ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
φ.IsExpansionOn M
ψ : L.Formula α
⊢ setOf (φ.onFormula ψ).Realize = setOf ψ.Realize
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
r : R
f : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => r + f x) a = (algebraMap R A) r + cfc f a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
⊢ (HomologicalComplex₂.toGradedObjectFunctor C c₁ c₂).obj K = K.toGradedObject
γ : Type u_3
p : Set γ
s : Set { x // p x }
⊢ Set.InjOn Subtype.val s
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
P Q R S : C
J : Type u_2
s : Finset J
f : P ⟶ Q
g : J → (R ⟶ S)
⊢ f ⊗ ∑ j ∈ s, g j = ∑ j ∈ s, f ⊗ g j
ι : Type u_1
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
DivInvMonoid G
DivInvMonoid H
MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (x : G), f x⁻¹ = (f x)⁻¹
g : ι → G
n : ℤ
⊢ ⇑f ∘ (g ^ n) = ⇑f ∘ g ^ n
x : PSet
⊢ x.Lift ∈ PSet.embed
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : Type u_10
m : MeasurableSpace β
Mul β
MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hij : i ≠ j
hik : i ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (f i) (f j * f k) μ
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
inst✝¹ : Fintype α
s : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
b : α
⊢ b ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) ⋯ ↔ Setoid.r a b
G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M : Type x
inst✝³ : Monoid M
φ : G →* H
A B C : Type u
inst✝² : CommGroup A
inst✝¹ : CommGroup B
inst✝ : CommGroup C
f : A →* B
g : B →* A
e : A ≃* B
d : B ≃* C
n : ℤ
x : A ⧸ (zpowGroupHom n).range
⊢ ((equivQuotientZPowOfEquiv e n).trans (equivQuotientZPowOfEquiv d n)) x = (equivQuotientZPowOfEquiv (e.trans d) n) x
v : Multiset ℕ+
h : ∀ p ∈ v, p.Prime
⊢ (PrimeMultiset.ofPNatMultiset v h).prod = v.prod
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v
⊢ ∀ (i : { s // IsClopen s ∧ y ∈ s }), x ∈ ↑i
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : mk f = ⊤
⊢ IsIso f
α : Type u_1
Preorder α
x : α × α
a : α
hx : x.1 ≤ x.2
⊢ a ∈ { toProd := x, fst_le_snd := hx } ↔ x.1 ≤ a ∧ a ≤ x.2
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.17195, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.17199, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.17203, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.17207, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.17211, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.17215, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
ψ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
x : I₁ × I₂ × I₃
⊢ (F.obj (X₁ x.1)).map (ψ x.2.1) ≫ (F.map (φ x.1)).app (Y₂ x.2.1) = (F.map (φ x.1)).app (X₂ x.2.1) ≫ (F.obj (Y₁ x.1)).map (ψ x.2.1)
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c✝ d✝ : C
f : c✝ ⟶ d✝
⊢ Groupoid.inv f ≫ 𝟙 c✝ ≫ f ∈ discrete.arrows d✝ d✝
R : Type u
CommRing R
X : Type u
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor ((ModuleCat.free R).obj X)).hom =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 ((ModuleCat.free R).obj X)) (ModuleCat.Free.ε R) ≫
    (ModuleCat.Free.μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫
      CategoryTheory.map (ModuleCat.free R).obj (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
u : ℕ → E
hu : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → u ia ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia
hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑n • u n) atTop (𝓝 0)
h_bounded : IsVonNBounded 𝕜 (Set.range fun n => ↑n • u n)
r : ℝ
hr : r > 0
h' : ∀ (c : 𝕜'), r ≤ ‖c‖ → (⇑f '' Set.range fun n => ↑n • u n) ⊆ c • V
n : ℕ
hn : r < ↑n
h1 : r ≤ ‖↑n‖
hn' : ¬n = 0
