ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : AddCommMonoid β
inst✝ : Module α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
hσ : σ.IsCycleOn ↑s
f : ι → α
g : ι → β
⊢ (∑ i ∈ s, f i) • ∑ i ∈ s, g i = ∑ k ∈ range s.card, ∑ i ∈ s, f i • g ((σ ^ k) i)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁹ : StrictConvexSpace ℝ V
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝³ : MetricSpace PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor E PE
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
r : ℝ
f : PF → PE
x y z : PE
hx : dist x y = dist x z / 2
hy : dist y z = dist x z / 2
⊢ y = midpoint ℝ x z
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
⊢ IsVonNBounded 𝕜 S
J : Type u₁
K : Type u₂
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
Small.{v, u₂} K
CategoryTheory.FinCategory J
CategoryTheory.IsFiltered K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape K C
CategoryTheory.Limits.ReflectsLimitsOfShape J (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape K (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape J (CategoryTheory.forget C)
F : J ⥤ K ⥤ C
a : K
b : J
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι (CategoryTheory.Limits.limit F) a ≫
    (CategoryTheory.Limits.colimitLimitIso F).hom ≫
      CategoryTheory.Limits.limit.π (CategoryTheory.Limits.colimit F.flip) b =
  (CategoryTheory.Limits.limit.π F b).app a ≫ (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F.flip a).app b
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
u : 𝕜 → 𝕜'
v : 𝕜'
⊢ (deriv fun x => u x * v) = fun x => deriv u x * v
α : Type u_2
OrderedAddCommGroup α
s : NonemptyInterval α
⊢ ↑(-s) = -↑s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ HasDerivAt id 1 x
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ (α_ f (𝟙 b) g).inv ≫ (ρ_ f).hom ▷ g = f ◁ (λ_ g).hom
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
⊢ ∃ g, g ∘ₗ f = id
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
h : s.Finite
⊢ Nat.card ↑s = s.ncard
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ⟪x + y, x + y⟫_𝕜 = ⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
δ : Type u_9
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : DistribMulAction M A
r : M
x y : A
⊢ r • (x - y) = r • x - r • y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ μ.singularPart ν = 0 ↔ μ ≪ ν
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n
ho : 0 < orderOf μ
⊢ False
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
ι : Type u_1
Fintype ι
E' : ι → Type u_2
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
φ : 𝕜 → (i : ι) → E' i
φ' : (i : ι) → E' i
⊢ HasStrictDerivAt φ φ' x ↔ ∀ (i : ι), HasStrictDerivAt (fun x => φ x i) (φ' i) x
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
Fintype (α ⧸ s)
⊢ Fintype.card (Quotient (QuotientGroup.rightRel s)) = Fintype.card (α ⧸ s)
ι : Type u_6
α : Type u_8
Fintype ι
CommMonoid α
DecidableEq ι
i : ι
f : (j : ι) → j = i → α
⊢ (∏ j : ι, if h : j = i then f j h else 1) = f i ⋯
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
he : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s1
p2 : P
hp2 : p2 ∈ ↑s2
h : p2 -ᵥ p1 ∈ s1.direction ⊔ s2.direction
⊢ False
R : Type u_2
Ring R
a₁ : R
a₂ : ℕ
a₃ b : R
⊢ -a₃ = b → -(a₁ ^ a₂ * a₃) = a₁ ^ a₂ * b
n : ℕ
m : ℕ
⊢ (Fin.addNatOrderEmb m).toEmbedding = { toFun := fun x => x.addNat m, inj' := ⋯ }
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : E), ⟪v, x⟫_𝕜 = ⟪v, y⟫_𝕜
⊢ x = y
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
⊢ LiouvilleWith p (x + ↑n) ↔ LiouvilleWith p x
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Cardinal.beth (Order.succ o) = 2 ^ Cardinal.beth o
B : Type u_4
F : Type u_5
AddMonoidWithOne B
A : Type u_6
AddMonoidWithOne A
FunLike F A B
AddMonoidHomClass F A B
f : F
h : f 1 = 1
n : ℕ
⊢ f ↑n = ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
⊢ ↑((orthogonalProjection K) v) = v ↔ v ∈ K
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
d : B
X : c ⟶ d
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.associatorNatIsoRight f g d).hom.app X = (CategoryTheory.Bicategory.associator f g X).hom
