ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s t : 𝕜 → 𝕜
f g : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
ht : MeromorphicOn t U
hf : MeromorphicOn f U
hg : MeromorphicOn g U
h : MeromorphicOn (-f) U
⊢ MeromorphicOn f U
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
V : Type u_18
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
f : M → 𝕜
g : M → V
hf : Smooth I 𝓘(𝕜, 𝕜) f
hg : Smooth I 𝓘(𝕜, V) g
⊢ Smooth I 𝓘(𝕜, V) fun p => f p • g p
R : Type u_1
M : Type u
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
HasRankNullity.{u, u_1} R
StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M
⊢ ∃ x, LinearIndependent R (Fin.cons x v)
x : ℝ≥0
⊢ NNReal.sqrt x * NNReal.sqrt x = x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set Y
hs : StableUnderGeneralization s
hf : Continuous f
⊢ StableUnderGeneralization (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
hσ : Nat.Prime (orderOf σ)
⊢ ∃ n, σ.cycleType = Multiset.replicate (n + 1) (orderOf σ)
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
Zero β
s : Set α
MeasurableSingletonClass β
b : β
NeZero b
⊢ AEMeasurable (s.indicator fun x => b) μ ↔ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
ω : FractionalOperation D 2
valid : ω.IsValid
symmega : ω.IsSymmetric
a b : D
hab : a ≠ b
mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b
contr : 2 • (Multiset.map f (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum ≤ ω.size • ∑ i : Fin 2, f (![![a, b], ![b, a]] i)
⊢ False
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ maximals (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.Iic a) = {a}
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a + (κ.singularPart η) a ≪ η a
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
S T : Set (Set α)
h_gen : m0 = generateFrom S
hc : T.Countable
h_inter : IsPiSystem S
hU : ⋃₀ T = univ
htop : ∀ t ∈ T, μ t ≠ ⊤
ST_eq : ∀ t ∈ T, ∀ s ∈ S, μ (s ∩ t) = ν (s ∩ t)
T_eq : ∀ t ∈ T, μ t = ν t
t : Set α
ht : t ∈ T
u : Set α
hu : MeasurableSet u
⊢ ∀ (t_1 : Set α), MeasurableSet t_1 → μ (t_1 ∩ t) = ν (t_1 ∩ t) → μ (t_1ᶜ ∩ t) = ν (t_1ᶜ ∩ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
x y z a b : M
⊢ (a * b) ^ 0 = a ^ 0 * b ^ 0
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasImage f
g : B ⟶ C
CategoryTheory.Limits.HasKernel g
w : f ≫ g = 0
⊢ imageToKernel f g w ≫ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject g).arrow = (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).arrow
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ ~ l₂
⊢ countP p l₁ = countP p l₂
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ f ∈ MeasureTheory.Lp.boundedContinuousFunction E p μ ↔ ∃ f₀, ContinuousMap.toAEEqFun μ f₀.toContinuousMap = ↑f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝³ : e.IsTruncGE
inst✝² : ∀ (i' : ι'), K.HasHomology i'
inst✝¹ : ∀ (i' : ι'), L.HasHomology i'
inst✝ : ∀ (i' : ι'), M.HasHomology i'
i j : ι
hij : c.Rel i j
i' j' : ι'
hi' : e.f i = i'
hj' : e.f j = j'
hi : ¬e.BoundaryGE i
⊢ (if hij : c.Rel i j then if hi : e.BoundaryGE i then (truncGE'.XIsoOpcycles K e hi).hom ≫ K.fromOpcycles (e.f i) (e.f j) ≫ (truncGE'.XIso K e ⋯).inv else (truncGE'.XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f i) (e.f j) ≫ (truncGE'.XIso K e ⋯).inv else 0) = (K.truncGE'XIso e hi' hi).hom ≫ K.d i' j' ≫ (K.truncGE'XIso e hj' ⋯).inv
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ ⇑ContinuousMap.const' = ContinuousMap.const X
n m : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
G : Fin2 n → TypeVec.{u} m → Type u
α : TypeVec.{u} m
x : F fun i => G i α
⊢ (MvQPF.Comp.mk x).get = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
c : α
⊢ c ∈ Ici (⨆ i, f i) ↔ c ∈ ⨆ i, Ici (f i)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
u v w : m → α
⊢ (u - v) ⬝ᵥ w = u ⬝ᵥ w - v ⬝ᵥ w
