ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp₁ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_5
l : Filter β
t : β → Set α
ht : ∀ (b : β), MeasurableSet (t b)
hμt : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤
hp : p ≠ ⊤
h : Tendsto (fun b => μ (t b ∆ s)) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun b => indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c) l (𝓝 (indicatorConstLp p hs hμs c))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' g' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivAt f f' x
h' : f' = g'
⊢ HasFDerivAt f g' x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
x : α
⊢ x ∈ (res f s).core t ↔ x ∈ sᶜ ∪ f ⁻¹' t
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Filter.Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
⊢ HasDerivWithinAt f e (Set.Iic a) a
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a < b
⊢ ¬b < a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ ↑s ∩ ↑(mk' p s.directionᗮ) ⊆ ↑(mk' p s.directionᗮ)
α : Type u_1
γ : Type u_3
β : Type u_7
AddCommGroup β
AddCommGroup γ
f g : α →₀ β
h : α → β → γ
h_sub : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : β), h a (b₁ - b₂) = h a b₁ - h a b₂
⊢ (f - g).sum h = f.sum h - g.sum h
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
x : ℕ × ℕ
hx : x ∈ antidiagonal n
⊢ (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) ψ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f g : β → α
hf : Summable f
hfg : ∀ (b : β), f b = g b
⊢ Summable g
a b : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
⊢ a + b - a = b
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
Fintype n
CommRing R
Nontrivial R
⊢ Matrix.rank 0 = 0
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ (x &&& y).msb = (x.msb && y.msb)
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
f : E → ℝ
a b : E
f' : ℝ
h : IsLocalExtr f a
hd : HasLineDerivAt ℝ f f' a b
⊢ f' = 0
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
U : C
iUY : U ⟶ Y
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX
Z : D
U₁ : C
iU₁U : U₁ ⟶ U
iZU₁ : Z ⟶ G.obj U₁
iU₁W : U₁ ⟶ W
e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW
⊢ Sieve.pullback (G.map iU₁U) (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S))) ∈ K.sieves (G.obj U₁)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
t : Set α
⊢ {f}.seq t = f '' t
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ StrictMono (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) ↔ StrictMono f
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R
x : ↥I ⊗[R] M
hx₀ : (rTensor M (Submodule.subtype I)) x = 0
⊢ x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N n : ℕ
ih : ∀ ⦃x₁ : Fin n → ℕ⦄, x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → ∀ ⦃x₂ : Fin n → ℕ⦄, x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → (map d) x₁ = (map d) x₂ → x₁ = x₂
x✝¹ x₁ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₁ : x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
x₂ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₂ : x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
h : (map d) x₁ = (map d) x₂
i : Fin (n + 1)
x : x₁ 0 = x₂ 0 ∧ (map d) (x₁ ∘ Fin.succ) = (map d) (x₂ ∘ Fin.succ)
x✝ : Fin n
⊢ x₂ x✝.succ < d
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
x : R
⊢ (↑x).im = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
m : MeasurableSpace α
Zero β
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.MetrizableSpace β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasurableSet (Function.support f)
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x₁ x₂ : M
x✝ : ∃ c, c • x₁ = c • x₂
c : ↥S
h : f (c • x₁) = f (c • x₂)
⊢ f x₁ = f x₂
X : AlgebraicGeometry.Scheme
CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
⊢ CategoryTheory.IsIso
  ((AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.unit.app X).val.c.app (Opposite.op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
b : ℂ
hb : 0 < b.re
t : ℂ
⊢ ∫ (x : ℝ), cexp (I * t * ↑x) * cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2) * cexp (-t ^ 2 / (4 * b))
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : LinearOrder α
f : α → β
h : ∀ (x y : α), x < y → f x ≠ f y
x y : α
hf : f x = f y
⊢ x = y
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
LinearOrder R
LinearOrder S
f : R → S
f_decr : Antitone f
F.NeBot
cobdd : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F
⊢ Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) F f
α : Type u_1
Sub α
Bot α
a : α
⊢ ⊤ - ↑a = ⊤
n : ℕ
⊢ ↑n = Fin.last n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℚ_[p]
property✝ : ‖k‖ ≤ 1
h : ‖k‖ = 1
hk : k ≠ 0
