ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
⊢ app' (homMkSucc α.hom β.hom w ≫ homMkSucc α.inv β.inv ⋯) 0 ⋯ = app' (𝟙 F) 0 ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : r ≼i s
a✝ : α
h : Acc r a✝
a : α
x✝ : ∀ (y : α), r y a → Acc r y
ha : ∀ (y : α), r y a → Acc s (f y)
a' : α
hb : s (f a') (f a)
⊢ Acc s (f a')
p : ℝ
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
hp_lt_one : p < 1
⊢ 0 < (1 - p) ^ n * p
α : Type u
β : α → Type v
γ : Type (max u v)
hκ : (sum fun a => #γ ^ lift.{max u v, v} #(β a)) ≤ #γ
⊢ #(WType β) ≤ #γ
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r₁ r₂ : ℝ
⊢ 2 • o.oangle (r₁ • x) (r₂ • x) = 0
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
i : A × B
⊢ (ContinuousMonoidHom.swap A B) i =
  ((ContinuousMonoidHom.snd A B).toMonoidHom i, (ContinuousMonoidHom.fst A B).toMonoidHom i)
n : ℕ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
⊢ (∯ (x : Fin (n + 1) → ℂ) in T(c, R), f x) =
  ∮ (x : ℂ) in C(c 0, R 0), ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ Fin.succ, R ∘ Fin.succ), f (Fin.cons x y)
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : ¬W.Nonsingular P
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.Point.toAffine W P = 0
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CategoryStruct.id c) g)
⊢ t.ofIdComp.left.as = PUnit.unit
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x✝ : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
x : ActionCategory G X
⊢ (F 1).left x.back = 𝟙 ()
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S) =
  FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Function.LeftInverse Prod.swap Prod.swap
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
r : R
hp : p ∈ lifts f
⊢ C (f r) * p ∈ lifts f
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
β : Type u_3
ι : Sort u_4
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set α
⊢ ((comap f) (⨆ i, m i)) s = (⨆ i, (comap f) (m i)) s
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
⊢ IsLocalization.mk' S (x * ↑y) y = (algebraMap R S) x
n k : ℕ
this : n + (k + 1) < n + 1 + (k + 1)
⊢ (n + 1).multichoose (k + 1) = (n + 1 + (k + 1) - 1).choose (k + 1)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ℕ → R
n : ℕ
⊢ (∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, if x.2 = 0 then 0 else if x.1 = 0 then 0 else f x.1 * g x.2) = ∑ p ∈ n.divisorsAntidiagonal, f p.1 * g p.2
x y : EReal
h : ∀ (z : ℝ), ↑z < y → ↑z ≤ x
⊢ y ≤ x
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Polynomial R
x : S
h : IsUnit ((Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative P))
⊢ Function.IsFixedPt P.newtonMap x ↔ (Polynomial.aeval x) P = 0
o : Ordinal.{u_1}
i : (SetTheory.PGame.nim o).RightMoves
⊢ (SetTheory.PGame.nim o).moveRight i = SetTheory.PGame.nim ↑(SetTheory.PGame.toRightMovesNim.symm i)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
f₁ f₂ : v.FunSpace
n : ℕ
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this : |↑t - ↑v.t₀| ≤ v.tDist
⊢ (↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂ ≤ (↑v.L * v.tDist) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂
K : Type u_5
LinearOrderedField K
p q : ℚ
⊢ Rat.cast ⁻¹' Set.Ioo ↑p ↑q = Set.Ioo p q
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
f : α → β
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ (MeasureTheory.VectorMeasure.mapGm f) v = v.map f
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
hA : VanishingDiam A
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ↑(inducedMap A).fst) in 𝓝 ⟨x, hx⟩, dist ((inducedMap A).snd x_1) ((inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩) < ε
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
u v w : E
⊢ ‖u - w‖ - ‖v - w‖ ≤ ‖u - v‖
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : ι → Filter α
s : Set α
hs : ∃ t, s ∈ ⨅ i ∈ t, f i.down
p : Set α → Prop
uni : p univ
ins : ∀ {i : ι} {s₁ s₂ : Set α}, s₁ ∈ f i → p s₂ → p (s₁ ∩ s₂)
⊢ p s
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
a : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)
⊢ (DirectSum.decomposeAlgEquiv 𝒜).symm a = (DirectSum.decompose 𝒜).symm a
a : Int
b : Int
H : 0 < b
⊢ a % b < b
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ |1 - Int.fract a| = 1 - Int.fract a
k G : Type u
CommRing k
Group G
A B C : Rep k G
f : A ⟶ (CategoryTheory.ihom B).obj C
⊢ ((Rep.MonoidalClosed.linearHomEquivComm A B C).symm f).hom =
