ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
p : β → Prop
⊢ Filter.blimsup u f p = sInf {a | ∀ᶠ (x : β) in f, p x → u x ≤ a}
α : Type u_2
Div α
f g : Filter α
⊢ f / g = ⊥ ↔ f = ⊥ ∨ g = ⊥
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
h : s.IsPWO
⊢ s.IsWF
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
⊢ ⟨1, ⋯⟩ = 1
α : Type u
x y : α
h : x ∈ {y}
⊢ x = y
⊢ ArithmeticFunction.vonMangoldt * ↑ArithmeticFunction.zeta = ArithmeticFunction.log
α : Type u_3
Group α
f : Multiplicative ℤ →* α
n : Multiplicative ℤ
⊢ f n = f (Multiplicative.ofAdd 1) ^ Multiplicative.toAdd n
R : Type u_1
A : Type u_3
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
a : A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
m : AEval R M a
⊢ (of R M a).symm (X • m) = a • (of R M a).symm m
α : Type u_1
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable σ
c : α → Bool
f g : α → σ
hc : Primrec c
hf : Primrec f
hg : Primrec g
⊢ Primrec fun a => bif c a then f a else g a
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
this : (∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y) + y ^ n = x ^ n
⊢ (∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y) = x ^ n - y ^ n
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
ho : o ≠ 0
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
b : Ordinal.{max u v}
h : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi b < o.nfpBFamily f a
⊢ b < o.nfpBFamily f a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q ∣ p
a✝ : Nontrivial R
r : R[X]
hr : p = q * r
hpq0 : ¬p %ₘ q = 0
hmod : p %ₘ q = q * (r - p /ₘ q)
this : (q * (r - p /ₘ q)).degree < q.degree
⊢ False
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
this : (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x) = LinearMap.restrict ((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ⋯
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x))
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
⊢ ∀ (x_1 : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) x_1 ^ k) x = 0
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
Sup L
ContinuousSup L
f g : X → L
x : X
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
⊢ ContinuousAt (f ⊔ g) x
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
x : β
h : x ∈ e.target
⊢ ↑e (↑e.symm x) = x
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K
⊢ (limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ limit.π (Prod.swap K J ⋙ G) (k, j) ≫ 𝟙 (G.obj (j, k)) ≫ 𝟙 (G.obj (j, k)) = limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
P : α → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsSymm α r
h✝ : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), P (f n)
hf' : ∀ (m n : ℕ), m < n → r (f m) (f n)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
h : m < n
⊢ r (f m) (f n)
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop atTop
r : ℝ
hf' : ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ f a
i : ℕ
hi : ∀ (a : ℕ), i ≤ a → r + 1 ≤ f a
hi' : ∀ (a : ℕ), f a < r + 1 → a < i
⊢ {a | f a ≤ r} ⊆ {a | a ≤ i}
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ M' ≤ M, M'.FG → M'.LinearDisjoint N
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
M' : Submodule R S
hM : M' ≤ M
hFG : M'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)))
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h : ¬μ ⟂ₘ ν
this : ∀ (n : ℕ), ∃ i, MeasurableSet i ∧ VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) i ∧ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∃ E, MeasurableSet E ∧ 0 < ν E ∧ VectorMeasure.restrict 0 E ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - (ε • ν).toSignedMeasure) E
x✝ y x : ℂ
hx : cos x ≠ 0
⊢ (1 + tan x ^ 2)⁻¹ = cos x ^ 2
α : Type u_1
inst✝² : LT α
inst✝¹ : DecidableRel LT.lt
inst✝ : DecidableEq α
lt_irrefl : ∀ (x : α), ¬x < x
lt_trans : ∀ {x y z : α}, x < y → y < z → x < z
lt_antisymm : ∀ {x y : α}, ¬x < y → ¬y < x → x = y
