ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : StronglyMeasurable f
this : ∀ (x : β), ∀ᵐ (y : γ) ∂η (a, x), 0 ≤ ‖f (x, y)‖
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ↑‖f (b, c)‖₊ ∂η (a, b) ∂κ a < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, ∫⁻ (a : γ), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂η (a, x) < ⊤) ∧ ∫⁻ (a_1 : β), ↑‖∫ (y : γ), ‖f (a_1, y)‖ ∂η (a, a_1)‖₊ ∂κ a < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s✝ t : Set α
E : Type u_3
inst✝¹ : EquivLike E α β
inst✝ : OrderIsoClass E α β
e : E
s : Set α
hs : s.OrdConnected
⊢ (⇑e '' s).OrdConnected
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g μ → Integrable g μ'
⊢ ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Integrable f μ → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) f → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) g
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some '' Iic a = Iic ↑a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
r : R
⊢ (ι (Q' Q)) (m, r) = (v Q) m + r • e0 Q
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
⊢ Multiset.map (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((expand R (p ^ n)) f).roots = p ^ n • f.roots
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
⊢ Submodule.span R (Set.range ⇑(ιMulti R n)) = ⋀[R]^n M
n : ℕ
α : Type u_1
Preorder α
f : α → Fin (n + 1)
hf : ∀ (a : α), f a ≠ 0
hf₂ : Monotone f
⊢ Monotone fun a => (f a).pred ⋯
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x y : S
⊢ x = y ↔ ∀ i < f.natDegree, h.coeff x i = h.coeff y i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
i : E
x✝ : i ∈ f.range
⊢ (T (↑f ⁻¹' {i})) i ≤ (T' (↑f ⁻¹' {i})) i
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
A : C
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
hX : t.LE 0 X
hY : t.GE 1 Y
f : X ⟶ (shiftFunctor C n₀).obj A
g : (shiftFunctor C n₀).obj A ⟶ Y
h : Y ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
mem : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
T : Triangle C := (Triangle.shiftFunctor C (-n₀)).obj (Triangle.mk f g h)
e : ((shiftEquiv C n₀).functor ⋙ (shiftEquiv C n₀).inverse).obj A ≅ (𝟭 C).obj A := (shiftEquiv C n₀).unitIso.symm.app A
hT' : Triangle.mk (T.mor₁ ≫ e.hom) (e.inv ≫ T.mor₂) T.mor₃ ∈ distinguishedTriangles
⊢ ∃ X Y, ∃ (_ : t.LE n₀ X) (_ : t.GE n₁ Y), ∃ f g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (γ.shift a).v p q hpq = γ.v (p + a) (q + a) ⋯
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : α
⊢ a ⊔ a ⊓ b = a
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
⊢ lift' S g h (mk a b + mk a' b') = lift' S g h (mk a b) + lift' S g h (mk a' b')
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x : ↥A.unitGroup
⊢ ↑x ∈ A.principalUnitGroup ↔ ↑((Units.map ↑(LocalRing.residue ↥A)) (A.unitGroupMulEquiv x)) = ↑1
α : Type u
Infinite α
⊢ ⊥ ≠ ↑(Filter.hyperfilter α)
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
a✝ : α
b✝ : β
C : α → α → Sort u_3
hr : WellFounded rα
IH : (a₁ b₁ : α) → ((a₂ b₂ : α) → GameAdd rα s(a₂, b₂) s(a₁, b₁) → C a₂ b₂) → C a₁ b₁
a b : α
⊢ ⋯.fix (fun x IH' => IH x.1 x.2 fun a' b' => IH' (a', b')) (a, b) = IH a b fun a' b' x => ⋯.fix (fun x IH' => IH x.1 x.2 fun a' b' => IH' (a', b')) (a', b')
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
C : AList β → Sort u_1
H0 : C ∅
IH : (a : α) → (b : β a) → (l : AList β) → a ∉ l → C l → C (insert a b l)
c : Sigma β
l : List (Sigma β)
hl : l.NodupKeys
h : c.fst ∉ { entries := l, nodupKeys := hl }
⊢ insertRec H0 IH (insert c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := hl }) = IH c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := hl } h (insertRec H0 IH { entries := l, nodupKeys := hl })
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
⊢ ∃ n, Associated x (ϖ ^ n)
⊢ ↑(0 / 0) = ↑0 / ↑0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n d : ℕ
inst✝ : NeZero n
hd : d ∣ n
χ₂ : DirichletCharacter R d
⊢ ∃! χ', (changeLevel hd) χ₂ = (changeLevel ⋯) χ'
