ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nontrivial
⊢ ∃ t a, ∃ (ha : a ∉ t), ∃ b, ∃ (hb : b ∉ t) (hab : ¬a = b), Finset.cons a (Finset.cons b t hb) ⋯ = s
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁ ∧ a₁ ≤ b₂
hb : a₂ ≤ b₁ ∧ b₁ ≤ b₂
⊢ [[a₁, b₁]] ⊆ Icc a₂ b₂
s : ℝ
⊢ ∃ M ε, 0 < M ∧ 0 < ε ∧ ∀ (x y : ℝ), 0 < x → x < ε → |y| < s * x → √(x ^ 2 + y ^ 2) < M * (1 - √((1 - x) ^ 2 + y ^ 2))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
Ring R
Ring S
Ring T
s : Subring T
g : S →+* T
f : R →+* S
⊢ Subring.comap f (Subring.comap g s) = Subring.comap (g.comp f) s
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
p : β → Prop
⊢ (∃ b, (∃ a, f a = b) ∧ p b) ↔ ∃ a, p (f a)
T : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
inst✝ : IsIso sq
⊢ inv sq.left ≫ f.hom ≫ sq.right = g.hom
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
self : ↥U
⊢ U.ι.val.base self = ↑self
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
n : ℤ
hg : T ^ n • z ∈ 𝒟ᵒ
hn : ∀ (z : ℍ), g • z = T ^ n • z
⊢ z = T ^ n • z
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
L : AddSubgroup E
DiscreteTopology ↥L
IsZlattice ℝ L
μ : MeasureTheory.Measure E := by volume_tac
MeasureTheory.Measure.IsAddHaarMeasure μ
⊢ 0 < Zlattice.covolume L μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
h : ¬LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x v
⊢ lineDerivWithin 𝕜 f s x v = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
⊢ CategoryTheory.IsCoseparator (∏ᶜ f) ↔ CategoryTheory.IsCoseparating (Set.range f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : Bimon_ C
f g : X ⟶ Y
w : f.hom.hom = g.hom.hom
⊢ f = g
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
⊢ ∀ (x : LieDerivation R L L) (y : L), ∃ z, (ad R L) (x y) = (ad R L) z
x : ℝ
⊢ (Complex.sinh ↑x).im = 0
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
h : ∀ (I : LieIdeal R L), LieAlgebra.IsSolvable R ↥↑I → I = ⊥
⊢ LieAlgebra.HasTrivialRadical R L
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
⊢ Set.Iio a * Set.Iic b ⊆ Set.Iio (a * b)
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
⊢ ↑↑(neg p) = ↑(neg p)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : IsIso a
l : X ⟶ (IsPullback.cone h).pt
h₁ : l ≫ (IsPullback.cone h).fst = 𝟙 X
h₂ : l ≫ (IsPullback.cone h).snd = 𝟙 X
⊢ Mono f
s₁ s₂ : String
⊢ s₁.toList = s₂.toList ↔ s₁ = s₂
n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
inst✝² : Ring R
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Group α
a : α
inst✝ : MulAction α β
b : β
k : ℤ
⊢ (orbitZPowersEquiv a b).symm ↑k = ⟨a, ⋯⟩ ^ k • ⟨b, ⋯⟩
xl xr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
⊢ (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR).moveRight = xR
R : Type u_1
Ring R
f g : Polynomial R
N : ℕ
⊢ Polynomial.reflect N (f - g) = Polynomial.reflect N f - Polynomial.reflect N g
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
d : ℝ
A : MeasurableEmbedding fun x => x + d
⊢ ∫ (x : ℝ) in a + d..b + d, f x ∂Measure.map (fun x => x + d) volume = ∫ (x : ℝ) in a + d..b + d, f x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
i : ι
⊢ HomologicalComplex.homotopyCofiber.inrX φ i ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.sndX φ i = 𝟙 (G.X i)
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
hl : rdropWhile p l ≠ []
⊢ ¬p ((dropWhile p l.reverse).get ⟨0, ⋯⟩) = true
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
r t : ℝ
hr : 0 < r
ht : 1 < t
⊢ Metric.closedBall 0 (t ^ (-r⁻¹) - 1) = ∅
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
self : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.f self.g = 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ (μ.withDensity f).restrict s = (μ.restrict s).withDensity f
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
