ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : Pseudofunctor B C
a✝ b✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
⊢ F.map₂ (λ_ f).inv = (λ_ (F.map f)).inv ≫ (fun a => (F.mapId a).inv) a✝ ▷ F.map f ≫ (fun {a b c} f g => (F.mapComp f g).inv) (𝟙 a✝) f
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f : α → E
s : Set α
sl : s ∈ l
hs : IntegrableOn f s μ
⊢ IntegrableAtFilter (-f) l μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
n : ℕ∞
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E) n (↑(extChartAt I x)) x
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ x ∈ closure s ↔ (comap Subtype.val (𝓝 x)).NeBot
R : Type u_1
L : Type u_2
Field R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
LieAlgebra.IsKilling R L
x : L
⊢ (LieDerivation.ad R L) x = 0 ↔ x = 0
α : Type u
UniformSpace α
p : α → Prop
⊢ UniformEmbedding Subtype.val
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
hy : y ∉ s
⊢ s.SOppSide y ((pointReflection R x) y)
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a b : α
⊢ a - -b = a + b
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
i : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Reflective i
CategoryTheory.CartesianClosed C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts D
CategoryTheory.ExponentialIdeal i
A B : C
X X' : D
f : (CategoryTheory.reflector i).obj (A ⨯ B) ⟶ X
g : X ⟶ X'
⊢ (CategoryTheory.bijection i A B X') (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.bijection i A B X) f) g
α : Type u_1
Preorder α
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
H : (Ordnode.node s l x r).Valid
⊢ l.Valid
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
x : α ⊕ β
⊢ x ∈ s.disjSum t ↔ (∃ a ∈ s, Sum.inl a = x) ∨ ∃ b ∈ t, Sum.inr b = x
n : ℕ
⊢ FermatLastTheoremFor n ↔ FermatLastTheoremWith ℚ n
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y z : L
⊢ -⁅z, ⁅x, y⁆⁆ = -⁅-⁅z, y⁆, x⁆ - -⁅-⁅z, x⁆, y⁆
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝[>] 0, ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → ↑m * μ s ≤ μ (f '' s)
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
⊢ Metric.cthickening ε (Metric.thickening δ s) = Metric.cthickening (ε + δ) s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Lattice α
a b c a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ Icc a₁ b₁ ∩ Icc a₂ b₂ = Icc (a₁ ⊔ a₂) (b₁ ⊓ b₂)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I : Ideal R
f : R ≃+* S
⊢ Ideal.comap (↑f) (Ideal.comap (↑f.symm) I) = I
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a⁻¹ < b ↔ 1 < a * b
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ (Function.mulSupport fun v => ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)).Finite
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
s✝ : Set M
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
f : M → N
hf : IsMonoidHom f
s : Set N
hs : IsSubmonoid s
a b : M
ha : f a ∈ s
hb : f b ∈ s
⊢ f (a * b) ∈ s
⊢ ‖Complex.imCLM‖₊ = 1
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
hn : ↑n < φ.order + ψ.order
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ antidiagonal n
hi : ¬↑i < φ.order
hj : ¬↑j < ψ.order
⊢ (coeff R (i, j).1) φ * (coeff R (i, j).2) ψ = 0
α : Type u_1
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) s
hfin : ∃ i, μ (s i) ≠ ⊤
⊢ μ (⋂ i, s i) = ⨅ i, μ (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
hκs : ∀ (a : α), IsFiniteMeasure (κ a)
⊢ Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactorsList
hn : n > 0
⊢ p ≤ n
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
mβ : MeasurableSpace β
LinearOrder α
Filter.atTop.IsCountablyGenerated
x : α
g : α → β
g_meas : ∀ t > x, AEMeasurable g (μ.restrict (Set.Ioc x t))
⊢ AEMeasurable g (μ.restrict (Set.Ioi x))
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
a : α
ha : a ∉ s
r : β → β → Prop
f : α → β
⊢ Pairwise (r on fun a_1 => f ↑a_1) ↔ Pairwise (r on fun a => f ↑a) ∧ ∀ b ∈ s, r (f a) (f b) ∧ r (f b) (f a)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
i : ι
this : s ∩ {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | min (τ ω) (π ω) ≤ i} = s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | min (τ ω) (π ω) ≤ i} ∩ {ω | min (τ ω) i ≤ min (min (τ ω) (π ω)) i}
⊢ MeasurableSet {ω | min (τ ω) i ≤ min (min (τ ω) (π ω)) i}
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a b : α
MulPosStrictMono α
