ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
IsDomain R
IsDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
IsIntegrallyClosed R
x : S
hx' : IsIntegral R x
⊢ minpoly R x = minpoly R (Algebra.adjoin.powerBasis' hx').gen
α : Type u_2
i : TopologicalSpace α
u : UniformSpace α
h : i = UniformSpace.toTopologicalSpace
⊢ u.replaceTopology h = u
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : J.sheafify P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : J.toSheafify P ≫ η = J.toSheafify P ≫ γ
⊢ J.toPlus P ≫ J.toPlus (J.plusObj P) ≫ η = J.toPlus P ≫ J.toPlus (J.plusObj P) ≫ γ
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
DivisionRing K
AddCommGroup V
AddCommGroup V'
Module K V
Module K V'
p : Submodule K V
f : ↥p →ₗ[K] V'
⊢ ∃ g, g ∘ₗ p.subtype = f
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle (x - y) x).sin * ‖x - y‖ = ‖y‖
b : Prop
a : Sort u_1
c : Prop
Decidable b
⊢ a → b ∨ c ↔ (a → b) ∨ (a → c)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : (f a).Results b n
this : a ∈ s
⊢ (s.bind f).Results b (n + m)
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ
hl6 : Integrable (Xp * Ym - Xm * Ym) μ
⊢ integral μ Xp * integral μ Yp - integral μ Xm * integral μ Yp - (integral μ Xp * integral μ Ym - integral μ Xm * integral μ Ym) = (∫ (a : Ω), Xp a ∂μ - ∫ (a : Ω), Xm a ∂μ) * (∫ (a : Ω), Yp a ∂μ - ∫ (a : Ω), Ym a ∂μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
g : β → γ
f : α → β
R S : RegularExpression α
⊢ map g (map f (R.comp S)) = map (g ∘ f) (R.comp S)
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s : Submodule K V
⊢ s.FG ↔ FiniteDimensional K ↥s
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
IsAlgClosed k
Finite σ
P : Ideal (MvPolynomial σ k)
h : P.IsPrime
⊢ MvPolynomial.vanishingIdeal (MvPolynomial.zeroLocus P) = P
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
⊢ ∃ f, Inducing f
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁰ : Module k V₁
inst✝⁹ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁸ : AddCommGroup V₂
inst✝⁷ : Module k V₂
inst✝⁶ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝⁵ : AddCommGroup V₃
inst✝⁴ : Module k V₃
inst✝³ : AffineSpace V₃ P₃
inst✝² : AddCommGroup V₄
inst✝¹ : Module k V₄
inst✝ : AffineSpace V₄ P₄
e : P₁ ≃ P₂
el : V₁ ≃ₗ[k] V₂
h : ∀ (p : P₁) (v : V₁), e (v +ᵥ p) = el v +ᵥ e p
e' : P₁ ≃ P₂
el' : V₁ ≃ₗ[k] V₂
h' : ∀ (p : P₁) (v : V₁), e' (v +ᵥ p) = el' v +ᵥ e' p
H : ↑{ toEquiv := e, linear := el, map_vadd' := h } = ↑{ toEquiv := e', linear := el', map_vadd' := h' }
⊢ { toEquiv := e, linear := el, map_vadd' := h } = { toEquiv := e', linear := el', map_vadd' := h' }
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
W : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} W
CategoryTheory.Preadditive W
F : V ⥤ W
F.Additive
h : HomotopyEquiv C D
⊢ (F.mapHomotopyEquiv h).inv = (F.mapHomologicalComplex c).map h.inv
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
e : M ≃* N
⊢ Function.Injective fun f => f.comp ↑e
x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ padicValNat p (x ^ n - y ^ n) = padicValNat p (x - y) + padicValNat p n
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
x y : ℕ × K
⊢ PerfectClosure.mk K p x * PerfectClosure.mk K p y =
  PerfectClosure.mk K p (x.1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] y.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
h : ∀ k < n, c * u k ≤ u (k + 1)
⊢ c ^ n * u 0 ≤ u n
⊢ (fun τ => jacobiTheta τ - 1) =O[Filter.comap Complex.im Filter.atTop] fun τ => rexp (-π * τ.im)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : x ∈ s
H : hausdorffDist s t < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
r0 : 0 < r
this : hausdorffEdist s t < ENNReal.ofReal r
⊢ ∃ y ∈ t, dist x y < r
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ
⊢ Submodule.map (((f.tunnel' i n).fst.subtype ∘ₗ ↑(f.tunnel' i n).snd.symm) ∘ₗ f) (Submodule.snd R M N) ≤ OrderDual.ofDual ((f.tunnel i) n)
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
N : Submodule R S
y : R
n : ↥N
⊢ N.lTensorOne' ((algebraMap R ↥⊥) y ⊗ₜ[R] n) = y • n
A : FintypeCat
