ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
this : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
⊢ S' →ₐ[R] A
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ : R →+* S
f✝ : R →+* B
f : R →+* S
x : B
n : ℕ
hn : 0 < n
p : R[X]
hmonic : p.Monic
heval : eval₂ (algebraMap R B) (x ^ n) p = 0
⊢ IsIntegral R x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
U : TopCat
X : PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑U
V : OpenNhds (f x)
i : (⋯.functorNhds x).obj ((OpenNhds.map f x).obj V) ⟶ V := homOfLE ⋯
⊢ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) (op V) = X.presheaf.map ((⋯.adjunction.counit.app (unop ((OpenNhds.inclusion ((X.ofRestrict h).base x)).op.obj (op V)))).op ≫ ⋯.functor.op.map ((NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (X.ofRestrict h).base x).inv).app (op V))) ≫ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion (f x)).op ⋙ X.presheaf) ((⋯.functorNhds x).op.obj ((OpenNhds.map (X.ofRestrict h).base x).op.obj (op V)))
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
I : Set β
⊢ (M.mapEmbedding f).Indep I ↔ M.Indep (⇑f ⁻¹' I) ∧ I ⊆ range ⇑f
m n : Nat
H : m ∣ n
⊢ n % m = 0
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
⊢ Chain R a (l ++ [b]) ↔ Forall₂ R (a :: l) (l ++ [b])
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
hU : (𝓤 α).HasBasis p s
A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVAB : Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x V) (⋃ x ∈ B, ball x V)
i : ι
hi : p i
hiV : s i ⊆ V
⊢ ∃ i, p i ∧ Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x (s i)) (⋃ x ∈ B, ball x (s i))
n d : PosNum
q r : Num
h₁ : ↑r + ↑d * (↑q + ↑q) = ↑n
h₂ : ↑r < 2 * ↑d
⊢ ↑(match Num.ofZNum' (r.sub' (Num.pos d)) with | some r' => (q.bit1, r') | none => (q.bit0, r)).2 + ↑d * ↑(match Num.ofZNum' (r.sub' (Num.pos d)) with | some r' => (q.bit1, r') | none => (q.bit0, r)).1 = ↑n ∧ ↑(match Num.ofZNum' (r.sub' (Num.pos d)) with | some r' => (q.bit1, r') | none => (q.bit0, r)).2 < ↑d
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯
⊢ (∀ (x : Fin (Classical.choose ⋯) → M), ¬Realize φ (fun x_1 => Sum.elim (fun x => v x) (fun x_2 => x (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x_2))) (f x_1)) fun x_1 => x (natAdd (Classical.choose ⋯) x_1)) ↔ ∀ (x : γ → M), ¬φ.Realize fun a => Sum.elim v x (f a)
K : Type u
Field K
p : K[X]
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p).denom = 1
R₁ : Type u_4
M₁ : Type u_5
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B₁ : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
x y : M₁
⊢ (B₁ x) (-y) = -(B₁ x) y
T : ℝ
x : AddCircle T
this : (fourier 0) x = ↑(toCircle 0)
⊢ (fourier 0) x = 1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s✝ t : Set ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
hS : MeasurableSet S
⊢ ∃ s_1 S_1, MeasurableSet S_1 ∧ cylinder s S = cylinder s_1 S_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b c d : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f μ a b
h : [[c, d]] ⊆ [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable f μ c d
X : Type u_1
a b : FreeAbelianGroup X
⊢ (a + b).support ⊆ a.support ∪ b.support
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace α
OrderTopology α
f : α → β
a : α
h : 𝓝[>] a = ⊥
⊢ Function.rightLim f a = f a
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
⊢ IsConnected (univ.pi s) ↔ ∀ (i : ι), IsConnected (s i)
S : Type u_3
Semigroup S
a b : S
h : Commute a b
c : S
⊢ a * (b * c) = b * (a * c)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
CauSeq.IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv
⊢ f.lim + g.lim = (f + g).lim
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ Classical.choose ⋯ ≠ 0
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
L : Subgroup G
hHK : H ≤ K
⊢ K.relindex L ∣ H.relindex L
