ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < p ^ (n - i)
⊢ ↑p ^ j * ↑p * (↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * (↑p ^ i * (↑p ^ n)⁻¹)) = ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) / ↑p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * ↑p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * ↑p
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H H' : G.Subgraph
hle : H ≤ H'
hv : H.verts = H'.verts
h : H.Connected
⊢ (H'.copy H.verts hv H'.Adj ⋯).Connected
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
x : M₁
⊢ 1 x = x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ limit.lift (D.diagramOverOpen U) { pt := (D.U i).presheaf.obj (op U), π := { app := fun j => D.ιInvAppπApp U (unop j), naturality := ⋯ } } ≫ D.diagramOverOpenπ U i = (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x y z : 𝕜⦄, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Nontrivial α
h : (X • Matrix.map 1 ⇑C + A.map ⇑C).det.natDegree = Fintype.card n
⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (X • 1 + A.map ⇑C).det.natDegree = (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
g : α → γ
hg : HasFiniteIntegral g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ ≤ ‖g a‖
⊢ HasFiniteIntegral f μ
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.cos (angle x (x - y)) * ‖x - y‖ = ‖x‖
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M'✝ : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
a b : R
x y : M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : R' → R
j : M →+ M'
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m
⊢ LinearIndependent R' (⇑j ∘ v)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
p q✝ : Subspace 𝕜 E
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 (E ⧸ p)
hp : IsClosed ↑p
q : Subspace 𝕜 E
hq : IsCompl p q
⊢ ClosedComplemented p
α : Type u
TopologicalSpace α
S : Set (Set α)
K : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
H : ∀ s ∈ S, IsPreconnected s
⊢ IsPreconnected (⋃₀ S)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν✝ ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
ι : Type u_8
μ ν : ι → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (sum μ + sum ν) s = (sum fun n => μ n + ν n) s
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
DecidableEq o
Zero α
M : o → Matrix m n α
i : m
j : n
k k' : o
h : k ≠ k'
⊢ Matrix.blockDiagonal M (i, k) (j, k') = 0
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t
x : ℝ
⊢ (range fun y => derivWithin f (Ici x) y) ⊆ closure ↑(Submodule.span ℝ (f '' t))
α : Type u_1
m n : PosNum
⊢ m.cmp n = Ordering.eq ↔ m = n
x : UInt32
n : Nat
⊢ (x.modn n).toNat = x.toNat % n
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
⊢ ↑(Nat.card α) = Cardinal.mk α
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
Finite 𝒰.J
H : ∀ (i : 𝒰.J), CompactSpace ↑↑(𝒰.obj i).toPresheafedSpace
⊢ CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
N : Type u_4
CommMonoid N
s t : Submonoid N
⊢ s ⊔ t = MonoidHom.mrange (s.subtype.coprod t.subtype)
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪ₑ[L] N
α : Type u_5
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin n → M
⊢ φ.Realize (⇑f ∘ v) (⇑f ∘ xs) ↔ φ.Realize v xs
R : Type u_1
AddCommMonoid R
StarAddMonoid R
x : R
⊢ IsSelfAdjoint (x + star x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
hg : Set.InjOn g t
hf₁ : Set.MapsTo f₁ s t
hf₂ : Set.MapsTo f₂ s t
⊢ Set.EqOn (g ∘ f₁) (g ∘ f₂) s ↔ Set.EqOn f₁ f₂ s
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : StarRing 𝕜
inst✝² : StarOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hD : D.IsHermitian
⊢ (Matrix.fromBlocks D Bᴴ B A).IsHermitian ↔ (A - B * D⁻¹ * Bᴴ).IsHermitian
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
Invertible ↑p
n : ℕ
⊢ xInTermsOfW p R n =
  (MvPolynomial.X n - ∑ i ∈ Finset.range n, MvPolynomial.C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p R i ^ p ^ (n - i)) *
    MvPolynomial.C (⅟↑p ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U
⊢ (Filter.comap (fun x => x.2 / x.1) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {x | x.2 / x.1 ∈ U i}
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 univ x
