ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g✝ : β → α
g : E → β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
hfg : EqOn f g s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • g x + b • g y < g (a • x + b • y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
⊢ (γ.rightShift a n' hn').rightUnshift n hn' = γ
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
X B : C
π : X ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasPullback π π
⊢ CategoryTheory.regularTopology.SingleEqualizerCondition P π ↔
  Nonempty
    (CategoryTheory.Limits.IsLimit (P.mapCone (CategoryTheory.Sieve.ofArrows (fun x => X) fun x => π).arrows.cocone.op))
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero β
SMulPosMono α β
hb : 0 ≤ b
⊢ Monotone fun x => x • b
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
⊢ (f * g).norm = f.norm * g.norm
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β → F
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n
hf : ∀ (i : α), ContinuousOn (f i) univ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∑' (n : α), f n x) univ
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I : FractionalIdeal B⁰ L
⊢ (FractionalIdeal.dual A K I)⁻¹ ≤ I
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Finset.Icc (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b) = Finset.map OrderDual.toDual.toEmbedding (Finset.Icc b a)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c ≠ 0
⊢ P.toPoly.natDegree = 1
α : Type u_1
PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x : α
⊢ IsGLB {y | x ≤ y ∧ c.IsClosed y} (c x)
α : Type u
AddGroup α
g : FreeAddGroup α →+ α
hg : ∀ (x : α), g (FreeAddGroup.of x) = x
x : FreeAddGroup α
⊢ g x = FreeAddGroup.sum x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
xi yi : ℕ
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨xi, ⋯⟩)
y : CliffordAlgebra Q
hy : y ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨yi, ⋯⟩)
⊢ x * y ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ xi * LinearMap.range (ι Q) ^ yi)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalFunctor.id C).ε = 𝟙 (𝟙_ C)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s : Finset α
h : a ≠ b
x : α
this : x ≠ b ∧ x = a ↔ x = a
⊢ x ∈ (insert a s).erase b ↔ x ∈ insert a (s.erase b)
α : Type u_1
x : ℕ × α
l : List α
h : x ∈ l.enum
⊢ x.2 ∈ l
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (y * z + x) y
⊢ IsCoprime x y
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)
ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)
sNu : Summable fun n => ‖u n‖
su : Summable u
⊢ ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
r : R
N : Submodule R M
⊢ Ideal.span {r} • N = r • N
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
⊢ (∃ n, f^[n] x = y) → ∃ a < minimalPeriod f x, f^[a] x = y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (memPartition t n) ≤ m
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P Q
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
∀ (i : 𝒰.J), AlgebraicGeometry.IsAffine (𝒰.obj i)
𝒰' : (i : 𝒰.J) → (CategoryTheory.Limits.pullback f (𝒰.map i)).OpenCover
∀ (i : 𝒰.J) (j : (𝒰' i).J), AlgebraicGeometry.IsAffine ((𝒰' i).obj j)
h𝒰' :
  ∀ (i : 𝒰.J) (j k : (𝒰' i).J),
    Q (CategoryTheory.Limits.pullback.mapDesc ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) (𝒰.pullbackHom f i))
⊢ P.diagonal f
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ e.mulShift (↑u - 1) = 1
x y : ℝ
⊢ cos x ^ 2 ≤ sin x ^ 2 + cos x ^ 2
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0
⊢ W'.negAddY P Q = (-(Q x * P z)) ^ 3 * W'.negY P
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : F α → α
x : F (Fix F)
⊢ rec g (mk x) = g (rec g <$> x)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ (↑l).toFinset = l.toFinset
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ 1 / a < 1 / b ↔ b < a
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
h₁ : π₁.IsPartition
h₂ : π₁.boxes ⊆ π₂.boxes
⊢ π₁ = π₂
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b : α
n : ℤ
⊢ n • (a - b) = n • a - n • b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G✝ : Type u_10
H : Type u_11
G : Type u_12
inst✝ : Group G
x : Gˣ
⊢ toUnits ↑x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
⊢ ↑f ≤ᶠ[ae μ] ↑(f ⊔ g)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
