ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝⁴ : DecidableEq I₁₂
inst✝³ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝² : K.HasTotal c₁₂
inst✝¹ : L.HasTotal c₁₂
inst✝ : M.HasTotal c₁₂
⊢ map (φ ≫ ψ) c₁₂ = map φ c₁₂ ≫ map ψ c₁₂
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q✝ r q : ℚ≥0
a : α
⊢ Commute (↑q) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f✝ : F
g✝ : G
x✝ y✝ z : α
s : Set α
g : β →ᵈ γ
f : α →ᵈ β
x y : α
hα : edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤
hgf : ↑(ratio (g.comp f)) * edist x y = edist ((g.comp f) x) ((g.comp f) y)
⊢ ratio (g.comp f) = ratio g * ratio f
R : Type u_2
CommSemiring R
n : ℕ
f g : PowerSeries R
⊢ PowerSeries.trunc n (↑(PowerSeries.trunc n f) * ↑(PowerSeries.trunc n g)) = PowerSeries.trunc n (f * g)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)
S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n
S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, dist (s m) (s n) < ε / 2
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ ∀ b ∈ S n, b ≤ ε / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsCompact s
h's : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
M : Type u_1
CommMonoid M
⊢ Submonoid.center M = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (fun x => f x ^ n) =o[l] fun x => g x ^ n
α : Type u_1
CompleteLattice α
⊢ sSup Set.univ = ⊤
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : δ f ε h ≤ dist k/ₙ x
⊢ δ f ε h ≤ |↑x - ↑k/ₙ|
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : QuotientMap f
h_fibers : ∀ (y : β), IsConnected (f ⁻¹' {y})
a : α
⊢ f '' connectedComponent a = connectedComponent (f a)
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
CommRing R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
S : Type u_3
CommRing S
f : S →+* R
⊢ (AddValuation.comap f v).supp = Ideal.comap f v.supp
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ CategoryTheory.Limits.HasTerminal C ↔ CategoryTheory.Limits.HasTerminal D
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
⊢ ↑x = ↑y
X : TopCat
⊢ Function.Bijective ⇑(CondensedSet.topCatAdjunctionCounit X)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ 0 ≤ b - a - ↑⌊(b - a) / p⌋ * p ∧ b - a - ↑⌊(b - a) / p⌋ * p < p
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : x ∉ Metric.thickening δ E
⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 0
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
s : Set ℂ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => Complex.sin (f x)) (Complex.cos (f x) * f') s x
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal S
⊢ ↑(Ideal.comap f I) = ⇑f ⁻¹' ↑I
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
a : α
⊢ iSup f < a ↔ ∃ b < a, ∀ (i : ι), f i ≤ b
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))
mf : Module.Finite K L
se : Algebra.IsSeparable K L
⊢ discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ (φ (↑p ^ (k + 1)) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α
hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S
hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)
⊢ ∃ T ⊆ S, sSup C = sSup T
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
Φ : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
⊢ IsLocalDiffeomorph I J n ⇑Φ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β
⊢ x ∈ s ∧ (y = b ∨ y ∈ t) ↔ (∃ a ∈ s, a = x ∧ b = y) ∨ x ∈ s ∧ y ∈ t
V : Type u
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
⊢ (G₁ ⊔ G₂).Adj a b ↔ G₁.Adj a b ∨ G₂.Adj a b
α : Type u_2
CommMonoid α
ι : Type u_5
DecidableEq ι
InvolutiveInv ι
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ ∏ i ∈ s⁻¹, f i = ∏ i ∈ s, f i⁻¹
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ ⋃ n, Set.Icc (a + n • p) (a + (n + 1) • p) = Set.univ
G : Type u_1
AddGroup G
tG : AddMonoid.IsTorsionFree G
H : AddSubgroup G
⊢ AddMonoid.IsTorsionFree ↥H
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝² : Epi π₁
f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝¹ : Epi π₂
f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1
h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₄ : (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₃ : C
π₃ : A₃ ⟶ A₂
w✝ : Epi π₃
g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0
h₅ : π₃ ≫ (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ φ.app 1) = g₀ ≫ R₂.map (homOfLE ⋯)
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x, π ≫ g₁ = x ≫ app' φ 1 ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, x ≤ a → p a → p x
