ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
R : Type u_17
S : Type u_18
Semiring S
SMul R M
Module S M
SMul R M₂
Module S M₂
self : LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S
fₗ : M →ₗ[S] M₂
c : R
x : M
⊢ fₗ (c • x) = c • fₗ x
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
d : s.Nodup
⊢ s.ndunion t = s ∪ t
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
⊢ borel X ≤ μ.caratheodory
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ ¬Booleanisation.comp a < Booleanisation.lift b
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → LinearOrder (α i)
x y z : (i : ι) → α i
⊢ (Set.Icc x z \ Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (y i) (z i)) ⊆ ⋃ i, Set.Icc x (Function.update z i (y i))
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (p ^ n) R)
⊢ Irreducible (Polynomial.cyclotomic p R)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nonempty ι
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m‖ < ε → ‖f m‖ < 1
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : Function.RightInverse i' ⇑i
⊢ lift.{v', v} (Module.rank R M) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R' M')
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
t : R
h : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
a✝ : Nontrivial R
hpos : 0 < ‖↑x⁻¹‖
⊢ ‖-(↑x⁻¹ * t)‖ < 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ (x ≠ 0 ∧ ∃ x_1, 0 < -x_1 ∧ -y = -x_1 • x) ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, y = r • x
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ IsAffineOpen (X.basicOpen f)
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
I : Ideal A
S : Type u_5
Semiring S
Algebra R₁ S
f g : A ⧸ I →ₐ[R₁] S
h : f.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R₁ I) = g.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R₁ I)
⊢ f = g
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Fintype m
Fintype n
NonUnitalNonAssocSemiring α
u : m → α
x : n → α
e : n ≃ m
⊢ u ⬝ᵥ x ∘ ⇑e.symm = u ∘ ⇑e ⬝ᵥ x
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
hf : Antitone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun x => Set.Ioo (f x) (g x)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r X : R
hr : r ≠ 0
hX : Prime X
this : multiplicity (span {X}) (span {r}) = ↑(Multiset.count (normalize X) (normalizedFactors r))
⊢ Prime (span {X})
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ ↑S.toSubring = ↑S
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C✝ C D : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h : ∀ (i : ι), f.f i = g.f i
x✝ : ι
⊢ f.f x✝ = g.f x✝
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
⊢ Q.IsOrtho x y ↔ Q.IsOrtho y x
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ IsLocalizedModule.mk' f (s₂ • m) (s₁ * s₂) = IsLocalizedModule.mk' f m s₁
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A ≃ₗc[R] B
⊢ f.toCoalgHom = ↑f
α : Type u_1
M : Type u_2
Zero M
a : α
m : M
⊢ (AList.singleton a m).lookupFinsupp = Finsupp.single a m
G : Type u_1
AddGroup G
hN : Nontrivial G
⊢ AddMonoid.IsTorsionFree G → ¬AddMonoid.IsTorsion G
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255779}
a : Cardinal.{u_1}
⊢ IsEmpty ↑(Iio 0)
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j : J
⊢ ι f j ≫ π f j = 𝟙 (f j)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hxz' : 0 < z - x
⊢ (f y - f x) * (z - x) ≤ (f z - f x) * (y - x)
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A : Set α
⊢ ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : A ⊆ t), m t ht = ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ t), m t ht
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
f₁ f₂ : Π₀ (i : ι), β i
x✝ : ι
⊢ (erase i (f₁ + f₂)) x✝ = (erase i f₁ + erase i f₂) x✝
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
φ : G ≃g G'
v' : V'
C : G.ConnectedComponent
⊢ G.connectedComponentMk (φ.symm v') = C ↔
  G'.connectedComponentMk v' = SimpleGraph.ConnectedComponent.map (RelIso.toRelEmbedding φ).toRelHom C
α : Type u_1
CompleteLattice α
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
g : ι' → α
e : ι ≃ ι'
s : Set ι'
⊢ ⨅ i ∈ ⇑e.symm '' s, g (e i) = ⨅ i ∈ s, g i
α : Type u_1
DecidableEq α
x : α
k : ℕ
⊢ k ≠ 0 → (List.replicate k x).dedup = [x]
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α✝
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α✝
a b : α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
⊢ ¬BddAbove s ↔ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, x < y
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
x₁ : M
x₂ : N
P : Prop
Decidable P
⊢ (if P then x₁ else 0) ⊗ₜ[R] x₂ = if P then x₁ ⊗ₜ[R] x₂ else 0
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ x ⇨ y = y ⊔ xᶜ
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
⊢ W'.Nonsingular P ↔ W'.Equation P ∧ (3 * P x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * P y ≠ 0 ∨ W'.a₁ * P x * P y ≠ 0)
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a : α
NoMaxOrder α
⊢ Order.IsSuccLimit a ↔ ∀ (b : α), Order.succ b ≠ a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
x : G
hx : x ∈ closure {x | ∃ p ∈ lowerCentralSeries G n, ∃ q, p * q * p⁻¹ * q⁻¹ = x}
y z : G
hz : z ∈ lowerCentralSeries G n
a : G
