ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
ε : 𝕜
Fintype α
DecidableRel G.Adj
⊢ G.FarFromTriangleFree ε ↔
  ∀ ⦃H : SimpleGraph α⦄ [inst : DecidableRel H.Adj],
    H ≤ G → H.CliqueFree 3 → ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑G.edgeFinset.card - ↑H.edgeFinset.card
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
a : 𝕜
x : E
hx : x ∈ s
⊢ egauge 𝕜 s ((fun x => (a * c) • x) x) / ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖a‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Colex α
⊢ s ≤ t ↔ ↑s.ofColex \ ↑t.ofColex ⊆ ↑(lowerClosure (↑t.ofColex \ ↑s.ofColex))
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).hom ≫ (coprod.braiding X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom = (coprod.braiding X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (coprod.braiding X Z).hom
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih' : ∀ (a : Args), TransGen (CutExpand IsOption) (match a with | Args.P1 x y => {y, x} | Args.P24 x₁ x₂ y => {x₁, y, x₂}) {x₁, y, x₂} → P124 a
⊢ {x₁, y, x₂} = {x₂, y, x₁}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
x : α
hx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ Tendsto (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop (𝓝 ↑‖f_lim x‖₊)
a b c : Ordinal.{u_1}
a1 : 1 < a
⊢ a ^ b ∣ a ^ c ↔ b ≤ c
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
FloorRing K
Fintype ι
Unique ι
k : K
⊢ ↑(Zspan.floor (Basis.singleton ι K) k) = ↑⌊k⌋
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 s
α : Type u
R : Type v
inst✝ : CommRing R
f✝ : α → R
f : FreeCommRing α →+* R
x✝ x y : FreeCommRing α
ihx : (lift (⇑f ∘ of)) x = f x
ihy : (lift (⇑f ∘ of)) y = f y
⊢ (lift (⇑f ∘ of)) (x + y) = f (x + y)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrder α
DenselyOrdered α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
T2Space β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
ha : Filter.Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)
⊢ extendFrom (Set.Ioo a b) f a = la
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ (Monoid.Coprod.swap M N).comp Monoid.Coprod.inl = Monoid.Coprod.inr
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
⊢ p.restriction.coeff p.natDegree = 1 ↔ ↑(p.restriction.coeff p.natDegree) = 1
a b c : Nat
h : a * b < a * c
⊢ b < c
R : Type u
NonAssocSemiring R
⊢ Function.Injective Subsemiring.toAddSubmonoid
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖₊ < r ↔ ∀ (i : m) (j : n), ‖A i j‖₊ < r
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
r : AdicCauchySequence I R
h : I ^ m = I ^ m • ⊤
⊢ (Ideal.Quotient.mk (I ^ m)) (↑r n) = (Ideal.Quotient.mk (I ^ m)) (↑r m)
E : Type
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
s : Set E
fs : AnalyticOn ℂ f s
⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => cexp (f z)) s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
hf : StronglyMeasurable ↑f
⊢ ∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∫ (x : β), ↑f x ∂μ.trim hm
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
f : ↥(lp E p)
hp₀ : 0 < p
⊢ HasSum (fun i => lp.single p i (↑f i)) f
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
α : Type u_7
MeasureTheory.MeasureSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → G
⊢ ∫ (x : ↑s), f ↑x = ∫ (x : α) in s, f x
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N₁ N₂ : L.Substructure M
hN₁ : N₁.FG
hN₂ : N₂.FG
t₁ : Set M
ht₁ : t₁.Finite ∧ (closure L).toFun t₁ = N₁
t₂ : Set M
ht₂ : t₂.Finite ∧ (closure L).toFun t₂ = N₂
⊢ (closure L).toFun (t₁ ∪ t₂) = N₁ ⊔ N₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
⊢ a ∈ upperClosure ↑(s ⊻ t) ↔ a ∈ upperClosure ↑s ∧ a ∈ upperClosure ↑t
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformly F f p
hf : ContinuousAt f x
hg : Filter.Tendsto g p (𝓝 x)
⊢ Filter.Tendsto (fun n => F n (g n)) p (𝓝 (f x))
α : Type u_1
a : α
o : Option α
⊢ a ∈ o.toFinset ↔ a ∈ o
M : Type u_3
N : Type u_4
Preorder M
Add M
Sub M
OrderedSub M
PartialOrder N
Add N
Sub N
OrderedSub N
e : M ≃o N
h_add : ∀ (a b : M), e (a + b) = e a + e b
a b : M
⊢ e (a - b) = e a - e b
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
h :
  ∀ (g : G) {K : TopologicalSpace.Compacts G},
