ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ : ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k = ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Semiring S
Module S N
SMulCommClass S R N
SMulCommClass R S N
B : LinearMap.BilinMap R M N
x : M
⊢ ((LinearMap.BilinMap.toQuadraticMapLinearMap S R M) B) x = (B x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ
X : TopCat
ι : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} ι
B : ι ⥤ Opens ↑X
⊢ B.IsCoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) ↔ Opens.IsBasis (Set.range B.obj)
n : ℕ
ι : Type u_3
Fintype ι
V : ι → Type u_4
hc : Fintype.card ι < n
⊢ (SimpleGraph.completeMultipartiteGraph V).CliqueFree n
b✝ x y a b : ℝ
h₁ : a ≠ 0
h₂ : b ≠ 0
c : ℝ
⊢ logb c (a * b) = logb c a + logb c b
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝 0, IsCompact (closedBall x r)
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
c : n ≃ n
hc : c ∈ univ.erase (Equiv.refl n)
⊢ ∑ i : n, (M.charmatrix (c i) i).natDegree ≤ ∑ a : n, if c a = a then 1 else 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
⊢ (p ≠ 1 ∧ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f.natDegree = 0 ∨ g.natDegree = 0) ↔ p ≠ 1 ∧ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → ¬(0 < g.natDegree ∧ g.natDegree + g.natDegree ≤ p.natDegree)
R : Type u_2
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N : Type u_9
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid N
Module R M₁
Module R M₂
Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
f : Q₁.IsometryEquiv Q₂
⊢ ⇑f.toLinearEquiv = ⇑f
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
B : BilinForm R M
v : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ ((changeFormAux Q B) v) (((changeFormAux Q B) v) x) = (Q v - (B v) v) • x
b : Bool
n : ℤ
⊢ (bit b n).bodd = b
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
r : ℕ
huv : u.card = v.card
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
⊢ Set.Sized r ↑(UV.compression u v 𝒜)
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
SemilatticeInf T
OrderTop T
Semiring R
AddMonoid A
AddMonoid T
CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List (AddMonoidAlgebra R A)
⊢ (List.map (fun f => f.support.inf degt) l).sum ≤ l.prod.support.inf degt
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
R R' : Φ.RightResolution X₂
self : R.Hom R'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp R.w (Φ.functor.map self.f) = R'.w
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H K : AddSubgroup G
f : G →+ N
⊢ AddSubgroup.map f (H ⊓ K) ≤ AddSubgroup.map f H ⊓ AddSubgroup.map f K
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c : ℝ
hc : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ c
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ ‖integral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul‖ ≤ (μ ↑I).toReal * c
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝ : GaloisCategory C
X : C
ι : Type
f : ι → C
g : (i : ι) → f i ⟶ X
hl : IsColimit (Cofan.mk X g)
hc : ∀ (i : ι), IsConnected (f i)
hf : Finite ι
⊢ ∃ ι, ∃ (x : Finite ι), ∃ f x, ∀ (i : ι), IsConnected (f i)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
a x y : G
h : SemiconjBy a x y
n : ℕ
⊢ x ^ n = 1 ↔ y ^ n = 1
m n : ℤ
H : 0 < m.gcd n
⊢ ∃ m' n', m'.gcd n' = 1 ∧ m = m' * ↑(m.gcd n) ∧ n = n' * ↑(m.gcd n)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedDivisionRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
⊢ Summable fun n => x ^ n / ↑n.factorial
n : ℕ
s : ℝ
⊢ 0 ≤ term n s
δ : ℝ
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
⊢ Metric.cthickening δ E = ⋃ x ∈ closure E, Metric.closedBall x δ
α : Type u_1
β : Type u_2
x : β
⊢ (Sum.inr x).isRight = true
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
⊢ (Finset.sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b).Nonempty ↔
  (∃ a₁ b₁, a = Sum.inl a₁ ∧ b = Sum.inl b₁ ∧ (f₁ a₁ b₁).Nonempty) ∨
    (∃ a₁ b₂, a = Sum.inl a₁ ∧ b = Sum.inr b₂ ∧ ((g₁ a₁ b₂).Nonempty ∨ (g₂ a₁ b₂).Nonempty)) ∨
      ∃ a₂ b₂, a = Sum.inr a₂ ∧ b = Sum.inr b₂ ∧ (f₂ a₂ b₂).Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
F : TopCat.Sheaf C X
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ (F.interUnionPullbackCone U V).pt = F.val.obj (Opposite.op (U ⊔ V))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
