ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
⊢ ∃ a, cs.wordProd a = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s ⊆ t ∪ uᶜ ↔ s ∩ u ⊆ t
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
Inhabited I
l : Profinite.NobelingProof.Products I
o : Ordinal.{u}
h :
  Profinite.NobelingProof.Products.isGood (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o) l
hn : ↑l ≠ []
⊢ Profinite.NobelingProof.ord I (↑l).head! < o
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B✝ B : ℝ
hB : B ≤ 0
⊢ volume (convexBodySum K B) = 0
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
s : Finset Y
f : Y → Set X
h : ∀ i ∈ s, IsClopen (f i)
⊢ IsClopen (⋃ i ∈ s, f i)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
BoundedOrder α
BoundedOrder β
BoundedOrder γ
f : BoundedLatticeHom β γ
g : BoundedLatticeHom α β
⊢ { toFun := ⇑f ∘ ⇑g, map_inf' := ⋯ } = { toFun := ⇑f, map_inf' := ⋯ }.comp { toFun := ⇑g, map_inf' := ⋯ }
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
v : Fin n → α
x✝ : Fin n
⊢ vecAppend ⋯ ![] v x✝ = v x✝
M : Type u_5
F : Type u_6
Group M
FunLike F M M
MonoidHomClass F M M
f : F
n : ℕ
x : M
⊢ (⇑f)^[n] x⁻¹ = ((⇑f)^[n] x)⁻¹
α : Type u_3
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
⊢ 𝓝 = pure
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
H₁ : Embedding ⇑i₁
H₂ : Embedding ⇑i₂
i₃ : S ⟶ T
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
⊢ Embedding ⇑(pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂)
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source
y : X
hy : ↑e.symm (↑e y) = y
⊢ p (↑e.symm (↑e y)) ↔ p y
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ ↑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ↑(f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
⊢ Measurable fun a => (hf.stieltjesFunction a).measure
G : Type u_1
⊢ Function.Injective (@Group.toDivInvMonoid G)
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝² : HasProducts A
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
Y : C
f : Y ⟶ U
hf : R f
Z : C
g : Z ⟶ U
hg : R g
⊢ P.map f.op ≫ P.map (pullback.fst f g).op = P.map g.op ≫ P.map (pullback.snd f g).op
s : String
c : Char
⊢ s.revPosOfAux c = s.revFindAux fun x => x == c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ 0 < ⌈a⌉ ↔ 0 < a
V : Type u
Quiver V
V' : Type u'
CategoryTheory.Groupoid V'
φ : V ⥤q V'
Φ : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.FreeGroupoid V) V'
hΦ : CategoryTheory.Groupoid.Free.of V ⋙q Φ.toPrefunctor = φ
⊢ Φ = CategoryTheory.Groupoid.Free.lift φ
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁.ndunion s₂).lcm = GCDMonoid.lcm s₁.lcm s₂.lcm
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
DecidableEq α
Fintype α
h : f.IsCycle
⊢ 2 ≤ f.support.card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
hb : (1 / 2) • a + (1 / 2) • c ∈ frontier s
habc : a + c = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c + ((1 / 2) • a + (1 / 2) • c)
this : a = c
⊢ a = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : Tendsto ε l (𝓝[≠] 0)
S : Set E
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
x y : G
⊢ map₂ (fun a b => x * a * (b * y)) (𝓝 1) (𝓝 1) = 𝓝 x * 𝓝 y
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
⊢ Gamma =ᶠ[𝓝 s] GammaAux n
ι : Sort u_1
M : Type u_2
AddZeroClass M
S : ι → AddSubmonoid Mᵃᵒᵖ
⊢ (iInf S).unop = ⨅ i, (S i).unop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
⊢ c * ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
K : Type u_1
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ 0 ≤ (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
