ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts D
F : C ⥤ D
A B : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprodComparisonNatTrans F A).app B = CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A B
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
⊢ IsOpen (X.toRingedSpace.basicOpen r).carrier
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
n : ℕ
x : ℤ_[p]
a b : ℤ
ha : x - ↑a ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
hb : x - ↑b ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
⊢ ↑a = ↑b
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsAtomistic α
b : αᵒᵈ
⊢ ∃ s, b = sInf s ∧ ∀ a ∈ s, IsCoatom a
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
L R : ListBlank Γ
n : ℕ
⊢ (mk' L R).nth ↑n = R.nth n
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
heq : ¬b = a
h' : l₁ <+ l₂.erase b
⊢ ((l₂.erase b).erase a).diff (l₁.erase a) <+ (l₂.erase b).diff l₁
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ ∀ (f g : PolynomialModule R M), (eval r) (p • f) = Polynomial.eval r p • (eval r) f → (eval r) (p • g) = Polynomial.eval r p • (eval r) g → (eval r) (p • (f + g)) = Polynomial.eval r p • (eval r) (f + g)
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : Commute f g
n : ℕ
⊢ dist ((fun n => (f ^ n) 0 + (g ^ n) 0) n) ((f ^ n * g ^ n) 0) ≤ 1
n✝ p : ℕ
p_prime : Prime p
m n k l : ℕ
hpm : p ^ k ∣ m
hpn : p ^ l ∣ n
hpmn : p ^ (k + l + 1) ∣ m * n
hpd : p ^ (k + l) * p ∣ m * n
hpd2 : p ∣ m * n / p ^ (k + l)
hpd3 : p ∣ m * n / (p ^ k * p ^ l)
hpd4 : p ∣ m / p ^ k * (n / p ^ l)
hpd5 : p ∣ m / p ^ k ∨ p ∣ n / p ^ l
⊢ p ^ k * p ∣ m ∨ p ^ l * p ∣ n
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₁ →+* R
hf : LeftInverse ⇑f ⇑g
X : MvPolynomial σ S₁
⊢ (map f) ((map g) X) = X
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
x : ↥S.leftNeg
⊢ ↑x + ↑(S.fromLeftNeg x) = 0
α : Sort u_1
β : Sort u_2
r : α → β → Prop
⊢ (∀ (a : α), ∃! b, r a b) ↔ ∃ f, ∀ {a : α} {b : β}, r a b ↔ f a = b
M : Type u_4
N : Type u_5
Monoid M
Monoid N
R : M → N → Prop
h : R 1 1
hf : (R ⇒ R ⇒ R) (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x * x_1
⊢ (List.Forall₂ R ⇒ R) List.prod List.prod
s : ℂ
hs : s ≠ 0
⊢ 2 * ((2 * ↑π) ^ (-s) * (2 * ↑π)⁻¹) * (s * Gamma s) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Gamma s * s / 2 / ↑π
α : Type u
ι : Sort w
r : α → α → Prop
IsTotal α r
f : ι → α
⊢ Directed r f
α : Type u
f : α → Option α
l : List α
⊢ (List.lookmap f l).length = l.length
α : Type u_6
SemilatticeSup α
Nonempty α
Filter.atTop.IsCountablyGenerated
⊢ ∃ xs, Monotone xs ∧ Filter.Tendsto xs Filter.atTop Filter.atTop
F : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module ℝ F
inst✝³ : TopologicalSpace F
E : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set F
h : AmpleSet s
L : E ≃ᵃL[ℝ] F
⊢ AmpleSet (⇑L.symm '' s)
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FinitePresentation
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Y' Z Z' : C
CategoryTheory.ExactPairing Y Y'
f : Y' ⊗ X ⟶ Z
g : Z ⟶ Z'
⊢ (CategoryTheory.tensorLeftHomEquiv X Y Y' Z') (f ≫ g) = (CategoryTheory.tensorLeftHomEquiv X Y Y' Z) f ≫ Y ◁ g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := B.toSeminormFamily
h : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' : (Filter.pi fun x => 𝓝 0).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun If => If.1.pi fun i => Metric.ball 0 (If.2 i)
h'' : (Filter.comap (fun x y => (B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun i => (fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)
U : Set E
s : Finset F
