ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
q : Λ'
s : Option Γ'
n : ℕ
c d : List Γ'
⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.succ, var := s, stk := elim (trList [n]) [] c d } { l := some q, var := none, stk := elim (trList [n.succ]) [] c d }
⊢ ∃ᶠ (m : ℕ) in atTop, Odd m
R : Type u_1
Ring R
StarRing R
x : ↥(selfAdjoint R)
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
M : Type u_1
MulOneClass M
Pow M ℕ
NatPowAssoc M
x : M
⊢ x ^ 1 = x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
C : R → Prop
x : R
hx : x ∈ closure s
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
⊢ C x
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
MulOneClass M
CommMonoid N
CommMonoid P
g : N →* P
hmn : M →* N
⊢ (MonoidHom.compHom g) hmn = g.comp hmn
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
⊢ J ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
a b d e c f : Prop
had : a → d
hbe : b → e
hcf : c → f
⊢ a ∨ b ∨ c → d ∨ e ∨ f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X Y : D
f f' : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (e.counitInv.app Y) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' (e.counitInv.app Y) ↔
  f = f'
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ map f (I ⊔ f.ker) = map f I
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E : Set β
⊢ (Matroid.loopyOn E).comap f = Matroid.loopyOn (f ⁻¹' E)
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys
⊢ lookupAll a l = (dlookup a l).toList
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b : α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α
⊢ a ⊓ ⨆ i, ⨆ j, f i j = ⨆ i, ⨆ j, a ⊓ f i j
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationMap N
⊢ f.toMap (f.sec 0).1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ
H : ∀ (i : ι), Injective ((U i).restrictPreimage f)
x y : α
e : f x = f y
i : ι
hi : f x ∈ U i
⊢ x = y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.NormalMonoCategory C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (Z : C) (g : Y ⟶ Z), f ≫ g = 0 → g = 0
⊢ CategoryTheory.Epi f
α : Type u_1
x y z : α × α
a : Sym2.Rel α x y
b : Sym2.Rel α y z
⊢ Sym2.Rel α x z
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
f : α → β
h : Injective f
h2 : map f l₁ ⊆ map f l₂
x : α
hx : x ∈ l₁
x' : α
hx' : x' ∈ l₂
hxx' : f x' = f x
⊢ x ∈ l₂
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : ∃ t, ⋃ x ∈ t, (fun x => Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base) x = ⊤
⊢ X.OpenCover
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' φ h₁.left h₂.left = γ.left.φK
R : Type u
CommRing R
a : R
S : Type v
Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
⊢ (Ideal.Quotient.lift I f H) ((Ideal.Quotient.mk I) a) = f a
α : Sort u
β : Sort v
r : β → β → Prop
f : α → β
h : Equivalence r
⊢ Equivalence (InvImage r f)
α : Type u_1
MulOneClass α
PartialOrder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1
hab : 1 ≤ a * b
⊢ b = 1
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ ↑(LieIdeal.killingCompl R L I) = (killingForm R L).orthogonal ↑I
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : V1 →ᵃ[k] V2
⊢ ⇑f.linear = (⇑f.linear + fun x => f 0) - fun x => (⇑f.linear + fun x => f 0) 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
a : α
inst✝ : IsStronglyCoatomic α
ha : (Set.Iic a).Infinite
hfin : {x | x ⋖ a}.Finite
⊢ ∃ b, b ⋖ a ∧ (Set.Iic b).Infinite
X : Scheme
U : Opens (PrimeSpectrum ↑Γ(X, ⊤))
⊢ adjunction.unit.app X ⁻¹ᵁ U ≤ ⊤
a b : UInt64
⊢ a < b ↔ a.val < b.val
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Ring R
i : V
⊢ ↑(G.degree i) * 1 - ∑ u ∈ G.neighborFinset i, 1 = 0 i
M : Type u_6
Monoid M
A : Type u_5
SetLike A M
SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
n : ℕ
⊢ ⟨x, hx⟩ ^ n = ⟨x ^ n, ⋯⟩
R : Type u
inst✝⁶ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
z✝ : DirectLimit G f
ind : ι
z p q : DirectSum ι fun i => G i
x✝¹ : ∃ i x, (of R ι G f i) x = Quotient.mk'' p
x✝ : ∃ i x, (of R ι G f i) x = Quotient.mk'' q
i : ι
x : G i
ihx : (of R ι G f i) x = Quotient.mk'' p
j : ι
y : G j
ihy : (of R ι G f j) y = Quotient.mk'' q
k : ι
hik : i ≤ k
hjk : j ≤ k
