ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K✝ H K : Subgroup G
h : H ≤ K
val✝ : G
property✝ : val✝ ∈ H
⊢ ↑((inclusion h) ⟨val✝, property✝⟩) = ↑⟨val✝, property✝⟩
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
⊢ (‖x.1‖ ^ ENNReal.toReal 1 + ‖x.2‖ ^ ENNReal.toReal 1) ^ (1 / ENNReal.toReal 1) = ‖x.fst‖ + ‖x.snd‖
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
I : Ideal R
h : ∀ (x : ℕ), ↑x ∈ I → ↑x = 0
x : ℕ
⊢ ↑x - 0 ∈ I ↔ ↑x = 0
α : Type u_2
Add α
s t : Set α
a : α
⊢ a ∈ t → AddOpposite.op a +ᵥ s ⊆ s + t
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ⋯ = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
l : ℝ
hl : 1 < l
h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)
key : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0
⊢ ¬Summable f
R : Type u_1
OrderedRing R
NoZeroDivisors R
x y r : R
⊢ Sbtw R x (r * (y - x) + x) y ↔ x ≠ y ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
S : Set α
a b : α
⊢ (∀ (x : α), x ∈ (swap a b)⁻¹ • S ↔ x ∈ S) ↔ (a ∈ S ↔ b ∈ S)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
g : t ↪r u
⊢ ∀ {a b : α ⊕ γ}, Sum.Lex s u ({ toFun := Sum.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } a) ({ toFun := Sum.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } b) ↔ Sum.Lex r t a b
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
f : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ (K →+* ℂ) := (canonicalEmbedding.latticeBasis K).indexEquiv (Pi.basisFun ℂ (K →+* ℂ))
e : index K ≃ Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := (indexEquiv K).trans f.symm
M : Matrix (index K) (index K) ℝ := (mixedEmbedding.stdBasis K).toMatrix ⇑((latticeBasis K).reindex e.symm)
N : Matrix (K →+* ℂ) (K →+* ℂ) ℂ := Algebra.embeddingsMatrixReindex ℚ ℂ (⇑(integralBasis K) ∘ ⇑f.symm) RingHom.equivRatAlgHom
i✝ j✝ : index K
⊢ (matrixToStdBasis K *ᵥ (canonicalEmbedding K) ((integralBasis K) (e j✝)) ∘ ⇑(indexEquiv K)) i✝ = (matrixToStdBasis K * ((reindex (indexEquiv K).symm (indexEquiv K).symm) N)ᵀ) i✝ j✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : ‖y - a‖ < ε
I : ι
hI : a ∈ U I
i : ι
hi : I ≤ i
⊢ ‖↑((orthogonalProjection (U i)) y) - y‖ < ε
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
⊢ 1 ≤ a / b ↔ 0 < b ∧ b ≤ a ∨ b < 0 ∧ a ≤ b
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
s : Set (α → Prop)
a : α
⊢ ⨅ f, ↑f a ↔ ∀ r ∈ s, r a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
hf : MeasureTheory.Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)
S : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
⊢ IsCyclotomicExtension S A B ↔
  (∀ {n : ℕ+}, n ∈ S → ∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑n) ∧ ∀ (x : B), x ∈ Algebra.adjoin A {b | ∃ n ∈ S, b ^ ↑n = 1}
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ (whiskerRight f { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }).hom = ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv ≫ whiskerRight (whiskerRight f N) P ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M' N P, inv := AssociatorBimod.inv M' N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom).hom
x n m : ℕ
⊢ x ∣ x.gcd n * x.gcd m ↔ x ∣ n * m
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
X : α → β
Y : α → γ
μ : MeasureTheory.Measure α
hX : Measurable X
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).snd = MeasureTheory.Measure.map Y μ
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
T : AddSubmonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
z : N
u : Q
⊢ (f.map hy k) z = u ↔ k.toMap (g (f.sec z).1) = k.toMap (g ↑(f.sec z).2) + u
G : Type u_1
Add G
a : G
⊢ (AddConstEquiv.refl a).symm = AddConstEquiv.refl a
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x : F.M
n : ℕ
a✝ : Approx.sMk x.dest n = x.approx n
hd : F.A
h' : hd = head' (x.approx 1)
ch : F.B (head' (x.approx 1)) → CofixA F n
h : x.approx n.succ = CofixA.intro (head' (x.approx 1)) ch
a : F.B (head' (x.approx 1))
a'' : F.B (head' (x.approx n.succ))
hh : cast ⋯ a = a''
⊢ children' (x.approx n.succ) a'' = ch a
