ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
hA : A.Nonempty
this : ↑A.card + ↑P.parts.card ≤ 2 * ↑A.card
⊢ ↑A.card * (↑A.card + ↑P.parts.card) ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2 * ↑P.parts.card
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : AddCommMonoid P
g : N →+ P
f : α → M →+ N
a : α
⊢ liftAddHom.symm (g.comp (liftAddHom f)) a = g.comp (f a)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
S₃ : Type u_7
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
Monoid S₃
DistribMulAction S₃ M₃
SMulCommClass R₃ S₃ M₃
a : S₃
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ (a • g).comp f = a • g.comp f
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
x : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum.adicCompletion K v
⊢ x ∉ IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum.adicCompletionIntegers K v ↔ 1 < Valued.v x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
β : Type u_4
CommMonoid β
f : ι → κ
s : Finset κ
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)
g : κ → β
hg : ∀ x ∈ s, x ∉ Set.range f → g x = 1
⊢ ∏ x ∈ s.preimage f hf, g (f x) = ∏ x ∈ s, g x
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hroot : ∀ m ≤ n, ((⇑derivative)^[m] p).IsRoot t
hnzd : ∀ m ≤ n, m ≠ 0 → ↑m ∈ nonZeroDivisors R
⊢ ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
⊢ μ.toFiniteMeasure ≠ 0
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
n : ℤ
⊢ n • x = 0 ↔ n ≡ 0 [ZMOD ↑(addOrderOf x)]
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
TopologicalSpace ι
TopologicalSpace.MetrizableSpace ι
SecondCountableTopology ι
MeasurableSpace ι
OpensMeasurableSpace ι
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
h : MeasureTheory.Adapted f u
hu_cont : ∀ (ω : Ω), Continuous fun i => u i ω
⊢ MeasureTheory.ProgMeasurable f u
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ eLpNorm f p μ ≤ μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹ * ENNReal.ofReal C
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
X : C
f : X ⟶ T.obj₂
hf : f ≫ T.mor₂ = 0
⊢ ∃ g, f = g ≫ T.mor₁
X Y : LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑(coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace
s : ↑((coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (op U))
⊢ ⇑f.val.base ≫ ⇑(coequalizer.π f.val g.val).base = ⇑g.val.base ≫ ⇑(coequalizer.π f.val g.val).base
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
UniformSpace β
UniformSpace α
UniformSpace γ
x : α
U : Set α
hU : U ∈ 𝓝 x
F : α → β → γ
hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ Set.univ)
⊢ TendstoUniformly F (F x) (𝓝 x)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih : ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V}, IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
this : Nontrivial V
hB₁ : B ≠ 0
x : V
hd : finrank K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) + 1 = d + 1
hx : ¬IsOrtho B x x
B' : ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] K := domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)
v' : Basis (Fin d) K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)
hv₁ : (domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)).IsOrthoᵢ ⇑v'
b : Basis (Fin (d + 1)) K V := Basis.mkFinCons x v' ⋯ ⋯
j✝ i : Fin (d + 1)
j : Fin d
hij : j.succ ≠ 0
⊢ IsOrtho B (↑(v' j)) x
x : ℝ
⊢ Real.cos x ^ 2 + Real.sin x ^ 2 = 1
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ |max a c - max b c| ≤ |a - b|
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
h : IsCompl a b
⊢ aᶜ = b
Ω : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
m : MeasurableSpace Ω
⊢ ProbabilityTheory.condexpKernel μ m = (ProbabilityTheory.condDistrib id id μ).comap id ⋯
p : Fin 2 → Prop
⊢ (∃ i, p i) ↔ p 0 ∨ p 1
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
e : ℕ
hn : n ∈ Nat.factoredNumbers s
⊢ p ^ e * n ∈ Nat.factoredNumbers (insert p s)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : CategoryWithHomology C
inst✝¹ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝ : c.QFactorsThroughHomotopy C
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
⊢ HomotopyCategory.quasiIso C c ((HomotopyCategory.quotient C c).map φ) → IsIso (Qh.map ((HomotopyCategory.quotient C c).map φ))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 2
