ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
Y : CategoryTheory.Over X
S : CategoryTheory.Sieve Y
Z : C
f : Z ⟶ Y.left
⊢ ((CategoryTheory.Sieve.overEquiv Y) S).arrows f ↔ S.arrows (CategoryTheory.Over.homMk f ⋯)
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a : α
⊢ |a| * |a| = a * a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
A : Comon_ C
⊢ (F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) ≫ F.obj A.X ◁ (F.map A.counit ≫ F.η) = (ρ_ (F.obj A.X)).inv
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
Nontrivial L
⊢ LieModule.chainBotCoeff (⇑α) 0 = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : A
y : B
h : IsIntegral R y
⊢ IsIntegral A (x • 1 ⊗ₜ[R] y)
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a ⨳ (b ♯ 1) = a ⨳ b ♯ a
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : x ∉ closure s
⊢ derivWithin f s x = 0
α : Type u_3
PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ IsOpen {x} ↔ ∃ ε > 0, ∀ (y : α), dist y x < ε → y = x
n✝ b b' : ℕ
h : b' % b = 1
n : ℕ
⊢ ofDigits b' (b'.digits n) ≡ ofDigits 1 (b'.digits n) [MOD b]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
m✝ : N
⊢ m✝ ∈ LieSubmodule.map f ⊤ ↔ m✝ ∈ f.range
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a ≤ b ⇨ c ↔ a ⊓ b ≤ c
x : ZFSet
⊢ x = ∅ ↔ ∀ (y : ZFSet), y ∉ x
α : Sort u_1
DecidableEq α
a b : α
⊢ (Equiv.swap a b) b = a
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)
E : Set α
⊢ Tendsto (fun n => thickenedIndicatorAux (δseq n) E) atTop (𝓝 ((closure E).indicator fun x => 1))
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ 0 < Multiset.card s ↔ s ≠ 0
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => (1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-r / 2)) μ
a x z : ℂ
⊢ abs x = 1 ↔ ∃ θ ∈ Ioc (-π) π, cexp (↑θ * I) = x
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
hcomp✝ : ∀ (i : ι), IsSigmaCompact (s i)
K : ι → ℕ → Set X
hcomp : ∀ (i : ι) (n : ℕ), IsCompact (K i n)
hcov : ∀ (i : ι), ⋃ n, K i n = s i
this : ⋃ i, s i = ⋃ x, Function.uncurry K x
⊢ IsSigmaCompact (⋃ x, Function.uncurry K x)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k
⊢ ((forget₂ C Ab).map (hS.δ i j hij)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₃.homologyπ i)) (S.X₃.cyclesMk x₃ j ⋯ hx₃)) = ((forget₂ C Ab).map (S.X₁.homologyπ j)) (S.X₁.cyclesMk x₁ k hk ⋯)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H₁ : r.size = 0 → l.size ≤ 1
H₂ : 1 ≤ r.size → 1 ≤ l.size → l.size ≤ delta * r.size
H₃ : 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5 ∨ r.size ≤ 3
this : (r.size = 0 → l.size ≤ 1) → (1 ≤ r.size → 1 ≤ l.size → l.size ≤ delta * r.size) → 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5 ∨ r.size ≤ 3 → Valid' o₂ (r.dual.balanceL x l.dual) o₁
⊢ Valid' o₂ (r.dual.balanceL x l.dual) o₁
n a : ℕ
h' : n * a ≠ 0
⊢ n.primeFactorsList <+ (n * a).primeFactorsList
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hf : GrowsPolynomially f
c₁ : ℝ
left✝ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂ : c₂ > 0
h : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ≤ c₂ * f x
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
⊢ ↑(re z) = (z + (starRingEnd K) z) / 2
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
S₃.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ : CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ
hφφ' : CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ φ')
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ'
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
n : ℕ
IH : ∀ (ts : List α), ts.length < n → ts.permutations ~ ts.permutations'
ts✝ : List α
h✝ : ts✝.length < n + 1
ts : List α
t : α
x✝ : ts.length < n + 1 → ts.permutations ~ ts.permutations'
h : ts.length < n
