ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
ι : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c : ι → α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
r : ι → ℝ
hs : IsClosed s
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ ball (c i) (r i)}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
v : ι → Set α
hsv : s ⊆ iUnion v
hvc : ∀ (i : ι), IsClosed (v i)
hcv : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r i)
⊢ ∃ r', s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i < r i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s μ
H : μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
⊢ False
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hKU : closure K ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ t, closure K ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
k' : α
l : β
hs : ∀ (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k' l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (k', b)
b : K →+* ℂ
⊢ a k' l = 0 k' l
a b : Int
⊢ a * b = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
this✝¹ : IsDomain C
this✝ : NoZeroSMulDivisors A L
this : NoZeroSMulDivisors A C
⊢ IsLocalization (algebraMapSubmonoid C A⁰) L
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
A A' : Matrix ι ι R
f f' : Module.End R M
h : (PiToModule.fromMatrix R b) A = (PiToModule.fromEnd R b) f
h' : (PiToModule.fromMatrix R b) A' = (PiToModule.fromEnd R b) f'
⊢ (PiToModule.fromMatrix R b) (A + A') = (PiToModule.fromEnd R b) (f + f')
α : Type u
Ring α
LinearOrder α
a b : α
MulPosMono α
PosMulMono α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h₁ : a ≤ b
h₂ : -a ≤ b
⊢ a * a ≤ b * b
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ ⇑(normSeminorm 𝕜 E) = norm
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
v : Π₀ (i : ι), β i
f : (i : ι) → β i → γ
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 1
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, x ∉ v.support → f x (v x) = 1
R : Type u_2
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
N : Type u_9
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid N
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
Q₃ : QuadraticMap R M₃ N
h : Q₁.Equivalent Q₂
h' : Q₂.Equivalent Q₃
⊢ Q₁.Equivalent Q₃
ι : Type u_2
Fintype ι
β : ι → Type u_5
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp 2 β
⊢ dist x y = √(∑ i : ι, dist (x i) (y i) ^ 2)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace F
NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
k : ℕ
hk : ↑k ≤ N
x : E
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 k (fun y => ∑' (n : α), f n y) x = ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x
α : Type u_1
MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
Nonempty α
CompleteSpace α
x : α
n : ℕ
⊢ dist (f^[n] x) (ContractingWith.fixedPoint f hf) ≤ dist (f^[n] x) (f^[n + 1] x) / (1 - ↑K)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r
h_meas : Measurable fun ω => (1 + ‖ω‖) ^ (-r)
h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)
⊢ ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ (1 + ‖a‖) ^ (-r)} < ⊤
ι : Type u_1
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i
⊢ (∑ i ∈ s, w i) / ∑ i ∈ s, w i / z i ≤ (∏ i ∈ s, z i ^ w i) ^ (∑ i ∈ s, w i)⁻¹
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.Regular
s : Set G
hs : IsOpen s
⊢ μ s = 0 ↔ s = ∅ ∨ μ = 0
G H : AddCommGrp
i : ↑(CategoryTheory.Limits.BinaryBiproduct.bicone G H).toCone.pt
⊢ (G.biprodIsoProd H).hom i = (CategoryTheory.Limits.biprod.fst i, CategoryTheory.Limits.biprod.snd i)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s ∩ (t \ u) = (s ∩ t) \ u
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ (X * (mapRingHom f) (W.ΨSq n) - (mapRingHom f) (W.preΨ (n + 1)) * (mapRingHom f) (W.preΨ (n - 1)) * if Even n then 1 else (mapRingHom f) W.Ψ₂Sq) = (mapRingHom f) (X * W.ΨSq n - W.preΨ (n + 1) * W.preΨ (n - 1) * if Even n then 1 else W.Ψ₂Sq)
G : Type w
TopologicalSpace G
Div G
ContinuousDiv G
a : G
⊢ Continuous fun x => x / a
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : Ordinal.IsNormal f
a o : Ordinal.{u}
ha : a.IsLimit
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hg : a.IsFundamentalSequence o g
⊢ (f a).IsFundamentalSequence o fun b hb => f (g b hb)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥
h : s.Nonempty
⊢ f (sSup s) = sSup (f '' s)
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_8
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
f : X → Matrix m n R
a : Matrix m n R
hf : HasSum f a
⊢ HasSum (fun x => (f x)ᵀ) aᵀ
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
⊢ LSeries.term (fun x => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑x))) s n = ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
hP0 : ¬P = ⊥
P' : Submonoid S := Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
this : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S
⊢ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R (I * J)) = map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R I * spanNorm R J)
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
h : ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i ≠ 0
⊢ ∃ x ∈ s, f x ≠ 0
α : Type u_2
Add α
s t : Set α
a b : α
⊢ a ∈ s → b ∈ t → a + b ∈ s + t
x y : ℝ
hy : 0 ≤ y
⊢ √x ≤ √y ↔ x ≤ y
n : ℕ∞
k : ℕ
⊢ n ≤ ↑k ↔ ∃ n₀, n = ↑n₀ ∧ n₀ ≤ k
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
A B : Action V G
⊢ ((Action.functorCategoryMonoidalEquivalence V G).μ A B).app PUnit.unit =
  𝟙
    ((CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj ((Action.functorCategoryMonoidalEquivalence V G).obj A)
          ((Action.functorCategoryMonoidalEquivalence V G).obj B)).obj
      PUnit.unit)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y
x : X
g : Y → Z
hg : ContinuousAt g (f x)
hf : ContinuousAt f x
⊢ ContinuousAt (g ∘ f) x
s : String
p : String.Pos
⊢ p < s.next p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.ShortExact
⊢ hS.singleTriangleIso.hom.hom₃ = ((DerivedCategory.singleFunctorsPostcompQIso C).hom.hom 0).app S.X₃
ι : Type u_1
G : Type u_2
AddGroup G
ConditionallyCompleteLattice G
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty ι
f : ι → G
hf : BddAbove (Set.range f)
a : G
⊢ (⨆ i, f i) - a = ⨆ i, f i - a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : ¬r = 0
rinv : r * r⁻¹ = 1
rinv' : r⁻¹ * r = 1
⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddMonoid α
h : Periodic f c
n : ℕ
⊢ Periodic f (n • c)
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
hab : 0 ≤ a • b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
ha : a < 0
⊢ a • b < 0
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
ι : Type u_3
t : Finset ι
φ : ι → MvPolynomial σ R
DecidableEq σ
⊢ (∑ i ∈ t, φ i).vars ⊆ t.biUnion fun i => (φ i).vars
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B X : C
g : X ⟶ B
CategoryTheory.Mono g
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasImage f
h : A ⟶ X
w : h ≫ g = f
⊢ CategoryTheory.Limits.imageSubobject f ≤ CategoryTheory.Subobject.mk g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
α : Type u_1
Preorder α
s : NonemptyInterval α
a : α
⊢ a ∈ s ↔ s.toProd.1 ≤ a ∧ a ≤ s.toProd.2
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
v : M
this : NoZeroSMulDivisors ℕ M
⊢ 2 • v = 0 ↔ v = 0
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
n : ℕ
⊢ ↑n ∈ S
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M N P : Submodule R A
⊢ M * (N ⊔ P) = M * N ⊔ M * P
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
h : H.IsCommutative
⊢ H ≤ AddSubgroup.centralizer ↑H
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
this : cs.wordProd (alternatingWord i i' (M.M i i')) = cs.wordProd (alternatingWord i' i (M.M i' i))
⊢ cs.wordProd (braidWord M i i') = cs.wordProd (braidWord M i' i)
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
hn : p ^ n ≤ Nat.card G
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : Finite G
m : ℕ
hm : Nat.card G = p ^ m
⊢ ∃ H, Nat.card ↥H = p ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
⊢ IsCauSeq abv (-f) ↔ IsCauSeq abv f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
⊢ StarConvex 𝕜 (x + z) ((fun x => x + z) '' s)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedSpace 𝕜 E
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F F' : 𝕜 → ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ Metric.ball x₀ ε, ‖F' x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ Metric.ball x₀ ε, HasDerivAt (fun x => F x t) (F' x t) x
⊢ IntervalIntegrable (F' x₀) μ a b ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
p n : ℕ
hp : Prime p
hn : n ∈ factoredNumbers (Finset.range p)
⊢ p.Coprime n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
SmoothManifoldWithCorners I M
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : AddCommMonoid α
f : κ → α
s : Finset κ
i : ι
⊢ ∑ g ∈ piFinset fun x => s, f (g i) = s.card ^ (card ι - 1) • ∑ b ∈ s, f b
α : Type u
Group α
x y : GroupTopology α
⊢ (x ⊓ y).toTopologicalSpace = x.toTopologicalSpace ⊓ y.toTopologicalSpace
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x (r • y) = InnerProductGeometry.angle x (-y)
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_3
Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type u_2
Quiver W
ψ : V ⥤q W
u : U
⊢ (φ ⋙q ψ).costar u = ψ.costar (φ.obj u) ∘ φ.costar u
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S y
⊢ slope f x y < derivWithin f S y
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
h' : rootMultiplicity t p ≤ n
hroot : eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = 0
q : R
hnzd : ↑(rootMultiplicity t p).factorial ∈ nonZeroDivisors R ∧ q ∈ nonZeroDivisors R
hq : ↑n.factorial = ↑(rootMultiplicity t p).factorial * q
⊢ False
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H ≤ H.normalizer
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
h : Irreducible x
y z : R
hz : x = y * (y * z)
⊢ IsUnit y
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : List α
IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s
has : a ∉ s.toFinset
⊢ f a * ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s = f a * ∏ x ∈ s.toFinset, f x ^ count x (a :: s)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ
hT₁ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₂ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
c : (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂)).obj₁ ⟶ (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁)).obj₁
hc₁ : (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂)).mor₁ ≫ b.unop = c ≫ (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁)).mor₁
hc₂ : (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂)).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map c = a.unop ≫ (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁)).mor₃
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hint : ∀ k ∈ Set.Ico m n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))
⊢ ∑ k ∈ Finset.Ico m n, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a m..a n, f x ∂μ
