ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁸ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁴ : G.IsContinuous J K
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify K A
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A
adj₁ : (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op ⊣ G.op.ran := G.op.ranAdjunction A
adj₂ : presheafToSheaf J A ⊣ sheafToPresheaf J A := sheafificationAdjunction J A
adj₃ : presheafToSheaf K A ⊣ sheafToPresheaf K A := sheafificationAdjunction K A
adj₄ : G.sheafPushforwardContinuous A J K ⊣ G.sheafPushforwardCocontinuous A J K := G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K
eq : adj₁.unit.app F ≫ G.op.ran.map (adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F)) ≫ G.op.ran.map ((sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F)) = adj₃.unit.app F ≫ (sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F))
⊢ (adj₁.homEquiv ((𝟭 (Dᵒᵖ ⥤ A)).obj F) ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj ((presheafToSheaf K A).obj F)).val).symm (adj₃.unit.app F ≫ (sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F))) = (adj₁.homEquiv ((𝟭 (Dᵒᵖ ⥤ A)).obj F) ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj ((presheafToSheaf K A).obj F)).val).symm ((adj₁.homEquiv F ((sheafToPresheaf J A).obj ((presheafToSheaf K A ⋙ G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F))) (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F)))
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
f : α →₀ M
a : α
b : M
⊢ f.update a b = Finsupp.erase a f + Finsupp.single a b
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α β : ↥(solvableByRad F E)
hβ : β ∈ F⟮α⟯
hα : solvableByRad.P α
⊢ solvableByRad.P β
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G
H : HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f'.comp ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s (iso x)
α : Type u
β : Type v
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
finj : Function.Injective f
l₁ l₂ : List α
⊢ List.map f (List.foldl List.erase l₁ l₂) = List.foldl (fun l a => l.erase (f a)) (List.map f l₁) l₂
a b c : ℤ
⊢ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ∧ a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 2 ↔ b ≠ 0 ∧ a ≠ 0 ∧ b ^ 4 + a ^ 4 = c ^ 2
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
f : E ≃L[ℝ] E
s : Set E
⊢ μ (⇑f ⁻¹' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det ↑↑f.symm| * μ s
n : ℕ
x : ℝ
⊢ ↑(n • x) = n • ↑x
α : Type u_3
Preorder α
SuccOrder α
self : IsSuccArchimedean α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ ∃ n, Order.succ^[n] a = b
α : Type u_1
MulZeroOneClass α
P : Prop
Decidable P
a : α
⊢ (if P then 1 else 0) * a = if P then a else 0
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
A : Type u_3
CommSemiring A
Algebra R A
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
ij : ι × ι
⊢ LinearMap.baseChange A (b.end ij) = (Algebra.TensorProduct.basis A b).end ij
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
g : β → γ
⊢ mapDomain (g ∘ f) v = mapDomain g (mapDomain f v)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ✝ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝³ : CommMonoid β
γ : Type u_6
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : OrderedCommMonoid γ
inst✝ : CovariantClass γ γ (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
s : Finset α
d : α
hd : d ∈ s
f : α → γ
hdf : 1 < f d
⊢ ∏ m ∈ s.erase d, f m < ∏ m ∈ insert d (s.erase d), f m
R✝ : Type u
M✝ M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹² : Ring R✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M'
inst✝⁶ : Module R✝ M₁
inst✝⁵ : Nontrivial R✝
inst✝⁴ : NoZeroSMulDivisors R✝ M✝
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Module.rank R M = 0 ↔ Module.IsTorsion R M
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List ι
f : M → N → P
hf : ∀ (a b : M) (c d : N), f (a * b) (c * d) = f a c * f b d
hf' : f 1 1 = 1
f₁ : ι → M
f₂ : ι → N
⊢ foldl (fun x y => x * f (f₁ y) (f₂ y)) 1 l = f (foldl (fun x y => x * f₁ y) 1 l) (foldl (fun x y => x * f₂ y) 1 l)
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : Subgroup G
inst✝ : H.FiniteIndex
⊢ ∃ n, H.index = p ^ n
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a.im.imJ = a.imJ
