ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
hs : s = ∅
⊢ TotallyBounded s
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
Archimedean 𝕜
DiscreteTopology ↥(AddSubgroup.zmultiples p)
x : AddCircle p
⊢ ↑(AddCircle.partialHomeomorphCoe p a).symm x = ↑((AddCircle.equivIco p a) x)
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
hf : Surjective ⇑f
⊢ f.FiniteType
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : StrongFEPair E
s : ℂ
step1 : mellin (fun t => P.g (1 / t)) (-s) = mellin P.g s
step2 : mellin (fun t => ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s) = mellin P.g s
step3 : mellin (fun t => P.ε • ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s) = P.ε • mellin P.g s
⊢ mellin P.f (↑P.k - s) = mellin (fun t => P.ε • ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K
⊢ ker (toLin' (diagonal w)) = ⨆ i ∈ {i | w i = 0}, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)
R✝ : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R✝
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R✝ → R✝ → Prop
R : Type uR
inst✝ : Ring R
r : R → R → Prop
a b : R
⊢ (match { toQuot := Quot.mk (Rel r) a }, { toQuot := Quot.mk (Rel r) b } with | { toQuot := a }, { toQuot := b } => { toQuot := Quot.map₂ Sub.sub ⋯ ⋯ a b }) = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a - b) }
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
AddCommMonoidWithOne G
AddMonoidWithOne H
AddConstMapClass F G H 1 1
f : F
n : ℕ
x : G
⊢ f (↑n + x) = f x + ↑n
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
⊢ Tendsto rexp (𝓝 0) (𝓝 1)
R : Type u_7
CommRing R
s : Multiset ℤ
⊢ ↑s.prod = (Multiset.map Int.cast s).prod
α : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSingletonClass α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : Fintype α
p : PMF α
f : α → E
⊢ ∫ (a : α), f a ∂p.toMeasure = ∑ a : α, (p a).toReal • f a
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
x : ℝ
⊢ schnirelmannDensity A < x ↔ ∃ n, 0 < n ∧ ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ A) (Finset.Ioc 0 n)).card / ↑n < x
C : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝⁴ : S₁.HasHomology
inst✝³ : S₂.HasHomology
inst✝² : S₃.HasHomology
inst✝¹ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝ : QuasiIso φ
⊢ QuasiIso (opMap φ)
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
p q : TangentBundle I M
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
⊢ { proj := ↑(chartAt H p.proj) q.proj, snd := (mfderiv I I (↑(chartAt H p.proj)) q.proj) q.snd } = (TotalSpace.toProd H E).symm (↑(chartAt (ModelProd H E) p) q)
n : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
M : Matrix n n K
h✝ : Nonempty n
⊢ (M ^ Fintype.card K).trace = M.trace ^ Fintype.card K
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Module.Baer R Q
⊢ (Module.Baer.extensionOfMax i f).domain = ⊤
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
Semiring C
Algebra R C
Algebra S C
IsScalarTower R S C
Semiring D
Algebra R D
Semiring E
Algebra R E
Semiring F
Algebra R F
f₁ : A ≃ₐ[S] B
f₂ : B ≃ₐ[S] C
g₁ : D ≃ₐ[R] E
g₂ : E ≃ₐ[R] F
⊢ Algebra.TensorProduct.congr (f₁.trans f₂) (g₁.trans g₂) =
  (Algebra.TensorProduct.congr f₁ g₁).trans (Algebra.TensorProduct.congr f₂ g₂)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
hF :
  CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor F (CategoryTheory.Presieve.ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : CategoryTheory.Limits.Cofan X
(CategoryTheory.Presieve.ofArrows X c.inj).hasPullbacks
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
∀ (i : α), CategoryTheory.Mono (c.inj i)
hd :
  Pairwise fun i j =>
    CategoryTheory.IsPullback (CategoryTheory.Limits.initial.to (X i)) (CategoryTheory.Limits.initial.to (X j))
      (c.inj i) (c.inj j)
⊢ CategoryTheory.Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj =
  CategoryTheory.Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
ι : Type u_2
f : ι → Filter α
⊢ Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun t => ⨅ i ∈ t, f i
