ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero β
l : Filter α
f g : α → β
s : Set α
hfg : f =ᶠ[l] g
⊢ s.indicator f =ᶠ[l] s.indicator g
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Mono (f ≫ g)
Z : C
a b : Z ⟶ X
w : (a ≫ f) ≫ g = (b ≫ f) ≫ g
⊢ a = b
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
h : (quadraticChar F) (-1) = if (-1) ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1
n : ℕ
⊢ (if (-1) ^ n = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ n
M : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → M
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : MeasurableSup₂ α
f : ℕ → δ → α
n : ℕ
hf : ∀ k < n.succ, Measurable (f k)
⊢ ∀ n_1 ∈ range (n + 1), Measurable (f n_1)
R : Type u_1
M : Type u_3
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
a : R
b : M
⊢ a • b ≠ 0 → a ≠ 0
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Set.Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + Real.log y
hn : n ≠ 0
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
⊢ f (↑n + x) ≤ f ↑n + x * Real.log ↑n
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : G
b : α
n : ℕ
⊢ a ^ (n % minimalPeriod (fun x => a • x) b) • b = a ^ n • b
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Set.Ici 0) fun x => x ^ p
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α₀ α₁ β₀ β₁ : Type u
f : α₀ → F α₁
f' : β₀ → G β₁
x : t α₀ β₀
⊢ bitraverse (Comp.mk ∘ map f ∘ pure) (Comp.mk ∘ map pure ∘ f') x = bitraverse (Comp.mk ∘ pure ∘ f) (Comp.mk ∘ map pure ∘ f') x
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable
⊢ f.closure.IsClosed
p n : ℕ
h : n < p
⊢ n.factorial.factorization p = 0
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝ : Field R
A : Matrix n n R
hAps : Splits (RingHom.id R) A.charpoly
h : IsEmpty n
⊢ A.trace = A.charpoly.roots.sum
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ (↑(unitLattice K) ∩ Metric.closedBall 0 r).Finite
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
W : C
k l : t.pt ⟶ W
h₀ : t.inl ≫ k = t.inl ≫ l
h₁ : t.inr ≫ k = t.inr ≫ l
j : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan
⊢ t.ι.app j ≫ k = t.ι.app j ≫ l
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s
⊢ (-1) ^ (card s - k) * s.esymm (card s - k) = (map (fun t => -t) s).esymm (card (map (fun t => -t) s) - ?convert_1)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
P : R[X]
hmo : P.Monic
hP : (Polynomial.aeval s) P = 0
Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
hs : IsIntegral R s
⊢ minpoly R s = P
α : Type u_1
DecidableEq α
x y : α
l : List α
⊢ List.insert x (List.insert y l) ~ List.insert y (List.insert x l)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
CommRing R
x y : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ WittVector.init n (x * y) = WittVector.init n (WittVector.init n x * WittVector.init n y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
h : ∀ (b : ι), MeasurableSet (f b)
⊢ MeasurableSet (⋃ i, (f i)ᶜ)
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
x : ↑(fundamentalDomain b)
⊢ (quotientEquiv b).symm x = Submodule.Quotient.mk ↑x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G
⊢ ∀ (n : ℕ), lowerCentralSeries G n = ⊥ → ∃ H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π
left✝ : p2 -ᵥ p3 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p4 -ᵥ p3 = r • (p2 -ᵥ p3)
⊢ p4 -ᵥ p2 = (-r + 1) • (p3 -ᵥ p2)
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
T2Space M
NormalSpace M
SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
hd : s ⊆ interior t
⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 1) ∧ (∀ x ∉ t, f x = 0) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Set.Icc 0 1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ¬p₃ = p₂
⊢ ∡ p₁ p₂ (midpoint ℝ p₃ p₂) = ∡ p₁ p₂ p₃
n : ℕ
F : TypeVec.{u_2} n → Type u_1
MvFunctor F
self : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u_2} n
x : F α
⊢ TypeVec.id <$$> x = x
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d d' : D
g : d ⟶ d'
δ : d ⟶ d
hδ : δ ∈ (map φ hφ S).arrows d d
⊢ Groupoid.inv g ≫ δ ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {β : ι → Type u_6} (m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)) (f : (x : ι) → Ω → β x)
  (μ : MeasureTheory.Measure Ω),
  ProbabilityTheory.iIndepFun m f μ ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f' : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (f' i)) → μ (⋂ i ∈ s, f' i) = ∏ i ∈ s, μ (f' i)
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
CompleteSpace F
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => derivWithin f (Set.Ici x) x
α β : Type u
a b c : Cardinal.{u_1}
⊢ a ^ (b * c) = (a ^ b) ^ c
