ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
m : α → β × γ
H : Filter.Tendsto m f (g ×ˢ h)
⊢ Filter.Tendsto (fun a => (m a).2) f h
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
D : Type u₃
CategoryTheory.Bicategory D
F : CategoryTheory.LaxFunctor B C
G : CategoryTheory.LaxFunctor C D
a : B
⊢ (F.comp G).mapId a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.mapId (F.obj a)) (G.map₂ (F.mapId a))
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
e_1✝ : Spec Γ(X, U) = Spec (CommRingCat.of ↑Γ(X, U))
⊢ PrimeSpectrum.basicOpen f = Scheme.Hom.opensRange (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑Γ(X, U)) (Localization.Away f))))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m✝ n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p q : R[X]
h : map f p = map f q
m : ℕ
⊢ f (p.coeff m) = f (q.coeff m)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
R : ℝ
ξ f : ℕ → Ω → ℝ
hf : MeasureTheory.Submartingale f 𝒢 μ
hξ : MeasureTheory.Adapted 𝒢 ξ
hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R
hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω
⊢ MeasureTheory.Submartingale (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ξ k * (f (k + 1) - f k)) 𝒢 μ
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
⊢ Tendsto (fun n => f x - f 1 - x * (log (↑n + 1) - log ↑n)) atTop (𝓝 (f x - f 1))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
b₁ b₂ : P
⊢ b₁ -ᵥ b₂ + ∑ x ∈ s, w x • (b₂ -ᵥ b₁) = 0
α : Type u_1
One α
⊢ AddOpposite.op 1 = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
⊢ (normalizedFactorsEquivOfQuotEquiv f hI hJ).symm = normalizedFactorsEquivOfQuotEquiv f.symm hJ hI
α : Type u_1
σ : α → Type u_4
s : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (σ a)
p : (a : α) × σ a
⊢ p ∈ s.sigma t ↔ p.fst ∈ s ∧ p.snd ∈ t p.fst
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
p : ℕ := ringChar R
⊢ NeZero ↑↑n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.π₂Toπ₃.app S = S.g
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
g : Set α → Filter β
hg : Monotone g
⊢ (𝓤 α).lift (g ∘ preimage (Prod.mk x)) = (𝓤 α).lift fun s => g (ball x s)
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ HurwitzZeta.cosKernel a x = 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
⊢ (coeff R n) (φ * ψ) = ∑ p ∈ antidiagonal n, 0
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f₁ : ι → κ
f₂ : (i : ι) → σ i → τ (f₁ i)
h : Injective f₁
⊢ OpenEmbedding (Sigma.map f₁ f₂) ↔ ∀ (i : ι), OpenEmbedding (f₂ i)
S T : ℝ
hT : 0 < T
z τ : ℂ
hz : |z.im| ≤ S
hτ : T ≤ τ.im
n : ℤ
⊢ ‖2 * ↑π * I * ↑n‖ = 2 * π * ↑|n|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ {a} ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ Prod.mk a '' t
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ a ≤ a
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0
⊢ sqrt x = x ^ (1 / 2)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
H : ∀ s ∈ S, StableUnderSpecialization s
⊢ StableUnderSpecialization (⋂₀ S)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Multiset α
⊢ s ≤ t ∩ u ↔ s ≤ t ∧ s ≤ u
α : Type u_1
ι : Type u_2
Countable ι
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Preorder ι
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ Filter.atTop φ
⊢ MeasureTheory.AECover μ Filter.atTop fun n => ⋂ k ∈ Set.Ici n, φ k
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
Monoid M
MulAction M β
MeasurableSMul M β
MeasurableSpace α
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
c : M
hc : IsUnit c
⊢ AEMeasurable (fun x => c • f x) μ ↔ AEMeasurable f μ
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring K
inst✝ : Algebra F K
x : K
h : IsSeparable F x
h✝ : Subsingleton F
⊢ IsIntegral F x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
x y : E
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
h : y ∈ EMetric.ball x r
this✝ : ↑‖y - x‖₊ < r
this : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f (p.changeOrigin (y - x)) (x + (y - x)) n (r - ↑‖y - x‖₊)
⊢ CPolynomialAt 𝕜 f y
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
hU : closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) ≤ H
h : G
hh : h ∈ H
⊢ h ∈ closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S))
n✝ n : ℕ
pos : 0 < n
np : ¬Prime n
h1 : n = n.minFac
⊢ n.minFac ≤ n / n.minFac
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsReal}
⊢ minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLTFactor ↥K) * ↑B
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f✝ f : R[X]
⊢ eval₂ (of f) (root f) f = 0