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
x : E
hx : ∀ i ∈ s, ‖(B x) i‖ < r
⊢ x ∈ _root_.id ((s.sup p).ball 0 r)
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
s : Set ι
⊢ AlgebraicIndependent R (x ∘ Subtype.val) ↔ ∀ p ∈ MvPolynomial.supported R s, (MvPolynomial.aeval x) p = 0 → p = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g✝ : β → α
g : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hfg : EqOn f g s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • g x + b • g y ≤ g (a • x + b • y)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.InitialMonoClass C
B : C
⊢ ⊥ = CategoryTheory.Subobject.mk (CategoryTheory.Limits.initial.to B)
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f : M →ₛₗ[σ] M₃
⊢ ⇑f.toAddHom = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys : List α
n : ℕ
⊢ List.sym 1 xs = map (fun x => x ::ₛ Sym.nil) xs
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : R
⊢ IsPrimePow n ↔ ∃ p k, Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
x : M
⊢ Quotient.mk' x = Submodule.Quotient.mk x
M : Type u_1
AddMonoid M
x : AddUnits M
⊢ ↑(AddSubmonoid.addUnitsTypeEquivIsAddUnitAddSubmonoid x) = ↑x
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
⊢ (c.embedding (c.index j)) (c.invEmbedding j) = j
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts
⊢ t.card ≤ s.card / P.parts.card + 1
ι : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Monoid M
Monoid N
Monoid P
l : List ι
f : M → N → P
hf : ∀ (a b : M) (c d : N), f (a * b) (c * d) = f a c * f b d
hf' : f 1 1 = 1
f₁ : ι → M
f₂ : ι → N
⊢ (List.map (fun i => f (f₁ i) (f₂ i)) l).prod = f (List.map f₁ l).prod (List.map f₂ l).prod
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
⊢ m + n ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
⊢ v 1 = 1
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
hx : x ≠ 0
hex : ∃ k, x.coeff k ≠ 0
n : ℕ := Nat.find hex
i : ℕ
hi : i < n
⊢ ¬¬x.coeff i = 0
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x : α
inst : OrientedCmp cmp
t : RBNode α
⊢ (ins cmp x t).reverse = ins (flip cmp) x t.reverse
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ (p + q).vars ⊆ p.vars ∪ q.vars
α : Sort u
β : Sort v
f : α ≃ β
⊢ Function.RightInverse ⇑f.symm ⇑f
a : UnitAddCircle
n : ℕ
⊢ cosZeta a (-2 * (↑n + 1)) = 0
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Monovary f g → Antivary (⇑OrderDual.toDual ∘ f) g
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i
⊢ LinearIndependent k fun i_1 => f.linear (p ↑i_1 -ᵥ p i)
α : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : Finite α
s : { s // SupIrred s }
inst✝ : Fintype ↥↑s
⊢ supIrredLowerSet.symm s = (↑↑s).toFinset.sup id
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
IsScalarTower R A P
AddCommMonoid Q
Module R Q
m : M
n : N
p : P
q : Q
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.tensorTensorTensorComm R A M N P Q) ((m ⊗ₜ[R] n) ⊗ₜ[A] p ⊗ₜ[R] q) =
  (m ⊗ₜ[A] p) ⊗ₜ[R] n ⊗ₜ[R] q
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ (Finset.Ico a b).card = ↑b - ↑a
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x y L : R
⊢ Y - C (C y) + C (X - C x) * C (C (-L)) = Y - C (C L * (X - C x) + C y)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b a : α
f : ι → α
⊢ a ⊓ ⨆ i, f i = ⨆ i, a ⊓ f i
x y : ℝ
h : rexp x = 0
⊢ cexp ↑x = 0
α : Type u_1
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × ℝ)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
⊢ ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF κ.condKernelCDF κ κ.fst
α : Type u
s : Computation α
h : s.Terminates
a : α
p : s.Promises a
⊢ a ∈ s