ha : z * a * z⁻¹ * a⁻¹ = y
⊢ y ∈ lowerCentralSeries G n
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
⊢ ∀ (X Y : W.FunctorsInverting D) (f : X ⟶ Y), (inverse W D ⋙ functor W D).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 (W.FunctorsInverting D)).map f ≫ eqToHom ⋯
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, 0 ≤ x
hS₂ : S.Nonempty
⊢ 0 ≤ sInf S
α : Type u_1
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
ι : Type u_3
s : Multiset ι
t : ι → Multiset α
b : ι → α
b₀ : α
⊢ Multiset.fold op (Multiset.fold op b₀ (Multiset.map b s)) (s.bind t) =
  Multiset.fold op b₀ (Multiset.map (fun i => Multiset.fold op (b i) (t i)) s)
y : ℂ
⊢ SameRay ℝ 0 y ↔ 0 = 0 ∨ y = 0 ∨ arg 0 = y.arg
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
s : Set α
t : Set β
f : ↑s ≃o ↑t
x : α
hx : x ∈ maximals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ ↑(f ⟨x, ⋯⟩) ∈ maximals (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
δ : Type u_4
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderTopology δ
g : γ → δ
f : α → γ
hg : Continuous g
hf : UpperSemicontinuousOn f s
gmon : Antitone g
⊢ LowerSemicontinuousOn (g ∘ f) s
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
⊢ TendstoUniformly F f p ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), dist (f x) (F n x) < ε
α : Type u_9
DecidableEq α
x : Multiset α
⊢ ((Finset.range (Multiset.card x + 1)).sup fun k => Multiset.powersetCard k x) = x.powerset
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a
⊢ map (g ∘ f) ⟨s, al⟩ = map g (map f ⟨s, al⟩)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
hK : (primitiveRoots (FiniteDimensional.finrank K L) K).Nonempty
⊢ [IsGalois K L ∧ IsCyclic (L ≃ₐ[K] L),
    ∃ a,
      Irreducible (Polynomial.X ^ FiniteDimensional.finrank K L - Polynomial.C a) ∧
        Polynomial.IsSplittingField K L (Polynomial.X ^ FiniteDimensional.finrank K L - Polynomial.C a),
    ∃ α, α ^ FiniteDimensional.finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤].TFAE
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j : J
⊢ ι f j ≫ (isoCoproduct f).hom = ι f j ≫ desc (Sigma.ι f)
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
v : Mathlib.Vector α n
i : Fin n
⊢ (Mathlib.Vector.scanl f b v).get i.succ = f ((Mathlib.Vector.scanl f b v).get i.castSucc) (v.get i)
m n : ℕ
R : Type u_1
Semiring R
CharZero R
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
h : e.source = univ
h' : e.target = univ
⊢ Continuous { toFun := ↑e, invFun := ↑e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.invFun
α : Type u
β : Type v
s : Set α
p : α → β → Prop
⊢ (∀ a ∈ s, ∀ (b : β), p a b) ↔ ∀ (b : β), ∀ a ∈ s, p a b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalSeminormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
RegularNormedAlgebra 𝕜 𝕜'
⊢ Isometry ⇑(ContinuousLinearMap.mul 𝕜 𝕜')
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
AddCommMonoid β
b : β
⊢ s.card • b + ∑ a ∈ s, f a = ∑ a ∈ s, (b + f a)
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.cfcAux f = 0
h2 : diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = 0
x : ℝ
hx : x ∈ spectrum ℝ A
⊢ f ⟨x, hx⟩ = 0
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
this : φ (f * g).toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal + φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal - (φ (-(f * g)).toNNReal + φ f.toNNReal * φ g.toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal) = 0
⊢ φ (f * g).toNNReal - φ (-(f * g)).toNNReal - (φ f.toNNReal * φ g.toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal - (φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal)) = 0
R : Type u_2
NonAssocRing R
Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2
⊢ Set.InjOn Int.cast {0, 1, -1}
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s
A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)
this : ↑0 < n
y : E
v : Fin 0 → E
i : Fin (0 + 1)
⊢ snoc 0 y default = cons y v default
α : Type u_1
β : Type u_2
p a b : ℕ
hp : p ≠ 1
hle : ∀ (n : ℕ), p ^ n ∣ a → p ^ n ∣ b
hab : a.Coprime b
h : p ^ 1 ∣ a
this : p = 1
⊢ False
k : ℝ
hk : 2 < k
⊢ Summable fun x => ‖x‖ ^ (-k)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∃ r, ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ r
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherian R M
f : Module.End R M
μ : R
h : Set.MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (Module.End R M)) μ) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) :=
  ⋯
⊢ IsNilpotent (LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (Module.End R M)) μ) h)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
f : CategoryTheory.Under X
⊢ ((CategoryTheory.underToAlgebra X).obj f).A = f.right
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
Zero M
⊢ Continuous TrivSqZeroExt.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ 𝓚 (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + (y - z)‖ * ‖x + (y - z)‖) + I * 𝓚 (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ - ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖) = 𝓚 (‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖) + 𝓚 (‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖) + (I * 𝓚 (‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖ - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖) + I * 𝓚 (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ - ‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖))
