ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
w : ι → Rˣ
⊢ e.det ⇑(e.unitsSMul w) = ∏ i : ι, ↑(w i)
α : Type u_1
F : Type u_3
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
c : ℝ
f : MeasureTheory.SimpleFunc α F
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc (fun s => c • T s) f = c • MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁷ : Countable ι
f✝ g✝ : α✝ → β
mα : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
α : Type u_5
E : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : AddGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : PseudoMetrizableSpace E
g f : α → E
hg : Measurable g
φ : ℕ → α →ₛ E
hφ : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(φ n) x) atTop (𝓝 (f x))
⊢ Measurable (f + g)
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
k : ℕ
hg : (filter (fun v => Odd (G.degree v)) univ).card = k + k
hk : 0 < k
⊢ Odd (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℤ
hn : 0 ≤ n
k : ℕ
hm : 0 ≤ ↑k
⊢ A ^ (↑k + n) = A ^ ↑k * A ^ n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
⊢ Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
U₁ U₂ : Submodule R M
x y : M
HU : U₁ ≤ U₂
hxy : x ≡ y [SMOD U₁]
⊢ x ≡ y [SMOD U₂]
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
g : G
⊢ ∃ S ∈ Subgroup.leftTransversals ↑H, g ∈ S
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : ↑x.toCircle = ↑y.toCircle
⊢ x = y
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
⊢ ((∫ (y : ℝ) in Set.Icc a.2 b.2, f (b.1, y)) - ∫ (y : ℝ) in Set.Icc a.2 b.2, f (a.1, y)) + ((∫ (x : ℝ) in Set.Icc a.1 b.1, g (x, b.2)) - ∫ (x : ℝ) in Set.Icc a.1 b.1, g (x, a.2)) = (((∫ (x : ℝ) in a.1 ..b.1, g (x, b.2)) - ∫ (x : ℝ) in a.1 ..b.1, g (x, a.2)) + ∫ (y : ℝ) in a.2 ..b.2, f (b.1, y)) - ∫ (y : ℝ) in a.2 ..b.2, f (a.1, y)
α : Type u_1
a b : α
f : Filter α
hb : b ≠ a
⊢ IsOpen {b}
R : Type u_1
n : ℕ
⊢ (1 + 1) ^ (2 * n) = ∑ m ∈ range (2 * n + 1), (2 * n).choose m
α : Sort u_1
Setoid α
⊢ ⇑(Function.Embedding.quotientOut α) = Quotient.out
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
⊢ (b.reindex e) i' = b (e.symm i')
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderTop α
⊢ IsAtomic αᵒᵈ ↔ IsCoatomic α
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
⊢ ¬A.valuation ↑a = 1 ↔ A.valuation ↑a < 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Add α
inst✝⁵ : Sub α
inst✝⁴ : OrderedSub α
a✝ b✝ c d : α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : Add β
inst✝¹ : Sub β
inst✝ : OrderedSub β
f : AddHom α β
hf : Monotone ⇑f
a b : α
⊢ f a ≤ f (a - b + b)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
inst✝ : PreservesFiniteProducts G
X : C
x : G.obj (op X)
α : Type
w✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π))
h' : ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f x).arrows (π a)
y : (a : α) → F.obj (op (Y a)) := fun a => Exists.choose ⋯
x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α
ht : IsLimit (Types.productLimitCone fun a => F.obj (op (Y a))).cone := (Types.productLimitCone fun a => F.obj (op (Y a))).isLimit
ht' : IsLimit (Cone.whisker (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π))) := (Functor.Initial.isLimitWhiskerEquiv (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π))).symm h.some.op
i : ((a : α) → F.obj (op (Y a))) ≅ F.obj (op X) := ht.conePointsIsoOfNatIso (isLimitOfPreserves F ht') (Discrete.natIso fun x => Iso.refl (F.obj (op (Y x.as))))
a : α
this : f.app (op (Y a)) (y a) = G.map (π a).op x
⊢ (f.app (op (Y a))) ((F.map (π a).op) (i.hom y)) = f.app (op (Y a)) (y a)
