ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x) = (ghostComponent n) (g x)
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (g x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (ψ n)
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : ℕ → ℤ
⊢ (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r
x : E
⊢ ‖(1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-r / 2)‖ ≤ 2 ^ (r / 2) * (1 + ‖x‖) ^ (-r)
⊢ Complex.polarCoord.target = Set.Ioi 0 ×ˢ Set.Ioo (-Real.pi) Real.pi
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
⊢ μ.withDensity ((r • ν).rnDeriv μ) = μ.withDensity (r • ν.rnDeriv μ)
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
n : ℕ
hp : (setOf p).Finite
hpn : p n
⊢ Nat.count p n < hp.toFinset.card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented Cᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : SimplexCategory), X.leftOpRightOpIso.hom.right.app X_1 = 𝟙 (X.right.obj X_1)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
G : Type u_2
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hu : HasDerivWithinAt u u' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => (c y) (u y)) (c' (u x) + (c x) u') s x
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
f : α → β
x : α
hf : Set.InjOn f s
hs : s₁ ⊆ s
hx : x ∈ s
⊢ f x ∈ f '' s₁ ↔ x ∈ s₁
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
k : ℕ
x : L
⊢ ((toEnd R L M₂) x ^ k) ∘ₗ ↑f = ↑f ∘ₗ (toEnd R L M) x ^ k
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
inst✝ : Archimedean α
hδ : 0 < δ
m : ℕ
hm : b - a ≤ m • δ
n : ℕ
hn : n ≥ m
⊢ ↑(addNSMul h δ n) = b
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
hxq : max 0 x ^ (↑n)⁻¹ < ↑q
hqy : ↑q < y ^ (↑n)⁻¹
⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ →. σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Partrec₂ h
⊢ Partrec fun a => Nat.casesOn (f a) (Part.some (g a)) (h a)
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α : Type u
x : F α
p : α → Prop
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
h' : ∀ u ∈ supp (abs ⟨a, f⟩), p u
i : (P F).B a
⊢ f i ∈ supp (abs ⟨a, f⟩)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ ∀ᶠ (p : F × G) in 𝓝 (φ.prodFun φ.pt), φ.rightFun (φ.implicitFunction p.1 p.2) = p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝² : DecidablePred fun x => x ∈ s
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
g : β → E
⊢ (∫ (b : β), g b ∂if a ∈ s then κ a else η a) = if a ∈ s then ∫ (b : β), g b ∂κ a else ∫ (b : β), g b ∂η a
bs : List Bool
i : Nat
⊢ (BitVec.ofBoolListBE bs).getLsb i = (decide (i < bs.length) && bs.getD (bs.length - 1 - i) false)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Finite I
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : I → S
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : I), e i ∈ f.range
val✝ : Fintype I
e' : Fin (Fintype.card I) → R
h₁ : OrthogonalIdempotents e'
h₂ : ⇑f ∘ e' = e ∘ ⇑(Fintype.equivFin I).symm.toEmbedding
⊢ ∃ e', OrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Dᵒᵖ} (α : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Functor.opInv C D).map α =
    Quiver.Hom.op { app := fun X_1 => (α.app (Opposite.op X_1)).unop, naturality := ⋯ }
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
⊢ ∅.encard = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.sheafOfTypesBotEquiv.counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl
    ({ obj := fun P => { val := P, cond := ⋯ }, map := fun {X Y} f => { val := f }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.comp
      (CategoryTheory.sheafOfTypesToPresheaf ⊥))
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Zero M
SMulZeroClass R M
a : R
f : α → M
⊢ Function.support (a • f) ⊆ Function.support f
b b' : ℕ
h : b' % b = 1
n : ℕ
⊢ b ∣ n ↔ b ∣ (b'.digits n).sum
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
x : P × P × P
hx12 : x.1 ≠ x.2.1
hx32 : x.2.2 ≠ x.2.1
f : P × P × P → V × V := fun y => (y.1 -ᵥ y.2.1, y.2.2 -ᵥ y.2.1)
hf1 : (f x).1 ≠ 0
hf2 : (f x).2 ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun y => ∡ y.1 y.2.1 y.2.2) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
⊢ (insert a s).val = (a ::ₘ s.val).dedup
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
b₁ : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b₁
e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b₂ : Ordinal.{0}
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow b₂
IH : (e₁.oadd n₁ a₁ * a₂).NFBelow (e₁.repr + e₂.repr)
e0 : ¬e₂ = 0
⊢ ((e₁ + e₂).oadd n₂ (e₁.oadd n₁ a₁ * a₂)).NFBelow (e₁.repr + b₂)
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : 1 ≤ x
n : ℕ
⊢ 1 ≤ x ^ (n + 1)
α : Type u_3
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_5
(a : α) → (b : β a) → Neg (γ a b)
