ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
w✝ : Rˣ
⊢ (fun m => m • Q) w✝ z = 0 ↔ Q z = 0
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
⊢ cs.simple i ^ 2 = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι → 𝕜
s : Finset ι
⊢ ∑ x ∈ s, (starRingEnd 𝕜) (l₁ x) * ⟪v x, ∑ i ∈ s, l₂ i • v i⟫_𝕜 = ∑ i ∈ s, (starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * l₂ i
α : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSingletonClass α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : PMF α
f : α → E
hf : Integrable f p.toMeasure
⊢ Function.support ?m.4776 ⊆ ?m.4777
α : Type u
ι : Sort x
f : ι → Filter α
s : Set α
⊢ ⨆ i, f i ⊓ 𝓟 s = (⨆ i, f i) ⊓ 𝓟 s
α : Type u_3
β : Type u_4
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
UniformSpace β
AddGroup β
UniformAddGroup β
f : α →+ β
hf : Continuous ⇑f
⊢ Continuous ⇑(f.completion hf)
α : Type u_1
f : α → α → α
H : RightCommutative f
x : α
p : α → Prop
s : Multiset α
p_f : ∀ (a b : α), p a → p b → p (f b a)
px : p x
p_s : ∀ a ∈ s, p a
⊢ p (Multiset.foldl f H x s)
f : ℝ ≃ᵐ ℝ
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
g : ℝ → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ ⇑f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : MeasureTheory.IntegrableOn g (⇑f '' s) MeasureTheory.volume
f' : ℝ → ℝ
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt (⇑f) (f' x) s x
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑f.symm) (MeasureTheory.volume.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (g x))) s =
  ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
NoZeroDivisors R
Nontrivial R
⊢ NoZeroSMulDivisors R M ↔ Submodule.torsion R M = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f : α → β
x : α
n : ℕ
hn : n ≥ ⌈↑‖f x‖₊⌉₊ + 1
⊢ ↑⌈↑‖f x‖₊⌉₊ + 1 ≤ ↑n
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
a✝ : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃
comm : T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a✝ = c ≫ T₂.mor₃
a : T₁.invRotate.obj₃ ⟶ T₂.invRotate.obj₃
ha₁ : T₁.invRotate.mor₂ ≫ a = a✝ ≫ T₂.invRotate.mor₂
ha₂ : (T₁.mor₂ ≫ (shiftEquiv C 1).counitIso.inv.app T₁.3) ≫ (shiftFunctor C 1).map ((shiftFunctor C (-1)).map c) = a ≫ T₂.mor₂ ≫ (shiftEquiv C 1).counitIso.inv.app T₂.3
⊢ T₁.mor₂ ≫ c ≫ (shiftEquiv C 1).counitIso.inv.app T₂.obj₃ = (T₁.mor₂ ≫ (shiftEquiv C 1).counitIso.inv.app T₁.3) ≫ (shiftFunctor C 1).map ((shiftFunctor C (-1)).map c)
E : Type u_1
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁹ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
s : Set E
ι : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
b : Basis ι ℝ G
v : ι → G
⊢ b.addHaar (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |b.det v|
x : ℝ*
hx : x.st ≠ 0
⊢ x.IsSt x.st
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
f : E → β
hf : Antitone f
⊢ QuasilinearOn 𝕜 Set.univ f
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : TopologicalSemiring A
inst✝⁵ : ContinuousStar A
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : T2Space B
S : StarSubalgebra R A
φ ψ : ↥S.topologicalClosure →⋆ₐ[R] B
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ.comp (inclusion ⋯) = ψ.comp (inclusion ⋯)
this : Dense (range ⇑(inclusion ⋯))
⊢ ⇑φ = ⇑ψ
α : Type u_1
Preorder α
b : α
⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.Iic b)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Subsingleton R
⊢ (norm Rₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((norm R) a)
α : Type u_1
Add α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h : a ≤ b + c
hle : c ≤ d
⊢ a ≤ b + d
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor A (B × C)
⊢ (CategoryTheory.functorProdToProdFunctor A B C).obj F =
  (F.comp (CategoryTheory.Prod.fst B C), F.comp (CategoryTheory.Prod.snd B C))
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
⊢ limsup f (ae μ ⊓ 𝓟 {x | x ∈ s}) ⊔ limsup g (ae μ ⊓ 𝓟 {x | x ∉ s}) = max (limsup f (ae μ ⊓ 𝓟 s)) (limsup g (ae μ ⊓ 𝓟 sᶜ))
