ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ) μ
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) ((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, μ] fun x => ‖k x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) ν
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.1 - z.2, z.2)) (μ.prod ν) = μ.prod ν
t : G
ht : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (x₀ - t) (mul ℝ ℝ) μ
⊢ ‖∫ (x : G), ‖uncurry (fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, t)‖ ∂μ‖ ≤ ‖L₃‖ * ‖L₄‖ * ((mul ℝ ℝ) ((fun x => ‖f x‖) t)) (((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, μ] fun x => ‖k x‖) (x₀ - t))
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryProduct X Y
⊢ (pullbackZeroZeroIso X Y).hom ≫ prod.fst = pullback.fst 0 0
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
g₁ g₂ : G
p : P
⊢ g₁ +ᵥ p = g₂ +ᵥ p ↔ g₁ = g₂
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
⊢ Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inl))) (span R (range (u ∘ Sum.inr)))
n : ℕ
⊢ n.primeFactors = ∅ ↔ n = 0 ∨ n = 1
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, f x = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hm : m ≠ 0
⊢ (equitabilise h).parts.card = a + b
G : Type u_1
AddCommGroup G
a b : G
⊢ -a + (b + a) = b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
f g : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hg : ContDiffOn 𝕜 n g s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => f x - g x) s
p n k : ℕ
p_large : n < p ^ 2
⊢ (n.choose k).factorization p ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsOpen s → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
⊢ Measurable f
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₁
S : Finset Λ
ss : Supports M S
l₁ : Λ
v : σ
T : Tape Γ
c' : Cfg₁
h₂ : SupportsStmt S (M l₁)
h₁ : stepAux (M l₁) v T = c'
⊢ c'.l ∈ Finset.insertNone S
R : Type u_4
Ring R
f g k : MulRingNorm R
hfg : f.equiv g
hgk : g.equiv k
⊢ f.equiv k
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ 0 < ⌈a⌉ ↔ 0 < a
R : Type u
Semiring R
h : 0 ≠ 1
p : R[X]
hp : p.Monic
⊢ p ≠ 0
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra K E
inst✝³ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝² : Field E'
inst✝¹ : Algebra F E'
f : E →ₐ[F] E'
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E'
this✝ : Algebra E E' := f.toAlgebra
this : IsScalarTower F E E'
⊢ Algebra.IsSeparable F E
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve.Affine R
f : R →+* S
x : R[X]
y : W.CoordinateRing
⊢ (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.map W f) (x • y) =
  Polynomial.map f x • (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.map W f) y
α : Type u_2
SubtractionMonoid α
a : α
⊢ Even (-a) ↔ Even a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalStrip 0 1
⊢ Tendsto (fun ε => ‖(↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (1 - z) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ z‖) (𝓝[>] 0) (𝓝 ‖interpStrip f z‖)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
LE β
Zero β
f : α → β
⊢ 0 ≤ ↑f ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, 0 ≤ f x
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0
⊢ x ^ (-1) = x⁻¹
α : Type u_1
CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
S : Set ↥L
⊢ ↑(sInf S) = ⨅ N ∈ S, ↑N
⊢ ∀ {X Y : Type u} (f : X ⟶ Y) (Y_1 : Type uᵒᵖ)
  (g :
    ((fun X =>
            { obj := fun Y => Opposite.unop Y ⟶ X,
              map := fun {X_1 Y} f g => CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.unop g, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ })
          X).obj
      Y_1)
  (a : Opposite.unop Y_1), (CategoryTheory.typeEquiv.functor.map f).val.app Y_1 g a = f (g a)
n : PosNum
fuel : ℕ
ih : ∀ {k : PosNum}, (↑n).sqrt < fuel + ↑k.bit1 → ↑(n.minFacAux fuel k) = (↑n).minFacAux ↑k.bit1
k : PosNum
h : (↑n).sqrt < fuel + 1 + ↑k.bit1
⊢ ↑(if n < k.bit1 * k.bit1 then n else if k.bit1 ∣ n then k.bit1 else n.minFacAux fuel k.succ) = if n < k.bit1 * k.bit1 then ↑n else if k.bit1 ∣ n then ↑k.bit1 else (↑n).minFacAux (↑k.bit1 + 2)
