ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧ ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → μ (g '' t) ≤ (ENNReal.ofReal |A.det| + ↑ε) * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
⊢ μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
z : ℂ
hz : z ∈ spectrum ℂ a
⊢ z = ↑z.re
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝³ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
h✝ : Nonempty ι
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g i) a = 0 → a = 0
z : DirectLimit G f
hz : (lift R ι G f g Hg) z = 0
⊢ z = 0
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
s : Set E
p : E → Prop
x : E
h : x ∈ IntermediateField.adjoin F s
mem : ∀ x ∈ s, p x
algebraMap : ∀ (x : F), p ((algebraMap F E) x)
add : ∀ (x y : E), p x → p y → p (x + y)
neg : ∀ (x : E), p x → p (-x)
inv : ∀ (x : E), p x → p x⁻¹
mul : ∀ (x y : E), p x → p y → p (x * y)
⊢ p x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
H₁ : ∀ (a : α), π (a • b) = π b
⊢ Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a • b)) • f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) = g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
H : Type u_1
H' : Type u_3
TopologicalSpace H
TopologicalSpace H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
f : H → H'
s : Set H
x : H
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ P f s x
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.PreSubmersivePresentation R S
P.IsFinite
⊢ Nat.card P.rels ≤ Nat.card P.vars
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A.unitGroup
⊢ ↑↑(A.unitGroupMulEquiv a) = ↑↑a
f✝ f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
⊢ (-f) u ∈ Set.Icc (c₂ * (-f) x) (c₁ * (-f) x)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ (x ~ᵢ y) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
SupSet α
f : ι → ι'
hf : Function.Surjective f
g : ι' → α
⊢ ⨆ x, g (f x) = ⨆ y, g y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
X : CategoryTheory.OppositeShift C A
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorZero (CategoryTheory.OppositeShift C A) A).inv.app X =
  ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).hom.app (Opposite.unop X)).op
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : MulZeroClass α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ 0 ⊆ 0 * s
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
s : Set S
⊢ Subsemiring.closure (⇑f ⁻¹' s) ≤ Subsemiring.comap f (Subsemiring.closure s)
α : Type u
β : Type u_1
l : List α
l' : List β
i : Fin (l.zip l').length
⊢ (l.zip l').get i = (l.get ⟨↑i, ⋯⟩, l'.get ⟨↑i, ⋯⟩)
b : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
⊢ Set.SurjOn (Real.logb b) (Set.Ioi 0) Set.univ
α : Type u_4
t : TopologicalSpace α
Preorder α
self : Topology.IsUpperSet α
⊢ t = Topology.upperSet α
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
U V : CategoryTheory.Under X
f : U.right ⟶ V.right
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp U.hom f = V.hom := by aesop_cat
⊢ ⋯ = ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
f : C^n⟮I, M; I', M'⟯
hn : 1 ≤ n
⊢ MDifferentiable I I' ⇑f
α : Type u_1
Primcodable α
p : α → Prop
hp : ComputablePred p
⊢ RePred p
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
⊢ Function.Injective (s.piecewise f g) ↔ Set.InjOn f s ∧ Set.InjOn g sᶜ ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∉ s, f x ≠ g y
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f g : α → M
s : Set α
hf : (s ∩ Function.support f).Finite
hg : (s ∩ Function.support g).Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), (f i + g i) = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i + ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g i
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
n : ℕ
⊢ Nat.findGreatest P (n + 1) = if P (n + 1) then n + 1 else Nat.findGreatest P n
R✝ : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R✝
S : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing P
inst✝⁹ : Algebra R✝ P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R₁
K✝ : Type u_4
inst✝⁷ : Field K✝
inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝
inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝
inst✝⁴ : IsDomain R₁
R : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = 0
h : J = 0
⊢ False
n : ℤ
hn : n.natAbs ≠ 1
⊢ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ n
X : Type u_2
