ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
ι : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c : ι → α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), 0 < r i
hs : IsClosed s
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ ball (c i) (r i)}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
v : ι → Set α
hsv : s ⊆ iUnion v
hvc : ∀ (i : ι), IsClosed (v i)
hcv : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r i)
r' : ι → ℝ
hlt : ∀ (i : ι), r' i ∈ Ioo 0 (r i)
hsub : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r' i)
⊢ ∃ r', s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i ∈ Ioo 0 (r i)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
DecidableEq α
f : α → β
s t : Finset α
hf : Function.Injective f
⊢ Finset.image f (s \ t) = Finset.image f s \ Finset.image f t
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
h : OpenEmbedding f
QuasiSeparatedSpace β
⊢ QuasiSeparatedSpace α
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
s : Set E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => f y - g y) s x = fderivWithin 𝕜 f s x - fderivWithin 𝕜 g s x
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
x : E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ T.rayleighQuotient (c • x) = T.rayleighQuotient x
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z w : ℂ
h : z.im = w.im
⊢ edist z w = edist z.re w.re
C : Type u
X Y : C
⊢ CategoryTheory.Limits.pairFunction X Y CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right = Y
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
p : Seminorm ℝ E
⊢ gaugeSeminorm ⋯ ⋯ ⋯ = p
⊢ ∀ (a : Ordinal.{u}), Ordinal.toPGameEmbedding a = a.toPGame
R : Type u
inst✝²⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝²⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝²³ : Field K
inst✝²² : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝²¹ : Field L
inst✝²⁰ : Algebra S L
inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : Module R V
inst✝¹⁶ : Module K V
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'
inst✝¹³ : Module R V'
inst✝¹² : Module S V'
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''
inst✝⁹ : Module R V''
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : IsNoetherian R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤
hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
M : Submodule R S := Submodule.span R b
h : Module.Finite R (S ⧸ M) := Module.Finite.of_surjective M.mkQ (Submodule.Quotient.mk_surjective M)
⊢ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b) = ⊤
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
a✝ : V
⊢ a✝ ∈ univ ∧ ¬G.Adj s a✝ ↔ Setoid.r s a✝
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t✝ : Set X
x✝ : X
inst✝ : SequentialSpace X
h : ∀ ⦃u : ℕ → X⦄ ⦃x : X⦄, Tendsto u atTop (𝓝 x) → insert x (range u) ∈ S
t : Set X
ht : ∀ s ∈ S, IsClosed (Subtype.val ⁻¹' t)
u : ℕ → X
x : X
hut : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)
⊢ x ∈ t
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
c d : C
p : d ⟶ c
γ : c ⟶ c
⊢ γ ∈ S.arrows c c →
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp p (CategoryTheory.CategoryStruct.comp γ (CategoryTheory.Groupoid.inv p)) ∈
    S.arrows d d
M : Type u_4
AddMonoid M
Preorder M
L : List M
h : L.sum < 0
⊢ 0 < L.length
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ AddSubgroup.closure ∅ = ⊥
k : Type u
CommRing k
G : Type u
Group G
V : Type v
AddCommGroup V
Module k V
Module (MonoidAlgebra k G) V
IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
AddCommGroup W
Module k W
Module (MonoidAlgebra k G) W
IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
g : G
v : W
⊢ (π.conjugate g) v = MonoidAlgebra.single g⁻¹ 1 • π (MonoidAlgebra.single g 1 • v)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ f.comp (LinearMap.ker f).subtype = 0
a b : ℤ
c : ℕ
⊢ ↑a = ↑b ↔ a ≡ b [ZMOD ↑c]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
IH : ∀ (s : Seq α), (s.drop n).head = s.get? n
s : Seq α
⊢ (s.tail.drop n).head = s.tail.get? n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.58352, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.58356, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
⊢ S.g.op ≫ S.f.op = 0
m n : PosNum
⊢ m < n ↔ m.cmp n = Ordering.lt
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
⊢ ContMDiffOn I I n (↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e h).symm) (range e)
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace β
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
