ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b c : α
ExistsAddOfLE α
PosMulMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : c * a < c * b
hc : c ≤ 0
⊢ b < a
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c w : ℂ
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • (z - w) • f z) = ∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
⊢ (algebraMap R S).FiniteType
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
a : X
LinearOrder X
CompactIccSpace X
NoMaxOrder X
OrderTopology X
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioi a) μ ↔
  MeasureTheory.IntegrableAtFilter f Filter.atTop μ ∧
    MeasureTheory.IntegrableAtFilter f (𝓝[>] a) μ ∧ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f (Set.Ioi a) μ
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
H : AEMeasurable f μ
t : Set β
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
h₀ : t.Nonempty
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ Set.range g ⊆ t ∧ f =ᵐ[μ] g
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
⊢ ∀ (x : α), normHom x = ‖x‖
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
n m : ℕ
hmn : m ≤ n
h : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (p ^ n) R)
⊢ Irreducible (Polynomial.cyclotomic (p ^ m) R)
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n✝ : ℕ
s : Finset α
n : ℕ
f : ⊤ ↪g G
⊢ induce (↑(map f.toEmbedding univ)) G = ⊤
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Nontrivial ↥↑(LieModule.weightSpace M 0)
x : L
⊢ 0 x = 0
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.169944}
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i < g i
x✝ : sum f ≥ prod g
F : ((i : ι) → Quotient.out (g i)) ↪ (i : ι) × Quotient.out (f i)
this : Inhabited ((i : ι) → Quotient.out (g i))
G : (i : ι) × Quotient.out (f i) → (i : ι) → Quotient.out (g i) := invFun ⇑F
⊢ False
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
⊢ ∑ w : { w // w ≠ NumberField.Units.dirichletUnitTheorem.w₀ }, (NumberField.Units.logEmbedding K) x w =
  -↑NumberField.Units.dirichletUnitTheorem.w₀.mult *
    Real.log (NumberField.Units.dirichletUnitTheorem.w₀ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x))
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
z : Z
hz : z ∈ e.source
⊢ 𝓝 z = Filter.comap proj (𝓝 (proj z)) ⊓ Filter.comap (Prod.snd ∘ ↑e) (𝓝 (↑e z).2)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ |a - b| ≤ 0 ↔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
x : α
⊢ (insert x s).encard ≤ s.encard + 1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
φ : M →ₗ[R] M
m : Module.AEval' φ
⊢ (Module.AEval'.of φ).symm (Polynomial.X • m) = φ ((Module.AEval'.of φ).symm m)
α : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
𝕜₁ : Type u_4
𝕜₂ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
inst✝¹⁴ : Nonempty κ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁶ : UniformSpace E
inst✝⁵ : UniformSpace F
inst✝⁴ : UniformAddGroup E
inst✝³ : UniformAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜₁ E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
inst✝ : BarrelledSpace 𝕜₁ E
𝓕 : ι → E →SL[σ₁₂] F
q : SeminormFamily 𝕜₂ F κ
hq : WithSeminorms q
H : ∀ (k : κ) (x : E), BddAbove (range fun i => (q k) ((𝓕 i) x))
⊢ UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ 𝓕)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
⊢ ∃ n < p, ‖x - ↑n‖ < 1
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
A : Type u_2
AddCommGroup A
ϕ : ↥H →+ A
S T : ↑(AddSubgroup.leftTransversals ↑H)
H.FiniteIndex
g : G
⊢ AddSubgroup.leftTransversals.diff ϕ (g +ᵥ S) (g +ᵥ T) = AddSubgroup.leftTransversals.diff ϕ S T
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace Ω
m1 _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
SemilatticeSup ι
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
h_indep : ∀ (i : ι), ProbabilityTheory.Indep (m i) m1 μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ _mΩ
h_le' : m1 ≤ _mΩ
hm : Monotone m
⊢ ProbabilityTheory.Indep (⨆ i, m i) m1 μ
k x y : Nat
Hk : 0 < k
⊢ x / k < y ↔ x < y * k
