ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
NormedAddCommGroup F₄
NormedSpace 𝕜 F₄
n : ℕ∞
f : M → F₁ ≃L[𝕜] F₂
g : M → F₃ ≃L[𝕜] F₄
x : M
hf : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₁) n (fun x => ↑(f x).symm) x
hg : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F₃ →L[𝕜] F₄) n (fun x => ↑(g x)) x
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, (F₁ →L[𝕜] F₃) →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₄) n (fun y => ↑((f y).arrowCongr (g y))) x
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
la lb : Filter ℝ
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la MeasureTheory.volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb MeasureTheory.volume
s t : Set ℝ
intervalIntegral.FTCFilter a (𝓝[s] a) la
intervalIntegral.FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
ha : Filter.Tendsto f (la ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 ca)
hb : Filter.Tendsto f (lb ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 cb)
hs : UniqueDiffWithinAt ℝ s a := by uniqueDiffWithinAt_Ici_Iic_univ
ht : UniqueDiffWithinAt ℝ t b := by uniqueDiffWithinAt_Ici_Iic_univ
⊢ fderivWithin ℝ (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x) (s ×ˢ t) (a, b) =
  (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca
V W : SemiNormedGrp₁
i : V ≅ W
v : ↑V
⊢ ‖v‖ ≤ ‖↑i.hom v‖
α : Type u_2
OrderedSemiring α
CeilDiv α α
a : α
ha : 0 < a
⊢ GaloisConnection (fun x => x ⌈/⌉ a) fun x => a * x
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)
⊢ r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
⊢ h.cone.fst = fst
G : Type u
AddGroup G
H : Type v
AddGroup H
φ : G →+ H
ψ : H → G
hφ : Function.RightInverse ψ ⇑φ
⊢ ∀ (a : H), (QuotientAddGroup.quotientKerEquivOfRightInverse φ ψ hφ).symm a = (QuotientAddGroup.mk ∘ ψ) a
M : Type u_4
N : Type u_5
Add M
Add N
f : AddHom M N
a b : M
⊢ f (a + b) = f a + f b
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R (Dual R M)
⊢ map e.flip p.dualCoannihilator = (map e.symm p).dualAnnihilator
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
⊢ (turanGraph n r).CliqueFree (r + 1)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a < b
h₂ : b ≤ c
⊢ Set.Ioo a b ∪ Set.Ico b c = Set.Ioo a c
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder β
l : Filter α
p : β → Prop
f : α → β
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
h_evtl : ∀ᶠ (x : β) in Filter.atTop, p x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (y : β), f x ≤ y → p y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : α), f x ∂μ) = ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
⊢ Submodule.span k (↑s1 -ᵥ ↑s1) ⊔ Submodule.span k (↑s2 -ᵥ ↑s2) ≤ Submodule.span k (↑(s1 ⊔ s2) -ᵥ ↑(s1 ⊔ s2))
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
⊢ p ^ n.factorization p ∣ n
𝕜 : Type u
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
x : G'
m : Fin 0 → G
⊢ (ContinuousMultilinearMap.curry0 𝕜 G x) m = x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x₀ : E
m : ℕ∞
f : E → F → G
g k : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (Function.uncurry f) (s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
hk : ContDiffWithinAt 𝕜 m k s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => (fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) (k x)) s x₀
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
B₁ : ℤ[X]
hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B
left✝ : B₁.degree = B.degree
hB₁mo : B₁.Monic
Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁
huniq : (X ^ k - 1) /ₘ B = cyclotomic' k K ∧ (X ^ k - 1) %ₘ B = 0
⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
⊢ WfDvdMonoid α ↔ WellFounded fun x x_1 => x < x_1
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
inst✝ : Fintype η
⊢ Module.rank R (η → M) = ↑(Fintype.card η) * lift.{u₁', v} (Module.rank R M)
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ
⊢ π' k + (filter Prime (Ico k (k + n))).card ≤ π' k + (filter a.Coprime (Ico k (k + n))).card
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i : n
h : ∀ (j : n), b j = A j i
⊢ A.cramer b = Pi.single i A.det
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
x : ↥S
⊢ ↑((S.equivMapOfInjective f hf) x) = f ↑x
x✝ : ℝ
⊢ (↑x✝ + ↑(π / 2)).sin = (↑x✝).cos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a b₁ b₂ x z y : α
