ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p q : Polynomial R
⊢ gcd (p * q).eraseLead.content p.leadingCoeff = gcd (p.eraseLead * q).content p.leadingCoeff
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.RespectsIso @AlgebraicGeometry.UniversallyClosed
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g h i : C
η η' : f ⟶ g
α : g ⟶ h
θ θ' : h ⟶ i
αθ : g ⟶ i
ηαθ : f ⟶ i
pf_η : η = η'
pf_θ : θ = θ'
pf_αθ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp α θ' = αθ
pf_ηαθ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp η' αθ = ηαθ
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp η (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α θ) = ηαθ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
⊢ t.ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.zero = f ≫ t.inl
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
hf : LinearMap.range f = ⊤
⊢ LinearMap.range (f.domRestrict S) = ⊤ ↔ S ⊔ LinearMap.ker f = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
t : Finset β
a : α
DecidablePred (r a)
⊢ Finset.bipartiteBelow (Function.swap r) t a = Finset.bipartiteAbove r t a
x : ℝ
⊢ WithBot.some '' (WithTop.some '' Ioi x) = Ioo ↑x ⊤
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ a • X ^ n = (monomial n) a
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_2
CommRing A
Algebra R A
D1 D2 : Derivation R A A
⊢ ↑⁅D1, D2⁆ = ⁅↑D1, ↑D2⁆
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Precoherent C
W : C
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) (CategoryTheory.yoneda.obj W)
α : Type u_1
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
⊢ 𝒜.card ≤ (Fintype.card α).choose r
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
X : (a : α✝) → Part (β a)
hX : f X ≤ X
⊢ ∀ (i : ℕ), { toFun := approx ⇑f, monotone' := ⋯ } i ≤ X
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
⊢ (∃ n, 0 < μ (s ∩ spanningSets μ n)) ↔ 0 < μ s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
hq : 0 ≤ q
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
X : LightCondSet
S : LightProfinite
x : X.val.obj (Opposite.op S)
⊢ Continuous fun a => LightCondSet.coinducingCoprod X ⟨⟨S, x⟩, a⟩
Γ : Type u_1
R : Type u_2
Zero R
LinearOrder Γ
LocallyFiniteOrder Γ
f : Γ → R
hf : BddBelow (Function.support f)
⊢ (Function.support f).IsPWO
α : Type u_1
p : Prop
Decidable p
s : Set α
⊢ ⋃ (_ : p), s = if p then s else ∅
α : Type u
β : Type v
s : Set α
f : α → β
h : Set.InjOn f s
Finite ↑(f '' s)
⊢ Finite ↑s
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
h : x ≠ 1
n : ℕ
this : x - 1 ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i = (x ^ n - 1) / (x - 1)
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
hθ : θ ∈ Ioc (-π) π
⊢ (if 0 ≤ (↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).re then Real.arcsin ((↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).im / r) else if 0 ≤ (↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).im then Real.arcsin ((-(↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I))).im / r) + π else Real.arcsin ((-(↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I))).im / r) - π) = θ
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s : Set α
hm : Monotone m
⊢ (map Subtype.val) ((comap Subtype.val) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) = OuterMeasure.ofFunction (fun t => m (s ∩ t)) ⋯
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
b : at 𝔭.primeCompl
f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl
eq0 : (mk f).val * b = 1
eq1 : b * (mk f).val = 1
⊢ IsUnit (mk f)
G : Type u
AddMonoid G
⊢ AddMonoid.ExponentExists G ↔ AddMonoid.exponent G ≠ 0
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Add α
a b c d : WithTop α
x y : α
⊢ a + b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∨ b = ⊤
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
n : ℤ
⊢ Commute A (A ^ n)
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_4
Fintype n
CommSemiring R
M : Matrix m n R
i : m
⊢ (M.toMvPolynomial i).totalDegree ≤ 1
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝¹ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
UX UY : Scheme
iY : UY ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion iY
iX : UX ⟶ X
f' : UX ⟶ UY
h : IsPullback iX f' f iY
H : P f
⊢ P (pullback.snd f iY)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
⊢ ¬LinearIndependent R v ↔ ∃ s g, ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 ∧ ∃ i ∈ s, g i ≠ 0
