ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ SigmaCompactSpace X ↔ ∃ K, (∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)) ∧ ⋃ n, K n = Set.univ
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
this : IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)
x : ↑Γ(X, U)
n : ℕ
⊢ X.basicOpen ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩) = X.basicOpen f
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.256266, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 3
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
⊢ g.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.inv = app₂.inv ≫ f.map' 2 3 ⋯ ⋯
C : Type u₁
W : Type (v + 1)
CategoryTheory.Category.{v, v + 1} W
CategoryTheory.MonoidalCategory W
CategoryTheory.EnrichedCategory W C
X Y : CategoryTheory.ForgetEnrichment W C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.ForgetEnrichment.homOf W (CategoryTheory.ForgetEnrichment.homTo W f) = f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
X : Type u_3
TopologicalSpace X
c x : X → P
R : X → ℝ
a₀ : X
hc : ContinuousAt c a₀
hR : ContinuousAt R a₀
hx : ContinuousAt x a₀
hne : x a₀ ≠ c a₀
⊢ ContinuousAt (fun a => EuclideanGeometry.inversion (c a) (R a) (x a)) a₀
n : ℕ
n1 : 1 ≤ n
s : ℕ := n.sqrt
⊢ (unpair n).1 < n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
c : F
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => f y + c) x = fderiv 𝕜 f x
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x y : ModP K v O hv p
hxy0 : x * y ≠ 0
hx0 : x ≠ 0
hy0 : y ≠ 0
⊢ preVal K v O hv p (x * y) = preVal K v O hv p x * preVal K v O hv p y
p : ℕ+ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
n : ℕ+
⊢ n ≤ PNat.find h ↔ ∀ m < n, ¬p m
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hba : b₂ ≤ b₁
hdc : d ≤ a
⊢ b₂ • a + b₁ • d ≤ b₂ • d + b₁ • a
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure α
⊢ μ ≤ boundedBy m ↔ ∀ (s : Set α), μ s ≤ m s
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
injKxL : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥K⟮x⟯) L)
hx : IsIntegral K x
⊢ (algebraMap K F) ((norm K) (AdjoinSimple.gen K x)) = ((minpoly K x).aroots F).prod
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hsf : s.Finite
hs : s.Nontrivial
⊢ s.infsep = ⋯.toFinset.inf' ⋯ (Function.uncurry dist)
β : Type u_4
AddCommMonoid β
u : ℕ → β
N : ℕ
hu : ∀ n ≥ N, u n = 0
n : ℕ
hn : N ≤ n
⊢ ∑ k ∈ Finset.range n, u k = ∑ k ∈ Finset.range N, u k
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, x ≤ y
⊢ atTop = generate (Ici '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
γ : Type u_6
TopologicalSpace γ
g : γ → α
⊢ Continuous (⇑f ∘ g) ↔ Continuous g
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H✝
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H✝ β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
t : Set α
H : ν.restrict t ≪ μ
⊢ ν t = ∑' (g : G), ν (t ∩ g • s)
o : Ordinal.{u_1}
ho : Ordinal.Principal (fun x x_1 => x * x_1) o
ho₂ : o ≠ 2
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x + x_1) o
c c' : Lean.Omega.Constraint
t : Int
⊢ ((c.combine c').sat t = true) = (c.sat t = true ∧ c'.sat t = true)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
b m : ℝ
x y : E
f : E → ℝ
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 1 - b
hab : 1 - b + b = 1
⊢ (1 - b) * (f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2) + b * (f y - m / 2 * ‖y‖ ^ 2) + m / 2 * ((1 - b) ^ 2 * ‖x‖ ^ 2 + 2 * ((1 - b) * (b * ⟪x, y⟫_ℝ)) + b ^ 2 * ‖y‖ ^ 2) = (1 - b) * f x + b * f y - m / 2 * (1 - b) * b * (‖x‖ ^ 2 - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2)
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
z : ℝ
hz : ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r
⊢ 0 ≤ ‖z - x‖⁻¹
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsLindelof Set.univ ↔ LindelofSpace X
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
⊢ MvQPF.LiftPPreservation ↔ MvQPF.IsUniform
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
this✝ : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal ((-f) x))
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(μ.withDensityᵥ f) i = ↑((μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)).toSignedMeasure - (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).toSignedMeasure) i
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0
⊢ ∀ x_1 ∈ Finset.antidiagonal (m + n), (m + n).choose x_1.1 • ⁅((ad R L) x ^ x_1.1) y, ((ad R L) x ^ x_1.2) z⁆ = 0