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
⊢ ↑(ρ.finsupport x₀) = Function.support fun i => (ρ i) x₀
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction₂ X Y
⊢ φ.symm.add = φ.add
n : ℤ
⊢ n.sign = ↑(SignType.sign n)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
InfSet α
f : ι → α
g : ι' → α
h : ι → ι'
h1 : Function.Surjective h
h2 : ∀ (x : ι), g (h x) = f x
⊢ ⨅ x, f x = ⨅ y, g y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
f : E → G
x : E × F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x.1
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x.1) x
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : f a = 0
⊢ ∑ x ∈ s.erase a, f x = ∑ x ∈ s, f x
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
r : ℝ
⊢ re ((starRingEnd K) ↑r) = re ↑r ∧ im ((starRingEnd K) ↑r) = im ↑r
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
p : α → Bool
a : α
l : List α
h : p a = true
b : α
⊢ decide (b = a) = true ∧ p b = true ↔ b = a
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑(-x) ^ (u - 1) * (1 - ↑(-x)) ^ (v - 1)) volume (-(1 / 2)) (-1)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi D)
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.functorExtension₁ C D).obj F = CategoryTheory.Idempotents.FunctorExtension₁.obj F
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ nndist x y = (dist x y).toNNReal
n : ℕ
h_s : (n + 1).Coprime (2 * n + 1)
⊢ n + 1 ∣ (2 * n + 1) * n.centralBinom
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I I' : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
hI' : I' ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
a : R
J : Ideal R
ha : a ≠ 0
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
ha_ne_zero : Associates.mk (Ideal.span {a}) ≠ 0
hJ_ne_zero : Associates.mk J ≠ 0
⊢ count K v (I * I') = count K v I + count K v I'
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
⊢ ↑(Algebra.Generators.Hom.equivAlgHom f) = f.toAlgHom
k : Type u_1
K : Type u_2
Field k
Ring K
IsDomain K
hk : IsAlgClosed k
Algebra k K
Algebra.IsIntegral k K
⊢ Function.Surjective ⇑(algebraMap k K)
α : Type u_1
a b : Array α
h₁ : a.size = b.size
h₂ : ∀ (i : Nat) (hi₁ : i < a.size) (hi₂ : i < b.size), getElem a i hi₁ = getElem b i hi₂
⊢ a = b
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
z : A
⊢ (algebraMap A (CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q))) z * (ofBaseChangeAux A Q) 1 = (algebraMap A (CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q))) z
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x y : α → Σˣ f
xy : x ≈ y
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Sigma.fst ∘ x) a) ∩ upperBounds (range fun a => (Sigma.fst ∘ y) a)
⊢ ∃ i, ∃ (hx : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))) (hy : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ y))), unify f x i hx = unify f y i hy
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b c : G
⊢ a - b = c - b + (a - c)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
s' : Set X
t' : Set Y
h : e.IsImage s t
h' : e.IsImage s' t'
⊢ e.IsImage (s \ s') (t \ t')
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ xz a1 (m - n) = xz a1 m * xz a1 n + ↑(Pell.d a1) * yz a1 m * -yz a1 n
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderTop α
OrderBot β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
b₁ b₂ : β
⊢ Finset.Ioc (Sum.inrₗ b₁) (Sum.inrₗ b₂) = Finset.map (Function.Embedding.inr.trans toLex.toEmbedding) (Finset.Ioc b₁ b₂)
n k : ℕ
h : 0 < n
⊢ (n - 1)! * n.ascFactorial k = (n + k - 1)!
