ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
CommRing R
IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop
⊢ (x • HahnSeries.SummableFamily.powers x hx).embDomain { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } =
  HahnSeries.SummableFamily.powers x hx - HahnSeries.SummableFamily.ofFinsupp (Finsupp.single 0 1)
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 b, a < x
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} {x_2 : NonAssocSemiring γ} {g₁ g₂ : β →+* γ} {f : α →+* β},
  Function.Surjective ⇑f → (g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂)
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ ↑(centralizer R Set.univ) = ↑(center R A)
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ C₃
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
L₁.IsLocalization W₁
L₂.IsLocalization W₂
W₃ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁.comp L₂)
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁
⊢ (L₁.comp L₂).IsLocalization W₃
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f₁ : R →+* S
g₁ g₂ : σ → S
p₁ : MvPolynomial σ R
h : ∀ i ∈ p₁.vars, i ∈ p₁.vars → g₁ i = g₂ i
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ p₁.support
i : σ
hi : i ∈ d.support
this : i ∈ p₁.vars
⊢ g₁ i ^ d i = g₂ i ^ d i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
τ₁ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
τ₂ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₂
τ₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
comm₁₂ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp τ₁ S₂.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.f τ₂
comm₂₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp τ₂ S₂.g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.homMk τ₁ τ₂ τ₃ comm₁₂ comm₂₃).τ₁ = τ₁
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
h : t ⊆ s
hs : 𝒜.Shatters s
⊢ 𝒜.Shatters t
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module.Free R M
inst✝⁸ : Module.Finite R M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module.Finite R M₁
inst✝⁴ : Module.Free R M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module.Finite R M₂
inst✝ : Module.Free R M₂
f : M →ₗ[R] M
e : M₁ ≃ₗ[R] M₂
φ : Module.End R M₁
b : Basis (ChooseBasisIndex R M₁) R M₁ := chooseBasis R M₁
i j : ChooseBasisIndex R M₁
⊢ (LinearMap.toMatrix (b.map e) (b.map e)) (e.conj φ) i j = (LinearMap.toMatrix b b) φ i j
α : Type u
a : α
as bs : List α
⊢ a :: as ++ bs = a :: (as ++ bs)
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Finset α
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∑ i ∈ s, f i
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁵ : HasZeroObject C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
⊢ Arrow.mk (𝟙 X) ≅ Arrow.mk f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
self : T.Algebra
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (T.η.app self.A) self.a = CategoryTheory.CategoryStruct.id self.A
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
S : J.Cover X
x : (CategoryTheory.forget D).obj (P.obj (Opposite.op X))
⊢ ((J.toPlus P).app (Opposite.op X)) x = CategoryTheory.GrothendieckTopology.Plus.mk (CategoryTheory.Meq.mk S x)
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
h : ¬a = 0
⊢ (n - a.val) % n = n - a.val
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Prop
inst✝ : LocalRing R
h_pos : ∀ (p : ℕ), IsPrimePow p → CharP R p → P
h_equal : Algebra ℚ R → P
h_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P
⊢ ∀ (p : ℕ), p ≠ 0 → CharP R p → P
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
this : AffineTargetMorphismProperty.IsLocal fun X x x_1 x => CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty @QuasiCompact
⊢ ∀ ⦃X Y S : Scheme⦄ [inst : IsAffine S] [inst : IsAffine X] (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), CompactSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace → CompactSpace ↑↑(pullback f g).toPresheafedSpace
α : Type u_7
β : Type u_8
x : α × β
⊢ x.toSigma.fst = x.fst
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this✝ : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)
this : HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..x, f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
⊢ (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑(v.proj x), f.vComp τ) =ᶠ[𝓝[Icc v.tMin v.tMax] ↑t] fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..x, f.vComp τ
R✝ : Type u
S : Type v
a b c d : R✝
n✝¹ m : ℕ
inst✝² : Semiring R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
p q : R✝[X]
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
