ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : ↥(Lp H 1 μ)
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖↑↑f a‖ ∂μ).toReal
α : Type u_1
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ UpperSet.Ici (a ⊔ b) = UpperSet.Ici a ⊔ UpperSet.Ici b
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝² : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
x y : Π₀ (i : ι), β i
s : Set ι
inst✝ : (i : ι) → Decidable (i ∈ s)
x✝ : ι
⊢ (x.piecewise y s) x✝ = s.piecewise (⇑x) (⇑y) x✝
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
hs : ∀ a ∈ 0, Irreducible a
⊢ normalizedFactors (Multiset.prod 0) = Multiset.map (⇑normalize) 0
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
l : List α✝
⊢ Pairwise R l ↔ ∀ (i j : Fin l.length), i < j → R (l.get i) (l.get j)
a : ℤ
⊢ χ₈' ↑a = χ₄ (↑a).cast * χ₈ ↑a
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LeftCancelMonoid G
inst✝ : Finite G
x y : G
n✝ : ℕ
h : orderOf x = orderOf y
n : ℕ
⊢ (finCongr h) ⟨n % orderOf x, ⋯⟩ = ⟨n % orderOf y, ⋯⟩
R : Type u_1
m : ℕ
this : ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose (2 * m + 1 - i) = ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose i
⊢ 2 * ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose i = ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose i + ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose (2 * m + 1 - i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
β : Type u_9
f : β → Multiset α
⊢ ∅.sum f = ∅.sup f ↔ ∀ x ∈ ∅, ∀ y ∈ ∅, x ≠ y → (f x).Disjoint (f y)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
β : Option ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : Option ι) → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : Option ι) → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : Option ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : Option ι) → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : Option ι), MeasurableSet (s i)
⊢ (map (⇑(MeasurableEquiv.piOptionEquivProd β).symm) ((Measure.pi fun i => μ (some i)).prod (μ none))) (univ.pi s) = ∏ i : Option ι, (μ i) (s i)
x✝ y : ℂ
x : ℝ
⊢ (starRingEnd ℂ) (sinh ↑x) = sinh ↑x
n : Type u_1
α : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ (Polynomial.X • 1 + A.map ⇑Polynomial.C).det.leadingCoeff = 1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : S →₀ S
⊢ (derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential (__src✝.toFun ((kerTotal R S).mkQ x)) = (kerTotal R S).mkQ x
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
S' : Type u_1
CommSemiring S'
f : R →+* S
g : S →+* S'
⊢ PrimeSpectrum.comap (g.comp f) = (PrimeSpectrum.comap f).comp (PrimeSpectrum.comap g)
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Set α
⊢ SupClosed s
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
n✝ : ℕ
a✝ : F ⟶ G
⊢ ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (Int.negSucc n✝) a✝).f = (-(fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (↑n✝.succ) a✝).f
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
h : x ≤ f x
a : Ordinal.{u}
⊢ OrdinalApprox.lfpApprox f x (a + 1) = f (OrdinalApprox.lfpApprox f x a)
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
b₁ : ℬ j₁
a₂ : 𝒜 i₂
b₂ : ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ ((TensorProduct.gradedMul R 𝒜 ℬ) (a₁ ⊗ₜ[R] (DirectSum.lof R ι ℬ j₁) b₁)) ((DirectSum.lof R ι 𝒜 i₂) a₂ ⊗ₜ[R] b₂) =
  (-1) ^ (j₁ * i₂) • (a₁ * (DirectSum.lof R ι 𝒜 i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((DirectSum.lof R ι ℬ j₁) b₁ * b₂)
a b : ℝ
h₁ : a ≠ 0
h₂ : b ≠ 0
c : ℝ
⊢ Real.logb (a / b) c = ((Real.logb a c)⁻¹ - (Real.logb b c)⁻¹)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
Finite β
f : β → α
⊢ Multipliable f
α : Type u
DivisionMonoid α
a : α
h : IsUnit a
⊢ 1 / a * a = 1
L : FirstOrder.Language
M : Type w'
L.IsOrdered
L.Structure M
LE M
L.OrderedStructure M
a b : M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.RelMap FirstOrder.Language.leSymb ![a, b] ↔ a ≤ b
b : ℂ
hb : 0 < b.re
⊢ ∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2)
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
f : F
S : NonUnitalStarSubalgebra R B
hf : ∀ (x : A), f x ∈ S
⊢ (NonUnitalStarSubalgebraClass.subtype S).comp (NonUnitalStarAlgHom.codRestrict f S hf) = ↑f
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ≥0
x : α
⊢ f x ≤ nndist f 0
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
s : AddSubgroup G
⊢ s ≤ s.topologicalClosure