PartialOrder X
x : X
hx : μ {x} = 0
⊢ ∫ (t : X) in Set.Iic x, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Set.Iio x, f t ∂μ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
f : X → ℝ
s : Set X
a : X
h : ContinuousWithinAt f s a
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => Real.arsinh (f x)) s a
α : Type u_1
β : Type u_2
MulOneClass α
CommGroup β
f : α → β
hf : IsMonoidHom f
⊢ IsMonoidHom fun a => (f a)⁻¹
K : Type u
V : Type v
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
W : Submodule K V
Module.Free K ↥W
⊢ Module.rank K ↥W ≤ 1 ↔ W.IsPrincipal
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p q : ℝ≥0
hpq : p < q
s : Set α := {x | ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)}
o : ℕ → Set α := spanningSets (ρ + μ)
u : ℕ → Set α := fun n => s ∩ {x | v.limRatio ρ x < ↑p} ∩ o n
w : ℕ → Set α := fun n => s ∩ {x | ↑q < v.limRatio ρ x} ∩ o n
m n : ℕ
I : (ρ + μ) (u m) ≠ ⊤
J : (ρ + μ) (w n) ≠ ⊤
⊢ μ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) = 0
n : ℕ
⊢ Complex.logTaylor n 0 = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
⊢ a.factors ≤ b.factors ↔ a ≤ b
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
a✝ b : ℚ
nth_cont_eq : (of v).conts n = Pair.map Rat.cast { a := a✝, b := b }
⊢ ∃ q, (of v).dens n = ↑q
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ : Weight K (↥H) L
hα : α✝.IsNonZero
α β : { α // α.IsNonZero }
e : ¬LinearIndependent K ![(rootSystem H).root α, (rootSystem H).root β]
⊢ (rootSystem H).root α = (rootSystem H).root β ∨ (rootSystem H).root α = -(rootSystem H).root β
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
X₀ : C
f : X₀ ⟶ X.obj (SimplexCategory.mk 0)
w : ∀ (i : SimplexCategory) (g₁ g₂ : SimplexCategory.mk 0 ⟶ i), f ≫ X.map g₁ = f ≫ X.map g₂
⊢ (X.augment X₀ f w).left = X₀
P : PFunctor.{u}
α : Type u_3
Q : α → Prop
u v : α → P.M
h :
  ∀ (x : α),
    Q x → ∃ a f f', (u x).dest = ⟨a, f⟩ ∧ (v x).dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'
x : α
⊢ Q x → u x = v x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s : Set α
a : α
⊢ (insert a s).WellFoundedOn r ↔ s.WellFoundedOn r
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1
⊢ Set.range (s.face h).points = s.points '' ↑fs
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ mulETransformRight e⁻¹ x = (mulETransformLeft e x.swap).swap
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
u : α
p : G.Walk u u
hOdd : Odd p.length
h : ¬3 ≤ G.chromaticNumber
h' : G.chromaticNumber ≤ 2
⊢ False
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : Real.ContfracLegendre.Ass ξ u v
⊢ |(Int.fract ξ)⁻¹ - ↑v / (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v)| < ((↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) * (2 * (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) - 1))⁻¹
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R
⊢ (x * y).coeff 0 = x.coeff 0 * y.coeff 0
α : Sort u_1
p : α → Prop
(x : α) → Decidable (p x)
⊢ (¬∃ x, ¬p x) ↔ ∀ (x : α), p x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : Set α
t : ι → Set β
⊢ image2 f s (⋃ i, t i) = ⋃ i, image2 f s (t i)
α : Type u_1
Mul α
⊢ ⇑AddOpposite.opMulEquiv.symm = AddOpposite.unop
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : SemilatticeSup M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
⊢ (∀ (s : σ →₀ ℕ), coeff s p ≠ 0 → False) ↔ ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g✝ : α → β
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : T2Space β
g : α → β
hg : FinStronglyMeasurable g μ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hgt_zero : ∀ x ∈ tᶜ, g x = 0
htμ : SigmaFinite (μ.restrict t)
⊢ g =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Submodule.span R 0 = ⊥
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
