ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
Field K
f : NumberField.InfinitePlace K → NNReal
w₀ : { w // w.IsComplex }
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLT' K f w₀
⊢ -x ∈ NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLT' K f w₀
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : MapsTo f s s
n : ℕ
⊢ HasFDerivWithinAt f^[n] (f' ^ n) s x
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ MulChar.toUnitHom ((DirichletCharacter.changeLevel ⋯) χ) = MulChar.toUnitHom χ
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
p : AdicCompletion I M → Prop
x : AdicCompletion I M
h : ∀ (f : AdicCompletion.AdicCauchySequence I M), p ((AdicCompletion.mk I M) f)
⊢ p x
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
𝔖 : Set (Set ι)
⊢ TopologicalSpace.induced (⋃₀ 𝔖).restrict Pi.topologicalSpace =
  ⨅ S ∈ 𝔖, TopologicalSpace.induced S.restrict Pi.topologicalSpace
n : ℕ
α : Type u_1
Preorder α
f : Fin (n + 1) → α
⊢ StrictAnti f ↔ ∀ (i : Fin n), f i.succ < f i.castSucc
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
InfSet α
InfSet β
f : ι → α × β
⊢ (iInf f).1 = ⨅ i, (f i).1
F : Type u
Field F
f g : F[X]
⊢ (f * g).natSepDegree = f.natSepDegree + g.natSepDegree ↔ f = 0 ∧ g = 0 ∨ IsCoprime f g
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s t : { s // MeasurableSet s }
⊢ s ⊔ t = s ∪ t
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : Real.ContfracLegendre.Ass ξ u v
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : NonUnitalSemiring R
v : m → R
A : Matrix m n R
w : n → R
⊢ v ⬝ᵥ A *ᵥ w = v ᵥ* A ⬝ᵥ w
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas
hg_meas : StronglyMeasurable g
hg_eq : g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_eq_restrict : g =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_nnnorm_eq : (fun x => ↑‖g x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊
⊢ StronglyMeasurable g
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
ι : Type v
hι : Infinite ι
ιK : Type (max u v)
bK : Basis ιK K (ι → K)
e : ℕ ↪ ι
this : lift.{v, u} (Module.rank K (ℕ → K)) ≤ Module.rank K (ι → K)
key : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ι → K) ∧ lift.{v, u} #K ≤ Module.rank K (ι → K)
⊢ Module.rank K (ι → K) = #(ι → K)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
hs : MeasurableSet s
⊢ AEStronglyMeasurable' (MeasurableSpace.comap X mβ) (fun a => (((condDistrib Y X μ) (X a)) s).toReal) μ
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
G' : Type u_8
N' : Type u_9
AddGroup G'
AddGroup N'
f : G →+ N
g : G' →+ N'
⊢ (f.prodMap g).ker = f.ker.prod g.ker
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
⊢ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
x : { x // x ∈ ⋯.choose }
⊢ 𝒰.finiteSubcover.obj x = 𝒰.obj (𝒰.f ↑x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.MonoOver X) (CategoryTheory.MonoOver Y)
h : F₁ ≅ F₂
⊢ CategoryTheory.Subobject.lower F₁ = CategoryTheory.Subobject.lower F₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommMonoidWithZero R
PartialOrder R
ZeroLEOneClass R
PosMulStrictMono R
Nontrivial R
f g : ι → R
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
hlt : ∃ i ∈ s, f i < g i
⊢ ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ s, g i
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.LaxFunctor B C
∀ (a : B), CategoryTheory.IsIso (F.mapId a)
∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), CategoryTheory.IsIso (F.mapComp f g)
⊢ ∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c),
  ((CategoryTheory.Pseudofunctor.mkOfLax' F).mapComp f g).hom = CategoryTheory.inv (F.mapComp f g)
α : Type u_1
β : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
m' : MeasurableSpace α
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
hm : m ≤ m'
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m' f μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
self : CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleMorphism T₁ T₂
⊢ T₁.mor₁ ≫ self.hom₂ = self.hom₁ ≫ T₂.mor₁
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
r : R
N : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M'
