ((pullback.snd (D.f j i) (D.f j k)) z)
⊢ (D.f i k) ((pullback.fst (D.f i k) (D.f i j)) ((D.t' j i k) z)) = (D.f i j) ((D.t j i) ((pullback.fst (D.f j i) (D.f j k)) z)) ∧ (D.f k i) ((D.t i k) ((pullback.fst (D.f i k) (D.f i j)) ((D.t' j i k) z))) = (D.f k j) ((D.t j k) ((pullback.snd (D.f j i) (D.f j k)) z))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
d : Associates α
hd : a * c = a * b * d
⊢ a * c = a * (b * d)
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
⊢ IsLocalizedModule S f
K : Type u_1
Field K
self : PerfectField K
f : K[X]
⊢ Irreducible f → f.Separable
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
⊢ dblU (map W' f) (⇑f ∘ P) = f (W'.dblU P)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
P Q R : D
f : Sum.inr P ⟶ Sum.inr Q
g : Sum.inr Q ⟶ Sum.inr R
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
CharZero k
n : ℕ
s : Affine.Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
⊢ Finset.centroid k Finset.univ (s.face h₁).points = Finset.centroid k Finset.univ (s.face h₂).points ↔ fs₁ = fs₂
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β
abv : β → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : Nontrivial β
x : β
hx1 : abv x < 1
hx1' : abv x ≠ 1
this : 0 < 1 - abv x
⊢ ∀ n ≥ 0, |(1 - abv x ^ n) / (1 - abv x)| ≤ 1 / (1 - abv x)
I : Type u
f : I → Type v
g : I → Type u_1
(i : I) → MonoidWithZero (f i)
(i : I) → AddMonoid (g i)
(i : I) → DistribMulAction (f i) (g i)
DecidableEq I
i : I
r : f i
x : g i
⊢ Pi.single i (r • x) = Pi.single i r • Pi.single i x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ (LinearMap.rTensor M f) (n ⊗ₜ[R] m) = f n ⊗ₜ[R] m
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m : M
x : MvPolynomial σ R
⊢ x ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w m ↔ x ∈ supported R R {d | (weight w) d = m}
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : Filter α
h : f ⊓ MeasureTheory.ae μ ≤ g
hg : μ.FiniteAtFilter g
⊢ μ.FiniteAtFilter f
X : Type u_1
Y : Type u_2
NormedAddCommGroup X
NormedAddCommGroup Y
NormedSpace ℝ X
NormedSpace ℝ Y
Subsingleton X
f : X → Y
x : X
⊢ ConformalAt f x
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
⊢ (p.prod q).radius = min p.radius q.radius
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : UniformSpace E
inst✝¹ : UniformAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : TotallyBounded s
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u✝ v✝ w : V
hconn : G.Connected
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.length = G.dist u v
⊢ ∃ p, p.IsPath ∧ p.length = G.dist u v
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
inst✝ : HasColimit (e.functor ⋙ F)
this : HasColimit (e.inverse ⋙ e.functor ⋙ F)
⊢ HasColimit F
n p : ℕ
⊢ ↑p + 1 ≠ 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hq : q ≠ 0
⊢ p.degree ≤ (p * q).degree
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i < ∑ i ∈ s, f (σ i) * g i ↔ ¬AntivaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → α → β
s t : Finset α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a
⊢ image2 f (↑s ∩ ↑t) (↑s ∪ ↑t) ⊆ image2 f ↑s ↑t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M : Bimon_ C
⊢ (𝟙 M).hom = 𝟙 M.X
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)
⊢ InitiallySmall J
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
G₂ : Type u_2
inst✝² : Group G₂
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ : Subgroup G
H₂ : Subgroup G₂
inst✝¹ : Finite ↥H₁
inst✝ : Finite ↥H₂
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
⊢ (Nat.card ↥H₁).Coprime (Nat.card ↥H₂)
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
cg : Code
hg : Partrec cg.eval
this : Partrec fun n => rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n
⊢ ∃ h, Partrec h ∧ ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ h a, x ∈ cf.eval a ∨ x ∈ cg.eval a) ∧ ((h a).Dom ↔ (cf.eval a).Dom ∨ (cg.eval a).Dom)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
W₁.IsMultiplicative
⊢ (CategoryTheory.LocalizerMorphism.LeftResolution.opEquivalence Φ X₂).unitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Functor.id (Φ.LeftResolution X₂)ᵒᵖ)
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
c : α
⊢ a + c ≡ b + c [PMOD p] → a ≡ b [PMOD p]
