ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ (∀ (i : P), (∃ z, z • x = i) → ∀ j ∈ I, i * j ∈ J) ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
⊢ ∃ K, AntilipschitzWith K ⇑f
α₁ : Sort u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Sort u_3
β₂ : Type u_4
ea : α₁ ≃ α₂
eb : β₁ ≃ β₂
⊢ ∀ (a : PProd α₁ β₁), (ea.pprodProd eb) a = (ea a.fst, eb a.snd)
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a t : α
ts is : List α
IH1 : ∀ (l : List α), l ~ t :: is ++ ts → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ t :: is), l = is' ++ ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is)
IH2 : ∀ (l : List α), l ~ [] ++ is → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ []), l = is' ++ is) ∨ l ∈ is.permutationsAux []
l : List α
p : l ~ is ++ t :: ts
m : l ∈ ts.permutationsAux (t :: is)
⊢ (∃ is', ∃ (_ : is' ~ is), l = is' ++ t :: ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is) ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ is.permutations ∧ l₂ ≠ [] ∧ l = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => max (-f x) 0) p μ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
h : a < b
h' : 0 < b
⊢ ⌊a⌋₊ < ⌈b⌉₊
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid β
s : Finset γ
t : Finset α
f : γ → α → β
⊢ ∏ x ∈ s ×ˢ t, f x.1 x.2 = ∏ y ∈ t, ∏ x ∈ s, f x y
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s : Set M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h₁ : ∀ y ∈ s, g' y = g y
⊢ ChartedSpace.LiftPropOn P g' s ↔ ChartedSpace.LiftPropOn P g s
s : List Char
i b e n : Nat
⊢ go₁ s { byteIdx := i + n } { byteIdx := b + n } { byteIdx := e + n } = go₁ s { byteIdx := i } { byteIdx := b } { byteIdx := e }
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
⊢ Function.Injective fun e => ⇑e
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute a b
⊢ ⅟b * (b * a * ⅟b) = ⅟b * (a * b * ⅟b)
m n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ n ! < m ! ↔ n < m
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp✝ : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx : v ↑p ^ (1 / ↑p) < v ((algebraMap O K) r)
s : O
hy : v ↑p ^ (1 / ↑p) < v ((algebraMap O K) s)
h1p : 0 < 1 / ↑p
hvp : 0 < v ↑p
⊢ 1 + 1 ≤ ↑p
α : Type u_2
γ : Type u_3
u₁ u₂ : UniformSpace γ
f : α → γ
⊢ UniformSpace.comap f (u₁ ⊓ u₂) = UniformSpace.comap f u₁ ⊓ UniformSpace.comap f u₂
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, term (i + 1) s) atTop (𝓝 (1 / (s - 1) - 1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s))
c : ℝ
⊢ IntegrableOn rexp (Iic c) volume
M : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid M
ExistsAddOfLE M
a b c : M
⊢ (fun x => a + x) '' Set.Icc b c = Set.Icc (a + b) (a + c)
α : Type ua
u : UniformSpace α
⊢ u = ⊥ ↔ idRel ∈ 𝓤 α
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_9
H : Type u_10
AddGroup G
SubtractionMonoid H
FunLike β G H
AddMonoidHomClass β G H
f : β
v : α →₀ G
⊢ Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ (-v) = -Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ v
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
b : α
⊢ ((if ¬a = b then count b ↑m else 0) + if b = a then count a ↑m else 0) = count b ↑m
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X
h : x ∈ s
o : IsOpen s
sf : 𝓟 s ≤ f
⊢ 𝓝 x ≤ f
α : Type u_3
self : LinearOrderedAddCommMonoidWithTop α
x : α
⊢ ⊤ + x = ⊤
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
⊢ c.boundary ⟨0, ⋯⟩ = 0
R : Type u_1
n✝ x p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
y : ℕ
hxy : p ∣ x + (y + 1)
