ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
θ : Angle
h : 0 ≤ Real.cos θ.toReal
hn : θ.toReal < -(π / 2) ∨ π / 2 < θ.toReal
⊢ False
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
x : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), r • m ⊗ₜ[R] n = (r • m) ⊗ₜ[R] n
⊢ 0 • 0 = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
this : 1 / p.toReal * p.toReal = 1
⊢ ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal} ≤ eLpNorm f p μ ^ p.toReal
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℂ E
⊢ Module.rank ℝ E = 2 * Module.rank ℂ E
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
X Y : C
α : F ⟶ G
f : X ⟶ Y
⊢ ∀ {x : CategoryTheory.IsIso (α.app X)}, CategoryTheory.inv (α.app X) ≫ F.map f ≫ α.app Y = G.map f
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c
⊢ span {XClass W x₁ * XClass W x₂ * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {XClass W x₁ * YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XClass W x₂ * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
f : C(α, β)
⊢ (UniformOnFun.toFun {K | IsCompact K}) f.toUniformOnFunIsCompact = ⇑f
α : Type u_3
hA : PartialOrder α
A : OrderTop α
hB : PartialOrder α
B : OrderTop α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ ⊤ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
f : α → β
a : α
b : β
h : ∃ a ∈ s, f a = b
⊢ Classical.choose h ∈ s ∧ f (Classical.choose h) = b
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : StrongFEPair E
s : ℂ
⊢ mellin P.f (↑P.k - s) = P.ε • mellin P.g s
α : Type u_1
DivisionSemiring α
a b c : α
hc : c ≠ 0
⊢ a / c + b = (a + b * c) / c
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ (∀ (j : G.RightMoves), (G.moveRight j).Fuzzy 0) ↔ G ≈ 0
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
A : Matrix m n α
⊢ (Matrix.reindex (Equiv.refl m) (Equiv.refl n)) A = A
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝³ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝² : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid A
U : Submonoid A
R : Type u_6
inst✝ : CommMonoid R
j : U.LocalizationMap R
l : P →* A
hl : ∀ (w : ↥T), l ↑w ∈ U
z : N
⊢ j.toMap (l (k.sec ((f.map hy k) z)).1) * ↑((IsUnit.liftRight ((j.toMap.comp l).restrict T) ⋯) (k.sec ((f.map hy k) z)).2)⁻¹ = j.toMap (l (g (f.sec z).1)) * ↑((IsUnit.liftRight ((j.toMap.comp (l.comp g)).restrict S) ⋯) (f.sec z).2)⁻¹
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∀ (s : WSeq α), (∃ n, some a ∈ s.get? n) → ∃ n, some a ∈ s.think.get? n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.span f g).obj CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.right = Z
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ = 0
⊢ Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂
L : FirstOrder.Language
α : Type w'
ie : IsEmpty α
⊢ (FirstOrder.Language.LEquiv.addEmptyConstants L α).toLHom = L.lhomWithConstants α
a b : ℕ
r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
⊢ ↑(Finset.filter (fun x => x ≡ v [MOD r]) (Finset.Ico a b)).card = max (⌈(↑b - ↑v) / ↑r⌉ - ⌈(↑a - ↑v) / ↑r⌉) 0
n : ℕ
⊢ 1 ∈ n.properDivisors ↔ 1 < n
x : ℝ
⊢ cos (π / 2 - π / 6) = cos (π / 3)
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y
x : X.A
g : Ultrafilter X.A
h : ↑g ≤ 𝓝 x
⊢ ↑(Ultrafilter.map f.f g) ≤ 𝓝 (f.f x)
a b : ℝ
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
⊢ a * b ≤ |a| ^ p / p + |b| ^ q / q
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : LinearOrder R
g : α → R
F : R → ℝ≥0∞ := fun t => μ {a | t ≤ g a}
⊢ {t | μ {a | t ≤ g a} ≠ μ {a | t < g a}}.Countable
x y : ℝ
⊢ sin (3 * x) = 3 * sin x - 4 * sin x ^ 3
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
⊢ log (1 + a⁻¹) = log (1 + 1 / (2 * a + 1)) - log (1 - 1 / (2 * a + 1))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup W
