ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
h_ac : ν ≪ ν + ν'
h₁ : (μ.singularPart ν' + ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae (ν + ν')] (μ.singularPart ν').rnDeriv (ν + ν') + (ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv (ν + ν')
h₂ : (μ.singularPart ν' + ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν').rnDeriv ν + (ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv ν
h₃ : (μ.singularPart ν').rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν').rnDeriv ν
⊢ (μ.singularPart ν').rnDeriv (ν + ν') + (ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν').rnDeriv ν + (ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv ν
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMapOn f s
x : E
hx : x ∈ f ⁻¹' s
e : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f x})) f := ⋯.toTrivialization
⊢ ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source
R : Type u
CommRing R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
S : Type s
CommRing S
Algebra R S
A : Type v
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type w
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
ψ : A →ₐ[S] B
⊢ WeierstrassCurve.VariableChange.map (↑ψ) (WeierstrassCurve.VariableChange.baseChange A C) =
  WeierstrassCurve.VariableChange.baseChange B C
X : Type u
m₁ m₂ : X → X → X
e₁ e₂ : X
h₁ : IsUnital m₁ e₁
h₂ : IsUnital m₂ e₂
distrib : ∀ (a b c d : X), m₁ (m₂ a b) (m₂ c d) = m₂ (m₁ a c) (m₁ b d)
a b : X
⊢ m₁ a b = m₂ a b
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : K
⊢ ‖(NumberField.canonicalEmbedding K) x‖₊ = Finset.univ.sup fun φ => ‖φ x‖₊
α : Type u
i : Nat
⊢ List.take i List.nil = List.nil
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
l : Filter α
f g : α → ℝ≥0∞
hfi : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ ⊤
hgi : ∀ᶠ (x : α) in l, g x ≠ ⊤
hfg : (fun x => (f x).toReal) =ᶠ[l] fun x => (g x).toReal
a✝¹ : α
hfx : f a✝¹ ≠ ⊤
hgx : g a✝¹ ≠ ⊤
a✝ : (f a✝¹).toReal = (g a✝¹).toReal
⊢ f a✝¹ = g a✝¹
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
l' : Filter β
f f' : ι → β → α
g g' : β → α
hf : TendstoUniformlyOnFilter f g l l'
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l l'
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (f + f') (g + g') l l'
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ e.trans (Equiv.refl β) = e
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a => ∀ (n : ℤ), t.LE n ≤ t.LE (n + ↑a)
H_zero : H 0
⊢ ∀ (a : ℕ), H a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
f' : α → ℝ := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
hadd' : s = t + μ.withDensityᵥ f'
this : s.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
⊢ MeasurableSpace.pi ≤ MeasurableSpace.generateFrom (measurableCylinders α)
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Type u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
T : Set α
hT : T ⊆ iUnion S
hT' : T = iUnion S
t : Set β
x : ↑T
⊢ iUnionLift S f hf T hT x ∈ t ↔ ∃ i x_1, f i x_1 ∈ t ∧ inclusion ⋯ x_1 = inclusion hT x
M₁ : Type u_5
M₄ : Type u_8
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
TopologicalSpace M₄
AddCommGroup M₄
ContinuousNeg M₄
f : M₁ → M₄
hf : IsCompactOperator f
⊢ IsCompactOperator (-f)
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Subtype Numeric
g : ι → PGame := Subtype.val ∘ f
⊢ BddBelow (Set.range fun i => ⟦f i⟧)
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ : CategoryTheory.GradedObject I C
X₁.HasTensor X₂
X₂.HasTensor X₃
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
X₁.HasTensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃)
X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃
X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
i₁ i₂ i₃ j : I
h : i₁ + i₂ + i₃ = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h)
    ((CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.associator X₁ X₂ X₃).hom j) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (X₁ i₁) (X₂ i₂) (X₃ i₃)).hom
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h)
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
gp_n : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp_n
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some gp_n.b
ifp_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_n
ifp_n_b_eq_gp_n_b : ↑ifp_n.b = gp_n.b
⊢ 1 ≤ ↑ifp_n.b
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ l <+~ a :: l.erase a
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜.Shatters s