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
f : ((k : K) → Option (Γ k)) → (k : K) → Option (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n✝ : ℕ
⊢ ∀ (x : (k : K) → Option (Γ k)), { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ }.f (f x) = (({ f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ }.f x).1, f ({ f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ }.f x).2)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f g : L.Hom M N
⊢ f = g ↔ ∀ (x : M), f x = g x
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
⊢ z ⊓ y \ x = ⊥ ↔ z ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a : α
h : MonotoneOn f (Set.Ici a)
⊢ f '' Set.Ici a ⊆ Set.Ici (f a)
α : Type u_7
β : Type u_8
Sup α
Sup β
self : SupHom α β
a b : α
⊢ self.toFun (a ⊔ b) = self.toFun a ⊔ self.toFun b
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
I J : Ideal R
inst✝ : J.IsPrime
e : I ≤ J
⊢ ∃ m ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ OrderDual.ofDual p}, OrderDual.toDual J ≤ m ∧ ∀ z ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ p}, m ≤ z → z = m
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ y \ x = (x ⊓ y ⊔ x \ y) ⊓ y \ x
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α →CO β
⊢ f.comp (ContinuousOpenMap.id α) = f
α : Type u
ι : Type v
a : Cardinal.{u}
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
ht : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) = a
⊢ a ≤ #α
a b c : Cardinal.{u}
⊢ a ^< b ≤ c ↔ ∀ x < b, a ^ x ≤ c
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
m✝ : L'
⊢ m✝ ∈ f.idealRange ↔ m✝ ∈ LieIdeal.map f ⊤
α : Type u
β : Type v
M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set (α ⊕ β)
⊢ (M.sum N).Base B ↔ M.Base (Sum.inl ⁻¹' B) ∧ N.Base (Sum.inr ⁻¹' B)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
P : Type u₃
CommSemiring P
CharP P p
PerfectRing P p
f : P →+* R
g : P ≃+* Ring.Perfection R p
hfg : (Perfection.lift p P R) f = ↑g
⊢ PerfectionMap p f
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
⊢ m ∈ f' '' s
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
self : LocallyCompactPair X Y
f : X → Y
x : X
s : Set Y
⊢ Continuous f → s ∈ 𝓝 (f x) → ∃ K ∈ 𝓝 x, IsCompact K ∧ Set.MapsTo f K s
𝕜 : Type u_1
CommRing 𝕜
V : Type u_2
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
MeasurableSpace V
W : Type u_3
AddCommGroup W
Module 𝕜 W
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
⊢ VectorFourier.fourierIntegral e μ L (r • f) = r • VectorFourier.fourierIntegral e μ L f
α : Type u_1
f : α → α
x : α
m n : ℕ
g : α → α
hco : Function.Commute f g
hf : Function.IsPeriodicPt f m x
hg : Function.IsPeriodicPt g n x
⊢ Function.IsPeriodicPt (f ∘ g) (m.lcm n) x
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
σ : Equiv.Perm n
M : Matrix n n R
⊢ (M.submatrix (⇑σ) id).det = ↑↑(Equiv.Perm.sign σ) * M.det
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
h : f.IsUniversal
g : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map (h.lift g)) f.hom = g.hom
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
n : ℕ
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ Set.InjOn (fun x => ζ ^ x) ↑(range n)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (Polynomial.monomial n) (p.coeff n) + Polynomial.erase n p = p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
⊢ map (↑(f.extend I).symm) (𝓝[range ↑I] ↑(f.extend I) y) = 𝓝 y
α : Type u_1
CommSemiring α
E : LinearRecurrence α
u v : ℕ → α
hu : E.IsSolution u
hv : E.IsSolution v
⊢ u = v ↔ Set.EqOn u v ↑(Finset.range E.order)
n k : ℕ
⊢ (n + 1) ^ (k + 2) < (n + 1).ascFactorial (k + 2)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.HasTrivialRadical R L
⊢ LieAlgebra.center R L = ⊥
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), C ↑p ^ x * ((if P x then X x else 0) ^ p ^ (n - x) + (if ¬P x then X x else 0) ^ p ^ (n - x)) = ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), C ↑p ^ x * X x ^ p ^ (n - x)
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
V : ι → Type u_4
hc : Fintype.card ι < n
f : ⊤ ↪g completeMultipartiteGraph V
v w : Fin n
hn : v ≠ w
he : (Sigma.fst ∘ ⇑f) v = (Sigma.fst ∘ ⇑f) w
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
Y : D
