ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
inst✝ : CompleteSpace α
u : ℕ → ℝ≥0∞
upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
hu : Tendsto u atTop (nhds 0)
upos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
P : Type u_1 := { E // Perfect E ∧ E.Nonempty }
C0 C1 : {C : Set α} → Perfect C → C.Nonempty → {ε : ℝ≥0∞} → 0 < ε → Set α
h0 : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Perfect (C0 hC hnonempty hε) ∧ (C0 hC hnonempty hε).Nonempty ∧ C0 hC hnonempty hε ⊆ C ∧ EMetric.diam (C0 hC hnonempty hε) ≤ ε
h1 : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Perfect (C1 hC hnonempty hε) ∧ (C1 hC hnonempty hε).Nonempty ∧ C1 hC hnonempty hε ⊆ C ∧ EMetric.diam (C1 hC hnonempty hε) ≤ ε
hdisj : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Disjoint (C0 hC hnonempty hε) (C1 hC hnonempty hε)
DP : List Bool → P := fun l => List.rec ⟨C, ⋯⟩ (fun a l ih => Bool.casesOn (motive := fun t => a = t → P) a (fun h => ⟨C0 ⋯ ⋯ ⋯, ⋯⟩) (fun h => ⟨C1 ⋯ ⋯ ⋯, ⋯⟩) ⋯) l
D : List Bool → Set α := fun l => ↑(DP l)
hanti : ClosureAntitone D
hdiam : VanishingDiam D
hdisj' : CantorScheme.Disjoint D
hdom : ∀ {x : ℕ → Bool}, x ∈ (inducedMap D).fst
⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Injective f
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝ : MeasurableSMul G α
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν
vol_s : ν s = 0
⊢ 0 = Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover X
F : CategoryTheory.Functor C D
i : E.I₀
⊢ (E.map F).X i = F.obj (E.X i)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
⊢ (α ≪≫ refl Y).hom = α.hom
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ Continuous ⇑OrderDual.toDual
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → G
⊢ ↑‖∫ (a : α), f a ∂μ‖₊ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
X A : C
inst✝¹ : Nonempty ↑(F.obj X)
inst✝ : IsConnected A
f : X ⟶ A
this : Epi f
⊢ Function.Surjective (F.map f)
R : Type u_1
Semiring R
s : Set R
⊢ Algebra.adjoin ℕ s = subalgebraOfSubsemiring (Subsemiring.closure s)
α : Type u_1
s : Set α
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
h : IsOpen s
⊢ MeasurableSet s
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
n : ℕ
⊢ s.tail.drop n = s.drop (n + 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E → E ≃L[𝕜] F
hf : ∀ (x : E), HasStrictFDerivAt f (↑(f' x)) x
⊢ IsOpenMap f
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
open_map : IsOpenMap f
cont : Continuous f
surj : Function.Surjective f
⊢ QuotientMap f
L : List ℕ
h : ∀ i ∈ L, 1 ≤ i
⊢ L.length ≤ L.sum
𝕜 : Type u_1
NNNorm 𝕜
E : Type u_2
SMul 𝕜 E
x : E
⊢ egauge 𝕜 ∅ x = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
i : ℕ
⊢ ↑(-f) i = -↑f i
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
Semiring C
Algebra R C
Star C
f : A →⋆ₐ[R] B
g : A →⋆ₐ[R] C
⊢ (StarAlgHom.snd R B C).comp (f.prod g) = g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
y : E
h : y ∈ (extChartAt I x).target
⊢ writtenInExtChartAt I 𝓘(𝕜, E) x (↑(extChartAt I x)) y = y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ₑ D
α : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.ExactFunctor.forget C D).map α = α
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
⊢ (Polynomial.map f p).natDegree = p.natDegree
R : Type u
Semiring R
self : IsPrincipalIdealRing R
S : Ideal R
⊢ Submodule.IsPrincipal S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
hP : ∀ (f g : CategoryTheory.Arrow C), (f ≅ g) → P f.hom → P g.hom
⊢ P.RespectsIso
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
n : Nat
h : n < l₁.length
⊢ (l₁ ++ l₂).get ⟨n, ⋯⟩ = l₁.get ⟨n, h⟩
x : ℤ
⊢ IsUnit x ↔ |x| = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
c c' c₁✝ c₂✝ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
inst✝ : l.NeBot
c₁ : E''
c₂ : F''
⊢ ((fun x => c₁) =Θ[l] fun x => c₂) ↔ (c₁ = 0 ↔ c₂ = 0)
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : Set.InvOn g₁ f₁ s₁ t₁
h₂ : Set.InvOn g₂ f₂ s₂ t₂
⊢ Set.InvOn (fun x => (g₁ x.1, g₂ x.2)) (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) (s₁ ×ˢ s₂) (t₁ ×ˢ t₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n
B : HasSum (fun x => r ^ x) (1 - r)⁻¹
hr' : r ≠ 1
⊢ ∑' (b : ℕ), ↑b * r ^ b = r / (1 - r) ^ 2
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s✝ t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
ι : Sort u_3
s : ι → Set X
⊢ 𝓝ˢ (⋃ i, s i) = ⨆ i, 𝓝ˢ (s i)
