ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
rι : ι → ι → Prop
rπ : (i : ι) → π i → π i → Prop
f : γ → ι
g : (i : ι) → γ → π i
s : Set γ
hι : WellFounded (rι on f)
hπ : ∀ (i : ι), (f ⁻¹' {i}).WellFoundedOn (rπ i on g i)
c c' : γ
h : (Sigma.Lex rι rπ on fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c c'
h' : rι ((fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c).fst ((fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c').fst
⊢ ((PSigma.Lex (fun a b => rι ↑a ↑b) fun a a_1 b => (rπ ↑a on g ↑a) ↑a_1 ↑b) on fun c => ⟨⟨f c, ⋯⟩, ⟨c, ⋯⟩⟩) c c'
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
n : ℕ∞
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
inst✝ : Nonempty ι
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a b : Ordinal.{max u v}
⊢ (¬∃ i, nfpFamily f a ≤ f i b) ↔ ¬nfpFamily f a ≤ b
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)
mem_closure : p ∈ (polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).topologicalClosure
frequently_mem_polynomials : ∃ᶠ (x : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)) in nhds p, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).toSubsemiring
⊢ p.comp (↑f).attachBound ∈ A.topologicalClosure
M : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace α
SMul M α
ContinuousConstSMul M α
x y : α
h : Inseparable x y
c : M
⊢ Inseparable (c • x) (c • y)
K : Type u
Field K
V : FGModuleCat K
⊢ ↑(FGModuleCat.FGModuleCatDual K V) = Module.Dual K ↑V
K : Type u_1
RCLike K
a : K
h : ‖a‖ ≤ RCLike.re a
⊢ ↑(RCLike.re a) = a
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.FiniteIndex
g : G
key : ∀ (k : ℕ) (g₀ : G), g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ ∈ H → g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ = g ^ k
⊢ ϕ.transfer g = ϕ ⟨g ^ H.index, ⋯⟩
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
f : ι → G.Subgraph
⊢ (⨆ i, f i).verts = ⋃ i, (f i).verts
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
n : ℕ
⊢ ‖z ^ n‖ = ‖z‖ ^ n
p q : ℝ
⊢ ENNReal.ofReal (p + q) ≤ ENNReal.ofReal p + ENNReal.ofReal q
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
⊢ IsPrecomplete I M →
  ∀ {f : ℕ → M}, (∀ {m n : ℕ}, m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]) → ∃ L, ∀ (n : ℕ), f n ≡ L [SMOD I ^ n • ⊤]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
U : CategoryTheory.Comonad C
U.Additive
F G : U.Coalgebra
α : F ⟶ G
⊢ (-α).f = -α.f
a b d : ℕ
hda : d ∣ a
hdb : d ∣ b
hd : ∀ (e : ℕ), e ∣ a → e ∣ b → e ∣ d
⊢ d = a.gcd b
R : Type u_1
CommSemiring R
l : Type u_2
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
Fintype l
DecidableEq l
b : Basis l R M₁
b' : Basis l R M₂
⊢ (LinearMap.toMatrix b' b) ↑(b'.equiv b (Equiv.refl l)) = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ e.inverse.IsLeftAdjoint
n : ℕ
K : Type u_1
CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
IsDomain K
CharZero K
⊢ minpoly ℤ μ ∣ Polynomial.X ^ n - 1
α : Type u_2
Bornology α
BoundedSpace α
s : Set α
⊢ Bornology.IsCobounded s
Γ : Type u_1
inst✝⁵ : PartialOrder Γ
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
n : Γ
x✝¹ : R
x✝ : V
⊢ { toFun := fun v => ((of R).symm (A v)).coeff n, map_add' := ⋯ }.toFun (x✝¹ • x✝) = (RingHom.id R) x✝¹ • { toFun := fun v => ((of R).symm (A v)).coeff n, map_add' := ⋯ }.toFun x✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
hF :
  CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor F (CategoryTheory.Presieve.ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : CategoryTheory.Limits.Cofan X
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
(CategoryTheory.Presieve.ofArrows X c.inj).hasPullbacks
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
∀ (i : α), CategoryTheory.Mono (c.inj i)
hd :
  Pairwise fun i j =>
    CategoryTheory.IsPullback (CategoryTheory.Limits.initial.to (X i)) (CategoryTheory.Limits.initial.to (X j))
      (c.inj i) (c.inj j)
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor F (CategoryTheory.Presieve.ofArrows X c.inj) ↔
  Nonempty (CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Discrete.functor fun x => Opposite.op (X x)) F)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y) ∨ o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ ↑(E.map φ).Δ' = φ ↑E.Δ'
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℚ
hε : 0 < ε
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ↑ε
⊢ ↑p ^ (-↑k) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LE β
a b : α × β