h'' : f (u n) ∈ V
⊢ False
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
CompactSpace β
v : Set β
hv₁ : IsOpen v
hv₂ : omegaLimit f ϕ s ⊆ v
⊢ ∀ᶠ (t : τ) in f, Set.MapsTo (ϕ t) s v
α : Type u
ι : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c : ι → α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), 0 < r i
hs : IsClosed s
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ ball (c i) (r i)}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
v : ι → Set α
hsv : s ⊆ iUnion v
hvc : ∀ (i : ι), IsClosed (v i)
hcv : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r i)
this : ∀ (i : ι), ∃ r' ∈ Ioo 0 (r i), v i ⊆ ball (c i) r'
⊢ ∃ r', s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i ∈ Ioo 0 (r i)
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.RightExtension F
X : C
h : E.IsPointwiseRightKanExtensionAt (L.obj X)
L.Full
L.Faithful
⊢ CategoryTheory.IsIso (E.hom.app X)
α : Type u_1
sel : Set α → Option α
s : Set α
h : sel s = none
n : ℕ
⊢ Set.enumerate sel s n = none
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ✝ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure (E × ℝ)
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
ν : Measure E := addHaar
A : ν.prod volume = (ν.prod volume).addHaarScalarFactor μ • μ
Hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (ν.prod volume)
Hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (ν.prod volume)
Hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) (ν.prod volume)
⊢ ∫ (x : E × ℝ), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ (↑n).toZNum.succ = (↑n).succ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
hε' : 0 < ε / 3
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ = 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ = 1 → ε / 3 ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
δ' : ℝ := min (1 / 2) (min (ε / 3) (δ / 3))
x : E
hx : ‖x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
hx' : 1 - δ' < ‖x‖
hy' : 1 - δ' < ‖y‖
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 - δ'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Ioo a b)
⊢ Tendsto f l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[<] b)
α : Type u
β : Type v
OrderedAddCommGroup β
f : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsMinOn f s a
⊢ IsMaxOn (fun x => -f x) s a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
DecidableEq ι
DecidableEq κ
Fintype ι
Fintype κ
Finite ι'
Finite κ'
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup M'
AddCommGroup N'
Module R M
Module R N
Module R M'
Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
A : Matrix ι' ι R
B : Matrix κ' κ R
⊢ (Matrix.toLin (bM.tensorProduct bN) (bM'.tensorProduct bN')) (Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B) =
  TensorProduct.map ((Matrix.toLin bM bM') A) ((Matrix.toLin bN bN') B)
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
h : y + -z ≠ 0
⊢ x ^ (y + -z) = x ^ y / x ^ z
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {α_2 : Type u_3} {f : Option α → Option α_1 → α_2} {a : α} {as : List α} {b : α_1}
  {bs : List α_1}, List.zipWithAll f (a :: as) (b :: bs) = f (some a) (some b) :: List.zipWithAll f as bs
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.IsPreconnected J
α : Type u₂
F : J → α
h : ∀ (j₁ j₂ : J), (j₁ ⟶ j₂) → F j₁ = F j₂
j j' : J
⊢ F j = F j'
R : Type u_1
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ (CliffordAlgebraQuaternion.quaternionBasis c₁ c₂).k =
  (CliffordAlgebra.ι (CliffordAlgebraQuaternion.Q c₁ c₂)) (1, 0) *
    (CliffordAlgebra.ι (CliffordAlgebraQuaternion.Q c₁ c₂)) (0, 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : α
