ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
Zero I
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D D)
X : C
e : F.obj X ≅ CategoryTheory.Functor.id D
Y : CategoryTheory.GradedObject J D
a : I × J
ha : a.1 = 0
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorObjSingle₀ObjIso F X e Y a ha).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((F.map (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIsoOfEq 0 X a.1 ha).hom).app (Y a.2)) (e.hom.app (Y a.2))
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : L → R
m : M
⊢ m ∈ ↑(weightSpace M (χ ∘ ⇑⊤.incl)) ↔ m ∈ ↑(weightSpace M χ)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzWith C f
⊢ ‖lineDeriv 𝕜 f x₀ v‖ ≤ ↑C * ‖v‖
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
a : α
⊢ ∂ a = ⊥
α : Type u
Preorder α
Nonempty α
⊢ BddBelow ∅
z : ℍ
⊢ ↑UpperHalfPlane.ofComplex ↑z = z
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Embedding M N
p : L.Substructure M
x : ↥p
⊢ (f.domRestrict p) x = f ↑x
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
ι' : Type u_7
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
tb : Trunc (Basis ι A M)
b' : Basis ι' A M
f : M →ₗ[A] M
⊢ (detAux tb) f = ((toMatrix b' b') f).det
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
h : b < a
⊢ min a b = b
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
U : Set (L ≃ₐ[K] L)
⊢ U ∈ galBasis K L ↔ U ∈ (fun g => g.carrier) '' fixedByFinite K L
α : Type u_2
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : NonemptyInterval α
⊢ (s - t).toProd.1 = s.toProd.1 - t.toProd.2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
hg : Antitone g
hf : AntitoneOn f s
⊢ MonotoneOn (g ∘ f) s
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
c : ℂ
f : ℂ → F
R : ℝ≥0
hR : 0 < ↑R
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c ↑R)
⊢ ((cauchyPowerSeries f c (↑R) 1) fun x => 1) = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - c) ^ (-2) • f z
α : Type u
β : α → Type v
x : Finmap β
⊢ ∅.Disjoint x
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f✝ : ι → α
R : Type u_1
inst✝ : CompleteLinearOrder R
f : ι → R
has_least_elem : ⨅ i, f i ∈ range f
⊢ ⋃ i, Ici (f i) = Ici (⨅ i, f i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M : Mon_ (Comon_ C)
⊢ (Bimon_.ofMon_Comon_obj C M).comul.hom = M.X.comul
E : Type u_3
SeminormedGroup E
⊢ LipschitzWith 1 nnnorm
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : Disjoint z (y \ x)
⊢ z ⊔ y ≤ y
ι : Type u_1
x : ι → ℝ
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ (x ∈ Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i)) ↔ x ∈ I
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
a b : α
⊢ G.IsUniform ε {a} {b} ↔ 0 < ε
ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
AddCommMonoid P
(i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Module R P
Fintype ι
DecidableEq ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
i : ι
m : Mᵢ i
⊢ (QuadraticMap.pi Q) (Pi.single i m) = (Q i) m
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
S : Set M₁
hS : Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ S
⊢ ∃ K, IsCompact K ∧ ⇑f '' S ⊆ K
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : ι → E
val✝ : Fintype ι
hf : LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i)) = ⊥
⊢ ∀ᶠ (g : ι → E) in 𝓝 f, LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (g i)) = ⊥
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
t : ¬p → Set α
x : α
⊢ (¬p ∧ ∀ (h : ¬p), x ∈ t h) ↔ ∃ (h : ¬p), x ∈ t h
α : Type u
l : List α
⊢ l.cyclicPermutations.head ⋯ = l
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b : α
H : a < b
⊢ Set.Icc a b ∈ 𝓝[>] a
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t u : Set M
hl : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ u }) R Subtype.val
hsu : s ⊆ u
htu : t ⊆ u
hst : span R s ≤ span R t
this : s ∪ t = t
⊢ s ⊆ s ∪ t
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set G
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
ν.IsAddLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ μ s * ∫⁻ (y : G), f y ∂ν = ∫⁻ (x : G), ν ((fun z => z + x) ⁻¹' s) * f (-x) ∂μ
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
P : Perm α → Prop
f : Perm α
⊢ P 1 → (∀ (f : Perm α) (x y : α), x ≠ y → P f → P (swap x y * f)) → P f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius
hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius
this : ∀ (k : ℕ), ‖p.changeOrigin x k‖₊ * r ^ k ≤ (∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst) * r ^ k
⊢ Summable fun n => ‖p.changeOrigin x n‖₊ * r ^ n
B : Type u_1
F : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalSpace Z
proj : Z → B
