ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l : List α
o✝ : Option α
a✝ m✝ : α
hr₀ : Irreflexive r
hr₁ : Transitive r
tl : List α
a : α
ih : ∀ {a m : α} {o : Option α}, a ∈ tl → m ∈ foldl (argAux r) o tl → ¬r a m
b m : α
o : Option α
hb : b ∈ tl ++ [a]
c : α
ho : (Option.casesOn (some c) (some a) fun c => if r a c then some a else some c) = some m
hf : foldl (argAux r) o tl = some c
⊢ ¬r b m
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ Tendsto (fun x => b ^ x) atBot (𝓝 0)
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : M
x : OreLocalization S X
⊢ (r /ₒ 1) • x = r • x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C} (f : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₂.map f = f.f₂
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Set.InjOn (fun a => insert a s) ↑sᶜ
S : Set Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}
hS : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
ha : a ∈ S
hb : Ordinal.enumOrd S b < a
⊢ Ordinal.enumOrd S (Order.succ b) ≤ a
α : Type u_6
AddCommMonoid α
m M N : ℕ
f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α
g : (n : ℕ) × Composition n → α
h :
  ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ FormalMultilinearSeries.compPartialSumSource m M N),
    f e = g (FormalMultilinearSeries.compChangeOfVariables m M N e he)
⊢ ∑ e ∈ FormalMultilinearSeries.compPartialSumSource m M N, f e =
  ∑ e ∈ FormalMultilinearSeries.compPartialSumTarget m M N, g e
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
hk : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsIntegral k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
h : (minpoly k x).degree = 1
this : x = -(algebraMap k K) ((minpoly k x).coeff 0)
⊢ (algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x
r : ℝ
⊢ (ENNReal.ofReal r).toReal = max r 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
M N P : SheafOfModules R
f : M ⟶ N
g : N ⟶ P
s : M.sections
⊢ SheafOfModules.sectionsMap (f ≫ g) s = SheafOfModules.sectionsMap g (SheafOfModules.sectionsMap f s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset (α × β)
f : α × β → M
this : ∀ (a : α), ∏ i ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s), f (a, i) = (Finset.filter (fun x => x.1 = a) s).prod f
⊢ ∀ i ∈ s, i.1 ∈ Finset.image Prod.fst s
α : Type u_1
β : Type u_2
AddGroupWithOne β
CharZero β
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ Function.support ↑n = Set.univ
R : Type u_1
Mul R
Star R
x : R
⊢ IsStarNormal x ↔ Commute (star x) x
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
x y : X
⊢ d x y ≤ ⨅ i, 2 * (zipWith d (x :: i) (i ++ [y])).sum
α : Type u_1
a : α
l₁ r₁ r₂ r₃ : List α
e' : (l₁ ++ r₃).append r₂ = l₁.append r₁
ll : (a :: l₁).length ≤ (a :: (l₁ ++ r₃)).length
⊢ a :: l₁ <+: a :: (l₁ ++ r₃)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellFounded α r
C : α → Sort u_1
F : (x : α) → ((y : α) → r y x → C y) → C x
x : α
⊢ IsWellFounded.fix r F x = F x fun y x => IsWellFounded.fix r F y
R : Type u
a b c : R
Semiring R
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C b * Polynomial.X + Polynomial.C c).degree < 3
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : Cofork f g
ht : IsColimit t
Z : C
k : t.pt ⟶ Z
⊢ f ≫ t.π ≫ k = g ≫ t.π ≫ k
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
s : Finset V
h : induce (↑s) G = ⊤
inst✝ : Fintype α
C : G.Coloring α
f : ⊤ ↪g G
⊢ s.card ≤ card α
α : Type u_1
m n : PosNum
this : Ordering.casesOn (m.cmp n) (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)
⊢ m.cmp n = Ordering.eq ↔ m = n
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set (Completion α × Completion α)
⊢ s ∈ 𝓤 (Completion α) ↔ ∃ i, s ∈ 𝓟 {p | dist p.1 p.2 < ↑i}
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : StrictAntiOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
o : Ordering
⊢ o.Compares (f a) (f b) ↔ o.Compares b a
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
m : M
⊢ m ∈ weightSpace M 0 ↔ m ∈ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j
x✝ : j ⊆ univ
⊢ ↑0 j ≤ ↑μ.toSignedMeasure j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
P : CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation A
η : A ⟶ B
CategoryTheory.IsIso η
⊢ (P.extend η).ℐ = P.ℐ
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : Computation.IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ s₁ = s₂
A : Finset ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