this : OrientedCmp fun x x_1 => compareOfLessAndEq x x_1
x y z : α
yx : compareOfLessAndEq x y ≠ Ordering.gt
zy : compareOfLessAndEq y z ≠ Ordering.gt
⊢ compareOfLessAndEq x z ≠ Ordering.gt
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderBot α
a : αᵒᵈ
⊢ Finset.Iic (OrderDual.ofDual a) = Finset.map OrderDual.ofDual.toEmbedding (Finset.Ici a)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → SemilatticeSup (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
⊢ (f ⊔ g) i = f i ⊔ g i
G : Type u_3
P : Type u_4
LE G
LE P
VAdd G P
self : IsOrderedVAdd G P
c d : G
⊢ c ≤ d → ∀ (a : P), c +ᵥ a ≤ d +ᵥ a
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
MulAction M α
m₁ m₂ : M
⊢ MulAction.fixedBy α m₁ ∩ MulAction.fixedBy α m₂ ⊆ MulAction.fixedBy α (m₁ * m₂)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ NonUnitalAlgebra.adjoin R s
hb : b ∈ NonUnitalAlgebra.adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
H0_left : ∀ (y : A), p 0 y
H0_right : ∀ (x : A), p x 0
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hsmul_left : ∀ (r : R) (x y : A), p x y → p (r • x) y
Hsmul_right : ∀ (r : R) (x y : A), p x y → p x (r • y)
⊢ p a b
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g g₁ g₂ : σ → S₁
h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i
C : σ →₀ ℕ
hc : C ∈ p.support
i : σ
hi : i ∈ C.support
⊢ coeff C p ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
CompleteSpace α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
ha : Multipliable f
⊢ Multipliable fun b => ∏' (c : γ b), f ⟨b, c⟩
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁷ : LinearOrder ι
inst✝⁶ : MeasurableSpace ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : OrderTopology ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : BorelSpace ι
inst✝¹ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
inst✝ : MetrizableSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
m_prod : MeasurableSpace (↑(Set.Iic i) × Ω) := Subtype.instMeasurableSpace.prod (↑f i)
m_set : (t : Set (↑(Set.Iic i) × Ω)) → MeasurableSpace ↑t := fun x => Subtype.instMeasurableSpace
s : Set (↑(Set.Iic i) × Ω) := {p | τ p.2 ≤ i}
⊢ StronglyMeasurable fun p => (fun i ω => min i (τ ω)) (↑p.1) p.2
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace E
BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
s : Set E
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
hs : Set.range f ∪ {0} ⊆ s
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f fmeas s 0 ⋯ n))
  Filter.atTop (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ IntegrableOn f Set.univ (μ.restrict i)
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : x₁.Numeric
h₂ : x₂.Numeric
h₁₂ : IH24 x₁ x₂ y
h₂₁ : IH24 x₂ x₁ y
he : x₁ ≈ x₂
he' : -x₁ ≈ -x₂
⊢ x₁ * y ≤ x₂ * y
a b : ℝ≥0
h : a < b
⊢ a / b < 1
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ (GenContFract.of v).s.get? (n + 1) = (GenContFract.of (Int.fract v)⁻¹).s.get? n
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type u_3
Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : φ.IsCovering
hψ : ψ.IsCovering
⊢ (φ ⋙q ψ).IsCovering
α : Type u_2
DecidableEq α
SubtractionMonoid α
s t : Finset α
⊢ s + t = 0 ↔ ∃ a b, s = {a} ∧ t = {b} ∧ a + b = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
h : ∀ (b : ι), MeasurableSet (f b)
h✝ : Nonempty ι
⊢ MeasurableSet (⋃ b, f b)
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
hb : b < 0
⊢ 1 ≤ a / b ↔ a ≤ b
X : Sort u_2
DecidableEq X
x : X
Y : Sort u_1
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
x' : X
h : x' ≠ x
⊢ ↑((Equiv.subtypeEquivCodomain f).symm y) x' = f ⟨x', h⟩
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_4
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
M₃ : Type u_6
TopologicalSpace M₃
AddCommGroup M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
ContinuousAdd M₃
f : M →L[R] M₃
g : M₂ →L[R] M₃
