ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DecidableEq ι
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
(i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x : DirectSum ι G
H : Submodule.Quotient.mk x = 0
⊢ ∃ j,
  (∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => Module.DirectLimit.totalize G f i j) x = 0
A B : AddGrp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ Function.Injective ⇑f
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
inst✝ : Nontrivial A
this : 0 = (algebraMap R A) 0
⊢ spectrum R 0 = {0}
α : Type u_1
DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
⊢ (Finsupp.toMultiset f).toFinset = f.support
R : Type u_1
inst✝¹⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N'
inst✝⁹ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
M₂'' : Type u_12
N'' : Type u_13
N₂'' : Type u_14
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁵ : AddCommMonoid N''
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂''
inst✝³ : Module R' M''
inst✝² : Module R' M₂''
inst✝¹ : Module R' N''
inst✝ : Module R' N₂''
n : ℕ
f : M'' [⋀^Fin n.succ]→ₗ[R'] N''
m : M''
v : Fin n → M''
i j : Fin n
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
⊢ Matrix.vecCons m v i.succ = Matrix.vecCons m v j.succ
α : Type u_1
OmegaCompletePartialOrder α
y : Scott α
⊢ IsOpen (notBelow y)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsArtinian R M
f : ℕ →o (Submodule R M)ᵒᵈ
⊢ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m
G : Type u_2
AddGroup G
ι : Sort u_6
S : ι → AddSubmonoid G
⊢ -⨅ i, S i = ⨅ i, -S i
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Finite R M
n : ℕ
s : Fin n → M
hs : span R (range s) = ⊤
⊢ ∃ n f, Surjective ⇑f
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc0 : 0 < c
⊢ (a + b) / c = a / c + b / c + if c ≤ a % c + b % c then 1 else 0
G : Type u_1
Monoid G
H : Type u_6
Monoid H
f : G →* H
hf : Function.Injective ⇑f
x : G
⊢ orderOf (f x) = orderOf x
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
x : n → R
⊢ 0 ≤ star x ⬝ᵥ x
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
h : x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
⊢ ↑(mkSpanSingleton' x y H) ⟨x, h⟩ = y
K : Type u_6
M : Type u_8
Field K
AddCommGroup M
Module K M
a : K
ha : a ≠ 0
⊢ ∀ (a_1 : M), (LinearEquiv.smulOfNeZero K M a ha).symm a_1 = (Units.mk0 a ha)⁻¹ • a_1
α : Type u
f : Ordinal.{u} → α
⊢ ¬Function.Injective f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
h : AntivaryOn f g s
k : ι' → ι
⊢ AntivaryOn (f ∘ k) (g ∘ k) (k ⁻¹' s)
R : Type u
CommRing R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (WeierstrassCurve.VariableChange.map φ C).u = (Units.map ↑φ) C.u
n k : ℕ
⊢ 1 * (k / 2 ^ n) + k % 2 ^ n = k / 2 ^ n + k % 2 ^ n
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
hg : MeromorphicAt g x
⊢ MeromorphicAt (f - g) x
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
t : Set G
ht : t * closure {1} = t
⊢ tᶜ * closure {1} = tᶜ
s : ℂ
⊢ ↑π ^ ((s - 1) / 2) * ↑π ^ ((-1 - s) / 2) * ↑π ^ 1 / sin (↑π / 2 - ↑π * s / 2) = (cos (↑π * s / 2))⁻¹
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst✝² : Module.Finite R M
p : Ideal R
inst✝¹ : p.IsPrime
inst✝ : Subsingleton (LocalizedModule p.primeCompl M)
⊢ ∃ f ∉ p, Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M)
M : Type u_1
α : Type u_2
VAdd M α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [self : MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ] (c : M)
  ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ ((fun x => c +ᵥ x) ⁻¹' s) = μ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inl f f = CategoryTheory.Limits.pushout.inr f f
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
⊢ ∀ (i j : ℕ), ∃ k, I ^ k ≤ I ^ i ∧ I ^ k ≤ I ^ j
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasRightHomology
inst✝ : HasCokernel S.f
h : S.RightHomologyData := S.rightHomologyData
this : HasLimit (parallelPair h.g' 0)
e : parallelPair (cokernel.desc S.f S.g ⋯) 0 ≅ parallelPair h.g' 0 := parallelPair.ext ((colimit.isColimit (parallelPair S.f 0)).coconePointUniqueUpToIso h.hp) (Iso.refl ((parallelPair (cokernel.desc S.f S.g ⋯) 0).obj WalkingParallelPair.one)) ⋯ ⋯
⊢ HasKernel (cokernel.desc S.f S.g ⋯)
α : Type u_2