a x z : ℂ
θ : ℝ
⊢ (cos ↑θ + sin ↑θ * I).arg = toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
γ : Type u_6
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : Ω → β
g : Ω → γ
hfg : ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun f g κ μ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (s ∩ t) = (κ a) s * (κ a) t
h : DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Ici (-1)) (-1)
this✝ : sin ∘ arcsin =ᶠ[𝓝[≥] (-1)] id
this : HasDerivWithinAt id (cos (arcsin (-1)) * derivWithin arcsin (Ici (-1)) (-1)) (Ici (-1)) (-1)
⊢ False
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.ΨSq 1 = 1
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
x : X
f : C(X, R)
⊢ f ∈ idealOfSet R {x}ᶜ ↔ f x = 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
n : ℕ
a : R
h : a ≠ 0
⊢ ((monomial R n) a).order = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
s : Finset γ
f : γ → α × β
⊢ (∏ c ∈ s, f c).2 = ∏ c ∈ s, (f c).2
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ s ⊆ insert a t ↔ s ⊆ t
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
⊢ Function.Injective AddMonoidHomClass.toAddMonoidHom
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ ⌈a⌉.toNat = ⌈a⌉₊
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β
DecidableEq β
y : β
⊢ (Finset.filter (fun x => f x = y) s).card ≠ 0 ↔ y ∈ Finset.image f s
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = C (i (X ^ n - C a).leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
F : Type u → Type v
Applicative F
LawfulApplicative F
α β γ σ : Type u
f : α → β → γ
g : σ → β
x : F α
y : F σ
⊢ (Seq.seq (f <$> x) fun x => g <$> y) = Seq.seq (((fun x => x ∘ g) ∘ f) <$> x) fun x => y
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
p : Submodule R M
⊢ Submodule.comap (LinearMap.fst R M M₂) p = p.prod ⊤
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n k : ℕ
hk : k ≤ n
this : p ^ (n + 1) = p ^ k * p ^ (n - k + 1)
⊢ ↑(p ^ k * p ^ (n - k + 1)) ∣ ↑(p ^ k) * ((expand p) (wittStructureInt p Φ k) ^ p ^ (n - k) - wittStructureInt p Φ k ^ p ^ (n + 1 - k))
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : α
hx : 1 < a
⊢ StrictMono fun x => a ^ x
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Inducing f
x : X
l : Filter X
⊢ MapClusterPt (f x) l f ↔ ClusterPt x l
α : Type u_2
BiheytingAlgebra α
⊢ ⇑(BiheytingHom.id α) = id
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.41420, u_2} D
F G H : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
⊢ autoParam (∀ (X Y : Grothendieck F) (f : X ⟶ Y), (map (α ≫ β)).map f = eqToHom ⋯ ≫ (map α ⋙ map β).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
α : Type u
s t : Set α
⊢ (s ∪ t).Infinite ↔ s.Infinite ∨ t.Infinite
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B✝ A B : Matrix n n α
h : A * B = 1
this✝ : Invertible B.det := B.detInvertibleOfLeftInverse A h
this : Invertible B := B.invertibleOfDetInvertible
⊢ B * A = 1
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
J : ι → Ideal R
s : Finset ι
hf : ∀ j ∈ s, IsCoprime I (J j)
⊢ IsCoprime I (⨅ j ∈ s, J j)
R : Type u_4
NonAssocSemiring R
⊢ ↑(RingEquiv.refl R) = AddMonoidHom.id R
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
f : Module.Dual R M
h : f x = 2
⊢ (Module.reflection h).symm = Module.reflection h
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
F : ℕ → R := fun n => ∑' (e : ℕ), f (n ^ e)
ε : ℝ
hε : ε > 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ (s : Finset ℕ), N₀.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε
s : Finset ℕ
hs : s ≥ range N₀
this : ∏ p ∈ s, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F p = ∏ p ∈ filter Nat.Prime s, F p
⊢ ‖∑' (n : ℕ), f n - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ (a :: l₁).diff l₂ <+~ a :: l₁.diff l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
⊢ s(a, b) ∈ s.sym2 ↔ a ∈ s ∧ b ∈ s
