ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝¹ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i✝ : ι'
i : ι
⊢ (b.repr ((b.prod b') (Sum.inr i✝)).1) i = (b.repr 0) i
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
IF : PrimePair P
w : P
h : w ∈ ↑IF.F
⊢ IF.I.IsProper
α : Type u_2
DecidableEq α
s s' : Cycle α
hs : s.Nodup
hs' : s'.Nodup
⊢ s.formPerm hs = s'.formPerm hs' ↔ s = s' ∨ s.Subsingleton ∧ s'.Subsingleton
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
AddZeroClass M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
⊢ ⇑finsuppAddEquivDFinsupp.symm = DFinsupp.toFinsupp
V : Type u_1
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t
⊢ (G.replaceVertex s t).edgeFinset =
  G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t ∪ Finset.image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)
α : Type u
ι : Sort v
t : ι → TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ s ∈ {s | IsOpen s} ↔ s ∈ {x | ∀ (i : ι), IsOpen x}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
v : ι → E
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'
⊢ Orthonormal 𝕜 (⇑f ∘ v) ↔ Orthonormal 𝕜 v
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
DirectedSystem G fun i j h => f i j h
i : ι
x : G i
h : i ≤ i
⊢ f i i h x = x
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F : B × C ⥤ D
x✝² x✝¹ : B × C
x₁ : B
x₂ : C
y₁ : B
y₂ : C
x✝ : (x₁, x₂) ⟶ (y₁, y₂)
f₁ : (x₁, x₂).1 ⟶ (y₁, y₂).1
f₂ : (x₁, x₂).2 ⟶ (y₁, y₂).2
⊢ F.map (f₁, 𝟙 x₂) ≫ F.map (𝟙 y₁, f₂) = 𝟙 (F.obj (x₁, x₂)) ≫ F.map (f₁, f₂) ≫ 𝟙 (F.obj (y₁, y₂))
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a : αᵒᵈ
⊢ InfIrred (OrderDual.ofDual a) ↔ SupIrred a
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
I J : Ideal S
⊢ Ideal.spanNorm R I * Ideal.spanNorm R J ≤ Ideal.spanNorm R (I * J)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S.Exact
⊢ ∃ h, CategoryTheory.Limits.IsZero h.left.H
α : Type u_1
a : α
⊢ [].concat a = [a]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
(CategoryTheory.constantSheaf J A).Faithful
(CategoryTheory.constantSheaf J A).Full
t : C
ht : CategoryTheory.Limits.IsTerminal t
L : A ⥤ CategoryTheory.Sheaf J A
adj : L ⊣ (CategoryTheory.sheafSections J A).obj (Opposite.op t)
F : CategoryTheory.Sheaf J A
⊢ CategoryTheory.Sheaf.IsDiscrete J ht F ↔ F ∈ L.essImage
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂
⊢ uncurry.obj (W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₁).flip).flip = uncurry.obj (W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₂).flip).flip
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hs : s.Nonempty
hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i
this : ∏ i ∈ s, (1 / z) i ^ w i ≤ ∑ i ∈ s, w i * (1 / z) i
p_pos : 0 < ∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i
s_pos : 0 < ∑ i ∈ s, w i * (z i)⁻¹
⊢ (∑ i ∈ s, w i / z i)⁻¹ ≤ ∏ i ∈ s, z i ^ w i
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ μ.testAgainstNN 0 = 0
α : Type u_2
MulZeroClass α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ 0 * s = 0
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
h : a = ⊤ → b = ⊤
h_nnreal : a ≠ ⊤ → b ≠ ⊤ → a.toNNReal ≤ b.toNNReal
⊢ a ≤ b
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
s : Set E
x : E
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x s)
hs : Convex ℝ s
K : ℝ≥0
hK : ‖p x 1‖₊ < K
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
R : Type u_1
CommRing R
v w : Fin 3 → R
⊢ -(crossProduct v) w = (crossProduct w) v
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P
b : P
⊢ ((s \ s₂).weightedVSubOfPoint p b) w + (s₂.weightedVSubOfPoint p b) w = (s.weightedVSubOfPoint p b) w
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
