ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : TopCat
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
F : Presheaf CommRingCat X
G : F.SubmonoidPresheaf
S : (x : ↑X) → Submonoid ↑(F.stalk x)
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
s : (forget CommRingCat).obj (F.obj U)
hs : ∀ (i : ↥(unop U)), (F.germ i) s ∈ S ↑i
⊢ ∀ (i_1 : ↥(unop V)), (F.germ i_1) ((F.map i) s) ∈ S ↑i_1
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ NonUnitalStarAlgHom.range (NonUnitalStarSubalgebraClass.subtype S) = S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s t u : Set α
f : α → β
ι : Type u_11
Es : ι → Set α
Es_union : ⋃ i, Es i = univ
Es_disj : Pairwise fun i j => Disjoint (Es i) (Es j)
I : Set ι
x : α
⊢ x ∈ (⋃ i ∈ I, Es i)ᶜ ↔ x ∈ ⋃ i ∈ Iᶜ, Es i
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
m a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
⊢ (Finpartition.equitabilise h).IsEquipartition
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
Archimedean α
ε : α
hε : 0 < ε
⊢ ∃ n, 1 / (↑n + 1) < ε
e' r : ℤ
α : Type u_1
Ring α
n n' : ℕ
inst : CharP α n
e : α
he : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt e e'
hn : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n n'
h₂ : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (e' % ↑n') r
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt e r
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)
⊢ (factors C s x).prod y = if y = x then 1 else 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Mul G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
hf : SmoothOn I' I f s
hg : SmoothOn I' I g s
⊢ SmoothOn I' I (f * g) s
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsSubgroup s
⊢ IsSubgroup (f ⁻¹' s)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
U : Set B
hU : e.source = U ×ˢ univ
h : ∀ x ∈ U, ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
⊢ ∃ Φ U, ∃ (hU₀ : IsOpen U) (hΦ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(Φ x)) U) (h2Φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(Φ x).symm) U), e.EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph Φ hU₀ ⋯ ⋯)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ fderiv 𝕜 f₁ x = fderiv 𝕜 f x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
this : IntegrableOn f ((fun t => t ^ p) '' Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn (fun x => |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume
⊢ IntegrableOn (fun x => (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi 0) volume
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w x : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
r : G.Walk u x
⊢ (p.append q).reverseAux r = q.reverseAux (p.reverseAux r)
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f✝ g : α → β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
x : α
hx : f x = f' x
⊢ -f x = -f' x
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
AddMonoid X
DistribMulAction R X
z : OreLocalization S R
x y : OreLocalization S X
⊢ z • (x + y) = z • x + z • y
R : Type u
a : R
Semiring R
p r : R[X]
⊢ (Polynomial.C a * p).comp r = Polynomial.C a * p.comp r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
⊢ ContinuousOn p.sum (EMetric.ball 0 p.radius)
n : Nat
a : Fin n
⊢ a.castSucc < Fin.last n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Distrib R
a b x y : R
ha : SemiconjBy a x y
hb : SemiconjBy b x y
⊢ SemiconjBy (a + b) x y
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t : Set X
x : X
h : ∀ (f : X → Prop), (∀ s ∈ S, ContinuousOn f s) → Continuous f
u : Set X
hu : ∀ s ∈ S, IsOpen (Subtype.val ⁻¹' u)
⊢ IsOpen u
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ ≤ D ^ i
Ngu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)
h_two : ENNReal.toReal 2 = 2
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ ≠ ⊤
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
⊢ (fun x => log ((μ.tilted f).rnDeriv μ x).toReal) =ᶠ[ae μ] fun x => f x - log (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)
α : Sort u_2
β : Sort u_3
P✝ : α → Sort w
e✝ : α ≃ β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
g : (b : β) → P (e.symm b)
b : β
⊢ ∀ (hZa : e.symm (e (e.symm b)) = e.symm b), hZa ▸ g (e (e.symm b)) = g b
s : Finset ℕ
m k : ℕ
h' : k ∣ m
h₁ : m ≠ 0
