ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ setToL1 hT = setToL1 hT'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
r : 𝕜
x : E
θ : ℝ
hθ : 0 < θ
⊢ ‖↑‖r‖‖ = ‖r‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : β → γ
s : Set (α → β)
t : Set α
⊢ f '' s.seq t = ((fun x => f ∘ x) '' s).seq t
m k p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
hp : Fact (Nat.Prime p)
hchar : CharP R p
μ : R
inst✝ : NeZero ↑m
⊢ (cyclotomic (p ^ k * m) R).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ m
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
s : Set α
⊢ s ⊆ extentClosure r (intentClosure r s)
V : Type u
G : SimpleGraph V
t u v w : V
p : G.Walk v w
he : s(t, u) ∈ p.edges
⊢ t ∈ p.support
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ interior s ⊆ s
f : CauSeq ℝ abs
S : Set ℝ := {x | const abs x < f}
lb : ∃ x, x ∈ S
⊢ ∃ x, f ≈ const abs x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
y : Y
z : Z
⊢ (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle z = (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle z
b c : Bool
⊢ true.atLeastTwo b c = (b || c)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f g✝ : K[X]
hfg : map i (f * g✝) ≠ 0
h : Splits i (f * g✝)
g : L[X]
hgi : Irreducible g
hg : g ∣ map i f
⊢ g ∣ map i f * map i g✝
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι✝
v✝ : Set E
A : ι✝ → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)
hsv : Injective (s.restrict v)
hX : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
⊢ ∃ b, ∀ i ∈ s, b i = v i
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n k : ℕ
aux : ∀ (m : ℕ), 0 < ↑p ^ m
⊢ (↑p ^ k)⁻¹ ≤ (↑p ^ n)⁻¹ ↔ n ≤ k
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p j : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
F : ℕ → ℚ
S : Finset ℕ
hS : S.Nonempty
hF : ∀ i ∈ S, padicValRat p (F j) < padicValRat p (F i)
hn1 : ∀ (i : ℕ), 0 < F i
⊢ padicValRat p (F j) < padicValRat p (∑ i ∈ S, F i)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : Differentiable 𝕜 g
⊢ (Differentiable 𝕜 fun y => f y - g y) ↔ Differentiable 𝕜 f
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
⊢ IsCompact (s ×ˢ t)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
n : ℕ
h𝒜 : Set.Sized n ↑𝒜
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜
⊢ sᶜ.card = Fintype.card α - n
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a * b / c = a / c * b
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c✝ d : G
n : ℤ
a b c : G
⊢ a / b * (b / c) = a / c
s : Set ℝ
h₁ : BddBelow s
h₂ : BddAbove s
hne : s.Nonempty
⊢ sInf s ≤ sSup s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
F : Type u_7
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
x y : M
u : Mˣ
ha : x * ↑u = y
⊢ f x ~ᵤ f y
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
f : Polynomial R
hf : f ≠ 0
hfR : ↑f.natDegree < Cardinal.mk R
⊢ ∃ r, Polynomial.eval r f ≠ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s₁ s₂ t : Finset β
DecidableEq β
⊢ s₁ ∩ s₂ -ᵥ t ⊆ (s₁ -ᵥ t) ∩ (s₂ -ᵥ t)
α : Type u_1
EuclideanDomain α
DecidableEq α
x y : α
⊢ IsUnit (EuclideanDomain.gcd x y) ↔ IsCoprime x y
x✝ y✝ z x y : ℝ
hx_nonneg : 0 ≤ x
⊢ ‖x ^ y‖ = ‖x‖ ^ y
b c d m n : ℤ
h : 0 * b ∣ c
⊢ b ∣ c / 0
α : Type u_1
a : α
l : List α
p : α → Bool
h : ¬p a = true
⊢ eraseP p (a :: l) = a :: eraseP p l
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ AEMeasurable (g ∘ f) μ ↔ AEMeasurable f μ
ι : Type u_1
α : Type u_4
DivisionSemiring α
TopologicalSpace α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
a₁ a₂ : α
h : a₂ ≠ 0
⊢ HasSum (fun i => f i / a₂) (a₁ / a₂) ↔ HasSum f a₁
G : Type u_1
AddGroup G
K : AddSubgroup G
N : Type u_5
AddGroup N
⊢ AddSubgroup.map 0 K = ⊥
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s t : Set Q
ht : t.Finite
h : t ⊆ interior s
⊢ ∀ᶠ (δ : 𝕜) in 𝓝 1, ⇑(homothety x δ) '' t ⊆ s
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ (∀ (I : Ideal R) (b : ↥I →ₗ[R] CharacterModule M), ∃ a, ∀ (a_1 : R) (b_1 : a_1 ∈ I) (x : M), (((lcomp R (CharacterModule M) (Submodule.subtype I)) a) ⟨a_1, b_1⟩) x = (b ⟨a_1, b_1⟩) x) ↔ ∀ (I : Ideal R) (g : ↥I →ₗ[R] CharacterModule M), ∃ g', ∀ (x : R) (mem : x ∈ I) (x_1 : M), (g' x) x_1 = (g ⟨x, mem⟩) x_1