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
⊢ s = ⇑ofDual '' (⇑ofDual ⁻¹' s)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
F.PreservesZeroMorphisms
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ i₁' : I₁
i₂ : I₂
⊢ (((F.mapBifunctorHomologicalComplexObj c₂ K₁).obj K₂).d i₁ i₁').f i₂ = (F.map (K₁.d i₁ i₁')).app (K₂.X i₂)
a b d m n : ℤ
hb : b ≠ 0
k : ℤ
h : b * a = b * k * d
⊢ a = k * d
α : Type u
inst✝² : Semiring α
a b : α
inst✝¹ : Invertible a
inst✝ : Invertible b
⊢ ⅟a + ⅟b = ⅟a * (a + b) * ⅟b
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a b c d : α
⊢ min a c < min b c ↔ a < b ∧ a < c
α : Type u
s : Set (Set α)
⊢ #↑(⋃ i, generateMeasurableRec s i) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
A : E →ₗ[𝕜] E
⊢ A.IsSymmetric ↔ IsSelfAdjoint A
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h : a ≠ 0
⊢ ofReal |a| • Measure.map (fun x => a * x) volume = volume
R : Type u
Ring R
ι : Sort u_1
S : ι → Subring R
x : R
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}
a : Ordinal.{max u_4 u_5}
H : ∀ b < a, ∃ i, ∃ (hi : i < o), f i hi = b
h : o.bmex f < a
⊢ False
α : Type u
Preorder α
a : α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
h : IsMax a
⊢ IsTop a
R : Type u
S : Type u'
M✝ : Type v
N : Type w
K : Type u_1
M : Type u_2
L : Type v
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Ring M
inst✝⁵ : Algebra K M
inst✝⁴ : Module.Free K M
inst✝³ : Module.Finite K M
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
⊢ #(M →ₐ[K] L) = lift.{max u_2 v, max u_2 v} #(M →ₐ[K] L)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
BoundedOrder α
Preorder β
BoundedOrder β
Preorder γ
BoundedOrder γ
g : BoundedOrderHom β γ
f : BoundedOrderHom α β
⊢ BoundedOrderHom.dual (g.comp f) = (BoundedOrderHom.dual g).comp (BoundedOrderHom.dual f)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_countable_range : (Set.range τ).Countable
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : Set.univ = ⋃ i ∈ Set.range τ, {x | τ x = i}
⊢ ∀ i ∈ Set.range τ, stoppedValue f τ =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] μ[f n|hτ.measurableSpace]
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderTop α
a b c : α
ha : Codisjoint a c
hb : Codisjoint b c
⊢ Codisjoint (a ⊓ b) c
ι : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
V : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Invertible 2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
Q : QuadraticForm K V
hQ : LinearMap.SeparatingLeft (associated Q)
v : Basis (Fin (FiniteDimensional.finrank K V)) K V
hv₁ : LinearMap.IsOrthoᵢ ((associatedHom K) Q) ⇑v
hv₂ : ∀ (i : Fin (FiniteDimensional.finrank K V)), ¬Q (v i) = 0
⊢ ∃ w, Equivalent Q (weightedSumSquares K w)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H = ⊥ ∨ Nontrivial ↥H
T : ℝ
hT : T ≠ 0
x : AddCircle T
⊢ (homeomorphCircle hT) x = x.toCircle
x y : Nat
z : Nat
H : 0 < z
⊢ (x + y * z) / z = x / z + y
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a b c : α
ha : InfPrime a
⊢ b ⊓ c ≤ a ↔ b ≤ a ∨ c ≤ a
M : Type u_1
OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), 2 ^ k • f (2 ^ k) ≤ f 1 + 2 • ∑ k ∈ Finset.Ico 2 (2 ^ n + 1), f k
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set Y
hU : U ∈ {U | IsOpen U}
⊢ {f | MapsTo (⇑f) K U} = restrict K ⁻¹' {f | MapsTo (⇑f) univ U}
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hd : HasDerivWithinAt f 0 s x
H : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ deriv f x = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₀ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g h₃ = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofNullHomotopic S₁ S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃).h₁ = h₁
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ⊤.toSubsemiring = ⊤
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
IsPredArchimedean α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ ∃ n, Order.pred^[n] b = a
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
⊢ Fintype.finsetEquivSet s = ↑s
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
s✝ : Set γ
f : γ → β
t t' : TopologicalSpace γ
ht : PolishSpace γ
ht' : PolishSpace γ
hle : t ≤ t'
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
e : MeasurableEmbedding id
⊢ MeasurableSet s
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E) (x : E), P K → P (IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
K : IntermediateField F E
hK : K.FG
