ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
AddZeroClass α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b : α
h : 0 < b
⊢ a < b + a
K : Type u_1
RCLike K
⊢ ↑1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2
h : Rel α a (x, y)
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
⊢ (filter (fun x_1 => Sym2.mk x_1 = s(x, y)) s.offDiag).card = 2
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L
this : IsNoetherian K L := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
s' : Finset L := IsNoetherian.finsetBasisIndex K L
bs' : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex K L } K L := IsNoetherian.finsetBasis K L
y : A
hy : y ≠ 0
his' : ∀ x ∈ Finset.image (⇑bs') Finset.univ, IsIntegral A (y • x)
hy' : (algebraMap A L) y ≠ 0
⊢ Function.LeftInverse (fun x => ((algebraMap A L) y)⁻¹ * x) { toFun := fun x => (algebraMap A L) y * x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 f.rOut
⊢ support ↑(f.updateRIn r hr) = support ↑f
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
x y : A
hx : IsIntegral R x
hy : IsIntegral R y
⊢ IsIntegral R (x - y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β → γ
g : α → β
⊢ Function.graph (f ∘ g) = (Function.graph g).comp (Function.graph f)
R : Type u_3
OrderedSemiring R
a : R
ha : 1 < a
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → 1 < a ^ n
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a✝¹ : i ∈ ↑s
j : ι
a✝ : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j
y : α i
left✝¹ : y ∈ t i
z : α j
left✝ : z ∈ t j
hz' : ⟨j, z⟩ = ⟨i, y⟩
⊢ False
α : Type u_1
n : Nat
f : α → Fin n → α
x : α
⊢ Fin.foldl n f x = List.foldl f x (Fin.list n)
α : Type u_1
MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
Nonempty α
CompleteSpace α
x : α
n : ℕ
⊢ dist (f^[n] x) (ContractingWith.fixedPoint f hf) ≤ dist x (f x) * ↑K ^ n / (1 - ↑K)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
MeasurableNeg G
MeasureTheory.SFinite μ
μ.IsAddRightInvariant
h1 : f =ᵐ[μ] f'
h2 : g =ᵐ[μ] g'
⊢ MeasureTheory.convolution f g L μ = MeasureTheory.convolution f' g' L μ
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
ht : t₀ ∈ Ioo a b
hf : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t
hg : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
t' : ℝ
ht' : t' ∈ Ioo a b
h : t' < t₀
⊢ f t' = g t'
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ (last n).predAbove i.castSucc = i
α : Type u
h : Infinite α
⊢ Cardinal.toNat (Cardinal.mk α) = 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x
c : F
⊢ HasDerivAt (fun x => f x - c) f' x
a : UnitAddCircle
x : ℝ
⊢ HurwitzZeta.evenKernel a x = 1 / x ^ (1 / 2) * HurwitzZeta.cosKernel a (1 / x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ CategoryTheory.Limits.pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ CategoryTheory.Limits.pullback f i
CategoryTheory.Limits.HasPullback i₁ i₂
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackDiagonalMapIso f i i₁ i₂).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f)
        (CategoryTheory.Limits.pullback.map (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
          (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i) f f (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i)
          (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i) i ⋯ ⋯) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.fst (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
        (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst i₁ i₂
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen s
ht : IsClosed t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
⊢ ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ support f = s ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
⊢ StrictAntiOn (fun x => 1 + AkraBazziRecurrence.smoothingFn x) (Set.Ioi 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p₁ p₂ : Submodule R M
q : Submodule R N
⊢ Submodule.map₂ f (p₁ ⊔ p₂) q = Submodule.map₂ f p₁ q ⊔ Submodule.map₂ f p₂ q
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : LinearOrder α✝
inst✝⁷ : LinearOrder β
inst✝⁶ : OrderTopology α✝
inst✝⁵ : OrderTopology β
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
hy : y < x
hx : x ∉ Ioo y x
ht : (Ioo y x).Nonempty
