ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndep m hm s μ
t : Set ι
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m (⨆ n ∈ t, s n) (⨆ n ∈ tᶜ, s n) hm μ
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
⊢ W_ R 0 = X 0
X : TopCat
U : Opens ↑X
R : Presieve U
hR : Sieve.generate R ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U
⊢ U ≤ iSup (coveringOfPresieve U R)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
⊢ IsLocallyInjective f ↔ ∀ (x : X), ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn f U
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
t x : ℝ
n : ℕ
⊢ HasDerivAt (fun y => (-y + x) ^ (n + 1)) (-(↑n + 1) * (-t + x) ^ n) t
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
⊢ w ∈ p.toSubgraph.verts ↔ w ∈ p.support
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a : α
b : α
hb : Squarefree b
⊢ Squarefree (gcd a b)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
f : α → β
s : Finset α
h : ∀ x ∈ s, f x = 0
⊢ ∑ x ∈ s, f x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set (Set β)
⊢ f ⁻¹' ⋃₀ s = ⋃ t ∈ s, f ⁻¹' t
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ (↑I).Nonempty
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : MultilinearMap 𝕜 E G
DecidableEq ι
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
H : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
m₁ m₂ : (i : ι) → E i
⊢ ‖f m₁ - f m₂‖ ≤ C * ∑ i : ι, ∏ j : ι, if j = i then ‖m₁ i - m₂ i‖ else max ‖m₁ j‖ ‖m₂ j‖
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Computation α
m : a ∈ s
⊢ f a ∈ s.bind (pure ∘ f)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H : Subgroup N
hH : H.Normal
f : G →* N
x✝ : G
⊢ x✝ ∈ Subgroup.comap f H → ∀ (g : G), g * x✝ * g⁻¹ ∈ Subgroup.comap f H
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
⊢ x ⤳ y ∧ y ⤳ x ↔ x ∈ closure {y} ∧ y ∈ closure {x}
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : AddGroup E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : DistribMulAction 𝕜 E
s t : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ Absorbs 𝕜 U (-s)
α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : Type ?u.20146
f : X✝ ⟶ Y✝
a✝ : ((typeToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).obj X✝).X
a : typeToPartialFun.obj X✝
⊢ ((typeToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).map f ≫ ((fun X => { hom := { toFun := id, map_point := ⋯ }, inv := { toFun := id, map_point := ⋯ }, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }) Y✝).hom).toFun (some a) = (((fun X => { hom := { toFun := id, map_point := ⋯ }, inv := { toFun := id, map_point := ⋯ }, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }) X✝).hom ≫ typeToPointed.map f).toFun (some a)
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
c : ℕ := Fintype.card α
hc0 : 0 < c
h0 : filter (fun a => orderOf a = d) univ = ∅
⊢ c < c
n : ℕ
⊢ max (Nat.log 2 n) (padicValNat 2 (n + 1)) = Nat.log 2 (n + 1)
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a : α
⊢ a⁻¹ ≠ 1 ↔ a ≠ 1
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_4
Finite α
f : M →ₗ[R] α → R
s : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑(f.splittingOfFunOnFintypeSurjective s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
c : ℝ≥0∞
s : Set α
x : F
⊢ (weightedSMul (c • μ) s) x = (c.toReal • ⇑(weightedSMul μ s)) x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x y z : α
s : Set α
hf : Isometry f
⊢ EMetric.diam (range f) = EMetric.diam univ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b => s.indicator 1 b
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
a : α
⊢ a ∈ closure s ↔ ∀ ε > 0, ∃ b ∈ s, dist a b < ε
a b : Cardinal.{u_1}
⊢ a * b ≤ max (max a b) ℵ₀
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
⊢ ρ.snd univ = ρ univ
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : DecidableEq ((i : ι) × α i)
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
x : ι
y : α x
⊢ ⟨x, y⟩ ∈ s.sigma t ↔ ⟨x, y⟩ ∈ s.biUnion fun i => map (Embedding.sigmaMk i) (t i)
ι : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
CommMonoid M
OrderedCommMonoid N
f : M → N
h_one : f 1 = 1
h_mul : ∀ (x y : M), f (x * y) ≤ f x * f y
s : Finset ι
g : ι → M
⊢ f (∏ i ∈ s, g i) ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
R : Type u_1
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
Monoid R
Monoid α
MulAction R α
IsScalarTower R α α
r : R
A : Matrix l m α
B : Matrix n p α
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) (r • A) B = r • Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
hs : Summable fun x => ‖f x‖
