ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
⊢ ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t))) t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s ε : ℝ
⊢ IsOpen (FDerivMeasurableAux.B f K r s ε)
n m : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
G : Fin2 n → TypeVec.{u} m → Type u
α : TypeVec.{u} m
x : MvQPF.Comp F G α
⊢ MvQPF.Comp.mk x.get = x
I : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : (i : I) → C i ⥤ D
i : I
X Y✝¹ : C i
f : X ⟶ Y✝¹
Y✝ : C i
g : Y✝¹ ⟶ Y✝
⊢ { obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (SigmaHom.mk f ≫ SigmaHom.mk g) = { obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (SigmaHom.mk f) ≫ { obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (SigmaHom.mk g)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
q : Submodule R M₂
⊢ Submodule.comap (LinearMap.snd R M M₂) q = ⊤.prod q
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
self : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans F G
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.naturality (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (self.app a) (G.mapComp f g)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapComp f g) (self.app c))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (F.map g) (self.app c)).hom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (self.naturality g).hom)
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (self.app b) (G.map g)).inv
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (self.naturality f).hom (G.map g))
            (CategoryTheory.Bicategory.associator (self.app a) (G.map f) (G.map g)).hom))))
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ Multiset.filter p s + Multiset.filter (fun a => ¬p a) s = s
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
⊢ f.coeff ((revAt f.natDegree) 1) = if f.natDegree = 0 then 0 else f.coeff (f.natDegree - 1)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Finset P
s : R
hs1 : s ∈ S
hs : ∀ a ∈ I, IsInteger R (↑⟨s, hs1⟩ • a)
⊢ IsFractional S (span R ↑I)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_12
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
H : s.Nonempty
e : E
r : ℝ
⊢ (s.sup' H p).ball e r = s.inf' H fun i => (p i).ball e r
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
⊢ A.rank = finrank R ↥(LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A))
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a ≤ b
h' : c < d
⊢ Set.Ioc a d ∈ 𝓝ˢ (Set.Ioc b c)
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
⊢ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source = (Z.localTriv i).source
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ rexp (a * (log x / (b * rexp (log x) + c))) = x ^ (a / (b * x + c))
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
⊢ (iterateFrobeniusEquiv R p n).symm = (frobeniusEquiv R p).symm ^ n
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : IsHausdorff I N
f : M →ₗ[R] N
g : Hausdorffification I M →ₗ[R] N
hg : g ∘ₗ of I M = f
x✝ : Hausdorffification I M
x : M
⊢ g ((of I M) x) = (lift I f) ((of I M) x)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ eval 1 ((⇑derivative)^[n - ν] (bernsteinPolynomial R n ν)) = (-1) ^ (n - ν) * eval (↑ν + 1) (ascPochhammer R (n - ν))
α : Type u_4
s : Set α
Fintype ↑s
⊢ s.toFinset.card = Fintype.card ↑s
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁸ : Category.{w, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁷ : Category.{w', u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A A' B B' : C
inst✝⁶ : HasBinaryProduct A B
inst✝⁵ : HasBinaryProduct A' B'
inst✝⁴ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝³ : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝² : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))
inst✝¹ : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)
inst✝ : IsIso (prodComparison F A B)
⊢ inv (prodComparison F A B) ≫ F.map prod.snd = prod.snd
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝² : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