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj.unit.app (G.obj Y)) (G.map (adj.counit.app Y)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.obj Y)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
h : μ ≪ ν
s : Set α
⊢ μ.restrict s ≪ ν.restrict s
α : Type u_2
g : Set (Set α)
s : Set α
⊢ s ∈ Filter.countableGenerate g ↔ ∃ S ⊆ g, S.Countable ∧ ⋂₀ S ⊆ s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b c d e : α
m n✝ : ℤ
a : ℕ
h : 0 < a
n : ℤ
⊢ 0 < ↑a ^ n
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
φ : { obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.obj (op X)
Y : Over (unop (op X))
⊢ ({ obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.map (𝟙 (op X)) φ).app (op Y) = (𝟙 ({ obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.obj (op X)) φ).app (op Y)
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
AddCommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableAdd₂ M
m : MeasurableSpace α
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)
⊢ Measurable fun a => ∑ i ∈ s, f i a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
φ₁ φ₂ : CategoryTheory.Aut X
h : φ₁.hom = φ₂.hom
⊢ φ₁ = φ₂
α : Sort u_1
HasEquiv α
p : α → Prop
s t : Subtype p
⊢ s ≈ t ↔ ↑s ≈ ↑t
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝓤 𝓥 𝓦 : X.OpenCover
f : 𝓤 ⟶ 𝓥
g : 𝓥 ⟶ 𝓦
j : 𝓤.J
⊢ (f ≫ g).app j = f.app j ≫ g.app (f.idx j)
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
⊢ (b.coord i) ((Finset.affineCombination k s ⇑b) w) = 0
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : ↑((inhomogeneousCochains A).X 1)
y : G × G
⊢ (A.ρ y.1) (x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y.2)) - x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm (y.1 * y.2)) + x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y.1) = (A.ρ ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y 0)) (x fun i => (piFinTwoEquiv fun x => G).symm y i.succ) + ∑ j : Fin (1 + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • x (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.NormalEpi f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.NormalEpi.g f = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪↑v, x⟫_𝕜 = ⟪↑v, y⟫_𝕜
⊢ x - y ∈ Kᗮ
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p n : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (-1) ^ p ^ n + 1 ^ p ^ n = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
I : Ideal R
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ map f I = ⊥ ↔ I = ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
f g : C(↑(spectrum R a), R)
hfg : f ≤ g
⊢ (cfcHom ha) f ≤ (cfcHom ha) g
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
p : α → Prop
x y : Subtype p
⊢ dist x y = dist ↑x ↑y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ t.card ≤ n
K : Type u_1
NontriviallyNormedField K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace K F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace K G
f : E → F
g : F → G
hg : Differentiable K g
hf : Differentiable K f
⊢ Differentiable K fun x => g (f x)
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
⊢ dist x x = 0
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
AddZeroClass M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
g : N →+ P
hmn : M →+ N
⊢ (AddMonoidHom.compHom g) hmn = g.comp hmn
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
⊢ ∀ (a : β), automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' a) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' a)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
M₂ : Type u_5
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L M₂
LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ LieSubmodule.map f (LieModule.weightSpace M χ) = LieModule.weightSpace M₂ χ ⊓ f.range
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
Z : D
X : C
⊢ (CategoryTheory.Prod.sectl C Z).obj X = (X, Z)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x (p * Polynomial.X) = Polynomial.eval₂ f x p * x
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
Yint : Integrable (Y 0) ℙ
C : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
j : ℤ
a : α
a_in_fixedBy : a ∈ fixedBy α g
⊢ 1 ∣ j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
g h : Z ⟶ X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h f ↔ g = h
