ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
n : ℕ
l : List α
⊢ Filter.Tendsto (fun p => List.insertNth n p.1 p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (List.insertNth n a l))
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0
⊢ f - g =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
f : Matrix ι ι R
⊢ LinearMap.det (toLin' f) = f.det
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f g : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x + iteratedFDeriv ℝ n (⇑g) x‖ ≤ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ + ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑g) x‖
A : Type u_1
B : Type u_2
Add A
Add B
Mul A
Mul B
Star A
Star B
e : A ≃⋆+* B
⊢ e.symm.symm = e
x y : ℝ
⊢ sin x ^ 2 = 1 / 2 - cos (2 * x) / 2
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
H.Normal
⊢ H.relindex K ∣ H.index
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
⊢ (fun x => a - x) '' [[b, c]] = [[a - b, a - c]]
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
g : G
⊢ average k G * Finsupp.single g 1 = average k G
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
Preorder α
MulPosMono α
ha : a ≤ 0
hb : 0 ≤ b
⊢ a * b ≤ 0
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
S : Submonoid M
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
⊢ Submonoid.map f (Submonoid.comap f (Submonoid.map f S)) = Submonoid.map f S
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.RightFraction X Y
L : CategoryTheory.Functor C D
hL : W.IsInvertedBy L
⊢ (φ.map L hL).op = φ.op.map L.op ⋯
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
this✝ : ‖x₀‖ ≠ 0
this : (fun x => ⟪x, x₀⟫_ℝ) (T x₀) = (fun x => ⟪x, x₀⟫_ℝ) (c • x₀)
⊢ T.rayleighQuotient x₀ = c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
F G : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor C D
α β : F ⟶ G
w : ∀ (X : C), α.app X = β.app X
⊢ α = β
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
r : ℝ
s : Simplex ℝ P n
p₁ : P
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ dist p₁ s.circumcenter * dist p₁ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
α : Type u_1
l m : Language α
h : ∀ (x : List α), x ∈ l ↔ x ∈ m
⊢ l = m
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a - x) ⁻¹' Set.Ioo b c = Set.Ioo (a - c) (a - b)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ μ univ * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
AddMonoid ι
self : GradedMonoid.GMonoid A
n : ℕ
a : GradedMonoid A
⊢ GradedMonoid.mk (n.succ • a.fst) (GradedMonoid.GMonoid.gnpow n.succ a.snd) =
  ⟨n • a.fst, GradedMonoid.GMonoid.gnpow n a.snd⟩ * a
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
f : R ≃+* S
⊢ f.toAddEquiv = ↑f
K : Type u_2
V : Type u_3
Field K
AddCommGroup V
Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
⊢ Module.rank K (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
this : Nontrivial R
hn : v ≠ 0
⊢ finrank R M ≤ 1
α : Type u
l : List α
h : l ≠ []
⊢ l.getLast? = some (l.getLast h)
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ (C ((mapRingHom f) (W.preΨ n)) * if Even n then (mapRingHom (mapRingHom f)) W.ψ₂ else 1) = (mapRingHom (mapRingHom f)) (C (W.preΨ n) * if Even n then W.ψ₂ else 1)
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R✝ M✝
inst✝³ : Module R✝ M₂
R : Type u_17
M : Type u_18
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
c c✝ : R
x✝ : M
⊢ c • c✝ • x✝ = c✝ • c • x✝
G : Type u_1 → Type u_1
Applicative G
CommApplicative G
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → γ
x : Multiset α
⊢ Functor.map h <$> Multiset.traverse g x = Multiset.traverse (Functor.map h ∘ g) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ C
c₁ : CategoryTheory.Limits.Fan F.obj
c₂ : CategoryTheory.Limits.Fan fun f => F.obj f.fst.2
s t : c₁.pt ⟶ c₂.pt
hs : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), s ≫ c₂.π.app { as := f } = c₁.π.app { as := f.fst.1 } ≫ F.map f.snd
ht : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), t ≫ c₂.π.app { as := f } = c₁.π.app { as := f.fst.2 }
i : CategoryTheory.Limits.Fork s t
⊢ (CategoryTheory.Limits.HasLimitOfHasProductsOfHasEqualizers.buildLimit s t hs ht i).pt = i.pt
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set β
