ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ h.triangleMorphism₁.hom₂ = u₂₃
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
ι : Type u_2
f : ι → Set (α → M)
hf : ∀ (i : ι), A.Definable L (f i)
s : Finset ι
⊢ A.Definable L (s.inf f)
α : Type u_2
DecidableEq α
DivisionMonoid α
s t : Finset α
⊢ s * t = 1 ↔ ∃ a b, s = {a} ∧ t = {b} ∧ a * b = 1
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
s : ι → Set α
hic : #ι < c
⊢ ⋂ i, s i ∈ l ↔ ∀ (i : ι), s i ∈ l
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q✝ : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
hb : 0 ≤ b
q : ℚ
hq : 0 < q
hbq : b < ↑q ^ 2
hqa : ↑q ^ 2 < inducedMap α β a * inducedMap α β a
⊢ ∃ c ∈ cutMap β (a * a), b < c
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h : f =o[l] g
hc : 0 < c
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g✝ : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α →ᵇ β
g : C(γ, α)
⊢ ↑1 * dist f 0 ≤ ‖f‖
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V' : Type u_3
G' : SimpleGraph V'
h : ∀ (n : ℕ), G'.Colorable n → G.Colorable n
m : ℕ
hc : G'.Colorable m
this : G.Colorable m
⊢ ⨅ n, ⨅ (_ : G.Colorable n), ↑n ≤ ↑m
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
g : GenContFract K := of v
nextConts : Pair K := g.contsAux (n + 2)
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
pred_conts_eq : pred_conts = g.contsAux n
gp : Pair K
s_nth_eq : g.s.get? n = some gp
gp_a_eq_one : gp.a = 1
nextConts_b_eq : nextConts.b = pred_conts.b + gp.b * conts.b
den : K := conts.b * (pred_conts.b + gp.b * conts.b)
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n
ifp_succ_n_b_eq_gp_b : ↑ifp_succ_n.b = gp.b
ifp_n : IntFractPair K
stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
if_of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
den' : K := conts.b * (pred_conts.b + ifp_n.fr⁻¹ * conts.b)
nextConts_b_ineq : ↑(fib (n + 2)) ≤ pred_conts.b + gp.b * conts.b
conts_b_ineq : ↑(fib (n + 1)) ≤ conts.b
zero_lt_conts_b : 0 < conts.b
⊢ 1 / den' ≤ 1 / den
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ a ∈ List.toArray l ↔ a ∈ l
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c x : α
u : αˣ
y : α
⊢ x = y /ₚ u ↔ x * ↑u = y
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
h_nonempty : (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}).Nonempty
h_mem : sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) ∈ Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}
⊢ u (sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s})) ω ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s✝ t s : Set α
⊢ (⇑ofDual ⁻¹' s).OrdConnected ↔ s.OrdConnected
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => Real.cos (f x)) (-Real.sin (f x) • f') s x
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
a : ℕ
⊢ a ∈ p.support → ↑a ≤ p.degree
A : Type u_4
AddCommMonoid A
a b c : A
⊢ c ∈ AddSubmonoid.closure {a, b} ↔ ∃ m n, m • a + n • b = c
a b : ℕ
c : ℕ
h : a ≤ b
⊢ a.choose c ≤ b.choose c
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Zero α
⊢ Matrix.of 0 = 0
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Z
x : X
f : X → Z
hf : ContinuousWithinAt f s x
hxe : x ∈ e.source
ht : t ∈ 𝓝 (f x)
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, ↑e x ∈ ↑e.symm ⁻¹' s ↔ ↑e x ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
⊢ LipschitzWith 2 ⇑(addEquiv 𝕜 A)
a n m : Nat
h : 1 < a
⊢ a ^ n < a ^ m ↔ n < m
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
H : ¬y.gcd z = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ y.natAbs
hpz : p ∣ z.natAbs
⊢ p ∣ x.gcd y
J : Type w
C : Type uC
inst✝⁴ : Category.{uC', uC} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
G : C ⥤ D
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : Bicone F
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J
⊢ G.map f.hom ≫ ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := fun j => G.map (A.π j), ι := fun j => G.map (A.ι j), ι_π := ⋯ }) Y✝).π j = ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := fun j => G.map (A.π j), ι := fun j => G.map (A.ι j), ι_π := ⋯ }) X✝).π j
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
c : 𝕜
x : V
hc : ¬c = 0
⊢ ↑‖c‖₊ * ↑e x ≤ ↑e (c • x)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
g : Fin 1 → R
sum_eq : ∑ i : Fin 1, g i • (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩) i = 0
val✝ : ℕ
hi : val✝ < 1
⊢ g ⟨val✝, hi⟩ = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
s : Set α
t : Set β
hs : IsSublattice s
