ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ q : R[X]
P : R[X] → Prop
p✝ : R[X]
h0✝ : 0 < p✝.degree
hC : ∀ {a : R}, a ≠ 0 → P (C a * X)
hX : ∀ {p : R[X]}, 0 < p.degree → P p → P (p * X)
hadd : ∀ {p : R[X]} {a : R}, 0 < p.degree → P p → P (p + C a)
p : R[X]
x✝ : p ≠ 0
ih : 0 < p.degree → P p
h0' : 0 < (p * X).degree
h0 : ¬0 < p.degree
⊢ P (p * X)
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ[R] F
p : Submodule R E
⊢ (f.toPMap p).domain = p
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : IntermediateField.fixedField ⊤ = ⊥
⊢ IsGalois (↥(IntermediateField.fixedField ⊤)) E
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ {x} - Metric.closedBall 0 δ = Metric.closedBall x δ
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
h : MinFacHelper n k
np : n.minFac ≠ k
⊢ MinFacHelper n (k + 2)
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x y : α
h : Commute x y
hxy : x ≠ y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
this : x - y ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = (x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m) / (x - y)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
NormalizationMonoid α
DecidableEq α
x : α
n : ℕ
⊢ factorization (x ^ n) = n • factorization x
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Inv α
s : ι → Set α
⊢ (⋂ i, s i)⁻¹ = ⋂ i, (s i)⁻¹
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
a' : E →L[𝕜] 𝔸
ha : HasFDerivWithinAt a a' s x
b : 𝔸
⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => b * a y) (b • a') s x
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
h : ¬G.Reachable u v
⊢ G.dist u v = 0
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
hf : Continuous f
a b : ℝ
⊢ deriv (fun u => ∫ (x : ℝ) in a..u, f x) b = f b
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
N : Type u_3
SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
fb : f.NormNoninc
⊢ (NormedAddGroupHom.lift S f hf).NormNoninc
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
ha : Polynomial.eval a F = 0
⊢ Polynomial.eval a F = 0 ∧
  ‖a - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ∧
    ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ = ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ∧
      ∀ (z' : ℤ_[p]), Polynomial.eval z' F = 0 → ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ → z' = a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
s : Set M
⊢ SmoothOn I I' f s ↔
  ContinuousOn f s ∧ ∀ (y : M'), SmoothOn I 𝓘(𝕜, E') (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter β
a : α
f.NeBot
⊢ (a +ᵥ f).NeBot
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
m : M
i : ι
⊢ (b.toDual m) (b i) = (b.repr m) i
R : Type u_1
CommRing R
q : Quaternion (DualNumber R)
⊢ (TrivSqZeroExt.fst (Quaternion.dualNumberEquiv q)).imI = TrivSqZeroExt.fst q.imI
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
ι : Type u_5
a : α
t : ι → Set β
⊢ a • ⋂ i, t i = ⋂ i, a • t i
a b : ENNReal
h : a ≤ b
⊢ b⁻¹ ≤ a⁻¹
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ l <+: l.concat a
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
L : Filter F
h : HasGradientAtFilter f f' x L
⊢ (fun x' => f x' - f x) =O[L] fun x' => x' - x
α : Type u_3
Inf α
Top α
⊢ (InfTopHom.id α).toInfHom = InfHom.id α
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
c : Set (ShrinkingLemma.PartialRefinement u s)
i : ι
ne : c.Nonempty
⊢ ShrinkingLemma.PartialRefinement.find c ne i ∈ c
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a⁻ᵐ = a⁻¹ ↔ a ≤ 1
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
⊢ edist x y ≤ edist z x + edist z y
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, f x
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
h✝ h : E.IsPointwiseRightKanExtension
G : L.RightExtension F
f₁ f₂ : G ⟶ E
Y : D
X : StructuredArrow Y L
eq₁ : (((whiskeringLeft C D H).obj L).map f₁.left ≫ E.hom).app X.right = G.hom.app X.right
eq₂ : (((whiskeringLeft C D H).obj L).map f₂.left ≫ E.hom).app X.right = G.hom.app X.right
⊢ f₁.left.app Y ≫ (E.coneAt Y).π.app X = f₂.left.app Y ≫ (E.coneAt Y).π.app X
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ι → Ω → ℝ
hadp : Adapted ℱ f
hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i j : ι), i ≤ j → ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ f i ≤ᶠ[ae μ] μ[f j|↑ℱ i]
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Dist E
l : Filter ι
f f' : ι → α → E
g g' : α → E
h_left : ∀ (i : ι), f i =ᵐ[μ] f' i
h_right : g =ᵐ[μ] g'
h_tendsto : MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f l g
