ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
x : E
i : ι
hi : i ∈ s
hix : (s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩) = ⟨(p i) x, ⋯⟩
⊢ ∃ i ∈ s, (s.sup p) x = (p i) x
K : Type u_2
M : Type u_3
Field K
AddCommGroup M
Module K M
Module.Finite K M
φ : Module.End K M
⊢ [φ.HasEigenvalue 0, (minpoly K φ).IsRoot 0, Polynomial.constantCoeff (LinearMap.charpoly φ) = 0, LinearMap.det φ = 0,
    ⊥ < LinearMap.ker φ, ∃ m, m ≠ 0 ∧ φ m = 0].TFAE
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ ¬s ⊆ t ↔ ∃ x ∈ s, x ∉ t
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μs : ℕ → LevyProkhorov (ProbabilityMeasure Ω)
ν : LevyProkhorov (ProbabilityMeasure Ω)
hμs : Tendsto μs atTop (𝓝 ν)
P : ProbabilityMeasure Ω := ν.toProbabilityMeasure
Ps : ℕ → ProbabilityMeasure Ω := fun n => (μs n).toProbabilityMeasure
f✝ f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
f_zero : ¬‖f‖ = 0
norm_f_pos : 0 < ‖f‖
⊢ limsup (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑((toProbabilityMeasure ∘ μs) i)) atTop ≤ ∫ (x : Ω), f x ∂↑P
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
c : ℂ
R C : ℝ
f : ℂ → F
hR : 0 < R
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)
hC : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
e : F →L[ℂ] F̂ := UniformSpace.Completion.toComplL
this : HasDerivAt (⇑e ∘ f) (e (deriv f c)) c
⊢ ‖deriv f c‖ ≤ C / R
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a b : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
⊢ a < b ↔ ∃ c, c > 0 ∧ b = a + c
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
i j : n
Fintype n
a : n
c : R
M : Matrix n n R
⊢ (M * Matrix.transvection i j c) a j = M a j + c * M a i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
humeas : MeasurableSet u
hfinite : (s \ u).Finite
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
ι : Type v
α : ι → TopCat
i : ι
x : (i : ι) → ↑(α i)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Pi.π α i) ((TopCat.piIsoPi α).inv x) = x i
x y : PartENat
hx : Decidable x.Dom
hy : Decidable y.Dom
⊢ x.toWithTop ≤ y.toWithTop ↔ x ≤ y
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
self : CategoryTheory.Bicategory.Strict B
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.CategoryStruct.id b) = f
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a < -b ↔ a + b < 0
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_11
s : ι → Set α
⊢ ⋃ i, ⋃ x, s i ⊆ ⋃ i, s i
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedLatticeAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
OrderedSMul ℝ E
f : α → E
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] μ[f|m]
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsSeparatedMap f
g : A → Y
⊢ IsSeparatedMap snd
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
LE α
LE β
LE γ
e₁ : α ≃o β
e₂ : β ≃o γ
c : γ
⊢ (e₁.trans e₂).symm c = e₁.symm (e₂.symm c)
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
σR : Type u_1
σS : Type u_2
SetLike σR R
SetLike σS S
SubsemiringClass σR R
SubsemiringClass σS S
f : R →+* S
s' : σR
s : σS
h : ∀ x ∈ s', f x ∈ s
x : ↥s'
⊢ ↑((f.restrict s' s h) x) = f ↑x
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
⊢ ⊤.prod ⊤ = ⊤
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun x => x * Real.log x) (Real.log x + 1) x
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
i : ι
s : Set (σ i)
hs : IsOpen s
⊢ ∀ (i_1 : ι), IsOpen (Sigma.mk i_1 ⁻¹' (Sigma.mk i '' s))
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f g : MonoidAlgebra k G
x x✝¹ : G
x✝ : k
⊢ (sum g fun a₂ b₂ => single (x✝¹ * a₂) (x✝ * b₂)) x = sum g fun a₂ b₂ => if x✝¹ * a₂ = x then x✝ * b₂ else 0
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : IsCofiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
J : Type w
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : FinCategory J
F : J ⥤ C
⊢ Nonempty (Cone F)
⊢ TopCat.adj₁.counit = { app := fun X => { toFun := id, continuous_toFun := ⋯ }, naturality := TopCat.adj₁.proof_3 }
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a a' : α
b : M
Unique α
b' : M
⊢ Finsupp.single a b = Finsupp.single a' b' ↔ b = b'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z₁ z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cocycle F G n
⊢ ↑(z₁ + z₂) = ↑z₁ + ↑z₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.Hom.id sq).τ₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.id sq.X₄
