ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F P : Sheaf J A
⊢ ((presheafToSheaf J B).map (whiskerRight (toSheafify J P.val) U) ≫ (sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj ((presheafToSheaf J A).obj P.val))) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app P) = (sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj P)
α : Type u_4
⊢ AddSubmonoid.closure (Set.range FreeAddMonoid.of) = ⊤
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : Nontrivial R
φ : R[X] →*₀ G₀
hφ : Function.Injective ⇑φ
hφ' : optParam (R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ G₀⁰) ⋯
a a' : R[X] × ↥R[X]⁰
h : φ a.1 / φ ↑a.2 = φ a'.1 / φ ↑a'.2
⊢ φ ↑a'.2 ≠ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
y : E
⊢ HasFDerivWithinAt f f' (insert y s) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' (CategoryTheory.CategoryStruct.id S) h h = CategoryTheory.CategoryStruct.id h.Q
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
⊢ multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) = multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑n
I : Type u
f : I → Type v
i : I
DecidableEq I
(i : I) → Preorder (f i)
(i : I) → Zero (f i)
⊢ StrictMono (Pi.single i)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E
⊢ 1 + ‖x‖ ^ 2 ≤ (1 + ‖x‖) ^ 2
m n : ℕ
⊢ (ack m (ack (m + 1) n) + 1) ^ 2 ≤ ack (m + 3) (ack (m + 3 + 1) n)
X : Scheme
R : CommRingCat
inst✝ : IsDomain ↑R
⊢ genericPoint ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace = ⊥
α : Type u_1
M : Matroid α
M.Finitary
I : Set α
h : ∀ J ⊆ I, J.Finite → M.Indep J
⊢ M.Indep I
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ W.variableChange VariableChange.id = W
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Sigma σ → X
⊢ IsOpenMap f ↔ ∀ (i : ι), IsOpenMap fun a => f ⟨i, a⟩
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
⊢ ContinuousOn f s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ f (x + y) = p.sum y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h₁ : s ≤ᶠ[ae μ] t
h₂ : μ t ≤ μ s
hsm : MeasurableSet s
ht : μ t ≠ ⊤
⊢ s =ᶠ[ae μ] t
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N' : Type u_6
AddCommGroup N'
Module R N'
ι : Type u_7
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
m : ι → M
⊢ (g - g₂) m = g m - g₂ m
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }
ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ
hax : a ≤ ↑x
hxb : ↑x ≤ b
y : α
hy : y ∈ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedComponent ↑x
⊢ ¬y < a ∧ ¬b < y
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x : α
⊢ Disjoint (Metric.ball x (Metric.infDist x s)) s
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : Type u_2
L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
hs : (FirstOrder.Language.Substructure.map f.toHom s).CG
⊢ s.CG
α : Type u
CommMonoid α
a b : α
h : a * b = 1
⊢ ↑(Units.mkOfMulEqOne a b h) = a
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length
⊢ (a.gather b).length = b.length
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
s t : Set α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : MeasurableSMul G α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s μ
fund_dom_t : IsFundamentalDomain G t μ
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U
⊢ MeasurableSet (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
ha : IsGreatest s a
hb : IsLeast t b
⊢ IsLeast (Set.image2 f s t) (f a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Option.map f ∘ some = some ∘ f
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
y p d z w : R
h0 : z * z * w ≠ 0
h : z * (z * w) ∣ 1 * (z * w)
⊢ z * w ≠ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarMul A
Algebra R A
StarModule R A
r : R
h : Function.Injective ⇑(algebraMap R A)
⊢ IsSelfAdjoint ((algebraMap R A) r) ↔ IsSelfAdjoint r
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
x✝ : ∃ n y, (Polynomial.aeval x) (X ^ q ^ n - C y) = 0
n : ℕ
y : F
h : (Polynomial.aeval x) (X ^ q ^ n - C y) = 0
hnezero : X ^ q ^ n - C y ≠ 0
⊢ 1 ≤ (minpoly F x).natSepDegree
q a b c : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
n₃ : ℤ
d₃ : ℕ
h₃ : d₃ ≠ 0
⊢ ((n₁ * ↑d₂ + n₂ * ↑d₁) * ↑d₃ + n₃ * (↑d₁ * ↑d₂)) /. (↑d₁ * ↑d₂ * ↑d₃) = (n₁ * (↑d₂ * ↑d₃) + (n₂ * ↑d₃ + n₃ * ↑d₂) * ↑d₁) /. (↑d₁ * (↑d₂ * ↑d₃))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
