ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
N : Type u_4
α : Type u_5
AddMonoid M
AddAction M N
VAdd N α
AddAction M α
s : Set M
htop : AddSubmonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), x +ᵥ y +ᵥ z = x +ᵥ (y +ᵥ z)
⊢ VAddAssocClass M N α
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
W : C
inl : Y ⟶ W
inr : Z ⟶ W
eq : f ≫ inl = g ≫ inr
⊢ (CategoryTheory.Limits.PushoutCocone.mk inl inr eq).ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left = inl
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3
⊢ W'.dblU P ^ 2 - W'.a₁ * W'.dblU P * P z * (W'.negY P - W'.negY P) - W'.a₂ * P z ^ 2 * (W'.negY P - W'.negY P) ^ 2 - 2 * P x * (W'.negY P - W'.negY P) ^ 2 = W'.dblU P ^ 2
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
w : InfinitePlace K
⊢ ¬w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
⊢ False
α : Type u_1
I : Type ?u.59101
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
m n : ℕ
H : IsRelPrime x y
⊢ IsRelPrime x (y ^ n)
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type w
inst✝ : Projective R M
p : (ι →₀ R) →ₗ[R] M
hp : Surjective ⇑p
h : ∃ h, p ∘ₗ h = LinearMap.id
⊢ Flat R M
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
T2Space M
SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
⊢ w.IsReal ∨ w.IsComplex
S : LightProfinite
n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ Function.Surjective (⇑(S.transitionMapLE h) ∘ ⇑(S.proj m))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
⊢ iteratedDerivWithin n (derivWithin (fun z => c + f z) s) s x = iteratedDerivWithin n (derivWithin f s) s x
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
⊢ S.a + ↑⋯.unit ^ 2 * S.b = (hζ.toInteger - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a : α
s : Finset ι
hs : ∀ i ∉ s, 0 ≤ f i
hf : HasSum f a
⊢ ∑ i ∈ s, f i ≤ a
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
⊢ g.toLinearPMap.graph = g
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
a b : AsBoolRing α
⊢ ofBoolRing (a * b) = ofBoolRing a ⊓ ofBoolRing b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
⊢ (pure g).seq f = map g f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (T'' (↑f ⁻¹' {x})) x = ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x + ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
b : ι → S
ι' : Type w₁
c : ι' → A
hb : LinearIndependent R b
hc : LinearIndependent S c
⊢ LinearIndependent R fun p => b p.1 • c p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
x : β
hx : x ∈ U i
⊢ (∃ y ∈ s, f y = x) ↔ ∃ y ∈ s, f y ∈ U i ∧ f y = x
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
h : ¬p = 1
⊢ q * p ≠ 0
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
hI : I.IsMaximal
x : α
hx : x ∉ I
⊢ ∃ y, ∃ i ∈ I, y * x + i = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx
hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ
hsxy : ∀ (n : ℕ), (⇑sxy)^[n] y = y + (2 * ↑n) • (x - y)
⊢ x = y
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : J.sheafify P ⟶ Q
h : J.toSheafify P ≫ γ = η
⊢ J.toPlus (J.plusObj P) ≫ γ = J.plusLift η hQ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑Complex.measurableEquivRealProd) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
⊢ (List.foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } (toList xs)).down = (toList xs).length
b : Bool
n : ℕ
⊢ bit b -[n+1] = -[Nat.bit (!b) n+1]
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
N : LieSubmodule R L M
⊢ ↑⁅⊤, N⁆ = Submodule.map ((toEnd R L M) x) ↑N ⊔ ↑⁅I, N⁆
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
K : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : LipschitzOnWith K f s
⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s
α : Type u
a b : TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.generateFrom ({s | IsOpen s} ∪ {s | IsOpen s}) = a ⊓ b
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime (x + y * z + y * -z) y
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
r : ℝ
⊢ Submartingale (fun i => stoppedValue f (leastGE f r i)) ℱ μ
n : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
σ : Equiv.Perm n
AddCommMonoidWithOne R
⊢ (Equiv.Perm.permMatrix R σ).trace = ↑(Function.fixedPoints ⇑σ).ncard
