ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁰ : CommRing A
inst✝²⁹ : CommRing B
inst✝²⁸ : Algebra A B
inst✝²⁷ : Field K
inst✝²⁶ : Field L
inst✝²⁵ : Algebra A K
inst✝²⁴ : IsFractionRing A K
inst✝²³ : Algebra B L
inst✝²² : Algebra K L
inst✝²¹ : Algebra A L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.320996
Bₘ : Type ?u.320999
inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹³ : Algebra A Aₘ
inst✝¹² : Algebra B Bₘ
inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Module.Free A B
x : B
this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (algebraMap A (FractionRing A)) ((trace A B) x)
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b c d : α
ExistsAddOfLE α
MulPosMono α
PosMulMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hca : c ≤ a
hbd : b ≤ d
hc : 0 ≤ c
hb : b ≤ 0
⊢ a * b ≤ c * d
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤
⊢ (iSup f).toReal = ⨆ i, (f i).toReal
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β → α
a : α
bs : List β
⊢ foldlIdx f a bs = foldl (fun a p => f p.1 a p.2) a bs.enum
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β → γ
a : Option α
b : Option β
c✝ : Option γ
c : γ
⊢ c ∈ map₂ f a b ↔ ∃ a' b', a' ∈ a ∧ b' ∈ b ∧ f a' b' = c
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
s : Set G.Subgraph
G' : G.Subgraph
hG' : G' ∈ s
⊢ (∀ G' ∈ s, G'.Adj a b) → G.Adj a b
o : Ordinal.{u}
⊢ ((Order.succ o).bsup fun x x_1 => x) = o
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
OrderedAddCommGroup β
f : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsLocalMaxOn f s a
⊢ IsLocalMinOn (fun x => -f x) s a
α : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
x : α
y y' : γ
⊢ f y = f y' → y = y'
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{v}
⊢ ∀ (α : Type v) (r : α → α → Prop) [inst : IsWellOrder α r], Cardinal.lift.{u, v} (type r).cof = (lift.{u, v} (type r)).cof
α : Type u_1
ι : Sort u_5
MeasurableSpace α
Countable ι
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ ∀ (i : ι), (μ i) t = (μ i) s
a x : ℝ
⊢ ↑(HurwitzZeta.cosKernel (↑a) x) = jacobiTheta₂ (↑a) (Complex.I * ↑x)
a b k m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
a✝ : ℕ
⊢ Prime a✝ ∧ a✝ ∣ a ∧ a✝ ∣ b ↔ (Prime a✝ ∧ a✝ ∣ a) ∧ Prime a✝ ∧ a✝ ∣ b
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
inst✝ : IsLocallyInjective J f₂
X : C
x : (forget A).obj (F₂.obj (op X))
S : Sieve X := imageSieve (f₁ ≫ f₂) ((f₂.app (op X)) x)
T : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → S.arrows f → Sieve Y := fun Y f hf => equalizerSieve ((f₁.app (op Y)) (localPreimage (f₁ ≫ f₂) ((f₂.app (op X)) x) f hf)) ((F₂.map f.op) x)
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ unop (op X)⦄, (imageSieve (f₁ ≫ f₂) ((f₂.app (op X)) x)).arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.bind S.arrows T) ∈ J.sieves Y
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
x : E
⊢ s - Metric.ball x δ = -x +ᵥ Metric.thickening δ s
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : D
⊢ (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app (G.obj x) ≫ adj2.counit.app x = adj1.counit.app x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f g : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ f = g ↔ ∀ (m : M), f m = g m
K : Type u_1
NontriviallyNormedField K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace K F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace K G
x : E
f : E → F
g : F → G
hg : DifferentiableAt K g (f x)
hf : DifferentiableAt K f x
⊢ DifferentiableAt K (fun x => g (f x)) x
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑t
hx : ↑x ∈ s
⊢ (Equiv.Set.sumDiffSubset h).symm x = Sum.inl ⟨↑x, hx⟩
R : Type u_1
A : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : TopologicalSemiring A
h : Continuous ⇑(algebraMap R A)
⊢ Continuous fun p => (algebraMap R A) p.1 * p.2
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜₁ : Type u_7
𝕜₂ : Type u_8
inst✝⁹ : NormedDivisionRing 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedDivisionRing 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
s : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜₁ s
f : E →SL[σ] F
⊢ IsVonNBounded 𝕜₂ (⇑f '' s)
n : ℕ
M : Type u_1
M₁ : Type u_2
F : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : FunLike F M M₁
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₁
inst✝³ : Module (ZMod n) M
inst✝² : Module (ZMod n) M₁