h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F proj
⊢ Continuous proj
a b : ℤ
r : ℤ
hr : 0 < r
v : ℤ
⊢ ↑(Finset.filter (fun x => x ≡ v [ZMOD r]) (Finset.Ico a b)).card = max (⌈(↑b - ↑v) / ↑r⌉ - ⌈(↑a - ↑v) / ↑r⌉) 0
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
Hashable α
buckets : Batteries.HashMap.Imp.Buckets α β
i : USize
d : Batteries.AssocList α β
h : i.toNat < buckets.val.size
H : buckets.WF
h₁ :
  ∀ [inst : PartialEquivBEq α] [inst : Batteries.HashMap.LawfulHashable α],
    List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) buckets.val[i].toList →
      List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) d.toList
h₂ :
  Batteries.AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat = i.toNat) buckets.val[i] →
    Batteries.AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat = i.toNat) d
⊢ (buckets.update i d h).WF
α : Type u_1
TopologicalSpace α
C : Set α
T1Space α
⊢ Preperfect C ↔ Perfect (closure C)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.112708, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ leftHomologyMap' e.inv h₂ h₁ ≫ leftHomologyMap' e.hom h₁ h₂ = 𝟙 h₂.H
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
lt : a < b
⊢ (if a ≤ b then a else b) = if b ≤ a then b else a
R : Type u
Semiring R
i : ℕ
r : R
r0 : r ≠ 0
⊢ ((Polynomial.monomial i) r).natDegree = i
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y : C
⊢ ((ℬ X Y).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ ((ℬ Y X).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ X Y).isLimit.swapBinaryFan).hom = 𝟙 (tensorObj ℬ X Y)
P : Type u_1
Preorder P
x : P
F G : Order.PFilter P
hx : x ∈ F
hle : F ≤ G
⊢ x ∈ G
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
h1 : 0 < (↑π * a).re
h2 : 0 < (↑π / a).re
f_bd : f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
Ff_bd : 𝓕 f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
⊢ 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2) = ∑' (n : ℤ), 𝓕 f ↑n * (fourier n) ↑0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf✝ : _root_.Continuous f
h : Monotone f
c : Chain (Scott α)
z : Scott β
hf : Monotone fun x => x ∈ f ⁻¹' notBelow z
hf' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := fun x => x ∈ f ⁻¹' notBelow z, monotone' := hf }
⊢ { toFun := f, monotone' := h } (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map { toFun := f, monotone' := h }) ≤ z
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩ ∈ s.sigma g
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t
j : ι
c : β j
hj : ⟨j, c⟩ ∈ t
⊢ Disjoint (f ⟨i, b⟩) (f ⟨j, c⟩)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Bot α
Bot β
Bot γ
f : BotHom β γ
g : BotHom α β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
α : Type u_2
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ [[a, b]] = Finset.Icc b a
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f : α → M
B : Set M
⊢ s.indicator f ⁻¹' B = s.ite (f ⁻¹' B) (0 ⁻¹' B)
N✝ : ℕ
N : ℕ+
A : SL(2, ℤ)
hA : A ∈ Gamma ↑N
⊢ A ∈ Gamma1 ↑N
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ (M.restrictSubtype M.E).map Subtype.val ⋯ = M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictInitialObjects C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X (⊥_ C)
⊢ (CategoryTheory.Limits.mulInitial X).inv = CategoryTheory.Limits.initial.to (X ⨯ ⊥_ C)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite
A : {x} ⊆ s
B : IsClosed (s \ {x})
C : (s \ {x})ᶜ ∈ 𝓝 x
⊢ IsOpen {x}
N : ℕ
s : Finset ℕ
h : N.primesBelow ≤ s
n : ℕ
hn : n ∈ (factoredNumbers s)ᶜ \ {0}
⊢ n ∈ {n | N ≤ n}
a b c p q✝ q : ℚ
⊢ |q| = ↑q.num.natAbs /. ↑q.den
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x = Real.cos a - Real.cos b
α : Type u_4
A : Type u_5
AddCommMonoid A
Finset.HasAntidiagonal A
TopologicalSpace α
NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
T3Space α
TopologicalSemiring α
h : Summable fun x => f x.1 * g x.2
⊢ Summable fun n => ∑ kl ∈ Finset.antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
⊢ IsRelPrime (p ^ i p) (∏ p' ∈ s, p' ^ i p')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
pf : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hf : HasFPowerSeriesAt f pf x
⊢ HasFPowerSeriesAt (-f) (-pf) x
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulApplicative G
LawfulApplicative F
η : ApplicativeTransformation F G
α : Type u_1
β : Type u
f : α → F β
x : List α
⊢ (fun {α} => η.app α) (List.traverse f x) = List.traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
aux : ∀ (b : α), IsCompactElement b → b ≤ sSup S → ∃ T ⊆ S, b = sSup T
⊢ ∃ T ⊆ S, sSup C = sSup T
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}