x : (i : (a : α) × β a) → γ i.fst i.snd
⊢ Sigma.curry (-x) = -Sigma.curry x
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
CommSemiring R
S : Submonoid R
CommSemiring Rₛ
Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
Module Rₛ M'
IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
v : Set M
hv : Submodule.span R v = ⊤
⊢ Submodule.span Rₛ (⇑f '' v) = ⊤
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
f : α → Ordinal.{max u v}
g : β → Ordinal.{max u v}
h : range f ⊆ range g
⊢ mex f ≤ mex g
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
h2L₂ : K₂.carrier * L₂ ⊆ U₂
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
⊢ chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
U : Set ↑(CategoryTheory.Limits.colimit F)
⊢ IsOpen U ↔ ∀ (j : J), IsOpen (⇑(CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j) ⁻¹' U)
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
p : Ideal R
IsDedekindDomain S
Algebra R S
IsNoetherian R S
p.IsMaximal
P : { x // x ∈ (UniqueFactorizationMonoid.factors (Ideal.map (algebraMap R S) p)).toFinset }
⊢ Ideal.inertiaDeg (algebraMap R S) p ↑P ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)
hf₂ : ∀ (n : ℕ), v.restrict (f n) ≤ w.restrict (f n)
a : Set α
ha₁ : MeasurableSet a
ha₂ : a ⊆ ⋃ n, f n
ha₃ : ⋃ n, a ∩ disjointed f n = a
ha₄ : Pairwise (Disjoint on fun n => a ∩ disjointed f n)
⊢ ∑' (i : ℕ), ↑v (a ∩ disjointed f i) ≤ ∑' (i : ℕ), ↑w (a ∩ disjointed f i)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
⊢ ↑b.repr.symm (b.repr x) = x
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥N
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.total κ (↥M) R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι (↥N) R n)
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] ↥N := LinearMap.lTensor (κ →₀ R) (Finsupp.total ι (↥N) R n)
i2 : (κ →₀ R) ⊗[R] ↥N →ₗ[R] ↥M ⊗[R] ↥N := LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.total κ (↥M) R m)
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ i2 ∘ₗ i1 ∘ₗ ↑i0
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
n m : ℕ+
u : PrimeMultiset := n.factorMultiset
v : PrimeMultiset := m.factorMultiset
this : n = u.prod
⊢ (u.prod * m).factorMultiset = u.prod.factorMultiset + m.factorMultiset
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
F : CategoryTheory.Functor C C
F.Additive
A₁ A₂ : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
α : A₁ ⟶ A₂
⊢ (-α).f = -α.f
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝ : MonoidalCategory V
⊢ (Monoidal.fromTransported (functorCategoryEquivalence V G).symm).ε.app PUnit.unit = 𝟙 ((𝟙_ (SingleObj ↑G ⥤ V)).obj PUnit.unit)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∃ v ∈ atBot, ∀ y ∈ v, HasDerivAt f (f' y) y
hgg' : ∃ v ∈ atBot, ∀ y ∈ v, HasDerivAt g (g' y) y
hg' : ∃ v ∈ atBot, ∀ y ∈ v, g' y ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain F K (-1)
β : G ⟶ K
eq : CochainComplex.HomComplex.δ (-1) 0 α = CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (φ ≫ β)
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (CochainComplex.mappingCone.desc φ α β eq) =
  CochainComplex.mappingCone.descCochain φ α (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom β) ⋯
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_in_E : x ∈ E
y : α
hy : y ∈ {x | infEdist x E < ENNReal.ofReal δ}ᶜ
⊢ ENNReal.ofReal δ ≤ edist x y
P : Type u_1
LE P
I : Order.Ideal P
x y : P
⊢ x ≤ y → x ∈ (↑I)ᶜ → y ∈ (↑I)ᶜ
m i : Nat
x : BitVec m
n : Nat
⊢ (x.shiftLeftZeroExtend n).getMsb i = x.getMsb i
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : (i : ι) → NonAssocSemiring (A i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
x : ⨂[R] (i : ι), A i
⊢ (mul ((tprod R) 1)) x = x
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
⊢ IsPrincipalIdealRing (𝓞 K)
α : Type u_1
rα : α → α → Prop
a₁ a₂ b : α
h : rα a₁ a₂
⊢ Sym2.GameAdd rα s(a₁, b) s(a₂, b)
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Ring R
MulSemiringAction M R
a : M
S T : Subring R
⊢ a • (S ⊔ T) = a • S ⊔ a • T
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V
W : ℕ → Set (X × X)
hW : ∀ (n : ℕ), W n ∈ 𝓤 X
hWV : ∀ (n : ℕ), W n ○ W n ⊆ V n
hWV' : ∀ (n : ℕ), W n ⊆ V n
t : ℕ → Set X
ht_anti : Antitone t
htl : ∀ (n : ℕ), t n ∈ l
htW : ∀ (n : ℕ), t n ×ˢ t n ⊆ W n
hts : ∀ (n : ℕ), t n ⊆ s
u : ℕ → X
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t n
huc : CauchySeq u
x : X
hxs : x ∈ s
hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)
⊢ ∃ x ∈ s, l ≤ 𝓝 x
α : Type u_2
Fintype α
Encodable α
⊢ (Encodable.sortedUniv α).Nodup
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r f : R[X]
a : R
⊢ f.natDegree + (C a).natDegree = f.natDegree + 0
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f g : Equiv.Perm α