inst✝⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℂ G
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddRightInvariant
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
⊢ fourierIntegral e μ L (f ∘ fun v => v + v₀) w = e ((L v₀) w) • fourierIntegral e μ L f w
R : Type u
Ring R
⊢ Subring.closure ∅ = ⊥
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f c : Perm α
a : α
ha : a ∈ c.support
hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset
hfc : c.Disjoint (f * c⁻¹) := Disjoint.symm (disjoint_mul_inv_of_mem_cycleFactorsFinset hc)
⊢ f.cycleOf a = c.cycleOf a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a✝ : α
f g : ι → α
inst✝ : CommSemiring α
a b : α
s : Finset ι
⊢ ∑ t ∈ s.powerset, a ^ t.card * b ^ (s.card - t.card) = (a + b) ^ s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α → β
a : α
m : M
hif : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑(single (f a) m).support)
hm : m ≠ 0
⊢ comapDomain f (single (f a) m) hif = single a m
a b : String
⊢ a.firstDiffPos b = { byteIdx := utf8Len (List.takeWhile₂ (fun x x_1 => decide (x = x_1)) a.data b.data).fst }
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hf : ∀ z ∈ sphere c |R|, ‖f z‖ ≤ C
⊢ |R| * C * (2 * π) = 2 * π * |R| * C
R : Type u_3
M : Type u_4
UniformSpace R
UniformSpace M
Zero R
⊢ UniformContinuous TrivSqZeroExt.inr
ι : Type u_12
M : ι → Type u_13
(j : ι) → Add (M j)
Unique ι
x : M default
i : ι
⊢ (AddEquiv.piUnique M).symm x i = uniqueElim x i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
g : S →+* T
f : R →+* S
⊢ Subring.map g f.range = (g.comp f).range
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
ι₁ : Type u₁
DecidableEq ι₁
β₁ : ι₁ → Type v₁
(i₁ : ι₁) → Zero (β₁ i₁)
(i : ι₁) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
CommMonoid γ
f : Π₀ (i₁ : ι₁), β₁ i₁
g : (i₁ : ι₁) → β₁ i₁ → Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
h_zero : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
h_add : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ + b₂) = h i b₁ * h i b₂
⊢ (f.sum g).prod h = f.prod fun i b => (g i b).prod h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ a₁ a₂ : α
b : β
inst✝ : DecidablePred fun x => x = b
a : α
⊢ (if b = b then a else 1) = a
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p : R
DecidableRel Dvd.dvd
hp : Prime p
r : R
⊢ (multiplicity.addValuation hp) r = multiplicity p r
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(Lp E 1 μ)
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖setToFun μ T hT ↑↑f‖ ≤ C * ‖f‖
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
hxc : Complex.abs ↑x ≤ 1
⊢ |rexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial| ≤ |x| ^ n * (↑n.succ / (↑n.factorial * ↑n))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
⊢ AffineIndependent k p ↔
  ∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k),
    ∑ i ∈ s1, w1 i = 1 →
      ∑ i ∈ s2, w2 i = 1 →
        (Finset.affineCombination k s1 p) w1 = (Finset.affineCombination k s2 p) w2 →
          (↑s1).indicator w1 = (↑s2).indicator w2
k G : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
i : V ≅ W
g : G
⊢ ((Action.forget (FGModuleCat k) (MonCat.of G)).mapIso i).hom ≫ W.ρ g = V.ρ g ≫ ((Action.forget (FGModuleCat k) (MonCat.of G)).mapIso i).hom
X Y : Type u
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ Function.Surjective f
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ
⊢ IsZero (((Ext R C (n + 1)).obj (Opposite.op X)).obj Y)
b : ℕ
hb : b ≤ 1
n : ℕ
⊢ Nat.clog b n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, x < y ↔ f x < f y
s : Set α
⊢ (f '' s).chainHeight = s.chainHeight
