ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
NonUnitalSemiring R
s : Set R
⊢ ↑(NonUnitalSubsemiring.centralizer s) = s.centralizer
α σ : Type u
m : Type u → Type v
β : Type u
a : α
s : σ
k : α → σ → m β
⊢ (pure a).runK s k = k a s
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
s : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ NonUnitalStarAlgebra.adjoin R ↑s = s
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
s : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥s
⊢ Module.rank K ↥s = 1 ↔ ∃ v₀ ∈ s, v₀ ≠ 0 ∧ s ≤ span K {v₀}
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.map (SimplexCategory.σ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc).op = 𝟙 (X _[n])
R S T : Type u
CommRing R
CommRing S
CommRing T
Algebra R S
Algebra R T
⊢ (AlgebraicGeometry.pullbackSpecIso R S T).hom ≫
    AlgebraicGeometry.Spec.map (CommRingCat.ofHom ↑Algebra.TensorProduct.includeRight) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd (AlgebraicGeometry.Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R S)))
    (AlgebraicGeometry.Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R T)))
α : Type u
β : Type v
γ : Type x
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hfs : ∀ b ∈ t, Set.InjOn (fun x => f x b) s
hft : ∀ a ∈ s, Set.InjOn (f a) t
⊢ (Set.image2 f s t).Finite ↔ s.Finite ∧ t.Finite ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
V : Type u
G : SimpleGraph V
Finite V
G' : G.Finsubgraph
⊢ ↑(￢G') = ￢↑G'
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
I : Ideal R₁
⊢ ↑I ≤ ↑I * (↑I)⁻¹
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
OrderedSemiring A
h : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat e n
⊢ 0 ≤ e
S : Type u_1
AddCommGroupWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
n : S
X : CategoryTheory.DifferentialObject S C
⊢ ((CategoryTheory.DifferentialObject.shiftFunctor C n).obj X).d =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X.d)
    (CategoryTheory.shiftComm X.obj 1 n).hom
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
H₁ : (1 - X ^ 2) * U R n = X * T R (n + 1) - T R (n + 2)
H₂ : derivative (T R (n + 1)) = ↑(n + 1) * U R (n + 1 - 1)
h₁ : T R (n + 2) = 2 * X * T R (n + 1) - T R n
⊢ (1 - X ^ 2) * derivative (T R (n + 1)) = (↑n + 1) * (T R n - X * T R (n + 1))
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
hs : 𝒜.Shatters s
ha : a ∈ s
⊢ ∃ t ∈ 𝒜, s ∩ t = {a}
X : Type u_1
a : FreeAbelianGroup X
⊢ (-a).support = a.support
α : Type u_1
Preorder α
s : LowerSet α
a : α
ha : a ∈ s
has : ∀ b ∈ s, a ≤ b → b = a
⊢ LowerSet.Iic a ⊔ s.erase a = s
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F = 2
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ ¬IsSquare a → False
x✝ : PGame
inst✝ : x✝.Impartial
G : PGame := x✝
⊢ x✝ ≈ nim x✝.grundyValue
α : Type u_5
self : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
⊢ ¬BddAbove s → sSup s = sSup ∅
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsFiltered J
F : J ⥤ AddGrp
x : (j : J) × ↑(F.obj j)
⊢ -AddGrp.FilteredColimits.G.mk F x = AddGrp.FilteredColimits.G.mk F ⟨x.fst, -x.snd⟩
n : Nat
a : Fin n
⊢ a ≤ a
a b c : ℕ
hc : c ≠ 0
h : a * c = b
⊢ a = b / c
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
NonUnitalNonAssocRing R
DistribMulAction M R
k : M
h : ∀ (x : R), k • x = 0 → x = 0
a b : R
h' : k • a = k • b
⊢ a = b
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GMonoid A
inst✝ : Gmodule A M
x : ⨁ (i : ιB), M i
⊢ 1 • x = x
𝕜₁ : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁
inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂
inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'
h₁ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₂ F₂ σ (RingHom.id 𝕜₂))
h₂ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₁ F₂ (RingHom.id 𝕜₁) σ).flip
h₃ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₁ e₁' e₁ b)) (e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet)
⊢ ContinuousOn (continuousLinearMapCoordChange σ e₁ e₁' e₂ e₂') (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet))
α : Type u_2
𝕜 : Type u_6
Preorder 𝕜
Zero 𝕜
Mul 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousMul 𝕜
l : Filter α
f : α → 𝕜
b c : 𝕜
hb : 0 < b
PosMulStrictMono 𝕜
PosMulReflectLT 𝕜
h : Filter.Tendsto f l (𝓝[<] c)
⊢ Filter.Tendsto (fun a => b * f a) l (𝓝[<] (b * c))
u v : PrimeMultiset
h : u ≤ v ↔ u.prod ∣ v.prod
⊢ u.prod ∣ v.prod ↔ u ≤ v
α : Type u
PartialOrder α
BoundedOrder α
h : ⊤ ≤ ⊥
⊢ Subsingleton α
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherianRing R
⊢ ⋃ p ∈ associatedPrimes R M, ↑p = {r | IsSMulRegular M r}ᶜ
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
x : (i : I) → f i
i j : I
hij : i ≠ j
⊢ Commute (mulSingle i (x i)) (mulSingle j (x j))
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
h : M.E = E ∧ M.Indep E
⊢ ∀ I ⊆ E, M.Indep I ↔ I ⊆ E
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
r : R
h0 : f ≠ 0
⊢ rootMultiplicity r ((expand R (p ^ n)) f) = p ^ n * rootMultiplicity (r ^ p ^ n) f
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = n /. ↑d
d0 : ↑d ≠ 0
this : ↑a * ↑d = ↑n * ↑b
⊢ ↑{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c } = ↑a / ↑b
F : Type u_3
Field F
Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ IsSquare a ↔ a ^ (Fintype.card F / 2) = 1
α : Type u
β : Type v
f : α → α
x : α
h : f x = x
n✝ n : ℕ
ihn : f^[n] x = x
⊢ f^[n.succ] x = x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
ht_range : generateFrom (Set.range t) = m
⊢ ⨆ n, ↑(partitionFiltration ht) n = m
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y1 y2 : ℕ × K
H : R K p y1 y2
n : ℕ
y : K
⊢ R K p (x.1 + (n, y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n, y).1] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n, y).2) (x.1 + (n + 1, (frobenius K p) y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n + 1, (frobenius K p) y).1] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n + 1, (frobenius K p) y).2)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
⊢ closedBall x ε = ∅ ↔ ε < 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : A
p : R[X]
⊢ (PolyEquivTensor.toFunLinear R A) (a ⊗ₜ[R] p) = ((PolyEquivTensor.toFunBilinear R A) a) p
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 0).HasBasis p U
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | x.1 - x.2 ∈ U i}
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
a : L
h : map i f = C a
this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L
ha : ¬a = 0
g✝ : L[X]
hg : Irreducible g✝
x✝ : g✝ ∣ map i f
p : L[X]
hp : map i f = g✝ * p
this : g✝.degree = 0 ∧ p.degree = 0
⊢ g✝.degree = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_one : f 1 = 1
hp_one : p 1
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hpsa : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hps : ∀ x ∈ s, p x
hp_prod : p s.prod
⊢ f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K
⊢ (LinearIndependent K fun i => Aᵀ i) ↔ IsUnit A
α : Type u_1
AddGroup α
H : Type u_2
AddGroup H
f : α →+ H
a : α
g : ↑(⇑f ⁻¹' {f a})
⊢ ↑((f.fiberEquivKer a) g) = -a + ↑g
α : Type u
x y : α
l : List α
⊢ x ∈ l.getLast? → x ∈ (y :: l).getLast?
