ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → (μ.trim hm) s_1 < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s_1, AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h x ∂μ.trim hm
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
⊢ affineSpan 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) = affineSpan 𝕜 s
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h : IntervalIntegrable f μ a b
r : 𝕜
⊢ IntervalIntegrable (r • f) μ a b
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor C j).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C i).map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.shiftAdd X i j).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor C (i + j)).map f)
      (CategoryTheory.shiftAdd Y i j).hom)
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocRing α
x y : CentroidHom α
⊢ (x - y).toEnd = x.toEnd - y.toEnd
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
x : PrimeSpectrum A
hx : ∃ m, ∀ (r : A), r • m = 0 → r ∈ x.asIdeal
⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r • m = 0 → (algebraMap R A) r ∈ x.asIdeal
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : Summable fun i => ‖u (f (i + 1)) - u (f i)‖
v : ℕ → E := fun n => u (f (n + 1)) - u (f n)
hv_sum : (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) = fun n => u (f n) - u (f 0)
a : E
ha : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) atTop (𝓝 a)
⊢ Tendsto u atTop (𝓝 (a + u (f 0)))
R : Type u
CommRing R
x y z : R
⊢ IsCoprime (x + y * z) y ↔ IsCoprime x y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hxy : x ≠ y
⊢ {y, x}.einfsep ≤ edist y x
α : Type u
s t : Set α
⊢ (s ⊂ t) = (s ⊆ t ∧ ¬t ⊆ s)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x : P
y : P
hy : y ∈ s
⊢ s.WSameSide x y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalSeminormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
self : RegularNormedAlgebra 𝕜 𝕜'
⊢ Isometry ⇑(ContinuousLinearMap.mul 𝕜 𝕜')
a b : Int
H : a < b
⊢ a ≤ b - 1
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M.Restriction M
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
A : Type u_3
TopologicalSpace A
f₀ f₁ : C(A, α)
g₀ g₁ : C(A, β)
S : Set A
F : f₀.HomotopyRel f₁ S
G : g₀.HomotopyRel g₁ S
t : ↑unitInterval × A
⊢ (F.prod G) t = (F t, G t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x + y, x + y⟫_ℝ = ⟪x, x⟫_ℝ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ⟪y, y⟫_ℝ
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Mul α
s : Set α
t : ι → Set α
⊢ s * ⋂ i, t i ⊆ ⋂ i, s * t i
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ Monotone (MeasureTheory.spanningSets μ)
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ ≤ μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹ * ENNReal.ofReal C
l : List Char
c : Char
m r : List Char
n : Nat
⊢ (if h : c :: m ++ r = [] then n else { data := l ++ (c :: m ++ r) }.offsetOfPosAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ (c :: m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l }) (n + 1)) = n + (c :: m).length
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
Nontrivial R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Finite R M
Module.Free R M
x : L
⊢ LieModule.IsRegular R M x ↔ (LinearMap.charpoly ((LieModule.toEnd R L M) x)).natTrailingDegree = LieModule.rank R L M
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_3
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
e : (V →ₗ[K] K) ≃ₗ[K] ι → K
⊢ Module.rank K (ι → K) = #(ι → K)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k l : ℕ
a✝ : Nontrivial M
this✝ : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) l
hp : Nontrivial ↥p
f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯
f₂ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ⋯
this : IsNilpotent (f₂ - f₁)
⊢ False
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≠ 1 → i ∈ s
⊢ ∀ x ∈ univ, x ∉ s → f x = 1
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X : PresheafedSpace C
U : (Opens ↑↑X)ᵒᵖ
⊢ (𝟙 X.presheaf).app U = 𝟙 (X.presheaf.obj U)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f p : Perm α
l : List (Perm α)
hl : l.Nodup
hl' : l.toFinset = f.cycleFactorsFinset
