ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
I : Box ι
x : E
⊢ volume.toBoxAdditive I • x = (∏ j : ι, (I.upper j - I.lower j)) • x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p q : α
pp : Prime p
qp : Prime q
⊢ p ∣ q ↔ p ~ᵤ q
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : R1Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
P : Type u_8
Zero M
Zero N
Zero P
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
a : α
m : M
n : N
⊢ Finsupp.zipWith f hf (Finsupp.single a m) (Finsupp.single a n) = Finsupp.single a (f m n)
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < b
c : α
⊢ c / b < c / a
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a + b - a = b
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
h : p.rev ≤ i.castSucc
⊢ p.rev.succAbove i = (p.succAbove i.rev).rev
α : Type u_2
Sub α
s : Set α
⊢ s - ∅ = ∅
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ S.val.range = S
ι : Type u_1
α : Type u_2
OrderedAddCommGroup α
f : ι → NonemptyInterval α
s : Finset ι
⊢ (∑ i ∈ s, f i).length = ∑ i ∈ s, (f i).length
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S₁ : NonUnitalSubalgebra R A
S₂ : NonUnitalStarSubalgebra R A
h : S₁ ≤ S₂.toNonUnitalSubalgebra
⊢ S₁.starClosure ≤ S₂
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
i : ι
hv : LinearIndependent R v
h : v i = 0
⊢ (Finsupp.single i 1) i = 0
R : Type u_1
LinearOrderedField R
q : ℚ
⊢ (↑q).re = ↑q
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Set.Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Icc a b → ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
p q : ℝ
hp : 1 < p
⊢ p.IsConjExponent q ↔ q = p / (p - 1)
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
x : R
h : v x ≠ 0
⊢ ∃ γ, {y | v (y - x) < ↑γ} ⊆ {y | v y = v x}
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ≠ 0
⊢ IsOpen {x | x.1 = 0}ᶜ
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
⊢ discr K ⇑pb.basis = (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * (norm K) ((aeval pb.gen) (derivative (minpoly K pb.gen)))
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ
Inhabited Γ'
f : Γ → Γ'
pt : f default = default
⊢ { f := f, map_pt' := pt }.f = f
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Cᵒᵖ
S T : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : S ⟶ T
⊢ IsIso ((J.diagram P (unop X)).map e)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E
k : ℕ
blocks_fun : Fin k → ℕ
H : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource 0 N N
i✝ : ℕ
him✝ : i✝ < ⟨k, blocks_fun⟩.fst
hin✝ : i✝ < (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.length
⊢ ((p ((compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun ⟨↑⟨i✝, him✝⟩, ⋯⟩)) fun _j => z) = p.applyComposition (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd (fun _j => z) ⟨i✝, hin✝⟩
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x y : 𝕎 R
⊢ WittVector.ghostFun (x * y) = WittVector.ghostFun x * WittVector.ghostFun y
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
⊢ ‖↑n ^ (-s)‖ = (↑n ^ s.re)⁻¹
α✝ : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeSup α✝
inst✝² : OrderBot α✝
inst✝¹ : DecidableEq α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
⊢ (sup 0).Nodup ↔ ∀ a ∈ 0, a.Nodup
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ Set.univ ≤ closure (⇑f.val.base '' Set.univ)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B
⊢ A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = f.hom ▷ A.X ▷ M.X ≫ (α_ B.X A.X M.X).hom ≫ B.X ◁ f.hom ▷ M.X ≫ (α_ B.X B.X M.X).inv ≫ B.mul ▷ M.X ≫ M.act
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.addX P (W'.neg P) = W'.dblZ P ^ 2
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'
S : IntermediateField K L'
⊢ IntermediateField.map f (IntermediateField.comap f S) = S ⊓ f.fieldRange
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f g : M × M₂ →ₗ[R] M₃
hl : f ∘ₗ LinearMap.inl R M M₂ = g ∘ₗ LinearMap.inl R M M₂
hr : f ∘ₗ LinearMap.inr R M M₂ = g ∘ₗ LinearMap.inr R M M₂
⊢ f = g
M : Type u
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module ℤ M
inst✝ : Finite ℤ M
hM : IsTorsion ℤ M
ι : Type
w✝ : Fintype ι
p : ι → ℤ
h : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
e : ι → ℕ
