ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)
hf₂ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict 0 (f n) ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) (f n)
hf₃ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) (f n)ᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 (f n)ᶜ
A : Set α := ⋂ n, (f n)ᶜ
hAmeas : MeasurableSet A
hA₂ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) A ≤ VectorMeasure.restrict 0 A
hA₃ : ∀ (n : ℕ), μ A ≤ ↑(1 / (↑n + 1)) * ν A
hμ : μ A = 0
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → ν sᶜ ≠ 0
this : ν (⋃ i, f i) ≠ 0
n : ℕ
hn : 0 < ν (f n)
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∃ E, MeasurableSet E ∧ 0 < ν E ∧ VectorMeasure.restrict 0 E ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - (ε • ν).toSignedMeasure) E
n : ℕ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
SMulCommClass 𝕜 ℂ E
a : 𝕜
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
⊢ (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), a • f x) = a • ∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
Finite α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → β
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (J.plusObj P) S
inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
Z : B.Arrow → C
e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I
e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X
he2 : ∀ (I : B.Arrow), S.sieve.arrows (e2 I)
h✝ : ∀ (I : B.Arrow), (fun Y f h => ((fun Y f hf => (T { Y := Y, f := f, hf := hf }).sieve) Y f h).arrows) (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)
a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f
w : Meq P B := meqOfSep P hsep X S s T t ht
I : S.Arrow
II : (T I).Arrow
e0 : (J.pullback II.f).obj (T I) ⟶ (J.pullback II.f).obj ((J.pullback I.f).obj B) := homOfLE ⋯
IV : ((J.pullback II.f).obj (T I)).Arrow
IA : B.Arrow := { Y := IV.Y, f := (IV.f ≫ II.f) ≫ I.f, hf := ⋯ }
⊢ ↑(((w.pullback I.f).pullback II.f).refine e0) IV = ↑(((t I).pullback II.f).refine (𝟙 ((J.pullback II.f).obj (T I)))) IV
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
LinearOrder β
OrderClosedTopology β
μ : MeasureTheory.Measure β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
f : β → α
hf : AntitoneOn f s
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict s)
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 4 = 3
hb : b % 4 = 3
hr : jacobiSymNat b a = r
⊢ jacobiSymNat a b = -r
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R✝
M✝ : Submonoid R✝
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R✝ S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing Rₘ
M : Submonoid R
hR : IsField R
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
this : Field R := hR.toField
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : Rₘ
⊢ ∃ a, (algebraMap R Rₘ) a = x
β : Type v
UniformSpace β
α : Type u_1
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
⊢ UniformEmbedding f
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Nontrivial M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
n m : ℕ
h : ↑n = ↑m
⊢ n = m
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : ∃ i, ↑i ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 Subtype.val ∧ x ∈ (convexHull 𝕜) ↑i
⊢ ∃ ι x_1 z w, Set.range z ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 z ∧ (∀ (i : ι), 0 < w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ ∑ i : ι, w i • z i = x
b n : ℕ
⊢ Nat.log b (n / b) = Nat.log b n - 1
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
Fintype ιa
Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
CommSemiring R'
AddCommGroup N₁
Module R' N₁
AddCommGroup N₂
Module R' N₂
AddCommMonoid Mᵢ
Module R' Mᵢ
DecidableEq ιa
DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
⊢ (a.domCoprod b) v = (∑ σ : Equiv.Perm.ModSumCongr ιa ιb, AlternatingMap.domCoprod.summand a b σ) v
X : TopCat
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
F G : TopCat.Presheaf C X
e : F ⟶ G
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
h : U ≤ V
x : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj (Opposite.op V))
⊢ (e.app (Opposite.op U)) (TopCat.Presheaf.restrictOpen x U h) =
  TopCat.Presheaf.restrictOpen ((e.app (Opposite.op V)) x) U h
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : ComplementedLattice α
h : IsAtomic α
⊢ IsStronglyAtomic α
b x y : ℝ
hb : 1 < b
h : 0 < x
