ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
X : C ⥤ CommMon_ D
⊢ ∀ (X_1 : C),
  ((CategoryTheory.Monoidal.CommMonFunctorCategoryEquivalence.counitIso.hom.app X).app X_1).hom =
    𝟙 ((CommMon_.forget₂Mon_ D).obj (X.obj X_1)).X
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c d : Concept α β r
⊢ (c ⊓ d).toProd.1 = c.toProd.1 ∩ d.toProd.1
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : Unique Mˣ
inst✝² : Unique Nˣ
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
⊢ Prime ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩)
V : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} V
CategoryTheory.MonoidalCategory V
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
CategoryTheory.EnrichedCategory V C
CategoryTheory.EnrichedCategory V D
CategoryTheory.EnrichedCategory V E
F : CategoryTheory.EnrichedFunctor V C D
G : CategoryTheory.EnrichedFunctor V D E
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.EnrichedFunctor.comp V F G).map X Y =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map X Y) (G.map (F.obj X) (F.obj Y))
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
v : ι → α
l : Line α ι'
x : α
⊢ (fun x i => ((vertical v l).idxFun i).getD x) x = Sum.elim v ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν κ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite κ
hμν : μ ≪ ν
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ν, μ.rnDeriv ν x ≠ ⊤
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
⊢ #ℍ[R,c₁,c₂] = #R ^ 4
R : Type u
inst✝ : Ring R
a b : ℕ
⊢ eval (↑a + ↑b) (descPochhammer ℤ b) = ↑((a + 1).ascFactorial b)
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
⊢ (NonUnitalSubalgebra.unitization s).range = Algebra.adjoin R ↑s
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
⊢ FractionalIdeal.dual A K J / FractionalIdeal.dual A K I = I / J
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ ‖x ^ 0 + ∑' (b : ℕ), x ^ (b + 1)‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖x‖)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
⊢ l ≤ l' ↔ ∀ t ∈ l', ∃ i, p i ∧ s i ⊆ t
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y z t : α
⊢ edist x t ≤ edist x y + edist y z + edist z t
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y x' y' : α
⊢ dist (dist x y) (dist x' y') ≤ dist x x' + dist y y'
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
ha : a ∈ t
hs : s ⊆ t
⊢ insert a s ⊆ t
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ {a | ¬s.indicator f a = 0 a} = 0
⊢ μ s = 0
X : Compactum
A : Set X.A
F : Ultrafilter X.A
hF : Compactum.cl A ∈ F
⊢ X.str F ∈ Compactum.cl A
R : Type u_1
A : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : ContinuousSMul R A
⊢ Continuous fun r => r • 1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic F ↥(f i)
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
i : ι
x1 : E
hx1 : x1 ∈ f i
⊢ x1 ∈ (minpoly F x1).rootSet E
α : Type u
self : Shelf α
x y z : α
⊢ x ◃ y ◃ z = (x ◃ y) ◃ x ◃ z
⊢ Real.eulerMascheroniSeq' 1 = 1
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
H : denom g z = 0
⊢ False
α : Type u
Lattice α
a b c : α
⊢ a ⊔ b ⊓ c ≤ (a ⊔ b) ⊓ (a ⊔ c)
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R
h : ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), y = x + p
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ IsSelfAdjoint y
α : Type u_1
f : Equiv.Perm α
n : ℤ
x : α
⊢ f ((f ^ n) x) = (f ^ n) x ↔ f x = x
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁹ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁸ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝⁴ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
⊢ J.toSheafify (P ⋙ F) ≫ (J.sheafifyCompIso F P).inv = whiskerRight (J.toSheafify P) F
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix n n R₂
i j : n
⊢ (M.toBilin'Aux ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) i) 1)) ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) = M i j
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝³ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
g✝ : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) ((f i j hij) x) = (g✝ i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
h✝ : Nonempty ι
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g✝ i) a = 0 → a = 0
i✝ : ι
g : G i✝
hz : (g✝ i✝) g = 0
⊢ (of R ι G f i✝) g = 0
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f✝ : X → (i : ι) → π✝ i
n : ℕ
π : Fin (n + 1) → Type u_8
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → TopologicalSpace (π i)
i : Fin (n + 1)
f : Y → π i
l : Filter Y
x : π i
hf : Tendsto f l (𝓝 x)
g : Y → (j : Fin n) → π (i.succAbove j)
y : (j : Fin n) → π (i.succAbove j)
hg : Tendsto g l (𝓝 y)
