ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (p.append q).IsTrail
⊢ q.IsTrail
R : Type u_1
n : ℕ
⊢ ∑ m ∈ range (n + 1), (-1) ^ m * ↑(n.choose m) = if n = 0 then 1 else 0
n : ℕ
⊢ List.Nat.antidiagonal (n + 1) = (0, n + 1) :: List.map (Prod.map Nat.succ id) (List.Nat.antidiagonal n)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p₁ : P
hp₁ : (reflection s) p₁ = p₁
p₂ : P
⊢ p₁ = (reflection s) p₁
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l : Turing.ListBlank Γ
⊢ l.nth 0 = l.head
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <+ l₂ → ∀ (l : List α), l ++ l₁ <+ l ++ l₂
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E 0)
⊢ ‖f‖ = ↑⋯.toFinset.card
R : Type u_6
NonAssocRing R
⊢ 1ᶜ = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s₁ s₂ t : Finset β
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ -ᵥ t ⊆ s₂ -ᵥ t
α : Type u_1
a : α
s t : Array α
⊢ a ∈ s ++ t ↔ a ∈ s ∨ a ∈ t
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (GenContFract.of v).partDens.get? n = some b
⊢ 1 ≤ b
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
h : Module.rank K V < ℵ₀
⊢ (Basis.ofVectorSpaceIndex K V).Finite
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ Function.LeftInverse ⇑e.symm ⇑e
x : ℤ[i]
⊢ ↑(Zsqrtd.norm x) = ↑(Complex.normSq (GaussianInt.toComplex x))
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
⊢ s.card = n → ((↑s).Subsingleton ↔ n ≤ 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
Decidable (g a ∈ s)
⊢ ∫⁻ (x : β) in s, f x ∂(ProbabilityTheory.Kernel.deterministic g hg) a = if g a ∈ s then f (g a) else 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
F : Arrow C
X : Augmented C
G : F ⟶ Augmented.toArrow.obj X
x : SimplexCategory
j : Fin (x.len + 1)
t : 𝟙 X.left ≫ X.hom.app x = X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j)
⊢ G.left ≫ X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j) = G.left ≫ X.hom.app x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral g μ
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h₁ : Set.MapsTo f s t
h₂ : Set.InjOn f s
h₃ : Set.SurjOn f s t
⊢ Set.BijOn f s t
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
n : ℕ
⊢ ↑(B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card
α : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
A B C : Matrix m n α
Distrib α
⊢ (B + C).hadamard A = B.hadamard A + C.hadamard A
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a < 1
hb : 1 ≤ b
⊢ mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
ι : Type u_1
α : Type u_3
Preorder α
f : ι → α
s : Set ι
PartialOrder ι
⊢ MonovaryOn f id s ↔ MonotoneOn f s
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ p.restriction.degree = p.degree
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
x : β
⊢ x ∈ s.sup f ↔ ∃ v ∈ s, x ∈ (f v).val
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
a : α
m n : ℕ
inst✝ : Subsingleton αˣ
c d : α
hcd : c = 1 ∧ d = 1 ∨ a = 0
⊢ a = a * c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology α
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
x : α × β
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x.1, x_1)) {b | (x.1, b) ∈ s} x.2
α : Type u
Countable α
Nonempty α
⊢ #(Multiset α) = ℵ₀
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : MeasurableSpace.generateFrom C = inst✝
hD : MeasurableSpace.generateFrom D = inst✝¹
h2C : IsCountablySpanning C
h2D : IsCountablySpanning D
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (Set.image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D) = Prod.instMeasurableSpace
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
t : Finset ι
g : ι → Rₛ
hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0
i : ι
hi : i ∈ t
a : ↥S
g' : ι → R
hg' : ∀ i ∈ t, (algebraMap R Rₛ) (g' i) = ↑a • g i
h0 : f (∑ i ∈ t, g' i • v i) = 0
s : ↥S
hs : ∑ x ∈ t, (↑s * g' x) • v x = 0
hv : ↑s * g' i = 0
⊢ g i = 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMaxOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
this : {x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2}.Countable
⊢ μ = ν
q✝ a b c q : ℚ
hq : q.den = 1
⊢ ↑q.num = q.num /. ↑1
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
⊢ MeasurableSet (aeSeqSet hf p)
X : BoolAlg
⊢ ↑(CategoryTheory.HasForget₂.forget₂.obj X) = ↑X
G : Type u_1
Group G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
x : G
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