    (fun s => ↑(μ.toFun s)) (TopologicalSpace.Compacts.map (fun b => g + b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
g : G
A : Set G
⊢ μ.outerMeasure ((fun x => g + x) ⁻¹' A) = μ.outerMeasure A
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖↑(f a).toNNReal‖ ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a b : R
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n = b ^ n ↔ a = b
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ Nonempty α ↔ Nonempty β
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.rightHomologyIso.inv (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ) S₂.rightHomologyIso.inv
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h2s : MeasurableSet (univ.pi s)
⊢ (∫⋯∫⁻_{t.i}, fun a => (univ.pi s).indicator 1 ((toLin' t.toMatrix) a) ∂fun x => volume) = ∫⋯∫⁻_{t.i}, (univ.pi s).indicator 1 ∂fun x => volume
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
h : xs.Disjoint ys
a : α
hx : a ∈ xs
hy : a ∈ ys.dedup
⊢ False
α : Type u_9
β : Type u_10
AddCommMonoid β
Unique α
Fintype α
f : α → β
⊢ ∑ x : α, f x = f default
α : Type u
MulZeroOneClass α
a : α
Nontrivial α
Invertible a
⊢ a ≠ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
D1 D2 : Derivation R A M
⊢ ↑(D1 + D2) = ↑D1 + ↑D2
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
α : Type u_4
l : Filter α
f : α → 𝔸
a : 𝔸
hf : Filter.Tendsto f l (nhds a)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => NormedSpace.exp 𝕂 (f x)) l (nhds (NormedSpace.exp 𝕂 a))
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f✝ : E → F
hf_temperate : Function.HasTemperateGrowth f✝
n : ℕ
k : ℕ → ℕ
C : ℕ → ℝ
f : ∀ (n : ℕ) (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f✝ x‖ ≤ C n * (1 + ‖x‖) ^ k n
⊢ ∃ C, 0 ≤ C ∧ ∀ N ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ N f✝ x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ (Finset.range (n + 1)).sup k
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α
ε : ℝ
left✝ : 0 ≤ ε
ε_pos : 0 < ENNReal.ofReal ε
ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
LinearOrder α
m n : ℕ
s : Finset α
hm : s.card = m
hn : sᶜ.card = n
i : Fin m
⊢ (finSumEquivOfFinset hm hn) (Sum.inl i) = (s.orderEmbOfFin hm) i
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
hp₁ : p ≠ 2
hp₂ : ringChar F ≠ p
⊢ (quadraticChar F) ↑p = (quadraticChar (ZMod p)) (↑(ZMod.χ₄ ↑(Fintype.card F)) * ↑(Fintype.card F))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a : α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
CompactIccSpace α
Filter.atTop.IsMeasurablyGenerated
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f (Set.Ici a) μ
ho : f =O[Filter.atTop] g
hg : MeasureTheory.IntegrableAtFilter g Filter.atTop μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ici a) μ
X : Bipointed
⊢ (Bipointed.swapEquiv.inverse.obj X).X = X.X
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hA : A.Nonempty
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hG : P.IsUniform G ε
⊢ ↑(P.parts.card * (P.parts.card - 1)) * ε * ↑(A.card / P.parts.card + 1) ^ 2 < ε * (↑A.card + ↑P.parts.card) ^ 2
Γ₀ : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
h : Nontrivial Γ₀ˣ
f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0
hf : StrictMono ⇑f
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
g : Γ₀ˣ
hg1 : g ≠ 1
⊢ ∃ d, f ↑d < r
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X✝ : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : TopologicalSpace M✝
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : ContinuousMul M✝
X : Type u_6
M : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
s : Finset ι
l : Filter X
f g : ι → X → M
hs : ∀ᶠ (x : X) in l, ∀ i ∈ s, f i x = g i x
⊢ ∏ i ∈ s, f i =ᶠ[l] ∏ i ∈ s, g i
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (f - g) μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
AddGroup G
LieAddGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
x₀ : M
hf : SmoothAt I' I f x₀
hg : SmoothAt I' I g x₀
⊢ SmoothAt I' I (fun x => f x - g x) x₀
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
IsIntegralClosure A R B
Algebra R A
IsScalarTower R A B
x : R
h : IsIntegral R ((algebraMap R B) x) := ⋯
⊢ IsIntegralClosure.mk' A ((algebraMap R B) x) h = (algebraMap R A) x
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
