ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ Quot.mk Setoid.r ⟨f, hf⟩ = MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
a b : α
⊢ sSup {a, b} = a ⊔ b
α : Type u
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ { x // x ∈ hs.toFinset } = ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
a b : α
⊢ Sum.inl a ≤ Sum.inl b ↔ a ≤ b
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
x y : Pseudoelement P
a a' : Over P
h : pseudoApply f ⟦a⟧ = pseudoApply f ⟦a'⟧
R : C
p : R ⟶ ((fun g => app f g) a).left
q : R ⟶ ((fun g => app f g) a').left
ep : Epi p
w✝¹ : Epi q
comm : p ≫ ((fun g => app f g) a).hom = q ≫ ((fun g => app f g) a').hom
a'' : R ⟶ P := p ≫ a.hom - q ≫ a'.hom
Z : C
g : P ⟶ Z
hh : pseudoApply g ⟦a'⟧ = 0
X : C
p' : X ⟶ ((fun g_1 => app g g_1) a').left
q' : X ⟶ (Over.mk 0).left
ep' : Epi p'
w✝ : Epi q'
comm' : p' ≫ ((fun g_1 => app g g_1) a').hom = q' ≫ (Over.mk 0).hom
this : a'.hom ≫ g = 0
⊢ app g (Over.mk a'') ≈ app g a
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α 1
⊢ v.tail = Mathlib.Vector.nil
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ N
⊢ ∀ (a : ι) (b : N), (finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] Finsupp.single a b) = (Finsupp.single a b).sum fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
⊢ X.δ i ≫ X.δ j = X.δ (j.pred ⋯) ≫ X.δ i.castSucc
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
⊢ a / (a / a) = a
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
r : R
m : M
s : ↥S
⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (r • m) s) = r • (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral F x
this✝ : Algebra.IsIntegral F ↥(Algebra.adjoin F S)
this : IsField ↥(Algebra.adjoin F S)
⊢ (adjoin F S).toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
z : ℍ
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
hk' : 2 < ↑k
p_sum : Summable fun x => ‖↑x‖ ^ (-k)
⊢ ∀ (K : Set ℍ), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun s x => ∑ x_1 ∈ s, eisSummand k (↑x_1) x) (fun x => ∑' (x_1 : ↑(gammaSet N a)), eisSummand k (↑x_1) x) Filter.atTop K
a b c : Ordinal.{u_1}
a0 : a ≠ 0
h : b.IsLimit
⊢ a ^ b ≤ c ↔ ∀ b' < b, a ^ b' ≤ c
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
h₁ : f.comp g = LinearMap.id
h₂ : g.comp f = LinearMap.id
⊢ ↑(LinearEquiv.ofLinear f g h₁ h₂).symm = g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' (-φ) h₁ h₂ = -CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' φ h₁ h₂
a b c : Int
h : a + b ≤ c
⊢ b ≤ -a + c
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic a, u' x * v x + u x * v' x = a' - b'
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hem : ¬(insert e (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) ∩ B').Nonempty
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y : C
HasDerivedCategory C
n : ℕ
α β : CategoryTheory.Abelian.Ext X Y n
h : α.hom = β.hom
⊢ α = β
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
t : Set α
s : Set α
hm : MeasurableSet t
h_fin : μ t ≠ ⊤
⊢ μ (s \ t) = μ (s ∪ t) - μ t
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q) ≤ CliffordAlgebra.evenOdd Q 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F.toFunctor ⊣ G
F.IsEquivalence
CategoryTheory.MonoidalClosed D
X Y Z : C
f : Y ⟶ (CategoryTheory.ihom X).obj Z
⊢ CategoryTheory.MonoidalClosed.uncurry f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.commTensorLeft X).compInverseIso.inv.app Y)
    ((adj.toEquivalence.symm.toAdjunction.homEquiv
          ((F.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft (F.obj X))).obj Y) Z).symm
      (CategoryTheory.MonoidalClosed.uncurry
        ((adj.homEquiv Y ((CategoryTheory.ihom (F.obj X)).obj (adj.toEquivalence.symm.inverse.obj Z))).symm f)))
t : ↑I
⊢ ↑(unitInterval.qRight (t, 0)) = if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
⊢ Hamming.ofHamming.symm = Hamming.toHamming
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
hfg : f ≤ᵐ[μ] g
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ ↔ f =ᵐ[μ] g
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
B : LinearMap.BilinForm K V
W : Subspace K V
b : B.IsRefl
⊢ Submodule.map (Submodule.subtype W) (LinearMap.ker (LinearMap.domRestrict B W)) = W ⊓ B.orthogonal ⊤
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f₁ : R →+* S
g₁ g₂ : σ → S
p₁ : MvPolynomial σ R
h : ∀ i ∈ p₁.vars, i ∈ p₁.vars → g₁ i = g₂ i
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ p₁.support
⊢ ∏ x ∈ d.support, g₁ x ^ d x = ∏ x ∈ d.support, g₂ x ^ d x
K : Type u
