ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n✝ : ℕ∞
x✝ : (i : ι) → E i
n : ℕ
x : (i : ι) → E i
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (⇑f) x‖ ≤ ↑((Fintype.card ι).descFactorial n) * ‖f‖ * ‖x‖ ^ (Fintype.card ι - n)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ring α
AddCommGroup β
Module α β
NoZeroSMulDivisors α β
PartialOrder α
PartialOrder β
SMulPosReflectLT α β
⊢ SMulPosReflectLE α β
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
S : Set (Projectivization K V)
⊢ Projectivization.Subspace.span S = sInf {W | S ⊆ ↑W}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ Prod.swap <$> (g ×ˢ f) = map (fun p => (p.2, p.1)) (g ×ˢ f)
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
IsUltrametricDist X
x y : X
r : ℝ
h : y ∈ Metric.ball x r
⊢ Metric.ball x r = Metric.ball y r
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u_2}) → b < 0 → Ordinal.{u_2}
⊢ 0 ≤ (cof 0).ord
a b c : ℝ≥0∞
⊢ c ≠ 0 → c ≠ ⊤ → (a * c ≤ b * c ↔ a ≤ b)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
X : C
Y : T.Algebra
f : X ⟶ T.forget.obj Y
⊢ T.η.app X ≫ T.map f ≫ Y.a = f
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁹ : Nonempty ι
inst✝⁸ : Nonempty ι'
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ Seminorm.IsBounded (fun s => s.sup p) p LinearMap.id
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
hk : 0 < k
h1 : ζ ^ k = 1
h : ∀ (l : ℕ), 0 < l → l < k → ζ ^ l ≠ 1
l : ℕ
hl : ζ ^ l = 1
h' : k.gcd l < k
⊢ False
E : Type u_4
AddGroup E
p q : NonarchAddGroupNorm E
⊢ ⇑p < ⇑q ↔ p < q
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
h : μ = ν
⊢ μ.toSignedMeasure = ν.toSignedMeasure
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : b ≤ c
⊢ Set.Icc a b ∪ Set.Icc b c = Set.Icc a c
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
d : ℕ
hd : j = i.succ + d
this : a.get (d + 1 + i) ∈ FP (Stream'.drop 1 (Stream'.drop i a))
⊢ a.get j ∈ FP (Stream'.drop i a).tail
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
X✝ Y✝ : (Mon_ Cᵒᵖ)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (f.unop.hom.unop ≫ ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) Y✝).comul).op = (((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) X✝).comul ≫ (f.unop.hom.unop ⊗ f.unop.hom.unop)).op
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
DecidableEq M
m n : M
p : MvPolynomial σ R
h : p ∈ MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R w n
⊢ (MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w m) p = if m = n then p else 0
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
U : TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat
x : ↥U
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ (X.evaluation x) f ≠ 0 ↔ ↑x ∈ X.toRingedSpace.basicOpen f
α : Type u
p : α → Bool
xs : List α
⊢ List.findIdx p xs < xs.length ↔ ∃ x ∈ xs, p x = true
α : Type u_1
l l' : List α
⊢ (∃ f, ∀ (ix : ℕ), l.get? ix = l'.get? (f ix)) ↔ ∃ f, ∀ (ix : Fin l.length), l.get ix = l'.get (f ix)
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : TopologicalSpace.Opens ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor ((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U).ι).obj
    ((TopologicalSpace.Opens.map (f ∣_ U).val.base).obj V) =
  (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor U.ι).obj V)
G₀ : Type u_2
MeasurableSpace G₀
Div G₀
self : MeasurableDiv G₀
c : G₀
⊢ Measurable fun x => x / c
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
m : (i : ι) → E i
⊢ ⨅ p, projectiveSeminormAux ↑p ≤ ∏ i : ι, ‖m i‖
n : ℕ
⊢ rothNumberNat n = addRothNumber (Finset.range n)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
a b : β
⊢ ⇑e ⁻¹' Set.Ico a b = Set.Ico (e.symm a) (e.symm b)
α : Type u_1
c : Set (Set α)
H : ∀ (a : α), ∃! b, b ∈ c ∧ a ∈ b
y : α
⊢ {x | (Setoid.mkClasses c H).Rel x y} ∈ c
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : F
hq_pos : 0 < q
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
⊢ eLpNorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
U : Set E
⊢ IsOpen U ↔ ∀ x ∈ U, ∃ s, ∃ r > 0, (s.sup p).ball x r ⊆ U
ι : Type u_2
α : Type u_3
AddCommMonoid α
m : Multiset ι
f g : ι → α
⊢ (Multiset.map (fun i => f i + g i) m).sum = (Multiset.map f m).sum + (Multiset.map g m).sum
R : Type u_1
S : Type u_4
CommRing R
CommRing S
p : R[X]
x : S
Algebra R S
h : (Polynomial.aeval x) p = 0
⊢ IsIntegral R (p.leadingCoeff • x)
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
n : σ
⊢ (MvPolynomial.map f) (MvPolynomial.X n) = MvPolynomial.X n