⊢ p ∈ l.toFinset ↔ p.IsCycle ∧ ∀ a ∈ p.support, p a = f a
α : Type u_1
inst✝³ : MonoidWithZero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulMono α
a : α
H : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ a ^ 0
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁷ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R₁
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R₂
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₃
inst✝⁹ : AddCommGroup M₃
inst✝⁸ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
A : Type u_11
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Module A M₃
B₃ : BilinForm A M₃
ι : Type u_12
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
M : Matrix ι ι A
⊢ (toBilin' M).Nondegenerate ↔ M.det ≠ 0
α : Type u_1
s₁ s₂ : Set α
⊢ s₁ ∩ s₂ = ⋂ b, bif b then s₁ else s₂
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
e.IsRelIff
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
⊢ (e.restrictionFunctor C).obj K = K.restriction e
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
f : K[X]
hf : Polynomial.Splits i f
hfd : (Polynomial.map i f).degree ≠ 0
⊢ Polynomial.eval₂ i (Polynomial.rootOfSplits' i hf hfd) f = 0
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
s : Set M
hs : (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s = ⊤
f g : L.Hom M N
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ f = g
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : C₁ ≌ C₃
R : C₂ ≌ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.CatCommSq T L.functor R.functor B) (X : C₃),
  CategoryTheory.CatCommSq.iso'.inv.app X =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (R.unitIso.hom.app (T.obj (L.inverse.obj X)))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (R.inverse.map ((CategoryTheory.CatCommSq.iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj X)))
        (R.inverse.map (B.map (L.counitIso.hom.app X))))
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
a : α
⊢ (l₁.diff l₂).erase a = l₁.diff (a :: l₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
p : TwoPointing α
q : TwoPointing β
⊢ (p.sum q).snd = Sum.inr q.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : SubNegZeroMonoid G
inst✝ : SubNegZeroMonoid H
f : G → H
hf : f 0 = 0
hf' : ∀ (x y : G), f (x - y) = f x - f y
v₁ v₂ : α →₀ G
x✝ : α
⊢ (mapRange f hf (v₁ - v₂)) x✝ = (mapRange f hf v₁ - mapRange f hf v₂) x✝
α : Type u
LE α
OrderTop α
⊢ IsTop ⊤
M : Type u
N : Type v
AddMonoid M
AddMonoid N
f : M →+ N
x : AddUnits M
⊢ ↑((AddUnits.map f) x) = f ↑x
β : Type u_1
AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : CategoryTheory.DifferentialObject ℤ (CategoryTheory.GradedObjectWithShift b V)
i : β
⊢ X.objEqToHom ⋯ = 𝟙 (X.obj i)
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ ∀ (a : A →ₐ[R] Bᵐᵒᵖ) (a_1 : Aᵐᵒᵖ), (AlgHom.opComm a) a_1 = MulOpposite.unop (a (MulOpposite.unop a_1))
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
Ring R₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
R₃ : Type u_5
M₃ : Type u_6
Ring R₃
AddCommGroup M₃
Module R₃ M₃
p₂ : Submodule R₂ M₂
p₃ : Submodule R₃ M₃
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃
hf : p ≤ Submodule.comap f p₂
hg : p₂ ≤ Submodule.comap g p₃
h : p ≤ Submodule.comap f (Submodule.comap g p₃) := ⋯
⊢ p.mapQ p₃ (g.comp f) h = (p₂.mapQ p₃ g hg).comp (p.mapQ p₂ f hf)
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
h's : IsGδ s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
U : ℕ → Set X
U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hU : s = ⋂ n, U n
m : Set X
m_comp : IsCompact m
sm : s ⊆ interior m
mt : m ⊆ tᶜ
f : ℕ → C(X, ℝ)
fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s
fm : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 0 (U n ∩ interior m)ᶜ
_hf : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport ⇑(f n)
f_range : ∀ (n : ℕ) (x : X), (f n) x ∈ Icc 0 1
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i
u_sum : Summable u
hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1
g : X → ℝ := fun x => ∑' (n : ℕ), u n * (f n) x
hgmc : EqOn g 0 mᶜ
I : ∀ (n : ℕ) (x : X), u n * (f n) x ≤ u n
⊢ ∃ f, s = ⇑f ⁻¹' {1} ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
