ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R
H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p
h0 : ¬erase p.natDegree p = 0
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ ↑M
⊢ (algebraMap R S) a ∈ IsUnit.submonoid S
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Group G
a b : G
h : Commute a b
⊢ a * (b * a⁻¹) = b
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
NoZeroDivisors R
Y : R
hy : Y ≠ 0
⊢ W.Nonsingular ![0, Y, 0]
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
m n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
g : α → β ⊕ Fin m
v : β → M
xs : Fin (m + n) → M
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.relabel g φ).Realize v xs ↔
  φ.Realize (Sum.elim v (xs ∘ Fin.castAdd n) ∘ g) (xs ∘ Fin.natAdd m)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
GroupWithZero G
SmoothInv₀ I G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
hf : SmoothOn I' I f s
hg : SmoothOn I' I g s
h₀ : ∀ x ∈ s, g x ≠ 0
⊢ SmoothOn I' I (f / g) s
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R✝
m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
x : R✝
inst✝¹ : CommSemiring S
f : R✝ →+* S
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
r : R
⊢ (p.comp q).IsRoot r ↔ p.IsRoot (eval r q)
R : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsScalarTower R A B
inst✝² : FormallyUnramified R B
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra A Q
I : Ideal Q
e : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[A] Q
e' : (Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f₂
this✝ : Algebra R Q := ((algebraMap A Q).comp (algebraMap R A)).toAlgebra
this : IsScalarTower R A Q := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' rfl
⊢ f₁ = f₂
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
H : 2 * ↑u' - 1 ≤ (2 * ↑v - 1) * fract ξ
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u
⊢ (1 - 2 * ε) * ε ^ 3 * ↑s.card * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
G : Type u_3
H : Type u_4
Inv G
Inv H
p : G × H
⊢ p⁻¹.2 = p.2⁻¹
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
h : ∀ i ∈ s, (H i).FiniteIndex → s.card < (H i).index
hs : ¬s = ∅
⊢ ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ < 1
β : Type u_2
AddCommMonoid β
f : Fin 4 → β
⊢ ∑ i : Fin 4, f i = f 0 + f 1 + f 2 + f 3
a✝ b c m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a : ℕ
hdn : 0 ∣ n
⊢ a < n / 0 ↔ 0 * a < n
R : Type u_3
Semiring R
p : Polynomial R
S : Type u_4
AddCommMonoid S
Pow S ℕ
MulActionWithZero R S
x : S
⊢ p.smeval x = p.sum (Polynomial.smul_pow x)
x : ℂ
n : ℤ
⊢ Complex.sin (x + ↑n * (2 * ↑Real.pi)) = Complex.sin x
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : (P F).W α
⊢ ∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), abs ((P F).wDest' ((P F).wMk a f' f)) = abs ((P F).wDest' y) → WEquiv ((P F).wMk a f' f) y
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.LaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ self.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (self.map f)).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (self.mapId a) (self.map f))
      (self.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) f))
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
s t : Set α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : MeasurableSMul G α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s μ
fund_dom_t : IsFundamentalDomain G t μ
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U
⊢ μ (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ s) = μ (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ t)
G : Type u_1
GroupWithZero G
a : G
ha : a ≠ 0
⊢ Function.Bijective fun x => a * x
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
c c' : Chain α
f : α →o β
g✝ : β →o γ
g : α →o β
h : f ≤ g
i : ℕ
⊢ ∃ j, f (c i) ≤ g (c j)
e : ℝ
n : ℕ
h : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.blt 1 n = true
⊢ 0 < Real.log e
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M
⊢ 2 • x = 2 • x
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
⊢ ¬IsPredLimit a ↔ ∃ b, ¬IsMin b ∧ pred b = a
M : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing M
a : M
ha : a ∈ Set.center M
⊢ -a ∈ Set.center M
F : Type u
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
Field F
i : K →+* L
j : L →+* F
f : K[X]
⊢ Polynomial.Splits j (Polynomial.map i f) ↔ Polynomial.Splits (j.comp i) f
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type u_1
