ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
Add α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b c : α
⊢ a + b < a + c ↔ b < c
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
a : α
s : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : s.Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = f a * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
α : Type u_1
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
a : α
ha : a ∉ s
⊢ (PMF.ofMultiset s hs) a = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S
⊢ sInf (norm '' {m | ↑m = -x}) = sInf (norm '' {m | ↑m = x})
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R 𝕜
p : 𝕜[X]
q : R[X]
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x => (aeval x) q) s x = (aeval x) (derivative q)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0
a✝ : Disjoint (support ↑f₁) (support ↑f₂)
h₁ : ∀ {L : ℝ≥0∞}, L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₁ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ ↑f₁ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
h₂ : ∀ {L : ℝ≥0∞}, L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₂ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ ↑f₂ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
L : ℝ≥0∞
hL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑(f₁ + f₂) x) ∂μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ ↑(f₁ + f₂) x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.nextCoeff = 0 ↔ p.natDegree = 0 ∨ 0 < p.natDegree ∧ p.coeff (p.natDegree - 1) = 0
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
φ : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
DecidableEq ι
i : ι
b : φ i
⊢ (LinearMap.stdBasis R φ i) b i = b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F
hc : IsColimit c
s : Cone F.unop
m : s.pt ⟶ (coneUnopOfCocone c).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (coneUnopOfCocone c).π.app j = s.π.app j
j : Jᵒᵖ
⊢ (c.ι.app j ≫ m.op).unop = (c.ι.app j ≫ ((fun s => (hc.desc (coconeOfConeUnop s)).unop) s).op).unop
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ log y < log x ↔ y < x
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
dg : q.natDegree < n
⊢ (p - q).coeff n = p.coeff n
α : Type u_1
o o' : Option α
⊢ (o.orElse fun x => o') = none ↔ o = none ∧ o' = none
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
h : t ≤ s
⊢ card (s - t) + card t = card s
y : ℝ
⊢ WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Iio ↑↑y = Iio y
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
⊢ -b ≤ max |a| |c|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (rangeSplitting f ⁻¹' s)
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_1
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
DecidableEq ι
i : ι
c : 𝕜
u : E i →L[𝕜] E' i
⊢ PiTensorProduct.mapL (Function.update f i (c • u)) = c • PiTensorProduct.mapL (Function.update f i u)
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a b c d : α
ExistsAddOfLE α
MulPosMono α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hba : b ≤ a
hdc : d ≤ c
⊢ a * d + b * c ≤ a * c + b * d
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h : Fintype.card R ≤ 2
⊢ univ = {0, 1}
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ s ≠ 0
l : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq l
Fintype l
CommRing R
⊢ Matrix.J l R ∈ Matrix.symplecticGroup l R
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
hq1 : Nat.Prime q
hq2 : q ∣ Nat.card G
⊢ q = p
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n
v : n → α
⊢ 0 *ᵥ v = 0
b c x y u v : Prop
dec_b : Decidable b
dec_c : Decidable c
h_c : b ↔ c
h_t : c → (x ↔ u)
h_e : ¬c → (y ↔ v)
⊢ (if b then x else y) ↔ if c then u else v
a b : PUnit.{u_5 + 1}
⊢ a ≤ b
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (W.map φ).b₂ = φ W.b₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
G : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ ⥤ C
⊢ ∀ {X_1 Y_1 : (TopologicalSpace.Opens ↑Y)ᵒᵖ} (f_1 : X_1 ⟶ Y_1),
  ((TopCat.Presheaf.pushforward C f).obj G).map f_1 = G.map ((TopologicalSpace.Opens.map f).map f_1.unop).op
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
CompleteSpace E
t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax)
⊢ HasDerivWithinAt (f.next.toFun ∘ v.proj) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Set.Icc v.tMin v.tMax) ↑t
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : IsDomain R
h : I ≠ ⊤
x : R
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i
hx' : x ∉ ⊥
this : x ∈ ⨅ i, I ^ i ↔ ∃ r, ↑r * x = x
⊢ False
x : ℝ
⊢ evenKernel 0 x = cosKernel 0 x
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
