ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
f : Equiv.Perm α
⊢ f ∈ derangements α ↔ Function.fixedPoints ⇑f = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : ContinuousMul α
x : α
l : List α
ih : Tendsto prod (𝓝 l) (𝓝 l.prod)
this : Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 x ×ˢ 𝓝 l.prod) (𝓝 ((x, l.prod).1 * (x, l.prod).2))
⊢ Tendsto (fun p => p.1 * p.2.prod) (𝓝 x ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (x * l.prod))
α : Type u_2
f g : Filter α
⊢ (f ⊓ g).ker = f.ker ∩ g.ker
G : Type u_3
AddGroup G
a : G
n : ℤ
⊢ n • a + a = (n + 1) • a
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
x : R
⊢ 0 < Polynomial.rootMultiplicity x p ↔ p.IsRoot x
β : Type v
inst✝¹ : NormedRing β
hn : IsAbsoluteValue norm
f : CauSeq β norm
inst✝ : IsComplete β norm
s : Set β
os : IsOpen s
lfs : f.lim ∈ s
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : Metric.ball f.lim ε ⊆ s
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ‖↑(const norm f.lim - f) j‖ < ε
b : ℕ
hb : b ≥ N
⊢ dist (↑f b) f.lim < ε
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : Gᶜ.Adj v w
⊢ ((G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w})).card = n - (2 * k - μ) - 2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor E C
F : CategoryTheory.Functor C D
X : D
f : (Y : E) → F.obj (G.obj Y) ⟶ X
h : ∀ {Y Z : E} (g : Y ⟶ Z), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (G.map g)) (f Z) = f Y
⊢ (G.toCostructuredArrow F X f ⋯).comp (CategoryTheory.CostructuredArrow.proj F X) = G
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n k : ℕ
hk : k ∈ range n
⊢ (↑n + 1) * (↑(n.choose k) / (↑n - ↑k + 1)) * bernoulli' k = ↑(n.succ.choose k) * bernoulli' k
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ ↑l.toFinset = {a | a ∈ l}
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ LocallyConnectedSpace α ↔ ∀ (F : Set α), IsOpen F → ∀ x ∈ F, IsOpen (connectedComponentIn F x)
R : Type u
ι : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝² : DecidableEq ι
L' : Type w₁
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'
hf : Pairwise fun i j => ∀ (x : L i) (y : L j), ⁅(f i) x, (f j) y⁆ = 0
x y : ⨁ (i : ι), L i
f' : (i : ι) → L i →ₗ[R] L' := fun i => ↑(f i)
⊢ ∀ (i : ι) (y : L i), (toModule R ι L' f') ⁅x, (of L i) y⁆ = ⁅(toModule R ι L' f') x, (toModule R ι L' f') ((of L i) y)⁆
x : Class
z : ZFSet
hz : z ∈ x
y : ZFSet
right✝ : ↑z y
H : ∀ z ∈ x, ↑y ∈ z
⊢ ∃ x_1, ↑x_1 = ↑y ∧ ∀ (z : ZFSet), x z → x_1 ∈ z
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a
⊢ ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Continuous f
c : Set α
c_count : c.Countable
hc : s ⊆ closure c
⊢ s ⊆ f ⁻¹' closure (f '' c)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
AddMonoid β
ContinuousAdd β
hf : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable (f + g) μ
α : Type u_1
Infinite α
s : Finset α
⊢ ∃ x, x ∉ s
α : Type u
SubtractionCommMonoid α
a b : α
h : IsAddUnit a
⊢ a - b - a = -b
α : Type u_1
s t : Finset α
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
⊢ Disjoint s t → Disjoint (Finset.filter p s) (Finset.filter q t)
b : ℕ
z : ℤ
hz : z ∈ List.pmap (fun p pp => legendreSym p 1) b.primeFactorsList ⋯
p : ℕ
hp : p ∈ b.primeFactorsList
he : legendreSym p 1 = z
⊢ z = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk✝ : Nat.Partrec k
H : ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ k a, (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨ x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧ ((k a).Dom ↔ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom
hk : (k (encode a)).Dom
⊢ ∃ (h : (k (encode a)).Dom), (↑(decode ((k (encode a)).get h))).Dom
α : Type u_1
s₁ s₂ : Finset α
⊢ (∀ (a : α), a ∈ s₁ ↔ a ∈ s₂) → s₁ = s₂
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : f.degree ≤ 1
hif : ↑(Nat.succ 0) ≤ (map i f).degree
⊢ Splits i f
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : ℕ → Set α
m : ℕ → TopologicalSpace α
mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t
m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α
h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
t' : TopologicalSpace α
t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n
t'_polish : PolishSpace α
A : IsOpen (⋃ n, s n)
