ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
r : Rel α β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ Filter.RTendsto r l₁ l₂ ↔ ∀ s ∈ l₂, r.core s ∈ l₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : (α → ℕ) → ℤ
hf : IsPoly f
hg : IsPoly g
⊢ IsPoly (f - -g)
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
p : MvPolynomial σ R
b : τ →₀ ℕ
⊢ b ∈ ((rename f) p).support → (b.sum fun x e => e) ≤ p.totalDegree
a b : Rat
⊢ a - b = mkRat (a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den) (a.den * b.den)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : (2 ≤ k ∧ k < n + 1) ∧ 1 < c.length
j : Fin c.length
this : c ≠ Composition.single k ⋯
⊢ c.blocksFun j < n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set γ
x : α
⊢ (∀ (y : γ) (x_1 : β), r x x_1 → s x_1 y → y ∈ t) ↔ ∀ (y : β), r x y → ∀ (y_1 : γ), s y y_1 → y_1 ∈ t
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
⊢ Continuous fun a => a ^ 0
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
S : Set (HeightOneSpectrum R)
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : (↥(S.integer K))ˣ
v : HeightOneSpectrum R
hv : v ∉ S
⊢ v.valuation ↑(Units.mk0 ↑↑x ⋯) * v.valuation ↑x.inv = 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : N₂ ≤ f.range
⊢ ↑(map f (comap f N₂)) = ↑N₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
CategoryTheory.Closed W
CategoryTheory.Closed X
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.MonoidalClosed.pre f).app Y) ((CategoryTheory.ihom W).map g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.ihom X).map g) ((CategoryTheory.MonoidalClosed.pre f).app Z)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) (s.indicator fun x => c)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ≥0
⊢ EMetric.ball x ↑ε = ball x ↑ε
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
⊢ HigherFacesVanish (q + 1) ((P (q + 1)).f (n + 1))
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f g : AddHom M N
h : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑⊤
⊢ f = g
R : Type u
CommSemiring R
⊢ PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R) = ContinuousMap.id (PrimeSpectrum R)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f
⊢ Function.Injective f ↔ ∀ (x : ι), Function.Injective ((U x).carrier.restrictPreimage f)
α : Type u_1
f g : Equiv.Perm α
h : f.Disjoint g
⊢ Commute f g
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
b : β
⊢ s ×ˢ {b} = (fun a => (a, b)) '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : ↥(Lp E p μ)
hfi' : Memℒp (↑↑f) p μ
this : SeparableSpace ↑(Set.range ↑↑f ∪ {0})
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range Subtype.val) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 f)
M : Type u_1
MulOneClass M
Pow M ℕ
NatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ
⊢ x ^ (m * n) = (x ^ n) ^ m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u v : Finset α
a b x : α
h : x ∉ s
t : Finset α
y : α
hy : y ∈ s ∧ y ∉ t
⊢ y ∈ s ∧ ¬y = x ∧ y ∉ t
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i
hi_min : ¬IsMin i
seq : ℕ → ι
h_tendsto : Tendsto seq atTop (𝓝 i)
h_bound : ∀ (j : ℕ), seq j < i
h_Ioi_eq_Union : Set.Iio i = ⋃ j, {k | k ≤ seq j}
h_lt_eq_preimage : {ω | τ ω < i} = τ ⁻¹' Set.Iio i
⊢ MeasurableSet (⋃ i, {a | τ a ≤ seq i})
α : Type u_2
l₁ l₂ : Filter α
⊢ 𝓝 l₁ ≤ 𝓝 l₂ ↔ l₁ ≤ l₂
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ Polynomial.map f (Polynomial.Chebyshev.U R n) = Polynomial.Chebyshev.U S n
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
m : M
a : b.toDual m = 0
⊢ b.toDual m = b.toDual 0
α : Type w
Finite α
X : α → Profinite
R : ↑(Profinite.finiteCoproduct X).toTop
⊢ ∃ a r, R = (Profinite.finiteCoproduct.ι X a) r
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
f g : α → β
comm_ff : (↑∅).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑∅).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑∅).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)
⊢ ∅.noncommProd (f * g) ⋯ = ∅.noncommProd f comm_ff * ∅.noncommProd g comm_gg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
TopologicalSpace α
ι' : Sort u_1
S : ι' → Set α
hS : ∀ (i : ι'), IsOpen (S i)
h : ∀ (i : ι'), TendstoLocallyUniformlyOn F f p (S i)
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p (⋃ i, S i)