h : ¬(G.replaceVertex s t).CliqueFree n
⊢ ¬G.CliqueFree n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure β
⊢ MeasureTheory.FiniteMeasure.prod 0 ν = 0
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
h0 : ¬constantCoeff p = 0
⊢ 0 ∉ p.support → (f (coeff 0 p) * Finsupp.prod 0 fun i k => g i ^ k) = 0
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
⊢ A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁ ≤ √2 ^ 3 • 1
α : Type u_1
IdemSemiring α
a b c : α
⊢ a + b ≤ c ↔ a ≤ c ∧ b ≤ c
α : Type u_1
β : α → Type u_4
x : (a : α) × β a
⊢ ⟨x.fst, x.snd⟩ = x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
Add α
Neg β
h : Function.Antiperiodic f c
⊢ (fun x => f (x + c)) = -f
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
hf_int : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, MeasureTheory.Integrable f ((ProbabilityTheory.condexpKernel μ m) ω)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ : α → ℝ
μ : Measure α
f : α → ℝ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.tilted f) s = ∫⁻ (a : α) in s, ENNReal.ofReal (rexp (f a) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) ∂μ
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x => F⟮α + x • β⟯
x y : F
hneq : x ≠ y
heq : f x = f y
⊢ ∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
op : β → γ
f : α → β
⊢ Filter.Germ.map op ↑f = ↑(op ∘ f)
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μs : ℕ → LevyProkhorov (ProbabilityMeasure Ω)
ν : LevyProkhorov (ProbabilityMeasure Ω)
hμs : Tendsto μs atTop (𝓝 ν)
P : ProbabilityMeasure Ω := ν.toProbabilityMeasure
Ps : ℕ → ProbabilityMeasure Ω := fun n => (μs n).toProbabilityMeasure
f✝ f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
f_zero : ¬‖f‖ = 0
norm_f_pos : 0 < ‖f‖
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : Ω), f x ∂↑((toProbabilityMeasure ∘ μs) n) ≤ ∫ (x : Ω), f x ∂↑P + δ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
α : F ⟶ G
V : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
⊢ ((CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.functorOfNatTrans α).obj V).V = V.V
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s t✝ : Finset α
n : ℕ
h : ∀ t ∈ powersetCard n s, ¬ThreeGPFree ↑t
t : Finset α
hts : t ⊆ s
hcard : t.card = mulRothNumber s
ht : ThreeGPFree ↑t
hn : n ≤ t.card
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : of' R M m ∈ span R ↑(Submonoid.closure (of' R M '' S))
⊢ Multiplicative.ofAdd m ∈ Submonoid.closure (⇑Multiplicative.toAdd ⁻¹' S)
α : Type u
s : Set α
x : α
hs : s.Nontrivial
⊢ s ≠ {x}
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
x x' : α
⊢ Ordinal.typein r x ≤ Ordinal.typein r x' ↔ ¬r x' x
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
One β
⊢ (UniformOnFun.ofFun 𝔖) 1 = 1
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
⊢ Embedding (⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe)
M : Type u_2
N : Type u_3
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
hf : ∀ (x y : M), Commute (f x) (f y)
⊢ ⇑(f.toOpposite hf) = MulOpposite.op ∘ ⇑f
α : Type u_2
Preorder α
OrderTop α
a : α
⊢ IsCoatom a ↔ a ≠ ⊤ ∧ ∀ (b : α), b ≠ ⊤ → a ≤ b → b ≤ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type w
Semiring R
CategoryTheory.Linear R C
X : C
Y Z : C
g : Y ⟶ Z
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Linear.rightComp R X g) f = f ≫ g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ComposableArrows C 2
hS : S.IsComplex
⊢ S.Exact ↔ (S.sc' hS 0 1 2 ⋯ ⋯ ⋯).Exact
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
a b : E
⊢ Metric.ball a ε + Metric.ball b δ = Metric.ball (a + b) (ε + δ)
b : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
x : Ordinal.{u_1}
