ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
Ring α
f : α → ℕ → α
a : α
an cn : ℤ
ad b b' cd : ℕ
⊢ f = HPow.hPow →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a an ad →
    Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b b' → an.pow b' = cn → ad.pow b' = cd → Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (f a b) cn cd
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ (∀ (x_1 : α), x_1 ∈ x • ↑s ↔ x_1 ∈ y • ↑s) ↔ x⁻¹ * y ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in f, u x ∈ Icc (a - ε) (a + ε)
⊢ Tendsto u f (𝓝 a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented Cᵒᵖ
⊢ ∀ {X_1 Y : SimplexCategoryᵒᵖ} (f : X_1 ⟶ Y), X.leftOp.left.map f = (X.right.map f.unop).unop
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
⊢ ‖f m‖ ≤ ‖f‖ * ∏ x : ι, ‖m x‖
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
CommRing A'
Algebra R A
Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : Function.Injective ⇑f
⊢ AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
⊢ derivWithin (fun x => x ^ m) s x = ↑m * x ^ (m - 1)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ 0 < NumberField.Units.regulator K
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Archimedean R
r : R
n : ℕ
hn : -r ≤ ↑n
⊢ ↑(-↑n) ≤ r
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : DecidableEq σ
n : σ →₀ ℕ
a : R
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ inv.aux a φ n = if n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (inv.aux a φ) else 0
b x : ℝ
hb : 0 < b
⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (-b * x)) (Ioc 0 x) ℙ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (pullback f g).OpenCover
α : Type u
f : α → α
⊢ f^[0] = id
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
⊢ Computation.LiftRel (Function.swap R) cb ca ↔ Computation.LiftRel R ca cb
R : Type u
CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
⊢ IsCoprime (-x) (-y)
K : Type v
Field K
n : ℕ
f : K[X]
⊢ algebraMap K (Polynomial.SplittingFieldAux (n + 1) f) =
  (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (Polynomial.SplittingFieldAux n f.removeFactor)).comp (AdjoinRoot.of f.factor)
p : ℕ
z : ℤ
hp : p ≠ 1
hz : z ≠ 0
⊢ padicValInt p z = (multiplicity (↑p) z).get ⋯
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
⊢ Fin.snoc (Fin.init q) (q (Fin.last n)) = q
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
⊢ { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯ }.toFun g
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : {X : Type u} → (Cofix F α → X) → (β → X) → β → F (α ::: X)
x : β
h : ∀ (X Y : Type u) (f : Cofix F α → X) (f' : β → X) (k : X → Y), g (k ∘ f) (k ∘ f') x = (TypeVec.id ::: k) <$$> g f f' x
⊢ (corec₁ g x).dest = g _root_.id (corec₁ g) x
R : Type u
CommRing R
p : ℕ
ExpChar R p
x y : R
⊢ (frobenius R p) (x - y) = (frobenius R p) x - (frobenius R p) y
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.Closeds α
⊢ ↑s = ∅ ↔ s = ⊥
xs : Lean.Omega.IntList
⊢ xs.dot [] = 0
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
δ : Type u_4
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderTopology δ
g : γ → δ
f : α → γ
hg : Continuous g
hf : UpperSemicontinuousOn f s
gmon : Monotone g
⊢ UpperSemicontinuousOn (g ∘ f) s
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : Polynomial.eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : R[X]
⊢ (IsAdjoinRoot.lift i x hx h) (h.map z) = Polynomial.eval₂ i x z
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ EquicontinuousWithinAt Subtype.val S x₀
x : ℝ
hx_gt : -(π / 2) < x
hx_lt : x < π / 2
r : ℤ
hxr_eq : x = (2 * ↑r + 1) * π / 2
h : r < 0
⊢ False
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : Set.EqOn f g s
hx : f x = g x
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 g s x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 F
h : ∀ u ∈ U, ∀ v ∈ V, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
⊢ ∀ u ∈ Submodule.comap f U, ∀ v ∈ Submodule.comap f V, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⇑normalize = Associates.out ∘ Associates.mk
⊢ normalizedFactors (x * y) = normalizedFactors x + normalizedFactors y
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ Field.finSepDegree F E = Cardinal.toNat (Field.sepDegree F E)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f g (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h i)).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.associator (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h i).inv