PartialOrder X
Y : Type u_3
Preorder Y
Z : Type u_4
Preorder Z
W : Type u_5
PartialOrder W
lYX : X → Y
uXY : Y → X
hXY : GaloisConnection lYX uXY
lWZ : Z → W
uZW : W → Z
hZW : GaloisConnection lWZ uZW
lWY : Y → W
uYW : W → Y
hWY : GaloisConnection lWY uYW
lZX : X → Z
uXZ : Z → X
hXZ : GaloisConnection lZX uXZ
⊢ (∀ (w : W), uXZ (uZW w) = uXY (uYW w)) ↔ ∀ (x : X), lWZ (lZX x) = lWY (lYX x)
α : Type u_1
NonemptyFiniteLinearOrder α
⊢ ↑(NonemptyFinLinOrd.of α) = α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
H : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y
k : α →. σ
hk : Partrec k
K : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
a : α
x : σ
this : (k a).Dom
h : x ∈ g a
h' : (k a).get this ∈ g a
⊢ (k a).get this = x
α : Type u_1
BEq α
self : PartialEquivBEq α
a b c : α
⊢ (a == b) = true → (b == c) = true → (a == c) = true
n m : Nat
h : m ≤ n
⊢ m + (n - m) = n
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x y : V
⊢ InnerProductGeometry.angle (c • x) (c • y) = InnerProductGeometry.angle x y
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
s : Set M
⊢ Cardinal.lift.{u, w} (Cardinal.mk ↥((FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s)) ≤
  max Cardinal.aleph0
    (Cardinal.lift.{u, w} (Cardinal.mk ↑s) + Cardinal.lift.{w, u} (Cardinal.mk ((i : ℕ) × L.Functions i)))
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
⊢ HasGradientWithinAt f f' univ x ↔ HasGradientAt f f' x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : DecidableEq β
hf : HasProd f a
b : β
⊢ a / f b = 1 / f b * a
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
DecidableEq α
hs : a ∉ lowerClosure ↑s
ht : a ∈ lowerClosure ↑t
⊢ (s ∪ t).truncatedSup a = t.truncatedSup a
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass M'
inst✝¹ : MulOneClass N'
inst✝ : MulOneClass P
⊢ MonoidHom.mrange inl ⊔ MonoidHom.mrange inr = ⊤
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
k : ℕ
⊢ s ∈ Finset.powersetCard k Finset.univ ↔ s.card = k
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∈ s → ∃ b ≥ n, f^[b] a ∈ s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)
f g : (i : ι) → α i
⊢ (univ.pi fun i => Ioc (f i) (g i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] Icc f g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : α → γ
g' : γ → β
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
TopologicalSpace β
hg : MeasurableEmbedding g
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg' : MeasureTheory.StronglyMeasurable g'
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (Function.extend g f g')
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (ρ_ X).inv ≫ (β_ X (𝟙_ C)).hom = (λ_ X).inv
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
f_add : ∀ (a b : R), f (a + b) ≤ f a + f b
x y z : R
⊢ f ((x + y) * z) / f z ≤ seminormFromBounded' f x + seminormFromBounded' f y
G : Type u_1
Add G
A B : Finset G
a0 b0 : G
DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
⊢ UniqueAdd A B a0 b0 ↔ (Finset.filter (fun p => p.1 + p.2 = a0 + b0) (A ×ˢ B)).card ≤ 1
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f✝ f g : R[X]
D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom
Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul
⊢ (((compHom (D k)).comp Φ) f) g = ((∑ x ∈ antidiagonal k, (compHom.comp ((compHom Φ) (D x.1))).flip (D x.2)) f) g
α : Type u
f : α → α
op : α → α → α
hf : Function.Semiconj₂ f op op
n : ℕ
⊢ Function.Semiconj₂ f^[n] op op
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
x : M
⊢ 0 x = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hst : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ
⊢ ∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ + ∫ (x : X) in t, f x ∂μ
x : ℝ
x_large : 512 ≤ x
f : ℝ → ℝ := fun x => log x + √(2 * x) * log (2 * x) - log 4 / 3 * x
hf' : ∀ (x : ℝ), 0 < x → 0 < x * (2 * x) ^ √(2 * x) / 4 ^ (x / 3)
hf : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f x = log (x * (2 * x) ^ √(2 * x) / 4 ^ (x / 3))
h5 : 0 < x
⊢ x * (2 * x) ^ √(2 * x) * 4 ^ (2 * x / 3) ≤ 4 ^ x
α✝ β α : Type u
f : Set α → α
hf : Injective f
⊢ False
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
⊢ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I) = I.closure
R : Type u_1
CommSemiring R
p q : R[X]
x : R
h : p.IsRoot x
hpq : p ∣ q
⊢ q.IsRoot x
n : ℕ
f : Vector ℕ (n + 1) → ℕ
hf : Partrec' ↑f
v : Vector ℕ n
b a : ℕ