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
p : MvPolynomial σ R
⊢ (rename f) p = Finsupp.mapDomain (Finsupp.mapDomain f) p
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f 1 μ = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.RepresentablyFlat (𝟭 C)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
F.PreservesEpimorphisms
α : F ≅ G
⊢ G.PreservesEpimorphisms
a : ℤ
b : ℤ
b0 : b ≠ 0
⊢ (Rat.divInt a b).num ∣ a
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Submodule.span (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
⊢ Submodule.span R ↑(s.attach.biUnion sf) = ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
n : ℤ
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map
    ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).counitIso.hom.app X).unop =
  ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).unitIso.inv.app
      (Opposite.op ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj (Opposite.unop X)))).unop
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
⊢ ⋂ p ∈ {x | ∃ s ∈ S, s.toSubmodule = x}, ↑p = ⋂ s ∈ S, ↑s
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
c : F
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ constFormalMultilinearSeries 𝕜 E c n = 0
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M M₁ M₂ M₃ : ModuleCat R
l₁₂ : M₁ ⟶ M₂
l₂₃ : M₂ ⟶ M₃
x✝ : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))
y✝ : ↑M₁
⊢ (LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝) = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → ℝ
s : Set α
h : BoundedVariationOn f s
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ |f x - f y| ≤ (eVariationOn f s).toReal
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
o : StAct k
q : Stmt₂
v : σ
S : List (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse
n : ℕ
IH : n ≤ S.length → Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
H : n + 1 ≤ S.length
⊢ some (bif (L.nth n k).isNone then TM1.stepAux (trStAct (goto fun x x => ret q) o) v ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) else { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) }) = some { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) }
α : Type u_1
β : Type u_2
Pow α β
p : Prop
Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
c : β
⊢ (if h : p then a h else b h) ^ c = if h : p then a h ^ c else b h ^ c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s : Finset α
a b : ℕ
⊢ _root_.Disjoint (range a) (map (addRightEmbedding a) (range b))
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
Apos : 0 ≤ A
⊢ ∀ (i : α × (K →+* ℂ)) (j : β × (K →+* ℂ)), ‖NumberField.house.asiegel K a i j‖ ≤ NumberField.house.c₂ K * A
X : Scheme
P : ↑X.affineOpens → Prop
ι : Sort u_2
U : ι → ↑X.affineOpens
iSup_U : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤
V : ↑X.affineOpens
basicOpen : ∀ (U : ↑X.affineOpens) (f : ↑Γ(X, ↑U)), P U → P (X.affineBasicOpen f)
openCover : ∀ (U : ↑X.affineOpens) (s : Finset ↑Γ(X, ↑U)), Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (f : { x // x ∈ s }), P (X.affineBasicOpen ↑f)) → P U
hU : ∀ (i : ι), P (U i)
⊢ P V
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
⊢ SurjOn f s (f '' s) ∧ MapsTo f s (f '' s)
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'
this✝² : IsCompact s
this✝¹ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance
this✝ : CompactSpace (Subtype s)
this : Nonempty (Subtype s)
ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'
ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ)
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ : CategoryTheory.GradedObject I C
X₁.HasTensor X₂
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
j : I
A : C
f g : CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂) X₃ j ⟶ A
H : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃
h :
  ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (h : i₁ + i₂ + i₃ = j),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h) f =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h) g
⊢ f = g
E : Type u
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.Countable
⊢ Dense sᶜ
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
⊢ ‖f‖ ^ p.toReal - ‖f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)‖ ^ p.toReal = ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
y : ℤ
h : x = ↑y ∧ y * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n
⊢ x.valMinAbs = y
α : Type u_1
a : α