α : Type u_2
Preorder α
Add α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ NonemptyInterval.pure a + NonemptyInterval.pure b = NonemptyInterval.pure (a + b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
h₁ : (multiplicity a (-b)).Dom
h₂ : (multiplicity a b).Dom
⊢ ↑((multiplicity a (-b)).get h₁) = ↑((multiplicity a b).get h₂)
X : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : SeparableSpace X
inst✝¹ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
⊢ #↑s < 𝔠
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hf_lt : ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ < ⊤
hmem : ∀ᶠ (y : ℝ≥0∞) in 𝓝 (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ), ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ < y + ↑ε
s : Finset ι
hs : ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ < ∑ b ∈ s, (fun i => ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ i) b + ↑ε
⊢ ∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ s, μ i ∈ Metric.ball (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ) ↑ε
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
x : R
⊢ x ∈ s.toSubsemigroup ↔ x ∈ s
x : ℂ
⊢ Complex.abs x = 1 ↔ ∃ θ ∈ Set.Ioc (-π) π, Complex.exp (↑θ * Complex.I) = x
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
CommRing 𝕜
NoZeroDivisors 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
TopologicalSpace A
Ring A
Algebra 𝕜 A
φ ψ : ↑(WeakDual.characterSpace 𝕜 A)
h : RingHom.ker φ = RingHom.ker ψ
⊢ φ = ψ
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
⊢ Subgroup.comap f ⊤ = ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
U : Set X
hU_nhds : U ∈ 𝓝 x
hU_inter : U ∩ s = {x}
t : Set X
ht_sub : t ⊆ U
ht_open : IsOpen t
ht_x : x ∈ t
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ U ∩ s = {x}
c : Int
x y : Lean.Omega.Coeffs
w : c + x.dot y = 0
⊢ { lowerBound := some (-c), upperBound := some (-c) }.sat' x y = true
β : Type v
ι : Sort x
Countable ι
f : ι → β
⊢ (Set.range f).Countable
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ s : Set ℝ≥0∞
hs : s.Nonempty
⊢ sSup s + a = ⨆ b ∈ s, b + a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
self : X.Hom Y
⊢ (CategoryTheory.Subobject.pullback (CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.fst self.F)).obj X.rel ≤
  (CategoryTheory.Subobject.pullback
        (CategoryTheory.Limits.prod.map self.f (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y.tgt))).obj
    Y.rel
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫⁻ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) - g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a = ∫⁻ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) - ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hF : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ t → (b, a) ∈ t
htmem : t ○ t ⊆ u
⊢ ∀ᶠ (m : (ι × ι) × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p', (F m.1.1 m.2, F m.1.2 m.2) ∈ u
R : Type u_1
S : Type u_4
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ f.IsIntegral
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
f : ℕ → L
hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n
hintsum : IsIntegral R (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
r : R
hr : (algebraMap R K) r = (Algebra.norm K) (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
⊢ (Q.coeff 0 • B.gen ^ 0 + ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • B.gen ^ x) * B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q * B.gen ^ n
R : Type u_1
CommRing R
x y z : R
⊢ IsRelPrime x (y + z * x) ↔ IsRelPrime x y
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E := by volume_tac
hX : MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ
s : Set E
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.map X ℙ) s = ∫⁻ (x : E) in s, MeasureTheory.pdf X ℙ μ x ∂μ
a b c a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' ≤ a
hb : b' ≤ b
hc : c' ≤ c
⊢ a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c') ≤