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.54457, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.54461, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
⊢ mn + a = a''
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → Zero (β i)
x : (i : ι) → β i
⊢ 0 < hammingNorm x ↔ x ≠ 0
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
X✝ Y✝ Z✝ : ι
hij : X✝ ⟶ Y✝
hjk : Y✝ ⟶ Z✝
x : ↑({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj X✝)
⊢ ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hij ≫ { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hjk) x = ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (hij ≫ hjk)) x
w : Nat
x : BitVec w
n m : Nat
⊢ x >>> n >>> m = x >>> (n + m)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ (Localization.mulEquivOfQuotient f).symm (f.mk' x y) = (Localization.monoidOf S).mk' x y
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
n : ℕ
hn : r < μ (s ∩ spanningSets μ n)
⊢ μ (s ∩ spanningSets μ n) < ⊤
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
s : Set A
⊢ ↑(StarAlgebra.adjoin R s) = ⋂ t, ⋂ (_ : Set.range ⇑(algebraMap R A) ⊆ ↑t ∧ s ⊆ ↑t ∧ star s ⊆ ↑t), ↑t
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_4
SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
f : ι → α
⊢ l.toFun (⋃ i, ↑(l.toFun ↑(f i))) = l.toFun (⋃ i, ↑(f i))
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
CommRing S
Algebra R S
z : S
hz : IsAlgebraic R z
inj : ∀ (x : R), (algebraMap R S) x = 0 → x = 0
⊢ ∃ x y, y ≠ 0 ∧ z * (algebraMap R S) y = ↑x
G : Type u_1
Group G
x : G
i : ℤ
⊢ (x ^ i) ^ orderOf x = 1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
Pow β γ
MeasurablePow β γ
m : MeasurableSpace α
f : α → β
hf : Measurable f
c : γ
⊢ Measurable fun x => f x ^ c
x y : ℂ
⊢ (cexp ↑x.re * (cos ↑x.im + sin ↑x.im * I)).re = Real.exp x.re * Real.cos x.im
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → F
hn : ∀ (e p q : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
⊢ x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
f : PushoutI φ →* K
i : ι
⊢ ((fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)).1 i).comp (φ i) = (fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)).2
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
disc : TotallyDisconnectedSpace X
x y : X
h : ∀ (Q : DiscreteQuotient X), Q.proj x = Q.proj y
⊢ ∀ (i : { s // IsClopen s ∧ y ∈ s }), x ∈ ↑i
β : Type w
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : α → C
g : β → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
e : β ≃ α
iso : (j : β) → g j ≅ f (e j)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCoproduct g
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
⊢ IsLocalization.coeSubmodule S ⊤ = 1
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
Zero G₀
Inv G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
l : Filter α
f : α → G₀
a : G₀
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
ha : a ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => (f x)⁻¹) l (𝓝 a⁻¹)
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
y : R
hy : Prime y
⊢ IsRadical y
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hio : i ∣ orderOf μ
key : i < n
key' : i ∣ n
hni : {i, n} ⊆ n.divisors
k : K[X]
hk : cyclotomic i K = (X - C μ) * k
j : K[X]
hj : cyclotomic n K = (X - C μ) * j
this : (∏ x ∈ n.divisors \ {i, n}, cyclotomic x K) * ((X - C μ) * k * ((X - C μ) * j)) = X ^ n - 1
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
⊢ S.disconnect ≤ S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
h : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
c : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X Y
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit c) ↔ CategoryTheory.IsIso c.snd
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
Fintype α
⊢ Finset.univ ⊼ Finset.univ = Finset.univ
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
hp : (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).support.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).support, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
α : Type u_1
s : Set α
f : α → ℕ
⊢ s.EquitableOn f ↔ ∃ b, ∀ a ∈ s, f a = b ∨ f a = b + 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
p : X → Prop
q : Y → Prop
h : X ≃ₜ Y
h_iff : ∀ (x : X), p x ↔ q (h x)
⊢ Continuous __spread✝⁻⁰.toFun
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
x y : V
⊢ midpoint R x y = ⅟2 • (x + y)
R : Type u
inst✝² : NonUnitalRing R
inst✝¹ : PartialOrder R
inst✝ : StarRing R
h_add : ∀ {x y : R}, x ≤ y → ∀ (z : R), z + x ≤ z + y
h_nonneg_iff : ∀ (x : R), 0 ≤ x ↔ ∃ s, x = star s * s
this : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ ∀ (x y : R), x ≤ y ↔ ∃ s, y = x + star s * s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : StrongFEPair E