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubgroupClass S M
x : M
K : S
hx : x ∈ K
c : ZMod n
⊢ c.cast • x ∈ K
G : Type u_3
Add G
IsRightCancelAdd G
a : G
b c : G
⊢ b + a ≠ c + a ↔ b ≠ c
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
⊢ Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, f y ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
M : Type u_1
Semigroup M
a : Stream' M
n : ℕ
⊢ Hindman.FP (Stream'.drop n a) ⊆ Hindman.FP a
f : C(↑I, ℝ)
⊢ ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖bernsteinApproximation x f - f‖ < i
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f : Function.End α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hf : f ^ p ^ n = 1
σ : α ≃ α := { toFun := f, invFun := f ^ (p ^ n - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
hσ : σ ^ p ^ n = 1
⊢ Fintype.card α ≡ Fintype.card ↑(fixedPoints f) [MOD p]
α : Type u_1
s : Set α
Lattice α
Nonempty α
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ BddBelow s ∧ BddAbove s
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hA : A.Nonempty
hAB : A ⊆ B
h : ∀ A' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(A * C).card / ↑A.card ≤ ↑(A' * C).card / ↑A'.card
A' : Finset α
hAA' : A' ⊆ A
⊢ (A * C).card * A'.card ≤ (A' * C).card * A.card
α : Type u
self : UnitalShelf α
a : α
⊢ a ◃ 1 = a
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l t₁ t₂ : List α
h : t₁ ~ t₂
⊢ l ∪ t₁ ~ l ∪ t₂
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this✝ : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
this : Finite G
⊢ H = ⊤
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)
v w : V
⊢ (fromEdgeSet G.edgeSet).Adj v w ↔ G.Adj v w
x y : ℝ
h : x < y
⊢ Real.exp x < Real.exp y
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
s t : Set Ω
h : (ProbabilityTheory.condCount s) t ≠ 0
⊢ s.Finite
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
H : (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)
a b c : Cardinal.{u_1}
h : b + a = b + c
hb : b < ℵ₀
⊢ a = c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
s t : Set ι
f : ι → Set α
h : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
⊢ (⋃ i ∈ s, f i) \ ⋃ i ∈ t, f i = ⋃ i ∈ s \ t, f i
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ <+~ l₂ ↔ ∀ (x : α), x ∈ l₁ → List.count x l₁ ≤ List.count x l₂
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i < τ ω} = {ω | τ ω ≤ i}ᶜ
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω ≤ i}ᶜ
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs'✝ : s' ∈ p.basisSets
I : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r
r' : ℝ
left✝ : r' > 0
h' : ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r'
⊢ Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 r) s
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ s / (t₁ ∩ t₂) ⊆ s / t₁ ∩ (s / t₂)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
y : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ
x : ↑(C' C ho)
⊢ y (ProjRestrict C (fun x => ord I x < o) (CC'₁ C hsC ho x)) = y (ProjRestrict C (fun x => ord I x < o) (CC'₀ C ho x))
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
r : α → β → Prop
s : Multiset α
t : Multiset γ
f : γ → β
⊢ Multiset.Rel r s (Multiset.map f t) ↔ Multiset.Rel (fun a b => r a (f b)) s t
R : Type u_4
Semiring R
σ : R →+* R
self : RingHomId σ
⊢ σ = RingHom.id R
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
n : ℕ
i j : Fin n
⊢ i.rev < j ↔ j.rev < i
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
z : ℤ
⊢ z ∈ AddSubgroup.zmultiples 1 ↔ z ∈ ⊤
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
⊢ ∑ x ∈ s.erase i, 1 = ∑ i_1 ∈ s.erase i, (basisDivisor (v i) (v i_1)).natDegree
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
w w' : InfinitePlace K
⊢ w' ∈ MulAction.orbit (K ≃ₐ[k] K) w → w.comap (algebraMap k K) = w'.comap (algebraMap k K)
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
TopologicalSpace F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
TopologicalSpace B
FiberBundle F E
x : Bundle.TotalSpace F E
⊢ chartAt (B × F) x = (trivializationAt F E x.proj).toPartialHomeomorph
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsJacobson R
σ : Type u_2
inst✝¹ : _root_.Finite σ
S : Type u_3
inst✝ : Field S
f : MvPolynomial σ R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
val✝ : Fintype σ
e : Fin (Fintype.card σ) ≃ σ
f' : MvPolynomial (Fin (Fintype.card σ)) R →+* S := f.comp (renameEquiv R e).toRingEquiv.toRingHom