⊢ MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f' l g'
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
t : Affine.Triangle R P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
p₁ p₂ p : P
h₁ : Sbtw R (t.points i₂) p₁ (t.points i₃)
h₂ : Sbtw R (t.points i₁) p₂ (t.points i₃)
h₁' : p ∈ affineSpan R {t.points i₁, p₁}
h₂' : p ∈ affineSpan R {t.points i₂, p₂}
this : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1 := LinearOrderedRing.decidableLT
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h3 : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
⊢ Sbtw R (t.points i₁) p p₁
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
G : Type u_2
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivAt c c' x
hu : HasDerivAt u u' x
⊢ HasDerivAt (fun y => (c y) (u y)) (c' (u x) + (c x) u') x
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e f : Pretrivialization F proj
⊢ (f.symm.trans e.toPartialEquiv).source = (e.baseSet ∩ f.baseSet) ×ˢ Set.univ
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
σ : ι₁ ≃ ι₂
m : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
inst✝ : DecidableEq ι₂
v : ι₂ → M₂
i : ι₂
a : R
b : M₂
this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq
⊢ (m fun i_1 => update (v ∘ ⇑σ) (σ.symm i) (a • b) i_1) = a • m fun i_1 => update (v ∘ ⇑σ) (σ.symm i) b i_1
f : ℂ → ℂ
x : ℂ
hc : DifferentiableAt ℂ f x
⊢ deriv (fun x => Complex.cosh (f x)) x = Complex.sinh (f x) * deriv f x
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ
⊢ k ∉ range (n + 1) → (X ^ k).coeff k * r ^ (n - k) * ↑(n.choose k) = 0
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
Fintype ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
hr₁ : π.IsSubordinate r₁
h : ∀ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I, r₁ x ≤ r₂ x
⊢ π.IsSubordinate r₂
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
a : α
DecidableEq β
t₁ t₂ : Finset β
hf : Function.Injective (f a)
⊢ Finset.image₂ f {a} (t₁ ∩ t₂) = Finset.image₂ f {a} t₁ ∩ Finset.image₂ f {a} t₂
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
a : α
⊢ AddAction.orbit (↥s) a = AddOpposite.op a +ᵥ ↑s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
x : α
hx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ ↑‖f_lim x‖₊ = liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x : P
h : s ⊆ t
⊢ intrinsicClosure 𝕜 s ⊆ intrinsicClosure 𝕜 t
k : Type u
inst✝ : Field k
v : MonicIrreducible k →₀ MvPolynomial (MonicIrreducible k) k
left✝ : v ∈ Finsupp.supported (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) Set.univ
hv : 0 = 1
⊢ False
α : Type u_1
I : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
⊢ IsRelPrime (∏ i ∈ t, s i) x ↔ ∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) x
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Indep B
hBmax : ∀ e ∈ M.E \ B, ¬M.Indep (insert e B)
hnb : ¬M.Base B
⊢ False
d : ℤ
a : Solution₁ d
⊢ a.x ^ 2 = a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 + d * a.y ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
⊢ μ.rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
i j : ι
w : NeWord M i j
⊢ ⟨i, w.head⟩ ∈ w.toList.head?
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedCommMonoid N
f : ι → N
s : Finset ι
⊢ (∀ i ∈ s, f i ≤ 1) → (∏ i ∈ s, f i = 1 ↔ ∀ i ∈ s, f i = 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
StarAddMonoid F
NormedSpace 𝕜 F
StarModule 𝕜 F
ContinuousStar F
f : E → F
x : E
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => star (f y)) x = (↑(starL' 𝕜)).comp (fderiv 𝕜 f x)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
⊢ LinearMap.det ↑(o.rotation θ).toLinearEquiv = 1
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ (deriv fun z => z ^ p * (1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn z)) ~[Filter.atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)
α : Type u
l : List α
⊢ l.isEmpty = true ↔ l = []
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n R
⊢ Function.Surjective A.mulVec ↔ ∃ B, A * B = 1
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : InjectiveResolution X
⊢ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app ((injectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (G.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map P.iso.hom = (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map P.iso.hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex)
α : Type u
f : Ultrafilter α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in ↑f, ¬p x) ↔ ¬∀ᶠ (x : α) in ↑f, p x
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommSemiring R
Semiring α