⊢ P K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackConeOfRightIso f g).π.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.right =
  f ≫ CategoryTheory.inv g
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
z : V
h : InnerProductGeometry.angle x y = π
⊢ InnerProductGeometry.angle x z + InnerProductGeometry.angle y z = π
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
q_div_ne_zero : q / gcd p q ≠ 0
⊢ gcd p q ∣ p
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousSMul 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
Finite ι
T2Space E
v : Basis ι 𝕜 E
f : ι → F
i : ι
⊢ (v.constrL f) (v i) = f i
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ Inducing id
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o₂) ℤ
⊢ f ∈ eval (π C fun x => ord I x < o₂) '' {m | m < l} ↔ f ∈ ⇑(πs' C h) '' (eval (π C fun x => ord I x < o₁) '' {m | m < l})
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s μ
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
⊢ μ t = 0 ∨ μ t = 1
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
hf : UniformContinuous f
⊢ Continuous f
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ (tensorRight N.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ (regular Y).X) ((α_ M.X Y.X (regular Y).X).hom ≫ M.X ◁ (regular Y).actLeft)) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight N.X) (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = (tensorRight N.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ (regular Y).X) ((α_ M.X Y.X (regular Y).X).hom ≫ M.X ◁ (regular Y).actLeft)) ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f
v_nbot : ⊥ < limsup v f
v_ntop : limsup v f < ⊤
⊢ limsup (u + v) f ≤ limsup u f + limsup v f
α : Type u_1
f : List α → List α
H : ∀ (l : List α), (f l).length = l.length
n : Nat
l : List α
⊢ (List.modifyNthTail f n l).length = l.length
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
m : M
hm : m ∈ (weightSpace M 0).normalizer
⊢ m ∈ weightSpace M 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
⊢ Fin (Nat.succ 0 + (Fintype.card ι - Nat.succ 0)) → { s // s.card = Fintype.card ι - 1 }
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
dim_pos : 0 < Fintype.card ι
ε : ℝ := ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
ε_eq : ε = ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
hε : 0 < ε
ε_le : ↑(normBound abv bS) * (abv b • ε) ^ ↑(Fintype.card ι) ≤ ↑(abv b) ^ ↑(Fintype.card ι)
μ : Fin (cardM bS adm).succ ↪ R := distinctElems bS adm
hμ : μ = distinctElems bS adm
s : ι →₀ R := bS.repr a
s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i
qs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i / b
rs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i % b
r_eq✝ : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ) (i : ι), rs j i = μ j * s i % b
μ_eq : ∀ (i : ι) (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j * s i = b * qs j i + rs j i
μ_mul_a_eq : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j • a = b • ∑ i : ι, qs j i • bS i + ∑ i : ι, rs j i • bS i
j k : Fin (adm.card ε ^ Fintype.card ι).succ
j_ne_k : j ≠ k
hjk : ∀ (k_1 : ι), ↑(abv (μ k * s k_1 % b - μ j * s k_1 % b)) < abv b • ε
hjk' : ∀ (i : ι), ↑(abv (rs k i - rs j i)) < abv b • ε
q : S := ∑ i : ι, (qs k i - qs j i) • bS i
r : R := μ k - μ j
r_eq : r = μ k - μ j
this : r • a - b • q = ∑ x : ι, (rs k x • bS x - rs j x • bS x)
⊢ abv ((Algebra.norm R) (r • a - b • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b))
M : Type u_4
N : Type u_5
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
a b : M
⊢ f (a * b) = f a * f b
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : M ≃+ N
K : AddSubsemigroup M
⊢ AddSubsemigroup.map (↑f) K = AddSubsemigroup.comap (↑f.symm) K
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ✝ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ ∀ (val : ιa) (val_1 : ιb), v (σ (Sum.inl val)) = v (σ (Sum.inr val_1)) → σ (Sum.inl val) ≠ σ (Sum.inr val_1) → swap (σ (Sum.inl val)) (σ (Sum.inr val_1)) • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ → (Perm.sign σ • (↑a fun i => v (σ (Sum.inl i))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i => v (σ (Sum.inr i))) = 0
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
S : Set G
a : G
ha : a ∈ S
⊢ 1 ∈ S ^ card G
α : Type u_1
NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ ‖a‖ ≤ ‖b‖
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
ht : IsOpen t
h't : IsPreconnected t
