ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
CommSemiring R
⊢ PrimeSpectrum.vanishingIdeal '' irreducibleComponents (PrimeSpectrum R) = minimalPrimes R
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {as : List α} {i : Nat},
  List.enumFrom i (a :: as) = { fst := i, snd := a } :: List.enumFrom (i + 1) as
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r
⊢ ↑b ^ log b r ≤ r
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : β → α
hf : AntitoneOn f s
hg : StrictAntiOn g s
⊢ StrictAntiOn (fun x => f x * g x) s
X : AlgebraicGeometry.Scheme
r : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map (AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.unit.app X).val.base).obj (PrimeSpectrum.basicOpen r) =
  X.basicOpen r
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set α
hs : Dense s
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable s ↔ TopologicalSpace.SeparableSpace α
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M : Submodule R A
⊢ M * ⊥ = ⊥
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
t : Finset ι
φ : ι → MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
⊢ (∑ i ∈ t, φ i).vars ⊆ t.biUnion fun i => (φ i).vars
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
CommRing S
Ring T
Algebra R S
Algebra S T
Algebra R T
IsScalarTower R S T
m : Type u_4
n : Type u_5
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
b : Basis m R S
c : Basis n S T
x : S
i j : m
k : n
⊢ (Algebra.leftMulMatrix (b.smulTower c)) ((algebraMap S T) x) (i, k) (j, k) = (Algebra.leftMulMatrix b) x i j
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ).toReal - (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (-f a) ∂μ).toReal
R : Type u
CommSemiring R
σ : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring A
Algebra R A
a : A
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.algebraTensorAlgEquiv R A) (a ⊗ₜ[R] p) = a • (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) p
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ derivWithin (fun y => c - f y) s x = -derivWithin f s x
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
p : ℕ
⊢ p ∈ (a * b).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∪ b.primeFactorsList
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → One (α i)
i : ι
a b : α i
⊢ Pi.mulSingle i '' Set.Ico a b = Set.Ico (Pi.mulSingle i a) (Pi.mulSingle i b)
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap ↑c * f.toMap x = f.toMap ↑c * f.toMap y
⊢ f.toMap x = f.toMap y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
a : (i : ι) × α i
b : (i : ι) × β i
⊢ (Finset.sigmaLift f a b).card = if h : a.fst = b.fst then (f (h ▸ a.snd) b.snd).card else 0
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
Add ι
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
self : DirectSum.GNonUnitalNonAssocSemiring A
i j : ι
a b : A i
c : A j
⊢ GradedMonoid.GMul.mul (a + b) c = GradedMonoid.GMul.mul a c + GradedMonoid.GMul.mul b c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : 0 ∉ t
⊢ ↑(f.restrict s) ⁻¹' t = s ∩ ↑f ⁻¹' t
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (hurwitzZetaOdd (↑a) s)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (Ideal.comap f I).minimalPrimes
⊢ ∃ p' ∈ I.minimalPrimes, Ideal.comap f p' = p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} D
F G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Quotient r) D
τ : (CategoryTheory.Quotient.functor r).comp F ≅ (CategoryTheory.Quotient.functor r).comp G
⊢ (CategoryTheory.Quotient.natIsoLift r τ).hom = CategoryTheory.Quotient.natTransLift r τ.hom
V : Type u_1
W : Type u_2
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
f g : NormedAddGroupHom V W
⊢ (NormedAddGroupHom.Equalizer.ι f g).NormNoninc
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
h₁ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h₂ : Function.Surjective ⇑f
⊢ LieAlgebra.IsNilpotent R L'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
a : Filter α
b : β
⊢ Tendsto f a (pure b) ↔ ∀ᶠ (x : α) in a, f x = b
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
a : α
s : Set α
⊢ a ∈ upperBounds s → f a ∈ lowerBounds (f '' s)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_12
