ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
f : (i : ι) × α i → β
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : OrderBot β
⊢ (∀ (a : ι) (b : α a), a ∈ s → b ∈ t a → f ⟨a, b⟩ ≤ s.sup fun i => (t i).sup fun b => f ⟨i, b⟩) ∧ ∀ b ∈ s, ∀ b_1 ∈ t b, f ⟨b, b_1⟩ ≤ (s.sigma t).sup f
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
l : List α
⊢ (map Prod.fst l.enum).Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
SeminormedAddGroup α
SeminormedAddGroup β
SMulZeroClass α β
BoundedSMul α β
s : α
x y : β
⊢ nndist (s • x) (s • y) ≤ ‖s‖₊ * nndist x y
a b : Cardinal.{u_1}
hb : ℵ₀ ≤ b
ha : a ≤ b
ha' : a ≠ 0
⊢ a * b = b
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
hs : s.Nonempty
⊢ (atomise s ∅).parts = {s}
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
U V : OpenAddSubgroup G
⊢ ↑(U ⊓ V) = ↑U ∩ ↑V
α : Type u_1
LinearOrder α
f : α → ℝ
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
a b : α
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
⊢ eVariationOn f (s ∩ Set.Icc a b) ≤ ENNReal.ofReal (f b - f a)
a b c : Nat
h : a - b ≤ c
⊢ a ≤ c + b
𝕜✝ : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E✝ : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι✝ : Type u_6
𝕜 : Type u_7
ι : Type u_8
E : ι → Type u_9
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
S : Set ((i : ι) → E i)
⊢ IsVonNBounded 𝕜 S ↔ ∀ (i : ι), IsVonNBounded 𝕜 (eval i '' S)
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : Type u_3
(a : α) → AddCommMonoid (β a)
a : α
s : Finset γ
g : γ → (a : α) → β a
⊢ (∑ c ∈ s, g c) a = ∑ c ∈ s, g c a
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : CategoryTheory.OplaxNatTrans F G
a : B
a' : C
f : G.obj a ⟶ a'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (η.naturality (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)) f)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (G.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)) f).hom
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (η.app a) (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (G.mapId a) f))) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapId a) (η.app a)) f)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (η.app a)).hom f)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (η.app a)).inv f)
        (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.obj a)) f).hom))
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²⁵ : RCLike 𝕜
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace F'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F''
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝¹⁰ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁹ : AddGroup G
inst✝⁸ : SFinite μ
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝⁵ : MeasurableAdd₂ G
inst✝⁴ : MeasurableNeg G
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ
⊢ ∫ (x : G), (f ⋆[L, ν] g) x ∂μ = (L (∫ (x : G), f x ∂ν)) (∫ (x : G), g x ∂μ)
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
s : Stream'.WSeq α
t : Stream'.WSeq β
⊢ Stream'.WSeq.LiftRel R s.think t ↔ Stream'.WSeq.LiftRel R s t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < p.toReal
hf_eLpNorm : ∀ a ∈ f.range, ↑‖a‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {a}) < ⊤
⊢ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
v : V
g : G
⊢ (ρ g) (ρ.averageMap v) = ρ.averageMap v
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
hM : 0 < M
hε : 0 < ε
H : ∀ (x y : ℝ), 0 < x → x < ε → |y| < s * x → √(x ^ 2 + y ^ 2) < M * (1 - √((1 - x) ^ 2 + y ^ 2))
z : ℂ
hzl : (1 - z).re < ε
hzr : z ∈ stolzCone s
⊢ z ∈ stolzSet M
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Filter.Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, f x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ ClosedEmbedding ⇑h
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
hp : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
hc : c ≠ 0
this : ‖c‖ * ‖c⁻¹ • c • f‖ ≤ ‖c‖ * (‖c⁻¹‖ * ‖c • f‖)
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖c • f‖
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hodd : p ≠ 2
