ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : Monoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
a : G
n : ℕ
⊢ f (a ^ (n + 1)) = f a ^ (n + 1)
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
⊢ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.ker ((aeval f) q) = LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
k G : Type u
CommRing k
n : ℕ
Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G
a : Fin (n + 1)
⊢ ((Rep.diagonalHomEquiv n A).symm f).hom (Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ a.succ.succAbove) 1) =
  f (a.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g)
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
x₀ : { j // j ≠ i } → K
e : K ≃ { x // x ∘ Subtype.val = x₀ } := (Equiv.subtypeEquivCodomain x₀).symm
a : K
e' : { j // j = i } ⊕ { j // j ≠ i } ≃ σ := Equiv.sumCompl fun j => j = i
⊢ ∏ j : σ, ↑(e a) j ^ d j = (∏ j : { j // j ≠ i }, x₀ j ^ d ↑j) * a ^ d i
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ (latticeBasis K) i ∈ Set.range ⇑(latticeBasis K)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
self : CategoryTheory.Limits.IsImage F
F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
⊢ self.lift F' ≫ F'.m = F.m
m n✝¹ n✝ a✝ n : ℕ
hpos : NeZero n
a : ZMod n
⊢ a.valMinAbs.natAbs = min a.val (n - a.val)
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
h : s.Infinite
this : Infinite ↑s
⊢ s.encard = ⊤
d : ℤ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).im = 0
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial R
V : ι → Submodule R M
hV : Independent V
I : Type w := { i // V i ≠ ⊥ }
v : I → M
hvV : ∀ (i : I), v i ∈ V ↑i
hv : ∀ (i : I), v i ≠ 0
⊢ lift.{v, w} #I ≤ lift.{w, v} (Module.rank R M)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, g u ≤ c₂ * g ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c * g ↑n
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
hs : IsCompact s
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
α✝ : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : AddCommGroup β
a : FreeAbelianGroup α
f g : α → β
⊢ (lift (f + g)) a = (lift f) a + (lift g) a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}),
  ((Mon_.EquivLaxMonoidalFunctorPUnit.monToLaxMonoidal C).obj A).obj x = A.X
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hv : LinearIndependent R v
x : ↥(Submodule.span R (Set.range v))
⊢ (Finsupp.total ι M R v) (hv.repr x) = ↑x
R : Type x
NonUnitalNonAssocRing R
x y : R
⊢ ⁅x, y⁆ = x * y - y * x
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
hp : Irreducible p
x y : ↑(p.rootSet E)
⊢ ∃ g, g • x = y
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
r s t w : 𝓞 K
hr : ¬λ ∣ r
hs : ¬λ ∣ s
Hp : ∀ {p : 𝓞 K}, Prime p → p ∣ t → p ∣ w → Associated p λ
H₁ : ∀ {q : 𝓞 K}, q ∣ r → q ∣ t
H₂ : ∀ {q : 𝓞 K}, q ∣ s → q ∣ w
⊢ IsCoprime r s
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
b : CategoryTheory.Limits.Bicone f
hb : b.IsBilimit
⊢ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (CategoryTheory.Limits.biproduct.isLimit f)).hom =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.lift b.π
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ b < a⁻¹ * c ↔ a * b < c
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
P Q : ChainComplex V ℕ
e : P ⟶ Q
zero : P.X 0 ⟶ Q.X 1
comm_zero : e.f 0 = zero ≫ Q.d 1 0
one : P.X 1 ⟶ Q.X 2
comm_one : e.f 1 = P.d 1 0 ≫ zero + one ≫ Q.d 2 1
succ :
  (n : ℕ) →
    (p :
        (f : P.X n ⟶ Q.X (n + 1)) ×'
          (f' : P.X (n + 1) ⟶ Q.X (n + 2)) ×' e.f (n + 1) = P.d (n + 1) n ≫ f + f' ≫ Q.d (n + 2) (n + 1)) →
      (f'' : P.X (n + 2) ⟶ Q.X (n + 3)) ×' e.f (n + 2) = P.d (n + 2) (n + 1) ≫ p.snd.fst + f'' ≫ Q.d (n + 3) (n + 2)
i j : ℕ
h : i + 1 = j
⊢ (Homotopy.mkInductiveAux₂ e zero comm_zero one comm_one succ i).snd.fst ≫ (HomologicalComplex.xPrevIso Q h).hom =
  (HomologicalComplex.xNextIso P h).inv ≫ (Homotopy.mkInductiveAux₂ e zero comm_zero one comm_one succ j).fst
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
⊢ ⨆ i, ↑(f i) < ⊤ ↔ BddAbove (Set.range f)
ι : Type u_1
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
I : BoxIntegral.Box ι
π₀ : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ l.toFilter I ⊓ 𝓟 {π | π.iUnion = π₀.iUnion} = l.toFilteriUnion I π₀
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I J K : Ideal R
hIJ : I ≤ J.radical
hJ : J.radical.FG
k : ℕ
hk : J.radical ^ k ≤ J
