ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
Lattice δ
f : LatticeHom γ δ
g : LatticeHom β γ
h : LatticeHom α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
R✝ : Type u
M✝ : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
f : M ≃ₗ[R] M₂
⊢ toNat (Module.rank R M) = toNat (Module.rank R M₂)
A : Type u_10
AddZeroClass A
f g : AddMonoid.End A
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f ∘ ⇑g
α : Type u_1
StrictOrderedSemiring α
Archimedean α
x : α
⊢ ∃ n, x < ↑n
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range n, (↑n + 1) * (↑(n.choose x) / (↑n - ↑x + 1)) * bernoulli' x = ∑ x ∈ range n, ↑(n.succ.choose x) * bernoulli' x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
hf : S.f = 0
⊢ CategoryTheory.IsIso h.π
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Mathlib.Vector α n
σ : Type
f : α → σ → σ × β
s : σ
h : ∀ (a : α), (f a s).1 = s
⊢ Mathlib.Vector.mapAccumr f xs s = (s, Mathlib.Vector.map (fun x => (f x s).2) xs)
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S
f : R →* S
g : R →+* S
p m n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : ExpChar S p
x y : R
⊢ (iterateFrobenius R p 0) x = x
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
a : α
ha : a ≠ 0
b : WithTop α
⊢ ↑a * b = Option.bind b fun b => some (a * b)
C : Type u_1
D : Type u_6
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_6} D
CategoryTheory.Category.{u_2, u_3} H
RF RF' : CategoryTheory.Functor D H
F F' : CategoryTheory.Functor C H
L : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ L.comp RF
α' : F' ⟶ L.comp RF'
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
RF.IsRightDerivedFunctor α W
τ : F ⟶ F'
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α.app X) ((RF.rightDerivedNatTrans RF' α α' W τ).app (L.obj X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (τ.app X) (α'.app X)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U✝ : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
h : μ.InnerRegular
U : Set α
hU : IsOpen U
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ U
K : Set α
KU : K ⊆ U
K_comp : IsCompact K
hK : r < μ K
⊢ ∃ K ⊆ U, IsClosed K ∧ r < μ K
x : SetTheory.PGame
⊢ 0 + x ≈ x
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a + c = b
⊢ a = b - c
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S
s : Set S
⊢ absNorm (span {r}) ∣ ((Algebra.norm ℤ) r).natAbs
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N N₁ N₂ P P₁ P₂ : Submodule R M
⊢ ⊥.colon N = N.annihilator
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 φ.pt, φ.implicitFunction (φ.leftFun x) (φ.rightFun x) = x
X : Type u_1
MeasurableSpace X
x : X
A : Set X
x_in_A : x ∈ A
⊢ ↑(MeasureTheory.diracProba x) A = 1
α : Type u_3
NonAssocRing α
a : α
n : ℤ
⊢ Commute a ↑n
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
s : Set Y
f : Y → Set X
hs : s.Finite
h : ∀ i ∈ s, IsClopen (f i)
⊢ IsClopen (⋃ i ∈ s, f i)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.19181, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.19185, u_2} D
F : C ⥤ Cat
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (F.map (f ≫ g).base).obj X.fiber = (F.map g.base).obj ((F.map f.base).obj X.fiber)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → α
hf : Function.Involutive f
hf' : Measurable f
⊢ (MeasurableEquiv.ofInvolutive f hf hf').toEquiv = Function.Involutive.toPerm f hf
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
H : IsIrreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
⊢ IsIrreducible (f '' s)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type u
inst✝ : Semiring R
M : Mat R
i j : ↑M
h : i ≠ j
⊢ 𝟙 M i j = 0
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
⊢ ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
s : Finset β
H : s.Nonempty
a : α
⊢ (s.inf' H fun x => a) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
DiscreteTopology α
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
x : α × β
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x.1, x_1)) {b | (x.1, b) ∈ s} x.2
f g : CircleDeg1Lift
h : ∀ (x : ℝ), f x = g x
⊢ f = g
n : Nat
i : Fin (n + 1)
h : ↑i < n
⊢ (i.castLT h).castSucc = i
M : Type u_1
α : Type u_2
Monoid M
MulAction M α
⊢ Antitone fun s => fixingSubmonoid M s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f ((κ ⊗ₖ η) a) ↔
  (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) (η (a, x))) ∧
    MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
