ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
⊢ SameRay R (f.linear (x -ᵥ p₁)) (f.linear (y -ᵥ p₂))
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ StrictMono (WithBot.map f) ↔ StrictMono f
R : Type u
Ring R
G H : ModuleCat R
f : G ⟶ H
⊢ ModuleCat.factorThruImage f ≫ ModuleCat.image.ι f = f
α : Type u
l : List α
s : Stream'.WSeq α
⊢ Computation.corec
    (fun x =>
      match x with
      | (l, s) =>
        match Stream'.Seq.destruct s with
        | none => Sum.inl l.reverse
        | some (none, s') => Sum.inr (l, s')
        | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s'))
    (l, s) =
  (fun x => l.reverse ++ x) <$> s.toList
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
LinearOrder β
f : β → α
SecondCountableTopology α
⊢ {x | ∃ z < f x, ∀ y < x, f y ≤ z}.Countable
b x : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0
b0 : b ≠ 0
⊢ b ^ log b x ≤ x
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
φ : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
DecidableEq ι
i : ι
⊢ ⇑(LinearMap.stdBasis R φ i) = Pi.single i
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → α → Prop
f : β → α
⊢ (Set.range f).WellFoundedOn r ↔ WellFounded (r on f)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.restrict (⋃ i, spanningSets μ i)) s = μ s
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
f : R[A]
fs : List R[A]
⊢ (f :: fs).prod.support.sup degb ≤ (List.map (fun f => f.support.sup degb) (f :: fs)).sum
α : Type u_5
NormedDivisionRing α
NormedAlgebra ℝ α
a : α
⊢ a * Matrix.unitOf a = (algebraMap ℝ α) ↑‖a‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ ∅, IsBigOWith (C i) l (A i) g
⊢ IsBigOWith (∑ i ∈ ∅, C i) l (fun x => ∑ i ∈ ∅, A i x) g
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
h : p i
⊢ (filter p f) i = f i
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
z : S
⊢ IsLocalization.mk' S x y = z ↔ (algebraMap R S) x = z * (algebraMap R S) ↑y
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hq : ∀ (y : ℕ), (fun p => Nat.Prime p ∧ p ∣ n) y → y = p
hp : Nat.Prime p
hn : p ∣ n
hn₀ : n ≠ 0
⊢ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
x y : P.Cotangent
⊢ (x - y).val = x.val - y.val
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
h : ∃ b, a < b
⊢ (𝓝[>] a).HasBasis (fun x => a < x) (Set.Ioo a)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ (((λ_ (R.X ⊗ P.X)).inv ≫ 𝟙_ C ◁ P.actLeft) ≫ R.one ▷ P.X) ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft))
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
I : Ideal S
Algebra R S
Nontrivial R
IsDomain S
Algebra.IsIntegral R S
hI : Ideal.comap (algebraMap R S) I = ⊥
⊢ I = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
e : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
e' : H →L[𝕜] K := ↑{ toLinearEquiv := e.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
⊢ e'.comp ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ } = id 𝕜 K
s : Lean.Omega.Constraint
x v : Lean.Omega.Coeffs
w : s.sat' x v = true
⊢ (Lean.Omega.positivizeConstraint s x).sat' (Lean.Omega.positivizeCoeffs s x) v = true
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts
⊢ (∑ i ∈ P.parts, i.card) / P.parts.card ≤ t.card
G : Type u_3
Group G
g : G
⊢ MulAction.orbit (ConjAct G) g = (ConjClasses.mk g).carrier
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ⌈OfNat.ofNat n⌉ = ↑n
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
this : ((∫⁻ (x : Ω), ↑‖X x - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ) ^ 2⁻¹) ^ 2 < ⊤
⊢ evariance X μ < ⊤
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f : BoundedContinuousFunction α β
s : Set α
⊢ Bornology.IsBounded (⇑f '' s)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ ↑((associatesEquivIsPrincipal R) 0) = 0
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Function.Injective f
g : α → γ
⊢ Function.FactorsThrough g f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D✝ : GlueData C
D : GlueData (Type v)
x' : D.sigmaOpens
⊢ ∃ i y, (Sigma.ι D.diagram.right i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) y = D.π ((colimit.isoColimitCocone (Types.coproductColimitCocone D.U)).inv ((colimit.isoColimitCocone (Types.coproductColimitCocone D.U)).hom x'))