hf : f = 0
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.Cofork.π c)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f
⊢ MonotoneOn f s ∨ AntitoneOn f s
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
la : List α
lb : List β
lc : List γ
⊢ List.zipWith f (List.zipWith g la lb) lc = List.zipWith3 (fun a b c => f (g a b) c) la lb lc
α : Type u_1
IdemSemiring α
a b : α
⊢ a + b = a ↔ b ≤ a
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
⊢ ⋃ x ∈ ↑s, f x '' ↑t = image2 f ↑s ↑t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ ‖innerSL 𝕜‖ ≤ 1
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L R₁} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).functor.map f).right = f.right
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
r : ℝ
hf' : TendstoUniformlyOn (fun n z => f' n.1 z - f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (Metric.ball x r)
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
this✝ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
this : l.NeBot
hr : 0 < r
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n z => f n.1 z - f n.2 z - (f n.1 x - f n.2 x)) 0 (l ×ˢ l) (Metric.ball x r) ∧ TendstoUniformlyOn (fun n x_1 => f n.1 x - f n.2 x) 0 (l ×ˢ l) (Metric.ball x r)
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
e : A →ₐ[R] B
x : A
⊢ Subalgebra.map e (Algebra.adjoin R {x}) = Algebra.adjoin R {e x}
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
⊢ (↑P.parts).PairwiseDisjoint id
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a = ↑a.re ↔ a ∈ Set.range Quaternion.coe
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ (mappingConeCompTriangleh f g).mor₂ ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (HomotopyCategory.isoOfHomotopyEquiv (mappingConeCompHomotopyEquiv f g)).inv = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (inr (mappingConeCompTriangle f g).mor₁) ≫ (HomotopyCategory.isoOfHomotopyEquiv (mappingConeCompHomotopyEquiv f g)).inv
α : Type u_1
p : α → Prop
⊢ (∃ x ∈ ∅, p x) ↔ False
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : GCDMonoid R
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M A
z : A
⊢ ∃ a b, IsUnit (gcd a b) ∧ z * (algebraMap R A) b = (algebraMap R A) a
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsUpper α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ TopologicalSpace.GenerateOpen {t | ∃ a, (Set.Iic a)ᶜ = t} s
M₀ : Type u_2
MulZeroOneClass M₀
⊢ 0 = 1 ↔ Subsingleton M₀
n m : ℕ
⊢ (range' n (m - n)).length = m - n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
hF : Presieve.IsSheaf J F
U : C
S : Sieve U
hS : S ∈ J.sieves U
x : Presieve.FamilyOfElements (sheafify J G).toPresheaf S.arrows
hx : x.Compatible
S' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)
W : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C
i₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi
i₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U
hi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)
h₁ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), (fun Y f h => ((fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)) Y f h).arrows) (W V i hi) (i₂ V i hi) ⋯ (i₁ V i hi)
h₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
X : HomologicalComplex₂ C c₂ c₁
i : I₂
⊢ ∀ (i_1 : I₁), (((HomologicalComplex₂.flipEquivalenceCounitIso C c₁ c₂).hom.app X).f i).f i_1 = 𝟙 ((X.X i).X i_1)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.151867, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₂ : S₂.Exact
inst✝³ : Epi S₁.g
inst✝² : Epi S₂.g
inst✝¹ : Epi φ.τ₁
inst✝ : Epi φ.τ₃
this✝³ : Mono S₁.op.f
this✝² : Mono S₂.op.f
this✝¹ : Mono (opMap φ).τ₁
this✝ : Mono (opMap φ).τ₃
this : Mono (opMap φ).τ₂
⊢ Epi φ.τ₂
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
m n : ℤ
⊢ a ^ (m * n) = (a ^ n) ^ m
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
h : f.NeBot
s t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ f
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ f
hs : t₁ / t₂ ⊆ s
a : α
ha₁ : a ∈ t₁
ha₂ : a ∈ t₂
⊢ a / a ∈ s
n c d : ℕ
hn : 2 * (c ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)
c0 : c > 0
⊢ c ^ (2 * (c ^ 2 + 1) + d) * c ^ d < (2 * (c ^ 2 + 1) + d - 1)!
