ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
this : IsIso (((shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).inv.app K).f n)
⊢ 𝟙 (((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 0).obj K).X n) = (XIsoOfEq K ⋯).hom ≫ (XIsoOfEq K ⋯).hom
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
p : R[X]
hsep : p.Separable
x : R
hp : ¬p = 0
⊢ rootMultiplicity x p ≤ 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
X Y : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
f : X ⟶ Y
h : CategoryTheory.Mono f.f
⊢ CategoryTheory.Mono f
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
MulPosStrictMono α
PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
⊢ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0
a : ℝ≥0∞
⊢ a ≠ ⊤ → ↑a.toNNReal = a
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun x => (sum (sFiniteSeq ν)) (Prod.mk x ⁻¹' s)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : (P F).W α
h : WEquiv x y
⊢ WEquiv y x
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
n : ℤ
⊢ a ^ (n - 1) * a * a⁻¹ = a ^ n * a⁻¹
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
⊢ (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv = (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
⊢ Algebra.adjoin R s = ((lift R) Subtype.val).range
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
⊢ thickening ε (cthickening δ s) ⊆ thickening (ε + δ) s
f : ℝ → ℝ
hf : Monotone f
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), HasDerivAt f (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv MeasureTheory.volume x).toReal x
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x p : R
hp : p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
hf : ∀ (r : R), f (star r) = star (f r)
⊢ f p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
⊢ j ∈ Set.range ⇑(c.embedding (c.index j))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
RCLike 𝕜
Module 𝕜 E
IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs₀ : Balanced 𝕜 s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
hs : IsOpen s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ (gaugeSeminorm hs₀ hs₁ hs₂) x < 1
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.71152, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K'✝ : ChainComplex C ℕ
f✝ : K✝ ⟶ K'✝
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ' ⟶ Δ
A : Splitting.IndexSet Δ'
⊢ Obj.Termwise.mapMono K (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ f.f (unop (A.pull θ).fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj (A.pull θ) = f.f (unop A.fst).len ≫ Obj.Termwise.mapMono K' (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj (A.pull θ)
α : Type u_1
β : Type u_2
h : Nonempty β
⊢ Function.Surjective Prod.fst
μ : YoungDiagram
⊢ List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) μ.rowLens
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
⊢ MeasureTheory.Lp E q μ ≤ MeasureTheory.Lp E p μ
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
x y : A
hx : IsIntegral R x
hy : IsIntegral R y
⊢ IsIntegral R (x + y)
p : Prop
h : Decidable p
t : Bool
⊢ (if p then t else true) = (!decide p || t)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
self : P.Hom Q
⊢ self.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.p (CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.f Q.p)
S : Type u_5
OrderedSemiring S
R : Type u_6
Semiring R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
a : R
⊢ 0 < abv a ↔ a ≠ 0
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
inst✝⁷ : BorelSpace E
L✝ : AddSubgroup E
inst✝⁶ : DiscreteTopology ↥L✝
inst✝⁵ : IsZlattice ℝ L✝
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝⁴ : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
L : AddSubgroup (ι → ℝ)
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZlattice ℝ L
b : Basis ι ℤ ↥L
⊢ covolume L volume = |(Matrix.of (Subtype.val ∘ ⇑b)).det|
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : ContinuousAdd M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : (𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot
s : Submodule R M
y : M
hy : ↑s ∈ 𝓝 y
x : M
⊢ x ∈ s
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ (Localization.mulEquivOfQuotient f) ((Localization.monoidOf S).mk' x y) = f.mk' x y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝¹ : Countable ι
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : ι → α → β → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : ι), Measurable (Function.uncurry (f i))
h_sum_a : ∀ (a : α), Summable fun n => f n a
h_sum : Summable fun n => f n