h₂ : ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p ∈ s
hk : k ≠ 0
⊢ k ∈ factoredNumbers s
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
x : α
⊢ |x ^ 2| = x ^ 2
a b : Int
⊢ b * a.div b + a.mod b = a
B : Type u_1
W : Type u_3
H : Type u_4
Group W
Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
e : W ≃* H
⊢ (cs.map e).mulEquiv = e.symm.trans cs.mulEquiv
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)
x : α
hx : x ∈ mulSupport g
⊢ (f * g) x = g x
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ ((F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.down ℕ)).inv.app P.complex ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map P.iso.inv) ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map ((projectiveResolutions C).map f) = (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.down ℕ)).inv.app Q.complex ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map Q.iso.inv
R : Type u
inst✝² : CommRing R
E : EllipticCurve R
F : Type u
inst✝¹ : Field F
j : F
inst✝ : DecidableEq F
h2 : 2 = 0
⊢ ofJ 1728 = ofJ0 F
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a✝ : α
u : Set α
hu : u.IsPWO
x : α × α
a : α
x✝ : a ∈ {a | (mulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}
b : α × α
hb : b ∈ mulAntidiagonal hs ht a
⊢ a ∈ s * t
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
P : C(X, Y) → Prop
f g : C(X, Y)
h : f.HomotopicWith g P
⊢ g.HomotopicWith f P
α : Type u_1
β : Type u_2
Pow α β
p : Prop
Decidable p
a : α
b c : β
⊢ (a ^ if p then b else c) = if p then a ^ b else a ^ c
L : Language
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : L.Structure M
inst✝⁶ : L.Structure N✝
inst✝⁵ : L.Structure P
inst✝⁴ : L.Structure Q
N : Type u_5
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L[[M]].Structure N
inst✝¹ : (L.lhomWithConstants M).IsExpansionOn N
inst✝ : N ⊨ L.elementaryDiagram M
n : ℕ
φ : L.Formula (Fin n)
x : Fin n → M
⊢ φ.Realize ((constantMap ∘ Sum.inr) ∘ x) ↔ N ⊨ (((L.lhomWithConstants M).onBoundedFormula φ).subst (Constants.term ∘ Sum.inr ∘ x)).alls
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Monoid α
ContinuousMul α
l : List α
⊢ Filter.Tendsto List.prod (𝓝 l) (𝓝 l.prod)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
CompleteSpace F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
y : E
⊢ Measurable fun x => (fderiv 𝕜 f x) y
μ ν : YoungDiagram
h : μ.transpose ≤ ν.transpose
⊢ μ ≤ ν
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : α → ℝ
hint : Integrable g μ
ℱ : ι → MeasurableSpace α
hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0
A : MeasurableSpace α := m0
hmeas : ∀ (n : ι) (C : ℝ≥0), MeasurableSet {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}
hg : Memℒp g 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hne : ¬eLpNorm g 1 μ = 0
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator g) 1 μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : ℝ≥0 := ⟨δ, ⋯⟩⁻¹ * (eLpNorm g 1 μ).toNNReal
hC : C = ⟨δ, ⋯⟩⁻¹ * (eLpNorm g 1 μ).toNNReal
hCpos : 0 < C
this : ∀ (n : ι), μ {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊} ≤ ENNReal.ofReal δ
n : ι
hmeasℱ : MeasurableSet {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}
⊢ eLpNorm ({x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}.indicator (μ[g|ℱ n])) 1 μ ≤ eLpNorm ({x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}.indicator g) 1 μ
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₂ F₃ : J ⥤ C
j : J
⊢ (α_ F₁ F₂ F₃).inv.app j = (α_ (F₁.obj j) (F₂.obj j) (F₃.obj j)).inv
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝² : Group W
inst✝¹ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
G : Type u_5
inst✝ : Group G
f : B → G
hf : M.IsLiftable f
i i' : B
⊢ (f (i, i').1 * f (i, i').2) ^ M.M (i, i').1 (i, i').2 = 1
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
a b : α
h : s ≤ t
⊢ s ∪ t = t
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ MonoidHom.mker 1 = ⊤
R : Type u_1
StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
Fintype ι
DecidableEq ι
IsEmpty ι
b : Basis ι R M
⊢ b.orientation = positiveOrientation
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ (fun x => x + a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b - a, c - a]]
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
