ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
x : Fin n → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ dimH (Metric.ball x r) = ↑n
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ (fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn z)) x‖) =Θ[Filter.atTop] fun z => z ^ (p - 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜'
NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜₂ G'
NormedSpace 𝕜' G'
SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
c : R
x : M
y : F
⊢ (f (c • x)) y = ρ₁₂ c • (f x) y
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
⊢ ∀ (a : (i : ι) → E i), (PiTensorProduct.tprodL 𝕜) a = (PiTensorProduct.tprod 𝕜) a
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
h : sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b = ∅
⊢ ∀ (a₁ : α₁) (b₁ : β₁), a = inl a₁ → b = inl b₁ → f₁ a₁ b₁ = ∅
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
⊢ IsOpen {p | ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y p.2 < r' → ∀ (z : E), dist z p.2 < r' → ‖f p.1 z - f p.1 y - (L z - L y)‖ < s * r}
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S : StarSubalgebra ℂ A
φ ψ : ↑(characterSpace ℂ ↥(elementalStarAlgebra ℂ a))
h : characterSpaceToSpectrum a φ = characterSpaceToSpectrum a ψ
⊢ φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
a b : α ⊕ β
h : Sum.LiftRel r s a b
⊢ Sum.Lex r s a b
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
⊢ (mapRingHom f) X = X
α : Type u
l : List α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : n < (a :: l).length
⊢ n - 1 < l.length
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ EMetric.hausdorffEdist s t ≤ EMetric.diam (s ∪ t)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hsm : NullMeasurableSet s μ
hs₀ : μ s ≠ 0
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[m] x ∈ s
H : Type u_1
H' : Type u_3
TopologicalSpace H
TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
self : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : PartialHomeomorph H' H'
⊢ e' ∈ G' → s ⊆ f ⁻¹' e'.source → f x ∈ e'.source → P f s x → P (↑e' ∘ f) s x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F
x v : E
h : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ lineDeriv 𝕜 f₁ x v = lineDeriv 𝕜 f x v
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
K : Set X
l : Filter Y
s : Set (X × Y)
hK : IsCompact K
hs : ∀ x ∈ K, s ∈ 𝓝 x ×ˢ l
⊢ s ∈ 𝓝ˢ K ×ˢ l
S : Type u'
R : Type u
M : Type v
VAdd R M
SetLike S M
hS : VAddMemClass S R M
s : S
r : R
x : M
hx : x ∈ s
⊢ r +ᵥ ⟨x, hx⟩ = ⟨r +ᵥ x, ⋯⟩
α : Type u_3
Monoid α
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
m : α
h : ∀ x ∈ s, x = m
⊢ s.noncommProd comm = m ^ Multiset.card s
α : Type u_1
SemilatticeSup α
f : ℕ → α
n : ℕ
⊢ (partialSups f) n = (Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ f
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
hs : TotallyBounded s
hf : UniformContinuous f
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
this : {p | (f p.1, f p.2) ∈ t} ∈ 𝓤 α
c : Set α
hfc : c.Finite
hct : s ⊆ ⋃ y ∈ c, {x | (x, y) ∈ {p | (f p.1, f p.2) ∈ t}}
⊢ s ⊆ ⋃ i ∈ c, {a | (f a, f i) ∈ t}
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
self : DenseInducing i
⊢ DenseRange i
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝¹ : AddCommGroup P
g : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
h✝ : Nonempty ι
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g i) a = 0 → a = 0
⊢ ∀ (a : DirectLimit G f), (lift G f P g Hg) a = 0 → a = 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℂ
⊢ logDeriv cexp x✝ = 1 x✝
α : Type ua
s : Set (α × α)
⊢ idRel ⊆ s ↔ ∀ (a : α), (a, a) ∈ s
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
C : Set (Set α)
hA : m0 = MeasurableSpace.generateFrom C
hC : IsPiSystem C
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hμν : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
h_univ : μ Set.univ = ν Set.univ
⊢ μ = ν
J : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat
inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)
inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
s : Cocone F
U V : (Opens ↑↑s.pt)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
j : Jᵒᵖ