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔ ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P R), firstMap P R ((firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a) = secondMap P R ((firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a) → ∃! x, forkMap P R x = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
hf : ContinuousWithinAt f D x
ε : NNReal
hε : 0 < ε
x✝ : 0 < ⊤
⊢ oscillationWithin f D x ≤ ↑ε
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : HasColimitsOfShape K C
E : K ⥤ J
j✝ : K
⊢ α.app (E.obj j✝) ≫ ι G (E.obj j✝) = (whiskerLeft E α).app j✝ ≫ ι G (E.obj j✝)
m n a b c d : ℤ
⊢ b % n = a % n ↔ n ∣ b - a
R : Type u_2
S : Type u_3
Semiring R
Semiring S
f : R ≃+* Sᵐᵒᵖ
l : List R
⊢ MulOpposite.unop (f l.prod) = (List.map (MulOpposite.unop ∘ ⇑f) l).reverse.prod
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.55691, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.55695, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
e : F ≅ G
n : A
X : C
⊢ (e.hom.hom n).app X ≫ (e.inv.hom n).app X = 𝟙 ((F.functor n).obj X)
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
Y : D
j : CostructuredArrow L Y
⊢ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) j ≫ colimit.desc (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) { pt := colimit (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F), ι := { app := fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) ((CostructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj g), naturality := ⋯ } } = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) j ≫ 𝟙 (colimit (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, x ≤ a → p a → p x
⊢ map (Embedding.subtype p) (Iic a) = Iic ↑a
α : Type u_1
rα : α → α → Prop
a b : α
ha : Acc rα a
hb : Acc rα b
⊢ Acc (Sym2.GameAdd rα) s(a, b)
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ List.beq = fun a b => decide (a = b)
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
CommSemiring R
N₁ : Type u_6
AddCommMonoid N₁
Module R N₁
N₂ : Type u_7
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
N : Type u_8
AddCommMonoid N
Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
⊢ MultilinearMap.domCoprod' (a ⊗ₜ[R] b) = a.domCoprod b
A : Type u_1
CommRing A
⊢ (RingHom.id A).FinitePresentation
S : Finset Λ'
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q
q : Λ'
q_ih : Λ'.Supports S q → trStmts₁ q ⊆ S → Supports (trStmts₁ q) S
H₁ : Λ'.Supports S q.copy
HS₁ : insert q.copy (trStmts₁ q) ⊆ S
⊢ Supports (insert q.copy (trStmts₁ q)) S
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
hq : q.Monic
h : p /ₘ q = 0
this : p %ₘ q + q * (p /ₘ q) = p
⊢ p.degree < q.degree
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ ↑(RCLike.im z) = RCLike.I * ((starRingEnd K) z - z) / 2
x : ℝ≥0∞
⊢ ↑x = 1 ↔ x = 1
E : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E ≃ᵢ F
y : F
⊢ f.toRealLinearIsometryEquiv.symm y = f.symm (y + f 0)
E : Type u_1
X : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
TopologicalSpace X
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
FirstCountableTopology X
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b : ℝ
a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in nhds x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Set.Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Set.Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N ≃ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ (LinearEquiv.lTensor M f) (m ⊗ₜ[R] n) = m ⊗ₜ[R] f n
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} E
CategoryTheory.Preadditive E
CategoryTheory.Preadditive D
L.Additive
G : CategoryTheory.Functor D E
⊢ G.Additive ↔ (L.comp G).Additive
a b c : Cardinal.{u_1}
h : b ≤ c
⊢ a ^ b ≤ max (a ^ c) 1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
α : Type u_4
f : α → X
s : Set X
hf : DenseRange f
hs : IsOpen s
