ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.55818, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : ReflectsFiniteLimits s
hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ s)) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ s)
⊢ Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝
inst✝⁶ : Nonempty γ
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
Mf : Monotone f
x : α
h : (Iio x).Nonempty
l : β
hl : l < sSup (f '' Iio x)
⊢ ∀ᶠ (b : α) in 𝓝[<] x, l < f b
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp (p + a) b = p + toIcoMod hp a b
x : ℝ
hx : -(π / 2) ≤ x
hx₀ : x ≤ 0
⊢ sin x ≤ 2 / π * x
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n m : ℕ
hn : 0 < n
⊢ m.gcd n * (addOrderOf ↑(p / ↑n) / (addOrderOf ↑(p / ↑n)).gcd m) = n
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
t : Affine.Triangle R P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
p₁ p₂ p : P
h₁ : Sbtw R (t.points i₂) p₁ (t.points i₃)
h₂ : Sbtw R (t.points i₁) p₂ (t.points i₃)
h₁' : p ∈ affineSpan R {t.points i₁, p₁}
h₂' : p ∈ affineSpan R {t.points i₂, p₂}
this : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1 := LinearOrderedRing.decidableLT
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h3 : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
hp : p ∈ affineSpan R (Set.range t.points)
h₁i : p₁ ∈ ⇑(lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) '' Set.Ioo 0 1
⊢ Sbtw R (t.points i₁) p p₁
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
β : Type u_1
R : β → β → Prop
⊢ TypeVec.dropFun (α.RelLast' R) = α.repeatEq
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
r : A
x✝ : r ∈ ⊤
⊢ ↑(((decompose 𝒜) r) i) ∈ ⊤
α : Type u_2
DecidableEq α
MulZeroClass α
s : Finset α
⊢ s * 0 ⊆ 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a_1 => (b - a) * ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1)
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s : Finset α
b : α
⊢ s.diffs {b} = Finset.image (fun x => x \ b) s
n : ℕ
hn : Even n
⊢ AddSubmonoid.closure (Set.range fun x => x ^ n) = AddSubmonoid.nonneg ℤ
α : Type u_1
I : Set α
⊢ Matroid.uniqueBaseOn I I = Matroid.freeOn I
α : Type u
LinearOrderedCommGroup α
a : α
⊢ a⁻¹ ≤ a ↔ 1 ≤ a
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
c d e : C
f : c ⟶ d
g : d ⟶ e
hf : f ∈ S.arrows c d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g ∈ S.arrows c e ↔ g ∈ S.arrows d e
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
⊢ ∀ ⦃x : M₂ × M₃⦄ (x_1 : M), Pi.prod (⇑f) (⇑g) x_1 = x → (∃ y, f y = x.1) ∧ ∃ y, g y = x.2
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
M : Subgroup G
nM : M.Normal
h : N ≤ M
x : G
⊢ (QuotientGroup.quotientQuotientEquivQuotientAux N M h) ↑↑x = ↑x
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
I : Ideal ↥(integralClosure R S)
I.IsPrime
hI : (Ideal.comap (algebraMap R ↥(integralClosure R S)) I).IsMaximal
⊢ I.IsMaximal
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝[s] x, ↑(chartAt H' (g' x)) (g' x_1) = ↑(chartAt H' (g x)) (g x_1)
α : Type u_1
s t : Multiset α
⊢ s.Disjoint t ↔ t.Disjoint s
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁹ : SecondCountableTopology α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁶ : HasBesicovitchCovering α
inst✝⁵ : MetricSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering β
μ : Measure β
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (a : β), Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt a) (𝓝 (s.indicator 1 a)) → Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall a r) / μ (closedBall a r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (s.indicator 1 a))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
⊢ Epi (e.hom.τ₂ ≫ S₂.g)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
s : Set M
⊢ SmoothOn I I' f s ↔
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N✝ : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N✝
inst✝⁹ : ChartedSpace G N✝
Js : SmoothManifoldWithCorners J N✝
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
v : TangentSpace I x
N : ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∈ 𝓝 (↑I (↑(chartAt H x) x))
