ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
ConditionallyCompleteLattice γ
s : Set α
t : Set β
l : α → β → γ
u₁ : β → γ → α
u₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (Function.swap l b ∘ ⇑OrderDual.ofDual) (⇑OrderDual.toDual ∘ u₁ b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l a) (u₂ a)
⊢ s.Nonempty → BddBelow s → t.Nonempty → BddAbove t → sSup (Set.image2 l s t) = l (sInf s) (sSup t)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ (eval P) (C W.a₁ * X 1 * X 2 - (C 3 * X 0 ^ 2 + C (2 * W.a₂) * X 0 * X 2 + C W.a₄ * X 2 ^ 2)) = W.a₁ * P 1 * P 2 - (3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
x y : Cofix F α
rxy : r x y
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ fun {i} => (α ::: Cofix F α) i
dxeq : x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩
dyeq : y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩
h' : ∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a i), α.RelLast r (f₀ i j) (f₁ i j)
⊢ MvQPF.abs ⟨a, (TypeVec.id ::: Quot.mk r) ⊚ splitFun (dropFun f₀) (lastFun f₀)⟩ = MvQPF.abs ⟨a, (TypeVec.id ::: Quot.mk r) ⊚ splitFun (dropFun f₁) (lastFun f₁)⟩
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃
x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂
x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁
h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃
h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂
this✝ : PreservesFiniteLimits (forget₂ C Ab)
this : PreservesFiniteLimits (forget C)
eq : (forget C).map D.δ x₃ = (forget C).map D.v₂₃.τ₁ ((forget C).map D.φ₁ (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂))
eq₁ : (forget C).map (pullback.fst D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₂
eq₂ : (forget C).map (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₃
⊢ (forget C).map D.L₂.f ((forget C).map D.φ₁ (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂)) = (forget C).map D.L₂.f x₁
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
n : ℕ
hp : ∀ n' < n, ¬p n'
⊢ Nat.count p n = 0
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
start : σ
x y : List α
⊢ M.evalFrom start (x ++ y) = M.evalFrom (M.evalFrom start x) y
y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0
⊢ (x ^ y) ^ (1 / y) = x
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
PosMulMono α
MulPosMono α
hf : Monotone f
hg : Monotone g
hf₀ : ∀ (x : β), 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ (x : β), 0 ≤ g x
⊢ Monotone (f * g)
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime x (y * z)
⊢ IsCoprime x z
R : Type u_1
CommRing R
CharZero R
h : ∀ p > 0, ¬MixedCharZero R p
I : Ideal R
⊢ I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ
⊢ trunc n.succ f = trunc n f + (Polynomial.monomial n) ((coeff R n) f)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
hs : s.PartiallyWellOrderedOn r
ht : t.PartiallyWellOrderedOn r
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t
⊢ ∃ m n, m < n ∧ r (f m) (f n)
M : Type u
CommMonoid M
N : Type u
CommMonoid N
F : M →* N
X : CategoryTheory.Discrete M
⊢ ((CategoryTheory.Discrete.braidedFunctor F).obj X).as = F X.as
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
Y : Over X
Z : C
g : Z ⟶ Y.left
⊢ ((overEquiv Y) ⊤).arrows g ↔ ⊤.arrows g
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsum : Summable fun n => ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n ^ s.re
⊢ ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulRightInvariant
ν.IsMulRightInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.1 * z.2, z.1⁻¹)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
m : M
⊢ sInf ((fun m_1 => ‖m + m_1‖) '' ↑f.ker) ≤ ‖m‖
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
t : α → Set β
