ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ
⊢ ↑d.succ * ∑ m ∈ range (d + 1), y ^ m * 1 ^ (d - m) * ↑(d.choose m) - ↑d.succ * y ^ d = ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * y ^ (x_1 - 1))
β : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
γ : Type u_4
Group G
AddMonoid α
SMul γ α
self : SlashAction β G α γ
k : β
g : G
a b : α
⊢ (a + b) ∣[k;γ] g = a ∣[k;γ] g + b ∣[k;γ] g
ι : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
UniformSpace α
F : ι → X → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
𝔖_covers : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
ℱ : Filter ι
f : X → α
⊢ Filter.Tendsto (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ℱ (𝓝 ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f)) ↔ Filter.Tendsto F ℱ (𝓝 f)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f (insert x s) x
X : Type u_2
TopologicalSpace X
S : DiscreteQuotient X
x : X
⊢ S.proj ⁻¹' {S.proj x} = setOf (S.Rel x)
p x t : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)
ht : t ≠ 0
⊢ ‖↑(t * x)‖ = |t| * ‖↑x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
h : e.target = e'.source
⊢ (e.trans' e' h).target = e'.target
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ a * ↑r = r • a
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
hx : x ∈ e.source
⊢ (∀ᶠ (y : Y) in 𝓝 (↑e x), p (↑e.symm y)) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x
R : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalAddGroup R
norm : R → 𝕜
norm_nonneg : ∀ (x : R), 0 ≤ norm x
norm_mul_le : ∀ (x y : R), norm (x * y) ≤ norm x * norm y
nhds_basis : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) fun ε => {x | norm x < ε}
h0 : ∀ (f : R → R), ∀ c ≥ 0, (∀ (x : R), norm (f x) ≤ c * norm x) → Tendsto f (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ TopologicalRing R
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ ∅ ≠ ↑I
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
l : Filter α
u v w : α → β
huv : u ~[l] v
hvw : v ~[l] w
⊢ u ~[l] w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
⊢ ∃ s', s ⊆ s' ∧ s' ⊆ s₁ ∧ BijOn f s' t'
α : Type u
Finite α
σ τ π ρ : Equiv.Perm α
hc1 : IsConj σ π
hc2 : IsConj τ ρ
hd1 : σ.Disjoint τ
hd2 : π.Disjoint ρ
⊢ IsConj (σ * τ) (π * ρ)
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ∫⁻ (x : ℝ), ProbabilityTheory.exponentialPDF r x = 1
ι : Type u_1
Fintype ι
DecidableEq ι
t : Matrix.TransvectionStruct ι ℝ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(Matrix.toLin' t.toMatrix)) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β → γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f)
h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b
h_mono : Monotone F
this : ∀ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b) = ⨆ n, ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b)
h_some_meas_integral : ∀ (f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞), Measurable fun b => ∫⁻ (c : γ), ↑f' (b, c) ∂η (a, b)
n : ℕ
⊢ ∀ (c : ℝ≥0∞) {s : Set (β × γ)} (hs : MeasurableSet s), ∫⁻ (a : β × γ), ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const (β × γ) c) (SimpleFunc.const (β × γ) 0)) a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c_1 : γ), ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const (β × γ) c) (SimpleFunc.const (β × γ) 0)) (a_1, c_1) ∂η (a, a_1) ∂κ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F
⊢ re ⟪x, x⟫_𝕜 = ‖x‖ * ‖x‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
f g : P ⟶ Q
h :
  ∀ (X : C) (p : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ P),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp p f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp p g
⊢ f = g
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDomain S
b : Basis ι R S
x : S
this✝ : Module.Free R S
this : Module.Finite R S
⊢ (norm R) x = 0 ↔ x = 0
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
Preorder 𝕆
LinearOrder α
GradeOrder 𝕆 α
a b : α
⊢ grade 𝕆 a ≠ grade 𝕆 b ↔ a ≠ b
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Continuous Prod.swap
α : Fin 2 → Type u_2
(i : Fin 2) → PseudoEMetricSpace (α i)
p : α 0 × α 1
i : Fin (1 + 1)