β✝¹ : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice β✝¹
β✝ : Type u_6
β : ι → Type u_7
⊢ (insert i s).sigma t = Sigma.mk i '' t i ∪ s.sigma t
x y : ℝ
⊢ Real.cos (x - y) = Real.cos x * Real.cos y + Real.sin x * Real.sin y
α : Type u_1
LE α
s t : UpperSet α
⊢ (s ⊔ t).compl = s.compl ⊔ t.compl
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
h : ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
x : ↥U
V₁ : Opens ↑X
hxV₁ : ↑x ∈ V₁
s₁ : (forget C).obj (F.presheaf.obj (op V₁))
hs₁ : (germ G.val ⟨↑x, hxV₁⟩) ((f.val.app (op V₁)) s₁) = (G.presheaf.germ x) t
V₂ : Opens ↑X
hxV₂ : ↑x ∈ V₂
iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁
iV₂U : V₂ ⟶ U
heq : (G.presheaf.map iV₂V₁.op) ((f.val.app (op V₁)) s₁) = (G.presheaf.map iV₂U.op) t
⊢ (f.val.app (op V₂)) ((F.val.map iV₂V₁.op) s₁) = (G.val.map iV₂U.op) t
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R
z : ↥N
eq₁ : ↑z * (algebraMap R S) x = ↑z * (algebraMap R S) y
z' : R
s : ↥M
eq₂ : ↑z * (algebraMap R S) ↑(z', s).2 = (algebraMap R S) (z', s).1
⊢ ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
self : M ≃ₘ^n⟮I, I'⟯ M'
⊢ ContMDiff I I' n ⇑self.toEquiv
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α✝
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α✝
α : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → Ioo x y ⊆ s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y
⊢ insert x (insert y (Ioo x y)) ⊆ s
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
s : Set M
f : L.Hom M N
⊢ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun (⇑f '' s) =
  FirstOrder.Language.Substructure.map f ((FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s)
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
η : ↥(rootsOfUnity ⟨n, hn⟩ K)
⊢ ↑↑η • rootOfSplitsXPowSubC hn a L = η • rootOfSplitsXPowSubC hn a L
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0
v : α → ℝ
x : ℝ≥0
y : ℝ
hx : Filter.Tendsto u f (𝓝 x)
hy : Filter.Tendsto v f (𝓝 y)
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
⊢ Filter.Tendsto (fun a => u a ^ v a) f (𝓝 (x ^ y))
α : Type u_3
DivisionRing α
CharZero α
m n : ℚ
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
Ring B
Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
⊢ (minpoly A x).Monic
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : M → E'
g : M → F'
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n f s x
hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F') n g s x
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E' × F') n (fun x => (f x, g x)) s x
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.card.ord = o
⊢ ∃ a, (Cardinal.aleph' a).ord = o
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁶ : DecidableEq R
inst✝⁵ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝⁴ : NormalizationMonoid R
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝¹ : DecidableEq (Associates (Ideal R))
inst✝ : (p : Associates (Ideal R)) → Decidable (Irreducible p)
I J : Ideal R
hJ : J.IsPrime
hJ₀ : J ≠ ⊥
hI : Associates.mk I ≠ 0
hJ' : Irreducible (Associates.mk J)
⊢ ¬I ≤ J ^ ((Associates.mk J).count (Associates.mk I).factors + 1)
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : MultilinearMap 𝕜 E G
C : ℝ
H : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
⊢ Continuous ⇑f
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x : P
hs : IsClosed (Subtype.val ⁻¹' s)
⊢ intrinsicClosure 𝕜 s = s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L✝ L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
L : G ≃L[𝕜] G'
f : E → F →L[𝕜] G
x : E
⊢ fderiv 𝕜 (fun x => (↑L).comp (f x)) x = (↑((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F).arrowCongr L)).comp (fderiv 𝕜 f x)
M : Type u_1
inst✝² : Semigroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r
s : Set M
snemp : s.Nonempty
s_compact : IsCompact s
s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s
M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }
this✝² : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯
this✝¹ : CompactSpace M'
this✝ : Nonempty M'
this : ∀ (p : M'), Continuous fun x => x * p
⊢ ∃ m ∈ s, m * m = m
