ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : ↑(TopCat.of M)
⊢ smoothSheaf.evalHom IM I R x = (forgetStalk IM I M R x).inv ≫ (forget CommRingCat).map (evalHom IM I M R x)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
⊢ G.maxDegree < Fintype.card V
X : Bipointed
a : ((Bipointed.swap ⋙ Bipointed.swap).obj X).X
⊢ (Bipointed.swapEquiv.counitIso.hom.app X).toFun a = a
α : Type u_1
DivisionRing α
CharZero α
a : α
n d : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a (Int.ofNat n.succ) d → Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a⁻¹ (Int.ofNat d) n.succ
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.lift a ⊔ Booleanisation.lift b = Booleanisation.lift (a ⊔ b)
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
Pow β γ
MeasurablePow β γ
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
g : α → γ
hg : AEMeasurable g μ
c : β
⊢ AEMeasurable (fun x => c ^ g x) μ
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f' : P.drop.B a ⟹ α
f : P.last.B a → P.W α
⊢ P.wDest' (P.wMk a f' f) = ⟨a, splitFun f' f⟩
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G✝ : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G✝
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x✝ : FamilyOfElements (G✝.op ⋙ ℱ.val) T
h : x✝.Compatible
hF₁ : CompatiblePreserving K F
hF₂ : CoverPreserving J K F
G : SheafOfTypes K
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : FamilyOfElements (F.op ⋙ G.val) S.arrows
hx : x.Compatible
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
X : Type u_2
TopologicalSpace X
A : DiscreteQuotient X
a : Quotient A.toSetoid
⊢ DiscreteQuotient.ofLE ⋯ a = a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
hval : padicValRat p q ≠ padicValRat p r
h1 : min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)
h2 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p q
h3 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p q) ≤ padicValRat p r
⊢ padicValRat p (q + r) ≤ padicValRat p q
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
N' : Type u_7
AddCommGroup N
AddCommGroup N'
Module R N
Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
IsLocalizedModule S g
h : M →ₗ[R] N
x : M
⊢ ((IsLocalizedModule.map S f g) h) (f x) = g (h x)
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : α → ι
g : (Equiv.Perm α)ᵈᵐᵃ
⊢ g ∈ MulAction.stabilizer (Equiv.Perm α)ᵈᵐᵃ f ↔ f ∘ ⇑(DomMulAct.mk.symm g) = f
x : Int
xs : List Int
y : Int
⊢ Lean.Omega.IntList.set (x :: xs) 0 y = y :: xs
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalSemiring α
Fintype n
StarRing α
M : Matrix m n α
v : n → α
⊢ star (M *ᵥ v) = star v ᵥ* Mᴴ
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : Filter α
g : Filter β
hf : Cauchy f
hg : Cauchy g
this : f.NeBot
⊢ Cauchy (f ×ˢ g)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
H : IsJacobson R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ ∀ {I : Ideal S}, I.IsPrime → ∃ M, (∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ I = sInf M
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
⊢ (Algebra.leftMulMatrix pb.basis) pb.gen = Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
h : x.1 * x.2 = n ∧ n ≠ 0
⊢ x.2 ∈ n.divisors
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
U : Set X
h : U ∈ ⨆ x ∈ s, 𝓝 x
⊢ ∃ V, s ⊆ V ∧ IsOpen V ∧ V ⊆ U
Γ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
StrictOrderedSemiring Γ
⊢ Function.Injective ⇑(HahnSeries.ofPowerSeries Γ R)
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : IsEmpty V
⊢ G.Colorable 0
R : Type u_1
V : Type u_2
Field R
AddCommGroup V
TopologicalSpace R
TopologicalSpace V
TopologicalRing R
Module R V
SeparatingDual R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ f, f x = 1 ∧ f y ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfε : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (g i)) p μ ≤ ↑ε
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Set.Iic a = Set.Iic (a / c)
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
i : Fin pb.dim
⊢ (∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen)) ^ 2 = ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
f✝ : α → β
l✝ : List α
o : Option α
a✝ m : α
f : α → β
a : α
l hd : List α
tl : α
ih : argmax f (a :: hd) = Option.casesOn (argmax f hd) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a
⊢ argmax f (a :: (hd ++ [tl])) = Option.casesOn (argmax f (hd ++ [tl])) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
⊢ ⊥.toProd.1 = extentClosure r Set.univ
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x y : L
hx : IsAlgebraic K x
h_ev : (Polynomial.aeval y) (minpoly K x) = 0
hy : IsAlgebraic K y
⊢ minpoly K y = minpoly K x
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x y : E
⊢ Metric.ball x δ + {y} = Metric.ball (x + y) δ
a b c : ℕ
P : ℕ → Prop
h✝ : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
seed : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
hs : P seed
hi : ∀ (x : ℕ), seed ≤ x → P x → ∃ y, x < y ∧ P y
n : ℕ
hf : {x | P x}.Finite
m : ℕ
hP : m ∈ {x | P x}
hm : ∀ a' ∈ {x | P x}, id m ≤ id a' → id m = id a'
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
Inv β
f : α → β
⊢ UniformFun.ofFun f⁻¹ = (UniformFun.ofFun f)⁻¹
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
m : M
μ : R
self : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
⊢ ⁅h, m⁆ = μ • m
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ ↑(s₁ \ s₂) = ↑s₁ \ ↑s₂
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.57464, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j k : ℕ
x✝¹ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel j k
eq : K[X].d i j ≫ (∑ A : IndexSet (op [j]), s.πSummand A ≫ (s.cofan (op [j])).inj A) ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0
⊢ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) ≫ (s.cofan (op [j])).inj (IndexSet.id (op [j])) ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
⊢ univ.Pairwise r ↔ Pairwise r
G : Type u_2
Group G
S : Set G
⊢ S⁻¹ ⊆ ↑(Subgroup.closure S)
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
⊢ (k + 1 ≠ 0 → R' < (ω ^ a0.repr) ^ succ ↑(k + 1)) ∧ (ω ^ a0.repr) ^ ↑(k + 1) * (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr) + R' = (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr + ↑m) ^ succ ↑(k + 1)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ a : R
ha : a ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot ζ 0
⊢ (nthRoots 0 a).Nodup
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
⊢ HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
Fintype n
Finite o
NonAssocSemiring α
DecidableEq o
e₁ : n ≃ o
e₂ : l → o
M : Matrix m n α
⊢ M * Matrix.submatrix 1 (⇑e₁) e₂ = M.submatrix id (⇑e₁.symm ∘ e₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : CompleteLattice α
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : IsLower α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsLower β
f : sInfHom α β
⊢ Continuous ⇑f
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k) * (P.ε * ↑((1 / x) ^ P.k)) = 1
n a b : ℤ
c : ℤ
h : c + a ≡ c + b [ZMOD n]
⊢ a ≡ b [ZMOD n]
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
⊢ G.cliqueSet 1 = Set.range singleton
w w' : Nat
x y : BitVec w
h : w = w'
⊢ BitVec.cast h x &&& BitVec.cast h y = BitVec.cast h (x &&& y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
P Q R : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprod.associator P Q R).hom =
  CategoryTheory.Limits.coprod.desc
    (CategoryTheory.Limits.coprod.desc CategoryTheory.Limits.coprod.inl
      (CategoryTheory.Limits.coprod.inl ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.inr))
    (CategoryTheory.Limits.coprod.inr ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.inr)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
P : C
ι : P ⟶ X
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp ι f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ι g
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair),
  (CategoryTheory.Limits.Fork.ofι ι w).π.app X_1 =
    CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.casesOn (motive := fun t =>
      X_1 = t →
        (((CategoryTheory.Functor.const CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair).obj P).obj X_1 ⟶
          (CategoryTheory.Limits.parallelPair f g).obj X_1))
      X_1 (fun h => ⋯ ▸ ι) (fun h => ⋯ ▸ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ι f) ⋯
δ : ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (∃ b, (∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n) = b) ∧ ‖x - b‖ < δ) ↔ ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
SemilatticeSup M
OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : MvPolynomial.weightedTotalDegree w p = ⊥
⊢ MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w p ⊥
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
A : C
f g : X φ i ⟶ A
h : inrX φ i ≫ f = inrX φ i ≫ g
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b✝ : α
f : β → α
a b : β
⊢ ⨆ x ∈ {a, b}, f x = f a ⊔ f b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