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ [a ≡ b [PMOD p], ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p), toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b,
    toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b].TFAE
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
BorelSpace α
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ).Regular ↔ μ.Regular
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
hf : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h : spectrum S a ⊆ Set.range ⇑(algebraMap R S)
s : S
hs : s ∈ quasispectrum S a
⊢ (algebraMap R S) (f s) = s
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
_h : φ.order ≠ ψ.order
H : φ.order < ψ.order
⊢ (∀ (i : ℕ), ↑i = φ.order → (coeff R i) (φ + ψ) ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < φ.order → (coeff R i) (φ + ψ) = 0
R : Type u
CommSemiring R
S : Type v
Semiring S
Algebra R S
p : S[X]
⊢ p ∈ Polynomial.lifts (algebraMap R S) ↔ p ∈ (Polynomial.mapAlg R S).range
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
⊢ hv.equiv hv (Equiv.refl ι) = LinearIsometryEquiv.refl 𝕜 E
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
f : ℕ → Set α
hf : ∀ (n : ℕ), ∃ j < i, f n ∈ generateMeasurableRec s j
⊢ ⋃ n, f n ∈ let i := i; let S := ⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j; s ∪ {∅} ∪ compl '' S ∪ range fun f => ⋃ n, ↑(f n)
a b : Int
h : b ∣ a
⊢ a.div b = a / b
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
A : Tendsto (fun r => ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)) (𝓝[<] 1) (𝓝 (μ (closedBall 0 1)))
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 1
⊢ r ∈ {x | (fun c => ENNReal.ofReal (c ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1) ≤ μ (ball 0 1)) x}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
f : α → β
hf : Integrable f μ
g : α → 𝕜
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
⊢ Integrable (fun x => g x • f x) μ
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e
⊢ f ◁ (α_ g h i).hom ≫ (α_ f g (h ≫ i)).inv ≫ (α_ (f ≫ g) h i).inv = (α_ f (g ≫ h) i).inv ≫ (α_ f g h).inv ▷ i
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
f : ℤ → ℤ := fun m => ⌊fract (ξ * ↑m) * (↑n + 1)⌋
hn : 0 < ↑n + 1
hfu : ∀ (m : ℤ), fract (ξ * ↑m) * (↑n + 1) < ↑n + 1
⊢ ∃ j k, 0 < k ∧ k ≤ ↑n ∧ |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
i : ι
a b : α i
⊢ Pi.single i '' Set.Ioo a b = Set.Ioo (Pi.single i a) (Pi.single i b)
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
Finite G
h1 : Nat.card ↥H * Nat.card ↥K = Nat.card G
h2 : Disjoint H K
⊢ H.IsComplement' K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
⊢ (fun x => !x) ∘ isSome = isNone
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
M : Matrix m m R
p : m → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ ((reindex (Equiv.sumCompl p).symm (Equiv.sumCompl p).symm) M).det = (fromBlocks (M.toBlock p p) (M.toBlock p fun j => ¬p j) (M.toBlock (fun j => ¬p j) p) (M.toBlock (fun j => ¬p j) fun j => ¬p j)).det
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y Z : C
i : X ≅ Y
j : Y ≅ Z
⊢ F.mapIso (i ≪≫ j) = F.mapIso i ≪≫ F.mapIso j
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ b - ⌊(b - a) / p⌋ • p ∈ Set.Ico a (a + p)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
⊢ P.universally = P ↔ P.StableUnderBaseChange
s : ℝ
h : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Ioi 0) volume
hs : -1 < s
⊢ False
α : Type u_1
DecidableEq α
l l' : List α
⊢ (l ++ l').toFinset = l.toFinset ∪ l'.toFinset
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : ↑((inhomogeneousCochains A).X 1)
y : G × G
⊢ (A.ρ y.1) (x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y.2)) + (-x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm (y.1 * y.2)) + x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y.1)) = (A.ρ ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y 0)) (x fun i => (piFinTwoEquiv fun x => G).symm y i.succ) + (-x (Fin.contractNth 0 (fun x x_1 => x * x_1) ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y)) + x (Fin.contractNth 1 (fun x x_1 => x * x_1) ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y)))
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
DecidableEq ι
Module.Free R M
Module.Finite R M
b : Basis ι R L
Nontrivial R
⊢ φ.polyCharpoly b ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Grp
I : Type w'
U : I → C
γ₁ γ₂ γ₃ : CategoryTheory.PresheafOfGroups.OneCochain G U
α β : CategoryTheory.PresheafOfGroups.ZeroCochain G U
h₁₂ : CategoryTheory.PresheafOfGroups.OneCohomologyRelation γ₁ γ₂ α
h₂₃ : CategoryTheory.PresheafOfGroups.OneCohomologyRelation γ₂ γ₃ β
