ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
a : α
⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, κ.density κ.fst a x Set.univ = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 (E →WOT[𝕜]F) (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) := seminormFamily 𝕜 E F
⊢ (𝓝 0).HasBasis (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets id
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder γ
f : β → α → γ
b : β
hf : Monotone fun a b => f b a
⊢ Monotone (f b)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
p' : Submodule R (M ⧸ p)
⊢ p.comapMkQOrderEmbedding p' = Submodule.comap p.mkQ p'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : M
hxf : x ∈ f.source
hxf' : x ∈ f'.source
⊢ ((f.extend I).symm ≫ f'.extend I).source ∈ 𝓝[Set.range ↑I] ↑(f.extend I) x
m : Type u → Type u
inst✝ : Monad m
α β : Type u
f : β → α → β
x✝ y✝ : FreeMonoid α
⊢ { toFun := fun xs => op (flip (List.foldl f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝ * y✝) = { toFun := fun xs => op (flip (List.foldl f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun x✝ * { toFun := fun xs => op (flip (List.foldl f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun y✝
β : Type u_3
γ : Type u_4
ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
⊢ ⇑(LinearOrderedField.inducedOrderRingIso β γ) = LinearOrderedField.inducedMap β γ
b n : ℕ
hb : b ≤ 1
⊢ log b (n / b * b) = log b n
R : Type u_1
MulZeroOneClass R
r : R
⊢ TrivSqZeroExt.inr r = r • ε
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
⊢ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s ↔ ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a < b
ι : Type u_1
s : Multiset ι
f : ι → ℝ
hs : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
r : ℝ
⊢ (Multiset.map (fun x => f x ^ r) s).prod = (Multiset.map f s).prod ^ r
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝¹ : P.IsPrime
I : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P
Q' : Ideal (S ⧸ I)
Q'_prime : Q'.IsPrime
hQ' : comap (algebraMap (R ⧸ comap (algebraMap R S) I) (S ⧸ I)) Q' = map (Quotient.mk (comap (algebraMap R S) I)) P
⊢ comap ((Quotient.mk I).comp (algebraMap R S)) Q' = P
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
hi : i = 0
⊢ False
R : Type u_3
CommRing R
StrongRankCondition R
⊢ FiniteDimensional.finrank R ℍ[R] = 4
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
⊢ t ∈ 𝒜.shadow ↔ ∃ s ∈ 𝒜, ∃ a ∈ s, s.erase a = t
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ a + b < 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w : ReducedWord G A B
g : G
hg : of g = ReducedWord.prod φ w
w' : ReducedWord G A B := let __src := ReducedWord.empty G A B; { head := g, toList := __src.toList, chain := ⋯ }
⊢ w.toList = []
a : Ordinal.{u_1}
ha : Ordinal.Principal (fun x x_1 => x + x_1) a
b : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x + x_1) (a ^ b)
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type uM
inst✝⁸ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁷ : ChartedSpace H M✝
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M✝
inst✝⁵ : SigmaCompactSpace M✝
inst✝⁴ : T2Space M✝
t : M✝ → Set F
n : ℕ∞
M : Type u_1
inst✝³ : EMetricSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
K U : ι → Set M
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
⊢ ∃ δ, (∀ (x : M), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, EMetric.closedBall x (ENNReal.ofReal (δ x)) ⊆ U i
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
F : Type u_3
Field F
Algebra k K
Algebra k F
Algebra K F
IsScalarTower k K F
h : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k F
⊢ IsUnramifiedAtInfinitePlaces K F
α : Type u
LE α
x y : α
⊢ x ≥ y ↔ y ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
b : β
DecidablePred fun x => x ∈ t
⊢ (fun a => (a, b)) ⁻¹' s ×ˢ t = if b ∈ t then s else ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
l : List α
hl : l.length = n + 1
⊢ ContinuousAt (Vector.eraseIdx i) ⟨l, hl⟩
α : Type u_1
LinearOrderedSemiring α
n : PosNum
⊢ 0 < ↑n
H : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id Set.univ y
⊢ ChartedSpace.LiftPropOn Q (↑(chartAt H x)) (chartAt H x).source
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
TopologicalSpace M
TopologicalSpace M₂
Semiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
AddCommMonoid M
Module R M
f : M →L[R] M₂
h : ¬∃ e', ↑e' = f
⊢ f.inverse = 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f✝ g✝ : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → A
hf : IntegrableOn f (Ι a b) μ
hg : ContinuousOn g [[a, b]]
⊢ IntegrableOn (fun x => g x * f x) (Ι a b) μ
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
x y : α
⊢ e x = e y ↔ x = y
R : Type u
a : R
Semiring R
⊢ (Polynomial.C a).coeff 0 = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
m : ι → β
hm : ∀ i ∈ s, ∀ᶠ (a : α) in f, F i a ≤ m i
⊢ ∀ᶠ (a : α) in f, (s.sup' hs fun i => F i a) ≤ s.sup' hs m
G : Type u_2
Group G
P H : Subgroup G
hP : P ≤ H
h : ↥H
⊢ MulAut.conj h • P.subgroupOf H = (MulAut.conj ↑h • P).subgroupOf H
R : Type u₁
Ring R
f : R →+* R
hf : f = RingHom.id R
X : ModuleCat R
⊢ (ModuleCat.restrictScalarsId' f hf).hom.app X = (ModuleCat.restrictScalarsId'App f hf X).hom
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ t₁ t₂ : List α
p₁ : l₁ ~ l₂
p₂ : t₁ ~ t₂
⊢ l₁ ∩ t₁ ~ l₂ ∩ t₂
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : support f ⊆ k
h'f : Continuous f
x : G
hx : f x ≠ 0
⊢ LocallyCompactSpace G
x y z : ℝ
n✝ : ℕ
hx : 0 ≤ x
n : ℤ
h : y - ↑n ≠ 0
⊢ x ^ (y - ↑n) = x ^ y / x ^ n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
⊢ S.HasLeftHomology
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x r)
⊢ ContinuousOn f (closedBall x r)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ IsPullback b.fst b.snd 0 0
r : ℝ
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ ENNReal.ofReal r = ↑n ↔ r = ↑n
S : Type u_2
CommRing S
IsDomain S
R : Type u_5
CommRing R
IsDomain R
Ideal.IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
CommRing Rₘ
CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
Algebra R Rₘ
IsLocalization.Away x Rₘ
Algebra S Sₘ
IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
⊢ ⊥.jacobson = ⊥
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.derivative Polynomial.X = 1
ι : Type u_1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
f g : ι → G₀
⊢ Function.support (f / g) = Function.support f ∩ Function.support g
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ (s.reindex e).circumradius = s.circumradius
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
F.PreservesZeroMorphisms
CategoryTheory.Limits.PreservesBinaryBiproduct X Y F
⊢ (F.mapBiprod X Y).inv =
  CategoryTheory.Limits.biprod.desc (F.map CategoryTheory.Limits.biprod.inl) (F.map CategoryTheory.Limits.biprod.inr)
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
⊢ ∀ (x : (Quotient.out (aleph 1).ord).α), (∀ (y : (Quotient.out (aleph 1).ord).α), (Quotient.out (aleph 1).ord).r y x → #↑(generateMeasurableRec s y) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀) → #↑(generateMeasurableRec s x) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0
⊢ u ∈ comap (gauge s) (𝓝 0)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
l r : List Char
⊢ { s := { data := l.reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len l } }.remainingBytes = utf8Len r
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
inst✝ : Nonempty ι
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a b : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : ι), f i b < nfpFamily f a) ↔ b < nfpFamily f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
x : α
y : β
hx : x ∈ e.source
hy : y ∈ e.target
h : x = ↑e.symm y
⊢ ↑e x = y
R : Type u
Semiring R
ι : Sort u_1
I : ι → Ideal R
x : R
⊢ x ∈ iInf I ↔ ∀ (i : ι), x ∈ I i
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure X
TopologicalSpace X
BorelSpace X
Y : Type u_5
MeasurableSpace Y
TopologicalSpace Y
BorelSpace Y
g : X → Y
f : Y → E
s : Set Y
hg : ClosedEmbedding g
⊢ ∫ (y : Y) in s, f y ∂MeasureTheory.Measure.map g μ = ∫ (x : X) in g ⁻¹' s, f (g x) ∂μ