j : Fin (n + 1)
⊢ ∀ (j : Fin n), Tendsto (fun i_1 => i.insertNth (f i_1) (g i_1) (i.succAbove j)) l (𝓝 (i.insertNth x y (i.succAbove j)))
α : Type u_1
β : Type v
f : α → Option β
l : List α
⊢ Multiset.filterMap f ↑l = ↑(List.filterMap f l)
⊢ 1 ^ 2 - √5 ^ 2 = -(2 * 2)
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ a ∈ s, f a ≠ ⊤
⊢ ∑ a ∈ s, f a ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g g' : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn g (Icc x₀ x)
gdiff : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, HasDerivAt g (g' x_1) x_1
g'_ne : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, g' x_1 ≠ 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo x₀ x
h : (g x - g x₀) * ((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y = (taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x) * g' y
⊢ ∃ x' ∈ Ioo x₀ x, f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - x') ^ n / ↑n ! * (g x - g x₀) / g' x') • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) x'
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherianRing R
Module.Finite R M
x : AdicCompletion I R ⊗[R] M
⊢ (AdicCompletion.ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I M) x = (AdicCompletion.ofTensorProduct I M) x
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
Preorder α
MulPosStrictMono α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a * b
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
NormalizationMonoid α
DecidableEq α
n p : α
⊢ (factorization n) p = Multiset.count p (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors n)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : Zero Γ
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : MulZeroOneClass R
h✝ : Subsingleton R
⊢ order 1 = 0
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
i : (a : ι) → a ∈ s → κ
j : (a : κ) → a ∈ t → ι
hi : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
hj : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s
left_inv : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a
right_inv : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a
h : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
a1 : ι
h1 : a1 ∈ s
a2 : ι
h2 : a2 ∈ s
eq : i a1 h1 = i a2 h2
⊢ a1 = a2
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
t : ℝ≥0
ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t
this : spectrum ℝ a ⊆ Set.Icc (-↑t) ↑t
⊢ (∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 ≤ x) ↔ spectralRadius ℝ ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ≤ ↑t
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V
⊢ midpoint R x x +ᵥ midpoint R (-y) y = x
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a))) < 2 ^ n * 2
⊢ ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) + ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) ≤ ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) + ↑(pos a) * (↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0∞
g : β → γ
equiv : (y : γ) × { x // g x = y } ≃ β := Equiv.sigmaFiberEquiv g
⊢ HasSum (fun b => ∑' (b_1 : ↑(g ⁻¹' {b})), f ↑b_1) (∑' (i : β), f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLinearOrder α
f : ι → α
⊢ iSup f = ⊤ ↔ ∀ b < ⊤, ∃ i, b < f i
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
⊢ (fun x => a + x) '' Ioo b c = Ioo (a + b) (a + c)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : D ⥤ C
Z : D
T : Presieve (F.obj Z)
x : FamilyOfElements P T
h : x.Compatible
Z₁ Z₂ W : D
g₁ : W ⟶ Z₁
g₂ : W ⟶ Z₂
f₁ : Z₁ ⟶ Z
f₂ : Z₂ ⟶ Z
h₁ : Presieve.functorPullback F T f₁
h₂ : Presieve.functorPullback F T f₂
eq : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ (F.op ⋙ P).map g₁.op (FamilyOfElements.functorPullback F x f₁ h₁) = (F.op ⋙ P).map g₂.op (FamilyOfElements.functorPullback F x f₂ h₂)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ StrictAntiOn f Set.univ ↔ StrictAnti f
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true
s : (f (Nat.find h')).isSome = true
fd : (rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).Dom
⊢ ((fun b => (fun n => ↑(f n)) ((rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).get b)) fd).Dom
E : Type u_1
ι : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
Fintype ι
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
BorelSpace E
μ.IsAddHaarMeasure
⊢ Zspan.fundamentalDomain b =ᵐ[μ] parallelepiped ⇑b
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
⊢ ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
AddCommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableAdd₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
⊢ AEMeasurable (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) μ
a b c : ℝ≥0∞
h₂ : c ≤ a
h₃ : a ≠ ⊤ ∨ b ≠ ⊤
h₁ : a - b < c
