ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hL : f₁ =ᶠ[𝓝[univ] x] f
A : f₁ x = f x
⊢ mfderivWithin I I' f₁ univ x = mfderivWithin I I' f univ x
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G →+ H
hf : Function.Surjective ⇑f
tG : AddMonoid.IsTorsion G
⊢ AddMonoid.IsTorsion H
G : Type u_1
Group G
n : ℕ
q : G
⊢ q ∈ lowerCentralSeries G (n + 1) ↔
  q ∈ Subgroup.closure {x | ∃ p ∈ lowerCentralSeries G n, ∃ q ∈ ⊤, p * q * p⁻¹ * q⁻¹ = x}
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
n : ℕ
hn : upperCentralSeries G n = ⊤
⊢ upperCentralSeries G' n = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
DiscreteTopology α
f : α × β → γ
⊢ IsOpenMap f ↔ ∀ (a : α), IsOpenMap fun x => f (a, x)
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {a b : α} {P : Prop} [inst : Decidable P], (if P then a else b) = b ↔ P → a = b
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝¹ : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
δ : ℝ
x x✝ : X
⊢ x✝ ∈ thickening δ {x} ↔ x✝ ∈ ball x δ
n m : Nat
⊢ 0 < n → 0 < m → n - m < n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
e : X ≅ Y
P : CategoryTheory.Subobject X
⊢ (CategoryTheory.Subobject.mapIsoToOrderIso e) P = (CategoryTheory.Subobject.map e.hom).obj P
n : ℕ
h : 1 < n
⊢ n.sqrt < n
x✝ y x : ℝ
hx₁ : x ≤ -1
⊢ arcsin (-x) = -arcsin x
H : Type u
TopologicalSpace H
α : Type u_5
TopologicalSpace α
e : PartialHomeomorph α H
h : e.source = Set.univ
x : α
⊢ chartAt H x = e
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
CommRing R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
J : Ideal R
hJ : J ≤ v.supp
⊢ (v.onQuot hJ).supp = Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) v.supp
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
this✝ : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal ((-f) x))
⊢ μ.withDensityᵥ f = (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)).toSignedMeasure - (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).toSignedMeasure
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : p ≠ 0
⊢ p.order = 0 ↔ p 0 ≠ 0
α : Type u
l l' : List α
hn : [].Nodup
⊢ [].cyclicPermutations.Nodup
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
K : ChainComplex C ℕ
X : C
φ : K.X 0 ⟶ X
HomologicalComplex.HasHomology K 0
hφ : K.d 1 0 ≫ φ = 0
⊢ CategoryTheory.IsIso (HomologicalComplex.descOpcycles K φ 1 ⋯ hφ) ↔
  (CategoryTheory.ShortComplex.mk (K.d 1 0) φ hφ).Exact ∧ CategoryTheory.Epi φ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
h : IsIntegralCurveAt γ v t₀
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t₀ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t₀)))
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
this : (algebraMap A K) (num A 0) = 0 ∨ (algebraMap A K) ↑(den A 0) = 0
⊢ num A 0 = 0
n : Nat
⊢ Rat.ofInt (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : β → σ
m : β → ℕ
l : β → List β
g : β → List σ → Option σ
hm : Primrec m
hl : Primrec l
hg : Primrec₂ g
Ord : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b
H : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)
this : DecidableEq β
mapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList
bindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n
graph : β → ℕ → List (β × σ) := fun b i => Nat.rec [] (fun i ih => List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i))) i
⊢ Primrec f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
⊢ (b.reindex e).toBasis = b.toBasis.reindex e
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
r : α → β → Prop
⊢ (∃ b, ∀ᶠ (a : α) in atTop, r a b) ↔ ∀ᶠ (a₀ : α) in atTop, ∃ b, ∀ a ≥ a₀, r a b
V : Type u
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : Gᶜ.Adj v w
⊢ Fintype.card ↑(Gᶜ.commonNeighbors v w) = n - (2 * k - μ) - 2
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
v : n → α
A : Matrix m n α
x✝ : m
⊢ (-A *ᵥ v) x✝ = (-(A *ᵥ v)) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hs : s.Finite
⊢ s.einfsep = ⋯.toFinset.inf (uncurry edist)
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
⊢ Primrec Sum.inr
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ
⊢ f^[n] a ≤ nfp f a
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ padicNorm p ↑p = (↑p)⁻¹
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ (cokernel.π α).app X = cokernel.π (α.app X) ≫ cokernelComparison α ((evaluation C D).obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
