ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
q : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | ↑q < v.limRatioMeas hρ x}
⊢ ↑q * μ s ≤ ρ s
R : Type u_1
r : R
inst✝¹ : CommRing R
P : R[X]
inst✝ : IsReduced R
p : R[X]
hpl : 0 < p.natDegree
⊢ IsUnit (p.coeff 0) → ∃ x, ¬x = 0 ∧ ¬p.coeff x = 0
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : RingQuot s →ₐ[S] B
⊢ { toFun := fun f' => preLiftAlgHom S ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ({ toFun := fun f' => preLiftAlgHom S ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm f) = { toFun := fun f' => preLiftAlgHom S ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨f.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
ha : Polynomial.eval a F = 0
z' : ℤ_[p]
hz' : Polynomial.eval z' F = 0
hnormz' : ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
⊢ z' = a
G : Type u_1
LeftCancelMonoid G
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
⊢ {y | ¬IsOfFinOrder y}.Infinite
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
self : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
⊢ A₁ * B₀ = B₀ * A₁
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ ν : Measure ((i : ι) → α i)
hμ : IsProjectiveLimit μ P
hν : IsProjectiveLimit ν P
⊢ μ univ = ν univ
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
∀ (i : ι), T2Space (π i)
s : Set ((i : ι) → π i)
⊢ IsCompact s ↔ IsClosed s ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (Function.eval i '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f g : r ↪r s
h : ∀ (x : α), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
m n : ZNum
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ Ordnode.All P (l.node3R x m y r) ↔ Ordnode.All P l ∧ P x ∧ Ordnode.All P m ∧ P y ∧ Ordnode.All P r
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
n : ℕ
x : ℤ_[p]
a b : ℤ
ha : ↑p ^ n ∣ ↑a - x
hb : ↑p ^ n ∣ x - ↑b
⊢ ↑p ^ n ∣ a - b
R : Type u_1
NonUnitalSemiring R
s : Set R
⊢ (NonUnitalSubsemiring.centralizer s).toSubsemigroup = Subsemigroup.centralizer s
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁵ : Linear 𝕜 C
inst✝⁴ : HasKernels C
X Y : C
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ Y)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : ¬finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 1
this : finrank 𝕜 (X ⟶ Y) ≤ 1
⊢ finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 0
α : Type u
Semiring α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
⊢ Ideal.span (⋃ i, s i) = ⨆ i, Ideal.span (s i)
α : Type u
Mul α
x y : α
⊢ FreeAbelianGroup.of (x * y) = FreeAbelianGroup.of x * FreeAbelianGroup.of y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤
h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x x_2 ≤ x_1
r : ℝ≥0
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ≥0∞) in map (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l, ↑r ≤ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A B C : Set E
X : Finset E
x : E
h : IsExposed 𝕜 A {x}
⊢ x ∈ exposedPoints 𝕜 A
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
h : ∀ b ∈ φ.support, (b.sum fun x e => e) < n
⊢ ∀ d ∈ φ.support, d.degree ≠ n
α : Type u_1
Fintype α
⊢ Fintype.card α ≤ 1 ↔ Subsingleton α
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ 2 * ENNReal.ofReal ε
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : 0 ≤ ↑0
hrc : ↑0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
⊢ ↑0 ^ d₂ / ↑0 ^ d₁ ≤ ↑c
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝¹ : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
⊢ Nonempty (IsColimit c')
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
ht : ∀ (x : M), Convex ℝ (t x)
U : M → Set M
hU : ∀ (x : M), U x ∈ 𝓝 x
g : M → M → F
hgs : ∀ (x : M), ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, F) n (g x) (U x)
hgt : ∀ (x y : M), y ∈ U x → g x y ∈ t y
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate fun x => interior (U x)
⊢ ∃ g, ∀ (x : M), g x ∈ t x
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
⊢ False
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