⊢ (LinearMap.ker f).prod (LinearMap.ker g) ≤ LinearMap.ker (f.coprod g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set ℝ
h : Bornology.IsBounded s
⊢ EMetric.diam s = ENNReal.ofReal (sSup s - sInf s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.HomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).iso = h.iso
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s ⊆ t \ u ↔ s ⊆ t ∧ Disjoint s u
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℕ
⊢ (W.baseChange B).preΨ' n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).preΨ' n)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
s : Finset α
hf : ∀ (a : α), Injective (f a)
a : α
ha : a ∈ s
⊢ t.card ≤ (image₂ f s t).card
c t f : Bool
⊢ ((bif c then t else f) = true) = if c = true then t = true else f = true
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
l m : L
⊢ pointCount P l = pointCount P m
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : WSeq α
⊢ (fun x => [a].reverse ++ x) <$> s.toList = List.cons a <$> Computation.corec (fun x => match Seq.destruct x.2 with | none => Sum.inl x.1.reverse | some (none, s') => Sum.inr (x.1, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: x.1, s')) ([], s)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
CompleteLattice α
a : α
f : ι → ↑(Set.Iic a)
p : ι → Prop
⊢ ↑(⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i) = a ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : p i), ↑(f i)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
i j j' : C
f : i ⟶ j
f' : i ⟶ j'
K : C
G : j ⟶ K
G' : j' ⟶ K
h✝ : True
k : C
e : K ⟶ k
he : (f ≫ G) ≫ e = (f' ≫ G') ≫ e
⊢ f ≫ G ≫ e = f' ≫ G' ≫ e
α : Type u
DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit c
⊢ a = b * c⁻¹ ↔ a * c = b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V
W : ℕ → Set (X × X)
hW : ∀ (n : ℕ), W n ∈ 𝓤 X
hWV : ∀ (n : ℕ), W n ○ W n ⊆ V n
hWV' : ∀ (n : ℕ), W n ⊆ V n
t : ℕ → Set X
ht_anti : Antitone t
htl : ∀ (n : ℕ), t n ∈ l
htW : ∀ (n : ℕ), t n ×ˢ t n ⊆ W n
hts : ∀ (n : ℕ), t n ⊆ s
u : ℕ → X
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t n
huc : CauchySeq u
x : X
hxs : x ∈ s
hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)
N : ℕ
x✝ : True
n : ℕ
hNn : N ≤ n
hn : u n ∈ ball x (W N)
y : X
hy : y ∈ t n
⊢ (u n, (x, y).2) ∈ t N ×ˢ t N
a : ℤ
b : ℕ
h : a.gcd ↑b = 1
hb : b = 0
⊢ J(a | b) ≠ 0
u : PNat.XgcdType
hr : u.r ≠ 0
⊢ u.step.v = u.v.swap
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E
⊢ ‖a⁻¹‖ = ‖a‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius ∧ ↑r < q.radius
this : (fun x => ‖p x‖ * ↑r ^ x + ‖q x‖ * ↑r ^ x) =O[atTop] fun x => 1
n : ℕ
⊢ ‖(p + q) n‖ * ‖↑r ^ n‖ ≤ ‖‖p n‖ + ‖q n‖‖ * ‖↑r ^ n‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
A : C
B : D
e : CategoryTheory.MonoOver A ≌ CategoryTheory.MonoOver B
⊢ (CategoryTheory.Subobject.lowerEquivalence e).counitIso = CategoryTheory.eqToIso ⋯
α : Type u_4
r s : α → α → Prop
h : ∀ (x y : α), r x y → s x y
⊢ Quot.factor r s h ∘ Quot.mk r = Quot.mk s
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Set α
⊢ IsCoatom s ↔ ∃ x, s = {x}ᶜ
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor J C
⊢ ∀ {X Y : J} (φ : X ⟶ Y), (F₁.chosenProd F₂).map φ = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (F₁.map φ) (F₂.map φ)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
X : B
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
α : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id α).app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (α.app X)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
k : ℕ
a : R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
⊢ dickson 1 1 p = X ^ p
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ Real.log (∏ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, Real.log (f i)
n✝ m✝ n m : ℕ
a b : Fin m
⊢ natAdd n a = natAdd n b → a = b
