ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
this : upcrossings a b f ω < ⊤ ↔ ∃ k, upcrossings a b f ω ≤ ↑k
⊢ upcrossings a b f ω < ⊤ ↔ ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω ≤ k
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ b✝ : F ⟶ G
⊢ (a✝ - b✝).f = (a✝ + -b✝).f
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ AddOpposite.op (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
ContinuousAdd G
H : AddSubgroup G
g : G
hg : ↑H ∈ 𝓝 g
⊢ IsOpen ↑H
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ t s : Subgroup α
⊢ Nat.card α = Nat.card ((α ⧸ s) × ↥s)
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ ⨆ x, 𝓝 (x, x) ≤ 𝓤 α
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝¹ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝ : FinitaryExtensive C
n : ℕ
F : Discrete (Fin n) ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
f : Fin n → C := F.obj ∘ Discrete.mk
⊢ IsVanKampenColimit c
⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ 2) (π ^ 2 / 6)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ ∏ x ∈ s₁.disjUnion s₂ h, f x = fold (fun x x_1 => x * x_1) (1 * 1) (fun x => f x) (s₁.disjUnion s₂ h)
n m : Nat
⊢ n - m = 0 → n ≤ m
α : Type
Finite α
B : Stonean
X : α → Stonean
π : (a : α) → X a ⟶ B
surj : ∀ (b : ↑B.toTop), ∃ a x, (π a) x = b
⊢ CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
γ : Type u_3
Monoid β
ContinuousMul β
TopologicalSpace γ
Monoid γ
ContinuousMul γ
g : β →* γ
hg : Continuous ⇑g
f : C(α, β)
⊢ (MonoidHom.compLeftContinuous α g hg) f = { toFun := ⇑g, continuous_toFun := hg }.comp f
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Field K
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), I ≤ P → J ≤ P → ¬P.IsPrime
⊢ IsCoprime I J
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
r : ↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X))
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen (↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X)))
      (PrimeSpectrum.basicOpen r))
    (X.toΓSpecCApp r) =
  X.toToΓSpecMapBasicOpen r
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : CategoryWithHomology C
inst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
K L : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
eq : ∀ (i : ι), IsIso ((homologyFunctor C c i).map ((quotient C c).map f)) ↔ IsIso (HomologicalComplex.homologyMap f i)
⊢ quasiIso C c ((quotient C c).map f) ↔ HomologicalComplex.quasiIso C c f
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
a b : ℕ
hn : 0 < a * b
h : IsPrimitiveRoot ζ (a * b)
⊢ ∀ (l : ℕ), ζ ^ (a * l) = 1 → b ∣ l
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α ≃ₜ β
⊢ f.toContinuousMap.comp f.symm.toContinuousMap = ContinuousMap.id β
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
x✝ : E
⊢ gauge ∅ x✝ = 0 x✝
α : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : NeZero 1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
⊢ 1 < 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
V U : D
f : V ⟶ U
self : CategoryTheory.Presieve.CoverByImageStructure G f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.lift self.map = f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i j k : ι
K : HomologicalComplex C c
⊢ ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor' C c i j k).obj K).f = K.d i j
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)
x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
Y : C
g : Y ⟶ X
c : Cone ((Sieve.pullback g S).arrows.diagram.op ⋙ G) := { pt := F.obj (op Y), π := { app := fun x_1 => match x_1 with | op { obj := Z, property := hZ } => F.map Z.hom.op ≫ (x (Z.hom ≫ g) hZ).app (op (Over.mk (𝟙 (unop (op ((𝟭 C).obj Z.left)))))), naturality := ⋯ } }
Z : C
p : Z ⟶ Y
hp : S.arrows (p ≫ g)
⊢ (hG g).lift c ≫ G.map p.op = F.map p.op ≫ (x (p ≫ g) hp).app (op (Over.mk (𝟙 Z)))
ι : Type u_5
α : ι → Type u_6
(i : ι) → SemilatticeSup (α i)
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
ht : ∀ i ∈ s, SupClosed (t i)
⊢ SupClosed (s.pi t)
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
⊢ sheafedSpaceMap g ≫ sheafedSpaceMap f = (locallyRingedSpaceMap g ≫ locallyRingedSpaceMap f).val
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Group α
MulDistribMulAction α M
a : α
S T : Submonoid M
⊢ S ≤ a • T ↔ a⁻¹ • S ≤ T
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
s : α → α → Prop
h₂ : HEq r s
⊢ s ((Equiv.cast ⋯) a) ((Equiv.cast ⋯) b) ↔ s a b
n k : ℕ
⊢ (n + k - 1).choose k = n.ascFactorial k / k !