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
c : Cocone G
j : J
⊢ ι F j ≫ colimMap α ≫ desc G c = ι F j ≫ desc F ((Cocones.precompose α).obj c)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
m : MeasurableSpace α
f : α → 𝕜
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => RCLike.re (f x)
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
hφ : Function.Bijective ⇑φ
⊢ (AffineEquiv.ofBijective hφ).symm.toEquiv = (Equiv.ofBijective (⇑φ) hφ).symm
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
m : R
x✝ : m ∈ S
n : R
hn : n = 0
⊢ m * n = 0
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
this : MetricSpace ℍ := metricSpaceAux
hr₀ : 0 ≤ r
⊢ cmp (dist z w) r = cmp (dist ↑z ↑(w.center r)) (w.im * Real.sinh r)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
β : ι → Type u_3
m : (i : ι) → α i → β i
g : (i : ι) → Filter (β i)
h : ∀ (i : ι), Filter.Tendsto (m i) (f i) (g i)
⊢ Filter.Tendsto (fun k i => m i (k i)) (Filter.coprodᵢ f) (Filter.coprodᵢ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddCommGroup α
h : Periodic f c
⊢ f (c - x) = f (-x)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε / 2
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
hU : (π₁, π₂) ∈ {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}
h₁ : (π₁, π₂).1 ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π}
h₂ : (π₁, π₂).2 ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π}
⊢ (integralSum f vol (π₁, π₂).1, integralSum f vol (π₁, π₂).2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε / 2 + ε / 2}
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a b : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (a - b).imJ = a.imJ - b.imJ
⊢ ∀ o ∈ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b}, o.Nonempty → (o ∩ {x | Irrational x}).Nonempty
u v m n : ℤ
⊢ Even (m * n) ↔ Even m ∨ Even n
m : ℕ+
n : ℕ
⊢ ↑(m ^ n) = ↑m ^ n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderTop α
⊢ atTop = pure ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T25Space α
hC : Perfect C
y : α
yC : y ∈ C
x : α
xC : x ∈ C
hxy : x ≠ y
U : Set α
xU : x ∈ U
Uop : IsOpen U
V : Set α
yV : y ∈ V
Vop : IsOpen V
hUV : Disjoint (closure U) (closure V)
⊢ (Perfect (closure (U ∩ C)) ∧ (closure (U ∩ C)).Nonempty ∧ closure (U ∩ C) ⊆ C) ∧ (Perfect (closure (V ∩ C)) ∧ (closure (V ∩ C)).Nonempty ∧ closure (V ∩ C) ⊆ C) ∧ Disjoint (closure (U ∩ C)) (closure (V ∩ C))
α : Type u_2
InvolutiveNeg α
s : Set α
h : s.Nonempty
⊢ (-s).Nonempty
E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
s t : R
h' : s • x + t • y = 0
this : ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![s, t] i • ![x, y] i = 0 → ∀ i ∈ Finset.univ, ![s, t] i = 0
⊢ s = 0 ∧ t = 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ (λ_ P.X).inv ≫ R.one ▷ P.X ≫ P.actLeft = 𝟙 P.X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ
k : ℕ
hk : taylorWithinEval f k s x₀ x = ∑ k ∈ Finset.range (k + 1), ((↑k !)⁻¹ * (x - x₀) ^ k) • iteratedDerivWithin k f s x₀
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (k + 1), ((↑k !)⁻¹ * (x - x₀) ^ k) • iteratedDerivWithin k f s x₀ + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - x₀) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s x₀ = ∑ x_1 ∈ Finset.range (k + 1), ((↑x_1 !)⁻¹ * (x - x₀) ^ x_1) • iteratedDerivWithin x_1 f s x₀ + ((↑(k + 1)!)⁻¹ * (x - x₀) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s x₀
ι : Sort u_1
α : Type u_2
CompleteLattice α
a : α
f : ι → ↑(Set.Iic a)
⊢ ↑(⨆ i, f i) = ⨆ i, ↑(f i)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
h : E → 𝕜
z : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 h z
hz : h z ≠ 0
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => (h x)⁻¹) z
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
e : α → β
de : DenseEmbedding e
p : α → Prop
⊢ DenseEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
Nonempty β
SemilatticeSup β
u : β → α
⊢ CauchySeq u ↔ Filter.Tendsto (fun n => dist (u n.1) (u n.2)) Filter.atTop (𝓝 0)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
x : PrimeSpectrum A
hx : x ∈ support A M
⊢ x ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap (algebraMap R A)) ⁻¹' support R M
C : Type u₁
𝒞 : CategoryTheory.EnrichedCategory (Type v) C
D : Type u₂
𝒟 : CategoryTheory.EnrichedCategory (Type v) D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ (CategoryTheory.enrichedFunctorTypeEquivFunctor.symm F).obj X = F.obj X
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
r n : ℕ
⊢ ↑(n.choose r) ≤ ↑n ^ r / ↑r !
