ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : G.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernel (G.map f)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = 0
⊢ (G.map (kernel.lift f h w) ≫ kernelComparison f G) ≫ equalizer.ι (G.map f) 0 = kernel.lift (G.map f) (G.map h) ⋯ ≫ equalizer.ι (G.map f) 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
i : α
⊢ update 0 a b = single a b
⊢ IsPiSystem (⋃ a, {Set.Iio ↑a})
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)), F.op.HasLeftKanExtension P
G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)) (CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ (Type v₁))
φ : F.comp CategoryTheory.yoneda ⟶ CategoryTheory.yoneda.comp G
X : C
⊢ (CategoryTheory.Presheaf.compYonedaIsoYonedaCompLan.natTrans φ).app (CategoryTheory.yoneda.obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.Presheaf.compYonedaIsoYonedaCompLan F).inv.app X) (φ.app X)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p μ)
hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
⊢ Memℒp (Exists.choose ⋯) p (μ.trim hm)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
n : ℕ
IH : Continuous fun a => a ^ n
x : ℝ≥0∞
H : x = 0
⊢ x ^ n ≠ 0 ∨ x ≠ ⊤
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
G : ℝ → ℝ
G_mble : Measurable G
G_nn : 0 ≤ G
g_eq_G : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] G
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}
⊢ sInf {c | ∀ a' < a, ∀ b' < 1, a' ⨳ 1 ♯ a ⨳ b' < c ♯ a' ⨳ b'} = a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ S.a + S.b + (S.a + ↑η * S.b) * ↑η + (S.a + (-↑η - 1) * S.b) * (-↑η - 1) = 0
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : LaxMonoidalFunctor C D
G : LaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C
⊢ G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.map (F.μ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.map (F.μ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) = ((G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.map (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom) ≫ G.map (F.obj X ◁ F.μ Y Z)) ≫ G.map (F.μ X (Y ⊗ Z))
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.map Prod.snd s.antidiagonal = s.powerset
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
⊢ minpoly A ((algebraMap A B) a) = X - C a
α : Type u_1
f : α → ℂ
⊢ (Summable fun x => (starRingEnd ℂ) (f x)) ↔ Summable f
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
h_main : (fun n => q (b i * ↑n) - q ↑(r i n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
n : ℕ
hn : q (b i * ↑n) - q ↑(r i n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
⊢ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 + ε ↑n) ≤ ↑(r i n) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i n))
α : Type u
PseudoMetricSpace α
Preorder α
CompactIccSpace α
a b : α
⊢ TotallyBounded (Set.Ioo a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : Prop
f : p → Part α
h : p
Dom✝ : Prop
get✝ : Dom✝ → α
h' : f h = { Dom := Dom✝, get := get✝ }
⊢ { Dom := ∃ (h : p), (f h).Dom, get := fun ha => (f ⋯).get ⋯ } = { Dom := Dom✝, get := get✝ }
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
G : Type u_3
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
FiniteDimensional ℝ G
f g : F → G
n : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ n f
hg : ContDiff ℝ n g
h : ∀ (x : F), f x ≠ g x
⊢ ContDiff ℝ n fun x => Euclidean.dist (f x) (g x)
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hmt : MeasurableSet t
hcs : μ s ≠ ⊤
u : Set Ω
a✝ : MeasurableSet u
⊢ μ[|s][|t] u = μ[|s ∩ t] u
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
n : ℕ∞
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
f : M → Bundle.TotalSpace F E
s : Set M
he : Set.MapsTo f s e.source
⊢ ContMDiffOn IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n f s ↔
  ContMDiffOn IM IB n (fun x => (f x).proj) s ∧ ContMDiffOn IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e (f x)).2) s
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ (1 - ε / 10) * ↑(G.nonuniformWitness ε U V).card ≤ ↑((star hP G ε hU V).biUnion id).card
α : Type u_1
P : α → Prop
m : (s : α) → P s → ℝ≥0∞