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h : I ≤ J
k : ℕ
⊢ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k I ≤ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k J
R : Type u
CommRing R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
x : ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hx : x ∈ U
⊢ ⇑(AlgebraicGeometry.StructureSheaf.openToLocalization R U x hx) = fun s => ↑s ⟨x, hx⟩
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
r : N → N → Prop
ContravariantClass M N μ r
IsTrans N r
m : M
a b c : N
ab : r (μ m a) b
rl : r (μ m b) (μ m c)
⊢ r (μ m a) c
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ angle x (r • y) = angle x (-y)
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E' 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E'
h_ae_eq_f : ↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜) ⋯) =ᶠ[ae μ] fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜
⊢ ∫ (a : α) in s, ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜 ∂μ - ∫ (a : α) in s, ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜 ∂μ = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
InnerProductSpace 𝕜 G
FiniteDimensional 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 G
A : F →ₗ[𝕜] G
B : E →ₗ[𝕜] F
⊢ LinearMap.adjoint (A ∘ₗ B) = LinearMap.adjoint B ∘ₗ LinearMap.adjoint A
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞
s : Finset α
⊢ ∑ x ∈ s, f x ≤ ∑' (x : α), f x
α : Type u_1
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
s : Finset α
⊢ Finset.filter q (Finset.filter p s) = Finset.filter p (Finset.filter q s)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ (let c' := CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) ⋯; let i' := isCokernelEpiComp i (retraction f) ⋯; let i'' := isColimitCoforkOfCokernelCofork i'; (splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C ⋯ i'').section_) ≫ Cofork.π c = 𝟙 c.pt
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (ρ_ X).hom = (λ_ X).hom
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ 𝓤 α = Prod.swap <$> 𝓤 α
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁
b : β₂
⊢ Finset.sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ (Sum.inl a) (Sum.inr b) = (g₁ a b).disjSum (g₂ a b)
d : Nat
n : Int
a : Nat
d0 : d ≠ 0
a0 : a ≠ 0
⊢ normalize (↑a * n) (a * d) ⋯ = normalize n d d0
n : ℕ
⊢ [FermatLastTheoremWith ℕ n, FermatLastTheoremWith ℤ n, FermatLastTheoremWith ℚ n].TFAE
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
g : β → γ
a : Filter α
b : Filter β
c : Filter γ
hfg : a ≤ comap (g ∘ f) c
hg : comap g c ≤ b
⊢ a ≤ comap f b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖b (f a) (g a)‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ eLpNorm' f q μ * eLpNorm' g r μ
⊢ 2 • ↑(-π / 2) = ↑π
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
c : ℝ≥0∞
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂c • μ = c.toReal • ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ
α : Type u
β : Type v
l : List α
k : Nat
t : List α
⊢ l.eraseIdx k <+: (l ++ t).eraseIdx k
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n > 0
⊢ m / n = (m - m % n) / n
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝² : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this✝ : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))
this : ∀ (X : C), IsIso (Gl.map (adj.unit.app X))
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
hc'' : ∀ (j : J), α.app j ≫ Gl.map (c.ι.app j) = c'.ι.app j ≫ f
⊢ Nonempty (IsColimit c')
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
a : α
s : Set α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
⊢ (∫ (x : α), f x ∂if a ∈ s then Measure.dirac a else 0) = if a ∈ s then f a else 0
α : Type u_5
β : Type u_6
MonoidWithZero α
MulZeroOneClass β
MulActionWithZero α β
IsScalarTower α β β
SMulCommClass α β β
⊢ ∀ (a : α × β), smulMonoidWithZeroHom a = (↑smulMonoidHom).toFun a
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ
val✝ : Fintype Rˣ
a : Rˣ
⊢ (star χ) ↑a = χ⁻¹ ↑a
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
