ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
M : Type w
(L.withConstants α).Structure M
s : Set α
⊢ M ⊨ L.distinctConstantsTheory s ↔ Set.InjOn (fun i => ↑(L.con i)) s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp (p + a) b = p + toIcoMod hp a b
⊢ Metric.ball 1 1 ⊆ Complex.slitPlane
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ 𝓝ˢ (Set.Ico a b) = 𝓝 a ⊔ 𝓟 (Set.Ioo a b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q R : C
f : Q ⟶ R
a : P ⟶ Q
⊢ a ≫ f = 0 →
  CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f
      (Quot.mk (CategoryTheory.Abelian.PseudoEqual Q) (CategoryTheory.Over.mk a)) =
    0
β : Type u_2
m₁ m₂ : MeasurableSpace β
h₁ : MeasurableSpace.CountablyGenerated β
h₂ : MeasurableSpace.CountablyGenerated β
⊢ MeasurableSpace.CountablyGenerated β
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
TopologicalSpace 𝕜
SMul 𝕜 β
ContinuousSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
g : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => f x • g x) μ
α : Type u
Semiring α
x : α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), x ^ i = x ^ n + ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hg : ∀ (b : δ), IsLUB (range fun i => f i b) (g b)
⊢ ∀ t ∈ range Ioi, MeasurableSet (g ⁻¹' t)
R : Type u
M : Type v
AddZeroClass R
AddZeroClass M
x : tsze R M
⊢ TrivSqZeroExt.inl x.fst + TrivSqZeroExt.inr x.snd = x
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => eLpNorm (F i - f) 1 μ) l (𝓝 0)
s : Set α
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α) in s, f x ∂μ))
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
⊢ ⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x = T.rayleighQuotient x₀
b u v w : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hv : v ≠ 0
hvb : v < b
hw : w < b ^ u
hne' : b ^ u * v + w ≠ 0
hne : log b (b ^ u * v + w) ≠ u
h : log b (b ^ u * v + w) > u
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < p.radius
⊢ Summable fun s => ‖p (s.fst + s.snd.fst)‖₊ * r ^ s.snd.fst * r' ^ s.fst
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I J : TwoSidedIdeal R
h : ∀ (x : R), x ∈ I ↔ x ∈ J
⊢ I = J
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
s t : Set E
disj : Disjoint s t
hs₁ : Convex 𝕜 s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex 𝕜 t
ht₂ : IsClosed t
this✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
this : UniformAddGroup E
⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ Convex 𝕜 u ∧ Convex 𝕜 v ∧ s ⊆ u ∧ t ⊆ v ∧ Disjoint u v
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
x : F
⊢ (X - C x).natSepDegree = 1
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain (α →o β)
a : α
⊢ (OmegaCompletePartialOrder.OrderHom.ωSup c) a = OmegaCompletePartialOrder.ωSup (c.map (OrderHom.apply a))
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ (f.hom ▷ P.X ≫ N.X ◁ g.hom) ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft)) WalkingParallelPair.one = f.hom ▷ P.X ≫ N.X ◁ g.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft)) WalkingParallelPair.one
α : Type u_1
a b : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual a = OrderDual.ofDual b ↔ a = b
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Coalgebra R A
a : A
⊢ (LinearMap.rTensor A Coalgebra.counit) (Coalgebra.comul a) = 1 ⊗ₜ[R] a
d : ℕ
x y a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d
⊢ x.gcd y ∣ d
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hL : L ≤ adjoin F S
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ
hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ
s : E
hs : s ∈ S
⊢ s ∈ ↑φ.carrier
R : Type u
a : R
Semiring R
k : ℕ
h : 0 < k
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[k] (Polynomial.C a) = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
