ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : NonUnitalCommRing α
a b✝ c✝ b c x : α
h : x * x - b * x + c = 0
this : c = x * (b - x)
⊢ (b - x) * (b - x) - b * (b - x) + c = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
f : α → G
inst✝ : T2Space G
a : G
hβ : Finite β
⊢ ∏' (x : β), a = a ^ Nat.card β
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
f : E ≃L[𝕜] F
⊢ ContDiff 𝕜 n ⇑f
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
s : Finset α
hs : a ∉ s
ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s
⊢ (Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card + ((Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card) ≤ 2 ^ (s.card + 1) * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
A : Set E
a : 𝕜
hA : Balanced 𝕜 A
ha : 1 ≤ ‖a‖
⊢ A ⊆ a • A
α : Type u_1
M : IndepMatroid α
⊢ ∀ (a : Set α), M.matroid.Indep a = M.Indep a
x✝ y✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
⊢ √(x * y) = √x * √y
R : Type u_2
S : Type u_3
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
NonUnitalSemiring S
PartialOrder S
StarRing S
StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x y : R
hxy : x ≤ y
⊢ f x ≤ f y
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
hv : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_ℝ = 0
this : FiniteDimensional ℝ E
hdim : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis hdim v
hb✝ : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), v i ≠ 0
i : Fin n.succ
hb : b i = ‖v i‖⁻¹ • v i
⊢ |⟪b i, v i⟫_ℝ| = ‖v i‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f p x n
⊢ ContinuousAt f x
n : Nat
x y : Nat
⊢ BitVec.ofNat n x + BitVec.ofNat n y = BitVec.ofNat n (x + y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
⊢ (CategoryTheory.algebraEquivUnder X).inverse = CategoryTheory.underToAlgebra X
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
i : Fin (n + 1)
hi : (Hom.toOrderHom θ) i.castSucc = (Hom.toOrderHom θ) i.succ
x : Fin ([n + 1].len + 1)
⊢ (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) ((Hom.toOrderHom (δ i.succ)) (i.predAbove x))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
s : Set M
hg : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n g s
hf : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F₁) n f s
⊢ ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F₂) n (fun x => (g x) (f x)) s
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hp : Irreducible p
inst✝ : (n : ℕ) → Decidable (a ∣ p ^ n)
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
⊢ a ∣ p ^ ?m.494287
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ : C
f g h : j₁ ⟶ j₂
⊢ g ≫ coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) = h ≫ coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h))
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
f : M →ₗ[R] N
h✝ : SameRay R x y
x✝ : ∃ r₁ r₂, 0 < r₁ ∧ 0 < r₂ ∧ r₁ • x = r₂ • y
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h : r₁ • x = r₂ • y
⊢ r₁ • f x = r₂ • f y
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
inst✝ : LawfulApplicative F
α : Type u_1
β : Type u
f : α → F β
x : Option α
⊢ (fun {α} => η.app α) (Option.traverse f x) = Option.traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0
h4 : ¬(2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ 2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)
hp2 : ↑p ∣ 2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1
⊢ p ∣ (m0 * 2 + 1).natAbs
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
f : α → M
⊢ s.mulIndicator f a = f a
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ)
sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2
⊢ Continuous (sub ∘ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
g : γ → β
hg : Injective g
f : β → α
hf : mulSupport f ⊆ Set.range g
this : mulSupport f = g '' mulSupport (f ∘ g)
⊢ ∏' (c : γ), f (g c) = ∏' (b : β), f b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun b => min (f b) (g b)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ AlgebraicGeometry.IsAffineOpen ⊥
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
s : Set E
⊢ ⇑e '' s = ⇑e.symm ⁻¹' s
a : ℝ
⊢ interior {z | a ≤ z.re} = {z | a < z.re}
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝
⊢ HasSum (fun i => rexp r * (rexp (-↑r✝) * ↑r✝ ^ i / ↑i !)) (rexp r)
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : (i : ι) → s i