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).hom i)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.associator g h i).inv)
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h) i).inv
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
x✝ : ↑I
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I
⊢ H ((0, x✝).1, (Cube.insertAt i) ((0, x✝).2, y✝)) = p ((Cube.insertAt i) (x✝, y✝))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
ι : Type u_3
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this✝ : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
s : Set β
h1s : IsClosed s
h2s : s.Nonempty
h3s : s ≠ Set.univ
this : Measurable fun x => infNndist (g x) s
h4s : g ⁻¹' s = (fun x => infNndist (g x) s) ⁻¹' {0}
⊢ MeasurableSet ((fun x => infNndist (g x) s) ⁻¹' {0})
α : Type u_2
f : Filter α
m : α → ℝ
a : ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun a => ↑(m a)) f (𝓝 ↑a) ↔ Filter.Tendsto m f (𝓝 a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
Y' Y'' : C
S : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
g : Y' ⟶ f.left
g' : Y'' ⟶ Y'
⊢ f.homMk' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g' g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map g) f.hom)).homMk' g')
      (f.homMk' g))
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
⊢ (⋃ i ∈ Finset.range N, Set.Ico (lowerCrossingTime a b f N i ω) (upperCrossingTime a b f N (i + 1) ω)).indicator 1 n ≤ 1
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
t : Set M'
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
ht : LinearIndependent R fun (x : ↑t) => ↑x
⊢ Disjoint (Submodule.map (inl R M M') (span R s)) (Submodule.map (inr R M M') (span R t))
R : Type u_1
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
CommSemiring R
AddCommMonoid α
Module R α
DecidableEq l
a : l → α
B : Matrix m n α
⊢ Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) (Matrix.diagonal a) B =
  (Matrix.reindex (Equiv.prodComm m l) (Equiv.prodComm n l)) (Matrix.blockDiagonal fun i => B.map fun b => a i ⊗ₜ[R] b)
a b : ℚ
⊢ a = b ↔ ↑a = ↑b
n : ℕ
x : Fin n
y : Fin (n + 1)
h : x.castSucc < y
h' : y.succAbove x ≠ Fin.last n := ⋯
⊢ (y.succAbove x).castPred h' = x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
P : α → Prop
⊢ (∀ {q : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in f, q x) → ∃ x, q x ∧ P x) ↔ ∀ {U : Set α}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, P x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M N K : Bimod A B
f : M ⟶ N
g : N ⟶ K
⊢ (f ≫ g).hom = f.hom ≫ g.hom
W : Type u_4
Q : Type u_5
NormedAddCommGroup W
MetricSpace Q
NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : Q
h : p₁ ≠ p₂
⊢ AntilipschitzWith (nndist p₁ p₂)⁻¹ ⇑(AffineMap.lineMap p₁ p₂)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_3
MeasurableSpace β
PseudoMetricSpace β
BorelSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
g : α → β
hf : ∀ ε > 0, ∃ f, AEMeasurable f μ ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, dist (f x) (g x) ≤ ε
⊢ AEMeasurable g μ
R : Type u
CommSemiring R
q : ℕ
hR : ExpChar R q
x y : R
⊢ (x + y) ^ q = x ^ q + y ^ q
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : R1Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => closure (compactCovering β n) ∩ s
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β) in s, f x ∂μ))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Factorisation.initial.π = f
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ {x | ↑x.asIdeal ^ (-↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)) ≠ 1}.Finite
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
⊢ LinearMap.ker (Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(KaehlerDifferential.D R S)) = KaehlerDifferential.kerTotal R S
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : d₁ ^ k ∣ a
⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
p q : ℕ
L : List ℕ
h : p ≤ q
⊢ Nat.ofDigits p L ≤ Nat.ofDigits q L
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s t : Set α
x : α
hx : x ∈ s
fin : EMetric.hausdorffEdist s t ≠ ⊤
⊢ Metric.infDist x t ≤ Metric.hausdorffDist s t
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : L₂ ⟶ L₁
d : D
