ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hι : Nonempty ι
C : ℝ
hC₁ : 0 < C
hC₂ : eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
this : {x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊} = {x | C ≤ ‖f i x‖}
⊢ eLpNorm (fun x => ‖{x | C ≤ ‖f i x‖}.indicator (f i) x‖) p μ = eLpNorm (fun x => ‖{x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j) x‖) p μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor.map φ).left.left = φ.τ₁
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(AdicCompletion.map I f)
α : Type u
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
H : l₁.length ≤ l₂.length
⊢ List.Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂ ↔ l₁ ≠ l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hut : ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfε : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ((fun a => ↑a) ε)
⊢ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
hd : ↑d ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hd' : d ≠ 0
e : a * d = n * b
⊢ ↑n / ↑d = ↑a / ↑b
M : Type u_1
σ : Type u_4
Mul M
N : Type u_5
Mul N
SetLike σ M
MulMemClass σ M
f : M →ₙ* N
S : σ
x : ↥S
⊢ (f.restrict S) x = f ↑x
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
⊢ u (sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s})) ω ∈ s
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c g h✝ x : G₀
h : x ≠ 0
y y' : G₀
w : (fun y => y * x) y = (fun y => y * x) y'
⊢ y = y'
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
q : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | ↑q < v.limRatioMeas hρ x}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0
x : α
hx : x ∈ s ∩ t
I : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ↑q < ρ a / μ a
a : Set α
ha : ↑q < ρ a / μ a
⊢ (q • μ) a ≤ ρ a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
(F ⋙ G).PreservesMonomorphisms
G.ReflectsMonomorphisms
⊢ F.PreservesMonomorphisms
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
x✝¹ : Fin (n + 2)
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ
⊢ (-1) ^ ↑x✝¹ • (Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ x✝¹).op).hom) (Finsupp.single x 1) = Finsupp.single (x ∘ x✝¹.succAbove) ((-1) ^ ↑x✝¹)
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
hs : s.Subsingleton
l : ℝ≥0
⊢ HasConstantSpeedOnWith f s l
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
Nontrivial α
s : Set α
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∉ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∉ t
n : ℕ
motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1
refl : motive n ⋯
le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯
⊢ Nat.leRec refl le_succ_of_le ⋯ = refl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t x : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x_le : x ≤ t
x_lt_top : x < ⊤
obs : min t x ≠ ⊤
⊢ t.truncateToReal x = x.toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts ys : List α
r : List β
f : List α → β
⊢ (List.permutationsAux2 t [] r ys fun x => f (x ++ ts)).2 = (List.permutationsAux2 t ts r ys f).2
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
T1Space X
WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Filter.Tendsto f Filter.cofinite (Filter.cocompact Y)
⊢ DiscreteTopology X
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
n : ℕ
⊢ ↑(n + 1) = ↑n + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f' f g : α →ₘ[μ] β
hf : ↑f' ≤ᶠ[ae μ] ↑f
hg : ↑f' ≤ᶠ[ae μ] ↑g
a✝ : α
haf : ↑f' a✝ ≤ ↑f a✝
hag : ↑f' a✝ ≤ ↑g a✝
ha_inf : ↑(f ⊓ g) a✝ = ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝
⊢ ↑f' a✝ ≤ ↑(f ⊓ g) a✝
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
γ : Type u_1
TopologicalSpace γ
g : C(α, γ)
⊢ UniformContinuous fun f => f.comp g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
d : {X Y : C} → (f : X ⟶ Y) → CategoryTheory.Limits.StrongEpiMonoFactorisation f
⊢ CategoryTheory.Limits.HasStrongEpiMonoFactorisations C
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
SeminormedRing 𝕜₂
AddCommGroup E₂
Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
x : E
r : ℝ
⊢ (p.comp f).closedBall x r = ⇑f ⁻¹' p.closedBall (f x) r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
v w : E
h : ⟪v, w⟫_𝕜 = 0
⊢ ‖w - v‖ * ‖w - v‖ = ‖w + v‖ * ‖w + v‖
R : Type u
S✝ : Type v
A✝ : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S✝
inst✝¹⁰ : Semiring A✝
