ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.Preadditive D
F : C ⥤ D
F.Additive
n : ℤ
⊢ (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso n = F.mapCochainComplexShiftIso n
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
x : Quotient s
y : α
⊢ x = ⟦y⟧ ↔ x.out ≈ y
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ x ∈ univ, StrictAnti fun p => a x * b x ^ p
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
e : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
⊢ e.symm.toIsometry.comp e.toIsometry = QuadraticMap.Isometry.id Q₁
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : α × β → E
s : Set α
t : Set β
hf : Integrable f ((μ.restrict s).prod (ν.restrict t))
⊢ ∫ (z : α × β), f z ∂(μ.restrict s).prod (ν.restrict t) = ∫ (x : α) in s, ∫ (y : β) in t, f (x, y) ∂ν ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
t t₁ : Set β
f : α → β
f' : β → α
hf : Set.RightInvOn f' f t
ht : t₁ ⊆ t
⊢ Set.RightInvOn f' f t₁
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R✝
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R''
R : Type u_4
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
a✝ : Rˣ
⊢ (χ.ringHomComp f)⁻¹ ↑a✝ = (χ⁻¹.ringHomComp f) ↑a✝
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
Kf Kg : ℝ≥0
f : β → γ
g : α → β
hf : LipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
x y : α
⊢ ↑Kf * (↑Kg * edist x y) = ↑(Kf * Kg) * edist x y
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ⇑e.toLinearEquiv = ⇑e
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
⊢ F.IsSheaf ↔ F.IsSheafOpensLeCover
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ t s : Subgroup α
⊢ Nat.card ↥s ∣ Nat.card α
n m : ℕ
a b c : Fin n
⊢ a ≤ b → a < b ∨ a = b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : CompactSpace X
W : Clopens (X × Y)
⊢ ∃ I, W = I.sup fun i => i.1 ×ˢ i.2
G : Type u_1
AddGroup G
S : Set G
hS : AddSubgroup.closure S = ⊤
⊢ AddSubgroup.center G = ⨅ g ∈ S, AddSubgroup.centralizer ↑(AddSubgroup.zmultiples g)
a b : Int
ha : a ≤ 0
hb : 0 ≤ b
⊢ a * b ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
f : α → β
l : List α
a m : α
⊢ a ∈ l → m ∈ List.argmin f l → ¬f a < f m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, StronglyMeasurable f) → StronglyMeasurable l.prod
hl : StronglyMeasurable f ∧ ∀ x ∈ l, StronglyMeasurable x
⊢ StronglyMeasurable (f * l.prod)
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Semiring R
MulSemiringAction M R
m : M
r : R
S : Subsemiring R
⊢ r ∈ S → m • r ∈ m • S
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M
⊢ ∀ x ∈ ↑S, ∀ {a : R}, a ∈ AddSubmonoid.closure ↑S → a * x ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : (Matrix n n R)[X]
r : R
⊢ (matPolyEquiv.symm M).map (Polynomial.eval r) = Polynomial.eval ((Matrix.scalar n) r) M
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
P : K[X]
k : ℕ
sep : P.Separable
nil : minpoly K f ∣ P ^ k
ff : ↥(adjoin K {f}) := ⟨f, ⋯⟩
P' : K[X] := derivative P
⊢ ∃ n ∈ adjoin K {f}, ∃ s ∈ adjoin K {f}, IsNilpotent n ∧ s.IsSemisimple ∧ f = n + s
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : r.gcd s = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : (r * s).gcd m = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = r * s * m
hrsz : r * s ≠ 0
h2b0 : b' ≠ 0
i : ℤ
hi' : ¬m = -i ^ 2
hi : m = i ^ 2
d : ℤ
hd' : ¬r * s = -d ^ 2
hd : r * s = d ^ 2
j : ℤ
hj : r = j ^ 2 ∨ r = -j ^ 2
hj0 : j ≠ 0
⊢ False
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Group β
f✝ : α → β
hf✝ : IsGroupHom f✝
f : α → β
hf : IsGroupHom f
h : Function.Injective f
x✝ : α
⊢ f x✝ = 1 → x✝ = 1
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ UniformContinuous ⇑Additive.toMul
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K L : Ideal S
⊢ Ideal.comap f (K ⊓ L) = Ideal.comap f K ⊓ Ideal.comap f L
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Mono i
⊢ i = 𝟙 x
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
φ : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
d : Fin N →₀ ℕ
hd : coeff (cons i d) φ ≠ 0
h' : (weight 1) (cons i d) = i + j
⊢ (weight 1) d = j
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ ∀ (b : τ), X b ^ 0 = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ (x : C), ((CategoryTheory.Functor.star C).obj x).as = PUnit.unit
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun p => κ.density ν p.1 p.2 s
R : Type u
Ring R
X₁ X₂ X₃ : ModuleCat R
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