⊢ map f (r • N) = r • map f N
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
x : ↥K
⊢ ↑((LieSubalgebra.inclusion h) x) = ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable β
s : β → Set α
hm : ∀ (i : β), MeasureTheory.NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on s)
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α) in ⋃ i, s i, f a ∂μ = ∑' (i : β), ∫⁻ (a : α) in s i, f a ∂μ
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
t : pellZd a1 (n + (m - n)) = pellZd a1 n * pellZd a1 (m - n) := pellZd_add a1 n (m - n)
⊢ pellZd a1 (m - n) = pellZd a1 m * star (pellZd a1 n)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
g : R →+* P
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
y : ↥M
w z₁ z₂ : P
⊢ w * ↑((IsUnit.liftRight ((↑g).restrict M) h) y)⁻¹ + z₁ = z₂ ↔ w + g ↑y * z₁ = g ↑y * z₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
⊢ S.SupIndep fun i => torsionBy R M (q i)
M : Type u_1
Monoid M
⊢ Monoid.FG M ↔ ⊤.FG
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
j : ι
hj : e.BoundaryGE j
inst✝ : e.IsTruncLE
⊢ False
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
x : α
r : ℝ≥0∞
⊢ Set.MapsTo f (EMetric.ball x r) (EMetric.ball (f x) r)
α : Type u
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
h : l₂.length ≤ l₁.length
⊢ (l₁.zip l₂).unzip.2 = l₂
K : Type u_1
RCLike K
f : CauSeq K norm
⊢ IsCauSeq abs fun n => RCLike.im (↑f n)
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
AddCommGroup V₁
Module K V₁
ι : Type u_1
Finite ι
W : ι → Subspace K V₁
⊢ Submodule.dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, Submodule.dualAnnihilator (W i)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0
⊢ p₃ -ᵥ p₂ ≠ 0
T : ℝ
hT : T ≠ 0
z✝¹ z✝ : ℝ
h : expMapCircle (2 * π / T * z✝¹) = expMapCircle (2 * π / T * z✝)
m : ℤ
hm : 2 * π * z✝ = 2 * π * z✝¹ + ↑m * (2 * π) * T
⊢ 2 * π * (↑m * T) = 2 * π * (-z✝¹ + z✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : StrictAntiOn f (Set.Icc a b)
⊢ f '' Set.Ioo a b ⊆ Set.Ioo (f b) (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f✝ : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel α β
f : β → γ
g : β → δ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
x : α
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ x) ((fun x => (f x, g x)) ⁻¹' {p | p.2 ∈ s}) = (κ x) (g ⁻¹' s)
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
Pow α β
a : α
b : β
⊢ Function.const I a ^ b = Function.const I (a ^ b)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i
⊢ update f i '' Ioo (f i) b = Ioo f (update f i b)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
U W : Submodule K V
h : IsCompl U W
⊢ finrank K ↥⊤ = finrank K V
R : Type u_1
CommRing R
k : ℕ
a : R
⊢ Polynomial.dickson k a 0 = 3 - ↑k
F : Type u_1
K : Type u_2
CommRing F
Ring K
Algebra F K
E : Type u_3
Ring E
Algebra F E
e : K ≃ₐ[F] E
⊢ Algebra.IsSeparable F K ↔ Algebra.IsSeparable F E
F : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike G N M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : MonoidHomClass G N M
f : F
x : M
g : G
hfg : LeftInverse ⇑g ⇑f
h : IsUnit (f x)
⊢ IsUnit x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F₁ F₂ F₃ : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
φψ : F₁ ⟶ F₃
fac : CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ ψ = φψ
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φψ
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n
⊢ (W.ΨSq ↑n).natDegree ≤ n ^ 2 - 1 ∧ (W.ΨSq ↑n).coeff (n ^ 2 - 1) = ↑(↑n ^ 2)
S : Type uS
CommSemiring S
A : Type uA
Semiring A
Algebra S A
B : Type u₄
Semiring B
Algebra S B
s : A → A → Prop
f g : RingQuot s →ₐ[S] B
w : f.comp (RingQuot.mkAlgHom S s) = g.comp (RingQuot.mkAlgHom S s)
⊢ f = g
α : Type u
CommGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a / b < c ↔ a < b * c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ : C
r : X₂ ⟶ X₁
⊢ (CategoryTheory.Biprod.unipotentLower r).hom = CategoryTheory.Biprod.ofComponents (𝟙 X₁) 0 r (𝟙 X₂)
α : Type u_1
CompleteSemilatticeSup α
s : Set α
a : α
⊢ a ∈ s → a ≤ sSup s
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s : Finset α
a : α