⊢ log b (b ^ x) = log b (b ^ x * 1 + 0)
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
p : Submodule R M
q : Submodule R N
r : Submodule R P
hpq : p ≤ comap f q
hqr : q ≤ comap g r
⊢ Exact ⇑(p.mapQ q f hpq) ⇑(q.mapQ r g hqr) ↔ range g ⊓ r ≤ map g q
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
⊢ (extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) x).target = ((extChartAt IB x.proj).target ∩ ↑(extChartAt IB x.proj).symm ⁻¹' (trivializationAt F E x.proj).baseSet) ×ˢ univ
ι : Type u_1
I J J₁ : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ J₁ ∈ π.restrict J ↔ ∃ J' ∈ π, ↑J₁ = ↑J ⊓ ↑J'
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ min (max a b) c = max (min a c) (min b c)
n : ℕ
⊢ ↑n ≡ (List.map (fun n => ↑n) (Nat.digits 10 n)).alternatingSum [ZMOD 11]
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
rhs : ℕ → ℕ →* ℤ := fun a => { toFun := fun x => qrSign x a * J(↑x | a), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
rhs_apply : ∀ (a b : ℕ), (rhs a) b = qrSign b a * J(↑b | a)
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
hp : p ≠ 2
hpo : Odd p
q : ℕ
pq : Nat.Prime q
hq : q ≠ 2
hqo : Odd q
⊢ legendreSym q ↑p = (rhs p) ↑q
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.cocone f g).pt = CategoryTheory.Limits.Types.Pushout f g
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : Basis κ R ↥M
n : Basis ι R ↥N
H : Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
⊢ M.LinearDisjoint N
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
⊢ (i, j) ∈ μ ↔ (j, i) ∈ μ.transpose
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
⊢ toLex x < toLex (update x i a) ↔ x i < a
a : Quaternion ℝ
⊢ Quaternion.linearIsometryEquivTuple a = (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ![a.re, a.imI, a.imJ, a.imK]
R : Type u_1
CommRing R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
n : ℕ
hn : Squarefree n
⊢ ∏ p ∈ n.primeFactors, (1 - f p) = ∑ d ∈ n.divisors, ↑(ArithmeticFunction.moebius d) * f d
R : Type u_1
CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf : f 0 = 0
⊢ seminormFromConst_seq c f 0 = 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
inst✝¹ : HasPushouts C
inst✝ : P.RespectsIso
hP₂ : ∀ (A B A' : C) (f : A ⟶ A') (g : A ⟶ B), P f → P (pushout.inr f g)
A A' B B' : C
f : A ⟶ A'
g : A ⟶ B
f' : B ⟶ B'
g' : A' ⟶ B'
sq : IsPushout g f f' g'
hf : P f
e : B' ≅ pushout f g := ⋯.isoPushout
⊢ P f'
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
H H' : Set (X → α)
x₀ : X
h : H.EquicontinuousAt x₀
hH : H' ⊆ H
⊢ H'.EquicontinuousAt x₀
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ↑⌊x⌋) (𝓝[≥] ↑n) (𝓝 ↑n)
G : Type u
Group G
H : Subgroup G
g : G
q : G ⧸ H
⊢ H.transferFunction g q =
  g ^ ((H.quotientEquivSigmaZMod g) q).snd.cast * Quotient.out' (Quotient.out' ((H.quotientEquivSigmaZMod g) q).fst)
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
x : α
AddZeroClass β
ContinuousAdd β
f g : α →C_c β
⊢ (f + g) x = f x + g x
n : ℕ
⊢ (Finset.range n).card = n
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b : E
r : k
h : r < 1
⊢ (AffineMap.lineMap a b) r ≤ b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
LE α
a : WithTop αᵒᵈ
b : WithBot α
⊢ a ≤ WithBot.toDual b ↔ b ≤ WithTop.ofDual a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsArtinian R M
h_wf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
⊢ ∀ᶠ (l : ℕ) in Filter.atTop, ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M l
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖x + y - z‖ * ‖x + y - z‖ + ‖x + z‖ * ‖x + z‖)
z : ℝ
⊢ ↑z ≠ 1 ↔ z ≠ 1
p : ℕ → Prop
x : ℕ
h : p x
a : ℕ
ha : ∀ j < a, ¬p j
b : ℕ
property✝ : ∀ j < b, ¬p j