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g : G
⊢ x %ᵒᶠ g + of' k G g * (x /ᵒᶠ g) = x
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
⊢ cs.length w = 0 ↔ w = 1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
β γ : Type
inst✝² : Finite β
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct (f ∘ ⇑ε)
val✝ : Fintype β
⊢ ((lift fun b => π f (ε b)) ≫ desc fun b => ι f (ε b)) = 𝟙 (⨁ f)
p✝ q : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p✝)
q_prime : Fact (Nat.Prime q)
neq : p✝ ≠ q
p : padicValRat p✝ ↑q = 0
⊢ padicNorm p✝ ↑q = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
f_inj : Set.InjOn f ↑s
⊢ s.card ≤ t.card
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ i ∈ range (n + 2), f i (n + 1 - i) ^ (n + 1).choose i = (∏ i ∈ range (n + 1), f i (n + 1 - i) ^ n.choose i) * ∏ i ∈ range (n + 1), f (i + 1) (n - i) ^ n.choose i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.fullBraidedSubcategoryInclusion P).ε = CategoryTheory.CategoryStruct.id (𝟙_ C)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
P Q : C
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.braiding' P Q = CategoryTheory.Limits.biprod.braiding P Q
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
Unique ι
s : ι → α
⊢ ⨅ i, s i = s default
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : V
e : EuclideanSpace ℝ (Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ V)) ≃ₗᵢ[ℝ] V := (stdOrthonormalBasis ℝ V).repr.symm
⊢ ∫ (x : EuclideanSpace ℝ (Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ V))), cexp (-b * ↑‖e x‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, e x⟫_ℝ) ∂volume = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : Y → Prop
hx : x ∈ e.source
⊢ (∀ᶠ (y : Y) in 𝓝 (↑e x), p y) ↔ ∀ᶠ (b : Y) in map (↑e) (𝓝 x), p b
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).1 = x
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
⊢ A⁻¹ ^ -[n+1] = (A ^ -[n+1])⁻¹
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
N : Matroid α
hI : M.Indep I
hNM : N.Restriction M
hIN : I ⊆ N.E
⊢ N.Indep I
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
X₁ : C₁
a : X₂ ⟶ T.obj X₁
b : L.obj X₁ ⟶ X₃
comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g
f : w.CostructuredArrowDownwards g
⊢ ∃ X₁ a b, ∃ (comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g), f = mk w g X₁ a b comm
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
DecidableEq ι
Fintype ι
i : ι
a : 𝕜
v : EuclideanSpace 𝕜 ι
⊢ ⟪EuclideanSpace.single i a, v⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) a * v i
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f : M →ₗ[R] N
h : ∀ {x : L} {m : M}, f.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, f.toFun m⁆
⊢ ⇑{ toLinearMap := f, map_lie' := h } = ⇑f
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
u : Set α
hu : MeasurableSet u
⊢ μ (u ∩ s ∩ t) + μ (u ∩ s ∩ tᶜ) = μ (u ∩ s)
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
hψ : ψ.IsSymmetric
⊢ (φ * ψ).IsSymmetric
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
X✝ Y✝ Z✝ : PresheafOfModules R₀
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map (x✝¹ ≫ x✝)).val = ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map x✝¹ ≫ { obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map x✝).val
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
hs : s ≠ ⊥
hs' : (↑s).Finite
⊢ Monoid.minOrder α ≤ ↑(Nat.card ↥s)
α✝ : Type u
inst✝² : DecidableEq α✝
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
σ : α → Perm β
l : List α
hl : l.Nodup
mem_l : ∀ (a : α), a ∈ l
a : α
b : β
⊢ a ∈ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)
o : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit
n : ℕ
⊢ ↑n < o
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
Ring R
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
⊢ min (v x) (v y) ≤ v (x - y)
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
DecidableEq o
AddZeroClass α
M N : o → Matrix m n α
⊢ Matrix.blockDiagonal (M + N) = Matrix.blockDiagonal M + Matrix.blockDiagonal N
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
X Y : (i : I) × C i
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y) = f
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