DivisionRing K
p p' : Subfield K
x : K
⊢ x ∈ p ⊓ p' ↔ x ∈ p ∧ x ∈ p'
α : Type u
n : Nat
v : α
⊢ (mkArray n v).size = n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y
hU : ↑U ⊆ Set.range ⇑f.base
this : U = ⋯.functor.obj ((Opens.map f.base).obj U)
⊢ IsIso (f.c.app (op U))
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ MonotoneOn (fun x => x ^ r) (Set.Ici 0)
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
⊢ ∀ (n : ℕ), (const a).get n = (a :: const a).get n
n : ℕ+
⊢ n ∣ 1 ↔ n = 1
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Filter.map f ⊤ = 𝓟 (Set.range f)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f✝ : X ⟶ Y
A : Rep k G
f : ofMulAction k G G ⟶ A
⊢ (fun x => A.leftRegularHom x) ({ toFun := fun f => f.hom (Finsupp.single 1 1), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f) = f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : CategoryTheory.Monad C
⊢ M.toMon.mul = M.μ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t✝ A B : Set β
a : α
x✝ : β
s t : Set α
x : α
⊢ x • s ∩ t ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a ∈ t ∧ b ∈ s) ∧ a * b⁻¹ = x
α : Type u_1
BEq α
l : List α
n : Nat
a : α
⊢ l.isSuffixOf (List.replicate n a) = (decide (l.length ≤ n) && l.all fun x => x == a)
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
U : CategoryTheory.Functor B C
CategoryTheory.MonadicRightAdjoint U
R : CategoryTheory.Functor A B
CategoryTheory.Limits.HasReflexiveCoequalizers A
(R.comp U).IsRightAdjoint
⊢ R.IsRightAdjoint
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
⊢ StrictMonoOn (Set.projIci a) (Set.Ici a)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L
hx : x ∈ I
⊢ x ∈ ↑(lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule ∧ ↑f x = f x
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ s.encard ≤ t.encard
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
i₀ : β
⊢ ⨅ i, f i = f i₀ ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ≠ i₀), f i
f✝ f : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially (-f)
⊢ GrowsPolynomially (- -f)
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : Commute f g
⊢ Tendsto (fun x => f.transnumAuxSeq x + g.transnumAuxSeq x) atTop (𝓝 (τ (f * g)))
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U
H : ∀ (i : ι), (V i ∩ Wᶜ).Nonempty
⊢ False
K : Type u_1
M : Type u_3
CommRing K
CommRing M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar M p
PerfectRing M p
⊢ PerfectRing.liftEquiv M (RingHom.id K) p = Equiv.refl (K →+* M)
M : Type u_1
m₁ m₂ : DivInvMonoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h_inv : Inv.inv = Inv.inv
⊢ m₁ = m₂
α : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid α
⊢ ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
α : Type u_1
l : List α
x y : α
h : List.Duplicate x (y :: l)
hx : x ≠ y
⊢ List.Duplicate x l
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
C : Computation α → Computation β → Prop
H : ∀ {ca : Computation α} {cb : Computation β}, C ca cb → Computation.LiftRelAux R C ca.destruct cb.destruct
ca : Computation α
cb : Computation β
Hc : C ca cb
a : α
ha : a ∈ ca
⊢ Computation.LiftRel R ca cb
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring Rᵐᵒᵖ
⊢ ↑S.unop = MulOpposite.op ⁻¹' ↑S
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
n✝ : ?m.31133
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
u : Finset α
n : ℕ
hn : n < u.card
⊢ (powersetCard n.succ u).sup id = u
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f g : β → α
hf : Multipliable f
hfg : ∀ (b : β), f b = g b
⊢ Multipliable g
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {x : Option (Option α)}, x.join = some a ↔ x = some (some a)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
y : L
hy : y ∈ engel K x
Ex : ↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} := ⟨engel K x, ⋯⟩
⊢ IsMin Ex
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I
h' : ↑n ≠ 0
⊢ (fun x => x * ↑n) ((fun x => x * ↑n) (∑ k : Fin (n + 1), (↑x - ↑(k/ₙ)) ^ 2 * (bernstein n ↑k) x)) = (fun x => x * ↑n) ((fun x => x * ↑n) (↑x * (1 - ↑x) / ↑n))
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
s : List α
this : s = [] ↔ s <+: []
⊢ s ∈ [].inits ↔ s <+: []
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m v : E
h : v ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
⊢ fract b (m + v) = fract b m
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
⊢ ↑(HeytAlg.of α) = α
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
⊢ γ.extend (min 1 1) = b
R : Type u
