ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
S : Subsemigroup N
f : M →ₙ* N
x : M
⊢ x ∈ Subsemigroup.comap f S ↔ f x ∈ S
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
inst✝ : I.Boundaryless
⊢ univ.prod (J.boundary N) ∪ ∅.prod univ = univ.prod (J.boundary N)
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
j₁ j₂ : J
t : Trident f
⊢ t.ι ≫ f j₁ = t.ι ≫ f j₂
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.288867, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
h : HomotopyEquiv C D
⊢ Homotopy ((F.mapHomologicalComplex c).map h.hom ≫ (F.mapHomologicalComplex c).map h.inv) (𝟙 ((F.mapHomologicalComplex c).obj C))
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hp : ∀ n' ≥ n, ¬p n'
⊢ nth p n = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M : Mon_ (Comon_ C)
⊢ (Bimon_.ofMon_Comon_ C).obj M = Bimon_.ofMon_Comon_obj C M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
h : ∀ᶠ (x : β) in f, u x ≠ ⊥ → (p x ↔ q x)
a : α
⊢ a ∈ {a | ∀ᶠ (x : β) in f, p x → u x ≤ a} ↔ a ∈ {a | ∀ᶠ (x : β) in f, q x → u x ≤ a}
α : Type u_1
M N : Matroid α
⊢ N.Restriction M ↔ ∃ R ⊆ M.E, N = M.restrict R
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : stabilizer G a ≤ H
⊢ ∀ (g : G), (∃ x ∈ g • orbit (↥H) a, x ∈ orbit (↥H) a) → g • orbit (↥H) a = orbit (↥H) a
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α ↪ β
v : α →₀ M
⊢ Finsupp.embDomain f v = Finsupp.mapDomain (⇑f) v
α : Type u_2
SemilatticeInf α
⊢ infClosure ∅ = ∅
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F✝ : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
e : ZMod ↑n ≃+ Additive ↥(Subgroup.zpowers ζ) := h.zmodEquivZPowers
F : Fintype ↥(Subgroup.zpowers ζ)
⊢ Fintype.card ↥(rootsOfUnity n R) = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
⊢ Forall₂ r ∘r Perm = Perm ∘r Forall₂ r
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
h : f.LimZero
⊢ f.lim = 0
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso f ↔
  CategoryTheory.IsIso f.val.base ∧
    ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), CategoryTheory.IsIso (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X : C
πX : X ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX)) C
CategoryTheory.Limits.HasPushout (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTop f πX)
    (CategoryTheory.SmallObject.functorObjLeft f πX)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.SmallObject.ιFunctorObj f πX)
    (CategoryTheory.SmallObject.πFunctorObj f πX) =
  πX
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
d : τ →₀ ℕ
h : ∀ (u : σ →₀ ℕ), Finsupp.mapDomain f u = d → coeff u φ = 0
⊢ coeff d ((rename f) φ) = 0
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso (X.presheaf.obj (Opposite.op U))).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (AlgebraicGeometry.Spec.map U.topIso.inv) ⊤)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.unit.app ↑U) ⊤) U.topIso.hom)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
P : Ideal R[X]
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff Rₘ
inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)) Sₘ
P' : Ideal R := comap C P
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
hφ' : φ.comp (Quotient.mk P') = (Quotient.mk P).comp C
p : Sₘ
p' q : R[X] ⧸ P
hq : q ∈ M'
hp : p * (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) ↑(p', ⟨q, hq⟩).2 = (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) (p', ⟨q, hq⟩).1
⊢ (IsLocalization.map Sₘ (quotientMap P C ⋯) ⋯).IsIntegralElem p
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
SeminormedAddCommGroup F'
NormedAddCommGroup E''
g' : α → F'
f'' : α → E''
l : Filter α
h : f'' =o[l] g'
hf : ∃ᶠ (x : α) in l, f'' x ≠ 0
⊢ ¬g' =O[l] f''
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
n : ℕ
a : α
h : Even n
⊢ (-1) ^ n = 1
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ evariance X ℙ / ENNReal.ofReal (c ^ 2) = evariance X ℙ / ↑c.toNNReal ^ 2
M : Type u_2
AddCommGroup M
A : Type u_5
CommRing A
Module A M
f : M ≃ₗ[A] M
⊢ LinearMap.det ↑f.symm * LinearMap.det ↑f = 1
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : Center C
⊢ (α_ X Y Z).inv.f = (α_ X.fst Y.fst Z.fst).inv
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
cv : Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)
ab : a ≤ b
this : b ∈ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
Sub β
x y : α
⊢ x - y = e.symm (e x - e y)
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
m n : ℕ
⊢ A ^ (-[m+1] * -[n+1]) = (A ^ -[m+1]) ^ -[n+1]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : TopCat.Sheaf C X
f : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.IsIso f ↔ ∀ (x : ↑X), CategoryTheory.IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C x).map f.val)
R : Type u_1
M : Type u_2
Zero R
AddCommMonoid M
SMul R M
f : ArithmeticFunction R
g : ArithmeticFunction M
n : ℕ
⊢ (f • g) n = ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, f x.1 • g x.2
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
⊢ a ⊓ b ∈ s
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
ι : Type u_1
Finite ι
a' x' : ι → α
ha : ∀ (i : ι), x' i < a' i
⊢ Set.Iic a' ∈ 𝓝 x'
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
s : Set α
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ m t = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), m t
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]
⊢ ∀ (a b : A), degt (a + b) ≤ degt a + degt b
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (squareCylinders fun i => {s | MeasurableSet s}) ≤ MeasurableSpace.pi
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
φ : E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, DifferentiableAt 𝕜 f x
bound : ∀ x ∈ s, ‖fderiv 𝕜 f x - φ‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
⊢ ‖f y - f x - φ (y - x)‖ ≤ C * ‖y - x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
h : f ≈ g
ε : α
ε0 : 0 < ε
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abv (↑(f - g) j) < ε / 2 ∧ ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
k : ℕ
jk : k ≥ j
h₁ : abv (↑(f - g) j) < ε / 2
h₂ : ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
⊢ abv (↑f k - ↑g j) < ε
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ'
μ.IsHaarMeasure
μ'.IsHaarMeasure
⊢ μ' = μ
P : TopCat → Prop
X Y B : CompHausLike P
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
CompHausLike.HasExplicitPullback f g
s : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ (CompHausLike.pullback.isLimit f g).lift s = CompHausLike.pullback.lift f g s.fst s.snd ⋯
α : Type u
β : Type v
AddSemigroup β
f : AddHom (FreeAddSemigroup α) β
⊢ ∀ (a : α), FreeAddSemigroup.lift.symm f a = (⇑f ∘ FreeAddSemigroup.of) a
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : CommMonoid P
f✝ : M →* P
g : N →* P
f : M × N →* P
x : M × N
⊢ ((f.comp (inl M N)).coprod (f.comp (inr M N))) x = f x
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ Cardinal.mk ↑s ≤ Cardinal.mk ↑t
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
𝕜✝ : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β✝
f✝ g : α → β✝
𝕜 : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 β
f : α → β
c : β
f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
⊢ AEStronglyMeasurable' m (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hg : ∀ i ∈ s, 0 < g i
⊢ MonovaryOn f⁻¹ g⁻¹ s ↔ MonovaryOn f g s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.StructuredArrow S T
⊢ f.homMk' (CategoryTheory.CategoryStruct.id f.right) = CategoryTheory.eqToHom ⋯
F : Type u_1
E : Type u_2
Field F
Field E
Algebra F E
FiniteDimensional F E
Algebra.IsSeparable F E
⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.90051, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ : (Triangle C)ᵒᵖ
φ : T₁ ⟶ T₂
⊢ (opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op (Opposite.unop T₁).obj₁) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map ((shiftFunctor C 1).map φ.unop.hom₁).op ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map (Opposite.unop T₂).mor₃.op = (opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op (Opposite.unop T₁).obj₁) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map ((shiftFunctor C 1).map φ.unop.hom₁.op.unop).op ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map (Opposite.unop T₂).mor₃.op
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x : L
m : M
n : N
⊢ (hasBracketAux x) (m ⊗ₜ[R] n) = ⁅x, m⁆ ⊗ₜ[R] n + m ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
⊢ 2 * arsinh (dist { re := 0, im := z.im } { re := 0, im := w.im } / (2 * √(z.im * w.im))) ≤ 2 * arsinh (dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im)))
α : Type u_3
SemilatticeSup α
⊢ (SupHom.id α).withBot = SupBotHom.id (WithBot α)
a b c d : Ordinal.{u}
⊢ d < a ⨳ (b ⨳ c) ↔ ∃ a' < a, ∃ b' < b, ∃ c' < c, d ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c') ≤ a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c')
α : Type u_1
β : Type u_2
Encodable α
Inhabited α
r : β → β → Prop
f : α → β
hf : Directed r f
a : α
⊢ r (f a) (f (Directed.sequence f hf (Encodable.encode a + 1)))