C : G.Coloring α
v w : V
h : G.Adj v w
⊢ C v ≠ C w
n : Type u_1
α : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ (Polynomial.X • A.map ⇑Polynomial.C + B.map ⇑Polynomial.C).det.coeff (Fintype.card n) = A.det
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Option β
x : Option α
⊢ (x.pbind fun a x => f a) = x.bind f
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
⊢ ContinuousWithinAt f s x
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
σ : K ≃ₐ[k] K
φ : K →+* ℂ
h : NumberField.ComplexEmbedding.IsConj φ σ
⊢ ↑(MulAction.stabilizer (K ≃ₐ[k] K) (NumberField.InfinitePlace.mk φ)) = {1, σ}
cs₁ cs₂ : List Char
⊢ String.utf8Len (cs₁.reverseAux cs₂) = String.utf8Len cs₁ + String.utf8Len cs₂
n : Nat
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {m : Nat}, (List.replicate n a)[m]? = if m < n then some a else none
M : Type u_4
Monoid M
m n : ℕ
a : M
h : m ≤ n
⊢ a ^ (n - m) * a ^ m = a ^ n
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
y : V₁
h : y ∈ Submodule.span K₁ ↑{x} ⊓ (Submodule.span K₁ ↑{x}).orthogonalBilin B
⊢ y ∈ ⊥
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
Preorder E
CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
hg : MeasureTheory.Supermartingale g ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Submartingale (f - g) ℱ μ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
⊢ Summable fun i => ⟪↑f i, ↑g i⟫_𝕜
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
h_eval₂_qpp' : ((aeval f) q * (aeval f) (p * p')) v = 0
h_eval₂_pqq' : ((aeval f) p * (aeval f) (q * q')) v = 0
⊢ ∃ y ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p), ∃ z ∈ LinearMap.ker ((aeval f) q), y + z = v
m n : ℕ
⊢ Num.ofNat' (m + n) = Num.ofNat' m + Num.ofNat' n
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
x y : R
⊢ IsCoprime (span {x}) (span {y}) ↔ IsCoprime x y
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
s : AddSubmonoid M
⊢ s ≤ s.topologicalClosure
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝¹ : SeparableSpace α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
hs : s.Countable
s_dense : Dense s
⊢ ∃ u, DenseRange u
M : Type u_3
TopologicalSpace M
MulOneClass M
ContinuousMul M
U : Set M
hU : U ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ 1 ∈ V ∧ V * V ⊆ U
β : Type u_2
CommMonoid β
f : Fin 5 → β
⊢ ∏ i : Fin 5, f i = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4
M : Type u_1
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass P
f : M →+ P
g : P → M
hf : Function.RightInverse g ⇑f
a : (AddCon.ker f).Quotient
⊢ (AddCon.quotientKerEquivOfRightInverse f g hf) a = (AddCon.kerLift f) a
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I R J : Set α
hIE : I ⊆ E
⊢ (freeOn E).Basis I I
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x✝ : ℕ
⊢ 4 * 0 * x✝ ≤ (0 + x✝) * (0 + x✝)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommMonoid β
i : FunLike F α β
f : F
iamhc : AddMonoidHomClass F α β
⊢ Antitone ⇑f ↔ ∀ (a : α), 0 ≤ a → f a ≤ 0
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝² : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
hF' : Nonempty (PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F)
x✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F := hF'.some
⊢ IsSheafFor F (ofArrows X c.inj)
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : CategoryTheory.Limits.DiagramOfCones F
⊢ ∀ {X Y : J} (f : X ⟶ Y), D.conePoints.map f = (D.map f).hom
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f g : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ ≤ ∫⁻ (ω : Ω), ↑(g ω) + edist f g ∂↑μ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : ¬Irreducible ↑p
hpu : ¬IsUnit ↑p
hab : ∃ a b, ↑p = a * b ∧ ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b
a b : ℤ[i]
hpab : ↑p = a * b
hau : ¬IsUnit a
hbu : ¬IsUnit b
hnap : (norm a).natAbs = p
⊢ a.re.natAbs ^ 2 + a.im.natAbs ^ 2 = p
R : Type u
S₁ : Type v
S₂✝ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
S₂ : Type u_2
inst✝ : CommSemiring S₂
k : S₁ →+* S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p q : MvPolynomial σ R), k (eval₂ f g p) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) p) → k (eval₂ f g q) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) q) → k (eval₂ f g (p + q)) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) (p + q))
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : Products I
hl : ↑l ≠ []
hlh : (↑l).head! = term I ho