⊢ ∫⁻ (x : α), edist (↑↑(f - g) x) 0 ∂μ = ∫⁻ (x : α), edist (↑↑f x - ↑↑g x) 0 ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤
h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x_1 ≤ x x_2
r : ℝ≥0
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ≥0∞) in map (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l, ↑r ≤ n
G : Type u_1
Group G
x : G
i : ℤ
⊢ ↑(orderOf x) ∣ i ↔ x ^ i = 1
R : Type u
Ring R
ι : Sort u_1
S : ι → Subring R
⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : ν s < ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, (map f μ).rnDeriv (map f ν) (f x) ∂ν = ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x ∂ν
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
h : 0 < l.length
⊢ l.minimum ≠ ⊤
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Semiring B
Algebra R S
Algebra S A
Algebra S B
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
f : A ≃ₐ[S] B
⊢ ⇑(AlgEquiv.restrictScalars R f) = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g₁ g₂ : Equiv.Perm α
s : Set α
h : Set.LeftInvOn (⇑g₁) (⇑g₂) s
⊢ Set.LeftInvOn (⇑(g₁.extendDomain f)) (⇑(g₂.extendDomain f)) (Subtype.val ∘ ⇑f '' s)
c : Code
n✝ x a m n : ℕ
hl : m ≤ n
⊢ a ∈ evaln m c n✝ → a ∈ evaln n c n✝
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap 0 = 0
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
⊢ a - b = a - c ↔ b = c
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommGroup β
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N
⊢ stoppedValue u π - stoppedValue u τ = fun ω => (∑ i ∈ Finset.range (N + 1), {ω | τ ω ≤ i ∧ i < π ω}.indicator (u (i + 1) - u i)) ω
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddMonoid M
α : Type u_13
β : Type u_14
x✝ y✝ : α ⊕ β →₀ M
⊢ __src✝.toFun (x✝ + y✝) = __src✝.toFun x✝ + __src✝.toFun y✝
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e : α' ≃ β'
p : Equiv.Perm α'
⊢ e.permCongr p = (e.symm.trans p).trans e
α : Sort u_1
p : α → Prop
a : α
h : p a
⊢ ↑⟨a, h⟩ = a
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
NoZeroDivisors α
s : Set α
a : α
hs : ThreeGPFree s
ha : a ≠ 0
⊢ ThreeGPFree (a • s)
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
CommMonoid β
b : β
⊢ ∏ _x ∈ s, b = b ^ s.card
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → AddCommGroup (β i)
x : Hamming β
⊢ ‖x‖₊ = ↑(hammingNorm (Hamming.ofHamming x))
α : Type u_1
β : Type u_2
Bornology α
Bornology β
s : Set α
t : Set β
hne : (s ×ˢ t).Nonempty
⊢ Bornology.IsBounded (s ×ˢ t) ↔ Bornology.IsBounded s ∧ Bornology.IsBounded t
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)
x y x' y' a : (i : ι) → α i
hxa : x ≤ a
hay : a ≤ y
ha' : ∃ x, ¬(x' x < a x ∧ a x < y' x)
⊢ ∃ x, (True ∧ a x ≤ x' x ∧ ∀ (j : ι), j ≠ x → True) ∨ (y' x ≤ a x ∧ ∀ (j : ι), j ≠ x → True) ∧ True
R : Type u_1
Semiring R
r : R → R → Prop
⊢ RingQuot.one r = { toQuot := Quot.mk (RingQuot.Rel r) 1 }
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
t : IsLimit (Fork.ofι f w)
y : Y
hy : g y = h y
y' : PUnit.{u + 1} ⟶ Y := fun x => y
hy' : y' ≫ g = y' ≫ h
⊢ ∃! x, f x = y
α : Type u_1
a b c d : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
MulPosStrictMono α
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
c0 : 0 < c
b0 : 0 ≤ b
⊢ a * c < b * d
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
s : CategoryTheory.Limits.Cotrident f
W : C
k l : s.pt ⟶ W
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.π k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.π l
j : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (s.ι.app j) k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (s.ι.app j) l
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
⊢ ∅ ∉ Set.range fun x => orbit G x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
⊢ (fun t => f₀ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f₁ (x + t • v)
α : Type u_1
R : Type u_2
NormedRing R
IsAbsoluteValue norm
p : Polynomial R
h : 0 < p.degree
l : Filter α
z : α → R
hz : Filter.Tendsto (fun x => ‖z x‖) l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ‖Polynomial.eval (z x) p‖) l Filter.atTop
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ g : ι → Set X
π : X → Sort u_6
f : ℕ → (x : X) → π x
U : X → Set X
hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}.Finite
