ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f : A →ₛₙₐ[φ] B
h₁ : ∀ (m : R) (x : A), f (m • x) = φ m • f x
h₂ : { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun 0 = 0
h₃ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun (x + y) =
      { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun x + { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun (x * y) =
      { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun x *
        { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun y
⊢ ↑{ toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃, map_mul' := h₄ } = { toFun := ⇑f, map_mul' := h₄ }
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s : Set α
w : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ⊔ y ∈ s
ι : Type u_7
t : Finset ι
H : t.Nonempty
p : ι → α
h : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
⊢ t.sup' H p ∈ s
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R₁
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ LinearMap.toAddMonoidHom' f = f.toAddMonoidHom
m : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
UniformSpace 𝕜
β : Type u_4
UniformSpace β
f : β → Matrix m n 𝕜
⊢ UniformContinuous f ↔ ∀ (i : m) (j : n), UniformContinuous fun x => f x i j
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
Preorder δ
op : β → γ → δ
hop : ((fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ≤ x_1) op op
hf : IsLocalMinOn f s a
g : α → γ
hg : IsLocalMinOn g s a
⊢ IsLocalMinOn (fun x => op (f x) (g x)) s a
R : Type u_1
Rack R
x y : R
⊢ (Rack.act' x) y = x ◃ y
α : Type u_1
ι : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
F : Type u_13
FunLike F M N
AddMonoidHomClass F M N
f : F
s : Finset ι
g : ι → α →₀ M
⊢ Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ (∑ x ∈ s, g x) = ∑ x ∈ s, Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ (g x)
G : Type u_2
Group G
S₁ S₂ : Subgroup G
⊢ S₁.op ≤ S₂.op ↔ S₁ ≤ S₂
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
δ✝ : Type u_5
inst✝⁶ : LE α✝
inst✝⁵ : LE β✝
inst✝⁴ : LE γ✝
α : Type ?u.63266
β : Type ?u.63269
γ : Type ?u.63272
δ : Type ?u.63275
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α ≃o γ
g : β ≃o δ
p q : α →o β
⊢ (∀ (x : γ), p (f.symm x) ≤ q (f.symm x)) ↔ ∀ (x : α), p x ≤ q x
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ℕ → R
⊢ ∀ {m n : ℕ}, ¬m = 0 → ¬n = 0 → m.Coprime n → (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) (m * n) = (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) m * (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) n
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den
⊢ Rat.maybeNormalize num den g den_nz reduced = Rat.normalize num den ⋯
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
m : α → β
f : ι → Filter α
⊢ Filter.map m (⨆ i, f i) = ⨆ i, Filter.map m (f i)
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ 0 ≤ p⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (x : γ) in A, κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal
b : Ordinal.{u_1}
h : b ≤ 1
x : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.log b x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set β
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s (MeasureTheory.Measure.map f μ)
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μ) s = μ (f ⁻¹' s)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
n : ℕ
⊢ ‖cauchyPowerSeries f c R n‖ = (2 * π)⁻¹ * ‖∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
m : M
⊢ ‖f m‖ ≤ ‖m‖
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g ≅ h
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η.inv)
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η.hom) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
⊢ Function.Surjective (F.map f)
α : Type u_1
f : α → α
h : ∀ (x : α), f x = x
l : List α
⊢ List.map f l = l
α : Type u_1
ι : Type u_5
π : α → Type u_6
(x : α) → AddCommMonoid (π x)
(x : α) → TopologicalSpace (π x)
f : ι → (x : α) → π x
g : (x : α) → π x
⊢ HasSum f g ↔ ∀ (x : α), HasSum (fun i => f i x) (g x)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
⊢ 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - I * 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖) - -I * (𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖) + 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖
R Rₘ : Type u
CommRing R
CommRing Rₘ
M : Submonoid R
Algebra R Rₘ
IsLocalization M Rₘ
⊢ Algebra.FormallyUnramified R Rₘ
G : Type w
H : Type x
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
F : Type u_1
Group H
FunLike F H G
MonoidHomClass F H G
f : F
⊢ TopologicalGroup H
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
⊢ ⟪s.mongePoint -ᵥ Finset.centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points, s.points i₁ -ᵥ s.points i₂⟫_ℝ = 0
