ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f₀ f₁ : α → β
g : α → ℝ
hf₁_m : AEStronglyMeasurable f₁ μ
hf₀_i : Integrable f₀ μ
hg_i : Integrable g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f₀ a - f₁ a‖ ≤ g a
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f₁ a‖ ≤ ‖f₀ a‖ + g a
α : Type u_1
n : ℕ
val : α
⊢ Mathlib.Vector.replicate (n + 1) val = (Mathlib.Vector.replicate n val).snoc val
f : ℂ → ℂ
x : ℂ
h₁ : DifferentiableAt ℂ f x
h₂ : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ deriv (Complex.log ∘ f) x = logDeriv f x
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
x✝¹ x✝ : ℕ
num✝ : ℤ
denom✝ : ℕ
inv✝ : Invertible ↑denom✝
eq : ↑(mkRat (↑x✝¹) (10 ^ x✝)) = ↑num✝ * ⅟↑denom✝
⊢ OfScientific.ofScientific x✝¹ true x✝ = ↑num✝ * ⅟↑denom✝
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : Type u → Prop
of_equiv : ∀ {α β : Type u}, α ≃ β → P α → P β
h_empty : P PEmpty.{u + 1}
h_option : ∀ {α : Type u} [inst : Fintype α], P α → P (Option α)
α : Type u
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
⊢ ∀ (α : Type u) [inst : Fintype α], P α → P (Option α)
n : ℕ
⊢ PartENat.withTopEquiv ↑n = ↑n
ctx : Nat.Linear.Context
c : Nat.Linear.PolyCnstr
⊢ c.isValid = true → Nat.Linear.PolyCnstr.denote ctx c = True
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f + g ≈ 0
⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
i : ℕ
⊢ f ^ i ∈ 𝒜 (i * m)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : H.IsComplement' K
⊢ IsCompl H K
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
d : ℝ
d_pos : 0 < d
hd : Euclidean.closedBall x d ⊆ s
c : ContDiffBump (toEuclidean x) := { rIn := d / 2, rOut := d, rIn_pos := ⋯, rIn_lt_rOut := ⋯ }
f : E → ℝ := ↑c ∘ ⇑toEuclidean
⊢ ∃ f, tsupport f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ f x = 1
w x y z : ℝ
ι : Type u_1
l : List ι
f : ι → ℝ≥0
r : ℝ
⊢ (List.map (fun x => f x ^ r) l).prod = (List.map ((fun x => x ^ r) ∘ f) l).prod
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x : α
hx₁ : x ∈ s.ordT5Nhd t
hx₂ : x ∈ t.ordT5Nhd s
⊢ x ∈ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set γ
f : γ → α
g : α → Set β
⊢ ⋂ x ∈ f '' s, g x = ⋂ y ∈ s, g (f y)
a : UnitAddCircle
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ HurwitzZeta.sinKernel a =O[Filter.atTop] fun x => rexp (-p * x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁹ : StrictConvexSpace ℝ V
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝³ : MetricSpace PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor E PE
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
r : ℝ
f : PF → PE
x y z : PE
hx : dist x y = dist x z / 2
hy : dist y z = dist x z / 2
⊢ dist x y = ⅟2 * dist x z
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hs : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤
hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ
p : Subspace k E
hp : p ∈ s
hfi : (Submodule.toAddSubgroup p).FiniteIndex
this✝ : Finite (E ⧸ p)
this : Nontrivial (E ⧸ p)
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x✝ y✝ z x y : 𝕜
⊢ [x-[𝕜]y] = Icc (min x y) (max x y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s
⊢ (s.erase a).Nonempty ↔ s.Nontrivial
I : Type u_1
J : Type u_2
K✝ : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Fintype I
inst✝³ : Fintype J
inst✝² : Algebra K R
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : DecidableEq J
c : K
i✝ j✝ : I × J
⊢ __spread✝⁻⁰.toFun ((algebraMap K (Matrix I I (Matrix J J R))) c) i✝ j✝ = (algebraMap K (Matrix (I × J) (I × J) R)) c i✝ j✝
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₂
Module R M₃
p : Submodule R M
p₂ : Submodule R M₂
p₃ : Submodule R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hf : Set.MapsTo ⇑f ↑p ↑p₂
hg : Set.MapsTo ⇑g ↑p₂ ↑p₃
hfg : Set.MapsTo ⇑(g ∘ₗ f) ↑p ↑p₃ := ⋯
⊢ (g ∘ₗ f).restrict hfg = g.restrict hg ∘ₗ f.restrict hf
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ)