h : G.Adj x y
w : G.Walk y z
⊢ cons ⋯ (Walk.boxProdRight G a w).ofBoxProdRight = cons' x y z h w
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
U : ↥(unitary R)
⊢ star U * U = 1
M : Type u_1
N : Type u_2
φ : M → N
ψ : N → M
h : Function.RightInverse φ ψ
χ : M → M
CompTriple.IsId χ
⊢ CompTriple φ ψ χ
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
k : ℕ
⊢ card { s // s.card = k } = (card α).choose k
p : ℝ × ℝ
⊢ ↑Complex.polarCoord.symm p = ↑p.1 * (↑(Real.cos p.2) + ↑(Real.sin p.2) * Complex.I)
m n✝ n : ℕ
⊢ (bif n.bodd then 0 else 1) + (bif n.bodd then n.div2.succ else n.div2) * 2 = n.succ
G : Type w
TopologicalSpace G
InvolutiveInv G
ContinuousInv G
⊢ IsClosedMap Inv.inv
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this✝² : LocallyCompactSpace H
this✝¹ : LocallyCompactSpace M
this✝ : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
⊢ MetrizableSpace M
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ≤ -b ↔ b + a ≤ 0
X Y : CondensedSet
f : X ⟶ Y
⊢ ∀ (a : X.val.obj (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1}))),
  (CondensedSet.toTopCatMap f) a = f.val.app (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1})) a
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
Monoid S
DistribMulAction S R
IsScalarTower S R R
s : S
p : R[X]
k : ℕ
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[k] (s • p) = s • (⇑Polynomial.derivative)^[k] p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ (Icc s t).card = 2 ^ (t.card - s.card)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T25Space Y
f : X → Y
hf : Embedding f
⊢ T25Space X
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
f : M → ℝ
f_diff : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
fs : support f = sᶜ
ft : ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
⊢ ∀ (x : M), x ∈ s ↔ f x = 0
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ (∃ B, A * B = 1) ↔ IsUnit A
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
⊢ (A - C).card * B.card ≤ (A + B).card * (B - C).card
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
⊢ γ.extend (min 0 1) = a
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k✝ : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x x_1 => x * x_1) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n
B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0
⊢ x ∈ k
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
hb : b < n
⊢ ↑b < a + ↑n ↔ b < ⌈a⌉₊ + n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
h₁ : ∀ (Z : C), Nonempty (X ⟶ Z)
h₂ :
  ∀ ⦃Z : C⦄ (i j : X ⟶ Z),
    CategoryTheory.Zigzag (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk i) (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk j)
⊢ (CategoryTheory.Limits.parallelPair f g).Initial
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
ι : Type u_9
s : Set ι
f : ι → A
hs : AlgebraicIndependent R fun x => f ↑x
⊢ AlgebraicIndependent R fun x => ↑x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
α : X ≅ Y
f : CategoryTheory.End X
⊢ F.map (α.conj f) = (F.mapIso α).conj (F.map f)
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x✝¹ : RatFunc K
x✝ : FractionRing K[X]
x : K[X] × ↥K[X]⁰
⊢ IsLocalization.mk' (Localization K[X]⁰) x.1 x.2 = IsLocalization.mk' (FractionRing K[X]) ((RingHom.id K[X]) x.1) ⟨(RingHom.id K[X]) ↑x.2, ⋯⟩
V : Type u
Quiver V
a b c d : V
p : Quiver.Path a b
p' : Quiver.Path a c
e : b ⟶ d
e' : c ⟶ d
h : p.cons e = p'.cons e'
⊢ HEq p p'
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b
⊢ 2 ≤ Finset.card b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
x : α
hx : 𝓝[s] x = ⊥
⊢ Tendsto f ⊥ (𝓝 (f x))
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
n : ℕ
b : Basis (Fin n) K V
⊢ ↑b.toFlag = Set.range b.flag
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
x : α
⊢ Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (leftLim f x))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
self : CategoryTheory.InjectivePresentation X
⊢ CategoryTheory.Mono self.f
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
hpI : ¬p I
s : Box ι → Set ι
hs : ∀ J ≤ I, ¬p J → ¬p (J.splitCenterBox (s J))
J : ℕ → Box ι := fun m => (fun J => J.splitCenterBox (s J))^[m] I
J_succ : ∀ (m : ℕ), J (m + 1) = (J m).splitCenterBox (s (J m))
hJmono : Antitone J
