ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
n : ℕ
h : a ∉ s
m : { x // x ∈ (insert a s).sym n }
⊢ ((Finset.symInsertEquiv h) m).fst = (Sym.filterNe a ↑m).fst
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable f
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∑' (i : ℕ), (((κ.seq i).map f hf) a) s = ∑' (i : ℕ), ((κ.seq i) a) (f ⁻¹' s)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
⊢ (fun f => ⇑f) (LatticeHom.id α).withTopWithBot = (fun f => ⇑f) (BoundedLatticeHom.id (WithTop (WithBot α)))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C
⊢ (λ_ (M.X ⊗ N.X)).hom = (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ tensor_μ C (𝟙_ C, 𝟙_ C) (M.X, N.X) ≫ ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ N.X).hom)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : P ≃+ N
x : M
⊢ k ((f.ofAddEquivOfLocalizations k.symm).toMap x) = f.toMap x
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f✝ : α → β
n : ℕ
f : (i : ℕ) → i < n → α
hf : ∀ a ∈ s, ∃ i, ∃ (h : i < n), f i h = a
hf' : ∀ (i : ℕ) (h : i < n), f i h ∈ s
f_inj : ∀ (i j : ℕ) (hi : i < n) (hj : j < n), f i hi = f j hj → i = j
⊢ s.ncard = n
α : Type u
s : Finset α
⊢ Cardinal.mk { x // x ∈ s } = ↑s.card
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y
⊢ 2 / (1 - rexp (-π * τ.im)) ≤ 2 / (1 - rexp (-π))
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
s : Set R
⊢ (Subsemiring.closure s).op = Subsemiring.closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
hs : s.Nonempty
t : Set β
a : β
⊢ s ⊆ (fun x => a) ⁻¹' t ↔ a ∈ t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
J : C
⊢ CategoryTheory.Injective J ↔ (CategoryTheory.preadditiveYoneda.obj J).PreservesEpimorphisms
α : Type u_1
⊢ Multiset.powersetAux' [] = [0]
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
hz : z ∈ s
⊢ s.WSameSide y x
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
s : Set α
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ a ∈ s, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g✝ : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hle : ∀ x ∈ Ioc a b, f x ≤ g x
hlt : (volume.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} = 0
h_eq : f =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc a b))] g
⊢ ∀ c ∈ Icc a b, g c ≤ f c
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ ⊤.edgeSet = G.edgeSet
K : Type u
Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
⊢ R.ofPrime (R.idealOfLE S h) = S
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G
hx : IsOfFinOrder x
n : ℕ
⊢ (finEquivPowers x hx).symm ((Equiv.Set.ofEq ⋯).symm ⟨x ^ n, ⋯⟩) = ⟨n % orderOf x, ⋯⟩
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ Real.cos (InnerProductGeometry.angle x y) = 0 ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : LT α
s : Finset ι
f : ι → WithTop α
⊢ ∑ i ∈ s, f i < ⊤ ↔ ∀ i ∈ s, f i < ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddZeroClass β
ContinuousAdd β
f g : α →C_c β
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
u : ℤ
hu : IsUnit u
⊢ u = 1 ∨ u = -1
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
n : ℕ
⊢ DomAddAct.mk (n • a) = n • DomAddAct.mk a
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ StrictMono ns ∧ μ {a | ¬Tendsto (fun i => f (ns i) a) atTop (𝓝 (g a))} = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
p : q.IsPure
a : α
h : a ∈ q
⊢ q.liftOn id p ∈ q
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape K C
CategoryTheory.Limits.HasLimit (CategoryTheory.uncurry.obj F)
CategoryTheory.Limits.HasLimit (F ⋙ CategoryTheory.Limits.lim)
j : J
k : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitUncurryIsoLimitCompLim F).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.limit.π (CategoryTheory.uncurry.obj F) (j, k) =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (F ⋙ CategoryTheory.Limits.lim) j ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π (F.obj j) k
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f✝ g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
f : X → Y → Z
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
⊢ Continuous (uncurry (lift₂ f hf)) ↔ Continuous (uncurry f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this✝ : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r < ↑t
this : 0 < ↑t
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
α : Type u_1