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeInf α
inst✝⁴ : BoundedOrder α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a✝ b a : α
⊢ (if h : b ≤ a then (filter (fun x => x ≤ a) {b}).inf' ⋯ fun x => x else ⊥) = if b ≤ a then b else ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
H : (Nonempty β → ¬Infinite α) ∧ (Nonempty α → ¬Infinite β)
H' : Infinite (α × β)
a : α
b : β
this✝ : Fintype α
this : Fintype β
⊢ False
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0
⊢ ∃ n, ↑r < ↑n
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : x ≤ 0
n : ℕ
⊢ n • x ≤ 0
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha' : 0 < a'
fact1 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, x ≠ 0
fact2 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, a < x⁻¹
hdnf : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, HasDerivAt (f ∘ Inv.inv) (f' x⁻¹ * -(x ^ 2)⁻¹) x
hdng : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, HasDerivAt (g ∘ Inv.inv) (g' x⁻¹ * -(x ^ 2)⁻¹) x
this✝ : Tendsto (fun x => (f ∘ Inv.inv) x / (g ∘ Inv.inv) x) (𝓝[>] 0) l
this : Tendsto ((fun x => (f ∘ Inv.inv) x / (g ∘ Inv.inv) x) ∘ fun r => r⁻¹) atTop l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
ι : Type u
f g : ι → ℝ
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
hg : ∀ (i : ι), 0 ≤ g i
A B : ℝ
hA : 0 ≤ A
hB : 0 ≤ B
hfA : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hgB : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)
⊢ ∃ C, 0 ≤ C ∧ C ≤ A + B ∧ HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
V : Type u_1
Quiver V
W : Type u_2
σ : V → W
⊢ (Quiver.Push.of σ).obj = σ
K : Type u_1
RCLike K
⊢ RCLike.im 1 = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
A : Set E
⊢ IsExposed 𝕜 A A
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : StrictOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y z : E
h : x ∈ (fun θ => y + θ • (z - y)) '' Icc 0 1
⊢ SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.restrict t).restrict s = (μ.restrict s).restrict t
⊢ StarConvex ℝ 1 Complex.slitPlane
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
OrderedCommSemiring 𝕜
Ring A
PartialOrder A
Algebra 𝕜 A
NonnegSpectrumClass 𝕜 A
a : A
ha : 0 ≤ a
x : 𝕜
hx : x ∈ spectrum 𝕜 a
⊢ 0 ≤ x
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S✝ M
inst✝¹ : SMul S✝ R
inst✝ : IsScalarTower S✝ R M
p q S T : Submodule R M
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
α : Type u_1
f : α →₀ ℕ
⊢ f.multinomial = Nat.multinomial f.support ⇑f
𝕜 : Type u
A : Type v
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
Nontrivial A
⊢ spectrum 𝕜 1 = {1}
ι : Type u_5
αi : ι → Type u_6
βi : ι → Type u_7
ei : (i : ι) → PartialEquiv (αi i) (βi i)
⊢ ↑(PartialEquiv.pi ei).symm = fun f i => ↑(ei i).symm (f i)
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
F : A → C ⥤ C
zero : F 0 ≅ 𝟭 C
add : (n m : A) → F (n + m) ≅ F n ⋙ F m
assoc_hom_app : autoParam (∀ (m₁ m₂ m₃ : A) (X : C), (add (m₁ + m₂) m₃).hom.app X ≫ (F m₃).map ((add m₁ m₂).hom.app X) = eqToHom ⋯ ≫ (add m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫ (add m₂ m₃).hom.app ((F m₁).obj X)) _auto✝
n : A
X : C
⊢ (F (0 + n)).obj X = (F n).obj X
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε)).Nonempty
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - (f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
I : r * ‖(f' x - A) a‖ ≤ r * (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
⊢ ‖(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s : Finset α
a : α
⊢ {a} + s = Finset.image (fun x => a + x) s
S : CategoryTheory.ShortComplex Ab
⊢ S.abLeftHomologyData.K = AddCommGrp.of ↥(AddMonoidHom.ker S.g)
x : ℂ
⊢ Complex.cos (x - 2 * ↑Real.pi) = Complex.cos x
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : L.SeparatesPointsStrongly
⊢ closure L = ⊤
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_succ_diff : SuccDiffBounded 2 fun x => 2 ^ x
⊢ (Summable fun k => 2 ^ k * f (2 ^ k)) ↔ Summable f
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
DecidableEq α
a : α
ha : a ∈ s.erase (s.min' H)
⊢ s.min' H < a
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
a : α
⊢ (𝓝 a).limsSup = a
α : Type u
One α
LE α
a : α
⊢ ↑a ≤ 1 ↔ a ≤ 1