ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
h_comp : ↑↑((toSpanSingleton ℝ x).compLp ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᶠ[ae μ] fun a => (toSpanSingleton ℝ x) (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a)
⊢ (fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x) =ᶠ[ae μ] ↑↑((toSpanSingleton ℝ x).compLp ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
s : Submodule ℝ V
x y : ↥s
⊢ InnerProductGeometry.angle ↑x ↑y = InnerProductGeometry.angle x y
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
a b x : α
⊢ ↑(sign x) * |x| = x
α : Type u_2
Group α
a : α
s : Set α
⊢ (MulOpposite.op a • s)⁻¹ = a⁻¹ • s⁻¹
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ
b : ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ (TensorProduct.gradedComm R 𝒜 ℬ) (1 ⊗ₜ[R] b) = b ⊗ₜ[R] 1
R : Type u_1
p n : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
x : R
⊢ (iterateFrobeniusEquiv R p n) x = x ^ p ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.IsEquivalence
⊢ F.EssSurj
R M : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
⊢ ∃ κ x h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ CategoryTheory.IsPushout (𝟙 X) 0 0 0
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
i : Fin (n + 1)
x : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
j : Fin n
⊢ (if h : j.castSucc < i then ⋯ ▸ p ((i.succAbove j).castPred ⋯) else ⋯ ▸ p ((i.succAbove j).pred ⋯)) = p j
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
e' : β → γ
b : β
hb : ¬∃ a, f a = b
⊢ Function.extend f g e' b = e' b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
CategoryTheory.Mono c.π
⊢ CategoryTheory.IsIso c.π
n : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field K
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ (IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis K hζ).gen = ζ - 1
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
⊢ MulAction.IsBlock G ⊤
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ |a ⊔ c - b ⊔ c| ≤ |a - b|
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
f : R →+* S
x : R
⊢ (comap f (PrimeSpectrum.basicOpen x) (PrimeSpectrum.basicOpen (f x)) ⋯).comp (algebraMap R ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen x)))) = (IsLocalization.map (↑((structureSheaf S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen (f x))))) f ⋯).comp (algebraMap R ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen x))))
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
Nontrivial R
hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N
a b : ↥(M ⊓ N)
⊢ ¬LinearIndependent R ![a, b]
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
I P : Ideal R
hP : P.IsPrime
n : ℕ
h : I ^ n ≤ P
⊢ I ≤ P
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hB : M.Base B
⊢ M.closure B = M.E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
⊢ ⨆ n, ↑(eapprox f n) a = f a
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ AntilipschitzWith C ⇑(continuousLinearMapOfBilin B)
R : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
m : MultilinearMap R (fun x => M) N'
v : ι → M
⊢ (alternatization m) v = ∑ σ : Perm ι, Perm.sign σ • (domDomCongr σ m) v
x y : PartENat
h : x < y
⊢ x ≠ ⊤
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
⊢ g.convs 0 = g.h
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
a : α
x : γ
⊢ 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x → 0 < κ.rnDerivAux (κ + η) a x
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Ioc A B)) l fun i => Set.Ioo (a i) (b i)
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ b ♯ a = c ♯ a ↔ b = c
M₀ : Type u_1
Mul M₀
Zero M₀
IsRightCancelMulZero M₀
a b c : M₀
hb : b ≠ 0
h : a * b = c * b
⊢ a = c
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
Nontrivial α
a b : Associates.FactorSet α
h : a.prod = b.prod
⊢ a = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] E
hA : IsSelfAdjoint A
⊢ ContinuousLinearMap.adjoint A = A
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
T : E →ₗ[𝕜] E
x y : E
⊢ ⟪(adjoint T * T) x, y⟫_𝕜 = ⟪x, (adjoint T * T) y⟫_𝕜
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
(ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = Submodule.IsPrincipal.generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
⊢ Submodule.IsPrincipal.generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
