ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Hashable α
data : Buckets α β
a : α
b : β
l₁ l₂ : List (AssocList α β)
h₁ : data.val.data = l₁ ++ data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val] :: l₂
left✝ : l₁.length = (mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat
eq : (data.update (mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val (AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data = l₁ ++ AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat] :: l₂
⊢ Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) l₁) + (data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat].toList.length + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) l₂) + 1) = Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) l₁) + (data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat].toList.length + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) l₂)) + 1
α : Type u
s : Set α
Nonempty ↑s
⊢ s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
Inf β
a b : β
⊢ ↑(a ⊓ b) = ↑a ⊓ ↑b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) =
  (CategoryTheory.Limits.pullbackSymmetry f (CategoryTheory.Over.mk g).hom).hom ≫
    ((CategoryTheory.Over.pullback f).map
          (CategoryTheory.Over.homMk (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal g) ⋯)).left ≫
      (CategoryTheory.Limits.diagonalObjPullbackFstIso f g).inv
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s' s t : Multiset α
⊢ CutExpand r (s' + t) (s + t) ↔ CutExpand r s' s
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.smulRightL 𝕜 E G‖ ≤ 1
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ -y ≤ x ↔ -x ≤ y
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ ∃ S₁, S₁.multiplicity < S.multiplicity
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
x y : V
⊢ ⊤.Reachable x y
a b c d : Ordinal.{u}
⊢ ¬a ⨳ b ⨳ c ≤ d ↔ ¬∀ a' < a, ∀ b' < b, ∀ c' < c, a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c' < d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c'
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s : Finset α
⊢ s + ∅ = ∅
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
t : Finset κ
f✝ : ι → α
g : κ → α
a✝ : α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ (s.sup fun i => a ⊓ f i) = s.sup fun i => f i ⊓ a
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : normalizedFactors a = normalizedFactors b
⊢ a ~ᵤ b
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
Algebra R S
self : Algebra.IsStandardSmooth R S
⊢ Nonempty (Algebra.SubmersivePresentation R S)
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ (a ⇔ b)ᶜ = a ∆ b
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V₂
⊢ finrank K (V ⧸ ker f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
α : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : α →ₙ+* α
⊢ f * g = f.comp g
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤
n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ
n₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ↑r ^ n₁ r • x ∈ M'
N : ℕ := s'.attach.sup n₁
hs' : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' ↑s') = ⊤
r : R
hr : r ∈ ↑s'
⊢ ↑⟨(fun x => x ^ N) r, ⋯⟩ • x = r ^ (N - n₁ ⟨r, hr⟩) • ↑⟨r, hr⟩ ^ n₁ ⟨r, hr⟩ • x
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
C : G.ConnectedComponent
φ : G →g G'
ψ : G' →g G''
⊢ ∀ (v : V), map ψ (map φ (G.connectedComponentMk v)) = map (ψ.comp φ) (G.connectedComponentMk v)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
⊢ Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
ι : Type u_1
R : Type u_2
AddMonoid ι
Monoid R
n : ℕ
⊢ ∀ (x : ι) (a : R), GradedMonoid.GMonoid.gnpow n a = a ^ n
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
⊢ (AffineIsometryEquiv.refl 𝕜 P).toAffineEquiv = AffineEquiv.refl 𝕜 P
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ : α
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
a : α
u : Set (β × γ)
hu : MeasurableSet u
⊢ ∫⁻ (b : β), ((η.restrict ht) (a, b)) {c | (b, c) ∈ u} ∂(κ.restrict hs) a = ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ u ∩ s ×ˢ t} ∂κ a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.12795, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12799, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : h.IsPreservedBy F
this✝ : PreservesLimit (parallelPair S.g 0) F
this : PreservesColimit (parallelPair h.f' 0) F
wi : F.map h.i ≫ F.map S.g = 0
hi : IsLimit ((KernelFork.ofι h.i ⋯).map F)
⊢ (S.map F).LeftHomologyData
