ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
e : α → β
b : β
he₁ : UniformInducing e
he₂ : DenseInducing e
hs✝ : s ∈ 𝓤 α
U : Set (β × β)
hs : Prod.map e e ⁻¹' U ⊆ s
hU : U ∈ 𝓤 β
hUo : IsOpen U
hsymm : SymmetricRel U
a : α
ha : e a ∈ UniformSpace.ball b U
ho : IsOpen (UniformSpace.ball (e a) U)
y : β
hy : y ∈ UniformSpace.ball (e a) U
V : Set β
hV : V ∈ 𝓝 y
x : α
hxV : e x ∈ V
hxU : e x ∈ UniformSpace.ball (e a) U
⊢ (V ∩ e '' UniformSpace.ball a (Prod.map e e ⁻¹' U)).Nonempty
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : V1
c : k
⊢ c • p₁ - c • p₀ + p₀ = p₀ - c • p₀ + c • p₁
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ b ∈ [[a, c]] → c ∈ [[a, b]] → b = c
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
⊢ e.symm.toPartialHomeomorph = e.toPartialHomeomorph.symm
a b c b' c' : ℕ
h1 : a.pow b' = c'
hb : 2 * b' = b
hc : c' * c' = c
⊢ (Int.negOfNat a).pow b = Int.ofNat c
J : Type w
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
X Y : C
b : Bicone (pairFunction X Y)
⊢ b.ι WalkingPair.left ≫ b.π WalkingPair.right = 0
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ I.radical.IsRadical
n : ℕ
α : TypeVec.{u} n
F : TypeVec.{u} n → Type v
MvFunctor F
LawfulMvFunctor F
x : F α
⊢ (fun _i a => a) <$$> x = x
α : Type u_4
PseudoMetricSpace α
r : ℝ
h₀ : 0 < r
h₁ : r < 1
⊢ (uniformity α).HasBasis (fun x => True) fun k => {p | dist p.1 p.2 < r ^ k}
a b c : Int
h : -b + a < c
⊢ a < b + c
R : Type u_4
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
e : R ≃+* S
x : R
⊢ e.symm.toNonUnitalRingHom (e.toNonUnitalRingHom x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a✝ b✝ : α
inst✝ : LT α
a : WithBot α
b : α
⊢ a < ↑b ↔ ∃ p, ↑b = ↑p ∧ a < ↑p
S : Type u'
M : Type v
N : Type u_1
α : Type u_2
SetLike S α
VAdd M N
VAdd M α
AddMonoid N
AddAction N α
VAddMemClass S N α
VAddAssocClass M N α
s : S
r : M
x : α
hx : x ∈ s
⊢ r +ᵥ ⟨x, hx⟩ = ⟨r +ᵥ x, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + a) - f x₀‖ ≤ C * ‖x₀ + a - x₀‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
y : E
hy : ‖f (x₀ + y) - f x₀ - f' y‖ ≤ ε * ‖y‖
hyC : ‖f (x₀ + y) - f x₀‖ ≤ C * ‖x₀ + y - x₀‖
⊢ ‖f' y‖ ≤ (C + ε) * ‖y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DistribLattice α
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ c x a : α
⊢ Injective (uIcc a)
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
⊢ ∀ {X Y : Type u} (f : X ⟶ Y) (a : m X), (CategoryTheory.ofTypeMonad m).map f a = f <$> a
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
p q r : P
h : x ≠ y
⊢ ltTrichotomy x y p q r = if x < y then p else r
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ init n (x ^ m) = init n (init n x ^ m)
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.Clopens α
⊢ ↑sᶜ = (↑s)ᶜ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ : CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ (Type v)
ℱ' : CategoryTheory.SheafOfTypes K
α : G.op.comp ℱ ⟶ G.op.comp ℱ'.val
X : Dᵒᵖ
⊢ ∀ (a : ℱ.obj (Opposite.op (Opposite.unop X))),
  (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.presheafHom α).app X a =
    CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.appHom α (Opposite.unop X) a
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 =
  (cs.wordProd (List.drop (j + 1) ω))⁻¹ * (Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * cs.wordProd (List.drop (j + 1) ω)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f μ
hμt : μ univ < ⊤
this : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closedBall 0 C
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : ¬p.castSucc < a
hb : p.castSucc < b
⊢ a.castPred ⋯ ≤ b.pred ⋯
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hi : ∀ m < n, 1 < m → (cyclotomic m R).coeff 0 = 1
hn : 1 < n
⊢ (cyclotomic n R).coeff 0 = 1
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
x : 𝓞 K
h : ¬hζ.toInteger - 1 ∣ x
⊢ (hζ.toInteger - 1) ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1 ∨ (hζ.toInteger - 1) ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
g : γ → β
hg : Function.Injective g
⊢ HasSum (fun x => f ↑x) a ↔ HasSum (f ∘ g) a
b : Bool
⊢ (¬b = true) = (b = false)
α : Type u_2
OrderedAddCommGroup α
s : Interval α
⊢ (-s).length = s.length
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b : G₀
p : (g : G₀) → g ≠ 0 → Prop
⊢ (∃ g hg, p g hg) ↔ ∃ g hg, p ↑(mk0 g hg) ⋯