t'' : TopologicalSpace α
t''_le : t'' ≤ t'
t''_polish : PolishSpace α
h1 : IsClosed (⋃ n, s n)
h2 : IsOpen (⋃ n, s n)
⊢ IsClopenable (⋃ n, s n)
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this : l.NeBot
hfg' : TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f' n.1 z - f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) ((↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.1 n.2 - f n.1.1 x) - (↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.2 n.2 - f n.1.2 x)) < ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.contractibleTriangle X).mor₁ = 𝟙 X
a b c x : ℕ
⊢ x ∈ Ico a.succ b ↔ x ∈ Ioo a b
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ G.connectedComponentMk v = G.connectedComponentMk w → G.Reachable v w
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
pb : PowerBasis K L
⊢ pb.equivAdjoinSimple.symm pb.gen = IntermediateField.AdjoinSimple.gen K pb.gen
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
qn : (-q).natDegree ≤ n
⊢ (p - q).natDegree ≤ n ↔ p.natDegree ≤ n
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁵ : Ring k
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1
inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1
inst✝¹² : AddCommGroup V2
inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3
inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁸ : Module k V1
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
inhabited_h : Inhabited ι
⊢ f 0 = g 0
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
nonZ1 : ↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2 ≠ 0
this : Int.cast ∘ p ≠ 0
nonZ2 : ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1) ≠ 0
⊢ (↑(↑g 0 0) * ↑z + ↑(↑g 0 1)) * ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))) = ((↑(p 0) * ↑(↑g 0 0) + ↑(p 1) * ↑(↑g 0 1)) * ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) + (↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) * ↑(↑g).det * (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)) * denom (↑g) z
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ Epi ((Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)).val.base ≫ (↑U).isoSpec.inv.val.base)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : AffineSubspace ℝ E
hs : s ≠ ⊤
hne : (↑s).Nonempty
⊢ μ ↑s = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : 0 < r
hr1 : r < 1
⊢ r < ↑b ^ (log b r + 1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
⊢ K.topologicalClosure ≤ Kᗮᗮ
x : ℝ*
⊢ x.InfinitePos ↔ x⁻¹.Infinitesimal ∧ 0 < x⁻¹
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f✝ : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
f : X ⟶ Z
⊢ 𝟙 X ≫ f = f ≫ 𝟙 Z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
s₁ s₂ : Finset α
a : α
h : a ∈ s₂
x : α
⊢ x ∈ insert a s₁ ∩ s₂ ↔ x ∈ insert a (s₁ ∩ s₂)
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hHK : H ≤ K
hKL : K ≤ L
⊢ H.relindex K * K.relindex L = H.relindex L
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : Nonempty M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h3 : lift.{w', w} κ ≤ lift.{w, w'} #M
S : L.ElementarySubstructure M
left✝ : ∅ ⊆ ↑S
hS : lift.{w, w'} #↥S = lift.{w', w} κ
this : Small.{w, w'} ↥S
⊢ ∃ N, Nonempty (↑N ↪ₑ[L] M) ∧ #↑N = κ
α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type v
CommRing R
M : Matrix m m R
LT α
b : n → α
e : m ≃ n
⊢ ((Matrix.reindex e e) M).BlockTriangular b ↔ M.BlockTriangular (b ∘ ⇑e)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
f g : X ⟶ Y
h₁ : f.left = g.left
h₂ : f.right = g.right
⊢ f = g
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Subsingleton M
⊢ associatedPrimes R M = ∅
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] F
s : Set E
⊢ ⇑f '' (convexHull 𝕜) s = (convexHull 𝕜) (⇑f '' s)
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
h : IsAddUnit a
⊢ ∃ b, b + a = 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ f * g
A : (fun x => (f x)⁻¹ * i x) ≤ g
⊢ ∀ (a : α), f a < ⊤ → i a ≤ (f * fun a => (f a)⁻¹ * i a) a
α : Type u
SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ a ≤ c → b ≤ c → a ⊔ b ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : F''
⊢ (f'' =O[l] fun _x => c) ↔ (c = 0 → f'' =ᶠ[l] 0) ∧ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f'' x‖