⊢ map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Iio ↑a)) = Iio ↑a
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace Ω
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0
c : ℝ≥0
fs_le_const : ∀ᶠ (i : ι) in L, ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (fs i) ω ≤ c
f : Ω → ℝ≥0
fs_lim : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun i => (fs i) ω) L (𝓝 (f ω))
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs i) ω) ∂μ) L (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂μ))
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ p ^ m ∣ x.appr n - x.appr m
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
x : ℙ K V
⊢ (∀ (W : Subspace K V), S ⊆ ↑W → x ∈ W) ↔ x ∈ sInf {W | S ⊆ ↑W}
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
h' : ⨅ r, stieltjesFunctionAux f a ↑r = ⨅ r, stieltjesFunctionAux f a ↑↑r
⊢ ContinuousWithinAt (stieltjesFunctionAux f a) (Ioi x) x ↔ Tendsto (stieltjesFunctionAux f a) (𝓝[>] x) (𝓝 (⨅ a_1, stieltjesFunctionAux f a ↑a_1))
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDomain A
I : Ideal A
hI : I ≠ ⊥
⊢ ∀ y ∈ ↑I, 1 * y ∈ 1
U : Type u_1
V : Type u_2
Quiver U
Quiver V
F : U ⥤q V
⊢ F ⋙q 𝟭q V = F
α : Type u_1
NontriviallyNormedField α
x : α
⊢ (𝓝[≠] x).NeBot
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
a : α
⊢ a ∈ upperBounds (closure s) ↔ a ∈ upperBounds s
n : Nat
⊢ 1 ≤ 2 ^ n
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
p q : ℚ≥0
⊢ NNRat.cast ⁻¹' Set.Ioc ↑p ↑q = Set.Ioc p q
G : Sort u_2
α : Sort u_3
γ : Sort u_4
FunLike G α γ
Finite α
Finite γ
⊢ Finite G
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
j : ι
⊢ (filter p (single i x)) j = (if p i then single i x else 0) j
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
hx : IsUnit ↑x
⊢ x * ⟨↑hx.unit⁻¹, ⋯⟩ = 1
c : Cardinal.{u}
⊢ c + 1 ≤ Order.succ c
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ -(z ^ 0 / ↑0) = (-1) ^ (0 + 1) * (-z) ^ 0 / ↑0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
x : 𝕜
⊢ HasSum (fun x => (starRingEnd 𝕜) (f x)) x ↔ HasSum f ((starRingEnd 𝕜) x)
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β → δ
s₁ : Stream' α
s₂ : Stream' β
⊢ (zip f s₁ s₂).head :: (zip f s₁ s₂).tail = f s₁.head s₂.head :: zip f s₁.tail s₂.tail
α : Type u_1
Sub α
a b : α
⊢ SymAlg.sym (a - b) = SymAlg.sym a - SymAlg.sym b
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Set.Icc a b)
ha : a ∈ s
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Set.Ico a b, (s ∩ Set.Ioc x b).Nonempty
⊢ b ∈ s
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ a * c ≡ b * c [ZMOD n * c]
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ (LightProfinite.pullback.cone f g).π =
  {
    app := fun j =>
      Option.rec (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (LightProfinite.pullback.fst f g) f)
        (fun val =>
          CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (LightProfinite.pullback.fst f g) (LightProfinite.pullback.snd f g) val)
        j,
    naturality := ⋯ }
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommMonoid β
n : ℕ
⊢ stoppedProcess u τ n = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.range n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
α : Type u_1
LE α
s t : LowerSet α
⊢ ↑s ⊆ ↑t ↔ s ≤ t
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ↑(Subalgebra.center R A) = Set.center A
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H : Subgroup G
f : G →* N
hf : Injective ⇑f
⊢ map f H = ⊥ ↔ H = ⊥
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I I' : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
hI' : M.Basis I' (R ∩ M.E)
⊢ ∃ x ∈ I' \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
m : ℤ
⊢ Int.floor ⁻¹' {m} = Set.Ico (↑m) (↑m + 1)
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a ⨳ b = b ⨳ a
α : Type u_1
f : Filter α
ma mb : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hma : Filter.Tendsto ma f (𝓝 a)
hmb : Filter.Tendsto mb f (𝓝 b)
h : a ≠ ⊤ ∨ b ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun a => ma a - mb a) f (𝓝 (a - b))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ b ⇨ b ⇨ a = b ⇨ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ‖x + y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 + 2 * RCLike.re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ ^ 2
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x y : ↥s
⊢ ↑(x - y) = ↑x - ↑y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
p : X = X
⊢ CategoryTheory.eqToIso p = CategoryTheory.Iso.refl X
𝓕 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
