ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
hna : IsNonarchimedean f
x y z : R
⊢ f ((x + y) * z) / f z ≤ max (seminormFromBounded' f x) (seminormFromBounded' f y)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
S : AddSubmonoid N
f : F
⊢ AddSubmonoid.comap f (AddSubmonoid.map f (AddSubmonoid.comap f S)) = AddSubmonoid.comap f S
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α} {s : Set α} {x_1 : α}, Bornology.IsBounded (insert x_1 s) ↔ Bornology.IsBounded s
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MulZeroClass β
f f' : α → β
x : α
hf : HasCompactSupport f'
⊢ HasCompactSupport (f * f')
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : C ≤ 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
α : Type u_5
self : NormedCommRing α
x y : α
⊢ x * y = y * x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x) closure
a b : ℕ
⊢ Finset.Icc a.succ b = Finset.Ioc a b
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.Regular
⊢ (∃ K, IsCompact K ∧ μ K ≠ 0) ↔ μ ≠ 0
α : Type ua
ι : Sort u_2
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
u : UniformSpace α
h : (𝓤 α).HasBasis p s
⊢ u = ⊥ ↔ ∃ i, p i ∧ Pairwise fun x y => (x, y) ∉ s i
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
a b : M
⊢ (CliffordAlgebra.ι Q) a * (CliffordAlgebra.ι Q) b * (CliffordAlgebra.ι Q) a =
  (CliffordAlgebra.ι Q) (QuadraticMap.polar (⇑Q) a b • a - Q a • b)
m n : Lake.Name
⊢ (m == n) = false ↔ ¬m = n
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℤ
hn : n < 0
N : ℕ
h : ↑N = -n
⊢ Tendsto (fun x => x ^ n) atTop (𝓝 0)
a b : Prop
⊢ (a → b) → ¬b → ¬a
α : Type u
s : Stream' α
⊢ s.tail.inits = Stream'.initsCore [s.tail.head] s.tail.tail
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.52987, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (F.shift n₀).map T.mor₁ ≫ (F.shift n₀).map T.mor₂ = 0
v : List ℕ
⊢ Turing.ToPartrec.Code.id.eval v = pure v
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hab : a ≤ b
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hgi : IntervalIntegrable g μ a b
hle : f ≤ᵐ[μ.restrict (Set.Ioc a b)] g
hlt : (μ.restrict (Set.Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ < ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ
hστ : σ⁻¹ * τ ≠ 1
x : L
hx : (σ⁻¹ * τ) x ≠ x
⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ σ ∈ U ∧ τ ∉ U
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.cfcAux f = 0
h2 : diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = 0
x : ↑(spectrum ℝ A)
⊢ f x = 0 x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
⊢ HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') s x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
⊢ vanishingIdeal '' {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s} = {P | P.IsPrime}
α : Type u_1
CompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ sInf s ∈ closure s
α : Type u
Preorder α
p q : α → Prop
m_p : Monotone p
m_q : Monotone q
⊢ Monotone fun x => p x ∨ q x
R : Type u_1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : k ≠ 0
h : ¬k = 1
⊢ ¬Squarefree p ∨ ¬k = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter α
⊢ Filter.rmap s (Filter.rmap r l) = Filter.rmap (r.comp s) l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ ∀ (X_1 : Cᴹᵒᵖ),
  ((CategoryTheory.MonoidalOpposite.tensorRightMopIso X).inv.app X_1).unmop =
    𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X X_1.unmop)
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd
⊢ (List.map (fun i => x.fst ^ (n.pred - i + i) •> x.snd) (List.range n)).sum = n •> x.fst ^ n.pred •> x.snd
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
hb : b < 0
⊢ a / b ≤ 1 ↔ b ≤ a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ ∀ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, T' (↑f ⁻¹' {x}) = c • T (↑f ⁻¹' {x})
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
b : β
⊢ ⇑e ⁻¹' Set.Iic b = Set.Iic (e.symm b)
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
