ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s s' : ↥S
⊢ IsLocalization.mk' T r s • mk m s' = mk (r • m) (s * s')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ * ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ = ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ * ‖⟪y, x⟫_𝕜‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : CategoryTheory.SplitMono f
CategoryTheory.Mono hf.retraction
⊢ CategoryTheory.IsIso f
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
⊢ ⁅-x, m⁆ = -⁅x, m⁆
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset β
a : α
⊢ (a • s).card ≤ s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
u : α → β
b : β
h : Filter.limsup u f < b
hu : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
⊢ ∀ᶠ (a : α) in f, u a < b
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Inducing ⇑(PrimeSpectrum.comap f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s✝ : Set E
s : Set F
f : E →ₗ[𝕜] F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ∈ s
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ (Ico a b).card = ↑b - ↑a
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
k : ℕ
⊢ ⨆ n, f (n + k) = ⨆ n, f n
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f g : Ω →ᵇ ℝ≥0
le_dist : ∀ (ω : Ω), dist (f ω) (g ω) ≤ ↑(nndist f g)
⊢ (fun a => ↑(f a)) ≤ fun a => ↑(g a) + edist f g
M : Type u_1
Monoid M
⊢ Function.Injective ⇑(unitsCenterToCenterUnits M)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ioc a b \ Set.Iic c = Set.Ioc (max a c) b
P : Type u_1
LE P
I : Order.Ideal P
self : I.IsProper
⊢ ↑I ≠ Set.univ
α : Type u_2
CommGroup α
l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁ ++ l₂).alternatingProd = l₁.alternatingProd * l₂.alternatingProd ^ (-1) ^ l₁.length
ι : Type u
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
CompleteSpace E
I : BoxIntegral.Box ι
f : (ι → ℝ) → E
hc : ContinuousOn f (BoxIntegral.Box.Icc I)
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ BoxIntegral.Integrable I l f μ.toBoxAdditive.toSMul
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
A : Type u_2
AddCommGroup A
ϕ : ↥H →+ A
S T : ↑(AddSubgroup.leftTransversals ↑H)
H.FiniteIndex
⊢ -AddSubgroup.leftTransversals.diff ϕ S T = AddSubgroup.leftTransversals.diff ϕ T S
S : ShortComplex Ab
⊢ AddMonoidHom.range S.f = AddMonoidHom.ker S.g ↔ AddMonoidHom.ker S.g = AddMonoidHom.range S.f
α : Sort u
b c : Prop
dec_b : Decidable b
dec_c : Decidable c
x y u v : α
h_c : b ↔ c
h_t : c → x = u
h_e : ¬c → y = v
⊢ (if b then x else y) = if c then u else v
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
F : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace F
u : α → ℝ
NormedSpace 𝕜 F
g g' : α → 𝕜 → F
y₀ : 𝕜
hu : Summable u
hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasDerivAt (g n) (g' n y) y
hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n
hg0 : Summable fun n => g n y₀
y : 𝕜
⊢ HasDerivAt (fun z => ∑' (n : α), g n z) (∑' (n : α), g' n y) y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
y : E
hy : y ≠ x
hr : 0 ≤ r
⊢ r • ‖y - x‖⁻¹ • (y - x) + x ∈ sphere x r
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
Countable α
MeasurableSingletonClass α
f : α → β
⊢ Measurable f
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X W : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRightIso (CategoryTheory.Iso.refl X) W =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X W)
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u v : β → α
p : β → Prop
h : ∀ᶠ (a : β) in f, p a → u a = v a
⊢ Filter.bliminf u f p = Filter.bliminf v f p
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝¹ : IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
inst✝ : Fintype ↥G
h : degree 1 < (X ^ Fintype.card ↥G).degree
⊢ (nodal (↑G).toFinset Units.val).degree = (X ^ Fintype.card ↥G - 1).degree
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).sin * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hc : c₁ = c₂
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖
m n : Nat
h : n ≤ m
⊢ Int.subNatNat m n = ↑(m - n)
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
Zero β
TopologicalSpace β
hf : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
x : α
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑(hf.approx n) x) Filter.atTop (𝓝 (f x))
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
U V : (TopologicalSpace.Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
i : V ⟶ U
s : ↑((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).val.obj V)
x : ↥(Opposite.unop U)
⊢ ↑(((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).val.map i) s) x = ↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)
m : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace 𝕜
β : Type u_4
inst✝ : UniformSpace β
f : β → Matrix m n 𝕜
⊢ UniformContinuous f ↔ ∀ (i : m) (j : n), UniformContinuous fun x => f x i j
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