j : ι
hj : e.BoundaryGE j
e.IsTruncLE
⊢ False
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ (-o).oangle y (x + y) = ↑(Real.arctan (‖x‖ / ‖y‖))
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
h's : IsGδ s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
U : ℕ → Set X
U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hU : s = ⋂ n, U n
m : Set X
m_comp : IsCompact m
sm : s ⊆ interior m
mt : m ⊆ tᶜ
f : ℕ → C(X, ℝ)
fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s
fm : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 0 (U n ∩ interior m)ᶜ
_hf : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport ⇑(f n)
f_range : ∀ (n : ℕ) (x : X), (f n) x ∈ Icc 0 1
⊢ ∃ f, s = ⇑f ⁻¹' {1} ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Zero β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : α
⊢ ↑(f.restrict s) a = s.indicator (↑f) a
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ {a}.erase a = 0
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g h : α → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct g
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct h
q : (a : α) → f a ⟶ g a
q' : (a : α) → g a ⟶ h a
⊢ CategoryTheory.Limits.Sigma.map q ≫ CategoryTheory.Limits.Sigma.map q' =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.map fun a => q a ≫ q' a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
s : Set α
l : Filter β
h : Filter.Tendsto f l (𝓝[s] a)
⊢ ∀ᶠ (i : β) in l, f i ∈ s
α : Type u_1
R R' : Set α
M : Matroid α
h : R ⊆ R'
⊢ (M.restrict R).Restriction (M.restrict R')
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
⊢ StrictAntiOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ioi 0)
α : Type u
σ : Type v
M : NFA α σ
start : Set σ
⊢ M.toεNFA.evalFrom start = M.evalFrom start
X✝ : Scheme
X : Scheme
hX : IsReduced X
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : X.basicOpen s = ⊥
⊢ s = 0
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
⊢ f =O[l] g
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∉ MonoidHom.range f
r : fromCoset ⟨x • Set.range ⇑f, ⋯⟩ = fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
⊢ {x, y}.infsep = dist x y
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t✝ s t : Set E
x y : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
hy : y ∈ (convexHull ℝ) t
x' : E
hx' : x' ∈ s
Hx' : dist x y ≤ dist x' y
y' : E
hy' : y' ∈ t
Hy' : dist y x' ≤ dist y' x'
⊢ ∃ x' ∈ s, ∃ y' ∈ t, dist x y ≤ dist x' y'
m s n : Nat
⊢ m ∈ List.range' s n ↔ s ≤ m ∧ m < s + n
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j.castSucc
⊢ δ j ≫ δ (i.castLT ⋯).castSucc = δ j ≫ δ i
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝
ι : Type u_6
p : ι → Prop
s : ι → Set α
f : Filter α
hf : f.HasBasis p s
β : ι → Type u_5
pg : (i : ι) → β i → Prop
sg : (i : ι) → β i → Set γ
g : Set α → Filter γ
hg : ∀ (i : ι), (g (s i)).HasBasis (pg i) (sg i)
gm : Monotone g
⊢ (f.lift g).HasBasis (fun i => p i.fst ∧ pg i.fst i.snd) fun i => sg i.fst i.snd
α : Type u_1
Semiring α
a b : α
h : Commute a b
m n : ℕ
⊢ Commute (↑m * a) (↑n * b)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
c : k
⊢ ∑ t ∈ s, affineCombinationLineMapWeights i j c t = 1
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
h : G.dist u v ≠ 0
⊢ G.Reachable u v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
Y Z : C
f : Z ⟶ Y
I : CategoryTheory.InjectiveResolution Y
J : CategoryTheory.InjectiveResolution Z
⊢ J.ι.f 0 ≫ (CategoryTheory.InjectiveResolution.desc f I J).f 0 = f ≫ I.ι.f 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
i j j' : C
f : j ⟶ i
f' : j' ⟶ i
K : C
G : K ⟶ j
G' : K ⟶ j'
h✝ : True
k : C
e : k ⟶ K
he : e ≫ G ≫ f = e ≫ G' ≫ f'
⊢ (e ≫ G) ≫ f = (e ≫ G') ≫ f'
