ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix n n R₂
i j : n
⊢ ((Matrix.toBilin' M) ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) i) 1)) ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) = M i j
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b a : α
s : Multiset α
⊢ fold op b (a ::ₘ s) = fold op (op b a) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
x : α
H : x ∉ s
⊢ ↑g x = 0
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
s : Set ((a : ι) → π a)
a : (a : ι) → π a
x✝ : a ∈ s
⊢ (∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ a i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s) → ∃ I u, (∀ a_2 ∈ I, IsOpen (u a_2) ∧ a a_2 ∈ u a_2) ∧ (↑I).pi u ⊆ s
y : ℝ≥0∞
⊢ (0 * y).log = log 0 + y.log
h : ¬bit true 0 = 0
IH : shiftLeft' true 0 0 ≠ 0 → (shiftLeft' true 0 0).size = size 0 + 0
s0 : shiftLeft' true 0 0 = 0
this : 2 ^ 0 = 1
⊢ (size 0).succ = (size 0 + 0).succ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ a < 1 / b ↔ b < 1 / a
α : Type u_1
AddCommGroupWithOne α
CharZero α
a b : ℤ
n : ℕ
⊢ ↑a ≡ ↑b [PMOD ↑n] ↔ a ≡ b [PMOD ↑n]
X : AlgebraicGeometry.Scheme
x : ↑↑∅.toPresheafedSpace
⊢ X.emptyTo.val.base x = PEmpty.elim x
α : Type u_1
E' : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E'
f' : α → E'
l : Filter α
h : ∃ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≠ 0
⊢ ¬f' =o[l] f'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
P Q : C
⊢ β_ P Q = CategoryTheory.Limits.coprod.braiding P Q
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
inst✝ : Fintype S
f : S → Tropical (WithTop R)
⊢ untrop (∑ i : S, f i) = ⨅ i, untrop (f i)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
h : e.IsImage s t
⊢ ↑e.symm '' (e.target ∩ t) = e.source ∩ s
a b c p q : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
d₁0 : 0 < ↑d₁
⊢ 0 ≤ n₁ /. ↑d₁ → 0 ≤ n₂ /. ↑d₂ → 0 ≤ n₁ /. ↑d₁ + n₂ /. ↑d₂
α : Type u
π : α → Type u_1
Finite α
s : (a : α) → Set (π a)
hs : ∀ (a : α), (s a).Countable
⊢ {f | ∀ (a : α), f a ∈ s a}.Countable
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
e₁ : T₁.obj₁ ≅ T₂.obj₁
e₂ : T₁.obj₂ ≅ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ T₂.mor₁
h : ∃ e', e'.hom.hom₁ = (Arrow.isoMk e₁ e₂ ⋯).hom.left ∧ e'.hom.hom₂ = (Arrow.isoMk e₁ e₂ ⋯).hom.right
⊢ T₁ ≅ T₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i✝ j✝ : ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hr : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hc : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (coroot i) (p.toLin (root i)))) (range ⇑coroot) (range ⇑coroot)
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
l : ι
hl : coroot l = (preReflection (coroot i) (p.toLin (root i))) (coroot j)
hkl : (p.toLin.flip (coroot l)) (root k) = 2
_i : NoZeroSMulDivisors ℤ M
⊢ p.toLin.flip (coroot k) = p.toLin.flip (coroot l)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
hf : Differentiable ℝ f
hs : ∀ (x : E), f x ≠ 0
⊢ Differentiable ℝ fun y => √(f y)
X Y Z : UniformSpaceCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.forget UniformSpaceCat).map (f ≫ g) =
  (CategoryTheory.forget UniformSpaceCat).map g ∘ (CategoryTheory.forget UniformSpaceCat).map f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
h'f : 0 ≤ f
⊢ ∫ (x : α), truncation f A x ∂μ = ∫ (y : ℝ) in 0 ..A, y ∂Measure.map f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
u : R
freq_le : ∃ᶠ (x : R) in F, x ≤ u
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, f u < x
⊢ ∀ᶠ (x : R) in F, u < x
β : Type u_2
α : Sort u_6
Subsingleton α
f : α → β
⊢ (Set.range f).Subsingleton
K : Type u_1
RCLike K
⊢ RCLike.I = 0 ∨ RCLike.im RCLike.I = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ IsClosed (Set.range ↑I)
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_4
MeasurableSpace E
AddGroup E
MeasurableSingletonClass E
MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet {x | f x = g x} μ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ ⟪p1 -ᵥ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p2), ↑(s.orthogonalProjectionSpan p2) -ᵥ p2⟫_ℝ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
h : Function.Surjective f
⊢ f '' (f ⁻¹' s) = s
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ⊤), ↑x < a.1 * a.2
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : Module.End R M
h : IsUnit f
x : M
⊢ f (h.unit.inv x) = x
x y : ZFSet
⊢ ↑(x \ y) = ↑x \ ↑y
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : Function.RightInverse i' ⇑i
r : R'
m : M
⊢ j (i' r • m) = r • j m
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
x₀ x : E
hx₀ : x₀ ∈ s
hx : x ∈ s
hfg : Cauchy (Filter.map (fun n => f n x₀) l)
⊢ Cauchy (Filter.map (fun n => f n x) l)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.t i i
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0
a_mble : Measurable a
a_summable : Summable a
c : ℝ≥0
tsum_le_c : ∑' (i : α), a i ≤ c
ε : ℝ≥0
ε_ne_zero : ε ≠ 0
⊢ count {i | ε ≤ a i} ≤ ↑c / ↑ε
α β : Sort u
a : α
b : β
h₁ : α = β
h₂ : Eq.rec a h₁ = b
⊢ HEq a b
y : ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Real.log (x + y) - Real.log x) Filter.atTop (𝓝 0)
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ LinearMap.range p.subtype = p
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
n : Basis ι R ↥N
H : Function.Injective ⇑(M.mulRightMap ⇑n)
⊢ M.LinearDisjoint N
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
p : P
hp : p ∈ s
⊢ v +ᵥ p ∈ s ↔ v ∈ s.direction
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
rs : List R
⊢ ⊤ = Ideal.ofList (r :: rs) • ⊤ ↔ ⊤ = Ideal.ofList rs • ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : NonAssocSemiring S
inst✝¹ : FunLike F ℕ R
inst✝ : RingHomClass F ℕ R
f g : F
⊢ f 1 = g 1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ κ = η ↔ ∀ (a : α) (f : β → ℝ≥0∞), Measurable f → ∫⁻ (b : β), f b ∂κ a = ∫⁻ (b : β), f b ∂η a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α
⊢ U ∈ ⨅ i, s i ↔ ∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ι), V i ∈ s i) ∧ (∀ i ∉ I, V i = univ) ∧ U = ⋂ i ∈ I, V i ∧ U = ⋂ i, V i
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
Semiring 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
(i : ι) → Module 𝕜 (α i)
(i : ι) → Module 𝕜 (β i)
e : (i : ι) → α i ≃ₗᵢ[𝕜] β i
⊢ (LinearIsometryEquiv.piLpCongrRight p e).symm = LinearIsometryEquiv.piLpCongrRight p fun i => (e i).symm
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ (↑(extChartAt I p.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) (↑(extChartAt (I.prod J) p) p) = (↑(extChartAt (I.prod J) p) p).1
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
hμ : MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : Set Ω
⊢ ⟨μ, hμ⟩ s = (μ s).toNNReal
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : OrderBot L
inst✝ : ContinuousSup L
hs : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
⊢ Tendsto (fun a => s.sup fun x => f x a) l (𝓝 (s.sup g))
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I : Ideal R
J : Ideal S
⊢ Ideal.map (RingHom.snd R S) (I.prod J) = J
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
⊢ 1 ≤ shortestPrefixDiff x s
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
m : ∀ {α : Type ?u.194755} {β : Type ?u.194754} {m : MeasurableSpace α} {mβ : MeasurableSpace β} {x : α}, Measurable (Prod.mk x)
⊢ ∀ (f : α × β → ℝ≥0∞), Measurable f → ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
this : TopologicalAddGroup H
⊢ ContinuousSMul 𝕜 H
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
x : 𝕜
hx : 0 < x
p : 𝕜 → Prop
h : ∀ᶠ (ε : 𝕜) in 𝓝[>] 0, p ε
⊢ ∀ᶠ (ε : 𝕜) in comap (fun x_1 => x * x_1) (𝓝[>] 0), p (x * ε)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : (map φ P).a ≠ 0
⊢ Splits φ P.toPoly ↔ card (map φ P).roots = 3
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
u : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
