ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
⊢ ComplementedLattice α
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
⊢ x ∈ ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
h_aJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
a₁ : R := choose ⋯
J₁ : Ideal R := choose ⋯
h_a₁J₁ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁)⁻¹ * ↑J₁
⊢ count K v I = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)
p✝ : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p✝)
inst✝² : Fintype ι
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
n : ℕ
h : p = ↑n
f : PiLp p β
⊢ ‖f‖ = (∑ i : ι, ‖f i‖ ^ n) ^ (1 / ↑n)
K : Type u
V V₁ : Type v
Ring K
AddCommGroup V
Module K V
AddCommGroup V₁
Module K V₁
f : V →ₗ[K] V₁
⊢ f.rank ≤ Module.rank K V
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r
inst✝ : Finite ι
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
x : (i : ι) → α i
this✝¹ : (i : ι) → Zero (α i) := fun i => { zero := ⋯.min ⊤ ⋯ }
this✝ : IsTrans ι (Function.swap r)
this : IsIrrefl ι (Function.swap r)
⊢ WellFounded (Pi.Lex r fun {i} => s i)
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α} {s : Set α}, Bornology.IsBounded s → ∀ (x_1 : α), Bornology.IsBounded (insert x_1 s)
α : Type u_1
a : Array α
i : Nat
f : α → α
⊢ (a.modify i f).size = a.size
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
m : Multiset A
h : ∀ x ∈ m, x ∈ S
⊢ m.prod ∈ S
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
h₁ : ℵ₀ ≤ #β
h₂ : #α < (#β).ord.cof
x : α
h : #β ≤ #↑(f ⁻¹' {x})
⊢ #↑(f ⁻¹' {x}) ≤ #β
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
hfp : map f p = 0
x : R
⊢ f x * (map f p).coeff p.natDegree = 0
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
hc : p.IsTrail
h : u ∈ p.support
⊢ (?m.20281.append (p.dropUntil u h)).IsTrail
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
⊢ IsSeparator G ↔ (preadditiveCoyoneda.obj (op G)).Faithful
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z Z' : C
α : X ≅ Y
β : Y ≅ Z
γ : Z ≅ Z'
⊢ ((α ≪≫ β) ≪≫ γ).hom = (α ≪≫ β ≪≫ γ).hom
A B : FintypeCat
i : A ≅ B
⊢ ∀ (a : ↑B), (FintypeCat.equivEquivIso.symm i).symm a = i.inv a
V : Type
G : SimpleGraph V
inst✝² : G.LocallyFinite
inst✝¹ : Fact G.Preconnected
inst✝ : Infinite V
⊢ G.end.Nonempty
G : Type u_2
AddGroup G
S T : AddSubmonoid G
⊢ -S ≤ T ↔ S ≤ -T
a : ℕ
⊢ Nat.cast '' Set.Iic a = Set.Icc 0 ↑a
α✝ : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
α : Type u_4
h : 0 = 0 + 0
⊢ vecAlt1 h ![] = ![]
xl xr : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → PGame
x : PGame := mk PEmpty.{u + 1} ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (f ((equivShrink ι).symm i)).RightMoves) PEmpty.elim fun x => (f ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveRight x.snd
i : ι
⊢ (∀ (i_1 : x.LeftMoves), x.moveLeft i_1 ⧏ f ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))) ∧ ∀ (j : (f ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).RightMoves), x ⧏ (f ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).moveRight j
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
m : α → β
f : Filter α
⊢ Tendsto m f atTop ↔ ∀ (b : β), ∀ᶠ (a : α) in f, b ≤ m a
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
⊢ -⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧ = ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight (Sum.inr (i, j))⟧
α : Type u
OrderedCommGroup α
a b : α
⊢ a < b → b⁻¹ < a⁻¹
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x y : P
⊢ dist x y = ‖y -ᵥ x‖
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ofLex (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
a : ℤ
b : ℕ
ha4 : a % 4 = 0
hb2 : b % 2 = 1
⊢ J(a / 4 | b) = J(a | b)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
inst✝ : J.Boundaryless
⊢ (I.prod J).boundary (M × N) = (I.boundary M).prod univ
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Finite m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
G : Type u_7
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G M₂
inst✝ : SMulCommClass G R M₂
g : G
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (toMatrix v₁ (g • v₂)) f i✝ j✝ = (toMatrix v₁ v₂) (DistribMulAction.toLinearMap R M₂ g⁻¹ ∘ₗ f) i✝ j✝
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