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : M
hab : a ≤ b
k : ℕ
⊢ a ^ (k + 1) ≤ b ^ (k + 1)
m : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
⊢ p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i : ι
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
K : HomologicalComplex C c
⊢ (HomologicalComplex.opcyclesFunctor C c i).obj K = K.opcycles i
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
this : PolishSpace ↑s
⊢ AnalyticSet (range Subtype.val)
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
⊢ f.rangeRestrict.ker = f.ker
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Add G
μ : MeasureTheory.Measure G
self : μ.IsAddRightInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => x + g) μ = μ
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝²⁹ : CommRing A
inst✝²⁸ : CommRing B
inst✝²⁷ : Algebra A B
inst✝²⁶ : Field K
inst✝²⁵ : Field L
inst✝²⁴ : Algebra A K
inst✝²³ : IsFractionRing A K
inst✝²² : Algebra B L
inst✝²¹ : Algebra K L
inst✝²⁰ : Algebra A L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.292784
Bₘ : Type ?u.292787
inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ
inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Aₘ
inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed B
inst✝¹ : Module.Finite A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
hs : s.Infinite
ht : t.Finite
⊢ ∃ a ∈ s, a ∉ t
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
self : CocompactMap α β
⊢ Filter.Tendsto self.toFun (Filter.cocompact α) (Filter.cocompact β)
n : Type u_1
α : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ (Polynomial.X • A.map ⇑Polynomial.C + B.map ⇑Polynomial.C).det.coeff 0 = B.det
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r
⊢ (Finset.univ.sup fun i => (Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b) / Real.nnabs r) / (Real.nnabs (J.upper i - J.lower i) / Real.nnabs r)) = Finset.univ.sup fun i => (Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b)) / Real.nnabs (J.upper i - J.lower i)
x✝ y x : ℝ
hx₁ : 0 ≤ x
hx₂ : x ≤ π
⊢ arccos (cos x) = x
α : Type u_1
C : FreeMonoid α → Sort u_6
x : α
xs : FreeMonoid α
h0 : C 1
ih : (x : α) → (xs : FreeMonoid α) → C (FreeMonoid.of x * xs)
⊢ (FreeMonoid.of x * xs).casesOn h0 ih = ih x xs
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A
⊢ (shiftComm X i j).hom ≫ (shiftFunctor C i).map ((shiftFunctor C j).map f) = (shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f) ≫ (shiftComm Y i j).hom
n m : Nat
i : Fin (n + m)
h : m ≤ ↑i
⊢ (Fin.subNat m i h).addNat m = i
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
⊢ Measurable fun x => MeasureTheory.Measure.map (Prod.mk x) ν
α : Type w
CommRing α
A : Matrix (Fin 1) (Fin 1) α
⊢ A.adjugate = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
obj : C → D
e : (X : C) → F.obj X ≅ obj X
X : C
⊢ (F.isoCopyObj obj e).inv.app X = (e X).inv
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
a : α
⊢ ProbabilityTheory.condCDF ρ a =
  ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat (fun p r => (ProbabilityTheory.preCDF ρ r p.2).toReal) ⋯ ((), a)
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
X Y : CategoryTheory.Arrow T
f g : X ⟶ Y
h₁ : f.left = g.left
h₂ : f.right = g.right
⊢ f = g
R : Type u
CommSemiring R
p : R[X]
⊢ Polynomial.derivative (p ^ 2) = Polynomial.C 2 * p * Polynomial.derivative p
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
n : ℕ
hle : map f p ≤ P ^ n
hgt : ¬map f p ≤ P ^ (n + 1)
Q : ℕ → Prop := fun m => ∀ (k : ℕ), map f p ≤ P ^ k → k ≤ m
this : Q n
h : Nat.find ⋯ < n
this' : Q (Nat.find ⋯)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
⊢ ∫⁻ (x : α), 1 ∂μ = μ univ
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
AddMonoid ιA
VAdd ιA ιB
GradedMonoid.GMonoid A
(i : ιB) → AddMonoid (M i)
self : DirectSum.GdistribMulAction A M
i : ιA
j : ιB
a : A i
b c : M j
⊢ GradedMonoid.GSMul.smul a (b + c) = GradedMonoid.GSMul.smul a b + GradedMonoid.GSMul.smul a c
n k : ℕ
⊢ Fintype.card (Sym (Fin n) k) = n.multichoose k
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
DivisionRing K
⊢ g.nums n = (g.conts n).a
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x : M
r : R
hx : x = 0 ∧ r = 0
⊢ (Algebra.linearMap R (TensorAlgebra R M)) r = 0
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
NormalSpace Y
s : Set Y
f : C(↑s, ℝ)
t : Set ℝ
t.OrdConnected
ht : ∀ (x : ↑s), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
hs : IsClosed s
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ContinuousMap.restrict s g = f
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this✝ : NeZero n
h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1
hx : eval (-1) (cyclotomic n ℝ) ≤ 0