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₂ ≡ b₂ [PMOD p] → (a₁ + a₂ ≡ b₁ + b₂ [PMOD p] ↔ a₁ ≡ b₁ [PMOD p])
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : List α
⊢ toList xs = xs
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty C
X Y : C
⊢ ∃ W x x, True
α : Type u
s t : Set α
⊢ Disjoint s tᶜ ↔ s ⊆ t
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
⊢ ⌊0⌋ = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h'f : 0 ≤ f
M : MeasurableSet (Set.Ioc 0 A)
⊢ ∫ (x : α), truncation f A x ^ n ∂μ = ∫ (y : ℝ) in 0 ..A, y ^ n ∂Measure.map f μ
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
q : Stmt Bool Λ' σ
v : σ
L' R' : ListBlank Bool
a : Bool
l₂ : List Bool
IH : ∀ (l₁ l₂' : List Bool), l₂'.length = l₂.length → stepAux (write l₂ q) v (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append l₂' R')) = stepAux q v (Tape.mk' (ListBlank.append (l₂.reverseAux l₁) L') R')
l₁ : List Bool
b : Bool
l₂' : List Bool
e : l₂'.length = l₂.length
⊢ stepAux (write (a :: l₂) q) v (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append (b :: l₂') R')) = stepAux (write l₂ q) v (Tape.mk' (ListBlank.append (a :: l₁) L') (ListBlank.append l₂' R'))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivWithinAt f f' s x
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : ι → α
g : α → Set β
⊢ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ (_ : f y = x), g x = ⋂ y, g (f y)
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℂ
a b : ℂ
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 b)
h : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => a ^ f x) l (𝓝 (a ^ b))
n : ℕ
⊢ ⊤ = Fin.last n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a b : α
z : ℤ
hz : a - b = ↑z
⊢ b + ↑z - fract b = ↑z + ↑⌊b⌋
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k m : ℕ
hm : n ≤ k + m
⊢ ∑ s : { s // s.card = m }, p.changeOriginSeriesTerm k m ↑s ⋯ = 0
R : Type u
Ring R
M N U : ModuleCat R
f : M ⟶ N
g : N ⟶ U
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.opOp C).obj X = Opposite.op (Opposite.op X)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
t : Set α
x : α
(𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
C : Type u_1
D : Type u_5
H : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} H
F : CategoryTheory.Functor C H
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
⊢ F.HasRightDerivedFunctor W ↔ L.HasLeftKanExtension F
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (β × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hf : MeasureTheory.Integrable f ρ
⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω), f x ∂ρ
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e e' : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
⊢ e.toEquiv = e'.toEquiv ↔ e = e'
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
⊢ a - -b = b + a
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
rs : List R
h : RingTheory.Sequence.IsRegular M rs
N : Submodule R M
⊢ Nontrivial (M ⧸ Ideal.ofList rs • N)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
se : SplitEpi f
F : C ⥤ D
⊢ F.map se.section_ ≫ F.map f = 𝟙 (F.obj Y)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
f : Filter α
g : Filter β
m : γ → β → δ
n : α → γ
⊢ Filter.map₂ m (Filter.map n f) g = Filter.map₂ (fun a b => m (n a) b) f g
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ φ P.disc = (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n✝ n : ℕ
ih : ∀ {m : Sym α n}, m ∈ s.sym n ↔ ∀ a ∈ m, a ∈ s
m : Sym α (n + 1)
⊢ m ∈ s.sym (n + 1) ↔ ∀ a ∈ m, a ∈ s
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
Fintype α
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_4
Semiring S
Module S M
SMulCommClass R S M
v : α → M
f : α → R
⊢ ((Fintype.total R S) v) f = ∑ i : α, f i • v i
n p : ℕ
⊢ (Finset.filter (fun x => p ∣ x) (Finset.Ioc 0 n)).card = n / p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
Y' : C
g : Y ⟶ Y'
CategoryTheory.Mono g
⊢ (F.compMono g).m = F.m ≫ g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel j i
⊢ HomologicalComplex.homotopyCofiber.inlX φ i j hij ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.fstX φ j i hij = 𝟙 (F.X i)
α : Type u_1
G : Type u_9
H : Type u_10
SubNegZeroMonoid G
SubNegZeroMonoid H
f : G → H
hf : f 0 = 0
hf' : ∀ (x y : G), f (x - y) = f x - f y
v₁ v₂ : α →₀ G
