ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Star (f i)
DecidableEq I
h : (i : I) → f i
i : I
a : f i
⊢ Function.update (star h) i (star a) = star (Function.update h i a)
a b : Prop
⊢ (a ∨ b) ∨ b ↔ a ∨ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ((InnerProductSpace.toDualMap 𝕜 E) x) y = ⟪x, y⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α ↪ β
v : α →₀ M
a : α
⊢ (Finsupp.embDomain f v) (f a) = v a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C
i : ι
hi : i ≠ j
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero (((HomologicalComplex.single C c j).obj A).homology i)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneUnopOfCocone c).π = CategoryTheory.NatTrans.unop c.ι
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto Int.floor (𝓝[<] ↑n) (pure (n - 1))
d : Nat
nz : d ≠ 0
⊢ normalize 0 d nz = 0
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
a✝ : Nontrivial E
s : Set ↑(sphere 0 1)
hs : s ∈ {s | MeasurableSet s}
r : ↑(Ioi 0)
this : Ioo 0 ↑r = ↑r • Ioo 0 1
hpos : 0 < dim E
⊢ (map (⇑(homeomorphUnitSphereProd E)) (comap Subtype.val μ)) (s ×ˢ Iio r) = μ.toSphere s * (volumeIoiPow (dim E - 1)) (Iio r)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Finset ℕ
⊢ ∀ (f : R[X]), f.support = s → (toLaurent f).support = Finset.map Nat.castEmbedding s
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ Subalgebra.toSubmodule S * Subalgebra.toSubmodule S = Subalgebra.toSubmodule S
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
d : ℝ
hs : s.Nontrivial
⊢ ¬s.infsep < d ↔ ¬∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ dist x y < d
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
H : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
x : ↑Γ(X, V)
⊢ X.basicOpen x ≠ ⊥ → U ⊓ X.basicOpen x ≠ ⊥
σ : Type u
K : Type v
inst✝ : Field K
I : Ideal (MvPolynomial σ K)
hI : I ≠ ⊤
x : K
hx : C x ∈ I
hx0 : ¬x = 0
⊢ 1 ∈ I
G : Type u_10
Group G
a : G
⊢ ⇑(Equiv.mulLeft a) = fun x => a * x
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f g : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
⊢ { toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯ }.toFun g
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
x : { x // x ∈ m.toEnumFinset }
⊢ (m.coeEquiv.symm x).fst = (↑x).1
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂
h : ∀ (x : G), f x = 1 ↔ x = 1
⊢ a₁ = a₂
G : Type u_1
Group G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
α : Type u_2
f : α → G
hf : BddBelow (Set.range f)
⊢ BddAbove (Set.range fun x => (f x)⁻¹)
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
h : 𝔖.Nonempty
h' : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
⊢ (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis (fun SV => SV.1 ∈ 𝔖 ∧ SV.2 ∈ 𝓤 β) fun SV => UniformOnFun.gen 𝔖 SV.1 SV.2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
ha : a ∉ s
hf : 0 ≤ f
hts : t = insert a s
ht : t ∈ 𝒜
⊢ f t ≤ (if s ∈ 𝒜 then f s else 0) + f t
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : ∀ (n : ℤ), ↑(rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) = cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑t) (I * ↑t)
⊢ HasSum (fun x => ↑(rexp (-π * (↑x + a) ^ 2 * t))) (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑t) (I * ↑t))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ (-s).restrict v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
this : ↑(-s) (u ∆ v) = 0 → ↑(-s) (u \ v) = 0 ∧ ↑(-s) (v \ u) = 0
⊢ ↑s (u \ v) = 0 ∧ ↑s (v \ u) = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
inst✝ : I.Boundaryless
this : ∅.prod univ = ∅
⊢ univ.prod (J.boundary N) ∪ ∅.prod univ = univ.prod (J.boundary N)
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i < i0
⊢ toZ i0 i ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a : α
n : ℕ
⊢ a ≤ succ^[n] a
x₁ y₁ x₂ y₂ : SetTheory.PGame
hx : x₁ ≈ x₂
hy : y₁ ≈ y₂
⊢ x₁ ≤ y₁ ↔ x₂ ≤ y₂
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
⊢ {a} ⊆ ↑s ↔ {a} ⊆ s
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hα : IsIntegral F α
hβ : IsIntegral F β
f : F[X] := minpoly F α
g : F[X] := minpoly F β
ιFE : F →+* E := algebraMap F E
ιEE' : E →+* (Polynomial.map ιFE g).SplittingField := algebraMap E (Polynomial.map ιFE g).SplittingField
c : F
hc : ∀ α' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) g).roots, -(α' - ιEE' α) / (β' - ιEE' β) ≠ (ιEE'.comp ιFE) c
⊢ ∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ga : α → α
gb : β → β
f' : β → α
h : Function.Semiconj f ga gb
hf₁ : Function.LeftInverse f' f
hf₂ : Function.RightInverse f' f
