ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : LinearOrder M
inst✝³ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝² : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
hl : l ≠ []
f g : ι → M
h : ∀ x ∈ l, g x < f x
⊢ (map g l).prod < (map f l).prod
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q P : α → Prop
⊢ (∀ (a : α), P a) ∨ ¬∀ (x : α), P x
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝
⊢ (p1.2.1, p1.1.1) ≠ (p2.2.1, p2.1.1)
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid β
l : Filter α
f : α → β
C : β
hf : Filter.Tendsto (fun x => C + f x) l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
hap : a ≠ 0
he : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x ≠ 0 ∧ x ≤ p / 2
hep : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x < p
⊢ Multiset.map (fun x => (a * ↑x).valMinAbs.natAbs) (Ico 1 (p / 2).succ).val = Multiset.map (fun a => a) (Ico 1 (p / 2).succ).val
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
⊢ S.leftHomologyData.homologyIso = S.leftHomologyIso.symm
⊢ ‖↑Complex.conjCLE‖₊ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s✝ : Set α
f : ι → α
a✝ : α
s : ι → α
a : α
h : BddAbove (range s)
⊢ a ≤ iSup s ↔ ∀ (b : α), (∀ (i : ι), s i ≤ b) → a ≤ b
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηb : p ∣ 1 * S.a + ↑η * S.b
this : p ∣ (1 * ↑η - 1 * 1) * gcd S.a S.b
⊢ p ∣ λ
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)₀
⊢ { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun g
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp (m • p + a) b = m • p + toIocMod hp a b
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y✝ : E b✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module R F
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : E b
⊢ (Pretrivialization.symmₗ R e b) (↑(linearEquivAt R e b hb) y) = y
K : Type u
Field K
L : Type u_1
F : Type u_2
Zero L
FunLike F K[X] L
ZeroHomClass F K[X] L
φ : F
hφ : Function.Injective ⇑φ
f : RatFunc K
⊢ φ f.denom ≠ 0
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ ∀ {x : A}, x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
DecidableEq ι
Module.Free R M
Module.Finite R M
b : Basis ι R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
Nontrivial R
⊢ (φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank ≠ 0
n : Nat
α : Type u_1
f : Fin n → α
⊢ (Array.ofFn f).size = n
M : Type u
MulOneClass M
⊢ (fun x => 1 * x) = id
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
x₀ : α
hx₀ : x₀ ∈ s
T : ℕ → Set α
hTc : ∀ (n : ℕ), (T n).Countable
hsT : ∀ (n : ℕ), s ⊆ ⋃ x ∈ T n, closedBall x (↑n)⁻¹
f : ℝ≥0∞ → α → α
hfs : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), f r x ∈ s
hf : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), closedBall x r ∩ s ⊆ closedBall (f r x) (r * 2)
x : α
hx : x ∈ s
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
n : ℕ
hn : (↑n)⁻¹ < ε / 2
y : α
hyn : y ∈ T n
hyx : x ∈ closedBall y (↑n)⁻¹
⊢ edist x (f (↑n)⁻¹ y) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
xs : List α
h : xs.Nodup
n : ℕ
hn : n + 1 < xs.length
⊢ xs.formPerm (xs.get ⟨n, ⋯⟩) = xs.get ⟨n + 1, hn⟩
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑(CategoryTheory.Limits.coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace
s : ↑((CategoryTheory.Limits.coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ ⇑(CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f.val g.val).base ⁻¹'
    (⇑(CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f.val g.val).base ''
      (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.HasCoequalizer.imageBasicOpen f g U s).carrier) =
  (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.HasCoequalizer.imageBasicOpen f g U s).carrier
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n p : ℤ
⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).map φ).f p = φ.f (p + n)
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ yz a1 (m - n) = xz a1 n * yz a1 m - xz a1 m * yz a1 n
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
⊢ s.πSummand (IndexSet.id (op [i])) ≫ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = (𝟙 (K[X].X i) ≫ K[X].d i j) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j]))
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx' : IsIntegral R x
