ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
hx : 0 < x
y : 𝕜
hy : 0 < y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ 0 ≤ (a * y + b * x) * (a * x + b * y) - 1 * (x * y)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocDiv hp a (b + m • p) = toIocDiv hp a b + m
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
i : K →+* L
f : K[X]
h : Polynomial.Splits i f
⊢ f = 0 ∨ ∀ {g : L[X]}, Irreducible g → g ∣ Polynomial.map i f → g.degree = 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
q : Submodule R N
f : (i : ι) → Ms i →ₗ[R] N
hf : ∀ (i : ι), p i ≤ comap (f i) q
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
⊢ ((p i).mapQ q (f i) ⋯) (Pi.single i x i) = ((p i).mapQ q (f i) ⋯) x
b : ℕ
m : ℕ
hm : m ≠ 0
⊢ (b.digits m).getLast ⋯ ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
S R : CategoryTheory.Sieve X
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
rj : R ∈ J.sieves X
sj : S ∈ J.sieves X
⊢ R ⊓ S ∈ J.sieves X
ι : Type u_1
α : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : OrderedCommRing S
inst✝¹ : Ring R
abv : AbsoluteValue R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
a : R
ha : ¬a = 0
⊢ abv (-a) = abv a
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex V c
φ : K ⟶ L
n n' : ι
h : n = n'
⊢ φ.f n' ≫ (L.XIsoOfEq h).inv = (K.XIsoOfEq h).inv ≫ φ.f n
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
⊢ PadicInt.nthHomSeq f_compat 1 ≈ 1
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Div α
s : ι → Set α
t : Set α
⊢ (⋂ i, s i) / t ⊆ ⋂ i, s i / t
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set α
⊢ (N.comap f).Base B ↔ N.Basis (f '' B) (f '' (f ⁻¹' N.E)) ∧ InjOn f B ∧ B ⊆ f ⁻¹' N.E
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
S : Set α
⊢ 𝓝[S] x = Filter.comap (Prod.mk x) (𝓤 α ⊓ 𝓟 (Set.univ ×ˢ S))
α : Type u_1
Lattice α
a b : α
⊢ Set.Icc a b ⊆ Set.uIcc a b
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf_int : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun ω => ‖∫ (y : Ω), f y ∂((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω‖) μ
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : Rˣ
x : R
x_eq : x = r • r⁻¹ • x
⊢ r • r⁻¹ • x ∈ σ (r • a) ↔ x ∈ r • σ a
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x > x_1) (s ∩ {b | b ≤ a}) ↔ Set.Bounded (fun x x_1 => x > x_1) s
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.cgf (-X) μ t = ProbabilityTheory.cgf X μ (-t)
α β : GrpWithZero
e : ↑α ≃* ↑β
⊢ (GrpWithZero.Iso.mk e).inv = ↑e.symm
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
A : ∀ (ε N : ℝ≥0) (p : ℕ), 0 < ε → μ ({x | g x + ↑ε ≤ f x ∧ g x ≤ ↑N} ∩ spanningSets μ p) = 0
u : ℕ → ℝ≥0
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
⊢ f ≤ᶠ[ae μ] g
α : Type u
β : Type v
Mul α
Mul β
γ : Type u_1
Mul γ
f : α → β
g : β → γ
hf : IsMulHom f
hg : IsMulHom g
⊢ IsMulHom (g ∘ f)
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
⊢ #κ ≤ #ι
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : A ⥤ B
R₂ : B ⥤ A
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H
b : B
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft (𝟭 A) β ≫ whiskerRight (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) H) = whiskerRight ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) G ≫ whiskerLeft (𝟭 B) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)
vcompb : adj₃.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H.map (adj₁.counit.app b)) = G.map (adj₂.unit.app (R₁.obj b)) ≫ G.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ G.map (R₂.map (adj₁.counit.app b)) ≫ adj₃.unit.app (G.obj (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (adj₂.counit.app b))
⊢ ({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ G) adj₃.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₃ ≫ whiskerRight adj₁.counit (H ⋙ R₃), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit (G ⋙ L₃) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₃ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ H) adj₃.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (β ≫ whiskerRight α H)).app b = (whiskerRight ((Trans.trans (Trans.trans (L₂.leftUnitor.homCongr L₁.rightUnitor).symm { toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ 𝟭 A) adj₂.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₂ ≫ whiskerRight adj₁.counit (𝟭 B ⋙ R₂), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit (𝟭 A ⋙ L₂) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₂ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ 𝟭 B) adj₂.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }) (R₁.rightUnitor.homCongr R₂.leftUnitor)) α) G ≫ { toFun := fun α => whiskerLeft (R₂ ⋙ G) adj₃.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₂ α) R₃ ≫ whiskerRight adj₂.counit (H ⋙ R₃), invFun := fun β => whiskerRight adj₂.unit (G ⋙ L₃) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₂ β) L₃ ≫ whiskerLeft (L₂ ⋙ H) adj₃.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } β).app b
