ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
⊢ X.map (SimplexCategory.δ i) ≫ X.map (SimplexCategory.σ j) = X.map (SimplexCategory.σ (j.castLT ⋯)) ≫ X.map (SimplexCategory.δ (i.pred ⋯))
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1
g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)
obs : ∀ (x : ℝ), intervalIntegral g 0 x volume = x ^ p / p
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
⊢ frontier (s ×ˢ t) = closure s ×ˢ frontier t ∪ frontier s ×ˢ closure t
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : ListBlank Γ
n : ℕ
⊢ (cons l.head l.tail).nth (n + 1) = l.tail.nth n
n : ℕ
⊢ n ∈ Finset.range (n + 1)
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s : Set L
p : Submodule R L
⊢ (lieSpan R L ↑p).toSubmodule = p ↔ ∀ (x y : L), x ∈ p → y ∈ p → ⁅x, y⁆ ∈ p
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
⊢ ↑(b.natDegree - ⌈-(log ε / log ↑(Fintype.card Fq))⌉₊) ≤ ↑b.natDegree - -(log ε / log ↑(Fintype.card Fq))
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
e : X ≅ Y
y : ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap e.hom (e.inv.val.base y) ≫ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap e.inv y =
  Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯
α : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ENNReal
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ^ p * g a ^ q ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) ^ p * (∫⁻ (a : α), g a ∂μ) ^ q
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
NormedAddCommGroup F'
InnerProductSpace ℝ F'
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
f : F ≃ₗᵢ[ℝ] F'
⊢ Complex.isometryOfOrthonormal (v.map f) = (Complex.isometryOfOrthonormal v).trans f
a b c : Cardinal.{u_1}
hc : ℵ₀ ≤ c
h1 : a < c
h2 : b < c
⊢ a + b < c
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTrans α r
IsAntisymm α r
IsTotal α r
s : Multiset α
a : α
⊢ a ∈ Multiset.sort r s ↔ a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α ↪ β
a : α
m : M
⊢ Finsupp.embDomain f (Finsupp.single a m) = Finsupp.single (f a) m
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
h : Set α → Set β
hh : Monotone h
⊢ (f.lift' h).NeBot ↔ ∀ s ∈ f, (h s).Nonempty
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)
f g : Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom ⟶ Φ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
⊢ F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (f.right.app P) = F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (g.right.app P)
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : CommRing 𝔸
inst✝³ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝² : TopologicalRing 𝔸
inst✝¹ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
A : Matrix m m 𝔸
⊢ exp 𝕂 Aᵀ = (exp 𝕂 A)ᵀ
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
f : SupHom α β
⊢ ∀ (a : Option α), f.withBot.toSupHom a = Option.map (⇑f) a
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
Fintype ↑(G.neighborSet v)
DecidableEq V
⊢ Fintype.card ↑(G.incidenceSet v) = G.degree v
n : Nat
hi lo : Nat
x : BitVec n
i : Nat
⊢ (BitVec.extractLsb hi lo x).getLsb i = (decide (i ≤ hi - lo) && x.getLsb (lo + i))
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ (∀ (a : X), ClusterPt a (𝓟 s) → a ∈ s) ↔ ∀ (x : X) (F : Filter X), F.NeBot → F ≤ 𝓟 s → F ≤ 𝓝 x → x ∈ s
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R K
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g.Monic
hd : g ∣ map (algebraMap R K) f
a : g.SplittingField
ha : a ∈ (map (algebraMap K g.SplittingField) g).roots
⊢ a ∈ f.aroots g.SplittingField
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
self : LeftInvariantDerivation I G
g : G
⊢ (𝒅ₕ ⋯) ((Derivation.evalAt 1) ↑self) = (Derivation.evalAt g) ↑self
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
x : M
hf : IsLocalDiffeomorphAt I J n f x
hn : 1 ≤ n
⊢ MDifferentiableAt I J f x
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
⊢ (fun h => f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w) =o[𝓝[>] 0]
  fun h => h ^ 2
ι : Type u_1
LinearOrder ι
i j k : ι
hij_lt : i < j
h : IsGLB (Set.Ioi i) k
⊢ IsGLB (Set.Ioc i j) k
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : dist z c < R₁
hR₁ : 0 < R₁
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo (dist z c) R₁
hr₀ : 0 < r
hd : DiffContOnCl ℂ (dslope f c) (ball c r)