Algebra R α
⊢ algebraMap R (Matrix n n α) = (Matrix.diagonalRingHom n α).comp (algebraMap R (n → α))
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N ≃ₗ[R] P
m : M
p : P
⊢ (LinearEquiv.rTensor M f).symm (p ⊗ₜ[R] m) = f.symm p ⊗ₜ[R] m
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s t : Set α
⊢ Metric.hausdorffDist (closure s) t = Metric.hausdorffDist s t
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
⊢ ‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ‖ ≤ C * (μ s).toReal
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsSeparatedMap f
g : A → X
cont : Continuous g
inj : Function.Injective g
⊢ IsSeparatedMap (f ∘ g)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
this : pellZd a1 (n + 2) + pellZd a1 n = ↑(2 * a) * pellZd a1 (n + 1)
⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n = 2 * a * xn a1 (n + 1) ∧ yn a1 (n + 2) + yn a1 n = 2 * a * yn a1 (n + 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
hp : p < ⊤
hp' : Free R (M ⧸ p)
x : M
hx : x ∉ p
f : Dual R M
hf : f x ≠ 0
hf' : map f p = ⊥
⊢ ∃ f, f ≠ 0 ∧ map f p = ⊥
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥N
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
m : Fin 2 → ↥M := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hm : LinearIndependent R m
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥N) := Finsupp.instAddCommGroup
⊢ False
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : T
p : T[X]
ha : a ≠ 0
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap T S)
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
a : α
AddCommMonoid β
ha : a ∉ s
f : Finset α → β
⊢ ∑ t ∈ (Finset.cons a s ha).powerset, f t = ∑ t ∈ s.powerset, f t + ∑ t ∈ s.powerset.attach, f (Finset.cons a ↑t ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : WithTop αᵒᵈ
⊢ WithBot.map f (WithTop.ofDual a) = WithTop.map (⇑OrderDual.ofDual ∘ f) a
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ HasFTaylorSeriesUpTo 0 f p ↔ Continuous f ∧ ∀ (x : E), (p x 0).uncurry0 = f x
R : Type u
Semiring R
H : 1 = 0
⊢ Polynomial.X.support = ∅
α : Type u_1
σ : α → Type u_3
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (σ a)
⊢ (l₁.sigma l₂).length = Nat.sum (List.map (fun a => (l₂ a).length) l₁)
Ω✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace E✝
m✝ : MeasurableSpace Ω✝
ℙ✝ : Measure Ω✝
μ✝ : Measure E✝
F✝ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace F✝
ν✝ : Measure F✝
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
hX : AEMeasurable X ℙ
g : E → F
hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν
hmap : (map g (map X ℙ)).HaveLebesgueDecomposition ν
hmX : Measurable X
⊢ map g (μ.withDensity (pdf X ℙ μ)) ≪ ν
X : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.id X = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u_1
cut : α → Ordering
cmp : α → α → Ordering
f : α → α
t : RBNode α
h : Ordered cmp t
c✝ : RBColor
l✝ : RBNode α
v✝ : α
r✝ : RBNode α
x✝ : Path α
H : OnRoot (fun x => cmpEq cmp (f x) x) (node c✝ l✝ v✝ r✝, x✝).fst
eq : RBNode.zoom cut t = (node c✝ l✝ v✝ r✝, x✝)
⊢ Path.RootOrdered cmp x✝ (f v✝) ∧ OnRoot (cmpEq cmp (f v✝)) (node c✝ l✝ v✝ r✝)
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
this : 0 < 2 ^ (n + 1)
⊢ dist (f.transnumAuxSeq n) (f.transnumAuxSeq (n + 1)) < 1 / |2 ^ (n + 1)|
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ hS.δ i j hij ≫ HomologicalComplex.homologyMap S.f j = 0
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosStrictMono α
ha : 1 < a
hb : 1 ≤ b
b0 : 0 < b
⊢ 1 < a * b
a b : Nat
h : a ∣ b
c : Nat
⊢ a * c ∣ b * c
α : Type u_1
p q r : α → α → Prop
a b : α
c : { x // p a x ∧ q x b }
h : ∀ {x : α}, r x ↑c → q x b
⊢ Subtype.val '' {y | r ↑y ↑c} = {y | p a y ∧ r y ↑c}
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
a : α
⊢ Finset.singletonAddHom a = {a}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
x✝ : ∃ a, o = succ a
a : Ordinal.{v}
h : o = succ a
⊢ lift.{u, v} o = succ (lift.{u, v} a)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s✝.destruct t✝.destruct
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct) s t
h : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
a : Option (α × WSeq α)
b : Option (β × WSeq β)
⊢ LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R (fun s t => LiftRel R s t ∨ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct) a b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CountablyGenerated α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y
⊢ ∀ s ∈ range (natGeneratingSequence α), x ∈ s ↔ y ∈ s
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