self : Embedding f
⊢ Function.Injective f
α : Sort u_1
p : α → Prop
P Q : (x : α) → p x → Prop
⊢ (∃ x h, P x h ∨ Q x h) ↔ (∃ x h, P x h) ∨ ∃ x h, Q x h
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
a : α
prev_connect : r (p.toFun i.castSucc) a
connect_next : r a (p.toFun i.succ)
m : Fin (p.length + 1)
x : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.castSucc
y : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.succ
hm : ↑m < ↑i
⊢ r x y
R : Type u
Semiring R
⊢ OrzechProperty R ↔
  ∀ {M : Type u} [inst : AddCommMonoid M] [inst_1 : Module R M] [inst_2 : Module.Finite R M] {N : Submodule R M}
    (f : ↥N →ₗ[R] M), Function.Surjective ⇑f → Function.Injective ⇑f
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
v : n → R
j : n
x : R
i : n
⊢ v i * Pi.single j x i = Pi.single j (v j * x) i
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : ∀ (b : Pseudoelement S.X₂), pseudoApply S.g b = 0 → ∃ a, pseudoApply S.f a = b
this : pseudoApply S.g (Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))) = 0
a' : Pseudoelement S.X₁
a : Over S.X₁
ha : pseudoApply S.f ⟦a⟧ = Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))
ha' : ⟦a⟧ = a'
Z : C
r : Z ⟶ ((fun g => app S.f g) a).left
q : Z ⟶ (Over.mk (kernel.ι S.g)).left
w✝ : Epi r
eq : Epi q
comm : r ≫ ((fun g => app S.f g) a).hom = q ≫ (Over.mk (kernel.ι S.g)).hom
⊢ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
F G : CategoryTheory.Functor C D
φ : F ⟶ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
x : (CategoryTheory.forget D).obj (F.obj X)
⊢ (φ.app Y) ((F.map f) x) = (G.map f) ((φ.app X) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a✝ b : α
f : α → β
a : α
⊢ (Language.map f) (char a).matches' = (map f (char a)).matches'
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
AddMonoid α
AddMonoid β
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise AddCommute
f : F
⊢ f (s.noncommSum comm) = (Multiset.map (⇑f) s).noncommSum ⋯
E : Type u_1
c : E
f : ContDiffBump c
⊢ 1 < f.rOut / f.rIn
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
⊢ Y ^ 2 + C (C (map W f).toAffine.a₁ * X + C (map W f).toAffine.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C (map W f).toAffine.a₂ * X ^ 2 + C (map W f).toAffine.a₄ * X + C (map W f).toAffine.a₆) = Polynomial.map (mapRingHom f) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))
α : Sort u
p : α → Prop
h : ∃ x, p x
⊢ p (Classical.choose h)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ (CategoryTheory.Subobject.mk f).Factors f
S : Type u_1
Semiring S
l : List S[X]
⊢ l.prod.natDegree ≤ (List.map Polynomial.natDegree l).sum
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
⊢ b ^ (2 * p) - b ^ 2 = b ^ (p * 2) - b ^ 2
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ e.inverse.map (e.counit.app Y) = e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t u : Multiset α
⊢ t.Disjoint s ∧ u.Disjoint s ↔ s.Disjoint t ∧ s.Disjoint u
α : Type u_1
UniformSpace α
⊢ Filter.comap (fun p => (↑α p.1, ↑α p.2)) (𝓤 (UniformSpace.Completion α)) = 𝓤 α
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'
A : Splitting.IndexSet Δ
⊢ Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K[X] (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ PInfty.f (unop (A.pull θ).fst).len ≫ X.map (A.pull θ).e.op = PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X.map θ
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
m n : ℕ∞
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
⊢ (∃ x, ¬(x ∈ t → x ∉ s → ∃ b ∈ s, b ∉ t ∧ x ≤ b)) ↔ ∃ a ∈ t, a ∉ s ∧ ∀ b ∈ s, b ∉ t → b < a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S T : J.Cover X
I : S.Arrow
f : S ⟶ T
⊢ (I.map f).Y = I.Y
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
y : ℝ≥0∞
hy : 1 < y
h'y : y ≠ ⊤