⊢ s ∈ 𝒜.biUnion powerset
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ (p - 1) * (multiplicity p n !).get ⋯ = n - (p.digits n).sum
x y : ℝ
n : ℤ
⊢ 0 ≤ log ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
I : Set α
M : Matroid α
hI : M.Indep I
f : α ↪ β
⊢ (M.mapEmbedding f).Indep (⇑f '' I)
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
⊢ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ comap H.normalizer.subtype H) ≡ Nat.card (G ⧸ H) [MOD p]
B : Type u_1
F₁ : Type u_2
E₁ : B → Type u_3
F₂ : Type u_4
E₂ : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
⊢ Inducing fun p => ({ proj := p.proj, snd := p.snd.1 }, { proj := p.proj, snd := p.snd.2 })
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
SecondCountableTopology E
MeasurableSpace F
BorelSpace F
hf : Continuous f
μ : MeasureTheory.Measure (E × E)
⊢ AEMeasurable (fun p => lineDeriv 𝕜 f p.1 p.2) μ
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
K : Type u_5
Field K
IsDomain R
IsDomain S
Algebra R K
Algebra S K
NoZeroSMulDivisors R K
IsFractionRing S K
IsScalarTower R S K
⊢ Algebra.IsAlgebraic R S ↔ Algebra.IsAlgebraic R K
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
Archimedean α
⊢ ∀ (a : α), (LinearOrderedField.inducedOrderRingHom α β) a = (LinearOrderedField.inducedAddHom α β) a
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
z : L
hz : z ∈ I
⊢ ⁅↑x, z⁆ ∈ ⁅J, I⁆
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulLeftInvariant
ν.IsMulLeftInvariant
f : G → G → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable (Function.uncurry f) (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f (y * x) x⁻¹ ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f x y ∂ν ∂μ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
Module.Finite R L
Module.Free R L
Nontrivial R
x : L
⊢ φ.IsNilRegular x ↔ (LinearMap.charpoly (φ x)).natTrailingDegree = φ.nilRank
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
E : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} D
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
X : CategoryTheory.WithInitial C
⊢ (CategoryTheory.WithInitial.mapComp F G).hom.app X =
  (match X with
    | CategoryTheory.WithInitial.of x => CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.WithInitial.of (G.obj (F.obj x)))
    | CategoryTheory.WithInitial.star => CategoryTheory.Iso.refl CategoryTheory.WithInitial.star).hom
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
x : ↥⊤
⊢ ↑0 x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
⊢ (if 1 = ⊤ then eLpNormEssSup (↑↑f - ↑↑g) μ else ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a - ↑↑g a‖₊ ∂μ) = ∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (0 < ↑n / ↑d) = true
h₂ : decide (↑n / ↑d < 1) = true
h₁' : 0 < ↑n / ↑d
h₂' : ↑n / ↑d < 1
⊢ Real.log (↑n / ↑d) ≠ 0
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
⊢ p ^ e * n ∈ p.succ.smoothNumbers
X : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ E
⊢ HasFiniteIntegral (⇑f) μ
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t u v : Finset α
⊢ s ⊻ t ⊻ (u ⊻ v) = s ⊻ u ⊻ (t ⊻ v)
x : ↑unitInterval
⊢ ↑x ≠ 1 ↔ x ≠ 1
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : IsEmpty β
⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
a : Cardinal.{u_1}
b : Cardinal.{u_1}
hb : 1 ≤ b
⊢ a ≤ a ^ b
R : Type u
S✝ : Type v
T✝ : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : CommSemiring A'
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R A'
inst✝⁵ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
S : Type u_3
T : Type u_4
U : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring T
inst✝² : Semiring U
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra T U
φ : R →+* T
ψ : S →+* U
h : (algebraMap T U).comp φ = ψ.comp (algebraMap R S)
p : R[X]
a : S
⊢ ψ ((aeval a) p) = (aeval (ψ a)) (map φ p)
α : Type u_1
β : Type u_2
p q : α → Prop
h : Disjoint p q
inst✝² : Fintype { x // p x }
inst✝¹ : Fintype { x // q x }
inst✝ : Fintype { x // p x ∨ q x }
⊢ card { x // p x ∨ q x } = card { x // p x } + card { x // q x }
α : Type u_1
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
Monoid R
DistribMulAction R ENNReal
IsScalarTower R ENNReal ENNReal
h : μ.AbsolutelyContinuous ν
c : R
⊢ (c • μ).AbsolutelyContinuous ν
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
hg : Set.EqOn f g (EMetric.ball x r)
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall g p x n r
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
⊢ s +ᵥ ∅ = ∅
