ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
f : α → β → E
hf : MeasureTheory.Integrable (Function.uncurry f) (μ.prod ν)
⊢ ∫ (x : α), ∫ (y : β), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (y : β), ∫ (x : α), f x y ∂μ ∂ν
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
⊢ IsLocalHomeomorphOn f univ
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K V : Set G
hK : IsCompact K
hV : (interior V).Nonempty
⊢ ∃ t, K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V ∧ t.card = MeasureTheory.Measure.haar.index K V
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Ioi a)
hg' : ∀ x ∈ Ioi a, deriv g x ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atTop l
hdf : ∀ x ∈ Ioi a, DifferentiableAt ℝ f x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_6
NormedRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
h : E → R
z : E
S : Set E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 h S z
hz : IsUnit (h z)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => Ring.inverse (h x)) S z
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
f : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det f ≠ 0
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
⊢ map (⇑f) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • μ
α : Type u
n : ℕ
x : α
StrictOrderedSemiring α
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i
α : Type u_1
M : Type u_5
G : Type u_9
Zero M
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α →₀ M
AddCommGroup G
g : α → M → G
⊢ f.sum g - (Finsupp.filter p f).sum g = (Finsupp.filter (fun a => ¬p a) f).sum g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a
⊢ Ico (succ a) b = Ioo a b
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
f g : α → β
s : Set α
a : α
h : Set.EqOn f g s
⊢ f =ᶠ[𝓝[s] a] g
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
x : α
⊢ 𝓝 (pure x) = 𝓟 {⊥, pure x}
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel (ProbabilityTheory.Kernel.prodMkLeft Unit κ) ↔ ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (o.oangle x y).cos = ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
t : Set ↑s
hs : NullMeasurableSet s μ
ht : MeasurableSet t
⊢ ∀ (f : ℕ → Set ↑s), (∀ (n : ℕ), (fun t => NullMeasurableSet (Subtype.val '' t) μ) (f n)) → (fun t => NullMeasurableSet (Subtype.val '' t) μ) (⋃ i, f i)
α : Type u_1
DivisionSemiring α
q : ℚ≥0
⊢ ↑q = ↑q.num / ↑q.den
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
S✝ : WSeq (WSeq α)
T✝ : WSeq (WSeq β)
h : LiftRel (LiftRel R) S✝ T✝
s1 : WSeq α
s2 : WSeq β
x✝ : (fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) s1 s2
s : WSeq α
t : WSeq β
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
h1 : s1 = s.append S.join
h2 : s2 = t.append T.join
st : LiftRel R s t
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) (s.append S.join).destruct (t.append T.join).destruct
x y : ℤ[i]
this : |2⁻¹| = 2⁻¹
⊢ normSq (↑(toComplex x / toComplex y).re - ↑(toComplex (x / y)).re + (↑(toComplex x / toComplex y).im - ↑(toComplex (x / y)).im) * I) ≤ normSq (1 / 2 + 1 / 2 * I)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x ↔ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContDiffWithinAt 𝕜 (↑m) f s x
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
as : Array α
f : α → m β
motive : Nat → Prop
h0 : motive 0
p : Fin as.size → β → Prop
hs : ∀ (i : Fin as.size), motive ↑i → SatisfiesM (fun x => p i x ∧ motive (↑i + 1)) (f as[i])
⊢ ∀ (i : Fin as.size) (b : Array β), (fun i arr => motive i ∧ arr.size = i ∧ ∀ (i : Fin as.size) (h2 : ↑i < arr.size), p i arr[↑i]) (↑i) b → SatisfiesM ((fun i arr => motive i ∧ arr.size = i ∧ ∀ (i : Fin as.size) (h2 : ↑i < arr.size), p i arr[↑i]) (↑i + 1)) (b.push <$> f as[i])