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
α : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → LinearOrder (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsWellOrder (α i) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Finite ι
s : Set ((i : ι) → α i)
val✝ : Fintype ι
⊢ ∀ (f : ℕ → (s : ι) → α s), ∃ g, ∀ ⦃a b : ℕ⦄, a ≤ b → ∀ x ∈ ∅, (f ∘ ⇑g) a x ≤ (f ∘ ⇑g) b x
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CharP R 2
l : List R
⊢ l.sum * l.sum = (List.map (fun x => x * x) l).sum
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m ≤ ↑n
⊢ m ≤ n
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
A : C
i : ι
γ : A ⟶ K.homology i
j : ι
hj : c.next i = j
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : CategoryTheory.Epi π), ∃ z, ∃ (hz : z ≫ K.d i j = 0), π ≫ γ = K.liftCycles z j hj hz ≫ K.homologyπ i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ (fun x => F (∫ (y : γ), f (x, y) + g (x, y) ∂η (a, x))) =ᶠ[ae (κ a)] fun x => F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) + ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x))
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
h : Irreducible x
y z : R
hz : x = y * (y * z)
hu : IsUnit (y * z)
⊢ IsUnit y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
MeasurableSpace δ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
u : γ → δ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
hu : Measurable u
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib (u ∘ f) (u ∘ g) μ ν
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ Multiset.toFinsupp 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
p : α → β → Prop
(a : α) → (b : β) → Decidable (p a b)
hp : PrimrecRel p
f : α → β
hf : Primrec f
⊢ Primrec fun a => Option.guard (p a) (f a)
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ frontier sᶜ = frontier s
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsConnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
⊢ IsConnected (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
⊢ automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) x = (g • automorphize f) x
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial τ R
g : MvPolynomial τ R →ₐ[R] MvPolynomial υ R
x : υ → R
⊢ MvPolynomial.comap (g.comp f) x = MvPolynomial.comap f (MvPolynomial.comap g x)
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ (fderivWithin 𝕜 f s x) 1 = 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → β → α
S : Set β
hα : (uniformity α).HasBasis p s
⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔
  ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (xy : β × β) in uniformity β ⊓ Filter.principal (S ×ˢ S), ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ s k
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this : 0 < (μ.restrict s) ({a | (f a).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ} \ {x | f x = ⊤})
x : α
hfx : (f x).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ
hx : x ∉ {x | f x = ⊤}
⊢ x ∈ {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
E : Type u_1
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
mE : MeasurableSpace E
tE : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
g : E → ℝ
h1 : g 0 = 0
h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x
h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y
h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0
h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x
inst✝ : Nontrivial E
r : ℝ
F : Type u_1 := E
this✝⁴ : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯
this✝³ : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.mk ⋯
this✝² : TopologicalSpace F := UniformSpace.toTopologicalSpace
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
φ : E ≃L[ℝ] F := (LinearEquiv.refl ℝ E).toContinuousLinearEquiv
ν : Measure F := map (⇑φ) μ
this : ν.IsAddHaarMeasure
⊢ μ {x | g x < r} = ν (Metric.ball 0 r)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
k l : ℕ
⊢ p ^ k ∣ a → p ^ l ∣ b → p ^ (k + l + 1) ∣ a * b → p ^ (k + 1) ∣ a ∨ p ^ (l + 1) ∣ b
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
ih : indexOf a l ≤ l.length
⊢ (if b = a then 0 else indexOf a l + 1) ≤ l.length + 1
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
Nontrivial α
a : Associates α
k : ℕ
⊢ (a ^ k).factors = k • a.factors
α : Type u_1
AddGroupWithOne α
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Inducing f
s : Set X
⊢ Dense s ↔ ∀ (x : X), f x ∈ closure (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → MeasureTheory.Measure β
hf : Measurable f
a : α
⊢ (MeasureTheory.Measure.dirac a).bind f = f a
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
g : G
w : HNNExtension.NormalWord d
⊢ (g • w).head = g * w.head
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
E' : Type u_11
SeminormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
RingHomIsometric σ₁₂
s : Set (E' →SL[σ₁₂] F)
hb : Bornology.IsBounded s
hc : ∀ (f : E' →SL[σ₁₂] F), ⇑f ∈ closure (DFunLike.coe '' s) → f ∈ s
⊢ IsClosed (DFunLike.coe '' s)
R : Type u_1
CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
⊢ seminormFromConst' hf1 hc hpm x = f x