ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun i => max a (f i)) l (𝓝 a)
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
f : PiLp ⊤ β
⊢ ‖f‖₊ = ⨆ i, ‖f i‖₊
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s✝ s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
h : ContinuousWithinAt f s✝ x
hg : Tendsto g p (𝓝[s✝] x)
hunif : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s✝] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
u₀ : Set (β × β)
hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β
u₁ : Set (β × β)
h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β
u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀
s : Set α
sx : s ∈ 𝓝[s✝] x
hs : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ s, (f y, F n y) ∈ u₁
A : ∀ᶠ (n : ι) in p, g n ∈ s
⊢ u₀ ∈ map (fun x_1 => (f x, F x_1 (g x_1))) p
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
⊢ wittNeg p 0 = -X (0, 0)
α : Type u_1
l : List α
x : Multiset α × Multiset α
h : x ∈ (Multiset.powersetAux l).revzip
⊢ x.1 + x.2 = ↑l
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
a b c : R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : NoZeroDivisors R
ha : a ≠ 0
x : R
h : discrim a b c = (2 * a * x + b) ^ 2
⊢ a * x * x + b * x + c = 0
p : ℝ × ℝ
hp_fst : p.1 < 0
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ × ℝ) in 𝓝 p, x.1 < 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p : P
h : p₁ ≠ p₂
⊢ dist p₁ p = dist p₂ p ↔ ∃ r, r • (EuclideanGeometry.o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂ = p
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
p : R[ℕ]
⊢ (C a * { toFinsupp := p }).coeff n = a * { toFinsupp := p }.coeff n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n i j : ℕ
hi : i ≤ n
hj : j < p ^ (n - i)
⊢ j - WittVector.pnat_multiplicity p ⟨j + 1, ⋯⟩ + n = i + j + (n - i - WittVector.pnat_multiplicity p ⟨j + 1, ⋯⟩)
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
F : Type u_3
PseudoEMetricSpace F
f : E → F
C : ℝ≥0
t : Set E
hf : LipschitzOnWith C f t
g : α → E
s : Set α
hg : Set.MapsTo g s t
h : BoundedVariationOn g s
⊢ BoundedVariationOn (f ∘ g) s
α : Type u
AddZeroClass α
⊢ IsAddMonoidHom id
G : Type u
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M₁
inst✝ : Monoid M₂
⊢ exponent M₁ ∣ exponent (M₁ × M₂)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
k : ℕ
_h : 0 < k + 2
hlt : ‖newton_seq (k + 2) - newton_seq (k + 1)‖ < ‖newton_seq (k + 1) - a‖
hne' : ‖newton_seq (k + 2) - newton_seq (k + 1)‖ ≠ ‖newton_seq (k + 1) - a‖
⊢ ‖newton_seq (k + 2) - a‖ = ‖newton_seq (k + 2) - newton_seq (k + 1) + (newton_seq (k + 1) - a)‖
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : ¬x = 0 ∨ ¬y = 0
⊢ Real.sin (angle x (x + y)) * ‖x + y‖ = ‖y‖
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
h : N ≃[L] P
f g : M ≃[L] N
hfg : h.comp f = h.comp g
x : M
⊢ f x = g x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
a : 𝕜
ha : 1 ≤ ‖a‖
⊢ a • a⁻¹ • s ⊆ a • t
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
f : α → β
l : List α
⊢ List.argmax f l = none ↔ l = []
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : ↑s = ∅
⊢ IsPreconnected {y | s.SSameSide x y}
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
r : R
⊢ v.intValuation r = v.intValuationDef r
α : Type u
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDomain A
I : Ideal A
hI : I ≠ ⊥
⊢ 1 ∈ (↑I)⁻¹
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : PosMulReflectLT α
a0 : 0 < a
⊢ a * b < a ↔ a * b < a * 1
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α
⊢ (RelEmbedding.refl r) a = a
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
⊢ ∅.centerMass w z = 0
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ Function.Surjective ⇑(M.mulMap' N)
α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
MulZeroClass α
A : Matrix m m α
B : Matrix n n α
hA : A.IsDiag
hB : B.IsDiag
⊢ (Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B).IsDiag
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
⊢ star (a * star c * star b) = b * star (a * star c)
α : Type u_1
G : Type u_2
M✝ : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M✝
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M N : AddSubmonoid R
C : R → Prop
r : R
hr : r ∈ M * N
hm : ∀ m ∈ M, ∀ n ∈ N, C (m * n)
ha : ∀ (x y : R), C x → C y → C (x + y)
