ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h_odd : Odd n
hlt : 1 < n
B : ℚ⟦X⟧ := PowerSeries.mk fun n => bernoulli' n / ↑n !
⊢ (B - evalNegHom B) * (exp ℚ - 1) = X * (exp ℚ - 1)
α : Type u
Add α
MulOneClass α
RightDistribClass α
a b : α
⊢ (1 + a) * b = b + a * b
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
⊢ Inducing (⇑h.symm ∘ ⇑h)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
T : C
hT : IsTerminal T
F : Sheaf J D
⊢ (constantSheafAdj J D hT).counit.app F = (presheafToSheaf J D).map ((constantPresheafAdj D hT).counit.app F.val) ≫ (sheafificationAdjunction J D).counit.app F
o : Ordinal.{u_3}
⊢ 1 ≤ o ↔ 0 < o
xl xr : Type u
y z : PGame
h : y ⧏ z
x : PGame
this : z + x ≤ y + x → z ≤ y
⊢ y + x ⧏ z + x
G : Type u_1
AddGroup G
S T : AddSubgroup G
x : G
⊢ x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hem : B' ⊆ B ∪ X ∧ e ∉ B'
⊢ False
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
f : ↑(ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).X₂
⊢ (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).g f = 0 → ∃ x₁, (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).f x₁ = f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq₁ sq₂ : CategoryTheory.Square C
self : sq₁.Hom sq₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp sq₁.f₂₄ self.τ₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.τ₂ sq₂.f₂₄
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
h : ¬#β ≤ #↑(range f)
⊢ False
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → R
z : ι → E
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
⊢ a • s.centerMass w₁ z + b • s.centerMass w₂ z = s.centerMass (fun i => a * w₁ i + b * w₂ i) z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal
α : Type u_1
DecidableEq α
CommGroup α
Fintype α
t : Finset α
⊢ Finset.univ.mulEnergy t = Fintype.card α * t.card ^ 2
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittZero p n) = (map (Int.castRingHom ℚ)) 0
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
η : ↥(rootsOfUnity ⟨n, hn⟩ K)
⊢ (liftHom (X ^ n - C a) (↑↑η • root (X ^ n - C a)) ⋯) (root (X ^ n - C a)) = ↑↑η • root (X ^ n - C a)
⊢ AntitoneOn (fun x => Real.log x / x) {x | Real.exp 1 ≤ x}
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Finset.Ico (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b) = Finset.map OrderDual.toDual.toEmbedding (Finset.Ioc b a)
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
⊢ ∃ t, 0 < t ∧ f ↑p = ↑p ^ (-t)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
e' : PartialHomeomorph X Y
(i : X) → Decidable (i ∈ s)
(i : Y) → Decidable (i ∈ t)
h : e.IsImage s t
h' : e'.IsImage s t
⊢ Set.LeftInvOn (t.piecewise ↑e.symm ↑e'.symm) (s.piecewise ↑e ↑e') (s.ite e.source e'.source)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq m
DecidableEq n
Semiring α
i i' : m
j j' : n
hj : j ≠ j'
a : α
⊢ Matrix.stdBasisMatrix i j a i' j' = 0
M : Type u_1
AddMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableAdd₂ M
μ : MeasureTheory.Measure M
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ μ.conv (MeasureTheory.Measure.dirac 0) = μ
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
p₁ p₂ p₃ : P₁
c : k
⊢ p₁ -ᵥ (AffineMap.lineMap p₂ p₃) c = (AffineMap.lineMap (p₁ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ p₃)) c
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : V
e : EuclideanSpace ℝ (Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ V)) ≃ₗᵢ[ℝ] V := (stdOrthonormalBasis ℝ V).repr.symm
⊢ Integrable (fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ)) volume
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a : ⨂[R]^na M
b : ⨂[R]^nb M
c : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M := fun n m => (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
⊢ (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c) = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
X : a ⟶ b
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitorNatIso a b).inv.app X = (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor X).inv
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
self : α →𝒄 β
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous self.toOrderHom
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set β
⊢ s₁ ⊆ s₂ → t₁ ⊆ t₂ → s₁ -ᵥ t₁ ⊆ s₂ -ᵥ t₂
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.openCoverOfLeft 𝒰 f g).J = 𝒰.J
n : ℕ
⊢ (↑n).toZNumNeg = -↑n
