ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ξ : ℚ
f : ℚ → ℤ × ℕ := fun q => (q.num, q.den)
s : Set ℚ := {q | |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2}
hinj : Function.Injective f
H : f '' s ⊆ ⋃ y ∈ Ioc 0 ξ.den, Icc (⌈ξ * ↑y⌉ - 1) (⌊ξ * ↑y⌋ + 1) ×ˢ {y}
⊢ s.Finite
α : Type u_4
f : α → ℚ → ℝ
a : α
x : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF.stieltjesFunctionAux f a x = ⨅ q, f a ↑q
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z
hxy : x ≤ y
hx0 : x ≠ 0
hy0 : y ≠ 0
⊢ (x * y) ^ z = if (x = 0 ∧ y = ⊤ ∨ x = ⊤ ∧ y = 0) ∧ z < 0 then ⊤ else x ^ z * y ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a b : α
s : Sym α n.succ
⊢ ∃ a s', s = a ::ₛ s'
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux : ∀ y ∈ s, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧ f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsIntegralCurveAt γ v t₀
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
f : α → β
x y : FreeGroup α
g : FreeGroup α →* FreeGroup β
hg : ∀ (x : α), g (FreeGroup.of x) = FreeGroup.of (f x)
x✝ : FreeGroup α
L : List (α × Bool)
⊢ g (Quot.mk Red.Step L) = (map f) (Quot.mk Red.Step L)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a * b ≤ b
⊢ a * b ≤ 1 * b
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
ϕ : AdjoinRoot f →ₐ[R] S
⊢ AdjoinRoot.liftHom f (ϕ (AdjoinRoot.root f)) ⋯ = ϕ
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
⊢ ↑f x ≤ 1
n : ℕ
NeZero n
⊢ Fin.succ 0 = 1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
⊢ X.roots = {0}
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2
⊢ dist p1 p3 = |dist p1 p2 - dist p3 p2| ↔ ∠ p1 p2 p3 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (𝟙_ (Mon_ C)).X = 𝟙_ C
α : Type u_4
LinearOrderedRing α
FloorSemiring α
z : ℤ
⊢ ⌈↑z⌉₊ = z.toNat
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Simplex k P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ (s.reindex e).reindex e.symm = s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
f : X → Y
h : Continuous f
t : ↑I
⊢ f (if h : ↑t ≤ 1 / 2 then γ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩ else γ' ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩) = if h_1 : ↑t ≤ 1 / 2 then (γ.map h) ⟨2 * ↑t, ⋯⟩ else (γ'.map h) ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : (pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x = b
⊢ b ≡ (algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩) [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
α : Sort u
self : Lean.Data.AC.Context α
⊢ Std.Associative self.op
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
hf : Smooth I I' f
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
w : ↑s → kˣ
this : s = Set.range Subtype.val
⊢ affineSpan k (Set.range fun q => (AffineMap.lineMap p ↑q) ↑(w q)) = affineSpan k (Set.range Subtype.val)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
⊢ (∃ i, f i ⊓ 𝓟 (I.piecewise s (fun x => univ) i) = ⊥) ↔ ∃ i ∈ I, f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
H : ∀ m < n, (bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R m) = X m
⊢ ∑ x ∈ range n, C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n - x) = ∑ x ∈ range n, (bind₁ (W_ R)) (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x))
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
j : n
⊢ A.det = ∑ i : n, A i j * A.adjugate j i
G : Type v
X : Type w
PseudoMetricSpace X
SMul G X
IsometricSMul G X
s : Set X
hs : Bornology.IsBounded s
c : G
⊢ Bornology.IsBounded (c • s)
A : Type u_1
TopologicalSpace A
Ring A
PartialOrder A
StarRing A
StarOrderedRing A
Algebra ℝ A
TopologicalRing A
ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
ContinuousFunctionalCalculus NNReal fun x => 0 ≤ x
UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
ha : 0 ≤ a
⊢ cfcHom ha = SpectrumRestricts.starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯
α : Type u
Mul α
x y z : α
⊢ Quot.mk (Magma.AssocRel α) (x * y * z) = Quot.mk (Magma.AssocRel α) (x * (y * z))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
⊢ μ + 0 ≤ μ + μ'
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
r : R
x✝¹ x✝ : R[X]
⊢ eval r x✝¹ = 0 ∨ eval r x✝ = 0 → eval r x✝¹ = 0 ∨ eval r x✝ = 0