⊢ (s.pt.presheaf.map i ≫ limit.lift ((pushforwardDiagramToColimit F).leftOp ⋙ (evaluation (Opens ↑(Limits.colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ C).obj (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))) { pt := s.pt.presheaf.obj V, π := { app := fun j => (s.ι.app (unop j)).c.app V ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯), naturality := ⋯ } } ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))).inv) ≫ (limit.π (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp j).app (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V))) = ((limit.lift ((pushforwardDiagramToColimit F).leftOp ⋙ (evaluation (Opens ↑(Limits.colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ C).obj (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop U)))) { pt := s.pt.presheaf.obj U, π := { app := fun j => (s.ι.app (unop j)).c.app U ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯), naturality := ⋯ } } ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop U)))).inv) ≫ (limit (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp).map ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).map i.unop).op) ≫ (limit.π (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp j).app (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
UniformSpace F
UniformAddGroup F
∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
x : (i : ι) → E i
⊢ UniformContinuous fun f => f x
R : Type u_3
M : Type u_4
MonoidWithZero R
Zero M
MulActionWithZero R M
Nontrivial M
NoZeroSMulDivisors R M
⊢ IsReduced R
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : ∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i ℤ = ∑ i ∈ range n, X ^ i
⊢ False
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
hin : n ≤ i
him : i ≤ m
his : u i ω ∈ s
h_exists : ∃ k ∈ Set.Icc n m, u k ω ∈ s
⊢ hitting u s n m ω ≤ i
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddGroup R
x y : HahnSeries Γ R
⊢ (x - y).coeff = x.coeff - y.coeff
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
f' : F
s : Set E
x v : E
hf : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
⊢ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x v
α : Type u_1
LinearOrder α
AddGroup α
a : α
⊢ 0 < a⁺ ↔ 0 < a
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
this : Prod.map f f '' A ⊆ t ×ˢ t
⊢ IsCornerFree (Prod.map f f '' A) ↔ IsCornerFree A
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ nndist x y = nndist y x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
htμ : t.toJordanDecomposition.posPart ⟂ₘ μ ∧ t.toJordanDecomposition.negPart ⟂ₘ μ
⊢ s.HaveLebesgueDecomposition μ
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
h : H.IsCommutative
⊢ H ≤ Subgroup.centralizer ↑H
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume
hf_top : f =O[Filter.atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
⊢ DifferentiableAt ℂ (mellin f) s
A : Type u_1
M : Type u_2
AddMonoid A
CommMonoid M
ψ : AddChar A M
n : ℕ
⊢ ⇑(ψ ^ n) = ⇑ψ ^ n
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.log x = b * Real.log b - a * Real.log a - b + a
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
x y : G
h : x ∈ H
⊢ x * y ∈ H ↔ y ∈ H
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a * b = b ↔ a ^ Ordinal.omega ∣ b
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ≤ b * 2
⊢ a / 2 ≤ b * 2 / 2
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
n : ℕ
⊢ (map T.subtype (p.toSubring T hp)).coeff n = p.coeff n
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F₁ : Type u_3
F₂ : Type u_4
M : Type u_5
E₁ : B → Type u_6
E₂ : B → Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
(x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
(x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
(x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
(x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
(x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
(x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜 (E₂ x)
EB : Type u_8
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_9
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_10
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
FiberBundle F₁ E₁
VectorBundle 𝕜 F₁ E₁
FiberBundle F₂ E₂
VectorBundle 𝕜 F₂ E₂
f : M → LE₁E₂
x₀ : M
⊢ SmoothAt IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂)) f x₀ ↔
  SmoothAt IM IB (fun x => (f x).proj) x₀ ∧
