ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g
ht : IsLimit t
inst✝ : Mono g
W : C
h k : W ⟶ t.pt
i : h ≫ t.fst = k ≫ t.fst
⊢ h ≫ t.snd = k ≫ t.snd
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
⊢ Set.range ↑(I.transDiffeomorph e) = ⇑e '' Set.range ↑I
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
h : Presieve.IsSheaf J₁ (Functor.closedSieves J₂)
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X
this : J₂.IsClosed ⊤
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ Sieve.pullback f (J₂.close S) = Sieve.pullback f ⊤
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯
⊢ (Formula.iExs f φ).Realize v ↔ ∃ i, φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
S✝ : Set E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
⊢ (restrictScalars F (adjoin L S)).toSubfield = (restrictScalars F (adjoin L' S)).toSubfield
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
x : 𝕜
h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
⊢ HasDerivAt (fun x => x ^ m) (↑m * x ^ (m - 1)) x
x : PartENat
⊢ ⊤ + x = ⊤
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Stream'.WSeq.map f Stream'.WSeq.nil = Stream'.WSeq.nil
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ ∀ (i' : Set X), IsCompact i' → ∃ i, IsCompact i ∧ f ⁻¹' iᶜ ⊆ i'ᶜ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F₀ F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C C
α : F₀ ⟶ F₁
β : F₁ ⟶ F₂
X : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F₂
⊢ ((CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.functorOfNatTransComp α β).inv.app X).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.a
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_2 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ n, {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
⊢ AnalyticSet (⋂ n, s n)
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f : α → 𝕜
S : Set α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace 𝕜
T1Space 𝕜
Ring 𝕜
NoZeroDivisors 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hsq : Set.EqOn (f ^ 2) 1 S
⊢ Set.EqOn f 1 S ∨ Set.EqOn f (-1) S
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.WellPowered C
A : C
s : Set (CategoryTheory.Subobject A)
f : CategoryTheory.Subobject A
k : ∀ g ∈ s, f ≤ g
⊢ (CategoryTheory.Subobject.leInfCone s f k).π.app none = f.arrow
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : D
G : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.StructuredArrow X F)
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cone.fromStructuredArrow F G).π.app j = (G.obj j).hom
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
d : ℝ≥0∞
hd : EMetric.diam t ≤ d
⊢ EMetric.diam (f '' (t ∩ s)) ≤ ↑C * d ^ ↑r
o : Ordinal.{u_1}
⊢ ℵ₀ ≤ aleph o
α : Type u_1
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
IsWellOrder ι r
f : ι → α
⊢ (Ordinal.type r).brange (Ordinal.bfamilyOfFamily' r f) = Set.range f
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥M
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.total κ (↥M) R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι (↥N) R n)
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] ↥M ⊗[R] (ι →₀ R) := LinearMap.rTensor (ι →₀ R) (Finsupp.total κ (↥M) R m)
i2 : ↥M ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] ↥M ⊗[R] ↥N := LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.total ι (↥N) R n)
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ i2 ∘ₗ i1 ∘ₗ ↑i0
h1 : Function.Injective ⇑i1
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
α : Type u
f : Filter α
⊢ (∀ᶠ (x : α) in f, False) ↔ f = ⊥
n a : ℕ
hn : Odd n
ha : Even a
⊢ Odd (n % a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
a✝ : Nontrivial α
hα : Nonempty α
⊢ AEMeasurable g μ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
N₂ : LieSubmodule R L M₂
I J : LieIdeal R L
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑⁅J, I⁆
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ ↑(UpperSet.Ici a) = Set.Ici a
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i j✝ : Fin n✝
n : ℕ
j : Fin n
this : (succ 0).succAbove j.succ = (succAbove 0 j).succ
⊢ succAbove 1 j.succ = j.succ.succ
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ b⁻¹ ≤ a
K : Type u
V : Type v
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
ι : Type u_1
IsEmpty ι
hV : Module.rank K V = 0
i : ι
⊢ (Basis.ofRankEqZero hV) i = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s ∪ t = ∅ ↔ s = ∅ ∧ t = ∅
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
