ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
⊢ ClosedEmbedding ⇑(cfcₙHom_of_cfcHom R ha)
α : Type u_1
s t u : Multiset α
h : s ⊆ u
d : u.Disjoint t
⊢ s.Disjoint t
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
S T : ↑(Subgroup.leftTransversals ↑H)
H.FiniteIndex
g : G
⊢ Subgroup.leftTransversals.diff ϕ (g • S) (g • T) = Subgroup.leftTransversals.diff ϕ S T
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
⊢ Monic 1
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
f : F
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c' • f) univ x
Ω : Type u_1
β : Type u_6
β' : Type u_7
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : ProbabilityTheory.IndepFun f g μ
hf : f =ᵐ[μ] f'
hg : g =ᵐ[μ] g'
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun f' g' μ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype (ConjClasses G)
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : (x : ConjClasses G) → Fintype ↑x.carrier
⊢ (x : ConjClasses G) × ↑x.carrier ≃ G
α : Type u
a b : α
f : Filter α
h : b ≠ a
⊢ 𝓝 b = pure b
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
⊢ I.IsMaximal ↔ ∃ x, I = vanishingIdeal {x}
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.Subperm l₂ ↔ ∃ l, l.Perm l₂ ∧ l₁.Sublist l
R : Type u_1
Semiring R
C : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} D
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Linear R D
F G : CategoryTheory.Functor C D
X : C
r : R
α : F ⟶ G
⊢ (r • α).app X = r • α.app X
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace β} {f : α × β → StieltjesFunction} {κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)}
  {ν : ProbabilityTheory.Kernel α β} {hf : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν} (p : α × β),
  (ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF.toKernel f hf) p = (f p).measure
Ω : Type u_2
PseudoMetricSpace Ω
MeasurableSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
P : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
⊢ {Q | ↑P G < ↑Q G + ε} ∈ 𝓝 P
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
NoZeroDivisors R
⊢ (p * p.mirror).natTrailingDegree = 2 * p.natTrailingDegree
R : Type u_1
TopologicalSpace R
Star R
self : ContinuousStar R
⊢ Continuous star
p : ℝ≥0
⊢ ENNReal.ofReal ↑p = ↑p
P✝ : TopCat → Prop
α : Type w
inst✝² : Finite α
X : α → CompHausLike P✝
inst✝¹ : HasExplicitFiniteCoproduct X
P : TopCat → Prop
inst✝ : HasExplicitFiniteCoproducts P
a : α
⊢ OpenEmbedding ⇑(Sigma.ι X a)
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
p : R[X]
⊢ (a • p).degree ≤ p.degree
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : CochainComplex C ℤ
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.diff K).v p q hpq = K.d p q
α : Type u_2
β : Type u_3
Bot α
LE β
OrderBot β
a : α
⊢ ⊥ a = ⊥
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
l : ι →₀ R
i : ι
⊢ ∀ (b : ι), l b ≠ 0 → b ≠ i → (ε i) (l b • e b) = 0
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
Preorder β
u : β → α
hu : CauchySeq u
ι : Type u_1
f : ι → β
p : Filter ι
p.NeBot
hf : Filter.Tendsto f p Filter.atTop
a : α
ha : Filter.Tendsto (u ∘ f) p (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 a)
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
S₂ : Type u_2
CommSemiring S₂
k : S₁ →+* S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ k (MvPolynomial.eval₂ f g p) = MvPolynomial.eval₂ k (⇑k ∘ g) ((MvPolynomial.map f) p)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.58695, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
inst✝ : S.HasHomology
⊢ S.Exact
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
MeasurableSingletonClass Ω
s : Set Ω
t : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
⊢ (ProbabilityTheory.condCount s) t + (ProbabilityTheory.condCount s) tᶜ = 1
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology
⊢ (K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).inv ≫ K.fromOpcycles j k = (K.sc' i j k).fromOpcycles
