ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) μ
I2 : Integrable (fun a => (L (f a)) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)).comp (g' (q₀.1, q₀.2 - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.2}
K'_def : K' = -k + {q₀.2}
⊢ HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
e : L' ≃ₗ⁅R⁆ L
⊢ LieAlgebra.IsSolvable R L' ↔ LieAlgebra.IsSolvable R L
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k l : ℕ
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) l
hp : Nontrivial ↥p
f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯
f₂ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ⋯
⊢ False
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
⊢ GaloisConnection Int.cast Int.floor
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
i : ι
x : ↥(A i)
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) i) x) i) = ↑(if i = i then x else 0)
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
ν.IsMulLeftInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.1, z.1⁻¹ * z.2)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : μ o = μ s
a : BallPackage (↑s) α := { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G →g G'
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ (SimpleGraph.Walk.map f p).reverse = SimpleGraph.Walk.map f p.reverse
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
j : Fin (n + 1)
h : j ≠ 0
⊢ (predAbove 0 j).succ = j
n : ℕ
c : Composition n
i : Fin c.length
j : Fin (c.blocksFun i)
⊢ ↑(c.invEmbedding ((c.embedding i) j)) = ↑j
p : Char → Bool
l m r : List Char
acc : List String
⊢ (if r = [] then acc.reverse ++ [{ data := l ++ (m ++ r) }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }] else if p ({ data := l ++ (m ++ r) }.get { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) = true then { data := l ++ (m ++ r) }.splitAux p ({ data := l ++ (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) ({ data := l ++ (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) ({ data := l ++ (m ++ r) }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } :: acc) else { data := l ++ (m ++ r) }.splitAux p { byteIdx := utf8Len l } ({ data := l ++ (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) acc) = acc.reverse ++ List.map mk (List.splitOnP.go p r m.reverse)
F : Type u_1 → Type u_2
F1 F2 : Functor F
LawfulFunctor F
LawfulFunctor F
⊢ (∀ (α β : Type u_1) (f : α → β) (x : F α), f <$> x = f <$> x) → F1 = F2
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
⊢ p ∈ lifts f ↔ p ∈ Set.range (map f)
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ (MvPolynomial.eval P) W.polynomialY / P z ^ 3 =
  Polynomial.evalEval (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3) W.toAffine.polynomialY
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
⊢ -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ = 0 ∨ -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ = -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : TopologicalSemiring A
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSemiring R
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
toAlgHom✝¹ : A →ₐ[R] B
cont✝¹ : Continuous (↑↑toAlgHom✝¹.toRingHom).toFun
toAlgHom✝ : A →ₐ[R] B
cont✝ : Continuous (↑↑toAlgHom✝.toRingHom).toFun
⊢ ↑{ toAlgHom := toAlgHom✝¹, cont := cont✝¹ } = ↑{ toAlgHom := toAlgHom✝, cont := cont✝ } ↔ toAlgHom✝¹ = toAlgHom✝
ι : Type u
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
g : (ι → ℝ) → ℝ
hle : ∀ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ g x
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
hg : BoxIntegral.Integrable I l g μ.toBoxAdditive.toSMul
⊢ ‖BoxIntegral.integral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul‖ ≤ BoxIntegral.integral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
x : β
⊢ e (e.symm x) = x
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
CommRing S
CommRing T
Algebra R S
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
ι : Type u_4
κ : Type u_5
Finite ι
Finite κ
b : Basis ι R S
c : Basis κ S T
x : T
⊢ (Algebra.trace R S) ((Algebra.trace S T) x) = (Algebra.trace R T) x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
k : α
h✝ : m.buckets.WF
H : AssocList.All (fun k_1 x => ((hash k_1).toUSize % m.buckets.val.size).toNat = (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat) m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val]
a : α × β