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : r.gcd s = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : (r * s).gcd m = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = r * s * m
hrsz : r * s ≠ 0
h2b0 : b' ≠ 0
i : ℤ
hi' : ¬m = -i ^ 2
hi : m = i ^ 2
d : ℤ
hd : r * s = d ^ 2 ∨ r * s = -d ^ 2
⊢ False
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
h : Sieve.pullback f S ∈ J.sieves Y
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ Sieve.pullback (g ≫ f) S ∈ J.sieves Z
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ : List α
f : α → β
a : β
l : List β
ihl : l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f} → l ∈ range (map f)
hl : a :: l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f}
⊢ a :: l ∈ range (map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
n : ℕ
⊢ MeasurableSet (⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯) '' natGeneratingSequence α n)
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ IsPreirreducible Set.univ
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A✝ : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A✝
N : Type u_5
inst✝ : Group N
A A' B : Subgroup G
hA : A ≤ B
hA' : A' ≤ B
⊢ map B.subtype ((A ⊔ A').subgroupOf B) = map B.subtype (A.subgroupOf B ⊔ A'.subgroupOf B)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι
⊢ IsOpen s ↔ ∀ f ∈ s, ∃ u, (∀ (a : ι), IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ univ.pi u ⊆ s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R₁ : Type u_4
M₁ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_6
K : Type u_7
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
r : S
x y : M
⊢ (B x) (r • y) = r • (B x) y
a b c : EReal
h : b > 0
h' : b ≠ ⊤
⊢ b * (a / b) ≤ c / b ↔ a * b ≤ c
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝³ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
h✝ : Nonempty ι
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g i) a = 0 → a = 0
⊢ ∀ (a : DirectLimit G f), (lift R ι G f g Hg) a = 0 → a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a✝ a : α
h : a ∈ s
⊢ (dirac a) s = 1
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Sort u_4
S : ι → Submodule R M
⊢ -⨅ i, S i = ⨅ i, -S i
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
s : Set A
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
R : Type u_1
K : Type u_2
Semiring R
CommSemiring K
b : R
bi : K
i : R →+* K
f : R[X]
a : R
bu : bi * i b = 1
⊢ DenomsClearable a b f.natDegree f i
z : Complex.UnitDisc
⊢ Complex.normSq ↑z < 1
x : ℝ
⊢ Real.sin x = -1 ↔ ∃ k, -(Real.pi / 2) + ↑k * (2 * Real.pi) = x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3 = EuclideanGeometry.angle p1 p3 p2
hpi : EuclideanGeometry.angle p2 p1 p3 ≠ π
⊢ dist p1 p2 = dist p1 p3
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.FinitaryExtensive C
X Y : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.IsColimit c → CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
lawful : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι ι' : Type u
R : ι' → ι' → Prop
x : F (α ::: ι)
f g : ι → ι'
hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)
⊢ MvFunctor.LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: f) <$$> x) ((TypeVec.id ::: g) <$$> x)
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
r : R
hr : r ≠ 0
⊢ v.intValuationDef r =
  ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {r})).factors)))
α : Type u_1
Semiring α
m n : Num
⊢ ↑(m * n) = ↑m * ↑n
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some ⁻¹' Ioc ⊥ ↑a = Iic a
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝¹ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝¹ g✝¹ : α✝ → β
inst✝² : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid α
s✝ : Finset ι
t✝ : Finset κ
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
inst✝ : DecidableEq κ
s : Finset ι
t : Finset κ
g : ι → κ
f : ι → α
⊢ ∏ j ∈ t, ∏ i ∈ filter (fun i => g i = j) s, f i = ∏ i ∈ filter (fun i => g i ∈ t) s, f i
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
⊢ S.normedMk.IsQuotient
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
i : α
⊢ P i + 1 - N i = P i - N i + 1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R[X]
i : R →+* ↥((Quotient.mk I).comp C).range := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I
y : R
hx' : ((Quotient.mk I).comp C) y ∈ ((Quotient.mk I).comp C).range
hx : C ⟨((Quotient.mk I).comp C) y, hx'⟩ ∈ map (mapRingHom ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict) I