⊢ Tendsto (fun x => x ^ (-1 / x)) atTop (𝓝 1)
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y Z : Scheme
e : Y ≅ Z
f : X ⟶ Y
hf : stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ P (Scheme.Hom.stalkMap (f ≫ e.hom) x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A₁ A₂ : C
f₁ : A₁ ⟶ B
f₂ : A₂ ⟶ B
CategoryTheory.Mono f₁
CategoryTheory.Mono f₂
g : A₁ ⟶ A₂
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f₂ = f₁
⊢ (CategoryTheory.Subobject.mk f₁).ofLE (CategoryTheory.Subobject.mk f₂) ⋯ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Subobject.underlyingIso f₁).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (CategoryTheory.Subobject.underlyingIso f₂).inv)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂0 = 0
α : Type u
s t : Set α
⊢ (s ∩ tᶜ).Nonempty ↔ ¬s ⊆ t
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n m : ℕ
hmn : m ≤ n
h : Irreducible (cyclotomic (p ^ n) R)
hm : m > 0
⊢ Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α ≃ₜ β
⊢ TopologicalSpace.NoetherianSpace α ↔ TopologicalSpace.NoetherianSpace β
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
this✝ : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q X Y
this : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q Y Z
α : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y
β : W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z
⊢ (homEquiv W W.Q L) ((homEquiv W W.Q W.Q) ((homEquiv W W.Q W.Q) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α)) ≫ (homEquiv W W.Q W.Q) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)).symm ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β)))) = (homEquiv W W.Q L) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α)) ≫ (homEquiv W W.Q L) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)).symm ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β))
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t : Set (PrimeSpectrum R)
I : Set R
hI : closure t = zeroLocus I
⊢ zeroLocus ↑(vanishingIdeal t) = closure t
α : Type u_2
β : Type u_3
p : β → Bool
l : List α
f : α → List β
⊢ List.countP p (l.bind f) = (List.map (List.countP p ∘ f) l).sum
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : α
a : Set α
h : x ∈ a
⊢ f x ∈ f '' a
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
t : Set β
⊢ (s +ᵥ t).Nonempty → s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
Pow α β
a : αᵒᵈ
b : β
⊢ OrderDual.ofDual (a ^ b) = OrderDual.ofDual a ^ b
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
⊢ (adj.natTransEquiv adj).symm (𝟙 F) = 𝟙 G
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.prod.rightInverseUnitor C).map f = (f, 𝟙 ((fun X => (X, { as := PUnit.unit })) X).2)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
C : SubMulAction G X
B : Set ↥C
g : G
⊢ g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B ↔ g • Subtype.val '' B = Subtype.val '' B ∨ Disjoint (g • Subtype.val '' B) (Subtype.val '' B)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
i : σ
⊢ MvPolynomial.coeff 0 (MvPolynomial.X i) = 0
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hnpos : n > 0
this : NeZero n
⊢ (expand ℤ p) (cyclotomic n ℤ) = cyclotomic (n * p) ℤ * cyclotomic n ℤ
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : α
⊢ a + b = 0 ↔ a = b
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MeasurableSpace M
inst✝¹ : MeasurableMul₂ M
μ : Measure M
inst✝ : SFinite μ
⊢ Measurable (Prod.mk 1)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
h : l₁.length = l₂.length
⊢ (l₁.zip l₂).unzip = (l₁, l₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
p : β → Prop
hf : Set.BijOn f s t
⊢ (∀ b ∈ t, p b) ↔ ∀ a ∈ s, p (f a)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : StarRing α
d : ℕ
⊢ (↑d)ᴴ = ↑d
α : Type u_1
AddZeroClass α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b : α
h : b < 0
⊢ b + a < a
m : ℕ
⊢ (m + 1) % 2 + m % 2 = 1
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ Set.range ⇑U.ι.val.base = ↑U
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
h : e.target = e'.source
⊢ ∀ (a : X), ↑(e.trans' e' h) a = ↑e' (↑e a)
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝³ : DecidableEq α
s✝¹ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
ι✝ : Type u_2
inst✝² : DecidableEq (ι✝ → α)
s✝ : Finset α
f : ι✝ → α
s : Finset α
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq (ι → α)
inst✝ : Nonempty ι