⊢ ⋃ x ∈ ⋃ i, s i, t x = ⋃ i, ⋃ x ∈ s i, t x
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : AEMeasurable f μ
h' : ν ≪ μ
⊢ AEMeasurable f ν
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S
φ : R →+* S
f : MvPolynomial σ R
i : σ
⊢ (pderiv i) ((map φ) f) = (map φ) ((pderiv i) f)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
S : Set X
f₀ f₁ : C(X, Y)
h : f₀.HomotopicRel f₁ S
⊢ f₀.Homotopic f₁
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ 0 ≤ (a * a₁⁻¹).y
q : ℚ
x : ℝ
⊢ Irrational (x * ↑q) ↔ q ≠ 0 ∧ Irrational x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
⊢ AEMeasurable ((r • ν).rnDeriv μ) μ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
⊢ comap (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) = id
n : Int
d : Nat
z : d ≠ 0
n' : Int
d' : Nat
z' : d' ≠ 0
c : n'.natAbs.Coprime d'
h : normalize n d z = { num := n', den := d', den_nz := z', reduced := c }
this : ∃ d_1, d_1 ≠ 0 ∧ n = (normalize n d z).num * ↑d_1 ∧ d = (normalize n d z).den * d_1
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ n = n' * ↑m ∧ d = d' * m
α β✝ γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (Option α ⊕ β)
pe : ∀ (v : Option α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
x✝ : ∃ t, (Poly.map (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some) p) (v ⊗ t) = 0
t : Option β → ℕ
ht : p ((v ⊗ t) ∘ (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some)) = 0
⊢ p (t none ::ₒ v ⊗ t ∘ some) = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
M.HasHomology i
⊢ HomologicalComplex.cyclesMap (φ ≫ ψ) i = HomologicalComplex.cyclesMap φ i ≫ HomologicalComplex.cyclesMap ψ i
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
a x : R
hp0 : 0 < p.degree
⊢ x ∈ (p - Polynomial.C a).roots ↔ Polynomial.eval x p = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MulOneClass α
MulOneClass β
MulOneClass γ
f : α →* β
g : β →* γ
⊢ WithZero.map' (g.comp f) = (WithZero.map' g).comp (WithZero.map' f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
p : X → Prop
q : Y → Prop
h : X ≃ₜ Y
h_iff : ∀ (x : X), p x ↔ q (h x)
b : { b // q b }
⊢ ↑((h.subtype h_iff).symm b) = h.symm ↑b
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Inhabited F.M
bisim : IsBisimulation R
ps : List F.Idx
ps_ih : ∀ (a : F.A) (f f' : F.B a → F.M), R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩) → IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a, f'⟩) → (isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩)).head ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
a : F.A
f f' : F.B a → F.M
h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)
i : F.B a
hh : IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)
a₀ : F.A
f₀ : F.B a₀ → F.M
h : f i = M.mk ⟨a₀, f₀⟩
a₁ : F.A
f₁ : F.B a₁ → F.M
h₁ : R (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) (M.mk ⟨a₁, f₁⟩)
h' : f' i = M.mk ⟨a₁, f₁⟩
⊢ (isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₀⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a₁, f₁⟩)).head ∧ ∃ a f f', isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) = M.mk ⟨a, f⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a₁, f₁⟩) = M.mk ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : F.B a), R (f i) (f' i)
G : Type v
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
AddGroup G
AddAction G X
IsometricVAdd G X
c : G
x : X
r : ℝ≥0∞
⊢ (fun x => c +ᵥ x) ⁻¹' EMetric.closedBall x r = EMetric.closedBall (-c +ᵥ x) r
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder β
s : Set α
hs : s.Nonempty
f : α → β
hf : Filter.Tendsto f Filter.cofinite Filter.atBot
⊢ ∃ a₀ ∈ s, ∀ a ∈ s, f a ≤ f a₀
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X : TopCat
F : Presheaf (Type u) X
ι : Type x
