ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α
⊢ SurjOn (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), SurjOn (⇑f)^[n] s s
A : Type u_1
Field A
a : A
⊢ minpoly A a = Polynomial.X - Polynomial.C a
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
⊢ IsCompact (f ⁻¹' K)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
n : Nat
⊢ List.take n (l₁ ++ l₂) = List.take n l₁ ++ List.take (n - l₁.length) l₂
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ
⊢ (expand 1) (X f) = (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) (X f)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ ∀ (X : SimplicialObject C), (alternatingFaceMapComplex C ⋙ F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj X = ((SimplicialObject.whiskering C D).obj F ⋙ alternatingFaceMapComplex D).obj X
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
SeminormedAddCommGroup E
l : Filter ι
f : ι → α → E
g : α → E
⊢ MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f l g ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → Filter.Tendsto (fun i => μ {x | ε ≤ ‖f i x - g x‖}) l (𝓝 0)
A : Type u_1
M : Type u_2
AddMonoid A
CommMonoid M
ψ φ : AddChar A M
a : A
⊢ (ψ * φ) a = ψ a * φ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁷ : SemilatticeSup β
inst✝⁶ : OrderBot β
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderClosedTopology β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
i : ℕ → β
f : γ → β
g : α → γ
n : ℕ
a : α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ↑(approx i (f ∘ g) n) a = ↑(approx i f n) (g a)
M : Type u_2
MonoidWithZero M
NoZeroDivisors M
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ x ∈ M⁰
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
G : SimpleGraph V
⊢ ∀ {a b : ↑Set.univ}, G.Adj ((Equiv.Set.univ V) a) ((Equiv.Set.univ V) b) ↔ (induce Set.univ G).Adj a b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
⊢ s.toJordanDecomposition = JordanDecomposition.mk (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)) ⋯
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
⊢ StrictMono NonUnitalSubsemiring.toAddSubmonoid
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
n : ℕ
f : ↑s →₀ α
hf✝ : (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) f = 1
hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1
this✝ : 1 ∈ span ((fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support)
x : ↑s
left✝ : x ∈ ↑f.support
this : span {↑x ^ (n + 1)} ≤ span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s)
⊢ (f x * ↑x) ^ (n + 1) ∈ ↑(span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s))
K : Type u_1
R : Type u_2
x n : ℕ
h : x.Coprime n
⊢ x ^ φ n ≡ 1 [MOD n]
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
W : Projective R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
P : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ u • ![P 0, P 1, P 2] = ![↑u * ![P 0, P 1, P 2] 0, ↑u * ![P 0, P 1, P 2] 1, ↑u * ![P 0, P 1, P 2] 2]
C : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C
r : HomRel C
D : Type u_4
inst✝ : Category.{u_2, u_4} D
Φ : Quotient r ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → (functor r ⋙ Φ).map f₁ = (functor r ⋙ Φ).map f₂
⊢ ∀ (X Y : Quotient r) (f : X ⟶ Y), HEq (Φ.map f) ((lift r (functor r ⋙ Φ) H).map f)
R : Type u_1
Semiring R
p : R[X]ᵐᵒᵖ
⊢ ((Polynomial.opRingEquiv R) p).leadingCoeff = MulOpposite.op (MulOpposite.unop p).leadingCoeff
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ {p | p.2 = x → p.1 ∈ s} ∈ 𝓤 α
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ ↑l₁ = ↑l₂ ↔ l₁ ~r l₂
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
⊢ Localization.mk = (Localization.monoidOf S).mk'
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
g₁ : { x // x ∈ s } → V := fun i => w (f i) • (f i -ᵥ Classical.choice ⋯)
g₂ : P → V := fun i => w i • (i -ᵥ Classical.choice ⋯)
hgf : g₁ = g₂ ∘ f