⊢ Finsupp.mapRange f hf (v₁ - v₂) = Finsupp.mapRange f hf v₁ - Finsupp.mapRange f hf v₂
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝¹ : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
⊢ Nonempty (IsColimit c')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s : Set E
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val ↔ ∀ x ∈ s, x ∉ (convexHull 𝕜) (s \ {x})
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
Preorder β
ψ : α → β
PredOrder α
IsPredArchimedean α
n : α
hψ : ∀ (m : α), n < m → ψ (Order.pred m) < ψ m
⊢ StrictMonoOn ψ (Set.Ici n)
a b : Int
Ha : 0 ≤ a
Hb : 0 ≤ b
⊢ a.fdiv b = a.div b
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
a : Sigma α
b : Sigma β
x : Sigma γ
h : a.fst ≠ x.fst
⊢ x ∉ Finset.sigmaLift f a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
⊢ Function.Injective CategoryTheory.CartesianClosed.uncurry
b : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
⊢ Set.InjOn (Real.logb b) (Set.Ioi 0)
M : Type u_1
DivisionMonoid M
a b c d : M
hbd : Commute b d
hb : IsUnit b
hd : IsUnit d
⊢ a / b = c / d ↔ a * d = c * b
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
a l : List (ι →₀ M)
hl : Quot.mk Setoid.r a = ↑l
hd : List.Pairwise (_root_.Disjoint on Finsupp.support) l
⊢ List.Pairwise (_root_.Disjoint on Finsupp.support) a
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
r : R
⊢ LinearMap.lTensor M (DistribMulAction.toLinearMap R N r) = DistribMulAction.toLinearMap R (TensorProduct R M N) r
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
s : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
⊢ BddBelow s → s.WellFoundedOn fun x x_1 => x < x_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
⊢ (s.append t).destruct = s.destruct.bind (destruct_append.aux t)
m n : PosNum
⊢ n.cmp m = Ordering.lt ↔ m.cmp n = Ordering.gt
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
⊢ ∀ᶠ (n₀ : ℕ) in atTop, ∃ c, ∀ n ≥ n₀, ‖T n‖ ≤ c * ‖(1 - ε ↑n) * asympBound g a b n‖
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
h2 : (map f p).degree = p.degree
h3 : (map f p).natDegree = p.natDegree
⊢ f p.leadingCoeff ≠ 0
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ha : AddLECancellable a
h : a + b ≤ c
⊢ b ≤ c - a
n : Type u_3
α : Type v
AddMonoid α
l : List (Matrix n n α)
⊢ l.sum.diag = (List.map Matrix.diag l).sum
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
s : Set α
FunLike F β α
InfHomClass F β α
hs : InfClosed s
f : F
⊢ InfClosed (⇑f ⁻¹' s)
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
⊢ finrank R M ≤ 1
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
MulOneClass M
MulOneClass N
CommMonoid P
f : M →* N
y : N →* P
x : M
⊢ (f.compHom' y) x = y (f x)
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f g : β → α
hs : ∃ x ∈ s, f x ≠ 0
hg : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
⊢ s.gcd g = 1
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B✝ : Set (Set α)
s : Set α
B : Set (Set α)
hB : IsTopologicalBasis B
u : Set α
ou : IsOpen u
⊢ u = ⋃ i, ↑i
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
m n k : α
H : k ∣ n * m
⊢ k ∣ gcd k n * m
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : Integrable f μ
⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → (μ.restrict s) s_1 < ⊤ → ∫ (x : α) in s_1, (μ[f|m]) x ∂μ.restrict s = ∫ (x : α) in s_1, 0 x ∂μ.restrict s
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
i : ι
b : β i
⊢ DFinsupp.support ((DirectSum.of β i) b) ⊆ {i}
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
p : Sort u
f : M → ↥S → p
H : ∀ {a c : M} {b d : ↥S}, (AddLocalization.r S) (a, b) (c, d) → f a b = f c d
a : M
b : ↥S
⊢ (AddLocalization.mk a b).liftOn f H = f a b
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
Fact (1 ≤ p)
⊢ (BoundedContinuousFunction.toLpHom p μ).range = MeasureTheory.Lp.boundedContinuousFunction E p μ
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D)ᵀ = Matrix.fromBlocks Aᵀ Cᵀ Bᵀ Dᵀ
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
s : Subring R
t : Subring S
⊢ s.prod ⊥ ⊔ ⊥.prod t = s.prod t
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
t : Set α
a b x✝ x : α
h : {x}.Subsingleton
⊢ maximals r {x} = {x}
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
b : β
⊢ Set.image2 f s (insert b t) = (fun a => f a b) '' s ∪ Set.image2 f s t