a : α
⊢ (a +ᵥ s).Nonempty ↔ s.Nonempty
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : HasContDiffBump G
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
φ✝ : ContDiffBump 0
x₀ : G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
ι : Type u_1
φ : ι → ContDiffBump 0
l : Filter ι
K : ℝ
hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)
h'φ : ∀ᶠ (i : ι) in l, (φ i).rOut ≤ K * (φ i).rIn
hg : LocallyIntegrable g μ
this : μ.IsAddHaarMeasure
⊢ ∀ᵐ (x₀ : G) ∂μ, Tendsto (fun i => ((φ i).normed μ ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x₀) l (𝓝 (g x₀))
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NormedField 𝕜
SeminormedRing 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormOneClass 𝕜'
x : 𝕜
⊢ ‖(algebraMap 𝕜 𝕜') x‖₊ = ‖x‖₊
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ groupCohomology.dTwo A ∘ₗ ↑(groupCohomology.twoCochainsLequiv A) =
  ↑(groupCohomology.threeCochainsLequiv A) ∘ₗ (groupCohomology.inhomogeneousCochains A).d 2 3
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m n : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : Integrable f' volume
hbot : Tendsto f atBot (𝓝 m)
htop : Tendsto f atTop (𝓝 n)
⊢ ∫ (x : ℝ), f' x = n - m
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hfg : ∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝 x, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 = g x_1
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z => z - x) x
⊢ (fun x_1 => (x_1 - x) • (x_1 - x) ^ m • f x_1) =ᶠ[𝓝 x] fun z => (z - x) ^ (m + 1) • g z
R : Type u
M : Type v₁
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : Module.Dual R M
m : M
⊢ (contractLeft R M) (f ⊗ₜ[R] m) = f m
a b : ℝ
n : ℕ
this : ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ 0 * cos x ^ (2 * 1 + 1) = ∫ (u : ℝ) in sin a..sin b, u ^ 0 * (1 - u ^ 2) ^ 1
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ 3 = sin b - sin a - (sin b ^ 3 - sin a ^ 3) / 3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β
g : α → ℕ × β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
n : ℕ
a : α
m : ℕ
a✝ : Nat.rec (encode (f a) + 1) (fun y IH => encode (Option.map ((fun p => g p.1 p.2) ∘ Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode (IH - 1)))) m = encode (Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) m) + 1
⊢ encode (Option.map ((fun p => g p.1 p.2) ∘ Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode (Nat.rec (encode (f a) + 1) (fun y IH => encode (Option.map ((fun p => g p.1 p.2) ∘ Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode (IH - 1)))) m - 1))) = encode (g a (m, Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) m)) + 1
α : Type u
Preorder α
⊢ Transitive LE.le
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
f : End K V
inst✝ : PerfectField K
g : K[X]
k : ℕ
sep : g.Separable
nil : minpoly K f ∣ g ^ k
⊢ ∃ n ∈ adjoin K {f}, ∃ s ∈ adjoin K {f}, IsNilpotent n ∧ s.IsSemisimple ∧ f = n + s
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ ∃ n, ((ad R L) x ^ n) x = 0
α : Type u_1
n : Type u_2
m : Type u_3
Mul α
AddCommMonoid α
A : Matrix m n α
Fintype m
h : A.transpose.HasOrthogonalRows
⊢ A.HasOrthogonalCols
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module ℝ M
φ : ι → X → M
⊢ ∑ i ∈ ρ.finsupport x₀, (ρ i) x₀ • φ i x₀ = ∑ᶠ (i : ι), (ρ i) x₀ • φ i x₀
ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
⊢ (⨅ i, ↑(f i)) * ↑a = ⨅ i, ↑(f i * a)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ✝ η : Kernel α β
μ ν : Measure α
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : SFinite ν
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
⊢ (Kernel.const Unit μ ⊗ₖ Kernel.prodMkLeft Unit κ + Kernel.const Unit ν ⊗ₖ Kernel.prodMkLeft Unit κ) () = μ ⊗ₘ κ + ν ⊗ₘ κ
X : Type u
Preorder X
x y : X
h : x ≤ y
heq : x = y
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.homOfLE h)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p p' : P
⊢ s.secondInter p (p' -ᵥ p) = (AffineMap.lineMap p p') (-2 * ⟪p' -ᵥ p, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪p' -ᵥ p, p' -ᵥ p⟫_ℝ)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
x : α
r' : ℝ
⊢ Set.MapsTo (⇑f) (Metric.sphere x r') (Metric.sphere (f x) (↑(Dilation.ratio f) * r'))