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
x : C
⊢ (∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x) ↔ ∃ y z, ↑y * ↑z = x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)
⊢ ⟪1, ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ⟫_𝕜 = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.append SimpleGraph.Walk.nil = p
c : Cardinal.{u}
⊢ 𝔠 < lift.{v, u} c ↔ 𝔠 < c
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
⊢ p.length + ↑i + 1 < (p.length + q.length + 1).succ
M✝ : Type u_1
inst✝² : Monoid M✝
s✝ : Set M✝
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
m : Multiset M
l : List M
hl : ∀ a ∈ ⟦l⟧, a ∈ s
⊢ Multiset.prod ⟦l⟧ ∈ s
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
M : Type u_5
N : Type u_6
Pₗ : Type u_12
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid Pₗ
Module R M
Module S N
Module R Pₗ
Module S Pₗ
SMulCommClass S R Pₗ
R' : Type u_16
S' : Type u_17
Semiring R'
Semiring S'
Module R' M
Module S' N
Module R' Pₗ
Module S' Pₗ
SMulCommClass S' R' Pₗ
SMul S' S
IsScalarTower S' S N
IsScalarTower S' S Pₗ
SMul R' R
IsScalarTower R' R M
IsScalarTower R' R Pₗ
⊢ Function.Injective (LinearMap.restrictScalars₁₂ R' S')
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t✝ : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
α : Type u_5
β : Type u_6
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
e : r ≃r s
t : Set β
⊢ ⇑e ⁻¹' t = ⇑e.symm '' t
α : Type u_1
β β' : Type v
m : Multiset α
f : α → β
f' : α → β'
h : β = β'
hf : ∀ a ∈ m, HEq (f a) (f' a)
⊢ HEq (Multiset.map f m) (Multiset.map f' m)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β
abv : β → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : Nontrivial β
x : β
hx1 : abv x < 1
hx1' : abv x ≠ 1
⊢ IsCauSeq abv fun n => ∑ m ∈ range n, x ^ m
α : Type u_3
Group α
a : α
⊢ (↑(Subgroup.zpowers a)).Finite ↔ IsOfFinOrder a
d₁ d₂ : ManyOneDegree
⊢ d₁ ≤ d₁ + d₂
x y : ℤ
⊢ dist ↑↑x ↑↑y = dist ↑x ↑y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
⊢ centroid k fs₁ s.points = centroid k fs₂ s.points ↔ fs₁ = fs₂
m n : ℕ
⊢ 0 < m → 0 < n → 0 < m.lcm n
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0
⊢ (x + y) ^ m ∣ x ^ p
R : Type u
CommRing R
hdomain : IsDomain R
r : R
⊢ Function.Injective ⇑(RatFunc.laurent r)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c : 𝕜 → 𝕜'
d : 𝕜'
⊢ deriv (fun x => c x / d) x = deriv c x / d
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
ε : ℝ≥0∞
h : 0 < ε
⊢ x ∈ EMetric.ball x ε
n p k : ℕ
pp : Prime p
l : ℕ
h : l ≤ k + 1
h₁ : ¬p ^ l ∣ p ^ k
h₂ : p ^ l ∣ p ^ (k + 1)
⊢ p ^ l = p ^ (k + 1)
α : Sort u_1
cmp : α → α → Ordering
self : Batteries.OrientedCmp cmp
x y : α
⊢ (cmp x y).swap = cmp y x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
n : ℕ∞
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
t : Finset ι
f : ι → E → 𝔸'
h : ∀ i ∈ t, ContDiffAt 𝕜 n (f i) x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun y => ∏ i ∈ t, f i y) x
R S : Type u
M : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'✝
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
M' : Submodule R M
this✝ : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝¹ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set (M ⧸ M')
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
t : Set ↥M'
ht : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ t }) R Subtype.val
⊢ #↑↑⟨s, hs⟩ + #↑↑⟨t, ht⟩ ≤ Module.rank R M
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p q : Multiset (Associates α)
hp : ∀ a ∈ p, Irreducible a
hq : ∀ a ∈ q, Irreducible a
c : Associates α
eqc : q.prod = p.prod * c
⊢ q.prod = (p + factors c).prod
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x✝ y : R✝
r : ℝ
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
x : ℤ
f : MulRingNorm R
⊢ f ↑x.natAbs = f ↑x
R✝ : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R✝
S : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing P
inst✝⁹ : Algebra R✝ P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R₁
K✝ : Type u_4
inst✝⁷ : Field K✝
inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝
inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝
inst✝⁴ : IsDomain R₁
R : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = 0
h : a = 0
⊢ False
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length
⊢ some l[(m + n) % l.length] = l[(m + n) % l.length]?