⊢ (IsometryEquiv.piFinTwo α).symm p i = Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim) i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.rotate C).obj T = T.rotate
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R₁
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
x : M
⊢ 0 x = 0
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun m f κ μ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (κ a)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
⊢ Z.toFiberBundleCore.baseSet = Z.baseSet
ι : Type u_2
Fintype ι
x : ι → ℝ
⊢ AntitoneOn (dist x) (Set.Iic x)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
hd : HasFDerivWithinAt d d' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => c y * d y) (c x • d' + d x • c') s x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
⊢ CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty D
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (algebraMap F K) f
⊢ (f.aroots K).Nodup ↔ f.Separable
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
⊢ S.leftNeg ≤ IsAddUnit.addSubmonoid M
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i i' : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
h : i' ≠ i
⊢ (DFinsupp.erase i f) i' = f i'
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
s : σ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R 0) (φ * MvPowerSeries.X s) = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ↑(μ.withDensityᵥ f) s = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S S' : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
h : S = S'
⊢ p.IsHomLift (f ≫ CategoryTheory.eqToHom h) φ ↔ p.IsHomLift f φ
w : uliftFunctor.{u, v}.EssSurj
α : Type (max u v)
⊢ Small.{v, max u v} α
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
f : R →+* S
n : ℕ := max p.natDegree (map f p).natDegree
⊢ ∑ a ∈ range (n + 1), C ((map f p).coeff a * ↑a) * X ^ (a - 1) = map f (∑ a ∈ range (n + 1), C (p.coeff a * ↑a) * X ^ (a - 1))
x : ℂ
⊢ Complex.sin (2 * ↑Real.pi - x) = -Complex.sin x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
h : HasDerivAtFilter f f' x L
hL : f₁ =ᶠ[L] f
hx : f₁ x = f x
⊢ HasDerivAtFilter f₁ f' x L
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x : M
⊢ (∃ y ∈ ↑N, ∃ z ∈ ↑N', y + z = x) ↔ ∃ y ∈ N, ∃ z ∈ N', y + z = x
α : Type u
β : α → Type v
s t : AList β
⊢ s = t ↔ s.entries = t.entries
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Icc a b = ∅ ↔ ¬a ≤ b
o : Ordinal.{u_1}
i : (SetTheory.PGame.nim o).LeftMoves
⊢ ↑(SetTheory.PGame.toLeftMovesNim.symm i) < o
α : Type u_1
β : Type u_2
p a b : ℕ
hp : p ≠ 1
hle : multiplicity p a ≤ multiplicity p b
hab : a.Coprime b
⊢ multiplicity p a = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Ring B
Algebra A B
Algebra R B
Algebra R A
IsScalarTower R A B
Algebra.IsIntegral R A
Algebra.IsIntegral A B
⊢ Algebra.IsIntegral R B
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
Monoid K
(i : ι) → Monoid (G i)
Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
f g : Monoid.PushoutI φ →* K
h : ∀ (i : ι), f.comp (Monoid.PushoutI.of i) = g.comp (Monoid.PushoutI.of i)
hbase : f.comp (Monoid.PushoutI.base φ) = g.comp (Monoid.PushoutI.base φ)
⊢ f = g
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : QPF.Cofix F → QPF.Cofix F → Prop
h' : ∀ (x : QPF.Cofix F), r x x
h : ∀ (x y : QPF.Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
x y : QPF.Cofix F
⊢ r x y → x = y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
SmoothManifoldWithCorners I M
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ LinearMap.ker (mfderiv I I' (↑e) x) = ⊥
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₀.toCompacts
this : Continuous eval
⊢ prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' {1}
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b C : ℝ
hf : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖derivWithin f (Icc a b) x‖ ≤ C
⊢ ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (derivWithin f (Icc a b) x) (Icc a b) x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
A : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} A
G : CategoryTheory.Functor C D
ℱ : CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ A
ℱ' : CategoryTheory.Sheaf K A
α : G.op.comp ℱ ⟶ G.op.comp ℱ'.val
X : A