A : MDifferentiableAt I I.tangent (fun x => { proj := x, snd := 0 }) x
B : (fderivWithin 𝕜 (fun x' => (x', 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))) v = (v, 0)
⊢ (↑I (↑(ChartedSpace.chartAt x) (↑(ChartedSpace.chartAt x).symm (↑I.symm (↑I (↑(chartAt H x) x))))), 0) = (↑I (↑(chartAt H x) x), 0)
n : ℕ
⊢ Finset.range (n + 1) = insert n (Finset.range n)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
e : r ≃r r
x : α
⊢ e⁻¹ (e x) = x
u v m✝ n : ℤ
x✝ : Even n
m : ℤ
hm : n = m + m
⊢ n % 2 = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
f : Perm α
hf : f.IsThreeCycle
hi : Function.Injective ⇑(alternatingGroup α).subtype
⊢ {σ | σ.IsThreeCycle} ⊆ ⇑(alternatingGroup α).subtype '' Group.conjugatesOfSet {⟨f, ⋯⟩}
x y : ℝ
⊢ cos x ^ 2 + sin x ^ 2 = 1
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
⊢ PowerSeries.divided_by_X_pow_order ⋯ = 1
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
s t : Set V
sconn : (⊤.induce s).Connected
tconn : (⊤.induce t).Connected
sintert : (s ∩ t).Nonempty
⊢ (⊤.induce (s ∪ t)).Connected
a : ℕ
b : ℤ
⊢ multiplicity a b.natAbs = multiplicity (↑a) b
l : Type u_2
m : Type u_3
α : Type u_5
Fintype l
Fintype m
NonUnitalSeminormedRing α
A : Matrix l m α
v : m → α
⊢ ‖A *ᵥ v‖ ≤ ‖A‖ * ‖v‖
x : Int
xs : List Int
⊢ Lean.Omega.IntList.sum (x :: xs) = x + Lean.Omega.IntList.sum xs
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
PredOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioo (f (Order.pred n)) (f n))
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ∃ d, d ≠ 0 ∧ ‖d • x‖ < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖ ∧ ‖d‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
⊢ ⇑(AddMonoidHom.mulLeft r) = HMul.hMul r
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℕ
cpm : p.Coprime m
b : ℕ
dvd : m ∣ b
⊢ padicValNat p (b / m) = padicValNat p b
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ≤ d
⊢ ∃ c, ∀ᶠ (x : E) in cocompact E, ‖f x‖ ≤ c * ‖‖x‖ ^ (-↑k)‖
a : ℝ
l : Filter ℝ
l' : Filter ℝ
h : intervalIntegral.FTCFilter a l l'
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ μ.FiniteAtFilter l'
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
Fintype ι
hfg : Antivary f g
⊢ ∑ i : ι, f i • g (σ i) = ∑ i : ι, f i • g i ↔ Antivary f (g ∘ ⇑σ)
G : Type u_1
Group G
⊢ derivedSeries G 1 = commutator G
q : Λ'
s : Option Γ'
L : List ℕ
c d : List Γ'
o : Option Γ' := List.casesOn L none fun x x => some Γ'.cons
⊢ TransGen (fun a b => (match a with | { l := none, var := var, stk := stk } => none | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) = some b) { l := some ((if o = some Γ'.consₗ then id else Λ'.clear (fun x => decide (x = Γ'.consₗ)) main) (unrev q)), var := o, stk := elim (trList L.tail) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat L.headI).reverseAux []) c d } { l := some q, var := none, stk := elim (trNat L.headI ++ [Γ'.cons]) [] c d }
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
h : T.IsMaximal
⊢ T.IsComplete
M : Type u_1
AddMonoid M
s : Set M
p : M → Prop
hs : AddSubmonoid.closure s = ⊤
x : M
one : p 0
mul : ∀ x ∈ s, ∀ (y : M), p y → p (x + y)
⊢ p x
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
⊢ l.set n a = List.modifyNth (fun x => a) n l
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
X : C
S : CategoryTheory.Presieve X
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
⊢ S ∈ (CategoryTheory.Coverage.ofGrothendieck C J).covering X ↔ CategoryTheory.Sieve.generate S ∈ J.sieves X
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ (fderivWithin 𝕜 f s x) 1 = derivWithin f s x
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
⊢ LipschitzWith 1 ⇑(WithLp.equiv p (α × β))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → β × γ
hf₁ : Measurable fun a => (f a).1
hf₂ : Measurable fun a => (f a).2
⊢ Measurable f
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p q : R[X]
h : Associated p q
⊢ p.degree = q.degree
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
x : α
⊢ Filter.Tendsto Int.floor (𝓝[≥] x) (pure ⌊x⌋)
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
f : M → ι
i : ι
a : AddMonoidAlgebra R M