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
x : M
i : ι
a : α i
hx : x ∈ A i
⊢ ((h.collectedBasis v).repr x) ⟨i, a⟩ = ((v i).repr ⟨x, hx⟩) a
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
b : α
f : ↑(Set.Iic b) → β
⊢ Set.range (Set.IicExtend f) = Set.range f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ ↑φ.toPartialHomeomorph = φ.prodFun
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
y : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))
Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
h : ∀ (I : S.Arrow), ((J.plusObj P).map I.f.op) (mk x) = ((J.plusObj P).map I.f.op) y
⊢ mk x = y
q : ℍ
hq : q.re = 0
⊢ exp ℝ q = ↑(Real.cos ‖q‖) + (Real.sin ‖q‖ / ‖q‖) • q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.inv f) = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace α
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
⊢ s.einfsep = 0 → s.Subsingleton
R : Type u
CommRing R
X : Type v
Ring X
Bialgebra R X
⊢ (BialgebraCat.of R X).str = inferInstance
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieRing L₃
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieAlgebra R L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₃
f_inv : L₂ → L₁
f : L₁ → L₂
map_add'✝¹ : ∀ (x y : L₁), f (x + y) = f x + f y
map_smul'✝¹ : ∀ (m : R) (x : L₁), { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun x
map_lie'✝¹ : ∀ {x y : L₁}, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun x, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun y⁆
left_inv✝¹ : LeftInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
right_inv✝¹ : Function.RightInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
g_inv : L₂ → L₁
g : L₁ → L₂
map_add'✝ : ∀ (x y : L₁), g (x + y) = g x + g y
map_smul'✝ : ∀ (m : R) (x : L₁), { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun x
map_lie'✝ : ∀ {x y : L₁}, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun x, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun y⁆
left_inv✝ : LeftInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
right_inv✝ : Function.RightInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
h : f = g ∧ f_inv = g_inv
⊢ f_inv = g_inv
X : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
Y Z : Type u
_tsY : TopologicalSpace Y
_tsZ : TopologicalSpace Z
_csY : CompactSpace Y
_t2Y : T2Space Y
_csZ✝ : CompactSpace Z
_csZ : T2Space Z
f : StoneCech X → Z
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
g_sur : Surjective g
s : Z → Y := fun z => Classical.choose ⋯
hs : g ∘ s = id
t : X → Y := s ∘ f ∘ stoneCechUnit
ht : Continuous t
h : StoneCech X → Y := stoneCechExtend ht
hh : Continuous h
⊢ (g ∘ h) ∘ stoneCechUnit = f ∘ stoneCechUnit
E : Type u_6
SeminormedGroup E
Subsingleton E
a : E
⊢ ‖a‖ = 0
C : Type w
CategoryTheory.Category.{u + 1, w} C
j : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology CompHaus) C
⊢ (Condensed.underlying C).obj j = j.val.obj (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1}))
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocRing α
z : ℤ
⊢ (↑z).toEnd = ↑z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
x v : E
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
c : 𝕜
⊢ LineDifferentiableAt 𝕜 f x (c • v)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a' : α
s✝ : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (pure a).toMeasure s = (Measure.dirac a) s
x y : ℝ
h : 0 < x
h₁ : 0 < y
⊢ Real.log x ≤ Real.log y ↔ x ≤ y
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : Set (Set E)
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X
h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : ↑I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Set (Set E)
left✝ : ↑I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.encard = ↑(finrank 𝕜 E) + 1
⊢ (⋂₀ ↑I).Nonempty
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
⊢ (aeval fun o => o.elim (C Polynomial.X) X).comp (aevalTower (Polynomial.aeval (X none)) fun i => X (Option.some i)) = AlgHom.id R (MvPolynomial S₁ R[X])
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
c₁ : CategoryTheory.Limits.KernelFork S₁.g
hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsLimit c₁
hf₂ : S₂.f = 0
c₂ : CategoryTheory.Limits.KernelFork S₂.g
hc₂ : CategoryTheory.Limits.IsLimit c₂
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
comm :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Fork.ι c₁) φ.τ₂ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.Limits.Fork.ι c₂)
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.ofIsLimitKernelFork φ hf₁ c₁ hc₁ hf₂ c₂ hc₂ f comm).φH = f
p : ℝ[X]
⊢ Tendsto (fun x => eval x p / rexp x) atTop (𝓝 0)
xl✝ xr✝ : Type u
