ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
U : Set M
a b : M
hpc : IsPreconnected U
hc✝ : IsCompact U
ho : IsOpen U
ha : a ∈ U
hb : b ∈ U
f : M → F
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hb₀ : f b = 0
c : M
hcU : c ∈ U
hc : IsMaxOn (fun x => ‖f x‖) U c
⊢ f a = f b
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
AddAction α β
s : Set β
a : α
⊢ a +ᵥ sᶜ = (a +ᵥ s)ᶜ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_6
NormedDivisionRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
h : E → R
S : Set E
hf : DifferentiableOn 𝕜 h S
hz : ∀ x ∈ S, h x ≠ 0
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => (h x)⁻¹) S
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
K : ℕ∞
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun i => W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun i => W) ℝ) := (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight
I₁ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m ⇑T fun x => L v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x => L)) v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x => L)) v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ k (fun v => (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L v)) (f v)) v‖ ≤ (2 * π) ^ n * (2 * ↑n + 2) ^ k * ‖L‖ ^ n * C
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ W.Equation P ↔ W.toAffine.Equation (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
n : ℕ
⊢ ‖LSeries.term f s' n‖ ≤ ‖LSeries.term f s n‖
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
⊢ vectorSpan k {p₁, p₂} = Submodule.span k {p₁ -ᵥ p₂}
l : Filter ℂ
hl : Complex.IsExpCmpFilter l
⊢ (fun z => Real.log z.re) =o[l] Complex.re
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
⊢ (⟦f⟧)⁻¹ * ⟦f⟧ = 1
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.333125, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.333132, u_2} D
inst✝ : HasInitial C
ι : Type u_3
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsVanKampenColimit c
i j : Discrete ι
hi : i ≠ j
⊢ IsPullback (initial.to (F.obj i)) (initial.to (F.obj j)) (c.ι.app i) (c.ι.app j)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hm : m ≠ 0
⊢ (filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts).card * m + b * (m + 1) = a * m + b * (m + 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
F.Initial
G.IsEquivalence
⊢ (F.comp G).Initial
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y
⊢ f' < slope f x y
p x t : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)
ht : t ≠ 0
ht' : |t| ≠ 0
⊢ sInf ((fun a => |a|) '' {m | m - t * x ∈ zmultiples (t * p)}) = sInf (|t| • (fun a => |a|) '' {m | m - x ∈ zmultiples p})
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V : Set (α × α)
h : V ∈ 𝓤 α
⊢ Prod.swap '' V ∈ (Prod.swap <$> 𝓤 α).sets
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : r ≼i s
a✝ : α
h : Acc r a✝
a : α
x✝ : ∀ (y : α), r y a → Acc r y
ha : ∀ (y : α), r y a → Acc s (f y)
b : β
hb : s b (f a)
⊢ Acc s b
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
⊢ ↑f.range = Set.range ⇑f
a b c : Int
h : a + b < c
⊢ b < c - a
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ ∑ x ∈ Finset.filter ((fun x => x⁻¹ * σ ∈ (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range) ∘ ⇑(Equiv.toEmbedding (Equiv.mulLeft σ))) Finset.univ, Perm.sign ((Equiv.toEmbedding (Equiv.mulLeft σ)) x) • domDomCongr ((Equiv.toEmbedding (Equiv.mulLeft σ)) x) (a.domCoprod b) = domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) (Quotient.mk'' σ)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
NormedLatticeAddCommGroup G'
NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : MeasureTheory.SimpleFunc α G'
hf : 0 ≤ f
hfi : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ 0 ≤ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
s : NonUnitalSubsemiring R
x : R × S
⊢ x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (NonUnitalRingHom.fst R S) s
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ TypeMax
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.limitCone F).pt = ↑F.sections
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
hB : ∃ x, ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ x