hn : 0 < a
hm : 1 < b
⊢ a < b * a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R✝ : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
R : Type u_7
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
s : ℕ → Set α
ω : α
⊢ ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop} ↔ ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop}
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ lowerCentralSeries R L M₂ k ≤ LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M k)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousMul G
H : Subgroup G
g : G
hg : ↑H ∈ 𝓝 g
x : G
hx : x ∈ ↑H
hg' : g ∈ H
this : Filter.Tendsto (fun y => y * (x⁻¹ * g)) (𝓝 x) (𝓝 g)
⊢ ↑H ∈ 𝓝 x
α : Sort u
x : αᵒᵖ
⊢ Opposite.op (Opposite.unop x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
⊢ Filter.map (⇑(Equiv.prodAssoc α β γ).symm) (f ×ˢ g ×ˢ h) = (f ×ˢ g) ×ˢ h
α : Type u_2
p : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in Filter.cofinite, p x) ↔ {x | p x}.Infinite
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsLocalMaxOn f s a
hg : IsLocalMaxOn g s a
⊢ IsLocalMaxOn (fun x => max (f x) (g x)) s a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A ⊗[R] R[X]
⊢ ∀ (x y : A ⊗[R] R[X]), invFun R A ((toFunAlgHom R A) x) = x → invFun R A ((toFunAlgHom R A) y) = y → invFun R A ((toFunAlgHom R A) (x + y)) = x + y
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.57464, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j k : ℕ
x✝¹ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel j k
eq : K[X].d i j ≫ 𝟙 (X _[j]) ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0
⊢ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) ≫ (s.cofan (op [j])).inj (IndexSet.id (op [j])) ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b - (toIcoDiv hp a b - m) • p ∈ Set.Ico (a + m • p) (a + m • p + p)
M : Type u_1
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass P
f : M →+ P
x y : M
⊢ (AddCon.ker f) x y ↔ f x = f y
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ = (∫ (x : Ω), X x ∂μ) * c
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E 2 μ)
c : E
h_mem_Lp : Memℒp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) 2 μ
h_eq : ↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) h_mem_Lp) =ᶠ[ae μ] fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) (Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜) ⋯))) μ
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
he : e ∈ B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
hfe : f ≠ e
⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R
J : Submodule R R
hfg : J.FG
hle : J ≤ I
y : ↥J ⊗[R] M
hx₀ : (rTensor M (Submodule.subtype I)) ((rTensor M (inclusion hle)) y) = 0
⊢ (rTensor M (inclusion hle)) y = 0
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
i : ι
⊢ 0 i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
g : G
⊢ g = ∏ i : Fin 1, [g].get i ^ (-1) ^ ↑i
α : Type u_1
β : Type u_4
SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
x y : α
⊢ l.toFun (↑(l.toFun ↑x) ∪ ↑(l.toFun ↑y)) = l.toFun (↑x ∪ ↑y)
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
α : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → LinearOrder (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsWellOrder (α i) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Finite ι
s : Set ((i : ι) → α i)
val✝ : Fintype ι
⊢ ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (h : a ∉ s), (∀ (f : ℕ → (s : ι) → α s), ∃ g, ∀ ⦃a b : ℕ⦄, a ≤ b → ∀ x ∈ s, (f ∘ ⇑g) a x ≤ (f ∘ ⇑g) b x) → ∀ (f : ℕ → (s : ι) → α s), ∃ g, ∀ ⦃a_2 b : ℕ⦄, a_2 ≤ b → ∀ x ∈ Finset.cons a s h, (f ∘ ⇑g) a_2 x ≤ (f ∘ ⇑g) b x
R : Type u
CommRing R
b c d : R
m : ℕ
⊢ preNormEDS b c d (2 * (↑m + 2) + 1) =
  (preNormEDS b c d (↑m + 4) * preNormEDS b c d (↑m + 2) ^ 3 * if Even m then b else 1) -
    preNormEDS b c d (↑m + 1) * preNormEDS b c d (↑m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else b
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
hg : IsCauSeq abv g
⊢ IsCauSeq abv (f + g)
m k : ℕ+
h : k ∣ m
⊢ ↑k * ↑(m.divExact k) = ↑m
R : Type u_1
n : Type u_12
CommRing R
Fintype n
J A₁ : Matrix n n R
DecidableEq n
⊢ A₁ ∈ selfAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSelfAdjoint A₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : Set α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, c ∂μ < ⊤
