ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hf : BddBelow (f '' Ioi x)
hf_mono : Monotone f
⊢ ⨅ r, f ↑r ≤ ⨅ q, f ↑↑q
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : p.castSucc < a
hb : p.castSucc < b
⊢ a.pred ⋯ ≤ b.pred ⋯
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
CommRing k
AddCommGroup V1
AffineSpace V1 P1
Module k V1
c : P1
r₁ r₂ : k
⊢ AffineMap.homothety c (r₁ + r₂) = r₁ • (AffineMap.id k P1 -ᵥ AffineMap.const k P1 c) +ᵥ AffineMap.homothety c r₂
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ s₁ \ s₂ = Finset.filter (fun x => x ∉ s₂) s₁
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = 0
⊢ ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
M : Type u_4
N : Type u_5
AddMonoid M
AddMonoid N
f : M →+ N
a : M
n : ℕ
⊢ f (n • a) = n • f a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
l : Filter X
y : X
hmem : s ∈ l
h : ∀ x ∈ s, ClusterPt x l → x = y
f : Ultrafilter X
hf : ↑f ≤ l
⊢ ↑f ≤ 𝓝 y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a✝ b : α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
mono_iff : ∀ {a b : α}, f a ≤ f b ↔ a ≤ b
a : α
⊢ map f ↑a ≤ map f ⊥ ↔ ↑a ≤ ⊥
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
⊢ (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) (∑ v ∈ a.support, (monomial v) (coeff v a)) = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
⊢ mfderivWithin I I' f s x =
  fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
cst : ℝ → ℝ := fun x => 1
cst_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable cst volume 0 t
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, 1) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}
ω : α
⊢ ENNReal.ofReal (f ω) = ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, 1)
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (β × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ Set.univ, f x ∂ρ
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
h : ∀ (i : n), A i j = 0
⊢ A.det = 0
α : Type u_1
a : α
as : List α
⊢ (a :: as).length = as.length + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
E : Type u_3
EquivLike E α β
OrderIsoClass E α β
e : E
⊢ (Set.range ⇑e).OrdConnected
ss : List String
⊢ (join ss).data = (List.map data ss).join
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : Monotone f
c : ℝ≥0 → ℝ≥0∞ := ofNNReal
F : α → ℝ≥0∞ := fun a => ⨆ n, f n a
s : α →ₛ ℝ≥0
hsf : ∀ (x : α), ↑(↑s x) ≤ ⨆ n, f n x
r : ℝ≥0
right✝ : ↑r < 1
ha✝ : ↑r < 1
ha : r < 1
rs : α →ₛ ℝ≥0 := SimpleFunc.map (fun a => r * a) s
eq_rs : SimpleFunc.map c rs = const α ↑r * SimpleFunc.map c s
eq : ∀ (p : ℝ≥0∞), ↑(SimpleFunc.map c rs) ⁻¹' {p} = ⋃ n, ↑(SimpleFunc.map c rs) ⁻¹' {p} ∩ {a | p ≤ f n a}
mono : ∀ (r : ℝ≥0∞), Monotone fun n => ↑(SimpleFunc.map c rs) ⁻¹' {r} ∩ {a | r ≤ f n a}
⊢ ↑r * (SimpleFunc.map ofNNReal s).lintegral μ ≤ ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.51945, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasHomology
inst✝ : HasKernel S.g
⊢ Epi S.toCycles ↔ Epi (kernel.lift S.g S.f ⋯)
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : R1Space X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : BorelSpace Y
inst✝² : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
l : Filter α
f : α → C(X, Y)
g : C(X, Y)
hfg : Tendsto f l (𝓝 g)
hf : ∀ᶠ (a : α) in l, MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν
this : ν.InnerRegularCompactLTTop
s : Set Y
hs : MeasurableSet s
hνs : ν s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hso : IsOpen s
hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, μ ((⇑(f x) ⁻¹' s) ∆ (⇑g ⁻¹' s)) ≤ ε
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
⊢ LinearIndependent ℤ (eval (C' C ho)) → LinearIndependent ℤ fun (l : ↑(MaxProducts C ho)) => Products.eval (C' C ho) (↑l).Tail
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
⊢ ∃ f, { domain := sSup (LinearPMap.domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c
α : Type u
inst✝ : Infinite α
K : Type u := FractionRing (MvPolynomial α (ULift.{u, 0} ℚ))
⊢ #α ≤ #(MvPolynomial α (ULift.{u, 0} ℚ))
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
h : f ≠ 1
⊢ 1 < f.support.card
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nonempty ι
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m‖ < ε → ‖f m‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
this : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι
m : (i : ι) → E i
hcm : ∀ (i : ι), ε / ‖c‖ ≤ ‖m i‖
hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε
⊢ ‖f m‖ ≤ (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι * ∏ i : ι, ‖m i‖
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α
⊢ Acc (Relation.TransGen r) a ↔ Acc r a
P : ℕ → Sort u_1
h0 : P 0
h_even : (i : ℕ) → P i → P (2 * i)
h_odd : (i : ℕ) → P i → P (2 * i + 1)
H : h_even 0 h0 = h0
n : ℕ
⊢ Nat.evenOddRec h0 h_even h_odd (2 * n + 1) = h_odd n (Nat.evenOddRec h0 h_even h_odd n)
m : Type u
n✝ : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) α
i j h : Fin n.succ
hjk : h ≠ i
⊢ (-1) ^ (↑j + ↑h) * Pi.single i 1 h * (A.submatrix j.succAbove h.succAbove).det = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set (β × ℝ)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ s} ∂ν a = (κ a) s
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
w : (lift R).symm f = (lift R).symm g
⊢ f = g
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π
aux2 : ↑√π ≠ 0
⊢ HasDerivAt Gammaℝ (-(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2) 1
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
z : ℤ_[p]
hev : Polynomial.eval z F = 0
hnlt : ‖z - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
⊢ z = soln_gen hnorm
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
ι : Type v
F : CategoryTheory.Discrete ι ⥤ AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
i j : CategoryTheory.Discrete ι
h : i ≠ j
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map
        (CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F ⋙ AlgebraicGeometry.SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace) j).base).obj
    ((TopologicalSpace.Opens.map
          (CategoryTheory.preservesColimitIso AlgebraicGeometry.SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace F).inv.base).obj
      (⋯.functor.obj U)) =
  ⊥
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
f : ι →₀ α
⊢ f.rangeSingleton.support = f.support
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
j : α
⊢ (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ f.proj j = (c.ι.app { as := j }).op
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
Nontrivial R
x : R
hx : IsRegular x
⊢ 0 < x * star x
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ (s₁ ∩ s₂).diffs t ⊆ s₁.diffs t ∩ s₂.diffs t
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.ProjectivePlane P L
Finite P
Finite L
p q : P
⊢ Configuration.lineCount L p = Configuration.lineCount L q
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing R
inst✝¹ : Algebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(X, R)
x : 𝕜
⊢ x ∈ spectrum 𝕜 f ↔ x ∈ ⇑(algebraMap 𝕜 R) ⁻¹' Set.range ⇑f
α : Type u_3
AddGroupWithOne α
⊢ ⇑(Int.castAddHom α) = fun x => ↑x
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ testAgainstNN 0 f = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
q : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
q_zero : q ≠ 0
q_top : q ≠ ⊤
h : Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ
⊢ p = p / q / q⁻¹
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
n : ℕ
⊢ (int.divByNat n) ↑n = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖f x‖ = a * ‖x‖
x : E
hx : 0 < ‖x‖
⊢ ‖f‖ = a
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
⊢ r ↪r s → ∀ [inst : IsPreorder β s], IsPreorder α r
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x : α
i : m
⊢ v ⬝ᵥ Pi.single i x = v i * x
n : PosNum
⊢ (if (match Num.pos n with | Num.zero => [] | Num.pos n => encodePosNum n) = [] then Num.zero else Num.pos n) = Num.pos n
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
t : Set β
a : α
x : β
⊢ x ∈ a • t ↔ ∃ y ∈ t, a • y = x
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : SemilatticeSup δ
g : γ → δ
h : (image₂ f s t).Nonempty
⊢ (s.sup' ⋯ fun i => t.sup' ⋯ fun i' => (g ∘ uncurry f) (i, i')) = s.sup' ⋯ fun x => t.sup' ⋯ fun x_1 => g (f x x_1)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s t : Stream'.WSeq α
⊢ Stream'.WSeq.map f (s.append t) = (Stream'.WSeq.map f s).append (Stream'.WSeq.map f t)
α : Type u_1
Fintype α
p : α → Prop
DecidablePred p
hp : ∃! a, p a
⊢ p (Fintype.choose p hp)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℕ
n : ℕ
⊢ (∃ s ∈ l.ranges, n ∈ s) ↔ n < l.sum
k m : ℕ+
⊢ ↑k ∣ ↑m ↔ m.mod k = k
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
W : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} W
CategoryTheory.Preadditive W
F : V ⥤ W
F.Additive
h : HomotopyEquiv C D
⊢ (F.mapHomotopyEquiv h).hom = (F.mapHomologicalComplex c).map h.hom