⊢ ↑(FintypeCat.toLightProfinite.obj A).toTop = ↑A
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
I J : Ideal R₁
hJ : ↑J ≤ ↑I
⊢ (↑↑J).FG
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hg : Memℒp g p μ
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g
⊢ UnifIntegrable (fun n => f n - g) p μ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≤ I
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
P : ProjectiveResolution Z
⊢ P.complex.d 1 0 ≫ P.π.f 0 = 0
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
H : denom g z = 0
DET : 0 < ↑(GeneralLinearGroup.det ↑g)
hz : 0 < (↑z).im
⊢ False
K : Type u_1
DivisionRing K
p : K[X]
⊢ p.degree + (Polynomial.C p.leadingCoeff⁻¹).degree = p.degree
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
⊢ comap f (sInf {J | K ≤ J ∧ J.IsMaximal}) = sInf {J | comap f K ≤ J ∧ J.IsMaximal}
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M''
Module R M'
Module R M''
e : M' ≃ₗ[R] M''
f : M ≃ₗ[R] M'
B : LinearMap.BilinForm R M
⊢ (LinearMap.BilinForm.congr e) ((LinearMap.BilinForm.congr f) B) = (LinearMap.BilinForm.congr (f ≪≫ₗ e)) B
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : s.toJordanDecomposition.posPart ≪ μ ∧ s.toJordanDecomposition.negPart ≪ μ
⊢ μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ) = s
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsAddLeftInvariant
μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
⊢ μ'.addHaarScalarFactor μ • μ s ≤ μ' s
α : Type u_1
Semigroup α
DecompositionMonoid α
b c a : α
H : a ∣ b * c
⊢ ∃ a₁ a₂, a₁ ∣ b ∧ a₂ ∣ c ∧ a = a₁ * a₂
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
A : ¬K * L⁻¹ = univ
g : G
hg : g ∉ K * L⁻¹
b : G
bL : b ∈ L
ha : (fun x => g • x) b ∈ K
⊢ g ∈ K * L⁻¹
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ ⊤
h : a.toNNReal < b.toNNReal
⊢ a < b
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε
a b c : ℕ
h : c ≤ a
⊢ a + b - (a - c) = b + c
α : Type u_1
s t : Multiset α
h : s ≤ t
⊢ Multiset.card s ≤ Multiset.card t
M : Type u_1
AddZeroClass M
s : Set M
P : M
hP : P ∉ AddSubmonoid.closure s
⊢ P ∉ s
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ All P (l.node3L x m y r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P m ∧ P y ∧ All P r
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ 0
hr_ne_top : r ≠ ⊤
⊢ ν.rnDeriv (r • μ) =ᵐ[μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
R : Type u_4
S : Type u_5
k : ℕ+
CommMonoid R
CommMonoid S
σ : R ≃* S
ζ : ↥(rootsOfUnity k R)
⊢ ↑↑((σ.restrictRootsOfUnity k) ζ) = σ ↑↑ζ
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)
mem_closure : p ∈ (polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).topologicalClosure
frequently_mem_polynomials : ∃ᶠ (x : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)) in nhds p, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).toSubsemiring
g : ℝ[X]
⊢ (compRightContinuousMap ℝ (↑f).attachBound) (↑(Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)) g) ∈ ↑A.toSubsemiring
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ adjoin A ((cyclotomic (↑n) A).rootSet B) = adjoin A {b | b ^ ↑n = 1}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
s : S.Splitting
⊢ CategoryTheory.Epi S.g
V : Type u
V' : Type v
u v : V
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G →g G'
h : G.Reachable u v
⊢ G'.Reachable (f u) (f v)
α : Type u_1
L : List α
i : Fin L.length
⊢ List.drop (↑i) (List.take (↑i + 1) L) = [L.get i]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, φ x ≤ g' x
⊢ -(g b - g a) ≤ -∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑p) K)
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} K L
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (0 + 1))
⊢ ↑↑p ^ (↑p - 2) = ↑↑p ^ (↑p ^ 0 * ((↑p - 1) * (0 + 1) - 1))
F : PFunctor.{u}
xs : PFunctor.Approx.Path F
a a' : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a'
⊢ PFunctor.M.IsPath (⟨a', i⟩ :: xs) (PFunctor.M.mk ⟨a, f⟩) → a = a'
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg : GrowsPolynomially g
hf : f ~[atTop] g
this : f = g + (f - g)
⊢ GrowsPolynomially (g + (f - g))