ht : IsUpperSet t
⊢ IsLowerSet (s / t)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
ContinuousConstSMul 𝕜 F
m : (i : ι) → E i
c : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ (ContinuousMultilinearMap.apply 𝕜 E F m) c = c m
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Set α
t✝ t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → α → β
s t : Set α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a
⊢ image2 f (s ∩ t) (s ∪ t) ⊆ image2 f s t
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
f : α × β → γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
τ : MeasureTheory.Measure γ
hf : Measurable f
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν
h2f : ∀ᵐ (y : β) ∂ν, MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun x => f (x, y)) μ τ
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f (μ.prod ν) τ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ ⊥ ∆ a = a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
NonUnitalNonAssocSemiring A
TopologicalSpace A
Module 𝕜 A
φ ψ : ↑(WeakDual.characterSpace 𝕜 A)
h : ∀ (x : A), φ x = ψ x
⊢ φ = ψ
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ b - toIcoDiv hp a b • p ∈ Set.Ico a (a + p)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.21217, u_1} A
J : GrothendieckTopology C
S : C
E : PreOneHypercover S
inst✝ : E.HasPullbacks
mem₀ : E.sieve₀ ∈ J.sieves S
mem₁' : ∀ (i₁ i₂ : E.I₀), E.sieve₁' i₁ i₂ ∈ J.sieves (Limits.pullback (E.f i₁) (E.f i₂))
i₁ i₂ : E.I₀
W : C
p₁ : W ⟶ E.X i₁
p₂ : W ⟶ E.X i₂
w : p₁ ≫ E.f i₁ = p₂ ≫ E.f i₂
⊢ Sieve.pullback (pullback.lift p₁ p₂ w) (E.sieve₁' i₁ i₂) ∈ J.sieves W
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSet Set.univ
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f₁ f₂) f₃)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator Y₁ Y₂ Y₃).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X₁ X₂ X₃).hom
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f₁ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f₂ f₃))
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
n : ℕ
s : Finset α
f : ℕ → β
⊢ ∏ t ∈ Finset.powersetCard n s, f t.card = f n ^ s.card.choose n
M : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
SMul M X
ContinuousSMul M X
f : α → M
g : α → X
l : Filter α
c : M
a : X
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 c)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x • g x) l (𝓝 (c • a))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair f 0)
w : CategoryTheory.Limits.cokernel f ≅ 0
⊢ CategoryTheory.Epi f
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
s : Set β
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x
w : Nat
x : BitVec w
y : Nat
⊢ y = x.toNat ↔ y < 2 ^ w ∧ x = BitVec.ofNat w y
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Ideal.IsJacobson R ↔ ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
ha : a ≤ 0
⊢ ⌊a⌋ ≤ 0
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α}, Bornology.IsBounded ∅
R : Type u
AddCommMonoid R
⊢ ↑(AddCommMonCat.of R) = R
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
i j : β
⊢ Equiv.Perm.sumCongr (Equiv.refl α) (Equiv.swap i j) = Equiv.swap (Sum.inr i) (Sum.inr j)
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α
⊢ ↑((∑ i : m, ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)) = (∑ i : m, ∑ j : n, ‖A i j‖ ^ 2) ^ (1 / 2)
p : ℕ+ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
n : ℕ+
⊢ PNat.find h ≤ n ↔ ∃ m ≤ n, p m
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
R : Type u_3
Ring R
Module R M
S : Submodule R M
x : M ⧸ S
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ m, Submodule.Quotient.mk m = x ∧ ‖m‖ < ‖x‖ + ε
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
⊢ (if n % 4 = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ (n % 4 / 2)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
self : SheafOfModules R
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J self.val.presheaf
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
⊢ f.coprod g ∘ₗ LinearMap.inl R M M₂ = f
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
X B : C
π : X ⟶ B
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone π π
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.map π.op) (P.map c.fst.op) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.map π.op) (P.map c.snd.op)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