as : Array α
self : Array.Mem a as
⊢ a ∈ as.data
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
Fintype α
⊢ Finset.Colex.IsInitSeg (Finset.Colex.initSeg s) s.card
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedSemiring α
OrderedAddCommMonoid β
MulActionWithZero α β
CeilDiv α β
a : α
PosSMulMono α β
PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a
b : β
⊢ a • b ⌈/⌉ a = b
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n m : ℕ
hn : 0 < n
⊢ IsOfFinAddOrder ↑(p / ↑n)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set (β × ℝ)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (t : Set (β × ℝ)), MeasurableSet t → ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ t} ∂ν a = (κ a) t → ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ tᶜ} ∂ν a = (κ a) tᶜ
α : Type u_1
I B X E : Set α
M : Matroid α
hM : ∃ M_1, E = M_1.E ∧ ∀ (I : Set α), M_1.Indep I ↔ M.Indep I
⊢ M.Indep ∅
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(oneCocycles A)
g : G
⊢ (A.ρ g) (↑f g⁻¹) = -↑f g
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ Continuous ⇑f.val.base
m n✝ n : ℕ
a b : ZMod n
h : a.val + b.val < n
this : NeZero n
⊢ (a + b).val = a.val + b.val
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
p q : K[X]
⊢ RatFunc.mk p q = { toFractionRing := (algebraMap K[X] (FractionRing K[X])) p / (algebraMap K[X] (FractionRing K[X])) q }
a b : ℝ
n : ℕ
C : ℝ := sin a ^ (n + 1) * cos a - sin b ^ (n + 1) * cos b
h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)
hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun y => sin y ^ (n + 1)) (↑(n + 1) * cos x * sin x ^ n) x
hv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (-cos) (sin x) x
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑(n + 1) * cos x * sin x ^ n) MeasureTheory.volume a b
x : ℝ
x_large : 512 ≤ x
f : ℝ → ℝ := fun x => log x + √(2 * x) * log (2 * x) - log 4 / 3 * x
⊢ x * (2 * x) ^ √(2 * x) * 4 ^ (2 * x / 3) ≤ 4 ^ x
α : Type u_1
ms : MeasurableSpace α
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
h : ms ≤ m.caratheodory
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (m.toMeasure h) s = m s
α : Type u
ι : Sort u_1
Countable ι
t : ι → TopologicalSpace α
ht : ∀ (i : ι), SecondCountableTopology α
⊢ SecondCountableTopology α
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i : Discrete ι
this : colimit.ι (F ⋙ forget C) i = (Discrete.natIsoFunctor.hom.app i ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) i) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv
⊢ OpenEmbedding ⇑(colimit.ι (F ⋙ forget C) i ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).inv)
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set β
⊢ s₁ ∪ s₂ -ᵥ t₁ ∩ t₂ ⊆ s₁ -ᵥ t₁ ∪ (s₂ -ᵥ t₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Set α → Set α → Filter β
hg₁ : ∀ (s : Set α), Monotone fun t => g s t
hg₂ : ∀ (t : Set α), Monotone fun s => g s t
⊢ (f.lift fun s => f.lift (g s)) = f.lift fun s => g s s
a b c : Ordinal.{u_4}
⊢ a < b - c ↔ c + a < b
α : Type u_1
Preorder α
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
H : Ordnode.Valid' o₁ (Ordnode.node s l x r) o₂
⊢ Ordnode.Valid' (↑(l.findMin' x)) (l.node' x r).eraseMin o₂ ∧ (l.node' x r).size = (l.node' x r).eraseMin.size + 1
𝕜 : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : Fintype ι₁
inst✝ : Fintype ι₂
v : OrthonormalBasis ι₁ 𝕜 E
w : OrthonormalBasis ι₂ 𝕜 F
⊢ (∀ (a : ι₁), (v.prod w) (Sum.inl a) = Sum.elim (⇑(LinearMap.inl 𝕜 E F) ∘ ⇑v) (⇑(LinearMap.inr 𝕜 E F) ∘ ⇑w) (Sum.inl a)) ∧ ∀ (b : ι₂), (v.prod w) (Sum.inr b) = Sum.elim (⇑(LinearMap.inl 𝕜 E F) ∘ ⇑v) (⇑(LinearMap.inr 𝕜 E F) ∘ ⇑w) (Sum.inr b)
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
x : X
hx : x ∈ s
H : ∑ᶠ (i : ι), (f i) x = 1
⊢ ∃ i, 0 < (f i) x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ (μ + ν).withDensity f = μ.withDensity f + ν.withDensity f
R : Type u
CommRing R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type
f : (ι → R) →ₗ[R] M
⊢ Function.Exact ⇑(LinearMap.ker f).subtype ⇑f
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q : QuadraticMap R M N
B : BilinMap R M R
x y : M
⊢ (((associatedHom S) B.toQuadraticMap) x) y = ⅟2 • ((B x) y + (B y) x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F F' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F' ⟶ F
⊢ CategoryTheory.GrothendieckTopology.toImagePresheaf f ≫ (CategoryTheory.GrothendieckTopology.imagePresheaf f).ι = f
