ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α ≃ᵐ β
s : Set β
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ) s = μ (⇑f ⁻¹' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
⊢ (CategoryTheory.OverPresheafAux.yonedaCollectionFunctor A).obj F =
  CategoryTheory.OverPresheafAux.yonedaCollectionPresheaf A F
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
self : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
⊢ A₁ ^ 2 = 1
a : Int
h : -a ≤ 0
⊢ 0 ≤ a
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
x : ↥⊤
⊢ (LieModuleEquiv.ofTop R L M) x = ↑x
α : Type u
β : Type v
f : α → β
S : Stream'.Seq1 (Stream'.Seq1 α)
⊢ Stream'.Seq1.map f S.join = (Stream'.Seq1.map (Stream'.Seq1.map f) S).join
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Zero γ
LE γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
hg : g ≤ 0
he : e ≤ 0
⊢ Function.extend f g e ≤ 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
x : M
⊢ (P.reflection i) x = x - (P.toLin x) (P.coroot i) • P.root i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot
k : ℤ
f : ℍ → ℂ
⊢ ModularForm.slash k 1 f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
⊢ κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η = κ
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π
⊢ HasDerivAt Gammaℝ (-(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2) 1
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A✝ : Rep k G✝
G : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : MulAction G A
f : G × G → A
hf : IsTwoCocycle f
g : G
⊢ f (g, 1) = g • f (1, 1)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ ((↑n).divisors.biUnion fun i => primitiveRoots i R) ⊆ nthRootsFinset (↑n) R
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
⊢ (vanishingIdeal (t ∪ t')).toIdeal = (vanishingIdeal t ⊓ vanishingIdeal t').toIdeal
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq : ∀ (i j : ι), IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n
basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
i : ι
a✝ : i ∈ t
⊢ ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op ≫ (structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op) s = const R ((fun i => a i * h i ^ N) i) ((fun i => h i ^ (N + 1)) i) (PrimeSpectrum.basicOpen ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)) ⋯
q : ℕ+
x y : LucasLehmer.X q
⊢ (x * y).1 = x.1 * y.1 + 3 * x.2 * y.2
ι : Type u_1
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} W₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
⊢ ((HomologicalComplex.singleMapHomologicalComplex F c j).inv.app X).f j =
  (HomologicalComplex.singleObjXSelf c j (F.obj X)).hom ≫ F.map (HomologicalComplex.singleObjXSelf c j X).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
H : Set.InjOn f ↑s
⊢ (Finset.image f s).val = Multiset.map f s.val
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
self : Trivialization.IsLinear R e
b : B
⊢ b ∈ e.baseSet → IsLinearMap R fun x => (↑e { proj := b, snd := x }).2
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
hφ : Function.Bijective ⇑φ
a : P₁
⊢ (AffineEquiv.ofBijective hφ) a = φ a
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
w✝ : TopologicalSpace α
left✝¹ : BorelSpace α
left✝ : PolishSpace α
s_closed : IsClosed s
right✝ : IsOpen s
this : PolishSpace ↑s
⊢ StandardBorelSpace ↑s
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (leSupr U i).op) s = (F.val.map (leSupr U i).op) t
sf : (i : ι) → (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (U i))) := fun i => (F.val.map (leSupr U i).op) s
sf_compatible : IsCompatible F.val U sf
gl : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))
gl_uniq : ∀ (y : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))), (fun s => IsGluing F.val U sf s) y → y = gl
⊢ s = t
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≼i s
a : α
⊢ Acc r a ↔ Acc s (f a)
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ (Order.succ c).IsRegular
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x✝ : α
hx : x✝ ∈ aeSeqSet hf p
i : ι
x : α
h : x ∈ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x) ∧ p x fun n => f n x}
⊢ x ∈ {x | ∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x}
A : Type u_7
A₂ : Type u_8
AddGroup A
AddGroup A₂
f : A →+ A₂
s : AddSubgroup A₂
