ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
G G'✝ : SimpleGraph V
M✝ M' : G.Subgraph
v w✝ : V
G' : G.Subgraph
M : G'.coe.Subgraph
hM : M.IsMatching
v✝ : V
hv : v✝ ∈ (Subgraph.coeSubgraph M).verts
w : ↑G'.verts
hw : (fun w => M.Adj ⟨v✝, ⋯⟩ w) w ∧ ∀ (y : ↑G'.verts), (fun w => M.Adj ⟨v✝, ⋯⟩ w) y → y = w
⊢ (fun w => (Subgraph.coeSubgraph M).Adj v✝ w) ↑w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (Subgraph.coeSubgraph M).Adj v✝ w) y → y = ↑w
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s✝ t : Finset E
x✝ x : E
h : x ∈ ⋃ k ∈ K.faces, ↑k
s : Finset E
hs : s ∈ K.faces
hx : x ∈ ↑s
⊢ x ∈ K.vertices
α : Type u_1
β : Type u_3
f : Filter α
g : Filter β
g.NeBot
⊢ Filter.map₂ (fun x x_1 => x) f g = f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCommMonoid α
s✝ t : Multiset α
a : α
s : Multiset α
n : α
h : ∀ x ∈ s, x ≤ n
⊢ s.prod ≤ n ^ card s
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} H
∀ (F : CategoryTheory.Functor C H), L.HasLeftKanExtension F
⊢ (L.lanAdjunction H).unit = L.lanUnit
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
v : V
⊢ G'.incidenceSet v ⊆ G.incidenceSet v
ι : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
UniformSpace α
F : ι → X → α
TopologicalSpace ι
CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
⊢ Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ F) ↔ Inducing F
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
m : Fin n → 𝕜
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) m = (∏ i : Fin n, m i) • iteratedDeriv n f x
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
K' : Type u_3
inst✝ : Field K'
p n : ℕ
hp : 1 < p
h1 : X.degree < (X ^ p).degree
⊢ (X ^ p - X).natDegree = p
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : IsLocalization M S
R' : Type u_4
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Algebra S R'
inst✝ : IsScalarTower R S R'
p : S[X]
x : R'
hx : (aeval x) p = 0
⊢ (aeval x) (integerNormalization M p) = 0
α : Type u_1
a : α
LE α
x : WithTop α
⊢ ↑a ≤ x ↔ ∀ (b : α), x = ↑b → a ≤ b
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
t : ↑I
⊢ ↑((GenLoop.toLoop i p) t) = ((↑p).comp (Cube.insertAt i).toContinuousMap).curry t
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
hs : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
ht : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G t μ
⊢ μ s = μ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ (convexHull 𝕜).IsClosed s = Convex 𝕜 s
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : Set α
hs : (inducedOuterMeasure m P0 m0) s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h : ∃ i, ∃ (h : P i) (_ : s ⊆ i), m i ⋯ < (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε
⊢ ∃ t, P t ∧ s ⊆ t ∧ (inducedOuterMeasure m P0 m0) t ≤ (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
h_alg : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S)
⊢ comap (algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) = Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I
c : Code
n x : ℕ
h : x ∈ c.eval n
⊢ ∃ k, x ∈ evaln k c n
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
X₁✝ : C₁
a✝ : X₂ ⟶ T.obj X₁✝
b✝ : L.obj X₁✝ ⟶ X₃
comm : R.map a✝ ≫ w.app X₁✝ ≫ B.map b✝ = g
X₁ : C₁
b : L.obj X₁ ⟶ X₃
a : (CostructuredArrow.mk g).left ⟶ ((w.costructuredArrowRightwards X₃).obj (CostructuredArrow.mk b)).left
ha : R.map a ≫ ((w.costructuredArrowRightwards X₃).obj (CostructuredArrow.mk b)).hom = (CostructuredArrow.mk g).hom
⊢ ∃ X₁_1 a_1 b_1, ∃ (comm : R.map a_1 ≫ w.app X₁_1 ≫ B.map b_1 = g), StructuredArrow.mk (CostructuredArrow.homMk a ha) = mk w g X₁_1 a_1 b_1 comm
𝕜 : Type u_1
F : Type u_5
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : SchwartzMap ℝ F
x : ℝ
⊢ ((SchwartzMap.derivCLM 𝕜) f) x = deriv (⇑f) x
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
⊢ x ∈ closure (Set.range Int.cast)
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t : Set α
b : α
⊢ b ∈ t → (fun a => a ⊓ b) '' s ⊆ s ⊼ t
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
x : M × M₂
⊢ (LinearMap.fst R M M₂) x = x.1
α : Type u_9
self : CompleteLattice α
x : α
