ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
S : Type
CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
hψ : ψ.Even
⊢ (MulChar.toUnitHom ψ) (-1) = 1
M : Type u_2
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
Module R M
X : Type u_7
Module S M
SMulCommClass R S M
f : (X →₀ R) →ₗ[R] M
x : X
⊢ (Finsupp.llift M R S X).symm f x = f (Finsupp.single x 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
q : α
hq : ¬IsUnit q
hq' : q ≠ 0
⊢ Function.Injective fun n => q ^ n
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : Aᵐᵒᵖ
S : Subalgebra R A
⊢ x ∈ S.op ↔ MulOpposite.unop x ∈ S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
f : F ⟶ G
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n
m : ℤ
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n m ((CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom f).comp z ⋯) =
  (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom f).comp (CochainComplex.HomComplex.δ n m z) ⋯
R : Type u
NonAssocSemiring R
⊢ (Subsemiring.center R).toSubmonoid = Submonoid.center R
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑((MeasureTheory.condexpInd G hm μ s) x)) μ
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α × β → γ
f : Filter α
g : Filter β
⊢ Filter.map m (f ×ˢ g) = Filter.map₂ (fun a b => m (a, b)) f g
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
a : α
ha : a ∈ A
⊢ (map f (s + replicate (n - m) a)).prod = (map f (t + replicate (n - m) a)).prod
μ : YoungDiagram
j : ℕ
⊢ (fun i => (i, j) ∉ μ.cells) = fun j_1 => (j, j_1) ∉ μ.transpose
V : Type u
G : SimpleGraph V
C : G.ConnectedComponent
⊢ SimpleGraph.ConnectedComponent.map SimpleGraph.Hom.id C = C
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Finset.image Sym2.mk s.diag ∪ Finset.image Sym2.mk s.offDiag = s.sym2
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
L : Type u_7
Field L
g : A →+* L
hg : Function.Injective ⇑g
y : ↥(nonZeroDivisors A)
⊢ IsUnit (g ↑y)
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
i : S
x✝¹ : i ∈ ⇑f '' ↑I
r : R
hri : r ∈ ↑I
hfri : f r = i
j : S
x✝ : j ∈ ⇑f '' ↑J
s : R
hsj : s ∈ ↑J
hfsj : f s = j
⊢ f r * f s ∈ ↑(map f (I * J))
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
u : ↥S
v : R
h₁ : ↑u * r₂ = v * r₁
h₂ : ↑u = v
⊢ r₁ = r₂
X Y : Type u
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductIso X Y).hom ≫ Prod.snd = CategoryTheory.Limits.prod.snd
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
⊢ x ∈ ⊤
α : Type u_1
x : α
h : List.Duplicate x []
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ = ‖⟪y, x⟫_𝕜‖
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : Unique Mˣ
inst✝² : Unique Nˣ
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
this✝ : Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩) = ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)
this : DecidableEq (Associates M) := Classical.decEq (Associates M)
q : Associates M
hq : q ∈ normalizedFactors (Associates.mk m)
hq' : Associated (Associates.mk p) q
⊢ associatesEquivOfUniqueUnits.symm p ∈ normalizedFactors (Associates.mk m)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
p : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
⊢ p ∈ s1 ⊓ s2 ↔ p ∈ s1 ∧ p ∈ s2
α : Type u_1
l : Filter α
s : Set α
⊢ Filter.EventuallyConst s l ↔ s =ᶠ[l] ∅ ∨ s =ᶠ[l] Set.univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.IsPullback ↔ ∀ (X : Cᵒᵖ), (sq.map (CategoryTheory.coyoneda.obj X)).IsPullback
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ
⊢ dist ↑a ↑c * dist (↑b) ((starRingEnd ℂ) ↑b) / (2 * √(a.im * c.im)) ≤ (dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist ↑b ↑c * dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b)) / (2 * √(a.im * c.im))
