ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
ι : Type u_12
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
⊢ U ∈ 𝓝 0
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
ι₃ : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
AddCommGroup M₃
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
Fintype ι₁
Fintype ι₂
Finite ι₃
DecidableEq ι₁
DecidableEq ι₂
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
b₃ : Basis ι₃ R M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₃
⊢ LinearMap.toMvPolynomial b₁ b₃ (g ∘ₗ f) i =
  (MvPolynomial.bind₁ (LinearMap.toMvPolynomial b₁ b₂ f)) (LinearMap.toMvPolynomial b₂ b₃ g i)
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DecidableEq ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ Module.DirectLimit.map (fun i => LinearMap.id) ⋯ = LinearMap.id
a : ℕ
⊢ ⊤ - ↑a = ⊤
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Infinite α
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
m n : ℕ
h : Infinite.natEmbeddingAux α m = Infinite.natEmbeddingAux α n
hmlen : m ≤ n
hmn : ¬m = n
⊢ False
x y z : Bool
⊢ x ≤ y → y ≤ z → x ≤ z
α : Type u
Preorder α
x : α
⊢ Monotone fun x_1 => x ≤ x_1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
LocallyCompactSpace X
x : X
U : Set X
hU : IsOpen U
hx : x ∈ U
⊢ ∃ K, IsCompact K ∧ x ∈ interior K ∧ K ⊆ U
M : Type u_1
Mul M
r : M → M → Prop
c : Con M
h : ∀ (x y : M), r x y → c x y
⊢ conGen r ≤ c
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
c : E
inst✝ : NeZero μ
hp_zero : p ≠ 0
⊢ ‖(Lp.const p μ) c‖ = ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
kf : CategoryTheory.Limits.KernelFork f
kf' : CategoryTheory.Limits.KernelFork f'
hf : CategoryTheory.Limits.IsLimit kf
hf' : CategoryTheory.Limits.IsLimit kf'
φ : CategoryTheory.Arrow.mk f ≅ CategoryTheory.Arrow.mk f'
⊢ (CategoryTheory.Limits.KernelFork.mapIsoOfIsLimit hf hf' φ).inv = kf'.mapOfIsLimit hf φ.inv
m : Type u_1 → Type u_2
β : Type u_1
α : Type u_3
Monad m
f : β → α → m β
arr : Array α
i j : Nat
H : arr.size ≤ i + j
b : β
⊢ Array.foldlM.loop f arr arr.size ⋯ i j b = List.foldlM f b (List.drop j arr.data)
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime (x * y) z
⊢ IsCoprime x z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
F : CategoryTheory.Arrow C
G : X ⟶ F.augmentedCechNerve
⊢ (CategoryTheory.SimplicialObject.equivalenceRightToLeft X F G).right = G.right
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ antidiagonal k
⊢ ∑ A ∈ powersetCard a.1 univ, ∑ j : σ, MvPolynomial.NewtonIdentities.weight σ R k (A, j) = (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2
⊢ Gamma (1 / 2) = ↑π ^ (1 / 2)
n : ℕ
⊢ ∀ {p : ℕ}, p ∈ n.primeFactorsList → Prime p
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β
⊢ EquivLike.inv f b < a ↔ b < f a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
s : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan F G
⊢ (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductColimit F G).desc s =
  CategoryTheory.FunctorToTypes.coprod.desc s.inl s.inr
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
f g : Seq α → Seq β
H : ∀ (s : Seq α), BisimO (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = f s ∧ s2 = g s) (f s).destruct (g s).destruct
⊢ f s = g s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F G : CategoryTheory.Sheaf J (Type w)
φ : F ⟶ G
CategoryTheory.HasSheafify J (Type w)
⊢ CategoryTheory.Sheaf.IsLocallySurjective φ ↔ CategoryTheory.Epi φ
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ V ∈ 𝓤 α, IsOpen V ∧ UniformSpace.ball x V ⊆ s
F : Type u_1
M₀ : Type u_5
MonoidWithZero M₀
FunLike F ℚ M₀
MonoidWithZeroHomClass F ℚ M₀
f g : F
same_on_neg_one : f (-1) = g (-1)
same_on_pnat : ∀ (n : ℕ), 0 < n → f ↑n = g ↑n
⊢ f = g
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
ih' :
  ∀ (a : Surreal.Multiplication.Args),
    Surreal.Multiplication.ArgsRel a (Surreal.Multiplication.Args.P24 x₁ x₂ y) → Surreal.Multiplication.P124 a
⊢ (x₁ * y).Numeric ∧ (x₂ * y).Numeric
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : SimplicialObject C
n : ℕ
P : Type := Fin (n + 2) × Fin (n + 3)
S : Finset P := Finset.filter (fun ij => ↑ij.2 ≤ ↑ij.1) Finset.univ
φ : (ij : P) → ij ∈ S → P := fun ij hij => (ij.2.castLT ⋯, ij.1.succ)