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) MeasureTheory.volume
ha : ContinuousAt f a
⊢ HasDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-f a) a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → TopologicalSpace.Compacts α
⊢ ↑(s.sup f) = s.sup fun i => ↑(f i)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry (Function.curry f))
⊢ StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν
G : Type u
AddGroup G
H : AddSubgroup G
h : Subsingleton (G ⧸ H)
⊢ H = ⊤
θ : ℝ
n : ℤ
⊢ Polynomial.eval (Real.cos θ) (Polynomial.Chebyshev.U ℝ n) * Real.sin θ = Real.sin ((↑n + 1) * θ)
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᴬ[𝕜] W
g : W₂ →ᴬ[𝕜] V
⊢ ‖(f.comp g) 0‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖ + ‖f 0‖ ∧ ‖(f.comp g).contLinear‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖ + ‖f 0‖
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
DecidableEq R
s : Finset S
⊢ ⇑(algebraMap R S) '' ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple M s) = IsLocalization.commonDenomOfFinset M s • ↑s
α : Type u
ι : Sort u_1
t : ι → TopologicalSpace α
a : α
⊢ 𝓝 a = ⨅ i, 𝓝 a
b o : Ordinal.{u_1}
hb : b ≤ 1
ho : o ≠ 0
⊢ Ordinal.CNF b o = [(0, o)]
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
b' : Basis { x // x ∈ s } K L := (traceForm K L).dualBasis ⋯ b
⊢ IsNoetherian A C
H : Type u
TopologicalSpace H
PG : Pregroupoid H
e e' : PartialHomeomorph H H
he' : e ≈ e'
he : PG.property (↑e) e.source
⊢ PG.property (↑e') e'.source
z : ℤ
x : ℝ
⊢ ↑(z • x) = z • ↑x
R : Type u_1
R' : Type u_2
CommRing R
CommRing R'
StarRing R'
χ : MulChar R R'
a : R
⊢ χ.starComp a = (starRingEnd R') (χ a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Iic b \ Iio a = Icc a b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ (a ⊓ b)ᶜᶜ = aᶜᶜ ⊓ bᶜᶜ
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hs : NullMeasurableSet s μ
⊢ (μ ({x | p x}ᶜ ∩ s) = 0) = (μ {x | x ∈ s → p x}ᶜ = 0)
G : Type u_1
P : Type u_2
Preorder G
Preorder P
SMul G P
IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
⊢ a • c < b • d
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ Submodule.map p.mkQ p' = ⊤ ↔ p ⊔ p' = ⊤
X Y : Sequential
f : X ≅ Y
⊢ Sequential.isoEquivHomeo f = Sequential.homeoOfIso f
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : (i : ι) → AddMonoid (β i)
inst✝ : (i : ι) → DistribMulAction γ (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
r : γ
f : Π₀ (i : ι), β i
i✝ : κ
⊢ (comapDomain h hh (r • f)) i✝ = (r • comapDomain h hh f) i✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : ι → α
s : Set α
h : ∀ (x : ι), f x ∈ s
⊢ Injective (codRestrict f s h) ↔ Injective f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ ClosedEmbedding ↑I
α : Type u_1
i : Nat
as : Array α
start stop : Nat
h : i < (as.extract start stop).size
⊢ start + i < as.size
α : Sort u_1
p q : Prop
Decidable p
Decidable q
a : q → α
b : ¬q → α
c : α
⊢ (if p then dite q a b else c) = if hq : q then if p then a hq else c else if p then b hq else c
A : Type u_2
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra ℂ A
ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A
x : ℝ
ha : IsSelfAdjoint a := by cfc_tac
⊢ ↑x ∈ spectrum ℂ a ↔ x ∈ spectrum ℝ a
α : Type u_1
s : Set α
hs : 1 < s.ncard
a : α
⊢ ∃ b ∈ s, b ≠ a
d : ℤ
a₁ : Pell.Solution₁ d
h : Pell.IsFundamental a₁
a : Pell.Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ 0 ≤ (a * a₁⁻¹).y
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
g : E → G
s : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f s
hg : AnalyticOn 𝕜 g s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => (f x, g x)) s
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ Multiset.Ico a b = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C 1
left : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
right : F.obj' 1 ⋯ ≅ G.obj' 1 ⋯
w :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map' 0 1 ⋯ ⋯) right.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp left.hom (G.map' 0 1 ⋯ ⋯) := by
  aesop_cat
i : Fin (1 + 1)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.isoMk₁ left right w).hom.app i =
  match i with
  | ⟨0, isLt⟩ => left.hom
  | ⟨1, isLt⟩ => right.hom
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasurableSpace ι