FunLike 𝓕 E F
ZeroHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
K : ℝ≥0
h : AntilipschitzWith K ⇑f
x : E
⊢ ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
n : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ n
this : (1 ⍟ fun x => ↑(μ x)) = δ
⊢ (fun n_1 => χ ↑n_1) * 1 ⍟ ((fun n_1 => χ ↑n_1) * fun n => ↑(μ n)) = δ
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k✝ : T.LocalizationMap Q
hg : Injective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
z w : N
i : N →* Q := f.map ⋯ k
hizw : i z = i w
⊢ z = w
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommGroup β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : StrictConcaveOn 𝕜 s g
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s (f - g)
r θ : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
hθ : θ ∈ Ioo (-π) π
⊢ √((r * cos θ) ^ 2 + (r * sin θ) ^ 2) = r ∧ (Complex.equivRealProd.symm (r * cos θ, r * sin θ)).arg = θ
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
MeasurableSpace ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
SecondCountableTopology ι
BorelSpace ι
TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
TopologicalSpace.MetrizableSpace ι
h : MeasureTheory.ProgMeasurable f u
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
⊢ MeasureTheory.ProgMeasurable f (MeasureTheory.stoppedProcess u τ)
a b : Nat
⊢ List.range (a + b) = List.range a ++ List.map (fun x => a + x) (List.range b)
m n : ℕ
⊢ m + n.succ - 1 = m + n
n : ℕ
⊢ ((antidiagonal n).bind fun ni => [Fin.cons ni.1 ![ni.2]]) = map (fun i => ![i.1, i.2]) (antidiagonal n)
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
h2 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
h3 : AEMeasurable (X * Y) μ
h4 : 0 ≤ᶠ[ae μ] X * Y
⊢ (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal ((X * Y) a) ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (X a) ∂μ).toReal * (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (Y a) ∂μ).toReal
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
i j : I
h : i = j
⊢ (CategoryTheory.Pi.evalCompEqToEquivalenceFunctor C h).hom = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
y : Set β
x : Set α
f : r ↪r s
h : y ⊆ ⇑f '' x
⊢ x ∩ ⇑f ⁻¹' maximals s y = maximals r (x ∩ ⇑f ⁻¹' y)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
hm : MeasurableSet (κ.mutuallySingularSetSlice η a)
⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a) + ((κ.singularPart η) a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a) = (κ a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a)
α : Type u_1
self : Matroid α
⊢ Matroid.ExchangeProperty self.Base
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
η : ProbabilityTheory.Kernel β γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ ((η.comp κ) a) s = ∫⁻ (b : β), (η b) s ∂κ a
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ ⌈a - 1⌉ = ⌈a⌉ - 1
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
⊢ 𝓤 (α × β) = comap (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ((𝓤 α).prod (𝓤 β))
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : X ≃ₜ Y
f' : PartialHomeomorph Y Z
⊢ ↑(e.transPartialHomeomorph f') = ↑f' ∘ ⇑e
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u_1
inst✝¹ : MvFunctor F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
pp : β → Prop
rr : β → β → Prop
x y : F (α ::: β)
⊢ MvFunctor.f' rr n α ⊚ MvFunctor.g' rr n α = TypeVec.id
α : Type u_2
TopologicalSpace α
⊢ { carrier := Set.univ, is_open' := ⋯ } = ⊤
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
T : L.Theory
⊢ M ⊨ T ↔ ∀ φ ∈ T, M ⊨ φ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ k < n, c * u k < u (k + 1)
⊢ ∀ k < n, c ^ (k + 1) * u 0 ≤ c * (c ^ k * u 0)
a b r : ℤ
hr : 0 < r
v : ℤ
⊢ ↑(filter (fun x => x ≡ v [ZMOD r]) (Ioc a b)).card = max (⌊(↑b - ↑v) / ↑r⌋ - ⌊(↑a - ↑v) / ↑r⌋) 0
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
n : ℕ
⊢ Polynomial.nthRoots n 0 = Multiset.replicate n 0
a : ℤ
n : ℕ
h : J(a | n) = -1
⊢ ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ J(a | p) = -1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a b : α
P : α → Prop
m : α
h0 : P m
h1 : ∀ (n : α), m ≤ n → P n → P (succ n)
n : ℕ
hmn : m ≤ succ^[n] m
⊢ P (succ^[n] m)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
R : Type u_5
TopologicalSpace Y
Z : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid Z
Module R Z
f : C(X, Y)
hfs : Function.Surjective ⇑f
⊢ LinearMap.ker (LocallyConstant.comapₗ R f) = ⊥
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