b : ι → S
ι' : Type w₁
c : ι' → A
hb : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • b i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
hc : ∀ (s : Finset ι') (g : ι' → S), ∑ i ∈ s, g i • c i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
⊢ ∀ (s : Finset (ι × ι')) (g : ι × ι' → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • b i.1 • c i.2 = 0 → ∀ (i : ι × ι'), g i = 0
s₁ s₂ : String
⊢ s₁ < s₂ ↔ s₁.toList < s₂.toList
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h : f =Θ[l] g
⊢ g =Θ[l] f
⊢ AbsoluteValue.abs.uniformSpace = PseudoMetricSpace.toUniformSpace
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocDiv hp (p + a) b = toIocDiv hp a b - 1
α : Type u_1
⊢ toZNum 0 = (0 + 1).toZNumNeg + 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ι : Type u_1
f : ι → Type u_2
g : (i : ι) → f i → C
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasProduct (g i)
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun i => ∏ᶜ g i
⊢ (CategoryTheory.Limits.piPiIso f g).inv =
  CategoryTheory.Limits.Pi.lift fun i =>
    CategoryTheory.Limits.Pi.lift fun x => CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun p => g p.fst p.snd) ⟨i, x⟩
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
⊢ x ∈ n.divisorsAntidiagonal ↔ x.1 * x.2 = n ∧ n ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
this : (s.piecewise f fun x => f default) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
t : Set β
ht : IsOpen t
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
⊢ MeasurableSet (u ∩ s ∪ (fun x => f default) ⁻¹' t \ s)
α : Type u
Preorder α
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f (n + 1) ≤ f n
⊢ Antitone f
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.512830
Bₘ : Type ?u.512833
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this✝² : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝¹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : IsFractionRing B L
⊢ (algebraMap K L).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv).comp (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B))
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ Disjoint (s.erase a) t ↔ Disjoint s (t.erase a)
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
L R : ListBlank Γ
⊢ trTape enc0 (Tape.mk' L R) = trTape' enc0 L R
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (tensorRight (𝟙_ C)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ X P Q ◁ T.one ≫ actRight P Q = (tensorRight (𝟙_ C)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (ρ_ (X P Q)).hom
M₀ : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero M₀
r : M₀
⊢ r ∉ nonZeroDivisorsRight M₀ ↔ {s | r * s = 0 ∧ s ≠ 0}.Nonempty
E : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E ≃ᵢ F
h0 : f 0 = 0
⊢ ⇑(f.toRealLinearIsometryEquivOfMapZero h0).symm = ⇑f.symm
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ C
⊢ ‖f‖ ≤ ↑(MeasureTheory.measureUnivNNReal μ) ^ p.toReal⁻¹ * C
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
⊢ S.leftRightHomologyComparison = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.leftHomologyIso.hom S.rightHomologyIso.inv
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V
this✝¹ : Nontrivial K
s : Type v
hs : Basis s K V
this✝ : Finite s
this : lift.{max u v, v} #V = lift.{v, max u v} #(s →₀ K)
⊢ lift.{u, v} #V = lift.{v, u} #K ^ lift.{u, v} (Module.rank K V)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
ι₁ : Type u₁
inst✝⁴ : DecidableEq ι₁
β₁ : ι₁ → Type v₁
inst✝³ : (i₁ : ι₁) → Zero (β₁ i₁)
inst✝² : (i : ι₁) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i₁ : ι₁), β₁ i₁
g : (i₁ : ι₁) → β₁ i₁ → Π₀ (i : ι), β i
⊢ (f.sum g).support ⊆ f.support.biUnion fun i => (g i (f i)).support
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.Icc a b)
α : Type u_1
C : Set (Set α)
ι : Type u_2
hC : MeasureTheory.IsSetRing C
s : ι → Set α
S : Finset ι
hs : ∀ n ∈ S, s n ∈ C
⊢ ⋃ i ∈ S, s i ∈ C
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.Nonempty
hb : t.card • b ≤ ∑ x ∈ s, w x
⊢ ∑ i ∈ t, b ≤ ∑ i ∈ t, ∑ x ∈ filter (fun x => f x = i) s, w x
β : Type w
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : α → C
g : β → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
CategoryTheory.Limits.HasProduct g
p : β → α
q : (b : β) → f (p b) ⟶ g b
b : β
⊢ CategoryTheory.Limits.Pi.map' p q ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.π g b = CategoryTheory.Limits.Pi.π f (p b) ≫ q b