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : IsSkewAdjoint B f
hg : IsSkewAdjoint B g
hfg : IsAdjointPair B B (f * g) (g * f)
⊢ IsSkewAdjoint B ⁅f, g⁆
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasStrictDerivAt e e' ↑z
A : HasStrictFDerivAt ofReal' ofRealCLM z
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => (e ↑x).re) e'.re z
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)
⊢ boundedBy (sInfGen m) ≤ sInf m
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.60429, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.60433, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S✝ S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex Cᵒᵖ
⊢ S.g.unop ≫ S.f.unop = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
∀ (X : C), CategoryTheory.IsSplitEpi (h.unit.app X)
⊢ L.Full
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
GroupWithZero α
Preorder α
Preorder β
MulAction α β
PosSMulMono α β
PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a
⊢ b₁ ≤ a⁻¹ • b₂ ↔ a • b₁ ≤ b₂
α : Type u
β : Type v
M : Type w
DecidableEq β
Fintype α
Fintype β
f : α → β
b : M
LinearOrderedCommSemiring M
Nonempty β
hb : Fintype.card β • b ≤ ↑(Fintype.card α)
⊢ ∃ y, b ≤ ↑(Finset.filter (fun x => f x = y) Finset.univ).card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : C × CategoryTheory.Discrete PUnit.{w + 1}} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.prod.rightUnitor C).map f = f.1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictTerminalObjects C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
A : C
f g : ⊤_ C ⟶ A
⊢ f = g
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
p : Submodule R M
⊢ ↑(lieSpan R L ↑p) = p ↔ ∀ (x : L), ∀ m ∈ p, ⁅x, m⁆ ∈ p
R : Type u_2
S : Type u_3
Semiring R
Semiring S
f : R ≃+* S
l : List R
⊢ f l.prod = (List.map (⇑f) l).prod
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H : ∃ l' r', BalancedSz l' r' ∧ (l.size.dist l' ≤ 1 ∧ r.size = r' ∨ r.size.dist r' ≤ 1 ∧ l.size = l')
⊢ Valid' o₁ (l.balance x r) o₂
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
⊢ False
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ -(↑μ.mass * dist f₁ f₂) ≤ ↑(μ.testAgainstNN f₁) - ↑(μ.testAgainstNN f₂) ∧ ↑(μ.testAgainstNN f₁) - ↑(μ.testAgainstNN f₂) ≤ ↑μ.mass * dist f₁ f₂
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
x : Γ₀
h : x ≠ 0
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun x => True) fun x_1 => {x}
p : ℕ
⊢ Nat.Prime p ↔ Prime p
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
hs : IsCompact s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ Metric.thickening δ s ⊆ t
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ map I g ∘ₗ map I f = 0
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} A
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A
G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B
adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B
inst✝ : J.HasSheafCompose F
P : Cᵒᵖ ⥤ A
α : G₂.obj (P ⋙ F) ⟶ (sheafCompose J F).obj (G₁.obj P)
hα : adj₂.unit.app (P ⋙ F) ≫ (sheafToPresheaf J B).map α = whiskerRight (adj₁.unit.app P) F
⊢ α = (sheafComposeNatTrans J F adj₁ adj₂).app P
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasPullbacks C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
g₁ : Y ⟶ W
inst✝¹ : Epi g₁
g₂ : W ⟶ Z
inst✝ : Mono g₂
hg : g₁ ≫ g₂ = g
f' : X ⟶ W
hf : f' ≫ g₂ = f
t : PullbackCone f g
ht : IsLimit t
⊢ Epi t.fst
E : Type u_4
AddGroup E
p q : NonarchAddGroupSeminorm E
⊢ (∀ (x : E), p x = q x) → p = q
a : ℝ≥0∞
⊢ max a 0 = a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ ∅ → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ ∅ → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ ∅.powerset
hℬ : ℬ ⊆ ∅.powerset
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
α : Type u_1
s : Set α
n : ℕ
