ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
v : HeightOneSpectrum R
hv : v ∈ {v | v.maxPowDividing I ≠ 1}
h_zero : ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = 0
⊢ False
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
⊢ DFA.comap id M = M
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
v₀ : R := oreNum r₁ s₂
u₀ : ↥S := oreDenom r₁ s₂
h₀ : ↑u₀ * r₁ = v₀ * ↑s₂
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑s₃ * ↑u₀ = r₃ * ↑u
this : r₃ * v * ↑s₂ = ↑s₃ * v₀ * ↑s₂
s₄ : ↥S
hs₄ : ↑s₄ * (r₃ * v) = ↑s₄ * (↑s₃ * v₀)
⊢ (↑s₄ * ↑s₃) • v₀ • r₂ = (↑s₄ * r₃) • v • r₂ ∧ ↑s₄ * ↑s₃ * (↑u₀ * ↑s₁) = ↑s₄ * r₃ * (↑u * ↑s₁)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
a : ℤ
⊢ ↑p ^ n ∣ ↑a ↔ ↑p ^ n ∣ a
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set (Sym2 V)
⊢ (G'.deleteEdges s).coe ≤ G'.coe
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
c : F
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => c) s
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.addSubgroupOf H = ⊤
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
TopologicalSpace α
ContinuousConstVAdd G α
AddAction.IsMinimal G α
U : Set α
μ.Regular
hμ : μ ≠ 0
hU : IsOpen U
⊢ 0 < μ U ↔ U.Nonempty
x : Int
m : Nat
⊢ x.bmod m = if x % ↑m < (↑m + 1) / 2 then x % ↑m else x % ↑m - ↑m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : CategoryTheory.MorphismProperty C
⊢ P ≤ Q ↔ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), P f → Q f
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
a✝ : StrongEpi f
⊢ StrongEpi g
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h : f a = f b
⊢ (∃ b_1 ∈ f b, ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b_1 c) ↔ ∃ b ∈ f a, ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : β
hx : x ≠ 0
⊢ ¬(const abv x).LimZero
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ a) (Ioi c) volume
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
h : CategoryTheory.IsDetecting ∅
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso f
M : Type u_4
N : Type u_5
AddMonoid M
AddMonoid N
f : M →+ N
l : List M
⊢ f l.sum = (List.map (⇑f) l).sum
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
f₁ f₂ : α → β
h : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
h₁ : Tendsto f₁ l atTop
b : β
⊢ ∀ᶠ (a : α) in l, b ≤ f₂ a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
TopologicalSpace.NoetherianSpace α
⊢ WellFounded fun s t => s < t
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
⊢ ↑(⨅ i, p i) = ⋂ i, ↑(p i)
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
h : IsUnit (Ring.inverse a)
⊢ IsUnit a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, weightSpace_ne_bot' := h }
hW : 2 • ⇑W = ⇑α
⊢ weightSpace L ⇑α = ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
S : Subalgebra R A
S₁ : Subalgebra R B
⊢ ↑(S.prod S₁) = ↑S ×ˢ ↑S₁
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
b : α
s : Finset α
a✝ : b ∉ s
ih : ∀ {a : α}, s.max = ↑a → a ∈ s
⊢ ∀ {a : α}, (insert b s).max = ↑a → a ∈ insert b s
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
h : {I | I.IsPrime}.Finite
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
⊢ IsUnit ↑I
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
f : α → Finset β
s : Finset α
b a : β
⊢ a ∈ (s.biUnion f).erase b ↔ a ∈ s.biUnion fun x => (f x).erase b
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
N : ℕ
⊢ (b - a) * ∫ (x : Ω), ↑(MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f N x) ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (fun ω => (f N ω - a)⁺) x ∂μ
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : OrzechProperty R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Finite R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f
n : ℕ
g : (Fin n → R) →ₗ[R] M
