ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ S.Exact ↔ Function.Exact ⇑S.f ⇑S.g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a < 1 / b ↔ b < 1 / a
ι : Type u_6
α : ι → Type u_7
(i : ι) → AddMonoid (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : ∀ (i : ι), ThreeAPFree (s i)
⊢ ThreeAPFree (Set.univ.pi s)
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
g : G
hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
hpk : p ^ k ∣ orderOf t
hpk' : orderOf (t ^ p ^ k) = orderOf t / p ^ k
a : ℕ
ha : (exponent G).factorization p = k + a + 1
hcoprime : (orderOf (t ^ p ^ k)).Coprime (orderOf g)
⊢ p ^ (orderOf t).factorization p ∣ orderOf t
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
⊢ s.ordConnectedSection ⊆ s
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq : ∀ (i j : ι), IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n
basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
i : ι
a✝ : i ∈ t
⊢ ((structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op) (((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s) = const R ((fun i => a i * h i ^ N) i) ((fun i => h i ^ (N + 1)) i) (PrimeSpectrum.basicOpen ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)) ⋯
α : Type u_1
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
t : β
ht : 0 < t ∧ t < 1
⊢ 1 - t < 1
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ HasFTaylorSeriesUpTo ⊤ f p ↔ (∀ (x : E), (p x 0).uncurry0 = f x) ∧ ∀ (m : ℕ) (x : E), HasFDerivAt (fun y => p y m) (p x m.succ).curryLeft x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
x y : X
⊢ Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y) ↔ ¬x ⤳ y
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
b₁ b₂ : β
⊢ Finset.Icc (Sum.inr b₁) (Sum.inr b₂) = Finset.map Function.Embedding.inr (Finset.Icc b₁ b₂)
n : ℕ
⊢ Nat.Primrec' Mathlib.Vector.head
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
inst✝¹ : IsFiltered (CostructuredArrow yoneda A)
inst✝ : FinallySmall (CostructuredArrow yoneda A)
h₁ : (factoring (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A)) ⋙ inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A))).Final
h₂ : (inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A))).Final
c : Cocone (inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A)) ⋙ CostructuredArrow.proj yoneda A ⋙ yoneda) := Cocone.whisker (inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A))) (Presheaf.tautologicalCocone A)
hc : IsColimit c := (Functor.Final.isColimitWhiskerEquiv (inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A))) (Presheaf.tautologicalCocone A)).symm (Presheaf.isColimitTautologicalCocone A)
hq : Nonempty (FinalModel (CostructuredArrow yoneda A))
⊢ IsIndObject A
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
hs : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
htm : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
ht : μ s < μ t
⊢ ∃ x ∈ t, ∃ y ∈ t, ∃ g, g ≠ 1 ∧ g • x = y
R' : Type u_2
Ring R'
f' g' : PowerSeries R'
⊢ (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R') (f' - g') = (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R') f' - (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R') g'
α : Type u
m : Type u → Type v
x x' : OptionT m α
h : x.run = x'.run
⊢ x = x'
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
⊢ ⁅h, f⁆ = -(2 • f)
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : PredOrder α
ha : ¬IsMin a
⊢ ¬IsPredLimit (pred a)
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Add G
MeasurableAdd G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddLeftInvariant
g : G
X : Type u_4
MeasurableSpace X
μ' : MeasureTheory.Measure X
f : X → G
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ' μ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun x => g + f x) μ' μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
