ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : Type
Finite K
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelForkBiproductToSubtype f p).isLimit =
  CategoryTheory.Limits.KernelFork.IsLimit.ofι (CategoryTheory.Limits.biproduct.fromSubtype f pᶜ) ⋯
    (fun {W} g x => g ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.toSubtype f pᶜ) ⋯ ⋯
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
F : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : α → E × F
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ ↔
  MeasureTheory.Integrable (fun x => (f x).1) μ ∧ MeasureTheory.Integrable (fun x => (f x).2) μ
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (y : Cardinal.{u}), a ∣ y
ha : a ≠ 0
t : Cardinal.{u}
ht : a = 1 ∧ t = 1
⊢ a = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
PreconnectedSpace E
hf : AnalyticOn 𝕜 f Set.univ
hg : AnalyticOn 𝕜 g Set.univ
z₀ : E
hfg : f =ᶠ[𝓝 z₀] g
⊢ f = g
R : Type u_1
S₁ : Type u_3
S₂ : Type u_5
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
Semiring S₁
Semiring S₂
Module S₁ N₂
Module S₂ N₂
SMulCommClass S₁ R N₂
SMulCommClass S₂ R N₂
SMulCommClass S₂ S₁ N₂
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
B : (n → S₁) →ₗ[S₁] (m → S₂) →ₗ[S₂] N₂
⊢ (Matrix.toLinearMap₂' R) ((LinearMap.toMatrix₂' R) B) = B
R : Type u_1
CommRing R
x : R
B : Type u_2
CommRing B
Algebra R B
IsLocalization.Away x B
IsDomain R
WfDvdMonoid R
b : B
hb : b ≠ 0
hx : Irreducible x
⊢ ∃ a n, ¬x ∣ a ∧ selfZPow x B n * (algebraMap R B) a = b
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
p' : Filter β
H : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι × β) in p ×ˢ p', dist (f n.2) (F n.1 n.2) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
⊢ ∀ᶠ (n : ι × β) in p ×ˢ p', (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 < δ
a b : E
⊢ Metric.closedBall a ε - Metric.ball b δ = Metric.ball (a - b) (ε + δ)
a b : UInt8
⊢ a % b = { val := a.val % b.val }
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
a : α
h✝ : a ∉ fixedBy α g
⊢ g • a ∈ s ↔ a ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ ∃ ι x_1 z w, Set.range z ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 z ∧ (∀ (i : ι), 0 < w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ ∑ i : ι, w i • z i = x
R : Type u₁
Ring R
f : R →+* R
hf : f = RingHom.id R
M : ModuleCat R
x : ↑M
⊢ (ModuleCat.restrictScalarsId'App f hf M).inv x = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 F
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 E
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
⊢ A = LinearMap.adjoint B ↔ ∀ (i : ι) (y : F), ⟪A (b i), y⟫_𝕜 = ⟪b i, B y⟫_𝕜
z : ℝ
hz : 0 ≤ z
x : ℝ≥0
hx : x ≤ 1
⊢ ↑x ^ z ≤ 1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Ring 𝕜
Ring 𝕜₂
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →SL[σ] F
K : ℝ≥0
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
⊢ UniformEmbedding ⇑f
α : Type u
β : Type v
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
n : ℕ
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.Nonempty
hn : t.card * n ≤ s.card
⊢ ∃ y ∈ t, n ≤ (Finset.filter (fun x => f x = y) s).card
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
⊢ (-f).completion = -f.completion
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
⊢ ⇑0 = 0
p : Prop
g : Decidable p
h : Decidable ¬p
⊢ (decide ¬p) = !decide p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Add G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s x
hg : ContMDiffWithinAt I' I n g s x
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (f + g) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
⊢ IsQuasiSeparated (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
inst✝ : Countable β
s t : β → Set α
hsub : ∀ (b : β), s b ⊆ t b
h_le : ∀ (b : β), μ (t b) ≤ μ (s b)
⊢ μ (⋃ b, s b) = μ (⋃ b, t b)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
OrderBot ι
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : Ω → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hfint : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Martingale (fun x => f) ℱ μ
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
⊢ Submonoid.map (algebraMap R S) M ≤ IsUnit.submonoid S
V : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace ℝ V
K L : ConvexBody V
⊢ EMetric.hausdorffEdist ↑K ↑L = ENNReal.ofReal (dist K L)
x y : PSet
⊢ x.Equiv y ↔ x.toSet = y.toSet
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).tan * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
