ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s κ μ
S T : Set ι
hST : Disjoint S T
t : Set Ω
ht : t ∈ piiUnionInter (fun k => {s k}) T
⊢ ∀ (n : ι), generateFrom {s n} ≤ _mΩ
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
B : Set X
⊢ MulAction.IsBlock G B ↔ ∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ (HomologicalComplex.HomologySequence.snakeInput hS i j hij).L₂ =
  (HomologicalComplex.cyclesFunctor C c j).mapShortComplex.obj S
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ dist (a₁ / a₂) (b₁ / b₂) ≤ dist a₁ b₁ + dist a₂ b₂
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
f : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Inducing f
s : Set α
hs : IsSeparable s
⊢ IsSeparable (f ⁻¹' s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
se : CategoryTheory.SplitEpi f
⊢ CategoryTheory.IsSplitEpi f
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup E
Module R E
Ring R'
Invertible 2
AddCommGroup F
Module R' F
f : E → F
h0 : f 0 = 0
hm : ∀ (x y : E), f (midpoint R x y) = midpoint R' (f x) (f y)
⊢ ⇑(AddMonoidHom.ofMapMidpoint R R' f h0 hm) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
⊢ (f - g).LimZero
a : ℕ
b : ℕ
hb : Odd b
⊢ jacobiSym (↑a) b = jacobiSym (↑a) (b % (4 * a))
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
b : β
f : α → β
s : Set α
f_mble : NullMeasurable f (μ.restrict s)
hs : (μ.restrict sᶜ) {a | ¬f a = b} = 0
t : Set β
t_mble : MeasurableSet t
ht : b ∉ t
⊢ NullMeasurableSet {a | ¬f a = b} (μ.restrict sᶜ)
α : Type u_2
G₀ : Type u_4
TopologicalSpace α
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
hc : c ≠ 0
s : Set α
⊢ interior (c • s) = c • interior s
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype m
v : m → α
A : Matrix m n α
x✝ : n
⊢ (-v ᵥ* A) x✝ = (-(v ᵥ* A)) x✝
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
n : ℤ
a : α
ha : 0 < a
hn : 0 < n
⊢ 0 < n • a
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y
inst✝⁹ : TopologicalSpace Y
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : OrderTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hs : IsCompact s
hmono : MonotoneOn f s
⊢ IntegrableOn f s μ
q : ℚ
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
⊢ a /. b = 0 ↔ a = 0
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
f : (L ≃ₐ[K] L) → Lˣ
x y : L ≃ₐ[K] L
h : (fun f => ↑f) x = (fun f => ↑f) y
a✝ : L
⊢ x a✝ = y a✝
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a✝ : α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
⊢ (dirac a) s = s.indicator 1 a
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
m : M
n : N
⊢ (TensorProduct.map f g) (m ⊗ₜ[R] n) = f m ⊗ₜ[R] g n
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
hm : multiplicity.Finite λ S'.c
this : 4 ≤ 3 * (multiplicity λ S'.c).get hm
hm1 : ↑((multiplicity λ (S'.c ^ 3)).get ⋯) = multiplicity λ (S'.c ^ 3)
⊢ 2 ≤ (multiplicity λ S'.c).get hm
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
S : Set F
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : F →+* K
s : Set K
hs : IsSubfield s
a : F
ha : f a ∈ s
⊢ f a⁻¹ ∈ s
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α
⊢ ‖diagonal v‖₊ = ‖v‖₊
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ 1 ≤ b * a
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ : ℝ≥0∞
h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε
ε : ℝ≥0∞
B : Set Ω
ε_gt : δ < ε
ε_lt_top : ε < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
B_subset : B ⊆ (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ)ᶜ
⊢ 1 - ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)
⊢ (mulSupport g).mulIndicator (f * g) = g
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsPreorder α r
p : Antisymmetrization α r → Prop
⊢ (∀ (a : α), p (toAntisymmetrization r a)) → ∀ (q : Antisymmetrization α r), p q
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0
⊢ (C a * X ^ 3 + C b * X ^ 2 + C c * X + C d).degree = 3
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsJacobson R
⊢ ∀ (P : Ideal S), P.IsPrime → P.jacobson = P
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
