ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
R₁ : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁴ : CommRing R₁
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R₁ S
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : S
b : Basis ι R₁ S
w : ι → S
i✝ j✝ : ι
⊢ ((Algebra.leftMulMatrix b) x *ᵥ ⇑(b.repr (w j✝))) i✝ = ((Algebra.leftMulMatrix b) x * b.toMatrix w) i✝ j✝
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
⊢ prod.snd ⊚ prod.diag = id
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid M
f : ι → M
s t : Finset ι
DecidableEq ι
⊢ ∑ i ∈ s \ t, f i < ∑ i ∈ t \ s, f i ↔ ∑ i ∈ s, f i < ∑ i ∈ t, f i
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a : α
⊢ Function.Injective fun x => x ⇔ a
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
a1 a2 : (i : ι) → α i
h1 : a1 ∈ s
h2 : a2 ∈ s
i : ι
hne✝ : a1 i ≠ a2 i
ai : α i
hne : a2 i ≠ ai
⊢ ∃ x ∈ s, ¬x i = ai
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ √x < √y ↔ x < y
n m : ℕ
hm : n ≠ m
⊢ (2 ^ n).testBit m = false
b n : ℕ
⊢ log b n ≤ clog b n
α : Type u
f : α → ZFSet
⊢ (ZFSet.range f).toSet = Set.range f
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (Function.support fun a => f a b).Finite
⊢ ∑ᶠ (a : α), ∑ b ∈ s, f a b = ∑ b ∈ s, ∑ᶠ (a : α), f a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ⟪x, -y⟫_𝕜 = -⟪x, y⟫_𝕜
x : ℝ*
r : ℝ
hxr : x.IsSt r
⊢ (-x).IsSt (-r)
G✝ : Type u
inst✝² : AddCommGroup G✝
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Finite G
⊢ ∃ ι x n, (∀ (i : ι), 1 < n i) ∧ Nonempty (G ≃+ ⨁ (i : ι), ZMod (n i))
α : Type u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
FirstCountableTopology α
S : Set α
hS : S.Nonempty
hS' : BddAbove S
⊢ ∃ u, Monotone u ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 (sSup S)) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ S
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
u : ι → Ω → β
s : Set β
n m : ι
ω : Ω
h : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
⊢ u (sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s})) ω ∈ s
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
⊢ ρ.finsupport x₀ ⊆ ρ.fintsupport x₀
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i < i0
⊢ toZ i0 i < 0
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
P : {m : ℕ} → L.BoundedFormula α m → Prop
φ : L.BoundedFormula α n
hqf : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α m}, ψ.IsQF → P ψ
hnot : ∀ {m : ℕ} {φ : L.BoundedFormula α m}, P φ → P φ.not
hex : ∀ {m : ℕ} {φ : L.BoundedFormula α (m + 1)}, P φ → P φ.ex
hse : ∀ {m : ℕ} {φ₁ φ₂ : L.BoundedFormula α m}, ∅.SemanticallyEquivalent φ₁ φ₂ → (P φ₁ ↔ P φ₂)
⊢ P φ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l : List M
ha : a ∈ l
s t : List M
h : l = s ++ a :: t
⊢ a ∣ l.prod
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.fullMonoidalSubcategoryInclusion P).toFunctor =
  CategoryTheory.fullSubcategoryInclusion P
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.imageUnopOp g).hom (CategoryTheory.Limits.image.ι g) =
  (CategoryTheory.Limits.factorThruImage g.unop).op
p : PosNum
⊢ Num.ofNat' ↑p.bit1 = Num.pos p.bit1
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
y : E n
⊢ Function.update x n y ∈ PiNat.cylinder x n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.Equivalence.refl.counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.Functor.id C).comp (CategoryTheory.Functor.id C))
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ weightSpace M ((↑(chainTopCoeff α β) + 1) • α + ⇑β) = ⊥
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
i j : ι
v : ι → F
r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hij : i ≠ j
⊢ (Lagrange.interpolate s v) r =
  (Lagrange.interpolate (s.erase j) v) r * Lagrange.basisDivisor (v i) (v j) +
