ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : CharZero K
a b : ℕ
⊢ ↑((a + b).choose a) = ↑(a + b)! / (↑a ! * ↑b !)
x : ℝ
⊢ rexp x = NormedSpace.exp ℝ x
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Lagrange.nodalWeight s v i = (Polynomial.eval (v i) (Polynomial.derivative (Lagrange.nodal s v)))⁻¹
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
⊢ (𝓝 x).ker = {x}
s : Set SetTheory.Game
Small.{u, u + 1} ↑s
⊢ BddAbove s
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
h_range : N.E ⊆ range f
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)
⊢ ∀ t ⊆ f ⁻¹' N.E, (∃ I₀, (N.Indep (f '' I₀) ∧ InjOn f I₀) ∧ f '' t = f '' I₀) ↔ N.Indep (f '' t)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
sneg : { x // x ∈ P.parts ∧ ¬x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card } := (Equiv.refl (Finset α)).subtypeEquiv ⋯
el : { x // (↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (s.card % P.parts.card)
es : { x // ¬(↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (P.parts.card - s.card % P.parts.card)
f : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin (s.card % P.parts.card + (P.parts.card - s.card % P.parts.card)) := (Equiv.sumCompl fun a => (↑a).card = s.card / P.parts.card + 1).symm.trans ((el.sumCongr es).trans finSumFinEquiv)
⊢ ∃ f, ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(f t) < s.card % P.parts.card
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMaxOrder α
a b x : α
⊢ Set.Ioc a b ∈ 𝓝 x ↔ x ∈ Set.Ioo a b
m n : ℕ
s : m.psub n = none
⊢ m < n
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this✝¹ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
hL'U : ↑L' ⊆ U
hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'
this✝ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'
this : Nonempty { M // ↑M ⊆ ↑U' \ closure ↑L }
M : Compacts G
hM : ↑M ⊆ ↑U' \ ↑L'
M' : Compacts G := { carrier := closure ↑M, isCompact' := ⋯ }
⊢ ↑(μ.toFun L') + ↑(μ.toFun ↑⟨M, hM⟩) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.96949, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96953, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
s : S₁.Splitting
e : S₁ ≅ S₂
⊢ S₂.f ≫ e.inv.τ₂ ≫ s.r ≫ e.hom.τ₁ = 𝟙 S₂.X₁
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) c
f : K ⟶ L
n : ι
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.Inverse.map f).f.f n = (f.f n).f
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
A : Matrix ι ι R
f : Module.End R M
h : (PiToModule.fromMatrix R b) A = (PiToModule.fromEnd R b) f
r : R
⊢ (PiToModule.fromMatrix R b) (r • A) = (PiToModule.fromEnd R b) (r • f)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
heq : b = a
⊢ (l₂.erase a).diff l₁ <+ (l₂.erase a).diff l₁
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α
e : α
⊢ mapIdx.go f [e] (toArray (mapIdx.go f l #[])) = mapIdx.go f l #[] ++ [f l.length e]
n i : ℕ
h : n.testBit i = false
⊢ (n &&& 2 ^ i).testBit i = (false.toNat * 2 ^ i).testBit i
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ⊤)
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C
⊢ ‖f‖ ≤ C
b x y : ℕ
hy : y ≠ 0
h : x ≤ Nat.log b y
⊢ b ^ x ≤ y
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃ = 0
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
a : ℤ
b : ℕ
hb : Odd b
ha : a = ↑a.natAbs
⊢ J(↑a.natAbs | b) = J(↑a.natAbs | b % (4 * a.natAbs))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
f : J → C
X : C
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι (fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (f j) X) j)
    (CategoryTheory.rightDistributor f X).inv =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j) X
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X : C
j : J
⊢ (rightDistributor f X).inv ≫ biproduct.π f j ▷ X = biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
X : Type u
a : ↑((Rep.linearization k G).obj { V := X, ρ := 1 }).V
⊢ (Rep.linearizationTrivialIso k G X).inv.hom a = a
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a x✝ : ℝ≥0
h : a < x✝
⊢ (↑x✝)⁻¹ < (↑a)⁻¹
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
f : X → 𝕜
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X), RCLike.re (f x) ∂μ = RCLike.re (∫ (x : X), f x ∂μ)
n : ℕ
h : n ≠ 0
a✝ : ℕ
⊢ a✝ ∣ n → a✝ < n → 1 ≤ a✝
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = f.hom ▷ Y.X ≫ (ρ_ (N.X ⊗ Y.X)).inv ≫ (((α_ N.X Y.X (𝟙_ C)).hom ≫ N.X ◁ Y.X ◁ Y.one) ≫ N.X ◁ Y.mul) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : ↑(Set.Icc a b)
