ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
MulAction R X
x y : OreLocalization S R
z : OreLocalization S X
⊢ (x * y) • z = x • y • z
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K
h_inj : Injective ⇑(algebraMap ℤ (𝓞 K))
⊢ ¬IsField (𝓞 K)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
s t : Set α
hs : AnalyticSet s
ht : AnalyticSet t
h : Disjoint s t
⊢ MeasurablySeparable s t
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
f : M ≃+ N
⊢ ⇑f.toAddHom = ⇑f
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
h : 0 < ε
⊢ x ∈ Metric.ball x ε
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
n : ℤ
⊢ F⟮↑n⟯ = ⊥
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n✝¹ : ℕ
a : α
g : α → α
hg : LeftInverse g f
n✝ n : ℕ
ihn : LeftInverse g^[n] f^[n]
⊢ LeftInverse (g ∘ g^[n]) (f^[n] ∘ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p μ
n : ℕ
⊢ eLpNorm (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p μ < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
⊢ GaloisConnection l.toFun u
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
X : C
⊢ ∀ (a : F.obj (Opposite.op X)),
  (CategoryTheory.OverPresheafAux.unitAuxAuxAux η X).inv a = CategoryTheory.OverPresheafAux.unitBackward η X a
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ DifferentiableAt ℂ (jacobiTheta₂ 0) τ
E : Type u_3
PE : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
StrictConvexSpace ℝ E
MetricSpace PE
NormedAddTorsor E PE
x y z : PE
hx : dist x y = dist x z / 2
hy : dist y z = dist x z / 2
⊢ y = midpoint ℝ x z
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : CommRing α
inst✝⁴ : CommRing β
inst✝³ : CommRing γ
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : Module R β
inst✝ : Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β
⊢ ∀ (x : α), (f x) 0 = 0
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
e : (x + 1) * (x + 1) = d * (y + 1) * (y + 1)
⊢ False
R : Type u_1
S : Type ?u.189967
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.190432
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.191572
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
inst✝ : FinitePresentation R M
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
I : Type (max u_2 u_1) := Free.ChooseBasisIndex k (k ⊗[R] M)
b : Basis I k (k ⊗[R] M) := Free.chooseBasis k (k ⊗[R] M)
this : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))
⊢ Free R M
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ closure s ⊆ s ↔ ∀ (a : X), ClusterPt a (𝓟 s) → a ∈ s
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf₁ : IsOpenMap f
hf₂ : Continuous f
s : Set Y
⊢ f ⁻¹' interior s = interior (f ⁻¹' s)
n k : ℕ
hk : n + 1 < k + 1
hnk : n < k
⊢ (n + 1).choose (k + 1) = 0
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α
p : l ~ replicate n a
⊢ l.length = n ∧ ∀ (b : α), b ∈ l → b = a
𝕜 : Type u_3
NormedField 𝕜
v : 𝕜
⊢ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 v).det = v
p : ℚ[X]
⊢ Fact (Polynomial.Splits (algebraMap ℚ ℂ) p)
ι : Type u_5
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
TopologicalSpace M
TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
f : ι → M
e : M ≃SL[σ] M₂
x : M
⊢ HasSum (fun b => e (f b)) (e x) ↔ HasSum f x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c R₁)
h_maps : Set.MapsTo f (Metric.ball c R₁) (Metric.ball (f c) R₂)
hz : z ∈ Metric.ball c R₁
⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
⊢ ↑0 = 0
α : Type u_5
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
Us : Set (TopologicalSpace.Opens α)
hUs : TopologicalSpace.Opens.IsBasis Us
⊢ t₁ ≤ t₂ ↔ ∀ U ∈ Us, IsOpen ↑U
⊢ ∀ {X Y : PartialFun} (f : X ⟶ Y) (a : Option X),