hg : Surjective ⇑g
this✝² : Small.{u, v} M
this✝¹ : AddCommMonoid (Shrink.{u, v} M) := (equivShrink M).symm.addCommMonoid
this✝ : Module R (Shrink.{u, v} M) := Equiv.module R (equivShrink M).symm
j : Shrink.{u, v} M ≃ₗ[R] M := Equiv.linearEquiv R (equivShrink M).symm
this : Module.Finite R (Shrink.{u, v} M)
⊢ Injective ⇑f
this : ⇑sqrt = fun x => x ^ (1 / 2)
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ ⇑sqrt
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
⊢ Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * (‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n)) atTop (𝓝 (‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * 0))
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
r : R
⊢ (Algebra.ofId R A) r = (algebraMap R A) r
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b : α
h : normalize b = b
⊢ gcd a b = b ↔ b ∣ a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
iR : DecidableEq R
p : R[X]
ip0 : Decidable (p = 0)
⊢ p.roots = if h : p = 0 then ∅ else Classical.choose ⋯
α : Type u_2
ι' : Sort u_7
s : ι' → Set α
⊢ ⋃ i, s i = ⋃ t, ⋃ i ∈ t, s i.down
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
⊢ MeasureTheory.volume = ENNReal.ofReal T • AddCircle.haarAddCircle
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α
⊢ x ∈ Ici a \ {a} ↔ x ∈ Ioi a
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard✝ : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H i)
hheadtail : i ≠ j
h : H i
hn1 : h ≠ 1
hnh : h ≠ w.head⁻¹
hnot1 : h * w.head ≠ 1
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
h : p < ⊤
⊢ Nontrivial (M ⧸ p)
α : Type u_1
a : Array α
index : Nat
val : α
⊢ (a.setD index val).size = a.size
f : CircleDeg1Lift
n : ℤ
h : f.translationNumber < ↑n
x : ℝ
⊢ f x < x + ↑n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
⊢ l.reverse.sublists' = map reverse l.sublists
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set 𝕜
hs : 0 ∉ s
r : ℝ
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ ⋃ c ∈ s, sphere 0 (‖c‖ * r) ↔ x✝ ∈ (fun x => ‖x‖) ⁻¹' ((fun x => ‖x‖ * r) '' s)
σ : Type u_1
k : Type u_3
Field k
φ : MvPowerSeries σ k
u : kˣ
h : (MvPowerSeries.constantCoeff σ k) φ = ↑u
⊢ φ.invOfUnit u = φ⁻¹
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
hp : Prime p
⊢ multiplicity.Finite p (a * b) ↔ multiplicity.Finite p a ∧ multiplicity.Finite p b
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
σa : Perm α
σb : Perm β
⊢ sign (σa.sumCongr σb) = sign σa * sign σb
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
T : CategoryTheory.Comonad C
D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesColimits'.coconePoint D c t).A = c.pt
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p✝ : α → Prop
f✝ : (a : α) → p✝ a → β
x✝ : Option α
p : α → Prop
f : α → β
x : Option α
H : ∀ (a : α), a ∈ x → p a
⊢ pmap (fun a x => f a) x H = Option.map f x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : f ≈ g
⊢ padicNorm p (↑f (PadicSeq.stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑g (PadicSeq.stationaryPoint hg))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
z : E
⊢ Convex 𝕜 ((fun x => z + x) '' s)
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
v : π i
⊢ s.piecewise (update f i v) (update g i v) = s.piecewise (update f i v) g
𝕜 : Type u_1
NNNorm 𝕜
E : Type u_2
SMul 𝕜 E
s t : Set E
h : s ⊆ t
x : E
⊢ egauge 𝕜 t x ≤ egauge 𝕜 s x
this : 𝓝 (π / 2) = 𝓝 ((1 - 0) * (π / 2))
⊢ Tendsto (fun i => (2 * ↑i + 1) / (2 * ↑i + 2) * (π / 2)) atTop (𝓝 ((1 - 0) * (π / 2)))
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
a✝ : α
f✝ : β a✝ → WType β
⊢ 0 < (mk a✝ f✝).depth
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
M N : Mod_ A
f₁ f₂ : M ⟶ N
h : f₁.hom = f₂.hom
⊢ f₁ = f₂
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
ι : Type u_8