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
i : Function.Injective ⇑f
⊢ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) ≤ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R M')
G : Type u
Group G
⊢ ⁅Subgroup.centralizer ↑(commutator G), Subgroup.centralizer ↑(commutator G)⁆ ≤ Subgroup.center G
p : ℝ × ℝ
⊢ ↑Complex.polarCoord.symm p = ↑p.1 * (↑(Real.cos p.2) + ↑(Real.sin p.2) * I)
𝕜 : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
E : Type u_2
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
⊢ Function.Injective ProperCone.toPointedCone
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
hF : CategoryTheory.Limits.IsImage F
F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
⊢ F.e ≫ hF.lift F' = F'.e
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ IsZero T.obj₃ ↔ IsIso T.mor₁
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a : α
⊢ SurjOn f (Ioi a ∪ {a}) (Ioi (f a) ∪ {f a})
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a✝ a b : α
i j : ℕ
c : α
l : List α
h₀ : i + 1 ≤ j + 1
h₁ : j + 1 ≤ (c :: l).length
⊢ insertNth (j + 1 + 1) b (insertNth (i + 1) a (c :: l)) = insertNth (i + 1) a (insertNth (j + 1) b (c :: l))
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace β
s u : Set α
t v : Set β
a : α
b : β
hu : u ∈ 𝓝[s] a
hv : v ∈ 𝓝[t] b
⊢ u ×ˢ v ∈ 𝓝[s ×ˢ t] (a, b)
β : Type u_2
AddCommMonoid β
f : Fin 2 → β
⊢ ∑ i : Fin 2, f i = f 0 + f 1
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
CommRing S
L : Type u_3
Field L
Algebra R S
Algebra S L
Algebra R L
IsScalarTower R S L
IsIntegralClosure S R L
Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a : S
b : S
hb : b ≠ 0
⊢ ∃ c d, d ≠ 0 ∧ d • a = b * c
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : Integrable f μ
I : Integrable (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ y - AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : f x = AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x
⊢ ∀ (x_1 : Set α), (∫⁻ (y : α) in x_1, ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ y - AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊ ∂μ) / μ x_1 = (∫⁻ (y : α) in x_1, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ x_1
α : Type u
UniformSpace α
⊢ UniformInducing CauchyFilter.pureCauchy
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
r C : ℝ≥0∞
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ edist (f n) a ≤ C * r ^ n / (1 - r)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
⊢ 0 ≤ ∫ (x : Ω) in Set.univ, stoppedValue f (leastGE f r i) x ∂μ
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
hst : G.IsUniform ε s t
hε : ε ≤ 1
h : ↑s.card * ε < ↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card
this : |↑(G.edgeDensity (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t) - ↑(G.edgeDensity s t)| < ε
⊢ False
n : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n 0 → ¬Nat.Prime n
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
S : Set β
hβ : (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂
⊢ (∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ (a b : β), (a, b) ∈ s₁ ia → ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) a, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) b) ∈ (UniformFun.gen ι α ∘ s₂) ib) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
h : a ≠ b
⊢ G.incidenceSet a ∩ G.incidenceSet b ⊆ {s(a, b)}
α : Type u
ι : Sort w
CompleteBooleanAlgebra α
f g : ι → α
⊢ symmDiff (⨆ i, f i) (⨆ i, g i) ≤ ⨆ i, symmDiff (f i) (g i)
α : Type u_1
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
j : α
(i : α) → Decidable (i ∈ insert j s)
⊢ (insert j s).piecewise f g j = f j
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
⊢ ⇑f.toMeasureEquiv = ⇑f
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
f : Dual R M
h : p.toDualRight (p.toDualRight.symm f) = f
⊢ (p x) (p.toDualRight.symm f) = f x
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
A : ι → Submodule R M
i : ι
x : ↥(A i)
⊢ (DirectSum.coeLinearMap A) ((DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) x) = ↑x
α : Type u_2
β : Type u_3
Bornology α
Bornology β
f : LocallyBoundedMap α β
