ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ι → Set α
t : Finset ι
⊢ MeasureTheory.ae (μ.restrict (⋃ i ∈ t, s i)) = ⨆ i ∈ t, MeasureTheory.ae (μ.restrict (s i))
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
hbc : b ≤ c
ha : a ≤ 1
⊢ b * a ≤ c
α : Sort u_1
b c : Prop
x y u v : α
s : Decidable b
Decidable c
h₁ : b = c
h₂ : c → x = u
h₃ : ¬c → y = v
⊢ ite b x y = ite c u v
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ (a * b).primeFactors = a.primeFactors ∪ b.primeFactors
X : Type u_1
R : Type u_2
TopologicalSpace X
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
I : Ideal C(X, R)
x : X
⊢ x ∉ ContinuousMap.setOfIdeal I ↔ ∀ ⦃f : C(X, R)⦄, f ∈ I → f x = 0
M : Type u_5
N : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ (MonoidHom.snd M N).comp (MonoidHom.inl M N) = 1
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
ContinuousMul G
U : Set G
h : IsClosed U
x : G
⊢ IsClosed (MulOpposite.op x • U)
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
i : ι
hs : i ∈ s
⊢ y i ∈ Set.Ioc ((I.lower i + I.upper i) / 2) (I.upper i) ↔ y i ∈ Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i) ∧ (I.lower i + I.upper i) / 2 < y i
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
this✝¹ : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this✝ : IsCentralScalar R M
this : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x : K[X]
hx : x = 0
⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Finset.fold (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⊥ singleton s = s
𝕜 : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Ring A✝
A : Type u_4
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ha : (spectrum ℝ a).Nonempty
⊢ (spectralRadius ℝ a).toReal ∈ spectrum ℝ a ∨ -(spectralRadius ℝ a).toReal ∈ spectrum ℝ a
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P
f : M →ₗ[R'] N
x : M
⊢ (map f) (inr x) = inr (f x)
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ (s₁ ∪ s₂) ⊼ t = s₁ ⊼ t ∪ s₂ ⊼ t
n : ℕ
⊢ (Finset.range (n + 1)).Nonempty
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
hs : Convex 𝕜 s
z x : E
hx : x ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h : a • (fun x => z + x) x + b • (fun x => z + x) y ∈ s
⊢ a • x + b • y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X n ⟶ X (n + 1)
sq : ∀ (n : α), d n ≫ d (n + 1) = 0
i j : α
h : i + 1 ≠ j
⊢ (if h : i + 1 = j then d i ≫ eqToHom ⋯ else 0) = 0
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤
iso : ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] E := { toFun := fun e => ↑e, invFun := fun e => ⟨e, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
H : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F ↥F⟮α⟯) (minpoly F α)
⊢ (E ≃ₐ[F] E) ≃ ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] ↥F⟮α⟯
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
inst✝ : Fintype α
l : List α
h : l.Nodup
h' : ∀ (x : α), l ≠ [x]
⊢ l.formPerm.support = l.toFinset
α β : Type u_1
⊢ (fun x x_1 => x >>= x_1) = Semiquot.bind
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
f : M →ₗ[R] M'
hfv : LinearIndependent R (⇑f ∘ v)
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
his : i ∈ s
⊢ ∑ i ∈ s, g i • f (v i) = 0
a : Int
⊢ a ≤ ↑a.natAbs
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ (E.indicator fun x => 1) ≤ thickenedIndicatorAux δ E
K : Type u
V : Type v
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
s : Submodule K V
Module.Free K ↥s
⊢ Module.rank K ↥s ≤ 1 ↔ ∃ v₀ ∈ s, s ≤ Submodule.span K {v₀}
α : Type u_1
le : α → α → Bool
s' s : Heap α
eq : Option.map (fun x => x.snd) (deleteMin le s) = some s'
⊢ s.realSize = s'.realSize + 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
⊢ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom = 𝟙_ C ◁ (λ_ X).hom
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
⊢ eval 1 (cyclotomic n ℤ) = 1 ∨ eval 1 (cyclotomic n ℤ) = -1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
⊢ T1Space E
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
Semiring B
Algebra R B
StarRing B
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
StarAlgHomClass F R A B
f g : F
x : A
⊢ x ∈ StarAlgHom.equalizer f g ↔ f x = g x
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
hpos₁ : 0 < ε₁
hpos₂ : 0 < ε₂
