ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Adapted ℱ f
hab : a < b
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun ω => ↑(MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f N ω)) μ
s : ℂ
⊢ ¬MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => ‖(ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
x : M
y : M'
s : Set M
t : Set M'
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
ht : UniqueMDiffWithinAt I' t y
⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') (s ×ˢ t) (x, y)
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsFiltered J
F : J ⥤ Grp
x : (j : J) × ↑(F.obj j)
⊢ (Grp.FilteredColimits.G.mk F x)⁻¹ = Grp.FilteredColimits.G.mk F ⟨x.fst, x.snd⁻¹⟩
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b x : A
a✝ : R
⊢ D ((aeval x) (C a✝)) = (aeval x) (derivative (C a✝)) • D x
α : Type u_1
arr : Array α
⊢ arr ++ [] = arr
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq K
w : m → K
hu : univ ⊆ {i | w i = 0}ᶜ ∪ {i | w i = 0}
hd : Disjoint {i | w i ≠ 0} {i | w i = 0}
B₁ : ⨆ i ∈ {i | w i ≠ 0}, range (stdBasis K (fun x => K) i) = ⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)
B₂ : ↥(⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)) ≃ₗ[K] (i : ↑{i | w i ≠ 0}) → (fun x => K) ↑i
⊢ ↥(⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)) ≃ₗ[K] { i // w i ≠ 0 } → K
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
⊢ κ ⊗ₖ η.restrict ht = κ.restrict ?hs ⊗ₖ η.restrict ?ht
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G
⊢ H.subgroupOf K = ⊤ ↔ K ≤ H
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsRelPrime (y * z + x) y
⊢ IsRelPrime x y
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b ⩿ toIcoDiv hp a b
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
DecidableEq α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ Finset.Ico a b * Finset.Icc c d ⊆ Finset.Ico (a * c) (b * d)
X : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
TopologicalSpace X
F : Filter α
φ : β → α
p : Filter β
u : α → X
p.NeBot
h : Filter.Tendsto φ p F
H : Filter.Tendsto (u ∘ φ) p (𝓝 x)
⊢ MapClusterPt x F u
α : Type u_1
i : ℕ
x : α
l : List α
⊢ (i, x) ∈ l.enum ↔ l.get? i = some x
A : Type u_1
NonUnitalNonAssocCommRing A
IsCommJordan A
a b : A
⊢ 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (b * a)⁆) = ⁅L (a * a), L b⁆ + ⁅L (b * b), L a⁆
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
⊢ Ordinal.CNF 0 o = [(0, o)]
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀
⊢ x ∈ ↑(nonZeroDivisorsRight M₀) ↔ x ∈ {x | x ≠ 0}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
LinearOrder β
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
a : α
Nonempty α
⊢ f (Function.argmin f h) ≤ f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : Unique αˣ
s : Finset α
n : α
h : ∀ a ∈ s, Prime a
div : ∀ a ∈ s, a ∣ n
⊢ ∏ p ∈ s, p ∣ n
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃ = π ↔ Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s✝ t : Multiset α
a : α
t' : Multiset α
h : s✝ ≤ t'
l₁ l₂ : List α
s : l₁ <+ l₂
m₁ : a ∉ ↑l₁
m₂ : a ∈ ↑l₂
⊢ a ::ₘ ↑l₁ ≤ ↑l₂
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.ReflectsLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f f) F
CategoryTheory.Mono (F.map f)
⊢ CategoryTheory.Mono f
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f : M → N
x x' y : M
⊢ polar f (x + x') y = polar f x y + polar f x' y ↔ f (x + x' + y) + (f x + f x' + f y) = f (x + x') + f (x' + y) + f (y + x)
X✝ : CondensedSet
X : TopCat
⊢ Continuous ((fun x => x.toFun PUnit.unit) ∘ CondensedSet.coinducingCoprod X.toCondensedSet)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
⊢ IsClosedMap f
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
fsymm : f.NonlinearRightInverse
y : F
⊢ ‖fsymm.toFun y‖ ≤ ↑fsymm.nnnorm * ‖y‖
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
a₁ b₁ : M
a₂ b₂ : ↥S
H : ↑a₂ * b₁ = ↑b₂ * a₁