LPμν_finite : ¬levyProkhorovEDist μ ν = ⊤
LPνκ_finite : ¬levyProkhorovEDist ν κ = ⊤
⊢ levyProkhorovEDist μ κ ≤ levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
h✝ : a ≤ b
⊢ a * b + b * a ≤ a * a + b * b
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderTopology α
a : α
⊢ IsOpen {b | a < b}
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f' : M →ₗ[R] M
h : Function.Injective ⇑f'
n : ℕ
⊢ Function.Injective ⇑(f' ^ n)
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ a ∈ Multiset.Ico a b ↔ a < b
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ IsOpenMap Sum.inl
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ' μ ν : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : ν.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
hG : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
⊢ μ'.haarScalarFactor ν = μ'.haarScalarFactor μ * μ.haarScalarFactor ν
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x y : P
⊢ nndist x y = ‖x -ᵥ y‖₊
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m.sqrt < n ↔ m < n ^ 2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
g : F ≃ₗᵢ[𝕜] G
f : E → F
x : E
i : ℕ
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 i (⇑g ∘ f) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖
n a : ℕ
⊢ (n.ceilRoot a).factorization = a.factorization ⌈/⌉ n
α : Type u
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
heq : ∀ i ∈ s, f i =ᶠ[l] g i
⊢ ⋃ i ∈ s, f i =ᶠ[l] ⋃ i ∈ s, g i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.CosimplicialObject.const C) (𝟭 (CategoryTheory.CosimplicialObject C))
⊢ CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.point.obj X = X.left
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
h₀ : f = g
c : CategoryTheory.Limits.Fork f g
h : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ CategoryTheory.IsIso c.ι
α : Type u
s1 e2 e1 s2 : Nat
a : Array α
h : s1 + e2 ≤ e1
⊢ (a.extract s1 e1).extract s2 e2 = a.extract (s1 + s2) (s1 + e2)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
f : M →ₗ[R] N
⊢ ker f = ⊥ ∨ ker f = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
⊢ (fun x => ENNReal.ofReal (f x).toReal) =ᶠ[ae μ] f
n k : ℕ
⊢ n.choose (k + 1) * (k + 1) = n.choose k * (n - k)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ Inducing f
α : Type u
SubNegMonoid α
z : ℤ
a : α
⊢ Multiplicative.ofAdd (z • a) = Multiplicative.ofAdd a ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N
x : α
hxs : x ∈ s
hx : ¬∃ k ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N, 1 / (↑N + 1) < dist (f k x) (g x)
⊢ dist (g x) (f n x) < δ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
x✝ : Option α
g : γ → α
x : Option γ
H : ∀ (a : α), a ∈ Option.map g x → p a
⊢ pmap f (Option.map g x) H = pmap (fun a h => f (g a) h) x ⋯
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
One β
TopologicalSpace γ
f : C(γ, α)
⊢ BoundedContinuousFunction.compContinuous 1 f = 1
F : Type u → Type u
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
α : Type u_1
x : Multiset α
⊢ ∀ (a : List α), traverse pure ⟦a⟧ = ⟦a⟧
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖cosKernel (↑a) x - 1‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 x
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ Set.range ⇑((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (↑n / ↑d < 0) = true
h₂ : decide (-1 < ↑n / ↑d) = true
⊢ Real.log (↑n / ↑d) ≠ 0
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
⊢ ∀ (x : Ω[S⁄R]), f x = f' x
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
g : SL(2, ℤ)
⊢ (↑↑↑g).det = 1
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x y : R
m : ↥M
⊢ x • IsLocalization.mk' S y m = IsLocalization.mk' S (x * y) m
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a✝ : ⨂[R]^na M
b✝ : ⨂[R]^nb M
c✝ : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M := fun n m => (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ mul na nb
lhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)
rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ mul nb nc)).flip
rhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
c : Fin nc → M
j : Fin (na + (nb + nc))
⊢ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.cast ⋯ j)) = ↑j
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
BEq α
Hashable α
m : Batteries.HashMap.Imp α β
k : α
h : m.buckets.WF
⊢ (m.modify k f).buckets.WF
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
⊢ cyclesMap φ = cyclesMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData h₁ ≫ γ.φK ≫ cyclesMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.leftHomologyData
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝³ : LocallyCompactSpace H
this✝² : LocallyCompactSpace M
this✝¹ : SecondCountableTopology H
this✝ : SecondCountableTopology M
this : MetrizableSpace M
x✝ : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
⊢ 0 = ∫ (x : M) in s, f x ∂μ