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
s : Set (β × Ω)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : β), (ρ.condKernel x) {y | (x, y) ∈ s} ∂ρ.fst = ρ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.IsFiltered C ↔
  ∀ {J : Type w} [inst : CategoryTheory.SmallCategory J] [inst_1 : CategoryTheory.FinCategory J]
    (F : CategoryTheory.Functor J C), Nonempty (CategoryTheory.Limits.Cocone F)
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
NonAssocSemiring R
e : Sym2 α
Fintype α
⊢ e ∈ G.edgeSet → ∑ a : α, SimpleGraph.incMatrix R G a e = 2
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
hf₁ : ∀ (a : α₁) (b : β₁), f₁ a b ⊆ f₁' a b
hf₂ : ∀ (a : α₂) (b : β₂), f₂ a b ⊆ f₂' a b
hg₁ : ∀ (a : α₁) (b : β₂), g₁ a b ⊆ g₁' a b
hg₂ : ∀ (a : α₁) (b : β₂), g₂ a b ⊆ g₂' a b
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
⊢ Finset.sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b ⊆ Finset.sumLexLift f₁' f₂' g₁' g₂' a b
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
⊢ Finset.filter (fun v_1 => ¬u = v ∧ (¬v_1 = u → v_1 = v)) Finset.univ = ∅ ∨ (Finset.filter (fun v_1 => ¬u = v ∧ (¬v_1 = u → v_1 = v)) Finset.univ).card = 2
R : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type w₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
B : Type w₃
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
σ : Type u_1
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] A
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(TensorProduct.map (AlgHom.id R B) f)
k m n : Nat
kpos : 0 < k
H : m * k ∣ n * k
⊢ m ∣ n
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
b : m → α
Preorder α
DecidableEq m
⊢ Matrix.BlockTriangular 1 b
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F✝ F : Sheaf J A
this : (compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t)) ≫ { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } = (constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)
⊢ ((presheafToSheaf J B).map { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val).val = ((sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafCompose J U).map ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val))).val
α : Type u_1
s t : Set α
LinearOrderedCancelCommMonoid α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
⊢ (s * t).IsWF
R : Type u_3
M : Type u_4
AddCommMonoid M
Semiring R
Module R M
tR : AddMonoid.IsTorsion R
⊢ AddMonoid.IsTorsion M
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
CategoryTheory.Limits.HasWidePushout B objs arrows
j : J
⊢ arrows j ≫ CategoryTheory.Limits.WidePushout.ι arrows j = CategoryTheory.Limits.WidePushout.head arrows
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
Semiring R
AddZeroClass A
SemilatticeSup B
Add B
OrderBot B
D : A → B
p q : AddMonoidAlgebra R A
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree D (p * q) ≤ AddMonoidAlgebra.supDegree D p + AddMonoidAlgebra.supDegree D q
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
f : (x : 𝒰.J) → (𝒰.obj x).OpenCover
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
y : ↑↑(𝒰.obj (𝒰.f x)).toPresheafedSpace := Exists.choose ⋯
hy : (𝒰.map (𝒰.f x)).val.base y = x
z : ↑↑((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)).toPresheafedSpace
hz : ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).val.base z = y
⊢ x ∈ Set.range ⇑((fun x => (f x.fst).map x.snd ≫ 𝒰.map x.fst) ((fun x => ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose ⋯)⟩) x)).val.base
a b : EReal
h : -a < b
⊢ -b < a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv.unop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (Opposite.unop X) (Opposite.unop Y) (Opposite.unop Z)).hom
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hvx : 1 < v x
hpx : v (x ^ p.natDegree) = v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i))
⊢ False
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
hf : f.Monic
g : R[X]
h0 : g ≠ 0
hd : g.natDegree < f.natDegree
⊢ (AdjoinRoot.mk f) g ≠ 0
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : WithTop α
⊢ a - b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∨ b = ⊤
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
⊢ W'.Equation ![1, 1, 0]
α : Type u
β : Type v
g : Filter β
m : α → β
⊢ Filter.map m (Filter.comap m g) ≤ g
M : Type u
Monoid M
TopologicalSpace M
hmul : Filter.Tendsto (Function.uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hright : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)
⊢ ContinuousMul M
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
