ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ ((w.structuredArrowDownwards X₂).map (StructuredArrow.homMk φ.right.left ⋯) ≫ ((fun f => CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk f.right.hom ⋯)) f₂).hom).right = ((fun f => CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk f.right.hom ⋯)) f₁).hom.right
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a₁ a₂ : Fin (n + 2)
ha₁ : ⟨a₁, a₂⟩ ∈ finPairsLT (n + 2)
ha₂ : ⟨a₁, a₂⟩ ∉ {⟨1, 0⟩}
⊢ (if (swap 0 1) ⟨a₁, a₂⟩.fst ≤ (swap 0 1) ⟨a₁, a₂⟩.snd then -1 else 1) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
hg : ∀ i ∈ s, 0 ≤ g i
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)
𝕜 : Type u_1
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₁' : Type u_9
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V₁'
NormedSpace 𝕜 V₁'
MetricSpace P₁'
NormedAddTorsor V₁' P₁'
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f₁ : P₁' →ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ Function.Injective ⇑f₁
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ
⊢ s.GammaSeq n = ↑n ^ s * s.betaIntegral (↑n + 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0
this : 0 < μ ({x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} \ N)
x : α
hx : x ∈ {x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
hxN : x ∉ N
⊢ ∃ x ∉ N, ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
α : Type u_1
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ ∃ n, l[n]? = some a
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
N₂ : Type u_10
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
g : N →ₗ[R] N₂
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
⊢ ⇑(g.compAlternatingMap f) = ⇑g ∘ ⇑f
L : Type u
CommRing L
IsDomain L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
⊢ ModularCyclotomicCharacter.toFun n (g * h) = ModularCyclotomicCharacter.toFun n g * ModularCyclotomicCharacter.toFun n h
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
f : PowerSeries R
⊢ (algebraMap (PowerSeries R) (PowerSeries A)) f = (PowerSeries.map (algebraMap R A)) f
α : Type u_1
p : Prop
f : p → Part α
a : α
h : p
⊢ a ∈ f h → a ∈ Part.assert p f
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
⊢ s ⊂ {a} ↔ s = ∅
P : (α : Type u_4) → [inst : Fintype α] → Prop
α : Type u_4
Fintype α
hbase : ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Subsingleton α], P α
hstep :
  ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Nontrivial α],
    (∀ (β : Type u_4) [inst_2 : Fintype β], Fintype.card β < Fintype.card α → P β) → P α
⊢ P α
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
⊢ Polynomial.evalEval (Polynomial.C Polynomial.X) Y (WeierstrassCurve.baseChange W R[X][Y]).toAffine.polynomial =
  W.polynomial
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : ι → Submodule R M
∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
s : Finset ι
h : CompleteLattice.Independent fun i => N ↑i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), Set.MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
p : Submodule R M
hp : p = ⨆ i ∈ s, N i
hp' : Set.MapsTo ⇑f ↑p ↑p := ⋯
⊢ (LinearMap.trace R ↥p) (LinearMap.restrict f hp') = ∑ i ∈ s, (LinearMap.trace R ↥(N i)) (LinearMap.restrict f ⋯)
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ (ENNReal.ofReal p).toReal) ^ (1 / (ENNReal.ofReal p).toReal)
⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
m n : Nat
h : m = n
h' : m ≤ n
⊢ Fin.castLE h' = Fin.cast h
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
⊢ (Polynomial.derivative p).degree < p.degree
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (RingHom.id F) f
hnsep : ¬f.Separable
⊢ ¬f.roots.Nodup
α : Type u
Inf α
a b : α