hgf : UniformInducing (g ∘ f)
⊢ comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ comap (Prod.map f f) (comap (Prod.map g g) (𝓤 γ))
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z
h' : z \ y ⊔ y ≤ x ⊔ y
⊢ z \ y ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
t : Finset β
⊢ Disjoint (s.biUnion f) t ↔ ∀ i ∈ s, Disjoint (f i) t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), f a * r ∂μ = (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) * r
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoMod hp (a - m • p) b = toIcoMod hp a b - m • p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0
⊢ CategoryTheory.Mono f
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
⊢ (M ↾ R).Basis I X ↔ M.Basis I (X ∩ M.E) ∧ X ⊆ R
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Finset α
s_mble : MeasurableSet ↑s
⊢ MeasureTheory.Measure.count ↑s = ↑s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
Preorder α
Preorder β
SMulPosStrictMono α β
SMulPosReflectLT α β
hb : 0 < b
⊢ 0 < a • b ↔ 0 < a
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
⊢ CompleteSpace E
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r : R
hnil : IsNilpotent r
⊢ IsUnit (r + 1)
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
⊢ ClassGroup.mk I = 1 ↔ (↑↑I).IsPrincipal
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
r : R
⊢ (algebraMap R (𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ)) r = 1 ᵍ⊗ₜ[R] (algebraMap R B) r
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
LocallyFiniteOrder α
b : α
⊢ Finset.Ioc ⊥ ↑b = Finset.map Function.Embedding.some (Finset.Iic b)
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ 0 ≤ RCLike.normSq z
F : PFunctor.{u}
n : ℕ
x : PFunctor.Approx.CofixA F n.succ
y : PFunctor.Approx.CofixA F (n.succ + 1)
i : F.B (PFunctor.Approx.head' x)
j : F.B (PFunctor.Approx.head' y)
h₀ : HEq i j
h₁ : PFunctor.Approx.Agree x y
⊢ PFunctor.Approx.Agree (PFunctor.Approx.children' x i) (PFunctor.Approx.children' y j)
n : ℕ
hn : IsPrimePow n
hn' : ¬Nat.Prime n
⊢ ArithmeticFunction.moebius n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedCommSemiring α
OrderedSemiring β
Algebra α β
SMulPosMono α β
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ (algebraMap α β) a
V : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
C : ℝ≥0
f : ℝ → V
h : LipschitzWith C f
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), DifferentiableAt ℝ f x
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s✝ : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
hq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f z)
x : 𝕜
hx1 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f x)
hx2 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • p.coeff n) (f x)
this : ∀ k < p.order, p.coeff k = 0
s : E
hs1 : (x - z₀) ^ p.order • s = f x
hs2 : HasSum (fun m => (x - z₀) ^ m • p.coeff (m + p.order)) s
⊢ f x = (x - z₀) ^ p.order • (swap dslope z₀)^[p.order] f x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
C : Set (Set α)
h : μ.FiniteSpanningSetsIn C
⊢ MeasureTheory.SigmaFinite μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
s : Set X
⊢ IsOpen (⇑h '' s) ↔ IsOpen s
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖ ↔ InnerProductGeometry.angle x y = 0
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n : ℕ
⊢ n ≤ Nat.find h ↔ ∀ (m : ℕ), m < n → ¬p m
x y : SetTheory.PGame
ih :
  ∀ (a : Surreal.Multiplication.Args),
    Surreal.Multiplication.ArgsRel a (Surreal.Multiplication.Args.P1 x y) → Surreal.Multiplication.P124 a
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
⊢ (x * y).Numeric
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I : Finset ι
J : Set ι
hu : univ ⊆ ↑I ∪ J
b : (i : ι) → φ i
hb : ∀ i ∈ J, b i = 0
⊢ ∑ i ∈ I, (stdBasis R φ i) (b i) ∈ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
W X Y Z : C
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.biprod.braiding X W).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.biprod.map f g ≫ (CategoryTheory.Limits.biprod.braiding Y Z).hom =
  CategoryTheory.Limits.biprod.map g f
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
⊢ IsAlgebraic R x ↔ ¬Function.Injective ⇑(aeval x)
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)
⊢ Prod.map π π ⁻¹' diagonal (Quotient R) = range fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)
R : Type u_4
k : ℕ
CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
⊢ h.zmodEquivZPowers ↑i = Additive.ofMul ⟨ζ ^ i, ⋯⟩
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y✝ : (i : δ) → π i