μ : YoungDiagram
j a b : ℕ
⊢ (a, b) ∈ μ.col j ↔ (a, b) ∈ Finset.range (μ.colLen j) ×ˢ {j}
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
b c : M
⊢ z₁ * (z₂ * (b * c)) = z₁ * (z₂ * b * c)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f g : α →₀ M
⊢ f ≠ g ↔ ∃ a, f a ≠ g a
⊢ RingHom.OfLocalizationSpanTarget @RingHom.FinitePresentation
R : Type u
CommRing R
IsNoetherianRing R
⊢ (minimalPrimes R).Finite
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
I : S.Arrow
e : (J.pullback I.f).obj (unop (op S)) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
i : ((unop (op ((J.pullback I.f).obj (unop (op S))))).index P).L
⊢ (P.map (Cover.Arrow.map i e).f.op) (↑x I) = (Multiequalizer.ι (S.index P) (Cover.Arrow.base i)) ((Meq.equiv P S).symm x)
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
n : ℕ
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
⊢ log (a ^ n) = n • log a
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
b : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproduct.bicone f).ι b = CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f b
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
fd_ne_zero : (algebraMap R (FractionRing R)) ↑(↑I).den ≠ 0
⊢ ∃ x, I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) x = (FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) ⟨integralRep ↑I, ⋯⟩
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
Archimedean α
⊢ LinearOrderedField.inducedMap α β 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : SemilatticeSup β
f g : β → α
hf : Monotone f
hg : Antitone g
h : f ≤ g
n : β
this : Nonempty β
⊢ ⨆ n, f n ∈ Icc (f n) (g n)
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
g : Filter β
φ : α → β
ψ : β → α
eq : ψ ∘ φ = id
hφ : Filter.Tendsto φ f g
hψ : Filter.Tendsto ψ g f
⊢ Filter.comap φ g = f
θ : ℝ
⊢ cos θ ≠ 0 → (tan θ = 0 ↔ ∃ k, ↑k * π = θ)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
⊢ { α := ↑{o' | o' < ⟦{ α := α, r := r, wo := wo }⟧}, r := Subrel (fun x x_1 => x < x_1) {o' | o' < ⟦{ α := α, r := r, wo := wo }⟧}, wo := ⋯ } ≈ { α := ULift.{u + 1, u} { α := α, r := r, wo := wo }.α, r := ULift.down ⁻¹'o { α := α, r := r, wo := wo }.r, wo := ⋯ }
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f : End F
A : PointedGaloisObject F
⊢ F.map ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) f)).hom A.pt = f.app A.obj A.pt
X : Type u_3
TopologicalSpace X
self : R1Space X
x y : X
⊢ x ⤳ y ∨ Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C
⊢ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom ≫ W ◁ (α_ X Y Z).inv ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).inv = (α_ (W ⊗ X) Y Z).inv ≫ (α_ W X Y).hom ▷ Z
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
f : M ≃ₗ[R] M
⊢ ↑(LinearEquiv.det f) = LinearMap.det ↑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
⊢ CPolynomialAt 𝕜 f x
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
A : ¬K * L⁻¹ = univ
g : G
hg : g ∉ K * L⁻¹
⊢ ∃ g, Disjoint K (g • L)
R : Type u
Semiring R
self : StrongRankCondition R
n m : ℕ
f : (Fin n → R) →ₗ[R] Fin m → R
⊢ Function.Injective ⇑f → n ≤ m
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : ∀ (x : L ≃ₐ[K] L), x ∈ Subgroup.zpowers σ
hσ' : orderOf σ = Fintype.card (L ≃ₐ[K] L)
this : (minpoly K σ.toLinearMap).IsRoot ζ
v : L
hv : Module.End.HasEigenvector σ.toLinearMap ζ v
⊢ ∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopBraidedFunctor C).map f).unmop = f
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddGroup (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : AddCommGroup γ
f g : Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
h_sub : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ - b₂) = h i b₁ - h i b₂
this : (liftAddHom fun a => AddMonoidHom.ofMapSub (h a) ⋯) (f - g) = (liftAddHom fun a => AddMonoidHom.ofMapSub (h a) ⋯) f - (liftAddHom fun a => AddMonoidHom.ofMapSub (h a) ⋯) g
⊢ (f - g).sum h = f.sum h - g.sum h
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), z i < y i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), z i + δ < y i
⊢ ball y δ ⊆ s
