ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y'✝ : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i' : B✝ ⟶ B'
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p'✝ : Y✝ ⟶ Y'✝
A B X Y X' Y' : C
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
p' : X' ⟶ Y'
e : Arrow.mk p ≅ Arrow.mk p'
hip : HasLiftingProperty i p
⊢ HasLiftingProperty i p'
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
S : Set α
hS : IsPreconnected S
T : Set β
DiscreteTopology ↑T
f : α → β
hc : ContinuousOn f S
hTm : Set.MapsTo f S T
x y : α
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
⊢ f x = f y
R : Type u
CommRing R
M : Submonoid R
A : Type v
CommRing A
Algebra R A
B : Type w
CommRing B
Algebra R B
Rₚ : Type u'
CommRing Rₚ
Algebra R Rₚ
IsLocalization M Rₚ
Aₚ : Type v'
CommRing Aₚ
Algebra R Aₚ
Algebra A Aₚ
IsScalarTower R A Aₚ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid A M) Aₚ
Bₚ : Type v'
CommRing Bₚ
Algebra R Bₚ
Algebra B Bₚ
IsScalarTower R B Bₚ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid B M) Bₚ
Algebra Rₚ Aₚ
Algebra Rₚ Bₚ
IsScalarTower R Rₚ Aₚ
IsScalarTower R Rₚ Bₚ
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑(IsLocalization.mapₐ M Rₚ Aₚ Bₚ f)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
m : Type u_3
Fintype m
DecidableEq m
b : Basis m R S
x y : S
⊢ (Algebra.leftMulMatrix b) x *ᵥ ⇑(b.repr y) = ⇑(b.repr (x * y))
m n : Nat
⊢ Int.negSucc m + Int.negSucc n = Int.negSucc (m + n).succ
n p : ℕ
hn : n.factorization p ≠ 0
⊢ p ∣ n
X : Type u
α : Type u_1
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
f : α → X
b : Filter α
b.NeBot
hs : IsClosed s
hf : Filter.Tendsto f b (𝓝 x)
h : ∀ᶠ (x : α) in b, f x ∈ s
⊢ x ∈ s
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
NoZeroDivisors R
p : ℕ
hc : CharP R p
hp : 2 ≤ p
⊢ Nat.Prime p
𝓕 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
FunLike 𝓕 E F
AddMonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ UniformContinuous ⇑f
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
x y : P
⊢ x -ᵥ (Equiv.pointReflection x) y = y -ᵥ x
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
p q : ℕ
inst✝ : CharP K p
h : ↑q = 0
⊢ 1 * (X ^ q - X) + (X ^ q - X - 1) * (0 * X ^ (q - 1) - 1) = 1
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ MonoidHom.mker (Monoid.Coprod.swap M N) = ⊥
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
K : Type u_4
Field K
Module K M
Algebra R K
D : Derivation R K M
a b : K
⊢ D (a / b) = b⁻¹ ^ 2 • (b • D a - a • D b)
x : ℝ*
h0 : x ≠ 0
⊢ x.Infinite ↔ x⁻¹.Infinitesimal
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
f : F[X]
hsep : f.Separable
hirr : Irreducible f
IsPurelyInseparable F E
⊢ Irreducible (Polynomial.map (algebraMap F E) f)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i
⊢ x ≤ update x i a ↔ x i ≤ a
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (1 < ↑n / ↑d) = true
⊢ 0 < Real.log (↑n / ↑d)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
F.PreservesLeftHomologyOf S₁
F.PreservesLeftHomologyOf S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap (F.mapShortComplex.map φ))
    (S₂.mapLeftHomologyIso F).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S₁.mapLeftHomologyIso F).hom
    (F.map (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap φ))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : β), f a ∂Measure.map g μ = ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ
K : Type u_1
Ring K
NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
Fintype ↥G
Decidable (G = ⊥)
⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x = if G = ⊥ then 1 else 0
R : Type u_1
CommSemiring R
Module R (Additive ℤˣ)
s : ℤˣ
x y : R
⊢ s ^ (x + y) = s ^ x * s ^ y
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ
hγ : IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x + dt) v
⊢ IsIntegralCurve γ v
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
⊢ ¬∃ n, ↑↑p ∣ hζ.toInteger - ↑n
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
s t : SetSemiring A
⊢ span R (SetSemiring.down (s * t)) = span R (SetSemiring.down s) * span R (SetSemiring.down t)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf
hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.obj X)
y : ↑(M₂.presheaf.obj X)
Y : C
p : Y ⟶ Opposite.unop X
x : (forget AddCommGrp).obj (M₁.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hx : (f.hom.app (Opposite.op Y)) x = (M₂.presheaf.map p.op) y
⊢ (N.presheaf.map p.op) ((φ.app X) (r • y)) = (N.presheaf.map p.op) (r • (φ.app X) y)
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
n : ℕ