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝¹ : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
⊢ Nonempty (IsColimit c')
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : List α → List α
m n : ℕ
l : List α
h : n ≤ m
⊢ modifyNthTail g m (modifyNthTail f n l) = modifyNthTail (fun l => modifyNthTail g (m - n) (f l)) n l
q : ℚ
K : Type u_5
LinearOrderedField K
hq : 0 < q
⊢ 0 < ↑q
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
f : X → M
s : Set X
hf : ContinuousOn f s
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => f x ^ n) s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
hc : ContinuousWithinAt f s b
⊢ ContinuousWithinAt (slope f a) s b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : A ⟶ F.obj X
v : B ⟶ F.obj Y
sq : CommSq u i (F.map p) v
adj : G ⊣ F
⊢ (adj.homEquiv A X).symm u ≫ p = G.map i ≫ (adj.homEquiv B Y).symm v
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
x : M
n : ℕ
⊢ ContMDiffAt I I' (↑n) f x ↔ ∃ u ∈ 𝓝 x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : LaxFunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ F.mapComp f g ▷ F.map h ≫ F.mapComp (f ≫ g) h = F.mapComp f g ▷ F.map h ≫ F.mapComp (f ≫ g) h ≫ F.map₂ ((α_ f g h).hom ≫ (α_ f g h).inv)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_eq_add : ∀ (a : α) (s : Set γ), MeasurableSet s → ((η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η) a) s = (κ a) s
⊢ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
A : Subalgebra R S
⊢ A.mulMap ⊥ = A.val.comp ↑A.rTensorBot
x✝ : ℝ
⊢ Real.tan (x✝ + π) = Real.tan x✝
G : Type u_1
DivisionMonoid G
a b : G
⊢ Commute a b → Commute a⁻¹ b⁻¹
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
PartialOrder 𝕆
Preorder α
OrderBot 𝕆
OrderBot α
GradeMinOrder 𝕆 α
⊢ grade 𝕆 ⊥ = ⊥
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : Submodule R M
a : M
⊢ I < I ⊔ Submodule.span R {a} ↔ a ∉ I
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ Equivalence G.Reachable
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
⊢ Subsemigroup.comap f ⊤ = ⊤
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
c : Set (Lifts F E K)
hc✝ : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
t : ↑(insert ⊥ c) → IntermediateField F E := fun i => (↑i).carrier
t' : ↑(insert ⊥ c) → Subalgebra F E := fun i => (t i).toSubalgebra
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (insert ⊥ c)
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
L : Lifts F E K
hL✝ : L ∈ c
hL : L ∈ insert ⊥ c
x : ↥L.carrier
⊢ { carrier := iSup t, emb := (Subalgebra.iSupLift t' dir (fun i => (↑i).emb) ⋯ (iSup t') ⋯).comp ↑((iSup t).equivOfEq (⨆ i, (t i).toSubalgebra) ⋯) }.emb ((inclusion ⋯) x) = L.emb x
R✝ : Type u
S✝ : Type v
A✝ : Type w
B : Type u₁
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hRS : ⊤.FG
hSA : ⊤.FG
s : Finset S
hs : adjoin R ↑s = ⊤
t : Finset A
ht : adjoin S ↑t = ⊤
⊢ adjoin R ↑(Finset.image (⇑(algebraMap S A)) s ∪ t) = ⊤
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Finset P
s : R
hs1 : s ∈ S
hs : ∀ a ∈ I, IsInteger R (↑⟨s, hs1⟩ • a)
⊢ ∃ a ∈ S, ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R (a • b)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ η : Kernel α β
μ : Measure β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ (dirac () ⊗ₘ Kernel.const Unit μ).snd = μ
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
h✝ : Infinite α
⊢ Nat.card α = if h : Finite α then Fintype.card α else 0
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
n : ℤ
⊢ ↑n ∈ S
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace δ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure δ
f : α → δ
g : δ → β
hg : AEMeasurable g ν
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μ ν
⊢ AEMeasurable (g ∘ f) μ
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
⊢ Set.range ⇑(algebraMap K L) ⊆ ↑S
n : ℕ
k : Fin (n + 1)
⊢ k ≤ k - 1 ↔ k = 0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ ε ≤ ↑|G.edgeDensity (⋯.choose, ⋯.choose).1 (⋯.choose, ⋯.choose).2 - G.edgeDensity s t|