t : ι → Ω → ι
TopologicalSpace ι
BorelSpace ι
TopologicalSpace.MetrizableSpace ι
h : MeasureTheory.ProgMeasurable f u
ht : MeasureTheory.ProgMeasurable f t
ht_le : ∀ (i : ι) (ω : Ω), t i ω ≤ i
⊢ MeasureTheory.ProgMeasurable f fun i ω => u (t i ω) ω
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b₀ b₁ b : B
hb : b ∈ (trivializationAt F Z.Fiber b₀).baseSet ∩ (trivializationAt F Z.Fiber b₁).baseSet
v : F
⊢ (Trivialization.coordChangeL R (trivializationAt F Z.Fiber b₀) (trivializationAt F Z.Fiber b₁) b) v =
  (Z.coordChange (Z.indexAt b₀) (Z.indexAt b₁) b) v
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : c ≤ a
h₂ : c ≤ b
h₃ : ∀ {d : α}, d ≤ a → d ≤ b → d ≤ c
⊢ c = min a b
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h₁ : a₁ ≤ b₁
⊢ Icc a₁ b₁ ⊆ Icc a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (z \ x ⊔ z ⊓ y ⊓ x) ⊓ (z \ y ⊔ z ⊓ y ⊓ x) = z \ x ⊓ z \ y ⊔ z ⊓ y ⊓ x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
A B C : Set E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hBC : IsExtreme 𝕜 B C
⊢ IsExtreme 𝕜 A C
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ‖(canonicalEmbedding K) x‖ ≤ r ↔ ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ x‖ ≤ r
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ ↑((MeasureTheory.condexpL2 E 𝕜 hm) (MeasureTheory.indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c)) =
  MeasureTheory.indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_10
Mul M
Mul N
Mul P
Mul Q
f : M →ₙ* N
g : N →ₙ* P
h : P →ₙ* Q
⊢ (h.comp g).comp f = h.comp (g.comp f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
f : P ⟶ Q
CategoryTheory.Epi f
CategoryTheory.StrongMono f
⊢ CategoryTheory.IsIso f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
Field k
CharP k p
IsAlgClosed k
a₁ a₂ : WittVector p k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
⊢ WittVector.frobenius (WittVector.frobeniusRotation p ha₁ ha₂) * a₁ = WittVector.frobeniusRotation p ha₁ ha₂ * a₂
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
TopologicalSpace α
f : α → E
s : Set α
h : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn (fun x => ‖f x‖₊) s
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
⊢ a + b ≡ a [PMOD p] ↔ b ≡ 0 [PMOD p]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
c : P
hc✝ : c ∈ s
r : ℝ
hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r
sx : Simplex ℝ P n
hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps
hsx : affineSpan ℝ (Set.range sx.points) = s
hc : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range sx.points)
⊢ sx.circumradius = r
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : Y → Z
hf : Continuous f
⊢ Continuous fun x => f x.2
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2)
U : Set ↑C.pt.toTop := ⇑f ⁻¹' {0}
hU : IsClopen U
j : J
V : Set ↑(F.obj j).toTop
hV : IsClopen V
h : U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
⊢ ∃ j g, f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
g' : G'
hg' : orderOf g' ∣ orderOf g
⊢ (monoidHomOfForallMemZpowers hg hg') g = g'
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
ι : Sort u_2
U : ι → Set α
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hcover : K ⊆ ⋃ i, U i
ind : (x : α) → x ∈ K → ι
W : (x : α) → x ∈ K → Set (α × α)
hW : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), W x a ∈ 𝓤 α
hWU : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), ball x (W x a ○ W x a) ⊆ U (ind x a)
t : Finset ↑K
ht : K ⊆ ⋃ x ∈ t, ball (↑x) (W ↑x ⋯)
⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, ∀ x ∈ K, ∃ i, ball x V ⊆ U i
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
Hss : S ≤ R
sjx : S ∈ J.sieves X
⊢ R ∈ J.sieves X
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasCokernel f
inst✝² : HasCokernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasCokernel g
inst✝ : HasCokernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map (coequalizer.π f 0) ≫ G.map (cokernel.map f g p q hpq) = G.map q ≫ G.map (coequalizer.π g 0)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Finsupp.lmapDomain M R id = LinearMap.id
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c d : B
f : a ⟶ b
g g' : b ⟶ c
η : g ⟶ g'
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η h))