h : a ∈ List.replaceF (fun x => bif x.fst == k then some (k, f x.fst x.snd) else none) m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat].toList
⊢ ((hash a.fst).toUSize % m.buckets.val.size).toNat = (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
Finv : β → ↑s := Function.invFun F
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝³ : Semiring R₁
inst✝² : Semiring R₂
inst✝¹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ : R₁ →+* R₂
σ' : R₂ →+* R₁
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
x : R₂
⊢ σ (σ' x) = x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Finite
l : Filter α
p : ι → α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ∀ i ∈ I, p i x) ↔ ∀ i ∈ I, ∀ᶠ (x : α) in l, p i x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f d : ℕ → α
hdisj : Pairwise (Disjoint on d)
hsups : partialSups d = partialSups f
n m : ℕ
ih : m ≤ n → Disjoint ((partialSups d) m) (d n.succ)
hm : m + 1 ≤ n
⊢ Disjoint ((partialSups d) (m + 1)) (d n.succ)
R : Type u_1
Mul R
a : R
⊢ IsLeftRegular a ↔ IsSMulRegular R a
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ IsNoetherian R M ↔ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v✝ : ι → M
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing R₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M''
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
G : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G R
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → G
⊢ ⊤ ≤ span R (Set.range (w • v))
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s : Subgroup G
⊢ IsClosed ↑s.topologicalClosure
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ (f • g).NeBot → f.NeBot
θ : Angle
⊢ Real.sin θ.toReal = θ.sin
R : Type u
CommSemiring R
t : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ PrimeSpectrum.vanishingIdeal (closure t) = PrimeSpectrum.vanishingIdeal t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set α
t : Set β
h : (s ×ˢ t).Nonempty
⊢ MeasurableSet (s ×ˢ t) ↔ MeasurableSet s ∧ MeasurableSet t ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
p q : FractionRing K[X]
⊢ { toFractionRing := p / q } = { toFractionRing := p } / { toFractionRing := q }
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp a (b - m • p) = toIocMod hp a b
K : Type u
Field K
L : Type u
Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
⊢ RatFunc.eval f a (x + y) = RatFunc.eval f a x + RatFunc.eval f a y
n : ℕ
⊢ ArithmeticFunction.moebius n = 0 ∨ ArithmeticFunction.moebius n = 1 ∨ ArithmeticFunction.moebius n = -1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
⊢ f ∈ Set.univ.pi t ↔ ∀ (i : ι), f i ∈ t i
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
Zero N
f g : α →₀ N
⊢ f.neLocus g = g.neLocus f
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ p.succAbove i.rev = (p.rev.succAbove i).rev
⊢ Ordinal.lift.{max v u, u} = Ordinal.lift.{v, u}
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteDistribLattice α
f : Filter β
u : β → α
f.NeBot
a : α
⊢ a ⊓ Filter.liminf u f = Filter.liminf (fun x => a ⊓ u x) f
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α
⊢ ⋃ b ∈ t, (fun x => x ⊔ b) '' s = s ⊻ t
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
⊢ 0 ≤ z ↔ ∃ x ≥ 0, ↑x = z
n m : Nat
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α}, (List.replicate n (List.replicate m a)).join = List.replicate (n * m) a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
g : M →* N
h₀ : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α), g (∏ᶠ (_ : i ∈ s), f i) = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g (f i)
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderBot α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁ + s₂).sup = s₁.sup ⊔ s₂.sup
a b : Prop
ha : a
⊢ (a ↔ b) ↔ b
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
s : Set H
hs : IsOpen s
⊢ ∃ f, Function.support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ Set.range f ⊆ Set.Icc 0 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
q : PMF β
f : (a : α) → a ∈ p.support → (b : β) → b ∈ q.support → PMF γ
c : γ
b : β
a : α
⊢ (p a * if h : p a = 0 then 0 else q b * if h : q b = 0 then 0 else (f a ⋯ b h) c) = q b * if h : q b = 0 then 0 else p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h b ⋯) c
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
f : N →ₗ[R] P
f₂ : M →ₗ[R] N
⊢ Finsupp.mapRange.linearMap (f ∘ₗ f₂) = Finsupp.mapRange.linearMap f ∘ₗ Finsupp.mapRange.linearMap f₂