f' : E →L[𝕜'] F
x : E
h : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt f (ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 f') x
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ Disjoint (s \ t) (s ∩ t)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hf : MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
⊢ (μ.tilted f).tilted (-f) = μ
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
x y z : α
hxy : x ≠ y
hxz : x ≠ z
⊢ swap y z * swap x y * swap y z = swap z x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → 𝕜
g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g univ x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x • g x) univ x
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑e ∘ ⇑e.symm = id
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
g : C(Y, Z)
⊢ Continuous g.comp
n : ℕ
hn : Squarefree n
help : ∀ (a b : ZMod 4), a ≠ 3 → b ≠ 3 → a * b ≠ 3
⊢ (∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3) ↔ ∀ {q : ℕ}, q ∣ n → q % 4 ≠ 3
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
p : Ideal R
Algebra R S
K : Type u_1
Field K
Algebra R K
L : Type u_2
Field L
Algebra S L
IsFractionRing S L
IsDomain R
IsDomain S
Algebra K L
IsNoetherian R S
Algebra R L
IsScalarTower R S L
IsScalarTower R K L
IsIntegralClosure S R L
NoZeroSMulDivisors R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (Ideal.map (algebraMap R S) p) = ⊤
⊢ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b) = ⊤
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
⊢ (∀ (x : E), ∃ n, x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F E).range) ↔ perfectClosure F E = ⊤
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
MetricSpace X
MetricSpace Y
Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x y z : X ⊕ Y
⊢ Metric.glueDist Φ Ψ ε x z ≤ Metric.glueDist Φ Ψ ε x y + Metric.glueDist Φ Ψ ε y z
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
hb0 : b ≠ 0
pa : Prime a
pb : Prime b
hab : ¬a = b
⊢ a = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedField β
u v : α → β
l : Filter α
hz : ∀ (x : α), v x = 0 → u x = 0
huv : Filter.Tendsto (u / v) l (nhds 1)
⊢ u ~[l] v
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
⊢ W.dblX P / W.dblZ P ^ 2 = W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
LinearOrderedCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
hfg : Antivary f g
n : ℕ
⊢ Antivary f (g ^ n)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a₁ a₂ b : α
⊢ toIocMod hp a₁ (toIocMod hp a₂ b) = toIocMod hp a₁ b
α : Type u
c₁ c₂ : Computation α
h : c₁.Equiv c₂
a : α
⊢ c₁.Promises a ↔ c₂.Promises a
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s : Set X
hs : s.Countable
⊢ dimH (⋃ x ∈ s, {x}) = 0
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
self : LieSubalgebra R L
x y : L
⊢ x ∈ self.carrier → y ∈ self.carrier → ⁅x, y⁆ ∈ self.carrier
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
r : k
⊢ ρ.asAlgebraHom (Finsupp.single g r) = r • ρ g
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
AddCommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
DecidableEq κ
g : ι → κ
h : ∀ i ∈ s, g i ∈ t
f : κ → α
⊢ ∑ j ∈ t, ∑ _i ∈ Finset.filter (fun i => g i = j) s, f j = ∑ i ∈ s, f (g i)
X Y : Sequential
f : X ≅ Y
a : (CategoryTheory.forget Sequential).obj Y
⊢ (Sequential.homeoOfIso f).symm a = f.inv a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
z : S
x : R
y : ↥M
h : z * (algebraMap R S) ↑y = 0
hx : x = 0
⊢ z = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ matPolyEquiv.symm (C M) = M.map ⇑C
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.karoubiUniversal₁ C D).functor = CategoryTheory.Idempotents.functorExtension₁ C D