⊢ ((addConGen (Eqv R s)).lift (FreeAddMonoid.lift fun p => p.1 • φ p.2) ⋯) ↑(FreeAddMonoid.of (1, f)) = φ f
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
A : Type u_1
Semiring A
Algebra R A
f g : ExteriorAlgebra R M →ₐ[R] A
h : f.toLinearMap ∘ₗ ExteriorAlgebra.ι R = g.toLinearMap ∘ₗ ExteriorAlgebra.ι R
⊢ f = g
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0
⊢ ∃ x ∉ N, ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
α : Type u
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
h : a < b
c : α
⊢ c + a < c + b
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a ≤ b
c : α
⊢ a / c ≤ b / c
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hn : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N
h : lowerCrossingTime a b f N n ω = upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω
⊢ f (lowerCrossingTime a b f N n ω) ω ≤ a
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
⊢ sepDegree F E = Module.rank F E
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
l : ℝ
hl : 1 < l
h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)
key : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0
r : ℝ
hr₀ : 1 < r
hr₁ : r < l
a✝¹ : ℕ
a✝ : r ≤ ‖f (a✝¹ + 1)‖ / ‖f a✝¹‖
h₁ : ‖f a✝¹‖ ≠ 0
⊢ r * ‖f a✝¹‖ ≤ ‖f (a✝¹ + 1)‖
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (s.sigma t).Nonempty ↔ ∃ i ∈ s, (t i).Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)
K : Type (max v u)
CategoryTheory.SmallCategory K
CategoryTheory.FinCategory K
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape K D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape K (CategoryTheory.forget D)
CategoryTheory.Limits.ReflectsLimitsOfShape K (CategoryTheory.forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
S : CategoryTheory.Limits.Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (CategoryTheory.evaluation Cᵒᵖ D).obj (Opposite.op X))
k : K
⊢ CategoryTheory.GrothendieckTopology.liftToPlusObjLimitObj F X S ≫
    (J.plusMap (CategoryTheory.Limits.limit.π F k)).app (Opposite.op X) =
  S.π.app k
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
f : P1 →ᵃ[k] V2
⊢ (-f).linear = -f.linear
x : EReal
h : x < 0
⊢ ⊥ * x = ⊤
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Set.Ico 0 p
⊢ AddCircle.liftIco p 0 f ↑x = f x
x : ℤ[i]
⊢ ↑(Zsqrtd.norm x) = Complex.normSq (GaussianInt.toComplex x)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.AnalyticSet s ↔ ∃ β h, ∃ (_ : PolishSpace β), ∃ f, Continuous f ∧ Set.range f = s
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
⊢ 1 ≠ 0
α : Type u
s t : Set α
hs : s.Countable
ht : t.Countable
⊢ (s ∪ t).Countable
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
x : 𝕜
hx : 0 < x
⊢ 𝓝 ((Homeomorph.mulLeft₀ x ⋯).symm 0) = 𝓝 0
R : Type u_2
CommSemiring R
n : ℕ
a : R
⊢ ↑((Polynomial.monomial n) a) = (PowerSeries.monomial R n) a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
c : ℝ
h : ‖f‖ ≤ c
x : E
⊢ ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
s : Set α
f g : α → β
a : α
h : f =ᶠ[𝓝[s] a] g
hmem : a ∈ s
⊢ f a = g a
α : Type u_2
β : Type u_3
Top α
SemilatticeSup β
OrderTop β
f g : TopHom α β
⊢ ⇑(f ⊔ g) = ⇑f ⊔ ⇑g
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
⊢ |(-a)| = |a|
M : Type u_1
CommMonoid M
a b : M
h : a * b = 1
⊢ IsUnit b
x y z : ENNReal
h1 : x ≠ 0
h2 : x ≠ ⊤
⊢ x⁻¹ * y ≤ z ↔ y ≤ x * z
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' s)
hsf : s ⊆ Set.range f
⊢ Nat.card ↑(f ⁻¹' s) = Nat.card ↑s
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | i < τ ω}
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e ϕ : A₁ ≃ₐ[R] A₂
ψ χ : A₁ ≃ₐ[R] A₁
a✝ : A₂
⊢ ({ toFun := fun ψ => ϕ.symm.trans (ψ.trans ϕ), invFun := fun ψ => ϕ.trans (ψ.trans ϕ.symm), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (ψ * χ)) a✝ = ({ toFun := fun ψ => ϕ.symm.trans (ψ.trans ϕ), invFun := fun ψ => ϕ.trans (ψ.trans ϕ.symm), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ψ * { toFun := fun ψ => ϕ.symm.trans (ψ.trans ϕ), invFun := fun ψ => ϕ.trans (ψ.trans ϕ.symm), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun χ) a✝
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ t.ncard ≤ (t \ s).ncard + s.ncard
α : Type u_1
Primcodable α
f : ℕ → α
a : α
hf : Primrec f
⊢ Primrec fun n => Nat.casesOn n a f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
