ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type (max (max (max uE u𝕜) uι) (max uE uι) u𝕜) := (⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)
G' : Submodule 𝕜 F := LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)
e : ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) ≃ₗ[𝕜] ↥(LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)) := (lift f.toMultilinearMap).quotKerEquivRange
this✝ : SeminormedAddCommGroup G := SeminormedAddCommGroup.induced G (↥G') e
this : NormedSpace 𝕜 G := NormedSpace.induced 𝕜 G (↥G') e
f'₀ : MultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := lift.symm (↑e.symm ∘ₗ (lift f.toMultilinearMap).rangeRestrict)
hf'₀ : ∀ (x : (i : ι) → E i), ‖f'₀ x‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖
f' : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := f'₀.mkContinuous ‖f‖ hf'₀
hnorm : ‖f'‖ ≤ ‖f‖
heq : ↑(e ((lift f'.toMultilinearMap) x)) = (lift f.toMultilinearMap) x
hle : (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G) ≤ injectiveSeminorm
⊢ ‖((toDualContinuousMultilinearMap ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap))) x) f'‖ ≤ ‖(toDualContinuousMultilinearMap G) x‖ * ‖f'‖
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
ht : IsAntichain r t
h : maximals r s ⊆ t
hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → ∃ b ∈ maximals r s, r b a
a : α
ha : a ∈ t
b : α
hb : b ∈ maximals r s
hr : r b a
⊢ a ∈ maximals r s
a : ℚ
⊢ 0 < a.num ↔ 0 < a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
this : (vanishingIdeal (zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t).toIdeal)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal
⊢ (vanishingIdeal (closure t)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer
⊢ IsEngelian R ↥K'
a x : ℝ
⊢ ↑(HurwitzZeta.sinKernel (↑a) x) = jacobiTheta₂' (↑a) (Complex.I * ↑x) / (-2 * ↑π)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ re (⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜 + (⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜)) = re ⟪x, x⟫_𝕜 + re ⟪y, y⟫_𝕜 + (re ⟪x, x⟫_𝕜 + re ⟪y, y⟫_𝕜)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
AddZeroClass α
AddZeroClass β
AddZeroClass γ
g : β →+o γ
f₁ f₂ : α →+o β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteLattice β
f : α → β
c : β
hf : (fun x => c) ≤ᵐ[μ] f
⊢ c ≤ essInf f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
val✝ : Encodable ι
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum ε' c ∧ c < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
CompleteSpace α
T0Space α
f : β × γ → α
h : Multipliable f
⊢ ∏' (p : β × γ), f p = ∏' (b : β) (c : γ), f (b, c)
x : ℝ
⊢ cos (arctan x) = 1 / √(1 + x ^ 2)
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
x : M
hn : 0 < n
h : x < 0
⊢ n • x < 0
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b
⊢ LSeriesHasSum (f + g) s (a + b)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
n : γ → δ
m' : α' → β' → δ
n₁ : α → α'
n₂ : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), n (m a b) = m' (n₁ a) (n₂ b)
⊢ Filter.map n (Filter.map₂ m f g) = Filter.map₂ m' (Filter.map n₁ f) (Filter.map n₂ g)
α : Type u_1
E I X : Set α
⊢ (Matroid.freeOn E).Basis I X ↔ I = X ∧ X ⊆ E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : x < π / 2
⊢ (π / 2)⁻¹ * x < sin x
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : CategoryTheory.CategoryStruct.id a ≅ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
ε : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f ≅ CategoryTheory.CategoryStruct.id b
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.rightZigzagIso η ε).inv = CategoryTheory.Bicategory.leftZigzag ε.inv η.inv
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hg : HasFDerivAtFilter g g' x L
x✝ : E
⊢ f x✝ - f x - f' (x✝ - x) + (g x✝ - g x - g' (x✝ - x)) = f x✝ + g x✝ - (f x + g x) - (f' + g') (x✝ - x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'
⊢ RightInvOn (↑e'.symm) (↑e) e'.target
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) GenLoop.const
