ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
r : R
u : U
x✝¹ : Γ'
x✝ : Γ
⊢ (r • A (((of R).symm (B u)).coeff x✝¹)).coeff x✝ = r • (A (((of R).symm (B u)).coeff x✝¹)).coeff x✝
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
IsDedekindDomain S
Algebra R S
p : Ideal R
hp : Ideal.map (algebraMap R S) p ≠ ⊥
x : R
⊢ (Ideal.Factors.piQuotientEquiv p hp) ((algebraMap R (S ⧸ Ideal.map (algebraMap R S) p)) x) = fun x_1 =>
  (Ideal.Quotient.mk (↑x_1 ^ Ideal.ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑x_1)) ((algebraMap R S) x)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
⊢ IsIntegral F (gen F α) ↔ IsIntegral F α
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
ifp : IntFractPair K
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp
this : gp = { a := 1, b := ↑ifp.b }
⊢ gp.a = 1 ∧ ∃ z, gp.b = ↑z
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ MeasureTheory.levyProkhorovEDist μ ν ≤ max (μ Set.univ) (ν Set.univ)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ a - b ∈ Set.Ico c d ↔ a ∈ Set.Ico (c + b) (d + b)
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0
x : ℤ
hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x
y : ℤ
hy : f (σ 2) ^ 2 + f (σ 3) ^ 2 = 2 * y
⊢ ((f (σ 0) - f (σ 1)) / 2) ^ 2 + ((f (σ 0) + f (σ 1)) / 2) ^ 2 + ((f (σ 2) - f (σ 3)) / 2) ^ 2 + ((f (σ 2) + f (σ 3)) / 2) ^ 2 = m
x y z : PSet
⊢ x.Equiv y → (z ⊆ x ↔ z ⊆ y)
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
p' : Submodule R ↥p
⊢ (Submodule.MapSubtype.orderEmbedding p) p' = Submodule.map p.subtype p'
d x y z w : ℕ
xy : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
zw : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg
this : { re := subNatNat x z, im := subNatNat w y }.Nonneg
⊢ ({ re := ↑x, im := -↑y } + { re := -↑z, im := ↑w }).Nonneg
α : Type u_2
M : Type u_4
One M
SemilatticeInf M
f g : α → M
⊢ (Function.mulSupport fun x => f x ⊓ g x) ⊆ Function.mulSupport f ∪ Function.mulSupport g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
h : I.IsInteriorPoint x
⊢ range ↑I ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
k : ℕ
a✝ : Nontrivial α
a0 : α
hz : a0 ≠ 0
ha : Associates.mk a0 ≠ 0
hk : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → k ∣ p.count ↑(factors' a0)
⊢ ∃ b, Associates.mk a0 = b ^ k
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : MeasureTheory.Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
⊢ ∑ j ∈ Finset.range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N} ≤ ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a ≤ bᶜ ↔ b ≤ aᶜ
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioo a (a + T), (fourier (-n)) ↑t • liftIco T a f ↑t ∂volume = ∫ (t : ℝ) in Ioo a (a + T), (fourier (-n)) ↑t • f t ∂volume
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume
hf_top : f =O[Filter.atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
⊢ MellinConvergent f s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ Even (m - n) ↔ (Odd m ↔ Odd n)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
hf : Measurable f
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.map 0 f hf = 0
θ : Angle
⊢ ↑θ.expMapCircle = ↑θ.cos + ↑θ.sin * I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ K ⥤ C
X : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimitIsoSwapCompColim G).hom.app X =
  (CategoryTheory.Limits.colimitObjIsoColimitCompEvaluation G X).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.colimMap ((CategoryTheory.flipIsoCurrySwapUncurry G).hom.app X)
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Set C
c d : ↑(CategoryTheory.Subgroupoid.full D).objs
f g : c ⟶ d
⊢ f = g ↔ ↑f = ↑g
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g j k) (fV 𝒰 f g j i) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0
⊢ p₁ ≠ p₃
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C D
e : F₁ ≅ F₂
F₁.CommShift ℤ
F₂.CommShift ℤ
CategoryTheory.NatTrans.CommShift e.hom ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Functor.mapTriangleIso e).hom.app X).hom₂ = e.hom.app X.obj₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
R : Type u_6
NormedRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ HasFDerivAt Ring.inverse (-((ContinuousLinearMap.mulLeftRight 𝕜 R) ↑x⁻¹) ↑x⁻¹) ↑x
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
p : ℕ
i : σ
⊢ (MvPolynomial.expand p) (MvPolynomial.X i) = MvPolynomial.X i ^ p
R : Type u_1
CommSemiring R
p : R[X][Y]
⊢ Polynomial.eval (Polynomial.C Polynomial.X)
    (Polynomial.eval₂ (Polynomial.mapRingHom (algebraMap R R[X][Y])) (Polynomial.C Y) p) =
  p
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
⊢ S ≤ {a | IsAtom a}
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
Field R
Ring A
Algebra R A
SetLike S A
hSA : NonUnitalSubringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
h1 : 1 ∉ s
a : Unitization R ↥s
⊢ ↑((NonUnitalSubalgebra.unitizationAlgEquiv s h1) a) = (algebraMap R A) a.fst + ↑a.snd
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
m : ℕ
hm : m ∈ {n | G.Colorable n}
h' : m < Nat.succ 0
i : ℕ
hi : i < m
⊢ False
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ ↑(a - b) = ↑a - ↑b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Metric.ball 0 r)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
⊢ p = p₁ ∨ p = p₂
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.StableUnderBaseChange @AlgebraicGeometry.LocallyOfFiniteType
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
M : Type u_5
VAdd M β
c : α → M
f : α → β
⊢ ↑(c +ᵥ f) = ↑c +ᵥ ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a : Option α
b : Option β
f : α → γ → δ
g : β → γ
⊢ Option.map₂ f a (Option.map g b) = Option.map₂ (fun a b => f a (g b)) a b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
x : β
f : Fin n → β
⊢ ∏ i : Fin n.succ, cons x f i = x * ∏ i : Fin n, f i
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
f g : ι → R
s✝ t : Finset ι
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) → (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i
h0 : ∀ i ∈ cons a s has, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ cons a s has, f i ≤ g i
⊢ ∏ i ∈ cons a s has, f i ≤ ∏ i ∈ cons a s has, g i
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
StarAddMonoid A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
StarAddMonoid B
⊢ ⇑(NonUnitalStarAlgHom.inl R A B) = fun x => (x, 0)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Mul G
A : Type u₃
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction k A
φ₁ φ₂ : MonoidAlgebra k G →ₙₐ[k] A
h : ∀ (x : G), φ₁ (MonoidAlgebra.single x 1) = φ₂ (MonoidAlgebra.single x 1)
⊢ φ₁ = φ₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
⊢ ↑s.encard.toNat = 3 ↔ s.encard = 3
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j : N →* P
hj : ∀ (x : M), j (f.toMap x) = g x
x✝ : N
⊢ (f.lift hg) x✝ = j x✝
G : Type u_3
AddCommGroup G
H : AddSubgroup G
m : Multiset ↥H
⊢ ↑m.sum = (Multiset.map Subtype.val m).sum
α : Type u_1
Lattice α
IsModularLattice α
x : α
y : α
z : α
h : z ≤ x
⊢ x ⊓ y ⊔ z = x ⊓ (y ⊔ z)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝² : HasMulticoequalizer I
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
b : I.R
⊢ Sigma.ι I.right b ≫ coequalizer.π I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap = (Multicofork.ofSigmaCofork I (colimit.cocone (parallelPair I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap))).π b
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
h : x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q 1
⊢ CliffordAlgebra.involute x = -x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : C
f g : A ⟶ B
CategoryTheory.IsCoreflexivePair f g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.commonRetraction f g) = CategoryTheory.CategoryStruct.id A
α : Type u_1
ι : Type u_2
s : ι → Set α
S : Set ι
⊢ {t | ∃ k ∈ S, s k = t} ⊆ piiUnionInter (fun k => {s k}) S
X : Type u_1
TopologicalSpace X
LocallyCompactSpace X
RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U ∧ IsCompact (closure V)
n✝ m n : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n
h : k ≤ 0
⊢ ↑k = ↑0
y : ℝ
⊢ Tendsto (fun x => log (x + y) - log x) atTop (𝓝 0)
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
