ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
⊢ ListBlank.map { f := Prod.snd, map_pt' := ⋯ } (addBottom L) = L
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
hin : n ≤ i
him : i ≤ m
his : u i ω ∈ s
h_exists : ∃ k ∈ Set.Icc n m, u k ω ∈ s
⊢ sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) ≤ i
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
f : L →ₗ[R] M
h₁ : ∀ (a b : L), f ⁅a, b⁆ = ⁅a, f b⁆ - ⁅b, f a⁆
⊢ ⇑{ toLinearMap := f, leibniz' := h₁ } = ⇑f
p q : NNReal
h : p.IsConjExponent q
⊢ p⁻¹ ≠ 0
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
this✝⁷ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝⁶ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝⁵ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this✝⁴ : IsScalarTower R R' S'
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S
hgsurj : Function.Surjective ⇑g
hgker : (ker g.toRingHom).FG
MX : Submonoid (MvPolynomial (Fin n) R) := Algebra.algebraMapSubmonoid (MvPolynomial (Fin n) R) M
this✝³ : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')
this✝² : IsScalarTower R S S'
this✝¹ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) S'
g' : MvPolynomial (Fin n) R' →ₐ[R'] S' := IsLocalization.mapₐ M R' (MvPolynomial (Fin n) R') S' g
k : ↥(ker g) →ₛₗ[id (MvPolynomial (Fin n) R)] ↥(ker g') := AlgHom.toKerIsLocalization M R' (MvPolynomial (Fin n) R') S' g
this✝ : IsLocalizedModule MX k
this : Module.Finite (MvPolynomial (Fin n) R) ↥(ker g)
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
s : ℂ
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Ioi 0) volume
hs : -1 < s.re
⊢ False
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
⊢ (μ.tilted f).rnDeriv ν =ᵐ[ν] fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv ν x
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
hα' : Fintype.card α = p ^ 2
this✝ : Nontrivial α
h_cyc : ¬IsCyclic α
g : α
hg : g ≠ 1
this : orderOf g ∈ (p ^ 2).divisors
⊢ orderOf g = p
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ LSeriesHasSum (fun x => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑x))) s (HurwitzZeta.cosZeta (↑a) s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
X : D
⊢ (CategoryTheory.Sum.inr_ C D).obj X = Sum.inr X
α : Type u_1
o p : Part α
H : ∀ (a : α), a ∈ o ↔ a ∈ p
⊢ o = p
M : Type u_1
N : Type u_2
S : Type u_3
M₀ : Type u_4
M₁ : Type u_5
R : Type u_6
G : Type u_7
G₀ : Type u_8
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : Monoid N
inst✝⁵ : Semigroup S
inst✝⁴ : MulZeroClass M₀
inst✝³ : MulOneClass M₁
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : CancelMonoidWithZero G₀
p : N
n✝ : ℕ
h : IsIdempotentElem p
n : ℕ
x✝ : IsIdempotentElem (p ^ n)
⊢ p ^ n.succ * p ^ n.succ = p ^ n.succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
this✝ : CompleteSpace E
this : CompleteSpace F
⊢ ⟪x, (adjoint A) y⟫_𝕜 = ⟪A x, y⟫_𝕜
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
ι : Type u_2
s : Finset ι
f : ι → (X ⟶ Y)
⊢ (s.sum f).op = ∑ i ∈ s, (f i).op
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ multiplicity.Finite a b ↔ (multiplicity a b).Dom
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
n : ℕ
v : Fin (n + 2) → F
⊢ ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset,
    (p c.length) (FormalMultilinearSeries.applyComposition (fun k => if k < n + 2 then p.rightInv i k else 0) c v) =
  ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, (p c.length) ((p.rightInv i).applyComposition c v)
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ ball 0 (1 + D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 0
Bx : φ x = 0
⊢ (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] φ) x = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f p x n
⊢ CPolynomialAt 𝕜 f x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
b : E
x✝ : b ∈ f.range
⊢ (T (↑f ⁻¹' {b})) (c • b) = c • (T (↑f ⁻¹' {b})) b
⊢ volume (⋃ p, ⋃ (_ : 2 < p), {x | LiouvilleWith p x}) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
DecidableEq γ
s : Finset α
t : Finset β
f : α × β → Finset γ
⊢ (s ×ˢ t).biUnion f = s.biUnion fun a => t.biUnion fun b => f (a, b)
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux : ∀ y ∈ s, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧ f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
t : ℝ
ht : t ∈ s
xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)
h : HasDerivAt f ((tangentCoordChange I xₜ x₀ xₜ) (v xₜ)) t
hf3 : f t ∈ interior (extChartAt I x₀).target
hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target
hft1 : ↑(extChartAt I x₀).symm (f t) ∈ (extChartAt I x₀).source
hft2 : xₜ ∈ (extChartAt I xₜ).source
⊢ HasDerivWithinAt (writtenInExtChartAt 𝓘(ℝ, ℝ) I t (↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f)) (v ((↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t)) (range ↑𝓘(ℝ, ℝ)) (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, ℝ) t) t)
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CharP R 2
x y : R
⊢ (x + y) * (x + y) = x * x + y * y
α : Type u
AddGroup α
x : α
⊢ FreeAddGroup.sum (FreeAddGroup.of x) = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedDivisionRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
x y : E
h : dist x y ≠ 0
⊢ Dilation.ratio (DilationEquiv.smulTorsor c hk) = ‖k‖₊
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : ℕ
hpq : p < q
⊢ Tendsto (fun x => x ^ p / x ^ q) atTop (𝓝 0)
a✝ b✝ c : Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ max (b.blsub fun b' x => a ♯ b') (a.blsub fun a' x => a' ♯ b) = max (b.blsub fun a' x => a' ♯ a) (a.blsub fun b' x => b ♯ b')
α : Type u_1
s t : Set α
x✝ : α × α
a : α
h : Disjoint s t
x : α × α
⊢ (x.1 ∈ s ∨ x.1 ∈ t) ∧ (x.2 ∈ s ∨ x.2 ∈ t) ∧ ¬x.1 = x.2 ↔ ((x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ s ∧ ¬x.1 = x.2 ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ t ∧ ¬x.1 = x.2) ∨ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t) ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ s
x : ℝ
h : Irrational x
q : ℚ
⊢ x ≠ ↑q
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
x y : L
m : M
k : ℕ
ih : (⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * k)
hk : 2 * k.succ = 2 * k + 1 + 1
⊢ ⁅y, (⇑((toEnd R L M) x) ∘ ⇑((toEnd R L M) y))^[k] m⁆ ∈ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M (2 * k)⁆
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
c : Set (ShrinkingLemma.PartialRefinement u s)
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
v₁ v₂ : ShrinkingLemma.PartialRefinement u s
h₁ : v₁ ∈ c
h₂ : v₂ ∈ c
i : ι
hi₁ : i ∈ v₁.carrier
hi₂ : i ∈ v₂.carrier
⊢ v₁.toFun i = v₂.toFun i
c : ℕ
⊢ ∃ n0 > 1, ∀ n ≥ n0, c ^ n < (n - 1)!
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
hab : a ⋖ b
⊢ a < c → b ≤ c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.equalizer.ι f g) f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.equalizer.ι f g) g
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ+
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F R R
inst✝ : RingHomClass F R R
σ : F
ζ : ↥(rootsOfUnity k R)
⊢ ∃ m, σ ↑↑ζ = ↑↑ζ ^ m
x : ℂ
⊢ DifferentiableAt ℂ Complex.cosh x
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.contsAux (n + 2) = g.contsAux (n + 1)
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hr : r ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (↑r * x) ↔ LiouvilleWith p x
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.deriv f = Ordinal.derivFamily fun x => f
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
inst✝ : Subsingleton ↥S
y : M
hy : y ∈ S
⊢ y = 1
R : Type u
CommMonoid R
⊢ ↑(CommMonCat.of R) = R
β : Type u_1
AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V (ComplexShape.up' b)
x y z : β
h : y = z
⊢ X.d x y ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯ = X.d x z
R : Type u
Ring R
⊢ StrictMono Subring.toSubsemiring
α : Type u
Zero α
LT α
a : α
⊢ ↑a < 0 ↔ a < 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
R : Type u_3
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
c : R
⊢ ContDiff 𝕜 n fun p => c • p
R : Type uR
ι : Type uι
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
Fintype ι
z : M₂
⊢ MultilinearMap.mkPiRing R ι z = 0 ↔ z = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ StableUnderSpecialization ∅
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
a : α
hu : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n : ℕ
hn : ∀ b ≥ n, b ∈ u ⁻¹' ball a (Prod.swap ⁻¹' V 0)
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ (u (φ 0), a) ∈ V 0 ∧ ∀ (n : ℕ), (u (φ (n + 1)), u (φ n)) ∈ V (n + 1)
f : ℕ → ℂ
m : ℕ
⊢ LSeries.abscissaOfAbsConv (LSeries.logMul^[m] f) = LSeries.abscissaOfAbsConv f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)
r q : 𝕎 k
hq : q ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
hrq : Localization.mk (r, ⟨q, hq⟩).1 (r, ⟨q, hq⟩).2 ≠ 0
hq0 : q ≠ 0
⊢ ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m, φ b * Localization.mk (r, ⟨q, hq⟩).1 (r, ⟨q, hq⟩).2 = ↑p ^ m * b
G : Type u_1
Group G
S : Set G