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
β : Type u_3
p : β → Prop
f : β → ℝ
hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x
hf : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε
s : Set (α × α)
⊢ (∃ i, 0 < i ∧ {p | dist p.1 p.2 < i} ⊆ s) ↔ ∃ i, p i ∧ {p | dist p.1 p.2 ≤ f i} ⊆ s
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
i : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Reflective i
X : C
⊢ (CategoryTheory.reflectorAdjunction i).unit.app (i.obj ((CategoryTheory.reflector i).obj X)) =
  i.map ((CategoryTheory.reflector i).map ((CategoryTheory.reflectorAdjunction i).unit.app X))
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
x✝ : Mˣ
ha : x✝ ∈ Units.val ⁻¹' center M
⊢ ∀ (g : Mˣ), g * x✝ = x✝ * g
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y * (z - x) < (z - y) * f x + (y - x) * f z
⊢ 0 < (y - x) * (z - y)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : IsDomain A
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_5
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
⊢ Set.range ⇑b ⊆ ↑((traceForm K L).flip.dualSubmodule (LinearMap.range (↑A (Algebra.linearMap C L))))
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
W : C
f : ULift.{u₁, v₃} (t.pt ⟶ W)
⊢ (h.homIso W).hom f = (t.extend f.down).ι
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
⊢ (trunc (n + 1) 1).coeff m = Polynomial.coeff 1 m
p : Prop
q : p → Prop
h : p
⊢ (∃! h', q h') ↔ q h
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ ψ.unop.φH = ψ.φH.unop
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : W f
⊢ (CategoryTheory.Localization.isoOfHom L W f hf).hom = L.map f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a : α
b : β
h : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ a ↔ ↑n ≤ b
h₀ : 0 ≤ a ↔ 0 ≤ b
⊢ ⌊a⌋₊ = ⌊b⌋₊
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ≤ b * 2
⊢ a / 2 ≤ b
x : PGame
h : x ≈ 0
⊢ x⁻¹ = 0
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
p : α × Bool
⊢ FreeGroup.Red.Step (p :: L₁) (p :: L₂) ↔ FreeGroup.Red.Step L₁ L₂
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
⊢ o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y = ↑π
α : Type u_1
Ring α
UniformSpace α
TopologicalRing α
a b : α
⊢ ↑α (a * b) = ↑α a * ↑α b
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
l : Filter ι
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g hg) p μ) l (𝓝 0)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
h : u ≠ v
⊢ {p | p.length = 0} = ∅
n : Type u_3
α : Type v
Fintype n
NonUnitalSemiring α
StarRing α
M N : Matrix n n α
⊢ star (M * N) = star N * star M
m n : ℕ
NeZero m
NeZero n
⊢ OfNat.ofNat m = OfNat.ofNat n ↔ OfNat.ofNat m = OfNat.ofNat n
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hf : IntegrableOn f (↑I) μ
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g
⊢ HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)
n : ℕ
⊢ ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), (-1) ^ m * ↑(n.choose m) = if n = 0 then 1 else 0
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (E.map φ).Δ' = (Units.map ↑φ) E.Δ'
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Set.range Sum.inl = {x | x.isLeft = true}
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
c : ℝ
x : V₁
h : ‖x‖ ≤ c
⊢ 0 ≤ ‖f‖
⊢ Tendsto ((fun n => ↑n !) / fun n => √(2 * ↑n * π) * (↑n / rexp 1) ^ n) atTop (𝓝 1)
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
⊢ Disjoint (⋃₀ ↑I) (⋃₀ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI))
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ
Kf : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
a : ℝ
⊢ LipschitzWith Kf fun x => min a (f x)
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
⊢ f ≠ 0 ↔ Polynomial.toLaurent f ≠ 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f✝ g : α✝ → β
α : Type u_5
E : Type u_6
m m₂ : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Zero E
s : Set α
f : α → E
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t)
