ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝
⊢ M✶.Base B ↔ M.Base (M.E \ B)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → X → α
S : Set X
hA : EquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) S
hu : Continuous (S.restrict ∘ u)
x : X
hx : x ∈ S
⊢ Continuous (eval x ∘ u)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a✝ : M
p : M → Prop
hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
a : M
l : List M
ih : (∀ x ∈ l, p x) → p l.prod
base : p a ∧ ∀ a ∈ l, p a
⊢ p (a * l.prod)
n m : ℕ
h : m ≤ n
⊢ Ico n m = []
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
⊢ (M * (listTransvecRow M).prod) (inr ()) (inl i) = 0
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ
⊢ x✝¹ * x✝ * ↑(Int.negSucc n) = x✝¹ * (x✝ * ↑(Int.negSucc n))
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f : Function.End α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hf : f ^ p ^ n = 1
σ : α ≃ α := { toFun := f, invFun := f ^ (p ^ n - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
hσ : σ ^ p ^ n = 1
⊢ fixedPoints f = ↑(support σ)ᶜ
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₁ → R
hg : g 0 = 0
φ : MvPolynomial σ S₁
⊢ (map f) (mapRange g hg φ) = φ ↔ ∀ (d : σ →₀ ℕ), f (g (coeff d φ)) = coeff d φ
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
AddCommMonoid A
StarAddMonoid A
Module R A
StarModule R A
TopologicalSpace A
ContinuousStar A
⊢ ∀ (a : A), (starL R) a = star a
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J✝ X Y : Set α
e✝ : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
h : ∀ e ∈ X \ I, M.Dep (insert e I)
J : Set α
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
e : α
heJ : e ∈ J
heI : e ∉ I
⊢ False
X : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsIntegral X
U : X.Opens
x : ↥U
⊢ Function.Injective ⇑(X.presheaf.germ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
B : Set β
⊢ (M.map f hf).Base B ↔ ∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = f '' B₀
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
x : Monoid.Coprod M N
⊢ (Monoid.Coprod.swap M N) x = 1 ↔ x = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : CategoryTheory.Paths C
⊢ CategoryTheory.composePath (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (id X)
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
⊢ (↑(alternatization a)).domCoprod ↑(alternatization b) = ∑ σa : Perm ιa, ∑ σb : Perm ιb, Perm.sign σa • Perm.sign σb • (domDomCongr σa a).domCoprod (domDomCongr σb b)
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ sin x - (cexp (-(↑x * I))).im - (2 * x - x * x * x * 3⁻¹) = sin x - (x + -(x * x * x * ((1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) * ((1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)⁻¹ * (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)⁻¹)))) - ((cexp (-(↑x * I))).im - (-x + x * x * x * ((1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) * ((1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)⁻¹ * (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)⁻¹))))
n : ℕ
hn : 1 < n
h : n ! = n !