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → Lattice (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
a b : (i : ι) → α i
⊢ (Finset.uIcc a b).card = ∏ i : ι, (Finset.uIcc (a i) (b i)).card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
CommRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
AddCommGroup G
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module 𝕜 G
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
TopologicalAddGroup G
ContinuousConstSMul 𝕜 G
n : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
f : E →L[𝕜] F
c : Composition n
v : Fin n → E
⊢ (p.compContinuousLinearMap f).applyComposition c v = p.applyComposition c (⇑f ∘ v)
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
g : E → F := fun x => f' x + u x
⊢ ∃ g, EqOn f (⇑g) s
b m n p : ℕ
⊢ factorizationLCMRight 0 b ∣ b
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x : (i : ι) → β i
⊢ ∀ ⦃x_1 : ι⦄, x_1 ∈ univ → ¬x x_1 ≠ x x_1
α : Type u_1
I : Set α
⊢ (Matroid.emptyOn α).Indep I ↔ I = ∅
⊢ ONote.fastGrowingε₀ 0 = 1
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x : α
n : ℕ
hn : n < (p.toList x).length
⊢ (p.toList x).get ⟨n, hn⟩ = (p ^ n) x
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
N : Type u_2
Group N
TopologicalSpace N
H : OpenSubgroup N
f : G →* N
hf : Continuous ⇑f
x : G
⊢ x ∈ OpenSubgroup.comap f hf H ↔ f x ∈ H
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
self : v.FunSpace
⊢ LipschitzWith v.C self.toFun
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal (MvPolynomial σ R)
p : MvPolynomial σ R
hcoe : ∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m p ∈ Ideal.comap C I
m : σ →₀ ℕ
a✝ : m ∈ p.support
⊢ (monomial m) (coeff m p) ∈ I
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 ≤ a
hb : 1 ≤ b
k : ℕ
⊢ a / b ^ k ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
xs : List α
z : Sym2 α
⊢ z ∈ (x :: xs).sym2 ↔ z = s(x, x) ∨ (∃ y ∈ xs, z = s(x, y)) ∨ z ∈ xs.sym2
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
leftSide : ∫⁻ (x : ℝ) in Iio 0, gammaPDF a r x = 0
rightSide : ∫⁻ (x : ℝ) in Ici 0, gammaPDF a r x = ∫⁻ (x : ℝ) in Ici 0, ENNReal.ofReal (r ^ a / Gamma a * x ^ (a - 1) * rexp (-(r * x)))
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => r ^ a / Gamma a * x ^ (a - 1) * rexp (-(r * x))) (ℙ.restrict (Ici 0))
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f g : K[X]
hf : Splits i f
hg : Splits i g
this : DecidableEq L := Classical.decEq L
h : ¬map i (f * g) = 0
p : L[X]
hp : Irreducible p
hpf : p ∣ map i (f * g)
⊢ map i f * map i g = map i (f * g)
α : Type u_1
sz : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ (Ordnode.node sz l x r).size = sz
α : Type u
UniformSpace α
⊢ CompleteSpace (SeparationQuotient α) ↔ CompleteSpace α
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
β : Y ≅ Z
⊢ (α ≪≫ β).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp α.hom β.hom
M : Type u_1
Mul M
s : Setoid M
h : ∀ {w x y z : M}, Setoid.r w x → Setoid.r y z → Setoid.r (w * y) (x * z)
a b : M
⊢ { toSetoid := s, mul' := h } a b ↔ Setoid.r a b
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
Finite 𝒰.J
∀ (i : 𝒰.J), AlgebraicGeometry.IsAffine (𝒰.obj i)
⊢ AlgebraicGeometry.IsNoetherian X ↔ ∀ (i : 𝒰.J), IsNoetherianRing ↑Γ(𝒰.obj i, ⊤)
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
⊢ Function.Surjective ⇑(PreservesPullback.iso forgetToTop f (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))).hom
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k✝ : T.LocalizationMap Q
hg : Injective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
z w : N
i : N →* Q := f.map ⋯ k
hizw : i z = i w
ifkg : ∀ (a : M), i (f.toMap a) = k.toMap (g a)
z' w' : M
x : ↥S
hxz : z * f.toMap ↑x = f.toMap z'
hxw : w * f.toMap ↑x = f.toMap w'
this : k.toMap (g z') = k.toMap (g w')
c : M
hc : c ∈ ↑S
eq : c * z' = c * w'
⊢ ∃ c, ↑c * z' = ↑c * w'
α : Type u
Inhabited α
t : List α
s : List α
h : s ≠ []
⊢ (s ++ t).head! = s.head!