    SmoothAt IM 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂)
      (fun x => ContinuousLinearMap.inCoordinates F₁ E₁ F₂ E₂ (f x₀).proj (f x).proj (f x₀).proj (f x).proj (f x).snd)
      x₀
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r s)
⊢ y ∈ EMetric.ball 0 s
ι : Type u_1
R : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
l : List ι
f : ι → R
r : R
⊢ (List.map (fun b => r * f b) l).sum = r * (List.map f l).sum
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ball x ε ⊆ s
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card G = p
g g' : G
hg : g ≠ 1
⊢ g' ∈ zpowers g
α : Type u_1
M : Type u_2
Zero M
f : α →₀ M
⊢ f.toAList.lookupFinsupp = f
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
a : R
⊢ (MvPowerSeries.monomial R 0) a = (MvPowerSeries.C σ R) a
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F.unop
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfCoconeUnop c).pt = Opposite.op c.pt
β : Type u_3
AddMonoidWithOne β
s : List ℕ
⊢ ↑s.sum = (List.map Nat.cast s).sum
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : β →. σ
g : α → β
hf : Partrec f
hg : Computable g
⊢ Partrec fun a => f (g a)
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
⊢ Antitone compl
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
B : LinearMap.BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
ι : Type u_11
Finite ι
DecidableEq ι
FiniteDimensional K V
b : Basis ι K V
⊢ B.flip.dualBasis ⋯ (B.dualBasis hB b) = b
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝²¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝²⁰ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹⁹ : Category.{?u.362828, u_3} E
inst✝¹⁸ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁷ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁶ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹⁵ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹⁴ : G.CommShift ℤ
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : HasZeroObject E
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : Preadditive E
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive
inst✝⁴ : Pretriangulated C
inst✝³ : Pretriangulated D
inst✝² : Pretriangulated E
inst✝¹ : F.IsTriangulated
inst✝ : F.mapArrow.EssSurj
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ ∃ T', ∃ (_ : T' ∈ distinguishedTriangles), Nonempty (F.mapTriangle.obj T' ≅ T)
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
h✝ : I.lower i < x
⊢ I.splitLower i x ≠ I.splitUpper i x
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
s : Subsemiring L
hK : ∀ (x : K), (algebraMap K L) x ∈ s
hi :
  ∀ x ∈ { toSubsemiring := s, algebraMap_mem' := hK }.carrier,
    x⁻¹ ∈ { toSubsemiring := s, algebraMap_mem' := hK }.carrier
x : L
⊢ x ∈ { toSubsemiring := s, algebraMap_mem' := hK, inv_mem' := hi } ↔ x ∈ s
V : Type u
G : SimpleGraph V
H H' : G.Subgraph
h : H ≤ H'
⊢ H.support ⊆ H'.support
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
a : M
inst✝ : DecidableEq M
n : M
h : Function.Injective fun m => n ^ m
x✝¹ x✝ : Multiplicative ℕ
⊢ { toFun := fun m => pow n (Multiplicative.toAdd m), invFun := fun m => Multiplicative.ofAdd (log m), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x✝¹ * x✝) = { toFun := fun m => pow n (Multiplicative.toAdd m), invFun := fun m => Multiplicative.ofAdd (log m), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝¹ * { toFun := fun m => pow n (Multiplicative.toAdd m), invFun := fun m => Multiplicative.ofAdd (log m), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ Function.Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x)
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (shiftFunctorAdd' C a 0 a ⋯).inv.app X = (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
⊢ mk0 I = (mk0 J)⁻¹ ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑I * ↑J = Ideal.span {x}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
f : CategoryTheory.End F
A : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F
⊢ F.map
    ((CategoryTheory.PreGaloisCategory.AutGalois.π F A) ((CategoryTheory.PreGaloisCategory.endEquivAutGalois F) f)).hom
    A.pt =
  f.app A.obj A.pt
k : Type u
Field k
G : Type u
Fintype G
Invertible ↑(Fintype.card G)
Group G
V : Type u
AddCommGroup V
Module (MonoidAlgebra k G) V