this✝ : IsDomain (AdjoinRoot (minpoly R x))
this : NoZeroSMulDivisors R (AdjoinRoot (minpoly R x))
⊢ Irreducible (minpoly R x)
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
m : M
a : α
⊢ Set.MapsTo (fun x => m • x) (MulAction.orbit M a) (MulAction.orbit M a)
z : ℂ
⊢ z.arg = 0 ↔ 0 ≤ z.re ∧ z.im = 0
α : Type u_1
x : α
xs : List α
i : Nat
h : i + 1 < (x :: xs).length
this : i < xs.length
⊢ ((x :: xs).eraseIdx (i + 1)).length = (x :: xs).length - 1
R : Type u_1
Semiring R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
x y : R
h : Commute x y
⊢ (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n
m : Type u_2
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
Fintype m
DecidableEq m
NonAssocSemiring α
NonAssocSemiring β
NonAssocSemiring γ
f : β →+* γ
g : α →+* β
⊢ f.mapMatrix.comp g.mapMatrix = (f.comp g).mapMatrix
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : Tendsto (fun n x => (f n) x) atTop (𝓝 ⇑g)
hf : CauchySeq f
b : ℕ → ℝ
hb₀ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hfb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) ≤ b N
hb_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
n : ℕ
x : E'
⊢ ‖(f n) x - g x‖ ≤ b n * ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosMono α β
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b₁
⊢ 0 ≤ a • b₁
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
C : ℝ≥0∞
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 ^ n
a : α
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ edist (f n) a ≤ 2 * C / 2 ^ n
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
⊢ volume {x | ∑ i : ι, |x i| ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
ha : a < a'
hr : r < 1
⊢ (1 - r) • a + r • b < (1 - r) • a' + r • b
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
⊢ P.toPoly.degree ≤ 1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
α : A₁ ⟶ A₂
⊢ F.map (-α.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (-α.f)
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ Disjoint (I.splitLower i x) (I.splitUpper i x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
x : E
hx : x ∈ {x | gauge s x < 1}
y : E
hys : y ∈ s
hxy : x ∈ openSegment ℝ 0 y
⊢ x ∈ interior s
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd 0
⊢ False
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : Type w
f : J → C
inst✝⁶ : HasProduct f
D : Type t
inst✝⁵ : Category.{r, t} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
F : C ⥤ D
inst✝³ : PreservesLimit (Discrete.functor f) F
inst✝² : HasProduct fun j => F.obj (f j)
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan (forget D)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun b => F.obj (f b)) (forget D)
x y : (forget D).obj (F.obj (∏ᶜ f))
h : ∀ (i : J), (F.map (Pi.π f i)) x = (F.map (Pi.π f i)) y
⊢ (PreservesProduct.iso F f).hom x = (PreservesProduct.iso F f).hom y
α : Type u_2
x : Finset α
h0 : x.Nonempty
⊢ ∑ m ∈ x.powerset, (-1) ^ m.card = 0
n : ℕ
s x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑n) (↑n + 1)
⊢ 0 ≤ x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
⊢ s ∩ t ∪ s \ t = s
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
x : α × β
⊢ x ∈ interedges r s₂ t₂ → x ∈ interedges r s₁ t₁
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s t : TopologicalSpace.Closeds α
⊢ ↑(s ⊔ t) = ↑s ∪ ↑t
α : Type u
β : Type v
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
n : ℕ
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
hn : t.card * n < s.card
⊢ ∃ y ∈ t, n < (Finset.filter (fun x => f x = y) s).card
m : Type u → Type v
Monad m
id_map : ∀ {α : Type u} (x : m α), id <$> x = x
pure_bind : ∀ {α β : Type u} (x : α) (f : α → m β), pure x >>= f = f x
bind_assoc : ∀ {α β γ : Type u} (x : m α) (f : α → m β) (g : β → m γ), x >>= f >>= g = x >>= fun x => f x >>= g
map_const : ∀ {α β : Type u} (x : α) (y : m β), Functor.mapConst x y = Function.const β x <$> y := by intros; rfl
seqLeft_eq :
  ∀ {α β : Type u} (x : m α) (y : m β),
    (SeqLeft.seqLeft x fun x => y) = do
      let a ← x
      let _ ← y
      pure a := by
  intros; rfl
seqRight_eq :
  ∀ {α β : Type u} (x : m α) (y : m β),
    (SeqRight.seqRight x fun x => y) = do
      let _ ← x
      y := by