α : Type u_1
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
u : Set ℝ≥0∞
h : t.OrdConnected
⊢ (ofNNReal '' t).OrdConnected
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
ha : a < 0
b s : ℝ
⊢ (fun x => rexp (a * x ^ 2 + b * x)) =o[atTop] fun x => x ^ s
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
f' : β → α
h : Set.LeftInvOn f' f s
⊢ Set.EqOn (f' ∘ f) id s
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ a + b ∈ Set.Ioc c d ↔ b ∈ Set.Ioc (c - a) (d - a)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : Monoid α
x : α
h✝ : ¬IsUnit x
this : (p : Prop) → Decidable p
H : ∀ (x_1 : α), ¬IsUnit x_1 → ∀ (x_2 : α), ¬IsUnit x_2 → ¬x_1 * x_2 = x
a b : α
h : x = a * b
o : ¬(IsUnit a ∨ IsUnit b)
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : CategoryTheory.Presheaf.FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J F
⊢ ∃! s, ∀ (i : I), ↑s (Opposite.op (Y i)) = x i
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ t ≤ s → s ∪ t = s
α : Type u_1
LinearOrder α
CommSemigroup α
a b : α
⊢ min a b * max a b = a * b
n d : PosNum
⊢ ↑(↑n.pred' / ↑(Num.pos d) + 1) = -(↑↑n.pred' + 1) / -(↑↑d.pred' + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
⊢ (fun x => 1) =ᶠ[atTop] defaultRatCDF
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
h : infEdist x s = ⊤
⊢ infEdist x t = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (Set.univ ×ˢ t) (κ a)
⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in Set.univ ×ˢ t, f x ∂κ a
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
⊢ HasSum (fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal)
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(cos y) ^ n) (-↑n * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)) x
⊢ ↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1) = ↑(cos (π / 2)) ^ n * (Complex.sin (2 * z * ↑(π / 2)) / (2 * z)) - ↑(cos 0) ^ n * (Complex.sin (2 * z * ↑0) / (2 * z)) - ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, -↑n * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1) * (Complex.sin (2 * z * ↑x) / (2 * z))
α : Type u_1
OmegaCompletePartialOrder α
⊢ ↑(ωCPO.of α) = α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e✝ : β → α
h_e : UniformInducing e✝
h_dense : DenseRange e✝
f✝ : β → γ
h_f : UniformContinuous f✝
inst✝ : CompleteSpace γ
p : α → Prop
e : α → β
f : α → γ
b : β
s : Set α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
he : UniformEmbedding e
hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)
hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b
hs : IsClosed s
hp : ∀ x ∈ s, p x
de : DenseEmbedding e
de' : DenseEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)
ue' : UniformEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)
this : b ∈ closure (e '' {x | p x})
c : γ
hc : Tendsto (fun x => f ↑x) (comap (DenseEmbedding.subtypeEmb p e) (𝓝 ⟨b, this⟩)) (𝓝 c)
⊢ ∃ c, Tendsto f (comap e (𝓝 b)) (𝓝 c)
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α : Type u
x : F α
p : α → Prop
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
h' : ∀ u ∈ supp (abs ⟨a, f⟩), p u
i : (P F).B a
⊢ f i ∈ f '' univ
α : Type u
Monoid α
a b c : α
Invertible c
⊢ c * a = b ↔ a = ⅟c * b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
a x : α
hx : x > 0
y : α
hy : y > 0
⊢ ∃ k > 0, {b | |b - a| < k} ⊆ {b | |b - a| < x} ∧ {b | |b - a| < k} ⊆ {b | |b - a| < y}
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S T : Subalgebra R A
h : S ≤ T
s : ↥S
⊢ ↑((Subalgebra.inclusion h) s) = ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
⊢ { ofColex := s } < { ofColex := t } ↔ s ≠ t ∧ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ t → ∃ b ∈ t, b ∉ s ∧ a ≤ b
n : Nat
m : Nat
i : Fin n
⊢ ↑(i.addNat m) = ↑i + m
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Preorder α
a✝ b c : α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