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a b : A
hb : b ∈ Algebra.adjoin R {a}
⊢ Commute a b
θ : Angle
x✝ : ℝ
⊢ θ.cos = (↑x✝).cos ↔ θ = ↑x✝ ∨ θ = -↑x✝
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ h).φH = CategoryTheory.CategoryStruct.id h.H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
g : β → γ
f : α → α
n : ℕ
ih : preimage f^[n] = (preimage f)^[n]
⊢ preimage f^[n + 1] = (preimage f)^[n + 1]
α : Type u_1
o : Part α
Decidable o.Dom
⊢ ↑o.toOption = o
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : Polynomial.eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
a : R
⊢ (IsAdjoinRoot.lift i x hx h) ((algebraMap R S) a) = i a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x₀ : E
m n : ℕ∞
i : ℕ
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x₀
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hmn : m + ↑i ≤ n
hx₀s : x₀ ∈ s
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s) s x₀
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : (o.kahler x) y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
⊢ fderiv 𝕜 f x ∈ s ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ s ∨ ¬DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ 0 ∈ s
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
p q r : P
h : y < x
⊢ ltTrichotomy x y p q r = r
R : Type u
Semiring R
S : Type v
Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
hlifts : p ∈ Polynomial.lifts f
hp : p.Monic
⊢ ∃ q, Polynomial.map f q = p ∧ q.natDegree = p.natDegree ∧ q.Monic
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
n : ℕ
⊢ (↑n).imK = 0
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
κ : Cardinal.{w}
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Infinite M
⊢ ∃ N, lift.{max u v w, w} κ ≤ #↑N
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i : ι, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype (LinearMap.ker ϕ)
N' : Submodule R O := map N.subtype (LinearMap.ker (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M))
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
⊢ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
⊢ ⊥.inv = ⊥
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : b < a
⊢ Set.Icc a b = ∅
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h₁ : Reaches₁ f a c
h₂ hab : b ∈ f a
hbc : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b c
⊢ Reaches f b c
a : EReal
b : ℝ
⊢ a + ↑b - ↑b = a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q ∣ p
a✝ : Nontrivial R
r : R[X]
hr : p = q * r
hpq0 : ¬p %ₘ q = 0
hmod : p %ₘ q = q * (r - p /ₘ q)
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
K : CategoryTheory.Limits.Multifork I
⊢ I.toPiForkFunctor.obj K = K.toPiFork
R : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (n.factorization.prod fun p k => (σ 1) (p ^ k)) = ∏ p ∈ n.primeFactors, ∑ k ∈ range (n.factorization p + 1), p ^ k
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β
⊢ s.disjSum t = ∅ ↔ s = ∅ ∧ t = ∅
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationWithZeroMap N
inst✝ : IsLeftCancelMulZero M
h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsLeftRegular x
fl : S.LocalizationMap N := f.toLocalizationMap
g : M →* N := f.toMap
a z w : N
ha : a ≠ 0
hazw : a * z = a * w
b : M × ↥S
hb : a * fl.toMap ↑b.2 = fl.toMap b.1
x : M × ↥S
hx : z * fl.toMap ↑x.2 = fl.toMap x.1
y : M × ↥S
hy : w * fl.toMap ↑y.2 = fl.toMap y.1
b1ne0 : b.1 ≠ 0
main : g (b.1 * (↑x.2 * y.1)) = g (b.1 * (↑y.2 * x.1))
⊢ ↑y.2 * x.1 = ↑x.2 * y.1
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
⊢ (fun t => x.IsAmalgamation t) (hh.lift K) ∧ ∀ (y : (P ⋙ coyoneda.obj (op E)).obj (op X)), (fun t => x.IsAmalgamation t) y → y = hh.lift K
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
Module.Flat R ↥N
ι : Type u_1
m : ι → ↥M
hm : LinearIndependent R m
⊢ LinearMap.ker (Submodule.mulLeftMap N m) = ⊥
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Field α
p : ℕ
h✝ : CharP α p
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : Algebra (ZMod p) α := ZMod.algebra α p
b : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex (ZMod p) α } (ZMod p) α := IsNoetherian.finsetBasis (ZMod p) α
⊢ FiniteDimensional.finrank (ZMod p) α ≠ 0