⊢ ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc (f + g)) =ᵐ[μ]
  ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f) + ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc g)
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ a ∆ (￢a) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t : Set α
f g : α → M
a✝ : α
U : Set α
s : Set M
a : M
⊢ (U.mulIndicator fun x => a) ⁻¹' s ∈ {univ, U, Uᶜ, ∅}
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a b : ZMod n
h : n ≤ a.val + b.val
⊢ (a + b).val = (a + b).val + n - n
H : Type u_1
CommGroup H
a : Abelianization H
⊢ Abelianization.equivOfComm.symm a = (Abelianization.lift (MonoidHom.id H)) a
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : Array α
hsz : a.size = b.size
i : Nat
hi : i ≤ a.size
heqv : a.isEqvAux b hsz (fun x y => decide (x = y)) i = true
j : Nat
low : i ≤ j
high : j < a.size
⊢ a[j] = b[j]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
n : ℤ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).counitIso.inv.app
    ((CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X) =
  (CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ n).map
    ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).unitIso.hom.app X)
B : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
f₁ : (TotalSpace (F₁ × F₂) fun x => E₁ x × E₂ x) → TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ := fun p => ({ proj := p.proj, snd := p.snd.1 }, { proj := p.proj, snd := p.snd.2 })
f₂ : TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ → (B × F₁) × B × F₂ := fun p => (↑e₁ p.1, ↑e₂ p.2)
f₃ : (B × F₁) × B × F₂ → B × F₁ × F₂ := fun p => (p.1.1, p.1.2, p.2.2)
hf₁ : Continuous f₁
hf₂ : ContinuousOn f₂ (e₁.source ×ˢ e₂.source)
hf₃ : Continuous f₃
b : B
v₁ : E₁ b
v₂ : E₂ b
hb₁ : { proj := b, snd := (v₁, v₂) }.proj ∈ e₁.baseSet
right✝ : { proj := b, snd := (v₁, v₂) }.proj ∈ e₂.baseSet
⊢ toFun' e₁ e₂ { proj := b, snd := (v₁, v₂) } = ((f₃ ∘ f₂) ∘ f₁) { proj := b, snd := (v₁, v₂) }
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β → γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f)
h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b
⊢ ∫⁻ (bc : β × γ), f bc.1 bc.2 ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), f b c ∂η (a, b) ∂κ a
a : ENNReal
h : a ≠ ⊤
⊢ a - a / 2 = a / 2
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
I : (Submodule R A)ˣ
⊢ (↑I).FG
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
MetricSpace X
MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x y : X ⊕ Y
⊢ Metric.glueDist Φ Ψ ε x y = Metric.glueDist Φ Ψ ε y x
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsRelPrime (z * y + x) y
⊢ IsRelPrime x y
x y : PSet
⊢ x.Equiv y ↔ x ⊆ y ∧ y ⊆ x
𝕜 : Type u_4
DivisionRing 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
CharZero 𝕜
Algebra ℝ 𝕜
ContinuousSMul ℝ 𝕜
TopologicalDivisionRing 𝕜
x : 𝕜
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑n / (↑n + x)) Filter.atTop (𝓝 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cone F.unop
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.isColimitConeOfCoconeUnop F hc).desc s = (hc.lift (CategoryTheory.Limits.coneUnopOfCocone s)).op
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : R₁ ⋙ G₁ ⟶ H₁ ⋙ R₃
β : R₂ ⋙ H₁ ⟶ K₁ ⋙ R₄
γ : R₃ ⋙ G₂ ⟶ H₂ ⋙ R₅
δ : R₄ ⋙ H₂ ⟶ K₂ ⋙ R₆
c : C
⊢ ({ app := fun X_1 => G₂.map (({ app := fun X => α.app (R₂.obj X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => R₃.map (β.app X), naturality := ⋯ }).app X_1), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X_1 => ({ app := fun X_2 => γ.app (R₄.obj X_2), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X_2 => R₅.map (δ.app X_2), naturality := ⋯ }).app (K₁.obj X_1), naturality := ⋯ }).app c = ({ app := fun X_1 => ({ app := fun X_2 => G₂.map (α.app X_2), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X_2 => γ.app (H₁.obj X_2), naturality := ⋯ }).app (R₂.obj X_1), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X_1 => R₅.map (({ app := fun X => H₂.map (β.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => δ.app (K₁.obj X), naturality := ⋯ }).app X_1), naturality := ⋯ }).app c