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
BR : RingFilterBasis R
B : ι → Submodule R M
self : BR.SubmodulesBasis B
i j : ι
⊢ ∃ k, B k ≤ B i ⊓ B j
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
d : 𝕜'
⊢ HasDerivAt (fun x => c x / d) (c' / d) x
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
c : Set (Module.Baer.ExtensionOf i f)
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
⊢ IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun x => x.toLinearPMap) '' c)
ι : Type u_1
α : Type u_2
Preorder α
TopologicalSpace α
BoundedLENhdsClass α
f : Filter ι
u : ι → α
a : α
f.NeBot
h : Filter.Tendsto u f (𝓝 a)
⊢ Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
H : ∃ n, p n
m : ℕ
⊢ m < Nat.find H → ¬p m
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
Group α
DistribMulAction α A
a : α
S : AddSubmonoid A
x : A
⊢ x ∈ a • S ↔ a⁻¹ • x ∈ S
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra R S
ι : Type u_1
f : ι → R[X]
s : Finset ι
h : s.prod f ≠ 0
⊢ (s.prod f).rootSet S = ⋃ i ∈ s, (f i).rootSet S
X : Type u_1
TopologicalSpace X
F : Set X
⊢ IsPathConnected F ↔ F.Nonempty ∧ ∀ x ∈ F, ∀ y ∈ F, JoinedIn F x y
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
⊢ AffineSubspace.comap f ⊥ = ⊥
G : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N
R : Type u_7
M : Type u_8
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : ι → R
x : M
⊢ (∑ᶠ (i : ι), f i) • x = ∑ᶠ (i : ι), f i • x
α : Type u_1
LinearOrder α
f : α → ℝ
s : Set α
h : LocallyBoundedVariationOn f s
⊢ ∃ p q, MonotoneOn p s ∧ MonotoneOn q s ∧ f = p - q
ι : Type u_10
R : Type u_11
Unique ι
Semiring R
i : ι
⊢ (Basis.singleton ι R) i = 1
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Iic a ⊆ Set.Iio b ↔ a < b
α : Type u
inst✝ : DivisionMonoid α
⊢ ∀ (u₁ u₂ : αˣ), ↑(u₁ / u₂) = ↑u₁ / ↑u₂
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ log (y ^ 1) / y ^ a ≤ log (x ^ 1) / x ^ a
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
⊢ UniformContinuous fun a => ‖a‖₊
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₁₂₄₅ : Submodule.span ℝ {p₁ -ᵥ p₂} = Submodule.span ℝ {p₄ -ᵥ p₅}
h₃₂₆₅ : Submodule.span ℝ {p₃ -ᵥ p₂} = Submodule.span ℝ {p₆ -ᵥ p₅}
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
SmoothManifoldWithCorners I M
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ Function.Bijective ⇑(mfderiv I I' (↑e) x)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ (Set.Icc a b).OrdConnected
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesAt f p x
⊢ ‖id (x, x) - (x, x)‖ = 0
M : Type u_1
α : Type u_2
Monoid M
MulAction M α
s : Set α
m : M
⊢ m ∈ fixingSubmonoid M s ↔ ∀ y ∈ s, m • y = y
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
x : D
⊢ (adj2.homEquiv (G.obj x) x).symm ((adj1.rightAdjointUniq adj2).hom.app x) = adj1.counit.app x
m : Type u_1 → Type u_2
ρ α β : Type u_1
Monad m
x : ReaderT ρ m α
f : α → ReaderT ρ m β
ctx : ρ
⊢ (x >>= f).run ctx = do
  let a ← x.run ctx
  (f a).run ctx
α : Type u_1
HasCompl α
a : α
⊢ Heyting.IsRegular a → aᶜᶜ = a
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
⊢ Path.Homotopic (GenLoop.toLoop i p) (GenLoop.toLoop i q) → GenLoop.Homotopic p q
R : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
SMul R ℝ
SMul R ℝ≥0
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p q : Seminorm 𝕜 E
⊢ r • (p ⊓ q) = r • p ⊓ r • q
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
S : ι → Set X
hc : s.Countable
hcomp : ∀ i ∈ s, IsSigmaCompact (S i)
this : Countable ↑s
⊢ IsSigmaCompact (⋃ x, S ↑x)
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
x : 𝕂
