ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁶ : ContinuousAdd 𝕜
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : T2Space 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
⊢ IsClosed (⋂ i, ⋂ i_1, {x | x (i * i_1) = x i * x i_1})
a b c : ℕ
⊢ Nat.multinomial Finset.univ ![a, b, c] = (a + b + c)! / (a ! * b ! * c !)
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
hI : I.IsPrime
x y : α
h : x * y = 0
⊢ x ∈ I ∨ y ∈ I
R : Type u_2
CommSemiring R
r : R
⊢ LaurentPolynomial.C r = (algebraMap R R[T;T⁻¹]) r
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
Fintype n'
Fintype m'
DecidableEq n'
DecidableEq m'
c₁ : Basis n' R M₁
c₂ : Basis m' R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
⊢ (b₁.toMatrix ⇑c₁)ᵀ * (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂) B * b₂.toMatrix ⇑c₂ = (LinearMap.toMatrix₂ c₁ c₂) B
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
H : IsRelPrime (x * y) z
⊢ IsRelPrime x z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β
⊢ c ≥ fold max b f s ↔ b ≤ c ∧ ∀ x ∈ s, f x ≤ c
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this : Module.rank K (ℕ → K) < #K
⊢ False
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
h : RingHom.ker f ≤ I
this : ∀ J ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}, RingHom.ker f ≤ J
⊢ {J | map f I ≤ J ∧ J.IsPrime} = map f '' {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
⊢ interior (s ×ˢ t) = interior s ×ˢ interior t
a b c d m n : ℤ
hb : 0 < b
⊢ 0 ≤ a * b ↔ 0 ≤ a
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute b a
⊢ ⅟b * a = ⅟b * (a * b * ⅟b)
α : Type u
a y : α
l : List α
⊢ (a ∈ y :: l) = (a = y ∨ a ∈ l)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
f g : P →ᵃⁱ[𝕜] P
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f ∘ ⇑g
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) MeasureTheory.volume
hb : ContinuousAt f a
⊢ deriv (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) a = -f a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).sublists'.length = 2 ^ (a :: l).length
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
h_one : ∀ {a b : G}, a ∈ s → b ∈ s → a + b ∈ s
h_mul : s 0
h_inv :
  ∀ {x : G},
    x ∈ { carrier := s, add_mem' := h_one, zero_mem' := h_mul }.carrier →
      -x ∈ { carrier := s, add_mem' := h_one, zero_mem' := h_mul }.carrier
⊢ ↑{ carrier := s, add_mem' := h_one, zero_mem' := h_mul, neg_mem' := h_inv } = s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a✝ a : M
l : List M
⊢ (a :: l).prod = foldr (fun x x_1 => x * x_1) 1 (a :: l)
α : Type u_1
PartialOrder α
BoundedOrder α
a b : αᵒᵈ
h : IsCompl a b
⊢ IsCompl (OrderDual.ofDual a) (OrderDual.ofDual b)
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x : F
⊢ ⟪x, 0⟫_𝕜 = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
⊢ r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • a • x ∈ s ↔ ∃ y, (y ∈ Ioi 0 ∧ y⁻¹ • x ∈ s) ∧ a • y = r
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
⊢ p.primPart.IsPrimitive
α β : Type u
f : Type u → Type v
Functor f
LawfulFunctor f
h : α ≃ β
x : f α
⊢ (Functor.mapEquiv f h) x = ⇑h <$> x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
t : α → Set β
⊢ ⋃ x ∈ ⋃ i, s i, t x = ⋃ i, ⋃ x ∈ s i, t x
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
ι : Sort ?u.161801
inst✝² : _root_.Finite ι
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
this : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance
f : ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) →ₗ[R] ↥(LinearMap.ker l) := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype = (LinearMap.ker l).subtype ∘ₗ f
⊢ (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val)).FG
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
z₁ : ↥f.domain
z₂ : ↥(f.sup g h).domain
hz : ↑z₁ = ↑z₂
⊢ ↑z₁ + ↑0 = ↑z₂
z : ℍ
n : ℤ
⊢ ModularGroup.T ^ n • z = ↑n +ᵥ z
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
r : R
i : σ
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.C r * MvPolynomial.X i ^ n).IsHomogeneous n
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Finset α
a b : α
DecidableEq α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := s.erase b } ↔ b ≤ a
α : Type u
p : α → Prop
PartialOrder α
OrderBot α
OrderBot (Subtype p)