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S✝
inst✝⁷ : Algebra S✝ A✝
inst✝⁶ : Algebra S✝ B
inst✝⁵ : Algebra R A✝
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : IsScalarTower R S✝ A✝
inst✝² : IsScalarTower R S✝ B
S : Type u
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Semiring A
h1 h2 : Algebra S A
h : ∀ (r : S) (x : A), (let_fun I := h1; r • x) = r • x
r : S
⊢ (algebraMap S A) r = (algebraMap S A) r
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
g : X → Y
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun x => g ∘ x
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
φ ψ : R⟦X⟧
this : antidiagonal 1 = {(0, 1), (1, 0)}
⊢ (0, 1) ∉ {(1, 0)}
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
⊢ ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, p (c.blocksFun j) = ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, ∏ j : Fin c.length, r * (a ^ c.blocksFun j * p (c.blocksFun j))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
h : CategoryTheory.Limits.IsZero X
f : Y ⟶ X
⊢ f = h.from_ Y
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
m n : ℤ
⊢ a ^ m * a ^ n = a ^ n * a ^ m
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hle : g ≤ᶠ[l] f
hfga : f a = g a
h : IsMaxFilter f l a
⊢ IsMaxFilter g l a
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
a b : α
⊢ MulAction.orbit G a = MulAction.orbit G b ↔ a ∈ MulAction.orbit G b
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
⊢ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).symm = (Z.localTriv i).symm
R : Type u
CommRing R
b c d : R
⊢ preNormEDS' b c d 2 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet {p | p.1 ∈ s}
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k
h's : IntegrableOn f s μ
A : ∀ (u : Set X), ∫ (x : X) in u ∩ k, f x ∂μ = 0
⊢ ∫ (x : X) in t \ k ∪ s \ k, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s \ k, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β
⊢ (∃ x, ¬p x = 0 ∧ ¬(if h : p x = 0 then 0 else (f x h) b) = 0) ↔ ∃ i, ∃ (h : ¬p i = 0), ¬(f i ⋯) b = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
s : Set E
x : E
⊢ MDifferentiableWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') (⇑f) s x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.65549, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Y' : C
f : X ⟶ Y'
s : Y ⟶ Y'
hs : W s
⊢ homMk ((ofHom W f).comp₀ (ofInv s hs) (ofHom W (𝟙 (ofHom W f).Y'))) = homMk (mk f s hs)
M : Type u_1
CommMonoid M
k l : ℕ
ζ : M
hk : IsPrimitiveRoot ζ k
hl : IsPrimitiveRoot ζ l
⊢ k = l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z
b : α
h₀ : x = some b
⊢ x ≤ y ∨ y ≤ x
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
AddMonoid ι
(i : ι) → AddCommGroup (A i)
self : DirectSum.GRing A
n : ℕ
⊢ DirectSum.GRing.intCast (Int.negSucc n) = -DirectSum.GSemiring.natCast (n + 1)
M : Type u_1
A : Type u_5
Add M
SetLike A M
hA : AddMemClass A M
S' : A
x y : M
hx : x ∈ S'
hy : y ∈ S'
⊢ ⟨x, hx⟩ + ⟨y, hy⟩ = ⟨x + y, ⋯⟩
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ {x | l.formPerm x ≠ x} ≤ ↑l.toFinset
X : BddDistLat
⊢ ↑X.toBddLat.toLat = ↑X.toDistLat
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
CategoryTheory.Equivalence.TransportsGrothendieckTopology J K e
X : CategoryTheory.Sheaf J A
⊢ ∀ (X_1 : Cᵒᵖ),
  ((CategoryTheory.Equivalence.sheafCongr.unitIso J K e A).inv.app X).val.app X_1 =
    X.val.map (e.unitIso.hom.app (Opposite.unop X_1)).op
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
f : α → β
b : β
l : Sym α n
⊢ b ∈ Sym.map f l ↔ ∃ a ∈ l, f a = b
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c : E
l l' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v : ι → ℝ
CompleteSpace E
l'.IsMeasurablyGenerated
Filter.TendstoIxxClass Set.Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Filter.Tendsto f (l' ⊓ MeasureTheory.ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Filter.Tendsto u lt l
hv : Filter.Tendsto v lt l
huv : u ≤ᶠ[lt] v
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - (μ (Set.Ioc (u t) (v t))).toReal • c) =o[lt] fun t =>
  (μ (Set.Ioc (u t) (v t))).toReal
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
g : CompleteLatticeHom β γ
f₁ f₂ : CompleteLatticeHom α β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
z : ℍ
A B : ℝ
h : 0 < B
hz : z ∈ verticalStrip A B