⊢ padicValNat p (x ^ n + (y + 1) ^ n) = padicValNat p (x + (y + 1)) + padicValNat p n
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R M₂
module_M₃ : Module R M₃
module_M₄ : Module R M₄
e₁ : M ≃ₗ[R] M₂
e₂ : M₃ ≃ₗ[R] M₄
⊢ (e₁.prod e₂).symm = e₁.symm.prod e₂.symm
p : ℕ
hp : 1 < p
h : Nat.ble 1 (sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2)) = true
⊢ ¬LucasLehmerTest p
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set β
hne : s.Nonempty
hbdd : BddBelow s
⊢ u (sInf s) = sInf (u '' s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.v₁₂.τ₃ S.v₂₃.τ₃ = 0
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
x : E
⊢ Measurable fun f => f x
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_4
Fintype m
PartialOrder R
NonUnitalRing R
StarRing R
StarOrderedRing R
NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
⊢ A.conjTranspose * A = 0 ↔ A = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R
⊢ u ^ 2 * P x * (v ^ 2 * Q x) ^ 2 * (u * P z) ^ 2 - 2 * (u ^ 3 * P y) * (v ^ 3 * Q y) * (u * P z) * (v * Q z) + (u ^ 2 * P x) ^ 2 * (v ^ 2 * Q x) * (v * Q z) ^ 2 - W'.a₁ * (u ^ 2 * P x) * (v ^ 3 * Q y) * (u * P z) ^ 2 * (v * Q z) - W'.a₁ * (u ^ 3 * P y) * (v ^ 2 * Q x) * (u * P z) * (v * Q z) ^ 2 + 2 * W'.a₂ * (u ^ 2 * P x) * (v ^ 2 * Q x) * (u * P z) ^ 2 * (v * Q z) ^ 2 - W'.a₃ * (v ^ 3 * Q y) * (u * P z) ^ 4 * (v * Q z) - W'.a₃ * (u ^ 3 * P y) * (u * P z) * (v * Q z) ^ 4 + W'.a₄ * (v ^ 2 * Q x) * (u * P z) ^ 4 * (v * Q z) ^ 2 + W'.a₄ * (u ^ 2 * P x) * (u * P z) ^ 2 * (v * Q z) ^ 4 + 2 * W'.a₆ * (u * P z) ^ 4 * (v * Q z) ^ 4 = ((u * v) ^ 2) ^ 2 * (P x * Q x ^ 2 * P z ^ 2 - 2 * P y * Q y * P z * Q z + P x ^ 2 * Q x * Q z ^ 2 - W'.a₁ * P x * Q y * P z ^ 2 * Q z - W'.a₁ * P y * Q x * P z * Q z ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * Q x * P z ^ 2 * Q z ^ 2 - W'.a₃ * Q y * P z ^ 4 * Q z - W'.a₃ * P y * P z * Q z ^ 4 + W'.a₄ * Q x * P z ^ 4 * Q z ^ 2 + W'.a₄ * P x * P z ^ 2 * Q z ^ 4 + 2 * W'.a₆ * P z ^ 4 * Q z ^ 4)
α : Type u_5
f : α → α
hf : Function.Involutive f
n : ℕ
⊢ f^[2 * n] = id
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
s : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ (Profinite.pullback.isLimit f g).lift s = Profinite.pullback.lift f g s.fst s.snd ⋯
α : Type u_1
r : Rel α α
p : RelSeries r
newHead : α
rel : r newHead p.head
⊢ (p.cons newHead rel).last = p.last
f : CircleDeg1Lift
n : ℤ
⊢ Function.Commute ⇑f fun x => ↑n + x
α : Type u
β : Type v
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
⊢ Equiv.Perm.extendDomain 1 f = 1
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
⊢ QuasiIso φ ↔ IsIso (S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
b₃ : B.orthogonal W = ⊥
this : W ⊔ B.orthogonal W = ⊤
⊢ W = ⊤
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
⊢ o.cof ∈ {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a}
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : MulPosMono α
inst✝ : MulPosReflectLE α
a0 : 0 < a
⊢ a ≤ b * a ↔ 1 * a ≤ b * a
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
i j : ↥R⁰
⊢ Submodule.span (R_hat R K) {↑↑i * ↑↑j} ≤ Submodule.span (R_hat R K) {↑↑i} ⊓ Submodule.span (R_hat R K) {↑↑j}
n : ℕ
i : ZMod (2 * n)
⊢ a ↑(n + n) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → ℝ≥0
sf sg : ℝ≥0
i : α
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
hi : f i < g i
hf : HasSum f sf
hg : HasSum g sg
A : ∀ (a : α), ↑(f a) ≤ ↑(g a)
⊢ sf < sg
n : ℕ
NeZero n
⊢ ↑1 = 1 % n