⊢ (s.piDiag ι).card = s.card
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
α : G ≅ F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.precomposeEquivalence α).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun s =>
      CategoryTheory.Limits.Cocones.ext
        (CategoryTheory.Iso.refl
          ((CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose α.inv ⋙ CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose α.hom).obj s).pt)
        ⋯)
    ⋯
G : Type u_10
Group G
a b : G
⊢ (Equiv.divLeft a) b = a / b
α : Type u_1
CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
a b : ↥L
⊢ Codisjoint a b ↔ Codisjoint ↑a ↑b
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ
⊢ (↑(unitLattice K) ∩ Metric.closedBall 0 r).Finite
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a n : ℕ
h : a.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat a).coeff (n + 1) = 0
β : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
γ : Type u_4
Group G
AddMonoid α
SMul γ α
self : SlashAction β G α γ
k : β
a : α
⊢ a ∣[k;γ] 1 = a
Y : Type u_1
TopologicalSpace Y
f : ↑LightProfinite.NatUnionInfty.toTop → Y
⊢ Continuous f ↔ Filter.Tendsto (fun x => f (some x)) Filter.atTop (nhds (f ∞))
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
s : Finset ι
w : ι → 𝕜
h_wsum : s.sum w = 0
h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0
nonzero_w_index : ι
h1 : nonzero_w_index ∈ s
h2 : w nonzero_w_index ≠ 0
I : Finset ι := filter (fun i => 0 ≤ w i) s
J : Finset ι := filter (fun i => w i < 0) s
p : E := I.centerMass w f
hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0
hI : 0 < ∑ i ∈ I, w i
⊢ ∃ I, ((convexHull 𝕜) (f '' I) ∩ (convexHull 𝕜) (f '' Iᶜ)).Nonempty
K : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Field K
AddCommGroup E
Module K E
AddCommGroup F
Module K F
f : E →ₗ[K] F
hf : LinearMap.ker f = ⊥
⊢ Function.Injective ⇑(ExteriorAlgebra.map f)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
fs : Finset (Fin (n + 1))
h : fs.Nonempty
⊢ (∑ x : Fin (n + 1), if x ∈ fs then (↑fs.card)⁻¹ else 0) = ∑ i : Fin (n + 1), (↑fs).indicator (centroidWeights ℝ fs) i
R : Type u
Mul R
StarMul R
x y z : R
⊢ SemiconjBy (star x) (star z) (star y) ↔ SemiconjBy x y z
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
⊢ f.inverse.closure = f.closure.inverse
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
x : S₁
⊢ (optionEquivRight R S₁) (X (Option.some x)) = X x
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (Finset.Iic s).card = 2 ^ s.card
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → AddGroup (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a
⊢ (f + g).neLocus f = g.support
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
K : CochainComplex C ℤ
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₁
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
Φ : C ⥤ D
Φ.Additive
⊢ (z₁.comp z₂ h).map Φ = (z₁.map Φ).comp (z₂.map Φ) h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : α → Type u_11
s : (i : α) → γ i → Set β
⊢ ⋃ i, ⋃ a, s i a = ⋃ ia, s ia.fst ia.snd
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A X X' Y : C
CategoryTheory.Closed A
f : X ⟶ X'
g : X' ⟶ (CategoryTheory.ihom A).obj Y
⊢ CategoryTheory.MonoidalClosed.uncurry (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft A f)
    (CategoryTheory.MonoidalClosed.uncurry g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.inv f) f = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y
α : Type u_1
Preorder α
a : α
NoMaxOrder α
⊢ ¬BddAbove (Set.Ioi a)
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : α → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
⊢ (CategoryTheory.Limits.Sigma.map' id fun a => 𝟙 (f a)) = 𝟙 (∐ f)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : InvolutiveInv α
s✝ : Finset α
a : α
s : Finset α
⊢ ↑(s.preimage (fun x => x⁻¹) ⋯) = ↑s⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
n : ℕ
m : Fin (n + 1) → E
f : SchwartzMap E F
⊢ (SchwartzMap.iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (SchwartzMap.pderivCLM 𝕜 (m 0)) ((SchwartzMap.iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.tail m)) f)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace M✝
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : ContinuousMul M✝
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : ι → X → M