h : ∀ x ∈ f.support ∩ g.support, f x = g x
k : ℕ
x : α
⊢ x ∈ f.support ∩ g.support → (f ^ k) x = (g ^ k) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ NormedSpace.polar 𝕜 (Metric.ball 0 r) ⊆ Metric.closedBall 0 (‖c‖ / r)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
(p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
Nontrivial α
DecidableEq (Associates α)
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ p.count p.factors = 1
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Nontrivial R
x : X
r : R
h : ι R x = (algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r
f0 : FreeAlgebra R X →ₐ[R] R := (lift R) 0
f1 : FreeAlgebra R X →ₐ[R] R := (lift R) 1
hf0 : f0 (ι R x) = 0
⊢ False
α : Type u_1
F : Type u_3
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ ≤ c • MeasureTheory.eLpNormEssSup g μ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
A : AlgebraCat R
x : ↑(of R ↑A)
⊢ (mul' R ↑A) ((CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (Algebra.linearMap R ↑A) (of R ↑A)) (((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑(of R ↑A)) 1) x)) = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (of R ↑A)).hom (((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑(of R ↑A)) 1) x)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E
⊢ ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, circleTransform R z w f θ = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(z, R), (z - w)⁻¹ • f z
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp : IntFractPair K
stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp
g : GenContFract K := of v
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
g_finite_correctness : v = GenContFract.compExactValue pred_conts conts ifp.fr
ifp_fr_eq_zero : ifp.fr = 0
⊢ let g := of v; let B := (g.contsAux (n + 1)).b; let pB := (g.contsAux n).b; v - g.convs n = if ifp.fr = 0 then 0 else (-1) ^ n / (B * (ifp.fr⁻¹ * B + pB))
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0
⊢ p.trailingDegree = ↑n ↔ p.natTrailingDegree = n
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
M : Matrix n n R
hM : M.PosDef
⊢ M.transpose.PosDef
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K : Set G
h1K : IsCompact K
h2K : (interior K).Nonempty
⊢ 0 < MeasureTheory.Measure.haar.addPrehaar (↑K₀) U { carrier := K, isCompact' := h1K }
α : Type u
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : ∀ (ε : α), 0 < ε → a < b + ε
⊢ a ≤ b
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ Metric.closedBall 0 δ - {x} = Metric.closedBall (-x) δ
α : Type u_1
MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j
hij : j ⊆ i
⊢ ↑(v.restrict i) j = ↑v j
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
e : M ≃* N
⊢ Function.Surjective ⇑e
ι : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
UniformSpace α
F : ι → X → α
TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_clemb : ClosedEmbedding (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
F_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ (i : ι), F i x ∈ Q
⊢ CompactSpace ι
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ₁ γ₂ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
eq : γ₁ = γ₂
⊢ γ₁.φH = γ₂.φH
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
G' : Type u_3
f : G → G'
a : G
b : k
⊢ AddMonoidAlgebra.mapDomain f (AddMonoidAlgebra.single a b) = AddMonoidAlgebra.single (f a) b
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ L1 L2 : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
⊢ sizeOf (L1 ++ L2) < sizeOf (L1 ++ (x, b) :: (x, !b) :: L2)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm (-f) p μ = eLpNorm f p μ
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
k : ℕ
⊢ ↑(I.lcs M k) = ↑(LieModule.lowerCentralSeries R (↥↑I) M k)
ι : Type u_1
α : Type u_2
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
⊢ ⊥ = 0
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x ≠ y
⊢ eval x (basisDivisor x y) = 1
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
U : Submodule R M
x y : M
hxy : x ≡ y [SMOD U]
⊢ y ≡ x [SMOD U]
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : Function.RightInverse i' ⇑i
x✝ : R'
h : i' x✝ = 0
⊢ x✝ = 0
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n + 1 - i) = (expand p) (∑ i ∈ range (n + 1), C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n - i))
R : Type u
CommRing R
S : Ideal R
Submodule.IsPrincipal S
x : R
⊢ x ∈ S ↔ Submodule.IsPrincipal.generator S ∣ x
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : 1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (b : Solution₁ d), ∃ n, b = a ^ n ∨ b = -a ^ n
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
⊢ IsFundamental a