Q : QuadraticMap R M N
s : Finset ι
f : ι → M
⊢ Q (∑ i ∈ s, f i) = ∑ ij ∈ s.sym2, Sym2.lift ⟨fun i j => QuadraticMap.polar (⇑Q) (f i) (f j), ⋯⟩ ij - ∑ i ∈ s, Q (f i)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
⊢ Relation.TransGen (Function.swap r) a b ↔ Relation.TransGen r b a
R : Type u
CommRing R
f : ↑(CommRingCat.of R)
x : ↥(Opposite.unop (Opposite.op ⊤))
⊢ ↑((AlgebraicGeometry.StructureSheaf.globalSectionsIso R).hom f) x =
  (algebraMap R (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.Localizations R ↑x)) f
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : dist x z < ε
⊢ y ∈ interior s
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsOpenMap ⇑OrderDual.ofDual
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
(i : ι) → Sub (α i)
∀ (i : ι), OrderedSub (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g
β : Type u_2
PseudoMetricSpace β
x y : ULift.{u_3, u_2} β
⊢ nndist x y = nndist x.down y.down
R : Type u
M : Type u_1
Mp : Type u_2
Rp : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : CommRing Rp
inst✝⁶ : Algebra R Rp
inst✝⁵ : AddCommGroup Mp
inst✝⁴ : Module R Mp
inst✝³ : Module Rp Mp
inst✝² : IsScalarTower R Rp Mp
f✝ : M →ₗ[R] Mp
inst✝¹ : Flat R M
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S Rp
f : M →ₗ[R] Mp
h : IsLocalizedModule S f
⊢ M →ₗ[R] Mp
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
⊢ arcsin (-x) = -arcsin x
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
l : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x : α✝
α : Type u
inst✝¹ : Fintype α
κ : Type (max v u)
inst✝ : Finite κ
val✝ : Fintype κ
h : Nonempty α
r : ℕ
ι : Type
_inst✝ : Fintype ι
hι : ∀ (C : (ι → Option α) → κ), (∃ s, Multiset.card s.lines = r) ∨ ∃ l, IsMono C l
ι' : Type
_inst : Fintype ι'
C : (ι ⊕ ι' → Option α) → κ
l' : Line α ι'
C' : (ι → Option α) → κ
hl' : ∀ (x : α), (fun v' v => C (Sum.elim v (some ∘ v'))) ((fun x i => (l'.idxFun i).getD x) x) = C'
⊢ (∃ s, Multiset.card s.lines = r + 1) ∨ ∃ l, IsMono C l
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : Field 𝕜
inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Algebra 𝕜 R
inst✝¹¹ : Module 𝕜 M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : MulOpposite.op x.fst • x.snd = x.fst • x.snd
e : R
h : HasSum (fun n => (expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst) e
⊢ HasSum (fun n => ((expSeries 𝕜 (tsze R M) (n + 1)) fun x_1 => x).snd) (e • x.snd - ∑ i ∈ Finset.range 1, ((expSeries 𝕜 (tsze R M) i) fun x_1 => x).snd)
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoMetricSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
⊢ TopologicalSpace.coinduced MeasureTheory.LevyProkhorov.toProbabilityMeasure inferInstance ≤ inferInstance
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
⊢ ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u_1
Q : α → Prop
u v : α → QPF.Cofix F
h :
  ∀ (x : α),
    Q x →
      ∃ a f f',
        (u x).dest = QPF.abs ⟨a, f⟩ ∧
          (v x).dest = QPF.abs ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : (QPF.P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'
x : α
⊢ Q x → u x = v x
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c c' : CategoryTheory.Limits.Cone F
φ : c.pt ≅ c'.pt
w : ∀ (j : J), c.π.app j = φ.hom ≫ c'.π.app j := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.ext φ w).hom.hom = φ.hom
α : Type u_1
dec : DecidableEq α
P Q : RegularExpression α
a : α
⊢ (P + Q).deriv a = P.deriv a + Q.deriv a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : RCLike 𝕜
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α →ᵇ 𝕜
hf_ae : ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᶠ[ae μ] ⇑f
hg_ae : ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) g) =ᶠ[ae μ] ⇑g
a✝ : α
hf : ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f) a✝ = f a✝