⊢ ∀ (a : M₃ ⊗[R] N₁), (LinearMap.lTensor M₃ g₁) a = 0 → a = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : F →L[𝕜] G
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (⇑g ∘ f) p u
d : ℤ
h_nonsquare : ∀ (n : ℤ), d ≠ n * n
a : ℤ√d
ha : a.re * a.re - d * a.im * a.im = 0
⊢ a.re = re 0 ∧ a.im = im 0
x : ℝ
⊢ Real.cosh (3 * x) = 4 * Real.cosh x ^ 3 - 3 * Real.cosh x
X : Type u_1
UniformSpace X
i : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
s : Set X
h : TotallyBounded s
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable s
n : ℕ
⊢ 1 < n.succ.succ
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G ↪g G'
u v : V
⊢ Function.Injective (SimpleGraph.Path.mapEmbedding f)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.QInfty ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
inst✝ : f.NeBot
a : α
⊢ ⨅ i ∈ f, a ⊔ ⨆ a ∈ i, u a = ⨅ s ∈ f, (⨆ x ∈ s, a) ⊔ ⨆ x ∈ s, u x
R : Type u
CommRing R
X Y Z : Type v
Ring X
Ring Y
Ring Z
HopfAlgebra R X
HopfAlgebra R Y
HopfAlgebra R Z
e : X ≃ₐc[R] Y
f : Y ≃ₐc[R] Z
⊢ (e.trans f).toHopfAlgebraCatIso = e.toHopfAlgebraCatIso ≪≫ f.toHopfAlgebraCatIso
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → Prop
h : ∀ (a : ℕ), ∃ b > a, P b
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P (φ n)
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
s : Multiset α
⊢ a ∈ Multiset.ndinsert b s ↔ a = b ∨ a ∈ s
I : Type u_1
J : Type u_2
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
X Y : CategoryTheory.GradedObject I C
φ : X ⟶ Y
p : I → J
X.HasMap p
Y.HasMap p
i : I
j : J
hij : p i = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.ιMapObj p i j hij) (CategoryTheory.GradedObject.mapMap φ p j) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (φ i) (Y.ιMapObj p i j hij)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
f : ↥(lp E p)
hp₀ : 0 < p
hp' : 0 < p.toReal
this : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : Finset α) in Filter.atTop, dist (∑ b ∈ x, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
s : Finset α
hs : |‖f‖ ^ p.toReal - ∑ b ∈ s, ‖↑f b‖ ^ p.toReal| < ε ^ p.toReal
⊢ ‖∑ b ∈ s, lp.single p b (↑f b) - f‖ ^ p.toReal < ε ^ p.toReal
S : Set Ordinal.{u}
hS : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
o : Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.enumOrd S o ∈ S ∩ Set.Ici (o.blsub fun c x => Ordinal.enumOrd S c)
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ I = spanSingleton S x * J ↔ (∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zJ = zI) ∧ ∀ z ∈ J, x * z ∈ I
α : Type u_1
Mul α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h : a < b * c
hle : c ≤ d
⊢ a < b * d
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Icc a b ⊆ Set.Ici a
M : Type u_1
Add M
c d : AddCon M
H : c.toSetoid = d.toSetoid
⊢ c = d
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ |a| = -a ↔ a ≤ 0
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
⊢ Nat.card ↥(_root_.commutator G) ≤ cardCommutatorBound (Nat.card ↑(commutatorSet G))
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : Disjoint s t
f : α → β
comm : {x | x ∈ s ∪ t}.Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
⊢ (s ∪ t).noncommProd f comm = s.noncommProd f ⋯ * t.noncommProd f ⋯
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
⊢ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ variationOnFromTo f s a '' s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ variationOnFromTo f s a '' s → x ≤ y → eVariationOn (naturalParameterization f s a) (variationOnFromTo f s a '' s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑1 * (y - x))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
h : HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f'
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ f₁ =ᶠ[𝓝[univ] x] f
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
hf : AnalyticWithinOn 𝕜 f s
hs : Set.EqOn f g s
⊢ AnalyticWithinOn 𝕜 g s
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x y : P.Elements
f : x ⟶ y
eq₁ : yoneda.map (↑f).unop ≫ yonedaEquiv.symm x.snd = yonedaEquiv.symm y.snd