u : ℕ → α
hu : StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo y x
⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo y x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x)
R : Type u_4
Ring R
n : ℕ
f : MulRingNorm R
⊢ f ↑n ≤ ↑n
M : Type u_2
N : Type u_3
φ : M → N
X : Type u_5
SMul M X
Y : Type u_6
SMul N Y
self : X →ₑ[φ] Y
m : M
x : X
⊢ self.toFun (m • x) = φ m • self.toFun x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f g : α → β
p : α → Prop
inst✝ : (x : α) → Decidable (p x)
h₀ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | p x} → x ∈ f ⁻¹' s} ∈ l₁
h₁ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | ¬p x} → x ∈ g ⁻¹' s} ∈ l₁
s : Set β
hs : s ∈ l₂
⊢ (fun x => if p x then f x else g x) ⁻¹' s ∈ l₁
L : Type u
CommRing L
IsDomain L
g : L ≃+* L
n : ℕ+
t : Lˣ
ht : t ∈ rootsOfUnity n L
⊢ g ↑t = ↑t ^ (ModularCyclotomicCharacter.toFun n g).val
n : Nat
⊢ n < 2 ^ (n.log2 + 1)
ι : Type u
c : ι → Cardinal.{v}
⊢ Cardinal.lift.{w, max v u} (Cardinal.prod c) = Cardinal.prod fun i => Cardinal.lift.{w, v} (c i)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
⊢ (a, b).swap = (b, a)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
AddCommMonoid S
AddCommMonoid T
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
Module R S
Module R T
f : M →ₗ[R] Q
g : N →ₗ[R] S
h : P →ₗ[R] T
x : TensorProduct R (TensorProduct R M N) P
⊢ (TensorProduct.map f (TensorProduct.map g h)) ((TensorProduct.assoc R M N P) x) =
  (TensorProduct.assoc R Q S T) ((TensorProduct.map (TensorProduct.map f g) h) x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K
s : X → Set X
hc : ∀ (x : X), IsCompact (s x)
hmem : ∀ (x : X), s x ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ K', IsCompact K' ∧ K ⊆ interior K'
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (cocompact X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
hy : ∃ x, ∃ (_ : x ∈ 𝓝 y), ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ l), Disjoint x x_1
⊢ ∃ x ∈ insert y (range f), ClusterPt x l
γ : Type w
MetricSpace γ
x y : γ
⊢ 0 = dist x y ↔ x = y
n : ℤ
⊢ Odd n ↔ n % 2 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}
H : IsNormal f
o : Ordinal.{u}
h : o.IsLimit
⊢ (o.bsup fun x x_1 => f x) = f o
m n k : ℕ
⊢ (m * n).lcm (m * k) ∣ m * n.lcm k
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
V₂ : Type v'
AddCommGroup V₂
Module K V₂
FiniteDimensional K V
FiniteDimensional K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
h : FiniteDimensional.finrank K V₂ < FiniteDimensional.finrank K V
⊢ LinearMap.ker f ≠ ⊥
K : Type u
Field K
ζ : K
k : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
⊢ IsPrimitiveRoot hζ.toInteger ↑k
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Group G
LieGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
n : ℕ∞
f : M → G
hf : ContMDiff I' I n f
⊢ ContMDiff I' I n fun x => (f x)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : ↑s i < 0
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∃ n, restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
k : ℕ := Nat.find hn
hk₂ : restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
⊢ ∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ restrict s j ≤ restrict 0 j ∧ ↑s j < 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
q : Filter ι'
q' : Filter α'
h : Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (p ×ˢ p') (𝓤 β)
h' : Tendsto (fun q => (f' q.2, F' q.1 q.2)) (q ×ˢ q') (𝓤 β')
⊢ Tendsto (fun q => (Prod.map f f' q.2, Prod.map (F q.1.1) (F' q.1.2) q.2)) ((p ×ˢ q) ×ˢ p' ×ˢ q') (𝓤 (β × β'))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_5
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : IsClosed ↑g.graph
⊢ Continuous ⇑g
α : Type u
p : α → Prop
h : ∀ (x : α), p x ↔ p x := ⋯
⊢ Equiv.Perm.subtypePerm 1 h = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
x✝ : α
a✝ : β
⊢ a✝ ∈ f x✝ ↔ a✝ ∈ f x✝
𝕜 : Type u_1
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_5
P₁ : Type u_8
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V₁
NormedSpace 𝕜 V₁
PseudoMetricSpace P₁
NormedAddTorsor V₁ P₁
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
E : AffineSubspace 𝕜 P₁
Nonempty ↥E
φ : P₁ →ᵃ[𝕜] P₂
hφ : Function.Injective ⇑φ
⊢ (E.equivMapOfInjective φ hφ).linear =