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.6986, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (f.op ≫ cokernel.π f.op).unop = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
F G : CategoryTheory.BraidedFunctor C D
i : F.toMonoidalFunctor ≅ G.toMonoidalFunctor
⊢ (CategoryTheory.BraidedFunctor.mkIso i).inv = i.inv
M : Type u_4
Monoid M
Preorder M
L : List M
h : L.prod < 1
⊢ 0 < L.length
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
dvd : p ^ a ∣ b
⊢ padicValNat p (b / p ^ a) = padicValNat p b - a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ (∀ (b : α), ∀ x ∈ s.val, f x = b → a ∣ b) ↔ ∀ b ∈ s, a ∣ f b
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a₁ b₁ a₂ b₂ : α
h : a₁ < b₁
⊢ Finset.Ico a₁ b₁ ⊆ Finset.Ico a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂
α : Type u_1
Add α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h : a < b + c
hle : b ≤ d
⊢ a < d + c
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
a✝ : F ⟶ G
⊢ ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) 0 a✝).f = Algebra.Hom.f 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
h : (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₂)
ha : (↑univ).indicator (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (↑univ).indicator (centroidWeightsIndicator k fs₂)
⊢ fs₁ = fs₂
α : Type u_1
PartialOrder α
a b c : α
h : a ⩿ b
h2 : a ≤ c
h3 : c ≤ b
⊢ c = a ∨ c = b
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
h : b < a
⊢ max a b = a
α : Type u_1
l : List α
p : α → Bool
⊢ (!l.any p) = l.all fun a => !p a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
J₁ J₂ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
⊢ J₁ ≤ J₂ → CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J₂ P → CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J₁ P
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
self : W.RightFraction X Y
⊢ W self.s
α : Type u
r : α → α → Prop
IsAsymm α r
⊢ ∀ (x x_1 : List α), List.Lex r x x_1 → List.Lex r x_1 x → False
α : Type u_1
G : Type u_3
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_4
l : Filter ι
l.IsCountablyGenerated
F : ι → α → G
f : α → G
bound : α → ℝ
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : MeasureTheory.Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => F n a) l (nhds (f a))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) l (nhds (∫ (a : α), f a ∂μ))
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
E : Type u₅
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} E
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor (W₁.Localization × W₂.Localization) E
h : (W₁.Q.prod W₂.Q).comp F₁ = (W₁.Q.prod W₂.Q).comp F₂
⊢ F₁ = F₂
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Set.Iio ⊤ = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
⊢ (Sum.inl x).isRight = false
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖∫ (y : β), ↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y) ∂ν‖₊ ∂μ) (𝓝 g) (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r L : List (List α)
l' : List α
this : (∃ a, a ∈ L ∧ ∃ l₁ l₂, ¬l₂ = [] ∧ a = l₁ ++ l₂ ∧ l' = l₁ ++ t :: (l₂ ++ ts)) ↔ ∃ l₁ l₂, ¬l₂ = [] ∧ l₁ ++ l₂ ∈ L ∧ l' = l₁ ++ t :: (l₂ ++ ts)
⊢ l' ∈ foldr (fun y r => (permutationsAux2 t ts r y id).2) r L ↔ l' ∈ r ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ L ∧ l₂ ≠ [] ∧ l' = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f✝ : α ≃o β
s t : LowerSet α
a : α
b✝ : β
f : α ≃o β
b : β
⊢ b ∈ (map f) s ↔ f.symm b ∈ s
C : Type u
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.HasForget₂ C D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : (CategoryTheory.forget D).obj ((CategoryTheory.forget₂ C D).obj X)
⊢ ((CategoryTheory.forget₂ C D).map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)) x =
  ((CategoryTheory.forget₂ C D).map g) (((CategoryTheory.forget₂ C D).map f) x)