⊢ yoneda.map (↑f).unop ≫ coconeApp φ x = coconeApp φ y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α
⊢ IsUnit s ↔ ∃ a, s = {a}
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
⊢ δ i ≫ δ j = δ (j.pred ⋯) ≫ δ i.castSucc
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : Module k W
ρV : Representation k G V
ρW : Representation k G W
r : MonoidAlgebra k G
x : V
y : W
⊢ (Finsupp.sum r fun i d => d • (ρV i) x ⊗ₜ[k] y) = (Finsupp.sum r fun i d => d • (ρV i) x) ⊗ₜ[k] y
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞
g_ae_measurable : AEMeasurable g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕))
hπ : Measurable QuotientGroup.mk
⊢ ∀ (γ : ↥Γ.op) (x : G), (g ∘ QuotientGroup.mk) (γ • x) = (g ∘ QuotientGroup.mk) x
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
F : ℍ[R,c₁,c₂] →ₐ[R] A
x✝ : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (algebraMap R A) x✝.re + x✝.imI • F { re := 0, imI := 1, imJ := 0, imK := 0 } + x✝.imJ • F { re := 0, imI := 0, imJ := 1, imK := 0 } + x✝.imK • F { re := 0, imI := 0, imJ := 0, imK := 1 } = F x✝
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < x.orderTop ↔ 0 < x.order
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R✝ : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
R : Type u_14
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : DistribMulAction R α
x : R
M : o → Matrix m n α
i✝ : m × o
j✝ : n × o
⊢ blockDiagonal (x • M) i✝ j✝ = (x • blockDiagonal M) i✝ j✝
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
g : E → F
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : E
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) (g y)) univ x‖ ≤ ∑ x_1 ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose x_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 x_1 f univ x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - x_1) g univ x‖
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α
n : ℕ
this : (∑ i ∈ range n, (x + 1) ^ i * 1 ^ (n - 1 - i)) * x + 1 ^ n = (x + 1) ^ n
⊢ (∑ i ∈ range n, (x + 1) ^ i) * x + 1 = (x + 1) ^ n
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hsurj : Surjective (Prod.map mk mk)
s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)
⊢ IsOpen s ↔ IsOpen (Prod.map mk mk ⁻¹' s)
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
AddCommMonoid β
f g h i : α → β
⊢ ∑ a ∈ s, (f a + g a) + ∑ a ∈ s, (h a + i a) = ∑ a ∈ s, (f a + h a) + ∑ a ∈ s, (g a + i a)
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
h : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
⊢ List.mergeSort r (a :: b :: l) = List.merge (fun x x_1 => decide (r x x_1)) (List.mergeSort r l₁) (List.mergeSort r l₂)
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ Function.Surjective ConnectedComponents.mk
M : Type u_1
AddZeroClass M
s : Set M
⊢ s ⊆ ↑(AddSubmonoid.closure s)
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
t : Finset E
w : E → R
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hws : 0 < ∑ i ∈ t, w i
⊢ t.centerMass w id ∈ (convexHull R) ↑t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
⊢ (contDiffGroupoid ⊤ I).LocalInvariantProp (contDiffGroupoid ⊤ I') (DifferentiableWithinAtProp I I')
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.126215, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ HomologicalComplex.homologyMap S.f i ≫ HomologicalComplex.homologyMap S.g i = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι' : Type u_9
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
NontriviallyNormedField 𝕜₂
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
Nonempty ι'
κ : Type u_10
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι'
UniformSpace E
UniformAddGroup E
u : UniformSpace F
hu : UniformAddGroup F
hq : WithSeminorms q
ContinuousSMul 𝕜 E
f : κ → E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) ↔
  ∀ (i : ι'), BddAbove (Set.range fun k => (q i).comp (f k)) ∧ Continuous (⨆ k, ⇑((q i).comp (f k)))
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hfg' : f + g ≈ f
hcfg : (f + g).norm = f.norm
hcl : g.norm = 0
this : max f.norm g.norm = f.norm
⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm