ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : Nat
hNe : n ≠ 0
⊢ n / 2 < n
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ (a \ b) \ a = ⊥
⊢ Filter.Tendsto Real.eulerMascheroniSeq Filter.atTop (𝓝 Real.eulerMascheroniConstant)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u✝ : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m₁ : α → γ → α'
m₂ : β → γ → β'
n' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m₁ a c) (m₂ b c)
s : Set ε
t₁ : Set α'
u : Set α
hu : u ∈ f
w₁ : Set γ
hw₁ : w₁ ∈ h
ht₁ : image2 m₁ u w₁ ⊆ t₁
t₂ : Set β'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
v : Set β
hv : v ∈ g
w₂ : Set γ
hw₂ : w₂ ∈ h
ht₂ : image2 m₂ v w₂ ⊆ t₂
⊢ image2 m₁ u (w₁ ∩ w₂) ⊆ t₁
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α
⊢ Subsingleton (Quotient s) ↔ s = ⊤
x y : ℝ
⊢ Real.toEReal '' Icc x y = Icc ↑x ↑y
n : ℕ
K : Type u_1
CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
IsDomain K
CharZero K
m : ℕ
hcop : m.Coprime n
⊢ minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ m)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y✝ : α
s t u : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x s + hausdorffEdist s t < ⊤
ε0 : ↑ε / 2 ≠ 0
this : infEdist x s < infEdist x s + ↑ε / 2
y : α
ys : y ∈ s
dxy : edist x y < infEdist x s + ↑ε / 2
⊢ infEdist x t ≤ infEdist x s + hausdorffEdist s t + ↑ε
α : Type u_2
DecidableEq α
CommSemigroup α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t) * (s ∩ t) ⊆ s * t
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)
hB : ∃ c < π / (b - a), ∃ B, f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a = z.im ∨ a < z.im
hzb : z.im = b ∨ z.im < b
⊢ ‖f z‖ ≤ C
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ : ℝ
⊢ (o.oangle (r₁ • x + r₂ • y) y).sign = SignType.sign r₁ * (o.oangle x y).sign
x y : ℂ
⊢ cosh (x - y) = cosh x * cosh y - sinh x * sinh y
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulLeftInvariant
⊢ μ.inv ≪ μ
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
x : α
hx : (μ.rnDeriv ν)⁻¹ x = ν.rnDeriv μ x
⊢ log (μ.rnDeriv ν x)⁻¹.toReal = log (ν.rnDeriv μ x).toReal
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
t : Set α
x : α
h : ¬IsBounded ∅
⊢ False
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v w : V
h : w ∈ G.neighborSet v
h' : w ∈ Gᶜ.neighborSet v
⊢ w ∈ ∅
α : Type u_1
s : Finset α
m : Sym2 α
⊢ m ∈ s.sym2 ↔ ∀ a ∈ m, a ∈ s
a b c d : ℕ
h1 : a ≤ b
h2 : d ≤ c
h3 : d ≠ 0
⊢ a / c ≤ b / d
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ g₂ : L.obj Y ⟶ L.obj Z
⊢ (homEquiv eX eY).symm f ≫ add W eY eZ ((homEquiv eY eZ).symm g₁) ((homEquiv eY eZ).symm g₂) = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f ≫ (homEquiv eY eZ).symm g₁) ((homEquiv eX eY).symm f ≫ (homEquiv eY eZ).symm g₂)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_12
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
C : ℝ≥0
⊢ s.sup (C • p) = C • s.sup p
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
MeasurableNeg G
MeasureTheory.SFinite μ
μ.IsAddRightInvariant
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
x : G
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f (x - t))) (g t)) μ
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
Nontrivial R
i : ι
⊢ b i ≠ 0
n : Type u_3
α : Type v
ι : Type u_6
Zero α
⊢ Matrix.row ι 0 = 0
δ : Type u_4
MeasurableSpace δ
α : Type u_5
MeasurableSpace α
ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : δ → α
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun b => ⨅ (_ : p), f b
X : Type u_5
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsClosed s ∧ IsNowhereDense s ↔ IsOpen sᶜ ∧ Dense sᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂ν a, x ∈ s → ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, x)) ↑q = (fun b => f (a, b) q) x
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, abs ((r • x) x_1) ^ p) ^ (1 / p) ≤ ‖r‖ * (∑ x_1 : ι, abs (x x_1) ^ p) ^ (1 / p)
⊢ (π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι = ∫ (x : ι → ℂ), rexp (-((∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p)) ^ p)
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
⊢ a⁺ᵐ = a ↔ 1 ≤ a
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ List.map (fun x => x.toProd.1) p.darts ++ [v] = p.support
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
hf' : Memℒp f' p μ
⊢ ∃ g, eLpNorm (f' - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p μ
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N
hc : Function.Surjective fun m => c • m
hc' : Function.Injective fun n => σ c • n
