ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
this✝ : Fact (μ ↑I < ⊤)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : ℕ → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x ↑(r x) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
x✝ : π.IsPartition
n : ℕ
this : ∀ J ∈ π.filter fun J => N (π.tag J) = n, ‖(μ ↑J).toReal • f (π.tag J)‖ ≤ (μ ↑J).toReal * ↑n
⊢ ‖∑ J ∈ (π.filter fun x => N (π.tag x) = n).boxes, (μ ↑J).toReal • f (π.tag J)‖ ≤ ↑(δ n)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ evalEval x y (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) = y ^ 2 + W.a₁ * x * y + W.a₃ * y - (x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e e' : A ≃ₗc[R] B
h : e = e'
x : A
⊢ e x = e' x
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
AddMonoid ι
Semiring M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
f g : ⨁ (x : ι), M
⊢ (f * g).toAddMonoidAlgebra = f.toAddMonoidAlgebra * g.toAddMonoidAlgebra
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
C : ℝ≥0 := doublingConstant μ
hμ : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), μ (closedBall x (2 ^ n * ε)) ≤ ↑(C ^ n) * μ (closedBall x ε)
hK : K < 1
⊢ ∃ C, ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑C * μ (closedBall x ε)
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
r₁ r₂ : ℝ
h₁ : dist a₁ b₁ ≤ r₁
h₂ : dist a₂ b₂ ≤ r₂
⊢ dist (a₁ + a₂) (b₁ + b₂) ≤ r₁ + r₂
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
i : ℕ
hi : i < n + 1
⊢ (expand p) (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i) = (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))
ι : Type u_1
E : Type u_3
Fintype ι
AddCommGroup E
Module ℝ E
v : ι → E
⊢ parallelepiped v = (convexHull ℝ) (∑ i : ι, {0, v i})
c : Cardinal.{max (u + 1) v}
⊢ c < Cardinal.univ.{u, v} ↔ ∃ c', c = Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c'
α : Type u
β : Type v
l₁ l₂ : List α
f : α → β
h : Function.Injective f
⊢ List.map f l₁ ⊆ List.map f l₂ ↔ l₁ ⊆ l₂
M : Type u_1
Group M
c : Con M
x y : M
h : c x y
⊢ c x⁻¹ y⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.shortComplexOfDistTriangle T hT).g = T.mor₂
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
⊢ Γ₂.map (toKaroubiCompN₂IsoN₁.inv.app X) ≫ Γ₂.map (toKaroubiCompN₂IsoN₁.hom.app X) = 𝟙 ((N₁ ⋙ Γ₂).obj X)
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
NormedAddCommGroup V
NormedAddCommGroup W
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
f : V →L[R] W
⊢ f.toContinuousAffineMap.contLinear = f
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b
⊢ a / b ≤ c ↔ a ≤ b * c + (b - 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
U V : Opens M
h : U ≤ V
x : M
hx : x ∈ U
⊢ ContMDiffAt I I n (inclusion h) ⟨x, hx⟩
R : CommRingCat
f : ↑Γ(Spec R, ⊤)
⊢ f = (Scheme.ΓSpecIso R).inv ((Scheme.ΓSpecIso R).hom f)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
CompleteSpace α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
ha : Summable f
⊢ Summable fun b => ∑' (c : γ b), f ⟨b, c⟩
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
hα : Nonempty α
⊢ atTop = generate (range Ici)
x n m : ℕ
x✝ : x ∣ n * m
y : ℕ
hy : n * m = x * y
⊢ x ∣ x * m.gcd y
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval pb.gen) p = 0
hlt : p.natDegree < pb.dim
i : Fin pb.dim
⊢ (monomial ↑i) (p.coeff ↑i) = 0
α : Type u_3
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_5
(a : α) → (b : β a) → One (γ a b)
⊢ Sigma.uncurry 1 = 1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R : ℝ
hR : 0 ≤ R
θ : ℝ
⊢ circleMap c R θ ∈ sphere c R
α : Type u_4
β : Type u_5
Fintype α
DecidableEq β
f : α → β
b : β
⊢ b ∈ Finset.image f Finset.univ ↔ b ∈ Set.range f
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
g : D ⟶ E
⊢ Homotopy.nullHomotopicMap hom ≫ g = Homotopy.nullHomotopicMap fun i j => hom i j ≫ g.f j
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hf : p.Monic
hfd : p.natDegree = 0
⊢ p = 1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Monoid M
Monoid N
Monoid P
φ : M →* N
ψ : N →* P
⊢ φ.CompTriple ψ (ψ.comp φ)
α : Type u
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain (Part α)
a : α
h : Part.some a ∈ c
⊢ Part.ωSup c = Part.some a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i : ι
K.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
⊢ K.liftCycles k j hj hk ≫ K.iCycles i = k
R : Type u_1
