ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
AddGroup α
ι : Type u_2
f : ι → AddSubgroup α
q : α ⧸ ⨅ i, f i
i : ι
⊢ (AddSubgroup.quotientiInfEmbedding f) q i = AddSubgroup.quotientMapOfLE ⋯ q
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
x : α →₀ R
⊢ (Finsupp.total α M R 0) x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)
⊢ IsBounded (∅ ×ˢ ∅) ↔ IsBounded ∅
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : DivInvMonoid M
inst✝ : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
x : M
hx : x ∈ K
n : ℕ
⊢ x ^ -[n+1] ∈ K
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
δ : Type u_4
π : δ → Type u_5
inst✝¹ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
l : List δ
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
s : (i : δ) → Set (π i)
⊢ (Measure.tprod l μ) (Set.tprod l s) = (List.map (fun i => (μ i) (s i)) l).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
IsRefl α r
l : Filter β
a : α
⊢ Filter.IsBoundedUnder r l fun x => a
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b : β
⊢ a ∈ s → b ∈ t → a • b ∈ s • t
R : Type u
CommRing R
b c d : R
m : ℕ
⊢ preNormEDS b c d (2 * (↑m + 3)) =
  preNormEDS b c d (↑m + 2) ^ 2 * preNormEDS b c d (↑m + 3) * preNormEDS b c d (↑m + 5) -
    preNormEDS b c d (↑m + 1) * preNormEDS b c d (↑m + 3) * preNormEDS b c d (↑m + 4) ^ 2
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
AddMonoid B
Monoid M
Monoid N
f : M →* N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective fun ψ => f.compAddChar ψ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v w : Fin 3 → R
⊢ v 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0 + v 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1 + v 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2 = 0
α : Type u_1
n : ℕ
p q : α → Prop
h : ∀ (x : α), p x → q x
v : Vector3 α n
al : VectorAllP p v
⊢ VectorAllP q v
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x * Real.cos x = (Real.cos a ^ 2 - Real.cos b ^ 2) / 2
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
hs_m₂ : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
a✝ : μ t < ⊤
this : ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s ∩ t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m₂]) x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : a ∉ s
x✝ : (i : Fin (n + 1)) × { x // x ∈ s.sym (n - ↑i) }
i : Fin (n + 1)
m : Sym α (n - ↑i)
hm : m ∈ s.sym (n - ↑i)
⊢ Sigma.map id (fun i a => ↑a) ((fun m => ⟨(Sym.filterNe a ↑m).fst, ⟨(Sym.filterNe a ↑m).snd, ⋯⟩⟩) ((fun m => ⟨Sym.fill a m.fst ↑m.snd, ⋯⟩) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩)) = Sigma.map id (fun i a => ↑a) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
s : AddSubgroup G
t : AddSubgroup G
h : s ≤ t
ht : IsClosed ↑t
⊢ s.topologicalClosure ≤ t
Γ : Type u_1
i : Inhabited Γ
L₁ L₂ : ListBlank Γ
l₁ l₂ : List Γ
H : ∀ (i_1 : ℕ), (mk l₁).nth i_1 = (mk l₂).nth i_1
h : l₁.length ≤ l₂.length
⊢ l₂ = l₁ ++ List.replicate (l₂.length - l₁.length) default
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M : Matrix m n α
⊢ (M.map fun x => x) = M
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
J : Ideal R
hJ : J ≠ 0
⊢ ↑J = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑J
α : Type u_1
l₁ l₁' l₂ l₂' : Filter α
Ixx : α → α → Set α
h : Filter.TendstoIxxClass Ixx l₁ l₂
h' : Filter.TendstoIxxClass Ixx l₁' l₂'
⊢ Filter.TendstoIxxClass Ixx (l₁ ⊓ l₁') (l₂ ⊓ l₂')
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
p : R[X]
⊢ matPolyEquiv (p • 1) = Polynomial.map (algebraMap R (Matrix n n R)) p
V : Type u_1
V' : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedAddCommGroup V'
InnerProductSpace ℝ V
InnerProductSpace ℝ V'
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V'
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V'
⊢ ((Orientation.map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o).oangle x y = o.oangle (f.symm x) (f.symm y)
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
P : Type u_6
Group N
Group P
g : N →* P
f : G →* N
⊢ Subgroup.map g f.range = (g.comp f).range
α : Type u_1
Subsingleton α
s : Finset α
⊢ s.card ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : NoAccidental t
x✝ : Finset (α ⊕ β ⊕ γ)
⊢ x✝ ∈ (graph t).cliqueSet 3 ↔ x✝ ∈ ⇑toTriangle '' ↑t
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
hx : (dZero A) x = 0
g : G
⊢ (A.ρ g) x = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
s : CategoryTheory.Functor A B
CategoryTheory.Preregular C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : CategoryTheory.EffectiveEpi f], CategoryTheory.Limits.HasPullback f f
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits s
hF : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) F
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) (F.comp s)
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x ≤ 0
y : ℝ
⊢ x ^ y = if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * y) * cos (y * π)
x : PartENat
x✝ : Decidable x.Dom
⊢ ↑x.toWithTop = x
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α
h : ∃ i, p i
⊢ (⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h) ⊔ a = ⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h ⊔ a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