u : s i →ₗ[R] t i
j : ι
⊢ (update f i u j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (u (x i)) j
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
LinearOrder β
Countable α
DenselyOrdered α
NoMinOrder α
NoMaxOrder α
Nonempty α
Countable β
DenselyOrdered β
NoMinOrder β
NoMaxOrder β
Nonempty β
⊢ Nonempty (α ≃o β)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : Nonempty α
⊢ Tendsto (fun x => μ (Iic x)) atTop (𝓝 (μ univ))
α : Sort u_1
β : Sort u_3
p : α → β → Prop
x₀ x₁ : (a : α) ×' Subtype (p a)
⊢ x₀.fst = x₁.fst → x₀.snd.val = x₁.snd.val → x₀ = x₁
R : Type u
Ring R
P : Type v
AddCommGroup P
Module R P
ι : Type u_1
b : Basis ι R P
⊢ Module.Projective R P
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommRing R'
R'' : Type u_3
CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsNontrivial
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ (χ.ringHomComp f).IsNontrivial
α : Type u_1
β : Type u_2
o : Part α
h : o.Dom
f : α → Part β
⊢ o.bind f = f (o.get h)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
m : M
n n✝ : ℕ
a✝ : R
⊢ ((monomial n✝) a✝ • (single R i) m) n = if i ≤ n then ((monomial n✝) a✝).coeff (n - i) • m else 0
L : Type u_2
Field L
F E : Subfield L
h : F ≤ E
E' : IntermediateField (↥F) L
⊢ E' ≤ Subfield.extendScalars h ↔ E'.toSubfield ≤ E
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
f : X ⟶ X
w : ∀ {Y : C} (g : Y ⟶ X), CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f = g
⊢ f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Countable α
MeasurableSpace β
f : β → α
h : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' {x})
⊢ Measurable f
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (W.preΨ n).coeff ((n.natAbs ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2) = ↑(if Even n then n / 2 else n)
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
E : Type u_3
Norm E
F : Type u_4
Norm F
e : α ≃ₜ β
b : β
f : β → E
g : β → F
⊢ f =o[𝓝 b] g ↔ (f ∘ ⇑e) =o[𝓝 (e.symm b)] (g ∘ ⇑e)
r : ℝ
hr : r ≠ 0
h : 0 = r.sign * r
⊢ r = 0
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
this : (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n * C (↑p ^ n)) = (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i))
⊢ wittStructureRat p Φ n * C (↑p ^ n) = (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
d : α
⊢ l.maximum?.getD d = WithBot.unbot' d l.maximum
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' : Ideal S
I : Ideal R
h : I.IsPrime
r₁ : R
s₁ : S
r₂ : R
s₂ : S
h₁ : ((r₁, s₁) * (r₂, s₂)).1 ∈ I
right✝ : ((r₁, s₁) * (r₂, s₂)).2 ∈ ⊤
⊢ (r₁, s₁) ∈ I.prod ⊤ ∨ (r₂, s₂) ∈ I.prod ⊤
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
C : AddMonoid.Coprod M N → Prop
m : AddMonoid.Coprod M N
one : C 0
inl_mul : ∀ (m : M) (x : AddMonoid.Coprod M N), C x → C (AddMonoid.Coprod.inl m + x)
inr_mul : ∀ (n : N) (x : AddMonoid.Coprod M N), C x → C (AddMonoid.Coprod.inr n + x)
⊢ C m
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : (pos a * b).natSize ≤ n.succ
⊢ ↑(gcdAux n (b % pos a) (pos a)) = (↑a).gcd ↑b
α : Type u_1
Add α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap HAdd.hAdd) LE.le
a b : α
⊢ Set.Iic a + Set.Iic b ⊆ Set.Iic (a + b)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable (μ.restrict s) {x | u n ≤ ‖f x‖}
⊢ μ.restrict (toMeasurable μ s) = μ.restrict s
α : Type u
β : Type v
SemilatticeSup β
l : Filter α
f g h : α → β
hf : f ≤ᶠ[l] h
hg : g ≤ᶠ[l] h
⊢ f ⊔ g ≤ᶠ[l] h
α : Type u_1
CommMonoid α
f : α →₀ ℕ
⊢ (Finsupp.toMultiset f).prod = f.prod fun a n => a ^ n
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : ∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
g g' : G
⊢ Disjoint ((g'⁻¹ * g) • B) B → Disjoint (g • B) (g' • B)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ f : ℂ → E
z : ℂ
a b : ℝ
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
ha : ∀ z ∈ re ⁻¹' {0}, ‖f z‖ ≤ a
hb : ∀ z ∈ re ⁻¹' {1}, ‖f z‖ ≤ b
this : ‖interpStrip f z‖ ≤ sSupNormIm f 0 ^ (1 - z.re) * sSupNormIm f 1 ^ z.re
⊢ 0 ≤ b ^ z.re
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : α → ℝ
hint : Integrable g μ
ℱ : ι → MeasurableSpace α
hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0
A : MeasurableSpace α := m0
⊢ UniformIntegrable (fun i => μ[g|ℱ i]) 1 μ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