⊢ Subgroup.comap (AddMonoidHom.toMultiplicative f) (AddSubgroup.toSubgroup s) =
  AddSubgroup.toSubgroup (AddSubgroup.comap f s)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : Monoid G
x✝ : G
n : ℕ
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
hn : n ≠ 0
x : G
⊢ (x ∈ (Finset.filter (fun x => x ∣ n) (Finset.range n.succ)).biUnion fun m => Finset.filter (fun x => orderOf x = m) Finset.univ) ↔ x ∈ Finset.filter (fun x => x ^ n = 1) Finset.univ
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α₁ : Sort u_1
β₁ : Sort u_2
γ₁ : Sort u_3
α₂ : Sort u_4
β₂ : Sort u_5
γ₂ : Sort u_6
ea : α₁ ≃ α₂
eb : β₁ ≃ β₂
ec : γ₁ ≃ γ₂
f : α₁ → β₁
g : β₁ → γ₁
x✝ : α₂
⊢ (ea.arrowCongr ec) (g ∘ f) x✝ = ((eb.arrowCongr ec) g ∘ (ea.arrowCongr eb) f) x✝
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
r : R
⊢ rootMultiplicity r ((expand R (p ^ n)) 0) = p ^ n * rootMultiplicity (r ^ p ^ n) 0
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
inst✝ : Finite β
f : α → β
H : Injective f
n : ℕ
e : β ≃ Fin n
⊢ Finite α
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ ↑N = ⊤ ↔ N = ⊤
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
a b : α
h : a ≠ b
⊢ (if P then a else b) = a ↔ P
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
r : HomRel C
D : Type u_4
inst✝ : Category.{u_3, u_4} D
F : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (lift r F H).map ((functor r).map f) = F.map f
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Sub Y
f g : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
hg : IsLocallyConstant g
⊢ IsLocallyConstant (f - g)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
a : R
p q : R[X]
x : ℕ
a✝ : x ∈ Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ
w : R[X]
hw : p - q = C a * w
⊢ a ∣ p.coeff x - q.coeff x
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K
hd : ¬d = 0
h_spand : spanSingleton R₁⁰ d ≠ 0
⊢ J / spanSingleton R₁⁰ d ≤ 1 / spanSingleton R₁⁰ d * J
⊢ ∀ (a : ℕ), Equiv.boolProdNatEquivNat.symm a = a.boddDiv2
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : ¬AEMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Measure.map f μ = 0
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2)
U : Set ↑C.pt.toTop := ⇑f ⁻¹' {0}
hU : IsClopen U
j : J
V : Set ↑(F.obj j).toTop
hV : IsClopen V
h : U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
⊢ ⇑f ⁻¹' {0} = ⇑(LocallyConstant.comap (C.π.app j) (LocallyConstant.ofIsClopen hV)) ⁻¹' {0}
X U : TopCat
f : U ⟶ X
hf : OpenEmbedding ⇑f
V : TopologicalSpace.Opens ↑U
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map f).obj (⋯.functor.obj V) = V
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
⊢ ⊥ * ⊥ = ⊥
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a₁ a₂ : α
l : List (Sigma β)
⊢ List.kerase a₂ (List.kerase a₁ l) = List.kerase a₁ (List.kerase a₂ l)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ : Ω → ℕ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h : MeasureTheory.Submartingale f 𝒢 μ
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime 𝒢 τ
⊢ MeasureTheory.Submartingale (MeasureTheory.stoppedProcess f τ) 𝒢 μ
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
h : L.IsUltrahomogeneous M
N P Q : Bundled L.Structure
NP : ↑N ↪[L] ↑P
NQ : ↑N ↪[L] ↑Q
Nfg : Structure.FG L ↑N
Pfg : Structure.FG L ↑P
PM : ↑P ↪[L] M
Qfg : Structure.FG L ↑Q
QM : ↑Q ↪[L] M
g : M ≃[L] M
hg : (QM.comp NQ).comp (PM.comp NP).equivRange.symm.toEmbedding = g.toEmbedding.comp (PM.comp NP).toHom.range.subtype
s : L.Substructure M := (g.toHom.comp PM.toHom).range ⊔ QM.toHom.range
n : ↑N
hgn : QM (NQ n) = g (PM (NP n))
⊢ ↑((g.toEmbedding.comp PM).equivRange.toEmbedding (NP n)) = g (PM (NP n))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
⊢ Kᗮ = ⊥ ↔ K = ⊤
α : Type u
p : α → Prop
s : Set α
⊢ {a | p a} ∩ s = {a | a ∈ s ∧ p a}
x : ℂ
y z : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
LinearOrder α
LinearOrder β
SMulPosMono α β
h : a • b < 0
ha : 0 ≤ a
⊢ b < 0
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
v : V
w : ↑(G.neighborSet v)
⊢ ↑((f.mapNeighborSet v) w) = f ↑w
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
⊢ ⇑0 = 0
α : Type u_1
PartialOrder α
s t : NonemptyInterval α
⊢ ↑s ⊂ ↑t ↔ s < t
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
q : Polynomial R
hq : q ≠ 0