⊢ OrderDual.toDual (a ⊓ b) = OrderDual.toDual a ⊔ OrderDual.toDual b
α : Type u_2
DecidableEq α
Neg α
s : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ -a ∈ -s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f'✝ : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f' : α → E' × F'
⊢ (fun x => (f' x).1) =O[l] f'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
E : Set α
⊢ MeasureTheory.UnifIntegrable (fun i => E.indicator (f i)) p μ
v : Vector ℕ (Nat.succ 0 + 1)
n✝ : ℕ
a✝ : Nat.rec 0 (fun y IH => v.tail.head + IH) n✝ = n✝ * v.tail.head
⊢ v.tail.head + n✝ * v.tail.head = n✝ * v.tail.head + v.tail.head
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s - 1 / (s - 1) = 1 - s * (1 / (s - 1) - 1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
b c d : α
n : ℤ
s : Set α
hs : IsLUB s b
ha : 0 ≤ 0
⊢ IsLUB ((fun b => 0 * b) '' s) (0 * b)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
R : Type u_3
CommSemiring R
Semiring Y
Algebra R Y
TopologicalSemiring Y
f : LocallyConstant X Y
⊢ (LocallyConstant.toContinuousMapAlgHom R) f = ↑f
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G
⊢ s * closure t = s * t
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s t : CategoryTheory.Limits.Cone F
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
j : J
⊢ (P.conePointUniqueUpToIso Q).inv ≫ s.π.app j = t.π.app j
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : K
⊢ ↑|(Algebra.norm ℚ) x| = Complex.abs ((algebraMap ℚ ℂ) ((Algebra.norm ℚ) x))
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
h : a ≠ 0
i : ℤ
⊢ a ^ (1 + i) = a * a ^ i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : p.NeBot
hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
hF' : ∀ᶠ (x : α) in p', Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ t → (b, a) ∈ t
htmem : t ○ t ⊆ u
hmc : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p', Tendsto (fun n => F n x.2) p (𝓝 (f x.2))
⊢ ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ p', (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Subsingleton α ∧ Nonempty α ↔ ∃ x, ∀ (y : α), y = x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
⊢ h₁.π ≫ leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ ≫ h₂.ι = h₁.i ≫ h₂.p
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r
h_meas : Measurable fun ω => (1 + ‖ω‖) ^ (-r)
h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)
h_int : ∀ (t : ℝ), 0 < t → μ {a | t ≤ (1 + ‖a‖) ^ (-r)} = μ (Metric.closedBall 0 (t ^ (-r⁻¹) - 1))
f : ℝ → ℝ≥0∞ := fun t => μ (Metric.closedBall 0 (t ^ (-r⁻¹) - 1))
mB : ℝ≥0∞ := μ (Metric.ball 0 1)
⊢ ∫⁻ (t : ℝ) in Ioc 0 1, f t < ⊤
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L 0 I = I
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
hμm : MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
⊢ μ[f|m] =ᵐ[μ] ↑↑(MeasureTheory.condexpL1 hm μ f)
α : Type u_1
DecidableEq α
u v : Finset α
huv : u.card = v.card
a : Finset α
⊢ (UV.compress u v a).card = a.card
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁.append l₂ = l₁ ++ l₂
α : Type u_1
G : Type u_2
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
AddCommGroup G
MeasurableAdd₂ G
MeasurableNeg G
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → G
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (f + g) μ ↔ AEMeasurable g μ
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
i j : A
⊢ (shiftFunctorAdd' C i j (i + j) ⋯).hom = (shiftFunctorAdd C i j).hom
R : Type u_1
GroupWithZero R
f g : ArithmeticFunction R
n : ℕ
⊢ (f.pdiv g) n = f n / g n
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
h : ¬Ideal.map f p ≤ P
⊢ Ideal.ramificationIdx f p P = 0
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