hbot : p ⊥
⊢ ⟨⊥, hbot⟩ = ⊥
a b : ENNReal
⊢ a⁻¹ < b⁻¹ ↔ b < a
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
ha : 0 < a
x : α
⊢ (RelIso.symm (OrderIso.mulRight₀ a ha)) x = x * a⁻¹
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
n : ℕ
⊢ Nat.find h ≤ n ↔ ∃ m, m ≤ n ∧ p m
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝ : PseudoMetrizableSpace X
s : Set X
hs : IsSeparable s
this : PseudoMetricSpace X := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric X
⊢ SecondCountableTopology ↑s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h'f : 0 ≤ f
M : MeasurableSet (Set.Ioc 0 A)
M' : MeasurableSet (Set.Ioc A 0)
⊢ ∫ (x : α), ((Set.Ioc 0 A).indicator id ∘ f) x ^ n ∂μ = ∫ (y : ℝ) in 0 ..A, y ^ n ∂Measure.map f μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ (eval r) (p • q) = Polynomial.eval r p • (eval r) q
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ i, (p i) x ≠ 0
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
s : Set E
x : E
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x s)
hs : Convex ℝ s
K : ℝ≥0
f' : E → E →L[ℝ] F := fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 ℝ E F) (p y 1)
hder : ∀ y ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y
hcont : ContinuousWithinAt f' s x
hK : ‖f' x‖₊ < K
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ derivative (nodal s v) = ∑ i ∈ s, nodal (s.erase i) v
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖ε x‖ ≤ c * ‖1‖
x : ℝ
a✝ : ‖ε x‖ ≤ 1 / 2 * ‖1‖
hx' : 1 < x
this : 0 < log x
⊢ 0 < 1 + ε x
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
e : M ≃* N
⊢ Function.Bijective ⇑e
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
n : ℕ
p : ℝ
hn : n ≠ 0
⊢ ↑n ≤ ENNReal.ofReal p ↔ ↑n ≤ p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b
⊢ ∀ b_1 ∈ Iio b, b_1 ≠ a → ⟪gramSchmidt 𝕜 f b_1, f b⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f b_1‖ ^ 2) * ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f b_1⟫_𝕜 = 0
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hf : MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
l : Filter ι
s : ι → Set α
hs : Filter.Tendsto (⇑μ ∘ s) l (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ) l (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
hf : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω)
ρ' : Measure (α × ℝ) := Measure.map (Prod.map id f) ρ
hρ'def : ρ' = Measure.map (Prod.map id f) ρ
hρ' : ρ'.fst = ρ.fst
hρ'' : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ.map f ⋯) x = ρ'.condKernel x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, ∀ (s : Set ℝ), MeasurableSet s → (ρ'.condKernel x) s = (ρ.condKernel x) (f ⁻¹' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
X₀ : C
f : X₀ ⟶ X.obj (SimplexCategory.mk 0)
w : ∀ (i : SimplexCategory) (g₁ g₂ : SimplexCategory.mk 0 ⟶ i), f ≫ X.map g₁ = f ≫ X.map g₂
i : SimplexCategory
⊢ (X.augment X₀ f w).hom.app i = f ≫ X.map ((SimplexCategory.mk 0).const i 0)
α : Type u_1
l : List α
x : Multiset α × Multiset α
h : ∃ a b, (a, b) ∈ l.sublists.revzip ∧ (↑a, ↑b) = x
⊢ x.1 + x.2 = ↑l
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
x : G
hx : x ∈ upperCentralSeries G n
y : G
⊢ x * (y * x⁻¹ * y⁻¹) ∈ (upperCentralSeriesAux G n).fst
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
⊢ image2 f s t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
G G' : CategoryTheory.Functor C D
iso₁ : e.functor ≅ G
iso₂ : G ≅ G'
⊢ (e.changeFunctor iso₁).changeFunctor iso₂ = e.changeFunctor (iso₁ ≪≫ iso₂)
α : Type u_1
BEq α
a b : α
l : List α
h : (!List.elem a l) = true
⊢ l.replace a b = l
a b : Nat
⊢ ¬b > a → b ≤ a
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
h' : ∀ (x : α), l ≠ [x]
⊢ {x | l.formPerm x ≠ x} = ↑l.toFinset
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
⊢ (λ_ X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom = (ρ_ X).inv
α : Type u_1
M : Type u_2
AddMonoidWithOne M
CharZero M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Function.support ↑n = Set.univ
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r : β
⊢ Convex 𝕜 (Set.Iic r)
⊢ closure (range fun x => x * x) = nonneg ℚ
α : Type u
f : Filter α
p : α → Prop
q : Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in f, p x → q) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) → q