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : ℝ
v : Set ℝ
hav : a ∈ v
hv : IsOpen v
l u : ℝ
hl : l < a
hu : a < u
h : Ioo l u ⊆ v
q : ℚ
hlq : l < ↑q
hqa : ↑q < a
p : ℚ
hap : a < ↑p
hpu : ↑p < u
⊢ ∃ i i_1, ∃ (_ : i < i_1), Ioo ↑q ↑p ∈ {Ioo ↑i ↑i_1}
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.126940, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
n' : ℤ
hn' : n + 1 = n'
⊢ δ n n' ((↑(fst φ)).comp α ⋯ + (snd φ).comp β ⋯) = (↑(fst φ)).comp (δ m n α + n'.negOnePow • (Cochain.ofHom φ).comp β ⋯) ⋯ + (snd φ).comp (δ n n' β) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty α
s : Set α
f : α → β
b : β
h : ∃ a ∈ s, f a = b
⊢ Function.invFunOn f s b ∈ s
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
CommRing R
CommRing S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
n : ℕ
⊢ Ideal.map f (I ^ n) = Ideal.map f I ^ n
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
k : κ
x : β (h k)
i : κ
⊢ (comapDomain h hh (single (h k) x)) i = (single k x) i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
hxy : x ≠ y
h : x < y
⊢ openSegment 𝕜 x y = Ioo (min x y) (max x y)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : OrderBot ι
inst✝ : InfSet ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n m : ℕ
ω✝ ω : Ω
⊢ hitting f (Set.Ici b) (lowerCrossingTimeAux a f (upperCrossingTime a b f N n ω) N ω) N ω = hitting f (Set.Ici b) (lowerCrossingTime a b f N n ω) N ω
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0
this : 1 ≤ ↑(Fintype.card Fq)
⊢ (x - z).natDegree ≤ (x - y).natDegree ∨ (x - z).natDegree ≤ (y - z).natDegree
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : HasRightDual X
f : Y ⟶ Xᘁ
⊢ f ⊗≫ ⊗𝟙 = f ≫ (λ_ Xᘁ).inv
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Star α
M : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ Mᴴ j i = star (M i j)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
⊢ ⊤.toSubring = ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x y : A
x✝¹ : Homogeneous 𝒜 x
x✝ : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q
nx : ℕ
hnx : x ∈ 𝒜 nx
ny : ℕ
hny : y ∈ 𝒜 ny
⊢ ∀ (b : ℕ), b ≠ ny → HomogeneousLocalization.mk { deg := m * b, num := ⟨(proj 𝒜 b) y ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ b, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ f.sum single = f
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ -Ico a b = Ioc (-b) (-a)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
y : V
h : y ∈ Submodule.span K ↑{x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K ↑{x})
⊢ y ∈ ⊥
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
Fintype α
DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
⊢ ∑ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ sᶜ, f i = ∑ i : α, f i
Fq : Type u_1
Fintype Fq
Field Fq
b : Polynomial Fq
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-Real.log ε / Real.log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Polynomial Fq
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ↑(Polynomial.cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < Polynomial.cardPowDegree b • ε
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
β : Type u_2
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : β), d.Has (f i)
val✝ : Encodable β
⊢ d.Has (⋃ i, f i)
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
α' : Type u_1
σ' : Type u_2
g : σ ≃ σ'
s : σ'
x : List α
⊢ ((reindex g) M).evalFrom s x = g (M.evalFrom (g.symm s) x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
⊢ (CategoryTheory.coalgebraEquivOver X).functor = CategoryTheory.coalgebraToOver X
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : C
hT : CategoryTheory.Limits.IsTerminal T
⊢ CategoryTheory.IsSubterminal T
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t
ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1
this : t'.OrdConnected
hFt : ∀ (x : X), F x ∈ t'
G : Y →ᵇ ℝ
hG : ∀ (y : Y), G y ∈ t'
hGF : ⇑G ∘ e = ⇑F
g : C(Y, ℝ) := { toFun := ⇑h.symm ∘ Set.codRestrict (⇑G) (Ioo (-1) 1) ⋯, continuous_toFun := ⋯ }
hgG : ∀ {y : Y} {a : ℝ}, g y = a ↔ G y = ↑(h a)
