ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u
inst✝ : Group G
⊢ ⁅⁅centralizer ↑(commutator G), centralizer ↑(commutator G)⁆, ⊤⁆ = ⊥
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : InjectiveResolution X
⊢ (NatTrans.rightDerivedToHomotopyCategory α).app X = (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex) ≫ (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_11
AddCommGroup M'
Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O
⊢ ϕ.submoduleImage N = LinearMap.range (ϕ ∘ₗ Submodule.inclusion hNO)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A₀ : C
x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃
hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A₀
hπ₁ : Epi π₁
p : A₁ ⟶ S.P
hp : π₁ ≫ x₃ = p ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃
hp' : (p ≫ S.φ₁) ≫ S.v₂₃.τ₁ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
hπ₂ : Epi π₂
x₁ : A₂ ⟶ S.L₁.X₁
hx₁ : π₂ ≫ p ≫ S.φ₁ = x₁ ≫ S.v₁₂.τ₁
x₂' : A₂ ⟶ S.L₁.X₂ := x₁ ≫ S.L₁.f
x₂ : A₂ ⟶ S.L₁.X₂ := π₂ ≫ p ≫ pullback.fst S.L₁.g S.v₀₁.τ₃
hx₂' : (x₂ - x₂') ≫ S.v₁₂.τ₂ = 0
k₂ : A₂ ⟶ S.L₀.X₂ := ⋯.lift (x₂ - x₂') hx₂'
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₃ = x₁ ≫ S.L₁'.f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
hr : (Ordinal.type r).IsLimit
x : α
⊢ Set.Bounded r {x}
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
z : ℂ
⊢ (log ↑x * ↑y).im ≤ π
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
c : F
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun x => c - f x) (-f') x
⊢ Real.sqrtTwoAddSeries 0 1 = √2
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
r : R
x : P.Cotangent
⊢ (r • x).val = r • x.val
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
⊢ (Mon_.limit F).mul =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift (F ⋙ Mon_.forget C)
    ((CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose
          (CategoryTheory.Monoidal.MonFunctorCategoryEquivalence.inverseObj F).mul).obj
      {
        pt :=
          CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (CategoryTheory.Limits.limit (F ⋙ Mon_.forget C))
            (CategoryTheory.Limits.limit (F ⋙ Mon_.forget C)),
        π :=
          {
            app := fun j =>
              CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.Limits.limit.π (F ⋙ Mon_.forget C) j)
                (CategoryTheory.Limits.limit.π (F ⋙ Mon_.forget C) j),
            naturality := ⋯ } })
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℕ
⊢ padicNorm p ↑m < 1 ↔ p ∣ m
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : E
hx : x ∈ Set.range ↑I
⊢ ↑I (↑I.symm x) = x
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Subgroup G
f g : (i : ι) → ↥(H i)
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y
hind : CompleteLattice.Independent H
⊢ CompleteLattice.Independent fun i => (H i).subtype.range
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
N O n o : ℕ
hn : n ≤ N
ho : o ≤ O
⊢ (revAt (N + O)) (n + o) = (revAt N) n + (revAt O) o
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K
⊢ (X - C a) * (f /ₘ (X - C a)) = f - f %ₘ (X - C a)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
f : R → R
a : A
ha : ¬p a
⊢ cfcₙ f a = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
DivisionRing R
AddCommGroup M
Module R M
StarAddMonoid M
n : ℤ
x : M
⊢ star ((↑n)⁻¹ • x) = (↑n)⁻¹ • star x
α β : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
f : β ≃ α
⊢ Ordinal.type (⇑f ⁻¹'o r) = Ordinal.type r
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp3 : p % 4 = 3
⊢ Prime ↑p
a b r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ a ≤ b / r ↔ a * r ≤ b
α : Type u_1
DivisionSemiring α
a b : α
hab : Commute a b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a⁻¹ + b⁻¹ = (a + b) / (a * b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
n : ℕ
ih : ∀ {q : α}, q ∣ p ^ n ↔ ∃ i, i ≤ n ∧ q ~ᵤ p ^ i
q : α
h : q ∣ p * p ^ n
hno : q ∣ p ^ n
⊢ ∃ i, i ≤ n + 1 ∧ q ~ᵤ p ^ i
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
f✝ : α → G
s : Set α
x✝¹ : α
H : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ContinuousMul M
inst✝² : Group H
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalGroup H
f : G →* H →* M
hl : ∀ (x : G), Tendsto (⇑(f x)) (𝓝 1) (𝓝 ((f x) 1))
hr : ∀ (y : H), Tendsto (fun x => (f x) y) (𝓝 1) (𝓝 ((f 1) y))
x✝ : G × H
x : G
y : H
hf : Tendsto (fun x => (f x.1) x.2) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 ((f 1) 1))
