ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
x : ℂ
⊢ (fun h => cexp (x + h) - cexp x - h • cexp x) =o[𝓝 0] fun h => h
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a✝ b✝ c✝ d a b c : G₀
⊢ a / c * b = a * b / c
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid M
f g : ι → M
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
Hlt : ∀ i ∈ s, f i < g i
⊢ s.sum f < s.sum g
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t s : Set A
x : { x // x ∈ ↑(adjoin R s) }
r : R
⊢ (algebraMap R ↥(adjoin R s)) r ∈ adjoin R (Subtype.val ⁻¹' s)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
h : IsUnit z
w : ℤ_[p]
eq : 1 = z * w
this : ‖z‖ * ‖w‖ ≤ ‖z‖ * 1
⊢ 1 ≤ ‖z‖
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCommMonoid G
i₁ : G
r₁ : k
i₂ : G
r₂ : k
⊢ mapRange op ⋯ (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)) * unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁))) = mapRange op ⋯ (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁))) * mapRange op ⋯ (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)))
z : ℂ
⊢ (Complex.I * z).im = z.re
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
t : ℝ
ht1 : γ ⁻¹' (extChartAt I (γ t₀)).source ∈ 𝓝 t
ht2 : HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t))))
α : Type u
f g : Equiv.Perm α
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f ∘ ⇑g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ re ⟪x, x⟫_𝕜 ≤ 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a✝ b✝ c d a b : α
h : a ≤ b
⊢ a - b = a - min a b
n : Type u_3
α : Type v
NonAssocSemiring α
Fintype n
DecidableEq n
d : n → α
⊢ (Matrix.diagonalRingHom n α) d = Matrix.diagonal d
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ≥0
x : α
key : nndist (f x) 0 ≤ nndist f 0
⊢ f x ≤ nndist f 0
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
H : x ∈ f.support
v : σ
h : v ∉ f.vars
⊢ x v = 0
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (x + z * y) y
⊢ IsCoprime x y
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulLeftInvariant
ν.IsMulLeftInvariant
hν : ν ≠ 0
⊢ μ ≪ ν
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
self : W.LeftFraction X Y
⊢ W self.s
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : Ordinal.IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ f i hi (o.derivBFamily f a) = o.derivBFamily f a
m n k i : Int
⊢ (i + m) % n = (i + k) % n ↔ m % n = k % n
⊢ Path.Homotopy.transReflReparamAux 0 = 0
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
hs : s ≠ ⊥
hs' : (↑s).Finite
⊢ AddMonoid.minOrder α ≤ ↑(Nat.card ↥s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
i : ι
f : (i : ι) → F' i
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun f => f i) f
⊢ ∀ {α : Type u_1} {le : α → α → Bool} {s₁ s₂ : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α} {n : Nat},
  Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le n s₁ →
    Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le n s₂ →
      Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le n (Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.merge le s₁ s₂) ∧
        ((s₁.rankGT n ↔ s₂.rankGT n) → (Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.merge le s₁ s₂).rankGT n)
X : Type u_1
p : OnePoint X → Prop
⊢ (∀ (x : OnePoint X), p x) ↔ p OnePoint.infty ∧ ∀ (x : X), p ↑x
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Top α
Top β
Top γ
g₁ g₂ : TopHom β γ
f : TopHom α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
E : Type u_3
SeminormedCommGroup E
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ dist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂) ≤ dist a₁ b₁ + dist a₂ b₂
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