⊢ MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C')
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ G.obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
⊢ (G.sieveOfSection s).arrows i
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ t₃ : TopologicalSpace β
⊢ Continuous f ↔ Continuous f ∧ Continuous f
R : Type u_1
Semiring R
ι : Type u_4
φ : ι → Type u_5
(i : ι) → TopologicalSpace (φ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
i : ι
b : (i : ι) → φ i
⊢ (ContinuousLinearMap.proj i) b = b i
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ term n 1 = log (↑n + 1) - log ↑n - 1 / (↑n + 1)
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.PropertyIsLocal P
⊢ RingHom.RespectsIso P
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
x : B
h : x ⟶ c
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g} (η : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Bicategory.LeftLift.whiskering h).map η =
    CategoryTheory.Bicategory.LeftLift.homMk (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft h η.right) ⋯
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ (kernel.ι α).app X = kernelComparison α ((evaluation C D).obj X) ≫ kernel.ι (α.app X)
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
c : idx × ℕ →₀ ℕ
⊢ (fun x => ↑x) (coeff c ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)) / ↑p ^ n).num = coeff c ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)) / ↑p ^ n
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
j : ι
A : V
φ : A ⟶ K.X j
hφ : ∀ (k : ι), c.Rel j k → φ ≫ K.d j k = 0
⊢ (HomologicalComplex.mkHomFromSingle φ hφ).f j = (HomologicalComplex.singleObjXSelf c j A).hom ≫ φ
α : Type u_1
DivisionRing α
m n : ℤ
n_dvd : n ∣ m
hn : ↑n ≠ 0
⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in g +ᵥ s, f x ∂μ
M : Type u_2
AddMonoid M
a x y : M
h : AddSemiconjBy a x y
n : ℕ
⊢ AddSemiconjBy a (n • x) (n • y)
α : Type u
β : α → Type v
s₁ s₂ : AList β
h : s₁.entries ⊆ s₂.entries
k : α
hk : k ∈ s₁.keys
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
⊢ k ∈ s₂.keys
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
⊢ M.Basis J (J ∪ X)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ inst✝ : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ih : ∀ (hc : (↑s).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)) (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
hc : (↑(insert a s)).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)
n : ℕ
⊢ (insert a s).sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ (insert a s).sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NNNorm 𝕜
E : Type u_2
inst✝ : SMul 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
⊢ egauge 𝕜 s x < r ↔ ∃ c, x ∈ c • s ∧ ↑‖c‖₊ < r
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
Unique β
f : β → C
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitConeOfUnique f).cone.π =
  CategoryTheory.Discrete.natTrans fun x =>
    match x with
    | { as := j } => CategoryTheory.eqToHom ⋯
o : Ordinal.{u_4}
ho : 0 < o
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}
⊢ 0 < o.blsub f
α : Type u_1
size✝ sz : ℕ
l' : Ordnode α
y : α
r' : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ (node size✝ (node sz l' y r') x r).eraseMin.dual = (node size✝ (node sz l' y r') x r).dual.eraseMax
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : CategoryTheory.Presheaf.IsSeparated J A
Y : C
r₀ r₀' : ↑(R₀.obj (Opposite.op Y))
m₀ m₀' : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (α.app (Opposite.op Y)) r₀'
hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (φ.app (Opposite.op Y)) m₀'
⊢ (φ.app (Opposite.op Y)) (r₀ • m₀) = (φ.app (Opposite.op Y)) (r₀' • m₀')
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s t : ι → Set β
⊢ ⋃ i, s i ∪ t i = (⋃ i, s i) ∪ ⋃ i, t i
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
K : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁴ : Semifield K
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
p : Submodule K V
a : K
h : a ≠ 0
⊢ map f p ≤ map (a • f) p
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ FiniteType R (FreeAlgebra R ι)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..a, f x ∂μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
⊢ ↑a ≤ l.maximum ↔ ∃ b, b ∈ l ∧ a ≤ b