l : M ≃ₗ[ℤ] ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}
this : ∀ (i : ι), NeZero (p i ^ e i).natAbs
⊢ _root_.Finite M
α : Type u_2
DecidableEq α
Neg α
s : Finset α
x : α
⊢ x ∈ -s ↔ ∃ y ∈ s, -y = x
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p
⊢ Tendsto (fun x => x * (b * x ^ (p - 1) + -1)) atTop atTop
R : Type u_1
Bornology R
Mul R
self : BoundedMul R
s t : Set R
⊢ Bornology.IsBounded s → Bornology.IsBounded t → Bornology.IsBounded (s * t)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
(p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
DecidableEq (Associates α)
a b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
habk : k ∣ p.count (a * b).factors
⊢ k ∣ p.count a.factors
a x z✝ z : ℂ
hz : z.im < 0
⊢ z.arg = -Real.arccos (z.re / abs z)
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ p ∣ a ^ n ↔ p ∣ a
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
⊢ ∑ x ∈ p.support, f (p.integralNormalization.coeff x) * (f p.leadingCoeff ^ x * z ^ x) = ∑ x ∈ p.support.attach, f (p.integralNormalization.coeff ↑x) * (f p.leadingCoeff ^ ↑x * z ^ ↑x)
M : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
SMul M X
ContinuousSMul M X
a b : M
x y : X
h₁ : Inseparable a b
h₂ : Inseparable x y
⊢ Inseparable (a • x) (b • y)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
tz : R
h : ∀ (p : P), p = x ∨ p = 0 • v +ᵥ x ∨ p = tz • v +ᵥ x → ∃ r, p = r • v +ᵥ x
⊢ Wbtw R x (0 • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R (0 • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) x ∨ Wbtw R (tz • v +ᵥ x) x (0 • v +ᵥ x)
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hpq : p.degree ≤ q.degree
hp : p ≠ 0
⊢ q ≠ 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
f g : MeasureTheory.Filtration ι m
h : ↑f = ↑g
⊢ f = g
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1
hnx : 0 < n → 0 ≤ x + ↑n
⊢ 0 ≤ ↑n * x + ↑n * ↑n
R : Type u_10
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
ι : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
f : M₁ [⋀^ι]→ₗ[R] R
z : M₂
⊢ ∀ (a : (i : ι) → (fun x => M₁) i), (f.smulRight z) a = f a • z
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Zero α
One α
⊢ (SimpleGraph.adjMatrix α G)ᵀ = SimpleGraph.adjMatrix α G
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
Sup α
Sup β
Sup γ
Sup δ
f : SupHom γ δ
g : SupHom β γ
h : SupHom α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : Set α
⊢ μ s ≠ ⊤
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
n : R[X]
d : ↥R[X]⁰
⊢ (map φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk n d } = { toFractionRing := Localization.mk (φ n) ⟨φ ↑d, ⋯⟩ }
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ ∀ (a : α), a ∈ s₁.ndunion s₂ ↔ a ∈ s₁ + s₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m' : MeasurableSpace β
inst✝ : BooleanAlgebra β
h : Measurable compl
f : α → β
⊢ MeasurableSpace.comap compl inferInstance = inferInstance
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
⊢ a + -b = c ↔ a = c + b
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℝ
⊢ ↑(ProbabilityTheory.exponentialCDFReal r) x = if 0 ≤ x then 1 - rexp (-(r * x)) else 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Dist E
l : Filter ι
f f' : ι → α → E
g g' : α → E
h_left : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i =ᶠ[ae μ] f' i
h_right : g =ᶠ[ae μ] g'
h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ (fun i => μ {x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)}) =ᶠ[l] fun i => μ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)}
α : Type u_2
β : Type u_3
InfSet α
InfSet β
f : sInfHom α β
⊢ f.toFun = ⇑f
s : Multiset ℚ≥0
⊢ ↑s.prod = (Multiset.map NNRat.cast s).prod
R : Type x
Distrib R
a b c : R
⊢ Commute a b → Commute a c → Commute a (b + c)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
⊢ ↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) ≤ ↑(index (↑K₁) U) + ↑(index (↑K₂) U)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α
⊢ x ∈ Iic a \ {a} ↔ x ∈ Iio a
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
n : ℕ
s : Multiset α
⊢ Multiset.map f (n • s) = n • Multiset.map f s
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
f : M → N
g : N → P
Zero P
hc : g ∘ f = 0
hr : ∀ (y : N), g y = 0 → y ∈ Set.range f
⊢ Function.Exact f g