x : E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hx : f x ≠ 0
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun y => √(f y)) s x
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
h : L.IsUltrahomogeneous M
N P Q : Bundled L.Structure
NP : ↑N ↪[L] ↑P
NQ : ↑N ↪[L] ↑Q
Nfg : Structure.FG L ↑N
Pfg : Structure.FG L ↑P
PM : ↑P ↪[L] M
Qfg : Structure.FG L ↑Q
QM : ↑Q ↪[L] M
g : M ≃[L] M
hg : (QM.comp NQ).comp (PM.comp NP).equivRange.symm.toEmbedding = g.toEmbedding.comp (PM.comp NP).toHom.range.subtype
s : L.Substructure M := (g.toHom.comp PM.toHom).range ⊔ QM.toHom.range
n : ↑N
⊢ (((Substructure.inclusion ⋯).comp (g.toEmbedding.comp PM).equivRange.toEmbedding).comp NP) n = (((Substructure.inclusion ⋯).comp QM.equivRange.toEmbedding).comp NQ) n
a b : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.lift.{v, u} (a * b) = Cardinal.lift.{v, u} a * Cardinal.lift.{v, u} b
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝¹ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq β
s✝ : Finset α
t : α → Finset β
this : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : (s.biUnion t).card ≤ ∑ a ∈ s, (t a).card
⊢ (t a ∪ s.biUnion t).card ≤ (t a).card + (s.biUnion t).card
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq β
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → Fintype ↑(Rel.image r {a})
r' : α → Finset β := fun a => (Rel.image r {a}).toFinset
⊢ (∀ (A : Finset α), A.card ≤ card ↑(Rel.image r ↑A)) ↔ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : α), r x (f x)
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f | f (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f | f (inr x, inr y) = dist x y}
I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, y) = f (y, x)}
I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z)}
I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, x) = 0}
I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)}
this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f | f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f | f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f | f (x, y) = f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f | f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f | f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f | f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)}
⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Subalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜' → 𝕜'
g : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜' f (g x)
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x
⊢ deriv f (g x) * deriv g x / f (g x) = deriv f (g x) / f (g x) * deriv g x
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝¹ : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup M✝¹
inst✝¹² : Module R✝ M✝¹
N✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R M✝
inst✝⁶ : IsNoetherianRing R
M : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑(map I f)
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ R0Space X ↔ Symmetric Specializes
ι : Type u_2
γ : Type u_5
Monoid γ
M : ι → Type u_6
(i : ι) → Monoid (M i)
Finite ι
DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → M i) →* γ
h : ∀ (i : ι) (x : M i), f (Pi.mulSingle i x) = g (Pi.mulSingle i x)
⊢ f = g
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : Aᵐᵒᵖ →ₐ[R] Bᵐᵒᵖ
⊢ (AlgHom.unop f).toRingHom = RingHom.unop f.toRingHom
R : Type u_1
n : ℕ
⊢ (σ 1) n = ∑ d ∈ n.divisors, d
α : Type u_1
LinearOrder α
b x : α
⊢ ↑(Set.projIic b x) = min b x
α : Type u_5
LT α
self : DenselyOrdered α
a₁ a₂ : α
⊢ a₁ < a₂ → ∃ a, a₁ < a ∧ a < a₂
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ n ≤ m ∧ m ≤ n + 1 ↔ m = n ∨ m = n + 1