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
T2Space β
f : CocompactMap α β
s : Set β
hs : IsCompact s
⊢ IsCompact (⇑f ⁻¹' s)
c c' : Cardinal.{u_1}
⊢ c ≤ c' ↔ Nonempty (Quotient.out c ↪ Quotient.out c')
G : Type u_1
Group G
hG : Group.IsNilpotent G
n : ℕ
⊢ upperCentralSeries G n = ⊤ ↔ Group.nilpotencyClass G ≤ n
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ (HomologicalComplex.HomologySequence.snakeInput hS i j hij).L₀ =
  (HomologicalComplex.homologyFunctor C c i).mapShortComplex.obj S
m n : ℕ
⊢ 1 + m ≤ n ↔ m < n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s μ
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
S : J.Cover X
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
I : S.Relation
⊢ (S.index P).snd I = P.map I.r.g₂.op
α : Type u
inst✝¹ : EMetricSpace α
s : Set α
inst✝ : CompleteSpace α
⊢ IsClosed (range NonemptyCompacts.toCloseds)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α
⊢ (N.comapOn E f).Base B ↔ N.Basis' (f '' B) (f '' E) ∧ InjOn f B ∧ B ⊆ E
α : Type u_1
n : Type u_4
Star α
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
⊢ A.transpose.IsHermitian
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsAffineHom f
AlgebraicGeometry.IsAffine Y
⊢ AlgebraicGeometry.IsAffine X
α : Type u_1
β : Type v
f g : α → β
s t : Multiset α
⊢ s = t → (∀ x ∈ t, f x = g x) → Multiset.map f s = Multiset.map g t
v : Sat.Valuation
c : Sat.Clause
a : Prop
h : Sat.Clause.reify v c a
⊢ Sat.Fmla.reify v (Sat.Fmla.one c) a
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Presentation R S
p : P.Ring
⊢ P.quotientEquiv ((Ideal.Quotient.mk P.ker) p) = (algebraMap P.Ring S) p
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : Wbtw R x y z
⊢ Wbtw R y x z ↔ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Function.Injective (f a)
⊢ (s.PairwiseDisjoint fun a => f a '' t) ↔ Set.InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : UniformSpace γ
α : Type u_1
inst✝¹ : T0Space β
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
inst✝ : DiscreteTopology α
⊢ ClosedEmbedding f
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
B : Matrix n m α
Invertible A
⊢ A * (A⁻¹ * B) = B
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
A : C
f₁ f₂ : A ⟶ S.rightHomology
h : f₁ ≫ S.rightHomologyι = f₂ ≫ S.rightHomologyι
⊢ f₁ = f₂
R : Type u
S : Type v
K✝ : Type w
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : IsDomain K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f : L[X]
hf : Irreducible f
this : Fact (Irreducible f)
h : f ≠ 0
⊢ ∃ g, g.Monic ∧ Irreducible g ∧ f ∣ Polynomial.map (algebraMap K L) g
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ‖p1 -ᵥ p2‖ = ‖p1 -ᵥ p3‖
⊢ ∠ p1 p2 p3 = ∠ p1 p3 p2
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
f : α → G₀
l : Filter α
a : G₀
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
m : ℤ
h : a ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x ^ m) l (𝓝 (a ^ m))
G : Type u_1
Group G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
a : G
h : IsGLB s a
⊢ IsLUB s⁻¹ a⁻¹
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
⊢ φ.op.s = φ.s.op
α : Type u_1
x y : α
z : Sym2 α
hne : x ≠ y
⊢ x ∈ z ∧ y ∈ z ↔ z = s(x, y)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
Add β
MeasurableAdd₂ β
f : ι → Ω → β
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
hf_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (f i + f j) (f k) κ μ
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
this : 2 ^ Fintype.card α * (𝒜ᶜ ∩ ℬ).card ≤ 2 ^ Fintype.card α * ℬ.card - 𝒜.card * ℬ.card
⊢ 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ Fintype.card α * ℬ.card
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
k : ℕ
hμ : f.HasGenEigenvalue μ k
contra : Function.Injective ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ)
⊢ Function.Injective (⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ))^[k]
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
⊢ ∃ β t sgn g,
  (∀ (b : β), g b ∈ s) ∧ t.card = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs ∧ ∀ a ∈ s, (∑ b ∈ t, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y✝ : α