a b : Prop
⊢ a ∨ b ↔ ¬a → b
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x✝¹ : ℝ
x✝ : 𝕜
⊢ { toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun (x✝¹ • x✝) = (RingHom.id ℝ) x✝¹ • { toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun x✝
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
y : ℤ
h : x = ↑y ∧ y * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n
⊢ |x.valMinAbs - y| < ↑n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (𝟙_ C)).inv = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (𝟙_ C)).inv
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
ha : a ∈ S
⊢ b ∈ s
α : Type u_2
Semiring α
a : α
h : Even a
⊢ Odd (a + 1)
G : Type u
Group G
B : GroupFilterBasis G
x : G
⊢ (B.N x).HasBasis (fun V => V ∈ B) fun V => (fun y => x * y) '' V
A : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing A
IsJordan A
a : A
⊢ Commute (L (a * a)) (R a)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ s : Set α
hs : IsClosed s
H : ∀ (u v : Set α), IsClosed u → IsClosed v → s ⊆ u ∪ v → s ∩ (u ∩ v) = ∅ → s ⊆ u ∨ s ⊆ v
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
hss : s ⊆ u ∪ v
huv : Disjoint u v
⊢ s ⊆ u ∨ s ⊆ v
θ : Real.Angle
z : ℂ
⊢ (Complex.orientation.rotation θ) z = ↑θ.expMapCircle * z
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ Neg.neg '' [[a, b]] = [[-a, -b]]
w : Nat
x : BitVec w
⊢ (BitVec.iunfoldr (fun i c => (c, !x.getLsb ↑i)) ()).snd = ~~~x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
self : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.φK h₂.i = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.i φ.τ₂
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
AlgebraicGeometry.IsClosedImmersion g
AlgebraicGeometry.IsClosedImmersion (f ≫ g)
⊢ AlgebraicGeometry.IsClosedImmersion f
G : Type u
CommGroup G
Group.FG G
hG : Monoid.IsTorsion G
⊢ Finite G
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha✝ : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
ha : (z - y) / (z - x) = a
⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
h₁ : ¬↑j✝ = ↑j
h₂ : ¬j✝ = j
⊢ 0 = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
Mul G
Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
DecidableEq H
f : G →ₙ* H
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ UniqueMul (Finset.image (⇑f) A) (Finset.image (⇑f) B) (f a0) (f b0) ↔ UniqueMul A B a0 b0
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s✝ t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Multiset α
f : α → Multiset β
x : β
⊢ (if x ∈ s.dedup.bind f then 1 else 0) = if x ∈ s.bind f then 1 else 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
q n m : ℕ
hnm : AlgebraicTopology.DoldKan.c.Rel m n
X Y : CategoryTheory.SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
⊢ f.app (Opposite.op [n]) ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.hσ' q n m hnm =
  AlgebraicTopology.DoldKan.hσ' q n m hnm ≫ f.app (Opposite.op [m])
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : ℂ → E
hdf : DiffContOnCl ℂ f (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Ioi 0)
hBf : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hdg : DiffContOnCl ℂ g (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Ioi 0)
hBg : ∃ c < 2, ∃ B, g =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, f ↑x = g ↑x
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → f (↑x * Complex.I) = g (↑x * Complex.I)
⊢ Set.EqOn f g {z | z.re ≤ 0 ∧ 0 ≤ z.im}
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0
n : ℕ
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ ↑(cfcUnits f a hf' hf ha ^ n) = ↑(cfcUnits (fun x => f x ^ n) a ⋯ ⋯ ha)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s t : Set (PrimeSpectrum R)
ht : IsClosed t
h : vanishingIdeal t ≤ vanishingIdeal s
⊢ s ⊆ t
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
h : ¬b < a
⊢ a ≤ b
s : Set ℕ
Infinite ↑s
DecidablePred fun x => x ∈ s
x y : ↑s
h : ∀ z < x, z ≤ y
⊢ x ≤ Nat.Subtype.succ y
α : Type u_1
I : Type u_6
l : I → Filter α
ι : I → Sort u_7
p : (i : I) → ι i → Prop
s : (i : I) → ι i → Set α
S : Set I
hd : S.PairwiseDisjoint l
hS : S.Finite
h : ∀ (i : I), (l i).HasBasis (p i) (s i)