hf₁ : 0 ≤ f₁
hf₂ : StrongLT 0 f₂
h₁ : Antivary f₁ g
h₂ : Monovary f₂ g
⊢ Antivary (f₁ / f₂) g
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
h : s ∈ 𝓝[t] a
⊢ 𝓝[s ∩ t] a = 𝓝[t] a
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : CommMonoid α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
f✝ g : β✝ → α✝
a✝ b✝ : α✝
s : Finset β✝
inst✝⁵ : ContinuousMul α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a : α
hf : HasProd f a
b : β
a' : α
hf' : HasProd (fun n => if n = b then 1 else f n) a'
⊢ a = a' * f b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X₁ X₂ : CategoryTheory.Dial C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₁) (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X₁ X₂)
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →A[R] B
c : R
x : A
⊢ f (c • x) = c • f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Mul G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
g h : G
⊢ (smoothLeftMul I g) h = g * h
α : Type u_1
LinearOrder α
⊢ Function.Injective Set.Iio
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p
⊢ p - 1 ≤ Fintype.card (ZMod p)ˣ
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
k : ℕ
ζ ξ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hξ : ξ ^ k = 1
h0 : 0 < k
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ξ
x : UInt16
⊢ x.toNat < 2 ^ 16
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
D : ℕ
P : D ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime D
hxr : m * ↑D ^ n = N ^ n
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } = ↑y
c1 : ↑↑D ≠ 0
c2 : ↑↑D ^ n ≠ 0
hdivn : ↑D ^ n ∣ N ^ n
⊢ False
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
a₁ a₂ : α
b₁ : β a₁
b₂ : β a₂
⊢ ⟨a₁, b₁⟩ = ⟨a₂, b₂⟩ ↔ a₁ = a₂ ∧ HEq b₁ b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
x : α
hg : ContinuousWithinAt g t (f x)
hf : ContinuousWithinAt f s x
h : Set.MapsTo f s t
⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ f) s x
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
⊢ c₁₂.Rel (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)) (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁', i₂))
α : Type u_1
DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
s : Multiset α
⊢ Finsupp.toMultiset f = s ↔ f = Multiset.toFinsupp s
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X
r : ℝ≥0∞
h : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, dimH t ≤ r
⊢ dimH s ≤ r
α : Type u
Infinite α
⊢ Nonempty (Field α)
n : Nat
⊢ -↑n.succ = Int.negSucc n
a b : ℕ
⊢ (range ⇑castOrderEmbedding).OrdConnected
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c : 𝕜 → 𝕜'
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
d : 𝕜'
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => c x / d) x
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
I : Ideal C(X, R)
x : X
⊢ x ∈ setOfIdeal I ↔ ∃ f ∈ I, f x ≠ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁷ : Semifield R
inst✝²⁶ : StarRing R
inst✝²⁵ : MetricSpace R
inst✝²⁴ : TopologicalSemiring R
inst✝²³ : ContinuousStar R
inst✝²² : Field S
inst✝²¹ : StarRing S
inst✝²⁰ : MetricSpace S
inst✝¹⁹ : TopologicalRing S
inst✝¹⁸ : ContinuousStar S
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁶ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁵ : StarRing A
inst✝¹⁴ : Module S A
inst✝¹³ : IsScalarTower S A A
inst✝¹² : SMulCommClass S A A
inst✝¹¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : IsScalarTower R S A
inst✝⁷ : StarModule R S
inst✝⁶ : ContinuousSMul R S