C₁ : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
⊢ (CategoryTheory.LocalizerMorphism.id W₁).functor = CategoryTheory.Functor.id C₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
hd : CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, d x
N n : ℕ
hn : N ≤ n
hN : ∑ k ∈ Finset.Ico N n, d k < ε ∧ ∑ x ∈ Finset.range N, d x - (∑ k ∈ Finset.range N, d k + ∑ k ∈ Finset.Ico N n, d k) < ε
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico N n, ↑(d i) < ↑ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.π h.homologyIso.inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.cyclesIso.inv S.homologyπ
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b : Ordinal.{u}
h_init : x ≤ f x
h_ab : a ≤ b
h : lfpApprox f x a ∈ fixedPoints ⇑f
⊢ lfpApprox f x b = lfpApprox f x a
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
hz : 0 < k
⊢ (s.orderEmbOfFin h) ⟨0, hz⟩ = s.min' ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o o' : Ordinal.{max u v}
f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ordinal.{max u v}
hg : o'.blsub g = o
a : Ordinal.{max u v}
ha : a < o'
⊢ g a ha < o'.blsub g
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S T : Seq (Seq1 α)
⊢ (S.append T).join = S.join.append T.join
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : Algebra R k
inst✝ : AddMonoid G
r : R
⊢ (↑↑__src✝).toFun ((algebraMap R k) r) = (algebraMap R k[G]) r
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
x y : R
⊢ x ∈ s → y ∈ s → x + y ∈ s
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
T : β → β
n : ℕ
h : UniformContinuous T
⊢ UniformContinuous T^[n]
α : Type u_1
CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
a b : ↥L
⊢ IsCompl a b ↔ IsCompl ↑a ↑b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
J : Type
Finite J
W.IsStableUnderFiniteProducts
⊢ W.IsStableUnderProductsOfShape J
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
K : J ⥤ C
c d : CategoryTheory.Limits.Cone K
f : c ⟶ d
i : CategoryTheory.IsIso f.hom
⊢ CategoryTheory.IsIso f
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * g x) l Filter.atBot
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
S : Set ℕ := {n | ∃ s, Fermat42 s.1 s.2.1 s.2.2 ∧ n = s.2.2.natAbs}
S_nonempty : S.Nonempty
m : ℕ := Nat.find S_nonempty
s0 : ℤ × ℤ × ℤ
hs0 : Fermat42 s0.1 s0.2.1 s0.2.2
hs1 : m = s0.2.2.natAbs
⊢ ∀ (a1 b1 c1 : ℤ), Fermat42 a1 b1 c1 → s0.2.2.natAbs ≤ c1.natAbs
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Set α
inst✝ : Bornology α
S : Set (Set α)
hs : S.Finite
⊢ IsBounded (⋃₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, IsBounded s
ds₁ ds₂ ds₃ is : List ℕ
h : Forall₂ (fun x x_1 => x < x_1) is (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)
⊢ ↑(assocRight ⟨is, h⟩).drop.take = ↑(take ⟨is, h⟩).drop
α : Type u_1
r s : Setoid α
⊢ r = s ↔ ∀ (a b : α), r.Rel a b ↔ s.Rel a b
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
⊢ (∃ a < (p.cycleOf x).support.card, (p ^ a) x = y) ↔ p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ (f.fpowerSeries x).radius = ⊤
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
⊢ Continuous fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
z : ℤ
⊢ normUnit z = if 0 ≤ z then 1 else -1
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
x : A
⊢ x ∈ NonUnitalAlgebra.adjoin R {x}
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↑M
⊢ (rightUnitor N).hom ((tensorHom f (𝟙 (of R R))) (x ⊗ₜ[R] 1)) = f ((rightUnitor M).hom (x ⊗ₜ[R] 1))
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
f : R → S
g : S → R
h₁ : Function.LeftInverse g f
h₂ : Function.RightInverse g f
h₃ :
  ∀ (x y : R),
    { toFun := f, invFun := g, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x * y) =
      { toFun := f, invFun := g, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x *
        { toFun := f, invFun := g, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (x y : R),
    { toFun := f, invFun := g, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x + y) =
      { toFun := f, invFun := g, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x +
        { toFun := f, invFun := g, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