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
TopologicalSpace α
h : TendstoUniformly F f p
hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, Continuous (F n)
p.NeBot
⊢ Continuous f
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
A : Subalgebra R S
a : ↥A
⊢ A.rTensorBot.symm a = a ⊗ₜ[R] 1
G : Type u
AddMonoid G
g : G
⊢ addOrderOf g ∣ AddMonoid.exponent G
R S : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
H : LocalizationPreserves P
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
hf : P f
this : IsLocalization (Submonoid.map f (Submonoid.powers r)) S'
⊢ P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)
n : ℕ
⊢ map (fun i => (i, n + 1 - i)) (range n) ++ [(n, 1), (n + 1, 0)] = map (Prod.map id succ ∘ fun i => (i, n - i)) (range n) ++ [Prod.map id succ (n, 0), (n + 1, 0)]
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
a : α
b : β
⊢ {a} +ᵥ {b} = {a +ᵥ b}
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : DecidableEq L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsFractionRing R K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
⊢ I ∈ (toPrincipalIdeal R K).range ↔ ∃ x, spanSingleton R⁰ x = ↑I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasKernel S.g
CategoryTheory.Limits.HasCokernel (CategoryTheory.Limits.kernel.lift S.g S.f ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofHasKernelOfHasCokernel S).K = CategoryTheory.Limits.kernel S.g
α : Type u
β : α → Type v
γ : Type (max u v)
hκ : (sum fun a => lift.{v, max v u} #γ ^ lift.{max u v, v} #(β a)) ≤ #γ
⊢ #(WType β) ≤ #γ
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ (a + b) / c = a / c + b / c
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ H.toLieSubmodule ≤ rootSpace H 0
n : ℤ
⊢ Odd n → 2 * (n / 2) + 1 = n
M : Type u_2
MonoidWithZero M
NoZeroDivisors M
a : M
ha : a ≠ 0
⊢ Submonoid.powers a ≤ M⁰
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x y : K
h : x = y
⊢ y = mk' K (num A x) (den A x)
R : Type u_1
CommRing R
d : DualNumber (Quaternion R)
⊢ TrivSqZeroExt.snd (Quaternion.dualNumberEquiv.symm d).re = (TrivSqZeroExt.snd d).re
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
mB : ℝ → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun t => of ![![t, -↑1], Int.cast ∘ cd]
hmB : Continuous mB
f₁ : SL(2, ℤ) → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun g => (↑g).map Int.cast
⊢ Tendsto (mB ∘ fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
X : AlgebraicGeometry.Scheme
self : X.OpenCover
x : self.J
⊢ AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion (self.map x)
ι : Sort u_1
M : Type u_2
MulOneClass M
S : ι → Submonoid Mᵐᵒᵖ
⊢ (iInf S).unop = ⨅ i, (S i).unop
z : ℝ
x✝¹ x✝ : ℝ≥0
hz : z < 0 ∨ 0 < z
hx0 : ¬x✝¹ = 0
hy0 : ¬x✝ = 0
hxy : x✝¹ ≤ x✝
⊢ ↑(x✝¹ ^ z * x✝ ^ z) = ↑x✝¹ ^ z * ↑x✝ ^ z
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hm : m ≠ 0
hunion : (equitabilise h).parts = filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts ∪ filter (fun u => u.card = m + 1) (equitabilise h).parts
⊢ Disjoint (fun u => u.card = m) fun u => u.card = m + 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Group G
LieGroup I G
⊢ Smooth I I fun x => x⁻¹
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ x ∈ closure s ↔ 𝓝 x ⊓ 𝓟 s ≠ ⊥
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.nfpFamily f a = Ordinal.sup (List.foldr f a)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddMonoid M
f : AddMonoidAlgebra R M
⊢ f ∈ Algebra.adjoin R (AddMonoidAlgebra.of' R M '' ↑f.support)
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)
⊢ (coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (F.map f ≫ coconeMorphism F j') x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ≠ p
hp₂ : p₂ ≠ p
hp₃ : p₃ ≠ p
⊢ ∡ p₁ p p₃ - ∡ p₁ p p₂ = ∡ p₂ p p₃
α : Type u_1
UniformSpace α
β : Type u_2
UniformSpace β
γ : Type u_3
UniformSpace γ
a : α
b : β
f : α → β → γ
hf : UniformContinuous₂ f
⊢ UniformSpace.Completion.map₂ f (↑α a) (↑β b) = ↑γ (f a b)
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL : L v = (0, 1)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ
⊢ ∫ (x : E' × ℝ), (B (f (L.symm x))) (g' (L.symm x)) ∂ν = -∫ (x : E' × ℝ), (B (f' (L.symm x))) (g (L.symm x)) ∂ν
