ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable (↑f) μ
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ x ∈ f.range, x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq : (T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) = (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a))
h_left_eq' : (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a)) = (T (⋃ y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
⊢ (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a)) = ∑ x ∈ filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (f ^ n).natSepDegree = f.natSepDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α
⊢ a < x ∧ x ≤ b ∨ c < x ↔ a < x ∨ c < x
α : Sort u
β : Sort v
f : α → β
⊢ Function.Surjective (PLift.map f) ↔ Function.Surjective f
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
DecidableEq α
s : Multiset α
t : α → Multiset β
⊢ (s.bind t).toFinset = s.toFinset.biUnion fun a => (t a).toFinset
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
⊢ eLpNorm f p (c • μ) < ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover X
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ (x x_1 : E.I₀) (j : E.I₁ x x_1), (E.map F).p₁ j = F.map (E.p₁ j)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
⊢ map Prod.fst m.toEnumFinset.val = m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A B : Comon_ C
⊢ (A ⊗ B).counit = (A.counit ⊗ B.counit) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom
A : Type u_1
A' : Type u_2
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} B'
eA : A ≌ A'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₁ hF).counitIso =
  AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₁CounitIso hF
R : Type u_9
M : Type u_10
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
CharZero R
⊢ NoZeroSMulDivisors ℤ M
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α
h : a ∈ s
⊢ (a ::ₘ s).erase a = a ::ₘ s.erase a
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K
i : m
⊢ Submodule.map (toLin' (diagonal w)) (LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun a => K) i)) = ⨆ (_ : w i ≠ 0), LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)
m n : PosNum
⊢ (m.cmp n).swap = Ordering.lt ↔ m.cmp n = Ordering.gt
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t✝ u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s t : Set H
x : H
f : H → H'
hu : s =ᶠ[𝓝 x] t
⊢ P f s x ↔ P f t x
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
VAdd M β
m : MeasurableSpace α
f : α → M
MeasurableVAdd M β
hf : Measurable f
y : β
⊢ Measurable fun x => f x +ᵥ y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
H : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
k : K
W : C
f g : (CategoryTheory.Limits.colimit H).obj k ⟶ W
w : ∀ (j : J), (CategoryTheory.Limits.colimit.ι H j).app k ≫ f = (CategoryTheory.Limits.colimit.ι H j).app k ≫ g
⊢ f = g
α : Type u
n : ℕ
⊢ map Fin.val (finRange n.succ) = map Fin.val (0 :: map Fin.succ (finRange n))
S : Type u_3
AddCommMagma S
a b : S
⊢ AddCommute a b
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : BoundedMul R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
⊢ ∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f * g) x) ((f * g) y) ≤ C
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.NoAtoms μ
hab : a ≤ b
⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioo a b) μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
k : ℕ
hr : 0 < p.radius
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun x => p.changeOrigin x k) (p.changeOriginSeries k) 0 p.radius
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
F : Type u_6
MonoidWithZero M₀
GroupWithZero G₀
Nontrivial M₀
FunLike F G₀ M₀
MonoidWithZeroHomClass F G₀ M₀
f : F
a : G₀
⊢ f a ≠ 0 ↔ a ≠ 0
R : Type u_1
Rack R
x y : R
⊢ (x ◃⁻¹ x) ◃ y = x ◃ y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
E' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E
h₁ : ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
h₂ : ‖⟪v, f x⟫_𝕜‖ ≤ ‖v‖ * ‖f x‖
⊢ ‖((toSesqForm f) v) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Mul M
Mul N
Mul P
e₁ : M ≃* N
e₂ : N ≃* P
p : P
⊢ (e₁.trans e₂).symm p = e₁.symm (e₂.symm p)
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
M₀ : Type u_6
M₀' : ?m.1161840