hfg : LinearMap.range f = LinearMap.ker g
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.moduleCatMkOfKerLERange f g ⋯).Exact
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hg : ∀ (b : δ), IsLUB (range fun i => f i b) (g b)
a : α
⊢ MeasurableSet (g ⁻¹' Ioi a)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
AddRightCancelSemigroup α
One α
DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
i j : α
h : i ≠ j + 1
⊢ (ChainComplex.of X d sq).d i j = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
h : p ≤ Submodule.comap LinearMap.id p := ⋯
⊢ p.mapQ p LinearMap.id h = LinearMap.id
α : Type u
DecidableEq α
Finite α
⊢ Subgroup.closure {σ | σ.IsSwap} = ⊤
α : Type u_1
G' : Type u_6
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace ℝ G'
CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
x : G'
⊢ ∫ (a : α) in s, ↑↑(MeasureTheory.condexpIndSMul hm ht hμt x) a ∂μ = (μ (t ∩ s)).toReal • x
α : Type u
s₁ s₂ t : Set α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₁ \ t ⊆ s₂ \ t
R : Type u_2
Ring R
p : RingSeminorm R
hp : p 1 ≤ 1
⊢ p 1 = 1 ↔ p ≠ 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
S : Set G
inst✝ : Finite ↑S
x : G
h : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S
this : (a : Prop) → Decidable a
⊢ x ∈ setNormalizer S
α : Type u
TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → TopologicalSpace.Opens α
i :
  (TopCat.GlueData.MkCore.mk (fun i => (TopologicalSpace.Opens.toTopCat (TopCat.of α)).obj (U i))
        (fun i j => (TopologicalSpace.Opens.map (U i).inclusion).obj (U j))
        (fun i j => { toFun := fun x => ⟨⟨↑↑x, ⋯⟩, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯).J ×
    (TopCat.GlueData.MkCore.mk (fun i => (TopologicalSpace.Opens.toTopCat (TopCat.of α)).obj (U i))
        (fun i j => (TopologicalSpace.Opens.map (U i).inclusion).obj (U j))
        (fun i j => { toFun := fun x => ⟨⟨↑↑x, ⋯⟩, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯).J
⊢ (TopCat.GlueData.ofOpenSubsets U).V i =
  (TopologicalSpace.Opens.toTopCat ((TopologicalSpace.Opens.toTopCat (TopCat.of α)).obj (U i.1))).obj
    ((TopologicalSpace.Opens.map (U i.1).inclusion).obj (U i.2))
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsBezout R
inst✝ : GCDMonoid R
a b : R
⊢ ∃ x y, gcd a b = a * x + b * y
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
e : 𝕜 →ₗ[𝕜] F
⊢ HasDerivWithinAt (⇑e) (e 1) s x
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : ℕ → Set G
hU : ∀ (i : ℕ), IsOpen (U i)
this : μ.innerContent (⨆ i, { carrier := U i, is_open' := ⋯ }) ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent { carrier := U i, is_open' := ⋯ }
⊢ μ.innerContent { carrier := ⋃ i, U i, is_open' := ⋯ } ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent { carrier := U i, is_open' := ⋯ }
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
b : G₀
a : G₀
hb : b ≠ 0
⊢ a = a * b * (1 / b)
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : F_nat 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : F_nat 1 (1 - a) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
⊢ F_int 1 ↑a =O[atTop] fun t => rexp (-min p q * t)
M₀ : Type u_1
inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁶ : MonoidWithZero M
inst✝⁵ : MonoidWithZero M'
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M₁
inst✝³ : Ring R
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : FunLike F M M'
inst✝ : Finite R
a : R
ha : a ∈ R⁰
⊢ Function.Injective fun x => x * a
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → V
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
A : V ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ V) → ℝ := (Basis.ofVectorSpace ℝ V).equivFun.toContinuousLinearEquiv
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set (Setoid α)
⊢ sSup s = EqvGen.Setoid (sSup (Rel '' s))
R : Type u_9
NonAssocRing R
m : ℤ
⊢ m • 1 = ↑m
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (a : Ω) in s, -f j a ∂μ ≤ ∫ (a : Ω) in s, -f i a ∂μ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : W.a₁ * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - (3 * W.addX x₁ x₂ L ^ 2 + 2 * W.a₂ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₄) = 0 ∧ 2 * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) + (W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₃) = 0
⊢ eval (W.addX x₁ x₂ L) (derivative ((C L * (X - C x₁) + C y₁) ^ 2 + (C W.a₁ * X + C W.a₃) * (C L * (X - C x₁) + C y₁) - (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))) = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : p ≠ 0