  intros; rfl
bind_pure_comp :
  ∀ {α β : Type u} (f : α → β) (x : m α),
    (do
        let y ← x
        pure (f y)) =
      f <$> x := by
  intros; rfl
bind_map :
  ∀ {α β : Type u} (f : m (α → β)) (x : m α),
    (do
        let x_1 ← f
        x_1 <$> x) =
      Seq.seq f fun x_1 => x := by
  intros; rfl
⊢ LawfulMonad m
R : Type u_1
M : Type u_2
n : Type u_3
DecidableEq n
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Finite n
b : Basis n R M
i : n
⊢ b.equivFun.symm ((LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) 1) = b i
z : ℂ
⊢ ‖Complex.equivRealProd z‖ ≤ Complex.abs z
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
hI : I ⊆ M.E
hX : X ⊆ M.E
h : (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)
I' : Set α
hI' : M.Indep I'
hII' : f '' I = f '' I'
⊢ M.Basis I X
R : Type u_2
CommSemiring R
⊢ ↑0 = 0
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
Fintype ι
Fintype κ
AddCommMonoid α
e : ι → κ
he : Function.Bijective e
g : κ → α
⊢ ∑ i : ι, g (e i) = ∑ i : κ, g i
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ α.app X = cokernel.π ((kernel.ι α).app X) ≫ cokernelComparison (kernel.ι α) ((evaluation C D).obj X) ≫ (coimageImageComparison α).app X ≫ kernelComparison (cokernel.π α) ((evaluation C D).obj X) ≫ kernel.ι ((cokernel.π α).app X)
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
CompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
ι : Sort u_4
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iInf g)
Mf : Monotone f
ftop : f ⊤ = ⊤
⊢ f (iInf g) = iInf (f ∘ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
⊢ ∀ (s : Set (C(α, β) × C(α, β))), s ∈ uniformity C(α, β) ↔ ∃ t ∈ uniformity (α →ᵇ β), ∀ (x y : C(α, β)), ((equivBoundedOfCompact α β) x, (equivBoundedOfCompact α β) y) ∈ t → (x, y) ∈ s
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
this : Fintype G
h : 2 ∣ Fintype.card G
⊢ False
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
t : Finset α
h : s ∩ Function.support f = ↑t ∩ Function.support f
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∑ i ∈ t, f i
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n✝ : ι
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
n : ι
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_sf_min : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ (stoppedValue f fun x => min (σ x) (τ x)) =ᶠ[ae μ] μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
this : TopologicalAddGroup E
⊢ ∀ x ∈ {0}ᶜ, ∃ s, ∃ r > 0, (s.sup p).ball x r ⊆ {0}ᶜ
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ Submodule.comap (LinearMap.inr R M M₂) (p.prod q) = q
R : Type u_4
S : Type u_5
ConditionallyCompleteLinearOrder R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
ConditionallyCompleteLinearOrder S
TopologicalSpace S
OrderTopology S
F : Filter R
F.NeBot
f : R → S
f_incr : Monotone f
f_cont : ContinuousAt f F.limsSup
bdd_above : Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F := by isBoundedDefault
cobdd : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F := by isBoundedDefault
⊢ f F.limsSup = Filter.limsup f F
α : Type u_2
AddGroup α
t : Set α
b : α
⊢ (fun x => x + -b) '' t = (fun x => x + b) ⁻¹' t
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
W : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
M : Action V G
⊢ (fun g => F.map (M.ρ g)) 1 = 1
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : V
hx : ‖x‖ ≠ 0
⊢ 1 ≤ ‖id V‖
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s, -f x ∂μ
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ x₂ x₃ : X
p : Path x₀ x₁
q : Path x₁ x₂
r : Path x₂ x₃
⊢ (p.trans q).trans r = (p.trans (q.trans r)).reparam (fun t => ⟨Path.Homotopy.transAssocReparamAux t, ⋯⟩) ⋯ ⋯ ⋯
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
StarRing A
CstarRing A
NormedRing B
NormedAlgebra ℂ B
CompleteSpace B
StarRing B
CstarRing B
FunLike F A B
AlgHomClass F ℂ A B
StarAlgHomClass F ℂ A B
φ : F
a : A
⊢ ‖φ a‖₊ ≤ ‖a‖₊
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
P : R[X]
hmo : P.Monic
hP : (Polynomial.aeval s) P = 0
Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
hs : IsIntegral R s
hnz : ¬minpoly R s - P = 0
⊢ (minpoly R s).leadingCoeff = P.leadingCoeff
α : Sort u_1
p : Prop
Decidable p
x y : α