⊢ a ∈ AddMonoidAlgebra.gradeBy R f i ↔ ↑a.support ⊆ f ⁻¹' {i}
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : Type w
AddCommGroup N
Module R N
N' : Type u_1
AddCommGroup N'
Module R N'
h : Module.Flat R M
L : N →ₗ[R] N'
hL : Function.Injective ⇑L
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M L)
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
⊢ HasDerivAt f f' x ↔ Tendsto (fun t => t⁻¹ • (f (x + t) - f x)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 f')
α : Type u_1
LE α
⊢ IsLowerSet ∅
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
{X Y : Cᵒᵖ} →
    (f : X ⟶ Y) →
      CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R Y)
        (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
∀ (X : Cᵒᵖ), CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R X)
i j : J
f : i ⟶ j
⊢ F.map f ≫ PresheafOfModules.colimitCoconeιApp F j = PresheafOfModules.colimitCoconeιApp F i
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space Z
s : Set X
t : Set Y
f g : X → Y → Z
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, f x y = g x y
hf₁ : ∀ (x : X), Continuous (f x)
hf₂ : ∀ (y : Y), Continuous fun x => f x y
hg₁ : ∀ (x : X), Continuous (g x)
hg₂ : ∀ (y : Y), Continuous fun x => g x y
this : closure s ⊆ ⋂ y ∈ closure t, {x | f x y = g x y}
⊢ ∀ x ∈ closure s, ∀ y ∈ closure t, f x y = g x y
α : Type u_5
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
PseudoEMetricSpace α
Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
hf : LipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
⊢ LipschitzWith (Kf + Kg) fun x => f x / g x
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R θ : ℝ
⊢ HasDerivAt (circleMap c R) (circleMap 0 R θ * I) θ
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
x : M
s : Set M
⊢ span R (insert x s) = span R {x} ⊔ span R s
a b : Int
H1 : 0 ≤ a
H2 : a < b
⊢ a.div b = 0
α : Type u_2
Preorder α
x : α
⊢ OrderHom.diag x = (x, x)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ZMod n →+* R
a : ZMod n
⊢ f a = g a
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
h₁ : f.comp g = LinearMap.id
h₂ : g.comp f = LinearMap.id
⊢ ↑(LinearEquiv.ofLinear f g h₁ h₂) = f
R : Type u_2
Ring R
a a' b b' c : R
⊢ a = a' → b = b' → a' - b' = c → a - b = c
⊢ Ordinal.IsNormal (Cardinal.ord ∘ Cardinal.aleph)
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
a : α
⊢ s ≤ UpperSet.Ici a ↔ a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
⊢ l.maximum = ↑m ↔ m ∈ l ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → a ≤ m
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.89869
inst✝ : MulAction R X
r : R
s : ↥S
⊢ r /ₒ s * 1 = r /ₒ s
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K
⊢ x ∈ r • Iio a ↔ x ∈ Iio (r • a)
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂✝ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
l₁ l₂ : List α
a : α
⊢ l₁ <+: l₂ ++ [a] ↔ l₁ = l₂ ++ [a] ∨ l₁ <+: l₂
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalCommSemiring α
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m n α
x : m → α
x✝ : n
⊢ (Aᵀ *ᵥ x) x✝ = (x ᵥ* A) x✝
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
X Y : C
f g : X ⟶ Y
⊢ F.map (f - g) = F.map f - F.map g
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
⊢ (((((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (f₁ ⊗ f₂ ⊗ g₁ ⊗ g₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ Y₂ V₁ V₂).inv)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (β_ Y₂ V₁).hom ⊗ 𝟙 V₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
M : Type u_1
inst✝² : Zero M
l✝ : List M
inst✝¹ : DecidablePred fun x => l✝.getD x 0 ≠ 0
n : ℕ
R : Type u_2
inst✝ : AddMonoid R
l : List R
⊢ ∀ [inst : DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0], l.toFinsupp = (map (fun nr => Finsupp.single nr.1 nr.2) l.enum).sum
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → HasCompl (π i)
x : (i : ι) → π i
i : ι
⊢ xᶜ i = (x i)ᶜ
G : PGame
⊢ G.Impartial ↔ G ≈ -G ∧ (∀ (i : G.LeftMoves), (G.moveLeft i).Impartial) ∧ ∀ (j : G.RightMoves), (G.moveRight j).Impartial
α : Type u
β : Type v
PartialOrder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
l' : α → β
u' : β → α