⊢ Tendsto (fun x_1 => (f x) y * (f x_1.1) y * ((f x) x_1.2 * (f x_1.1) x_1.2)) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 ((f x) y))
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : Integrable f μ
I : Integrable (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
A : Type u_4
AddCommMonoid A
x : A
B : Type u_5
AddCommMonoid B
F : AddSubmonoid.LocalizationMap.AwayMap x B
C : Type u_6
AddCommMonoid C
g : A →+ C
hg : IsAddUnit (g x)
a : A
⊢ (AddSubmonoid.LocalizationMap.AwayMap.lift x F hg) ((AddSubmonoid.LocalizationMap.toMap F) a) = g a
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Function.Surjective f
a : α
⊢ Set.SurjOn f (Set.Iio a) (Set.Iio (f a))
α : Type u_3
Preorder α
𝕆 : Type u_5
Preorder 𝕆
GradeOrder 𝕆 α
WellFoundedGT 𝕆
⊢ WellFoundedGT α
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t : Set G
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (⋃ a ∈ t, (fun x => x / a) '' s)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x : R
p : R[X]
⊢ (p.sum fun e a => a * 0 ^ e) = p.coeff 0 * 0 ^ 0
ι : Type uι
R : Type uR
A : ι → Type uA
DecidableEq ι
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
self : DirectSum.GAlgebra R A
⊢ DirectSum.GAlgebra.toFun 1 = GradedMonoid.GOne.one
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b
hy : x ∈ s
⊢ a • x + b • x ∈ s
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t u : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u = convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s u) t
x y : PartENat
⊢ ∀ (n : ℕ), (↑n + ⊤).toWithTop = (↑n).toWithTop + ⊤.toWithTop
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Prop
inst✝ : IsDomain R
h_pos : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → CharP R p → P
h_equal : Algebra ℚ R → P
h_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P
p : ℕ
p_pos : p ≠ 0
p_char : CharP R p
⊢ P
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
⊢ s.Equivalent s
α : Type u
β : Type v
PartialOrder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : StrictAntiOn f s
⊢ AntitoneOn f s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
⊢ sesqFormOfInner.IsAdjointPair sesqFormOfInner ↑A ↑(ContinuousLinearMap.adjoint A)
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeSup L
ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, Continuous (f i)
⊢ Continuous fun a => s.sup' hne fun x => f x a
s : Set ℝ
h : Bornology.IsBounded s
⊢ Metric.diam s = sSup s - sInf s
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
x : α × β
⊢ LatticeHom.snd x = x.2
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.bind₁ (wittStructureRat p Φ)) (W_ ℚ n) =
  (MvPolynomial.bind₁ fun i => (MvPolynomial.rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) Φ
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
hfd : ¬FiniteDimensional F E
⊢ finSepDegree F E ∣ 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LocalRing R
q : ℕ
char_R_q : CharP R q
q_pos : ¬q = 0
K : Type u_1 := LocalRing.ResidueField R
RM_char : CharP K (ringChar K)
r : ℕ := ringChar K
n : ℕ := q.factorization r
r_zero : r = 0
⊢ IsPrimePow q
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : α
h0 : p ≠ 0
hu : ¬IsUnit p
n : ℕ
⊢ multiplicity p (p ^ n) = ↑n
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
t : OrderTopology α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ TopologicalSpace.GenerateOpen {s | ∃ a, s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
hm : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
hfi : Integrable f (Measure.sum fun i => μ.restrict (s i))
⊢ HasSum (fun n => ∫ (x : X) in s n, f x ∂μ) (∫ (x : X), f x ∂Measure.sum fun i => μ.restrict (s i))
V : Type u
G : SimpleGraph V
p : G.ConnectedComponent → Prop
⊢ (∃ c, p c) ↔ ∃ v, p (G.connectedComponentMk v)
a : Cardinal.{u_1}
b : Cardinal.{u_1}
⊢ a ≠ 0 → a ^ b ≠ 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s ∪ t \ s = s ∪ t
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass M'
AddZeroClass N'
f : M →+ M'
g : N →+ N'
x : N
⊢ (AddMonoid.Coprod.map f g) (AddMonoid.Coprod.inr x) = AddMonoid.Coprod.inr (g x)
α : Type u
Bot α
⊢ OrderDual.toDual ⊥ = ⊤
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
hA : A.Nonempty
hAB : A ⊆ B
h : ∀ A' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(A * C).card / ↑A.card ≤ ↑(A' * C).card / ↑A'.card
A' : Finset α
⊢ A' ⊆ A → (A * C).card * A'.card ≤ (A' * C).card * A.card