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
x : E
⊢ (orthogonalProjection K) x = (K.linearProjOfIsCompl Kᗮ ⋯) x
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
⊢ w ∈ p.support ↔ w = u ∨ w ∈ p.support.tail
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p I : Ideal A
hI : I ≠ ⊥
⊢ p ∈ normalizedFactors I ↔ p.IsPrime ∧ I ≤ p
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a / b / c = a / c / b
α : Type u
Semiring α
I J : Ideal α
hI : I.IsMaximal
hJ : J ≠ ⊤
IJ : I ≤ J
⊢ I = J
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ ∑' (x_1 : ℕ), ∑ x_2 ∈ Finset.antidiagonal x_1, (↑x_1 !)⁻¹ • x_1.choose x_2.1 • (x ^ x_2.1 * y ^ x_2.2) = ∑' (n : ℕ), ∑ kl ∈ Finset.antidiagonal n, (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ 2 • o.oangle (-x) y = 2 • o.oangle x y
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
s : Primrec' fun v => (f v).sqrt
fss : Primrec' fun v => f v - (f v).sqrt * (f v).sqrt
⊢ Primrec' fun v => (unpair (f v)).1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a : β
b : α
h : inr a < inl b
⊢ ∃ b, a < b
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
h : b = a + c
⊢ -a + b = c
α : Type u_1
s : Set (Set α)
⊢ ⋂₀ (s \ {Set.univ}) = ⋂₀ s
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
f : C ⟶ D
hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (D.X i ⟶ E.X j)
n : ι
⊢ (f ≫ nullHomotopicMap' hom).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => f.f i ≫ hom i j hij).f n
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
x y : Quotient s
⊢ x.out ≈ y.out ↔ x = y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β
⊢ map m (comap m f) = f ⊓ 𝓟 (range m)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j})
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
p : ι → Prop
q : ι → ι' → Prop
s : (x : ι) → (y : ι') → p x ∧ q x y → Set α
⊢ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ (h : p x ∧ q x y), s x y h = ⋂ x, ⋂ (hx : p x), ⋂ y, ⋂ (hy : q x y), s x y ⋯
α : Type u_1
Preorder α
a : α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
NoMinOrder α
NoMaxOrder α
⊢ ¬Order.IsSuccLimit a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
f : CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom W X Y
⊢ ∃ z, f = CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk z
α : Type u_1
l : Filter α
p : α → Prop
⊢ Filter.EventuallyConst p l ↔ (p =ᶠ[l] fun x => False) ∨ p =ᶠ[l] fun x => True
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{max v u, w} D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ
i : ((unop x✝).index P).L
⊢ (J.diagramNatTrans (𝟙 P) X).app x✝ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i = (𝟙 (J.diagram P X)).app x✝ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A
inst✝¹⁰ : ContinuousStar A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : StarRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : T2Space B
F : Type u_4
a : A
inst✝² : FunLike F (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
φ ψ : F
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩
this : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R {a}).topologicalClosure) B
x : ↥(adjoin R {a})
⊢ φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x)
M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : Mˣ
x y : M
h : SemiconjBy (↑a) x y
⊢ ↑a⁻¹ * y = ↑a⁻¹ * (y * ↑a * ↑a⁻¹)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : Cᵒᵖ
h : CategoryTheory.Limits.IsZero X
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero (Opposite.unop X)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
i : Fin n
x : TruncatedWittVector p m R
⊢ TruncatedWittVector.coeff i ((TruncatedWittVector.truncate hm) x) = TruncatedWittVector.coeff (Fin.castLE hm i) x
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ StrictAnti fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → ℝ
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
bc : b ≤ c