⊢ Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₂₃ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_14, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_13, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_12, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_11, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_15, u_6} C₂₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂₃ C₄)
G₂₃ : CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₂₃)
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₂₃ : CategoryTheory.GradedObject.BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj
        (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap
    ρ₂₃.q
H : CategoryTheory.GradedObject.HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃
((((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctor (CategoryTheory.bifunctorComp₂₃ F G₂₃) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj
        X₃).HasMap
    r
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.ιMapTrifunctorMapObj (CategoryTheory.bifunctorComp₂₃ F G₂₃) r X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h)
    ((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorComp₂₃MapObjIso F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃).hom j) =
  CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
R : Type u
σ : Type u_1
r : R
CommSemiring R
⊢ (MvPolynomial.C r).vars = ∅
m n : ℕ+
k l : ℕ
h : (↑m).Coprime ↑n
⊢ (↑m ^ k).Coprime (↑n ^ l)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
⊢ MeasureTheory.Adapted ℱ fun n => MeasureTheory.predictablePart f ℱ μ n
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
G : Type x
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
AddCommGroup G
Module 𝕜 G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
u : E →L[𝕜] F
n : ℕ
v : Fin n → E
⊢ (p.compContinuousLinearMap u n) v = (p n) (⇑u ∘ v)
n : ℕ
p i : Fin n
h : i < p
hi : i.succ ≠ Fin.last n := ⋯
⊢ p.predAbove i.succ = i.succ.castPred hi
ι : Type u
f : ι → Scheme
i : (disjointGlueData f).J
⊢ colimit.ι (Discrete.functor (Scheme.toLocallyRingedSpace ∘ f)) { as := i } ≫ sigmaComparison Scheme.forgetToLocallyRingedSpace f = Sigma.ι f i
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
⊢ IsAlgebraic R ↑n
ι : Type u_1
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
Group G
H : ι → Type u_5
(i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard : 3 ≤ Cardinal.mk ι ∨ ∃ i, 3 ≤ Cardinal.mk (H i)
α : Type u_6
MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
⊢ Function.Injective ⇑(Monoid.CoprodI.lift f)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : s.Nonempty
⊢ μ {0} = ENNReal.ofReal |0 ^ finrank ℝ E| * μ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
x : α
⊢ 𝓝 x ≤ 𝓝 x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hI : N.Indep (f '' I) ∧ ¬InjOn f I
⊢ I ⊆ f ⁻¹' N.E
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
⊢ Tendsto (logGammaSeq x) atTop (𝓝 (f x - f 1))
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
MulZeroOneClass γ
g₁ g₂ : β →*₀o γ
f : α →*₀o β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M X✝ Y✝ : Comon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((unop ((fun A => op (Comon_ToMon_OpOp_obj' C A)) Y✝)).mul ≫ f.hom.op).unop = ((f.hom.op ⊗ f.hom.op) ≫ (unop ((fun A => op (Comon_ToMon_OpOp_obj' C A)) X✝)).mul).unop
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ Set.range ⇑(CategoryTheory.Limits.prod.map f g) =
  ⇑CategoryTheory.Limits.prod.fst ⁻¹' Set.range ⇑f ∩ ⇑CategoryTheory.Limits.prod.snd ⁻¹' Set.range ⇑g
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
S : Set (Projectivization K V)
⊢ S ⊆ ↑(Projectivization.Subspace.span S)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
a : R
⊢ ∃ n_1 f', toLaurent f' = C a * T n * T ↑n_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
g₁ : Y ⟶ W
CategoryTheory.Epi g₁
g₂ : W ⟶ Z
CategoryTheory.Mono g₂
hg : g₁ ≫ g₂ = g
f' : X ⟶ W
hf : f' ≫ g₂ = f
t : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
⊢ CategoryTheory.Epi t.fst
m : Type → Type u_1
α : Type u_2
Monad m
LawfulMonad m
p : α → m Bool
as : Array α
tru : Prop
fal : Nat → Prop
stop j : Nat
hj' : j ≤ stop
hstop : stop ≤ as.size
h0 : fal j
hp : ∀ (i : Fin as.size), ↑i < stop → fal ↑i → SatisfiesM (fun x => bif x then tru else fal (↑i + 1)) (p as[i])
⊢ SatisfiesM (fun res => bif res then tru else fal stop) (Array.anyM.loop p as stop hstop j)
n : Nat
c : Prop
Decidable c
x : c → Fin n
y : ¬c → Fin n