⊢ ∀ (a : P) (ha : a ∈ S), ((-1) ^ ↑a.2 • X.δ a.2) ≫ ((-1) ^ ↑a.1 • X.δ a.1) = -((-1) ^ ↑(φ a ha).2 • X.δ (φ a ha).2) ≫ ((-1) ^ ↑(φ a ha).1 • X.δ (φ a ha).1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
b : β
⊢ b ∈ (p.bind f).support ↔ b ∈ ⋃ a ∈ p.support, (f a).support
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion g
e : Set.range ⇑f.val.base = Set.range ⇑g.val.base
⊢ (AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion.isoOfRangeEq f g e).hom ≫ g = f
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y) → P124 a
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
ihxyn : IH1 (-x) (-y)
⊢ (x * y).Numeric
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
⊢ (Algebra.TensorProduct.rid R S A).toLinearEquiv = TensorProduct.AlgebraTensorModule.rid R S A
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
i : I
⊢ Continuous (ite (ord I i = o) true)
R : Type u_2
K : Type ?u.11266
L : Type ?u.11269
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
e : minpolyDiv R x = 0
this : 0 = map (algebraMap R S) (minpoly R x)
⊢ False
s : Substring
⊢ s.Valid → s.bsize = String.utf8Len s.toString.data
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
⊢ Nonempty (α ≃o β)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(Subgroup.leftTransversals ↑H)
H.FiniteIndex
g : G
⊢ ϕ.transfer g = Subgroup.leftTransversals.diff ϕ T (g • T)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = 0
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
⊢ dist a b = ‖b / a‖
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.16886, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.16890, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.16894, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.16898, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m mn : A
hnm : m + n = mn
a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ mn + a = a''
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
⊢ Function.Injective ⇑(IsLocalizedModule.fromLocalizedModule S f)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
μs_lim : Tendsto μs ⊥ (𝓝 μ)
⊢ limsup (fun i => ↑(μs i) F) ⊥ ≤ ↑μ F
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
⊢ R ^ 2 / dist x c = R ^ 2 / (dist x c * dist y c) * dist x y ↔ dist x y = dist y c
G : Type u
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
hmul : Filter.Tendsto (Function.uncurry fun x x_1 => x + x_1) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
hinv : Filter.Tendsto (fun x => -x) (𝓝 0) (𝓝 0)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x₀ + x) (𝓝 0)
⊢ TopologicalAddGroup G
N : Type u_2
α : Type u_3
Preorder α
Preorder N
f : N → α
μ : N → N → N
CovariantClass N N (Function.swap μ) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Antitone f
m : N
⊢ Antitone fun x => f (μ x m)
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ (cs.leftInvSeq ω).getD j 1 * cs.wordProd ω = cs.wordProd (ω.eraseIdx j)
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
⊢ ⇑b.sumCoords = fun m => (b.repr m).sum fun x => id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}
⊢ ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, max (f x) (g x) ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}ᶜ, max (f x) (g x) ∂μ = ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {a | f a ≤ g a}ᶜ, f x ∂μ
R : Type u_1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k
hn : IsPrimePow (p ^ k)
hn' : ¬Nat.Prime (p ^ k)
⊢ ¬k = 1
x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ x.arg = y.arg
α : Type u_1
AddCommMonoid α
l r tl tr t : α
prl : l = tl
prr : r = tr
prt : tl + tr = t
⊢ l + r = t
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
a : α
⊢ a ∈ List.ofFn f ↔ a ∈ Set.range f
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
⊢ (insert t ↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
y : 𝔸ˣ
x : 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (↑y * x * ↑y⁻¹) = ↑y * NormedSpace.exp 𝕂 x * ↑y⁻¹
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x : ↥S
⊢ ↑x⁻¹ = (↑x)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f₁ : α → β
g₁ : γ → δ
f₂ : β → α
g₂ : δ → γ
⊢ Function.RightInverse f₁ f₂ → Function.RightInverse g₁ g₂ → Function.RightInverse (Prod.map f₁ g₁) (Prod.map f₂ g₂)
K : Type u_1
RCLike K
r : ℝ
⊢ RCLike.re ↑r = r
ι : Type u_1
Fintype ι
⊢ (Pi.basisFun ℝ ι).parallelepiped = TopologicalSpace.PositiveCompacts.piIcc01 ι