⊢ a < (fun a => sup fun n => f^[n] a) b ↔ ∃ n, a < f^[n] b
α : Type u_1
F : Type u_3
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ = MeasureTheory.eLpNorm g p μ
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : R
hp : Prime p
x y : R
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : ¬p ∣ ↑n
⊢ multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y)
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A * C⁻¹).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C⁻¹).card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f : G → E
s : Set G
hf : DifferentiableOn ℝ f s
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun y => ‖f y‖ ^ 2) s
α : Type u_1
a : Array α
⊢ a[a.size]? = none
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
t : Multiset α
⊢ t.Nodup → (s.ndunion t).Nodup
R : Type u
M : Type v
S✝ : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Ring S✝
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Surjective ⇑f
S : Submodule R N
hI : (comap f S).IsPrincipal
⊢ S = span R {f (generator (comap f S))}
α : Type u_1
β : Type u_5
f : α → β
NormedAddCommGroup β
NormedSpace ℝ β
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => ↑(hf.approxBounded c n) x) Filter.atTop (𝓝 (f x))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)
this : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f
x : ℕ → { i // p i } := fun n => Nat.recOn n (hs.index (x' 0) ⋯) fun n xn => hs.index (x' (n + 1) ∩ s ↑xn) ⋯
⊢ ∃ x, (∀ (i : ℕ), p (x i)) ∧ f.HasAntitoneBasis fun i => s (x i)
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, f'' x ≤ 0
this : EqOn (deriv f) f' (interior D)
⊢ ConcaveOn ℝ D f
α : Type u_3
a : Multiset α
i : Multiset (Multiset α)
⊢ a.Disjoint i.sum ↔ ∀ b ∈ i, a.Disjoint b
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : Fix F α → β
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f i)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f i))
⊢ (TypeVec.id ::: g₁) <$$> abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩ = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
T : Finset ι
hT : T ⊆ S
i : ι
hi : i ∈ S
hiT : i ∉ T
this : torsionBySet R M ↑(p i ⊔ ⨅ i ∈ T, p i) = torsionBySet R M ↑(p i) ⊓ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ T, p i)
⊢ torsionBySet R M ↑(p i) ⊓ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ T, p i) = ⊥
μ : ℝ
v : ℝ≥0
⊢ ProbabilityTheory.gaussianPDF μ v = fun x => ENNReal.ofReal (ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v x)
a b : Ordinal.{u}
a0 : a ≠ 0
h : b.IsLimit
⊢ (b.limitRecOn 1 (fun x IH => IH * a) fun b x => b.bsup) = b.bsup fun c x => c.limitRecOn 1 (fun x IH => IH * a) fun b x => b.bsup
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C (ComplexShape.down α))
n : α
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.karoubiChainComplexEquivalence C α).unitIso.inv.app P).f.f n = P.p.f n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d b a c : α
⊢ b - (a + c) ≤ b - a - c
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : IsOpenMap f
s : Set X
t : Set Y
h : Set.MapsTo f s t
⊢ Set.MapsTo f (interior s) (interior t)
w x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hw : w ≠ 0
h : y + z = w
⊢ x ^ w = x ^ y * x ^ z
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x : X
h : 0 < s.length
hx : x ∈ RelSeries.eraseLast s
⊢ x < RelSeries.last s
a b c : ℕ
h : c ≤ a
⊢ Finset.image (fun x => x - c) (Finset.Ico a b) = Finset.Ico (a - c) (b - c)
α : Type u_1
s : Finset α
n : ℕ
DecidableEq α
⊢ s.card = n + 1 ↔ ∃ a t, a ∉ t ∧ insert a t = s ∧ t.card = n
α : Type u_2
Preorder α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : NonemptyInterval α
⊢ ↑(s / t) = ↑s / ↑t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : C ⥤ D
hG : CategoryTheory.CompatiblePreserving K G
ℱ : CategoryTheory.SheafOfTypes K
Z : C
T : CategoryTheory.Presieve Z
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ Z
hf : T f
⊢ CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.functorPushforward G x (G.map f) ⋯ = x f hf
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X : Set α
M : Matroid α
I J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hJB : Disjoint J B
hIJ : I ⊆ J
⊢ I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
FunLike F α β
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
CoheytingHomClass F α β
f : F
a : α
⊢ f (￢a) = ￢f a
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
SMul R ℝ≥0
SMul R ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
c : R
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ ⇑(c • μ) = c • ⇑μ
σ : Type u
R✝ : Type v
inst✝² : CommSemiring R✝
p✝ m : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S