⊢ 0 ∈ { carrier := setOf C, add_mem' := ⋯ }.carrier
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : MonovaryOn f g s
⊢ ConvexOn 𝕜 s (-f • -g)
α : Type u_1
Group α
DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
⊢ DevosMulRel x y ↔
  (x.1 * x.2).card < (y.1 * y.2).card ∨
    (x.1 * x.2).card = (y.1 * y.2).card ∧ y.1.card + y.2.card < x.1.card + x.2.card ∨
      (x.1 * x.2).card = (y.1 * y.2).card ∧ x.1.card + x.2.card = y.1.card + y.2.card ∧ x.1.card < y.1.card
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} H
∀ (F : CategoryTheory.Functor C H), L.HasRightKanExtension F
G : CategoryTheory.Functor D H
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft L ((L.ranAdjunction H).unit.app G))
    (L.ranCounit.app (L.comp G)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.comp G)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f n a ≤ f n.succ a
s : Set α
hs : {a | ¬∀ (i : ℕ), f i a ≤ f i.succ a} ⊆ s ∧ MeasurableSet s ∧ μ s = 0
g : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => if a ∈ s then 0 else f n a
g_eq_f : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), g n a = f n a
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ n, f n a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
Finite ι
(i : ι) → LinearOrder (π i)
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
∀ (i : ι), OrderTopology (π i)
a x : (i : ι) → π i
Nonempty ι
ha : ∀ (i : ι), a i < x i
⊢ Set.Ioi a ∈ 𝓝 x
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {β : Type u_2} {x : α ⊕ β} (h : x.isLeft = true), x.getLeft h = a ↔ x = Sum.inl a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ (b : β), ∃ c, Tendsto f (comap i (𝓝 b)) (𝓝 c)
a : α
b : γ
hb : Tendsto f (comap i (𝓝 (i a))) (𝓝 b)
⊢ Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s t : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
⊢ ∀ (f_1 : s ⟶ t), CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.π f_1.hom = t.π
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
⊢ (b ^ p + b) * (b ^ p - b) = (b ^ p - b) * (b ^ p + b)
x : ℝ
⊢ rexp 1 ^ x = rexp x
G : Type u_1
H : Type u_2
AddCommGroup G
AddCommGroup H
a : G
b : H
f : AddConstMap G H a b
x : G
⊢ (AddConstMap.conjNeg f) x = -f (-x)
γ : Type w
ι₁ : Type u_3
ι₂ : Type u_4
β₁ : ι₁ → Type u_1
β₂ : ι₂ → Type u_2
DecidableEq ι₁
DecidableEq ι₂
(i : ι₁) → Zero (β₁ i)
(i : ι₂) → Zero (β₂ i)
(i : ι₁) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
(i : ι₂) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
AddCommMonoid γ
f₁ : Π₀ (i : ι₁), β₁ i
f₂ : Π₀ (i : ι₂), β₂ i
h : (i : ι₁) → β₁ i → (i : ι₂) → β₂ i → γ
⊢ (f₁.sum fun i₁ x₁ => f₂.sum fun i₂ x₂ => h i₁ x₁ i₂ x₂) = f₂.sum fun i₂ x₂ => f₁.sum fun i₁ x₁ => h i₁ x₁ i₂ x₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
H : CategoryTheory.Functor C E
H.Faithful
h : F.comp G ≅ H
⊢ F.Faithful
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
i : m
⊢ ∀ i_1 ∈ Finset.univ, ((monomial (Finsupp.single i_1 1)) (M i i_1)).IsHomogeneous 1
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : DecidableEq m
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝⁶ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝² : TopologicalRing 𝔸
inst✝¹ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
v : m → 𝔸
⊢ exp 𝕂 (diagonal v) = diagonal (exp 𝕂 v)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra R₁ K
inst✝² : IsFractionRing R₁ K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsFractionRing K L
I : FractionalIdeal K⁰ L
⊢ I = 0 ∨ I = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + (a * b) • (f x • g y + f y • g x) = (a • f x + b • f y) • (a • g x + b • g y)
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
Group α
DistribMulAction α A
a : α
S T : AddSubmonoid A
⊢ a • S ≤ a • T ↔ S ≤ T
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ M
h : Disjoint g₁.support g₂.support
a : α
ha✝ : a ∈ g₁.support ∪ g₂.support
ha : a ∈ g₂.support
⊢ a ∈ (g₁ + g₂).support
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : OrderedSemiring A
h : NormNum.IsNat e n
⊢ 0 ≤ ↑n
Ω : Type u_1
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s1 s2 : Set (Set Ω)
h_indep : ProbabilityTheory.CondIndep m' (MeasurableSpace.generateFrom s1) (MeasurableSpace.generateFrom s2) hm' μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' s1 s2 μ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : Ring R
