ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m✝ : Language α
a b x : List α
l m : Language α
⊢ image2 (fun a b => b.reverse ++ a.reverse) l m = image2 (fun a b => a.reverse ++ b.reverse) m l
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f : m → n
hf : Surjective f
⊢ Injective ⇑(funLeft R M f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T1Space Y
f : X → Y
x : X
y : Y
h : Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 y)
⊢ ContinuousAt f x
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
F : (c : C) × (d : C) × (c ⟶ d)
⊢ F ∈ S ↔ F.snd.snd ∈ S.arrows F.fst F.snd.fst
ι : Type u_1
I J₁ J₂ : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
h₁ : J₁ ∈ π
h₂ : J₂ ∈ π
h : J₁ ≠ J₂
⊢ Disjoint ↑J₁ ↑J₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
r'_pos : 0 < r'
hr : r' ≤ r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r'
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
q : ℝ≥0∞
q_top : ¬q = ⊤
q_zero : ¬q = 0
⊢ eLpNorm f (p / q * ENNReal.ofReal q.toReal) μ ≠ ⊤
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hF_meas : AEMeasurable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
g : ℕ → α → ℝ≥0∞
gmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)
gf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n
hg : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ
g' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun t => Nat.rec (motive := fun x => α → ℝ≥0∞) (g 0) (fun n I x => max (g (n + 1) x) (I x)) t
M : ∀ (n : ℕ), Measurable (g' n)
I : ∀ (n : ℕ) (x : α), g n x ≤ g' n x
I' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), g' n x ≤ f n x
Int_eq : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (x : α), g' n x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => g' i a) atTop (𝓝 (F a))
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
self : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
x : ↑↑self.toPresheafedSpace
⊢ LocalRing ↑(self.presheaf.stalk x)
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s - 1 / (s - 1) = 1 - s * term_tsum s
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : BorelSpace R
s : Set R
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (Int.fract '' s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
g : α → β
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hg : EqOn f g s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
x : α
hx : x ∈ s
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝[s] x
h : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (g y, F n y) ∈ u
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : ¬sin (↑π * z) = 0
⊢ Gamma z * Gamma (1 - z) = ↑π / sin (↑π * z)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
(i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
⊢ Relation.Fibration (InvImage (Prod.GameAdd (DFinsupp.Lex r s) (DFinsupp.Lex r s)) Prod.snd) (DFinsupp.Lex r s) fun x =>
  x.2.1.piecewise x.2.2 x.1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ioi x)
⊢ ∀ t ∈ ?convert_2, MeasurableSet (f ⁻¹' t)
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
i : Arrow T
X Y : T
p : X ≅ Y
sq : i ⟶ mk p.hom
⊢ i.hom ≫ sq.right ≫ p.inv = sq.left
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
s : Set E
h : DifferentiableOn 𝕜' f s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
V : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module ℝ V
K : ConvexBody V
h_symm : ∀ x ∈ K, -x ∈ K
⊢ 0 ∈ K
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ c,
        (∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧
          Filter.Tendsto c Filter.atTop Filter.atTop ∧ Filter.Tendsto (fun n => u (c n) / ↑(c n)) Filter.atTop (𝓝 l)
⊢ Filter.Tendsto (fun n => u n / ↑n) Filter.atTop (𝓝 l)
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ Gamma s * Gamma (s + 1 / 2) = Gamma (2 * s) * 2 ^ (1 - 2 * s) * √π
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
s : Finset (ι × ℝ)
⊢ π ⊓ BoxIntegral.Prepartition.splitMany I s = π.biUnion fun J => BoxIntegral.Prepartition.splitMany J s
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
u v : R
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
⊢ W'.add (u • P) (v • Q) ≈ W'.add P Q
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
x✝ : f.SameCycle x y
i : ℤ
hi : (f ^ i) x = y
⊢ (f ^ (-i)) y = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
s✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScottHausdorff α
s : Set α
h : IsOpen s
d : Set α
hd₁ : d.Nonempty
hd₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
a : α
hda : IsLUB d a
hd₃ : a ∈ s
b : α
hbd : b ∈ d
hb : Ici b ∩ d ⊆ s
⊢ (d ∩ s).Nonempty
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
c : E
⊢ Convex 𝕜 {c}