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.40441, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
j : J
h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j
⊢ c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
p : ℚ≥0
⊢ NNRat.cast ⁻¹' Set.Iio ↑p = Set.Iio p
α : Type u_1
sel : Set α → Option α
n₁ n₂ : ℕ
a : α
s : Set α
h_sel : ∀ (s : Set α) (a : α), sel s = some a → a ∈ s
h₁ : enumerate sel s n₁ = some a
h₂ : enumerate sel s n₂ = some a
⊢ n₁ = n₂
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
G' : Type wG'
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
SeminormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
⊢ ‖f.prod g‖ = max ‖f‖ ‖g‖
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : Set α
h : a ∉ s → f a = 1
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
s : Multiset α
hs : 0 ∉ s
h✝ : Nontrivial α
⊢ normalizedFactors s.prod = (Multiset.map normalizedFactors s).sum
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
a b : M₀
h : Commute a b
⊢ Commute (Ring.inverse a) (Ring.inverse b)
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x : F
⊢ √(InnerProductSpace.Core.normSq x) = ‖x‖
K : Type u_3
V : Type u_4
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s : Set V
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
⊢ s ⊆ hs.extend ⋯
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
h : ¬p x = true
⊢ rtakeWhile p (l ++ [x]) = []
α : Type u_1
Preorder α
⊢ 0 = ⊥
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f (a⁻¹ * b) = 1
⊢ f a = f b
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
⊢ IsPreconnected (Set.Ioo a b)
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
⊢ #↑Set.univ = 𝔠
P : Type u_2
LE P
I : Set P
self : Order.IsIdeal I
⊢ I.Nonempty
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
M₄ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
Q₃ : QuadraticMap R M₃ N
Q₄ : QuadraticMap R M₄ N
g : Q₂ →qᵢ Q₃
f : Q₁ →qᵢ Q₂
x : M₁
⊢ Q₃ ({ toFun := fun x => g (f x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = Q₁ x
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace β
Preorder β
OrderTop β
OrderTopology β
l : Filter α
f g : α → β
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 ⊤)
hg : f ≤ᶠ[l] g
⊢ Filter.Tendsto g l (𝓝 ⊤)
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.powerset.card = 2 ^ s.card
α : Sort u_1
y : α
p : α → Prop
⊢ ∃ x, p x ∨ y = x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
f : α → Bool
⊢ l.length = (filter f l).length + (filter (fun x => !f x) l).length
i n m : Nat
hn : i < n
hm : i < m
⊢ ⟨i, hn⟩.castLT hm = ⟨i, hm⟩
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
⊢ (μ univ).toReal • ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
X Y Z : Type u
f g : X ⟶ Y
π : Y ⟶ Z
e : f ≫ π = g ≫ π
h : IsColimit (Cofork.ofπ π e)
U : Set Y
H : f ⁻¹' U = g ⁻¹' U
⊢ π ⁻¹' (π '' U) = U
R : Type u_4
S : Type u_5
k : ℕ+
CommMonoid R
CommMonoid S
σ : R ≃* S
⊢ (σ.restrictRootsOfUnity k).symm = σ.symm.restrictRootsOfUnity k
ι : Type u
s✝ : Finset ι
f✝ g : ι → ℝ≥0∞
p✝ q : ℝ
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ⊤
this : ↑(∑ i ∈ s, (w i).toNNReal * (f i).toNNReal) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹)) * ↑((∑ i ∈ s, (w i).toNNReal * (f i).toNNReal ^ p) ^ p⁻¹)
⊢ ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
α : Type u_1
a : α
⊢ (Booleanisation.lift a)ᶜ = Booleanisation.comp a
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceMap f).val = AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceMap f
x : 𝓞 ℚ
⊢ IsUnit x ↔ ↑x = 1 ∨ ↑x = -1
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
x y : αᵃᵒᵖ