One α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in 1, p x) ↔ p 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
self : ClosedIicTopology α
a : α
⊢ IsClosed (Set.Iic a)
n : ℕ
G : Type u_6
Group G
h : (Nat.card G).Coprime n
g : G
⊢ (powCoprime h) g = g ^ n
u : XgcdType
a b : ℕ+
this✝ : 0 < ↑a
this : 0 < ↑b
⊢ (↑a - 1 + 1 + 0, 0 + (↑b - 1 + 1)) = (↑a, ↑b)
a b : ℕ
⊢ multiplicity ↑a ↑b = multiplicity a b
α : Type u
l✝ l' l : List α
k : ℕ
this : (l.rotate k).cyclicPermutations.length = (l.cyclicPermutations.rotate k).length
n : ℕ
hn : n < (l.rotate k).cyclicPermutations.length
hn' : n < (l.cyclicPermutations.rotate k).length
⊢ l.rotate ((↑⟨n, hn⟩ + k) % l.length) = l.cyclicPermutations.get ⟨(↑⟨n, hn'⟩ + k) % l.cyclicPermutations.length, ⋯⟩
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f g : ↥(Lp H 1 μ)
⊢ ∫ (a : α), ‖↑↑(f - g) a‖ ∂μ = ∫ (a : α), ‖↑↑f a - ↑↑g a‖ ∂μ
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ (a * b).primeFactorsList ~ a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
p : Submodule K V
FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : Disjoint p (LinearMap.ker f)
⊢ Submodule.comap f p = p ⊔ LinearMap.ker f
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Set.Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : MeasureTheory.IntegrableOn f' (Set.Iic a) MeasureTheory.volume
fint : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Iic a) MeasureTheory.volume
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 0)
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
LinearOrder ι
hf : MonotoneOn f s
hg : AntitoneOn g s
⊢ AntivaryOn f g s
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
SemilatticeInf α
i : ι
f g : ι →₀ α
⊢ (f ⊓ g) i = f i ⊓ g i
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
μ ν : FiniteMeasure Ω
x✝ : Set Ω
⊢ (μ + ν) x✝ = (⇑μ + ⇑ν) x✝
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, ‖f y‖ = ‖f c‖
y : ℂ
hy : y ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle 1 y = |y.arg|
γ : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring γ
x : γ
⊢ IsAddMonoidHom fun y => x * y
M : Type u_1
Add M
s : Set M
P : M
hP : P ∉ AddSubsemigroup.closure s
⊢ P ∉ s
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f_closed : IsClosedMap f
f_cont : Continuous f
s : Set X
⊢ closure (f '' s) = f '' closure s
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ a ⊓ b = min a b
K : Type u
Field K
L : Type u
Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
⊢ RatFunc.eval f a (x * y) = RatFunc.eval f a x * RatFunc.eval f a y
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
t : Set L
ht : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
this : #↑s = #↑t
⊢ Nonempty (K ≃+* L)
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₁
l : List Γ
⊢ Part.map (fun c => c.Tape.right₀) (trCfg M <$> eval (TM1.step M) { l := some default, var := default, Tape := Tape.mk₁ l }) = TM1.eval M l
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥
⊢ derivedSeries R L' k = ⊥
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s =
  ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s
α : Type u_1
n : Type u_4
AddZeroClass α
A B : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
hb : B.IsDiag
⊢ (A + B).IsDiag
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
P : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MetricSpace P
NormedAddTorsor E P
FiniteDimensional 𝕜 E
b : AffineBasis ι 𝕜 P
i : ι
⊢ Continuous ⇑(b.coord i)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : S.LocalizationMap P
⊢ (k.addEquivOfLocalizations f).symm = f.addEquivOfLocalizations k
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
i : ℕ
⊢ Function.Injective ⇑(Ideal.powQuotSuccInclusion f p P i)
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
f : ℕ → L
hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n
hintsum : IsIntegral R (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
r : R
hr : (algebraMap R K) r = (Algebra.norm K) (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
⊢ Q.coeff 0 • B.gen ^ n + ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, p • Q.coeff x • f (x + n) = (Q.coeff 0 • 1 + ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • B.gen ^ x) * B.gen ^ n
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.RightHomologyData