this : Set.Icc (eval (-1) (cyclotomic n ℝ)) (eval 0 (cyclotomic n ℝ)) ⊆ Set.range fun x => eval x (cyclotomic n ℝ)
y : ℝ
hn : 2 < orderOf y
hy : IsPrimitiveRoot y n
⊢ False
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
DenselyOrdered α
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ ∀ (ε : α), ε < 1 → a * ε ≤ b
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.52660, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.52667, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.52674, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.52726, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ'.val.obj (op X)
⊢ (appHom i.inv X ≫ appHom i.hom X) x = 𝟙 (ℱ'.val.obj (op X)) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.contractibleTriangle X).obj₃ = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ s t : Set α
⊢ 𝓟 s = 𝓟 t ↔ s = t
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
f : G →* H
hN : N = f.ker
tH : IsTorsion H
tN : IsTorsion ↥N
g : G
ngn : ℕ
ngnpos : 0 < ngn
hngn : f g ^ ngn = 1
gn : ↥N
h : ↑gn = g ^ ngn
hmem✝ hmem : ↑gn ∈ f.ker
⊢ IsOfFinOrder g
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μ_mass : μ.mass = 0
⊢ ↑μ univ = 0
s : ℝ
⊢ Real.Gamma s * Real.Gamma (s + 1 / 2) = Real.Gamma (2 * s) * 2 ^ (1 - 2 * s) * √π
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ a ∈ Ico a b ↔ a < b
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
⊢ MeasurableSet (⋂ e, ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Finite R M
⊢ ∃ n f, Surjective ⇑f
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S✝ S : IntermediateField K L
x✝ : L
⊢ x✝ ∈ S.toIntermediateField' ⋯ ↔ x✝ ∈ S
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
⊢ Topology.IsUpper αᵒᵈ ↔ Topology.IsLower α
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
c : R
hac : 0 = a + c
d : R
hbd : 0 = b + d
hd : 0 ≤ d
⊢ (fun a => a ^ n) a < (fun a => a ^ n) b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X).unop = CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.unop X)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
B : C
α : Type v
inst✝² : Nonempty α
X : α → C
f : (j : α) → B ⟶ X j
inst✝¹ : HasWidePushout B X f
inst✝ : PreservesColimit (wideSpan B X f) (forget C)
i : α
y : (forget C).obj (X i)
⊢ ∃ i_1 y_1, (ι f i_1) y_1 = (ι f i) y
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
z : ℂ
a : A
⊢ imaginaryPart (z • a) = z.re • imaginaryPart a + z.im • realPart a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : TopCat.Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
h : ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C ↑x).map f.val)
⊢ Function.Surjective ⇑(f.val.app (Opposite.op U))
R : Type u_1
CommRing R
id : IsDomain R
iic : IsIntegrallyClosed R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a b : R
⊢ a ^ n ∣ b ^ n ↔ a ∣ b
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsLocalAtSource P
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : X.OpenCover
⊢ P f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), P (𝒰.map i ≫ f)
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
I : Ideal R
Ibot : ⊥ < I
Itop : I < ⊤
mle : ↑M ⊆ ↑⊥
⊢ ⊤ < ⊤
α : Type u_1
One α
a : αˢʸᵐ
⊢ SymAlg.unsym a = 1 ↔ a = 1
R : Type u
CommSemiring R
ι : Type u_2
s : Finset ι
I : ι → Ideal R
x : ι → R
⊢ (∀ i ∈ s, x i ∈ I i) → ∏ i ∈ s, x i ∈ ∏ i ∈ s, I i
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
AddCommGroup P
g : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
i : ι
x : G i
⊢ (AddCommGroup.DirectLimit.lift G f P g Hg) ((AddCommGroup.DirectLimit.of G f i) x) = (g i) x
ι : Type u_1
M : Type u_2
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
s : Multiset (ι →₀ M)
⊢ s.sum.support ⊆ (Multiset.map Finsupp.support s).sup
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
Group N
Group G
Group H
φ : G →* MulAut N
f₁ : N →* H
f₂ : G →* H
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (f₂ g))).comp f₁
⊢ (SemidirectProduct.lift f₁ f₂ h).comp SemidirectProduct.inr = f₂
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommGroup β
l : Filter α
f g : α → β
C : β
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
hg : ∀ᶠ (x : α) in l, C ≤ g x
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atTop
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective (LieSubmodule.map f)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
r : L.Relations 2
⊢ M ⊨ r.irreflexive ↔ Irreflexive fun x y => FirstOrder.Language.Structure.RelMap r ![x, y]
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
c : F
⊢ HasStrictFDerivAt (fun y => f y + c) f' x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve α r' ⊓ Presheaf.imageSieve φ m
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