h : (fun a => (((condDistrib id id μ) a) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m ⊓ mΩ]
⊢ (fun ω => (((condDistrib id id μ) (id ω)) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m ⊓ mΩ]
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
N : Subgroup G
x : G
⊢ 𝓝 ↑x = Filter.map QuotientGroup.mk (𝓝 x)
⊢ completedRiemannZeta 1 = (↑γ - Complex.log (4 * ↑π)) / 2
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝¹ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
F✝ G✝ : MvPolynomial σ R
n✝ : ℕ
inst✝ : Infinite R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hG : G.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = (eval r) G
⊢ F = G
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a * b⁻¹
⊢ Cardinal.lift.{u_2, u_1} 0 = 0
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
Yint : Integrable (Y 0) ℙ
C : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
ω : Ω
h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
h₂ : Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
this : ∫ (a : Ω), X 0 a = ∫ (a : Ω), Y 0 a
n : ℕ
⊢ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω = (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ a
hb : b ≤ a
hb' : b ≠ 0
⊢ a * b = a
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hqf : IsField (R ⧸ I)
⊢ I.IsMaximal
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m₂ m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h2 : m₂ ≤ m
hp2 : IsPiSystem p2
hpm2 : m₂ = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ p1
ht1m : MeasurableSet t1
ht2m : MeasurableSet t2
⊢ (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) ∅
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ L1.integralCLM ↑f = MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (toSimpleFunc f)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
this : Nontrivial K
h : Module.rank K V = 1
⊢ ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
f : (n' → R) →ₗ[R] n → R
⊢ (toMatrix₂' R) (B ∘ₗ f) = (toMatrix' f)ᵀ * (toMatrix₂' R) B
α : Type u_1
β : Type u_2
One β
⊢ UniformFun.toFun 1 = 1
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ Polynomial.IsPrimitive 1
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
δ : ℕ → ℝ
hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)
this : SemilatticeSup Nat.Primes := Nat.Subtype.semilatticeSup Irreducible
μ : Measure 𝕊 := volume
u : Nat.Primes → 𝕊 := fun p => ↑(↑1 / ↑↑p * T)
hu₀ : ∀ (p : Nat.Primes), addOrderOf (u p) = ↑p
hu : Tendsto (addOrderOf ∘ u) atTop atTop
E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ
X : ℕ → Set 𝕊 := fun n => approxAddOrderOf 𝕊 n (δ n)
A : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ ¬p ∣ n
B : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ∣ n ∧ ¬p * p ∣ n
C : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ^ 2 ∣ n
hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)
hB₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (B p)
hE₀ : NullMeasurableSet E μ
hE₁ : ∀ (p : ℕ), E = A p ∪ B p ∪ C p
hE₂ : ∀ (p : Nat.Primes), A ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ ∧ B ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ → E =ᶠ[ae μ] C ↑p
hA : ∀ (p : Nat.Primes), A ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ A ↑p =ᶠ[ae μ] univ
hB : ∀ (p : Nat.Primes), B ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ B ↑p =ᶠ[ae μ] univ
⊢ E =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ E =ᶠ[ae volume] univ
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
⊢ ↑p.bit1 = ↑p + ↑p + 1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
p q : ℤ
hpq : p + (n₁ + n₂ + 1) = q
⊢ (δ (n₁ + n₂) (n₁ + n₂ + 1) (z₁.comp z₂ ⋯)).v p q hpq = (z₁.comp (δ n₂ (n₂ + 1) z₂) ⋯).v p q hpq + n₂.negOnePow • ((δ n₁ (n₁ + 1) z₁).comp z₂ ⋯).v p q hpq
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (o.oangle (-x) y).sign = -(o.oangle x y).sign
X : Type u_1
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
h₁s : IsClosed s
h₂s : μ s = 0
⊢ IsNowhereDense s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ p x 0 = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (f x)
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
GroupWithZero G₀
Bornology G₀
MulAction G₀ α
⊢ Absorbent G₀ Set.univ
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
k : Set β := closure (image2 ϕ v s)
hk : IsCompact (k \ n)
j : Set τ → Set β := fun u => (closure (image2 ϕ (u ∩ v) s))ᶜ
hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen (j u)
hj₂ : k \ n ⊆ ⋃ u ∈ f, j u
⊢ ∃ u ∈ f, closure (image2 ϕ u s) ⊆ n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
α : Type
Finite α
B : C
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
