ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
Inv α
a : Lex α
⊢ ofLex a⁻¹ = (ofLex a)⁻¹
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
α : Type u_1
f : α → (ι → ℝ) → E
g : α → F
h : ∀ i ∈ ∅, HasIntegral I l (f i) vol (g i)
⊢ HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ ∅, f i x) vol (∑ i ∈ ∅, g i)
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
⊢ 0 < μ (ball c f.rOut)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f g : ι → α
⊢ ⨆ x, f x ⊔ g x = (⨆ x, f x) ⊔ ⨆ x, g x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
x : M
n : ℕ
⊢ ContMDiffAt I I' (↑n) f x ↔ ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'
α : Type u
β : Type v
LinearOrder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hf : IsMinFilter f l a
hg : IsMinFilter g l a
⊢ IsMinFilter (fun x => min (f x) (g x)) l a
α : Type u_1
n m : ℕ
s : Sym α n
a : α
s' : Sym α m
⊢ a ∈ s.append s' ↔ a ∈ s ∨ a ∈ s'
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : List α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s
⊢ m.prod = ∏ i ∈ s, i ^ count i m
G : Type u_3
Group G
a b : G
⊢ a * b⁻¹ = 1 ↔ a = b
w v : Nat
x : BitVec w
y : BitVec v
⊢ (x ++ y).msb = bif w == 0 then y.msb else x.msb
a : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
ha : a < Ordinal.omega
⊢ a * Ordinal.omega = Ordinal.omega
α : Type u
as bs : List α
a b : α
h : as.concat a = bs.concat b
⊢ as = bs ∧ a = b
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ G.grundyValue = Ordinal.mex fun i => (G.moveRight i).grundyValue
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsOpenMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsOpen s
⊢ ∀ (i : ι), IsOpen (Subtype.val ⁻¹' (f '' s))
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p) = p ↔ p ∈ s
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a : α
⊢ ↑a + ⊤ = ↑a + c ↔ ⊤ = c
M : Type u_1
MulOneClass M
c : Con M
x y : M
⊢ (x, y) ∈ ↑c ↔ (x, y) ∈ c
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H : Subgroup G
K : Subgroup N
J : Subgroup (G × N)
⊢ H.prod K ≤ J ↔ map (MonoidHom.inl G N) H ≤ J ∧ map (MonoidHom.inr G N) K ≤ J
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
⊢ interior s = ∅
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝² : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝ : Fintype ι
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
b : (i : ι) → Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R ↥(N i)) R ↥(N i) := fun i => Module.Free.chooseBasis R ↥(N i)
⊢ (trace R M) f = ∑ i : ι, (trace R ↥(N i)) (f.restrict ⋯)
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k✝ : T.LocalizationMap Q
hg : Injective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
z w : N
i : N →* Q := f.map ⋯ k
hizw : i z = i w
ifkg : ∀ (a : M), i (f.toMap a) = k.toMap (g a)
⊢ z = w
α : Type u
a : α
AddGroup α
Fintype α
ha : ∀ (x : α), x ∈ AddSubgroup.zmultiples a
x : α
⊢ ∃! n, x = n.val • a
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map f ≫ F.map β) y = (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map g ≫ F.map β) y'
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
hb : 0 < b
h : b < a
⊢ a⁻¹ < b⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
a : α
⊢ (condCDF ρ a).measure univ = ENNReal.ofReal (1 - 0)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ (-z).re
hz_im : (-z).im ≤ 0
⊢ ‖f (-z)‖ ≤ C
⊢ CompleteLat.dual ⋙ CategoryTheory.forget₂ CompleteLat BddLat = CategoryTheory.forget₂ CompleteLat BddLat ⋙ BddLat.dual
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
hg : f =ᶠ[𝓝 x] g
⊢ AnalyticAt 𝕜 g x
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ IsGreatest {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ J ≤ I} (homogeneousCore' 𝒜 I)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
b : Bicone f
i : b.IsBilimit
as✝ : J
⊢ (∑ j : J, b.π j ≫ b.ι j) ≫ b.toCone.π.app { as := as✝ } = 𝟙 b.pt ≫ b.toCone.π.app { as := as✝ }
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
ha : a ∉ s
⊢ Disjoint (insert a s) (t.erase a) ↔ Disjoint s t
α : Type u_2
Bornology α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ Bornology.IsBounded s
v✝ : ℤ
hv : 2 ≤ v✝
v : ℕ
ih : ∀ m < v, ∀ {ξ : ℝ} {u : ℤ}, ContfracLegendre.Ass ξ u ↑m → ∃ n, ↑u / ↑m = ξ.convergent n
ξ : ℝ
u : ℤ
h : ContfracLegendre.Ass ξ u ↑v
⊢ ∃ n, ↑u / ↑v = ξ.convergent n