  (Submodule.equivMapOfInjective φ.linear ⋯ E.direction).trans
    (LinearEquiv.ofEq (Submodule.map φ.linear E.direction) (AffineSubspace.map φ E).direction ⋯)
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G : A ⥤ D
H : B ⥤ E
K : C ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : D ⥤ E
R₂ : E ⥤ D
L₃ : B ⥤ C
R₃ : C ⥤ B
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : H ⋙ L₄ ⟶ L₃ ⋙ K
c : C
⊢ adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (L₁.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (L₃.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c))) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ (R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c)))) ≫ R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c)) ≫ H.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (R₃.obj c)))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
o : Part α
h : o.Dom
f : α → Part β
b : β
⊢ b ∈ o.bind f ↔ b ∈ f (o.get h)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥
⊢ IsSolvable R L'
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Z : Type u_6
R : Type u_7
CommSemiring R
Semiring Z
Algebra R Z
f : C(X, Y)
g : LocallyConstant Y Z
⊢ ∀ (a : X), ((LocallyConstant.comapₐ R f) g) a = g (f a)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m μ : OuterMeasure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
⊢ ((restrict s) μ).trim t ≤ ((restrict s) μ.trim) t
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α 1
⊢ v.toList = [v.head]
θ : ℝ
h : 0 ≤ θ ∧ θ ≤ π
hnegpi : ¬θ = π
⊢ |(-↑θ).toReal| = θ
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
Semiring R
F : (DirectSum ι fun i => A i) →+* R
i : ι
⊢ ↑(DirectSum.liftRingHom.symm F) = (↑F).comp (DirectSum.of A i)
M : Type u_4
N : Type u_5
Zero M
Zero N
f : ZeroHom M N
⊢ (ZeroHom.id N).comp f = f
x : WithBot ℕ
⊢ ¬x < 1 ↔ ¬x ≤ 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
⊢ (Finset.filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).card = P.parts.card - s.card % P.parts.card
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
η : Kernel β γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β), (η b) s ∂κ a = ∫⁻ (b : β), ((prodMkLeft α η) (a, b)) {c | (b, c) ∈ {p | p.2 ∈ s}} ∂κ a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : AdicCompletion I M → Prop
x : AdicCompletion I M
h : ∀ (f : AdicCauchySequence I M), p ((mk I M) f)
⊢ p x
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (f - g) p μ
ι : Type u_1
α : Type u_3
A : ι → Type u_2
(i : ι) → SMul α (A i)
i : ι
c : α
a : A i
⊢ c • GradedMonoid.mk i a = GradedMonoid.mk i (c • a)
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
⊢ IsPiSystem (Set.Ici '' s)
ι : Type u_1
M : Type u_2
α : ι → Type u_4
(i : ι) → VAdd M (α i)
a : M
x : (i : ι) × α i
⊢ a +ᵥ x = Sigma.map id (fun x x_1 => a +ᵥ x_1) x
z τ J J' : ℂ
⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (J' - 2 * ↑π * I * J) / (2 * ↑π * I) + (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) + cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J)) = cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (J' / (2 * ↑π * I) + z * J)
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
K : AddSubgroup G
f : G →+ N
⊢ (f.restrict K).range = AddSubgroup.map f K
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
n : ℤ
hn : Even n
ha : a ≠ 0
⊢ 0 < a ^ n
n : Type u_1
inst✝⁹ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : Module R M✝
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
⊢ (∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0) ↔ ∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
n : ℕ
m : Fin n → W
⊢ (VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n) m = (-(2 * ↑π * Complex.I)) ^ n • (∏ i : Fin n, (L v) (m i)) • f v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformInducing f
⊢ UniformInducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖))
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedRing β
FloorRing α
FloorRing β
a : α
b : β
h : ∀ (n : ℤ), a ≤ ↑n ↔ b ≤ ↑n
⊢ ⌈a⌉ = ⌈b⌉
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
⊢ IsIso ((PreservesPullback.iso (forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace) f g).hom ≫ pullback.snd ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace).map f) ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace).map g))
