ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommSemigroup α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddCommGroup n
v w : n → α
i j x : n
⊢ v (i - x) * w (x - j) = w (i - ((Equiv.subLeft i).trans (Equiv.addRight j)) x) * v (((Equiv.subLeft i).trans (Equiv.addRight j)) x - j)
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
Fact (FiniteDimensional.finrank K V = 2)
⊢ FiniteDimensional K V
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
i j : ℕ
⊢ ∃ k, I ^ k ≤ I ^ i ∧ I ^ k ≤ I ^ j
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
LinearOrderedCommSemiring β
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
f : Finset α → β
s t : Finset α
ha : a ∉ s
hf : 0 ≤ f
hts : t = s
ht : t ∈ 𝒜
⊢ f t ≤ collapse 𝒜 a f s
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
⊢ IsOpen (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
S : Subsemigroup M
g : N →ₙ* P
f : M →ₙ* N
⊢ map g f.srange = (g.comp f).srange
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β
⊢ ¬x.isRight = true ↔ x.isLeft = true
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
DecidableEq α
DecidableEq β
DecidableEq γ
Fintype α
Fintype β
Fintype γ
SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.NoAccidental t
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).cliqueFinset 3 =
  Finset.image (⇑SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.toTriangle) t
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s✝ : Finset ι
i : ι
s : Finset ι
is : i ∉ s
IH : (∀ i ∈ s, IsBigOWith (C i) l (A i) g) → IsBigOWith (∑ i ∈ s, C i) l (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) g
h : ∀ i_1 ∈ insert i s, IsBigOWith (C i_1) l (A i_1) g
⊢ IsBigOWith (∑ i ∈ insert i s, C i) l (fun x => ∑ i ∈ insert i s, A i x) g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
S : D
F : CategoryTheory.Functor B C
G : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S) (F.comp G)} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.StructuredArrow.pre S F G).map f).right = F.map f.right
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α β : Type u
g : α → β
x : F α
⊢ supp (g <$> x) = g '' supp x
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
x₂ y₂ : X₂
⊢ CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.Rel' f g (Sum.inr x₂) (Sum.inr y₂) ↔ x₂ = y₂
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → List β
⊢ (∀ (l_1 : List β), l_1 ∈ map f l → l_1 = []) ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → f x = []
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Monad.id C).η.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
NoZeroSMulDivisors α β
⊢ 0 ∈ s • t ↔ 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty
K : Type u
DivisionRing K
L : Type v
Semiring L
f g : K →+* L
h : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑⊤
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖
u : Set α
ul : u ∈ l
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := u ∩ {b | ε < ‖f b‖}
⊢ False
α : Type u_1
𝕜 : Type u_4
RCLike 𝕜
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(MeasureTheory.Lp 𝕜 2 μ)
⊢ ⟪MeasureTheory.indicatorConstLp 2 hs hμs 1, f⟫_𝕜 = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f✝ : Dual K V₁
hf✝ : f✝ ≠ 0
f g : Dual K V₁
x : V₁
h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g
h' : f x = g x
hx : f x ≠ 0
p : Submodule K V₁ := Submodule.span K {x}
hp : p ≠ ⊥
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hf : f ≠ 0
y z : V₁
hz : z ∈ p
hy' : g y = 0
hy : f y = 0
⊢ f (y + z) = g (y + z)
α : Type u_1
OrderedRing α
LocallyFiniteOrder α
⊢ Monotone fun n => Finset.Icc (-↑n) ↑n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b x : α
hx : x ∈ abs ⁻¹' Ici (max (-a) b)
⊢ x ∈ Iic (a, b).1 ∪ Ici (a, b).2
α : Type u_1
Add α
LinearOrder α
a b c d : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : a + b ≤ c + d
⊢ min a b ≤ max c d
xl xr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
j : xr
⊢ (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR).LF (xR j)
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
LocallyFiniteOrderTop α
⊢ Finset.Ioo a b ⊆ Finset.Ici a
R : Type u
Ring R
X : ModuleCat R
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).obj X = AddCommGrp.of ↑X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn (fun t => (x - t) ^ (n + 1)) (Icc x₀ x)
xy_ne : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, (x - y) ^ n ≠ 0