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
hf : Function.Injective f
s : Multiset α
⊢ (Multiset.map f s).dedup = Multiset.map f s.dedup
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
s : Set α
⊢ exterior (exterior s) = exterior s
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b✝ c d : α
h : IsUnit a
b : α
⊢ a / (a * b) = b⁻¹
α : Type u
R : Type v
Ring R
f g : FreeRing α →+* R
h : ∀ (x : α), f (FreeRing.of x) = g (FreeRing.of x)
⊢ f = g
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ (CliffordAlgebra.EquivEven.v Q) m * (CliffordAlgebra.EquivEven.v Q) m =
  (algebraMap R (CliffordAlgebra (CliffordAlgebra.EquivEven.Q' Q))) (Q m)
x y : ℝ
⊢ dist x y = |x - y|
ι : Type u_1
G : Type u_2
Group G
ConditionallyCompleteLattice G
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty ι
f : ι → G
hf : BddBelow (Set.range f)
a : G
⊢ (⨅ i, f i) * a = ⨅ i, f i * a
a k x y : ℕ
⊢ (∃ (a1 : 1 < a), Pell.xn a1 k = x ∧ Pell.yn a1 k = y) ↔
  1 < a ∧
    k ≤ y ∧
      (x = 1 ∧ y = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y])
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
⊢ Pi.topologicalSpace = generateFrom {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}
G : Type u_3
DivInvMonoid G
x : ConjAct G
⊢ ConjAct.ofConjAct x⁻¹ = (ConjAct.ofConjAct x)⁻¹
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {α_2 : Type u_3} {f : α → α_1 → α_2} {l : List α} {l' : List α_1},
  (List.zipWith f l l').tail = List.zipWith f l.tail l'.tail
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
iso₁ : A.obj₁ ≅ B.obj₁
iso₂ : A.obj₂ ≅ B.obj₂
iso₃ : A.obj₃ ≅ B.obj₃
comm₁ : A.mor₁ ≫ iso₂.hom = iso₁.hom ≫ B.mor₁ := by aesop_cat
comm₂ : A.mor₂ ≫ iso₃.hom = iso₂.hom ≫ B.mor₂ := by aesop_cat
comm₃ : A.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map iso₁.hom = iso₃.hom ≫ B.mor₃ := by aesop_cat
⊢ (A.isoMk B iso₁ iso₂ iso₃ comm₁ comm₂ comm₃).inv = B.homMk A iso₁.inv iso₂.inv iso₃.inv ⋯ ⋯ ⋯
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
ha : 1 < a.x
⊢ ¬IsSquare d
X : Type u_3
Y : Type u_5
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
uα : UniformSpace α
A : Set Y
u : Y → X → α
S : Set X
hA : EquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) S
hu : Continuous (S.restrict ∘ u)
⊢ EquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) S
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
⊢ mellin (fun t => f t⁻¹) s = mellin f (-s)
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
⊢ b ≤ (a.pred ha).castSucc ↔ b < a
α : Type u_2
Mul α
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ a ∈ t → MulOpposite.op a • s ⊆ s * t
M : Type u_1
Monoid M
x : Mˣ
⊢ ↑(Submonoid.unitsTypeEquivIsUnitSubmonoid x) = ↑x
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, J i ⊔ I = ⊤
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ I ⊔ J i = ⊤
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
hf : LocallyLipschitz f
hg : LocallyLipschitz g
⊢ LocallyLipschitz fun x => max (f x) (g x)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
q : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ CliffordAlgebraQuaternion.equiv (ofQuaternion (star q)) = CliffordAlgebraQuaternion.equiv (star (ofQuaternion q))
α : Sort u_1
a a' : α
h : a = a'
C : α → Type u_3
x y : C a
⊢ h ▸ x = h ▸ y ↔ x = y
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
⊢ (o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x)).tan = r
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ IsUnit ↑p ↔ ¬p ∣ n
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
I : Set ι
hI : I.Nonempty
f : α → β
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure β
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) (⨅ i ∈ I, (MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) (m i)) =
