ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
𝔸 : Type u_6
RCLike 𝕂
Fintype m
DecidableEq m
NormedCommRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
U A : Matrix m m 𝔸
hy : IsUnit U
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (U⁻¹ * A * U) = U⁻¹ * NormedSpace.exp 𝕂 A * U
α : Type u_1
l : List α
⊢ Multiset.powersetCardAux 0 l = [0]
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
⊢ LinearIndependent ℤ (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.eval C)
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
⊢ s < s.sdiff t ↔ ¬Disjoint (↑s) t
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.88317, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.88321, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
⊢ S.RightHomologyData
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
x : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffWithinAt I' I n (f i) s x
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (∏ i ∈ t, f i) s x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → β
b : β
hf : ∀ (a : α), f a b = b
a : α
l : List α
⊢ foldr f b (a :: l) = b
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ u ∈ 𝓝[s] x, μ u = 0
⊢ μ s = 0
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
⊢ LinearMap.range f = ⊤
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
b : β
nhd_b : {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
nhd_o : {b}ᶜ ∈ 𝓝 0
⊢ Tendsto (fun i => (As i).indicator fun x => b) L (𝓝 (A.indicator fun x => b)) ↔ ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ F.toEssImageCompEssentialImageInclusion.hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
h : DifferentiableAt ℝ abs 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
⊢ minimalPeriod f x = 0 ↔ x ∉ periodicPts f
⊢ Ordinal.lift.{max u v, u} = Ordinal.lift.{v, u}
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HAdd.hAdd) LT.lt
a b c d : α
⊢ Set.Ico a b + Set.Ioc c d ⊆ Set.Ioo (a + c) (b + d)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X →. Y
hf : ∀ {x : X} {y : Y}, y ∈ f x → PTendsto' f (𝓝 x) (𝓝 y)
s : Set Y
os : IsOpen s
x : X
y : Y
ys : y ∈ s
fxy : y ∈ f x
t : Set X
h : f.preimage s ⊆ t
h' : ∀ s ∈ 𝓝 y, f.preimage s ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ y ∈ t
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
a : σ → K
a✝ : Nontrivial K
this : 0 < Fintype.card K - 1
⊢ (eval a) (indicator a) = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
Top α
LE β
OrderTop β
⊢ ⇑⊤ = ⊤
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (W.ΨSq n).coeff (n.natAbs ^ 2 - 1) = ↑n ^ 2
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
Fintype n
DecidableEq n
a : Matrix n n 𝕜
ha : a.IsHermitian
⊢ spectrum ℝ a = Set.range ha.eigenvalues
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
⊢ ae μ ≤ (ae μ)⁻¹
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i
hs : 0 < s.re
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
hs' : s ≠ 0
a' : ι → ℂ := fun i => if p i = 0 then 0 else a i
hp' : ∀ (i : ι), a' i = 0 ∨ 0 < p i
this : ∀ (i : ι) (t : ℝ), (if p i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * p i * t))) = a' i * ↑(rexp (-π * p i * t))
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a' i * ↑(rexp (-π * p i * t))) (F t)
⊢ Summable fun i => ‖a' i‖ / p i ^ s.re
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
inst✝ : Mono f
x₁ : X₁
x₂ : X₂
⊢ inl f g x₁ = inr f g x₂ ↔ ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
⊢ MeasurableSet {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K}
n : ℕ
⊢ |ArithmeticFunction.moebius n| = if Squarefree n then 1 else 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
rk : α → ℕ
s : Set α
f0 : ℕ → α
hf0 : IsBadSeq r s f0
fs : (n : ℕ) → { f // IsBadSeq r s f ∧ IsMinBadSeq r rk s n f } := fun t => Nat.rec ⟨↑(minBadSeqOfBadSeq r rk s 0 f0 hf0), ⋯⟩ (fun n fn => ⟨↑(minBadSeqOfBadSeq r rk s (n + 1) ↑fn ⋯), ⋯⟩) t
h : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → ↑(fs m) m = ↑(fs n) m
⊢ ∃ f, IsBadSeq r s f ∧ ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq r rk s n f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ dist (1 • x) (a • x + b • z) = b * dist x z ∧ dist (a • x + b • z) z = a * dist x z
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
this✝ : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖y‖ ≠ 0