⊢ (∀ (i : ι), y i ∈ Set.Ioc (s.piecewise (fun i => (I.lower i + I.upper i) / 2) I.lower i) (s.piecewise I.upper (fun i => (I.lower i + I.upper i) / 2) i)) ↔ ∀ (x : ι), y x ∈ Set.Ioc (I.lower x) (I.upper x) ∧ ((I.lower x + I.upper x) / 2 < y x ↔ x ∈ s)
n : ℕ+
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsCyclotomicExtension {n} A B
IsDomain B
⊢ NeZero ↑↑n
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
⊢ Continuous ⇑e
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y✝ z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 ≤ ε
h : dist x z / (ε + δ) ≤ 1
hε' : 0 < ε
hεδ : 0 < ε + δ
y : E
hy : dist x y = δ / (ε + δ) * dist x z ∧ dist y z = ε / (ε + δ) * dist x z
⊢ dist x z / (ε + δ) * δ ≤ δ ∧ dist x z / (ε + δ) * ε ≤ ε
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
g : Ultrafilter α
gx : ↑g ≤ 𝓝 x
⊢ Tendsto preStoneCechUnit (↑g) (𝓝 (preStoneCechUnit x))
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝¹ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n✝ n : ℕ
h : n ≠ 0
g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X
hp : 1 < p
aux : g_poly ≠ 0
⊢ FiniteDimensional.finrank (ZMod p) (GaloisField p n) = n
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
a : α i
hi : i ∈ s
ha : a ∈ t i
⊢ ⟨i, a⟩ ∈ s.sigma t
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
h : ∀ (j₁ j₂ : J), CategoryTheory.Zigzag j₁ j₂
⊢ CategoryTheory.IsPreconnected J
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
e : X ≅ Y
⊢ (-e).hom = -e.hom
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s : Finmap β
⊢ (s.keys.sigma fun i => (Finmap.lookup i s).toFinset) = { val := s.entries, nodup := ⋯ }
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
h : f.degree ≠ 0
⊢ ∀ (x : R), IsUnit x → ¬C x = f
z w : ℂ
⊢ (z / w).im = z.im * w.re / Complex.normSq w - z.re * w.im / Complex.normSq w
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
⊢ (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) =o[atTop] fun x => rexp (-(1 / 2) * x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Quiver.SingleObj α ⥤q Quiver.SingleObj β
a : α
⊢ Quiver.SingleObj.toPrefunctor.symm f a = f.map (Quiver.SingleObj.toHom a)
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l : List α
hl : List.Pairwise R l
hr : Symmetric R
⊢ {x | x ∈ l}.Pairwise R
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
n : ℕ
⊢ f.SameCycle x ((f ^ n) y) ↔ f.SameCycle x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : (μ + ν) t ≠ ⊤
⊢ μ (toMeasurable (μ + ν) t ∩ s) = μ (t ∩ s)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
c : ℤ_[p]
hc : c ≠ 0
this : ‖↑p ^ n * c‖ = ‖↑p ^ n‖ * ‖c‖
aux : ↑p ^ n * c ≠ 0
⊢ (↑p ^ n * c).valuation = ↑n + c.valuation
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
self : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
m : ℕ
⊢ n ≤ m → p m = 0
α : Type u
β : Type v
Preorder α
NoBotOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIicTopology α
a : α
l : Filter β
l.NeBot
f : β → α
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ ¬Filter.Tendsto f l Filter.atBot
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
p : X → Prop
hs : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ s, p x
ht : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ t, p x
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (s ∪ t), p x
α : Type u_1
BEq α
l : List α
⊢ l.diff [] = l
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid α
m n : ℕ
y x₁ x₂ : Holor α ds
hx₁ : x₁.CPRankMax1
hx₂ : CPRankMax m x₂
hy : CPRankMax n y
⊢ CPRankMax (n + (m + 1)) (x₁ + (x₂ + y))
G : Type w
TopologicalSpace G
InvolutiveInv G
ContinuousInv G
s : Set G
hs : IsCompact s
⊢ IsCompact s⁻¹
a b c d : Int
hab : a ≤ b
hcd : c < d
⊢ a - d < b - c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : d ≤ c
h : d < b
⊢ Iic b ∪ Ioc c d = Iic (max b d)
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c✝ : G₀
s : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E
c : G₀
⊢ IsClosedMap fun x => c • x
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a + b
α : Type u_1
NormedOrderedGroup α
s : Set α
⊢ ↑(lowerClosure (interior s)) ⊆ interior ↑(lowerClosure s)
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
β : ι' → Type u_6
(j : ι') → UniformSpace (β j)
e : ι ≃ ι'
⊢ (UniformEquiv.piCongrLeft e).toEquiv = Equiv.piCongrLeft β e
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasFiniteLimits C
F : C ⥤ D
inst✝ : PreservesFiniteLimits F
X : D
⊢ HasFiniteLimits (StructuredArrow X F)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
⊢ (-o).areaForm = -o.areaForm