ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f : α → β
Subsingleton α
⊢ Filter.EventuallyConst f l
α : Type u
l l' : List α
⊢ (l ++ l').rotate l.length = l' ++ l
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ ∃! d, ∀ (j : J), CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j ≫ d = t.ι.app j
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ
⊢ ↑k = ↑(Finset.range k).card
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ENNReal
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
⊢ ∑' (k : ℕ), (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k) ≤ (↑(u 1) - ↑(u 0)) * f (u 0) + ↑C * ∑' (k : ℕ), f k
d : ℤ
a : Solution₁ d
⊢ d * a.y ^ 2 = a.x ^ 2 - (a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2)
α : Type u_3
γ : Type u_5
SemilatticeSup α
SemilatticeSup γ
f g : α → γ
hf : Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atTop
hg : Filter.Tendsto g Filter.atTop Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (Prod.map f g) Filter.atTop Filter.atTop
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Set.Ioo a b)
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo a b, deriv f c = (f b - f a) / (b - a)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝² : HasMulticoequalizer I
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
b : I.R
⊢ Sigma.ι I.right b ≫ sigmaπ I = π I b
x : PartENat
n : ℕ
⊢ 0 < n ↔ 1 ≤ n
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c d : α
⊢ max a b - max c d ≤ max |a - c| |b - d|
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddGroup (β i)
s : Finset ι
x y : (i : ↑↑s) → β ↑i
⊢ DFinsupp.mk s (x - y) = DFinsupp.mk s x - DFinsupp.mk s y
d : ℤ
h₀ : d ≠ 0
a : Pell.Solution₁ d
ha : a.x = 1
⊢ a = 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑μ.toENNRealVectorMeasure i = μ i
α : Type u
ι : Sort x
x : Set α
f : ι → Filter α
⊢ x ∈ iSup f ↔ ∀ (i : ι), x ∈ f i
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
f₀ : ((↑fun a => a ∈ (univ ×ˢ range (n + 1)).val) → k) → k
hf₀ : ∀ (x : Fin 2 × ℕ → k), f₀ (x ∘ Subtype.val) = (aeval x) (polyOfInterest p n)
this : ∀ (a : Multiset (Fin 2)) (b : Multiset ℕ), a ×ˢ b = a.product b
f : TruncatedWittVector p (n + 1) k → TruncatedWittVector p (n + 1) k → k := fun x y => f₀ fun a => Subtype.casesOn a fun a ha => Function.uncurry ![x, y] (a.1, ⟨a.2, ⋯⟩)
⊢ ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = peval (polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i]
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : α
⊢ a ⊔ b = b ⊔ a
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ¬0 ≤ (↑(InnerProductGeometry.angle x y)).sign
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ False
R : Type u₁
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ
⊢ (coeff R p (n + 1)) f ^ p = (coeff R p n) f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
H : Type u_7
NormedAddCommGroup H
f g : ↥(MeasureTheory.Lp H 1 μ)
⊢ dist f g = ∫ (a : α), dist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingCospan G
CategoryTheory.Limits.ReflectsColimitsOfShape J G
hc : CategoryTheory.IsUniversalColimit (G.mapCocone c)
⊢ CategoryTheory.IsUniversalColimit c
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
hc : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => Real.sinh (f x)) x
α : Type u
s : Set α
⊢ Disjoint s Set.univ ↔ s = ∅
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
hb : AddLECancellable b
hc : AddLECancellable c
hba : b ≤ a
hca : c ≤ a
⊢ a - b = a - c ↔ b = c
α : Type u_1
s t : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
H : s ∩ t ⊆ ∅
a : ↑t
⊢ (Equiv.Set.union H).symm (Sum.inr a) = ⟨↑a, ⋯⟩
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
ι : Type u_3
b : α → ι → Set α
p : α → ι → Prop
hbasis : ∀ (x : α), (𝓝 x).HasBasis (p x) (b x)
hconnected : ∀ (x : α) (i : ι), p x i → IsPreconnected (b x i)
⊢ ∀ (x : α), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsPreconnected s) id
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → β → σ
⊢ (Primrec₂ fun a b => some (f a b)) ↔ Primrec₂ f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v₁, u_1} D
CategoryTheory.Preadditive D
F : C ⥤ D
F.Additive
M : CategoryTheory.Mat_ C
⊢ (F.mapMat_.obj M).fintype = M.fintype
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
FunLike F α β
SupHomClass F α β
f : F
s t : Set α
