ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α →₀ M
h : α → M → N
h_zero : ∀ a ∈ f.support ∪ g.support, h a 0 = 1
h_add : ∀ a ∈ f.support ∪ g.support, ∀ (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ * h a b₂
⊢ ∏ x ∈ f.support ∪ g.support, h x ((f + g) x) = ∏ x ∈ f.support ∪ g.support, h x (f x) * h x (g x)
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ
x p : ℝ
hf : Tendsto f l (𝓝 x)
h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ p
h0 : 0 = p
⊢ Tendsto (fun a => f a ^ 0) l (𝓝 (x ^ 0))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
h : ¬Disjoint (I.interior M) (I.boundary M)
x : M
h1 : x ∈ I.interior M
h2 : x ∈ I.boundary M
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.Discrete.functor F.obj)
CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.Discrete.functor fun f => F.obj f.fst.1)
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit F
m n : ℕ
h : n % 2 = 0
⊢ n % 2 + 2 * (n / 2) = n / 2 + n / 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C
X : CategoryTheory.ShrinkHoms.{u} C
⊢ 𝟙 X = (equivShrink (X.fromShrinkHoms ⟶ X.fromShrinkHoms)) (𝟙 X.fromShrinkHoms)
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
⊢ ∀ ⦃s t : Set E⦄, s ⊆ t → (∃ s_1, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s_1 → ∑ b ∈ t, f b ∈ s) → ∃ s, ∀ (t_1 : Finset ι), Disjoint t_1 s → ∑ b ∈ t_1, f b ∈ t
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : QuasiErgodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] s
t : Set α
h₀ : MeasurableSet t
h₁ : t =ᶠ[ae μ] s
h₂ : f ⁻¹' t = t
⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ] univ
G : Type u_1
AddCommMonoid G
A : Set (G × G)
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
self : IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂
⊢ (x₁, y₁) ∈ A
G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M✝ : Type x
inst✝³ : Monoid M✝
I : Type u_1
inst✝² : Group I
M : Subgroup H
O : Subgroup I
inst✝¹ : M.Normal
inst✝ : O.Normal
f : G →* H
g : H →* I
hf : N ≤ Subgroup.comap f M
hg : M ≤ Subgroup.comap g O
hgf : optParam (N ≤ Subgroup.comap (g.comp f) O) ⋯
x✝ : G ⧸ N
x : G
⊢ (map M O g hg) ((map N M f hf) ↑x) = (map N O (g.comp f) hgf) ↑x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ {i₁, i₂}ᶜ.Nonempty
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
ys : List α
⊢ (List.foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } ys).down = ys.length + 0
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
a : DirectSum ι fun i => A i
⊢ (DirectSum.toSemiring f hone hmul) a = (DirectSum.toAddMonoid f) a
α : Type u
f : Filter α
f.NeBot
p : Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p) ↔ p
p : ℕ
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => x ^ p
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
m n : ℕ
h : m ≤ n
k : ℕ
hk : n = m + k
⊢ I ^ m * I ^ k ≤ I ^ m
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hYdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (Y i) (Y j)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
this : FreeGroup.lift a = (lift fun i => FreeGroup.lift fun x => a i).comp freeGroupEquivCoprodI.toMonoidHom
⊢ Function.Injective (⇑(lift fun i => FreeGroup.lift fun x => a i) ∘ ⇑freeGroupEquivCoprodI.toMonoidHom)
p m : ℕ+
pp : p.Prime
⊢ ↑m ∣ ↑p ↔ m = 1 ∨ m = p
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
⊢ ∃ a' h' iDh', U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧ (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧ ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s = const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯
α : Type u
Finite α
κ : Type (max v u)
Finite κ
⊢ ∃ ι x, ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, Combinatorics.Line.IsMono C l
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
m : ℕ
φ : L.BoundedFormula α m
v : α → M
h' : m ≤ m
xs : Fin m → M
⊢ (castLE h' φ).Realize v xs ↔ φ.Realize v (xs ∘ Fin.cast ⋯)
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a / b < 1 ↔ a < b
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ n.Perfect ↔ ∑ i ∈ n.properDivisors, i = n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
g : α → β
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hg : Memℒp g p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
hε_top : ¬↑ε = ⊤
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator ((fun x => g) i)) p μ ≤ ↑ε
M : Type u_5
N : Type u_6
Mul M
Mul N
⊢ ⇑(MulHom.snd M N) = Prod.snd
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
hf : ContinuousOn f (star '' σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfcₙ (fun x => f (star x)) a = cfcₙ f (star a)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
n : ℕ
⊢ (2 * π)⁻¹ * (|R|⁻¹ ^ n * (|R| * (|R|⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c R x)‖))) ≤ ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c R θ)‖) * |R|⁻¹ ^ n
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
h : ℝ → ℝ := fun x => (g b - g a) * f x - (f b - f a) * g x
hI : h a = h b
h' : ℝ → ℝ := fun x => (g b - g a) * f' x - (f b - f a) * g' x
hhh' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt h (h' x) x
hhc : ContinuousOn h (Icc a b)
⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, (g b - g a) * f' c = (f b - f a) * g' c
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
cont : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x ↔ ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ (ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x) ∧ ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n (↑(chartAt E' ((↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) x)) ∘ (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_5
OrderedCommSemiring S
Algebra S R
Module S M
SMulPosMono S R
IsScalarTower S R M
a : S
v : M
ha : 0 < a
⊢ SameRay R v (a • v)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasFDerivAt (exp 𝕂) (exp 𝕂 x • 1) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
f : E →ᵃ[𝕜] F
a b : E
x : F
⊢ x ∈ ⇑f '' openSegment 𝕜 a b ↔ x ∈ openSegment 𝕜 (f a) (f b)
α : Type u_1
AddGroup α
n : ℕ
hn : (Nat.card α).Coprime n
a : α
⊢ (↑n)⁻¹.val • n • a = a
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α
Nontrivial α
⊢ a < aᶜ ↔ a = ⊥
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
SeminormedAddCommGroup V₃
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ∀ (a : V₁), (g.comp f) a = g (f a)
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ
⊢ (bit a m).lor (bit b n) = bit (a || b) (m.lor n)
α : Type u
s : Set α
⊢ ↑s = { x // x ∈ s }
α : Type u_1
d : MeasurableSpace.DynkinSystem α
⊢ d.Has Set.univ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝³ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : Algebra K F
x : L
hx : ¬IsIntegral K x
⊢ (Algebra.trace K ↥K⟮x⟯) (gen K x) = 0
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
MulAction G α
s : Set α
g : G
s_subset : (MulAction.fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
⊢ s ∈ MulAction.fixedBy (Set α) g
α : Type u_1
l : List α
⊢ Quot.mk (fun x x_1 => x ≈ x_1) l = ↑l
M : Type u_1
AddZeroClass M
⊢ AddMonoidHom.mrange (AddMonoidHom.id M) = ⊤
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a) ≤ p
⊢ toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius
this✝ : Tendsto (fun h => h • x) (𝓝 0) (𝓝 0)
this : ∀ᶠ (h : 𝕊) in 𝓝 0, h • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
h : 𝕊
hh : h • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ exp 𝕂 (t • x) * (exp 𝕂 ((0 + h) • x) - exp 𝕂 (0 • x) - (ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) h) = exp 𝕂 ((t + h) • x) - exp 𝕂 (t • x) - (exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) h
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M₀ : Type u_4
MulZeroOneClass M₀
s : Set ι
i : ι
t : Set κ
j : κ
⊢ (s ×ˢ t).indicator 1 (i, j) = s.indicator 1 i * t.indicator 1 j
ι : Type u
γ : Type w
DecidableEq ι
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
(i : ι) → Zero (β₁ i)
(i : ι) → Zero (β₂ i)
(i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
(i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
CommMonoid γ
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
h : (i : ι) → β₂ i → γ
h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
⊢ (DFinsupp.mapRange f hf g).prod h = g.prod fun i b => h i (f i b)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f : X → ℝ
s✝ s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : StronglyMeasurable f
hfi : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X), s.indicator f x ∂μ ≤ ∫ (x : X), {a | 0 ≤ f a}.indicator f x ∂μ
α : Type u_1
Finite α
f : α → α
⊢ Function.Injective f ↔ Function.Bijective f
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : CommSemiring A'
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R B
p q : R[X]
x : A
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Algebra S A'
inst✝ : Algebra S B
g : R →ₐ[S] A'
y : A'
s : S
⊢ (aevalTower (AlgHom.id S S) s) X = (aeval s) X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
⊢ MeasurableSet (s₁ᶜ ∪ s₂ᶜ)ᶜ
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ Lex r (a :: l₁) (a :: l₂) ∨ a :: l₁ = a :: l₂ ∨ Lex r (a :: l₂) (a :: l₁)
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
f : k →+* K
w : InfinitePlace K
hφ : w.IsReal
⊢ ComplexEmbedding.IsReal (w.embedding.comp f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
h : x < y
⊢ z ∈ Ioo x y ↔ ∃ a b, 0 < a ∧ 0 < b ∧ a + b = 1 ∧ a * x + b * y = z
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
zero_mem : 0 ∈ {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M_nonneg : 0 ≤ M
hgM : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 M))] 0
ν : Measure α := μ.restrict {a | M < f a}
this : SigmaFinite ν
A : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂ν
B : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, ν {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
A : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
Sub A
OrderedSub A
ContravariantClass A A (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Finset.HasAntidiagonal A
n m : A
DecidablePred fun x => x = m
Decidable (m ≤ n)
⊢ Finset.filter (fun x => x.1 = m) (Finset.antidiagonal n) = if m ≤ n then {(m, n - m)} else ∅
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
a✝ a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R✝