⊢ a > b ↔ x - a < x - b
α : Type u_2
β : Type u_3
Bornology α
Bornology β
f : LocallyBoundedMap α β
⊢ f.comp (LocallyBoundedMap.id α) = f
F : Type u
Field F
⊢ Field.finSepDegree F F = 1
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving Prod.fst (μ.prod ν) μ
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
x : G
h : K ∈ 𝓝 x
⊢ LocallyCompactSpace G
R : Type u
CommRing R
⊢ 𝟙_ (ModuleCat R) = ModuleCat.of R R
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → Preorder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
i : ι
a b : α i
⊢ Finset.Icc ⟨i, a⟩ ⟨i, b⟩ = Finset.map (Function.Embedding.sigmaMk i) (Finset.Icc a b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
h : gauge s x < a
⊢ ∃ b, 0 < b ∧ b < a ∧ x ∈ b • s
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : (triangleRemovalBound (ε / 9) * 27)⁻¹ < ↑(Fintype.card G)
A : Finset (G × G)
hAε : ε * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ ↑A.card
hA : IsCornerFree ↑A
hε₁ : ε ≤ 1
this : NoAccidental (Corners.triangleIndices A)
⊢ 0 < triangleRemovalBound (ε / 9) * 27
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : C
X : CategoryTheory.Subobject B
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasImage f
h : A ⟶ CategoryTheory.Subobject.underlying.obj X
w : h ≫ X.arrow = f
⊢ CategoryTheory.Limits.imageSubobject f ≤ X
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S
r : R
⊢ (algebraMap R S) r = (algebraMap R S) r
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd b a)
k : ℕ
h : b * a = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₂ * d₁
h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0
a' : α
ha' : a = d₁ ^ k * a'
h0₂ : d₂ ^ k ≠ 0
b' : α
hb' : b = d₂ ^ k * b'
⊢ Associated (d₁ ^ k) a
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : X.Opens
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ : (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ : (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
n : ℕ
e : ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₁) ⋯ ^ n₂ * y₁) |_ ↑S) h₁ = ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₂) ⋯ ^ n₁ * y₂) |_ ↑S) h₂
⊢ ∀ (m : ℕ), n ≤ m → (((f |_ U₁) ⋯ ^ (m + n₂) * y₁) |_ ↑S) h₁ = (((f |_ U₂) ⋯ ^ (m + n₁) * y₂) |_ ↑S) h₂
G : Type u_1
AddCommGroup G
n : ℤ
s : Set G
hs : (fun x => n • x) ⁻¹' s = s
g : G
j : ℕ
hg : n ^ j • g = 0
⊢ g +ᵥ s = s
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
l : fp.parts.card < univ.card ∧ fp.parts.card < r
x y : V
hn : x ≠ y
he : fp.part x = fp.part y
cf : G.CliqueFree r
⊢ ¬G.Adj x y
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α β : Type u
g : α → β
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
⊢ supp (g <$> abs ⟨a, f⟩) = g '' supp (abs ⟨a, f⟩)
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
δ : Sort u_1
ab : α ≃ β
cd : γ ≃ δ
e : α ≃ γ
x : β
⊢ ((ab.equivCongr cd) e) x = cd (e (ab.symm x))
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
this : Dioph fun v => (v &2 = 0 ∨ v &0 < v &2) ∧ ∃ x, v &0 + v &2 * x = v &1
z x y : ℕ
x✝ : (y = 0 ∨ z < y) ∧ ∃ c, z + y * c = x
c : ℕ
hc : z + y * c = x
hl : z < y
⊢ z % y = z
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
nH : H.Normal
a b : G
⊢ a + b ∈ H ↔ b + a ∈ H
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
⊢ e.symm.symm = e
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
a : 𝓞 K
h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1
h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) a)| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
⊢ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (x : E) (y : F), ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜
x : E
⊢ A x = (adjoint B) x