ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Memℒp (Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a)) 1 (ν a)
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
h : Disjoint a b
⊢ Disjoint a (b \ c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : C
f g : A ⟶ B
CategoryTheory.IsCoreflexivePair f g
⊢ ∃ s,
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f s = CategoryTheory.CategoryStruct.id A ∧
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g s = CategoryTheory.CategoryStruct.id A
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂
⊢ y₁ * (x₂ - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) + y₂ * (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - x₁) + W.negAddY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (x₁ - x₂) = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b : α
H : a < b
⊢ Set.Ioo a b ∈ 𝓝[<] b
n : ℕ
c : Composition n
d : CompositionAsSet n := c.toCompositionAsSet
length_eq : d.blocks.length = c.blocks.length
i : ℕ
hi : i ≤ d.blocks.length
i_lt : i < d.boundaries.card
i_lt' : i < c.boundaries.card
i_lt'' : i < c.length + 1
⊢ (take i d.blocks).sum = (take i c.blocks).sum
k : ℕ
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
n : ℕ
hk : Nat.findGreatest P n < k
hkb : k ≤ n
⊢ ¬P k
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
self : AlgebraicGeometry.IsPreimmersion f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ Function.Surjective ⇑(AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f x)
α : Type u_1
p q : α → Prop
DecidablePred p
h : Disjoint p q
x : { x // p x }
⊢ (subtypeOrEquiv p q h).symm (Sum.inl x) = ⟨↑x, ⋯⟩
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
i : ℕ
⊢ (p.scaleRoots s).coeff i = p.coeff i * s ^ (p.natDegree - i)
n : ℕ
ih : ∀ m ≤ n, (treesOfNumNodesEq m).card = catalan m
⊢ ∀ x ∈ antidiagonal n, ∀ y ∈ antidiagonal n, x ≠ y → Disjoint (pairwiseNode (treesOfNumNodesEq x.1) (treesOfNumNodesEq x.2)) (pairwiseNode (treesOfNumNodesEq y.1) (treesOfNumNodesEq y.2))
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
f : α → β
hf : Surjective f
⊢ Nat.card β ≤ Nat.card α
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ
g : E →ₗ[ℝ] ℝ
g_eq : ∀ (x : ↥{ domain := p, toFun := ↑f }.domain), g ↑x = ↑{ domain := p, toFun := ↑f } x
g_le : ∀ (x : E), g x ≤ ‖f‖ * ‖x‖
g' : E →L[ℝ] ℝ := g.mkContinuous ‖f‖ ⋯
x : ↥p
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖g.mkContinuous ‖f‖ ⋯‖ * ‖x‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.simplicialCosimplicialEquiv C).unitIso.hom.app X = (Opposite.unop X).rightOpLeftOpIso.hom.op
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder α r
IsWellOrder β s
f : r ≼i s
a : α
⊢ Ordinal.typein s (f a) = Ordinal.typein r a
R : Type u
CommRing R
f g : R[X]
hf : f.Separable
hg : g.Separable
h : IsCoprime f g
⊢ (f * g).Separable
F : Type u_1
inst✝⁸ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
p : F[X]
hFE : FiniteDimensional F E
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsScalarTower F K E
x : E
hx : x ∈ p.aroots E
inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)
inst✝ : Fintype (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E)
h : IsIntegral K x
h1 : p ≠ 0
h2 : minpoly K x ∣ Polynomial.map (algebraMap F K) p
key_equiv : (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E) ≃ (f : K →ₐ[F] E) × (↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E) := let_fun this := algHomEquivSigma; this
this : (f : K →ₐ[F] E) → Fintype (↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E)
⊢ Fintype.card (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E) = Fintype.card (K →ₐ[F] E) * finrank K ↥K⟮x⟯
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
Z : LocallyRingedSpace
g : Y ⟶ Z
x : ↑X.toTopCat
⊢ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap g (f.val.base x) ≫ Hom.stalkMap f x) = LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap g (f.val.base x)) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f x)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