n : ℕ := ⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1
hn : 0 < n
⊢ ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε
m : ℕ
n : ℕ
⊢ (Fin.natAddOrderEmb n).toEmbedding = { toFun := Fin.natAdd n, inj' := ⋯ }
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hM : IsNilpotent M
h✝ : Nonempty n
⊢ IsNilpotent (M.charpolyRev.coeff 1)
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : ℝ≥0∞ → α
⊢ ⨆ x, ⨆ (_ : x ≠ ⊤), f x = ⨆ x, f ↑x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
hlt : a < b
c : ℝ := (a + b) / 2
hac : a < c
hcb : c < b
hsub : c - a = b - c
g : Y →ᵇ ℝ
xl : Y → X
hxl : ∀ (y : Y), f (xl y) ≤ g y
hgb : ∀ (y : Y), g y ≤ b
hb' : ¬∃ x, f x = b
hd : Disjoint (range e ∪ ⇑g ⁻¹' Iic c) (⇑g ⁻¹' {b})
dg : Y →ᵇ ℝ
dg0 : EqOn (⇑dg) (Function.const Y 0) (range e ∪ ⇑g ⁻¹' Iic c)
dgb : EqOn (⇑dg) (Function.const Y (b - c)) (⇑g ⁻¹' {b})
dgmem : ∀ (x : Y), dg x ∈ Icc 0 (b - c)
hgf : ∀ (x : X), (g - dg) (e x) = f x
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hg : ContinuousOn g t
hf : ContinuousOn f s
h : Set.MapsTo f s t
⊢ ContinuousOn (fun x => g (f x)) s
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
a : M
b : CliffordAlgebra Q
⊢ (contractRight (b * (ι Q) a)) d = d a • b - (contractRight b) d * (ι Q) a
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
p : Submodule R M
q : Submodule R N
r : Submodule R P
hpq : p ≤ comap f q
hqr : q ≤ comap g r
⊢ comap q.mkQ (ker (q.mapQ r g hqr)) = comap q.mkQ (range (p.mapQ q f hpq)) ↔ range g ⊓ r ≤ map g q
C : ℕ → Sort u_1
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
next : {k : ℕ} → C k → C (k + 1)
Hnext : ∀ (n : ℕ), Function.Injective next
⊢ Function.Injective (Nat.leRecOn hnm fun {k} => next)
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : T
F : CategoryTheory.Functor D T
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit X) (F.comp (CategoryTheory.Functor.id T))),
  ((CategoryTheory.StructuredArrow.toUnder X F).obj X_1).hom = X_1.hom
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → R⟦X⟧
d : ℕ
s : Finset ι
⊢ (MvPowerSeries.coeff R (single () d)) (∏ j ∈ s, f j) = ∑ x ∈ s.finsuppAntidiag d, ∏ x_1 ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (single () (x x_1))) (f x_1)
o : Ordinal.{u_1}
⊢ ω ≤ ω + o
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f
⊢ inv (inv f) = f
α : Type u_1
⊢ Function.Injective ⇑SymAlg.unsym
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
s : Set α
Countable G
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
MeasurableSMul G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (MeasureTheory.fundamentalInterior G s) μ
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n m : ℕ
H : 1 ≤ a
⊢ 1 ≤ a ^ 0
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }
this✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this : ∀ (K : IF), FiniteDimensional F ↥↑K
hfin : FiniteDimensional F ↥⊤
htop : ⨆ K, ↑K = ⊤
⊢ FiniteDimensional F E
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : OrderTop β
f : α → β
H : StrictMono f
a : α
h_top : f a = ⊤
x : α
p : β
⊢ p ≤ ⊤
α : Type u_7
β : Type u_8
Add α
Mul α
Add β
Mul β
f : αᵐᵒᵖ ≃+* βᵐᵒᵖ
⊢ ∀ (a : β), (RingEquiv.op.symm f).symm a = MulOpposite.unop ((↑f).symm (MulOpposite.op a))
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
f : G ≃g G'
v : V
w : ↑(G'.neighborSet (f v))
⊢ f.symm ↑w ∈ G.neighborSet v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0
h0 : a = 0 → Nonempty ι
⊢ ⨅ i, f i * a = (⨅ i, f i) * a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
Q : AffineSubspace k P
⊢ ↑Q ≠ ∅ ↔ Q ≠ ⊥
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Zero Y
⊢ ⇑0 = 0
G : Type w
TopologicalSpace G
MulOneClass G
ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, K * V ⊆ U
α : Type u
l : List α
hl : l.Nodup
i j : ℕ
⊢ l.rotate i = l.rotate j ↔ i % l.length = j % l.length ∨ l = []
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
⊢ intrinsicClosure 𝕜 (intrinsicClosure 𝕜 s) = intrinsicClosure 𝕜 s
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
Subsingleton ι
⊢ ProbabilityTheory.iIndepFun m f μ
q : ℤ[X]
k✝ k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hk : k✝ ∈ (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).support
this : k✝ ∈ {k, m, n}
⊢ IsUnit ((trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).coeff k✝)
⊢ DifferentiableOn ℝ negMulLog {0}ᶜ
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n R
