ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → LT (α i)
a b : (i : ι) × α i
⊢ a < b ↔ ∃ h, h ▸ a.snd < b.snd
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (mk W) (W.Ψ n) ^ 2 = (mk W) (C (W.ΨSq n))
α : Type u
Preorder α
f : ℤ → α
hf : ∀ (n : ℤ), f n ≤ f (n + 1)
⊢ Monotone f
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ : Fix F α
x : F (α ::: Fix F α)
⊢ (TypeVec.id ::: mk ∘ rec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: mk))) <$$> x = (TypeVec.id ::: fun x => x) <$$> x → mk ((TypeVec.id ::: mk ∘ rec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: mk))) <$$> x) = mk x
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
f : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter f
hf : (f ⊓ 𝓟 s).NeBot
⊢ ∃ x ∈ s, (𝓝 x ⊓ (f ⊓ 𝓟 s)).NeBot
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
α β : Type u
f : β ⟶ α
s : S.obj (op α)
x : β
⊢ S.map ((↾fun x_1 => x) ≫ f).op s = S.map (↾fun x_1 => f x).op s
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ disjointed f n ⊆ f n
x : ℝ
⊢ ↑x = ↑↑x.toNNReal - ↑↑(-x).toNNReal
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a ≤ b * c
hle : c ≤ 1
⊢ a ≤ b
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
U : C
iUY : U ⟶ Y
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX
Z : D
U₁ : C
iU₁U : U₁ ⟶ U
iZU₁ : Z ⟶ G.obj U₁
iU₁W : U₁ ⟶ W
e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW
⊢ Sieve.pullback iZU₁ (Sieve.pullback (G.map iU₁U) (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)))) ∈ K.sieves Z
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
⊢ (fun x => eval x p) k ∈ σ ((aeval a) p)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
⊢ Measurable g
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
k : Set G
h₁ : k ⊆ ↑K
h₂ : K ≤ Subgroup.closure k
⊢ Subgroup.closure k = K
ι : Type u_5
α : Type u_6
CompleteLattice α
t : ι → α
ht : CompleteLattice.Independent t
x : ι
y : Set ι
hx : x ∉ y
⊢ Disjoint (t x) (⨆ i ∈ y, t i)
n : ℕ
e : PartENat
⊢ ↑n.succ ≤ e ↔ ↑n < e
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
⊢ Filter.map f (pure a) = pure (f a)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsTrans α r
ι : Type u_1
hι : Nonempty ι
f : ι → α
D : Directed r f
s : Finset ι
⊢ ∃ z, ∀ i ∈ s, r (f i) (f z)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
n : ℕ∞
g : M' → M''
hg : ContMDiff I' I'' n g
hf : ContMDiff I I' n f
⊢ ContMDiff I I'' n (g ∘ f)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
f : MonoOver X
⊢ (map (𝟙 X)).obj (Quotient.mk'' f) = Quotient.mk'' f
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hy : Odd y
d : ℕ
⊢ multiplicity 2 ((x ^ 2) ^ d - (y ^ 2) ^ d) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(2 * d)
α : Type u_7
β : Type u_8
SubNegMonoid β
VAdd α β
VAddAssocClass α β β
r : α
x y : β
⊢ r +ᵥ x - y = r +ᵥ (x - y)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k : ℕ
hk : -g ≤ k • a
h_ne : s.Nonempty
⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
δ : Type u_7
s : δ → Set α
⊢ supported M R (⋃ i, s i) ≤ ⨆ i, supported M R (s i)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : Basis κ R ↥M
n : Basis ι R ↥N
H : LinearIndependent R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
⊢ M.LinearDisjoint N
X Y : AlgebraicGeometry.Schemeᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Γ.map f = AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f.unop ⊤
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔ ∀ (y : FirstObj P R), firstMap P R y = secondMap P R y → ∃! x, forkMap P R x = y
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
hgc : Continuous ⇑g
h_maps : MapsTo (⇑g) (Icc 0 1) s
⊢ x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Abelian C
A : Type u₁
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Abelian A
inst✝¹ : Abelian B
L : A ⥤ B
inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms
hL : ∀ (S : ShortComplex A), S.Exact → (S.map L).Exact
X✝ Y✝ : A
f : X✝ ⟶ Y✝
hf : Epi f
⊢ (ShortComplex.mk f 0 ⋯).map L ≅ ShortComplex.mk (L.map f) 0 ⋯
ι✝ : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t✝ : ι✝ → Finset α
inst✝ : Fintype ι✝
ι : Type u
t : ι → Finset α
s : Finset ι
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
s' : Finset ↑↑s