DistribMulAction 𝕜 E
s : Set E
hs : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (-s)
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ Disjoint t (s \ t)
F✝ : Type u
K✝ : Type v
A✝ : Type w
inst✝¹⁰ : DivisionRing F✝
inst✝⁹ : DivisionRing K✝
inst✝⁸ : AddCommGroup A✝
inst✝⁷ : Module F✝ K✝
inst✝⁶ : Module K✝ A✝
inst✝⁵ : Module F✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower F✝ K✝ A✝
F : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Algebra F A
hp : Nat.Prime (finrank F A)
K : Subalgebra F A
this : FiniteDimensional F A
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
α : Type u_1
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
Preorder γ
TopologicalSpace γ
OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
ha : IsGLB s a
hb : Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
⊢ b ∈ lowerBounds (f '' s)
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
e : M ≃+ N
S : AddSubsemigroup M
x : ↥S
⊢ ↑((e.subsemigroupMap S) x) = e ↑x
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
r : R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => r) a = (algebraMap R A) r
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h₁ : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h0 : ¬p 0
n✝ : ℕ
hn : n✝ + 1 < Nat.find h₂ + 1
⊢ ¬p (n✝ + 1)
B : Type u_1
F : Type u_2
E : B → Type u_3
b : B
⊢ Set.range (Bundle.TotalSpace.mk b) = Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' {b}
Ω : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} (s1 s2 : Set (Set Ω)) (μ : MeasureTheory.Measure Ω),
  ProbabilityTheory.IndepSets s1 s2 μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ s1 → t2 ∈ s2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : s.Nonempty
⊢ (convexHull 𝕜) (insert x s) = convexJoin 𝕜 {x} ((convexHull 𝕜) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
⊢ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
f : α → M
⊢ Function.mulSupport f = ∅ ↔ f = 1
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
h : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
x : ℝ
xs : x ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s
yx : y ≤ x
⊢ eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u_1}
ha : a ≤ b
c : Ordinal.{u_1}
hc : c < a
⊢ c ⨳ 1 < b
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq m
DecidableEq n
Semiring α
Fintype m
i : n
j : m
c : α
x : m → α
⊢ (Matrix.stdBasisMatrix i j c).mulVec x = Function.update 0 i (c * x j)
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
S S₁ S₂ : ShortComplex C
A : C
γ : A ⟶ S.homology
A' : C
π : A' ⟶ A
hπ : Epi π
z : A' ⟶ S.cycles
hz : π ≫ γ = z ≫ S.homologyπ
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ z, ∃ (hz : z ≫ S.g = 0), π ≫ γ = S.liftCycles z hz ≫ S.homologyπ
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
Infinite R
σ : Type u_2
p q : MvPolynomial σ R
h : ∀ (x : σ → R), (MvPolynomial.eval x) p = (MvPolynomial.eval x) q
⊢ p = q
z τ : ℂ
hτ : τ ≠ 0
aux1 : -2 * ↑π / (2 * ↑π * I) = I
⊢ -I * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ)) = -2 * ↑π * jacobiTheta₂'' z (-1 / τ)
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ t₁ t₂ : List α
hl : l₁ ~ l₂
ht : t₁ ~ t₂
⊢ l₁.diff t₁ ~ l₂.diff t₂
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
s₁ s₂ s₃ : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets s₁ s₂ κ μ
h31 : s₃ ⊆ s₁
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets s₃ s₂ κ μ
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
e : E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (⨆ i, p i).closedBall e r = ⋂ i, (p i).closedBall e r
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
DivisionMonoid β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
m : F
f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