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ LocallyConnectedSpace α ↔ ∀ (x : α), ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ V ∈ 𝓝 x, IsPreconnected V ∧ V ⊆ U
M : Type u_1
Monoid M
⊢ IsMonoidHom fun x => ↑x
f g : MulRingNorm ℚ
h : ∀ (n : ℕ), f ↑n = g ↑n
z : ℚ
⊢ f z = g z
a b c : Nat
⊢ a - (b + c) = a - c - b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.commMonFunctorCategoryEquivalence C D).inverse =
  CategoryTheory.Monoidal.CommMonFunctorCategoryEquivalence.inverse
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
⊢ IsLocalHomeomorph f
α : Type u
s : Set α
⊢ {x | x ∈ s ∧ True} = s
a b : ℤ
r : ℤ
hr : 0 < r
⊢ Finset.filter (fun x => r ∣ x) (Finset.Ico a b) =
  Finset.map { toFun := fun x => x * r, inj' := ⋯ } (Finset.Ico ⌈↑a / ↑r⌉ ⌈↑b / ↑r⌉)
f✝ f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
⊢ (fun a => sup fun n => f^[n] a) = nfp f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
a₁ a₂ : α
f : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hf : f ∈ our_ideal
ha₁ : (a₁, ↑(F a₁)) ∈ ↑f
g : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hg : g ∈ our_ideal
ha₂ : (a₂, ↑(F a₂)) ∈ ↑g
⊢ a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
⊢ (T n).degree = (C 1 * T n).degree
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
⊢ (∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0) ↔ T = 0
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α
⊢ toDFinsupp {a} = DFinsupp.single a 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
⊢ Tendsto (fun n => setToFun μ T hT (fs n)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ AntilipschitzWith 1 ⇑f
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
s t : Set α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : MeasurableSMul G α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s μ
fund_dom_t : IsFundamentalDomain G t μ
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U
⊢ (Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (μ.restrict s)) U = (Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (μ.restrict t)) U
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g σ : Perm α
⊢ σ.support = ∅ ↔ σ = 1
α : Type u_1
LE α
a : α
⊢ a ∉ ⊤
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
i : ι
x : ↥(A i)
⊢ ((LinearEquiv.ofBijective (coeLinearMap A) h).symm ↑x) i = x
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
t : ℝ
ht : t ∈ s
hsrc✝ : γ t ∈ (extChartAt I (γ t₀)).source
hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source
⊢ ∀ (x : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t), ((mfderiv I I (↑(chartAt H (γ t₀))) (γ t)).comp (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))) x = (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) x
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
X✝ Y✝ Z✝ : HomologicalComplex C₂ c₂
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
i✝¹ : I₁
i✝ : I₂
⊢ (F.obj (K₁.X i✝¹)).map (f.f i✝ ≫ g.f i✝) = (F.obj (K₁.X i✝¹)).map (f.f i✝) ≫ (F.obj (K₁.X i✝¹)).map (g.f i✝)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
h6 : ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ (fun z => f z - v) y
⊢ f z - v = 0
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A✝ : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A✝
inst✝¹² : Algebra R A✝
inst✝¹¹ : Module A✝ M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A✝
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A✝ M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
A : Type u_6
Aₛ : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommSemiring Aₛ
inst✝² : Algebra A Aₛ
inst✝¹ : Algebra R Aₛ
inst✝ : IsScalarTower R A Aₛ
⊢ ((∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R Aₛ)) ↑x)) ∧ (∀ (y : Aₛ), ∃ x, x.2 • y = (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x.1) ∧ ∀ {x₁ x₂ : A}, (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x₁ = (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x₂ → ∃ c, c • x₁ = c • x₂) ↔ (∀ (y : ↥(Algebra.algebraMapSubmonoid A S)), IsUnit ((algebraMap A Aₛ) ↑y)) ∧ (∀ (z : Aₛ), ∃ x, z * (algebraMap A Aₛ) ↑x.2 = (algebraMap A Aₛ) x.1) ∧ ∀ {x y : A}, (algebraMap A Aₛ) x = (algebraMap A Aₛ) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
NormedAddCommGroup γ
f : α → β
g : α → γ
hg : MeasureTheory.HasFiniteIntegral g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ ≤ ‖g a‖
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a → α
xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩
yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : (P F).B a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).1) <$> abs ⟨a, fun i => ⟨(f₀ i, f₁ i), ⋯⟩⟩ = x ∧ (fun t => (↑t).2) <$> abs ⟨a, fun i => ⟨(f₀ i, f₁ i), ⋯⟩⟩ = y