⊢ s'.card ≤ (s'.biUnion fun a' => t ↑a').card
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
Mul M
ContinuousMul M
f g : X → M
s : Set X
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
⊢ ContinuousOn (fun x => f x * g x) s
α : Type u_1
β : Type u_2
MetricSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
f : C(α, β)
ε : ℝ
h : 0 < ε
a b : α
w : dist a b < f.modulus ε h
⊢ dist (f a) (f b) < ε
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
j : ι
A : V
φ : A ⟶ K.X j
hφ : ∀ (k : ι), c.Rel j k → φ ≫ K.d j k = 0
⊢ (singleObjXIsoOfEq c j A j ⋯).hom ≫ φ = (singleObjXSelf c j A).hom ≫ φ
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C✝ : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝
D : Type u''
inst✝³ : Category.{v'', u''} D
X Y : C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C
T : C
HT : IsTerminal T
c₀ : BinaryCofan T T
hc₀ : IsColimit c₀
H : IsVanKampenColimit c₀
⊢ ∀ {X Y : C} (c : BinaryCofan X Y), IsColimit c → IsVanKampenColimit c
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
R : Type u_4
S : Type u_5
TopologicalSpace M₂
T2Space M₂
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module S M₂
ContinuousConstSMul S M₂
ContinuousAdd M₂
σ : R →+* S
⊢ IsClosed (Set.range DFunLike.coe)
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A B : Matrix n n α
h : B * A = 1
⊢ IsUnit A.det
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
a : 𝓞 K
⊢ hζ.adjoinEquivRingOfIntegers.symm a = (IsIntegralClosure.lift ℤ (↥(Algebra.adjoin ℤ {ζ})) K) a
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), f i = sSup (t i a)
ht' : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), ∀ a_1 ∈ t i a, IsAtom a_1
u : Set α := ⋃ i, ⋃ (hi : i ∈ s), t i hi
hu₁ : u ⊆ {a | IsAtom a}
hu₂ : sSup u = ⨆ i ∈ s, f i
⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
hf : (Function.mulSupport f).Infinite
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = 1
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
this : i = 4 * n - j
⊢ j + i = 4 * n
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E
⊢ fderiv 𝕜 (f ∘ ⇑iso) x = (fderiv 𝕜 f (iso x)).comp ↑iso
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
S : Type u_2
inst✝ : Field S
f : R[X] →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
this : (RingHom.ker f).IsMaximal
⊢ (f.comp C).IsIntegral
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Set (Subalgebra R Aᵐᵒᵖ)
⊢ (sInf S).unop = sInf (Subalgebra.op ⁻¹' S)
G : Type v
AddGroup G
PseudoMetricSpace G
IsometricVAdd G G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
a b c : G
⊢ dist (a - b) (a - c) = dist b c
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : WithLp p ((i : ι) → β i)
⊢ ∀ (b : ι), edist (x b) (y b) ≤ edist x y
α : Type u_1
ι : Sort u_2
Nonempty ι
ConditionallyCompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
g : ι → α
h : α
H : ∀ (i : ι), g i * h ≤ a
⊢ iSup g * h ≤ a
J : Type v
F : J → TypeMax
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.Sigma.ι F j ≫ (CategoryTheory.Limits.Types.coproductIso F).hom = fun x => ⟨j, x⟩
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s t : Set M
hs : s ⊆ ↑(Submodule.span R t)
ht : t ⊆ ↑(Submodule.span R s)
⊢ Submodule.span R s = Submodule.span R t
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ Function.Injective ⇑(LieDerivation.toLinearMapLieHom R L)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ e.inverse.map (e.counitIso.inv.app (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.unitInv.app (e.inverse.obj (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ a < b ↔ b ≠ a
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
Preorder α
PartialOrder β
gi : GaloisInsertion l u
⊢ Function.Surjective l
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ p.closedBall x₁ r₁
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ p.closedBall x₂ r₂
⊢ (fun x x_1 => x + x_1) y₁ y₂ ∈ p.closedBall (x₁ + x₂) (r₁ + r₂)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K'
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : Algebra R K'
inst✝¹ : IsFractionRing R K'
I J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
x : R
hx : (algebraMap R K) x ∈ I
map_eq_zero : map h I = 0
⊢ ∃ x_1 ∈ I, h x_1 = (algebraMap R K') x
