ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
(j : Fin (n + 1)) → Group (α j)
i : Fin (n + 1)
x y : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
⊢ i.insertNth x p / i.insertNth y p = Pi.mulSingle i (x / y)
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasColimitsOfShape J D
H : C ⥤ D
j✝ : J
⊢ H.map (α.app j✝) ≫ H.map (ι G j✝) = (whiskerRight α H).app j✝ ≫ H.map (ι G j✝)
α : Type u
ι : Sort v
x : α
s : ι → Set α
⊢ x ∈ ⋃ i, s i ↔ ∃ i, x ∈ s i
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ N
i : ι
⊢ ((finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] p)) i = m ⊗ₜ[R] p i
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0
⊢ ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a₁ : Fin (n + 2)
H : 0 < a₁
ha₂ : ⟨a₁, 0⟩ ∉ {⟨1, 0⟩}
ha₁ : 0 < a₁
⊢ (if (swap 0 1) a₁ ≤ (swap 0 1) 0 then -1 else 1) = 1
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
hI : I.IsPrime
x y : α
h : y ∈ I
⊢ x * y ∈ I
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
hf : Function.RightInverse g f
a : Quotient (Setoid.ker f)
⊢ (Setoid.quotientKerEquivOfRightInverse f g hf) a = a.liftOn' f ⋯
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
Algebra R A
f g : MvPolynomial σ R →ₐ[R] A
hf : ∀ (i : σ), f (MvPolynomial.X i) = g (MvPolynomial.X i)
⊢ f = g
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ‖((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯‖ ≤ projectiveSeminorm x
α : Type u
n' : Type uₙ
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n'
v : n' → α
B : Matrix n' (Fin 0) α
⊢ Matrix.vecMul v B = ![]
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
Inf L
ContinuousInf L
f g : X → L
s : Set X
x : X
hf : ContinuousWithinAt f s x
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ ContinuousWithinAt (fun a => f a ⊓ g a) s x
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
f' : E' →L[𝕂] F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasFDerivAt f f' x
hn : 1 ≤ n
u : Set E'
H : u ∈ 𝓝[insert x univ] x
p : E' → FormalMultilinearSeries 𝕂 E' F'
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
r : R
⊢ p a ((algebraMap R A) r)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
a : α
h✝ : a ∈ s
n : ℕ
h : some a ∈ Computation.map (fun x => Prod.fst <$> x) (s.drop n).destruct
⊢ ∃ b, b ∈ t ∧ R a b
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f : α → β
AddCommMonoid β
h : s₁ ⊆ s₂
hf : ∀ x ∈ s₂, x ∉ s₁ → f x = 0
⊢ ∑ x ∈ s₁, f x = ∑ x ∈ s₂, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
⊢ f x ≤ Function.rightLim f y
G : Type u_1
β : Type u_5
Monoid G
x : G
Monoid β
y : β
hx : IsOfFinOrder x
h : orderOf y ∣ orderOf x
⊢ IsOfFinOrder y
α : Type u
β : Type v
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
n : ℕ
hn : s.card < t.card * n
⊢ ∃ y ∈ t, (Finset.filter (fun x => f x = y) s).card < n
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
Zero α
Zero γ
DecidableEq l
f : α → β → γ
hf : ∀ (b : β), f 0 b = 0
a : l → α
B : Matrix m n β
⊢ Matrix.kroneckerMap f (Matrix.diagonal a) B =
  (Matrix.reindex (Equiv.prodComm m l) (Equiv.prodComm n l)) (Matrix.blockDiagonal fun i => B.map fun b => f (a i) b)
i n : Nat
h : i < n
⊢ n - 1 - i < n
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
⊢ ⊤.prod ⊤ = ⊤
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
Semiring R₂
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
hf : LinearMap.ker f = ⊥
p p' : Submodule R M
⊢ Submodule.map f p ≤ Submodule.map f p' ↔ p ≤ p'
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ RCLike.im RCLike.I * RCLike.im z = RCLike.im z
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