α : Type u
p : α → Prop
s : Stream' α
⊢ Stream'.Any p s = ∃ n, p (s.get n)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring A
CommSemiring B
Algebra R A
Algebra R B
f g : MvPolynomial σ A →ₐ[R] B
h₁ : f.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A (MvPolynomial σ A)) = g.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A (MvPolynomial σ A))
h₂ : ∀ (i : σ), f (MvPolynomial.X i) = g (MvPolynomial.X i)
⊢ f = g
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ Function.Bijective Path.symm
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)
hff' : ∀ᶠ (n : ι) in p, EqOn (F n) (F' n) s
⊢ TendstoUniformlyOnFilter F' f p (𝓟 s)
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
S₁ S₂ : Submodule K V
FiniteDimensional K ↥S₂
h : S₁ ≤ S₂
⊢ FiniteDimensional K ↥S₁
p n : ℕ
⊢ max (log 2 n) (padicValNat 2 (n + 1)) = log 2 (n + 1)
α : Type u_1
ι : Sort u_2
CompleteLattice α
c : ClosureOperator α
f : ι → α
⊢ c (⨆ i, c (f i)) = c (⨆ i, f i)
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
⊢ x = ↑x.valMinAbs ∧ x.valMinAbs * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n
α : Type u_1
Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
⊢ (s.sdiff t).sdiff t = s.sdiff t
f g : StieltjesFunction
h : ∀ (x : ℝ), ↑f x = ↑g x
⊢ f = g
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (J.plusObj P) S
inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
Z : B.Arrow → C
e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I
e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X
he2 : ∀ (I : B.Arrow), S.sieve.arrows (e2 I)
h✝ : ∀ (I : B.Arrow), (fun Y f h => ((fun Y f hf => (T { Y := Y, f := f, hf := hf }).sieve) Y f h).arrows) (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)
a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f
⊢ ∃ t, Meq.mk S t = s
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s t : Set α
⊢ Finsupp.supported M R (s ∪ t) = Finsupp.supported M R s ⊔ Finsupp.supported M R t
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
⊢ p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
α : Type u
LinearOrder α
a b : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (max a b) = min (OrderDual.ofDual a) (OrderDual.ofDual b)
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
t : { j // j ≠ i } → ↑I
⊢ (Cube.insertAt i) (1, t) i = 1
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocRing α
inst✝ : Nontrivial α
a : α
h : a - 1 = a
⊢ a + -1 = a + -0
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
P : Finpartition Finset.univ
ε : ℝ
Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε : ε ≤ 1
⊢ 100 ≤ m
G : Type u_2
AddGroup G
H : AddSubgroup G
x : G
⊢ toAddUnits x ∈ H.addUnits ↔ x ∈ H
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b c : α
hab : a ∣ b
hcb : c ∣ b
⊢ lcm a c ∣ b
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
h : a < b
⊢ IsConnected (Set.Ioo a b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ PointedCone.positive 𝕜 E ↔ 0 ≤ x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)
⊢ (f' i).card + ((f' i ∪ s.biUnion f') \ f' i).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card)
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
h : R ≃+* P
⊢ nonZeroDivisors P = Submonoid.map h.toMonoidHom (nonZeroDivisors R)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
⊢ ⟪x, r • x⟫_ℝ = r * (‖x‖ * ‖x‖)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : Tendsto (fun p => a (max_bi b) * b (max_bi b) ^ p) atBot atTop
p : ℝ
⊢ a (max_bi b) * b (max_bi b) ^ p ≤ ∑ i : α, a i * b i ^ p
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.leadingCoeff * a ≠ 0
⊢ (p * C a).coeff p.natDegree ≠ 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
j : J
⊢ c.π.app j ≫ 𝟙 (D.obj j).A = 𝟙 c.pt ≫ c.π.app j
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
⊢ f.cycleOf x = 1 ↔ f x = x
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
⊢ (↑p).coeff 1 = 1
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x y : R
⊢ (algebraMap R (TensorAlgebra R M)) x = (algebraMap R (TensorAlgebra R M)) y ↔ x = y
α : Sort u_1
β : Sort u_2
sa : Setoid α
sb : Setoid β
γ : Sort u_4
sc : Setoid γ
f : α → β → γ
h : ((fun x x_1 => x ≈ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ≈ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ≈ x_1) f f
x : α
y : β
⊢ Quotient.map₂ f h ⟦x⟧ ⟦y⟧ = ⟦f x y⟧
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
D : Type u₃