inst✝⁵ : CompleteSpace R
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝¹ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
a : A
hpa : p a
hqa : q a
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
inst✝ : CompactSpace ↑(σₙ S a)
⊢ (nonUnitalStarAlgHom (cfcₙHom hqa) h) { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
h : Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) univ) atTop (𝓝 (ρ.fst univ))
h0 : Tendsto ENNReal.toReal (𝓝 (ρ.fst univ)) (𝓝 (ρ.fst univ).toReal)
⊢ Tendsto (fun m => ((ρ.IicSnd ↑(s m)) univ).toReal) atTop (𝓝 (ρ.fst univ).toReal)
α : Type u_2
TopologicalSpace α
ι : Sort u_5
s : ι → TopologicalSpace.Opens α
⊢ ⨆ i, s i = { carrier := ⋃ i, ↑(s i), is_open' := ⋯ }
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
φ : K →+* ℂ
hx : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))
⊢ ∀ x ∈ Set.range ⇑(canonicalEmbedding K), (starRingEnd ℂ) (x φ) = x (ComplexEmbedding.conjugate φ)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
⊢ b ⊔ c \ a = c
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : Summable fun i => ‖u (f (i + 1)) - u (f i)‖
v : ℕ → E := fun n => u (f (n + 1)) - u (f n)
hv_sum : (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) = fun n => u (f n) - u (f 0)
a : E
ha : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) atTop (𝓝 a)
⊢ Tendsto (u ∘ f) atTop (𝓝 (a + u (f 0)))
α : Type u
p : α → Prop
f : Equiv.Perm α
hf : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
n : ℤ
x : α
⊢ p x ↔ p ((f ^ n) x)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
ι : Sort u_7
S : ι → Set X
H : ∀ (i : ι), StableUnderSpecialization (S i)
⊢ StableUnderSpecialization (⋂ i, S i)
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
x' : ↥f.domain
h : ↑x' = x ∧ ↑f x' = y
⊢ ↑x' ∈ f.domain
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
z : α × β
i : ℕ
⊢ (l₁.zip l₂).get? i = some z ↔ l₁.get? i = some z.1 ∧ l₂.get? i = some z.2
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
h_eval₂_qpp' : ((aeval f) q * (aeval f) (p * p')) v = 0
h_eval₂_pqq' : ((aeval f) p * (aeval f) (q * q')) v = 0
⊢ ((aeval f) (p' * p)) v + ((aeval f) (q' * q)) v = v
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
TopologicalSpace M
S : Submodule R M
TopologicalAddGroup M
⊢ IsOpenMap ⇑S.mkQ
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Set α
⊢ (s.Nonempty ∧ ∀ (b : Set α), b ≠ ∅ → b ≤ s → s ≤ b) → ∃ x, s = {x}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
W : C
inl : Y ⟶ W
inr : Z ⟶ W
eq : f ≫ inl = g ≫ inr
⊢ (CategoryTheory.Limits.PushoutCocone.mk inl inr eq).inl = inl
a b : Cardinal.{u_1}
hb : ℵ₀ ≤ b
ha : a ≤ b
⊢ a + b = b
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
⊢ (u, v) ∈ P.nonUniforms G ε ↔ u ∈ P.parts ∧ v ∈ P.parts ∧ u ≠ v ∧ ¬G.IsUniform ε u v
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝² : AddCommGroup β✝
f✝ : α✝ → β✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup β
inst✝ : AddCommGroup γ
a : FreeAbelianGroup α
f : α → β
g : β →+ γ
⊢ ∀ (x : α), (g.comp (lift f)) (of x) = (⇑g ∘ f) x
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
⊢ ∀ {x y : α}, x ⊓ y ∈ J → x ∈ J ∨ y ∈ J
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
h : OnePoint.infty ∈ s
⊢ IsOpen s ↔ IsClosed (OnePoint.some ⁻¹' s)ᶜ ∧ IsCompact (OnePoint.some ⁻¹' s)ᶜ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ WittVector.wittAdd p 0 = MvPolynomial.X (0, 0) + MvPolynomial.X (1, 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a b : α
s : Sym α 1
l l' : { x // x.length = 1 }