⊢ logb b x < logb ?m.18267 1 ↔ x < 1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
h : eval a p = 0
⊢ (X - C a) * (p /ₘ (X - C a)) = p
x y : ℂ
⊢ Complex.sin (x - y) = Complex.sin x * Complex.cos y - Complex.cos x * Complex.sin y
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
L : E ≃L[𝕜] F
φ : X → E
this : CompleteSpace E ↔ CompleteSpace F
⊢ ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s t : Multiset α
⊢ map f s = map f t ↔ s = t
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
H : 1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (a_1 : Solution₁ d), ∃ n, a_1 = a ^ n ∨ a_1 = -a ^ n
⊢ a = a₁
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
One M
One N
g : M → N
hg : g 1 = 1
f : α → M
⊢ Function.mulSupport (g ∘ f) ⊆ Function.mulSupport f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
⊢ Function.update f i '' Set.Ioc a b = Set.Ioc (Function.update f i a) (Function.update f i b)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : ℕ → ℕ
hf : Bijective f
u : ℕ → α
H : CauchySeq (u ∘ f)
⊢ CauchySeq u
n : ℕ
x✝ x : ℤ × ℤ
⊢ (fun n => x ∈ box n) (max x.1.natAbs x.2.natAbs) ∧ ∀ (y : ℕ), (fun n => x ∈ box n) y → y = max x.1.natAbs x.2.natAbs
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
x : ↑X.toTopCat
⊢ x ∈ (Opens.map f.val.base).obj ⊤
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
g : β → γ
f : γ → α → α
a : α
l : t β
⊢ Traversable.foldr f a (g <$> l) = Traversable.foldr (f ∘ g) a l
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
⊢ IsLocalizedModule S f ↔ IsBaseChange A f
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
l : List ι
i : ℕ
h : i < l.length
⊢ i + (drop (i + 1) l).length + 1 = i + (l.length - (i + 1)) + 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
n : ℕ
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
⊢ ∀ {X Y : C ⥤ D} (τ : X ⟶ Y) (F : (SimplexCategory.Truncated n)ᵒᵖ ⥤ C) (c : (SimplexCategory.Truncated n)ᵒᵖ),
  (((CategoryTheory.SimplicialObject.Truncated.whiskering C D).map τ).app F).app c = τ.app (F.obj c)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite ν₁
inst✝¹ : SigmaFinite ν₂
inst✝ : SigmaFinite μ
h : ν₂ ⟂ₘ μ
⊢ (ν₁ + ν₂).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] ν₁.rnDeriv μ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree
this : Nontrivial R
⊢ ↑(p /ₘ q).natDegree ≤ ↑q.natDegree + ↑(p /ₘ q).natDegree
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Subgroup G
f g : (i : ι) → ↥(H i)
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y
⊢ (noncommPiCoprod hcomm).range = ⨆ i, H i
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
s : Set (GrothendieckTopology C)
⊢ IsGLB (sieves '' s) (sInf s).sieves
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {x_1 : MeasurableSpace β} {a : α}, Measurable fun x => a
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
⊢ (↑I).IsPrincipal
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑b) ≤ ε⁻¹
n : ℕ
⊢ ↑‖a ^ (n + N + 1)‖₊ ^ (1 / (↑(n + N) + 1)) * ↑‖1‖₊ ^ (1 / (↑(n + N) + 1)) ≤ ↑‖a ^ (n + N + 1)‖₊ ^ (1 / ↑(n + N + 1)) * ε⁻¹
R : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero R
x : R
DecompositionMonoid R
h : x ≠ 0
⊢ IsRadical x ↔ Squarefree x
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
g₁ g₂ : Π₀ (i : ι), β i
⊢ ⇑(g₁ + g₂) = ⇑g₁ + ⇑g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f g : α → β
s s₁ : Set α
h : ContinuousOn f s
h' : EqOn g f s₁
h₁ : s₁ ⊆ s
x : α
hx : x ∈ s₁
A : ContinuousWithinAt f s₁ x
⊢ Tendsto g (𝓝[s₁] x) (𝓝 (g x))
R : Type u
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
Semiring S₂
f g : MvPolynomial σ R →+* S₂
hC : f.comp MvPolynomial.C = g.comp MvPolynomial.C
hX : ∀ (n : σ), f (MvPolynomial.X n) = g (MvPolynomial.X n)
p : MvPolynomial σ R
⊢ f p = g p
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ (PartialHomeomorph.ofSet s hs).trans e = e.restr s
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
hite2 : (if n.succ = 0 then 1 else 0) = 0
⊢ (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal (n + 1), bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = (algebraMap ℚ A) (∑ i ∈ antidiagonal n.succ, ↑((i.1 + i.2).choose i.2) / (↑i.2 + 1) * bernoulli i.1 / ↑n.succ !)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
⊢ convexBodySumFactor K ≠ 0
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : ι → Subalgebra R Aᵐᵒᵖ
⊢ (iSup S).unop = ⨆ i, (S i).unop
α : Type u
Inhabited α
l : List α
⊢ l ≠ [] → l.head! ∈ l.head?