⊢ Quotient.mk'' p + Quotient.mk'' q = Quotient.mk'' (p + q)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y✝ : α
hx : f x ≠ x
hf : f.IsCycle
y : α
x✝ : f.SameCycle x y
hy : f y = y
i : ℤ
hi : x = y
⊢ f x = x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p (μ.restrict s)
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e : E ≃L[𝕜] F
⊢ dimH Set.univ = dimH Set.univ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalStrip 0 1
⊢ (fun x => ‖f z‖) ≤ᶠ[𝓝[>] 0] fun ε => ‖(↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (1 - z) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ z‖
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
h : x ≠ 0
⊢ 0 ≠ ⟨x, ⋯⟩
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
self : LawfulBitraversable t
α α' β β' : Type u
f : α → β
f' : α' → β'
x : t α α'
⊢ bitraverse (pure ∘ f) (pure ∘ f') x = pure (bimap f f' x)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
GroupWithZero α
MulAction α β
s t : Finset β
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ s ⊆ a • t ↔ a⁻¹ • s ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
x : ℕ → ι
hx : Tendsto x atTop u
⊢ Measurable g
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
r : ℚ
hrx : x < ↑r
⊢ ⨅ r, f a ↑r ≤ 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ N = ⊥ ↔ ∀ m ∈ N, m = 0
x : ℝ
⊢ Real.arctan x ∈ Set.Ioo (-(Real.pi / 2)) (Real.pi / 2)
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : f.val.base x ∈ U
⊢ Y.presheaf.germ ⟨f.val.base x, hx⟩ ≫ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f x =
  AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f U ≫ X.presheaf.germ ⟨x, hx⟩
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l✝ : Subspace η α ι
x✝ : η → α
i✝ : ι
a : α
e : η
η' : Type u_9
α' : Type u_10
ι' : Type u_11
l : Subspace η α ι
eη : η ≃ η'
eα : α ≃ α'
eι : ι ≃ ι'
x : η' → α'
i : ι'
⊢ ↑(l.reindex eη eα eι) x i = eα (↑l (⇑eα.symm ∘ x ∘ ⇑eη) (eι.symm i))
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0
⊢ n ≠ 0
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : E → E
u_meas : Measurable u
uf : EqOn u f s
u' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt u (f' x) s x
F : ↑s → E := u ∘ Subtype.val
hF : F = u ∘ Subtype.val
A : Measure.map F (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) = μ.restrict (u '' s)
⊢ Measure.map (s.restrict f) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) = μ.restrict (f '' s)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ∀ x ∈ Set.Icc 0 1, HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Icc 0 1) x
bound : ∀ x ∈ Set.Ico 0 1, ‖f' x‖ ≤ C
⊢ ‖f 1 - f 0‖ ≤ C
I : Type u
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
(i : I) → Decidable (J i)
(i : I) → Decidable (K i)
(i : I) → Decidable (L i)
hJK : ∀ (i : I), J i → K i
hKL : ∀ (i : I), K i → L i
⊢ Profinite.NobelingProof.ProjRestricts C hJK ∘ Profinite.NobelingProof.ProjRestricts C hKL =
  Profinite.NobelingProof.ProjRestricts C ⋯
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : OrzechProperty R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Finite R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
i f : N →ₗ[R] M
n : ℕ
g : (Fin n → R) →ₗ[R] M
hg : Surjective ⇑g
this✝² : Small.{u, v} M
this✝¹ : AddCommMonoid (Shrink.{u, v} M) := (equivShrink M).symm.addCommMonoid
this✝ : Module R (Shrink.{u, v} M) := Equiv.module R (equivShrink M).symm
j : Shrink.{u, v} M ≃ₗ[R] M := Equiv.linearEquiv R (equivShrink M).symm
this : Module.Finite R (Shrink.{u, v} M)
i' : N →ₗ[R] Shrink.{u, v} M := ↑j.symm ∘ₗ i
hi : Injective ⇑i'
f' : ↥(LinearMap.range i') →ₗ[R] Shrink.{u, v} M := ↑j.symm ∘ₗ f ∘ₗ ↑(LinearEquiv.ofInjective i' hi).symm
hf : Surjective ⇑f'
⊢ Injective ⇑f
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w v' w' : V
p : G.Walk v w
hv : v = v'
hw : w = w'
h : u ∈ (p.copy hv hw).support
⊢ (p.copy hv hw).dropUntil u h = (p.dropUntil u ⋯).copy ⋯ hw
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
m n : ℤ
⊢ m • x = n • x ↔ m ≡ n [ZMOD ↑(addOrderOf x)]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : Function.End α
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
n : ℕ
⊢ LipschitzWith (K ^ (n + 1)) (f ^ (n + 1))
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => {c ^ n • x} + ↑s)