h : a ∈ Nat.rfind fun n_1 => ↑(some (ofNat (Option ℕ) (f (n_1 ::ᵥ v))).isSome)
⊢ b = (f (a ::ᵥ v)).pred ↔ ofNat (Option ℕ) (f (a ::ᵥ v)) = some b
ι : Type u_1
LinearOrder ι
SuccOrder ι
IsSuccArchimedean ι
PredOrder ι
i0 : ι
NoMinOrder ι
n : ℕ
⊢ toZ i0 (Order.pred^[n] i0) = -↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
i : ℕ
⊢ ↑(f - g) i = ↑f i - ↑g i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
⊢ ∀ (s : Seq α), BisimO (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = nil.append s ∧ s2 = s) (nil.append s).destruct s.destruct
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0
m : ℕ
hm : m ∈ σ.cycleType.erase n
⊢ σ.IsThreeCycle
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι'✝ : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t✝ : ι✝ → α
ht✝ : Independent t✝
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
t : ι → α
f : ι' → ι
ht : Independent (t ∘ f)
hf : Surjective f
i' : ι'
⊢ Disjoint (t (f i')) (⨆ x, ⨆ (_ : f x ≠ f i'), t (f x))
α : Type u_1
x : WithTop α
⊢ (∀ (a : α), ↑a ≠ x) ↔ x = ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x y : X
γ : Path x y
f : X → Y
h : Continuous f
⊢ ⇑(γ.map h) = f ∘ ⇑γ
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.fst R M M₂ = LinearMap.id.coprod 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X X' Y Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
⊢ (f ⊗ g) ≫ (β_ Y Y').hom = (β_ X X').hom ≫ (g ⊗ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Nontrivial α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
P : α → Prop
h : ∀ (i : α), P (succ i)
j : ℕ
hi : Order.succ^[j] ⊥ ≠ ⊥
hj : 0 < j
⊢ P (Order.succ (Order.succ^[j.pred] ⊥))
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : AntitoneOn f s
a : α
⊢ AntitoneOn (fun x => f x + a) s
K : Type ?u.613136
L : Type ?u.613139
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
hpq : Associated p q
⊢ (aeval (root q)) p = 0
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1
hl2 : (Finsupp.total P P R id) l = f x
⊢ x - (Finsupp.total M M R id) ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ span R ↑t2
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ Ideal.span {y} = Submodule.span R {a}
b : R
hb : colon I (Ideal.span {y}) = Submodule.span R {b}
⊢ I = Submodule.span R {a * b}
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
a b : R[X]
h : (Polynomial.aeval x) a * (Polynomial.aeval x) b = 0
h' : ¬(Polynomial.aeval x) a = 0
⊢ (Polynomial.aeval x) b = 0
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : I ≤ RingHom.ker f
⊢ RingHom.ker (Ideal.Quotient.lift I f H) = Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) (RingHom.ker f)
⊢ StableUnderBaseChange fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ✝ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ✝
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : α
⊢ ((const Unit ρ).condKernelUnitBorel.comap (fun a => ((), a)) ⋯) a = (const Unit ρ).condKernelUnitBorel ((), a)
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
v : M
x fx : CliffordAlgebra Q
⊢ d v • ((ι Q) v * x) - (ι Q) v * (d v • x - (ι Q) v * fx) = Q v • fx
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ
⊢ Tendsto (fun x => rexp (f x)) l (𝓝 0) ↔ Tendsto f l atBot
F : Type w
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
ι : Sort u_2
f : F
s : ι → NonUnitalSubring S
⊢ NonUnitalSubring.comap f (iInf s) = ⨅ i, NonUnitalSubring.comap f (s i)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
⊢ Memℓp (-f) p
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite τ
this : (sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1).prod ((sFiniteSeq ν p.2.1).prod (sFiniteSeq τ p.2.2))) = sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1.1).prod ((sFiniteSeq ν p.1.2).prod (sFiniteSeq τ p.2))
i : (ℕ × ℕ) × ℕ
s : Set α
hs : s ∈ {s | MeasurableSet s}
t : Set β
ht : t ∈ {s | MeasurableSet s}
u : Set γ
hu : u ∈ {t | MeasurableSet t}
⊢ (map (⇑MeasurableEquiv.prodAssoc) (((sFiniteSeq μ i.1.1).prod (sFiniteSeq ν i.1.2)).prod (sFiniteSeq τ i.2))) (s ×ˢ (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) t u) = (sFiniteSeq μ i.1.1) s * ((sFiniteSeq ν i.1.2).prod (sFiniteSeq τ i.2)) ((fun x x_1 => x ×ˢ x_1) t u)
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : 0 < z
⊢ x ^ z < y ^ z ↔ x < y
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f✝ : F
I✝ J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