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
a : Quaternion ℝ
⊢ Quaternion.normSq a = ‖a‖ * ‖a‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
⊢ 0 ∈ U
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
n : ℕ
t : R
ht : ‖t‖ < 1
⊢ Ring.inverse (1 - t) = ∑ i ∈ Finset.range n, t ^ i + t ^ n * Ring.inverse (1 - t)
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : ¬IsUnit A.det
⊢ A⁻¹.det = Ring.inverse A.det
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
m : M
⊢ g ((ι Q) m) * g ((ι Q) m) = (algebraMap R A) (Q m)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
d : n → α
M : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ (M * (diagonal d)ᵀ) i j = M i j * d j
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
hε : 0 < ε
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ {b}
ht : ε ≤ ↑t'.card
hs' : ∅ ⊆ {a}
hs : ε ≤ ↑∅.card
⊢ |↑(G.edgeDensity ∅ t') - ↑(G.edgeDensity {a} {b})| < ε
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] norm
a : ℝ
ha : 0 < a
hf : ∀ (i : ℕ), ‖↑f i‖ ≤ a
⊢ ‖f.lim‖ ≤ a
R : Type u
CommRing R
c : Set (Ideal R)
hs : c ⊆ nonPrincipals R
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c
⊢ ∃ I ∈ nonPrincipals R, ∀ J ∈ c, J ≤ I
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2) / ↑(x.1 * 2 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2) / ↑(x.1 * 2 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
⊢ HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
u : α
h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a → α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f '' univ
p : α → Prop
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : x = abs ⟨a, f⟩
h' : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
i : (P F).B a
left✝ : i ∈ univ
hi : f i = u
⊢ p u
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ p.degree = ↑n ↔ p.natDegree = n
P : ℕ → Prop
h : ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, P n
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P (φ n)
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.306779, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.306786, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsVanKampenColimit c₁
t₂ : IsVanKampenColimit c₂
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C
c : Cocone F
α : F ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ Nonempty (IsColimit c) → ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)
R : Type u
σ : Type v
CommSemiring R
i : σ
⊢ (MvPolynomial.pderiv i) 1 = 0
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
⊢ (l ⊔ l').HasBasis (fun i => p i.fst ∧ p' i.snd) fun i => s i.fst ∪ s' i.snd
y : ℝ
h : 0 < y
⊢ (if 0 = 0 ∧ y < 0 then ⊤ else ↑(NNReal.rpow 0 y)) = some 0
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a b : E
h : IsMinOn f s a
h' : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, a + t • b ∈ s
⊢ lineDerivWithin ℝ f s a b = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
⊢ Disjoint G (SimpleGraph.fromEdgeSet s) ↔ Disjoint G.edgeSet s
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
⊢ a * ⅟b * b = a
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
a : α
ha : IsAtom a
haS : a ≤ sSup S
⊢ a ∈ S
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : IsLocalHomeomorph f
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {U | ∃ V, IsOpen V ∧ ∃ s, f ∘ ⇑s = Subtype.val ∧ Set.range ⇑s = U}
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedSemiring R
a x y : R
n✝ m : ℕ
h : 1 < a
this : 0 < a
n : ℕ
⊢ a ^ n < a ^ (n + 1)
m n : ℤ
⊢ Odd (m * n) ↔ Odd m ∧ Odd n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : VectorMeasure α ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ↑μ.ennrealToMeasure.toENNRealVectorMeasure s = ↑μ s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
j : ι
hp : LinearIndependent k fun i => p ↑i -ᵥ p j
w : ι → kˣ
⊢ LinearIndependent k fun i => (AffineMap.lineMap (p j) (p ↑i)) ↑(w ↑i) -ᵥ (AffineMap.lineMap (p j) (p j)) ↑(w j)
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
F.PreservesZeroMorphisms
CategoryTheory.Limits.PreservesBinaryBiproducts F