hlc : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (term I ho :: ↑l.Tail)
x : ↑(C' C ho)
⊢ (e C (term I ho)) (CC'₁ C hsC ho x) * (eval C l.Tail) (CC'₁ C hsC ho x) - (e C (term I ho)) (CC'₀ C ho x) * (eval C l.Tail) (CC'₀ C ho x) = (eval (C' C ho) (Tail ⟨term I ho :: ↑l.Tail, hlc⟩)) x
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
x y : G
⊢ ↑x = ↑y ↔ x / y ∈ N
x : ℂ
⊢ ((starRingEnd ℂ) x).cot = (starRingEnd ℂ) x.cot
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ -y ≠ 0
⊢ ‖y‖ / Real.sin (angle x (x - y)) = ‖x - y‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
F : C ⥤ D
⊢ P.isoClosure.map F = P.map F
G₀ : Type u_3
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
GroupWithZero G₀
GroupWithZero G₀'
FunLike F G₀ G₀'
MonoidWithZeroHomClass F G₀ G₀'
f : F
a b : G₀
⊢ f (a / b) = f a / f b
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
F : Type u_17
FunLike F M M₃
SemilinearMapClass F σ M M₃
f g : F
h : ↑f = ↑g
⊢ f = g
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
⊢ Monotone (FirstOrder.Language.Substructure.comap f)
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
g h : M ⊗[R] N →ₗ[R] P
H : ∀ (x : M) (y : N), g (x ⊗ₜ[R] y) = h (x ⊗ₜ[R] y)
z : M ⊗[R] N
⊢ g 0 = h 0
f : ℝ → ℝ
f' x p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => f y ^ p) (f' * p * f x ^ (p - 1)) s x
r : ℝ
⊢ ‖↑r‖₊ = ‖r‖₊
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
⊢ (𝓝 ∞).HasBasis (fun s => IsClosed s ∧ IsCompact s) fun s => some '' sᶜ ∪ {∞}
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R⟦X⟧
n d : ℕ
⊢ (coeff R (d + n)) (p * X ^ n) = (coeff R d) p
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ 1 < mabs a ↔ a ≠ 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
a : X
U : Set X
haU : U ∈ 𝓝 a
hfin : {i | (f i ∩ U).Nonempty}.Finite
⊢ 𝓝[⋃ i, f i] a ≤ ⨆ i, 𝓝[f i] a
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
x : E
⊢ x ∈ ⊤
H : Type u
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℂ H
CompleteSpace H
S : VonNeumannAlgebra H
⊢ (↑S).centralizer.centralizer = ↑S
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
CommRing A
Algebra R A
N : LieSubmodule R L M
m : A ⊗[R] M
⊢ m ∈ LieSubmodule.baseChange A N ↔ m ∈ Submodule.span A ↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A M) 1) ↑N)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : β → α → β
H : RightCommutative f
x : β
q : α → Prop
p : β → Prop
s : Multiset α
hpqf : ∀ (a : α) (b : β), q a → p b → p (f b a)
px : p x
q_s : ∀ a ∈ s, q a
⊢ p (foldl f H x s)
α : Type v
DecidableEq α
ι : Type u
t : ι → Finset α
s : Finset ι
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
s' : Finset ↑↑s
⊢ s'.card ≤ (s'.biUnion fun a' => t ↑a').card
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : Set α
a : α
h : s ∈ 𝓝 a
⊢ s ∈ 𝓝[t] a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
β : Type w₂
Small.{w₁, w₂} β
CategoryTheory.Limits.HasCoproducts C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCoproductsOfShape β C
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
hf : (setOf p).Finite
k : ℕ
hlt : k + 1 < hf.toFinset.card
⊢ Finset.filter p (Finset.range (Nat.nth p (k + 1))) = insert (Nat.nth p k) (Finset.filter p (Finset.range (Nat.nth p k)))
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
t : Finset β
s : Finset α
hs : s.Nonempty
hf : ∀ (a : α), Function.Injective (f a)
⊢ t.card ≤ (Finset.image₂ f s t).card
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ
⊢ ↑(stereoInvFun hv w) = (‖w‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (4 • ↑w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
n : ℕ
w : ℂ
⊢ ((cauchyPowerSeries f c R n) fun x => w) =
  (2 * ↑π * Complex.I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
⊢ [ValuationRing R, ∀ (x : FractionRing R), IsLocalization.IsInteger R x ∨ IsLocalization.IsInteger R x⁻¹,
    IsTotal R fun x x_1 => x ∣ x_1, IsTotal (Ideal R) fun x x_1 => x ≤ x_1, LocalRing R ∧ IsBezout R].TFAE
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : OpenEmbedding f
l : Filter Z
x : X
⊢ Tendsto (g ∘ f) (𝓝 x) l ↔ Tendsto g (𝓝 (f x)) l
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : IsAtomic α
inst✝ : OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
a : α
hla : IsAtom (l a)
a' : α
ha' : IsAtom a'
hab' : a' ≤ u (l a)
⊢ IsAtom a
α : Type u_1
G : Type u_6
AddGroup G
s t : Set α
h : s ⊆ t
f : α → G
⊢ (t \ s).indicator f = t.indicator f + -s.indicator f
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