⊢ IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S → IsLocalization M S
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hc : ContinuousWithinAt f s x'
⊢ 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x' = 𝓝[e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)] ↑e x'
n✝ m n : ℕ
H : ∀ (k : ℕ), Prime k → k ∣ m → ¬k ∣ n
⊢ m.gcd n = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LocallyLipschitz f
⊢ LocallyLipschitz f^[0]
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹² : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E
f : X → Y → G
s : Set X
k : Set Y
g : Y → F
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
hg : IntegrableOn g k μ
A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)
q : X
hq : q ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] q, dist (∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ) (∫ (y : Y), (L (g y)) (f q y) ∂μ) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
s s' : Set α
t : α → Set β
h : s' ⊆ s
⊢ ⋂ x ∈ s, t x ⊆ ⋂ x ∈ s', t x
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
c : E
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, c = (b - a) • c
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≠ ⊤ → ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ⊤
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
K : Type u_1
RCLike K
n : ℕ
n.AtLeastTwo
z : K
⊢ RCLike.re (OfNat.ofNat n * z) = OfNat.ofNat n * RCLike.re z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_5
Zero M
f : α ≃ β
g : β ≃ γ
⊢ Finsupp.equivMapDomain (f.trans g) = Finsupp.equivMapDomain g ∘ Finsupp.equivMapDomain f
G : Type u_2
Group G
⊢ ⊥⁻¹ = ⊥
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
DecidableEq β
DecidableEq γ
VAdd αᵃᵒᵖ β
VAdd β γ
VAdd α γ
a : α
s : Finset β
t : Finset γ
h : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), AddOpposite.op a +ᵥ b +ᵥ c = b +ᵥ (a +ᵥ c)
⊢ AddOpposite.op a +ᵥ s +ᵥ t = s +ᵥ (a +ᵥ t)
n : ℕ
h : n ≠ 0
θ : Angle
⊢ (n • ↑θ.toReal).toReal = ↑n * θ.toReal ↔ θ.toReal ∈ Set.Ioc (-π / ↑n) (π / ↑n)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
⊢ (o.kahler x) ((o.rotation θ) y) = ↑θ.expMapCircle * (o.kahler x) y
X : Type v
Y : Type w
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
⊢ ParacompactSpace X ↔ ParacompactSpace Y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a b : α
⊢ ↑s ⊆ {a} ↔ s ⊆ {a}
m✝ n✝ : ℕ
b : Bool
m n k : ℕ
h : k + 1 ≤ n + 1
⊢ shiftLeft' b m (n + 1 - (k + 1)) = shiftLeft' b m (n + 1) >>> (k + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
H : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y
k : α →. σ
hk : Partrec k
K : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
a : α
x : σ
this : (k a).Dom
h : x ∈ f a
h' : (k a).get this ∈ f a
⊢ (k a).get this = x
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.IsIdempotentComplete D
X : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C} (f : X_1 ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Idempotents.functorExtension C D).obj X).map f =
    (CategoryTheory.Idempotents.toKaroubiEquivalence D).inverse.map
      (((CategoryTheory.Idempotents.functorExtension₂ C D).obj X).map f)
α : Type u_2
LinearOrderedField α
c : α
hc : c ≤ 0
a b : α
⊢ max (a / c) (b / c) = min a b / c
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
B : Set (Set α)
empty_mem : ∅ ∈ B
subset_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ⊆ s₁, s₂ ∈ B
union_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ∈ B, s₁ ∪ s₂ ∈ B
sUnion_univ : ∀ (a : α), ∃ b ∈ B, a ∈ b
x : α
⊢ {x} ∈ B
α : Type u_1
f : ℕ → ℕ → Set α
⊢ ⋃ n, f (Nat.unpair n).1 (Nat.unpair n).2 = ⋃ i, ⋃ j, f i j
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
v : n → α
i j : n
⊢ ((diagonal v).updateColumn j (Pi.single i 1)).det = diagonal (fun i => ∏ j ∈ univ.erase i, v j) i j
a : ℤ
b p : ℕ
hp : p ∈ b.primeFactorsList
h₁✝ h₂ : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p) := { out := h₂ }
⊢ legendreSym p a = legendreSym p (a % ↑b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
⊢ (fun x => a • x) y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.CliqueFree (r + 1) ∧ ∀ (H : SimpleGraph V) [inst : DecidableRel H.Adj], H.CliqueFree (r + 1) → H.edgeFinset.card ≤ G.edgeFinset.card