a b x : α
⊢ ⊥ ⋖ a ↔ IsAtom a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ ↑(toDual (s.min' hs)) = ↑((image (⇑toDual) s).max' ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ s₃ : Finset α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ s₁ ∩ s₂ ∩ s₃ ↔ x✝ ∈ s₁ ∩ (s₂ ∩ s₃)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
⊢ mgf X 0 t = 0
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : (f '' s).Subsingleton
⊢ eVariationOn f s = 0
n : ℕ
n_large : 2 < n
x : ℕ
hx : x ≤ 2 * n
h2x : 2 * n < 3 * x
no_prime : ¬(Nat.Prime x ∧ n < x ∧ x ≤ 2 * n)
⊢ x ^ n.centralBinom.factorization x = 1
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
⊢ DifferentiableAt ℂ (HurwitzZeta.hurwitzZetaEven a) s
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ca : γ × α
s : Set β
⊢ ((ProbabilityTheory.Kernel.prodMkLeft γ κ) ca) s = (κ ca.2) s
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
l : Combinatorics.Line (η → α) ι
a : η → α
ie : ι × η
⊢ ↑l.toSubspace a ie = (fun x i => (l.idxFun i).getD x) a ie.1 ie.2
α : Type u
β : α → Type v
x y : Finmap β
⊢ x.Disjoint y ↔ y.Disjoint x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
h : s₁ ∥ s₂
⊢ s₂ ∥ s₁
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : μ.toWeakDualBCNN f = ν.toWeakDualBCNN f
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
Zero E
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
SMul ℝ E
s : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
⊢ Balanced 𝕜 ↑s
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
g : Y ⟶ X
inv_hom_id : g ≫ f = 𝟙 Y
⊢ inv f = g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n' a : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n = q
p' : ℤ
hp' : p' + n' = q
⊢ (γ.leftUnshift n hn).v p q hpq =
  (a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • (K.shiftFunctorObjXIso a p' p ⋯).inv ≫ γ.v p' q ⋯
G : Type u
Monoid G
n : ℕ
hpos : 0 < n
hG : ∀ (g : G), g ^ n = 1
⊢ Monoid.exponent G ≤ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedCommRing 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
⊢ B.polar {0} = Set.univ
X : Type u_2
EMetricSpace X
s : Set X
hs : s.Finite
⊢ dimH s = 0
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
HB : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace HB
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
y : ModelProd HB F
hy : y ∈ (chartAt (ModelProd HB F) x).target
⊢ (↑(chartAt (ModelProd HB F) x).symm y).proj = ↑(chartAt HB x.proj).symm y.1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 3
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂ (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₃ app₀ app₁ app₂ app₃ w₀ w₁ w₂).app ⟨3, ⋯⟩ = app₃
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
⊢ IsCoprime I J ↔ ∃ i ∈ I, ∃ j ∈ J, i + j = 1
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
SemilatticeInf β
f g : InfHom α β
⊢ ⇑(f ⊓ g) = ⇑(f ⊓ g)
⊢ CategoryTheory.Limits.WalkingPair.equivBool CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left = true
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.WSameSide x y
hyz : s.SOppSide y z
⊢ s.WOppSide x z
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
self : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ Function.LeftInverse self.invFun (↑self.toLieModuleHom).toFun
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
Semiring α
DecidableEq l
a : ℕ
a.AtLeastTwo
B : Matrix m n α
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) (OfNat.ofNat a) B =
  (Matrix.reindex (Equiv.prodComm m l) (Equiv.prodComm n l)) (Matrix.blockDiagonal fun x => OfNat.ofNat a • B)
E : Type u_1
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
T2Space E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
⊢ Euclidean.closedBall x r = ⇑toEuclidean ⁻¹' Metric.closedBall (toEuclidean x) r
p q : NNReal
⊢ (↑p).IsConjExponent ↑q ↔ p.IsConjExponent q
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ s : Set α
⊢ t.ite (s₁ ∩ s) (s₂ ∩ s) = t.ite s₁ s₂ ∩ s