AddGroup N
f g : α →₀ N
⊢ (-f).neLocus (-g) = f.neLocus g
V : Type u_1
Quiver V
W : Type u_2
σ : V → W
W' : Type u_3
Quiver W'
φ : V ⥤q W'
τ : W → W'
h : ∀ (x : V), φ.obj x = τ (σ x)
Φ : Quiver.Push σ ⥤q W'
Φ₀ : Φ.obj = τ
Φcomp : Quiver.Push.of σ ⋙q Φ = φ
⊢ Φ = Quiver.Push.lift σ φ τ h
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
f : β → α
h : Inducing f
S : Set (Set β)
hS : ∀ s ∈ S, IsOpen s
⊢ IsOpen (⋂₀ S)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
⊢ μ (s ∪ MeasureTheory.toMeasurable μ t) = μ (s ∪ t)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x✝ : P
⊢ ∀ (a : R), a • 1 = x✝ ↔ (algebraMap R P) a = x✝
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Finset ι
g : α → ℝ≥0∞
f : ι → α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
q : ℝ
p : ι → ℝ
hpq : q + ∑ i ∈ s, p i = 1
hq : 0 ≤ q
hp : ∀ i ∈ s, 0 ≤ p i
⊢ ∀ i ∈ insertNone s, AEMeasurable (fun t => i.elim (g t) fun j => f j t) μ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
b : OrthonormalBasis (Fin (n + 1)) ℝ E
hb : b.toBasis.orientation ≠ o
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o
⊢ Nat.casesAuxOn (motive := fun a => n + 1 = a → E [⋀^Fin (n + 1)]→ₗ[ℝ] ℝ) (n + 1) (fun h => Eq.rec (motive := fun x x_1 => [_i : Fact (finrank ℝ E = x)] → Orientation ℝ E (Fin x) → E [⋀^Fin x]→ₗ[ℝ] ℝ) (fun [Fact (finrank ℝ E = 0)] o => ⋯.by_cases (fun x => AlternatingMap.constOfIsEmpty ℝ E (Fin 0) 1) fun x => -AlternatingMap.constOfIsEmpty ℝ E (Fin 0) 1) ⋯ o) (fun n_1 h => Eq.rec (motive := fun x x_1 => [_i : Fact (finrank ℝ E = x)] → Orientation ℝ E (Fin x) → E [⋀^Fin x]→ₗ[ℝ] ℝ) (fun [Fact (finrank ℝ E = n_1 + 1)] o => (Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o).toBasis.det) ⋯ o) ⋯ = -b.toBasis.det
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
lbot : ¬IsBot l
l' : R
hl' : l' < l
u : R
hu : ∀ᶠ (x : R) in F, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x u
key : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x ∧ x ≤ u
⊢ l' ≤ u
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hy : y ∈ nonZeroDivisorsLeft R
k : ℕ
hk : (x * y) ^ k = 0
⊢ IsNilpotent x
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
⊢ ∃ a0 b0 c0, Fermat42.Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.support.Nodup
⊢ p.edges.Nodup
X : Compactum
A : Set X.A
F : Ultrafilter X.A
hF : F ∈ Compactum.basic (Compactum.cl A)
fsu : Type u_1 := Finset (Set (Ultrafilter X.A))
ssu : Type u_1 := Set (Set (Ultrafilter X.A))
ι : fsu → ssu := fun x => ↑x
C0 : ssu := {Z | ∃ B ∈ F, X.str ⁻¹' B = Z}
AA : Set (Ultrafilter X.A) := {G | A ∈ G}
C1 : ssu := insert AA C0
C2 : Set (Set (Ultrafilter X.A)) := finiteInterClosure C1
claim1 : ∀ B ∈ C0, ∀ C ∈ C0, B ∩ C ∈ C0
claim2 : ∀ B ∈ C0, B.Nonempty
claim3 : ∀ B ∈ C0, (AA ∩ B).Nonempty
claim4 : FiniteInter (finiteInterClosure C1)
claim5 : FiniteInter C0
claim6 : ∀ P ∈ C2, P.Nonempty
T : fsu
hT : ι T ⊆ C1
⊢ ⋂₀ ι T ∈ C2
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
Algebra K L
f : K[X]
Polynomial.IsSplittingField K L f
⊢ Algebra.adjoin K (f.rootSet L) = ⊤
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
⊢ MvPolynomial.zeroLocus ⊤ = ⊥
ι : Type u_1
Fintype ι
π : ι → Type u_4
Unique ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (π i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (π i)
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piUnique π)) (MeasureTheory.Measure.pi μ) (μ default)
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
DecidableEq n
⊢ Matrix.PosSemidef 1
R : Type
Ring R
X : CategoryTheory.Mat_ (CategoryTheory.SingleObj Rᵐᵒᵖ)
⊢ (CategoryTheory.Mat.equivalenceSingleObjInverse R).obj X = FintypeCat.of X.ι
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)).inv =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv (𝟙 Y) ≫
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (𝟙_ C) X Y).hom
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S✝ : Set G
hG : Group.FG G
inst✝ : H.FiniteIndex
this : Group.FG ↥H
S : Finset G
hS₀ : S.card = Group.rank G
hS : closure ↑S = ⊤
⊢ Group.rank ↥H ≤ H.index * Group.rank G
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x
h : 0 < f x