R : Type u₁
L : Type u₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
A : Type u₃
Ring A
Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
g : UniversalEnvelopingAlgebra R L →ₐ[R] A
⊢ ⇑g ∘ ⇑(UniversalEnvelopingAlgebra.ι R) = ⇑f ↔ g = (UniversalEnvelopingAlgebra.lift R) f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
this : succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂ ^ p * a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂ * a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + (a₁.coeff (n + 1) * (bs 0 ^ p) ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n (fun v => bs v ^ p) (truncateFun (n + 1) a₁) - a₂.coeff (n + 1) * bs 0 ^ p ^ (n + 1) - nthRemainder p n bs (truncateFun (n + 1) a₂)) = 0
⊢ succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂ ^ p * a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + a₁.coeff (n + 1) * (bs 0 ^ p) ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n (fun v => bs v ^ p) (truncateFun (n + 1) a₁) - (succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂ * a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + a₂.coeff (n + 1) * bs 0 ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n bs (truncateFun (n + 1) a₂)) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f' n x‖ ≤ u n
hx₀ : x₀ ∈ s
hf0 : CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b x₀
hx : x ∈ s
this : DecidableEq α
A : UniformCauchySeqOn (fun t x => ∑ i ∈ t, f' i x) atTop s
⊢ CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b x
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
L : (J ⥤ C) ⥤ C
adj : CategoryTheory.Functor.const J ⊣ L
F : J ⥤ C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfAdj adj F).π = adj.counit.app F
P : TopCat → Prop
CompHausLike.HasExplicitPullbacks P
hs : ∀ ⦃X Y : CompHausLike P⦄ (f : X ⟶ Y), CategoryTheory.EffectiveEpi f → Function.Surjective ⇑f
⊢ CategoryTheory.Preregular (CompHausLike P)
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
w : Word M
m : M i
⊢ ⟨i, m⟩ ∈ ((equivPair j) w).tail.toList ↔ ⟨i, m⟩ ∈ w.toList.tail ∨ i ≠ j ∧ ∃ (h : w.toList ≠ []), w.toList.head h = ⟨i, m⟩
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a b : R
H : (C R) a = (C R) b
this : (coeff R 0) ((C R) a) = (coeff R 0) ((C R) b)
⊢ a = b
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p : R[X]
⊢ (p.sum fun e a => (fun r => r • 1) a * x ^ e) = p.sum (smul_pow x)
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ : Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) = minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
α : Type u_6
self : FilterBasis α
⊢ self.sets.Nonempty
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂
⊢ -(x₁ - (((y₁ - y₂) / (x₁ - x₂)) ^ 2 + W.a₁ * ((y₁ - y₂) / (x₁ - x₂)) - W.a₂)) - x₂ = -(x₁ - (((y₁ - (-y₂ - W.a₁ * x₂ - W.a₃)) / (x₁ - x₂)) ^ 2 + W.a₁ * ((y₁ - (-y₂ - W.a₁ * x₂ - W.a₃)) / (x₁ - x₂)) - W.a₂)) - x₂ - (y₁ - (-y₁ - W.a₁ * x₁ - W.a₃)) * (y₂ - (-y₂ - W.a₁ * x₂ - W.a₃)) / (x₁ - x₂) ^ 2
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
x y x' y' : α
h : IsCompl x y
h' : IsCompl x' y'
⊢ IsCompl (x ⊔ x') (y ⊓ y')
x : SetTheory.PGame
⊢ -x ≤ 0 ↔ 0 ≤ x
p : ℕ →. Bool
⊢ (Nat.rfind p).Dom ↔ ∃ n, true ∈ p n ∧ ∀ {m : ℕ}, m < n → (p m).Dom
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
s : Set X
hs : IsOpen s
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
⊢ ¬x ⤳ y
S : Type v
CommRing S
r p : S
f : S[X]
i : ℕ
hr : f.IsRoot r
h : ∀ (j : ℕ), j ≠ i → p ∣ f.coeff j * r ^ j
⊢ p ∣ f.coeff i * r ^ i
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} E
L₁ : CategoryTheory.Functor C D
L₂ : CategoryTheory.Functor C E
L₁.IsLocalization W
L₂.IsLocalization W