N : X → ℕ
hN : ∀ (x : X), N x ∈ upperBounds {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}
⊢ ∃ F, ∀ (x : X), ∀ᶠ (p : ℕ × X) in atTop ×ˢ 𝓝 x, f p.1 p.2 = F p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulZeroClass α β
Preorder α
Preorder β
PosSMulStrictMono α β
PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a
⊢ 0 < a • b ↔ 0 < b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
⊢ ∃ g, g ∘ₗ f = id
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
Y : C
S : CategoryTheory.Functor C D
f : S.obj Y ⟶ T
⊢ (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk f).left = Y
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g : widePushout B objs arrows ⟶ X
h1 : ∀ (j : J), ι arrows j ≫ g = fs j
h2 : head arrows ≫ g = f
⊢ g = desc f fs w
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
⊢ (h.aequiv h').symm = h'.aequiv h
S : Type u
inst✝¹ : Semiring S
T : Type v
inst✝ : Semiring T
f : S →+* T
n : ℕ
t : T
⊢ eval t (ascPochhammer T n) = eval₂ f t (ascPochhammer S n)
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ : Finset α
⊢ s₁ ∪ s₂ ∪ s₃ = s₁ ∪ (s₂ ∪ s₃)
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_4
Fintype n
CommSemiring R
M : Matrix m n R
i : m
c : n → R
⊢ (MvPolynomial.eval c) (M.toMvPolynomial i) = (M *ᵥ c) i
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
h_ninj : ∃ a b, (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) a = (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) b ∧ a ≠ b
a b : ↑(Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord)
h_fab : (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) a = (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) b
h_nab : a ≠ b
⊢ ↑b < (succ #α).ord ∧ ↑a ≠ ↑b ∧ lfpApprox f x ↑a = lfpApprox f x ↑b
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
⊢ GaloisConnection (NonUnitalSubsemiring.map f) (NonUnitalSubsemiring.comap f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ borel ℝ = generateFrom (⋃ a, {Ici ↑a})
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
l l' : Filter ℝ
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
Filter.TendstoIxxClass Set.Ioc l l'
l'.IsMeasurablyGenerated
hμ : μ.FiniteAtFilter l'
c : E
hf : Filter.Tendsto f (l' ⊓ MeasureTheory.ae μ) (𝓝 c)
u v : ι → ℝ
lt : Filter ι
hu : Filter.Tendsto u lt l
hv : Filter.Tendsto v lt l
⊢ ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (u t) (v t)
p n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x : 𝕎 R
⊢ (WittVector.truncateFun n x).out = WittVector.init n x
R : Type u
S : Type v
DivisionRing R
Semiring S
Nontrivial S
p : R[X]
f : R →+* S
⊢ (Polynomial.map f p).degree = p.degree
α : Type u
s : Set α
hs : s.Nontrivial
⊢ ¬s ⊆ ∅
K : Type u
inst✝ : Field K
A✝ A B : ValuationSubring K
h : A.nonunits = B.nonunits
⊢ A = B
α : Type u_2
Mul α
s t : Set α
a : α
⊢ a ∈ t → MulOpposite.op a • s ⊆ s * t
α : Type u
l : Filter α
⊢ CardinalInterFilter l ℵ₀
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ VectorMeasure.restrict s v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
hwuv : ↑s ((w ∩ u) ∆ (w ∩ v)) = 0
huv : ↑s ((w ∩ u) \ (w ∩ v)) = 0
hvu : ↑s ((w ∩ v) \ (w ∩ u)) = 0
⊢ ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ (fun x => b + x) ⁻¹' Metric.sphere a r = Metric.sphere (a - b) r
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
s : Finset α
hs : ThreeAPFree ↑s
⊢ addRothNumber s = s.card
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ
⊢ k ! * ((k + 1) * (n + k + 1).choose (k + 1)) = k ! * ((n + k + 1).choose (n + 1) * (n + 1))
s : ℝ
n : ℕ
⊢ ↑(↑n ^ s * ↑n ! / ∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (s + ↑j)) = ↑n ^ ↑s * ↑n ! / ∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (↑s + ↑j)
n m : ℕ
⊢ ((2 ^ n).testBit m = true) = (n = m)
R : Type u_3
CommRing R
IsDomain R
p : ℕ
NeZero p
CharP R p
x : ℤ
⊢ ∃ a b, ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 = ↑x
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
⊢ AffineIndependent k ⇑b
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
⊢ f.support ⊆ {a} ↔ f = Finsupp.single a (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ AEMeasurable (r⁻¹ • ν.rnDeriv μ) (r • μ)
X : Type u_1
Y : Type u_2
NormedAddCommGroup X
NormedAddCommGroup Y
NormedSpace ℝ X
NormedSpace ℝ Y
f : X → Y
h : Conformal f
x : X
⊢ ConformalAt f x
α : Type u
