ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : W ⟶ X
k : W ⟶ Y
comm : h ≫ f = k ≫ g
inst✝² : PreservesLimit (cospan f g) G
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback (G.map f) (G.map g)
⊢ (iso G f g).inv ≫ G.map (pullback.fst f g) = pullback.fst (G.map f) (G.map g)
α✝ : Type u
m n o✝ : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
α : Type u_4
o : ℕ
ho : o = m + n
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin o
hi : ¬↑(Fin.cast ho i) < m
⊢ v (Fin.subNat m (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ho i)) ⋯) = v ⟨↑i - m, ⋯⟩
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) ≤ ↑p ^ (-↑k)
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
v : Set M
hv : span R v = ⊤
x : M'
x✝ : x ∈ ⊤
m : M
s : ↥S
h : ⋯.unit⁻¹ • f (m, s).1 = x
⊢ (↑R f) (m, s).1 ∈ ↑(map (↑R f) ⊤)
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x y : α
H : Batteries.RBNode.cmpLT cmp x y
a : Batteries.RBNode α
h : Batteries.RBNode.All (fun x_1 => Batteries.RBNode.cmpLT cmp x_1 x) a
⊢ Batteries.RBNode.All (fun x => Batteries.RBNode.cmpLT cmp x y) a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), g a ≤ᶠ[ae (κ a)] f a
a : α
x : β
hx : g a x ≤ f a x
⊢ ((fun a x => f a x - g a x) + g) a x = f a x
G : Type u_2
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
T2Space G
f : ℤ → G
hf₁ : Summable fun n => f ↑n
hf₂ : Summable fun n => f (-↑n)
⊢ ∑' (n : ℤ), f n = ∑' (n : ℕ), f ↑n + ∑' (n : ℕ), f (-↑n) - f 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b c d e : α
m n : ℤ
a : α
⊢ a / 3 + a / 3 + a / 3 = a
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ c ^< ℵ₀ ≤ max c ℵ₀
z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂ (z + τ) τ = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * jacobiTheta₂ z τ
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → Lattice (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (Finset.uIcc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Finset.uIcc (f i) (g i)).card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasInjectiveResolutions C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : CategoryTheory.InjectiveResolution X
J : CategoryTheory.InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
⊢ I.iso.inv ≫ (CategoryTheory.injectiveResolutions C).map f =
  (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℕ)).map φ ≫ J.iso.inv
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕝 : Type u_3
R : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
M : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : CommSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
l : Filter α
f : α → WeakBilin B
x : WeakBilin B
hB : Function.Injective ⇑B
⊢ Tendsto ((fun x y => (B x) y) ∘ f) l (𝓝 fun y => (B x) y) ↔ Tendsto (fun i => ⇑(B (f i))) l (𝓝 ⇑(B x))
R : Type u_5
S : Type u_6
T : Type u_7
U : Type u_8
CommRing R
Ring S
CommRing T
Ring U
Algebra R S
Algebra T U
φ : R →+* T
ψ : S →+* U
h : (algebraMap T U).comp φ = ψ.comp (algebraMap R S)
a : S
ha : IsIntegral R a
⊢ IsIntegral T (ψ a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LT α
a b : α
⊢ gt.Compares (toDual a) (toDual b) ↔ gt.Compares b a
n m : ℕ
a : Fin (n + 1)
⊢ a < last n ↔ a ≠ last n
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {f : α → Option α_1} {l : List α},
  (List.filterMap f l).length = l.length ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → (f a).isSome = true
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p : l₁.Perm l₂
⊢ (Multiset.powersetAux l₁).revzip.Perm (Multiset.powersetAux l₂).revzip
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
⊢ ((fun x x_1 => x ⊆ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ⊆ x_1) r.core r.core
R : Type u_1
n k : ℕ
⊢ ∑ m ∈ Icc k n, m.choose k = (n + 1).choose (k + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → β
p : ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => -f y) s x = -fderivWithin 𝕜 f s x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n k : ℕ
⊢ (MvPolynomial.bind₁ (WittVector.wittMulN p n)) (wittPolynomial p ℤ k) = ↑n * wittPolynomial p ℤ k
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
⊢ (𝓝[s] x).NeBot
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
⊢ Function.Bijective LieModuleEquiv.symm
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
MulOneClass Y
y : Y
⊢ LocallyConstant.constMonoidHom y = LocallyConstant.const X y
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
p : α → Prop
⊢ {b | p (e.symm b)} = ⇑e '' {a | p a}