a b c : Nat
⊢ b < c - a → a + b < c
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s : Set β
⊢ s -ᵥ ∅ = ∅
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
CommRing R''
CommRing S''
Algebra R'' S''
P'' : Algebra.Generators R'' S''
Algebra R R''
Algebra S S''
Algebra R S''
IsScalarTower R R'' S''
IsScalarTower R S S''
Algebra R' R''
Algebra S' S''
Algebra R' S''
IsScalarTower R' R'' S''
IsScalarTower R' S' S''
IsScalarTower R R' R''
IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
⊢ Algebra.Generators.Cotangent.map (g.comp f) =
  ↑S (Algebra.Generators.Cotangent.map g) ∘ₗ Algebra.Generators.Cotangent.map f
α : Type u_1
Div α
a b : α
⊢ AddOpposite.op (a / b) = AddOpposite.op a / AddOpposite.op b
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
⊢ x.divMonomial 0 = x
α' : Type u_1
α'' : Type u_2
β' : Type u_3
β'' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
f' : α' → α''
g' : β' → β''
f : α → α'
g : β → β'
x : α ⊕ β
⊢ Sum.map f' g' (Sum.map f g x) = Sum.map (f' ∘ f) (g' ∘ g) x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : Fork f g
W : C
k l : W ⟶ s.pt
h : k ≫ s.ι = l ≫ s.ι
this : k ≫ s.ι ≫ f = l ≫ s.ι ≫ f
⊢ k ≫ s.π.app one = l ≫ s.π.app one
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
hs : s.Subsingleton
ht : t.Subsingleton
⊢ (s ×ˢ t).Subsingleton
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
N : Subgroup G
nN : N.Normal
a : X
g : G
x✝ : X
⊢ (∃ y, g • y • a = x✝) ↔ ∃ y, y • g • a = x✝
a b m n p✝ p q : ℕ
hp : Prime p
h : p.factorization q ≠ 0
⊢ p = q
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
Semiring C
Algebra R C
Star C
f : (A →⋆ₐ[R] B) × (A →⋆ₐ[R] C)
⊢ StarAlgHom.prodEquiv f = f.1.prod f.2
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
K : Set Y
hK : IsCompact K
l : Filter X
⊢ l ×ˢ 𝓝ˢ K = ⨆ y ∈ K, l ×ˢ 𝓝 y
x : ℝ
⊢ (Complex.sinh ↑x).re = Real.sinh x
p q x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
hle : q ≤ p
⊢ LiouvilleWith q x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
⊢ ∀ (i : Finset ι), ∑ a ∈ i, μ (As a) ≤ μ (⋃ i, As i)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddGroup α
AddAction α β
FaithfulVAdd α β
⊢ Function.Injective AddAction.toPerm
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ (μ.withDensity f).trim hm = (μ.trim hm).withDensity f
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C✝ : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hB : ∃ c < π / 2 / b, ∃ B, f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
⊢ ‖f z‖ ≤ C
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
inst✝ : Module.Finite R M
v : ι → M
h : LinearIndependent R v
⊢ lift.{?u.168006, w} #ι < lift.{?u.168006, w} ℵ₀
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
s : Set α
t : Set β
x✝ : sᶜ ∉ l ∧ tᶜ ∉ m
hs : sᶜ ∉ l
ht : tᶜ ∉ m
⊢ ∃ᶠ (x : α × β) in l.curry m, x ∈ s ×ˢ t
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n i : ℕ
⊢ (init n (init n x)).coeff i = (init n x).coeff i
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A B : M
h : Commute A B
n : ℕ
⊢ (A * B) ^ ↑n = A ^ ↑n * B ^ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
h : ∀ (c : Set α), IsChain r c → ∃ ub, ∀ a ∈ c, r a ub
trans : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → r a c
this✝ : ∃ ub, ∀ a ∈ maxChain r, r a ub
ub : α
hub : ∀ a ∈ maxChain r, r a ub
a : α
ha : r ub a
this : IsChain r (insert a (maxChain r))
⊢ a ∈ maxChain r
G : Type u_1
Group G
H : Type u_2
Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
M : Subgroup H
hM : IsCoatom M
⊢ IsCoatom (Subgroup.comap φ M)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.xn a1 n * Pell.xn a1 n - Pell.d a1 * Pell.yn a1 n * Pell.yn a1 n = 1
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
⊢ Split.toKaroubiNondegComplexFunctorIsoN₁.inv.app (Split.mk' (Γ₀.splitting K)) ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀'CompNondegComplexFunctor.hom.app K) = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).hom
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
β : ι → Type u_3
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (x : ι) → Ω → β x