β : Type u_2
Pb : β → Prop
mb : (s : β) → Pb s → ℝ≥0∞
sa : α
sb : β
hP : P sa ↔ Pb sb
hm : ∀ (ha : P sa) (hb : Pb sb), m sa ha = mb sb hb
⊢ MeasureTheory.extend m sa = MeasureTheory.extend mb sb
a : Prop
⊢ (True ↔ a) ↔ a
q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (x - ↑m)
⊢ Irrational (x - ↑↑m)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
F : ι → α →ᵤ[𝔖] β
f : α →ᵤ[𝔖] β
⊢ Tendsto F p (𝓝 f) ↔ ∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (⇑(toFun 𝔖) ∘ F) ((toFun 𝔖) f) p s
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : Sort u_1
i j : α
f : α → β
⊢ f ∘ ⇑(swap i j) = update (update f j (f i)) i (f j)
s n : Nat
⊢ range.loop (s + 1) (range' (s + 1) n) = range' 0 (n + 1 + s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
self : CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ)
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ∀ (j : J), colimit.ι (((whiskeringRight J C D).obj G).obj X✝) j ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) X✝).inv ≫ (colim ⋙ G).map f = colimit.ι (((whiskeringRight J C D).obj G).obj X✝) j ≫ ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ colim).map f ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) Y✝).inv
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
h : IsUnit z
w : ℤ_[p]
eq : 1 = z * w
⊢ ‖z‖ = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
N : Submodule R M
r : R
f : M →ₗ[R] M'
g : M' →ₗ[R] M''
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : LinearMap.range f = LinearMap.ker g
h1 : IsSMulRegular M r
h2 : IsSMulRegular M'' r
y : M
hx : r • f y = 0
⊢ f y = 0
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
f' : Y ≃ₜ Z
⊢ (e.transHomeomorph f').source = e.source
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ s t : Set α
⊢ s ⊆ t ∧ t ⊆ s ↔ s ≤ t ∧ t ≤ s
α : Type u
LinearOrder α
h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False
⊢ Finite α
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : U ∈ 𝓝ˢ K
hd : Disjoint (𝓝ˢ K) (𝓝ˢ Uᶜ)
V : Set X
hVo : IsOpen V
hKV : K ⊆ V
W : Set X
hVW : Disjoint V W
hW : IsOpen W
hUW : Uᶜ ⊆ W
⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U
a b : Prop
Decidable a
⊢ ((a → b) → a) → a
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n✝¹ n n✝ : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))
hp : 1 < n✝ + 1
h1 : (X ^ (n✝ + 1) - X).roots = univ.val
h2 : (X ^ (n✝ + 1) - X).natDegree = n✝ + 1
⊢ Splits (RingHom.id (ZMod (n✝ + 1))) (X ^ (n✝ + 1) - X)
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
S : Set (HeightOneSpectrum R) := {v | (fun v => ↑a v) v ∉ adicCompletionIntegers K v}
⊢ ∃ b c, a * ↑↑b = ↑c
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : Nonempty ι
m : ι → A
⊢ ‖(ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A) m‖ ≤ 1 * ∏ i : ι, ‖m i‖
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l : List α
o✝ : Option α
a✝ m : α
hr₀ : Irreflexive r
hr₁ : Transitive r
tl : List α
a : α
ih : ∀ {a m : α} {o : Option α}, a ∈ tl → m ∈ foldl (argAux r) o tl → ¬r a m
b : α
o : Option α
hb : b ∈ tl ++ [a]
c : α
hf : foldl (argAux r) o tl = some c
hac : r a c
h : b ∈ [a]
⊢ ¬r b a
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
⊢ a < ↑⌊a⌋₊ + 1
m n : Nat
⊢ m ≤ n ∨ n ≤ m
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ lowerCentralSeries R L M k
α : Type u_1
⊢ (Sym2.map fun x => x) = id
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source
⊢ (∀ᶠ (y : Y) in 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s] ↑e x, p (↑e.symm y)) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, p x
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Ring R
Ring S
FunLike F R S
RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
⊢ (Ideal.comap f K).IsMaximal
α : Type u_2
Preorder α
a b : α
Subsingleton α
⊢ ¬a < b
X : TopCat
x : ↑X
⊢ (𝟙 X) x = x
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Submodule.map (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (kerTotal R A ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1)) = Submodule.restrictScalars A (kerTotal R B)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.kahler x) y = (starRingEnd ℂ) ((o.kahler y) x)