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
x : R
⊢ (X - C x).natDegree = 1
x y : ZFSet
⊢ ↑(x ∪ y) = ↑x ∪ ↑y
a b : Int
⊢ a < b + 1 ↔ a ≤ b
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
j : ι
⊢ (V j) (↑(lp.single 2 i x) j) = if j = i then (V i) x else 0
α : Type u
f₁ f₂ : Filter (Filter α)
h : f₁ ≤ f₂
⊢ f₁.join ≤ f₂.join
α : Type ua
β : Type ub
⊢ ∀ {x : UniformSpace β} (f : α → β), 𝓤 α = Filter.comap (Prod.map f f) (𝓤 β)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
k : ℕ
hμ : f.HasGenEigenvalue μ k
contra : f.eigenspace μ = ⊥
⊢ (f.genEigenspace μ) k = ⊥
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ (z - x) * f y < (z - y) * f x + (y - x) * f z
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
hf_int : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun ω => ∫ (y : Ω), ‖f y‖ ∂(ProbabilityTheory.condexpKernel μ m) ω) μ
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDedekindDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
⊢ ∃ a, (∀ i ∈ s, IsLocalization.IsInteger A (a * f i)) ∧ ∃ i ∈ s, a * f i ∉ ↑J
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
z : ↥(NonUnitalSubsemiring.center α)
a : α
⊢ (CentroidHom.centerToCentroid z) a = ↑z * a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : Y ≅ 0
⊢ f = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
R'' : Type u_3
Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
Module R'' M
SMulCommClass R R'' M
x : TensorProduct R M N
⊢ 0 • x = 0
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)
hn : Nonempty α
m : Cardinal.{max u v} := max (lift.{v, u} #α) ℵ₀
⊢ 1 ≤ ⨆ a, m ^ lift.{u, v} #(β a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae (r • μ)] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ ∀ {X Y : G.Elements} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCat G).inverse.map f).base = ↑f
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
P : C(X, Y) → Prop
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k₁ : ℕ
hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k₂) m₂ = 0
hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf_comm : Commute f₁ f₂
⊢ (∑ m ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1), (k₁ + k₂ - 1).choose m.1 • (f₁ ^ m.1 * f₂ ^ m.2)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : IsDomain R
hpos : 0 < n
μ : R
h : IsPrimitiveRoot μ n
⊢ (cyclotomic n R).IsRoot μ
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
U : Set (α × α)
hs : Dense s
hU : U ∈ 𝓤 α
⊢ ⋃ x ∈ s, ball x U = univ
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
h : e.target = e'.source
⊢ (e.trans' e' h).target = e'.target
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f₁ f₂ : α → β
h : Set.SurjOn f₁ s t
H : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ Set.SurjOn f₂ s t
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α
⊢ ↑(toIcoMod hp a z✝) = ↑z✝
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
h : y * y = x
⊢ √x = y
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e : A ≃ₐc[R] B
⊢ ⇑↑e = ⇑e
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : IsAntisymm α r₂
h : ∀ (a b : α), r₁ a b → r₂ a b
a : α
ha : a ∈ maximals r₂ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r₁ a b
this : a = b
⊢ r₁ b a
p : GromovHausdorff.GHSpace
⊢ GromovHausdorff.toGHSpace p.Rep = p
R : Type u
Ring R
n : ℕ
⊢ descPochhammer R (n + 1) = descPochhammer R n * (Polynomial.X - ↑n)
α : Type u
a b : Array α
i j : Nat
h : j ≤ a.size
⊢ (a ++ b).extract i j = a.extract i j
𝕂 : Type u_1
𝕂' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
Field 𝕂
Field 𝕂'
Ring 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
Algebra 𝕂' 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 = NormedSpace.exp 𝕂'
γ : Type w
LinearOrder γ
a b : γ
⊢ IsLeast {a, b} (min a b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
n : ℕ∞
⊢ ContMDiff I I' n f ↔
  Continuous f ∧ ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)
K : Type u_1
DivisionRing K
p : K[X]
⊢ (p * Polynomial.C p.leadingCoeff⁻¹).degree = p.degree
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x✝ y✝ z a b : α
x y : ↑(Icc (a ⊓ b) a)
⊢ ↑x ⊔ b ≤ ↑y ⊔ b ↔ ↑x ≤ ↑y
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.inv f) Z)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : _root_.Disjoint f.support g.support
