ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
h : ℝ → ℝ := fun x => (g b - g a) * f x - (f b - f a) * g x
hI : h a = h b
h' : ℝ → ℝ := fun x => (g b - g a) * f' x - (f b - f a) * g' x
⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, (g b - g a) * f' c = (f b - f a) * g' c
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
z : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hz : z ∈ s
m : Fin 2 → E
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 2 f s z) m = ((fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s z) (m 0)) (m 1)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
self : GaloisCoinsertion l u
⊢ GaloisConnection l u
α : Type u
AddGroup α
x y : AddGroupTopology α
⊢ (x ⊓ y).toTopologicalSpace = x.toTopologicalSpace ⊓ y.toTopologicalSpace
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
H H' : C ⥤ D
α : H ≅ H'
X : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ ((CategoryTheory.Functor.functorialityCompPrecompose α).inv.app X).hom = α.inv.app X.pt
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommGroup M'
Module R M'
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
f : M →ₗ[R] M'
v : Basis ι R M
v' : Basis ι R M'
h : IsUnit ((LinearMap.toMatrix v v') f).det
⊢ ↑(LinearEquiv.ofIsUnitDet h) = f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a : X
⊢ (Path.refl a).trans (Path.refl a) = Path.refl a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
⊢ Kᗮᗮ = K
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
a : α
hs : s.Finite
h : s.Nonempty
⊢ sSup s < a ↔ ∀ x ∈ s, x < a
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p.1 + p.2 = n
hq : q.1 + q.2 = n
h : p.1 = q.1
⊢ q.1 + p.2 = q.1 + q.2
α : Type u_1
AddCommGroup α
n : ℤ
x a : α
⊢ Mathlib.Tactic.Abel.termg n x a = n • x + a
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
g : GenContFract K := of v
nextConts : Pair K := g.contsAux (n + 2)
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
pred_conts_eq : pred_conts = g.contsAux n
gp : Pair K
s_nth_eq : g.s.get? n = some gp
gp_a_eq_one : gp.a = 1
⊢ |v - g.convs n| ≤ 1 / (conts.b * nextConts.b)
l r : List Char
it : String.Iterator
⊢ String.Iterator.ValidFor l r it → it.curr = r.headD default
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C (Type w)
τ₁ : F ⟶ F₁
τ₂ : F ⟶ F₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.FunctorToTypes.prod.lift τ₁ τ₂)
    CategoryTheory.FunctorToTypes.prod.snd =
  τ₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
unmop : C
⊢ ((CategoryTheory.MonoidalOpposite.unmopEquiv C).inverse.obj unmop).unmop = unmop
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
this : map Prod.fst (Finset.map m.coeEmbedding Finset.univ).val = m
⊢ map (fun x => x.fst) Finset.univ.val = m
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.powerset.Nonempty
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ ∀ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, T'' (↑f ⁻¹' {x}) = T (↑f ⁻¹' {x}) + T' (↑f ⁻¹' {x})
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Bialgebra R A
f g : A →ₐc[R] R
⊢ f = g
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
m : MeasurableSpace α
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => (Multiset.map (fun f => f x) s).sum
α : Type u_1
f : Filter α
ma mb : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hma : Filter.Tendsto ma f (𝓝 a)
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0
hmb : Filter.Tendsto mb f (𝓝 b)
hb : b ≠ ⊤ ∨ a ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun a => ma a / mb a) f (𝓝 (a / b))
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ ∀ (a_1 b : α), a_1 ⊔ b = a ∧ a_1 ≠ a ∧ b ≠ a ↔ a_1 ⊔ b = a ∧ a_1 < a ∧ b < a
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ↑ε
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
e : α ≃o β
s : Set α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddAbove s
⊢ e (sSup s) = ⨆ x, e ↑x
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
⊢ IsNilpotent (mulRight R a) ↔ IsNilpotent a
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
i : σ
⊢ (single i 1).degree = 1
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ ((toLinearMap₂' R) J).IsAdjointPair ((toLinearMap₂' R) J') (toLin' A) (toLin' A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
Preorder δ
op : β → γ → δ
hop : ((fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ≤ x_1) op op