⊢ (variationOnFromTo f s a - f) b ≤ (variationOnFromTo f s a - f) c
𝕜₁ : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁
inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂
inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'
h₁ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₂ F₂ σ (RingHom.id 𝕜₂))
h₂ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₁ F₂ (RingHom.id 𝕜₁) σ).flip
h₃ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₁ e₁' e₁ b)) (e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet)
h₄ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₂ e₂ e₂' b)) (e₂.baseSet ∩ e₂'.baseSet)
⊢ e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet) ⊆ e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : ι → Subalgebra R A
⊢ (iSup S).op = ⨆ i, (S i).op
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsOpen t
⊢ closure s ∩ t ⊆ closure (s ∩ t)
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ ∀ (a : ↥I), I.toCotangent a = Submodule.Quotient.mk a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∃ b, b ∈ t ∧ R a b
θ ψ : ℝ
⊢ ↑(toIocMod two_pi_pos ψ θ) = ↑θ
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Module.rank R M ≤ #M
α : Type u_2
ι : Type u_3
l : Combinatorics.Line α ι
a : Unit → α
⊢ ↑l.toSubspaceUnit a = (fun x i => (l.idxFun i).getD x) (a ())
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Transitive R
s✝ t✝ u✝ : WSeq α
h1✝¹ : LiftRel R s✝ t✝
h2✝¹ : LiftRel R t✝ u✝
s u t : WSeq α
h1✝ : LiftRel R s t
h2✝ : LiftRel R t u
h1 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
h2 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) t.destruct u.destruct
a c : Option (α × WSeq α)
ha : a ∈ s.destruct
hc : c ∈ u.destruct
b : Option (α × WSeq α)
hb : b ∈ t.destruct
t1 : LiftRelO R (LiftRel R) a b
t2 : LiftRelO R (LiftRel R) b c
⊢ LiftRelO R (fun s u => ∃ t, LiftRel R s t ∧ LiftRel R t u) a c
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
⊢ finrank R (ULift.{u_2, v} M) = finrank R M
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
a : α
ha : a ∈ A
⊢ card (s + replicate (n - m) a) = n
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : I * ↑(1 / x) = -1 / (I * ↑x)
hx' : I * ↑x ≠ 0
h2 : ↑a * I * ↑x / (I * ↑x) = ↑a
h3 : 1 / (-I * (I * ↑x)) ^ (1 / 2) = 1 / ↑(x ^ (1 / 2))
h4 : -↑π * I * (↑a * I * ↑x) ^ 2 / (I * ↑x) = -(-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x)
⊢ cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * (1 / (-I * (I * ↑x)) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * (↑a * I * ↑x) ^ 2 / (I * ↑x)) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x / (I * ↑x)) (-1 / (I * ↑x))) = ↑(1 / x ^ (1 / 2)) * jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑(1 / x))
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ 0 ≤ ‖x‖ / ‖x + y‖
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => x) μ = μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : TopologicalSpace β] [inst_1 : TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β]
  [inst_2 : MeasurableSpace β] [inst_3 : BorelSpace β], MeasureTheory.StronglyMeasurable f → Measurable f
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hb : b ≠ 0
⊢ a = b⁻¹ * c ↔ b * a = c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
self : S₁.Hom S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.f₂ S₂.v₂₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.v₂₃ self.f₃
α : Type u_1
f : Filter α
s : Set α
⊢ Disjoint (𝓟 s) f ↔ sᶜ ∈ f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
⊢ Smooth I I' f ↔
  Continuous f ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
α : Sort u
c : Prop
⊢ ∀ {x : Decidable c} (a b : α), c = False → ite c a b = b
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
r s : R''
x✝ : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), r • m ⊗ₜ[R] n = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : (r + s) • x = r • x + s • x
ihy : (r + s) • y = r • y + s • y
⊢ (r + s) • (x + y) = r • (x + y) + s • (x + y)