ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M' G'
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ P ((↑f ∘ g) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
i j : n
p : R[X]
k : ℕ
⊢ (matPolyEquiv (Matrix.stdBasisMatrix i j p)).coeff k = Matrix.stdBasisMatrix i j (p.coeff k)
n : Type u_3
α : Type v
Fintype n
MulOneClass α
AddCommMonoid α
v : n → α
⊢ v ⬝ᵥ 1 = ∑ i : n, v i
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Antitone f
a : α
⊢ Antitone fun x => a * f x
α : Type u_1
s : Set α
MeasurableSpace α
⊢ (Measurable fun x => x ∈ s) ↔ MeasurableSet s
α : Type u_2
Sub α
s t : Set α
a b : α
⊢ a ∈ s → b ∈ t → a - b ∈ s - t
R : Type u
CommRing R
IsNoetherianRing R
⊢ IsNoetherianRing (MvPolynomial (Fin 0) R)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
a : α
f : Filter β
⊢ pure a ×ˢ f = map (Prod.mk a) f
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : Group G
inst✝² : PseudoMetricSpace G
inst✝¹ : IsometricSMul G G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b c : G
⊢ dist (a / b) (a / c) = dist b c
R : Type uR
CommRing R
A : Type uA
AddCommGroup A
B : Type uB
AddCommGroup B
Module R A
Module R B
a : CharacterModule (TensorProduct R A B)
⊢ ∀ (x : A) (a_1 : B), ((CharacterModule.homEquiv.symm a) x) a_1 = a (x ⊗ₜ[R] a_1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
CategoryTheory.Preregular C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
∀ (X : C), CategoryTheory.Projective X
F : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) A
⊢ (CategoryTheory.Presheaf.coherentExtensiveEquivalence.functor.obj F).val = F.val
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
⊢ ∀ x ∈ (range n).finsuppAntidiag d, ∏ i ∈ range n, (coeff R (x i)) f = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
δ : Type u_9
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : DistribMulAction M A
r : M
x : A
⊢ r • -x + r • x = 0
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ Ideal.homogeneousCore 𝒜 I = sSup {J | J.toIdeal ≤ I}
X : Type u
Preorder X
x y : X
h : x ≤ y
⊢ ⋯ = h
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
⊢ AddMonoidHom.mrange f = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hfi : HasFiniteIntegral f μ
x : α
⊢ ENNReal.ofReal (f x) ≤ ↑‖f x‖₊
G : Type u_1
Group G
S : Set (Subgroup G)
s : Subgroup G
hs : s ∈ S
x : G
⊢ x ∈ s → x ∈ sSup S
α : Type u
s : Set α
⊢ s ∈ Filter.cocountable ↔ sᶜ.Countable
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
a b : α → 𝕜
u v : α → E
l : Filter α
hab : a ~[l] b
huv : u ~[l] v
φ : α → 𝕜
hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)
habφ : a =ᶠ[l] φ * b
this : ((fun x => a x • u x) - fun x => b x • v x) =ᶠ[l] fun x => b x • (φ x • u x - v x)
⊢ (fun x => φ x • u x - v x) =o[l] v
n x y : Nat
hx : x < n
hy : y < n
⊢ ⟨x, hx⟩ < ⟨y, hy⟩ ↔ x < y
α : Type u_1
p q : Prop
s : p ∧ q → Set α
⊢ ⋂ (h : p ∧ q), s h = ⋂ (hp : p), ⋂ (hq : q), s ⋯
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
⊢ ∀ (b : LieIdeal K L), IsAtom b → ¬b = I → b ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
CategoryTheory.Equivalence.TransportsGrothendieckTopology J K e
F : CategoryTheory.Sheaf J A
X : Dᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.Equivalence.sheafCongr.functor J K e A).obj F).val.obj X =
  F.val.obj (Opposite.op (e.inverse.obj (Opposite.unop X)))
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y : α
hx : x ∈ l
hy : y ∈ l
h : indexOf x l = indexOf y l
x_eq_y : x = y
⊢ x = y
n m : ℕ+
⊢ (n * m).factorMultiset = n.factorMultiset + m.factorMultiset
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : SpectralMap β γ
g : SpectralMap α β
⊢ ↑(f.comp g) = (↑f).comp ↑g
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝² : DecidableRel r
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsRefl α r
x : α
xs : List α
h : x ∈ takeWhile (fun b => decide ¬r x b) xs
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : CategoryTheory.GlueData C
i j : D.J
⊢ D.diagram.fst (i, j) = D.f i j
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.MapsTo f s t
hc : Set.MapsTo f sᶜ tᶜ
x : α
⊢ f x ∈ t ↔ x ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
⊢ ∃ S T,
