ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this : Computable G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
⊢ Computable fun a => F a (c a)
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑θ = -↑ψ
hs : ↑θ + ↑ψ = ↑π
⊢ ↑θ = ↑ψ
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : StrongRankCondition R
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
f : (α → R) →ₗ[R] β → R
i : Injective ⇑f
P : (Fin (Fintype.card α) → R) ≃ₗ[R] α → R := LinearEquiv.funCongrLeft R R (Fintype.equivFin α)
Q : (Fin (Fintype.card β) → R) ≃ₗ[R] β → R := LinearEquiv.funCongrLeft R R (Fintype.equivFin β)
⊢ Fintype.card α ≤ Fintype.card β
s : Set ℝ
h : BddBelow s
h' : s.Nonempty
a : ℝ
⊢ sInf s ≤ a ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x ∈ s, x < a + ε
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation K Γ₀
x : K
⊢ v x = 1 ↔ v x⁻¹ = 1
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
g h : M ⊗[R] N →ₗ[R] P
H : (mk R M N).compr₂ g = (mk R M N).compr₂ h
⊢ g = h
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y
diagram : WalkingParallelPair ⥤ Type u := parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ⋙ forget TopCat
⊢ EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
𝒢 : Set C
∀ (A : C), CategoryTheory.Limits.HasCoproduct fun f => ↑f.fst
⊢ CategoryTheory.IsSeparating 𝒢 ↔ ∀ (A : C), CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.Sigma.desc Sigma.snd)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hs : IsOpen s
⊢ IsQuasiSeparated s ↔ IsQuasiSeparated Set.univ
cs cs' : List Char
i p : Nat
hp : i + String.utf8Len cs = p
⊢ String.utf8GetAux (cs ++ cs') { byteIdx := i } { byteIdx := p } = cs'.headD default
α : Type u
β : Type v
AddZeroClass α
MulOneClass β
⊢ ∀ (a : Multiplicative α →* β) (a_1 : α), (MonoidHom.toAdditive'' a) a_1 = Additive.ofMul (a (Multiplicative.ofAdd a_1))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
s : Set X
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
h : 𝓝[s] x = 𝓝[s] y
⊢ x ~ᵢ y
α : Type u
t : TopologicalSpace α
self : FirstCountableTopology α
a : α
⊢ (𝓝 a).IsCountablyGenerated
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
h : x * x = d * y * y
g : ℕ := x.gcd y
gpos : g > 0
⊢ False
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hfi' : ν S < ⊤
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
α : Type u_1
l : List α
⊢ [].Disjoint l
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
⊢ (lift R) ((lift R).symm g) = g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
i : CategoryTheory.Arrow C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
sq : i ⟶ CategoryTheory.Arrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
⊢ (CategoryTheory.Arrow.squareToSnd sq).left = CategoryTheory.CategoryStruct.comp sq.left f
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder G
inst✝² : LinearOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty
⊢ hs.min hsn • ht.min htn ≤ ⋯.min ⋯
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: (Cofix F α ⊕ β))
x i : β
⊢ corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: fun x => x) ∘ Sum.rec (fun val => (TypeVec.id ::: Sum.inl) <$$> val.dest) fun val => g val) (Sum.inr i) = corec (Sum.elim (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: Sum.inl) ∘ dest) g) (Sum.inr i)
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
f : M → N
hf : IsMonoidHom f
x : M
h : IsUnit x
⊢ IsUnit (f x)
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : j < k + m
h₄ : k + m ≤ j
⊢ False
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
m : (i : ι) → E i
⊢ (tprodL 𝕜).toMultilinearMap m = (tprod 𝕜) m
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
M : ModuleCat ↑B
α β : KaehlerDifferential f ⟶ M
h : ∀ (b : ↑B), α (d b) = β (d b)
this : ⊤ ≤ LinearMap.ker (α - β)
⊢ α - β = 0
α : Type u
s : Stream'.Seq α
⊢ (↑s).destruct = Computation.pure (Option.map (fun a => (a, ↑s.tail)) s.head)
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ (Nat.bit b n).testBit m.succ = n.testBit m
M : Type w
c f₁ f₂ : Type u
r₁ r₂ : Type v
c' : c → M
f₁' : f₁ → M → M
f₂' : f₂ → M → M → M
r₁' : r₁ → Set M
r₂' : r₂ → M → M → Prop
f : f₂
x y : M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap f ![x, y] = f₂' f x y
A : polarCoord.sourceᶜ ⊆ ↑(LinearMap.ker (LinearMap.snd ℝ ℝ ℝ))
⊢ polarCoord.source =ᶠ[ae volume] univ
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : LieSubalgebra R L
x y : L
⊢ x ∈ L' → y ∈ L' → x - y ∈ L'
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
⊢ WellFounded r ↔ IsEmpty ((fun x x_1 => x > x_1) ↪r r)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