inst✝⁵ : AddCommGroup M₀
inst✝⁴ : Module R M₀
M₁ : Type u_7
M₁' : ?m.1162365
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
M₂ : Type u_8
M₂' : ?m.1162890
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
ex : Exact ⇑g ⇑h
y : LocalizedModule S M₁
x✝ : y ∈ Set.range ⇑((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g)
x : LocalizedModule S M₀
⊢ ((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) x = y → ((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₁) (mkLinearMap S M₂)) h) y = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ (M.tensorBimod N).whiskerLeft f =
  (M.associatorBimod N P).hom ≫ M.whiskerLeft (N.whiskerLeft f) ≫ (M.associatorBimod N P').inv
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
Z : C
π : Y ⟶ Z
q : CategoryTheory.IsSplitCoequalizer f g π
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (q.map F).leftSection = F.map q.leftSection
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
L' : Type u_5
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : IsKilling R L
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x' : L'
⊢ (∀ y ∈ ⊤, ((LieModule.traceForm R L' L') x') y = 0) ↔ x' ∈ ⊥
R : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
hB₁ : QuadraticMap.associated' Q ≠ 0
⊢ ∃ x, Q x ≠ 0
m n a b : ℤ
d : m ∣ n
h : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ a ≡ b [ZMOD m]
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
h : ∀ x ∈ [[a, b]], f x ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable (fun x => (f x)⁻¹) μ a b
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
⊢ Nonempty Ω
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
⊢ μ.withDensity f ≤ μ.withDensity g
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
t : ℝ
⊢ γ.extend (min t t) = γ.extend t
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q✝ : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
hb : 0 ≤ b
q : ℚ
hq : 0 < q
hbq : b < ↑(q ^ 2)
hqa : ↑q ^ 2 < inducedMap α β a * inducedMap α β a
⊢ ↑(q ^ 2) < a * a
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
⊢ J(↑a | b) = (-1) ^ (a / 2 * (b / 2)) * J(↑b | a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
⊢ (∃ a ∈ t, a ∉ s ∧ ∀ b ∈ s, b ∉ t → b < a) ↔ ∃ w ∈ t, w ∉ s ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ s ×ˢ (t ∪ t') ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t ∪ s ×ˢ t'
α : Type u_1
I : Type u_2
CommMonoid α
DecompositionMonoid α
x : α
s : I → α
t : Finset I
⊢ IsRelPrime (∏ i ∈ t, s i) x ↔ ∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) x
α : Type u_1
Lattice α
IsWeakLowerModularLattice α
a b : α
⊢ a ⋖ a ⊔ b → b ⋖ a ⊔ b → a ⊓ b ⋖ a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hc : IsColimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ Y := hc.coconePointUniqueUpToIso (ofId f hf)
eq : Cofork.π c ≫ e.hom = 𝟙 Y
this : IsIso (Cofork.π c ≫ e.hom)
⊢ IsIso (Cofork.π c)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
Nonempty α
h_Union : ⋃ i, s i = Set.univ
⊢ Nonempty ι
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace α
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
G₀ : Type u_6
GroupWithZero G₀
MeasurableSpace G₀
MulAction G₀ β
MeasurableSMul G₀ β
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ AEMeasurable (fun x => c • f x) μ ↔ AEMeasurable f μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
CompactSpace X
T2Space Y
f : X → Y
h : Continuous f
⊢ IsClosedMap f
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
⊢ (W.preΨ' n).natDegree ≤ (n ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
⊢ (image₂ f s t).card = s.card * t.card ↔ InjOn (fun x => f x.1 x.2) (↑s ×ˢ ↑t)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s U : Set X
⊢ Continuous (s.restrict U.boolIndicator) ↔ Continuous (Subtype.val ⁻¹' U).boolIndicator
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
Module R M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
f : MultilinearMap R M₁ M₂
p : Submodule R M₃
h : ∀ (c : M₂), g c ∈ p
⊢ (LinearMap.codRestrict p g h).compMultilinearMap f = (g.compMultilinearMap f).codRestrict p ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
s : Set M
n : ℕ∞
c : M'
⊢ ContMDiffOn I I' n (fun x => c) s
α β : Type u
f : α → β
x y : FreeAddSemigroup α
⊢ f <$> (x + y) = f <$> x + f <$> y
