ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
p : outParam (A → Prop)
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
Ring A
StarRing A
TopologicalSpace A
Algebra R A
self : ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
⊢ p a →
  ∃ φ,
    ClosedEmbedding ⇑φ ∧
      φ (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a ∧
        (∀ (f : C(↑(spectrum R a), R)), spectrum R (φ f) = Set.range ⇑f) ∧ ∀ (f : C(↑(spectrum R a), R)), p (φ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
a : α
b : β
⊢ ¬toLex (Sum.inr b) ≤ toLex (Sum.inl a)
R : Type u
CommSemiring R
S : Type v
Semiring S
Algebra R S
p : R[X]
⊢ (Polynomial.mapAlg R S) p = Polynomial.map (algebraMap R S) p
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
I : S.Arrow
e : (J.pullback I.f).obj (unop (op S)) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
⊢ (colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ⊤)) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯) (↑x I)) = (colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ((J.pullback I.f).obj S))) (((J.diagramPullback P I.f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x))
p : Prop
d : Decidable p
⊢ decide p = true ↔ p
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace W
TopologicalAddGroup W
f : P →ᴬ[R] W
⊢ ⇑(-f) = -⇑f
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (-a).toProd.1 = -a.toProd.1
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosDef
inst✝ : Invertible A
⊢ (fromBlocks A B Bᴴ D).PosSemidef ↔ (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).PosSemidef
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
⊢ Continuous f ↔ ContinuousOn f univ
a b c : ℤ
habc : a ∣ b * c
hab : a.gcd b = 1
⊢ a ∣ c
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ b \ (a ⊓ b) = a ∆ b
ι : Sort u
α : Type v
LinearOrder α
f : ι → α
⊢ ⋂ i, Set.Iic (f i) = ∅ ↔ ¬BddBelow (Set.range f)
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ G + G ≈ 0
C : Type u_5
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_5} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
X : C
⊢ (zero F s i).hom.app (F.obj X) = (i 0).hom.app X ≫ F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X)
R : Type u_1
Semiring R
t : R
n : ℤ
⊢ (LaurentPolynomial.C t) n = if n = 0 then t else 0
⊢ ∀ {X Y : Preord} (f : X ⟶ Y), preordToCat.map f = ⋯.functor
a b : ℤ
hab : a = b
⊢ a ≤ b
k : ℕ
⊢ ArithmeticFunction.zeta * ArithmeticFunction.pow k = ArithmeticFunction.sigma k
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
ι : Sort u_1
f : ι → β
g : β → α
⊢ Directed r (g ∘ f) ↔ Directed (g ⁻¹'o r) f
R : Type
CommRing R
IsDomain R
K : Type
Field K
Algebra R[X] K
IsFractionRing R[X] K
f : R[X]
g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
hcoprime : IsCoprime g₁ g₂
⊢ ∃ q r₁ r₂, r₁.degree < g₁.degree ∧ r₂.degree < g₂.degree ∧ ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑q + ↑r₁ / ↑g₁ + ↑r₂ / ↑g₂
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra F L
ne : Nonempty (K →ₐ[F] L)
h : Normal F L
φ : K →ₐ[F] L
x : K
⊢ Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
self : CategoryTheory.ProjectiveResolution Z
⊢ QuasiIso self.π
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
⊢ Epi f → Function.Surjective ⇑f
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ last n
⊢ (a.castPred ha).succ ≤ b ↔ a < b
x y : ℂ
hj : ∀ (j : ℕ), ∑ m ∈ range j, (x + y) ^ m / ↑m.factorial = ∑ i ∈ range j, ∑ k ∈ range (i + 1), x ^ k / ↑k.factorial * (y ^ (i - k) / ↑(i - k).factorial)
⊢ ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ * ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, y ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ ≈ ⟨fun n => ∑ i ∈ range n, ∑ k ∈ range (i + 1), x ^ k / ↑k.factorial * (y ^ (i - k) / ↑(i - k).factorial), ⋯⟩
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
l : List α
o : Option α
⊢ List.foldl (List.argAux r) o l = none ↔ l = [] ∧ o = none
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
g : G
P : Sylow p G
⊢ g • P = P ↔ g ∈ (↑P).normalizer
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → CommRing (G i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
s t : Set ((i : ι) × G i)
DecidablePred fun x => x ∈ s
DecidablePred fun x => x ∈ t
hxs : x.IsSupported s
j k : ι
hj : ∀ z ∈ s, z.fst ≤ j
hk : ∀ z ∈ t, z.fst ≤ k
hjk : j ≤ k
hst : s ⊆ t
⊢ (f' j k hjk) ((FreeCommRing.lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((FreeCommRing.restriction s) x)) =
  (FreeCommRing.lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((FreeCommRing.restriction t) x)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * ↑n ^ 2)
z : ℂ