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Affine.Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ ((∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)).tan⁻¹ / 2) •
      (EuclideanGeometry.o.rotation ↑(π / 2)) (t.points i₃ -ᵥ t.points i₁) +ᵥ
    midpoint ℝ (t.points i₁) (t.points i₃) =
  Affine.Simplex.circumcenter t
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
t : ℝ
ht1 : γ ⁻¹' (extChartAt I (γ t₀)).source ∈ 𝓝 t
ht2 : HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source
⊢ ∀ (x : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t), ((mfderiv I I (↑(chartAt H (γ t₀))) (γ t)).comp (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))) x = (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) x
x y : ℂ
s1 : cos x = cos ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) - sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)
s2 : cos y = cos ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) + sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)
⊢ cos x - cos y = -2 * sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (f y)
M : Type u_4
Monoid M
f : MulAut M
a : M
⊢ f • a = f a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ (LieSubmodule.Quotient.mk' N).range = ⊤
M : Type u_1
Add M
⊢ AddSubsemigroup.closure Set.univ = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
C : ℝ≥0
r : ℝ≥0
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ C
⊢ ↑r ≤ p.radius
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l L : List M
n : ℕ
h : L.length ≤ n
⊢ (take n L).prod ≤ (take (n + 1) L).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0
x : α
hmem : x ∈ s
hx : ∀ (i : ι), ∃ k ≥ i, 1 / (↑n + 1) < dist (f k x) (g x)
⊢ x ∈ {a | a ∈ s ∧ ∃ ε > 0, ∀ (N : ι), ∃ n ≥ N, ε ≤ dist (f n a) (g a)}
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g
⊢ LinearMap.ker f ⊔ LinearMap.ker g ≤ LinearMap.ker (f ∘ₗ g)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
⊢ L.mapArrow.EssSurj
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j ≤ i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
⊢ i < findIdx p xs
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
n : ℕ
c : R
m : ℕ
hm : m.succ ≠ 0
⊢ ↑n ∣ eval c ((⇑derivative)^[m.succ] (f ^ n))
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ✝ : σ ∈ alternatingGroup α
hσ : (↑⟨σ, hσ✝⟩).support.card + 2 ≤ card α
τ : Perm α
hτ : τ ∈ alternatingGroup α
hc : IsConj ↑⟨σ, hσ✝⟩ ↑⟨τ, hτ⟩
⊢ IsConj ⟨σ, hσ✝⟩ ⟨τ, hτ⟩
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
⊢ ∀ s ∈ {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}, IsOpen s
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
Fintype ι'
DecidableEq ι
DecidableEq ι'
Module.Free R M
Module.Finite R M
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
k : ℕ
⊢ (φ.polyCharpoly b).coeff k = 0 ↔ (φ.polyCharpoly b').coeff k = 0
c d : ℝ≥0∞
r p q a' : ℝ≥0
a'c : ↑a' < c
a : ℝ≥0
ac : ↑a < c
aa' : ↑a < ↑a'
b' : ℝ≥0
b'd : ↑b' < d
b : ℝ≥0
bd : ↑b < d
bb' : ↑b < ↑b'
⊢ ↑a * ↑b < c * d
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
⊢ Antitone hnot
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
s : Finset α
hp' : p ≠ 0
hp'' : 0 < p.toReal
G : ((a : α) → E a) → ℝ := fun f => ∑ a ∈ s, ‖f a‖ ^ p.toReal
hG : Continuous G
⊢ ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ↑μ s = ↑ν s
⊢ ↑μ = ↑ν
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : C ⥤ D ⥤ D
X : C
e : F.obj X ≅ 𝟭 D
inst✝² : (Y : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y Y' : GradedObject J D
φ : Y ⟶ Y'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap p