⊢ (ComplexShape.up ℕ).prev 0 = 0
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
z : E
⊢ ConvexOn ℝ Set.univ fun z' => dist z' z
p n : ℕ
⊢ log 2 (n + 1) ≤ max (log 2 n) (padicValNat 2 (n + 1))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
⊢ f ▷ Z ≫ (β_ Z Y).inv = (β_ Z X).inv ≫ Z ◁ f
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
f g : Filter β
⊢ f.NeBot → g.NeBot → (f -ᵥ g).NeBot
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
X : CategoryTheory.Comma L₂ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).counitIso.hom.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
x : ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))
⊢ x ∈ Subtype.val ⁻¹' Metric.ball 0 1 ↔ x ∈ {0}
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
r : R
IsLocalization.Away r S
s : S
⊢ (Algebra.Generators.localizationAway r).σ s =
  MvPolynomial.C (IsLocalization.Away.sec r s).1 * MvPolynomial.X () ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2
x y z : ℂ
⊢ z = ↑z.re + ↑z.im * I
α : Type u_1
a : ℝ≥0∞
m : OuterMeasure α
s : Set α
h : MeasurableSet s
t : Set α
⊢ a * (m (t ∩ s) + m (t \ s)) = a * m (t ∩ s) + a * m (t \ s)
a : Int
xs : Lean.Omega.Coeffs
b : Int
ys : Lean.Omega.Coeffs
⊢ Lean.Omega.Coeffs.combo a xs b ys = a * xs + b * ys
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex
rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n
rs_null : ∀ (n : ℕ), μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
Fthicks_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (Metric.thickening (rs n) F)
key : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs n) F)) L (𝓝 (μ (Metric.thickening (rs n) F)))
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
μF_finite : μ F < ⊤
keyB : Tendsto (fun r => μ (Metric.cthickening r F)) (𝓝 0) (𝓝 (μ F))
nhd : Iio (μ F + ↑ε) ∈ 𝓝 (μ F)
rs_lim : ∃ a, ∀ b ≥ a, μ (Metric.cthickening (rs b) F) < μ F + ↑ε
⊢ limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F + ↑ε
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : MulPosMono α
ha : a ≤ 0
hb : 0 ≤ b
⊢ a * b⁻¹ ≤ 0
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ OrderDual.toDual (max a b) = min (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b)
α' : Type u_1
β' : Type u_2
p : β' → Prop
DecidablePred p
f : α' ≃ Subtype p
⊢ Equiv.Perm.extendDomain (Equiv.refl α') f = Equiv.refl β'
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
a₁ : P.mp.A
f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α
a' : P.A
f' : (P.B a').drop ⟹ α
f₁' : (P.B a').last → P.M α
ff : P.B a' ⟹ α ::: P.M α
ef : splitFun f' f₁' = ff
he₁' : ↑P.last P.last.M := PFunctor.M.dest a₁
a₁' : P.last.A
g₁' : P.last.B a₁' → P.last.M
e₁' : he₁' = ⟨a₁', g₁'⟩
e₁ : dest' P e₁' f₁ = ⟨a', ff⟩
⊢ ∃ g₁', ∃ (e₁' : PFunctor.M.dest a₁ = ⟨a', g₁'⟩), f' = pathDestLeft P e₁' f₁ ∧ f₁' = fun x => ⟨g₁' x, pathDestRight P e₁' f₁ x⟩
a b : Nat
⊢ ¬a ≥ b → a ≤ b
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hyo : y % 2 = 1
hzpos : 0 < z
h0 : ¬x = 0
v : ℚ := ↑x / ↑z
w : ℚ := ↑y / ↑z
hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1
hvz : v ≠ 0
hw1 : w ≠ -1
hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0
hp : (v, w) ∈ {p | p.1 ^ 2 + p.2 ^ 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1}
q : ℚ := (circleEquivGen hQ).symm ⟨(v, w), hp⟩
ht4 : v = 2 * q / (1 + q ^ 2) ∧ w = (1 - q ^ 2) / (1 + q ^ 2)
m : ℤ := ↑q.den
n : ℤ := q.num
hm0 : m ≠ 0
hq2 : q = ↑n / ↑m
hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2
hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0
hx1 : ∀ {j k : ℚ}, k ≠ 0 → k ^ 2 + j ^ 2 ≠ 0 → (1 - (j / k) ^ 2) / (1 + (j / k) ^ 2) = (k ^ 2 - j ^ 2) / (k ^ 2 + j ^ 2)