ι : Type u_1
G : ι → Type u_4
(i : ι) → Group (G i)
N : Type u_5
Group N
f : (i : ι) → G i →* N
⊢ (Monoid.CoprodI.lift f).range = ⨆ i, (f i).range
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K K' V : Set G
hK' : IsCompact K'
h : K ⊆ K'
hV : (interior V).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addIndex K V ≤ MeasureTheory.Measure.haar.addIndex K' V
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Mon_ C
Z : C
f : Z ⟶ M.X
⊢ (f ⊗ M.one) ≫ M.mul = (ρ_ Z).hom ≫ f
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, HasFiniteIntegral (fun y => AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)) ν) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) ν
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
⊢ A.valuation ↑a ≤ 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ ∀ (x : C) (a : (CategoryTheory.FunctorToTypes.prod F G).obj x), CategoryTheory.FunctorToTypes.prod.snd.app x a = a.2
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
⊢ hA.cfcAux (ContinuousMap.restrict (spectrum ℝ A) (ContinuousMap.id ℝ)) = ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues) * star ↑hA.eigenvectorUnitary
R : Type u
Ring R
q : ℕ
hR : ExpChar R q
x y : R
h : Commute x y
⊢ (x - y) ^ q = x ^ q - y ^ q
R : Type u
NonAssocSemiring R
StarRing R
n : ℕ
⊢ star ↑n = ↑n
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0
⊢ ∃ x, I⁻¹ = spanSingleton R₁⁰ x
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
⊢ IsOpen (closure U)
m : Nat
p : 0 < m
n k : Nat
⊢ n * m = k * m ↔ n = k
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
⊢ ∀ (v : G), ‖↑G v‖ ≤ 1 * ‖v‖
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D : Type u_4
I₁ : Type u_5
I₂ : Type u_6
I₃ : Type u_7
J : Type u_8
inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁
inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃
inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D
inst✝¹¹ : Zero I₂
inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂
inst✝⁹ : HasInitial C₂
F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁
F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃
G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D
associator : bifunctorComp₁₂ F₁ G ≅ bifunctorComp₂₃ G F₂
X₂ : C₂
e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁
e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃
inst✝⁸ : (X₁ : C₁) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₁.obj X₁)
inst✝⁷ : (X₃ : C₃) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₂.flip.obj X₃)
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
τ : TriangleIndexData r π
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝⁶ : (((mapBifunctor F₁ I₁ I₂).obj X₁).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).HasMap τ.p₁₂
inst✝⁵ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂))).obj X₃).HasMap π
inst✝⁴ : (((mapBifunctor F₂ I₂ I₃).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).obj X₃).HasMap τ.p₂₃
inst✝³ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj F₂ τ.p₂₃ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃)).HasMap π
inst✝² : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁ G τ.ρ₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝¹ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj G F₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj X₃).HasMap π
triangle : ∀ (X₁ : C₁) (X₃ : C₃), ((associator.hom.app X₁).app X₂).app X₃ ≫ (G.obj X₁).map (e₂.hom.app X₃) = (G.map (e₁.hom.app X₁)).app X₃
j : J
i₁ : I₁
i₃ : I₃
hj : π (i₁, i₃) = j
⊢ (G.map (e₁.inv.app (X₁ i₁))).app (X₃ i₃) ≫ (G.map ((F₁.obj (X₁ i₁)).map (singleObjApplyIso 0 X₂).inv)).app (X₃ i₃) ≫ (G.map (ιMapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) i₁ 0 i₁ ⋯)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π (mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂)) X₃ i₁ i₃ j hj ≫ (mapBifunctorAssociator associator τ.ρ₁₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃).hom j ≫ mapBifunctorMapMap G π (𝟙 X₁) (mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom j = (G.map (e₁.inv.app (X₁ i₁))).app (X₃ i₃) ≫ (G.map ((F₁.obj (X₁ i₁)).map (singleObjApplyIso 0 X₂).inv)).app (X₃ i₃) ≫ (G.map (ιMapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) i₁ 0 i₁ ⋯)).app (X₃ i₃) ≫ (G.map ((mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom i₁)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j hj
x y : ℝ*
⊢ ¬x.Infinitesimal → y.Infinite → (x * y).Infinite
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih : ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V}, IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
this : Nontrivial V
hB₁ : B ≠ 0
x : V
hd : finrank K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) + 1 = d + 1
hx : ¬IsOrtho B x x
B' : ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] K := domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)
v' : Basis (Fin d) K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)
hv₁ : (domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)).IsOrthoᵢ ⇑v'
b : Basis (Fin (d + 1)) K V := Basis.mkFinCons x v' ⋯ ⋯
⊢ IsOrthoᵢ B ⇑b
R : Type u
Semiring R
Subsingleton R
⊢ ¬IsField R