IH₂ : ts.reverse.permutations ~ ts.permutations'
⊢ (ts.permutations'.bind fun x => (permutationsAux2 t [] [] x id).2 ++ [x ++ [t]]) ~ ts.permutations'.bind (permutations'Aux t)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j k : ι
⊢ C.d i j ≫ C.d j k = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
⊢ (pderiv x) (X y ^ 2 + C W'.a₁ * X x * X y * X z + C W'.a₃ * X y * X z ^ 3 - (X x ^ 3 + C W'.a₂ * X x ^ 2 * X z ^ 2 + C W'.a₄ * X x * X z ^ 4 + C W'.a₆ * X z ^ 6)) = C W'.a₁ * X y * X z - (C 3 * X x ^ 2 + C (2 * W'.a₂) * X x * X z ^ 2 + C W'.a₄ * X z ^ 4)
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ (p * q).trailingDegree = p.trailingDegree + q.trailingDegree
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a : α
⊢ mabs (a ^ n) = mabs a ^ |n|
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : CartesianClosed C
h : ∀ (B : D) (A : C), (A ⟹ i.obj B) ∈ i.essImage
B✝ A : C
B' : D
iB' : i.obj B' ≅ B✝
⊢ (A ⟹ B✝) ∈ i.essImage
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : CompleteLatticeHom α α
a : α
⊢ f (limsup (fun n => (⇑f)^[n] a) atTop) = limsup (fun n => (⇑f)^[n] a) atTop
l : List ℕ
⊢ List.Pairwise List.Disjoint l.ranges
X : TopCat
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
Y : TopologicalSpace.Opens ↑X
hY : Y = iSup U
⊢ (TopCat.Presheaf.generateEquivalenceOpensLe U hY).unitIso = CategoryTheory.eqToIso ⋯
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0
⊢ 0 < angle x (x - y)
R : Type u_1
LinearOrderedField R
q : ℚ
⊢ (↑q).im = 0
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇔ b = ⊥ ↔ IsCompl a b
X : Type u_2
TopologicalSpace X
CompactSpace X
⊢ ((Set.image fun t => t.carrier) ∘ Finset.toSet) ∘ DiscreteQuotient.finsetClopens X = fun x =>
  match x with
  | { toSetoid := f, isOpen_setOf_rel := isOpen_setOf_rel } => f.classes
R : Type u
σ : Type u_1
τ : Type u_2
CommSemiring R
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
⊢ ((MvPolynomial.rename f) φ).degrees ⊆ Multiset.map f φ.degrees
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a : E
h : DifferentiableWithinAt ℝ f s a
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => Real.arsinh (f x)) s a
α : Type u_4
P : α → Prop
r : α → α → Prop
IsSymm α r
h : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y
⊢ ∃ f, (∀ (n : ℕ), P (f n)) ∧ Pairwise fun m n => r (f m) (f n)
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
CompleteLattice β
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous ⊥
p q✝ q : ℚ
hq : q ≤ 0
⊢ q⁻¹.toNNRat = q.toNNRat⁻¹
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : Module (ZMod p) K := let __src := (ZMod.castHom ⋯ K).toModule; Module.mk ⋯ ⋯
n : ℕ
h : q = p ^ n
⊢ ∃ n, Nat.Prime p ∧ q = p ^ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
hf : AEMeasurable f μ
⊢ map g (map f (ae μ)) ≤ map g (ae (Measure.map f μ))
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
u v : Rˣ
m n : ℕ
h : ↑u * p ^ m = ↑v * q ^ n
key : Associated (Multiset.replicate m p).prod (Multiset.replicate n q).prod
this : Multiset.card (Multiset.replicate m p) = Multiset.card (Multiset.replicate n q)
⊢ m = n
m n : ℕ
h1 : 0 < n
h2 : n < m
⊢ ¬m ∣ n
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.Opens α
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement s ↔ IsCompact ↑s
E : Type u_1
PE : Type u_2
F : Type u_3
PF : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MetricSpace PE
inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MetricSpace PF
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
x y : PE
z : PE := midpoint ℝ x y
s : Set (PE ≃ᵢ PE) := {e | e x = x ∧ e y = y}
this : Nonempty ↑s
h_bdd : BddAbove (range fun e => dist (↑e z) z)
R : PE ≃ᵢ PE := (pointReflection ℝ z).toIsometryEquiv
f : PE ≃ᵢ PE → PE ≃ᵢ PE := fun e => ((e.trans R).trans e.symm).trans R