Semiring R
⊢ #R[X] ≤ max #R ℵ₀
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i < g i
h_ne : s.Nonempty
⊢ ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ s, g i
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : Algebra F R
inst✝² : Algebra F S
inst✝¹ : IsScalarTower F R S
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
f : S
hf : f ≠ 0
⊢ Associated ((Algebra.norm R) f) (∏ i : ι, smithCoeffs b (span {f}) ⋯ i)
μ : YoungDiagram
i : ℕ
⊢ μ.row i = {i} ×ˢ Finset.range (μ.rowLen i)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
𝔸 : Type u_3
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : E → 𝔸
hf : ContDiff 𝕜 n f
m : ℕ
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => f x ^ (m + 1)
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ max a b = if a ≤ b then b else a
R : Type u_1
EuclideanDomain R
GCDMonoid R
p q : R
hq : q ≠ 0
⊢ IsCoprime (p / gcd p q) (q / gcd p q)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ Nontrivial ↥↑N ↔ N ≠ ⊥
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.IsThreeCycle
⊢ σ.IsCycle
α : Type u_1
β : Type u_2
g : β → Set (Set α)
h_pi : ∀ (b : β), IsPiSystem (g b)
t : Set α
h_t : t ∈ generatePiSystem (⋃ b, g b)
⊢ ∃ T f, t = ⋂ b ∈ T, f b ∧ ∀ b ∈ T, f b ∈ g b
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
⊢ derivFamily f = enumOrd (⋂ i, fixedPoints (f i))
α : Type u
l : List α
⊢ l.sublists'.length = 2 ^ l.length
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsScalarTower R A B
inst✝³ : FormallyUnramified R A
inst✝² : FormallyUnramified A B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[R] C
e : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
e' : f₁.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B) = f₂.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)
⊢ f₁ = f₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K₁ L₁ K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b) (a ≫ φ₂)
⊢ CochainComplex.mappingCone.mapOfHomotopy H ≫ (CochainComplex.mappingCone.triangle φ₂).mor₃ =
  (CochainComplex.mappingCone.triangle φ₁).mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map a
α : Type u
n : ℕ
Inhabited α
⊢ [].getI n = default
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : IsAntisymm α r₂
h : ∀ (a b : α), r₁ a b → r₂ a b
a : α
ha : a ∈ minimals r₂ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r₁ b a
this : a = b
⊢ r₁ a b
R : Type u_1
S : Type ?u.189967
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.190432
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.191572
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : FinitePresentation R M
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
I : Type (max u_2 u_1) := Free.ChooseBasisIndex k (k ⊗[R] M)
b : Basis I k (k ⊗[R] M) := Free.chooseBasis k (k ⊗[R] M)
this✝² : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))
f : k ⊗[R] M → M
hf : ∀ (b : k ⊗[R] M), ((TensorProduct.mk R k M) 1) (f b) = b
i : (I →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total I M R (f ∘ ⇑b)
hi : Surjective ⇑i
this✝¹ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)
this✝ : Surjective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
hi' : Function.Bijective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
this : ∀ {g₁ : ↥(LinearMap.ker i) →ₗ[R] I →₀ R} {g₂ : (I →₀ R) →ₗ[R] M}, Exact ⇑(Submodule.subtype 𝔪) ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Surjective ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Exact ⇑g₁ ⇑g₂ → Surjective ⇑g₂ → Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪)) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor R g₁) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) g₁)
x : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)
⊢ (LinearMap.lTensor k i) ((LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) x) = (LinearMap.lTensor k i) ((LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.rotCompInvRot.inv.app X).hom₂ = 𝟙 X.obj₂
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup P
Module R M
Module R P
f : M →ₗ[R] P
hf : Function.Surjective ⇑f
IsArtinian R M
⊢ IsArtinian R P
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
h' : s' ⊆ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
x : α
hx : x ∈ s'
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝[s] x
H : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s'] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
⊢ sx₁.circumsphere = sx₂.circumsphere
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
