ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZetaEven (↑x) (1 - 2 * ↑k) =
  -1 / (2 * ↑k) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
S : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover S
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
j : E.I₁'
⊢ (E.multicospanIndex F).snd j = F.map (E.p₂ j.snd).op
x : ℝ
h : |x| < 1
⊢ HasSum (fun k => 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * x ^ (2 * k + 1)) (Real.log (1 + x) - Real.log (1 - x))
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
x : CliffordAlgebra 0
m : M
hx : ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N), (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) x = g ((liftAlternating f) x)
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
⊢ (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) ((CliffordAlgebra.ι 0) m * x) = g ((liftAlternating f) ((CliffordAlgebra.ι 0) m * x))
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesMonomorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Mono f
this : Mono (F.map f ≫ (α.app Y).hom)
⊢ G.map f = (α.app X).inv ≫ F.map f ≫ (α.app Y).hom
x : ℂ
⊢ ↑(Complex.abs x) * Complex.exp (↑x.arg * Complex.I) = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
T : Submodule 𝕜 E
hT : IsCompl S T
M : (↥S × ↥T) ≃ₗ[𝕜] E := S.prodEquivOfIsCompl T hT
M_cont : Continuous ⇑M.symm
P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T
P_cont : Continuous ⇑P
I : Function.Bijective ⇑(L.domRestrict T)
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Ioo b c = Ioo (b + a) (c + a)
α : Type u_3
s : Finset α
M : Type u_6
AddCommMonoid M
f : α → M
p : M → Prop
hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a + b)
unit : p 0
base : ∀ x ∈ s, p (f x)
⊢ p (∑ x ∈ s, f x)
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
⊢ (↑n.succ + 1 + ↑n.succ).toNat * (↑n.succ + 1 + ↑n.succ).toNat - (↑n + 1 + ↑n).toNat * (↑n + 1 + ↑n).toNat = 8 * (n + 1)
α : Type u
f : Filter α
⊢ ∀ᶠ (x : α) in f, True
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
r : β → γ → Prop
f : α → β
g : α → γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.LiftRel r (MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf) (MeasureTheory.AEEqFun.mk g hg) ↔
  ∀ᵐ (a : α) ∂μ, r (f a) (g a)
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
hab : a < b
h₀ : 0 < r
h₁ : r < 1
⊢ (AffineMap.lineMap (f a) (f b)) r < f ((AffineMap.lineMap a b) r) ↔
  slope f ((AffineMap.lineMap a b) r) b < slope f a ((AffineMap.lineMap a b) r)
M : Type u_8
CommMonoidWithZero M
⊢ ⇑MonoidWithZero.inverse = Ring.inverse
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : F.FullyFaithful
X Y : C
⊢ Function.Surjective F.map
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r✝ s : R
x✝ y✝ : M
x y : R
r : M
⊢ (x + y) • r = x • r + y • r
α : Type u
R : α → α → Prop
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ List.Pairwise R (List.ofFn f) ↔ ∀ ⦃i j : Fin n⦄, i < j → R (f i) (f j)
a : ℕ
n : ℕ
h : a ≤ n + n
⊢ (n ^ 2 + a).sqrt = n
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => a - x) ⁻¹' Set.Iio b = Set.Ioi (a - b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
SeminormedAddCommGroup E
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
⊢ ‖ContinuousLinearMap.id 𝕜 E‖ ≤ 1
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W
⊢ cs.IsLeftInversion (t * w) t ↔ ¬cs.IsLeftInversion w t
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a b c : α
⊢ a ≤ c → a ≤ b + c
α : Type u_1
NormedOrderedAddGroup α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
ε : ℝ
⊢ IsLowerSet (Metric.thickening ε s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
⊢ count ∅ = 0
α✝ β α : Type u
h : #α = ℵ₀
f : α ≃ ULift.{u, 0} ℕ
⊢ Nonempty (Denumerable α)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain F K m
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n
h : m + 1 = n
n' : ℤ
hn' : n + 1 = n'
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n n' (CochainComplex.mappingCone.descCochain φ α β h) =
  (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).comp
      (CochainComplex.HomComplex.δ m n α + n'.negOnePow • (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ).comp β ⋯) ⋯ +
    (CochainComplex.mappingCone.snd φ).comp (CochainComplex.HomComplex.δ n n' β) ⋯
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0
hμ : 0 < (μ univ).toReal
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < (μ univ).toReal * C
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScottHausdorff α
s : Set α