g : G
⊢ Subgroup.IsComplement {g} S ↔ S = Set.univ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : Z.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : (openCoverOfLeft (𝒰.pullbackCover f) f g).J
Xᵢ : Scheme := pullback f (𝒰.map i)
Yᵢ : Scheme := pullback g (𝒰.map i)
W : Scheme := pullback (pullback.snd g (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))
this : IsLimit (PullbackCone.mk (pullback.snd (pullback.snd g (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))) (pullback.fst (pullback.snd g (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i)) ≫ pullback.fst g (𝒰.map i)) ⋯)
⊢ ((openCoverOfLeft (𝒰.pullbackCover f) f g).obj i).OpenCover
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
h✝ : Nontrivial A
hf : ¬f %ₘ minpoly A pb.gen = 0
this : (f %ₘ minpoly A pb.gen).natDegree < pb.dim
i : ℕ
hi : i < pb.dim
⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) (pb.gen ^ i) = y ^ i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
α : Type u
s t : Set α
⊢ (s ∪ t).Finite ↔ s.Finite ∧ t.Finite
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
⊢ Monotone (AddSubsemigroup.map f)
a b : CauSeq.Completion.Cauchy abs
⊢ { cauchy := a - b } = { cauchy := a } - { cauchy := b }
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Precoherent C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ (∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y π, CategoryTheory.EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)) →
  S ∈ (CategoryTheory.coherentTopology C).sieves X
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
⊢ x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s) ↔ x ∈ closure s
a b : USize
⊢ a % b = { val := a.val % b.val }
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator 1 a ∂μ = μ s
x y nx ny z : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat x nx →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsNat y ny → nx.gcd ny = z → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (x.gcd y) z
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ s ⊆ Group.closure s
α : Type u_1
β : Type u_2
AddZeroClass α
f : α → β
⊢ Function.Periodic f 0
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimit.toCostructuredArrow F).obj j =
  CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
hc : Differentiable ℝ f
⊢ Differentiable ℝ fun x => Real.cos (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : _root_.Embedding g
this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ
this✝³ : MeasurableSpace β := borel β
this✝² : BorelSpace β
this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ
this✝ : BorelSpace γ
H : AEStronglyMeasurable (fun x => g (f x)) μ
⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
x : ℝ
h : x < 0
⊢ ⊤ * ↑x = ⊥
n : ℕ
θ : [n] ⟶ [n + 1]
inst✝ : Mono θ
i : Fin (n + 2)
θ' : [n] ⟶ [n]
h : θ = θ' ≫ δ i
this✝ : Mono (θ' ≫ δ i)
this : Mono θ'
⊢ θ = δ i
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasRightHomology
inst✝² : S₂.HasRightHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂
⊢ F.map (opcyclesMap φ) ≫ (S₂.mapOpcyclesIso F).inv = (S₁.mapOpcyclesIso F).inv ≫ opcyclesMap (F.mapShortComplex.map φ)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
Y Z : C
I : CategoryTheory.InjectiveResolution Y
J : CategoryTheory.InjectiveResolution Z
f : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
n : ℕ
g : I.cocomplex.X (n + 1) ⟶ J.cocomplex.X n
g' : I.cocomplex.X (n + 2) ⟶ J.cocomplex.X (n + 1)
w : f.f (n + 1) = I.cocomplex.d (n + 1) (n + 2) ≫ g' + g ≫ J.cocomplex.d n (n + 1)
⊢ I.cocomplex.d (n + 2) (n + 3) ≫ CategoryTheory.InjectiveResolution.descHomotopyZeroSucc f n g g' w =
  f.f (n + 2) - g' ≫ J.cocomplex.d (n + 1) (n + 2)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
x y : R₁
hy : y ∈ R₁⁰
this : spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩) * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y) = 1
y' : (FractionalIdeal R₁⁰ K)ˣ := Units.mkOfMulEqOne (spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)) (spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y)) this
coe_y' : ↑y' = spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)
⊢ spanSingleton R₁⁰ (mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ ↑y' * ↑(Ideal.span {x} * I) = ↑y' * ↑(Ideal.span {y} * J)
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f i : N →ₗ[R] M
K : Submodule R N
m : ℕ
heq : f.iterateMapComap i m K = f.iterateMapComap i (m + 1) K
hf : Surjective ⇑f
hi : Injective ⇑i