hf : StronglyMeasurable f
hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0
hs_m₂ : MeasurableSet s
g_seq_s : ℕ → α →ₛ E
hg_seq_tendsto : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(g_seq_s n) x) atTop (𝓝 (f x))
hg_seq_zero : ∀ x ∉ s, ∀ (n : ℕ), ↑(g_seq_s n) x = 0
⊢ StronglyMeasurable f
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
φ : C(↑(spectrum R a), R) →⋆ₐ[R] A
hφ₁ : Continuous ⇑φ
hφ₂ : φ (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a
⊢ (cfcHom ha) (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = φ (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R))
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongMono f
⊢ Mono g
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝⁷ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : OrderTopology 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : ContinuousAdd E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
x y : E
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ closure (openSegment 𝕜 x y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderClosedTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
ι : Sort u_4
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iSup g)
Mf : Monotone f
bdd : autoParam (BddAbove (range g)) _auto✝
⊢ sSup (range (f ∘ g)) = sSup (range fun i => f (g i))
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
t : Finset β
⊢ ∅ -ᵥ t = ∅
α : Type u_1
M : Type u_2
Zero M
DecidableEq α
l : AList fun _x => M
a : α
m : M
⊢ (AList.insert a m l).lookupFinsupp = l.lookupFinsupp.update a m
x : SetTheory.PGame.star.LeftMoves
⊢ SetTheory.PGame.star.moveLeft x = 0
n : ℕ
F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q✝ : MvQPF F✝
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x
a✝ : (P F).M α
⊢ LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> (TypeVec.id ::: M.corec (P F) fun x => MvQPF.repr (Quot.lift (fun x => (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) x)) ⋯ x)) <$$> Quot.lift (fun x => (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) x)) ⋯ (Quot.mk Mcongr a✝)) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) a✝))
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : ∃ center ∈ s, ∃ radius, ∀ p ∈ ps, dist p center = radius
⊢ ∃ r, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
CommSemiring R
a : R
⊢ (MvPolynomial.iterToSum R S₁ S₂) (MvPolynomial.C (MvPolynomial.C a)) = MvPolynomial.C a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s1
hp2 : p2 ∈ s2
⊢ (s1 ⊔ s2).direction = s1.direction ⊔ s2.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}
n : Nat
i j : Fin n
⊢ ¬i ≤ j ↔ j < i
x y : PartENat
h : (x + y).Dom
⊢ (x + y).get h = x.get ⋯ + y.get ⋯
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
x : L
⊢ φ.IsNilRegular x ↔ (charpoly (φ x)).natTrailingDegree = φ.nilRank
F : Type u_1
E : Type u_2
CommRing F
StrongRankCondition F
Ring E
Algebra F E
S : Subalgebra F E
Nontrivial E
Module.Free F ↥S
⊢ Module.rank F ↥S = 1 ↔ S = ⊥
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin (n + 1)) (Fin n) R
hv : ∑ j : Fin (n + 1), M j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)
⊢ (M.submatrix j₁.succAbove id).det = (↑↑j₁ - ↑↑j₂).negOnePow • (M.submatrix j₂.succAbove id).det
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0
hf : BddAbove (range f)
this : ∀ (i : ι), f i * c ≤ (⨆ i, f i) * c
bdd : BddAbove (range fun x => f x * c)
hs : ℵ₀ ≤ ⨆ i, f i
⊢ (⨆ i, f i) * c ≤ ⨆ i, f i * c
X : Type u_1
k : ℤ
h : k ≠ 0
a : FreeAbelianGroup X
⊢ (k • a).support = a.support
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
MulActionWithZero 𝕜 F
BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F
hq_pos : 0 < q
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' (c • f) q μ ≤ ‖c‖₊ • MeasureTheory.eLpNorm' f q μ
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f₁ f₂ : α → β
f' : β → α
h₁ : Set.RightInvOn f' f₁ t
hg : Set.MapsTo f' t s