⊢ c • ⇑h ⁻¹' t ≤ ⇑h ⁻¹' (σ c • t)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝⁵ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝⁴ : Countable ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : Filtration ι m
u : ι → Ω → β
s : Set β
n n' : ι
hu : Adapted f u
hs : MeasurableSet s
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | hitting u s n n' ω ≤ i}
M : Type u_2
MulOneClass M
S₁ S₂ : Submonoid Mᵐᵒᵖ
⊢ S₁.unop ≤ S₂.unop ↔ S₁ ≤ S₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
a a' : α
ha : a ≠ a'
b : M
⊢ erase a (f.update a' b) = (erase a f).update a' b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
⊢ ∃ t ⊆ s, affineSpan k t = affineSpan k s ∧ AffineIndependent k Subtype.val
⊢ (ComplexShape.down ℕ).next 0 = 0
X : Type u
TopologicalSpace X
p : X → Prop
⊢ IsOpen {x | ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, p y}
M : Type u_1
A : Type u_5
Mul M
SetLike A M
hA : MulMemClass A M
S' : A
x y : ↥S'
⊢ x * y = ⟨↑x * ↑y, ⋯⟩
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
i : ℕ
hi : i < n
⊢ TruncatedWittVector.coeff ⟨i, hi⟩ (truncateFun n x) = x.coeff i
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₂ s.center < s.radius
⊢ 0 < ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
A : WithSeminorms (schwartzSeminormFamily ℝ E F)
⊢ WithSeminorms (schwartzSeminormFamily 𝕜 E F)
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < Order.succ o → Ordinal.{max u_4 u_5}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{u_4}} (hi : i < Order.succ o) (hj : j < Order.succ o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
⊢ (Order.succ o).bsup f = f o ⋯
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
n : ℤ
⊢ n • 0 = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.lintegral μ 0 = 0
𝕜 : Type u_11
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_12
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_13
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_14
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
x y : M
h : y ∈ (chartAt H x).source
⊢ HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) s y (mfderiv I I (↑(chartAt H x)) y)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : p.mirror = 0
⊢ p = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖
h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ
⊢ ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable ((s n).indicator f) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
y : β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ y ∈ f '' s → {x | x ∈ s ∧ f x = y}.ncard ≠ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Nontrivial B
x : A
p : R[X]
⊢ (aeval ((algebraMap A B) x)) p = 0 ↔ (aeval x) p = 0
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
μ : MeasureTheory.Measure (Quotient (MulAction.orbitRel G α))
i : MeasureTheory.QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
t : Set α
fund_dom_t : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G t ν
U : Set (Quotient (MulAction.orbitRel G α))
meas_U : MeasurableSet U
⊢ μ U = ν (Quotient.mk (MulAction.orbitRel G α) ⁻¹' U ∩ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_4
f : α → β
x : Part α
g : β → Part γ
⊢ (Part.map f x).bind g = x.bind fun y => g (f y)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → ℝ≥0
g : β → ℝ≥0
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib (fun x => ↑(f x)) (fun x => ↑(g x)) μ ν
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (β × β)
F : ι → β → α
hβ : (𝓤 β).HasBasis p s
⊢ (∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ x ∈ s ia, ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ UniformFun.gen ι α ib) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
this : {ω | τ ω < i} = {ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i}
⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i})
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : ↑(MonCat.of G)
y : G
⊢ (A.ρ g * A.ρ y) x = (A.ρ g) ((A.ρ y) x)
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
hs : s ∈ 𝒜
ha : a ∈ s
⊢ s.erase a ∈ 𝒜.shadow
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
hq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f z)
⊢ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ p.order • (swap dslope z₀)^[p.order] f z
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝² : MulZeroClass α
P Q : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b : α
⊢ ((if P then a else 0) * if Q then b else 0) = if P ∧ Q then a * b else 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G 0