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
r : ℝ
hr : r ≤ 0
⊢ φ ((algebraMap ℝ C(X, ℝ)) r).toNNReal - φ (-(algebraMap ℝ C(X, ℝ)) r).toNNReal = (algebraMap ℝ A) r
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
R : Type u_4
Semiring R
DistribMulAction R M
ContinuousConstSMul R M
r : R
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ ↑(r • v) = r • ↑v
α : Type u
Zero α
⊢ 0 ≠ ⊥
R : Type u_1
a b c d : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ { a := a, b := b, c := c, d := d }.toPoly.degree = 3
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
⊢ IsLocalization.mk' S x y * (algebraMap R S) ↑y = (algebraMap R S) x
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False
a✝ : Nontrivial α
x y : α
hne : x ≠ y
z : α
⊢ z ∈ {x, y}
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : Set P
h : affineSpan k s₁ ∥ affineSpan k s₂
⊢ (affineSpan k s₁).direction = (affineSpan k s₂).direction
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : _root_.IsIntegral R x
J : Ideal S
hJ : J ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)
this : multiplicity J (Ideal.map (algebraMap R S) I) = multiplicity (↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩)) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
⊢ Multiset.count J (normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)) = Multiset.count J (Multiset.map (fun f => ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm f)) (normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))).attach)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌊a⌋ < z ↔ a < ↑z
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
ps : Set P
self : EuclideanGeometry.Concyclic ps
⊢ EuclideanGeometry.Cospherical ps
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
⊢ {K | |discr ↥↑K| ≤ ↑N}.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
⊢ Primrec₂ fun p a => p.1
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
hl : l.HasBasis p s
h : ∀ (i : ι), p i → ∃ i', p' i' ∧ s' i' ⊆ s i
h' : ∀ (i' : ι'), p' i' → ∃ i, p i ∧ s i ⊆ s' i'
⊢ l.HasBasis p' s'
M : Type u_2
MulOneClass M
x : Submonoid M
⊢ ↑x.op = MulOpposite.unop ⁻¹' ↑x
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle x (x - y)) * ‖x - y‖ = ‖y‖
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ Tendsto (fun i => μ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)}) l (𝓝 0)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
k : ℤ
hk : k ∈ Set.Ioo p q
⊢ LieModule.weightSpace M (k • χ₁ + χ₂) ≤ LieModule.weightSpaceChain M χ₁ χ₂ p q
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
⊢ StronglyMeasurable (uncurry u)
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s
x : α
hx : x ∈ s
hxa : x ≠ a
⊢ x ∈ ⇑(swap a b) '' s
α : Type u_1
p : Option α → Prop
⊢ (∀ (x : Option α), p x) ↔ p none ∧ ∀ (x : α), p (some x)
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
SeminormedAddCommGroup V₃
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
SeminormedAddCommGroup W₁
SeminormedAddCommGroup W₂
SeminormedAddCommGroup W₃
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
φ' : NormedAddGroupHom V₂ V₃
ψ' : NormedAddGroupHom W₂ W₃
hf : ψ.comp f₁ = f₂.comp φ
hg : ψ.comp g₁ = g₂.comp φ
hf' : ψ'.comp f₂ = f₃.comp φ'
hg' : ψ'.comp g₂ = g₃.comp φ'
⊢ (NormedAddGroupHom.Equalizer.map φ' ψ' hf' hg').comp (NormedAddGroupHom.Equalizer.map φ ψ hf hg) =
  NormedAddGroupHom.Equalizer.map (φ'.comp φ) (ψ'.comp ψ) ⋯ ⋯
r p : ℝ
h : r.toNNReal < p.toNNReal
⊢ r < p
x✝ y x : ℝ
hx : x ∈ Icc (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ sin (arcsin (sin x)) = sin x
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α : L → R
β : LieModule.Weight R L M
hα : α ≠ 0
hα' : LieModule.weightSpace M α ≠ ⊥
⊢ (LieModule.chainTop α β).IsNonZero
a b d : ℕ
c : ℕ
H : a % d = b % d
⊢ (a + c) % d = (b + c) % d
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
h : PerfectField E
eq : perfectClosure F E = ⊥
⊢ PerfectField F
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
s : ι → Set Ω
Fintype ι
h : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSets π κ μ
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ π i
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i, s i) = ∏ i : ι, (κ a) (s i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ‖g‖ = ‖g.compContinuous { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ }‖
⊢ ∃ g_1, ‖g_1‖ = ‖g.compContinuous { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ }‖ ∧ ⇑g_1 ∘ e = ⇑(g.compContinuous { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ })
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h : μ s = μ univ
⊢ s =ᶠ[ae μ] univ