⊢ dist (AddOpposite.unop x) (AddOpposite.unop y) = dist x y
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
t : Multiset α
a b : α
s u : Multiset α
h₁ : s ≤ 0
h₂ : s ≤ u
⊢ s ≤ 0 ∩ u
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
⊢ ∑ x_1 ∈ s, r x_1 * eval x (Lagrange.basis s v x_1) = ∑ i ∈ s, eval x (nodal s v) * (nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i)
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
x y : α
h : IsCompl x y
⊢ x ⊔ y = ⊤
M : Type u_6
AddMonoid M
u : AddUnits M
⊢ Equiv.symm u.addRight = (-u).addRight
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
n : ℕ
α : CategoryTheory.Abelian.Ext Z T n
⊢ (CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ f).comp ((CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ g).comp α ⋯) ⋯ =
  (CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)).comp α ⋯
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
hu : ↑(addOrderOf u) ≠ 0
⊢ p * 1 ≤ addOrderOf u • ‖u‖
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
⊢ Submodule.span S (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) ≤ Submodule.restrictScalars S (ideal R S)
f : StieltjesFunction
hf0 : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 0)
hf1 : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 1)
⊢ (cdf f.measure).measure = f.measure
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
P : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
prime : ∀ i ∈ s, Prime (P i)
coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → P i ≠ P j
x : { x // x ∈ s } → R
y : R
hy : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (Ideal.Quotient.mk (P i ^ e i)) y = (Ideal.Quotient.mk (P ↑⟨i, hi⟩ ^ e ↑⟨i, hi⟩)) (x ⟨i, hi⟩)
⊢ ∃ y, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), y - x ⟨i, hi⟩ ∈ P i ^ e i
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
W : Submodule R M
Module.Free R (M ⧸ W)
⊢ Module.Finite R ↥W.dualAnnihilator ↔ Module.Finite R (M ⧸ W)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ : ℕ
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ
ha : a ≤ 0
⊢ ⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteSemilatticeSup α
a : α
s : ι → α
⊢ a ≤ iSup s ↔ ∀ (b : α), (∀ (i : ι), s i ≤ b) → a ≤ b
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x y : E
⊢ f (x + y) = f x + f y
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
g : γ → α
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
pa : ι × ι → Prop
hpa : ∀ᶠ (x : ι × ι) in p ×ˢ p, pa x
pb : α → Prop
hpb : ∀ᶠ (y : α) in p', pb y
hpapb : ∀ {x : ι × ι}, pa x → ∀ {y : α}, pb y → (F (x, y).1.1 (x, y).2, F (x, y).1.2 (x, y).2) ∈ u
⊢ ∀ᶠ (m : (ι × ι) × γ) in (p ×ˢ p) ×ˢ comap g p', ((fun n => F n ∘ g) m.1.1 m.2, (fun n => F n ∘ g) m.1.2 m.2) ∈ u
α : Type u_1
Lattice α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ mabs (mabs a / mabs b) ≤ mabs (a / b)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
p : X → Prop
q : Y → Prop
h : X ≃ₜ Y
h_iff : ∀ (x : X), p x ↔ q (h x)
⊢ (h.subtype h_iff).toEquiv = h.subtypeEquiv h_iff
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
j : Fin (n + 1)
⊢ j ∈ c.toComposition.boundaries ↔ j ∈ c.boundaries
s : ℝ
this : (fun x => rexp (-x) * x ^ s / rexp (-(1 / 2) * x)) = (fun x => rexp (1 / 2 * x) / x ^ s)⁻¹
⊢ Tendsto (fun x => rexp (-x) * x ^ s / rexp (-(1 / 2) * x)) atTop (𝓝 0)
this : 1 + √5 ≠ 0
⊢ φ⁻¹ = -ψ
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ groupCohomology.dTwo A ∘ₗ groupCohomology.dOne A = 0
x : ℂ
hx : Complex.cos x ≠ 0
⊢ (1 + Complex.tan x ^ 2)⁻¹ = Complex.cos x ^ 2
x : ℝ
n : ℤ
⊢ x ^ ↑n = x ^ n
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ MeasurableSet {b | BddAbove (Set.range fun i => f i b)}
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
x₁ x₂ : α
⊢ dist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₁, 0)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₂, 0)) = dist x₁ x₂
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