⊢ Function.Semiconj f' gb ga
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
⊢ Ideal.map f (I ⊔ J) = Ideal.map f I ⊔ Ideal.map f J
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ i < o
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
hn : 0 < n
h : finrank ℝ E = n
x : Orientation ℝ E (Fin n)
this✝ : Nonempty (Fin n)
this : FiniteDimensional ℝ E
⊢ (Orientation.finOrthonormalBasis hn h x).toBasis.orientation = x
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ = (‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖) / 2 - ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ a + b ∈ Set.Ioc c d ↔ a ∈ Set.Ioc (c - b) (d - b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T T' : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f : T ⟶ T'
X : CategoryTheory.Comma S (CategoryTheory.Functor.fromPUnit T)
⊢ ((CategoryTheory.CostructuredArrow.map f).obj X).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp X.hom f
α : Type u_1
xs : List α
⊢ ∀ {α_1 : Sort u_2} {f : Nat → α → α_1 → α_1} {i : α_1} {s : Nat},
  List.foldrIdx f i xs s = List.foldrIdx (fun i => f (i + s)) i xs
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
n✝ n' m : ℕ
s✝ : Sym α✝ n✝
a b : α✝
α : Type u_3
n : ℕ
s : Sym α n
⊢ ↑(map id s) = ↑s
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
hb : b ≤ c
⊢ c ∉ Set.Ioo a b
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M✝ : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M✝
inst✝ : Module R M✝
inst : IsNoetherianRing R
I : Ideal R[X]
M : Submodule R R := ⋯.min (Set.range I.leadingCoeffNth) ⋯
hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth
N : ℕ
HN : I.leadingCoeffNth N = M
s : Finset R[X]
hs : Submodule.span R ↑s = I.degreeLE ↑N
k : ℕ
h : N < k
x : R
hx : x ∈ I.leadingCoeffNth k
hxm : x ∉ M
this : IsNoetherian R R
⊢ I.leadingCoeffNth k ∈ Set.range I.leadingCoeffNth
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ CategoryTheory.IsPushout b.fst b.snd 0 0
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set G
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
y : G
⊢ μ ((fun x => x + y) ⁻¹' s) = 0 ↔ μ s = 0
α : Type u_1
OrderedRing α
a : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ico (a + ↑n) (a + ↑n + 1))
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝⁴ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : MonoidalCategory C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
inst✝¹ : IsIso f
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso g
⊢ inv (f ⊗ g) = inv f ⊗ inv g
X : TopCat
p₀ : ↑X
(U : TopologicalSpace.Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
CategoryTheory.Category.{u, v} C
A : C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
⊢ (skyscraperPresheaf p₀ A).IsSheaf
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C n
app : (i : Fin (n + 1)) → F.obj i ≅ G.obj i
w :
  ∀ (i : ℕ) (hi : i < n),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map' i (i + 1) ⋯ hi) (app ⟨i + 1, ⋯⟩).hom =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (app ⟨i, ⋯⟩).hom (G.map' i (i + 1) ⋯ hi)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.isoMk app w).inv = CategoryTheory.ComposableArrows.homMk (fun i => (app i).inv) ⋯
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
p₄ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hne : p₁ ≠ p₂
⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₁ p₄ p₃).sign
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ι : Type u_5
S : ι → Set α
φ : (i : ι) → C(↑(S i), β)
hφ : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), (φ i) ⟨x, hxi⟩ = (φ j) ⟨x, hxj⟩
hS : ∀ (x : α), ∃ i, S i ∈ 𝓝 x
i : ι
⊢ ContinuousMap.restrict (S i) (ContinuousMap.liftCover S φ hφ hS) = φ i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
f : Set α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → f s ≤ C
h_F_lim : ∀ (S : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)) → Monotone S → f (⋃ n, S n) ≤ ⨆ n, f (S n)
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)
hS_mono : Monotone S
hS_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)
⊢ f (⋃ i, spanningSets (μ.trim hm) i) ≤ C
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
⊢ MeasurableSet {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a : α
hs : IsUpperSet s
f : α ≃o β
⊢ IsUpperSet (⇑(↑f).symm ⁻¹' s)
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
⊢ (μ.prod ν).map ⋯ = ν
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
⊢ (π.biUnionPrepartition πi).distortion = π.boxes.sup fun J => (πi J).distortion
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis R S