α : Type u
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ (Stream'.take n s).length = n
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p) -ᵥ p ∈ s.directionᗮ
α : Type u_1
OrderedRing α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioc (↑n) (↑n + 1))
R : Type u_2
AddGroup R
Γ : Type u_3
LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
⊢ (x - y).orderTop = x.orderTop
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
x : T
Algebra R T
hx' : (Polynomial.aeval x) f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : S
⊢ (IsAdjoinRoot.lift (algebraMap R T) x hx' h) z = (IsAdjoinRoot.liftHom x hx' h) z
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g p = (MvPolynomial.eval g) ((MvPolynomial.map f) p)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
⊢ ⋃ n, Set.Ioc (n • p) ((n + 1) • p) = Set.univ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ HasFDerivAt (⇑e) e x
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.29733, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.29737, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ≌ C₃
R : C₂ ≌ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
h : CatCommSq T L.functor R.functor B
X : C₁
⊢ R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ R.functor.map (R.unitIso.hom.app (T.obj (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map ((iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map (B.map (L.counitIso.hom.app (L.functor.obj X)))) ≫ R.counitIso.hom.app (B.obj (L.functor.obj X)) = iso'.hom.app X
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
x : ℝ
⊢ ↑x < ⊤ → ↑x ≤ liminf (u + v) f
X Y : Type u
AddSemigroup X
AddSemigroup Y
e : X ≃+ Y
⊢ ∀ (a : X), e.toAddSemigrpIso.hom a = e.toFun a
n : ℕ
t : 11 ∣ n ↔ ↑11 ∣ (List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)).alternatingSum
⊢ 11 ∣ n ↔ 11 ∣ (List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)).alternatingSum
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup V
Algebra R A
Module R V
Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
⊢ (CliffordAlgebra.toBaseChange A Q).comp CliffordAlgebra.involute =
  (Algebra.TensorProduct.map (AlgHom.id A A) CliffordAlgebra.involute).comp (CliffordAlgebra.toBaseChange A Q)
α : Type u_1
y : ℝ≥0
f : α → ℝ≥0
hy : HasSum (fun i => ↑(f i)) ↑y
⊢ HasSum (fun x => ((fun i => ↑(f i)) x).toNNReal) (↑y).toNNReal
A : Type u₁
B : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁵ : HasEqualizers A
inst✝⁴ : HasImages A
inst✝³ : StrongEpiCategory B
inst✝² : HasImages B
L : A ⥤ B
inst✝¹ : {X Y Z : A} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → PreservesLimit (cospan f g) L
inst✝ : {X Y Z : A} → (f : X ⟶ Y) → (g : X ⟶ Z) → PreservesColimit (span f g) L
X Y : A
f : X ⟶ Y
⊢ L.map (factorThruImage f) ≫ L.map (image.ι f) = L.map f
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
⊢ lift.{u, v} (Module.rank K V) < Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K)
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Monoid S
AddCommMonoid M
Module R M
DistribMulAction S M
N : Submodule R M
s t : Set S
le : s ≤ t
⊢ s • N ≤ t • N
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ F.map (F.inv.map f) = F.asEquivalence.counit.app X ≫ f ≫ F.asEquivalence.counitInv.app Y
a b : UInt16
⊢ a - b = { val := a.val - b.val }
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s t : ↥S
⊢ (1 /ₒ t) • (r /ₒ s) = r /ₒ (s * t)
α : Type u_1
s t : Set α
h : Disjoint s t
⊢ Set.range ⇑(Function.Embedding.sumSet h) = s ∪ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
h : x ≠ 0
c : 𝕜
⊢ (ContinuousLinearEquiv.coord 𝕜 x h) ((ContinuousLinearEquiv.toSpanNonzeroSingleton 𝕜 x h) c) = c
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : μ o = μ s
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
⊢ Continuous fun x => ↑x.2
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
L M : Ideal R
hL : L ∣ I
hM : M ∣ I
⊢ (idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨M, hM⟩ ≤ (idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨L, hL⟩ ↔ ⟨M, hM⟩ ≤ ⟨L, hL⟩
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
⊢ H.normalCore ≤ (MulAction.toPermHom G (G ⧸ H)).ker
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ : S₁ ⟶ S₂
φ₂ : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h₃ : S₃.HomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁ φ₂) h₁ h₃ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ₁ h₁ h₂)
    (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ₂ h₂ h₃)