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ (h.convergenceR ε₁ c₁) π₁
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ (h.convergenceR ε₂ c₂) π₂
HU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
π : Prepartition I
hπU : π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion
hπc₁ : l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₁
hπc₂ : l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₂
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun x => min (h.convergenceR ε₁ c₁ x) (h.convergenceR ε₂ c₂ x)
πr : TaggedPrepartition I := π.toSubordinate r
H₁ : dist (integralSum f vol (π₁.unionComplToSubordinate π hπU r)) (integral I l f vol) ≤ ε₁
⊢ dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε₁ + ε₂
r : ℝ
⊢ 𝓝 ↑r = Filter.map Real.toEReal (𝓝 r)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x
f : ι' → ι
hf : Function.Injective f
⊢ AlgebraicIndependent R (x ∘ f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z✝ : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
e : X ≃ Y
he : ∀ (s : Set Y), IsOpen (⇑e ⁻¹' s) ↔ IsOpen s
s : Set X
⊢ IsOpen s → IsOpen (e.invFun ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ e.symm.trans e ≈ PartialEquiv.ofSet e.target
α : Type u_1
y : α
Fintype { x // y = x }
⊢ Fintype.card { x // y = x } = 1
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
⊢ ⋃ x, (chartAt H x).source = Set.univ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSpace.comap id m = m
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
v : M
x : CliffordAlgebra Q
fx : N
⊢ ((foldr'Aux Q f) v) (((foldr'Aux Q f) v) (x, fx)) = Q v • (x, fx)
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j ≤ i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
f : findIdx p xs ≤ i
⊢ False
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
⊢ infEdist x s ≤ infEdist x (cthickening δ s) + ENNReal.ofReal δ
G : Type u_3
Group G
a b c : G
h : b * a = c
⊢ a = b⁻¹ * c
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s✝ : Set α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
t : Set ↑s
c : ↑s
hct : c ∈ t
B : ↑s
hB : B ∈ lowerBounds t
⊢ ↑B ≤ sInf (Subtype.val '' t)
xl xr : Type u
x x' : PGame
⊢ (∀ (i : x.LeftMoves), (∃ i', x.moveLeft i ≤ (x.insertLeft x').moveLeft i') ∨ ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ x.insertLeft x') ∧ ∀ (j : (x.insertLeft x').RightMoves), (∃ i, x ≤ ((x.insertLeft x').moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', x.moveRight j' ≤ (x.insertLeft x').moveRight j
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
h_ninj : ¬Set.InjOn (lfpApprox f x) (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord)
⊢ ∃ a < (succ #α).ord, ∃ b < (succ #α).ord, a ≠ b ∧ lfpApprox f x a = lfpApprox f x b
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
n : ℕ
⊢ f (x + Int.negSucc n • a) = f x + Int.negSucc n • b
a x z✝ z : ℂ
hre : 0 < z.re
⊢ (0 ≤ z.re ∨ 0 ≤ z.im) ∧ ¬(z.re = 0 ∧ z.im < 0) ↔ 0 < z.re ∨ 0 ≤ z.im
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : Aᵀ * J l R * A = J l R
⊢ -J l R * (Aᵀ * J l R * A) = -J l R * J l R
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
i : N →ₗ[R] M
r : M →ₗ[R] N
h : r ∘ₗ i = LinearMap.id
I : Ideal R
hI : I.FG
h₁ : Function.Injective ⇑(lTensor R i)
⊢ Function.Injective ⇑(rTensor N (Submodule.subtype I))
𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.castSucc) (Ei (Fin.last n) →L[𝕜] G)
m : (i : Fin n.succ) → Ei i
⊢ f.uncurryRight m = (f (Fin.init m)) (m (Fin.last n))
P : Type u_1
Preorder P
D : Order.Cofinal P
x : P
⊢ D.above x ∈ D
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ max (#R) (lift.{u, 0} #ℕ) = max #R ℵ₀
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g : G ⧸ torsion G
hne : g ≠ 1
hfin : IsOfFinOrder g
⊢ g = 1
α : Type u_1
Mul α
IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
Zero α
Preorder α
⊢ PosMulReflectLE α ↔ MulPosReflectLE α
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
A : Matrix n n α
hA : A ∈ Matrix.unitaryGroup n α
⊢ A.det ∈ unitary α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪↑v, x⟫_𝕜 = ⟪↑v, y⟫_𝕜
u : E
hu : u ∈ K
⊢ ⟪u, x⟫_𝕜 = ⟪u, y⟫_𝕜
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
s : Set ((i : ι) → α i)
hs : s.Subsingleton
⊢ IsWeakAntichain s
α : Type u_1
r : Rel α α
p : RelSeries r
newHead : α
rel : r newHead p.head