⊢ (gcd p q).degree ≤ q.degree
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun b => ↑(ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) (ν a)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
s : Set ℂ
f : ℂ → E
n : ℕ
hd : DifferentiableOn ℂ f s
hs : IsOpen s
⊢ ContDiffOn ℂ (↑n) f s
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
x : ℙ K V
⊢ x ∈ (span S).carrier ↔ x ∈ (sInf {W | S ⊆ ↑W}).carrier
a : Int
b : Int
Ha : 0 ≤ a
⊢ a / b ≤ a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid (α i)
DecidableEq ι
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (f ⊓ g).support = f.support ∩ g.support
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α
⊢ (abs ∘ ⇑f) x = (toReal ∘ ⇑f.nnrealPart + toReal ∘ ⇑(-f).nnrealPart) x
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p.totalDegree = p.support.sup fun m => Multiset.card (Finsupp.toMultiset m)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a c d : Ordinal.{u_4}
⊢ a % (c * d) % c = (c * d * (a / (c * d)) + a % (c * d)) % c
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
s : Set β
⊢ ⇑e.symm ⁻¹' (⇑e ⁻¹' s) = s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
hl : HasStrictFDerivAt l l' (f x)
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (l ∘ f) (l' f') x
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace α
S : Set ι
pt : Finset ι
hpt : ↑pt ⊆ S
ft : ι → Set α
ht_m : ∀ x ∈ pt, ft x ∈ (fun n => {s | MeasurableSet s}) x
⊢ MeasurableSet (⋂ x ∈ pt, ft x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
X : T.Algebra
s : CategoryTheory.Limits.Cofork (T.map X.a) (T.μ.app X.A)
⊢ (CategoryTheory.Monad.beckCoequalizer X).desc s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (T.η.app X.A) s.π
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ <+~ l₂ → l₂.length ≤ l₁.length → l₁ ~ l₂
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
h : f ≠ 1
⊢ 1 < f.support.card
M : Type u_1
α : Type u_5
β : Type u_6
SMul M α
SMul M β
a : M
x : α × β
⊢ a • x = (a • x.1, a • x.2)
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
CstarRing A
CompleteSpace A
NormedAlgebra ℂ A
StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
⊢ (spectralRadius ℝ a).toReal = ‖a‖
m n : ℕ
hm : 0 < m
hmn : m < n
⊢ m ∈ n.smoothNumbers
α : Type u_1
LinearOrder α
b c d : α
h : min c d ≤ b
⊢ Set.Iic b ∪ Set.Icc c d = Set.Iic (max b d)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
α β : A₁ ⟶ A₂
⊢ A₁.str ≫ F.map (α.f + β.f) = (α.f + β.f) ≫ A₂.str
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : PseudoEMetricSpace X
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → X
g l : X → E
hf : LipschitzWith 1 f
hg : UniformContinuous g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0∞
hδ₀ : 0 < δ
hδε : ∀ (x y : X), (x, y) ∈ {p | edist p.1 p.2 ≤ δ} → (g x, g y) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
⊢ ∀ᶠ (xy : X × X) in 𝓤 X, ∀ (i : ℕ), (birkhoffAverage 𝕜 f g i xy.1, birkhoffAverage 𝕜 f g i xy.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K✝ : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.119287, u_1} K✝
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.119294, u_2} D
K : Type u_3
inst✝ : Category.{u_4, u_3} K
e : J ≌ K
F : K ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ e.functor ⋙ F
f : c'.pt ⟶ (Cocone.whisker e.functor c).pt
e' : α ≫ (Cocone.whisker e.functor c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Cocone.whisker e.functor c).ι.app j)
⊢ ∀ (j : K), IsPullback ((Cocone.whisker e.inverse c').ι.app j) ((whiskerLeft e.inverse α ≫ (e.invFunIdAssoc F).hom).app j) f (c.ι.app j)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ
⊢ f (x - ↑n * c) = (-1) ^ n * f x
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ μ ≪ map (fun h => g * h⁻¹) μ
α : Type u_2
Monoid α
⊢ ⊤ * ⊤ = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n k : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n + k ≤ m → p m = 0
x✝ : ℕ
hm : n ≤ x✝
⊢ k + n ≤ k + x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}
h : o.bsup f = 0
i : Ordinal.{u_4}
hi : i < o
⊢ f i hi ≤ o.bsup f
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : Type u_5
m : MeasurableSpace β
Div β
MeasurableDiv₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (f i / f j) (f k) μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f : α → F