⊢ WithSeminorms p ↔ u = ⨅ i, PseudoMetricSpace.toUniformSpace
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f g : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f + ⇑g) x‖ ≤ ‖x‖ ^ k * (‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ + ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑g) x‖)
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
L : F →SL[τ] G
this : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G
⊢ Continuous { toFun := fun f => L.comp f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.addXYZ P (W'.neg P) = -W'.dblZ P • ![1, 1, 0]
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
ι : Type u_1
f : ι → R
⊢ zeroLocus (⋃ i, {f i}) = Set.univᶜ ↔ zeroLocus ↑(Ideal.span (Set.range f)) = ∅
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a b : α
⊢ mabs a ≤ b ↔ a ≤ b ∧ a⁻¹ ≤ b
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
x : P
⊢ x ∈ intrinsicClosure 𝕜 s ↔ x ∈ closure s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CountablyGenerated α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y
n : ℕ
⊢ x ∈ natGeneratingSequence α n ↔ y ∈ natGeneratingSequence α n
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
s : List (Finset α)
⊢ ↑s.sum = (List.map Finset.toSet s).sum
S : Type u_2
CommRing S
R : Type u_3
CommRing R
Algebra R S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr (B.gen ^ n)) i)
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
hb : 0 < b
⊢ Tendsto (fun x => (b * rexp x + c) / x ^ 0) atTop atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
inst✝ : f.NeBot
a : α
⊢ a ⊔ limsup u f = limsup (fun x => a ⊔ u x) f
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
hf : Integrable f volume
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, ∀ᵐ (a : V), ‖cexp (-↑n⁻¹ * ↑‖a‖ ^ 2) • f a‖ ≤ ‖f a‖
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F.unop
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfCoconeUnop c).π = CategoryTheory.NatTrans.removeUnop c.ι
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
c : R
⊢ (diagonal fun x => c).det * A.det = c ^ Fintype.card n * A.det
R : Type u_1
CommRing R
x : R
B : Type u_2
CommRing B
Algebra R B
IsLocalization.Away x B
d : ℕ
⊢ selfZPow x B (-↑d) = IsLocalization.mk' B 1 (Submonoid.pow x d)
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : T ^ n • z ∈ 𝒟ᵒ
h₁ : |z.re| < 1 / 2
h₂ : |(T ^ n • z).re| < 1 / 2
⊢ |↑n| < 1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
s : Set E
x : E
h : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
n : ℕ∞
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : d ≤ c
h₁ : a ≤ c
h₂ : d ≤ b
⊢ Ioc a b ∪ Ioc c d = Ioc (min a c) (max b d)
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
v₁ v₂ : G
p : P
⊢ v₁ +ᵥ p -ᵥ (v₂ +ᵥ p) = v₁ - v₂
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
CommMonoid β
p : α → Prop
DecidablePred p
hp : ∀ x ∈ s, f x ≠ 1 → p x
⊢ ∏ x ∈ Finset.filter p s, f x = ∏ x ∈ s, f x
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (HurwitzZeta.completedSinZeta (↑a) s)
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
LT α
a b : WithTop α
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ ⊤
⊢ a * b < ⊤
G : Type u_1
Group G
t t' : TopologicalSpace G
tg : TopologicalGroup G
tg' : TopologicalGroup G
⊢ t = t' ↔ 𝓝 1 = 𝓝 1
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian (p.map φ) φ
inst✝ : IsIso (p.map φ)
φ' : b ⟶ a := map p (p.map φ) φ ⋯ (𝟙 b)
inv_hom : φ' ≫ φ = 𝟙 b
⊢ φ ≫ φ' = 𝟙 a ∧ φ' ≫ φ = 𝟙 b
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
t : Set β
ht : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
φ : α ≃o β
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (⇑φ ⁻¹' t)
d : ℤ
x : ℤ√d
h : x.norm.natAbs = 1
hx : 0 ≤ x.norm
⊢ 1 = x * star x
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
N' : Type u_8
AddCommMonoid N'
Module R N'
B : LinearMap.BilinMap R M N
f : N' →ₗ[R] M