⊢ (o.kahler x) y ≠ 0
⊢ CompleteLat.dualEquiv.functor = CompleteLat.dual
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
t : ℝ
ht : t ∈ s
hsrc✝ : γ t ∈ (extChartAt I (γ t₀)).source
hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source
a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t
⊢ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) (1 a) = (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) (1 a)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
s : Set β
f : α → β
⊢ Filter.EventuallyConst (f ⁻¹' s) l ↔ Filter.EventuallyConst s (Filter.map f l)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
⊢ Filter.Tendsto (↑e.symm) (𝓝 (↑e x)) (𝓝 x)
p n pow : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
h : p ^ pow ∣ n
c : ℕ
hc : n = p ^ pow * c
this : 0 < c
⊢ pow ≤ p.maxPowDiv n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤
⊢ Subsingleton P
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
l : E →ₗ.[R] F
hl : l ∈ c
x : ↥l.domain
⊢ ↑x = ↑⟨↑x, ⋯⟩
α : Type u_1
NonUnitalSeminormedRing α
a b : α
⊢ ‖a * b‖ ≤ ‖a‖ * ‖b‖
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace X
ι : Type u
U : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
this : IsLindelof (⋃ i, U i)
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ t, U i = ⋃ i, U i
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
R : ℝ
hF : CompleteSpace F
hR : R ≠ 0
⊢ ∫ (x : E), f (R • x) ∂μ = |(R ^ finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E), f x ∂μ
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : ι → UniformSpace α
u₂ : UniformSpace β
i : ι
hf : UniformContinuous f
⊢ Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β)
M₀ : Type u_1
CommSemigroup M₀
Zero M₀
IsLeftCancelMulZero M₀
⊢ IsCancelMulZero M₀
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
⊢ (∏ i ∈ s, f i).leadingCoeff = ∏ i ∈ s, (f i).leadingCoeff
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ min p (s.card + t.card - 1) ≤ (s + t).card
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
s : Cone D
j : J
⊢ s.pt.a ≫ T.map ((T.forget.mapCone s).π.app j) = (T.forget.mapCone s).π.app j ≫ (D.obj j).a
R : Type u_1
M : Type u_2
n : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Fintype n
a : R
i : n
⊢ ∑ x : n, Finsupp.single x (if i = x then a else 0) = Finsupp.single i a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : E →L[𝕜] F
⊢ (S.comp (T.comp (ContinuousLinearMap.adjoint S))).IsPositive
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
y : β
⊢ ‖(WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y)‖₊ = ‖y‖₊
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
S : Subsemigroup M
s : Subsemigroup N
x : M × N
⊢ x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (MulHom.snd M N) s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hyp : f ∈ fiber none
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f✝ : α → ℝ≥0∞
hf✝ : Measurable f✝
s : ℕ → Finset ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ≥0∞), Measurable (f n r)
hm : Monotone fun n μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ
⊢ ⨆ n, ∑ r ∈ s n, r * ∫⁻ (μ : Measure α), f n r μ ∂m = ∫⁻ (μ : Measure α), ⨆ n, ∑ r ∈ s n, r * f n r μ ∂m
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
j : M ≃* P
H : Submonoid.map j.toMonoidHom S = T
x : N
⊢ (f.mulEquivOfMulEquiv k H) x = (f.map ⋯ k) x
n✝ p : ℕ
p_prime : Prime p
m n k l : ℕ
hpm : p ^ k ∣ m
hpn : p ^ l ∣ n
hpmn : p ^ (k + l + 1) ∣ m * n
hpd : p ^ (k + l) * p ∣ m * n
⊢ p ^ (k + 1) ∣ m ∨ p ^ (l + 1) ∣ n
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W
⊢ fourierIntegral e μ L (r • f) w = (r • fourierIntegral e μ L f) w
R : Type
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
hd : ∀ (n : ℤ), d ≠ n * n
a : ℤ√d
ha : (lift r) a = 0
⊢ a = 0
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → AddMonoid (β i)
b : ℕ
v : Π₀ (i : ι), β i
⊢ ⇑(b • v) = b • ⇑v
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p s : Submodule R A
h1 : 1 ∈ s
hmul : ∀ (x y : A), x ∈ s → y ∈ s → x * y ∈ s
r : R
⊢ r • 1 ∈ { carrier := ↑s, mul_mem' := hmul, one_mem' := h1, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ (Module.Ray.map e).symm = Module.Ray.map e.symm
s : Set ℂ
⊢ (Complex.exp ⁻¹' s).Countable ↔ s.Countable
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : MulAction.stabilizer G a ≤ H