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
ne_zero : p ≠ 0
aeval_eq : (aeval x) p = 0
⊢ (↑x)⁻¹ ∈ A
K : Type u_2
M : Type u_3
Field K
AddCommGroup M
Module K M
Module.Finite K M
φ : Module.End K M
⊢ Polynomial.constantCoeff (LinearMap.charpoly φ) = 0 ↔ ∃ m, m ≠ 0 ∧ φ m = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsPrime
hk : RingHom.ker f ≤ I
x y : S
⊢ x * y ∈ map f I → x ∈ map f I ∨ y ∈ map f I
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ Disjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ t
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ W.neg P = P z • ![P x / P z ^ 2, W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3), 1]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R
⊢ ((𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).glueMorphisms (fun i => ((pullbackSymmetry s.fst (𝒰.map i)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map i) s.fst (𝒰.map i ≫ f) g (𝟙 (𝒰.obj i)) s.snd f ⋯ ⋯) ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i) ⋯) ≫ p2 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ s.snd
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G H : CategoryTheory.Functor C D
α : CategoryTheory.NatTrans F G
β : CategoryTheory.NatTrans G H
X : C
⊢ (α.vcomp β).app X = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α.app X) (β.app X)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hs : MeasurableSet s
⊢ μ sᶜ = 1 ↔ μ s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ G.IsNClique 3 {a, b, c} ↔ G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c
α : Type u
s : Set α
hs : s.Infinite
n : ℕ
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ t.card = n
α : Type u_1
ι : Type u_11
s : Option ι → Set α
⊢ ⋂ o, s o = s none ∩ ⋂ i, s (some i)
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsDomain R
r : R
⊢ Associated (generator (Ideal.span {r})) r
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
FunLike F α β
self : BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
⊢ f ⊤ = ⊤
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f g : H → H
hfgs : ∀ y ∈ s, f y = g y
a✝ : f x = g x
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : x ∈ s
e : PartialHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
y : H
hy : y ∈ s ∩ e.source
⊢ g y = ↑e.toPartialEquiv y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
LinearOrderedCommRing 𝕜
LinearOrderedCommRing E
LinearOrderedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module E F
IsScalarTower 𝕜 E F
SMulCommClass 𝕜 E F
OrderedSMul 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 F
OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : MonovaryOn f g s
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f • g)
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜
⊢ (List.map ((fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) p).sum = ‖a‖ * (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → Option β
s' s t : Finset α
f_inj : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ filterMap some s ⋯ ↔ x✝ ∈ s
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c d : RingCon R
⊢ c ⊔ d = ringConGen (⇑c ⊔ ⇑d)
n : ℕ
⊢ Nat.fib (2 * n) = Nat.fib n * (2 * Nat.fib (n + 1) - Nat.fib n)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F
⊢ ∫ (x : ↑s), g (s.restrict f x) ∂Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) = ∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • g (f x) ∂μ
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS₁ : S₁.ShortExact
i : ι
⊢ (HomologicalComplex.HomologySequence.composableArrows₂ S₁ i).Exact
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M
⊢ -r • -x = r • x
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
h : IsLeftRegular (abv 1)
⊢ (fun x => abv 1 * x) (abv 1) = (fun x => abv 1 * x) 1
G : Type u_1
SubNegMonoid G
a : G
⊢ 1 • a = a
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Balanced C
hS : S.Exact
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
(S.map F).HasHomology
⊢ CategoryTheory.Mono S.f →
  CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair S.g 0) F → (S.map F).Exact
n✝ : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
n : ℕ∞
hf : HasCompactSupport f
h'f : ContDiff 𝕂 n f
hn : 1 ≤ n
⊢ ∃ C, LipschitzWith C f
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
m : Basis ι R ↥M
H : Function.Injective ⇑(Submodule.mulLeftMap N ⇑m)
⊢ M.LinearDisjoint N
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ ((toMatrix b b) ((id ∘ₗ f) ∘ₗ id)).trace = ((toMatrix c b) id * (toMatrix c c) f * (toMatrix b c) id).trace
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
F : Type u_5
G : Type u_6
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
α : Type u_7
g : F →SL[σ₂₃] G
f : α → F
l : Filter α
⊢ (fun x' => g (f x')) =O[l] f
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MulAction G β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : SMulCommClass G α β
a : α
b : β
⊢ stabilizer G (a⁻¹ • a • b) = stabilizer G b