ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K : CochainComplex C ℤ
A : C
n i : ℤ
f : A ⟶ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K).X i
j : ℤ
hj : (up ℤ).next i = j
hf : f ≫ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K).d i j = 0
i' : ℤ
hi' : n + i = i'
j' : ℤ
hj' : (up ℤ).next i' = j'
⊢ liftCycles ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K) f j hj hf ≫ homologyπ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K) i = liftCycles K (f ≫ (K.shiftFunctorObjXIso n i i' ⋯).hom) j' hj' ⋯ ≫ homologyπ K i' ≫ ((homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftIso n i i' hi').inv.app K
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal) ↔ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
lip : LipschitzWith 1 NNReal.toReal
f₀ : Ω →ᵇ ℝ := comp NNReal.toReal lip f
_def_f₀ : f₀ = comp NNReal.toReal lip f
f₀_eq : ⇑f₀ = NNReal.toReal ∘ ⇑f
f₀_nn : 0 ≤ ⇑f₀
f₀_ae_nn : 0 ≤ᶠ[ae ↑μ] ⇑f₀
f₀_ae_nns : ∀ (i : γ), 0 ≤ᶠ[ae ↑(μs i)] ⇑f₀
aux : ∫ (a : Ω), f₀ a ∂↑μ = (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (f₀ a) ∂↑μ).toReal
auxs : ∀ (i : γ), ∫ (a : Ω), f₀ a ∂↑(μs i) = (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (f₀ a) ∂↑(μs i)).toReal
⊢ Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
⊢ Algebra.EssFiniteType R S ↔ ∃ S₀ M, Algebra.FiniteType R ↥S₀ ∧ IsLocalization M S
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
⊢ mulHom A = (mulHom A).flip
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : PartialOrder α
a b : α
hab : a < b
⊢ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Ico a b) = {a}
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f g : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ f.toHomeomorph = g.toHomeomorph ↔ f = g
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N
hc : IsUnit c
hc' : IsUnit (σ c)
⊢ Function.Injective fun n => σ c • n
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
rs : List R
⊢ RingTheory.Sequence.IsRegular M (r :: rs) ↔
  IsSMulRegular M r ∧
    RingTheory.Sequence.IsRegular (QuotSMulTop r M) (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs)
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
n : ℕ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin n f s) s y
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f n s t x) (((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s y) s'
  y
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
s t : Set G
ht : IsOpen t
⊢ IsOpen (s - t)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
⊢ ∀ (X_1 : SimplexCategory), X.rightOp.right.obj X_1 = Opposite.op (X.left.obj (Opposite.op X_1))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
X : C
f : J → C
⊢ (CategoryTheory.leftDistributor X f).inv =
  ∑ j : J,
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Limits.biproduct.π (fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X (f j)) j)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j))
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Monoid α
DistribMulAction α M
SMulCommClass α R M
a : α
S : Submodule R M
⊢ (a • S).toAddSubmonoid = a • S.toAddSubmonoid
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b c : G
⊢ a + b - (a - c) = b + c
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.prodMkLeft α 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : Set β
⊢ ((fun x => Prod.swap ∘ x) ∘ Prod.mk '' t).seq s = ((fun b a => (a, b)) '' t).seq s
α : Type u_2
Mul α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
⊢ s₁ ∩ s₂ * (t₁ ∪ t₂) ⊆ s₁ * t₁ ∪ s₂ * t₂
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h✝ : d₁ ≤ d₂
s : Set X
h : d₁ < d₂
hs : μH[d₂] s = 0
⊢ μH[d₂] s ≤ μH[d₁] s
α : Type u_1
s✝ t✝ u s t : Set α
h : s ⊆ t
h_surj : Surjective (inclusion h)
⊢ s = t
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithTop.some ⁻¹' Set.Ici ↑a = Set.Ici a
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ ∀ (a : TwoSidedIdeal R), TwoSidedIdeal.coeOrderEmbedding a = ↑a
α : Type u_1
inst✝⁶ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝⁵ : Sub α
inst✝⁴ : OrderedSub α
a✝ b✝ c d : α
inst✝³ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : b ≤ a
⊢ a + a - (b + b) = a - b + (a - b)
M : Type u_2
N : Type u_3
Add M
Add N
f : AddHom M N
⊢ ∀ (a : Mᵐᵒᵖ), (AddHom.mulOp f) a = (MulOpposite.op ∘ ⇑f ∘ MulOpposite.unop) a
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
⊢ f.comp (CompleteLatticeHom.id α) = f
α : Type u_1
MetricSpace α
s : Finset α
⊢ 0 < (↑s).infsep ↔ (↑s).Nontrivial
α : Type u_1
s : Cycle α