α : Type u_1
M : Type u_3
Zero M
s t : Set α
f g : α → M
l : Filter α
hf : f =ᶠ[l ⊓ 𝓟 s] g
hs : s =ᶠ[l] t
⊢ s.indicator f =ᶠ[l] t.indicator g
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
b : β
hb : b ∈ Set.range f
⊢ ∃! a, f a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set ℝ
h : Bornology.IsBounded s
hne : s.Nonempty
x : ℝ
hx : x ∈ s
y : ℝ
hy : y ∈ s
⊢ dist x y ≤ sSup s - sInf s
E : Type u_2
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
TopologicalAddGroup E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
t : Set E
x : E
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsOpen t
disj : x ∉ t
⊢ ∃ f, ∀ b ∈ t, f x < f b
M : Type u_2
MonoidWithZero M
x r : M
hr : r ∈ M⁰
⊢ x * r = 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
hwf : WellFounded r
⊢ WellFounded (List.lex_chains r)
o : ONote
x✝ : NF 0
h₂ : o.NF
⊢ (0 * o).repr = repr 0 * o.repr
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.Countable ↔ #↑s < aleph 1
E : Type u_4
Group E
p : GroupSeminorm E
⊢ p.comp (MonoidHom.id E) = p
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
U : Set G
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
h : μ U = 0
⊢ μ K = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
⊢ (M ↾ X).Base I ↔ M.Basis' I X
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
t : ℝ
ht : 1 ≤ t
x : X
⊢ (F.extend t) x = f₁ x
C : Type u₁
𝒞 : CategoryTheory.EnrichedCategory (Type v) C
D : Type u₂
𝒟 : CategoryTheory.EnrichedCategory (Type v) D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
f : CategoryTheory.EnrichedCategory.Hom X Y
⊢ (CategoryTheory.enrichedFunctorTypeEquivFunctor.symm F).map X Y f = F.map f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ 1 < ↑p
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
⊢ IsConnected {x}
α : Type u_1
y a : α
BEq α
LawfulBEq α
l : List α
⊢ decide (y ∈ a :: l) = (y == a || decide (y ∈ l))
R : Type u_1
Semiring R
r : R → R → Prop
⊢ RingQuot.mkRingHom r =
  { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (RingQuot.Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯,
    map_add' := ⋯ }
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
k : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ
⊢ ∃ σ, φ.comp ↑σ.symm = ψ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
⊢ t₁.points i₁ ≠ t₁.points i₂ ∧ t₁.points i₁ ∈ affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) ∧ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
⊢ ∑' (x : β), 0 = 0
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hfg : ¬f + g = 0
hf : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
hg : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) g ≠ 0
⊢ valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (valAux K v O hv p f) (valAux K v O hv p g)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ ω.cof ≤ ω.card
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ z ∈ closedBall z₀ ρ, z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ f * g
A : (fun x => (f x)⁻¹ * i x) ≤ g
⊢ ∫⁻ (a : α), i a ∂μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ.withDensity f
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
CommSemiring E
Semiring K
SMul F E
Algebra E K
CommSemiring F
Algebra F K
IsScalarTower F E K
L : Subalgebra F K
ι : Type u_4
bL : Basis ι F ↥L
⊢ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin E ↑L) = Submodule.span E (Set.range fun i => ↑(bL i))
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝¹ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝ : DecidableEq α
P : Finpartition s
t : Finset β
⊢ (interedges r s t).card = ∑ a ∈ P.parts, (interedges r a t).card
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
⊢ {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}.Countable
a c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < 0 → 0 < a → c ≠ ⊤
hab : 0 < a
⊢ (a - 0) * c = a * c - 0 * c
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Lattice (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
⊢ Icc (update f i (a ⊓ b)) (update f i (a ⊔ b)) = uIcc (update f i a) (update f i b)
A B : CommGrp
f : A ⟶ B
⊢ Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | ∀ (i : ι), f i x = f i x₀} x₀
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
val✝ : Fintype ι
⊢ ¬∀ (g : Option ι → ℝ), ∑ i : Option ι, g i • Option.elim' φ' f' i = 0 → ∀ (i : Option ι), g i = 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
n : ℕ
α : A₁ ⟶ A₂
⊢ F.map (n • α.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (n • α.f)
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
⊢ s ≤ᵐ[μ] t ↔ μ (s \ t) = 0
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
hf : Function.Injective ⇑φ
y : FractionRing R[X]
y✝ : R[X] × ↥R[X]⁰
h : (map φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 } = (map φ hφ) { toFractionRing := y }
⊢ { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 } = { toFractionRing := y }
R : Type u_2
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_8
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid N
Module R M₁
Module R M₂
Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
self : Q₁ →qᵢ Q₂
m : M₁
⊢ Q₂ (self.toFun m) = Q₁ m
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : ↥(Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ Memℒp (↑(Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f)) 1 μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
X : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitIsoFlipCompLim F).inv.app X = (CategoryTheory.Limits.limitObjIsoLimitCompEvaluation F X).inv