ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
m : M
a : R[M]
⊢ a ∈ grade R m ↔ ↑a.support ⊆ {m}
X : Type u
TopologicalSpace X
K : ℕ → Set X
hK : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
n : ℕ
⊢ IsCompact (Set.Accumulate K n)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (interedges r s t).card + (interedges (fun x y => ¬r x y) s t).card = s.card * t.card
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ |↑(-m) / ↑n - -x| = |x - ↑m / ↑n|
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Ioc a c ∪ Ioc b c = Ioc (min a b) c
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
I : R →+* R
B F : M →ₗ[R] M →ₛₗ[I] M₃
B' : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₛₗ[I] M₃
B'' : M₂ →ₗ[R] M₂ →ₛₗ[I] M₃
f f'✝ : M →ₗ[R] M₁
g g'✝ : M₁ →ₗ[R] M
f' : M₁ →ₗ[R] M₂
g' : M₂ →ₗ[R] M₁
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B'.IsAdjointPair B'' f' g'
x✝¹ : M
x✝ : M₂
⊢ (B'' ((f' ∘ₗ f) x✝¹)) x✝ = (B x✝¹) ((g ∘ₗ g') x✝)
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δ₁ δ₂ : ℝ
hle : δ₁ ≤ δ₂
E : Set α
⊢ thickenedIndicatorAux δ₁ E ≤ thickenedIndicatorAux δ₂ E
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
⊢ DifferentiableAt ℂ Complex.Gamma s
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.133780, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
⊢ (φ₁ - φ₃).τ₁ = S₁.f ≫ (h.h₁ - h'.h₁) + (h.h₀ - h'.h₀) + (φ₂ - φ₄).τ₁
F : Type u_1
E : Type u_2
CommSemiring F
Semiring E
Algebra F E
b : F →ₗ[F] E
hb : Function.Surjective ⇑b
⊢ Function.Surjective ⇑(algebraMap F E)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Ideal R
h : S ≤ R⁰
⊢ ↑I = 0 ↔ I = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hμ : IntegrableOn f s μ
hν : IntegrableOn f s ν
⊢ Integrable f (μ.restrict s + ν.restrict s)
M : Type u_2
MulOneClass M
Pow M ℕ
self : NatPowAssoc M
k n : ℕ
x : M
⊢ x ^ (k + n) = x ^ k * x ^ n
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n
⊢ i.castPred hi ≤ j ↔ i ≤ j.castSucc
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Initial
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
CategoryTheory.Limits.HasLimit (F.comp G)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit G
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α
⊢ List.countP (fun b => decide (p ↑b)) l.attach = List.countP (fun a => decide (p ↑a)) l.attach
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.preΨ' 2 = 1
x y : ℝ
y✝² y✝¹ y✝ : CauSeq ℚ abs
⊢ y✝ + y✝² < y✝ + y✝¹ ↔ y✝² < y✝¹
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
E' : Type u_11
SeminormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
RingHomIsometric σ₁₂
f : E' → F
s : Set (E' →SL[σ₁₂] F)
hs : Bornology.IsBounded s
hf : f ∈ closure (DFunLike.coe '' s)
⊢ ⇑(ContinuousLinearMap.ofMemClosureImageCoeBounded f hs hf) = f
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
⊢ (μ.toFinite.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) s = 0 ∨ ⊤ * (μ.toFinite.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) s = ⊤
R : Type u_1
CommRing R
P : Ideal (Polynomial R)
⊢ Function.Injective
  ⇑(Ideal.quotientMap (Ideal.map (Polynomial.mapRingHom (Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap Polynomial.C P))) P)
      (Polynomial.mapRingHom (Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap Polynomial.C P))) ⋯)
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
he : e ∈ X
hIe : M.Indep (insert e I)
⊢ e ∈ I
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasImage f✝
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
inst✝² : HasImage f
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasImage g
sq : Arrow.mk f ⟶ Arrow.mk g
inst✝ : HasImageMap sq
⊢ (imageSubobjectIso f).hom ≫ image.map sq ≫ image.ι g = (imageSubobject f).arrow ≫ sq.right
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Monoid β
ContinuousMul β
f : C(α, β)
n : ℕ
x : α
⊢ (f ^ n) x = f x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
TopologicalSpace α
OrderTopology α
SecondCountableTopology β
⊢ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Set.Ioi x) x}.Countable
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤
h✝ : Nonempty ι
⊢ (iInf f).toNNReal = ⨅ i, (f i).toNNReal
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : A
hx : x ∈ S
n : ℕ
⊢ n • x ∈ S
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℂ → E
⊢ ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑Complex.polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (measurableEquivRealProd.symm (↑polarCoord.symm p))
α : Type u