hf_dist : ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), dist ((f e) z) z = 2 * dist (e z) z
⊢ ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), e x = x → e y = y → e z = z
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i : D.J
⊢ OpenEmbedding ⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι i ≫ (D.gluedIso (forget C)).inv)
α : Type u_1
⊢ ofNat' (0 + 1) = ofNat' 0 + 1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hf : S.f = 0
inst✝ : S.HasHomology
this : IsIso S.leftHomologyπ
⊢ IsIso S.homologyπ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H
⊢ ↑(extChartAt I x) = ↑I
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
n : ℕ∞
U : TopologicalSpace.Opens M
⊢ ContMDiff I I n Subtype.val
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : z ≠ 0
⊢ x = y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z = y
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : y ∈ interior s
⊢ y - x ∈ interior (tangentConeAt ℝ s x)
α : Type u
R : α → α → Prop
l₁ l₂ : List α
h₁ : List.Chain' R l₁
h₂ : List.Chain' R l₂
h : ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y
⊢ List.Chain' R (l₁ ++ l₂)
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → (∃ r, r.Countable ∧ t ⊆ ⋃ i ∈ r, U i) → ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
⊢ ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a
⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 l)
⊢ Filter.Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, u i) Filter.atTop (𝓝 l)
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
v₀ : R := oreNum r₁ s₂
u₀ : ↥S := oreDenom r₁ s₂
h₀ : ↑u₀ * r₁ = v₀ * ↑s₂
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑s₃ * ↑u₀ = r₃ * ↑u
this : r₃ * v * ↑s₂ = ↑s₃ * v₀ * ↑s₂
s₄ : ↥S
hs₄ : ↑s₄ * (r₃ * v) = ↑s₄ * (↑s₃ * v₀)
⊢ ∃ v_1, (s₄ * s₃) • v₀ • r₂ = v_1 • v • r₂ ∧ ↑(s₄ * s₃) * ↑(u₀ * s₁) = v_1 * ↑(u * s₁)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
Unique αˣ
p x : α
hx : x ≠ 0
⊢ p ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors x ↔ Prime p ∧ p ∣ x
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
⊢ TendstoUniformlyOn (Complex.cderiv δ ∘ F) (Complex.cderiv δ f) φ K
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
p : ↑(proj ⁻¹' {b})
⊢ (e.preimageSingletonHomeomorph hb) p = (↑e ↑p).2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
h : IsOpen s
⊢ StrictConvex 𝕜 s ↔ Convex 𝕜 s
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ x.sle y = !(x.msb == y.msb).xor (BitVec.carry w y (~~~x) true)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
b : β
f : β → α
⊢ ∑' (x : ↑{b}), f ↑x = f b
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsLower α
s : Set α
h : IsClosed s
⊢ IsUpperSet s
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
h : LiftRel r s x y
⊢ x.isRight = true ↔ y.isRight = true
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ Z₁ Z₂ : C
⊢ ((α_ X₁ X₂ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ Y₁ Y₂).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ Y₁).hom ▷ Y₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ X₂ Y₂).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).inv) ▷ (Z₁ ⊗ Z₂) ≫ ((α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ (X₁ ⊗ Y₁) ◁ (α_ (X₂ ⊗ Y₂) Z₁ Z₂).inv ≫ (X₁ ⊗ Y₁) ◁ (β_ (X₂ ⊗ Y₂) Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ (X₁ ⊗ Y₁) ◁ (α_ Z₁ (X₂ ⊗ Y₂) Z₂).hom ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) Z₁ ((X₂ ⊗ Y₂) ⊗ Z₂)).inv) ≫ ((α_ X₁ Y₁ Z₁).hom ⊗ (α_ X₂ Y₂ Z₂).hom) = (α_ (X₁ ⊗ X₂) (Y₁ ⊗ Y₂) (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ ((α_ Y₁ Y₂ (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ Y₁ ◁ (α_ Y₂ Z₁ Z₂).inv ≫ Y₁ ◁ (β_ Y₂ Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ Y₁ ◁ (α_ Z₁ Y₂ Z₂).hom ≫ (α_ Y₁ Z₁ (Y₂ ⊗ Z₂)).inv) ≫ (α_ X₁ X₂ ((Y₁ ⊗ Z₁) ⊗ Y₂ ⊗ Z₂)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (Y₁ ⊗ Z₁) (Y₂ ⊗ Z₂)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ (Y₁ ⊗ Z₁)).hom ▷ (Y₂ ⊗ Z₂) ≫ X₁ ◁ (α_ (Y₁ ⊗ Z₁) X₂ (Y₂ ⊗ Z₂)).hom ≫ (α_ X₁ (Y₁ ⊗ Z₁) (X₂ ⊗ Y₂ ⊗ Z₂)).inv