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔ UniformContinuousOn (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
b : P₁
⊢ (AffineEquiv.vaddConst k b).linear = LinearEquiv.refl k V₁
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ ↔ angle x y = 0
G : Type u_2
SubNegMonoid G
MeasurableSpace G
MeasurableAdd G
g : G
⊢ Measurable fun h => h - g
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ ε : ℝ≥0∞
B : Set Ω
ε_gt : δ < ε
ε_lt_top : ε < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
B_subset : B ⊆ (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ)ᶜ
Tc_mble : MeasurableSet (thickening ε.toReal B)ᶜ
h : 1 - μ (thickening ε.toReal B) ≤ ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) + ε
almost : 1 - μ (thickening ε.toReal B) + μ (thickening ε.toReal B) ≤ ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) + ε + μ (thickening ε.toReal B)
⊢ 1 - ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype n
P : Matrix n n 𝕜 → Prop
M : Matrix n n 𝕜
hdiag : ∀ (D : n → 𝕜), (diagonal D).det = M.det → P (diagonal D)
htransvec : ∀ (t : TransvectionStruct n 𝕜), P t.toMatrix
hmul : ∀ (A B : Matrix n n 𝕜), P A → P B → P (A * B)
⊢ P M
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X
Qs : (Q : DiscreteQuotient X) → Quotient Q.toSetoid
compat : ∀ (A B : DiscreteQuotient X) (h : A ≤ B), ofLE h (Qs A) = Qs B
⊢ ∃ x, ∀ (Q : DiscreteQuotient X), Q.proj x = Qs Q
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (f n y - f n x)) (fun y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (g y - g x)) l (𝓝 x)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
x : Option α
g : α → β
h : a ∈ x
⊢ g a ∈ Option.map g x
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Field K
R₁✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R₁✝
inst✝⁹ : IsDomain R₁✝
inst✝⁸ : Algebra R₁✝ K
inst✝⁷ : IsFractionRing R₁✝ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁✝⁰ K
K' : Type u_5
inst✝⁶ : Field K'
inst✝⁵ : Algebra R₁✝ K'
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁✝ K'
R₁ : Type u_6
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsLocalization R₁⁰ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0
⊢ I * spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹ = 1
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
a b : G₀
h : b = 0 → a = 0
⊢ b * (a / b) = a
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L
⊢ Module.rank E ↥(adjoin E ↑L) ≤ Module.rank F ↥L
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
⊢ (DerivedCategory.triangleOfSES hS).mor₃ = DerivedCategory.triangleOfSESδ hS
⊢ ∀ {X Y : Pointed} (f : X ⟶ Y) (a : Option X.X), (pointedToTwoPSnd.map f).toFun a = Option.map f.toFun a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongMono f
⊢ Mono (e.inv.left ≫ f ≫ e.hom.right)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ C (φ P.a) * ((X - C x) ::ₘ (X - C y) ::ₘ {X - C z}).prod = C (φ P.a) * (X - C x) * (X - C y) * (X - C z)
x y : ℤ
⊢ dist x y = |↑x - ↑y|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))
x : ℕ → ι
hx : Tendsto x atTop u
this : (fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop) = g
⊢ Measurable fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
m n : Nat
⊢ (List.replicate m a).zip (List.replicate n b) = List.replicate (min m n) (a, b)
M : Type u_6
AddZeroClass M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
a : M
⊢ 𝓝 a + 𝓝 0 = 𝓝 a
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s₁ s₂ : Set α
hs : s₁ ⊆ s₂
⊢ omegaLimit f ϕ s₁ ⊆ omegaLimit f ϕ s₂
M : Type u
MulOneClass M
a b : M
h : a * b = 1
⊢ a = 1 ↔ b = 1
M : Type u_5
N : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ (MonoidHom.snd M N).comp (MonoidHom.inr M N) = MonoidHom.id N
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommMonoidWithZero R
PartialOrder R
ZeroLEOneClass R
PosMulStrictMono R
Nontrivial R
f : ι → R
s : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ s, 0 < f i
⊢ 0 < ∏ i ∈ s, f i
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