a✝ : α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
a b : ZMod (Fintype.card G)
h : g ^ a.val = g ^ b.val
⊢ a = b
X : TwoP
⊢ (TwoP.swap.obj X).X = X.X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ CategoryTheory.Square.evaluation₂.obj sq = sq.X₂
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ l ∩ [] = []
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e
α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
⊢ ⁅e, f⁆ - ((killingForm K L) e) f • ↑α' ∈ LinearMap.ker (killingForm K L)
α : Type u
DecidableEq α
Subsingleton α
a b : α
⊢ PEquiv.single a b = PEquiv.refl α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
b : β
t : Set γ
f : β × γ → α
⊢ ∏' (x : ↑({b} ×ˢ t)), f ↑x = ∏' (c : ↑t), f (b, ↑c)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SOppSide x y
⊢ (↑s).Nonempty
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
X✝ Y✝ : C ⥤ D
τ : X✝ ⟶ Y✝
H : D ⥤ E
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ H.map (X✝.map f) ≫ H.map (τ.app Y) = H.map (τ.app X) ≫ H.map (Y✝.map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : LinearOrderedAddCommMonoid M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi : ¬∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ i → ↑v j ≤ ↑0 j
hi₁ : MeasurableSet i
⊢ ∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ 0 < ↑v j
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h_dec : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
h : μ.singularPart ν = 0
⊢ μ ≪ ν
Γ : Type u_1
R : Type u_3
Zero Γ
PartialOrder Γ
MulZeroOneClass R
Nontrivial R
⊢ HahnSeries.support 1 = {0}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f g : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : IsNormal f
hg : IsNormal g
x✝ : f 0 = g 0 ∧ ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)
h₁ : f 0 = g 0
h₂ : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)
⊢ f 0 = g 0
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ x.1.card + (op e • x.1).card = 2 * x.1.card
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : 0 < ‖k‖
x : E
hx : p x ≤ ‖k‖ * r
⊢ k • k⁻¹ • x = x
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
F : CategoryTheory.Functor J K
j₁ j₂ : J
h : CategoryTheory.Zigzag j₁ j₂
⊢ CategoryTheory.Zigzag (F.obj j₁) (F.obj j₂)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MulOneClass α
MulOneClass β
FunLike F α β
MulHomClass F α β
m : F
f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
⊢ Filter.Tendsto (⇑m) f₁ f₂ → Filter.Tendsto (⇑m) g₁ g₂ → Filter.Tendsto (⇑m) (f₁ * g₁) (f₂ * g₂)
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : ¬gcd x y = 0
r : R
hr : x = gcd x y * r
s : R
hs : y = gcd x y * s
⊢ x * y ∣ z * gcd x y
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ 𝓝[Set.Ioc a b] a = 𝓝[>] a
α : Type u
TopologicalSpace α
s t : Set α
hs : IsPreconnected s
ht : IsClopen t
hne : (s ∩ t).Nonempty
⊢ s ⊆ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E
⊢ S.Blunt → S.Salient
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : IsOpen s
⊢ {x | gauge s x < 1} = s
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
⊢ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s
G : Type u_1
M : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Fintype G
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : DecidableEq M
inst✝¹ : FunLike F G M
inst✝ : MonoidHomClass F G M
f : F
x y g : G
⊢ f g * f y⁻¹ = f x ↔ f g = f x * f y
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Fintype σ
f : MvPolynomial σ R
n : ℕ
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
h : ∀ (i : σ), n ≤ d i
⊢ n * Fintype.card σ ≤ f.totalDegree
R S : CommRingCat
φ ψ : R ⟶ S
f : Spec S ⟶ Spec R
⊢ Scheme.Spec.map φ.op = Scheme.Spec.map ψ.op ↔ map φ = map ψ
A : Type u_2
CommRing A
K : Type u_4
CommRing K
Algebra A K
IsFractionRing A K
⊢ IsDedekindRing A ↔ IsNoetherianRing A ∧ Ring.DimensionLEOne A ∧ ∀ {x : K}, IsIntegral A x → ∃ y, (algebraMap A K) y = x
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
h : a.factors = b.factors
this : a.factors.prod = b.factors.prod
⊢ a = b
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₀.X₃)
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₁.X₂)
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₂.X₁)
h₂ : ((forget₂ C Ab).map D.L₁.g) x₂ = ((forget₂ C Ab).map D.v₀₁.τ₃) x₃
h₁ : ((forget₂ C Ab).map D.L₂.f) x₁ = ((forget₂ C Ab).map D.v₁₂.τ₂) x₂
e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C
⊢ D.L₁.g (e.hom.app D.L₁.X₂ x₂) = D.v₀₁.τ₃ (e.hom.app D.L₀.X₃ x₃)
M : Type u_1
CommMonoid M
n : ℕ+
⊢ Function.Injective fun x => ↑↑x
