ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
⊢ IsBoundedBilinearMap 𝕜 fun p => p.1.smulRight p.2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
t : CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P R
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
⊢ x.IsAmalgamation (t.amalgamate x hx)
α : Type u
β : Type v
DecidableEq α
DecidableEq β
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
⊢ b₁ ∈ (PEquiv.single a₂ b₂) a₁ ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
NumberField K
Algebra k K
NumberField k
IsGalois k K
⊢ (Finset.filter (NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k) Finset.univ)ᶜ.card =
  (Finset.filter (NumberField.InfinitePlace.IsUnramifiedIn K) Finset.univ)ᶜ.card * (FiniteDimensional.finrank k K / 2)
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace β
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
OrderTopology β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r s : β
⊢ StrictConvex 𝕜 (Ι r s)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x > x_1) (Set.Ioi a)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
hn : 1 ≤ n
x : E
⊢ HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) univ x
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R
s : σ
n : ℕ
⊢ (X s ^ n).totalDegree = n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
X : HomologicalComplex C c
⊢ ((HomologicalComplex.natIsoSc' C c i j k hi hk).hom.app X).τ₃ = (X.XIsoOfEq hk).hom
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preregular C
W : C
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf (CategoryTheory.regularTopology C) (CategoryTheory.yoneda.obj W)
m n : ℕ
⊢ n = 1 ∨ m ≤ n.minFac ↔ ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → m ≤ p
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
Bifunctor F
LawfulBifunctor F
α : Type u₀
β : Type u₁
x : F α β
⊢ Bifunctor.fst id x = x
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
m : M
a : α
n : ℕ
n_pos : 0 < n
fixed : n • m +ᵥ a = a
⊢ AddAction.period m a ≤ n
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
w : InfinitePlace K
⊢ ¬↑w.mult = 0
R : Type u_6
NonAssocRing R
p : R
⊢ IsIdempotentElem (1 - p) ↔ IsIdempotentElem p
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
hf : IsLocalHomeomorphOn f s
⊢ ContinuousOn f s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
s : Finset α
h : a ∉ s
x : α
⊢ x ∈ (cons a s h).toList ↔ x ∈ a :: s.toList
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
AddCommMonoid β
BoundedAdd β
ContinuousAdd β
ι : Type u_2
s : Finset ι
f : ι → BoundedContinuousFunction α β
a : α
⊢ (∑ i ∈ s, f i) a = ∑ i ∈ s, (f i) a
k : Type u
Field k
⊢ AlgebraicClosure.Step k 0 = k
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
a : CategoryTheory.Over P
⊢ CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f ⟦a⟧ = ⟦CategoryTheory.Over.mk (a.hom ≫ f)⟧
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Dist E
l : Filter ι
f f' : ι → α → E
g g' : α → E
h_left : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i =ᶠ[ae μ] f' i
h_right : g =ᶠ[ae μ] g'
h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
i : ι
h_ae_eq : f i =ᶠ[ae μ] f' i
x : α
hxf : f i x = f' i x
hxg : g x = g' x
⊢ {x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)} x = {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)} x
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥M
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.total κ (↥M) R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι (↥N) R n)
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
ContinuousAdd M
Module R M
ContinuousSMul R M
Nontrivial M
(𝓝[≠] 0).NeBot
NoZeroSMulDivisors R M
x : M
⊢ (𝓝[≠] x).NeBot
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
p : ↑e.source
⊢ e.sourceHomeomorphBaseSetProd p = (⟨proj ↑p, ⋯⟩, (↑e ↑p).2)
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid N₁
AddCommMonoid N₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R N₁
Module R N₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
Q₃ : QuadraticMap R N₁ P
Q₄ : QuadraticMap R N₂ P
mnmn : (M₁ × M₂) × N₁ × N₂
⊢ (QuadraticMap.IsometryEquiv.prodProdProdComm Q₁ Q₂ Q₃ Q₄) mnmn = ((mnmn.1.1, mnmn.2.1), mnmn.1.2, mnmn.2.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
hd : CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, d x
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (∑ x ∈ Finset.range n, d x) (∑ x ∈ Finset.range N, d x) < ↑ε
n : ℕ
hn : N ≤ n
⊢ edist (f n) (f N) < ↑ε
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), y i < z i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), y i + δ < z i
w : ι → ℝ
i : ι
hw : w ∈ univ.pi fun b => Ioo (y b - δ) (y b + δ)