⊢ f.mk' a₁ a₂ = f.mk' b₁ b₂
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
x : ↥P.ker
⊢ ((map (g.comp f)) (mk x)).val = ((↑S (map g) ∘ₗ map f) (mk x)).val
⊢ Filter.Tendsto (fun n => 1 / (↑n + 1)) Filter.atTop (𝓝 0)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (toZModPow p n).comp (fromPadicInt p) = (PadicInt.toZModPow n).comp (RingHom.id ℤ_[p])
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
PartialOrder α
a b : α
ha : μ {a} = 0
hb : μ {b} = 0
⊢ Set.Ico a b =ᵐ[μ] Set.Ioc a b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y) (a : (CategoryTheory.yoneda.obj F).obj ((CategoryTheory.Functor.const J).op.obj X)) (X_1 : J),
  (F.cones.map f a).app X_1 = f.unop ≫ a.app X_1
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ‖r‖ = r
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux : ∀ y ∈ s, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧ f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
t : ℝ
ht : t ∈ s
xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)
h : HasDerivAt f ((tangentCoordChange I xₜ x₀ xₜ) (v xₜ)) t
hf3 : f t ∈ interior (extChartAt I x₀).target
hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target
hft1 : ↑(extChartAt I x₀).symm (f t) ∈ (extChartAt I x₀).source
hft2 : xₜ ∈ (extChartAt I xₜ).source
⊢ HasDerivAt ((↑(extChartAt I xₜ) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) ∘ f) ((tangentCoordChange I x₀ xₜ xₜ) ((tangentCoordChange I xₜ x₀ xₜ) (v xₜ))) t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b : M
a : α
b₁ b₂ : M
eq : single a b₁ = single a b₂
this : (single a b₁) a = (single a b₂) a
⊢ b₁ = b₂
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial σ R
hf : ∀ (φ : MvPolynomial σ R), f φ = φ
x : σ → R
⊢ comap f x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => κ.density ν a x s) (ν a)
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
inst✝ : Fintype δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
e : { j // j ∈ Finset.univ } ≃ δ := subtypeUnivEquiv ⋯
⊢ ∫⋯∫⁻_Finset.univ, f ∂μ = fun x => ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
⊢ comonEquiv.inverse = cartesianComon_ C
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃+ M₂
as : List R
bs : List S
h : List.Forall₂ (fun r s => ∀ (x : M), e (r • x) = s • e x) as bs
⊢ IsWeaklyRegular M as ∧ ¬Subsingleton (M ⧸ Ideal.ofList as • ⊤) ↔ IsWeaklyRegular M₂ bs ∧ ¬Subsingleton (M₂ ⧸ Ideal.ofList bs • ⊤)
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a b : α
⊢ ↑(Ioi a * Ici b) ⊆ ↑(Ioi (a * b))
R : Type u_1
inst✝ : MulZeroClass R
a b : R
⊢ (∀ (x y : R), x = y) ↔ ∀ (x y : R), x = y
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
⊢ Subtype.val '' ↑(LocalRing.maximalIdeal ↥A) = ↑A.nonunits
α : Type ua
β : Type ub
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : UniformSpace α
u₂ : ι → UniformSpace β
⊢ UniformContinuous f ↔ ∀ (i : ι), UniformContinuous f
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₂
f : M 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => M i.succ) M₂
m : M 0
x : (i : Fin n) → M i.succ
⊢ (f.uncurryLeft.curryLeft m) x = (f m) x
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
⊢ Function.Bijective ⇑h
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
q : ℝ
hq_pos : 0 < q
h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), eLpNormEssSup f μ ^ q ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ eLpNormEssSup f μ ^ q * μ Set.univ
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommMonoid α
t : List ι
f₁ f₂ : ι → Set α
hf : ∀ i ∈ t, f₁ i ⊆ f₂ i
⊢ (List.map f₁ t).prod ⊆ (List.map f₂ t).prod
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {f g : α → E},
  MeasureTheory.StronglyMeasurable f →
    MeasureTheory.StronglyMeasurable g → MeasureTheory.StronglyMeasurable fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ a ∈ NonemptyInterval.pure a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ ((P.tensorBimod Q).tensorBimod L).actRight ≫ Bimod.AssociatorBimod.hom P Q L =