x : X
f : Filter X
hf : f.NeBot
x✝ : CountableInterFilter f
hfa : f ≤ 𝓟 {x}
⊢ 𝓟 {x} ≤ 𝓝 x
M : Type u_1
R : Type u_2
Group M
CommRing R
MulSemiringAction M R
a : M
S T : Ideal R
⊢ a • S ≤ a • T ↔ S ≤ T
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
haef : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯)
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯
f' : ℕ → α → β := fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯
hui' : UnifIntegrable f' p μ
hut' : UnifTight f' p μ
g' : α → β := AEStronglyMeasurable.mk g ⋯
hg : StronglyMeasurable g'
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
hg'' : Memℒp g' p μ
haefg' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (g' x))
haefg : ∀ (n : ℕ), f n - g =ᶠ[ae μ] f' n - g'
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofAbelian S).π =
  CategoryTheory.Limits.cokernel.π
    (CategoryTheory.Limits.kernel.ι
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.kernel.ι S.g) (CategoryTheory.Limits.cokernel.π S.f)))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
OpensMeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ
c : ℝ
⊢ ∫ (x : X), (BoundedContinuousFunction.const X c - f) x ∂μ = (μ Set.univ).toReal • c - ∫ (x : X), f x ∂μ
ctx : Nat.Linear.Context
a b c d : Nat.Linear.Expr
h : a.inc.toNormPoly.cancel b.toNormPoly = (c.inc.toPoly, d.toPoly)
⊢ (Nat.Linear.Expr.denote ctx a < Nat.Linear.Expr.denote ctx b) =
  (Nat.Linear.Expr.denote ctx c < Nat.Linear.Expr.denote ctx d)
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
U : ↥(unitary R)
⊢ ↑U * ↑(star U) = 1
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
hf : Injective f
m : ι → OuterMeasure α
⊢ (map f) (⨅ i, m i) = (map f) ((comap f) (⨅ i, (map f) (m i)))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f
hs : TotallyBounded (f '' s)
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
u : Set α
hfin : u.Finite
h : f '' s ⊆ ⋃ y ∈ f '' u, {x | (x, y) ∈ t}
⊢ ∃ t_1, t_1.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t_1, {x | (x, y) ∈ Prod.map f f ⁻¹' id t}
R : Type u
CommSemiring R
r : R
⊢ ⇑(Polynomial.aeval r) = Polynomial.eval r
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
i : ℕ
r : R
g : PolynomialModule R M
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.monomial i) r • g) n = if i ≤ n then r • g (n - i) else 0
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : SMul R α
x : R
a₀ a₁ : α
⊢ x • ![a₀, a₁] = ![x • a₀, x • a₁]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
a✝ : Nontrivial R
hpos : n > 0
n' : R
hn' : n' * ↑n = 1
⊢ -C ↑u⁻¹ * (X ^ n - C ↑u) + C ↑u⁻¹ * C n' * X * derivative (X ^ n - C ↑u) = 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
⊢ upcrossingsBefore 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N ω = upcrossingsBefore a b f N ω
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R
⊢ IsSelfAdjoint (x + star x)
R : Type u_2
AddGroup R
Mul R
c : RingCon R
x : R
⊢ ↑(-x) = -↑x
M : Type u_4
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
ι : Type u_5
t : Finset ι
f : ι → M
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S
⊢ ∑ c ∈ t, f c ∈ S
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a b : α
⊢ ↑a + ↑b = ↑a + c ↔ ↑b = c
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
h : ω ≤ o
⊢ (aleph' (succ o)).IsRegular
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
X₁ : Type u_1
X₂ : Type u_2
X₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid X₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid X₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid X₃
inst✝⁸ : Module R X₁
inst✝⁷ : Module R X₂
inst✝⁶ : Module R X₃
Y₁ : Type u_4
Y₂ : Type u_5
Y₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid Y₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid Y₂
inst✝³ : AddCommMonoid Y₃
inst✝² : Module R Y₁
inst✝¹ : Module R Y₂
inst✝ : Module R Y₃
f₁ : X₁ →ₗ[R] Y₁
f₂ : X₂ →ₗ[R] Y₂
f₃ : X₃ →ₗ[R] Y₃
⊢ ↑(assoc R Y₁ Y₂ Y₃) ∘ₗ map (map f₁ f₂) f₃ = map f₁ (map f₂ f₃) ∘ₗ ↑(assoc R X₁ X₂ X₃)