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
g : γ → δ
f' : α' → β → δ
g' : α → α'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' a) b
⊢ image2 f' (g' '' s) ((fun b => b) '' t) = image2 f' (g' '' s) t
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
ι : Sort u_5
x : α
s : ι → Opens α
⊢ x ∈ iSup s ↔ ∃ i, x ∈ s i
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
n✝ : ℕ
this : ∀ {n : ℕ}, n = 0 → n < 1 <<< n.size
b : Bool
n : ℕ
IH : n < 1 <<< n.size
h : ¬bit b n = 0
⊢ bit b n < 1 <<< (bit b n).size
x : SetTheory.PGame
h : x.LF 0
⊢ x⁻¹ = -(-x).inv'
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
self : PartialDiffeomorph I J M N n
⊢ ContMDiffOn I J n (↑self.toPartialEquiv) self.source
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
α : Type u_1
xs : List (List α)
⊢ FreeAddMonoid.ofList xs.join = (List.map (⇑FreeAddMonoid.ofList) xs).sum
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
P : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
h : Projective R P
f : M →ₗ[R] N
g : P →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
φ : (P →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total P M R fun p => Function.surjInv hf (g p)
s : P →ₗ[R] P →₀ R
hs : Function.LeftInverse ⇑(Finsupp.total P P R id) ⇑s
⊢ f ∘ₗ φ ∘ₗ s = g
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
a : α
b : Bool
⊢ ¬Step [(a, b)] L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace γ
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
g : β → α → γ
hg : ∀ (b : β), Measurable (g b)
⊢ Measurable fun a => g (↑f a) a
α : Type u
s : Computation α
a : α
h : a ∈ s
⊢ s.Equiv (Computation.pure a)
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P : PresheafOfModules R₀
F : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P ⟶ F
⊢ ((sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj F)) ((SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafificationHomEquiv α).symm ((sheafificationHomEquiv α) f))) = ((sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj F)) (((sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj F)).symm ((sheafificationHomEquiv α) f).hom)
α : Type u_1
Preorder α
L : TopologicalSpace α
Topology.IsLawson α
⊢ Topology.scottHausdorff α ≤ L
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₂
inst✝² : Category.{u₁, u₂} C
G : Type u_1
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsPreconnected G
⊢ ∀ (x y : G), Nonempty (x ⟶ y)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
⊢ w.IsReal → ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
⊢ CategoryTheory.IsIso f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
⊢ ∃ a ∈ Set.Ioo 0 1,
  ∃ C > 0, ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
s : Finset S
⊢ ∃ b, ∀ a ∈ s, IsLocalization.IsInteger R (↑b • a)
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Semigroup α
x : Holor α ds₁
y : Holor α ds₂
z : Holor α ds₃
t : HolorIndex (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)
⊢ x t.take.take * y t.take.drop * z t.drop = cast ⋯ (fun t => x t.take * (y t.drop.take * z t.drop.drop)) t
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ ENNReal.ofReal (x / y) = ENNReal.ofReal x / ENNReal.ofReal y
β : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.7275, u_2} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : DifferentialObject ℤ (GradedObjectWithShift b V)
i j : β
w : ¬i + b = j
⊢ (fun i j => if h : i + b = j then X.d i ≫ X.objEqToHom ⋯ else 0) i j = 0
R : Type u
Monoid R
A : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
a : A
⊢ 1 a = a
I : Type u
X : I → TopCat
⊢ ∀ (X_1 Y : (i : I) → ↑(π.obj (X i))) (f : X_1 ⟶ Y), (piToPiTop X ⋙ CategoryTheory.Functor.pi' (proj X)).map f = CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 ((i : I) → ↑(π.obj (X i)))).map f ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯
E : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
R' : Type u_11
Ring R'
Module R' E
p : Submodule R' E
⊢ ⇑p.subtypeₗᵢ = ⇑p.subtype
α : Sort u_1
φ : Sort u_4
s₁ : Setoid α
f : α → φ
h : ∀ (a b : α), Setoid.r a b → f a = f b
⊢ (Function.Surjective fun x => x.liftOn' f h) ↔ Function.Surjective f
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
⊢ Disjoint t tᶜ
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h
nhds_zero : Tendsto (fun n => 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2
npos' : 0 < n
npos : 0 < ↑n
⊢ ‖bernsteinApproximation n f - f‖ < ε
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s : LowerSet α
⊢ 0 + s = s
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
d : n → α
i j : n
⊢ Matrix.diagonal d i j = if i = j then d i else 0
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
u : ℂ → ℝ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → ∀ (z : ℂ), ‖expR (B₁ * expR (c₁ * |u z|))‖ ≤ ‖expR (B₂ * expR (c₂ * |u z|))‖
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[l] fun z => expR (Bf * expR (cf * |u z|))
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[l] fun z => expR (Bg * expR (cg * |u z|))
⊢ 0 ≤ max 0 (max Bf Bg)
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
i : ι
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inl ≫ (K.biprodXIso L i).inv = CategoryTheory.Limits.biprod.inl.f i