⊢ ⇑f '' (s ⊻ t) = ⇑f '' s ⊻ ⇑f '' t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s t : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
i : s.pt ≅ t.pt
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.π i.hom = t.π := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cofork.ext i w).hom = CategoryTheory.Limits.Cofork.mkHom i.hom w
n : ℕ+
L : Type v
CommRing L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
K : Type u_1
LinearOrderedField K
Algebra K L
hodd : Odd ↑n
⊢ (Algebra.norm K) ζ = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
Fintype ι
hfg : Antivary f g
⊢ ∑ i : ι, f (σ i) • g i = ∑ i : ι, f i • g i ↔ Antivary (f ∘ ⇑σ) g
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c.boundary 0 = 0
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a
ha : a ∉ s
⊢ u ≤ a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m
⊢ v ⬝ᵥ diagonal w i = v i * w i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
n : Nat
l : List α
⊢ List.map (Prod.map id f) (List.enumFrom n l) = List.enumFrom n (List.map f l)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
Fintype ι
h : π.IsHenstock
x : ι → ℝ
⊢ (Finset.filter (fun J => π.tag J = x) π.boxes).card ≤ 2 ^ Fintype.card ι
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
P : R[X]
⊢ P = Polynomial.cyclotomic n R ↔ P * ∏ i ∈ n.properDivisors, Polynomial.cyclotomic i R = Polynomial.X ^ n - 1
α : Type u
data : Lean.HashSetBucket α
i : USize
d : List α
h : i.toNat < data.val.size
⊢ (data.update i d h).val.size = data.val.size
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
x : G
m n : ℕ
⊢ n • x = m • x ↔ n ≡ m [MOD addOrderOf x]
K : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
DivisionRing K
AddCommGroup E
Module K E
AddCommGroup F
Module K F
x : E
hx : x ≠ 0
y : F
⊢ ↑(LinearPMap.mkSpanSingleton x y hx) ⟨x, ⋯⟩ = y
α β : Type u
f : α → β
s : Set α
⊢ Cardinal.mk ↑(f '' s) ≤ Cardinal.mk ↑s
R : Type u
M M₁ : Type v
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module R M
Module R M₁
f : M →ₗ[R] M₁
⊢ Module.rank R ↥(LinearMap.range f) ≤ Module.rank R M
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ (a ⊔ b) \ a = b \ a
α : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ 1 = 2 / 2
p q : ℝ
⊢ ENNReal.ofReal p ≤ ENNReal.ofReal q ↔ p ≤ q ∨ p ≤ 0
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
hX : M.Coindep X
⊢ X ⊆ M.E
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.CostructuredArrow (CategoryTheory.Functor.const J) F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.equivCostructuredArrow F).inverse.obj c).π = c.hom
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
dt : ℝ
⊢ IsIntegralCurve γ v ↔ IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x + dt) v
n n' : Nat
h : n + 1 = n' + 1
⊢ Fin.cast h (Fin.last n) = Fin.last n'
β : Type u_1
CommMonoid β
m n : ℕ
f : ℕ → β
⊢ (m.gcd n).primeFactors.prod f * (m * n).primeFactors.prod f = m.primeFactors.prod f * n.primeFactors.prod f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter α
⊢ (rmap s (rmap r l)).sets = (rmap (r.comp s) l).sets
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
⊢ (μ (closedBall c f.rOut)).toReal / K ^ finrank ℝ E ≤ ∫ (x : E), ↑f x ∂μ
α : Type u_1
DecidableEq α
p : α → Bool
a : α
l : List α
h : p a = true
⊢ List.count a (List.filter p l) = List.count a l
α : Sort u
f : Equiv.Perm α
x x' : α
⊢ x = x' → f x = f x'
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ
X : ℂ
HX2 : IsMaxOn (fun x => ‖f x‖) (sphere z R) X
y : ℝ
v : ℂ
hv : v ∈ ball x ε'
y1 : ℝ
hy1 : y1 ∈ Ico 0 (2 * π)
hfun : circleTransformDeriv R z v f y = circleTransformDeriv R z v f y1
hy2 : y1 ∈ [[0, 2 * π]]
⊢ ‖circleTransformDeriv R z v f y‖ ≤ abs (V b a) * abs (f X)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
b : ℂ
hb : 0 < b.re
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ↑x * cexp (-b * ↑x ^ 2)) MeasureTheory.volume
α : Type u_1
Div α
Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm (x / y) = (equivShrink α).symm x / (equivShrink α).symm y
G : Type u_1
Group G
x : G
⊢ ↑(Subgroup.topEquiv.symm x) = x
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
key1 : Polynomial.map i (X ^ n - 1) = C (i a⁻¹) * (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).comp (C b * X)
key2 : ((fun q => q.comp (C b * X)) ∘ fun c => X - C c) = fun c => C b * (X - C (c / b))