b : β
hb : b ∈ B
⊢ IsAddFreimanHom n A B fun x => b
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
⊢ LSeries.term f s 0 = 0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x✝ y✝ : L
⊢ ∑ x ∈ Finset.univ.attach, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑↑x) • (↑x x✝ * ↑x y✝) = ((∑ χ : Weight K L M, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (Weight.toLinear K L M χ).smulRight (Weight.toLinear K L M χ)) x✝) y✝
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
p : ℕ
hp : CharP R p
hq : ExpChar R 1
⊢ p = 0
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i < g i
⊢ Cardinal.sum f < Cardinal.prod g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
⊢ CategoryTheory.Limits.BinaryFan.snd c.toCone = c.snd
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
hba : b ≤ a
h : a < b + c
⊢ a - b < c
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrichotomous α r
h : IsAntichain r s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r b a
⊢ a = b
z : ℂ
h : ((∀ (k : ℤ), ↑z.re ≠ (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2) ∧ ∀ (l : ℤ), ↑z.im * I ≠ (2 * ↑l + 1) * ↑π / 2) ∨ (∃ k, ↑z.re = (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2) ∧ ∃ l, ↑z.im * I = (2 * ↑l + 1) * ↑π / 2
⊢ z = ↑z.re + ↑z.im * I
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : Type u_2
Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
j : n
⊢ A.mulVec ((WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j)) =
  hA.eigenvalues j • (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m n : ℕ
a : R
⊢ (if single () m = single () n then a else 0) = if m = n then a else 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
G.LocallyFinite
n : ℕ
u v : V
⊢ ↑(G.finsetWalkLength n u v) = {p | p.length = n}
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
x : α
n k : ℕ
hn : k < n
hk : k < l.length
hk' : optParam (k < (insertNth n x l).length) ⋯
⊢ (insertNth n x l).get ⟨k, hk'⟩ = l.get ⟨k, hk⟩
f : Char → Bool
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝
⊢ x✝.any f = x✝.toString.data.any f
α : Sort u
Countable α
⊢ ∃ f, Function.Injective f
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F G : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
α : CategoryTheory.BasedNatTrans F G
a : 𝒳.obj
S : 𝒮
ha : 𝒳.p.obj a = S
⊢ 𝒴.p.IsHomLift (CategoryTheory.CategoryStruct.id S) (α.app a)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
e : X ≃ᵢ Y
⊢ dimH univ = dimH univ
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Reflexive ManyOneReducible
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
⊢ a - b + (b - c) = a - c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
n : ℕ∞
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ n norm x
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
n : ℕ
f : R[A]
a b : A
⊢ OrderDual.ofDual (degt (a + b)) ≤ OrderDual.ofDual (degt a + degt b)
α : Type u_1
β : α → Type u_4
f : (a : α) × β a → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (p : (a : α) × β a), f p = ∑' (a : α) (b : β a), f ⟨a, b⟩
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h''t : μ t ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
εpos : 0 < ε
h't : μ t = 0
⊢ ∀ᶠ (b : ℝ) in 𝓝[>] 0, μ (s ∩ ({x} + b • t)) / μ ({x} + b • t) < ε
X : Preord
a : ↑((Preord.dual ⋙ preordToPartOrd).obj X)
⊢ (preordToPartOrdCompToDualIsoToDualCompPreordToPartOrd.inv.app X) a = (OrderIso.dualAntisymmetrization ↑X).symm a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a < a * b ↔ a * 1 < a * b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : G.obj A ⟶ X
v : G.obj B ⟶ Y
sq : CommSq u (G.map i) p v
adj : G ⊣ F
⊢ (adj.homEquiv A X) u ≫ F.map p = i ≫ (adj.homEquiv B Y) v
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h_nhds : ∀ (a : α), (𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ s ∧ a ∈ t) id
x : α
⊢ 𝓝 x = 𝓝 x
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
x : ℝ
⊢ ∃ t, (∀ y ∈ t, ↑x < y.1 * y.2) ∧ IsOpen t ∧ (⊤, ⊤) ∈ t
R : Type u
Zero R
⊢ Tropical.trop 0 = 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl L
h : K ⊆ L
D : G.ComponentCompl K
⊢ hom h C = D ↔ ¬Disjoint ↑C ↑D
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K L : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
e : c.Embedding c'
e.IsRelIff
i : ι
⊢ (HomologicalComplex.restrictionMap φ e).f i = φ.f (e.f i)
p : ℂ × ℂ
hp : p.1 ∈ slitPlane
A : p.1 ≠ 0
this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => cexp (log x.1 * x.2)