U : ι → Opens ↑X
⊢ F.IsSheaf ↔ F.IsSheafUniqueGluing
s : Set Cardinal.{u}
h : Small.{u, u + 1} ↑s
⊢ BddAbove s
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsLocalMinOn f s a
hg : IsLocalMaxOn g s a
⊢ IsLocalMinOn (fun x => f x - g x) s a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
r : RegularSpace X
LindelofSpace X
s_cl : IsClosed s
t_cl : IsClosed t
st_dis : Disjoint s t
⊢ HasSeparatingCover s t
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), a ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), b ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
y : ↥(Va ⊓ Vb)
⊢ Localization.mk (sb * ra + sa * rb) (⟨sa, ⋯⟩ * ⟨sb, ⋯⟩) = Localization.mk (sb * ra + sa * rb) ⟨sa * sb, ⋯⟩
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ ⌈0⌉₊ = 0
a b✝ : ℤ
n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℤ
⊢ (bit b n).div2 = n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hk : ContDiffOn ℝ (↑k) f s → DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s y → HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x) (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s t) ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y) s' y
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
a b : α
h0 : f 0 = 0
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α
ha0 : ¬a = 0
hb0 : ¬b = 0
hf1 : ¬f 1 = 0
this✝ : Nontrivial α
this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid
⊢ ∀ (p : α), p ∈ normalizedFactors a ∨ p ∈ normalizedFactors b → ∀ (q : α), q ∈ normalizedFactors a ∨ q ∈ normalizedFactors b → p ∣ q → p = q
R : Type w
inst✝² : Ring R
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst✝ : HasColimit (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)
i j : J
f : i ⟶ j
⊢ LinearMap.toAddMonoidHom (F.map f) ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j = colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) i ≫ LinearMap.toAddMonoidHom (𝟙 (mkOfSMul (coconePointSMul F)))
M : Type u_4
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
m : Multiset M
hm : ∀ a ∈ m, a ∈ S
⊢ m.sum ∈ S
a b c d d' : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ Function.update (Turing.PartrecToTM2.K'.elim a b c d) Turing.PartrecToTM2.K'.stack d' =
  Turing.PartrecToTM2.K'.elim a b c d'
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
f : Filter α
inst✝² : f.NeBot
R : Type u_7
inst✝¹ : Preorder R
κ : Type u_8
inst✝ : AddCommMonoid R
r : R → R → Prop
hr : ∀ (v₁ v₂ : α → R), IsBoundedUnder r f v₁ → IsBoundedUnder r f v₂ → IsBoundedUnder r f (v₁ + v₂)
hr₀ : r 0 0
u : κ → α → R
a✝¹ : κ
s✝ : Finset κ
h✝ : a✝¹ ∉ s✝
a✝ : (∀ k ∈ s✝, IsBoundedUnder r f (u k)) → IsBoundedUnder r f (∑ k ∈ s✝, u k)
h : ∀ k ∈ Finset.cons a✝¹ s✝ h✝, IsBoundedUnder r f (u k)
⊢ IsBoundedUnder r f (∑ k ∈ Finset.cons a✝¹ s✝ h✝, u k)
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a / c < b ↔ a < b * c
α : Type u
LE α
self : OrderTop α
a : α
⊢ a ≤ ⊤
⊢ {x | Liouville x} = {x | Irrational x} ∩ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
f₁ f₂ : S.Arrow
W : C
p₁ : W ⟶ f₁.Y
p₂ : W ⟶ f₂.Y
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp p₁ f₁.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp p₂ f₂.f
⊢ S.preOneHypercover.sieve₁ p₁ p₂ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Finset ℕ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
s t : Finset ℕ
hst : ∃ a ∈ t, a ∉ s ∧ ∀ b ∈ s, b ∉ t → b < a
⊢ (fun s => ∑ k ∈ s.ofColex, n ^ k) { ofColex := s } < (fun s => ∑ k ∈ s.ofColex, n ^ k) { ofColex := t }
a b : Prop
⊢ a ∧ ¬b → ¬(a → b)
n : ℕ
⊢ (Polynomial.hermite n).natDegree = n
n : ℕ
hn : n ≤ 1
b : ℕ
⊢ clog b n = 0
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f✝ : α → E
hf : Memℒp f✝ p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ⊤