X : F.Elementsᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.costructuredArrowYonedaEquivalenceFunctorProj F).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.unop (Opposite.unop X).1)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E
⊢ ContinuousAt (⇑e) x
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → αᵐᵒᵖ
⊢ (Summable fun a => MulOpposite.unop (f a)) ↔ Summable f
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Cone (Discrete.functor f)
m : s.pt ⟶ { pt := of R ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => LinearMap.proj j.as }.pt
w : ∀ (j : Discrete J), m ≫ { pt := of R ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => LinearMap.proj j.as }.π.app j = s.π.app j
x : ↑s.pt
⊢ m x = (lift f s) x
α : Type u
β : Type u_1
a b n i : ℕ
x✝ : i ∈ range n
⊢ a / b ^ (i + 1) * b ≤ a / b ^ i
x : ℝ≥0∞
⊢ x ^ 2 = x ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ measurableLE μ ν
n : ℕ
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k ∈ measurableLE μ ν
P : ℕ → Sort u_1
h0 : P 0
h_even : (i : ℕ) → P i → P (2 * i)
h_odd : (i : ℕ) → P i → P (2 * i + 1)
H : h_even 0 h0 = h0
n : ℕ
⊢ evenOddRec h0 h_even h_odd (2 * n) = h_even n (evenOddRec h0 h_even h_odd n)
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
⊢ (A * B * ∅).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * ∅).card
R : Type u_1
CommSemigroup R
StarMul R
x y : R
hx : IsSelfAdjoint x
hy : IsSelfAdjoint y
⊢ IsSelfAdjoint (x * y)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
ol : l.Bounded o₁ ↑x
Or : r.Bounded (↑x) o₂
sl : l.Sized
sr : r.Sized
b : BalancedSz l.size r.size
bl : l.Balanced
br : r.Balanced
ol' : l.dual.Bounded (↑x) o₁
sl' : l.dual.Sized
bl' : l.dual.Balanced
or' : r.dual.Bounded o₂ ↑x
sr' : r.dual.Sized
br' : r.dual.Balanced
⊢ l.size + r.size + 1 = r.dual.size + l.dual.size + 1
V : Type u
inst✝ : Quiver V
X Y : Paths (Quiver.Symmetrify V)
p : X ⟶ Y
⊢ Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (Quiver.Path.reverse p ≫ (Quiver.Path.reverse p).reverse) = Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (𝟙 Y)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
hk : k ∈ ρ a
H₁ : HasFDerivAt Ring.inverse (-((ContinuousLinearMap.mulLeftRight 𝕜 A) ↑(IsUnit.unit hk)⁻¹) ↑(IsUnit.unit hk)⁻¹) (↑ₐ k - a)
⊢ HasDerivAt (resolvent a) (-resolvent a k ^ 2) k
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.kahler x) y ≠ 0 ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Sort u_5
S : ι → AddSubgroup G
i : ι
x : G
⊢ x ∈ S i → x ∈ iSup S
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
s t : Set α
⊢ DirSupClosed s ↔ ∀ ⦃d : Set α⦄, d.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d → d ⊆ s → sSup d ∈ s
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
μ'.IsAddHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
⊢ μ' s = μ'.addHaarScalarFactor μ • μ s
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
IsPredArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
h : ∀ i ∈ Set.Ioc n m, r (Order.pred i) i
hmn : n ≤ m
⊢ Relation.ReflTransGen r n m
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
c : 𝕜
hp : 0 < p.toReal
⊢ Memℓp (c • f) p
o : Ordinal.{u_1}
⊢ let_fun this := ⋯;
SetTheory.PGame.nim o =
  SetTheory.PGame.mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α
    (fun o₂ => SetTheory.PGame.nim (Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ =>
    SetTheory.PGame.nim (Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoMod hp a (m • p + b) = toIcoMod hp a b
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
StarRing R
StarRing A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
StarModule R A
Semiring C
StarRing C
Algebra R C
StarModule R C
f : A →⋆ₙₐ[R] C
S : StarSubalgebra R C
⊢ (Unitization.starLift f).range ≤ S ↔ NonUnitalStarAlgHom.range f ≤ S.toNonUnitalStarSubalgebra
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
f : (L ≃ₐ[K] L) → Lˣ
hf : IsMulOneCocycle f
z : L
hz : aux f z ≠ 0
⊢ IsMulOneCoboundary f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
f' : β → ↑(range f) := fun c => ⟨f c, ⋯⟩
h : WellFounded (r on f)
c : β
⊢ Acc (fun a b => r ↑a ↑b) ⟨f c, ⋯⟩
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
⊢ OrderDual.toDual (⨆ i, f i) = ⨅ i, OrderDual.toDual (f i)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F G : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
e : F ≅ G
n : A
⊢ e.hom.hom n ≫ e.inv.hom n = 𝟙 (F.functor n)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → Real.Angle
s : Set α
x y : α
hc : IsConnected s
hf : ContinuousOn f s
hs : ∀ z ∈ s, f z ≠ 0 ∧ f z ≠ ↑π
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ (f y).sign = (f x).sign
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
