ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
k : ℕ
hk : k ∉ A
⊢ schnirelmannDensity A ≤ 1 - (↑k)⁻¹
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) (s ∩ t)
S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t
hSs : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ t) + μ (S n) ≤ μ s
iUnion_S : ⋃ n, S n = s \ t
⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
α : Type u
op : α → α → α
ha : Std.Associative op
hc : Std.Commutative op
l : List α
a₁ a₂ : α
⊢ List.foldl op a₂ (a₁ :: l) = op a₁ (List.foldl op a₂ l)
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
x : A
⊢ ↑(imaginaryPart x) = -Complex.I • ↑((skewAdjointPart ℝ) x)
α : Type u
LinearOrder α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ s, x < y → y < z → False
⊢ s.Finite
α : Type u_1
x : α
⊢ [x].enum = [(0, x)]
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W
⊢ cs.length w₂ - cs.length w₁ ≤ cs.length (w₁ * w₂)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.FunctorToTypes.coprod.inr
    (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductIso F G).inv =
  CategoryTheory.Limits.coprod.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoidWithZero α
CommMonoidWithZero β
F : Type u_5
G : Type u_6
FunLike F α β
MonoidWithZeroHomClass F α β
FunLike G β α
MulHomClass G β α
f : F
g : G
p : α
hinv : ∀ (a : α), g (f a) = a
hp : Prime (f p)
⊢ Prime p
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
⊢ (∀ ⦃R S : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (f : R →+* S) (s : Set R), Ideal.span s = ⊤ → (∀ (r : ↑s), P (Localization.awayMap f ↑r)) → P f) ↔ ∀ ⦃R S : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (f : R →+* S) (s : Finset R), Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (r : { x // x ∈ s }), P (Localization.awayMap f ↑r)) → P f
α : Type u
MetricSpace α
ProperSpace α
R : α → ℝ
hR : ∀ (x : α), 0 < R x
⊢ ∃ ι c r r',
  (∀ (i : ι), 0 < r i ∧ r i < r' i ∧ r' i < R (c i)) ∧
    (LocallyFinite fun i => Metric.ball (c i) (r' i)) ∧ ⋃ i, Metric.ball (c i) (r i) = Set.univ
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
⊢ max x y = Filter.Germ.map₂ max x y
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
r : ℝ≥0
⊢ (r • j).posPart = r • j.posPart
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this : u = n.factorMultiset
⊢ (u ⊓ v).prod = n.gcd m
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), Subgroup.map ϕ.toMonoidHom H ≤ H
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range n, x⁻¹ ^ i = (x - 1)⁻¹ * (x - x⁻¹ ^ n * x)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
h : IsEmpty ι
⊢ AffineIndependent k p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
x : β
⊢ x ∈ r.image ∅ ↔ x ∈ ∅
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
X : C
f : s.pt ≅ X
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.extendIso s f).hom.hom = f.hom
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
NonUnitalNonAssocSemiring R'
NonUnitalNonAssocSemiring S'
f : R →ₙ+* R'
g : S →ₙ+* S'
⊢ f.prodMap g = (f.comp (NonUnitalRingHom.fst R S)).prod (g.comp (NonUnitalRingHom.snd R S))
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
⊢ p ∈ lifts f ↔ ∃ q, map f q = p
a b : ENNReal
h : a * b = 1
⊢ a = b⁻¹
p q : ℚ
hq : 0 ≤ q
⊢ (p / q).toNNRat = p.toNNRat / q.toNNRat
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.prod.rightInverseUnitor C).obj X = (X, { as := PUnit.unit })
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
a b : α
hab : Disjoint a b
h : a ≤ b
⊢ a = ⊥
R : Type u
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
p q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
s : Set ι
h : ∀ i ∈ s, p i ≤ q i
⊢ Submodule.pi s p ≤ Submodule.pi s q
α : Type u
β : Type v
DecidableEq α
MulAction (Equiv.Perm α) β
i j : α
⊢ Function.Involutive fun x => Equiv.swap i j • x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
s : Set R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hsN : N = s • N
hsJac : s ⊆ ↑N.annihilator.jacobson
⊢ N = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.FinitaryExtensive C
⊢ CategoryTheory.HasPullbacksOfInclusions C
α : Type u
a : α
l : List α
h : a :: l ≠ List.nil
⊢ (a :: l).head h = a
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ ¬c = 0 → ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
H : d * (a₁.y ^ 2 - a.y ^ 2) = a₁.x ^ 2 - a.x ^ 2
⊢ a₁.x ≤ a.x