  (partialFunEquivPointed.functor.map f).toFun a = Option.elim' none (fun a => (f a).toOption) a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq β
f✝ g : α →. β
inst✝² : (x : α) → Decidable (f✝ x).Dom
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
s✝ t : Finset α
b : β
s : Finset α
f : α → β
inst✝ : (x : α) → Decidable (Part.some (f x)).Dom
a✝ : β
⊢ a✝ ∈ pimage (fun x => Part.some (f x)) s ↔ a✝ ∈ image f s
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : ↥(solvableByRad F E)
⊢ IsIntegral F α
p : ℝ
x✝ : AddCircle p
hp : p ≠ 0
x : ℝ
⊢ ‖↑x‖ ≤ |p| / 2
α : Type u_3
DivisionSemiring α
q : ℚ≥0
a : α
⊢ Commute (↑q) a
x : SetTheory.PGame
IsEmpty x.RightMoves
⊢ 0 ≤ x
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s ≠ Set.univ ↔ ∃ a, a ∉ s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ b + 1 ≤ ↑⌈a + b⌉ + 1 - a
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s : ι → Set Ω
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hfi : iIndepFun (fun x => mβ) f μ
hij : i < j
⊢ Indep (MeasurableSpace.comap (f j) mβ) (↑(Filtration.natural f hf) i) μ
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp : Pair K
zeroth_s_eq : g.s.get? 0 = some gp
⊢ g.conts 1 = { a := gp.b * g.h + gp.a, b := gp.b }
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hc : 0 < c
⊢ a / b < a / c ↔ c < b
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (p₂ -ᵥ y) (z -ᵥ p₃)
h : p₂ -ᵥ y = 0
⊢ False
x : SetTheory.PGame
i : x.LeftMoves
⊢ (x.moveLeft i).birthday < x.birthday
m n k : ℕ
⊢ (m + n).choose k = ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal k, m.choose ij.1 * n.choose ij.2
α : Type u_1
DecidableEq α
β : α → Type u_2
m : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (β a)
f : (a : α) → a ∈ m → β a
⊢ f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set R
p : R[X]
n : ℕ
r : R
hn : (toContinuousMapOnAlgHom s) (Polynomial.C r * X ^ n) ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
⊢ (toContinuousMapOnAlgHom s) (Polynomial.C r * X ^ (n + 1)) ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : G ≃g G'
e : Sym2 V
h : e ∈ G.edgeSet
⊢ Hom.mapEdgeSet (RelIso.toRelEmbedding f.symm).toRelHom (Hom.mapEdgeSet (RelIso.toRelEmbedding f).toRelHom ⟨e, h⟩) = ⟨e, h⟩
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K : Set G
hK : IsCompact K
a✝ : { carrier := K, isCompact' := hK } ∈ univ
⊢ 0 ≤ prehaar (↑K₀) U { carrier := K, isCompact' := hK } ∧ prehaar (↑K₀) U { carrier := K, isCompact' := hK } ≤ ↑(index ↑{ carrier := K, isCompact' := hK } ↑K₀)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
self : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
⊢ self.GE 1 ≤ self.GE 0
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
∀ (a : B), CategoryTheory.IsIso (F.mapId a)
∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), CategoryTheory.IsIso (F.mapComp f g)
a : B
⊢ ((CategoryTheory.Pseudofunctor.mkOfOplax' F).mapId a).inv = CategoryTheory.inv (F.mapId a)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : PresheafedSpace CommRingCat
Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝.toPresheafedSpace
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ toScheme Y f.val = X
α : Type u_1
a b c d : α
MulZeroClass α
Preorder α
PosMulMono α
MulPosStrictMono α
h₁ : a < b
h₂ : c < d
a0 : 0 ≤ a
c0 : 0 ≤ c
⊢ a * c < b * d
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
l : ℕ
v : α → M
xs : Fin l → M
k : ℕ
R : L.Relations k
ts : Fin k → L.Term (α ⊕ Fin l)
⊢ (R.boundedFormula ts).Realize v xs ↔
  FirstOrder.Language.Structure.RelMap R fun i => FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim v xs) (ts i)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
⊢ (if h : x ∈ F then Subtype.val '' connectedComponent ⟨x, h⟩ else ∅).Nonempty ↔ x ∈ F