α✝ : Type u_1
a : α✝
l m : List α✝
⊢ a :: l ⊆ m ↔ a ∈ m ∧ l ⊆ m
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
⊢ ((p.derivSeries n) fun x_1 => x) x = (n + 1) • (p (n + 1)) fun x_1 => x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : MulAction α β
x : β
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : Fintype (Quotient (orbitRel α β))
inst✝ : (b : β) → Fintype ↥(stabilizer α b)
φ : Quotient (orbitRel α β) → β
hφ : LeftInverse Quotient.mk'' φ
⊢ Fintype.card β = ∑ ω : Quotient (orbitRel α β), Fintype.card α / Fintype.card ↥(stabilizer α (φ ω))
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η
⊢ ∃ n, ∀ (C : (Fin n → α) → κ), ∃ l, IsMono C l
m n : ℕ
h : n ≤ m
hm : Odd m
hn : Even n
⊢ Odd (m - n)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
NonnegSpectrumClass R A
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ 0 ≤ a ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), MeasurableSpace.generateFrom (C i) = inst✝ i
h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
h3C : (i : ι) → (μ i).FiniteSpanningSetsIn (C i)
μν : MeasureTheory.Measure ((i : ι) → α i)
h₁ : ∀ (s : (i : ι) → Set (α i)), (∀ (i : ι), s i ∈ C i) → μν (Set.univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
⊢ MeasureTheory.Measure.pi μ = μν
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e
⊢ (α_ f (g ≫ h) i).inv ≫ (α_ f g h).inv ▷ i ≫ (α_ (f ≫ g) h i).hom = f ◁ (α_ g h i).hom ≫ (α_ f g (h ≫ i)).inv
α : Type u_1
DecidableEq α
f g : Π₀ (_a : α), ℕ
⊢ DFinsupp.toMultiset (f ⊓ g) = DFinsupp.toMultiset f ∩ DFinsupp.toMultiset g
R : Type u_1
LinearOrderedField R
q : ℚ
⊢ ↑(Quaternion.normSq ↑q) = ↑q ^ 2
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : Set ι
inst✝ : Finite ↑s
t : ι → Set α
H : ∀ i ∈ s, Finite ↑(t i)
⊢ Finite ↑(⋃ x, t ↑x)
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
⊢ τ (fromCoset ⟨x • ↑⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩, ⋯⟩) = ∞
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Inter α
a b : Part α
hab : (a ∩ b).Dom
⊢ (a.bind fun y => map (fun x => y ∩ x) b).get ⋯ = a.get ⋯ ∩ b.get ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup Fₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
𝕜' : Type u_11
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜' 𝕜
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜' 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' Fₗ
IsScalarTower 𝕜' 𝕜 Fₗ
𝕜'' : Type u_12
Ring 𝕜''
Module 𝕜'' Fₗ
ContinuousConstSMul 𝕜'' Fₗ
SMulCommClass 𝕜 𝕜'' Fₗ
SMulCommClass 𝕜' 𝕜'' Fₗ
⊢ ⇑(ContinuousLinearMap.restrictScalarsIsometry 𝕜 E Fₗ 𝕜' 𝕜'') = ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜'
⊢ StrictMono (ord ∘ aleph') ∧ (∀ (a : Ordinal.{u_1}), (ord ∘ aleph') a ∈ {b | b.card.ord = b}) ∧ ∀ b ∈ {b | b.card.ord = b}, ∃ a, (ord ∘ aleph') a = b
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
V : Type u_3
Zero V
SMulZeroClass R V
r : R
x : HahnSeries Γ V
a : Γ
⊢ (r • x).coeff a = r • x.coeff a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : Fork f g
lift : (s : Fork f g) → s.pt ⟶ t.pt
fac : ∀ (s : Fork f g), lift s ≫ t.ι = s.ι
uniq : ∀ (s : Fork f g) (m : s.pt ⟶ t.pt), m ≫ t.ι = s.ι → m = lift s
s : Cone (parallelPair f g)
j : WalkingParallelPair
⊢ lift s ≫ t.π.app one = s.π.app one
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass R A M₁
inst✝³ : SMulCommClass A R M₁
inst✝² : IsScalarTower R A M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Invertible 2
Q₁ Q₂ : QuadraticForm A (A ⊗[R] M₂)
h : ∀ (m : M₂), Q₁ (1 ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (1 ⊗ₜ[R] m)
⊢ Q₁ = Q₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
Z : C
f : Z ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.Sieve.generate R).arrows f = ∃ Y h g, R g ∧ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h g = f
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
r : R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0
⊢ r = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U✝ s✝ : Set α
ε✝ r : ℝ≥0∞
inst✝ : μ.OuterRegular