x : Perm α
hx : x ∈ f.cycleFactorsFinset
hy : x ∈ g.cycleFactorsFinset
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a b : α
d : αˣ
⊢ a * b ~ᵤ a * (b * ↑d)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : Countable ι
t : ι → Set α
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
f : (i : ι) → ↑(t i) → β
hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ t i) (hxj : x ∈ t j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
htU : ⋃ i, t i = univ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (liftCover t f hf htU ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s : Finset α
x : α
⊢ (x ≠ b ∧ x ≠ a) ∧ x ∈ s ↔ (x ≠ a ∧ x ≠ b) ∧ x ∈ s
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
f₁ f₂ f₃ : ArithmeticFunction R
⊢ (f₁.pmul f₂).pmul f₃ = f₁.pmul (f₂.pmul f₃)
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
NoMinOrder α
x : α
l : Filter β
l.NeBot
⊢ ¬Filter.Tendsto (fun x_1 => x) l Filter.atBot
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsLocalMinOn f s a
t : Set α
⊢ IsLocalMinOn f (s ∩ t) a
α : Type u
r : α → α → Prop
IsDirected α r
a b : α
⊢ ∃ c, r a c ∧ r b c
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
φ : L[[α]].Sentence
⊢ ((equivSentence.symm φ).Realize fun a => ↑(L.con a)) ↔ M ⊨ φ
X : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
Finite α
TopologicalSpace X
f : α → LocallyConstant X β
⊢ (LocallyConstant.unflip f).flip = f
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
h3 : ↑x ^ (3 / 2) ≠ 0
h4 : (↑x).arg ≠ π
J : ℂ
⊢ J = ↑(1 / x ^ (3 / 2)) * (-2 * ↑π / (1 / ↑x) ^ (3 / 2) * J / (-2 * ↑π))
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o✝ : Ordinal.{u}
ho✝ : o✝.IsLimit
hsC✝ : contained C o✝
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
hsC : contained C o
⊢ LinearIndependent (ι := ↑(range C)) ℤ ((fun p => ↑p) ∘ (range_equiv C ho hsC).toFun) ↔ LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(⋃ e, smaller C ↑e)) => ↑p
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ Ici 1, AEStronglyMeasurable (fun a => (a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)) (volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)))
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b : α
c : α
h : Codisjoint a b
⊢ Codisjoint a (b ⊔ c)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝¹ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝¹ k
inst✝ : IsDomain R
ζ✝ : R
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ ↑n
ζ : Rˣ
hζ : ↑ζ = ζ✝
⊢ Fintype.card ↥(rootsOfUnity n R) = ↑n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → E
MeasureTheory.NoAtoms μ
h_int : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.uIcc a b) μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ) (Set.uIcc a b)
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
h : p.coeff 0 = 0
hlt : 0 ≥ p.degree
this : p = 0
⊢ False
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 1
m0 : ℤ
hm2 : m - 1 = m0 * 2
⊢ 2 ∣ m ^ 2 + n ^ 2 ∧ 2 ∣ m ^ 2 - n ^ 2 ∧ (m ^ 2 - n ^ 2) / 2 % 2 = 0 ∧ ((m ^ 2 - n ^ 2) / 2).gcd ((m ^ 2 + n ^ 2) / 2) = 1
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u
S : Type v
r : R✝
e : ℕ
n m : σ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
s t : Set σ
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
F : MvPolynomial σ ℤ
F' : MvPolynomial { x // x ∈ s } ℤ
hF' : (rename Subtype.val) F' = F
x : σ → R
⊢ (aeval (x ∘ Subtype.val)) F' = (aeval x) F
C : ℕ → Sort u_1
h0 : C 0
h : (n : ℕ) → C n → C (n + 1)
n : ℕ
⊢ Nat.rec h0 h (n + 1) = h n (Nat.rec h0 h n)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p univ
⊢ Continuous f
a b c a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' ≤ a
hb : b' ≤ b
hc : c' ≤ c
⊢ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c' ≤ a ⨳ b ⨳ c ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c'
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α × β → σ
hf : Computable f
⊢ Computable₂ fun a b => f (a, b)
self : Aesop.Script.LazyStep
⊢ 0 < self.tacticBuilders.size
m : Nat
b : Int
bpos : 0 < b
⊢ -[m+1] % b = b - 1 - ↑m % b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
⊢ x - ↑⌊x + 1 / 2⌋ ≤ 1 / 2 ∧ ↑⌊x + 1 / 2⌋ - x ≤ 1 / 2