⊢ (p.cons newHead rel).length = p.length + 1
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : ℕ → α
⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : i > 0), f i = ⨆ i, f (i + 1)
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α
⊢ Disjoint a aᶜ
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
rs : List R
⊢ RingTheory.Sequence.IsRegular M (r :: rs) ↔ IsSMulRegular M r ∧ RingTheory.Sequence.IsRegular (QuotSMulTop r M) rs
X Y : CommGrp
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : ↑X), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp (a + m • p) b = toIocMod hp a b + m • p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t : Finset α
⊢ (s ⊼ t).Nonempty → t.Nonempty
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ ¬M.Indep X ↔ M.Dep X
α : Type u_1
r : Rel α α
p q : RelSeries r
connect : p.last = q.head
i : Fin p.length
⊢ (p.smash q connect).toFun (Fin.castAdd q.length i).castSucc = p.toFun i.castSucc
α : Type u
x : Tree α
⊢ x.numLeaves = x.numNodes + 1
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
a : I
z : I → Bool
hz : z ∈ C
hx : ↑⟨Proj (fun x => x ∈ s) z, ⋯⟩ a = true
⊢ a ∈ s
R : Type u_1
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
e : M ≃ₗ[R] M₂
⊢ e.conj LinearMap.id = LinearMap.id
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ deriv rexp = rexp
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hdiv : p ∣ 0
⊢ (expand R p) (cyclotomic 0 R) = cyclotomic (0 * p) R
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
s : Set α
⊢ BddAbove (closure s) → BddAbove s
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ |0| = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : R0Space X
x y✝ : X
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hxU : closure {x} ⊆ ⋃ i, U i
i : ι✝
hi : x ∈ U i
y : X
hy : y ⤳ x
⊢ y ∈ ⋃ i_1 ∈ {i}, U i_1
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
⊢ a / 0 = 0
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : i < c.length
⊢ 0 < c.blocks[i]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
K.HasHomology i
⊢ K.homologyι i ≫ K.fromOpcycles i j = 0
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
L : Type u_4
Field L
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsDedekindDomain A
⊢ IsDedekindDomain ↥(integralClosure A L)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ LieAlgebra.center R L
y : L
⊢ Commute ((LieModule.toEnd R L M) x) ((LieModule.toEnd R L M) y)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
x : N
⊢ AddMonoid.Coprod.toSum (AddMonoid.Coprod.inr x) = (0, x)
b✝ x y a b : ℝ
h₁ : a ≠ 0
h₂ : b ≠ 0
c : ℝ
⊢ logb c (a / b) = logb c a - logb c b
α : Type u_1
Denumerable α
v : ℕ
⊢ Denumerable.ofNat (List α) v.succ = Denumerable.ofNat α (Nat.unpair v).1 :: Denumerable.ofNat (List α) (Nat.unpair v).2
α : Type u
f : α → α
a : α
⊢ (Stream'.iterate f a).tail = Stream'.iterate f (f a)
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
DecidableEq α
f : α → β
s t : Finset α
⊢ ⨅ x ∈ s ∪ t, f x = (⨅ x ∈ s, f x) ⊓ ⨅ x ∈ t, f x
a b : ℝ≥0∞
⊢ a + b < ⊤ ↔ a < ⊤ ∧ b < ⊤
α : Type u_1
s : Set α
f : α → α
h : Set.EqOn f id s
⊢ f '' s = s
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
⊢ (map Prod.swap ρ).fst = ρ.snd
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ MonotoneOn (f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) s ↔ AntitoneOn f s
G : Type u_1
AddGroup G
s : AddSubgroup G
⊢ AddAction.stabilizer G ↑s = s
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
g : C(Y, Z)
hg : Inducing ⇑g
⊢ compactOpen = induced g.comp compactOpen
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : β → α → β
b : β
a✝ : α
l✝ : List α
a : β
x : α
l : List α
⊢ (scanl f (f a x) l).length = l.length + 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
htendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (ENNReal.ofReal I))
⊢ Integrable f μ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ b - ⌊(b - a) / p⌋ • p = a + ((b - a) / p - ↑⌊(b - a) / p⌋) * p
p q : ℚ
s t : Set ℚ
H : (cocompact ℚ).IsCountablyGenerated
⊢ False
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
n : ℕ
⊢ x ^ (y + ↑n) = x ^ y * x ^ n
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝ : Algebra R F
pb : PowerBasis R S
hf : Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)
this✝ : Nontrivial R