⊢ { toFun := f, invFun := g, left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄ }.symm =
  let __src := RingEquiv.symm_mk.aux f g h₁ h₂ h₃ h₄;
  { toFun := g, invFun := f, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯ }
θ : Real.Angle
⊢ θ.toReal < 0 ↔ θ.sign = -1
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Injective (image f)
x x' : α
hx : f x = f x'
⊢ {x} = {x'}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
H : ↑X ≅ ↑Y
α : (TopCat.Presheaf.pushforward C H.hom).obj X.presheaf ≅ Y.presheaf
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.isoOfComponents H α).inv =
  { base := H.inv, c := TopCat.Presheaf.toPushforwardOfIso H α.hom }
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
⊢ ↑na * ⅟↑da * (↑nb * ⅟↑db) = ↑nc * ⅟↑dc
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x : E
⊢ x ∈ Submodule.map (LinearMap.fst R E F) f.graph ↔ x ∈ f.domain
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
v w : V
⊢ G'.Adj (f v) (f w) ↔ G.Adj v w
α : Type u
⊢ Nontrivial (Filter α) ↔ Nonempty α
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (F.obj X) (F.obj Y)
⊢ F.biprodComparison X Y ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst = F.map CategoryTheory.Limits.biprod.fst
A : Type u_2
AddGroup A
self : IsSimpleAddGroup A
H : AddSubgroup A
⊢ H.Normal → H = ⊥ ∨ H = ⊤
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
f : OnePoint X → Y
⊢ Continuous f ↔
  Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) (Filter.coclosedCompact X) (𝓝 (f OnePoint.infty)) ∧ Continuous fun x => f ↑x
R : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass R
b : R
inst✝ : Nontrivial R
ra : IsRightRegular 0
x y : R
xy : x ≠ y
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
T2Space α
s : Finset β
hf : Summable f
⊢ ∑ x ∈ s, f x + ∑' (x : ↑(↑s)ᶜ), f ↑x = ∑' (x : β), f x
xs ys zs : Lean.Omega.Coeffs
⊢ (xs + ys).dot zs = xs.dot zs + ys.dot zs
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
self : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (self.μ X Y) (self.obj Z) ≫
    self.μ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z ≫
      self.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (self.obj X) (self.obj Y) (self.obj Z)).hom ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (self.obj X) (self.μ Y Z) ≫
      self.μ X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x✝ : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩
x : A
hx✝ : x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
hx : ∃ a ∈ t, (Embedding.subtype s) a = x
y : A
hy✝ : y ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
hy : ∃ a ∈ t, (Embedding.subtype s) a = y
⊢ f ⟨x, hx✝⟩ = f ⟨y, hy✝⟩ → ⟨x, hx✝⟩ = ⟨y, hy✝⟩
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : m → R
⊢ (toLinearMapRight' M') ((toLinearMapRight' M) x) = x
α : Type u_1
c : Finset (Set α)
hc : Setoid.IsPartition ↑c
⊢ hc.finpartition.parts = c
α : Type u
a b : Set α
⊢ a ∩ (b \ a) = ∅
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]
h : p.roots = 0
⊢ p = C (p.coeff 0)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
S T : AddSubmonoid N
⊢ AddSubmonoid.map f (AddSubmonoid.comap f S ⊔ AddSubmonoid.comap f T) = S ⊔ T
n m : ℕ
h : n ≤ m
i : { i // ↑i < n }
⊢ (Fin.castLEquiv h).symm i = ⟨↑↑i, ⋯⟩
α : Type u_2
CompleteLattice α
⊢ CompleteLatticeHom.dual.symm (CompleteLatticeHom.id αᵒᵈ) = CompleteLatticeHom.id α
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
A : Type w
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
self : W.IsCompatibleWithShift A
a : A
⊢ W.inverseImage (CategoryTheory.shiftFunctor C a) = W
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
One α
⊢ sSup 1 = 1
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ≥ x_1) (Set.Ici a)
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∑ i ∈ s, f i ^ p = 0
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
e : C ≌ E
⊢ CategoryTheory.regularTopology.EqualizerCondition P ↔
  CategoryTheory.regularTopology.EqualizerCondition (e.op.inverse.comp P)
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
x : A
r : R
y : A
⊢ x * ((algebraMap R A) r * y) = (algebraMap R A) r * (x * y)