⊢ ∃ ind, (∀ (i : I), p i (ind i)) ∧ S.PairwiseDisjoint fun i => s i (ind i)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν✝
μ : Measure α
ν : Measure β
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : generateFrom C = inst✝⁶
hD : generateFrom D = inst✝⁴
h2C : IsPiSystem C
h2D : IsPiSystem D
h3C : μ.FiniteSpanningSetsIn C
h3D : ν.FiniteSpanningSetsIn D
μν : Measure (α × β)
h₁ : ∀ s ∈ C, ∀ t ∈ D, μν (s ×ˢ t) = μ s * ν t
⊢ ∀ s ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D, (μ.prod ν) s = μν s
R : CommRingCat
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec R).sheaf = AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf ↑R
x✝¹ x✝ : ℝ
k : ℤ
h : x✝ = ↑k * π + π / 2 - x✝¹
⊢ (↑x✝).tan = (↑x✝¹).tan⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α
this : ⇑ofDual ⁻¹' s ∈ 𝓝[>] toDual a ↔ ∃ u ∈ Ioi (toDual a), Ioc (toDual a) u ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s
⊢ s ∈ 𝓝[<] a ↔ ∃ l ∈ Iio a, Ico l a ⊆ s
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y
g : Y → Z
x : X
hg : ContinuousAt g (f x)
hf : ContinuousAt f x
⊢ ContinuousAt (fun x => g (f x)) x
α : Type u_1
CommRing α
StrongRankCondition α
E : LinearRecurrence α
⊢ Module.rank α ↥E.solSpace = ↑E.order
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
Fintype α
s : Finset α
a : α
⊢ a ∈ s.addSpan ↔ ∃ ε, (∀ (a : α), ε a = -1 ∨ ε a = 0 ∨ ε a = 1) ∧ ∑ a ∈ s, ε a • a = a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
p : IntermediateField ℚ A → Prop
S : Set { F // p F }
T : Set A
hT : Finite ↑T
h : ∀ F ∈ S, ∃ x ∈ T, ↑F = ℚ⟮x⟯
x✝¹ x✝ : ↑S
h_eq : (fun x => match x with | ⟨F, hF⟩ => ⟨⋯.choose, ⋯⟩) x✝¹ = (fun x => match x with | ⟨F, hF⟩ => ⟨⋯.choose, ⋯⟩) x✝
⊢ x✝¹ = x✝
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ CategoryTheory.Limits.limLax.ε =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift ((CategoryTheory.Functor.const J).obj (𝟙_ C))
    { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (((CategoryTheory.Functor.const J).obj (𝟙_ C)).obj j), naturality := ⋯ } }
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Precoherent C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
F : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology D) A
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), ((e.sheafCongrPrecoherent A).inverse.obj F).val.map f = F.val.map (e.functor.map f.unop).op
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
⊢ ¬f a > ⨆ k, ⨆ (_ : ennrealRatEmbed k ≤ f a), ennrealRatEmbed k
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ 0 < Complex.normSq (UpperHalfPlane.denom g z)
X : Type u
α : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
l₁ l₂ : Filter X
inst✝¹ : l₁.NeBot
inst✝ : l₂.NeBot
hl₁ : l₁ ≤ 𝓟 s
hl₂ : l₂ ≤ 𝓟 s
f g : X → α
hf : Continuous (s.restrict f)
hg : Continuous (s.restrict g)
he₁ : f ≤ᶠ[l₁] g
he₂ : g ≤ᶠ[l₂] f
b : ↑s
h : s.restrict f b = s.restrict g b
⊢ ∃ x ∈ s, f x = g x
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
DecidableEq G
Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
a : G
⊢ (MonoidAlgebra.single a r * f).support ⊆ Finset.image (fun x => a * x) f.support
α : Type u_1
EDist α
x : α
s : Set α
⊢ (insert x s).einfsep ≤ ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Set.Ioc a b = Set.Ico (b / c) (a / c)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ‖↑x‖
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
K : SSet
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
x : (𝟙_ SSet ⊗ K).obj Δ
⊢ (λ_ K).hom.app Δ x = x.2
α : Type u_1
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
f : α → γ
h : Continuous f
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ AEMeasurable f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
⊢ { ofColex := {a} } ≤ { ofColex := {b} } ↔ a ≤ b
R : Type u_1
Semiring R
P : Type u_2
AddCommMonoid P
Module R P
self : Module.Projective R P
⊢ ∃ s, Function.LeftInverse ⇑(Finsupp.total P P R id) ⇑s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
A : C
f₁ f₂ : S.leftHomology ⟶ A
⊢ f₁ = f₂ ↔ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.leftHomologyπ f₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.leftHomologyπ f₂