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, tsum (fun n => f n) a b ∂κ a = ∑' (n : ι), ((κ.withDensity (f n)) a) s
a b : ℕ+
⊢ b = a.gcdB' b * a.gcd b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
f : γ → β
⊢ uniformSpace α γ 𝔖 = UniformSpace.comap (fun x => f ∘ x) (uniformSpace α β 𝔖)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
x₀ : X
h : EquicontinuousAt F x₀
u : κ → ι
⊢ EquicontinuousAt (F ∘ u) x₀
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
α : Type u_1
Mul α
IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
Zero α
Preorder α
⊢ PosMulStrictMono α ↔ MulPosStrictMono α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a : α
m : M
⊢ (single (Option.some a) m).some = single a m
α : Type u_1
s t : List α
⊢ s ∈ t.permutations' ↔ s.Perm t
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{vC, uC} C
U V : C
f : U ⟶ V
⊢ CategoryTheory.Sieve.equalizer f f = ⊤
α : Type u_1
s t : Finset α
DecidableEq α
h : s ⋖ t
⊢ ∃ a ∈ t, t.erase a = s
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
ι₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Fintype ι₂
inst✝² : Finite ι₃
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
b₃ : Basis ι₃ R M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₃
⊢ toMvPolynomial b₁ b₃ (g ∘ₗ f) i = (bind₁ (toMvPolynomial b₁ b₂ f)) (toMvPolynomial b₂ b₃ g i)
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s t : Set α
⊢ s.encard - t.encard ≤ (s \ t).encard
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace E
BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∫ (x : α), ‖↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖ ∂μ)
  Filter.atTop (𝓝 0)
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J A B : Matrix n n R
hA : J.IsSkewAdjoint A
hB : J.IsSkewAdjoint B
⊢ J.IsSkewAdjoint ⁅A, B⁆
K : Type u_2
LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
⊢ r • Set.Icc a b = Set.Icc (r • a) (r • b)
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α
f : C(α, 𝕜)
a : α
⊢ (∑' (n : ℕ), (expSeries 𝕜 C(α, 𝕜) n) fun x => f) a = { toFun := exp 𝕜 ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } a
R : Type u
Semiring R
c : R
h : c ≠ 0
⊢ (Polynomial.C c * Polynomial.X).support = {1}
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
⊢ Q.IsOrtho x y ↔ Q.IsOrtho y x
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
y : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ
x : ↑(C' C ho)
i : I
⊢ (if ord I i < o then SwapTrue o (↑x) i else false) = if ord I i < o then ↑x i else false
α : Type u_1
⊢ AddSubgroup.closure (Set.range FreeAddGroup.of) = ⊤
α : Type u
Preorder α
a b : α
⊢ BddBelow (Set.Ico a b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
a x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NormedAddCommGroup 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
hh : HasDerivAt h h' (a + x)
⊢ HasDerivAt (fun x => h (a + x)) h' x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : IsEmpty X
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ a ∈ upperBounds t → b ∈ upperBounds s
x : ℂ
⊢ DifferentiableAt ℂ Complex.tan x ↔ Complex.cos x ≠ 0
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ
⊢ Option.map (Pair.map Rat.cast) ((of q).s.get? n) = (of v).s.get? n
n m : Nat
h : n ≤ m
⊢ (!decide (n = 0)) ≤ !decide (m = 0)
α : Type u_1
Preorder α
o : Ordering
a b : α
⊢ o.Compares a b → (o ≠ Ordering.lt ↔ b ≤ a)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : Fin 3 → R
u✝ : R
hu : IsUnit u✝
u : R
P : Fin 3 → R
hP : P y ^ 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * P z ^ 3 - (P x ^ 3 + W'.a₂ * P x ^ 2 * P z ^ 2 + W'.a₄ * P x * P z ^ 4 + W'.a₆ * P z ^ 6) = 0
⊢ (u • P) y ^ 2 + W'.a₁ * (u • P) x * (u • P) y * (u • P) z + W'.a₃ * (u • P) y * (u • P) z ^ 3 - ((u • P) x ^ 3 + W'.a₂ * (u • P) x ^ 2 * (u • P) z ^ 2 + W'.a₄ * (u • P) x * (u • P) z ^ 4 + W'.a₆ * (u • P) z ^ 6) = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∀ (n : ℕ), (PadicInt.toZModPow n).comp ((toPadicInt p).comp (fromPadicInt p)) = (PadicInt.toZModPow n).comp (RingHom.id ℤ_[p])
α : Type u
a : α
⊢ ![a] = fun x => a
M : Type u_2
α : Sort u_4
AddCommMonoid M
Unique α
f : α → M
⊢ ∑ᶠ (i : α), f i = f default
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
Preorder E
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ 𝒢
f : ℕ → Ω → E
hfmgle : MeasureTheory.Submartingale f 𝒢 μ
hfadp : MeasureTheory.Adapted 𝒢 fun n => f (n + 1)
n : ℕ
⊢ f 0 ≤ᵐ[μ] f n
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
n : ℕ
m : M
a : α
⊢ m ^ (n % period m a) • a = m ^ n • a
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
