ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsExtrOn f s a
g : β → γ
hg : Monotone g
⊢ IsExtrOn (g ∘ f) s a
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
S' : Type u_7
CommRing S'
Algebra A S
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
e : S ≃ₐ[A] S'
h : minpoly A pb.gen = minpoly A (pb.map e).gen
⊢ pb.equivOfMinpoly (pb.map e) h = e
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
inst✝ : HasDerivedCategory C
a b : ℕ
α : Ext X Y a
β : Ext Y Z b
c : ℕ
h : a + b = c
⊢ (α.comp β h).hom = α.hom.comp β.hom ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α
s : Set α
⊢ IsCobounded r (𝓟 s) ↔ ∃ b, ∀ (a : α), (∀ x ∈ s, r x a) → r b a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
h : torsionBySet R M s = ⊤
x : M
⊢ ∀ ⦃a : ↑s⦄, ↑a • x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → δ
hf : MeasurableEmbedding f
g : δ → β
⊢ Memℒp g 1 (Measure.map f μ) ↔ Memℒp (g ∘ f) 1 μ
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
Fintype n
RCLike 𝕜
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosDef
i : n
⊢ 0 < ⋯.eigenvalues i
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
b : α
l : List α
a : α
h : a ∈ (b :: l).head?
⊢ a :: (b :: l).tail = b :: l
α : Type u
s t : Set α
⊢ s = t ↔ ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x ∈ t
β : Type u_1
γ : Type u_2
α : Type u_3
f : β → γ
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ l₁.zip (List.map f l₂) = List.map (Prod.map id f) (l₁.zip l₂)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
M N : SheafOfModules R
f g : M ⟶ N
⊢ (f + g).val = f.val + g.val
α : Type u
s₁ s₂ : Stream' α
⊢ (s₁ ⋈ s₂).even = s₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
⊢ ∀ x ∈ univ.innerDualCone, x = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
K : SimpleGraph V
hp' : ∀ e ∈ (p.transfer H hp).edges, e ∈ K.edgeSet
⊢ (p.transfer H hp).transfer K hp' = p.transfer K ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a - c ≤ a - b + (b - c)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
A : Set E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
hA : A ∈ 𝓝 0
⊢ Absorbent 𝕜 A
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
⊢ (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x = (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ℝ
⊢ c * ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x) = ∫ (x : ℝ) in c * a..c * b, f x
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring P
x : R
inst✝¹⁶ : Away x S
g : R →+* P
Q : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring Q
inst✝¹⁴ : Algebra P Q
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : Algebra R A
B : Type u_6
inst✝¹¹ : CommRing B
inst✝¹⁰ : Algebra R B
Aₚ : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing Aₚ
inst✝⁸ : Algebra A Aₚ
inst✝⁷ : Algebra R Aₚ
inst✝⁶ : IsScalarTower R A Aₚ
Bₚ : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing Bₚ
inst✝⁴ : Algebra B Bₚ
inst✝³ : Algebra R Bₚ
inst✝² : IsScalarTower R B Bₚ
f : A →ₐ[R] B
a : A
inst✝¹ : Away a Aₚ
inst✝ : Away (f a) Bₚ
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsLocalization (Submonoid.powers (f a)) Bₚ
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
f : α → β
A : Set α
Cf : ContinuousAt f (sInf A)
Af : Antitone f
A_nonemp : A.Nonempty
A_bdd : BddBelow A := by bddDefault
⊢ f (sInf A) = sSup (f '' A)
n : ℕ
⊢ Multiset.Nat.antidiagonal (n + 2) =
  (0, n + 2) ::ₘ (n + 2, 0) ::ₘ Multiset.map (Prod.map Nat.succ Nat.succ) (Multiset.Nat.antidiagonal n)
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
Field k
AddCommGroup E
Module k E
AddTorsor E PE
f : k → PE
a b c : k
h : a ≠ c
⊢ (AffineMap.lineMap (slope f a b) (slope f b c)) ((c - b) / (c - a)) = slope f a c
X Y Z : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f.val ≫ g.val).c = g.val.c ≫ (TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat g.val.base).map f.val.c
α : Type u_1
o : Part α
Decidable o.Dom
a : α
⊢ a ∈ o.toOption ↔ a ∈ o
G : Type u_3
SubNegMonoid G
a b c : G
⊢ a + b - c = a + (b - c)
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ a < 1 / b ↔ b < 1 / a
x y : SetTheory.PGame
⊢ x < y ↔ 0 < y - x
α : Type u_1
E R : Set α
h : R ⊆ E
⊢ (Matroid.freeOn E).restrict R = Matroid.freeOn R
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a b : α
⊢ ⌈a + b⌉₊ ≤ ⌈a⌉₊ + ⌈b⌉₊
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
⊢ (-B).IsAlt ↔ B.IsAlt
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
hs : x ∈ (chartAt H c).source
hd : dist (↑(extChartAt I c) x) (↑(extChartAt I c) c) < f.rIn
z : M
hzs : z ∈ (chartAt H c).source
hzd : z ∈ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rIn
⊢ ↑f z = 1 z
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Stream'.Seq α