D₁ : Type u_1
D₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} D₁
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D₂
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₁.IsLocalization W₁
L₂.IsLocalization W₂
F : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
Φ.HasRightResolutions
e : Φ.functor.comp L₂ ≅ L₁.comp F
⊢ Φ.IsRightDerivabilityStructure ↔ CategoryTheory.TwoSquare.GuitartExact e.hom
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a + -b < -d + c ↔ d + a < c + b
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a r : ℝ
x✝ : EReal × EReal
h : x✝.1 < ↑(r - (a + 1)) ∧ x✝.2 < ↑(a + 1)
⊢ x✝.1 + x✝.2 < ↑r
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasRightCalculusOfFractions
Y Z : C
f₁ f₂ : Y ⟶ Z
⊢ L.map f₁ = L.map f₂ ↔
  ∃ X s, ∃ (_ : W s), CategoryTheory.CategoryStruct.comp s f₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp s f₂
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a b c : α
⊢ a + b ≤ c → b ≤ c
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
l : fp.parts.card < univ.card ∧ fp.parts.card < r
x y : V
hn : x ≠ y
he : fp.part x = fp.part y
cf : G.CliqueFree r
⊢ ∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card
m n : ℕ
⊢ m <<< n = m * 2 ^ n
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
n : ℕ
f : ↑s →₀ α
hf✝ : (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) f = 1
hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1
this✝ : 1 ∈ span ((fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support)
x : ↑s
left✝ : x ∈ ↑f.support
this : span {↑x ^ (n + 1)} ≤ span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s)
⊢ (f x * ↑x) ^ (n + 1) ∈ span {↑x ^ (n + 1)}
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
⊢ |(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)| = 1
ι : Type u_8
𝕜 : Type u_9
RCLike 𝕜
E : Type u_10
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : DirectSum.IsInternal V
hV' : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
⊢ DirectSum.IsInternal.sigmaOrthonormalBasisIndexEquiv hn hV hV' =
  let b := DirectSum.IsInternal.collectedOrthonormalBasis hV' hV fun i => stdOrthonormalBasis 𝕜 ↥(V i);
  Fintype.equivFinOfCardEq ⋯
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
h : a < b
⊢ Filter.map Subtype.val Filter.atTop = 𝓝[<] b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
⊢ SmoothOn I I id s
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
p q : Submodule R (CliffordAlgebra Q)
⊢ Submodule.map CliffordAlgebra.reverse (p * q) =
  Submodule.map CliffordAlgebra.reverse q * Submodule.map CliffordAlgebra.reverse p
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Bool} {l : List α}, List.filter p l = [] ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → ¬p a = true
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' X'' Y'' Z'' : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
f'' : X'' ⟶ Z''
g'' : Y'' ⟶ Z''
i₁ : X ⟶ X'
j₁ : X' ⟶ X''
i₂ : Y ⟶ Y'
j₂ : Y' ⟶ Y''
i₃ : Z ⟶ Z'
j₃ : Z' ⟶ Z''
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback f' g'
CategoryTheory.Limits.HasPullback f'' g''
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
e₃ : f' ≫ j₃ = j₁ ≫ f''
e₄ : g' ≫ j₃ = j₂ ≫ g''
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂ ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.map f' g' f'' g'' j₁ j₂ j₃ e₃ e₄ =
  CategoryTheory.Limits.pullback.map f g f'' g'' (i₁ ≫ j₁) (i₂ ≫ j₂) (i₃ ≫ j₃) ⋯ ⋯
α : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
A : Matrix m n α
MulZeroClass α
⊢ A.hadamard 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
InfSet α
InfSet β
s : Set α
t : Set β
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ sInf (s ×ˢ t) = (sInf s, sInf t)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
a : α
⊢ MeasurableSet (Set.Ioi a)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
ν : Measure β
h : IsFundamentalDomain G s μ
f : β → α
hf : QuasiMeasurePreserving f ν μ
a b : H