α : Type u_1
M : Type u_4
Fintype α
CommMonoid M
f : α → M
a : α
h : ∀ (x : α), x ≠ a → f x = 1
⊢ ∏ x : α, f x = f a
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Mul M
Mul N
Semigroup P
f : M →ₙ* P
g : N →ₙ* P
Q : Type u_4
Semigroup Q
h : P →ₙ* Q
comm : ∀ (m : M) (n : N), Commute (f m) (g n)
⊢ h.comp (f.noncommCoprod g comm) = (h.comp f).noncommCoprod (h.comp g) ⋯
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
i : ι
r : A
⊢ (GradedAlgebra.proj 𝒜 i) r = ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) r) i)
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
key : (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) ((expand p) (W_ ℤ n))) Φ) = (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) ((bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n))
⊢ C ↑(p ^ (n + 1)) ∣ (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℤ (n + 1))) Φ - ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n + 1 - i)
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hy : 0 < y
⊢ x ≤ logb b y ↔ y ≤ b ^ x
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
h1 : 0 < (↑π * a).re
h2 : 0 < (↑π / a).re
f_bd : f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2)
M : Type u_1
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass P
c : Con M
f : M →* P
H : c ≤ Con.ker f
g : c.Quotient →* P
Hg : g.comp c.mk' = f
⊢ g = c.lift f H
R : Type u
CommRing R
b c d : R
n : ℤ
⊢ normEDS b c d (-n) = -normEDS b c d n
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℤ
a : α
n0 : 0 ≤ n
⊢ mabs (a ^ n) = mabs a ^ |n|
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (p.length + q.length + 1)
⊢ r ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.castSucc) ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.succ)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
this : Tendsto (fun ε => μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (f '' s)))
⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
v : ℕ → ℝ
v_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < v n
v_lim : Tendsto v atTop (𝓝 0)
this : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a| < v i * ↑⌊c ^ n⌋₊
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
f : ℂ → ℂ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
⊢ ∑' (n : ℕ), (↑n.factorial)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = f z
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : dimH s < ↑d
⊢ μH[↑d] s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
x : α
s : Set β
⊢ x ∈ r.core s ↔ ∀ (y : β), r x y → y ∈ s
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : HasContDiffBump G
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
φ✝ : ContDiffBump 0
x₀✝ : G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
ι : Type u_1
φ : ι → ContDiffBump 0
l : Filter ι
K : ℝ
hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)
h'φ : ∀ᶠ (i : ι) in l, (φ i).rOut ≤ K * (φ i).rIn
hg : LocallyIntegrable g μ
this✝ : μ.IsAddHaarMeasure
x₀ : G
h₀ : Tendsto (fun a => ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x₀) (𝓝 0)
hφ' : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝[>] 0)
this : Tendsto (fun x => ⨍ (y : G) in closedBall x₀ (φ x).rOut, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : G), (φ i).normed μ (x₀ - y) ∂μ) l (𝓝 1)
I : Type u
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
DecidableEq I
(i : I) → One (f i)
(i : I) → One (g i)
(i : I) → One (h i)
f' : (i : I) → f i → g i → h i
hf' : ∀ (i : I), f' i 1 1 = 1
i : I
x : f i
y : g i
j : I
⊢ f' j (Pi.mulSingle i x j) (Pi.mulSingle i y j) = Pi.mulSingle i (f' i x y) j
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
U : X.Opens
⊢ (f ≫ inv f) ⁻¹ᵁ U = U
α : Type u_1
LE α
a : α
⊢ ¬↑a ≤ ⊥
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DecidableEq M
φ : MvPolynomial σ R
i : M
hi : i ∉ Finset.image (⇑(weight w)) φ.support
⊢ ∀ d ∈ φ.support, (weight w) d ≠ i
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h1 : ¬1 ≈ 0
⊢ norm 1 = 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R
h : Y ^ 2 + W.toAffine.a₁ * X * Y + W.toAffine.a₃ * Y = X ^ 3 + W.toAffine.a₂ * X ^ 2 + W.toAffine.a₄ * X + W.toAffine.a₆
hX : W.toAffine.a₁ * Y = 3 * X ^ 2 + 2 * W.toAffine.a₂ * X + W.toAffine.a₄
hY : Y = -Y - W.toAffine.a₁ * X - W.toAffine.a₃
⊢ Y ^ 2 + W.a₁ * X * Y + 2 * W.a₃ * Y = W.a₂ * X ^ 2 + 2 * W.a₄ * X + 3 * W.a₆