CommRing R
c₁ c₂ : R
q : QuaternionAlgebra R c₁ c₂
⊢ CliffordAlgebraQuaternion.ofQuaternion (star q) = star (CliffordAlgebraQuaternion.ofQuaternion q)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (α_ Z X Y).hom ≫ (β_ (X ⊗ Y) Z).inv ≫ (α_ X Y Z).hom = (β_ X Z).inv ▷ Y ≫ (α_ X Z Y).hom ≫ X ◁ (β_ Y Z).inv
α : Type u_1
LE α
s t : LowerSet α
⊢ Disjoint ↑s ↑t ↔ Disjoint s t
z : ℂ
⊢ z.re ≤ Complex.abs z
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (i : α), f i ≠ ⊤
x : α
⊢ ↑((ENNReal.toNNReal ∘ f) x) = f x
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
s : Set ℝ
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ derivWithin (fun x => Real.cos (f x)) s x = -Real.sin (f x) * derivWithin f s x
α : Type u_1
f g : Equiv.Perm α
h : f.Disjoint g
⊢ f.Disjoint g⁻¹
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
⊢ 0 < bernsteinApproximation.δ f ε h
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
a b : α
⊢ {a}.disjSups {b} = if Disjoint a b then {a ⊔ b} else ∅
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
v w : List (Symbol T N)
hvw : r.Rewrites v w
p : List (Symbol T N)
⊢ r.Rewrites (p ++ v) (p ++ w)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
a' : E →L[𝕜] 𝔸
ha : HasFDerivAt a a' x
b : 𝔸
⊢ HasFDerivAt (fun y => b * a y) (b • a') x
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v
⊢ (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * ∫ (x : ℝ), rexp (-((↑v)⁻¹ * 2⁻¹ * x ^ 2)) = 1
k : Type u
inst✝ : Field k
⊢ ¬∃ l ∈ Finsupp.supported (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) Set.univ, (Finsupp.total (MonicIrreducible k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (evalXSelf k)) l = 1
C : Type u_1
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_5} D₁
CategoryTheory.Category.{u_10, u_6} D₂
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L₁ : CategoryTheory.Functor C D₁
L₁.IsLocalization W
L₂ : CategoryTheory.Functor C D₂
L₂.IsLocalization W
X Y Z : C
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
g : L₁.obj Y ⟶ L₁.obj Z
⊢ (CategoryTheory.Localization.homEquiv W L₁ L₂) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.Localization.homEquiv W L₁ L₂) f)
    ((CategoryTheory.Localization.homEquiv W L₁ L₂) g)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P
⊢ (pointReflection (midpoint R x y)) y = x
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
s : Set α
⊢ Int.fract ⁻¹' s = ⋃ m, (fun x => x - ↑m) ⁻¹' (s ∩ Set.Ico 0 1)
ι : Type u_1
I : WithBot (BoxIntegral.Box ι)
⊢ Option.isSome I = true ↔ (↑I).Nonempty
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
β : Type u_2
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : β), d.Has (f i)
⊢ d.Has (⋃ i, f i)
M : Type u_1
α : Type u_7
Monoid M
MulAction M α
b : α
⊢ 1 • b = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : ι → Set β
hι : Nonempty ι
x : α × β
⊢ (x.1 ∈ s ∧ ∀ (i : ι), x.2 ∈ t i) ↔ ∀ (i : ι), x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t i
n : ℤ
⊢ ¬Even n ↔ n % 2 = 1
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
Nontrivial α
⊢ Function.Surjective ⇑Equiv.Perm.sign
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
h : ker f ⊔ ker g = ⊤
x y : M
this : y - x ∈ ker f ⊔ ker g
x' : M
hx' : x' ∈ ker f
y' : M
hy' : y' ∈ ker g
H : x' + y' = y - x
⊢ ∃ y_1, y_1 - x ∈ ker f ∧ g y_1 = g y
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this✝ : Nontrivial S
this : Nontrivial R
a : R
ha : a ≠ 0
a_inv : S
ha_inv : (algebraMap R S) a * a_inv = 1
⊢ ∃ b, a * b = 1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
f : R →+* S
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)
hUV : V.carrier ⊆ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) ⁻¹' U.carrier
s : (x : ↥U) → Localizations R ↑x
hs : (isLocallyFraction R).pred s
p : ↑(PrimeSpectrum.Top S)
hpV : p ∈ V
W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
m : ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) p, ⋯⟩ ∈ W
iWU : W ⟶ U
a b : R
q : ↑(PrimeSpectrum.Top S)
hqW : q ∈ ↑((Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) W)
hqV : q ∈ ↑V
h_frac : b ∉ (↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩).asIdeal ∧ (fun x => s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) ⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩ * (algebraMap R (Localizations R ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩)) b = (algebraMap R (Localizations R ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩)) a