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
    ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H → CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (T mY) = T mX
S : Type u_2
Semiring S
n : ℕ
⊢ Polynomial.eval 1 (ascPochhammer S n) = ↑n.factorial
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
R : Type u_3
CommMonoidWithZero R
Nontrivial R
χ : MulChar R R'
⊢ ∀ (a : R), ↑χ a = (↑χ.toMonoidHom).toFun a
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : PerfectRing L p
x : K
h✝ : x ∈ pNilradical K p
n : ℕ
h : (iterateFrobeniusEquiv L p n).symm (i (x ^ p ^ n)) = (iterateFrobeniusEquiv L p n).symm (i 0)
⊢ x ∈ ker i
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
x : R
⊢ EuclideanDomain.lcm x 0 = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)
X : Dᵒᵖ
a b : (forget A).obj (F.obj X)
h : (f.app X) a = (f.app X) b
⊢ equalizerSieve a b ∈ K.sieves (Opposite.unop X)
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] 0
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : ↑ε > 0
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π) 0 ≤ ↑ε
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
M₂ : Type u_10
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g : M₂ ≃ₗ[R] M
⊢ f.compLinearMap ↑g = 0 ↔ f = 0
α : Type u
β : Type v
s : Computation α
f : α → Computation β
s.Terminates
(f s.get).Terminates
⊢ (s.bind f).get = (f s.get).get
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
f : F
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c' • f) s x
α : Type u_1
Semigroup α
⊢ DecompositionMonoid α ↔ ∀ (a : α), IsPrimal a
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
G' : Type u_8
Norm E
Norm F
SeminormedAddCommGroup G'
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
k : α → G'
h₁ : f =o[l] g
h₂ : g =Θ[l] k
⊢ f =o[l] k
K : Type u_1
Field K
NumberField K
N : ℕ
hK : |NumberField.discr K| ≤ ↑N
a : NumberField.RingOfIntegers K
h : ℚ⟮↑a⟯ = ⊤
⊢ (minpoly ℤ ↑a).natDegree ≤ NumberField.hermiteTheorem.rankOfDiscrBdd N
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
⊢ 1 = DilationEquiv.refl X
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
a : G
n : ℤ
⊢ ↑(n • a) = n • ↑a
R : Type u
CommSemiring R
n : ℕ
⊢ ⊤ ^ n = ⊤
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : ValuationRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
a b : R
⊢ ∃ c, f a * c = f b ∨ f b * c = f a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
S S' : C
f : S' ⟶ S
X Y : Over S
g : X ⟶ Y
H : P g.left
this✝ : P.RespectsIso
e : pullback g.left (pullback.fst Y.hom f) ≅ pullback X.hom f := pullbackRightPullbackFstIso Y.hom f g.left ≪≫ pullback.congrHom ⋯ ⋯
this : e.inv ≫ pullback.snd g.left (pullback.fst Y.hom f) = ((Over.pullback f).map g).left
⊢ P (pullback.snd g.left (pullback.fst Y.hom f))
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
⊢ μ[f * g|m] =ᵐ[μ] f * μ[g|m]
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
⊢ Finset.univ ×ˢ Finset.univ = Finset.univ
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
⊢ p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = p.coeff p.natDegree * q.coeff q.natDegree
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Φ : Submodule R (Module.Dual R M)
⊢ Submodule.map (Module.Dual.eval R M) Φ.dualCoannihilator ≤ Φ.dualAnnihilator
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α✝
inst✝² : FloorRing α✝
z : ℤ
a✝ : α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing α
inst✝ : FloorRing α
a b : α
h : ⌊a⌋ = ⌊b⌋
⊢ |a - b| < 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.57632, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝² : S₁.HasHomology
inst✝¹ : S₂.HasHomology
inst✝ : QuasiIso φ
⊢ S₁.Exact ↔ S₂.Exact
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
⊢ Measurable (μ.rnDeriv ν)
α : Type u_1
ι : Type u_2
s : ι → Set α
S : Set ι
⊢ piiUnionInter (fun i => {s i}) S = {s' | ∃ t, ∃ (_ : ↑t ⊆ S), s' = ⋂ i ∈ t, s i}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
H : ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
⊢ ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C * a ^ n
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → β → α
S : Set β
