ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrderTop α
a : Subtype p
⊢ Finset.Ioi a = Finset.subtype p (Finset.Ioi ↑a)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × γ)
a : α
g : γ × β → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (c : γ × β), g c ∂κ.swapRight a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.swap ∂κ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v, u'} D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.CartesianClosed C
CategoryTheory.CartesianClosed D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) F
A B : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map ((CategoryTheory.exp.coev A).app B))
    ((CategoryTheory.expComparison F A).app (A ⨯ B)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.exp.coev (F.obj A)).app (F.obj B))
    ((CategoryTheory.exp (F.obj A)).map (CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.prodComparison F A B)))
R : Type u_1
Mul R
StarMul R
a : R
ha : a ∈ Set.center R
⊢ star a ∈ Set.center R
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X : C
I : InjectiveResolution X
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ (injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex).homologyπ 0 ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex) = I.toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex).homologyπ 0 ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) 0).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv
α✝ : Type u_1
a : α✝
l : List α✝
p : α✝ → Bool
al : a ∈ l
pa : p a = true
⊢ (eraseP p l).length = l.length.pred
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.28063, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ z₃' : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
h₃' : z₂.f ≫ z₃'.s = z₁.s ≫ z₃'.f
z₄ : W.LeftFraction z₃.Y' z₃'.Y'
fac : (RightFraction.mk z₃.s ⋯ z₃'.s).f ≫ z₄.s = (RightFraction.mk z₃.s ⋯ z₃'.s).s ≫ z₄.f
⊢ LeftFractionRel (z₁.comp₀ z₂ z₃) (z₁.comp₀ z₂ z₃')
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
⊢ ⟪r • x, x⟫_ℝ = r * (‖x‖ * ‖x‖)
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
Aₙ : ℚ
nth_num_eq : (of v).nums n = ↑Aₙ
Bₙ : ℚ
nth_den_eq : (of v).dens n = ↑Bₙ
⊢ ∃ q, (of v).convs n = ↑q
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s : Finset α
t : Finset β
⊢ Rel.edgeDensity r s t ≤ 1
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
S : Set (LieSubalgebra R L)
⊢ (sInf S).toSubmodule = sInf {x | ∃ s ∈ S, s.toSubmodule = x}
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOn F p s
g : γ → α
⊢ UniformCauchySeqOn (fun n => F n ∘ g) p (g ⁻¹' s)
ι : Sort u_1
R : Type u_2
Ring R
S : ι → Subring Rᵐᵒᵖ
⊢ (iInf S).unop = ⨅ i, (S i).unop
X Y : Type u
f : X ⟶ Y
⊢ CoeFun.coe f = f
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
p : MvPolynomial σ S
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ coeff d ((mapAlgHom Algebra.TensorProduct.includeLeft) p * (algebraMap (S ⊗[R] N) (MvPolynomial σ (S ⊗[R] N))) (1 ⊗ₜ[R] n)) = coeff d p ⊗ₜ[R] n
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
(↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
⊢ ¬p ∣ (↑P).index
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ U.obj
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ V.obj
gV : F.obj (op V')
e : F.germ ⟨x, mU⟩ gU = F.germ ⟨x, mV⟩ gV
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gV
W : Opens ↑X
mW : x ∈ W
iU' : W ⟶ U'
iV' : W ⟶ V'
e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)
α : Type u_1
Monoid α
a b : α
h : IsUnit a
⊢ Irreducible (b * a) ↔ Irreducible b
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
h : s ∩ Function.mulSupport f = t ∩ Function.mulSupport f
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
this : Countable (Subtype p)
⊢ Measurable fun x => liminf (fun x_1 => f x_1 x) v
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q : ℕ
⊢ (Q q).f 0 = 0
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
s : Finset ι
hp : ↑s.card * p ≤ 1
i : ι
hi : i ∉ s
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
x : (i : ι) → A i
X : A i → (a : ι) → A a := update x i
hF₁ : ∀ {j : ι}, Measurable fun t => (∫⋯∫⁻_{j}, f ∂μ) (X t)
⊢ ∫⁻ (t : A i), f (X t) ^ (1 - ↑s.card * p) * ∏ j ∈ insert i s, (∫⋯∫⁻_{j}, f ∂μ) (X t) ^ p ∂μ i ≤ (∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) x ^ (1 - (↑s.card - 1) * p) * ∏ x_1 ∈ s, (∫⋯∫⁻_{x_1}, ∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ ∂μ) x ^ p
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
f : α →₀ M
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ Finsupp.filter p f + Finsupp.filter (fun a => ¬p a) f = f