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
s : Finset α
f : α → M
hf : ∀ (a : α), f a ≠ 0 → a ∈ s
⊢ ⇑(Finsupp.onFinset s f hf) = f
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ y.Nonempty
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
c : ℕ := Fintype.card α
hc0 : 0 < c
⊢ 0 < (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
B : ContinuousAt F 0
this : f₀ =ᶠ[𝓝 (F 0)] f₁
⊢ (fun t => f₀ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f₁ (x + t • v)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
this : ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, (fun x => interior (U ↑x ⋯)) i
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
⊢ Module.rank K (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
h₁ : π₁.boxes ⊆ π₂.boxes
h₂ : π₂.iUnion ⊆ π₁.iUnion
⊢ π₁ = π₂
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f✝ : Perm α
inst✝ : DecidablePred p
a : α
f : Perm (Subtype p)
x : α
h : p x
⊢ p x ↔ p ((ofSubtype f) x)
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
CompleteSpace E'
NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(MeasureTheory.Lp E' 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((MeasureTheory.condexpL2 E' 𝕜 hm) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : PseudoMetricSpace X
inst✝² : PseudoMetricSpace Y
inst✝¹ : EquivLike F X Y
inst✝ : DilationEquivClass F X Y
e : F
⊢ map (⇑e) (cobounded X) = cobounded Y
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)) ∧ ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)
i : β✝¹
j : α✝
⊢ ⟦a✝² i * a✝¹ j⟧ = -⟦-a✝² i * a✝¹ j⟧
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Semifield S
Ring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
a : A
f : S → R
⊢ QuasispectrumRestricts a f ↔ SpectrumRestricts a f
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.57069, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.mor₁) ((F.shift n₀).map T.mor₂) ⋯).Exact
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f' f g : α →ₘ[μ] β
hf : ↑f' ≤ᶠ[ae μ] ↑f
hg : ↑f' ≤ᶠ[ae μ] ↑g
a✝ : α
haf : ↑f' a✝ ≤ ↑f a✝
hag : ↑f' a✝ ≤ ↑g a✝
ha_inf : ↑(f ⊓ g) a✝ = ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝
⊢ ↑f' a✝ ≤ ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Group γ
TopologicalGroup γ
f g : α →ₘ[μ] γ
⊢ ↑(f / g) =ᵐ[μ] ↑f / ↑g
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
ι : Type u_5
TopologicalSpace ι
f : α → β
g : ι → α
x : ι
hf : UpperSemicontinuousAt f (g x)
hg : ContinuousAt g x
⊢ UpperSemicontinuousAt (fun x => f (g x)) x
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ Set.InjOn (↑e) e.source
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝² : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'
hr : IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (F' ⋙ Gr))) := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit (F' ⋙ Gr))
this✝ : α.app j = β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))
this : f = (hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫ Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))) ((hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫ Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })) ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
hm : f.FinMeasSupp μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑f a ≠ ⊤
⊢ f.lintegral μ < ⊤
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f : α → M
⊢ Function.support (s.indicator f) ⊆ s
c : Cardinal.{u_1}
hc : ℵ₀ ≤ c
a b : Ordinal.{u_1}
ha : a.card < c
hb : b.card < c
⊢ a.card + b.card < c
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b : α
⊢ -(a - b) = -a - -b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.9092, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
this : Epi S₁.g ↔ Epi S₂.g
⊢ S₁.Exact ∧ Epi S₁.g ↔ S₂.Exact ∧ Epi S₂.g
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : ∀ (m : ℕ), cyclotomic (p ^ (m + 1)) R = ∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ m) ^ i ↔ (∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ m) ^ i) * ∏ x ∈ range (m + 1), cyclotomic (p ^ x) R = X ^ p ^ (m + 1) - 1
n_n : ℕ
n_ih : cyclotomic (p ^ (n_n + 1)) R = ∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ n_n) ^ i