    (Lagrange.interpolate (s.erase i) v) r * Lagrange.basisDivisor (v j) (v i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m₁ : α → γ
m₂ : β → δ
⊢ Set.range m₁ ×ˢ Set.range m₂ = Set.range fun p => (m₁ p.1, m₂ p.2)
S : Finset Λ'
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q
p✝ : Γ' → Bool
k✝ : K'
q : Λ'
q_ih : Λ'.Supports S q → trStmts₁ q ⊆ S → Supports (trStmts₁ q) S
H₁ : Λ'.Supports S (Λ'.clear p✝ k✝ q)
HS₁ : insert (Λ'.clear p✝ k✝ q) (trStmts₁ q) ⊆ S
h₁ : Λ'.clear p✝ k✝ q ∈ S
h₂ : trStmts₁ q ⊆ S
h₃ : q ∈ S
⊢ Supports (insert (Λ'.clear p✝ k✝ q) (trStmts₁ q)) S
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
⊢ ⨆ i ∈ s, (s ∩ Ici i).chainHeight ≤ s.chainHeight
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hAC : IsExtreme 𝕜 A C
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxB : x ∈ B
hxC : x ∈ C
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
hx₁B : x₁ ∈ B
hx₂B : x₂ ∈ B
hx₁C : x₁ ∈ C
hx₂C : x₂ ∈ C
⊢ x₁ ∈ B ∩ C ∧ x₂ ∈ B ∩ C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
s t : Interval α
a b : α
⊢ b ∈ pure a ↔ b = a
Ω : Type u_1
Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
⊢ μ.normalize.toFiniteMeasure = μ.mass⁻¹ • μ
G : Type u_10
Group G
x : Gˣ
⊢ toUnits.symm x = ↑x
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m n : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : Integrable f' volume
hbot : Tendsto f atBot (𝓝 m)
htop : Tendsto f atTop (𝓝 n)
⊢ f 0 - m + (n - f 0) = n - m
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
H K L : Subgroup G
inst✝¹ : Finite ↑(commutatorSet G)
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤
⊢ (center G).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ Group.rank G
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ M.LinearDisjoint N ↔ Function.Injective ⇑(M.mulMap N)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ
⊢ preNormEDS' b c d (2 * (m + 3)) = preNormEDS' b c d (m + 2) ^ 2 * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 5) - preNormEDS' b c d (m + 1) * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 4) ^ 2
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}
hVo : IsOpen V
hVmem : (z, τ) ∈ V
⊢ HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂ p.1 p.2) (jacobiTheta₂_fderiv z τ) (z, τ)
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
f : α → M
⊢ ∅.indicator f = 0
α : Type u_5
t : TopologicalSpace α
h : t = ⊤
U : TopologicalSpace.Opens α
⊢ U = ⊥ ∨ U = ⊤
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
h : ∀ (B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R), B = B' ↔ (toMatrix₂' R) B = (toMatrix₂' R) B'
⊢ Aᵀ * J' = J * A' ↔ J.IsAdjointPair J' A A'
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
s : Primrec' fun v => (f v).sqrt
⊢ Primrec' fun v => (unpair (f v)).2
x : ℝ
⊢ Real.exp |x| ≤ Real.exp x + Real.exp (-x)
K : Type u_1
n : ℕ
s : Stream'.Seq (GenContFract.Pair K)
DivisionRing K
⊢ (GenContFract.squashSeq s (n + 1)).tail = GenContFract.squashSeq s.tail n
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i
⊢ ∑ i ∈ s, (fun i => w i / ∑ i ∈ s, w i) i = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set β
a : α
⊢ (a • s).Nonempty ↔ s.Nonempty
α : Type u_1
s t : Set α
ht : t.Finite
h : s ⊆ t
⊢ Nat.card ↑s ≤ Nat.card ↑t
E : Sort u_1
α : Sort u_3
β : Sort u_4
iE : EquivLike E α β
e : E
⊢ Function.Surjective ⇑e
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
m✝ : Nat
⊢ dropSlice n 0 l = l
α : Type u_2
Add α
s t₁ t₂ : Set α
⊢ t₁ ⊆ t₂ → s + t₁ ⊆ s + t₂
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
DecidableEq ι
p : ι → P
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (Finset.affineCombination k s p) (Finset.affineCombinationSingleWeights k i) = p i
x x' y y' : SetTheory.PGame
ih :
  ∀ (a : Surreal.Multiplication.Args),