α : Type u_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm (x - y) = (equivShrink α).symm x - (equivShrink α).symm y
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
α : Type u_1
BEq α
n : Nat
b : α
LawfulBEq α
a : α
h : 0 < n
⊢ (List.replicate n a).replace a b = b :: List.replicate (n - 1) a
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
hm : m ≤ M.M i i' * 2
⊢ cs.wordProd (CoxeterSystem.alternatingWord i i' m) = cs.wordProd (CoxeterSystem.alternatingWord i' i (M.M i i' * 2 - m))
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
W : MorphismProperty C
J : Type u_1
inst✝¹ : W.RespectsIso
inst✝ : HasProductsOfShape J C
hW : ∀ (X₁ X₂ : J → C) (f : (j : J) → X₁ j ⟶ X₂ j), (∀ (j : J), W (f j)) → W (Pi.map f)
X₁ X₂ : Discrete J ⥤ C
c₁ : Cone X₁
c₂ : Cone X₂
hc₁ : IsLimit c₁
hc₂ : IsLimit c₂
f : X₁ ⟶ X₂
hf : W.functorCategory (Discrete J) f
φ : (j : J) → X₁.obj { as := j } ⟶ X₂.obj { as := j } := fun j => f.app { as := j }
hf' : W (Pi.map φ)
⊢ (hc₁.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit X₁) ≪≫ (Pi.isoLimit X₁).symm).hom ≫ (Arrow.mk (Pi.map φ)).hom = (Arrow.mk (hc₂.lift { pt := c₁.pt, π := c₁.π ≫ f })).hom ≫ (hc₂.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit X₂) ≪≫ (Pi.isoLimit X₂).symm).hom
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
this✝ : Nonempty (Fin (finrank ℝ E))
this : volume (Metric.ball ((stdOrthonormalBasis ℝ E).repr x) r) = ENNReal.ofReal r ^ finrank ℝ E * ENNReal.ofReal (√π ^ finrank ℝ E / Gamma (↑(finrank ℝ E) / 2 + 1))
⊢ ⇑(stdOrthonormalBasis ℝ E).repr.symm ⁻¹' Metric.ball x r = Metric.ball ((stdOrthonormalBasis ℝ E).repr x) r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ gramSchmidt 𝕜 f i ∈ span 𝕜 {gramSchmidtNormed 𝕜 f i}
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : J ≠ 0
⊢ ↑(I / J) = ↑I / ↑J
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂
inst✝ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
⊢ c₂.π c₁ c₁₂ (i₂, i₁) = c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
hfg' : f + g ≈ g
hcfg : (f + g).norm = g.norm
hcl : f.norm = 0
⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
x y : lc.pt
hn : x ≠ y
⊢ ∀ (j : J) (x_1 : K.obj j), lc.ι.app j { down := x_1 } ∈ ∅ ↔ c.ι.app j x_1 ∈ descSet hc {x} ∩ descSet hc {y}
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝ : v.RankOne
x : Γ₀
hx : (hom v) x = 0
⊢ x = 0
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
a : α
⊢ a∗ * a∗ = a∗
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
v : α →₀ M
c : R
h : α → M →ₗ[R] M₂
⊢ (v.sum fun i c_1 => (h i) (c • c_1)) = v.sum fun a b => c • (h a) b
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_2
f : M × ↥S → α
wd : ∀ (p p' : M × ↥S), p ≈ p' → f p = f p'
m : M
s : ↥S
⊢ (LocalizedModule.mk m s).liftOn f wd = f (m, s)
d : ℤ
b c : ℤ√d
hb : IsPell b
hc : IsPell c
⊢ b * c * star (b * c) = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
⊢ (f.subtypePerm ⋯).IsCycleOn _root_.Set.univ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_6
NormedRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
h : E → R
z : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 h z
hz : IsUnit (h z)
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => Ring.inverse (h x)) z
α : Type u
Monoid α
a : α
⊢ a ∈ (ConjClasses.mk a).carrier
n : ℕ
⊢ (n + 1)‼ = (n + 1) * (n - 1)‼
α : Type u_1
β : Type u_2
p : TwoPointing α
q : TwoPointing β
⊢ (p.sum q).fst = Sum.inl p.fst
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
⊢ Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory C c)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
(a : α) → DecidablePred (Associated a)
s : Multiset α
n : α
h : ∀ a ∈ s, Prime a
div : ∀ a ∈ s, a ∣ n
uniq : ∀ (a : α), Multiset.countP (Associated a) s ≤ 1
⊢ s.prod ∣ n