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in s, f (g⁻¹ • x) ∂μ
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
w : InfinitePlace K
h₁ : x ≠ 0
h₂ : ∀ ⦃w' : InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1
h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1
⊢ ∀ (ψ : K →ₐ[ℚ] ℂ), w.embedding.toRatAlgHom ↑x = ψ ↑x → w.embedding.toRatAlgHom = ψ
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
f : α → E
hf : Integrable f ν
⊢ Integrable f ν
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
⊢ μ.AbsolutelyContinuous (μ.tilted f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), CategoryTheory.Square.evaluation₁.map φ = φ.τ₁
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
LawfulBitraversable t
α β : Type u
x : t α β
⊢ Bitraversable.tfst pure x = pure x
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a.factorizationLCMRight b ∣ ∏ x ∈ (a.lcm b).factorization.support, x ^ b.factorization x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
⊢ OpensMeasurableSpace α ↔ ∀ (s : Set α), IsOpen s → MeasurableSet s
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
Semiring S
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
f : M →ₛₗ[σ] M₂
x y : M
⊢ f (x - y) = f x - f y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_5
Preorder ι
One β
s : ι → Set α
hs : Monotone s
f : α → β
a : α
⊢ (fun i => (s i).mulIndicator f a) =ᶠ[Filter.atTop] fun x => (⋃ i, s i).mulIndicator f a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
J.WEqualsLocallyBijective A
X Y : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
f : X ⟶ Y
hf : J.W f
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f
⊢ ∀ {α : Type u_1} {R : α → α → Prop} {l : List α},
  List.Pairwise R l ↔ ∀ (i j : Nat) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → R l[i] l[j]
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ flip r = r ↔ Symmetric r
α : Sort u_1
Countable α
⊢ Nonempty (α ↪ ℕ)
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
a : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ map (fun x => a * x) (𝓝 1) = 𝓝 a
x : ℝ
⊢ Real.arcsin x ≤ π / 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ γ.neg.φH = -γ.φH
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
AddZeroClass M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
f g : Π₀ (x : ι), M
⊢ (f + g).toFinsupp = f.toFinsupp + g.toFinsupp
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s.dedup = t.dedup ↔ ∀ (a : α), a ∈ s ↔ a ∈ t
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
⊢ Finset.filter (fun a => p a ∧ ¬q a) s = Finset.filter p s \ Finset.filter q s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => Real.cos (f x)) (-Real.sin (f x) • f') x
u : PNat.XgcdType
h : u.r = 0
⊢ u.reduce = u.finish
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
⊢ (b + 2) ^ (l.length - 1) ≤ ofDigits (b + 2) l.dropLast + (b + 2) ^ (l.length - 1) * l.getLast hl
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
hι : Countable ι
s : ι → Set X
hcomp : ∀ (i : ι), IsCompact (s i)
h✝ : Nonempty ι
⊢ IsSigmaCompact (⋃ i, s i)
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
e : f ≅ g
⊢ g.hom = e.inv.left ≫ f.hom ≫ e.hom.right
α : Type u_1
E : Type u_3
Norm E
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
⊢ f₁ =O[l] f₂
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.deriv f (Order.succ o) = Ordinal.nfp f (Order.succ (Ordinal.deriv f o))
R : Type u_1
CommRing R
p a b c d x y : R
h1 : p ∣ a * x + b * y
h2 : p ∣ c * x + d * y
⊢ p ∣ (a * d - b * c) * x
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
⊢ Int.log b 0 = 0
s : ℂ
h2 : s ≠ 0
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊
t1 : -s.re < ↑n
t2 : -(s + 1).re < ↑n
⊢ Gamma (s + 1) = s * Gamma s
α : Type u_3
U : UniformSpace α
m : PseudoMetricSpace α
H : 𝓤 α = 𝓤 α
⊢ m.replaceUniformity H = m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
⊢ (s.support.biUnion fun a => {f a}) ⊆ image f s.support
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.index = 2 ↔ ∃ a, ∀ (b : G), Xor' (b * a ∈ H) (b ∈ H)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → α ⊕ β
b b' : β
h : f b = Sum.inr b'
⊢ ↑(tail ⟨Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b), ⋯⟩) = ↑⟨Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b'), ⋯⟩
α : Type u_1
E : Type u_3
E' : Type u_6
𝕜 : Type u_15
Norm E
SeminormedAddCommGroup E'
NormedDivisionRing 𝕜
f : α → E
f' : α → E'