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => cexp (log x.1 * x.2)) (p.1 ^ p.2 • (p.2 / p.1) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + p.1 ^ p.2 • log p.1 • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ
⊢ f (-x + n • c) = ↑n.negOnePow • f (-x)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
n : ℕ
hn : Squarefree n
⊢ ∏ x ∈ n.primeFactors, (f x + g x) = (f * g) n
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ⊤ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
L : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L' : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
Archimedean α
x y : α
h : ∀ (q : ℚ), ↑q < x ↔ ↑q < y
⊢ x = y
α : Type u_1
F : Type u_3
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
hq : 0 ≤ q
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f q μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm' g q μ
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ↪o β
he : IsUpperSet (Set.range ⇑e)
a : α
⊢ ⇑e '' Set.Ioi a = Set.Ioi (e a)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ (LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry o.rightAngleRotationAux₂ (-o.rightAngleRotationAux₁) ⋯ ⋯) ((LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry o.rightAngleRotationAux₂ (-o.rightAngleRotationAux₁) ⋯ ⋯) x) = -x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : μ.OuterRegular
k : Set α
hk : IsCompact k
⊢ μ (closure k) ≤ μ k
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
J.WEqualsLocallyBijective A
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
φ : P ⟶ Q
⊢ CategoryTheory.Sheaf.IsLocallyInjective ((CategoryTheory.presheafToSheaf J A).map φ) ↔
  CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
⊢ G.minDegree ≤ G.degree v
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
CategoryTheory.Limits.HasLimit (E ⋙ F)
CategoryTheory.Limits.HasLimit (F ⋙ G)
h : CategoryTheory.Limits.HasLimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
⊢ G.map (CategoryTheory.Limits.limit.pre F E) ≫ CategoryTheory.Limits.limit.post (E ⋙ F) G =
  CategoryTheory.Limits.limit.post F G ≫ CategoryTheory.Limits.limit.pre (F ⋙ G) E
x : ℂ
n : ℕ
⊢ abs (x ^ (↑n)⁻¹) = abs (x ^ ↑(↑n)⁻¹)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Ordinal.{u_4}
⊢ 0 * c % 0 = 0
α : Type u_1
X : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Nonempty X
MeasurableSpace X
MeasurableSpace.CountablySeparated X
f : α → α
g : α → X
h : PreErgodic f μ
hgm : Measurable g
hg_eq : g ∘ f = g
⊢ ∃ c, g =ᵐ[μ] Function.const α c
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ (cmp a b).swap = cmp b a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
⊢ X.restrictTopIso.hom = X.ofRestrict ⋯
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
⊢ (∃ a a_1, (σ.IsCycle ∧ σ = a_1) ∧ (Finset.card ∘ support) a_1 = a) ↔ σ.IsCycle
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
n : ℕ
_hn : n ∈ f.support
⊢ (fun n a => C a * X ^ n) n (f.coeff n) ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
R : Type u_3
n : Type w
Fintype n
DecidableEq n
CommRing R
Invertible 2
Q : QuadraticMap R (n → R) R
⊢ Q.toMatrix'.IsSymm
α : Type u_1
ι : Type u_4
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
⊢ a ∈ Filter.limsup s 𝓕 ↔ ∃ᶠ (i : ι) in 𝓕, a ∈ s i
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.nextCoeffUp 0 = 0
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a + b * 2 < a + a
⊢ b * 2 ≤ a
R : Type u
S : Type v
K✝ : Type w
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : IsDomain K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f : L[X]
hf : Irreducible f
this : Fact (Irreducible f)
h : f ≠ 0
h2 : IsIntegral K (AdjoinRoot.root f)
⊢ ∃ g, g.Monic ∧ Irreducible g ∧ f ∣ Polynomial.map (algebraMap K L) g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : Set α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
⊢ c * (μ.restrict s) univ < ⊤
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ sᶜ = ∅ ↔ s = Finset.univ
n : ℕ
⊢ (n + 0).descFactorial 0 = (n + 1).ascFactorial 0
α : Type u_2
Preorder α
TopologicalSpace α
BoundedLENhdsClass α
a : α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
u : ℕ → α
h : Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 a)
⊢ BddAbove (Set.range u)
α : Type u
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : FinCategory J
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderTop α
x y : α
⊢ x ⊓ (y ⊓ ⊤) = x ⊓ y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z
b : α
h₀ : x = some b
b' : α
h₁ : b' ∈ y
⊢ b' ∈ x
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
M N : PresheafOfModules R
φ : M ⟶ N
x : ↑((evaluation R X).obj M)