⊢ ↑(if h : c then x h else y h) = if h : c then ↑(x h) else ↑(y h)
R : Type u_1
CommSemiring R
a a' : R
p : a = a'
⊢ a = a' ^ Nat.rawCast 1 * Nat.rawCast 1 + 0
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ (a :: l₁) ×ˢ l₂ = List.map (fun b => (a, b)) l₂ ++ l₁ ×ˢ l₂
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution' hζ
⊢ (hζ.toInteger - 1) ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ (hζ.toInteger - 1) ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨
  (hζ.toInteger - 1) ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ (hζ.toInteger - 1) ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)
v : E
hv : v ∈ 2⁻¹ • s
w : E
hw : w ∈ 2⁻¹ • s
hvw : (fun x => y +ᵥ x) w = (fun x_1 => x +ᵥ x_1) v
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
M : Type u_1
MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
f g : α → M
Inf M
MeasurableInf₂ M
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable (f ⊓ g)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
l : List ι
x : E
h : ∀ i ∈ l, HasFDerivWithinAt (fun x => f i x) (f' i) s x
⊢ (∑ i : Fin l.length, (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.take (↑i) (List.finRange l.length))).prod • (proj i).smulRight (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.drop (↑i).succ (List.finRange l.length))).prod).comp (ContinuousLinearMap.pi fun i => f' (l.get i)) = ∑ x_1 : Fin l.length, (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.take (↑x_1) (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod • (f' (l.get x_1)).smulRight (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.drop (↑x_1).succ (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
l : c * z * z > d * w * w
hm : d * (y * w) ≤ c * (x * z)
⊢ d * (y * y) + (d * (y * w) + (d * (y * w) + d * (w * w))) < c * (x * x) + (c * (x * z) + (c * (x * z) + c * (z * z)))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
x y : E × F
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ openSegment 𝕜 x.1 y.1 ×ˢ openSegment 𝕜 x.2 y.2
⊢ ∀ {X Y : LightCondSet} (f : X ⟶ Y), lightCondSetToTopCat.map f = LightCondSet.toTopCatMap f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
d : D
X✝ Y✝ : (CostructuredArrow F d)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (unop X✝).hom.op ≫ (F.map f.unop.left).op = (unop Y✝).hom.op
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
⊢ ConvexCone.strictlyPositive 𝕜 E ≤ ConvexCone.positive 𝕜 E
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
CompleteLattice α
p : ι → Prop
s : ι → Set β
f : Filter β
u : β → α
h : f.HasBasis p s
⊢ Filter.liminf u f = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), ⨅ a ∈ s i, u a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
h₂ : a ≤ d
x : α
⊢ x ∈ Ioc a b ∪ Ioc c d ↔ x ∈ Ioc (min a c) (max b d)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s t : Set E
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ tangentConeAt 𝕜 (s ∩ t) x = tangentConeAt 𝕜 s x
a b c : ℝ≥0∞
hb : b ≠ ⊤
⊢ a = b + c → a - b = c
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x ^ (-y)) Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ 𝓝 ⊤ = ⨅ a, 𝓟 (Set.Ioi ↑a)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
A✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A✝
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
E : A
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : IsSheaf J P
S : J.Cover X
x : (I : S.Arrow) → E ⟶ P.obj (op I.Y)
hx : ∀ ⦃I₁ I₂ : S.Arrow⦄ (r : I₁.Relation I₂), x I₁ ≫ P.map r.g₁.op = x I₂ ≫ P.map r.g₂.op
I : S.Arrow
⊢ hP.amalgamate S x hx ≫ P.map I.f.op = x I
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
x y : α ⊕ β
⊢ x.getRight?.isSome = true ↔ x.isRight = true
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
f g : MeasureTheory.Filtration ι m
⊢ ↑(f ⊔ g) = ↑f ⊔ ↑g
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y → Z
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
x : X
y : Y
⊢ ContinuousAt (Function.uncurry (SeparationQuotient.lift₂ f hf)) (SeparationQuotient.mk x, SeparationQuotient.mk y) ↔
  ContinuousAt (Function.uncurry f) (x, y)
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
h : ¬IsOfFinAddOrder x
⊢ addOrderOf x = 0
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≺i s
x✝ : ↑{b | s b f.top}