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G
a : Fin (n + 1)
x✝ : Fin n
⊢ (Fin.partialProd g (a.succ.succAbove x✝.castSucc))⁻¹ * (Fin.partialProd g (a.succAbove x✝).castSucc * g (a.succAbove x✝)) = a.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g x✝
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m x✝² x✝¹ : ℤ
hij : ¬(ComplexShape.up ℤ).Rel x✝² x✝¹
x✝ : ↑(AddCommGrp.of (Cochain F G x✝²))
⊢ ((fun i j => AddCommGrp.ofHom ↑(δ_hom ℤ F G i j)) x✝² x✝¹) x✝ = 0 x✝
x : ℂ
hx : 0 < x.re
⊢ Complex.arg =ᶠ[𝓝 x] fun x => Real.arcsin (x.im / Complex.abs x)
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this✝¹ : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (range fun i => bK i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this✝ : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom K (RingHom.op L.subtype)
ιL : Type u
bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
t : Finset ℕ
g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ
i : ℕ
hi : i ∈ t
hgi : g i ≠ 0
s : Finset ιK
f : ℕ → { x // x ∈ s } → ↥L := fun i j => ⟨bK (↑j) i, ⋯⟩
this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
eq0 : ∑ i ∈ t, g i • f i = 0
c : ιK →₀ K
rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e
⊢ ∑ x ∈ t, ∑ x_1 ∈ s, g x • c x_1 • bK x_1 x = 0
a : Ordinal.{u_1}
l : a.IsLimit
⊢ a ≤ ω * (a / ω)
ι : Type u_1
I J✝ J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
boxes : Finset (WithBot (Box ι))
le_of_mem : ∀ J ∈ boxes, J ≤ ↑I
pairwise_disjoint : (↑boxes).Pairwise Disjoint
H : ∀ J ∈ π, ∃ J' ∈ boxes, ↑J ≤ J'
J : Box ι
hJ : J ∈ π
J' : Box ι
J'mem : ↑J' ∈ boxes
hle : ↑J ≤ ↑J'
⊢ ∃ I' ∈ ofWithBot boxes le_of_mem pairwise_disjoint, J ≤ I'
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ I * (1 / I) ≤ 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.SheafedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ (AlgebraicGeometry.SheafedSpace.IsOpenImmersion.isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯ = f
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α n
⊢ Mathlib.Vector.ofFn v.get = v
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_5
Ring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
HS : (Subalgebra.toSubmodule S).FG
x : A
hx : x ∈ S
⊢ IsIntegral R x
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ Polynomial.degreeLT R (n + 1) = Polynomial.degreeLE R ↑n
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)
⊢ (conGen fun x y => ∃ c ∈ S, c x y) = conGen (⨆ a ∈ S, ⇑a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
B : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedCommRing B
NormedAlgebra 𝕜 B
σ : Type u_5
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] σ → B
p : MvPolynomial σ B
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => (MvPolynomial.eval (f x)) p) Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Group α
MulAction α β
Zero γ
c : α
f : β → γ
⊢ (Function.support fun x => f (c⁻¹ • x)) = c • Function.support f
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module A M
x y : PrimeSpectrum R
e : x ⤳ y
m : M
hm : (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ x.asIdeal
⊢ ∃ m, (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ y.asIdeal
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ (f =O[l] fun x => -g' x) ↔ f =O[l] g'
x y : ℝ
hx : 0 < x
⊢ Real.log x < y ↔ x < Real.exp y
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.cos (angle x (x + y)) * ‖x + y‖ = ‖x‖
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
self : VectorBundleCore R B F ι
i j k : ι
x : B
⊢ x ∈ self.baseSet i ∩ self.baseSet j ∩ self.baseSet k →
  ∀ (v : F), (self.coordChange j k x) ((self.coordChange i j x) v) = (self.coordChange i k x) v