n : ℕ
⊢ (Stream'.Seq.map f s).get? n = Option.map f (s.get? n)
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
α : LieModule.Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ LieAlgebra.rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ LieAlgebra.rootSpace H (-⇑α)
aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e
⊢ ⁅e, f⁆ =
  ((killingForm K L) e) f • ↑((LieAlgebra.IsKilling.cartanEquivDual H).symm (LieModule.Weight.toLinear K (↥H) L α))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospanCompIso F f g).hom.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.right =
  𝟙 ((CategoryTheory.Limits.cospan f g ⋙ F).obj CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.right)
J : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat
inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)
inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)
j : J
⊢ (colimitPresheafObjIsoComponentwiseLimit F U).hom ≫ limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j) = (colimit.ι F j).c.app (op U)
A B : AddCommGrp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ AddMonoidHom.ker f = ⊥
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
TopologicalSpace α
AddGroup G
AddAction G α
ContinuousConstVAdd G α
TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s : Set β
c : G
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => c +ᵥ f x) s b ↔ ContinuousWithinAt f s b
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α β : X ≅ Y
w : α.hom = β.hom
⊢ α.inv ≫ β.hom ≫ β.inv = (α.inv ≫ α.hom) ≫ β.inv
α : Type u_1
l : Language α
⊢ [] ∈ l∗
α : Type u
s t : Set α
⊢ Disjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ t → a ≠ b
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
CategoryTheory.Limits.HasKernels V
CategoryTheory.Limits.HasImages V
D : V
h : C ⟶ D
CategoryTheory.Mono h
w : f ≫ g ≫ h = 0
⊢ imageToKernel f (g ≫ h) w =
  imageToKernel f g ⋯ ≫
    ((CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (g ≫ h)).isoOfEq (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject g) ⋯).inv
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv : ∀ (i : Fin 3), ∃ r, p i = r • v +ᵥ p 0
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r
⊢ False
R : Type u_1
CommRing R
n ν : ℕ
⊢ Polynomial.eval 0 (bernsteinPolynomial R n ν) = if ν = 0 then 1 else 0
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α}, ⋃₀ {s | Bornology.IsBounded s} = Set.univ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
α : Type u_1
a b : α
⊢ pure a = pure b ↔ a = b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Epi 0
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero Y
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s
G : Type u_2
Group G
H : Subgroup Gᵐᵒᵖ
⊢ H.unop.toSubmonoid = H.unop
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.83140, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.s = s'.s
⊢ s = s'
α : Type u_1
MetricSpace α
SecondCountableTopology α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Set.Ioo 0 δ).Nonempty
⊢ ∃ t,
  t.Countable ∧
    (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧
      (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧
        μ (s \ ⋃ p ∈ t, Metric.closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => Metric.closedBall p.1 p.2
f g : CauSeq ℚ abs
⊢ Real.mk f ≤ Real.mk g ↔ f ≤ g
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
I : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
⊢ ↑(differentIdeal A B) ≤ I ↔ Submodule.map (↑A (Algebra.trace K L)) (restrictScalars A ↑I⁻¹) ≤ 1
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
⊢ ∃ b c, a ∈ Set.Icc b c ∧ Set.Icc b c ∈ 𝓝 a ∧ Set.Icc b c ⊆ s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0
L : ℝ≥0∞
hL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑f x) ∂μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ ↑f x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
a b : ENNReal
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤
hb : a ≠ ⊤ ∨ b ≠ 0
⊢ (a * b)⁻¹ = a⁻¹ * b⁻¹
X : Type u
x : X
s t : Set X
TopologicalSpace X
hs : Dense s
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ (s ∩ t).Nonempty
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ u ∈ SimpleGraph.Walk.nil.support ↔ u = v
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
C : Set X
⊢ AccPt x (𝓟 C) ↔ ClusterPt x (𝓟 (C \ {x}))
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : R₁ ⟶ R₂
β : R₂ ⟶ R₁
αβ : α ≫ β = 𝟙 R₁
⊢ (conjugateEquiv adj₂ adj₁).symm β ≫ (conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α = 𝟙 L₁
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
h1 : ∀ (n : ℕ), 2 * ↑k + 1 ≠ -↑n