n : ℕ
x a₁ b₁ : ℝ
m : ℕ
e₁ : n + 1 = m
a₂ b₂ : ℝ
e : |1 + x / ↑m * a₂ - a₁| ≤ b₁ - |x| / ↑m * b₂
h : |rexp x - expNear m x a₂| ≤ |x| ^ m / ↑m.factorial * b₂
⊢ |rexp x - expNear n x a₁| ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial * b₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
hx : x ∈ f.source
s : Set M
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ ↑(f.extend I) '' s ∈ 𝓝 (↑(f.extend I) x)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
f : E → F
v : E
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜
this✝ : BorelSpace 𝕜
g : E × E → 𝕜 → F := fun p t => f (p.1 + t • p.2)
this : Continuous (Function.uncurry g)
⊢ Measurable fun p => lineDeriv 𝕜 f p.1 p.2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
∀ (i : ι), Nonempty (α i)
⊢ Disjoint (s.pi t₁) (s.pi t₂) ↔ ∃ i ∈ s, Disjoint (t₁ i) (t₂ i)
n : ℤ
⊢ Even (n + 1) ↔ ¬Even n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
this : SigmaFinite ((μ.singularPart ν).withDensity f)
⊢ ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f + (μ.singularPart ν).withDensity f).rnDeriv ν
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : γ → β → γ
b : β
h : ∀ (a : γ), f a b = a
s : Finset γ
⊢ Finset.image₂ f s {b} = s
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
IsScalarTower R A P
AddCommMonoid Q
Module R Q
f : M ≃ₗ[A] P
g : N ≃ₗ[R] Q
p : P
q : Q
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.congr f g).symm (p ⊗ₜ[R] q) = f.symm p ⊗ₜ[R] g.symm q
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g [[a, b]]
hderiv : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt g (g' x) x
hpos : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ g' x
hab : b ≤ a
⊢ IntervalIntegrable g' volume a b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
U : Set 𝕜
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hg : AnalyticOn 𝕜 g U
hU : IsPreconnected U
h₀ : z₀ ∈ U
hfg : z₀ ∈ closure ({z | f z = g z} \ {z₀})
⊢ Set.EqOn f g U
α : Type u_1
G : Type u_5
SeminormedAddCommGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
SecondCountableTopology G
f : α → G
_m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
hf : AEMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₃ p₁).sin = dist p₁ p₃
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
R : ℝ≥0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Filter.Tendsto (fun n => f n ω) Filter.atTop Filter.atTop
d : ℕ
x y a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d
⊢ x.gcd y = d
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)
⊢ ∠ p₃ p₂ p₁ = π / 2
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
val✝² : List α
property✝ : val✝².length = n
val✝¹ : ℕ
isLt✝¹ : val✝¹ < n
val✝ : ℕ
isLt✝ : val✝ < n
h : ⟨val✝¹, isLt✝¹⟩ ≠ ⟨val✝, isLt✝⟩
⊢ (val✝².set val✝¹ a)[val✝] = val✝²[val✝]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
⊢ HomotopyCategory.quasiIso C (ComplexShape.up ℤ) = (HomotopyCategory.subcategoryAcyclic C).W
C✝ : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C✝
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C✝ ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
I : Type v₁
inst✝ : SmallCategory I
F : I ⥤ C
c : Cocone (F ⋙ yoneda)
hc : IsColimit c
⊢ IsTerminal (colimit ((c.toCostructuredArrow ⋙ CostructuredArrow.pre F yoneda c.pt) ⋙ yoneda))
α : Type u_1
CompleteLattice α
s t : Set α
h : s ⊆ insert ⊤ t
⊢ sInf t ≤ sInf s
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
hi : I.IsLocal
hij : I ≤ J
hj : J ≠ ⊤
⊢ J ≤ I.jacobson
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (univUnitBall.trans' (unitBallBall c r hr) ⋯).target = ball c r
R : Type u_1
M : Type u_3
MonoidWithZero R
Zero M
MulActionWithZero R M
Nontrivial M
⊢ Nontrivial R
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0
x : α
⊢ x ∈ s ∩ ⋂ j, notConvergentSeq f g n j → x ∈ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)}
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : CategoryTheory.Functor J CategoryTheory.Cat
j : J
⊢ ∀ (a : CategoryTheory.Limits.limit (F.comp CategoryTheory.Cat.objects)),
  ((CategoryTheory.Cat.HasLimits.limitCone F).π.app j).obj a =