P : K[X]
hmo : P.Monic
hP : Splits (RingHom.id K) P
⊢ P.coeff 0 = (-1) ^ P.natDegree * P.roots.prod
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ : ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k = ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε
k : Type u_1
E : Type u_2
Field k
AddCommGroup E
Module k E
f : k → E
x y : k
⊢ slope (fun t => -f t) x y = -slope f x y
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b c : G
⊢ c - a - (c - b) = b - a
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ ι)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
inst✝² : HasCoproduct (X ∘ ι)
inst✝¹ : HasCoproduct X
inst✝ : HasCoproduct fun k => X ↑k
j : J
⊢ (Sigma.ι (X ∘ ι) j ≫ Sigma.map' ι fun j => 𝟙 ((X ∘ ι) j)) = Sigma.ι (X ∘ ι) j ≫ Sigma.desc fun j => Sigma.ι X (ι j)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
hx : x ≠ ↑a
⊢ ContinuousAt (⇑(AddCircle.equivIoc p a)) x
α : Type u_1
n : ℕ
f : Vector3 α n → Prop
⊢ VectorEx n f ↔ Exists f
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
m : MeasureTheory.AddContent C
hC : MeasureTheory.IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ m (s ∪ t) ≤ m s + m t
α : Type u_2
Add α
s t u : Set α
⊢ s + t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, a +ᵥ t ⊆ u
G : Type u_1
Group G
H K L : Subgroup G
hHK : H ≤ K
hKL : K.relindex L = 0
⊢ H.relindex L = 0
S : Type u_2
R : Type u
M : Type v
N : Type u_3
Semiring S
AddCommMonoid R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module S R
Module S M
Module S N
f g : tsze R M →ₗ[S] N
hl : ∀ (r : R), f (TrivSqZeroExt.inl r) = g (TrivSqZeroExt.inl r)
hr : ∀ (m : M), f (TrivSqZeroExt.inr m) = g (TrivSqZeroExt.inr m)
⊢ f = g
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
heEI : e ∈ M.E \ I
⊢ False
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ tl x✝⁴ : List (α × Bool)
x✝³ : α
x✝² : Bool
x✝¹ : α
x✝ : Bool
⊢ ∃ L₅, Step ([] ++ tl.append ((x✝¹, x✝) :: (x✝¹, !x✝) :: x✝⁴)) L₅ ∧ Step ((x✝³, x✝²) :: (x✝³, !x✝²) :: tl ++ x✝⁴) L₅
R₃ : Type u_7
CommRing R₃
n : Type u_11
Fintype n
J J₃ A A' : Matrix n n R₃
DecidableEq n
⊢ (Matrix.toBilin' J).IsAdjointPair (Matrix.toBilin' J₃) (Matrix.toLin' A) (Matrix.toLin' A') ↔ J.IsAdjointPair J₃ A A'
α : Type u_1
CommMonoid α
p : Multiset (Associates α)
⊢ p.prod = 1 ↔ ∀ a ∈ p, a = 1
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
F : CategoryTheory.Functor C D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
⊢ (CategoryTheory.Monad.MonadicityInternal.unitCofork A).π =
  G.map (CategoryTheory.Limits.coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A)))
a b c : Nat
H1 : b ∣ a
H2 : a / b = c
⊢ a = b * c
R : Type u
CommRing R
b c d : R
n : ℕ
⊢ normEDS b c d ↑n = preNormEDS' (b ^ 4) c d n * if Even n then b else 1
α : Type u_1
M : Type u_4
Monoid M
f : α → M
x : α
⊢ (FreeMonoid.lift f) (FreeMonoid.of x) = f x
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y → Z
x : X
h : Continuous (Function.uncurry f)
⊢ Continuous (f x)
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) = fun x x_1 => x → x_1
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ (ofReal |(Matrix.diagonal D).det| • Measure.map (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D))) volume) (univ.pi s) = ∏ i : ι, volume (s i)
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Comma L R)
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (F.comp (CategoryTheory.Comma.fst L R)) L
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp (CategoryTheory.Comma.fst L R))
t₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp (CategoryTheory.Comma.snd L R))
⊢ (CategoryTheory.Comma.coconeOfPreserves F t₁ c₂).pt.hom =
  (CategoryTheory.Limits.isColimitOfPreserves L t₁).desc (CategoryTheory.Comma.colimitAuxiliaryCocone F c₂)
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
⊢ (Action.functorCategoryEquivalence V G).functor = Action.FunctorCategoryEquivalence.functor
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : ModP K v O hv p
h : x ≠ 0
hp : preVal K v O hv p x ≤ v ↑p
⊢ x = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ : Finset β
f✝ g✝ : β → α
a : α
f g : β → α
hfg : ∀ a ∈ s₁, f a = g a
⊢ s₁.sup f = s₁.sup g
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
hF : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