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
hFn : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
hs : s.Nonempty
j : J
ji : j ⟶ i
⊢ ∃ x, ∀ (i_1 : j ⟶ i), F.map i_1 x ∈ s
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α, SymmetricRel t ∧ t ○ t ⊆ s
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)
K : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
H_le : H ≤ (fixedField H).fixingSubgroup
⊢ (fixedField H).fixingSubgroup = H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
this : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0
r : 𝕜
hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)
⊢ {x} + r • s ⊆ u
α : Type u_1
Preorder α
InfiniteDimensionalOrder α
⊢ krullDim α = ⊤
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ s'✝ : Cycle α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
⊢ ∀ {hs : s.Nodup} {hs' : s'.Nodup}, s.formPerm hs = s'.formPerm hs' ↔ s = s' ∨ s.length ≤ 1 ∧ s'.length ≤ 1
R : Type u
CommRing R
b c d : R
m : ℕ
⊢ normEDS b c d (2 * (↑m + 2) + 1) =
  normEDS b c d (↑m + 4) * normEDS b c d (↑m + 2) ^ 3 - normEDS b c d (↑m + 1) * normEDS b c d (↑m + 3) ^ 3
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : α
g : G
⊢ g • a ∈ fixedBy α g ↔ a ∈ fixedBy α g
α : Type u_5
β : Type u_6
Bornology β
f : α → β
s : Set α
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ Bornology.IsBounded (f '' s)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
r : R
f : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f ((fun x => r * x) '' σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfcₙ (fun x => f (r * x)) a = cfcₙ f (r • a)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
⊢ ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
l : Type u_2
m : Type u_3
α : Type u_5
Fintype l
Fintype m
NonUnitalSeminormedRing α
A : Matrix l m α
v : m → α
⊢ ‖A *ᵥ v‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖v‖₊
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
I : Set ι
hI : I.Countable
s : ι → Set α
⊢ μ (⋃ i ∈ I, s i) = 0 ↔ ∀ i ∈ I, μ (s i) = 0
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s✝ : α → α → Prop
s : Set α
⊢ (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∃ z ∈ s, r x z ∧ r y z) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ a_1 ∈ s, ∃ a_2, r a a_2 ∧ a_2 ∈ s ∧ r a_1 a_2
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrder α✝
inst✝³ : OrderBot α✝
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α✝
a : α✝
α : Type u_7
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : Nontrivial α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ ⊤ ≤ s.sup f ↔ ∃ b ∈ s, ⊤ ≤ f b
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
CommSemiring S
Algebra S R
Module S N
IsScalarTower S R N
Invertible 2
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
⊢ (((QuadraticMap.associatedHom S) Q) x) y = ⅟2 • (Q (x + y) - Q x - Q y)
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p q : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
⊢ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (p + q)).sum ≤ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum + (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) q).sum
X : Type u
Y : Type v
Preorder X
Preorder Y
L : CategoryTheory.Functor X Y
R : CategoryTheory.Functor Y X
adj : L ⊣ R
⊢ GaloisConnection L.obj R.obj
V : Type u_1
inst✝¹ : Quiver V
W : Type u_2
σ : V → W
W' : Type u_3
inst✝ : Quiver W'
φ : V ⥤q W'
τ : W → W'
h : ∀ (x : V), φ.obj x = τ (σ x)
⊢ of σ ⋙q lift σ φ τ h = φ
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)
A B : Grp
f : A ⟶ B
b : ↑B
hb : b ∈ MonoidHom.range f
⊢ Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.fromCoset ⟨b • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩ =
  Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩
V : Type u_1
R : Type u_2
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
LinearOrderedField R
x : V → R
⊢ (((Matrix.toLinearMap₂' R) (SimpleGraph.lapMatrix R G)) x) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Adj i j → x i = x j
n : ℕ
a b : Fin n
h : a ≤ b
⊢ ∃ k ≤ b, b = a + k
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
S' : Type u_17
Monoid S'
DistribMulAction S' M