⊢ univ.sum (g₂ ∘ f) = ∑ x : { x // x ∈ s }, w (f x) • (f x -ᵥ Classical.choice ⋯)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η θ : F ⟶ G
Γ : CategoryTheory.OplaxNatTrans.Modification η θ
a b : B
a' : C
f : a ⟶ b
g : G.obj b ⟶ a'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (Γ.app b) g))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (θ.app b) g).inv
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (θ.naturality f) g)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (η.app b) g).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (η.naturality f) g)
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (Γ.app a) (G.map f)) g))
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
hlt : a < b
c : ℝ := (a + b) / 2
hac : a < c
hcb : c < b
hsub : c - a = b - c
g : Y →ᵇ ℝ
xl : Y → X
hxl : ∀ (y : Y), f (xl y) ≤ g y
hgb : ∀ (y : Y), g y ≤ b
hb' : ¬∃ x, f x = b
hd : Disjoint (range e ∪ ⇑g ⁻¹' Iic c) (⇑g ⁻¹' {b})
dg : Y →ᵇ ℝ
dg0 : EqOn (⇑dg) (Function.const Y 0) (range e ∪ ⇑g ⁻¹' Iic c)
dgb : EqOn (⇑dg) (Function.const Y (b - c)) (⇑g ⁻¹' {b})
dgmem : ∀ (x : Y), dg x ∈ Icc 0 (b - c)
hgf : ∀ (x : X), (g - dg) (e x) = f x
y : Y
hyb : (g - dg) y < b
⊢ ∃ x₁ x₂, (g - dg) y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x✝ : K
ha : a ≠ 0
h : discrim a b c = 0
x : K
this : discrim a b c = 0 * 0
⊢ a * x * x + b * x + c = 0 ↔ x = -b / (2 * a)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Multiset α
⊢ s ∩ t + u = (s + u) ∩ (t + u)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
⊢ p.support.card ≤ p.natDegree + 1
R : Type u_1
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
e : M ≃ₗ[R] M₂
f : Module.End R M₂
⊢ e.symm.conj f = (↑e.symm ∘ₗ f) ∘ₗ ↑e
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
W X X' Y Y' Z : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y'
h' : Y' ⟶ Z
⊢ f ≫ g ≫ h ≫ e.unit.app Z = f' ≫ g' ≫ h' ≫ e.unit.app Z ↔ f ≫ g ≫ h = f' ≫ g' ≫ h'
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞
x : H
⊢ ContDiffWithinAtProp I I n id Set.univ x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.158177, u_2} D
inst✝ : Abelian C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
⊢ QuasiIso φ ↔ (mk φ.τ₂ S₂.g ⋯).Exact ∧ Mono φ.τ₂
α : Type u_2
CompleteLattice α
h : CompleteLattice.IsSupFiniteCompact α
⊢ CompleteLattice.IsSupClosedCompact α
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Mul β
f : α → β
self : IsMulHom f
x y : α
⊢ f (x * y) = f x * f y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingCospan ⥤ C
t :
  CategoryTheory.Limits.PullbackCone (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.Hom.inl)
    (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.Hom.inr)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cone.ofPullbackCone t).pt = t.pt
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
⊢ Function.Injective p
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
h2 : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f (g m)) (f (g n))
⊢ ∃ g, ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → r (f (g m)) (f (g n))
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ |a| ≤ |b| + |b + a|
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
AddCommMonoid S
AddCommMonoid T
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
Module R S
Module R T
f : M ≃ₗ[R] P
g : N ≃ₗ[R] Q
f' : P ≃ₗ[R] S
g' : Q ≃ₗ[R] T
⊢ TensorProduct.congr (f ≪≫ₗ f') (g ≪≫ₗ g') = TensorProduct.congr f g ≪≫ₗ TensorProduct.congr f' g'
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
⊢ K = ⊥ ∨ K = N
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Finset α
⊢ ⋂ i, Ici {↑i} ⊆ Ici s
α β γ : Type u
f : Type u → Type v
Functor f
LawfulFunctor f
m : α → β
g : β → γ
x : f α
⊢ g <$> m <$> x = (g ∘ m) <$> x
α : Type u_3
n : ℕ
β : Type u_2
σ₁ : Type
γ : Type u_1
σ₂ : Type
xs : Mathlib.Vector α n
f₁ : β → σ₁ → σ₁ × γ
f₂ : α → σ₂ → σ₂ × β
s₂ : σ₂
s₁ : σ₁
