ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
r : R
x : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
b : Γ
hr : ¬r = 0
⊢ ∑ x_1 ∈ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ (b +ᵥ a), ((HahnSeries.single b) r).coeff x_1.1 • ((of R).symm x).coeff x_1.2 = r • ((of R).symm x).coeff a
A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a b : A
hb : autoParam (IsSelfAdjoint b) _auto✝
⊢ ∀ (a b : Unitization ℂ A), IsSelfAdjoint b → star a * b * a ≤ ‖b‖ • (star a * a)
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
⊢ I.ringCon x y ↔ x - y ∈ I
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
γ : Type u_3
UniformSpace γ
T0Space γ
f : α → β → γ
hf : UniformContinuous (Function.uncurry f)
a : α
b : β
⊢ pkg.extend₂ pkg' f (pkg.coe a) (pkg'.coe b) = f a b
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hS : S ∈ leftTransversals ↑H
g : G
⊢ ((↑(toFun hS g))⁻¹ * g)⁻¹ = g⁻¹ * ↑(toFun hS g)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
b : α
⊢ sSup {a | IsAtom a ∧ a ≤ b} = b
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
LindelofSpace ↑s
⊢ IsLindelof s
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ dist p₁ ((AffineMap.homothety p₁ c) p₂) = ‖c‖ * dist p₁ p₂
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
S : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R ↥S
⊢ 1 ≤ finrank R ↥S ↔ S ≠ ⊥
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ 0 < ∫ (x : α), f x ∂μ ↔ 0 < μ (Function.support f)
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁹ : Field R
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁵ : TopologicalRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V
inst✝¹³ : Module R V
inst✝¹² : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝⁵ : Nontrivial E
ι : Type u_6
inst✝⁴ : Finite ι
M : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SeparatingDual 𝕜 (M i)
inst✝ : CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F)
m : (i : ι) → M i
hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
φ : (i : ι) → M i →L[𝕜] 𝕜
hφ : ∀ (i : ι), (φ i) (m i) = 1
val✝ : Fintype ι
g : ℕ → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F := fun n => (compContinuousLinearMapL φ) (((smulRightL 𝕜 (fun x => 𝕜) F) (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι 𝕜)) (f n))
this : CauchySeq g
⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
a b c : Int
H1 : 0 < c
H2 : a / c < b
⊢ a < b * c
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K L : Ideal S
h : K ≤ L
⊢ Ideal.comap f K ≤ Ideal.comap f L
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
CategoryTheory.HasWeakSheafify J (Type v)
self : J.MayerVietorisSquare
⊢ (self.map (CategoryTheory.yoneda.comp (CategoryTheory.presheafToSheaf J (Type v)))).IsPushout
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
ι : Type u_2
a b : ℝ
f : ι → ℂ
s : Finset ι
ha₀ : 0 ≤ a
ha : ↑a = ∑ i ∈ s, f i
hb : b = ∑ i ∈ s, ‖f i‖
⊢ abs (∑ i ∈ s, f i) ≤ ∑ i ∈ s, ‖f i‖
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
Semiring B
StarRing B
Algebra R B
StarModule R B
S₁ S₂ : StarSubalgebra R B
f : A →⋆ₐ[R] B
⊢ S₁ ≤ S₂ → StarSubalgebra.comap f S₁ ≤ StarSubalgebra.comap f S₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.KaroubiKaroubi.unitIso C).inv.app X).f = X.p
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a✝ b : R
n : ℕ
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
q : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ q
p : R[X]
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
a : A
hq : q ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) q
f₁ f₂ : R[X]
h₁ : (fun f => (aeval a) f • m ∈ q) f₁
h₂ : (fun f => (aeval a) f • m ∈ q) f₂
⊢ (fun f => (aeval a) f • m ∈ q) (f₁ + f₂)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = ⊤
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H
step4 : ∀ (y z : α), swap y z ∈ H
⊢ closure {σ, swap x (σ x)} = ⊤
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L →ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
this : orderOf σ = orderOf ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit)
⊢ minpoly K σ.toLinearMap = minpoly K ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit).toLinearMap
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ (F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯).hom.app X =