hf : Filter.Tendsto (⇑m) f₁ f₂
hg : Filter.Tendsto (⇑m) g₁ g₂
⊢ Filter.Tendsto (⇑m) (f₁ / g₁) (f₂ / g₂)
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
y : ℝ
hy : y ∈ Ico 0 1
B : C(𝕌, ℂ) := { toFun := ofReal' ∘ periodizedBernoulli k, continuous_toFun := ⋯ }
step1 : ∀ (n : ℤ), fourierCoeff (⇑B) n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k
⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ k * (fourier n) ↑y) (-(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k y))
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
k n : ℕ
μ : R
m : ℕ
hn : k < m + k + 1
hμ : IsPrimitiveRoot μ (m + k + 1)
hdvd : ∀ (k : ℕ), ∃ z ∈ adjoin ℤ {μ}, μ ^ k - 1 = z * (μ - 1)
Z : ℕ → R := fun k => Classical.choose ⋯
Zdef : ∀ (k : ℕ), Z k ∈ adjoin ℤ {μ} ∧ μ ^ k - 1 = Z k * (μ - 1)
⊢ ∃ z ∈ adjoin ℤ {μ}, ↑(m + k + 1) = z * (μ - 1) ^ k
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
SemilatticeInf β
ContinuousInf β
f g : C(α, β)
a : α
⊢ (f ⊓ g) a = f a ⊓ g a
α : Type u_1
AddZeroClass α
LE α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a ≤ a + b
⊢ 0 ≤ b
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
s : Set G
⊢ map (closure s).subtype (closure (⇑(closure s).subtype ⁻¹' s)) = map (closure s).subtype ⊤
α : Type u_2
Sub α
s t : Set α
a : α
⊢ a ∈ s - t ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x - y = a
R : Type u_1
Semiring R
NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : Polynomial R
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.hasseDeriv n) p).natDegree = p.natDegree - n
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
M' : Type u_6
N' : Type u_7
AddZeroClass M'
AddZeroClass N'
f : M →+ N
g : M' →+ N'
S : AddSubmonoid N
S' : AddSubmonoid N'
⊢ AddSubmonoid.comap (f.prodMap g) (S.prod S') = (AddSubmonoid.comap f S).prod (AddSubmonoid.comap g S')
X : Type u_1
Y : Type u_2
NormedAddCommGroup X
NormedAddCommGroup Y
NormedSpace ℝ X
NormedSpace ℝ Y
f : X → Y
h : Conformal f
⊢ Differentiable ℝ f
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → List β
⊢ (l.bind f).length = Nat.sum (List.map (List.length ∘ f) l)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSet s κ μ
n : ℕ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep (MeasurableSpace.generateFrom {s (n + 1)})
  (MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ k ≤ n, s k = t}) κ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
h' : ⨅ r, stieltjesFunctionAux f a ↑r = ⨅ r, stieltjesFunctionAux f a ↑↑r
h'' : ⨅ r, stieltjesFunctionAux f a ↑↑r = ⨅ r, f a ↑r
⊢ ContinuousWithinAt (stieltjesFunctionAux f a) (Ioi x) x ↔ Tendsto (stieltjesFunctionAux f a) (𝓝[>] x) (𝓝 (⨅ a_1, stieltjesFunctionAux f a ↑a_1))
m : ℕ
⊢ m ∈ factoredNumbers ∅ ↔ m ∈ {1}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x₀ : E
f' : E →L[𝕜] F
h : HasFDerivAt f f' x₀
⊢ (fun x => f x - f x₀) =O[𝓝 x₀] fun x => x - x₀
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
SemilatticeSup β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
hg : QuasiconvexOn 𝕜 s g
⊢ QuasiconvexOn 𝕜 s (f ⊔ g)
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.1 = 0 → x.2 = 0
a : E
ha : a ∈ Submodule.map (LinearMap.fst R E F) g
⊢ ∃! b, (a, b) ∈ g
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
lem2 : ∀ k > n, k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
o : j = n ∨ n < j
jn : j > n
lem1 : j ≠ n → xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n → xn a1 i % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
⊢ ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - j)) < ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - (j + 1)))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder n
inst✝² : IsWellOrder n fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n
S : Matrix n n 𝕜
inst✝ : Fintype n
hS : S.PosDef
i j : n
hij : i < j