⊢ ∃ k, I ^ k ≤ J
α : Type u_1
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ s(a, b).sup = a ⊔ b
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)
x : α
⊢ (∃ i, l.get? i = some (some x)) ↔ ∃ i, l.reduceOption.get? i = some x
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
⊢ -↑n ≤ toZ i0 (pred^[n] i0)
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : i ⟶ j
h : ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))
j' : J
f' : j' ⟶ j
⊢ range (F.map f) ⊆ range (F.map f')
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
v : Vector ℕ n.succ
⊢ f (ofFn fun i => v.get i.succ) = f v.tail
n : ℕ
⊢ (Int.castAddHom (ZMod n)).ker = AddSubgroup.zmultiples ↑n
G : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
inst✝ : DecidableEq G
hε : ε * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ ↑A.card
⊢ ε / 9 * ↑((Fintype.card G + Fintype.card G + Fintype.card G) ^ 2) ≤ ↑(Corners.triangleIndices A).card
V : Type u_1
⊢ ⊥.edgeFinset = ∅
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Finite ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₂
c : ι₁ →₀ R
⊢ (eval ⇑c) (toMvPolynomial b₁ b₂ f i) = (b₂.repr (f (b₁.repr.symm c))) i
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝¹ : P.IsPrime
I : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P
⊢ ∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K : Ideal S
⊢ Ideal.map f (Ideal.comap f K) ≤ K
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
s t : Finset σ
hst : s ≠ t
h : ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1 = ∑ i ∈ s, Finsupp.single i 1
this : (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1).support = (∑ i ∈ s, Finsupp.single i 1).support
⊢ ∀ (i₁ i₂ : σ), i₁ ≠ i₂ → Disjoint (Finsupp.single i₁ 1).support (Finsupp.single i₂ 1).support
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
x : α
y : β
hd : α
tl : List α
ihl : tl.Nodup → map (update f x y) tl = if x ∈ tl then (map f tl).set (indexOf x tl) y else map f tl
hl : hd ∉ tl ∧ tl.Nodup
⊢ map (update f x y) (hd :: tl) = if x ∈ hd :: tl then (map f (hd :: tl)).set (indexOf x (hd :: tl)) y else map f (hd :: tl)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
β : Type u_6
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : Sigma α → Set β
⊢ ⋃ ij ∈ s.sigma t, f ij = ⋃ i ∈ s, ⋃ j ∈ t i, f ⟨i, j⟩
r : ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ≥0), (NNReal.rpowMonoidHom r) x = x ^ r
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
hI : I ⊆ M.E
hX : X ⊆ M.E
h : (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)
hI' : M.Indep I
hss : I ⊆ X
⊢ M.Basis I X
β : Type u_1
AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X Y : CategoryTheory.DifferentialObject ℤ (CategoryTheory.GradedObjectWithShift b V)
f : X ⟶ Y
x y : β
h : x = y
⊢ X.objEqToHom h ≫ f.f y = f.f x ≫ Y.objEqToHom h
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
F G : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
G.PreservesZeroMorphisms
F.PreservesRightHomologyOf S
G.PreservesRightHomologyOf S
h : S.RightHomologyData
τ : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.natTransApp h τ).φH = τ.app h.H
R : Type u
S : Type v
A : Type w
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid A
Module R S
Module S A
Module R A
IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
b : ι → S
ι' : Type w₁
c : ι' → A
hb : LinearIndependent R b
hc : LinearIndependent S c
⊢ LinearIndependent R fun p => b p.1 • c p.2
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
r : AdicCompletion I R
x : AdicCompletion I M
⊢ ↑(r • x) n = ↑r n • ↑x n
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
⊢ ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R
k : ℕ
h : ∀ i < k + 1, x.coeff i = 0
⊢ WittVector.verschiebung (x.shift k.succ) = x.shift k
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
x✝ : PolynomialModule R M
⊢ x✝ ∈ (F ⊓ F').submodule ↔ x✝ ∈ F.submodule ⊓ F'.submodule
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
F : IntermediateField K L
⊢ Function.Injective IntermediateField.lift
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁴ : RingHomSurjective σ
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₃ : ∀ S ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ S
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
φ : UniformConvergenceCLM σ F 𝔖 →ₗ[𝕜₂] E → F := { toFun := DFunLike.coe, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
