ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p n : ℕ
hp : 1 ≤ 0
h : ¬p ∣ n
⊢ False
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : α → E
a : Filter α
b : E
⊢ Tendsto f a (𝓝 b) ↔ Tendsto (fun e => ‖f e / b‖) a (𝓝 0)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n' = q
p' : ℤ
hp' : p + n = p'
⊢ p' = q + a
z : ℂ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P
⊢ c ∈ perpBisector p₁ ((Equiv.pointReflection p₂) p₁) ↔ ⟪c -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
r : R
⊢ (CliffordAlgebra.contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) = 0
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
x : L
hx : x ∈ LieAlgebra.rootSpace H ⇑(LieModule.chainTop (⇑α) β)
⊢ ↑(LieAlgebra.IsKilling.chainLength α β) • x = ⁅LieAlgebra.IsKilling.coroot α, x⁆
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_6
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝² : (fun y => f y - f x - f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this✝¹ : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
this✝ : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (d n)) =o[l] d
this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (f' v))
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖↑r - ↑↑↑n‖ < 1
⊢ max ‖↑x - ↑r‖ ‖↑r - ↑n‖ < 1
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq✝ : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hq0_lt : 0 < q
hpq_eq : ¬p = q
hpq : p < q
g : α → ℝ≥0∞ := fun x => 1
h_rw : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ = ∫⁻ (a : α), (↑‖f a‖₊ * g a) ^ p ∂μ
r : ℝ := p * q / (q - p)
⊢ (∫⁻ (a : α), (↑‖f a‖₊ * g a) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
x_ne_zero : x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x => x⁻¹) s x = -(x ^ 2)⁻¹
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a₁ a₂ : A
p₁ p₂ : R[X]
⊢ (PolyEquivTensor.toFunLinear R A) ((a₁ * a₂) ⊗ₜ[R] (p₁ * p₂)) =
  (PolyEquivTensor.toFunLinear R A) (a₁ ⊗ₜ[R] p₁) * (PolyEquivTensor.toFunLinear R A) (a₂ ⊗ₜ[R] p₂)
ι : Type uι
R : Type uR
A : ι → Type uA
DecidableEq ι
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
DirectSum.GAlgebra R A
⊢ ↑(algebraMap R (DirectSum ι fun i => A i)) = (DirectSum.of A 0).comp DirectSum.GAlgebra.toFun
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
hnp : L.Equiv N P
hmn : L.Equiv M N
⊢ (hnp.comp hmn).toEmbedding = hnp.toEmbedding.comp hmn.toEmbedding
G : Type u_3
AddGroup G
G' : Type u_5
AddGroup G'
AddGroup.FG G
AddGroup.FG G'
f : G →+ G'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ AddGroup.rank G' ≤ AddGroup.rank G
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
AddCommMonoid β
h : ∑ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ s.Nonempty
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr
⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ b ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.abelianImageToKernel
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.kernel.ι S.g) (CategoryTheory.Limits.cokernel.π S.f)) =
  0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
f : S₁ ⟶ S₂
g : S₂ ⟶ S₃
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).f₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f₁ g.f₁
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0
⊢ (W.preΨ' n).natDegree = (n ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2
x : ℝ
⊢ Real.log x⁻¹ = -Real.log x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ : Fin (n + 3)
p : P
h : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p ∈ s.mongePlane i₁ i₂
h' : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p -ᵥ s.mongePoint ∈ (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂})ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ p -ᵥ s.mongePoint = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (dslope f a) b ↔ DifferentiableAt 𝕜 f b
v : PrimeMultiset
p : ℕ
h : p ∈ v.toNatMultiset
val✝ : ℕ
hp' : Nat.Prime val✝
left✝ : ⟨val✝, hp'⟩ ∈ v
h_eq : Coe.coe ⟨val✝, hp'⟩ = p
⊢ Nat.Prime p
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
h : x ≠ 0
⊢ (coord R M x h) ⟨x, ⋯⟩ = 1
X : LocallyRingedSpace