h : s.ncard = n + 1
⊢ ∃ a t, a ∉ t ∧ insert a t = s ∧ t.ncard = n
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
f' g' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
s : Set E
c : ℂ
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x
h0 : f x ∈ slitPlane
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => f x ^ g x) ((g x * f x ^ (g x - 1)) • f' + (f x ^ g x * Complex.log (f x)) • g') x
x : ↑unitInterval
⊢ 0 ≤ 1 - ↑x
α : Type u
a : α
s₁ : Stream' α
s₂ : Stream' α
⊢ a ∈ s₂ → a ∈ s₁ ⋈ s₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x : E
⊢ UniqueMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) s x ↔ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
α : Type u_1
Ring α
a : α
n : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a n 1 → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a n
α : Type u_1
AddGroup α
H : Type u_2
AddGroup H
f : α →+ H
a : α
g : ↥f.ker
⊢ ↑((f.fiberEquivKer a).symm g) = a + ↑g
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α × β
⊢ (Equiv.sigmaEquivProd α β).symm a = ⟨a.fst, a.snd⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
ha : Aᴴ.IsDiag
⊢ A.IsDiag
a : ℝ≥0∞
r : ℝ≥0
⊢ ↑r ≤ a ↔ ∀ (p : ℝ≥0), a = ↑p → r ≤ p
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : r ≤ 0
x✝ : E
⊢ r ≤ p (x✝ - x)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : D
⊢ F.map (adj2.unit.app (G.obj x) ≫ G.map (adj2.counit.app x)) ≫ adj1.counit.app x = adj1.counit.app x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → γ
g : β → δ
f₁ : α → β
g₁ : γ → δ
f₂ : β → α
g₂ : δ → γ
hf : LeftInverse f₁ f₂
hg : LeftInverse g₁ g₂
a : β × δ
⊢ map f₁ g₁ (map f₂ g₂ a) = a
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ (fun x => ↑(rexp (-x))) =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-0)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
⊢ volume.toBoxAdditive I = ∏ i : ι, (I.upper i - I.lower i)
F : Sort u_2
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
iF : EquivLike F β γ
f : α → β
e : F
⊢ Function.Bijective (⇑e ∘ f) ↔ Function.Bijective f
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
x : X
⊢ pathComponentIn x univ = pathComponent x
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
h✝ : Nontrivial R
⊢ (¬∃ I, ⊥ < I ∧ I < ⊤) ↔ ¬¬IsSimpleOrder (Ideal R)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
a b : α
⊢ |dist a b| = dist a b
p : Prop
Decidable p
⊢ ¬p ∨ p
a b : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
⊢ 0 ≤ a / b
n m : ℕ
a : Fin n
b : Fin (n + 1)
h : a.succ ≤ b
⊢ a.succ.predAbove b.succ = (a.predAbove b).succ
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle R F E
e e' : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
he : e ∈ a.pretrivializationAtlas
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
⊢ ContinuousOn (a.coordChange he he') (e.baseSet ∩ e'.baseSet)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
z : N
⊢ g ↑(f.sec z).2 * (f.lift hg) z = g (f.sec z).1
M : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Monoid M
MulSemiringAction M A
SMulCommClass M R A
FaithfulSMul M A
⊢ Function.Injective (MulSemiringAction.toAlgHom R A)
R : Type u_1
Ring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Polynomial.cyclotomic p R = ∑ i ∈ Finset.range p, Polynomial.X ^ i
β✝ : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
P : C
p : (b : β) → P ⟶ f b
b : β
⊢ lift p ≫ π f b = p b
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
⊢ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ↑f
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
x : K
hx : x ≠ 0
⊢ (FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ x)⁻¹ * FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ x = 1
n : ℤ
a : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt n (Int.negOfNat a) → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n.natAbs a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