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
⊢ G'.deleteVerts ∅ = G'
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : CategoryTheory.Limits.DiagramOfCones F
Q : (j : J) → CategoryTheory.Limits.IsLimit (D.obj j)
c : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.uncurry.obj F)
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfConeUncurry Q c).pt = c.pt
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∉ s
hp₃ : p₃ ∈ s
⊢ AffineIndependent k ![p₁, p₂, p₃]
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
x : E
h : 0 = 0 → s.Nonempty
⊢ egauge 𝕜 s (0 • x) ≤ ↑‖0‖₊ * egauge 𝕜 s x
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x y : K
⊢ x ∈ s → y ∈ s → x - y ∈ s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ ↑((orthogonalProjection s) p) -ᵥ p +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p) = p ↔ ↑((orthogonalProjection s) p) = p
K : Type u_1
v : K
inst✝⁴ : LinearOrderedField K
inst✝³ : FloorRing K
inst✝² : Archimedean K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : OrderTopology K
⊢ Filter.Tendsto (of v).convs Filter.atTop (𝓝 v)
α : Type u_2
SemilatticeInf α
LocallyFiniteOrderTop α
OrderTop α
a : α
⊢ (Finset.Ici a).inf id = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx✝ : x ≤ z
hy✝ : y ≤ z
b : α
h₀ : b ∈ x
b' : α
h₁ : b' ∈ y
hx : b ∈ z
hy : b' ∈ z
⊢ b' ∈ x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
T : CategoryTheory.Comonad C
D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra
c : CategoryTheory.Limits.Cone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (D.comp T.forget) T.toFunctor
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesLimits'.lambda c t) (T.map (c.π.app j)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (c.π.app j) (D.obj j).a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)
this : (fun n => ∑ i ∈ range n, (u i - l)) =o[atTop] fun n => ↑n
⊢ (fun x => (↑x)⁻¹ • ↑x) =ᶠ[atTop] fun _x => 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
c : β
hs : Convex 𝕜 s
⊢ ConvexOn 𝕜 s fun x => c
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Liftr r x.dest y.dest
x y : Cofix F
rxy : r x y
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a → Cofix F
dxeq : x.dest = abs ⟨a, f₀⟩
dyeq : y.dest = abs ⟨a, f₁⟩
h' : ∀ (i : (P F).B a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ abs ⟨a, Quot.mk r ∘ f₀⟩ = abs ⟨a, Quot.mk r ∘ f₁⟩
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h₁ : HasDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ slitPlane
⊢ HasDerivAt (fun t => log (f t)) ((f x)⁻¹ * f') x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
r n : ℕ
⊢ ↑(n + 1 - r) ^ r ≤ ↑r ! * ↑(n.choose r)
o₁ o₂ : Ordering
⊢ o₁.then o₂ = Ordering.lt ↔ o₁ = Ordering.lt ∨ o₁ = Ordering.eq ∧ o₂ = Ordering.lt
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
P : Submodule R M
b : Basis ι R ↥P
x : M
⊢ x ∈ LinearMap.range (Finsupp.total ι M R (⇑P.subtype ∘ ⇑b)) ↔ ∃ c, x = c.sum fun i x => x • ↑(b i)
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
k : Tendsto (fun x => (1 - z) * ∑ x_1 ∈ range x, (∑ i ∈ Ico (x_1 + 1) x, f i) * z ^ x_1) atTop (𝓝 (l - ∑' (i : ℕ), f i * z ^ i))
⊢ Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ i ∈ range n, (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i) atTop (𝓝 (l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : ι → Set α
g : ι → α
a✝ : List ι
hg : ∀ i ∈ ⟦a✝⟧, g i ∈ f i
⊢ (Multiset.map g ⟦a✝⟧).prod ∈ (Multiset.map f ⟦a✝⟧).prod
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'
⊢ Valid' o₁ (l.balance' x r) o₂
α : Type u_1
CircularPreorder α
a b c : α
h : sbtw a b c
⊢ sbtw c a b
z : ℍ
A B : ℝ
h : 0 < B
hz : z ∈ verticalStrip A B
⊢ z.re ^ 2 ≤ UpperHalfPlane.re ⟨{ re := A, im := B }, h⟩ ^ 2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P Q : PresheafOfModules R
self : P.Hom Q
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.obj X)
x : ↑(P.presheaf.obj X)
⊢ (self.hom.app X) (r • x) = r • (self.hom.app X) x
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
T : Subring R
p : (↥T)[X]
n : ℕ
⊢ (ofSubring T p).coeff n = ↑(p.coeff n)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
⊢ Finset.image Prod.fst m.toEnumFinset = m.toFinset
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
ContinuousAdd α
f : γ → β → α
a : γ → α
s : Finset γ
⊢ (∀ i ∈ s, HasSum (f i) (a i)) → HasSum (fun b => ∑ i ∈ s, f i b) (∑ i ∈ s, a i)
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
⊢ modifyNth f n l = modifyNthTR f n l
M : Type u_4
AddMonoid M
l : List M
⊢ l.sum = List.foldr (fun x x_1 => x + x_1) 0 l
β : Type u_5
NormedRing β
Nontrivial β
⊢ 1 ≤ ‖1‖
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
p q : MvPolynomial σ R
h : (map f) p = (map f) q
⊢ p = q
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : LaxMonoidalFunctor C D
G : LaxMonoidalFunctor D E
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' : C
⊢ __src✝.map f ▷ __src✝.obj X' ≫ (fun X Y => G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)) Y X' = (fun X Y => G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)) X X' ≫ __src✝.map (f ▷ X')
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z : ℝ≥0∞
h1 : y ≠ 0
h2 : y ≠ ⊤
⊢ x / y ≤ z ↔ x ≤ z * y
α : Type u_5
β : Type u_6
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
e : r ≃r s
t : Set α
⊢ ⇑e '' t = ⇑e.symm ⁻¹' t
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ ↑(LieModule.lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) k) ≤ ↑(LieModule.lowerCentralSeries R L (↥↑I) k)
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
b : β
hf : ∀ (b' : β), b' ≠ b → f b' = 1
⊢ HasProd f (f b)
α : Type u
AddMonoid α
a : α
b : AddUnits α
⊢ a + ↑b + ↑(-b) = a
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β → γ
x x' : α
y y' : β
hx : x = x'
hy : y = y'
⊢ f x y = f x' y'
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
inst✝² : ∀ (i : ι), InvariantBasisNumber (End (s i))
o : HomOrthogonal s
α β : Type
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
f : α → ι
g : β → ι
i : (⨁ fun a => s (f a)) ≅ ⨁ fun b => s (g b)
⊢ (c : ι) → ↑(f ⁻¹' {c}) ≃ ↑(g ⁻¹' {c})
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ 2 < s.card ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, ∃ c ∈ s, a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
⊢ Module.rank R M < ℵ₀
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n : ℕ
hn : ¬restrict s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)
⊢ 1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)) + 1) < ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k))
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
x : R
⊢ p ∣ q → Polynomial.eval x p = 0 → Polynomial.eval x q = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.Epi f
Z : C
g h : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h → g = h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E
⊢ EMetric.diam (c • s) = ‖c‖₊ • EMetric.diam s
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E
hα : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F ↥F⟮α⟯) (minpoly F α)
this : Fintype (↥F⟮α⟯ →ₐ[F] ↥F⟮α⟯) := IntermediateField.fintypeOfAlgHomAdjoinIntegral F hα
⊢ Fintype.card (↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] ↥F⟮α⟯) = finrank F ↥F⟮α⟯