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).neighborSet v = {w}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
B W : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π
e : (a : α) → X a ⟶ W
h :
  ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (π a₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (π a₂) →
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (e a₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (e a₂)
m : B ⟶ W
hm : ∀ (a : α), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (π a) m = e a
⊢ m = CategoryTheory.EffectiveEpiFamily.desc X π e ⋯
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsLocalMaxOn f s a
hg : IsLocalMinOn g s a
⊢ IsLocalMaxOn (fun x => f x - g x) s a
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s t : Set α
⊢ IsOpen s → IsOpen t → s ∪ t = univ → s.Nonempty → t.Nonempty → (s ∩ t).Nonempty
α : Type u_4
A : Type u_5
AddCommMonoid A
Finset.HasAntidiagonal A
TopologicalSpace α
NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
⊢ (Summable fun x => f x.1 * g x.2) ↔ Summable fun x => f (↑x.snd).1 * g (↑x.snd).2
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ s
hfφ : HasUnitSpeedOn (f ∘ φ) s
hf : HasUnitSpeedOn f (φ '' s)
x : ℝ
xs : x ∈ s
⊢ Set.EqOn φ (fun y => y - x + φ x) s
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL : ∀ l ∈ L, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1
hx : (List.map List.prod L).sum ∈ closure s
⊢ C (List.map List.prod L).sum
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ
⊢ f.posPart - f.negPart = f
X : Type u_2
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
self : Urysohns.CU P
⊢ IsClosed self.C
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P : PresheafOfModules R₀
F : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P ⟶ F
⊢ ((sheafificationHomEquiv α) f).hom = ((sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj F)) ((SheafOfModules.toSheaf R).map f)
α : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α}, Measurable id
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
i : ι
⊢ ↑((restrictScalars R b) i) = b i
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
r : k
p₁ p₂ : P
⊢ r • (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₂ ∈ affineSpan k {p₁, p₂}
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R⟦X⟧
n : ℕ
⊢ (coeff R n) (f * g).derivativeFun = (coeff R n) (f • g.derivativeFun + g • f.derivativeFun)
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddMonoid ι
a : α
l : List α
fι : α → ι
⊢ (a :: l).dProdIndex fι = fι a + l.dProdIndex fι
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Preorder P
CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ (∀ (x : M₁ × M₂), 0 ≤ (Q₁.prod Q₂) x) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x
⊢ alexDiscEquivPreord.counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun X => Preord.Iso.mk (id (orderIsoSpecializationWithUpperSetTopology ↑X).symm))
    @alexDiscEquivPreord.proof_5
R : Type u
S₁ : Type v
S₂✝ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
S₂ : Type u_2
inst✝ : CommSemiring S₂
k : S₁ →+* S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (a : R), k (eval₂ f g (C a)) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) (C a))
G : Type u
AddLeftCancelMonoid G
Finite G
⊢ AddMonoid.exponent G ≠ 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
F G : CategoryTheory.Functor C D
X : C
α β : F ⟶ G
⊢ (α + β).app X = α.app X + β.app X
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
Ring A
Algebra R A
F : ↥(CliffordAlgebra.even Q) →ₐ[R] A
⊢ ((CliffordAlgebra.even.lift Q).symm F).bilin = (CliffordAlgebra.even.ι Q).bilin.compr₂ F.toLinearMap
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z (dist w z)) z
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ (I ⊓ J).radical = I.radical ⊓ J.radical
α : Type u
β : Type v
S : WSeq (Computation α)
a : α
H : ∀ (s : Computation α), s ∈ S → s ~> a
c : Computation α
cs : c ∈ S
ac : a ∈ c
this✝ : c.Terminates
this : (parallel S).Terminates
⊢ a ∈ parallel S
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
p : ℕ
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
hp : Nat.Prime p
⊢ Nonempty (K ≃+* L)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
supp : Set α
fin : supp.Finite
a : α
s : Set α
ih : ∀ {f : Equiv.Perm α}, (∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x) → (fixedBy α f)ᶜ ⊆ s → f ∈ closure S