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
I : Ideal S
⊢ ⇑(comap f) '' zeroLocus ↑I = zeroLocus ↑(Ideal.comap f I)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ LieSubmodule.ucs 0 N = N
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
s : Set α
⊢ Summable (s.indicator f)
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
ι : Sort u_5
x : α
s : ι → Opens α
⊢ x ∈ ↑(iSup s) ↔ ∃ i, x ∈ s i
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₁ : ι → P
p₂ : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂) = (s.weightedVSub p₁) w
M : Type u_1
S T : Set M
a✝ b✝ c : M
inst✝ : Mul M
h : IsMulCentral c
a b : M
⊢ a * b * c = a * c * b
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
a : R
ha : (algebraMap R S) a = 0
⊢ a = 0
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
x : α
y : ℕ
⊢ round (↑y + x) = ↑y + round x
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
f : α
hf : f ∈ B₁ \ B₂
hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))
this : (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard < (B₂ \ B₁).encard
hencard : (B₁ \ insert f (B₂ \ {e})).encard ≤ (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard
⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
x₁ y₁ x₂ y₂ : SetTheory.PGame
hx : x₁ ≈ x₂
hy : y₁ ≈ y₂
⊢ x₁.LF y₁ → x₂.LF y₂
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)
has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'
this : μ'.IsMulLeftInvariant
⊢ μ = μ'
M : Type u_2
Monoid M
a : M
m n : ℕ
⊢ a ^ (m * n) = (a ^ m) ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a : α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ (fun i => ↑(d i)) n
hd : Summable fun i => ↑(d i)
⊢ ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ 0 ≤ ‖f‖
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
⊢ (∃ a, ((a.sum fun x x => x) = n ∧ a.support ⊆ s) ∧ (mapRange.addEquiv e).toEmbedding a = f) → (f.sum fun x x => x) = e n ∧ f.support ⊆ s
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
⊢ (o.kahler ((o.rotation θ) x)) y = (starRingEnd ℂ) ↑θ.expMapCircle * (o.kahler x) y
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Equiv M N
⊢ Function.Injective ⇑f
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
f : α × β → E
h1f : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
⊢ Integrable f (μ.prod ν) ↔ (∀ᵐ (y : β) ∂ν, Integrable (fun x => f (x, y)) μ) ∧ Integrable (fun y => ∫ (x : α), ‖f (x, y)‖ ∂μ) ν
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
q : ℚ
⊢ CauSeq.Completion.ofRat ↑q = ↑q
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n i j : ℕ
⊢ (l.rdrop i).rdrop j = l.rdrop (i + j)
α : Type u_2
Add α
IsLeftCancelAdd α
DecidableEq α
t : Finset α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ t.card ≤ (s + t).card
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest
⊢ (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> (mk y.dest).dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b c d : G₀
h : a = 0 → b = 0
⊢ a * b / a = b
E : Type u_6
SeminormedGroup E
x : E
⊢ 0 < 1 + ‖x‖ ^ 2
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, i ≠ a → i ≠ b → (f i).IsPrime
I : Ideal R
this : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ i ∈ s, I ≤ f i
aux : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), I ≤ f x
⊢ ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) ↔ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
⊢ {a, b}.Pairwise r ↔ a ≠ b → r a b ∧ r b a
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
h₁ : H
w₂ : Word G
h₂ : H
hw₂ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₂.toList → g ∈ d.set i
hw₁✝ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
hw₁ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) (h₁⁻¹ * h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
⊢ { toWord := ((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂, head := h₁, normalized := hw₁✝ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ IsBounded s → IsBounded s⁻¹
α : Type u_1
inst✝ : Lattice α
h : ∀ (x y z : α), x ⊓ z ⊔ y ⊓ z = (x ⊓ z ⊔ y) ⊓ z
x✝ y z : α
xz : x✝ ≤ z
⊢ (x✝ ⊔ y) ⊓ z ≤ x✝ ⊔ y ⊓ z
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
a : α
⊢ IsGreatest (s ∪ t) a ↔ IsGreatest s a ∧ a ∈ upperBounds t ∨ a ∈ upperBounds s ∧ IsGreatest t a
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
⊢ (adjMatrix α G ^ 2) v w = (k • 1 + ℓ • adjMatrix α G + μ • adjMatrix α Gᶜ) v w
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