  ⨅ i ∈ I, (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) ((MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) (m i))
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R
u : Rˣ
this : ∀ (u : Rˣ) {P : Fin 3 → R}, W.Equation P → W.Equation (u • P)
h : W.Equation (u • P)
⊢ P = u⁻¹ • u • P
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
s : Set X
a : X
⊢ a ∈ seqClosure s ↔ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 a)
α : Type u_1
P : α → Prop
m : (s : α) → P s → ℝ≥0∞
R : Type u_2
Zero R
SMulWithZero R ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
NoZeroSMulDivisors R ℝ≥0∞
c : R
hc : c ≠ 0
⊢ c • MeasureTheory.extend m = MeasureTheory.extend fun s h => c • m s h
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.parallelFamily f).map (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.Hom.line j) = f j
α : Type u_1
Fintype α
⊢ ↑Finset.univ = Set.univ
α : Type u_1
a : List α
l : List (List α)
⊢ (↑(List.map (fun l => ↑l) (a :: l))).Sections = ↑(List.map (fun l => ↑l) (a :: l).sections)
A : 0 < 3 / 2
this : Gamma (3 / 2) ≤ rexp (1 / 2 * log 2 - log (3 / 2))
⊢ 1 / 2 * log 2 - log (3 / 2) < 0
Ω : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_4
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} [mβ : MeasurableSpace β] [mγ : MeasurableSpace γ] (f : Ω → β) (g : Ω → γ)
  (μ : MeasureTheory.Measure Ω),
  ProbabilityTheory.IndepFun f g μ ↔ ProbabilityTheory.Indep (MeasurableSpace.comap f mβ) (MeasurableSpace.comap g mγ) μ
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ IsLeast (Set.Ici a) a
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
f : ℕ → M
⊢ AdicCompletion.IsAdicCauchy I M f ↔ ∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ 𝓚 (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + (y - z)‖ * ‖x + (y - z)‖) + I * 𝓚 (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ - ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖) = 𝓚 (‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖) + I * 𝓚 (‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖ - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖) + (𝓚 (‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖) + I * 𝓚 (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ - ‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖))
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.InducedCategory D CategoryTheory.FullSubcategory.obj} (f : X ⟶ Y), F.essImageInclusion.map f = f
E : Type u
F : Type v
PseudoEMetricSpace F
TopologicalSpace E
f : E → F
x : E
⊢ oscillation f x = 0 ↔ ContinuousAt f x
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ AnalyticWithinOn 𝕜 f s ↔ AnalyticOn 𝕜 f s
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x✝¹ x✝ : MaximalSpectrum R
asIdeal✝¹ : Ideal R
IsMaximal✝¹ : asIdeal✝¹.IsMaximal
asIdeal✝ : Ideal R
IsMaximal✝ : asIdeal✝.IsMaximal
h : { asIdeal := asIdeal✝¹, IsMaximal := IsMaximal✝¹ }.toPrimeSpectrum = { asIdeal := asIdeal✝, IsMaximal := IsMaximal✝ }.toPrimeSpectrum
⊢ { asIdeal := asIdeal✝¹, IsMaximal := IsMaximal✝¹ } = { asIdeal := asIdeal✝, IsMaximal := IsMaximal✝ }
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero S.X₂ ↔ S.f = 0 ∧ S.g = 0
α : Type u
L : List (α × Bool)
p : α × Bool
⊢ ¬FreeGroup.Red.Step [p] L
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
⊢ f.support.card = 3 ↔
  ∃ k m n,
    ∃ (_ : k < m) (_ : m < n),
      ∃ x y z,
        ∃ (_ : x ≠ 0) (_ : y ≠ 0) (_ : z ≠ 0),
          f = Polynomial.C x * Polynomial.X ^ k + Polynomial.C y * Polynomial.X ^ m + Polynomial.C z * Polynomial.X ^ n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁴ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝³ : G.IsCocontinuous J K
inst✝² : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Sheaf K A