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W
⊢ cs.lengthParity (w * t) ≠ cs.lengthParity w
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h1 : Nat.Prime (orderOf σ)
n : ℕ
h2 : n = 0
hn : σ.cycleType = Multiset.replicate (n + 1) (orderOf σ)
⊢ σ.IsCycle
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
s : Set X
H : StableUnderSpecialization s
⊢ ⋃₀ ((fun x => closure {x}) '' s) = s
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Nontrivial R
x : X
r : R
h : ι R x = (algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r
f0 : FreeAlgebra R X →ₐ[R] R := (lift R) 0
f1 : FreeAlgebra R X →ₐ[R] R := (lift R) 1
hf0 : r = 0
hf1 : r = 1
⊢ False
⊢ ConvexOn ℝ (Ioi 0) fun s => log (Gamma (s / 2))
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l l' : List ι
hl : l.Perm l'
hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0
co : List.Pairwise (Coprime on s) l
z : { k // ∀ i ∈ l', k ≡ a i [MOD s i] } := chineseRemainderOfList a s l' ⋯
hlp : (List.map s l).prod = (List.map s l').prod
⊢ ↑(chineseRemainderOfList a s l co) = ↑(chineseRemainderOfList a s l' ⋯)
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
CommSemiring R
S : Submonoid R
CommSemiring Rₛ
Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
Module Rₛ M'
IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ LinearIndependent Rₛ (⇑f ∘ v)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x : α
xs : List α
⊢ (x :: xs).formPerm ((x :: xs).nthLe xs.length ⋯) = x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ 𝓝ˢ (s ∩ t) ≤ 𝓝ˢ s ⊓ 𝓝ˢ t
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
v w : F
h : ‖v‖ = ‖w‖
⊢ (reflection (Submodule.span ℝ {v - w})ᗮ) v = w
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C (ComplexShape.down α))
i j : α
⊢ (((CategoryTheory.Idempotents.karoubiChainComplexEquivalence C α).functor.obj P).d i j).f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.X.d i j) (P.p.f j)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : Y
y z : X
⊢ glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr x).swap (Sum.inl z).swap ≤ glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr x).swap (Sum.inl y).swap + glueDist Ψ Φ ε (Sum.inl y).swap (Sum.inl z).swap
α : Type u_1
l : List α
n : ℕ
⊢ l.rtake n = (List.take n l.reverse).reverse
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
ConnectedSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : Function.Surjective f
hf' : Continuous f
⊢ ConnectedSpace β
n i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 1
⊢ (if h : i < if j < i then j else j + 1 then (if j < i then j else j + 1) - 1 else ↑((if j < i then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩).castPred ⋯)) = j
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement S T
x : G
⊢ x ∈ S * T
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : i.Coprime n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ -Real.pi < (↑i - ↑n) * (2 * Real.pi) / ↑n ∧ (↑i - ↑n) * (2 * Real.pi) / ↑n ≤ Real.pi
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p q : R[X]
x✝ x : A
⊢ Algebra.adjoin R {x} = (aeval x).range
E : Type u_1
ι : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
Finite ι
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
⊢ μ (Zspan.fundamentalDomain b) ≠ 0
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
x : FreeGroup α
⊢ x.norm = 0 ↔ x = 1
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
⊢ ∃ m, ∀ (t : ↥(rootsOfUnity n L)), g ↑↑t = ↑(↑t ^ m)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
n : ℕ
f : M [⋀^Fin (n + 1)]→L[R] N
m : Fin n → M
c : R
x : M
⊢ f (Fin.cons (c • x) m) = c • f (Fin.cons x m)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
y : 𝕜
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
⊢ HasDerivWithinAt f f' s x ↔ HasDerivWithinAt f f' t x
α : Type u
a : α
s t : Set α
x : α
hs : {x}.Nontrivial
H : s = {x}
⊢ False
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : g ∘ ↑f = ↑gf
⊢ ∃ e, ↑f x ∈ e.source ∧ Set.EqOn g (↑e) e.source
α : Type u_2
r : α → α → Prop
rk : α → ℕ
s : Set α
⊢ (∃ f, Set.PartiallyWellOrderedOn.IsBadSeq r s f) →
  ∃ f, Set.PartiallyWellOrderedOn.IsBadSeq r s f ∧ ∀ (n : ℕ), Set.PartiallyWellOrderedOn.IsMinBadSeq r rk s n f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Nonempty β
LinearOrder β
Preorder γ
NoMaxOrder γ
g : β → γ
f : α → β
l : Filter α
hg : Monotone g
hg' : Filter.Tendsto g Filter.atTop Filter.atTop
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (g ∘ f) ↔ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f