⊢ MulAction.IsBlock G (MulAction.orbit (↥H) a)
t : |2⁻¹| = 2⁻¹
z : |log 2 - ∑ x ∈ range 34, 2⁻¹ ^ (x + 1) / (↑x + 1)| ≤ 1 / 17179869184
⊢ |log 2 - 287209 / 414355| ≤ 1 / 17179869184 + (1 / 10 ^ 10 - 1 / 2 ^ 34)
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
S : Set (NonUnitalSubring R)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
f : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ F
g : Y ⟶ X
⊢ F.map g.op (CategoryTheory.yonedaEquiv f) =
  CategoryTheory.yonedaEquiv (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.yoneda.map g) f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : d < c
h : c ≤ b ∨ d ≤ b
⊢ Iic b ∪ Icc c d = Iic (max b d)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p q : Seminorm 𝕝 E
hq : Continuous ⇑q
hpq : p ≤ q
r : ℝ
hr : r > 0
⊢ IsOpen {y | q y < r}
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
DecidableEq α
DecidableEq M
⊢ (f.update a b).support = if b = 0 then f.support.erase a else insert a f.support
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
a : S
⊢ (Localization.algEquiv M S).symm a = (IsLocalization.map (Localization M) (RingHom.id R) ⋯) a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ₁ = CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ₂
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a : α
OrderTop α
ha : InfPrime a
⊢ a ≠ ⊤
α : Type u_1
a b : α
l : List α
⊢ (l ++ [b]).getLastD a = b
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
x✝ : ℕ
⊢ x✝ ∈ {i | i ≠ 0 ∧ p ^ i ∣ n} ↔ x✝ ∈ Set.Icc 1 (n.factorization p)
α : Type u
Preorder α
⊢ lowerBounds ∅ = Set.univ
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedSpace ℝ E
OpensMeasurableSpace X
T2Space X
f : X → ℝ
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
g : X → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => f x • g x) μ
V : Type u_1
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s : V
⊢ G.replaceVertex s s = G
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
β : Type u_7
m m0 : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure β
hm : m ≤ m0
f : MeasureTheory.SimpleFunc β F
hf_int : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ ∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ
⊢ x✝¹ * -1 * x✝ + x✝¹ * -↑n * x✝ = x✝¹ * -x✝ + x✝¹ * (-↑n * x✝)
f g : CircleDeg1Lift
⊢ ⌈f 0⌉ + ⌊g 0⌋ ≤ ⌈(f * g) 0⌉
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
p : β → Prop
⊢ ⨆ i, f i = (⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : ¬p i), f i
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
g : α → Set ℝ := fun x => f x ∩ Ioo 0 (R x)
hg : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
r : α → ℝ
t : Set α
v_count : (graphOn r t).Countable
vs : ∀ p ∈ graphOn r t, p.1 ∈ s
vg : ∀ p ∈ graphOn r t, p.2 ∈ g p.1
μv : μ (s \ ⋃ p ∈ graphOn r t, closedBall p.1 p.2) = 0
v_disj : (graphOn r t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
hinj : InjOn (fun x => (x, r x)) t
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)) ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x y : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑y) r o₂
s : ℕ
ml : Ordnode α
z : α
mr : Ordnode α
hm : Valid' (↑x) (Ordnode.node s ml z mr) ↑y
Hm : 0 < (Ordnode.node s ml z mr).size
H : l.size = 0 ∧ (Ordnode.node s ml z mr).size = 1 ∧ r.size ≤ 1 ∨ 0 < l.size ∧ ratio * r.size ≤ (Ordnode.node s ml z mr).size ∧ delta * l.size ≤ (Ordnode.node s ml z mr).size + r.size ∧ 3 * ((Ordnode.node s ml z mr).size + r.size) ≤ 16 * l.size + 9 ∧ (Ordnode.node s ml z mr).size ≤ delta * r.size
⊢ BalancedSz l.size ml.size ∧ BalancedSz mr.size r.size ∧ BalancedSz (l.size + ml.size + 1) (mr.size + r.size + 1)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
this : (i : ι) → DecidableEq (α i) := fun i => Classical.decEq (α i)
n : ℕ
IH : ∀ m < n, ∀ (A : (i : ι) → Finset (α i)), ∑ i : ι, (A i).card = m → (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
A : (i : ι) → Finset (α i)
h : ∑ i : ι, (A i).card = n
Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅
i₀ : ι
hi₀ : 1 < (A i₀).card
j₁ j₂ : α i₀
left✝ : j₁ ∈ A i₀
hj₂ : j₂ ∈ A i₀
right✝ : j₁ ≠ j₂
B : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ (A i₀ \ {j₂})
C : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ {j₂}
B_subset_A : ∀ (i : ι), B i ⊆ A i