⊢ ContinuousSMul 𝕜₂ (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
h₁₂ : FreeAddGroup.Red L₁ L₂
h₂₁ : FreeAddGroup.Red L₂ L₁
⊢ L₁ = L₂
c : ℝ≥0∞
c_ne_zero : c ≠ 0
⊢ Continuous fun x => x / c
R : Type u
Semiring R
RankCondition R
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : (α → R) →ₗ[R] β → R
i : Function.Surjective ⇑f
⊢ Fintype.card β ≤ Fintype.card α
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
CategoryTheory.Limits.HasProduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
⊢ (CategoryTheory.Limits.Pi.reindex ε f).inv ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.π (f ∘ ⇑ε) b = CategoryTheory.Limits.Pi.π f (ε b)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
Q : Type u_4
CommMonoid Q
hg : Function.Surjective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
⊢ Function.Surjective ⇑(f.map ⋯ k)
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit b
⊢ b / (a * b) = 1 / a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
Du : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uE uF uG, uD} D
Eu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uF uG, uE} E
Fu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uG, uF} F
Gu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uF, uG} G
isoD : Du ≃ₗᵢ[𝕜] D
isoE : Eu ≃ₗᵢ[𝕜] E
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : Du → Eu := ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
hfu : fu = ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
gu : Du → Fu := ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
hgu : gu = ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
Bu₀ : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] G := ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
hBu₀ : Bu₀ = ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
Bu : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu := ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
hBu : Bu = ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
Bu_eq : (fun y => (Bu (fu y)) (gu y)) = ⇑isoG.symm ∘ (fun y => (B (f y)) (g y)) ∘ ⇑isoD
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ toSubmodule S ≤ toSubmodule S * toSubmodule S
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f : α → E
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : ¬MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT f = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
Nonempty ι
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ WithSeminorms fun s => s.sup p
X✝ : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : SequentialSpace X✝
X Y : Sequential
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget Sequential).obj X
⊢ ({ toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 X) x
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
hx : IsUnit (x + y * 0 + z * 0)
hy : IsUnit (x * 0 + y + z * 0)
hz : IsUnit (x * 0 + y * 0 + z)
⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
x : X
⊢ r • (x /ₒ 1) = r • x /ₒ 1
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ↑n ^ (s + 1) * ↑n ! / ((∏ x ∈ Finset.range n, (s + 1 + ↑x)) * (s + 1 + ↑n) * s) = ↑n * ↑n ^ s * ↑n ! / ((∏ k ∈ Finset.range n, (s + ↑(k + 1))) * (↑n + 1 + s) * s)
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : (max 0 x ^ (↑n)⁻¹) ^ ↑n < ↑q ^ ↑n
hqy : ↑q ^ ↑n < (y ^ (↑n)⁻¹) ^ ↑n
⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
⊢ ∃ ϖ, maximalIdeal R = span {ϖ}
x : ℝ
hx₁ : Real.pi / 2 ≤ x
hx₂ : x ≤ Real.pi + Real.pi / 2
⊢ Real.cos x ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ ↑e'.symm '' (e.trans e').target = e'.source ∩ e.target
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
H : Subgroup G
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (Subgroup.map f H).index ∣ H.index
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
xt : x ≠ ⊤
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun ε => Icc (x - ε) (x + ε)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
w : Monoid.CoprodI.Word M
h : w ≠ Monoid.CoprodI.Word.empty
⊢ ∃ i j w', w'.toWord = w
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x p' : P
⊢ (IsometryEquiv.vaddConst x).invFun p' = p' -ᵥ x
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
a : R
⊢ (MvPowerSeries.coeff R (m + n)) (φ * (MvPowerSeries.monomial R n) a) = (MvPowerSeries.coeff R m) φ * a
x : ℝ
