ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
H : ∀ (f : ℕ → α → E), (∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ) → ∀ (B : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), B i < ⊤ → (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N) → ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n
hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
f : ℕ → ↥(Lp E p μ)
M : ℝ
hB : HasSum B M
B1 : ℕ → ℝ≥0∞ := fun n => ENNReal.ofReal (B n)
hB1_has : HasSum B1 (ENNReal.ofReal M)
hB1 : ∑' (i : ℕ), B1 i < ⊤
f1 : ℕ → α → E := fun n => ↑↑(f n)
N n m : ℕ
hn : N ≤ n
hm : N ≤ m
hf : (eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑(f m)) p μ).toReal < B N
⊢ eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑(f m)) p μ ≠ ⊤
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
⊢ (μ.tilted f).AbsolutelyContinuous μ
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderTop α
OrderBot β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a : α
b : β
⊢ Finset.Ico (Sum.inlₗ a) (Sum.inrₗ b) = Finset.map toLex.toEmbedding ((Finset.Ici a).disjSum (Finset.Iio b))
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ : C
f g h : j₁ ⟶ j₂
⊢ f ≫ coeq₃Hom f g h = g ≫ coeq₃Hom f g h
n : ℕ
⊢ map ((fun i => (i, n + 1 - i)) ∘ succ ∘ succ) (range n) = map (Prod.map succ id ∘ (fun i => (i, n - i)) ∘ succ) (range n)
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
t : ι → Set X
htd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t
htc : ∀ (i : ι), IsCompact (t i)
htcl : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
i₀ : ι := hι.some
htn : ∀ (i : ι), (t i).Nonempty
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t ∧ ∀ (i : ι), (t i₀ ∩ t i).Nonempty
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L₂ M₂
LieModule R L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
k : ℕ
⊢ Submodule.map g ↑(LieModule.lowerCentralSeries R L M k) = ↑(LieModule.lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)
α : Type u
β : Type v
f : β → α → β
b : β
l : List α
⊢ (List.scanl f b l).get? 0 = some b
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i : n
this : Nonempty n
n' : ℕ
hn' : Fintype.card n = n'.succ
x✝ : Trunc (n ≃ Fin n'.succ)
e : n ≃ Fin n'.succ
A' : Matrix (Fin n'.succ) (Fin n'.succ) α := (reindex e e) A
⊢ A'.det = ∑ j : Fin n'.succ, A' (e i) j * A'.adjugate j (e i)
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_5
r₁₂ : α → β → Prop
r₂₃ : β → γ → Prop
r₁₃ : α → γ → Prop
hr : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), r₁₂ a b → r₂₃ b c → r₁₃ a c
⊢ Relator.RightTotal r₁₂ → Relator.RightTotal r₂₃ → Relator.RightTotal r₁₃
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
h : OpenEmbedding ⇑f
⊢ ⋯.functor.IsContinuous (Opens.grothendieckTopology ↑X) (Opens.grothendieckTopology ↑Y)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
K : Set X
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
T2Space X
SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : MeasureTheory.IntegrableOn g K μ
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => f x • g x) K μ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
dt : ℝ
⊢ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v {t | t + dt ∈ s}
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n m : ℕ
x✝¹ : m < ((List.map (fun n => f^[n] x) (List.range (minimalPeriod f x))).rotate n).length
x✝ : m < (List.map (fun n_1 => f^[n_1] (f^[n] x)) (List.range (minimalPeriod f (f^[n] x)))).length
⊢ ((List.map (fun n => f^[n] x) (List.range (minimalPeriod f x))).rotate n).get ⟨m, x✝¹⟩ = (List.map (fun n_1 => f^[n_1] (f^[n] x)) (List.range (minimalPeriod f (f^[n] x)))).get ⟨m, x✝⟩
Ω : Type u_2
PseudoMetricSpace Ω
TopologicalSpace.SeparableSpace Ω
MeasurableSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
⊢ Continuous MeasureTheory.ProbabilityMeasure.toLevyProkhorov
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ 𝟙 (𝟙_ D) ≫ A.one.app Y✝ = A.one.app Y✝
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
h : Module.rank R M < ℵ₀
⊢ Nonempty (Fintype ι)
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊤, ⊤)
α : Type u_1
SeminormedRing α
NormOneClass α
a : α
n : ℕ
⊢ ‖a ^ n‖ ≤ ‖a‖ ^ n
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
k : ℕ
hlt : ∀ (hf : (setOf p).Finite), k + 1 < hf.toFinset.card
a : ℕ
ha : a = nth p k ∨ a < nth p k ∧ p a
⊢ a < nth p (k + 1) ∧ p a
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ 1 < s.ncard ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
J : Type w
F : CategoryTheory.Discrete J ⥤ CategoryTheory.Over B
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cone F} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Over.ConstructProducts.conesEquivInverse B F).map f).hom = f.hom.left
ι : Type u_1
α : Type u_2
A : ι → Type u_3
AddMonoid ι
GradedMonoid.GMonoid A
fι : α → ι
fA : (a : α) → A (fι a)
⊢ [].dProd fι fA = GradedMonoid.GOne.one
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
inst✝ : Finite σ
val✝ : Fintype σ
e : (σ → K) → K
x✝ : e ∈ ⊤
⊢ ∃ y ∈ restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1), (evalₗ K σ) y = e
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
⊢ ↑(Finsupp.indicator s f).support ⊆ ↑s
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N <r M
⊢ N.E ⊂ M.E
V : Type u
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
⊢ G₁.spanningCoe = G₂.spanningCoe ↔ G₁.Adj = G₂.Adj
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
a b : α
s : Set α
f : ι → α
⊢ (sSup s)ᶜ = ⨅ i ∈ s, iᶜ
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
x : E
⊢ edist x 0 = ↑‖x‖₊
α : Type u
a✝ : α
inst✝² : Group α
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card G
a : G
ha : ∀ (x : G), x ∈ zpowers a
⊢ ∃ a, a ^ k ≠ 1
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
⊢ finrank K V = 1 ↔ Module.rank K V = 1
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
⊢ IsOpen (Function.support ↑f)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
SubtractionMonoid β
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
m : F
hm : Function.Injective ⇑m
s t : Set β
hs : s ⊆ Set.range ⇑m
ht : t ⊆ Set.range ⇑m
⊢ ⇑m ⁻¹' (s - t) = ⇑m ⁻¹' s - ⇑m ⁻¹' t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y : E
DenselyOrdered 𝕜
NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
⊢ x ∈ openSegment 𝕜 x y ↔ x = y
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
x : 𝕜
h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
s : Set 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => x ^ m) (↑m * x ^ (m - 1)) s x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
b' : Pseudoelement S.X₂
b : Over S.X₂
hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0
hb' : b.hom ≫ S.g = 0
⊢ ∃ a, pseudoApply S.f a = ⟦b⟧
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
DecidableEq ι
v : ι → E
⊢ Orthonormal 𝕜 v ↔ ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
G : Type u_1
X : Type u_2
AddGroup G
AddAction G X
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
ProperVAdd G X
⊢ T2Space (Quotient (AddAction.orbitRel G X))
G : Type u
AddGroup G
Finite G
Nontrivial G
⊢ 1 < AddMonoid.exponent G
x y : UInt8
⊢ (x + y).toNat = (x.toNat + y.toNat) % UInt8.size
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)
V₀ : Set G := ⋂ V ∈ t, V.carrier
⊢ (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ i ∈ t, clPrehaar (↑K₀) i).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
di : DenseInducing i
a : α
⊢ 𝓝 a = Filter.comap i (𝓝 (i a))