⊢ n = n
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
T : Set α
a : α
hS : ∀ g ∈ S, g⁻¹ ∈ S
subset : T ⊆ orbit (↥(closure S)) a
not_mem : a ∉ T
nonempty : T.Nonempty
key0 : ∀ σ ∈ S, ∀ a ∈ T, σ • a ∈ T
⊢ closure S ≤ stabilizer G T
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h' h : ↑b < c
⊢ ↑b + ↑a < c + ↑a
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
x : X
t : Set Y
h : ContinuousAt f x
ht : t ∈ 𝓝 (f x)
⊢ f ⁻¹' t ∈ 𝓝 x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
I : CategoryTheory.InjectiveResolution Z
n : ℕ
⊢ HomologicalComplex.ExactAt I.cocomplex (n + 1)
α β : Type u
g : α → β
f : α → α → α
f' : β → β → β
a : α
l : List α
h : ∀ (x y : α), f' (g x) (g y) = g (f x y)
⊢ List.foldr f' (g a) (List.map g l) = g (List.foldr f a l)
α : Sort u_3
⊢ (∃ x, True) ↔ Nonempty α
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
K : Type u_3
AddGroup K
f : G →+ K
g : H →+ K
⊢ (AddMonoid.Coprod.lift f g).range = f.range ⊔ g.range
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
f : α → β
l : List α
m : α
⊢ m ∈ List.argmax f l → m ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
g : β → α
hg : InjOn g (mulSupport (f ∘ g))
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ range g), f i = ∏ᶠ (j : β), f (g j)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K
this : ∀ (i : m), ker (proj i ∘ₗ toLin' (diagonal w)) = comap (toLin' (diagonal w)) (ker (proj i))
⊢ ⨅ i, ⨅ (_ : w i ≠ 0), ker (proj i) = ⨆ i ∈ {i | w i = 0}, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
S' : Type u_7
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : Algebra A S
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
e : S ≃ₐ[A] S'
⊢ X ^ pb.dim - ∑ i : Fin pb.dim, C (((pb.map e).basis.repr ((pb.map e).gen ^ pb.dim)) i) * X ^ ↑i = X ^ pb.dim - ∑ i : Fin pb.dim, C ((pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) i) * X ^ ↑i
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → p.natDegree = m → ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hdeg : p.natDegree = n
erase_zero : ¬p.eraseLead = 0
deg_erase : p.eraseLead.natDegree < n
pzero : p ≠ 0
lead_zero : p.coeff p.natDegree ≠ 0
lead : R[X]
hlead : map f lead = (monomial p.natDegree) (p.coeff p.natDegree) ∧ lead.degree = ((monomial p.natDegree) (p.coeff p.natDegree)).degree
deg_lead : lead.degree = ↑p.natDegree
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ ∀ ⦃A : C⦄ (x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂), x₂ ≫ S.L₀.g = 0 → ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ (reindex R (fun x => M) finSumFinEquiv) ((tmulEquiv R M) ((tprod R) a ⊗ₜ[R] (tprod R) b)) = (tprod R) (Fin.append a b)
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
G : Type u_3
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l.NeBot
s : Set 𝕜
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn (deriv ∘ f) g' l s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, DifferentiableOn 𝕜 (f n) s
hfg : ∀ x ∈ s, Filter.Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
⊢ HasDerivAt g (g' x) x
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
⊢ a ≤ |a|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
⊢ limsup (fun x => ⊥) f = ⊥
k m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hkmn : m * k ≤ n
⊢ IsAddFreimanIso m (Set.Iio ↑k) (Set.Iio k) Fin.val
M : Type u_2
AddCommGroup M
K : Type u_3
Field K
Module K M
f : Module.End K M
FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
n : ℕ
⊢ (f ^ n).IsSemisimple
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f g : WithLp p (α × β)
⊢ edist f g = edist g f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
X : Type u_7
TopologicalSpace X
FirstCountableTopology X
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : X → α → E
x₀ : X
bound : α → ℝ