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_9
f : N → H
g : N → H'
ϕ : N → E →L[𝕜] E'
x₀ : N
⊢ inTangentCoordinates I I' f g ϕ x₀ = ϕ
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L
⊢ ∀ᶠ (p : ℕ) in atTop, u p / ↑p < L
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ((CategoryTheory.evaluation C D).map f).app F = F.map f
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
B : C
α : Type v
inst✝² : Nonempty α
X : α → C
f : (j : α) → B ⟶ X j
inst✝¹ : HasWidePushout B X f
inst✝ : PreservesColimit (wideSpan B X f) (forget C)
x : (forget C).obj (widePushout B X f)
⊢ ∃ i y, (ι f i) y = x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s₁ s₂ : Affine.Simplex ℝ P n
h : Set.range s₁.points = Set.range s₂.points
⊢ s₁.circumcenter = s₂.circumcenter
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
x a : α
⊢ term 0 x a = a
R : Type u
Field R
p q : R[X]
⊢ p / q = Polynomial.C q.leadingCoeff⁻¹ * (p /ₘ (q * Polynomial.C q.leadingCoeff⁻¹))
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S✝ : IntermediateField K L
S : Subalgebra K L
hS : IsField ↥S
x✝ : L
⊢ x✝ ∈ (S.toIntermediateField' hS).toSubalgebra ↔ x✝ ∈ S
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
s : Set ↥H := {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
u : L
⊢ u ∈ ⇑H.subtype '' s ↔ u ∈ {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = x}
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α} {s : Set α}, Bornology.IsBounded s ↔ ∀ x_1 ∈ s, Bornology.IsBounded s
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
h : Relation.ReflTransGen r a b
⊢ ∃ l, Chain r a l ∧ (a :: l).getLast ⋯ = b
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
u v u' v' : ℝ → A
hu : ContinuousOn u [[a, b]]
hv : ContinuousOn v [[a, b]]
huu' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt u (u' x) (Ioi x) x
hvv' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt v (v' x) (Ioi x) x
hu' : IntervalIntegrable u' volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, u x * v' x = u b * v b - u a * v a - ∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
M : Type u_8
AddCommMonoid M
Module R M
a : ι ⊕ ι₂ → M
⊢ PiTensorProduct.tmulSymm ((PiTensorProduct.tprod R) fun i => a i) =
  ((PiTensorProduct.tprod R) fun i => a (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] (PiTensorProduct.tprod R) fun i => a (Sum.inr i)
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
c : Chain (Part α)
a b : α
hb : some b ∈ c
i : ℕ
ha : some a = c i
⊢ a = b
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
huv : u - ⌊ξ⌋ * v = 1
⊢ -(1 / 2) < (fract ξ)⁻¹ - ↑v
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
hd : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
⊢ μ (s ∪ t) = μ s + μ t
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I'✝ : Ideal R
J✝ J'✝ : Ideal S
I I' : Ideal R
J J' : Ideal S
⊢ I.prod J = I'.prod J' ↔ I = I' ∧ J = J'
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x ^ 2 * Real.cos x = (Real.sin b ^ 3 - Real.sin a ^ 3) / 3
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
X : Type u_4
TopologicalSpace X
s : Set X
f : X → G₀
hf : ContinuousOn f s
m : ℤ
h : ∀ a ∈ s, f a ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
⊢ ContinuousOn (fun x => f x ^ m) s
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PartialOrder ι
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
α : Type u
Monoid α
a : αˣ
b : α
⊢ ↑a⁻¹ * (↑a * b) = b
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h : s - 1 ≠ 0
h' : ∀ (n : ℕ), s - 1 ≠ -↑n
⊢ (2 - s).Gammaℝ⁻¹ = s.Gammaℂ * sin (↑π * s / 2) * (s + 1).Gammaℝ⁻¹
α : Type u_1
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
t : Set α
MeasurableSpace α
ht : MeasurableSet t
⊢ (PMF.ofMultiset s hs).toMeasure t =
  (∑' (x : α), ↑(Multiset.count x (Multiset.filter (fun x => x ∈ t) s))) / ↑(Multiset.card s)
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
Fact (1 ≤ p)
(i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
Fintype ι
⊢ Bornology.cobounded (PiLp p α) = Bornology.cobounded ((i : ι) → α i)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ ContinuousLinearMap.smulRight 1 (derivWithin f s x) = fderivWithin 𝕜 f s x
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : Field R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSpace V
inst✝⁴ : TopologicalRing R
inst✝³ : TopologicalAddGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : SeparatingDual R V
inst✝ : ContinuousSMul R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ A, A x = y
