ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D
F : C ⥤ D
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : CategoryWithHomology C
inst✝⁷ : CategoryWithHomology D
inst✝⁶ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝⁵ : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization
inst✝⁴ : F.Additive
inst✝³ : F.PreservesHomology
inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C
inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D
inst✝ : (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)
K : HomologicalComplex C c
⊢ (Localization.Lifting.iso (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c) (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c)).hom.app K ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (Localization.Lifting.iso (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh) (F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh)).inv.app K = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map ((HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso C c).hom.app K) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso D c).inv.app ((F.mapHomologicalComplex c).obj K) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors c).inv.app K)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Monoid β
p✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsTotal α r
f : α → α → β
p : α → Prop
hswap : ∀ {a b : α}, p a → p b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a → p b → p c → f a c = f a b * f b c
a b c : α
pa : p a
pb : p b
pc : p c
⊢ p a ∧ p b
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
Algebra A B
Algebra S B
IsScalarTower R A B
IsScalarTower R S B
SMulCommClass S A B
⊢ (KaehlerDifferential.map R S A B).compDer (KaehlerDifferential.D R A) =
  Derivation.compAlgebraMap A (Derivation.restrictScalars R (KaehlerDifferential.D S B))
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
h : 0 < (1 - r) * (b - a)
⊢ (AffineMap.lineMap (f a) (f b)) r ≤ f ((AffineMap.lineMap a b) r) ↔ slope f ((AffineMap.lineMap a b) r) b ≤ slope f a b
α : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : NormalSpace α
inst✝⁷ : R1Space α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : ↥(Lp E p μ)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
g : α →ᵇ E
hg : eLpNorm (↑↑f - ⇑g) p μ ≤ ε
g_mem : Memℒp (⇑g) p μ
⊢ ∃ y ∈ ↑(boundedContinuousFunction E p μ), y ∈ EMetric.closedBall f ε
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
h : L.ElementarilyEquivalent M N
⊢ L.completeTheory M = L.completeTheory N
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
z n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
h' : ↑0 < ↑d
⊢ z ≤ n / ↑d ↔ ↑z ≤ n /. ↑d
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (W.map φ).c₆ = φ W.c₆
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} {x_2 : NonAssocSemiring γ} {δ : Type u_5}
  {x_3 : NonAssocSemiring δ} (f : α →+* β) (g : β →+* γ) (h : γ →+* δ), (h.comp g).comp f = h.comp (g.comp f)
α : Type u
Monoid α
a : α
u : αˣ
⊢ a * ↑u /ₚ u = a
R : Type u
CommSemiring R
x y : R
I J : Ideal R
⊢ Ideal.span {x} * I = Ideal.span {y} * J ↔ (∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zI = y * zJ) ∧ ∀ zJ ∈ J, ∃ zI ∈ I, x * zI = y * zJ
α : Type u_2
⊢ 𝓝 ⊤ = ⊤
α : Type u_1
a b : α
⊢ toBoolAlg a = toBoolAlg b ↔ a = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
r : 𝕜
⊢ ⟪x, r • y⟫_𝕜 = r * ⟪x, y⟫_𝕜
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : MonotoneOn f (Ici 0)
x : G
hx : x ∈ Iic 0
y : G
hy : y ∈ Iic 0
hxy : x ≤ y
⊢ -f y ≤ -f x
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
hf : {i | ((fun i => support ⇑(f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
y : X
hyU : y ∈ U
⊢ ∀ (j : ι), WellOrderingRel j i → (f j) y ≠ 0 → j ∈ hf.toFinset
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
⊢ (∃ a < minimalPeriod f x, f^[a] x = y) ↔ ∃ n, f^[n] x = y
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ insert a s = {a} ∪ s
x : ℂ
h : x.arg ≠ π
⊢ log ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (log x)
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ Setoid.r x y ↔ y * x⁻¹ ∈ s
x : ℝ
z : ℂ
⊢ x • z = ↑x * z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
h : ↑((orthogonalProjection K) v) = v
⊢ v ∈ K