ht : IsSublattice t
⊢ IsSublattice (s ×ˢ t)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
B : Type w
CommRing B
ψ : A →+* B
⊢ (W.map φ).map ψ = W.map (ψ.comp φ)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
⊢ u ~[l] 0 ↔ u =O[l] 0
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
h : f.SameCycle x y
hx : Function.IsFixedPt (⇑f) x
⊢ x = y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : LinearOrder γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsLeast s b
⊢ IsLeast (insert a s) (min a b)
x y z : ZFSet
⊢ z ∈ x ∪ y ↔ z ∈ x ∨ z ∈ y
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
a b : α
hb : Heyting.IsRegular b
⊢ Disjoint a bᶜ ↔ a ≤ b
X : Type u_2
TopologicalSpace X
PartialOrder X
OrderTopology X
NoMinOrder X
⊢ Filter.Tendsto 𝓝 Filter.atBot (𝓝 Filter.atBot)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
hf : ∀ (y : β), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
y : β
hy : y ∈ f.range ∧ y ≠ 0
⊢ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
a : UnitAddCircle
h1 : Tendsto (fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).symm.Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (-1))
s : ℂ
⊢ ((fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).symm.Λ s) ∘ fun s => s / 2) s = s * completedCosZeta a s
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
⊢ p ≠ ⊤ → ∀ (f : WithLp p (α × β)), ‖f‖₊ = (‖f.1‖₊ ^ p.toReal + ‖f.2‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
n : ℕ
α : Type u
σ : Perm (Fin n)
f : Fin n → α
⊢ ofFn (f ∘ ⇑σ) ~ ofFn f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
⊢ IsRadical 0 ↔ IsReduced R
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
S : Type w
CategoryTheory.SmallCategory S
F : S ⥤ J
F.Final
⊢ CategoryTheory.FinallySmall J
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ c - a ⊔ b = (c - a) ⊓ (c - b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} ℰ
A : CategoryTheory.Functor C ℰ
CategoryTheory.yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
L : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)) ℰ
α : A ⟶ CategoryTheory.yoneda.comp L
⊢ L.IsLeftKanExtension α ↔
  CategoryTheory.IsIso α ∧
    Nonempty (CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{v₁, max u₁ v₁, max u₁ v₁, v₁, max u₁ (v₁ + 1), u₂} L)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ X (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ X (𝟙_ C)).inv = (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ X ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ X (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ X (𝟙_ C)).inv
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
t : Finset ι
f : ι → M → G
h : ∀ i ∈ t, Smooth I' I (f i)
⊢ Smooth I' I (∑ i ∈ t, f i)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
⊢ (s.destruct >>= fun x => Pure.pure (Option.rec nil Prod.snd x) >>= destruct) = s.destruct >>= tail.aux
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T T₁ T₂ : Monad C
h : T₂ ⟶ T₁
A : T₁.Algebra
⊢ T₂.η.app A.A ≫ h.app A.A ≫ A.a = 𝟙 A.A
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)
⊢ (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor'.obj f).f₁₃ = f.hom.left
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
hG : ¬(center G).index = 0
this✝¹ : (center G).FiniteIndex
h1 : (center G).relindex (_root_.commutator G) ∣ (center G).index
this✝ : ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).FiniteIndex
h2 : Group.rank ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) ≤ ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).index * Group.rank ↥(_root_.commutator G)
h3 : (center G).relindex (_root_.commutator G) * Group.rank ↥(_root_.commutator G) ≤ (center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G)
g : ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G))
this : ↑↑g ∈ (MonoidHom.transferCenterPow G).ker
⊢ g ^ (center G).index = 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
⊢ Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆) = C 0 * Y ^ 3 + C 1 * Y ^ 2 + C (C 0 * X ^ 3 + C 0 * X ^ 2 + C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y + C (C (-1) * X ^ 3 + C (-W.a₂) * X ^ 2 + C (-W.a₄) * X + C (-W.a₆))
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : ι → Submodule R M
t : Submodule R N
⊢ map₂ f (⨆ i, span R ↑(s i)) (span R ↑t) = ⨆ i, map₂ f (span R ↑(s i)) (span R ↑t)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
s : Set X
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ ‖Memℒp.toLp ↑↑f ⋯‖ ≤ ‖f‖