h : CategoryTheory.EffectiveEpiFamily (fun a => F.obj (X a)) fun a => F.map (π a)
⊢ CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π
α : Type u_1
M : Type u_2
Zero M
⊢ ∅.lookupFinsupp = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
i : α
β : α → Type u_2
f : (j : α) → β j
⊢ (Equiv.piSplitAt i β) f = (f i, fun j => f ↑j)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
h : Disjoint s t
⊢ ↑(G.interedges s t).card + ↑(Gᶜ.interedges s t).card = ↑s.card * ↑t.card
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.val = 0 ↔ s = ∅
R : Type x
NonUnitalNonAssocRing R
a b x y : R
ha : SemiconjBy a x y
hb : SemiconjBy b x y
⊢ SemiconjBy (a - b) x y
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
⊢ LinearMap.ker (f.prod g) = LinearMap.ker f ⊓ LinearMap.ker g
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
h : q.coeff p.natTrailingDegree ≠ 0
⊢ q.trailingDegree ≤ p.trailingDegree
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
M : Matrix n n R[X]
r : R
i✝ j✝ : n
⊢ eval ((scalar n) r) (matPolyEquiv M) i✝ j✝ = (eval₂RingHom (RingHom.id R) r).mapMatrix M i✝ j✝
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
ζ : R
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ Polynomial.nthRootsFinset (↑n) R = (↑n).divisors.biUnion fun i => primitiveRoots i R
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
⊢ ∀ b ∈ Finsupp.support 1, degb b ≤ 0
α : Type u_8
AddMonoid α
⊢ Function.Injective ⇑(AddUnits.embedProduct α)
n : ℕ
h : ¬0 = Fin.last (n + 1) := ⋯
⊢ Fin.castPred 0 h = 0
a b c : ℝ≥0∞
⊢ a ≠ ⊤ → b + a ≤ c + a → b ≤ c
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
b✝ : ℤ
fr✝ : K
stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some { b := b✝, fr := fr✝ }
nth_fr_ne_zero : { b := b✝, fr := fr✝ }.fr ≠ 0
⊢ IntFractPair.stream v (n + 1) = some (IntFractPair.of { b := b✝, fr := fr✝ }.fr⁻¹)
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
⊢ RingHom.OfLocalizationSpan @RingHom.Finite
α : Type u
s t : Set α
x : α
h : x ∈ s \ t
⊢ x ∈ s
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
h : x.moveLeft j < x.moveLeft i
⊢ ⟦x.mulOption y i k⟧ < -⟦x.mulOption (-y) j l⟧
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α
⊢ ⋃ a ∈ s, (fun x x_1 => x ⊔ x_1) a '' t = s ⊻ t
G : Type u_2
Group G
n : ℕ
v : ↑(Equiv.Perm.vectorsProdEqOne G (n + 1))
⊢ (Equiv.Perm.VectorsProdEqOne.vectorEquiv G n).symm v = (↑v).tail
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R (fun i => M₁ (σ.symm i)) M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
this : DecidableEq ι' := σ.symm.decidableEq
⊢ ∀ (x y : M₁ i), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m i (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m i x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m i y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
F : C ≌ D
⊢ CategoryTheory.EnoughProjectives C ↔ CategoryTheory.EnoughProjectives D
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
⊢ inversion c R '' ↑(perpBisector c y) = sphere (inversion c R y) (R ^ 2 / dist y c) \ {c}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
ι : Type u_4
F : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace β
h : Equicontinuous F
⊢ UniformEquicontinuous F
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
f : α → β
A : Matrix n n α
⊢ (A.map f).diag = f ∘ A.diag
n : ℕ
l u : Fin (n + 1) → ℝ
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), l i < u i
i : Fin (n + 1)
⊢ { lower := l, upper := u, lower_lt_upper := h }.face i =
  { lower := l ∘ i.succAbove, upper := u ∘ i.succAbove, lower_lt_upper := ⋯ }
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SpecialLinearGroup n R
i : n
h : A ∈ center (SpecialLinearGroup n R)
⊢ ↑A i i ^ Fintype.card n = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y
b : X
⊢ edist (f b) (f b) ≤ ↑C * edist b b ^ ↑r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → G →L[𝕜] H
c' : E →L[𝕜] G →L[𝕜] H
d : E → F →L[𝕜] G
d' : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
hc : HasFDerivAt c c' x
hd : HasFDerivAt d d' x
⊢ HasFDerivAt (fun y => (c y).comp (d y))
  (((ContinuousLinearMap.compL 𝕜 F G H) (c x)).comp d' + ((ContinuousLinearMap.compL 𝕜 F G H).flip (d x)).comp c') x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
m : Fin n → 𝕜
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) m = (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) fun i => m i • 1
α : Type w
Finite α
X : α → LightProfinite
a : α
⊢ Function.Injective ⇑(LightProfinite.finiteCoproduct.ι X a)
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
p n : ℕ
hp : Prime p
hn : 0 < n
hα : p ^ n = ‖α‖