x : ℝ≥0∞
⊢ 0 < x ∧ x < ⊤ ↔ ∃ i, y ^ i ≤ x ∧ x < y ^ (i + 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
n : ℕ
f_norm_diff : ℕ → α → ℝ := fun i x => ‖f (i + 1) x - f i x‖
⊢ eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
α : Type
d : ℕ
ds : List ℕ
x y : Holor α (d :: ds)
h : x.slice = y.slice
⊢ x = y
z : ℂ
⊢ sin z = 0 ↔ 0 = sin z * sin z
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a✝ b a : α
h2 : IsUnit a
x : α
⊢ span {a * x} = span {x}
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
v : n → R
c : R
i : n
⊢ i ∉ Finset.univ → v i * (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) c i = 0
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
Preorder 𝕆
Preorder α
GradeMaxOrder 𝕆 α
a : α
⊢ IsMax (grade 𝕆 a) ↔ IsMax a
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
n : Cardinal.{v}
hn : n < Module.rank R M
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hs' : n < #↑↑⟨s, hs⟩
t : Set M
ht : t ⊆ ↑⟨s, hs⟩
ht' : #↑t = n
⊢ ∃ s, #↑s = n ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
y : ↥(LinearMap.ker f')
⊢ ↑(HasStrictFDerivAt.implicitToPartialHomeomorph f f' hf hf') (↑y + a) = (f (↑y + a), y)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : δ → γ
hf : MeasurableEmbedding f
a : α
t : Set (β × δ)
ht : MeasurableSet t
b : β
⊢ (η (a, b)) {c | ∃ a b_1, (a, b_1) ∈ t ∧ a = b ∧ f b_1 = c} = (η (a, b)) (f '' {c | (b, c) ∈ t})
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h_le : κ ≤ κ + η
this : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
⊢ ∀ (a : α), (fun x => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x)) ≤ᶠ[ae ((κ + η) a)] fun x => 1
α β : Type u
n : ℕ
⊢ ↑n.succ = ↑n + 1
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝ : MeasurableSMul G α
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν
vol_s : ν s = 0
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U
⊢ 0 U = (Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict s)) U
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
a : M₀
n : ℕ
NoZeroDivisors M₀
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n = 0 ↔ a = 0
ι : Type u_4
α : Type u_5
NormedCommRing α
NormOneClass α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ ‖∏ i ∈ s, f i‖ ≤ ∏ i ∈ s, ‖f i‖
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
f : M → N
g : N → P
g' : P → P'
inst✝¹ : Zero P
inst✝ : Zero P'
exact : Exact f g
inj : Injective g'
h0 : g' 0 = 0
x : N
⊢ (g' ∘ g) x = 0 ↔ x ∈ Set.range f
α : Type u_1
C : Multiset α → Multiset α → Prop
s t : Multiset α
h : s ≤ t
H : ∀ {l₁ l₂ : List α}, l₁ <+ l₂ → C ↑l₁ ↑l₂
⊢ C s t
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
g : β → δ
f : α → β
s : Stream' α
⊢ Stream'.map g (Stream'.map f s) = Stream'.map (g ∘ f) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasTerminal (CategoryTheory.Over B)
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s
⊢ Setoid.IsPartition s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
n : ℕ
h : n = n
⊢ X.eqToIso h = CategoryTheory.Iso.refl (X.obj (SimplexCategory.mk n))
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
CompleteSpace E'
NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑↑((MeasureTheory.condexpL2 E' 𝕜 hm) (MeasureTheory.indicatorConstLp 2 hs hμs x)) a‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
c : ℝ
x : α
hfx : ‖f x‖ ≤ c
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))
⊢ Tendsto (fun n => min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖) • ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1
A : Tendsto (fun n => x + c ^ n) atTop (𝓝 (x + 0))
⊢ ∃ y ∈ U ∩ Set.univ, y ≠ x
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s t : Set Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
hci : μ (s ∩ t) ≠ 0
⊢ 0 < (ProbabilityTheory.cond μ s) t