hg : ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) g) a✝ = g a✝
⊢ ⟪↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f) a✝, ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) g) a✝⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) (f a✝) * g a✝
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
a : α
n : ℕ
⊢ toMultiset (single a n) = n • {a}
G : Type u_2
Group G
Finite G
H : Subgroup G
H.Normal
⊢ commProb (G ⧸ H) ≤ commProb G * ↑(Nat.card ↥H)
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
TopologicalSpace β
x₀ : β
b : β → ℝ
b_lim : Filter.Tendsto b (𝓝 x₀) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) ≤ b x
⊢ EquicontinuousAt F x₀
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : CategoryTheory.Limits.IsColimit (CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
S.HasHomology
⊢ S.Exact
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ t : Set α
htm : MeasurableSet t
hst : s =ᶠ[ae μ] t
⊢ t ∪ toMeasurable μ (s \ t) =ᶠ[ae μ] s
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
⊢ u ∈ G.commonNeighbors v w ↔ G.Adj v u ∧ G.Adj w u
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
h : Function.Injective ⇑f
H : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.comap f (AddSubgroup.map f H) = H
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
t : ℝ
ht₁ : t ≤ 1
ht₀ : t ∈ Ioi 0
⊢ x + t • y ∈ s
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
self : Φ.IsLocalizedEquivalence
⊢ (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q).IsEquivalence
S : Type v
Ring S
c : S
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C c).nextCoeff = -c
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ G.IsAcyclic ↔ ∀ ⦃v w : V⦄, G.Adj v w → G.IsBridge s(v, w)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
hp : p ≠ 0
⊢ eval a (p /ₘ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p) ≠ 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
hs : s ≠ univ
y : E
hys : y ∈ (interior s)ᶜ
hyd : infDist x sᶜ = dist x y
⊢ infDist x sᶜ = dist y x
R : Type u
Ring R
G H : ModuleCat R
f : G ⟶ H
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernel.π f ≫ (ModuleCat.cokernelIsoRangeQuotient f).hom = (LinearMap.range f).mkQ
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve.Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑(WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.map W f)
α : Type u_1
SemigroupWithZero α
a : α
⊢ a ∣ 0
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
p : Ideal R
IsDedekindDomain S
Algebra R S
P : { x // x ∈ (UniqueFactorizationMonoid.factors (Ideal.map (algebraMap R S) p)).toFinset }
⊢ Ideal.ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑P ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t₁ t₂ : Set β
⊢ s ×ˢ (t₁ ∪ t₂) = s ×ˢ t₁ ∪ s ×ˢ t₂
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
lv : All (fun x => cmpLT cmp x v) l
vr : All (fun x => cmpLT cmp v x) r
hl : Ordered cmp l
hr : Ordered cmp r
⊢ Ordered cmp (r.reverse.balance1 v l.reverse).reverse
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ K
⊢ (LieModule.toEnd R (↥K) M) ⟨x, hx⟩ = (LieModule.toEnd R L M) x
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
⊢ Continuous fun y => if b ∈ e.baseSet then (↑e { proj := b, snd := y }).2 else 0
n✝ : ℕ
c✝ : Composition n✝
n : ℕ
hn : 0 < n
c : Composition n
⊢ c ≠ single n hn ↔ ∀ (i : Fin c.length), c.blocksFun i < n
o : Ordinal.{u_3}
i : (Quotient.out o).α
⊢ Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) i < o
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x✝ y x : Finset α × Finset α
hs : x.1.Nonempty
ht : x.2.Nonempty
⊢ min (minOrder α) ↑(x.1.card + x.2.card - 1) ≤ ↑(x.1 * x.2).card
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsCodetector (Opposite.op G) ↔ CategoryTheory.IsDetector G