⊢ nonZeroDivisors R ≤ Submonoid.comap (algebraMap R S) (nonZeroDivisors S)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingCospan (CategoryTheory.forget C)
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ Function.Injective ⇑f
α : Type u_2
Preorder α
One α
⊢ (NonemptyInterval.toProd 1).1 = 1
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ : P
⊢ ∡ p₁ p₂ p₁ = 0
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M ≃+ M'
hi : Bijective ⇑i
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
x✝¹ : R
x✝ : M'
⊢ i x✝¹ • x✝ = j (x✝¹ • ↑j.symm x✝)
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : T
F : CategoryTheory.Functor T D
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.Under X} (f : X_1 ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Under.post F).map f = CategoryTheory.Under.homMk (F.map f.right) ⋯
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.tr (Turing.PartrecToTM2.Λ'.ret k.cons₂) =
  Turing.TM2.Stmt.goto fun x => Turing.PartrecToTM2.head Turing.PartrecToTM2.K'.stack (Turing.PartrecToTM2.Λ'.ret k)
α : Type u
DecidableEq α
p : Prop
L₁ L₂ L₃ : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
⊢ FreeGroup.reduce L₁ = L₂ ++ (x, b) :: (x, !b) :: L₃ → p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
⊢ upperBounds ∅ = univ
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
hs : IsClosed s
⊢ a ∈ s ↔ ∃ o, ∃ (_ : o ≠ 0), ∃ f, (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ∈ s) ∧ o.bsup f = a
K : Type u_1
M : Type u_2
L : Type v
CommRing K
Ring M
Algebra K M
Module.Free K M
Module.Finite K M
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
⊢ Cardinal.mk (M →ₐ[K] L) ≤ Cardinal.lift.{v, u_2} (Module.rank K M)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α'
inst✝⁹ : MeasurableSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β'
inst✝⁷ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SFinite ν
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
L : Type u_8
inst✝ : _root_.RCLike L
f : α → L
g : β → L
s : Set α
t : Set β
⊢ ∫ (z : α × β), f z.1 * g z.2 ∂(μ.restrict s).prod (ν.restrict t) = (∫ (x : α) in s, f x ∂μ) * ∫ (y : β) in t, g y ∂ν
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cocycle F G 0
⊢ Cochain.ofHom z.homOf = ↑z
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
V W : (TopologicalSpace.Opens ↑↑(↑U).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
i : V ⟶ W
⊢ (↑U).presheaf.map i = X.presheaf.map ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor U.ι).map i.unop).op
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x : X
y : Y
⊢ ContinuousAt (fun x => y) x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
s : Finset α
f : ℕ → β
⊢ ∏ t ∈ powersetCard n s, f t.card = f n ^ s.card.choose n
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
f : (i : ι) → α i → β
⊢ ⨆ i ∈ s, ⨆ j ∈ t i, f i j = ⨆ ij ∈ s.sigma t, f ij.fst ij.snd
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
s : Set F
hs : Convex 𝕜 s
f : E → F
hf : IsLinearMap 𝕜 f
⊢ Convex 𝕜 (f ⁻¹' s)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
⊢ map (fun p => (p.2, p.1)) (𝓝 y ×ˢ 𝓝 x) = map Prod.swap (𝓝 y ×ˢ 𝓝 x)
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : IsKleinFour G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y
⊢ y ∉ {1}
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
hc : t.ncard < s.ncard
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.Finite := by toFinite_tac
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ f x = f y
α : Type u_1
LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h : b₁ < b₂
⊢ Set.Ioc a₁ b₁ ∩ Set.Ioo a₂ b₂ = Set.Ioc (max a₁ a₂) b₁
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
x : ℕ → ι
hx_tendsto : Tendsto x atTop l
hx_freq : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)
⊢ ∃ ns, Tendsto ns atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (ns n)