hs' : (Function.support f).Countable
this✝ : MeasurableSpace β := borel β
this : BorelSpace β
⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.count, f x ∈ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y
hyz : f y ≤ f z
⊢ f z ≤ f x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
h : LowerSemicontinuous f
s : Set α
⊢ LowerSemicontinuousOn f s
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hsurj : Surjective (Prod.map mk mk)
s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)
hs : IsOpen (Prod.map mk mk ⁻¹' s)
⊢ IsOpen s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hcfg : Asymptotics.IsBigOWith c l f g
k : β → α
l' : Filter β
hk : Filter.Tendsto k l' l
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l' (f ∘ k) (g ∘ k)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun e => -1 • f e
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
ι : Type u_5
s : Finset ι
t : ι → Set E
h : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (t i)
⊢ Convex 𝕜 (∑ i ∈ s, t i)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
x y : Cofix F α
rxy : r x y
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ fun {i} => (α ::: Cofix F α) i
dxeq : x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩
dyeq : y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩
h' : ∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a i), α.RelLast r (f₀ i j) (f₁ i j)
⊢ (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
CompactIccSpace α
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
a b : α
⊢ μ (Set.Ico a b) < ⊤
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ::: P.M α ⟹ β ::: P.M β
x : P.M α
h : ∀ (x : P.M α), lastFun g x = dropFun g <$$> x
⊢ g <$$> dest P x = (dropFun g ::: fun x => dropFun g <$$> x) <$$> dest P x
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
A : ¬K * L⁻¹ = univ
g : G
hg : g ∉ K * L⁻¹
b : G
bL : b ∈ L
ha : (fun x => g • x) b ∈ K
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) (g * b) b⁻¹ = g
α : Type u_1
a : α
⊢ ∀ {L : Array (Array α)}, a ∈ L.join ↔ ∃ l, l ∈ L ∧ a ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
this : PrimrecRel fun a b => a.2 = 0 ∧ b = 0 ∨ 0 < a.2 ∧ b * a.2 ≤ a.1 ∧ a.1 < (b + 1) * a.2
⊢ ∀ (a : ℕ × ℕ) (b : ℕ), a.2 = 0 ∧ b = 0 ∨ 0 < a.2 ∧ b * a.2 ≤ a.1 ∧ a.1 < (b + 1) * a.2 ↔ (fun x x_1 => x / x_1) a.1 a.2 = b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
⊢ x ∈ Ico (0 - 1 / 2) (1 - 1 / 2) ↔ x ∈ Ico (-(1 / 2)) (1 / 2)
m n✝ a n : ℕ
⊢ succ^[n + 1] a = a + (n + 1)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
B : ℝ
⊢ IsCompact (NumberField.mixedEmbedding.convexBodySum K B)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
⊢ (univ.pi t).Nonempty ↔ ∀ (i : ι), (t i).Nonempty
x y : SetTheory.PGame
hy : y.Numeric
ihxy : Surreal.Multiplication.IH1 x y
ihyx : Surreal.Multiplication.IH1 y x
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
h : x.moveLeft i < x.moveLeft j
⊢ ⟦x.mulOption y i k⟧ < -⟦x.mulOption (-y) j l⟧
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)
p_odd : Odd p
AB_not_prime : ¬Prime (A * B)
AB_id : A * B = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
ha₁ : (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1) = b * (b ^ (p - 1) - 1) * (b ^ p + b)
ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b
ha₃ : p ∣ b ^ (p - 1) - 1
⊢ (A * B).ProbablePrime b
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = c
ha : a < c
hc : ℵ₀ ≤ c
hb : b < c
⊢ False
α : Type u
Preorder α
NoBotOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIicTopology α
a : α
⊢ 𝓝 a ⊓ Filter.atBot = ⊥
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
TopologicalSpace α
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ TendstoLocallyUniformly (fun i x => F i ↑x) (f ∘ Subtype.val) p
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
Preorder β
f : α → β
l : Filter α
g : δ → α
l' : Filter δ
b : δ
hf : IsMaxFilter f l (g b)
hg : Filter.Tendsto g l' l
⊢ IsMaxFilter (f ∘ g) l' b
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
self : M →ₗ⁅R,L⁆ N
x : L
m : M
⊢ (↑self).toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, (↑self).toFun m⁆
α : Type u_1
PartialOrder α
s t : Finset α
DecidableEq α
⊢ { ofColex := s \ t } ≤ { ofColex := t \ s } ↔ { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
α : Type u_1
a : α
⊢ Sym.oneEquiv a = ⟨{a}, ⋯⟩
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ α
hn : n ≠ 0
m : ℤ
⊢ n • b - n • a = m • n • p ↔ b - a = m • p
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
⊢ homologyMap e.inv ≫ homologyMap e.hom = 𝟙 S₂.homology
