ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
this : ∀ (t : Set β), IsOpen (s.restrict f ⁻¹' t) ↔ ∃ u, IsOpen u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
⊢ (∀ (s_1 : Set β), IsOpen s_1 → IsOpen (s.restrict f ⁻¹' s_1)) ↔ ∀ (t : Set β), IsOpen t → ∃ u, IsOpen u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
⊢ (lift i x hx h) h.root = x
n : ℕ
h_s : (n + 1).Coprime (2 * n + 1)
⊢ n + 1 ∣ n.centralBinom
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
⊢ ∀ {n : ℕ∞}, ContDiff 𝕜 n cexp
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
hP : (↑P).relindex (↑P).normalizer ≠ 0
this : (↑(P.subtype ⋯)).Normal
⊢ ¬p ∣ (↑P).relindex (↑P).normalizer * Nat.card (Sylow p G)
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : TopologicalSpace β
h'f : HasCompactMulSupport f
hf : Continuous f
k : Set β
hk : IsClosed k
h'k : 1 ∉ k
⊢ IsCompact (f ⁻¹' k)
x : ℂ
⊢ Complex.sinh (-x) = -Complex.sinh x
α : Type u
σ : Type v
⊢ εNFA.start 1 = Set.univ
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 4 ≤ m → 4 ^ m < m * m.centralBinom
n_big : 4 ≤ n
hn : n < 4
⊢ 4 ^ n < n * n.centralBinom
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x✝ : G
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, S i
i : ι
x : G
hx : x ∈ S i
⊢ (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) x
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
HeytingAlgebra α
HeytingAlgebra β
HeytingAlgebra γ
f : HeytingHom β γ
g : HeytingHom α β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
α : Type u_1
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
⊢ (l.balRight v r).reverse = r.reverse.balLeft v l.reverse
α : Type u
s t s' t' : Set α
l : Filter α
h : s ≤ᶠ[l] t
h' : s' ≤ᶠ[l] t'
⊢ s ∪ s' ≤ᶠ[l] t ∪ t'
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
x : E
⊢ HasSum (fun i => ↑(b.repr x) i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
⊢ insert a s ⊆ t ↔ a ∈ t ∧ s ⊆ t
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
this : (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X.X N.X).inv ≫ (λ_ X.X).hom ▷ N.X = 𝟙 (X.X ⊗ N.X)
⊢ X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X.X N.X).inv ≫ (λ_ X.X).hom ▷ N.X ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : α → E
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ μ.withDensityᵥ f = μ.withDensityᵥ g
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t
⊢ G.edgeFinset.card < ((G.replaceVertex s t).replaceVertex s u).edgeFinset.card
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ x y p : R
h : (Ideal.Quotient.mk (span {p})) x = (Ideal.Quotient.mk (span {p})) y
⊢ p ∣ ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) ↔ p ∣ ↑n * y ^ (n - 1)
a b : Nat
⊢ a = b ↔ a ≤ b ∧ b ≤ a
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
a b : ℝ
N : ℕ
⊢ MeasureTheory.Submartingale
  (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (1 - MeasureTheory.upcrossingStrat a b f N k) * (f (k + 1) - f k)) ℱ μ
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S T : Set R
⊢ closure S * closure T = closure (S * T)
α : Type u
R : α → α → Prop
⊢ Equivalence R → Equivalence (Computation.LiftRel R)
P : ℕ → Sort u_1
h0 : P 0
h_even : (i : ℕ) → P i → P (2 * i)
h_odd : (i : ℕ) → P i → P (2 * i + 1)
H : h_even 0 h0 = h0
n : ℕ
⊢ (match false, 0, h0 with | false, i, hi => h_even i hi | true, i, hi => h_odd i hi) = h0 ∨ (n = 0 → true = true)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β
⊢ c > fold min b f s ↔ b < c ∨ ∃ x ∈ s, f x < c
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SOppSide x y
⊢ s.WOppSide x y
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
heq : (fun n => ↑‖(a⋆ * a) ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) = (fun x => x ^ 2) ∘ fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)
⊢ spectralRadius ℂ a ^ 2 = ↑‖a‖₊ ^ 2
α : Type u
l : List α
⊢ l.Nodup ↔ ∀ (i j : ℕ), i < j → j < l.length → l[i]? ≠ l[j]?