⊢ ↑(GenLoop.fromLoop i p) =
  ({ toFun := Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ }.comp p.toContinuousMap).uncurry.comp (Cube.splitAt i).toContinuousMap
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : E
⊢ x +ᵥ r • ball 0 1 = ball x r
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
K : Type (max v u)
inst✝⁴ : SmallCategory K
inst✝³ : FinCategory K
inst✝² : HasLimitsOfShape K D
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)
inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))
k : K
j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ
⊢ Multiequalizer.lift ((unop j).index (F.obj k)) (multiequalizer ((unop j).index (limit F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop j).index (limit F)) i ≫ (limit.π F k).app (op i.Y)) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (F.obj k) X) j = (((J.diagramFunctor D X).mapCone (limit.cone F)).π.app k).app j ≫ (colimit.ι (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip j).app k ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k).hom
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
⊢ Isometry f ↔ ∀ (x y : α), nndist (f x) (f y) = nndist x y
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
⊢ (PadicInt.lift ⋯) z = z
α : Type u
inst✝² : Ring α
a b : α
inst✝¹ : Invertible a
inst✝ : Invertible b
⊢ ⅟a - ⅟b = ⅟a * (b - a) * ⅟b
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : WithLp p (α × β)
⊢ edist ((WithLp.equiv p (α × β)) x) ((WithLp.equiv p (α × β)) y) ≤ ↑1 * edist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det
⊢ M.det = ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det
a : Ordinal.{u_4}
⊢ a % 0 = a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
Q : AffineSubspace k P
⊢ (↑Q).Nonempty ↔ Q ≠ ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
f : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
g : α → E
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp f p (μ.restrict s)
hg : Memℒp g p (μ.restrict sᶜ)
hp_zero : ¬p = 0
⊢ Memℒp (s.piecewise f g) p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ‖MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf‖ = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ).toReal
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : Embedding ⇑g
⊢ Embedding ⇑(pullback.fst f g)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ x = y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
a : CategoryTheory.Arrow C
⊢ (F.mapArrow.obj a).left = F.obj a.left
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ : Finset α
u✝ v✝ a b : α
inst✝ : DecidableEq α
u v : α
s : Finset α
⊢ (𝓒 u v s).card = s.card
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : CliffordAlgebra Q
a b : M
h : QuadraticMap.IsOrtho Q a b
⊢ (ι Q) a * ((ι Q) b * x) = -((ι Q) b * ((ι Q) a * x))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p : P
this : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
⊢ Coplanar k (insert p s)
α : Type u_1
p : PMF α
s : Set α
⊢ p.toOuterMeasure (s ∩ p.support) = p.toOuterMeasure s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝ : Encodable α
⊢ Nonempty (α ≃o β)
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ T0Space X ↔ Pairwise fun x y => ¬Inseparable x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
hs : s ⊆ range f
⊢ f '' (f ⁻¹' s) = s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁.HomotopyEquiv S₂
⊢ e.symm.inv = e.hom
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
h3a : 3 ∣ a
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0
x : ℤ
hx : x = a ∨ x = b ∨ x = c
⊢ 3 ∣ id x
L✝ : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L✝
inst✝⁶ : Algebra K L✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L✝
F : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : Algebra.IsSeparable K F
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : CharZero K
x : 𝓞 F
this✝ : Algebra K (AlgebraicClosure K) := AlgebraicClosure.instAlgebra K
L : IntermediateField K (AlgebraicClosure F) := normalClosure K F (AlgebraicClosure F)