⊢ ∑ x ∈ p.support, Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ ((monomial x) (coeff x p)) = ∑ x ∈ p.support, (map f) ((monomial x) (coeff x p))
A B : Grp
f : A ⟶ B
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
b' : ↑B := b
r : b' • ↑(MonoidHom.range f) = 1 • ↑(MonoidHom.range f)
⊢ False
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
W : Type u_2
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
inst✝¹ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝ : Fintype ↑G'.edgeSet
⊢ G.edgeFinset.card = G'.edgeFinset.card
G : Type u_3
Group G
G' : Type u_5
Group G'
Group.FG G
Group.FG G'
f : G ≃* G'
⊢ Group.rank G = Group.rank G'
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
f : E →ᴬ[ℝ] F
hs : IsCompact s
x : E
hx : x ∈ s
hw : f x ∈ extremePoints ℝ (⇑f '' s)
ht : IsCompact {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x}
ht₀ : {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x}.Nonempty
hyt : ∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x} → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x} → x ∈ openSegment ℝ x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
⊢ f x ∈ ⇑f '' extremePoints ℝ s
G : Type u_1
AddGroup G
M : Type u_7
AddZeroClass M
⊢ AddMonoidHom.ker 0 = ⊤
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set ι
⊢ ¬LinearIndependent (ι := ↑s) R (v ∘ Subtype.val) ↔ ∃ f ∈ Finsupp.supported R R s, ∑ i ∈ f.support, f i • v i = 0 ∧ f ≠ 0
a b r : ℝ
h : -1 < r ∨ r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x ^ r = (b ^ (r + 1) - a ^ (r + 1)) / (r + 1)
G : Type u_3
Group G
a b c : G
⊢ a = b / c ↔ a * c = b
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I
⊢ Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₀) (𝓝 (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol))
X : Type u_1
EMetricSpace X
ι : Type u_2
I : Finset ι
s : Set X
t : ι → Set X
⊢ IsMetricSeparated s (⋃ i ∈ I, t i) ↔ ∀ i ∈ I, IsMetricSeparated s (t i)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
f : F
⊢ InfClosed (range ⇑f)
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / q)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb✝ : ι' → Set β
f : α → β
p : ι → Prop
sb : ι → Set β
hla : la.HasBasis p sa
hlb : lb.HasBasis p sb
h_dir : ∀ {i j : ι}, p i → p j → ∃ k, p k ∧ sa k ⊆ sa i ∧ sb k ⊆ sb j
⊢ (la ×ˢ lb).HasBasis p fun i => sa i ×ˢ sb i
a b : Ordinal.{u_1}
b1 : 0 < b
⊢ a ^ 1 ≤ a ^ b
p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Polynomial.Splits (RingHom.id (ZMod p)) (Polynomial.X ^ p - Polynomial.X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
hp : Prime p
n : ℕ
h : ¬p ∣ b
h' : p ^ n ∣ b * a
⊢ p ^ n ∣ a
α : Type u_1
CompleteLattice α
S : Set α
⊢ UpperSet.Ici (sSup S) = ⨆ a ∈ S, UpperSet.Ici a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
ι : Sort u_1
b : M
N : ι → LieSubmodule R L M
i : ι
h : b ∈ N i
⊢ b ∈ ⨆ i, N i
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : Ring K
inst✝⁵ : StrongRankCondition K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Finite K
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V
⊢ lift.{v, u} #K ^ lift.{u, v} (Module.rank K V) < ℵ₀
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
ht : Tendsto (fun n => eLpNorm (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)
heq : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x = (μ[g|↑ℱ n]) x
n : ℕ
x : Ω
hxeq : (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x = (μ[g|↑ℱ n]) x
⊢ (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x = (μ[g|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
c : F''
hc : c ≠ 0
⊢ (fun x => x) =o[𝓝 0] fun _x => c
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s \ t ⊆ s
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ ↑⊥ = ∅
ι : Type u_5
R : Type u_7
M : Type u_9
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ContinuousSMul R M
f : ι → R
hf : Summable f
a : M
⊢ Summable fun z => f z • a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
a : A
hg : Polynomial.annIdealGenerator 𝕜 a ≠ 0
⊢ (Polynomial.annIdealGenerator 𝕜 a).Monic
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ ↑⌈a⌉ < a + 1
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield K
p✝ q✝ p q : ℚ≥0
h : p < q
⊢ 0 < ↑q.den
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor.obj sq).right.left = sq.X₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : MetrizableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : AEStronglyMeasurable f μ
t : Set γ
t_sep : IsSeparable t
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : β) ∂ν, g x ∈ t
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
⊢ ↑(p * q).toNNReal = ↑(p.toNNReal * q.toNNReal)