i : ι
s : Set (σ i)
hs : IsClosed s
j : ι
⊢ IsClosed (Sigma.mk j ⁻¹' (Sigma.mk i '' s))
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
hqn : n ≤ q
⊢ (Q (q + 1)).f n = (Q q).f n
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.ncard = 2 ↔ ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Integrable (s.rnDeriv μ) μ
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
w : ι → Rˣ
s : Finset ι
g : ι → R
hgs : ∀ i ∉ s, g i = 0
hsum : ∑ i ∈ s, g i • (w • v) i = 0
i : ι
⊢ g i * ↑(w i) = 0
N : ℕ
a u v : Fin 2 → ZMod N
huv : ¬(Disjoint on gammaSet N) u v
⊢ u = v
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable (s.indicator (μ.rnDeriv ν))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
h : e.target = e'.source
⊢ (e.trans' e' h).source = e.source
α : Type u
ι : Sort v
f : ι → Set (Set α)
⊢ TopologicalSpace.generateFrom (⋃ i, f i) = ⨅ i, TopologicalSpace.generateFrom (f i)
n : ℕ
c : Composition n
i : Fin (ones n).length
h : 0 < (ones n).blocksFun i
⊢ ↑(((ones n).embedding i) ⟨0, h⟩) = ↑⟨↑i, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
⊢ intrinsicClosure 𝕜 s ⊆ ↑(affineSpan 𝕜 s)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
h : Summable f
⊢ RCLike.im (∑' (a : α), f a) = ∑' (a : α), RCLike.im (f a)
R : Type u₁
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
f g : Ring.Perfection R p
h : ∀ (n : ℕ), (Perfection.coeff R p n) f = (Perfection.coeff R p n) g
⊢ f = g
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
i : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
hφ' : IsIso (homologyMap φ' i)
hφφ' : IsIso (homologyMap φ i ≫ homologyMap φ' i)
⊢ IsIso (homologyMap φ i)
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
p : R[X]
⊢ (Polynomial.aeval f) p = (Polynomial.aeval f) (p %ₘ f.charpoly)
x y : ℝ≥0∞
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
TopologicalSpace E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
ι : Type u_5
p : Filter ι
UniformSpace F
UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
a : ι → UniformConvergenceCLM σ F 𝔖
a₀ : UniformConvergenceCLM σ F 𝔖
⊢ Filter.Tendsto a p (𝓝 a₀) ↔ ∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (fun x x_1 => (a x) x_1) (⇑a₀) p s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' (φ - φ') h₁ h₂ =
  CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ h₁ h₂ - CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ' h₁ h₂
x : ℝ
⊢ Real.sin (x + 2 * Real.pi) = Real.sin x
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ (homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal = ⨆ i, span (⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I)
n : ℕ
⊢ n ≠ 1 → (Nat.fib n).greatestFib = n
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : α → Prop
DecidablePred p
f : { a // p a } → β
f' : { a // ¬p a } → β
hf : Function.Injective f
hf' : Function.Injective f'
im_disj : ∀ {x x' : α} {hx : p x} {hx' : ¬p x'}, f ⟨x, hx⟩ ≠ f' ⟨x', hx'⟩
⊢ Function.Injective fun x => if h : p x then f ⟨x, h⟩ else f' ⟨x, h⟩
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
⊢ (optionEquivLeft R S₁) (X none) = Polynomial.X
x : ℂ
hx : ¬x = 0
⊢ log x⁻¹ = if x.arg = π then -(starRingEnd ℂ) (log x) else -log x
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : LieAlgebra.IsSolvable R L
h₂ : Function.Injective ⇑f
⊢ LieAlgebra.IsSolvable R L'
n : ℕ
⊢ ∑ m ∈ Finset.filter (fun x => x ∣ n) (Finset.range n.succ), m.totient = n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
h : a ≤ succ b
⊢ Icc a (succ b) = insert (succ b) (Icc a b)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ
⊢ fract (↑(-↑m₀) / ↑n) = ↑(-↑m₀ % ↑n) / ↑n
α : Type u_3
CommMonoid α
s t : Multiset α
⊢ (s + t).prod = s.prod * t.prod