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
NonUnitalNonAssocSemiring A
TopologicalSpace A
Module 𝕜 A
T2Space 𝕜
ContinuousMul 𝕜
⊢ IsClosed (WeakDual.characterSpace 𝕜 A ∪ {0})
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hiμ : (cyclotomic i K).IsRoot μ
hio : i ∣ orderOf μ
key : i < n
⊢ False
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
PartialOrder ι
τ : Ω → ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = i}
K : Type u_1
L : Type u_2
CommSemiring K
CommSemiring L
i : K →+* L
p : ℕ
self : IsPRadical i p
⊢ RingHom.ker i ≤ pNilradical K p
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
⊢ Nonempty (K ≃+* L)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommGroup β
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N
⊢ (fun ω => (∑ i ∈ Finset.Ico (τ ω) (π ω), (u (i + 1) - u i)) ω) = fun ω => (∑ i ∈ Finset.range (N + 1), {ω | τ ω ≤ i ∧ i < π ω}.indicator (u (i + 1) - u i)) ω
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ o.bsup f = o.blsub f ∨ succ (o.bsup f) = o.blsub f
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
⊢ (1 - s).Gammaℝ⁻¹ = s.Gammaℂ * cos (↑π * s / 2) * s.Gammaℝ⁻¹
o : ONote
a : ONote
h : o.fundamentalSequence = Sum.inl (some a)
⊢ o.fastGrowing = fun i => a.fastGrowing^[i] i
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
μ' : Measure α := ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
hμ'ν : μ' ≪ ν
⊢ (μ.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => f x * μ.rnDeriv ν x
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
AddCommMonoid S
p : R[X]
f g : ℕ → R → S
⊢ (p.sum fun n x => f n x + g n x) = p.sum f + p.sum g
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
b : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial M
x y : M
ne : x ≠ y
⊢ Nonempty ι
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
⊢ LinearEquiv.det (o.rotation θ).toLinearEquiv = 1
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ
hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ
hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior sᶜ
H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
ε : ℕ → ℝ
hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n
hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)
⊢ ENNReal.ofReal (4⁻¹ ^ Fintype.card ι) ≠ 0
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_14, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_13, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{u_12, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{u_11, u_4} C₄
inst✝² : Category.{?u.63581, u_5} C₁₂
inst✝¹ : Category.{?u.63585, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
Y : C₄
j : J
inst✝ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
φ φ' : mapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ j ⟶ Y
h : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (i₃ : I₃) (h : p (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ φ = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ φ'
⊢ ∀ (i : I₁ × I₂ × I₃) (hij : p i = j), ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).ιMapObj p i j hij ≫ φ = ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).ιMapObj p i j hij ≫ φ'
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
⊢ dickson 1 1 0 = 2 * (Chebyshev.T R ↑0).comp (C ⅟2 * X)
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
x : S
this✝ : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
this : IsScalarTower R S A
⊢ (pushoutDesc S' f g H) ((algebraMap S S') x) = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ M
h : Disjoint g₁.support g₂.support
a : α
ha✝ : a ∈ g₁.support ∪ g₂.support
ha : a ∈ g₂.support
this : a ∉ g₁.support
⊢ a ∈ (g₁ + g₂).support
α : Type u_2
Group α
a : α
⊢ IsUnit (pure a)
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
i : ℤ
⊢ A ^ (1 + i) = A * A ^ i
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
V : Type u_3
Zero V
SMulZeroClass R V
r : R
x : HahnSeries Γ V
⊢ ¬(r • x).orderTop < x.orderTop
R : Type u_1
NonAssocRing R
Pow R ℕ
NatPowAssoc R
r : R
k : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ k).smeval (-r) = (-1) ^ k * (descPochhammer ℤ k).smeval r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f
⊢ Inducing f ↔ ∀ (x : ι), Inducing ((U x).carrier.restrictPreimage f)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ N ≤ N.normalizer
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_5, u_3} E
L₁ : C ⥤ D
L₂ : C ⥤ E
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W