⊢ (X ^ n).natDegree ≤ n
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → AddLeftCancelMonoid (N a)
f g h : Π₀ (a : α), N a
⊢ (f + g).neLocus (f + h) = g.neLocus h
F✝ : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f✝ g✝ : α →ᵇ β
x✝ : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace β
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
H : ∀ (x₀ : α), ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ↑A), dist (↑i x) (↑i x') < ε
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
εε₁ : ε₁ < ε
ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2
ε₂0 : ε₂ > 0
U : α → Set α
hU : ∀ (x : α), x ∈ U x ∧ IsOpen (U x) ∧ ∀ y ∈ U x, ∀ z ∈ U x, ∀ {f : α →ᵇ β}, f ∈ A → dist (f y) (f z) < ε₂
tα : Set α
left✝¹ : tα ⊆ univ
hfin✝ : tα.Finite
htα : univ ⊆ ⋃ x ∈ tα, U x
val✝¹ : Fintype ↑tα
tβ : Set β
left✝ : tβ ⊆ univ
hfin : tβ.Finite
htβ : univ ⊆ ⋃ y ∈ tβ, ball y ε₂
val✝ : Fintype ↑tβ
F : β → β
hF : ∀ (y : β), F y ∈ tβ ∧ dist y (F y) < ε₂
f : α →ᵇ β
hf : f ∈ A
g : α →ᵇ β
hg : g ∈ A
f_eq_g : (fun f a => ⟨F (↑f ↑a), ⋯⟩) ⟨f, hf⟩ = (fun f a => ⟨F (↑f ↑a), ⋯⟩) ⟨g, hg⟩
x x' : α
x'tα : x' ∈ tα
hx' : x ∈ U x'
⊢ dist (↑⟨f, hf⟩ x) (↑⟨g, hg⟩ x) ≤ ε₁
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Collinear R {x, y, z}
⊢ Wbtw R x y z ∨ Wbtw R y z x ∨ Wbtw R z x y
α : Type u_3
DivisionSemiring α
⊢ ↑0 = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
C : ℝ
Cpos : C > 0
hC : ∀ (x : E) (y : F), ‖f (x, y)‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
x✝ : E × F
x : E
y : F
⊢ ‖f (x, y)‖ ≤ ?m.259612 C Cpos hC * ‖‖(x, y).1‖ * ‖(x, y).2‖‖
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
s✝ : Finset ι
f : ι → R[X]
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ s.sup fun b => (f b).degree
⊢ max (f a).degree (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ (Finset.cons a s has).sup fun b => (f b).degree
M : Type u_1
MulOneClass M
Pow M ℕ
NatPowAssoc M
k n : ℕ
x : M
⊢ x ^ (k + n) = x ^ k * x ^ n
R : Type u_1
DivisionSemiring R
StarRing R
q : ℚ≥0
⊢ IsSelfAdjoint ↑q
l s : List ℕ
hs : s ∈ l.ranges
⊢ s.Nodup
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ ⟦x.mulOption y i j⟧ = ⟦y.mulOption x j i⟧
N k n : ℕ
hn : n ∈ N.smoothNumbersUpTo k
hn₁ : n ≤ N
hn₂ : n ∈ k.smoothNumbers
s : Finset ℕ
hs : s ∈ k.primesBelow.powerset
m : ℕ
hm : n = m ^ 2 * s.prod id
⊢ m ≠ 0
M : Type u_3
AddCommMonoid M
a b : ℕ
f : ℕ → ℕ → M
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico a b, ∑ j ∈ Finset.Ico i b, f i j = ∑ j ∈ Finset.Ico a b, ∑ i ∈ Finset.Ico a (j + 1), f i j
X : Type u
TopologicalSpace X
l : Filter X
⊢ l ≤ l.lift' closure
R : Type u
EuclideanDomain R
a b : R
⊢ b * (a / b) + a % b = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h : s₂ ⊆ s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
h_fin : μ s₂ ≠ ⊤
⊢ μ (s₁ \ s₂) = μ s₁ - μ s₂
R : Type u_1
Ring R
R₂ : Type u_2
Ring R₂
R₃ : Type u_3
Ring R₃
M : Type u_4
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
M₃ : Type u_6
TopologicalSpace M₃
AddCommGroup M₃
Module R M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
TopologicalAddGroup M₂
TopologicalAddGroup M₃
g : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
f : M →SL[σ₁₂] M₂
⊢ g.comp (-f) = -g.comp f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
⊢ s.pointsWithCircumcenter Affine.Simplex.PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex = s.circumcenter
a b : Bool
⊢ (a = false ↔ b = true) ↔ (!a) = b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
⊢ ((κ ⊗ₖ η) a) s = ((Kernel.sum fun n => Kernel.sum fun m => κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) a) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
K : CategoryTheory.Limits.Multicofork I
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.right
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp I.fstSigmaMap (CategoryTheory.Limits.Sigma.desc K.π) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp I.sndSigmaMap (CategoryTheory.Limits.Sigma.desc K.π)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
S : Type u_5
SMul S A
SMul S M
LinearMap.CompatibleSMul A M S R
D : Derivation R A M
r : S
a : A
⊢ D (r • a) = r • D a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hf_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ε
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ℕ), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι
⊢ ∑ x ∈ f.support, (b.toDual (b i)) (f x • b x) = f i
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
⊢ re 1 = 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