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z w : N
a : M × ↥S
ha : z * f.toMap ↑a.2 = f.toMap a.1
⊢ ∃ z' w' d, z * f.toMap ↑d = f.toMap z' ∧ w * f.toMap ↑d = f.toMap w'
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ UniformContinuous ⇑Multiplicative.toAdd
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty β
f : α → β
hf : ∀ (b : β), f ⁻¹' {b} = ∅ ∨ f ⁻¹' {b} = Set.univ
⊢ ∃ b, f = Function.const α b
a b : ℚ
⊢ 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 ≤ a * b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (fderiv 𝕜 f) s
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
x✝ : X × Y
a : X
b : Y
⊢ (a, b) ∈ interior (s ×ˢ t) ↔ (a, b) ∈ interior s ×ˢ interior t
n : ℕ
a : Fin n
⊢ Finset.Ici a = Finset.fin n (Finset.Icc (↑a) n)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
key : ((-f) x - (-f) a) / (x - a) < ((-f) y - (-f) a) / (y - a)
⊢ (f y - f a) / (y - a) < (f x - f a) / (x - a)
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
h : a ≤ b
⊢ 1 / b ≤ 1 / a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.37783, u_2} D
F : C ⥤ Cat
G : C ⥤ Cat
⊢ ∀ (X : Grothendieck F), (map (𝟙 F)).obj X = (𝟙 (Cat.of (Grothendieck F))).obj X
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
n : ℕ
p : (Fin n → R) →ₗ[R] M
hp : Function.Surjective ⇑p
⊢ Function.Surjective ⇑(ofTensorProduct I M)
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort w
f : ι → Submodule R M
⊢ (⨆ i, f i).annihilator = ⨅ i, (f i).annihilator
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
c : α
MulPosMono α
a b : α
hc : 0 ≤ c
⊢ min a b * c = min (a * c) (b * c)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
y : I → Bool
left✝¹ : y ∈ C1 C ho
left✝ : Proj (fun x => ord I x < o) y ∈ C0 C ho
⊢ Proj (fun x => ord I x < o) y (term I ho) = false
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
g : G
hgS : g ∈ S
hg0 : 0 < g
hg : g < b - a
m : ℤ
hm : m • g ∈ Ioc a (a + g)
⊢ a + g < b
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
IsUltrametricDist X
x y : X
r : ℝ
h : y ∈ Metric.closedBall x r
⊢ Metric.closedBall x r = Metric.closedBall y r
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : DecidableEq n
v : n → α
i : n
⊢ (Finset.univ.sup fun b => ‖diagonal v i b‖₊) = ‖v i‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ IsBounded (s ×ˢ t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsBounded s ∧ IsBounded t
n : ℕ
hn : NeZero n
h : orderOf (a 1) < 2 * n
h2 : ↑(orderOf (a 1)) = 0
⊢ False
p x : ℝ
n : ℕ
⊢ LiouvilleWith p (x + ↑n) ↔ LiouvilleWith p x
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MonotoneOn f s
a : α
⊢ MonotoneOn (fun x => f x + a) s
⊢ Antitone (Real.log ∘ Stirling.stirlingSeq ∘ Nat.succ)
G : Type u_1
P : Type u_2
SMul G P
s₁ s₂ : Set G
t : Set P
a : P
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₁.smulAntidiagonal t a ⊆ s₂.smulAntidiagonal t a
α : Type u_3
β : α → Type u_1
γ : (a : α) → β a → Type u_2
f : (a : α) → (b : β a) → γ a b
⊢ (Equiv.piCurry γ).symm f = Sigma.uncurry f
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
IsEmpty β
⊢ ∑' (b : β), f b = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
l : List α
⊢ (a :: l).erase b <+~ a :: l.erase b
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ l.reverse = l.reverse.rotate (l.reverse.length - (l.reverse.length - n % l.reverse.length) % l.reverse.length + (l.reverse.length - n % l.reverse.length))
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M
hf : ∀ (j : Fin b), f (natAdd a j) = 1
⊢ ∏ i : Fin a, f (castAdd b i) = ∏ i : Fin a, f (castLE ⋯ i)
α : Type u_1
β : List α → Sort u_2
f : (a : α) → (l : List α) → β l → β (a :: l)
b : β []
l l' : List α
hl : l ~ l'