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor D n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Pretriangulated D
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
F.IsTriangulated
⊢ (h.map F).m₃ = F.map h.m₃
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : Set.MapsTo f s₁ t
hs : s₂ ⊆ s₁
⊢ Set.MapsTo f s₂ t
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
X : J
⊢ c.toStructuredArrowCompToUnderCompForget.hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
hF : CategoryTheory.Limits.IsImage F
hF' : CategoryTheory.Limits.IsImage F'
⊢ (hF.isoExt hF').hom = hF.lift F'
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
S : Set G
⊢ S ∈ AddSubgroup.rightTransversals ↑H ↔ Function.Bijective (S.restrict Quotient.mk'')
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑p) K)
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} K L
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (0 + 1))
⊢ (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) = (-1) ^ (φ (↑p ^ (0 + 1)) / 2)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom {s | IsClosed s}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
⊢ ∃ x, (∀ (i : ℕ), p (x i)) ∧ f.HasAntitoneBasis fun i => s (x i)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
s : Set α
⊢ ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = (μ s).toReal⁻¹ • ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
⊢ Submodule.span ℝ {↑v} = Submodule.span ℝ {-↑v}
p : ZFSet → Prop
x y : ZFSet
⊢ Hereditarily p x ↔ p x ∧ ∀ y ∈ x, Hereditarily p y
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hx : Filter.liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤
⊢ ∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R
α : Type u_2
S : Multiset α
⊢ ((Multiset.range (Multiset.card S + 1)).bind fun k => Multiset.powersetCard k S) = S.powerset
α : Type u_2
Mul α
f g : Filter α
⊢ (f * g).NeBot → f.NeBot
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
A₁ : Type u_2
A₂ : Type u_3
A₃ : Type u_4
CommSemiring A₁
CommSemiring A₂
CommSemiring A₃
Algebra R A₁
Algebra R A₂
Algebra R A₃
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
f : A₂ ≃ₐ[R] A₃
⊢ (MvPolynomial.mapAlgEquiv σ e).trans (MvPolynomial.mapAlgEquiv σ f) = MvPolynomial.mapAlgEquiv σ (e.trans f)
f g : CircleDeg1Lift
h : f ≤ g
n : ℕ
⊢ (⇑f)^[n] ≤ (⇑g)^[n]
α : Type u
s t : Set α
Fintype ↑s
Fintype ↑t
hsub : s ⊆ t
hcard : Fintype.card ↑t ≤ Fintype.card ↑s
⊢ s = t
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ b : α
s t : Multiset α
a : α
h : a ::ₘ s.erase a ≤ a ::ₘ t
m : a ∈ s
⊢ s.erase a ≤ t
α : Type u_1
β : Type v
f : α → Option β
p : β → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ Multiset.filter p (Multiset.filterMap f s) = Multiset.filterMap (fun x => Option.filter (fun b => decide (p b)) (f x)) s
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : (𝓝[≠] x).NeBot
y : X
⊢ y ∈ closure {x}ᶜ
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
this : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
⊢ 0 ≤ x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopMopEquivalence C).counitIso.hom.app X = 𝟙 X
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝ : MeasurableSpace ι
h : ProgMeasurable f u
i : ι
this : u i = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun x => (⟨i, ⋯⟩, x)
⊢ StronglyMeasurable (u i)
l r : List Char
⊢ ValidFor l.reverse r { s := { data := l ++ r }, i := { byteIdx := utf8ByteSize.go l } }
α : Type u_1
f g : α → ℝ≥0
i : α
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
hi : f i < g i
hg : Summable g
⊢ ∑' (n : α), f n < ∑' (n : α), g n
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts
a : t.card = s.card / P.parts.card ∨ t.card = s.card / P.parts.card + 1
b : ¬(t.card = s.card / P.parts.card ∧ t.card = s.card / P.parts.card + 1)
⊢ t.card = s.card / P.parts.card ↔ t.card ≠ s.card / P.parts.card + 1
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
AddCommMonoid S
p : R[X]
f g : ℕ → R → S
⊢ p.sum (f + g) = p.sum f + p.sum g