⊢ hurwitzZetaOdd (↑x) (-(2 * ↑k)) = -1 / (2 * ↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))
I : Type u_1
J : Type u_2
L : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
CommSemiring K
AddCommMonoid R
Module K R
⊢ ∀ (a : Matrix (I × K) (J × L) R), (Matrix.compLinearEquiv I J L R K).symm a = (Matrix.compAddEquiv I J K L R).symm a
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o₂) ℤ
m : Products I
⊢ m < l ∧ eval (π C fun x => ord I x < o₂) m = f ↔ m < l ∧ (πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) m) = f
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
RCLike 𝕜
TopologicalSpace X
CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
⊢ A.topologicalClosure = ⊤
G : Type u_1
Group G
⊢ ↑⊤ = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : α), (κ b) {c | (b, c) ∈ s} ∂μ = ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s) ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : J.Cover X
I₁ I₂ : S.Arrow
self : I₁.Relation I₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.g₁ I₁.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.g₂ I₂.f
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R P
Module R Q
f : P →ₗ[R] Q →ₗ[R] M
p : Submodule R P
q : Submodule R Q
⊢ Submodule.map₂ f p q = LinearMap.range (TensorProduct.lift f ∘ₗ TensorProduct.mapIncl p q)
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y X' : C
g : X ⟶ Y
⊢ MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X') (F.map g) ≫ (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) X' Y = (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) X' X ≫ F.map (MonoidalCategory.whiskerLeft X' g)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ setToSimpleFunc T' f = c • setToSimpleFunc T f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
𝕜 : Type u_2
Field 𝕜
IsAlgClosed 𝕜
CategoryTheory.Linear 𝕜 C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
X Y : C
FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ Y)
CategoryTheory.Simple X
CategoryTheory.Simple Y
⊢ FiniteDimensional.finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 0 ↔ IsEmpty (X ≅ Y)
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0
⊢ (range n \ Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)).card ≤ (∑ x ∈ range n \ s, k x).degree
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
z : K
x y : A
hy : y ∈ nonZeroDivisors A
h : mk' K x ⟨y, hy⟩ = z
⊢ (algebraMap A K) x / (algebraMap A K) y = z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U : Set (Submodule 𝕜 E)
V : Submodule 𝕜 E
⊢ sSup U ⟂ V ↔ ∀ Uᵢ ∈ U, Uᵢ ⟂ V
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : s.Nontrivial
⊢ s.infsep = ⨅ d, Function.uncurry dist ↑d
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : Cᵒᵖ ≌ Dᵒᵖ
⊢ e.unop.functor = e.functor.unop
G : Type u
Monoid G
H : Type u_1
Monoid H
e : G →* H
e_inj : Function.Injective ⇑e
⊢ Monoid.exponent G ∣ Monoid.exponent H
θ : Real.Angle
⊢ θ.toReal ≤ π
α : Type u_1
Neg α
a : α
⊢ toLex (-a) = -toLex a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv.unop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (Opposite.unop X)).hom
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.193906, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0
⊢ h₁ ≫ S₂.f + S₁.g ≫ h₂ = S₁.g ≫ h₂ + h₁ ≫ S₂.f
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
DenselyOrdered α
s : Set α
hs : Dense s
x : α
⊢ Set.Ioi x = ⋃ y ∈ s ∩ Set.Ioi x, Set.Ioi y
α : Type u
Mul α
One α
a : α
self : Invertible a
⊢ a * ⅟a = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : SMulZeroClass R M
b : R
g : α →₀ M
a : α
⊢ a ∈ (b • g).support → a ∈ g.support
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} E
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
F : CategoryTheory.Functor C E
hF : W.IsInvertedBy F
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk f).map F hF = f.map F hF
x : ℝ
lx : Liouville x
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
ef0 : (aeval x) f = 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y + g y) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
a b c : Int
h : b ≤ c - a
⊢ a + b ≤ c
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : Filter.limsup u f < a
hb : Filter.limsup v f < b
⊢ Filter.limsup (u + v) f ≤ a + b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : UniformSpace α
inst✝⁶ : Group α
inst✝⁵ : UniformGroup α
hom : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace β
inst✝³ : Group β
inst✝² : UniformGroup β
inst✝¹ : FunLike hom α β
inst✝ : MonoidHomClass hom α β
f : hom
h : Tendsto (⇑f) (𝓝 1) (𝓝 1)
this : ((fun x => x.2 / x.1) ∘ fun x => (f x.1, f x.2)) = fun x => f (x.2 / x.1)