q : ℚ
x : ℝ
h : Irrational (x / ↑q)
⊢ Irrational x
a b : ℕ+
⊢ Finset.Ioc a b = Finset.subtype (fun n => 0 < n) (Finset.Ioc ↑a ↑b)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
Preorder α
CompactIccSpace α
a b : α
⊢ Bornology.IsBounded (Set.Ioc a b)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Complex.re ⁻¹' Set.Ioo a b)
hB :
  ∃ c < π / (b - a),
    ∃ B,
      f =O[Filter.comap (abs ∘ Complex.im) Filter.atTop ⊓ 𝓟 (Complex.re ⁻¹' Set.Ioo a b)] fun z =>
        expR (B * expR (c * |z.im|))
ha : ∀ (z : ℂ), z.re = a → f z = 0
hb : ∀ (z : ℂ), z.re = b → f z = 0
⊢ Set.EqOn f 0 (Complex.re ⁻¹' Set.Icc a b)
α : Type u_2
Preorder α
One α
⊢ (NonemptyInterval.toProd 1).2 = 1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
self : Urysohns.CU P
⊢ P self.C
m x y : Bool
⊢ (m && x) = (m && y) → (m || x) = (m || y) → x = y
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝⁶ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝⁵ : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝⁴ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝³ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
M₀' : PresheafOfModules R₀
A' : Sheaf J AddCommGrp
φ' : M₀'.presheaf ⟶ A'.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ'
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ'
τ₀ : M₀ ⟶ M₀'
τ : A ⟶ A'
fac : τ₀.hom ≫ φ' = φ ≫ τ.val
f : (sheafify α φ).val ⟶ (sheafify α φ').val := (sheafifyHomEquiv' α φ ⋯).symm (τ₀ ≫ toSheafify α φ')
⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.val.obj X)) (x : ↑((sheafify α φ).val.presheaf.obj X)), (τ.val.app X) (r • x) = r • (τ.val.app X) x
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
hp : m (t ∩ ⋃ i, s i) ≤ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
⊢ ⨆ b, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < b), s i) + m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m t
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
⊢ J.toPlus (P ⋙ F) ≫ J.plusMap (J.toPlus (P ⋙ F)) = J.toSheafify (P ⋙ F)
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : DivisionRing L
inst✝¹ : DivisionRing M
S : Type u_1
inst✝ : SetLike S K
h : SubfieldClass S K
x : K
s : S
q : ℚ
⊢ ↑q ∈ s
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
NonUnitalRing A
Module R A
Module S A
Algebra R S
a : A
f : S → R
⊢ QuasispectrumRestricts a f ↔
  Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (quasispectrum S a) ∧ Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f g : A
⊢ basicOpen 𝒜 f ⊓ basicOpen 𝒜 g ≤ basicOpen 𝒜 g
o b : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) (b ^ o)
x y : Ordinal.{u_1}
hx : x < o
hy : y < o
this : b ^ x * b ^ y < b ^ o
⊢ x + y < o
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
h : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ mfderivWithin I I' f s x = mfderivWithin I I' f univ x
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : (P F).W α
⊢ WEquiv x x
R : Type u
Semiring R
a : R
p : R[X]
k : ℕ
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[k] (Polynomial.C a * p) = Polynomial.C a * (⇑Polynomial.derivative)^[k] p
α : Type u
x : FreeMagma α
⊢ (FreeMagma.toFreeSemigroup x).length = x.length
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ≤ b ⇨ c ↔ b ≤ a ⇨ c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] F
S : PointedCone 𝕜 E
y : F
⊢ y ∈ PointedCone.map f S ↔ ∃ x ∈ S, f x = y
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
h : 0 < (1 - r) * (b - a)
⊢ f ((lineMap a b) r) ≤ (lineMap (f a) (f b)) r ↔ slope f a b ≤ slope f ((lineMap a b) r) b
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
this : t n = ⋃ u ∈ memPartition t n, u ∩ t n
v : Set α
hv : v ∈ memPartition t n
⊢ MeasurableSet (v ∩ t n)
α : Type u_3
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
a : α
Fintype ↑(Set.Ici a)
⊢ (Set.Ici a).toFinset = Finset.Ici a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : ContinuousStar R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : Algebra R A
s : Set R
φ ψ : C(↑s, R) →⋆ₐ[R] A
h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)
⊢ adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X} ≤ StarAlgHom.equalizer φ ψ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsClosedMap ⇑h
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Finset β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ b ∈ s, AEMeasurable (f b) μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ∑ b ∈ s, f b a ∂μ = ∑ b ∈ s, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