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
a : ℝ≥0∞
a_pos : 0 < a
a_lt_one : a < 1
⊢ ∃ F, (∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)) ∧ (∀ (n : ℕ), F n ⊆ U) ∧ ⋃ n, F n = U ∧ Monotone F
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_12
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
⊢ s.sup p ≤ ∑ i ∈ s, p i
ι : Type u_1
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
x : X
⊢ ∀ᶠ (s : Set X) in (𝓝 x).smallSets, {i | (f i ∩ s).Nonempty}.Finite
α : Type u
β : Type v
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
σ : Perm (m ⊕ n)
h : Set.MapsTo (⇑σ⁻¹) (Set.range Sum.inl) (Set.range Sum.inl)
x : m ⊕ n
r : n
hx : σ x = Sum.inr r
⊢ x ∈ Set.range Sum.inr → Sum.inr r ∈ Set.range Sum.inr
X : TopCat
T : ↑X → Type u
ι : Type u
U : ι → Opens ↑X
sf : (i : ι) → (forget (Type u)).obj ((X.presheafToTypes T).obj (Opposite.op (U i)))
hsf : (X.presheafToTypes T).IsCompatible U sf
index : ↥(iSup U) → ι
index_spec : ∀ (x : ↥(iSup U)), ↑x ∈ U (index x)
⊢ ∃! s, (X.presheafToTypes T).IsGluing U sf s
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n k : ℕ
⊢ 1 ≤ 2
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ
⊢ fourierCoeff (AddCircle.liftIoc T a f) n = fourierCoeffOn ⋯ f n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
⊢ μ s ≤ μ (s ∪ t)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure X
Y : Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Y} {f : X → Y} {ν : MeasureTheory.Measure Y},
  MeasureTheory.MeasurePreserving f μ ν →
    MeasurableEmbedding f → ∀ (g : Y → E) (s : Set Y), ∫ (x : X) in f ⁻¹' s, g (f x) ∂μ = ∫ (y : Y) in s, g y ∂ν
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s : Set α
h : IsOpen s
⊢ exterior s = s
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k
⊢ (b - a) • slope f a b +ᵥ f a = f b
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (x : ℝ) in map (fun x => ‖f x / g x‖) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x c
⊢ f =O[l] g
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
⊢ (LocalizedModule.divBy s) p = p.liftOn (fun p => LocalizedModule.mk p.1 (p.2 * s)) ⋯
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
TopologicalSpace X
CompactSpace X
T2Space X
s : Set X
⊢ ContinuousMap.setOfIdeal (ContinuousMap.idealOfSet 𝕜 s) = interior s
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
R₂ : Type u_3
Semiring R₂
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module S N
Module R₂ P
Module S₂ P
SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
f g : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
H : ∀ (m : M) (n : N), (f m) n = (g m) n
⊢ f = g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
K₁ K₂ : CategoryTheory.Limits.Multifork I
f : K₁ ⟶ K₂
j : I.L
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom (K₂.ι j) = K₁.ι j
⊢ Real.cos (Real.pi / 32) = √(2 + √(2 + √(2 + √2))) / 2
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Module.support R M = ∅ ↔ Subsingleton M
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set ↑(range f)
y : ↑(range f)
m : y ∈ s
⊢ (fun x => ⟨rangeSplitting f ↑x, ⋯⟩) ((fun x => ⟨⟨f ↑x, ⋯⟩, ⋯⟩) ⟨rangeSplitting f y, ⋯⟩) = ⟨rangeSplitting f y, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ ‖p.changeOriginSeriesTerm k l s hs‖ = ‖p (k + l)‖
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
i : ι
s : Set (α i)
hs : (μ i) s = 0
t : Set (α i)
hst : s ⊆ t
left✝ : MeasurableSet t
hμt : (μ i) t = 0
⊢ (Measure.pi μ) (eval i ⁻¹' s) = 0
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsRefl β s
f : r ≃r s
⊢ Order.cof r ≤ Order.cof s
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
self : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis s
t₁ : Set α
⊢ t₁ ∈ s → ∀ t₂ ∈ s, ∀ x ∈ t₁ ∩ t₂, ∃ t₃ ∈ s, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
F G : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ CategoryTheory.NatTrans.app 0 X = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
M N : Mod_ A
self : M.Hom N
⊢ M.act ≫ self.hom = A.X ◁ self.hom ≫ N.act
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
a : α
⊢ l.set n a = if n < l.length then List.take n l ++ a :: List.drop (n + 1) l else l
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
l : List (Quotient.out o).α
⊢ List.foldr (o.familyOfBFamily f) a l ≤ o.nfpBFamily f a
α : Sort u_1
β : Sort u_2
a b : α
c d : β
⊢ (a = b ↔ c = d) → (a ≠ b ↔ c ≠ d)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
x : ℕ
⊢ x ∉ p.support → x ∉ (normalizeScaleRoots p).support
α : Type u
Monoid α