⊢ ⊤ ≤ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ
hc : c < 0
p : ℝ≥0∞
h : (∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x = 0) ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x = 0
⊢ eLpNorm f p μ = 0 ∧ eLpNorm g p μ = 0
α : Type u
s t : Set α
l : Filter α
h : s ≤ᶠ[l] t
⊢ tᶜ ≤ᶠ[l] sᶜ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
⊢ CategoryTheory.Epi g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsSeparator G ↔ (CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op G)).Faithful
N : ℕ
NeZero N
R : Type u_1
CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
hχ : χ.IsPrimitive
a : ZMod N
⊢ gaussSum χ (e.mulShift a) = χ⁻¹ a * gaussSum χ e
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
f : α → β → m β
init : β
arr : Array α
a : α
⊢ Array.foldrM f init (arr.push a) (arr.push a).size = do
  let init ← f a init
  Array.foldrM f init arr arr.size
α : Type u_1
Inhabited α
o : Option α
⊢ o.isSome = true → o.iget ∈ o
R : Type uR
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₂
Module R M₃
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
σ : ι₁ ≃ ι₂
m : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
v : ι₂ → M₂
⊢ (MultilinearMap.domDomCongr σ m) v = m fun i => v (σ i)
R : Type uR
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₂
Module R M₃
ι₁ : Type u_1
σ₁ σ₂ : Equiv.Perm ι₁
m : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
⊢ MultilinearMap.domDomCongr (σ₂ * σ₁) m = MultilinearMap.domDomCongr σ₂ (MultilinearMap.domDomCongr σ₁ m)
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
⊢ AEMeasurable f 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j.castSucc
⊢ X.map (SimplexCategory.δ j.succ).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ (i.castLT ⋯)).op = X.map (SimplexCategory.δ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ j).op
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : Fin 3 → P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ Collinear k {p i₁, p i₂, p i₃} ↔ ¬AffineIndependent k p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
⊢ (convexHull 𝕜) 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
VAdd α β
a : α
b : βᵃᵒᵖ
⊢ AddOpposite.unop (a +ᵥ b) = a +ᵥ AddOpposite.unop b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_4
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
x : E'
⊢ (ContinuousLinearMap.toSesqForm f) x = ((innerSL 𝕜) x).comp f
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I✝ J X✝ Y : Set α
M M' : Matroid α
X : Set α
h : ∀ I ⊆ X, M.Indep I ↔ M'.Indep I
I : Set α
hI : I ⊆ X
⊢ (M ↾ X).Indep I ↔ (M' ↾ X).Indep I
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X : PresheafedSpace C
x : ↑↑X
⊢ (stalkFunctor C x).map (𝟙 X).c ≫ stalkPushforward C (𝟙 ↑X) X.presheaf x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
q : L[X]
hp : ¬(Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = 0
hsplit : Splits (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q)
he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p
hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree
hr : q.roots = 0
hq : q ≠ 0
⊢ q.natDegree = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
q : P
hp : (range ⇑b).Subsingleton
this : Subsingleton P
⊢ (b.coord i) q = 1 q
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace Y
inst✝ : (𝓤 Y).IsCountablyGenerated
f : X → Y
U : ℕ → Set (Y × Y)
left✝ : ∀ (i : ℕ), U i ∈ 𝓤 Y ∧ IsOpen (U i) ∧ SymmetricRel (U i)
hU : (𝓤 Y).HasAntitoneBasis fun i => id (U i)
k : ℕ
x : X