hab : a ≠ b
e : G ≃ H
hef : ∀ (g : G), Semiconj f (fun x => e g • x) fun x => g • x
this : (e.symm a⁻¹)⁻¹ ≠ (e.symm b⁻¹)⁻¹
⊢ (AEDisjoint ν on fun g => g • f ⁻¹' s) a b
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
Algebra ℚ R
Algebra ℚ S
self : R →ₐ[ℚ] S
⊢ RingHom.equivRatAlgHom.symm self = self.toRingHom
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ l = Filter.generate {U | ∃ i, p i ∧ s i = U}
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
⊢ IsCondKernelCDF (fun p => condCDF ρ p.2) (Kernel.const Unit ρ) (Kernel.const Unit ρ.fst)
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ : ℕ
x✝ : ∃ p k, Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
p : R
k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
hn : p ^ k = n
⊢ p ^ (k - 1 + 1) = n
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ e.symm.trans e = AffineIsometryEquiv.refl 𝕜 P₂
α β : Frm
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget Frm).obj α
⊢ ({ toFun := ⇑e, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_sSup' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_sSup' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g ∣ map (algebraMap R K) f
g_ne_0 : g ≠ 0
g_mul_dvd : g * C g.leadingCoeff⁻¹ ∣ map (algebraMap R K) f
algeq : ↥(integralClosure R K) ≃ₐ[R] R := ((integralClosure R K).equivOfEq ⊥ ⋯).trans (Algebra.botEquivOfInjective ⋯)
⊢ ∃ g', map (algebraMap R K) g' = g * C g.leadingCoeff⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (CategoryTheory.Limits.pushoutCoconeOfLeftIso f g).ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left =
  CategoryTheory.inv f ≫ g
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
OrderBot α
h : ⊥ ∈ s
⊢ sInf s = ⊥
ι : Type u_1
X : Type u_2
EMetricSpace X
μ : MeasureTheory.OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
I : Finset ι
s : ι → Set X
hI : ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ I, i ≠ j → IsMetricSeparated (s i) (s j)
⊢ μ (⋃ i ∈ I, s i) = ∑ i ∈ I, μ (s i)
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
Sw : S.IsWide
c d : C
h : c = d
⊢ CategoryTheory.eqToHom h ∈ S.arrows c d
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
DecidableEq ι
Module.Free R M
Module.Finite R M
b : Basis ι R L
Nontrivial R
⊢ (φ.polyCharpoly b).coeff (φ.nilRankAux b) ≠ 0
n : ℕ
⊢ Monotone (Finset.fin n)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ Bimod.AssociatorBimod.inv P Q L ≫ Bimod.AssociatorBimod.hom P Q L = 𝟙 (P.tensorBimod (Q.tensorBimod L)).X
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : 0 < n
b' : ℝ := b (min_bi b)
hb_pos : 0 < b'
⊢ (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n⌋₊ n).Nonempty
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
x : ℝ
s : ℂ
f : E
⊢ rexp (-x) • cexp (-↑x) ^ (s - 1) • f = cexp (-s * ↑x) • f
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
x y : E
hx : IsSeparable F x
hy : IsSeparable (↥F⟮x⟯) y
⊢ Algebra.IsSeparable F ↥(restrictScalars F (↥F⟮x⟯)⟮y⟯)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape J ⥤ C
X : C
f : X ⟶ F.obj none
π : (j : J) → X ⟶ F.obj (some j)
w : ∀ (j : J), π j ≫ F.map (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape.Hom.term j) = f
⊢ (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape.mkCone f π w).pt = X
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
⊢ ker (rTensor Q g) = ker (rTensor.inverse Q hfg hg ∘ₗ rTensor Q g)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
L : Type u_6
inst✝ : RCLike L
r : L
f : α → L
⊢ ∫ (a : α), f a / r ∂μ = (∫ (a : α), f a ∂μ) / r
M : Type u_1
Mul M
ι : Sort u_4
S : ι → Subsemigroup M
⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
𝕜₁ : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁
inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂
inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'
h₁ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₂ F₂ σ (RingHom.id 𝕜₂))
h₂ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₁ F₂ (RingHom.id 𝕜₁) σ).flip