⊢ (CategoryTheory.Localization.uniq L₁ L₂ W).functor.map (φ.map L₁ ⋯) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W).hom.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (φ.map L₂ ⋯) ((CategoryTheory.Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W).inv.app Y))
b k : ℕ
L : List ℕ
⊢ Nat.ofDigits b L % k = Nat.ofDigits (b % k) L % k
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
a : R
⊢ ↑n ≤ ((monomial n) a).trailingDegree
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ 2 = ↑1 + 1
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (TopCat.pullbackIsoProdSubtype f g).inv ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g = TopCat.pullbackFst f g
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
RCLike 𝕜
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
f f' g : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
⊢ ⟪f + f', g⟫_𝕜 = ⟪f, g⟫_𝕜 + ⟪f', g⟫_𝕜
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.148403, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.Exact
inst✝³ : Mono S₁.f
inst✝² : Mono S₂.f
inst✝¹ : Mono φ.τ₁
inst✝ : Mono φ.τ₃
A : C
x₂ : A ⟶ S₁.X₂
hx₂ : x₂ ≫ φ.τ₂ = 0
⊢ x₂ = 0
α : Type u_1
Preorder α
l : List α
h : List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) l
⊢ Monotone l.get
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℕ
h : 1 < n
⊢ Ergodic (fun y => n • y + x) MeasureTheory.volume
n : ℕ
a : Fin n
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioi a) = n - 1 - ↑a
M : Type u_2
α : Type u_4
AddCommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableAdd₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Multiset (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable l.sum μ
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
s t : Set α
f✝ : α → E
a✝ : α
h : s ⊆ t
f : α → E
a : α
⊢ s.indicator (fun a => ‖f a‖) a ≤ t.indicator (fun a => ‖f a‖) a
x y : ENNReal
⊢ (x * y).log = x.log + y.log
G₀ : Type u_3
TopologicalSpace G₀
GroupWithZero G₀
ContinuousMul G₀
a : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ Filter.map (fun x => a * x) (𝓝 1) = 𝓝 a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
⊢ (∃ k, (((ad R L) x - 0 • 1) ^ k) y = 0) ↔ ∃ n, ((ad R L) x ^ n) y = 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.withDensity f, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0 → p x
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
v : ℝ → E → E
tMin t₀ tMax : ℝ
x₀ : E
L : ℝ≥0
R C : ℝ
self : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C
⊢ C * max (tMax - t₀) (t₀ - tMin) ≤ R
α : Type u
UniformSpace α
⊢ (UniformEquiv.refl α).symm = UniformEquiv.refl α
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type ?u.7325} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₀ : ∀ (j : ℕ), d ∈ cthickening (r₁ (f j)) (s (f j))
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
⊢ False
α : Type u
x y : FreeAddMagma α
⊢ (Seq.seq ((fun x x_1 => x + x_1) <$> x) fun x => y) = x + y
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
this : (fun p => p.1 ^ p.2) = toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (x, y)
b : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
⊢ Set.SurjOn (Real.logb b) (Set.Iio 0) Set.univ
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
(p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
DecidableEq (Associates α)
a : Associates α
ha : a ≠ 0
b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ p.count (a * b).factors = p.count a.factors + p.count b.factors
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
m : M
⊢ (ExteriorAlgebra.liftAlternating f) ((ExteriorAlgebra.ι R) m) = (f 1) ![m]
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴} (α : X ⟶ Y), (CategoryTheory.BasedNatTrans.forgetful 𝒳 𝒴).map α = α.toNatTrans
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