⊢ (UpperHalfPlane.re ⟨{ re := A, im := B }, h⟩ ^ 2 / UpperHalfPlane.im ⟨{ re := A, im := B }, h⟩ ^ 2 + 1)⁻¹ ≤ (z.re ^ 2 / z.im ^ 2 + 1)⁻¹
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
CommRing B
IsDomain A
IsDomain B
p : Polynomial A
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Multiset.map (⇑f) p.roots ≤ (Polynomial.map f p).roots
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
⊢ sepDegree F K = sepDegree E K
R : Type u
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type u_1
ψ : ι → Type u_2
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (ψ i)
(i : ι) → Module R (ψ i)
e : (i : ι) → φ i ≃ₗ[R] ψ i
⊢ (LinearEquiv.piCongrRight e).symm = LinearEquiv.piCongrRight fun i => (e i).symm
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
x : FractionRing A
hx : IsIntegral A x
⊢ x ∈ ↑(adjoinIntegral A⁰ x hx)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : SimplicialCategory C
K K' K'' : C
f : K ⟶ K'
f' : K' ⟶ K''
L : C
⊢ (λ_ (sHom K'' L)).inv ≫ (homEquiv K K'') (f ≫ f') ▷ sHom K'' L ≫ sHomComp K K'' L = ((λ_ (sHom K'' L)).inv ≫ (homEquiv K' K'') f' ▷ sHom K'' L ≫ sHomComp K' K'' L) ≫ (λ_ (sHom K' L)).inv ≫ (homEquiv K K') f ▷ sHom K' L ≫ sHomComp K K' L
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
v : ι → E
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
⊢ s.centerMass w v ∈ (convexHull R) (Set.range v)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hg : Memℒp g p μ
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g
⊢ UnifTight (fun x => g) p μ
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : BinaryBicone P Q
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) X✝).inr ≫ F.map f.hom = ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) Y✝).inr
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
m n : ℕ∞
s : Set E
f : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun p => (fderivWithin 𝕜 f s p.1) p.2) (s ×ˢ Set.univ)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ MDifferentiableAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
F : Set X
h : JoinedIn F x y
t : ↑I
⊢ h.somePath t ∈ F
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' φ h₁ h₂) h₂.g' =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.g' φ.τ₃
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
q : ℚ≥0
a : { x // 0 ≤ x }
⊢ ↑(q • a) = q • ↑a
α : Sort u_1
s₁ : Setoid α
p : Quotient s₁ → Prop
q : Quotient s₁
h : ∀ (a : α), p (Quotient.mk'' a)
⊢ p q
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
i : ι
⊢ w₁ i • (p i -ᵥ p j) = w₂ i • (p i -ᵥ p j)
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
p : ℝ := (∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card)
q : ℝ := (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card)
r : ℝ := ↑(G.edgeDensity ((star hP G ε hU V).biUnion id) ((star hP G ε hV U).biUnion id))
s : ℝ := ↑(G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε U V) (G.nonuniformWitness ε V U))
t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)
hrs : r - s ≤ ε / 5 ∧ s - r ≤ ε / 5
hst : ε ≤ |s - t|
hpr : p - r ≤ ε ^ 5 / 49 ∧ r - p ≤ ε ^ 5 / 49
hqt : q - t ≤ ε ^ 5 / 49 ∧ t - q ≤ ε ^ 5 / 49
hε' : ε ^ 5 ≤ ε
⊢ 3 / 4 * ε ≤ |p - q|
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx : v ↑p < v ((algebraMap O K) (r ^ p))
s : O
hy : v ↑p < v ((algebraMap O K) (s ^ p))
h1p : 0 < 1 / ↑p
⊢ v ↑p < v ((algebraMap O K) (r * s))
X : Type u
s₁ s₂ : Set X
TopologicalSpace X
h : s₁ ⊆ s₂
hd : Dense s₁
⊢ Dense s₂
α : Type u
SemilatticeSup α
OrderTop α
a : α
⊢ ⊤ ⊔ a = ⊤
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Surreal
⊢ BddAbove (Set.range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁶ : SemilatticeSup β
inst✝⁵ : OrderBot β
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderClosedTopology β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
n : ℕ
a : α
hf : Measurable f
⊢ ((Finset.range n).sup fun c => ↑((const α (i c)).restrict {a | i c ≤ f a}) a) = (Finset.range n).sup fun k => if i k ≤ f a then i k else 0
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsFibAux 0 0 1
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace W
⊢ ⇑0 = 0
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra R₁ K
inst✝² : IsFractionRing R₁ K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsFractionRing K L
I : FractionalIdeal K⁰ L
⊢ ¬I = 0 → I = 1
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b : E
r : k
h : r < 1