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ ￢￢a \ ￢￢b ≤ ￢￢(a \ b)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : Submodule.span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : Set.MapsTo (⇑e) Φ Φ
⊢ IsOfFinOrder e
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hs : MeasurableSet s
⊢ LocallyIntegrable (fun x => f ↑x) (comap Subtype.val μ) ↔ LocallyIntegrableOn f s μ
H : Type x
TopologicalSpace H
OrderedAddCommGroup H
ContinuousNeg H
a : H
⊢ Filter.Tendsto Neg.neg (𝓝[<] a) (𝓝[>] (-a))
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α
h0 : 0 < Fintype.card α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
n : ℕ
hn : n ∣ Fintype.card α
⊢ Subgroup.zpowers (g ^ n) = ⊥ → n = Fintype.card α
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero β
f : α →C₀ β
s : Set α
⊢ Bornology.IsBounded (⇑f '' s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
⊢ ∃ r > 0, Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
IsScalarTower R A P
AddCommMonoid Q
Module R Q
f : M ≃ₗ[A] P
g : N ≃ₗ[R] Q
⊢ TensorProduct.AlgebraTensorModule.congr f.symm g.symm = (TensorProduct.AlgebraTensorModule.congr f g).symm
n : ℕ
a b c : Fin n
⊢ a ≤ b → b < c → a < c
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
f : α → M
s : Set α
⊢ Function.mulSupport f ⊆ s ↔ ∀ x ∉ s, f x = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => f y + g y) x = fderiv 𝕜 f x + fderiv 𝕜 g x
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hn : Even n
⊢ multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑n
α : Type u_1
as bs cs : List α
h : as ++ bs = as ++ cs
⊢ bs = cs
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
DecidablePred p
h : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i → p j → i = j
a : β
⊢ (∏ i ∈ s, if p i then a else 1) = if ∃ i ∈ s, p i then a else 1
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
⊢ evariance X μ < ⊤
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
M' : Type u_2
inst✝ : Mul M'
⊢ Nat.card { p // (p.1 * p.2).1 = (p.2 * p.1).1 ∧ (p.1 * p.2).2 = (p.2 * p.1).2 } = Nat.card ({ p // p.1 * p.2 = p.2 * p.1 } × { p // p.1 * p.2 = p.2 * p.1 })
α : Type u_1
a b : α
h : a ≠ b
⊢ {a, b}.ncard = 2
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
⊢ p.restriction.Monic ↔ p.Monic
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3
⊢ -W'.dblU P * (W'.dblU P ^ 2 - P x * (W'.negY P - W'.negY P) ^ 2) + W'.negY P * (W'.negY P - W'.negY P) ^ 3 = (-W'.dblU P) ^ 3
α : Type u_1
Min α
b : α
⊢ min none (some b) = some b
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
this : ((p.takeUntil u h).append (p.dropUntil u h)).length = p.length
⊢ (p.dropUntil u h).length ≤ p.length
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f g : X ⟶ Y
h : f.base = g.base
h' :
  ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace),
    AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x =
      (Y.presheaf.stalkCongr ⋯).hom ≫ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap g x
⊢ f = g
M₀ : Type u_2
MulZeroOneClass M₀
Nontrivial M₀
a b : M₀
h : a * b = 1
⊢ b ≠ 0
A : Type u_1
AddMonoid A
self : Finset.HasAntidiagonal A
n : A
a : A × A
⊢ a ∈ Finset.antidiagonal n ↔ a.1 + a.2 = n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ 𝟙_ D = e.functor.obj (𝟙_ C)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : β × γ → E
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (univ ×ˢ t) ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (z : β × γ) in univ ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
⊢ y - x ∈ tangentConeAt ℝ s x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : Cone F
hc : IsLimit c
s : Cocone F.rightOp
m : (coconeRightOpOfCone c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : J), (coconeRightOpOfCone c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
⊢ m = (fun s => (hc.lift (coneOfCoconeRightOp s)).op) s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
g : α → E'''
h : f =O[l] g
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y Z : C
f : J → C
g h : X ⊗ Y ⊗ ⨁ f ⟶ Z
w : ∀ (j : J), X ◁ Y ◁ biproduct.ι f j ≫ g = X ◁ Y ◁ biproduct.ι f j ≫ h
⊢ g = h
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
s✝ : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
s : Multiset α