⊢ s.reverse.length = s.length
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
h : a ≠ 0
H : Summable fun i => a * f i
⊢ Summable f
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : AddCommGroup P'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
S : Type u_9
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
h : Surjective ⇑(algebraMap R S)
⊢ Surjective ⇑((mk R S M) 1)
M✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M✝
inst✝⁴ : SetLike B M✝
inst✝³ : SubmonoidClass B M✝
S : B
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
m : Multiset ↥S
⊢ ↑m.prod ∈ S
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
⊢ BddAbove (Set.range f) → ↑(⨆ i, f i) = ⨆ i, ↑(f i)
α : Sort u₁
β : Sort u₂
f : α → β
⊢ Function.HasRightInverse f → Function.Surjective f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Monoid M
S : Finset (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R ↑S = ⊤
this✝ : DecidableEq M := Classical.decEq M
this : ↑(S.biUnion fun f => f.support) = ⋃ f ∈ S, ↑f.support
⊢ adjoin R (⇑(of R M) '' ↑(S.biUnion fun f => f.support)) = ⊤
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
t : OrderClosedTopology α
f g : β → α
b : Filter β
a₁ a₂ : α
b.NeBot
hf : Filter.Tendsto f b (𝓝 a₁)
hg : Filter.Tendsto g b (𝓝 a₂)
h : f ≤ᶠ[b] g
⊢ a₁ ≤ a₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a : 𝕜
⊢ Set.EqOn (dslope (fun x => (x - a) • f x) a) f {a}ᶜ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B✝ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : IsDomain B✝
inst✝¹ : Algebra A B✝
K : Type u_6
inst✝ : Field K
B : PowerBasis R S
⊢ Set.range ⇑B.basis ⊆ ↑(Subalgebra.toSubmodule (adjoin R {B.gen}))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : Option (Option α)
⊢ (Option.map (Option.map f) x).join = Option.map f x.join
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : ∃ a, o = succ a
a : Ordinal.{u_4}
e : o = succ a
⊢ a ≤ succ a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
h' : Epi f.base
this✝ : ∀ (U : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ), IsIso (f.c.app U)
this : IsIso f.c
⊢ IsIso f
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
Mul α
Mul β
f : α → β
r : α
A : Matrix n n α
hf : ∀ (a₁ a₂ : α), f (a₁ * a₂) = f a₁ * f a₂
⊢ (r • A).map f = f r • A.map f
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
⊢ #↑(Iio a) = 𝔠
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X : C
f : Z ⟶ X
⊢ CategoryTheory.IsPushout (𝟙 Z) f f (𝟙 X)
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.HasPoints P L
p : P
l : L
h : p ∉ l
hf : Finite { p // p ∈ l }
⊢ Configuration.lineCount L p ≤ Configuration.pointCount P l
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hPα' : stepBound P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPpos : 0 < stepBound P.parts.card
⊢ ∀ x ∈ (filter (fun x => (↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).attach, (equitabilise ⋯).parts.card = ?m.16076
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ ν✝ : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
f : α → E
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂(μ + ν) = (μ univ + ν univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν)
α : Type u
t : TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable Set.univ ↔ TopologicalSpace.SeparableSpace α
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
x : K
f : E[X] := minpoly E x
hf : f = minpoly E x
E' : IntermediateField F E := adjoin F ↑f.coeffs
this✝⁴ : FiniteDimensional F ↥E'
g : (↥E')[X]
h : Polynomial.map (algebraMap (↥E') E) g = f
hx : x ∈ restrictScalars F (↥E')⟮x⟯
hzero : (aeval x) g = 0
halg : IsIntegral (↥E') x
hsep : (minpoly (↥E') x).Separable
this✝³ : Algebra.IsSeparable F ↥E'
this✝² : Algebra.IsSeparable ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯
this✝¹ : FiniteDimensional ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯
this✝ : FiniteDimensional F ↥(↥E')⟮x⟯
this : Algebra.IsAlgebraic ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯
⊢ IsSeparable F x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ S ≤ integralClosure R A ↔ Algebra.IsIntegral R ↥S
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
⊢ MonotoneOn (fun x => Set.Iio (f x)) s
b : ℂ
hb : 0 < b.re
⊢ HasFiniteIntegral (fun a => rexp (-b.re * a ^ 2)) volume
ctx : Nat.Linear.Context
p₁ p₂ : Nat.SOM.Poly
⊢ Nat.SOM.Poly.denote ctx (p₁.mul p₂) = Nat.SOM.Poly.denote ctx p₁ * Nat.SOM.Poly.denote ctx p₂
R : Type u_1
MulZeroClass R
f g : ArithmeticFunction R
x : ℕ
⊢ (f.pmul g) x = f x * g x