  (TensorProduct.uncurry k (CoeSort.coe A) (CoeSort.coe B) (CoeSort.coe C)) f.hom
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
Y : C
⊢ ∀ {X Y_1 : Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y_1),
  (CategoryTheory.preadditiveYonedaObj Y).map f =
    ModuleCat.ofHom { toFun := fun g => CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.unop g, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ X P Q ◁ T.one ≫ actRight P Q = (ρ_ (X P Q)).hom
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ (fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' Ioo 0 1
p : ℕ
⊢ ↑(2 ^ p - 1) = 2 ^ p - 1
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
n : ℕ∞
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
x : M
f : M → Bundle.TotalSpace F E
hp : ContMDiffWithinAt IM IB n (Bundle.TotalSpace.proj ∘ f) s x
hf : ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => (↑e (f y)).2) s x
he : f x ∈ e.source
he' : f x ∈ e'.source
⊢ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => (↑e' (f y)).2) s x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
ht₁ : ∀ i ∉ s₁, t₁ i = univ
ht₂ : ∀ i ∉ s₂, t₂ i = univ
x : (i : ι) → α i
⊢ (x ∈ (s₁ ∪ s₂).pi fun i => t₁ i ∩ t₂ i) ↔ x ∈ s₁.pi t₁ ∩ s₂.pi t₂
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
S : Set α
⊢ #↑S < (Ordinal.type r).cof → Set.Bounded r S
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Φ : Submodule R (Module.Dual R M)
x : M
⊢ x ∈ Φ.dualCoannihilator ↔ ∀ φ ∈ Φ, φ x = 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
ε : ℝ
⊢ IsLowerSet (⋂ ε_1, ⋂ (_ : max 0 ε < ε_1), thickening ε_1 s)
n guess : ℕ
hn : n < (guess + 1) * (guess + 1)
⊢ n < (Nat.sqrt.iter n guess + 1) * (Nat.sqrt.iter n guess + 1)
R : Type u_1
NormedCommRing R
CompleteSpace R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
⊢ HasProd (fun p => ∑' (e : ℕ), f (↑p ^ e)) (∑' (n : ℕ), f n)
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ ndinsert a s ↔ a_1 ∈ a ::ₘ s
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
p₄ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₁ p₄ p₃).sign
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b✝ c : β
a b : ℕ
⊢ (range (a + b)).val = (range a).val ∪ (map (addLeftEmbedding a) (range b)).val
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c.toCompositionAsSet.boundaries = c.boundaries
R : Type u
A : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : R
x y : A
⊢ x * s • y = s • (x * y)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
s : AffineSubspace k P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
⊢ p₁ ∈ ↑s ∧ p₂ ∈ ↑s
X : Type u_7
Y : Type u_8
TopologicalSpace X
AddGroup X
TopologicalAddGroup X
UniformSpace Y
AddCommGroup Y
UniformAddGroup Y
T0Space Y
CompactSpace Y
LocallyCompactSpace X
V : ℕ → Set Y
hV : ∀ {n : ℕ} {x : Y}, x ∈ V n → x + x ∈ V n → x ∈ V (n + 1)
hVo : (nhds 0).HasBasis (fun x => True) V
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousAddMonoidHom X Y)
G : Type u
self : AddRightCancelSemigroup G
a b c : G
⊢ a + b = c + b → a = c
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
this✝ : Fintype α
this : Fintype ↑(fixedPoints G α)
⊢ Nat.card α ≡ Nat.card ↑(fixedPoints G α) [MOD p]
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u
inst✝² : Category.{v, u} D
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : Linear R D
F : C ⥤ D
X Y Z : Free R C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (0 ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map 0 ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g
f : Bool → Bool → Bool
n m : ℕ
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0
mod_two_iff_bod : ∀ (x : ℕ), decide (x % 2 = 1) = x.bodd
⊢ (if n = 0 then if f false true = true then m else 0 else if m = 0 then if f true false = true then n else 0 else let n' := n / 2; let m' := m / 2; let b₁ := n % 2 = 1; let b₂ := m % 2 = 1; let r := bitwise f n' m'; if f (decide b₁) (decide b₂) = true then r + r + 1 else r + r) = bit (f n.bodd m.bodd) (bitwise f (n / 2) (m / 2))
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s ×ˢ s \ Set.diagonal α = s.offDiag
α : Type u_1
A : Type u_3
AddGroup A
Group α
DistribMulAction α A
a : α
S T : AddSubgroup A
⊢ S ≤ a • T ↔ a⁻¹ • S ≤ T
G : Type u_1
Group G
H₁ H₂ : Subgroup G
⊢ Disjoint H₁ H₂ ↔ ∀ {x y : G}, x ∈ H₁ → y ∈ H₂ → x = y → x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