H : ∀ (x₀ : α), ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ↑A), dist (↑i x) (↑i x') < ε
⊢ TotallyBounded A
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
⊢ maximals r s ∩ t ⊆ maximals r (s ∩ t)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
⊢ ((of R).symm ((x + y) • z)).coeff a = ((of R).symm (x • z + y • z)).coeff a
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
DecidableEq o
Zero α
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
ik : (i : o) × m' i
jk : (i : o) × n' i
⊢ Matrix.blockDiagonal' M ik jk = if h : ik.fst = jk.fst then M ik.fst ik.snd (cast ⋯ jk.snd) else 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
y : A
hy : y ∈ toSubmodule S
z : A
hz : z ∈ toSubmodule T
⊢ y * z ∈ S ⊔ T
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
z w : E
hd : DiffContOnCl ℂ f s
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) s z
hsub : ball z (dist w z) ⊆ s
H₁ : ‖f w‖ = ‖f z‖
H₂ : ‖f w + f z‖ = ‖f z + f z‖
⊢ ‖f w + f z‖ = ‖f w‖ + ‖f z‖
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
X✝ Y✝ : Augmented C
η : X✝ ⟶ Y✝
⊢ η.left ≫ Y✝.hom.app [0] = ((const C).map η.left ≫ Y✝.hom).app [0]
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace ℝ F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
MeasurableSpace G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
AddGroup G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν
μ.IsAddRightInvariant
MeasurableAdd₂ G
MeasurableNeg G
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ E'
CompleteSpace E
CompleteSpace E'
hf : MeasureTheory.Integrable f ν
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ ∫ (x : G), MeasureTheory.convolution f g L ν x ∂μ = (L (∫ (x : G), f x ∂ν)) (∫ (x : G), g x ∂μ)
a b m n p : ℕ
⊢ a.factorizationLCMRight b ≠ 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0
h_diff : DifferentiableAt ℝ f z
⊢ (∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ↔ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
r : R
hri : r ∈ I
s : R
hsj : s ∈ J
⊢ f r * f s ∈ map f I * map f J
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal
hp : 0 < p.toReal
⊢ Memℓp f p
L : Type u_1
K : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
x : 𝓞 L
⊢ ↑((algebraMap (𝓞 K) (𝓞 L)) ((RingOfIntegers.norm K) x)) = (algebraMap K L) ((Algebra.norm K) ↑x)
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ y ⊓ z ⊔ y \ z = x ⊓ y ⊔ y \ z
x✝ : Unit
p : ℕ
⊢ Nat.Partrec.Code.G (x✝, List.map (fun n => let a := ofNat (ℕ × Code) n; List.map (evaln a.1 a.2) (List.range a.1)) (List.range p)).2 = some (let a := ofNat (ℕ × Code) p; List.map (evaln a.1 a.2) (List.range a.1))
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
LinearOrder ι
TopologicalSpace ι
SecondCountableTopology ι
OrderTopology ι
MeasurableSpace ι
BorelSpace ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
DiscreteTopology ι
hu : MeasureTheory.Adapted f u
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
n : ι
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (MeasureTheory.stoppedProcess u τ n)
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t : Finset α
⊢ ↑(s ⊻ t) = ↑s ⊻ ↑t
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
x : α
y : β
⊢ e.symm y = x ↔ y = e x
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra K S
x : S
hx : IsIntegral K x
i : Fin (minpoly K x).natDegree
⊢ (powerBasisAux hx) i = ⟨x, ⋯⟩ ^ ↑i
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : ∀ (x : X), ∃ g, ContinuousAt g (f x) ∧ g (f x) = x ∧ Function.RightInverse g f
⊢ IsOpenMap f
G : Type w
TopologicalSpace G
Inv G
ContinuousInv G
x y : G
h : Inseparable x y
⊢ Inseparable x⁻¹ y⁻¹
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
AddAction α β
a : α
s : Set β
⊢ (a +ᵥ s).Finite ↔ s.Finite
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
d : ℝ≥0
s : Set X
h : μH[↑d] s ≠ 0
h' : μH[↑d] s ≠ ⊤
⊢ dimH s = ↑d
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
m n k : α
⊢ lcm m n ∣ lcm m (k * n)
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
⊢ {p | ∅ ⊆ ↑p} = ∅ ↔ Set.univ = ∅
G : Type w
TopologicalSpace G
Neg G
ContinuousNeg G
a : G
⊢ Filter.Tendsto Neg.neg (𝓝 a) (𝓝 (-a))
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)
ht : #↑t = Module.rank R (M ⧸ Submodule.span R s)
ht' : LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
sec : M ⧸ Submodule.span R s → M
hsec : ∀ (b : M ⧸ Submodule.span R s), Submodule.Quotient.mk (sec b) = b
hsec' : Submodule.Quotient.mk ∘ sec = id
hst : Disjoint s (sec '' t)
⊢ LinearIndependent (ι := ↑(s ∪ sec '' t)) R Subtype.val
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ A⁻¹ = Ring.inverse A.det • A.adjugate