val✝ : Fintype m
h : Function.Surjective A.mulVec
cols : m → n → R
hcols : ∀ (x : m), A *ᵥ cols x = Pi.single x 1
i j : m
⊢ (A * (of cols)ᵀ) i j = 1 i j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Grp
I : Type w'
U : I → C
γ₁ γ₂ : CategoryTheory.PresheafOfGroups.OneCochain G U
α : CategoryTheory.PresheafOfGroups.ZeroCochain G U
h : CategoryTheory.PresheafOfGroups.OneCohomologyRelation γ₁ γ₂ α
⊢ CategoryTheory.PresheafOfGroups.OneCohomologyRelation γ₂ γ₁ α⁻¹
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg : ContinuousWithinAt g t (f x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
A : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x, f (↑e.symm y) ∈ t ∧ f (↑e.symm y) ∈ e'.source
⊢ writtenInExtChartAt I I' x f ⁻¹' (↑e'.symm ⁻¹' t ∩ range ↑I') ∈ 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ AddSubgroup.zmultiples g
g' : G'
hg' : addOrderOf g' ∣ addOrderOf g
⊢ (addMonoidHomOfForallMemZmultiples hg hg') g = g'
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
A' : ι → F
h : ∀ i ∈ u, HasDerivAt (A i) (A' i) x
⊢ HasDerivAt (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
b : β i
⊢ (DFinsupp.singleAddHom β i) b = DFinsupp.single i b
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
a : FreeGroup α
⊢ (FreeGroup.freeGroupCongr e) a = (FreeGroup.map ⇑e) a
η : Type u_7
f : η → Type u_8
(i : η) → Group (f i)
H : (i : η) → Subgroup (f i)
⊢ Subgroup.pi ∅ H = ⊤
R : Type u_1
CommSemiring R
f : Polynomial R
⊢ (PowerSeries.derivative R) ↑f = ↑(Polynomial.derivative f)
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ S.Exact ↔ Function.Surjective ⇑S.moduleCatToCycles
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
⊢ o.derivBFamily f = Ordinal.derivFamily (o.familyOfBFamily f)
α : Type u_1
MulZeroClass α
PartialOrder α
⊢ PosMulReflectLT α ↔ ContravariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => ↑x * y) fun x x_1 => x < x_1
X : Type u
TopologicalSpace X
r : X → X → Prop
⊢ Continuous (Quot.mk r)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Ioc a b → f x = g x
h' : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Ioc b a → f x = g x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i j : ι
x : β i
h : i ≠ j
⊢ DFinsupp.erase j (DFinsupp.single i x) = DFinsupp.single i x
ι : Type u
α : ι → Type v
i j : ι
l : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
hl : (i :: l).Nodup
hj : j ∈ l
v : TProd α (i :: l)
⊢ j ≠ i
α β : CompleteLat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget CompleteLat).obj α
⊢ ({ toFun := ⇑e, map_sInf' := ⋯, map_sSup' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_sInf' := ⋯, map_sSup' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
CoalgebraStruct R A
a : A
⊢ (CoalgEquiv.refl R A) a = a
θ : ℂ
⊢ sin θ ≠ 0 ↔ ∀ (k : ℤ), θ ≠ ↑k * ↑π
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm ((fun x => κ.densityProcess ν n a x s) - Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a)) 1 (ν a)) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μα : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndep s κ μα
t : Set ι
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep (⨆ n ∈ t, s n) (⨆ n ∈ tᶜ, s n) κ μα
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
a : α
⊢ ⇑e '' Set.Ici a = Set.Ici (e a)
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
this : ∀ (n : ℕ), ‖cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)‖ ≤ rexp (-π * τ.im) ^ (n + 1)
s : HasSum (fun n => rexp (-π * τ.im) ^ (n + 1)) (rexp (-π * τ.im) / (1 - rexp (-π * τ.im)))
⊢ ‖∑' (n : ℕ), cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)‖ ≤ rexp (-π * τ.im) / (1 - rexp (-π * τ.im))
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q : C
i : P ≅ Q
hP : Injective P
X✝ Y✝ : C
g : X✝ ⟶ Q
f : X✝ ⟶ Y✝
mono : Mono f
h : Y✝ ⟶ P
h_eq : f ≫ h = g ≫ i.inv
⊢ f ≫ h ≫ i.hom = g
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
⊢ (p.toLin.flip ((preReflection α' (p.toLin α)) β')) (root k) = 2
a n : ℕ
ha : a ∈ n.bitIndices
⊢ 2 ^ a ≤ n
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
F_der_I : ∀ x ∈ Ioo 0 X, HasDerivAt (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) (-(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) x
cont : Continuous fun x => (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) x * ↑x ^ s
der_ible : IntervalIntegrable (fun x => -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) volume 0 X