⊢ (((topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => OpenEmbedding) ⊓ topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => Function.Surjective) ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Bijective ⇑f) = (isomorphisms TopCat).inverseImage Scheme.forgetToTop ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Bijective ⇑f
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
G : Type u_6
VAdd M G
n : M
f : α → G
⊢ ↑(n +ᵥ f) = n +ᵥ ↑f
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ (wittStructureInt p Φ)) (W_ ℤ n)) = (map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ)
ι : Type u_1
μ : Type u_2
DecidableEq ι
AddCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
n : μ
hn : n ≠ 0
⊢ ∅.piAntidiag n = ∅
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α
⊢ s ∈ c • ae μ ↔ s ∈ ae μ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
SequentialSpace X
s : Set X
hs : IsSeqClosed s
⊢ IsClosed s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : α → E
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT f = MeasureTheory.setToFun μ T' hT' f
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
a : α
hf : (Function.mulSupport f).Finite
⊢ f a * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ≠ a), f i = ∏ᶠ (i : α), f i
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
hs : IsPreconnected s
hxs : x ∈ s
hsF : s ⊆ F
this : IsPreconnected (Subtype.val ⁻¹' s)
⊢ s ⊆ connectedComponentIn F x
p x : ℝ
r : ℚ
hr : r ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (↑r * x) ↔ LiouvilleWith p x
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
B : C
α : Type v
inst✝² : Nonempty α
X : α → C
f : (j : α) → B ⟶ X j
inst✝¹ : HasWidePushout B X f
inst✝ : PreservesColimit (wideSpan B X f) (forget C)
y : (forget C).obj B
⊢ ∃ i y_1, (ι f i) y_1 = (head f) y
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)
⊢ f ^ n ∈ 𝒜 (n * m)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ x ∈ ball 0 ε, ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖f‖ ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
S✝ : Set α
hS : IsIrreducible S✝
hS' : IsClosed S✝
hS'' : IsIrreducible (f '' S✝)
x : β
hx : IsGenericPoint x (closure (f '' S✝))
⊢ ∃ x, IsGenericPoint x S✝
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x₀ : α
x : Fin n → α
⊢ Injective (cons x₀ x) ↔ x₀ ∉ Set.range x ∧ Injective x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
⊢ m.toEnumFinset.card = card m
α : Type u
t : TopologicalSpace α
TopologicalSpace.SeparableSpace α
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ Dense s
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ b = a ⊔ b ↔ Disjoint a b
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
⊢ DiscreteTopology ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))
α : Type u
n : ℕ
⊢ List.sublistsLen (n + 1) [] = []
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{vC, uC} C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{vC, uD} D
G : CategoryTheory.Functor C D
U V : C
f : G.obj U ⟶ G.obj V
⊢ G.imageSieve f = CategoryTheory.Presheaf.imageSieve (CategoryTheory.yonedaMap G V) f
α : Type u_1
a b c : α
⊢ s(a, b) = s(a, c) ↔ b = c
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
p : 𝕜
⊢ Continuous ⇑(QuotientAddGroup.mk' (AddSubgroup.zmultiples p))
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : F ⟶ L.comp F'
⊢ (CategoryTheory.Functor.LeftExtension.mk F' α).left.as = PUnit.unit
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ ⊤.toSubmodule = ⊤
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
h : Basis ι R M
⊢ finrank R M = Nat.card ι
b a : Prop
h : b → a
⊢ a ∧ b ↔ b
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a x y : M
⊢ (∃ x_1, ((powersHom M) x) x_1 = y) ↔ ∃ n, x ^ n = y
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
i : Fin (n + 1)
⊢ ⇑(Equiv.piFinSuccAbove α i).symm = fun f => i.insertNth f.1 f.2
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
hp_odd : p % 2 = 1
f : (ZMod p)[X] := X ^ 2
g : (ZMod p)[X] := X ^ 2 - C x
a b : ZMod p
hab : eval a f + eval b g = 0
⊢ ∃ a b, a ^ 2 + b ^ 2 = x
x : ℤ
h1 : x ^ 2 < 4
h2 : x ≠ 0
⊢ x ^ 2 = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
⊢ (F.mapBinaryBicone b).snd = F.map b.snd