⊢ LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap (LinearMap.compl₁₂ B f f) = B.toQuadraticMap.comp f
R : Type u
Semiring R
n : WithBot ℕ
f : R[X]
⊢ f ∈ Polynomial.degreeLE R n ↔ f.degree ≤ n
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
d : σ →₀ ℕ
⊢ d.degree = (weight 1) d
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ u_1)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module R Q] [inst_3 : IsScalarTower R R Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑e = g
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ m : OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)
h0 : ∑' (k : ℕ), m (s (k + 1) \ s k) ≠ ⊤
n : ℕ
h' : Monotone s
⊢ (⋃ n, s n) \ s n ⊆ ⋃ i, s (i + n + 1) \ s (i + n)
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ
⊢ ((fun x => Real.exp (f x)) =Θ[l] fun x => 1) ↔ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |f x|
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
h : a ≠ 0
⊢ 1 / a ≠ 0
ι : Type u_2
Encodable ι
F : ι → Type u_3
(i : ι) → MetricSpace (F i)
x y : (i : ι) → F i
i : ι
⊢ min ((1 / 2) ^ Encodable.encode i) (dist (x i) (y i)) ≤ dist x y
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.addFundamentalFrontier G s ⊆ s
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x✝ : K
ha : a ≠ 0
s : K
h : discrim a b c = s * s
x : K
⊢ s = 2 * a * x + b ∨ s = -(2 * a * x + b) ↔ x = (-b + s) / (2 * a) ∨ x = (-b - s) / (2 * a)
r : ℝ≥0
s : Set ℝ≥0
⊢ ↑r ∈ upperBounds (ENNReal.ofNNReal '' s) ↔ r ∈ upperBounds s
α : Type u_1
Zero α
One α
Neg α
⊢ ↑0 = 0
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ
⊢ ∀ p_1 ∈ replicate n p, Prime p_1
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
f : G →+ G'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Nat.card G' ∣ Nat.card G
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
⊢ e.symm.trans e = ContinuousAffineEquiv.refl k P₂
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : R
m : M
s t : ↥S
⊢ ↑s • IsLocalization.mk' A x s • f m = x • f m
ctx : Nat.Linear.Context
p : Nat.Linear.Poly
⊢ Nat.Linear.Expr.denote ctx p.toExpr = Nat.Linear.Poly.denote ctx p
xl xr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
y : SetTheory.PGame
⊢ SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR ≤ y → ∀ (i : xl), (xL i).LF y
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d
⊢ ¬b • d ≤ b • c
n : ℕ
x a₁ b₁ : ℝ
m : ℕ
e₁ : n + 1 = m
a₂ b₂ : ℝ
e : |1 + x / ↑m * a₂ - a₁| ≤ b₁ - |x| / ↑m * b₂
h : |Real.exp x - Real.expNear m x a₂| ≤ |x| ^ m / ↑m.factorial * b₂
⊢ |Real.exp x - Real.expNear n x a₁| ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial * b₁
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ ⊤.toNonUnitalSubsemiring = ⊤
r : ℝ
hp : 0 < r
⊢ r⁻¹.sign = r.sign
D : GlueData
i : D.J
U : Opens ↑(D.U i)
j : D.J
⊢ IsOpen (⇑(D.f j i) '' (⇑(D.t j i ≫ D.f i j) ⁻¹' ↑U))
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NonAssocRing R✝
inst✝⁴ : Pow R✝ ℕ
inst✝³ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
k : ℕ
⊢ (X * (descPochhammer ℤ k).comp (X - 1)).smeval (r + 1) = (k + 1) • (descPochhammer ℤ k).smeval r + ((X - ↑k) * descPochhammer ℤ k).smeval r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : Group β
u₁ u₂ : UniformSpace β
h₁ : UniformGroup β
h₂ : UniformGroup β
⊢ UniformGroup β
n d : ℕ
⊢ (Behrend.box n d).card = d ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : ℕ → Set α
m : ℕ → TopologicalSpace α
mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t
m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α
h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
t' : TopologicalSpace α
t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n
t'_polish : PolishSpace α
A : IsOpen (⋃ n, s n)
⊢ IsClopenable (⋃ n, s n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →L[𝕜] E
hf : ‖f‖ ≤ 1
x : E
⊢ Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 ↑((orthogonalProjection (LinearMap.eqLocus f 1)) x))