gc' : GaloisConnection l' u'
hl : ∀ (a : α), l a = l' a
b : β
⊢ u b = u' b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
t : WSeq α
tm : t ∈ Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct
td : some a ∈ t.destruct
⊢ ∃ a', some a' ∈ s.destruct
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
MeasurableSpace α
MeasurableSup α
⊢ Measurable posPart
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁴ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace R F
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle R F E
this✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
⊢ ↑(Trivialization.coordChangeL R (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') b) = a.coordChange he he' b
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Add β
f : α → β
self : IsAddHom f
x y : α
⊢ f (x + y) = f x + f y
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
a : R × R × R × R
⊢ ((QuaternionAlgebra.equivProd c₁ c₂).symm a).imI = a.2.1
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
s t : Finset α
hs : ThreeAPFree ↑s
h : s ⊆ t
⊢ s.card ≤ addRothNumber t
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v' x ≤ 1
x y : K
hy : ¬y = 0
⊢ v (x * y⁻¹) * v y ≤ v 1 * v y ↔ v' (x * y⁻¹) * v' y ≤ v' 1 * v' y
X✝ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : UCompactlyGeneratedSpace X✝
X Y : CompactlyGenerated
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget CompactlyGenerated).obj Y
⊢ ({ toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 Y) x
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
Add ι
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
DirectSum.GNonUnitalNonAssocSemiring A
i j : ι
a : A i
b : A j
⊢ (DirectSum.of A i) a * (DirectSum.of A j) b = (DirectSum.of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul a b)
q : ℤ[X]
hp : IsUnitTrinomial 0
⊢ False
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
b : G₀
ha : 0 ∈ s.centralizer
⊢ 0⁻¹ ∈ s.centralizer
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
f : α →ᵤ[{s}] E
⊢ ∀ x ∈ s, Tendsto (fun i => id i x) (𝓝 f) (𝓝 (f x))
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
s : Set α
y : β
Zero β
hs : IsClosed s
hy : 0 ≤ y
⊢ UpperSemicontinuous (s.indicator fun _x => y)
X Y Z : AddGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ f ≫ g = AddMonoidHom.comp g f
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ 2 * cos x = (sin b ^ 3 - sin a ^ 3) / 3
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
j i : ι
hij : i ≤ j
⊢ f i - ∑ x ∈ Finset.Iio i, (⟪gramSchmidt 𝕜 f x, f i⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f x‖ ^ 2)) • gramSchmidt 𝕜 f x ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iic j)
n : ℕ
⊢ QuaternionGroup.a 1 ^ (2 * n) = 1
α : Type u_1
m n : PosNum
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
⊢ (⋃₀ {x, y}).IsTransitive
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
⊢ x.sieveExtend.Compatible
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
⊢ rootSpace H (2 • ⇑α) = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ ∀ {X₁ Y₁ X₂ Y₂ : Mon_ C} (f : X₁ ⟶ Y₁) (g : X₂ ⟶ Y₂), (f ⊗ g).hom = f.hom ⊗ g.hom
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, μ.densityToFinite x < ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
f : Filter β
m : α → β
hf : f.NeBot
s : Set α
hs : m '' s ∈ f
t : Set β
ht : t ∈ f
hts : m ⁻¹' t ⊆ sᶜ
⊢ False
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
⊢ (g.comp f).range = (g.toAddMonoidHom.comp f.toAddMonoidHom).range
α : Type u
n : ℕ
s : Stream' α
a : α
⊢ a = s.get n → a ∈ s
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
f : FrameHom β γ
g : FrameHom α β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g✝ : ι → Set X
g : X → Y
hf : LocallyFinite f
hc : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ closure (f i), ContinuousWithinAt g (f i) x
x : X
⊢ ∀ (i : ι), Tendsto g (𝓝[f i] x) (𝓝 (g x))
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
𝒰 : Ultrafilter X
y : Y
h : Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)
⊢ ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * 2⁻¹ ^ n
⊢ edist (f n) a ≤ C * 2⁻¹ ^ n * 2