h : IsClosed s
⊢ DirSupClosed s
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
OrderClosedTopology α
g : ι → α
hsum : Multipliable g
hg : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
i : ι
hi : 1 < g i
⊢ 1 < ∏' (i : ι), g i
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommMonoidWithZero R
PartialOrder R
ZeroLEOneClass R
PosMulMono R
f : ι → R
s : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
⊢ 0 ≤ ∏ i ∈ s, f i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
K : CategoryTheory.Limits.Multicofork I
b : I.R
⊢ K.ι.app (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.right b) = K.π b
α : Type u_1
inst✝³ : MonoidWithZero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulMono α
a : α
H : 0 ≤ a
n : ℕ
⊢ 0 ≤ a ^ n * a
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
CommRing R
CommRing S
FunLike F R[X] S[X]
MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
hf : Function.Injective ⇑φ
⊢ Function.Injective ⇑(RatFunc.map φ hφ)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
X Y : T.Algebra
f : X ⟶ Y
h : CategoryTheory.Epi f.f
⊢ CategoryTheory.Epi f
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
BorelSpace α
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ).InnerRegular ↔ μ.InnerRegular
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕝 : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕝
NormedAlgebra 𝕜 𝕝
NormedSpace 𝕝 E
IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
z : 𝕝 × E
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => x.1 • x.2) z
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
U V : ↑X.affineOpens
s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)
hs' : ↑s' ⊆ s
e : Ideal.span ↑s' = ⊤
i : ↑↑s'
⊢ IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V ∩ ↑(X.basicOpen ↑i))
α : Type u_1
ι : Type u_2
s t r : Set α
h : Disjoint s t
⊢ ↑(Sum.inr ⁻¹' (⇑(sumSet h) ⁻¹' r)) = r ∩ t
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖ ≤ ∫ (x : ℝ) in Ι a b, ‖f x‖ ∂μ
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
S T U : Set (Projectivization K V)
hST : S ⊆ ↑(Projectivization.Subspace.span T)
hTU : T ⊆ ↑(Projectivization.Subspace.span U)
⊢ S ⊆ ↑(Projectivization.Subspace.span U)
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A✝ B✝ A B C : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A
h : A⁻¹ * B = C
⊢ B = A * C
p n : ℕ
R : Type u_1
x : Fin n → R
i : Fin n
⊢ TruncatedWittVector.coeff i (TruncatedWittVector.mk p x) = x i
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this✝¹ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
hL'U : ↑L' ⊆ U
hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'
this✝ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'
this : Nonempty { M // ↑M ⊆ ↑U' \ closure ↑L }
⊢ ⨆ b, ↑(μ.toFun L') + ↑(μ.toFun ↑b) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≺i s
x✝ : ↑{b | s b f.top}
b : α
h : f.toRelEmbedding b ∈ {b | s b f.top}
⊢ ∃ a, (RelEmbedding.codRestrict {b | s b f.top} { toRelEmbedding := f.toRelEmbedding, init' := ⋯ }.toRelEmbedding ⋯) a = ⟨f.toRelEmbedding b, h⟩
α : Type u
s t : Set α
H' : s = t
H : ↑s = ↑t
x : ↑s
⊢ cast H x = ⟨↑x, ⋯⟩
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
⊢ (PiTensorProduct.liftEquiv 𝕜 E F).symm l = (PiTensorProduct.lift.symm ↑l).mkContinuous ‖l‖ ⋯
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
⊢ DirectSum.Decomposition.decompose' = fun φ => (DirectSum.mk (fun i => ↥(homogeneousSubmodule σ R i)) (Finset.image (⇑(weight 1)) φ.support)) fun m => ⟨(homogeneousComponent ↑m) φ, ⋯⟩
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t✝ s t : Set E
x y : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
hy : y ∈ (convexHull ℝ) t
⊢ ∃ x' ∈ s, ∃ y' ∈ t, dist x y ≤ dist x' y'
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i
⊢ 1 ≤ ∏ i ∈ s, 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
x : α
hx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ (fun x => ↑‖f_lim x‖₊) x = (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
SemilatticeInf β
ContinuousInf β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f ⊓ g) μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
μ : G ⟶ A
ε : F ⟶ G
hε : CategoryTheory.CategoryStruct.comp ε μ = η
s : (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ
u : (CategoryTheory.OverPresheafAux.restrictedYonedaObj η).obj s
⊢ (CategoryTheory.OverPresheafAux.restrictedYonedaObjMap₁ ε hε).app s u =
  CategoryTheory.OverPresheafAux.OverArrows.map₁ u ε hε