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ l.reverse.rotate n = (l.rotate (l.length - n % l.length)).reverse
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
⊢ gaussSum χ ψ * gaussSum χ ψ = gaussSum χ ψ * (gaussSum χ ψ⁻¹ * χ (-1))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
h : map f p ≠ 0
⊢ Multiset.card (Multiset.map (⇑f) p.roots) ≤ Multiset.card (map f p).roots
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℂ
h₁ : Continuous f
h₂ : ∀ (x : α), f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ Continuous fun t => Complex.log (f t)
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
R : Type u_1
inst✝ : SMul R (FractionRing K[X])
c : R
toFractionRing✝ : FractionRing K[X]
⊢ (c • { toFractionRing := toFractionRing✝ }).toFractionRing = c • { toFractionRing := toFractionRing✝ }.toFractionRing
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ ↑(((decompose 𝒜) 0) 0) = 0
α : Type u_1
OrderedSemiring α
x : ↑(Set.Icc 0 1)
⊢ ↑x ≤ 1
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsReduced Y
U : X.Opens
this : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U
⊢ _root_.IsReduced ↑Γ(X, U)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
X✝ Y✝ : FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (𝟭 (FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom)).map f✝ = eqToHom ⋯ ≫ (generateEquivalenceOpensLe_functor' U ?m.36385 ⋙ generateEquivalenceOpensLe_inverse' U ?m.36432).map f✝ ≫ eqToHom ⋯
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
i j : ι
p : Monoid.CoprodI.Word.Pair M i
m : M j
⊢ ⟨j, m⟩ ∈ (Monoid.CoprodI.Word.rcons p).toList ↔ ⟨j, m⟩ ∈ p.tail.toList ∨ m ≠ 1 ∧ ∃ (h : i = j), m = h ▸ p.head
G : Type u_1
Group G
p p' : Subgroup G
x : G
⊢ x ∈ p ⊓ p' ↔ x ∈ p ∧ x ∈ p'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
f : α → β
⊢ Tendsto (fun x => f '' x) la.smallSets lb.smallSets ↔ Tendsto f la lb
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
h : (multiplicity p (n + 1)).Dom
hpn : ¬p ^ ((multiplicity p (n + 1)).get h + 1) ∣ n + 1
k : ℕ
hk : n + 1 = p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h * k
⊢ ¬↑p ∣ x ^ p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h
R : Type u_3
CommRing R
Nontrivial R
S : Submonoid R
P : Type u_4
Nontrivial P
CommRing P
Algebra R P
NoZeroSMulDivisors R P
hR : IsNoetherianRing R
hS : S ≤ R⁰
I : FractionalIdeal S P
⊢ (↑I).FG
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ ↑(SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id Δ).snd = 𝟙 (Opposite.unop Δ)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ ((∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p ≤ ↑c ^ p * ((∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace Ω
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : ℝ≥0
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0
fs_bdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), (fs n) ω ≤ c
fs_lim : Tendsto (fun n ω => (fs n) ω) atTop (𝓝 (E.indicator fun x => 1))
fs_lim' : ∀ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (fs n) ω) atTop (𝓝 (E.indicator (fun x => 1) ω))
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂μ) atTop (𝓝 (μ E))
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
e : M ≃+ M₂
⊢ e.toNatLinearEquiv.symm = e.symm.toNatLinearEquiv
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
s t : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
⊢ (s + t).hsum = s.hsum + t.hsum
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
r : ℕ
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ (r • f) v = r • f v
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ∀ {α_1 : Type u_3} {f : α → β → α_1} {a : α} {b : β} {m n : Nat},
  List.zipWith f (List.replicate m a) (List.replicate n b) = List.replicate (min m n) (f a b)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ Set.range ⇑(algebraMap (↥(adjoin F S)) E) ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T))
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) → (a : α) → Part (β a)
x : α
h' : ∃ i, (Fix.approx f i x).Dom
p : ℕ → Prop := fun i => (Fix.approx f i x).Dom
⊢ Part.fix f x = Fix.approx f (Nat.find h').succ x
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
⊢ 𝓝 (x, x) ≤ 𝓤 α
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : d.Has s₁
h₂ : d.Has s₂
h : s₂ ⊆ s₁
⊢ d.Has (s₁ \ s₂)
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p q : R[X]
h0 : q ≠ 0
hl : q.natDegree < p.natDegree
⊢ ¬p ∣ q
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