⊢ (Multiset.map (fun c => X - C (c / b)) s).prod = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
n : ℤ
⊢ f.SameCycle ((f ^ n) x) y ↔ f.SameCycle x y
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : F' ⟶ F
X Y : D
g : X ⟶ Y
⊢ adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (F'.map (G.map g)) ≫ G'.map (f.app (G.obj Y) ≫ adj1.counit.app Y) = (fun X => adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (f.app (G.obj X) ≫ adj1.counit.app X)) X ≫ G'.map g
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 < b
⊢ Tendsto (fun x => (b * rexp x + c) / x ^ n) atTop atTop
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.Exact
X Y : C
a : X ⟶ S.X₂
ha : CategoryTheory.CategoryStruct.comp a S.g = 0
b : S.X₂ ⟶ Y
hb : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.f b = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp a b = 0
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : EMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
x y : α
h : f x = f y
⊢ x = y
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a + -b < c ↔ a < c + b
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
⊢ ∀ b < 0, μ {x | f x ≤ b} = 0
⊢ ∀ (x : ℝ), ContinuousAt (fun x => x * log x) x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
hab : a ≠ b
⊢ closure (Set.Ioc a b) = Set.Icc a b
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : sin x - (x - x ^ 3 / 6) ≤ |x| ^ 4 * (5 / 96)
⊢ sin x < x
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜
⊢ projectiveSeminormAux (List.map (fun y => (a * y.1, y.2)) p) = ‖a‖ * projectiveSeminormAux p
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n] ⟶ Δ'
hθ : ¬Function.Injective ⇑(SimplexCategory.Hom.toOrderHom θ)
⊢ X.map θ.op ≫ PInfty.f n = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
h : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J F
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf ↔
  ∀ (U : Cᵒᵖ) (s : F.obj U), G.sieveOfSection s ∈ J.sieves (Opposite.unop U) → s ∈ G.obj U
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁸ : AddGroup M
inst✝⁷ : AddGroup N
inst✝⁶ : AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂
inst✝³ : AddCommMonoid X₃
inst✝² : AddCommMonoid Y₁
inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂
inst✝ : AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Exact ⇑g₁₂ ⇑g₂₃
⊢ f₂₃.comp ↑e₂.symm = (↑e₃.symm).comp g₂₃
α : Type u_1
Bornology α
s t : Set α
Preorder α
IsOrderBornology α
hs : BddAbove s
ht : BddBelow t
⊢ Bornology.IsBounded (s ∩ t)
m : ℤ
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ Even (m ^ n) ↔ Even m
σ : Type u_1
τ✝ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
τ : Type u_6
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (a : R), constantCoeff ((rename f) (C a)) = constantCoeff (C a)
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
x : E
s : Set E
⊢ EMetric.infEdist x⁻¹ s = EMetric.infEdist x s⁻¹
M : Type u_1
Mul M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set M
⊢ lowerBounds s * lowerBounds t ⊆ lowerBounds (s * t)
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
⊢ ⨆ i, ∑ a ∈ Finset.range i, m (s a) ≤ m (⋃ i, s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
p : β → Prop
⊢ (∀ b ∈ Finset.image f s, p b) ↔ ∀ a ∈ s, p (f a)
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
S : Set (HeightOneSpectrum R) := {v | (fun v => ↑a v) v ∉ adicCompletionIntegers K v}
b : (v : HeightOneSpectrum R) → adicCompletion K v → R
hb : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), b v a ∈ R⁰
h : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), a * ↑(b v a) ∈ adicCompletionIntegers K v
p : R := ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) (_ : v ∈ S), b v ((fun v => ↑a v) v)
hp : p ∈ R⁰
⊢ ∀ (v : HeightOneSpectrum R), (fun v => ↑(a * ↑↑⟨p, hp⟩) v) v ∈ adicCompletionIntegers K v
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
v : ι → R
⊢ Lagrange.nodal ∅ v = 1
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ mabs a ≠ 1 ↔ a ≠ 1
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
c d : 𝕜
⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ 0) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ 0 = 0) ∧ c = d
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ s : Set α
hs : IsClosed s
H : ∀ (u v : Set α), IsClosed u → IsClosed v → s ⊆ u ∪ v → Disjoint u v → s ⊆ u ∨ s ⊆ v