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
Field k
IsAlgClosed k
a₁ a₂ : WittVector p k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
⊢ WittVector.RecursionBase.solution p a₁ a₂ ≠ 0
α : Sort u_1
s₁ : Setoid α
q : Quotient s₁
⊢ Quotient.mk'' q.out' = q
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : CharZero 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ 𝕜
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ 𝕜
inst✝ : TopologicalDivisionRing 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ?convert_2 n = ↑n / (↑n + x)
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ F.map (⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagramCompIso F P (unop x✝)).hom.app (op ⊤) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop x✝)) (op ⊤) = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop x✝)) (op ⊤)
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
⊢ LinearIndependent ℤ
    (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.eval
      (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o)) ↔
  LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(Profinite.NobelingProof.GoodProducts.smaller C o)) => ↑p
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ x = φ.symm (φ x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
h₁ : α ≃ᵢ β
h₂ : β ≃ᵢ γ
x : α
⊢ (h₁.trans h₂) x = h₂ (h₁ x)
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
H : ∀ (c : α), c ≤ a ↔ c ≤ b
⊢ a = b
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) ≠ 0
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
x : ↑X
⊢ (TopologicalSpace.OpenNhds.inclusionMapIso f x).hom =
  𝟙 (TopologicalSpace.OpenNhds.inclusion (f x) ⋙ TopologicalSpace.Opens.map f)
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
a : α
m : M
⊢ m • a ∈ MulAction.orbit M a
α : Type u
P : List α → Prop
⊢ (∃ l, P l) ↔ ∃ n f, P (List.ofFn f)
β : Type u_1
α : Type u_2
f : β → α → β
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
comm : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → ∀ (y : α), y ∈ l₁ → ∀ (z : β), f (f z x) y = f (f z y) x
init : β
⊢ List.foldl f init l₁ = List.foldl f init l₂
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
CharZero k
s : Finset ι
p : ι → P
h : s.card ≠ 0
⊢ Finset.centroid k s p ∈ affineSpan k (Set.range p)
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
v : V
w : ↑(G.neighborSet v)
⊢ ↑((G.incidenceSetEquivNeighborSet v).symm w) = s(v, ↑w)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ ⊥.relindex H = Nat.card ↥H
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ T2Space X ↔ ∀ {x y : X}, (𝓝 x ⊓ 𝓝 y).NeBot → x = y
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
x✝ : C
⊢ (eqToHom ⋯).app x✝ ≫ (shiftFunctorAdd C a 0).hom.app x✝ = 𝟙 (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a }).obj x✝) ≫ (shiftMonoidalFunctor C A).ε.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a }).obj x✝)
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace Ω
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : L.IsCountablyGenerated
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : ℝ≥0
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0
fs_bdd : ∀ᶠ (i : ι) in L, ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (fs i) ω ≤ c
fs_lim : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun i => (fs i) ω) L (𝓝 (E.indicator (fun x => 1) ω))
aux : ∀ (ω : Ω), E.indicator (fun x => 1) ω = ↑(E.indicator (fun x => 1) ω)
⊢ μ E = ∫⁻ (x : Ω) in E, 1 ∂μ
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
n : ℕ
a b : Fin (n + 1) → ℝ
hle : a ≤ b
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ (Set.univ.pi fun i => Set.Ioo (a i) (b i)) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi :
  MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (Pi.single i 1) i) (Set.Icc a b) MeasureTheory.volume
⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Set.Icc a b, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (Pi.single i 1) i =
  ∑ i : Fin (n + 1),
    ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Set.Icc (a ∘ i.succAbove) (b ∘ i.succAbove), f (i.insertNth (b i) x) i) -
      ∫ (x : Fin n → ℝ) in Set.Icc (a ∘ i.succAbove) (b ∘ i.succAbove), f (i.insertNth (a i) x) i)
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Semiring R✝
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R✝ M
r✝ s : R✝
x y : M
R : Type u_9
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Module R M
r : R
m : M
⊢ r • m + (1 - r) • m = m
ι : Type u_1
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
s : Finset ι
a : ι → ZMod p
hs : s.card = 2 * p - 1