h_anti : AntitoneOn (deriv f) (interior D)
⊢ ConcaveOn ℝ D f
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S₁ S₂ : Subsemiring R
⊢ (S₁ ⊓ S₂).op = S₁.op ⊓ S₂.op
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
HasOrthogonalProjection s.direction
ps : Set P
hnps : ps.Nonempty
p : P
hps : ps ⊆ ↑s
hp : p ∉ s
hu : ∃! cs, cs.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
⊢ ∃! cs₂, cs₂.center ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s) ∧ insert p ps ⊆ Metric.sphere cs₂.center cs₂.radius
c d x y z w : ℕ
xy : Zsqrtd.SqLe x c y d
zw : Zsqrtd.SqLe z c w d
⊢ Zsqrtd.SqLe (x + z) c (y + w) d
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
⊢ LinearIndependent R ![x, y] ↔ ∀ (s t : R), s • x + t • y = 0 → s = 0 ∧ t = 0
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type s
CommRing S
Algebra R S
F : Type u
Field F
Algebra R F
Algebra S F
IsScalarTower R S F
K : Type v
Field K
Algebra R K
Algebra S K
IsScalarTower R S K
f : F →ₐ[S] K
x y : F
h : (WeierstrassCurve.baseChange W F).toAffine.Nonsingular x y
⊢ (WeierstrassCurve.Affine.Point.map W f) (WeierstrassCurve.Affine.Point.some h) = WeierstrassCurve.Affine.Point.some ⋯
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : μ t ≠ 0
h₀' : μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
h_avg : a • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ = ⨍ (x : α), f x ∂μ ∧ a • ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, g (f x) ∂μ = ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
⊢ g (a • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ) < a • ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, g (f x) ∂μ
α : Type u_1
NormedLatticeAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ ‖a ⊔ b - c ⊔ d‖ ≤ ‖a - c‖ + ‖b - d‖
x y : ℝ
h : x * y < 1
⊢ arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y))
α : Type u_2
DecidableEq α
InvolutiveInv α
Fintype α
⊢ Finset.univ⁻¹ = Finset.univ
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
PredOrder α
a : α
h : ¬IsMin a
⊢ Order.succ (Order.pred a) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
s : Set α
⊢ ⇑e.symm ⁻¹' s = ⇑e '' s
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₂
CategoryTheory.Preadditive D
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape J
TotalComplexShape c₁ c₂ c
K₁.HasMapBifunctor K₂ F c
DecidableEq J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
j : J
h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) ≠ j
⊢ K₁.ιMapBifunctorOrZero K₂ F c i₁ i₂ j = 0
A : Type v
Ring A
R : Type u
CommRing R
Algebra R A
M : Type w
AddCommGroup M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
⊢ LieModule R A M
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : G.chromaticNumber ≤ ↑n
m : ℕ
hm : G.Colorable m
⊢ G.Colorable n
x : ℝ
h₁ : BddBelow (abs '' {m | ↑m = ↑x})
h₂ : (abs '' {m | ↑m = ↑x}).Nonempty
⊢ sInf (norm '' {m | ↑m = ↑x}) = min (fract x) (1 - fract x)
α : Type u_1
Monoid α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
j : Fin (n + 1)
⊢ Fin.partialProd f j.succ = f 0 * Fin.partialProd (Fin.tail f) j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
x : E
y : NormedSpace.Dual 𝕜 E
⊢ ⟪(toDual 𝕜 E).symm y, x⟫_𝕜 = y x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂MeasureTheory.Measure.sum μ = ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ i
z w : ℍ
⊢ dist z w = 2 * Real.arsinh (dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im)))
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑k * ↑nc * ⅟↑db * ⅟↑da
h₂ : ↑nc * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑db * ⅟↑da * ⅟↑dc
⊢ ↑nc * ↑k * ⅟↑db * ⅟↑da = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑db * ⅟↑da * ⅟↑dc
x : ℝ
⊢ √x⁻¹ = (√x)⁻¹
α : Type u_1
CommMonoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
ha : ¬IsUnit a
hb : IsUnit b
⊢ multiplicity a b = 0
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
f : α → β
g : α →𝒄 β
h : f = ⇑g
⊢ Continuous (g.copy f h)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
h : ContMDiff I I' ⊤ f
⊢ Smooth I I' f
o : Ordinal.{u_3}
⊢ 0 < Order.succ o
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
GroupWithZero α
MulAction α β
Fintype β
s : Finset α
hs : s.Nontrivial
⊢ s • Finset.univ = Finset.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝 0) (𝓝 (μ (closure s)))
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
s : Set α