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
⊢ (∃ x_1 ∈ ↑(Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(integralBasis K))), (canonicalEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap x_1 = x) ↔ ∃ x_1 ∈ (algebraMap (𝓞 K) K).range, (canonicalEmbedding K) x_1 = x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.121497, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
⊢ (φ₁ + φ₃).τ₃ = h.h₃ + h'.h₃ + (h.h₂ + h'.h₂) ≫ S₂.g + (φ₂ + φ₄).τ₃
α : Type u_1
β : Type v
f : α ↪ β
s : Multiset α
⊢ (Multiset.mapEmbedding f) s = Multiset.map (⇑f) s
A : Type u_1
A' : Type u_2
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring A'
inst✝⁵ : Algebra ℚ A
inst✝⁴ : Algebra ℚ A'
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring A'
inst✝¹ : Algebra ℚ A
inst✝ : Algebra ℚ A'
n : ℕ
f : A →+* A'
n✝ : ℕ
⊢ (coeff A' n✝) ((map f) (sin A)) = (coeff A' n✝) (sin A')
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
⊢ ↑(Nat.find ⋯) ≤ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Preorder M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Sub M
inst✝⁴ : OrderedSub M
inst✝³ : PartialOrder N
inst✝² : Add N
inst✝¹ : Sub N
inst✝ : OrderedSub N
e : M ≃o N
h_add : ∀ (a b : M), e (a + b) = e a + e b
a b : M
e_add : M ≃+ N := { toEquiv := e.toEquiv, map_add' := h_add }
⊢ e (a - b) = e a - e b
α : Type u_1
r : Rel α α
p : RelSeries r
len_pos : p.length ≠ 0
⊢ (p.tail len_pos).head = p.toFun 1
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
K : Subgroup G
H : Subgroup N
⊢ Subgroup.map f K ≤ H ↔ K ≤ Subgroup.comap f H
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
⊢ lift.{v, u} a ≤ 1 ↔ a ≤ 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↑M
⊢ (leftUnitor N).hom ((tensorHom (𝟙 (of R R)) f) (1 ⊗ₜ[R] x)) = f ((leftUnitor M).hom (1 ⊗ₜ[R] x))
R : Type u
CommRing R
M : ModuleCat R
m : ↑M
r : R
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor M).hom (m ⊗ₜ[R] r) = r • m
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ 0 ≤ s
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t : Finset α
m n : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
⊢ ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
V : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
S T : V →ₗ[ℂ] V
x : V
⊢ ⟪S x, x⟫_ℂ = ⟪T x, x⟫_ℂ ↔ ⟪(S - T) x, x⟫_ℂ = 0
R : Type u
M : Type v
Ring R
IsDomain R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
N : Submodule R M
ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N, c • x + y = 0 → c = 0
⊢ x ≠ 0
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
hf : Integrable f μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, g x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
⊢ g =ᶠ[ae μ] μ[f|m]
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
⊢ (𝓝[>] 0)⁻¹ = atTop
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ antidiagonal k
x : σ
x✝ : x ∈ univ
⊢ ∑ x_1 ∈ powersetCard a.1 univ, ((-1) ^ x_1.card * ∏ a ∈ x_1, X a) * X x ^ (k - x_1.card) = (∑ i ∈ powersetCard a.1 univ, (-1) ^ a.1 * ∏ a ∈ i, X a) * X x ^ a.2
α : Type u
AddGroup α
a : α
⊢ (Equiv.addRight a)⁻¹ = Equiv.addRight (-a)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K✝ : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing A'
inst✝⁷ : CommRing A''
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R A''
a b : R
K : Type u_9
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower R K A
hinj : Injective ⇑(algebraMap R K)
ai : AlgebraicIndependent K x
this : (aeval x).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R K)) = (aeval x).toRingHom
⊢ AlgebraicIndependent R x
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
SigmaCompactSpace M
T2Space M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
⊢ ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ Set.range f ⊆ Set.Icc 0 1 ∧ (∀ (x : M), x ∈ s ↔ f x = 0) ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hc : s.Countable
hd : Dense s
⊢ SecondCountableTopology α
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : X) in {y | 0 ≤ f y}, f x ∂μ
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
Finite ι
(i : ι) → LinearOrder (π i)
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
∀ (i : ι), OrderTopology (π i)
a b x : (i : ι) → π i
Nonempty ι
ha : ∀ (i : ι), a i < x i
hb : ∀ (i : ι), x i < b i
⊢ Set.Ioo a b ∈ 𝓝 x
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
y : R
⊢ Tendsto (seminormFromConst_seq c f (x * y)) atTop (𝓝 (f x * seminormFromConst' hf1 hc hpm y))
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
a : R
⊢ a • p = C a * p
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
s t : Set β