⊢ toLex a ≤ toLex b ↔ a.1 < b.1 ∨ a.1 = b.1 ∧ a.2 ≤ b.2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x y : M
hy : y ∈ (extChartAt I x).source
⊢ (extChartAt I x).target ∈ 𝓝[Set.range ↑I] ↑(extChartAt I x) y
α β : Type u
c : Cardinal.{u}
this : {c' | c < c'}.Nonempty
⊢ ∀ (b : Cardinal.{u}), c < b → c + 1 ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Iic 0, rexp x = 1
n : Nat
x : Fin (2 ^ n)
y : BitVec n
⊢ { toFin := x } - y = { toFin := x - y.toFin }
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Subsingleton V
⊢ G.Colorable 1
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x
hsep' : IsSeparable E x
this : Algebra.IsSeparable F ↥F⟮x⟯
⊢ (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)).natDegree = (minpoly E x).natDegree
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Square.flipFunctor.map φ).τ₁ = φ.τ₁
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α
h1 : s.mulIndicator f = f
h2 : s ⊆ t
⊢ t.mulIndicator f = f
ι : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Finite K
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra K R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K R
ps : ι → MvPolynomial ι R
hinj : Injective fun v i => (MvPolynomial.eval v) (ps i)
⊢ Surjective fun v i => (MvPolynomial.eval v) (ps i)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ ((zmodEquivTrunc p n).symm.toRingHom.comp (truncate n)).comp (lift (fun k => (zmodEquivTrunc p k).toRingHom.comp (PadicInt.toZModPow k)) ⋯) = PadicInt.toZModPow n
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
⊢ (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n)
α : Type u
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ hs.toFinset.Nonempty ↔ s.Nonempty
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ {i : Ordinal.{u}} (h : i < o), f i h ≠ o.bsup f
a : Ordinal.{max u v}
⊢ a < o.bsup f → Order.succ a < o.bsup f
a b c : Int
w : b * a < c * a
h : 0 ≤ a
⊢ b < c
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
γ : Type u_3
inst✝ : Monoid γ
f : M → γ
hf : IsMonoidHom f
⊢ IsSubmonoid (Set.range f)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ midpoint R x y = midpoint R y x
α : Type u_1
f : Sym2 α → Prop
h : ∀ (x y : α), f s(x, y)
i : Sym2 α
⊢ f i
α : Type u_1
a : α
s : Finset α
⊢ s.toList = [a] ↔ s = {a}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α
hs : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s
ht : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ t
⊢ ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some '' Ioo a b = Ioo ↑a ↑b
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ (l.concat a).getLast ⋯ = a
α : Type u
DecidableEq α
⊢ FreeAddGroup.toWord 0 = []
α : Type u_1
Sub α
Small.{u_2, u_1} α
x y : α
⊢ (equivShrink α) (x - y) = (equivShrink α) x - (equivShrink α) y
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0
⊢ ‖x‖ / Real.cos (angle x (x - y)) = ‖x - y‖
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
h : A * J l R * Aᵀ = J l R
⊢ -A * J l R * (-A)ᵀ = J l R
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p q : ℝ≥0
hpq : p < q
s : Set α := {x | ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)}
o : ℕ → Set α := spanningSets (ρ + μ)
u : ℕ → Set α := fun n => s ∩ {x | v.limRatio ρ x < ↑p} ∩ o n
w : ℕ → Set α := fun n => s ∩ {x | ↑q < v.limRatio ρ x} ∩ o n
m n : ℕ
I : (ρ + μ) (u m) ≠ ⊤
J : (ρ + μ) (w n) ≠ ⊤
A : ρ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) ≤ ↑p * μ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n))
B : ↑q * μ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) ≤ ρ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n))
h : ¬μ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) = 0
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
⊢ a - b = CategoryTheory.Limits.prod.lift a b ≫ CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian.σ
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
x : ℝ
⊢ (∀ (ε : ℝ), 0 < ε → schnirelmannDensity A < x + ε) ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < x + ε
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ (μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal) = (μ.withDensity f).toSignedMeasure
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : k ≤ n
⊢ n % k < k * (n / k)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
⊢ p ((cfcₙHom ha) f)
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)
p_odd : Odd p
AB_not_prime : ¬Prime (A * B)
AB_id : A * B = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