self : Configuration.Nondegenerate P L
l : L
⊢ ∃ p, p ∉ l
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
a b : α
ha : IsComplemented a
hb : IsComplemented b
⊢ ⟨a, ha⟩ ⊓ ⟨b, hb⟩ = ⟨a ⊓ b, ⋯⟩
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
h : isGood (π C J) l
i : I
hi : i ∈ ↑l
⊢ J i
α : Type u
AddGroup α
⊢ ⊥.toTopologicalSpace = ⊥
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x y L : R
⊢ Y - C (C y) + (C X - C (C x)) * -C (C L) = Y - (C (C L) * (C X - C (C x)) + C (C y))
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
h : f.lim = 0
hf : f ≈ const abv f.lim
⊢ f.LimZero
n k : ℕ
h : n ∣ k
h' : k ≠ 0
⊢ n.primeFactorsList ⊆ k.primeFactorsList
l r : List Char
it : String.Iterator
⊢ String.Iterator.ValidFor l r it →
  ∀ (n : Nat), n ≤ l.length → String.Iterator.ValidFor (List.drop n l) ((List.take n l).reverse ++ r) (it.prevn n)
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
j : Fin (n + 1)
⊢ j ∈ c.boundaries ↔ ∃ i < c.boundaries.card, (List.take i c.blocks).sum = ↑j
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
⊢ minimals r s ∩ t ⊆ minimals r (s ∩ t)
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
⊢ IsComplete s ↔ ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → s ∈ l → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x✝ : M
hs : UniqueMDiffOn I s
x : M
y : M'
f : M → M'
hf : ContinuousOn f s
z : M
hz : z ∈ s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source
⊢ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source ∈ nhdsWithin z s
α : Type u_1
l m : Language α
⊢ l + m = l ∪ m
⊢ ⇑OrderIso.pnatIsoNat = PNat.natPred
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
ExistsAddOfLE α
PosMulStrictMono α
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 ≤ a * b ↔ (0 < a → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → 0 ≤ a)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ Q.IsOrtho x 0
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : F.map f.f ≫ φ.app x✝.X = φ.app x✝¹.X ≫ G.map f.f
h' : F.map (f.f ≫ x✝.p) = F.map f.f
h'' : F.map (x✝¹.p ≫ f.f) = F.map f.f
⊢ (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = ((F.map x✝¹.p).f ≫ (φ.app x✝¹.X).f) ≫ (G.map f.f).f
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W
⊢ cs.IsLeftInversion w⁻¹ t ↔ cs.IsRightInversion w t
m : ℤ
n : ℕ
⊢ Odd (m ^ n) ↔ Odd m ∨ n = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
x✝ : Discrete (ι × ι)
⊢ ((Pi.lift fun i => F.map (leSupr U i).op) ≫ Pi.lift fun p => Pi.π (fun i => F.obj (op (U i))) p.1 ≫ F.map ((U p.1).infLELeft (U p.2)).op) ≫ limit.π (Discrete.functor fun p => F.obj (op (U p.1 ⊓ U p.2))) x✝ = ((Pi.lift fun i => F.map (leSupr U i).op) ≫ Pi.lift fun p => Pi.π (fun i => F.obj (op (U i))) p.2 ≫ F.map ((U p.1).infLERight (U p.2)).op) ≫ limit.π (Discrete.functor fun p => F.obj (op (U p.1 ⊓ U p.2))) x✝
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
hf_le : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
⊢ f ≤ᵐ[μ] g
α : Type u
ι : Sort x
l : Filter α
Finite ι
s t : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), s i ≤ᶠ[l] t i
⊢ ⋂ i, s i ≤ᶠ[l] ⋂ i, t i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
M : Type w'
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
W.IsCompatibleWithShift M
L : CategoryTheory.Functor C D
L.IsLocalization W
CategoryTheory.HasShift D M
L.CommShift M
X Y : C
a : M
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Y
f : CategoryTheory.Localization.SmallShiftedHom W X Y a
n a' : M
h : a + n = a'
⊢ (CategoryTheory.Localization.SmallHom.equiv W L) (f.shift n a' h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((L.commShiftIso n).hom.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((CategoryTheory.shiftFunctor D n).map ((CategoryTheory.Localization.SmallHom.equiv W L) f))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor D n).map ((L.commShiftIso a).hom.app Y))
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' D a n a' h).inv.app (L.obj Y))
          ((L.commShiftIso a').inv.app Y))))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
h_obj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X
h_map :
  ∀ (X Y : C) (f : X ⟶ Y),
    F.map f =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map f) (CategoryTheory.eqToHom ⋯)) := by
  aesop_cat
⊢ F = G
x : PartENat
n : ℕ
hx : x ≠ ⊤
⊢ x < ↑n.succ ↔ x ≤ ↑n
⊢ ∀ {α : Type u_1} {s : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α} {n n' : Nat}, s.rankGT n → n' ≤ n → s.rankGT n'
R : Type u_1