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₂ app₀ app₁ app₂ w₀ w₁).app 1 = app₁
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.integral (f - g) = MeasureTheory.L1.integral f - MeasureTheory.L1.integral g
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * (↑sa * r₂) = rb * ↑s₁
hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S
ha' : ↑(sb * sa * s₂) = ↑sb * ra * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * (↑sb * ra * r₃) = rc * ↑s₁
hc' : ((↑sb * ra) • r₃ /ₒ (sb * sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rc • r₁ /ₒ (sc * (sb * sa * s₂))
⊢ ((↑sc * ↑sb * (↑sa * r₂) + ↑sc * ↑sb * (ra * r₃)) /ₒ (sc * sb * (sa * s₂))) • (r₁ /ₒ s₁) = (↑sc • rb • r₁ + rc • r₁) /ₒ (sc * (sb * (sa * s₂)))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
c : F
hf : f =ᶠ[𝓝 x] fun x => c
⊢ HasFDerivAt f 0 x
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Mul N
f : M →ₙ* N
S : Subsemigroup N
h : S ≤ f.srange
⊢ map f (comap f S) = S
n : ℕ
⊢ ↑n ≠ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x y : β
⊢ CauSeq.const abv (x * y) = CauSeq.const abv x * CauSeq.const abv y
α : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
s : Finset α
⊢ ∀ᶠ (x : α) in Filter.cocardinal α hreg, x ∉ s
R : Type u_1
CommRing R
x y z : R
⊢ IsRelPrime x (z * x + y) ↔ IsRelPrime x y
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
LE E
f : ℕ → Ω → E
hf : MeasureTheory.Submartingale f 𝒢 μ
τ : Ω → ℕ
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime 𝒢 τ
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ N
⊢ MeasureTheory.Integrable (MeasureTheory.stoppedValue f τ) μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
⊢ StrictConvex 𝕜 (s + t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
f : E →ᵃ[𝕜] F
a b : E
x : F
⊢ x ∈ ⇑f '' [a-[𝕜]b] ↔ x ∈ [f a-[𝕜]f b]
f : CircleDeg1Lift
n : ℤ
⊢ Function.Commute ⇑f fun x => x - ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F'
⊢ (condexpL1CLM F' hm μ) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs hμs x) = (condexpInd F' hm μ s) x
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
φ ψ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
hsub : ∀ (i : ι), φ i ⊆ ψ i
hmeas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (ψ i)
⊢ MeasureTheory.AECover μ l ψ
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α ↪ β
DecidablePred fun x => x ∈ Set.range ⇑f
g : α → M
⊢ (∏ᶠ (b : β), if h : b ∈ Set.range ⇑f then g (Classical.choose h) else 1) = ∏ᶠ (a : α), g a
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddMonoid M
h : Algebra.FiniteType R (AddMonoidAlgebra R M)
⊢ ∃ G, Algebra.adjoin R (AddMonoidAlgebra.of' R M '' ↑G) = ⊤
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k
⊢ ((forget₂ C Ab).map (HomologicalComplex.opcyclesMap S.g i)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₂.pOpcycles i)) x₂) = ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.homologyι i)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₃.homologyπ i)) (S.X₃.cyclesMk x₃ j ⋯ hx₃))
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
s' : Set α
t' : Set β
h : e.IsImage s t
h' : e.IsImage s' t'
⊢ e.IsImage (s ∩ s') (t ∩ t')
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
⊢ (𝓝[Set.range ↑I] ↑(extChartAt I c) c).HasBasis (fun x => True) fun f =>
  Metric.closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ Set.range ↑I
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
⊢ F.PreservesMonomorphisms ↔ G.PreservesMonomorphisms
α : Type u
Add α
a : WithBot α
⊢ a + ⊥ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
⊢ s.disjSum ∅ = Finset.map Function.Embedding.inl s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℝ
⊢ 0 ≤ ↑(hf.stieltjesFunction a) r
X Y : TopCat
f : ↑X ≃ₜ ↑Y
⊢ TopCat.homeoOfIso (TopCat.isoOfHomeo f) = f
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
⊢ MeasureTheory.IsSetAlgebra (MeasureTheory.generateSetAlgebra 𝒜)
ι α : Type u
t : ι → Set α
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
⊢ #↑(⋃ i, t i) < c ↔ ∀ (i : ι), #↑(t i) < c
K : Type u_3
DivisionMonoid K
HasDistribNeg K
b : K
a : K
⊢ a / -b = -(a / b)
α β : Type u
(P : Prop) → Decidable P
s : Finset α