c : CategoryTheory.Limits.Cone ((CategoryTheory.Pairwise.diagram U).op ⋙ F)
⊢ (TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquivFunctorObj F U c).pt = c.pt
M₀ : Type u_4
MonoidWithZero M₀
l : List M₀
⊢ 0 ∈ l → l.prod = 0
α✝ : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y x' y' : α
ex : x = gcd x y * x'
ey : y = gcd x y * y'
h : gcd x y ≠ 0
⊢ Associated (gcd x y * gcd x' y') (gcd x y * 1)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : WfDvdMonoid R
r : R
hr : r ≠ 0
⊢ Squarefree r ↔ ∀ (x : R), Irreducible x → ¬x * x ∣ r
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
z : N
⊢ f.mk' x y = z ↔ f.toMap x = z + f.toMap ↑y
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
ha : 1 < a
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
⊢ 1 < a ^ (n + 1)
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
B : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ B
h : A ⊆ B
⊢ schnirelmannDensity A ≤ schnirelmannDensity B
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z'
α : Type u_2
Fintype α
s : Finset α
DecidableEq α
p : α → Prop
DecidablePred p
(x : α) → Decidable ¬p x
⊢ (Finset.filter p s).dens + (Finset.filter (fun a => ¬p a) s).dens = s.dens
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ Set.MapsTo (⇑(P.reflection i)) (Set.range ⇑P.root) (Set.range ⇑P.root)
a : EReal
⊢ a.exp < ⊤ ↔ a < ⊤
n : ℤ
⊢ ↑(T ^ n) = !![1, n; 0, 1]
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : List α
IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s
has : a ∉ s.toFinset
x : α
hx : x ∈ s.toFinset
⊢ x ≠ a
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hfi' : ν S < ⊤
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
α : Type u_2
M : Matroid α
F : Set α
self : M.Flat F
I X : Set α
⊢ M.Basis I F → M.Basis I X → X ⊆ F
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
S : NonUnitalSubsemiring R
h : ∀ {x : R}, x ∈ S.carrier → -x ∈ S.carrier
⊢ ↑{ toNonUnitalSubsemiring := S, neg_mem' := h } = ↑S
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : ¬C (p * q).content = 0
⊢ (p * q).primPart = p.primPart * q.primPart
p q : ℝ
hp : 0 < p
hq : -1 < q
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, x ^ q * rexp (-x ^ p) = 1 / p * Real.Gamma ((q + 1) / p)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
n : ℕ
⊢ n • {a} = replicate n a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ ⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι j) ⁻¹' (⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι i) '' ↑U) = ⇑(D.f j i).base '' (⇑(D.t j i).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base ⁻¹' ↑U))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : IsCompl s1.direction s2.direction
⊢ ∃ p, ↑s1 ∩ ↑s2 = {p}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
h :
  ∀ {J : Type w} [inst : CategoryTheory.SmallCategory J] [inst_1 : CategoryTheory.FinCategory J]
    (F : CategoryTheory.Functor J C), Nonempty (CategoryTheory.Limits.Cone F)
⊢ CategoryTheory.IsCofiltered C
x : SetTheory.PGame
xl' xr' : Type u_1
el : xl' ≃ x.LeftMoves
er : xr' ≃ x.RightMoves
i : xl'
⊢ (SetTheory.PGame.relabel el er).moveLeft i = x.moveLeft (el i)
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a < b⁻¹ ↔ a * b < 1
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim : ∀ (a : ℝ), 1 < a → ∃ c, (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧ Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n => u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
⊢ Tendsto (fun n => u n / ↑n) atTop (𝓝 l)
x✝ x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ x
hx2 : x ≤ 3 * π / 2
hx3 : x ≠ 0
y : ℝ
hy1 : 0 < y
hy2 : y ≤ 3 * π / 2
hy3 : 0 < y ^ 2 + 1
⊢ cos y < 1 / √(y ^ 2 + 1)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
d : Derivation R A ↥I
x : A
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) ↑(d x) + (algebraMap A (B ⧸ I)) x = (algebraMap A (B ⧸ I)) x
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
s : Set A
⊢ star s ⊆ ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Real.sin (angle x y) * -Real.cos (angle x y) + Real.cos (angle x y) * Real.sin (angle x y) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s : Finset β
⊢ ∏ x ∈ s, f x = ∏' (x : β), (↑s).mulIndicator f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
α : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (α i)
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → α i → E
l : Π₀ (i : ι), α i
x : E
⊢ ⟪x, l.sum f⟫_𝕜 = l.sum fun i a => ⟪x, f i a⟫_𝕜
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M✝ N✝ P Q : Submodule R A
m n : A
M N : Submodule R A
⊢ (map₂ (LinearMap.mul R A) M N).toAddSubmonoid = ⨆ s, AddSubmonoid.map (AddMonoidHom.mulLeft ↑s) N.toAddSubmonoid
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
⊢ ↑r ∈ spectrum R ↑a ↔ ↑r⁻¹ ∈ spectrum R ↑a⁻¹
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z
hxy : x ≤ y
hx0 : x ≠ 0
⊢ (x * y) ^ z = if (x = 0 ∧ y = ⊤ ∨ x = ⊤ ∧ y = 0) ∧ z < 0 then ⊤ else x ^ z * y ^ z
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : X ≃ₜ Y
e' : Y ≃ₜ Z
⊢ (e.trans e').toPartialHomeomorph = e.toPartialHomeomorph.trans e'.toPartialHomeomorph
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
Ring B
Algebra A B
x : B
Subsingleton B
⊢ minpoly A x = 1
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : ReflectsLimit (cospan f f) F
inst✝ : Mono (F.map f)
this : IsLimit (PullbackCone.mk (𝟙 (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X)) ⋯)
⊢ Mono f
α : Type u
DecidableEq α
i j : α
σ : Equiv.Perm α
⊢ Equiv.swap i j * (Equiv.swap i j * σ) = σ
β : Type u_2
LinearOrder β
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
f : β → β
hf : StrictMono f
n : β
⊢ n ≤ f n
a b : ℤ
⊢ a ≤ b ∨ b < a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
f : M → M'
f' : E →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hd : DenseRange ⇑f'
⊢ UniqueMDiffWithinAt I' (f '' s) (f x)
X : Type u_1
⊢ IsCompl (Set.range OnePoint.some) {OnePoint.infty}
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℝ
⊢ 0 ≤ ProbabilityTheory.exponentialPDFReal r x
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f✝ g : α → β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
x : α
hx : f x = f' x
⊢ (-f) x = (-f') x
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → ℂ
a : E
c : ℂ
R : ℝ
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z • a) = (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) • a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
i j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j
⊢ X.δ j.succ ≫ X.δ i = X.δ i.castSucc ≫ X.δ j
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
⊢ μ.neg ≪ μ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
H : j ∈ s.erase i
⊢ v i ≠ v j
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u + 1}
h : c < univ.{u, u + 1}
this : c.ord < univ.{u, u + 1}.ord
⊢ ∃ c', c = lift.{u + 1, u} c'
α : Type u_1
ι : Type u_4
Fintype ι
f : α → ℝ≥0∞
t : ι → Set α
⊢ ∑' (x : ↑(⋃ i, t i)), f ↑x ≤ ∑ i : ι, ∑' (x : ↑(t i)), f ↑x
α : Type u
s : Computation α
⊢ s.think.head = none
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : ∀ x ∈ Icc a b, f x ≤ g x
⊢ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
⊢ G = sheafify J G ↔ ∀ (U : Cᵒᵖ) (s : F.obj U), G.sieveOfSection s ∈ J.sieves (unop U) → s ∈ G.obj U
α : Type u
x y : ULift.{v, u} α
Sub α
⊢ (x - y).down = x.down - y.down
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d.degree ≠ n
⊢ MvPolynomial.coeff d φ = 0
G : Type u_2
Group G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : G → Prop
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x * y)
⊢ C x
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
x y : α
⊢ (fixedBy α (swap x y))ᶜ.Finite
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : MeasurableSpace E] [inst_1 : OpensMeasurableSpace E]
  [inst_2 : SecondCountableTopology E] {c : E} {f : α → E}, Measurable f → Measurable fun t => ⟪c, f t⟫_𝕜
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Field K
Field L
Algebra A K
IsFractionRing A K
Algebra B L
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A B L
IsScalarTower A K L
IsIntegralClosure B A L
FiniteDimensional K L
σ : L ≃ₐ[K] L
x : B
⊢ (algebraMap B L) (((galRestrict A K L B) σ) x) = σ ((algebraMap B L) x)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
⊢ ↑I '' s = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)} (φ : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor'.map φ).τ₁ = φ.left.left
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
⊢ seminormFromBounded' f x ≤ c * f x
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
Add α
Add β
f : α → β
