ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β
H : Multiset.card (Multiset.map f s.val).dedup = Multiset.card s.val
⊢ Set.InjOn f ↑s
M : Type u_4
AddMonoid M
l : List M
DecidableEq M
a : M
h : ∀ (a' : M), a' ≠ a → a' ∈ l → a' = 0
⊢ l.sum = List.count a l • a
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : (f a)⁻¹ * f b = 1
⊢ (f a)⁻¹ = (f b)⁻¹
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒵 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒜 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
G : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒴 𝒵
H : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒵 𝒜
⊢ (F.comp G).comp H = F.comp (G.comp H)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
F G H : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor C D
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
⊢ (α ≫ β).toNatTrans = α.toNatTrans ≫ β.toNatTrans
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ deriv (fun x => x ^ p * (1 - ε x)) x = deriv (fun x => x ^ p) x * (1 - ε x) + x ^ p * deriv (fun x => 1 - ε x) x
n : ℕ
i j : Fin n.succ
h : j ≤ i
⊢ ↑(i.cycleRange j) = if j = i then 0 else ↑j + 1
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
hf : Function.Surjective ⇑f
h : affineSpan k s = ⊤
⊢ affineSpan k (⇑f '' s) = ⊤
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : CountableInterFilter f
fsub : f ≤ 𝓟 s
U : ↑s → Set X
hU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f
⊢ ∀ (t : Set ↑s), t.Countable → ¬s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
SemilatticeInf β
ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
⊢ f ⊓ g ≤ g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a✝ b x y : α
hs : f.IsCycleOn s
a : α
ha : a ∈ s
⊢ s.Countable
R : Type u_1
A : Type u
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSpace R
TopologicalSpace A
ContinuousSMul R A
⊢ Continuous ⇑(algebraMap R A)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
F : ℍ[R,c₁,c₂] →ₐ[R] A
x✝ : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ F { re := x✝.re + 0 + 0 + 0, imI := 0 + x✝.imI • 1 + 0 + 0, imJ := 0 + 0 + x✝.imJ • 1 + 0, imK := 0 + 0 + 0 + x✝.imK • 1 } = F x✝
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
NonAssocSemiring R'
NonAssocSemiring S'
⊢ ↑(RingEquiv.prodProdProdComm R R' S S') = Equiv.prodProdProdComm R R' S S'
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
K : ℝ≥0
hf : LipschitzWith K f
⊢ LocallyLipschitz f
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
u : (P₁ →ᵃ[k] P₁)ˣ
⊢ (AffineEquiv.equivUnitsAffineMap.symm u).linear =
  (LinearMap.GeneralLinearGroup.generalLinearEquiv k V₁) ((Units.map AffineMap.linearHom) u)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ ¬IsUnit ((mapId 𝒜 ⋯) (HomogeneousLocalization.mk z)) ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.carrier x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
s : Multiset R
hs : (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod.Separable
⊢ s.Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
⊢ ∃ ub ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}, ∀ s ∈ cs, s ⊆ ub
β : Type u_1
AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
⊢ (HomologicalComplex.dgoEquivHomologicalComplex b V).unitIso = HomologicalComplex.dgoEquivHomologicalComplexUnitIso b V
C : Type u
X : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
⊢ ⟦CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.Hom.ρ_hom X⟧ = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
f : τ → S
g : σ → MvPolynomial τ R
⊢ (MvPolynomial.aeval f).comp (MvPolynomial.bind₁ g) = MvPolynomial.aeval fun i => (MvPolynomial.aeval f) (g i)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Add A
Add B
Mul A
Mul B
SMul R A
SMul R B
Star A
Star B
self : A ≃⋆ₐ[R] B
a : A
⊢ self.toFun (star a) = star (self.toFun a)
d : ℤ
a b : ℤ√d
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : b ∣ a
⊢ ¬(b.re = 0 ∧ b.im = 0)
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
a : α
⊢ LipschitzWith 1 (Prod.mk a)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : IsSeparable s
this : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ closure t
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s : Finset α
⊢ s - ∅ = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν' : μ ⟂ₘ ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
h_ac : ν ≪ ν + ν'
h₁ : (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae (ν + ν')] (μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν')