⊢ Convex 𝕜 {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 < f p.1}
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_6
Fintype m
Fintype n
AddCommMonoid R
Mul R
A : Matrix m n R
B : Matrix n m R
⊢ (Aᵀ * Bᵀ).trace = (A * B).trace
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
⊢ s.SOppSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ -(∡ p₁ p₂ p₃).sign = (∡ p₃ p₂ p₁).sign
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Fintype V
NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α
⊢ (vec ᵥ* SimpleGraph.adjMatrix α G) v = ∑ u ∈ G.neighborFinset v, vec u
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Algebra.EssFiniteType R R
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X X' Y Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), ((ℬ Y Y').isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X X').cone ≫ f) (BinaryFan.snd (ℬ X X').cone ≫ g)) ≫ ((ℬ Y Y').isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y' Y).isLimit.swapBinaryFan).hom) ≫ (ℬ Y' Y).cone.π.app j = (((ℬ X X').isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ X' X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (ℬ Y' Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X' X).cone ≫ g) (BinaryFan.snd (ℬ X' X).cone ≫ f))) ≫ (ℬ Y' Y).cone.π.app j
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ |a| - |b| ≤ |a - b|
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddGroup A
CategoryTheory.HasShift C A
i j : A
h : i + j = 0
⊢ (CategoryTheory.shiftEquiv' C i j h).functor = CategoryTheory.shiftFunctor C i
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ : ℝ → E
μ : Measure ℝ
inst✝ : Countable ι
f : ι → C(ℝ, E)
hf_sum : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f i)‖
hE : CompleteSpace E
⊢ IntervalIntegrable (fun t => ∑' (n : ι), ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f n)‖) volume a b
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : ↥(toSubgroup A B (-1))
⊢ ↑((toSubgroupEquiv φ (- -1)) ((toSubgroupEquiv φ (-1)) a)) = ↑a
b o : Ordinal.{u}
x : Ordinal.{u} × Ordinal.{u}
⊢ x ∈ Ordinal.CNF b o → 0 < x.2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : ι → Set E
s : Finset ι
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ s.card
h_convex : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (F i)
h_inter : ∀ I ⊆ s, I.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
⊢ (⋂ i ∈ s, F i).Nonempty
T : ℝ
hT : T ≠ 0
⊢ Periodic (fun x => expMapCircle (2 * π / T * x)) T
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≃r s
o : Ordinal.{u}
hr : o < type r
⊢ { α := β, r := s, wo := inst✝ } ≈ { α := α, r := r, wo := inst✝¹ }
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
s : Set E
⊢ μ (⇑(AffineMap.homothety x r) '' s) = μ ((fun y => y + x) '' (r • (fun y => y + -x) '' s))
G : Type u_1
AddGroup G
Fintype G
a : G
n : ℕ
⊢ (n % Fintype.card G) • a = n • a
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
p : R[X]
x : A
S : Subalgebra R A
h : x ∈ S
⊢ ↑((Polynomial.aeval ⟨x, h⟩) p) = (Polynomial.aeval x) p
S : Set ℕ
hb : 0 ∈ S
h_ind : ∀ (k : ℕ), k ∈ S → k + 1 ∈ S
n : ℕ
⊢ n ∈ S
M : Type u
N : Type v
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
e : M ≃* N
⊢ 𝟭 (SingleObj M) = e.toMonoidHom.toFunctor ⋙ e.symm.toMonoidHom.toFunctor
X Y : AddCommGrp
e : ↑X ≃+ ↑Y
⊢ e.toAddCommGrpIso.inv = e.symm.toAddMonoidHom
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
m : ℝ
hf' : ∀ x ∈ s, f' x ≠ m
⊢ (∀ x ∈ s, f' x < m) ∨ ∀ x ∈ s, m < f' x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m✝ n✝ m n : ℕ
hn : Odd n
hm : Odd m
⊢ m % 2 + (m + n) % 2 = 1
X Y : Type u
i : X ≅ Y
⊢ ⇑i.toEquiv.symm = i.inv
x✝ x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x < π / 2
h1' : 0 < x
⊢ x ≤ tan x
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
⊢ S.normedMk.ker = S
l : List Char
⊢ utf8Len l = 0 ↔ l = []
S : Type u
self : SetTheory.PGame.State S
s t : S
⊢ t ∈ SetTheory.PGame.State.r s → SetTheory.PGame.State.turnBound t < SetTheory.PGame.State.turnBound s
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
he : e ≠ 0
this : NeZero e := { out := he }
⊢ Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ e) = e • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m1 m2 m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h1 : m1 ≤ m
h2 : m2 ≤ m
hp1 : IsPiSystem p1
hp2 : IsPiSystem p2
hpm1 : m1 = generateFrom p1