hw2 : w = (↑m ^ 2 - ↑n ^ 2) / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hx2 : ∀ {j k : ℚ}, k ≠ 0 → k ^ 2 + j ^ 2 ≠ 0 → 2 * (j / k) / (1 + (j / k) ^ 2) = 2 * k * j / (k ^ 2 + j ^ 2)
hv2 : v = 2 * ↑m * ↑n / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hnmcp : n.gcd m = 1
hmncp : m.gcd n = 1
hm2 : m % 2 = 1
hn2 : n % 2 = 0
⊢ h.IsPrimitiveClassified
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι : Type u_5
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Fintype ι₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
b : Basis ι R M
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
ij : ι₂ × ι₁
⊢ (b₁.linearMap b₂) ij = (toLin b₁ b₂) ((Matrix.stdBasis R ι₂ ι₁) ij)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.QInfty.f n = 0
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
x : n → R
⊢ star x ⬝ᵥ Mᵀ *ᵥ x = star (star x) ⬝ᵥ M *ᵥ star x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
i : σ
⊢ (mvPolynomialBasis R σ).repr ((D R (MvPolynomial σ R)) (MvPolynomial.X i)) = Finsupp.single i 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
L : Set V
C : G.ComponentCompl L
⊢ SimpleGraph.ComponentCompl.hom ⋯ C = C
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
this✝ : Module ℝ (Fin 2 → ℝ) := NormedSpace.toModule
π₀ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 0
π₁ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 1
f : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℂ := π₀.smulRight ↑z + π₁.smulRight 1
f_def : ⇑f = fun p => ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)
this : (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) = ⇑normSq ∘ ⇑f ∘ fun p => Int.cast ∘ p
hf : LinearMap.ker f = ⊥
hf' : ClosedEmbedding ⇑f
h₂ : Tendsto (fun p => Int.cast ∘ p) cofinite (cocompact (Fin 2 → ℝ))
⊢ Tendsto (⇑normSq ∘ ⇑f ∘ fun p => Int.cast ∘ p) cofinite atTop
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
iso : e.inverse ≅ G
X : C
⊢ e.functor.map (e.unitIso.hom.app X ≫ iso.hom.app (e.functor.obj X)) ≫ e.functor.map (iso.inv.app (e.functor.obj X)) ≫ e.counitIso.hom.app (e.functor.obj X) = 𝟙 (e.functor.obj X)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
m : M
T2Space M
f : ℕ → M
hf : Summable f
⊢ HasSum f m ↔ Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop (𝓝 m)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a₁ a₂ : α
l : List (Sigma β)
⊢ a₁ ∈ (List.kerase a₂ l).keys → a₁ ∈ l.keys
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup V
Algebra R A
Module R V
Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : A ⊗[R] CliffordAlgebra Q
⊢ (CliffordAlgebra.toBaseChange A Q) ((CliffordAlgebra.ofBaseChange A Q) x) = x
G : Type u_1
g₁ g₂ : Group G
h_mul : Mul.mul = Mul.mul
⊢ g₁ = g₂
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ → E
c : ℂ
r : ENNReal
hf✝ : DifferentiableOn ℂ f✝ (EMetric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ EMetric.ball c r
f : ℂ → ℂ
hf : DifferentiableOn ℂ f (EMetric.ball c r)
⊢ ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = f z
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
k : Set α
h : mulSupport f ⊆ k
⊢ range f = f '' k ∨ range f = insert 1 (f '' k)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
S : Set (UpperSet α)
⊢ ↑(sSup S).compl = ↑(⨆ s ∈ S, s.compl)
b c a : Prop
f : b → c
⊢ a ∨ b → a ∨ c
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x y : α
u : Fin 0 → α
⊢ Set.range (vecCons x (vecCons y u)) = {x, y}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f
⊢ ∑' (i : β), g • f i = g • ∑' (i : β), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
ht : t.Finite
hst : s ⊆ t
hts : t.encard ≤ s.encard
⊢ s = t
p : ℤ → Prop
i : ℤ
hz : p 0
hp : ∀ (i : ℕ), p ↑i → p (↑i + 1)
hn : ∀ (i : ℕ), p (-↑i) → p (-↑i - 1)
⊢ p i
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