R : Type u
CommRing R
⊢ (WeierstrassCurve.ofJ1728 R).Δ = -64
x : ℝ
h : Real.cos x ≠ 0
⊢ HasDerivAt Real.tan (1 / Real.cos x ^ 2) x
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a b : α
n : Nat
⊢ decide (b ∈ List.replicate n a) = (decide ¬(n == 0) = true && b == a)
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : 0 ∉ t
a✝ : Nontrivial R
⊢ ¬∃ a ∈ t, a = 0
k : Type u_2
Field k
f : PowerSeries k
hf : f ≠ 0
⊢ PowerSeries.Inv_divided_by_X_pow_order hf * PowerSeries.divided_by_X_pow_order hf = 1
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
hx₁ : x ≤ 1
⊢ x * Real.log x ≤ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
R : ℝ
f : X → ℝ
hR : 0 ≤ R
hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} μ
hμ : μ {x | R < f x} ≠ 0
this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} μ
⊢ IntegrableOn (fun a => f a - R) {x | R < f x} μ
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
s t : R
h' : s • x + t • y = 0
this : ∀ (i : Fin (Nat.succ 0).succ), ![s, t] i = 0
⊢ s = 0 ∧ t = 0
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
⊢ C.d i (c.next i) ≫ f (c.next i) i = 0
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
⊢ s = 0 → ¬s = {a}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
⊢ map (Embedding.subtype p) (Ioo a b) = Ioo ↑a ↑b
⊢ ONote.fastGrowing 1 = fun n => 2 * n
G : Type u_1
inst✝ : DivInvMonoid G
a✝ b a : G
n : ℕ
⊢ a ^ Int.negSucc n = (a ^ (n + 1))⁻¹
a b : Prop
h : ¬a ↔ b
⊢ a ↔ ¬b
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
⊢ f = (↑e₁₂.symm).comp g ↔ (↑e₁₂).comp f = g
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
Φ : LinearMap.BilinForm R M
LieModule R L M
⊢ LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ ↔ Φ ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R L (LinearMap.BilinForm R M)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulMono α β
PosSMulReflectLE α β
ha : a < 0
⊢ a • b₁ ≤ a • b₂ ↔ b₂ ≤ b₁
R : Type u
CommSemiring R
Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
⊢ ⊥ < M
s : Set ℝ≥0
⊢ NNReal.toReal '' s = {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ s}
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t : Finset α
hε : 0 ≤ ε
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
⊢ ↑(G.edgeDensity (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t) ≤ ↑(G.edgeDensity s t) - ε
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ nndist x y = (dist x y).toNNReal
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
⊢ (p * Polynomial.X).natDegree = p.natDegree + 1
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsUniversalColimit c₁
t₂ : IsUniversalColimit c₂
inst✝ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C
c : Cocone F
α : F ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)
F' : Fin (n + 1) → C := F.obj ∘ Discrete.mk
this : F = Discrete.functor F'
H₁ : IsColimit (Cofan.mk (pullback c₂.inr i) fun j => pullback.lift (α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) (c.ι.app { as := j.succ }) ⋯)
⊢ mapPair (α.app { as := 0 }) (pullback.fst c₂.inr i) ≫ c₂.ι = (BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (pullback.snd c₂.inr i)).ι ≫ (Functor.const (Discrete WalkingPair)).map i
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
⊢ ⨆ i, ∑ a ∈ range i.succ, 2 ^ a * f (2 ^ a) ≤ f 1 + 2 • ∑' (k : ℕ), f k
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
Fintype ι
hfg : Antivary f g
⊢ ∑ i : ι, f i * g i < ∑ i : ι, f (σ i) * g i ↔ ¬Antivary (f ∘ ⇑σ) g
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y : X ⊕ Y
fA : f ∈ GromovHausdorff.candidates X Y
⊢ f (x, y) = f (y, x)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ Monotone (f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) ↔ Antitone f
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys
⊢ ∀ {a_1 b : Sigma β}, a_1.fst ≠ b.fst → decide (a = a_1.fst) = true → decide (a = b.fst) = true → False
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
this✝⁴ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝³ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝² : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this✝¹ : IsScalarTower R R' S'
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S
hgsurj : Function.Surjective ⇑g