⊢ CategoryTheory.PresheafOfGroups.OneCohomologyRelation γ₁ γ₃ (β * α)
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemiring α
LinearOrderedSemiring β
FloorSemiring α
FloorSemiring β
a : α
b : β
h : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ a ↔ ↑n ≤ b
⊢ ⌊a⌋₊ = ⌊b⌋₊
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
⊢ nonunits R ⊆ (Metric.ball 1 1)ᶜ
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊂ B
hB' : M.Base B'
⊢ ∃ e ∈ B' \ I, M.Indep (insert e I)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
Module.Free R M
Module.Finite R M
χ : L → R
x : L
⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(LieModule.weightSpace M χ)) ((LieModule.toEnd R L ↥↑(LieModule.weightSpace M χ)) x) =
  FiniteDimensional.finrank R ↥↑(LieModule.weightSpace M χ) • χ x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
⊢ c.left.U ⊆ c.U
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
F G : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
α : F ⟶ G
X Y : CategoryTheory.Grothendieck F
f : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.Grothendieck.map α).map f).base = f.base
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : C
g : X ⟶ Y
f₁ f₂ : CategoryTheory.Subobject Y
⊢ (CategoryTheory.Subobject.pullback g).obj (f₁ ⊓ f₂) =
  (CategoryTheory.Subobject.pullback g).obj f₁ ⊓ (CategoryTheory.Subobject.pullback g).obj f₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
b0 : 0 < 0
⊢ (a * 0).IsLimit
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
⊢ s ∪ t =ᶠ[ae μ] t ↔ μ (s \ t) = 0
μ : YoungDiagram
self : SemistandardYoungTableau μ
i1 i2 j : ℕ
⊢ i1 < i2 → (i2, j) ∈ μ → self.entry i1 j < self.entry i2 j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
p : PMF α
b : β
s : Set β
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
hf : Measurable f
hs : MeasurableSet s
⊢ (map f p).toOuterMeasure s = p.toOuterMeasure (f ⁻¹' s)
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s t : Set L
h : s ⊆ t
⊢ lieSpan R L s ≤ lieSpan R L t
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : FunLike 𝓕 E F
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
L : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
⊢ 1 * ‖L‖ = ‖L‖
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : E ≃ₗᵢ[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
x✝ : ι
⊢ EquivLike.coe e.symm (EuclideanSpace.single x✝ 1) = EquivLike.coe e.symm (EuclideanSpace.single x✝ 1)
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
f : X → Bundle.TotalSpace F E
s : Set X
x₀ : X
⊢ ContinuousWithinAt f s x₀ ↔
  ContinuousWithinAt (fun x => (f x).proj) s x₀ ∧
    ContinuousWithinAt (fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A : Type u₃
inst✝⁸ : Category.{v₃, u₃} A
inst✝⁷ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C
B : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.102181, u_1} B
F : A ⥤ B
inst✝⁵ : HasSheafify ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J) A
inst✝⁴ : ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J).HasSheafCompose F
inst✝³ : G.IsCoverDense J
inst✝² : G.IsContinuous K J
inst✝¹ : G.Full
inst✝ : (G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj
P Q : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P ⟶ Q
h₁ : K.W = LeftBousfield.W fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A ⋙ (whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op).obj
h₂ : ∀ (R : Sheaf J A), (Function.Bijective fun g => whiskerLeft G.op f ≫ g) ↔ Function.Bijective fun g => f ≫ g
⊢ LeftBousfield.W (fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A ⋙ (whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op).obj) (((whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op).map f) ↔ LeftBousfield.W (fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A).obj) f
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
⊢ t₁.points i₁ ∈ affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) ∧ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
x y : ℚ
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
h : s ∪ t ⊆ u
⊢ s ⊆ u
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b✝ c a b : α
⊢ a * b = |a| * |b| ∨ a * b = -(|a| * |b|)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → F
x : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasFDerivAt f L x
v : E
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f (L v) x v
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
s : Submonoid G
hs : (↑s).Finite
hx : x ∈ s
⊢ Nat.card ↥(powers x) ≤ Nat.card ↥s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