⊢ eLpNorm (0 • f) p μ = ↑‖0‖₊ * eLpNorm f p μ
α : Type u_1
l : List α
⊢ List.map Prod.fst l.enum = List.range l.length
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
x : E
⊢ ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).2 = 0 ↔ x ∈ p
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) MeasureTheory.volume
hb : ContinuousAt f b
⊢ HasStrictDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in a..u, f x) (f b) b
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
Small.{u, max u v} ↑F.sections
j : J
u : ((CategoryTheory.Functor.const J).obj (Shrink.{u, max u v} ↑F.sections)).obj j
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.Small.limitCone F).π.app j u = ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j
x : ℝ
h : cos x = 0
this : ¬DifferentiableAt ℝ tan x
⊢ deriv tan x = 1 / cos x ^ 2
α β γ : Type u
F : Type u → Type v
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : LawfulApplicative F
f : β → γ
x : F (α → β)
y : F α
⊢ (Seq.seq (pure f) fun x_1 => Seq.seq x fun x => y) = Seq.seq (Seq.seq (pure fun x => f ∘ x) fun x_1 => x) fun x => y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasImages C
f : CategoryTheory.Over X
⊢ CategoryTheory.MonoOver.image.obj f = CategoryTheory.MonoOver.imageMonoOver f.hom
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K
⊢ colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k ≫ ((colimitIsoColimitCurryCompColim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).hom) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).hom = colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C} (f : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.π₃.map f = f.hom₃
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
⊢ QuasiIso φ.τ₃
α : Type u_1
Ring α
f : α → α → α
a b : α
a' b' c : ℤ
⊢ f = HMul.hMul →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a a' →
    Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b b' → a'.mul b' = c → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (a * b) c
n : ℕ
α : Type u_1
LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
h : f ∘ ⇑σ ≠ f ∘ ⇑(Tuple.sort f)
⊢ ∃ i j, i < j ∧ (f ∘ ⇑σ) j < (f ∘ ⇑σ) i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (⇑iso) s x = ↑{ toLinearEquiv := iso.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
t : Set β
b : β
⊢ {b} -ᵥ t = (fun x => b -ᵥ x) '' t
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hpu : ¬IsUnit p
this : p * C p.leadingCoeff⁻¹ ≠ 1
⊢ (∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p * C p.leadingCoeff⁻¹) ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
α : Type u_1
x : LazyList α
⊢ x.bind LazyList.singleton = x
X Y : CondensedSet
f : X ⟶ Y
S : CompHaus
x : X.val.obj (Opposite.op S)
this : (fun a => f.val.app (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (CompHaus.const S a).op x)) = fun a => Y.val.map (CompHaus.const S a).op (f.val.app (Opposite.op S) x)
⊢ Continuous fun a => Y.val.map (CompHaus.const S a).op (f.val.app (Opposite.op S) x)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a b : α
⊢ sSup s ⊓ b = ⨆ a ∈ s, a ⊓ b
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀✝ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F : 𝕜 → α → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
F' : 𝕜 → α → E
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) μ
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F' x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, HasDerivAt (fun x => F x a) (F' x a) x
⊢ Integrable (F' x₀) μ ∧ HasDerivAt (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), F' x₀ a ∂μ) x₀
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝³ : Traversable t
inst✝² : LawfulTraversable t
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m α
x : β
⊢ (fun a => f a x) = fun a => f a x
f g : StieltjesFunction
l : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
hgl : Tendsto (↑g) atBot (𝓝 l)
x : ℝ
hf : ofReal (↑g x - l) = ofReal (↑f x - l)
⊢ 0 ≤ ↑f x - l
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : C(α, β)
x y : α
h : x = y
⊢ f x = f y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
ProperSpace 𝕜
x' : NormedSpace.Dual 𝕜 E
r : ℝ
⊢ IsCompact (⇑WeakDual.toNormedDual ⁻¹' Metric.closedBall x' r)