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
hss : s ⊆ u ∪ v
huv : s ∩ (u ∩ v) = ∅
H1 : IsClosed (u ∩ s) → IsClosed (v ∩ s) → s ⊆ u ∩ s ∪ v ∩ s → Disjoint (u ∩ s) (v ∩ s) → s ⊆ u ∨ s ⊆ v
⊢ s ⊆ u ∨ s ⊆ v
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
u : G₀ˣ
h : ↑u ≠ 0
⊢ Units.mk0 (↑u) h = u
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
⊢ F.μ A.X A.X ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (A.X ⊗ A.X) A.X ≫ F.map (A.mul ▷ A.X) ≫ F.map A.mul = (α_ (F.obj A.X) (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom ≫ F.obj A.X ◁ F.μ A.X A.X ≫ F.μ A.X (A.X ⊗ A.X) ≫ F.map (A.X ◁ A.mul) ≫ F.map A.mul
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
s : Set α
a : α
hs : G.IsClique s
h : ∀ b ∈ s, a ≠ b → G.Adj a b
⊢ G.IsClique (insert a s)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
h : K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
⊢ K = adjoin F S
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G
x : ↑((resolution k G).X 1).V
this : (forget₂ToModuleCat k G).d 1 0 ≫ (forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).map (ε k G) = 0
⊢ ((resolution k G).d 1 0 ≫ ε k G).hom x = (Action.Hom.hom 0) x
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : M
hn : (mk' S) n = (mk' S) m
hn' : ‖n‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε
⊢ ∃ s ∈ S, ‖m + s‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (insert p ↑(affineSpan k s))) ≤ finrank k ↥(vectorSpan k s) + 1
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
Zero β
TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
b : β
nhd_b : {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
nhd_o : {b}ᶜ ∈ 𝓝 0
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (As i).indicator fun x => b) L (𝓝 (A.indicator fun x => b)) ↔
  Filter.Tendsto As L (Filter.pi fun x => pure (x ∈ A))
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
⊢ EqOn f 0 {z | 0 ≤ z.re}
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
i : ι
s : Set (α i)
hs : MeasurableSet s
t : Set ((a : ι) → α a)
⊢ (μ i).toOuterMeasure (eval i '' (t ∩ (fun b => b i) ⁻¹' s)) + (μ i).toOuterMeasure (eval i '' (t \ (fun b => b i) ⁻¹' s)) ≤ (μ i).toOuterMeasure (eval i '' t)
m₂ m₁ : List Char
x✝ : Substring
h : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁.reverse ++ m₂
⊢ ∀ (n : Nat), x✝.prevn n { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len (List.drop n m₁) }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι✝ : Sort u_6
s✝ t u : Set α
ι : Sort u_7
m : ι → MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ ∀ (i : ι), MeasurableSet s
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
F : ↥↑(rootSpace H ⇑α) →ₗ[K] K := (killingForm K L) f ∘ₗ (↑(rootSpace H ⇑α)).subtype
hF : LinearMap.ker F ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ ↑(rootSpace H ⇑α)
hy : ⟨y, hyα⟩ ∈ LinearMap.ker F
hy₀ : ⟨y, hyα⟩ ≠ 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
F' : Type u_3 := UniformSpace.Completion F
e : F →L[𝕜] F' := UniformSpace.Completion.toComplL
this : AnalyticOn 𝕜 (⇑e ∘ f) U
⊢ EqOn f 0 U
α : Type u_2
β : Type u_3
a b : α
LinearOrder β
DecidableEq α
f : α → β
inj : Function.Injective f
Decidable (a < b)
⊢ compare (f a) (f b) = compareOfLessAndEq a b
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
(x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : Module.IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
⊢ ∃ j, Module.IsTorsionBy R M (p ^ Submodule.pOrder hM (s j))
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ sinZeta a s = (expZeta a s - expZeta (-a) s) / (2 * I)
s : Multiset ℚ≥0
⊢ ↑s.sum = (Multiset.map NNRat.cast s).sum
ι : Type u'
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring K
SMulWithZero R K
Module K M
IsScalarTower R K M
hinj : Function.Injective fun r => r • 1
li : LinearIndependent K v
⊢ LinearIndependent R v
α : Type u
a b : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ List.replicate n a = List.replicate n b ↔ a = b
M : Type u_5
CommMonoid M
s : Multiset M
⊢ (Multiset.map (fun i => {i}) s).prod = {s.prod}
R : Type u_4
NormedRing R
CompleteSpace R
k : ℕ
r : R
hr : ‖r‖ < 1
⊢ Summable fun n => ↑n ^ k * r ^ n
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ List.drop n l.tail = List.drop (n + 1) l
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ (P.coreflection i) (P.coroot i) = -P.coroot i