⊢ Differentiable ℂ fun s => (↑π ^ (-s / 2))⁻¹ * (Gamma (s / 2))⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
h : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Set.Icc 0 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ s
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Algebra.adjoin (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
⊢ ∀ (r : ↑↑s), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ Subalgebra.toSubmodule (⨆ x, Algebra.adjoin R ↑(sf x))
w x y z r : ℝ
l : List ℝ≥0
⊢ (List.map (fun x => x ^ r) (List.map toReal l)).prod = (List.map toReal l).prod ^ r
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ Continuous ⇑e
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
i j : α
σ : Perm α
⊢ σ * swap i j = σ ↔ i = j
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ (f - g) v = f v - g v
A : Type u
AddCommGroup A
⊢ CategoryTheory.Injective (ModuleCat.mk A) ↔ CategoryTheory.Injective { α := A, str := inferInstance }
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ : α → β
ι : Sort u_2
T : TopologicalSpace α
f : β → α
a : β
s : Set β
this : TopologicalSpace β := induced f T
⊢ (∃ t ⊆ s, (∃ t_1, IsOpen t_1 ∧ f ⁻¹' t_1 = t) ∧ a ∈ t) ↔ ∃ u, (∃ t ⊆ u, IsOpen t ∧ f a ∈ t) ∧ f ⁻¹' u ⊆ s
n k : ℕ
h : k ≤ n
⊢ Finset.filter (fun a => k ≤ a.1) (Finset.antidiagonal n) =
  Finset.map ({ toFun := fun x => x + k, inj' := ⋯ }.prodMap (Function.Embedding.refl ℕ)) (Finset.antidiagonal (n - k))
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
s : Finset α
h : ↑a < s.min
⊢ a ∉ s
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
M₁ M₂ : Matroid α
⊢ M₁ = M₂✶ ↔ M₂ = M₁✶
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
f : Filter α
a : α
hl : Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
hg : Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
hs : f.limsSup = a
hi : f.limsInf = a
⊢ f ≤ 𝓝 a
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
inst✝ : Finite β
f : α → β
H : Injective f
⊢ Finite α
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
ih : ∀ (x : ℤ_[p]), x.appr n < p ^ n
x : ℤ_[p]
hp : p ^ n < p ^ (n + 1)
⊢ (if h : x - ↑(x.appr n) = 0 then x.appr n else x.appr n + p ^ n * (toZMod ↑(unitCoeff ⋯) * 0 ^ match (x - ↑(x.appr n)).valuation - ↑n with | Int.ofNat m => m | Int.negSucc m => m.succ).val) < p ^ (n + 1)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
i j : ι
hij : ¬c.Rel j i
⊢ ∀ (h_1 : c.Rel j i), h i j h_1 = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
hfs : Function.Surjective f.toFun
⊢ Function.Injective (LocallyConstant.comap f)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
Semiring S
f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁
s : S
⊢ (WittVector.truncate n) (WittVector.liftFun f s) = (f n) s
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
One α
i j : n
⊢ j ≠ i → 1 i j = 0
c : ℝ
f : ℕ → Bool
⊢ (fun n => Cardinal.cantorFunctionAux c f (n + 1)) = fun n => c * Cardinal.cantorFunctionAux c (fun n => f (n + 1)) n
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
S T : Submodule R M
⊢ -S ≤ T ↔ S ≤ -T
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
d : D
X : (CategoryTheory.StructuredArrow d F)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.StructuredArrow.toCostructuredArrow F d).obj X =
  CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (Opposite.unop X).hom.op
ι : Sort u_1
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
f : ι → Set α
hf : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
⊢ IsClosed (⋃ i, f i)
R : Type u
a b : R
m✝ n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
k l m n : ℕ
u v : R
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
⊢ C u * X ^ k + C v * X ^ l = C u * X ^ m + C v * X ^ n ↔ k = m ∧ l = n ∨ u = v ∧ k = n ∧ l = m ∨ u + v = 0 ∧ k = l ∧ m = n
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulMono α β
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b₁
⊢ 0 ≤ a • b₁
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n✝² n✝¹ n : ℕ
h : n ≠ 0
n✝ : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))
g_poly : (ZMod (n✝ + 1))[X] := X ^ (n✝ + 1) ^ n - X
hp : 1 < n✝ + 1
aux : g_poly ≠ 0
key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField (n✝ + 1) n)) = (n✝ + 1) ^ n
nat_degree_eq : g_poly.natDegree = (n✝ + 1) ^ n
x : GaloisField (n✝ + 1) n
hx : x ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪ (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField)