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set β
a : α
⊢ s.Finite → (a • s).Finite
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
⊢ a * a / a = a
ψ θ : ℝ
⊢ ↑θ = ↑ψ ↔ ∃ k, θ - ψ = 2 * π * ↑k
b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hc : c > 0
h : 0 ∣ b
⊢ (b / 0) ^ c = b ^ c / 0 ^ c
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * U⁻¹) (K₂.carrier * U⁻¹)
⊢ ↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) / ↑(index (↑K₀) U) = (↑(index (↑K₁) U) + ↑(index (↑K₂) U)) / ↑(index (↑K₀) U)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
dm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).natDegree ≤ m + n := fun {m n} {p q} => natDegree_mul_le_of_le
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
cm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).coeff (m + n) = p.coeff m * q.coeff n := fun {m n} {p q} => coeff_mul_of_natDegree_le
h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n
n : ℕ
hd : (n + 1 + 1) ^ 2 = 1 + 2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 2) + if Even (n + 1) then 0 else 3
hd' : (n + 1 + 1) ^ 2 = WeierstrassCurve.expDegree (n + 3) + WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0
⊢ (W.Φ ↑(n + 1 + 1)).natDegree ≤ (n + 1 + 1) ^ 2 ∧ (W.Φ ↑(n + 1 + 1)).coeff ((n + 1 + 1) ^ 2) = 1
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
IinS : ↑I ∈ S
chainub : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub ∈ S, ∀ s ∈ c, s ⊆ ub
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
⊢ J.IsPrime ∧ I ≤ J ∧ Disjoint ↑F ↑J
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(twoCocycles A)
g : G
⊢ ↑f (g, 1) = (A.ρ g) (↑f (1, 1))
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ ∀ (a_1 : Option { y // y ≠ a }), (Equiv.optionSubtypeNe a) a_1 = a_1.casesOn' a Subtype.val
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f : A →ₛₙₐ[φ] B
h₁ : ∀ (m : R) (x : A), f (m • x) = φ m • f x
h₂ : { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun 0 = 0
h₃ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun (x + y) =
      { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun x + { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun (x * y) =
      { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun x *
        { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun y
⊢ { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃, map_mul' := h₄ } = f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M N : Bimod A B
self : M.Hom N
⊢ M.actRight ≫ self.hom = self.hom ▷ B.X ≫ N.actRight
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Inv Y
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
⊢ IsLocallyConstant f⁻¹
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
s t : Set α
f : α → E
x : α
⊢ edist (s.mulIndicator f x) (t.mulIndicator f x) = ↑‖(symmDiff s t).mulIndicator f x‖₊
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
h : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))
⊢ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C)) ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval C))
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace ↔ (↑U).Nonempty
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Algebra (ZMod p) K
⊢ (X ^ q - X).roots = univ.val
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
s : Finset α
⊢ (Finset.map f s).Nonempty ↔ s.Nonempty
α : Type u_1
n : PosNum
⊢ ↑n.pred'.succ' = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.OuterMeasure α →ₗ[ENNReal] MeasureTheory.OuterMeasure β
hf : ∀ (μ : MeasureTheory.Measure α), inst✝ ≤ (f μ.toOuterMeasure).caratheodory
s : Set β
⊢ (f μ.toOuterMeasure) s ≤ ((MeasureTheory.Measure.liftLinear f hf) μ) s
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
L : Locale
x : X
S : Set (Opens X)
⊢ { toFun := fun x_1 => x ∈ x_1, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }.toFun (sSup S) = sSup ({ toFun := fun x_1 => x ∈ x_1, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }.toFun '' S)
X : Scheme
inst✝¹ : IsIntegral X
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
inst✝ : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this✝ : IsAffine ↑U
this : IsIntegral ↑U
x✝ : ↑Γ(X, U)
⊢ x✝ ∈ nonZeroDivisors ↑Γ(X, U) ↔ x✝ ∈ ⊥.asIdeal.primeCompl
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
⊢ id s.tail :: corec id tail s.tail.tail = s.tail :: corec id tail s.tail.tail
