ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K✝
inst✝³¹ : Field L✝
inst✝³⁰ : Algebra A K✝
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝
inst✝²⁸ : Algebra B L✝
inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝⁹ : IsIntegralClosure B A L
this✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝⁷ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝⁶ : IsScalarTower A Aₘ K
this✝⁵ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this✝⁴ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower B Bₘ L
this✝² : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra
this✝¹ : IsScalarTower Aₘ K L
this✝ : IsScalarTower Aₘ Bₘ L
this : IsFractionRing Bₘ L := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ L
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
G : Type u_1
H : Type u_2
Mul G
Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
f : G ↪ H
mul : ∀ (x y : G), f (x * y) = f x * f y
⊢ UniqueMul (Finset.map f A) (Finset.map f B) (f a0) (f b0) ↔ UniqueMul A B a0 b0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
hd : Summable d
⊢ CauchySeq f
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
σ : L ≃ₐ[K] L
ζ : K
hζ' : ζ ∈ primitiveRoots n K
⊢ (autEquivRootsOfUnity ⋯ hn H L) σ • α = σ α
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y
⊢ CategoryTheory.Mono f → x.len ≤ y.len
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ ↑(map N.incl (comap N.incl N')) = ↑(N ⊓ N')
ι : Type u_1
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
SubNegMonoid G
SubNegMonoid H
AddMonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (a : G), f (-a) = -f a
g h : ι → G
⊢ ⇑f ∘ (g - h) = ⇑f ∘ g - ⇑f ∘ h
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
⊢ SameRay R (x -ᵥ x) (x -ᵥ y)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.WSameSide x y
ho : s.SOppSide x y
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹³ : Zero β
inst✝¹² : One β
inst✝¹¹ : Add β
inst✝¹⁰ : Mul β
inst✝⁹ : Neg β
inst✝⁸ : Sub β
inst✝⁷ : SMul ℕ β
inst✝⁶ : SMul ℤ β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : NatCast β
inst✝³ : IntCast β
f : α → β
hf : Surjective f
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : Add α
inst✝ : LeftDistribClass α
add : ∀ (x y : α), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : α), f (x * y) = f x * f y
x y z : α
⊢ f x * (f y + f z) = f x * f y + f x * f z
n : ℕ
h : IsPrimePow n
⊢ ∃ p, Nat.Prime p ∧ n / p ^ n.factorization p = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
F' : D ⥤ C
A B : C
adj : F ⊣ F'
f : A ⟶ B
h₁ : F'.PreservesMonomorphisms
h₂ : F.PreservesEpimorphisms
inst✝¹ : StrongEpi f
X Y : D
Z : X ⟶ Y
inst✝ : Mono Z
⊢ HasLiftingProperty f (F'.map Z)
n✝ n : ℕ
n1 : n ≠ 1
n0 : ¬n = 0
n2 : 2 ≤ n
⊢ Nat.minFacProp n (if 2 ∣ n then 2 else n.minFacAux 3)
α : Type u_1
Ω✝ : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω✝
κ✝ : Kernel α Ω✝
μ✝ : Measure α
Ω : Type u_4
m : ι → MeasurableSpace Ω
m' m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0
h_le' : m' ≤ m0
hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m
p : ι → Set (Set Ω) := fun n => {t | MeasurableSet t}
hp : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)
h_gen_n : ∀ (n : ι), m n = generateFrom (p n)
hp_supr_pi : IsPiSystem (⋃ n, p n)
p' : Set (Set Ω) := {t | MeasurableSet t}
hp'_pi : IsPiSystem p'
h_gen' : m' = generateFrom p'
h_pi_system_indep : IndepSets (⋃ n, p n) p' κ μ
⊢ ⨆ i, m i = generateFrom (⋃ n, p n)
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
a : α
hn0 : a ≠ 0
hnu : ¬IsUnit a
⊢ ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod = a ∧ f ≠ ∅
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : TopologicalSpace X
f : C(X, ℝ≥0)
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
x : X
hx : x ∈ {x | c ≤ f x}
⊢ ({ toFun := (⇑f ⊔ ⇑(const X c))⁻¹, continuous_toFun := ⋯ } * f) x = 1 x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π
K : Type w
Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
⊢ minpoly K (AdjoinRoot.root f) = f * Polynomial.C f.leadingCoeff⁻¹
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
⊢ Tendsto (fun p => (u p.1, u p.2)) (atTop ×ˢ atTop) (𝓤 α) ↔ Tendsto (Prod.map u u) atTop (𝓤 α)
α : Type u
s : Set α
⊢ ¬s.Subsingleton ↔ s.Nontrivial
a b c : Nat
h : a ≤ c + b
⊢ a - b ≤ c
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
⊢ ↑f.range = Set.range ⇑f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Multiset β
b : β
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
⊢ count b (∅.sup f) = ∅.sup fun a => count b (f a)
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
T : Type u_1
CommSemiring T
Algebra R T
IsLocalization S T
x y : T
p : LocalizedModule S M
⊢ (x * y) • p = x • y • p
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat
⊢ a = a' * d ∧ b = b' * d ∧ z * a' = (x * ↑b').succPNat ∧ w * b' = (y * ↑a').succPNat ∧ ↑z * ↑a = x * ↑b + ↑d ∧ ↑w * ↑b = y * ↑a + ↑d
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
b : ℝ
⊢ ∀ (i j : ℝ), 0 < i → i ≤ j → Icc (b - i) (b + i) ⊆ Icc (b - j) (b + j)
M : Type u_2
MonoidWithZero M
Nontrivial M
x : ↥M⁰
⊢ ↑x ≠ 0
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
e : E
r : ℝ
⊢ (p ⊔ q).ball e r = p.ball e r ∩ q.ball e r
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p
hp₀' : 0 ≤ 1 / p.toReal
hp₀'' : 0 < p.toReal
η : ℝ≥0
hη_pos : 0 < η
hη_le : ↑‖c‖₊ * ↑η ^ (1 / p.toReal) ≤ ε
⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g f.hom)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom h f.inv) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g (CategoryTheory.CategoryStruct.id V))
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom h (CategoryTheory.CategoryStruct.id V))
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ b ::ₘ Ico a b = Icc a b
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
Zero M
⊢ ↑0 = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
AddCommGroup V'
Module R V'
AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P ≃ᵃ[R] P'
⊢ (AffineSubspace.map (↑f) s).WOppSide (f x) (f y) ↔ s.WOppSide x y
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
ContractibleSpace X
ContractibleSpace Y
⊢ Nonempty (X ≃ₕ Y)
x n m : ℕ
x✝ : x ∣ n * m
y : ℕ
hy : n * m = x * y
⊢ x ∣ x.gcd n * m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
F : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing F
f g : α → F
hint : Integrable g μ
hm : AEStronglyMeasurable f μ
hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
hα : Nonempty α
⊢ Integrable (fun x => f x * g x) μ
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
inst✝ : Finite η
val✝ : Fintype η
⊢ Module.rank R ((i : η) → φ i) = sum fun i => Module.rank R (φ i)
α : Sort u
β : Sort v
f : α → β
⊢ Function.Surjective f ↔ Function.HasRightInverse f
α β : Type u
n : ℕ
a : Cardinal.{u}
⊢ ↑n ≤ lift.{v, u} a ↔ ↑n ≤ a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, φ x ≤ g' x
⊢ -∫ (y : ℝ) in a..b, φ y = ∫ (y : ℝ) in a..b, (-φ) y
R : Type u
⊢ Function.Injective (@NonUnitalRing.toNonUnitalNonAssocRing R)
k : ℤ
N : ℕ
hk : 3 ≤ k
a : Fin 2 → ZMod N
τ : ℍ
⊢ DifferentiableAt ℂ (⇑(eisensteinSeries_SIF a k) ∘ ↑ofComplex) ↑τ
R : Type u
CommSemiring R
S : Subsemiring R
x : ↥S
⊢ (algebraMap (↥S) R) x = ↑x
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
l : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f (pure a) l ↔ ∀ s ∈ l, f a ∈ s
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g
⊢ Nonempty sq.LiftStruct → sq.HasLift
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
ι : Type u_3
f : ι → R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (∀ (i : ι), ContinuousOn (f i) (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (∀ (i : ι), f i 0 = 0) _auto✝
i : ι
⊢ cfcₙ (f i) a = (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict (f i), continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
⊢ CauSeq.Completion.mk f = 0 ↔ f ≈ 0
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
K : Type u_5
CommRing K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0
⊢ x * IsFractionRing.inv A x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f g : ι → ℝ≥0∞
h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k
⊢ iSup f + iSup g = ⨆ a, f a + g a
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : Tendsto ((fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) ∘ ofReal') (𝓝[<] 1) (𝓝 ↑l)
⊢ Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
⊢ Nonempty (K ≃+* L)
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n k : ℕ
hk : k ∈ ↑(range (n + 1))
⊢ k ∈ (fun n => X ^ n) ⁻¹' ↑(degreeLE R ↑n)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