⊢ ∀ z ∈ frontier (ball c r), ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / r
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
A B : T
f g : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Arrow.mk f = CategoryTheory.Arrow.mk g ↔ f = g
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring C
Module R C
Star C
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
g : B →⋆ₙₐ[R] C
f : A →⋆ₙₐ[R] B
⊢ NonUnitalStarSubalgebra.map g (NonUnitalStarSubalgebra.map f S) = NonUnitalStarSubalgebra.map (g.comp f) S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
W : C
h : 0 ≫ f = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.kernel.lift f 0 h = 0
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
K : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ LocallyCompactSpace G
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
K : Type u_9
CommRing K
Algebra R K
Algebra K A
IsScalarTower R K A
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap R K)
ai : AlgebraicIndependent K x
⊢ AlgebraicIndependent R x
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
ht : ↑s.card < t.card • b
⊢ ∃ y ∈ t, ↑(filter (fun x => f x = y) s).card < b
G : Type u_2
AddGroup G
S T : Set G
⊢ AddSubgroup.closure (S + T) ≤ AddSubgroup.closure S ⊔ AddSubgroup.closure T
E : ℕ → Type u_1
(n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
⊢ ∃ f, (∀ x ∈ s, f x = x) ∧ Set.range f = s ∧ LipschitzWith 1 f
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
g : G
⊢ MeasurableEmbedding fun x => g + x
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
x : G
hx : x ∈ H
⊢ ↑⟨x, hx⟩ = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ✝ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
δ : Type u_6
f : α → γ
g : β → δ
a : Filter α
b : Filter β
c : Filter γ
d : Filter δ
hf : Tendsto f a c
hg : Tendsto g b d
⊢ Tendsto (Prod.map f g) (a ×ˢ b) (c ×ˢ d)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ RCLike.re ⟪x, x⟫_𝕜 = ‖x‖ ^ 2
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
AddCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
DecidablePred p
h : ∀ x ∈ s, p x
⊢ ∑ x ∈ Finset.subtype p s, f ↑x = ∑ x ∈ s, f x
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_10, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} C₄
T : C₁ ≌ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : C₃ ≌ C₄
h : CategoryTheory.CatCommSq T.functor L R B.functor
⊢ CategoryTheory.CatCommSq.hInv T.symm R L B.symm (CategoryTheory.CatCommSq.hInv T L R B h) = h
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
⊢ (Compatibility.υ toKaroubiCompN₂IsoN₁).hom = Γ₂N₁.hom
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hAB : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
n : ℕ
hA : A.Nonempty
⊢ ↑(A * B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card
r : ℝ≥0
⊢ Filter.Tendsto (fun n => r ^ n) Filter.atTop (𝓝 0) ↔ r < 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
κ : ι → ι → Kernel α β
a : α
s : Set β
a✝ : MeasurableSet s
⊢ ((Kernel.sum fun n => Kernel.sum (κ n)) a) s = ((Kernel.sum fun m => Kernel.sum fun n => κ n m) a) s
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
l : Filter α
f : α → C(Y, Z)
g : C(Y, Z)
⊢ Tendsto f l (𝓝 g) ↔ ∀ (K : Set Y), IsCompact K → ∀ (U : Set Z), IsOpen U → MapsTo (⇑g) K U → ∀ᶠ (a : α) in l, MapsTo (⇑(f a)) K U
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α
c : α
⊢ c ∈ s ⊻ t ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊔ b = c
a : ℝ≥0∞
⊢ a⁻¹.toNNReal = a.toNNReal⁻¹
M : Type u_1
MulOneClass M
p p' : Submonoid M
x : M
⊢ x ∈ p ⊓ p' ↔ x ∈ p ∧ x ∈ p'
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E✝
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E✝
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E✝
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
E : Type u_10
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕝 E
inst✝ : TopologicalSpace F
q : ι → Seminorm 𝕝₂ F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∀ (i : ι), ∃ C, (q i).comp f ≤ C • normSeminorm 𝕝 E
⊢ Continuous ⇑f
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
AddCommMonoid γ
h : (i : ι) → β i → γ
⊢ DFinsupp.sum 0 h = 0
α : Type u_1
n : ℕ
DecidableEq α
a x : α
i : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑i)
hx : x ≠ a
⊢ Multiset.count x ↑(Sym.fill a i s) = Multiset.count x ↑s
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