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictMono f
⊢ Function.Injective f
ι : Type v
α : ι → TopCat
⊢ (TopCat.piFan α).pt = TopCat.of ((i : ι) → ↑(α i))
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivAt c c' x
hd : HasDerivAt d d' x
⊢ HasDerivAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
h : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s) 0
c : 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t
s' : Set 𝕜 := (fun t => x + t • v) ⁻¹' s
A : HasDerivAt g c 0
B : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' s' (g 0)
Z : HasDerivWithinAt (fun x_1 => f (x + x_1 • c • v)) (c • f') ((fun t => t * c) ⁻¹' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s)) 0
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • c • v)) (c • f') ((fun t => x + t • c • v) ⁻¹' s) 0
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : S.LocalizationMap P
⊢ (k.mulEquivOfLocalizations f).symm = f.mulEquivOfLocalizations k
I : Type u
f : I → Type v
DecidableEq I
(i : I) → MulOneClass (f i)
⊢ Pairwise fun i j => ∀ (x : f i) (y : f j), Commute (Pi.mulSingle i x) (Pi.mulSingle j y)
α : Type u_1
β : Type u_3
f : α → β
⊢ Monotone ⇑(MeasureTheory.OuterMeasure.comap f)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : ¬G.Reachable u v
⊢ G.edist u v = ⊤
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : CharZero k
h : s.card ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ s, centroidWeights k s i = 1
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
⊢ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Ici x) x ∧ derivWithin f (Set.Ici x) x ∈ K} ⊆ RightDerivMeasurableAux.D f K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_6
f : α → γ
g : β → δ
a : Filter α
b : Filter β
c : Filter γ
d : Filter δ
hf : Filter.Tendsto f a c
hg : Filter.Tendsto g b d
⊢ Filter.Tendsto (Prod.map f g) (a.coprod b) (c.coprod d)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
self : CategoryTheory.Pretopology C
X Y : C
f : Y ⟶ X
CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.Presieve.singleton f ∈ self.coverings X
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R V
h : Homotopy f g
a : R
i : ι
⊢ a • ((dNext i) h.hom + (prevD i) h.hom + g.f i) = (C.dFrom i ≫ (fromNext i) fun i j => a • h.hom i j) + ((toPrev i) fun i j => a • h.hom i j) ≫ D.dTo i + a • g.f i
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a x : α
s : Set α
⊢ s ⩿ insert x s
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α
⊢ powersetCard 0 ⟦l⟧ = {0}
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
φ φ₀ : W.LeftFraction X Y
hφ₀ : neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ₀.neg.map L ⋯
Y' : C
t₁ : φ₀.Y' ⟶ Y'
t₂ : φ.Y' ⟶ Y'
hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂
hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂
ht : W (φ₀.s ≫ t₁)
this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))
⊢ neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ.neg.map L ⋯
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
h : a ∈ t
⊢ s.erase a ⊆ t ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ PerfectSpace α ↔ Preperfect Set.univ
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ Complex.abs ↑(sin x - (x - x ^ 3 / 6)) = Complex.abs (Complex.sin ↑x - ↑(x - x ^ 3 / 6))
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
⊢ (∃ ι, Nonempty ι ∧ ∃ f, (∀ (i : ι), f i ∈ s) ∧ sup f = a) ↔ ∃ ι, ∃ (_ : Nonempty ι), ∃ f, (∀ (i : ι), f i ∈ s) ∧ sup f = a
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s t : CategoryTheory.Limits.Cone F
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
⊢ (P.uniqueUpToIso Q).hom = Q.liftConeMorphism s
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ frontier Set.univ = ∅
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
K : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : NormedSpace ℝ K
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → K
f_ℒ_1 : Integrable f μ
g : G ⧸ Γ → K
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
g_ℒ_infinity : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)) ≠ ⊤
F_ae_measurable : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
π : G → G ⧸ Γ := mk
meas_π : Measurable π
H₀ : automorphize (g ∘ π * f) = g * automorphize f
⊢ ∫ (x : G), g (π x) * f x ∂μ = ∫ (x : G ⧸ Γ), automorphize (g ∘ π * f) x ∂Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
I J J' : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ' : J' ≠ 0
⊢ I ≤ J / J' ↔ I * J' ≤ J