⊢ Real.log x ≠ 0 ↔ x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ -1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : 0 < a
x✝ : α
⊢ x✝ = x✝ - 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : β
rxy : r x y
⊢ (∃ x ∈ s, r x y) ∧ r.inv y x
α : Type u_1
x : α
⊢ FreeAddMonoid.toList (FreeAddMonoid.of x) = [x]
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ x y p : R
h : p ∣ x - y
⊢ p ∣ ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) ↔ p ∣ ↑n * y ^ (n - 1)
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
X✝ Y✝ : C ⥤ D ⥤ E
T : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C × D
f : X ⟶ Y
⊢ (X✝.map f.1).app X.2 ≫ (T.app Y.1).app X.2 ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2 = (T.app X.1).app X.2 ≫ (Y✝.map f.1).app X.2 ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
x✝ : R
h : x✝ ∈ closure s
x y : R
hx : x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
⊢ x * 0 ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : (TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ X.emptyTo.val.c.app U = CommRingCat.punitIsTerminal.from (X.presheaf.obj U)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q✝ : R[X]
h : IsUnit p
a✝ : Nontrivial R
q : R[X]
hq : p * q = 1
this : p.natDegree = 0 ∧ q.natDegree = 0
⊢ p.natDegree = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra ℝ A
f g : ℂ →ₐ[ℝ] A
h : f I = g I
x y : ℝ
⊢ f { re := x, im := y } = g { re := x, im := y }
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.kernelOpUnop f).inv = CategoryTheory.Limits.cokernel.desc f (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f.op).unop ⋯
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
q : ℝ
hq_pos : 0 < q
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f q μ ≤ MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ * μ Set.univ ^ (1 / q)
α : Type u_1
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map id) m = m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι : Type u_5
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
b : ℝ≥0∞
b_ne_top : b ≠ ⊤
xs : ι → ℝ≥0∞
le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b
liminf_le : liminf xs F ≤ b
aux : ∀ᶠ (i : ι) in F, (xs i).toReal = b.truncateToReal (xs i)
aux' : (liminf xs F).toReal = b.truncateToReal (liminf xs F)
⊢ liminf (fun i => (xs i).toReal) F = (liminf xs F).toReal
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
⊢ IsDetector (op G) ↔ IsCodetector G
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
Invertible A
⊢ ⅟A = A⁻¹
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
a : ℝ
h0 : 0 < rexp a
b : ℝ
hle : a ≤ b
hd : ∀ z ∈ (ball c (rexp b) \ closedBall c (rexp a)) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
A : Set ℂ := closedBall c (rexp b) \ ball c (rexp a)
hc : ContinuousOn f A
⊢ ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, I • f (circleMap c (rexp b) θ) = ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, I • f (circleMap c (rexp a) θ)
p q : NNReal
h : p.IsConjExponent q
⊢ p ≠ 0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
⊢ α (coroot α) = 2
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
⊢ AEMeasurable f (c • μ) ↔ AEMeasurable f μ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
s : Set α
FunLike F α β
AddHomClass F α β
f : F
hf : Set.InjOn (⇑f) (s + s)
h : ThreeAPFree s
⊢ ThreeAPFree (⇑f '' s)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
γ : Type u_6
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : Filter α
u : α → β
g : β ≃o γ
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
hu_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
hgu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x)) _auto✝
hgu_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x)) _auto✝
⊢ g (g.symm (limsup (fun x => g (u x)) f)) ≤ g (limsup u f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
hx_w : α
hx_h_left : ¬s hx_w = 0
⊢ ↑s.support ⊆ ↑s.support
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ b ≥ e, ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
he' : 0 < max e 1
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c) volume
m n : ℤ
hmn : m ∣ n
hnm : n ∣ m
⊢ m.natAbs = n.natAbs
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α x : E
s : Set (IntermediateField F E)
hne : s.Nonempty
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hx : x ∈ ⨆ a, ↑a
⊢ ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ s), x ∈ x_1