γ : Type u_1
UniformSpace β
Preorder γ
f : α → β
hf : UniformContinuous f
u : γ → α
hu : CauchySeq u
⊢ CauchySeq (f ∘ u)
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
⊢ Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, ⇑(PolynomialModule.single R i) '' ↑(F.N i)) = F.submodule
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
B₂ F₂ : BilinForm R M
e : M' ≃ₗ[R] M
f : Module.End R M
hₗ : (F₂.comp ↑e ↑e).compLeft (e.symm.conj f) = (F₂.compLeft f).comp ↑e ↑e
hᵣ : (B₂.comp ↑e ↑e).compRight (e.symm.conj f) = (B₂.compRight f).comp ↑e ↑e
⊢ B₂.IsPairSelfAdjoint F₂ f ↔ (B₂.comp ↑e ↑e).IsPairSelfAdjoint (F₂.comp ↑e ↑e) (e.symm.conj f)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
f : M → E'
g : M → F'
hf : Smooth I 𝓘(𝕜, E') f
hg : Smooth I 𝓘(𝕜, F') g
⊢ Smooth I 𝓘(𝕜, E' × F') fun x => (f x, g x)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α} {L : List (List α)} {a : α}, l ∈ L → a ∈ l → a ∈ L.join
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ IsClosedMap Subtype.val
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ Metric.thickening δ E ⊆ Metric.cthickening δ E
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
⊢ IsLprojection X (P * Q)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
f : AddMonoidAlgebra k G
⊢ Finsupp.sum f AddMonoidAlgebra.single = f
α : Type u_1
β : Type u_2
A✝ : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : AddMonoidWithOne B
inst✝⁴ : FunLike F ℕ A✝
inst✝³ : AddMonoidWithOne A✝
A : Type u_6
inst✝² : AddMonoidWithOne A
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AddMonoidHomClass F A B
f : F
h : f 1 = 1
⊢ f ↑0 = ↑0
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : β → α
i₀ : β
⊢ ⨆ i, f i = f i₀ ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : i ≠ i₀), f i
n : ℕ
α : TypeVec.{u} n
F : TypeVec.{u} n → Type v
MvFunctor F
P : α ⟹ TypeVec.repeat n Prop
LawfulMvFunctor F
x : F α
⊢ MvFunctor.LiftP' P x ↔ ∃ u, TypeVec.subtypeVal P <$$> u = x
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ Set.Iio a ∪ {a} = Set.Iic a
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
hx : x ≤ f x
y : ↑(Function.fixedPoints ⇑f)
h : x ≤ ↑y
⊢ f.nextFixed x hx ≤ y
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
x : M
⊢ (∀ (i : ι), x ∈ ↑(p i)) ↔ ∀ (i : ι), x ∈ p i
x : ℂ
h : x ∈ Complex.slitPlane
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt ℂ n Complex.log x
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
NormOneClass A
a : A
⊢ spectralRadius 𝕜 a ≤ ↑‖a‖₊
A : Type u_2
CommRing A
⊢ (PowerSeries.rescale (-1)) PowerSeries.X = -PowerSeries.X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid β
DistribSMul α β
r : α
f : γ → β
s : Finset γ
⊢ r • ∑ x ∈ s, f x = ∑ x ∈ s, r • f x
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
i : ι
m : M i
w : Monoid.CoprodI.Word M
hmw : w.fstIdx ≠ some i
h1 : m ≠ 1
⊢ (Monoid.CoprodI.Word.cons m w hmw h1).toList = ⟨i, m⟩ :: w.toList
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
H.IsCommutative
H.FiniteIndex
α β : ↑(Subgroup.leftTransversals ↑H)
hH : H.Normal
g : Gᵐᵒᵖ
⊢ Subgroup.leftTransversals.diff (MonoidHom.id ↥H) (g • α) (g • β) =
  ⟨(MulOpposite.unop g)⁻¹ * ↑(Subgroup.leftTransversals.diff (MonoidHom.id ↥H) α β) * MulOpposite.unop g, ⋯⟩
R : Type x
Mul R
HasDistribNeg R
a b : R
⊢ Commute (-a) b ↔ Commute a b
a : ℤ
m n : ℕ
h : a.gcd (↑m * ↑n) = 1
⊢ a.gcd ↑m = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Equiv.Perm α
f : Equiv.Perm β
g : Equiv.Perm α
h : Equiv.Perm β
⊢ e.sumCongr f * g.sumCongr h = (e * g).sumCongr (f * h)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
⊢ ∀ (d : D), IsCofiltered (CostructuredArrow F d)
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C
⊢ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)).symm (prod.lift prod.snd (prod.fst ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app A) ≫ prod.lift prod.snd (prod.fst ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app B) ≫ (PreservesLimitPair.iso i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)).inv) = prodComparison (reflector i) A B
α : Type u
self : UniformSpace α
⊢ (UniformSpace.uniformity.lift' fun s => s ○ s) ≤ UniformSpace.uniformity
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : Summable fun n => ↑n ^ k * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)
⊢ ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, ‖f_nat k a t i‖ ≤ 2 ^ k * (↑i ^ k * rexp (-π * (↑i + a) ^ 2 * t))