⊢ iteratedDeriv (n + 1) f = iteratedDeriv n (deriv f)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
F✝ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝⁴ : FunLike F✝ α✝ β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α
⊢ nndist (f x) (f y) = ratio f * nndist x y
f : CircleDeg1Lift
n : ℤ
⊢ Function.Commute ⇑f fun x => x + ↑n
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
⊢ (List.drop n l).tail = List.drop (n + 1) l
β : Type u_2
E : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace E
NormedAddCommGroup E
OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
h₀ : 0 ∈ s
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
⊢ ‖↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f hf s 0 h₀ n) x‖ ≤ ‖f x‖ + ‖f x‖
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderTop α
self : IsCoatomic α
b : α
⊢ b = ⊤ ∨ ∃ a, IsCoatom a ∧ b ≤ a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f₂ : E → F × G
h : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => (f₂ x).2) s
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
Fintype m₁
Fintype m₂
Semiring R
B₁ : Matrix m₁ n R
B₂ : Matrix m₂ n R
v₁ : m₁ → R
v₂ : m₂ → R
⊢ Matrix.vecMul (Sum.elim v₁ v₂) (B₁.fromRows B₂) = Matrix.vecMul v₁ B₁ + Matrix.vecMul v₂ B₂
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x t : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
ht : 0 < t
⊢ |log x * x ^ t| * t < 1
R : Type u
CommRing R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u
AddCommGroup N
Module R N
hMN :
  ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {m : ι → M} {n : ι → N},
    ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0 → TensorProduct.VanishesTrivially R m n
M' : Submodule R M
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor N M'.subtype)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair ⥤ C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasEqualizersOfHasPullbacksAndBinaryProducts.pullbackFst F =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd
    (CategoryTheory.Limits.prod.lift (𝟙 (F.obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero))
      (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.left))
    (CategoryTheory.Limits.prod.lift (𝟙 (F.obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero))
      (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.right))
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
⊢ f = f'
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)
⊢ 1 - ε ^ 5 / 50 ≤ 1 - 2 * (1 / (↑m + 1))
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
fst✝¹ : E
snd✝¹ : F
hx : (fst✝¹, snd✝¹) ∈ f.graph
fst✝ : E
snd✝ : F
hy : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph
hxy : (fst✝¹, snd✝¹).1 = (fst✝, snd✝).1
⊢ (fst✝¹, snd✝¹).2 = (fst✝, snd✝).2
R : Type u_1
CommRing R
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
f : Q₁ →qᵢ Q₂
m : M₁
⊢ (CliffordAlgebra.map f) ((CliffordAlgebra.ι Q₁) m) = (CliffordAlgebra.ι Q₂) (f m)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LE β
SMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
IsDirected β fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
⊢ Convex 𝕜 s
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrable (s.indicator f) μ
α : Type u_1
l r₁ r₂ : ℕ
h₁ : r₁ ≤ r₂
h₂ : l + r₂ ≤ 1 ∨ r₂ ≤ delta * l
H : BalancedSz l r₁
h : ¬l + r₂ ≤ 1
⊢ l ≤ delta * r₂ ∧ r₂ ≤ delta * l
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α
a b c d : α
⊢ a ⊓ b ≤ a ∧ a ≤ a ⊓ b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
sz : Nat
BEq α
Hashable α
buckets : Batteries.HashMap.Imp.Buckets α β
H : buckets.WF
⊢ (Batteries.HashMap.Imp.expand sz buckets).buckets.WF
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
⊢ Set.range ⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) = {x | ∃ y, f x = g y}
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β
AddCommMonoid β
s : Finset ι
t : ι → Finset α
h : (↑s).PairwiseDisjoint t
⊢ ∑ x ∈ s.disjiUnion t h, f x = ∑ i ∈ s, ∑ x ∈ t i, f x
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
i : Fin p.length
⊢ (if H : ↑(Fin.castAdd q.length i).succ < p.length then p.toFun ⟨↑(Fin.castAdd q.length i).succ, ⋯⟩ else q.toFun ⟨↑(Fin.castAdd q.length i).succ - p.length, ⋯⟩) = p.toFun i.succ
α : Type u_1
M : Type u_5
R : Type u_11
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : Option α →₀ R
b : Option α → M
⊢ (f.sum fun o r => r • b o) = f none • b none + f.some.sum fun a r => r • b (some a)
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
a : M
hs : IsSubmonoid s
h : a ∈ s
⊢ 1 ∈ s