⊢ Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), f a b ∂κ a
a b : Ordinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ω
hb : ↑n < ω
⊢ ↑m * ↑n < ω
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
inst✝ : ProperSpace E
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
a b : E
⊢ Metric.closedBall a ε - Metric.closedBall b δ = Metric.closedBall (a - b) (ε + δ)
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
x : Set α
⊢ ⇑f '' minimals r x = minimals s (⇑f '' x)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
⊢ ⇑μ = fun s => (↑μ s).toNNReal
δ : Type u_1
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
DecidableEq δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
⊢ ∫⋯∫⁻_∅, f ∂μ = f
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.ProjectivePlane P L
Finite P
Finite L
p : P
⊢ Configuration.lineCount L p = Configuration.ProjectivePlane.order P L + 1
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : DecidableRel LE.le
m : ℕ
f : Fin m → α
a : α
h_sorted : Monotone f
j k✝ : Fin m
h : ¬f k✝ ≤ a
⊢ (Finset.filter (fun i => f i ≤ a) Finset.univ).card ≤ (Finset.Iio k✝).card
α : Type u_1
LinearOrder α
b : α
s : Set ↑(Set.Iic b)
hs : s.OrdConnected
⊢ {x | Set.IicExtend (fun x => x ∈ s) x}.OrdConnected
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
MeasurableSpace X
BorelSpace X
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
K : ℝ≥0
f : X → Y
h : LipschitzWith K f
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
s : Set X
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₂, v₁} I
F : CategoryTheory.Functor I C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
i : I
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.limitOpIsoOpColimit F).hom
    (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F i).op =
  CategoryTheory.Limits.limit.π F.op (Opposite.op i)
α : Type u_1
s t : Multiset α
h : s ≤ t
⊢ t.Nodup → s.Nodup
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
⊢ (aeval fun i => (map (Int.castRingHom R)) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n) = (aeval fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ R n)) Φ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ ∀ ⦃x : Finset α⦄, (𝓓 a 𝒜).Shatters x → 𝒜.Shatters x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
r : R
⊢ r • s ⊆ ↑(span R s)
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
Finite ι
b : Basis ι R M
⊢ Submodule.basisOfPid b ⊥ = ⟨0, Basis.empty ↥⊥⟩
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
h : v = w
⊢ v ≪ᵥ w
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
DecidableEq M
α : Type u_9
s : Finset α
f : { x // x ∈ s } → Finset M
⊢ Submodule.span R ↑(s.attach.biUnion f) = ⨆ x, Submodule.span R ↑(f x)
α : Type u_1
M : Matroid α
e : α
he : e ∈ M.E
⊢ {e} ⊆ M.E
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
Nontrivial E
f g : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hf : DiffContOnCl ℂ f U
hg : DiffContOnCl ℂ g U
hfg : Set.EqOn f g (frontier U)
⊢ Set.EqOn f g (closure U)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C (Type w)
α : F₁ ⟶ F₂
t : F₁.Elements
⊢ ((CategoryTheory.CategoryOfElements.map α).obj t).fst = t.fst
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : optParam (Set M) Set.univ
self : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x : M
⊢ ∑ᶠ (i : ι), (self.toFun i) x ≤ 1
G : Type u_1
Group G
h : Monoid.ExponentExists G
⊢ Monoid.IsTorsion G
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
InvolutiveStar α
⊢ Function.Injective Matrix.conjTranspose
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f : R[X]
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
hfl : f.leadingCoeff ∉ P
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < f.degree → f.coeff n ∈ P
hfd0 : 0 < f.degree
h0 : f.coeff 0 ∉ P ^ 2
hu : f.IsPrimitive
x✝ : f = 0
⊢ False
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s t : CategoryTheory.Limits.Cone F
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
⊢ (P.uniqueUpToIso Q).inv = P.liftConeMorphism t
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : Disjoint s t
⊢ MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
x : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ
⊢ (((isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯).c ≫ 𝟙 ((Opens.map ((isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯).base).op ⋙ X.presheaf)).app x = f.c.app x