⊢ ∃ x, ∀ y ∈ (fun a => ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖) '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ x
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
B : Type u_2
Ring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
a : A
h : IsAlgebraic R a
⊢ IsAlgebraic R (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
x y : α
⊢ edist (f x) (f y) = ↑(Dilation.ratio f) * edist x y
α : Type u_7
f g : Function.End α
⊢ f * g = f ∘ g
A : Type u_1
B : Type u_2
Semiring A
Semiring B
hB : IsField B
e : A ≃* B
⊢ IsField A
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Inv G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableInv G
m : MeasurableSpace α
f✝ : α → G
μ : Measure α
G₀ : Type u_4
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : MeasurableSpace G₀
inst✝ : MeasurableInv G₀
f : α → G₀
h : Measurable fun x => (f x)⁻¹
⊢ Measurable f
α : Type u_2
LT α
x y : α
h : x > y
⊢ y < x
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ μ s * ∫⁻ (y : G), f y ∂ν = ∫⁻ (x : G), ν ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * f x⁻¹ ∂μ
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a b : α
ha : a ∈ lowerBounds s
hb : b ∈ upperBounds s
⊢ s.Nonempty → a ≤ b
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hpd : deriv f z₀ = p.coeff 1
hp0 : p.coeff 0 = f z₀
hp : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))
x : 𝕜
hx : HasSum (fun n => x ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + x))
⊢ HasSum (fun n => x ^ n • p.coeff (n + 1)) (dslope f z₀ (z₀ + x))
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hb : b ≠ 0
⊢ a / b = c ↔ c * b = a
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : 𝒰.J
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.openCoverOfRight 𝒰 f g).map i =
  CategoryTheory.Limits.pullback.map f (𝒰.map i ≫ g) f g (𝟙 X) (𝒰.map i) (𝟙 Z) ⋯ ⋯
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N✝ : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : Zero M'
inst✝² : CommMonoid N✝
inst✝¹ : DecidableEq α
N : Type u_16
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α →₀ N
a : α
⊢ (f.sum fun x v => if x = a then v else 0) = f a
R : Type u_3
A : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring A
a : A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module A M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R A M
inst✝ : FaithfulSMul A M
p : R[X]
⊢ (∀ (n : AEval R M a), p • n = 0) ↔ (aeval a) p = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s t : Set E
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f (s ∩ t) x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
R : Type u
M : Type v
AddGroupWithOne R
AddGroup M
z : ℤ
⊢ (↑z).fst = ↑z
G : Type u_1
DivisionMonoid G
a x y : G
⊢ SemiconjBy a⁻¹ x⁻¹ y⁻¹ ↔ SemiconjBy a y x
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
S✝ : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
S : Submodule R M'
I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ I
x : M
hx : x ∈ comap f S
⊢ r • x ∈ comap f (I • S)
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s t : Set α
f : α → M
h1 : s.mulIndicator f = f
h2 : s ⊆ t
⊢ t.mulIndicator f = f
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : ι → Type u_4
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (i : ι) → Ω → β i
hf_Indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun m f κ μ
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (f i) (f j) κ μ
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
⊢ (inl R M M₂).coprod (inr R M M₂) = id
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
m : M
⊢ ∀ (a : QuadraticMap R M N), (QuadraticMap.evalAddMonoidHom m) a = a m
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : Field 𝕜
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Algebra 𝕜 R
inst✝¹¹ : Module 𝕜 M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n : ℕ
⊢ ((expSeries 𝕜 (tsze R M) n) fun x_1 => x).fst = (expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
⊢ eraseLead 0 = 0
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝² : CommSemiring S
p q : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : R[X]
hf : derivative f = 0
hp : p ≠ 0