hf : Surjective f
⊢ s ⊆ univ
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
⊢ Filter.Tendsto (r i) Filter.atTop Filter.atTop
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCones F
Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)
c : Cone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'
this : c.π.app (j, k') = c.π.app (j, k) ≫ (F.obj j).map f
⊢ c.π.app (j, k') = c.π.app (j, k) ≫ (F.obj j).map f
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
f : α → β
hf : Function.Bijective f
⊢ Function.Bijective (t.restrictPreimage f)
α : Type u_1
f : α → ENNReal
s : Finset α
h : ∑ a ∈ s, f a = 1
h' : ∀ a ∉ s, f a = 0
t : Set α
MeasurableSpace α
ht : MeasurableSet t
⊢ (PMF.ofFinset f s h h').toMeasure t = ∑' (x : α), t.indicator f x
α : Type u
β : Type v
Group β
f : α → β
x : α
⊢ (FreeGroup.lift f) (FreeGroup.of x) = f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospanCompIso F f g).inv.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.left =
  𝟙 ((CategoryTheory.Limits.cospan (F.map f) (F.map g)).obj CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.left)
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p : FractionRing K[X]
h : { toFractionRing := p } ≠ 0
this : p ≠ 0
⊢ { toFractionRing := p } * { toFractionRing := p }⁻¹ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
TopologicalSpace α
f : α →ᵤ[𝔖] β
x : α
h𝔖 : ∃ V ∈ 𝔖, V ∈ 𝓝 x
hc : ContinuousAt ((UniformOnFun.toFun 𝔖) f) x
⊢ ContinuousAt (fun fx => (UniformOnFun.toFun 𝔖) fx.1 fx.2) (f, x)
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R
⊢ (match { toFinsupp := Finsupp.single n a } with | { toFinsupp := p } => p.support) ⊆ {n}
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Monoid β
ContinuousMul β
f : C(α, β)
a : α
⊢ ContinuousMap.coeFnMonoidHom f a = f a
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
S₁ S₂ : AffineSubspace k P₁
Nonempty ↥S₁
Nonempty ↥S₂
h : S₁ = S₂
⊢ (AffineEquiv.ofEq S₁ S₂ h).symm = AffineEquiv.ofEq S₂ S₁ ⋯
M : Type u_5
N : Type u_6
M' : Type u_8
N' : Type u_9
Mul M
Mul N
Mul M'
Mul N'
f : M →ₙ* M'
g : N →ₙ* N'
⊢ f.prodMap g = (f.comp (MulHom.fst M N)).prod (g.comp (MulHom.snd M N))
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
x y : WithLp ⊤ ((i : ι) → β i)
⊢ edist ((WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) x) ((WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) y) ≤ edist x y
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
c : E
⊢ IntervalIntegrable (fun x => c) μ a b
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
⊢ Filter.map (↑e.symm) (𝓝 (↑e x)) = 𝓝 x
θ ψ : Angle
h : 2 • θ + 2 • ψ = ↑π
⊢ ψ.tan = θ.tan⁻¹
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ ‖setToFun μ T hT ↑↑f‖ ≤ max C 0 * ‖f‖
V : Type u_1
TopologicalSpace V
AddCommGroup V
Module ℝ V
ContinuousAdd V
K L : ConvexBody V
⊢ ↑(K + L) = ↑K + ↑L
α : Type u_1
m : Type u_3
CommRing α
StarRing α
Fintype m
DecidableEq m
A : Matrix m m α
Invertible A
⊢ A⁻¹.IsHermitian ↔ A.IsHermitian
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
⊢ (CentroidHom.toEndRingHom α).rangeS =
  Subsemiring.centralizer (Set.range ⇑AddMonoid.End.mulLeft ∪ Set.range ⇑AddMonoid.End.mulRight)
n m : ℕ
hm : ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ Finset.range n
⊢ ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ n.primesBelow
M : Type u_1
Zero M
l : List M
DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0
⊢ l.toFinsupp.support = Finset.filter (fun x => l.getD x 0 ≠ 0) (Finset.range l.length)
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
hab : a < b
⊢ maximals (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.Ioc a b) = {b}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Add γ
x y : β → γ
z : α → β
⊢ (x + y) ∘ z = x ∘ z + y ∘ z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Semigroup α
inst✝² : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : MulEquivClass F α β
f✝ : F
a b : α
f : α ≃* β := ↑f✝
h : f✝ a ∣ f✝ b
⊢ f.invFun (f.toFun a) ∣ f.invFun (f.toFun b)
P : TopCat → Prop
α : Type w
Finite α
X : α → CompHausLike P
CompHausLike.HasExplicitFiniteCoproduct X
B : CompHausLike P
f g : CompHausLike.finiteCoproduct X ⟶ B
h :
  ∀ (a : α),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHausLike.finiteCoproduct.ι X a) f =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHausLike.finiteCoproduct.ι X a) g
⊢ f = g
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ
Inhabited Γ'
f : Turing.PointedMap Γ Γ'
T : Turing.Tape Γ
d : Turing.Dir
⊢ Turing.Tape.map f (Turing.Tape.move d T) = Turing.Tape.move d (Turing.Tape.map f T)