⊢ lowerInv hS i j = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s
h : Set.EqOn f g s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 f s ↔ CPolynomialOn 𝕜 g s
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r✝ : R
f p : R[X]
r : R
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
c : R
c0 : c ≠ 0
⊢ ((taylor r) ((monomial n) c)).natDegree = n
α : Type u_1
⊢ MeasureTheory.OuterMeasure.caratheodory 0 = ⊤
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Ici a \ Set.Ici b = Set.Ico a b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring R
a b : R
n : ℕ
⊢ a * (-1) ^ n = 0 ↔ a = 0
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
n : α
hn : IsPrimal n
a₁ a₂ b c : α
hm : IsPrimal (a₁ * a₂)
h0 : a₁ * a₂ ≠ 0
h : a₁ * a₂ * n ∣ a₁ * b * (a₂ * c)
⊢ ∃ a₁_1 a₂_1, a₁_1 ∣ a₁ * b ∧ a₂_1 ∣ a₂ * c ∧ a₁ * a₂ * n = a₁_1 * a₂_1
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
i : { x // x ∈ s }
⊢ (algebraMap R S) (IsLocalization.integerMultiple M s f i) = IsLocalization.commonDenom M s f • f ↑i
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ Y₁ X₂ Y₂ : C
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X₁ g)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Y₂)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ) μ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ) μ
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
t : G
⊢ (fun t => f t * g (x - t)) t ≤ (fun t => f t * g' (x - t)) t
ζ : ℂ
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n ≠ 0
⊢ ‖ζ‖₊ = 1
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
A : BinaryBicone P Q
⊢ F.map A.inl ≫ F.map A.fst = 𝟙 (F.obj P)
C D E : CategoryTheory.Cat
F : C ⟶ D
G H : D ⟶ E
η : G ⟶ H
X : ↑C
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft F η).app X = η.app (F.obj X)
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
a b : M
ha : b * a = 1
⊢ Filter.Tendsto (fun x => a * x) (Filter.cocompact M) (Filter.cocompact M)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
ha : IsWellOrderLimitElement ⊥
⊢ False
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
γ : Sort u_1
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
p : γ → Prop
s : γ → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
⊢ Tendsto (Prod.map u u) (atTop ×ˢ atTop) (𝓤 α) ↔ ∀ (i : γ), p i → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → (u m, u n) ∈ s i
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
⊢ ∏ i : n, ↑(hA.eigenvalues i) = (↑hA.eigenvectorUnitary * star ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues)).det
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c₁ c₂ : Set α
hc₁ : ChainClosure r c₁
hc₂ : ChainClosure r c₂
⊢ c₁ ⊆ c₂ ∨ c₂ ⊆ c₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
⊢ (∀ (x : E), IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)) ↔ ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
R : Type u_4
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
e : R ≃+* S
⊢ (↑e).comp ↑e.symm = RingHom.id S
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ a - b = 0 ↔ a ≤ b
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
i : ℕ
l : List α
l' : List β
h : i < (zipWith f l l').length
⊢ i < l.length
α : Type u_1
Add α
LinearOrder α
a b c d : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : a + b ≤ c + d
⊢ min a b ≤ max c d
a : UnitAddCircle
x : ℝ
⊢ HurwitzZeta.sinKernel (-a) x = -HurwitzZeta.sinKernel a x
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
Add α
Add β
LE β
FunLike F α β
self : SubadditiveHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (a + b) ≤ f a + f b
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ 2 • o.oangle (r • x) x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
I : Finset ι
κ : ι → ProbabilityTheory.Kernel α β
a : α
s : Set β
⊢ ((∑ i ∈ I, κ i) a) s = ∑ i ∈ I, ((κ i) a) s