⊢ -a + a = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
LinearOrderedAddCommGroup G
OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : AntitoneOn f (Set.Ici 0)
⊢ Antitone f
α : Type u_1
⊢ Function.Injective FreeMonoid.of
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ (engel R x).normalizer = engel R x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b))
⊢ IntegrableOn g' (Ioo a b) volume
ι : Type u_1
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} W₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
⊢ ((HomologicalComplex.singleMapHomologicalComplex F c j).hom.app X).f j =
  F.map (HomologicalComplex.singleObjXSelf c j X).hom ≫ (HomologicalComplex.singleObjXSelf c j (F.obj X)).inv
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C n
X : C
f : X ⟶ F.left
⊢ ∀ {X_1 Y : Fin (n + 1 + 1)} (g : X_1 ⟶ Y), (F.precomp f).map g = CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.map F f X_1 Y ⋯
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ E
obj : C → D
map : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)
F_obj : C → E
map✝¹ : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (F_obj X ⟶ F_obj Y)
map_id✝¹ : ∀ (X : C), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := F_obj, map := map✝¹ }.obj X)
map_comp✝¹ : ∀ {X Y Z : C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map (f ≫ g) = { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map f ≫ { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map g
inst✝¹ : { obj := F_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.Faithful
G_obj : D → E
map✝ : {X Y : D} → (X ⟶ Y) → (G_obj X ⟶ G_obj Y)
map_id✝ : ∀ (X : D), { obj := G_obj, map := map✝ }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := G_obj, map := map✝ }.obj X)
map_comp✝ : ∀ {X Y Z : D} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), { obj := G_obj, map := map✝ }.map (f ≫ g) = { obj := G_obj, map := map✝ }.map f ≫ { obj := G_obj, map := map✝ }.map g
inst✝ : { obj := G_obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.Faithful
h_obj : ∀ (X : C), { obj := G_obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.obj (obj X) = { obj := F_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.obj X
h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq ({ obj := G_obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.map (map f)) ({ obj := F_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.map f)
this : F_obj = G_obj ∘ obj
⊢ { obj := fun X => { obj := G_obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.obj ({ obj := obj, map := map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X), map := fun {X Y} f => { obj := G_obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.map ({ obj := obj, map := map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map f), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } = { obj := F_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s✝ : Set M
x : M
s : Set M
hf : IsLocalDiffeomorphOn I J n f s
⊢ IsLocalHomeomorphOn f s
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
this : Nontrivial R
⊢ finrank R M ≤ 1
M : Type u_5
N : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ (AddMonoidHom.snd M N).comp (AddMonoidHom.inr M N) = AddMonoidHom.id N
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
⊢ ↑1 = 1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Finite ι
h : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), MeasurableSpace.generateFrom (C i) = h i
h2C : ∀ (i : ι), IsCountablySpanning (C i)
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (Set.univ.pi '' Set.univ.pi C) = MeasurableSpace.pi
A B : Grp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ MonoidHom.range f = ⊤
β : Type u_1
AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X Y : HomologicalComplex V (ComplexShape.up' b)
f : X ⟶ Y
i : β
⊢ ((HomologicalComplex.homologicalComplexToDGO b V).map f).f i = f.f i
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
NormedSpace ℝ X
⊢ Conformal id
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsLocalAtSource P
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
P.ContainsIdentities
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ P f
α : Type u_1
β : Type u_2
h : Subsingleton α
⊢ ∀ (x y : α), x = y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 ≤ a
hc : 0 < c
h : c ≤ b
⊢ a / b ≤ a / c