⊢ F.Additive
R : Type u
CommSemiring R
⊢ ⊤.radical = ⊤
α : Type u_4
LinearOrder α
OrderBot α
l : Multiset α
n : α
h : ∀ x ∈ l, x ≤ n
⊢ Multiset.fold max ⊥ l ≤ n
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
m : ι → MeasurableSpace Ω
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ mΩ
h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndep m' hm' m μ
S T : Set ι
hST : Disjoint S T
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' (⨆ i ∈ S, m i) (⨆ i ∈ T, m i) hm' μ
α : Type u_1
R : α → α → Prop
a b : α
⊢ List.Pairwise R [a, b] ↔ R a b
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
hd : AddLECancellable d
hba : b ≤ a
hdc : d ≤ c
⊢ a - b + (c - d) = a + c - (b + d)
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
v w : Fin n → R
i j : Fin n
⊢ (Matrix.vandermonde v * (Matrix.vandermonde w)ᵀ) i j = ∑ k : Fin n, (v i * w j) ^ ↑k
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ ↑(I.splitUpper i x) = ↑I ∩ {y | x < y i}
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
FloorRing K
Fintype ι
⊢ Function.Surjective (Zspan.fractRestrict b)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
A : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} A
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ : CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ A
ℱ' : CategoryTheory.Sheaf K A
α : G.op.comp ℱ ⟶ G.op.comp ℱ'.val
⊢ CategoryTheory.whiskerLeft G.op (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.sheafHom α) = α
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
n : ℕ
⊢ ⇑↑n = n • ⇑(CentroidHom.id α)
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
⊢ Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // x ∉ s }), f ↑b) atTop (𝓝 0)
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
𝕜 : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
c : 𝕜
⊢ MellinConvergent (fun t => c • f t) s
N : ℕ
hN : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
⊢ ¬LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) 1
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
⊢ IsComplemented ⊥
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = 0
⊢ dist p1 p3 = |dist p1 p2 - dist p3 p2|
x✝ y✝ z✝ : PGame
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
x : PGame := mk xl xr xL xR
y : PGame := mk yl yr yL yR
z : PGame := mk zl zr zL zR
⊢ (mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).RightMoves ≃ (mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR)).RightMoves
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
v : ι → ↑S.X₁
w : ι' → ↑S.X₃
hv : ⊤ ≤ Submodule.span R (Set.range v)
hw : ⊤ ≤ Submodule.span R (Set.range w)
hE : CategoryTheory.Epi S.g
⊢ ⊤ ≤ Submodule.span R (Set.range (Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w)))
G : Type u
AddCommMagma G
IsLeftCancelAdd G
⊢ IsRightCancelAdd G
𝕆 : Type u_5
α : Type u_6
Preorder 𝕆
Preorder α
self : GradeOrder 𝕆 α
a b : α
⊢ a ⋖ b → GradeOrder.grade a ⋖ GradeOrder.grade b
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a : α
⊢ max a a = a
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
hd : d ∈ χ.conductorSet
⊢ χ.conductor ≤ (Classical.choose ⋯).conductor
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
C : EReal
h : C ≠ ⊥
h' : C ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun n => C / ↑n) atTop (𝓝 0)
β : Type u_2
π : β → Type u_3
Fintype β
(b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
Nonempty β
x : (b : β) → π b
r : ℝ
⊢ Metric.ball x r = Set.univ.pi fun b => Metric.ball (x b) r
α : Type u_1
M : Type u_2
PartialOrder α
AddCommMonoid M
f : α → M
LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ f a + ∑ x ∈ Finset.Iio a, f x = ∑ x ∈ Finset.Iic a, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ CountablySeparated ↑s ↔ HasCountableSeparatingOn α MeasurableSet s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a✝ : M
p : M → Prop
hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
a : M
l : List M
ih : (∀ x ∈ l, p x) → p l.prod
base : ∀ x ∈ a :: l, p x
⊢ p (a * l.prod)
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