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
j : S →+* P
hj : ∀ (x : R), j ((algebraMap R S) x) = g x
⊢ IsLocalization.lift hg = j
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
A : DiscreteQuotient X
B : DiscreteQuotient Y
cond : DiscreteQuotient.LEComap f A B
⊢ Continuous (DiscreteQuotient.map f cond)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : LinearOrder E
s : Set E
f : E → β
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x < y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
⊢ ConvexOn 𝕜 s f
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
a n' n : ℤ
hn : n' + a = n
m m' : ℤ
hm' : m' + a = m
γ' : Cochain K L n
⊢ δ n m ((γ'.rightShift a n' hn).rightUnshift n hn) = a.negOnePow • (δ n' m' (γ'.rightShift a n' hn)).rightUnshift m hm'
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
S : Subgroupoid D
Sn : S.IsNormal
c✝ d✝ : C
f : c✝ ⟶ d✝
γ : c✝ ⟶ c✝
hγ : γ ∈ (comap φ S).arrows c✝ c✝
⊢ Groupoid.inv (φ.map f) ≫ φ.map γ ≫ φ.map f ∈ S.arrows (φ.obj d✝) (φ.obj d✝)
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
B : LinearMap.BilinMap R M N
x y : M
⊢ QuadraticMap.polar (⇑B.toQuadraticMap) x y = (B x) y + (B y) x
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
f : β → α
TopologicalSpace β
hf : Embedding f
s : Set α
hs : TopologicalSpace.IsSeparable s
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable (f ⁻¹' s)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
h : Group.IsNilpotent G
⊢ NormalizerCondition G
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
R : Type u_3
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
DistribMulAction R A
IsScalarTower R 𝕜 A
a : WithLp 1 (Unitization 𝕜 A)
⊢ (WithLp.unitizationAlgEquiv R) a = a
R : Type u
inst✝ : CommRing R
q : ℕ
x y : R
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)
⊢ (x - y) ^ q = x ^ q - y ^ q
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
LawfulBitraversable t
α β : Type u
⊢ Bitraversable.tsnd pure = pure
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : β → Set α
h₁ : Unbounded r (⋃₀ range s)
h₂ : #β < StrictOrder.cof r
⊢ ∃ x, Unbounded r (s x)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
t : Set X
ht : IsCompact t
⊢ ∃ i, IsCompact i ∧ f ⁻¹' iᶜ ⊆ tᶜ
Fq : Type
Field Fq
DecidableEq (RatFunc Fq)
x : FunctionField.FqtInfty Fq
⊢ Valued.v x = Valued.extension x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J✝ : Type v
inst✝ : HasFiniteColimits C
J : Type
x✝ : Finite J
⊢ HasColimitsOfShape (WidePushoutShape J) C
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Y → Z
⊢ IsOpenMap (f ∘ ⇑h) → IsOpenMap f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
f : ι → α
hf : BddAbove (range f)
⊢ l (⨆ i, f i) = ⨆ i, l (f i)
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedGroup (π i)
x : (i : ι) → π i
r : ℝ≥0
⊢ ‖x‖₊ ≤ r ↔ ∀ (i : ι), ‖x i‖₊ ≤ r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Zero α
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
SMul α β
SMul α γ
f : β → γ
PosSMulMono α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b
⊢ PosSMulMono α β
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
l.NeBot
h : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => r * f x) l Filter.atTop ↔ r < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Function.Surjective f
a b : α
⊢ Set.SurjOn f (Set.Ioo a b) (Set.Ioo (f a) (f b))
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i : ι
⊢ b.toDual (b i) = b.coord i
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
⊢ s.max = s.sup WithBot.some
α : Type u
x : α
a b : Set α
P : Prop
H₁ : x ∈ a ∪ b
H₂ : x ∈ a → P
H₃ : x ∈ b → P
⊢ P