hf' : Function.Surjective ⇑f'
this : (f'.comp MvPolynomial.C).IsIntegral
⊢ (f.comp MvPolynomial.C).IsIntegral
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
newLast : α
rel : r p.last newLast
⊢ (p.append (singleton r newLast) rel).head = p.head
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.injective C = CategoryTheory.MorphismProperty.monomorphisms C ↔
  (CategoryTheory.forget C).PreservesMonomorphisms
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : Filter X
x : X
h : AccPt x F
f : X → β
hf1 : ContinuousAt f x
hf2 : Function.Injective f
⊢ AccPt (f x) (Filter.map f F)
s : Set ℕ
Infinite ↑s
DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ Set.range ⇑(Nat.orderEmbeddingOfSet s) = s
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
s : NonUnitalSubsemiring R
t : NonUnitalSubsemiring S
⊢ NonUnitalSubsemiring.map f s ≤ t ↔ s ≤ NonUnitalSubsemiring.comap f t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
⊢ (bliminf u f fun x => True) = liminf u f
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → Subgroup G
hs : ∀ i ∈ s, (f i).FiniteIndex
⊢ (⨅ x, f ↑x).FiniteIndex
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
⊢ Prod.snd ∘ Prod.mk x = id
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
a : α
b : β
fst✝¹ snd✝¹ fst✝ snd✝ : α
⊢ GameAdd rα s(fst✝¹, snd✝¹) s(fst✝, snd✝) ↔ Prod.GameAdd rα rα (fst✝¹, snd✝¹) (fst✝, snd✝) ∨ Prod.GameAdd rα rα (fst✝¹, snd✝¹).swap (fst✝, snd✝)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f₁ f₂ : Filter α
g : Filter β
⊢ Filter.map₂ m (f₁ ⊓ f₂) g ≤ Filter.map₂ m f₁ g ⊓ Filter.map₂ m f₂ g
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
hv : ↑v.asIdeal ≠ 0
h_self : ↑v.asIdeal = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑v.asIdeal
⊢ count K v ↑v.asIdeal = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : α ≃ β
f' : PartialEquiv β γ
⊢ ∀ (a : α), ↑(e.transPartialEquiv f') a = ↑f' (e a)
α : Type u_1
Preorder α
s₁ s₂ : LowerSet α
⊢ s₁ ×ˢ s₁ ≤ s₂ ×ˢ s₂ ↔ s₁ ≤ s₂
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a ≤ b * c
hle : b ≤ 1
⊢ a ≤ c
α : Type u
l l' : List α
h : l ~r l'
⊢ l.Perm l'
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
f' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
h₁ : HasStrictFDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasStrictFDerivAt (fun t => Complex.log (f t)) ((f x)⁻¹ • f') x
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)
⊢ ∃ C ≤ A + B, HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : UniformContinuous g
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformContinuous (g ∘ f)
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
x : Mˣ
h : x ∈ S.units
⊢ x⁻¹ ∈ S.units
m k : ℕ+
⊢ m.div k = if ↑m % ↑k = 0 then (↑m / ↑k).pred else ↑m / ↑k
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
⊢ IsPrimePow ↑a ↔ ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set Y
⊢ e.source ∩ ↑e ⁻¹' closure s = e.source ∩ closure (↑e ⁻¹' s)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
i : Fin2 n
u : α i
h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a ⟹ α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f i '' univ
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
⊢ LiftP p x → p i u
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_4
LinearOrder ι
τ : Ω → ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
Countable ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
(i : ι) → AddCommGroup (π i)
(i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
⊢ Set.extremePoints 𝕜 (Set.univ.pi s) = Set.univ.pi fun i => Set.extremePoints 𝕜 (s i)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
β : Type u_4
s : SummableFamily Γ R α
f : α ↪ β
a : α
b : β
g : Γ
⊢ (∑ᶠ (i : β), if h : i ∈ Set.range ⇑f then (s (Classical.choose ⋯)).coeff g else 0) = ∑ᶠ (i : α), (s i).coeff g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x₀ : E
m : ℕ∞
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (Function.uncurry f) (s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : GroupWithZero K
inst✝ : Fintype K
a : K
h : ¬a = 0
⊢ a ^ q = a
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ |a ⊓ c - b ⊓ c| ≤ |a - b|
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
⊢ s.card ∈ {N | ∃ s, s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖}
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ sf 4 * n = (∏ i ∈ range (2 * n), (2 * i + 1)!) ^ 2 * 2 ^ (2 * n) * (2 * n)!