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p q : R[X]
pn : p.natDegree < n
⊢ (p + q).coeff n = q.coeff n
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Ideal.map f I = Ideal.map f J ↔ I ⊔ RingHom.ker f = J ⊔ RingHom.ker f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingCospan ⥤ C
t :
  CategoryTheory.Limits.PullbackCone (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.Hom.inl)
    (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.Hom.inr)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cone.ofPullbackCone t).π = t.π ≫ (CategoryTheory.Limits.diagramIsoCospan F).inv
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι✝ → α
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
ι : Type u_3
t : ι → α
ht : Independent t
⊢ {i | t i ≠ ⊥}.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : LowerSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α
⊢ (⨆ i, ⨆ j, f i j).compl = ⨆ i, ⨆ j, (f i j).compl
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α n
⊢ v.reverse.reverse = v
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
f : X → ℝ
hfi : Integrable f μ
h_meas : NullMeasurableSet {x | 0 ≤ f x} μ
x : X
hx : ¬0 ≤ f x
⊢ f x ≤ 0
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
c : n ≃ n
hc : c ∈ univ.erase (Equiv.refl n)
⊢ ↑↑(Equiv.Perm.sign c) • ∏ i : n, M.charmatrix (c i) i ∈ degreeLT R (Fintype.card n - 1)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
⊢ (⨆ x ∈ s, infEdist x u) ⊔ ⨆ y ∈ u, infEdist y s ≤ hausdorffEdist s t + hausdorffEdist t u
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
⊢ f a * f b = f c * f d ↔ a * b = c * d
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ ↑(extChartAt I x) x ∈ (extChartAt I x).target
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring B
Algebra R B
a : B
⊢ ∀ (a_1 : A), (Pi.constAlgHom R A B) a a_1 = Function.const A a a_1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree
ih : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) %ₘ q = p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree)) - q * ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) /ₘ q)
⊢ (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2).2 = p - q * if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).1 else 0
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
m n : ℤ
H : (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧ m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)
⊢ (x = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2) ∧ y = 1 * (2 * m * n) ∨ x = 1 * (2 * m * n) ∧ y = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2)) ∧ m.gcd n = 1
α : Type u
UniformSpace α
s t : Set (α × α)
⊢ CauchyFilter.gen s ○ CauchyFilter.gen t ⊆ CauchyFilter.gen (s ○ t)
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackSymmetry f g).hom ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst g f =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h_meas_nonneg_g : MeasurableSet {x | 0 ≤ g x}
h_meas_nonneg_f : MeasurableSet {x | 0 ≤ f x}
h_meas_nonpos_g : MeasurableSet {x | g x ≤ 0}
h_meas_nonpos_f : MeasurableSet {x | f x ≤ 0}
⊢ ∫ (x : α) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ.restrict s ≤ ∫ (x : α) in {x | g x ≤ 0}, g x ∂μ.restrict s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
⊢ (∀ (y : β) (x : α), 𝓝 (f (x, y)) ≤ map (f ∘ fun a => (a, y)) (𝓝 x)) ↔ ∀ (b : β) (x : α), 𝓝 (f (x, b)) ≤ map (fun x => f (x, b)) (𝓝 x)
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
⊢ ∀ (x : C(X, Y) × X) (i : Set Y), x.1 x.2 ∈ i ∧ IsOpen i → ∀ᶠ (x : C(X, Y) × X) in 𝓝 x, x.1 x.2 ∈ i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F
⊢ eLpNormEssSup (c • f) μ = ↑‖c‖₊ * eLpNormEssSup f μ
z : ℤ
⊢ (↑z).cauchy = ↑z
F : Type u_1
AddCommGroup F
Module ℝ F
TopologicalSpace F
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
s : Set F
L : E ≃ᵃL[ℝ] F
⊢ AmpleSet (⇑L ⁻¹' s) ↔ AmpleSet s
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
f : α → E
I : E
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
h : Filter.Tendsto (fun n => ∫ (x : α) in φ n, f x ∂μ) l (𝓝 I)
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = I
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
TopologicalSpace N
ContinuousSMul R N
f : M [⋀^ι]→L[R] R
z : N