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (𝒰.pushforwardIso f).J = 𝒰.J
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a : ℝ
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi a, g (x * b) = b⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi (a * b), g x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b
⊢ ContinuousWithinAt f (Ioo a b) b ↔ ContinuousWithinAt f (Iio b) b
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n
i✝ : ℕ
a✝ : i✝ ∈ range (j - n)
⊢ n.factorial * n.succ ^ i✝ ≤ (n + i✝).factorial
α : Type u_1
CommMonoid α
a b u : α
hu : IsUnit u
⊢ u * a ∣ b ↔ a ∣ b
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
DenselyOrdered α
a b : α
h : ∀ (ε : α), 0 < ε → a - ε ≤ b
⊢ a ≤ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i j k : ι
K : HomologicalComplex C c
⊢ ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor' C c i j k).obj K).X₁ = K.X i
r : ℝ
⊢ Convex ℝ {c | c.re ≤ r}
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (PartialHomeomorph.univBall c r).target = Metric.ball c r
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ z⁻¹ ≤ y ↔ x ≤ y ^ z
α : Type u_1
p q : α → Prop
DecidablePred p
h : Disjoint p q
x : { x // q x }
⊢ (subtypeOrEquiv p q h).symm (Sum.inr x) = ⟨↑x, ⋯⟩
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
f : β → α
⊢ (s.attach.inf fun x => f ↑x) = s.inf f
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxi : f ∈ Set.range ⇑(ϕ i)
hxp : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
⊢ Pairwise fun i_1 j => ∀ (x : H ↑i_1) (y : H ↑j), Commute ((ϕ ↑i_1) x) ((ϕ ↑j) y)
x : PSet
⊢ PSet.mk x.Type x.Func = x
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
⊢ ⊥ = 0
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (LieSubalgebra.ofLe h).toSubmodule = LinearMap.range (Submodule.inclusion h)
M : Type u_1
Add M
c : AddCon M
x y z : M
⊢ c x y → c y z → c x z
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m₁✝ m₂✝ : M × R
m₁ : M
r₁ : R
m₂ : M
r₂ : R
h1 : e0 Q * (v Q) m₁ * (e0 Q * (v Q) m₂) = (v Q) m₁ * (v Q) m₂
⊢ e0 Q * (v Q) m₁ * (e0 Q * (v Q) m₂) + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ - r₂ • e0 Q * (v Q) m₁ - (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) (r₁ * r₂) = (v Q) m₁ * (v Q) m₂ + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ + (v Q) m₁ * r₂ • e0 Q + r₁ • e0 Q * r₂ • e0 Q
A : Type u_1
B : Type u_2
Add A
Add B
Mul A
Mul B
Star A
Star B
f : A → B
f' : B → A
h₁ : Function.LeftInverse f' f
h₂ : Function.RightInverse f' f
h₃ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x * y) =
      { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x *
        { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x + y) =
      { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x +
        { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
h₅ :
  ∀ (a : A),
    { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄ }.toFun (star a) =
      star ({ toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄ }.toFun a)
⊢ { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄, map_star' := h₅ }.symm =
  let __src := StarRingEquiv.symm_mk.aux f f' h₁ h₂ h₃ h₄ h₅;
  { toFun := f', invFun := f, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, map_star' := ⋯ }
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
c : ℤ → ℂ := fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => if ↑n = 0 then 0 else c n * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ((↑(cosKernel (↑a) t) - 1) / 2)
n : ℤ
⊢ s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2 = s.Gammaℝ * c n / ↑|↑n| ^ s
n x✝ y✝ p : ℕ
hp : Prime p
hx✝ : x✝ ≠ 1
hy✝ : y✝ ≠ 1
h✝ : x✝ * y✝ = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x✝ * y✝
x y : ℕ