  (F.shift a).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C m n).hom.app X) ≫
    (F.shiftIso n a a' ha').hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C m).obj X) ≫ (F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
T U : C
f : T ⟶ X
g : T ⟶ Y
h : X ⟶ U
i : Y ⟶ U
⊢ lift f g ≫ desc h i = f ≫ h + g ≫ i
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
x✝ : Mˣ
ha : x✝ ∈ Units.val ⁻¹' center M
g✝ : Mˣ
⊢ g✝ * x✝ = x✝ * g✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
x : α
hg : ContinuousAt g (f x)
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ f) s x
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : Mul α
inst✝² : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Preorder α
⊢ PosMulReflectLT α ↔ MulPosReflectLT α
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ Ico a b ∩ Ico c d = Ico (max a c) (min b d)
G : Type u_1
P : Type u_2
AddCommGroup G
AddTorsor G P
v : G
p₁ p₂ : P
⊢ v +ᵥ p₁ -ᵥ (v +ᵥ p₂) = p₁ -ᵥ p₂
α : Type u
σ' : Type v
M : DFA α σ'
s : σ'
a : α
⊢ M.toNFA.step s a = {M.step s a}
c : Cardinal.{u_1}
h : Cardinal.aleph0 ≤ c
⊢ Cardinal.toNat c = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i < ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ ¬MonovaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
Unique α
f g : α →₀ M
h : f default = g default
⊢ f = g
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
⊢ ∀ (X Y : F.Elements) (f : X ⟶ Y), ((toCostructuredArrow F).rightOp ⋙ fromCostructuredArrow F).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 F.Elements).map f ≫ eqToHom ⋯
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
this : ∀ (x : Fin pb.dim), ↑x + 1 ≤ pb.dim
hn : n = pb.dim
h₂ : 2 ∣ pb.dim * (pb.dim - 1)
hne : ↑2 ≠ 0
hle : 1 ≤ pb.dim
⊢ ↑pb.dim * ↑pb.dim - (↑pb.dim * (↑pb.dim - ↑1) / ↑2 + ↑pb.dim) = ↑pb.dim * (↑pb.dim - ↑1) / ↑2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalSeminormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
RegularNormedAlgebra 𝕜 𝕜'
⊢ ⇑(ContinuousLinearMap.mulₗᵢ 𝕜 𝕜') = ⇑(ContinuousLinearMap.mul 𝕜 𝕜')
X Y : Type u
Ring X
Ring Y
e : X ≃+* Y
⊢ e.toRingCatIso.inv = e.symm.toRingHom
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b : α
c : α
h : a < b
hc : c ≠ 0
⊢ a * c < b * c
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddCommMonoid β
ContinuousAdd β
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → α →C_c β
⊢ ⇑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ⇑(f i)
α : Type u_1
MetricSpace α
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : VitaliFamily μ
x : α
ε : ℝ
⊢ ε > 0 → ∃ s ∈ self.setsAt x, s ⊆ Metric.closedBall x ε
k : ℕ
⊢ {i | i < k}.encard = ↑k
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set X
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
this : (f ⁻¹' u ∩ s).Nonempty → (f ⁻¹' v ∩ s).Nonempty → (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
G : Type u_1
Group G
g : G
⊢ Subgroup.zpowers g = Subgroup.closure {g}
A : Type v
Ring A
R : Type u
CommRing R
Algebra R A
⊢ (AlgHom.id R A).toLieHom = LieHom.id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a✝ : α
inst✝ : IsSFiniteKernel η
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
a : α
this : ∀ (b : β), Prod.mk b ⁻¹' s = {c | ((a, b), c) ∈ {p | (p.1.2, p.2) ∈ s}}
⊢ Measurable fun b => (η (a, b)) {c | ((a, b), c) ∈ {p | (p.1.2, p.2) ∈ s}}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
s : Set (E × F)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n Prod.snd s
x y : ℂ
⊢ cosh (-x) = cosh x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
h : ∀ (x : ↑s), ContinuousAt (s.restrict f) x
x : α
xs : x ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
x : ℝ
⊢ Measurable fun a => ↑(hf.stieltjesFunction a) x
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
⊢ ∃ c, ‖c‖ = 1 ∧ c * ↑‖0‖ = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Initial
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
t : CategoryTheory.Limits.LimitCone (F.comp G)
⊢ (CategoryTheory.Functor.Initial.limitConeOfComp F t).isLimit =
  (CategoryTheory.Functor.Initial.isLimitExtendConeEquiv F t.cone).symm t.isLimit
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
⊢ (CochainComplex.mappingCone.triangle φ).mor₂ = CochainComplex.mappingCone.inr φ
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