⊢ w i ≤ z i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
l : Filter β
b : ι → Set β
q : ι → Prop
hl : l.HasBasis q b
u : β → Set α
p : β → Prop
x : α
hx : x ∈ Filter.blimsup u l p
⊢ ∃ f, ∀ (i : ↑{i | q i}), x ∈ u (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ b ↑i
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
AddZeroClass α
AddZeroClass β
AddZeroClass γ
f : β →+o γ
⊢ f.comp 0 = 0
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.StableUnderBaseChange P
hP' : RingHom.RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : R ⟶ T
H : P g
⊢ P (CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
t : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (s n)
ht : ∑' (i : ℕ), μ (t i) ≠ ⊤
⊢ μ (limsup s atTop) = 0
α : Type u_1
OrderedRing α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
n : ℕ
⊢ 0 ∈ Finset.box n ↔ n = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B : C
CategoryTheory.Limits.MonoCoprod C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan A B
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.Mono c.inr
n k s : ℕ
hkn : k ≤ n
hsk : s ≤ k
⊢ n.choose k * k.choose s = n.choose s * (n - s).choose (k - s)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
ContinuousAdd α
s : Set β
hs : Summable (f ∘ Subtype.val)
hsc : Summable (f ∘ Subtype.val)
⊢ Summable f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
h₀ : gauge s x = 0
hne : x ≠ 0
this : {x}ᶜ ∈ comap (gauge s) (𝓝 0)
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : gauge s ⁻¹' {b | |b| < r} ⊆ {x}ᶜ
⊢ False
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
g : E → F := fun x => f' x + u x
fg : EqOn f g s
⊢ ∃ g, EqOn f (⇑g) s
n m : ℕ
i j : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n
hj : j ≠ last n
⊢ i.castPred hi = j.castPred hj ↔ i = j
α : Type u_1
s✝ : Finset α
f : α → ℕ
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : ∏ i ∈ s, (f i)! ∣ (∑ i ∈ s, f i)!
⊢ ∏ i ∈ cons a s has, (f i)! ∣ (∑ i ∈ cons a s has, f i)!
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
NormedAddCommGroup X
NormedSpace 𝕜 X
n : ℕ∞
g : X → F →L[𝕜] G
f : X → E →L[𝕜] F
hg : ContDiff 𝕜 n g
hf : ContDiff 𝕜 n f
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => (g x).comp (f x)
V : Type u
x : { adj // (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true }
v w : V
⊢ (SimpleGraph.mk' x).Adj v w = (↑x v w = true)
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
ht : IsOpen t
hd : Disjoint s t
⊢ Disjoint (frontier s) t
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
a : R
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ opcyclesMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • opcyclesMap' φ h₁ h₂
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hω : cs.IsReduced ω
j : ℕ
h₁ : cs.length (cs.wordProd (take j ω)) ≤ (take j ω).length
h₂ : cs.length (cs.wordProd (drop j ω)) ≤ (drop j ω).length
⊢ cs.IsReduced (take j ω) ∧ cs.IsReduced (drop j ω)
α : Type u_1
Ω✝ : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω✝
κ✝ : Kernel α Ω✝
μ✝ : Measure α
Ω : Type u_4
m : ι → MeasurableSpace Ω
m' m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0
h_le' : m' ≤ m0
hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m
p : ι → Set (Set Ω) := fun n => {t | MeasurableSet t}
hp : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)
h_gen_n : ∀ (n : ι), m n = generateFrom (p n)
⊢ Indep (⨆ i, m i) m' κ μ
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
this✝ : I.IsMaximal := hI
this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I
ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C
hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ
φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k
hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ
x : σ → k := fun s => φ ((Ideal.Quotient.mk I) (X s))
hx : ∀ (s : σ), ϕ (x s) = (Ideal.Quotient.mk I) (X s)
p : MvPolynomial σ k
hp : p ∈ vanishingIdeal {x}
⊢ ∑ d ∈ p.support, ((Ideal.Quotient.mk I).comp C) (coeff d p) * ∏ i : σ, (Ideal.Quotient.mk I) (X i) ^ d i = 0
a : UnitAddCircle
⊢ Filter.Tendsto (fun s => s * HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (if a = 0 then -1 else 0))
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
⊢ Disjoint π₁.boxes π₂.boxes
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
Zero ι
GradedMonoid.GOne A
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
⊢ (DirectSum.of A 0) 1 = 1
n : ℕ
a : ℕ
⊢ a ≡ a [MOD n]
s : String
i : String.Pos
c : Char
h : ¬s.atEnd i = true
⊢ (s.set i c).endPos.byteIdx - ((s.set i c).next i).byteIdx < s.endPos.byteIdx - i.byteIdx