  Bimod.AssociatorBimod.hom P Q L ▷ U.X ≫ (P.tensorBimod (Q.tensorBimod L)).actRight
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ μ (s ∆ t) = μ (s \ t) + μ (t \ s)
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
σ : α → Perm β
l : List α
hl : l.Nodup
mem_l : ∀ (x : α), x ∈ l
l_to_finset : l.toFinset = univ
⊢ (List.map (⇑sign ∘ fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod = (List.map (fun k => sign (σ k)) l).prod
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
⊢ (∀ (x : X), IntegrableAtFilter f (𝓝 x) μ) ↔ LocallyIntegrable f μ
α : Type u_1
p : Set α → Prop
s₀ : Set α
hp : p s₀
t : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p t
⊢ ∃ S, (∀ (n : ℕ), p (S n)) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ (n : ℕ), x ∈ S n ↔ y ∈ S n) → x = y
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
s : S
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
z1 z2 : ↑((restrictScalars f).obj (mk S)) ⊗[R] ↑((restrictScalars f).obj Y)
ih1 : (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (s • z1) = (RingHom.id S) s • (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) z1
ih2 : (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (s • z2) = (RingHom.id S) s • (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) z2
⊢ (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (s • (z1 + z2)) = (RingHom.id S) s • (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (z1 + z2)
K : Type u
inst✝ : Field K
A R S : ValuationSubring K
hR : A ≤ R
hS : A ≤ S
h : R ≤ S
x : ↥A
hx : x ∈ A.idealOfLE S hS
c : (R.mapOfLE S h) 1 ≤ (R.mapOfLE S h) (R.valuation ↑((A.inclusion R hR) x))
⊢ False
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
g : Equiv.Perm α
ht : g.IsThreeCycle
⊢ (g * g).IsThreeCycle
ι : Type u_1
α : Type u_2
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
f1 f2 : ι →₀ α
⊢ (f1 - f2).support ⊆ f1.support
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s s' : Set A
⊢ zeroLocus 𝒜 s ∪ zeroLocus 𝒜 s' = zeroLocus 𝒜 ↑(Ideal.span s) ∪ zeroLocus 𝒜 ↑(Ideal.span s')
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ≥0∞
⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' closedBall b r = closedBall (b * a⁻¹) r
R : Type u_1
Semiring R
n : ℤ
a : R
⊢ (LaurentPolynomial.C a * LaurentPolynomial.T n).degree ≤ ↑n
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
DivisionRing β
a₁ a₂ : α
h : a₁ ≤ a₂
⊢ LinearOrderedField.cutMap β a₁ ⊆ LinearOrderedField.cutMap β a₂
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → β
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ MeasureTheory.Measure.map f μ = MeasureTheory.Measure.map g μ
α : Type u_1
OrderedSemiring α
a b : α
a' b' : ℕ
ha : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a a'
hb : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b b'
h : b'.ble a' = true
⊢ ¬a < b
n : ℕ
h : 2 * n ≤ n
⊢ n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a = b⁻¹ * c
⊢ b * a = c
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
M : ModuleCat R
inst✝ : Flat R ↑M
C : ShortComplex (ModuleCat R)
hC : Function.Exact ⇑C.f ⇑C.g
⊢ Function.Exact ⇑(C.map (tensorRight M)).f ⇑(C.map (tensorRight M)).g
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
h this : SigmaFinite μ
s : ℕ → Set α := spanningSets μ
hs_univ : ⋃ i, s i = univ
hs_meas : ∀ (i : ℕ), s i = ∅ ∨ s i = univ
h_univ_empty : ¬univ = ∅
i : ℕ
hsi : s i = univ
⊢ μ univ < ⊤
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
hs : 0 < s.infsep
⊢ s.Nontrivial
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Ioi x) x
⊢ derivWithin f (Set.Ioi x) x ≤ slope f x y
G : Type u_1
AddCommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑(AddCommMonoid.primaryComponent G p) = {g | ∃ n, addOrderOf g = p ^ n}
X : TopCat
