ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
u : ℂ → ℝ
hBf : ∃ c < a, ∃ B, f =O[l] fun z => expR (B * expR (c * |u z|))
hBg : ∃ c < a, ∃ B, g =O[l] fun z => expR (B * expR (c * |u z|))
⊢ ∃ c < a, ∃ B, (f - g) =O[l] fun z => expR (B * expR (c * |u z|))
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ inst✝ : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hc : (↑(insert a s)).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)
n : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
⊢ ∀ i ∈ s, Commute (x a) (x i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α
ha : a ∈ s
has : ∀ b ∈ s, a ≤ b → b = a
⊢ Iic a ⊔ s.erase a = s
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
⊢ s.altitude i =
  AffineSubspace.mk' (s.points i) (affineSpan ℝ (s.points '' ↑(Finset.univ.erase i))).directionᗮ ⊓
    affineSpan ℝ (Set.range s.points)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.toSheafedSpace Y f = X
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV' : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
⊢ |↑(G.edgeDensity ((star hP G ε hU V).biUnion id) ((star hP G ε hV U).biUnion id)) - ↑(G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε U V) (G.nonuniformWitness ε V U))| ≤ ε / 5
a b c : Ordinal.{u_4}
h : c * a ≤ c * b
h0 : 0 < c
⊢ a ≤ b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ≠ x
⊢ ∃ a b, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
b : ↑(Iic a)
h : ∀ (ι : Type u_2) (s : ι → α), ↑b ≤ iSup s → ∃ t, ↑b ≤ ⨆ a ∈ t, s a
⊢ ∀ (ι : Type u_2) (s : ι → ↑(Iic a)), b ≤ iSup s → ∃ t, b ≤ ⨆ a_2 ∈ t, s a_2
α : Type u_1
β : Type u_2
A✝ : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : AddMonoidWithOne B
inst✝² : FunLike F ℕ A✝
inst✝¹ : AddMonoidWithOne A✝
A : Type u_6
inst✝ : AddMonoidWithOne A
⊢ ∀ (n : ℕ), n • 1 = ↑n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
L : Type u_6
RCLike L
r : L
f : α → L
⊢ ∫ (a : α), f a / r ∂μ = (∫ (a : α), f a ∂μ) / r
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
⊢ IsSatisfiable (⋃ i, T i) ↔ ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : D
Y : C
f f' : X ⟶ G.obj Y
⊢ f ≫ α.inv.app Y = f' ≫ α.inv.app Y ↔ f = f'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : M
h : x ∈ f.source
⊢ ContinuousAt (↑(f.extend I)) x
P : Type u_1
CompleteSemilatticeInf P
⊢ GaloisConnection (fun x => OrderDual.toDual (Order.PFilter.principal x)) fun F => sInf ↑(OrderDual.ofDual F)
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
H : IsRelPrime (y * z) x
⊢ IsRelPrime y x
X : Type u_1
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
C₀ C₁ C₂ : Set X
h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z
f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z
DecidablePred fun x => x ∈ C₁
hf : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f₁ ⟨x, ⋯⟩ = f₂ ⟨x, ⋯⟩
x : ↑C₀
hx : ↑x ∈ C₂
⊢ (LocallyConstant.piecewise' h₀ h₁ h₂ f₁ f₂ hf) x = f₂ ⟨↑x, hx⟩
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i✝ : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
l : Line α ι
x : α
i : ι
h : l.idxFun i = none
⊢ (fun x i => (l.idxFun i).getD x) x i = x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
motive : List α → Sort u_2
nil : motive []
singleton : (a : α) → motive [a]
cons_append : (a : α) → (l : List α) → (b : α) → motive l → motive (a :: (l ++ [b]))
a : α
l : List α
b : α
⊢ (match a :: (l ++ [b]) with | [] => nil | [a] => singleton a | a :: b :: l => let l' := (b :: l).dropLast; let b' := (b :: l).getLast ⋯; cast ⋯ (cons_append a l' b' (bidirectionalRec nil singleton cons_append l'))) = cons_append a l b (bidirectionalRec nil singleton cons_append l)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ ν : Measure ((i : ι) → α i)
inst✝ : ∀ (i : Finset ι), IsFiniteMeasure (P i)
hμ : IsProjectiveLimit μ P
⊢ μ univ < ⊤
A : Type u_1
A' : Type u_2
Ring A
Ring A'
Algebra ℚ A
Algebra ℚ A'
f : A →+* A'
⊢ (PowerSeries.map f) (PowerSeries.sin A) = PowerSeries.sin A'
α : Type u_1
MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j
⊢ ↑(v.restrict i) j = ↑v (j ∩ i)
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s t : Finset β