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
x₀ : X
U : Set X
hxU : U ∈ 𝓝 x₀
hUf : {i | ((fun i => mulSupport (f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
y : X
hy : y ∈ U
i : ι
hi : i ∈ mulSupport fun i => f i y
⊢ i ∈ {i | ((fun i => mulSupport (f i)) i ∩ U).Nonempty}
α : Type u_1
R : α → α → Prop
s : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ List.Pairwise R (l₁ ++ a :: l₂) ↔ List.Pairwise R (a :: (l₁ ++ l₂))
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
⊢ ⟦x.mulOption y i k⟧ < -⟦x.mulOption (-y) j l⟧
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
n : A
⊢ (shiftFunctorZero C A).inv.app ((shiftFunctor C n).obj X) = (shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X) ≫ (shiftFunctorComm C n 0).inv.app X
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s✝ t✝ : Set α
μ ν : Measure α
s : Set β
hs : s.Finite
t : β → Set α
⊢ IntegrableOn f (⋃ i ∈ ∅, t i) μ ↔ ∀ i ∈ ∅, IntegrableOn f (t i) μ
n : ℕ
a : ℝ
h : 2 - ((a - 1 / 4 ^ n) / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n
h₂ : 1 / 4 ^ n ≤ a
⊢ 2 ^ (n + 1) * √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) + 1 / 4 ^ n ≤ a
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
⊢ μ U = (map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G)) (ν.restrict s)) U
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
IsDomain R
M' : Submodule R M
⊢ Module.rank R (M ⧸ M') + Module.rank R ↥M' = Module.rank R M
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : Convex ℝ s
h0 : μ (toMeasurable μ t) ≠ 0
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
ht : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ interior s
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
⊢ LSeries.term f s n = f n / ↑n ^ s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
Inv β
ContinuousInv β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f⁻¹ μ
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f
⊢ ∀ (l : ℕ), f ζ ^ l = 1 → k ∣ l
α : Sort u
⊢ Countable α ↔ Nonempty (α ↪ ℕ)
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
f : α → E
a : Filter α
b : E
⊢ Filter.Tendsto f a (𝓝 b) ↔ Filter.Tendsto (fun e => ‖f e - b‖) a (𝓝 0)
a b : Nat
h : a < b
⊢ a ≠ b
x✝ y x : ℝ
⊢ sinh (arsinh x) = x
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
x : L
hx : ¬IsIntegral K x
⊢ (Algebra.norm K) (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K x) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nonempty α
f : α → β
hf : Function.Injective f
s : Set α
h : Classical.choice n ∉ s
⊢ Function.invFun f ⁻¹' s = f '' s
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
x y : ZMod p
hx : x ≠ 0
hxy : x ^ 2 = -y ^ 2
⊢ p % 4 ≠ 3
α : Type u
SemilatticeInf α
a b : α
⊢ a ⊓ b = a ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
e : α ≃* β
hα : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a : β
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
h : m.trim s = 0
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ m t = 0
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
⊢ LieAlgebra.IsKilling.chainLength α β = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.68425, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.68429, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b) (a ≫ φ₂)
⊢ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map φ₁ ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map φ₂
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Ring R
Ring R₂
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ LinearMap.ker f = ⊥ ↔ Function.Injective ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
⊢ κ.compProdFun η a ∅ = 0
R : Type u
Ring R
StrongRankCondition R
m n : Type u
Finite m
Finite n
⊢ Module.rank R (Matrix m n R) = #m * #n
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z : X ⊕ Y
fA : f ∈ GromovHausdorff.candidates X Y
⊢ f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z)
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : IsDomain R
h : I ≠ ⊤
x : R
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i
⊢ x ∈ ⊥
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
⊢ (∀ (hl : 0 < l.reverse.length), ¬p (l.reverse.get ⟨0, hl⟩) = true) ↔ ∀ (hl : l ≠ []), ¬p (l.get ⟨l.length - 1, ⋯⟩) = true
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : MonotoneOn f (Ici 0)
x : G
hx : x ∈ Iic 0
y : G
hy : y ∈ Iic 0
hxy : x ≤ y
⊢ f (-y) ≤ f (-x)