x✝ : ∃ f, Injective f
f : α → β
hf : Injective fun i => f ↑i
⊢ ∃ f, InjOn f s
α : Type u_1
β : Type u_2
Encodable α
Encodable β
a : α
b : β
⊢ Encodable.encode (a, b) = Nat.pair (Encodable.encode a) (Encodable.encode b)
H : Type x
TopologicalSpace H
OrderedCommGroup H
ContinuousInv H
a : H
⊢ Filter.Tendsto Inv.inv (𝓝[≤] a) (𝓝[≥] a⁻¹)
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
m : M
a : α
⊢ a ∈ AddAction.fixedBy α m ↔ m +ᵥ a = a
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
S : Type u_1
CommRing S
f : R →+* S
P : Fin 3 → R
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.dblX (WeierstrassCurve.map W' f) (⇑f ∘ P) = f (W'.dblX P)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ
h : ContDiffAt 𝕜 (↑n) f x
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, ContDiffAt 𝕜 (↑n) f y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
s1 s2 : Set ι
p0 : P
fs1 : Finset ι
hfs1 : ↑fs1 ⊆ s1
w1 : ι → k
hw1 : ∑ i ∈ fs1, w1 i = 1
hp0s1 : p0 = (affineCombination k fs1 p) w1
fs2 : Finset ι
hfs2 : ↑fs2 ⊆ s2
w2 : ι → k
hw2 : ∑ i ∈ fs2, w2 i = 1
hp0s2 : p0 = (affineCombination k fs2 p) w2
ha : (↑fs1).indicator w1 = (↑fs2).indicator w2
hnz : ∑ i ∈ fs1, w1 i ≠ 0
i : ι
hifs1 : i ∈ fs1
hinz : (↑fs2).indicator w2 i ≠ 0
⊢ ∃ i, i ∈ s1 ∩ s2
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
h : IsRelPrime x y
z : R
⊢ IsRelPrime x (y + z * x)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ LieModule.posFittingComp R L M ≤ ⨅ k, LieModule.lowerCentralSeries R L M k
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f f' : 𝕜 → G
x : 𝕜
hder : ∀ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝 x, HasDerivAt f (f' y) y
hcont : ContinuousAt f' x
⊢ HasStrictDerivAt f (f' x) x
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2
⊢ 2 ≠ 0
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_5
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
f g : AddMonoid.Coprod M N →+ P
h₁ : f.comp AddMonoid.Coprod.inl = g.comp AddMonoid.Coprod.inl
h₂ : f.comp AddMonoid.Coprod.inr = g.comp AddMonoid.Coprod.inr
⊢ f = g
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
ι α : Type u
t : ι → Set α
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
h : ∀ (i : ι), #↑(t i) < c
⊢ #↑(⋃ i, t i) < c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ f x < r}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
r : α → β → Prop
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∃ y, r x y
this : Nonempty β
⊢ ∃ f, ∀ᶠ (x : α) in l, r x (f x)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β → γ
a a' : α
p : a = a'
b : β
⊢ ⋯ = ⋯
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y z : X
F : Set X
hxy : JoinedIn F x y
hyz : JoinedIn F y z
⊢ JoinedIn F x z
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
AddCommGroup V3
Module k V3
AffineSpace V3 P3
f : P2 →ᵃ[k] P3
g : P1 →ᵃ[k] P2
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : Module.End K V
m : ℕ
hm : FiniteDimensional.finrank K V ≤ m
⊢ LinearMap.ker (f ^ m) = LinearMap.ker (f ^ FiniteDimensional.finrank K V)
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ a
⊢ a + c ≤ a + b → c ≤ b
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype m
i : n
j : m
c : α
x : m → α
i' : n
h : i ≠ i'
⊢ (∑ x_1 : m, if i = i' ∧ j = x_1 then c * x x_1 else 0) = Function.update 0 i (c * x j) i'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
Finite ι
X : ι → C
i j : ι
e : i ≠ j
⊢ CategoryTheory.IsPullback (CategoryTheory.Limits.initial.to (X i)) (CategoryTheory.Limits.initial.to (X j))
  (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι X i) (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι X j)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S T : IntermediateField F E
⊢ (S ⊓ T).toSubalgebra = S.toSubalgebra ⊓ T.toSubalgebra
E : Type u_3
SeminormedGroup E
⊢ (Bornology.cobounded E).HasBasis (fun x => True) fun x => {x_1 | x ≤ ‖x_1‖}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
hfin : Finite a b
c k : α
hc : b = a ^ ((multiplicity a b).get hfin + 1) * k
hk : c = a * k
h₁ : a ^ ((multiplicity a b).get hfin + 1) ∣ b
⊢ False
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K✝ : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.119287, u_1} K✝
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.119294, u_2} D
K : Type u_3
inst✝ : Category.{u_4, u_3} K
e : J ≌ K
F : K ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ e.functor ⋙ F
f : c'.pt ⟶ (Cocone.whisker e.functor c).pt