r : Rel Y X
l : Filter Y
x : X
⊢ RTendsto' r l (𝓝 x) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → x ∈ s → r.preimage s ∈ l
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
j : ι
x : AdicCauchySequence I (M j)
i : ι
n : ℕ
⊢ Submodule.Quotient.mk ((component R ι M i) ((lof R ι M j) (↑x n))) = ↑((component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) ((lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x))) n
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
Semiring D
Algebra R D
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
CoalgebraStruct R D
φ₁ : C →ₐc[R] D
φ₂ : B →ₐc[R] C
φ₃ : A →ₐc[R] B
⊢ (φ₁.comp φ₂).comp φ₃ = φ₁.comp (φ₂.comp φ₃)
r : Type u
m : Type u → Type v
Monad m
LawfulMonad m
α β : Type u
x : m α
f : α → m β
⊢ ContT.monadLift (x >>= f) = ContT.monadLift x >>= ContT.monadLift ∘ f
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ → Prop
a : ℝ
h : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, p x
l u : ℝ
hx : a ∈ Ioo l u
hs : Ioo l u ⊆ {x | p x}
⊢ 0 < volume {x | p x}
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
h : ⊥ = map (↑(constVAdd k P v)) s
⊢ s = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.ReflectsLimit (CategoryTheory.Limits.cospan h i) F
F.Faithful
H : CategoryTheory.IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ CategoryTheory.IsPullback f g h i
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
ι : Type u_2
f : ι → G.Subgraph
hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching
hd : Pairwise fun i j => Disjoint (f i).support (f j).support
⊢ (⨆ i, f i).IsMatching
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.438256, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
X Y : HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)
f : { as := X } ⟶ { as := Y }
⊢ ∃ Z g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles C
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
he : e ∈ B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f B \ {e})
hfe : f ≠ e
⊢ M.Base (insert f B \ {e})
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List β
y : α
ys : List α
f : List α → β
⊢ (List.permutationsAux2 t ts r (y :: ys) f).2 =
  f (t :: y :: ys ++ ts) :: (List.permutationsAux2 t ts r ys fun x => f (y :: x)).2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.flip.f₁₃ = sq.f₁₂
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ContDiffAt 𝕜 1 f x ↔ ∃ f', ∃ u ∈ 𝓝 x, ContinuousOn f' u ∧ ∀ x ∈ u, HasFDerivAt f (f' x) x
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
m : ι → MeasurableSpace Ω
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ _mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
h_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (π n)
h_generate : ∀ (i : ι), m i = MeasurableSpace.generateFrom (π i)
h_ind : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSets π κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.iIndep m κ μ
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x : E
⊢ IsConnected {y | SameRay ℝ x y}
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
⊢ Nat.card (Sylow p G) = Nat.card (G ⧸ (↑P).normalizer)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
x v : E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ LineDifferentiableAt 𝕜 f x (c • v) ↔ LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x : 𝕎 R
m : ℕ
⊢ WittVector.truncateFun n (x ^ m) = WittVector.truncateFun n x ^ m
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
s✝ : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
s : Multiset α
ih : s.Nodup → (∀ a ∈ s, (t a).Nodup) → (s.pi t).Nodup
hs✝ : (a ::ₘ s).Nodup
ht : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, (t a_1).Nodup
has : a ∉ s
hs : s.Nodup
⊢ ((a ::ₘ s).pi t).Nodup
z : ℂ
⊢ √(Complex.normSq ((starRingEnd ℂ) z)) = √(Complex.normSq z)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ P.actRight = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
MeasurableNeg G
μ' ν' : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite μ'
MeasureTheory.SigmaFinite ν'
μ'.IsAddLeftInvariant
ν'.IsAddLeftInvariant
s t : Set G
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
⊢ μ' s * ν' t = ν' s * μ' t
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
k r : ℕ
s : Finset α
⊢ (∃ s_1, s_1ᶜ ∈ 𝒜 ∧ ∃ a ∈ s_1, s_1.erase a = s) ↔ ∃ s_1 ∈ 𝒜, ∃ a ∉ s_1, insert a s_1 = sᶜ
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