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : μ.IsNegInvariant
h : ConvolutionExistsAt f g x L μ
⊢ Integrable (fun t => (L (f (x - t))) (g t)) μ
μ : ℝ
v : ℝ≥0
x : ℝ
hv : v ≠ 0
⊢ 0 < ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v x
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℂ
ht : t ≠ -1
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑x * (1 + ↑x ^ 2) ^ t = (1 + ↑b ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1)) - (1 + ↑a ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1))
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
R : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Linear R V
h : Homotopy f g
a : R
i j : ι
⊢ (h.smul a).hom i j = a • h.hom i j
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
a b : α
⊢ mk r a = mk r b ↔ ⊤ ≤ EqvGen r a b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : M
h : ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ range ⇑(algebraMap R S)
i : ι
x✝ : i ∈ (b.repr m).support
⊢ (fun i a => a • b i) i ((b.repr m) i) ∈ span R (range ⇑b)
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
y : α
hy : y ∈ A (res x n)
z : α
hz : z ∈ A (res x n)
⊢ ε / 2 < ε
α : Type u
a : α
⊢ {x | x ≠ a}ᶜ = {a}
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
Nontrivial R
h : IsUnit p
⊢ p.degree = 0
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
q : ℚ
⊢ addOrderOf ↑(↑q * p) = q.den
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
RingHomIsometric σ₁₂
l : Filter E
x : E
⊢ (fun x' => e (x' - x)) =O[l] fun x' => x' - x
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃+ M₂
as : List R
bs : List S
h : List.Forall₂ (fun r s => ∀ (x : M), e (r • x) = s • e x) as bs
e' : M ⧸ (Ideal.ofList as • ⊤).toAddSubgroup ≃+ M₂ ⧸ (Ideal.ofList bs • ⊤).toAddSubgroup := QuotientAddGroup.congr (Ideal.ofList as • ⊤).toAddSubgroup (Ideal.ofList bs • ⊤).toAddSubgroup e ⋯
⊢ IsWeaklyRegular M as ∧ ¬Subsingleton (M ⧸ Ideal.ofList as • ⊤) ↔ IsWeaklyRegular M₂ bs ∧ ¬Subsingleton (M₂ ⧸ Ideal.ofList bs • ⊤)
⊢ ContinuousOn ZetaAsymptotics.term_tsum (Set.Ici 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : ↥(Lp G' 1 μ)
hfg : 0 ≤ g - f
⊢ 0 ≤ (setToL1 hT) g - (setToL1 hT) f
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
h : ∀ J ∈ π, l.MemBaseSet J c r (πi J)
hp : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition
hc : l.bDistortion = true → π.compl.distortion ≤ c
hD : l.bDistortion = true
⊢ (π.biUnionTagged πi).distortion ≤ c
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherianRing R
ι : Type
Fintype ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ CategoryTheory.IsIso (ModuleCat.ofHom (AdicCompletion.ofTensorProduct I M))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x x' : M
y : E
hy : y ∈ ((extChartAt I x').symm ≫ extChartAt I x).source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(extChartAt I x) ∘ ↑(extChartAt I x').symm) (Set.range ↑I) y
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
NoMaxOrder α
⊢ Order.succ a = b ↔ a ⋖ b
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ 0
⊢ 0 < a / 2
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α}, List.replicate 0 a = List.nil
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ (↑n).toReal = ↑n
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
r : ℤ → ℝ := fun n => ↑n + a
c : ℤ → ℂ := fun n => 1 / 2
⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (completedHurwitzZetaOdd (↑a) s)
v : PrimeMultiset
l : List Nat.Primes
⊢ ↑(List.map Coe.coe l).prod.primeFactorsList = ↑(List.map Coe.coe l)
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y : α
H : IsRelPrime x y
hy : IsPrimal y
w : α
H2 : y ∣ x * w
⊢ x * y ∣ x * w
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
i : A
⊢ shiftFunctorComm C i i = Iso.refl (shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C i)
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
n j : ℕ
j_in : j + 1 ≤ n
⊢ n - 1 - (n - 1 - j) = j
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : MultilinearMap 𝕜 E G
C : ℝ
H : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