⊢ ↑(⟨k, property✝⟩ * ⟨k⁻¹, ⋯⟩) = ↑1
A : Type u_2
AddMonoid A
x y : A
⊢ y ∈ AddSubmonoid.closure {x} ↔ ∃ n, n • x = y
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
⊢ S.leftInv.leftInv = S
α : Type u_1
L : List α
i j : Nat
h : i + j < L.length
⊢ L.get ⟨i + j, h⟩ = (List.drop i L).get ⟨j, ⋯⟩
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
M : Type u_5
Monoid M
DistribMulAction M F
SMulCommClass R M F
a : M
f : E →ₗ.[R] F
x : ↥(a • f).domain
⊢ ↑(a • f) x = a • ↑f x
s m n : Nat
⊢ List.range' s m ++ List.range' (s + m) n = List.range' s (n + m)
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o₁ → Ordinal.{max u v}
ho : o₁ = o₂
⊢ o₁.bsup f = o₂.bsup fun a h => f a ⋯
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
AddCommGroup M₃
e : M ≃+ M₂
e₂ : M₂ ≃+ M₃
⊢ e.toIntLinearEquiv ≪≫ₗ e₂.toIntLinearEquiv = (e.trans e₂).toIntLinearEquiv
x : SetTheory.PGame
o : x.Numeric
i : x.LeftMoves
⊢ x.moveLeft i < x
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g✝ : α → F β
h : β → G γ
f✝ : β → γ
x✝ : t β
f : β → F γ
g : α → β
x : t α
⊢ traverse (Comp.mk ∘ map f ∘ pure ∘ g) x = traverse (f ∘ g) x
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
a : Multiset α
⊢ Multiset.Rel r a 0 ↔ a = 0
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
m₁ : M₁
m₂ : M₂
⊢ (Q₁.prod Q₂).IsOrtho (0, m₂) (m₁, 0)
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
⊢ (shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃).hom.app X ≫ (shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd C a₁ a₂).hom.app X) = ((eqToHom ⋯).app X ≫ (shiftFunctorAdd C a₁ (a₂ + a₃)).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd C a₂ a₃).hom.app ((shiftFunctor C a₁).obj X)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℚ
h : x < y
hy : 0 < y
⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < q ^ n ∧ q ^ n < y
G : Type u_1
H : Type u_2
MulOneClass G
MulOneClass H
f : G ≃* H
a : Additive G
⊢ (MulEquiv.toAdditive f) a = (MonoidHom.toAdditive f.toMonoidHom) a
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V
⊢ (G'.deleteVerts s).verts = G'.verts \ s
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
X : Jᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneLeftOpOfCocone c).π.app X = (c.ι.app (Opposite.unop X)).unop
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
CommRing B
p : Polynomial A
f : A →+* B
hmap : Polynomial.map f p ≠ 0
a : A
⊢ Polynomial.rootMultiplicity a p ≤ Polynomial.rootMultiplicity (f a) (Polynomial.map f p)
n : ℕ
R : Type u_2
CommSemiring R
IsDomain R
DecidableEq R
NormalizedGCDMonoid R
hn : ∀ (a b c : R), a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → {a, b, c}.gcd id = 1 → a ^ n + b ^ n ≠ c ^ n
⊢ FermatLastTheoremWith R n
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y✝ : α
s t : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
h : r < infEdist x s
y : α
hy : y ∈ closedBall x r
h'y : y ∈ s
⊢ False
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
hm : 0 < m
h : IsCoprime (∏ _x ∈ range m, x) y
⊢ IsCoprime x y
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F✝ : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F✝
A B : C
inst✝¹ : IsGalois A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ : Aut B
F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C
a a' : ↑(F.obj A)
ha' : F.map f a' = F.map σ.hom (F.map f a)
τ : Aut A
hτ : F.map τ.hom a = a'
⊢ autMap f τ = σ
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
K : Type u_4
Field K
Module K M
Algebra R K
D : Derivation R K M
a b : K
h : D b = 0
⊢ D (a / b) = b⁻¹ • D a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : α → G'
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
a : α
ha : f a ≤ g a
⊢ f a ≤ g a
α : Type u_1
β : Type v
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α → Option β
s : Multiset α
⊢ Multiset.filterMap f (Multiset.filter p s) = Multiset.filterMap (fun x => if p x then f x else none) s
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a : α
⊢ a ^ 2 < 1 ↔ |a| < 1
d : ℤ
⊢ Zsqrtd.sqrtd.im = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
T : CategoryTheory.Comonad C
D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra
c : CategoryTheory.Limits.Cone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (D.comp T.forget) T.toFunctor
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit ((D.comp T.forget).comp T.toFunctor) T.toFunctor
s : CategoryTheory.Limits.Cone D
⊢ ((CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesLimits'.liftedConeIsLimit c t).lift s).f = t.lift (T.forget.mapCone s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
hp_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ
⊢ ∑ x ∈ (f.pair g).range, ((T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.1 + (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.2) = ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.1 + ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.2
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
One M
One N
One P
g : OneHom N P
f₁ f₂ : OneHom M N
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
f : F
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y • f) (c' • f) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
c d : β
h : ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d
this : Decidable (Finite a b) := Classical.dec (Finite a b)
hab : ¬Finite a b
⊢ multiplicity a b ≤ multiplicity c d
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
e : α → β
de : DenseEmbedding e
TopologicalSpace.SeparableSpace α
⊢ TopologicalSpace.SeparableSpace β
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : ContinuousStar A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : ↥(selfAdjoint A)
h : Commute ↑a ↑b
hcomm : Commute (I • ↑a) (I • ↑b)
⊢ ↑(expUnitary (a + b)) = ↑(expUnitary a * expUnitary b)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
hγ : IsIntegralCurve γ v
dt : ℝ
⊢ IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x + dt) v
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X : C
p : Subobject X → Prop
h : ∀ ⦃A : C⦄ (f : A ⟶ X) [inst : Mono f], p (mk f)
P : Subobject X
⊢ ∀ (a : MonoOver X), p (Quotient.mk'' a)
ι : Type u_1
β : Type u_4
CommMonoid β
f : ι → β
s t : Finset ι
h : s ⊆ t
⊢ ∏ i ∈ t, (↑s).mulIndicator f i = ∏ i ∈ s, f i
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : b ≤ a * c
⊢ b / c ≤ a
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f g : α → Multiset β
this : ∀ (a : α), ∃ l, f a = ↑l
⊢ (s.bind f).Nodup ↔ (∀ a ∈ s, (f a).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) s
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : CategoryTheory.ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
⊢ (ChainComplex.mk X₀ X₁ X₂ d₀ d₁ s succ).d 2 1 = d₁
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
g : M ≃ₗ[R] M
b : Basis ι R M
⊢ g • b = b.map g
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
⊢ StrictConvex 𝕜 s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
s' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : DifferentiableWithinAt 𝕜' h₂ s' y
hh : DifferentiableWithinAt 𝕜 h s x
hs : Set.MapsTo h s s'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hy : y = h x
⊢ derivWithin (h₂ ∘ h) s x = derivWithin h₂ s' (h x) * derivWithin h s x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)
v : F
hv : v ∈ K
w_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)
h_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
X : Type u_1
R : Type u_2
Zero X
TopologicalSpace X
Zero R
UniformSpace R
Y : Type u_3
UniformSpace Y
Zero Y
g : ContinuousMapZero Y R
hg : UniformEmbedding ⇑g
⊢ UniformEmbedding fun x => g.comp x
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X✝ Y✝ Z✝ : W.FunctorsInverting D
τ₁ : X✝ ⟶ Y✝
τ₂ : Y✝ ⟶ Z✝
X : C
⊢ (τ₁ ≫ τ₂).app X = τ₁.app X ≫ τ₂.app X
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f✝ : X → ℝ
s✝ : Set X
f : X → ℝ
f_int : Integrable f μ
f_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, 1 ≤ f x
⊢ ∀ x ∈ s, 1 ≤ ENNReal.ofReal (f x)
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
h : s.Nonempty
f : β → α
⊢ ↑(s.sup f) = s.sup (WithBot.some ∘ f)
α : Type u_3
DivisionRing α
r : ℚ
a : α
⊢ ↑r * a = a * ↑r
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ o.bsup f = o.blsub f ↔ ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi < o.bsup f
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰X : X.OpenCover
𝒰Y : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
ij : 𝒰X.J × 𝒰Y.J
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight 𝒰X 𝒰Y f g).map ij =
  CategoryTheory.Limits.pullback.map (𝒰X.map ij.1 ≫ f) (𝒰Y.map ij.2 ≫ g) f g (𝒰X.map ij.1) (𝒰Y.map ij.2) (𝟙 Z) ⋯ ⋯
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Padic.valuation 1 = 0
R : Type u
n : Type w
CommRing R
DecidableEq n
Fintype n
J A : Matrix n n R
⊢ A ∈ skewAdjointMatricesLieSubalgebra J ↔ A ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
I : Ideal R
f : F
⊢ map f I = ⊥ ↔ I ≤ RingHom.ker f
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
c : E
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrable (fun x => c) μ
R : Type u
NonAssocSemiring R
⊢ ↑(Subsemiring.center R) = Set.center R
l : List Bool
⊢ List.count false l + List.count true l = l.length
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
⊢ IsOpen (closure U)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieModule.IsNilpotent R L M