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Preorder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hb : b ≤ 0
h : 1 ≤ a
⊢ a * b ≤ b
X✝ : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
s : Set ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))
this : ∀ i ∈ s, (X.toRingedSpace.basicOpen i).carrierᶜ = ⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' (basicOpen i).carrierᶜ
⊢ ⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' zeroLocus s = ⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' ⋂ i ∈ s, zeroLocus {i}
x : SetTheory.PGame
⊢ ⟦0 * x⟧ = ⟦0⟧
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G M : Type
inst✝² : Group G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulDistribMulAction G M
f : ↥(twoCoboundaries (Rep.ofMulDistribMulAction G M))
x : G → CoeSort.coe (Rep.ofMulDistribMulAction G M)
hx : (dOne (Rep.ofMulDistribMulAction G M)) x = (twoCocycles (Rep.ofMulDistribMulAction G M)).subtype ↑f
⊢ IsMulTwoCoboundary (⇑Additive.toMul ∘ ↑↑f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < x + 1
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atBot atBot
x : ℝ
⊢ ↑(hf.stieltjesFunction a) x ≤ ↑(hf.stieltjesFunction a) ↑(qs x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E p μ)
hp : 0 < p
hf : ‖f‖₊ = 0
⊢ f = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
a₂ : 𝕎 k
this : solution p a₁ a₂ ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0
q : ℕ
hq : p = q.succ
hq' : q = p - 1
⊢ solution p a₁ a₂ ^ q.succ * a₁.coeff 0 = solution p a₁ a₂ * a₂.coeff 0
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : ⋯.IsPrimitiveClassified
⊢ ↑(x.gcd y) ∣ y
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
z : (type r).cof = 1
S : Set α
hl : Unbounded r S
e : #↑S = 1
a : ↑S
x y : ↑{b | r b ↑a} ⊕ PUnit.{u + 1}
⊢ Sum.Lex (Subrel r {b | r b ↑a}) EmptyRelation x y → r (?intro.intro.intro.refine_1 x) (?intro.intro.intro.refine_1 y)
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedAddCommMonoid N
f : ι → N
s : Finset ι
h : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
⊢ 0 ≤ ∑ i ∈ s, f i
R : Type u_1
S : Type u_2
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
⊢ ∃ p', p'.IsPrime ∧ Ideal.comap f p' = p
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
⊢ ContinuousOn (↑e') e'.source
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M✝ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M✝
a b : α
s t : Set α
M : Type u_7
inst✝ : OrderedCommMonoid M
i : α
f : α → M
hf : (mulSupport f).Finite
h : ∀ (j : α), 1 ≤ f j
⊢ f i ≤ ∏ᶠ (j : α), f j
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} A
G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A) (CategoryTheory.Sheaf J A)
adj : G ⊣ CategoryTheory.sheafToPresheaf J A
⊢ J.W = (CategoryTheory.MorphismProperty.isomorphisms (CategoryTheory.Sheaf J A)).inverseImage G
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
u : ℕ → α
hu : DenseRange u
s : Set (ℕ → ℕ) := {x | (⋂ n, closedBall (u (x n)) ((1 / 2) ^ n)).Nonempty}
g : ↑s → α := fun x => Set.Nonempty.some ⋯
A : ∀ (x : ↑s) (n : ℕ), dist (g x) (u (↑x n)) ≤ (1 / 2) ^ n
g_cont : Continuous g
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree
hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
⊢ Multiset.card (x ::ₘ t) = Add.add (↑(Multiset.card t)) 1
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
SeminormedAddCommGroup E₃
Module R E
Module R₂ E₂
Module R₃ E₃
e₁ : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
e₂ : E₂ ≃ₛₗᵢ[σ₂₃] E₃
⊢ ⇑(e₁.trans e₂) = ⇑e₂ ∘ ⇑e₁
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
⊢ ENNReal.ofReal (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ENNReal.ofReal (f i)
α : Type u_1
n : Nat
Inhabited α
a : Array α
⊢ a.get! n = a.getD n default
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α} {s : Set α}, Bornology.IsCobounded s ↔ s ∈ Bornology.cobounded α
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d✝ k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
n d : ℕ
⊢ (range (n * (d - 1) ^ 2 + 1)).card • (↑(d ^ n) / (↑(n * (d - 1) ^ 2) + 1)) ≤ ↑(box n d).card
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
Nontrivial R
X Y : R
h : W'.toAffine.Nonsingular X Y
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.Point.fromAffine (WeierstrassCurve.Affine.Point.some h) = WeierstrassCurve.Jacobian.Point.mk ⋯
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hn : p ^ n ≤ Nat.card ↥H
H' : Subgroup ↥H
H'card : Nat.card ↥H' = p ^ n
e : ↥H' ≃* ↥(Subgroup.map H.subtype H') := H'.equivMapOfInjective H.subtype ⋯