α : Type u
β : Type v
Group α
Group β
f : α → β
hf : IsGroupHom f
γ : Type u_1
Group γ
g : β → γ
hg : IsGroupHom g
⊢ IsGroupHom (g ∘ f)
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
h : 1 * n = n
⊢ ∀ (x : Fin n), repeat 1 a (cast ⋯ x) = (a ∘ cast h) (cast ⋯ x)
n d : ℕ
h : n.minSqFac = some d
⊢ d * d ∣ n
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
b₀ : Basis ι ℝ E
this : FiniteDimensional ℝ E
⊢ b₀.det ⇑b = LinearMap.det ↑(b.equiv b₀ (Equiv.refl ι)).symm
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
a : α
⊢ Even |a| ↔ Even a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
A : Set M
α : Type u₁
s : L.DefinableSet A α
x : α → M
⊢ x ∈ sᶜ ↔ x ∉ s
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x p : R
hf : ∀ (r : R), f (star r) = star (f r)
x✝ : R
h✝ : x✝ ∈ range fun s => star s * s
⊢ f x✝ ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
t : ℍ[R,c₂,c₁]
⊢ ((QuaternionAlgebra.swapEquiv c₁ c₂).symm t).imK = -t.imK
f : Bool → Bool → Bool
n : ℕ
⊢ n = 0 → 0 = if f true false = true then n else 0
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)
X : Dᵒᵖ
a b : (forget A).obj (F.obj X)
h : (f.app X) a = (f.app X) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ map = g
⊢ Sieve.functorPushforward H (Sieve.functorPullback H (Sieve.pullback map (equalizerSieve a b))) ∈ K.sieves (H.obj Z)
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
⊢ ∀ (x : Cᵒᵖ × Dᵒᵖ),
  (CategoryTheory.prodOpEquiv C).inverse.obj x =
    match x with
    | (X, Y) => Opposite.op (Opposite.unop X, Opposite.unop Y)
α : Type u
d : α
⊢ List.nil.headD d = d
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
x : F
e_7✝ : normedAddCommGroup = NonUnitalNormedRing.toNormedAddCommGroup
he✝ : InnerProductSpace.toNormedSpace = NormedAlgebra.toNormedSpace'
⊢ 2 • (innerSL ℝ) x = (fderivInnerCLM ℝ (id x, id x)).comp ((ContinuousLinearMap.id ℝ F).prod (ContinuousLinearMap.id ℝ F))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
R : Type u
CommRing R
P Q : Fin 3 → R
h : P ≈ Q
⊢ P z = 0 ↔ Q z = 0
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
δ : ℕ → ℝ
hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)
this : SemilatticeSup Nat.Primes := Nat.Subtype.semilatticeSup Irreducible
μ : Measure 𝕊 := volume
u : Nat.Primes → 𝕊 := fun p => ↑(↑1 / ↑↑p * T)
⊢ (∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, ¬addWellApproximable 𝕊 δ x) ∨ ∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, addWellApproximable 𝕊 δ x
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝ : Monoid M'
P : Submonoid M
e : M →* M'
he : Function.Injective ⇑e
s : Finset M'
hs : closure ↑s = Submonoid.map e P
⊢ ⇑e '' (⇑e ⁻¹' ↑s) = ↑s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : a < b
⊢ (interior (Ioc a b)).Nonempty
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α✝
a : α✝
g f✝ : α✝ → M
α : Type u_3
inst✝ : CommGroup α
f : ℕ → α
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
⊢ Ico n m = filter (fun k => n ≤ k) (range m)
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
x y : AddUnits M
⊢ AddSemiconjBy a ↑(-x) ↑(-y) ↔ AddSemiconjBy a ↑x ↑y
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), TotallyBounded (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
t : ι → Set α
htf : ∀ (x : ι), (t x).Finite
ht : ∀ (x : ι), s x ⊆ ⋃ y ∈ t x, {x | (x, y) ∈ U}
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ ⋃ i, s i ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U}
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N ≃ₗ[R] P
⊢ ↑(LinearEquiv.lTensor M f).symm = LinearMap.lTensor M ↑f.symm
m n : Nat
⊢ m.gcd (m.gcd n) = m.gcd n
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂') = i₁₂
⊢ K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ i₂' ≫ K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂') i₁₂ h'
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
x : R
⊢ star ↑x = ↑x
g✝ : SL(2, ℤ)
z : ℍ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
g : SL(2, R)
⊢ -↑g 0 1 * ↑g 1 0 + ↑g 0 0 * ↑g 1 1 = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s✝ : Set α
hs✝ : MeasurableSet s✝
hμs : μ s✝ ≠ ⊤
c✝ : E
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
hsμ : μ s ≠ ⊤
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t ≠ ⊤
c : E
hc : c ≠ 0
⊢ indicatorConstLp p hs hsμ c = indicatorConstLp p ht htμ c ↔ s =ᶠ[ae μ] t
H : Type x
TopologicalSpace H
OrderedCommGroup H
ContinuousInv H
a : H
⊢ Filter.Tendsto Inv.inv (𝓝[<] a) (𝓝[>] a⁻¹)
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊
nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊
hXY' : IndepFun (fun a => ‖X a‖₊) (fun a => ‖Y a‖₊) μ
⊢ Integrable (X * Y) μ
α : Type u_1
l : List α
p : α → Bool
⊢ List.dropWhile p l <:+ l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : ↥(Lp β 1 μ)
⊢ ‖f‖ = (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ∂μ).toReal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
⊢ P.isoClosure.isoClosure = P.isoClosure
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Finsupp.total α M R 0 = 0
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
⊢ ⇑b.sumCoords = fun m => ∑ᶠ (i : ι), (b.coord i) m
α : Type u_1
a : α
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
x y : ↑(Iic a)
⊢ Disjoint x y ↔ Disjoint ↑x ↑y
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
ι : Type u_5
f : M →ₙ* N
hf : Function.Surjective ⇑f
S : ι → Subsemigroup N
⊢ Subsemigroup.map f (⨆ i, Subsemigroup.comap f (S i)) = iSup S
x✝ y : ℂ
x : ℝ
⊢ (cexp (↑x * I)).re = Real.cos x
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Finite M
h : Nonempty M
this : Fintype M
⊢ (∀ (x : M × M), x ∈ {x | Commute x.1 x.2}) ↔ Commutative fun x x_1 => x * x_1
R : Type u_1
A : Type u_2
Star R
Star A
x : Unitization R A
⊢ (star x).fst = star x.fst
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingParallelPairOp.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.left =
  Quiver.Hom.op CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.left
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : 0 ≤ r₂
h : r₂ ≤ r₁
⊢ Wbtw R x (r₁ • v +ᵥ x) (r₂ • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R x (r₂ • v +ᵥ x) (r₁ • v +ᵥ x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
f : X ⟶ X
hf : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f f = f
c : CategoryTheory.Limits.Cofork (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) f
i : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.Limits.splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C hf i).section_ =
  i.desc (CategoryTheory.Limits.Cofork.ofπ f ⋯)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(Lp F p μ)
⊢ f ∈ lpMeas F 𝕜 m p μ ↔ AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
a b : Int
h : b < a
⊢ a ≠ b
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y * d) (c' * d) s x
K : Type u_1
Field K
NumberField K
α : K
⊢ 0 ≤ NumberField.house α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝¹ : DivisionMonoid G
inst✝ : MulAction G A
f : A → B
⊢ (fun x => f (1⁻¹ • x)) = f
⊢ TopCat.adj₁.unit = { app := fun X => id, naturality := TopCat.adj₁.proof_1 }
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
a : R
⊢ Squarefree (Ideal.span {a}) ↔ Squarefree a
cs₁ cs₂ : List Char
h : cs₁ <+: cs₂
⊢ String.utf8Len cs₁ ≤ String.utf8Len cs₂
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
x : M
⊢ (LinearMap.BilinForm.toLin B) x = B x
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
d : ℝ≥0∞
f : β → α