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, infEdist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infEdist x s ≤ r
⊢ (∀ i ∈ s, infEdist i t ≤ r) ∧ ∀ i ∈ t, infEdist i s ≤ r
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ f y < ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
ι : Sort u_2
U : ι → Set α
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hcover : K ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, ∀ x ∈ K, ∃ i, ball x V ⊆ U i
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
ι : Sort u_2
u : ι → UniformSpace α
a : α
⊢ 𝓝 a = 𝓝 a
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (map (Int.castRingHom R) (cyclotomic n ℤ)).degree = ↑n.totient
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
r : M
s : Set α
f : α → M
⊢ r ∈ Set.range (s.mulIndicator f) ↔ r = 1 ∧ s ≠ Set.univ ∨ r ∈ f '' s
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²³ : Semifield R
inst✝²² : StarRing R
inst✝²¹ : MetricSpace R
inst✝²⁰ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁹ : ContinuousStar R
inst✝¹⁸ : Semifield S
inst✝¹⁷ : StarRing S
inst✝¹⁶ : MetricSpace S
inst✝¹⁵ : TopologicalSemiring S
inst✝¹⁴ : ContinuousStar S
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : Ring A
inst✝¹¹ : StarRing A
inst✝¹⁰ : Algebra S A
inst✝⁹ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R S A
inst✝⁵ : StarModule R S
inst✝⁴ : ContinuousSMul R S
inst✝³ : CompleteSpace R
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
a : A
hpa : p a
hqa : q a
h : SpectrumRestricts a ⇑f
inst✝ : CompactSpace ↑(spectrum S a)
⊢ Continuous ⇑(starAlgHom (cfcHom hqa) h)
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
e : Matrix n n R ≃ₗ[R] Matrix (Fin (Fintype.card n)) (Fin (Fintype.card n)) R := reindexLinearEquiv R R (Fintype.equivFin n) (Fintype.equivFin n)
⊢ eval 0 (derivative ((reindexLinearEquiv R[X] R[X] (Fintype.equivFin n) (Fintype.equivFin n)) (1 + X • M.map ⇑C)).det) = M.trace
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ a ∈ symmDiff s t ↔ a ∈ s ∧ a ∉ t ∨ a ∈ t ∧ a ∉ s
α : Type u
Zero α
LE α
a : α
⊢ 0 ≤ ↑a ↔ 0 ≤ a
α : Type u_2
Semigroup α
DecidableEq α
a : α
s t : Finset α
⊢ MulOpposite.op a • s * t = s * a • t
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ Codisjoint a a ↔ a = ⊤
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ P (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P (g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' s) (↑e' x)
k : Type u
Field k
G : Type u
Group G
Fintype G
Invertible ↑(Fintype.card G)
V : FDRep k G
⊢ ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ g : G, V.character g = ↑(FiniteDimensional.finrank k ↥(Representation.invariants V.ρ))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => -f y) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
a : SignType
⊢ a = -a ↔ a = 0
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑x
⊢ ∫ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫ (b : AddCircle T), f b
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : K' ⟶ L'
e : Arrow.mk φ ≅ Arrow.mk φ'
inst✝³ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝² : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), K'.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), L'.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ
⊢ QuasiIso φ'
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddGroup R
x : HahnSeries Γ R
a : Γ
⊢ (-x).coeff a = -x.coeff a
α : Type u_1
Inv α
a : αˢʸᵐ
⊢ SymAlg.unsym a⁻¹ = (SymAlg.unsym a)⁻¹
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Add α
⊢ (AddEquiv.refl α).mapMatrix = AddEquiv.refl (Matrix m n α)
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
τ : Ω → ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
AddCommMonoid E
n : ι
⊢ MeasureTheory.stoppedProcess u τ n = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.Iio n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
m n : ℕ
eq : n = m
i : Fin n
⊢ (Fin.castOrderIso eq) i = Fin.cast eq i
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
h : a ∈ s
⊢ (insert a s).ncard = s.ncard
R : Type u_1
LinearOrder R
OrderTop R
s : Multiset R
⊢ Tropical.trop s.inf = (Multiset.map Tropical.trop s).sum
p : ℕ
R✝ : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R✝
n : ℕ
R : Type u_2
_Rcr : CommRing R
x : 𝕎 R
k : ℕ
⊢ (x * ↑n).coeff k = (aeval x.coeff) (wittMulN p n k)