R : Type u_17
S : Type u_18
M : Type u_19
N : Type u_20
Semiring R
Semiring S
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Module S M
Module S N
LinearMap.CompatibleSMul M N R S
f : M →ₗ[S] N
⊢ ↑R (-f) = -↑R f
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
a✝ : F ⟶ G
⊢ (a✝ + 0).f = a✝.f
V : Type u_1
W : Type u_2
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
self : NormedAddGroupHom V W
v₁ v₂ : V
⊢ self.toFun (v₁ + v₂) = self.toFun v₁ + self.toFun v₂
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x y : M
⊢ f.toMap x = f.toMap y ↔ ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Fintype m
Mul α
AddCommMonoid α
M : Matrix l m α
N : Matrix m n α
i : l
k : n
⊢ (M * N) i k = ∑ j : m, M i j * N j k
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ ⋂ i ∈ s, thickening i E ⊆ cthickening δ E
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
M : Action V G
⊢ (Action.Hom.id M).hom = 𝟙 M.V
α : Type u_1
DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m : Multiset α
a : α
b : δ a
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ∈ a ::ₘ m
⊢ Multiset.Pi.cons m a b f a h = b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
x✝ : M
f✝ : Dual R M
y : M
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0
Φ : Set M
hΦ₁ : _root_.Finite ↑Φ
hx'✝ : x ∈ span R Φ
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
Φ' : Set ↥(span R Φ) := range (inclusion ⋯)
hΦ'₁ : Φ'.Finite
hΦ'₂ : span R Φ' = ⊤
x' : ↥(span R Φ) := ⟨x, hx'✝⟩
hx' : x' ≠ 0
this : ∀ {F : Dual R M}, MapsTo (⇑(preReflection x F)) Φ Φ → MapsTo (⇑(preReflection x' ((span R Φ).subtype.dualMap F))) Φ' Φ'
⊢ (span R Φ).subtype.dualMap f = (span R Φ).subtype.dualMap g
α : Type u
L : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
⊢ FreeAddGroup.Red ((x, b) :: L) [] ↔ FreeAddGroup.Red L [(x, !b)]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
inst✝ : CompleteSpace E
⊢ ∃ f, f ↑v.t₀ = v.x₀ ∧ ∀ t ∈ Icc v.tMin v.tMax, HasDerivWithinAt f (v.toFun t (f t)) (Icc v.tMin v.tMax) t
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ (F.ε ▷ F.obj X ≫ F.μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom) ≫ F.map (λ_ X).inv ≫ inv (F.μ (𝟙_ C) X) ≫ inv F.ε ▷ F.obj X = 𝟙 (𝟙_ D ⊗ F.obj X)
m : ℤ
n : ℕ
⊢ ↑m * powHalf n = m • powHalf n
d : ℤ
z w : ℤ√d
⊢ (z + w).re = z.re + w.re
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x : E
hs : Absorbent ℝ s
hr : 0 ≤ r
hsr : s ⊆ Metric.closedBall 0 r
⊢ ‖x‖ / r ≤ gauge s x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a : 𝕜
s : Set 𝕜
h : ContinuousOn (dslope f a) s
⊢ ContinuousOn f s
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
N : Type u_5
Group N
P : Type u_6
Group P
g : N →* P
f : G →* N
⊢ Subgroup.map g (Subgroup.map f K) = Subgroup.map (g.comp f) K
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
s t : R
h' : s • x + t • y = 0
⊢ s = 0 ∧ t = 0
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
CompleteSpace A
a : A
IsStarNormal a
⊢ spectrum ℂ (star a * a) ⊆ Set.Icc 0 ↑‖star a * a‖
z : ↥circle
⊢ Complex.normSq ↑z = 1
S : Type u_1
R : Type u_3
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
SMul S R
s : S
⊢ (s • a).imK = s • a.imK
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
x : ↥(⨆ f, f.fieldRange)
x✝ : x ∈ ⊤
⊢ ↑x ∈ ⨆ i, IntermediateField.map (⨆ f, f.fieldRange).val i.fieldRange
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
s : Set (CofiniteTopology X)
⊢ IsOpen s ↔ s = ∅ ∨ sᶜ.Finite
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
IsAlgClosed k
Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
⊢ I.IsMaximal ↔ ∃ x, I = MvPolynomial.vanishingIdeal {x}
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
hx : x ∈ (chartAt H c).source
⊢ ↑f =ᶠ[𝓝 x] ↑f.toContDiffBump ∘ ↑(extChartAt I c)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R : Sieve X
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ Y
S : Sieve X
⊢ pullback (g ≫ f) S = pullback g (pullback f S)