SMulCommClass R S' M
a : S'
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
x : M
⊢ (DomMulAct.mk a • f) x = f (a • x)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
⊢ ∃ B ε, 0 < ε ∧ ball x ε ⊆ ball z R ∧ ∀ (t : ℝ), ∀ y ∈ ball x ε, ‖circleTransformDeriv R z y f t‖ ≤ B
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.count a (s.erase a) = Multiset.count a s - 1
⊢ Filter.Tendsto (fun s => (s - 1) * riemannZeta s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
⊢ Integrable (fun ω => (X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2) μ
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
P Q : CochainComplex V ℕ
zero : P.X 0 ⟶ Q.X 0
one : P.X 1 ⟶ Q.X 1
one_zero_comm : zero ≫ Q.d 0 1 = P.d 0 1 ≫ one
succ :
  (n : ℕ) →
    (p : (f : P.X n ⟶ Q.X n) ×' (f' : P.X (n + 1) ⟶ Q.X (n + 1)) ×' f ≫ Q.d n (n + 1) = P.d n (n + 1) ≫ f') →
      (f'' : P.X (n + 2) ⟶ Q.X (n + 2)) ×' p.snd.fst ≫ Q.d (n + 1) (n + 2) = P.d (n + 1) (n + 2) ≫ f''
⊢ (P.mkHom Q zero one one_zero_comm succ).f 0 = zero
K : Type u
Field K
G : Type u_1
Group G
MulSemiringAction G K
g : G
S T : ValuationSubring K
⊢ g • S ≤ T ↔ S ≤ g⁻¹ • T
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ WittVector.init n x + WittVector.tail n x = x
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ
⊢ NullMeasurableSet (fun p => p.2 < g p.1) (μ.prod volume)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p.natDegree ∈ p.support
i : ℕ
hi : i ∈ p.support.erase p.natDegree
⊢ p.coeff i = p.eraseLead.coeff i
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
⊢ X.toΓSpecSheafedSpace.base = X.toΓSpecBase
α : Type u_2
InvolutiveNeg α
f : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f
⊢ -s ∈ -f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
S : Set α
T : Set α
h : μ T = 0
⊢ μ (S ∩ T) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
x✝ : Continuous f
⊢ (∀ ⦃ℱ : Filter X⦄ ⦃y : Y⦄, MapClusterPt y ℱ f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x ℱ) ↔ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, f x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝
ι : Sort u_6
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
f : Filter α
hf : f.HasBasis p s✝
β : ι → Type u_5
pg : (i : ι) → β i → Prop
sg : (i : ι) → β i → Set γ
g : Set α → Filter γ
hg : ∀ (i : ι), (g (s✝ i)).HasBasis (pg i) (sg i)
gm : Monotone g
s : Set γ
⊢ DirectedOn (g ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) f.sets
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n => disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s)
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.6986, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (cokernel.desc f.op (kernel.ι f).op ⋯ ≫ (kernel.lift f (cokernel.π f.op).unop ⋯).op).unop = (𝟙 (cokernel f.op)).unop
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
e : f ≅ g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp e.hom.left e.inv.left = CategoryTheory.CategoryStruct.id f.left
α : Type u_1
⊢ ∀ (a : MeasureTheory.OuterMeasure α) (a_1 : Set α), MeasureTheory.OuterMeasure.coeFnAddMonoidHom a a_1 = a a_1
S : Type u_5
OrderedRing S
R : Type u_6
Ring R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
a b c : R
⊢ abv (a - c) ≤ abv (a - b) + abv (b - c)
α : Sort u_1
le : α → α → Bool
self : Batteries.TotalBLE le
a b : α
⊢ le a b = true ∨ le b a = true
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x y : ℝ
⊢ ↑x ≤ ↑y ↔ x ≤ y
x✝ x : ℝ
hx : |x| ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
⊢ cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
g : α → β
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hg : EqOn f g s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
x : α
hx : x ∈ s
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝[s] x
h : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ s ∩ t, (g y, F n y) ∈ u
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
c : F
⊢ (deriv fun y => c + f y) = deriv f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.Fork.ι c.sndKernelFork = c.inl
β : Type u_2
OrderedRing β
x : ↑(Set.Ioo 0 1)
⊢ 1 - ↑x < 1
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ ∃ n, (0 ^ n) x = 0