α : Type u_1
a b c : ZNum
⊢ ↑a ≤ ↑b → ↑c + ↑a ≤ ↑c + ↑b
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.Scheme
f : U ⟶ TopCat.of ↑↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f
V W : (TopologicalSpace.Opens ↑↑(X.restrict h).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
i : V ⟶ W
⊢ (X.restrict h).presheaf.map i = X.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₁ * d₂
h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0
a' : α
ha' : a = d₁ ^ k * a'
⊢ Associated (d₁ ^ k) a
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ↪o β
he : (Set.range ⇑e).OrdConnected
x y : α
⊢ ⇑e '' Set.Ioc x y = Set.Ioc (e x) (e y)
n : ℕ
j k : Fin n
⊢ ↑↑j < ↑↑k ↔ j < k
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
PartialOrder N
⊢ (Contravariant M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1) → Contravariant M N μ fun x x_1 => x < x_1
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ schnirelmannDensity A * ↑n ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : B < 0
⊢ ‖(map f p).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ d * ↑(d.choose (d / 2))
α β : Type u
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 1 ≤ ↑n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
K L : CochainComplex C ℤ
n a n' : ℤ
hn : n + a = n'
⊢ ∀ (a_1 : CochainComplex.HomComplex.Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'),
  (CochainComplex.HomComplex.Cochain.leftShiftLinearEquiv R K L n a n' hn).symm a_1 = a_1.leftUnshift n hn
α : Type u_1
One α
a : αᵃᵒᵖ
⊢ AddOpposite.unop a = 1 ↔ a = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ s ≠ insert a t
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
⊢ (CategoryTheory.eq m).counitIso = CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun X => CategoryTheory.Iso.refl X) ⋯
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n k : ℕ
aux : ∀ (m : ℕ), 0 < ↑p ^ m
⊢ ↑p ^ n ≤ ↑p ^ k ↔ n ≤ k
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
p₀ p₁ : P1
⊢ (AffineMap.lineMap p₀ p₁).linear = LinearMap.id.smulRight (p₁ -ᵥ p₀)
R : Type u_1
Semiring R
k m n : ℕ
u v : R
hkm : k < m
hmn : m < n
⊢ (Polynomial.trinomial k m n u v 1).Monic
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ a = ⊥ ∨ ⊥ < a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.250887, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
n' m' : ℤ
α' : Cochain F L m'
β' : Cochain G L n'
h : n + 1 = m
h' : m' + 1 = n'
p : ℤ
hp : n + n' = p
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂
h₂₃ : p₂ + n' = p₃
q : ℤ
hq : p₁ + m = q
⊢ (liftCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (descCochain φ α' β' h').v p₂ p₃ h₂₃ = α.v p₁ q hq ≫ α'.v q p₃ ⋯ + β.v p₁ p₂ h₁₂ ≫ β'.v p₂ p₃ h₂₃
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
β : Type u_1
s : Finset β
f : n → β → α
i j x✝ : n
⊢ (∑ x ∈ s, fun j => f j x) j = ∑ x ∈ s, f j x
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set Y
⊢ frontier (univ ×ˢ s) = univ ×ˢ frontier s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : E
y : H
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (range ↑I)
α : Type u
r s : α → α → Prop
IsNonstrictStrictOrder α r s
a b : α
⊢ s a b ↔ r a b ∧ ¬r b a
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
hf : S.W f
n : ℤ
⊢ S.W ((shiftFunctor C n).map f)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M''
Module R M'
Module R M''
e : M' ≃ₗ[R] M''
B : LinearMap.BilinForm R M
l r : M' →ₗ[R] M
⊢ (LinearMap.BilinForm.congr e) (B.comp l r) = B.comp (l ∘ₗ ↑e.symm) (r ∘ₗ ↑e.symm)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsCoatomistic α
b : αᵒᵈ
⊢ ∃ s, b = sSup s ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a
n : ℕ
α : Type u_1
l : List α
c : Composition n
i : ℕ
hi : i < (l.splitWrtComposition c).length
⊢ (l.splitWrtComposition c).get ⟨i, hi⟩ = drop (c.sizeUpTo i) (take (c.sizeUpTo (i + 1)) l)
α : Type u_1
β : Type u_2
T : Set (Set β)
hT : T.Nonempty
s : Set α
⊢ s ×ˢ ⋂₀ T = ⋂ t ∈ T, s ×ˢ t
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0
k : ℕ
hk : k < padicValNat p n
⊢ p ^ (k + 1) ≠ 1 ∧ p ^ (k + 1) ∣ n ∧ n ≠ 0
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (regionBetween f g s)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β
g : β → α
h : LeftInverse f g
x : β
xs : List β
⊢ map f (map g (x :: xs)) = x :: xs