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
h : mk xl xr xL xR ≤ mk yl yr yL yR
i : zl
⊢ (∃ i', (mk xl xr xL xR + mk zl zr zL zR).moveLeft (Sum.inr i) ≤ (mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR).moveLeft i') ∨ ∃ j, ((mk xl xr xL xR + mk zl zr zL zR).moveLeft (Sum.inr i)).moveRight j ≤ mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h2 : multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b) < ↑2
h3 : multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b) < ↑2
h1'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + S'.b)
h1 : (multiplicity λ (S'.a + S'.b)).get h1'✝ < 2
h2'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η * S'.b)
h3'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)
h1' : ↑((multiplicity λ (S'.a + S'.b)).get h1'✝) = multiplicity λ (S'.a + S'.b)
h2' : ↑((multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)).get h2'✝) = multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)
h3' : ↑((multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)).get h3'✝) = multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)
⊢ False
A : Type u_1
B : Type u_2
CommSemiring A
CommSemiring B
Algebra A B
b : B
⊢ (MvPolynomial.ACounit A B) (MvPolynomial.X b) = b
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
Nontrivial M₀
⊢ ¬IsUnit 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ Function.Bijective ((CategoryTheory.forget C).map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f g : ι → α → β
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
hfm : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hunif : UnifIntegrable f p μ
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
⊢ UniformIntegrable g p μ
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field L
ζ : L
Field K
Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e : α' ≃ β'
⊢ e.permCongr.symm = e.symm.permCongr
α : Type u_2
Semiring α
a b : α
⊢ Odd a → Odd b → Even (a + b)
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ 0 < Gamma s
α : Type u_2
β : Type u_3
Semiring α
Semiring β
f : α →+* β
a b : α
⊢ a ∣ b → f a ∣ f b
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : t.ncard ≤ s.ncard
ht : autoParam t.Finite _auto✝
b : β
hb : b ∈ t
⊢ ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), b = f a ha
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
Group α
OrderedAddCommMonoid β
FunLike F α β
self : GroupSeminormClass F α β
f : F
⊢ f 1 = 0
α : Type u_1
CommMonoid α
f : Multiplicative ℕ →* α
⊢ (powersMulHom α).symm f = f (Multiplicative.ofAdd 1)
a b : ℚ
hlt : a < b
a✝ : (Ioo ↑a ↑b).Nonempty
⊢ ({x | Irrational x} ∩ Ioo ↑a ↑b).Nonempty
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
h : I ≤ J
i : ι
x : ℝ
⊢ ∀ ⦃x_1 : Box ι⦄, (∃ J', (↑J' = ↑J ∩ {y | y i ≤ x} ∨ ↑J' = ↑J ∩ {y | x < y i}) ∧ ↑x_1 = ↑I ∩ ↑J') → ↑x_1 = ↑I ∩ {y | y i ≤ x} ∨ ↑x_1 = ↑I ∩ {y | x < y i}
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω
inst✝ : Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
hμ : IsFiniteMeasure μ
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
h_indep : CondIndepSet m hm t t μ
this : ∀ (a : Ω), IsFiniteMeasure ((condexpKernel μ m) a)
h : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, ((condexpKernel μ m) x) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) x) t = 1
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1
α : Type u_2
DecidableEq α
AddZeroClass α
⊢ ⇑Finset.coeAddMonoidHom = CoeTC.coe
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b : α
⊢ Ioo a b ⊆ closure (interior (Ioo a b))
G : Type u_1
DivInvMonoid G
a : G
⊢ a ^ 1 = a
ι₁ : Type u_3
ι₂ : Type u_4
α : Type u_5
SemilatticeSup ι₁
Preorder ι₂
Nonempty ι₁
TopologicalSpace α
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
NoMaxOrder α
f : ι₂ → α
φ : ι₁ → ι₂
l : α
hf : Monotone f
hg : Filter.Tendsto φ Filter.atTop Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 l) ↔ Filter.Tendsto (f ∘ φ) Filter.atTop (𝓝 l)
𝕜 : Type u_1
F : Type u_5
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : SchwartzMap ℝ F
x : ℝ
⊢ |x| ^ k * ‖iteratedDeriv n (⇑f) x‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k n) f
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α
b : ℕ
hb : ∀ a ∈ ↑s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1
x : α
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : f x ≠ b + 1
⊢ ∀ x ∈ s, b + 1 = b + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : IsOpenMap f
finv : β → α
hleft : Function.LeftInverse finv f
⊢ ContinuousOn finv (Set.range f)
a b c : ℕ
h : a ≤ b
⊢ Ico a (b + 1) = insert b (Ico a b)
this : Tendsto (fun x => riemannZeta x - 1 / (x - 1) + (1 / (x - 1) - 1 / x.Gammaℝ / (x - 1))) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (↑γ + -(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