⊢ s ⊆ closure (f '' (f ⁻¹' s))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : CategoryTheory.SheafOfTypes J
⊢ ((CategoryTheory.sheafEquivSheafOfTypes J).inverse.obj S).val = S.val
r : ℝ
⊢ ∃ r_1 s, ↑r_1 < ↑r ∧ ↑r < ↑s
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
α' : Type u_5
ϕ : τ → α' → β
s : Set α'
f : Filter τ
g : α → α'
⊢ omegaLimit f (fun t x => ϕ t (g x)) (g ⁻¹' s) ⊆ omegaLimit f ϕ s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
⊢ ContinuousWithinAt φ B x
m n : ℕ+
⊢ m.natPred ≤ n.natPred ↔ m ≤ n
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : AddTorsor G P
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : PreconnectedSpace G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ContinuousVAdd G P
⊢ IsPreconnected Set.univ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
⊢ ∑ x_1 : { s // s.card = Fintype.card ι - 1 }, (f.toFormalMultilinearSeries (1 + (Fintype.card ι - 1))) ((↑x_1).piecewise (fun x_2 => x) fun x => y) = ∑ i : ι, f (Function.update x i (y i))
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
P : Perm α → Prop
f : Perm α
val✝ : Fintype α
⊢ P 1 → (∀ (f : Perm α) (x y : α), x ≠ y → P f → P (swap x y * f)) → P f
X : Type u
TopologicalSpace X
n : ℕ
f : ℕ → Set X
⊢ closure (⋃ m, ⋃ (_ : m ≤ n), f m) = ⋃ m, ⋃ (_ : m ≤ n), closure (f m)
α : Type u_1
CompleteLattice α
p : Prop
f : p → α
hp : p
⊢ ⨆ (h : p), f h = f hp
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
r : ℝ
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
hr : 0 < r
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
this : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, x ≠ 0
⊢ log (r • a) = (algebraMap ℝ A) (Real.log r) + log a
α : Type u_1
l : List α
a : α
⊢ l.headD a = l.head?.getD a
z : ℂ
⊢ 0 ≤ -z ↔ z ≤ 0
a b : ℕ+
⊢ (PNat.XgcdType.start a b).v = (↑a, ↑b)
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ a % b = a - b * (a / b)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Set.Ici a = Set.Ici (a / c)
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ Function.Injective fun v => Matrix.circulant v
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
M : Type u_5
Monoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable l.prod μ
F : PFunctor.{u}
DecidableEq F.A
Inhabited F.M
ps : PFunctor.Approx.Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
⊢ PFunctor.M.iselect (⟨a, i⟩ :: ps) (PFunctor.M.mk ⟨a, f⟩) = PFunctor.M.iselect ps (f i)
α : Type u_1
r : Rel α α
p q : RelSeries r
connect : p.last = q.head
⊢ (p.smash q connect).length = p.length + q.length
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
⊢ List.Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (RelSeries.toList s)
α : Type u_8
SubtractionCommMonoid α
a : α × α
⊢ subAddMonoidHom a = a.1 - a.2
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ Int.cast ⁻¹' Set.Iio a = Set.Iio ⌈a⌉
α : Type u_1
l r : Ordnode α
H :
  (∃ l', Ordnode.Raised l.size l' ∧ Ordnode.BalancedSz l' r.size) ∨
    ∃ r', Ordnode.Raised r' r.size ∧ Ordnode.BalancedSz l.size r'
⊢ (∃ l', Ordnode.Raised l' r.dual.size ∧ Ordnode.BalancedSz l' l.dual.size) ∨
  ∃ r', Ordnode.Raised l.dual.size r' ∧ Ordnode.BalancedSz r.dual.size r'
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
⊢ IsUnit p ↔ IsUnit (Polynomial.map (algebraMap R K) p)
⊢ ∀ {w : Nat} {x y : BitVec w} {c : Bool}, BitVec.carry 0 x y c = c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SDiff α
a b : α
⊢ some a \ some b = some (a \ b)
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : Finite Mˣ
χ : MulChar M R
⊢ 0 < orderOf χ
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
x : ℂ
f' : E
h : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt f (reCLM.smulRight f' + I • imCLM.smulRight f') s x
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
b₀ : Basis ι ℝ E