G : Type u_10
AddGroup G
a b : G
⊢ (Equiv.subLeft a).symm b = -b + a
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
f : R →+* S
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)
hUV : V.carrier ⊆ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) ⁻¹' U.carrier
a b : R
hb : ∀ x ∈ U, b ∈ x.asIdeal.primeCompl
p : ↥(unop (op V))
⊢ IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime (↑p).asIdeal) (f a) ⟨f ↑⟨b, ⋯⟩, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localizations S ↑p) (f a) ⟨f b, ⋯⟩
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
t : Set β
MeasurableSpace.CountablyGenerated ↑t
h : MeasureTheory.NullMeasurable f μ
hft : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
⊢ AEMeasurable f μ
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E₁ E₂ : Set α
h : E₁ ⊆ E₂
⊢ Metric.thickening δ E₁ ⊆ Metric.thickening δ E₂
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
⊢ DoubleCentralizer.toProd 0 = 0
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑p) K)
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} K L
⊢ discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)
α : Type u_1
NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
⊢ ‖|a| - |b|‖ ≤ ‖a - b‖
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
h : 1 ≤ b
⊢ a ≤ a * b
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
p q : α × β
⊢ (Finset.Icc p q).card = (Finset.Icc p.1 q.1).card * (Finset.Icc p.2 q.2).card
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
HeytingAlgebra α
HeytingAlgebra β
HeytingAlgebra γ
f₁ f₂ : HeytingHom α β
g : HeytingHom β γ
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
ι : Type u_2
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
⊢ ∑ i ∈ s, NNReal.sqrt (f i) * NNReal.sqrt (g i) ≤ NNReal.sqrt (∑ i ∈ s, f i) * NNReal.sqrt (∑ i ∈ s, g i)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι
a : (a : ι) → π a
x✝ : a ∈ s
⊢ (∃ u, (∀ (a_1 : ι), IsOpen (u a_1) ∧ a a_1 ∈ u a_1) ∧ univ.pi u ⊆ s) → ∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ a i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
h : -1 < r.re ∨ r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑x ^ r = ↑b ^ (r + 1) / (r + 1) - ↑a ^ (r + 1) / (r + 1)
z : ℂ
⊢ (trace ℝ ℂ) z = 2 * z.re
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (φ.app x✝¹.X).f ≫ (G.map f.f).f
h' : (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f = (F.map f.f).f
h'' : (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f = (F.map f.f).f
⊢ (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f
q₁ q₂ : Λ'
s : Option Γ'
c d : List Γ'
v : List ℕ
n : ℕ
a : PosNum
⊢ ∀ (l₁ : List Γ'), ∃ l₁' l₂' s', l₁.reverseAux (trPosNum a) = l₁'.reverseAux l₂' ∧ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (q₁.pred q₂), var := s, stk := elim (trPosNum a.succ ++ Γ'.cons :: trList v) l₁ c d } { l := some (unrev q₂), var := s', stk := elim (l₂' ++ Γ'.cons :: trList v) l₁' c d }
R : Type u
M : Type v
AddCommGroup M
Ring R
Module R M
S : Submodule R M
S.IsPrincipal
⊢ Submodule.IsPrincipal.generator S ∈ S
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : ↥(Lp H 1 μ)
⊢ ‖f‖ = ∫ (a : α), ‖↑↑f a‖ ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
this : ⟪y, x⟫_ℝ = ⟪x, y⟫_ℝ
⊢ ⟪x, x⟫_ℝ + ⟪x, y⟫_ℝ + ⟪x, y⟫_ℝ = ⟪x, x⟫_ℝ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ
q : ℚ
⊢ 0 ≤ q → 0 ≤ -q → q = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α
h : x.1 + x.2 = ↑l
⊢ x ∈ ↑(powersetAux l).revzip
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
s : Perm α →* ℤˣ
hs : Surjective ⇑s
this : ∀ {f : Perm α}, f.IsSwap → s f = -1
f : Perm α
l : List (Perm α)
hl₁ : l.prod = f
hl₂ : ∀ g ∈ l, g.IsSwap
hsl : ∀ a ∈ List.map (⇑s) l, a = -1
⊢ s f = sign f
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] E
h : LinearMap.IsProj p f
⊢ f =
  ↑(p.prodEquivOfIsCompl (LinearMap.ker f) ⋯) ∘ₗ
    LinearMap.id.prodMap 0 ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl (LinearMap.ker f) ⋯).symm
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h : a ≠ 0
p q : ℚ
⊢ volume (Ioo ↑p ↑q) = (ofReal |a| • Measure.map (fun x => a * x) volume) (Ioo ↑p ↑q)
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ
⊢ Convex ℝ (Metric.cthickening δ s)
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : ¬sin (↑π * z) = 0
this : ↑π / sin (↑π * z) = 1 * (↑π / sin (↑π * z))
⊢ Tendsto (fun n => ↑n / (↑n + 1 - z)) atTop (𝓝 1)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
inst✝ : Archimedean α
hδ : 0 < δ
m : ℕ
hm : b - a ≤ m • δ
⊢ ∃ m, ∀ n ≥ m, ↑(addNSMul h δ n) = b