int_eval : (∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + -∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1)) = -((ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s)
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s = (s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
⊢ ∑ w : InfinitePlace K, w.mult = ∑ j : InfinitePlace K, ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => mk i = j) Finset.univ, 1
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Bool
hf : Computable f
hp : ComputablePred fun a => f a = true
⊢ RePred fun a => f a = true
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ tl x✝⁴ : List (α × Bool)
x✝³ : α
x✝² : Bool
x✝¹ : α
x✝ : Bool
⊢ ∃ L₅, Step ((x✝¹, x✝) :: (x✝¹, !x✝) :: tl ++ x✝⁴) L₅ ∧ Step ([] ++ tl.append ((x✝³, x✝²) :: (x✝³, !x✝²) :: x✝⁴)) L₅
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ ∃ i, b ∈ Ioc (a + i • p) (a + (i + 1) • p)
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 ⊤) ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ : Multiset α
β : Type u_2
m : Multiset α
f : α → β
⊢ map (fun x => f x.fst) Finset.univ.val = map f m
α : Type u_1
r : Setoid α
x y z : α
⊢ r.Rel x y → r.Rel y z → r.Rel x z
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ (𝟙 (G.obj (unop x✝))).op = 𝟙 (op (G.obj (unop x✝)))
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ List.take l₁.length (l₁ ++ l₂) = l₁
⊢ ∀ {X Y : Bipointed} (f : X ⟶ Y) (a : X.X), (Bipointed.swap.map f).toFun a = f.toFun a
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution' hζ
⊢ (hζ.toInteger - 1) ^ 4 ∣ S'.c ^ 3
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
DecidableEq G
Mul G
f g : MonoidAlgebra k G
x : G
⊢ (f * g) x = Finsupp.sum f fun a₁ b₁ => Finsupp.sum g fun a₂ b₂ => if a₁ * a₂ = x then b₁ * b₂ else 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree = 0
⊢ derivative p = 0
x n m : ℕ
hcop : n.Coprime m
⊢ x.gcd n * x.gcd m = x ↔ x ∣ n * m
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Nontrivial R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Module R M'
v✝ : ι → M
s t : Set M
x y z : M
v : ι → M
inst✝ : Unique ι
h : ∀ (l : ι →₀ R), l default = 0 ∨ v default = 0 → l = 0
hv : v default = 0
⊢ False
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure β
s : Set α
⊢ (Measure.comap f μ).restrict s = Measure.comap f (μ.restrict (f '' s))
α : Type u_1
Ring α
LinearOrder α
a b : α
⊢ a ∣ |b| ↔ a ∣ b
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ b c d : α
inst✝⁴ : IsRightCancelAdd α
inst✝³ : ZeroLEOneClass α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ a ^ 2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
hf : Function.Injective ⇑f
N : LieSubmodule R L M
⊢ (LieSubmodule.mapOrderEmbedding hf) N = LieSubmodule.map f N
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
s : Set M
Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)
h : s.Countable
⊢ Countable ↥((FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.InnerRegularCompactLTTop
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
R1Space α
BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
⊢ μ K = ⨅ U, ⨅ (_ : K ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ U
x m n : ℕ
⊢ x ∣ m * n ↔ ∃ y z, y ∣ m ∧ z ∣ n ∧ y * z = x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
⊢ (s.weightedVSub p) w = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ Classical.choice ⋯)
α : Type u_2
NonUnitalNonAssocRing α
IsRightCancelMulZero α
⊢ NoZeroDivisors α
α : Type u_1
s : Finset α
P : α → Prop
DecidablePred P
n : ℕ
⊢ (Finset.filter P s).card ≤ n ↔ ∀ s' ⊆ s, n < s'.card → ∃ a ∈ s', ¬P a
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
h : p a
_l : List α
⊢ count a (filter p (Quot.mk Setoid.r _l)) = count a (Quot.mk Setoid.r _l)
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
f : Rˣ →* R'ˣ
a : Rˣ
⊢ (MulChar.equivToUnitHom.symm f) ↑a = ↑(f a)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
g₁ : G
hg₁ : g₁ ∈ s
g₂ : G
hg₂ : g₁ * g₂ ∈ ↑K₀
g₃ : G
hg₃ : g₃ ∈ t
h2V : g₃ * g₁ * g₂ ∈ V
⊢ g₂ ∈ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y z : R
⊢ (x ◃ x ◃⁻¹ y) ◃ x ◃ x ◃⁻¹ y ◃⁻¹ z = z
a : Int
ha : 0 ≤ a
n : Nat
⊢ (a + ↑n).toNat = a.toNat + n
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
hf : LipschitzOnWith C f s
g : E → ℝ
g_lip : LipschitzWith C g
hg : EqOn f g s
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x