⊢ C (i y) ∈ map (mapRingHom i) I
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
i : F ≅ G
F.Representable
⊢ G.Representable
a b : ℝ
⊢ (a * b).cauchy = a.cauchy * b.cauchy
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range n, (∑ i ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1 - x).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = 0
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.degree ≤ ↑p.natDegree
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit b
⊢ a / b = c ↔ a = c * b
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
e : G ≃+c[a, b] H
⊢ ⇑e.toEquiv = ⇑e
x y : ℂ
⊢ (cexp x + cexp (-x)) * (cexp y + cexp (-y)) + (cexp x - cexp (-x)) * (cexp y - cexp (-y)) = 2 * (cexp x * cexp y + cexp (-x) * cexp (-y))
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Continuous Sum.isLeft
θ : ℝ
⊢ (↑θ).toReal = θ ↔ -π < θ ∧ θ ≤ π
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
b✝ : ι → M
S : Type u_4
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
i : ι
hi : smithCoeffs b I hI i = 0
⊢ (fun a => ↑a) ((selfBasis b I hI) i) = (fun a => ↑a) 0
α : Type u
s : Set α
⊢ Nontrivial ↑s ↔ s.Nontrivial
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
x : α
h : ∀ (i : ℕ), c i ≤ x ∨ x ≤ c i
⊢ OmegaCompletePartialOrder.ωSup c ≤ x ∨ x ≤ OmegaCompletePartialOrder.ωSup c
x : ℂ
⊢ Complex.sin (x + ↑Real.pi / 2) = Complex.cos x
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ b ⊓ c < a ↔ b < a ∨ c < a
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s : ↥S
t : R
hst : t * ↑s ∈ S
⊢ r /ₒ s = t • r /ₒ ⟨t * ↑s, hst⟩
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ ↑⊥ = Set.range ⇑(algebraMap F E)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
m : ℕ
hmn : ↑m ≤ n
x : E
⊢ p x m = iteratedFDerivWithin 𝕜 m f univ x
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Semiring M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
f g : ⨁ (x : ι), M
⊢ (f + g).toAddMonoidAlgebra = f.toAddMonoidAlgebra + g.toAddMonoidAlgebra
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
⊢ ‖inclusionInDoubleDual 𝕜 E‖ ≤ 1
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
⊢ ∃ b ∈ ↑I, ↑(nndist f b) < ↑ε
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
f : σ → R
⊢ (MvPolynomial.eval f) (p + q) = (MvPolynomial.eval f) p + (MvPolynomial.eval f) q
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
⊢ S.toNonUnitalStarSubalgebra.toStarSubalgebra ⋯ = S
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℕ
n : ℕ
hf : ∀ i ∈ s, n ∣ f i
⊢ (∑ i ∈ s, f i) / n = ∑ i ∈ s, f i / n
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
X Y : Submodule R M
x✝ : X ⋖ X ⊔ Y
⊢ (↥(X, Y ⊔ X).2 ⧸ Submodule.comap (X, Y ⊔ X).2.subtype (X, Y ⊔ X).1) ≃ₗ[R] ↥(Y ⊓ X, Y).2 ⧸ Submodule.comap (Y ⊓ X, Y).2.subtype (Y ⊓ X, Y).1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
S : Submonoid R
⊢ Subsingleton (LocalizedModule S M) ↔ ∀ (m : M), ∃ r ∈ S, r • m = 0
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
h : Normal F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
s : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)) F K := Basis.ofVectorSpace F K
⊢ ∀ (y : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)), s y ∈ ↑(Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin F ((∏ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K), minpoly F (s x)).rootSet K)))
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⇑1 = id
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ (fourier n) ↑x = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : Type u_2
LinearOrder n
IsWellOrder n fun x x_1 => x < x_1
LocallyFiniteOrderBot n
S : Matrix n n 𝕜
Fintype n
hS : S.PosDef
i j : n
hij : i < j
⊢ LDL.lowerInv hS i j = 0
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
c : ChartedSpaceCore H M
e : PartialEquiv M H
he : e ∈ c.atlas
⊢ IsOpen e.target
r : ℝ
n : ℕ
⊢ ↑(r ^ n) = ↑r ^ n
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
R : ℝ
hs : s ⊆ closedBall 0 R
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
h's : s.Nonempty
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t (δ A) → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + ε) * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
Af' : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
⊢ μ (f '' s) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M
inst✝⁴ : Finite M