h₁ : z ≠ I
h₂ : z ≠ -I
⊢ (cexp (-z.arctan * I) - cexp (z.arctan * I)) * I / 2 / ((cexp (z.arctan * I) + cexp (-z.arctan * I)) / 2) = z
L : FirstOrder.Language
ι : Type u_1
T : ι → L.Theory
⊢ FirstOrder.Language.Theory.IsSatisfiable (⋃ i, T i) ↔
  ∀ (s : Finset ι), FirstOrder.Language.Theory.IsSatisfiable (⋃ i ∈ s, T i)
K : Type u_1
RCLike K
x y : K
⊢ (starRingEnd K) (x / y) = (starRingEnd K) x / (starRingEnd K) y
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ diagonal α = univ ↔ Subsingleton α
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
S : Set (NonUnitalSubsemiring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t ↔ forkMap P S.arrows t = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv x
α : Type u
l : List α
k : ℕ
⊢ (l.rotate k).cyclicPermutations = l.cyclicPermutations.rotate k
α : Type u_1
TopologicalSpace α
T2Space α
f : α → α
hf : Continuous f
⊢ IsClosed (Function.fixedPoints f)
P : Type u_1
SemilatticeSup P
IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
x : P
I : Order.Ideal P
hx : x ∉ I
⊢ I < I ⊔ Order.Ideal.principal x
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
⊢ f a = f b ↔ a * b⁻¹ ∈ ker f
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ 1 ≤ y ^ (1 / z) ↔ x ^ z ≤ y
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
T2Space G
H : AddSubgroup G
DiscreteTopology ↥H
⊢ Filter.Tendsto Subtype.val Filter.cofinite (Filter.cocompact G)
p : ℕ → Prop
m n : ℕ
hlt : m < n
h : ∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card
⊢ Nat.nth p m < Nat.nth p n
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ (-(↑(↑↑g 0 0) * ↑z) + -↑(↑↑g 0 1)) * (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) = (↑(↑↑g 0 0) * ↑z + ↑(↑↑g 0 1)) * (-(↑(↑↑g 1 0) * ↑z) + -↑(↑↑g 1 1))
α : Type u
S : Sieve α
hs : S ∈ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α
x : α
hsx : ¬S.arrows fun x_1 => x
⊢ False
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
f : K →ₗ[ℚ] ↥(Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) := LinearMap.codRestrict (Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) (canonicalEmbedding K).toRatAlgHom.toLinearMap ⋯
⊢ ↑(Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ∘ₗ f = ↑(integralBasis K).repr
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
U : Ultrafilter M
U_idem : U * U = U
s₀ : Set M
sU : s₀ ∈ U
exists_elem : ∀ {s : Set M}, s ∈ U → (s ∩ {m | ∀ᶠ (m' : M) in ↑U, m * m' ∈ s}).Nonempty
⊢ ∃ a, FP a ⊆ s₀
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x y : 𝕜
hx : x ∈ Ico a (a + p)
hy : y ∈ Ico a (a + p)
h : (equivIco p a) ↑x = (equivIco p a) ↑y
⊢ ⟨x, hx⟩ = ⟨y, hy⟩
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ t ∈ Icc 0 1, x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : ℝ → F := fun t => f (x + h • v + (t * h) • w) - (t * h) • (f' x) w - (t * h ^ 2) • (f'' v) w - ((t * h) ^ 2 / 2) • (f'' w) w
g' : ℝ → F := fun t => (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
hg' : g' = fun t => (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
g_deriv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt g (g' t) (Icc 0 1) t
g'_bound : ∀ t ∈ Ico 0 1, ‖g' t‖ ≤ ε * ((‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖) * h ^ 2
⊢ ‖f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * h ^ 2‖
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Sup β
f : SupHom α β
⊢ (SupHom.id β).comp f = f
a a' : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a a' → a' % 2 = 0 → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a.minFac 2
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsAlgebraic F E
IsSepClosed F
⊢ IsPurelyInseparable F E
n : ℕ
α β : TypeVec.{u_1} n
i : Fin2 n
x : (α ⊗ β) i
⊢ (id ⊗' id) i x = id i x
R : Type u
CommRing R
X Y : Type v
AddCommGroup X
Module R X
AddCommGroup Y
Module R Y
Coalgebra R X
Coalgebra R Y
e : X ≃ₗc[R] Y
⊢ e.symm.toCoalgebraCatIso = e.toCoalgebraCatIso.symm
p : ℝ × ℝ
⊢ Complex.equivRealProdLm.symm p = ↑p.1 + ↑p.2 * Complex.I
α : Type u_1
le : α → α → Bool
s' s : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α
⊢ Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.tail? le s = some s' → s.realSize = s'.realSize + 1
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a✝ : α
k r : ℕ
h : ∅ ∉ 𝒜
h𝒜 : Set.Sized r ↑(∂ 𝒜)
s : Finset α
hs : s ∈ ↑𝒜
a : α
ha : a ∈ s
⊢ s.card = r + 1
f : ℝ → ℝ
p : ℕ
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, 0 ≤ f x
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => f x ^ p
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
hS : S.Nonempty
t : Set β
⊢ ⋂₀ S ×ˢ t = ⋂ s ∈ S, s ×ˢ t
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