⊢ mapBifunctorMapMap F p (𝟙 ((single₀ I).obj X)) φ ≫ (mapBifunctorLeftUnitor F X e p hp Y').hom = (mapBifunctorLeftUnitor F X e p hp Y).hom ≫ φ
X : Type u_1
R : Type u_9
ι : Type u_10
TopologicalSpace X
U : ι → Set X
One R
f : ι → X → R
hlf : LocallyFinite fun i => Function.mulSupport (f i)
hso : ∀ (i : ι), mulTSupport (f i) ⊆ U i
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
x : X
⊢ ∃ is, ∃ n ∈ 𝓝 x, n ⊆ ⋂ i ∈ is, U i ∧ ∀ z ∈ n, (Function.mulSupport fun i => f i z) ⊆ ↑is
α : Type u_1
Preorder α
self : LocallyFiniteOrderTop α
a x : α
⊢ x ∈ LocallyFiniteOrderTop.finsetIoi a ↔ a < x
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
S : Submonoid N
⊢ Submonoid.map f (Submonoid.comap f S) = S
α : Type u_1
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
Preorder γ
TopologicalSpace γ
OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
⊢ AntitoneOn f s → IsLUB s a → s.Nonempty → Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) → IsGLB (f '' s) b
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Equiv M N
⊢ f.toEmbedding.toHom = f.toHom
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
r' : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F α
rxy : r x y
⊢ ∀ (x : Cofix F α), r' x x
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a \ b ≠ b \ a ↔ a ≠ b
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
C : (r : A) → r ∈ M * N → Prop
mem_mul_mem : ∀ (m : A) (hm : m ∈ M) (n : A) (hn : n ∈ N), C (m * n) ⋯
add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ M * N) (y : A) (hy : y ∈ M * N), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
r : A
hr : r ∈ M * N
⊢ C r hr
α : Type u
r : α → α → Prop
IsTrans α r
IsTrichotomous α r
a b c : α
⊢ ¬r b a → r b c → r a c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x : α
⊢ x ∈ filter p s ∪ filter q s ↔ x ∈ filter (fun x => p x ∨ q x) s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
⊢ ∀ (a : ℕ) (b : M), (map R' f) (p • (single R a) b) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) ((single R a) b)
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
⊢ (s.inf fun x => ⊤) = ⊤
α : Type u_1
Primcodable α
n : ℕ
⊢ Computable₂ Mathlib.Vector.get
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd G G
c : G
⊢ (IsometryEquiv.addLeft c).toEquiv = Equiv.addLeft c
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₁ : ∃ k, k ≠ 1 ∧ x + y = k • (x - y)
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
⊢ ‖x - y‖ * ‖x + y‖ = |‖z + y‖ ^ 2 - ‖z - x‖ ^ 2|
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
⊢ f.inverse.IsClosable ↔ LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
(k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
f₁ : ι → κ
f₂ : (i : ι) → σ i → τ (f₁ i)
h : Function.Injective f₁
⊢ OpenEmbedding (Sigma.map f₁ f₂) ↔ ∀ (i : ι), OpenEmbedding (f₂ i)
α : Type u_1
Monoid α
a b : α
⊢ ¬multiplicity.Finite a b ↔ ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ StarConvex ℝ (↑x) Complex.slitPlane
b : Bool
m n : ℕ
IH : shiftLeft' b m n ≠ 0 → (shiftLeft' b m n).size = m.size + n
h : shiftLeft' b m (n + 1) ≠ 0
⊢ (shiftLeft' b m (n + 1)).size = m.size + (n + 1)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Add G
a : Multiplicative G
⊢ (AddMonoidAlgebra.ofMagma k G) a = AddMonoidAlgebra.single a 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝[>] a)
h₁ : Tendsto f l (𝓝 a)
h₂ : ∀ᶠ (i : β) in l, f i ∈ Ioi a
⊢ Tendsto (fun i => max a (f i)) l (𝓝[>] a)
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
N : Matroid α
hI : N.Base I
hNM : N.Restriction M
⊢ M.Basis I N.E
α : Type u_2