f : R[X]
n : ℕ
hf : Irreducible ((expand R (p ^ Nat.zero)) f)
⊢ Irreducible f
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Module S N
SMulCommClass R S N
f : (α →₀ M) →ₗ[R] N
x : α
⊢ (Finsupp.lsum S).symm f x = f ∘ₗ Finsupp.lsingle x
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
⊢ Convex ℝ (p.closedBall x r)
G : Type u
Group G
A : Type v
CommGroup A
f : G →* A
x : G
⊢ (Abelianization.lift f) (Abelianization.of x) = f x
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
v : V
w : ↑(G.neighborSet v)
⊢ ↑(f.mapNeighborSet v w) = f ↑w
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
PseudoEMetricSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
x : β
hx : f x ∈ closure s
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) Filter.atTop (𝓝 (f x))
P : ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
seed : ℕ
hs : P seed.succ
hm : ∀ (x : ℕ), seed < x → P x → P (2 * x)
n : ℕ
⊢ P n
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x y : R
h : Commute x y
n : ℕ
t : ℕ → ℕ → R := fun n m => x ^ m * y ^ (n - m) * ↑(n.choose m)
⊢ (x + y) ^ n = ∑ m ∈ range (n + 1), t n m
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
m : ℤ
⊢ Int.fract (a + ↑m) = Int.fract a
X Y : Skeleton
x✝ : IsIsomorphic X Y
h : X ≅ Y
a : Fin X.len
⊢ (h.inv (h.hom { down := a })).down = a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
𝒢 : Set Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.IsDetecting 𝒢.unop ↔ CategoryTheory.IsCodetecting 𝒢
m : Type u → Type v
Monad m
self : LawfulMonad m
α β : Type u
f : α → β
x : m α
⊢ (do
    let a ← x
    pure (f a)) =
  f <$> x
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
γ : Type w
α : Type x
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
AddCommMonoid γ
s : Finset α
g : α → Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
h_zero : ∀ (i : ι), h i 0 = 0
h_add : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ + b₂) = h i b₁ + h i b₂
⊢ ∑ i ∈ s, (g i).sum h = (∑ i ∈ s, g i).sum h
α : Type u_1
β : Type u_2
X Y Z : Pointed
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z
⊢ (g.toFun ∘ f.toFun) X.point = Z.point
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
r : ℝ
⊢ ⟪↑r • x, y⟫_𝕜 = r • ⟪x, y⟫_𝕜
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x✝ y : α
r : ℝ
f : α → α
hf : LipschitzWith K f
x : α
n : ℕ
⊢ dist (f^[n] x) (f^[n + 1] x) ≤ dist x (f x) * ↑K ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α
⊢ Iic a ≤ closure {a}
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Disjoint (f i) (f j)
⊢ {i, j}.SupIndep f
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
DecidableEq o
α : Type u_14
AddMonoid α
StarAddMonoid α
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
⊢ (Matrix.blockDiagonal' M)ᴴ = Matrix.blockDiagonal' fun k => (M k)ᴴ
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
a c d : α
⊢ a⁻¹ ∈ Set.Ico c d ↔ a ∈ Set.Ioc d⁻¹ c⁻¹
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f : α → β
⊢ Tendsto f l₁ l₂ ↔ RTendsto (Function.graph f) l₁ l₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
(CategoryTheory.Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
x : (i : I) → P.obj (Opposite.op (X i))
⊢ CategoryTheory.Presieve.Arrows.Compatible P π x ↔ CategoryTheory.Presieve.Arrows.PullbackCompatible P π x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m : M
hm : m ∈ Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ
⊢ m ∈ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
this : Fintype α
⊢ Nat.card (Option α) = Nat.card α + 1
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }
a : A
⊢ (lift fe) (inl a) = (↑fe).1 a
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
p : P
v : V
⊢ e (v +ᵥ p) = e.linearIsometryEquiv v +ᵥ e p
I : Type u
f : I → Type v
DecidableEq I
(i : I) → MulOneClass (f i)
i : I
x : f i
⊢ (MonoidHom.mulSingle f i) x = Pi.mulSingle i x
b f n : ℕ
l1 l2 : List Char
⊢ l1.length = l2.length → (b.toDigitsCore f n l1).length = (b.toDigitsCore f n l2).length
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
τ : Ω → ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
LinearOrder ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
FirstCountableTopology ι
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
NormedAddCommGroup E
LocallyFiniteOrderBot ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), MeasureTheory.Integrable (u n) μ