⊢ x ≤ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : M.Base B
⊢ (M.map f hf).Indep (f '' B) ∧ ∀ (I : Set β), (M.map f hf).Indep I → f '' B ⊆ I → f '' B = I
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Inv G
ContinuousInv G
f : α → G
l : Filter α
y : G
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 y)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => (f x)⁻¹) l (𝓝 y⁻¹)
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b a : K
⊢ 1 / (-1 * a) = 1 / a * (1 / -1)
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
⊢ GaloisConnection (Subgroup.map f) (Subgroup.comap f)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
this : DecidableEq α
⊢ List.map (fun x => (x, ↑l₂ - x)) (powersetAux l₁) ~ List.map (fun x => (x, ↑l₂ - x)) (powersetAux l₂)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
⊢ Submodule.span A ↑(range l) ≤ range (liftBaseChange A l)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
s t : Set α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : MeasurableSMul G α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s μ
fund_dom_t : IsFundamentalDomain G t μ
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U
⊢ ∀ (g : G), (fun x => g • x) ⁻¹' (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U) = Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
s : Set N
⊢ AddSubsemigroup.closure (⇑f ⁻¹' s) ≤ AddSubsemigroup.comap f (AddSubsemigroup.closure s)
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
m : M
hm : ∀ (x x_1 : L), ∃ k, ((toEnd R L M) x_1 ^ k) ⁅x, m⁆ = 0
y : L
k : ℕ
hk : ((toEnd R L M) y ^ k) ⁅y, m⁆ = 0
⊢ ((toEnd R L M) y ^ (k + 1)) m = 0
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
⊢ ∀ {x : AddGroup M} {x_1 : AddZeroClass N} {x_2 : AddCommGroup P} (f : M →+ N →+ P) (m₁ m₂ : M) (n : N),
  (f (m₁ - m₂)) n = (f m₁) n - (f m₂) n
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
⊢ 1 ∈ s
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ ν : ProbabilityMeasure Ω
h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ↑μ s = ↑ν s
⊢ μ = ν
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
e : E ≃ₗᵢ[R] E
⊢ e * LinearIsometryEquiv.refl R E = e
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ ‖{ toFun := integral, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } f‖ ≤ 1 * ‖f‖
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c.boundary (Fin.last c.length) = Fin.last n
α : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : NormalSpace α
inst✝⁷ : R1Space α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : ↥(Lp E p μ)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
⊢ ∃ y ∈ ↑(boundedContinuousFunction E p μ), y ∈ EMetric.closedBall f ε
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set X
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
h0 : 0 ∈ s
⊢ ↑(StarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}) ∩
    ↑(RingHom.ker (ContinuousMap.evalStarAlgHom 𝕜 𝕜 ⟨0, h0⟩)) =
  ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → β → α
S : Set β
hA : UniformEquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) S
hu : Continuous (S.restrict ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
x y : β
hxy : ∀ (i : ↑A), ((u ∘ Subtype.val) i (x, y).1, (u ∘ Subtype.val) i (x, y).2) ∈ V
hxS : (x, y).1 ∈ S
hyS : (x, y).2 ∈ S
⊢ ∀ (i : ↑(closure A)), ((u ∘ Subtype.val) i (x, y).1, (u ∘ Subtype.val) i (x, y).2) ∈ U
G : Type u_1
Group G
self : IsSolvable G
⊢ ∃ n, derivedSeries G n = ⊥
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
Module R M
f : (M →L[R] M)ˣ
x : M
⊢ ((ContinuousLinearEquiv.unitsEquiv R M) f) x = ↑f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.IsIso CategoryTheory.Limits.biprod.inl ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero Y
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
⊢ a ∈ closure s ↔ ∃ ι, ∃ (_ : Nonempty ι), ∃ f, (∀ (i : ι), f i ∈ s) ∧ Ordinal.sup f = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ
x : α
⊢ f (x + (↑n * (2 * c) + c)) = -f x
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
a : R
⊢ (γ.smul a).φH = a • γ.φH
G : Type u_3
Group G
a b c : G
⊢ a = b * c⁻¹ ↔ a * c = b