e : divNat a b = ⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩
⊢ ↑⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩ = ↑a / ↑b
M : Type u_4
Monoid M
l : List M
hl : ∀ x ∈ l, x = 1
⊢ l.prod = 1
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : NullMeasurableSet s μ
r : ℝ
hs' : s.Nonempty
⊢ NullMeasurableSet (r • s) μ
α : Type u_1
M : Type u_8
AddCommMonoid M
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
⊢ Finsupp.indicator s f = ∑ x ∈ s.attach, Finsupp.single (↑x) (f ↑x ⋯)
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
m n : ℤ
hm : m ≤ 0
hn : n ≤ 0
⊢ A ^ (m + n) = A ^ m * A ^ n
R : Type u_1
CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Multiset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ Multiset.card s
⊢ (Multiset.map (fun i => Polynomial.X + Polynomial.C (r i)) s).prod.coeff k =
  (Multiset.map r s).esymm (Multiset.card s - k)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C
⊢ Limits.BinaryFan.fst (product X (product Y Z).cone.pt).cone = fst X (Y ⊗ Z)
α : Type u_3
m : MetricSpace α
B : Bornology α
H : ∀ (s : Set α), Bornology.IsBounded s ↔ Bornology.IsBounded s
⊢ m.replaceBornology H = m
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
f : Dual R N
x : N
h : p (p.toDualLeft.symm f) = f
⊢ (p (p.toDualLeft.symm f)) x = f x
ι : Type u_1
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
I : Ideal R
v : ι → M
⊢ LinearMap.range (Ideal.finsuppTotal ι M I v) = I • Submodule.span R (Set.range v)
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u' = ↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
x✝ : a = 0 ∧ b = 0
ha : a = 0
hb : b = 0
⊢ 0 ∣ gcd 0 0
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
h : ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
x : ↥U
⊢ ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
α : Type u
BEq α
self : LawfulBEq α
a : α
⊢ (a == a) = true
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u_1}
H : ∀ a' < a, a' ⨳ 1 < b
c : Ordinal.{u_1}
hc : c < a
⊢ c < b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
G : Type u_7
ι : Type u_8
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
TopologicalSpace E
f : G → E
s : Set G
hp : WithSeminorms p
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (f '' s) ↔ ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) (f x) < r
G : Type u_1
AddGroup G
h k : Set G
h' : h ⊆ k
⊢ AddSubgroup.closure h ≤ AddSubgroup.closure k
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α
h : ∀ (i j : ℕ) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → l[i] ≠ l[j]
i : ℕ
hi hj : i < l.length
hg : (fun i => l[↑i]) ⟨i, hi⟩ = (fun i => l[↑i]) ⟨i, hj⟩
⊢ ⟨i, hi⟩ = ⟨i, hj⟩
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ Filter.Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Filter.Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.testAgainstNN f))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
⊢ ({x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x} ∪ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Iio x) x})ᶜ ⊆ {x | ¬ContinuousAt f x}ᶜ
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
⊢ ∀ x ∈ f ⁻¹' s, f ⁻¹' s ∈ 𝓝 x
K : Type u_1
DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
M : Λ → Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
k : K
o : Turing.TM2to1.StAct k
q : Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
v : σ
S : List (Γ k)
L : Turing.ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : Turing.ListBlank.map (Turing.proj k) L = Turing.ListBlank.mk (List.map some S).reverse
n : ℕ
H : n ≤ S.length
⊢ Turing.Reaches₀ (Turing.TM1.step (Turing.TM2to1.tr M))
  { l := some (Turing.TM2to1.Λ'.go k o q), var := v, Tape := Turing.Tape.mk' ∅ (Turing.TM2to1.addBottom L) }
  { l := some (Turing.TM2to1.Λ'.go k o q), var := v,
    Tape := (Turing.Tape.move Turing.Dir.right)^[n] (Turing.Tape.mk' ∅ (Turing.TM2to1.addBottom L)) }
R : Type u
Semiring R
f : R[X]
n : WithBot ℕ
⊢ f.degree ≤ n ↔ ∀ (m : ℕ), n < ↑m → f.coeff m = 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
Coalgebra R A
Coalgebra R B
r : A × B
⊢ Coalgebra.comul r =
  (TensorProduct.map (LinearMap.inl R A B) (LinearMap.inl R A B)) (Coalgebra.comul r.1) +
    (TensorProduct.map (LinearMap.inr R A B) (LinearMap.inr R A B)) (Coalgebra.comul r.2)
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : b ≤ a
⊢ f.measure (Ioo a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - ↑f a)
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hl : l.NeBot
this : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
⊢ MeasurableSet {x | ∃ c, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 c)}