β : Type u_5
hα : IsEmpty α
f : α →ₛ β
⊢ f.range = ∅
α : Type u
Lattice α
a b : α
⊢ a ⊔ a ⊓ b = a
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
r : ℝ
h : 0 ≤ r
⊢ Metric.diam (Metric.ball x r) ≤ 2 * r
V : Type u
G : SimpleGraph V
x y x' y' : V
p : G.Walk x y
hx : x = x'
hy : y = y'
⊢ (p.copy hx hy).Nil = p.Nil
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
h : (mulSupport f).Finite
⊢ ∀ b ∉ h.toFinset, f b = 1
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
this : aeval (Generators.localizationAway r).val = (↑(mvPolynomialQuotientEquiv S r)).comp (Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.span {C r * X () - 1}))
⊢ Ideal.span {C r * X () - 1} = Ideal.comap (↑(Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.span {C r * X () - 1}))) (RingHom.ker (↑(mvPolynomialQuotientEquiv S r)).toRingHom)
R : Type u_1
α : Type u_2
m : Type u_9
n : Type u_10
CommSemiring R
AddCommMonoid α
Module R α
DecidableEq m
DecidableEq n
a : m → α
b : n → α
⊢ Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) (Matrix.diagonal a) (Matrix.diagonal b) =
  Matrix.diagonal fun mn => a mn.1 ⊗ₜ[R] b mn.2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
V : Set E
hV : IsOpen (⇑(continuousLinearMapToWeakSpace 𝕜 E) '' V)
⊢ IsOpen V
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
s : AddSubmonoid N
⊢ ⊤.prod s = AddSubmonoid.comap (AddMonoidHom.snd M N) s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
FunLike F α β
ZeroHomClass F α β
φ : F
⊢ Filter.map (⇑φ) 0 = 0
V : Type u_1
R : Type u_2
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Field R
CharZero R
x : V → R
⊢ (((Matrix.toLinearMap₂' R) (SimpleGraph.lapMatrix R G)) x) x =
  (∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then (x i - x j) ^ 2 else 0) / 2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
⊢ IsJacobson S
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
⊢ f.IsCycle ↔ ∃ s, s.Nontrivial ∧ f.IsCycleOn s ∧ ∀ ⦃x : α⦄, ¬IsFixedPt (⇑f) x → x ∈ s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(Metric.sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
⊢ stereoInvFun hv (stereoToFun v ↑x) = x
α : Type u_1
t : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (memPartition t n) ≤ MeasurableSpace.generateFrom (memPartition t (n + 1))
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X
⊢ Disjoint f (cocompact X) ↔ ∃ K ∈ f, IsCompact K
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
this : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p
⊢ Prime ↑↑p
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Set.Iic a = Set.Ici (a / c)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffAt I' I n (f i) x₀
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x => ∑ i ∈ t, f i x) x₀
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernel.ι g.unop).op =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.cokernel.π g) (CategoryTheory.kernelUnopOp g).inv)
X : Compactum
F : Ultrafilter X.A
x : X.A
⊢ X.str F = x → ↑F ≤ 𝓝 x
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
L R : ListBlank Γ
⊢ map f (mk' L R) = mk' (ListBlank.map f L) (ListBlank.map f R)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
h : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J F
⊢ G = CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf.sheafify J G ↔ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf
d : ℝ := ∑' (k : ℕ), 1 / ↑(k + 1) ^ 2
⊢ ∃ c, ∀ (n : ℕ), Real.log (stirlingSeq 1) - Real.log (stirlingSeq (n + 1)) ≤ c
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
AddCommMonoid γ
v : Π₀ (i : ι), β i
p : ι → Prop
DecidablePred p
h : (i : ι) → β i → γ
hp : ∀ x ∈ v.support, p x
⊢ ((DFinsupp.subtypeDomain p v).sum fun i b => h (↑i) b) = v.sum h
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
ContinuousAdd M₁
f : M₁ →L[R₁] M₁
a : M₁
⊢ f • a = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
γ : Type u_3
TopologicalSpace γ
MulOneClass γ
ContinuousMul γ
g : C(α, β)
f : C(β, γ)
⊢ g.compMonoidHom' f = f.comp g
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
k : S
x : A
hx : x ∈ restrictScalars R (span S t)
⊢ k • x ∈ restrictScalars R (span S t)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Set.Ioi a ⊆ Set.Ici a
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
inst✝ : CompleteSpace E
N : ℕ
hN : (↑v.L * v.tDist) ^ N / ↑N ! < 1
this : 0 ≤ (↑v.L * v.tDist) ^ N / ↑N !
⊢ ∃ N K, ContractingWith K FunSpace.next^[N]
α : Type u_1
l : List α
x y : α
hne : x ≠ y
⊢ List.Duplicate x (y :: l) ↔ List.Duplicate x l