⊢ (LocallyBoundedMap.id β).comp f = f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : OrderTopology α
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : OrderTopology β
inst✝⁵ : Nonempty γ
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
h : f b ≤ f a
⊢ False
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X : C
inst✝ : IsConnected X
⊢ Nonempty (Unique (MulAction.orbitRel.Quotient (Aut X) ↑(F.obj X))) ↔ MulAction.IsPretransitive (Aut X) ↑(F.obj X)
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a + c = b + d - 1
h' : b ≤ a
⊢ b ≤ a
x : ℝ
⊢ (↑x).tan = Real.tan x
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial τ R
g : MvPolynomial τ R →ₐ[R] MvPolynomial υ R
⊢ comap (g.comp f) = comap f ∘ comap g
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a₁ a₂ : α
⊢ Finset.Icc (Sum.inl a₁) (Sum.inl a₂) = Finset.map Function.Embedding.inl (Finset.Icc a₁ a₂)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y X' : C
h : X' ⟶ X
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
CategoryTheory.Limits.HasImage (h ≫ f)
⊢ CategoryTheory.Limits.imageSubobject (h ≫ f) ≤ CategoryTheory.Limits.imageSubobject f
α : Type u
s t : Set α
ht : t.Subsingleton
hst : s ⊆ t
⊢ s.Subsingleton
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ ((∃ i, x ≤ y.moveLeft i) ∨ ∃ j, x.moveRight j ≤ y) ↔ (∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' ⧏ y.moveLeft i) ∧ ∀ (j : (y.moveLeft i).RightMoves), x ⧏ (y.moveLeft i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ y) ∧ ∀ (j' : y.RightMoves), x.moveRight j ⧏ y.moveRight j'
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : 1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (b : Solution₁ d), ∃ n, b = a ^ n ∨ b = -a ^ n
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
b : Solution₁ d
hb₂ : ∀ (y : Solution₁ d), (fun a₁ => 1 < a₁.x ∧ 0 < a₁.y ∧ ∀ (a : Solution₁ d), ∃ n, a = a₁ ^ n ∨ a = -a₁ ^ n) y → y = b
⊢ IsFundamental a
α : Type u_1
NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ b
⊢ a ∣ b - c ↔ a ∣ c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
f : CategoryTheory.Arrow C
⊢ W₁ (self.i.app f)
motive : Nat → Nat → Sort u_1
zero_zero : motive 0 0
zero_succ : (n : Nat) → motive 0 n → motive 0 (n + 1)
succ_zero : (m : Nat) → motive m 0 → motive (m + 1) 0
succ_succ : (m n : Nat) → motive m n → motive (m + 1) (n + 1)
m n : Nat
⊢ Nat.recDiag zero_zero zero_succ succ_zero succ_succ (m + 1) (n + 1) =
  succ_succ m n (Nat.recDiag zero_zero zero_succ succ_zero succ_succ m n)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace α
T3Space α
NonUnitalNonAssocSemiring α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
g : κ → α
s t u : α
hf : HasSum f s
hg : HasSum g t
hfg : HasSum (fun x => f x.1 * g x.2) u
⊢ s * t = u
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
this : IsIso (J.toPlus P)
⊢ IsIso (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor F).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    ((CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (𝟙_ (CategoryTheory.Functor C C)) F).obj X)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hP : ¬P = 0
hQ : ¬Q = 0
x : 𝕜
hx : 0 < x
⊢ (fun x => P.leadingCoeff * x ^ P.natDegree / (Q.leadingCoeff * x ^ Q.natDegree)) x = (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) x
α : Type u_1
s t : List α
⊢ s ∈ t.permutations ↔ s.Perm t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
F.Full
F.Faithful
⊢ CategoryTheory.IsSplitMono (F.map f) ↔ CategoryTheory.IsSplitMono f
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Submodule R M
⊢ N.annihilator • N = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ S.Exact ↔ (CategoryTheory.ShortComplex.mk S.f (CategoryTheory.Abelian.coimage.π S.g) ⋯).Exact
β : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
γ : Type u_4
Group G
AddMonoid α
SMul γ α
self : SlashAction β G α γ
k : β
g h : G
a : α
⊢ a ∣[k;γ] (g * h) = (a ∣[k;γ] g) ∣[k;γ] h
x : WithBot ℕ
h : 0 < x
⊢ 1 ≤ x
α : Type u_1
f : α → ℂ
x : ℂ
⊢ HasSum (fun x => (starRingEnd ℂ) (f x)) ((starRingEnd ℂ) x) ↔ HasSum f x
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
hf : OpenEmbedding ⇑f