l : Filter α
Module 𝕜 E'
BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ (f =O[l] fun x => c • f' x) ↔ f =O[l] f'
α : Type u_5
CancelCommMonoidWithZero α
p x y : α
h : Prime p
i : ℕ
hxy : p ^ (i + 1) ∣ x * y
⊢ p ^ (i + 1) ∣ x ∨ p ∣ y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h : ∀ (x_1 : ι), ∀ x₁ ∈ s x_1, ∀ x₂ ∈ s x_1, x x_1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x x_1 ∧ x₂ = x x_1
⊢ ∀ (x₁ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) → ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Antitone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)
⊢ CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, f x * (-1) ^ x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.SimplicialObject C),
  (AlgebraicTopology.DoldKan.natTransPInfty C).app x = AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)
n : ι
⊢ eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑f_lim) p μ ≠ ⊤
α : Type u
motive : List α → Sort u_2
nil : motive []
singleton : (a : α) → motive [a]
cons_append : (a : α) → (l : List α) → (b : α) → motive l → motive (a :: (l ++ [b]))
a : α
⊢ List.bidirectionalRec nil singleton cons_append [a] = singleton a
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsAtomistic αᵒᵈ
b : α
⊢ ∃ s, b = sInf s ∧ ∀ a ∈ s, IsCoatom a
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => term (n + 1) x) (Ici 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
h : f = g
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.equalizer.ι f g)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝¹ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ p i), C x ⋯
zero : C 0 ⋯
add : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, p i) (hy : y ∈ ⨆ i, p i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x✝ : M
hx : x✝ ∈ ⨆ i, p i
x y : M
⊢ (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) x → (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) y → (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) (x + y)
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
⊢ (D.obj j).ι.app k ≫ (D.map f).hom ≫ (Q j').desc { pt := c.pt, ι := { app := fun k => c.ι.app (j', k), naturality := ⋯ } } = (D.obj j).ι.app k ≫ (Q j).desc { pt := c.pt, ι := { app := fun k => c.ι.app (j, k), naturality := ⋯ } } ≫ 𝟙 c.pt
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ (AlgHom.id R A).toLinearMap = LinearMap.id
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Module S N
SMulCommClass R S N
f : α → M →ₗ[R] N
l : α →₀ M
⊢ ((Finsupp.lsum S) f) l = l.sum fun b => ⇑(f b)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
hμν : μ ≪ ν.singularPart μ + μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hνs : (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)) s = 0
t : Set α
left✝ : MeasurableSet t
ht1 : (ν.singularPart μ) t = 0
ht2 : μ tᶜ = 0
⊢ μ (s ∩ t) = 0 ∧ μ (s ∩ tᶜ) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s t : Set α
⊢ s.encard ≤ (s \ t).encard + t.encard
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
S : Multiset α
⊢ S.toFinset.prod id ∣ S.prod
⊢ ∀ {X Y : Preord} (a : ↑X →o ↑Y), Preord.dual.map a = OrderHom.dual a
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ((liftIsometry 𝕜 E F) f) x = (lift f.toMultilinearMap) x
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
U : Type u_2
CommRing U
Algebra R U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot U f
e : S ≃ₐ[R] T
⊢ (h.ofEquiv e).aequiv h' = e.symm.trans (h.aequiv h')
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
⊢ (b ^ p) ^ 2 - b ^ 2 = (b ^ p + b) * (b ^ p - b)
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScottHausdorff α
s : Set α
h : IsLowerSet s
⊢ IsOpen s
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
⊢ o.card = 0 ↔ o = 0
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
a : E →ₗᵢ[ℝ] UniformSpace.Completion E := UniformSpace.Completion.toComplₗᵢ
f' : ℝ → UniformSpace.Completion E := ⇑a ∘ f
⊢ ¬IntegrableOn g k volume
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H : ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ k a, (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨ x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧ ((k a).Dom ↔ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
⊢ (∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k' a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)