⊢ Disjoint (LieModule.lowerCentralSeries R L M 1) (LieModule.maxTrivSubmodule R L M) ↔ LieModule.IsTrivial L M
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Function.Injective Equiv.optionCongr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t : Set E
h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
y : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ t
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
h : ∀ (c : CharacterModule A), c a = 0
⊢ a = 0
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
f : β → α
CompleteSpace α
s : Set β
⊢ ((Multipliable fun x => f ↑x) ∧ Multipliable fun x => f ↑x) ↔ Multipliable f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : (α → ℕ) → ℤ
hf : IsPoly f
hg : IsPoly g
⊢ IsPoly (f + g)
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Semiring A₃
Semiring A₁'
Semiring A₂'
Semiring A₃'
Algebra R A₁
Algebra R A₂
Algebra R A₃
Algebra R A₁'
Algebra R A₂'
Algebra R A₃'
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
e₃ : A₃ ≃ₐ[R] A₃'
f : A₁ →ₐ[R] A₂
g : A₂ →ₐ[R] A₃
⊢ (e₁.arrowCongr e₃) (g.comp f) = ((e₂.arrowCongr e₃) g).comp ((e₁.arrowCongr e₂) f)
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fact (1 ≤ p)
(i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
Fintype ι
⊢ LipschitzWith 1 ⇑(WithLp.equiv p ((i : ι) → β i))
R : Type u_1
inst✝³ : Finite R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : CharP R 2
a : R
⊢ IsSquare a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
f : E → F
hf : IsLinearMap 𝕜 f
⊢ StarConvex 𝕜 (f x) (f '' s)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 3 ≠ 0
⊢ W.Ψ₃.leadingCoeff = 3
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : e ∈ (M.E \ X) \ (M.E \ B ∩ (M.E \ X))
⊢ M✶.Dep (insert e (M.E \ B ∩ (M.E \ X)))
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝³ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : MulAction Γ T
inst✝ : ContinuousConstSMul Γ T
U : Set T
hU : IsOpen U
⊢ IsOpen (Quotient.mk' '' U)
n k p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ n.choose k ≡ (n % p).choose (k % p) * (n / p).choose (k / p) [MOD p]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
tα : TopologicalSpace α
f : α → β
g : β → γ
⊢ TopologicalSpace.coinduced g (TopologicalSpace.coinduced f tα) = TopologicalSpace.coinduced (g ∘ f) tα
α β : Type u
f : α → FreeGroup β
x y : FreeGroup α
⊢ x * y >>= f = (x >>= f) * (y >>= f)
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t u : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ gaugeRescale t u (gaugeRescale s t x) = gaugeRescale s u x
n : Nat
hi lo : Nat
x : BitVec n
⊢ (BitVec.extractLsb hi lo x).toNat = x.toNat >>> lo % 2 ^ (hi - lo + 1)
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
a b : ℝ
hle : a ≤ b
f : X →ᵇ ℝ
hfs : EqOn (⇑f) 0 s
hft : EqOn (⇑f) 1 t
hf01 : ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
x : X
⊢ a + (b - a) * f x ≤ b
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j : 𝒰.J
⊢ t 𝒰 f g i j ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) = pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ τ : Equiv.Perm α
hσ : σ.IsSwap
hτ : τ.IsSwap
⊢ σ * τ ∈ Subgroup.closure {σ | σ.IsThreeCycle}
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
ε : α
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ j, abv (f k - f j) < ε
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : S ⊗[R] S
hx : x ∈ ideal R S
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1)
⊢ ∀ (a : S) (x : S ⊗[R] S), (∃ (hx : x ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨x, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))) → ∃ (hx : a • x ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨a • x, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hb : b ≠ 0
⊢ a / b = c ↔ a = c * b
R : Type u
Semiring R
a : R
⊢ Polynomial.derivative (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ 2) = Polynomial.C (a * 2) * Polynomial.X
P : PFunctor.{u}
α : Type u
p : α → Prop
a : P.A
f : P.B a → α
⊢ Liftp p ⟨a, f⟩ ↔ ∀ (i : P.B a), p (f i)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Inf α
Top α
Inf β
Top β
Inf γ
Top γ
g : InfTopHom β γ
f : InfTopHom α β
⊢ InfTopHom.dual (g.comp f) = (InfTopHom.dual g).comp (InfTopHom.dual f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedCommSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
c : 𝕜
hc : 0 ≤ c
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
⊢ ConcaveOn 𝕜 s fun x => c • f x
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddMonoid M
AddMonoid N
AddMonoid P
x : P
⊢ (AddMonoid.MulEquiv.coprodAssoc M N P) (AddMonoid.Coprod.inr x) = AddMonoid.Coprod.inr (AddMonoid.Coprod.inr x)