⊢ ∃ t ⊆ s, t.card = p ∧ ∑ i ∈ t, a i = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ (2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ - (2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖)) / 2 = ‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖
α : Type u_1
Preorder α
Nonempty α
⊢ Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) Filter.atBot
b : ℕ
h : b ≠ 0
L : List ℕ
⊢ Nat.ofDigits b L = 0 → ∀ l ∈ L, l = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : PredOrder α
a : α
ha : a ≠ ⊥
⊢ pred a ≤ ⨆ b, ⨆ (_ : b < a), b
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
g : ArithmeticFunction R
hg : g.IsMultiplicative
h : ∀ (p i : ℕ), Nat.Prime p → f (p ^ i) = g (p ^ i)
n : ℕ
hn : ¬n = 0
⊢ f n = g n
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G : Type u_4
AddGroup G
MeasurableSpace G
MeasurableNeg G
f : α → G
⊢ AEMeasurable (fun x => -f x) μ ↔ AEMeasurable f μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
D : CategoryTheory.Limits.Cocone F
i j : J
x : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj i)
y : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj j)
h : ∃ k f g, (F.map f) x = (F.map g) y
⊢ (D.ι.app i) x = (D.ι.app j) y
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ y₁ - (-y₁ - W.a₁ * x₁ - W.a₃) = 2 * y₁ + W.a₁ * x₁ + W.a₃
α : Type u_2
β : Type u_3
Monoid α
AddGroup β
DistribMulAction α β
s : Set α
t : Set β
⊢ s • -t = -(s • t)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
hr : Transitive r
⊢ Relation.ReflTransGen r = Relation.ReflGen r
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
this✝² : ↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B) = Algebra.linearMap B L
H : (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B)).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).symm.toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).symm.toRingEquiv).comp (algebraMap K L)
this✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : Algebra.IsIntegral A B
⊢ Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L)).toLinearMap (Submodule.traceDual A (FractionRing A) 1) = Submodule.traceDual A K 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h : ∀ ε > 0, b - ε ≤ a
⊢ b ≤ a
θ : ℂ
⊢ cos θ ≠ 0 ↔ ∀ (k : ℤ), θ ≠ (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2
α : Type u
Ring α
LinearOrder α
a b : α
PosMulStrictMono α
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a * b ≤ 0 ↔ (0 < a → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → 0 ≤ a)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : LieSubalgebra R L
⊢ ⇑L'.incl' = Subtype.val
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Add G
MeasurableAdd G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddLeftInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun x => g + x) μ μ
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
h₁ : X ≃ₕ Y
h₂ : Y ≃ₕ Z
⊢ ∀ (a : X), ↑(h₁.trans h₂) a = ↑h₂ (↑h₁ a)
M : Type u_1
MulOneClass M
S T : Submonoid M
x y : M
hx : x ∈ S
hy : y ∈ T
⊢ x * y ∈ S ⊔ T
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
h : ¬x < y
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
p : ¬y < x → x = y := ⋯
⊢ ltByCases x y h₁ h₂ h₃ = if h' : y < x then h₃ h' else h₂ ⋯
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
I : Ideal B
C : Type u
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : FormallySmooth R A
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] C
hg : Function.Surjective ⇑g
hg' : IsNilpotent (RingHom.ker ↑g)
x : A
⊢ (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg) ((Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (g ((liftOfSurjective f g hg hg') x))) = (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg) ((Ideal.Quotient.mk (RingHom.ker ↑g)) ((lift (RingHom.ker ↑g) hg' ((↑(Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm).comp f)) x))
α : Type u_1
AddGroup α
n : ℕ
hn : (Nat.card α).Coprime n
a : α
⊢ n • (↑n)⁻¹.val • a = a
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m : M
⊢ IsLocalizedModule.mk' f m 1 = f m
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (x * ↑n) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
K : Set G
K_comp : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ K
L : Set G := μ.everywherePosSubset K
L_comp : IsCompact L
⊢ ∃ K_1 ⊆ K, (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) K_1 ∧ r < μ K_1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
hmeas✝ : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
htendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun M => {x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x) atTop (𝓝 0)
hmeas : ∀ (M : ℕ), AEStronglyMeasurable ({x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ
hbound : HasFiniteIntegral (fun x => ‖f x‖) μ