α : Type u
Monoid α
u₁ u₂ : αˣ
⊢ ↑(u₁ / u₂) = ↑u₁ /ₚ u₂
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x * f x ∂ν = ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : α → β
e : β ≃ᵐ γ
h : MeasurePreserving (⇑e) μb μc
⊢ MeasurePreserving (⇑e ∘ g) μa μc ↔ MeasurePreserving g μa μb
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
PosMulReflectLE α
a0 : 0 < a
⊢ a ≤ a * b ↔ 1 ≤ b
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hYdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (Y i) (Y j)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
⊢ Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X' j ⊆ X' i
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrderBot α
a : Subtype p
⊢ Finset.Iio a = Finset.subtype p (Finset.Iio ↑a)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.reverse.darts = (List.map Dart.symm p.darts).reverse
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Monad.id C).μ.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
TopologicalSpace α
ConditionallyCompleteLattice α
SupConvergenceClass α
f : ι → α
h_anti : Antitone f
hbdd : BddAbove (Set.range f)
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 (⨆ i, f i))
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : u.r = 0
hs : x✝.IsSpecial
⊢ u.finish.IsSpecial
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
a : α
⊢ ∀ (n : ℕ), g⁻¹ ^ n • a = a ↔ g ^ n • a = a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Equiv M N
⊢ f.symm.comp f = FirstOrder.Language.Equiv.refl L M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : _root_.Embedding g
this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ
this✝³ : MeasurableSpace β := borel β
this✝² : BorelSpace β
this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ
this✝ : BorelSpace γ
H : AEStronglyMeasurable (fun x => g (f x)) μ
⊢ AEMeasurable f μ
K✝ : Type u
V : Type v
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
x : K
H : x ≠ 0
this : Surjective ⇑(LinearMap.mulLeft F x)
⊢ ∃ y, x * y = 1
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞
⊢ (∃ a, f a = ⊤) → ∑' (a : α), f a = ⊤
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
ι : Sort u_4
p : ι → Subsemigroup M
⊢ ⨆ i, p i = closure (⋃ i, ↑(p i))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ
⊢ LieSubmodule.lcs k (N₁ ⊔ N₂) = LieSubmodule.lcs k N₁ ⊔ LieSubmodule.lcs k N₂
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Sym2 α
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ (Sym2.map f e).IsDiag ↔ e.IsDiag
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
hg : MeasurableEmbedding g
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ MeasurableEmbedding fun x => (g x.1, f x.2)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
A : Set E
F : Set (Set E)
hF : F.Nonempty
hA : ∀ B ∈ F, IsExtreme 𝕜 A B
⊢ IsExtreme 𝕜 A (⋂ B ∈ F, B)
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : 0 < x
⊢ b ^ logb b x = x
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (q.reverse.append p.reverse).IsPath
⊢ q.reverse.IsPath
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder α r
IsWellOrder β s
f : r ≃r s
⊢ Ordinal.lift.{v, u} (Ordinal.type r) = Ordinal.lift.{u, v} (Ordinal.type s)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ a ⋖ b ↔ a ⩿ b ∧ ¬b ≤ a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
ha : 0 ≤ a
x✝ : ℕ
⊢ x✝ ∈ Nat.cast ⁻¹' Iic a ↔ x✝ ∈ Iic ⌊a⌋₊
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝³ : DecidableEq I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : K.HasTotal c₁₂
inst✝ : L.HasTotal c₁₂
⊢ (HomologicalComplex.forget C c₁₂).map (map (𝟙 K) c₁₂) = (HomologicalComplex.forget C c₁₂).map (𝟙 (K.total c₁₂))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
r : ℤ
α : F ⟶ G
⊢ T.map (r • α.f) ≫ G.a = F.a ≫ (r • α.f)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hd : Disjoint x z
hz : z ≤ y
hs : y ≤ x ⊔ z
⊢ y ⊓ x ⊔ z = y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (CategoryTheory.Limits.pushoutCoconeOfLeftIso f g).pt = Z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α
i : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i
hi₃ : VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ
hμ : s.toJordanDecomposition.posPart = s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂
hν : s.toJordanDecomposition.negPart = s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃
k : Set α
hk : MeasurableSet k
⊢ ↑s (i ∩ k) + ↑s (iᶜ ∩ k) = ↑s k
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ ⟪x, r • (o.rotation ↑(π / 2)) x⟫_ℝ = 0
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
⊢ (CategoryTheory.inv ((Rep.linearization k G).μ X Y)).hom = ↑(finsuppTensorFinsupp' k X.V Y.V).symm