I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
f : α → E
f_cont : Continuous f
I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ
f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖
f_mem : Memℒp f p μ
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)
α : Type u_4
β : Type u_5
AddMonoid α
AddMonoid β
a : α
b : β
⊢ IsOfFinAddOrder a → IsOfFinAddOrder b → IsOfFinAddOrder (a, b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, I'⟯ M'
⊢ ContMDiff I I' n ⇑h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm (Fin 5)
h : 3 ∈ (c * g').cycleType
hd : c.Disjoint g'
left✝ : c.IsCycle
h3 : c.support.card = 3
n : ℕ
hn : n ∈ g'.cycleType
⊢ n ∣ 2
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
StarRing A
TopologicalSemiring A
ContinuousStar A
Algebra R A
StarModule R A
x y : A
hy : y ∈ elementalStarAlgebra R x
P : (u : A) → u ∈ elementalStarAlgebra R x → Prop
self : P x ⋯
star_self : P (star x) ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), P ((algebraMap R A) r) ⋯
add :
  ∀ (u : A) (hu : u ∈ elementalStarAlgebra R x) (v : A) (hv : v ∈ elementalStarAlgebra R x),
    P u hu → P v hv → P (u + v) ⋯
mul :
  ∀ (u : A) (hu : u ∈ elementalStarAlgebra R x) (v : A) (hv : v ∈ elementalStarAlgebra R x),
    P u hu → P v hv → P (u * v) ⋯
closure :
  ∀ (s : Set A) (hs : s ⊆ ↑(elementalStarAlgebra R x)),
    (∀ (u : A) (hu : u ∈ s), P u ⋯) → ∀ (v : A) (hv : v ∈ closure s), P v ⋯
⊢ P y hy
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
DivisionMonoid β
f : α →* β
g h : α
⊢ f (g * h⁻¹) = f g * (f h)⁻¹
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
⊢ eval₂ f x (X ^ n) = x ^ n
R : Type u
CommRing R
hdomain : IsDomain R
r x : R
⊢ (RatFunc.laurent r) (RatFunc.C x) = RatFunc.C x
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝¹ : ConnectedSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : Surjective f
hf' : Continuous f
⊢ ConnectedSpace β
n k : ℕ
⊢ (n + 1).ascFactorial k = (n + k).choose k * k !
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
N : Type (max u v)
AddCommGroup N
Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hN : Module.IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
h' : Module.Finite R N
⊢ ∃ d k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
a₁ b₁ : M
a₂ b₂ : ↥S
⊢ f.mk' a₁ a₂ = f.mk' b₁ b₂ ↔ (AddLocalization.r S) (a₁, a₂) (b₁, b₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
g : β → α
f : ι → β
⊢ ⨅ b ∈ Set.range f, g b = ⨅ i, g (f i)
x : SimplexCategory
e : x ≅ x
h : Finset.univ.card = x.len + 1
⊢ e = Iso.refl x
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
this : TopologicalAddGroup H
hb : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ∈ 𝓝 0) fun V => {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ V}
⊢ ∀ (x₀ : 𝕜) {i : Set E}, i ∈ 𝓝 0 → ∃ j ∈ 𝓝 0, Set.MapsTo (fun x => x₀ • x) {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ j} {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ i}
n n' m : Nat
i : Fin n'
h : n' + m = n + m
⊢ Fin.cast h (Fin.castAdd m i) = Fin.castAdd m (Fin.cast ⋯ i)
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
m : ℕ
hm : finrank K V ≤ m
⊢ LinearMap.ker (f ^ m) = LinearMap.ker (f ^ finrank K V)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n d : ℕ
⊢ (if d < n + 2 then if d = 1 then 1 else 0 else 0) = Polynomial.X.coeff d
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
c : G₀
a b : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ c / a / (c / b) = b / a
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Polynomial.Chebyshev.T R (-1) = Polynomial.X
α : Type u_1
LE α
S : Set (Set α)
hf : ∀ s ∈ S, IsLowerSet s
⊢ IsLowerSet (⋂₀ S)
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