b c : α
Div α
p : b = c
a : α
⊢ a / b = a / c
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝³ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝² : Algebra (ZMod p✝) K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
n : ℕ
hcard : q = p ^ n
x : K
⊢ (frobenius K p ^ n) x = 1 x
α : Type u_2
β : Type u_3
HeytingAlgebra α
HeytingAlgebra β
f : HeytingHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
x : R
⊢ (x ≠ 0 ∧ ∃ a ∈ Finset.univ, (distinctElems bS adm) a.1 - (distinctElems bS adm) a.2 = x) ↔ ∃ i j, i ≠ j ∧ (distinctElems bS adm) i - (distinctElems bS adm) j = x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f : α → E
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : ¬MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s t : Set β
⊢ r.preimage (s ∪ t) = r.preimage s ∪ r.preimage t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n₁ n₂ n₃ n₁₂ n₂₃ n₁₂₃ : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₁
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n₂
z₃ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n₃
h₁₂ : n₁ + n₂ = n₁₂
h₂₃ : n₂ + n₃ = n₂₃
h₁₂₃ : n₁ + n₂ + n₃ = n₁₂₃
⊢ (z₁.comp z₂ h₁₂).comp z₃ ⋯ = z₁.comp (z₂.comp z₃ h₂₃) ⋯
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ AffineIsometry.id.comp f = f
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
t : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.toSpec 𝒜 f).val.base).obj
    (PrimeSpectrum.basicOpen (HomogeneousLocalization.mk t)) =
  (TopologicalSpace.Opens.comap { toFun := Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ }) (ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 ↑t.num)
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace G
K : Set G
hK : IsCompact K
⊢ μ.outerMeasure K < ⊤
m n : ℕ
⊢ Fin.cast ⋯ (finAddFlip ⟨n, ⋯⟩) = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card
degree_g_lt : g ∈ degreeLT R s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
⊢ (f - g).degree < ↑s.card
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Group α
a b : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : 1 ≤ a
hab : a ≤ b
⊢ mabs a ≤ mabs b
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
g : G
K : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addPrehaar (↑K₀) U (TopologicalSpace.Compacts.map (fun b => g + b) ⋯ K) =
  MeasureTheory.Measure.haar.addPrehaar (↑K₀) U K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f g : α →ₛ β
⊢ ↑(piecewise univ ⋯ f g) = ↑f
α : Type u_1
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
h : a ∣ b - c
⊢ gcd a b = gcd a c
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p q : A
⊢ ↑p = ↑q ↔ p = q
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (-f) μ
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hg : Function.Surjective ⇑g
this : Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map (AlgHom.id R A) g)) = LinearMap.ker (LinearMap.lTensor A g.toLinearMap)
⊢ LinearMap.ker (LinearMap.lTensor A g.toLinearMap) = LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker g)).subtype)
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
ι : Type u_2
a b : ℝ
f : ι → ℂ
s : Finset ι
ha₀ : 0 ≤ a
ha : ↑a = ∑ i ∈ s, f i
hb : b = ∑ i ∈ s, ‖f i‖
⊢ a ≤ b
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
x : Filter β
x.NeBot
lim : Filter.Tendsto f x (𝓝 a)
h : ∀ (c : β), f c ≤ b
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
TopologicalSpace α
f g : α → P
x : α
s : Set α
hf : ContinuousWithinAt f s x
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ ContinuousWithinAt (f -ᵥ g) s x
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
m n : ℕ
H : m ≤ n
p : R[X]
hpI : p ∈ I
hpdeg : p.degree ≤ ↑m
⊢ ∃ p_1 ∈ I, p_1.degree ≤ ↑n ∧ p_1.leadingCoeff = p.leadingCoeff
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
j : ι
hj : ¬c.Rel j (c.next j)
k : ι
hk' : c.Rel j k
⊢ c.Rel j (c.next j)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
⊢ ∀ x ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ, (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ 𝓝 x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
⊢ (P y * Q z ^ 3 - P z ^ 3 * Q y) * (P z ^ 2 * Q z ^ 2) * (P z * Q z * (P x * Q z ^ 2 - Q x * P z ^ 2)) = (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) * (P z ^ 3 * Q z ^ 3 * (P x * Q z ^ 2 - Q x * P z ^ 2))
α : Type u
β : Type v
Group α
Group β
f : α → β