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y
Y_rw : (Y - C (C y)) * (Y - C (C (W.negY x y))) - C (X - C x) * (C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y) = W.polynomial * 1
⊢ Ideal.map (mk W) (span {C (X - C x), Y - C (C y), Y - C (C (W.negY x y)), C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y}) = Ideal.map (mk W) ⊤
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Free R L
Module.Finite R L
LieAlgebra.IsKilling R L
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
I : LieIdeal R L
IsLieAbelian ↥↑I
⊢ I = ⊥
β : Type u_5
Monoid β
a b : β
u : βˣ
⊢ a * ↑u ~ᵤ b ↔ a ~ᵤ b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
⊢ s.sup WithBot.some = s.sup (WithBot.some ∘ fun x => x)
α✝ β✝ : Type u
a : Cardinal.{u}
b : Cardinal.{max u v}
α : Type u
β : Type (max u v)
⊢ #β ≤ lift.{v, u} #α → ∃ a', lift.{v, u} a' = #β
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {r : α → α_1 → Prop} {β : Type u_3} {β_1 : Type u_4} {s : β → β_1 → Prop} {x : α ⊕ β}
  {y : α_1 ⊕ β_1}, Sum.LiftRel r s x y → Sum.LiftRel s r x.swap y.swap
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule (↥K') M
_i4 : LieModule R (↥K') M
h : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)
I : LieIdeal R ↥K'
hI₁ : lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'
hI₂ : Submodule.span R {⟨x, hxK'⟩} ⊔ ↑I = ⊤
e : ↥K ≃ₗ⁅R⁆ ↥↑I
hI₃ : IsEngelian R ↥↑I
⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥K') M
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
⊢ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K} ⊆ FDerivMeasurableAux.D f K
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ pa, (∀ᶠ (x : ι) in p, pa x) ∧ ∃ pb, (∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, pb y) ∧ ∀ {x : ι}, pa x → ∀ {y : α}, pb y → (f y, F x y) ∈ u
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace γ
f : γ → ℝ≥0∞
g : α → γ
n : ℕ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.eapprox (f ∘ g) n) = ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.eapprox f n) ∘ g
z : ℤ
⊢ z - 1 ⋖ z
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
a1 a2 : (i : ι) → α i
h1 : a1 ∈ s
h2 : a2 ∈ s
i : ι
hne : a1 i ≠ a2 i
⊢ ∃ x ∈ s, ¬x i = a2 i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x✝ : R
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : R
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 * x ^ n = 0
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
⊢ 𝒜.card ≤ (powersetCard r univ).card
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f₂ : 𝕜 → F
⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ f₂ → ContDiff 𝕜 ⊤ (deriv^[n] f₂)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
w z : P
t₁ : R
ht₁ : t₁ ∈ Set.Icc 0 1
t₂ : R
ht₂ : t₂ ∈ Set.Icc 0 1
⊢ (lineMap w z) (t₂ * t₁) = (lineMap w ((lineMap w z) t₁)) t₂
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r ↑hu.unit⁻¹
⊢ IsNilpotent (r * ↑hu.unit⁻¹)
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : Set (AddSubmonoid M)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(sSup S) = ⋃ s ∈ S, ↑s
R : Type u
Semiring R
S : Set (Ideal R)
s : Ideal R
hs : s ∈ S
x : R
⊢ x ∈ s → x ∈ sSup S
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A B : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A
this : Invertible A.det := A.detInvertibleOfInvertible
⊢ ⅟A = A⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Nontrivial α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
P : α → Prop
h : ∀ (i : α), P (succ i)
j : ℕ
hi : Order.succ^[j] ⊥ ≠ ⊥
hj : 0 < j
⊢ P (Order.succ^[j.pred.succ] ⊥)
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 0).HasBasis p U
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | -x.1 + x.2 ∈ U i}
α : Type u
β : Type v
R : α → α → Prop
S : β → β → Prop
f : α → β
H : ∀ (a b : α), S (f a) (f b) → R a b
a : α
l : List α
p : List.Chain S (f a) (List.map f l)
⊢ List.Chain R a l
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)
⊢ ∏ k ∈ range n, (1 - μ ^ (k + 1)) = ↑n + 1
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
⊢ x ∈ ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ℕ m
i n : ι
ω : Ω
hx : ∃ j ≤ n, u j ω ∈ s
hi : n ≤ i
⊢ hitting u s ⊥ n ω ≤ i ↔ ∃ j ≤ i, u j ω ∈ s
z : ℂ
⊢ Complex.normSq ((starRingEnd ℂ) z) = Complex.normSq z
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
a : α
b : β
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 b) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, dist x a < δ → dist (f x) b < ε
xl xr : Type u
xR : xr → SetTheory.PGame
i : xl
xL : xl → SetTheory.PGame
j : (xL i).RightMoves
⊢ ((xL i).moveRight j).Subsequent (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Injective (image f)
x x' : α
hx : f x = f x'
⊢ f '' {x} = f '' {x'}