ι : Sort u_3
I : Ideal R
f : R ≃+* S
⊢ comap (↑f) (comap (↑f.symm) I) = I
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
L₁ : l₁.Realizer
L₂ : l₂.Realizer
⊢ Filter.Tendsto f l₁ l₂ ↔ ∀ (b : L₂.σ), ∃ a, ∀ x ∈ L₁.F.f a, f x ∈ L₂.F.f b
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
φ ψ : L.Formula α
⊢ T.SemanticallyEquivalent (φ ⊓ ψ) (φ.not ⊔ ψ.not).not
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
x : ↑(π C fun x => x ∈ s)
⊢ (if (Finsupp.onFinset Finset.univ f.toFun ⋯) x = 0 then 0 else ↑((Finsupp.onFinset Finset.univ f.toFun ⋯) x) x) = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
i j : ℕ
ji : j ≥ max n i
k : ℕ
hk : j - max n i = k
⊢ abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) (max n i)) ≤ ∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
c : E
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => c) ⊤ μ
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ Set.preimage ⇑h.symm = Set.image ⇑h
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
v : Mathlib.Vector α n
i : Fin (n + 1)
⊢ Mathlib.Vector.eraseIdx i (Mathlib.Vector.insertNth a i v) = v
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
s : Set M
hs : s ⊆ Function.support ↑f
⊢ ↑(extChartAt I c) '' s = Metric.closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ Set.range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
DecidableEq α
Fintype α
⊢ MulAction.stabilizer G Finset.univ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s \ t), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
α : Type u_1
l₂ : List (Lists α)
head✝ : Lists α
tail✝ : List (Lists α)
l₁_ih : tail✝ ⊆ l₂ → ofList tail✝ ⊆ ofList l₂
h : head✝ :: tail✝ ⊆ l₂
⊢ ofList (head✝ :: tail✝) ⊆ ofList l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
A : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace A
f₀ f₁ : C(A, α)
g₀ g₁ : C(A, β)
S : Set A
F : f₀.Homotopy f₁
G : g₀.Homotopy g₁
x : A
⊢ { toFun := fun t => (F t, G t), continuous_toFun := ⋯ }.toFun (1, x) = (f₁.prodMk g₁) x
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
e : (chainLength α β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑α) β
⊢ weightSpace L ((chainTopCoeff (⇑α) β - (chainLength α β).succ) • ⇑α + ⇑β) = ⊥
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
a : R
a0 : a ≠ 0
this : (C a * T n).support = {n}
⊢ {n}.max = ↑n
G : Type u_1
Group G
k : Set G
p : G → G → Prop
x y : G
hx : x ∈ Subgroup.closure k
hy : y ∈ Subgroup.closure k
Hk : ∀ x ∈ k, ∀ y ∈ k, p x y
H1_left : ∀ (x : G), p 1 x
H1_right : ∀ (x : G), p x 1
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : G), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : G), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hinv_left : ∀ (x y : G), p x y → p x⁻¹ y
Hinv_right : ∀ (x y : G), p x y → p x y⁻¹
⊢ p x y
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
p : R[X]
⊢ h.map p = 0 ↔ f ∣ p
a0 a1 a2 : Int
t : List Int
⊢ (Lean.Omega.LinearCombo.coordinate 2).eval (Lean.Omega.Coeffs.ofList (a0 :: a1 :: a2 :: t)) = a2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
hg : ContDiffAt ℝ n g x
hne : f x ≠ g x
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun y => ‖f y - g y‖) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
⊢ p.rightInv i n =
  -(↑i.symm).compContinuousMultilinearMap (∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c)
A : Type u_2
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
Nontrivial A
a : A
⊢ ∃ z ∈ spectrum ℂ a, ↑‖z‖₊ = spectralRadius ℂ a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
d : (i : o) × m' i → α
k : o
i j : m' k
⊢ (diagonal d).blockDiag' k i j = diagonal (fun i => d ⟨k, i⟩) i j
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a b : R
η : Type u_9
inst✝ : Nonempty η
s : η → Set A
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (i : η), AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Set A
ht : t ⊆ ⋃ i, s i
ft : t.Finite
I : Set η
fi : I.Finite
hI : t ⊆ ⋃ i ∈ I, s i
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ ∃ S₁, S₁.multiplicity = S'.multiplicity
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
IsEmpty β
f : α → β
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving f μa μb
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
hb : b ≠ 0
h : a * b = c
⊢ a = c / b
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ dist (a₁ + a₂) (b₁ + b₂) ≤ dist a₁ b₁ + dist a₂ b₂