m : ℕ
h : 2 ≤ 2 + m
⊢ (finRotate (2 + m)).support = Finset.univ
α : Type u
R : α → α → Prop
IsTrans α R
a : α
l : List α
⊢ List.Chain R a l → List.Pairwise R (a :: l)
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
⊢ Set.range QuotientGroup.mk = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasSum (f ∘ Subtype.val) a₁
⊢ HasSum (f ∘ Subtype.val) a₂ ↔ HasSum f (a₁ + a₂)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
n : ℕ
⊢ ‖Polynomial.eval (newton_seq_gen hnorm n) F‖ ≤ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 * T_gen p F a ^ 2 ^ n
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
i j k : ι
hijk : (Algebra.leftMulMatrix bS) (bS i) j k ≠ 0
⊢ 0 < (↑(Fintype.card ι) * (Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ).max' ⋯) ^ Fintype.card ι
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
ν : Measure β
f : α ≃ᵐ β
μ : Measure α
s : Set β
⊢ s ∈ Filter.map (⇑f) (ae μ) ↔ s ∈ ae (Measure.map (⇑f) μ)
μ : YoungDiagram
T T' : SemistandardYoungTableau μ
h : ∀ (i j : ℕ), T i j = T' i j
x✝ : ℕ
⊢ T x✝ = T' x✝
M : Type u_1
inst✝ : Mul M
c d : Con M
⊢ { toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } c ≤ { toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } d ↔ c ≤ d
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), ε / ‖c‖ ≤ p x → p x < ε → q x ≤ C * p x
x : E
hx : p x ≠ 0
⊢ q x ≤ C * p x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
⊢ ⇑(LinearMap.inl 𝕜 E F) '' tangentConeAt 𝕜 s x ⊆ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Finset ι
g : α → ℝ≥0∞
f : ι → α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
q : ℝ
p : ι → ℝ
hpq : q + ∑ i ∈ s, p i = 1
hq : 0 ≤ q
hp : ∀ i ∈ s, 0 ≤ p i
⊢ ∑ i ∈ insertNone s, i.elim q p = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (∫ (x_1 : α) in s, φ x x_1 • g x_1 ∂μ) 0 < ε
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op V))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = (F.val.map (iUV i).op) t
⊢ s = t
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
hca : z ≤ x
⊢ (x \ y) \ (x \ z) = z \ y
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
ht : ∀ (x : M), Convex ℝ (t x)
U : M → Set M
hU : ∀ (x : M), U x ∈ 𝓝 x
g : M → M → F
hgs : ∀ (x : M), ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, F) n (g x) (U x)
hgt : ∀ (x y : M), y ∈ U x → g x y ∈ t y
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate fun x => interior (U x)
x i : M
hi : (f i) x ≠ 0
⊢ x ∈ U i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_11
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
n : ℕ∞
g : F → F'
f : M → F
s : Set M
x : M
hg : ContDiffAt 𝕜 n g (f x)
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F') n (g ∘ f) s x
α β✝ γ✝ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (α ⊕ β)
pe : ∀ (v : α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
γ : Type u
q : Poly (α ⊕ γ)
qe : ∀ (v : α → ℕ), S' v ↔ ∃ t, q (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
⊢ (S ∪ S') v ↔ ∃ t, (Poly.map (inl ⊗ inr ∘ inl) p * Poly.map (inl ⊗ inr ∘ inr) q) (v ⊗ t) = 0
α : Type u_1
s : Set α
k : ℕ
⊢ s.encard ≤ ↑k ↔ s.Finite ∧ s.ncard ≤ k
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
α : G ≅ F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.precomposeEquivalence α).functor = CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose α.hom
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ TopCat
Y : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace Y
α : Type
X : α → TopCat
a✝¹ : (yonedaPresheaf' Y).obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
x✝ : α
a✝ : ↑(X x✝)
⊢ (((piComparison (yonedaPresheaf' Y) fun x => op (X x)) ≫ (Types.productIso fun i => C(↑(X i), Y)).hom) a✝¹ x✝) a✝ = (((yonedaPresheaf' Y).map ((opCoproductIsoProduct X).inv ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma X).inv.op) ≫ (equivEquivIso (sigmaEquiv Y fun x => ↑(X x))).inv) a✝¹ x✝) a✝
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hf_zero_rpow : ¬(∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = 0
hf_top_rpow : (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ ⊤
a : α
⊢ (g a ^ (p - 1)) ^ q = g a ^ p
R : Type u₁
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
f : ℕ → R
hf : ∀ (n : ℕ), f (n + 1) ^ p = f n
n : ℕ
⊢ (Perfection.coeff R p n) ⟨f, hf⟩ = f n
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hIY : I ⊂ Y
hYX : Y ⊆ X
⊢ M.Dep Y