a : α
⊢ ∀ (x : Invertible a) (b : α) (x_1 : Invertible b), (x.mulLeft b) x_1 = invertibleMul a b
ι : Sort u_1
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
f : ι → Set α
hf : ∀ (i : ι), IsClopen (f i)
⊢ IsClopen (⋃ i, f i)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ ↑(lieIdealSubalgebra R L I) = ↑I
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ IsEmpty { x // x ∈ s } ↔ s = ∅
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : CompactSpace β
v : Set β
hv₁ : IsOpen v
hv₂ : ω f ϕ s ⊆ v
u : Set τ
hu_mem : u ∈ f
hu : closure (image2 ϕ u s) ⊆ v
t : τ
ht : t ∈ u
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ϕ t x ∈ v
a b : Prop
h : a = b
⊢ (a ↔ b) = True
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : f.natDegree ≠ 0
⊢ rootOfSplits (algebraMap F f.SplittingField) ⋯ ⋯ ∈ (f.aroots f.SplittingField).toFinset
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G
⊢ c / a * (a / b) = c / b
x✝ : ℂ
⊢ L δ x✝ = 1 x✝
α : Sort u
h : Lean.Meta.FastSubsingleton α
a b : α
⊢ a = b
R : Type u_1
A : Type u_3
M : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
a : A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
f : R[X]
m : Module.AEval R M a
⊢ (Module.AEval.of R M a).symm (f • m) = (Polynomial.aeval a) f • (Module.AEval.of R M a).symm m
X✝ Y✝ : Scheme
U✝ : X✝.Opens
hU✝ : IsAffineOpen U✝
f✝ : ↑Γ(X✝, U✝)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
hU : IsAffineOpen U
V : X.Opens
hV : IsAffineOpen V
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
r : ↑Γ(Y, U)
this✝ : IsLocalization.Away r ↑Γ(Y, Y.basicOpen r) := isLocalization_basicOpen hU r
this : IsLocalization.Away ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r) ↑Γ(X, X.basicOpen ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r)) := isLocalization_basicOpen hV ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r)
⊢ RingHom.comp (Scheme.Hom.appLE f (Y.basicOpen r) (X.basicOpen ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r)) ⋯) (algebraMap ↑Γ(Y, U) ↑Γ(Y, Y.basicOpen r)) = (IsLocalization.Away.map (↑Γ(Y, Y.basicOpen r)) (↑Γ(X, X.basicOpen ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r))) (Scheme.Hom.appLE f U V e) r).comp (algebraMap ↑Γ(Y, U) ↑Γ(Y, Y.basicOpen r))
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring k
AddMonoid G
AddMonoid H
Semiring A
Algebra k A
e : G ≃+ H
⊢ ↑(AddMonoidAlgebra.domCongr k A e) = AddMonoidAlgebra.mapDomainAlgHom k A e
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ s.doublingGamma = Gamma s
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hzpos : 0 < z
m n : ℤ
hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2
hv2 : ↑x / ↑z = 2 * ↑m * ↑n / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hw2 : ↑y / ↑z = (↑m ^ 2 - ↑n ^ 2) / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
H : (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
co : m.gcd n = 1
pp : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
hz : z ≠ 0
⊢ h.IsPrimitiveClassified
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)
X : Dᵒᵖ
a b : (forget A).obj (F.obj X)
h : (f.app X) a = (f.app X) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ map = g
⊢ equalizerSieve ((forget A).map (F.map map.op) a) ((forget A).map (F.map map.op) b) ≤ Sieve.functorPullback H (Sieve.pullback map (equalizerSieve a b))
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
hθ : θ ∈ Ioc (-π) π
⊢ (if 0 ≤ Real.cos θ then Real.arcsin (Real.sin θ) else if 0 ≤ Real.sin θ then Real.arcsin (-Real.sin θ) + π else Real.arcsin (-Real.sin θ) - π) = θ
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
H.Additive
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
⊢ (CochainComplex.mappingCone.mapHomologicalComplexXIso' φ H n m hnm).hom =
  H.map ((↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v n m ⋯) ≫
      (CochainComplex.mappingCone.inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ +
    H.map ((CochainComplex.mappingCone.snd φ).v n n ⋯) ≫
      (CochainComplex.mappingCone.inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ (of v).TerminatedAt n ↔ IntFractPair.stream v (n + 1) = none
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 2
⊢ AffineIndependent k p ↔ ¬finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) ≤ n
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (restrictScalars f).obj Y ⟶ X
y : ↑Y
r : R
s : S
⊢ g ((r • s) • y) = r • g (s • y)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f t y ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => f x i) t y