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a✝ b✝ a b : R
x✝¹ : a ≠ 0
x✝ : gcd (b % a) a ∣ b % a ∧ gcd (b % a) a ∣ a
IH₁ : gcd (b % a) a ∣ b % a
IH₂ : gcd (b % a) a ∣ a
⊢ gcd (b % a) a ∣ a ∧ gcd (b % a) a ∣ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
⊢ HomologicalComplex.opcyclesMap 0 i = 0
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
ω : ι
⊢ ω ∈ s ∧ τ y = ω ↔ ω = τ y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square Cᵒᵖ
⊢ sq.unop.f₂₄ = sq.f₁₂.unop
α : Type u_1
Primcodable α
l : List α
⊢ Primrec l.get?
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
T X Y : C
f g : T ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y
h_fst :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst X Y) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst X Y)
h_snd :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd X Y) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd X Y)
⊢ f = g
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
n : ℕ
h : n ∈ σ.cycleType
⊢ 2 ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
hf : Summable f
⊢ Summable fun b => -f b
a : ℕ
⊢ ⊤ ≠ ↑a
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
LieAlgebra.IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α : LieModule.Weight K (↥H) L
⊢ (-α).IsNonZero ↔ α.IsNonZero
M : Type u_4
AddMonoid M
l : List M
y : M
h : ∀ x ∈ l, AddCommute x y
⊢ AddCommute l.sum y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.Under X} (g : X_1 ⟶ Y), ((CategoryTheory.underToAlgebra X).map g).f = g.right
G : Type u_1
Group G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : MeasureTheory.IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
Countable ↥Γ
MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
BorelSpace (G ⧸ Γ)
K : Type u_2
NormedField K
NormedSpace ℝ K
μ.IsMulRightInvariant
f : G → K
f_ℒ_1 : MeasureTheory.Integrable f μ
g : G ⧸ Γ → K
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕))
g_ℒ_infinity : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) (MeasureTheory.Measure.map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕)) ≠ ⊤
F_ae_measurable :
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (QuotientGroup.automorphize f)
    (MeasureTheory.Measure.map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕))
⊢ ∫ (x : G), g ↑x * f x ∂μ =
  ∫ (x : G ⧸ Γ), g x * QuotientGroup.automorphize f x ∂MeasureTheory.Measure.map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
BoundedOrder α
BoundedOrder β
BoundedOrder γ
f : BoundedLatticeHom β γ
g : BoundedLatticeHom α β
⊢ { toFun := ⇑(f.comp g), map_inf' := ⋯ } = { toFun := ⇑f, map_inf' := ⋯ }.comp { toFun := ⇑g, map_inf' := ⋯ }
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x : M × M'
⊢ HasMFDerivAt (I.prod I') I' Prod.snd x (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
l u : α → β → γ
l₁ u₁ : β → γ → α
l₂ u₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (swap l b) (u₁ b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l a) (u₂ a)
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddAbove t
c : γ
⊢ sSup (image2 l s t) ≤ c ↔ l (sSup s) (sSup t) ≤ c
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
i : I
X : C i
⊢ (CategoryTheory.Sigma.incl i).obj X = ⟨i, X⟩
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖
⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.57189, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j k : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j k
⊢ homotopyCofiber.inlX φ j i hij ≫ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) i j ≫ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) j k = homotopyCofiber.inlX φ j i hij ≫ 0
y : EReal
y_nbot : ⊥ < y
y_ntop : y < ⊤
⊢ (ENNReal.ofReal (Real.exp y.toReal)).log = y
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
a b : E
⊢ dist (a - b) a = ‖b‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
r : 𝕜
x : E
⊢ gauge s (r • x) = ‖r‖ * gauge s x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝¹ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ p i), C x ⋯
zero : C 0 ⋯
add : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, p i) (hy : y ∈ ⨆ i, p i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, p i
i : ι
x : M
hx : x ∈ p i
⊢ (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f : X ⟶ Y.toPresheafedSpace
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.toSheafedSpace Y f).toPresheafedSpace = X
ι : Type u
s : Finset ι
a b : ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