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : Finmap β
⊢ Finmap.lookup a (Finmap.erase a s) = none
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p : PrimeSpectrum R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial M
⊢ ∀ (x : PrimeSpectrum R), ∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, ¬r = 0 ∧ ¬m = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ s : Set α
f : α → G
x : α
⊢ s.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ≤ ‖f x‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this✝ : HasSum (fun i => (1 - x) * x ^ i) ((1 - x) * ∑' (b : ℕ), x ^ b)
this : Tendsto (fun n => 1 - x ^ n) atTop (𝓝 1)
x✝ : ℕ
⊢ 1 - x ^ x✝ = ∑ i ∈ Finset.range x✝, (1 - x) * x ^ i
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ (star a).imK = -a.imK
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (y : β), ∫⁻ (x : α), f (x, y) ∂μ ∂ν
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
I : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ I, IsOpen (s i)
⊢ ∃ s_1, (Subtype.val '' s_1).Countable ∧ ⋃ y ∈ s_1, s ↑y = ⋃ i ∈ I, s i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
f : α → β
lb : Filter β
g : β → γ
hg : Filter.EventuallyConst g lb
hf : Filter.Tendsto f l lb
⊢ Filter.EventuallyConst (g ∘ f) l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
bddsup : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup' hs fun i => F i a
⊢ (s.sup' hs fun i => limsup (F i) f) ≤ limsup (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
⊢ Continuous fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : LinearOrder β
s : Set α
f : α → β
h1 : s.Finite
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ∃ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a ≤ f b
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ (m_1 : ℕ), (nim ↑m + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(m ^^^ m_1)
m : ℕ
⊢ (nim ↑n + nim ↑m).grundyValue = ↑(n ^^^ m)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))) ∧ (x, y) ∈ closure (s ×ˢ t)
α : Type u_1
s : Set α
SemilatticeInf α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (s ∩ {b | ¬a ≤ b}) ↔ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) s
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
inst✝² : HasMultiequalizer I
inst✝¹ : HasProduct I.left
inst✝ : HasProduct I.right
a : I.L
⊢ ιPi I ≫ Pi.π I.left a = ι I a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
h : (succ #ι).ord ≤ mex f
⊢ succ #ι ≤ #ι
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
hs : s ⊆ f.source
⊢ ↑I '' (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' s) ⊆ ↑I '' (↑f.symm ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
p : β → Prop
⊢ (∀ b ∈ image f s, p b) ↔ ∀ a ∈ s, p (f a)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_6
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
Zero β
One β
m : MeasurableSpace β
s : ι → Set Ω
hs : ProbabilityTheory.iIndepSet s μ
⊢ ProbabilityTheory.iIndepFun (fun _n => m) (fun n => (s n).indicator fun _ω => 1) μ
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f : β → α
l : Filter β
a : α
h : Filter.Tendsto f l (𝓝[>] a)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => max (f i) a) l (𝓝[>] a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hg : AEMeasurable g μ
hgf : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] g
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.SurjOn (Set.projIcc a b h) (Set.Icc a b) Set.univ
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
x : { x // x ∈ ⋯.choose }
⊢ 𝒰.finiteSubcover.map x = 𝒰.map (𝒰.f ↑x)
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : TopCat.LocalPredicate T
x : ↑X
w : ∀ (t : T x), ∃ U f, ∃ (_ : P.pred f), f ⟨x, ⋯⟩ = t
⊢ Function.Surjective (TopCat.stalkToFiber P x)
x✝ : ℝ
⊢ (↑x✝ - ↑(π / 2)).sin = -(↑x✝).cos
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b c : α
H : b ∈ Set.Ioo a c
⊢ Set.Ioo a c ∈ 𝓝[≥] b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
⊢ (𝟙 X).base = 𝟙 ↑X
α : Type u_2
PartialOrder α
Zero α
⊢ ↑0 = 0
n : ℕ
s : Finset (Fin n)
⊢ s.card ≤ n
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : ChainClosure r c
⊢ SuccChain r c = c ↔ c = maxChain r
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), Ordinal.IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : ι), f i a = a) ↔ ∃ o, Ordinal.derivFamily f o = a
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
a b : R
⊢ EuclideanDomain.gcd a b ∣ a