⊢ s \ MeasureTheory.addFundamentalInterior G s = MeasureTheory.addFundamentalFrontier G s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ ∑ c : Composition n, p.compAlongComposition (id 𝕜 E) c = p n
R : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ Submodule.torsion R M
⊢ Module.rank R (M ⧸ M') = Module.rank R M
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
IsDedekindDomain R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
k : K
⊢ (algebraMap K (DedekindDomain.ProdAdicCompletions R K)) k v = ↑K k
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_3
CommMonoid S
DistribMulAction S M
SMulCommClass S R M
⊢ Submodule.torsion' R (↥(Submodule.torsion' R M S)) S = ⊤
a : ℝ
⊢ #↑(Set.Ici a) = 𝔠
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v
⊢ ∀ᵐ (p : E) ∂μ, LineDifferentiableAt ℝ f p v
a : ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re + a.re
⊢ HasMellin ((Set.Ioc 0 1).indicator fun t => ↑t ^ a) s (1 / (s + a))
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r
inst✝ : Finite ι
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
x : (i : ι) → α i
this✝ : (i : ι) → Zero (α i) := fun i => { zero := ⋯.min ⊤ ⋯ }
this : IsTrans ι (Function.swap r)
⊢ WellFounded (Pi.Lex r fun {i} => s i)
R : Type u_1
Ring R
S : Submonoid R
⊢ Nonempty (OreLocalization.OreSet S) ↔
  (∀ (r₁ r₂ : R) (s : ↥S), r₁ * ↑s = r₂ * ↑s → ∃ s', ↑s' * r₁ = ↑s' * r₂) ∧
    ∀ (r : R) (s : ↥S), ∃ r' s', ↑s' * r = r' * ↑s
R : Type u
A : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : PartialOrder R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : StarOrderedRing R
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : PartialOrder A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : StarModule R A
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
c : R
hab : a < b
hc : 0 < c
⊢ c • a < c • b
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₂ : Set α
f : α → β
Preorder α
Preorder β
h : AntitoneOn f s
h' : s₂ ⊆ s
⊢ AntitoneOn f s₂
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ map valEmbedding (Icc a b) = Icc ↑a ↑b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ffmE : Fact (μ E < ⊤)
hInner : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε
N : ℕ
hfngε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε / 3
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
I : Type u
DecidableEq I
M : Type u_3
AddCommMonoid M
k l m n : I
u v : M
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
⊢ Pi.single k u + Pi.single l v = Pi.single m u + Pi.single n v ↔
  k = m ∧ l = n ∨ u = v ∧ k = n ∧ l = m ∨ u + v = 0 ∧ k = l ∧ m = n
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
K : Subsemiring R
⊢ Subsemiring.map (↑f) K = Subsemiring.comap (↑f.symm) K
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f✝ : α
hB : M.Base B
hB' : M.Base B'
h : B \ B' = {e}
f : α
hf : f ∈ B' \ B
hb : M.Base (insert f (B \ {e}))
⊢ ∃ f ∈ B' \ B, B' = insert f B \ {e}
n : ℕ
⊢ Finset.map { toFun := fun d => (d, n / d), inj' := ⋯ } n.divisors = n.divisorsAntidiagonal
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
φ₁ φ₂ : A →ₐc[R] B
⊢ ⇑φ₁ = ⇑φ₂ ↔ φ₁ = φ₂
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousSMul 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
ι : Type u_2
Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
f : ι → F
e : E
⊢ (v.constrL f) e = ∑ i : ι, v.equivFun e i • f i
β : Type u_2
AddCommMonoid β
n : ℕ
x : β
f : Fin n → β
⊢ ∑ i : Fin n.succ, Fin.cons x f i = x + ∑ i : Fin n, f i
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
a : 𝒳.obj
⊢ 𝒴.p.obj (F.obj a) = 𝒳.p.obj a
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
L : (ι → E × ℝ) →L[ℝ] E := (ContinuousLinearMap.fst ℝ E ℝ).comp (ContinuousLinearMap.proj (f.ind x hx))
this : HasMFDerivAt I 𝓘(ℝ, E) (⇑L ∘ ⇑f.embeddingPiTangent) x (L.comp (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x))
y : M
hy : ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y = 1 y
⊢ ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y • ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) y = ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) y
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ δ i.succ ≫ σ i = 𝟙 [n]
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n j : ℕ
hj : j < p ^ n
⊢ ↑(n - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) ≤ multiplicity p ((p ^ n).choose (j + 1))
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
this : {0} ⊆ spectrum R ↑a
⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ quasispectrum R ↑a