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
x y : M
⊢ ((LinearMap.toBilin f) x) y = (f x) y
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
DecidablePred fun x => x ∈ s
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a : α
g : β → E
⊢ ∫ (b : β), g b ∂(ProbabilityTheory.Kernel.piecewise hs κ η) a =
  if a ∈ s then ∫ (b : β), g b ∂κ a else ∫ (b : β), g b ∂η a
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
L L' : CategoryTheory.Functor C D
iso₁ : L ≅ L'
F : CategoryTheory.Functor C H
⊢ L.HasRightKanExtension F ↔ L'.HasRightKanExtension F
α : Type u_3
SemilatticeSup α
Nonempty α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in Filter.atTop, p x) ↔ ∃ a, ∀ b ≥ a, p b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] a, ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[s] y, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[s] a, p x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ μ.withDensity f = μ.withDensity g ↔ f =ᵐ[μ] g
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
x : R
⊢ (iterateFrobeniusEquiv R p 0) x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
Preorder α
f : α → Set β
g : α → Set γ
hf : AntitoneOn f s
hg : AntitoneOn g s
⊢ AntitoneOn (fun x => f x ×ˢ g x) s
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ‖|c| * (X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ)‖₊ ^ 2
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ RCLike.normSq z = RCLike.re z * RCLike.re z + RCLike.im z * RCLike.im z
R : Type u_1
A : Type u
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSpace R
TopologicalSpace A
ContinuousSMul R A
a : R
⊢ (algebraMapCLM R A) a = (algebraMap R A) a
R : Type u_2
K : Type ?u.11266
L : Type ?u.11269
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
e : minpolyDiv R x = 0
this : minpolyDiv R x * (X - C x) = map (algebraMap R S) (minpoly R x)
⊢ False
x : PartENat
hx : x ≠ ⊤
⊢ x < x + 1
m n : PosNum
⊢ ↑m < ↑n ↔ m < n
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
ha : ¬p a
⊢ cfcₙ f a = 0
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
b : β
⊢ Antivary f (Function.const ι b)
α : Sort u
r q : α → α → Prop
a : α
h₁ : Subrelation q r
ac : Acc r a
⊢ Acc q a
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
l : List α
f : α → List β
⊢ ((↑l).bind fun a => ↑(f a)) = ↑(l.bind f)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
k m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hkmn : m * k ≤ n
⊢ MapsTo val (Iic ↑k) (Iic k)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : Set α
hs : IsClopen s
h : ¬(s = ∅ ∨ s = univ)
h2 : sᶜ = ∅
⊢ s = univ
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂✝ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj (e₁ i)
e₂ : ∀ (i : J), map i = (e₂✝ i).hom ≫ 𝒰.map (e₁ i)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic a, u' x * v x + u x * v' x = a' - b'
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α
h₁ : ((-s).toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure = (s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure
h₂ : ((-s).toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure = (s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure
⊢ (-s).singularPart μ = -s.singularPart μ
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
⊢ Orientation.reindex R M (Equiv.refl ι) = Equiv.refl (Orientation R M ι)
α : Sort u_1
b c : α
h : b = c
a : α
⊢ a = b ↔ a = c
X : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsNoetherian X
⊢ (irreducibleComponents ↑↑X.toPresheafedSpace).Finite
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (π i)
x y x' y' : ι → ℝ
hx : x ∈ Icc x' y'
hy : y ∈ Icc x' y'
b : ι
⊢ x b ∈ Icc (x' b) (y' b)
ι : Type u_1
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
s : Finset ι
f : ι → G₀
h : ∏ i ∈ s, f i ≠ 0
⊢ Units.mk0 (∏ i ∈ s, f i) h = ∏ i ∈ s.attach, Units.mk0 (f ↑i) ⋯
R : Type u_1
Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
⊢ (Polynomial.trinomial k m n u v w).coeff m = v
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp0 : p ≠ 0
⊢ p.divX.degree < p.degree
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