b : β
c : γ
f : δ ≃. β
x✝ : δ
a✝ : γ
h : ∀ (a : δ), ¬f a = some b
⊢ (a✝ ∈ (f x✝).bind fun x => if x = b then some c else none) ↔ a✝ ∈ none
α : Type u
β : Type v
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
f : α → β
h : Monotone f
x y : α
⊢ f x ⊔ f y ≤ f (x ⊔ y)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
P : Algebra.Presentation R S
i : P.rels
⊢ P.baseChange.relation i = (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i)
⊢ Equivalence GromovHausdorff.IsometryRel
α : Type u_1
DecidableEq (Option α)
s : Finset (Option α)
⊢ Finset.image some (Finset.eraseNone s) = s.erase none
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
R : Type u
TopologicalSpace R
ChartedSpace H R
CommRing R
SmoothRing I R
x : ↑(TopCat.of M)
U : (TopologicalSpace.OpenNhds x)ᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Limits.colimit.ι
      ((TopologicalSpace.OpenNhds.inclusion x).op.comp (smoothSheafCommRing IM I M R).presheaf) U)
    (smoothSheafCommRing.evalHom IM I M R x) =
  smoothSheafCommRing.evalAt IM I M R x (Opposite.unop U)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.97033, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
i j : ℤ
hij : i + 1 = j
⊢ homotopyCofiber.d φ i j ≫ (Cochain.ofHoms (homotopyCofiber.sndX φ)).v j j ⋯ = homotopyCofiber.fstX φ i j hij ≫ φ.f j + (Cochain.ofHoms (homotopyCofiber.sndX φ)).v i i ⋯ ≫ G.d i j
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 : (extendIdealTo i f h y) r = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)
⊢ ↑(fst i x) = a + (r • y - snd i x • y)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h : m < n
h_not : ¬∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
⊢ (if ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m) = m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a✝ b✝ c d : α
P : {a b : α} → ReflTransGen r a b → Prop
a b : α
h : ReflTransGen r a b
ih₁ : ∀ (a : α), P ⋯
ih₂ : ∀ {a b : α} (h : r a b), P ⋯
ih₃ : ∀ {a b c : α} (h₁ : ReflTransGen r a b) (h₂ : ReflTransGen r b c), P h₁ → P h₂ → P ⋯
⊢ P h
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
heq : f =ᶠ[l] g
hfga : f a = g a
⊢ IsExtrFilter f l a ↔ IsExtrFilter g l a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → G
⊢ ENNReal.ofReal ‖∫ (a : α), f a ∂μ‖ ≤ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ
x y z : Bool
⊢ x < y → y ≤ z → x < z
R : Type u
CommRing R
g : R[X]
⊢ Function.Surjective ⇑(AdjoinRoot.mk g)
a b c : Prop
⊢ (a ∨ b) ∨ c ↔ (a ∨ c) ∨ b
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
x : R
⊢ x ∈ s → -x ∈ s
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
h' : 1 ≤ -x
⊢ x + 1 < rexp x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
m✝ : ↥↑(maxTrivSubmodule R L M)
⊢ ↑((maxTrivEquiv LieModuleEquiv.refl) m✝) = ↑(LieModuleEquiv.refl m✝)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e✝ : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
e : σ ≃ Fin n
φ : MvPolynomial (Option σ) R
⊢ ∀ (i : Option σ), ((finSuccEquiv R n).toRingEquiv.toRingHom.comp (rename ⇑(e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv n).symm)).toRingHom) (X i) = ((mapRingHom (rename ⇑e).toRingHom).comp ↑(optionEquivLeft R σ)) (X i)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
ε : ℝ
Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ((↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card) + 1) /
      ↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card)) ^
    2 ≤
  1 + ε ^ 5 / 49
R : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
AddCommGroup P
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf1 : (LinearMap.ker f).FG
hf2 : (LinearMap.ker g).FG
hsur : Function.Surjective ⇑f
⊢ (LinearMap.ker (g ∘ₗ f)).FG
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
⊢ (aeval ⟨x, ⋯⟩) (minpoly R x) = 0
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ¬OfNat.ofNat n ≤ 1
self : CpltSepUniformSpace
⊢ CompleteSpace self.α
G : Type u_3
AddGroup G
a : G
⊢ Function.Surjective fun x => x + a
R : Type uR
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₂
Module R M₃
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
σ₁ : ι₁ ≃ ι₂
σ₂ : ι₂ ≃ ι₃
m : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