W : Type u_5
TopologicalSpace W
f : C(W, X)
g : C(X, Y)
⊢ LocallyConstant.comap (g.comp f) = LocallyConstant.comap f ∘ LocallyConstant.comap g
x y : PartENat
⊢ (x + y).toWithTop = x.toWithTop + y.toWithTop
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
n : ℕ
h : ((fun fam => (bind₁ (⇑(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ∘ fam)) (xInTermsOfW p ℚ n)) fun n => (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n)) = (fun fam => (bind₁ (⇑(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ∘ fam)) (xInTermsOfW p ℚ n)) fun n => (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
⊢ (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (f n) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (g n)
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f g : BoundedLatticeHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
⊢ Function.Bijective OrderIso.symm
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
H : J ≤ Ideal.comap f I
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(Ideal.quotientMap I f H)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
⊢ infDist x s = ⨅ y, dist x ↑y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
F : CategoryTheory.Functor B C
G : CategoryTheory.Functor C D
S : D
X : CategoryTheory.Comma (F.comp G) (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S)
⊢ ((CategoryTheory.CostructuredArrow.pre F G S).obj X).right = X.right
n m k : Nat
⊢ LE.le n m → LE.le m k → LE.le n k
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁✝ G₂✝ : G.Subgraph
a b : V
G₁ G₂ : G.Subgraph
h : (fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₁ = (fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₂
⊢ G₁ = G₂
x y : PGame
L : x.LeftMoves ≃ y.LeftMoves
R : x.RightMoves ≃ y.RightMoves
hl : ∀ (i : x.LeftMoves), ⟦x.moveLeft i⟧ = ⟦y.moveLeft (L i)⟧
hr : ∀ (j : x.RightMoves), ⟦x.moveRight j⟧ = ⟦y.moveRight (R j)⟧
⊢ ⟦x⟧ = ⟦y⟧
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Set α
x : α
hs : s.WellFoundedOn r
hx : x ∈ s
P : α → Prop
hP : ∀ y ∈ s, (∀ z ∈ s, r z y → P z) → P y
⊢ P x
a : Bool
l : List Bool
⊢ (a :: l).or = (a || l.or)
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f✝ : α → E
hf : Memℒp f✝ p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_compact : IsCompact s
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ⊤
I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
k : Set α
k_compact : IsCompact k
sk : s ⊆ interior k
f : α → E
f_cont : Continuous f
I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ
_f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖
f_support : Function.support f ⊆ interior k
f_mem : Memℒp f p μ
I3 : eLpNorm (f - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ ε
x : α
hx : x ∉ k
⊢ x ∉ Function.support f
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a < b
a✝ : ℕ
h : t.chainHeight = ↑a✝
⊢ (s ∪ t).chainHeight = s.chainHeight + ↑a✝
α : Type u_1
β : Type u_2
s : α → Set β
Preorder α
x : α
⊢ s x ⊆ Set.Accumulate s x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Comonad C
X : T.Coalgebra
s : CategoryTheory.Limits.Fork (T.map X.a) (T.δ.app X.A)
⊢ (CategoryTheory.Comonad.beckEqualizer X).lift s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.ι (T.ε.app X.A)
α : Type u_1
a : Array α
i : Nat
v : α
h : i < (a.setD i v).size
⊢ (a.setD i v)[i] = v
n : ℕ
M : Type u_1
M₁ : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module (ZMod n) M
Module (ZMod n) M₁
⊢ Function.Injective (AddMonoidHom.toZModLinearMap n)
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ (x : ℝ), 0 < f' x
⊢ StrictMono f
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : β → α
a : α
hs : IsCompact ∅
hf : ContinuousOn f ∅
hf' : ∀ b ∈ ∅, a < f b
⊢ ∃ a', a < a' ∧ ∀ b ∈ ∅, a' ≤ f b
R : Type u
Ring R
s : Subring R
⊢ ⇑s.subtype = Subtype.val
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z✝ : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ≥0∞
z : α × β
⊢ z ∈ ball x r ×ˢ ball y r ↔ z ∈ ball (x, y) r
α : Type u_1
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
s : Set (Set α)
hs : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis s
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom s
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ ↑↑((associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) 1) = 1
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
⊢ preNormEDS b c d 2 = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
α β : F ⟶ G
w : α.app = β.app
⊢ α = β
R : Type u_2
Ring R
f : R[X]
⊢ f - Polynomial.C f.leadingCoeff * Polynomial.X ^ f.natDegree = f.eraseLead
G : Type u_1
Group G
a : G