One M'
x : M
hx : x ∉ mulTSupport f
n : ℕ∞
s : Set M
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
h : variationOnFromTo f s a b ≤ variationOnFromTo f s a c
⊢ eVariationOn (naturalParameterization f s a) (variationOnFromTo f s a '' s ∩ Icc (variationOnFromTo f s a b) (variationOnFromTo f s a c)) = ENNReal.ofReal (↑1 * (variationOnFromTo f s a c - variationOnFromTo f s a b))
δ : ℝ
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
E : Set α
hE : IsClosed E
hδ : 0 ≤ δ
⊢ Metric.cthickening δ E = ⋃ x ∈ E, Metric.closedBall x δ
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : Set G
V_open : IsOpen V
V_mem : 1 ∈ V
hV : V * V ⊆ U
W : Set G
W_mem : W ∈ 𝓝 1
W_closed : IsClosed W
hW : W ⊆ V
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, IsClosed V ∧ V⁻¹ = V ∧ V * V ⊆ U
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ (Finset.insertNone s).card = s.card + 1
α : Type u_1
LE α
OrderTop α
s : Flag α
⊢ ⊤ ∈ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
s : Set E
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → G →L[𝕜] H
c' : E →L[𝕜] G →L[𝕜] H
u : E → G
u' : E →L[𝕜] G
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
hu : HasFDerivWithinAt u u' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => (c y) (u y)) ((c x).comp u' + c'.flip (u x)) s x
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hn : cornersTheoremBound (ε / 9) ≤ n
A : Finset (ℕ × ℕ)
hAn : ↑A ⊆ ↑(range n) ×ˢ ↑(range n)
hAε : ε * ↑n ^ 2 ≤ ↑A.card
hA : IsCornerFree (Prod.map Fin.val Fin.val '' (Prod.map Nat.cast Nat.cast '' ↑A))
this✝ : ↑A = Prod.map Fin.val Fin.val '' (Prod.map Nat.cast Nat.cast '' ↑A)
this : IsAddFreimanIso 2 (Set.Iio ↑n) (Set.Iio n) Fin.val
⊢ False
M : Type u_3
AddCommGroup M
S : Submodule ℤ M
⊢ AddSubgroup.toIntSubmodule S.toAddSubgroup = S
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰X : X.OpenCover
𝒰Y : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : 𝒰X.J
j : 𝒰Y.J
⊢ pullback.map (𝒰X.map (i, j).1 ≫ f) (𝒰Y.map (i, j).2 ≫ g) f g (𝒰X.map (i, j).1) (𝒰Y.map (i, j).2) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (Iso.refl ((fun ij => pullback (𝒰X.map ij.1 ≫ f) (𝒰Y.map ij.2 ≫ g)) (i, j))).hom ≫ ((openCoverOfLeft 𝒰X f g).bind fun x => openCoverOfRight 𝒰Y (𝒰X.map x ≫ f) g).map ((Equiv.sigmaEquivProd 𝒰X.J 𝒰Y.J).symm (i, j))
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : ℝ≥0∞
⊢ Measurable fun x => a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), CategoryTheory.Square.evaluation₃.map φ = φ.τ₃
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ LieModule.IsNilpotent R L ↥↑N ↔ ∃ k, LieSubmodule.lcs k N = ⊥
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
hf : Function.Injective ⇑f.toHom
x : N
hx : x ∈ ↑t
h' : x ∈ ↑((closure L).toFun ↑t)
⊢ x ∈ range ⇑f
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
⊢ ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => a i * ((fderiv ℝ g x) (v i) * f x)) μ
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
⊢ (fun x => ((μ.tilted f).rnDeriv ν x).toReal) =ᶠ[ae ν] fun x => (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
a b : α
⊢ ⇑e '' Set.Ico a b = Set.Ico (e a) (e b)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
o : Ordering
⊢ o.Compares a b → a ≤ b → b ≤ a → a = b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictInitialObjects C
I : C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X I
hI : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
⊢ (CategoryTheory.Limits.mulIsInitial X hI).inv = hI.to (X ⨯ I)
R : Type u_3
CommRing R
x : R
⊢ (↑x).re = x
G : Type u_1
AddGroup G
H K L : AddSubgroup G
⊢ (H ⊓ K).relindex L ≤ H.relindex L * K.relindex L
E : Type u_6
NormedGroup E
a : E
⊢ ‖a‖₊ ≠ 0 ↔ a ≠ 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.cyclesIso.hom (CategoryTheory.CategoryStruct.comp γ.φK h₂.cyclesIso.inv)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft))
R : Type u
CommRing R
A : Mon_ (ModuleCat R)
⊢ ↑(ModuleCat.MonModuleEquivalenceAlgebra.functor.obj A) = ↑A.X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackSymmetry f g).inv ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd g f