σ : Type u_1
Fintype σ
DecidableEq σ
k : ℕ
⊢ Finset.filter
    (fun x =>
      match x with
      | (s, snd) => s.card < k)
    (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k) =
  (Finset.range k).disjiUnion (fun x => Finset.powersetCard x Finset.univ) ⋯ ×ˢ Finset.univ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : SimplicialCategory C
K L : C
⊢ sHomWhiskerLeft K (𝟙 L) = 𝟙 (sHom K L)
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l : Subspace η α ι
x : η → α
i : ι
a : α
e : η
η' : Type u_9
α' : Type u_10
ι' : Type u_11
eη : η ≃ η'
eα : α ≃ α'
eι : ι ≃ ι'
C : (ι' → α') → κ
⊢ (∃ c, ∀ (x : η' → α'), (C fun x_1 => eα (Sum.elim id (⇑eα.symm ∘ x ∘ ⇑eη) (l.idxFun (eι.symm x_1)))) = c) ↔ ∃ c, ∀ (x : η → α), C (⇑eα ∘ ↑l x ∘ ⇑eι.symm) = c
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
R : ℝ
⊢ dist ((R / ‖x‖) ^ 2 • x) ((R / ‖y‖) ^ 2 • y) = R ^ 2 / (‖x‖ * ‖y‖) * dist x y
G : Type u_1
H : Type u_2
AddZeroClass G
AddZeroClass H
f : Multiplicative G ≃* Multiplicative H
a : H
⊢ (AddEquiv.toMultiplicative.symm f).symm a = (AddMonoidHom.toMultiplicative.symm f.symm.toMonoidHom) a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
v : E
⊢ ⇑((innerSL 𝕜) v) = fun w => ⟪v, w⟫_𝕜
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
Fact (1 ≤ p)
μ.IsOpenPosMeasure
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
⊢ Function.Injective ⇑(BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜)
α : Type u
ι : Sort w
Order.Frame α
a : α
f : ι → α
⊢ a ⊓ ⨆ i, f i = ⨆ i, a ⊓ f i
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Semiring S
Module S M
Module R M
SMul S R
IsScalarTower S R M
⊢ Submodule.restrictScalars S ⊥ = ⊥
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
inst✝ : FiniteDimensional L F
x : F
hx : IsIntegral R x
⊢ IsIntegral R ((trace L F) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
e : ↑s ≃ ↑t
⊢ s.encard = t.encard
μ : ℝ
v : ℝ≥0
y : ℝ
hv : ¬v = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.addRight y).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => 1) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', gaussianPDFReal μ v (e x)) = (gaussianReal (μ + y) v) s'
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
P : Sylow p G
N : Subgroup G
h : ↑P ≤ N
⊢ ↑(P.subtype h) = (↑P).subgroupOf N
m : Type u_2
α : Type v
ι : Type u_6
w : m → α
i : m
j : ι
⊢ Matrix.col ι w i j = w i
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₃ ≠ p₂
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ = Real.arctan (dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.support = ∅ ↔ p = 0
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), Monotone (f i hi)
⊢ Monotone (o.nfpBFamily f)
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a ≤ b
h' : c < d
⊢ Set.Icc a d ∈ 𝓝ˢ (Set.Ioc b c)
⊢ ∀ (G : Type u_1) [inst : Group G] [inst_1 : Group.IsNilpotent G], (∀ (H : Subgroup (G ⧸ center G)), H.normalizer = H → H = ⊤) → ∀ (H : Subgroup G), H.normalizer = H → H = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ↑s i < 0
hi₁ : MeasurableSet i
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
A : Set α := i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
hA : A = i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
bdd : ℕ → ℕ := fun n => MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)
hn' : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₁ : ↑s i = ↑s A + ∑' (l : ℕ), ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₂ : ↑s A ≤ ↑s i
h₃' : Summable fun n => 1 / (↑(bdd n) + 1)
h₃ : Tendsto (fun n => ↑(bdd n) + 1) atTop atTop
h₄ : Tendsto (fun n => ↑(bdd n)) atTop atTop
A_meas : MeasurableSet A
E : Set α
hE₁ : MeasurableSet E
hE₂ : E ⊆ A
hE₃ : ↑0 E < ↑s E
k : ℕ
hk₁ : 1 ≤ bdd k
hk₂ : 1 / ↑(bdd k) < ↑s E
hA' : A ⊆ i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) - 1 + 1 = bdd k
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
n : ℕ
_hn : n ∈ f.support
⊢ C (f.coeff n) * X ^ n ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : CommMonoid N
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
h : α → M → N
h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 1
x✝¹ : { x // x ∈ s }
x✝ : x✝¹ ∈ s.attach
⊢ h (↑x✝¹) ((indicator s f) ↑x✝¹) = h (↑x✝¹) (f ↑x✝¹ ⋯)
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
b : α