ha₁ : (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1) = b * (b ^ (p - 1) - 1) * (b ^ p + b)
ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b
ha₃ : p ∣ b ^ (p - 1) - 1
ha₄ : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (p - 1) - 1
ha₅ : 2 * p * (b ^ 2 - 1) ∣ (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1)
⊢ (A * B).ProbablePrime b
R : Type u
EuclideanDomain R
S : Ideal R
x y : R
hy : y ∈ S
⊢ x % y ∈ S ↔ x ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
⊢ 𝓝[insert a s] a = pure a ⊔ 𝓝[s] a
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm (Fin 5)
h : 3 ∈ (c * g').cycleType
hd : c.Disjoint g'
left✝ : c.IsCycle
h3 : c.support.card = 3
n : ℕ
hn : n ∈ g'.cycleType
⊢ ℕ
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
x y : G
n : ℤ
⊢ x ^ n = 1 ↔ n ≡ 0 [ZMOD ↑(orderOf x)]
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
⊢ f.IsClosable ↔ ∃ g, g.IsClosed ∧ f ≤ g
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : μ.AbsolutelyContinuous ν
f : α → β
hf : Measurable f
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μ).AbsolutelyContinuous (MeasureTheory.Measure.map f ν)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
h this : SigmaFinite μ
s : ℕ → Set α := spanningSets μ
hs_univ : ⋃ i, s i = univ
⊢ μ univ < ⊤
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : #α = succ c
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
⊢ c < (succ c).ord.cof
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
S : Set G
hS : S ∈ AddSubgroup.leftTransversals ↑H
q : G ⧸ H
⊢ Quotient.mk'' ↑((AddSubgroup.MemLeftTransversals.toEquiv hS) q) = q
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f pf x n
hg : HasFiniteFPowerSeriesAt g pg x m
⊢ HasFiniteFPowerSeriesAt (f + g) (pf + pg) x (max n m)
R : Type u
CommSemiring R
ι : Type u_2
s : Finset ι
I : ι → Set R
⊢ ∏ i ∈ s, Ideal.span (I i) = Ideal.span (∏ i ∈ s, I i)
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m (ForInStep β)
l : List α
init : β
⊢ forIn l init f = ForInStep.run <$> ForInStep.bindList f l (ForInStep.yield init)
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
B : Set (Set α) := {b | b ∈ countableBasis α ∧ ∃ i, b ⊆ s i}
f : ↑B → ι
hf : ∀ (b : ↑B), ↑b ⊆ s (f b)
this : Countable ↑B
⊢ ∀ t' ∈ range fun i => s i, t' ⊆ ⋃ i ∈ range f, s i
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → AddSubgroup N
h : Function.Injective ⇑(sumAddHom fun i => (p i).subtype)
⊢ Independent p
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → ℝ
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K
this : (K.indicator fun x => g x • f x) = fun x => g x • f x
⊢ Integrable (fun x => g x • f x) μ
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝¹ : Functor t
inst✝ : LawfulFunctor t
h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), map f = Equiv.map eqv f
h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f
⊢ LawfulFunctor t'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.RightHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).H = h.H
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n✝ : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup L
inst✝¹³ : Module R L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : Fintype ιM
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : DecidableEq ι'
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝³ : Module.Finite R L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Nontrivial R
x✝ : L
inst✝ : IsDomain R
h : ↑(finrank R M) ≤ #R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
bₘ : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
n : ℕ := Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)
aux : ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank).IsHomogeneous (n - φ.nilRank)
x : ChooseBasisIndex R L → R
hx : (eval x) ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank) ≠ 0
⊢ ∃ x, φ.IsNilRegular x
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p q : Submodule R M
⊢ Subsingleton (Submodule R M) ↔ Subsingleton (AddSubmonoid M)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ‖↑x‖
n : ℕ
hn' : ∀ (i : α), b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)
i : α
hn : ‖↑n / log ↑n ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ↑n
⊢ b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
⊢ nndist a b = ‖a / b‖₊
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => f x - g x) (f' - g') x
⊢ let_fun this := Part.someDecidable 1;
PartENat.toWithTop 1 = 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hab : b ≤ a