n : ι
⊢ MeasureTheory.Integrable (MeasureTheory.stoppedProcess u τ n) μ
S : Set Ordinal.{u}
⊢ sInf (S ∩ {b | ∀ c < 0, enumOrd S c < b}) = sInf S
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
hp : p ∈ R[X]⁰
⊢ ∀ (x : R[X]), x * (taylor r) p = 0 → x = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
h : IsNilpotent R L (M ⧸ N)
⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ N
a b : Nat
⊢ b ≥ a → ¬b < a
α : Type u_1
β : α → Type u_2
s : (a : α) × (β a → WType β)
⊢ (WType.ofSigma s).toSigma = s
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
hdeg : 1 < f.natDegree
⊢ h.modByMonicHom h.root = X
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
k : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : ¬k = 0
⊢ ∀ b ∈ primitiveRoots k R, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ filter k.Coprime (range k)), (fun i x => ζ ^ i) a ha = b
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
h : N ≤ N'
⊢ Function.Injective ⇑(LieSubmodule.inclusion h)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
Nonempty α
f : α → β
⊢ Function.Injective f ↔ Function.HasLeftInverse f
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Monoid α
DistribMulAction α M
SMulCommClass α R M
a : α
s : Set M
⊢ a • Submodule.span R s = Submodule.span R (a • s)
α✝ : Type u_1
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
p q : Set α✝ → Prop
U✝ : Set α✝
ε : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
pa qa : Set α → Prop
H : μ.InnerRegularWRT pa qa
f : α ≃ᵐ β
pb qb : Set β → Prop
hAB : ∀ (U : Set β), qb U → qa (⇑f ⁻¹' U)
hAB' : ∀ (K : Set α), pa K → pb (⇑f '' K)
U : Set β
hU : qb U
r : ℝ≥0∞
hr : r < (map (⇑f) μ) U
⊢ ∃ K ⊆ U, pb K ∧ r < (map (⇑f) μ) K
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
L : E →L[𝕜] F
r ε : ℝ
x : E
r' : ℝ
r'_mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ ball x r', ∀ z ∈ ball x r', ‖f z - f y - L (z - y)‖ < ε * r
s : ℝ
s_gt : r / 2 < s
s_lt : s < r'
this : s ∈ Ioc (r / 2) r
x' : E
hx' : x' ∈ ball x (r' - s)
⊢ ∀ y ∈ ball x' s, ∀ z ∈ ball x' s, ‖f z - f y - L (z - y)‖ < ε * r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
b : Ordinal.{u_4}
b0 : 0 < succ b
⊢ (a * succ b).IsLimit
α β : Type u
f : α → β → β
xs : FreeMonoid α
⊢ ∀ (a : β), (Monoid.Foldr.ofFreeMonoid f) xs a = flip (List.foldr f) (FreeMonoid.toList xs) a
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B * C).card
α : Type u_1
β : Type u_8
MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure β
hfi : Function.Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → MeasureTheory.NullMeasurableSet (f '' s) μ
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s (MeasureTheory.Measure.comap f μ)
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (f '' s) μ
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Prime p
h : (p ^ (n.factorization p + 1)).factorization ≤ n.factorization
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
hs : s₁ ≤ s₂
ht : t₁ ≤ t₂
⊢ s₁.disjSum t₁ ≤ s₂.disjSum t₂
α : Type u_3
LinearOrderedSemiring α
a b : ℕ
⊢ ↑(min a b) = min ↑a ↑b
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup P
inst✝² : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : μ.IsNegInvariant
L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F
s : Set P
n : ℕ∞
v : P → G
hv : ContDiffOn 𝕜 n v s
f : G → E
g : P → G → E'
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ s ⊆ (fun x => (_root_.id x, v x)) ⁻¹' s ×ˢ univ
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
x : A ⊗[R] M
a : A
y : M
⊢ a • 1 ⊗ₜ[R] y ∈ span A ↑(LinearMap.range ((TensorProduct.mk R A M) 1))
a b : Bool
⊢ a = !b ↔ a ≠ b
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
EM : Type u_1
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_2
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
M : Type u
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
x : M
f : ↑((smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜).presheaf.stalk x)
⊢ IsUnit f ↔ f ∉ RingHom.ker (smoothSheafCommRing.eval IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x)
x y : ℝ
h : x ^ 2 ≤ y
⊢ x ≤ √y
z : ℂ
⊢ z.im ^ 2 ≤ normSq z
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (s.erase ⊥).sup id = s.sup id
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ : Finmap β
s₁ : AList β
⊢ ⟦s₁⟧ ∪ ⟦∅⟧ = ⟦s₁⟧
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
s : Set β
hs : (f ⁻¹' s).Subsingleton
⊢ s.Subsingleton