ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
hb : ∃ x x_1, ∃ (_ : ∑ i ∈ x, x_1 i • (⇑f ∘ b) i = 0), ∃ x_2, ∃ (_ : x_2 ∈ x), ¬x_1 x_2 = 0
⊢ ∃ x x_1, ∃ (_ : ∑ i ∈ x, x_1 i • (⇑f' ∘ b) i = 0), ∃ x_2, ∃ (_ : x_2 ∈ x), ¬x_1 x_2 = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N₁ N₂ : Submodule R M
hN₁ : N₁.FG
hN₂ : N₂.FG
t₁ : Set M
ht₁ : t₁.Finite ∧ span R t₁ = N₁
t₂ : Set M
ht₂ : t₂.Finite ∧ span R t₂ = N₂
⊢ span R (t₁ ∪ t₂) = N₁ ⊔ N₂
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : IsEmpty α
⊢ dist f g = 0
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
Finite ι
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ (i : ι), ContinuousWithinAt (F i) S x₀
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
a : R
p q : R[X]
x : ℕ
a✝ : x ∈ Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ
w : R[X]
hw : p - q = C a * w
⊢ p.coeff x - q.coeff x = a * w.coeff x
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
h : y - 1 ≠ 0
⊢ x ^ (y - 1) = x ^ y / x
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.Discrete α ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => X.obj { as := j }
⊢ (CategoryTheory.Limits.Pi.cone X).pt = ∏ᶜ fun j => X.obj { as := j }
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
h : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
hp_pos : 0 < p
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_5
AddCommGroup N
Module R N
IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ Function.Surjective ⇑f ∨ f = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h p).IsPath → p.IsPath
a b : EReal
⊢ a < b ↔ ∃ x, a < ↑x ∧ ↑x < b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
Ring α
h : Function.Periodic f c
n : ℕ
⊢ Function.Periodic f (-(↑n * c))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
⊢ IsCompl N N' ↔ IsCompl ↑N ↑N'
α : Type u_1
PartialOrder α
s t : Finset α
a : α
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
ht : ∀ b ∈ t, b < a
b : α
⊢ b ∈ s → b < a
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
⊢ ∀ (x_1 : ℕ), 0 < x_1 → ¬x ^ x_1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace.MetrizableSpace γ
OpensMeasurableSpace γ
SecondCountableTopology γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
h : IsGLB s a
x : α
hx : x ∈ s
⊢ Ioi x ⊆ Ioi a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteColimits F
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp F.leftDerivedZeroIsoSelf.inv F.fromLeftDerivedZero =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id F
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x + 1 - 1)
H : ↑x + 1 < abscissaOfAbsConv f
y : ℝ
hy₁ : ↑x + 1 < ↑y
hy₂ : ↑y < abscissaOfAbsConv f
⊢ False
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ b₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab : b₁ ∈ eval f₁ a₁
⊢ ∃ b₂, tr b₁ b₂ ∧ b₂ ∈ eval f₂ a₂
α : Sort u_1
x y : α
⊢ HEq x y ↔ x = y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.presheafHom F G).obj X =
  ((CategoryTheory.Over.forget (Opposite.unop X)).op.comp F ⟶ (CategoryTheory.Over.forget (Opposite.unop X)).op.comp G)
x y : ℕ
n : ℕ
h : Odd n
⊢ x + y ∣ x ^ n + y ^ n
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
p : α → Prop
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {q : α_1 → Prop} {f : α → α_1} [inst : Functor m] [inst_1 : LawfulFunctor m] {x : m α},
  SatisfiesM p x → (∀ {a : α}, p a → q (f a)) → SatisfiesM q (f <$> x)
A : Class
x : ZFSet
⊢ A.ToSet ↑x ↔ A x
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
zero_le_ifp_n_fract : 0 ≤ ifp_n.fr
ifp_n_fract_lt_one : ifp_n.fr < 1
⊢ (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr.num < ifp_n.fr.num
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ c.pt.str = ⨆ j, TopologicalSpace.coinduced (⇑(c.ι.app j)) (F.obj j).str
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
h : s₁ ∩ s₂ ⊆ ∅
h₁ : m.IsCaratheodory s₁
t : Set α
⊢ m (t ∩ (s₁ ∪ s₂)) = m (t ∩ s₁) + m (t ∩ s₂)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
g' : G → G → E' := fun x q => g q
⊢ ContinuousOn (f ⋆[L, μ] g) univ
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ : V
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x y : V
this : c * c ≠ 0
⊢ angle (c • x) (c • y) = angle x y