⊢ Nat.card ↥(Subgroup.map H.subtype H') = Nat.card ↥H'
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}
hx : B' \ B = {f}
⊢ M.Base B'
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
h₁ : x⁻¹ ≠ 1
h₂ : x⁻¹ - 1 ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ range n, x⁻¹ ^ i = (x - 1)⁻¹ * (x - x⁻¹ ^ n * x)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α✝
p : α✝ → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
α : Type u_3
s : Set α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
⊢ s.Finite ↔ BddBelow s ∧ BddAbove s
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' s : Cycle α
h : s.Nodup
x : α
hx : x ∉ s
⊢ (s.formPerm h) x = x
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
h : edist x y = 0
⊢ edist x z = edist y z
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : Nontrivial α
⊢ factors 1 = 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
hc : Convex ℝ s
hne : (interior s).Nonempty
hb : Bornology.IsBounded s
⊢ ∃ h, ⇑h '' interior s = ball 0 1 ∧ ⇑h '' closure s = closedBall 0 1 ∧ ⇑h '' frontier s = sphere 0 1
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
CharP R n
a b : ZMod n
⊢ (a + b).cast = a.cast + b.cast
α : Type u_2
β : α → Type u_1
a : (i : α) × β i
⊢ (Equiv.psigmaEquivSigma β).symm a = ⟨a.fst, a.snd⟩
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
p : R[ℕ]
⊢ (Finsupp.single 0 a * p) n = a * p n
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : IsBigOWith C cofinite f g''
⊢ ∃ C > 0, ∀ ⦃x : α⦄, g'' x ≠ 0 → ‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
⊢ dickson 1 1 (m * n) = (dickson 1 1 m).comp (dickson 1 1 n)
l m r ml mm mr : List Char
b e : Pos
⊢ ∃ l' r', ValidFor l' mm r' ({ str := { data := l ++ (ml ++ mm ++ mr) ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (ml ++ mm ++ mr) } }.extract { byteIdx := utf8Len ml } { byteIdx := utf8Len ml + utf8Len mm })
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝¹ : F.PreservesMonomorphisms
I : D
hI : Injective I
X Y : C
f : X ⟶ G.obj I
g : X ⟶ Y
inst✝ : Mono g
w : F.obj Y ⟶ I
h : F.map g ≫ w = F.map f ≫ adj.counit.app I
⊢ g ≫ adj.unit.app Y ≫ G.map w = f
α : Type u_1
AddZeroClass α
LT α
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : b < a + b
⊢ 0 < a
α : Type u_1
a b : α
⊢ Topology.WithLowerSet.toLowerSet a = Topology.WithLowerSet.toLowerSet b ↔ a = b
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]
⊢ C p ^ 2 - C p * C q * (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)) - C q ^ 2 * (C X ^ 3 + C (C W.a₂) * C X ^ 2 + C (C W.a₄) * C X + C (C W.a₆)) - (C p + C q * Y) * (C p + C q * (-Y - (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)))) = (Y ^ 2 + (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)) * Y - (C X ^ 3 + C (C W.a₂) * C X ^ 2 + C (C W.a₄) * C X + C (C W.a₆))) * C q ^ 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
hk : n ≤ k
⊢ p.changeOrigin x k = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
self : CategoryTheory.Limits.HasKernels C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.HasKernel f
θ : Real.Angle
h : θ ≠ ↑π
⊢ SignType.sign θ.toReal = θ.sign
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y S : Scheme
inst✝² : IsAffine X
inst✝¹ : IsAffine Y
inst✝ : IsAffine S
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)
this : ((PreservesPullback.iso AffineScheme.Γ.rightOp (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)).hom ≫ pullback.fst (AffineScheme.Γ.rightOp.map (AffineScheme.ofHom f)) (AffineScheme.Γ.rightOp.map (AffineScheme.ofHom g))).unop = (AffineScheme.Γ.rightOp.map (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g))).unop
⊢ P (Scheme.Hom.app (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)) ⊤)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
⊢ (List.map f l).reverse = List.map f l.reverse
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
l₂ : Type u_10
o₂ : Type u_11
A : Matrix m n α
r₁ : l → m
c₁ : o → n
r₂ : l₂ → l
c₂ : o₂ → o
⊢ (A.submatrix r₁ c₁).submatrix r₂ c₂ = A.submatrix (r₁ ∘ r₂) (c₁ ∘ c₂)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
lt_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x < C
x✝ : ℝ
hx✝ : x✝ ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x✝ < y
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
⊢ -C < deriv (fun y => -f y) x
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t : Set α
I : Set ι
μ : F
hI : I.Countable
s : ι → Set α
this : Countable ↑I
⊢ μ (⋃ x, s ↑x) ≤ ∑' (i : ↑I), μ (s ↑i)