⊢ False
ι✝ : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι✝ → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
ι : Type u_8
f : ι → M
hf : LinearIndependent R f
a✝ : Nontrivial R
⊢ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ range f }) R Subtype.val
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
Monoid M
ψ : AddChar B M
f : A →+ B
a : A
⊢ (ψ.compAddMonoidHom f) a = ψ (f a)
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : PseudoMetricSpace X
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ
⊢ (fun x => c • x) ⁻¹' closedBall x r = closedBall (c⁻¹ • x) r
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a : α
⊢ 0 - (0 - a) = a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasProducts C
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ o.oangle x 0 = 0
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
Fintype β
a b : α
⊢ (edist (fun x => a) fun x => b) ≤ edist a b
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P✝ Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
P : Cubic R
⊢ P.toPoly = 0 ↔ P = 0
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Bornology M
inst✝ : SMul M α
s t : Set α
hs : Absorbent M s
ht : t.Finite
⊢ Absorbs M s (⋃ x ∈ t, {x})
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
⊢ ∃ k, 0 < k ∧ k ≤ n ∧ |↑k * ξ - ↑(round (↑k * ξ))| ≤ 1 / (↑n + 1)
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
AlgebraicGeometry.HasRingHomProperty P Q
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsAffine Y
𝒰 : X.OpenCover
∀ (i : 𝒰.J), AlgebraicGeometry.IsAffine (𝒰.obj i)
⊢ P f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), Q (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (𝒰.map i ≫ f) ⊤)
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
CommRing K
Field L
Algebra K L
NoZeroSMulDivisors K L
Algebra.IsAlgebraic K L
Field R
Algebra K R
Algebra L R
IsScalarTower K L R
f : R →ₐ[K] L
⊢ Function.Bijective ⇑f
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : TopologicalSpace.Opens ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (f ∣_ U) V =
  AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor U.ι).obj V)
    ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor ((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U).ι).obj
      ((TopologicalSpace.Opens.map (f ∣_ U).val.base).obj V))
    ⋯
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x
H : λ ∣ x + 1
⊢ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1 ∨ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
hν : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
u : Set γ
hu : u ∈ countablePartition γ n
this✝ : IsFiniteKernel κ
hu_meas : MeasurableSet u
this : ∫⁻ (x : γ) in u, (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ∂ν a = ∫⁻ (x : γ) in u, (κ a) (u ×ˢ s) / (ν a) u ∂ν a
h0 : ¬(ν a) u = 0
⊢ (κ a) (u ×ˢ s) / (ν a) u * (ν a) u = (κ a) (u ×ˢ s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ℕ → E
g : ℕ → ℝ
hg : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ range n, g i
hf : ∀ (i : ℕ), ‖f i‖ ≤ g i
⊢ CauchySeq fun n => ∑ i ∈ range n, f i
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
⊢ Injective ⇑(fderiv ℝ (Subtype.val ∘ ↑(ChartedSpace.chartAt v).symm) (↑(ChartedSpace.chartAt v) v))
C : Type u_2
D : Type ?u.34421
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝ : Category.{?u.34429, ?u.34421} D
X Y : C
S T : Sieve X
h : S ≤ T
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ S.arrows (g ≫ f)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
e : Basis ι R M
v : ι → M
⊢ LinearIndependent R v ∧ Submodule.span R (Set.range v) = ⊤ ↔ IsUnit (e.det v)
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
Functor t
LawfulFunctor t
F : Functor t'
h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), Functor.map f = Equiv.map eqv f
h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), Functor.mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f
⊢ LawfulFunctor t'
u : XgcdType
hs : u.wp + u.zp + u.wp * u.zp = u.x * u.y
⊢ u.wp + (u.y * u.qp + u.zp) + u.wp * (u.y * u.qp + u.zp) = ((u.wp + 1) * u.qp + u.x) * u.y
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
I : Box ι
hc : ⊤.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ ∃ π, l.MemBaseSet I c r π ∧ π.IsPartition