e' : α ≫ (Cocone.whisker e.functor c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Cocone.whisker e.functor c).ι.app j)
⊢ (whiskerLeft e.inverse α ≫ (e.invFunIdAssoc F).hom) ≫ c.ι = (Cocone.whisker e.inverse c').ι ≫ (Functor.const K).map f
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
⊢ ∀ x ∈ (exponent G).primeFactorsList, List.count x (exponent G).primeFactorsList ≤ List.count x (orderOf t).primeFactorsList
b : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
x : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0
⊢ x < b ^ succ (log b x)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27982, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
x✝ : Karoubi (HomologicalComplex C c)
i✝ : ι
⊢ x✝.p.f i✝ ≫ x✝.p.f i✝ = x✝.p.f i✝
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
C : Set α
hC : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable
this : UpgradedPolishSpace α := upgradePolishSpace α
⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Function.Injective f
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ≥0∞
⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' ball b r = ball (b / a) r
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0
lead_unit : IsUnit ↑((Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 (C k - p).leadingCoeff lead_ne))
p_a_eq : (aeval a) (C k - p) = ↑ₐ k - (aeval a) p
hk : ∃ k_1 ∈ σ a, eval k_1 (C k - p) = 0
⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
⊢ ↑(x ^ y) = ↑x ^ ↑y
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x y : ℚ_[p]
⊢ min x.addValuationDef y.addValuationDef ≤ (x + y).addValuationDef
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
E' : Type u_11
SeminormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
RingHomIsometric σ₁₂
ProperSpace F
s : Set (E' →SL[σ₁₂] F)
hb : Bornology.IsBounded s
hc : IsClosed (DFunLike.coe '' s)
⊢ IsCompact (DFunLike.coe '' s)
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k✝ : T.LocalizationMap Q
hg : Surjective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
s : M
hs : s ∈ ↑S
x : M
⊢ (f.map ⋯ k) (f.mk' x ⟨s, hs⟩) = k.mk' (g x) ⟨g s, ⋯⟩
α : Type u_1
n : ℕ
Zero α
⊢ Matrix.vecCons 0 0 = 0
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
h : Group.IsNilpotent (G ⧸ center G)
⊢ Group.IsNilpotent G
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.cos (x - ↑n * (2 * Real.pi)) = Real.cos x
X Y Z : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g).val = f.val ≫ g.val
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
F : Type u_8
σ₁₂ : R →+* R₂
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s : Set M
f g : F
H : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(Submodule.span R s)
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 1 / a < b ↔ 1 / b < a
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ σ = sort f ↔ Monotone (f ∘ ⇑σ) ∧ ∀ (i j : Fin n), i < j → f (σ i) = f (σ j) → σ i < σ j
R : Type u_1
AddGroup R
StarAddMonoid R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ IsSelfAdjoint (-x)
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
hl : rdropWhile p l ≠ []
⊢ ¬p ((dropWhile p l.reverse).reverse.getLast ⋯) = true
n k : ℕ
⊢ (n + 1).multichoose (k + 1) = (n + 1 + (k + 1) - 1).choose (k + 1)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Surjective ⇑f
a b : MvPolynomial σ S₁
ha : ∃ a_1, (map f) a_1 = a
hb : ∃ a, (map f) a = b
⊢ ∃ a_1, (map f) a_1 = a + b
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hf_int : Integrable f μ
⊢ μ[f|m ⊓ mΩ] =ᶠ[ae μ] fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condexpKernel μ m) ω
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : R
hroot : x ^ f.natDegree + ∑ i : Fin f.natDegree, f.coeff ↑i * x ^ ↑i = 0
hmo : f.Monic
i : ℕ
hi : f.natDegree ≤ i
k : ℕ
hk : i = f.natDegree + k
⊢ x ^ f.natDegree ∈ 𝓟
α : Type u
Preorder α
OrderBot α
⊢ IsLUB ∅ ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
j : J
I : CategoryTheory.Limits.IsInitial j
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), CategoryTheory.IsIso (F.map f)
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
r : R
⊢ map f (r • p) = f r • map f p
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι)) volume volume
v : ι → ℝ
⊢ b * ↑√(∑ x : ι, v x ^ 2) ^ 2 = ∑ x : ι, b * ↑(v x) ^ 2
G : Type u_10
AddGroup G
a b : G
⊢ (Equiv.subRight a).symm b = b + a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ ‖MeasureTheory.L1.setToL1 hT‖ ≤ ‖MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT‖