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
S : Submonoid N
⊢ Submonoid.map f (Submonoid.comap f S) = S ⊓ MonoidHom.mrange f
⊢ Real.eulerMascheroniConstant < 2 / 3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
b : α
ha : Irreducible (b ^ 2)
⊢ False
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ (X ^ n + C a).Monic
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)
⊢ 1 - ε ^ 5 / 50 ≤ 1 - 2 * (1 / (↑m + 1)) + (1 / (↑m + 1)) ^ 2
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ antidiagonal k
x : σ
x✝ : x ∈ univ
s : Finset σ
hs : s ∈ powersetCard a.1 univ
⊢ ((-1) ^ s.card * ∏ a ∈ s, X a) * X x ^ (k - s.card) = ((-1) ^ a.1 * ∏ a ∈ s, X a) * X x ^ a.2
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
ι : Type u_2
φ : ι → ContDiffBump c
l : Filter ι
hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => support fun x => (φ i).normed μ x) l (𝓝 c).smallSets
β : Type u_1
ι : Type u_2
X : ι → Type u_3
t : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
T : (i : ι) → Set (Set (X i))
cond : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (T i)
f : (i : ι) → β → X i
S : Set β
⊢ (∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ T i) ∧ S = ⋂ i ∈ F, f i ⁻¹' U i) ↔ ∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ preimage (f i) '' T i) ∧ S = ⋂ i ∈ F, U i
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
u : F α → α
x y : (QPF.P F).W
⊢ QPF.Wequiv x y → QPF.recF u x = QPF.recF u y
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
t : Set α
⊢ (PMF.uniformOfFinset s hs).toOuterMeasure t = ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ t) s).card / ↑s.card
R : Type u
ι : Type v
CommRing R
L : ι → Type w
(i : ι) → LieRing (L i)
(i : ι) → LieAlgebra R (L i)
j : ι
a : DirectSum ι fun i => L i
⊢ (DirectSum.lieAlgebraComponent R ι L j) a = (DirectSum.component R ι L j) a
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ : ℝ
r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
⊢ Metric.ball 0 r₁ • p.closedBall 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
⊢ Module.rank R ↥(span R (range Subtype.val)) = #↑(range Subtype.val)
k : Type u_1
DivisionRing k
ι : Type u_4
s : Finset ι
CharZero k
Fintype ι
h : s.card ≠ 0
⊢ ∑ i : ι, Finset.centroidWeightsIndicator k s i = 1
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n
S : ComposableArrows C (n + 2)
h : (mk₂ (S.map' 0 1 ⋯ ⋯) (S.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : S.δ₀.Exact
⊢ S.Exact
x : ℝ
hx : 0 < x
y z : ℝ
⊢ x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
ι : Type u_5
CommRing R
Nontrivial R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Finite R M
Module.Free R M
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R L
⊢ LieModule.rank R L M = ((↑(LieModule.toEnd R L M)).polyCharpoly b).natTrailingDegree
α : Type u_1
BooleanRing α
⊢ (RingHom.id α).asBoolAlg = BoundedLatticeHom.id (AsBoolAlg α)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup N
⊢ ↑(map f (comap f H)) = ↑(f.range ⊓ H)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ ‖A x‖ ^ 2 = RCLike.re ⟪((ContinuousLinearMap.adjoint A).comp A) x, x⟫_𝕜
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l (m₁ ++ c :: m₂) r s →
  s.next { byteIdx := String.utf8Len m₁ } = { byteIdx := String.utf8Len m₁ + c.utf8Size }
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℤ
h : 1 < |n|
f : AddCircle T → AddCircle T := fun y => n • y + x
e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))
he : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
⊢ ⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm = fun y => n • y
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.230017}
f : α → β
s : Set β
h : s ⊆ range f
⊢ lift.{u, u} #↑s ≤ lift.{u, u} #↑(f ⁻¹' s)
G : Type u_1
Group G
h : Group.IsNilpotent G
⊢ NormalizerCondition G
R : Type u_1
AddSemigroup R
a b : R
ab : IsAddLeftRegular (a + b)
⊢ IsAddLeftRegular b
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : NonUnitalSubsemiring R
x : R
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
i j : ι
⊢ 1 i j = if i = j then 1 else 0
α : Type u_1
C : FreeMonoid α → Sort u_6
h0 : C 1
ih : (x : α) → (xs : FreeMonoid α) → C (FreeMonoid.of x * xs)
⊢ FreeMonoid.casesOn 1 h0 ih = h0
ι : Type u_1
μ : Type u_2
DecidableEq ι
AddCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
n : μ
⊢ ∅.piAntidiag n = if n = 0 then {0} else ∅
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
⊢ Continuous f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : 𝓝[s] x = ⊥