G : Type u_1
Group G
G' : Type u_2
Group G'
h : Group.IsNilpotent G
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Group.IsNilpotent G'
α : Type u_1
f : Vector3 α 0 → Prop
⊢ Exists f ↔ f []
M : Type u
LeftCancelMonoid M
a b : M
⊢ a * b = a ↔ b = 1
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
ContinuousAdd G
h : IsClosed {0}
⊢ T1Space G
S : Type u_1
inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasShift C S
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : HasShift D S
F : C ⥤ D
η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X✝ Y✝ : DifferentialObject S C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ F.map X✝.d ≫ (shiftFunctor C 1 ⋙ F).map f.f ≫ η.app Y✝.obj = F.map f.f ≫ F.map Y✝.d ≫ η.app Y✝.obj
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : Set α → Prop
⊢ μ.InnerRegularWRT p p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SizeOf α
x : α
val✝ : Multiset α
nodup✝ : val✝.Nodup
hx : x ∈ { val := val✝, nodup := nodup✝ }
⊢ sizeOf x < Quot.liftOn val✝ (fun m => m._sizeOf_1) ⋯
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
∀ (i : ι), K.HasHomology i
∀ (i : ι), L.HasHomology i
∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ
⊢ QuasiIso (φ ≫ φ') ↔ QuasiIso φ'
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : t.ncard ≤ s.ncard
ht : autoParam t.Finite _auto✝
b : β
hb : b ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩
finj : Function.Injective f'
hft : Fintype ↑t
hft' : Fintype ↑s
f'' : (a : α) → a ∈ s.toFinset → β := fun a h => f a ⋯
⊢ ∀ (a : α) (ha : a ∈ s.toFinset), f'' a ha ∈ t.toFinset
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
⊢ a / b ≤ 0 ↔ 0 ≤ a ∧ b ≤ 0 ∨ a ≤ 0 ∧ 0 ≤ b
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
z : α 0
⊢ Fin.tail (Function.update q 0 z) = Fin.tail q
n : ℕ
⊢ n.sqrt = 0 ↔ n = 0
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.ncard = 1 ↔ ∃ a, s = {a}
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
x✝ : R
⊢ x✝ ∈ ker (Quotient.mk I) ↔ x✝ ∈ I
k m n : Nat
H : n ≤ m
h₁ : k ∣ m
h₂ : k ∣ n
⊢ k ∣ m - n
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
f : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf Mg mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
hMg : Mg ≤ mΩ
h_ind : Indep Mf Mg μ
h_meas_f : Measurable f
h_measM_f : Measurable f
⊢ ∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set Ω⦄, MeasurableSet s → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * s.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), s.indicator (fun x => c) ω ∂μ
α : Type u
SemilatticeSup α
a b : α
h₁ : a ≤ b
c : α
⊢ a ⊔ c ≤ b ⊔ c
α : Sort u
Setoid α
a b : α
hab : a ≈ b
⊢ b ≈ a
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
hs : a ∉ s
ht : a ∉ t
⊢ Finset.cons a s hs ⊆ Finset.cons a t ht ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y x' y' : α
l l' : List α
hd : (x :: y :: l).Nodup
hd' : (x' :: y' :: l').Nodup
h : ∀ (x_1 : α), (x :: y :: l).formPerm x_1 = (x' :: y' :: l').formPerm x_1
hx : x' ∈ x :: y :: l
⊢ (x :: y :: l) ~r (x' :: y' :: l')
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
⊢ (e.adjustToOrientation x).toBasis.det = e.toBasis.det ∨ (e.adjustToOrientation x).toBasis.det = -e.toBasis.det
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
f : α → ℝ
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x ≤ f y + dist x y
⊢ LipschitzOnWith 1 f s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} D
P : MorphismProperty C
F : C ⥤ D
E : Type u_2
inst✝ : Category.{u_4, u_2} E
G : D ⥤ E
⊢ (P.map F).map G = P.map (F ⋙ G)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_ne : (aeval x) p.divX ≠ 0