z : ℂ
n : ℤ
⊢ (z / ↑n).re = z.re / ↑n
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
⊢ False
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
⊢ F.Final → ∀ (d : D), IsFiltered (StructuredArrow d F)
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb✝ : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
hb : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg
⊢ { re := -(↑x * ↑z + ↑d * ↑y * ↑w), im := ↑x * ↑w + ↑y * ↑z }.Nonneg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Union α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ∃ a_1 ∈ a, ∃ a ∈ b, a_1 ∪ a = ma ∪ mb
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q : R[X]
a b : R
p : R[X]
⊢ a - b ∣ eval a p - eval b p
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
⊢ ∃ K, K ⊔ N = ⊤ ∧ K ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
⊢ IsSelfAdjoint T
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p₂ : ι → P
p₁ b : P
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ -ᵥ p₂ i) = (∑ i ∈ s, w i) • (p₁ -ᵥ b) - (s.weightedVSubOfPoint p₂ b) w
α : Type u_1
a : PosNum
⊢ sub' 1 (a + a) = (neg a).bit1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
P : C → Prop
inst✝² : MonoidalPredicate P
P' : C → Prop
inst✝¹ : MonoidalPredicate P'
inst✝ : BraidedCategory C
h : ∀ ⦃X : C⦄, P X → P' X
X Y : FullSubcategory P
⊢ (fullMonoidalSubcategory.map h).μ X Y ≫ (fullMonoidalSubcategory.map h).map (β_ X Y).hom = (β_ ((fullMonoidalSubcategory.map h).obj X) ((fullMonoidalSubcategory.map h).obj Y)).hom ≫ (fullMonoidalSubcategory.map h).μ Y X
α : Type u_1
Add α
a x y : α
h : AddSemiconjBy a x y
⊢ AddSemiconjBy (AddOpposite.op a) (AddOpposite.op y) (AddOpposite.op x)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
self : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
⊢ self.j * self.j = c₂ • 1
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Setoid α)
⊢ upperBounds S = {s | ∀ ⦃x y : α⦄, (∃ r ∈ S, r.Rel x y) → s.Rel x y}
α : Type u_1
Union α
a b : α
⊢ Part.some a ∪ Part.some b = Part.some (a ∪ b)
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : b ≤ a
⊢ a - c - (a - b) = b - c
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val ↔ Function.Injective ⇑(algebraMap R A)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : E → H'
s : Set E
x : E
⊢ ContDiffWithinAtProp 𝓘(𝕜, E) I' n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f) s x
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α✝
x✝ y✝ : α✝
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x
hffx : f (f x) ≠ x
y : α
hy : (swap x (f x) * f) y ≠ y
i : ℤ
hi : (f ^ i) x = y
⊢ (f ^ (i - 1) * f ^ 1) x = y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h : t ⊆ s
ht : Balanced 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ t
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
⊢ x ∈ r • s
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
self : I.IsPrime
⊢ I ≠ ⊤
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p : A
x : ↥p
hx : ↑x ∈ p
⊢ ⟨↑x, hx⟩ = x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l l' : List α
h : l ~r l'
hn : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.prev x hx = l'.prev x ⋯
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
n : ℕ
⊢ (2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖deriv (circleMap c R) θ • (circleMap c R θ - c)⁻¹ ^ n • (circleMap c R θ - c)⁻¹ • f (circleMap c R θ)‖ = (2 * π)⁻¹ * (|R|⁻¹ ^ n * (|R| * (|R|⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c R x)‖)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.v₁₂.τ₁ S.v₂₃.τ₁ = 0
R : Type u_3
M : Type u_4
SeminormedRing R
SeminormedAddCommGroup M
m : M
⊢ ‖TrivSqZeroExt.inr m‖ = ‖m‖
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ StronglyMeasurable (↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) + ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g))
n : ℕ
⊢ powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1) = powHalf n
α : Type u_3
β : Type u_4
Fintype α
AddCommMonoid β
s t : Finset α
h : IsCompl s t
f : α → β
⊢ ∑ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ t, f i = ∑ i : α, f i
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
Y : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
⊢ (CategoryTheory.OverPresheafAux.costructuredArrowPresheafToOver A).obj Y =
  CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.OverPresheafAux.yonedaCollectionPresheafToA Y)