⊢ HasDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) (NormedSpace.exp 𝕂 x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
a : α
f : β → α
⊢ ⨆ o, o.elim a f = a ⊔ ⨆ b, f b
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
DecidableEq m
NonUnitalNonAssocSemiring α
v : m → α
x : α
i : m
⊢ v ⬝ᵥ Pi.single i x = v i * x
n : ℕ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
a : E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
⊢ TorusIntegrable (fun x => a) c R
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι✝ : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜✝
inst✝⁶ : AddCommGroup E✝
inst✝⁵ : Module 𝕜✝ E✝
p✝ : SeminormFamily 𝕜✝ E✝ ι✝
inst✝⁴ : Nonempty ι✝
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
⊢ U ∈ 𝓝 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ s.erase a ≤ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
s : Set E
x y : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
h : x ≠ y
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
L.Faithful
L.Full
X : D
⊢ CategoryTheory.IsIso (h.counit.app X) ↔ X ∈ L.essImage
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
Add A
Add B
Mul A
Mul B
SMul R A
SMul R B
Star A
Star B
Add C
Mul C
SMul R C
Star C
e₁ : A ≃⋆ₐ[R] B
e₂ : B ≃⋆ₐ[R] C
x : A
⊢ (e₁.trans e₂) x = e₂ (e₁ x)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (Sigma σ)
⊢ (∀ (i : ι), IsOpen s) ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (Sigma.mk i ⁻¹' s)
x y : ℝ
⊢ AntitoneOn (fun x => log x / x ^ (1 / 2)) {x | rexp 2 ≤ x}
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
h : ∀ ε > 0, b - ε ≤ a
⊢ b ≤ a
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
⊢ (wittStructureInt p Φ n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X
⊢ Dense s ↔ ∀ (x : X), f x ∈ closure (f '' s)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
IsNoetherian R M
IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (LieModule.weightSpace (↥↑N) 0) (LieModule.posFittingComp R L ↥↑N)
⊢ IsCompl (LieModule.weightSpace M 0) (LieModule.posFittingComp R L M)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
α' : Type u_8
tX : TopologicalSpace X
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → X → α'
S : Set X
⊢ EquicontinuousOn F S ↔ ∀ (k : κ), EquicontinuousOn F S
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
Countable G
MeasurableSpace G
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α ν
MeasurableSMul G α
μ : MeasureTheory.Measure (Quotient (MulAction.orbitRel G α))
MeasureTheory.QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
hasFun : MeasureTheory.HasFundamentalDomain G α ν
h : MeasureTheory.covolume G α ν ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
p : PrimeSpectrum R
hfp : f ∉ p.asIdeal
this : IsLocalization.mk' (Localizations R p) a ⟨b, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localizations R p) c ⟨d, ⋯⟩
⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ∉ ↑p.asIdeal
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
x : α
S : Set α
h : IsGenericPoint x S
f : α → β
hf : Continuous f
⊢ IsGenericPoint (f x) (closure (f '' S))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
Nontrivial E
⊢ Set.range nnnorm = Set.univ
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalRing α
x y : α
⊢ x - y ∈ closure 0 ↔ x - y ∈ ⊥.closure
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c✝ u a : αˣ
b c : α
h : b * ↑a = c * ↑a
⊢ b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∑' (a : α), f a * μ {a}
α : Type u_5
Monoid α
x : α
n : ℕ
hn : n ≠ 1
⊢ ¬Irreducible (x ^ n)
α : Type u_1
ι : Type u_3
CompleteLattice α
t : ι → α