AddCommMonoid M
NoZeroSMulDivisors ℕ M
hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0
⊢ Finsupp.NonTorsionWeight w
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x) = ∫ (x : ℝ) in c * a..c * b, f x
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
⊢ ∏ p ∈ b.primeFactors, p ∣ b
m : Type u_1
n : Type u_2
Finite m
Finite n
σ : Equiv.Perm (m ⊕ n)
⊢ Set.MapsTo (⇑σ) (Set.range Sum.inl) (Set.range Sum.inl) ↔ Set.MapsTo (⇑σ) (Set.range Sum.inr) (Set.range Sum.inr)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : μ t ≠ 0
h₀' : μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
h_avg : a • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ = ⨍ (x : α), f x ∂μ ∧ a • ⨍ (x : α) in t, (g ∘ f) x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, (g ∘ f) x ∂μ = ⨍ (x : α), (g ∘ f) x ∂μ
⊢ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ PInfty.f n ≫ (𝟙 K[X] - PInfty).f n = 0
k_1 k_2 : ℤ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
f : ModularForm Γ k_1
g : ModularForm Γ k_2
⊢ ⇑(f.mul g) = ⇑f * ⇑g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ {X Y : C}, CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
a b : α
h : a < b
⊢ sSup (Set.Ioc a b) = b
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l✝ : ℝ≥0
f : ℝ → E
s : Set ℝ
hs : s.Subsingleton
l : ℝ≥0
x : ℝ
hx hy : x ∈ s
⊢ 0 = ENNReal.ofReal (↑l * (x - x))
K : Type u
inst✝ : Field K
a : K
H : Irreducible (C (1 - a))
⊢ False
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : ¬gcd x y = 0
z : R
hz : x = gcd x y * z
⊢ gcd x y * (y * z) = x * y
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (s ∪ t) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ ∧ MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
w : NumberField.InfinitePlace K
IsGalois k K
⊢ Nat.card ↥(MulAction.stabilizer (K ≃ₐ[k] K) w) = if NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w then 1 else 2
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
s t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
P : s.IsKan
Q : t.IsKan
⊢ (P.uniqueUpToIso Q).hom.right = P.desc t
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
a : α
f : α → β
h₁ : StrictAntiOn f (Set.Iic a)
h₂ : StrictAntiOn f (Set.Ici a)
⊢ StrictAnti f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
self : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles ↔
  T.rotate ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
I J : Ideal ↥(integralClosure R S)
I.IsPrime
I_lt_J : I < J
⊢ Ideal.comap (algebraMap R ↥(integralClosure R S)) I < Ideal.comap (algebraMap R ↥(integralClosure R S)) J
X : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsAffine X
IsNoetherianRing ↑Γ(X, ⊤)
⊢ TopologicalSpace.NoetherianSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
x y : ENNReal
⊢ x.log ≤ y.log ↔ x ≤ y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} C'
D : CategoryTheory.GlueData C
F : CategoryTheory.Functor C C'
H : (i j k : D.J) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i j : D.J
⊢ (D.mapGlueData F).t i j = F.map (D.t i j)
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : LaurentSeries K
⊢ (∀ n < 0, f.coeff n = 0) ↔ ∃ F, (ofPowerSeries ℤ K) F = f
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
s : IntermediateField K L
x : L
⊢ x ∈ s.toSubalgebra ↔ x ∈ s
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_5
Nₗ : Type u_10
Pₗ : Type u_11
Qₗ : Type u_12
AddCommMonoid M
AddCommMonoid Nₗ
AddCommMonoid Pₗ
AddCommMonoid Qₗ
Module R M
Module R Nₗ
Module R Pₗ
Module R Qₗ
f : M →ₗ[R] Nₗ →ₗ[R] Pₗ
g : Pₗ →ₗ[R] Qₗ
m : M
n : Nₗ
⊢ ((f.compr₂ g) m) n = g ((f m) n)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ ∑ n_1 ∈ p.support, ((C.comp f) (p.coeff n_1) * X ^ n_1).coeff n = f (p.coeff n)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (HomologicalComplex.eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