CstarRing A
CompleteSpace A
NormedAlgebra ℂ A
StarModule ℂ A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Nontrivial A
a : A
ha : 0 ≤ a := by cfc_tac
⊢ ‖a‖ ∈ spectrum ℝ a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : ∀ (m : ℕ), cyclotomic (p ^ (m + 1)) R = ∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ m) ^ i ↔ (∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ m) ^ i) * ∏ x ∈ range (m + 1), cyclotomic (p ^ x) R = X ^ p ^ (m + 1) - 1
n_n : ℕ
n_ih : (∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ n_n) ^ i) * ∏ x ∈ range (n_n + 1), cyclotomic (p ^ x) R = X ^ p ^ (n_n + 1) - 1
⊢ X ^ (p ^ (n_n + 1) * p) = X ^ p ^ (n_n + 1 + 1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y z : E
h : SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hxy : x - y = a • (x - y + (z - x))
hzx : z - x = b • (x - y + (z - x))
⊢ x ∈ [y-[𝕜]z]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M ≃ N
hf : f 0 = 0
hf' : f.symm 0 = 0
f₂ : N ≃ P
hf₂ : f₂ 0 = 0
hf₂' : f₂.symm 0 = 0
⊢ (f.trans f₂).symm 0 = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
n : ℕ
⊢ MeasurableSet (disjointed f n)
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)
inst✝ : DecidableEq V
d d' : G.Dart
⊢ d' ∈ filter (fun d' => d'.edge = d.edge) univ ↔ d' ∈ {d, d.symm}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
⊢ (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) <$> s.destruct >>= destruct = s.destruct >>= tail.aux
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inl g f ≫ (CategoryTheory.Limits.pushoutSymmetry f g).inv =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.WOppSide x y
hyz : s.SSameSide y z
⊢ s.WOppSide x z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
s : Set α
a' : α
ha' : a' ∈ s
ha : IsLUB s a'
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a', ¬(fun x => x ∈ s) x
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
M' : Submodule R ↥M₁
N' : Submodule R ↥N₁
left✝¹ : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
hM : Submodule.map M₁.subtype M' ≤ M₁
hN : Submodule.map N₁.subtype N' ≤ N₁
⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN)))
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
m : ℕ
left✝ : m < n
hcop : m.Coprime n
hx : μ ^ m ∈ primitiveRoots n K
⊢ map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ) ≠ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
s : Set α
hs : s.IsPWO
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ (f '' s).IsPWO
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddGroup A
CategoryTheory.HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : A
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor C (-i)).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C i).map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C i (-i) ⋯).hom.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C i (-i) ⋯).inv.app Y))
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
S₃ : Type u_5
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
Monoid S₃
M : Type u_6
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
M₂ : Type u_7
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
M₃ : Type u_8
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₃ M₃
DistribMulAction S₃ M₃
SMulCommClass R₃ S₃ M₃
ContinuousConstSMul S₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
c : S₃
h : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
f : M →SL[σ₁₂] M₂
⊢ (c • h).comp f = c • h.comp f
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_2
f : M × ↥S → M × ↥S → α
wd : ∀ (p q p' q' : M × ↥S), p ≈ p' → q ≈ q' → f p q = f p' q'
m m' : M
s s' : ↥S
⊢ (LocalizedModule.mk m s).liftOn₂ (LocalizedModule.mk m' s') f wd = f (m, s) (m', s')
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ Bimon_.toComon_ C ⋙ Comon_.forget C = Bimon_.forget C
α : Type u_1
Preorder α
a x : α
⊢ x ∈ Set.Ici a ↔ a ≤ x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E
y z : F
⊢ f (x, y - z) = f (x, y) - f (x, z)
S : CategoryTheory.ShortComplex Ab
⊢ S.Exact ↔ AddMonoidHom.range S.f = AddMonoidHom.ker S.g
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
h : Codisjoint a b
⊢ b ⇨ a ⊓ b = a
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t✝ u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
connected_fibers : ∀ (t : β), IsConnected (f ⁻¹' {t})
hcl : ∀ (T : Set β), IsClosed T ↔ IsClosed (f ⁻¹' T)
t : β
hf : Surjective f
hT : IsClosed (f ⁻¹' connectedComponent t)
⊢ ∀ (u v : Set α), IsClosed u → IsClosed v → f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∪ v → Disjoint u v → f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∨ f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ v