  a ⨳ (b ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c')
M : Type u_2
N : Type u_3
Semigroup M
Semigroup N
F : Type u_4
FunLike F M N
MulHomClass F M N
f : F
a b : M
⊢ a ∣ b → f a ∣ f b
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
f : α →*₀o β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : IsOpenMap f
x : X
⊢ Set.range f ∈ 𝓝 (f x)
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hwU : w ∈ closure U
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x - y, x - y⟫_ℝ = ⟪x, x⟫_ℝ - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ⟪y, y⟫_ℝ
d : ℤ
a₁ : Pell.Solution₁ d
h : Pell.IsFundamental a₁
a : Pell.Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ a.x * a₁.y ≤ a.y * a₁.x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
n : ℕ
⊢ f a ≤ ↑n ↔ a ≤ ↑n
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E
r : ℝ
⊢ a ∈ Metric.closedBall 1 r ↔ ‖a‖ ≤ r
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
h : ↥H
ht : IsSl2Triple (↑h) e f
key : α h = 2
α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
hef : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑α'
hα' : α' = (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
⊢ ∃ s, s • h = coroot α
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x
hmono : MonotoneOn (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (Icc 0 (π / 2))
hconc : ConcaveOn ℝ (Icc (π / 2) π) fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
hx' : x ≤ π / 2
⊢ 0 ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
α : Type u_2
r r' : α → α → Prop
s : Set α
h : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, r' a b → r a b
⊢ s.WellFoundedOn r → s.WellFoundedOn r'
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
⊢ IsPreconnected (⋃ n ∈ t, s n)
α : Type u_1
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ a :: l₁ ~ a :: l₂ → l₁ ~ l₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
SetLike S R
Zero ι
One R
A : ι → S
SetLike.GradedOne A
⊢ SetLike.Homogeneous A 1
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
z : L
hz : z ∈ I
⊢ (Φ z) ⁅↑x, ↑y⁆ = 0
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x✝ : K
⊢ x✝ ∈ A.valuation.valuationSubring ↔ A.valuation x✝ ≤ 1
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
K : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} K
F : K ⥤ J
F.Final
CategoryTheory.EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} K
⊢ CategoryTheory.FinallySmall J
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
⊢ ‖(mk' S) m‖ = 0 ↔ m ∈ closure ↑S
m : Type u_2
α : Type v
NonAssocSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
x : α
v : m → α
⊢ (v ᵥ* Matrix.diagonal fun x_1 => x) = MulOpposite.op x • v
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y : C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
F G : C ⥤ Dᵒᵖ
e : F ≅ G
X : C
⊢ (e.hom.app X).unop ≫ (e.inv.app X).unop = 𝟙 (Opposite.unop (G.obj X))
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ Epi f ↔ Function.Surjective ⇑((forget₂ C Ab).map f)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
⊢ padicNorm p (↑f m) = padicNorm p (↑f n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set β
⊢ e.source ∩ ↑e ⁻¹' s = e.source ∩ (e.source ∩ ↑e ⁻¹' s)
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
s : Set α
h : μ s = 0
c : G
⊢ μ (c +ᵥ s) = 0
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ eLpNorm f_lim p μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm (f n) p μ) atTop
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x✝ y z : P
r R✝ : ℝ
x : P
R : ℝ
⊢ dist (inversion x R x) x = R ^ 2 / dist x x
α : Type u
AddMonoidWithOne α
a : α
n : ℕ
h : ↑n = a
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a n
R : Type u
A : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
r : R
⊢ (algebraMap R (ULift.{u_2, w} A)) r = { down := (algebraMap R A) r }
α : Type u
s : Set α
⊢ s ∩ sᶜ = ∅
x : ℝ
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Iic x) x ↔ x ≠ 1
a b : ℂ
ha : a ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => a ^ x) b