⊢ f b ∉ (↑⟨q, ⋯⟩).asIdeal ∧ (fun x => comapFun f U V hUV s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) ⟨q, ⋯⟩ * (algebraMap S (Localizations S ↑⟨q, ⋯⟩)) (f b) = (algebraMap S (Localizations S ↑⟨q, ⋯⟩)) (f a)
a b : ℕ
⊢ a ≤ Nat.pair a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
h : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ Set.MapsTo (⇑(AffineMap.lineMap x y)) (Set.Icc 0 1) s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
⊢ Continuous T.reApplyInnerSelf
x : ℝ
h : Irrational x
⊢ Irrational (-x)
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x y : α
LT α
Batteries.LTCmp cmp
⊢ cmp x y = Ordering.gt ↔ y < x
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
NormedSpace 𝕜 V
NormedSpace 𝕜 W
MetricSpace P
PseudoMetricSpace Q
NormedAddTorsor V P
NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
⊢ intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 s
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ p * Polynomial.X ^ n * q = p * q * Polynomial.X ^ n
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
he : autoParam (e ∈ M.E) _auto✝
⊢ ¬(¬M.Indep (insert e I) ∨ e ∈ I) ↔ M.Indep (insert e I) ∧ e ∉ I
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
SubtractionMonoid β
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
m : F
s t : Set β
hs : s ⊆ Set.range ⇑m
ht : t ⊆ Set.range ⇑m
⊢ s - t ⊆ Set.range ⇑m
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
f : ((n : ℕ) → E n) → (n : ℕ) → E n
f_cont : Continuous f
hs : IsClosed (range f)
hne : (range f).Nonempty
fs : ∀ x ∈ range f, f x = x
A : ∀ (x : ↑(range f)), rangeFactorization f ↑x = x
⊢ ∃ f_1, (∀ (x : ↑(range f)), f_1 ↑x = x) ∧ Surjective f_1 ∧ Continuous f_1
a t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun n => -I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ↑(sinKernel (↑a) t)
⊢ Isometry ⇑(starRingEnd ℂ)
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
p : α → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
h₀ : x = abs ⟨a, f⟩
h₁ : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
⊢ abs ((P F).map Subtype.val ⟨a, fun i => ⟨f i, ⋯⟩⟩) = abs ⟨a, f⟩
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ MatrixEquivTensor.invFun R A n (M.map ⇑(algebraMap R A)) = 1 ⊗ₜ[R] M
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
⊢ IsNoetherian R M ↔ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.prod ν).snd s = ν s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
⊢ ∀ {X Y : SimplicialObject.Split C} (Φ : X ⟶ Y), (SimplicialObject.Split.forget C).map Φ = Φ.F
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : MeasureTheory.Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : MeasureTheory.Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) + g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a =
  ∫ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) + ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderBot α
a : α
s : Multiset α
⊢ (a ::ₘ s).sup = a ⊔ s.sup
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
v₁ v₂ : M
hv₁ : v₁ ≠ 0
hv₂ : v₂ ≠ 0
⊢ rayOfNeZero R v₁ hv₁ = rayOfNeZero R v₂ hv₂ ↔ SameRay R v₁ v₂
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
t : ℝ
f : AddCircle T → ℝ≥0∞
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this : ∫⁻ (a : AddCircle T), f a ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫⁻ (a : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑a
⊢ ∫⁻ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫⁻ (a : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Sₘ✝
inst✝¹⁵ : Algebra S Sₘ✝
M : Submonoid R
inst✝¹⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹³ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ✝
inst✝¹² : Algebra Rₘ Sₘ✝
inst✝¹¹ : Algebra R Sₘ✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ✝
inst✝⁹ : IsScalarTower R S Sₘ✝
Sₘ : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
ι : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R S
⊢ traceMatrix Rₘ ⇑(Basis.localizationLocalization Rₘ M Sₘ b) = (algebraMap R Rₘ).mapMatrix (traceMatrix R ⇑b)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ v = w ↔ ∀ (i : Set α), ↑v i = ↑w i
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
⊢ a ≤ mabs a
α : Type u_1