⊢ a - c < b
α : Type u_1
l : Language α
a : List α
⊢ a.reverse ∈ l.reverse ↔ a ∈ l
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ (o.oangle x (-y)).sign = -(o.oangle x y).sign
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
p : β × γ → Prop
hp : MeasurableSet {x | p x}
h : ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, ∀ᵐ (c : γ) ∂η (a, b), p (b, c)
⊢ ∀ᵐ (bc : β × γ) ∂(κ ⊗ₖ η) a, p bc
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.isomorphisms C f ↔ CategoryTheory.IsIso f
x : ℂ
n : ℕ
⊢ Complex.sin (x + ↑n * (2 * ↑Real.pi)) = Complex.sin x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
⊢ μ s + μ (t \ s) = μ (s ∪ t)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
ν : Measure α
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) (μ + ν)
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμνs : (μ + ν) s < ⊤
⊢ weightedSMul (μ + ν) s = weightedSMul μ s + weightedSMul ν s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
p₁ p₂ : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
r₁ r₂ : ℝ≥0∞
x : 𝕜
h₁ : HasFPowerSeriesOnBall f p₁ x r₁
h₂ : HasFPowerSeriesOnBall f p₂ x r₂
⊢ HasFPowerSeriesOnBall f p₁ x r₂
α : Type u_1
h : DecidablePred fun x => True
s : Finset α
⊢ Finset.filter (fun x => True) s = s
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ StrictMono (Submodule.comap f)
x : ℝ
⊢ ↑(Real.arctan x) = (↑x).arctan
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp_pos : 0 < p
hpq : p ≤ q
h_rpow : ∀ (a : ℝ≥0∞), a ^ q = (a ^ p) ^ (q / p)
h_rpow_add_rpow_le_add : ((a ^ p) ^ (q / p) + (b ^ p) ^ (q / p)) ^ (1 / (q / p)) ≤ a ^ p + b ^ p
⊢ (a ^ q + b ^ q) ^ (1 / q) ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p)
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a / b ≤ a⁻¹ * b ↔ a ≤ b
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
⊢ Function.Injective AlgEquiv.toLinearMap
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeSup α
inst✝⁵ : OrderTop α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeSup β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : a ∈ lowerClosure ↑s
ht : ∀ x ∈ t, ¬a ≤ x
⊢ (s ∪ t).truncatedSup a = s.truncatedSup a
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n
h₁ : ↑n.succ ≠ 1
⊢ (↑n.factorial)⁻¹ * ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.succ)⁻¹ ^ m = (↑n.succ - ↑n.succ * (↑n.succ)⁻¹ ^ (j - n)) / (↑n.factorial * ↑n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : CompleteLatticeHom α α
a : α
⊢ ⨅ i, ⨆ i_1, (⇑f)^[i_1 + i.succ] a ≤ ⨆ i, (⇑f)^[i] a
R : Type u
σ : Type u_1
τ : Type u_2
CommSemiring R
f : σ → τ
p : MvPolynomial σ R
⊢ ((MvPolynomial.rename f) p).totalDegree ≤ p.totalDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
SemilatticeSup α
f : Filter β
u v : β → α
⊢ (Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => u a ⊔ v a) ↔
  Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u ∧ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v
M : Type u_5
N : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
M' : Type u_8
N' : Type u_9
MulOneClass M'
MulOneClass N'
f : M →* M'
g : N →* N'
⊢ ⇑(f.prodMap g) = Prod.map ⇑f ⇑g
X : TopCat
ι : Type u_1
B : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
h : TopologicalSpace.Opens.IsBasis (Set.range B)
⊢ (CategoryTheory.inducedFunctor B).IsCoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X)
ι : Type u_1
Fintype ι
c : ℝ≥0
l : BoxIntegral.IntegrationParams
I : BoxIntegral.Box ι
hc : I.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ ∃ π, l.MemBaseSet I c r π ∧ π.IsPartition
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f✝ g✝ : α →ₘ[μ] β
f : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
g : α → β
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
hgi : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (f + g) μ
x✝ y z x : ℝ
⊢ 0 ≤ 0 ^ x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
BorelSpace α
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
BorelSpace β
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
f : α → β
hf : Continuous f
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μ).InnerRegularCompactLTTop
F : Type u_1
Field F
p : F[X]
CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
⊢ p.natDegree ∣ Fintype.card p.Gal
α : Type u_1
G : Type u_4
DivisionCommMonoid G
f g : α → G
hf : (Function.mulSupport f).Finite
hg : (Function.mulSupport g).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i / g i = (∏ᶠ (i : α), f i) / ∏ᶠ (i : α), g i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
e : ι' ≃ ι
m : ι → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (sum (m ∘ ⇑e)) s = (sum m) s
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
f : Filter α := Filter.comap m ↑g ⊓ 𝓟 s