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (s.sup p).ball x r = ⋂ i ∈ s, (p i).ball x r
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hc : c < 0
p : ℝ≥0∞
⊢ eLpNorm f p μ = 0 ∧ eLpNorm g p μ = 0
G : Type u_1
Group G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
h : BddBelow s
⊢ BddAbove s⁻¹
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSemisimpleRing R
I J : Ideal R
h : IsCompl I J
⊢ ∃ e, IsIdempotentElem e ∧ I = Ideal.span {e}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n✝ n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
⊢ univ ^ (n + 2) = univ
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
⊢ (fun x => deriv (fun x => x ^ p) x * (1 + ε x) + x ^ p * deriv (fun x => 1 + ε x) x) =ᶠ[atTop] fun x => p * x ^ (p - 1) * (1 + ε x) - x ^ p * (x⁻¹ / log x ^ 2)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype o
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Field R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
A : Matrix m n R
⊢ (fun x => x + finrank R ↥(LinearMap.ker A.mulVecLin)) (finrank R ↥(LinearMap.range (Aᴴ * A).mulVecLin)) = (fun x => x + finrank R ↥(LinearMap.ker A.mulVecLin)) (finrank R ↥(LinearMap.range A.mulVecLin))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ ∫ (x : E), ExistsContDiffBumpBase.w D x ∂MeasureTheory.Measure.addHaar = 1
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
DecidableEq α
Finite α
x : α
m : M
⊢ Finsupp.equivFunOnFinite.symm (Pi.single x m) = Finsupp.single x m
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.L₀'.Exact
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
γ' : HomologyMapData φ S₁.homologyData S₂.homologyData
⊢ leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left = ((S₁.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.homologyData.right S₁.rightHomologyData) ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.rightHomologyData h₁) ≫ γ.φH ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.rightHomologyData S₂.homologyData.right ≫ S₂.homologyData.iso.inv
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p μ
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : LieSubalgebra R L
⊢ ⇑L'.incl = Subtype.val
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ : Γ₀ˣ
⊢ {↑γ} ∈ 𝓝 ↑γ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ a = ⊥
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁
⊢ (h.compLeft ψ).h₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ψ.τ₂ h.h₁
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P Q
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
hf : P f
U : ↑Y.affineOpens
⊢ Q (f ∣_ ↑U)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
⊢ toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
m n : ℕ+
⊢ (m.lcm n).factorMultiset ≤ m.factorMultiset ⊔ n.factorMultiset
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
L : Type u_7
RCLike L
f : α → L
g : β → L
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g ν
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun z => f z.1 * g z.2) (μ.prod ν)
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Ici a) a
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Ici a)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi a
⊢ f x - f a = ∫ (x : ℝ) in a..id x, f' x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
S.HasHomology
⊢ (S.asIsoHomologyπ hf).hom = S.homologyπ
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
⊢ f = f'
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
U : Set ↑X
⊢ ⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g) '' (⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) ⁻¹' U) = ⇑g ⁻¹' (⇑f '' U)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x₁ x₂ : X
y₁ y₂ : Y
hx : x₁ ⤳ x₂
hy : y₁ ⤳ y₂
⊢ (x₁, y₁) ⤳ (x₂, y₂)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
Ring 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
x : 𝔸
⊢ (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).sum x = ∑' (n : ℕ), (↑n.factorial)⁻¹ • x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
p : β → Prop
⊢ Filter.blimsup u f p = Filter.limsup u (f ⊓ 𝓟 {x | p x})
J : Type u
inst✝ : Category.{?u.10050, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
X✝ Y✝ Z✝ : J