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : 𝓢(ℝ, F)
x : ℝ
this : ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k n) f
⊢ |x| ^ k * ‖iteratedDeriv n (⇑f) x‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k n) f
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
a✝ : Nontrivial E
s : Set ↑(sphere 0 1)
hs : s ∈ {s | MeasurableSet s}
r : ↑(Ioi 0)
this : Ioo 0 ↑r = ↑r • Ioo 0 1
hpos : 0 < dim E
⊢ ↑(dim E) ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
⊢ f '' (f ⁻¹' s)ᶜ = range f \ s
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} A'
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} B'
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} T'
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
L' : CategoryTheory.Functor A' T'
R' : CategoryTheory.Functor B' T'
F₁ : CategoryTheory.Functor A A'
F₂ : CategoryTheory.Functor B B'
F : CategoryTheory.Functor T T'
α : F₁.comp L' ⟶ L.comp F
β : R.comp F ⟶ F₂.comp R'
X : CategoryTheory.Comma L R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.map α β).obj X).right = F₂.obj X.right
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f : α → M
a : α
⊢ s.indicator f a = 0 ∨ s.indicator f a = f a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a x y : E
⊢ ⟪a, x⟫_ℝ * (o.areaForm a) y - (o.areaForm a) x * ⟪a, y⟫_ℝ = ‖a‖ ^ 2 * (o.areaForm x) y
α : Type u_2
Monoid α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : NonemptyInterval α
n : ℕ
⊢ (s ^ n).toProd.1 = s.toProd.1 ^ n
G : Type u_2
AddGroup G
S : Set G
⊢ (AddSubgroup.closure S).toAddSubmonoid = AddSubmonoid.closure (S ∪ -S)
M : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
m : M
a : AddMonoidAlgebra R M
⊢ a ∈ AddMonoidAlgebra.grade R m ↔ a ∈ LinearMap.range (Finsupp.lsingle m)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
x : E
hx : x ∈ (closedBall 0 r)ᶜ
⊢ x ∈ f ⁻¹' s
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
inst✝⁵ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → PseudoMetricSpace (α✝ i)
inst✝³ : (i : ι✝) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝² : Fintype ι✝
ι : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
α : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
f g : PiLp ⊤ α
val✝ : Fintype ι
M : { r // 0 ≤ r }
hM : ∀ (i : ι), ⟨dist (f i) (g i), ⋯⟩ ≤ M
i : ι
⊢ ↑⟨dist (f i) (g i), ⋯⟩ ≤ ↑M
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f✝ g✝ : ι → α
g : β → α
f : ι → β
⊢ ⨆ b, g ↑b = ⨆ i, g (f i)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
E : Epi (factorThruImage f ≫ image.ι f)
⊢ Epi (image.ι f)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c : P
R : ℝ
p : AffineSubspace ℝ P
hR : R ≠ 0
hp : c ∈ p
⊢ EuclideanGeometry.inversion c R '' ↑p = ↑p
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹⁵ : Semiring R
inst✝¹⁴ : Semiring S
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Module R M₄
inst✝³ : Module R M₅
inst✝² : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
inst✝¹ : Module S M₃
inst✝ : SMulCommClass R S M₃
f : (M →ₗ[R] M₃) × (M₂ →ₗ[R] M₃)
⊢ (fun f => (f ∘ₗ inl R M M₂, f ∘ₗ inr R M M₂)) ({ toFun := fun f => f.1.coprod f.2, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f) = f
p : Char → Bool
l m r : List Char
⊢ { data := l ++ m ++ r }.anyAux { byteIdx := String.utf8Len l + String.utf8Len m } p { byteIdx := String.utf8Len l } =
  m.any p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
F : CategoryTheory.Functor J D
R : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Limits.HasColimit (F.comp R)
CategoryTheory.Coreflective R
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit F
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
this : EuclideanDomain.P a b (xgcdAux a 1 0 b 0 1)
⊢ gcd a b = a * gcdA a b + b * gcdB a b
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y ⟶ Z
⊢ ⊗𝟙 ⊗≫ f = (λ_ Y).hom ≫ f
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
⊢ f.support ⊆ {a} ↔ ∃ b, f = Finsupp.single a b
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
⊢ n.GrahamConjecture f
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
β : Type u_2
DecidableEq β
Fintype β
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g : Equiv.Perm α
⊢ (g.extendDomain f).support.card = g.support.card