y : R
CommSemiring R
⊢ IsRadical y ↔ (Ideal.span {y}).IsRadical
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0
a_mble : Measurable a
a_summable : Summable a
c : ℝ≥0
tsum_le_c : ∑' (i : α), a i ≤ c
ε : ℝ≥0
ε_ne_zero : ε ≠ 0
⊢ ∑' (i : α), (ofNNReal ∘ a) i ≤ ↑c
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : V₁ → V₂
h₁ : ∀ (v₁ v₂ : V₁), f (v₁ + v₂) = f v₁ + f v₂
h₂ : ℝ
h₃ : ∀ (v : V₁), ‖f v‖ ≤ h₂ * ‖v‖
⊢ ⇑{ toFun := f, map_add' := h₁, bound' := ⋯ } = f
q r : ℚ
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0
⊢ q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ Measurable (μ.rnDeriv ν) ∧ μ.singularPart ν ⟂ₘ ν ∧ μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N' : Type u_6
AddCommGroup N'
Module R N'
ι : Type u_7
Fintype ι
DecidableEq ι
m : MultilinearMap R (fun x => M) N'
v : ι → M
⊢ (MultilinearMap.alternatization m) v = ∑ σ : Equiv.Perm ι, Equiv.Perm.sign σ • (MultilinearMap.domDomCongr σ m) v
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
q : Seminorm 𝕜 E
hq : Continuous ⇑q
⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ q ≤ C • s.sup p
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0
Q : R[X]
hQ : P * Q = 0
l : ℕ
IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0
hl : (P.coeff l • Q).natDegree = Q.natDegree
⊢ P.coeff l * Q.leadingCoeff = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
B : Type u_4
CommRing B
IsDomain B
Nontrivial R
Algebra R A
Algebra R B
Algebra B A
IsScalarTower R B A
IsIntegralClosure B R A
Ring.DimensionLEOne R
⊢ Ring.DimensionLEOne B
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
l : Filter ι
hp_ne_zero : p ≠ 0
hf : ∀ (n : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
hfg : Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)
⊢ MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f l g
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F.op
⊢ c.unop.π = CategoryTheory.NatTrans.removeOp c.ι
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
h : f ∈ S.arrows c d
⊢ c ∈ S.objs
k : ℕ
cf cg : Code
hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ cf.eval n
hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ cg.eval n
n x : ℕ
left✝ : n ≤ k
h : ∃ a, evaln (k + 1) cg n = some a ∧ evaln (k + 1) cf a = some x
⊢ ∃ a ∈ cg.eval n, x ∈ cf.eval a
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
⊢ (l ++ [x]).rdrop (n + 1) = l.rdrop n
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
e_1✝ : ↑Γ(Spec Γ(X, U), PrimeSpectrum.basicOpen f) = ↑((structureSheaf ↑Γ(X, U)).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
he✝ : CommRing.toCommSemiring = CommRing.toCommSemiring
⊢ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ hU.basicOpenSectionsToAffine f = StructureSheaf.toOpen (↑Γ(X, U)) (PrimeSpectrum.basicOpen f)
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
i : Fin q.length
⊢ q.toFun ⟨↑(Fin.natAdd p.length i).castSucc - p.length, ⋯⟩ = q.toFun i.castSucc
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
d : D
X✝ Y✝ : (StructuredArrow (op d) F.op)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ F.map f.unop.right.unop ≫ (unop Y✝).hom.unop = (unop X✝).hom.unop
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x : F
⊢ ((Orientation.map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).rightAngleRotation x = φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι →₀ 𝕜
hl : (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l = 0
i : ι
key : ⟪v i, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l⟫_𝕜 = ⟪v i, 0⟫_𝕜
⊢ l i = 0 i
A : Type u_1
Add A
e : AddAut A
a : A
⊢ e⁻¹ (e a) = a
α : Type u_1
δ : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
PseudoMetricSpace δ
f : α → δ
x : δ
hμ : μ ≠ 0
⊢ ∃ n, 0 < μ (f ⁻¹' Metric.ball x ↑n)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
M₂ : Type u_5
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L M₂
LieModule R L M₂
χ : L → R
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (LieModule.weightSpace M χ) = LieModule.weightSpace M₂ χ
s : ℂ
h2 : s ≠ 0
⊢ Complex.Gamma (s + 1) = s * Complex.Gamma s
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
s : ι → α
⊢ iInf s = ⊤ ↔ ∀ (i : ι), s i = ⊤
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
_m1 : (unpair m).1 < n + 4
_m2 : (unpair m).2 < n + 4
IH : (ofNatCode m).encodeCode = m
IH1 : (ofNatCode (unpair m).1).encodeCode = (unpair m).1
IH2 : (ofNatCode (unpair m).2).encodeCode = (unpair m).2
⊢ (ofNatCode (n + 4)).encodeCode = n + 4