hf : IsGroupHom f
⊢ Function.Injective f ↔ ∀ (a : α), f a = 1 → a = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set γ
⊢ (r.comp s).core t = r.core (s.core t)
R : Type u
CommRing R
⊢ (AlgebraCat.toModuleCatBraidedFunctor R).toMonoidalFunctor = AlgebraCat.toModuleCatMonoidalFunctor R
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝¹ : Matroid α
N : Matroid β
E X✝ I : Set α
M✝ M : Matroid α
X : Set α
⊢ (M.restrictSubtype X).map Subtype.val ⋯ = M ↾ X
α β : Type u
f : Cardinal.{u} → Cardinal.{max u v}
s : Set Cardinal.{u}
hs : Small.{u, u + 1} ↑s
⊢ Small.{max u v, (max u v) + 1} ↑(f '' s)
α : Type u_1
n : ℕ
DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
⊢ Sym.fill a (Sym.filterNe a m).fst (Sym.filterNe a m).snd = m
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
⊢ IsCofilteredOrEmpty C
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
N₁ N₂ : ℕ
hN₁ : N ≤ N₁
hN₁' : f N₁ ω < a
hN₂ : N₁ ≤ N₂
hN₂' : b < f N₂ ω
⊢ (upcrossingsBefore a b f N ω).succ ∈ {n | upperCrossingTime a b f (N₂ + 1) n ω < N₂ + 1}
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
⊢ ((∃ ε > 0, ∀ {a b : X}, dist a b < ε → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s) ∧ ∃ ε > 0, ∀ {a b : Y}, dist a b < ε → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s) ↔ ∃ δ > 0, ∀ (a b : X ⊕ Y), glueDist Φ Ψ ε a b < δ → (a, b) ∈ s
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
AddCommGroup V₃
Module k V₃
AddTorsor V₃ P₃
AddCommGroup V₄
Module k V₄
AddTorsor V₄ P₄
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
TopologicalSpace P₃
TopologicalSpace P₄
e₁ : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
e₂ : P₂ ≃ᵃL[k] P₃
e₃ : P₃ ≃ᵃL[k] P₄
⊢ (e₁.trans e₂).trans e₃ = e₁.trans (e₂.trans e₃)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u
CategoryTheory.Category.{t, u} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
F.IsContinuous J K
ℱ : CategoryTheory.Sheaf K A
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), ((F.sheafPushforwardContinuous A J K).obj ℱ).val.map f = ℱ.val.map (F.map f.unop).op
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ￢￢(a ⊔ b) = ￢￢a ⊔ ￢￢b
R : Type u_1
inst✝⁸ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
e : Basis ι R M
eι : ι ≃ ι'
⊢ (e.reindex eι).orientation = (Orientation.reindex R M eι) e.orientation
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : N ⊗[R] M
⊢ (rTensor M (g ∘ₗ f)) x = (rTensor M g) ((rTensor M f) x)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
x : Sigma γ
i : ι
a : α i
j : ι
b : β j
h : i ≠ j
⊢ x ∈ sigmaLift f ⟨i, a⟩ ⟨j, b⟩ ↔ ∃ (ha : ⟨i, a⟩.fst = x.fst) (hb : ⟨j, b⟩.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ ⟨i, a⟩.snd) (hb ▸ ⟨j, b⟩.snd)
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
f : α ↪o β
OrderTop α
OrderTop β
a₁ a₂ : α
⊢ Codisjoint (f a₁) (f a₂) → Codisjoint a₁ a₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
U : Set H
hU : IsOpen U
s : Set H
comp : IsCompact s
sU : s ⊆ U
u : Set ↑s := Subtype.val ⁻¹' interior s
u_open_in_s : IsOpen u
x : { x // x ∈ s }
memU : ↑x ∈ U
xs : ↑x ∈ interior s
this : CompactSpace ↑s
⊢ ∃ v ∈ {s | IsClopen s}, ↑x ∈ v ∧ v ⊆ U
α : Type u
γ : Type w
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
l : Filter γ
f : γ → α
u v : α
hv : u < v
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 v)
⊢ ∀ᶠ (a : γ) in l, u ≤ f a
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
m✝ : Multiset R
a : R
m : Multiset R
ih : (Multiset.map (fun x => span {x}) m).prod = span {m.prod}
⊢ (Multiset.map (fun x => span {x}) (a ::ₘ m)).prod = span {(a ::ₘ m).prod}
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
x : α
⊢ Ideal.span {x} ≤ I ↔ x ∈ I
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v w : HeightOneSpectrum R
hw : w ≠ v
⊢ count K v ↑w.asIdeal = 0
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : MeasurableAdd₂ G
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s μ
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection U
y : E
⊢ ‖y - ↑((orthogonalProjection U) y)‖ = ⨅ x, ‖y - ↑x‖
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
DirectedSystem G fun i j h => f i j h
i j k : ι
hij : i ≤ j
hjk : j ≤ k
x : G i
⊢ f j k hjk (f i j hij x) = f i k ⋯ x
x y : Nat
⊢ min x.succ y.succ = (min x y).succ
α : Type u_1
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ sign a = 1 ↔ 0 < a