⊢ MeasureTheory.Measure.map Prod.snd (μ.prod ν) = μ Set.univ • ν
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulRightInvariant
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving Inv.inv μ μ
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s : Finset α
t : Finset β
DecidableEq α
DecidableEq β
P : Finpartition s
Q : Finpartition t
⊢ (Rel.interedges r s t).card = ∑ ab ∈ P.parts ×ˢ Q.parts, (Rel.interedges r ab.1 ab.2).card
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
I : Ideal R
hI₂ : I.IsPrime
hI : I ≠ ⊥
⊢ ∃ x ∈ I, Prime x
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
⊢ GaloisConnection Nat.ceil Nat.cast
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I J X Y : Set α
M : Matroid α
inst✝ : M.Finite
R : Set α
hR : R ⊆ M.E
⊢ (M ↾ R).Finite
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ s / ball x δ = x⁻¹ • thickening δ s
R : Type u
CommRing R
X : QuadraticModuleCat R
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (QuadraticModuleCat R) (ModuleCat R)).obj X = ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
I J : Ideal A
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑(I * J) = ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑I ∪ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑J
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : r.gcd s = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
⊢ False
⊢ Primrec₂ Nat.Partrec.Code.prec
M : Type u_1
α : Type u_4
AddMonoid M
c : AddCon M
f : (x y : M) → c (x + y) 0 → c (y + x) 0 → α
Hf :
  ∀ (x y : M) (hxy : c (x + y) 0) (hyx : c (y + x) 0) (x' y' : M) (hxy' : c (x' + y') 0) (hyx' : c (y' + x') 0),
    c x x' → c y y' → f x y hxy hyx = f x' y' hxy' hyx'
x y : M
hxy : ↑x + ↑y = 0
hyx : ↑y + ↑x = 0
⊢ AddCon.liftOnAddUnits { val := ↑x, neg := ↑y, val_neg := hxy, neg_val := hyx } f Hf = f x y ⋯ ⋯
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : 0 < p
x✝ : ℝ
⊢ p = |p|
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0
hp : 1 ≤ 1
⊢ (z₁ + z₂) ^ 1 ≤ 2 ^ (1 - 1) * (z₁ ^ 1 + z₂ ^ 1)
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
n : ℕ
⊢ s.think.drop n = (s.drop n).think
m n a b c✝ d c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ a * c ≡ b * c [MOD n * c]
ι : Type u_1
R : Type u_5
One R
AddGroup R
f : ι → R
⊢ (Function.mulSupport fun x => 1 - f x) = Function.support f
α : Type u_1
Mul α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h : a ≤ b * c
hle : c ≤ d
⊢ a ≤ b * d
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0
H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)
⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M < t.card
g : { x // x ∈ t } → R
sum : ∑ i : { x // x ∈ t }, g i • ↑i = 0
z : { x // x ∈ t }
nonzero : g z ≠ 0
⊢ ∑ e ∈ t, Function.extend Subtype.val g 0 e • e = 0
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : MeasureTheory.Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => ProbabilityTheory.IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), ProbabilityTheory.IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Filter.Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) / ↑n) Filter.atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y : C
g : Y ⟶ X
inst✝ : Mono g
f₂ : Subobject Y
f₁ : MonoOver Y
⊢ (map g).obj (Quotient.mk'' f₁ ⊓ f₂) = (map g).obj (Quotient.mk'' f₁) ⊓ (map g).obj f₂
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = ∏ x : o, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M x (σ i) i
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.b₂ + 12 * C.r)) ^ 2 - 24 * (↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.b₄ + C.r * W.b₂ + 6 * C.r ^ 2)) = ↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.b₂ ^ 2 - 24 * W.b₄)