⊢ Set.projIcc a b h ↑x = x
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
H1 : (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2 = c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2
H2 : (c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2) * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) - z.im ^ 2 = (c * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * z.re) ^ 2 + (d ^ 2 - 1) * z.im ^ 2
⊢ 0 ≤ (c * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * z.re) ^ 2 + (d ^ 2 - 1) * z.im ^ 2
α : Type u_1
n : Type u_3
A : Matrix n n α
h : A.IsSymm
i j : n
⊢ A j i = A i j
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ J
h₃ : x < y i
H : ↑J = ↑I ∩ {y | y i ≤ x}
⊢ False
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
⊢ (List.kreplace a b l).NodupKeys ↔ l.NodupKeys
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
F : SimpleGraph W
inst✝ : Finite W
h : (G' : G.Subgraph) → G'.verts.Finite → G'.coe →g F
⊢ Nonempty (G →g F)
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
hd : Disjoint I J
hu : univ ⊆ I ∪ J
hI : I.Finite
⊢ ⨅ i ∈ J, ker (proj i) ≤ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : PMF α
MeasurableSingletonClass α
s : Finset α
⊢ p.toMeasure ↑s = ∑ x ∈ s, p x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DistribLattice α
s : Finset ι
t : Finset κ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
a : α
f : ι → α
g : κ → α
⊢ s.sup' hs f ⊓ t.sup' ht g = (s ×ˢ t).sup' ⋯ fun i => f i.1 ⊓ g i.2
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b✝ : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q b : R[X]
P : R[X][X]
⊢ (∃ a_1 b_1, a_1 * C (X - C a) + b_1 * (X - C b) = P) ↔ eval a (eval b P) = 0
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.support.card ≤ 1
⊢ (monomial p.natDegree) p.leadingCoeff = p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedRing α
inst✝ : NormOneClass α
a : α
n : ℕ
⊢ ‖a ^ Nat.zero‖ ≤ ‖a‖ ^ Nat.zero
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
h : variationOnFromTo f s a b = 0
⊢ edist (f a) (f b) = 0
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x (Polynomial.X * p) = Polynomial.eval₂ f x p * x
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h ≠ o.bsup f) ↔ ∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h < o.bsup f
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A B : C
e_1✝ : (F.obj A ⨯ (exp A ⋙ F).obj B ⟶ (𝟭 D).obj (F.obj B)) = ((prod.functor.obj (F.obj A)).obj ((exp A ⋙ F).obj B) ⟶ (𝟭 D).obj (F.obj B))
e_3✝ : (F.obj A ⨯ F.obj (A ⟹ B)) = (F ⋙ prod.functor.obj (F.obj A)).obj (A ⟹ B)
e_4✝ : F.obj (A ⨯ A ⟹ B) = (prod.functor.obj A ⋙ F).obj (A ⟹ B)
⊢ inv (prodComparison F A (A ⟹ B)) = (prodComparisonNatIso F A).inv.app (A ⟹ B)
R : Type u_1
Ring R
R₂ : Type u_2
Ring R₂
M : Type u_4
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
TopologicalAddGroup M₂
f g : M →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ↑(f - g) = ↑f - ↑g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
hd : AEDisjoint μ s t
⊢ Pairwise (AEDisjoint μ on fun b => bif b then s else t)
y z : ℝ
f : ℝ → ℝ≥0∞
hzy : z ≤ y
⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Iic y, f x = (∫⁻ (x : ℝ) in Iio z, f x) + ∫⁻ (x : ℝ) in Icc z y, f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u_1
K : Type u_2
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct g
⊢ (CategoryTheory.Limits.Sigma.whiskerEquiv e w).hom = CategoryTheory.Limits.Sigma.map' ⇑e fun j => (w j).inv
b : EReal
h : b < 0
h' : b ≠ ⊥
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
hyp : a' / b = a / b
⊢ a = a'
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
DecidableEq J
j : J
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : J
h : i = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.GradedObject.single j).map f i)
    (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIsoOfEq j Y i h).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIsoOfEq j X i h).hom f
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s : Set β
⊢ ContinuousWithinAt f s b ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in 𝓝[s] b, dist (f x) (f b) < ε
ι : Type v
α : ι → TopCat
X : CategoryTheory.Discrete ι
⊢ (TopCat.sigmaCofan α).ι.app X = TopCat.sigmaι α X.as
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
a : α
h : Nonempty ↑(Set.Ioi a)