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : ¬p = 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ p.reverse.leadingCoeff * (X ^ p.natTrailingDegree).leadingCoeff ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
α β : F ⟶ G
h : α = β
X : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
⊢ ((CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.functorOfNatTransEq h).hom.app X).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.V
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.uIcc a c ⊆ Set.uIcc a b ∪ Set.uIcc b c
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
s : Finset ι
g : ι → K
eq : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0
j' : ι
hj's : j' ∈ s
hj'g : ¬g j' = 0
a : K
j : ι
hjs : j ∈ s
hgI : a * g j ∉ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))
g'' : (i : ι) → i ∈ s → R
hg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), (algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i
this : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable
g' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0
hg' : ∀ i ∈ s, (algebraMap R K) (g' i) = a * g i
⊢ ∃ x, ∃ (_ : ∑ i ∈ s, x i • (⇑f' ∘ b) i = 0), ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ s), ¬x x_1 = 0
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n + 1
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
ha : ∀ (s : Finset ι), s.Nonempty → s ≠ univ → s.card < (s.biUnion t).card
this✝ : Nonempty ι
this : DecidableEq ι
x : ι := Classical.arbitrary ι
tx_ne : (t x).Nonempty
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
∀ (j : J), Finite (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
i : J
⊢ Function.Surjective fun s => ↑s i
m n : ℕ
hn : Odd n
hm : m ∣ n
⊢ Odd m
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) * g i = ∑ i ∈ s, f i * g i ↔ AntivaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∉ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
⊢ x ∈ s
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p.natDegree ∈ p.support
⊢ gcd (p.coeff p.natDegree) ((p.support.erase p.natDegree).gcd p.coeff) = gcd (p.coeff p.natDegree) ((p.support.erase p.natDegree).gcd p.eraseLead.coeff)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F✝ F' : C ⥤ D
G✝ : D ⥤ E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
H : C ⥤ E
inst✝¹ : H.Full
inst✝ : G.Faithful
h : F ⋙ G ≅ H
⊢ F.Full
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis s
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (s \ {∅})
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ i)
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
s : ι → Set α := fun i => toMeasurable (μ i) {x | f x ≠ mk f ⋯ x}
hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0
hsm : MeasurableSet (⋂ i, s i)
⊢ AEMeasurable f (sum μ)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
⊢ Function.Involutive SimpleGraph.Dart.symm
n m : Nat
H : n ∣ m
⊢ m / n * n = m
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), TotallyBounded (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ ⋃ i, s i ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U}
R : Type u
Preorder R
⊢ ⇑Tropical.tropOrderIso = Tropical.trop
α : Type u_1
a : Lists α
l₁ l₂ : Lists' α true
⊢ l₁ ⊆ l₂ → a ∈ l₁.toList → a ∈ l₂
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
K_pos : 0 < K
⊢ 0 ≤ f.rOut
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
⊢ μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
X Y : LightProfinite
f : X ⟶ Y
h : EffectiveEpi f
⊢ Function.Surjective ⇑f
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.φ 4 = C X * C W.preΨ₄ ^ 2 * W.ψ₂ ^ 2 - C W.preΨ₄ * W.ψ₂ ^ 4 * C W.Ψ₃ + C W.Ψ₃ ^ 4
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
⊢ log b r⁻¹ = -clog b r
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w ↔ w.mult ≤ (w.comap (algebraMap k K)).mult
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
⊢ f.range = FirstOrder.Language.Substructure.map f ⊤
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
m : M
hm : ∀ (x x_1 : L), ∃ k, ((toEnd R L M) x_1 ^ k) ⁅x, m⁆ = 0
⊢ ∀ (x : L), ∃ k, ((toEnd R L M) x ^ k) m = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
h : 𝓝 0 = AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter
⊢ WithSeminorms p
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
x : M
⊢ (ι R) x ≠ 1