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
R : CategoryTheory.Presieve U
f : (V : TopologicalSpace.Opens ↑X) × { f // R f }
⊢ TopCat.Presheaf.coveringOfPresieve U R f = f.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ✝ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s : Set β
⊢ (Measure.map f μ) s ≤ μ (f ⁻¹' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f₁
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂) ↔ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f₂
p₁ p₂ q₁ q₂ : Prop
h₁ : p₁ ↔ p₂
h₂ : q₁ ↔ q₂
⊢ (p₁ ↔ q₁) ↔ (p₂ ↔ q₂)
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type v
v : Basis ι R M
this : Nontrivial R
⊢ #ι = ⨆ ι, #↑↑ι
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇨ bᶜ = b ⇨ aᶜ
x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ x.arg = y.arg ↔ ↑(Complex.abs y) / ↑(Complex.abs x) * x = y
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
⊢ adjoin R (s ∪ t) = Subalgebra.restrictScalars R (adjoin (↥(adjoin R s)) t)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x✝ : ℕ
⊢ Tendsto (fun x => x.eraseIdx x✝) (pure []) (𝓝 ([].eraseIdx x✝))
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ m : OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)
h0 : ∑' (k : ℕ), m (s (k + 1) \ s k) ≠ ⊤
n : ℕ
⊢ (⋃ n, s n) \ s n ⊆ ⋃ i, s (i + n + 1) \ s (i + n)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalSpace α
g : α → WeakDual 𝕜 E
h : ∀ (y : E), Continuous fun a => (g a) y
⊢ Continuous g
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t
ntu : t ≠ u
this : ¬(G.replaceVertex s t).Adj s u
l1 : (G.replaceVertex s t).degree s = G.degree s
l2 : (G.replaceVertex s t).degree u = G.degree u - 1
l3 : 0 < G.degree u
⊢ G.edgeFinset.card < G.edgeFinset.card + (G.replaceVertex s t).degree s - (G.replaceVertex s t).degree u
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
inst✝ : StrongRankCondition R
⊢ ↑4 = 4
m n : ℕ
h : 0 < m + 1
⊢ n + 1 + 1 < ack m (ack (m + 1) n)
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
F : Filter X
f_closed : IsClosedMap f
f_cont : Continuous f
y : Y
⊢ MapClusterPt y F f ↔ (F.lift' closure ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' {y})).NeBot
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
a : R
x y : M
⊢ QuadraticMap.polar (⇑Q) x (a • y) = a • QuadraticMap.polar (⇑Q) x y
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
s : Set α
xs : x ∈ s
hs : IsOpen s
v : Set α
xv : x ∈ v
hv : IsOpen v
μv : μ v < ⊤
⊢ ∃ v ∈ {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}, x ∈ v ∧ v ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β
H : Set.InjOn f ↑s
⊢ (image f s).card = s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
n : ℕ
IH : Continuous fun a => a ^ n
x : ℝ≥0∞
⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ n * a) x
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
s : Set α
t : Set β
f : α → β → M
hs : s.Finite
ht : t.Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s) (j : β) (_ : j ∈ t), f i j = ∏ᶠ (j : β) (_ : j ∈ t) (i : α) (_ : i ∈ s), f i j
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t u : Set X
ht : SeparatedNhds s t
hu : SeparatedNhds s u
⊢ SeparatedNhds s (t ∪ u)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set Cᵒᵖ
⊢ IsCoseparating 𝒢.unop ↔ IsSeparating 𝒢
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s ∩ Ioo a b → p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s → p x
M : Type ?u.3475
inst✝ : Monoid M
u : (↥(Submonoid.center M))ˣ
r : Mˣ
⊢ ↑(r * (Units.map (Submonoid.center M).subtype) u) = ↑((Units.map (Submonoid.center M).subtype) u * r)
M : Type u_1
Mul M
Pow M ℕ+
PNatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ+
⊢ x ^ (m * n) = (x ^ m) ^ n
α : Sort u_3
h : ¬Nonempty α
⊢ Subsingleton α
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
X : V
f : X ⟶ C.X 0
w : f ≫ C.d 0 1 = 0
i : ℕ
⊢ (C.truncateAugment f w).hom.f i = 𝟙 (C.X i)