⊢ s + {a} = Finset.image (fun x => x + a) s
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ Quaternion.imK 1 = 0
x : ℝ≥0∞
⊢ 0 ≤ ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (sum fun a => μ {a} • dirac a) s = μ s
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : ⊤.Adj v w
⊢ v ≠ w
w v k : Nat
x : BitVec w
y : BitVec v
⊢ BitVec.truncate k (x ++ y) = if h : k ≤ v then BitVec.truncate k y else BitVec.cast ⋯ (BitVec.truncate (k - v) x ++ y)
A B : Type u
CommGroup A
CommGroup B
e : A ≃* B
n : ℤ
⊢ (QuotientGroup.equivQuotientZPowOfEquiv e n).symm = QuotientGroup.equivQuotientZPowOfEquiv e.symm n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E
⊢ ∀ b ∉ Finset.range (n - k), ((p.changeOriginSeries k b) fun x_1 => x) = 0
a b k m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
a✝ : ℕ
⊢ a✝ ∈ (a.gcd b).primeFactors ↔ a✝ ∈ a.primeFactors ∩ b.primeFactors
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K V
⊢ Function.Injective ⇑W.dualLift
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
e : c.Embedding c'
e.IsTruncGE
∀ (i' : ι'), K.HasHomology i'
i j k : ι
⊢ HomologicalComplex.truncGE'.d K e i j ≫ HomologicalComplex.truncGE'.d K e j k = 0
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace ι
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
fltr : Filter γ
inst✝¹ : fltr.NeBot
inst✝ : fltr.IsCountablyGenerated
U : γ → ι → Ω → β
h : ∀ (l : γ), ProgMeasurable f (U l)
i : ι
x : ↑(Set.Iic i) × Ω
h_tendsto : Tendsto (fun i_1 => U i_1 ↑x.1) fltr (𝓝 (u ↑x.1))
⊢ Tendsto (fun i_1 => U i_1 (↑x.1) x.2) fltr (𝓝 (u (↑x.1) x.2))
xl xr : Type u
x y : PGame
h₁ : y ⧏ x
h₂ : x ⧏ y
⊢ x < y ∨ x ≈ y ∨ y < x ∨ x ‖ y
α : Type u_1
MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
i : Set α
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ (MeasureTheory.VectorMeasure.restrictGm i) v = v.restrict i
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
S : Set ↑↑(D.V (i, j))
⊢ ⇑(pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base '' (⇑(pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base ⁻¹' S) = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base '' S)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
X : CategoryTheory.Comma L₁ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).unitIso.inv.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
σ : α → Type u_8
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (σ a)
⊢ (l₁.sigma l₂).length = (map (fun a => (l₂ a).length) l₁).sum
K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
AddCommGroup V'
Module K V'
c : Cardinal.{v'}
f : V →ₗ[K] V'
⊢ c ≤ f.rank ↔ ∃ s, Cardinal.lift.{v', v} #↑s = Cardinal.lift.{v, v'} c ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑s) => f ↑x
d : ℤ
z w : ℤ√d
⊢ (z + w).im = z.im + w.im
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
s : Set E
⊢ ∫⁻ (x : E) in s, pdf X ℙ μ x ∂μ ≤ (map X ℙ) s
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallySurjective J (whiskerLeft H.op f)
X : D
a : (forget A).obj (G.obj (Opposite.op X))
Y : D
g : Y ⟶ X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ X
fac : lift ≫ map = g
hh : Sieve.functorPushforward H (imageSieve (whiskerLeft H.op f) ((forget A).map (G.map map.op) a)) ∈ K.sieves (H.obj (Opposite.unop (Opposite.op Z)))
W : C
q : W ⟶ Z
x : (forget A).obj ((H.op ⋙ F).obj (Opposite.op W))
h : ((whiskerLeft H.op f).app (Opposite.op W)) x = ((H.op ⋙ G).map q.op) ((forget A).map (G.map map.op) a)
⊢ (imageSieve f a).arrows (H.map q ≫ map)
α : Type u_13
β : Type u_14
γ : Type u_15
Zero γ
f : α ⊕ β →₀ γ
y : β
⊢ (Finsupp.sumFinsuppEquivProdFinsupp f).2 y = f (Sum.inr y)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n✝ n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
⊢ ⊤ ^ (n + 2) = ⊤
α β : Type u
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
t : Cardinal.{max u w}
hf : BddAbove (range f)
w : ∀ (i : ι), lift.{u, w} (f i) ≤ t
⊢ ⨆ i, lift.{u, w} (f i) ≤ t
α : Type u_1
CommSemigroup α
DecompositionMonoid α
k m n : α
⊢ k ∣ m * n ↔ ∃ d₁ d₂, d₁ ∣ m ∧ d₂ ∣ n ∧ k = d₁ * d₂
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