⊢ (S.rightHomologyIso.symm ≪≫ h.rightHomologyIso).inv ≫ S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι = h.ι ≫ h.opcyclesIso.inv
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
f✝ : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : OpensMeasurableSpace E
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither 𝕜 F
f : 𝕜 → F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
h𝕜 : SecondCountableTopology 𝕜
⊢ StronglyMeasurable (deriv f)
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
A : Type u
inst✝² : Category.{t, u} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : F.PreservesOneHypercovers J K
inst✝ : J.IsGeneratedByOneHypercovers
P : Dᵒᵖ ⥤ Type t
hP✝ : Presieve.IsSheaf K P
hP : Presheaf.IsSheaf K P
⊢ Presheaf.IsSheaf J (F.op ⋙ { val := P, cond := hP✝ }.val)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
A : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} A
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ : CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ A
ℱ' : CategoryTheory.Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'.val
⊢ CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.sheafHom (CategoryTheory.whiskerLeft G.op α) = α
α : Type u_2
Neg α
f : Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ -f ↔ Neg.neg ⁻¹' s ∈ f
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
x₀ : α
hx₀ : x₀ ∈ s
T : ℕ → Set α
hTc : ∀ (n : ℕ), (T n).Countable
hsT : ∀ (n : ℕ), s ⊆ ⋃ x ∈ T n, closedBall x (↑n)⁻¹
f : ℝ≥0∞ → α → α
hfs : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), f r x ∈ s
hf : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), closedBall x r ∩ s ⊆ closedBall (f r x) (r * 2)
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ closure t
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : ¬sin (↑π * z) = 0
this : ↑π / sin (↑π * z) = 1 * (↑π / sin (↑π * z))
⊢ Tendsto (fun x => z.GammaSeq x * (1 - z).GammaSeq x) atTop (𝓝 (↑π / sin (↑π * z)))
α : Type u_1
β : Type u_2
n a✝ : ℕ
⊢ a✝ ∈ map valEmbedding univ ↔ a✝ ∈ Iio n
X : Type u_1
l : Type u_3
R : Type u_8
m' : l → Type u_9
n' : l → Type u_10
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
Zero R
DecidableEq l
A : X → (i : l) → Matrix (m' i) (n' i) R
hA : Continuous A
⊢ Continuous fun x => Matrix.blockDiagonal' (A x)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
⊢ (fun i => fourierBasis.repr.symm (lp.single 2 i 1)) = fourierLp 2
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
homeo : ↑(X ⨯ Y) ≃ₜ ↑(of (↑X × ↑Y)) := homeoOfIso (X.prodIsoProd Y)
⊢ induced (⇑homeo) (induced Prod.fst X.topologicalSpace_coe ⊓ induced Prod.snd Y.topologicalSpace_coe) = induced (⇑prod.fst) X.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
m : M
a : α
n : ℕ
n_pos : 0 < n
n_lt_period : n < AddAction.period m a
⊢ n • m +ᵥ a ≠ a
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Surjective (preimage f) ↔ Injective f
cf cg : Code
this : encode (cf.pair cg) < encode (cf.prec cg)
⊢ encode cf < encode (cf.prec cg) ∧ encode cg < encode (cf.prec cg)
k : ℕ
⊢ Nat.multichoose 1 k = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α →o β
a : NonemptyInterval α
⊢ (NonemptyInterval.map f a).toProd.1 = f a.1.1
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ = MeasureTheory.eLpNorm' f p.toReal μ
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
x y : P
h : Function.Injective fun x => 2 • x
⊢ (Equiv.pointReflection x) y = y ↔ y = x
M : Type u_1
Monoid M
X : Type u
MulAction M X
x y z : CategoryTheory.ActionCategory M X
f : x ⟶ y
g : y ⟶ z
⊢ ↑(CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) = ↑g * ↑f
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
⊢ (l₂.erase a).diff ((b :: l₁).erase a) <+ l₂.diff (b :: l₁)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
⊢ iteratedDerivWithin n.succ (fun z => c + f z) s x = iteratedDerivWithin n.succ f s x
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → s ∩ ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
ι✝ : Type u
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ t, s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
φ : L.Embedding M N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ φ (FirstOrder.Language.Structure.funMap f x) = FirstOrder.Language.Structure.funMap f (⇑φ ∘ x)