n : ℕ
⊢ ((expand R p) (contract p f)).coeff n = f.coeff n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂
h : K₁ ≤ K₂
⊢ FiniteDimensional.finrank 𝕜 ↥K₁ + FiniteDimensional.finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂) = FiniteDimensional.finrank 𝕜 ↥K₂
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, 0), f z) = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ x = midpoint R x y ↔ x = y
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a b : α
⊢ Int.fract a = Int.fract b ↔ ∃ z, a - b = ↑z
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a b : α
⊢ count a {b} = if a = b then 1 else 0
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift.{max uE' uF uP, uG} G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift.{max uG uF uP, uE'} E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift.{max uG uE' uP, uF} F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift.{max uG uE' uF, uP} P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ⇑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (⇑isoG.symm) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => isoE'.symm (g (isoP ep) (isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF := (↑(isoE'.arrowCongr isoF).symm).comp L
R : eP × eG → eF := fun q => (ef ⋆[eL, eμ] eg q.1) q.2
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((⇑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
A : ContDiffOn 𝕜 n (⇑isoF ∘ R ∘ ⇑(isoP.prod isoG).symm) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type w
AddCommMonoid M'
Module R M'
B : LinearMap.BilinForm R M'
l r : M →ₗ[R] M'
v w : M
⊢ ((B.comp l r) v) w = (B (l v)) (r w)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] E
⊢ HasStrictFDerivAt (⇑iso ∘ f)
    ((↑{ toLinearEquiv := iso.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp f') x ↔
  HasStrictFDerivAt f f' x
α : Type u_2
One α
⊢ Finset.Nonempty 1
α : Type u
MeasurableSpace α
β : Type v
self : MeasureTheory.SimpleFunc α β
x : β
⊢ MeasurableSet (↑self ⁻¹' {x})
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha : a.Nonneg
hb : b.Nonneg
⊢ (a * b).Nonneg
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
l : Filter ι
l.IsCountablyGenerated
⊢ TendstoUniformlyOn F f l s ↔
  ∀ (u : ℕ → ι), Filter.Tendsto u Filter.atTop l → TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f Filter.atTop s
R : Type u_2
CommSemiring R
φ : Polynomial R
⊢ ↑φ = 1 ↔ φ = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
T : Submodule 𝕜 E
hT : IsCompl S T
M : (↥S × ↥T) ≃ₗ[𝕜] E := S.prodEquivOfIsCompl T hT
M_cont : Continuous ⇑M.symm
P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T
P_cont : Continuous ⇑P
I : Function.Bijective ⇑(L.domRestrict T)
L' : ↥T ≃ₗ[𝕜] F := LinearEquiv.ofBijective (L.domRestrict T) I
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
F : Type u_1
Field F
p : F[X]
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
Fact (Polynomial.Splits (algebraMap F E) p)
ϕ : p.Gal
x : ↑(p.rootSet E)
⊢ ϕ • x = (Polynomial.Gal.rootsEquivRoots p E) (ϕ • (Polynomial.Gal.rootsEquivRoots p E).symm x)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
hμ : MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ ⇑⟨μ, hμ⟩ = fun s => (μ s).toNNReal
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderTop α
a b c : α
h : b ⊓ a ≤ c
hd : Codisjoint b c
⊢ a ≤ c
C : Type u
X Y X✝ : F C
⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (λ_ X✝).inv ≫ (normalizeIsoApp' C (𝟙_ (F C) ⊗ X✝) n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
x : ℝ
⊢ deriv^[2] (fun x => √x * Real.log x) x = -Real.log x / (4 * √x ^ 3)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M₂ : Type u_3
AddCommGroup M₂
Module R M₂
M₃ : Type u_4
AddCommGroup M₃
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
⊢ (LinearMap.ker f).prod (LinearMap.ker g) ≤ LinearMap.ker (f.coprod g)
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
m : ℕ
hm : multiplicity a b < ↑m
⊢ ¬a ^ m ∣ b
α : Type u
g : Set (Set α)
a : α
this : TopologicalSpace α := generateFrom g
s : Set α
ha : a ∈ s
hs : IsOpen s
⊢ ⨅ s ∈ {s | a ∈ s ∧ s ∈ g}, 𝓟 s ≤ 𝓟 s
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 n