a : β
h : a ∈ {b | s b f.top}
⊢ ∃ a_1, (RelEmbedding.codRestrict {b | s b f.top} { toRelEmbedding := f.toRelEmbedding, init' := ⋯ }.toRelEmbedding ⋯) a_1 = ⟨a, h⟩
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u : Multiset α
a b : α
t : Multiset α
⊢ ∀ (s : Multiset α), s - t + t ∩ s = s
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
x : L
D : LieDerivation R L L
this : (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule = (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule
hD : D ∈ (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule
⊢ ⁅(ad R L) x, D⁆ ∈ (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝¹ : α
ε : ℝ≥0
x : α
hx : infEdist x s ≤ ↑ε
y : α
hy : infEdist y s ≤ ↑ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < δ
x✝ : EMetric.diam s + 2 * ↑ε < ⊤
⊢ edist x y ≤ EMetric.diam s + 2 * ↑ε + ↑δ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : ContinuousAdd M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : (𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot
s : Submodule R M
y : M
hy : ↑s ∈ 𝓝 y
x : M
this : Tendsto (fun c => y + c • x) (𝓝[{x | IsUnit x}] 0) (𝓝 y)
u : Rˣ
hu : y + ↑u • x ∈ s
hy' : y ∈ s
⊢ x ∈ s
x : ℂ
⊢ (if 1 = 0 then if x = 0 then 1 else 0 else cexp (log 1 * x)) = 1
α : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing α
k : α
h : ∀ (x : α), x * k = 0 → x = 0
⊢ IsRightRegular k
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
σ γ : Type
s : σ
f : α → β → σ × σ → (σ × σ) × γ
h :
  ∀ (x : α) (y : β) (s : σ),
    let s' := (f x y (s, s)).1;
    s'.1 = s'.2
⊢ (Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f xs ys (s, s)).2 =
  (Mathlib.Vector.mapAccumr₂ (fun x y s => ((f x y (s, s)).1.1, (f x y (s, s)).2)) xs ys s).2
α : Type u_1
β : Type u_2
AddGroup α
AddAction α β
g : α
⊢ Function.Surjective fun x => g +ᵥ x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
i : ι
h : i ≠ j
⊢ w₁ i • (p i -ᵥ p j) = w₂ i • (p i -ᵥ p j)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMaxOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
this : {x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2}.Countable
⊢ ∀ s_1 ∈ {x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2}, μ s_1 ≠ ⊤
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
⊢ NumberField.discr K = (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ) h₂.rightHomologyIso.hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.rightHomologyIso.hom γ.φH
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
c : ℝ
x : α
hfx : ‖f x‖ ≤ c
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))
hfx0 : ¬‖f x‖ = 0
this : min 1 (c / ‖f x‖) = 1
⊢ Tendsto (fun n => min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)) atTop (𝓝 (min 1 (c / ‖f x‖)))
n : Nat
α : Sort u_1
f : Fin n → α → α
x : α
⊢ Fin.foldr.loop n f ⟨0, ⋯⟩ x = x
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
hJ_ne_zero : J ≠ 0
h_subset : {v | ¬↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors) = 0} ⊆ {v | v.asIdeal ∣ J} ∪ {v | v.asIdeal ∣ Ideal.span {a}}
⊢ ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors) = 0
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
hM : 0 < M
hε : 0 < ε
H : ∀ (x y : ℝ), 0 < x → x < ε → |y| < s * x → √(x ^ 2 + y ^ 2) < M * (1 - √((1 - x) ^ 2 + y ^ 2))
⊢ {z | 1 - ε < z.re} ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
⊢ [CategoryTheory.Mono f, CategoryTheory.Limits.kernel.ι f = 0, (CategoryTheory.ShortComplex.mk 0 f ⋯).Exact].TFAE
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N
x : α
hx : x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg
⊢ dist (g x) (f n x) < δ
α : Sort u_3
s t : Setoid α
⊢ (∀ (a b : α), Setoid.r a b ↔ Setoid.r a b) → s = t
M : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace M
Add M
m : MeasurableSpace α
f g : α → M
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableAdd₂ M
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (f + g) μ
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
e : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ e.symm.symm = e
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
σ : F ⟶ G
D : Type u'
𝒟 : CategoryTheory.Category.{u', u'} D
I J : CategoryTheory.Functor D C
ρ : I ⟶ J
W : D
x : (I.comp F).obj W
⊢ (ρ ◫ σ).app W x = G.map (ρ.app W) (σ.app (I.obj W) x)