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
A : ∑' (j : ℕ), ℙ {ω | X j ω ∈ Set.Ioi ↑j} < ⊤
B : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => truncation (X n) (↑n) ω - X n ω) atTop (𝓝 0)
ω : Ω
hω : Tendsto (fun n => truncation (X n) (↑n) ω - X n ω) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω = ∑ i ∈ range n, (truncation (X i) (↑i) ω - X i ω)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
v : V
hv : v ∈ small
⊢ False
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ degree 1 ≤ 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f g : α → ENNReal
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0
⊢ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ = 0
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ a ≤ ↑⌈a⌉
R : Type u
Ring R
P : Type (max u v)
AddCommGroup P
Module R P
⊢ Module.Projective R P ↔ CategoryTheory.Projective (ModuleCat.of R P)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
u : ℕ → E
x y : E
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop (nhds x)
hTu : Filter.Tendsto (⇑T ∘ u) Filter.atTop (nhds y)
hlhs : ∀ (k : ℕ), ⟪T (u k) - T x, y - T x⟫_𝕜 = ⟪u k - x, T (y - T x)⟫_𝕜
⊢ Filter.Tendsto (fun t => ⟪u t - x, T (y - T x)⟫_𝕜) Filter.atTop (nhds 0)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
val✝ : Fintype ι
x✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
⊢ Continuous fun p => p.1 p.2
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
h : s ×ˢ t = ∅
⊢ IsOpen (s ×ˢ t) ↔ IsOpen s ∧ IsOpen t ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : OrderClosedTopology 𝕜
A : Set E
hA : IsClosed A
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
⊢ IsClosed ∅
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
ha : (∀ (o : Set Ordinal.{u}), IsOpen o → a ∈ o → (o ∩ s).Nonempty) ∧ ∀ (o : Set Ordinal.{u}), IsOpen o → a ∈ o → (o ∩ sᶜ).Nonempty
h : IsOpen {a}
b : Ordinal.{u}
hb : b = a
hb' : b ∈ s
c : Ordinal.{u}
hc : c = a
hc' : c ∈ sᶜ
⊢ False
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt id 1 s x
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
α : Type u_3
CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 0
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∑' (i : ℕ), m (s i))
s₁ s₂ : α
⊢ R (m (s₁ ⊔ s₂)) (m s₁ + m s₂)
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
⊢ (sign g • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff (Fintype.card n) = sign g • ∏ i : n, A (g i) i
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0
h_contr : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I
⊢ False
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊
⊢ Tendsto (fun x => ENNReal.ofReal ‖x - g‖) (𝓝 g) (𝓝 0)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂✝ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
S₂ : Type u_2
inst✝ : CommSemiring S₂
k : S₁ →+* S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), k (eval₂ f g p) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) p) → k (eval₂ f g (p * X n)) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) (p * X n))
α : Type u
Monoid α
u : αˣ
a : α
⊢ ↑u * a = 1 ↔ ↑u⁻¹ = a
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
a b : α
h0 : f 0 = 0
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α
ha0 : ¬a = 0
hb0 : ¬b = 0
hf1 : ¬f 1 = 0
this✝ : Nontrivial α
this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid
⊢ f (∏ p ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, p ^ (Multiset.count p (normalizedFactors a) + Multiset.count p (normalizedFactors b))) = f (∏ p ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, p ^ Multiset.count p (normalizedFactors a)) * f (∏ p ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, p ^ Multiset.count p (normalizedFactors b))
α : Type u_1
M : Type u_5
R : Type u_11
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ ∀ {x : Monoid R} [inst : AddMonoid M] [inst_1 : DistribMulAction R M] {b : R} {v : α →₀ M},
  Finsupp.filter p (b • v) = b • Finsupp.filter p v
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hn : p ∣ n
hn₀ : n ≠ 0
hq : ∀ (y : ℕ), Nat.Prime y → y ∣ n → y = p
⊢ n ∣ p ^ n.factorization p
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f univ
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ tangentMap I I' f = tangentMapWithin I I' f univ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
S : Set (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R S = ⊤
⊢ S ⊆ ↑(adjoin R (⋃ f ∈ S, ⇑(of R M) '' ↑f.support))
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
h✝ : Nontrivial A
hf : ¬f %ₘ minpoly A pb.gen = 0
this : (f %ₘ minpoly A pb.gen).natDegree < pb.dim
⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) (f %ₘ minpoly A pb.gen)) = (aeval y) (f %ₘ minpoly A pb.gen)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(-j).toSignedMeasure i = ↑(-j.toSignedMeasure) i
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
⊢ sᶜ =ᵐ[μ] t ↔ s =ᵐ[μ] tᶜ