p✝ q : R[X]
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : R[X]
a : R
x✝ : ¬p = 0
⊢ Nat.find ⋯ = Nat.find ⋯
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.powerset = {∅} ↔ s = ∅
α : Type u
Monoid α
a b : α
Invertible b
h : Commute b a
⊢ Commute (⅟b) a
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
hU : closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) ≤ H
⊢ closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) = H
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p q : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
⊢ Polynomial.map f (p * q) = Polynomial.map f p * Polynomial.map f q
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ Disjoint t (⋃₀ ↑(hC.diffFinset hs ht))
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
s : Set Y
hs : IsOpen s
⊢ e.trans (ofSet s hs) = e.restr (e.source ∩ ↑e ⁻¹' s)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ Irrational √↑p
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
s : Multiset α
a : α
l : List α
this : l <+~ a :: l ∧ ¬l ~ a :: l
⊢ Quot.mk Setoid.r l < a ::ₘ Quot.mk Setoid.r l
B : Type u
Quiver B
a b c : CategoryTheory.FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η : CategoryTheory.FreeBicategory.Hom₂ f g
h : b ⟶ c
⊢ (CategoryTheory.FreeBicategory.Hom₂.whisker_right h η).mk = CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η.mk h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
UniformSpace β
φ : ι' → ι
⊢ UniformContinuous fun x => x ∘ φ
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
γ : Type u_3
CompleteLinearOrder γ
DenselyOrdered γ
f : α → γ
⊢ UpperSemicontinuousOn f s ↔ ∀ x ∈ s, Filter.limsup f (𝓝[s] x) ≤ f x
x : ℝ≥0
y z : ℝ
hy : 0 ≤ y
hz : 0 ≤ z
⊢ x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
r : A
hr : r ∈ I
⊢ r ∈ (homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a b c d : α
⊢ a * b ~ᵤ c * d → b ~ᵤ d → b ≠ 0 → a ~ᵤ c
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K
⊢ (Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) ↑↑p
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Sort u_3
δ' : Type u_5
ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ (x : α), BddAbove (Set.range fun i => f i x)
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuous (f i)
⊢ LowerSemicontinuous fun x' => ⨆ i, f i x'
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (E i)
s : ι → Set ((i : ι) × E i) := fun i => Sigma.fst ⁻¹' {i}
U : Set (((k : ι) × E k) × (k : ι) × E k) := {p | dist p.1 p.2 < 1}
hc : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
⊢ univ = ⋃ i, s i
α : Sort u_1
inst✝ : Unique α
β : α → Sort v
f : (a : α) → β a
i x✝¹ : α
x✝ : HEq i x✝¹
⊢ HEq (f i) (Function.const α (f default) x✝¹)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
⊢ h.cone.snd = snd
f✝ f : StieltjesFunction
⊢ {x | leftLim (↑f) x ≠ ↑f x}.Countable
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
hγ : IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x * a) (a • v)
⊢ γ = (γ ∘ fun x => x * a) ∘ fun x => x * a⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ x : Fin n → ℕ
hx : x ∈ ↑(sphere n d k)
⊢ x ∈ (fun x => (WithLp.equiv 2 (Fin n → ℝ)).symm (Nat.cast ∘ x)) ⁻¹' Metric.sphere 0 √↑k
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : ‖a / b‖ < r
hn : 0 < ↑n
⊢ ↑n * ‖a / b‖ < n • r
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace G
K : Set G
hK : IsCompact K
F : Set G
h1F : IsCompact F
h2F : K ⊆ interior F
⊢ μ.outerMeasure K < ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
⊢ Tendsto (fun s => ∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ s, μ i) atTop (𝓝 (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ))
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
⊢ (⨆ i, f i) * c = ⨆ i, f i * c
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
hx₀ : x₀ ∈ s
I : Finset ι
hI : ρ.finsupport x₀ ⊆ I
⊢ ∑ i ∈ I, (ρ i) x₀ = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B X Y : C
f : A ⟶ B
g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) C
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.map (𝟙 X) f ≫ CategoryTheory.Limits.prod.map g (𝟙 B) =
  CategoryTheory.Limits.prod.map g (𝟙 A) ≫ CategoryTheory.Limits.prod.map (𝟙 Y) f
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
this✝² : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this✝¹ : IsCentralScalar R M