ih : s.Nodup → (∀ a ∈ s, (t a).Nodup) → (s.pi t).Nodup
hs✝ : (a ::ₘ s).Nodup
ht : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, (t a_1).Nodup
has : a ∉ s
hs : s.Nodup
⊢ Pairwise (fun a_1 b => (Multiset.map (Pi.cons s a a_1) (s.pi t)).Disjoint (Multiset.map (Pi.cons s a b) (s.pi t))) (t a)
α : Type u
l✝ l' l : List α
k : ℕ
this : (l.rotate k).cyclicPermutations.length = (l.cyclicPermutations.rotate k).length
n : ℕ
hn : n < (l.rotate k).cyclicPermutations.length
hn' : n < (l.cyclicPermutations.rotate k).length
⊢ (l.rotate k).cyclicPermutations.get ⟨n, hn⟩ = (l.cyclicPermutations.rotate k).get ⟨n, hn'⟩
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset γ
Hs : s.Nonempty
t : γ → Finset β
Ht : ∀ (b : γ), (t b).Nonempty
c : α
⊢ (s.biUnion t).sup' ⋯ f ≤ c ↔ (s.sup' Hs fun b => (t b).sup' ⋯ f) ≤ c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
K L : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
⊢ HomotopyCategory.quasiIso C c ((HomotopyCategory.quotient C c).map f) ↔ HomologicalComplex.quasiIso C c f
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
⊢ upperBounds t ⊆ upperBounds s
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
this✝ : Nonempty (Fin (finrank ℝ E))
this : volume (Metric.ball ((stdOrthonormalBasis ℝ E).repr x) r) = ENNReal.ofReal r ^ Fintype.card (Fin (finrank ℝ E)) * ENNReal.ofReal (√π ^ Fintype.card (Fin (finrank ℝ E)) / Gamma (↑(Fintype.card (Fin (finrank ℝ E))) / 2 + 1))
⊢ volume (⇑(stdOrthonormalBasis ℝ E).repr.symm ⁻¹' Metric.ball x r) = ENNReal.ofReal r ^ finrank ℝ E * ENNReal.ofReal (√π ^ finrank ℝ E / Gamma (↑(finrank ℝ E) / 2 + 1))
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α (n + 1)
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.sigmaAll ⟨n + 1, φ⟩ = ⟨n, φ.all⟩
α : Type u_1
M : Type u_8
G : Type u_12
Zero M
CommGroup G
f : α →₀ M
h : α → M → G
⊢ (f.prod fun a b => (h a b)⁻¹) = (f.prod h)⁻¹
s : Set ℝ
r : ℝ
r0 : 0 < r
H : ∀ x ∈ s, r ≤ |x|
⊢ UniformContinuous fun p => (↑p)⁻¹
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
t : Set α
s : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ μ (s \ t) + μ (s ∩ t) = μ s
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : HasUpperLowerClosure α
s : Set α
h : s.OrdConnected
⊢ (interior ↑(upperClosure s) ∩ interior ↑(lowerClosure s)).OrdConnected
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
p x : Ideal R
hp : p.IsPrime
n : ℕ
hle : x ≤ p ^ n
DecidableEq (Ideal R)
hlt : ¬x ≤ p ^ (n + 1)
⊢ Multiset.count p (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors x) = n
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
g : ℝ[X]
⊢ ↑((Polynomial.aeval f) g) ∈ A
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
h : s ≤ t
⊢ s.prod ∣ t.prod
⊢ (fun x x_1 => x ⊔ x_1) = or
α : Type u
n : ℕ
l : List α
⊢ (List.sublistsLen n l).length = l.length.choose n
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
obj : Fin (n + 1) → C
mapSucc : (i : Fin n) → obj i.castSucc ⟶ obj i.succ
i : ℕ
hi : autoParam (i < n) _auto✝
⊢ ((mkOfObjOfMapSucc obj mapSucc).arrow i hi).hom = eqToHom ⋯ ≫ (mk₁ (mapSucc ⟨i, hi⟩)).hom ≫ eqToHom ⋯
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ≤ b ⇨ a
α : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
TopologicalSpace α
ConditionallyCompleteLattice α
SupConvergenceClass α
f : ι → α
h_mono : Monotone f
hbdd : BddAbove (Set.range f)
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 (⨆ i, f i))
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y : C
g : Y ⟶ X
inst✝ : Mono g
f₂ : Subobject Y
f₁ : MonoOver Y
⊢ (map (f₁.arrow ≫ g)).obj ((pullback f₁.arrow).obj f₂) = (map ((MonoOver.map g).obj f₁).arrow).obj ((pullback ((MonoOver.map g).obj f₁).arrow).obj ((map g).obj f₂))
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
⊢ Function.Injective (FractionalIdeal.dual A K)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
⊢ ⨆ n, ↑(partitionFiltration ht) n = generateFrom (Set.range t)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
h : id ≤ f
n : ℕ
⊢ id ≤ f^[n]
self : FP.FloatCfg
⊢ 0 < FP.FloatCfg.prec
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A B : M
h : Commute A B
m : ℤ
hB : B⁻¹ = 0
⊢ Commute A (B ^ m)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
⊢ (shortComplexH0 A).Exact