ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddGroup α
h : Periodic f c
n : ℕ
⊢ f (x - n • c) = f x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x
⊢ (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)).natDegree = (minpoly E x).natDegree
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
s : Set E
hd : DifferentiableOn ℂ f s
z : E
hz : z ∈ {z | s ∈ 𝓝 z ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) s z}
⊢ Filter.Eventually (IsMaxOn (norm ∘ f) s) (𝓝 z)
α : Type u
s : Set α
DivisionRing α
⊢ Function.Surjective (WType.elim (↥(Subfield.closure s)) (Subfield.operate s))
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : M.Base B
I : Set β
hI : (M.map f hf).Indep I
hBI : f '' B ⊆ I
⊢ f '' B = I
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)
p_odd : Odd p
AB_not_prime : ¬Prime (A * B)
AB_id : A * B = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
ha₁ : (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1) = b * (b ^ (p - 1) - 1) * (b ^ p + b)
ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b
ha₃ : p ∣ b ^ (p - 1) - 1
ha₄ : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (p - 1) - 1
ha₅ : 2 * p * (b ^ 2 - 1) ∣ (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1)
ha₆ : 2 * p ∣ A * B - 1
ha₇ : A * B ∣ b ^ (2 * p) - 1
⊢ (A * B).ProbablePrime b
M : Type u_2
AddZeroClass M
x : M
S : AddSubmonoid Mᵃᵒᵖ
⊢ x ∈ S.unop ↔ AddOpposite.op x ∈ S
X : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
A D E : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : TopologicalSpace D
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : ExtremallyDisconnected A
inst✝² : T2Space A
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : CompactSpace E
ρ : E → A
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Surjective ρ
zorn_subset : ∀ (E₀ : Set E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → ρ '' E₀ ≠ univ
x₁ x₂ : E
hρx : ρ x₁ = ρ x₂
hx : ¬x₁ = x₂
G₁ G₂ : Set E
G₁_open : IsOpen G₁
G₂_open : IsOpen G₂
hx₁ : x₁ ∈ G₁
hx₂ : x₂ ∈ G₂
disj : Disjoint G₁ G₂
⊢ False
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : p ∣ n
⊢ (p * n).totient = p * n.totient
R : Type u
CommRing R
IsNoetherianRing R
I : Ideal R
⊢ ∃ Z, (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
ι : Type u_2
α✝ : ι → Type ?u.38171
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
s t : Set ((i : ι) → α✝ i)
α : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
⊢ univ ∈ measurableCylinders α
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : MeasurableSpace F
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : BorelSpace F
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SigmaCompactSpace F
b : Basis ι ℝ E
f : E ≃L[ℝ] F
this : (Measure.map (⇑f) b.addHaar).IsAddHaarMeasure
⊢ b.addHaar (⇑f ⁻¹' _root_.parallelepiped (⇑f.toLinearEquiv ∘ ⇑b)) = 1
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
X : J
⊢ c.toCostructuredArrowCompProj.inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
hf : DiffContOnCl 𝕜 f s
⊢ DiffContOnCl 𝕜 (-f) s
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x : P
hs : IsClosed (Subtype.val ⁻¹' s)
⊢ s ⊆ range Subtype.val
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
⊢ #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
hH : Group.IsNilpotent H
this : Group.IsNilpotent G
⊢ lowerCentralSeries G (Group.nilpotencyClass H + 1) = ⊥
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ
h : r > 0
⊢ j ∈ {x | ∃ k, beattySeq' r k = x} ∨ ∃ k, ↑k ≤ ↑j / r ∧ (↑j + 1) / r < ↑k + 1
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
a : α
b : β
⊢ a • {b} = {a • b}
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
Preorder α
PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a * b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
𝕜 : Type u_5
NormedDivisionRing 𝕜
Module 𝕜 β
BoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
f : α → β
⊢ MeasureTheory.Integrable (c • f) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
h : AffineIndependent k (p ∘ ⇑e)
this : p = p ∘ ⇑e ∘ ⇑e.symm.toEmbedding
⊢ AffineIndependent k (p ∘ ⇑e ∘ ⇑e.symm.toEmbedding)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
h : MeasurableSpace.CountablySeparated α
⊢ ∃ m', MeasurableSpace.CountablyGenerated α ∧ MeasurableSpace.SeparatesPoints α ∧ m' ≤ m
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
⊢ Function.Surjective ⇑S.normedMk
x y : ℤ[i]
⊢ (toComplex (x / y)).im = ↑(round (toComplex x / toComplex y).im)
α : Type u_1
G : Type u_2
CommGroup G
UniformSpace G
UniformGroup G
NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Filter.Tendsto f Filter.cofinite (𝓝 1)
⊢ CauchySeq fun s => ∏ i ∈ s, f i
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
A : Rep k G
r : k
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G