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
E' : IntermediateField F E := adjoin F (Set.range v)
this : Algebra.IsSeparable F ↥E'
v' : ι → ↥E' := fun i => ⟨v i, ⋯⟩
⊢ LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵈ Y
⊢ e.symm.trans e = DilationEquiv.refl Y
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.41, u_3} E
F G : Karoubi C ⥤ D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C
⊢ 𝟙 P = P.decompId_i ≫ P.decompId_p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
h : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Icc 0 1
⊢ t • (y - x) + x ∈ s
α : Type u
β : α → Type v
⊢ ⟦∅⟧ = ∅
x : ℝ
h : x < 0
⊢ ↑x * ⊥ = ⊤
x y : SetTheory.PGame
r : x ≡r y
ox : x.Numeric
⊢ y.Numeric
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ ker (inl R M M₂) = ⊥
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
ha : c < a
⊢ c ∉ Set.Icc a b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasFDerivWithinAt f L s x
v : E
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) s x v
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
⊢ {a} + s = a ::ₘ s
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
⊢ Module.rank F ↥F⟮α⟯ = 1 ↔ α ∈ ⊥
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
C : AList β → Sort u_1
H0 : C ∅
IH : (a : α) → (b : β a) → (l : AList β) → a ∉ l → C l → C (insert a b l)
c : Sigma β
l : List (Sigma β)
hl : l.NodupKeys
h : c.fst ∉ { entries := l, nodupKeys := hl }
⊢ HEq (⋯.mpr (IH c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := ⋯ } ⋯ (insertRec H0 IH { entries := l, nodupKeys := ⋯ }))) (IH c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := hl } h (insertRec H0 IH { entries := l, nodupKeys := hl }))
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
H1 : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
H2 : FreeAddGroup.Red ((x1, b1) :: L₁) ((x2, b2) :: L₂)
⊢ FreeAddGroup.Red L₁ ((x1, !b1) :: (x2, b2) :: L₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_5
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
⊢ {i | 0 < μ (As i)}.Countable
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ ↑(toSimpleFunc (f - g)) =ᶠ[ae μ] ↑(toSimpleFunc f) - ↑(toSimpleFunc g)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z✝ z₀ : ℂ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁
g : ℂ → E := dslope f c
h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁
z : ℂ
hz : z ∈ ball c R₁
h : ¬z = c
h_R₁ : 0 < R₁
g_le_div : ∀ z ∈ ball c R₁, ‖g z‖ ≤ R₂ / R₁
⊢ f z = (fun z => f c + (z - c) • g z₀) z
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
N : Type u_2
AddGroup N
TopologicalSpace N
H : OpenAddSubgroup N
f : G →+ N
hf : Continuous ⇑f
⊢ ↑(OpenAddSubgroup.comap f hf H) = AddSubgroup.comap f ↑H
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Set α
⊢ IsUpperSet s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Set.Ioi a ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : CompleteLattice β
m : MeasurableSpace α
γ : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice γ
f : α → β
μ : Measure α
g : β ≃o γ
⊢ g (essSup f μ) = essSup (fun x => g (f x)) μ
M : Type u_2
AddCommGroup M
K : Type u_3
Field K
Module K M
f : Module.End K M
t : K
ht : t ≠ 0
⊢ (t • f).IsSemisimple ↔ f.IsSemisimple
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x y : R✝
r : ℝ
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
n : ℕ
f : MulRingNorm R
⊢ f ↑n ≤ ↑n
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F f : J → C
t : Bicone f
ht : IsColimit t.toCocone
j : J
j' : Discrete J
⊢ t.toCocone.ι.app j' ≫ t.π j = t.toCocone.ι.app j' ≫ ht.desc (Cofan.mk (f j) fun j' => if h : j' = j then eqToHom ⋯ else 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
DecidableEq α
f : α → β
s : Set α
x : α
y : β
⊢ ContinuousWithinAt (Function.update f x y) s x ↔ Filter.Tendsto f (𝓝[s \ {x}] x) (𝓝 y)
p n k : ℕ
⊢ (n.choose k).factorization p ≤ Nat.log p n
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
S T : Set (Set α)
h_gen : m0 = generateFrom S
hc : T.Countable
h_inter : IsPiSystem S
hU : ⋃₀ T = univ
htop : ∀ t ∈ T, μ t ≠ ⊤
ST_eq : ∀ t ∈ T, ∀ s ∈ S, μ (s ∩ t) = ν (s ∩ t)
T_eq : ∀ t ∈ T, μ t = ν t
t : Set α
ht : t ∈ T
u : Set α
hu : MeasurableSet u
⊢ μ (u ∩ t) = ν (u ∩ t)
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ hU.fromSpec ''ᵁ hU.fromSpec ⁻¹ᵁ X.basicOpen f = X.basicOpen f