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ iCondIndep m' hm' (fun x => MeasurableSpace.comap (f x) (m x)) μ ↔ ∀ (s : Finset ι) {g : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (g i)) → μ[(⋂ i ∈ s, g i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(g i).indicator fun ω => 1|m']
α : Type u_2
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Mul M
ContinuousMul M
f g : α → M
x : Filter α
a b : M
hf : Filter.Tendsto f x (𝓝 a)
hg : Filter.Tendsto g x (𝓝 b)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * g x) x (𝓝 (a * b))
x y : ℝ
hx₁ : -(Real.pi / 2) ≤ x
hy₂ : y ≤ Real.pi / 2
hxy : x ≤ y
⊢ Real.sin x ≤ Real.sin y
G : Type u_3
InvolutiveInv G
⊢ Inv.inv ∘ Inv.inv = id
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
ha2 : a % 2 = 1
hap : ↑a ≠ 0
⊢ (Finset.filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Finset.Ico 1 (p / 2).succ)).card ≡
  ∑ x ∈ Finset.Ico 1 (p / 2).succ, x * a / p [MOD 2]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : h.K ⟶ A
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.f' k = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.π (h.descH k hk) = k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → α
g : α → γ → α
hfg : (Set.range fun a c => f c a) ⊆ Set.range fun b c => g c b
a : α
⊢ (Set.range fun l => foldl f a l) ⊆ Set.range fun l => foldl g a l
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
self : c.Embedding c'
⊢ Function.Injective self.f
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
t : Set α
f : ℕ → Set α
hf : t ⊆ ⋃ i, f i
⊢ t \ s ⊆ ⋃ i, (fun i => f i \ s) i
α : Type u_1
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_7
CompleteLattice α
f g : (i : ι) → κ i → α
h : ∀ (i : ι) (j : κ i), f i j ≤ g i j
⊢ ⨅ i, ⨅ j, f i j ≤ ⨅ i, ⨅ j, g i j
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → Prop
c : ENNReal
hc : c ≠ 0
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂c • μ, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ B.Nonempty
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set α
p : α →₀ M
⊢ p ∈ Finsupp.supported M R s ↔ ∀ x ∉ s, p x = 0
α : Type u_2
M : Matroid α
X : Set α
⊢ M.E ⊆ M.closure X ↔ M.closure X = M.E
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x✝ : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
x : M
i : ι
a✝ : Nontrivial R
⊢ ∀ (i : ι), (fun x i => (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩) (b i) = ⇑(Finsupp.single i 1)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
h : a < b
⊢ frontier (Set.Ioo a b) = {a, b}
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : F →ₛₗᵢ[σ₂₃] G
g : E →SL[σ₁₂] F
x : E
⊢ ‖(f.toContinuousLinearMap.comp g) x‖ = ‖g x‖
x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun z => 1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn z) x
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
⊢ (SemistandardYoungTableau.highestWeight μ) i j = if (i, j) ∈ μ then i else 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ₁ φ₂ : A →ₐ[R] B
H : ∀ (x : A), φ₁ x = φ₂ x
⊢ φ₁ = φ₂
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
AddCommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
e : ι ≃ κ
hst : ∀ (i : ι), i ∈ s ↔ e i ∈ t
hfg : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)
⊢ ∑ i ∈ s, f i = ∑ i ∈ t, g i
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I I' : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
hI' : I' ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
a : R
J : Ideal R
ha : a ≠ 0
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
ha_ne_zero : Associates.mk (Ideal.span {a}) ≠ 0
hJ_ne_zero : Associates.mk J ≠ 0
a' : R
J' : Ideal R
ha' : a' ≠ 0
haJ' : I' = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a')⁻¹ * ↑J'
ha'_ne_zero : Associates.mk (Ideal.span {a'}) ≠ 0
⊢ count K v (I * I') = count K v I + count K v I'
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : 𝕜 → G
s : Set 𝕜
x y : 𝕜
C : ℝ
hf : ∀ x ∈ s, DifferentiableAt 𝕜 f x
bound : ∀ x ∈ s, ‖deriv f x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