⊢ ker f ≤ K
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x z
H2 : IsCoprime y z
⊢ IsCoprime (x * y) z
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ ∃ π', π'.toPrepartition ≤ π ∧ π'.IsHenstock ∧ π'.IsSubordinate r ∧ π'.distortion = π.distortion ∧ π'.iUnion = π.iUnion
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
⊢ Primrec fun a => ↑a.succ
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
⊢ (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = 𝟙 (s.N n) ≫ ((s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n) ≫ PInfty.f n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
⊢ IsClosed ↑Kᗮ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f μ
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t ≠ 0 → μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h₀ : ¬μ t = 0
h₀' : ¬μ tᶜ = 0
this : ⨍ (x : α), f x ∂μ = ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = (μ t).toReal • ⨍ (x : α), f x ∂μ
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
⊢ (∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ φ) ∨ ∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ Formula.not φ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hs : s.einfsep < ⊤
w✝¹ : α
hx : w✝¹ ∈ s
w✝ : α
hy : w✝ ∈ s
hxy : w✝¹ ≠ w✝
right✝ : edist w✝¹ w✝ < ⊤
⊢ s.Nontrivial
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
k : ℕ
h : G.IsRegularOfDegree k
⊢ Gᶜ.IsRegularOfDegree (Fintype.card V - 1 - k)
α : Type u_1
s₁ s₂ : Finset α
a : α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → a ∈ s₁ → a ∈ s₂
R : Type u
inst✝ : CommRing R
q n : ℕ
x y : R
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)
⊢ (x - y) ^ q ^ n = x ^ q ^ n - y ^ q ^ n
S : Set Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
hf : StrictMono f
o a : Ordinal.{u_1}
H : ∀ k < a, enumOrd (range f) k = f k
⊢ enumOrd (range f) a = f a
R : Type u_1
inst✝⁸ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
e : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] N
⊢ (e.map f).orientation = (Orientation.map ι f) e.orientation
x✝ y z x : ℝ
⊢ rexp 1 ^ x = rexp x
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}
⊢ a < nfp f b ↔ ∃ n, a < f^[n] b
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
p : Prop
f g : α → β
Decidable p
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun a => if p then f a else g a
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
φ ψ : L.Formula α
M : Type (max u v)
Nonempty M
L.Structure M
_hM : M ⊨ T
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
v : α → M
⊢ φ.Realize v ↔ ψ.Realize v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → ℝ≥0
sf sg : ℝ≥0
i : α
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
hi : f i < g i
hf : HasSum f sf
hg : HasSum g sg
A : ∀ (a : α), ↑(f a) ≤ ↑(g a)
this : ↑sf < ↑sg
⊢ sf < sg
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
g : E ≃ₜ E := Homeomorph.addLeft x
t : Set E := ⇑g ⁻¹' s
this : t ∈ 𝓝 0
A : #↑t = #E
B : #↑t = #↑s
⊢ #↑s = #E
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
C : G.ConnectedComponent
φ : G →g G'
ψ : G' →g G''
⊢ map ψ (map φ C) = map (ψ.comp φ) C
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
⊢ (if n % 4 = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ (n / 2)
α : Type u_4
l : Filter α
x : ℝ≥0
f : ℝ≥0∞ → α
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝 ↑x) l ↔ Filter.Tendsto (f ∘ ENNReal.ofNNReal) (𝓝 x) l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
h : CategoryTheory.IsCoseparating ∅
⊢ Quiver.IsThin C
V : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module ℝ V
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ V
inst✝ : ContinuousAdd V
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
a b : ℝ≥0
h : a ≤ b
⊢ a • ↑K ⊆ b • ↑K
p : ℕ
hp : p ≠ 0
⊢ 0 < 2 ^ p - 1
o : Ordinal.{u_1}
⊢ ω ≤ o ↔ ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ o
K : Type u
inst✝ : Field K
A R S : ValuationSubring K
hR : A ≤ R
hS : A ≤ S
h : R ≤ S
x : ↥A
hx : x ∈ A.idealOfLE S hS
⊢ R.valuation ↑((A.inclusion R hR) x) < 1
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝¹ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat
hdet' : ↑w * ↑z = x * y + 1
x✝ : u.v = (↑a, ↑b)
hv : (↑a' * ↑d, ↑b' * ↑d) = (↑a, ↑b)
ha'' : ↑a = ↑a' * ↑d
hb'' : ↑b = ↑b' * ↑d
⊢ a = a' * d ∧ b = b' * d ∧ z * a' = (x * ↑b').succPNat ∧ w * b' = (y * ↑a').succPNat ∧ ↑z * ↑a = x * ↑b + ↑d ∧ ↑w * ↑b = y * ↑a + ↑d
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a b : α
⊢ ↑(Ici a * Ici b) ⊆ ↑(Ici (a * b))