y : S
a✝ : Nontrivial S
f : R[X]
left✝ : f.natDegree < pb.dim
hf : y = (aeval pb.gen) f
⊢ ∃ f, y = (aeval pb.gen) f
P : PFunctor.{u}
α β : Type v
f : α → β
x : ↑P α
⊢ f <$> x = P.map f x
ι : Sort u_1
α : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
Countable ι
s : ι → Set α
⊢ ⋂ i, s i ∈ l ↔ ∀ (i : ι), s i ∈ l
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
n : ℕ
I : BoxIntegral.Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (BoxIntegral.Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ BoxIntegral.Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi :
  MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (Pi.single i 1) i) (BoxIntegral.Box.Icc I)
    MeasureTheory.volume
⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in BoxIntegral.Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (Pi.single i 1) i =
  ∑ i : Fin (n + 1),
    ((∫ (x : Fin n → ℝ) in BoxIntegral.Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) -
      ∫ (x : Fin n → ℝ) in BoxIntegral.Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰
x✝ : x * r ∣ y * r
z : R'
h✝ : y * r = x * r * z
⊢ y = x * z
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
⊢ ∑ d ∈ (m * n).divisors, d = (∑ d ∈ m.divisors, d) * ∑ d ∈ n.divisors, d
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : 0 < ∑ i ∈ t, w i
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
⊢ f (t.centerMass w p) ≤ t.centerMass w (f ∘ p)
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a d d' e e' : S
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
e_mem : e ∈ P ^ (i + 1)
e'_mem : e' ∈ P ^ (i + 1)
h : a * d + e - (a * d' + e') ∈ P ^ (i + 1)
⊢ d - d' ∈ P
R : Type u
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
t : Multiset R[X]
Nontrivial R
⊢ t.prod.degree = (Multiset.map (fun f => f.degree) t).sum
n : ℕ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Real.exp x / x ^ n) Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u
Preorder α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ BddAbove (lowerBounds s)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
hf : Inducing f
⊢ IsSigmaCompact s ↔ IsSigmaCompact (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
φ : F
x : A
⊢ φ x ∈ NonUnitalStarAlgHom.range φ
u : PNat.XgcdType
⊢ u.finish.IsReduced
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
f : β → α
s t : Set β
z : β
ht : IsCompact t
hf : ContinuousOn f t
hz : z ∈ t
hfz : ∀ z' ∈ t \ s, f z < f z'
⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f t x
n : ℕ
⊢ (n + 1).zeckendorf = (n + 1).greatestFib :: (n + 1 - Nat.fib (n + 1).greatestFib).zeckendorf
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B X : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
f : B ⟶ A
CategoryTheory.Exponentiable B
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.exp.coev A).app X) ((CategoryTheory.pre f).app (A ⨯ X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.exp.coev B).app X)
    ((CategoryTheory.exp B).map (CategoryTheory.Limits.prod.map f (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)))
M : Type u_1
CommMonoid M
k : ℕ
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hk : 1 < k
⊢ ζ ≠ 1
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.map Prod.fst s.antidiagonal = s.powerset
m : Type u_1
R : Type u_3
Fintype m
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
A B : Matrix m m R
hA : A.PosDef
hB : B.PosSemidef
⊢ (A + B).PosDef
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ setToL1 ⋯ = c • setToL1 hT
α✝ : Type u_1
l₁✝ l₂ l₁ l₂✝ : List α✝
a✝ : α✝
h : l₁ <+ l₂✝
⊢ l₁.reverse <+ l₂✝.reverse ++ [a✝]
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
i : m
j : n
⊢ Matrix.mvPolynomialX m n R i j = MvPolynomial.X (i, j)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
s_nhd : s ∈ 𝓝 0
a : 𝕜
ha : 1 < ‖a‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
r_ball : ball 0 r ⊆ s
⊢ IsBounded (polar 𝕜 s)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
l : List (Sigma β)
⊢ l.dedupKeys.NodupKeys
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
S T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasPullback i i
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
CategoryTheory.Limits.HasPullback (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal i)
    (CategoryTheory.Limits.pullback.map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackDiagonalMapIdIso f g i).hom ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal i)