⊢ 𝓝[s \ {x}] x ≤ 𝓝[s] x
n : ℕ
x a₁ b₁ a₂ b₂ : ℝ
e : |1 + x / ↑(n + 1) * a₂ - a₁| ≤ b₁ - |x| / ↑(n + 1) * b₂
h : |rexp x - expNear (n + 1) x a₂| ≤ |x| ^ (n + 1) / ↑(n + 1).factorial * b₂
⊢ 0 ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
hn : 2 * n + 1 ≠ 0
⊢ 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * n + 1)) = ↑(2 * n + 1) ^ 2 - if Even (2 * n + 1) then 4 else 1
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
h : a ≤ b / c
⊢ a * c ≤ b
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
N : Submonoid S
T : Type u_4
CommSemiring T
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
IsLocalization M S
IsLocalization N T
⊢ IsLocalization (IsLocalization.localizationLocalizationSubmodule M N) T
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = -1
x✝ : IsSquare ↑a
r : ZMod b
ha : a % ↑b = r.valMinAbs ^ 2 % ↑b
⊢ 0 ≤ -1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Tendsto m f (𝓝 b)
hb : b ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤
this : a = 0
⊢ Tendsto (fun b => a * m b) f (𝓝 (a * b))
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
E : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
OrderedSMul ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ (MeasureTheory.condexpInd E hm μ s) x
F : PFunctor.{u}
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : ℕ
⊢ (PFunctor.M.mk ⟨a, f⟩).approx i.succ = PFunctor.Approx.CofixA.intro a fun j => (f j).approx i
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
⊢ Multiset.card σ.cycleType = 0 ↔ σ = 1
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π ↔ ∡ p₃ p₂ p₁ = ↑π
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex (Type u)
c : CategoryTheory.Limits.Multifork I
x : c.pt
i : I.L
⊢ (c.toSections x).val i = c.ι i x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
c : β
hc : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, c) q
⊢ ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, c) ↑r)
G : Type u_3
Add G
IsRightCancelAdd G
a : G
b c : G
⊢ b + a = c + a ↔ b = c
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
CategoryTheory.IsIso f
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.map (CategoryTheory.inv f) = CategoryTheory.inv (AlgebraicGeometry.Spec.map f)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
K : ℝ≥0
s : Set α
hs : Dense s
ha : ∀ a ∈ s, ContinuousOn (fun y => f (a, y)) univ
hb : ∀ (b : β), LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) univ
⊢ ContinuousOn f (univ ×ˢ univ)
R : Type u_2
S : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
f : R →ₙ+* S
hf : ∀ (x y : R), Commute (f x) (f y)
⊢ ⇑(f.fromOpposite hf) = ⇑f ∘ MulOpposite.unop
α : Type u_1
Add α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
h₁ : a < b
h₂ : c < d
⊢ a + c < b + d
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero M'
inst✝ : CommMonoid N
f : α →₀ M
y : α
g : α → M → N
hyf : y ∈ f.support
⊢ g y (f y) * (erase y f).prod g = f.prod g
a✝ b c a n : ℕ
ih : Set.InjOn (fun x => x % a) ↑(Ico n (n + a))
k : ℕ
hk : k ∈ ↑((insert (n + a) (Ico n (n + a))).erase n)
l : ℕ
hl : l ∈ ↑((insert (n + a) (Ico n (n + a))).erase n)
hkl : k % a = l % a
⊢ k = l
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero β
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ MeasurableSet (Function.support ↑f)
α : Type u
Semiring α
a b : α
h : IsUnit a ↔ IsUnit b
⊢ Ring.inverse a + Ring.inverse b = Ring.inverse a * (a + b) * Ring.inverse b
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
s : Set M
⊢ Cardinal.lift.{max u w, w} (Cardinal.mk ↥((FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s)) ≤
  Cardinal.mk (L.Term ↑s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t✝ : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
t : Finset α
⊢ s.toFinset ⊆ t ↔ s ⊆ ↑t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
c c' : CategoryTheory.Limits.Cone ((CategoryTheory.Pairwise.diagram U).op ⋙ F)
f : c ⟶ c'
⊢ ((TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquivFunctor F U).map f).hom = f.hom
α : Type u_2
DecidableEq α
InvolutiveNeg α
Fintype α
⊢ -Finset.univ = Finset.univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : P.IsStableUnderComposition
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ P f → P g → P (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
⊢ ∃ c ∈ cutMap β (a * a), b < c
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
⊢ -(x + y) + (x + y) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
h : Continuous f
⊢ f '' closure s ⊆ closure (f '' s)