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n + 1), u k = (⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), u k) ⊔ u (n + 1)
α : Type u_1
Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
⊢ Ordnode.Valid' o₁ t o₂ → Ordnode.Valid' o₂ t.dual o₁
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : K
i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (NumberField.RingOfIntegers K)
⊢ ((NumberField.mixedEmbedding.latticeBasis K).repr ((NumberField.mixedEmbedding K) x)) i =
  ↑(((NumberField.integralBasis K).repr x) i)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S
this : DecidableEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) := Classical.decEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S)
⊢ ((algebraMap R Rₘ).mapMatrix ((leftMulMatrix b) a)).trace = (algebraMap R Rₘ) ((leftMulMatrix b) a).trace
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
⊢ ∀ ⦃x : Box ι⦄, (∃ a ∈ π.boxes, x ∈ (πi a).boxes) → ∀ ⦃y : Box ι⦄, (∃ a ∈ π.boxes, y ∈ (πi a).boxes) → x ≠ y → (Disjoint on Box.toSet) x y
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
hf : Differentiable ℂ f
z : ℂ
⊢ AnalyticAt ℂ f z
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
⊢ a.natAbs < b.natAbs ↔ a * a < b * b
k : ℕ
hk : k ≠ 1
⊢ Continuous (periodizedBernoulli k)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set Y
hs : IsSeqClosed s
hf : SeqContinuous f
⊢ IsSeqClosed (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hg : Measurable g
a : γ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∑' (i : ℕ), (((κ.seq i).comap g hg) a) s = ∑' (i : ℕ), ((κ.seq i) (g a)) s
α : Type u_1
s t : Finset α
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
h : Disjoint p q
⊢ Disjoint (Finset.filter p s) (Finset.filter q t)
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
x y : M ⧸ S
⊢ ‖x - y‖ = ‖y - x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
⊢ (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, a ≠ b) ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b
G : Type u
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)
j : ι
hj : ¬∃ n, 0 < n ∧ ∀ (g : M j), g ^ n = 1
⊢ ¬∃ n, 0 < n ∧ ∀ (g : (i : ι) → M i), g ^ n = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : C
⊢ (adj1.leftAdjointUniq adj2).inv.app x = (adj2.leftAdjointUniq adj1).hom.app x
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f g : M →+ N
s : Set M
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(AddSubmonoid.closure s)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ inrX φ i ≫ fstX φ i j hij = 0
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hab : Commute a b
hac : Commute a c
⊢ Commute a (b / c)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
hI : 1 ≤ I
⊢ I = (fun x => I * x) 1
R : Type u
CommRing R
X Y : BialgebraCat R
i : X ≅ Y
⊢ ↑i.toBialgEquiv = i.hom.toBialgHom
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : n ≠ 0
⊢ log b (n * b) = log b n + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (f : α → β) (μ : MeasureTheory.Measure α),
  MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ map (LinearMap.snd R M M₂) (snd R M M₂) = ⊤
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
a b : E
r : ℝ
f : E → F
C : ℝ≥0
h : LipschitzWith C f
hr : ‖a - b‖ ≤ r
⊢ ‖f a - f b‖ ≤ ↑C * r
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
s t : Set G
⊢ QuotientGroup.mk '' s = QuotientGroup.mk '' t ↔ ↑N * s = ↑N * t
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
x : ↑I × X
⊢ F.symm x = F (σ x.1, x.2)
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
UniformSpace G
UniformGroup G
𝔖 : Set (Set α)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
⊢ (𝓝 1).HasBasis (fun SV => SV.1 ∈ 𝔖 ∧ SV.2 ∈ 𝓝 1) fun SV => {f | ∀ x ∈ SV.1, f x ∈ SV.2}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
ih : (∀ r ∈ s, Prime r) → p ∣ s.prod → ∃ q ∈ s, p ~ᵤ q
hs : ∀ r ∈ a ::ₘ s, Prime r
hps : p ∣ (a ::ₘ s).prod
⊢ ∃ q ∈ a ::ₘ s, p ~ᵤ q
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
⊢ Function.Injective AddMonoidHomClass.toAddMonoidHom
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
f : Fin k ↪o α
hfs : ∀ (x : Fin k), f x ∈ s
⊢ f = s.orderEmbOfFin h
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
a b : MvPolynomial σ R
⊢ (a * b).totalDegree ≤ a.totalDegree + b.totalDegree
Ω : Type u_1
m' : MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.Indep m' ⊥ μ
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
C : Ring.DirectLimit G f → Prop
z : Ring.DirectLimit G f
ih : ∀ (i : ι) (x : G i), C ((Ring.DirectLimit.of G f i) x)
⊢ C z
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
⊢ ↑j < c.sizeUpTo ↑(c.index j).succ