h₂ : (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν).rnDeriv ν + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
h₃ : (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
⊢ (μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν).rnDeriv ν + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : IntermediateField F E
α : ↥K
⊢ IntermediateField.lift F⟮α⟯ = F⟮↑α⟯
a : ℝ
⊢ UniqueDiffWithinAt ℝ (Set.Ioi a) a
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
h : Function.Surjective ⇑(map f)
y : N
x : ExteriorAlgebra R M
hx : (map f) x = (ι R) y
⊢ f (ιInv x) = y
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
m : ℕ
⊢ WittVector.ghostFun (x ^ m) = WittVector.ghostFun x ^ m
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f
h₂ : ∀ (x : ℝ≥0), f.symm x = x ^ p
x : ℝ≥0
mx : x ∈ univ
y : ℝ≥0
my : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : ℝ≥0
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • (fun x => x ^ p) x + b • (fun x => x ^ p) y < (fun x => x ^ p) (a • x + b • y)
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
⊢ (Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π.boxes).biUnion Option.toFinset = π.boxes
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
h : a✝ ≤ b✝
⊢ b✝.asIdeal ≤ a✝.asIdeal
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Type u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
hS : iUnion S = univ
t : Set β
⊢ (iUnionLift S f hf univ ⋯ ∘ fun a => ⟨a, ⋯⟩) ⁻¹' t = ⋃ i, Subtype.val '' (f i ⁻¹' t)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
l : List α
⊢ List.map f (a :: l) = f a :: List.map f l
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hpu : ¬IsUnit p
⊢ Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q
M : Type u_3
G : Type u_6
H : Type u_7
MulOneClass M
CommGroup G
CommGroup H
f : G →* H
g h : M →* G
⊢ f.comp (g / h) = f.comp g / f.comp h
S : Finset Turing.PartrecToTM2.Λ'
q : Turing.PartrecToTM2.Λ'
⊢ Turing.PartrecToTM2.Supports {q} S ↔ Turing.TM2.SupportsStmt S (Turing.PartrecToTM2.tr q)
p x t : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)
ht : t ≠ 0
ht' : |t| ≠ 0
⊢ sInf ((fun a => |a|) '' {m | ↑m = ↑(t * x)}) = sInf (|t| • (fun a => |a|) '' {m | ↑m = ↑x})
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
r : R
LinearOrderedAddCommGroup R
Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x • r) l Filter.atTop
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ (n + 0 + 1)).smeval (-↑n) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space Y
s t : Set X
f g : X → Y
h : EqOn f g s
hf : ContinuousOn f t
hg : ContinuousOn g t
hst : s ⊆ t
hts : t ⊆ closure s
x : X
hx : x ∈ t
⊢ f x = g x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
x : α
hx : ¬IsSuccLimit x
hs : IsLUB ∅ x
⊢ x ∈ ∅
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
a : α
i : ι
j : κ i
ha : a ∈ s i j
⊢ a ∈ ⋃ i, ⋃ j, s i j
α : Type u_2
Fintype α
s t : Finset α
DecidableEq α
h : s.card = t.card
⊢ (s \ t).dens = (t \ s).dens
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) const
y : N → ↑I
j : N
Hj : y j = 0 ∨ y j = 1
⊢ (({ toFun := Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ }.comp p.toContinuousMap).uncurry.comp (Cube.splitAt i).toContinuousMap) y = x
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁
γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂
δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂
a : A
⊢ ({ app := fun X_1 => ({ app := fun X_2 => L₆.map (γ.app X_2), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => δ.app (L₃.obj X), naturality := ⋯ }).app (G₁.obj X_1), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => K₂.map (({ app := fun X => L₄.map (α.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => β.app (L₁.obj X), naturality := ⋯ }).app X), naturality := ⋯ }).app a = ({ app := fun X_1 => L₆.map (({ app := fun X_2 => γ.app (G₁.obj X_2), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => H₂.map (α.app X), naturality := ⋯ }).app X_1), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => ({ app := fun X => δ.app (H₁.obj X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => K₂.map (β.app X), naturality := ⋯ }).app (L₁.obj X), naturality := ⋯ }).app a
K : Type u
DivisionSemiring K
I : Ideal K
h : I.IsPrime
⊢ I = ⊥
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 G
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' G'
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
x x' : M
y : F
⊢ (f (x - x')) y = (f x) y - (f x') y
x : ℝ
⊢ Real.tan (Real.pi / 2 - x) = (Real.tan x)⁻¹
α : Type u
t : TopologicalSpace α