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑R
⊢ f ≫ toPushforwardStalk f p = toOpen ↑R ⊤ ≫ (Spec.sheafedSpaceMap f).c.app (op ⊤) ≫ ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.sheafedSpaceMap f).base).obj (Spec.sheafedSpaceObj S).presheaf).germ ⟨p, True.intro⟩
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
h : ker f ⊔ ker g = ⊤
⊢ ∀ (a : M₂) (b : M₃) (x : M), f x = a → ∀ (x : M), g x = b → ∃ y, (f y, g y) = (a, b)
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
z : ↑((extendScalars f).obj X)
⊢ (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) z = g z
c : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Iic c, rexp x = rexp c
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M (regular Y) N, inv := AssociatorBimod.inv M (regular Y) N, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (isoOfIso { hom := LeftUnitorBimod.hom N, inv := LeftUnitorBimod.inv N, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom).hom = (whiskerRight (isoOfIso { hom := RightUnitorBimod.hom M, inv := RightUnitorBimod.inv M, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom N).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
p : α → Prop
f g : α → β
(a : α) → Decidable (p a)
hp : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, f a = g a
hf : ContinuousOn f (closure {x | p x})
hg : ContinuousOn g (closure {x | ¬p x})
⊢ Continuous fun a => if p a then f a else g a
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_8
β : ι → Type u_9
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (i : ι) → Ω → β i
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun m f κ μ ↔
  ∀ (S : Finset ι) {sets : (i : ι) → Set (β i)},
    (∀ i ∈ S, MeasurableSet (sets i)) → ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ S, f i ⁻¹' sets i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (f i ⁻¹' sets i)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a✝ : ⨂[R]^na M
b✝ : ⨂[R]^nb M
c✝ : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M := fun n m => (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ mul na nb
lhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)
rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ mul nb nc)).flip
rhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
c : Fin nc → M
⊢ (tprod R) (Fin.append (Fin.append a b) c ∘ Fin.cast ⋯) = (tprod R) (Fin.append a (Fin.append b c))
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
x y : E
s t : Set E
⊢ ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) * (ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E))⁻¹ * (μ s * (μ t)⁻¹) = μ s / μ t
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
h₀ : ¬R = 0
h : IntegrableOn (fun θ => (circleMap 0 R θ * I) • f (circleMap c R θ)) (Ι 0 (2 * π)) volume
⊢ IntegrableOn (fun θ => f (circleMap c R θ)) (Ι 0 (2 * π)) volume
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
l : ℕ
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : ι → ι → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s t : Finset ι
x : 𝕜
hst : s ⊆ t
f : ι → 𝕜
d : 𝕜
hx : 0 ≤ x
hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|
ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
hscard : 0 < ↑s.card
htcard : 0 < ↑t.card
⊢ d + ↑s.card / ↑t.card * x ^ 2 ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) / ↑t.card
R : Type u
M M₁ : Type v
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module R M
Module R M₁
f : M →ₗ[R] M₁
i : Function.Injective ⇑f
⊢ Module.rank R M ≤ Module.rank R M₁
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ↑↑(f - g) =ᵐ[μ] ↑↑f - ↑↑g
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ Filter.Tendsto Prod.swap (𝓤 α) (𝓤 α)
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
hb : 1 ≤ 1
⊢ CNF 1 o = [(0, o)]
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.toList.isEmpty = true ↔ s = ∅
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
Invertible A.det
⊢ A.unitOfDetInvertible = A.nonsingInvUnit ⋯
M : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid M
ExistsAddOfLE M
a b c : M
⊢ (fun x => a + x) '' Set.Ioc b c = Set.Ioc (a + b) (a + c)
a b c : ℕ
H2 : 3 * a ≤ b + c
h : b < 2 * c
⊢ a + b < 3 * c
z : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
aux : ∀ (a b c d : ℂ), a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
⊢ z.GammaSeq n * (1 - z).GammaSeq n = ↑n / (↑n + 1 - z) * (1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)))
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
x y : FreeAlgebra R M
h : Rel R M x y
⊢ ((FreeAlgebra.lift R) ⇑f) x = ((FreeAlgebra.lift R) ⇑f) y