⊢ Mathlib.Vector.mapAccumr f₁ (Mathlib.Vector.mapAccumr f₂ xs s₂).2 s₁ =
  let m :=
    Mathlib.Vector.mapAccumr
      (fun x s =>
        let r₂ := f₂ x s.2;
        let r₁ := f₁ r₂.2 s.1;
        ((r₁.1, r₂.1), r₁.2))
      xs (s₁, s₂);
  (m.1.1, m.2)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
s : Set A
⊢ (NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s).toSubmodule = Submodule.span R ↑(Subsemigroup.closure (s ∪ star s))
cmp✝ : ?m.2679 → ?m.2679 → Ordering
inst✝¹ : TransCmp cmp✝
x✝ : Sort ?u.2677
cmp : x✝ → x✝ → Ordering
inst✝ : TransCmp cmp
x y z : x✝
h₁ : cmp x y ≠ Ordering.lt
h₂ : cmp y z ≠ Ordering.lt
⊢ cmp x z ≠ Ordering.lt
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
CommRing R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
J : Ideal R
v : AddValuation (R ⧸ J) Γ₀
⊢ J ≤ (AddValuation.comap (Ideal.Quotient.mk J) v).supp
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
⊢ 0 ≤ s.circumradius
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
⊢ ∑ x ∈ m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal, f x.1.1 * g x.1.2 * (f x.2.1 * g x.2.2) = ∑ x ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedRing E
inst✝³ : StarRing E
inst✝² : CstarRing E
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
u : ↥(unitary E)
a✝ : Nontrivial E
⊢ spectrum 𝕜 ↑u ⊆ Metric.sphere 0 1
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsMinOn f s a
hs : s ∈ 𝓝 a
⊢ IsLocalMin f a
α : Type u_1
x : α
i : Nat
a : Array α
⊢ (a.push x)[i]? = if i = a.size then some x else a[i]?
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
self : LieModule.IsTriangularizable R L M
x : L
⊢ ⨆ φ, ⨆ k, (((LieModule.toEnd R L M) x).genEigenspace φ) k = ⊤
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
s : β → Set α
t : Set β
ht : t.OrdConnected
H : ∀ n ∈ t, IsPreconnected (s n)
K : ∀ n ∈ t, succ n ∈ t → (s n ∩ s (succ n)).Nonempty
h1 : ∀ {i j k : β}, i ∈ t → j ∈ t → k ∈ Ico i j → k ∈ t
h2 : ∀ {i j k : β}, i ∈ t → j ∈ t → k ∈ Ico i j → succ k ∈ t
⊢ IsPreconnected (⋃ n ∈ t, s n)
n m : ℕ
hmn : m ≤ n
a b : Fin m
⊢ castLE hmn a = castLE hmn b ↔ a = b
α : Sort u_1
h₁ h₂ : Unique α
⊢ h₁ = h₂
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ⊓ a \ b = a \ b
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ E
⊢ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ ≤ ∫ (x : X), ‖f‖ ∂μ
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
⊢ 1 - ∑ k ∈ range 0, ↑(Nat.choose 0 k) / (↑0 - ↑k + 1) * bernoulli' k = 1
X : Type u
TopologicalSpace X
n : ℕ
π : Fin (n + 1) → Type u_8
(i : Fin (n + 1)) → TopologicalSpace (π i)
i : Fin (n + 1)
f : X → π i
x : X
hf : ContinuousAt f x
g : X → (j : Fin n) → π (i.succAbove j)
hg : ContinuousAt g x
⊢ ContinuousAt (fun a => i.insertNth (f a) (g a)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ UnifIntegrable f p μ
n : ℕ+
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
h : IsCyclotomicExtension {n} A B
IsDomain B
⊢ NeZero ↑↑n
m n : ℕ
⊢ n.ppred = some m ↔ m.succ = n
α : Type u_2
β : Type u_3
GroupWithZero α
MulAction α β
a : α
ha : a ≠ 0
A B : Set β
⊢ a • A ⊆ B ↔ A ⊆ a⁻¹ • B
T a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
⊢ 1 / ↑(b - a) * ∫ (x : ℝ) in a..b, f x * (fourier (-n)) ↑x = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((f b - f a) * (fourier (-n)) ↑a - ↑(b - a) * (1 / ↑(b - a) * ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x * (fourier (-n)) ↑x))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
ht : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x₀ s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
m : ℕ
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑m) g s x₀
hmn : ↑m + 1 ≤ n
this : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ ↑m → ContDiffWithinAt 𝕜 (↑k) (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑m) (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀
θ : Angle