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
a : ℕ
ha : x = p * a
this : a ∣ p
ha1 : a = 1
⊢ x = p ∧ y = p
R : Type u_1
ι : Type u_5
α : Type u_7
LinearOrderedField R
LinearOrderedAddCommGroup α
Module R α
OrderedSMul R α
s : Finset ι
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ s, w i
⊢ s.centerMass w f ≤ s.sup' ⋯ f
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a * b ≤ 0 ↔ (a < 0 → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → a ≤ 0)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => Real.sin (f x)
R : Type u_3
K : Type u_4
T : Type u_5
U : Type u_6
CommRing R
Field K
CommRing T
Algebra R K
Algebra K T
Algebra R T
IsScalarTower R K T
CommSemiring U
Algebra K U
Algebra R U
IsScalarTower R K U
x : T
y : U
hy : (Polynomial.aeval y) (minpoly K x) = 0
⊢ (Polynomial.aeval y) (minpoly R x) = 0
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : J ≠ 0
⊢ ↑J⁻¹ = IsLocalization.coeSubmodule K ⊤ / ↑J
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup M₁
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
NormedSpace 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ IsCompactOperator ⇑f ↔ ∃ K, IsCompact K ∧ ⇑f '' Metric.ball 0 r ⊆ K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
⊢ #↑{o' | o' < o} = Cardinal.lift.{u + 1, u} o.card
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
S : Type u_8
Fintype n
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring S
DistribMulAction R S
IsScalarTower R S S
M : Matrix n m S
b : R
v : n → S
⊢ (b • v) ᵥ* M = b • v ᵥ* M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ J.plusMap (CategoryTheory.CategoryStruct.id P) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (J.plusObj P)
a b c : Nat
⊢ min (a * c) (b * c) = min a b * c
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Submodule.span R ∅ = ⊥
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q
⊢ (φ ≫ X.σ ⟨b, ⋯⟩) ≫ X.δ j.succ = 0
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
⊢ ¬(¬(0 ≤ a ∧ 0 ≤ b) ∧ ¬(a ≤ 0 ∧ b ≤ 0))
α : Type u
β : Type v
m : α → β
⊢ GaloisConnection (Filter.map m) (Filter.comap m)
⊢ Continuous Path.Homotopy.transReflReparamAux
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
m : ↥M
r : ↥⊥
⊢ ↑(TensorProduct.comm R ↥M ↥⊥ ≪≫ₗ M.lTensorOne) (m ⊗ₜ[R] r) = ↑M.rTensorOne (m ⊗ₜ[R] r)
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α✝
a : α✝
g f✝ : α✝ → M
α : Type u_3
inst✝ : CommGroup α
f : ℕ → α
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
⊢ (∏ k ∈ range m, f k) / ∏ k ∈ range n, f k = ∏ k ∈ filter (fun k => n ≤ k) (range m), f k
R : Type u
CommSemiring R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsEisensteinAt 𝓟
⊢ f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
M : Type u_1
Monoid M
⊢ Submonoid.centralizer Set.univ = Submonoid.center M
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ ⊥.parts = Finset.map { toFun := singleton, inj' := ⋯ } s
α : Type u_1
a : α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : BoundedOrder α
x y : ↑(Iic a)
⊢ IsCompl x y ↔ Disjoint ↑x ↑y ∧ ↑x ⊔ ↑y = a
n : ℕ
n_pos : 0 < n
⊢ 2 ≤ n.centralBinom
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIciTopology α
s : Set α
⊢ BddBelow (closure s) ↔ BddBelow s
xl xr : Type u
x x' : PGame
⊢ x ≤ x.insertLeft x'
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Set.Iic b = Set.Iic (b + a)
α : Type u
MetricSpace α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : α), F x = F y → dist x y ≤ ε
⊢ SecondCountableTopology α
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
h : Pairwise (Disjoint on fun i => (M i).E)
B : Set α
⊢ (Matroid.disjointSigma M h).Base B ↔ (∀ (i : ι), (M i).Base (B ∩ (M i).E)) ∧ B ⊆ ⋃ i, (M i).E