hf : IsMaxOn f s a
g : α → γ
hg : IsMaxOn g s a
⊢ IsMaxOn (fun x => op (f x) (g x)) s a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y x' y' : α
l l' : List α
hd : (x :: y :: l).Nodup
hd' : (x' :: y' :: l').Nodup
h : ∀ (x_1 : α), (x :: y :: l).formPerm x_1 = (x' :: y' :: l').formPerm x_1
hx : x' ∈ x :: y :: l
n : ℕ
hn : n < (x :: y :: l).length
hx' : (x :: y :: l).get ⟨n, hn⟩ = x'
⊢ (x :: y :: l) ~r (x' :: y' :: l')
n m : Nat
⊢ LE.le n.succ m.succ → LE.le n m
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
S : WSeq (WSeq α)
⊢ Seq.IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s S, s1 = s.append (map f S.join) ∧ s2 = s.append (map (map f) S).join
α : Type u
AddMonoid α
u : AddUnits α
a : α
⊢ ↑u + a = 0 ↔ ↑(-u) = a
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α →o β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
G : Type u_3
Group G
a b : G
⊢ a * b = 1 ↔ a = b⁻¹
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : ∀ (y : ℝ), x < y → LSeriesSummable f ↑y
y : EReal
hy : ∀ (a : ℝ), LSeriesSummable f ↑a → y ≤ ↑a
H : ∀ (a : EReal), ↑x < a → y ≤ a
⊢ y ≤ ↑x
α : Type u_2
ι : Type u_5
DistribLattice α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
a : α
⊢ a ⊔ s.inf' hs f = s.inf' hs fun i => a ⊔ f i
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
Preorder 𝕆
LinearOrder α
GradeOrder 𝕆 α
a b : α
⊢ grade 𝕆 a ≤ grade 𝕆 b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x✝ : ℕ
x : ℕ := x✝
hx : x✝ ∈ s
t : List ↑s := List.pmap (fun y hy => ⟨y, hy⟩) (List.filter (fun y => decide (y ∈ s)) (List.range x)) ⋯
ht : t = List.pmap (fun y hy => ⟨y, hy⟩) (List.filter (fun y => decide (y ∈ s)) (List.range x)) ⋯
hmt : ∀ {y : ↑s}, y ∈ t ↔ y < ⟨x, hx⟩
wf : ∀ (m : ↑s), t.maximum = ↑m → ↑m < x
m : ↑s
hmax : t.maximum = ↑m
a : ℕ
ha : ofNat s a = ⟨↑m, ⋯⟩
⊢ ⟨x✝, hx⟩ ≤ succ (ofNat s a)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
j k : ι
⊢ IsIntegral A (if k = i then (Algebra.trace K L) (x * a * b j) else traceMatrix K (⇑b) j k)
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
s₁ s₂ : Set α
hd : Disjoint s₁ s₂
h₁ : P s₁
h₂ : P s₂
⊢ MeasureTheory.extend m (s₁ ∪ s₂) = MeasureTheory.extend m s₁ + MeasureTheory.extend m s₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : s.Countable
⊢ MeasurableSet s
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ IsClosedMap f ↔ ∀ (s : Set X) (y : Y), MapClusterPt y (𝓟 s) f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x (𝓟 s)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
h : e.IsImage s t
⊢ ↑e.symm '' (e.target ∩ t) = e.source ∩ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = ⊤
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
⊢ closure {σ, swap x (σ x)} = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : LinearOrder m
M : Matrix m m R
h : M.BlockTriangular ⇑toDual
⊢ Mᵀ.det = ∏ i : m, M i i
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ Set.range ⇑((fun x => pullback.snd (𝒰.map x) f) ((fun x => 𝒰.f (f.val.base x)) x)).val.base
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α
inst✝¹³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹² : TopologicalSpace β
inst✝¹¹ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : MeasurableSpace γ
inst✝⁷ : BorelSpace γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ₂
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁴ : BorelSpace γ₂
inst✝³ : MeasurableSpace δ
α' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace α'
inst✝¹ : MeasurableSpace α'
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g sᶜ
hs : MeasurableSet s
t : Set γ
ht : IsOpen t
⊢ MeasurableSet (g ⁻¹' t \ s)
R : Type u_1
CommSemiring R
CharP R 2
l : List R
⊢ l.sum ^ 2 = (List.map (fun x => x ^ 2) l).sum
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
x : C(↑s, 𝕜)
⊢ x ∈ ↑(StarAlgebra.adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}) ↔ x ∈ ↑(span 𝕜 ({1} ∪ ↑(adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
n : ℕ
⊢ deriv^[n + 1] cexp = cexp
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ 0 < RCLike.normSq z ↔ z ≠ 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ fract 0 = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ ∈ s
a : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a
⊢ (fun a_1 => sup fun n => (fun x => a * x)^[n] a_1) 1 = sup fun n => a ^ ↑n
q : ℚ≥0
⊢ ↑q = ↑q