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
⊢ Function.Surjective ⇑(lTensor M f) ↔ Function.Surjective ⇑(rTensor M f)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hm : p ∈ a.factors
ha0 : a ≠ 0
⊢ p ∣ a
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
H K : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.map f H = AddSubgroup.map f K ↔ H ⊔ f.ker = K ⊔ f.ker
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
⊢ (thickenedIndicator δ_pos E) x ≤ 1
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ ⊥.FG
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
hs : MeasurableSet s
t : Set G
ht : MeasurableSet t
h1 : ν' s * ∫⁻ (y : G), t.indicator (fun x => 1) y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s) ∂ν' = ∫⁻ (x : G), t.indicator (fun x => 1) x ∂ν'
⊢ μ' s * ν' t = ν' s * μ' t
R : Type u_1
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid N
Module R N
f : ι →₀ R
g : κ →₀ N
a : ι
b : κ
⊢ ((finsuppTensorFinsuppLid R N ι κ) (f ⊗ₜ[R] g)) (a, b) = f a • g b
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
x : G
hx : IsOfFinAddOrder x
n : Fin (addOrderOf x)
⊢ (finEquivMultiples x hx) n = ⟨↑n • x, ⋯⟩
J : Type v
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} D
G : D ⥤ C
inst✝ : G.IsRightAdjoint
A : C
B : D
h : A ⟶ G.obj B
⊢ (fun x => (Adjunction.ofIsRightAdjoint G).unit.app A) PUnit.unit ≫ G.map (((Adjunction.ofIsRightAdjoint G).homEquiv A B).symm h) = h
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
s : Finset ι
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum fun i => μ ↑i) = ∑ i ∈ s, μ i
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
IsNoetherian R M
⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
I P : Ideal R
_hP : P.IsPrime
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ I ^ n ≤ P ↔ I ≤ P
α : Type u_1
G : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup G
f : α → G
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
β : Type u_2
MeasurableSpace β
MeasurableSingletonClass β
x : β
⊢ measurableAtom x = {x}
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
Nontrivial E
FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
S : Set (Subfield K)
this : ∀ {s t : Subfield K}, ↑s ≤ ↑t ↔ s ≤ t
⊢ IsGLB ((fun {x} => ↑x) '' S) ↑(sInf S)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
k : ℕ
h₀ : k + k ≠ 0
⊢ 0 < a ^ (k + k) ↔ a ≠ 0
a : ENNReal
⊢ 1 ≤ a⁻¹ ↔ a ≤ 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : Fork f g
ht : IsLimit t
Z : C
k : Z ⟶ t.pt
⊢ (k ≫ t.ι) ≫ f = (k ≫ t.ι) ≫ g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z
hd : Mem.other h = a
⊢ z.IsDiag
R : Type u
CommRing R
X Y : Type v
AddCommGroup X
Module R X
AddCommGroup Y
Module R Y
Q₁ : QuadraticForm R X
Q₂ : QuadraticForm R Y
e : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
⊢ (QuadraticModuleCat.ofIso e).inv.toIsometry = e.symm.toIsometry
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherianRing R
h : FiniteType R A
⊢ FinitePresentation R A
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s t : Set α
a : α
h : IsLowerSet sᶜ
⊢ IsUpperSet s
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.Nonempty ↔ s ≠ ∅
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_8, u_4} D₁
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D₂
T : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
R : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
B : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
L' : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
R' : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
w.GuitartExact
α : L ≅ L'
β : R ≅ R'
⊢ (w.whiskerVertical α.hom β.inv).GuitartExact
M : Type u_1
TopologicalSpace M
Monoid M
⊢ Embedding ⇑(Units.embedProduct M)
α : Type u_2
β : Type u_3
NonAssocRing α
NonAssocRing β
f : α →+* β
x : α
⊢ f (-x) = -f x
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ V_1 ∈ 𝓤 α, ball x V_1 ⊆ ball x V
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝² : Pretriangulated C
inst✝¹ : HasShift D ℤ
inst✝ : L.CommShift ℤ