α : Type u
inst✝¹ : EMetricSpace α
s : Set α
inst✝ : CompleteSpace α
this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | (↑s).Nonempty ∧ IsCompact ↑s}
⊢ IsClosed (range NonemptyCompacts.toCloseds)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
c : F
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => c - f x) (-f') x
α : Type u_4
Fintype α
IsEmpty α
β : α → Type u_5
m : (a : α) → MeasurableSpace (β a)
μ : (a : α) → MeasureTheory.Measure (β a)
x : (a : α) → β a := fun a => isEmptyElim a
⊢ MeasureTheory.Measure.pi μ = MeasureTheory.Measure.dirac x
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), ¬Liouville x
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
⊢ ∃ v m, Monotone v ∧ (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧ x ∈ v '' Iio m ∧ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
p : α × β → Prop
h : ∀ᵐ (x : α × β) ∂μ ⊗ₘ κ, p x
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, p (a, b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₁ : δ
Nx : Filter α := 𝓝 x₀
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
lim1 : Tendsto (fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (comap (⇑e) Nx ×ˢ comap (⇑e) Nx) (𝓝 (0, y₁))
lim2 : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, y₁)) (𝓝 0)
lim : ∀ W ∈ 𝓝 0, ∃ U ∈ comap (⇑e) Nx, ∀ (x x' : β), x ∈ U → x' ∈ U → ((fun p => (φ p.1) p.2) ∘ fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (x, x') ∈ W
⊢ ∃ U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∀ (a b : β), a ∈ U₂ → b ∈ U₂ → (φ (b - a)) y₁ ∈ W'
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ → Prop
a : ℝ
h : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, p x
l u : ℝ
hx : a ∈ Ioo l u
hs : Ioo l u ⊆ {x | p x}
⊢ 0 < volume (Ioo l u)
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : CentroidHom α
a : α
⊢ (f + g) a = f a + g a
R : Type uR
S : Type uS
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
⊢ (Algebra.TensorProduct.lmul' R).toLinearMap = LinearMap.mul' R S
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
⊢ ∀ (x_1 : ↑I), { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }.toFun (0, x_1) = (toLoop i p).toContinuousMap x_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Embedding f
⊢ Continuous f
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h
nhds_zero : Tendsto (fun n => 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2
npos' : 0 < n
npos : 0 < ↑n
x : ↑I
S : Finset (Fin (n + 1)) := bernsteinApproximation.S f ε h n x
⊢ ∑ k ∈ S, |f k/ₙ - f x| * (bernstein n ↑k) x ≤ ε / 2
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
g : β → α
h : Function.LeftInverse f g
hf : Function.Injective f
⊢ Function.RightInverse f g
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
gp_n : Pair K
s_nth_eq : (of v).s.get? n = some gp_n
ifp : IntFractPair K
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp
gp_n_eq : { a := 1, b := ↑ifp.b } = gp_n
⊢ ∃ ifp, IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp ∧ ↑ifp.b = gp_n.b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ h.neg.h₁ = -h.h₁
x : SetTheory.PGame
⊢ 0 ≤ x ↔ ∀ (j : x.RightMoves), ∃ i, 0 ≤ (x.moveRight j).moveLeft i
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b : α
H : a < b
⊢ Set.Icc a b ∈ 𝓝[≥] a
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
⊢ f.toMeasureEquiv.symm = f.symm.toMeasureEquiv
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
AddMonoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : AddMonoidAlgebra k G →ₐ[k] A
f : MonoidAlgebra k G
⊢ F f = Finsupp.sum f fun a b => b • F (AddMonoidAlgebra.single a 1)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n : ℕ
t : L[[α]].Term (β ⊕ Fin n)
v : β → M
xs : Fin n → M
⊢ realize (Sum.elim (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) xs) (constantsVarsEquivLeft t) = realize (Sum.elim v xs) t
x y : ℂ
hy : ‖1‖ = 1
θ : ℝ
hθ : θ ∈ Ioc (-π) π
⊢ ‖cexp (↑θ * I) - 1‖ ∈ Icc (2 / π * angle (cexp (↑θ * I)) 1) (angle (cexp (↑θ * I)) 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
CompleteSpace F
h : AnalyticAt 𝕜 f x
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt 𝕜 n f x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
A : C
x : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)
A' : C
π : A' ⟶ A
w✝ : Epi π
x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀
w : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0
hx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀
⊢ (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ = HomologicalComplex.liftCycles S.X₃ (x' ≫ (descShortComplex S).f n₀) n₁ ⋯ ⋯ ≫ HomologicalComplex.homologyπ S.X₃ n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : 1 < y
m : ℤ
hle : y ^ m ≤ x⁻¹
hlt : x⁻¹ < y ^ (m + 1)
hyp : 0 < y
⊢ x ≤ y ^ (-(m + 1) + 1)
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
FirstCountableTopology G
⊢ ∃ u, (𝓝 1).HasAntitoneBasis u ∧ ∀ (n : ℕ), u (n + 1) * u (n + 1) ⊆ u n
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ ↑⊥ = {0}
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ IsGreatest Set.univ a ↔ IsTop a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
IsRefl α r
hchain : IsChain r s
IsTrans α r
a b c : α
mem1 : a ∈ s
mem2 : b ∈ s
mem3 : c ∈ s
⊢ ∃ z, ∃ (_ : z ∈ s), r a z ∧ r b z ∧ r c z
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ (ρ_ (P.X ⊗ S.X)).inv ≫ (α_ P.X S.X (𝟙_ C)).hom ≫ P.X ◁ (ρ_ S.X).hom ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid β
f g : Multiplicative ℕ →* α
h : f (ofAdd 1) = g (ofAdd 1)
n : Multiplicative ℕ
⊢ f n = g n
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
⊢ HasDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) 1 0
ι : Sort u_11
α : Type u_12
s t : ι → Set α
⊢ ⋃ i, s i ∩ t i ⊆ (⋃ i, s i) ∩ ⋃ i, t i
n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n → ℕ
⊢ Nat.Primrec' f ↔ Primrec f
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ (Polynomial.mkDerivation R) 1 = Polynomial.derivative'
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
x✝ : A
⊢ x✝ ∈ ⊥.toSubmodule ↔ x✝ ∈ ⊥
α : Type u_1
r : α → Prop → Prop
⊢ (Relation.Comp r fun x x_1 => x ↔ x_1) = r
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f✝ : β → α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset γ
f : γ → β
hs : (image f s).Nonempty
g : β → α
⊢ s.sup ((WithBot.some ∘ g) ∘ f) = s.sup (WithBot.some ∘ g ∘ f)
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
x : M₁
i : m
⊢ (v₂.repr (f (v₁.equivFun.symm ⇑(v₁.repr x)))) i = (v₂.repr (f x)) i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.Limits.cokernel.desc S.f S.g ⋯)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
h : a ≤ b
δ : α
hδ : 0 ≤ δ
⊢ Monotone (Set.Icc.addNSMul h δ)
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f✝ f : End K V
x : K
⊢ x ∈ spectrum K f ↔ x ∈ f.HasEigenvalue
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
h : listDecode t.listEncode = [t]
⊢ (fun l => (do let a ← (listDecode l).head? pure (some a)).join) t.listEncode = some t
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
H : s =ᵐ[μ] t
⊢ μ s = μ t
α ι : Type u
f : ι → Set α
h : Pairwise fun i j => Disjoint (f i) (f j)
⊢ Cardinal.mk ↑(⋃ i, f i) = Cardinal.sum fun i => Cardinal.mk ↑(f i)
α : Type u_1
n : Type u_4
Semiring α
StarRing α
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
k : ℕ
⊢ (A ^ k).IsHermitian
C : CategoryTheory.Cat
⊢ CategoryTheory.WithTerminal.pseudofunctor.mapId C = CategoryTheory.WithTerminal.mapId ↑C
p : ℕ
hp : Prime p
n b : ℕ
hb : log p (n + 1) < b
⊢ multiplicity p (n + 1)! = multiplicity p n ! + multiplicity p (n + 1)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
i : G ≅ G'
⊢ ((adj1.natIsoEquiv adj2) i).hom = (adj1.natTransEquiv adj2) i.hom
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ↑s.card * p ≤ 1
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ cthickening ε (cthickening δ s) → x ∈ cthickening (ε + δ) s
R : Type u
CommSemiring R
f : Module.Dual R R
r : R
⊢ f 1 * r = f r
ι : Type u_1
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
S : Set ι
⊢ UniformSpace.comap S.restrict (Pi.uniformSpace fun i => α ↑i) = ⨅ i ∈ S, UniformSpace.comap (Function.eval i) (U i)
α : Type u_1
p : WithBot α → Prop
⊢ (∀ (x : WithBot α), p x) ↔ p ⊥ ∧ ∀ (x : α), p ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t : Set α
i : ι✝
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
I : Type u_6
l : I → Filter α
ι : I → Sort u_7
p : (i : I) → ι i → Prop
s : (i : I) → ι i → Set α
S : Set I
hd : S.PairwiseDisjoint l
hS : S.Finite
h : ∀ (i : I), (l i).HasBasis (p i) (s i)
⊢ ∃ ind, (∀ (i : I), p i (ind i)) ∧ S.PairwiseDisjoint fun i => s i (ind i)
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
f : G →* H
emb : OpenEmbedding ⇑f
U : Set H
hU : U ∈ 𝓝 1
⊢ ⇑f ⁻¹' U ∈ 𝓝 1
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
Nontrivial R
⊢ (Polynomial.cyclotomic n R).natDegree = n.totient
α : Type u
PartialOrder α
BoundedOrder α
⊢ ⊥ = ⊤ ↔ Subsingleton α