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q
⊢ (CochainComplex.HomComplex.δ 0 1 z).v p q hpq = z.v p p ⋯ ≫ G.d p q - F.d p q ≫ z.v q q ⋯
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hc : IsClosed s
⊢ IsSeqClosed s
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
DecidableEq ι
i : ι
m : M i
w : Monoid.CoprodI.Word M
⊢ m • w =
  Monoid.CoprodI.Word.rcons
    (let __src := (Monoid.CoprodI.Word.equivPair i) w;
    { head := m * ((Monoid.CoprodI.Word.equivPair i) w).head, tail := __src.tail, fstIdx_ne := ⋯ })
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
Primcodable σ
f : α → β ⊕ γ
g : α → β → σ
h : α → γ → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
hh : Primrec₂ h
⊢ Primrec fun a => Sum.casesOn (f a) (g a) (h a)
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
⊢ UpperSemicontinuousWithinAt f univ x ↔ UpperSemicontinuousAt f x
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : LocalPredicate T
x : ↑X
U : (OpenNhds x)ᵒᵖ
fU : (x_1 : ↥(unop ((OpenNhds.inclusion x).op.obj U))) → T ↑x_1
hU : P.pred fU
V : (OpenNhds x)ᵒᵖ
fV : (x_1 : ↥(unop ((OpenNhds.inclusion x).op.obj V))) → T ↑x_1
hV : P.pred fV
h : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩
W : OpenNhds x
iU : W ⟶ unop U
iV : W ⟶ unop V
w : ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)
⊢ (unop (op W)).obj ⟶ (unop U).obj
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Sieve X
Y✝ : E
f✝ : Y✝ ⟶ (F ⋙ G).obj X
⊢ (functorPushforward (F ⋙ G) R).arrows f✝ ↔ (functorPushforward G (functorPushforward F R)).arrows f✝
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
⊢ LipschitzWith v.C f.toFun
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
H : ¬∃ c ∈ P.parts, c ≤ b
⊢ False
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
F : Set α
h : IsPreconnected F
hx : x ∈ F
⊢ connectedComponentIn F x = F
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
x✝ : S
f : R →+* S
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : S
i : ℕ
⊢ f 0 * x ^ i = 0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : (X * p).support = Finset.map { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } p.support
⊢ Multiset.map (fun x => (X * p).coeff x.succ) p.support.val = Multiset.map p.coeff p.support.val
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
⊢ ConvexOn 𝕜 s (⇑OrderDual.toDual ∘ f)
θ₁ θ₂ : Angle
⊢ (θ₁ + θ₂).sin = θ₁.sin * θ₂.cos + θ₁.cos * θ₂.sin
p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ Fintype.card (GaloisField p n) = p ^ n
m n : ℕ
⊢ m + n = max m n ↔ m = 0 ∨ n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
TopologicalSpace β
CommSemiring β
hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k (k * f)
α : Sort u_3
β : Sort u_4
⊢ Nonempty (α ⊕' β) ↔ Nonempty α ∨ Nonempty β
q₁ q₂ : ℚ
⊢ (q₁ + q₂).den ∣ q₁.den * q₂.den
a b : ℕ
hb : b ≠ 0
⊢ a * b = b ↔ a = 1
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ Monotone (MeasureTheory.SimpleFunc.eapprox f)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
CategoryTheory.Limits.HasKernels V
CategoryTheory.Limits.HasImages V
D : V
h : C ⟶ D
w : f ≫ g = 0
⊢ imageToKernel f (g ≫ h) ⋯ =
  imageToKernel f g w ≫ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject g).ofLE (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (g ≫ h)) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
⊢ s.einfsep = ⨅ d, uncurry edist ↑d
R : Type u
σ : Type u_1
CommRing R
DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ (p - q).support ⊆ p.support ∪ q.support
R : Type u
inst✝¹⁷ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁶ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra S L
inst✝⁷ : IsFractionRing S L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsNoetherian R S
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : p.IsMaximal
hp0 : p ≠ ⊥
e : Ideal S → ℕ := ramificationIdx (algebraMap R S) p
f : Ideal S → [inst : p.IsMaximal] → ℕ := inertiaDeg (algebraMap R S) p
inj_RL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
inj_RS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ finrank (R ⧸ p) ((P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }) → S ⧸ ↑P ^ e ↑P) = finrank (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
a b : E
L : Filter 𝕜
s : Set 𝕜
x : 𝕜
⊢ HasStrictDerivAt (⇑f.linear + fun x => f 0) (f.linear 1) x
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
⊢ ⇑(MvPowerSeries.coeff R 0) = ⇑(constantCoeff R)
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den
this : g ≠ 0