H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
T₁ T₂ : Triangle D
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
T₁' : Triangle C
e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'
hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles
T₂' : Triangle C
e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'
hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles
comm₁ : L.map T₁'.mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁
comm₁' : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ L.map T₂'.mor₁
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ = e₁.hom.hom₂ ≫ L.map T₁'.mor₂
comm₂' : T₂.mor₂ ≫ e₂.hom.hom₃ = e₂.hom.hom₂ ≫ L.map T₂'.mor₂
comm₃' : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₂.hom.hom₁ = e₂.hom.hom₃ ≫ L.map T₂'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₂'.obj₁
comm₃ : L.map T₁'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₁'.obj₁ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₁.inv.hom₁ = e₁.inv.hom₃ ≫ T₁.mor₃
φ : L.mapTriangle.obj T₁' ⟶ L.mapTriangle.obj T₂'
hφ₁ : φ.hom₁ = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
hφ₂ : φ.hom₂ = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
h₂ : (L.mapTriangle.obj T₁').mor₂ ≫ φ.hom₃ = φ.hom₂ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₂
h₃ : (L.mapTriangle.obj T₁').mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map φ.hom₁ = φ.hom₃ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₃
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
⊢ ∀ (y : Fin n → M), (ιMulti R n) y ∈ ↑(⋀[R]^n M)
M : Type u_1
Add M
c : AddCon M
C : c.Quotient → Prop
q : c.Quotient
H : ∀ (x : M), C ↑x
⊢ C q
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ eval 0 ((⇑derivative)^[ν] (bernsteinPolynomial R n ν)) ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ (IsBigOWith c l f fun x => -g' x) ↔ IsBigOWith c l f g'
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ 2 = (cos b * sin b - cos a * sin a + b - a) / 2
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
hY : QuasiSeparatedSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
AlgebraicGeometry.QuasiSeparated f
⊢ QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Set.range (List.map f) = {l | ∀ x ∈ l, x ∈ Set.range f}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer I
W : C
k : (a : I.L) → W ⟶ I.left a
h :
  ∀ (b : I.R),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (k (I.fstTo b)) (I.fst b) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (k (I.sndTo b)) (I.snd b)
a : I.L
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.lift I W k h)
    (CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι I a) =
  k a
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
f : α → β
⊢ List.argmin f [] = none
x : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : x.im < 0
⊢ Complex.arg =ᶠ[𝓝 x] fun x => Real.arcsin ((-x).im / Complex.abs x) - π
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
t : Set β
ht : (Measure.map f ν) t = 0
⊢ (Measure.map f μ) t = 0
l✝ : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l✝
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
k l : n
h : j ≠ k
d : α
a b : n
⊢ (stdBasisMatrix i j c * stdBasisMatrix k l d) a b = 0 a b
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ s.val ⋖ t.val ↔ s ⋖ t
m n : ℕ
⊢ m.succ ≤ n ↔ m < n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
⊢ ∀ (a : α), f a < ⊤ → ↑(f a).toNNReal = f a
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
z : ℍ
hk' : 2 < ↑k
⊢ ∀ (b : Fin 2 → ℤ), Complex.abs (eisSummand k b z) ≤ r z ^ (-↑k) * ‖b‖ ^ (-↑k)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν s : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν
hs : s ⟂ₘ ν
hadd : μ = s + ν.withDensity f
⊢ ν.withDensity f = ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K✝ : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing A'
inst✝⁷ : CommRing A''
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R A''
a b : R
K : Type u_9
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower R K A