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖{x | ↑n ≤ ‖f x‖₊}.indicator f a - 0‖ ∂μ ≤ ε
M : ℕ
hM : ∀ n ≥ M, ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖{x | ↑n ≤ ‖f x‖₊}.indicator f a‖ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ M, ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : F_nat 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : F_nat 1 (1 - a) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
this : F_int 1 ↑a =ᶠ[atTop] fun t => F_nat 1 a t + F_nat 1 (1 - a) t
⊢ F_int 1 ↑a =O[atTop] fun t => rexp (-min p q * t)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (CategoryTheory.SimplicialObject C)} (f : X ⟶ Y) (i : ℕ),
  (AlgebraicTopology.DoldKan.N₂.map f).f.f i =
    AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f i ≫ f.f.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk i))
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : dist t 0 < 2⁻¹
⊢ ‖inverse (1 - t)‖ ≤ (‖1‖ + 1) * ‖1‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f f' : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
g : f.left ≅ f'.left
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map g.hom) f'.hom = f.hom := by aesop_cat
⊢ ⋯ = ⋯
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : ↥p × ↥q
⊢ (p.prodEquivOfIsCompl q h) x = ↑x.1 + ↑x.2
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
⊢ Algebra.Transcendental R A ↔ ∃ x, Transcendental R x
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
p : P
⊢ ⇑(Equiv.constVSub p).symm = fun v => -v +ᵥ p
α : Type u_2
LT α
⊢ ∅.IsWF
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
TopologicalSpace 𝕜
SMul 𝕜 β
ContinuousSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
c : β
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => f x • c
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
x✝ : S
⊢ (↑↑__src✝).toFun ((algebraMap S A) x✝) = (algebraMap S (RingQuot s)) x✝
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
p : Submodule R M
x : ↥p
⊢ ↑((e.submoduleMap p) x) = e ↑x
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
a b c : ℤ
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0
⊢ IsCoprime a b
V : Type u
Quiver V
a b c : V
p₁ p₂ : Quiver.Path a b
q : Quiver.Path b c
⊢ p₁.comp q = p₂.comp q ↔ p₁ = p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α
⊢ x ∈ Iio b ∪ Ico c d ↔ x ∈ Iio (max b d)
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
CommSemiring A
CommSemiring B
Semiring C
Algebra A B
Algebra B C
Algebra A C
IsScalarTower A B C
hAC : ⊤.FG
hBC : ⊤.FG
⊢ ∃ B₀, B₀.FG ∧ ⊤.FG
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
r : ℝ≥0∞
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x = r} → f x = r
⊢ ∫⁻ (x : α) in {x | f x = r}, f x ∂μ = r * μ {x | f x = r}
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x y : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x y) = (ghostComponent n) (g x y)
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
⊢ (bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ k) = (bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ k)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
inst✝¹ : HasCokernels C
inst✝ : NormalEpiCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsLimit (KernelFork.ofι 0 ⋯)
Z✝ : C
u v : Z✝ ⟶ X
huv : u ≫ f = v ≫ f
W : C
w : W ⟶ X
hw : w ≫ coequalizer.π u v = 0
hl : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (coequalizer.π u v) hw)
m : coequalizer u v ⟶ Y
hm : coequalizer.π u v ≫ m = f
reassoced : ∀ {W_1 : C} (h : coequalizer u v ⟶ W_1), w ≫ coequalizer.π u v ≫ h = 0 ≫ h
⊢ u = v
M : Type u_1
Semigroup M
⊢ Subsemigroup.centralizer Set.univ = Subsemigroup.center M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.ShortExact
⊢ hS.singleTriangle ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
e : ι₂ ↪ ι
w : ι → k
p : ι → P
⊢ ((Finset.map e s₂).weightedVSub p) w = (s₂.weightedVSub (p ∘ ⇑e)) (w ∘ ⇑e)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
⊢ W'.dblU P = -3 * P x ^ 2
c d a b : Nat
cop : c.Coprime d
h : a * b = c * d
⊢ c ∣ a.gcd c * b.gcd c
L R : Type w
fst snd : R → L
X Y Z : CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.Hom.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Embedding M N
⊢ f.toHom.range.subtype.comp f.equivRange.toEmbedding = f
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
x✝ : Cᵒᵖ
a : ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)).L
⊢ F.map (⊤.toMultiequalizer P ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index P) a) = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)) a
x : ℤ
⊢ Odd x → x ^ 2 % 4 = 1
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
s : Set X
hs : IsOpen s
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsOpen t → t = s
⊢ s.Subsingleton