⊢ (if ¬p then x else y) = if p then y else x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
H : a < b
⊢ (𝓝[Set.Ioo a b] a).NeBot
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a✝ b✝ c d a b : G₀
⊢ a ^ 2 * b / a = a * b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s μ
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
this : 0 < (μ.restrict s) ({a | ⨍ (a : α) in s, (g a).toReal ∂μ ≤ (g a).toReal} \ {x | g x = ⊤})
⊢ 0 < (μ.restrict s) {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a}
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Monoid.PushoutI.NormalWord d
⊢ w.prod • Monoid.PushoutI.NormalWord.empty = w
α : Type u_1
⊢ Topology.WithScott.toScott.symm = Topology.WithScott.ofScott
R : Type u_1
S : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
CommSemiring P
CommSemiring Q
M : Submonoid R
T : Submonoid P
Algebra R S
Algebra P Q
IsLocalization M S
IsLocalization T Q
g : R →+* P
hT : Submonoid.map g M = T
⊢ RingHom.ker (IsLocalization.map Q g ⋯) = Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker g)
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ Group.conjugatesOfSet s ⊆ ↑(Subgroup.normalClosure s)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
h : ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ f x
⊢ 0 ≤ cfcₙ f a
α : Type u
s : Stream' α
⊢ Stream'.map id s = s
R : Type u_1
EuclideanDomain R
a b : R
⊢ a % b = a - b * (a / b)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f : M ≃ₗ[R] M
g : N ≃ₗ[R] N
n : ℤ
⊢ TensorProduct.congr f g ^ n = TensorProduct.congr (f ^ n) (g ^ n)
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), (c ^ finrank ℝ V * φ (c • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))
⊢ Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w) atTop (𝓝 (f v))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : HasDerivWithinAt f f' s x
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ HasDerivAt f f' x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x : E
⊢ p.sum x = p.partialSum n x
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
LocallyCompactPair Y Z
X' : Type u_6
TopologicalSpace X'
a : X'
g : X' → C(Y, Z)
f : X' → C(X, Y)
hg : ContinuousAt g a
hf : ContinuousAt f a
⊢ ContinuousAt (fun x => (g x).comp (f x)) a
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
x : E
L : E →L[ℝ] ℝ
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
⊢ DifferentiableAt ℝ f x
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α 1
x✝¹ x✝ : { x // x.length = 1 }
val✝ : List α
property✝ : val✝.length = 1
a : α
h : [a].length = 1
perm : ⟨val✝, property✝⟩ ≈ ⟨[a], h⟩
⊢ (fun l => (↑l).head ⋯) ⟨val✝, property✝⟩ = (fun l => (↑l).head ⋯) ⟨[a], h⟩
α : Type u
σ : Type v
M : εNFA α σ
a : α
⊢ M.eval [a] = M.stepSet (M.εClosure M.start) a
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
M : Action V G
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.SingleObj ↑G} (g : X ⟶ Y), (Action.FunctorCategoryEquivalence.functor.obj M).map g = M.ρ g
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a + b - b = a
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α →o α →o β
⊢ ∀ (a : α), f.onDiag a = (f a) a
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
⊢ { toFun := fun n => χ ↑n * ↑n ^ (-s), map_zero' := ⋯, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } 0 = if 0 = 0 then 0 else χ ↑0 / ↑0 ^ s
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : S.LocalizationMap P
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S
⊢ f.mk' x₁ y₁ = f.mk' x₂ y₂ ↔ g.mk' x₁ y₁ = g.mk' x₂ y₂
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
φ : K →+* ℂ
x✝ : K
⊢ (place (conjugate φ)) x✝ = (place φ) x✝
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
hpos₁ : 0 < ε₁
hpos₂ : 0 < ε₂
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ (h.convergenceR ε₁ c₁) π₁
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ (h.convergenceR ε₂ c₂) π₂
HU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
π : Prepartition I
hπU : π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion
hπc₁ : l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₁
hπc₂ : l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₂
⊢ dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε₁ + ε₂