hgker : (ker g.toRingHom).FG
MX : Submonoid (MvPolynomial (Fin n) R) := Algebra.algebraMapSubmonoid (MvPolynomial (Fin n) R) M
this✝ : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')
this : IsScalarTower R S S'
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
s t : Lean.Omega.Constraint
a : Int
x : Lean.Omega.Coeffs
b : Int
y v : Lean.Omega.Coeffs
wx : s.sat' x v = true
wy : t.sat' y v = true
⊢ (Lean.Omega.Constraint.combo a s b t).sat' (Lean.Omega.Coeffs.combo a x b y) v = true
n d nd : ℕ
⊢ (d ∣ n ∧ n ≠ 0) ∧ n / d = nd ↔ d * nd = n ∧ n ≠ 0
p n k : ℕ
h : n < p
hnk : ¬n < k
⊢ (n.choose k).factorization p = 0
X : Type u_1
k : ℤ
h : k ≠ 0
a : FreeAbelianGroup X
x : X
⊢ k • (coeff x) a ≠ 0 ↔ (coeff x) a ≠ 0
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
⊢ EMetric.closedBall x ε ∈ 𝓝 x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ StrictMono fun x => x ^ n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
⊢ (∀ (x : α), x ∈ {a | (f a).isSome = true}) ↔ ∀ (a : α), (f a).isSome = true
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a✝ : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
a : AddCircle p
⊢ ∃ b ∈ Ico 0 p, ↑b = a
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute b a
⊢ ⅟b * (b * a * ⅟b) = a * ⅟b
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
pb : PowerBasis R S
⊢ (norm R) pb.gen = (-1) ^ pb.dim * (minpoly R pb.gen).coeff 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
b : Basis ι ℝ E
⊢ (addHaarMeasure b.parallelepiped) (_root_.parallelepiped ⇑b) = 1
x y : ℤ
⊢ (GaussianInt.toComplex { re := x, im := y }).re = ↑x
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
⊢ Metric.ball (t₀ - dt) ε = {t | t + dt ∈ Metric.ball t₀ ε}
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i✝ : ι
j : ι'
S : Type u_9
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
v : ι' → S
i : ι'
⊢ (⇑b ᵥ* (b.toMatrix v).map ⇑(algebraMap R S)) i = v i
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
p : Localization S → Sort u
f : (a : M) → (b : ↥S) → p (Localization.mk a b)
H : ∀ {a c : M} {b d : ↥S} (h : (Localization.r S) (a, b) (c, d)), ⋯ ▸ f a b = f c d
a : M
b : ↥S
⊢ Localization.rec f H (Localization.mk a b) = f a b
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
hIJ : I ≤ J
r : S
p : R[X]
p_ne_zero : Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p ≠ 0
hpI : eval₂ f r p ∈ I
hrJ : r ∈ ↑J
hrI : r ∉ ↑I
⊢ ∃ i, p.coeff i ∈ ↑(comap f J) \ ↑(comap f I)
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
g : ℝ[X]
a✝ : X
⊢ ((g.toContinuousMapOn (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).comp (↑f).attachBound) a✝ = ↑((Polynomial.aeval f) g) a✝
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊂ t
⊢ 0 < ↑(Fintype.card α)
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A
x : A
hx : x ∈ adjoin R s
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
⊢ ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), (fun x => p ↑x ⋯) x → (fun x => p ↑x ⋯) y → (fun x => p ↑x ⋯) (x * y)
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s : Set α✝
t : Set β
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : ∀ (j : ι), Nonempty (α j)
i : ι
f : Filter (α i)
⊢ (comap (eval i) f).NeBot ↔ f.NeBot
n k : ℕ
hk : n + 1 < k + 1
⊢ (n + 1).choose (k + 1) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
⊢ s ∈ 𝓝ˢ t ↔ ∃ U, IsOpen U ∧ t ⊆ U ∧ U ⊆ s
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : ∀ x ∈ Set.Icc a b, f x ≤ g x
⊢ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
p : α → Prop
⊢ (∀ x ∈ insert a s, p x) ↔ p a ∧ ∀ x ∈ s, p x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
a : α
l : Mathlib.Vector α n
⊢ Filter.Tendsto (fun p => Mathlib.Vector.insertNth p.1 i p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (Mathlib.Vector.insertNth a i l))
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
⊢ a.Nonneg → b.Nonneg → (a * b).Nonneg
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
hb : Sum.inl b ∈ f a
⊢ b ∈ f.fix a
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : LipschitzWith K f
g : β → α
hg : Function.RightInverse g f
⊢ AntilipschitzWith K g
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
h : (s ×ˢ t).Nonempty
⊢ IsOpen (s ×ˢ t) ↔ IsOpen s ∧ IsOpen t ∨ s = ∅ ∨ t = ∅