⊢ (2 • θ).toReal = 2 * θ.toReal ↔ θ.toReal ∈ Set.Ioc (-π / 2) (π / 2)
b n : ℕ
hb : 1 < b
⊢ log b n ≤ log b (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulReflectLE α β
h : a • b₁ ≤ a • b₂
ha : a < 0
⊢ b₂ ≤ b₁
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : l → o
e₂ : m ≃ o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o
A : Matrix o n α := M.submatrix (⇑e₂.symm) id
⊢ submatrix 1 e₁ ⇑e₂ * M = M.submatrix (⇑e₂.symm ∘ e₁) id
b x : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hx : x ≠ 0
⊢ Order.succ (Ordinal.log b x) = sInf {o | x < b ^ o}
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
T : E' →L[ℝ] E''
f : ↥(Lp E' 2 μ)
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(T.compLp ↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f))) μ
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
b c : α
⊢ 1 < mabs 1 ↔ 1 ≠ 1
R : Type u
a b c d : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ 3 + Polynomial.C b * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C c * Polynomial.X +
      Polynomial.C d).natDegree =
  3
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
x : ℝ
⊢ 0 ≤ sSupNormIm f x
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
t : Finset β
a : α
⊢ Finset.image₂ f {a} t = Finset.image (fun b => f a b) t
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ ⇑DomAddAct.mkHomeomorph = ⇑DomAddAct.mk
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∀ (k : ℕ), (truncate k).comp ((fromPadicInt p).comp (toPadicInt p)) = (truncate k).comp (RingHom.id (𝕎 (ZMod p)))
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
⊢ (A * B).FermatPsp b
self : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.GlueData
i j : self.J
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion (self.f i j)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
⊢ (o.rotation θ).symm = o.rotation (-θ)
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ frontier ∅ = ∅
α : Sort u
self : Lean.Meta.FastIsEmpty α
⊢ IsEmpty α
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
⊢ preNormEDS b c d 4 = d
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ ↑(Finset.Ioc a b) = Set.Ioc a b
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
self : Pretrivialization F proj
⊢ IsOpen self.baseSet
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
⊢ (coeff R n) (1 * φ) = (coeff R n) φ
α : Type u_1
o o' : Option α
x : α
⊢ (HOrElse.hOrElse o fun x => o') = some x ↔ o = some x ∨ o = none ∧ o' = some x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
r C : ℝ≥0∞
hr : r < 1
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
⊢ C * (1 - r)⁻¹ ≠ ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
f g : α →C_c β
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] f
hf_int : MeasureTheory.Integrable f μ
ε : ℝ
⊢ ε * (μ {x | ε ≤ f x}).toReal ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b x : α
⊢ x ∈ Ico a b ↔ a ≤ x ∧ x < b
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ
⊢ (trunc n f).degree < ↑n
M₀ : Type u_2
CancelMonoidWithZero M₀
a b : M₀
⊢ a * b = b ↔ a = 1 ∨ b = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ 𝓝[Set.Ioo a b] a = 𝓝[>] a
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsTrail
⊢ p.reverse.IsTrail
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
hq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f z)
x : 𝕜
hx1 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f x)
hx2 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • p.coeff n) (f x)
⊢ f x = (x - z₀) ^ p.order • (swap dslope z₀)^[p.order] f x
a x : ℝ
⊢ ↑(oddKernel (↑a) x) = jacobiTheta₂'' (↑a) (I * ↑x)
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
K : Type u_2
inst✝ : DivisionRing K
q : ℚ≥0
hn : (↑q.num / ↑q.den).num = ↑q.num
hd : (↑q.num / ↑q.den).den = q.den
⊢ ↑(↑q.num / ↑q.den).num / ↑(↑q.num / ↑q.den).den = ↑q.num / ↑q.den
m n✝ i n : ℕ
⊢ i + (n + 1)! ≤ (i + (n + 1))!