⊢ Tendsto (fun s => riemannZeta s - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 ((↑γ - Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → E
x : ℝ
f_diff : ∀ (y : ℝ), y ≠ x → HasDerivAt f (g y) y
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
y : ℝ
⊢ HasDerivAt f (g y) y
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddAbove t
⊢ sSup (s + t) = sSup s + sSup t
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
r : Set (α × α)
s : Set β
f g : β → α
hf : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
hg : ∀ x ∈ s, ContinuousAt g x
hfg : EqOn f g s
hr : r ∈ 𝓤 α
A : ∀ x ∈ s, ∃ t, IsOpen t ∧ x ∈ t ∧ ∀ z ∈ t, (f z, g z) ∈ r
⊢ ∃ t, IsOpen t ∧ s ⊆ t ∧ ∀ x ∈ t, (f x, g x) ∈ r
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
⊢ Function.Injective ENorm.toFun
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
CompleteSpace α
T0Space α
f : β × γ → α
h : Summable f
⊢ ∑' (p : β × γ), f p = ∑' (b : β) (c : γ), f (b, c)
α : Sort u
⊢ Nonempty (Unique α) ↔ ∃! x, True
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
Y : C
⊢ (CategoryTheory.prodComonad X).δ.app Y =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.fst (CategoryTheory.CategoryStruct.id (X ⨯ Y))
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
n : ℕ
⊢ (s.drop n).destruct = s.destruct >>= Stream'.WSeq.drop.aux n
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u✝ v✝ u' v' : V
p✝ : G.Walk u✝ v✝
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
⊢ ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ CochainComplex.MappingConeCompHomotopyEquiv.hom f g ≫ CochainComplex.MappingConeCompHomotopyEquiv.inv f g =
  𝟙 (CochainComplex.mappingCone g)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ yonedaEquiv (yoneda.map f) = f
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) {b | b.card.ord = b ∧ ω ≤ b}
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y) → P124 a
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
⊢ (x * y).Numeric
K : Type u_1
v : K
LinearOrderedField K
FloorRing K
Archimedean K
TopologicalSpace K
OrderTopology K
⊢ Filter.Tendsto (GenContFract.of v).convs Filter.atTop (𝓝 v)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).inv i)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.associator (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h i).hom
      (CategoryTheory.Bicategory.associator f g (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h i)).hom) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h) i).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.associator g h i).hom)
a b : ℝ
n : ℕ
c : ℂ
hc : c ≠ 0
D : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun y => Complex.exp (c * ↑y) / c) (Complex.exp (c * ↑x)) x
⊢ Complex.exp (c * ↑b) / c - Complex.exp (c * ↑a) / c = (Complex.exp (c * ↑b) - Complex.exp (c * ↑a)) / c
n : Type u_1
inst✝⁹ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : Module R M✝
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
⊢ (∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
α : Type u_1
l r₁ r₂ : ℕ
h₁ : r₁ ≤ r₂
h₂ : l + r₂ ≤ 1 ∨ r₂ ≤ delta * l
H : BalancedSz l r₁
⊢ BalancedSz l r₂
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
hy : ↑‖y‖₊ < r
⊢ HasFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin y 1)) (x + y)
E : Type u_1
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : MeasurableSpace E
inst✝¹² : BorelSpace E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹⁰ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
s : Set E
ι : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : FiniteDimensional ℝ G
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ G = n)
ω : G [⋀^Fin n]→ₗ[ℝ] ℝ
v : Fin n → G
⊢ ω.measure (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |(ω ⇑(finBasisOfFinrankEq ℝ G ⋯) • (finBasisOfFinrankEq ℝ G ⋯).det) v|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
self : SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.ExplicitDisjoint t
a : α
b : β
c : γ
b' : β
⊢ (a, b, c) ∈ t → (a, b', c) ∈ t → b = b'
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x.1 s ∂μ) (x₀, b₀)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
⊢ (μ.tilted f).tilted (-f) = (μ Set.univ)⁻¹ • μ
α : Type u_1
f g : α → ℝ
s : Set α
⊢ regionBetween f g s ⊆ s ×ˢ Set.univ
C : Type w
inst✝ : Category.{v, w} C
X Y : Condensed C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (S : CompHausᵒᵖ), f.val.app S = g.val.app S
⊢ f.val = g.val
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
hS : S ≤ IsAddUnit.addSubmonoid M
x : ↥S
⊢ ↑((S.leftNegEquiv hS).symm x) + ↑x = 0