⊢ s ∈ ofComapInfPrincipal h
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
f : (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)) ⟶ X.presheaf.obj (op (X.toΓSpecMapBasicOpen r))
loc_inst : IsLocalization.Away r ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))
⊢ toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r) ≫ f = (IsLocalization.Away.lift r ⋯).comp (algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))) ↔ f = X.toΓSpecCApp r
R : Type u
Mul R
StarMul R
x : R
⊢ IsRightRegular (star x) ↔ IsLeftRegular x
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
h : 0 < z⁻¹
⊢ 0 < z
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
𝓕 : Type u_10
FunLike 𝓕 E E₂
f g : 𝓕
h : f = g
x : E
⊢ f x = g x
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : Countable G
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ
h_measure_univ_le : μ univ ≤ ∑' (g : G), μ (g • s)
aedisjoint : Pairwise (AEDisjoint μ on fun g => g • s)
h_meas : ∀ (g : G), NullMeasurableSet (g • s) μ
h_meas' : NullMeasurableSet {a | ∃ g, g • a ∈ s} μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ g, g • x ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z✝ z : 𝕜
hxz : 0 ≤ z - x
hyz : 0 ≤ y - z
h : 0 < y - x
⊢ z ∈ [x-[𝕜]y]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L M₂
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : N₂ ≤ f.range
⊢ LieSubmodule.map f (LieSubmodule.comap f N₂) = N₂
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddMonoid β
StarAddMonoid β
ContinuousStar β
f : α →C₀ β
⊢ ⇑(star f) = star ⇑f
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
G : Type u_5
Group G
DistribMulAction G M
SMulCommClass R G M
g : G
v : M
hv : v ≠ 0
⊢ g • rayOfNeZero R v hv = rayOfNeZero R (g • v) ⋯
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f : α → β
⊢ Tendsto f l₁ l₂ ↔ PTendsto (PFun.res f Set.univ) l₁ l₂
n m n✝ : ℕ
a b : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : a < b
k : ℕ
hk : ↑b = ↑a + k + 1
hkb : k < ↑b
⊢ ⟨k, ⋯⟩ + 1 ≤ b
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)
i : ι
⊢ b.repr (↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) = b.repr (b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) i))
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hw : cs.wordProd ω ≠ 1
h : ω.length = cs.length (cs.wordProd ω)
h₁ : ω ≠ []
⊢ ∃ i, cs.IsLeftDescent (cs.wordProd ω) i
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
l : ℕ
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : ι → ι → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s t : Finset ι
x : 𝕜
hst : s ⊆ t
f : ι → 𝕜
d : 𝕜
hx : 0 ≤ x
hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|
ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
⊢ d + ↑s.card / ↑t.card * x ^ 2 ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) / ↑t.card
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
hs' : a ≠ 0 ∨ s ≠ 1
⊢ hurwitzZetaEven a (1 - s) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * Complex.cos (↑π * s / 2) * cosZeta a s
b : ℂ
hb : 0 < b.re
full_integral : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume + ∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume = (↑π / b) ^ (1 / 2)
this : MeasurableSet (Ioi 0)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeInf α
DecidableEq β
s : Finset γ
f : γ → β
hs : s.Nonempty
g : β → α
⊢ s.inf' hs (g ∘ f) = (Finset.image f s).inf' ⋯ g
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Iio y) y
⊢ slope f x y ≤ derivWithin f (Set.Iio y) y
α : Type u
OrderedCommGroup α
a : α
⊢ 1 ≤ a → a⁻¹ ≤ 1
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun x => ↑(𝐞 x)) (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 x)) x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : ModuleCat R
f : Y ⟶ Z
⊢ (𝟙 X ⊗ f) ≫ (X.braiding Z).hom = (X.braiding Y).hom ≫ f ▷ X
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
e : X ≅ Y
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ e.inv.val.base (e.hom.val.base x) = x
c : ℂ
R : ℝ
hR : 0 ≤ R
θ : ℝ
⊢ circleMap c R θ ∈ Metric.sphere c R
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
⊢ I = 0 ↔ ∀ x ∈ I, x = 0
α : Type u
s : Set α
hs : s.Finite
a : { a // (fun x => x ∈ s) a }
⊢ ↑(hs.subtypeEquivToFinset a) = ↑a
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S✝ : Type u_5
F✝ : Type u_6
inst✝⁸ : CommMonoid M
inst✝⁷ : CommMonoid N
inst✝⁶ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
n : ℕ+
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
hζ : (primitiveRoots (↑n) R).Nonempty
η : ↥(rootsOfUnity n S)
⊢ f ↑↑((rootsOfUnityEquivOfPrimitiveRoots hf hζ).symm η) = ↑↑η
n m : ℕ
⊢ SetTheory.PGame.nim ↑n + SetTheory.PGame.nim ↑m ≈ SetTheory.PGame.nim ↑(n ^^^ m)