α : Type u_1
Subsingleton α
s : Set α
t : Set α
hs : s.Nonempty
Nonempty ↑t
⊢ s = t
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
x✝ : Finset σ
⊢ (Finsupp.single (∑ i ∈ x✝, Finsupp.single i 1) 1).support = {∑ i ∈ x✝, Finsupp.single i 1}
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x✝ : M
R₁ : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R₁
σ : R →+* R₁
σ' : R₁ →+* R
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomInvPair σ' σ
M₁ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
f : M → ι → R
hadd : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
hsmul : ∀ (c : R) (x : M), f (c • x) = c • f x
f_eq : ∀ (i : ι), f (b i) = ⇑(Finsupp.single i 1)
x : M
i : ι
⊢ (b.repr x) i = f x i
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : MeasureTheory.Measure E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
μ.IsOpenPosMeasure
⊢ Function.support (f.normed μ) = Metric.ball c f.rOut
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
CommGroup β
DecidableEq α
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∏ x ∈ s.erase a, f x = (∏ x ∈ s, f x) / f a
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
DecidableEq β
b : β
a : α
⊢ ∏' (b' : β), Pi.mulSingle b a b' = a
P : Type u_3
AddZeroClass P
S : AddSubmonoid P
⊢ AddSubmonoid.comap (AddMonoidHom.id P) S = S
α : Type u_4
self : Finset α
⊢ self.val.Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
hf : Summable f
⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), (fun i => ↑(f i)) (k + i)) atTop (𝓝 0)
G : Type w
Group G
TopologicalSpace G
ContinuousMul G
Γ : Subgroup G
x : G ⧸ Γ
⊢ Continuous fun g => g • x
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f g : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g i
⊢ iInf f ≤ iInf g
α : Type u_2
MulZeroClass α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ s * 0 = 0
α : Type u_1
f g : Filter α
⊢ (f ⊓ g).NeBot ↔ ∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in f, p x) → ∃ᶠ (x : α) in g, p x
α : Type u_1
a b c d : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
MulPosStrictMono α
h₁ : a < b
h₂ : c < d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
⊢ a * c < b * d
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y
⊢ e.hom.val.base ≫ e.inv.val.base = 𝟙 ↑X.toPresheafedSpace
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : List (Sigma β)
⊢ AList.lookup a s.toAList = List.dlookup a s
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.succ ≠ last (n + 1)
⊢ b < a.succ.castPred ha ↔ b ≤ a
x : ℝ≥0∞
⊢ x ^ 0 = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : 0 ∈ s
⊢ balancedCoreAux 𝕜 s ⊆ balancedCore 𝕜 s
n : ℕ
hn : Odd n
hn' : NeZero n
⊢ n + (n + (n + n * n)) = n * (n + 3)
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : LinearIndependent S v
⊢ ∃ w, LinearIndependent R w
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t : Set G
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (s / t)
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : x ∈ nonZeroDivisorsRight R
k : ℕ
hk : x ^ k * y ^ k = 0
⊢ IsNilpotent y