X : Type u_1
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
A : Type u_6
inst✝¹³ : CommRing K
inst✝¹² : Ring A
inst✝¹¹ : Algebra K A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace K
inst✝⁹ : T1Space K
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : ContinuousSub A
inst✝⁶ : ContinuousSMul K A
inst✝⁵ : FunLike F A K
inst✝⁴ : AlgHomClass F K A K
inst✝³ : SetLike S A
inst✝² : OneMemClass S A
inst✝¹ : AddSubgroupClass S A
inst✝ : SMulMemClass S K A
φ : F
hφ : Continuous ⇑φ
s : S
⊢ closure (↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ)) = closure ↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {l : List α} {n : Nat}, l.get? n = some a ↔ ∃ h, l.get ⟨n, h⟩ = a
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ Nontrivial ↥H ↔ ∃ x ∈ H, x ≠ 1
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
⊢ μ (closure s) ≤ μ (interior s)
α : Type u
a b c : α
LT α
h₁ : a < b
h₂ : b = c
⊢ a < c
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
⊢ (Filter.coprodᵢ fun x => ⊥) = ⊥
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
⊢ |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M N : Comon_ C
f : M.X ≅ N.X
f_counit : f.hom ≫ N.counit = M.counit := by aesop_cat
f_comul : f.hom ≫ N.comul = M.comul ≫ (f.hom ⊗ f.hom) := by aesop_cat
⊢ (Comon_.mkIso f f_counit f_comul).hom.hom = f.hom
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
DecidableEq α
s : Finset γ
t : γ → Finset α
f : α → Set β
⊢ ⋂ y ∈ s.biUnion t, f y = ⋂ x ∈ s, ⋂ y ∈ t x, f y
a b c : SignType
x✝¹ : a ≤ b
x✝ : b ≤ c
⊢ a ≤ c
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
P : Type u_8
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
f : N →+ P
f₂ : M →+ N
⊢ Finsupp.mapRange.addMonoidHom (f.comp f₂) = (Finsupp.mapRange.addMonoidHom f).comp (Finsupp.mapRange.addMonoidHom f₂)
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
⊢ (u ⊓ v).prod = n.gcd m
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ AffineIndependent k ![p₁, p₂, p₃] ↔ ¬Collinear k {p₁, p₂, p₃}
𝕜 : Type u_1
Semiring 𝕜
ι : Type u_5
κ : ι → Type u_6
p : ℝ≥0∞
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
(i : ι) → Fintype (κ i)
α : (i : ι) → κ i → Type u_7
(i : ι) → (k : κ i) → SeminormedAddCommGroup (α i k)
(i : ι) → (k : κ i) → Module 𝕜 (α i k)
f : PiLp p fun i => PiLp p (α i)
⊢ (LinearIsometryEquiv.piLpCurry 𝕜 p α).symm f =
  (WithLp.equiv p ((x : Sigma κ) → α x.fst x.snd)).symm (Sigma.uncurry fun i j => f i j)
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
f : Module.Dual R M
p : P
⊢ ((dualTensorHom R M P) (f ⊗ₜ[R] p)).prodMap 0 =
  (dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((f ∘ₗ LinearMap.fst R M N) ⊗ₜ[R] (LinearMap.inl R P Q) p)
n : ℕ
a b : ZMod n
h : a * b = 1
⊢ a⁻¹ = b
X : Grp
⊢ Grp.toAddGrp.obj X = AddGrp.of (Additive ↑X)
M : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
SMul M X
ContinuousSMul M X
k : Set M
u : Set X
hk : IsCompact k
hu : IsCompact u
⊢ IsCompact (k • u)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
ht : ∀ (f : Ultrafilter Y), t ∈ f → ∃ x ∈ t, ↑f ≤ 𝓝 x
⊢ ∀ (f : Ultrafilter (X × Y)), s ×ˢ t ∈ f → ∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ λ ∣ S.a + S.b + λ ^ 2 * S.b + 2 * λ * S.b
α : Type u
β : Type v
AddGroup β
f : α → β
x : α
⊢ (FreeAddGroup.lift f) (FreeAddGroup.of x) = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
⊢ TendstoUniformlyOn (fun t x => ∑ n ∈ t, f n x) (fun x => ∑' (n : α), f n x) Filter.atTop s
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
m✝ : ↥N
i : Fin n
m : ↥N
⊢ (snf.bM.coord (snf.f i) ∘ₗ N.subtype) m = (snf.a i • snf.bN.coord i) m