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₃ = 0 ↔ IsIso T.mor₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
r : ℝ
hr : 0 < r
w : α
hw : r⁻¹ < ‖w‖
⊢ 0 < ‖w⁻¹‖ ∧ ‖w⁻¹‖ < r
s : ℝ
⊢ Gamma s * Gamma (1 - s) = π / sin (π * s)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : D
⊢ L.map (h.unit.app (R.obj X)) ≫ L.map (R.map (h.counit.app X)) = 𝟙 (L.obj (R.obj X))
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
x : Ei 0
m : (i : Fin n) → Ei i.succ
⊢ ‖f‖ * ∏ i : Fin (n + 1), ‖Fin.cons x m i‖ = ‖f‖ * ‖x‖ * ∏ i : Fin n, ‖m i‖
R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
d : n → R
μ : R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
b : Basis n R M
⊢ HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) μ ↔ ∃ i, d i = μ
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
NeZero ν
s : Set α
h : MeasureTheory.NullMeasurableSet (Prod.fst ⁻¹' s) (μ.prod ν)
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
f : F
⊢ ↑(RingHom.ker f) = ⇑f ⁻¹' {0}
N : ℕ
k n : ℤ
f : SlashInvariantForm (Gamma N) k
z : ℍ
Hn : ModularGroup.T ^ (↑N * n) ∈ Gamma N
⊢ f z = (↑(↑{ val := ↑↑⟨ModularGroup.T ^ (↑N * n), Hn⟩, inv := ↑(↑⟨ModularGroup.T ^ (↑N * n), Hn⟩)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } 1 0) * ↑z + ↑(↑{ val := ↑↑⟨ModularGroup.T ^ (↑N * n), Hn⟩, inv := ↑(↑⟨ModularGroup.T ^ (↑N * n), Hn⟩)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } 1 1)) ^ k * f z
α : Type u_1
t : Ordnode α
⊢ t.dual.Sized ↔ t.Sized
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
⊢ exterior s ⊆ exterior t → ∀ (x : Set α), exterior t ⊆ x → exterior s ⊆ x
n : ℤ
k : ℕ
⊢ n.lnot.testBit k = !n.testBit k
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
a : α
ha : a ∈ s
⊢ Set.inclusion h ⟨a, ha⟩ = ⟨a, ⋯⟩
α : Type u
x : FreeMagma α
⊢ 0 < x.length
x y z✝ : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
z : ZFSet
hz : z ∈ x ∧ z ∈ y
w : ZFSet
hw : w ∈ z
⊢ w ∈ x ∧ w ∈ y
X : FinBoolAlg
⊢ FinBoolAlg.dual.obj X = FinBoolAlg.of (↑X.toBoolAlg)ᵒᵈ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ Measurable (μ.rnDeriv ν)
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
⊢ (Stonean.pullbackIsoPullback f hi).hom =
  CategoryTheory.Limits.pullback.lift (Stonean.pullback.fst f hi) (Stonean.pullback.snd f hi) ⋯
a : ℕ
ha0 : 0 < a
⊢ (↑a)⁻¹.num = 1
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
W : Set Y
hWo : W ∈ nhds 1
hWV : W ⊆ V
hWc : IsCompact W
S1 : Set (X →* Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S2 : Set (ContinuousMonoidHom X Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S3 : Set C(X, Y) := _root_.toContinuousMap '' S2
S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3
h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
⊢ closure E = ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : OrderTop β
inst✝ : OrderTopology β
l : Filter α
f g : α → β
hf : Tendsto f l (𝓝 ⊤)
hg : f ≤ᶠ[l] g
⊢ Tendsto g l (𝓝 ⊤)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.desc f g = CategoryTheory.Limits.biprod.fst ≫ f + CategoryTheory.Limits.biprod.snd ≫ g
R : Type u
CommRing R
x y : R
Submodule.IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
⊢ IsBezout.gcd x y ∣ x
α : Type u_2
A : Set α
D : Set ↑A
⊢ Subtype.val '' D ∪ A = A
α : Type u_1
f g : α → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (a : α), (f a + g a) = ∑' (a : α), f a + ∑' (a : α), g a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x : L
D : LieDerivation R L M
⊢ ⁅x, ↑D⁆ = ↑⁅x, D⁆
α : Sort u_1
p q : α → Prop
e : ∀ (x : α), p x ↔ q x
a : { a // p a }
⊢ ↑((Equiv.subtypeEquivRight e) a) = ↑a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero h.H
α : Type u_3
Nonempty α
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ Filter.atTop.HasAntitoneBasis Set.Ici
A : Type u_1
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module ℝ A
IsScalarTower ℝ A A
SMulCommClass ℝ A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
a : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
ha₂ : QuasispectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ ∃ x, IsSelfAdjoint x ∧ QuasispectrumRestricts x ⇑ContinuousMap.realToNNReal ∧ x * x = a