f : CauSeq ℚ abs
⊢ Real.mk (-f) = -Real.mk f
α : Type u_1
a b c d : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
h : a * b < c
hle : d ≤ b
a0 : 0 ≤ a
⊢ a * d < c
K : Type u
Field K
L : Type u_3
Field L
Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x
⊢ (IntermediateField.adjoin.powerBasis hx).gen = IntermediateField.AdjoinSimple.gen K x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
h : n < m
f : ℕ → ℚ := fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
hf : f = fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
i : ℕ
h₁✝ : i < n + 1
h₁ : i ≤ n
h₂ : i < m
h₃ : i ≤ m
hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0
this✝ : ↑(m.choose (i + 1)) * (↑i + 1) = ↑(m.choose i) * ↑(m - i)
this : ↑(n.choose (i + 1)) * (↑i + 1) = ↑(n.choose i) * ↑(n - i)
⊢ ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹ - ↑(n.choose i) * ↑(n - i) * (↑i + 1)⁻¹ * (↑(m.choose i) * ↑(m - i) * (↑i + 1)⁻¹)⁻¹ = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f ↔
  CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf.sheafify J
      (CategoryTheory.GrothendieckTopology.imagePresheaf (CategoryTheory.whiskerRight f (CategoryTheory.forget A))) =
    ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
x : A ⊗[R] M
a : A
y : M
⊢ a ⊗ₜ[R] y ∈ span A ↑(LinearMap.range ((TensorProduct.mk R A M) 1))
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
z : ℂ
⊢ ↑θ.cos * z + ↑θ.sin * (I * z) = (↑θ.cos + ↑θ.sin * I) * z
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
hb : 1 < b
⊢ a < b ^ a
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t) + ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t) = 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle (x - y) x = ↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖))
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (shiftFunctorAdd' C a 0 a ⋯).hom.app X = (shiftFunctorZero C A).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
t : Finset β
f : α ≃ β
⊢ map f.symm.toEmbedding t ⊆ s ↔ t ⊆ map f.toEmbedding s
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
g : β → γ
f : α → β
s : Multiset α
⊢ Multiset.map g (Multiset.map f s) = Multiset.map (g ∘ f) s
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalSemiring R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type ?u.1164305) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ 0 ≤ a ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ x
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0
⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
α : Type u
Semiring α
s : Set α
⊢ Submodule.span α s = Ideal.span s
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V ≤
  MeasureTheory.Measure.haar.index K₁.carrier V + MeasureTheory.Measure.haar.index K₂.carrier V
P : Type u_1
BooleanAlgebra P
I : Order.Ideal P
I.IsProper
h : ∀ {x : P}, x ∈ I ∨ xᶜ ∈ I
⊢ I.IsPrime
b✝ x y a b : ℝ
⊢ (logb a b)⁻¹ = logb b a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ * λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * λ * λ ∣ (S.a + S.b) * (S.a + ↑η * S.b) * (S.a + ↑η ^ 2 * S.b)
⊢ False
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
m : ↥M
r : ↥⊥
x : R
h : (algebraMap R S) x = ↑r
⊢ ↑(TensorProduct.comm R ↥M ↥⊥ ≪≫ₗ M.lTensorOne) (m ⊗ₜ[R] r) = ↑M.rTensorOne (m ⊗ₜ[R] r)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.Limits.Fork f g
⊢ s.π.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one = CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.ι f
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
n : ℕ
hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[n✝ + 1 + (n + 1)] ((⇑frobenius)^[n + 1] a * (⇑frobenius)^[n✝ + 1] b)
⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n + 1] b)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ : LieModule.Weight R L M
x : L
⊢ ((LieModule.toEnd R L M) x).HasEigenvalue (χ x)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
i : S.Arrow
⊢ ∀ (j : StructuredArrow (op i.Y) G.op), (lift hF hR s ≫ R.map i.f.op) ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op i.Y)).π.app j = s.ι i ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op i.Y)).π.app j
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c w : ℂ
R : ℝ
hR : R ≠ 0
this : (circleMap c R ⁻¹' {w}).Countable