r : R
m : LocalizedModule S M
a : M
b : ↥S
⊢ r • ↑⋯.unit⁻¹ (g a) = ↑⋯.unit⁻¹ (g (r • a))
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ Disjoint (sSup s) a ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → Disjoint b a
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
⊢ Convex ℝ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
ι : Type u_1
α : Type u_2
Semiring α
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
hσ : σ.IsCycleOn ↑s
f g : ι → α
⊢ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, g i = ∑ k ∈ Finset.range s.card, ∑ i ∈ s, f i * g ((σ ^ k) i)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn : 0 < n
⊢ n • a < n • b ↔ a < b
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, (f i).IsPrime
I : Ideal R
⊢ ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ‖c * X ω - c * ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p✝ m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
p : ℕ
hp : Prime p
⊢ ¬p ^ 2 ∣ m * n ↔ ¬p ^ 2 ∣ m ∧ ¬p ^ 2 ∣ n
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ 0 < normSq z ↔ z ≠ 0
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
x : ↥U
y : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hy : (X.presheaf.germ x) y = (X.presheaf.germ x) 0
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hW : ↑x ∈ W
iU : W ⟶ U
e : (X.presheaf.map iU.op) y = (X.presheaf.map iU.op) 0
this : Nonempty ↑↑(↑W).toPresheafedSpace
⊢ y = 0
⊢ @WellFounded.fixF = @WellFounded.fixFC
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ orthogonalProjectionFn s p ∈ s
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ Disjoint (frontier s) s ↔ IsOpen s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
Countable ι
TopologicalSpace β
f : α → β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
_m : MeasurableSpace α
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (MeasureTheory.Measure.sum μ) ↔
  ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹² : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E
f : X → Y → G
s : Set X
k : Set Y
g : Y → F
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
hg : IntegrableOn g k μ
A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)
q : X
hq : q ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : ∫ (x : Y) in k, ‖L‖ * ‖g x‖ * δ ∂μ < ε
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] q, dist (∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ) (∫ (y : Y), (L (g y)) (f q y) ∂μ) < ε
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (o.oangle (r • y - x) y).sign = -(o.oangle x y).sign
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
γ : Sort u_1
Nonempty β
SemilatticeSup β
u : β → α
p : γ → Prop
s : γ → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
⊢ CauchySeq u ↔ ∀ (i : γ), p i → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → (u m, u n) ∈ s i
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor A B
G : CategoryTheory.Functor A C
X : A
⊢ (F.prod'CompFst G).hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
P : Type u₃
CommSemiring P
CharP P p
PerfectRing P p
π : P →+* R
m : PerfectionMap p π
x : P
⊢ (Perfection.coeff R p 0) (m.equiv x) = π x
α : Sort u_1
inst✝ : Unique α
p : α → Prop
h : p default
x : α
⊢ p x
ι : Type u_1
μ : Type u_2
DecidableEq ι
AddCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
⊢ (insert a s).finsuppAntidiag n =
  (Finset.antidiagonal n).biUnion fun p =>
    Finset.map { toFun := fun f => (↑f).update a p.1, inj' := ⋯ } (s.finsuppAntidiag p.2).attach
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a : A
⊢ IsQuasiregular ↑a ↔ IsQuasiregular a
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
DecidableEq ι
Monoid R
AddMonoid M
DistribMulAction R M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
r : R
f : Π₀ (x : ι), M
⊢ (r • f).toFinsupp = r • f.toFinsupp
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
⊢ Set.InjOn (fun x => match x with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)) ↑(m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal)
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
f : Finset α → β
⊢ ∏ t ∈ s.powerset, f t = ∏ j ∈ Finset.range (s.card + 1), ∏ t ∈ Finset.powersetCard j s, f t
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanHom 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
h : {a, b}.prod = {c, d}.prod
⊢ {f a, f b}.prod = {f c, f d}.prod