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : Γ.rightOp.obj X ⟶ op (CommRingCat.of R)
U : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op (CommRingCat.of R))).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ toOpen R (unop U) ≫ ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.c.app U = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
f : α → α'
g : M →ₗ[R] M'
h : ∀ (i : α), g (v i) = v' (f i)
l : α
⊢ ((Finsupp.total α' M' R v' ∘ₗ lmapDomain R R f) ∘ₗ lsingle l) 1 = ((g ∘ₗ Finsupp.total α M R v) ∘ₗ lsingle l) 1
R : Type u_1
CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
hdiv : p ∣ q
hdeg : q.natDegree ≤ p.natDegree
⊢ q = p
M : Type u_2
X : Type u_3
TopologicalSpace M
SMul M X
ts : Set (TopologicalSpace X)
h : ∀ t ∈ ts, ContinuousSMul M X
⊢ ContinuousSMul M X
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
s : Set α
p : Filter ι
hF : UniformCauchySeqOn F p s
⊢ UniformCauchySeqOnFilter F p (𝓟 s)
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ ∑ i ∈ n.properDivisors, i = n ↔ ∑ i ∈ n.properDivisors, i + n = n + n
o : ONote
b₁ b₂ : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
eb b : Ordinal.{0}
h₁ : e.NFBelow eb
h₂ : a.NFBelow e.repr
h₃ : e.repr < b
a_ih✝¹ : eb ≤ b₂ → e.NFBelow b₂
a_ih✝ : e.repr ≤ b₂ → a.NFBelow b₂
bb : b ≤ b₂
⊢ e.repr < b₂
E : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
R' : Type u_11
Ring R'
Module R' E
p : Submodule R' E
⊢ p.subtypeₗᵢ.toLinearMap = p.subtype
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
⊢ Filter.Tendsto (𝓕 f) (Filter.cocompact ℝ) (𝓝 0)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : C(β, γ)
f : C(α, β)
U : TopologicalSpace.Opens γ
⊢ (TopologicalSpace.Opens.comap f) ((TopologicalSpace.Opens.comap g) U) = (TopologicalSpace.Opens.comap (g.comp f)) U
α : Type u_2
OrderedCommGroup α
⊢ ⊥⁻¹ = ⊥
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
CategoryTheory.Limits.HasLimit G
t : CategoryTheory.Limits.Cone G
w : F ≅ G
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.lift G t ≫ (CategoryTheory.Limits.HasLimit.isoOfNatIso w).inv =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift F ((CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose w.inv).obj t)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ ↑↑↑(f + g) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑↑↑f x + ↑↑↑g x
R : Type u
Semiring R
x : R
n : ℕ
a : R
⊢ Polynomial.eval x ((Polynomial.monomial n) a) = a * x ^ n
ι : Type u
f : ι → AlgebraicGeometry.Scheme
i : (AlgebraicGeometry.disjointGlueData f).J
⊢ (AlgebraicGeometry.disjointGlueData f).ι i ≫ (AlgebraicGeometry.sigmaIsoGlued f).inv = CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f i
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih : ∀ (a : Args), TransGen (CutExpand IsOption) (match a with | Args.P1 x y => {y, x} | Args.P24 x₁ x₂ y => {x₁, y, x₂}) {y, x} → P124 a
⊢ ∀ (a : Args), TransGen (CutExpand IsOption) (match a with | Args.P1 x y => {y, x} | Args.P24 x₁ x₂ y => {x₁, y, x₂}) {y, x} → P124 a
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y = 0 ↔ SameRay ℝ x y
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
α : Type u_3
hA : PartialOrder α
A B : OrderTop α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ ⊤ ≤ ⊤
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))
h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j
⊢ ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (W ∩ closedBall (w j) (r₁ (f j))) / μ (closedBall (w j) (r₁ (f j))) ≤ ↑(1 - C⁻¹)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
⊢ Monotone star
R : Type u
NonAssocSemiring R
⊢ StrictMono Subsemiring.toAddSubmonoid
K : SSet
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
x : K.obj Δ
⊢ (λ_ K).inv.app Δ x = (PUnit.unit, x)
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommMonoid β
l : Filter α
f g : α → β
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
hg : ∀ (x : α), g x ≤ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atBot
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : DecidableEq α
x y y' : α
h : y ≠ y'
⊢ ∃ y, y ≠ x