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X₁ X₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.binaryProductTriangle X₁ X₂).mor₁ = CategoryTheory.Limits.prod.lift (𝟙 X₁) 0
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : 0 < r
⊢ r ≤ ↑b ^ clog b r
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.coeff g ≠ 0
⊢ x ≠ 0
R : Type u_1
CommSemiring R
Nontrivial R
p : Polynomial R
hp : p.IsPrimitive
⊢ p ≠ 0
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
habk : k ∣ p.count (a * b).factors
ha : ¬a = 0
h : p.count b.factors = 0
⊢ k ∣ p.count a.factors
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
m : α → β × γ
H : Filter.Tendsto m f (g ×ˢ h)
⊢ Filter.Tendsto (fun a => (m a).1) f g
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
⊢ Pairwise fun x y => Ioc (a * b ^ x) (a * b ^ (x + 1)) ∩ Ioc (a * b ^ y) (a * b ^ (y + 1)) ⊆ ∅
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
LawfulApplicative F
α : Type u_1
β : Type u
f : α → F β
x : Option α
⊢ (fun {α} => η.app α) (Option.traverse f x) = Option.traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.ShortComplex C)
⊢ ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.inverse J C).obj F).X₂ = F.comp CategoryTheory.ShortComplex.π₂
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : F α → α
a : (QPF.P F).A
f : (QPF.P F).B a → (QPF.P F).W
⊢ QPF.recF g (WType.mk a f) = g (QPF.abs ((QPF.P F).map (QPF.recF g) ⟨a, f⟩))
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
k' : α
l : β
hs : ∀ (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k' l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (k', b)
b : K →+* ℂ
this : a k' l = 0 ∨ (NumberField.house.newBasis K) b = 0
⊢ a k' l = 0 k' l
M : Type u_1
CommMonoid M
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → M
⊢ ∏ p ∈ Finset.antidiagonal (n + 1), f p = f (0, n + 1) * ∏ p ∈ Finset.antidiagonal n, f (p.1 + 1, p.2)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L
this : IsNoetherian K L := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
s' : Finset L := IsNoetherian.finsetBasisIndex K L
bs' : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex K L } K L := IsNoetherian.finsetBasis K L
y : A
hy : y ≠ 0
his' : ∀ x ∈ Finset.image (⇑bs') Finset.univ, IsIntegral A (y • x)
hy' : (algebraMap A L) y ≠ 0
⊢ ∀ (x : { x // x ∈ s' }), IsIntegral A ((bs'.map (let __src := (lmul K L) ((algebraMap A L) y); { toFun := fun x => (algebraMap A L) y * x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun x => ((algebraMap A L) y)⁻¹ * x, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ })) x)
⊢ ∀ {X Y : LightDiagram} (f : X ⟶ Y), lightDiagramToLightProfinite.map f = f
s t : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..a, ↑x ^ (s - 1) * (↑a - ↑x) ^ (t - 1) = ↑a ^ (s + t - 1) * s.betaIntegral t
C : Type u₁
W : Type (v + 1)
CategoryTheory.Category.{v, v + 1} W
CategoryTheory.MonoidalCategory W
CategoryTheory.EnrichedCategory W C
X : C
⊢ CategoryTheory.ForgetEnrichment.to W (CategoryTheory.ForgetEnrichment.of W X) = X
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
o : Ordinal.{u}
⊢ o.IsLimit → Ordinal.deriv f o = o.bsup fun a x => Ordinal.deriv f a
R : Type u_6
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_7
CommRing S
Nontrivial R
Algebra R S
IsLocalization M S
⊢ Algebra.IsAlgebraic R S
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
⊢ MeromorphicAt (-f) x
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
n : ℕ
a : α
⊢ a ∈ s n ∩ ⋃ k, ⋃ (_ : k < n), s k → a ∈ ∅
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : (∡ p₁ p₂ p₃).sign = 1
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(∠ p₁ p₂ p₃)
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
Countable ι
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∑' (i : ι), ↑(ε' i) < ε
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ico a b ⊆ Set.Ici a
a : Nat
h : a ≠ 0
⊢ 0 < a
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y
⊢ WeierstrassCurve.Affine.Point.toClass (WeierstrassCurve.Affine.Point.some h) =
  ClassGroup.mk (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal' h)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens
e₁ : Hom.app ((X.restrictFunctor.map i).left ≫ V.ι) (V.ι ''ᵁ W) = Hom.app U.ι (V.ι ''ᵁ W) ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
this : V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W = W
e₂ : (X.restrictFunctor.obj V).left.presheaf.map (eqToIso this).hom.op ≫ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left (V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W) = Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map ((Opens.map (X.restrictFunctor.map i).left.val.base).map (eqToIso this).hom.op.unop).op