heq : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ Set.RightInvOn f' f₂ t
R : Type u_1
M : Type u_2
n : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite n
b : Basis n R M
i : n
val✝ : Fintype n
⊢ b.equivFun.symm ((stdBasis R (fun x => R) i) 1) = b i
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ R₃ : CategoryTheory.Functor B T
r : R₁ ⟶ R₂
r' : R₂ ⟶ R₃
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightComp L r r').inv.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a : α
⊢ a < Order.succ a ↔ ¬IsMax a
α : Sort u
β : Sort v
r : β → β → Prop
f : α → β
h : Irreflexive r
⊢ Irreflexive (InvImage r f)
n : ℕ
⊢ n.zeckendorf.IsZeckendorfRep
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
⊢ ∃ i, ∀ i_1 ≥ i, ∀ i_3 ≥ i, ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K), x ∈ A f i ((1 / 2) ^ i_1) ((1 / 2) ^ e) ∧ x ∈ A f i ((1 / 2) ^ i_3) ((1 / 2) ^ e)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
d x y : ℤ
⊢ { re := x, im := y } * star { re := x, im := y } = ↑x * ↑x - ↑d * ↑y * ↑y
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (Profinite.pullback.fst f g) f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (Profinite.pullback.snd f g) g
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
i j : ι
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
K : HomologicalComplex C c
⊢ (HomologicalComplex.natTransOpCyclesToCycles C c i j).app K = K.opcyclesToCycles i j
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivWithinAt f f' S x
⊢ slope f x y < f'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f : α → β
s : Set α
e : α ≃ α
he : QuasiMeasurePreserving (⇑e) μ μ
he' : QuasiMeasurePreserving (⇑e.symm) μ μ
hs : ⇑e '' s =ᵐ[μ] s
k : ℕ
⊢ ⇑(e ^ (-↑k)).symm ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
⊢ pullback.fst f g ≫ f = pullback.snd f g ≫ g
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
F : Type u_4
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
φ ψ : F
S T : Subalgebra R A
hST : Codisjoint S T
hS : Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑S
hT : Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑T
⊢ φ = ψ
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q a : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ (a ^ n).totalDegree ≤ n * a.totalDegree
α : Type u_1
a b : (ii : ℕ) × (Fin ii → α)
⊢ a = b ↔ ∃ (h : a.fst = b.fst), a.snd = b.snd ∘ Fin.cast h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
q : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in l, q x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x
r : ℝ
h : r ≠ 0
⊢ r.sign = -1 ∨ r.sign = 1
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
f : LatticeHom β γ
g : LatticeHom α β
⊢ { toFun := ⇑f ∘ ⇑g, map_inf' := ⋯ } = { toFun := ⇑f, map_inf' := ⋯ }.comp { toFun := ⇑g, map_inf' := ⋯ }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ AEStronglyMeasurable f (sum μ)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : ℂ → E
hfd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hgd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}
hfexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hgexp : ∃ c < 2, ∃ B, g =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : Asymptotics.SuperpolynomialDecay Filter.atTop expR fun x => ‖f ↑x - g ↑x‖
hfim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * Complex.I)‖ ≤ C
hgim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖g (↑x * Complex.I)‖ ≤ C
⊢ Set.EqOn f g {z | 0 ≤ z.re}
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
s : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥s
⊢ Module.rank K ↥s ≤ 1 ↔ ∃ v₀ ∈ s, s ≤ span K {v₀}
K : Type u
DivisionRing K
S : Set (Subfield K)
⊢ IsGLB S (sInf S)
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝² : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
x✝¹ : x ∈ s
e : PartialHomeomorph H H
x✝ : e ∈ G
⊢ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source ↔ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source