α : Type u_1
LE α
a b : WithTop αᵒᵈ
⊢ WithTop.ofDual a ≤ WithTop.ofDual b ↔ b ≤ a
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ Submodule.span R (Set.range v)
i j : ι
h : j ≠ i
⊢ ((Basis.mk hli hsp).coord i) (v j) = 0
X : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
μ : ↑(range diracProba)
F : Filter ↑(range diracProba)
key : Tendsto (diracProba ∘ ⇑diracProbaEquiv.symm) F (𝓝 (diracProba (diracProbaEquiv.symm μ))) ↔ Tendsto (⇑diracProbaEquiv.symm) F (𝓝 (diracProbaEquiv.symm μ))
⊢ Tendsto (fun μ => ↑μ) F (𝓝 (diracProba (diracProbaEquiv.symm μ))) ↔ Tendsto id F (𝓝 μ)
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Preorder ι
G : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
m : M
g : G i
⊢ (TensorProduct.directLimitRight f M) (m ⊗ₜ[R] (Module.DirectLimit.of R ι G f i) g) =
  (Module.DirectLimit.of R ι (fun x => M ⊗[R] G x) (fun i j h => LinearMap.lTensor M (f i j h)) i) (m ⊗ₜ[R] g)
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
⊢ LinearMap.toMatrix'.symm = Matrix.toLin'
F : Type u_1
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
Field F
Field K₁
Field K₂
Field K₃
Algebra F K₁
Algebra F K₂
Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
E : Type u_6
Field E
Algebra F E
Algebra E K₁
Algebra E K₂
Algebra E K₃
IsScalarTower F E K₁
IsScalarTower F E K₂
IsScalarTower F E K₃
Normal F E
⊢ (ψ.restrictNormal E).comp (ϕ.restrictNormal E) = (ψ.comp ϕ).restrictNormal E
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
g : N → M
h : Function.LeftInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : ↥f.srange), (AddEquiv.ofLeftInverse f h).symm a = g ↑a
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
d₁ d₂ : n → α
⊢ Matrix.diagonal d₁ = Matrix.diagonal d₂ ↔ ∀ (i : n), d₁ i = d₂ i
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Sup α
Bot α
Sup β
Bot β
Sup γ
Bot γ
f : SupBotHom β γ
g : SupBotHom α β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s s' : Set V
⊢ (G'.deleteVerts s).deleteVerts s' = G'.deleteVerts (s ∪ s')
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G
x : G
hx : x ∈ (↑U)ᶜ
⊢ IsOpen ((fun y => y * x⁻¹) ⁻¹' ↑U)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
this✝ : ‖x₀‖ ≠ 0
this : ⟪T x₀, x₀⟫_ℝ = c * (‖x₀‖ * ‖x₀‖)
⊢ T.reApplyInnerSelf x₀ = c * (‖x₀‖ * ‖x₀‖)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ⌈a + OfNat.ofNat n⌉ = ⌈a⌉ + OfNat.ofNat n
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
⊢ ↑f.completion.ker = closure ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range
A : Type u_5
CommRing A
ι : Type u_7
Fintype ι
DecidableEq ι
f : (ι → A) →ₗ[A] ι → A
⊢ (LinearMap.toMatrix' f).det = LinearMap.det f
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
h : c.Rel i j
⊢ ∃ i, c.Rel i j
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Polynomial.Chebyshev.U R (-1) = 0
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
l : Filter α
f : α → E
g₁ g₂ : α → F
h : f =O[l] g₁
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ f =O[l] g₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ CategoryTheory.IsIso c.inr
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x y z : S
⊢ single y (z * x) + single x (z * y) - single (x * y) z ∈ kerTotal R S
α : Type u
f g : Ultrafilter α
h : ↑f ≤ ↑g
⊢ f = g
α : Type u_2
l : Filter α
⊢ 𝓝 l = l.lift' fun s => {l' | s ∈ l'}
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ Subgroup.rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : Subgroup.closure S = ⊤
⊢ ↑(Subgroup.closure ((fun g => g * (↑(Subgroup.MemRightTransversals.toFun hR g))⁻¹) '' (R * S))) * R = ⊤
α : Type u
β : Type v
a : α
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ AntitoneOn f {a}
α : Type u
⊢ castFreeCommRing = Functor.map fun l => ↑l