H : μ.InnerRegularWRT p IsOpen
hd : ∀ ⦃s U : Set α⦄, p s → IsOpen U → p (s \ U)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h0 : p ∅
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hεs : ε + ε ≤ μ s
hr : μ s - (ε + ε) < μ s
U : Set α
hsU : U ⊇ s
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ s) < ε
U' : Set α
hsU' : U' ⊇ U \ s
hU'o : IsOpen U'
hμU' : μ U' < ε
⊢ ∃ K ⊆ s, p K ∧ μ s - (ε + ε) < μ K
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
⊢ Function.Injective LieEquiv.toLinearEquiv
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
inst✝ : Subsingleton α
g : α → β
x y : α
⊢ f x = g y ↔ f = g
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
V : OpenNhdsOf 1
this : Classical.choose ⋯ ∈ ⋂ V, clPrehaar (↑K₀) V
⊢ chaar K₀ ∈ clPrehaar (↑K₀) V
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y✝ : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hs : Convex ℝ s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s
hs' : UniqueDiffOn 𝕜 s
hf' : ∀ x ∈ s, fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 g s x
hx : x ∈ s
hfgx : f x = g x
y : E
hy : y ∈ s
z : E
hz : z ∈ s
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => f y - g y) s z = 0
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
m : M
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ s ∈ S, ‖m + s‖ < ‖(QuotientAddGroup.mk' S) m‖ + ε
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.WellPowered C
⊢ CategoryTheory.WellPowered D
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
c : β
h_le : ∀ᶠ (n : β) in map (g ∘ f) (ae μ), n ≤ c
⊢ ∀ᶠ (n : β) in map g (ae (Measure.map f μ)), n ≤ c
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E✝ : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup E✝
inst✝⁸ : Module ℝ E✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace E✝
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E✝
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E✝
E : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
x y : E
s : Set E
h : [x-[ℝ]y] ⊆ s
A : Continuous fun t => (1 - t) • x + t • y
⊢ (fun t => (1 - t) • x + t • y) '' unitInterval ⊆ s
R : Type u
M : Type v
Zero M
⊢ TrivSqZeroExt.snd ∘ TrivSqZeroExt.inl = 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
⊢ f.eraseLead.coeff i = if i = f.natDegree then 0 else f.coeff i
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G
⊢ H ≤ H ⊔ K
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
SeminormedAddCommGroup V₃
NormedSpace 𝕜 V₃
PseudoMetricSpace P₃
NormedAddTorsor V₃ P₃
SeminormedAddCommGroup V₄
NormedSpace 𝕜 V₄
PseudoMetricSpace P₄
NormedAddTorsor V₄ P₄
f : P₃ →ᵃⁱ[𝕜] P₄
g : P₂ →ᵃⁱ[𝕜] P₃
h : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : ↥(lp E p)
h : ↑f = ↑g
⊢ f = g
e : ℤˣ
⊢ ‖↑e‖ = 1
R : Type u_1
CommRing R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Free.embedding R C).map f = Finsupp.single f 1
⊢ Filter.Tendsto Real.cos (𝓝[>] (-(Real.pi / 2))) (𝓝[>] 0)
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ IsCoprime (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S)
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape K C
CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.uncurry.obj F)
CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ CategoryTheory.Limits.colim)
j : J
k : K
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F.obj j) k ≫
    CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F ⋙ CategoryTheory.Limits.colim) j ≫
      (CategoryTheory.Limits.colimitUncurryIsoColimitCompColim F).inv =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι (CategoryTheory.uncurry.obj F) (j, k)
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
z : R
f : (i : ι) → s i
i : ι
hf : f i = 0
⊢ PiTensorProduct.tprodCoeff R z f = 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
l : F → E
y : F
t : Set F
hl : DifferentiableWithinAt 𝕜 l t y
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hs : Set.MapsTo f s t
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hy : y = f x