s : Set X
hfs_meas : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fs x) μ
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : MeasureTheory.Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousWithinAt (fun x => fs x a) s x₀
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => MeasureTheory.setToFun μ T hT (fs x)) s x₀
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
(i : ι) → DecidableEq (γ i)
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → Zero (γ i)
f : (i : ι) → γ i → β i
x : (i : ι) → γ i
hf₁ : ∀ (i : ι), Function.Injective (f i)
hf₂ : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
⊢ (hammingNorm fun i => f i (x i)) = hammingNorm x
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ padicNorm p (↑(nthHom f (r * s) j) - ↑(nthHom f r j) * ↑(nthHom f s j)) ≤ ↑p ^ (-↑n)
p q : ℝ
self : p.IsConjExponent q
⊢ p⁻¹ + q⁻¹ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m₁ : α → γ
m₂ : β → δ
⊢ Set.range (Prod.map m₁ m₂) = Set.range m₁ ×ˢ Set.range m₂
F✝ : Type u → Type w
G : Type v → Type u
inst✝⁴ : Applicative F✝
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulApplicative F✝
inst✝¹ : LawfulApplicative G
α β γ : Type v
F : Type u_1 → Type u_2
AF : Applicative F
inst✝ : LawfulApplicative F
α✝ β✝ : Type u_1
f : F (α✝ → β✝)
x : F α✝
⊢ (Seq.seq (id <$> f) fun x_1 => x) = Seq.seq f fun x_1 => x
α : Type u_1
Preorder α
a : α
ih : ∀ c ⊆ Set.Ici a, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hax : a ≤ x
⊢ ∃ m, x ≤ m ∧ ∀ (z : α), m ≤ z → z ≤ m
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ AnalyticWithinOn 𝕜 f s ↔ AnalyticOn 𝕜 f s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α ≃o β
s : Set β
x : β
⊢ IsLUB (⇑f ⁻¹' s) (f.symm x) ↔ IsLUB s x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
⊢ (Localization.algEquiv M S) (IsLocalization.mk' (Localization M) x y) = IsLocalization.mk' S x y
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
K : Type w'
f : J → C
c : Bicone f
g : K ≃ J
k k' : K
⊢ (if h : g k = g k' then eqToHom ⋯ else 0) = if h : k = k' then eqToHom ⋯ else 0
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
⊢ (∫ (a : Ω), X a ^ 2) + (∫ (x : Ω), X x) ^ 2 - (2 * ∫ (x : Ω), X x) * ∫ (x : Ω), X x = (∫ (a : Ω), X a ^ 2) - (∫ (x : Ω), X x) ^ 2
α : Type u
PartialOrder α
s : Set α
a b : α
Ha : IsLeast s a
Hb : IsLeast s b
⊢ a = b
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
x : X
s : Set X
⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝 x) ↔ x ∉ closure s
R : Type u_2
AddGroupWithOne R
Mul R
c : RingCon R
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : CategoryTheory.ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
⊢ (ChainComplex.mk X₀ X₁ X₂ d₀ d₁ s succ).X 2 = X₂
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
h : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p %ₘ q).degree < (q * (p /ₘ q)).degree
J : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} K
h : ∀ {α : Type u₁} (F : J → α), (∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → F j₁ = F j₂) → ∀ (j j' : J), F j = F j'
α✝ : Type u₁
F : J ⥤ Discrete α✝
j₁✝ j₂✝ : J
f : j₁✝ ⟶ j₂✝
⊢ (F.obj j₁✝).as = (F.obj j₂✝).as
K : Type u_5
LinearOrderedField K
⊢ StrictMono Rat.cast
R : Type u
AddGroupWithOne R
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ↑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
x✝ y✝ z x y : ℝ
⊢ rexp (x * y) = rexp x ^ y
a : Ordinal.{u_1}
⊢ nfp (fun x => a + x) 0 = a * ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
h'f : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
A : Continuous fun t => x + t • v
⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0] fun t => f (x + t • v)
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
NonUnitalSemiring α
StarRing α
v w : m → α