this✝ : (FreeGroup.of i * FreeGroup.of i') ^ M.M i i' ∈ M.relationsSet
this : ↑((FreeGroup.of i * FreeGroup.of i') ^ M.M i i') = 1
⊢ (cs.simple i * cs.simple i') ^ M.M i i' = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E
hc : c ≠ 0
⊢ ‖c‖₊ • EMetric.diam s ≤ EMetric.diam (c • s)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
self : ContDiffBumpBase E
⊢ ContDiffOn ℝ ⊤ (Function.uncurry self.toFun) (Set.Ioi 1 ×ˢ Set.univ)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
x : E
s : Set E
g : F → G
hg : DifferentiableAt 𝕜 g (f x)
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (g ∘ f) s x = (fderiv 𝕜 g (f x)).comp (fderivWithin 𝕜 f s x)
K : Type u_4
NormedDivisionRing K
ξ : K
h : ‖ξ‖ < 1
⊢ ∑' (n : ℕ), ξ ^ n = (1 - ξ)⁻¹
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ Pell.xn a1 n ∣ Pell.d a1 * Pell.yn a1 n * (Pell.yn a1 n * Pell.xn a1 j) + Pell.xn a1 j
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp' : p ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f g : α → β
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c
hp : ¬p = 0
this : ∀ (x : α), ‖s.indicator (f - g) x‖ ≤ ‖s.indicator (fun x => c) x‖
⊢ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal) ≤ ENNReal.ofReal c * μ s ^ (1 / p.toReal)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : _root_.IsIntegral R x
hf : Irreducible (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
mem_norm_factors : normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)) ∈ normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
⊢ (normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))).attach = {⟨normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)), mem_norm_factors⟩} ∧ ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm ⟨normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)), mem_norm_factors⟩) = ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm ⟨normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)), mem_norm_factors⟩)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (α_ Y Z X).inv ≫ (β_ X (Y ⊗ Z)).inv ≫ (α_ X Y Z).inv = Y ◁ (β_ X Z).inv ≫ (α_ Y X Z).inv ≫ (β_ X Y).inv ▷ Z
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
U : Set X
hxU : x ∈ U
U_op : IsOpen U
this : U ∈ 𝓝 x
V : Set X
hVU : V ⊆ U
hxV : x ∈ V
hV : IsClopen V
⊢ (V ∈ fun U => IsClosed U ∧ IsOpen U) ∧ x ∈ V ∧ V ⊆ U
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
Algebra A B
Algebra S B
IsScalarTower R A B
IsScalarTower R S B
SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Function.Surjective ⇑(KaehlerDifferential.map R S A B)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
t : Set ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
hS : MeasurableSet S
⊢ ∃ s_1 S_1, MeasurableSet S_1 ∧ (cylinder s S)ᶜ = cylinder s_1 S_1
q : Λ'
s : Option Γ'
L : List ℕ
c d : List Γ'
o : Option Γ' := List.casesOn L none fun x x => some Γ'.cons
⊢ ∀ x ∈ elim (trList L.tail) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat L.headI).reverseAux []) c d main, decide (x = Γ'.consₗ) = false
R S T : Type u_1
CommRing R
CommRing S
CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
⊢ g.comp f = CommRingCat.ofHom f ≫ CommRingCat.ofHom g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ r < f x}
α : Type u_1
CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
a b : ↥L
⊢ Disjoint a b ↔ Disjoint ↑a ↑b
k : Type u
Field k
⊢ AlgebraicClosure.spanEval k ≤ AlgebraicClosure.maxIdeal k
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α
⊢ 1 ∈ s / t ↔ ¬Disjoint s t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C
Y : D
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id (X, Y) = (CategoryTheory.CategoryStruct.id X, CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
i : n
aux₁ : ((toLin (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m)) A) ((Pi.basisFun R n) i) = ∑ j : m, A j i • (Pi.basisFun R m) j
⊢ ((↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i) 1 = (((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i) 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X : C
⊢ ((CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.functorObj A).obj X).counit = A.counit.app X
α : Type u
s : Set (Set α)
f : Filter α
⊢ f ≤ Filter.generate s ↔ s ⊆ f.sets
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
l : ι →₀ 𝕜
v : ι → E
x : E
⊢ (l.sum fun i a => a • ⟪x, v i⟫_𝕜) = ∑ i ∈ l.support, ⟪x, l i • v i⟫_𝕜
α : Type u_1
s : Set α
k : ℕ
⊢ s.encard ≤ ↑k ↔ s.Finite ∧ ∃ n₀, s.encard = ↑n₀ ∧ n₀ ≤ k