⊢ normalize num (den / g * g) ⋯ = normalize num den ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
s : Set X
⊢ ⇑h '' frontier s = frontier (⇑h '' s)
R : Type u_3
M : Type u_4
A : Type u_7
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
AddCommMonoid M
Module R M
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
f g : M →ₗ[R] A
x : M
⊢ (QuadraticMap.linMulLin f g) x = f x * g x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
H K : CategoryTheory.Functor B C
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
α : H ⟶ K
⊢ CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.whiskerRight α F) G = CategoryTheory.whiskerRight α (F.comp G)
α : Type u_1
a a' : α
h : a' ≠ a
⊢ (PMF.pure a) a' = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.134154, u_2} D
L : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W✝
W : MorphismProperty Cᵒᵖ
X Y : Cᵒᵖ
z₁ z₂ : W.LeftFraction X Y
Z : Cᵒᵖ
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z
hs : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hf : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
⊢ RightFractionRel z₁.unop z₂.unop
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
b : α
⊢ toIcoMod ⋯ 0 b = Int.fract b
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c T : ℝ
hT : 0 ≤ T
vert_norm_bound : ∀ {T : ℝ}, 0 ≤ T → ∀ {c y : ℝ}, |y| ≤ |c| → ‖cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)‖ ≤ rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))
⊢ ?m.32390 * |c - 0| ≤ 2 * |c| * rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t✝ : Finset β
a : α
b c : β
t : Finset α
hf : Injective f
⊢ image f s ⊂ image f t ↔ s ⊂ t
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s t : Finset α
h : Disjoint s t
⊢ Finset.filter p (s.disjUnion t h) = (Finset.filter p s).disjUnion (Finset.filter p t) ⋯
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X : CategoryTheory.StructuredArrow X₂ T
⊢ (w.structuredArrowDownwards X₂).obj X =
  (CategoryTheory.StructuredArrow.pre (R.obj X₂) L B).obj
    ((CategoryTheory.Comma.mapRight (CategoryTheory.Functor.fromPUnit (R.obj X₂)) w).obj
      (CategoryTheory.StructuredArrow.mk (R.map X.hom)))
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Free R M'
inst✝ : Module.Free R M₁
⊢ Module.rank R (M × M') = lift.{v', v} (Module.rank R M) + lift.{v, v'} (Module.rank R M')
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
hf : HasCompactSupport f
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ HasCompactSupport fun x => f x ^ r
a b d : ℕ
hac : a.Coprime (d * b)
b_dvd_c : b ∣ d * b
⊢ a.gcd d = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
T2Space M
One M'
n : ℕ∞
U : TopologicalSpace.Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactMulSupport f
diff : ContMDiff I I' n f
⊢ ContMDiff I I' n (Function.extend Subtype.val f 1)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : ⊤.FG
⊢ S.FG
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
h : ∀ x ∈ Function.mulSupport f, x ∈ s ↔ x ∈ t
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
x : X
h : x ∈ c.C
⊢ c.lim x = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
f : P ⟶ Q
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f Q.decompId_i =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.decompId_i { f := f.f, comm := ⋯ }
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hε' : ε ≠ ⊤
⊢ μ {x | ε ≤ f x} ≤ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) / ε
K : Type u_9
E : Type u_10
DivisionRing K
AddCommGroup E
Module K E
s : Submodule K E
x : E
⊢ Disjoint s (Submodule.span K {x}) ↔ x ∈ s → x = 0
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x : RatFunc K
h : Polynomial.eval₂ f a x.denom = 0
⊢ eval f a x = 0
a : Nat
h : a ≠ 0
⊢ a.pred.succ = a
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ : AddChar A M
f : M →* N
hf : Injective ⇑f
ψ χ : AddChar B M
h : (fun ψ => f.compAddChar ψ) ψ = (fun ψ => f.compAddChar ψ) χ
⊢ ψ = χ
i j k : ℤ
⊢ (i * j).gcd (k * j) = i.gcd k * j.natAbs
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : HomologicalComplex₂ C (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)
y : ℤ
K.HasTotal (ComplexShape.up ℤ)
a b n : ℤ
h : a + b = n
b' n' : ℤ
hb' : a + b' = n'
hn' : n' = n + y
⊢ K.ιTotal (ComplexShape.up ℤ) a b' n' hb' ≫
    (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (K.total (ComplexShape.up ℤ)) y n n' hn').inv ≫ (K.totalShift₂Iso y).inv.f n =
  (a * y).negOnePow •
    (K.shiftFunctor₂XXIso a b y b' ⋯).inv ≫
      ((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (ComplexShape.up ℤ) a b n h