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
ι : Type u_1
B : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
F : TopCat.Presheaf C X
F' : TopCat.Sheaf C X
h : TopologicalSpace.Opens.IsBasis (Set.range B)
α : (CategoryTheory.inducedFunctor B).op ⋙ F ⟶ (CategoryTheory.inducedFunctor B).op ⋙ F'.val
i : ι
⊢ ((TopCat.Sheaf.restrictHomEquivHom F F' h) α).app (Opposite.op (B i)) = α.app (Opposite.op i)
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
⊢ Submonoid.center M ≤ Submonoid.centralizer s
α : Type u
f : α → α
a : α
tl : List α
r : Array α
⊢ List.modifyLast.go f (tl ++ [a]) r = r.toListAppend (List.modifyLast.go f (tl ++ [a]) #[])
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsKilling R L
⊢ LinearMap.ker (killingForm R L) = ⊥
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖RCLike.I • y + 2 • z‖ * ‖RCLike.I • y + 2 • z‖ =
  2 * (‖RCLike.I • y + z‖ * ‖RCLike.I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖RCLike.I • y‖ * ‖RCLike.I • y‖
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
Finite ι
f : ι →₀ R
i : ι
⊢ ((Finsupp.total ι (Module.Dual R M) R ⇑b.dualBasis) f) (b i) = f i
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p q : K[X]
⊢ RatFunc.mk p q = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : F
⊢ e.symm b y = cast ⋯ (↑e.symm (b, y)).snd
a b : Prop
h : Or a b
nb : Not b
⊢ a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ Metric.sphere 0 1
⊢ ContMDiff I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (Set.codRestrict f (Metric.sphere 0 1) hf')
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
LinearOrder X
CompactIccSpace X
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ ↔
  (MeasureTheory.IntegrableAtFilter f Filter.atBot μ ∧ MeasureTheory.IntegrableAtFilter f Filter.atTop μ) ∧
    MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : ¬x✝ = t
h✝ : y✝ = t
⊢ G.Adj x✝ s ↔ (G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) ∧ s(x✝, y✝) ∉ {s(t, t)}
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
c : ℝ
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l (fun x => (f' x, g' x)) k' ↔
  Asymptotics.IsBigOWith c l f' k' ∧ Asymptotics.IsBigOWith c l g' k'
R : Type u
σ : Type v
CommSemiring R
Finite σ
NoZeroDivisors R
⊢ NoZeroDivisors (MvPolynomial σ R)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ : R[X]
N i : ℕ
f : AddMonoidAlgebra R ℕ
⊢ (embDomain (revAt N) f) i = f ((revAt N) i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.HomologyData
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.left.i h.right.p = 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K V : Set G
hK : IsCompact K
hV : (interior V).Nonempty
⊢ ∃ n, n ∈ Finset.card '' {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
inst✝¹ : Fintype V
G' : G.Subgraph
inst✝ : Fintype ↑G'.verts
h : G'.IsSpanning
⊢ Finset.univ.card = Fintype.card V
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
⊢ ((rename f) φ).IsHomogeneous n
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
X Y X' Y' : C
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
f : X ≅ Y
g : X' ≅ Y'
⊢ (f.inv ⊗ g.inv) ≫ (f.hom ⊗ g.hom) = 𝟙 (Y ⊗ Y')
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t : Set P
x : P
s : Set P
⊢ intrinsicClosure 𝕜 (intrinsicClosure 𝕜 s) = intrinsicClosure 𝕜 s
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
IsDomain R
Algebra R S
IsDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
a : AdjoinRoot (minpoly R x)
⊢ (minpoly.equivAdjoin hx) a =
  (QuotientAddGroup.lift (Submodule.toAddSubgroup (Ideal.span {minpoly R x}))
      ↑(Polynomial.eval₂RingHom (algebraMap R ↥(Algebra.adjoin R {x})) ⟨x, ⋯⟩) ⋯)
    a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : α → G
hf : Multipliable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
s : Finset α
hs : ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ k ∈ t, f k ∈ e
⊢ f ⁻¹' e ∈ cofinite
m n✝ : ℕ
k : Fin (n✝ + 1 + 1)
⊢ k ≤ k - 1 ↔ k = 0
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
⊢ ∃ C, ∀ (x y : α), dist ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y) ≤ C
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop
f : Π₀ (i : ι), β i
h0 : p 0
ha : ∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → p f → p (DFinsupp.single i b + f)
⊢ p f
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
⊢ 𝓝 ⊤ = ⊤
γ : Type w
LinearOrder γ
DenselyOrdered γ
a : γ
⊢ lowerBounds (Set.Ioi a) = Set.Iic a
α : Type u_1
E I J : Set α
⊢ (Matroid.uniqueBaseOn I E).Indep J ↔ J ⊆ I ∩ E
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
⊢ 1 * A⁻¹⁻¹ = A * A⁻¹ * A⁻¹⁻¹