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ (fun x => ⟨(F.map f ≫ F.map g) ↑x, ⋯⟩) = (fun x => ⟨F.map f ↑x, ⋯⟩) ≫ fun x => ⟨F.map g ↑x, ⋯⟩
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
r : ℝ
hr : 2 < r
⊢ volume {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ r} = 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = -(‖x‖ * ‖y‖) ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
⊢ ∏ i ∈ s, x ^ w i = x
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
r : R
i : ℕ
⊢ (↑((i + k).choose k) * if n = i + k then r else 0) = if n - k = i then ↑(n.choose k) * r else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ
hg : Continuous g
f : α →ₘ[μ] β
⊢ ↑(mk (g ∘ ↑f) ⋯) =ᶠ[ae μ] g ∘ ↑f
α : Type u_2
DecidableEq α
AddGroup α
a : α
⊢ IsAddUnit {a}
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
⊢ inversion c R x ∈ perpBisector c (inversion c R y) ↔ dist x y = dist y c
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
x : R
⊢ (algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ Ideal.map f p)) ((Ideal.Quotient.mk p) x) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map f p)) (f x)
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
h : g.comp f = 0
v w : V₁
⊢ (fun v => ⟨f v, ⋯⟩) (v + w) = (fun v => ⟨f v, ⋯⟩) v + (fun v => ⟨f v, ⋯⟩) w
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' : ι'
hi' : ∀ (i : ι), e.f i ≠ i'
⊢ e.r i' = none
p : ℕ
K : Type u_1
Field K
FirstOrder.Ring.CompatibleRing K
h : K ⊨ FirstOrder.Language.Theory.fieldOfChar p
⊢ CharP K p
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
c : Cardinal.{u_2}
hc : c.IsRegular
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ i < c.ord, f i < c.ord
a : Ordinal.{u_2}
⊢ ℵ₀ < c
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹² : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : X → Y → E
s : Set X
k : Set Y
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (y : Y), f x y ∂μ) s
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
b : β
⊢ ⇑(ContinuousMap.const α b) = Function.const α b
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t : Finset α
b : α
⊢ b ∈ t → Finset.image (fun x => x ⊔ b) s ⊆ s ⊻ t
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hne : p₁ ≠ p₂
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₁, p₃}
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J × K ⥤ C
inst✝² : HasLimitsOfShape J C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape K C
G : J ⥤ K ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
j : J
k : K
⊢ colimit.ι (limit G) k ≫ (colimMap (limitIsoSwapCompLim G).hom ≫ colimitLimitToLimitColimit (uncurry.obj G) ≫ limMap (whiskerRight (currying.unitIso.inv.app G) colim)) ≫ limit.π (G ⋙ colim) j = colimit.ι (limit G) k ≫ colimMap (limit.π G j)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
h : t ∈ 𝓝[s] a
⊢ 𝓝[s ∩ t] a = 𝓝[s] a
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K✝ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M''
inst✝⁸ : Module R M✝
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M''
a b : R
x y : M✝
K : Type u_8
M : Type u_9
L : Type u_10
inst✝⁵ : CommSemiring K
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Algebra K M
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
⊢ LinearIndependent L AlgHom.toLinearMap
α : Type u_1
β : Type u_2
s : α → Set β
LE α
x : α
z : β
⊢ z ∈ Set.Accumulate s x ↔ ∃ y ≤ x, z ∈ s y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : MulOneClass N
f g : Multiplicative (α →₀ M) →* N
H : ∀ (x : α) (y : M), f (Multiplicative.ofAdd (single x y)) = g (Multiplicative.ofAdd (single x y))
⊢ f = g
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s : Set α✝
t : Set β
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
i : ι
f : Filter (α i)
H : Nonempty ((j : ι) → α j)
⊢ (comap (eval i) f).NeBot ↔ (∀ (j : ι), Nonempty (α j)) ∧ f.NeBot
V : Type u
G : SimpleGraph V
H H' : G.Subgraph
h : H ≤ H'
⊢ H.spanningCoe ≤ H'.spanningCoe
α : Type u_1
p : PMF α
s : Set α
Fintype α
⊢ p.toOuterMeasure s = ∑ x : α, s.indicator (⇑p) x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
hb : b ≤ n
⊢ ↑b ≤ a + ↑n ↔ b ≤ ⌊a⌋₊ + n
G : Type u_3
Group G
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℤ
⊢ P (g ^ n)
x y : ZFSet
⊢ ↑x ⊆ ↑y ↔ x ⊆ y
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1