⊢ ⋃ b, Ioo a b = Ioi a
α : Type u
x y : FreeRing α
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
r : ℝ
⊢ 0 ≤ r.sign * r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup Fₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ z ∈ Metric.ball 0 r, ‖f z‖ ≤ c
⊢ ∃ C, ∀ (z : E), ‖f z‖ ≤ C * ‖z‖
K : Type u_1
g : GenContFract K
DivisionRing K
⊢ g.convs' 0 = g.h
R : Type u_1
Zero R
f : ℕ → R
hf : f 0 = 0
⊢ ⇑{ toFun := f, map_zero' := hf } = f
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
Fintype ι
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Measure.sum μ = ∑ i : ι, μ i
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y x : V
hx : x ≠ 0
⊢ arccos (⟪x, x⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x‖)) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
I I' : Set β
h : I' ∈ R.rightFixedPoints
h₁ : I ≤ I'
⊢ R.leftDual (R.rightDual I) ≤ R.leftDual (R.rightDual I')
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
l : List α
f : α → β
⊢ Finset.image (fun i => f l[↑i]) Finset.univ = (List.map f l).toFinset
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
S : Set G
hS : S ∈ Subgroup.leftTransversals ↑H
q : G ⧸ H
⊢ Quotient.mk'' ↑((Subgroup.MemLeftTransversals.toEquiv hS) q) = q
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
c_ne_top : c ≠ ⊤
tsum_le_c : ∑' (i : ι), a i ≤ c
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
⊢ ∃ (hf : {i | ε ≤ a i}.Finite), ↑hf.toFinset.card ≤ c / ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < p.radius
this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun s => ‖p (n - s.card + s.card)‖₊ * r ^ s.card * r' ^ (n - s.card)) (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)
⊢ Summable fun x => ‖p x‖₊ * (r + r') ^ x
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : V₁ →+ V₂
C : ℝ≥0
hC : ∀ (x : V₁), ‖f x‖₊ ≤ C * ‖x‖₊
⊢ ⇑(f.mkNormedAddGroupHom' C hC) = ⇑f
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑(x / ↑n * ↑n) ^ (s - 1) = ↑n • ∫ (x : ℝ) in 0 / ↑n..↑n / ↑n, ↑((1 - x) ^ n) * ↑(x * ↑n) ^ (s - 1)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc 0 1
hn' : ↑n ≠ 0
⊢ ↑n ^ s * (↑x ^ (s - 1) * (1 - ↑x) ^ ↑n) = ↑n * ((1 - ↑x) ^ n * (↑x * ↑n) ^ (s - 1))
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
DecidableEq β
b : β
⊢ (insert b s).gcd f = gcd (f b) (s.gcd f)
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0
δ : ℕ → ℝ≥0∞
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
hδ : ∑' (i : ℕ), δ i < ε
this : ∀ (n : ℕ), ∃ g, (∀ (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ + δ n
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), f x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ + ε
α : Type u_1
Mul α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
b c : α
bc : b ≤ c
a : α
⊢ a * b ≤ a * c
K : Type u_3
DivisionRing K
a b : K
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a⁻¹ - b⁻¹ = a⁻¹ * (b - a) * b⁻¹
α : Type u_1
inst✝ : Semigroup α
s : Set α
a b : α
⊢ op b • a • s = a • op b • s
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
inst✝¹ : Preregular C
A : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : IsSheaf (regularTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)
⊢ IsSheaf (regularTopology C) F
X : Scheme
inst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : IsNilpotent s
⊢ s = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
⊢ (∀ u ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (m : ι × ι) in p ×ˢ p, ∀ x ∈ s, (F m.1 x, F m.2 x) ∈ u) ↔ ∀ u ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (m : (ι × ι) × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ 𝓟 s, (F m.1.1 m.2, F m.1.2 m.2) ∈ u
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
inst✝ : BraidedCategory C
A B : Comon_ C
⊢ (A ⊗ B).comul = (A.comul ⊗ B.comul) ≫ tensor_μ C (A.X, A.X) (B.X, B.X)