⊢ (⇑(Linear_CC' C hsC ho) ∘ fun l => Products.eval C ↑l) l = Products.eval (C' C ho) (↑l).Tail
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝¹ : FiberBundle F E
inst✝ : T1Space B
x : B
⊢ IsClosed (TotalSpace.proj ⁻¹' {x})
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
⊢ AntivaryOn (-f) g s ↔ MonovaryOn f g s
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
a : X
H : Subgroup G
hH : MulAction.stabilizer G a ≤ H
⊢ MulAction.stabilizer G (MulAction.orbit (↥H) a) = H
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ⇑↑f = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ range (AEStronglyMeasurable.mk f hf)
α : Type u_2
l : Filter α
f : α → ℝ
x : ℝ
hf : Filter.Tendsto f l (nhds x)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (nhds ↑x)
f : ℕ → ℝ
c : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
⊢ Summable f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : s ≤ᵐ[μ] f ⁻¹' s
⊢ s =ᵐ[μ] ∅ ∨ s =ᵐ[μ] Set.univ
⊢ Denumerable.ofNat (ℕ × ℕ) = Nat.unpair
x : ℝ
⊢ √x ≠ 0 ↔ 0 < x
α : Type u
β : Type v
AddGroup β
g : FreeAddGroup α →+ β
⊢ ∀ (a : α), FreeAddGroup.lift.symm g a = (⇑g ∘ FreeAddGroup.of) a
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
c : ℕ → ℝ
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a + d n ∈ s
hc : Tendsto c atTop atTop
hcd : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
hc' : Tendsto (fun x => ‖c x‖) atTop atTop
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, c n • (f (a + d n) - f a) ≤ 0
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring K
inst✝³ : CommSemiring L
inst✝² : Algebra K L
E1 E2 : Subalgebra K L
inst✝¹ : Module.Finite K ↥E1
inst✝ : Module.Finite K ↥E2
⊢ Module.Finite K ↥(E1 ⊔ E2)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), WellFoundedLT (α i)
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬a < 0
β : ι → Type u_2 := fun i => Antisymmetrization (α i) fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → α i → β i := fun i => toAntisymmetrization fun x x_1 => x ≤ x_1
x✝¹ : (i : ι) → Zero (β i) := fun i => { zero := e i 0 }
this✝ : WellFounded (DFinsupp.Lex (Function.swap WellOrderingRel) fun x x_1 x_2 => x_1 < x_2)
x✝ y✝ : Π₀ (i : ι), α i
h : x✝ < y✝
this : IsStrictOrder ι (Function.swap WellOrderingRel)
⊢ InvImage (DFinsupp.Lex (Function.swap WellOrderingRel) fun x x_1 x_2 => x_1 < x_2) (mapRange (fun i => e i) ⋯) x✝ y✝
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : D ⥤ C ⥤ D
Y : C
e : F.flip.obj Y ≅ 𝟭 D
inst✝² : (X : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.obj X)
p : J × I → J
hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j
X X' : GradedObject J D
φ : X ⟶ X'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F J I).obj X).obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F J I).obj X').obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p
Y' : ?m.129704
j : J
⊢ φ j ≫ e.inv.app (X' j) ≫ (F.obj (X' j)).map (singleObjApplyIso 0 Y).inv ≫ ιMapBifunctorMapObj F p X' ((single₀ I).obj Y) j 0 j ⋯ = e.inv.app (X j) ≫ (F.obj (X j)).map (singleObjApplyIso 0 Y).inv ≫ (F.map (φ j)).app ((single₀ I).obj Y 0) ≫ (F.obj (X' j)).map (𝟙 ((single₀ I).obj Y) 0) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p X' ((single₀ I).obj Y) j 0 j ⋯
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
m : ι → MeasurableSpace Ω
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ _mΩ
h_indep : iIndep m κ μ
S T : Set ι
hST : Disjoint S T
⊢ Indep (⨆ i ∈ S, m i) (⨆ i ∈ T, m i) κ μ
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
x : ↥(Unitization.unitsFstOne R A)
⊢ (↑(↑x)⁻¹).fst = 1
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0
x : X
key : f x ≤ nndist f 0
⊢ ↑(f x) ≤ ↑(nndist f 0)
B : Type u_4
F : Type u_5
x : B × F
⊢ ((Bundle.TotalSpace.toProd B F).symm x).snd = x.2
R : Type u_1
CommRing R
m : Type u_3
n : Type u_4
DecidableEq m
DecidableEq n
Fintype m
Fintype n
M : Matrix n n R
e : n ≃ m
⊢ ((Matrix.reindex e e) M).charmatrix = (Matrix.reindex e e) M.charmatrix
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ
hia : i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n
hi : n % a ≤ i
⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : β → α → γ
h : ContinuousOn (Function.uncurry f) (Set.univ ×ˢ Set.Icc 0 1)
hf : ∀ (s : β), f s 0 = f s 1
⊢ Continuous fun st => f st.1 (Int.fract st.2)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) δ