⊢ x ∈ {x | ∃ ia, (x ∈ ia ∧ IsOpen ia) ∧ ∀ x ∈ ia ×ˢ ia, (f x.1, f x.2) ∈ U k} → {x | ∃ ia, (x ∈ ia ∧ IsOpen ia) ∧ ∀ x ∈ ia ×ˢ ia, (f x.1, f x.2) ∈ U k} ∈ 𝓝 x
α : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
Zero M
Zero N
s : Set α
c : M
f : M → N
hf : f 0 = 0
⊢ (fun x => f (s.indicator (fun x => c) x)) = s.indicator fun x => f c
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : Type u_2
β' : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f : Ω → β
g : Ω → β'
hfm : Measurable f
hgm : Measurable g
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun f g μ ↔
  ∀ {φ : β → ℝ} {ψ : β' → ℝ},
    Measurable φ →
      Measurable ψ →
        MeasureTheory.Integrable (φ ∘ f) μ →
          MeasureTheory.Integrable (ψ ∘ g) μ →
            MeasureTheory.integral μ (φ ∘ f * ψ ∘ g) =
              MeasureTheory.integral μ (φ ∘ f) * MeasureTheory.integral μ (ψ ∘ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
AddCommGroup α
h : Function.Periodic f c
⊢ f (c - x) = f (-x)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
self : IsGalois F E
⊢ Normal F E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
s : Set β
hs : s.Finite
f : β → α
this : Multipliable (f ∘ Subtype.val)
⊢ Multipliable (f ∘ Subtype.val)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s₁
inst✝ : HasOrthogonalProjection s₁.direction
hle : s₁ ≤ s₂
p : P
hp : p ∈ s₂
⊢ (reflection s₁) p ∈ s₂
n : ℕ
⊢ Real.log (Stirling.stirlingSeq (n + 1)) - Real.log (Stirling.stirlingSeq (n + 2)) ≤ 1 / (4 * ↑(n + 1) ^ 2)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative
inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝² : W₂.ContainsIdentities
D : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D
L : C₂ ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W₂
X₂ : C₂
X₃ : D
y : L.obj X₂ ⟶ X₃
w : TwoSquare Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) := TwoSquare.mk Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) (Φ.functor ⋙ L).rightUnitor.inv
this✝ : Nonempty (w.CostructuredArrowDownwards y)
c : C₁
g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c
x : L.obj (Φ.functor.obj c) ⟶ X₃
fac✝ : L.map g ≫ 𝟙 (L.obj (Φ.functor.obj c)) ≫ x = y
fac : L.map g ≫ x = y
ρ : Φ.arrow.RightResolution (Arrow.mk g) := Classical.arbitrary (Φ.arrow.RightResolution (Arrow.mk g))
this : Zigzag ((fromRightResolution Φ L x ⋙ w.costructuredArrowDownwardsPrecomp x y g fac).obj (RightResolution.mk (𝟙 (Φ.functor.obj c)) ⋯)) ((fromRightResolution Φ L x ⋙ w.costructuredArrowDownwardsPrecomp x y g fac).obj (RightResolution.mk ρ.w.right ⋯))
⊢ Zigzag (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards.mk w y c g x fac✝) ((fromRightResolution Φ L y).obj (RightResolution.mk ρ.w.left ⋯))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
n : ℕ∞
e : F ≃L[𝕜] G
⊢ ContDiff 𝕜 n (⇑e ∘ f) ↔ ContDiff 𝕜 n f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1 : Computation α
s2 : Computation β
f1 : α → Computation γ
f2 : β → Computation δ
h1 : Computation.LiftRel R s1 s2
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → Computation.LiftRel S (f1 a) (f2 b)
⊢ Computation.LiftRel S (s1.bind f1) (s2.bind f2)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
z : ℂ
⊢ ContinuousOn (fun w => (1 / (circleMap z R w.2 - w.1)) ^ 2) (closedBall z r ×ˢ univ)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c✝ : R
x✝ : M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
c : R
x : M
hcx : c • x = 0
⊢ c = 0 ∨ x = 0
c : ℝ
hc : 1 < c
i : ℕ
cpos : 0 < c
hi : i ≠ 0
⊢ (1 - c⁻¹) * c ^ i ≤ ↑⌊c ^ i⌋₊
X Y : UniformSpaceCat
f g : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget UniformSpaceCat).map f = (CategoryTheory.forget UniformSpaceCat).map g → f = g