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B✝ C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
⊢ ∃ l a, B = {x | x ∈ A ∧ a ≤ l x}
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
⊢ ∃ g, EqOn f (⇑g) s
x : ℂ
hx : cos x = 0
⊢ Tendsto (fun x => abs (tan x)) (𝓝[≠] x) atTop
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : Set α
hs : (inducedOuterMeasure m P0 m0) s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h : ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : s ⊆ t), m t ht < (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε
⊢ ∃ t, P t ∧ s ⊆ t ∧ (inducedOuterMeasure m P0 m0) t ≤ (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
⊢ rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑N ^ (-(2 / ↑n)) * (rexp (2 - ↑n) / ↑n)
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
Nonempty ι
Nonempty ι'
ConditionallyCompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
g : ι → α
h : ι' → α
H : ∀ (i : ι) (j : ι'), a ≤ g i * h j
⊢ a ≤ iInf g * iInf h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : α → Prop
f✝ : (a : α) → p a → β
x✝ : Option α
g : β → γ
f : (a : α) → p a → β
x : Option α
H : ∀ (a : α), a ∈ x → p a
⊢ Option.map g (pmap f x H) = pmap (fun a h => g (f a h)) x H
w : Nat
x : BitVec w
v : Nat
hmsb : x.msb = false
⊢ BitVec.signExtend v x = BitVec.zeroExtend v x
ι : Type u_2
Encodable ι
F : ι → Type u_3
(i : ι) → MetricSpace (F i)
x y : (i : ι) → F i
⊢ Summable fun i => min ((1 / 2) ^ Encodable.encode i) (dist (x i) (y i))
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ‖(-a) ^ s * rexp (-b * a ^ 2)‖ ≤ a ^ s * rexp (-b * a ^ 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
inst✝ : IsPredArchimedean α
a b : α
⊢ ReflTransGen (Function.swap (hasse α).Adj) b a
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁰ : Module k V₁
inst✝⁹ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁸ : AddCommGroup V₂
inst✝⁷ : Module k V₂
inst✝⁶ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝⁵ : AddCommGroup V₃
inst✝⁴ : Module k V₃
inst✝³ : AffineSpace V₃ P₃
inst✝² : AddCommGroup V₄
inst✝¹ : Module k V₄
inst✝ : AffineSpace V₄ P₄
e : P₁ ≃ P₂
el : V₁ ≃ₗ[k] V₂
h : ∀ (p : P₁) (v : V₁), e (v +ᵥ p) = el v +ᵥ e p
e' : P₁ ≃ P₂
el' : V₁ ≃ₗ[k] V₂
h' : ∀ (p : P₁) (v : V₁), e' (v +ᵥ p) = el' v +ᵥ e' p
H : e = e' ∧ el = el'
⊢ { toEquiv := e, linear := el, map_vadd' := h } = { toEquiv := e', linear := el', map_vadd' := h' }
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ ∀ (x : C) (x_1 : G.obj x), CategoryTheory.FunctorToTypes.coprod.inr.app x x_1 = Sum.inr x_1
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
n : ℕ
f : Fin n → α → σ
⊢ (∀ (i : Fin n), Computable (f i)) → Computable fun a => List.ofFn fun i => f i a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S.ShortExact
⊢ CategoryTheory.Mono S.f
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
UniformSpace β
f g : β → α
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
⊢ UniformContinuous fun b => dist (f b) (g b)
m : ℤ
⊢ volume (⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}) = 0
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
s : Set α
⊢ Int.fract '' s = ⋃ m, (fun x => x - ↑m) '' s ∩ Set.Ico 0 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
g : β → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (c : β), g c ∂κ.fst a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.1 ∂κ a
α : Type u_1
ι : Sort u_4
Preorder α
Nonempty ι
InfSet α
f : ι → α
hf : BddBelow (Set.range f)
⊢ ↑(⨅ i, f i) = ⨅ i, ↑(f i)
n p : ℕ
L : List ℕ
h_nonempty : L ≠ []
h_ne_zero : L.getLast h_nonempty ≠ 0
h_lt : ∀ l ∈ L, l < p
h : p < 1
⊢ (p - 1) * ∑ i ∈ range L.length, ofDigits p L / p ^ i.succ = ofDigits p L - L.sum
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
s : AffineSubspace k P₁
⊢ AffineSubspace.comap (AffineMap.id k P₁) s = s
σ : Type u
R : Type v
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ p ∈ MvPolynomial.restrictDegree σ R n ↔ ∀ s ∈ p.support, ∀ (i : σ), s i ≤ n
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ TensorAlgebra.toDirectSum ((TensorAlgebra.ι R) x) =
  (DirectSum.of (fun n => ⨂[R]^n M) 1) ((PiTensorProduct.tprod R) fun x_1 => x)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
U : X.Opens
⊢ 𝟙 X ⁻¹ᵁ U = U
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
AddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
T2Space γ
hf : Summable f
G : Type u_5
FunLike G α γ
AddMonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Continuous ⇑g
⊢ g (∑' (i : β), f i) = ∑' (i : β), g (f i)
a x z : ℂ
⊢ (-I).arg = -(π / 2)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