      (CategoryTheory.Limits.pullback.map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (f ≫ i) (g ≫ i)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : ℕ × ℕ
k n : ℕ
hk : k ≤ m.1
hn : n ≤ m.2
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (k + 1), ‖x‖ ^ i * ↑(k.choose i) * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ ↑(∑ m_1 ∈ Finset.range (m.1 + 1), m.1.choose m_1) * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
p : X → Prop
a : X
ha : a ∈ {x | ∀ᶠ (y : X) in 𝓝[≠] x, p y}
b : X
hb : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[{a}ᶜ] b, p x
⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝[≠] b, p y
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝³ : DecidableRel r
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTotal α r
s : Finset α
⊢ s.val.Nodup
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
⊢ (increment hP G ε).IsEquipartition
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hle : a ≤ b
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo a b \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' MeasureTheory.volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
v : List ℕ
⊢ Turing.ToPartrec.Code.pred.eval v = pure [v.headI.pred]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ f.comp f.ker.incl = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
b' : Pseudoelement S.X₂
b : Over S.X₂
hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0
hb' : b.hom ≫ S.g = 0
c : (𝟭 C).obj b.left ⟶ (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯).pt
hc : c ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯) = b.hom
⊢ (fun g => app S.f g) (Over.mk (pullback.fst (Abelian.factorThruImage S.f) c)) ≈ b
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
a b : α
m n : ℕ
h : a ≠ b
⊢ l.Perm (List.replicate m a ++ List.replicate n b) ↔ List.count a l = m ∧ List.count b l = n ∧ l ⊆ [a, b]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c d : X ⟶ Y
⊢ a - c - (b - d) = a - b - (c - d)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
⊢ κ ⊗ₖ η.restrict ht = (κ ⊗ₖ η).restrict ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
f : E → E
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hx : f x = x
n : ℕ
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f^[n] x
b x y : ℕ
hb : 1 < b
h : b ^ x ≤ y
⊢ x ≤ log b y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
t : CategoryTheory.Limits.IsInitial Z
⊢ CategoryTheory.IsPushout (t.to ((CategoryTheory.Limits.pair X Y).obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left }))
  (t.to ((CategoryTheory.Limits.pair X Y).obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right })) c.inl c.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
⊢ ⨅ x ∈ Set.univ, f x = ⨅ x, f x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : P
⊢ Collinear k {p}
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a : α
⊢ InfPrime a → InfIrred a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C✝ : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO : f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
⊢ ‖f z‖ ≤ C
M : Type u_5
N : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
M' : Type u_8
N' : Type u_9
MulOneClass M'
MulOneClass N'
f : M →* M'
g : N →* N'
⊢ f.prodMap g = (f.comp (MonoidHom.fst M N)).prod (g.comp (MonoidHom.snd M N))
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs'✝ : s' ∈ p.basisSets
I : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r
r' : ℝ
left✝ : r' > 0
h' : ∀ x ∈ s, x ∈ (I.sup p).ball 0 r'
⊢ Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 r) s
α : Type u_1
β : Type u_2
One β
Preorder β
s : Set α
f g : α → β
l : Filter α
h : f ≤ᶠ[l ⊓ 𝓟 s] g
⊢ s.mulIndicator f ≤ᶠ[l] s.mulIndicator g
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : ℕ → α
k : ℕ
⊢ ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f (i + k) = ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f i
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α} {R : α → α → Prop}, List.Pairwise R l ↔ ∀ {a b : α}, [a, b] <+ l → R a b
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
W : Submodule R (Dual R M)
this : AddCommGroup ↥W := inferInstance
⊢ ker W.quotDualCoannihilatorToDual = ⊥ ∧ ker W.quotDualCoannihilatorToDual.flip = ⊥
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
LinearOrderedRing A
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat e n d → decide (n < 0) = true → e ≠ 0
G : Type v
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
AddGroup G
AddAction G X
IsometricVAdd G X
c : G
⊢ (IsometryEquiv.constVAdd c).toEquiv = AddAction.toPerm c
n : ℕ
⊢ Even ↑n ↔ Even n