⊢ (s -ᵥ t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
x : α
Monad m
⊢ (pure x).runCatch = pure x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
h : Pairwise fun x y => T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ
⊢ setToSimpleFunc T (map Prod.fst (f.pair g)) = setToSimpleFunc T (map Prod.snd (f.pair g))
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : IsCompact s
⊢ (∀ a ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] a, μ t = 0) → μ s = 0
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
n x✝ : ℕ
a✝ : x✝ ∈ range n
⊢ 2 ^ x✝ • f (2 ^ x✝) = (2 ^ (x✝ + 1) - 2 ^ x✝) • f (2 ^ x✝)
p : ENNReal
h : p ≤ 1
b : Bool
⊢ (PMF.bernoulli p h) b = bif b then p else 1 - p
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
g : S →+* T
hmap : ∀ (a : R), g ((algebraMap R S) a) = i a
hroot : g h.root = x
a : S
⊢ g (h.map (∑ i ∈ Finset.range ((h.repr a).natDegree + 1), C ((h.repr a).coeff i) * X ^ i)) = (lift i x hx h) (h.map (∑ i ∈ Finset.range ((h.repr a).natDegree + 1), C ((h.repr a).coeff i) * X ^ i))
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : Field R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : CompleteSpace R
inst✝⁷ : TopologicalRing R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
a : A
ha : p a
h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)
⊢ (cfcₙHom ha) { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ?refine_1 } = (cfcₙHom_of_cfcHom R ha) { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ?refine_1 }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Sort u_4
f : ι → Cardinal.{u_5}
hf : BddAbove (range f)
⊢ (range fun i => (f i).ord) = ord '' range f
η : Type u_3
f : η → Type u_4
(i : η) → Group (f i)
DecidableEq η
Finite η
H : (i : η) → Subgroup (f i)
J : Subgroup ((i : η) → f i)
⊢ Subgroup.pi Set.univ H ≤ J ↔ ∀ (i : η), Subgroup.map (MonoidHom.mulSingle f i) (H i) ≤ J
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
lf : {J : Type w} → (f : J → C) → CategoryTheory.Limits.Fan f
lf_isLimit : {J : Type w} → (f : J → C) → CategoryTheory.Limits.IsLimit (lf f)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasProducts C
𝕜 : Type u
A : Type v
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a b : 𝓜(𝕜, A)
h : a.toProd = b.toProd
⊢ a = b
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i✝ n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
x : Ω
hx : τ x = i
⊢ stoppedValue f τ x = f i x
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
⊢ eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk f hf) p (μ.trim hm) = eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk f hf) p μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernel.mapIso f f' p q w).hom = CategoryTheory.Limits.cokernel.map f f' p.hom q.hom w
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x y : ↑s
⊢ s.ordConnectedProj x = s.ordConnectedProj y ↔ [[↑x, ↑y]] ⊆ s
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => √x) (1 / (2 * √x)) x ∧ ∀ (n : ℕ∞), ContDiffAt ℝ n (fun x => √x) x
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
e : divNat a b = ⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩
hd : ↑d ≠ 0
hb' : b ≠ 0
⊢ ↑⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩ = ↑a / ↑b
R : Type u_1
Semiring R
deg m o : WithBot ℕ
c : R
p : R[X]
h_deg_le : p.degree ≤ m
coeff_eq : p.coeff (WithBot.unbot' 0 deg) = c
coeff_ne_zero : c ≠ 0
deg_eq_deg : m = deg
coeff_eq_deg : o = deg
⊢ p.degree = deg
α : Type u_2
Bornology α
s : Set αᵒᵈ
⊢ Bornology.IsBounded (⇑OrderDual.toDual ⁻¹' s) ↔ Bornology.IsBounded s
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
⊢ eqToHom ⋯ = RingHom.id ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
C✝ : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C✝
C : Type u
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Final
⊢ Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{(max v u v₂ u₂) + 1}) ↔ Nonempty (colimit (constPUnitFunctor D) ≅ PUnit.{(max v u v₂ u₂) + 1})
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Monoid G✝
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Monoid G
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Module k W