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc b a))] f
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc b a))] 0
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ Finset.filter IsPrimePow (a * b).divisors = Finset.filter IsPrimePow (a.divisors ∪ b.divisors)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_2 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ n, {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
⊢ AnalyticSet (⋂ n, s n)
m M N : ℕ
i : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)
hi : i ∈ FormalMultilinearSeries.compPartialSumSource m M N
j : Fin i.fst
⊢ (FormalMultilinearSeries.compChangeOfVariables m M N i hi).snd.blocksFun ⟨↑j, ⋯⟩ = i.snd j
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Function.Injective (MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F) ∧ Fintype.card G = Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F)
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
hn : Squarefree n
t : Finset ℕ
ht : t ⊆ n.primeFactors
⊢ ∏ a ∈ n.primeFactors \ t, a = n / ∏ a ∈ t, a
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ a ∈ s.dedup ↔ a ∈ s
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
⊢ MatrixEquivTensor.invFun R A n 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : ↥(Lp F' 1 μ)
⊢ ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : F'), (condexpInd F' hm μ s) (c • x) = c • (condexpInd F' hm μ s) x
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i : ι
x✝ : M
⊢ (b.toDual (b i)) x✝ = (b.coord i) x✝
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.148403, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.Exact
inst✝³ : Mono S₁.f
inst✝² : Mono S₂.f
inst✝¹ : Mono φ.τ₁
inst✝ : Mono φ.τ₃
⊢ ∀ (P : C) (g : P ⟶ S₁.X₂), g ≫ φ.τ₂ = 0 → g = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : ContinuousSMul R M
f : (ι → R) →ₗ[R] M
val✝ : Fintype ι
⊢ Continuous ⇑f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
n : ℕ
i j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j
⊢ X.σ i.castSucc ≫ X.σ j = X.σ j.succ ≫ X.σ i
R : Type u
CommRing R
H : Ideal.IsJacobson R
n : ℕ
⊢ Ideal.IsJacobson (MvPolynomial (Fin n) R)
α : Type u_1
CommSemigroup α
a b : α
c : α
h : c * a = b
⊢ a ∣ b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
this : factorThruImage S.f ≫ imageToKernel' S.f S.g ⋯ = kernel.lift S.g S.f ⋯
⊢ Epi (kernel.lift S.g S.f ⋯) ↔ Epi (imageToKernel' S.f S.g ⋯)
⊢ (fun t => (1 - rexp (-π * t))⁻¹) =O[atTop] fun x => 1
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
a✝ : List α
⊢ ↑(List.map ofList ((List.range (a✝.length + 1)).bind fun a => sublistsLen a a✝)) = ↑(List.map ofList a✝.sublists')
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
a b c : ℕ
hb0 : 0 < b
hc : a / b ≤ c
x : ℕ
⊢ x ∈ Ico 1 (a / b).succ ↔ x ∈ filter (fun x => x * b ≤ a) (Ico 1 c.succ)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
h : x ~ᵢ y
⊢ x ⤳ y
m : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
v : m → A
i : m
hv : v ⬝ᵥ M *ᵥ M.cramer (Pi.single i 1) = 0
⊢ i ∉ Finset.univ → v i * (M.det * Pi.single i 1 i) = 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ
h : p.coeff i = 0
⊢ coeffIntegerNormalization M p i = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r
⊢ r⁻¹ < ↑b ^ (log b r⁻¹ + 1)
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Countable ι
⊢ MeasurableSet (univ.pi fun i => Ioc (I.lower i) (I.upper i))
α : Type u_1
ι : Type u_4
NonUnitalSeminormedRing α
f g : ι → α
l : Filter ι
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 0)
hg : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l ((fun x => ‖x‖) ∘ g)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * g x) l (𝓝 0)
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ p₁ -ᵥ p₃ - (p₂ -ᵥ p₃) = p₁ -ᵥ p₂
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
TopologicalGroup G
μ.IsMulLeftInvariant
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
h : μ U ≠ ⊤
K : Set G
hK : IsCompact K
⊢ μ K < ⊤
α : Type u_1
Preorder α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ (Set.Ici a).Infinite
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
a b : α
⊢ {a} ⊼ {b} = {a ⊓ b}
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n : ℕ
a b c : α
s : Finset α
⊢ G.cliqueFinset n = ∅ ↔ G.CliqueFree n
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
F : Type u_4
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
φ ψ : F
⊢ AlgHom.equalizer φ ψ = ⊤ ↔ φ = ψ
α : Type u
b : Ultrafilter α
⊢ b = joinM (map pure b)