C : Type u_1
H : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} H
F F' : CategoryTheory.Functor C H
e : F ≅ F'
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
⊢ F.HasRightDerivedFunctor W ↔ F'.HasRightDerivedFunctor W
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun f => f i) f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
f : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
a : α i
⊢ a ∈ f.singleton i ↔ a = f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : OpensMeasurableSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : ℝ≥0∞
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ = (∫⁻ (a : β), ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ∂ν) ^ p.toReal⁻¹
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
a : α
h : ∀ (b : α), f b ≤ b → a ≤ b
⊢ a ≤ OrderHom.lfp f
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x : ↥(KaehlerDifferential.ideal R S)
⊢ D.liftKaehlerDifferential ((KaehlerDifferential.ideal R S).toCotangent x) = D.tensorProductTo ↑x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hp : (Polynomial.aeval s) p = 0
⊢ (minpoly R s).natDegree ≤ p.natDegree
α : Type u_1
Preorder α
length : ℕ
toFun : Fin (length + 1) → α
strictMono : StrictMono toFun
⊢ (LTSeries.mk length toFun strictMono).length = length
a b c p q : ℚ
⊢ p.num * ↑q.den ≤ q.num * ↑p.den ∧ p ≠ q ↔ p.num * ↑q.den < q.num * ↑p.den
m n : Nat
H : m ∣ n
⊢ m.gcd n = m
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : KleeneAlgebra α
a b c : α
h : a ≤ 1
⊢ 1 * a ≤ 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
self : Mon_ C
⊢ self.one ▷ self.X ≫ self.mul = (λ_ self.X).hom
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
n : ℤ
⊢ (C a * T n).support ⊆ {n}
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
n : ℕ
hn : 0 < n
h : n • x = 0
⊢ addOrderOf x ≤ n
ι : Type u_1
I✝ J I : Box ι
s t : Set ι
h : s ≠ t
y : ι → ℝ
hs : y ∈ I ∧ ∀ (i : ι), (I.lower i + I.upper i) / 2 < y i ↔ i ∈ s
ht : y ∈ I ∧ ∀ (i : ι), (I.lower i + I.upper i) / 2 < y i ↔ i ∈ t
i : ι
⊢ i ∈ s ↔ i ∈ t
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ
⊢ ∃ p ∈ s, p = ⊤
c✝ : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c✝
c : Cardinal.{u_1}
x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y
α : Type u_1
IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y
ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r
this✝¹ : LinearOrder α := linearOrderOfSTO r
this✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2
f : α × α ↪ Ordinal.{u_1} × α × α := { toFun := fun p => (typein (fun x x_1 => x < x_1) (g p), p), inj' := ⋯ }
s : α × α → α × α → Prop := ⇑f ⁻¹'o Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) fun x x_1 => x < x_1)
this : IsWellOrder (α × α) s
⊢ type s ≤ type r
R : Type u
CommRing R
a b : R
p : R[X]
⊢ a - b ∣ Polynomial.eval a p - Polynomial.eval b p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
⊢ Convex 𝕜 (-s)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
⊢ Function.Injective (Finset.map f)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ InnerProductGeometry.angle (r • x) y = InnerProductGeometry.angle x y
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <+ l₂ → l₂.length ≤ l₁.length → l₁ = l₂
b : ℂ
hb : b.re < 0
c d : ℂ
hb' : b ≠ 0
h : ∀ (x : ℝ), cexp (b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d) = cexp (- -b * (↑x + c / (2 * b)) ^ 2) * cexp (d - c ^ 2 / (4 * b))
⊢ (∫ (a : ℝ), cexp (- -b * (↑(a + (c / (2 * b)).re) + ↑(c / (2 * b)).im * I) ^ 2)) * cexp (d - c ^ 2 / (4 * b)) = (↑π / -b) ^ (1 / 2) * cexp (d - c ^ 2 / (4 * b))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ {y | writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f) y = (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) y} ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : (x : M) → x ∈ span R s → Prop
zero : p 0 ⋯
add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s) (y : M) (hy : y ∈ span R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
smul_mem : ∀ (r : R) (x : M) (h : x ∈ s), p (r • x) ⋯
x : M
hx : x ∈ span R s
⊢ ∃ (x_1 : x ∈ span R s), p x x_1
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
δ : α → Type u_3
f : (i : α) → δ i
⊢ (Fintype.piFinset fun i => {f i}) = {f}