⊢ b ∈ t → Finset.image (fun x => x \ b) s ⊆ s.diffs t
α : Type u
l l' : List α
⊢ l.cyclicPermutations ~r l'.cyclicPermutations ↔ l ~r l'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ ∀ (X_1 : Cᵒᵖ) (a : (CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op (Opposite.op X))).obj X_1),
  (CategoryTheory.Coyoneda.objOpOp X).hom.app X_1 a = (CategoryTheory.opEquiv (Opposite.op X) X_1) a
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherian R M
Nontrivial R
ι : Type u_4
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ Finite ι
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
One α
⊢ ⊥.toMatrix = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : AddMonoid R
x : R
hx : x ∈ SumSqIn R
⊢ x ∈ closure IsSquare
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
f : Perm α
hf : f.IsThreeCycle
hi : Function.Injective ⇑(alternatingGroup α).subtype
c : Perm α
h : c * f * c⁻¹ ∈ {σ | σ.IsThreeCycle}
⊢ c * f * c⁻¹ ∈ ⇑(alternatingGroup α).subtype '' Group.conjugatesOfSet {⟨f, ⋯⟩}
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
i : n
j : m
_hj : j ∈ Finset.univ
⊢ (M *ᵥ ⇑(v₁.repr (v₁ i))) j • v₂ j = M j i • v₂ j
C✝ : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C✝
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
F : C✝ ⥤ D✝
A : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C✝
K✝ : GrothendieckTopology D✝
L : GrothendieckTopology A
G✝ : C✝ ⥤ D✝
hG : CompatiblePreserving K✝ G✝
ℱ✝ : SheafOfTypes K✝
Z✝ : C✝
T✝ : Presieve Z✝
x✝ : FamilyOfElements (G✝.op ⋙ ℱ✝.val) T✝
h : x✝.Compatible
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D
K : GrothendieckTopology D
G : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
e : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
c : Cone (cospan g₁ g₂ ⋙ G) := (Cones.postcompose (diagramIsoCospan (cospan g₁ g₂ ⋙ G)).inv).obj (PullbackCone.mk f₁ f₂ e)
c' : Cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G) := IsCofiltered.cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G)
eq₁ : f₁ = (c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app left).right) ≫ eqToHom ⋯
eq₂ : f₂ = (c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app right).right) ≫ eqToHom ⋯
left_eq✝ : (((Functor.const WalkingCospan).obj c'.pt).map Hom.inl).left ≫ (c'.π.app one).left = (c'.π.app left).left ≫ ((c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G).map Hom.inl).left
e₁ : (((Functor.const WalkingCospan).obj c'.pt).map Hom.inl).right ≫ (c'.π.app one).right = (c'.π.app left).right ≫ ((c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G).map Hom.inl).right
⊢ ℱ.val.map (G.map (c'.π.app left).right).op (eqToHom ⋯ (x g₁ hg₁)) = ℱ.val.map (G.map (c'.π.app right).right).op (eqToHom ⋯ (x g₂ hg₂))
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : r₁ ≤ r₂
⊢ Wbtw R x (r₁ • v +ᵥ x) (r₂ • v +ᵥ x)
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
A : (i : ι) → Finset (α i)
DecidableEq ι
Fintype ι
n : ℕ
h : ∑ i : ι, (A i).card = n
⊢ (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ Fintype.piFinset A, f fun i => g i (r i)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
i1 : ι
n1 : A
hn1 : n1 ∈ 𝒜 i1
d1 : A
hd1 : d1 ∈ 𝒜 i1
h1 : ↑⟨d1, hd1⟩ ∈ x
i2 : ι
n2 : A
hn2 : n2 ∈ 𝒜 i2
d2 : A
hd2 : d2 ∈ 𝒜 i2
h2 : ↑⟨d2, hd2⟩ ∈ x
hdeg : { deg := i1, num := ⟨n1, hn1⟩, den := ⟨d1, hd1⟩, den_mem := h1 }.deg = { deg := i2, num := ⟨n2, hn2⟩, den := ⟨d2, hd2⟩, den_mem := h2 }.deg
hnum : ↑{ deg := i1, num := ⟨n1, hn1⟩, den := ⟨d1, hd1⟩, den_mem := h1 }.num = ↑{ deg := i2, num := ⟨n2, hn2⟩, den := ⟨d2, hd2⟩, den_mem := h2 }.num
hden : ↑{ deg := i1, num := ⟨n1, hn1⟩, den := ⟨d1, hd1⟩, den_mem := h1 }.den = ↑{ deg := i2, num := ⟨n2, hn2⟩, den := ⟨d2, hd2⟩, den_mem := h2 }.den
⊢ { deg := i1, num := ⟨n1, hn1⟩, den := ⟨d1, hd1⟩, den_mem := h1 } = { deg := i2, num := ⟨n2, hn2⟩, den := ⟨d2, hd2⟩, den_mem := h2 }
α : Type u_1
G : Type u_2
CommGroup G
UniformSpace G
UniformGroup G
NonarchimedeanGroup G
CompleteSpace G
f : α → G
⊢ Multipliable f ↔ Filter.Tendsto f Filter.cofinite (𝓝 1)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R B)
cl : ∀ {x : B}, IsIntegral R x ↔ ∃ y, (algebraMap R B) y = x
x✝ : A
⊢ (∃ y, (algebraMap R A) y = x✝) → IsIntegral R x✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E →WOT[𝕜]F
x : E
⊢ (f + g) x = f x + g x