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a b : α
f : β → α
l : List β
⊢ Chain' R (map f l) ↔ Chain' (fun a b => R (f a) (f b)) l
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype fun x => x ∈ s) s.attach = s
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
f : β ≃ α
⊢ Ordinal.lift.{u, v} (Ordinal.type fun x y => r (f x) (f y)) = Ordinal.lift.{v, u} (Ordinal.type r)
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : StandardBorelSpace α
inst✝¹ : Infinite α
inst✝ : Countable α
⊢ Nonempty (α ≃ᵐ ↑(range Nat.cast))
ι : Type u_1
Fintype ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ MeasureTheory.volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} =
  ENNReal.ofReal ((Real.pi * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ Fintype.card ι / Real.Gamma (2 * ↑(Fintype.card ι) / p + 1))
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : GeneralizingMap f
⊢ StableUnderGeneralization (Set.range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α →. β
(x : α) → Decidable (f x).Dom
s : Finset α
b : β
⊢ b ∈ Finset.pimage f s ↔ ∃ a ∈ s, b ∈ f a
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ ↑q.den * ↑r.den * (q * r).num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
α : Type u_1
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable σ
f : α → Option σ
hf : Primrec f
⊢ Primrec fun o => o.bind f
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : Subgroup G
hG✝ : Group.IsNilpotent G
n : ℕ
hG : lowerCentralSeries G n = ⊥
this : map H.subtype (lowerCentralSeries (↥H) n) ≤ lowerCentralSeries G n
⊢ lowerCentralSeries (↥H) n = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ENNReal
f : ℕ → α → β
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Memℒp (f n) p μ
hf_tendsto : Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n) p μ) Filter.atTop (nhds 0)
⊢ MeasureTheory.UnifTight f p μ
a : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length
k✝ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1
n✝ : Primrec Prod.snd
k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).1
n : Primrec fun a => a.1.2
⊢ Primrec fun p => (fun p k' => Code.recOn (ofNat (ℕ × Code) p.1.length).2 (some 0) (some p.2.succ) (some (unpair p.2).1) (some (unpair p.2).2) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) p.2 let y ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cg) p.2 some (Nat.pair x y)) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cg) p.2 Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) x) (fun cf cg x x => let z := (unpair p.2).1; Nat.casesOn (unpair p.2).2 (Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) z) fun y => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 (k', (ofNat (ℕ × Code) p.1.length).2) (Nat.pair z y) Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cg) (Nat.pair z (Nat.pair y i))) fun cf x => let z := (unpair p.2).1; let m := (unpair p.2).2; do let x ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) (Nat.pair z m) Nat.casesOn x (some m) fun x => Nat.Partrec.Code.lup p.1 (k', (ofNat (ℕ × Code) p.1.length).2) (Nat.pair z (m + 1))) p.1 p.2
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
self : IsLocalRingHom f
a : R
⊢ IsUnit (f a) → IsUnit a
n : ℕ
this : ∑ i ∈ n.divisors, ↑(μ i) * -Real.log ↑(n / i) = ∑ i ∈ n.divisors, (↑(μ i) * Real.log ↑i - ↑(μ i) * Real.log ↑n)
⊢ ∑ x ∈ n.divisors, ↑(μ x) * Real.log ↑x = ∑ i ∈ n.divisors, ↑(μ i) * -Real.log ↑(n / i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
⊢ CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.counitIso.inv = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Type u_7
π : ι → Type u_8
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : α → (i : ι) → π i
s : Set α
hf : ∀ (i : ι), ContinuousOn (fun y => f y i) s
⊢ ContinuousOn f s
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ (QInfty ≫ QInfty).f n = QInfty.f n
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
P : Type u_6
Group N
Group P
g : N →* P
f : G →* N
⊢ Subgroup.comap f g.ker = (g.comp f).ker
m n✝ n : ℕ
a : ℤ
inst✝ : NeZero n
hle : 0 ≤ ↑(↑a).val
hlt : ↑(↑a).val < ↑n
⊢ ↑(↑a).val % ↑n = a % ↑n
ι : Sort u_1
f✝ : ι → ℕ
s✝ : Set ℕ
f : ι → ℕ∞
s : Set ℕ∞
⊢ sInf s < 1 ↔ 0 ∈ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_5
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : IsClosed ↑g.graph