⊢ ∀ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪ (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField, (aeval x) g_poly = 0
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I J : Ideal A
HI : ∃ S, I = span (Subtype.val '' S)
HJ : ∃ S, J = span (Subtype.val '' S)
⊢ ∃ S, I ⊔ J = span (Subtype.val '' S)
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
hy : f y ≠ y
⊢ f.SameCycle x y
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ (fun x => rexp (MeasureTheory.llr μ ν x)) =ᵐ[ν] fun x => if μ.rnDeriv ν x = 0 then 1 else (μ.rnDeriv ν x).toReal
L : Type u_1
LinearOrderedField L
W : Type v
AddCommGroup W
Module L W
FiniteDimensional L W
t : Finset W
h : FiniteDimensional.finrank L W + 1 < t.card
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, 0 < f x
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Ring R
MulSemiringAction M R
a : M
s : Set R
⊢ a • Subring.closure s = Subring.closure (a • s)
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : ModularForm Γ k
⊢ f.toFun = ⇑f
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
⊢ (Matrix.vandermonde v).det = ∏ i : Fin n, ∏ j ∈ Finset.Ioi i, (v j - v i)
a b : ℝ
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Set.Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope (norm ∘ f) x z < r
B B' : ℝ → ℝ
ha : ‖f a‖ ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Set.Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Set.Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Set.Ico a b, ‖f x‖ = B x → f' x < B' x
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Icc a b → ‖f x‖ ≤ B x
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : MeasureTheory.Measure (β × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
a : α
⊢ (fun b => (ProbabilityTheory.Kernel.const α ρ).condKernel (a, b)) =ᵐ[ρ.fst] ⇑ρ.condKernel
p q : ℚ≥0
n₁✝ n₂✝ d₁✝ d₂✝ d n₁ n₂ d₁ d₂ : ℕ
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0
⊢ Rat.divInt ↑n₁ ↑d₁ * Rat.divInt ↑n₂ ↑d₂ = Rat.divInt (↑n₁ * ↑n₂) (↑d₁ * ↑d₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
p : ι → Prop
s : (i : ι) → p i → Set α
hp : ∃ i, p i
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, ⋃ (hi : p i), s i hi)
this : Nonempty { i // p i }
⊢ f '' ⨅ x, s ↑x ⋯ = ⨅ x, f '' s ↑x ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Nonempty α
Preorder β
f : α → β
NoMinOrder α
PredOrder β
IsPredArchimedean β
hf : StrictMono f
⊢ ¬BddBelow (Set.range f)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
F : Set X
h : JoinedIn F x y
⊢ y ∈ F
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ eval₂ f (↑n) p = f (eval (↑n) p)
X : CommRingCat
hX : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
⊢ Subsingleton ↑X
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder β s
f : r ≼i s
g : r ≺i s
a : α
⊢ g.toRelEmbedding a = f a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
⊢ Differentiable 𝕜 Prod.snd
⊢ 0 ∈ ∅ ∨ ∅ = ∅
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f : C(X, ℝ≥0)₀
⊢ φ.realContinuousMapZeroOfNNReal ({ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe, map_zero' := ⋯ }.comp f) = φ f
α β γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
d : Dioph S
f : (α → ℕ) →. ℕ
df : DiophPFun f
v : α → ℕ
x✝ : v ∈ {v | ∃ x, x ::ₒ v ∈ S ∩ {v | f.graph (v ∘ some, v none)}}
x : ℕ
hS : x ::ₒ v ∈ S
h : ∃ (h : (f (v, (x ::ₒ v) none).1).Dom), (f (v, (x ::ₒ v) none).1).get h = (v, (x ::ₒ v) none).2
⊢ v ∈ {v | ∃ (h : f.Dom v), f.fn v h ::ₒ v ∈ S}
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
R : Type u_11
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
DistribMulAction R M
DistribMulAction R N
f g : (α →₀ M) →+[R] N
h : ∀ (a : α) (m : M), f (Finsupp.single a m) = g (Finsupp.single a m)
⊢ f = g
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddCommMonoid G
r : k
x : G
⊢ AddMonoidAlgebra.opRingEquiv (MulOpposite.op (AddMonoidAlgebra.single x r)) =
  AddMonoidAlgebra.single x (MulOpposite.op r)
y : PartENat
m : ℕ
h : ↑m < y
k : ℕ
hz : ↑k ≠ ⊤
⊢ ↑m + ↑k < y + ↑k
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
h : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η.hom h)
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η.inv h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
g : M' → M''
hg : Smooth I' I'' g
hf : Smooth I I' f
⊢ Smooth I I'' (g ∘ f)
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
f : M₁ →ₗ[R] M₁
j : n
⊢ ((LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁) f)ᵀ j = ⇑(v₁.repr (f (v₁ j)))