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A A' B B' : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct A B
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct A' B'
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')
f : A ⟶ A'
g : B ⟶ B'
⊢ F.map (CategoryTheory.Limits.prod.map f g) ≫ CategoryTheory.Limits.prodComparison F A' B' =
  CategoryTheory.Limits.prodComparison F A B ≫ CategoryTheory.Limits.prod.map (F.map f) (F.map g)
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0
h : LinearIndependent R ![x, AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1]
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R ≃ₗ[R] R := AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty.symm
H : LinearIndependent R ![f x, 1]
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
⊢ (∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ (span 𝕜 v)ᗮ = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
I : Type u_1
Y : I → C
X : C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
⊢ CategoryTheory.Sieve.ofArrows Y f ≤ CategoryTheory.Sieve.ofObjects Y X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
g : γ → δ → δ
f : α → β → γ
i : δ
⊢ List.foldr g i (List.zipWith f l₁ l₂) = List.foldr (fun p r => g (f p.fst p.snd) r) i (l₁.zip l₂)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
g : α → ℝ
⊢ (μ.tilted f).tilted g = μ.tilted (f + g)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hs : s i (x i) (if i ∈ p then x₁ i else x₂ i)
⊢ ∃ a', InvImage (GameAdd (DFinsupp.Lex r s) (DFinsupp.Lex r s)) snd a' (p, x₁, x₂) ∧ (fun x => x.2.1.piecewise x.2.2 x.1) a' = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
this✝¹ : Countable (Subtype p)
hp : Nonempty (Subtype p)
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
this✝ : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)
m : Subtype p → Set δ := fun j => {x | BddBelow (range fun i => f (↑i) x)}
m_meas : ∀ (j : Subtype p), MeasurableSet (m j)
mc_meas : MeasurableSet {x | ∀ (j : Subtype p), x ∉ m j}
j : Subtype p
reparam : δ → Subtype p → Subtype p := fun x => liminf_reparam (fun i => f i x) s p
F0 : Subtype p → δ → α := fun j x => ⨅ i, f (↑i) x
F0_meas : ∀ (j : Subtype p), Measurable (F0 j)
F1 : δ → α := fun x => F0 (reparam x j) x
hF1 : F1 = fun x => F0 (reparam x j) x
g : ℕ → Subtype p := Classical.choose ⋯
Z : ∀ (x : δ), ∃ n, x ∈ m (g n) ∨ ∀ (k : Subtype p), x ∉ m k
this : F1 = fun x => if x ∈ m j then F0 j x else F0 (g (Nat.find ⋯)) x
⊢ Measurable fun x => if x ∈ m j then F0 j x else F0 (g (Nat.find ⋯)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
hf_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_bound : ∀ (n : ℕ), f n ≤ᶠ[ae μ] g
h_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ⨅ n, ∫⁻ (a : α), ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), f i a ∂μ = ∫⁻ (a : α), ⨅ n, ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), f i a ∂μ
α : Type u
β : Type v
Semiring α
Semiring β
f : α → β
hf : IsSemiringHom f
γ : Type u_1
Semiring γ
g : β → γ
hg : IsSemiringHom g
⊢ IsSemiringHom (g ∘ f)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
r : R
f : N →ₗ[R] P
⊢ LinearMap.rTensor M (r • f) = r • LinearMap.rTensor M f
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
h : 0 < (minimalPeriod f x).gcd n
⊢ minimalPeriod f^[n] x ∣ minimalPeriod f x / (minimalPeriod f x).gcd n
G : Type u_1
AddGroup G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
x y : G
h : x ∈ H
⊢ y + x ∈ H ↔ y ∈ H
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddGroup G
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
y : 𝕜
⊢ MeasureTheory.convolution (y • f) g L μ = y • MeasureTheory.convolution f g L μ
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
a b : V
h : a = v ∨ a = w
⊢ a ∈ {v, w}
α β γ : Type u
F : Type u → Type v
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : LawfulApplicative F
f : β → γ
x : F (α → β)
y : F α
⊢ (f <$> Seq.seq x fun x => y) = Seq.seq ((fun x => f ∘ x) <$> x) fun x => y
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop
⊢ a ⊓ sInf (Subtype.val '' range fun i => f i) = a ⊓ ⨅ i, ↑(f i)
ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
⊢ iInf f * a = ⨅ i, f i * a
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
Sup L
ContinuousSup L
f g : X → L
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous (f ⊔ g)
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))
⊢ TopologicalSpace.Opens ↑(PrimeSpectrum.Top ↑S)