⊢ a * b ≤ 1
α : Type u_1
E : Type u_3
TopologicalSpace α
CompactSpace α
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_4
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
f : α →ᵇ E
⊢ (ContinuousMap.linearIsometryBoundedOfCompact α E 𝕜).symm f = f.toContinuousMap
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : n % 2 = 1
⊢ n % 2 + 2 * (n / 2) = 2 * (n / 2) + 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
f : N → M × M'
hf : Smooth J (I.prod I') f
⊢ Smooth J I' fun x => (f x).2
M : Type u_1
Monoid M
S : Subgroup Mˣ
x : M
h : x ∈ S.ofUnits
⊢ S.unit_of_mem_ofUnits h ∈ S
α : Type u_1
OrderedSemiring α
x : ↑(Set.Ico 0 1)
⊢ 0 ≤ ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ioo a c ⊆ Set.Ioc a b ∪ Set.Ioo b c
β : Type u_2
α : Type u_5
r₁₂ : α → β → Prop
r₂₁ : β → α → Prop
hr : ∀ (a : α) (b : β), r₁₂ a b → r₂₁ b a
⊢ Relator.RightTotal r₁₂ → Relator.LeftTotal r₂₁
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
h' : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)
h : G
hH : h ∈ H
hh : (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) h = ↑h'
⊢ h' • g • B = g • B ∨ Disjoint (h' • g • B) (g • B)
X : Type u_1
x : X
⊢ (of x).support = {x}
α : Type u_1
l : List α
⊢ 0 < l.length → ∃ a, a ∈ l
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
⊢ IsFractional R₁⁰ (I / J)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
Nontrivial E
⊢ ‖UniformSpace.Completion.toComplL‖ = 1
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0_lt : 0 < p
f : α → ℝ≥0∞
hf_nonzero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ 0
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (c : α), funMulInvSnorm f p μ c ^ p ∂μ = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
β : Type u_9
i : Finset β
f : β → Multiset α
⊢ i.sum f = i.sup f ↔ ∀ x ∈ i, ∀ y ∈ i, x ≠ y → (f x).Disjoint (f y)
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), (c ^ finrank ℝ V * φ (c • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))
B : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))
⊢ (fun c => ∫ (w : V), ((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) • f w) =ᶠ[atTop] fun c => ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
c : n ≃ n
hc : c ∈ univ.erase (Equiv.refl n)
⊢ (∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).natDegree ≤ (filter (fun x => c x = x) univ).card
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b✝ : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b✝ r
i : α
b : ℕ
⊢ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, b ≤ r i a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L
⊢ φ.nilRank = (φ.polyCharpoly b).natTrailingDegree
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f '' s ≤ᵐ[μ] s
⊢ s =ᵐ[μ] ∅ ∨ s =ᵐ[μ] Set.univ
w y z : ℝ
x : ℝ≥0
hw : w ≠ 0
h : y + z = w
⊢ x ^ w = x ^ y * x ^ z
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.SeparableSpace α
f : α → β
hf : Continuous f
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable (Set.range f)
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
RCLike 𝕂
NormedCommRing 𝕊
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝕊
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
Algebra 𝕊 𝔸
ContinuousSMul 𝕊 𝔸
IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
⊢ HasFDerivAt (fun u => NormedSpace.exp 𝕂 (u • x)) (NormedSpace.exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) t
R : Type u_1
S : Type u_4
T : Type u_5
CommRing R
CommRing S
CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
h : (g.comp f).IsIntegral
⊢ g.IsIntegral
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 d s x
hx : d x ≠ 0
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => c x / d x) s x
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
⊢ Function.LeftInverse (fun f => derivationToSquareZeroOfLift I hI ↑f ⋯) fun d => ⟨liftOfDerivationToSquareZero I hI d, ⋯⟩
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => x) u ∈ Set.Icc (b * (fun x => x) x) (1 * (fun x => x) x)
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
a : α
s : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ Function.mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = f a * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i