⊢ (algebraMap K F) ((Algebra.trace K L) x) = finrank (↥K⟮x⟯) L • ((minpoly K x).aroots F).sum
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝³ : DecidableRel r
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTotal α r
s : Finset α
⊢ ↑(sort r s) = ↑s.toList
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
d : B
X : c ⟶ d
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.associatorNatIsoRight f g d).inv.app X = (CategoryTheory.Bicategory.associator f g X).inv
f : Type u → Type v
Applicative f
self : LawfulApplicative f
α β : Type u
g : α → β
x : f α
⊢ (Seq.seq (pure g) fun x_1 => x) = g <$> x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Tendsto m f (𝓝 a)
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0
⊢ a ≠ 0 ∨ b⁻¹ ≠ ⊤
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
m n : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) g ≠ 0
hfg : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) f * (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) g ≠ 0
⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) f * (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) g) ^ p ^ (max m n + 1) = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) f) ^ p ^ (max m n + 1) * ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) g) ^ p ^ (max m n + 1)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R V
h : Homotopy f g
a : R
i : ι
⊢ a • f.f i = (C.dFrom i ≫ (fromNext i) fun i j => a • h.hom i j) + ((toPrev i) fun i j => a • h.hom i j) ≫ D.dTo i + a • g.f i
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ (p + q).degree ≤ max p.degree q.degree
R : Type u_1
M : Type u_2
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
Ring R
Ring R₂
AddCommMonoid M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ (LinearMap.range f).mkQ.comp f = 0
X : Type u
Y : Type v
Preorder X
Preorder Y
e : X ≃o Y
⊢ e.equivalence.counitIso = CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun x => CategoryTheory.eqToIso ⋯) ⋯
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (ν.restrict s).rnDeriv ν =ᵐ[ν] s.indicator 1
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K1 K2 : Compacts X
⊢ ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → rieszContentAux Λ (K1 ⊔ K2) ≤ rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2 + ε
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →A[R] B
p : Subalgebra R B
h : ∀ (x : A), f x ∈ p
x : A
⊢ ↑((f.codRestrict p h) x) = f x
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoMetricSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
⊢ Continuous MeasureTheory.LevyProkhorov.toProbabilityMeasure
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
⊢ (∫⁻ (x : α), f x ∂if a ∈ s then dirac a else 0) = if a ∈ s then f a else 0
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
⊢ ContinuousOn { toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.invFun { toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.target
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
h : CategoryTheory.Limits.IsZero X
f : X ⟶ Y
⊢ h.to_ Y = f
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f : R[X]
⊢ (-f).reverse = -f.reverse
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
⊢ thickenedIndicatorAux δ E x ∈ {a | a ≠ ⊤}
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
x : ℕ
hx : p.natDegree < x
⊢ (⇑derivative)^[x] p = 0
G : Type u_1
AddCommGroup G
g : G
⊢ g ∈ AddCommGroup.torsion G ↔ IsOfFinAddOrder g
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set β
t : Set α
ht : t.Nonempty
⊢ Prod.fst '' s ×ˢ t = s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
s : Set ι
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
h₁ : MonovaryOn f₁ g s
h₂ : MonovaryOn f₂ g s
⊢ MonovaryOn (f₁ * f₂) g s
f g : CauSeq.Completion.Cauchy abs
⊢ { cauchy := f / g } = { cauchy := f } / { cauchy := g }
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
⊢ Monoid.Coprod.fst.comp (Monoid.Coprod.swap M N) = Monoid.Coprod.snd
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
r t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
i : r ≅ t
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
⊢ (CategoryTheory.Limits.IsColimit.equivIsoColimit i).symm P = P.ofIsoColimit i.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ ν : MeasureTheory.Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ.AbsolutelyContinuous ν