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L₂.map (((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₁ adj₂) α).app d)) (adj₂.counit.app d) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α.app (R₁.obj d)) (adj₁.counit.app d)
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
φ : K →+* ℂ
hx✝ : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))
a : ℝ
x✝ : (K →+* ℂ) → ℂ
hx : (starRingEnd ℂ) (x✝ φ) = x✝ (ComplexEmbedding.conjugate φ)
⊢ (starRingEnd ℂ) ((a • x✝) φ) = (a • x✝) (ComplexEmbedding.conjugate φ)
ι : Type u_2
Fintype ι
x y : ι → ℝ
⊢ dist (x ⊓ y) (x ⊔ y) = dist x y
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g
hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)
hhmgle : Martingale h ℱ μ
ω : Ω
hω : (f n - martingalePart (f + g) ℱ μ n) ω = (f - martingalePart (f + g) ℱ μ) 0 ω
⊢ (f n - martingalePart (f + g) ℱ μ n) ω = 0 ω
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : L₂ ⟶ L₁
c : C
this : (𝟭 C).map (adj₁.unit.app c) ≫ ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)).app (L₁.obj c) = adj₂.unit.app ((𝟭 C).obj ((𝟭 C).obj c)) ≫ R₂.map ((L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv).app ((𝟭 C).obj c))
⊢ adj₁.unit.app c ≫ adj₂.unit.app (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj (L₁.obj c))) ≫ α.app (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj (L₁.obj c)))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app (L₁.obj c)) = adj₂.unit.app c ≫ R₂.map (α.app c)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Stirling.stirlingSeq n ^ 4 / Stirling.stirlingSeq (2 * n) ^ 2 * (↑n / (2 * ↑n + 1)) = Real.Wallis.W n
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F✝
v : E
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hf : HasFDerivWithinAt f L s (F 0)
A : HasDerivWithinAt F (0 + 1 • v) (F ⁻¹' s) 0
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) s x v
s : ℂ
hs : s ≠ 0
⊢ 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * (s * Gamma s) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Gamma s * s
G : Type u_1
Group G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Inv G
Zero G
SmoothInv₀ I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
n : ℕ∞
f : M → G
a : M
hf : ContMDiffAt I' I n f a
ha : f a ≠ 0
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x => (f x)⁻¹) a
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
x : α
n : ℕ
⊢ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (x ^ n) = n • UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors x
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0
hw : w ≠ 0
h : y + z = w
⊢ y + z ≠ 0
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Zero G
NeZero 1
⊢ Finsupp.support 1 = 0
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : Nontrivial R
⊢ W'.Nonsingular ![1, 1, 0]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ CategoryTheory.IsIso c.inl
n : ℕ
h : 0 < n
i : Fin n
⊢ ((Composition.single n h).embedding 0) i = i
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
n : ℕ
⊢ schnirelmannDensity A * ↑n ≤ ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ A) (Finset.Ioc 0 n)).card
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
f₁ : Q₁ →qᵢ Qₙ
f₂ : Q₂ →qᵢ Qₙ
hf : ∀ (x : M₁) (y : M₂), QuadraticMap.IsOrtho Qₙ (f₁ x) (f₂ y)
m₁ : CliffordAlgebra Q₁
m₂ : CliffordAlgebra Q₂
i₁ i₂ : ZMod 2
hm₁ : m₁ ∈ evenOdd Q₁ i₁
hm₂ : m₂ ∈ evenOdd Q₂ i₂
⊢ (map f₁) m₁ * (map f₂) m₂ = (-1) ^ (i₂ * i₁) • ((map f₂) m₂ * (map f₁) m₁)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) p μ
p e m : ℕ
hp : Nat.Prime p
hm : m ∈ p.smoothNumbers
⊢ ↑((Nat.equivProdNatSmoothNumbers hp) (e, ⟨m, hm⟩)) = p ^ e * m
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : MulAction G β
inst✝ : Nonempty α
⊢ IsPretransitive G α ↔ Nonempty (Unique (orbitRel.Quotient G α))
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → α
a : α
n : ℕ
⊢ (iterate f a).tail.get n = (iterate f (f a)).get n
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ BoxIntegral.Box.Icc I = Set.Icc I.lower I.upper
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝⁹ : CommRing Rₛ
inst✝⁸ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup Mₛ
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ inst✝³ : Module R Mₛ
inst✝² : Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
m : M
i✝ i : ι
⊢ (↑R ↑(ofIsLocalizedModule Rₛ S f b).repr ∘ₗ f) (b i) = (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap R Rₛ) ∘ₗ ↑b.repr) (b i)