e₃ : Hom.app (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯) W ≫ X.presheaf.map ((Hom.opensFunctor U.ι).map ((Opens.map (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯).val.base).map (eqToHom this))).op = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ X.presheaf.map ((Hom.opensFunctor U.ι).map (eqToHom ⋯)).op
⊢ Hom.app (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯) W = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n✝ : ℕ
s : Finset α
n : ℕ
⊢ G.CliqueFree n ↔ IsEmpty (⊤ ↪g G)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
x y : R₁
hy : y ∈ R₁⁰
⊢ spanSingleton R₁⁰ (mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ Ideal.span {x} * I = Ideal.span {y} * J
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
hta : Absorbent ℝ t
⊢ Continuous (gaugeRescale s t)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
F : Type u_8
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
x : M
s : Set M
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ f x ∈ Submodule.span R₂ (⇑f '' s) ↔ x ∈ Submodule.span R s
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq m
f : α → β
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (M.updateRow i b).map f i✝ j✝ = (M.map f).updateRow i (f ∘ b) i✝ j✝
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f g : α → List β
h : ∀ a ∈ l, (f a).Perm (g a)
⊢ (l.bind f).Perm (l.bind g)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ AddMonoidHom.mker (AddMonoidHom.inl M N) = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
B : ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a b : M
hab : a < b
⊢ n • a < n • b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ AffineIndependent k p ↔ n ≤ FiniteDimensional.finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p))
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁰ : Ring 𝕜
n : ℕ
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ p.order = 0 ↔ p = 0 ∨ p 0 ≠ 0
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
Unique β
f : β → C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coproductUniqueIso f).inv =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι (CategoryTheory.Discrete.functor f) default
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
f : α → β
x✝ : α
a✝ : x✝ ∈ s
⊢ f = t.piecewise f f
α : Type u_1
Group α
N : Subgroup α
s : Set α
⊢ QuotientGroup.mk ⁻¹' (QuotientGroup.mk '' s) = ⋃ x, (fun x_1 => x_1 * ↑x) '' s
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x
this : ∀ (x : ↑s), Subtype.val ⁻¹' f ↑x ∈ 𝓝 x
t : Set ↑s
htc : t.Countable
htU : ⋃ x ∈ t, Subtype.val ⁻¹' f ↑x = univ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ ⋃ x ∈ Subtype.val '' t, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range
⊢ g (↑f a) * μ (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)}) = ∑ x ∈ Finset.filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : L ≃ₐ[K] L
x✝ : f ∈ ⊤
⊢ f ∈ ⊥.fixingSubgroup
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f' : α → γ → δ'
g' : β → δ' → ε
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' b (f' a c)
⊢ image2 f s (image2 g t u) = image2 g' t (image2 f' s u)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hl : l.HasBasis p s
q : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, q x) ↔ ∃ i, p i ∧ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s i → q x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_anti : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot
s' : ℕ → Set ℝ := fun n => Iic ↑(s n)
⊢ Tendsto (fun m => ∫ (c : γ), κ.density κ.fst (a, c).1 (a, c).2 (Iic ↑(s m)) ∂κ.fst a) atTop (𝓝 0)
α : Type u
C : FreeRing α → Prop
z : FreeRing α
hn1 : C (-1)
hb : ∀ (b : α), C (of b)
ha : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x + y)
hm : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x * y)
hn : ∀ (x : FreeRing α), C x → C (-x)
h1 : C 1
m✝ : FreeMonoid α
a : α
m : List α
ih : C (FreeAbelianGroup.of m)
⊢ FreeAbelianGroup.of (a :: m) = of a * FreeAbelianGroup.of m
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s₁ s₂ : Set α
t : Set β
⊢ (s₁ ∩ s₂) • t ⊆ s₁ • t ∩ s₂ • t
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I J : TwoSidedIdeal R
⊢ I ≤ J ↔ I.ringCon ≤ J.ringCon
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l₁ l₂ : List α
⊢ List.Pairwise R (l₁ ++ l₂) ↔ List.Pairwise R l₁ ∧ List.Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a : α), a ∈ l₁ → ∀ (b : α), b ∈ l₂ → R a b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
Semiring T
f : R →+* S
g : S →+* T
x : S
⊢ g (Polynomial.eval₂ f x p) = Polynomial.eval₂ (g.comp f) (g x) p
f g : Code
k : Cont'
⊢ codeSupp (f.case g) k = trStmts₁ (trNormal (f.case g) k) ∪ (codeSupp f k ∪ codeSupp g k)