⊢ { toFun := fun f g => (A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g), map_add' := ⋯ }.toFun (r • f) x = ((RingHom.id k) r • { toFun := fun f g => (A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g), map_add' := ⋯ }.toFun f) x
x y : SetTheory.PGame
⊢ -x ≈ -y ↔ x ≈ y
M : Type u_1
Add M
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ AddSubsemigroup.closure s ↔ ∀ (S : AddSubsemigroup M), s ⊆ ↑S → x ∈ S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y Z : C
a b c : ℕ
h : a + b = c
α : CategoryTheory.Abelian.Ext X Y a
β : CategoryTheory.Abelian.Ext Y Z b
⊢ ((CategoryTheory.Abelian.Ext.bilinearComp X Y Z a b c h) α) β = α.comp β h
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
x y : E
hy : y ∈ p.closedBall 0 r
h : (fun x => k • x) y = x
⊢ x ∈ p.closedBall 0 (‖k‖ * r)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j k : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
⊢ ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ ≫ ψ)) = ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ) ≫ ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map ψ)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
b : β
hu : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h : ¬∃ᶠ (x : α) in f, b < u x
⊢ ∀ᶠ (n : β) in map u f, n ≤ b
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z✝ : TopCat
Z : C
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
U : Opens ↑X
φ ψ : ((pullback C f).obj F).obj (op U) ⟶ Z
h : ∀ (V : Opens ↑Y) (hV : unop (op U) ≤ (Opens.map f).obj V), ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ φ = ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ ψ
⊢ φ = ψ
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => f x * (f x)⁻¹) a = cfc 1 a
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : q.degree < p.degree
⊢ (q + p).leadingCoeff = p.leadingCoeff
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g✝ : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
g : D ⟶ E
n : ι
⊢ (nullHomotopicMap fun i j => (dite (c.Rel j i) (hom i j) fun x => 0) ≫ g.f j).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hom i j hij ≫ g.f j).f n
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
⊢ ∃ m n y, m ≠ 0 ∧ (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
f : M ↪[L] N
htv :
  ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → M) (a : N),
    φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) (f b))
n : ℕ
φ : L.Formula (Fin n)
x : Fin n → M
⊢ φ.Realize (⇑f ∘ x) ↔ φ.Realize x
a b : ℚ
hlt : a < b
a✝ : (Ioo ↑a ↑b).Nonempty
⊢ (Ioo ↑a ↑b ∩ {x | Irrational x}).Nonempty
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
ih : ∀ m < n, m ∈ (xInTermsOfW p ℚ m).vars ∧ (xInTermsOfW p ℚ m).vars ⊆ range (m + 1)
⊢ n ∈ {n} ∪ (∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)).vars ∧ {n} ∪ (∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)).vars ⊆ {n} ∪ range n
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
⊢ S.leftInv ≤ IsUnit.submonoid M
R✝ : Type u
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring A
f : R →+* A
h : Function.Injective ⇑f
q : ℕ
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
⊢ ExpChar A q
G : Type u_3
AddGroup G
P : AddSubgroup G
⊢ P.FG ↔ ∃ S, AddSubgroup.closure S = P ∧ S.Finite
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
l : List α✝
⊢ (∀ (i j : Nat) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → R l[i] l[j]) ↔ ∀ (i j : Fin l.length), i < j → R (l.get i) (l.get j)
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S T : Submonoid M
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α
⊢ a + a = 0
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ Tendsto (fun x => rexp (log b * x)) atBot (𝓝 0)
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i j : N
⊢ HomotopyGroup.auxGroup i = HomotopyGroup.auxGroup j
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
hr : Relator.RightUnique r
⊢ (List.Forall₂ r ⇒ List.Forall₂ r ⇒ fun x x_1 => x → x_1) List.Perm List.Perm
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
A : Type u_8
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
f g : E → A
s : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f s
hg : AnalyticOn 𝕜 g s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => f x * g x) s
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
x y : X
hxz : JordanHolderLattice.IsMaximal x (x ⊔ y)
hyz : JordanHolderLattice.IsMaximal y (x ⊔ y)
⊢ JordanHolderLattice.IsMaximal (x ⊓ y) y
A : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : Algebra ℂ A
inst✝⁴ : StarModule ℂ A
inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℂ A
a : A
f : ℝ → ℝ
this : CompactSpace ↑(σ ℂ a)
ha : IsSelfAdjoint a
⊢ cfc f a = cfc (fun x => ↑(f x.re)) a
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι
r : R
hm : r • v i ∈ span R (range fun x => v ↑x)
⊢ r • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i}))
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : MulOneClass M
inst✝ : ContinuousMul M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 1
this : (fun a => a.1 * a.2) ⁻¹' s ∈ 𝓝 (1, 1)
⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ 1 ∈ V ∧ ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v * w ∈ s
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
⊢ ∑ x ∈ A.product B, ↑↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card / (↑(↑x.1.card * ↑x.2.card) * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ∑ x ∈ ((chunk hP G ε hU).ofSubset hA ⋯).parts ×ˢ ((chunk hP G ε hV).ofSubset hB ⋯).parts, ↑↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / ↑(↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : 0 < p
hpq : p ≤ ⊤
⊢ p = 0 ∧ ⊤ = 0 ∨ p = 0 ∧ ⊤ = ⊤ ∨ p = 0 ∧ 0 < ⊤.toReal ∨ p = ⊤ ∧ ⊤ = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ ⊤ = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ 0 < ⊤.toReal ∧ p.toReal ≤ ⊤.toReal
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
h : Differentiable ℂ f
z : ℂ
R : ℝ≥0
hR : 0 < R
⊢ HasFPowerSeriesOnBall f (cauchyPowerSeries f z ↑R) z ⊤
α : Type u_1
ι : Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (μ : MeasureTheory.Measure α) {As : ι → Set α},
  (∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)) → Pairwise (Disjoint on As) → μ (⋃ i, As i) ≠ ⊤ → {i | 0 < μ (As i)}.Countable
α : Type u
⊢ Stream'.Seq.destruct Stream'.WSeq.nil = none
M : Type u_1
α : Type u_7
AddMonoid M
AddAction M α
Add α
r s : M
x y : α
VAddAssocClass M α α
VAddCommClass M α α
⊢ r +ᵥ x + (s +ᵥ y) = r + s +ᵥ (x + y)
α : Type u_1
LinearOrder α
PredOrder α
IsPredArchimedean α
⊢ (SimpleGraph.hasse α).Preconnected
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ f₂
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₃ f₄
CategoryTheory.Limits.HasPullback (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
R : Type u_1
A : Type u_4
B : Type u_5
Monoid R
AddMonoid A
AddCommMonoid B
DistribMulAction R B
r : R
f : A →+ B
⊢ ⇑(r • f) = r • ⇑f
V : Type u
Quiver V
a b c : V
p : Quiver.Path a b
⊢ Function.Injective p.comp
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ MeasurableSet (t n)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ‖x‖ ^ 2 = RCLike.re (inner_ 𝕜 x x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : OrderTopology α
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : (i : ι) → LinearOrder (π i)
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderTopology (π i)
a b x : (i : ι) → π i
a' b' x' : ι → α
inst✝ : Nonempty ι
ha : ∀ (i : ι), a i < x i
hb : ∀ (i : ι), x i < b i
i : ι
x✝ : i ∈ univ
⊢ Ioo (a i) (b i) ∈ 𝓝 (x i)
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
e : M' ≃ₗ[R] M''
hf : IsLocalizedModule S f
x₁✝ x₂✝ : M
h : (↑e ∘ₗ f) x₁✝ = (↑e ∘ₗ f) x₂✝
⊢ ∃ c, c • x₁✝ = c • x₂✝
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
LocallyCompactSpace 𝕜
FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ LocallyCompactSpace M
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u : Set V
c : (⊤.deleteVerts u).coe.ConnectedComponent
hM : M.IsPerfectMatching
codd : Odd (Nat.card ↑c.supp)
h : ∀ w ∈ u, ∀ (v : ↑(⊤.deleteVerts u).verts), M.Adj (↑v) w → v ∉ c.supp
hMmatch : (M.induce (Subtype.val '' c.supp)).IsMatching
⊢ Even (Nat.card ↑c.supp)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Nonempty β
a b : α
⊢ Function.const β a < Function.const β b ↔ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
a : α
h : ∀ (b : β), f a b = b
o : Option β
⊢ Option.map₂ f (some a) o = o
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
this : ∀ {a : Y} {K : Set X} {U : Set (Y × X)}, MapsTo (⇑(coev X Y a)) K U ↔ {a} ×ˢ K ⊆ U
x : Y
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set (Y × X)
hU : IsOpen U
hKU : {x} ×ˢ K ⊆ U
⊢ ∀ᶠ (a : Y) in 𝓝 x, {a} ×ˢ K ⊆ U
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_5
CommRing S
f : R →+* S
G : Set S
hG : ∀ x ∈ G, f.IsIntegralElem x
x : S
⊢ x ∈ Subring.closure G → f.IsIntegralElem x
R : Type u
CommSemiring R
⊢ PrimeSpectrum.vanishingIdeal '' {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s} = {P | P.IsPrime}
α : Type u_1
Mul α
x y : αᵐᵒᵖ
⊢ MulOpposite.unop (x * y) = MulOpposite.unop y * MulOpposite.unop x
a b : ℕ+
⊢ a.gcdD b = a.gcd b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι → 𝕜
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ⟪∑ i ∈ s, l i • v i, v i⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) (l i)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddMonoid P
f : M →+ P
g : N →+ P
⊢ (AddMonoid.Coprod.lift f g).comp AddMonoid.Coprod.inl = f
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w✝ w : W