β : Type u_2
C : Set (Set α)
t : Set β
⊢ ⋃₀ C ×ˢ t = ⋃₀ ((fun s => s ×ˢ t) '' C)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : DecidableEq F
⊢ Function.Injective ⇑↑(IsCyclotomicExtension.algEquiv (primitiveChar F ℂ ⋯).n ℂ (CyclotomicField (primitiveChar F ℂ ⋯).n ℂ) ℂ)
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι)) volume volume
v : ι → ℝ
⊢ b * ↑(∑ x : ι, v x ^ 2) = ∑ x : ι, b * ↑(v x ^ 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp f 1 (μ.restrict s)
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict sᶜ)
⊢ Memℒp (s.piecewise f g) 1 μ
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ matPolyEquiv (M.map ⇑C) = C M
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx' : 0 < -x
hy' : 0 < -y
⊢ a • log x + b • log y < log (a • x + b • y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeftLift f g s ≫
    (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeft f g).snd =
  s.snd
K : Type u_2
Add K
Mul K
Neg K
Zero K
One K
FirstOrder.Ring.CompatibleRing K
ax : FirstOrder.Field.FieldAxiom
⊢ K ⊨ ax.toSentence ↔ FirstOrder.Field.FieldAxiom.toProp K ax
α : Type u_1
CompleteSemilatticeInf α
s : Set α
⊢ IsGLB s (sInf s)
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
nz : v ≠ 0
s : span K {v} = ⊤
⊢ (Set.range fun x => ↑x) = {v}
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : ℕ → Opens G
h3 : ∀ (t : Finset ℕ) (K : ℕ → Compacts G), (fun s => ↑(μ.toFun s)) (t.sup K) ≤ ∑ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K i)
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)
t : Finset ℕ
ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)
K' : ℕ → Set G
h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)
h2K' : ∀ (i : ℕ), K' i ⊆ (SetLike.coe ∘ U) i
h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent (U i)
n k : ℕ+
⊢ ↑n ≤ ↑k ↔ n ≤ k
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
⊢ M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
hA : A.Nonempty
⊢ ↑A.card * (↑A.card + ↑P.parts.card) ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2 * ↑P.parts.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
f : α → β
g : γ → α
Cf : ContinuousAt f (⨆ i, g i)
Mf : Monotone f
H : BddAbove (range g)
⊢ sSup (range (f ∘ fun i => g i)) = sSup (range fun i => f (g i))
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ ↑(Real.log x) = Complex.log ↑x
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p = ∑ i ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), Polynomial.C (p.coeff i) * Polynomial.X ^ i
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
hd : Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on s)
hm : ∀ (i : ι), MeasureTheory.NullMeasurableSet (s i) μ
⊢ μ.restrict (⋃ i, s i) = MeasureTheory.Measure.sum fun i => μ.restrict (s i)
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
⊢ (mulHom A).flip One.one = AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)
R : Type u
CommRing R
S : Type u
CommRing S
P : Type u
CommRing P
f : R →+* S
g : S →+* P
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
V : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top S)
W : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top P)
hUV : ∀ p ∈ V, (PrimeSpectrum.comap f) p ∈ U
hVW : ∀ p ∈ W, (PrimeSpectrum.comap g) p ∈ V
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.comap (g.comp f) U W ⋯ =
  (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.comap g V W hVW).comp (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.comap f U V hUV)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
e : X ≅ Y
Q : CategoryTheory.Subobject Y
⊢ (CategoryTheory.Subobject.mapIsoToOrderIso e).symm Q = (CategoryTheory.Subobject.map e.inv).obj Q
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
f : ℕ → L
hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n
hintsum : IsIntegral R (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
r : R
hr : (algebraMap R K) r = (Algebra.norm K) (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
⊢ p ^ n.succ ∣ Q.coeff 0 ^ n.succ * ((-1) ^ (n.succ * n) * (minpoly R B.gen).coeff 0 ^ n)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
f : Π₀ (i : ι), α i
t : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
⊢ (f.support ⊆ s ∧ ∀ i ∈ s, f i ∈ t i) → ∃ a ∈ s.pi t, { toFun := fun f => DFinsupp.mk s fun i => f ↑i ⋯, inj' := ⋯ } a = f