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun x => g x y₀
hy : y ∈ t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)) y
⊢ ∀ (n : α), ∀ x ∈ t, ‖ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n x)‖ ≤ u n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝ : atBot.IsMeasurablyGenerated
hf : LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ
ho : f =O[atBot] g
hg : IntegrableAtFilter g atBot μ
⊢ StronglyMeasurableAtFilter f atBot μ
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
c : G.Coloring Bool
u v : α
p : G.Walk u v
⊢ Odd p.length ↔ (¬c u = true ↔ c v = true)
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
f : 𝓕
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Filter α
s : Set α
a✝ a : α
⊢ (pure a).ker = {a}
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
a : E
n : ℕ∞
h : ContDiffAt ℝ n f a
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => Real.arsinh (f x)) a
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x y : M × ↥S
⊢ (f.lift hg) (f.mk' x.1 x.2) = (f.lift hg) (f.mk' y.1 y.2) ↔ g (x.1 * ↑y.2) = g (y.1 * ↑x.2)
n : ℕ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : DecidableEq τ
e : σ ≃ τ
s : Sym σ n
⊢ map (fun x => count x (map ⇑e ↑s)) (map (⇑e) (↑s).dedup) = map (fun x => count x ↑s) (↑s).dedup
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B₁ : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
f : Module.End R₁ M₁
⊢ f ∈ B₁.skewAdjointSubmodule ↔ B₁.IsSkewAdjoint f
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ ⋂ s_1 ∈ {N | s ⊆ ↑N}, ↑s_1 ↔ ∀ (N : LieSubmodule R L M), s ⊆ ↑N → x ∈ N
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
ι : Sort u_3
f : ι → RingCon R
⊢ ⇑(iInf f) = ⨅ i, ⇑(f i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : a ≤ b
⊢ a ⇔ b = b ⇨ a
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
⊢ p.natDegree < n ↔ p.degree < ↑n
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R[X]
⊢ (↑f * ↑g).derivativeFun = ↑f * ↑(derivative g) + ↑g * ↑(derivative f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 F
S : PointedCone 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
⊢ ↑(PointedCone.map f S) = ⇑f '' ↑S
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.PropertyIsLocal P
⊢ RingHom.OfLocalizationSpan P
M : Type u_3
N : Type u_4
AddMonoid M
AddMonoid N
TopologicalSpace M
TopologicalSpace N
f : M →+ N
hf : Continuous ⇑f
⊢ Continuous ⇑(AddUnits.map f)
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
ι : Type u_2
X : ι → Ω → ℝ
s : Finset ι
hs : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.Memℒp (X i) 2 ℙ
h : (↑s).Pairwise fun i j => ProbabilityTheory.IndepFun (X i) (X j) ℙ
⊢ ProbabilityTheory.variance (∑ i ∈ s, X i) ℙ = ∑ i ∈ s, ProbabilityTheory.variance (X i) ℙ
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
h_int_eq : ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ = ∫ (x : α), rexp (g x) ∂μ
x : α
hx : f x = g x
⊢ ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) = ENNReal.ofReal (rexp (g x) / ∫ (x : α), rexp (g x) ∂μ)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
f : K →ₗ[ℚ] ↥(Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) := LinearMap.codRestrict (Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) (mixedEmbedding K).toRatAlgHom.toLinearMap ⋯
⊢ ((Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ⟨(mixedEmbedding K) x, ⋯⟩) i = ((integralBasis K).repr x) i
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
MeasurableSpace E
AddGroup E
MeasurableSingletonClass E
MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ MeasurableSet {x | f x = g x}
x : ℝ*
⊢ x.st = sSup {y | ↑y < x}
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Preorder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulMono α
H : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
R : CategoryTheory.Presieve X
f : Y ⟶ X
CategoryTheory.IsSplitEpi f
hf : R f
⊢ CategoryTheory.Sieve.generate R = ⊤
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ ∑ i : ι, f i * g (σ i) ≤ ∑ i : ι, f i * g i
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S T : CategoryTheory.Subgroupoid C
h : S ≤ T
⊢ Function.Injective (CategoryTheory.Subgroupoid.inclusion h).obj
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ I.radical = ⊤ ↔ I = ⊤
R : Type u_1
Semiring R
n : ℤ
r : R
⊢ LaurentPolynomial.trunc (LaurentPolynomial.C r * LaurentPolynomial.T n) =
  if 0 ≤ n then (Polynomial.monomial n.toNat) r else 0
d : ℤ
⊢ MonoidHom.mker Zsqrtd.normMonoidHom = unitary (ℤ√d)