this : FiniteDimensional F ↥L
⊢ IsUnit ((norm K) x) ↔ IsUnit x
α β : Type u
m : Type u → Type u
Applicative m
F : α → m β
⊢ Function.comp (traverse F) ∘ HMul.hMul = fun x y =>
  Seq.seq ((fun x x_1 => x * x_1) <$> traverse F x) fun x => traverse F y
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
n : ℕ
⊢ x ^ (y - ↑n) = x ^ y / x ^ n
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
⊢ IsFiltered (CostructuredArrow F d)ᵒᵖ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
U : Set X
Uo : IsOpen U
aU : a ∈ U
hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
x : X
hxU : x ∈ U
hxs : x ∈ closure s
⊢ ContinuousWithinAt f (U ∩ s) x
α : Type u
L : List (α × Bool)
β : Type v
f : α → β
⊢ (FreeAddGroup.map f) (FreeAddGroup.mk L) = FreeAddGroup.mk (List.map (fun x => (f x.1, x.2)) L)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
h : ∀ (i : n), A i j = 0
⊢ A.det = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ
⊢ preNormEDS' b c d (2 * (m + 2) + 1) = (preNormEDS' b c d (m + 4) * preNormEDS' b c d (m + 2) ^ 3 * if Even m then b else 1) - preNormEDS' b c d (m + 1) * preNormEDS' b c d (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else b
K : Type u_1
hK : NormedField K
h : IsNonarchimedean (sorryAx (K → ℝ) true)
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
Γ₀ : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
val : Valued L Γ₀
hv : v.RankOne
x y : L
⊢ v (x + y) ≤ v x ∨ v (x + y) ≤ v y
𝕜 : Type u
ι : Type v
G : Type wG
G' : Type wG'
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
SeminormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
Subsingleton ι
i : ι
⊢ ∀ (a : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x => G) G'),
  (ContinuousMultilinearMap.ofSubsingletonₗᵢ 𝕜 G i).symm a = (ContinuousMultilinearMap.ofSubsingleton 𝕜 G G' i).invFun a
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.FiniteIndex
g : G
⊢ ϕ.transfer g = diff ϕ T (g • T)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
⊢ PseudoMetricSpace.toUniformSpace = UniformSpace.ofDist dist ⋯ ⋯ ⋯
l r : List Char
it : String.Iterator
h : String.Iterator.ValidFor l r it
⊢ it.i = 0 ↔ l = []
R : Type u_2
M : Type u_5
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
NoZeroSMulDivisors R M
c : R
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ c • x = 0 ↔ c = 0
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H : Subgroup G
f : G →* N
hf : Function.Bijective ⇑f
⊢ Subgroup.map f H.normalizer = (Subgroup.map f H).normalizer
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLinearOrder γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
f : α → γ
⊢ LowerSemicontinuousOn f s ↔ ∀ x ∈ s, f x ≤ liminf f (𝓝[s] x)
η : Type u_3
f : η → Type u_4
(i : η) → AddGroup (f i)
DecidableEq η
Finite η
H : (i : η) → AddSubgroup (f i)
J : AddSubgroup ((i : η) → f i)
⊢ AddSubgroup.pi Set.univ H ≤ J ↔ ∀ (i : η), AddSubgroup.map (AddMonoidHom.single f i) (H i) ≤ J
α : Type u_1
F : Type u_3
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
p : ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ ≤ ENNReal.ofReal c * MeasureTheory.eLpNorm g p μ
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℤ
⊢ A ^ (n - 1) = A ^ (n - 1) * A * A⁻¹
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
⊢ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M k⁆ = ⊥
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
⊢ Subgroup.map f ⊥ = ⊥
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o
h₁ : e.toBasis.orientation = o
h₂ : e.toBasis.orientation ≠ -o
⊢ (-o).volumeForm = -o.volumeForm
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
h : ¬IsEmpty (⊤ ↪g turanGraph n r)
⊢ False
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
m : α
L : List α
ih : IsUnit L.prod → ∀ m ∈ L, IsUnit m
h : IsUnit (m :: L).prod
⊢ ∀ m_1 ∈ m :: L, IsUnit m_1
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
f f' g : α → β
t : Set α