⊢ (∀ (y : ι), ∀ x ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x_2 : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), (F y x_2.1, F y x_2.2) ∈ x) ↔ ∀ (i : ι), UniformContinuousOn (F i) S
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l : List α
⊢ List.Pairwise R l ↔ List.Pairwise (fun x y => x ∈ l → y ∈ l → R x y) l
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Z : ι → ModuleCatMax R
CategoryTheory.Limits.HasProduct Z
i : ι
⊢ (ModuleCat.piIsoPi Z).hom ≫ LinearMap.proj i = CategoryTheory.Limits.Pi.π Z i
X✝ Y✝ Z✝ : CommRingCatᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ locallyRingedSpaceMap (g.unop ≫ f.unop) = locallyRingedSpaceMap f.unop ≫ locallyRingedSpaceMap g.unop
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
DecidableEq σ
s t : σ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R (Finsupp.single t 1)) (MvPowerSeries.X s) = if t = s then 1 else 0
α : Type u_2
One α
⊢ ⇑Set.singletonOneHom = singleton
R : Type u
inst✝¹ : Semifield R
inst✝ : StarRing R
x y : R
⊢ star (x / y) = star x / star y
γ : Type w
SemilatticeInf γ
a b : γ
⊢ IsGLB {a, b} (a ⊓ b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ MDifferentiableAt I I' f x
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsAffine Y
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
H : ∀ (i : 𝒰.J), Q (Scheme.Hom.app (𝒰.map i ≫ f) ⊤)
⊢ P f
R : Type u_1
CommRing R
u v w : Fin 3 → R
⊢ u ⬝ᵥ (crossProduct v) w = Matrix.det ![u, v, w]
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b x y z : α
h : IsCompl y z
⊢ Disjoint x y ↔ x ≤ z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
∀ (d : D), CategoryTheory.IsCofiltered (CategoryTheory.CostructuredArrow F d)
⊢ F.Initial
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
h : WellFounded fun a b => r' a b ∧ a ∈ t ∧ b ∈ t
hle : r ≤ r'
hst : s ⊆ t
⊢ WellFounded fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Zero X
f g : ContinuousMapZero X ℝ
⊢ (f + g).toNNReal + (-f).toNNReal + (-g).toNNReal = (-(f + g)).toNNReal + f.toNNReal + g.toNNReal
R : Type u_4
Mul R
Add R
x : R
⊢ (RingEquiv.refl R) x = x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
TopologicalSpace γ
Preorder γ
TopologicalSpace δ
Preorder δ
f : γ →Co δ
g : β →Co γ
h : α →Co β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
hs : (s₁, s₂).1 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).2 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).1 ≠ (s₁, s₂).2
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
ht : (t₁, t₂).1 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).2 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).1 ≠ (t₁, t₂).2
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
a : α
ha : a ∈ (u, v).1
⊢ False
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ (⋃ i_1 ∈ s, r i_1).Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ ⋃ i_2 ∈ s, r i_2, U i_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
a b : 𝕜
f : 𝕜 → E
h : b ≠ a
⊢ dslope (fun x => (x - a) • f x) a b = f b
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ 1 * φ = φ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
f' : F
x v : E
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v ↔ Filter.Tendsto (fun t => t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 f')
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeSup α
inst✝⁴ : OrderTop α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t : Finset α
a✝ b : α
e : α ≃o β
s : Finset α
a : α
this : e a ∈ lowerClosure ↑(map e.toEmbedding s) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s
⊢ e (s.truncatedSup a) = (map e.toEmbedding s).truncatedSup (e a)
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
m : β
f : β → α
⊢ HasProd ({m}.restrict f) (f m)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto f (𝓝[>] a) l
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ ↑(max a b) = max ↑a ↑b
n : ℕ
⊢ finSuccEquivLast (Fin.last n) = none
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
s t : Set ℝ
intervalIntegral.FTCFilter b (𝓝[s] b) (𝓝[t] b)
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝[t] b) MeasureTheory.volume
hb : ContinuousWithinAt f t b