⊢ ∀ (X_1 : Cᵒᵖ) (a : (CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op X)).obj ((G.op.comp ℱ).obj X_1)),
  (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.homOver α X).app X_1 a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp a (α.app X_1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalSingleObj.endMonoidalStarFunctor C).ε = CategoryTheory.CategoryStruct.id (𝟙_ C)
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
a b : α
h : preStoneCechUnit a = preStoneCechUnit b
⊢ g a = g b
x y z : SetTheory.PGame
h₁ : x < y
h₂ : y.LF z
⊢ x.LF z
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ GaloisConnection (TopologicalSpace.coinduced f) (TopologicalSpace.induced f)
α : Type u_1
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : ℕ → α
n : ℕ
x✝ : α
⊢ (∀ k ≤ n, f k ≤ x✝) ↔ ∀ i ∈ Set.Iic n, f i ≤ x✝
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
a : Rˣ
⊢ ↑(χ.toUnitHom a) = χ ↑a
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f : SupHom α β
hf : ∀ (a b : α), f.toFun (a ⊓ b) = f.toFun a ⊓ f.toFun b
⊢ ⇑{ toSupHom := f, map_inf' := hf } = ⇑f
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
L'' : FirstOrder.Language
g : L' →ᴸ L''
f : L →ᴸ L'
⊢ ∀ (x : ℕ) (R : L.Relations x), (g.comp f).onRelation R = g.onRelation (f.onRelation R)
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
s : Finset ι
(i : ι) → Decidable (i ∈ s)
(i : ι) → Decidable (i ∈ sᶜ)
f g : (i : ι) → π i
⊢ sᶜ.piecewise f g = s.piecewise g f
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
M : Type x
Monoid M
f g : G ⧸ N →* M
h : f.comp (QuotientGroup.mk' N) = g.comp (QuotientGroup.mk' N)
⊢ f = g
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ ⇑1 = id
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
h : Nat.card β = 0 → Nat.card α = 0
⊢ Nat.card α ≤ Nat.card β
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ (HomologicalComplex.HomologySequence.mapSnakeInput φ hS₁ hS₂ i j hij).f₁ =
  (HomologicalComplex.opcyclesFunctor C c i).mapShortComplex.map φ
m k n : ℕ
⊢ (n ∈ Set.range fun n => m * n + k) ↔ n ∈ {n | ↑n = ↑k ∧ k ≤ n}
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hB : M.Basis B M.E
⊢ M.closure B = M.E
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
⊢ P.IsUniform G 1
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
f : α → β
x : ι → Filter α
y : ι → Filter β
h : ∀ (i : ι), Filter.Tendsto f (x i) (y i)
⊢ Filter.Tendsto f (iInf x) (iInf y)
ι : Type u
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
(i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
(i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β i ≃+ β₁ i
f₂ : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
⊢ (DFinsupp.mapRange.addEquiv fun i => (f i).trans (f₂ i)) =
  (DFinsupp.mapRange.addEquiv f).trans (DFinsupp.mapRange.addEquiv f₂)
V : Type u
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
hne : v ≠ w
ha : ¬G.Adj v w
⊢ (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m n : M
h : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m n ≅ 𝟙_ M
X : C
⊢ (CategoryTheory.unitOfTensorIsoUnit F m n h).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ m n).app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map h.hom).app X) (F.εIso.inv.app X))
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
⊢ (HomologicalComplex.opEquivalence V c).counitIso = HomologicalComplex.opCounitIso V c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
x : E
hx : x ∈ K
⊢ (reflection K) x = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)
⊢ x ∈ s
α : Type u_1
LE α
s t : Set α
hs : IsLowerSet s
ht : IsLowerSet t
⊢ IsLowerSet (s ∪ t)
x : ℝ
⊢ ⊤ ≠ ↑x
α : Type u
x : α
⊢ (FreeAddSemigroup.of x).length = 1
α : Type u_1
ns : List ℕ
l : List α
⊢ ns.sum ≤ l.length → List.map List.length (l.splitWrtCompositionAux ns) = ns
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid L
inst✝⁶ : TopologicalSpace L
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : TopologicalSpace N
v✝ v₁ v₂ : VectorMeasure α M
w w₁ w₂ : VectorMeasure α N
inst✝¹ : T2Space N
inst✝ : ContinuousAdd M
u : Set α
hmu : MeasurableSet u
hu₁ : ∀ t ⊆ u, ↑v₁ t = 0
hu₂ : ∀ t ⊆ uᶜ, ↑w t = 0
v : Set α
hmv : MeasurableSet v
hv₁ : ∀ t ⊆ v, ↑v₂ t = 0
hv₂ : ∀ t ⊆ vᶜ, ↑w t = 0
t : Set α
ht : t ⊆ u ∩ v
x✝ : MeasurableSet t
⊢ ↑(v₁ + v₂) t = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ (¬¬IsMin a ∨ ¬∀ ⦃b c : α⦄, b ⊔ c = a → b = a ∨ c = a) ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, b ⊔ c = a ∧ b < a ∧ c < a
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
Bint : ∃ q, map (Int.castRingHom K) q = B ∧ q.degree = B.degree ∧ q.Monic
⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n✝ : ℕ
ha : a ∈ s
n : ℕ
⊢ a ^ n * a ∈ s ^ (n + 1)
l m r : List Char
s : Substring
h : ValidFor l m r s
n : Nat
this : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }
⊢ ValidFor l (List.take n m) (List.drop n m ++ r) { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.startPos + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) } }
X : Type u_1
R : Type u_2
TopologicalSpace X
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
s : Set X
f : C(X, R)
⊢ f ∉ ContinuousMap.idealOfSet R s ↔ ∃ x ∈ sᶜ, f x ≠ 0
α : Type u
s t u : Set α
h : Disjoint s t
⊢ u ⊆ symmDiff s u ∪ symmDiff t u
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ι →₀ α
a✝ : ι
⊢ a✝ ∈ (f ⊓ g).support ↔ a✝ ∈ f.support ∩ g.support
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
h : ∀ (u : ℕ → ι), Tendsto u atTop l → TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f atTop s
u : ℕ → ι × α
hu : Tendsto (fun n => (u n).1) atTop l ∧ Tendsto (fun n => (u n).2) atTop (𝓟 s)
⊢ Tendsto ((fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) ∘ u) atTop (𝓤 β)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
Hf : Monotone f
a : α
s : Set α
Ha : a ∈ lowerBounds s
⊢ f a ∈ lowerBounds (f '' s)
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ AddMonCatMax
CategoryTheory.IsFiltered J
x x' y : (j : J) × ↑(F.obj j)
hxx' : CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ CategoryTheory.forget AddMonCat) x x'
⊢ AddMonCat.FilteredColimits.colimitAddAux F x y = AddMonCat.FilteredColimits.colimitAddAux F x' y
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
b : β
nhd_b : {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
nhd_o : {b}ᶜ ∈ 𝓝 0
⊢ ∀ (a : α), Tendsto (fun i => (As i).indicator (fun x => b) a) L (𝓝 (A.indicator (fun x => b) a)) ↔ ∀ᶠ (i : ι) in L, a ∈ As i ↔ a ∈ A
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁵ : Module R N₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₁
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹¹ : Semiring S₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₂
inst✝⁹ : Module S₁ N₂
inst✝⁸ : Module S₂ N₂
inst✝⁷ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq m
T : Type u_17
inst✝ : CommSemiring T
M : Matrix n m T
v : n → T
w : m → T
⊢ (((toLinearMap₂' T) M) v) w = v ⬝ᵥ M *ᵥ w
a : ℝ≥0∞
h : a ≠ 0
⊢ ⊤ * a = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
y : Set β
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
hy : y ⊆ f '' x
⊢ x ∩ f ⁻¹' minimals s y = minimals r (x ∩ f ⁻¹' y)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
c : ℝ
x : E
h : ‖x‖ ≤ c
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * c
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : StrongFEPair E
s : ℂ
⊢ HasMellin P.f s (P.Λ s)
X Y : Grp
e : ↑X ≃* ↑Y
⊢ e.toGrpIso.inv = e.symm.toMonoidHom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U : Submodule 𝕜 E
⊢ U ⟂ U ↔ U = ⊥
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
x u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
Fintype V
DecidableRel G.Adj
⊢ Even (G.degree x) ↔ u ≠ v → x ≠ u ∧ x ≠ v
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] M
hf : IsNilpotent f
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) R M := Module.Free.chooseBasis R M
⊢ IsNilpotent ((trace R M) f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ {x} ∈ 𝓝[s] x
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
F : Ultrafilter X
⊢ ↑F ≤ 𝓝 F.lim
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
⊢ ∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
EquivLike F α β
OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β
⊢ a < EquivLike.inv f b ↔ f a < b
a : Cardinal.{u}
b : Cardinal.{max u v}
⊢ b ≤ Cardinal.lift.{v, u} a → ∃ a', Cardinal.lift.{v, u} a' = b
α : Type u_1
l : List α
⊢ l = [] ↔ ∀ (a : α), ¬a ∈ l