⊢ P.Λ = mellin P.f
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
σR : Type u_1
SetLike σR R
SubsemiringClass σR R
f : R →+* S
s : σR
x : ↥s
⊢ (f.domRestrict s) x = f ↑x
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
s t : Set V
h : s ⊆ t
⊢ Set.finrank K s ≤ Set.finrank K t
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
⊢ Metric.diam (f '' univ) = Metric.diam univ
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
𝓕 : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
FunLike 𝓕 E E₂
SemilinearIsometryClass 𝓕 σ₁₂ E E₂
f : 𝓕
⊢ Isometry ⇑f
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ [a].maximum = ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α
⊢ s.mulIndicator f = f ↔ mulSupport f ⊆ s
R : Type u_1
S : Type u_4
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring S
Module S M
SMulCommClass S R M
s : S
⊢ (Module.toModuleEnd R M) s = DistribMulAction.toLinearMap R M s
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M
hb : LinearIndependent R b
this : Module.rank R ↥(span R (range b)) = #↑(range b)
⊢ Module.rank R ↥(span R (range b)) = ↑(Fintype.card ι)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ✝ : σ ∈ alternatingGroup α
hσ : (↑⟨σ, hσ✝⟩).support.card + 2 ≤ card α
τ : Perm α
hτ : τ ∈ alternatingGroup α
hc : IsConj ↑⟨σ, hσ✝⟩ ↑⟨τ, hτ⟩
π : Perm α
hπ : π * σ * π⁻¹ = τ
h : sign π = 1
⊢ IsConj ⟨σ, hσ✝⟩ ⟨τ, hτ⟩
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs₁ : BddAbove s
hs₂ : s.Nonempty
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ upperBounds s
x : E
this : Nonempty ↑s
⊢ ⨆ i, ↑i x ≤ p x
α : Type u_1
l : List α
i : Nat
a : α
h : i < (l.set i a).length
⊢ (l.set i a)[i]? = some a
n a : ℕ
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
pp : Function.Periodic p a
⊢ Multiset.card (Multiset.filter p (Multiset.Ico n (n + a))) = Nat.count p a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u}
h✝ : Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c < Cardinal.univ.{u, v}
S : Set Ordinal.{u}
H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
Se : #↑S = (type fun x x_1 => x < x_1).cof
h : Cardinal.lift.{u + 1, u} c ≥ #↑S
⊢ False
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
⊢ AList.lookup a ∅ = none
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ₁ χ₂ : R
x y : L
m : M
hy : y ∈ ((LieModule.toEnd R L L) x).maxGenEigenspace χ₁
hm : m ∈ ((LieModule.toEnd R L M) x).maxGenEigenspace χ₂
⊢ ⁅y, m⁆ ∈ ((LieModule.toEnd R L M) x).maxGenEigenspace (χ₁ + χ₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
f : α → β
hf : Function.Injective f
a : α
⊢ hf.invOfMemRange ⟨f a, ⋯⟩ = a
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇔ b ⇨ b = a ⊔ b
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
β : Type w
Fintype n
NonAssocSemiring α
NonAssocSemiring β
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
i : m
j : o
f : α →+* β
⊢ f ((M * N) i j) = (M.map ⇑f * N.map ⇑f) i j
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_3
T : Type u_4
CommRing S
CommRing T
Algebra R S
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
IsLocalization M S
IsFractionRing R T
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
⊢ IsFractionRing S T
A : Type u₁
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers A
CategoryTheory.Limits.HasImages A
CategoryTheory.StrongEpiCategory B
CategoryTheory.Limits.HasImages B
L : CategoryTheory.Functor A B
{X Y Z : A} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f g) L
{X Y Z : A} → (f : X ⟶ Y) → (g : X ⟶ Z) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.span f g) L
X Y : A
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.PreservesImage.iso L f).inv =
  (CategoryTheory.Limits.StrongEpiMonoFactorisation.mk
          (CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation.mk (L.obj (CategoryTheory.Limits.image f))
            (L.map (CategoryTheory.Limits.image.ι f)) (L.map (CategoryTheory.Limits.factorThruImage f))
            ⋯)).toMonoIsImage.lift
    (CategoryTheory.Limits.Image.monoFactorisation (L.map f))
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
h : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ∃! l, ∀ (j : J), l ≫ t.π.app j = s.π.app j
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑0) f p u
⊢ ContinuousWithinAt f s x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ SpecializingMap f ↔ ∀ (x : X), f '' closure {x} = closure {f x}
R : Type u_2
CommRing R
f : Polynomial R
r : R
⊢ (((Polynomial.taylor r) f).sum fun i a => Polynomial.C a * (Polynomial.X - Polynomial.C r) ^ i) = f
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
maybe_empty : ¬Nonempty Ω
⊢ False