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
f' : α → E'
l : Filter α
One F
NormOneClass F
c : E'
h : Filter.Tendsto f' l (𝓝 c)
⊢ f' =O[l] fun _x => 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b
i : ι
hi : i ∈ Iio b
hia : i ≠ a
⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f i⟫_𝕜 = 0
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
⊢ IsAddUnit a ↔ Function.Bijective fun x => a + x
a b c d : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ Turing.PartrecToTM2.K'.elim a b c d Turing.PartrecToTM2.K'.stack = d
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
c : n ≃ n
hc : c ∈ univ.erase (Equiv.refl n)
⊢ ∏ i : n, M.charmatrix (c i) i ∈ degreeLT R (Fintype.card n - 1)
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
⊢ s.einfsep ≠ ⊤ ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ edist x y ≠ ⊤
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S✝ : Type u_5
F✝ : Type u_6
inst✝⁸ : CommMonoid M
inst✝⁷ : CommMonoid N
inst✝⁶ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
n : ℕ+
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
hζ : (primitiveRoots (↑n) R).Nonempty
ε : ↥(rootsOfUnity n R)
⊢ f ↑↑((rootsOfUnityEquivOfPrimitiveRoots hf hζ).symm ((rootsOfUnityEquivOfPrimitiveRoots hf hζ) ε)) = ↑↑((rootsOfUnityEquivOfPrimitiveRoots hf hζ) ε)
x : ℝ
⊢ ↑x.toNNReal ≤ |x|
F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤) n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 : map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠ 0
this : Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin (↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor))) = Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor)))
⊢ Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin ↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range ↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor).roots.toFinset) = ⊤
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedAddCommMonoid N
f : ι → N
Fintype ι
s : Finset ι
w : ∀ (x : ι), 0 ≤ f x
⊢ ∑ x ∈ s, f x ≤ ∑ x : ι, f x
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
x : A₂
⊢ e (e.symm x) = x
k : ℕ
hk0 : k ≠ 0
⊢ ∃ᶠ (p : ℕ) in Filter.atTop, Nat.Prime p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
o₁ o₂ : Ordering
⊢ o₁.swap = o₂.swap ↔ o₁ = o₂
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
A : Set X
f : X → β
hf1 : Continuous f
hf2 : Function.Injective f
y : X
hy1 : AccPt y (𝓟 A)
⊢ f y ∈ derivedSet (f '' A)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ UniqueMDiffOn 𝓘(𝕜, E) s ↔ UniqueDiffOn 𝕜 s
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : Splits (RingHom.id K) f
⊢ f = map (RingHom.id K) f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u s : Set α
⊢ ∀ (s : Set α), (fun s => s = ∅ ∨ s = univ) s → (fun s => s = ∅ ∨ s = univ) sᶜ
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ S.toSubalgebra ↔ x ∈ S
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : Fix F α → β
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x : (P F).W α
⊢ g₁ (Quot.mk Setoid.r x) = g₂ (Quot.mk Setoid.r x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Functor.id C).map f = f
a b : ℝ≥0∞
⊢ (a / b).toReal = a.toReal / b.toReal
a : UnitAddCircle
x : ℝ
⊢ HurwitzZeta.cosKernel (-a) x = HurwitzZeta.cosKernel a x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' x✝ : D
⊢ adj.counit.app x✝ = F.map (𝟙 (G.obj x✝)) ≫ adj.counit.app x✝
w x y✝ z y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ (orderIsoRpow y hy).symm = orderIsoRpow (1 / y) ⋯
a b : Bool
H : b = true
⊢ (a || b) = true
α : Type u
self : Preorder α
a b : α
⊢ a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
⊢ Γ₂N₁.natTrans.app X = Γ₂N₂ToKaroubiIso.inv.app X ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom.app X ≫ Γ₂N₁.natTrans.app X) ≫ 𝟙 { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ }
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕝 : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕝
NormedAlgebra 𝕜 𝕝
f : E → 𝕝
s : Set E
fa : AnalyticOn 𝕜 f s
f0 : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => (f x)⁻¹) s
n : ℕ
⊢ (n + 0 - 1).descFactorial 0 = n.ascFactorial 0
E : Type u_1
ι : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