TopologicalSpace.SeparableSpace α
Nonempty α
⊢ DenseRange (TopologicalSpace.denseSeq α)
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : (a : α) → β a → Type u_3
(x : α) → (y : β x) → Preorder (γ x y)
f : (x : (a : α) × β a) → γ x.fst x.snd
x : α
y : β x
⊢ (Pi.monotoneCurry α β γ) f x y = Sigma.curry f x y
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
X : C
h : coyoneda.obj (op X) ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cocones
s : Cocone F
⊢ (colimitCocone h).extend (homOfCocone h s) = coconeOfHom h (homOfCocone h s)
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hut : closure u ⊆ tᶜ
v : Set M
v_op : IsOpen v
htv : t ⊆ v
hvu : closure v ⊆ (closure u)ᶜ
⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 0) ∧ (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
L : Set G
Lcomp : IsCompact L
L1 : L ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ K, IsCompact K ∧ IsClosed K ∧ K ⊆ L ∧ K ∈ 𝓝 1
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
⊢ AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion.lift f g H' ≫ f = g
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
J✝ B : Set α
f✝ x y : α
Js : Set (Set α)
hne : Js.Nonempty
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
J : Set α
heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J
f : α
hI : M.Indep (insert f (J \ {e}))
hIs : ∀ J_1 ∈ Js, J_1 ⊆ insert f (J \ {e})
hiX : ⋂₀ Js ⊆ insert f (J \ {e})
heEI : e ∈ M.E \ insert f (J \ {e})
hJI : M.Basis J (insert e (insert f (J \ {e})))
hIb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e (insert f (J \ {e})))
hfIJ : f ∈ insert f (J \ {e}) \ J
hfb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e (insert f (J \ {e})))
X : Set α
hX' : X ∈ Js
hfX : f ∉ X
⊢ False
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).num = OfNat.ofNat n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
m n : α
⊢ ⋃ i ∈ Ico m n, Ioc (f i) (f (succ i)) = Ioc (f m) (f n)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Q (q + 1) =
  AlgebraicTopology.DoldKan.Q q - AlgebraicTopology.DoldKan.P q ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.Hσ q
X : Type u
ι : Type u_5
σ : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
TopologicalSpace X
f : Sigma σ → X
⊢ Continuous f ↔ ∀ (i : ι), Continuous fun a => f ⟨i, a⟩
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
c : ℝ
f : α → E
g' : α → F'
l : Filter α
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f g'
⊢ ∃ c' ≥ 0, Asymptotics.IsBigOWith c' l f g'
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i : Set α
hi : ¬MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s i ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i ⊆ i ∧
  MeasurableSet (MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i) ∧
    1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s i) + 1) <
      ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i)
α : Type u_1
inst✝³ : Zero α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : a ≠ 0
h_pos : 0 < a
⊢ ContinuousAt (⇑SignType.sign) a
op : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.Principal op o ↔ Ordinal.Principal (Function.swap op) o
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
⊢ (spectralRadius ℂ a).toReal = ‖a‖
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
⊢ (Finset.affineCombination k s.attach f) (w ∘ f) = (Finset.affineCombination k (Finset.image f Finset.univ) id) w
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
A : Set G
hA : MeasurableSet A
a✝ : μ' A < ⊤
h3A : ν' A⁻¹ < ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : G) ∂μ'.restrict A, ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s) < ⊤
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : E
⊢ ContDiff ℝ ⊤ (stereoInvFunAux v)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ StrictConvex 𝕜 s ↔ Convex 𝕜 s
⊢ sin (↑π / 2) = ↑(Real.sin (π / 2))
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
h₁ : 0 ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (1 - upcrossingStrat a b f N k) * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ
h₂ : ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (1 - upcrossingStrat a b f N k) * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ = ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (f (k + 1) - f k)) x ∂μ - ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ
⊢ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), f n x ∂μ - ∫ (x : Ω), f 0 x ∂μ
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b✝ c✝ : X
s t : Set X