⊢ x⁻¹ = (aeval x) p.divX / ((aeval x) p - (algebraMap K L) (p.coeff 0))
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 - ε ↑y
h_smoothing_gt_half : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 1 / 2 < 1 - ε ↑y
h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)
h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
n₀_pos : 0 < n₀
h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 - ε ↑(r i y)
bound1 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), ↑(r i y) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i y)) ≤ b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 - ε ↑y)
h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 - ε ↑y
h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), c₁ * g ↑y ≤ sumTransform (p a b) g (r i y) y
h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)
h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty
base_max : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).sup' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 - ε ↑n) * asympBound g a b n)
C : ℝ := max (2 * c₁⁻¹) base_max
hC : C = max (2 * c₁⁻¹) base_max
n : ℕ
hn : n ≥ n₀
h_base : ∀ n ∈ Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀, T n ≤ C * ((1 - ε ↑n) * asympBound g a b n)
h_asympBound_pos' : 0 < asympBound g a b n
h_one_sub_smoothingFn_pos' : 0 < 1 - ε ↑n
⊢ ‖T n‖ ≤ C * ‖(1 - ε ↑n) * asympBound g a b n‖
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
f_seq : ℕ → β →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯
⊢ ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ↑⌊x⌋) (𝓝[<] ↑n) (𝓝 (↑n - 1))
o a : Ordinal.{u_1}
h : a < o * ω
i : Ordinal.{u_1}
hi : i < ω
h' : a < o * i
⊢ ∃ i, a < o * ↑i + o
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ StrictMono (AddSubmonoid.map f)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
C : ℝ≥0
f : E → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) = ∑ i ∈ s, a i • lineDeriv ℝ f x (v i)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ W'.dblXYZ (u • P) = u ^ 4 • W'.dblXYZ P
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type ?u.7784
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
x₁ x₂ : X
x✝¹ : f x₁ = f x₂
x✝ : x₁ ≠ x₂
h : ∃ s₁ ∈ 𝓝 x₁, ∃ s₂ ∈ 𝓝 x₂, Disjoint s₁ s₂
⊢ (Function.pullbackDiagonal f)ᶜ ∈ comap Subtype.val (𝓝 x₁ ×ˢ 𝓝 x₂)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
P : α → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsSymm α r
h : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), P (f n)
hf' : ∀ (m n : ℕ), m < n → r (f m) (f n)
m : ℕ
hmn : m ≠ m
⊢ r (f m) (f m)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : p → α
hp : ¬p
⊢ ⨆ (h : p), f h = sSup ∅
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val
h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum * ↑↑a ^ k
hzero : ↑↑a ^ k - 1 = 0 ∨ (Multiset.map (fun i => ↑↑i ^ k) univ.val).sum = 0
h : ↑↑a ^ k - 1 = 0
⊢ ↑↑(a ^ k) - ↑↑1 = 0
R : Type u
CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
⊢ Finset.image (Finsupp.cons i) (((MvPolynomial.finSuccEquiv R n) f).coeff i).support =
  Finset.filter (fun m => m 0 = i) f.support
Ω : Type u_1
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s t : Set Ω
S T : Set (Set Ω)
hs : s ∈ S
ht : t ∈ T
hs_meas : MeasurableSet s
ht_meas : MeasurableSet t
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h_indep : ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' S T μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSet m' hm' s t μ
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ a.im.imK = a.imK
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
v : P
y : ↥S
⊢ (f.lift hg) (f.mk' x y) = v ↔ g x = g ↑y * v
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.countP (fun a => p ↑a) l.attach = List.countP p l