hg' : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, -(↑n + 1) * (x - y) ^ n ≠ 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo x₀ x
h : f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = (-((x - y) ^ n / ↑n ! * (x - x₀) ^ (n + 1)) / (-(↑n + 1) * (x - y) ^ n)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y
⊢ f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y * (x - x₀) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hi : ∀ m < n, 1 < m → (cyclotomic m R).coeff 0 = 1
hn : 1 < n
hprod : ∏ i ∈ n.properDivisors, (cyclotomic i R).coeff 0 = -1
heq : (X ^ n - 1).coeff 0 = -(cyclotomic n R).coeff 0
⊢ (cyclotomic n R).coeff 0 = 1
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ max a b = a
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z w : K
⊢ normSq (z + w) = normSq z + normSq w + 2 * re (z * (starRingEnd K) w)
α : Type u
PartialOrder α
l : List α
h₁ : List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
h₂ : l.Nodup
⊢ List.Sorted (fun x x_1 => x > x_1) l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
s : Set β
inst✝ : MeasurableSpace β
hs : MeasurableSet s
⊢ (p.bindOnSupport f).toMeasure s = ∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h).toMeasure s
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
inst✝² : ∀ (i : ι), InvariantBasisNumber (End (s i))
o : HomOrthogonal s
α β : Type
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
f : α → ι
g : β → ι
i : (⨁ fun a => s (f a)) ≅ ⨁ fun b => s (g b)
c : ι
⊢ Nonempty (↑(f ⁻¹' {c}) ≃ ↑(g ⁻¹' {c}))
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
H : ∀ (a : α), count a l₁ = count a l₂
⊢ l₁ ~ l₂
α : Type u
Preorder α
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
⊢ IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.range ⇑c)
α : Type u_1
n n' : ℕ
s : Sym α n
n'' : ℕ
h : n = n'
h' : n' = n''
⊢ (Sym.cast h') ((Sym.cast h) s) = (Sym.cast ⋯) s
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝¹ : F.PreservesMonomorphisms
I : D
hI : Injective I
X Y : C
f : X ⟶ G.obj I
g : X ⟶ Y
inst✝ : Mono g
w : F.obj Y ⟶ I
h : F.map g ≫ w = F.map f ≫ adj.counit.app I
⊢ ∃ h, g ≫ h = f
α : Type u_2
AddMonoid α
s : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ ThreeAPFree s
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.coeff n ≠ 0
⊢ ↑n ≤ p.degree
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s t₁ t₂ : Finset α
ht : t₁ ⊆ t₂
⊢ s.disjSups t₁ ⊆ s.disjSups t₂
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0 \ Ioc 0 M
htM : M < t
⊢ (μ {a | t ≤ f a}).toReal = 0
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
a : α
x : β
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ a • t ∈ 𝓝 (a • x)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s✝ t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i : ι
s : Set ι
f g : ι → M₀
x✝ : ι
⊢ s.indicator (fun i => f i * g i) x✝ = s.indicator f x✝ * s.indicator g x✝
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
A : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))
ω : Ω
hωpos : Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
hωneg : Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))
⊢ Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α
⊢ s.erase a ∩ t = (s ∩ t).erase a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ Submodule.comap (rTensor N' g) (ker (lTensor P g')) = range (lTensor N f') ⊔ range (rTensor N' f)
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)
⊢ (forget TopCat).map (D.f j i) '' ((forget TopCat).map (D.t i j) '' (⇑(D.f i j) ⁻¹' U)) = ⇑(D.f j i) '' (⇑(D.f i j) ∘ ⇑(D.t j i) ⁻¹' U)
n : ℕ
⊢ fib (n + 2) = fib n + fib (n + 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c • μ s = ⊤ → μ s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
hcμs : c • μ s ≠ ⊤
⊢ ‖T s‖ ≤ c.toReal * C * (μ s).toReal
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
inner' : E →+ E →+ 𝕜 := { toFun := fun x => ((innerₛₗ 𝕜) x).toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
this : Continuous fun p => (inner' p.1) p.2
⊢ Continuous (⋯.extend fun p => (inner' p.1) p.2)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
P : Algebra.Generators R T
n : P.vars
⊢ P.toExtendScalars.val n = MvPolynomial.X n
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, C ≤ deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
⊢ C * (y - x) ≤ f y - f x
d : ℕ
a : ℤ√↑d
⊢ a.Nonneg → ∃ x y, a = { re := ↑x, im := ↑y } ∨ a = { re := ↑x, im := -↑y } ∨ a = { re := -↑x, im := ↑y }
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : HasContDiffBump G