h : e.IsImage s t
⊢ h.restr.target = e.target ∩ t
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : i < Fin.castLE ⋯ (Fin.last p.length)
⊢ r ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.castSucc) ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.succ)
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ : Finset α
⊢ s₁ \ s₁ = ∅
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ (ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal}) ^ (1 / p.toReal) ≤ eLpNorm f p μ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasStrictInitialObjects C
I : C
hI : IsInitial I
A : C
f g : A ⟶ I
⊢ f = g
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
h : IsClosed t
⊢ 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ (t ∩ s) ⊔ 𝓟 tᶜ
α : Sort u_1
a : α
h : ∃ a_1, (fun b => a_1 = b) = (mk a).fst := (mk a).snd
this : (fun b => Classical.choose h = b) = (mk a).fst
⊢ Classical.choose h = a
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
g : R →+* ℤ_[p]
hg : ∀ (n : ℕ), (toZModPow n).comp g = f n
r : R
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ dist ((lift f_compat) r) (g r) ≤ ε
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a
hp : p.IsHamiltonianCycle
⊢ p.length = Fintype.card α
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
r : R
⊢ (MvPolynomial.homogeneousComponent n) (MvPolynomial.C r * φ) =
  MvPolynomial.C r * (MvPolynomial.homogeneousComponent n) φ
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}
⊢ o.blsub f = 0 ↔ o = 0
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ Metric.ball c R
hc : ContinuousOn f (Metric.closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ Metric.ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
⊢ ((2 * ↑π * Complex.I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = f w
m n : ℤ
⊢ m.sign = n.sign → (m + n).sign = n.sign
f : ℕ → ℝ
hfa : Antitone f
hf0 : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ ∃ l, Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) Filter.atTop (𝓝 l)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
P Q R : C
f✝ f' : P ⟶ Q
g✝ g' : Q ⟶ R
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
hc : IsLimit c
h : IsZero c.pt
P✝ : C
g : P✝ ⟶ X
hg : g ≫ f = 0
a : P✝ ⟶ c.pt
ha : a ≫ Fork.ι c = g
⊢ g = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌊1⌋ = 1
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
h_meas : Measurable fun p => u (↑p.1) p.2
this : (fun p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2)
⊢ Measurable (U n)
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
⊢ s₁ ∩ s₂ / (t₁ ∪ t₂) ⊆ s₁ / t₁ ∪ s₂ / t₂
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
G : Type u_3
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l.NeBot
s : Set 𝕜
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ s, HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Filter.Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
⊢ HasDerivAt g (g' x) x
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * x.1 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
k : ℕ
⊢ (-1) ^ k * z ^ (2 * k + 1) = -I * (z * I) ^ (2 * k + 1)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : (X * p).support = Finset.map { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } p.support
⊢ Multiset.map (X * p).coeff (Finset.map { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } p.support).val = Multiset.map p.coeff p.support.val
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
⊢ Submonoid.closure (⋃ i, range ⇑of) = ⊤
R : Type u
Mul R
⊢ ↑(MagmaCat.of R) = R
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α
⊢ -a = -a + 0
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s ∧ ∀ x ∈ s, (p x 0).uncurry0 = f x
hm : ↑0 ≤ 0
this : EqOn (fun x => p x 0) (⇑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm ∘ f) s
⊢ ContinuousOn f s
S : ShortComplex Ab
x : ↑S.X₁
⊢ S.g (S.f x) = 0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
hA : A.Nonempty
this : ↑A.card + ↑P.parts.card ≤ 2 * ↑A.card
⊢ 1 ≤ ε / 4 * ↑P.parts.card
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
r : R
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => r * x) a = r • a
R : Type u
CommSemiring R
Nontrivial R
p : Fin 2 → R
h : IsCoprime (p 0) (p 1)
⊢ p ≠ 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : β → α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial β
⊢ {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}.Countable