α : Sort u_1
s₁ : Setoid α
⊢ Function.Surjective Quotient.mk''
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
CommRing R
CommRing S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K : Ideal S
n : ℕ
⊢ Ideal.comap f K ^ n ≤ Ideal.comap f (K ^ n)
α : Type u_1
F : Type u_3
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
h : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm g p μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
f : C^⊤⟮I, M; 𝕜⟯⟨x⟩
k : 𝕜
⊢ f • k = f x * k
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
⊢ List.kextract a l = (List.dlookup a l, List.kerase a l)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
hQz : Q z ≠ 0
⊢ W'.add P Q = (P x * Q z) • Q
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝ : CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
⊢ Measurable fun p => fderiv 𝕜 (f p.1) p.2
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
⊢ 0 < fract ξ
α : Type u_1
CommMonoid α
n : ℕ
⊢ ∀ (x : α), (powMonoidHom n) x = x ^ n
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
i : ι
DecidableEq ι
s : Set (α i)
⊢ Function.eval i ⁻¹' s = Set.univ.pi (Function.update (fun i => Set.univ) i s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
this✝¹ : MeasurableSpace (β × β) := borel (β × β)
this✝ : BorelSpace (β × β)
⊢ MeasurableSet {a | f a < g a}
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
⊢ y D x ≤ 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
h : padicNorm p q = 0
⊢ ¬q = 0 → False
V : Type u_2
TopologicalSpace V
AddCommMonoid V
SMul ℝ V
self : ConvexBody V
⊢ Convex ℝ self.carrier
α : Type u_2
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
Countable α
⊢ SecondCountableTopology α
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
e₁ e₂ : explicitCokernel f ⟶ Z
h : explicitCokernelπ f ≫ e₁ = explicitCokernelπ f ≫ e₂
g : Y ⟶ Z := explicitCokernelπ f ≫ e₂
w : f ≫ g = 0
this : e₂ = explicitCokernelDesc w
⊢ explicitCokernelπ f ≫ e₁ = g
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
α β : Type u
f : α ⟶ β
F : ℕᵒᵖ ⥤ Type u
c : Cone F
hc✝ : IsLimit c
hF✝ : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)
hc : IsLimit c
hF : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)
i : c.pt ≅ (limitCone F).pt := hc.conePointUniqueUpToIso (limitConeIsLimit F)
this : c.π.app (Opposite.op 0) = i.hom ≫ (limitCone F).π.app (Opposite.op 0)
⊢ Function.Surjective ((limitCone F).π.app (Opposite.op 0))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
s : Set X
⊢ s.PairwiseDisjoint 𝓝
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
⊢ FiniteDimensional.finrank ℝ ↥(s.altitude i).direction = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
a : α
b₁ b₂ : β
⊢ (G □ H).Adj (a, b₁) (a, b₂) ↔ H.Adj b₁ b₂
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ (α.inv.app (unop x✝)).op ≫ (α.hom.app (unop x✝)).op = 𝟙 (op (F.obj (unop x✝)))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
t t' : TopologicalSpace E
h : t ≤ t'
s : Set E
hs : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : C
∀ (A : C), CategoryTheory.Limits.HasProduct fun x => G
⊢ CategoryTheory.IsCoseparator G ↔ ∀ (A : C), CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.Limits.Pi.lift fun f => f)
f : ℕ → ℂ
c : ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
⊢ LSeriesSummable (c • f) s
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s : Finset α
a : α
⊢ s - {a} = Finset.image (fun x => x - a) s
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
A : Set M
α : Type u₁
s t : L.DefinableSet A α
⊢ ↑(s ⊔ t) = ↑s ∪ ↑t
G : Type u_7
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
h : H ≤ K
g : ↥(H.addSubgroupOf K)
⊢ ↑((AddSubgroup.addSubgroupOfEquivOfLe h) g) = ↑↑g
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
⊢ List.count u (p.takeUntil u h).support = 1
q : ℚ≥0
n : ℕ
⊢ ↑(q ^ n) = ↑q ^ n
α : Type u_1
PartialOrder α
s t : Interval α
⊢ ↑s ⊂ ↑t ↔ s < t
a r x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ gammaPDF a r x = ENNReal.ofReal (r ^ a / Gamma a * x ^ (a - 1) * rexp (-(r * x)))
n : Nat
⊢ (list n).reverse = List.map rev (list n)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩ ∈ s.sigma g
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t
j : ι
c : β j
hj : ⟨j, c⟩ ∈ t
hbc : ⟨i, b⟩ ≠ ⟨j, c⟩
⊢ Disjoint (f ⟨i, b⟩) (f ⟨j, c⟩)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
⊢ derivWithin f s x = derivWithin f t x