inst✝ : L₂.IsLocalization W
e : L₁ ⋙ (Localization.uniq L₁ L₂ W).functor ≅ L₂ := Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W
this : IsIso (L₂.map φ.s)
⊢ (Localization.uniq L₁ L₂ W).functor.map (φ.map L₁ ⋯) ≫ (L₁ ⋙ (Localization.uniq L₁ L₂ W).functor).map φ.s ≫ e.hom.app φ.Y' = (Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W).hom.app X ≫ L₂.map φ.f
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ (fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀) x = (((Ioo 0 1).indicator fun x => P.f₀ - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) + {1}.indicator fun x => P.f₀ - P.f 1) x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ (a✝ + 0).f = a✝.f
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ ClusterPt x (𝓟 s) ↔ ∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ∈ s
α : Type u
s : Computation α
h : s.Terminates
⊢ s.think.get = s.get
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : ker f = ⊥
⊢ ∃ K > 0, AntilipschitzWith K ⇑f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set α
⊢ IsComplete (range Subtype.val) ↔ IsComplete s
α : Type u_1
Inhabited α
o : Option α
⊢ o.getD default = o.iget
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
hzero : Tendsto (fun x_1 => -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)
t : R
ht : inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹
ht' : inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) = ∑ i ∈ range n, (-(↑x⁻¹ * t)) ^ i + (-(↑x⁻¹ * t)) ^ n * inverse (1 + ↑x⁻¹ * t)
⊢ inverse (↑x + t) = (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (↑x + t)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
AddCommGroup Q
Module R Q
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ rTensor.inverse Q hfg hg ∘ₗ LinearMap.rTensor Q g = (LinearMap.range (LinearMap.rTensor Q f)).mkQ
a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ ∑' (n : ℤ), rexp (-π * a * ↑n ^ 2) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), rexp (-π / a * ↑n ^ 2)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsSepClosed E
h : separableClosure F E = ⊥
p : F[X]
x✝ : p.Monic
hirr : Irreducible p
hsep : p.Separable
⊢ ∃ x, eval x p = 0
g : ℝ → ℝ
g' u : ℝ
L' : Filter ℝ
h : HasDerivAtFilter g g' u L'
⊢ HasGradientAtFilter g g' u L'
M : Type u_1
B : Type u_3
Monoid M
SetLike B M
SubmonoidClass B M
S : B
l : List M
hl : ∀ x ∈ l, x ∈ S
⊢ l.prod ∈ S
c : Prop
h : Decidable c
hc : c
α : Sort u
t : c → α
e : ¬c → α
⊢ dite c t e = t hc
α : Type u
s : Computation α
⊢ s.think.tail = s
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
⊢ lcm (a * b) (a * c) = normalize a * lcm b c
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
f_int : Integrable f μ
⊢ Tendsto (fun e => ‖Integrable.toL1 (fs e) ⋯ - Integrable.toL1 f f_int‖) atTop (𝓝 0)
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Module (MvPolynomial σ R) A
D : Derivation R (MvPolynomial σ R) A
a : R
f : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.C a • D f = a • D f
R : Type u_1
M : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : R →+* R
B : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
H : B.IsSymm
x y : M
⊢ I ((B x) y) = (B y) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
α : Type u_4
TopologicalSpace α
f g : α → E
x : α
s : Set α
hf : ContinuousWithinAt f s x
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ ContinuousWithinAt (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) s x
a b : ℕ
p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ p ^ (a * b).factorization p = p ^ a.factorization p * p ^ b.factorization p
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom
Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul
m : ℕ
r : R
n : ℕ
s : R
aux : ∀ x ∈ antidiagonal k, (monomial (m - x.1 + (n - x.2))) (↑(m.choose x.1) * r * (↑(n.choose x.2) * s)) = (monomial (m + n - k)) (↑(m.choose x.1) * ↑(n.choose x.2) * (r * s))
⊢ (monomial (m + n - k)) (↑((m + n).choose k) * (r * s)) = ∑ x ∈ antidiagonal k, (monomial (m + n - k)) (↑(m.choose x.1) * ↑(n.choose x.2) * (r * s))
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
⊢ Set.Icc a b * Set.Ico c d ⊆ Set.Ico (a * c) (b * d)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : 0 ≤ r₁
⊢ Disjoint (frontier (thickening r₁ A)) (frontier (thickening r₂ A))
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
PartialOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioo a b =ᵐ[μ] Set.Icc a b