    Surreal.Multiplication.ArgsRel a (Surreal.Multiplication.Args.P1 x y) → Surreal.Multiplication.P124 a
hx : x'.IsOption x
hy : y'.IsOption y
⊢ (x' * y').Numeric
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : S
x : R
hx : x ∈ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑(span {r})
⊢ (Algebra.norm R) r ∣ x
R : Type x
CommRing R
NoZeroDivisors R
a b : R
⊢ a * a = b * b ↔ a = b ∨ a = -b
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
⊢ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI) ⊆ C
E : Type u_1
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
T2Space E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
⊢ IsClosed (Euclidean.closedBall x r)
F : Type u_1
Field F
Fintype F
⊢ IsSquare (-1) ↔ Fintype.card F % 4 ≠ 3
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
⊢ ↑(filter (fun x => x ∈ {n | n % m = 1}) (Ioc 0 m)).card / ↑m ≤ (↑m)⁻¹
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p.natDegree ∈ p.support
⊢ p.content = gcd p.leadingCoeff p.eraseLead.content
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
this : IsSFiniteKernel ρCond
⊢ (ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ∫⁻ (a : α), (ρCond a) (Prod.mk a ⁻¹' {x} ×ˢ s) ∂ρ.fst
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
ι : Type u_2
φ : ι → ContDiffBump c
l : Filter ι
hφ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, (φ x).rOut < ε
ε : ℝ
hε : 0 < ε
i : ι
hi : (φ i).rOut < ε
⊢ (support fun x => (φ i).normed μ x) ∈ 𝒫 ball c ε
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
⊢ v (x * y) = v x * v y
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.length (w * cs.simple i) + 1 = cs.length w ↔ cs.length w = cs.length (w * cs.simple i) + 1
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : SecondCountableTopology V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
μ : Measure V
hf : AEStronglyMeasurable f μ
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x_1 => L x)) (f x)) μ
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
f : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)
n : ℕ
⊢ (I ^ n • ⊤).mkQ (∑ x : ι, (lof R ι M x) ((component R ι M x) (↑f n))) = (I ^ n • ⊤).mkQ (↑f n)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Module.Free R M
⊢ Function.Surjective LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofZeros S hf hg).H = S.X₂
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
⊢ IntervalIntegrable f volume a b ↔ IntervalIntegrable (fun x => f (-x)) volume (-a) (-b)
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
e : M ≃+ M₂
⊢ ↑e.toIntLinearEquiv = e
σ : Type u_1
k : Type u_3
Field k
DecidableEq σ
n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ k
⊢ (MvPowerSeries.coeff k n) φ⁻¹ =
  if n = 0 then ((MvPowerSeries.constantCoeff σ k) φ)⁻¹
  else
    -((MvPowerSeries.constantCoeff σ k) φ)⁻¹ *
      ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n,
        if x.2 < n then (MvPowerSeries.coeff k x.1) φ * (MvPowerSeries.coeff k x.2) φ⁻¹ else 0
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
AddCommGroup V₁
Module K V₁
f : Module.Dual K V₁
hf : f ≠ 0
⊢ LinearMap.range f = ⊤
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
h : p a
⊢ (Equiv.sumCompl p).symm a = Sum.inl ⟨a, h⟩
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
PosMulStrictMono α
h : 0 ≤ a * b
ha : 0 < a
⊢ 0 ≤ b
x y : ℝ
⊢ cos x ^ 2 = 1 - sin x ^ 2
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
hμ : MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ ↑⟨μ, hμ⟩ = μ
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃
x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂
x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁
h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃
h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂
this✝ : PreservesFiniteLimits (forget₂ C Ab)
this : PreservesFiniteLimits (forget C)
eq : (forget C).map (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ ≫ D.δ) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = (forget C).map (D.φ₁ ≫ D.v₂₃.τ₁) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂)
eq₁ : (pullback.fst D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₂
⊢ D.δ x₃ = D.v₂₃.τ₁ x₁
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
x : N
⊢ AddMonoid.Coprod.mk (FreeAddMonoid.of (Sum.inr x)) = AddMonoid.Coprod.inr x
M : Type u_3
CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M
⊢ ∏ i : Fin (a + b), f i = (∏ i : Fin a, f (Fin.castAdd b i)) * ∏ i : Fin b, f (Fin.natAdd a i)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
⊢ ContinuousAt f b ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 b, dist (f x) (f b) < ε
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K
h : hζ.toInteger - 1 ∣ ↑2
⊢ False
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
φ : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
ψ ψ' : (⨁ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
⊢ DFinsupp.equivFunOnFintype.symm (Pi.single i m) = (lof R ι M i) m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
J K : Type
Finite J
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
Finite K
f : J → C
g h : K → C
m : (j : J) → (k : K) → f j ⟶ g k
n : (k : K) → g k ⟶ h k
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.matrix m ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.map n =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.matrix fun j k => m j k ≫ n k
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
φ : L ≃ᴸ L'
⊢ ∀ (a : L.BoundedFormula Empty 0), φ.onSentence a = φ.toLHom.onBoundedFormula a
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
PartialOrder α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
a b : α
hb : μ {b} ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioc a b) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioo a b) μ
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
H : IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))
h✝ : IsEmpty α
⊢ IsClosed (range ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F))
α β : Type u
A : α → PSet
B : β → PSet
αβ : ∀ (a : α), ∃ b, (A a).Equiv (B b)
a : (⋃₀ PSet.mk α A).Type
⊢ ∃ b, ((⋃₀ PSet.mk α A).Func a).Equiv ((⋃₀ PSet.mk β B).Func b)
R : Type u
CommSemiring R
f : R[X]
𝓟 : Ideal R
⊢ f.IsEisensteinAt 𝓟 ↔ f.leadingCoeff ∉ 𝓟 ∧ (∀ {n : ℕ}, n < f.natDegree → f.coeff n ∈ 𝓟) ∧ f.coeff 0 ∉ 𝓟 ^ 2
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x✝ : ℤ × Fin n
q : ℤ
r : ℕ
hrn : r < n
h1 : 0 ≤ ↑r
h2 : ↑r < ↑n
⊢ (q * ↑n + ↑r) / ↑n = q ∧ ↑↑((q * ↑n + ↑r).natMod ↑n) = r
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r : ℝ
hr : 1 < r
this : Tendsto (fun x => x ^ k) (𝓝[>] 1) (𝓝 1)
r' : ℝ
hr' : r' ^ k < r
h1 : 1 < r'
h0 : 0 ≤ r'
n : ℕ
⊢ ‖↑n‖ ≤ (r' - 1)⁻¹ * ‖r' ^ n‖ * ‖1‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝ : MeasurableSpace γ
s : Set δ
t : (i : δ) → Set (π i)
hs : s.Countable
h : (s.pi t).Nonempty
⊢ MeasurableSet (s.pi t) ↔ (∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)) ∨ s.pi t = ∅
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
⊢ (μ + ν).toSignedMeasure = μ.toSignedMeasure + ν.toSignedMeasure
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Z : C
inst✝ : HasLeftDual Z
f : Y ⟶ ᘁZ
⊢ 𝟙 Y ⊗≫ (𝟙_ C ◁ f ≫ η_ (ᘁZ) Z ▷ ᘁZ) ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z = f ⊗≫ η_ (ᘁZ) Z ▷ ᘁZ ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 ≤ s2 ∧ ∃ p ∈ s2, p ∉ s1
p : P
hp : p ∈ ↑s1
⊢ s1.direction < s2.direction
α : Type u_3
CommMonoid α
s : Multiset α
⊢ s.prod = Multiset.foldr (fun x x_1 => x * x_1) ⋯ 1 s