⊢ 1 = AffineEquiv.refl k P₁
f : ℝ → ℝ
hf : Continuous f
hf'_anti : StrictAnti (deriv f)
⊢ StrictConcaveOn ℝ Set.univ f
α : Type u_1
Zero α
LinearOrder α
a : α
⊢ ↑(Nonneg.toNonneg a) = max a 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : (SimplexCategory ⥤ C)ᵒᵖ
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategoryᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.cosimplicialSimplicialEquiv C).functor.obj F).map f = ((Opposite.unop F).map f.unop).op
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Iic t) t
hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Iic t) t
hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t
hb : f b = g b
hv' : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (Neg.neg ∘ v (-t)) (s (-t))
hmt1 : MapsTo Neg.neg (Icc (-b) (-a)) (Icc a b)
hmt2 : MapsTo Neg.neg (Ico (-b) (-a)) (Ioc a b)
hmt3 : ∀ (t : ℝ), MapsTo Neg.neg (Ici t) (Iic (-t))
⊢ ∀ t ∈ Ico (-b) (-a), HasDerivWithinAt (g ∘ Neg.neg) ((Neg.neg ∘ v (-t)) ((g ∘ Neg.neg) t)) (Ici t) t
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ yᶜ < xᶜ ↔ x < y
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
⊢ mapTermRel (fun x t => Term.relabel (Sum.map id (natAdd 0)) t) (fun x => id) (fun x => castLE ⋯) φ = castLE ⋯ φ
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (C ⥤ D)ᵒᵖ
f : F ⟶ G
⊢ f ≫ (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop G).obj X)) ⋯).hom.op = (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop F).obj X)) ⋯).hom.op ≫ Quiver.Hom.op { app := fun X => f.unop.app X, naturality := ⋯ }
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : Set.Unbounded r s
⊢ Set.Unbounded r t
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s : Set A
h : ∀ x ∈ s, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
r : A
hr : r ∈ LinearMap.range (Finsupp.total (↑s) A A Subtype.val)
⊢ ↑(((decompose 𝒜) r) i) ∈ span s
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι✝ → α
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
ι : Type u_3
t : ι → α
ht : Independent t
⊢ (range t).Finite
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
x : M₂
⊢ (ContinuousLinearMap.inr R₁ M₁ M₂) x = (0, x)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set (X × Y)
⊢ (∀ x ∈ s, s ∈ 𝓝 x) ↔ ∀ (a : X) (b : Y), (a, b) ∈ s → ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ a ∈ u ∧ b ∈ v ∧ u ×ˢ v ⊆ s
a : ENNReal
h : a < ⊤
⊢ ⊤ / a = ⊤
μ ν : YoungDiagram
⊢ ↑(μ ⊔ ν) = ↑μ ∪ ↑ν
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β → β
H : ∀ (a : α), StrictMono (f a)
l : List α
⊢ StrictMono fun b => List.foldr f b l
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hI : M.Basis' I X
⊢ M.Indep I
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
x y : L₁
⊢ f (x - y) = f x - f y
r : ℝ≥0
⊢ ↑r < 1 ↔ r < 1
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ℕ
⊢ toAddCircle ↑j = ↑(↑j / ↑N)
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ : Type
f : α → σ → σ × β
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α), ∀ s ∈ S, (f a s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a s).2 = (f a s').2
⊢ (mapAccumr f xs s₀).2 = (mapAccumr (fun x x_1 => ((), (f x s₀).2)) xs ()).2
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Inv β
ContinuousInv β
f : C(α, β)
x : α
⊢ f⁻¹ x = (f x)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
hs₁ : IsChain r s
hs₂ : IsChain r s → ∃ x, IsChain r x ∧ s ⊆ x ∧ ¬s = x
⊢ SuperChain r s (SuccChain r s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : C
CategoryTheory.IsIso (h.unit.app X)
⊢ CategoryTheory.inv (L.map (h.unit.app X)) = h.counit.app (L.obj X)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
⊢ PInfty.f n ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) = 𝟙 (X _[n]) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n]))