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : L.Substructure M
s : Set M
⊢ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s ≤ S ↔ s ⊆ ↑S
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) GenLoop.const
t : N → ↑I
⊢ (GenLoop.fromLoop i p) t = (p (t i)) ((Cube.splitAt i) t).2
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
hc : p.IsPath
h : u ∈ p.support
⊢ (p.dropUntil u h).IsPath
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α : Type u_7
β : Type u_8
m✝ : R
x✝ : α ⊕ β →₀ M
⊢ { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun (m✝ • x✝) = (RingHom.id R) m✝ • { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun x✝
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ Finset.Iio (OrderDual.toDual a) = Finset.map OrderDual.toDual.toEmbedding (Finset.Ioi a)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
b₁ b₂ : β
⊢ Finset.Ioo (Sum.inr b₁) (Sum.inr b₂) = Finset.map Function.Embedding.inr (Finset.Ioo b₁ b₂)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
⊢ IsBoundedBilinearMap 𝕜 fun p => p.1.comp p.2
α : Type u
s : Set α
a b : ↑s
⊢ ↑a = ↑b ↔ a = b
F✝ : Type u
K✝ : Type v
A✝ : Type w
inst✝¹⁰ : DivisionRing F✝
inst✝⁹ : DivisionRing K✝
inst✝⁸ : AddCommGroup A✝
inst✝⁷ : Module F✝ K✝
inst✝⁶ : Module K✝ A✝
inst✝⁵ : Module F✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower F✝ K✝ A✝
F : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Algebra F A
hp : Nat.Prime (finrank F A)
K : Subalgebra F A
this✝ : FiniteDimensional F A
this : DivisionRing ↥K := divisionRingOfFiniteDimensional F ↥K
h : finrank F ↥K = finrank F A
⊢ K = ⊤
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
⊢ interior (⋂₀ S) = ⋂ s ∈ S, interior s
α : Type u
β : Type v
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : f.Dom ∈ l₁
⊢ Filter.PTendsto f l₁ l₂ → Filter.PTendsto' f l₁ l₂
I : Type u
f : I → Type v
DecidableEq I
(i : I) → AddGroup (f i)
i : I
x y : f i
⊢ Pi.single i (x - y) = Pi.single i x - Pi.single i y
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
⊢ Tendsto (fun c => c • (f (x + c⁻¹ • v) - f x)) atTop (𝓝 (f' v))
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
n : ℕ
X : C
inst✝ : Projective X
⊢ IsZero ((F.leftDerived (n + 1)).obj X)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : HasMFDerivAt I I' f x f'
h' : f' = f₁'
⊢ HasMFDerivAt I I' f x f₁'
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
f : α → E
g : G
⊢ ∫ (x : α), f (g • x) ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
ha : Absorbent ℝ s
h : gauge s x = 1
⊢ x ∈ frontier s
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
h : IsLocalRingHom f
x : R
hfx : Irreducible (f x)
⊢ Irreducible x
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇔ b ⇨ a ⊓ b = a ⊔ b
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
p : (x : M) → x ∈ Submodule.span R s → Prop
zero : p 0 ⋯
add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ Submodule.span R s) (y : M) (hy : y ∈ Submodule.span R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
smul_mem : ∀ (r : R) (x : M) (h : x ∈ s), p (r • x) ⋯
x : M
hx : x ∈ Submodule.span R s
⊢ p x hx
M : Type u_3
CommMonoid M
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
m : Multiset M
⊢ (∀ a ∈ m, a ∈ s) → m.prod ∈ s
α : Type u_1
⊢ ⊥.EdgeDisjointTriangles
α : Type u
β : Type v
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ Filter.PTendsto' f l₁ l₂ ↔ ∀ s ∈ l₂, f.preimage s ∈ l₁
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
⊢ (2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (Chebyshev.T ℚ ↑n) = ((2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (C ⅟2 * X)).comp (2 * Chebyshev.T ℚ ↑n)
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup n R
⊢ ↑A⁻¹ = (↑A).adjugate