⊢ s.max ∈ insert ⊥ (Finset.image WithBot.some s)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup
m : Fin 2 →₀ ↥M := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
I : (S.bind T).Arrow
⊢ (T I.fromMiddle).sieve.arrows I.toMiddleHom
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
m n : ℕ
a : G₀
h : n < m
⊢ a ^ (m - n) = a ^ m * (a ^ n)⁻¹
α : Type u
s t : Set α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
⊢ hs.toFinset = ht.toFinset ↔ s = t
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
h : Submodule.span ℝ {x} = Submodule.span ℝ {y}
⊢ 2 • o.oangle x z = 2 • o.oangle y z
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
⊢ abs (cexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial) ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ a + b ∈ Metric.closedBall a r ↔ ‖b‖ ≤ r
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝² : DivInvMonoid M
inst✝¹ : PseudoMetricSpace M
inst✝ : IsometricSMul Mᵐᵒᵖ M
a b c : M
⊢ dist (a / c) (b / c) = dist a b
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w u' : V
p : G.Walk u' u'
⊢ (p.copy ⋯ ⋯).IsCycle ↔ p.IsCycle
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J✝ : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S
h : J ∈ I.minimalPrimes
this✝ : J.IsPrime
K : Ideal R
hK : K.IsPrime
e₁ : comap f I ≤ K
e₂ : K ≤ comap f J
this : RingHom.ker f ≤ K
⊢ J ≤ map f K
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
⊢ Continuous ⇑(ContinuousLinearMap.toWOT 𝕜 E F)
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
as : Multiset α
b : β
bs : Multiset β
⊢ Multiset.Rel r as (b ::ₘ bs) ↔ ∃ a as', r a b ∧ Multiset.Rel r as' bs ∧ as = a ::ₘ as'
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ AffineSubspace.perpBisector p₁ p₂ = AffineSubspace.perpBisector p₂ p₁
n : ℕ
α : Type u_1
i : Fin n
v : Mathlib.Vector α n
⊢ ↑(Mathlib.Vector.eraseIdx i v) = (↑v).eraseIdx ↑i
α : Type u_1
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_7
CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α
i : ι
j : κ i
⊢ ⨅ i, ⨅ j, f i j ≤ f i j
B : Type u_1
M : CoxeterMatrix B
⊢ M.toCoxeterSystem.simple = M.simple
R : Type uR
A : Type uA
M₂ : Type uM₂
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M₂
Algebra R A
Module R M₂
B₂ : LinearMap.BilinMap R M₂ R
a : A
m₂ : M₂
a' : A
m₂' : M₂
⊢ ((LinearMap.BilinMap.baseChange A B₂) (a ⊗ₜ[R] m₂)) (a' ⊗ₜ[R] m₂') = (B₂ m₂) m₂' • (a * a')
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
hd : HasDerivAt d d' x
hx : d x ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun y => c y / d y) ((c' * d x - c x * d') / d x ^ 2) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
h : ∀ (i : ι), p i → ∃ i', p' i' ∧ s' i' ⊆ s i
h' : ∀ (i' : ι'), p' i' → ∃ i, p i ∧ s i ⊆ s' i'
⊢ l ≤ l'
α : Type u_1
β : Type u_2
r s : Rel α β
h : r ≤ s
⊢ r.dom ⊆ s.dom
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
C₁ : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : MonoidalCategory C₁
C₂ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝ : MonoidalCategory C₂
⊢ ∀ {X₁ Y₁ X₂ Y₂ : C₁ × C₂} (f : X₁ ⟶ Y₁) (g : X₂ ⟶ Y₂), f ⊗ g = f ▷ X₂ ≫ Y₁ ◁ g
A : Type u_6
CommRing A
IsDomain A
K : Type u_7
CommRing K
Algebra A K
IsFractionRing A K
z : K
⊢ IsFractionRing.inv A z =
  if h : z = 0 then 0
  else
    IsLocalization.mk' K ↑(IsLocalization.sec (nonZeroDivisors A) z).2 ⟨(IsLocalization.sec (nonZeroDivisors A) z).1, ⋯⟩
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ a * 1 ≤ a * a⁻¹ ↔ a ≤ 1
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
x : G
⊢ x ∈ ⋃ q, quotToDoset H K q ↔ x ∈ Set.univ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range (n + 1), ↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i) = (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ n) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ n)
R : Type u
CommRing R
⊢ nonPrincipals R = ∅ ↔ IsPrincipalIdealRing R
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : G → CoeSort.coe A
⊢ f ∈ groupCohomology.oneCocycles A ↔ ∀ (g h : G), f (g * h) = (A.ρ g) (f h) + f g
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), AEMeasurable (f b) μ
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
c : Cardinal.{u_2}
H : c.IsRegular
⊢ 0 < c
X : Type u_3
TopologicalSpace X
self : LocallyCompactSpace X
x : X
n : Set X
⊢ n ∈ 𝓝 x → ∃ s ∈ 𝓝 x, s ⊆ n ∧ IsCompact s
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)) ↑(p ^ k)
x : CyclotomicField (p ^ k) ℚ
⊢ (∃ y, (algebraMap (CyclotomicRing (p ^ k) ℤ ℚ) (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)) y = x) → IsIntegral ℤ x