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₂ φ₃
⊢ (h₁₂.trans h₂₃).h₁ = h₁₂.h₁ + h₂₃.h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
p : TangentBundle I M
q : TangentBundle I H
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).target
⊢ q.proj = ↑↑(achart H p.proj) (↑((chartAt H p.proj).prod (PartialHomeomorph.refl E)).symm (q.proj, q.snd)).1
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
h : ∀ b ∈ φ.support, (b.sum fun x e => e) < n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ d.degree ≠ n
K : Type u_3
DivisionRing K
a b c d : K
hbc : Commute b c
hbd : Commute b d
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ a / b - c / d = (a * d - b * c) / (b * d)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p q x y : E
az bz : 𝕜
haz : 0 ≤ az
hbz : 0 ≤ bz
habz : az + bz = 1
haz' : 0 < az
av bv : 𝕜
hav : 0 ≤ av
hbv : 0 ≤ bv
habv : av + bv = 1
hav' : 0 < av
au bu : 𝕜
hau : 0 ≤ au
hbu : 0 ≤ bu
habu : au + bu = 1
hab : 0 < az * av + bz * au
⊢ (az * av / (az * av + bz * au) * bu) • p + (bz * au / (az * av + bz * au) * bv) • q + ((az * av / (az * av + bz * au)) • au • x + (bz * au / (az * av + bz * au)) • av • y) ∈ (convexHull 𝕜) {p, q, az • x + bz • y}
B : Type u_1
F : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace Z
proj : Z → B
h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F proj
⊢ IsOpenMap proj
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddMonoid P
f : M →+ P
g : N →+ P
⊢ AddMonoidHom.mrange (AddMonoid.Coprod.lift f g) = AddMonoidHom.mrange f ⊔ AddMonoidHom.mrange g
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
a b : α
⊢ Set.Ioo a b ⊆ closure (interior (Set.Ioo a b))
Γ : Type u_1
R : Type u_3
V : Type u_4
AddCommMonoid V
PartialOrder Γ
SMulZeroClass R V
r : R
x : HahnModule Γ R V
⊢ (HahnModule.of R).symm (r • x) = r • (HahnModule.of R).symm x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y✝ z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
y : E
hxy : dist x y < ↑r - δ
hyz : dist y z < δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < ↑r
a : ℝ
⊢ ‖↑a‖ = ‖a‖
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
self : Φ.LeftResolution X₂
⊢ W₂ self.w
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
s : LowerSet α
⊢ ↑((LowerSet.map f) s) = ⇑f '' ↑s
x y : ℝ*
⊢ x.InfiniteNeg → y.InfiniteNeg → (x + y).InfiniteNeg
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
⊢ (mixedEmbedding K) x ∈ Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
⊢ -⟦-a✝² i * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝⟧ = ⟦a✝² i * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝⟧
α : Type u_1
a : α
s : Finset α
h : a ∈ s
⊢ s ≠ ∅
G : Type u
Group G
x : G
hx : orderOf x = 2
⊢ x⁻¹ = x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
⊢ {a} ○ {b} = if Disjoint a b then {a ⊔ b} else ∅
γ : Type w
LinearOrder γ
DenselyOrdered γ
a : γ
⊢ IsLUB (Set.Iio a) a
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x
hder_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → deriv f (x + 1) = deriv f x + 1 / x
hder_nat : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) = deriv f 1 + ↑(harmonic n)
derivLB : ∀ (n : ℕ), 0 < n → log ↑n ≤ deriv f (↑n + 1)
⊢ -deriv f 1 = γ
R : Type u
M₂ : Type w
ι : Type x
Semiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M₂ →ₗ[R] φ i
i : ι
⊢ LinearMap.proj i ∘ₗ LinearMap.pi f = f i
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
key : (expand p) ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)) = (expand p) ((bind₁ (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ))) (W_ ℚ n))