⊢ f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x) = ((g x * f x ^ (g x - 1)) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 f' + (f x ^ g x * Real.log (f x)) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 g') 1
α : Type u_1
G : Type u_3
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_4
Countable ι
F : ι → α → G
f : α → G
bound : ι → α → ℝ
hF_meas : ∀ (n : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a
bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a
bound_integrable : MeasureTheory.Integrable (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a)
⊢ HasSum (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), f a ∂μ)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsDomain B
x✝ : L
⊢ x✝ ∈ ⊥ᵛ ↔ x✝ ∈ ⊤
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.StructuredArrow F (CategoryTheory.Functor.const J)} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Limits.Cocone.equivStructuredArrow F).inverse.map f).hom = f.right
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Subobject.functor C).obj X = CategoryTheory.Subobject (Opposite.unop X)
M : Type u_3
AddCommMonoid M
f : ℕ × ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal n, f ij = ∑ k ∈ Finset.range n.succ, f (k, n - k)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }
v : { w // w ≠ w₀ } → { w // w ≠ w₀ } → ℝ := fun w => (logEmbedding K) ⋯.choose
⊢ B.det v ≠ 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
F : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
X : CategoryTheory.Grothendieck F
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X).fiber = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α β : Type u
f : α → FreeAddGroup β
⊢ 0 >>= f = 0
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
h_eval₂_qpp' : ((aeval f) (q * (p * p'))) v = 0
h_eval₂_pqq' : ((aeval f) (p * (q * q'))) v = 0
⊢ ∃ y ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p), ∃ z ∈ LinearMap.ker ((aeval f) q), y + z = v
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
⊢ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c } = Rat.divInt n ↑d
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
n : ℕ
⊢ VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n =
  (-(2 * ↑π * Complex.I)) ^ n •
    ((ContinuousMultilinearMap.smulRightL ℝ (fun x => W) E)
        ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L v))
      (f v)
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Preorder α
a b c d✝ : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : b ≤ a
hc : c ≤ 0
d : α
hcd : 0 = c + d
⊢ c * a + (d * b + d * a) ≤ c * b + (d * b + d * a)
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
b : n
c : R
M : Matrix n n R
⊢ (transvection i j c * M) i b = M i b + c * M j b
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x y : L
⊢ ⁅χ x, χ y⁆ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝ : Nonempty α
f : α →₀ M
⊢ f.support.card ≤ 1 ↔ ∃ a, f = single a (f a)
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
a : R
x y : M
⊢ QuadraticMap.polar (⇑Q) (a • x) y = a • QuadraticMap.polar (⇑Q) x y
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < r i x
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : α ≃o β
x y : α
h : IsCompl x y
⊢ IsCompl (f x) (f y)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
⊢ ∀ x ∈ ball c R \ ∅, DifferentiableAt ℂ f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
⊢ (sesqFormOfInner (↑A x)) y = (sesqFormOfInner x) (↑(adjoint A) y)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
x y : 𝕜
h : x ≤ y
⊢ [x-[𝕜]y] = Set.Icc x y
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set β
⊢ EMetric.diam (f ⁻¹' s) ≤ ↑K * EMetric.diam s
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
sq : f ⟶ g
CategoryTheory.IsIso sq
⊢ (CategoryTheory.inv sq).right = CategoryTheory.inv sq.right
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H : AddSubgroup G
f : N →+ G
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ AddSubgroup.comap f H.normalizer = (AddSubgroup.comap f H).normalizer
s : Set ℝ≥0
⊢ BddBelow (NNReal.toReal '' s)
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f_closed : IsClosedMap f
f_cont : Continuous f
F : Filter X
⊢ (Filter.map f F).lift' closure = Filter.map f (F.lift' closure)