⊢ (∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ (n_n + 1)) ^ i) * ∏ i ∈ (p ^ (n_n + 1 + 1)).properDivisors, cyclotomic i R = X ^ p ^ (n_n + 1 + 1) - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u_4
h : IsEmpty ι
f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4}
⊢ lsub f = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Preorder α
h : ∀ {a b : α}, a ≤ b → IsCompact (Icc a b)
a b : α
hab : ¬a ≤ b
⊢ IsCompact (Icc a b)
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
s : Set α
⊢ s \ MeasureTheory.fundamentalFrontier G s = MeasureTheory.fundamentalInterior G s
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
hn : 0 < n
r : R
⊢ (X ^ n - C r).leadingCoeff = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J✝ : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S
h : J ∈ I.minimalPrimes
this : J.IsPrime
⊢ comap f J ∈ (comap f I).minimalPrimes
M : Type u
⊢ Function.Injective (@AddCancelMonoid.toAddLeftCancelMonoid M)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (⇑e) s x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' s : Cycle α
h : s.Nodup
hn : s.Nontrivial
⊢ (s.formPerm h).IsCycle
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MonoidWithZero α
a : α
h : a ~ᵤ 0
⊢ a = 0
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ γ : Type
f : α → β → σ → σ × γ
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α) (b : β), ∀ s ∈ S, (f a b s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (b : β) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a b s).2 = (f a b s').2
⊢ ∃ R, R s₀ () ∧ ∀ {s : σ} {q : Unit} (a : α) (b : β), R s q → R (f a b s).1 ((), (f a b s₀).2).1 ∧ (f a b s).2 = ((), (f a b s₀).2).2
X : Type u_4
TopologicalSpace X
self : CompactExhaustion X
n : ℕ
⊢ IsCompact (self.toFun n)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : ι → Type u_5
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
Subsingleton ι
⊢ ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' m f μ
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Projective F
P : Fin 3 → F
hPz : P 2 ≠ 0
⊢ W.Nonsingular P ↔ W.toAffine.Nonsingular (P 0 / P 2) (P 1 / P 2)
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ (Finset.cons a s h).card = s.card + 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
i : ι
⊢ hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin (X (some i)) = Polynomial.C (hx.aevalEquiv (X i))
α : Type u
ι : Type u_2
PseudoMetricSpace α
f : Filter ι
x₀ : α
p : ι × α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : ι × α) in f ×ˢ 𝓝 x₀, p x) ↔
  ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∃ ε > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → p (i, x)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
g : G
⊢ ∃ S ∈ AddSubgroup.leftTransversals ↑H, g ∈ S
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≼i s
a : α
x✝ : ↑{b | r b a}
x : α
h : x ∈ {b | r b a}
⊢ f.toRelEmbedding ((Subrel.relEmbedding r {b | r b a}) ⟨x, h⟩) ∈ {b | s b (f a)}
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f₀ f₁ : C(X, Y)
g₀ g₁ : C(X, Z)
⊢ f₀.Homotopic f₁ → g₀.Homotopic g₁ → (f₀.prodMk g₀).Homotopic (f₁.prodMk g₁)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
⊢ IsIso φ.τ₂
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.SeparatesPoints α
x y : α
⊢ MeasureTheory.Measure.dirac x = MeasureTheory.Measure.dirac y ↔ x = y
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
hs : s ∈ 𝒜
⊢ s.erase a ∈ Down.compression a 𝒜
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSpace Ω'
ν : FiniteMeasure Ω
f : Ω → Ω'
f_aemble : AEMeasurable f ↑ν
A : Set Ω'
A_mble : MeasurableSet A
⊢ (ν.map f) A = ν (f ⁻¹' A)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.LaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ self.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (self.map f)).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (self.map f) (self.mapId b))
      (self.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.id b)))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X Y Z : D
⊢ α_ X Y Z =
  e.functor.mapIso
    (((e.unitIso.app (e.inverse.obj X ⊗ e.inverse.obj Y)).symm ⊗ CategoryTheory.Iso.refl (e.inverse.obj Z)) ≪≫
      α_ (e.inverse.obj X) (e.inverse.obj Y) (e.inverse.obj Z) ≪≫
        (CategoryTheory.Iso.refl (e.inverse.obj X) ⊗ e.unitIso.app (e.inverse.obj Y ⊗ e.inverse.obj Z)))