this✝ : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this : IsCentralScalar R N
⊢ (f ∘ₗ TrivSqZeroExt.sndHom R M) ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap = f ∘ₗ TrivSqZeroExt.sndHom R M ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap
α : Type u_1
a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hx : x ∈ Real.toNNReal ⁻¹' Set.Ioi a.toNNReal
⊢ x ∈ Set.Ioi a
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j}
⊢ MeasurableSet ({ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j})
K : Type u_1
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
hk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic m K = cyclotomic' m K
ζ : K
hz : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
h : ∀ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic i K = cyclotomic' i K
⊢ cyclotomic k K = cyclotomic' k K
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
⊢ s ∈
  {Set.Icc (sInf s) (sSup s), Set.Ico (sInf s) (sSup s), Set.Ioc (sInf s) (sSup s), Set.Ioo (sInf s) (sSup s),
    Set.Ici (sInf s), Set.Ioi (sInf s), Set.Iic (sSup s), Set.Iio (sSup s), Set.univ, ∅}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
X : T.Algebra
⊢ (CategoryTheory.Monad.beckAlgebraCofork X).pt = X
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
⊢ G.dist u v = 1 ↔ G.Adj u v
α : Type u_1
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
u : Set ℝ≥0∞
h : t.OrdConnected
x : ℝ≥0
hx : x ∈ t
y : ℝ≥0
hy : y ∈ t
z : ℝ≥0
hz : ↑z ∈ Icc ↑x ↑y
⊢ ↑z ∈ ofNNReal '' t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
self : CategoryTheory.Adjunction.CoreHomEquiv F G
X : C
Y Y' : D
f : F.obj X ⟶ Y
g : Y ⟶ Y'
⊢ (self.homEquiv X Y') (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((self.homEquiv X Y) f) (G.map g)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
w : { w // w ≠ w₀ }
r : NNReal
h : ‖(logEmbedding K) x‖ ≤ ↑r
⊢ |(logEmbedding K) x w| ≤ ↑r
𝕜 : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
Field 𝕜
CharZero 𝕜
Ring R
AddCommGroup M
Algebra 𝕜 R
Module 𝕜 M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
IsScalarTower 𝕜 R M
IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
TopologicalRing R
TopologicalAddGroup M
ContinuousSMul R M
ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
T2Space R
T2Space M
m : M
⊢ NormedSpace.exp 𝕜 (TrivSqZeroExt.inr m) = 1 + TrivSqZeroExt.inr m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ z x y : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hb' : 0 < b
⊢ a = 0 → a • x + b • y = y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Denumerable ι
κs : ι → Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)
e : ℕ ≃ ι × ℕ := (Denumerable.eqv (ι × ℕ)).symm
hκ_eq : Kernel.sum κs = Kernel.sum fun n => Kernel.sum (κs n).seq
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((Kernel.sum fun n => Kernel.sum (κs n).seq) a) s = ((Kernel.sum fun n => (κs (e n).1).seq (e n).2) a) s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌊a⌋ ≤ z - 1 ↔ a < ↑z
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod n)ˣ
⊢ (↑u)⁻¹ = ↑u⁻¹
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S
hp : p.Monic
map_eq : Polynomial.map f p = 1
a✝ : Nontrivial R
hdeg : p.degree = 0
hndeg : p.natDegree = 0
⊢ 1 = C (p.coeff 0)
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
⊢ Algebra.FinitePresentation R S
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.num ≠ 0
⊢ ↑(q / r) = ↑q / ↑r
M : Type u_1
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass P
c : Con M
f : M →* P
H : c ≤ Con.ker f
x : M
⊢ (c.lift f H) (c.mk' x) = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
T2Space α
ContinuousMul α
s t : Set β
hd : Disjoint s t
hs : Multipliable (f ∘ Subtype.val)
ht : Multipliable (f ∘ Subtype.val)
⊢ ∏' (x : ↑(s ∪ t)), f ↑x = (∏' (x : ↑s), f ↑x) * ∏' (x : ↑t), f ↑x
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞
⊢ lift.{u, v} x = ↑m ↔ x = ↑m
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c w : ℂ
R : ℝ
hR : R ≠ 0
this : (circleMap c R ⁻¹' {w}).Countable
θ : ℝ
hθ : θ ∉ circleMap c R ⁻¹' {w}
_' : θ ∈ Ι 0 (2 * π)
⊢ deriv (circleMap c R) θ • (fun z => (z - w)⁻¹ • (z - w) • f z) (circleMap c R θ) = deriv (circleMap c R) θ • (fun z => f z) (circleMap c R θ)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
⊢ Submodule.span ℝ ↑(unitLattice K) = ⊤