ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
Fintype α
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_4
Semiring S
Module S M
SMulCommClass R S M
v : α → M
⊢ Finsupp.total α M R v ∘ₗ ↑(Finsupp.linearEquivFunOnFinite R R α).symm = (Fintype.total R S) v
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, HasStrictFDerivAt (A i) (A' i) x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Add R
inst✝ : BoundedAdd R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
C : ℝ
hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ Set.range f + Set.range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ Set.range f + Set.range g → dist x y ≤ C
x y : X
⊢ dist ((f + g) x) ((f + g) y) ≤ C
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x
y : E × E
⊢ f y.1 - f y.2 - (f' y.1 - f' y.2) + (g y.1 - g y.2 - (g' y.1 - g' y.2)) = f y.1 + g y.1 - (f y.2 + g y.2) - (f' y.1 + g' y.1 - (f' y.2 + g' y.2))
a : Int
⊢ 0 < a.natAbs ↔ a ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
hk0 : ∀ᶠ (x : α) in l, k x ≠ 0
⊢ (∀ (z : ℤ), Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)) ↔ ∀ (z : ℤ), f =O[l] fun a => k a ^ z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
J : Type u_1
T : J → CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₁
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₂
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₃
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.productTriangle T).obj₂ = ∏ᶜ fun j => (T j).obj₂
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
SMul M α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure M α μ
MeasurableSMul M α
c : Mᵈᵐᵃ
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ c • (f - g) = c • f - c • g
M : Type u_1
A : Type u_4
Monoid M
Monoid A
MulDistribMulAction M A
r : M
⊢ (MulDistribMulAction.toMonoidEnd M A) r = MulDistribMulAction.toMonoidHom A r
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
α : Type u_5
p : α → ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
q : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
h : HasSum p q
m : (i : ι) → E i
⊢ HasSum (fun a => (p a) m) (q m)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
c : Computation (WSeq α)
⊢ (flatten c).destruct = c >>= destruct
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulOneClass α
MulOneClass β
f : α →*o β
⊢ f.comp (OrderMonoidHom.id α) = f
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (p : ℕ), a.factorization p = b.factorization p
⊢ a = b
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
inst✝ : FiniteDimensional L F
x : F
hx : IsIntegral R x
hx' : IsIntegral L x
⊢ IsIntegral R ((trace L F) x)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : K
⊢ NumberField.mixedEmbedding.norm ((NumberField.mixedEmbedding K) x) = ↑|(Algebra.norm ℚ) x|
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
s : Set M
⊢ IsLocalDiffeomorphOn I J n f s
C : Type u_5
D : Type u_1
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_5} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} D
CategoryTheory.Category.{u_2, u_3} H
RF : CategoryTheory.Functor D H
F : CategoryTheory.Functor C H
L : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ L.comp RF
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
RF.IsRightDerivedFunctor α W
⊢ RF.rightDerivedNatTrans RF α α W (CategoryTheory.CategoryStruct.id F) = CategoryTheory.CategoryStruct.id RF
r : ℝ
⊢ Real.cosh r = ∑' (n : ℕ), r ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
R : Type u_6
NormedDivisionRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ HasFDerivAt Inv.inv (-((ContinuousLinearMap.mulLeftRight 𝕜 R) x⁻¹) x⁻¹) x
G : Type u_1
a b : G
AddGroup G
s : Set G
hs : IsAddSubgroup s
h : a ∈ s
⊢ b + a ∈ s ↔ b ∈ s
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →* β) (h₁ : (↑f).toFun 0 = 0)
  (h₂ : ∀ (x_2 y : α), (↑f).toFun (x_2 + y) = (↑f).toFun x_2 + (↑f).toFun y),
  ↑{ toMonoidHom := f, map_zero' := h₁, map_add' := h₂ } = f
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝² : Monoid N✝
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : (i : ι) → G i →* N
s : Subgroup N
h : ∀ (i : ι), (f i).range ≤ s
⊢ (lift f) 1 ∈ s
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ IsCoprime I J ↔ Codisjoint I J
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulBitraversable t
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
α₀ α₁ β₀ β₁ : Type u
f : α₀ → F α₁
f' : β₀ → G β₁
⊢ Functor.Comp.mk ∘ Functor.map (Bitraversable.tsnd f') ∘ Bitraversable.tfst f =
  bitraverse (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map pure ∘ f) (Functor.Comp.mk ∘ pure ∘ f')