ρ : G →* V →ₗ[k] V
σ : G →* W →ₗ[k] W
f : V →ₗ[k] W
w : ∀ (g : G), f ∘ₗ ρ g = σ g ∘ₗ f
r : MonoidAlgebra k G
x : V
⊢ ∀ (f_1 g : MonoidAlgebra k G), f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) f_1) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) f_1) (f x) → f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) g) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) g) (f x) → f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) (f_1 + g)) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) (f_1 + g)) (f x)
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
s : Finset α
p : α → Prop
⊢ (∀ a ∈ s.compls, p a) ↔ ∀ a ∈ s, p aᶜ
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
Yint : Integrable (Y 0) ℙ
C : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
ω : Ω
h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
h₂ : Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
this : ∫ (a : Ω), X 0 a = ∫ (a : Ω), Y 0 a
⊢ Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f i
i✝ : I
a a' : α → γ
b b' : β → γ
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : One γ
i : β
c : γ
⊢ Sum.elim 1 (Pi.mulSingle i c) = Pi.mulSingle (inr i) c
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.antidiagonal n, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli' k.1 = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
T : C
g : T ⟶ W
hg : (GrothendieckTopology.Cover.sieve ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩).arrows g
eq₁ : liftAux hF α s f ≫ F.map a.op ≫ F.map g.op = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ α.app (op T)
eq₂ : liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op ≫ F.map g.op = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ α.app (op T)
⊢ (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map g.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map g.op
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
f : α → β
g : α → ℕ → β
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
⊢ Primrec₂ fun a n => Nat.casesOn n (f a) (g a)
M : Type u_1
A : Type u_4
Monoid M
AddGroup A
DistribMulAction M A
r : M
x : A
⊢ r • -x = -(r • x)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Subgroup G
f g : (i : ι) → ↥(H i)
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y
i : ι
y : ↥(H i)
⊢ (noncommPiCoprod hcomm) (Pi.mulSingle i y) = ↑y
x✝ : ℝ
⊢ x✝ ∈ {x | ∀ ⦃a : ℝ⦄, (a ∈ range fun x => ↑x) → a ≤ x} ↔ x✝ ∈ ∅
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X X' : SimplicialObject C
n : ℕ
Z Z' : C
f : MorphComponents X n Z
g : X' ⟶ X
h : Z ⟶ Z'
⊢ PInfty.f (n + 1) ≫ { a := f.a ≫ h, b := fun i => f.b i ≫ h }.a + ∑ i : Fin (n + 1), (P ↑i).f (n + 1) ≫ X.δ i.rev.succ ≫ { a := f.a ≫ h, b := fun i => f.b i ≫ h }.b i.rev = (PInfty.f (n + 1) ≫ f.a + ∑ i : Fin (n + 1), (P ↑i).f (n + 1) ≫ X.δ i.rev.succ ≫ f.b i.rev) ≫ h
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
p : A[X]
hm : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hl : ∀ (q : A[X]), q.degree < p.degree → q = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) q ≠ 0
a✝ : Nontrivial A
hx : IsIntegral A x
h : (Polynomial.aeval x) (minpoly A x %ₘ p) ≠ 0
⊢ p = minpoly A x
y : ℝ
h : 0 < y
x : ℝ≥0
⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ y) ↑x
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hH : H.relindex ⊤ ≠ 0
hK : K.relindex ⊤ ≠ 0
⊢ (H ⊓ K).relindex ⊤ ≠ 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
φ : α → H
L : H ≃ₗᵢ[𝕜] E
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun a => L (φ a)) μ ↔ MeasureTheory.Integrable φ μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y : E
z : E
hz : z ∈ Set.range ⇑(AffineMap.lineMap x y)
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ insert z (openSegment 𝕜 x z ∪ openSegment 𝕜 z y)
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
start : σ
s : List α
⊢ M.toNFA.evalFrom {start} s = {M.evalFrom start s}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝² : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : MetrizableSpace γ
hm : m ≤ m0
f g : β → γ
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
⊢ MeasurableSet {a | ¬f a = g a}