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => -I * ↑n.sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s / (s + 1).Gammaℝ)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : M
h✝ : ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ range ⇑(algebraMap R S)
i : ι
x✝ : i ∈ (b.repr m).support
w✝ : R
h : (algebraMap R S) w✝ = (b.repr m) i
⊢ w✝ • b i ∈ span R (range ⇑b)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
m : M
⊢ ({ toFun := fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⁅x, y⁆) m = ⁅{ toFun := fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x, { toFun := fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun y⁆ m
ι : Type uι
R : Type uR
A : ι → Type uA
DecidableEq ι
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
DirectSum.GAlgebra R A
r : R
⊢ (algebraMap R (DirectSum ι fun i => A i)) r = (DirectSum.of A 0) (DirectSum.GAlgebra.toFun r)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
ht0' : 0 < t
ht1' : t < 1
⊢ ((1 - t) * t) • (z -ᵥ x) = (t - t * t) • (z -ᵥ x)
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
⊢ Measurable fun f x => f x
n : ℤ
hn : n % 4 = 1
⊢ ZMod.χ₄ ↑n = 1
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
x✝ : p ∣ q
r : R[X]
hr : q = p * r
⊢ q = C a * p * (C a⁻¹ * r)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
i : ℕ
a : A
ha : a ∈ asIdeal f_deg hm q
j : ℕ
h : i = j
⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) ↑(((decompose 𝒜) a) i) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M'
N : LieSubmodule R L M
⊢ (LieSubmodule.orderIsoMapComap e) N = LieSubmodule.map e.toLieModuleHom N
α : Type u_2
M : Type u_4
Preorder M
One M
s : Set α
f : α → M
a : α
h : a ∈ s → f a ≤ 1
⊢ s.mulIndicator f a ≤ 1
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), (c ^ finrank ℝ V * φ (c • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))
B : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))
c : ℝ
hc : 0 < c
w : V
⊢ ↑((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) • f w = ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
r : R
⊢ ((algebraMap R A[X]) r).toFinsupp = (algebraMap R (AddMonoidAlgebra A ℕ)) r
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
K : ℝ≥0
s : Set α
hs : Dense s
ha : ∀ a ∈ s, Continuous fun y => f (a, y)
hb : ∀ (b : β), LipschitzWith K fun x => f (x, b)
⊢ Continuous f
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
N M : Matroid α
hR : R ⊂ M.E
⊢ M ↾ R <r M
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b c : G
⊢ a - c + (b + c) = a + b
α : Type u
Sup α
a b : α
⊢ { down := a ⊔ b } = { down := a } ⊔ { down := b }
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
c : α
Add α
Add β
hf : Function.Periodic f c
hg : Function.Periodic g c
⊢ Function.Periodic (f + g) c
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
Q : R[T;T⁻¹] → Prop
f : R[T;T⁻¹]
Qf : ∀ {f : R[X]} {n : ℕ}, Q (toLaurent f * T (-↑n))
n : ℕ
f' : R[X]
hf : toLaurent f' = f * T ↑n
⊢ Q (toLaurent f' * T (-↑n))
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
⊢ findIdx p xs = i ↔ p (xs.get ⟨i, h⟩) = true ∧ ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
I : C
hI : IsInitial I
h : ∀ (X : C), Mono (hI.to X)
I' X : C
hI' : IsInitial I'
⊢ Mono (hI'.to X)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμν : μ univ = ν univ
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ioc a b) = ν (Ioc a b)
⊢ μ = ν
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : SchwartzMap E F
⊢ Differentiable ℝ ⇑f
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n + k
⊢ (p - 1) * padicValNat p ((n + k).choose k) = (p.digits k).sum + (p.digits n).sum - (p.digits (n + k)).sum
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
PseudoMetricSpace β
b : ℝ → ℝ
b_lim : Filter.Tendsto b (𝓝 0) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ (x y : β) (i : ι), dist (F i x) (F i y) ≤ b (dist x y)
⊢ Equicontinuous F
X Y : AddCommGrp
i : X ≅ Y
a : ↑Y
⊢ i.addCommGroupIsoToAddEquiv.symm a = i.inv a
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ : HomologicalComplex V c
f : C₁ ⟶ C₂
∀ (n : ι), CategoryTheory.IsIso (f.f n)
⊢ CategoryTheory.IsIso f