t : Finset (α → β)
⊢ (Seq.seq t fun x => s) = t.sup fun f => Finset.image f s
α β : SemilatSupCat
e : α.X ≃o β.X
a : α.X
⊢ (SemilatSupCat.Iso.mk e).hom.toSupHom a = e a
p b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b
⊢ π * b ^ (-2 / p) * Real.Gamma (2 / p + 1) = 2 * π / p * b ^ (-(0 + 2) / p) * Real.Gamma ((0 + 2) / p)
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : LipschitzWith D g
h'g : HasCompactSupport g
v : E
A : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))
B : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (g (x + t • -v) - g x) * f x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ g x (-v) * f x ∂μ))
t : ℝ
S3 : ∫ (x : E), f (x + t • v) * g x ∂μ = ∫ (x : E), f x * g (x + t • -v) ∂μ
⊢ Integrable (fun x => f x * g x) μ
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
⊢ Polynomial.cyclotomic' 1 R = Polynomial.X - 1
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
⊢ Function.Injective ⇑p.subtype
M : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
VAdd M X
ContinuousVAdd M X
f : α → M
l : Filter α
c : M
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 c)
a : X
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x +ᵥ a) l (𝓝 (c +ᵥ a))
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
i : ℕ
l : List α
l' : List β
h : i < min l.length l'.length
⊢ i < l.length
α : Type u
Inhabited α
⊢ Function.Surjective List.head!
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))
x y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ √x < y ↔ x < y ^ 2
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism
⊢ ⁅f.idealRange ⊓ J₁, f.idealRange ⊓ J₂⁆ ≤ f.idealRange
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)
⊢ (f * g).signAux = f.signAux * g.signAux
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ Subalgebra.inclusion ⋯ = AlgHom.id R ↥S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
hf : Measurable f
⊢ (mapₗ f) μ = 0 ↔ μ = 0
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a + -b ≤ c ↔ a ≤ c + b
α : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
g : γ → δ
f' : α → β' → δ
g' : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' a (g' b)
⊢ g '' Set.image2 f s t = Set.image2 f' s (g' '' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s t : Finset α
hf : Function.Injective f
⊢ Finset.image f s ⊆ Finset.image f t ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_7
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (β a)
i : (a : α) × β a
f : (i : (a : α) × β a) → γ i.fst i.snd
x : γ i.fst i.snd
⊢ Sigma.curry (Function.update f i x) =
  Function.update (Sigma.curry f) i.fst (Function.update (Sigma.curry f i.fst) i.snd x)
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
z : DirectLimit G f
ind : ι
x✝² : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
p q : FreeAbelianGroup (Multiplicative (Multiset ((i : ι) × G i)))
x✝¹ : ∃ i x, (of G f i) x = Quotient.mk'' p
x✝ : ∃ i x, (of G f i) x = Quotient.mk'' q
i : ι
x : G i
ihx : (of G f i) x = Quotient.mk'' p
j : ι
y : G j
ihy : (of G f j) y = Quotient.mk'' q
k : ι
hik : i ≤ k
hjk : j ≤ k
⊢ (of G f k) (f i k hik x + f j k hjk y) = Quotient.mk'' (p + q)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
s : σ
a : R
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.C a * MvPolynomial.X s ^ n = (MvPolynomial.monomial (Finsupp.single s n)) a
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
s : Finset (Box ι)
val✝ : Fintype ι
⊢ ∀ᶠ (t : Finset (ι × ℝ)) in atTop, ∀ (I J : Box ι), J ∈ s → ∀ J' ∈ splitMany I t, ¬Disjoint ↑J ↑J' → J' ≤ J
α : Type u_1
s t : Multiset α
h : s < t
⊢ Multiset.card s < Multiset.card t
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
⊢ ∀ (a : G), (a ∈ H ↔ f.symm x * a * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (f.symm (f.toEquiv a) ∈ H ↔ f.symm (x * f.toEquiv a * x⁻¹) ∈ H)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : DirectSum.IsInternal V
a : Fin n
hV' : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
⊢ (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasis hn hV hV') a ∈
  V (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn hV a hV')
α : Type u_1
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
b₁ b₂ : α