W : Type u
AddCommGroup W
Module (MonoidAlgebra k G) W
f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
hf : LinearMap.ker f = ⊥
⊢ ∃ g, g ∘ₗ f = LinearMap.id
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] L
b : L
p : K[X]
hp : p ≠ 0
he : (aeval b) p = 0
f' : ↑(p.rootSet L) → ↑(p.rootSet L) := Set.MapsTo.restrict (⇑f) (p.rootSet L) (p.rootSet L) ⋯
this : Function.Surjective f'
⊢ ∃ a, f a = b
n : Nat
x : BitVec n
⊢ 0#n + x = x
n : ℕ+
K : Type u_1
Field K
L : Type u_2
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑n) K)
⊢ ∀ (a : L ≃ₐ[K] L), (IsCyclotomicExtension.autEquivPow L h) a = (↑(IsPrimitiveRoot.autToPow K ⋯)).toFun a
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t : Set α
⊢ (s ⊼ t).Nonempty → s.Nonempty
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
DecidableRel c.Rel
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber (CategoryTheory.Limits.biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
i j : ι
hij : c.Rel j i
⊢ HomologicalComplex.cylinder.inlX K i j hij ≫ (HomologicalComplex.cylinder.πCompι₀Homotopy.nullHomotopicMap K).f j =
  HomologicalComplex.cylinder.inlX K i j hij ≫
    (HomologicalComplex.cylinder.π K ≫ HomologicalComplex.cylinder.ι₀ K - 𝟙 K.cylinder).f j
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
⊢ Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
R : Type u
Ring R
s : Subring R
x : R
hx : x ∈ s
n : ℕ
⊢ x ^ n ∈ s
G : Type u
AddMonoid G
m : ℕ
hpos : 0 < m
hm : m < AddMonoid.exponent G
⊢ ∃ g, m • g ≠ 0
α : Type u_3
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
a b : α
⊢ ↑α (a - b) = ↑α a - ↑α b
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ (a ⊔ b) \ a ∆ b = a ⊓ b
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Icc a b ∪ Set.Ioi b = Set.Ici a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
NonUnitalNonAssocSemiring A
TopologicalSpace A
Module 𝕜 A
⊢ WeakDual.characterSpace 𝕜 A ∪ {0} = {φ | ∀ (x y : A), φ (x * y) = φ x * φ y}
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
AddCommMonoid X₁
AddCommMonoid X₂
AddCommMonoid X₃
AddCommMonoid Y₁
AddCommMonoid Y₂
AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Function.Exact ⇑g₁₂ ⇑g₂₃
⊢ Function.Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{u_11, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{u_13, u_3} C₃
inst✝⁴ : Category.{u_14, u_4} C₄
inst✝³ : Category.{?u.57419, u_5} C₁₂
inst✝² : Category.{?u.57423, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ Y₃ : GradedObject I₃ C₃
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
inst✝¹ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
inst✝ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).HasMap p
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ (((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃)) ≫ (((mapTrifunctorObj F Y₁ I₂ I₃).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h = ((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃) ≫ (((mapTrifunctorObj F Y₁ I₂ I₃).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasureTheory.MeasureSpace (α i)
⊢ MeasureTheory.volume = MeasureTheory.Measure.pi fun x => MeasureTheory.volume
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
h : TendstoUniformly F f p
g : γ → α
⊢ TendstoUniformly (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑R
inst✝ : Algebra ↑R ↑S
y : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk p)
⊢ ∃ x, x.2 • y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) x.1
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
i j k l : ι
w₁ : Monoid.CoprodI.NeWord M i j
hne : j ≠ k
w₂ : Monoid.CoprodI.NeWord M k l
⊢ (w₁.append hne w₂).prod = w₁.prod * w₂.prod
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x✝ x₁ x₂ y✝ y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
I : Ideal A
x y : A
n : ℕ
hxy : (Ideal.Quotient.mk I) x = (Ideal.Quotient.mk I) y
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) x ^ n = (Ideal.Quotient.mk I) y ^ n
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Ring α
a : α
⊢ Odd |a| ↔ Odd a
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
hbdd : ∀ y ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1, y ≤ ‖f‖₊
⊢ sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1) ≤ sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1)