⊢ UniformContinuous ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommGroup α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝¹ : T2Space α
inst✝ : DecidableEq β
hf : Multipliable f
b : β
⊢ ∏' (n : β), f n = f b * ∏' (n : β), if n = b then 1 else f n
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y) → P124 a
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
⊢ (x * y).Numeric
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
x : G
⊢ ‖NormedAddCommGroup.toCompl x‖ = ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
h : N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X
e : α
x✝ : e ∈ X \ I
heX : e ∈ X
heI : e ∉ I
hIE : insert e I ⊆ (N.comap f).E
⊢ (N.comap f).Dep (insert e I)
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝¹ : BorelSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν
key : ∀ {F : Set Ω}, IsClosed F → μ F = ν F
⊢ ∀ s ∈ {s | IsClosed s}, μ s = ν s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
T2Space M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA : MeasurableSet A
hB : MeasurableSet B
⊢ ↑v (A ∪ B) = ↑v A + ↑v B
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.SimplicialCategory C
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ} (φ : X ⟶ Y) (L : C),
  ((CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomFunctor C).map φ).app L =
    CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomWhiskerRight φ.unop L
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
inst✝³ : CommMonoid α₁
inst✝² : CommMonoid α₂
inst✝¹ : CommMonoid β₁
inst✝ : CommMonoid β₂
A₁ : Set α₁
A₂ : Set α₂
B₁ : Set β₁
B₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
n : ℕ
h₁ : IsMulFreimanIso n A₁ B₁ f₁
h₂ : IsMulFreimanIso n A₂ B₂ f₂
s t : Multiset (α₁ × α₂)
hs : card s = n
ht : card t = n
hsA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → b ∈ A₂
htA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → b ∈ A₂
⊢ (map (Prod.map f₁ f₂) s).prod = (map (Prod.map f₁ f₂) t).prod ↔ s.prod = t.prod
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
PartialOrder α
a : α
ha : μ {a} = 0
⊢ Set.Ioi a =ᵐ[μ] Set.Ici a
α : Sort u
c : Prop
d : Decidable c
a : α
⊢ ite c a a = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a' : α → γ
b b' : β → γ
Sub γ
⊢ Sum.elim (a - a') (b - b') = Sum.elim a b - Sum.elim a' b'
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
h : RingHom.ker f ≤ I
⊢ map f (sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}) = sInf {J | map f I ≤ J ∧ J.IsMaximal}
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
inj : Function.Injective ⇑(Int.castRingHom ℚ)
⊢ (Int.castRingHom ℚ) (constantCoeff (wittStructureInt p Φ 0)) = (Int.castRingHom ℚ) (constantCoeff Φ)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i
⊢ Function.update f i '' Set.Ioo a (f i) = Set.Ioo (Function.update f i a) f
a b : Nat
h : ¬a ∣ b
⊢ 0 < b % a
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n f x
ι : Type u_1
I J : Box ι
p : (ι → ℝ) → Box ι → Prop
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
⊢ (∀ J ∈ π.biUnionTagged πi, p ((π.biUnionTagged πi).tag J) J) ↔ ∀ J ∈ π, ∀ J' ∈ πi J, p ((πi J).tag J') J'
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.9007, u_1} C
J : Type u_2
inst✝² : Countable J
inst✝¹ : Preorder J
inst✝ : IsCofiltered J
j : J
m : ℕ
h : ⋯.choose m = j
⊢ sequentialFunctor_obj J (m + 1) ≤ j
K : Type u
Field K
s : Set K
⊢ Subfield.commClosure s = Subfield.closure s
α : Type u
β : Type v
x : α
s : Set β
F : Filter (α × β)
⊢ s ∈ Filter.comap (Prod.mk x) F ↔ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s} ∈ F
n✝ b m n : ℕ
hb : 0 < b
⊢ b.digits n ++ b.digits m = b.digits (n + b ^ (b.digits n).length * m)
G : Type u_1
Group G
⊢ ∀ {x : Fintype G} {p : ℕ} [hp : Fact (Nat.Prime p)], Fintype.card G = p → ∀ {g g' : G}, g ≠ 1 → g' ∈ Submonoid.powers g
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
f g : X → R
s : Set X
hf : ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ
hg : ContinuousOn g s
hs : IsOpen s
⊢ ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn (fun x => f x * g x) k μ
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
BoundedOrder α
BoundedOrder β
BoundedOrder γ
f : BoundedLatticeHom β γ
g : BoundedLatticeHom α β
⊢ { toFun := ⇑(f.comp g), map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } =
  { toFun := ⇑f, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }.comp { toFun := ⇑g, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : {n | f^[n] x ∈ s}.Infinite
k : ℕ
hk : k ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
l : ℕ
hl : l ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
hkl : k < l
hn : k ≡ l [MOD n.succ]
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[n + 1]^[m] x ∈ s