M : Type u_4
N : Type u_5
⊢ ∀ {x : Mul M} {x_1 : Mul N} (f : M →ₙ* N) (f' : M → N) (h : f' = ⇑f), ⇑(f.copy f' h) = f'
R : Type u_3
A : Type u_4
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
⊢ cfcₙ f a =
  if h : p a ∧ ContinuousOn f (σₙ R a) ∧ f 0 = 0 then
    (cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }
  else 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : 2 < ‖a.c i‖
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / ‖a.c i‖) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq α
d : α → Matrix m m R
i : m
i' : α
j : m
j' : α
h : (j, j').2 < (i, i').2
⊢ ⟨j', j⟩.fst < ⟨i', i⟩.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
n : ℕ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable ((fun p => (κ p.1) (↑p.2 ×ˢ s) / (ν p.1) ↑p.2) ∘ fun p => (p.1, ⟨countablePartitionSet n p.2, ⋯⟩))
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
D₁ D₂ : LieDerivation R L L
x : L
⊢ ⁅D₁, D₂⁆ x = D₁ (D₂ x) - D₂ (D₁ x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
T : Submodule 𝕜 E
hT : IsCompl S T
M : (↥S × ↥T) ≃ₗ[𝕜] E := S.prodEquivOfIsCompl T hT
M_cont : Continuous ⇑M.symm
P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T
P_cont : Continuous ⇑P
I✝ : Function.Bijective ⇑(L.domRestrict T)
L' : ↥T ≃ₗ[𝕜] F := LinearEquiv.ofBijective (L.domRestrict T) I✝
L'_cont : Continuous ⇑L'
A : L = ↑L' ∘ₗ P ∘ₗ ↑M.symm
I : map (⇑L) μ = map (⇑L') (map (⇑P) (map (⇑M.symm) μ))
μS : Measure ↥S := addHaar
μT : Measure ↥T := addHaar
c₀ : ℝ≥0∞
c₀_pos : c₀ ≠ 0
c₀_fin : c₀ ≠ ⊤
h₀ : map (⇑M.symm) μ = c₀ • μS.prod μT
J : map (⇑P) (μS.prod μT) = μS univ • μT
c₁ : ℝ≥0∞
c₁_pos : c₁ ≠ 0
c₁_fin : c₁ ≠ ⊤
h₁ : map (⇑L') μT = c₁ • ν
⊢ map (⇑L) μ = (c₀ * c₁ * addHaar univ) • ν
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H : Type u_5
inst✝ : Group H
f : G ≃* H
sh : Subgroup G
⊢ Subgroup.comap (↑f) (Subgroup.comap (↑f.symm) sh) = sh
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a : α
ha : SupIrred a
⊢ ¬IsMin a
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
f g : α → List β
h : ∀ a ∈ l, f a ~ g a
⊢ Forall₂ (fun x x_1 => x ~ x_1) (List.map f l) (List.map g l)
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s) = fun b => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑b)) / ↑b ^ s + I * (↑(Real.sin (2 * π * a * ↑b)) / ↑b ^ s)
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)
h : U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f
⊢ ⨆ f, X.basicOpen ↑f ≤ U
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
⊢ Even n ↔ ¬Odd n
m n p : Nat
i : Fin m
⊢ Fin.castAdd p (Fin.castAdd n i) = Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd (n + p) i)
α : Type u
A : Matrix (Fin 3) (Fin 3) α
⊢ A = !![A 0 0, A 0 1, A 0 2; A 1 0, A 1 1, A 1 2; A 2 0, A 2 1, A 2 2]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ p₃' : P
h₁ : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₁'
h₃ : Sbtw ℝ p₃ p₂ p₃'
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁' p₂ p₃'
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hs : Convex ℝ s
⊢ (interior s).Nonempty ↔ affineSpan ℝ s = ⊤
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s✝ t s : Set G
this : s ⊆ s * {1}
⊢ s ⊆ s * closure {1}
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a : α
m n : ℕ
ha : 1 < a
hmn : m < n
⊢ a ^ m < a ^ n
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism
⊢ map f ⁅comap f J₁, comap f J₂⁆ = ⁅f.idealRange ⊓ J₁, f.idealRange ⊓ J₂⁆
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
x u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ Even (G.degree x) ↔ u ≠ v → x ≠ u ∧ x ≠ v
ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
AddCommMonoid P
(i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Module R P
Fintype ι
DecidableEq ι
i : ι
Q : QuadraticMap R (Mᵢ i) P
f : (x : ι) → Mᵢ x
⊢ (QuadraticMap.Isometry.proj i Q) f = f i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
Φ : CategoryTheory.Functor C C
ε : CategoryTheory.Functor.id C ⟶ Φ
J : Type u
LinearOrder J
IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1
OrderBot J
j : J
iter₁ iter₂ : CategoryTheory.Functor.Iteration ε j
self : iter₁.Hom iter₂
⊢ self.natTrans.app ⟨⊥, ⋯⟩ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp iter₁.isoZero.hom iter₂.isoZero.inv
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ
x : α
h : f x = 0
⊢ x ∉ Function.support fun i => (coeff.addMonoidHom g) (f i)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
hn : Associated (ϖ ^ 1) p
this : Irreducible (ϖ ^ 1)
⊢ Associated p ϖ
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l✝ : List α
f : β → α
b : β
l : List β
⊢ Pairwise R (map f (b :: l)) ↔ Pairwise (fun a b => R (f a) (f b)) (b :: l)
α : Type u_1
s t u : Set α
ht : Disjoint s t
hu : Disjoint s u
⊢ Disjoint s (t ∪ u)
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ f n = n.factorization.prod fun p k => f (p ^ k)
R✝ : Type u_1
R₂✝ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₂✝ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁹ : Semiring R✝
inst✝¹⁸ : Semiring R₂✝
inst✝¹⁷ : Semiring R₃
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R✝ →+* R₂✝
σ₂₃ : R₂✝ →+* R₃
σ₁₃ : R✝ →+* R₃
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹² : Module R✝ M✝
inst✝¹¹ : Module R₂✝ M₂✝
inst✝¹⁰ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂✝ →+* R✝
τ₁₂✝ : R✝ →+* R₂✝
τ₂₃ : R₂✝ →+* R₃
τ₁₃ : R✝ →+* R₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple τ₁₂✝ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝⁸ : FunLike F M✝ M₂✝
inst✝⁷ : SemilinearMapClass F τ₁₂✝ M✝ M₂✝
R : Type u_12
R₂ : Type u_13
M : Type u_14
M₂ : Type u_15
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Ring R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ range ((-id).comp f) = range f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = i₁ ≫ f'
e₂ : g = i₂ ≫ g'
this✝ : P.RespectsIso
this : pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯ = ((pullbackSymmetry (Over.mk f).hom (Over.mk g).hom).hom ≫ ((Over.pullback (Over.mk f).hom).map (Over.homMk i₂ ⋯)).left) ≫ (pullbackSymmetry (Over.mk g').hom (Over.mk f).hom).hom ≫ ((Over.pullback g').map (Over.homMk i₁ ⋯)).left
⊢ P ((Over.pullback (Over.mk f).hom).map (Over.homMk i₂ ⋯)).left
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
t : Set ι
ht : p t
⊢ ∀ᶠ (n : MeasurableSpace Ω) in Filter.map s f, n ≤ ⨆ n ∈ tᶜ, s n
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
H : C ⥤ D
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
j : J
⊢ (H.mapCone c).π.app j = H.map (c.π.app j)
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ ‖RCLike.re z‖ ≤ ‖z‖
α : Type u_1
l₁ l₂ : Lists' α true
H : ∀ a ∈ l₁.toList, a ∈ l₂
⊢ l₁ ⊆ l₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A : Comon_ (Mon_ C)
⊢ ((Bimon_.toComon_ C).obj A).X = A.X.X
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → β
hs : s.Finite
this : Finite ↑s
⊢ (f '' s).Finite
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 < ε
h : dist x z < ε + δ
⊢ ∃ y, dist x y ≤ δ ∧ dist y z < ε
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q₁ q₂ : Submodule R N
⊢ Submodule.map₂ f p (q₁ ⊔ q₂) = Submodule.map₂ f p q₁ ⊔ Submodule.map₂ f p q₂