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ : Triangle C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
j : J
⊢ (Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ Pi.π (fun b => (shiftFunctor C 1).obj (T b).obj₁) j = Pi.π (fun j => (T j).obj₃) j ≫ (T j).mor₃
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ ‖x‖ ≤ ‖x + y‖
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
w x y z : P
h₁ : Wbtw R z x w
h₂ : Wbtw R z y x
⊢ Wbtw R y x w
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : SpectralMap β γ
f₁ f₂ : SpectralMap α β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b✝ : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
a b : M
ab : 1 • a = 1 • b
⊢ a = b
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b - c ≤ a + (b - c)
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x y : α
⊢ y ∈ s.ordConnectedComponent x ↔ [[x, y]] ⊆ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
Kf Kg : ℝ≥0
f : β → γ
g : α → β
s : Set α
hf : LipschitzWith Kf f
hg : LipschitzOnWith Kg g s
⊢ LipschitzOnWith (Kf * Kg) (f ∘ g) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α →ₛ ℝ≥0∞
⊢ ∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) + x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) = ∑ x ∈ (f.pair g).range, x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) + ∑ x ∈ (f.pair g).range, x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
P : MonoOver Z
h : Factors (Quotient.mk'' P) g
⊢ Factors (Quotient.mk'' P) (f ≫ g)
ι : Sort u_4
x : ι → ℝ≥0∞
⊢ (iSup x)⁻¹ = ⨅ i, (x i)⁻¹
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
e₁ e₂ : ENorm 𝕜 V
⊢ ↑(e₁ ⊔ e₂) = fun x => max (↑e₁ x) (↑e₂ x)
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂
inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A
f : 𝕜₂ → 𝕜₁
a : A
h : SpectrumRestricts a f
this : ∀ (x : 𝕜₁), ‖(algebraMap 𝕜₁ 𝕜₂) x‖₊ = ‖x‖₊
⊢ ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₁ a, ↑‖k‖₊ ≤ ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₂ a, ↑‖k‖₊
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n : ℕ
hn : 0 < n
this : (X ^ n - C x).degree ≠ 0
⊢ ∃ z, z ^ n = x
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
⊢ ⇑OrderIso.prodComm = Prod.swap
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
u : Rˣ
⊢ u⁻¹ = u ↔ u = 1 ∨ u = -1
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h✝ : Nonempty ((i : ι) → A i)
inhabited_h : Inhabited ((i : ι) → A i)
⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ^ (1 - (↑#ι - 1) * p) * ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ p ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ (1 + p)
ι : Type u_1
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
I : BoxIntegral.Box ι
c : ℝ≥0
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
self : l.MemBaseSet I c r π
⊢ π.IsSubordinate r
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Semigroup α
x : Holor α ds₁
y : Holor α ds₂
z : Holor α ds₃
t : HolorIndex (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)
⊢ x t.assocRight.take * (y t.assocRight.drop.take * z t.assocRight.drop.drop) = (fun t => x (cast ⋯ t).take * (y (cast ⋯ t).drop.take * z (cast ⋯ t).drop.drop)) t
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Cardinal.beth o ≠ 0
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v
⊢ p.reverse.toSubgraph = p.toSubgraph
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x y : L
hxy : ∀ (χ : Weight K L M), MapsTo ⇑((toEnd K L M) x ∘ₗ (toEnd K L M) y) ↑(weightSpace M ⇑χ) ↑(weightSpace M ⇑χ)
⊢ ((traceForm K L M) x) y = ∑ χ : Weight K L M, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (χ x * χ y)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} C'
D : CategoryTheory.GlueData C
F : CategoryTheory.Functor C C'
H : (i j k : D.J) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i j k : D.J
⊢ (D.mapGlueData F).t' i j k =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.PreservesPullback.iso F (D.f i j) (D.f i k)).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (D.t' i j k))
      (CategoryTheory.Limits.PreservesPullback.iso F (D.f j k) (D.f j i)).hom)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
e : m ≃ n
h : (A.submatrix ⇑e ⇑e).IsHermitian
⊢ A.IsHermitian
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ P.map g₁✝.op (x.sieveExtend f₁✝ h₁) = P.map g₂✝.op (x.sieveExtend f₂✝ h₂)