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hg : GrowsPolynomially g
⊢ GrowsPolynomially fun x => f x / g x
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
h : ∀ i ∈ s, (H i).FiniteIndex → s.card < (H i).index
hs : s.Nonempty
⊢ ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ < 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
⊢ v ∈ s.direction ↔ ∃ p2 ∈ s, v = p2 -ᵥ p
n a b : ℤ
⊢ a ≡ b [ZMOD n] → a % n = b % n
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
DecidableEq ι
(i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
x : Π₀ (i : ι), α i
h : ∀ i ∈ x.support, Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) i
⊢ Acc (DFinsupp.Lex r s) x
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
z : R
inst✝ : Nontrivial R
h : IsCoprime 0 0
⊢ False
x : ℝ
⊢ (↑(projIcc 0 1 ⋯ x)).smoothTransition = x.smoothTransition
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
s : Set α
t : Set β
u : α → β → γ
l₁ : β → γ → α
l₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (l₁ b) (Function.swap u b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (⇑OrderDual.toDual ∘ l₂ a) (u a ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
⊢ sInf (Set.image2 u s t) = u (sInf s) (sSup t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
⊢ (LinearMap.adjoint T * T).IsSymmetric
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Liftr r x.dest y.dest
x y : Cofix F
rxy : r x y
⊢ Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
self : CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
⊢ F.PreservesEpimorphisms
n m : ℕ
hm : m ∈ factoredNumbers (Finset.range n)
⊢ m ∈ factoredNumbers n.primesBelow
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
f : R[X]
⊢ (∀ i ≥ n, f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ ∀ (b : ℕ), n ≤ b → f.coeff b = 0
a b✝ c d m n b : ℤ
hb : 0 < b
a✝ : ℕ
h : (ofNat a✝).toNat < b.toNat
⊢ ofNat a✝ < b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
x y : α
⊢ cmp x x = eq
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
a : α
b : Associates α
⊢ a ∣ b.out ↔ Associates.mk a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
s : Set β
x : ↑f.Dom
⊢ f.fn ↑x ⋯ ∈ s ↔ ∃ y ∈ s, y ∈ f ↑x
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
⊢ ∑ x ∈ s.attach, f ↑x = ∑ x ∈ s, f x
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : One α
⊢ ↑(Fintype.card n) ^ (1 / 2).toReal * ‖1‖₊ = NNReal.sqrt ↑(Fintype.card n) * ‖1‖₊
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Nontrivial R
Module R M
w : Set M
hw : w.Finite
s : Submodule.span R w = ⊤
ι : Type w
b : Basis ι R M
⊢ Finite ι
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ s ∩ univ = s
R : Type u
N : Type w
CommSemiring R
σ : Type u_1
DecidableEq σ
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
CommSemiring N
Algebra R N
p : TensorProduct R (MvPolynomial σ S) N
⊢ MvPolynomial.rTensorAlgHom p = MvPolynomial.rTensor p
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f
g₁ g₂ : β → γ
⊢ g₁ ∘ f = g₂ ∘ f ↔ g₁ = g₂
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
a b : R
x : ↥(Submodule.torsionBy R M a)
⊢ (Ideal.Quotient.mk (Submodule.span R {a})) b • x = b • x
p m a : ℕ
pp : Nat.Prime p
h : ¬p ∣ a
⊢ a.Coprime (p ^ m)
R : Type u_2
Ring R
S₁ S₂ : Subring R
⊢ S₁.op ≤ S₂.op ↔ S₁ ≤ S₂
R : Type u
CommRing R
P : Polynomial R
⊢ (KaehlerDifferential.polynomialEquiv R) ((KaehlerDifferential.D R (Polynomial R)) P) = Polynomial.derivative P
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven a (1 - s) = HurwitzZeta.completedCosZeta a s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ μ.everywherePosSubset s = s \ u
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
a b : WithTop α
⊢ a * b = ⊤ ↔ a ≠ 0 ∧ b = ⊤ ∨ a = ⊤ ∧ b ≠ 0
R✝ : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : IsDomain R✝
p q : R✝[X]
inst✝⁴ : CommRing T
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : DecidableEq S
m : R →+* S
d : ℕ
U : Set R
h : U.Finite
π : R[X] → Fin (d + 1) → R := fun f i => f.coeff ↑i
⊢ (π '' fun f => f.natDegree ≤ d ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ U) ⊆ Set.univ.pi fun x => U
x : ℝ
hl : -(2 * π) ≤ x
hr : x ≤ 0
⊢ sin (x / 2) ≤ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
AddGroup α
AddAction α β
s t : Finset β
a : α
⊢ a +ᵥ s \ t = (a +ᵥ s) \ (a +ᵥ t)