⊢ b ≤ (AffineMap.lineMap a b) r ↔ b ≤ a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : ι → Set X
hs : IsCompact s
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hUf : ∀ (x : X), {i | (f i ∩ U x).Nonempty}.Finite
t : Finset X
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
i : ι
x : X
hx : x ∈ f i ∩ s
c : X
hct : c ∈ t
hcx : x ∈ U c
⊢ i ∈ ⋃ i ∈ ↑t, {i_1 | (f i_1 ∩ U i).Nonempty}
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
W : C
g' : ⨁ f ⟶ W
w : biproduct.fromSubtype f p ≫ g' = 0
j : K
⊢ biproduct.ι f j ≫ biproduct.toSubtype f pᶜ ≫ (fun {W} g x => biproduct.fromSubtype f pᶜ ≫ g) g' w = biproduct.ι f j ≫ g'
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : E
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ ‖fderiv ℝ (fun x => ‖x‖ ^ p) x‖ = p * ‖x‖ ^ (p - 1)
n p : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ p ∈ n.primeFactors ↔ Nat.Prime p ∧ p ∣ n
R : Type u
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1
⊢ Irreducible p ↔ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f = 1 ∨ g = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
inst✝ : IsPredArchimedean α
a b : α
⊢ (hasse α).Reachable a b
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
hπ : MeasureTheory.IsStoppingTime f π
⊢ ⋯.measurableSpace = hτ.measurableSpace ⊓ hπ.measurableSpace
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
x : α
h : x ∉ xs
⊢ none.getD x = x
n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n →. ℕ
hf : Nat.Partrec' f
⊢ ∃ c, ∀ (v : Mathlib.Vector ℕ n), c.eval ↑v = pure <$> f v
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
f : CentroidHom α
⊢ ⇑↑f = ⇑f
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ
⊢ (fun z => (z.im ^ n) ^ 2) = fun z => z.im ^ (2 * n)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h : IsLowerSet ↑𝒜
s : Finset α
⊢ insert a s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s → s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
f : α → E
hf : Integrable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x - g x‖₊ ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Integrable g μ
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup M₁
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
NormedSpace 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ IsCompactOperator ⇑f ↔ ∃ K, IsCompact K ∧ ⇑f '' Metric.closedBall 0 r ⊆ K
R : Type u
NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
⊢ ↑M.subsemiringClosure = ↑(AddSubmonoid.closure ↑M)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
a : ℝ
h0 : 0 < rexp a
b : ℝ
hle : a ≤ b
hd : ∀ z ∈ (ball c (rexp b) \ closedBall c (rexp a)) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
A : Set ℂ := closedBall c (rexp b) \ ball c (rexp a)
hc : ContinuousOn f A
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, rexp b), (z - c)⁻¹ • f z) = ∮ (z : ℂ) in C(c, rexp a), (z - c)⁻¹ • f z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
S : (J.Cover Y)ᵒᵖ
⊢ (J.diagramPullback P f).app S =
  CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.lift ((Opposite.unop ((J.pullback f).op.obj S)).index P) ((J.diagram P Y).obj S)
    (fun I =>
      CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι ((Opposite.unop S).index P)
        (CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Arrow.base I))
    ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
⊢ a - 0 = a
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ 0 < |a| ↔ a ≠ 0
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
⊢ ∑ i ∈ s, (interpolate (insert i (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v i = (interpolate t v) r
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → μ s = ν s
s : Set Ω
s_mble : MeasurableSet s
⊢ ↑μ s = ↑ν s
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_13
AddCommMonoid M
f : α ≃ β
l : α →₀ M
⊢ Finsupp.equivMapDomain f l = Finsupp.mapDomain (⇑f) l
α : Type u
a : α
as : List α
h : a ∈ as
f : α → List α
⊢ f a <:+: as.bind f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α →. β
g : α →. γ
x : α
h : (f.prodLift g x).Dom
⊢ (f.prodLift g x).get h = ((f x).get ⋯, (g x).get ⋯)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
hk : addOrderOf ↑k = n
h0 : addOrderOf ↑k • ↑k = 0
⊢ ∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n * p) = ↑k
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
inst✝ : Fintype V
C : ⊤.Coloring V
v w : V
⊢ ¬v = w → ¬C v = C w