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
β : Type u_4
MeasurableSpace β
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.const β (μ + ν) = ProbabilityTheory.Kernel.const β μ + ProbabilityTheory.Kernel.const β ν
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
⊢ (↑p).Nonempty
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k S.g = 0
S.HasLeftHomology
A' : C
α : A' ⟶ A
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (S.liftCycles k hk) = S.liftCycles (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α k) ⋯
σ : Type u_1
R : Type u
CommSemiring R
s : Set σ
i : ↑s
⊢ ↑((MvPolynomial.supportedEquivMvPolynomial s).symm (MvPolynomial.X i)) = MvPolynomial.X ↑i
α : Type u_1
p : PosNum
⊢ ↑(↑p.pred' + 1) = ↑p
x : ℝ
x_pos : 0 < x
hx : ∀ (n : ℕ), x ≤ stirlingSeq (n + 1)
hx' : x ∈ lowerBounds (Set.range (stirlingSeq ∘ succ))
⊢ Tendsto (fun n => stirlingSeq (n + 1)) atTop (𝓝 (sInf (Set.range (stirlingSeq ∘ succ))))
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂
TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂
TotalComplexShapeSymmetry c₂ c₁ c₁₂
TotalComplexShapeSymmetrySymmetry c₁ c₂ c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
⊢ c₂.σ c₁ c₁₂ i₂ i₁ = c₁.σ c₂ c₁₂ i₁ i₂
J : Type w
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝³ : Category.{uD', uD} D
inst✝² : HasZeroMorphisms D
P Q W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct W X
inst✝ : HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ inl ≫ map' f g = f ≫ inl
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.support.Nonempty ↔ p ≠ 0
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
X : CategoryTheory.Comma L₂ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).counitIso.inv.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H : Type u_2
Group H
f : H →* G
hf : Function.Injective ⇑f
Finite (Sylow p G)
⊢ Finite (Sylow p H)
K : Type u
Field K
⊢ StrictMono ValuationSubring.unitGroup
α : Type u_1
T : TopologicalSpace α
σ : Type u_5
F : Ctop α σ
H₁ : ∀ (a : σ), IsOpen (F.f a)
H₂ : ∀ (a : α), ∀ s ∈ 𝓝 a, ∃ b, a ∈ F.f b ∧ F.f b ⊆ s
⊢ F.toTopsp = T
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
Nonempty Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C : ℝ
⊢ BddAbove (Set.range fun x => ⨅ y, f (Sum.inl x, Sum.inr y) + C)
α : Type u
t : TopologicalSpace α
β : Type u_2
TopologicalSpace β
f : α → β
T : Set (Set β)
hf : Inducing f
h : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis T
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.preimage f '' T)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
Nonempty ι
s : ι → Set α
t : Set β
f : α → β
H : ∀ (i : ι), Set.SurjOn f (s i) t
Hinj : Set.InjOn f (⋃ i, s i)
⊢ Set.SurjOn f (⋂ i, s i) t
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
f : PiLp ⊤ β
⊢ ⨆ i, ‖(WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) f i‖₊ = ⨆ i, ‖f i‖₊
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
⊢ ↑(MonoidHom.mrange f) = Set.range ⇑f
R : Type u
a : R
Field R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
⊢ Polynomial.C a * p ∣ q ↔ p ∣ q
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ Disjoint (t \ s) s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
m : Multiset R[X]
L : List R[X]
⊢ 0 ∉ Quot.mk Setoid.r L → (prod (Quot.mk Setoid.r L)).roots = Multiset.bind (Quot.mk Setoid.r L) roots
α : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : OrderTop α
inst✝¹ : Finite α
s : { s // InfIrred s }
inst✝ : Fintype ↥↑s
⊢ infIrredUpperSet.symm s = (↑↑s).toFinset.inf id
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ Cauchy (map (fun x => x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → Zero (β i)
Zero α
(i : ι) → SMulWithZero α (β i)
k : α
hk : ∀ (i : ι), IsSMulRegular (β i) k
x : (i : ι) → β i
⊢ hammingNorm (k • x) = hammingNorm x
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
⊢ (Finsupp.erase a f).update a b = f.update a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
self : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
⊢ x + y ∈ s → y ∈ EMetric.ball 0 r → HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (x + y))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i : ι
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
K : HomologicalComplex C c
⊢ (HomologicalComplex.cyclesFunctor C c i).obj K = K.cycles i
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K
⊢ Disjoint (f.genEigenrange μ (finrank K V)) ((f.genEigenspace μ) (finrank K V))
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → α
s : Set α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ μ
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
hs' : μ s ≠ 0
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[m] x ∈ s