f : Equiv.Perm α
hf : ∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x
supp_subset : (fixedBy α f)ᶜ ⊆ insert a s
b : α
hb : b ∈ (fixedBy α (swap (f a) a * f))ᶜ
⊢ b ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial E
e : E
he : e ≠ 0
this : ‖e‖ ≤ ‖fst 𝕜 E F‖ * ‖e‖
⊢ 1 ≤ ‖fst 𝕜 E F‖
α : Type u_11
β : Type u_12
C : Set (Set α)
f : (s : ↑C) → β → ↑↑s
hf : ∀ (s : ↑C), Function.Surjective (f s)
⊢ (⋃ y, Set.range fun s => ↑(f s y)) = ⋃₀ C
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
⊢ ⇑(g.comp f) = ⇑g ∘ ⇑f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
p : α → Prop
s : Set α
⊢ s ∈ comap f l ↔ (f '' sᶜ)ᶜ ∈ l
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
x : L
m : M
n : ℕ
⊢ ⁅x, n • m⁆ = n • ⁅x, m⁆
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ⊤.unop = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ s ×ˢ (t ∩ t') ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t ∩ s ×ˢ t'
V : Type u_5
NormedAddCommGroup V
Nontrivial V
⊢ ‖NormedAddGroupHom.id V‖ = 1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 0
i : Fin 1
this : Unique (Fin 1)
h : s.circumcenter = s.points default
⊢ s.circumcenter = s.points i
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
⊢ f⁻¹.SameCycle x y ↔ f.SameCycle x y
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (x / ↑m) ↔ m ≠ 0 ∧ Irrational x
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
A : Type u_2
AddCommGroup A
ϕ : ↥H →+ A
T : ↑(AddSubgroup.leftTransversals ↑H)
H.FiniteIndex
⊢ AddSubgroup.leftTransversals.diff ϕ T T = 0
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝¹ : LocallyConnectedSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
h : OpenEmbedding f
x : β
⊢ (𝓝 x).HasBasis ((fun x s => (IsOpen s ∧ f x ∈ s ∧ IsConnected s) ∧ s ⊆ range f) x) ((fun x s => f ⁻¹' s) x)
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y • f y) (c x • f' + c' • f x) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᴹᵒᵖ × Cᴹᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.MonoidalOpposite.tensorIso C).inv.app X).unmop =
  𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X.2.unmop X.1.unmop)
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ s.einfsep = ⊤ ↔ s.Subsingleton
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hn : 0 < n
c : F
⊢ iteratedDerivWithin n (fun z => c + f z) s x = iteratedDerivWithin n f s x
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b b' : β a
⊢ (insert a b (singleton a b')).entries = (singleton a b).entries
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace W
TopologicalAddGroup W
f : P →ᴬ[R] W
x : P
⊢ (-f) x = -f x
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring M
n : ℕ
x✝¹ x✝ : M
⊢ ↑n * (x✝¹ * x✝) = ↑n * x✝¹ * x✝
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ⊆ s ∪ t
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p p' : Submodule R M
h : p = p'
x : M
⊢ (p.quotEquivOfEq p' h) (Submodule.Quotient.mk x) = Submodule.Quotient.mk x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h : ∫⁻ (b : β), s.indicator (fun x => 1) b ∂κ a = ∫⁻ (b : β), s.indicator (fun x => 1) b ∂η a
⊢ (κ a) s = (η a) s
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasImage f✝
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
inst✝² : HasImage f
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasImage g
sq : Arrow.mk f ⟶ Arrow.mk g
inst✝ : HasImageMap sq
⊢ imageSubobjectMap sq ≫ (imageSubobject g).arrow = (imageSubobject f).arrow ≫ sq.right
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
⊢ s ∈ 𝓤 (X ⊕ Y) ↔ ∃ ε > 0, ∀ (a b : X ⊕ Y), Metric.Sum.dist a b < ε → (a, b) ∈ s
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
hs : span s = ⊤
n : ℕ
⊢ span ((fun x => x ^ n) '' s) = ⊤
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : Field 𝕜
inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Algebra 𝕜 R
inst✝¹¹ : Module 𝕜 M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : MulOpposite.op x.fst • x.snd = x.fst • x.snd
e : R
h : HasSum (fun n => (expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst) e
⊢ HasSum (fun n => ((expSeries 𝕜 (tsze R M) n) fun x_1 => x).snd) (e • x.snd)
α : Sort u_4
β : Sort u_5
f : α → β
p : β → Prop
h : ∀ (a : α), p (f a)
hf : Function.Injective f
⊢ Function.Injective (Subtype.coind f h)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.count a s ≤ Multiset.card s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