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ b ⇨ a = a ⇨ b ↔ a = b
n✝ m a n : ℕ
inst✝ : NeZero n
⊢ ↑a = 0 ↔ n ∣ a
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
K : Subgroup G
f : G →* N
⊢ (f.restrict K).ker = f.ker.subgroupOf K
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l₂ : List α
a : α
l₁ : List α
IH : (l₁ ++ l₂).dedup = l₁ ∪ l₂.dedup
⊢ (a :: (l₁ ++ l₂)).dedup = List.insert a (l₁ ++ l₂).dedup
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hf' : ∃ C, ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ C * ‖f' z‖
A : (fun z => z - x) =O[𝓝[s] x] fun z => f' (z - x)
this : (fun z => f z - f x) ~[𝓝[s] x] fun z => f' (z - x)
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 x ⊓ 𝓟 s, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 ≠ f x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ setToL1 hT = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
Inv G
Inv H
TopologicalSpace G
TopologicalSpace H
ContinuousInv H
f : G → H
hf : Inducing f
hf_inv : ∀ (x : G), f x⁻¹ = (f x)⁻¹
⊢ ContinuousInv G
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : E
w : E
⊢ stereoInvFunAux v w = (‖w‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (4 • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
f : M ≃ₗ[R] P
g : N ≃ₗ[R] Q
⊢ (TensorProduct.congr f g).symm = TensorProduct.congr f.symm g.symm
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e e' : Trivialization F proj
h : (fun e => e.toPretrivialization) e = (fun e => e.toPretrivialization) e'
⊢ e.baseSet = e'.baseSet
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
F₂ : BilinForm R M
ι : Type u_9
b : Basis ι R M
x y : M
⊢ ((b.repr x).sum fun i xi => (b.repr y).sum fun j yj => xi • yj • (B (b i)) (b j)) = (B ((Finsupp.total ι M R ⇑b) (b.repr x))) ((Finsupp.total ι M R ⇑b) (b.repr y))
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x z : M
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hxy : SameRay R x 0
hyz : SameRay R 0 z
hy : 0 = 0 → x = 0 ∨ z = 0
⊢ SameRay R x z
cs cs' : List Char
c' : Char
⊢ { data := cs ++ cs' }.set { byteIdx := String.utf8Len cs } c' = { data := cs ++ List.modifyHead (fun x => c') cs' }
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
f : E →L[𝕜] E
⊢ 0 ≤ f ↔ f.IsPositive
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A / C⁻¹).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C⁻¹).card
a b : Ordinal.{u_2}
⊢ b ≠ 0 → (a + b).cof = b.cof
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x : HahnSeries Γ R
⊢ x.orderTop = ⊤ ↔ x = 0
α : Type u
f : α → α
⊢ f^[1] = f
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
a : α
b : β
x✝¹ x✝ : α × β
a₁ : α
b₁ : β
a₂ : α
b₂ : β
⊢ GameAdd rβ rα (a₁, b₁).swap (a₂, b₂).swap ↔ GameAdd rα rβ (a₁, b₁) (a₂, b₂)
α : Type u_1
a : AsBoolAlg α
⊢ toBoolAlg (ofBoolAlg a) = a
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
β : LieModule.Weight R L M
⊢ LieModule.chainTopCoeff 0 β = 0
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
I J : Ideal S
⊢ Submodule.cardQuot (I * J) = Submodule.cardQuot I * Submodule.cardQuot J
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : α
n : Set α
ns : n ∈ 𝓝[s] x
hx : μ n = 0
v : Set α
vx : v ∈ 𝓝 x
hv : v ∩ s ⊆ n
w : Set α
wv : w ⊆ v
w_open : IsOpen w
xw : x ∈ w
A : w ⊆ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0}
B : w ∈ 𝓝 x
⊢ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0} ∈ 𝓝 x
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
n m : ℕ
neq : q ≠ p
⊢ padicValNat q (p ^ n * q ^ m) = m
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ (f • g).NeBot → g.NeBot
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : Field S
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : Module S A
inst✝⁴ : IsScalarTower S A A
inst✝³ : SMulCommClass S A A
inst✝² : IsScalarTower R S A
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSpace S
a : A
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : IsCompact (σₙ S a)
⊢ IsCompact (σₙ R a)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
s t : Set Ω
_m0 : MeasurableSpace Ω
hs_meas : MeasurableSet s
ht_meas : MeasurableSet t
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSet s t κ μ ↔ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (s ∩ t) = (κ a) s * (κ a) t