hinj : Injective ⇑(algebraMap R K)
ai : AlgebraicIndependent K x
this : (aeval x).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R K)) = (aeval x).toRingHom
⊢ Injective ⇑(aeval x).toRingHom
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : x ∈ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x}ᶜ
h'x : x ∈ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Iio x) x}ᶜ
⊢ x ∈ {x | ¬ContinuousAt f x}ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ b + a - c ≤ b + (a - c)
α : Type u
σ : Type v
M : NFA α σ
S : Set σ
⊢ M.toεNFA.εClosure S = S
R : Type u
NonAssocSemiring R
S T : Subsemiring R
h : ∀ (x : R), x ∈ S ↔ x ∈ T
⊢ S = T
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℂ
⊢ (∑ i ∈ s, f i).im = ∑ i ∈ s, (f i).im
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : N → M × M'
x : N
hf : ContMDiffAt J (I.prod I') n f x
⊢ ContMDiffAt J I' n (fun x => (f x).2) x
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
a : α
Decidable (a ∈ f n)
⊢ memPartitionSet f (n + 1) a = if a ∈ f n then memPartitionSet f n a ∩ f n else memPartitionSet f n a \ f n
⊢ ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} {x y : Sigma β}, x.fst = y.fst → HEq x.snd y.snd → x = y
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hlt✝ : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
n : ℕ
hnC : C < ↑n ^ (p - q)
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
hn : 0 < ↑n
⊢ C < ↑n ^ (-q) * ↑n ^ p
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α
n : ℕ
⊢ MeasurableSet (MeasurableSpace.natGeneratingSequence α n)
m n : ℕ
this : ∀ (r : ℕ), eulerMascheroniSeq r < eulerMascheroniSeq' r
⊢ eulerMascheroniSeq m < eulerMascheroniSeq' n
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx : v ↑p ^ (1 / ↑p) < v ((algebraMap O K) r)
s : O
hy : v ↑p ^ (1 / ↑p) < v ((algebraMap O K) s)
h1p : 0 < 1 / ↑p
⊢ v ↑p < v ((algebraMap O K) (r * s))
z : ℂ
x : ℚ
⊢ (z / ↑x).re = z.re / ↑x
R : CommRingCat
f : ↑(CommRingCat.of ↑R)
x : ↥(Opposite.unop (Opposite.op ⊤))
⊢ ↑((AlgebraicGeometry.toSpecΓ R) f) x = (algebraMap (↑R) (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.Localizations ↑R ↑x)) f
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
⊢ (Filter.bliminf u f fun x => p x ∨ q x) ≤ Filter.bliminf u f p ⊓ Filter.bliminf u f q
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
R : Type u
AddGroup R
StarAddMonoid R
r s : R
⊢ star (r - s) = star r - star s
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual aᶜ = ￢OrderDual.ofDual a
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
h : IsCompl a b
⊢ a = ￢b
α : Type u_1
R : Type u_5
Semiring R
α' : Type u_7
M' : Type u_8
AddCommMonoid M'
Module R M'
v' : α' → M'
f : α → α'
l : α →₀ R
⊢ (Finsupp.total α' M' R v') (Finsupp.mapDomain f l) = (Finsupp.total α M' R (v' ∘ f)) l
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
h : BddAbove s
⊢ BddAbove (s ∩ t)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal} ≤ MeasureTheory.eLpNorm f p μ ^ p.toReal
a b c : Nat
⊢ max (a * c) (b * c) = max a b * c
α : Sort u₁
β : Sort u₂
γ : Sort u_1
f : α → β
c : γ
⊢ Function.const β c ∘ f = Function.const α c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
φ : F₁ ⟶ F₂
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J (CategoryTheory.whiskerRight φ (CategoryTheory.forget D)) ↔
  CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
n : ℕ
c : Composition n
i : Fin c.length
j : Fin (c.blocksFun i)
⊢ ↑((c.embedding i) j) = c.sizeUpTo ↑i + ↑j
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι✝ : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜✝
inst✝⁶ : AddCommGroup E✝
inst✝⁵ : Module 𝕜✝ E✝
p✝ : SeminormFamily 𝕜✝ E✝ ι✝
inst✝⁴ : Nonempty ι✝
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (s.sup p).ball 0 r ∈ 𝓝 0
α : Type u
x : α
s : Set α
⊢ s ⊆ insert x (s \ {x})
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s✝ t : Set E
ι : Sort u_4
s : ι → Set E
hs : ∀ (i : ι), StarConvex 𝕜 x (s i)
y : E
hy : ∃ i, y ∈ s i
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∃ i, a • x + b • y ∈ s i