α : Type u_2
β : Type u_3
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β
f : α →+*o β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
T : ℝ
hT : T ≠ 0
x : ℝ
⊢ (homeomorphCircle hT) ↑x = toCircle ↑x
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ (∀ a' ∈ l, ¬a = a') ↔ a ∉ l
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
⊢ (Multiset.map asIdeal (Wx + Wy)).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal (Wx + Wy)).prod ≠ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
⊢ HasSum (fun n => (1 / 2) ^ n) 2
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
⊢ Pairwise fun x y => Ico (a * b ^ x) (a * b ^ (x + 1)) ∩ Ico (a * b ^ y) (a * b ^ (y + 1)) ⊆ ∅
G : Type u_2
Inv G
MeasurableSpace G
MeasurableInv G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet s⁻¹
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
h : p.natDegree < q.natDegree
⊢ (p - q).natDegree = q.natDegree
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
R : Type u_1
r : R
s : ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
⊢ ↑(r • s) = r • ↑s
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : i < c.length
⊢ c.sizeUpTo i < c.sizeUpTo i + c.blocks[i]
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s₁ s₂ : α
⊢ s₁ ⊔ s₂ = ⨆ b, bif b then s₁ else s₂
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ (t \ s).encard + s.encard = t.encard
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeSup α
OrderBot α
f : β → α
DecidableEq β
s : Finset γ
t : γ → Finset β
⊢ (s.biUnion t).sup f = s.sup fun x => (t x).sup f
⊢ ConvexOn ℝ (Ioi 0) (log ∘ Gamma)
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (restrictScalars f).obj Y ⟶ X
s : S
y : ↑Y
t : S
⊢ g (t • s • y) = g ((t * s) • y)
x : ℂ
n : ℤ
⊢ Complex.tan (x + ↑n * ↑Real.pi) = Complex.tan x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
h : e.toBasis.orientation = f.toBasis.orientation
⊢ e.toBasis.det ⇑f = 1
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : HasKernels C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
f : X ⟶ Y
I : IsIso f
h : f = 0
⊢ False
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]
h' : ∀ x ∈ [[a, b]], x ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x⁻¹ = Real.log (b / a)
G : Type u_1
Group G
φ : G →* G
Finite G
hφ : MonoidHom.FixedPointFree ⇑φ
n : ℕ
hn : (⇑φ)^[n] = id
g : G
⊢ (List.map (fun k => (⇑φ)^[k] g) (List.range n)).prod = 1
α : Type u
l : List α
⊢ l.attach.Nodup ↔ l.Nodup
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (x / ↑n) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x
α : Sort u_1
p : α → Prop
b : Prop
⊢ (∃ x, p x) → b ↔ ∀ (x : α), p x → b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α
i : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i
hi₃ : VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ
hμ : s.toJordanDecomposition.posPart = s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂
hν : s.toJordanDecomposition.negPart = s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃
⊢ s.toJordanDecomposition.toSignedMeasure = s
f f' : ℝ → ℝ
δ K ε a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Set.Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, (z - x)⁻¹ * (f z - f x) < r
ha : f a ≤ δ
bound : ∀ x ∈ Set.Ico a b, f' x ≤ K * f x + ε
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Icc a b → f x ≤ gronwallBound δ K ε (x - a)
x z : Class
hz : z ∈ x
w : ZFSet
hw : (⋂₀ x) w
⊢ ↑w ∈ z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
h : 0 < l.length
⊢ l.maximum = ↑(maximum_of_length_pos h)
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
h : 0 < x
h₁ : 0 < y
⊢ logb b x ≤ logb b y ↔ y ≤ x
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
⊢ ∀ (B_1 : Set α), M.Base B_1 → (insert e (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) ∩ B_1).Nonempty
G : Type u_3
H : Type u_4
Div G
Div H
a b : G × H
⊢ (a / b).2 = a.2 / b.2
α : Type u
β : Type v
a : α
BEq α
⊢ List.lookup a List.nil = none
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : SMul R L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : MulActionHomClass F R L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