z : E b
⊢ ↑e { proj := b, snd := z } = (b, (Trivialization.continuousLinearEquivAt R e b hb) z)
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
H : p < i.succ
⊢ p < p.succAbove i ↔ p ≤ i.castSucc
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
x : G
⊢ x ∈ H → -x ∈ H
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SpecialLinearGroup n R
hn : IsEmpty n
⊢ A ∈ center (SpecialLinearGroup n R) ↔ ∃ r, r ^ Fintype.card n = 1 ∧ (scalar n) r = ↑A
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x z : α
h : x ∈ x :: z :: l
⊢ (x :: z :: l).next x h = z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddGroup G
f : α →₀ G
a a' : α
⊢ (erase a f) a' = (f - single a (f a)) a'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : OrderedRing α
inst✝⁵ : OrderedRing β
inst✝⁴ : LocallyFiniteOrder α
inst✝³ : LocallyFiniteOrder β
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
n : ℕ
⊢ (box (n + 1)).card = (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ).card * (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ).card - (Icc (-↑n) ↑n).card * (Icc (-↑n) ↑n).card
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
⊢ ↑1 = 1
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
⊢ map Prod.swap [] = [].zip l₁
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : M
w : σ → M
hφ : φ ≠ 0
hm : IsWeightedHomogeneous w φ m
hn : IsWeightedHomogeneous w φ n
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0
⊢ m = n
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u_3
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L
⊢ Module.rank E ↥(IntermediateField.adjoin E ↑L) ≤ Module.rank F ↥L
α : Type u_1
P : α → Prop
m : (s : α) → P s → ℝ≥0∞
s : α
h : P s
⊢ ∀ (i : P s), m s h ≤ m s i
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
inst✝ : Fintype V
C : ⊤.Coloring V
⊢ Injective ⇑C
R : Type u_2
AddMonoid R
l : List R
DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0
⊢ l.toFinsupp = (List.map (fun nr => Finsupp.single nr.1 nr.2) l.enum).sum
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
Du Eu Fu Gu : Type u
NormedAddCommGroup Du
NormedSpace 𝕜 Du
NormedAddCommGroup Eu
NormedSpace 𝕜 Eu
NormedAddCommGroup Fu
NormedSpace 𝕜 Fu
NormedAddCommGroup Gu
NormedSpace 𝕜 Gu
B : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu
f : Du → Eu
g : Du → Fu
n : ℕ
s : Set Du
x : Du
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤
  ‖B‖ *
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
      ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
h : 1 < b
⊢ a < a * b
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ ⊆ l₂ ↔ ∀ {a : α}, a ∈ l₁ → a ∈ l₂
R : Type ?u.5
inst✝ : Field R
a b : R
hab : a ^ 2 + b ^ 2 ≠ 0
⊢ !![a, -b; b, a].det ≠ 0
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
S : Ideal R
hpi : S.IsPrime
hS : S ≠ ⊥
⊢ S.IsMaximal
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
sp : AffineSubspace k P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥sp.direction
hle : affineSpan k ↑(Finset.image p s) ≤ sp
hc : s.card = finrank k ↥sp.direction + 1
hn : s.Nonempty
⊢ affineSpan k ↑(Finset.image p s) = sp
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W'.negY Q * P z ^ 3
⊢ W'.dblZ P ≠ 0
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : y ≤ x
u : ℕ → α := fun n => if n = 0 then y else x
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
⊢ edist (f x) (f y) ≤ eVariationOn f s
α β : Type u
n : ℕ
h : (↑n).IsLimit
h' : ↑n < ℵ₀
⊢ False
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char
h1 : { data := l ++ c :: (m ++ r) }.get { byteIdx := utf8Len l } = c
h2 : { data := l ++ c :: (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size }
⊢ (if p c = true then { byteIdx := utf8Len l } else { data := l ++ c :: (m ++ r) }.findAux p { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size }) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match !p c with | true => c :: List.takeWhile (fun x => !p x) m | false => []) }
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n
DecidableEq n
d₁ d₂ : n → α
⊢ Matrix.diagonal d₁ * Matrix.diagonal d₂ = Matrix.diagonal fun i => d₁ i * d₂ i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictInitialObjects C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct (⊥_ C) X
⊢ (CategoryTheory.Limits.initialMul X).hom = CategoryTheory.Limits.prod.fst
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective (AddSubsemigroup.map f)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
self : CategoryTheory.Artinian C
X : C
⊢ CategoryTheory.ArtinianObject X
R : Type u_1
Semiring R