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in a..u, f x) (f b) s b
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v₁ v₂ : AddValuation R Γ₀
h : ∀ (r : R), v₁ r = v₂ r
⊢ v₁ = v₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
A : C
CategoryTheory.IsIso (h.unit.app A)
⊢ A ∈ R.essImage
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
x : α
p : ℝ → Prop
⊢ f ⁻¹' {y | p (dist y (f x))} = {y | p (dist y x)}
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
h2 : (fun x => a + a - x) '' Ioi a = Iio a
⊢ #↑((fun x => a + a - x) '' Ioi a) + #↑{a} + #↑(Ioi a) < 𝔠
R : Type u
CommSemiring R
f : R[X]
⊢ f.Separable ↔ ∃ a b, a * f + b * Polynomial.derivative f = 1
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
_h : v ≠ w
⊢ filter (fun x => x ∈ ⊥.commonNeighbors v w) univ = ∅
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume) * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume
hst : 0 < (s + t).re
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
y : ℝ
⊢ cexp (-↑x) = cexp (-↑y + -(↑x - ↑y))
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
⊢ μ (closedBall 0 1) = μ (ball 0 1)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ a \ c ≤ a \ b ⊔ b \ c
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
a : ℕ
h : a ∈ f.eraseLead.support
⊢ a < f.natDegree
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.iCondIndepSet m' hm' s μ ↔
  ∀ (S : Finset ι), μ[(⋂ i ∈ S, s i).indicator fun ω => 1|m'] =ᵐ[μ] ∏ i ∈ S, μ[(s i).indicator fun ω => 1|m']
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A
⊢ ‖x‖ = ‖(Unitization.splitMul 𝕜 A) x‖
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0
h : b < a
⊢ a * (1 / c) < b * (1 / c)
α : Type u_1
β : Type v
f : α → Option β
s t : Multiset α
h : s ≤ t
⊢ Multiset.filterMap f s ≤ Multiset.filterMap f t
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
E : Type u₅
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} E
F : CategoryTheory.Functor (C₁ × C₂) E
hF : (W₁.prod W₂).IsInvertedBy F
W₁.ContainsIdentities
W₂.ContainsIdentities
⊢ W₂.Q.comp
    (CategoryTheory.curry.obj (CategoryTheory.Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget.prodLift F hF)).flip =
  (CategoryTheory.Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget.prodLift₁ F hF).flip
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ a ∉ s → (a ::ₘ s).dedup = a ::ₘ s.dedup
F : Type u_1
Field F
Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
⊢ IsSquare ↑p ↔ (quadraticChar (ZMod p)) (↑(ZMod.χ₄ ↑(Fintype.card F)) * ↑(Fintype.card F)) ≠ -1
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
⊢ StrictAnti compl
α : Type u_2
M : Type u_4
LE M
Zero M
s : Set α
f g : α → M
hfg : ∀ a ∈ s, f a ≤ g a
hg : ∀ a ∉ s, 0 ≤ g a
⊢ s.indicator f ≤ g
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s a b : Set X
h : IsClopen s
cover : s ⊆ a ∪ b
ha : IsOpen a
hb : IsOpen b
hab : Disjoint a b
this : IsClosed (s ∩ bᶜ)
⊢ s ∩ a = s ∩ bᶜ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : SchwartzMap E F
x₀ : E
⊢ ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 0) f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α
n : ℕ
⊢ MeasurableSet ((fun x => mapNatBool α x n) ⁻¹' {true})
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
UniformSpace α
S : Set C(X, α)
hS1 : IsCompact (ContinuousMap.toFun '' S)
hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
⊢ IsCompact S
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ a ≤ c → min a b ≤ c
α : Type u_1
p : α → Option α
a : α
l : List α
⊢ List.replaceF p (a :: l) =
  match p a with
  | none => a :: List.replaceF p l
  | some a' => a' :: l
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
⊢ Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥B * Module.rank ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ DiscreteTopology ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))
α : Type u_1
AddCommGroup α
l r tl tr t : α
prl : l = tl
prr : r = tr
prt : tl + tr = t
⊢ l + r = t
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
x g : G
hx : x ∈ centralizer ↑P
hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P
h1 : ↑P ≤ centralizer ↑(zpowers x)
⊢ ∃ n ∈ (↑P).normalizer, g⁻¹ * x * g = n⁻¹ * x * n