t : R
x : L
contra : ¬μ (t • x) = t • μ x
⊢ False
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
v : V
⊢ v +ᵥ p₂ ∈ affineSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₁ -ᵥ p₂) = v
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : Embedding ⇑f
H₂ : Embedding ⇑g
e_2✝ : ↑((cospan f g).obj WalkingCospan.one) = ↑S
⊢ ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.right ≫ (cospan f g).map WalkingCospan.Hom.inr) = ⇑(pullback.snd f g ≫ g)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f : M →ₗ[R] N
a : A
x : M
⊢ (LinearMap.baseChange A f) (a ⊗ₜ[R] x) = a ⊗ₜ[R] f x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
s : Set α
t : Set β
ml : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → f x ∈ t
mr : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ t → g x ∈ s
il : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → g (f x) = x
ir : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ t → f (g x) = x
⊢ ↑{ toFun := f, invFun := g, source := s, target := t, map_source' := ml, map_target' := mr, left_inv' := il,
        right_inv' := ir }.symm =
  g
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring A
Semiring B
Module A M
Module B M
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R B M
SMulCommClass A B M
S : Type u_5
CommSemiring S
Module S M
Algebra S A
Algebra S B
IsScalarTower S A M
IsScalarTower S B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
⊢ ↑(Subbimodule.baseChange S p) = ↑p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : (ν + μ) t ≠ ⊤
⊢ ν (toMeasurable (ν + μ) t ∩ s) = ν (t ∩ s)
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
e : G ≃* G'
H : Subgroup G
g : ↥(Subgroup.map (↑e) H)
⊢ (e.subgroupMap H).symm g = ⟨e.symm ↑g, ⋯⟩
n : ℕ
u : (ZMod n)ˣ
⊢ (↑u).val.Coprime n
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T : Triangle Cᵒᵖ
⊢ T ∈ distinguishedTriangles C ↔ Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.invRotCompRot.hom.app X).hom₂ = 𝟙 X.obj₂
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
⊢ 0 ≤ a • b ↔ (a < 0 → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → a ≤ 0)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ R
a : Γ
ha : a ∈ (x + y).support
⊢ a ∈ x.support ∪ y.support
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
One γ
f : α × β → γ
a : α
h : (Function.mulSupport f).Finite
⊢ (Function.mulSupport fun b => f (a, b)).Finite
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
n : ℕ
x : WittVector p R
⊢ (WittVector.ghostComponent n) (WittVector.frobenius x) = (WittVector.ghostComponent (n + 1)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
s : Set α
hμs : s ∈ μ.cofinite
hsm : MeasurableSet s
hfs : ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ε
⊢ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)
v : F
hv : v ∈ K
w_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)
⊢ v ∈ K ∧ ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
⊢ 2 = ↑1 + 1
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
h : IsLeast s a
⊢ s.Nonempty
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Φ 2 =
  Polynomial.X ^ 4 - Polynomial.C W.b₄ * Polynomial.X ^ 2 - Polynomial.C (2 * W.b₆) * Polynomial.X - Polynomial.C W.b₈
α : Type u_1
LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ Set.Ioo a₁ b₁ ∩ Set.Ioo a₂ b₂ = Set.Ioo (a₁ ⊔ a₂) (b₁ ⊓ b₂)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
x : α
h : Fintype.card α = 1
⊢ univ.card ≤ {x}.card
M : Type u_1
Monoid M
R : Type v
Semiring R
MulSemiringAction M R
FaithfulSMul M R
⊢ Function.Injective (MulSemiringAction.toRingHom M R)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x y : V
⊢ o.oangle x y = ↑((starRingEnd ℂ) (f x) * f y).arg
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) l ↔ ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : ⟨k, c⟩ ∈ (Ico 2 (n + 1)).sigma fun k => {c | 1 < c.length}.toFinset
⊢ ⟨k, c⟩ ∈ compPartialSumTarget 2 (n + 1) n
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
r : α → α → Prop
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → r a b
⊢ Pairwise r l