hf : ∀ (a₁ a₂ : α), f (a₁ + a₂) = f a₁ + f a₂
M N : Matrix m n α
⊢ (M + N).map f = M.map f + N.map f
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f
⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
o : Ordinal.{u}
h : o < Ordinal.type r
⊢ ∃ a, Ordinal.typein r a = o
X : Type u_1
TopologicalSpace X
SigmaCompactSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ SigmaCompactSpace ↑s
X : Type u
TopologicalSpace X
s a b : Set X
h : IsClopen s
cover : s ⊆ a ∪ b
ha : IsOpen a
hb : IsOpen b
hab : Disjoint a b
⊢ IsClopen (s ∩ a)
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x y : R
⊢ Commute (star x) y ↔ Commute x (star y)
α : Type u
s t : Set α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
⊢ hs.toFinset ⊂ ht.toFinset ↔ s ⊂ t
n p : ℕ
h : n ≤ p
⊢ ∏ i ∈ range n, ↑(p - 1 - i) = ∏ a ∈ range n, -1 * ↑(a + 1)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
⊢ IsBisimulation fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = s.bind pure ∧ c₂ = s
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y z : M
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
⊢ Q (x + y + z) + (Q x + Q y + Q z) = Q (x + y) + Q (y + z) + Q (z + x)
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b x y : α
⊢ span {x, y} = span {y, x}
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
⊢ ∃ s, x ∈ ⨆ i ∈ s, f i
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
oi : α ≃o β
⊢ GaloisConnection ⇑oi ⇑oi.symm
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
R₄ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₄
inst✝² : IsDomain R₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : Module R₄ M₄
G : BilinForm R₄ M₄
x y : M₄
a : R₄
ha : a ≠ 0
⊢ (a • G x) y = 0 ↔ (G x) y = 0
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ : Subgroup α
a b : α
N : Subgroup α
s : Set α
⊢ ∀ (x : ↥N), (fun x_1 => x_1 * ↑x⁻¹) '' s = (fun x_1 => x_1 * ↑x) ⁻¹' s
K : Type u_1
Field K
x y : NumberField.RingOfIntegers K
⊢ x = y ↔ ↑x = ↑y
m n : Nat
⊢ n * (m / n) + m % n = m
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
a : α
⊢ a +ᵥ ∅ = ∅
k m n : Nat
H : k.Coprime m
⊢ m.gcd (k * n) = m.gcd n
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℤ
hn : n ≠ -1
c w : ℂ
R : ℝ
H : w ∈ sphere c |R| → -1 ≤ n
hd : ∀ (z : ℂ), z ≠ w ∨ -1 ≤ n → HasDerivAt (fun z => (z - w) ^ (n + 1) / (↑n + 1)) ((z - w) ^ n) z
z : ℂ
hz : z ∈ sphere c |R|
⊢ z ≠ w ∨ -1 ≤ n
a✝ n a : ℕ
L₀ : List ℕ
hL₀ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L₀
hL✝ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀)
hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (map (fun x => x + a + 1) L₀)
haL : ∀ b ∈ map (fun x => x + a + 1) L₀, a + 1 ≤ b
x✝ : L₀.length < (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀).length
hrw : ((fun x => 2 ^ x) ∘ fun x => x + a + 1) = fun i => 2 ^ a * (2 * 2 ^ i)
⊢ (2 ^ a * 1 + 2 ^ a * (2 * (map (HPow.hPow 2) L₀).sum)).bitIndices = a :: map (fun x => x + a + 1) L₀
R : Type u
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : ℕ
hp : CharP R p
p_ne_zero : p ≠ 0
h : p = 0
⊢ Nat.Prime p
m : Type u_2
n : Type u_3
α : m → n → Type v
(i : m) → (j : n) → Zero (α i j)
i : m
j : n
⊢ 0 i j = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
⊢ CategoryTheory.shiftFunctorZero (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C) ℤ =
  CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctorZero C
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
n_pos : 0 < n
n2_pos : 1 ≤ 2 * n
⊢ n.centralBinom ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
S : Set X
f₀ f₁ g₀ g₁ : C(X, Y)
F : f₀.HomotopyRel f₁ S
h₀ : f₀ = g₀
h₁ : f₁ = g₁
a : ↑I × X
⊢ (F.cast h₀ h₁) a = F a
V : Type u_2
P : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : (↑s).Nonempty
⊢ IsConnected {y | s.WOppSide x y}
R : Type u_1
CommSemiring R
R₂ : Type u_2
CommSemiring R₂
R₃ : Type u_3
CommSemiring R₃
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R₂ N
Module R₃ P
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
f : M →ₛₗ[σ₁₃] N →ₛₗ[σ₂₃] P
⊢ f.compl₂ LinearMap.id = f
α : Type u_1
DecidableEq α
Mul α
s t : Finset α
⊢ s.card ^ 2 * t.card ^ 2 ≤ (s * t).card * s.mulEnergy t
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
i : ℕ
r : R
j : ℕ
m : M
⊢ (Polynomial.monomial i) r • (PolynomialModule.single R j) m = (PolynomialModule.single R (i + j)) (r • m)