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
r : R
n : ℕ
⊢ (WittVector.ghostComponent n) (WittVector.teichmullerFun p r) = r ^ p ^ n
α : Type u
β : Type v
l : List α
p : β → Prop
f : α → β
⊢ List.Forall p (List.map f l) ↔ List.Forall (p ∘ f) l
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.NoAtoms (μ i)
s : Set ι
f : (i : ι) → α i
⊢ (s.pi fun i => Set.Iio (f i)) =ᵐ[MeasureTheory.Measure.pi μ] s.pi fun i => Set.Iic (f i)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ ∃ i, b ∈ Ico (a + i • p) (a + (i + 1) • p)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E
f' : E →L[𝕜] G
⊢ HasFDerivAt (f ∘ ⇑iso) f' x ↔ HasFDerivAt f (f'.comp ↑iso.symm) (iso x)
α : Type u
f : Filter α
f.NeBot
⊢ ↑(Ultrafilter.of f) ≤ f
n m l : ℕ
hlm : l ≤ m
hnl : n ≤ l
⊢ filter (fun x => decide (x < l)) (Ico n m) = Ico n l
S : Type u
Semiring S
n m : ℕ
⊢ ascPochhammer S n * (ascPochhammer S m).comp (Polynomial.X + ↑n) = ascPochhammer S (n + m)
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
⊢ W_ R 1 = MvPolynomial.C ↑p * MvPolynomial.X 1 + MvPolynomial.X 0 ^ p
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (multiplicity p p).get ⋯ = 1
α : Type u_1
E' : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E'
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : f₁ =o[l] f₂
⊢ f₂ =Θ[l] (f₂ + f₁)
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
s : Set E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ μ (sphere x r) = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
GroupWithZero α
MulAction α β
a : α
ha : a ≠ 0
A B : Set β
⊢ a • A ⊆ a • B ↔ A ⊆ B
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
e : α ≃o β
⊢ e.withBotCongr.symm = e.symm.withBotCongr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : IsOpenMap f
finv : β → α
hleft : LeftInverse finv f
⊢ ContinuousOn finv (range f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
p₁ : CategoryTheory.IsPullback f g h i
p₂ : CategoryTheory.IsPushout f g h i
⊢ CategoryTheory.BicartesianSq f g h i
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁻¹ ≤ 1 ↔ 1 ≤ a
n : ℕ
h1 : fib (n + 1) = ∑ p ∈ Finset.antidiagonal n, p.1.choose p.2
h2 : fib (n.succ + 1) = ∑ p ∈ Finset.antidiagonal n.succ, p.1.choose p.2
⊢ ∑ p ∈ Finset.antidiagonal n, p.1.choose p.2 + ∑ p ∈ Finset.cons (n + 1, 0) (Finset.map ((Function.Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := succ, inj' := succ_injective }) (Finset.antidiagonal n)) ⋯, p.1.choose p.2 = ∑ p ∈ Finset.cons (0, n + 2) (Finset.cons (n + 2, 0) (Finset.map ({ toFun := succ, inj' := succ_injective }.prodMap { toFun := succ, inj' := succ_injective }) (Finset.antidiagonal n)) ⋯) ⋯, p.1.choose p.2
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
⊢ MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f 0 ω = 0
q : ℚ
⊢ { num := q.num, den := q.den, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ } = q
α : Type w
hα : Small.{u, w} α
h : UnivLE.{u, v}
⊢ Small.{v, w} α
m k n : Nat
H1 : m ∣ k
H2 : k.gcd n = 1
this : m.gcd n ∣ k.gcd n
⊢ m.gcd n ∣ 1
ctx : Nat.Linear.Context
k : Nat
c : Nat.Linear.PolyCnstr
⊢ Nat.Linear.PolyCnstr.denote ctx (Nat.Linear.PolyCnstr.mul (k + 1) c) = Nat.Linear.PolyCnstr.denote ctx c
G : Type v
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
Group G
MulAction G X
IsometricSMul G X
c : G
⊢ (IsometryEquiv.constSMul c).symm = IsometryEquiv.constSMul c⁻¹
ι : Type u_1
DecidableEq ι
Fintype ι
m : ℕ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ SMul.smul n (Finset.univ.piAntidiag m) = Finset.filter (fun f => ∀ (i : ι), n ∣ f i) (Finset.univ.piAntidiag (n * m))
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
⊢ 𝒜.shatterer.Shatters s ↔ 𝒜.Shatters s
a b : ℤ
⊢ Finset.Ioc a b = Finset.map (Nat.castEmbedding.trans (addLeftEmbedding (a + 1))) (Finset.range (b - a).toNat)
n : ℕ
hn : 2 < n
⊢ Even (φ n)