⊢ (G.op.ranAdjunction A).unit.app ((sheafToPresheaf K A).obj F) ≫ G.op.ran.map ((G.sheafPushforwardContinuousCompSheafToPresheafIso A J K).symm.hom.app F) ≫ (G.sheafPushforwardCocontinuousCompSheafToPresheafIso A J K).symm.hom.app ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F) = (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
f : E → ℝ
hψφ : ψ ≤ φ
hf : UniformConvexOn s φ f
⊢ UniformConvexOn s ψ f
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ Finset.Iic (OrderDual.toDual a) = Finset.map OrderDual.toDual.toEmbedding (Finset.Ici a)
F : Sort u_1
α : Sort u_2
β : α → Sort u_3
i : DFunLike F α β
⊢ Function.Injective fun f => ⇑f
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).cramer (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i)
G : Type u_3
Group G
x : G
m : ℤ
n : ℕ
h : x ^ n = 1
⊢ x ^ m = x ^ (m % ↑n)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
self : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.Mono self.L₂.f
α : Type u_1
l : List α
⊢ [] <+~ l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : E), ⟪x, v⟫_𝕜 = ⟪y, v⟫_𝕜
⊢ x = y
V : Type u
G : SimpleGraph V
Fintype V
Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
⊢ G.edgeFinset.card + 1 = Fintype.card V
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.EssentiallySmall.{max w v u, v, u} C
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : Module (ZMod p) K := let __src := (ZMod.castHom ⋯ K).toModule; Module.mk ⋯ ⋯
n : ℕ
h : q = p ^ n
⊢ 0 < n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : Cᵒᵖᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.unopUnop C).obj X = Opposite.unop (Opposite.unop X)
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
b : β
f : (x : β) → x = b → α
⊢ ⨆ x, ⨆ (h : x = b), f x h = f b ⋯
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
⊢ (spectrum ℂ a).Nonempty
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s t : Set E
f : E → F
x : E
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
n : ℕ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f t
M : Type u_1
Monoid M
S : Subgroup Mˣ
x : M
y : Mˣ
h₁ : y ∈ S
h₂ : ↑y = x
⊢ x ∈ S.ofUnits
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
Fact (Function.Injective ⇑i)
a : Module.Baer.ExtensionOf i f
⊢ Module.Baer.extensionOfMax i f ≤ a → a = Module.Baer.extensionOfMax i f
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
hA : ∀ {a : A}, IsUnit a ↔ a ≠ 0
inst✝ : CompleteSpace A
nt : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro 1 (Exists.intro 0 (hA.mp (Exists.intro { val := 1, inv := 1, val_inv := mul_one 1, inv_val := mul_one 1 } rfl))) }
z : ℂ
⊢ (fun a => ⋯.some) ((algebraMap ℂ A) z) = z
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
h : G.Adj s t
⊢ G ⊔ edge s t = G
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
W : Set γ
f : α × β → γ
⊢ s ×ˢ t ⊆ f ⁻¹' W ↔ ∀ (a : α) (b : β), a ∈ s → b ∈ t → f (a, b) ∈ W
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M : Comon_ C
⊢ (𝟙 M).hom = 𝟙 M.X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor Y).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y (𝟙_ C)).inv
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)).hom
R : Type u_1
LinearOrderedRing R
a : ℤ
⊢ ↑|a| = |↑a|
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
DecidableEq α
⊢ s₁ ∪ s₂ +ᵥ t₁ ∩ t₂ ⊆ s₁ +ᵥ t₁ ∪ (s₂ +ᵥ t₂)
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
this : g = (range g).subtype ∘ₗ g.rangeRestrict
⊢ range (lTensor Q ((range g).subtype ∘ₗ g.rangeRestrict)) = range (lTensor Q (range g).subtype)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
⊢ ContDiff 𝕜 n Prod.snd
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
h : LipschitzWith K f
x y : α
⊢ edist (f x) (f y) ≤ ↑K * edist x y