⊢ (CochainComplex.mappingConeHomOfDegreewiseSplitIso S σ).inv ≫
    (CochainComplex.mappingCone.triangle (CochainComplex.homOfDegreewiseSplit S σ)).mor₃ =
  -(CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map S.g
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
a : α
h : IsLocalMax f a
s : Set α
⊢ IsLocalMaxOn f s a
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α
⊢ EqvGen.Setoid Setoid.r ≤ r
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
K : CochainComplex C ℤ
⊢ (∀ (n : ℤ), IsZero ((homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) n).obj ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K))) ↔ ∀ (n : ℤ), HomologicalComplex.ExactAt K n
α : Type u
n : ℕ
o' : Type uₒ
NonUnitalNonAssocSemiring α
x : α
v : Fin n → α
w : o' → α
B : Fin n → o' → α
⊢ Matrix.vecMul (Matrix.vecCons x v) (Matrix.of (Matrix.vecCons w B)) = x • w + Matrix.vecMul v (Matrix.of B)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
h : |a - b| ≤ c
⊢ b - c ≤ a
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCompletion I M
a : AdicCauchySequence I M
hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0
n : ℕ
x✝ : n ≥ 42
⊢ f (↑a (n + k)) ∈ I ^ (n + k) • ⊤ ⊓ range f
α : Type u
β : Type v
p q : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
g : (a : α) → q a → β
l : List α
H₁ : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
H₂ : ∀ (a : α), a ∈ l → q a
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (h₁ : p a) (h₂ : q a), f a h₁ = g a h₂
⊢ List.pmap f l H₁ = List.pmap g l H₂
ι : Type u_1
G : ι → Type u_4
(i : ι) → Group (G i)
i j : ι
w : Monoid.CoprodI.NeWord G i j
⊢ w.inv.last = w.head⁻¹
C : Type v
CategoryTheory.Category.{v, v} C
D : Type v
CategoryTheory.Category.{v, v} D
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ F.Final ↔ ∀ (G : CategoryTheory.Functor D (Type v)), CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.colimit.pre G F)
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
D' : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_10, u_6} D'
L : CategoryTheory.Functor C D
L' : CategoryTheory.Functor C D'
G : CategoryTheory.Functor D D'
f : L' ⟶ L.comp G
F : CategoryTheory.Functor C H
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F) ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D' H).obj L')
⊢ ∀ (X_1 : D), ((CategoryTheory.Functor.LeftExtension.postcomp₁ G f F).obj X).right.obj X_1 = X.right.obj (G.obj X_1)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
inst✝¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝ : J.WEqualsLocallyBijective A
P Q : Cᵒᵖ ⥤ A
φ : P ⟶ Q
⊢ Sheaf.IsLocallyInjective ((presheafToSheaf J A).map φ) ↔ IsLocallyInjective J φ
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : L ≤ perfectClosure F E
x : ↥L
n : ℕ
y : F
hy : (algebraMap F E) y = ↑x ^ ringExpChar F ^ n
⊢ ∃ n, x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F ↥L).range
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
⊢ separableClosure F K ≤ IntermediateField.restrictScalars F (separableClosure E K)
α : Type u_1
Monoid α
p q : α
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
⊢ p ∣ q ↔ q ∣ p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → α ⊕ β
b b' : β
h : f b = Sum.inr b'
⊢ (Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b)).tail = Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b')
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))
      (↑(extChartAt I x) x)
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_3
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I : Ideal R
⊢ ↑I = 0 ↔ I = ⊥