C_subset_A : ∀ (i : ι), C i ⊆ A i
A_eq_BC : (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j + ∑ j ∈ C i₀, g i₀ j)
Beq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ B i, g i j
Ceq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ C i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ C i, g i j
Brec : (f fun i => ∑ j ∈ B i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset B, f fun i => g i (r i)
Crec : (f fun i => ∑ j ∈ C i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset C, f fun i => g i (r i)
D : Disjoint (piFinset B) (piFinset C)
pi_BC : piFinset A = piFinset B ∪ piFinset C
⊢ f (update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j + ∑ j ∈ C i₀, g i₀ j)) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
hs : MeasurableSet s
⊢ (fun a => (((condDistrib Y X μ) (X a)) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(Y ⁻¹' s).indicator fun ω => 1|MeasurableSpace.comap X mβ]
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
f : β × α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun y => ∫⁻ (x : β), f (x, y) ∂κ y
L : Language
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : L.Structure M
inst✝⁶ : L.Structure N✝
inst✝⁵ : L.Structure P
inst✝⁴ : L.Structure Q
N : Type u_5
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L[[M]].Structure N
inst✝¹ : (L.lhomWithConstants M).IsExpansionOn N
inst✝ : N ⊨ L.elementaryDiagram M
n : ℕ
φ : L.Formula (Fin n)
x : Fin n → M
⊢ M ⊨ (((L.lhomWithConstants M).onBoundedFormula φ).subst (Constants.term ∘ Sum.inr ∘ x)).alls ↔ φ.Realize x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
⊢ iteratedDerivWithin n f s = ⇑(ContinuousMultilinearMap.piFieldEquiv 𝕜 (Fin n) F).symm ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s
G : Type u_1
Group G
Finite G
x : G
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ≠ 0), x ^ i = 1
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
⊢ DFinsupp.support 0 = ∅
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
⊢ AffineIndependent k p
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
⊢ WithTop.map (fun x => ↑x) ⋯.order - ↑(Exists.choose hf) = ⊤ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = 0
a b c : Ordinal.{u_1}
hb : 0 < b
h : ∀ d < b, a + d < c
⊢ a + b ≤ c
S : Finset Λ'
q : Λ'
H₁ : Λ'.Supports S q
HS₁ : trStmts₁ q ⊆ S
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q
⊢ Supports (trStmts₁ q) S
R S : Type u
M✝ : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁷ : Ring R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R M✝
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : Module.Free R M✝
inst✝⁷ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝⁶ : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝⁵ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
ι : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
M : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M i)
⊢ finrank R ((i : ι) → M i) = ∑ i : ι, finrank R (M i)
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α
⊢ List.map (ofList ∘ pure) l <+~ List.map ofList l.sublists
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
x : α
⊢ ‖f x + g x‖₊ ≤ ‖f x‖₊ + ‖g x‖₊
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t
⊢ SeparatedNhds s t
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
⊢ cobounded α = cocompact α
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
CstarRing A
CompleteSpace A
NormedAlgebra ℂ A
StarModule ℂ A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a := by cfc_tac
⊢ a ≤ (algebraMap ℝ A) ‖a‖
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
f : α → β
a : α
⊢ List.argmin f [a] = some a
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a : α
⊢ (PMF.uniformOfFinset s hs) a = if a ∈ s then (↑s.card)⁻¹ else 0
T : ℝ
⊢ Subalgebra.toSubmodule fourierSubalgebra.toSubalgebra = Submodule.span ℂ (Set.range fourier)
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
i : ι
v : ι → F
r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ ((Lagrange.interpolate (s.erase i) v) r).degree < ↑(s.card - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hg : ∀ (b : δ), IsLUB (range fun i => f i b) (g b)
a : α
⊢ MeasurableSet (⋃ i, {x | a < f i x})
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u✝ : Multiset α
a b : α
s t u : Multiset α
⊢ s + (t ∪ u) = s + t ∪ (s + u)