⊢ MultilinearMap.domDomCongr (σ₁.trans σ₂) m = MultilinearMap.domDomCongr σ₂ (MultilinearMap.domDomCongr σ₁ m)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
f : ι → α
⊢ Directed r f ↔ DirectedOn r (Set.range f)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : α → β
⊢ (∀ (i' : ℝ≥0∞), 0 < i' → ∃ i, 0 < i ∧ ∀ (a b : α), (a, b) ∈ Prod.map f f ⁻¹' {p | edist p.1 p.2 < i} → (a, b) ∈ {p | edist p.1 p.2 < i'}) ↔ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, edist (f a) (f b) < ε → edist a b < δ
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hM : Disjoint ↑M ↑I
a : R
ha : a ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I)
⊢ a ∈ I
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : ι
hi : i ∉ range ⇑snf.f
m : M
hm : m ∈ N
⊢ (snf.bM.repr ↑⟨m, hm⟩) i = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedCommRing 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
⊢ Antitone B.polar
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
Fintype ι
h : J ∈ π
⊢ J.distortion ≤ π.distortion
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (Polynomial.erase n p).degree ≤ p.degree
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ IsLeast {C | ∀ (x : E), ‖f x‖₊ ≤ C * ‖x‖₊} ‖f‖₊
α : Type u_1
DecidableEq α
Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.mulETransformRight e x).2 = x.2 ∩ e⁻¹ • x.2
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
AddCommGroup M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
x y : M₁ i
⊢ f (Function.update m i (x - y)) = f (Function.update m i x) - f (Function.update m i y)
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a : ℝ
c : E
l l' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v : ι → ℝ
CompleteSpace E
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
intervalIntegral.FTCFilter a l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Filter.Tendsto f (l' ⊓ MeasureTheory.ae μ) (𝓝 c)
hu : Filter.Tendsto u lt l
hv : Filter.Tendsto v lt l
huv : u ≤ᶠ[lt] v
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - (μ (Set.Ioc (u t) (v t))).toReal • c) =o[lt] fun t =>
  (μ (Set.Ioc (u t) (v t))).toReal
F : Type u
Field F
x : F
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.X - Polynomial.C x) ^ n).natSepDegree = if n = 0 then 0 else 1
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
s : Finset β
f : β → α
a : α
b : β
hb : b ∈ s
h : a ≤ f b
⊢ a ≤ s.sup' ⋯ f
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z
hxy : x ≤ y
⊢ (x * y) ^ z = if (x = 0 ∧ y = ⊤ ∨ x = ⊤ ∧ y = 0) ∧ z < 0 then ⊤ else x ^ z * y ^ z
α : Type u_3
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_5
(a : α) → (b : β a) → Mul (γ a b)
x y : (i : (a : α) × β a) → γ i.fst i.snd
⊢ Sigma.curry (x * y) = Sigma.curry x * Sigma.curry y
s : String
n : Nat
⊢ (s.drop n).data = List.drop n s.data
α : Type u_2
G₀ : Type u_4
TopologicalSpace α
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ IsClosedMap fun x => c • x
α : Type u
f : α → α
a : α
⊢ (Stream'.iterate f a).get 0 = a
cs cs' : List Char
⊢ { data := cs ++ cs' }.atEnd { byteIdx := String.utf8Len cs } = true ↔ cs' = []
M : Type u_1
Monoid M
n : (↥(Submonoid.center M))ˣ
⊢ ↑↑((unitsCenterToCenterUnits M) n) = ↑↑n
K : Type u
Field K
n : ℕ
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : K
e : α ^ n = a
⊢ Polynomial.Splits (RingHom.id K) (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
i : ι
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inr.f i ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd.f i = 𝟙 (L.X i)
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
K L : AddSubgroup N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ AddSubgroup.comap f K ≤ AddSubgroup.comap f L ↔ K ≤ L
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : ChainComplex C ℕ
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
i' : Δ'' ⟶ Δ'
i : Δ' ⟶ Δ
CategoryTheory.Mono i'
CategoryTheory.Mono i
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K i ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K i' =
  AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K (i' ≫ i)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
u : ℚ_[p]
h : ‖u‖ = 1
⊢ ↑↑(PadicInt.mkUnits h) = u
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : α → M
h : Function.Surjective v
⊢ Function.Surjective ⇑(Finsupp.total α M R v)