⊢ ((evaluation R X).map φ ≫ restrictionApp f N) x = (restrictionApp f M ≫ (evaluation R Y ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map φ) x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
g : X → Y
h : f =ᶠ[𝓝 x] g
⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt g x
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
⊢ x ∉ s → (y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y))
α : Type u_2
DecidableEq α
Group α
t : Finset α
a : α
⊢ Finset.image (fun b => a * b) t = t.preimage (fun b => a⁻¹ * b) ⋯
G : Type u_10
Group G
a b : G
⊢ (Equiv.divRight a) b = b / a
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
A : Set G
hA : MeasurableSet A
a✝ : μ' A < ⊤
h3A : ν' A⁻¹ < ⊤
h1 : μ' s * ∫⁻ (y : G), A⁻¹.indicator 1 y ∂ν' = ∫⁻ (x : G), ν' ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * A⁻¹.indicator 1 x⁻¹ ∂μ'
⊢ ∫⁻ (x : G) in A, ν' ((fun y => y * x) ⁻¹' s) ∂μ' ≠ ⊤
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C
⊢ (M.X ⊗ N.X) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (tensor_μ C (M.X, N.X) (𝟙_ C, 𝟙_ C) ≫ (M.X ◁ M.one ⊗ N.X ◁ N.one)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (ρ_ (M.X ⊗ N.X)).hom
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (Set.Ico a b)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
ha : b * a = 1
x : M
⊢ ((fun b_1 => b * b_1) ∘ fun x => a * x) x = id x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SOppSide p₃ p₄
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = -(∡ p₁ p₃ p₂).sign
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : OrderClosedTopology β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
a : α
hf : Measurable f
h_zero : 0 = ⊥
⊢ ⨆ n, ↑(approx i f n) a = ⨆ k, ⨆ (_ : i k ≤ f a), i k
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → G
f : α → G
bound : ι → α → ℝ
hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a
bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a
bound_integrable : Integrable (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a)
hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a
hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᶠ[ae μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a
hF_integrable : ∀ (n : ι), Integrable (F n) μ
⊢ Tendsto (fun s => ∫ (a : α), ∑ i ∈ s, F i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), f a ∂μ))
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : E
hx : x ∈ q
⊢ (p.linearProjOfIsCompl q h) x = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X Y : CategoryTheory.SheafOfTypes J
f g : X ⟶ Y
w : f.val = g.val
⊢ f = g
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ s : Set α
h : ∀ (t t' : Set α), IsClosed t → IsClosed t' → s ⊆ t ∪ t' → (s ∩ t).Nonempty → (s ∩ t').Nonempty → (s ∩ (t ∩ t')).Nonempty
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : y ∈ v
h' : s ⊆ uᶜ ∪ vᶜ
⊢ False
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
e : σ ≃ τ
x✝ : Perm τ
⊢ (rename ⇑((e.trans x✝).trans e.symm)) φ = φ
ι : Type u_1
α : Type u_2
DivisionSemiring α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ (∑ i ∈ s, f i) / a = ∑ i ∈ s, f i / a
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ x₂ x₃ : X
p₀ q₀ : Path x₀ x₁
p₁ q₁ : Path x₁ x₂
F : p₀.Homotopy q₀
G : p₁.Homotopy q₁
x : ↑I × ↑I
⊢ (if ↑x.2 ≤ 1 / 2 then (F.eval x.1).extend (2 * ↑x.2) else (G.eval x.1).extend (2 * ↑x.2 - 1)) = if h : ↑x.2 ≤ 1 / 2 then (F.eval x.1) ⟨2 * ↑x.2, ⋯⟩ else (G.eval x.1) ⟨2 * ↑x.2 - 1, ⋯⟩
cont : Type u_1
idx : Type u_2
elem : Type u_3
dom : cont → idx → Prop
GetElem? cont idx elem dom
LawfulGetElem cont idx elem dom
c : cont
i : idx
h : dom c i
Decidable (dom c i)
⊢ getElem? c i = some (getElem c i h)
ι : Type u_2
Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
hs : BddBelow s
⊢ closure ↑(upperClosure s) = ↑(upperClosure (closure s))
α β : Type u
s : Set α
f : ↑(ULift.down ⁻¹' s) → ULift.{?u.6966, u} ↑s := fun x => { down := s.restrictPreimage ULift.down x }
this : Bijective f
⊢ ↑(ULift.down ⁻¹' s) ≃ ULift.{v, u} ↑s
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
s : Set (X × Y)
tx : Set X
ty : Set Y
⊢ s ∈ 𝓝[tx ×ˢ ty] (x, y) ↔ ∃ u ∈ 𝓝[tx] x, ∃ v ∈ 𝓝[ty] y, u ×ˢ v ⊆ s
α : Type u_1
Lattice α
IsModularLattice α
x y z : α
hxy : x < y
hinf : y ⊔ z ≤ x ⊔ z
⊢ x ⊓ z < y ⊓ z
α : Type u_1
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
NormedField 𝕜
NormedField 𝕜'
l : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : f =Θ[l] g
n : ℕ
⊢ (fun x => f x ^ n) =Θ[l] fun x => g x ^ n
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ s ⋖ t ↔ ∃ a, ∃ (ha : a ∉ s), Finset.cons a s ha = t