s : Set β
⊢ EMetric.diam (f '' s) ≤ d ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, edist (f x) (f y) ≤ d
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
⊢ (H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯) ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + H.map ((snd φ).v n n ⋯) ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) ≫ ((↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ H.map ((inl φ).v m n ⋯) + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ H.map ((inr φ).f n)) = 𝟙 (((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).obj (mappingCone φ)).X n)
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
P : Ideal S
⊢ Ideal.ramificationIdx f ⊥ P = 0
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
⊢ finInsepDegree F ↥⊥ = finInsepDegree F E
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsAffine X
inst✝ : IsAffine Y
⊢ P f ↔ Q (Scheme.Hom.app f ⊤)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
f : α →C₀ β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
a : ℂ
r : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Metric.ball a r) = ENNReal.ofReal r ^ 2 * ↑NNReal.pi
n : PosNum
⊢ ↑n = ↑↑n.pred' + 1
α : Type u_1
LE α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
h : t.Sized
h_mem : x ∈ t
⊢ 0 < t.size
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
n : ℤ
h : (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (n + 1))).f ≫ (σ (n + 1)).r = 𝟙 (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (n + 1))).X₁
⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map S.f ≫ (mappingConeHomOfDegreewiseSplitIso S σ).inv).f n = (-mappingCone.inr (homOfDegreewiseSplit S σ)).f n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
p : α → Prop
a : α
l : List α
u : List β
⊢ (p a ∧ ∃ x, R a x ∧ (∀ (a : α), a ∈ l → p a) ∧ ∃ x_1, Forall₂ R l x_1 ∧ u = x :: x_1) ↔ p a ∧ (∀ (a : α), a ∈ l → p a) ∧ ∃ b, R a b ∧ ∃ x, Forall₂ R l x ∧ u = b :: x
R : Type u
AddMonoid R
StarAddMonoid R
⊢ star 0 = 0
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a : α
⊢ Order.pred a = a ↔ IsMin a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1
⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₃ p₁).tan = dist p₃ p₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_12
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)
(x : M) → TopologicalSpace (V x)
FiberBundle F V
s : Cₛ^⊤⟮I; F, V⟯
⊢ Smooth I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) fun x => Bundle.TotalSpace.mk' F x (s x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : CategoryTheory.Limits.IsZero S.X₂
⊢ S.Exact
α : Type u_1
TopologicalSpace α
C : Set α
x : α
U : Set α
h_acc : AccPt x (𝓟 C)
hU : U ∈ 𝓝 x
⊢ AccPt x (𝓟 (U ∩ C))
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
⊢ 0 < a ^ b
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
a b : α → 𝕜
u v : α → E
l : Filter α
hab : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖(a - b) x‖ ≤ c * ‖b x‖
huv : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖(u - v) x‖ ≤ c * ‖v x‖
φ : α → 𝕜
hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)
habφ : a =ᶠ[l] φ * b
this : ((fun x => a x • u x) - fun x => b x • v x) =ᶠ[l] fun x => b x • (φ x • u x - v x)
C : ℝ
hC : C > 0
hCuv : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖u x‖ ≤ C * ‖v x‖
⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x • u x - v x‖ ≤ c * ‖v x‖
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type w
s : Finset ι
f : ι → Set α
⊢ ⨅ i ∈ s, 𝓟 (f i) = 𝓟 (⋂ i ∈ s, f i)
n : ℕ
⊢ (SetTheory.PGame.powHalf n).LeftMoves = PUnit.{u_1 + 1}
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
ι : Sort u_1
U : ι → Submodule R M
⊢ ⨆ i, (U i).dualAnnihilator ≤ (⨅ i, U i).dualAnnihilator