⊢ coeffs 1 ⊆ {1}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.card - 1 < s.card
⊢ s.Nonempty
n : ℕ
i : Fin n
⊢ Fin.revOrderIso.symm i = OrderDual.toDual i.rev
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
c : Cocone F
X : C
f : c.pt ⟶ X
j✝ : J
⊢ ι F j✝ ≫ desc F (c.extend f) = (ι F j✝ ≫ desc F c) ≫ f
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V ≤ index K₁.carrier V + index K₂.carrier V
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
s : Set (α × β)
⊢ s ∈ f ×ˢ ⊤ ↔ {a | ∀ (b : β), (a, b) ∈ s} ∈ f
V : Type u
G : SimpleGraph V
β : G.ConnectedComponent → Prop
h : ∀ (v : V), β (G.connectedComponentMk v)
c : G.ConnectedComponent
⊢ β c
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a > 0
⊢ (a * b).primeFactorsList ~ a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ MulOpposite.op (∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (MulOpposite.op y - MulOpposite.op x) = MulOpposite.op y ^ n - MulOpposite.op x ^ n
α : Type u_1
ι : Type u_3
CompleteLattice α
f : ι → α
s : Finset ι
h : CompleteLattice.Independent f
⊢ s.SupIndep f
v : PrimeMultiset
⊢ Coe.coe v.prod.factorMultiset = Coe.coe v
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝¹¹ : SmallCategory J
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝⁹ : Small.{v, u₂} K
inst✝⁸ : FinCategory J
F✝ : J × K ⥤ Type v
inst✝⁷ : IsFiltered K
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape J C
inst✝³ : HasColimitsOfShape K C
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape J (forget C)
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape K (forget C)
inst✝ : PreservesLimitsOfShape J (forget C)
F : J ⥤ K ⥤ C
a : K
b : J
⊢ colimit.ι (limit F) a ≫ (((isLimitOfPreserves colim (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (F ⋙ colim))).hom ≫ (HasLimit.isoOfNatIso (colimitFlipIsoCompColim F).symm).hom) ≫ limit.π (colimit F.flip) b = (limit.π F b).app a ≫ (colimit.ι F.flip a).app b
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
x y : M
hu : IsUnit (x * y)
z : M
hz : x * y * z = 1
⊢ x * (y * z) = 1
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : Nontrivial n
i j j' : n
hj' : j' ≠ j
j'' : n
⊢ 0ᵀ.updateColumn j (Pi.single i 1) j'' j' = 0
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
x : β
hx : x ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
X : TopCat
⊢ topCatToLightCondSet.obj X = X.toLightCondSet
Γ : outParam (Subgroup SL(2, ℤ))
k : outParam ℤ
self : SlashInvariantForm Γ k
γ : ↥Γ
⊢ self.toFun ∣[k] γ = self.toFun
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b = toIcoDiv hp a b ∨ toIocDiv hp a b + 1 = toIcoDiv hp a b
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
S : Type u_10
CommRing R
Ring S
Nontrivial S
AddCommGroup M
Algebra R S
Module S M
Module R M
IsScalarTower R S M
NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : ↥(Submodule.span R (Set.range ⇑b))
i : ι
⊢ (algebraMap R S) (((Basis.restrictScalars R b).repr m) i) = (b.repr ↑m) i
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
C : Type u_1
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
h : IsCyclotomicExtension S A B
f : B ≃ₐ[A] C
this✝ : Algebra B C := (↑f).toAlgebra
this : IsCyclotomicExtension {1} B C
⊢ IsCyclotomicExtension S A C
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β✝
μ ν : Measure α
β : Type u_7
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
x : α
g : α → β
g_meas : ∀ t > x, AEMeasurable g (μ.restrict (Ioc x t))
this : Nonempty α
u : ℕ → α
hu_tendsto : Tendsto u atTop atTop
⊢ AEMeasurable g (μ.restrict (Ioi x))
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : ↥(rootsOfUnity n L)
⊢ (g * h) ↑↑ζ = ↑(↑ζ ^ (χ₀ n g * χ₀ n h).val)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n✝ : ℕ
h : orderOf x = 0
n m : ℕ
⊢ x ^ n = x ^ m ↔ n = m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
φ : α →ₛ ℝ≥0
hle : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
b : ℝ≥0∞
hbφ : b < (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ + ε
hb : ∀ (i : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ ≤ b
ψ : α →ₛ ℝ≥0
hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x
this : (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
⊢ (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap (φ - φ') =
  CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap φ - CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap φ'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.biprod.isoCoprod X Y).inv =
  CategoryTheory.Limits.coprod.desc CategoryTheory.Limits.biprod.inl CategoryTheory.Limits.biprod.inr
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ 0 < hammingDist x y ↔ x ≠ y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x✝ x : E
⊢ gauge (ball 0 1) x = ‖x‖
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ rexp (a * (log x / (b * x + c))) = rexp (a / (b * x + c) * log x)
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
n : ℕ
m : M
a : α
⊢ m ^ (n + MulAction.period m a) • a = m ^ n • a
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p q : R[X]
qn : q.natDegree < n
⊢ (p + q).coeff n = p.coeff n
p : ℝ≥0∞
V : Type uV
AddCommGroup V
⊢ (WithLp.equiv p V).symm 0 = 0
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : 1 < a
hb : 1 < b
⊢ 1 < a * b
α : Type u
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
hB : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B
u : Set α
ou : IsOpen u
⊢ ∃ S ⊆ B, u = ⋃₀ S
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
n : ℕ
x : α × β
⊢ Function.IsPeriodicPt (Prod.map f g) n x ↔ Function.IsPeriodicPt f n x.1 ∧ Function.IsPeriodicPt g n x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderClosedTopology α
Nonempty β
SemilatticeInf β
f : β → α
a : α
hf : Antitone f
ha : Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 a)
⊢ IsLUB (Set.range f) a
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedCosZeta 0 s = completedRiemannZeta s
C : Type w
CategoryTheory.Category.{u, w} C
CategoryTheory.HasSheafify (CategoryTheory.coherentTopology LightProfinite) C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y),
  (LightCondensed.discrete C).map f =
    (CategoryTheory.presheafToSheaf (CategoryTheory.coherentTopology LightProfinite) C).map
      ((CategoryTheory.Functor.const LightProfiniteᵒᵖ).map f)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ -(-f) (a • x + b • y) ≤ -(a • (-f) x + b • (-f) y + a * b * φ ‖x - y‖)
a b : UInt8
h : a.val = b.val
⊢ a = b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
r : ℝ
hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r
h : Set.range s.points ⊆ Metric.sphere p r → p = s.circumsphere.center ∧ r = s.circumsphere.radius
⊢ p = s.circumcenter
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ : ℝ
⊢ (o.oangle (r₁ • x + r₂ • y) y).sign = SignType.sign r₁ * (o.oangle x y).sign
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Finite F
hF : ringChar F ≠ 2
h : ¬Function.Injective fun x => x * x
⊢ ∃ a, ¬IsSquare a
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v : V
w y : W
⊢ 2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)) * ↑((L v) y) = 2 * ↑π * I * ↑((L v) y) * ↑(𝐞 (-(L v) w))
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
LindelofSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ IsLindelof (Set.range f)
α : Type u_2
MulOneClass α
a : α
⊢ Set.singletonMonoidHom a = {a}
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n✝ : ℕ
χ : DirichletCharacter R n✝
f g : ℕ → R
n : ℕ
⊢ ((fun x => χ ↑x) * f ⍟ ((fun x => χ ↑x) * g)) n = ((fun x => χ ↑x) * (f ⍟ g)) n
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
⊢ ‖x‖ = ‖x.fst‖ + ‖x.snd‖
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
Z Z' : C
f : AlgebraicTopology.DoldKan.MorphComponents X n Z
h : Z ⟶ Z'
⊢ (f.postComp h).a = f.a ≫ h
a b : ℤ
⊢ a + b ≤ 0 ↔ b ≤ -a
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f f' g g' : ℕ → R
hf : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = f' n
hg : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → g n = g' n
⊢ f ⍟ g = f' ⍟ g'
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
⊢ ⁅x - y, m⁆ = ⁅x, m⁆ - ⁅y, m⁆
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), 0 < 1 - ε ↑(r i n)