a : P
⊢ ↑((AffineSubspace.topEquiv k V P).symm a) = a
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
t₁ t₂ : Set β
⊢ s +ᵥ t₁ ∩ t₂ ⊆ (s +ᵥ t₁) ∩ (s +ᵥ t₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a₁ a₂ : α
b : β
x z y : α
h : G.Adj x y
w : G.Walk y z
⊢ G.Adj (x, b).1 ((G.boxProdLeft H b).toHom y).1 ∧ (x, b).2 = ((G.boxProdLeft H b).toHom y).2
α : Type u_1
σ : Type u_3
τ : Type u_4
PartialOrder α
E : σ ≃ τ
F : CFilter α σ
a : τ
⊢ (CFilter.ofEquiv E F).f a = F.f (E.symm a)
x : UInt64
⊢ x.toUInt8.toNat = x.toNat % 2 ^ 8
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
S : Set X
f g : C(X, Y)
h : f.HomotopicRel g S
⊢ g.HomotopicRel f S
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
M : Matrix n n 𝕜
e : n ≃ Fin (Fintype.card n)
⊢ ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
b : H
AddGroup G
One G
AddGroup H
AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
⊢ f (x - 1) = f x - b
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩.fst ∈ s ∧ ⟨i, b⟩.snd ∈ g ⟨i, b⟩.fst
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t
j : ι
c : β j
hbc : ⟨i, b⟩ ≠ ⟨j, c⟩
hj : ⟨j, c⟩.fst ∈ s ∧ ⟨j, c⟩.snd ∈ g ⟨j, c⟩.fst
hij : i ≠ j
⊢ Disjoint (f ⟨i, b⟩) (f ⟨j, c⟩)
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a b : { x // 0 ≤ x }
⊢ ↑(a / b) = ↑a / ↑b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
b : Basis ι ℝ E
⊢ b.addHaar (_root_.parallelepiped ⇑b) = 1
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
⊢ (MvPowerSeries.constantCoeff σ R).comp (MvPowerSeries.C σ R) = RingHom.id R
R : Type u
CommRing R
S : Type v
Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(Ideal.Quotient.lift I f H)
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f) (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
l : ↑s →₀ R
hl : (Finsupp.total (↑s) R R Subtype.val) l = 1
⊢ ∀ (i : ↑s), f (l i) ∈ (Algebra.ofId R S).range
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
StarRing A
CstarRing A
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ ‖a.toProd.1‖₊ = ‖a.toProd.2‖₊
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι' : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype ι'
E : Type u_6
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq ι'
e : ι ≃ ι'
i : ι
v : E
⊢ (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e) ((WithLp.equiv p (ι → E)).symm (Pi.single i v)) = (WithLp.equiv p (ι' → E)).symm (Pi.single (e i) v)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hg : IsBoundedLinearMap 𝕜 g
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun e => f e + g e
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
this✝ : Countable (Subtype p)
hp : Nonempty (Subtype p)
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)
m : Subtype p → Set δ := fun j => {x | BddBelow (range fun i => f (↑i) x)}
m_meas : ∀ (j : Subtype p), MeasurableSet (m j)
mc_meas : MeasurableSet {x | ∀ (j : Subtype p), x ∉ m j}
j : Subtype p
reparam : δ → Subtype p → Subtype p := fun x => liminf_reparam (fun i => f i x) s p
F0 : Subtype p → δ → α := fun j x => ⨅ i, f (↑i) x
F0_meas : ∀ (j : Subtype p), Measurable (F0 j)
⊢ Measurable fun b => ⨅ i, f (↑i) b
α : Type u
s : Set α
⊢ s.Nonempty ↔ s ≠ ∅
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⟪x, y⟫_ℝ = -(‖x‖ * ‖y‖)
h₁ : ‖x‖ * ‖y‖ ≠ 0
⊢ angle x y = π
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → Zero (β i)
i : ι
⊢ 0 i = 0
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
p : Pair M i
⊢ rcons p = of p.head • p.tail
R : Type u
NonAssocSemiring R
⊢ ↑⊥ = Set.range Nat.cast
m : Type u_1 → Type u_2
ρ : Type u_1
Monad m
ctx : ρ
⊢ ReaderT.read.run ctx = pure ctx
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
r : PGame.mk xl xr xL xR ≡r PGame.mk yl yr yL yR
i : Ordinal.{u}
⊢ (i ∈ Set.range fun i => (xR i).birthday) → i ∈ Set.range fun i => (yR i).birthday
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
S : Submonoid N
f : F
⊢ ↑(Submonoid.comap f S) = ⇑f ⁻¹' ↑S
τ : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace τ
inst✝² : AddCommGroup τ
inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
hf : ∀ (t : τ), Tendsto (fun x => t + x) f f
x✝ : α
h : ∀ n ∈ 𝓝 x✝, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (ϕ.toFun x '' ω f ϕ.toFun s ∩ n).Nonempty