⊢ P.IsReduced ↔ ∀ (i j : ι), i ≠ j → ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] → P.root i = -P.root j
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
g : G
hg : orderOf g = 2
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
hg : HasFDerivAt g g' (f x)
hf : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (g ∘ f) (g'.comp f') x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n✝ m✝ n : ℤ
z₁ : Cochain F G n
f : G ⟶ K
m : ℤ
⊢ δ n m (z₁.comp (Cochain.ofHom f) ⋯) = (δ n m z₁).comp (Cochain.ofHom f) ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ ((convexHull 𝕜) s).Nonempty ↔ s.Nonempty
n : Type u_2
α : Type u_3
Fintype n
DecidableEq n
CommSemiring α
A : Matrix n n α
Invertible Aᵀ
⊢ A.transposeInvertibleEquivInvertible inst✝ = A.invertibleOfInvertibleTranspose
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s : ↥S
⊢ mk' f (m₁ + m₂) s = mk' f m₁ s + mk' f m₂ s
α : Type u
Add α
x y : α
⊢ Multiplicative.ofAdd (x + y) = Multiplicative.ofAdd x * Multiplicative.ofAdd y
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
B : Type u_1
F : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : Nonempty F
e : Z ≃ₜ B × F
h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F (Prod.fst ∘ ⇑e)
⊢ Function.Surjective (Prod.fst ∘ ⇑e)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0
this : LocallyCompactSpace G
q₀ : P
x₀ : G
hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ) (q₀, x₀)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : Nonempty X
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)
hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f
y : Y
xl xu : X
h : g y ∈ Icc (f xl) (f xu)
⊢ g y ∈ t
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
⊢ Antitone (extentClosure r)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
⊢ AEMeasurable f 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
inst✝ : Countable β
s t : β → Set α
hsub : ∀ (b : β), s b ⊆ t b
h_le : ∀ (b : β), μ (t b) ≤ μ (s b)
htop : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤
M : Set α → Set α := toMeasurable μ
H : ∀ (b : β), M (t b) ∩ M (⋃ b, s b) =ᶠ[ae μ] M (t b)
⊢ μ (⋃ b, t b) ≤ μ (⋃ b, s b)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <:+: l₂ → l₁ <+ l₂
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
x : (forget Stonean).obj X
h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i
y : (forget Stonean).obj Y
hy : i y = f x
t : TopologicalSpace ↑(pullback f hi).toTop := inferInstance
⊢ f x = i ({ toFun := ⇑(Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯).symm ∘ Set.MapsTo.restrict (⇑f) (⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i) (Set.range ⇑i) ⋯, continuous_toFun := ⋯ } ⟨x, h⟩)
R : Type u_1
AddMonoid R
StarAddMonoid R
x y : R
hx : IsSelfAdjoint x
hy : IsSelfAdjoint y
⊢ IsSelfAdjoint (x + y)
γ : Type w
LinearOrder γ
DenselyOrdered γ
a : γ
⊢ IsGLB (Set.Ioi a) a
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
a b : X
⊢ nndist (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b) = nndist a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
m : Type u_5
n : Type u_6
Fintype m
DecidableEq m
Fintype n
DecidableEq n
FiniteDimensional 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 F
v₁ : OrthonormalBasis n 𝕜 E
v₂ : OrthonormalBasis m 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] F
⊢ (LinearMap.toMatrix v₂.toBasis v₁.toBasis) (LinearMap.adjoint f) =
  ((LinearMap.toMatrix v₁.toBasis v₂.toBasis) f).conjTranspose
m n✝ n a p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
h : ↑k ≠ 0
⊢ ↑k * (↑k)⁻¹ = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
S' : Type u_7
CommRing S'
Algebra R S'
pb : PowerBasis R S
e : S ≃ₐ[R] S'
⊢ (pb.map e).basis = pb.basis.map e.toLinearEquiv
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
⊢ ∑ i ∈ p.support, (monomial i) (p.coeff i) = ∑ i ∈ p.support, C (p.coeff i) * X ^ i
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
x : α
hx : 1 < x
a b c : ℤ
⊢ x ^ (-c) ≤ max (x ^ (-a)) (x ^ (-b)) ↔ min a b ≤ c
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid A
Mul A
SMulWithZero R A
a₁ a₂ : A
⊢ ↑(a₁ * a₂) = ↑a₁ * ↑a₂
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌊0⌋ = 0
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Div G
ContinuousDiv G
TopologicalSpace α
f g : α → G
x : α
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
⊢ ContinuousAt (fun x => f x / g x) x
R : Type u
Mul R
StarMul R
x : R
hx : IsRegular x
⊢ IsRegular (star x)
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
⊢ o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯) (o.nfpBFamily f a) = o.nfpBFamily f a
X : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace X
Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ i, V i ⊆ U
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Balanced C
𝒢 : Set C
⊢ IsCoseparating 𝒢 → IsCodetecting 𝒢
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
hf : ContinuousWithinAt f D x
ε : NNReal
hε : 0 < ε
x✝ : 0 < ⊤
⊢ oscillationWithin f D x ≤ 0 + ↑ε
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
⊢ r.image ∅ = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
inst✝ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ AEMeasurable (s.toJordanDecomposition.negPart.rnDeriv μ) μ
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
⊢ P4 x₁ x₂ y ↔ P4 x₁ x₂ (-y)
α : Type u_2
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a b x : α
h : x ∈ [[a, b]]
⊢ [[a, x]] ⊆ [[a, b]]
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a : P
VAdd G P
IsCancelVAdd G P
x y : ↑(s.vaddAntidiagonal t a)
h : (↑x).2 = (↑y).2
⊢ x = y
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
Group α
MulDistribMulAction α G
a : α
S T : Subgroup G
⊢ a • (S ⊓ T) = a • S ⊓ a • T
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n : ℕ
hf : IsPeriodicPt f n x
m : ℕ
⊢ IsFixedPt f^[n]^[m] x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f * g = 0
⊢ (f * g).natSepDegree = f.natSepDegree + g.natSepDegree ↔ f = 0 ∧ g = 0 ∨ IsCoprime f g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ (s₁ ∪ s₂) ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ s₁ ×ˢ t ∪ s₂ ×ˢ t
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (x, y)
M : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
VAdd M X
ContinuousVAdd M X
a b : M
x y : X
h₁ : Inseparable a b
h₂ : Inseparable x y
⊢ Inseparable (a +ᵥ x) (b +ᵥ y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
x : α
⊢ tsum (fun i => f i) x = ∑' (i : ι), f i x
α : Type u
SubtractionMonoid α
a : α
⊢ IsAddUnit a → -a + a = 0
R : Type u
ι : Type v
M : Type u_1
Fintype ι
CommRing R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
ContinuousMul R
ContinuousSMul R M
f : ContinuousMultilinearMap R (fun x => R) M
⊢ ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι (f fun x => 1) = f
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PartialOrder ι✝
τ✝ : Ω → ι✝
f✝ : Filtration ι✝ m
ι : Type u_4
inst✝ : LinearOrder ι
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
E : Set α
⊢ Metric.cthickening δ E = ⋂ ε, ⋂ (_ : δ < ε), Metric.thickening ε E
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.8576, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g
l : sq.LiftStruct
⊢ p.op ≫ l.l.op = g.op
a b : Int
Hpos : b ≠ 0
H : b * a = b
⊢ a = 1
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
⊢ boundedBy ⊤ = ⊤
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addPrehaar (↑K₀) U ⊥ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
⊢ (periodicOrbit f x).Nodup
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h p).length = p.length + 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Icc A B)) l fun i => Set.Ioo (a i) (b i)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : Fin i → M
b : Fin j → M
⊢ (List.ofFn fun i_1 => (TensorAlgebra.ι R) (Fin.append a b i_1)).prod = ((List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (a i)) ++ List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (b i)).prod
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : L₂ ⟶ L₁
d : D
⊢ L₂.map (adj₂.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app d)) ≫ adj₂.counit.app d = α.app (R₁.obj d) ≫ adj₁.counit.app d
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - (aeval a) p = (aeval a) q
⊢ (fun x => eval x p) k ∈ σ ((aeval a) p)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
x : X
⊢ 0 ≤ c.lim x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
AddCommGroup α
AddGroup β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℤ
⊢ f (n • c - x) = ↑n.negOnePow • f (-x)
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Iic a) a
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Iic a)
x : ℝ
hx : x ∈ Iic a
⊢ IntegrableOn f' (Ioc x a) volume
G : Type u_1
α : Type u_3
Countable G
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
⊢ μ (MeasureTheory.addFundamentalInterior G s) = μ s
x y : EReal
⊢ SignType.sign (x * y) = SignType.sign x * SignType.sign y
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t s : Set A
x : { x // x ∈ ↑(adjoin R s) }
x✝¹ x✝ : ↥(adjoin R s)
⊢ x✝¹ ∈ adjoin R (Subtype.val ⁻¹' s) → x✝ ∈ adjoin R (Subtype.val ⁻¹' s) → x✝¹ + x✝ ∈ adjoin R (Subtype.val ⁻¹' s)
α : Type u
DivisionMonoid α
a : α
u : αˣ
⊢ a /ₚ u = a / ↑u
θ : Real.Angle
⊢ (-θ).cos = θ.cos