f_congr : ∀ {a : α} {l l' : List α} {b : β l} {b' : β l'}, l ~ l' → HEq b b' → HEq (f a l b) (f a l' b')
f_swap : ∀ {a a' : α} {l : List α} {b : β l}, HEq (f a (a' :: l) (f a' l b)) (f a' (a :: l) (f a l b))
⊢ HEq (List.rec b f l) (List.rec b f l')
α : Type u_1
MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ENNReal
hnonempty : C.Nonempty
ε_pos : 0 < ε
⊢ ∃ C₀ C₁,
  (Perfect C₀ ∧ C₀.Nonempty ∧ C₀ ⊆ C ∧ EMetric.diam C₀ ≤ ε) ∧
    (Perfect C₁ ∧ C₁.Nonempty ∧ C₁ ⊆ C ∧ EMetric.diam C₁ ≤ ε) ∧ Disjoint C₀ C₁
α : Type u_1
P : α → Bool
l : List α
⊢ splitOnP P l = splitOnPTR P l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ
f : α → β
s : Set β
hg : ContinuousOn g s
hf : ContinuousOn f univ
hs : ∀ (x : α), f x ∈ s
⊢ ContinuousOn (g ∘ f) univ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
a b c : E
⊢ (fun x => a + x) '' openSegment 𝕜 b c = openSegment 𝕜 (a + b) (a + c)
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α✝ : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring $α✝)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a✝ a'✝ a₁ a₂ a₃ b✝ b'✝ b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R
α β : Type u_2
inst : CSLift α β
a b : α
a' b' : β
h1 : CSLiftVal a a'
h2 : CSLiftVal b b'
h : a' = b'
⊢ CSLift.lift a = CSLift.lift b
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
Ms : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
(i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
AddCommGroup N
Module R N
Fintype ι
DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
q : Submodule R N
f : (i : ι) → Ms i →ₗ[R] N
hf : ∀ (i : ι), p i ≤ Submodule.comap (f i) q
x : (i : ι) → Ms i
⊢ ((Submodule.piQuotientLift p q f hf) fun i => Submodule.Quotient.mk (x i)) =
  Submodule.Quotient.mk (((LinearMap.lsum R Ms R) f) x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.fromOpcyclesNatTrans C).app S = S.fromOpcycles
α : Type u
σ : Type v
M : NFA α σ
⊢ M.toDFA.accepts = M.accepts
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
⊢ MeasureTheory.Adapted ℱ fun n => MeasureTheory.predictablePart f ℱ μ (n + 1)
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
Fintype m
Fintype n
PartialOrder R
NonUnitalRing R
StarRing R
StarOrderedRing R
NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix p n R
⊢ B * (A.conjTranspose * A) = 0 ↔ B * A.conjTranspose = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : C
⊢ ((CategoryTheory.Center.ofBraided C).μ X Y).f =
  𝟙
    ({ obj := CategoryTheory.Center.ofBraidedObj, map := fun {X Y} f => { f := f, comm := ⋯ }, map_id := ⋯,
              map_comp := ⋯ }.obj
          X ⊗
        { obj := CategoryTheory.Center.ofBraidedObj, map := fun {X Y} f => { f := f, comm := ⋯ }, map_id := ⋯,
              map_comp := ⋯ }.obj
          Y).fst
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
Semiring R
a : Γ
n : ℕ
r : R
⊢ (HahnSeries.single a) r ^ n = (HahnSeries.single (n • a)) (r ^ n)
α : Type u_4
r : α → α → Prop
DecidableRel r
s t : Finset α
hr : Symmetric r
x : α × α
⊢ x.swap ∈ Rel.interedges r s t ↔ x ∈ Rel.interedges r t s
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hzpos : 0 < z
m n : ℤ
hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2
hv2 : ↑x / ↑z = 2 * ↑m * ↑n / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hw2 : ↑y / ↑z = (↑m ^ 2 - ↑n ^ 2) / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
H : (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
co : m.gcd n = 1
pp : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
hz : z ≠ 0
h2 : y = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ z = m ^ 2 + n ^ 2
⊢ (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧ m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)