M : Type u
AddMonoid M
X : CategoryTheory.Discrete M
⊢ λ_ X = CategoryTheory.Discrete.eqToIso ⋯
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
a : ℕ
ha1 : a % 2 = 1
ha0 : ↑a ≠ 0
hp' : Fact (p % 2 = 1)
ha0' : ↑↑a ≠ 0
⊢ legendreSym p ↑a = (-1) ^ ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, x * a / p
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Sieve (F.obj X)
Y✝ Z✝ : C
f : Y✝ ⟶ X
hf : Presieve.functorPullback F R.arrows f
g : Z✝ ⟶ Y✝
⊢ R.arrows (F.map (g ≫ f))
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScottHausdorff α
s : Set α
h : IsOpen s
⊢ DirSupInacc s
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c a : M
h : IsUnit a
y : M
⊢ (fun x => a * x) (↑h.unit⁻¹ * y) = y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ¬Collinear k {p₁, p₂, p₃}
⊢ p₁ ≠ p₃
x z : ℝ
hx : 1 < x
hz : z < 0
⊢ x ^ z < 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
M : ModuleCat R
inst✝ : Flat R ↑M
C : ShortComplex (ModuleCat R)
hC : Function.Exact ⇑C.f ⇑C.g
⊢ Function.Exact ⇑(C.map (tensorLeft M)).f ⇑(C.map (tensorLeft M)).g
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
f : G ⧸ H → G
hf : ∀ (q : G ⧸ H), ↑(f q) = q
⊢ Set.range f ∈ Subgroup.leftTransversals ↑H
α : Type u_1
Finite α
p q : α → Prop
Fintype { x // p x }
Fintype { x // ¬p x }
Fintype { x // q x }
Fintype { x // ¬q x }
h : Fintype.card { x // p x } = Fintype.card { x // q x }
⊢ Fintype.card { x // ¬p x } = Fintype.card { x // ¬q x }
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : ∀ (a : X), f a ∈ s
⊢ Continuous (Set.codRestrict f s hs)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f : Finset α → β
⊢ StrictAnti f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄ (ha : a ∉ s), f (Finset.cons a s ha) < f s
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m
d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|
ε : ℝ
hε : μ (closedBall 0 ε + ⇑A '' closedBall 0 1) < ↑m * μ (closedBall 0 1)
εpos : 0 < ε
this : Iio ⟨ε, ⋯⟩ ∈ 𝓝 0
δ : ℝ≥0
hδ : δ ∈ Iio ⟨ε, ⋯⟩
s : Set E
f : E → E
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
⊢ μ (f '' s) ≤ ↑m * μ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
h : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
x : α
hx : ¬Acc r x
m : α
hm : m ∈ {x | ¬Acc r x}
hm' : ∀ x ∈ {x | ¬Acc r x}, ¬r x m
y : α
hy : r y m
⊢ Acc r y
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
ν.IsAddLeftInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.2 + z.1, -z.1)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
x : P
y z : P
⊢ Wbtw R x y z ∧ Wbtw R z x y ↔ x = y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S₁ S₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C n
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.IsComplex
h₂ : S₂.IsComplex
i : ℕ
hi : i + 2 ≤ n := by omega
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.scMapIso e h₁ h₂ i hi).inv = CategoryTheory.ComposableArrows.scMap e.inv h₂ h₁ i ⋯
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I : Ideal R
J : Ideal S
⊢ Ideal.map (RingHom.fst R S) (I.prod J) = I
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : Subsingleton ι
i₀ : ι
x : ⨂[R] (x : ι), M
this : ∀ (f : ι → M) (z : M), (fun x => z) = update f i₀ z
⊢ ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), M), ((tprod R) fun x_1 => (lift ((ofSubsingleton R M M i₀) LinearMap.id)) x) = x → ((tprod R) fun x => (lift ((ofSubsingleton R M M i₀) LinearMap.id)) y) = y → ((tprod R) fun x_1 => (lift ((ofSubsingleton R M M i₀) LinearMap.id)) (x + y)) = x + y
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ ∃ c, b = a + c
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
G₁ G₂ : W.Localization ⥤ D
τ : G₁ ⟶ G₂
⊢ (𝟭 (W.Localization ⥤ D)).map τ = eqToHom ⋯ ≫ (functor W D ⋙ inverse W D).map τ ≫ eqToHom ⋯
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
⊢ CompleteLattice.Independent fun i => span R {v i}
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
j : ℕ
⊢ (dNext j) f = P.d j (j + 1) ≫ f (j + 1) j