h₃ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₁ e₁' e₁ b)) (e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet)
h₄ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₂ e₂ e₂' b)) (e₂.baseSet ∩ e₂'.baseSet)
⊢ e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet) ⊆ e₂.baseSet ∩ e₂'.baseSet
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain (α →𝒄 β)
a : α
⊢ (OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.ωSup c) a =
  OmegaCompletePartialOrder.ωSup ((c.map OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.toMono).map (OrderHom.apply a))
V : Type u
Fintype V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
hn : 0 < n
⊢ k * (k - ℓ - 1) = (n - k - 1) * μ
α : Type u_4
M : Type u_5
MulOneClass M
SMul α M
IsScalarTower α M M
c : Con M
a : α
x : M
⊢ ↑(a • x) = a • ↑x
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ LinearIndependent R v ↔ ∀ (l : ι →₀ R), (Finsupp.total ι M R v) l = 0 → l = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ dist p₃ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).sin = dist p₁ p₃
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable (↑f) μ
hgi : Integrable (↑g) μ
hfg : f ≤ g
x : α
⊢ ↑f x ≤ ↑g x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
⊢ S.unop.g = S.f.unop
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α'
⊢ supported M R (f ⁻¹' s) ≤ comap (lmapDomain M R f) (supported M R s)
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
x : M
⊢ x ∈ MonoidHom.mker f ↔ f x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
x : β
T : Set β
hT : IsClosed T
hS : IsIrreducible (f ⁻¹' T)
hS' : IsClosed (f ⁻¹' T)
hS'' : IsIrreducible (T ∩ range f)
hx : IsGenericPoint x (closure (T ∩ range f))
hxT : x ∈ T
⊢ ∃ x, IsGenericPoint x (f ⁻¹' T)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Filter α
G : Filter β
m : α → β
⊢ Set.MapsTo (Filter.map m) (Set.Iic F) (Set.Iic G) ↔ Filter.Tendsto m F G
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
L : Type u_6
inst✝ : RCLike L
r : L
f : α → L
⊢ ∫ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫ (a : α), f a ∂μ
m n : ℕ
h : Squarefree (m * n)
⊢ m.Coprime n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
hs : BddAbove univ
⊢ BddAbove s
⊢ CategoryTheory.Limits.WalkingPair.equivBool.symm true = CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : Group H
inst✝⁹ : MulAction G α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MulAction H β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSMul G α
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝¹ : Countable G
ν : Measure α
inst✝ : Finite G
h : IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α
this : Fintype G
ht : ∀ (g : G), g • t ∩ s =ᶠ[ae μ] t ∩ s
⊢ ∑' (g : G), μ (g • t ∩ s) = Nat.card G • μ (t ∩ s)
M : Type u_1
α : Type u_2
Bornology M
SMul M α
s : Set α
hs : Absorbent M s
x : α
⊢ Absorbs M s {x}
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nontrivial α
this : Perm α ⧸ sign.ker ≃ ℤˣ := (QuotientGroup.quotientKerEquivOfSurjective sign ⋯).toEquiv
⊢ card (Perm α ⧸ sign.ker) * card ↥(alternatingGroup α) = card (Perm α)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ p f : Perm α
h : p ∈ f.cycleFactorsFinset
⊢ p.support ≤ f.support
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.64946, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
this✝¹ : S.HasHomology
this✝ : Epi S.toCycles
this : S.iCycles = 0
⊢ Mono S.g
p : ℤ[X]
hp : p.IsUnitTrinomial
h : ∀ (z : ℂ), ¬((aeval z) p = 0 ∧ (aeval z) p.mirror = 0)
q : ℤ[X]
hq : q ∣ p
hq' : q ∣ p.mirror
hq'' : 0 < (map (algebraMap ℤ ℂ) q).degree
z : ℂ
hz : (map (algebraMap ℤ ℂ) q).IsRoot z
⊢ False
α : Type u_1
s t : Set α
h : t ⊆ s
⊢ Subtype.val '' {x | ↑x ∈ t} = t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
h : ∀ (x : ℝ), ∃ x_1 ∈ s.measureOfNegatives, x_1 < x
⊢ False
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
this : take c.length c.blocks = c.blocks
⊢ c.blocks.sum = n