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁₂ : S₁.Hom S₂
φ₂₃ : S₂.Hom S₃
⊢ (φ₁₂.comp φ₂₃).τ₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁₂.τ₃ φ₂₃.τ₃
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y1 y2 : NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ Localization.mk ↑(y1 * y2).num ⟨↑(y1 * y2).den, ⋯⟩ = Localization.mk (↑y1.num * ↑y2.num) (⟨↑y1.den, ⋯⟩ * ⟨↑y2.den, ⋯⟩)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
⊢ type (Quotient.out o).r = o
R : Type u_1
Semiring R
ι : Type u_4
φ : ι → Type u_5
(i : ι) → TopologicalSpace (φ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
α : Type u_6
f : α → ι
v : (i : ι) → φ i
i : α
⊢ (Pi.compRightL R φ f) v i = v (f i)
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X
toSetoid✝¹ : Setoid X
isOpen_setOf_rel✝¹ : ∀ (x : X), IsOpen (setOf (toSetoid✝¹.Rel x))
toSetoid✝ : Setoid X
isOpen_setOf_rel✝ : ∀ (x : X), IsOpen (setOf (toSetoid✝.Rel x))
h : (fun x => match x with | { toSetoid := f, isOpen_setOf_rel := isOpen_setOf_rel } => f.classes) { toSetoid := toSetoid✝¹, isOpen_setOf_rel := isOpen_setOf_rel✝¹ } = (fun x => match x with | { toSetoid := f, isOpen_setOf_rel := isOpen_setOf_rel } => f.classes) { toSetoid := toSetoid✝, isOpen_setOf_rel := isOpen_setOf_rel✝ }
⊢ toSetoid✝¹.classes = toSetoid✝.classes
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
s : AddSubgroup G
⊢ ↑s.topologicalClosure = closure ↑s
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
a : α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s
ha : a ∈ s
⊢ s.truncatedSup a = a
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Finite R
inst✝ : CharP R 0
this : CharZero R
val✝ : Fintype R
⊢ False
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
hyp : n = 0 ∨ ¬(of v).TerminatedAt (n - 1)
⊢ ↑(fib (n + 1)) ≤ (of v).dens n
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
f : Fin n → α
i : Fin (n + 1)
⊢ Fin.snoc f a i.rev = Fin.cons a (f ∘ Fin.rev) i
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
h : b ∈ eval f a
c : σ
x✝ : Reaches₁ f b c
bc : Reaches₁ f b c := x✝
left✝ : Reaches f a b
b0 : f b = none
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
E : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : MetrizableSpace E
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ {x | AEStronglyMeasurable.mk f hf x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x} =ᶠ[ae μ] {x | f x = g x}
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁹ : Field A
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : Algebra A B
x : B
F : Type u_3
E : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Ring E
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : IsDomain K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F E
f g : E →ₐ[F] K
h : ∀ (a : ↑(range ⇑(FiniteDimensional.finBasis F E))), rootsOfMinPolyPiType F E K f a = rootsOfMinPolyPiType F E K g a
⊢ (↑f).toLinearMap = (↑g).toLinearMap
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
⊢ Commute a b⁻¹ ↔ Commute a b
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
h : ¬a = 0
⊢ (n - a.val) % n = if a = 0 then 0 else n - a.val
α : Type u_1
s₁ s₂ s₃ : Finset α
hs₁s₂ : s₁ ⊂ s₂
hs₂s₃ : s₂ ⊆ s₃
⊢ s₁ ⊂ s₃
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
hfc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
x : Fin (n + 1) → ℝ
hxI : x ∈ Box.Icc I
a : E
ε : ℝ
h0 : 0 < ε
hε : ∀ y ∈ Box.Icc I, ‖f y - a - f' (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖
c : ℝ≥0
hc : I.distortion ≤ c
e : ℝ → (Fin n → ℝ) → Fin (n + 1) → ℝ := i.insertNth
Hl : I.lower i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hu : I.upper i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hi : ∀ x ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i), Integrable (I.face i) ⊥ (f ∘ e x) BoxAdditiveMap.volume
⊢ ‖(∏ j : Fin (n + 1), (I.upper j - I.lower j)) • f' (Pi.single i 1) - (integral (I.face i) ⊥ (f ∘ e (I.upper i)) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) ⊥ (f ∘ e (I.lower i)) BoxAdditiveMap.volume)‖ ≤ 2 * ε * ↑c * ∏ j : Fin (n + 1), (I.upper j - I.lower j)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
hY : CategoryTheory.Limits.IsZero X
⊢ (CategoryTheory.Limits.isoZeroBiprod hY).hom = CategoryTheory.Limits.biprod.inr
α : Type u
β : Type v
s : Set α
t : (a : α) → a ∈ s → Set β
hs : s.Countable
⊢ (⋃ a, ⋃ (h : a ∈ s), t a h).Countable ↔ ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), (t a ha).Countable
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
S S' : C
f : S' ⟶ S
X : CategoryTheory.Over S
H : P X.hom