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l l₁ l₂ : List Γ
⊢ Turing.BlankExtends l l₁ → Turing.BlankExtends l l₂ → l₁.length ≤ l₂.length → Turing.BlankExtends l₁ l₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x 0)
⊢ ContinuousOn f (closedBall x 0)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_4
L : Filter ι
inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
inst✝ : L.NeBot
μ : Measure α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ NullMeasurableSet A μ
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hgm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g (μ.restrict (Ι a b))
hle : (fun x => ‖g x‖) ≤ᵐ[μ.restrict (Ι a b)] fun x => ‖f x‖
⊢ IntervalIntegrable g μ a b
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
x : M
⊢ ((TensorAlgebra.lift R) f) ((TensorAlgebra.ι R) x) = f x
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁷ : LinearOrder ι
inst✝⁶ : MeasurableSpace ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : OrderTopology ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : BorelSpace ι
inst✝¹ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
inst✝ : MetrizableSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
m_prod : MeasurableSpace (↑(Set.Iic i) × Ω) := Subtype.instMeasurableSpace.prod (↑f i)
m_set : (t : Set (↑(Set.Iic i) × Ω)) → MeasurableSpace ↑t := fun x => Subtype.instMeasurableSpace
s : Set (↑(Set.Iic i) × Ω) := {p | τ p.2 ≤ i}
hs : MeasurableSet s
h_meas_fst : ∀ (t : Set (↑(Set.Iic i) × Ω)), Measurable fun x => ↑(↑x).1
⊢ StronglyMeasurable fun p => (fun i ω => min i (τ ω)) (↑p.1) p.2
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
m : ℤ
⊢ Int.fract (a - ↑m) = Int.fract a
ι : Sort u_1
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
f : ι → Set α
hf : ∀ (i : ι), IsOpen (f i)
⊢ IsOpen (⋂ i, f i)
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
I : Fin B.dim × Fin B.dim
x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ
⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr (B.gen ^ (↑I.1 + ↑I.2))) i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
s : Set E
x : E
self : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x))
a b : ℕ+
⊢ a < b + 1 ↔ a ≤ b
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P.g (1 / x) = (P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k)) • P.f x
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
x : ↥(f.domain ⊓ g.domain)
⊢ ↑(f - g) x = ↑f ⟨↑x, ⋯⟩ - ↑g ⟨↑x, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : ι → α
g : α → Set β
⊢ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ (_ : f y = x), g x = ⋂ y, g (f y)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
n : ℕ
hn : n < f.natDegree
i : ℕ
⊢ h.coeff (h.root ^ n) i = Pi.single n 1 i
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
⊢ ↥S.leftInv
α : Type u_1
Preorder α
Nonempty α
⊢ 0 ≤ krullDim α
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ↑f.ker = ⇑f ⁻¹' {0}
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
n i : ℕ
h : i < (enumFrom n l).length
⊢ i < l.length
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hf_eq_ae : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x = f n x
x : α
hxf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x = f n x
hxg : g x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x
hxfg : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
G : K ⥤ C
inst✝ : HasColimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
k : K
⊢ colimit.ι G k ≫ (isoOfEquivalence e w).inv = G.map (e.counitInv.app k) ≫ w.hom.app (e.inverse.obj k) ≫ colimit.ι F (e.inverse.obj k)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Inv G
Zero G
SmoothInv₀ I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
hf : Smooth I' I f
h0 : ∀ (x : M), f x ≠ 0
⊢ Smooth I' I fun x => (f x)⁻¹
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
p : Submodule R M
h : ∀ {x : L} {m : M}, m ∈ p.carrier → ⁅x, m⁆ ∈ p.carrier
⊢ ↑{ toSubmodule := p, lie_mem := h } = p
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ UniformContinuous Sum.inl
M : Type u_2
Mul M
Pow M ℕ+
self : PNatPowAssoc M
k n : ℕ+
x : M
⊢ x ^ (k + n) = x ^ k * x ^ n
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : μH[↑d] s ≠ 0