⊢ (bind₁ fun i => (expand p) ((rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℚ n))) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) = (bind₁ fun i => (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))) (W_ ℚ n)
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (μ : MeasureTheory.Measure α) (f : MeasureTheory.SimpleFunc α F),
  MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ f = MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc (MeasureTheory.weightedSMul μ) f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
⊢ 𝓘(𝕜, E × F) = 𝓘(𝕜, E).prod 𝓘(𝕜, F)
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a ⨳ (b + 1) = a ⨳ b ♯ a
α : Type u_1
LE α
a : WithTop α
b c : α
h : a = ⊤ → c ≤ b
⊢ c ≤ WithTop.untop' b a ↔ ↑c ≤ a
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
s t : σ
hlen : Fintype.card σ ≤ x.length
hx : M.evalFrom s x = t
n m : Fin (Fintype.card σ + 1)
hneq : n ≠ m
heq : M.evalFrom s (List.take (↑n) x) = M.evalFrom s (List.take (↑m) x)
⊢ ∃ q a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card σ ∧ b ≠ [] ∧ M.evalFrom s a = q ∧ M.evalFrom q b = q ∧ M.evalFrom q c = t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s
⊢ f.lintegral μ = ∑ x ∈ s, x * μ (↑f ⁻¹' {x})
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommRing R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfcₙ (fun x => -x) a = -a
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
ϕ : L →ᴸ L'
M : Type u_1
L.Structure M
L'.Structure M
self : ϕ.IsExpansionOn M
n : ℕ
R : L.Relations n
x : Fin n → M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.RelMap (ϕ.onRelation R) x = FirstOrder.Language.Structure.RelMap R x
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M
this : ∃ x, ∀ (a : R), a ≠ 0 → a • Submodule.Quotient.mk x ≠ 0
⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r ≠ 0 → r • m ∉ N
α : Type u_1
xs ys : List α
p : α → Bool
⊢ findIdx? p (xs ++ ys) = HOrElse.hOrElse (findIdx? p xs) fun x => Option.map (fun i => i + xs.length) (findIdx? p ys)
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b
ha'' : ↑a ≠ 0
⊢ (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
α : Type u_2
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
s : Set α
h : s.WellFoundedOn r
a : α
⊢ (insert a s).WellFoundedOn r
α : Type u
b : Ultrafilter α
⊢ ⨅ i ∈ {s | b ∈ s ∧ s ∈ ultrafilterBasis α}, 𝓟 (pure ⁻¹' i) ≤ ↑b
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p * q).leadingCoeff = p.leadingCoeff
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n✝ : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
X Y : Finset α
n : ℕ
hXY : 2 * n < (X ∪ Y).card
h₁ : (X ∩ (Y \ X)).card = 0
⊢ ∃ C, n < C.card ∧ (C ⊆ X ∨ C ⊆ Y)
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
T2Space M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
U : M → Set M
⊢ (f.toBumpCovering.IsSubordinate fun i => U (f.c i)) ↔ f.IsSubordinate U
n : ℕ
i : ZMod n
⊢ sr i ^ 2 = 1
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : A
hx : x ∈ S
n : ℤ
⊢ n • x ∈ S
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
hab : a < b
this : ∫⁻ (ω : Ω), upcrossings a b f ω ∂μ ≤ (⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ) / ENNReal.ofReal (b - a)
⊢ ∫⁻ (x : Ω), upcrossings a b f x ∂μ ≠ ⊤
R : Type u_4
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
⊢ ⇑↑f = ⇑f
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsCompact s
this : ∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x
t : Finset X
left✝ : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ↑t
⊢ s.Finite
α : Type u_2
Add α
s t₁ t₂ : Set α
⊢ s + t₁ ∩ t₂ ⊆ (s + t₁) ∩ (s + t₂)
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
p : Submodule R M
q : Submodule R M'
x : M × M'
⊢ x ∈ p.prod q ↔ x.1 ∈ p ∧ x.2 ∈ q