⊢ a * a⁻¹ = 1
α : Type u_2
One α
s : Finset α
⊢ s ⊆ 1 ↔ s = ∅ ∨ s = 1
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U✝ V✝ : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U✝
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V✝ ⟶ X
f' : V✝ ⟶ U✝
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
U V : Scheme
f₁ : U ⟶ pullback f g
f₂ : V ⟶ pullback f g
hU : IsAffine U
hV : IsAffine V
hf₁ : IsOpenImmersion f₁
hf₂ : IsOpenImmersion f₂
⊢ Q (pullback.mapDesc f₁ f₂ (pullback.snd f g))
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ IsCompl (⨆ n, ker (f ^ n)) (⨅ n, range (f ^ n))
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ ⊤ \ a = ￢a
R : Type u₁
S : Type u₂
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
M : ModuleCat R
⊢ ModuleCat.ExtendScalars.map' f (𝟙 M) = 𝟙 (ModuleCat.ExtendScalars.obj' f M)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : Type w
CommSemiring S
CategoryTheory.Linear S C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Linear.comp X Y Z) f = CategoryTheory.Linear.leftComp S Z f
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b₁ b₂ : α
h : b₁ ≤ b₂
⊢ Finset.Icc a b₁ ⊆ Finset.Icc a b₂
R : Type u
A : Type z
B : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ Polynomial.mapAlgHom f = Polynomial.eval₂AlgHom' (Polynomial.CAlgHom.comp f) Polynomial.X ⋯
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
a : X
ha : a ∈ B
g : G
hg : g ∈ stabilizer G a
⊢ g ∈ stabilizer G B
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
x✝ : ∃ a, (quadraticChar F) a = -1
a : F
ha : ¬IsUnit a
⊢ ¬(quadraticChar F) a = -1
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
n : ℕ
⊢ Multiset.count a (Multiset.replicate n b) = if a = b then n else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β → E
μ : Measure β
a : α
⊢ ∫ (x : β), f x ∂(const α μ) a = ∫ (x : β), f x ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
CategoryTheory.Mono i₃
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂ =
  (CategoryTheory.Limits.pullbackFstFstIso f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd
        (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f' g') i₁)
        (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f' g') i₂) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f' g') i₂
α : Type u_1
l : List α
n : ℕ
h : n < l.tails.length
⊢ l.tails[n] = List.drop n l
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
t : R
⊢ (Polynomial.C t + p).reverse = Polynomial.C t * Polynomial.X ^ p.natDegree + p.reverse
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
a : α
⊢ a ≤ ⨅ x, a
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n m : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hn : n ≠ 0
⊢ x ^ n + y ^ n ≤ (x + y) ^ n
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
p : α → Prop
l : List α
h : List.Chain r a l
hb : (a :: l).getLast ⋯ = b
carries : ∀ ⦃x y : α⦄, r x y → p y → p x
final : p b
i : α
⊢ i ∈ a :: l → p i
m n a b : ℕ
d : m ∣ n
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ a ≡ b [MOD m]
α : Type u
SemilatticeInf α
a b c : α
⊢ a ≤ b ⊓ c ↔ a ≤ b ∧ a ≤ c
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
l : ℕ
φ : L.BoundedFormula α l
k m : ℕ
h : φ.IsAtomic
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.liftAt k m φ).IsAtomic
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ ∀ {X₁ Y₁ X₂ Y₂ : D} (f : X₁ ⟶ Y₁) (g : X₂ ⟶ Y₂), f ⊗ g = e.functor.map (e.inverse.map f ⊗ e.inverse.map g)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s t : Set α
Hs : IsConnected s
Ht : IsConnected t
x : α
hx : x ∈ s ∩ t
⊢ IsConnected (s ∪ t)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m✝ : ℤ
z : Cochain F G n
m : ℤ
hnm : n + 1 = m
h : δ n m z = 0
⊢ z ∈ cocycle F G n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t.totalVariation ⟂ₘ μ.toENNRealVectorMeasure.ennrealToMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
⊢ s.HaveLebesgueDecomposition μ
X₁ : Type u₁
inst✝⁹ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : NormalSpace X
s✝ : Set X
hs✝ : IsClosed s✝
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y✝ : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y✝
inst✝⁵ : TietzeExtension Y✝
Y : Type v
Z : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TietzeExtension Z
ι : C(Y, Z)
r : C(Z, Y)
h : r.comp ι = ContinuousMap.id Y
X✝ : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : NormalSpace X✝
s : Set X✝
hs : IsClosed s
f : C(↑s, Y)
g : C(X✝, Z)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ι.comp f
⊢ ∃ g, ContinuousMap.restrict s g = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), μ (s n) ≤ 0
⊢ μ (⋃ n, s n) = 0