⊢ derivWithin (l ∘ f) s x = (fderivWithin 𝕜 l t (f x)) (derivWithin f s x)
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
⊢ inr ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.right } = inr ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.right }
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
i : Fin r ⊕ Unit
⊢ ((listTransvecCol M).prod * M) (inr ()) i = M (inr ()) i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ s t : Set α
⊢ 𝓟 s ≤ 𝓟 t ↔ s ⊆ t
x y : ℝ
⊢ ↑(sinh (3 * x)) = ↑(4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x)
α : Type u_1
PartialOrder α
BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
⊢ IsMaxChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.range f)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
f₂ : G → G'
f₂' : G →L[𝕜] G'
p : E × G
hf : HasFDerivAt f f' p.1
hf₂ : HasFDerivAt f₂ f₂' p.2
⊢ HasFDerivAt (Prod.map f f₂) (f'.prodMap f₂') p
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η
ι : Type
ιfin : Fintype ι
hι : ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l
C : (Fin (Fintype.card ι) → α) → κ
l : Subspace η α ι
c : κ
cl : ∀ (x : η → α), (fun v => C (v ∘ ⇑(Fintype.equivFin ι).symm)) (↑l x) = c
e : η
⊢ ∃ i, (l.idxFun ∘ ⇑(Fintype.equivFin ι).symm) i = Sum.inr e
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Monotone fun x => Set.Iic (f x)
x : ℂ
n : ℤ
hlt : -π < ↑n * x.arg
hle : ↑n * x.arg ≤ π
y : ℂ
⊢ x ^ (↑n * y) = (x ^ n) ^ y
α : Type u
s t : Set α
h : t ⊆ s
⊢ s ∪ t = s
R : Type u
CommSemiring R
q : R[X]
⊢ ⇑q.compRingHom = fun p => p.comp q
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
e : α ≃o β
s : Set α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddAbove s
⊢ e (sSup s) = sSup (⇑e '' s)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → ℝ
hf : Continuous f
⊢ MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ioc a b ⊆ Set.Ioi a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
⊢ (∀ (x y : α), ↑(nndist (f x) (f y)) ≤ ↑K * ↑(nndist x y)) ↔ ∀ (x y : α), ↑(nndist (f x) (f y)) ≤ ↑K * ↑(nndist x y)
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
hf : Function.Injective ⇑f
x y : A
⊢ (baseChange W B).toAffine.Nonsingular (f x) (f y) ↔ (baseChange W A).toAffine.Nonsingular x y
α : Type u_1
r : Rel α α
p : RelSeries r
newLast : α
rel : r p.last newLast
⊢ (p.snoc newLast rel).last = newLast
M₀ : Type u_2
MulZeroOneClass M₀
Nontrivial M₀
a b : M₀
h : a * b = 1
⊢ a ≠ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Finite R M
n : ℕ
s : Fin n → M
hs : span R (range s) = ⊤
⊢ Surjective ⇑(((Pi.basisFun R (Fin n)).constr ℕ) s)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
y : R
n : ↥N
⊢ (mulMap 1 N) ((algebraMap R ↥⊥) y ⊗ₜ[R] n) = (algebraMap R S) y * ↑n
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
⊢ M.restrict I = Matroid.freeOn I ↔ M.Indep I
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_6
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
μ : Measure α
A_mble : MeasurableSet A
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
B : Set α
B_mble : MeasurableSet B
B_finmeas : μ B ≠ ⊤
As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ Tendsto (fun i => μ (As i)) L (𝓝 (μ A))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
s : Multiset R
⊢ (Multiset.map (natDegree ∘ fun a => X - C a) s).sum = Multiset.card s
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
hk : k ∈ {0}ᶜ
⊢ k ∈ resolventSet 𝕜 0
G : Type u_1
Group G
H K L : Subgroup G
⊢ (H ⊓ K).relindex L ≤ H.relindex L * K.relindex L
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m μ : OuterMeasure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((restrict s) μ).trim = (restrict s) μ.trim
s : List Char
i✝ p n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
ih : utf8GetAux cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := p }
h : ¬i = p
⊢ (if i + n = p + n then c else utf8GetAux cs { byteIdx := i + n + c.utf8Size } { byteIdx := p + n }) = if i = p then c else utf8GetAux cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := p }