β : Type v
f g : Filter α
m : α → β
⊢ Filter.map m (f ⊓ g) ≤ Filter.map m f ⊓ Filter.map m g
n : ℕ
⊢ antidiagonal n = image (fun i => (n - i, i)) (range (n + 1))
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
hn : μ = ↑n
⊢ ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : Fin i → M
b : Fin j → M
⊢ (List.ofFn fun i_1 => (TensorAlgebra.ι R) (Fin.append a b i_1)) = (List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (a i)) ++ List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (b i)
K : Type u_1
S : Type u_2
Field K
CommRing S
Algebra K S
x : S
hx : IsIntegral K x
⊢ (Algebra.adjoin.powerBasis hx).dim = (minpoly K x).natDegree
p : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
⊢ legendreSym p a = J(a | p)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
sp : AffineSubspace k P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥sp.direction
hle : affineSpan k ↑(Finset.image p s) ≤ sp
hc : s.card = finrank k ↥sp.direction + 1
hn : s.Nonempty
hd : (affineSpan k ↑(Finset.image p s)).direction ≤ sp.direction
⊢ (affineSpan k ↑(Finset.image p s)).direction = sp.direction
K : Type u
DivisionRing K
S T : Subfield K
h : ∀ (x : K), x ∈ S ↔ x ∈ T
⊢ S = T
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
Semiring R'
SMul R' R
Module R' A
IsScalarTower R' R A
r : R'
x : ↥S
⊢ ↑(r • x) = r • ↑x
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E
adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤
⊢ IsGalois F E
x : ℝ
⊢ (↑x).abs < ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x z : M
f g : M → E'
f' g' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
hf : MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') (-f) z
⊢ f = - -f
α : Type u_1
EDist α
⊢ ∅.infsep = 0
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u
ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
⊢ ∀ i_1 ∈ s, eval i_1 (χ.coeff i) = 0
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Add M
Add N
Add P
f : AddHom M N
g : AddHom M P
⊢ ⇑(f.prod g) = Pi.prod ⇑f ⇑g
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a s : ℂ
hs : 0 < s.re + a.re
this : HasMellin ((Ioc 0 1).indicator fun x => 1) (s + a) (1 / (s + a))
⊢ HasMellin ((Ioc 0 1).indicator fun t => ↑t ^ a) s (1 / (s + a))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
(HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
K L : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
⊢ CategoryTheory.IsIso (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Q.map f) ↔ HomologicalComplex.quasiIso C c f
α : Type u_2
L : List (List α)
⊢ L.join.length = (List.map List.length L).sum
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
⊢ IsQuasiregular x
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
⊢ interior (s ∩ t) = interior s ∩ interior t
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
𝔸 : Type u_6
RCLike 𝕂
Fintype m
DecidableEq m
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
A : Matrix m m 𝔸
⊢ IsUnit (NormedSpace.exp 𝕂 A)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.68425, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.68429, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b) (a ≫ φ₂)
⊢ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (triangle φ₁).mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) 1 ⋙ HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a ≫ ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app K₂ = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (triangle φ₁).mor₃ ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map a) ≫ ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app K₂
R : Type u_1
CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
⊢ (Multiset.map Neg.neg s).esymm k = (-1) ^ k * s.esymm k
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hμ : NeZero μ
hf : MeasureTheory.Integrable (fun x => Real.exp (f x)) μ
⊢ 0 < ∫ (x : α), Real.exp (f x) ∂μ
α : Type u_1
StrictOrderedRing α
Archimedean α
x : α
⊢ ∃ n, ↑n < x
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
a : α
f : α → β
h₁ : AntitoneOn f (Set.Iic a)
h₂ : AntitoneOn f (Set.Ici a)
⊢ Antitone f
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
⊢ gaussianReal μ v ≪ ℙ
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
l : List ι
hf : ∀ (i' : ι), i' ≠ i → i' ∈ ⟦l⟧ → f i' = 1
⊢ (map f ⟦l⟧).prod = f i ^ count i ⟦l⟧