⊢ a ∈ carrier f_deg q ↔ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨(proj 𝒜 n) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ completedHurwitzZetaEven (-a) s = completedHurwitzZetaEven a s
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
Z : C
⊢ inv f ▷ Z ≫ f ▷ Z = 𝟙 (Y ⊗ Z)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸' : Type u_7
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
c : E → 𝔸'
c' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
d : 𝔸'
⊢ HasStrictFDerivAt (fun y => c y * d) (d • c') x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
F G : C ⥤ D
e : F ≅ G
⊢ P.map F = P.map G
α : Type u_1
β : Type u_2
MulOneClass α
MulZeroOneClass β
f : WithZero α →*₀ β
⊢ f = WithZero.lift' ((↑f).comp WithZero.coeMonoidHom)
R : Type u_2
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_8
f : ι → M
hf : LinearIndependent R f
⊢ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range f }) R Subtype.val
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : T
p : T[X]
ha : a ≠ 0
⊢ (algebraMap T S) a ≠ 0
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝² : FloorRing K
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : HasSolidNorm K
val✝ : Fintype ι
x : E
hx : x ∈ fundamentalDomain b
⊢ ‖x‖ ≤ ∑ j : ι, ‖b j‖
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddCommMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
i j : A
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorComm C i j).symm = CategoryTheory.shiftFunctorComm C j i
α : Type u
SemilatticeInf α
a b : α
⊢ a ⊓ b < a ↔ ¬a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
ih : ∀ c ⊆ Ici a, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hax : a ≤ x
m : α
left✝ : m ∈ Ici a
hxm : x ≤ m
hm : ∀ z ∈ Ici a, m ≤ z → z ≤ m
⊢ ∃ m, x ≤ m ∧ ∀ (z : α), m ≤ z → z ≤ m
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.areaForm (o.rightAngleRotation x)) y = -⟪x, y⟫_ℝ
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
p : Submodule R E
f : ↥p →ₗ[R] F
x : ↥p
⊢ ↑{ domain := p, toFun := f } x = f x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
TopologicalSpace M
TopologicalAddGroup M
Module R M
U P : Submodule R M
h : U ≤ P
hU : IsOpen ↑U
⊢ IsOpen ↑P
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x (c • v)
⊢ LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
a : σ →₀ ℕ
⊢ ((MvPolynomial.monomial a) 1).divMonomial a = 1
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
s : Multiset α
⊢ s.prod = ∏ m ∈ s.toFinset, m ^ Multiset.count m s
V : Type u_1
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
hn : ¬G.Adj s t
⊢ (G.replaceVertex s t).edgeSet = G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f✝ g : 𝕜 → F
c : 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
⊢ iteratedDerivWithin n (fun z => c * f z) s x = c * iteratedDerivWithin n f s x
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ star ((CliffordAlgebra.ι Q) m) = -(CliffordAlgebra.ι Q) m
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e✝ : Δ ⟶ Δ'
inst✝¹ : Epi e✝
i : Δ' ⟶ Δ''
inst✝ : Mono i
fac : e✝ ≫ i = φ
this : StrongEpi e✝
e : Δ' ≅ image φ := image.isoStrongEpiMono e✝ i fac
⊢ (image φ).len = Δ'.len
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
a : A
ha : IsUnit a
⊢ spectrum R a ⊆ {0}ᶜ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
x₁ y₁ : I₁
h₁ : x₁ = y₁
x₂ y₂ : I₂
h₂ : x₂ = y₂
i₁₂ : I₁₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (y₁, y₂) = i₁₂
⊢ (HomologicalComplex₂.XXIsoOfEq C c₁ c₂ K h₁ h₂).hom ≫ K.ιTotal c₁₂ y₁ y₂ i₁₂ h = K.ιTotal c₁₂ x₁ x₂ i₁₂ ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
W X Y : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.span f g) G
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.HasPushout (G.map f) (G.map g)
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inr (G.map f) (G.map g) ≫ (CategoryTheory.Limits.PreservesPushout.iso G f g).hom =
  G.map (CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContDiffOn 𝕜 n f (s ∩ u)
x : E
xs : x ∈ s
u : Set E
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 n f (s ∩ u)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
f g : C(α, β)
C : ℝ
Nonempty α
⊢ dist f g ≤ C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C