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
⊢ ¬G.Adj t u
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Fintype ι
⊢ ¬LinearIndependent R v ↔ ∃ g, ∑ i : ι, g i • v i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
hb' : Iio b = ∅
⊢ map Subtype.val atTop = 𝓝[<] b
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
δ : ℝ
hδs : δ ∈ s
δ_nonpos : δ ∉ Ioi 0
⊢ closure E = ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
s : Set G
a : G
⊢ ↑a ∈ stabilizer (G ⧸ stabilizer G s) (QuotientGroup.mk '' s) ↔ ↑a ∈ ⊥
x : ℝ≥0
⊢ NNReal.sqrt x = x ^ (1 / 2)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A₀ : C
x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃
hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A₀
hπ₁ : Epi π₁
p : A₁ ⟶ S.P
hp : π₁ ≫ x₃ = p ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃
hp' : (p ≫ S.φ₁) ≫ S.v₂₃.τ₁ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
hπ₂ : Epi π₂
x₁ : A₂ ⟶ S.L₁.X₁
hx₁ : π₂ ≫ p ≫ S.φ₁ = x₁ ≫ S.v₁₂.τ₁
x₂' : A₂ ⟶ S.L₁.X₂ := x₁ ≫ S.L₁.f
x₂ : A₂ ⟶ S.L₁.X₂ := π₂ ≫ p ≫ pullback.fst S.L₁.g S.v₀₁.τ₃
hx₂' : (x₂ - x₂') ≫ S.v₁₂.τ₂ = 0
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₃ = x₁ ≫ S.L₁'.f
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Set.MapsTo id s s
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a b : EReal
h : ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (a, b)
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (b, a)
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
v : Fin 2 → ℤ
hv : v ∈ gammaSet N a
γ : SL(2, ℤ)
this : ∀ (i : Fin 2), ↑((v ᵥ* ↑γ) i) = ((fun x => ↑x) ∘ v ᵥ* (↑γ).map fun x => ↑x) i
⊢ (fun x => (a ᵥ* (↑γ).map fun x => ↑x) x) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : CommSemiring β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
c : β
z : ℕ
⊢ Tendsto (fun a => k a ^ z * (fun n => f n * c) a) l (𝓝 0)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
Mul β
MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
hf_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hij : i ≠ j
hik : i ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (f i) (f j * f k) κ μ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
g : ℕ → ℂ → E := fun n z => cexp z ^ n • f z
hg : ∀ (n : ℕ) (z : ℂ), ‖g n z‖ = expR z.re ^ n * ‖f z‖
z : ℂ
hz : 0 < z.re
n : ℕ
⊢ ‖g n z‖ ≤ C
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
w z : P
t₁ : R
ht₁ : t₁ ∈ Set.Icc 0 1
t₂ : R
ht₂ : t₂ ∈ Set.Icc 0 1
⊢ (((t₁ - t₂ * t₁) * 1 - (t₁ - t₂ * t₁) * (t₂ * t₁)) / (1 - t₂ * t₁) + t₂ * t₁) • (z -ᵥ w) = t₁ • (z -ᵥ w)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (W.map φ).a₃ = φ W.a₃
P : TopCat → Prop
X Y B : CompHausLike P
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
inst✝ : HasExplicitPullback f g
Z : CompHausLike P
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget (CompHausLike P)).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
⊢ ↑(a z) = ↑(b z)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
⊢ (TensorProduct.mk R ↑M ↑(of R R)).compr₂ (tensorHom f (𝟙 (of R R)) ≫ (rightUnitor N).hom) = (TensorProduct.mk R ↑M ↑(of R R)).compr₂ ((rightUnitor M).hom ≫ f)
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
ha : IsUnit A.det
z1 z2 : ℤ
⊢ A ^ (z1 - z2) = A ^ z1 / A ^ z2
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Mul α
SemilatticeInf β
OrderTop β
s t : Finset α
f : α → β
a : β
⊢ a ≤ (s * t).inf f ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, a ≤ f (x * y)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a : α
h : MonotoneOn f (Set.Ici a)
⊢ Set.MapsTo f (Set.Ici a) (Set.Ici (f a))
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
B : Set ((i : ι) × α i)
⊢ (Matroid.sigma M).Base B ↔ ∀ (i : ι), (M i).Base (Sigma.mk i ⁻¹' B)
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
⊢ (A₁.fromRows A₂).toRows₁ = A₁
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerRightIso (F.mapId a) (F.map f) =
  (F.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) f).symm ≪≫
    F.map₂Iso (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f) ≪≫ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (F.map f)).symm
xl xr : Type u
x y : PGame
h₁ : y ⧏ x
h₂ : y ≤ x
⊢ x < y ∨ x ≈ y ∨ y < x ∨ x ‖ y