hpm2 : m2 = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ {s | MeasurableSet s}
ht2 : t2 ∈ {s | MeasurableSet s}
⊢ ∀ (t : Set Ω), MeasurableSet t → (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t ∩ t2) = (κ a) t * (κ a) t2) t → (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t ∩ t2) = (κ a) t * (κ a) t2) tᶜ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
s : Set E
⊢ Balanced 𝕜 (balancedCore 𝕜 s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrder β
SMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ f x < r}
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
hg : TorusIntegrable g c R
⊢ (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x - g x) = (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x) - ∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), g x
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
n i : ℕ
⊢ (monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i) = C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n - i)
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ (x ^ (↑n)⁻¹) ^ n = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : α → β
hl : l.HasBasis p s
t : Set β
⊢ t ∈ Filter.map f l ↔ ∃ i, p i ∧ f '' s i ⊆ t
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
h : a < b
c : ℤ√↑d
⊢ c + a < c + b
α : Type u_1
Monoid α
Unique αˣ
⊢ Associated = Eq
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
h : p ≠ 0
⊢ p.toFinsupp.support.Nonempty
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
⊢ p ∣ ringChar R
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this✝ : QuasiSober ↑U
H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)
this : H.genericPoint ∈ Subtype.val ⁻¹' t
⊢ closure {↑H.genericPoint} ≤ t
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
f : (a : α) → β a
a₁ a₂ : α
⊢ a₁ = a₂ → HEq (f a₁) (f a₂)
R : Type u
CommRing R
r : R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0
⊢ r = 0
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ ‖a - b‖ = ‖b - a‖
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAnti f
c : α
⊢ StrictAnti fun x => c + f x
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
x : ((i : ι) → Ms i) ⧸ pi Set.univ p
x' : (i : ι) → Ms i
⊢ invFun p (toFun p (Quotient.mk x')) = Quotient.mk x'
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hx : f x ≠ 0
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => Real.log (f y)) ((f x)⁻¹ * f') s x
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
⊢ ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖ < 2 * ε
α : Type u_1
Fintype α
⊢ 1 < Fintype.card α ↔ ∃ a b, a ≠ b
α : Type u_1
p : WithTop α → Prop
⊢ (∃ x, p x) ↔ p ⊤ ∨ ∃ x, p ↑x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ LinearMap.IsSymmetric 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G_obj : D → C
e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)
he :
  ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y),
    (e X' Y) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) g) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((e X Y) g)
Y Y' : D
g : Y ⟶ Y'
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.rightAdjointOfEquiv e he).map g =
  (e (G_obj Y) Y')
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((e (G_obj Y) Y).symm (CategoryTheory.CategoryStruct.id (G_obj Y))) g)
z x✝ y x : ℝ
h : x < 0
⊢ √x = x ^ (1 / 2)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
s : Set α
x : α
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt (fun y => Real.exp (f y)) s x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a (p + b) = toIcoMod hp a b
α : Type u_2
OrderedCancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
hs : ∀ i ∈ s, i < a
⊢ ThreeGPFree (insert a s) ↔ ThreeGPFree s ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
p : CommSq f g h i
⊢ i.op ≫ g.op = h.op ≫ f.op
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ a - Int.fract a = ↑⌊a⌋
α : Type u_1
DecidableEq α
i : α
β : Type u_2
f : (j : α) → (fun a => β) j
⊢ (Equiv.funSplitAt i β) f = (f i, fun j => f ↑j)
m : Type u → Type v
Monad m
α : Type u_1
β ω : Type u
Monoid ω
x : ContT.Label (α × ω) m β
i : α
⊢ ContT.goto (WriterT.mkLabel' x) i = monadLift (ContT.goto x (i, 1))
K : Type u_1
Field K
UniformSpace K
TopologicalDivisionRing K
x : K
h : x ≠ 0
⊢ (↑K x).hatInv = ↑K x⁻¹