x : F
c : 𝕜
⊢ ∇ (fun x => c) x = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B
⊢ ((Mod_.comap f).obj M).act = f.hom ▷ M.X ≫ M.act
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
⊢ Bijective ⇑(↑p.toDualRight.symm.dualMap ∘ₗ ↑p.toDualLeft)
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
eval_fst_CLM : (ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ) →L[ℂ] ℂ := { toFun := fun f => f (1, 0), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, cont := ⋯ }
step1 : HasSum (fun n => (jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (1, 0)) ((jacobiTheta₂_fderiv z τ) (1, 0))
step2 : ∀ (n : ℤ), (jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (1, 0) = jacobiTheta₂'_term n z τ
⊢ HasDerivAt (fun x => jacobiTheta₂ x τ) (jacobiTheta₂' z τ) z
R : Type u
Ring R
StrongRankCondition R
ι : Type v
Fintype ι
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
∀ (i : ι), Module.Free R (M i)
∀ (i : ι), Module.Finite R (M i)
⊢ FiniteDimensional.finrank R ((i : ι) → M i) = ∑ i : ι, FiniteDimensional.finrank R (M i)
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
s : Set B
x : B
y : F
⊢ x ∈ e.baseSet → (proj (↑e.symm (x, y)) ∈ s ↔ x ∈ s)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₂₁ : p₂ = p₁
h₂₃ : p₂ = p₃
⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
α : Type u_1
x : α
xs : List α
z : Sym2 α
⊢ z ∈ (x :: xs).sym2 ↔ z = s(x, x) ∨ (∃ y ∈ xs, z = s(x, y)) ∨ z ∈ xs.sym2
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
hb : BddBelow s
ha : ¬BddAbove s
⊢ Set.Ioi (sInf s) ⊆ s
α : Type u_1
r : Setoid α
⊢ ⋃₀ r.classes = Set.univ
q : Λ'
s : Option Γ'
L : List ℕ
c d : List Γ'
o : Option Γ' := List.casesOn L none fun x x => some Γ'.cons
⊢ TransGen (fun a b => b ∈ TM2.step tr a) (TM2.stepAux (tr ((fun x => Λ'.read fun s => (if s = some Γ'.consₗ then id else Λ'.clear (fun x => decide (x = Γ'.consₗ)) main) (unrev q)) o)) o (update (update (update (elim (trList L) [] c d) main (trList L.tail)) rev ((trNat L.headI).reverseAux (elim (trList L) [] c d rev))) rev ((fun s => ((fun x => some Γ'.cons) s).iget) o :: update (update (elim (trList L) [] c d) main (trList L.tail)) rev ((trNat L.headI).reverseAux (elim (trList L) [] c d rev)) rev))) { l := some q, var := none, stk := elim (trList [L.headI]) [] c d }
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
hs : IsClosed s
⊢ frontier s = s \ interior s
d n : ℕ
h : d < n
⊢ ∃ᶠ (m : ℕ) in Filter.atTop, m % n = d
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
r ε : ℝ
L : F
x : ℝ
hx : x ∈ RightDerivMeasurableAux.A f L r ε
y z : ℝ
hy : y ∈ Set.Icc x (x + r / 2)
hz : z ∈ Set.Icc x (x + r / 2)
⊢ ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F✝ X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
F : Set α := {x | M.Basis I (insert x I)}
hIF : M.Basis I F
hF : M.Flat F
⊢ M.closure I = F
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
⊢ (∀ b < ⊤, ∃ i, b < ↑(f i)) ↔ ∀ (x : α), ∃ y ∈ range f, x < y
α : Type u_1
l : List α
x y : α
hne : x ≠ y
⊢ x ∈+ y :: l ↔ x ∈+ l
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (⊤, ⊤)
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁' l₂' : List α
h : (a :: l).split = (l₁', l₂')
l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
fst_eq✝ : a :: l₂ = l₁'
snd_eq✝ : l₁ = l₂'
⊢ l₁'.length ≤ (a :: l).length ∧ l₂'.length ≤ (a :: l).length
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊓ g) a✝ = ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝
⊢ ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝ ≤ ↑g a✝
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
hf : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω)
ρ' : Measure (α × ℝ) := Measure.map (Prod.map id f) ρ
hρ'def : ρ' = Measure.map (Prod.map id f) ρ
hρ' : ρ'.fst = ρ.fst
hρ'' : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ.map f ⋯) x = ρ'.condKernel x
⊢ Measure.map (Prod.map id f) ρ = ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel.map f ⋯
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
i j : Ordinal.{u}
hi : i < o
hj : j < o
⊢ i < j → f i hi < f j hj
α : Type u
CompleteLattice α
h : α →o α →o α
⊢ OrderHom.gfp (OrderHom.gfp.comp h) = OrderHom.gfp h.onDiag
ι : Type u_1
R : Type u_2
S✝ : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : DecidableEq ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
S : ι → Submodule R N
⊢ LinearMap.range (((lsum ℕ) fun i => (S i).subtype) ∘ₗ filterLinearMap R (fun i => ↥(S i)) p) ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i