CategoryTheory.Bicategory D
F : CategoryTheory.LaxFunctor B C
G : CategoryTheory.LaxFunctor C D
⊢ ∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c),
  (F.comp G).mapComp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.mapComp (F.map f) (F.map g)) (G.map₂ (F.mapComp f g))
p : ℕ
hp : Prime p
n b : ℕ
hb : log p (n + 1) < b
⊢ ↑(∑ i ∈ Ico 1 b, n / p ^ i) + ↑(filter (fun i => p ^ i ∣ n + 1) (Ico 1 b)).card = ↑(∑ i ∈ Ico 1 b, (n / p ^ i + if p ^ i ∣ n + 1 then 1 else 0))
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hf₀ : 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] f
⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) = (∫⁻ (x : α) in s, ENNReal.ofReal (f x) ∂μ) / μ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ K ⥤ C
X : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimitIsoSwapCompColim G).inv.app X =
  CategoryTheory.Limits.colimMap ((CategoryTheory.flipIsoCurrySwapUncurry G).inv.app X) ≫
    (CategoryTheory.Limits.colimitObjIsoColimitCompEvaluation G X).inv
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
s : Set α
l : Filter α
⊢ s =ᶠ[l] univ ↔ s ∈ l
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0
ij : ℕ × ℕ
hij : ij ∈ Finset.antidiagonal (m + n)
h : m ≤ ij.1
⊢ (m + n).choose ij.1 • ⁅((ad R L) x ^ ij.1) y, ((ad R L) x ^ ij.2) z⁆ = 0
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l₁ l₂ : List M
h : List.SublistForall₂ (fun x x_1 => x ≤ x_1) l₁ l₂
h₁ : ∀ a ∈ l₂, 0 ≤ a
⊢ l₁.sum ≤ l₂.sum
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
h✝ : Finite G
⊢ Nat.card G = 1 ∨ p ∣ Nat.card G
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
r : α → α → Prop
l : List α
hn : l.Nodup
hs : Symmetric r
this : IsSymm α r := { symm := hs }
⊢ (↑l.toFinset).Pairwise r ↔ Pairwise r l
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ ∃ t ⊆ s, affineSpan k t = affineSpan k s ∧ AffineIndependent k Subtype.val
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
a₀ : α
l : Filter α
h : pure a₀ ≤ l
b : α
⊢ 𝓝 b = update pure a₀ l b
x y : EReal
⊢ y ≤ x ↔ ∀ (z : ℝ), x < ↑z → y ≤ ↑z
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Q q ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.Q q = AlgebraicTopology.DoldKan.Q q
n : Nat
⊢ 0 :: map (fun x => 1 + x) (range' 0 n) = 0 :: map succ (range' 0 n)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SFinite μ
h : μ μ.sigmaFiniteSetᶜ = 0
⊢ SigmaFinite (μ.restrict μ.sigmaFiniteSet)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) (ComplexShape.down α)} (f : X ⟶ Y) (n : α),
  ((CategoryTheory.Idempotents.karoubiChainComplexEquivalence C α).inverse.map f).f.f n = (f.f n).f
M : Type u_1
Mul M
Pow M ℕ+
PNatPowAssoc M
k m n : ℕ+
x : M
⊢ x ^ k * x ^ m * x ^ n = x ^ k * (x ^ m * x ^ n)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
m : M
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement (lieSpan R L {m})
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ Set.InvOn (insert a) (fun s => s.erase a) {s | a ∈ s} {s | a ∉ s}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
p : X ⟶ Y
q : Z = Y
⊢ ⋯.mpr p = CategoryTheory.CategoryStruct.comp p (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
⊢ ∃ h, Bijective h
s : ℝ
⊢ (fun x => x ^ s) =o[atTop] rexp
α : Type u_2
β : Type u_3
Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
⊢ #β ≤ #↑(Set.range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' sᶜ =ᵐ[μ] sᶜ
x✝ : ℕ
⊢ (compl ∘ fun n => (preimage f)^[n] s) x✝ = (preimage f)^[x✝] sᶜ
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
x : E
⊢ gaugeRescale s s x = x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.structuredArrowEquivalence F).counitIso.hom =
  { app := fun X => (CategoryTheory.StructuredArrow.isoMk (CategoryTheory.Iso.refl X.right) ⋯).hom, naturality := ⋯ }
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
Trivialization.IsLinear R e'
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
⊢ ↑e' (↑e.symm (b, v)) = (b, (Trivialization.coordChangeL R e e' b) v)
n k : ℕ
hnk : Even (n + k)
h_le : k ≤ n
⊢ (hermite n).coeff k = (-1) ^ ((n - k) / 2) * ↑(n - k - 1)‼ * ↑(n.choose k)
o₁ e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
h✝¹ : o₁ = e₁.oadd n₁ a₁
o₂ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
h✝ : o₂ = e₂.oadd n₂ a₂
h₁ : (namedPattern o₁ (e₁.oadd n₁ a₁) h✝¹).NF
h₂ : (namedPattern o₂ (e₂.oadd n₂ a₂) h✝).NF
IHe : match e₁.cmp e₂, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a