x✝ y x : ℝ≥0
⊢ sqrt x * sqrt x = x
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
degree_g_lt : g.degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, Polynomial.eval x f = Polynomial.eval x g
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsTrans β s
f : r ≺i s
a : α
b : β
⊢ s b (f.toRelEmbedding a) ↔ ∃ a', f.toRelEmbedding a' = b ∧ r a' a
α : Type u
f : Filter α
a : α
⊢ f < pure a ↔ f = ⊥
R : Type u
CommRing R
X : Type v
Ring X
Bialgebra R X
⊢ Coalgebra.counit = Coalgebra.counit
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑R
inst✝ : Algebra ↑R ↑S
y : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk p)
U : TopologicalSpace.Opens ↑(Spec.topObj R)
hp : p ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op U))
e : (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hp⟩) s = y
r : ↑R
hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r
hrU : PrimeSpectrum.basicOpen r ≤ U
⊢ ∃ x, x.2 • y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) x.1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⇑0 = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a✝ b : R
inst✝ : Nontrivial R
hx : IsTranscendenceBasis R x
a : A
ai : AlgebraicIndependent R fun o => o.elim a x
h₁ : range x ⊆ range fun o => o.elim a x
⊢ False
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
x : AddMonoidAlgebra k G
g : G
⊢ AddMonoidAlgebra.of' k G g * x.divOf g + x.modOf g = x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ iSup (evenOdd Q) = ⨆ i, LinearMap.range (ι Q) ^ i
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)
μ : (X Y : C) → F.obj X ⊗ F.obj Y ⟶ F.obj (X ⊗ Y)
μ_natural : autoParam (∀ {X Y X' Y' : C} (f : X ⟶ Y) (g : X' ⟶ Y'), (F.map f ⊗ F.map g) ≫ μ Y Y' = μ X X' ≫ F.map (f ⊗ g)) _auto✝
associativity : autoParam (∀ (X Y Z : C), (μ X Y ⊗ 𝟙 (F.obj Z)) ≫ μ (X ⊗ Y) Z ≫ F.map (α_ X Y Z).hom = (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ (𝟙 (F.obj X) ⊗ μ Y Z) ≫ μ X (Y ⊗ Z)) _auto✝
left_unitality : autoParam (∀ (X : C), (λ_ (F.obj X)).hom = (ε ⊗ 𝟙 (F.obj X)) ≫ μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom) _auto✝
right_unitality : autoParam (∀ (X : C), (ρ_ (F.obj X)).hom = (𝟙 (F.obj X) ⊗ ε) ≫ μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom) _auto✝
X Y Z : C
⊢ μ X Y ▷ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj Z ≫ μ (X ⊗ Y) Z ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map (α_ X Y Z).hom = (α_ ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X) ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj Y) ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj Z)).hom ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X ◁ μ Y Z ≫ μ X (Y ⊗ Z)
α : Type u_1
Fintype α
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ ↑(Finset.filter p Finset.univ) = {x | p x}
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
⊢ f x ≤ ⨆ y, f x * (f y / f y)
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁷ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁶ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝⁵ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝⁴ : K.HasTotal c
inst✝³ : K.flip.HasTotal c
inst✝² : DecidableEq J
inst✝¹ : TotalComplexShapeSymmetry c₂ c₁ c
inst✝ : TotalComplexShapeSymmetrySymmetry c₁ c₂ c
j : J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j
⊢ K.flip.flip.ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ (K.flip.totalFlipIso c).hom.f j = K.flip.flip.ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ (K.totalFlipIso c).symm.hom.f j
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
k j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : k ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = g ≫ β
⊢ M.mk F ⟨j₁, x⟩ * M.mk F ⟨j₂, y⟩ = M.mk F ⟨k, (F.map f) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map g) ⟨j₂, y⟩.snd⟩
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
terminates : (of v).Terminates
⊢ ∃ a, ∀ b ≥ a, v = (of v).convs b
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
⊢ ↑f.support = {x | f x ≠ x}
m n✝ a✝ b✝ c✝ d a b n c : ℤ
ha : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ b + 0 ≡ b [ZMOD n]
X : Type u_1
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
h₁ : SequentialSpace X
h₂ : SequentialSpace X
⊢ SequentialSpace X
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
⊢ IsOpen (⋂₀ {t | IsOpen t ∧ s ⊆ t})