n : ℤ
d : ℕ
R : Type u_2
inst✝ : DivisionRing R
a : R
inv✝ : Invertible ↑d
e : a = ↑n * ⅟↑d
⊢ a = Rat.rawCast n d + 0
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 < a + b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
this : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
⊢ ∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
SMulCommClass R B B
IsScalarTower R B B
a₁ a₂ : A
b₁ b₂ : B
⊢ a₁ ⊗ₜ[R] b₁ * a₂ ⊗ₜ[R] b₂ = (a₁ * a₂) ⊗ₜ[R] (b₁ * b₂)
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ : P
⊢ dist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) p₂ = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this✝ : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
this : (f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x)) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + (g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y)) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x) ∈ P'.ker ^ 2
⊢ f.toAlgHom (x * y) - g.toAlgHom (x * y) - (P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)) ∈ P'.ker ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a : Option α
b : Option β
α' : Type u_5
f : α' → β → γ
g : α → α'
f' : β → α → δ
g' : δ → γ
h_left_anticomm : ∀ (a : α) (b : β), f (g a) b = g' (f' b a)
⊢ Option.map₂ f (Option.map g a) b = Option.map g' (Option.map₂ f' b a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ s
x : α
⊢ x = a → x ∈ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
self : CategoryTheory.HalfBraiding X
U U' : C
⊢ (self.β (U ⊗ U')).hom = (α_ X U U').inv ≫ (self.β U).hom ▷ U' ≫ (α_ U X U').hom ≫ U ◁ (self.β U').hom ≫ (α_ U U' X).inv
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
p : 𝕜[X]
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => Polynomial.eval x p) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
hab : a ≠ b
s : Set α
⊢ insert a (s \ {b}) = insert a s \ {b}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F₁ F₂ F₃ : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J ψ
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ ψ) ↔
  CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f₁ : a ⟶ b
g₁ : b ⟶ a
f₂ : b ⟶ c
g₂ : c ⟶ b
adj₁ : CategoryTheory.Bicategory.Adjunction f₁ g₁
adj₂ : CategoryTheory.Bicategory.Adjunction f₂ g₂
⊢ CategoryTheory.Bicategory.rightZigzag (adj₁.compUnit adj₂) (adj₁.compCounit adj₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ g₁)).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ g₁)).inv
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
hF : CategoryTheory.Limits.IsImage F
hF' : CategoryTheory.Limits.IsImage F'
⊢ (hF.isoExt hF').hom ≫ F'.m = F.m
f : Type u → Type v
Functor f
self : LawfulFunctor f
α β γ : Type u
g : α → β
h : β → γ
x : f α
⊢ (h ∘ g) <$> x = h <$> g <$> x
a : Nat
l : List Nat
⊢ Nat.sum (a :: l) = a + Nat.sum l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : TopologicalSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace δ
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β
inst✝⁹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁸ : BorelSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : PseudoMetrizableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : SecondCountableTopologyEither β γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : PseudoMetrizableSpace δ
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace δ
inst✝ : SecondCountableTopology δ
g : β → γ → δ
hg : Measurable (uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ
⊢ comp₂Measurable g hg f₁ f₂ = mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) ⋯
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
d s : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
cl_d : Set (α × α) := {p | ∃ x y, (p.1, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.2) ∈ d}
t : (p : α × α) → p ∈ s → Set (α × α)
ht : ∀ (p : α × α) (a : p ∈ s), t p a ⊆ cl_d ∧ IsOpen (t p a) ∧ p ∈ t p a
⊢ ∃ t, IsOpen t ∧ s ⊆ t ∧ t ⊆ {p | ∃ x y, (p.1, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.2) ∈ d}
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal S P
⊢ ∀ z ∈ I, (algebraMap R P) ↑I.den * z ∈ I
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α✝ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : TopologicalSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace Y
inst✝¹⁰ : SMul M X
inst✝⁹ : ContinuousSMul M X
R : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁸ : FunLike F α β
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : AddCommMonoid β
inst✝⁴ : Module R α
inst✝³ : Module R β
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : LinearMapClass F R α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousSMul R β
f : F
tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ
⊢ Continuous fun x => x.1 • f x.2
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
f : ℕ → M
h : ∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]
⊢ ∀ (a : ℕ), ↑(AdicCompletion.AdicCauchySequence.mk I M f h) a = f a
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
μ : Measure G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
h2K : (interior K).Nonempty
hμK : μ K ≠ ⊤
⊢ μ.Regular