a : Set α
as : List (Set α)
⊢ ⇑f '' (a :: as).prod = (List.map (fun s => ⇑f '' s) (a :: as)).prod
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
a : α
ha : AddLECancellable a
⊢ Function.Injective fun x => a + x
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
NormalizationMonoid R
⊢ Polynomial.X = normalize Polynomial.X
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
Zero M
Zero N
FunLike F M N
ZeroHomClass F M N
f : F
⊢ f 0 = 0
α : Type u
Order.Coframe α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
f : ι → α
g : ι' → α
s : Set ι
t : Set ι'
⊢ (⨅ i ∈ s, f i) ⊔ ⨅ j ∈ t, g j = ⨅ p ∈ s ×ˢ t, f p.1 ⊔ g p.2
X : Type u_2
EMetricSpace X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X
⊢ Filter.Tendsto (fun r => (MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric'.pre m r) s) (𝓝[>] 0)
  (𝓝 ((MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric' m) s))
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
X : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi D)
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ (((CategoryTheory.Idempotents.KaroubiUniversal₁.counitIso C D).inv.app X).app P).f = (X.map P.decompId_i).f
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
f g : End K M
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : PerfectField K
comm : Commute f g
hf : f.IsSemisimple
hg : g.IsSemisimple
a : End K M
ha : a ∈ Algebra.adjoin K {f, g}
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {minpoly K f}
S : Type u_3 := AdjoinRoot (map (algebraMap K R) (minpoly K g))
this✝ : Finite K R
this : Finite R S
⊢ a.IsSemisimple
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
y₁ y₂ : F
⊢ (fun x_1 => (x, x_1.1 • y₁ + x_1.2 • y₂)) '' {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1} = (fun p => p.1 • (x, y₁) + p.2 • (x, y₂)) '' {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ (W.map f).Ψ n = Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom f) (W.Ψ n)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
κ : ι → Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {μ : MeasureTheory.Measure Ω} {S : Finset ι} {s : ι → Set Ω}
  {m : (i : ι) → MeasurableSpace (κ i)} {f : (x : ι) → Ω → κ x},
  ProbabilityTheory.iIndepFun m f μ → (∀ i ∈ S, MeasurableSet (s i)) → μ (⋂ i ∈ S, s i) = ∏ i ∈ S, μ (s i)
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : K
⊢ (commMap K) ((canonicalEmbedding K) x) = (mixedEmbedding K) x
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioi 0
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ (log ∘ Gamma) (a • x + b • y) ≤ a • (log ∘ Gamma) x + b • (log ∘ Gamma) y
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_11
A : Type u_12
CommSemiring R
Fintype n
Fintype m
DecidableEq m
DecidableEq n
Semiring A
Algebra R A
e : m ≃ n
M : Matrix m m A
⊢ (Matrix.reindexAlgEquiv R A e) M = (Matrix.reindex e e) M
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
DecidableEq ι
AddMonoid ι
GradedRing 𝒜
I J : HomogeneousIdeal 𝒜
h : I.toIdeal = J.toIdeal
⊢ I = J
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : 1 < s.encard
a : α
⊢ ∃ b ∈ s, b ≠ a
n : Num
⊢ -n.toZNumNeg = n.toZNum
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
i j : ℕ
⊢ (Polynomial.monomial i) 1 = (Polynomial.monomial j) 1 ↔ i = j
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
⊢ c ∈ Function.support ↑f
H : Type u_1
H' : Type u_3
TopologicalSpace H
TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h1 : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
h2 : f x = g x
⊢ P f s x ↔ P g s x
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ ∅.diag = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (κ a)
⊢ ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂κ a
α : Type u_1
s t : Set α
hs : s.Finite
hst : s ⊆ t
hts : t.encard ≤ s.encard
⊢ s = t
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
n : ℕ
h : IsFractional S I
⊢ IsFractional S ((n + 1) • I)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ ↑0 = 0
a✝ b c n a : ℕ
⊢ Multiset.map (fun x => x % a) (Multiset.Ico n (n + a)) = Multiset.range a
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
x✝ : X
⊢ (h.trans h.symm) x✝ = (Homeomorph.refl X) x✝
α : Sort u
β : α → Sort v
DecidableEq α
a : α
b : β a
f g : (a : α) → β a
⊢ g = Function.update f a b ↔ g a = b ∧ ∀ (x : α), x ≠ a → g x = f x