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
⊢ Γ₂N₁.natTrans.app X = (Γ₂N₂ToKaroubiIso.app X).inv ≫ Γ₂.map (N₂.map (𝟙 ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X))) ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X ≫ Γ₂N₁.natTrans.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X) ≫ 𝟙 { X := ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X, p := 𝟙 ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X, idem := ⋯ }
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t✝ : Set V
x y z : V
t : Finset V
hs : LinearIndependent K fun (x : ↑s) => ↑x
hst : s ⊆ ↑(span K ↑t)
⊢ ∃ t', ↑t' ⊆ s ∪ ↑t ∧ s ⊆ ↑t' ∧ t'.card = t.card
α : Type u_4
LinearOrderedSemifield α
a : α
⊢ 0 < a ^ 0
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
V : TopologicalSpace.OpenNhdsOf 1
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.chaar K₀ ∈ MeasureTheory.Measure.haar.clPrehaar (↑K₀) V
a b c : Int
H1 : b ∣ a
H2 : a.div b = c
⊢ a = c * b
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
p : R[X]
⊢ (Polynomial.aeval (AdjoinRoot.root f)) p = (AdjoinRoot.mk f) p
F : Type u
Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
⊢ f.Separable ∨ ¬f.Separable ∧ ∃ g, Irreducible g ∧ (Polynomial.expand F p) g = f
a b c d : ℕ
⊢ b ∣ a → d ∣ c → a / b * (c / d) = a * c / (b * d)
M✝ : Type u_1
inst✝² : Monoid M✝
s✝ : Set M✝
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
m : Multiset M
⊢ (∀ a ∈ m, a ∈ s) → m.prod ∈ s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U
⊢ ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y), F'.map f_1 ≫ (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) Y = (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) X ≫ G.toPresheaf.map f_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
f : α ≃ β
M : Matrix m n α
⊢ f.mapMatrix M = M.map ⇑f
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι), ∀ w ∈ U, ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
⊢ Tendsto (fun s => ∑ b ∈ s, deriv (F b) z) atTop (𝓝 (deriv (fun w => ∑' (i : ι), F i w) z))
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ f +ᵥ g = ⊥ ↔ f = ⊥ ∨ g = ⊥
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
I₀ : WithTop (Box ι)
I J : Box ι
i✝ : ι
f : ι →ᵇᵃ[I₀] M
hI : ↑I ≤ I₀
i : ι
x : ℝ
⊢ Option.elim' 0 (⇑f) (I.splitLower i x) + Option.elim' 0 (⇑f) (I.splitUpper i x) = f I
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
⊢ Function.Surjective ⇑(IsLocalization.lift hg) ↔ ∀ (v : P), ∃ x, v * g ↑x.2 = g x.1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
n : ℕ
⊢ 0 ≤ (2 * π)⁻¹
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
H : ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1 = 1
⊢ ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1 = 0 - ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli (1, n).1
α : Type
d : ℕ
ds : List ℕ
Ring α
i j : ℕ
hid : i < d
x : Holor α ds
⊢ ((Holor.unitVec d j).mul x).slice i hid = if i = j then x else 0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r s)
⊢ HasSum (fun n => (p.prod q n) fun x => y) (f (e + y), g (e + y))
n m : ℕ+
u : PrimeMultiset := n.factorMultiset
v : PrimeMultiset := m.factorMultiset
this✝ : n = u.prod
this : m = v.prod
⊢ (u.prod * v.prod).factorMultiset = u.prod.factorMultiset + v.prod.factorMultiset
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {μ : MeasureTheory.Measure E} {X : Ω → E},
  ¬(MeasureTheory.Measure.map X ℙ).HaveLebesgueDecomposition μ → MeasureTheory.pdf X ℙ μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
a b : β
⊢ Sum.inr a ≤ Sum.inr b ↔ a ≤ b
f : Cardinal.{u} → Cardinal.{max u v}
s : Set Cardinal.{u}
hs : BddAbove s
⊢ BddAbove (f '' s)
K : Type u_1
RCLike K
z w : ℝ
⊢ ↑z = ↑w ↔ z = w
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x : E
𝕜' : Type u_6
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
c : 𝕜'
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x / c) s x
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1
N : ℕ
⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ N.primesBelow, (1 - f p)⁻¹)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
n : G
ha : n ∈ center G
g h : G
⊢ h * (g * n * g⁻¹) = h * n
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
h : Function.Injective ⇑(frobenius R p)
x : R
⊢ x ∈ pNilradical R p → x ∈ ⊥
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
x : X
h : range f ∈ 𝓝 (f x)
⊢ ContinuousAt (g ∘ f) x ↔ ContinuousAt g (f x)