⊢ (f.smulRight z).toContinuousMultilinearMap = f.smulRight z
n n' : Nat
i : Fin n
h : n + 0 = n'
⊢ Fin.cast h (i.addNat 0) = Fin.cast ⋯ i
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (restrictScalars f).obj Y ⟶ X
y1 y2 : ↑Y
s : S
⊢ g (s • (y1 + y2)) = { toFun := fun s => g (s • y1), map_add' := ⋯ } s + { toFun := fun s => g (s • y2), map_add' := ⋯ } s
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
f : β → α
CompleteSpace α
⊢ Multipliable f ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set β), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
F : Type u_1
E : Type u_2
Field F
Field E
Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
⊢ IsAlgebraic F α
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
s t : Set β
hf : Surjective f
⊢ s ⊆ range f
α : Type u_2
t₁ t₂ : FirstOrder.Language.ring.Term α
⊢ t₁ * t₂ = FirstOrder.Ring.mulFunc.apply₂ t₁ t₂
x : ℝ
⊢ Real.sin (2 * Real.pi - x) = -Real.sin x
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
⊢ (Polynomial.aeval ((algebraMap A B) a)) (X - C a) = 0
b n : ℕ
hb : 1 < b
⊢ log b (n / b * b) = log b n
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
⊢ (span ℕ s).toAddSubmonoid = AddSubmonoid.closure s
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α
⊢ |f x| = max (f x) 0 + max (-f x) 0
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A B✝ X X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A
I B : C
t : IsInitial I
inst✝ : CartesianClosed C
Z✝ : C
g h : Z✝ ⟶ I
x✝ : g ≫ t.to B = h ≫ t.to B
this : IsIso g
⊢ g = h
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
a : G
ha : a ∈ center G
g : G
⊢ a⁻¹ * g * (a * a⁻¹) = a⁻¹ * g
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : D
⊢ L.map (h.unit.app (R.obj X) ≫ R.map (h.counit.app X)) = 𝟙 (L.obj (R.obj X))
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_9, u_1} C₁
inst✝² : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝¹ : Category.{u_7, u_3} C₃
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
X : GradedObject I C₁
Y : GradedObject J C₂
A : C₃
k : K
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p
f g : mapBifunctorMapObj F p X Y k ⟶ A
h : ∀ (i : I) (j : J) (hij : p (i, j) = k), ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ f = ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ g
⊢ ∀ (i : I × J) (hij : p i = k), (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).ιMapObj p i k hij ≫ f = (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).ιMapObj p i k hij ≫ g
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
hc : Convex ℝ s
h₀ : s ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ K, LipschitzWith K (gauge s)
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
⊢ (GenContFract.of v).dens n ≤ (GenContFract.of v).dens (n + 1)
m n : ℤ
⊢ m - 1 < n ↔ m ≤ n
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A * J l R * Aᵀ = J l R
⊢ Aᵀ * J l R * Aᵀᵀ = J l R
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ multiplicity p (p * n)! = multiplicity p n ! + ↑n
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M
n : ℕ
h : Module.rank R M = ↑n
a✝ : Nontrivial R
ι : Type v
b : Basis ι R M
⊢ Finite R M
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
P : Type u_3
Monoid P
φ : M →* N
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
AddMonoid A
DistribMulAction M A
B : Type u_5
AddMonoid B
DistribMulAction N B
C : Type u_7
AddMonoid C
DistribMulAction P C
g : B →ₑ+[ψ] C
f : A →ₑ+[φ] B
φ.CompTriple ψ χ
x : A
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
⊢ k ∈ Metric.closedBall 0 (‖a‖ * ‖1‖)
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n : A
X : C
⊢ (shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).hom.app X) = (shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X)
n : ℕ
p i : Fin n
h : p ≤ i
⊢ p.castSucc.succAbove i = i.succ
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h0 : ¬x.gcd y = 0
⊢ (x / ↑(x.gcd y)).gcd (y / ↑(x.gcd y)) = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} H
∀ (F : CategoryTheory.Functor C H), L.HasLeftKanExtension F
G : CategoryTheory.Functor D H
⊢ (L.lanAdjunction H).counit.app G =
  (L.lan.obj (L.comp G)).descOfIsLeftKanExtension (L.lanUnit.app (L.comp G)) G
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.comp G))