⊢ op (Multiset.fold op b₁ (s₁ ∪ s₂)) (Multiset.fold op b₂ (s₁ ∩ s₂)) =
  op (Multiset.fold op b₁ s₁) (Multiset.fold op b₂ s₂)
X : TopCat
⊢ topToPreord.obj X = Preord.of (Specialization ↑X)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
p : BoxIntegral.Box ι → Prop
⊢ (π.filter fun J => ¬p J).iUnion = π.iUnion \ (π.filter p).iUnion
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
m n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Icc m n)
us : ∀ i ∈ Icc m n, u i ∈ s
hmn : m ≤ n
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs : List (α × α)
x y z : α
⊢ applyId ((y, z) :: xs) x = if y = x then z else applyId xs x
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)
hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a
b : α
hb : ¬IsMax b
hb' : ¬IsSuccLimit (succ b)
⊢ isSuccLimitRecOn (succ b) hs hl = hs b hb
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
U : Set α
hU : IsOpen U
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.Regular
⊢ μ U = ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ U), ⨆ (_ : IsCompact K), μ K
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ StableUnderSpecialization (Module.support R M)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∏ x ∈ Finset.Ico 1 p, ↑x = -1
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a ⊓ b + c = (a + c) ⊓ (b + c)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ ∅.preimage f ⋯ = ∅
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
p : IntermediateField ℚ A → Prop
S : Set { F // p F }
T : Set A
hT : Finite ↑T
h : ∀ F ∈ S, ∃ x ∈ T, ↑F = ℚ⟮x⟯
x✝¹ x✝ : ↑S
h_eq : (fun x => match x with | ⟨F, hF⟩ => ⟨⋯.choose, ⋯⟩) x✝¹ = (fun x => match x with | ⟨F, hF⟩ => ⟨⋯.choose, ⋯⟩) x✝
⊢ ↑↑x✝¹ = ↑↑x✝
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
X✝ Y✝ : Comon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ F.map f.hom ≫ F.map Y✝.counit ≫ F.η = F.map X✝.counit ≫ F.η
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
hg : ∀ (y : ↥S), IsAddUnit (g ↑y)
⊢ Function.Surjective ⇑(f.lift hg) ↔ ∀ (v : P), ∃ x, v + g ↑x.2 = g x.1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ ↑(f.extend I).symm = ↑f.symm ∘ ↑I.symm
z : ZMod 2
au : Additive ℤˣ
⊢ z • au = z.val • au
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
⊢ ball x 0 = ∅
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
h : f x ≤ x + ↑m
⊢ f.translationNumber ≤ ↑m
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
C : Type u_1
g : (a : P.A) → P.drop.B a ⟹ α → (P.last.B a → P.W α) → (P.last.B a → C) → C
a : P.A
f' : P.drop.B a ⟹ α
f : P.last.B a → P.W α
⊢ (g a (P.wPathDestLeft (P.wPathCasesOn f' fun i => (f i).snd)) (fun i => ⟨(f i).fst, P.wPathDestRight (P.wPathCasesOn f' fun i => (f i).snd) i⟩) fun i => P.wpRec (fun a f h h' => g a (P.wPathDestLeft h) (fun i => ⟨f i, P.wPathDestRight h i⟩) h') (f i).fst (P.wPathDestRight (P.wPathCasesOn f' fun i => (f i).snd) i)) = g a f' f fun i => P.wRec g (f i)
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
P Q : R[X]
hPQ : X ^ n * P = X ^ n * Q
i : ℕ
⊢ P.coeff i = Q.coeff i
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d✝ : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : b < a
hc : c < 0
d : α
hcd : 0 = c + d
⊢ a * c + (b * d + a * d) < b * c + (b * d + a * d)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace X
inst✝³ : T2Space X
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither X E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → 𝕜
g : X → E
s : Set X
hs : IsOpen s
hf : ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ
hg : ContinuousOn g s
⊢ ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn (fun x => f x • g x) k μ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ ⋃ n, Icc (a + n • p) (a + (n + 1) • p) = univ
S : LightDiagram
⊢ lightDiagramToProfinite.obj S = S.toProfinite
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : OrderedSemiring α
inst✝ : Archimedean α
x : α
a✝ : Nontrivial α
⊢ ∃ n, x ≤ ↑n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
s : Set E
x : E
⊢ HasMFDerivWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') (⇑f) s x f
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
⊢ ⟨Exists.choose ⋯, ⋯⟩ • ↑I = LinearMap.range (Algebra.linearMap R P) ⊓ I.den • ↑I