Monoid α
MulDistribMulAction α G
a : α
⊢ a • ⊥ = ⊥
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s t : Set E
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
⊢ segment 𝕜 x y ⊆ convexJoin 𝕜 s t
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s : Set α
t : ι → Set α
hμt : ∀ (i : ι), (μ i) (t i) = (μ i).trim s
hst : s ⊆ ⋂ i, t i
ht : MeasurableSet (⋂ b, t b)
i : ι
⊢ (μ i).trim s ≤ (μ i) (⋂ i, t i)
n : ℕ
this : √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2 * 2 ^ (n + 2) < π
⊢ 2 ^ (n + 1) * √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) < π
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
i : ι
x : ↥(span R (range v))
hx : ↑x = v i
⊢ hv.repr x = Finsupp.single i 1
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
ψ : AddChar A M
⊢ ⇑(AddChar.toAddMonoidHomEquiv ψ) = ⇑Additive.ofMul ∘ ⇑ψ
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
W : Type u_2
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
Fintype ↑G.edgeSet
Fintype ↑G'.edgeSet
⊢ G.edgeFinset.card = G'.edgeFinset.card
R : Type u_1
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
e : M ≃ₗ[R] M₂
f g : Module.End R M
⊢ e.conj (g ∘ₗ f) = e.conj g ∘ₗ e.conj f
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞
s t : Set α
⊢ ∑' (x : ↑(s ∪ t)), f ↑x ≤ ∑' (x : ↑s), f ↑x + ∑' (x : ↑t), f ↑x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ (Finset.map (Embedding.subtype s) t).card ≤ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u ≤ f b
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
AddGroup G₁
AddGroup G₂
AddGroup G₃
f : G₁ →+ G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : { g // f.ker ≤ g.ker }
x : G₁
⊢ ((f.liftOfRightInverse f_inv hf) g) (f x) = ↑g x
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
p : R → Prop
h : ∀ᶠ (x : R) in atBot, p x
⊢ ∀ᶠ (n : ℤ) in Filter.comap Int.cast atBot, p ↑n
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
s : Set P₂
⊢ comap (↑f) (affineSpan k s) = affineSpan k (⇑f ⁻¹' s)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b
m : ℕ
e : b * { re := ↑a, im := -1 } = pellZd a1 m
⊢ b = pellZd a1 (m + 1)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
l : Filter β
hl : l.NeBot
f : β → α
⊢ Cauchy (Filter.map f l) ↔ Filter.Tendsto (fun p => (f p.1, f p.2)) (l ×ˢ l) (𝓤 α)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3
⊢ W'.dblY P = W'.dblU P ^ 3
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
p : K[X]
μ : K
x : V
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ ((aeval f) p) x = eval μ p • x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
⊢ ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
⊢ Set.EqOn (s.piecewise f g) f s
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α
⊢ (List.leftpad n a l).length = max n l.length
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : ↥S
⊢ S.val x = ↑x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r
⊢ ¬WellFounded r
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
DecidableEq β
b : β
⊢ (insert b s).sup' ⋯ f = f b ⊔ s.sup' H f
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
SMul α β
s : ι → Set α
t : Set β
⊢ (⋂ i, s i) • t ⊆ ⋂ i, s i • t
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
U V : ↑X.affineOpens
s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)
hs' : ↑s' ⊆ s
e : Ideal.span ↑s' = ⊤
⊢ IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MulOneClass α
MulOneClass β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
m : α
f : F
⊢ IsSquare m → IsSquare (f m)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : ¬Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α), f x - ⨍ (a : α), f a ∂μ ∂μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
s : Set α
⊢ Nat.card ↑(f '' s) = Nat.card ↑s
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
p : β → Prop
⊢ (∃ y, p y) ↔ ∃ x, p (f x)
R : Type u
Semiring R
a : R[ℕ]
n : ℕ
⊢ { toFinsupp := a ^ n } = { toFinsupp := a } ^ n
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
ι : Type u_4
𝔸 : ι → Type u_5
Finite ι