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
⊢ S.val.range = S.toSubalgebra
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ g_nat 0 a t = fun i => rexp (-π * a ^ 2 * t) * rexp (-π * t) ^ i
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝² : CommSemigroup R
inst✝¹ : SMul R M
inst✝ : IsScalarTower R R M
⊢ IsSMulRegular M (a * b) ↔ IsSMulRegular M a ∧ IsSMulRegular M b
α : Type u
t s s' : Set α
⊢ t.ite s s' ∩ t = s ∩ t
α : Type u_1
as : List α
i : Nat
h : List.drop i as ≠ []
⊢ as ≠ []
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup Fₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
𝕜' : Type u_11
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜' 𝕜
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜' 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' Fₗ
IsScalarTower 𝕜' 𝕜 Fₗ
𝕜'' : Type u_12
Ring 𝕜''
Module 𝕜'' Fₗ
ContinuousConstSMul 𝕜'' Fₗ
SMulCommClass 𝕜 𝕜'' Fₗ
SMulCommClass 𝕜' 𝕜'' Fₗ
⊢ (ContinuousLinearMap.restrictScalarsIsometry 𝕜 E Fₗ 𝕜' 𝕜'').toLinearMap =
  ContinuousLinearMap.restrictScalarsₗ 𝕜 E Fₗ 𝕜' 𝕜''
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
x : L
hx : x ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})
⊢ x ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
h : Set α → Set β
t : Set β
⊢ 𝓟 t ≤ f.lift' h ↔ ∀ s ∈ f, t ⊆ h s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_4
CommSemiring 𝕜
A : Type u_5
TopologicalSpace A
Semiring A
TopologicalSemiring A
Star A
ContinuousStar A
Algebra 𝕜 A
⊢ ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A (ContinuousMap.id X) = StarAlgHom.id 𝕜 C(X, A)
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
M : Matrix n n 𝕜
L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D : n → 𝕜
h : (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
⊢ M = (List.map toMatrix (List.map TransvectionStruct.inv L.reverse)).prod * diagonal D * (List.map toMatrix (List.map TransvectionStruct.inv L'.reverse)).prod
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_5
CommRing P'
Algebra R P'
IsLocalization S P'
x : P
⊢ (FractionalIdeal.canonicalEquiv S P P') (FractionalIdeal.spanSingleton S x) =
  FractionalIdeal.spanSingleton S ((IsLocalization.map P' (RingHom.id R) ⋯) x)
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
Ms : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
(i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
AddCommGroup N
Module R N
Fintype ι
DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
q : Submodule R N
f : (i : ι) → Ms i →ₗ[R] N
hf : ∀ (i : ι), p i ≤ Submodule.comap (f i) q
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
⊢ (Submodule.piQuotientLift p q f hf) (Pi.single i x) = ((p i).mapQ q (f i) ⋯) x
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w' : InfinitePlace K
e : { w // w ≠ w' } ≃ Fin (rank K)
e' : { w // w ≠ w₀ } ≃ Fin (rank K) := Fintype.equivOfCardEq ⋯
⊢ regulator K = |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(fundSystem K (e i))))).det|
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
Ring 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
x y : E
a b : 𝕜
f : E →ᵃ[𝕜] F
h : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) = a • f x + b • f y
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : CompleteLattice ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ι m
ω : Ω
⊢ (∀ (x : ι), ¬(x ∈ Set.univ ∧ u x ω ∈ s)) → ⊤ = sInf {i | u i ω ∈ s}
F : PFunctor.{u}
x : ↑F F.M
⊢ (PFunctor.M.mk x).dest = x
x : ℝ*
r : ℝ
hxr : x.IsSt r
⊢ (x - ↑r).Infinitesimal
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t : Set α
⊢ s ⊼ t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : CompactSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
s : Set β
hs : IsCompact s
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
in_s : ∀ (f : α →ᵇ β) (x : α), f ∈ A → f x ∈ s
H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
⊢ IsCompact A
δ' : Type u_5
π : δ' → Type u_6
(x : δ') → MeasurableSpace (π x)
Unique δ'
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.piUnique π).symm = uniqueElim
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_6
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
S : Set E
ε : ι → 𝕜
x : ι → E
l : Filter ι
hS : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 S
hxS : ∀ᶠ (n : ι) in l, x n ∈ S
hε : Filter.Tendsto ε l (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
z : ℤ
⊢ z * z % 4 ≠ 2
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : SMulCommClass R A A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : NonAssocSemiring B