i✝ i : δ
hi : i ∈ s
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x : (i : δ) → π i
y : π i
j : δ
hj : j ∉ s
this : j ≠ i
⊢ update x i y j = x j
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E
x : E
⊢ ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x ≤ egauge 𝕜 s (c • x)
α : Type u_1
β : Type v
s : Multiset α
f : α → Multiset β
⊢ (s.attach.bind fun i => f ↑i) = s.bind f
α : Type u_2
SemilatticeInf α
⊢ infClosure Set.univ = Set.univ
K : Type u
DivisionRing K
⊢ ↑⊤ = Set.univ
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x : V
⊢ InnerProductGeometry.angle 0 x = π / 2
f✝ g : CircleDeg1Lift
f : CircleDeg1Liftˣ
x : ℝ
⊢ ↑f (↑f⁻¹ x) = x
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ φ * 1 = φ
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_2
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
e : (V →ₗ[K] K) ≃ₗ[Kᵐᵒᵖ] ι → Kᵐᵒᵖ
⊢ Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁸ : Category.{u_15, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_16, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_14, u_3} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄
inst✝⁴ : Category.{u_13, u_5} C₁₂
inst✝³ : Category.{?u.204416, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝² : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
inst✝¹ : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q
H : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃
inst✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r
j : J
A : C₄
f g : mapBifunctorMapObj G ρ₁₂.q (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂) X₃ j ⟶ A
h : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (i₃ : I₃) (h : r (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g
⊢ f = g
α : Type u_1
LE α
Add α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : AddLECancellable a
⊢ a + b ≤ a + c ↔ b ≤ c
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
L : CategoryTheory.Functor C D
L.IsLocalization W
⊢ φ.map L ⋯ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L.map φ.f) (CategoryTheory.Localization.isoOfHom L W φ.s ⋯).inv
a n : ℕ
⊢ n.ceilRoot a = 0 ↔ n = 0 ∨ a = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
hU : IsOpen s
⊢ s ∈ 𝓝ˢ t ↔ t ⊆ s
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
n : ℕ
⊢ ⟨↑n, ⋯⟩ = ↑n
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
inst✝² : LieRingModule L M✝
inst✝¹ : LieModule R L M✝
inst✝ : IsNoetherian R L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
L' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range
h : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y
s : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}
hs : s.Nonempty
this : ∀ K ∈ s, K ≠ ⊤ → ∃ K' ∈ s, K < K'
_i5 : IsNoetherian R ↥L'
K : LieSubalgebra R ↥L'
hK₁ : K ∈ s
hK₂ : ∀ x ∈ s, ¬x > K
⊢ ⊤ ∈ s
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
⊢ prod.fst ⊚ prod.diag = id
x y : SetTheory.PGame
i : x.LeftMoves
j : y.RightMoves
⊢ (x * y).moveRight (SetTheory.PGame.toRightMovesMul (Sum.inl (i, j))) =
  x.moveLeft i * y + x * y.moveRight j - x.moveLeft i * y.moveRight j
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
⊢ egauge 𝕜 0 0 = 0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0
hef : ⁅e, f'⁆ = ((killingForm K L) e) f' • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩
⊢ ∃ h e f, IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring R
⊢ S.toNonUnitalSubsemiring.toSubsemiring ⋯ = S
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (f * g).Separable
this : IsCoprime f (derivative f * g + f * derivative g)
⊢ f.Separable
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
Preorder E
CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MeasureTheory.Supermartingale f ℱ μ
hg : MeasureTheory.Submartingale g ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Supermartingale (f - g) ℱ μ
C : Type u_5
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_5} C
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_3
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
s : A → CategoryTheory.Functor D D
i : (a : A) → F.comp (s a) ≅ (CategoryTheory.shiftFunctor C a).comp F
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Full
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
a b : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.HasShift.Induced.add F s i a b).hom.app (F.obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((i (a + b)).hom.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a b).hom.app X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((i b).inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