Φ : α → β
y : α
hy : y ∈ s
⊢ infEdist x s ≠ ⊤
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ZMod n →+* R
k : ℤ
⊢ f ↑k = g ↑k
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Precoherent C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
X : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology D) A
⊢ ∀ (X_1 : Dᵒᵖ),
  ((e.sheafCongrPrecoherent A).counitIso.inv.app X).val.app X_1 = X.val.map (e.counitIso.hom.app (Opposite.unop X_1)).op
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0
this✝ : Nontrivial R
this : p.leadingCoeff * X.leadingCoeff ≠ 0
⊢ ↑p.natDegree < ↑p.natDegree + 1
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 0)
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
d : ℕ
f : K⟦X⟧
⊢ Valued.v ((ofPowerSeries ℤ K) f) ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑d)) ↔ ∀ n < d, (PowerSeries.coeff K n) f = 0
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E
⊢ Multiplicative.ofAdd ‖m.prod‖ ≤ (Multiset.map (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ fun x => ‖x‖) m).prod
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
Zero E
TopologicalSpace E
ι : Type u_7
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (⋃ i ∈ I, s i) ↔ ∀ i ∈ I, Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (s i)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
a b : α
⊢ 𝓝 a ×ˢ 𝓝 b = (𝓤 α).lift fun s => (𝓤 α).lift' fun t => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ {y | (b, y) ∈ t}
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hIY : M.Basis I Y
⊢ M.Basis I (X ∪ Y)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
⊢ deriv Neg.neg = fun x => -1
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
i j k : n
M : Matrix n n α
hM : Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
hkj : k ≠ j
⊢ M j k = 0
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
I : Type u₁
F G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete I) C
f : (i : CategoryTheory.Discrete I) → F.obj i ≅ G.obj i
X : CategoryTheory.Discrete I
⊢ (CategoryTheory.Discrete.natIso f).hom.app X = (f X).hom
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hfg : ∀ (n : ℕ), f n ≤ g n
this : BoundedGENhdsClass ℝ
⊢ x ∈ ↑(lowerClosure s)
G : Type u_3
AddSemigroup G
a b c : G
h : AddSemiconjBy a b c
⊢ Function.Semiconj (fun x => x + a) (fun x => x + c) fun x => x + b
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R' →+* R
j : S →+* S'
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (j.comp (algebraMap R S)).comp i = algebraMap R' S'
⊢ lift.{v', v} (Module.rank R S) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R' S')
α : Type ua
β : Type ub
ι : Sort u_1
UniformSpace α
ι' : Sort u_2
UniformSpace β
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
ha : (𝓤 α).HasBasis p s
q : ι' → Prop
t : ι' → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis q t
f : α → β
⊢ UniformContinuous f ↔ ∀ (i : ι'), q i → ∃ j, p j ∧ ∀ (x y : α), (x, y) ∈ s j → (f x, f y) ∈ t i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α → E
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T' hT' f = c • MeasureTheory.setToFun μ T hT f
x y : ℂ
⊢ Complex.cos (x - y) = Complex.cos x * Complex.cos y + Complex.sin x * Complex.sin y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : α → β
e : γ ≃ᵐ α
h : MeasurePreserving (⇑e) μc μa
hg : MeasurePreserving (g ∘ ⇑e) μc μb
⊢ MeasurePreserving g μa μb
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
i j : l ⊕ m
⊢ fromBlocks 1 0 0 1 i j = 1 i j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq₁ sq₂ sq₃ : CategoryTheory.Square C
f : sq₁.Hom sq₂
g : sq₂.Hom sq₃
⊢ (f.comp g).τ₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.τ₁ g.τ₁
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
a1 : 1 < a
⊢ StrictAnti fun n => (a ^ n)⁻¹
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : μ.restrict s = ν.restrict s
ht : μ.restrict t = ν.restrict t
u : Set α
hu : MeasurableSet u
⊢ (μ.restrict (s ∪ t)) u = (ν.restrict (s ∪ t)) u
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
a : R
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ (a • φ).τ₁ = a • φ.τ₁