right✝ : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
g : E → E →L[ℝ] E
g_meas : Measurable g
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n
n : ℕ
E₁ : ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), ‖f' x - A n‖₊ ≤ δ
E₂ : ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), g x = A n
x : E
hx1 : ‖f' x - A n‖₊ ≤ δ
hx2 : g x = A n
⊢ dist (g x) (f' x) ≤ ε
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I J : Ideal α
⊢ I < J → J = ⊤ ↔ ∀ (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
s t✝ u : Set α
x✝ y✝ : α
Φ : α → β
inst✝ : ProperSpace α
h : IsClosed s
x z : α
hz : z ∈ s
t : Set α := s ∩ closedBall x (dist z x)
htc : IsCompact t
htne : t.Nonempty
y : α
hyd : infDist x t = dist x y
hys : y ∈ s
⊢ ∃ y ∈ s, infDist x t = dist x y
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.57581, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.57588, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.57595, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.57647, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α✝ α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : Dᵒᵖ
f : X ⟶ Y
x : ℱ.obj X
Y' : C
f' : G.obj Y' ⟶ unop Y
⊢ ℱ'.val.map f'.op ((ℱ.map f ≫ (fun X => appHom α (unop X)) Y) x) = ℱ'.val.map f'.op (((fun X => appHom α (unop X)) X ≫ ℱ'.val.map f) x)
a b : ENNReal
⊢ a⁻¹ ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
x✝ : NormalWord d
⊢ unitsSMul φ (-1) (unitsSMul φ 1 x✝) = x✝
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤
b : α
s : Set α
s_max : ∀ a ∈ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}, s ⊆ a → a = s
s_ind : CompleteLattice.SetIndependent s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a
a : α
ha : a ∈ {a | IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
⊢ a ∈ s
R : Type u_1
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ (QuaternionAlgebra.Basis.self R).k = { re := 0, imI := 0, imJ := 0, imK := 1 }
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ cyclotomic' n K = (X ^ n - 1) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K
ι : Type uι
inst✝⁷ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
this : Nonempty { a // a ∈ x.lifts } := nonempty_subtype.mpr (nonempty_lifts x)
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
hp✝ : p ∈ x.lifts
hp : (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p).sum = x
⊢ (List.map ((fun x => ‖x‖) ∘ ⇑(lift f.toMultilinearMap) ∘ fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p).sum ≤ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum * ‖f‖
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J
s : Set J
inst✝ : Small.{v, u} ↑s
hs : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)
⊢ (fullSubcategoryInclusion fun x => x ∈ s).Initial
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.composePath f.toPath = f
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
⊢ (α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (f₁ ⊗ g₁ ⊗ f₂ ⊗ g₂)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set (Set α)
hs : s.Finite
h : ∀ t ∈ s, MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (⋃₀ s) μ
f : ℕ → ℝ
hf : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
r : ℝ
⊢ r < 0 → ↑r < Hyperreal.ofSeq f
α : Type u_1
G : Type u_9
AddGroup G
p : α → Prop
v v' : α →₀ G
⊢ Finsupp.subtypeDomain p (v - v') = Finsupp.subtypeDomain p v - Finsupp.subtypeDomain p v'
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral (-f) μ ↔ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
L L' : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ (compLpL p μ (L + L')) f = (compLpL p μ L + compLpL p μ L') f
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
⊢ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable ↔ ∃ x, x ∈ {p | S ⊆ ↑p}
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F ⋙ forget MonCat).map f ⟨j₁, y⟩.snd = (F ⋙ forget MonCat).map g ⟨j₃, y'⟩.snd
⊢ colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
(x : B) → Zero (E x)
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : F
⊢ { proj := b, snd := e.symm b y } = ↑e.symm (b, y)
xl xr : Type u
x₁ y₁ x₂ y₂ : PGame
hx : x₁ ≈ x₂
hy : y₁ ≈ y₂
⊢ x₁ ⧏ y₁ ∧ y₁ ⧏ x₁ ↔ x₂ ⧏ y₂ ∧ y₂ ⧏ x₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
⊢ (∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ g, ∀ x ∈ t₁, ∀ y ∈ t₂, (x, y) ∈ s) ↔ ∃ t ∈ f, ∀ᶠ (y : β) in g, ∀ x ∈ t, (x, y) ∈ s
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ HasCompactSupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