        ((s b).map ((i a).inv.app X))))
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
⊢ eLpNorm f p μ < ⊤
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
⊢ LieAlgebra.rootSpace ⊤ 0 = ⊤
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Div α
s : Set α
t : ι → Set α
⊢ s / ⋃ i, t i = ⋃ i, s / t i
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
⊢ (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = RingHom.ker (GradedRing.projZeroRingHom 𝒜)
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
⊢ ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, μ a < ⊤
a b : Int
a0 : a ≠ 0
b0 : b ≠ 0
⊢ a * b ≠ 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
m : Multiset α
hms : ∀ a ∈ m, a ∈ s
⊢ ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => count x m ≠ 0) s, count x m = ∑ a ∈ m.toFinset, count a m
α₁ : Sort u_1
α₂ : Sort u_2
β₁ : Sort u_3
β₂ : Sort u_4
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₂ : β₁ ≃ β₂
⊢ (e₁.arrowCongr e₂).symm = e₁.symm.arrowCongr e₂.symm
f : ℕ → ℚ
x : ℝ
h : ∀ ε > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, |↑(f j) - x| < ε
⊢ ∃ (h' : IsCauSeq abs f), Real.mk ⟨f, h'⟩ = x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a✝ : α
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupHomClass F α β
hs : SupClosed s
f : F
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
⊢ f (a ⊔ b) ∈ ⇑f '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ (Set.range f)ᶜ ⊆ Set.kernImage f s
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Bool
f : α → Option β
l : List α
⊢ List.filterMap f (List.filter p l) = List.filterMap (fun x => if p x = true then f x else none) l
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x y : R
hy : y ∈ M
⊢ IsLocalization.mk' S x ⟨y, hy⟩ * (algebraMap R S) y = (algebraMap R S) x
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
N.Normal
hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
⊢ toLex (update x i a) ≤ toLex x ↔ a ≤ x i
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
r : R
a : A
⊢ (Algebra.TensorProduct.rid R S A) (a ⊗ₜ[R] r) = r • a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
⊢ (N.Indep (f '' I) → ¬InjOn f I) ∧ I ⊆ f ⁻¹' N.E ↔ ¬N.Indep (f '' I) ∧ I ⊆ f ⁻¹' N.E ∨ N.Indep (f '' I) ∧ ¬InjOn f I
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
⊢ finrank ℝ ↥⊤.direction = 2
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Nontrivial R
this : Nontrivial S
⊢ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S N) = Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
S.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.rightHomologyIso.inv S.rightHomologyι =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.ι h.opcyclesIso.inv
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
QuasiSeparatedSpace α
⊢ IsQuasiSeparated s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : Filter (α → β)
g : Filter α
s : Set β
⊢ s ∈ f.seq g ↔ ∃ u ∈ f, ∃ t ∈ g, u.seq t ⊆ s
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → List.count x l₁ ≤ List.count x l₂
⊢ l₁ ++ l₂.diff l₁ ~ l₂
R : Type v
CommRing R
n : ℕ
A B : Matrix (Fin (n + 1)) (Fin (n + 1)) R
c : Fin n → R
A_zero : ∀ (j : Fin (n + 1)), A 0 j = B 0 j
A_succ : ∀ (i : Fin n) (j : Fin (n + 1)), A i.succ j = B i.succ j + c i * A i.castSucc j
⊢ A.det = B.det
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
DecidableEq o
AddGroup α
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
⊢ Matrix.blockDiagonal' (-M) = -Matrix.blockDiagonal' M
β : Type v
r : β → β → Prop
IsTrans β r
f : ℕ → β
a : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), a ≤ n → r (f n) (f (n + 1))
b c : ℕ
hab : a ≤ b
hbc : b < c
⊢ r (f b) (f c)
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
this : ↑a.val - ↑n ≤ 0
⊢ ↑a.valMinAbs.natAbs = if a.val ≤ n / 2 then a else -a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X₁ X₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.binaryBiproductTriangle X₁ X₂).obj₁ = X₁
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x y z w : α
⊢ {x, y} = {z, w} ↔ x = z ∧ y = w ∨ x = w ∧ y = z
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
t : ℝ≥0
ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t
⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ spectralRadius ℝ ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ≤ ↑t
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R
m n : ℕ
⊢ ↑(m + n) = ↑m + ↑n