β : Type u_3
Top α
Top β
f g : TopHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
AddCommGroup V'
Module R V'
AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ (AffineSubspace.map f s).SSameSide (f x) (f y) ↔ s.SSameSide x y
C : Type u_4
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_4} C
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
s : A → CategoryTheory.Functor D D
i : (a : A) → F.comp (s a) ≅ (CategoryTheory.shiftFunctor C a).comp F
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Full
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorZero D A).inv.app (F.obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).inv.app X)) ((i 0).inv.app X)
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
M : ℝ
hM : 1 < M
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
g : ℂ → ℂ := fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
B₁ : ℕ
hB₁ : ∀ n ≥ B₁, ‖∑ i ∈ range n, f i - l‖ < ε / 4 / M
F : ℝ := ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖
z : ℂ
zn : ‖z‖ < 1
zm : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)
zd : ‖z - 1‖ < ε / 4 / (F + 1)
B₂ : ℕ
hB₂ : ‖l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n - (1 - z) * ∑ i ∈ range (max B₁ B₂), (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i‖ < ε / 2
S₁ : ‖1 - z‖ * ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖ * ‖z‖ ^ i < ε / 4
⊢ ‖1 - z‖ * ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖ * ‖z‖ ^ i + ‖1 - z‖ * ∑ i ∈ Ico B₁ (max B₁ B₂), ‖l - s (i + 1)‖ * ‖z‖ ^ i < ε / 2
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁷ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y✝ z : β
γ : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder γ
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : OrderTopology γ
δ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderTopology δ
ι : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace ι
f : α → β
g : ι → α
y : α
x : ι
hf : UpperSemicontinuousAt f (g x)
hg : ContinuousAt g x
hy : g x = y
⊢ UpperSemicontinuousAt (fun x => f (g x)) x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
M : Type u_5
AddCommGroup M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
NoZeroSMulDivisors A M
N : Submodule R M
hN : N ≠ ⊥
hN' : N.FG
x : A
hx : ∀ n ∈ N, x • n ∈ N
⊢ IsIntegral R x
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
p : NumberField.RingOfIntegers K
hp : Prime p
hpab : p ∣ S.a + S.b
hpaηb : p ∣ S.a + ↑⋯.unit * S.b
⊢ Associated p (hζ.toInteger - 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
p q : Module.Dual R M × M
⊢ (p + q).1 (p + q).2 = p.1 p.2 + q.1 q.2 + ((LinearMap.dualProd R M) p) q
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : CategoryTheory.FullSubcategory F.essImage
⊢ F.essImageInclusion.obj self = self.obj
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
inst✝¹ : Algebra P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
h : R ≃+* P
H : Submonoid.map h.toMonoidHom M = T
H' : Submonoid.map h.symm.toMonoidHom T = M
x : S
⊢ ∀ (x : R), (RingHom.id S) ((algebraMap R S) x) = (algebraMap R S) (((↑h.symm).comp ↑h) x)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F
x : E
⊢ |(f' x).det|.toNNReal • (g ∘ f) x = |(f' x).det| • (g ∘ f) x
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(twoCocycles A)
g : G
this : ↑f (g * g⁻¹, g) + ↑f (g, g⁻¹) = (A.ρ g) (↑f (g⁻¹, g)) + ↑f (g, g⁻¹ * g)
⊢ (A.ρ g) (↑f (g⁻¹, g)) - ↑f (g, g⁻¹) = ↑f (1, 1) - ↑f (g, 1)
α : Type u_2
LinearOrder α
DenselyOrdered α
a₁ a₂ : α
h : ∀ (a : α), a₂ < a → a₁ ≤ a
⊢ a₁ ≤ a₂