this : (minpoly R pb.gen).Monic
⊢ (algebraMap R F) ((norm R) pb.gen) = ((minpoly R pb.gen).aroots F).prod
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospan f g).obj CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.right = Y
α : Type u
s t : Set α
⊢ (s ⊆ t) = ∀ x ∈ s, x ∈ t
q : ℍ
⊢ (NormedSpace.exp ℝ q).im = (NormedSpace.exp ℝ q.re * (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖)) • q.im
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : p.last = q.head
i : Fin p.length
⊢ p.toFun ⟨↑i, ⋯⟩ = p.toFun i.castSucc
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
FunLike F α β
CommMonoid α
CommMonoid β
MonoidHomClass F α β
f : F
m : Multiset (Set α)
⊢ ⇑f '' m.prod = (Multiset.map (fun s => ⇑f '' s) m).prod
α : Type u
l✝ l' l : List α
h : l ≠ []
⊢ l.cyclicPermutations.length = l.length
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
R : Type u_13
𝕜' : Type u_16
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedRing R
NormedDivisionRing 𝕜'
c c' : ℝ
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
Module R E'
BoundedSMul R E'
Module 𝕜' F'
BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : Asymptotics.IsBigOWith c l k₁ k₂
h₂ : Asymptotics.IsBigOWith c' l f' g'
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (c * c') l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ max a b / min a b = mabs (b / a)
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (0 < n) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
pos_n : 0 < ↑n
⊢ 0 < e
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : 1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (b : Solution₁ d), ∃ n, b = a ^ n ∨ b = -a ^ n
h₀ : 0 < d
⊢ IsFundamental a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
f : D ≌ E
X : C
⊢ f.functor.map ((f.unitIso.hom.app (e.functor.obj X) ≫ 𝟙 ((𝟭 D).obj (f.inverse.obj (f.functor.obj (e.functor.obj X))))) ≫ f.unitInv.app (e.functor.obj X)) = 𝟙 (f.functor.obj (e.functor.obj X))
F : Type u
Field F
K : Type v
Field K
Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Polynomial.Splits (algebraMap F K) f
⊢ (f.aroots K).Nodup ↔ f.Separable
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
x : X
⊢ ∑ᶠ (i : ι), (f i) x ≤ 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
s : Set α
z : β
⊢ UpperSemicontinuousOn (fun _x => z) s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ENNReal
hf : AEMeasurable f μ
hf_nontop : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hg_nontop : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ ⊤
hf_nonzero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ 0
hg_nonzero : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ 0
⊢ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens
e₁ : Hom.app ((X.restrictFunctor.map i).left ≫ V.ι) (V.ι ''ᵁ W) = Hom.app U.ι (V.ι ''ᵁ W) ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
⊢ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
f : (n' → R) →ₗ[R] n → R
⊢ (toMatrix₂' R) (B.compl₁₂ f id) = (toMatrix' f)ᵀ * (toMatrix₂' R) B
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X
d : DiscreteQuotient X
x✝ : Set X
⊢ (∃ a, d.proj ⁻¹' {a} = x✝) ↔ ∃ y, x✝ = {x | Setoid.r x y}
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : σ →₀ ℕ
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ ((monomial s) a).degrees = toMultiset s
R : Type u
inst✝ : Ring R
q : ℕ
x y : R
h : Commute x y
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)
⊢ (x - y) ^ q = x ^ q - y ^ q
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ U.obj
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ V.obj
gV : F.obj (op V')
e : F.germ ⟨x, mU⟩ gU = F.germ ⟨x, mV⟩ gV
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gV
W : Opens ↑X
mW : x ∈ W
iU' : W ⟶ U'
iV' : W ⟶ V'
e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV
⊢ ∃ iU iV, ∀ (w : ↥{ obj := W ⊓ (U' ⊓ V'), property := ⋯ }.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
y : L'
h₁ : Function.Surjective ⇑f
h₂ : y ∈ map f I
⊢ ∃ x, f ↑x = y
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ 1 ≤ I * (1 / I)
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hg : ¬g = 0
hfg : ¬f + g = 0
hf : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
⊢ valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (valAux K v O hv p f) (valAux K v O hv p g)