x y : M
hu : IsUnit (x * y)
⊢ IsUnit (y * x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
Nonempty α
Nonempty β
f : α → γ
g : β → δ
⊢ Function.Bijective (Prod.map f g) ↔ Function.Bijective f ∧ Function.Bijective g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
self : CategoryTheory.GlueData' C
i j k : self.J
hij : i ≠ j
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.t' i j k hij hik hjk)
    (CategoryTheory.Limits.pullback.snd (self.f j k hjk) (self.f j i ⋯)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (self.f i j hij) (self.f i k hik))
    (self.t i j hij)
x : ℝ
⊢ abs (cexp (↑x * I)) = 1
α : Type u
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
S0 : Set α
hS0 : S0 ⊆ S
H0 : C S0
H1 : ∀ s ⊂ S, C s → ∃ a ∈ S \ s, C (insert a s)
⊢ C S
X : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝¹ : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
inst✝ : CompactSpace ↑s
h0' : 0 ∈ s
⊢ Dense ↑(adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id h0})
x : ℚ
⊢ ↑(Rat.nnabs x) = |x|
N k n : ℕ
hn : n ∈ N.smoothNumbersUpTo k
hn₁ : n ≤ N
hn₂ : n ∈ k.smoothNumbers
⊢ n ∈ Finset.image (fun x => match x with | (s, m) => m ^ 2 * s.prod id) (k.primesBelow.powerset ×ˢ (Finset.range N.sqrt.succ).erase 0)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
⊢ (P.uniqueUpToIso Q).hom = P.descCoconeMorphism t
M : Type u_1
Add M
s : Set M
p : (x : M) → x ∈ AddSubsemigroup.closure s → Prop
mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
mul :
  ∀ (x : M) (hx : x ∈ AddSubsemigroup.closure s) (y : M) (hy : y ∈ AddSubsemigroup.closure s),
    p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
x : M
hx : x ∈ AddSubsemigroup.closure s
⊢ p x hx
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ F.opUnopIso.hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
x : E
ha : HasStrictFDerivAt a a' x
hb : HasStrictFDerivAt b b' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun y => a y * b y) (a x • b' + a'.smulRight (b x)) x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
⊢ span K (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero}) = ⊤
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ S ⊓ T ↔ x ∈ S ∧ x ∈ T
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m✝ m : M
p : Polynomial ↥(subfield M F)
n : ℕ
x : ↥(subfield M F)
x✝ : m • (Polynomial.C x * Polynomial.X ^ n) = Polynomial.C x * Polynomial.X ^ n
⊢ m • (Polynomial.C x * Polynomial.X ^ (n + 1)) = Polynomial.C x * Polynomial.X ^ (n + 1)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
m₁ m₂ m₃ m' _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
⊢ IndepSets {s} {t} μ ↔ μ (s ∩ t) = μ s * μ t
G : Type u_6
Group G
S : Set G
x : G
⊢ x ∈ Submonoid.closure S⁻¹ ↔ x⁻¹ ∈ Submonoid.closure S
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hfi' : ∫⁻ (x : X) in S, ↑‖f x‖₊ ∂μ < ⊤
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
x : ↑unitInterval
⊢ ↑x ≤ 1
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
Algebra R S₁
B : Type u_2
CommSemiring B
g : σ → S₁
φ : S₁ →+* B
p : MvPolynomial σ R
⊢ φ ((MvPolynomial.aeval g) p) = (MvPolynomial.eval₂Hom (φ.comp (algebraMap R S₁)) fun i => φ (g i)) p
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : CompactSpace M
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M
⊢ ∃ n e, Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧ ClosedEmbedding e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ‖f a‖ ^ p.toReal
p : ℝ≥0∞
Fact (1 ≤ p)
⊢ p = ⊤ ∨ 1 ≤ p.toReal
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝² : Group α✝
α : Type u
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Fintype α
hp : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
⊢ IsSimpleGroup α
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : ‖t‖ < 2⁻¹
ht' : ‖t‖ < 1
this : ‖∑' (n : ℕ), t ^ n‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖t‖)⁻¹
⊢ ‖∑' (n : ℕ), t ^ n‖ ≤ ‖1‖ + 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
⊢ (Caratheodory.minCardFinsetOfMemConvexHull hx).Nonempty
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
Fintype ι
Fintype ι'
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
(i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : MultilinearMap 𝕜 E (MultilinearMap 𝕜 E' G)
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