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.25079, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.25131, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : C
i : G.obj X ⟶ G.obj Y
x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)
this : ∀ {X Y : C} (i : X ⟶ Y) (x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)), ℱ'.val.map (G.map i).op (α.app (op Y) x) = α.app (op X) (ℱ.map (G.map i).op x)
⊢ ℱ'.val.map i.op (α.app (op Y) x) = α.app (op X) (ℱ.map i.op x)
R : Type u_1
Semiring R
f : Polynomial R
⊢ (Polynomial.hasseDeriv 0) f = f
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : IsUnit x
hfx : f x ≠ 0
n : ℕ
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
⊢ f (x ^ n) ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ f.source
⊢ ↑I.symm (↑(f.extend I) x) ∈ f.target
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeInf α
OrderTop α
SemilatticeInf γ
OrderTop γ
s : Finset β
f : β → α
g : α → γ
g_inf : ∀ (x y : α), g (x ⊓ y) = g x ⊓ g y
top : g ⊤ = ⊤
⊢ g (s.inf f) = s.inf (g ∘ f)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing α
a b : α
u₁ u₂ : αˣ
⊢ a /ₚ u₁ + b /ₚ u₂ = (a * ↑u₂ + ↑u₁ * b) /ₚ (u₁ * u₂)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
T : IntermediateField F E
⊢ IntermediateField.adjoin F S ≤ T ↔ S ≤ ↑T
m n✝ n : ℕ
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ (Int.castAddHom (ZMod n)).ker ↔ x✝ ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑n
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
i j : α → ℕ
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
p : α
s : Finset α
hps : p ∉ s
ih : (∀ p ∈ s, Prime p) → (∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p ∣ q → p = q) → f (∏ p ∈ s, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ s, p ^ i p) * f (∏ p ∈ s, p ^ j p)
is_prime : ∀ p_1 ∈ insert p s, Prime p_1
is_coprime : ∀ p_1 ∈ insert p s, ∀ q ∈ insert p s, p_1 ∣ q → p_1 = q
⊢ f (∏ p ∈ insert p s, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ insert p s, p ^ i p) * f (∏ p ∈ insert p s, p ^ j p)
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddGroup β
f : α → β
hf : IsAddGroupHom f
⊢ Function.Injective f ↔ ∀ (a : α), f a = 0 → a = 0
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
⊢ r ≤ ↑b ^ Int.clog b r
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
ht : IsOpen t
h't : IsPreconnected t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasDerivAt (g n) (g' n y) y
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun x => g x y₀
hy : y ∈ t
⊢ Summable fun n => g n y
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
N2 : ℕ
hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2
i : ℕ
hi : i ≥ max N N2
⊢ padicNormE (Padic.lim f - ↑(↑(Padic.lim' f) i) + (↑(↑(Padic.lim' f) i) - ↑f i)) < ε
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ IsGδ ∅
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
x : V
⊢ (o.rotationAux θ) x = θ.cos • x + θ.sin • o.rightAngleRotation x
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁.reverse <:+: l₂.reverse ↔ l₁ <:+: l₂
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : X.Opens
V : Y.Opens
e : U ≤ (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj V
s : ↑(Y.presheaf.obj (Opposite.op V))
⊢ X.basicOpen ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f V U e) s) =
  U ⊓ (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj (Y.basicOpen s)
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
a : G
n : ℤ
⊢ ↑(a ^ n) = ↑a ^ n
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
r : R
⊢ (DirectSum.decompose 𝒜).symm ((algebraMap R (⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))) r) = (algebraMap R A) r
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x y : 𝕎 R
⊢ (x + y).coeff 0 = x.coeff 0 + y.coeff 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 2
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₂ app₀ app₁ app₂ w₀ w₁).app ⟨2, ⋯⟩ = app₂
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : ↑(Metric.sphere 0 1)
⊢ ↑(stereographic ⋯) v = 0
ι : Type u_1
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
⊢ (∏ i ∈ s, z i ^ w i) ^ (∑ i ∈ s, w i)⁻¹ ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i) / ∑ i ∈ s, w i
a b✝ c d m n : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
⊢ C b = (fun x => C x) (b + 0)