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝 x✝
u : Set τ
hu : u ∈ f
o : Set α
ho₁ : o ⊆ n
ho₂ : IsOpen o
ho₃ : x✝ ∈ o
t : τ
_ht₁ : t ∈ u
ht₂ : (ϕ.toFun t '' ω f ϕ.toFun s ∩ o).Nonempty
l₁ : (ω f ϕ.toFun s ∩ o).Nonempty
l₂ : (closure (image2 ϕ.toFun u s) ∩ o).Nonempty
⊢ ∃ x ∈ u, (ϕ.toFun x '' s ∩ n).Nonempty
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : IsProperMap f
⊢ IsClosed (Set.range f)
G : Type u_7
Group G
self : GroupSeminorm G
x y : G
⊢ self.toFun (x * y) ≤ self.toFun x + self.toFun y
b : ℕ
h : 2 ≤ b
f n e : ℕ
hlt : n < b ^ e
h_e_pos : 0 < e
⊢ (b.toDigitsCore f n []).length ≤ e
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x : K
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
SecondCountableTopology X
f : X → Y
s : Set X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ C, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith C f t
⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s
⊢ ∀ (o : Set ℝ) (x x_1 : ℚ), x < x_1 → o = Ioo ↑x ↑x_1 → o.Nonempty → (o ∩ {x | Irrational x}).Nonempty
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x✝ : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
x : Γ'
hx : VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ x = ∅
⊢ x ∉ ((of R).symm (x✝ • y)).support
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0
f : α →ₛ F
s : Finset F
hs : filter (fun x => x ≠ 0) f.range ⊆ s
⊢ integral μ f = ∑ x ∈ s, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε.toReal / 3
hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal
hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)
δ₁ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ₁
heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
δ₂ : ℝ
hδ₂ : 0 < δ₂
heLpNorm₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
t : Set α
htm : MeasurableSet t
ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε.toReal / (3 * ↑(measureUnivNNReal μ) ^ (1 / p.toReal))
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ eLpNorm (t.indicator (f n) + -t.indicator g) p μ + eLpNorm (tᶜ.indicator (f n + -g)) p μ ≤ ε
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
a : α
s : Set β
Fintype ↑s
Fintype ↑(a +ᵥ s)
⊢ (a +ᵥ s).toFinset = a +ᵥ s.toFinset
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
t : G
p : G → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (t * x)) ↔ {x | p x} ∈ Filter.map (fun h => t * h) (ae μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
h : Inducing f
⊢ Inducing (s.restrictPreimage f)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommRing R
CommRing A
CommRing B
CommRing C
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
f : A →ₐ[R] B
g : B →ₐ[R] C
h : (g.comp f).FinitePresentation
h' : f.FiniteType
⊢ g.FinitePresentation
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
hf : Function.Injective ⇑f
h : UniqueMul A B a0 b0
a : G
aA : a ∈ A
b : G
bB : b ∈ B
ab : a * b = a0 * b0
⊢ a = a0 ∧ b = b0
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsAtomistic α
b : α
⊢ sSup {a | IsAtom a ∧ a ≤ b} = b
F : Type u_8
M : Type u_9
X : Type u_10
Y : Type u_11
SMul M X
SMul M Y
FunLike F X Y
MulActionHomClass F M X Y
f : F
c : M
x : X
⊢ f (c • x) = c • f x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.adjToMonadIso T).hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (T.obj X)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
⊢ Summable fun n => (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x
α : Type u_6
l : Filter α
R : Type u_7
CommMonoid R
ι : Type u_8
f : ι → α → R
s : Finset ι
⊢ ↑(∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ↑(f i)
x : ℝ
⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1
G : Type u_1
Add G
self : UniqueSums G
A B : Finset G
⊢ A.Nonempty → B.Nonempty → ∃ a0 ∈ A, ∃ b0 ∈ B, UniqueAdd A B a0 b0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
⊢ (fun s => (g₁ s).lift fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = fun s => f₂.lift fun t => (g₁ s).lift fun s => (g₂ t).lift' fun t => s ×ˢ t
α : Type u_1
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
⊢ List.Pairwise R (a :: l) ↔ (∀ (a' : α), a' ∈ l → R a a') ∧ List.Pairwise R l