hB : B ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M.Base (M.E \ B) ↔ B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B}
α : Type u_1
m p : PosNum
⊢ ↑(m * p) + ↑(m * p) + ↑m = ↑m * (↑p + ↑p) + ↑m
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l₁ l₂ l₃ : List Γ
⊢ Turing.BlankRel l₁ l₂ → Turing.BlankRel l₂ l₃ → Turing.BlankRel l₁ l₃
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℕ
a : α
ha : 1 ≤ a
⊢ mabs (a ^ n) = mabs a ^ n
R : Type u_1
l : ℕ
hl : Squarefree l
⊢ μ l ^ 2 = 1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf✝ : DifferentiableOn ℂ f✝ (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
f : ℂ → ℂ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
n : ℕ
⊢ (↑n !)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c
a : ℤ
n : ℕ
⊢ pred^[n + 1] a = a - ↑(n + 1)
α : Type u
L : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.Red L L
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝³ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Finite (Sylow p G)
inst✝ : (↑P).FiniteIndex
⊢ (transferSylow P hP).ker.IsComplement' ↑P
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
inst✝ : μ.Regular
f : α ≃ₜ β
this : (map (⇑f) μ).OuterRegular
⊢ (map (⇑f) μ).Regular
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A → B
h : ∀ (x y : A), f (x + y) = f x + f y
h₀ :
  ∀ (m : R) (x : A),
    { toFun := f, map_add' := h }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := h }.toFun x
h₁ : Coalgebra.counit ∘ₗ { toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀ } = Coalgebra.counit
h₂ :
  TensorProduct.map { toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀ } { toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀ } ∘ₗ
      Coalgebra.comul =
    Coalgebra.comul ∘ₗ { toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀ }
h₃ : B → A
h₄ :
  Function.LeftInverse h₃ { toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀, counit_comp := h₁, map_comp_comul := h₂ }.toFun
h₅ :
  Function.RightInverse h₃
    { toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀, counit_comp := h₁, map_comp_comul := h₂ }.toFun
h₆ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀, counit_comp := h₁, map_comp_comul := h₂, invFun := h₃, left_inv := h₄,
            right_inv := h₅ }.toFun
        (x * y) =
      { toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀, counit_comp := h₁, map_comp_comul := h₂, invFun := h₃,
              left_inv := h₄, right_inv := h₅ }.toFun
          x *
        { toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀, counit_comp := h₁, map_comp_comul := h₂, invFun := h₃,
              left_inv := h₄, right_inv := h₅ }.toFun
          y
⊢ ⇑{ toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀, counit_comp := h₁, map_comp_comul := h₂, invFun := h₃, left_inv := h₄,
      right_inv := h₅, map_mul' := h₆ } =
  f
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
hS : S ≤ IsAddUnit.addSubmonoid M
x : ↥S
⊢ ↑x + ↑((S.leftNegEquiv hS).symm x) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
⊢ a ≤ a + b - b
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2
cell : (i, j2) ∈ μ
⊢ T i j1 ≤ T i j2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m : M
⊢ (ι R) m ∈ ⋀[R]^1 M
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M
⊢ ∀ (x y : R), (∀ b ∈ S, x * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S) → (∀ b ∈ S, y * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S) → ∀ b ∈ S, (x + y) * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
m : Matrix n n R[X]
i j : n
k : ℕ
hk : (matPolyEquiv m).coeff k = 0
⊢ (m i j).coeff k = 0
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
NonUnitalSemiring α
Fintype n
Fintype o
v : o → α
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
⊢ M *ᵥ N *ᵥ v = (M * N) *ᵥ v
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ¬↑MT ⊨ Formula.not φ
⊢ False
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
R : Type u_10
Semiring R
MulSemiringAction M R
S : Type u_12
Semiring S
MulSemiringAction N S
f : R →ₑ+*[φ] S
⊢ ⇑↑f = ⇑f