(i : ι) → NormedRing (𝔸 i)
(i : ι) → NormedAlgebra 𝕂 (𝔸 i)
∀ (i : ι), CompleteSpace (𝔸 i)
x : (i : ι) → 𝔸 i
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 x = fun i => NormedSpace.exp 𝕂 (x i)
C : Type u
inst✝¹⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁷ : Category.{?u.73757, u_1} A
inst✝¹⁶ : Category.{?u.73761, u_2} B
F✝ : A ⥤ B
D : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹⁵ : Category.{max v u, u_3} D
inst✝¹⁴ : Category.{max v u, u_4} E
F : D ⥤ E
inst✝¹³ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝¹² : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝¹¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹⁰ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝⁸ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
inst✝⁷ : ConcreteCategory D
inst✝⁶ : ConcreteCategory E
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget E)
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : PreservesLimits (forget E)
inst✝¹ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
inst✝ : (forget E).ReflectsIsomorphisms
P : Cᵒᵖ ⥤ D
e_1✝ : (((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj P ⟶ (sheafToPresheaf J E).obj ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P)) = ((𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ E)).obj (P ⋙ F) ⟶ (sheafToPresheaf J E).obj ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P))
⊢ ((plusPlusAdjunction J E).homEquiv (((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj P) ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P)) { val := (J.sheafifyCompIso F P).inv } = whiskerRight ((plusPlusAdjunction J D).unit.app P) F
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : LE α
inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : α
xy : ¬x ≤ y
yx : ¬y ≤ x
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.StructuredArrow S T
h : f.IsUniversal
g : CategoryTheory.StructuredArrow S T
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom (T.map (h.desc g)) = g.hom
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
⊢ ∃ f, Inducing f
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
H : Submonoid G
x : ↥H
⊢ (∃ n, 0 < n ∧ ↑x ^ n = 1) ↔ ∃ n, 0 < n ∧ x ^ n = 1
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
i₁ : G
r₁ : k
i₂ : G
r₂ : k
⊢ (Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁) * opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)))) = (Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁)))) * (Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂))))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
S : Set (Set E)
hS : ∀ s ∈ S, StarConvex 𝕜 x s
⊢ StarConvex 𝕜 x (⋃₀ S)
xs ys zs : Lean.Omega.IntList
⊢ (xs + ys).dot zs = xs.dot zs + ys.dot zs
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.range (LinearMap.snd R M M₂) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α
⊢ a * b + b * a = 0
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - 1 ≠ 0
σ τ : (X ^ n - 1).Gal
a : (X ^ n - 1).SplittingField
ha : a ^ n = 1
key : ∀ (σ : (X ^ n - 1).Gal), ∃ m, σ a = a ^ m
⊢ (σ * τ) a = (τ * σ) a
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
f₁ : a ⟶ b
g₁ : b ⟶ a
f₂ : b ⟶ c
g₂ : c ⟶ b
adj₁ : f₁ ⊣ g₁
adj₂ : f₂ ⊣ g₂
⊢ leftZigzag (adj₁.compUnit adj₂) (adj₁.compCounit adj₂) = (λ_ (f₁ ≫ f₂)).hom ≫ (ρ_ (f₁ ≫ f₂)).inv
K : Type u_1
DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
Inhabited Λ
σ : Type u_4
Inhabited σ
k : K
L : List (Γ k)
⊢ Turing.TM2to1.TrCfg (Turing.TM2.init k L) (Turing.TM1.init (Turing.TM2to1.trInit k L))
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight N.X) (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M (regular Y) ▷ N.X) ((α_ (TensorBimod.X M (regular Y)) Y.X N.X).hom ≫ TensorBimod.X M (regular Y) ◁ N.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M (regular Y) ▷ N.X) ((α_ (TensorBimod.X M (regular Y)) Y.X N.X).hom ≫ TensorBimod.X M (regular Y) ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (RightUnitorBimod.hom M ▷ Y.X ▷ N.X) (RightUnitorBimod.hom M ▷ N.X) ⋯ ⋯)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ.withDensity (s.indicator 1) = μ.restrict s