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
ω : FractionalOperation D 2
valid : ω.IsValid
symmega : ω.IsSymmetric
a b : D
hab : a ≠ b
mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b
contr : 2 • (Multiset.map f (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum ≤ ω.size • 2 • f ![a, b]
sharp : 2 • (Multiset.map (fun x => f ![a, b]) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum < 2 • (Multiset.map (fun r => f r) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum
impos : 2 • ω.size • f ![a, b] < 2 • ω.size • f ![a, b]
rhs_swap : ω.size • 2 • f ![a, b] = 2 • ω.size • f ![a, b]
distrib : (Multiset.map (fun x => f ![a, b]) ω).sum = ω.size • f ![a, b]
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set (M × M')
x : M × M'
⊢ MDifferentiableWithinAt (I.prod I') I Prod.fst s x
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
hm : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ.restrict (⋃ i, s i)) t = ∑' (i : ι), (μ.restrict (s i)) t
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
A : Type u_1
Semiring A
Algebra R A
⊢ ∀ (a : ExteriorAlgebra R M →ₐ[R] A), (ExteriorAlgebra.lift R).symm a = ⟨↑((CliffordAlgebra.lift 0).symm a), ⋯⟩
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
K : IntermediateField F E
S : Set E
h : K ≤ adjoin F S
⊢ adjoin F S = adjoin F (↑K ∪ S)
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖
⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
a : ℝ
A : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, HasDerivAt (fun x => Real.log x) x⁻¹ x
B : Tendsto (fun x => ‖Real.log x‖) atTop atTop
⊢ ¬IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Ici a) volume
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ e.mulShift ↑u = e
y z t : EReal
h2 : z < t
h1 : ⊥ < y
⊢ ⊥ + z < y + t
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
c : P
hc : c ∈ s
r : ℝ
hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r
sx : Simplex ℝ P n
hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps
hsx : affineSpan ℝ (Set.range sx.points) = s
⊢ sx.circumradius = r
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
m : M
hm : m ∈ ↑(weightSpace M χ)
⊢ m ∈ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspaceIndex (χ x))
c d : ℝ≥0∞
r p q a b : ℝ≥0
⊢ (↑a).toReal = (↑b).toReal ↔ ↑a = ↑b
r : ℝ
⊢ CliffordAlgebraComplex.toComplex ((CliffordAlgebra.ι CliffordAlgebraComplex.Q) r) = r • Complex.I
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
φ : ℝ → ℝ
s : Set E
f : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
⊢ UniformConcaveOn s φ (-f)
l : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq l
Fintype l
CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ Matrix.symplecticGroup l R
⊢ -(Matrix.J l R * Aᵀ * Matrix.J l R * A) = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
IsEmpty ι
m : N
⊢ (ContinuousAlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι m).toAlternatingMap = AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι m
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[Filter.atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Set.Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[Filter.atTop] fun x => |x| ^ (-b)
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DistribLattice α
x y z : α
h₁ : x ⊓ z ≤ y ⊓ z
h₂ : x ⊔ z ≤ y ⊔ z
⊢ y ⊓ z ⊔ x = (y ⊔ x) ⊓ (x ⊔ z)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Finite ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → LinearOrder (α i)
p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop
f : (i : ι) → Finset (α i)
h0 : p fun x => ∅
step :
  ∀ (g : (i : ι) → Finset (α i)) (i : ι) (x : α i), (∀ y ∈ g i, y < x) → p g → p (Function.update g i (insert x (g i)))
⊢ p f
r : ℝ
⊢ CliffordAlgebraComplex.Q r = -(r * r)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
⊢ ∃ n, c ^ n ≠ 0 ∧ p (c ^ n • x) < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ p (c ^ n • x) ∧ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * p x