ht : CompleteLattice.Independent t
⊢ Set.InjOn t {i | t i ≠ ⊥}
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
B : LinearMap.BilinForm R₂ M₂
f : M₂ →ₗ[R₂] M₂
⊢ (BilinForm.toMatrix b) (B.compRight f) = (BilinForm.toMatrix b) B * (LinearMap.toMatrix b b) f
α : Type u_2
DecidableEq α
Monoid α
s : Finset α
⊢ ∃ t ⊆ s, t.card = mulRothNumber s ∧ ThreeGPFree ↑t
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
m k : R
⊢ m % k + m / k * k = m
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
x✝ : M
f✝ : Dual R M
y : M
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
u : M ≃ₗ[R] M := reflection hg₁ * reflection hf₁
hu : ∀ (n : ℕ), ↑(u ^ n) = LinearMap.id + ↑n • LinearMap.smulRight (f - g) x
⊢ IsOfFinOrder u
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r
⊢ Integrable (fun x => (1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-r / 2)) μ
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
⊢ l.formPerm.toList (l.get ⟨0, ⋯⟩) = l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
S.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.cyclesIso.hom h.i = S.iCycles
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
n : Basis ι R ↥N
H : LinearMap.ker (M.mulRightMap ⇑n) = ⊥
this : AddCommGroup (ι →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup
⊢ M.LinearDisjoint N
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
S : Type u_9
Semiring S
Algebra R S
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
⊢ Function.Surjective ⇑((TensorProduct.mk R S M) 1)
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a - b < c
⊢ a < b + c
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
hu : m = 0
⊢ m + n = n
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
e : X ≃ᵈ X
⊢ DilationEquiv.toPerm e = e.toEquiv
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < x + 1
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atBot atBot
x : ℝ
⊢ ↑(hf.stieltjesFunction a) x ≤ (f a ∘ qs) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a,
  HasStrictFDerivAt.implicitFunction f f' hf hf' (f x)
      (↑(HasStrictFDerivAt.implicitToPartialHomeomorph f f' hf hf') x).2 =
    x
α : Type u_1
a : α
⊢ {a}.offDiag = ∅
R : Type u_1
CommRing R
a b : ℕ
h : a.Coprime b
⊢ IsCoprime ↑a ↑b
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
f : Module.End 𝕜 M
⊢ annIdeal 𝕜 f = Module.annihilator 𝕜[X] (Module.AEval' f)
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
ι : Type w
b : Basis ι R M
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
b' : ι
w : ∀ (x : κ), (b.repr (v x)) b' = 0
v' : Option κ → M := fun o => o.elim (b b') v
⊢ False
α : Type
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
dg : Dioph.DiophFn g
⊢ Dioph {v | f v ≠ g v}
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : ¬Prime p
⊢ p ^ n.factorization p = 1
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
hc : c < 0
⊢ c * a ≡ c * b [ZMOD c * n]
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
N n : ℕ
c : R
n✝ : ℕ
⊢ c * (X ^ n).coeff ((revAt N) n✝) = c * if n✝ = (revAt N) n then 1 else 0
x₁ y₁ x₂ y₂ : SetTheory.PGame
hx : x₁ ≈ x₂
hy : y₁ ≈ y₂
h : x₁ ≤ y₁
⊢ x₂ ≤ y₂
α : Type u
DivisionCommMonoid α
a : α
h : IsUnit a
b : α
⊢ a / (a * b) = b⁻¹
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : ℕ → Set α
h0 : IsComplete (s 0)
hs : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
h's : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (s n)
h : ∀ (N : ℕ), (⋂ n, ⋂ (_ : n ≤ N), s n).Nonempty
h' : Filter.Tendsto (fun n => Metric.diam (s n)) Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ (⋂ n, s n).Nonempty