hinj : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective f.mapEdgeSet
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
ϕ : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ ϕ.autCongr.symm = ϕ.symm.autCongr
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
T : L.Theory
g : L.Equiv M N
M ⊨ T
⊢ N ⊨ T
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
IsDomain R
NeZero ↑n
⊢ (Polynomial.cyclotomic n R).roots = (primitiveRoots n R).val
α : Type u_1
LE α
⊢ Function.Injective WithBot.some
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
n m : ℕ
h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a
h_lt : n < m
this : succ (succ^[n] a) = succ^[n + 1] a
h_le : n + 1 ≤ m
⊢ succ^[n + 1] a ≤ succ^[m] a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
hG : IsSheaf J G
⊢ Presieve.IsSheaf J (presheafHom F G)
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
g : ι → M → F
hg : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ tsupport ⇑(f i), SmoothAt I 𝓘(ℝ, F) (g i) x
⊢ Smooth I 𝓘(ℝ, F) fun x => ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : (∡ p₁ p₂ p₃).sign ≠ 0
⊢ p₁ ≠ p₂
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
n : ℕ
CompleteSpace E
I : BoxIntegral.Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
hfc : ContinuousOn f (BoxIntegral.Box.Icc I)
x : Fin (n + 1) → ℝ
hxI : x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I
a : E
ε : ℝ
h0 : 0 < ε
hε : ∀ y ∈ BoxIntegral.Box.Icc I, ‖f y - a - f' (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖
c : ℝ≥0
hc : I.distortion ≤ c
⊢ ‖(∏ j : Fin (n + 1), (I.upper j - I.lower j)) • f' (Pi.single i 1) -
      (BoxIntegral.integral (I.face i) ⊥ (f ∘ i.insertNth (I.upper i)) BoxIntegral.BoxAdditiveMap.volume -
        BoxIntegral.integral (I.face i) ⊥ (f ∘ i.insertNth (I.lower i)) BoxIntegral.BoxAdditiveMap.volume)‖ ≤
  2 * ε * ↑c * ∏ j : Fin (n + 1), (I.upper j - I.lower j)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ ↑(yn a1 (n + 2)) + ↑(yn a1 n) = ↑(2 * a) * ↑(yn a1 (n + 1))
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : 0 < ad
hbd : 0 < bd
hgcd : 0 < gcd
⊢ (a < b) = (1 / gcd * (bd * a') < 1 / gcd * (ad * b'))
o : Ordinal.{u_1}
⊢ o < ω ↔ ∃ n, o = ↑n
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ
⊢ (⨅ i, ↑(f i)).toNat = ⨅ i, f i
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
p : ℕ
ExpChar K p
IsPRadical (algebraMap K L) p
⊢ IsPurelyInseparable K L
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
UniformSpace α
CompleteSpace α
f : β → α
⊢ Multipliable f ↔ CauchySeq fun s => ∏ b ∈ s, f b
y : ℝ
x : ℝ≥0∞
hy : 0 < y
⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ y) x
k m n : ℕ+
⊢ m.Coprime k → n.Coprime k → (m * n).Coprime k
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : (m : M) → Decidable (m ≠ 0)
i : ι
m : M
a✝ : ι
⊢ (single i m).toFinsupp a✝ = (Finsupp.single i m) a✝
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B
this✝ : (𝓝[A] y).NeBot
limy : Tendsto f (𝓝[A] y) (𝓝 (φ y))
hVy : V ∈ 𝓝 y
this : V ∩ A ∈ 𝓝[A] y
⊢ φ y ∈ V'
G₀ : Type u_8
CancelMonoidWithZero G₀
p : G₀
⊢ IsIdempotentElem p ↔ p = 0 ∨ p = 1
m : Type u_2
R : Type u_7
α : Type v
Fintype m
Monoid R
Mul α
AddCommMonoid α
DistribMulAction R α
SMulCommClass R α α
x : R
v w : m → α
⊢ v ⬝ᵥ x • w = x • (v ⬝ᵥ w)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
W : Submodule R M
m : ↥W
⊢ (B.restrict W) m = (B ↑m).domRestrict W
M : Type u_1
Mul M
x : M
⊢ x ∉ ⊥
M : Type u_10
N : Type u_11
Mul M
Mul N
self : M →ₙ* N
x y : M
⊢ self.toFun (x * y) = self.toFun x * self.toFun y
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
F✝ : LaxFunctor B C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : LaxFunctor B C
G : LaxFunctor C D
a✝ b✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
⊢ G.map₂ (F.map₂ (ρ_ f).inv) = (ρ_ (G.map (F.map f))).inv ≫ G.map (F.map f) ◁ (G.mapId (F.obj b✝) ≫ G.map₂ (F.mapId b✝)) ≫ G.mapComp (F.map f) (F.map (𝟙 b✝)) ≫ G.map₂ (F.mapComp f (𝟙 b✝))
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x y z : G
H : ∀ (a : G), x * a = y ↔ a = z
⊢ (MonoidAlgebra.single x r * f) y = r * f z