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Nonempty (Field α)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
⊢ LowerSemicontinuousOn f Set.univ ↔ LowerSemicontinuous f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : Cᵒᵖ
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
⊢ CategoryTheory.IsPullback inr.unop inl.unop g.unop f.unop
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScott α
Preorder β
TopologicalSpace β
Topology.IsScott β
f : α → β
⊢ ScottContinuous f ↔ Continuous f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
⊢ Nonempty (X ≅ X)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
⊢ Pell.d a1 ≤ a * a
a : ℕ
a.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat a)⁻¹.den = OfNat.ofNat a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
l₂ : List α
a✝ : l₂ <+ l
b : α
l₁ : List α
sl₁ : b :: l₁ <+ l
⊢ Lex (swap R) (b :: l₁) (a :: l₂)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
sq sq₁ sq₂ : Square C
h : sq₁.IsPullback
e : sq₁ ≅ sq₂
⊢ sq₂.IsPullback
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i0 : ι
⊢ vectorSpan k (Set.range p) = Submodule.span k (Set.range fun i => p i0 -ᵥ p i)
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
CommRing R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
J : Ideal R
hJ : J ≤ v.supp
⊢ (v.onQuot hJ).supp = Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) v.supp
a : ℤ
b : ℕ
⊢ {0, 1, -1} = ↑(MonoidHom.mrange ↑SignType.castHom)
C : Type u
X Y X✝ : F C
⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (ρ_ X✝).hom ≫ (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ 𝟙_ (F C)) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = ↑(Real.arccos (dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃))
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
β : Option ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : Option ι) → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : Option ι) → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : Option ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : Option ι) → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : Option ι), MeasurableSet (s i)
e_meas : ((i : ι) → β (some i)) × β none ≃ᵐ ((i : Option ι) → β i) := (MeasurableEquiv.piOptionEquivProd β).symm
me : MeasurableEmbedding ⇑e_meas
⊢ (map (⇑(MeasurableEquiv.piOptionEquivProd β).symm) ((Measure.pi fun i => μ (some i)).prod (μ none))) (univ.pi s) = ∏ i : Option ι, (μ i) (s i)
α : Sort u_1
⊢ ∀ {x : Decidable True} (t e : α), (if True then t else e) = t
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
⊢ x ∈ f.domain ↔ ∃ y, (x, y) ∈ f.graph
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
⊢ Tendsto (fun m => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ seq m) / (ν a) (countablePartitionSet n x)) atTop (𝓝 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ ∅) / (ν a) (countablePartitionSet n x)))
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
SetLike S R
Monoid R
AddMonoid ι
A : ι → S
SetLike.GradedMonoid A
⊢ ↑(SetLike.GradeZero.submonoid A) = ↑(A 0)
I : Type u_1
J : Type u_2
α : Type u_3
x : I → α
y : J → α
Star α
⊢ star (Sum.elim x y) = Sum.elim (star x) (star y)
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ frontier (sphere x r) = sphere x r
α : Type u_1
ι : Sort u_5
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
hs : μ (⋃ n, s n) ≠ 0
⊢ ∃ n, 0 < μ (s n)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
f : σ → R
a : R
⊢ (MvPolynomial.eval f) (MvPolynomial.C a) = a
α : Type u_2
Add α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
⊢ s₁ ∩ s₂ + (t₁ ∪ t₂) ⊆ s₁ + t₁ ∪ (s₂ + t₂)
a : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.lift.{u, u} a = a
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0
⊢ ↑r = ENNReal.ofReal ↑r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
⊢ (↑(K.subtypeL.comp (orthogonalProjection K))).IsSymmetric
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
φ ψ : A →ₐ[R] B
s : Set A
⊢ Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑(adjoin R s) ↔ Set.EqOn (⇑φ) (⇑ψ) s
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ (f' '' s).OrdConnected
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝¹ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
inst✝ : PreservesColimit F (forget C)
D : Cocone F
hD : IsColimit D
a : (j : J) × (forget C).obj (F.obj j)
⊢ ∃ j y, (D.ι.app j) y = (fun a => (D.ι.app a.fst) a.snd) a
α : Type u_2
DecidableEq α
DistribLattice α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s t u : Finset α
⊢ s.disjSups (t.disjSups u) = t.disjSups (s.disjSups u)
a b : ℍ
hre : a.re = b.re
him : a.im = b.im
⊢ a = b