⊢ Function.Injective ⋯.functor.obj
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ (𝓤 E).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {p | ‖p.1 / p.2‖ < ε}
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ b ∧ (m.1 - 1, m.2) ∈ b
⊢ (m.1 - 1, m.2) ≠ m
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
⊢ f a = f b ↔ f (a * b⁻¹) = 1
⊢ BddLat.dual ⋙ CategoryTheory.forget₂ BddLat Lat = CategoryTheory.forget₂ BddLat Lat ⋙ Lat.dual
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Module.Flat R M ↔
  ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {f : ι → R} {x : ι → M}, ∑ i : ι, f i • x i = 0 → Module.IsTrivialRelation f x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₃' : P
h : Collinear ℝ {p₃, p₂, p₃'}
hp₃p₂ : p₃ ≠ p₂
hp₃'p₂ : p₃' ≠ p₂
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁ p₂ p₃'
α : Type u
σ : Type v
α' : Type u_1
f : α' → α
M : DFA α σ
⊢ (DFA.comap f M).accept = M.accept
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
t : ι → Set X
htd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t
htc : ∀ (i : ι), IsCompact (t i)
htcl : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
i₀ : ι := hι.some
htn : ∀ (i : ι), (t i).Nonempty
i j : ι
hji₀ : t i₀ ⊇ t j
hji : t i ⊇ t j
⊢ (t i₀ ∩ t i).Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
U : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
P Q R : TopCat.Presheaf C X
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
⊢ (f ≫ g).app U = f.app U ≫ g.app U
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ c.mapCoconeToOver.inv.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id c.pt
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ I.target = Set.range ↑I
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
⊢ 0 < ⌈a⌉₊ ↔ 0 < a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
⊢ IsGalois F E
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ (MvPolynomial.eval P) W.polynomial / P z ^ 6 = Polynomial.evalEval (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3) W.toAffine.polynomial
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm K V
W : Subspace K V
x : V
hx : x ∈ (range (domRestrict B W)).dualCoannihilator
⊢ ∀ n ∈ W, B.IsOrtho n x
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)
hp' : p ≠ 0
⊢ ∃ C ≤ A + B, HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_5
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) (sum (sFiniteSeq μ))
As_disj : Pairwise (AEDisjoint (sum (sFiniteSeq μ)) on As)
obs : {i | 0 < (sum (sFiniteSeq μ)) (As i)} ⊆ ⋃ n, {i | 0 < (sFiniteSeq μ n) (As i)}
n : ℕ
⊢ {i | 0 < (sFiniteSeq μ n) (As i)}.Countable
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
ho : o.card < c.cof
⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi < c) → o.bsup f < c
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(Subgroup.leftTransversals ↑H)
H.FiniteIndex
⊢ Subgroup.leftTransversals.diff ϕ T T = 1
x : ℝ
⊢ deriv (fun x => ↑(𝐞 x)) x = 2 * ↑π * Complex.I * ↑(𝐞 x)
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
hv : ContinuousAt f v
⊢ 𝓕 (𝓕⁻ f) v = f v
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α →o β
g : α →o γ
⊢ OrderHom.fst.comp (f.prod g) = f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : BooleanAlgebra β
inst✝ : BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (a \ b) = f a \ f b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set X
⊢ SeparatedNhds s u → SeparatedNhds t u → SeparatedNhds (s ∪ t) u
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
f : A →ₗ[R] M
h₁ : f 1 = 0
h₂ : ∀ (a b : A), f (a * b) = a • f b + b • f a
⊢ ⇑{ toLinearMap := f, map_one_eq_zero' := h₁, leibniz' := h₂ } = ⇑f
α : Type u_1
γ : Type u_2
β : Type u_3
f : α → γ
g : β → γ
a : α
⊢ (Equiv.sumArrowEquivProdArrow α β γ).symm (f, g) (Sum.inl a) = f a
α : Type w
CommRing α
A : Matrix (Fin 3) (Fin 3) α
⊢ A.adjugate =
  !![A 1 1 * A 2 2 - A 1 2 * A 2 1, -(A 0 1 * A 2 2) + A 0 2 * A 2 1, A 0 1 * A 1 2 - A 0 2 * A 1 1;
    -(A 1 0 * A 2 2) + A 1 2 * A 2 0, A 0 0 * A 2 2 - A 0 2 * A 2 0, -(A 0 0 * A 1 2) + A 0 2 * A 1 0;
    A 1 0 * A 2 1 - A 1 1 * A 2 0, -(A 0 0 * A 2 1) + A 0 1 * A 2 0, A 0 0 * A 1 1 - A 0 1 * A 1 0]