n : ℕ
hn : NeZero n
h : orderOf (a 1) < 2 * n
h2 : orderOf (a 1) = 0
⊢ False
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
M : Matrix m m R
DecidableEq m
Fintype m
LinearOrder m
h : M.BlockTriangular id
⊢ M.det = ∏ i : m, M i i
x✝ y✝ x y : ℝ
h : √x < y
⊢ x < y ^ 2
p n : ℕ
hn : n > 0
hp : p ≠ 1
⊢ p ^ padicValNat p n ∣ n
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S : StarSubalgebra ℂ A
a✝ : Nontrivial A
a' : ↥(elementalStarAlgebra ℂ a) := ⟨a, ⋯⟩
h : IsUnit (star a * a)
h₁ : ↑‖star a * a‖ ≠ 0
⊢ IsUnit (star a' * a')
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
c : E
⊢ ↑↑((MeasureTheory.Lp.const p μ) c) =ᵐ[μ] Function.const α c
α : Type u_5
ι : Type u_6
l : Combinatorics.Line α ι
x : α
i : ι
h : l.idxFun i = none
⊢ (fun x i => (l.idxFun i).getD x) x i = x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N'✝ : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
m : M
hm : m ∈ ↑N
N' : Submodule R M
hN' : ∀ m ∈ N, ↑(lieSpan R L {m}) ≤ N'
⊢ m ∈ N'
xl xr : Type u
x y : PGame
L : x.LeftMoves ≃ y.LeftMoves
R : x.RightMoves ≃ y.RightMoves
hl : ∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ≈ y.moveLeft (L i)
hr : ∀ (j : x.RightMoves), x.moveRight j ≈ y.moveRight (R j)
⊢ (∀ (i : x.LeftMoves), (∃ i', x.moveLeft i ≤ y.moveLeft i') ∨ ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), (∃ i, x ≤ (y.moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', x.moveRight j' ≤ y.moveRight j
x y : ℝ
h : x ^ 2 < y
⊢ -√y < x
α : Type
d : ℕ
ds : List ℕ
Ring α
n : ℕ
x : Holor α [d]
y : Holor α ds
⊢ Holor.CPRankMax n y → Holor.CPRankMax n (x.mul y)
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
f : (i : ι) → i ∈ s → α
⊢ (Finsupp.indicator s f) i = 0
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Add α
a b c d : WithBot α
x y : α
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
f : OneHom M N
⊢ map (⇑f) 1 = 1
G : Type u_1
AddGroup G
H₁ H₂ : AddSubgroup G
hH₁ : H₁.Normal
hH₂ : H₂.Normal
hdis : Disjoint H₁ H₂
x y : G
hx : x ∈ H₁
hy : y ∈ H₂
⊢ AddCommute x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : NoMaxOrder α
hs : IsUpperSet s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ upperBounds s
⊢ False
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
H : C ⥤ D
F G : J ⥤ C
α : F ≅ G
c : CategoryTheory.Limits.Cocone G
⊢ H.mapCoconePrecomposeEquivalenceFunctor.inv.hom = 𝟙 (H.obj c.pt)
m n : ZNum
⊢ Ordering.casesOn (m.cmp n) (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
hf : Function.Surjective ⇑f
S T : AddSubsemigroup N
⊢ AddSubsemigroup.map f (AddSubsemigroup.comap f S ⊓ AddSubsemigroup.comap f T) = S ⊓ T
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ ∑ i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), (mongePointWeightsWithCircumcenter n - centroidWeightsWithCircumcenter {i₁, i₂}ᶜ) i = 0
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
⊢ (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) 0 = g 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0
hw' : ∀ i ∈ t, w i • f (p i) ≠ 0 → w i ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ filter (fun x => w x ≠ 0) t, w i = 1
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (k : ℕ) in Filter.atTop, LieModule.weightSpace M (k • χ₁ + χ₂) = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s✝ t : Set α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)
s : (b : β) → Set (π b)
c : ℝ≥0∞
h : ∀ (b : β), c ≤ (s b).einfsep
⊢ c ≤ (univ.pi s).einfsep
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
F : Set X
h : JoinedIn F x y
⊢ x ∈ F ∧ y ∈ F
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
v : Option ι → V
⊢ LinearIndependent K v ↔ LinearIndependent K (v ∘ some) ∧ v none ∉ span K (range (v ∘ some))
ι : Type u_1
k : ℕ
a✝ : List ℕ
⊢ k.Coprime (Multiset.prod ⟦a✝⟧) ↔ ∀ n ∈ ⟦a✝⟧, k.Coprime n
x : ℝ
⊢ deriv (fun x => (2 + log x) / (2 * √x)) x = -log x / (4 * √x ^ 3)
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddAbove (range f)
⊢ ⋃ i, Iic (f i) = univ
b a : Prop
hb : b → a
⊢ a ∨ b ↔ a
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : SMulZeroClass R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
s : Set Γ'
hs : s.IsPWO
hys : ((of R).symm y).support ⊆ s
⊢ ((of R).symm (x • y)).coeff a = ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ hs a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2