⊢ v ⬝ᵥ star w = star (w ⬝ᵥ star v)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
k : ℕ
h : ↑‖x‖₊ < p.radius
⊢ ‖p.changeOrigin x k‖₊ ≤ ∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
a : α
hf : (Function.support f).Finite
⊢ f a + ∑ᶠ (i : α) (_ : i ≠ a), f i = ∑ᶠ (i : α), f i
S : Set ℍ
⊢ (∃ i, im ⁻¹' Set.Ici i ⊆ S) ↔ ∃ A, ∀ (z : ℍ), A ≤ z.im → z ∈ S
R : Type u_1
CommSemiring R
a a' b b' c : R
⊢ a = a' → b = b' → a' + b' = c → a + b = c
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_7
β : Type u_8
SMul M α
SMul M β
SMul α β
IsScalarTower M α β
g : N → M
⊢ IsScalarTower N α β
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
a✝ : Nontrivial α
u : αˣ
hab : a ∣ a * ↑u
hba : a * ↑u ∣ a
ha : a ≠ 0
⊢ a * ↑(normUnit a) = a * ↑u * ↑(normUnit a) * ↑u⁻¹
α : Type u_1
𝒜 : Finset (Finset α)
A : Finset α
r₁ r₂ : ℕ
h₁ : A ∈ 𝒜 # r₁
h₂ : A ∈ 𝒜 # r₂
⊢ r₁ = r₂
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t u : Set α
hs : MeasureTheory.AEDisjoint μ s u
ht : MeasureTheory.AEDisjoint μ t u
⊢ MeasureTheory.AEDisjoint μ (s ∪ t) u
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
⊢ ∏ x : Fin pb.dim, (∏ j ∈ Ioi x, ((e j) pb.gen - (e x) pb.gen)) ^ 2 = ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
h : IsMaxFilter f l a
heq : f =ᶠ[l] g
hfga : f a = g a
⊢ IsMaxFilter g l a
α : Type u
a : α
⊢ [a].sublists = [[], [a]]
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace α
T3Space α
NonUnitalNonAssocSemiring α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
g : κ → α
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2
⊢ (∑' (x : ι), f x) * ∑' (y : κ), g y = ∑' (z : ι × κ), f z.1 * g z.2
α : Type u_1
DecidableEq α
CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.mulDysonETransform e x).1 * (Finset.mulDysonETransform e x).2 ⊆ x.1 * x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
a2 : α
ha2 : a2 > 0
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)
⊢ False
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
⊢ χ x = 0
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
U : ι → Set X := tᶜ
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
u : Set ι
hucount : u.Countable
husub : s ⊆ ⋃ i ∈ u, U i
⊢ ∃ u, u.Countable ∧ s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : L.Structure N
S : ι →o L.Substructure M
⊢ (liftInclusion S).toHom.range = ⨆ i, S i
α : Type u_1
NormedOrderedGroup α
s : Set α
⊢ ↑(upperClosure (interior s)) ⊆ interior ↑(upperClosure s)
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
Monoid α
MulDistribMulAction α G
a : α
S : Subgroup G
⊢ a • S = Subgroup.map ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd α G) a) S
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
s : Finset α
n : ℕ
⊢ ↑(n • s) = n • ↑s
G : Type u_1
AddMonoid G
⊢ ¬AddMonoid.IsTorsionFree G ↔ ∃ g, g ≠ 0 ∧ IsOfFinAddOrder g
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ ¬(p = 0 ∨ p.coeff 0 ≠ 0) ↔ p ≠ 0 ∧ p.coeff 0 = 0
R : Type u
CommSemiring R
⊢ algebraMap R R[X] = Polynomial.C
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
h_eval₂_qpp' : ((aeval f) (q * (p * p'))) v = 0
⊢ ∃ y ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p), ∃ z ∈ LinearMap.ker ((aeval f) q), y + z = v
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
⊢ f (1 * c ^ n) / f c ^ n = 1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α β γ : ↥(solvableByRad F E)
hγ : γ ∈ F⟮α, β⟯
hα : P α
hβ : P β
p : F[X] := minpoly F α
q : F[X] := minpoly F β
hpq : Splits (algebraMap F (p * q).SplittingField) (minpoly F α) ∧ Splits (algebraMap F (p * q).SplittingField) (minpoly F β)
f : ↥F⟮α, β⟯ →ₐ[F] (p * q).SplittingField := Classical.choice ⋯
key : minpoly F γ = minpoly F (f ⟨γ, hγ⟩)
⊢ IsSolvable (minpoly F (f ⟨γ, hγ⟩)).Gal
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X Y : C
⊢ IsIso biprod.inl ↔ IsZero Y