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Int.clog b (OfNat.ofNat n) = ↑(Nat.clog b (OfNat.ofNat n))
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
⊢ star a * (b * c) = star a * (star (star b) * star (star c))
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r✝ : R
f p : R[X]
r : R
⊢ ((taylor r) p).natDegree = p.natDegree
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : MultilinearMap R (fun x => M) N
h : ∀ (v : ι → M) (i j : ι), v i = v j → i ≠ j → f.toFun v = 0
⊢ ⇑{ toMultilinearMap := f, map_eq_zero_of_eq' := h } = ⇑f
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z✝ : C
φ φ₀ : W.LeftFraction₂ X Y
hφ₁ : φ₀.fst.map L ⋯ = φ.fst.map L ⋯
hφ₂ : φ₀.snd.map L ⋯ = φ.snd.map L ⋯
hφ₀ : add' W (φ₀.fst.map L ⋯) (φ₀.snd.map L ⋯) = φ₀.add.map L ⋯
Z : C
t₁ : φ₀.Y' ⟶ Z
t₂ : φ.Y' ⟶ Z
hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂
hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂
hft' : φ₀.f' ≫ t₁ = φ.f' ≫ t₂
ht : W (φ₀.s ≫ t₁)
⊢ add' W (φ₀.fst.map L ⋯) (φ₀.snd.map L ⋯) = φ.add.map L ⋯
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
g : M
r : R
⊢ r ∈ (Submodule.span R {g}).annihilator ↔ r • g = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
h_eq : ∫⁻ (x : α) in t, ↑‖↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α) in t, s.indicator (fun x => 1) x ∂μ
⊢ 1 * (μ.restrict (s ∩ t)) Set.univ = μ (s ∩ t)
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
inst✝ : CompleteSpace α
⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Injective f
n : ℕ
α : Type u_1
a : Fin n → α
⊢ Fin.repeat 0 a = Fin.elim0 ∘ Fin.cast ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : OrderBot α
n : α
φ : α → α
k : α
ih : StrictMonoOn φ (Iic k) → ∀ m ≤ k, m ≤ φ m
hφ : StrictMonoOn φ (Iic (succ k))
hk : ¬IsMax k
hm : succ k ≤ succ k
⊢ succ k ≤ φ (succ k)
R : Type u_1
NonAssocRing R
NoZeroDivisors R
CharZero R
a : R
⊢ a = -a ↔ a = 0
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
⊢ ∫ (x : X) in Set.univ, f x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
⊢ FiniteDimensional k ↥(affineSpan k s).direction
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
AddCommGroup E
UniformSpace E
T2Space E
UniformAddGroup E
Module 𝕜 E
ContinuousSMul 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ CompleteSpace E
R R' : Type u
M M' : Type v
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousConstSMul R M
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R' M'
inst✝ : ContinuousAdd M
s : Submodule R M
⊢ Dense ↑s ↔ s.topologicalClosure = ⊤
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ 1 - ↑n
hs' : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
⊢ expZeta a (1 - s) = (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * (cexp (↑π * I * s / 2) * hurwitzZeta a s + cexp (-↑π * I * s / 2) * hurwitzZeta (-a) s)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℂ
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => Complex.cosh (f x)
α : Type u_2
Sub α
s t : Set α
⊢ (fun x => x.1 - x.2) '' s ×ˢ t = s - t
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Preorder M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Sub M
inst✝⁴ : OrderedSub M
inst✝³ : PartialOrder N
inst✝² : Add N
inst✝¹ : Sub N
inst✝ : OrderedSub N
e : M ≃o N
h_add : ∀ (a b : M), e (a + b) = e a + e b
a b : M
e_add : M ≃+ N := { toEquiv := e.toEquiv, map_add' := h_add }
⊢ e (e.symm (e a) - e.symm (e b)) ≤ e (e.symm (e a - e b))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ ∀ {x : CategoryTheory.IsIso f}, (CategoryTheory.asIso f).inv = CategoryTheory.inv f
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝
⊢ (p1.2.1, p1.1.1).1 ∈ A✝