θ : ℝ
_' : θ ∈ Ι 0 (2 * π)
hθ : circleMap c R θ ≠ w
⊢ deriv (circleMap c R) θ • (fun z => (z - w)⁻¹ • (z - w) • f z) (circleMap c R θ) = deriv (circleMap c R) θ • (fun z => f z) (circleMap c R θ)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f g : α → β → γ
la : List α
lb : List β
h : List.Forall₂ (fun a b => f a b = g a b) la lb
⊢ List.zipWith f la lb = List.zipWith g la lb
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
⊢ Function.Injective AffineIsometryEquiv.toAffineEquiv
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s✝ : Set E
x✝ : E
ι : Sort u_5
s : ι → Set E
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
hc : ∀ ⦃i : ι⦄, Convex 𝕜 (s i)
x : E
hx : x ∈ ⋃ i, s i
y : E
hy : y ∈ ⋃ i, s i
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⋃ i, s i
m : ℕ∞
⊢ ↑m < Cardinal.aleph0 ↔ m < ⊤
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
NormedField 𝕜₂
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
i : ι
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ q.comp f i = (q i).comp f
R' : Type u
S' : Type v
T' : Type w
CommSemiring R'
Semiring S'
Algebra R' S'
SMul S' T'
p : R'[X]
f : S' → T'
x : S'
⊢ (p • f) x = (Polynomial.aeval x) p • f x
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : SMul R S
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : R
h : IsUnit ((algebraMap R (End S M)) x)
m m' : M
H : m = x • m'
⊢ ↑h.unit m' = ↑h.unit (↑h.unit⁻¹ (x • m'))
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
df : p.natDegree < n
⊢ (p - q).coeff n = -q.coeff n
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCokernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'
⊢ (f' ≫ q.inv) ≫ q.hom = (p.inv ≫ f) ≫ q.hom
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ ((Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) ≫ PInfty.f n = PInfty.f n
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A A' : C
f : A' ⟶ A
vcomp1 : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A'))) (whiskerLeft F (prod.functor.map (F.map f)) ≫ (prodComparisonNatIso F A).inv) = (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) (prodComparisonNatIso F A).inv ≫ whiskerLeft F ((conjugateEquiv (exp.adjunction (F.obj A)) (exp.adjunction (F.obj A'))) (prod.functor.map (F.map f)))
vcomp2 : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A'))) ((prodComparisonNatIso F A').inv ≫ whiskerRight (prod.functor.map f) F) = whiskerRight ((conjugateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction A')) (prod.functor.map f)) F ≫ (mateEquiv (exp.adjunction A') (exp.adjunction (F.obj A'))) (prodComparisonNatIso F A').inv
B : C
⊢ prod.map (F.map f) (F.map (𝟙 B)) ≫ inv (prodComparison F A B) = inv (prodComparison F A' B) ≫ F.map (prod.map f (𝟙 B))
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioi a ⊆ Set.Ioc a b ∪ Set.Ici b
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0 : a ≠ 0
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M
hM' : 0 ∉ M'
this : IsDomain (Localization M')
bot_maximal : ⊥.IsMaximal := (bot_quotient_isMaximal_iff P).mpr hP
⊢ Function.Bijective ⇑(algebraMap (R[X] ⧸ P) (Localization M'))
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
R : Type u_1
K : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : FunLike F R K
inst✝ : RingHomClass F R K
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (ker f).IsMaximal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : sup f = lsub f
⊢ sup f = lsub f ∨ succ (sup f) = lsub f
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ m ∈ n.properDivisors ↔ ∃ k > 1, n = m * k
M : Type u_2
α : Type u_3
VAdd M α
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
self : MeasurableVAdd M α
c : M
⊢ Measurable fun x => c +ᵥ x
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s t : Set α
⊢ upperClosure (s * t) = upperClosure s * upperClosure t
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (Fin.last n)
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
⊢ Fin.init (Fin.snoc p x) = p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
this✝ : Fintype α
this : Fintype β
⊢ Nat.card (α ⊕ β) = Nat.card α + Nat.card β
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
x✝ : α × α
a b : α
⊢ (a, b) ∈ Prod.swap '' idRel ↔ (a, b) ∈ idRel