inst✝² : Module R B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
inst✝ : IsScalarTower R B B
x : A ⊗[R] B
⊢ (mul (1 ⊗ₜ[R] 1)) x = x
P : Type u_1
inst✝¹ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
inst✝ : I.IsProper
h : ∀ {x : P}, x ∈ I ∨ xᶜ ∈ I
⊢ ∀ {x y : P}, x ⊓ y ∈ I → x ∉ I → y ∈ I
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ] {g : G}
  {s : Set α}, g ∈ MulAction.aestabilizer G μ s ↔ g • s =ᵐ[μ] s
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a b : α
⊢ Order.pred a ≤ b ↔ b = Order.pred a ∨ a ≤ b
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
b : α
⊢ multiplicity 1 b = ⊤
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle x (x - y) + InnerProductGeometry.angle y (y - x)) =
  Real.sin (InnerProductGeometry.angle x y)
α : Type u
n m : ℕ
s : Stream' α
⊢ Stream'.drop n (Stream'.drop m s) = Stream'.drop (n + m) s
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp_pos : 0 < p
hpq : p ≤ q
⊢ (a ^ q + b ^ q) ^ (1 / q) ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
IsDomain R
Algebra R S
IsDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
IsIntegrallyClosed R
s : S
P : R[X]
hmo : P.Monic
hP : (Polynomial.aeval s) P = 0
Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
⊢ P = minpoly R s
R : Type u_3
y : PUnit.{u_4 + 1}
r : R
⊢ r +ᵥ y = PUnit.unit
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ⟂ₘ μ
A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a
u : ℕ → ℝ≥0
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
m n : Nat
⊢ Int.negSucc m * ↑n = -↑(m.succ * n)
R : Type u
M : Type v
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
Finite ι
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
Module R M
f g : ((i : ι) → φ i) →ₗ[R] M
h : ∀ (i : ι), f ∘ₗ LinearMap.single i = g ∘ₗ LinearMap.single i
⊢ f = g
n : ℕ
⊢ n ≡ (Nat.digits 10 n).sum [MOD 9]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
inst✝ : J.Boundaryless
⊢ univ.prod ∅ ∪ (I.boundary M).prod univ = (I.boundary M).prod univ
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
⊢ ∀ (a b : α), Setoid.r a b ↔ b * a⁻¹ ∈ s
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction
⊢ s.SOppSide x (v +ᵥ y) ↔ s.SOppSide x y
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0
⊢ ↑(sqrt x) = ↑(x ^ (1 / 2))
l m✝ n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
P : Matrix (Fin (m + 1)) (Fin n) α → Prop
⊢ (∀ (x : Fin n → α) (x_1 : Matrix (Fin m) (Fin n) α), P (of (vecCons x x_1))) ↔ ∀ (x : Matrix (Fin (m + 1)) (Fin n) α), P x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support
⊢ { support := l.support.preimage f ⋯, toFun := fun a => l (f a), mem_support_toFun := ⋯ }.support = ∅ → l.support = ∅
n : ℕ
⊢ IsSquare (OfNat.ofNat n) ↔ IsSquare (OfNat.ofNat n)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
t : Set α := toMeasurable μ s
ht : t = toMeasurable μ s
ht_m : MeasurableSet t
⊢ ∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν ≤ (μ s).toReal
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : LinearOrderedCommRing S
n : Type u_3
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
abv : AbsoluteValue R S
x : S
hx : ∀ (i j : n), abv (A i j) ≤ x
σ : Perm n
x✝ : σ ∈ univ
⊢ abv (Perm.sign σ • ∏ i : n, A (σ i) i) = ∏ i : n, abv (A (σ i) i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
X : C
s : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ A
p : CategoryTheory.OverPresheafAux.OverArrows η s
⊢ η.app (Opposite.op X) p.val = CategoryTheory.yonedaEquiv s
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p : P
l : L
q : P
hq : q ∉ l
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
⊢ lineCount L q = pointCount P l
α : Type u
x y : α
s : Set α
⊢ x ∈ s \ {y} ↔ x ∈ s ∧ x ≠ y
α : Type u_1
β : α → Type u_3
a : α
snd : β a
⊢ (Function.Embedding.sigmaMk a) snd = ⟨a, snd⟩
R M : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤
⊢ ⨅ i, I ^ i • ⊤ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set (Set β)
⊢ sSup (⋃₀ s) = ⨆ t ∈ s, sSup t
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ ⨆ i, S i → ∃ i, x ∈ S i
m n✝ i n : ℕ
h✝ : 2 ≤ i
⊢ i + (n + 1)! ≤ (i + (n + 1))!
R : Type u_1
CommSemiring R
I J : Ideal R
J.IsPrime
e : I ≤ J
⊢ ∃ p ∈ I.minimalPrimes, p ≤ J
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
M : Ideal A
hM : P < M
P'_ne : ↑P ≠ 0
M'_ne : ↑M ≠ 0
x : FractionRing A
hx : x ∈ (fun a => ↑a) ((↑M)⁻¹ * ↑P)
le_one : (↑M)⁻¹ * ↑P ≤ 1
⊢ x ∈ (fun a => ↑a) ↑P
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : IsDomain A
K : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0
⊢ x * IsFractionRing.inv A x = 1