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f g' h).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).inv
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η) h)
⊢ ord ∘ aleph = enumOrd {b | b.card.ord = b ∧ ω ≤ b}
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
⊢ (M ↾ R).Dep X ↔ ¬M.Indep X ∧ X ⊆ R
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ q✝ : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p✝
inst✝² : DecidablePred q✝
s✝ t✝ s t : Finset α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : _root_.Disjoint p q
⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s ∧ p a → ¬(a ∈ t ∧ q a)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
q : L[X]
hp : ¬(Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = 0
hsplit : Splits (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q)
he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p
hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree
hr : q.roots = 0
hq : q ≠ 0
h : ¬q.natDegree = 0
h' : (map (RingHom.id L) q).natDegree ≠ 0
this : (map (RingHom.id L) q).roots ≠ 0
⊢ False
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
d : CategoryTheory.Limits.Cocone G
α : F ⟶ G
j : J
⊢ c.ι.app j ≫ hc.map d α = α.app j ≫ d.ι.app j
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H : Subgroup G
h : H.Normal
f : G →* N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (Subgroup.map f H).Normal
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x (0 - 1) r
α✝ β✝ α : Type u
β : Type v
c : Cardinal.{max u v}
f : α → β
hf : ∀ (b : β), lift.{v, u} #↑(f ⁻¹' {b}) ≤ c
b : β
⊢ ↑(⇑Equiv.ulift.symm ⁻¹' ((fun x => { down := f x.down }) ⁻¹' {{ down := b }})) ≃ ↑(f ⁻¹' {b})
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
⊢ IsClosed (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o)
R : Type u_1
M : Type u_9
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ LinearMap.id x = x
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
H : s ∩ ⋂ x, Iic ↑x = ∅
⊢ False
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
x : ↑s
⊢ Filter.map Subtype.val (𝓝 x) = 𝓝[s] ↑x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
inst✝ : CompleteSpace H
K : ConvexCone ℝ H
ne : (↑K).Nonempty
hc : IsClosed ↑K
b : H
disj : b ∉ K
⊢ ∃ y, (∀ x ∈ K, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ) ∧ ⟪y, b⟫_ℝ < 0
n m : ℕ
i : Fin n
h : n = m
⊢ Fin.cast h i.rev = (Fin.cast h i).rev
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
ConnectedSpace 𝕜
hf : AnalyticOn 𝕜 f Set.univ
hg : AnalyticOn 𝕜 g Set.univ
hfg : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = g z
⊢ f = g
K : Type u_1
L : Type u_2
CommSemiring K
CommSemiring L
i : K →+* L
p : ℕ
IsPRadical i p
x : L
⊢ ∃ n y, i y = x ^ p ^ n
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕂
inst✝² : NormedDivisionRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
n : ℕ
⊢ exp 𝕂 (↑n • x) = exp 𝕂 x ^ ↑n
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K
key : derivative ((X - C a) * (f /ₘ (X - C a))) = derivative (f - f %ₘ (X - C a))
⊢ f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
c : ℕ := Fintype.card α
hc0 : 0 < c
⊢ (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card = φ d
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
X : TopCat
F : J ⥤ TopCat.Presheaf C X
H : ∀ (j : J), (F.obj j).IsSheaf
⊢ (CategoryTheory.Limits.limit F).IsSheaf
α : Type u_2
OrderedAddCommGroup α
s : NonemptyInterval α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ -a ∈ -s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
hs : (s ∩ mulSupport f).Infinite
⊢ ∏ᶠ (a : α), s.mulIndicator f a = 1
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn✝ : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
this✝ : Fact (Irreducible (X ^ n - C a)) := { out := H }
this : Algebra K K[n√a] := inferInstance
hn : 0 < n
⊢ (X ^ n - C a).Separable
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
hf : LipschitzWith K f
s : Set α
⊢ ∀ x ∈ f '' s, ∀ y ∈ f '' s, edist x y ≤ ↑K * diam s
z : ℂ
⊢ ((starRingEnd ℂ) z).re = z.re
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
R : Type u_5
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
hf : DiffContOnCl 𝕜 f s
c : R
⊢ DiffContOnCl 𝕜 (c • f) s