⊢ a * b ≤ a ^ p / p.toNNReal + b ^ q / q.toNNReal
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
EquivLike F α β
LE α
OrderTop α
PartialOrder β
OrderTop β
OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
⊢ f a = ⊤ ↔ a = ⊤
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
h : p.IsRoot a
⊢ p = (X - C a) * (p /ₘ (X - C a))
z : ℂ
⊢ √(Complex.normSq z) * √(Complex.normSq z) = Complex.normSq z
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
S : Set X
F : f₀.HomotopyRel f₁ S
t : ↑I
x : X
hx : x ∈ S
⊢ F (t, x) = f₁ x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G_obj : D → C
e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)
he :
  ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y),
    (e X' Y) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) g) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((e X Y) g)
⊢ ∀ (a : D), (CategoryTheory.Adjunction.rightAdjointOfEquiv e he).obj a = G_obj a
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
N' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S g
h : M →ₗ[R] N
x : M
s : ↥S
⊢ ↑⋯.unit⁻¹ ((g ∘ₗ h) x) = mk' g (h x) s
α : Type u_1
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (α × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, κ x = ρ.condKernel x
n m a b n✝ : ℕ
ha : a < n✝ + 1 + 1
hb : b < n✝ + 1 + 1
h : a < b
⊢ a < n✝ + 1
α : Type u
a₁ a₂ : α
l : List α
⊢ (a₁ :: a₂ :: l).getLast ⋯ = (a₂ :: l).getLast ⋯
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
⊢ False
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
h : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → DifferentiableOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
g : Ordinal.{u_6} → Ordinal.{u_4}
H₁ : Ordinal.IsNormal f
H₂ : Ordinal.IsNormal g
⊢ Ordinal.IsNormal (f ∘ g)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
s : Finset G
h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K V
⊢ Finset.map (Equiv.toEmbedding (Equiv.mulRight g⁻¹)) s ∈ {t | (fun h => g * h) '' K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ f ↔ f ⊓ 𝓟 sᶜ = ⊥
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝¹ : IsIntegral Y
inst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this✝ : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U
this : IsDomain ↑Γ(Y, f ''ᵁ U)
⊢ IsDomain ↑Γ(X, f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
StarModule R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
x : A
⊢ star x ∈ star S ↔ x ∈ S
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
s t : Set α
y : β
Zero β
hs : IsOpen s
hy : y ≤ 0
⊢ UpperSemicontinuousOn (s.indicator fun _x => y) t
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B
⊢ adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = ((adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (L₃.map ((G₂.map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ G₂.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b)))) ≫ G₂.map (R₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))))) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj (H₁.obj b)))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj b)))
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G →₀ k
f : Fin n → G
r : k
⊢ ∀ (a : G) (b : k) (f_1 : G →₀ k), a ∉ f_1.support → b ≠ 0 → (diagonalSucc k G n).inv.hom (f_1 ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) f_1 → (diagonalSucc k G n).inv.hom ((single a b + f_1) ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) (single a b + f_1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : UniformSpace E
inst✝⁴ : T2Space E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
e : E ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 E) → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯
this : UniformEmbedding ⇑e.toEquiv.symm
⊢ CompleteSpace E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α
⊢ a ∈ ⋃ i, ↑(f i) ↔ ∃ i, a ∈ f i
α : Type u
s t r : Set α
sr : s ⊆ r
tr : t ⊆ r
⊢ s ∪ t ⊆ r
n : ℕ
⊢ Cardinal.continuum + ↑n = Cardinal.continuum
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
⊢ 0 ≤ ((of v).contsAux (n + 1)).b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)
⊢ (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor'.obj f).X₂ = f.left.right
n : ℕ
x r : ℝ
⊢ expNear (n + 1) x r = expNear n x (1 + x / (↑n + 1) * r)
α : Type u
l l' : List α
⊢ (∃ n ≤ l.length, l.rotate n = l') ↔ ∃ a < l.length + 1, l.rotate a = l'
n : ℕ
⊢ Nat.digits 1 n = List.replicate n 1