⊢ Set.EqOn (s.piecewise f f') g t ↔ Set.EqOn f g (t ∩ s) ∧ Set.EqOn f' g (t ∩ sᶜ)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.addX P P = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x : M × M'
⊢ MDifferentiableAt (I.prod I') I' Prod.snd x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' φ h₁ h₂).op =
  CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' (CategoryTheory.ShortComplex.opMap φ) h₂.op h₁.op
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : ∀ (k : ℕ), padicNorm p (↑f k) = padicNorm p (↑g k)
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
⊢ padicNorm p (↑f (stationaryPoint ⋯)) = padicNorm p (↑g (stationaryPoint ⋯))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
p : PMF α
⊢ p.bind (PMF.pure ∘ f) = PMF.map f p
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
⊢ orderOf (ωUnit (p' + 2)) ∣ 2 ^ (p' + 1 + 1)
R : Type u
m n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
pn : p.natDegree ≤ n
⊢ (p ^ m).coeff (m * n) = p.coeff n ^ m
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
v' : ι' → M
hv : LinearIndependent R v
hv' : LinearIndependent R v'
h : Disjoint (Submodule.span R (Set.range v)) (Submodule.span R (Set.range v'))
⊢ LinearIndependent R (Sum.elim v v')
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : HasMFDerivAt I I' f x f'
⊢ MDifferentiableAt I I' f x
y : ℝ
hy : 1 ≤ y
⊢ 1 + Real.log ↑⌊y⌋₊ ≤ 1 + Real.log y
α : Type u_1
s : Set (Set α)
⊢ (Filter.generate s).NeBot ↔ ∀ t ⊆ s, t.Finite → (⋂₀ t).Nonempty
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hne : s.Nonempty
⊢ ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f✝ g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
f : X → Y → Z
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)
⊢ ContinuousOn (uncurry (lift₂ f hf)) s ↔ ContinuousOn (uncurry f) (Prod.map mk mk ⁻¹' s)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J) C
t : CategoryTheory.Limits.Cotrident fun j => F.map (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.Hom.line j)
j : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocone.ofCotrident t).ι.app j =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯) (t.ι.app j)
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ Metric.ball x r
⊢ ∃ r' ∈ Set.Ioo 0 r, s ⊆ Metric.ball x r'
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
q : ℕ
ExpChar F q
IsPurelyInseparable F E
x : E
⊢ ∃ n y, minpoly F x = Polynomial.X ^ q ^ n - Polynomial.C y
R : Type u
CommRing R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (WeierstrassCurve.VariableChange.map φ C).s = φ C.s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ {b | f b ≤ g b} ∩ closure {b | f b ≤ g b}ᶜ ⊆ {b | f b = g b}
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
this : Nontrivial 𝕜
l u : 𝕜
hxI : toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u
hIs : Ioo l u ⊆ s
d : 𝕜 := toIcoDiv hp a x • p
hd : toIcoMod hp a x ∈ Ico a (a + p)
⊢ ∃ u, (∃ l u_1, x ∈ Ioo l u_1 ∧ ∀ x ∈ Ioo l u_1, x ∈ u) ∧ ∀ (x_1 : 𝕜), x_1 ∈ u ∧ x_1 ∈ Ici x → x_1 ∈ toIcoMod hp a ⁻¹' s
p d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hpd : ¬p ∣ d
⊢ d ∣ n / p ^ n.factorization p
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ
⊢ Submodule.span R ↑(image (fun n => X ^ n) (range n)) ≤ degreeLT R n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
⊢ IsTorsionBy R M a ↔ torsionBy R M a = ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
e : F ≃L[𝕜] E
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (⇑e ⁻¹' s) ↔ UniqueDiffOn 𝕜 s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
f : α → β
hf : Continuous f
⊢ ∀ (U : Set β), MeasurableSet U ∧ (map f μ) U ≠ ⊤ → MeasurableSet U
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
h : ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
x : ↥U
s₀ : (forget C).obj ((stalkFunctor C ↑x).obj F.val)
hs₀ : ((stalkFunctor C ↑x).map f.val) s₀ = (G.presheaf.germ x) t
V₁ : Opens ↑X
hxV₁ : ↑x ∈ V₁
s₁ : (forget C).obj (F.presheaf.obj (op V₁))
hs₁ : (F.presheaf.germ ⟨↑x, hxV₁⟩) s₁ = s₀
⊢ ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t