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
φ✝ : ContDiffBump 0
x₀✝ : G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
ι : Type u_1
φ : ι → ContDiffBump 0
l : Filter ι
K : ℝ
hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)
h'φ : ∀ᶠ (i : ι) in l, (φ i).rOut ≤ K * (φ i).rIn
hg : LocallyIntegrable g μ
this : μ.IsAddHaarMeasure
x₀ : G
h₀ : Tendsto (fun a => ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x₀) (𝓝 0)
hφ' : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝[>] 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (t : G), (φ i).normed μ (x₀ - t) • g t ∂μ) l (𝓝 (g x₀))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
LocallyCompactSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
h_KU : K ⊆ U
⊢ ∃ L, IsCompact L ∧ K ⊆ interior L ∧ L ⊆ U
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
a b : G
⊢ a / b ∈ H ↔ b / a ∈ H
x p : ℝ
hp : p > 2
hxp : LiouvilleWith p x
n : ℕ
hn : 1 / (↑n + 1) < p - 2
⊢ x ∈ ⋃ m, (fun x => x + ↑m) ⁻¹' ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ
b : ℝ≥0
⊢ ENNReal.ofReal a ≤ ↑b ↔ a ≤ (↑b).toReal
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.216946}
α : Type u
n : ℕ
t : Set α
H : ∀ (s : Finset α), ↑s ⊆ t → s.card ≤ n
s : Finset ↑t
u : Finset α := Finset.image Subtype.val s
this : u.card = s.card
⊢ ↑u ⊆ t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
f : M → M'
n : ℕ∞
g : N → N'
p : M × N
hf : ContMDiffAt I I' n f p.1
hg : ContMDiffAt J J' n g p.2
⊢ ContMDiffAt (I.prod J) (I'.prod J') n (Prod.map f g) p
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ closure s \ interior s = frontier s
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
y z✝ : V
a : K
z : V
hz : z ∈ span K s
h : a • y + z ∉ span K s
⊢ y = a⁻¹ • (a • y + z) + -a⁻¹ • z
α : Type u_2
Add α
f : Filter α
b : α
⊢ f + pure b = Filter.map (fun x => x + b) f
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
⊢ x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
n : ℕ
hn : Odd n
u : (ZMod n)ˣ := ZMod.unitOfCoprime 2 ⋯
hu : ∀ (a : ZMod n), a + a = 0 ↔ a = 0
i j : ZMod n
h✝ : Commute (sr i, sr j).1 (sr i, sr j).2
h : i = j
⊢ ↑u⁻¹ * (2 * j) = j
α : Type u
DivisionRing α
a b : α
cn : ℤ
cd : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (a * b⁻¹) cn cd → Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (a / b) cn cd
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : a = 0
⊢ b = 0 ∨ a ^ ω ≤ b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x
⊢ mfderivWithin I I' f s x = f'
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 4 = 0
hb : b % 2 = 1
hc : a / 4 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
⊢ jacobiSym (↑a) b = jacobiSym (↑a / 4) b
⊢ Filter.Tendsto Real.tan (𝓝[>] (-(Real.pi / 2))) Filter.atBot
R : Type u₁
S : Type u₂
Ring R
Ring S
f : R →+* S
M : ModuleCat R
N : ModuleCat S
g : ↑M →ₛₗ[f] ↑N
a : ↑M
⊢ ((ModuleCat.semilinearMapAddEquiv f M N) g) a = g a
G : Type u_1
CommGroup G
⊢ ⇑(𝟙 (CommGrp.of G)) = id
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
⊢ ↑s.toSubmonoid = ↑s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
φ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
ψ : (p : ℤ) → G.X p ⟶ K.X p
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHoms φ).comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHoms ψ) ⋯ =
  CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHoms fun p => φ p ≫ ψ p
G✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace G✝
inst✝² : TopologicalGroup G✝
G : Type u_2
u : UniformSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniformGroup G
⊢ 𝓤 G = 𝓤 G
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x✝ y z : α
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
x₀ : α
hx₀ : x₀ ∈ s
T : ℕ → Set α
hTc : ∀ (n : ℕ), (T n).Countable
hsT : ∀ (n : ℕ), s ⊆ ⋃ x ∈ T n, closedBall x (↑n)⁻¹
f : ℝ≥0∞ → α → α
hfs : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), f r x ∈ s
hf : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), closedBall x r ∩ s ⊆ closedBall (f r x) (r * 2)
x : α
hx : x ∈ s
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
n : ℕ
hn : (↑n)⁻¹ < ε / 2
⊢ ∃ y ∈ ⋃ n, f (↑n)⁻¹ '' T n, edist x y < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν' : μ ⟂ₘ ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
h_ac : ν ≪ ν + ν'
h₁ : (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae (ν + ν')] (μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν')