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : GCDMonoid R
inst✝ : Unique Rˣ
a b c : R
n : ℕ
cp : IsCoprime a b
h : a * b = c ^ n
⊢ ∃ d, a = d ^ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => x) s
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Ring 𝕜
Ring 𝕜₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E → F
h_add : ∀ (x y : E), f (x + y) = f x + f y
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (x : E), f (c • x) = σ c • f x
C : ℝ
h_bound : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ Continuous f
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
F : Type u_5
FunLike F α β
RelHomClass F r s
f : F
IsAsymm β s
⊢ IsAsymm α r
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Group M
a b : M
ha : a ∈ S.centralizer
hb : b ∈ S.centralizer
⊢ a / b ∈ S.centralizer
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ
⊢ ↑(range n) ⊆ (fun n => X ^ n) ⁻¹' ↑(degreeLT R n)
x : ℝ
⊢ ‖↑x‖ = |x - ↑(round x)|
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f
c : KernelFork f
i : IsLimit c
⊢ (Fork.ι c ≫ let c' := KernelFork.ofι (Fork.ι c) ⋯; let i' := isKernelCompMono i (section_ f) ⋯; let i'' := isLimitForkOfKernelFork i'; (splitMonoOfIdempotentOfIsLimitFork C ⋯ i'').retraction) = 𝟙 c.pt
α : Type u_1
Primcodable α
Inhabited α
⊢ Primrec Option.iget
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
a b c : α
⊢ (if P then a else b) = c ↔ (P → a = c) ∧ (¬P → b = c)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
R : ℝ≥0
c : ℂ
f : ℂ → E
hf : DiffContOnCl ℂ f (Metric.ball c ↑R)
hR : 0 < R
⊢ HasFPowerSeriesOnBall f (cauchyPowerSeries f c ↑R) c ↑R
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered C
inst✝¹ : HasCoproducts C
inst✝ : HasImages C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
k : ∀ g ∈ s, g ≤ f
⊢ ?f ≫ f.arrow = (sSup s).arrow
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x - g x) μ a b
X : Type u_3
R : Type u_4
Zero X
TopologicalSpace X
CommRing R
TopologicalSpace R
TopologicalRing R
f : ContinuousMapZero X R
⊢ ⇑(-f) = -⇑f
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ ¬basisDivisor (v i) (v j) = 0
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type u₂)
A : C
i : I
⊢ (coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).hom.app A ≫ (limit.π (F.rightOp ⋙ coyoneda) i).app A = (coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op).app A
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I✝ : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
this : sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ comap (algebraMap R S) P'
I : Ideal R
hI : I ∈ {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
⊢ comap (algebraMap R S) (map (algebraMap R S) I) = I
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ ⌊a⌋₊ < 1 ↔ a < 1
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
h✝ : Nonempty α
⊢ BddAbove (range fun x => dist (f x) (g x))
n : ℕ
⊢ antidiagonal n = image (fun i => (i, n - i)) (range (n + 1))
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
I J J' : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ' : J' ≠ 0
⊢ I ≤ J / J' ↔ ∀ x ∈ I, ∀ y ∈ J', x * y ∈ J
a b c p q✝ q : ℚ
hq : 0 ≤ q
⊢ |q| = ↑q.num.natAbs /. ↑q.den
R : Type u
AddGroup R
x : R
n : ℤ
⊢ Tropical.trop (n • x) = Tropical.trop x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
s : List α
a : α
t : List α
⊢ s = a :: t ∨ s <:+ t ↔ s <:+ a :: t
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
t : Set β
h : Set.MapsTo f s t
⊢ LipschitzOnWith K f s ↔ LipschitzWith K (Set.MapsTo.restrict f s t h)
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
H : ∀ {a : α} {m n : ℕ}, m ≤ n → a ∈ f m → a ∈ f n
a : α
x✝ : ∃ n, a ∈ f n
n : ℕ
h : a ∈ f n
⊢ a ∈ rfindOpt f
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x✝¹ : E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
x₀ x✝ : E
hx₀ : x₀ ∈ s
hx : x✝ ∈ s
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)
this : l.NeBot
t : Set E := {y | y ∈ s ∧ Cauchy (map (fun n => f n y) l)}
A : ∀ (x : E) (ε : ℝ), x ∈ t → Metric.ball x ε ⊆ s → Metric.ball x ε ⊆ t
open_t : IsOpen t
st_nonempty : (s ∩ t).Nonempty
x : E
xt : x ∈ closure t
xs : x ∈ s
⊢ x ∈ t
a : ℤ
m n : ℕ
h : a.gcd (↑m * ↑n) = 1
⊢ a.gcd ↑n = 1
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L (a + b + c), L (a * a + a * b + a * c + (b * a + b * b + b * c) + (c * a + c * b + c * c))⁆ = ⁅L a + L b + L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