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0
hI : a ≠ ⊤
⊢ a * (b / a) = b
M₁ : Type u_4
CommMonoidWithZero M₁
r x : M₁
hr : r ∈ M₁⁰
⊢ r * x = 0 ↔ x = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : Surjective f
l : Filter β
⊢ range f ∈ l
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k
h2 : range f = f '' k
⊢ IsCompact (f '' k)
α : Type u_1
as : List α
⊢ { data := as }.size = as.length
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : ↥M
c : R
d : ↥M
⊢ mk a b + mk c d = mk (↑d * a + ↑b * c) (d * b)
a b : USize
⊢ (a / b).toNat = a.toNat / b.toNat
G : Type u
Group G
H : Type v
Group H
G' : Subgroup G
H' : Subgroup H
G'.Normal
H'.Normal
e : G ≃* H
he : Subgroup.map (↑e) G' = H'
x : G
⊢ (QuotientGroup.congr G' H' e he) ↑x = ↑(e x)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
PartialOrder α
a b : α
⊢ Set.Ico a b =ᵐ[μ] Set.Icc a b
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle (-x) y + o.oangle (-y) x = 0
ι : Type u_3
α : ι → Sort u_4
s : (i : ι) → Setoid (α i)
p : ((i : ι) → Quotient (s i)) → Prop
f : (i : ι) → Quotient (s i)
h : ∀ (a : (i : ι) → α i), p fun i => ⟦a i⟧
⊢ p f
ι : Type u_10
R : Type u_11
Unique ι
Semiring R
x : R
i : ι
⊢ ((Basis.singleton ι R).repr x) i = x
p : ℝ≥0∞ → Prop
⊢ (∃ a, a ≠ ⊤ ∧ p a) ↔ ∃ r, p ↑r
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝⁴ : DecidableEq ι
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq M
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
⊢ (DFinsupp.sumAddHom fun i => AddSubmonoidClass.subtype (A i)) x = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q
⊢ ((-z₁).comp z₂ h).v p q hpq = (-z₁.comp z₂ h).v p q hpq
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.204908, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 2
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
⊢ 2 < 2 + 1
S : Type u_1
inst✝ : UnitalShelf S
x y z : S
⊢ (x ◃ y) ◃ z = x ◃ y ◃ z
R : Type u
Ring R
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
⊢ (p.toSubring T hp).Monic ↔ p.Monic
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalClosed C
self : CategoryTheory.MonoidalCategory.ClosedPredicate P
X Y : C
⊢ P X → P Y → P ((CategoryTheory.ihom X).obj Y)
A B : CommRingCat
M : ModuleCat ↑B
f : A ⟶ B
D : M.Derivation f
a : ↑A
⊢ D.d (f a) = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
X Y : Cᵒᵖ
w : X ⟶ Y
hw : W.op w
⊢ (CategoryTheory.Localization.isoOfHom L.op W.op w hw).unop = CategoryTheory.Localization.isoOfHom L W w.unop hw
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
ι α : Type u
t : ι → Set α
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
h : ∀ (i : ι), #↑(t i) < c
⊢ #↑(range fun i => t i) * ⨆ s, #↑↑s < c
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
m n k : ℕ
hx : x ^ m = 0
hy : y ^ n = 0
h : m + n ≤ k + 1
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal k
⊢ x ^ i * y ^ j = 0
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
Invertible 2
x y : P
⊢ (AffineIsometryEquiv.pointReflection 𝕜 x) y = y ↔ y = x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.117704, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + -1 = p₂
h₂₃ : p₂ + n = p₃
⊢ (inl φ).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (descCochain φ α β h).v p₂ p₃ h₂₃ = α.v p₁ p₃ ⋯
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
hze : 0 = 1
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : CocompactMap β γ
g : CocompactMap α β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
⊢ ↑(neg p).bit0 = ↑(neg p) + ↑(neg p)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
⊢ Measure.count t ≠ ⊤
x w : Nat
⊢ (BitVec.ofNat w x).toNat = x % 2 ^ w
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ map f I ⊔ map f f.ker = map f I