⊢ ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
h : Aᵀ.IsHermitian
⊢ A.IsHermitian
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a * b = a * c
⊢ b = c
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K
⊢ J / spanSingleton R₁⁰ d = 1 / spanSingleton R₁⁰ d * J
S : Type u'
R : Type u
M : Type v
Monoid R
MulAction R M
SMul S R
SMul S M
IsScalarTower S R M
p : SubMulAction R M
s : S
x : M
h : x ∈ p
⊢ s • x ∈ p
n✝ n : ℕ
pos : 0 < n
np : ¬Prime n
x : ℕ
hx : n = n.minFac * (x + 2)
⊢ n.minFac ≤ x + 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a ≤ b
hb : 0 ≤ b
⊢ b⁻¹ * a ≤ 1
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
h_surj : Function.Surjective (Set.inclusion h)
⊢ s = t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : 0 < b
⊢ a / b < 1 ↔ 0 < b ∧ a < b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b < a
α : Type u_3
β : Type u_4
AddMonoid β
f : α → β
h : (↑∅).Pairwise fun a b => AddCommute (f a) (f b)
⊢ ∅.noncommSum f h = 0
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
⊢ minpoly K (powerBasis hf).gen = f * C f.leadingCoeff⁻¹
G : Type u_1
Group G
⊢ derivedSeries G 0 = ⊤
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : α × β → E
s : Set α
t : Set β
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (μ.prod ν)
⊢ ∫ (z : α × β) in s ×ˢ t, f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α) in s, ∫ (y : β) in t, f (x, y) ∂ν ∂μ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∑ i ∈ primitiveRoots n R, (X - C i).natDegree = n.totient
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
⊢ s.IsPWO ↔ ((fun x => (ofLex x).1) '' s).IsPWO ∧ ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∃ x, f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
⊢ False
α : Type u_1
L : List α
i j : Nat
h : i + j < L.length
⊢ L[i + j] = (List.drop i L)[j]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t✝ t : Set ((i : ι) → α i)
⊢ t ∈ measurableCylinders α ↔ ∃ s S, MeasurableSet S ∧ t = cylinder s S
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
s : Set E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => f y + g y) s x = fderivWithin 𝕜 f s x + fderivWithin 𝕜 g s x
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α✝
α : Type u_4
a b : α
inst✝ : Preorder α
⊢ IsStronglyAtomic αᵒᵈ ↔ IsStronglyCoatomic α
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p q : α
h : DvdNotUnit p q
⊢ ¬p ~ᵤ q
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
j k : ι
hjk : c.Rel j k
⊢ (HomologicalComplex.homotopyCofiber.desc φ α hα).f j =
  HomologicalComplex.homotopyCofiber.fstX φ j k hjk ≫ hα.hom k j + HomologicalComplex.homotopyCofiber.sndX φ j ≫ α.f j
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
D₁ : Type u_1
D₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} D₁
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D₂
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₁.IsLocalization W₁
L₂.IsLocalization W₂
Φ.IsRightDerivabilityStructure
⊢ CategoryTheory.TwoSquare.GuitartExact (CategoryTheory.CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ (Φ.localizedFunctor L₁ L₂)).hom
θ ψ : ℝ
⊢ ↑(toIocMod Real.two_pi_pos ψ θ) = ↑θ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
x : FreeAbelianGroup α
⊢ (AddMonoidHom.id (FreeAbelianGroup α)) x = x
α : Type u_1
LT α
s : Set α
⊢ s.chainHeight = ⊤ ↔ ∀ (n : ℕ), ∃ l ∈ s.subchain, l.length = n
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x✝ y : M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
h : p < ⊤
x : M
left✝ : x ∈ ⊤
not_mem_s : x ∉ p
⊢ Nontrivial (M ⧸ p)
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
MeasurableSpace Ω
MeasurableSpace Ω'
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
f : Ω → Ω'
f_mble : Measurable f
A : Set Ω'
A_mble : MeasurableSet A
⊢ (ν.map f) A = ν (f ⁻¹' A)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
s : Set X
hs : IsClosed s
hx : x ∈ s
hy : y ∉ s
⊢ ¬(x ~ᵢ y)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
W X Y Z : Cᵒᵖ
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
p : CommSq f g h i
⊢ i.unop ≫ g.unop = h.unop ≫ f.unop