A : Class
x : ZFSet
x✝ : A.ToSet ↑x
y : ZFSet
yx : ↑y = ↑x
py : A y
⊢ A x
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s : Set M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ChartedSpace.LiftPropOn P g (s ∩ u)
⊢ ChartedSpace.LiftPropOn P g s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A X Y : C
CategoryTheory.Closed A
f : X ⟶ (CategoryTheory.ihom A).obj Y
⊢ CategoryTheory.MonoidalClosed.curry (CategoryTheory.MonoidalClosed.uncurry f) = f
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ |a| ≤ b ↔ -b ≤ a ∧ a ≤ b
α : Type u_1
EDist α
x y : α
hxy : x ≠ y
⊢ {x, y}.einfsep = edist x y ⊓ edist y x
R : Type u
S : Type v
K✝ : Type w
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : IsDomain K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f : L[X]
hf : Irreducible f
this : Fact (Irreducible f)
⊢ ∃ g, g.Monic ∧ Irreducible g ∧ f ∣ Polynomial.map (algebraMap K L) g
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
f : α × β → E
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν)
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun y => ∫ (x : α), f (x, y) ∂μ) ν
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter α
g h : Filter β
⊢ h ≤ f • g ↔ ∀ ⦃s : Set α⦄, s ∈ f → ∀ ⦃t : Set β⦄, t ∈ g → s • t ∈ h
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i : ι
⊢ ∀ (x : ↑({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)), ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (𝟙 i)) x = (𝟙 ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)) x
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
i : K →+* L
f g : K[X]
hf0 : f ≠ 0
hf : Polynomial.Splits i f
hgf : g ∣ f
⊢ Polynomial.Splits i g
α : Sort u_1
x : α
⊢ Subsingleton α ↔ ∀ (y : α), y = x
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : LindelofSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
⊢ IsLindelof (range f)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X : C
P : ProjectiveResolution X
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
h₂ : (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv = (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map (lift (𝟙 X) P (projectiveResolution X))
h₁ : HomologicalComplex.opcyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map (lift (𝟙 X) P (projectiveResolution X))) 0 ≫ (projectiveResolution X).fromLeftDerivedZero' F = P.fromLeftDerivedZero' F
⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) 0).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map (lift (𝟙 X) P (projectiveResolution X))) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj ((projectiveResolutions C).obj X).as) ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj ((projectiveResolutions C).obj X).as).homologyι 0 ≫ (projectiveResolution X).fromLeftDerivedZero' F = (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map (lift (𝟙 X) P (projectiveResolution X))) 0 ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj (projectiveResolution X).complex).homologyι 0 ≫ (projectiveResolution X).fromLeftDerivedZero' F
R : Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
R₂ : Type u_2
inst✝¹² : Ring R₂
R₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : Ring R₃
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
M₄ : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₄
inst✝³ : AddCommGroup M₄
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
f : M →SL[σ₁₂] M₂
x y : M
⊢ f (x - y) = f x - f y
B C D E : CategoryTheory.Cat
F : B ⟶ C
G : C ⟶ D
H : D ⟶ E
X : ↑B
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.associator F G H).hom.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
k : Type u_2
Field k
φ : PowerSeries k
h : (PowerSeries.constantCoeff k) φ ≠ 0
⊢ φ.invOfUnit (Units.mk0 ((PowerSeries.constantCoeff k) φ) h) = φ⁻¹