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j₁ j₂ : JordanDecomposition α
hj : j₁.toSignedMeasure = j₂.toSignedMeasure
⊢ j₁ = j₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ CategoryTheory.Limits.pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ CategoryTheory.Limits.pullback f i
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f)
      (CategoryTheory.Limits.pullback.map (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
        (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i) f f (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i)
        (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i) i ⋯ ⋯) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
        (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i) ≫
      i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f)
    (CategoryTheory.Limits.pullback.map (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
      (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i) f f (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i)
      (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i) i ⋯ ⋯)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R → ℤ
⊢ ∀ x ∈ fun i => i = v → False, count K v (↑x.asIdeal ^ exps x) = 0
M : Type u_3
AddCommMonoid M
⊢ ⇑AddSubmonoid.toNatSubmodule.symm = Submodule.toAddSubmonoid
G : Type u_1
Group G
S : Type u_6
H K : S
SetLike S G
SubgroupClass S G
h : H ≤ K
x : G
hx : x ∈ H
⊢ (SubgroupClass.inclusion h) ⟨x, hx⟩ = ⟨x, ⋯⟩
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
R : ℝ := scalingScaleOf μ (max (4 * K + 3) 3)
Rpos : 0 < R
⊢ VitaliFamily μ
a b : Bool
⊢ (a = true ↔ b = true) ↔ a = b
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
⊢ Multiset.lcm 0 = 1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))) (c₁ * ((1, 0).1 * (1, 0).1) + c₂ * ((1, 0).2 * (1, 0).2)) = (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))) c₁
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂
⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x * ↑u = y
X Y : Type u
e : X ≃ Y
⊢ equivEquivIso e = e.toIso
α : Type u
s : Set α
p : ↑s → Prop
⊢ (∃ x, p x) ↔ ∃ x, ∃ (h : x ∈ s), p ⟨x, h⟩
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
inst✝ : Subsingleton ↥S
⊢ S = ⊥
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
⊢ ∃ Y i y, F.map i y = x ∧ IsConnected Y ∧ Mono i
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
h : p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ
⊢ ↑(⟨p, hp⟩ -ᵥ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.direction
x : ℝ
⊢ 0 = Real.arcsin x ↔ x = 0
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ l.splitMax' x r = ((Ordnode.node s l x r).eraseMax, Ordnode.findMax' x r)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ 0
⊢ UniformContinuous Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictMono f
c : α
⊢ StrictMono fun x => c * f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
⊢ Tendsto (fun i => ↑((orthogonalProjection (U i)) x)) atTop (𝓝 ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x))
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hT' : |T| = T
I : Set ℝ := Ioc (-(T / 2)) (T / 2)
⊢ volume (Metric.closedBall x ε) = ENNReal.ofReal (min T (2 * ε))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover X
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (E.map F).I₀ = E.I₀
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
Semiring C
Algebra R C
Algebra S C
IsScalarTower R S C
Semiring D
Algebra R D
Semiring E
Algebra R E
Semiring F
Algebra R F
f₂ : B →ₐ[S] C
f₁ : A →ₐ[S] B
g₂ : E →ₐ[R] F
g₁ : D →ₐ[R] E
⊢ Algebra.TensorProduct.map (f₂.comp f₁) (g₂.comp g₁) =
  (Algebra.TensorProduct.map f₂ g₂).comp (Algebra.TensorProduct.map f₁ g₁)
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
X : Type u
a : ↑((Rep.linearization k G).obj { V := X, ρ := 1 }).V
⊢ (Rep.linearizationTrivialIso k G X).hom.hom a = a
S : Type u'
R : Type u
M : Type v
SMul R M
SetLike S M
hS : SMulMemClass S R M
s : S
r : R
x : ↥s
⊢ ↑(r • x) = r • ↑x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
h : affineSpan k s = ⊤
⊢ vectorSpan k s = ⊤
α : Type u
PseudoMetricSpace α
β : Type u_3
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : β → α
hf : Pairwise fun x y => ε ≤ dist (f x) (f y)
⊢ UniformEmbedding f
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
U : Subring R := Subring.mk' (⋃ i, ↑(S i)) (⨆ i, (S i).toSubmonoid) (⨆ i, (S i).toAddSubgroup) ⋯ ⋯
⊢ x ∈ ⨆ i, S i → ∃ i, x ∈ S i