⊢ (𝓝ˢ (Set.Iic a)).HasBasis (fun x => a < x) Set.Iio
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
NonUnitalNonAssocSemiring C
Module R C
f : A →ₙₐ[R] B
g : B →ₙₐ[R] C
⊢ NonUnitalAlgHom.range (g.comp f) ≤ NonUnitalAlgHom.range g
A : Type u_4
AddCommMonoid A
x : A
B : Type u_5
AddCommMonoid B
F : AddSubmonoid.LocalizationMap.AwayMap x B
C : Type u_6
AddCommMonoid C
g : A →+ C
hg : IsAddUnit (g x)
⊢ (AddSubmonoid.LocalizationMap.AwayMap.lift x F hg).comp (AddSubmonoid.LocalizationMap.toMap F) = g
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app ((shiftFunctor C m).obj X) ≫ (F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X = (F.shift a).map ((shiftFunctorAdd' C m n mn hnm).inv.app X) ≫ (F.shiftIso mn a a'' ⋯).hom.app X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g ≫ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g) =
  CategoryTheory.inv f ≫ g
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : α × β → E
hf : Integrable f (μ.prod ν)
⊢ ∫ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫ (y : β), ∫ (x : α), f (x, y) ∂μ ∂ν
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x (n + 1) r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fun z => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) p.derivSeries x n r
α : Type u_1
⊢ Function.Injective Finset.val
r : ℝ
hp : 0 < r
⊢ (-r).sign = -r.sign
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ Y₁ X₂ Y₂ : Cᵒᵖ
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g).unop = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f.unop g.unop
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ (n - m).gcd m = n.gcd m
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hμ : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hν : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f ν
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ + ν)
z : ℍ
h : z ∈ ModularGroup.fdo
⊢ 3 < 4 * z.im ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
⊢ s = μ.singularPart ν
p : Prop
inst : Decidable p
⊢ Eq (decide p) false → Not p
α : Type u_3
β : Type u_6
i : Finset β
f : β → Multiset α
a : Multiset α
⊢ (i.sum f).Disjoint a ↔ ∀ b ∈ i, (f b).Disjoint a
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
l : Filter ι
F : ι → X → α
f : X → α
s : Set X
x : X
z : α
hF : EquicontinuousAt F x
hf : Filter.Tendsto f (nhdsWithin x s) (nhds z)
hs : ∀ y ∈ s, Filter.Tendsto (fun x => F x y) l (nhds (f y))
hx : x ∈ closure s
⊢ Filter.Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (nhds z)
K : Type u_3
V : Type u_4
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
p : Submodule K V
⊢ ∃ q, IsCompl p q
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
⊢ diam {x, y} = edist x y
X : Type u_2
TopologicalSpace X
⊢ Function.Injective DiscreteQuotient.toSetoid
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : SurjOn fa s t
x : α
hxs : x ∈ s
hxt : fa x ∈ t
⊢ fb (f x) ∈ fb '' (f '' s)
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ Tendsto (fun n => ((f ^ n) x - x) / ↑n) atTop (𝓝 (τ f))
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ (a : (ZMod p)ˣ) (ha : a ∈ univ), ↑a = ↑((fun a x => (↑a).val) a ha)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : Cᵒᵖ
ι : Type u_2
s : Finset ι
f : ι → (X ⟶ Y)
⊢ (s.sum f).unop = ∑ i ∈ s, (f i).unop
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
U : Set X
hxU : x ∈ U
U_op : IsOpen U
⊢ ∃ v ∈ fun U => IsClosed U ∧ IsOpen U, x ∈ v ∧ v ⊆ U
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_4
Monoid N
f : Monoid.CoprodI M →* N
⊢ (Monoid.CoprodI.lift fun i => f.comp Monoid.CoprodI.of) = f
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
f : α → ℝ
s : Set α
⊢ (μ.tilted f) s = ENNReal.ofReal (∫ (a : α) in s, rexp (f a) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ ∂μ)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (s + t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 t
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ I.radical.radical = I.radical
M : Type u_1
AddMonoid M
x : ↥(IsAddUnit.addSubmonoid M)
⊢ ↑(AddSubmonoid.addUnitsTypeEquivIsAddUnitAddSubmonoid.symm x) = ↑x
n : ℕ
⊢ ArithmeticFunction.moebius n ≠ 0 ↔ Squarefree n
R : Type v
NonAssocSemiring R
StarRing R
S : StarSubsemiring R
⊢ ↑S.toSubsemiring = ↑S
Ω : Type u_1
Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω → E
⊢ MeasureTheory.average (↑μ) f = ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑μ.normalize
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommSemiring R
inst✝²⁸ : CommSemiring S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' := let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv; { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
⊢ IsPushout R R' S S'
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ (Set.Ico a b).Nonempty ↔ a < b
⊢ StrictConcaveOn NNReal Set.univ ⇑NNReal.sqrt
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)
e : (K →+* ℂ) ≃ ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := equivReindex K
N : Matrix (K →+* ℂ) (K →+* ℂ) ℂ := Algebra.embeddingsMatrixReindex ℚ ℂ (fun i => (integralBasis K) (e i)) RingHom.equivRatAlgHom
⊢ (basisMatrix K).det ≠ 0
n : Nat
H : 0 < n
⊢ 0 ^ n = 0
B : Type u_1
i i' : B
m : ℕ
⊢ CoxeterSystem.alternatingWord i i' (m + 1) = (CoxeterSystem.alternatingWord i' i m).concat i'
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
B : ℝ≥0∞
hB_top : B ≠ ⊤
hf_B : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≤ B
⊢ ProbabilityTheory.IsFiniteKernel (κ.withDensity f)
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
h : IsPrimePow n
hn0 : n ≠ 0
⊢ ∃ p, Nat.Prime p ∧ n / p ^ n.factorization p = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : GeneralizingMap f
s : Set X
hs : StableUnderGeneralization s
⊢ StableUnderGeneralization (f '' s)
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) ((TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ((LinearMap.rTensor V (coevaluation K V)) (1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j))) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
r : R
⊢ f ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R B) r
P : Type u_1
LE P
OrderTop P
I : Order.Ideal P
h : ⊤ ∈ I
⊢ I = ⊤
M₀ : Type u_2
CommMonoidWithZero M₀
⊢ nonZeroDivisorsLeft M₀ = nonZeroDivisorsRight M₀
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)
h : a < b
⊢ a + 1 ≤ b
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j : ι
w : NeWord H i j
h : (lift f) w.toWord.prod = 1
hnotempty : ¬w.toWord = Word.empty
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : (multiplicity p (a * b)).Dom
⊢ (multiplicity p (a * b)).get h = (multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯
R : Type u
Semiring R
NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : Polynomial.derivative f = 0
⊢ f.natDegree = 0
a b : ℕ
d : ℕ := a.gcd b
⊢ φ a * φ b ≤ φ (a * b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔
  ∀ (E : Aᵒᵖ), CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor (P.comp (CategoryTheory.coyoneda.obj E)) S.arrows
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
S : Set X
⊢ (∀ (x : X), (ClusterPt x (𝓟 S) → x ∈ S) ∧ (x ∈ S → 𝓝[≠] x ⊓ 𝓟 S = ⊥)) ↔ ∀ (x : X), Disjoint (𝓝[≠] x) (𝓟 S)
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
⊢ s₁ ∪ s₂ - t₁ ∩ t₂ ⊆ s₁ - t₁ ∪ (s₂ - t₂)
R : Type u_2
CommSemiring R
φ : Polynomial R
⊢ ↑φ = 0 ↔ φ = 0
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_3
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
a : R
m : ↥M
⊢ MvPolynomial.C (IsLocalization.mk' S a m) =
  IsLocalization.mk' (MvPolynomial σ S) (MvPolynomial.C a) ⟨MvPolynomial.C ↑m, ⋯⟩
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
m n : ℤ
⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝³ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
x✝ : ι
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
⊢ ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) x✝, f x✝⟫_𝕜 = (gramSchmidtOrthonormalBasis h f).toBasis.toMatrix f x✝ x✝
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
Nonempty X
MetricSpace Y
Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
⊢ ⨆ y, ⨅ x, f (Sum.inl x, Sum.inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, g (Sum.inl x, Sum.inr y)) + dist f g
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
x y : X
hxy : x ≠ y
hxb : IsMaximal x (x ⊔ y)
hyb : IsMaximal y (x ⊔ y)
⊢ IsMaximal (x ⊓ y) y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasKernel S.g
CategoryTheory.Limits.HasCokernel (CategoryTheory.Limits.kernel.lift S.g S.f ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofHasKernelOfHasCokernel S).π =
  CategoryTheory.Limits.cokernel.π (CategoryTheory.Limits.kernel.lift S.g S.f ⋯)
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
AddAction α β
A B : Set β
a : α
⊢ A ⊆ a +ᵥ B ↔ -a +ᵥ A ⊆ B