⊢ ‖f.mkContinuous C H‖ ≤ max C 0
X : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
k : Set X
hk : IsCompact k
μ : Measure X
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝² : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
⊢ μ k = ⨅ f, ⨅ (_ : Continuous f), ⨅ (_ : HasCompactSupport f), ⨅ (_ : EqOn f 1 k), ⨅ (_ : 0 ≤ f), ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ)
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u
Fintype ι
f : ι → R
x : ι → M
⊢ Module.IsTrivialRelation f x ↔ TensorProduct.VanishesTrivially R f x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : derivative f = 0
hf : f ≠ 0
⊢ f.degree ≤ 0
α : Type u_1
LE α
a : αᵒᵈ
⊢ IsMin (OrderDual.ofDual a) ↔ IsMax a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
i : U ⟶ V
x : ↥U
⊢ F.map i.op ≫ F.germ x = F.germ ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
a : Γ
⊢ HahnSeries.coeff 0 a = 0
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜' 𝕜
NormedSpace 𝕜' G
IsScalarTower 𝕜' 𝕜 G
(i : ι) → NormedSpace 𝕜' (E i)
∀ (i : ι), IsScalarTower 𝕜' 𝕜 (E i)
⊢ Continuous (ContinuousMultilinearMap.restrictScalars 𝕜')
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
⊢ ↑⊤ = ⊤
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
IsStrictTotalOrder ι r
Finite ι
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
⊢ WellFounded (Pi.Lex r fun {i} => s i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.inr ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.map f g = g ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.inr
α : Type u_2
m : Type u_9
n : Type u_10
MulZeroClass α
DecidableEq m
DecidableEq n
a : m → α
b : n → α
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) (Matrix.diagonal a) (Matrix.diagonal b) =
  Matrix.diagonal fun mn => a mn.1 * b mn.2
x y : ℂ
⊢ sinh (2 * x) = 2 * sinh x * cosh x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
NormedLatticeAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun a => |f a|) μ
a b : PUnit.{u_5 + 1}
⊢ max a b = PUnit.unit
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
⊢ f '' maximals r x = maximals s (f '' x)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hl : l.HasBasis p s
⊢ l.NeBot ↔ ∀ {i : ι}, p i → (s i).Nonempty
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.9360, u_1} C
A✝ B✝ X✝ Y✝ : C
f✝ : A✝ ⟶ X✝
i✝ : A✝ ⟶ B✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : B✝ ⟶ Y✝
A B X Y : Cᵒᵖ
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g
l : sq.LiftStruct
⊢ p.unop ≫ l.l.unop = g.unop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ s ×ˢ (t₁ ∪ t₂) ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t₁ ∪ s ×ˢ t₂
k : ℕ
hk : k ≠ 0
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
this : HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ (2 * k + 1) * ((fourier ↑n) ↑x - (fourier (-↑n)) ↑x)) ((-1) ^ (k + 1) * I * (2 * ↑π) ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1)! * ↑(bernoulliFun (2 * k + 1) x))
ofReal_two : ↑2 = 2
⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ (2 * k + 1) * Real.sin (2 * π * ↑n * x)) ((-1) ^ (k + 1) * (2 * π) ^ (2 * k + 1) / 2 / ↑(2 * k + 1)! * Polynomial.eval x (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℝ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1))))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
x : E
⊢ 0 ≤ re ⟪x, T x⟫_𝕜
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : A
n : ℕ
⊢ LinearMap.mulRight R a ^ n = LinearMap.mulRight R (a ^ n)
α : Type u
⊢ CategoryTheory.Sieve.generate (CategoryTheory.discretePresieve α) ∈ CategoryTheory.typesGrothendieckTopology.sieves α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)
V₀ : Set G := ⋂ V ∈ t, V.carrier
h1V₀ : IsOpen V₀
h2V₀ : 1 ∈ V₀
⊢ (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ i ∈ t, clPrehaar (↑K₀) i).Nonempty
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
⊢ Set.InjOn f s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0
hw' : ∀ i ∈ t, w i • f (p i) ≠ 0 → w i ≠ 0
⊢ ∀ i ∈ filter (fun x => w x ≠ 0) t, p i ∈ s