i : B
⊢ cs.lengthParity (w✝ * (w * cs.simple i * w⁻¹)) ≠ cs.lengthParity w✝
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R✝ : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : Integrable g μ
hgmeas : StronglyMeasurable g
hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0
hunif : UniformIntegrable (fun n => μ[g|↑ℱ n]) 1 μ
R : ℝ≥0
hR : ∀ (i : ℕ), eLpNorm ((fun n => μ[g|↑ℱ n]) i) 1 μ ≤ ↑R
hlimint : Integrable (limitProcess (fun n => μ[g|↑ℱ n]) ℱ μ) μ
this : ∀ (n : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (x : Ω) in s, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (f : ℕ → Set Ω), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), μ (f i) < ⊤ → ∫ (x : Ω) in f i, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in f i, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ) → μ (⋃ i, f i) < ⊤ → ∫ (x : Ω) in ⋃ i, f i, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in ⋃ i, f i, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ
α : Type u_1
m : ℕ
v : Fin m → α
⊢ FinVec.etaExpand v = v
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
hs : MeasurableSet s
⊢ ⨆ i, (μ.restrict (MeasureTheory.spanningSets μ i)) s = μ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddGroup α
inst✝² : SeminormedAddGroup β
inst✝¹ : SMulZeroClass α β
inst✝ : BoundedSMul α β
r : α
x : β
⊢ ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
⊢ ⋃ i, s i = Set.univ
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDomain R
IsDedekindDomain R
I : ↥(Ideal R)⁰
⊢ (ClassGroup.equiv K) (ClassGroup.mk0 I) = (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K).range) ((FractionalIdeal.mk0 K) I)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
c d : ℝ≥0
hcd : c < d
s : Set α
hc : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ ↑c * μ a
hd : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ↑d * μ a ≤ ρ a
x : α
x✝ : x ∈ s
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, μ u = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ 1 ∈ S.toNonUnitalSubalgebra
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x y : ↥K
⊢ (inclusion h) x = (inclusion h) y → x = y
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
F : ι → β → α
⊢ UniformEquicontinuous F ↔ UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F)
R : Type u_1
Semiring R
p : ℕ
x y : R
hp : Nat.Prime p
h : Commute x y
⊢ ∃ r, (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p + ↑p * r
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
φ : ι → Type u_5
(i : ι) → TopologicalSpace (φ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M →L[R] φ i
⊢ ⇑(ContinuousLinearMap.pi f) = fun c i => (f i) c
α : Type u_1
β : Type u_2
p : PMF α
q : PMF β
⊢ (p.bind fun x => q) = q
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
NeZero n
hd : d ∣ n
⊢ χ.FactorsThrough d ↔ (ZMod.unitsMap hd).ker ≤ (MulChar.toUnitHom χ).ker
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Preorder α
a✝ b c a : α
⊢ ⋃ b, Icc a b = Ici a
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
s : S
n : ℕ
hzero : ¬s = 0
q : R[X]
hq : (map f q).coeff n = ((monomial n) s).coeff n
hcoeff : f (q.coeff n) = s
hqzero : q.coeff n ≠ 0
⊢ ((monomial n) (q.coeff n)).degree = ((monomial n) s).degree
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this✝² : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
hL'U : ↑L' ⊆ U
hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'
this✝¹ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'
this✝ : Nonempty { M // ↑M ⊆ ↑U' \ closure ↑L }
M : Compacts G
hM : ↑M ⊆ ↑U' \ ↑L'
M' : Compacts G := { carrier := closure ↑M, isCompact' := ⋯ }
hM' : ↑M' ⊆ ↑U' \ ↑L'
this : ↑(L' ⊔ M') ⊆ ↑U'
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + (fun s => ↑(μ.toFun s)) M' ≤ μ.innerContent { carrier := ↑U', is_open' := ⋯ }
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
a : ↥S.leftInv
b : M
⊢ ↑(S.fromLeftInv a) = b ↔ ↑a * b = 1
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable G
MeasurableSpace G
s t : Set α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
MeasurableSMul G α
fund_dom_s : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
fund_dom_t : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G t μ
⊢ MeasureTheory.Measure.map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel G α)) (μ.restrict s) =
  MeasureTheory.Measure.map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel G α)) (μ.restrict t)
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherianRing R
h : FiniteType R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
hnoet : IsNoetherianRing (MvPolynomial (Fin n) R)
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i : Fin (s.length + 1)
hx : s.toFun i ∈ s
j : Fin (s.length + 1)
hy : s.toFun j ∈ s
⊢ i ≤ j ∨ j ≤ i