p : PowerSeries R
n d : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R d) (PowerSeries.X ^ n * p) = if n ≤ d then (PowerSeries.coeff R (d - n)) p else 0
α : Type u
β : Type u_1
s : TopologicalSpace β
f : α → β
T : Set (Set β)
h : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis T
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.preimage f '' T)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ WithTop.some '' Set.Ioo a b = Set.Ioo ↑a ↑b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
h_integral : ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ < ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤
n d : ℕ
⊢ ∑ i : Fin n, d * (2 * d + 1) ^ ↑i = ((2 * d + 1) ^ n - 1) / 2
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
A : Set α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r A))
T : Type u_4
CommRing T
IsDedekindDomain T
I : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
⊢ (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors I).prod = I
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
p : α → Prop
hp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊓ a₂)
hs : ∀ b ∈ s, p (f b)
⊢ p (s.inf' H f)
n : ℕ
α : Type u
f : Fin n → α
r : α → α → Prop
⊢ List.Sorted r (List.ofFn f) ↔ ((fun x x_1 => x < x_1) ⇒ r) f f
α : Type u
A : α → PSet
y : PSet
x✝ : ∃ z ∈ mk α A, y ∈ z
β : Type u
B : β → PSet
a : (mk α A).Type
e : (mk β B).Equiv (A a)
b : (mk β B).Type
yb : y.Equiv ((mk β B).Func b)
⊢ y ∈ ⋃₀ mk α A
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
h : Monovary f g
k : ι' → ι
⊢ Monovary (f ∘ k) (g ∘ k)
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
Sub M
f g : α → M
⊢ ↑(f - g) = ↑f - ↑g
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
π' : BoxIntegral.Prepartition I
h : π'.IsPartition
⊢ BoxIntegral.integralSum f vol (π.infPrepartition π') = BoxIntegral.integralSum f vol π
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s t : CategoryTheory.Limits.Fork f g
⊢ ∀ (f_1 : s ⟶ t), CategoryTheory.CategoryStruct.comp f_1.hom t.ι = s.ι
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝² : Quiver U
inst✝¹ : Quiver V
inst✝ : Quiver W
h : HasInvolutiveReverse V
a b : V
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
⊢ f = reverse g ↔ reverse f = g
x y : ℝ
h0 : x < 0
h1 : -1 < x
⊢ log x < 0
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α
hac : Codisjoint a c
hba : b ≤ a
⊢ c ⇨ b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
a : α
l : Batteries.AssocList α β
⊢ (Batteries.AssocList.erase a l).toList = List.eraseP (fun x => x.fst == a) l.toList
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg : ∀ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧ ∃ ε_1 > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)
i : ι
hpi : p i
hki : dist (k i) x₀ < δ / 2
hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)
hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ
hgi : dist (g i (k i)) z₀ < ε / 3
⊢ dist ((φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g i) (k i)) z₀ < ε
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, f ↑x = 0
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → f (↑x * Complex.I) = 0
⊢ Set.EqOn f 0 {z | z.re ≤ 0 ∧ 0 ≤ z.im}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.f k = 0
S.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.opcyclesIso.hom (h.descQ k hk) = S.descOpcycles k hk
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : OpenEmbedding ⇑f
H₂ : OpenEmbedding ⇑g
e_2✝ : ↑((cospan f g).obj WalkingCospan.one) = ↑S
⊢ ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one) = ⇑(pullback.snd f g ≫ g)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : 1 < finrank ℚ K
x : 𝓞 K
h_nz : x ≠ 0
h_nm : 1 ≤ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x|
h_bd : ↑(finrank ℚ K) ^ (finrank ℚ K * 2) / ((4 / π) ^ (NrComplexPlaces K * 2) * ↑(finrank ℚ K).factorial ^ 2) ≤ ↑|discr K|
⊢ 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K ≤ ↑|discr K|
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
α : W.RightFraction X Y
⊢ ∃ X' s, ∃ (hs : W s), ∃ f, α = CategoryTheory.MorphismProperty.RightFraction.mk s hs f
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p q : α
hp : Prime p
n : ℕ
⊢ q ∣ p ^ n ↔ ∃ i, i ≤ n ∧ q ~ᵤ p ^ i
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
a : ℝ≥0∞
a_pos : 0 < a
a_lt_one : a < 1
F : ℕ → Set α := fun n => (fun x => infEdist x Uᶜ) ⁻¹' Ici (a ^ n)
⊢ ∃ F, (∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)) ∧ (∀ (n : ℕ), F n ⊆ U) ∧ ⋃ n, F n = U ∧ Monotone F
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Set.Icc 0 1
⊢ x + t • y ∈ s