K : Set ℂ
δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f : ℂ → E
hF : TendstoUniformlyOn F f φ (Metric.cthickening δ K)
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (Metric.cthickening δ K)
⊢ TendstoUniformlyOn (Complex.cderiv δ ∘ F) (Complex.cderiv δ f) φ K
α : Type u_1
β : Type u_2
ts : List α
t : α
is : List α
ih : ∀ (is' : List α), (is ++ ts).permutationsAux is' = map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux is') ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ is')
is' x✝ : List α
⊢ (permutationsAux2 t (is ++ ts) [] x✝ id).2 = map (fun x => x ++ ts) (permutationsAux2 t is [] x✝ id).2
ι : Type u_1
X : Type u_6
M : Type u_7
CommMonoid M
s : Finset ι
l : Filter X
f g : ι → X → M
hs : ∀ i ∈ s, f i =ᶠ[l] g i
⊢ ∏ i ∈ s, f i =ᶠ[l] ∏ i ∈ s, g i
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : RegularSpace X✝
x : X✝
s : Set X✝
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
h : ∀ t ∈ T, RegularSpace X
x✝ : TopologicalSpace X := sInf T
this : ∀ (a : X), (𝓝 a).HasBasis (fun If => If.fst.Finite ∧ ∀ (i : ↑If.fst), If.snd i ∈ 𝓝 a ∧ IsClosed (If.snd i)) fun If => ⋂ i, If.snd i
⊢ RegularSpace X
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
g : G
h : g ∈ { carrier := {g | g • s =ᶠ[ae μ] s}, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯ }.carrier
⊢ g⁻¹ ∈ { carrier := {g | g • s =ᶠ[ae μ] s}, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯ }.carrier
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ
f : E → ℝ≥0∞
hmf : AEMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Measure.map X ℙ = μ.withDensity f ↔ MeasureTheory.pdf X ℙ μ =ᵐ[μ] f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
j : ι
a : β j
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → toLex x j_1 = toLex (update x j a) j_1
h : x j < update x j a j
⊢ x j < a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ (_root_.latticeClosure s).Finite
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ ⇑(tangentBundleModelSpaceHomeomorph H I).symm = ⇑(Bundle.TotalSpace.toProd H E).symm
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R
H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p
h0 : ¬erase p.natDegree p = 0
q : R[X]
hq : map f q = erase p.natDegree p ∧ q.degree = (erase p.natDegree p).degree
p_neq_0 : p ≠ 0
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
⊢ ∀ (i : ↑(⋃₀ 𝔖)), UniformContinuous fun x => ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x i
V : Type u_2
Quiver V
V' : Type u_4
Quiver V'
h : Quiver.HasInvolutiveReverse V'
φ : V ⥤q V'
X Y : Quiver.Symmetrify V
f : X ⟶ Y
⊢ (Quiver.Symmetrify.lift φ).map (Quiver.reverse f) = Quiver.reverse ((Quiver.Symmetrify.lift φ).map f)
α : Type u
Add α
a b : WithBot α
⊢ a + b = ⊥ ↔ a = ⊥ ∨ b = ⊥
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ c :: m₂
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
⊢ x✝.get { byteIdx := utf8Len m₁ } = c
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
ι : Type u_5
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Finite R M
Module.Free R M
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R L
x : L
⊢ LieModule.IsRegular R M x ↔
  (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) (((↑(LieModule.toEnd R L M)).polyCharpoly b).coeff (LieModule.rank R L M)) ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
x : α
⊢ x ∈ range l.get ↔ x ∈ {x | x ∈ l}
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Lattice (α i)
a b : (i : ι) → α i
⊢ (Set.univ.pi fun i => Set.uIcc (a i) (b i)) = Set.uIcc a b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
S : CategoryTheory.Presieve X
Y : D
f : Y ⟶ F.obj X
self : CategoryTheory.Presieve.FunctorPushforwardStructure F S f
⊢ S self.premap
G : Type u
inst✝² : Group G
N✝ : Subgroup G
nN✝ : N✝.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
N : Subgroup G
nN : N.Normal
x : G
⊢ x⁻¹ * 1 ∈ N ↔ x ∈ N
α : Type u_1
x : WithBot α
⊢ (∀ (a : α), ↑a ≠ x) ↔ x = ⊥
A : Type u_1
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsDomain A
IsIntegrallyClosed A
IsDomain B
IsIntegrallyClosed B
Module.Finite A B
NoZeroSMulDivisors A B
Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
Module.Free A B
⊢ Algebra.intNorm A B = Algebra.norm A