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ Multiset.toDFinsupp s < Multiset.toDFinsupp t ↔ s < t
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
i : ℕ
h : i.succ < m.succ
x : α
u : Fin m → α
⊢ vecCons x u ⟨i.succ, h⟩ = u ⟨i, ⋯⟩
α : Type u_1
R : α → α → Prop
p : α → Prop
DecidablePred p
l : List α
⊢ List.Pairwise R (List.filter (fun b => decide (p b)) l) ↔ List.Pairwise (fun x y => p x → p y → R x y) l
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
⊢ log 8 * (69 / 50) ≤ √(log ↑N)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁹ : StrictConvexSpace ℝ V
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝³ : MetricSpace PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor E PE
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
r : ℝ
f : PF → PE
x y z : PE
hxy : dist x y = r * dist x z
hyz : dist y z = (1 - r) * dist x z
this : y -ᵥ x ∈ [0-[ℝ]z -ᵥ x]
hne : x ≠ z
⊢ y = (AffineMap.lineMap x z) r
x : ℝ*
r : ℝ
hxr : x.IsSt r
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousAt f r
⊢ IsSt (Germ.map f x) (f r)
α : Type u_1
Monoid α
f : Multiplicative ℕ →* α
⊢ (powersHom α).symm f = f (Multiplicative.ofAdd 1)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
⊢ (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + remainder p n
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
FiniteDimensional ℝ V
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ V = n
hc : EuclideanGeometry.Cospherical ps
⊢ ∃ r, ∀ (sx : Affine.Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hy : 0 < y
⊢ Real.logb b y = x ↔ b ^ x = y
α : Type u_1
Semiring α
NoZeroDivisors α
m n : ℕ
hmn : m ∣ n
hm : FermatLastTheoremWith α m
⊢ FermatLastTheoremWith α n
x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℝ
⊢ 0 < x ^ y
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
h : List.map f l = []
⊢ l = []
G : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G
Sub G
m : MeasurableSpace α
f g : α → G
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSub₂ G
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (fun a => f a - g a) μ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
⊢ inversion c R '' sphere y (dist y c) = insert c ↑(perpBisector c (inversion c R y))
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
A : C
B : D
e : MonoOver A ≌ MonoOver B
⊢ lower e.functor ⋙ lower e.inverse = ThinSkeleton.map (e.functor ⋙ e.inverse)
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
f g : α →ᵈ α
⊢ Dilation.ratio (f * g) = Dilation.ratio f * Dilation.ratio g
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Abelian C
A : Type u₁
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Abelian A
inst✝¹ : Abelian B
L : A ⥤ B
inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms
hL : ∀ (S : ShortComplex A), S.Exact → (S.map L).Exact
X✝ Y✝ : A
f : X✝ ⟶ Y✝
hf : Mono f
⊢ (ShortComplex.mk 0 f ⋯).map L ≅ ShortComplex.mk 0 (L.map f) ⋯
α : Type u
s : Computation α
h : s.Terminates
a : α
⊢ s.get = a → a ∈ s
α : Type u
⊢ Set.univ.Nontrivial ↔ Nontrivial α
α : Type u_1
G : Type u_9
SubtractionMonoid G
f : α → G
⊢ (Function.support fun x => -f x) = Function.support f
R : Type u_2
Rack R
x y : R
⊢ Rack.act' (x ◃ y) = Rack.act' x * Rack.act' y * (Rack.act' x)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
b : β
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 b, ∃ c, Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 c)
φ : β → γ := di.extend f
this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot
V' : Set γ
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ b)
V'_closed : IsClosed V'
V₁ : Set β := {x | Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 (φ x))}
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 b
V₂ : Set β
V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 b
V₂_op : IsOpen V₂
hV₂ : ∀ x ∈ i ⁻¹' V₂, f x ∈ V'
x : β
x_in₁ : x ∈ V₁
x_in₂ : x ∈ V₂
hV₂x : V₂ ∈ 𝓝 x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 x), f x ∈ V'