⊢ μ (fundamentalDomain b) = ENNReal.ofReal |b₀.det ⇑b| * μ (fundamentalDomain b₀)
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Polynomial.toLaurent 1 = 1
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f : M →ₛₗ[σ] M₃
h : Function.Injective ⇑f
x : M
⊢ f x = 0 ↔ x = 0
m : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ZMod m
this : NeZero m
h : ∀ (n : ℕ), {n | ↑n = k - 1}.indicator (fun n => 1 / ↑(n + 1)) n = if ↑n = k - 1 then 1 / (↑n + 1) else 0
⊢ ¬Summable fun n => {n | ↑n = k}.indicator (fun n => 1 / ↑n) (n + 1)
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
Group α
LinearOrderedAddCommMonoid β
GroupNormClass F α β
f : F
x : α
hx : x ≠ 1
⊢ 0 < f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
f₀ : β →ₛ ℝ≥0∞
hf₀ : ↑f₀ ≤ fun a => f a
⊢ f₀.lintegral (Measure.map g μ) ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f (g a)), g_1.lintegral μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' t x v
hst : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
a : Cardinal.{u}
b : Cardinal.{max u v}
⊢ b < Cardinal.lift.{v, u} a ↔ ∃ a', Cardinal.lift.{v, u} a' = b ∧ a' < a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β → γ
s : Stream'.Seq α
s' : Stream'.Seq β
n : ℕ
⊢ (Stream'.Seq.zipWith f s s').get? n = Option.map₂ f (s.get? n) (s'.get? n)
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedLinearOrderedField β
u v : α → β
l : Filter α
OrderTopology β
huv : u ~[l] v
⊢ Filter.Tendsto u l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto v l Filter.atTop
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
s : Set α
p : Filter ι
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
p' : Filter ι'
s' : Set α'
h : UniformCauchySeqOn F p s
h' : UniformCauchySeqOn F' p' s'
⊢ UniformCauchySeqOn (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (p ×ˢ p') (s ×ˢ s')
R : Type u_1
Semiring R
m n : ℕ
f : R[X]
r : R
h : f.coeff m = r
natDeg_eq_coeff : m = n
s : R
rs : r = s
⊢ f.coeff n = s
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∈ s
⊢ (insert a s \ {b}).encard = s.encard
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
h_ac : ν ≪ ν + ν'
h₁ : (μ.singularPart ν' + ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae (ν + ν')] (μ.singularPart ν').rnDeriv (ν + ν') + (ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv (ν + ν')
h₂ : (μ.singularPart ν' + ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν').rnDeriv ν + (ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv ν
⊢ μ.singularPart ν' ⟂ₘ ν'
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => x ^ p) x
R✝ : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : Semiring S
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
I : ι → Ideal R
hf : Pairwise fun i j => IsCoprime (I i) (I j)
y : R ⧸ ⨅ i, I i
⊢ ∃ r, ∀ (i : ι), (Quotient.mk (I i)) r = (quotientInfToPiQuotient I) y i
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
c : n → R
⊢ (A.updateColumn j fun k => ∑ i : n, c i • A k i).det = c j • A.det
I : Type u
LinearOrder I
l m : Profinite.NobelingProof.Products I
⊢ l < m ↔ List.Lex (fun x x_1 => x < x_1) ↑l ↑m
α : Type u_1
LE α
s : LowerSet α
⊢ IsLowerSet ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : 1 < s.ncard
a : α
⊢ ∃ b ∈ s, b ≠ a
α : Type u
β : Type u_1
l : List (α × β)
⊢ l.unzip.1 = List.map Prod.fst l
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
TopologicalSemiring A
ContinuousStar A
s : StarSubalgebra R A
⊢ ↑s.topologicalClosure = closure ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
⊢ Monotone ⇑toLex
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (n + 1)
hj₁ : n + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
hqn : ¬n < q
a : ℕ
ha : q + a = n
⊢ φ ≫ X.δ j.succ = φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ ≫ X.δ j.succ