h : s ∈ 𝓝 a
b c : X
ha : a ∈ Icc b c
ha' : Icc b c ∈ 𝓝 a
hs : Icc b c ⊆ s
⊢ s.ordConnectedComponent a ∈ 𝓝 a
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
h₁ : blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
h₂ : blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p
hr : Tendsto (fun i => M * r i) atTop (𝓝 0)
hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < M * r i
h₃ : blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p
⊢ blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ‖Complex.log ↑n‖ ≤ ↑n ^ ε / ε
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
hv' : ⟪v, v⟫_ℝ ≠ 0
⊢ -2 * (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ + ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) + -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f : α → β
x : α
n : ℕ
hn : n ≥ ⌈↑‖f x‖₊⌉₊ + 1
⊢ {x | ↑n ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x = 0
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
⊢ (∀ (p : α → Prop), Functor.Liftp p x ↔ ∀ u ∈ Functor.supp x, p u) ↔
  ∃ a f,
    QPF.abs ⟨a, f⟩ = x ∧
      ∀ (a' : (QPF.P F).A) (f' : (QPF.P F).B a' → α), QPF.abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' Set.univ ⊆ f' '' Set.univ
m n : ℕ
⊢ ↑m + ↑n = ↑(m + n)
α : Type u_3
CommMonoid α
s : Multiset α
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ (Multiset.filter p s).prod * (Multiset.filter (fun a => ¬p a) s).prod = s.prod
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
f : E → β
hf : Antitone f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | f x < r}
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
b₁ b₂ : β
⊢ Finset.Ioc (Sum.inr b₁) (Sum.inr b₂) = Finset.map Function.Embedding.inr (Finset.Ioc b₁ b₂)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
h0 : p ∅
hU : q U
hμU : μ U ≠ ⊤
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ K ⊆ U, p K ∧ μ U < μ K + ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.contractibleTriangleIso X).inv.hom₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
β : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice β
f : α ≃o β
⊢ ⨅ i ∈ {H | IsCoatom H}, f i = ⨅ a ∈ {H | IsCoatom H}, a
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom
Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul
m : ℕ
r : R
n : ℕ
s : R
⊢ (((((compHom (D k)).comp Φ).comp (monomial m).toAddMonoidHom) r).comp (monomial n).toAddMonoidHom) s = ((((∑ x ∈ antidiagonal k, (compHom.comp ((compHom Φ) (D x.1))).flip (D x.2)).comp (monomial m).toAddMonoidHom) r).comp (monomial n).toAddMonoidHom) s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : MulActionWithZero α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
ha' : 0 < a
x : E
r : ℝ
⊢ r ∈ {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ a • s} ↔ r ∈ a⁻¹ • {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ (r • j).negPart = (-r).toNNReal • j.posPart
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪x, o.rightAngleRotation y⟫_ℝ = -(o.areaForm x) y
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
⊢ ↑(nndist ((starRingEnd ℂ) z) z) = ↑(2 * Real.nnabs z.im)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
hf : ∀ (y : β), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
⊢ μ (support ↑f) < ⊤
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Small.{v, u} R
⊢ Module.Flat R M ↔
  ∀ ⦃N N' N'' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : AddCommGroup N'']
    [inst_3 : Module R N] [inst_4 : Module R N'] [inst_5 : Module R N''] ⦃f : N →ₗ[R] N'⦄ ⦃g : N' →ₗ[R] N''⦄,
    Function.Exact ⇑f ⇑g → Function.Exact ⇑(LinearMap.rTensor M f) ⇑(LinearMap.rTensor M g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
J : Type
Fintype J
f : J → C
b : CategoryTheory.Limits.Bicone f
i : b.IsBilimit
⊢ ∑ j : J, b.π j ≫ b.ι j = 𝟙 b.pt
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
x y : Hamming β
⊢ Hamming.ofHamming x = Hamming.ofHamming y ↔ x = y
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ rtakeWhile p l
⊢ p x = true
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
p₁ : Submodule R M
p₂ : Submodule R M₂
q : Submodule R (M × M₂)
⊢ q ≤ p₁.prod p₂ ↔ Submodule.map (LinearMap.fst R M M₂) q ≤ p₁ ∧ Submodule.map (LinearMap.snd R M M₂) q ≤ p₂
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (τ π : Ω → ℕ), IsStoppingTime 𝒢 τ → IsStoppingTime 𝒢 π → τ ≤ π → (∃ N, ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N) → ∫ (x : Ω), stoppedValue f τ x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), stoppedValue f π x ∂μ
⊢ Submartingale f 𝒢 μ