⊢ Setoid.r l l' ↔ Setoid.r ↑l ↑l'
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
P : Type u₃
CommSemiring P
CharP P p
PerfectRing P p
π : P →+* R
m : PerfectionMap p π
⊢ π.comp ↑m.equiv.symm = Perfection.coeff R p 0
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
x : R
H : x ∈ ↑⊤.annihilator
hx : x ∈ ↑(nonZeroDivisors R)
⊢ ∃ x ∈ ⊤.annihilator, x ≠ 0
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b : ℝ≥0
h0 : ↑b ≠ 0 ∨ c ≠ 0
ht : ↑b ≠ ⊤ ∨ c ≠ ⊤
⊢ a ≤ c / ↑b ↔ a * ↑b ≤ c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.δ i.castSucc ≫ X.σ i = 𝟙 (X.obj (SimplexCategory.mk n))
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s t : Multiset α
ht : s = map (fun x => s.gcd * x) t
hs : s.gcd = 0
⊢ ∀ x ∈ s, x = 0
α : Type u_1
One α
⊢ 1 = Set.up 1
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
C : CoprodI M → Prop
m : CoprodI M
h_one : C 1
h_of : ∀ (i : ι) (m : M i), C (of m)
h_mul : ∀ (x y : CoprodI M), C x → C y → C (x * y)
⊢ C m
α : Type u
β : Type v
a✝ b✝ : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)
IJ : I ≤ J
xJ : x ∈ J
left✝ : 1 ∉ I
oJ : 1 ∈ J
a b : α
h : b ∈ Submodule.span α ↑I
oe : 1 = a • x + b
F : y * 1 = y * (a • x + b)
⊢ b ∈ I
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : IsOpenMap f
hfc : Continuous f
s : Set Y
⊢ f ⁻¹' frontier s = frontier (f ⁻¹' s)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
a : (MvQPF.P F).A
f' : ((MvQPF.P F).drop.B a).Arrow α
f : (MvQPF.P F).last.B a → (MvQPF.P F).W α
⊢ MvQPF.Fix.mk (MvQPF.abs ⟨a, (MvQPF.P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦(MvQPF.P F).wMk a f' f⟧
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
⊢ Splits φ P.toPoly ↔ card (map φ P).roots = 3
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
⊢ generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
α : Type u_1
DecidableEq α
f g : α →₀ ℕ
⊢ Finsupp.toMultiset (f ⊔ g) = Finsupp.toMultiset f ∪ Finsupp.toMultiset g
a b : ℝ
n✝ m n : ℕ
hc : Continuous fun u => u ^ n * (1 - u ^ 2) ^ m
⊢ ∫ (x : ℝ) in b..a, (sin x * sin x) ^ m * sin x * cos x ^ n = ∫ (x : ℝ) in b..a, (1 - cos x * cos x) ^ m * sin x * cos x ^ n
J : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
⊢ CategoryTheory.Limits.colimitConstInitial.inv =
  CategoryTheory.Limits.initial.to (CategoryTheory.Limits.colimit ((CategoryTheory.Functor.const J).obj (⊥_ C)))
a : ℝ≥0∞
b : ℝ
ha : a ≠ ⊤
hb : 0 ≤ b
⊢ a ≤ ENNReal.ofReal b ↔ a.toReal ≤ b
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : ↑(xn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).re + ↑(Pell.d a1) * (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).im
im_eq✝ : ↑(yn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).im + (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).re
⊢ xn a1 (m + n) = xn a1 m * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 m * yn a1 n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
S : Finset ι
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑(⨅ a ∈ S, Ideal.span {q a})
x✝ : { x // x ∈ S }
⊢ torsionBy R M (q ↑x✝) = torsionBySet R M ↑(Ideal.span {q ↑x✝})
⊢ ADEInequality.Admissible (ADEInequality.E' 3)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
r : ℝ
⊢ ‖(canonicalEmbedding K) x‖ ≤ r ↔ ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ x‖ ≤ r
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hy : 0 < y
⊢ x ≤ Real.logb b y ↔ y ≤ b ^ x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
⊢ ⟪x, x⟫_ℝ = ‖x‖ ^ 2
x y : PSet
⊢ x.Equiv y → Acc (fun x x_1 => x ∈ x_1) y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εa : α