h₂ : (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν).rnDeriv ν + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
h₃ : (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
h₄ : (μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] 0
h₅ : (μ.singularPart ν).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] 0
x : α
hx₃ : (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') x = (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν x
hx₄ : (μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') x = 0 x
hx₅ : (μ.singularPart ν).rnDeriv ν x = 0 x
⊢ ((μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν')) x = ((μ.singularPart ν).rnDeriv ν + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν) x
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f : C(X, ℝ≥0)
⊢ φ f - φ 0 = φ f
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
⊢ cs.IsReduced ω.reverse
a b c d : ℤ
b0 : 0 < b
d0 : 0 < d
⊢ Rat.divInt a b ≤ Rat.divInt c d ↔ a * d ≤ c * b
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ x = yᶜ ↔ y = xᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
Group γ
TopologicalGroup γ
f : C(β, γ)
z : ℤ
g : C(α, β)
⊢ (f ^ z).comp g = f.comp g ^ z
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
A : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} A
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ ℱ' : CategoryTheory.Sheaf K A
i : G.op.comp ℱ.val ≅ G.op.comp ℱ'.val
⊢ (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.sheafIso i).inv.val = (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.presheafIso i).inv
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
x : Z
ex : x ∈ e.source
⊢ ContinuousAt proj x
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : ι → Submodule R M
hp : Independent p
⊢ #{ i // p i ≠ ⊥ } ≤ ↑(finrank R M)
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)) ((jacobiTheta τ - 1) / 2)
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
α : Type u_1
f : α → MultilinearMap R M₁ M₂
s : Finset α
⊢ ⇑(∑ a ∈ s, f a) = ∑ a ∈ s, ⇑(f a)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
⊢ essSup (fun x => ↑(c * ‖g x‖₊)) μ = essSup (fun x => ↑c * ↑‖g x‖₊) μ
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
Add β
b : β
⊢ (AddEquiv.symm e.addEquiv) b = e.symm b
α β : Type u
s : Set Cardinal.{u}
ι : Type u
e : ↑s ≃ ι
⊢ (range fun x => ↑(e.symm x)) = s
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
c : ℝ
⊢ (normAtPlace w) (fun x => c, fun x => ↑c) = |c|
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
h : x + ↑m ≤ f x
⊢ ↑m ≤ f.translationNumber
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
⊢ (Action.functorCategoryEquivalence V G).counitIso = Action.FunctorCategoryEquivalence.counitIso
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
CommSemiring R
Semiring A₁
Algebra R A₁
⊢ AlgEquiv.refl.autCongr = MulEquiv.refl (A₁ ≃ₐ[R] A₁)
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
Zero N
f : M → N
hf : f 0 = 0
a : α
b : M
⊢ Finsupp.mapRange f hf (Finsupp.single a b) = Finsupp.single a (f b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
c : (X : C) → ClosureOperator (CategoryTheory.Sieve X)
hc :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : CategoryTheory.Sieve X),
    (c Y) (CategoryTheory.Sieve.pullback f S) = CategoryTheory.Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
⊢ (CategoryTheory.topologyOfClosureOperator c hc).sieves X = {S | (c X) S = ⊤}
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
n : ℕ
X₁ X₂ X₃ : Cᵒᵖ
f : X₁ ⟶ X₂
f' : X₂ ⟶ X₃
Y : C
α : ↑(({ obj := fun X => extFunctorObj (Opposite.unop X) n, map := fun {X₁ X₂} f => { app := fun Y => AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯), naturality := ⋯ } }.obj X₁).obj Y)
⊢ ((Ext.mk₀ f'.unop).comp (Ext.mk₀ f.unop) ⋯).comp α ⋯ = (AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯) ≫ AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f'.unop).comp α ⋯) ⋯)) α
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Z : C
inst✝ : HasLeftDual Z
f : Y ⟶ ᘁZ
⊢ f ⊗≫ η_ (ᘁZ) Z ▷ ᘁZ ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z = f ≫ (ρ_ ᘁZ).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g : β → γ
hf : Set.MapsTo f s t
⊢ Set.MapsTo (g ∘ f) s (g '' t)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ f.support ∩ g.support = ∅ ↔ f.support ⊓ g.support = ⊥
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
⊢ False
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
⊢ ↑s.toNonUnitalSubsemiring = ↑s