α : Type u
⊢ #(List α) ≤ max ℵ₀ #α
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
x y : L₁
⊢ f (x + y) = f x + f y
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
hf : Injective f
⊢ (M.map f ⋯).comap f = M
M : Type u_5
S : Type u_6
SubNegMonoid M
SetLike S M
hSM : AddSubgroupClass S M
H : S
x y : M
hx : x ∈ H
hy : y ∈ H
⊢ x - y ∈ H
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t : Set β
a✝ a : α
s : Set α
⊢ (op a • s)⁻¹ = a⁻¹ • s⁻¹
R : Type u_1
Mul R
c : R
h : IsLeftRegular c
⊢ IsSMulRegular R c
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ S.c = (hζ.toInteger - 1) ^ S.multiplicity * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|) < 2
this : 0 < finrank ℚ K
C : ClassGroup (𝓞 K)
⊢ C = 1
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
ι : Sort u_6
f : ι → α
g : α → M
⊢ (Set.range f).indicator g ∘ f = g ∘ f
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P✝ : Ideal S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : p.IsMaximal
P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }
⊢ ↑P ≠ ⊥
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
DecidableEq ι
i : ι
hi : Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) i
a : α i
⊢ Acc (DFinsupp.Lex r s) (DFinsupp.single i a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.isomorphisms C f
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
Q✝ : QuadraticMap R M N
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower S R M
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
ι : Type u_8
inst✝ : DecidableEq ι
Q : QuadraticMap R M N
s : Finset ι
f : ι → M
⊢ Q (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, Q (f i) + ∑ ij ∈ Finset.filter (fun x => ¬x.IsDiag) s.sym2, Sym2.lift ⟨fun i j => polar (⇑Q) (f i) (f j), ⋯⟩ ij
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass M'
AddZeroClass N'
e : M ≃+ N
e' : M' ≃+ N'
⊢ ⇑(AddMonoid.MulEquiv.coprodCongr e e') = ⇑(AddMonoid.Coprod.map ↑e ↑e')
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
h : M.E = E ∧ M.Indep E
⊢ M = freeOn E
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteDistribLattice α
f : Filter β
u : β → α
f.NeBot
a : α
⊢ a ⊔ Filter.limsup u f = Filter.limsup (fun x => a ⊔ u x) f
α : Type u_4
LinearOrderedRing α
self : FloorRing α
⊢ GaloisConnection Int.cast FloorRing.floor
ξ : ℝ
⊢ ξ.convergent 0 = ↑⌊ξ⌋
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HAdd.hAdd) LT.lt
a b : α
⊢ Set.Ioi a + Set.Ici b ⊆ Set.Ioi (a + b)
K : Type u_2
Field K
NumberField K
h : FiniteDimensional.finrank ℚ K = 1
⊢ NumberField.InfinitePlace.NrComplexPlaces K = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h✝ : a * m + b * (m + 1) = s.card
hm : m ≠ 0
hunion : (equitabilise h✝).parts = filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h✝).parts ∪ filter (fun u => u.card = m + 1) (equitabilise h✝).parts
x : Finset α → Prop
ha : x ≤ fun u => u.card = m
hb : x ≤ fun u => u.card = m + 1
i : Finset α
h : x i
⊢ m.succ = m
r s : ℝ
⊢ (↑r).IsSt s ↔ (↑s).IsSt r
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u}
h : Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c < Cardinal.univ.{u, v}
⊢ Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}.cof
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ p -ᵥ ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p) ∈ s.directionᗮ
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
f : ℂ → ℂ
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ z ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f z
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z / (z - w)) = 2 * ↑π * I * f w
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
hf' : Nat.Prime (orderOf f)
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : n < orderOf f
⊢ (f ^ n).IsCycle
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
⊢ generator (ϕ.submoduleImage N) ∈ span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩}
M : Type u_1
Monoid M
S : Subgroup Mˣ
x : M
h₁ : IsUnit x
h₂ : x ∈ S.ofUnits
⊢ h₁.unit ∈ S
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R : ℝ
⊢ c +ᵥ sphere (R • 0) (‖R‖ * 1) = sphere c |R|
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
h : G ≤ H
hH : H.EdgeDisjointTriangles
⊢ G.EdgeDisjointTriangles