m : Fin n →₀ ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
⊢ coeff m (((finSuccEquiv R n) f).coeff i) = coeff (cons i m) f
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : IsNoetherian K V
⊢ Set.range ⇑(finsetBasis K V) = Basis.ofVectorSpaceIndex K V
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
DecidableEq ι
s t : Finset ι
h : Disjoint s t
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piFinsetUnion α h))
  ((MeasureTheory.Measure.pi fun i => μ ↑i).prod (MeasureTheory.Measure.pi fun i => μ ↑i))
  (MeasureTheory.Measure.pi fun i => μ ↑i)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
Monoid M
S : Set (MonoidAlgebra R M)
hS : Algebra.adjoin R S = ⊤
⊢ Algebra.adjoin R (⇑(MonoidAlgebra.of R M) '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support) = ⊤
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
i : K →+* L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : DecidableEq L
P : K[X]
r : L
hr : r ∈ P.aroots L
hmo : (map (algebraMap K L) P).Monic
hP : Splits (RingHom.id L) (map (algebraMap K L) P)
⊢ eval r (derivative (Multiset.map (fun a => X - C a) (map (algebraMap K L) P).roots).prod) = (Multiset.map (fun a => r - a) ((P.aroots L).erase r)).prod
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
⊢ (∃ x, x ∈ U) ↔ (↑U).Nonempty
α : Type u_2
M : Matroid α
e : α
I : Set α
hI : M.Indep I
⊢ M.Basis I (insert e I) ↔ e ∈ M.closure I
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
n : ℕ
⊢ l.get? n ∈ insert none (range (some ∘ l.get))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s ↔ ∃ f', ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' s ∧ ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
hpq : p.comp q = Polynomial.X
hqp : q.comp p = Polynomial.X
a : R[X]
⊢ (p.algEquivOfCompEqX q hpq hqp) a = (Polynomial.aeval p) a
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
ι : Type u_3
f : ι → R → R
a : A
ha : p a := by cfc_tac
hf : ∀ (i : ι), ContinuousOn (f i) (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
⊢ (fun i => cfc (f i) a) = fun i => (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict (f i), continuous_toFun := ⋯ }
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
h : 0 < r * (b - a)
⊢ f ((AffineMap.lineMap a b) r) < (AffineMap.lineMap (f a) (f b)) r ↔ slope f a ((AffineMap.lineMap a b) r) < slope f a b
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x y : R
⊢ seminormFromBounded' f (x * y) ≤ seminormFromBounded' f x * seminormFromBounded' f y
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
Fintype m₁
Fintype m₂
Semiring R
A₁ : Matrix m m₁ R
A₂ : Matrix m m₂ R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
⊢ A₁.fromColumns A₂ * Matrix.fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ = (A₁ * B₁₁ + A₂ * B₂₁).fromColumns (A₁ * B₁₂ + A₂ * B₂₂)
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubgroup (AddUnits M)
y : AddUnits M
hy : ↑y ∈ S.ofAddUnits
⊢ y ∈ S
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ J.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'
⊢ N ⊔ N' = N ⊔ J • N'
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℕ → G
k : ℕ
⊢ HasProd (fun n => f (n + k)) g ↔ HasProd (fun x => f ↑x) g
a b m n p d : ℕ
hd : d ≠ 0
hdn : d ≤ d
⊢ (d / d).factorization = d.factorization - d.factorization → d ∣ d
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsLocalMinOn f s a
hg : IsLocalMinOn g s a
⊢ IsLocalMinOn (fun x => min (f x) (g x)) s a
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R θ : ℝ
⊢ circleMap c R θ = c ↔ R = 0
C : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} C
J✝ : GrothendieckTopology C
R : Sheaf J✝ RingCat
inst✝² : HasWeakSheafify J✝ AddCommGrp
inst✝¹ : J✝.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : J✝.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)
I J : Type u
f : I → J
i : I
⊢ sectionsMap (freeMap f) (freeSection i) = freeSection (f i)
G : Type u
Group G
C : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} C
f : C → G
x y : C
⊢ ∀ (x_1 : x ⟶ y), (CategoryTheory.SingleObj.differenceFunctor f).map x_1 = f y * (f x)⁻¹
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
x : ℝ
⊢ ∫ (a : α), ↑(ProbabilityTheory.condCDF ρ a) x ∂ρ.fst = (ρ (Set.univ ×ˢ Set.Iic x)).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α
⊢ x < b ∨ c ≤ x ∧ x < d ↔ x < b ∨ x < d
R : Type u_2
M : Type u_5
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
x : M
⊢ -r • -x = r • x