⊢ P ((CategoryTheory.Over.pullback f).obj X).hom
R : Type u
S : Type v
A : Type w
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra S A
Algebra R A
IsScalarTower R S A
U : Subalgebra S A
x : A
⊢ x ∈ Subalgebra.restrictScalars R U ↔ x ∈ U
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ fderivWithin ℝ (fun x => Real.cos (f x)) s x = -Real.sin (f x) • fderivWithin ℝ f s x
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsStronglyCartesian f φ
R' : 𝒮
a' : 𝒳
g : R' ⟶ R
ψ ψ' : a' ⟶ a
p.IsHomLift g ψ
p.IsHomLift g ψ'
h : ψ ≫ φ = ψ' ≫ φ
⊢ ψ = ψ'
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a b : α
h : a < b
⊢ ∃ c x, a + c = b
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.42009, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Sheaf J D
⊢ ({ val := (isoSheafify J ⋯).hom } ≫ { val := (isoSheafify J ⋯).inv }).val = (𝟙 P).val
G : Type u_1
Group G
n : ℕ
⊢ lowerCentralSeries G (n + 1) = Subgroup.closure {x | ∃ p ∈ lowerCentralSeries G n, ∃ q ∈ ⊤, p * q * p⁻¹ * q⁻¹ = x}
M : Type u_1
MulOneClass M
⊢ Subsingleton (Submonoid M) ↔ Subsingleton M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
b0 : 0 < b
lb : b.IsLimit
⊢ (a * b).IsLimit
x : ℝ
⊢ cos (π / 3) = 1 / 2
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝ : IsEmpty ι
x : G
⊢ ‖constOfIsEmpty 𝕜 E x‖ ≤ ‖x‖
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L
⊢ LieSubalgebra.lieSpan R L ↑K = K
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
⊢ Ordnode.insert x t = Ordnode.insertWith (fun x_1 => x) x t
S : Type u
inst✝³ : Semiring S
T : Type v
inst✝² : Semiring T
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
n : ℕ
p : R[X]
inst✝ : Algebra R S
x : S
⊢ eval x ((ascPochhammer S n).comp (map (algebraMap R S) p)) = eval (eval₂ (algebraMap R S) x p) (ascPochhammer S n)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => Real.cosh (f x)) (Real.sinh (f x) • f') x
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : Set.InjOn f s
g : E → F
⊢ ∫ (x : E) in f '' s, g x ∂μ = ∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • g (f x) ∂μ
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Icc 0 π) sin
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
p r : R
s : ↥S
⊢ p /ₒ s * (r /ₒ 1) = p * r /ₒ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
(CategoryTheory.Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
x : CategoryTheory.Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj P X
⊢ CategoryTheory.Presieve.Arrows.Compatible P π
    ((CategoryTheory.Limits.Types.productIso fun i => P.obj (Opposite.op (X i))).hom x) ↔
  CategoryTheory.Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap P X π x = CategoryTheory.Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap P X π x
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i
⊢ I.pi s ∈ 𝓝 a ↔ ∀ i ∈ I, s i ∈ 𝓝 (a i)
M : Type u_2
MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
⊢ (sSup S).op = sSup (Submonoid.unop ⁻¹' S)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Presentation R S
self : P.IsFinite
⊢ Finite P.rels
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 ≤ δ
x : E
⊢ Metric.thickening ε (Metric.closedBall x δ) = Metric.ball x (ε + δ)
R : Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
R₂ : Type u_2
inst✝¹² : Ring R₂
R₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : Ring R₃
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
M₄ : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₄
inst✝³ : AddCommGroup M₄
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
f : M →SL[σ₁₂] M₂
x : M
⊢ f (-x) = -f x
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
f : ι → α✝
α : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
k : α
hk : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → k ≤ sSup s → ∃ x ∈ s, k ≤ x
s : Set α
hemp : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hbelow : ∀ x ∈ s, x < k
h : ¬sSup s < k
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
S' : Submonoid (Multiplicative M) := Submonoid.closure S
h : of' R M m ∈ span R ↑(Submonoid.map (of R M) S')
h' : Submonoid.map (of R M) S' = Submonoid.closure ((fun x => (of R M) x) '' S)
⊢ Multiplicative.ofAdd m ∈ Submonoid.closure (⇑Multiplicative.toAdd ⁻¹' S)
K : Type u_1
Field K
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
h_eq : p = q
⊢ (AdjoinRoot.algEquivOfEq hp h_eq).toFun = ⇑(AdjoinRoot.liftHom p (AdjoinRoot.root q) ⋯)
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
⊢ 0 < Nat.multinomial s f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
x y : α
⊢ const x ≤ const y ↔ x ≤ y
α : Type u_1
inst✝ : OrderedRing α
a : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Ioc (a + ↑n) (a + ↑n + 1))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₗ[R] B
⊢ (∀ (x y : A), f (x * y) = f x * f y) ↔ (LinearMap.mul R A).compr₂ f = (LinearMap.mul R B ∘ₗ f).compl₂ f
n : ℕ
hn : Even n
x : ℤ
hx : x ∈ nonneg ℤ
⊢ x ∈ closure (range fun x => x ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
s : Finset (α × β)
f : α × β → M
⊢ ∑ᶠ (ab : α × β) (_ : ab ∈ s), f ab = ∑ᶠ (a : α) (b : β) (_ : (a, b) ∈ s), f (a, b)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Module.IsReflexive R M
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ Module.IsReflexive R N
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
FiniteDimensional 𝕜 V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : Set P
⊢ closure s \ intrinsicInterior 𝕜 s = intrinsicFrontier 𝕜 s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite ι'
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
s : (i : ι) → ℕ → Set (α i)
h1s : ∀ (i : ι) (n : ℕ), s i n ∈ C i
h2s : ∀ (i : ι), ⋃ n, s i n = univ
val✝ : Encodable (ι → ℕ)
⊢ IsCountablySpanning (univ.pi '' univ.pi C)
α : Type u_1
l l₂ : List α
l₁ : List α
⊢ l ⊆ l₂ → l ⊆ l₁ ++ l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f : β → α
a : α
h : HasProd f a
⊢ HasProd (fun b => (f b)⁻¹) a⁻¹
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
y : R
⊢ Tendsto (seminormFromConst_seq c f (x * y)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' hf1 hc hpm x * seminormFromConst' hf1 hc hpm y))
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
⊢ LinearMap.prodMap 0 0 = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
⊢ eLpNorm' f 0 μ = 1
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
g : Set (Set α)
f : Filter α
fct : CountableInterFilter f
hf : g ⊆ f.sets
⊢ f ≤ countableGenerate g
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
⊢ ProbabilityTheory.gaussianReal μ v = MeasureTheory.volume.withDensity (ProbabilityTheory.gaussianPDF μ v)
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous' SetLike.coe
α : Type u_1
G : Type u_5
SeminormedAddCommGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
SecondCountableTopology G
f : α → G
_m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ ↔ Measurable f
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ U R (-n - 2) = -U R n
Ω : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' f g μ ↔
  ∀ (s : Set β) (t : Set β'),
    MeasurableSet s →
      MeasurableSet t →
        μ[(f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t).indicator fun ω => 1|m'] =ᵐ[μ] fun ω =>
          (μ[(f ⁻¹' s).indicator fun ω => 1|m']) ω * (μ[(g ⁻¹' t).indicator fun ω => 1|m']) ω
s : List Char
i✝ e n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
h : ¬{ byteIdx := i } = { byteIdx := e }
ih : go₂ cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }
⊢ (if { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + n } = { byteIdx := e + n } then [] else c :: go₂ cs ({ byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + n } + c) { byteIdx := e + n }) = if { byteIdx := i } = { byteIdx := e } then [] else c :: go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
x : α
u : αˣ
⊢ x * ↑u * ↑u⁻¹ = x
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
⊢ Injective ⇑(base φ)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
y : 𝕜
hy : y ∈ s
⊢ derivWithin (fun z => c - f z) s y = derivWithin (fun z => -f z) s y
R : Type u_2
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(Submodule.span R t)
⊢ s = t
m : Type u_2
α : Type v
β : Type w
Fintype m
DecidableEq m
NonAssocSemiring α
NonAssocSemiring β
f : α ≃+* β
M : Matrix m m α
⊢ f.mapMatrix M = M.map ⇑f
α : Type u
f : Filter α
s : Set α
⊢ (∃ t ∈ f, t ⊆ s) ↔ s ∈ f
R : Type v
NonAssocSemiring R
StarRing R
⊢ Function.Injective StarSubsemiring.toSubsemiring
α : Type u
R : α → α → Prop
H : Symmetric R
⊢ Symmetric (Stream'.WSeq.LiftRel R)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
t : C
ht : CategoryTheory.Limits.IsTerminal t
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
CategoryTheory.HasWeakSheafify K A
G : C ⥤ D
∀ (X : Dᵒᵖ), CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.StructuredArrow X G.op) A
CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite J K G
ht' : CategoryTheory.Limits.IsTerminal (G.obj t)
(CategoryTheory.constantSheaf J A).Faithful
(CategoryTheory.constantSheaf J A).Full
F : CategoryTheory.Sheaf K A
⊢ let e := CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite.sheafEquiv G J K A;
CategoryTheory.Sheaf.IsDiscrete J ht (e.inverse.obj F) ↔ CategoryTheory.Sheaf.IsDiscrete K ht' F