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μ).AbsolutelyContinuous (MeasureTheory.Measure.map f ν)
G₀ : Type u_2
MeasurableSpace G₀
Div G₀
self : MeasurableDiv G₀
c : G₀
⊢ Measurable fun x => c / x
M : Type u_3
CommMonoid M
s t : Set M
x : M
⊢ x ∈ Monoid.Closure (s ∪ t) ↔ ∃ y ∈ Monoid.Closure s, ∃ z ∈ Monoid.Closure t, y * z = x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
⊢ spanPoints k s ⊆ ↑s1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ Submodule.span k (s -ᵥ s) = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' s)
α ι : Type u
f : ι → Set α
⊢ Cardinal.mk ↑(⋃ i, f i) ≤ Cardinal.sum fun i => Cardinal.mk ↑(f i)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
S : Set β
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : UniformEquicontinuousOn F S
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
⊢ U ∈ map (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S))
α : Type u_4
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
t₁ t₂ : Finset α
s : Finset α
ht : Disjoint t₁ t₂
⊢ Disjoint (G.interedges s t₁) (G.interedges s t₂)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
sq : CategoryTheory.Square C
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (sq.map F).f₁₂ = F.map sq.f₁₂
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ (↑(AffineSubspace.perpBisector p₁ p₂)).Nonempty
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Set.Icc ↑a ↑b)
⊢ ∑ x ∈ Finset.Ico a b, f ↑x ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x
α : Sort u
β : α → Sort v
DecidableEq α
a : α
b : β a
f g : (a : α) → β a
⊢ Function.update f a b = g ↔ b = g a ∧ ∀ (x : α), x ≠ a → f x = g x
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
⊢ ↑(e.trans e').symm = ↑e.symm ∘ ↑e'.symm
α : Type u
ι : Type v
a : Cardinal.{u}
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
t : Set α
ht : ∀ x ∈ t, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a
g : ULift.{u, v} ι → Set (ULift.{v, u} α) := (fun x => ULift.down ⁻¹' x) ∘ f ∘ ULift.down
l' : Filter (ULift.{u, v} ι) := Filter.map ULift.up l
this : l'.NeBot
⊢ #↑(ULift.down ⁻¹' t) ≤ lift.{v, u} a
R✝ : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R✝
S✝ : Submonoid R✝
P✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing P✝
inst✝⁶ : Algebra R✝ P✝
loc : IsLocalization S✝ P✝
R : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
S : Submonoid R
P : Type u_4
inst✝³ : Nontrivial P
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
hR : IsNoetherianRing R
hS : S ≤ R⁰
I : FractionalIdeal S P
this : ⊤.FG
⊢ ⊤.FG
p : ℝ≥0∞
h : p ≤ 1
n : ℕ
⊢ (binomial p h n) 0 = (1 - p) ^ n
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : ↥S
p : R[X]
h : Function.Injective ⇑S.val
⊢ (aeval ↑x) p = 0 ↔ S.val ((aeval x) p) = 0
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.support ⊆ Finset.range (p.natDegree + 1)
R : Type u_1
Semiring R
rs₁ rs₂ : List R
⊢ Ideal.ofList (rs₁ ++ rs₂) = Ideal.ofList rs₁ ⊔ Ideal.ofList rs₂
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid β
l : Filter α
f g : α → β
C : β
hC : ∀ᶠ (x : α) in l, g x ≤ C
h : Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
H : Embedding ⇑f
g : Y ⟶ S
⊢ ⇑(pullback.snd f g) = ⇑(pullback.map f g (𝟙 S) g f (𝟙 Y) (𝟙 S) ⋯ ⋯ ≫ (asIso (pullback.snd (𝟙 S) g)).hom)
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
e : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
⊢ e.toIsometry.comp e.symm.toIsometry = QuadraticMap.Isometry.id Q₂
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
r : HomRel C
a b c : C
f : a ⟶ b
g₁ g₂ : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.Quotient.CompClosure r g₁ g₂ →
  CategoryTheory.Quotient.CompClosure r (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g₁)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g₂)
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
n d : ℤ
hqz : q ≠ 0
qdf : q = n /. d
hd : d ≠ 0
c : ℤ
hc1 : n = c * q.num
hc2 : d = c * ↑q.den
⊢ ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity p q.den).get ⋯) = ↑((multiplicity (↑p) c).get ⋯) + ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - (↑((multiplicity (↑p) c).get ⋯) + ↑((multiplicity ↑p ↑q.den).get ⋯))
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∫ (x : E), (pdf X ℙ μ x).toReal • f x ∂μ = ∫ (x : Ω), f (X x) ∂ℙ