    CategoryTheory.Limits.limit.π (F.comp CategoryTheory.Cat.objects) j a
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
x : (i : ι) → E i
⊢ ‖l ((tprod 𝕜) x)‖ ≤ ‖l‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
X : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C} (f : X_1 ⟶ Y),
  (((CategoryTheory.Idempotents.functorExtension₂ C D).obj X).map f).f = X.map f.f
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
α β : F ⟶ G
⊢ T.map (α.f - β.f) ≫ G.a = F.a ≫ (α.f - β.f)
ι✝ : Type u_1
κ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f g : α✝ → β
ι : Type u_6
α : Type u_7
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid α
s : Finset ι
p : Sym2 ι → α
⊢ ∑ i ∈ filter (fun x => ¬x.IsDiag) s.sym2, p i = ∑ i ∈ filter (fun i => i.1 ≤ i.2) s.offDiag, p s(i.1, i.2)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
⊢ Relation.ReflTransGen r a b → b = a ∨ ∃ c, Relation.ReflTransGen r a c ∧ r c b
X : Type u_1
α : Type u_4
TopologicalSpace X
x : X
f : X → α
hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (SeparationQuotient.lift f hf) (𝓝 (SeparationQuotient.mk x)) l ↔ Filter.Tendsto f (𝓝 x) l
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
a : ι
S : Finset ι
hp_ind : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSets π κ μ
haS : a ∉ S
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets (piiUnionInter π ↑S) (π a) κ μ
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
x : ℕ
hx : x ∈ χ.conductorSet
⊢ x ∣ n
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h : IsFiniteMeasure (μ.trim ⋯)
h_univ : (μ.trim ⋯) Set.univ < ⊤
⊢ μ Set.univ < ⊤
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
g : β → α
⊢ Function.RightInverse f g → Function.Injective g → Function.LeftInverse f g
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hT' : |T| = T
I : Set ℝ := Ioc (-(T / 2)) (T / 2)
h₁ : ε < T / 2 → Metric.closedBall 0 ε ∩ I = Metric.closedBall 0 ε
h₂ : QuotientAddGroup.mk ⁻¹' Metric.closedBall 0 ε ∩ I = if ε < T / 2 then Metric.closedBall 0 ε else I
⊢ volume (if ε < T / 2 then Metric.closedBall 0 ε else I) = ENNReal.ofReal (min T (2 * ε))
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ (match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := -toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n = -(match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n
m n✝ n : ℕ
p : Fin n → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ find p = none ↔ ∀ (i : Fin n), ¬p i
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
CommSemiring R
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
AddCommMonoid M
Module R M
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
x : M₁
y : M₂
⊢ B.IsOrtho x y ↔ (B x) y = 0
α : Type u_1
N : ℕ
g : α → Fin N → ℝ
hg : Summable g
this : ∀ (i : Fin N), Summable fun x => ‖g x i‖
⊢ Summable fun x => ‖g x‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
f' : C(Y, X)
hf : Function.RightInverse ⇑f' ⇑f
a : Quotient (Setoid.ker ⇑f)
⊢ hf.homeomorph a = a.liftOn' ⇑f ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → ℕ
⊢ s.EquitableOn f → ∃ b, ∀ a ∈ s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
s : Finset α
hp' : p ≠ 0
hp'' : 0 < p.toReal
G : ((a : α) → E a) → ℝ := fun f => ∑ a ∈ s, ‖f a‖ ^ p.toReal
hG : Continuous G
k : ι
hCFk : ‖F k‖ ≤ C
⊢ ‖F k‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
x y z : ZFSet
⊢ z ∈ x \ y ↔ z ∈ x ∧ z ∉ y
p✝ p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
h : multiplicity.Finite p n
⊢ p.maxPowDiv n = (multiplicity p n).get h
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S.HasHomology
⊢ Nonempty S.HomologyData
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
t : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
ht_eq : ∀ x ∈ t, f x = 0
⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = 0
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M'
⊢ m = (iso S f) (LocalizedModule.mk ⋯.choose.1 ⋯.choose.2)
α : Type u_1
Primcodable α
p : α → Prop
⊢ p ≤₁ p
a b : ℝ≥0
p q : ℝ≥0
hpq : p.IsConjExponent q
⊢ a * b ≤ a ^ ↑p / p + b ^ ↑q / q