⊢ ((e₁.cmp e₂).orElse ((_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂).orElse (a₁.cmp a₂))).Compares (namedPattern o₁ (e₁.oadd n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (e₂.oadd n₂ a₂) h✝)
α : Type u_1
t : Ordnode α
x : α
⊢ Ordnode.findMax' x t.dual = t.findMin' x
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a < b
⊢ ¬IsMax a
α : Type u_2
DecidableEq α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
Fintype α
h : ∀ (a : α), (Finset.filter (fun x => a ∈ x) B).card = n
⊢ ∑ s ∈ B, s.card = Fintype.card α * n
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
⊢ ⇑g ∘ ι R = f ↔ { toFun := FreeAlgebra.liftAux R, invFun := fun F => ⇑F ∘ ι R, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm g = f
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ StrictAntiOn (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) s ↔ StrictAntiOn f s
b m d : ℕ
⊢ d ∈ (b + 2).digits m → d < b + 2
α : Sort u_1
r : α → α → Prop
motive : α → Sort u_2
intro : (x : α) → (∀ (y : α), r y x → Acc r y) → ((y : α) → r y x → motive y) → motive x
a : α
t : Acc r a
⊢ ndrec intro t = Acc.ndrecC intro t
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
β : Type u_1
n : ℕ
s✝ : Finset β
f : β → Holor α ds
this : DecidableEq β := Classical.decEq β
x : β
s : Finset β
h_x_notin_s : x ∉ s
ih : (∀ x ∈ s, CPRankMax n (f x)) → CPRankMax (s.card * n) (∑ x ∈ s, f x)
h_cprank : ∀ x_1 ∈ insert x s, CPRankMax n (f x_1)
⊢ CPRankMax ((insert x s).card * n) (∑ x ∈ insert x s, f x)
α : Type u_1
Preorder α
s t : Set α
h : s ⊆ t
ht : IsLowerSet t
⊢ ↑(lowerClosure s) ⊆ t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingCospan),
  (CategoryTheory.Limits.cospanOp f g).hom.app X_1 =
    (Option.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op X))
        (fun val =>
          CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Y))
            (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Z)) val)
        X_1).hom
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(Profinite.NobelingProof.GoodProducts.MaxProducts C ho)
⊢ ↑↑l = Profinite.NobelingProof.term I ho :: ↑(↑l).Tail
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
hi : i ∈ s
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
⊢ (b.coord i) ((Finset.affineCombination k s ⇑b) w) = w i
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s✝ : Set M
x : M
s : Set (M × M')
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
hs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s p.proj
⊢ { proj := p.proj.2, snd := (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I p.proj.1) (TangentSpace I' p.proj.2)) p.snd } = { proj := p.proj.2, snd := p.snd.2 }
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ ≤ ENNReal.ofReal C
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x y : α
⊢ p.toList x ≠ [y]
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hgm : Measurable g
hgf : g ≤ f
hint : ∀ (s : Set α), ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ μ.withDensity g = μ.withDensity f
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K
this✝ : ∀ (i : m), ker (proj i ∘ₗ toLin' (diagonal w)) = comap (toLin' (diagonal w)) (ker (proj i))
this : univ ⊆ {i | w i = 0} ∪ {i | w i = 0}ᶜ
⊢ ⨅ i, ⨅ (_ : w i ≠ 0), ker (proj i) = ⨆ i ∈ {i | w i = 0}, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ frontier s ⊆ closure s
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p : α → Prop
f : β → α
hf : Injective f
hf' : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∈ range f
hf'' : ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → MeasurableSet (f '' s)
⊢ (Measure.comap f μ) univ = 1
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≼i s
a : α
x✝ : ↑{b | r b a}
x : α
h : x ∈ {b | r b a}
⊢ ((Subrel.relEmbedding r {b | r b a}).trans f.toRelEmbedding) ⟨x, h⟩ ∈ {b | s b (f a)}
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
t : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : PolishSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
tβ : TopologicalSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β
f : α → β
inst✝ : SecondCountableTopology ↑(range f)
hf : Measurable f
b : Set (Set ↑(range f))
b_count : b.Countable
hb : IsTopologicalBasis b
this✝ : Countable ↑b
this : ∀ (s : ↑b), IsClopenable (rangeFactorization f ⁻¹' ↑s)
⊢ ∃ t' ≤ t, Continuous f ∧ PolishSpace α
β : Type u_4
AddCommGroup β
x : β
n : ℤ
⊢ ((zmultiplesAddHom β) x) n = n • x