⊢ ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X), S.arrows f → (A.val.map f.op) (smul α φ (r + r') m) = (A.val.map f.op) (smul α φ r m + smul α φ r' m)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
hb : μ {b} ≠ ⊤
⊢ IntegrableOn f (Iic b) μ ↔ IntegrableOn f (Iio b) μ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
hab : r a b
⊢ Relation.ReflTransGen r a b
R : Type u
CommRing R
X Y Z : Type v
AddCommGroup X
Module R X
AddCommGroup Y
Module R Y
AddCommGroup Z
Module R Z
Q₁ : QuadraticForm R X
Q₂ : QuadraticForm R Y
Q₃ : QuadraticForm R Z
e : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
f : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₂ Q₃
⊢ QuadraticModuleCat.ofIso (e.trans f) = QuadraticModuleCat.ofIso e ≪≫ QuadraticModuleCat.ofIso f
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
G : StructureGroupoid H
inst✝³ : ChartedSpace H M'
inst✝² : ChartedSpace H M''
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
hs : Nonempty ↑e.source
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }
t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }
c' : PartialHomeomorph (↥t) H
hc'✝ : c' ∈ atlas H ↥t
this : Nonempty ↥t
x : ↥t
hc' : c' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr this
⊢ e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ c' ∈ maximalAtlas (↥s) G
ι : Type u_1
Fintype ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
b : ι → M
DecidableEq ι
A A' : Matrix ι ι R
f f' : Module.End R M
h : Matrix.Represents b A f
h' : Matrix.Represents b A' f'
⊢ Matrix.Represents b (A * A') (f * f')
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
t : TopologicalSpace F
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] F
this : TopologicalSpace E := induced (⇑f) t
⊢ LocallyConvexSpace 𝕜 E
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
⊢ #((n : ℕ) × L.BoundedFormula α n) ≤ max ℵ₀ (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B : C
⊢ (CategoryTheory.Subobject.underlyingIso (𝟙 B)).hom = ⊤.arrow
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
x v : E
f' : F
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
c : 𝕜
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f (c • f') x (c • v)
G : Type u_1
AddMonoid G
a : G
ha : IsOfFinAddOrder a
⊢ Nat.card ↑↑(AddSubmonoid.multiples a) ≤ addOrderOf a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X X' Y Y' Z : C
CategoryTheory.ExactPairing Y Y'
f : X ⟶ X'
g : X' ⟶ Y ⊗ Z
⊢ (CategoryTheory.tensorLeftHomEquiv X Y Y' Z).symm (f ≫ g) =
  Y' ◁ f ≫ (CategoryTheory.tensorLeftHomEquiv X' Y Y' Z).symm g
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
Group α
OrderedAddCommMonoid β
GroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α
⊢ f (x / y) = f (y / x)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C
⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)
α : Type u_1
Preorder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h₁ : a₁ ≤ b₁
⊢ Set.Icc a₁ b₁ ⊆ Set.Icc a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
Zero I
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D D)
X : C
e : F.obj X ≅ CategoryTheory.Functor.id D
(Y : D) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y Y' : CategoryTheory.GradedObject J D
φ : Y ⟶ Y'
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap
    p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap
    p
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorLeftUnitor F X e p hp Y').inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorLeftUnitor F X e p hp Y).inv
    (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapMap F p
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj X)) φ)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G H : C ⥤ D
α : G ⟶ H
F : D ⥤ E
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (G ⋙ F).map f ≫ (fun X => F.map (α.app X)) Y = (fun X => F.map (α.app X)) X ≫ (H ⋙ F).map f
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
n : γ → δ
m' : β' → α' → δ
n₁ : β → β'
n₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), n (m a b) = m' (n₁ b) (n₂ a)
⊢ Filter.map n (Filter.map₂ m f g) = Filter.map₂ m' (Filter.map n₁ g) (Filter.map n₂ f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X Y : C
f f' : X ⟶ e.inverse.obj (e.functor.obj Y)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (e.unitInv.app Y) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' (e.unitInv.app Y) ↔
  f = f'
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
i : K →+* L
f g : K[X]
hfg : f * g ≠ 0
h : Polynomial.Splits i (f * g)
⊢ Polynomial.Splits i f ∧ Polynomial.Splits i g
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s
a : α
b₁ b₂ : Set α
hb₁ : b₁ ∈ s ∧ a ∈ b₁
hb₂ : b₂ ∈ s ∧ a ∈ b₂
⊢ ∃ x ∈ id b₁, x ∈ id b₂