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → β
Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
⊢ s.indicator f =ᵐ[μ] 0
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
IsDedekindDomain S
hp0 : Ideal.map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
⊢ Ideal.ramificationIdx f p P = Multiset.count P (UniqueFactorizationMonoid.factors (Ideal.map f p))
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
ι : Sort u_2
f : F
s : ι → NonUnitalSubsemiring R
⊢ NonUnitalSubsemiring.map f (iSup s) = ⨆ i, NonUnitalSubsemiring.map f (s i)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α}, none.getD a = a
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_5
TopologicalSpace α
Zero β
Zero γ
f : α → β
f' : α → γ
hf : HasCompactSupport f
hff' : Function.support f' ⊆ Function.support f
⊢ HasCompactSupport f'
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} (s : ι → Set Ω) (μ : MeasureTheory.Measure Ω),
  ProbabilityTheory.iIndepSet s μ ↔
    ∀ (s' : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s', MeasurableSet (f i)) → μ (⋂ i ∈ s', f i) = ∏ i ∈ s', μ (f i)
n : ℕ
this : π < (√(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2 + 1 / (2 ^ n) ^ 3 / 4) * 2 ^ (n + 2)
⊢ 1 / (2 ^ n) ^ 3 / 4 * 2 ^ (n + 2) = 1 / 4 ^ n
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n : ℕ
IH : Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) } { l := some (ret q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) }
⊢ { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) } ∈ TM1.step (tr M) { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n + 1] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : ε < 1
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
⊢ ε * spectralRadius 𝕜 a ≤ liminf (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
⊢ (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (Polynomial.cyclotomic n R) =
  ∏ i ∈ n.divisorsAntidiagonal, (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (Polynomial.X ^ i.2 - 1) ^ ArithmeticFunction.moebius i.1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : CategoryTheory.Aut X
n : ℕ
⊢ α.conjAut (f ^ n) = α.conjAut f ^ n
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t✝ : Cocone F
X : C
h : coyoneda.obj (op X) ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cocones
Y : C
f : X ⟶ Y
j : J
t : h.hom.app Y { down := f } = F.cocones.map f (h.hom.app X { down := 𝟙 X })
⊢ (h.hom.app Y { down := f }).app j = (h.hom.app X { down := 𝟙 X } ≫ (const J).map f).app j
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
h' : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₃ φ₄
⊢ (h.add h').h₃ = h.h₃ + h'.h₃
⊢ SetTheory.PGame.LeftMoves 1 = PUnit.{u_1 + 1}
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t u : Finset α
⊢ s ⊼ t ⊼ u = s ⊼ u ⊼ t
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
c c' : ℝ
f : α → E
g' : α → F'
l : Filter α
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f g'
hc : c ≤ c'
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c' l f g'
α : Type u_1
Field α
n e e' : α
h : n * e = e'
h2 : n ≠ 0
⊢ e = e' / n
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Zero N
f✝ g✝ f g : α →₀ N
a : α
⊢ a ∈ f.neLocus g ↔ f a ≠ g a
G : Type u_1
Group G
⊢ commutatorSet G = {g | ∃ g₁ g₂, ⁅g₁, g₂⁆ = g}
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Filter α
IsTrans α r
f.NeBot
⊢ Filter.IsBounded r f → Filter.IsCobounded (flip r) f
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : 2 ≤ z.im
n : ℤ
hn : ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z ∈ verticalStrip (↑↑N) z.im
hk' : 2 < ↑k
⊢ ∀ (i : Fin 2 → ℤ), ‖eisSummand k i (ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z)‖ ≤ r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖i‖ ^ (-k)
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
LinearOrder ι
hf : AntitoneOn f s
hg : MonotoneOn g s
⊢ AntivaryOn f g s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk S.v₁₂.τ₂ S.v₂₃.τ₂ ⋯).Exact
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : R1Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => closure (compactCovering β n) ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
⊢ IntegrableOn f (⋃ n, t n) μ
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : yn a1 m ≤ yn a1 n
⊢ yn a1 m ≤ yn a1 n * a
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
hts : t ⊆ s
hus : u ⊆ s
hstu : ¬(t ∩ u).Nonempty
⊢ t.card + u.card ≤ s.card