x y✝ z✝ : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ x
hz' : y ∈ z
⊢ y ∈ x
R : Type u
CommRing R
x y z : R
⊢ IsCoprime x (x * z + y) ↔ IsCoprime x y
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
n : ℕ
l : List α
⊢ (insertNth n a l).eraseIdx n = l
α : Type u
LinearOrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ a ≤ -a ↔ a ≤ 0
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
h : ↑ε < μ.innerContent U
⊢ ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
J : Ideal S
⊢ J.IsPrime ↔ (Ideal.comap (algebraMap R S) J).IsPrime ∧ Disjoint ↑M ↑(Ideal.comap (algebraMap R S) J)
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α) → β a
a : α
b : β a
f : (a : α) → β a
a' : α
v v' : β a'
h : update f a' v = update f a' v'
this : update f a' v a' = update f a' v' a'
⊢ v = v'
G : Type u_1
Group G
H : Type u_2
Group H
f : G →* H
h : Function.Surjective ⇑f
n : ℕ
⊢ Subgroup.map f (upperCentralSeries G n) ≤ upperCentralSeries H n
x : ℝ
⊢ HasDerivAt Real.arctan (1 / (1 + x ^ 2)) x
G : Type u_1
Add G
self : TwoUniqueSums G
A B : Finset G
⊢ 1 < A.card * B.card → ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueAdd A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueAdd A B p2.1 p2.2
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K
s : X → Set X
hc : ∀ (x : X), IsCompact (s x)
hmem : ∀ (x : X), s x ∈ 𝓝 x
I : Finset X
hIK : K ⊆ ⋃ x ∈ I, interior (s x)
⊢ ⋃ x ∈ I, interior (s x) ⊆ interior (⋃ x ∈ I, s x)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ (p.sum fun n a => (Polynomial.monomial n) a) = p
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
a : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)
i : ι
⊢ (GradedAlgebra.proj 𝒜 i) ((DirectSum.decompose 𝒜).symm a) =
  (DirectSum.decompose 𝒜).symm ((DirectSum.of (fun i => ↥(𝒜 i)) i) (a i))
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
C : α → β → Sort u_3
hα : WellFounded rα
hβ : WellFounded rβ
IH : (a₁ : α) → (b₁ : β) → ((a₂ : α) → (b₂ : β) → Prod.GameAdd rα rβ (a₂, b₂) (a₁, b₁) → C a₂ b₂) → C a₁ b₁
a : α
b : β
⊢ Prod.GameAdd.fix hα hβ IH a b = IH a b fun a' b' x => Prod.GameAdd.fix hα hβ IH a' b'
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W
⊢ cs.IsLeftInversion (t * w) t ↔ ¬cs.IsLeftInversion w t
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
⊢ ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e
a : ℤ
b p : ℕ
hp : p ∈ b.primeFactorsList
ha' : legendreSym p a ∈ List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b.primeFactorsList ⋯
⊢ legendreSym p a ∈ (MonoidHom.mrange ↑SignType.castHom).copy {0, 1, -1} ⋯
α : Type u_1
C : Set (Set α)
self : MeasureTheory.IsSetRing C
s t : Set α
⊢ s ∈ C → t ∈ C → s ∪ t ∈ C
α : Type u_1
Preorder α
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
H : Ordnode.Valid' o₁ (Ordnode.node s l x r) o₂
⊢ Ordnode.Valid' o₁ (l.node' x r).eraseMax ↑(Ordnode.findMax' x r) ∧ (l.node' x r).size = (l.node' x r).eraseMax.size + 1
M : Type u_1
Monoid M
⊢ Function.RightInverse Subgroup.ofUnits Submonoid.units
α : Type u
t : TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
⊢ ∅ ∉ TopologicalSpace.countableBasis α
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
⊢ IsPathConnected sᶜ
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
⊢ openSegment 𝕜 x y = Set.Ioo x y
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
⊢ Polynomial.map (frobenius R p) ((Polynomial.expand R p) f) = f ^ p
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i j : ℕ
not_cell : (i, j) ∉ μ
⊢ T i j = 0
K : Type u
DivisionRing K
s t : Set K
h : s ⊆ t
⊢ Subfield.closure s ≤ Subfield.closure t
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
MulOneClass α
MulOneClass β
MulOneClass γ
f : β →*o γ
⊢ f.comp 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
⊢ 0 ≤ κ.densityProcess ν n a x s
ι : Type v
α : ι → TopCat
i : ι
⊢ (TopCat.piIsoPi α).inv ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.π α i = TopCat.piπ α i
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
InvolutiveStar α
A B : Matrix m n α
⊢ Aᴴ = Bᴴ ↔ A = B
q : ℚ
num : ℤ
den : ℕ
hd : den ≠ 0
hdn : num.natAbs.Coprime den
n : ℕ
⊢ den ^ n ≠ 0
G : Type u_1
CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑(CommMonoid.primaryComponent G p) = {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
s : Finset α
⊢ ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LT α
a b : α
h : a < b
⊢ ¬a ⋖ b ↔ ∃ c, a < c ∧ c < b
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
Invertible A
⊢ A.invertibleEquivDetInvertible inst✝ = A.detInvertibleOfInvertible
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Monoid γ
ContinuousMul γ
f : α →ₘ[μ] γ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.toGermMonoidHom f = f.toGerm