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
G : Type u_3
SMul G β
IsScalarTower G β β
a : G
x : β
⊢ CauSeq.const abv (a • x) = a • CauSeq.const abv x
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f p : R[X]
n : ℕ
x : R
x✝ : (aeval (root f)) (C x * X ^ n) = (mk f) (C x * X ^ n)
⊢ (aeval (root f)) (C x * X ^ (n + 1)) = (mk f) (C x * X ^ (n + 1))
R : Type u_1
Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ (Polynomial.trinomial k m n u v w).mirror = Polynomial.trinomial k (n - m + k) n w v u
R : Type u_1
CommRing R
Ideal.IsJacobson R
σ : Type u_2
Finite σ
S : Type u_3
Field S
f : MvPolynomial σ R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (f.comp MvPolynomial.C).IsIntegral
x : ℂ
hx : 0 ≤ x.im
⊢ (x ^ 2⁻¹).im = √((Complex.abs x - x.re) / 2)
G : Type u_3
Group G
a b c : G
h : b = a * c
⊢ a⁻¹ * b = c
α : Type u
HasSubset α
HasSSubset α
IsNonstrictStrictOrder α (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun x x_1 => x ⊂ x_1
a b : α
IsAntisymm α fun x x_1 => x ⊆ x_1
h₁ : a ⊆ b
h₂ : a ≠ b
⊢ a ⊂ b
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
x : N
⊢ (P.coreflection i) ((P.coreflection i) x) = x
r : ℝ
hn : r < 0
⊢ (-r).sign = -r.sign
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ✝ : Type u_1
δ : Type u_2
γ : α ⊕ β → Sort u_3
p : ((ab : α ⊕ β) → γ ab) → Prop
⊢ (¬∀ (fa : (val : α) → γ (inl val)) (fb : (val : β) → γ (inr val)), ¬p fun t => rec fa fb t) ↔ ∃ fa fb, p fun t => rec fa fb t
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
i : ι
hl : l.HasBasis p s
hi : p i
⊢ s i ∈ l
R : Type u_1
A : Type u_2
K✝ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K✝
inst✝ : IsDedekindDomain R
J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ0 : ¬J = 0
I' : Ideal R
hJ : J ∣ K * I'
⊢ K * J ∣ K * I'
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
h : ∀ (K K' : LieSubalgebra R L), ↑K ≤ ↑K' ↔ K ≤ K'
⊢ IsGLB S (sInf S)
T : Type w
CommRing T
p : Polynomial T
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
⊢ p.aroots S = (Polynomial.map (algebraMap T S) p).roots
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
⊢ Function.Injective ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMap
x : { x // 0 < x }
z : ℍ
⊢ (x • z).re = ↑x * z.re
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
PosSMulMono α β
a : α
s : Set β
hs : BddBelow s
ha : 0 ≤ a
⊢ BddBelow (a • s)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hfg : f =ᶠ[𝓝[≠] x] g
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ (m + 1) • g z) x
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
Countable G
h_meas : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → MeasureTheory.AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ
h_measure_univ_le : μ Set.univ ≤ ∑' (g : G), μ (g • s)
⊢ MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_12
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)
(x : M) → TopologicalSpace (V x)
FiberBundle F V
s : Cₛ^⊤⟮I; F, V⟯
⊢ MDifferentiable I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) fun x => Bundle.TotalSpace.mk' F x (s x)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ ↑‖MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c‖₊ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
⊢ ConnectedComponents.mk ⁻¹' {ConnectedComponents.mk x} = connectedComponent x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ W.Nonsingular P ↔ W.Equation P ∧ ((eval P) W.polynomialX ≠ 0 ∨ (eval P) W.polynomialY ≠ 0)
G : Type u_1
DivInvMonoid G
a : G
n : ℕ
⊢ a ^ Int.negSucc n = (a ^ (n + 1))⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
f : CategoryTheory.Under X
⊢ ((CategoryTheory.underToAlgebra X).obj f).a =
  CategoryTheory.Limits.coprod.desc f.hom (CategoryTheory.CategoryStruct.id f.right)