⊢ dual A K I ≤ dual A K J ↔ J ≤ dual A K (dual A K I)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ
⊢ ∀ (τ_1 π : Ω → ℕ), IsStoppingTime 𝒢 τ_1 → IsStoppingTime 𝒢 π → τ_1 ≤ π → (∃ N, ∀ (x : Ω), π x ≤ N) → ∫ (x : Ω), stoppedValue (stoppedProcess f τ) τ_1 x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), stoppedValue (stoppedProcess f τ) π x ∂μ
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : AntitoneOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
h : f a < f b
⊢ b < a
⊢ AddSubmonoid.closure (Set.range fun x => x * x) = AddSubmonoid.nonneg ℚ
xl xr : Type u
⊢ ∃ i, ∀ (j : (star.moveLeft i).RightMoves), 0 ⧏ (star.moveLeft i).moveRight j
α : Type u
β : α → Type v
s₁ s₂ : AList β
h : s₁.entries ⊆ s₂.entries
k : α
hk : k ∈ s₁.keys
this✝ : DecidableEq α := Classical.decEq α
this : ⟨k, (lookup k s₁).get ⋯⟩ ∈ s₂.entries
⊢ k ∈ s₂.keys
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
hl : HasFDerivAt l l' (f x)
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (l ∘ f) (l' f') s x
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K
⊢ x ∈ r • Ioo a b ↔ x ∈ Ioo (r • a) (r • b)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hp : p ≠ 0
m : ℕ := rootMultiplicity t p
g : R[X] := p /ₘ (X - C t) ^ m
mul_eq : (X - C t) ^ m * g = p
this : (g.comp (X + C t)).coeff 0 = eval t g
⊢ eval t g = (p.comp (X + C t)).trailingCoeff
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (g x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (ψ n)
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : ℕ → ℤ
h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
⊢ (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
t : Finset β
s : Finset α
f : α → Finset β
⊢ (s.biUnion fun x => f x ∩ t) = s.biUnion fun x => t ∩ f x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : 0 < ad
hbd : 0 < bd
hgcd : 0 < gcd
⊢ 0 < ad * bd
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ
Kf : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
a : ℝ
⊢ LipschitzWith Kf fun x => max (f x) a
α : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : ∀ (n m : ℕ), m ≥ f n → dist (u m) (u (f n)) < (1 / 2) ^ n
⊢ ∃ f, StrictMono f ∧ Summable fun i => dist (u (f (i + 1))) (u (f i))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
⊢ 1 + ω = ω
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
K : Type u_6
RCLike K
f : α → K
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) p μ ∧ MeasureTheory.Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ ↔
  MeasureTheory.Memℒp f p μ
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι
a : R
l : ι →₀ R
hl : Finsupp.single i a ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i})
e : (Finsupp.total ι M R v) l = a • v i
⊢ a = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : ℕ → Submodule R M
h : ∀ (n : ℕ), Disjoint ((partialSups f) n) (f (n + 1))
n : ℕ
w : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → (partialSups f) n = (partialSups f) m
⊢ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f (m + 1) = ⊥
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddGroup G
x : G
hfg : MeasureTheory.ConvolutionExistsAt f g x L μ
hfg' : MeasureTheory.ConvolutionExistsAt f' g x L μ
⊢ MeasureTheory.convolution (f + f') g L μ x = MeasureTheory.convolution f g L μ x + MeasureTheory.convolution f' g L μ x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : ↥H → K
x : L
h : ↥H
hx : ((ad K L) ↑h) x = α h • x
⊢ ⁅h, x⁆ = α h • x
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
⊢ ⇑(HahnSeries.SummableFamily.ofFinsupp f) = ⇑f
n : ℕ
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane
hz' : -z ≠ 1
⊢ (-z) ^ n * (1 + z)⁻¹ = (1 + z)⁻¹ - -(((-z) ^ n - 1) / (1 + z))
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Fintype β
f : α ↪ β
h✝ : Nonempty α
⊢ ↑s.card / ↑(Fintype.card β) ≤ ↑s.card / ↑(Fintype.card α)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
z : Sym2 α
x y : α
⊢ s(x, y) ∈ s.sym2 ↔ s(x, y) ∈ image Sym2.mk (s ×ˢ s)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h : s ⊆ ↑N
a : G
w : a ∈ normalClosure s
x y : G
ihx : x ∈ N
ihy : y ∈ N
⊢ x * y ∈ N
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
⊢ (T • z).re = z.re + 1