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : (algebraMap R S) p.content * (aeval s) p.primPart = 0
hcont : (algebraMap R S) p.content ≠ (algebraMap R S) 0
⊢ (aeval s) p.primPart = 0
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
G : Type u_4
AddCommGroup G
Module R G
g : F →ₗ[R] G
f : E →ₗ.[R] F
x : ↥(g.compPMap f).domain
⊢ ↑(g.compPMap f) x = g (↑f x)
m n : ℕ
hn : 0 < n
h : n < m
⊢ n.factorial < m.factorial
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
this : (2 * dValue N - 1) ^ nValue N ≤ (2 * dValue N) ^ nValue N
⊢ (2 * dValue N - 1) ^ nValue N ≤ N
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x y : E
⊢ (convexHull 𝕜) {x, y} = segment 𝕜 x y
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
⊢ ⨆ i, ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
α : Type u_3
NonAssocRing α
a : α
n : ℤ
⊢ n • a = ↑n * a
n m a : ℕ
h : n ≤ m
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1
this✝ : p ∣ (m - n) * a
this : p ∣ a
⊢ False
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P (generate R).arrows
t : x.SieveCompatible
x✝¹ : C
x✝ : x✝¹ ⟶ X
h : (generate R).arrows x✝
⊢ (FamilyOfElements.restrict ⋯ x).sieveExtend x✝ h = x x✝ h
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Function.Surjective ⇑g
z : Q ⊗[R] P
⊢ ∃ a, (lTensor Q g) a = z
α : Type u
f : Filter α
U : Set α
h : U ∈ f
W : Set ↑U
W_in : W ∈ Filter.comap Subtype.val f
⊢ Subtype.val '' W ∈ f
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c d : ℝ
⊢ c * ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x : 𝕎 R
i : Fin n
⊢ TruncatedWittVector.coeff i ((WittVector.truncate n) x) = x.coeff ↑i
k n : ℕ
hkn : 2 * k ≤ n
⊢ addRothNumber (Finset.Iio ↑k) = rothNumberNat k
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
this : ⟪y, x⟫_ℝ = ⟪x, y⟫_ℝ
⊢ ⟪x + y, x + y⟫_ℝ = ⟪x, x⟫_ℝ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ⟪y, y⟫_ℝ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopEquiv C).functor = CategoryTheory.mopFunctor C
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
⊢ ↑(B ^ m / B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
One G
⊢ Finsupp.support 1 ⊆ 1
α : Type u_1
M : Matroid α
B I✝ J X✝ Y : Set α
e✝ : α
ι : Type u_2
X I : ι → Set α
hI : ∀ (i : ι), M.Basis (I i) (X i)
h_ind : M.Indep (⋃ i, I i)
e : α
he' : e ∉ ⋃ i, I i
i : ι
hes : e ∈ X i
⊢ M.Dep (insert e (⋃ i, I i))
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hj : b.natDegree - d ≤ j
hbj : ↑j < ↑b.natDegree
⊢ (A i₁).coeff j = (A i₀).coeff j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X : Type w'
TopologicalSpace X
(Z B : C) →
    (π : Z ⟶ B) →
      [inst : CategoryTheory.EffectiveEpi π] →
        CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan π π) G
hq : ∀ (Z B : C) (π : Z ⟶ B) [inst : CategoryTheory.EffectiveEpi π], QuotientMap ⇑(G.map π)
⊢ CategoryTheory.regularTopology.EqualizerCondition (ContinuousMap.yonedaPresheaf G X)
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C'
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
G : CategoryTheory.Functor C' C
X Y : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F) ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D H).obj L)
φ : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.Functor.LeftExtension.precomp L F G).map φ).right = φ.right
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ φ ((algebraMap ℝ C(X, ℝ)) r).toNNReal - φ (-(algebraMap ℝ C(X, ℝ)) r).toNNReal = (algebraMap ℝ A) r
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hs : ∅.Subsingleton
⊢ μH[d] ∅ ≤ 1
x : ℝ
⊢ HasStrictDerivAt Real.cos (-Real.sin x) x
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε✝ : ℝ
l✝ : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
l : ℕ
⊢ log (100 / ε ^ 5) / log 4 < max (↑7) (max ↑l ↑(⌊log (100 / ε ^ 5) / log 4⌋₊ + 1))