εa0 : εa > 0
ia : ℕ
ha : ∀ j ≥ ia, εa ≤ ↑(c - a) j
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(c - b) j
i : ℕ
hi : i ≥ ia ⊔ ib
this : min εa εb ≤ min (↑(c - a) i) (↑(c - b) i)
⊢ εa ⊓ εb ≤ ↑(c - a ⊔ b) i
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfgne : padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
⊢ padicNorm p (↑(f + g) (stationaryPoint hfg)) = max (padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))) (padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)))
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
F G : C ⥤ₗ D
α : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.AdditiveFunctor.ofLeftExact C D).map α = α
X : Type u_1
n : Type u_5
R : Type u_8
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
DecidableEq n
f : X → n → R
a : n → R
hf : HasSum f a
⊢ HasSum (fun x => Matrix.diagonal (f x)) (Matrix.diagonal a)
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
f g : Perm α
n : ℕ
e : α ≃ Fin n
l : List α
hs : ∀ (x : α), x ∈ ⟦l⟧
⊢ (f * g).signAux3 hs = f.signAux3 hs * g.signAux3 hs ∧ Pairwise fun x y => (swap x y).signAux3 hs = -1
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
γ : (a : α) → β a → Sort u_3
p q : (a : α) → (b : β a) → γ a b → Prop
h : ∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b), p a b c → q a b c
⊢ (∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b), p a b c) → ∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b), q a b c
M : Type u_1
Mul M
c d : Con M
⊢ ⇑c = ⇑d ↔ c = d
b : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < b, ∀ ⦃a : Ordinal.{u_1}⦄, a < k → beth a < beth k
a : Ordinal.{u_1}
⊢ a < b → beth a < beth b
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn f (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f 0 (Ici x) x
this : ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ 0 * (x - a)
⊢ ∀ x ∈ Icc a b, f x = f a
m n : Nat
H1 : m ∣ n
H2 : 0 < n
⊢ 0 < m
m : Nat
n k : Nat
H : 0 < m
⊢ m * n / (m * k) = n / k
α : Type u_1
β : Type u_2
sz : Nat
Hashable α
buckets : Batteries.HashMap.Imp.Buckets α β
⊢ (Batteries.HashMap.Imp.expand sz buckets).buckets.size = buckets.size
α : Type u
s t : Set α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
⊢ (s ∪ t).Finite
n k : ℕ
⊢ (n - k) ^ k ≤ n.descFactorial k
d : ℤ
n : ℤ
⊢ ↑n = { re := n, im := 0 }
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set α
h : Disjoint (f '' s) (f '' t)
⊢ Disjoint s t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
CompleteSpace α
f : β × γ → α
h : Summable f
b : β
⊢ Summable fun c => f (b, c)
a✝¹ a✝ : ℝ
h1 : ↑a✝¹ ≠ ⊥ ∨ ↑a✝ ≠ ⊤
h2 : ↑a✝¹ ≠ ⊤ ∨ ↑a✝ ≠ ⊥
⊢ -(↑a✝¹ + ↑a✝) = -↑a✝¹ - ↑a✝
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X
ht : IsCompact t
hf : Disjoint f (cocompact X)
K : Set X
hKf : K ∈ f
hK : IsCompact K
⊢ f ×ˢ 𝓝ˢ t ≤ 𝓝ˢ (univ ×ˢ t)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
c1 c2 : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
hdeg : c1.deg = c2.deg
hnum : ↑c1.num = ↑c2.num
hden : ↑c1.den = ↑c2.den
⊢ c1 = c2
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
c : E
⊢ MeasureTheory.indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c =
  MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c + MeasureTheory.indicatorConstLp p ht hμt c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x y : E
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : b < a
⊢ f.measure (Icc a b) = ofReal (↑f b - leftLim (↑f) a)
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
⊢ diam univ = diam (range inl ∪ range inr)