n : ℕ
⊢ Complex.logTaylor (n + 1) = Complex.logTaylor n + fun z => (-1) ^ (n + 1) * z ^ n / ↑n
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
Monoid α
MulDistribMulAction α G
a : α
s : Set G
⊢ a • Subgroup.closure s = Subgroup.closure (a • s)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
⊢ (⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
y : ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace
i : 𝒰.gluedCover.J
x : ↑↑(𝒰.gluedCover.U i).toPresheafedSpace
h : 𝒰.fromGlued.val.base ((𝒰.gluedCover.ι i).val.base x) = 𝒰.fromGlued.val.base y
⊢ (𝒰.gluedCover.ι i).val.base x = y
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Add G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
⊢ ContinuousAdd G
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
A B : CategoryTheory.StructuredArrow S T
f : A ⟶ B
h : CategoryTheory.Mono f.right
⊢ CategoryTheory.Mono f
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.29733, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.29737, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ≌ C₃
R : C₂ ≌ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
h : CatCommSq T L.functor R.functor B
X : C₁
⊢ (R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ R.functor.map (R.unitIso.hom.app (T.obj (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map ((iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map (B.map (L.counitIso.hom.app (L.functor.obj X)))) ≫ R.counitIso.hom.app (B.obj (L.functor.obj X))) ≫ B.map (L.functor.map (L.unitIso.hom.app X)) = (T ⋙ R.functor).map (L.unitIso.hom.app X) ≫ (iso T L.functor R.functor B).hom.app ((L.functor ⋙ L.inverse).obj X)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
this : IsIso ((Q W).map f.s)
⊢ eqToHom ⋯ ≫ F₁.map (𝟙 Y) = eqToHom ⋯
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
C : P.W α → Prop
ih : ∀ (a : P.A) (f' : P.drop.B a ⟹ α) (f : P.last.B a → P.W α), (∀ (i : P.last.B a), C (f i)) → C (P.wMk a f' f)
a : P.wp.A
f : P.wp.B a ⟹ α
⊢ ∀ (a : P.A) (f : P.last.B a → P.last.W) (f' : P.WPath (WType.mk a f) ⟹ α), (∀ (i : P.last.B a), C ⟨f i, P.wPathDestRight f' i⟩) → C ⟨WType.mk a f, f'⟩
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Z → W
hf : IsOpenMap f
hg : IsOpenMap g
⊢ IsOpenMap fun p => (f p.1, g p.2)
α : Sort u
β : Sort v
ra : α → α → Prop
rb : β → β → Prop
e : α ≃ β
eq : ∀ (a₁ a₂ : α), ra a₁ a₂ ↔ rb (e a₁) (e a₂)
a : α
⊢ (Quot.congr e eq) (Quot.mk ra a) = Quot.mk rb (e a)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
x : L
⊢ x ∈ ⟨(↑I)ᵛ, ⋯⟩ ↔ ∀ a ∈ I, ((traceForm K L) x) a ∈ (algebraMap A K).range
α : Type
d✝ : ℕ
ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
d : ℕ
ds : List ℕ
x : Holor α (d :: ds)
⊢ CPRankMax (d :: ds).prod x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤
p : P
hp : p ∈ s
this : s = {p}
⊢ s = univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : α → β
hf : Injective f
h : f '' s ⊆ f '' t
⊢ f ⁻¹' (f '' s) ⊆ f ⁻¹' (f '' t)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
  (∑ ab ∈ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts.product (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hV).parts,
      ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) /
    16 ^ P.parts.card
a b : Prop
h : a = b
⊢ a ↔ b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
⊢ (if h : ↑(σ t) ≤ 1 / 2 then γ ⟨2 * ↑(σ t), ⋯⟩ else γ' ⟨2 * ↑(σ t) - 1, ⋯⟩) = if h : ↑t ≤ 1 / 2 then γ' (σ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩) else γ (σ ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩)
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
⊢ (Multiset.map asIdeal Wx).prod * (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Wx).prod * (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
y_pos : 0 < y
⊢ (x ^ y).log = ↑y * x.log
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
f : R[X]
⊢ (∀ (i : ℕ), f ∈ ⨅ (_ : i ≥ n), LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ f.degree < ↑n