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x : A
⊢ { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (0 * x) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun 0 * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun x
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s₁ s₂ : Set (Set Ω)
h : IndepSets s₁ s₂ κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ s₂
ht2 : t2 ∈ s₁
a : α
ha : (κ a) (t2 ∩ t1) = (κ a) t2 * (κ a) t1
⊢ (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
f : Set ((i : ι) → α i)
⊢ f ∈ squareCylinders C ↔ f ∈ ⋃ s, (fun t => (↑s).pi t) '' univ.pi C
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
⊢ CategoryTheory.shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃ ≪≫
    CategoryTheory.isoWhiskerRight (CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a₁ a₂) (CategoryTheory.shiftFunctor C a₃) ≪≫
      (CategoryTheory.shiftFunctor C a₁).associator (CategoryTheory.shiftFunctor C a₂)
        (CategoryTheory.shiftFunctor C a₃) =
  CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a₁ (a₂ + a₃) (a₁ + a₂ + a₃) ⋯ ≪≫
    CategoryTheory.isoWhiskerLeft (CategoryTheory.shiftFunctor C a₁) (CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a₂ a₃)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a✝ : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hs : ThreeGPFree s
c : β
hfc : c ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
hfa : f a ∈ t
b : α
hb : b ∈ s
hfb : f b ∈ t
habc : f a * c = f b * f b
⊢ f a = f b
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
a : α
⊢ (fun b => κ.condKernel (a, b)) =ᵐ[κ.fst a] ⇑(κ a).condKernel
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0
⊢ Real.tan (InnerProductGeometry.angle x (x + y)) * ‖x‖ = ‖y‖
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n = 0) = true
⊢ 0 ≤ e
⊢ Tendsto tan (𝓝[<] (π / 2)) atTop
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
⊢ SimpleGraph.Walk.nil.IsTrail
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
u_count : u.Countable
x : α
x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a
v : Set ι := {a | a ∈ u ∧ (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty}
vu : v ⊆ u
⊢ ∃ u_1 ∈ 𝓝[s \ ⋃ a ∈ u, B a] x, μ u_1 = 0
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i →ₗᵢ[𝕜] E₁ i
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖g‖ * ∏ i : ι, ‖((fun i => ↑((fun i => (f i).toContinuousLinearMap) i)) i) (m i)‖ ≤ ‖g‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
M : Type u_1
AddMonoid M
n : ℕ
a : M
⊢ IsAddUnit ((n + 1) • a) ↔ IsAddUnit a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
a : R
⊢ (starRingEnd ℂ) (φ a) = ((↑(starRingEnd ℂ)).compAddChar φ) a
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K
h : x ∈ pNilradical K p
⊢ x ∈ Ideal.comap i (pNilradical L p)
R : Type u
Semiring R
M : Type u_1
AddMonoid M
f g : R[X] →+ M
h : ∀ (n : ℕ), f.comp (Polynomial.monomial n).toAddMonoidHom = g.comp (Polynomial.monomial n).toAddMonoidHom
⊢ f = g
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
n : ℕ
ih : mk K p (n, 0) = 0
this : R K p (n, 0) (n + 1, (frobenius K p) 0)
⊢ R K p (n, 0) (n + 1, 0)
M : Type u_1
S T : Set M
Monoid M
h : S ⊆ T
⊢ Submonoid.centralizer T ≤ Submonoid.centralizer S
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
e : A ≅ B
⊢ e.hom.hom₂ ≫ e.inv.hom₂ = 𝟙 A.obj₂
α : Type u
⊢ Function.Injective Ultrafilter.toFilter
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
⊢ round x = 0 ↔ x ∈ Ico (-(1 / 2)) (1 / 2)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M : Mon_ C
⊢ M.id.hom = 𝟙 M.X
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
b : β
⊢ Sum.inr b ∈ s.disjSum t ↔ b ∈ t
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl
b : A
s : ↥𝔭.primeCompl
eq0 : (mk f).val * IsLocalization.mk' (at 𝔭.primeCompl) b s = 1
eq1 : IsLocalization.mk' (at 𝔭.primeCompl) b s * (mk f).val = 1
⊢ IsUnit (mk f)
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pb : PowerBasis R S
I : Ideal R
x : R
⊢ (aeval (root (minpoly R pb.gen))) (minpoly R pb.gen) = 0
n✝ m n : ℕ
a b : Fin n
h : a ≤ b
k : ℕ
hk : ↑b = ↑a + k
hkb : k ≤ ↑b
⊢ b = a + ⟨k, ⋯⟩