n : ℕ
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
ih : ∀ m < Nat.card G, ∀ {G : Type u} [inst : Group G] [inst_1 : Finite G], Nat.card G = m → ∀ {N : Subgroup G} [inst_2 : N.Normal], (Nat.card ↥N).Coprime N.index → ∃ H, N.IsComplement' H
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
⊢ map ((fun p => m p.1 p.2) ∘ fun a => (a, b)) f = map (fun x => m x b) f
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (s \ t) μ
p q : ℚ
hp : 0 ≤ p
hq : q ≤ 0
⊢ (p * q).toNNRat = p.toNNRat * q.toNNRat
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁', i₂) = i₁₂
⊢ K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ i₁').f i₂ ≫ K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁', i₂) i₁₂ h'
α : Type u_1
TopologicalSpace α
_m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
H : MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
h : ν ≤ μ
⊢ MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ν
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
this : cs.simple = ⇑cs.mulEquiv.symm ∘ PresentedGroup.of
⊢ Subgroup.closure (Set.range cs.simple) = ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
StarAddMonoid F
NormedSpace 𝕜 F
StarModule 𝕜 F
ContinuousStar F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => star (f y)) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f (Matroid.loopyOn E).E
⊢ (Matroid.loopyOn E).map f hf = Matroid.loopyOn (f '' E)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : CategoryTheory.SimplicialObject C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (n : SimplexCategoryᵒᵖ), f.app n = g.app n
⊢ f = g
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ span_s
hd₁ : r₁ * r₁ * ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p), p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)⟫_ℝ = r₂ * r₂ * ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p), p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)⟫_ℝ
hd₂ : dist p₂ s.circumcenter * dist p₂ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
X : TopCat
s : Set (Quotient (t2Setoid (PreStoneCech ↑X)))
⊢ TopologicalSpace.IsOpen s = IsOpen (Quotient.mk' ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
c : E
hc : c ≠ 0
⊢ AEStronglyMeasurable f μ → (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ * ↑‖c‖₊ ∂μ < ⊤ ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.ComposableArrows C 4
⊢ ∃ X₀ X₁ X₂ X₃ X₄ f₀ f₁ f₂ f₃, X = CategoryTheory.ComposableArrows.mk₄ f₀ f₁ f₂ f₃
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖s.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
S : Multiset R
r : R
hr : r ∈ S
⊢ eval r (derivative (Multiset.map (fun a => X - C a) (r ::ₘ S.erase r)).prod) = (Multiset.map (fun a => r - a) (S.erase r)).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ≥0∞
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y
x : α
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
δ : ℝ≥0
δ0 : δ > 0
hδ : C * ↑δ < ε
y : α
hy : y ∈ EMetric.closedBall x ↑δ
⊢ f y ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
e : Basis ι R M
v : ι' → M
j : ι'
Fintype ι
⊢ ∑ i : ι, e.toMatrix v i j • e i = v j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Measurable ((fun x => ∫⁻ (y : γ), (fun u => f (u.1.2, u.2)) (x, y) ∂η x) ∘ Prod.mk a)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
⊢ (∃ v₀, ∀ v ∈ vectorSpan k s, ∃ r, r • v₀ = v) ↔ ∃ v, ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
⊢ ¬Monotone f ∧ ¬Antitone f ↔ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
absorbs : Absorbent ℝ s
⊢ {r | 0 < r ∧ x ∈ r • s}.Nonempty
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fderiv 𝕜 f) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x‖
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproduct.isoCoproduct f).hom =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.desc (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
⊢ Disjoint (𝓟 s) (𝓝ˢ t) ↔ Disjoint (closure s) t
m n k : ℕ
⊢ (m.ldiff n).testBit k = (m.testBit k && !n.testBit k)