W X Y Z : C
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso (biprod.map f g)
t : biprod.inl ≫ inv (biprod.map f g) ≫ biprod.fst ≫ f = biprod.inl ≫ biprod.fst
⊢ biprod.inl ≫ inv (biprod.map f g) ≫ biprod.fst ≫ f = 𝟙 Y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
hs : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
W : C
k l : s.pt ⟶ W
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.π k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.π l
⊢ k = l
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq K
w : m → K
hu : univ ⊆ {i | w i = 0}ᶜ ∪ {i | w i = 0}
⊢ (toLin' (Matrix.diagonal w)).rank = ↑(Fintype.card { i // w i ≠ 0 })
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Function.Surjective ⇑(PowerSeries.constantCoeff R)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
as : List α
⊢ 𝓝 as = traverse 𝓝 as
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.BraidedFunctor.id C).μ X Y = 𝟙 (X ⊗ Y)
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
A : ι → AddSubmonoid M
h : IsInternal A
⊢ Surjective ⇑(DFinsupp.sumAddHom fun i => (A i).subtype)
R : Type u
CommSemiring R
Z : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ IsClosed Z ↔ ∃ s, Z = PrimeSpectrum.zeroLocus s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
⊢ μ {a | ε < f a} < ⊤
α : Type u
R : α → α → Prop
H : Transitive R
⊢ Transitive (Stream'.WSeq.LiftRel R)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ Multiset.count a ↑l = List.count a l
⊢ ∀ {a : Nat} {h : a > 0}, ↑(Fin.ofNat' 0 h) = 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a b : α
⊢ ↑(Ici a * Ioi b) ⊆ ↑(Ioi (a * b))
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Pi.prod Prod.fst Prod.snd = id
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.22527, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c.symm
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j
⊢ (X.d j i).unop = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : (CategoryTheory.forget C).obj X
⊢ (CategoryTheory.forget C).map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) x =
  (CategoryTheory.forget C).map g ((CategoryTheory.forget C).map f x)
R : Type u
Semiring R
a : R[ℕ]
⊢ { toFinsupp := a } = 0 ↔ a = 0
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
h : IsColimit t
W : C
f f' : t.pt ⟶ W
w : ∀ (j : J), t.ι.app j ≫ f = t.ι.app j ≫ f'
⊢ f = f'
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s : ↥S
⊢ IsLocalizedModule.mk' f (m₁ + m₂) s = IsLocalizedModule.mk' f m₁ s + IsLocalizedModule.mk' f m₂ s
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Finset α
t : α → Set β
⊢ ⋂ x ∈ ↑s, t x = ⋂ x ∈ s, t x
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s t : Set β
⊢ r.preimage (s ∩ t) ⊆ r.preimage s ∩ r.preimage t
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Module.Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype I))
α : Type u
AddGroup α
x : FreeGroup α
⊢ x⁻¹.sum = -x.sum
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, (∫⁻ (a : α) in φ i, ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ).toReal ≤ I
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal I
α : Type u_2
DecidableEq α
Inv α
a : α
s : Finset α
⊢ (insert a s)⁻¹ = insert a⁻¹ s⁻¹
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
r : R
IsLocalization.Away r S
⊢ (Algebra.Presentation.localizationAway r).rels = Unit
α : Type u_2
Div α
f g : Filter α
f.NeBot
g.NeBot
⊢ (f / g).NeBot
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
ι' : Type u_1
β' : Type u_2
UniformSpace β'
F' : ι' → α → β'
f' : α → β'
p' : Filter ι'
h : TendstoUniformly F f p
h' : TendstoUniformly F' f' p'
⊢ TendstoUniformly (fun i a => (F i.1 a, F' i.2 a)) (fun a => (f a, f' a)) (p ×ˢ p')
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
m : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPolynomial.monomial m) 1 = m.prod fun n e => MvPolynomial.X n ^ e
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u ≤ f b
α : Type ?u.1065
β : Type ?u.1066
f : Option α ↪ β
val✝ : α
⊢ f ↑val✝ = f (some val✝)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ((Polynomial.cyclotomic p ℤ).comp (Polynomial.X + 1)).IsEisensteinAt (Submodule.span ℤ {↑p})
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hu : IsUniform X s ℙ μ
⊢ ProbabilityTheory.cond μ s ≪ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
a : Subtype P
m : M
⊢ (if h : P ↑a then (single a m) ⟨↑a, h⟩ else 0) = (single (↑a) m) ↑a
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
x y : R
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ν, μ.rnDeriv ν x < ⊤
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b c : G
h : a - b = c
⊢ a = b + c
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : B → C
F' : (a b : B) → CategoryTheory.Functor (a ⟶ b) (F a ⟶ F b)
a b : B
⊢ (CategoryTheory.PrelaxFunctor.mkOfHomFunctors F F').mapFunctor a b = F' a b
𝕜 : Type u_1
n : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype n
DecidableEq n
⊢ CstarRing (Matrix n n 𝕜)
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
⊢ p.mirror.mirror = p
α : Type u_2
Lattice α
⊢ latticeClosure Set.univ = Set.univ
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
v : α → M
k : α
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize v (FirstOrder.Language.var k) = v k
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (↑n).comp p = ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommGroup β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s (f - g)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Bool} {a : α} {l : List α}, List.find? p l = some a → a ∈ l
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.Opens α
⊢ ↑s.compl = (↑s)ᶜ
α : Type u_1
r : Rel α α
r.InfiniteDimensional
⊢ Nonempty α
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
a : M
⊢ z₂ * z₁ * a = z₂ * (z₁ * a)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
⊢ closedBall (x - const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4) ⊆ interior s
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
⊢ Tendsto ((fun x => (f x.1, f x.2)) ∘ Prod.map Subtype.val Subtype.val) (𝓤 ↑s) (𝓤 β) ↔ Tendsto (fun x => (s.restrict f x.1, s.restrict f x.2)) (𝓤 ↑s) (𝓤 β)
R : Type u
a b : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X + Polynomial.C b).leadingCoeff = a
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Ico 1 (2 ^ n), f k ≤ ∑ k ∈ range n, 2 ^ k • f (2 ^ k)
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
⊢ b.coords x ᵥ* (b.toMatrix ⇑b₂)⁻¹ = b₂.coords x
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
⊢ map (fun y => y) toFilterBasis.filter = toFilterBasis.filter
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), y i < z i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), y i + δ < z i
⊢ y ∈ interior s
⊢ HurwitzZeta.evenKernel 0 = HurwitzZeta.cosKernel 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
Finite ι
Preorder ι'
IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty ι'
s : ι → ι' → Set α
hs : ∀ (i : ι), Antitone (s i)
⊢ ⋂ j, ⋃ i, s i j = ⋃ i, ⋂ j, s i j
Γ : Type u_1
i✝ : Inhabited Γ
L₁ L₂ : ListBlank Γ
l₁ l₂ : List Γ
H : ∀ (i : ℕ), l₁.getI i = l₂.getI i
h✝ : l₁.length ≤ l₂.length
i : ℕ
h : i < l₂.length
h₂ : i < (l₁ ++ List.replicate (l₂.length - l₁.length) default).length
⊢ (l₁ ++ List.replicate (l₂.length - l₁.length) default).get ⟨i, h₂⟩ = l₂.get ⟨i, h⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : StrictMono f
⊢ Set.MapsTo f (Set.Ioo a b) (Set.Ioo (f a) (f b))
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
m n : ℕ
hx : x ^ m = 0
hy : y ^ n = 0
⊢ m + n ≤ m + n - 1 + 1