H : ∀ (m₁ : (i : ι) → E i) (m₂ : (i : ι') → E' i), ‖(f m₁) m₂‖ ≤ (C * ∏ i : ι, ‖m₁ i‖) * ∏ i : ι', ‖m₂ i‖
⊢ ‖f.mkContinuousMultilinear C H‖ ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : α → β
TopologicalSpace β
FirstCountableTopology β
OrderTopology β
hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (MeasureTheory.ae μ) f := by isBoundedDefault
⊢ ∀ᵐ (y : α) ∂μ, f y ≤ essSup f μ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf γ
f g : α → γ
hf : Tendsto f atBot atBot
hg : Tendsto g atBot atBot
⊢ Tendsto (Prod.map f g) atBot atBot
G : Type u_1
Group G
Finite G
⊢ Monoid.IsTorsion G
α : Type u
β : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
x y : α
n : ℕ
f : α →+* β
⊢ f (∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) = ∑ i ∈ range n, f x ^ i * f y ^ (n - 1 - i)
I : Type u
LinearOrder I
⊢ Submodule.span ℤ (Profinite.NobelingProof.Products.eval {fun x => false} '' {Profinite.NobelingProof.Products.nil}) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊔ g) a✝ = ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝
⊢ ↑g a✝ ≤ ↑(f ⊔ g) a✝
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherianRing R
h : FiniteType R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
hnoet : IsNoetherian (MvPolynomial (Fin n) R) (MvPolynomial (Fin n) R)
this✝ : Module (MvPolynomial (Fin n) R) (MvPolynomial (Fin n) R) := Semiring.toModule
this : Submodule.FG (RingHom.ker f.toRingHom)
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIciTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in Filter.cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x ≤ f x₀
⊢ ∃ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f y ≤ f x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
this : IsIso ((Q W).map f.s)
⊢ (eqToHom ⋯ ≫ (Q W ⋙ F₁).map f.s ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯ ≫ F₁.map (Qinv f.s ⋯) = eqToHom ⋯
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
⊢ Submodule.comap 0 q = ⊤
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: β)
x : β
⊢ (TypeVec.id ⊚ TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr ∘ corecF g) <$$> g x = (TypeVec.id ::: corec g) <$$> g x
α : Type u
β : Type v
Semiring α
Semiring β
f : α → β
self : IsSemiringHom f
⊢ f 0 = 0
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset
this✝ : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : Ideal R → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : Ideal R → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : Ideal R → R
hu : ∀ M ∈ s, u M ∈ ⨅ M' ∈ s.erase M, M'
hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
h : ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') * Submodule.span R {v}) = ⊤
M : Ideal R
hJM : Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') * Submodule.span R {v}) ≤ M
hM : M ∈ hf.toFinset
this : ∀ a ∈ I, ∀ b ∈ I', ∃ c, (algebraMap R A) c = a * b
hmem : a M * v ∈ IsLocalization.coeSubmodule A M
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
t : α → Set β
s₁ s₂ : Set α
⊢ ⋃ x ∈ s₁, t x ⊆ ⋃ x ∈ s₂ ∪ s₁ \ s₂, t x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
⊢ l.sublists ~ l.sublists'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
S₃.HasLeftHomology
φ₁ : S₁ ⟶ S₂
φ₂ : S₂ ⟶ S₃
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁ φ₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ₁)
    (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ₂)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : C), Mono (h.unit.app X)
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : L.map f = L.map g
⊢ f ≫ h.unit.app Y = g ≫ h.unit.app Y
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
h : s ⊆ Metric.ball x r
⊢ ∃ r' < r, s ⊆ Metric.ball x r'
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIciTopology α
a : α
⊢ IsClosed (Set.Ici a)
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hMin : I ∈ minimalPrimes R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsLocalization.AtPrime S I
J K : Ideal S
inst✝¹ : J.IsPrime
inst✝ : K.IsPrime
i₁ i₂ : { i // i.IsPrime ∧ i ≤ I }
⊢ ↑i₁ = ↑i₂
F : Type u → Type v
Applicative F
G : Type u → Type w
Applicative G
H : Type u → Type s
Applicative H
η' : ApplicativeTransformation G H
η : ApplicativeTransformation F G
α : Type u
x : F α
⊢ (fun {α} => (η'.comp η).app α) x = (fun {α} => η'.app α) ((fun {α} => η.app α) x)