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : ↑↑(locallyRingedSpaceObj S).toPresheafedSpace
a : ↑((locallyRingedSpaceObj R).presheaf.stalk ((sheafedSpaceMap f).base p))
ha : IsUnit ((stalkToFiberRingHom (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)) a)
⊢ IsUnit a
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ ↔ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ)
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ ↑⌊τ f⌋ ≤ τ f
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.45519, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.45523, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
inst✝ : HasZeroObject C
cc : CokernelCofork S.f
hcc : IsColimit cc
this : S.HasHomology
⊢ Mono ((hcc.ofIsoColimit (Cofork.ext (Iso.refl cc.pt) ⋯)).desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯))
α : Type u
n : ℕ
o' : Type uₒ
NonUnitalNonAssocSemiring α
v : Fin n.succ → α
w : o' → α
B : Fin n → o' → α
⊢ Matrix.vecMul v (Matrix.of (Matrix.vecCons w B)) = Matrix.vecHead v • w + Matrix.vecMul (Matrix.vecTail v) (Matrix.of B)
α : Type u
Mul α
HasDistribNeg α
a b : α
⊢ -(a * b) = -a * b
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n : ℤ
φ : ((homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceComposableArrows₅ (triangleh S.f) n (n + 1) ⋯).δlast ⟶ (composableArrows₅ hS n (n + 1) ⋯).δlast := homMk₄ ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₁) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₂) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₃ ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) (n + 1)).hom.app (triangle S.f).obj₁) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) (n + 1)).hom.app (triangle S.f).obj₂) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⊢ IsIso (HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n)
M : Type u_8
N : Type u_9
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
⊢ (AddMonoidHom.inl M N).coprod (AddMonoidHom.inr M N) = AddMonoidHom.id (M × N)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
y : E
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fun z => f (z - y)) p (x + y) n r
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Tendsto (f (a, t)) atTop (𝓝 1)
x : Cardinal.{u_1}
hx : x ≤ ℵ₀
⊢ x ∈ range ofENat
α : Type u_1
E : Type u_2
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace E
Zero E
hm : m ≤ m0
s : Set α
f : α → E
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t)
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
hf_zero : f =ᵐ[μ.restrict sᶜ] 0
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m₂ f μ
x y✝ z✝ : ZFSet
H : ∀ y ∈ x, y.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y
⊢ z ∈ ⋃₀ x
a b : Prop
h : (a ∨ b) = False
⊢ a = False
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X✝ Y : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
J J₂ : GrothendieckTopology C
hJ : Subcanonical J
X : C
⊢ Presheaf.IsSheaf J (CategoryTheory.yoneda.obj X)
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.addFundamentalInterior G s ∪ MeasureTheory.addFundamentalFrontier G s = s
R : Type u_1
Zero R
One R
x : ℕ
⊢ 1 x = if x = 1 then 1 else 0
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
s : S
⊢ (KaehlerDifferential.DLinearMap R S) s = (KaehlerDifferential.ideal R S).toCotangent ⟨1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1, ⋯⟩
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set (X ⊕ Y)
⊢ IsOpen s ↔ IsOpen (Sum.inl ⁻¹' s) ∧ IsOpen (Sum.inr ⁻¹' s)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
I : Ideal R
⊢ (FractionalIdeal.canonicalEquiv S P P') ↑I = ↑I
z τ : ℂ
⊢ HurwitzZeta.jacobiTheta₂'' (z + 1) τ = HurwitzZeta.jacobiTheta₂'' z τ
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
B₁ B₂ : LinearMap.BilinMap R M N
⊢ (B₁ + B₂).toQuadraticMap = B₁.toQuadraticMap + B₂.toQuadraticMap