⊢ ↑d ≤ dimH s
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
⊢ ↑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotSupₐ R I J).symm = (DoubleQuot.quotQuotEquivQuotSup I J).symm
α : Type u_1
β : Type u_2
m₁ m₂ : MeasurableSpace α
f : α → β
h : m₁ ≤ m₂
⊢ MeasurableSpace.map f m₁ ≤ MeasurableSpace.map f m₂
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedGroup E
inst✝ : SeminormedGroup F
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b c : E
⊢ dist (a / b) c = dist a (c * b)
α : Type u_1
f : α → α
x : α
n : ℕ
⊢ f^[n + Function.minimalPeriod f x] x = f^[n] x
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosMono α
hb : 0 ≤ b
h : a ≤ 1
⊢ a * b ≤ b
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ a ≤ max b c ↔ a ≤ b ∨ a ≤ c
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x y : M
⊢ y ∈ p → (x + y ∈ p ↔ x ∈ p)
a b : UInt8
⊢ a * b = { val := a.val * b.val }
x : ℝ
n : ℕ
⊢ sin (↑n * π - x) = -((-1) ^ n * sin x)
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n : ℕ
x : α
⊢ f^[n.succ] x = f (f^[n] x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g✝ : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h : ∀ (x : X), ∃ g, ContinuousAt g (f x) ∧ g (f x) = x ∧ Function.RightInverse g f
x : X
g : Y → X
hgc : ContinuousAt g (f x)
hgx : g (f x) = x
hgf : Function.RightInverse g f
⊢ 𝓝 (f x) = map f (map g (𝓝 (f x)))
G : Type u_1
AddGroup G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
P : G → Prop
⊢ (∃ x ∈ H, P (-x)) ↔ ∃ x ∈ H, P x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C → D
CategoryTheory.Functorial F
X : C
⊢ CategoryTheory.map F (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F X)
R : Type u_1
inst✝⁸ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
⊢ (e.unitsSMul w).orientation = (∏ i : ι, w i)⁻¹ • e.orientation
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
β : Type u_2
AddZeroClass β
Preorder β
CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass β β (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : α → β
a : α
h₁ : 0 ≤ f a
h₂ : 0 ≤ f (-a)
⊢ f |a| ≤ f a + f (-a)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → X → α'
⊢ Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) ↔ ∀ (k : κ), Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
a b : M
⊢ (CliffordAlgebra.ι Q) a * (CliffordAlgebra.ι Q) b + (CliffordAlgebra.ι Q) b * (CliffordAlgebra.ι Q) a =
  (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) (QuadraticMap.polar (⇑Q) a b)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Algebra S R
A : ι → Submodule S R
inst✝ : GradedOne A
s : S
⊢ s • 1 ∈ A 0
M₀ : Type u_1
MonoidWithZero M₀
x : M₀
⊢ x ∈ nonZeroDivisorsRight M₀ ↔ ∀ (y : M₀), x * y = 0 → y = 0
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
x : R
hx : IsUnit x
⊢ 1 x = 1
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
L : IntermediateField k K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic k ↥L
x : K
hx : x ∈ L
y : k
hy : (algebraMap k ↥L) y = ⟨x, hx⟩
⊢ x ∈ ⊥
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atTop
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atTop
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atTop
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
Zero α
A : Matrix m m α
D : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
hd : D.IsDiag
⊢ (Matrix.fromBlocks A 0 0 D).IsDiag
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
g : Filter β
⊢ ⊥ • g = ⊥
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
hs : TopologicalSpace.IsSeparable s
⊢ TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
hP : CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
W : C
k l : W ⟶ P
h₀ : k ≫ fst = l ≫ fst
h₁ : k ≫ snd = l ≫ snd
⊢ k = l
R : Type u
Ring R
StrongRankCondition R
n : ℕ
⊢ Module.rank R (Fin n → R) = ↑n
R : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero R
α : Type u_2
DecidableEq α
x y a : R
s : Finset α
p : α → R
hp : ∀ i ∈ s, Prime (p i)
hx : x * y = a * ∏ i ∈ s, p i
⊢ ∃ t u b c, t ∪ u = s ∧ Disjoint t u ∧ a = b * c ∧ x = b * ∏ i ∈ t, p i ∧ y = c * ∏ i ∈ u, p i
⊢ ∀ (a : ℤ × ℤ), SetTheory.PGame.Domineering.shiftUp.symm a = Prod.map id (fun x => x + -1) a