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
p : R → Prop
h : ∀ᶠ (x : R) in atTop, p x
⊢ ∀ᶠ (n : ℤ) in atTop, p ↑n
α : Type u
self : IdemSemiring α
a : α
⊢ IdemSemiring.bot ≤ a
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
f : X → ℝ
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K
this : (K.indicator fun x => f x • g x) = fun x => f x • g x
⊢ Integrable (K.indicator f) μ
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
NormedLatticeAddCommGroup E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (f ⊓ g) p μ
S : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : InvolutiveStar α
inst✝¹ : SetLike S α
inst✝ : StarMemClass S α
s : S
x : α
⊢ x ∈ star ↑s ↔ x ∈ ↑s
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
t : Finset β
DecidableEq β
s : Finset α
P : Finpartition t
⊢ (Rel.interedges r s t).card = ∑ b ∈ P.parts, (Rel.interedges r s b).card
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : NeZero μ
c : E
⊢ ⨍ (_x : α), c ∂μ = c
n : ℕ
⊢ a 1 ^ (2 * n) = 1
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
H : ∀ (x : ι → M), f x = f' x
⊢ f = f'
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
H₁ : (1 - X ^ 2) * U R n = X * T R (n + 1) - T R (n + 2)
⊢ (1 - X ^ 2) * derivative (T R (n + 1)) = (↑n + 1) * (T R n - X * T R (n + 1))
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
s : Set α
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c (𝓟 s) f g ↔ ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
m m₁ m₂ : OuterMeasure α
s : Set α
this : (⨆ i, bif i then m₁ else m₂) s = ⨆ i, (bif i then m₁ else m₂) s
⊢ (m₁ ⊔ m₂) s = m₁ s ⊔ m₂ s
α : Type u_2
β : Type u_3
One α
SemilatticeSup β
f : α → β
⊢ Finset.sup' 1 ⋯ f = f 1
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : ℕ → Set Ω
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
ω : Ω
n : ℕ
⊢ process s n ω ≤ process s (n + 1) ω
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f' f g : α →ₘ[μ] β
hf : ↑f' ≤ᶠ[ae μ] ↑f
hg : ↑f' ≤ᶠ[ae μ] ↑g
⊢ ↑f' ≤ᶠ[ae μ] ↑(f ⊓ g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq₁ sq₂ sq₃ : CategoryTheory.Square C
f : sq₁.Hom sq₂
g : sq₂.Hom sq₃
⊢ (f.comp g).τ₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.τ₄ g.τ₄
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
n m : ℤ
⊢ a + n • b + m • b = a + (n + m) • b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : NormedRing 𝕜
f✝ f g : α → 𝕜
c : ℝ
hg : Integrable g μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
x : α
hx : ‖f x‖ ≤ c
⊢ ‖f x * g x‖ ≤ (c • fun a => ‖g a‖) x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
g : R[X]
⊢ h.map (g %ₘ f) = h.map g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
self : CategoryTheory.Comonad C
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.δ.app X) (self.map (self.ε.app X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (self.obj X)
α : Type u_1
G : Type u_5
TopologicalSpace G
CommGroup G
TopologicalGroup G
f : α → G
FirstCountableTopology G
T1Space G
hf : Multipliable f
⊢ (Function.mulSupport f).Countable
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
n : ℕ
⊢ (eapprox f n).lintegral (Measure.map g μ) = (eapprox (f ∘ g) n).lintegral μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H : CategoryTheory.IsPushout f g h i
H' : H.IsVanKampen
⊢ ⋯.IsVanKampen
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A B : Matrix n n α
hA : IsLeftRegular A.det
hB : IsLeftRegular B.det
⊢ (A * B).adjugate = B.adjugate * A.adjugate
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
A X : C
CategoryTheory.Exponentiable A
⊢ CategoryTheory.CartesianClosed.uncurry (CategoryTheory.CategoryStruct.id (A ⟹ X)) = (CategoryTheory.exp.ev A).app X
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ k ⊆ u ∧ MeasureTheory.IntegrableOn f u μ
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
n : ℕ
d : σ →₀ ℕ
⊢ (coeff R d) (f ^ n) = ∑ l ∈ (range n).finsuppAntidiag d, ∏ i ∈ range n, (coeff R (l i)) f
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
⊢ W'.addXYZ P Q = (P x * Q z) • Q
α : Type u
Monoid α
HasDistribNeg α
⊢ IsUnit (-1)
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
y p d z w : R
h0 : z * z * w ≠ 0
h : IsRadical (z * z * w)
⊢ IsUnit z
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_top : ¬a + b = ⊤
ha_top : a ≠ ⊤
hb_top : b ≠ ⊤
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p