ι : Type u_1
R : Type u_2
N : Type u_5
Ring R
AddCommGroup N
Module R N
NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : CompleteLattice.Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
⊢ LinearIndependent R v
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
⊢ sInf (univ \ A) < N
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
x : M × M₂
⊢ x ∈ range (inr R M M₂) ↔ x ∈ ker (fst R M M₂)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n
⊢ Irreducible (minpoly ℤ (cexp (2 * ↑Real.pi * I / ↑n)))
a b c : Nat
⊢ a % (b * c) % c = a % c
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
K : Set X
a b : X
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hK : IsCompact K
h'K : MeasurableSet K
hf : ContinuousOn f K
this : Fact (μ K < ⊤)
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ f '' K, ‖x‖ ≤ C
⊢ HasFiniteIntegral f (μ.restrict K)
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
φ : ι → Type u_4
f : (ι : ι) → φ ι → M
hf : ∀ (i : ι), LinearIndependent R (f i)
⊢ LinearIndependent R fun ix => single ix.fst (f ix.fst ix.snd)
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f✝ : Dual K V₁
hf✝ : f✝ ≠ 0
f g : Dual K V₁
x : V₁
h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g
h' : f x = g x
hx : f x ≠ 0
p : Submodule K V₁ := Submodule.span K {x}
hp : p ≠ ⊥
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hf : f ≠ 0
y : V₁
hy : y ∈ LinearMap.ker f
z : V₁
hz : z ∈ p
⊢ f (y + z) = g (y + z)
d x y : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg
⊢ ({ re := -↑x, im := ↑y } + { re := -↑z, im := ↑w }).Nonneg
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
h : a⁻¹ ∈ s
⊢ a ∈ s
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
φ : MvPolynomial σ R
n : M
w : σ → M
hφ : MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w φ n
d : σ →₀ ℕ
hd : (Finsupp.weight w) d ≠ n
⊢ MvPolynomial.coeff d φ = 0
α : Type u
s : Set α
⊢ (Types.monoOverEquivalenceSet α).inverse.obj s = CategoryTheory.MonoOver.mk' Subtype.val
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ re ⟪x, x⟫_𝕜 = ‖x‖ ^ 2
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
v : ℝ → E → E
tMin t₀ tMax : ℝ
x₀ : E
C R : ℝ
L : ℝ≥0
hpl : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C
⊢ ‖v t₀ x₀‖ ≤ C
n : Nat
⊢ ¬n + 1 ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ Integrable (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) (ν a)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), Ordinal.IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
b : Ordinal.{max v u}
hb : b < Ordinal.nfpFamily f a
i : ι
⊢ f i b < Ordinal.nfpFamily f a
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_3
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : Away r S
⊢ (IsLocalization.Away.auxInv S r).comp (IsLocalization.Away.auxHom S r).toRingHom = RingHom.id (MvPolynomial Unit R ⧸ Ideal.span {C r * X () - 1})
S : Type u
Semiring S
n k : ℕ
⊢ ↑(Polynomial.eval k (ascPochhammer ℕ n)) = Polynomial.eval (↑k) (ascPochhammer S n)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : ↑(Set.range f)
⊢ f (Set.rangeSplitting f x) = ↑x
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ Integrable (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
f : Finset α → β
⊢ ∑ t ∈ s.powerset, f t = ∑ j ∈ Finset.range (s.card + 1), ∑ t ∈ Finset.powersetCard j s, f t
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s s' : ↥S
⊢ ∃ u, u • (s * s') • (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1 • m = u • ((IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * s') • r • m
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
⊢ ∀ (m : ℕ), N ≤ m → I N = I m
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
x✝ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
hX : AEMeasurable X ℙ
⊢ HasPDF X ℙ μ ↔ (map X ℙ).HaveLebesgueDecomposition μ ∧ map X ℙ ≪ μ
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
f : ι → G.Subgraph
v : V
⊢ (⨆ i, f i).neighborSet v = ⋃ i, (f i).neighborSet v
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
h : SameRay R x y
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ r, 0 ≤ r ∧ x = r • y
α : Type u
Infinite α
⊢ #(Equiv.Perm α) = #α ^ #α
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
⊢ (f.rangeIcc g) i = Finset.Icc (f i) (g i)
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
this : 2 * s.card ≤ Fintype.card α
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : ι → α
g : α → Set β
⊢ ⋃ x ∈ Set.range f, g x = ⋃ y, g (f y)