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
n : ℕ
⊢ 0 < a ^ ↑n
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ χ₃ : ↥H → R
hχ : χ₁ + χ₂ = χ₃
x : ↥(rootSpace H χ₁)
y : ↥(rootSpace H χ₂)
⊢ ↑((rootSpaceProduct R L H χ₁ χ₂ χ₃ hχ) (x ⊗ₜ[R] y)) = ⁅↑x, ↑y⁆
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
h : ¬DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ deriv f x = 0
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
F : CategoryTheory.Functor A C
G : CategoryTheory.Functor B C
X : A
⊢ (F.inlCompSum' G).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.sum' G).obj (Sum.inl X))
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
m n : ℕ
⊢ PadicSeq.stationaryPoint hf ≤ m → PadicSeq.stationaryPoint hf ≤ n → padicNorm p (↑f n) = padicNorm p (↑f m)
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
f : E ≃ₐ[F] E'
x : E'
h : IsIntegral F (f.symm x) ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F (f.symm x))
⊢ IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E') (minpoly F x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
𝒢 : Set C
⊢ CategoryTheory.IsCoseparating 𝒢 ↔ ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0) → f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
PartialOrder β
f g : C(α, β)
⊢ f ≤ g ↔ ∀ (a : α), f a ≤ g a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β : Type w
X : (i : β) → (fun x => C) i
i : β
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id X i = CategoryTheory.CategoryStruct.id (X i)
X : Type u_2
TopologicalSpace X
self : LindelofSpace X
⊢ IsLindelof Set.univ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
h : μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
⊢ μ (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ 4 • Q x = (2 * 2) • Q x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p1 p2 p1a : P
hp1a : p1a ∈ s
v1 : V
hv1 : v1 ∈ vectorSpan k s
hv1p : p1 = v1 +ᵥ p1a
p2a : P
hp2a : p2a ∈ s
v2 : V
hv2 : v2 ∈ vectorSpan k s
hv2p : p2 = v2 +ᵥ p2a
hv1v2 : v1 - v2 ∈ vectorSpan k s
⊢ p1a -ᵥ p2a + (v1 - v2) ∈ vectorSpan k s
X : Type u_2
TopologicalSpace X
S : DiscreteQuotient X
A : Set (Quotient S.toSetoid)
⊢ IsOpen (S.proj ⁻¹' A)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
u : Set α
hu : MeasurableSet u
⊢ (μ.restrict (s ∩ t) + μ.restrict (s \ t)) u = (μ.restrict s) u
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset α
a : Subtype p
⊢ a ∈ Finset.subtype p s ↔ ↑a ∈ s
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
i j : n
Fintype n
h : i ≠ j
c : R
⊢ (Matrix.transvection i j c).det = 1
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
z : N
H : f ↑y * z = 1
⊢ ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y)⁻¹ = z
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Submodule K (Module.Dual K V)
⊢ FiniteDimensional K (V ⧸ W.dualCoannihilator) ↔ FiniteDimensional K ↥W
α : Type u_2
DecidableEq α
BooleanAlgebra α
s : Finset α
⊢ Finset.image compl s = s.compls
M : Type u_1
m₁ m₂ : DivInvMonoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h_inv : Inv.inv = Inv.inv
h_mon : toMonoid = toMonoid
⊢ m₁ = m₂
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : AddCommMonoid M₃
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
e✝ : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
p q : Submodule R M
inst✝ : Module R₂ M₂
e : ↥p ≃ₛₗ[σ₁₂] ↥⊥
b : M
hb : b ∈ p
⊢ b = 0
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
n : ℕ
⊢ (n • f.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card = if n = 0 then 0 else (f.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card
α : Type u_3
SemilatticeSup α
⊢ Filter.Tendsto (fun a => (a, a)) Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
x : α
ε : ℝ≥0∞
⊢ MeasurableSet (EMetric.ball x ε)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ IntegrableOn f (Ioc c a) μ
α : Type u_1
BooleanRing α
⊢ ofBoolAlg ⊤ = 1
x✝ x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ x
hx2 : x ≤ 3 * π / 2
hx3 : x ≠ 0
y : ℝ
hy1 : 0 < y
hy2 : y ≤ 3 * π / 2
hy3 : 0 < y ^ 2 + 1
hy2' : y < π / 2
⊢ cos y < 1 / √(y ^ 2 + 1)
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
a b : Ideal S
hI : Irreducible (absNorm (a * b))
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b