⊢ ⇑(ContinuousLinearMap.ofIsClosedGraph hg) = ⇑g
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Antitone f
hf0 : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
hzb : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ Finset.range n, z i‖ ≤ b
⊢ CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i • z i
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
h₁ : IsOpen s
⊢ s ⊆ interior t ↔ s ⊆ t
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
y : α
hy : y ∈ A (res x n)
z : α
hz : z ∈ A (res x n)
⊢ edist y z < ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
PartialOrder α
Preorder β
a b : α
h : StrictMono f
⊢ Set.MapsTo f (Set.Ico a b) (Set.Ico (f a) (f b))
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
⊢ (⨆ x, ↑(μ.toFun ↑x)) + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R \ s
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
F : ℂ → E := dslope f w
hws : (insert w s).Countable
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f w
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R
⊢ basicOpen (f * g) ≤ basicOpen f
M : Type u_4
Monoid M
l : List Mᵐᵒᵖ
⊢ MulOpposite.unop l.prod = (List.map MulOpposite.unop l).reverse.prod
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Ideal.comap f ⊥ ≤ I
⊢ Real.eulerMascheroniSeq' 6 < 2 / 3
α : Type u_1
a : WithTop α
⊢ WithBot.ofDual.symm a = WithTop.toDual a
a b : ℤ
b0 : ¬b = 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a * ↑d = n * b
⊢ d ∣ n.natAbs * b.natAbs
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p n d : ℕ
h : n.minSqFac = some d
m : ℕ
m2 : 2 ≤ m
md : m * m ∣ n
this : n.MinSqFacProp n.minSqFac
⊢ d ≤ m
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.96949, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96953, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
s : S₁.Splitting
e : S₁ ≅ S₂
⊢ (e.inv.τ₂ ≫ s.r ≫ e.hom.τ₁) ≫ S₂.f + S₂.g ≫ e.inv.τ₃ ≫ s.s ≫ e.hom.τ₂ = 𝟙 S₂.X₂
a b : UInt32
h : a.val ≠ b.val
⊢ a ≠ b
α : Type u_1
Finite α
e : α ↪ α
⊢ e.equivOfFintypeSelfEmbedding.toEmbedding = e
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : Filter α
h : μ.FiniteAtFilter f
⊢ μ.FiniteAtFilter (f ⊓ g)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
⊢ image2 f (s ∪ s') (t ∩ t') ⊆ image2 f s t ∪ image2 f s' t'
α : Type u_1
R : Type u_2
Add R
Mul R
Neg R
One R
Zero R
FirstOrder.Ring.CompatibleRing R
v : α → R
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize v 0 = 0
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ (Set.Ico a b).OrdConnected
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.23801, u_1} D
P : MorphismProperty C
inst✝ : P.RespectsIso
⊢ P.map (𝟭 C) = P
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b c d : α
⊢ a / b * (c / d) = a * c / (b * d)
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
h : Perfect (closure C)
x : α
xC : x ∈ C
H : ∃ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ≠ x ∧ y ∈ closure C
⊢ ∃ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ≠ x ∧ y ∈ C
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s✝ : UpperSet α
a : α
s t : UpperSet α
hst : s ⊓ t = Ici a
this : a ∈ Ici a
⊢ s = Ici a ∨ t = Ici a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Comonad C
X : T.Coalgebra
⊢ (CategoryTheory.Comonad.beckFork X).ι = X.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε
a b c : Prop
⊢ a ∨ b ∨ c ↔ b ∨ a ∨ c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
f : γ → α
⊢ ∀ ib ∈ 𝓤 β, ∃ ia ∈ 𝓤 β, ∀ x ∈ UniformFun.gen α β ia, (ofFun (toFun x.1 ∘ f), ofFun (toFun x.2 ∘ f)) ∈ UniformFun.gen γ β ib
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
⊢ ↑(∫ (t : ℝ) in Ioi 0, t ^ (a - 1) * rexp (-(r * t))) = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (↑a - 1) * cexp (-(↑r * ↑t))
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
⊢ LieModule.weightSpaceChain M χ₁ χ₂ p q = ⨆ k ∈ Finset.Ioo p q, LieModule.weightSpace M (k • χ₁ + χ₂)
a✝ b n✝ n a : ℕ
⊢ (n.ceilRoot a).factorization = a.factorization ⌈/⌉ n
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℂ
ht : t ≠ -1
this : t + 1 ≠ 0
⊢ IntervalIntegrable (fun y => ↑y * (1 + ↑y ^ 2) ^ t) MeasureTheory.volume a b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
hf : ContMDiff I I' n f
⊢ ContMDiffOn I I' n f s
α : Type u_1
ι : Type u_3
DistribLattice α
OrderBot α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
⊢ (s.sigma g).SupIndep f