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
Finite X
Nonempty X
⊢ ∃ x, IsOpen {x}
a b : Nat
h : 0 < a * b
⊢ 0 < b
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
Fintype β
⊢ Fintype.card (α → β) = Fintype.card β ^ Fintype.card α
α : Type u_1
s t : Set α
h : t ⊆ s
x : α
⊢ x ∈ val '' {x | ↑x ∈ t} ↔ x ∈ t
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ Set.Icc a a = {a}
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (∑ x ∈ powersetCard n univ, Finsupp.single (∑ i ∈ x, Finsupp.single i 1) 1).support = (powersetCard n univ).biUnion fun t => (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support
α : Type u_1
l : List α
x : α
h : List.Duplicate x l
y : α
⊢ l ≠ [y]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
⊢ F.PreservesEpimorphisms ↔ G.PreservesEpimorphisms
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
x✝ : PushoutI φ →* K
⊢ ∀ (i : ι), ((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ((fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩) x✝)).comp (of i) = x✝.comp (of i)
α : Type u
β : Type v
M : Type w
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
b : M
LinearOrderedCommSemiring M
ht : t.Nonempty
hb : ↑s.card ≤ t.card • b
⊢ ∃ y ∈ t, ↑(Finset.filter (fun x => f x = y) s).card ≤ b
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.48420, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{?u.48427, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : HasShift E M
X Y Z T : C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (a : M), (shiftFunctor C a).PreservesZeroMorphisms
a : M
β : ShiftedHom X Y a
b c : M
h : b + a = c
⊢ β.comp 0 h = 0
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
⊢ (n.choose k).factorization p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
One β
⊢ ⇑1 = 1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((sum μ).withDensity f) s = (sum fun n => (μ n).withDensity f) s
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ Summable fun n => ‖(riemannZetaSummandHom ⋯) n‖
G : Type u_1
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
⊢ UniformAddGroup G
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R B
hf : ∀ (x : A), f x ∈ S
x : A
⊢ ↑((f.codRestrict S hf) x) = f x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
⊢ ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in s, g x ∂μ
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N✝ N₁ N₂ P P₁ P₂ N : Submodule R M
x : M
r : R
⊢ (∀ (a : R), r • a • x ∈ N) ↔ r • x ∈ N
α : Type u
Subsingleton α
s : Set α
⊢ s.Finite
I : Type u
f : I → Type v₁
x y : (i : I) → f i
i : I
(i : I) → Sub (f i)
⊢ (x - y) i = x i - y i
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hsurj : LinearMap.range f = ⊤
⊢ 0 < (f.nonlinearRightInverseOfSurjective hsurj).nnnorm
X : Type u
TopologicalSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K
l : Filter X
⊢ 𝓝ˢ K ⊓ l = ⨆ x ∈ K, 𝓝 x ⊓ l
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a
⊢ ℵ₀ ≤ max a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι : Type u_5
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
b : ℝ≥0∞
b_ne_top : b ≠ ⊤
xs : ι → ℝ≥0∞
le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b
⊢ limsup (fun i => (xs i).toReal) F = (limsup xs F).toReal
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
m : σ →₀ ℕ
s : σ
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.coeff m (MvPolynomial.X s * p) = if s ∈ m.support then MvPolynomial.coeff (m - Finsupp.single s 1) p else 0
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ HasSum (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)) z.arctan
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
a b : ℝ
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
a✝ : a < b
g : ℝ → ℝ
hg : Monotone g
gf : EqOn f g (s ∩ Icc a b)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s ∩ Ioo a b → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
α : Type u_2
Sub α
f g : Filter α
f.NeBot
g.NeBot
⊢ (f - g).NeBot
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace γ
x : α
U : Set α
V : Set β
F : α → β → γ
hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)
hU : x ∈ U
φ : α × β → (α × β) × α × β := fun q => ((x, q.2), q)
⊢ Tendsto (Prod.map (↿F) ↿F ∘ φ) (comap Prod.fst (𝓝 x) ⊓ 𝓟 (Prod.fst ⁻¹' U ∩ Prod.snd ⁻¹' V)) (𝓤 γ)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Monoid α
inst✝⁴ : Monoid β
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
a b : α
n : ℕ
⊢ a ^ n ∣ b → f (a ^ n) ∣ f b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_6, u_3} E
inst✝¹ : L✝.IsLocalization W✝
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
F₁ F₂ : D ⥤ E
τ τ' : F₁ ⟶ F₂
h : ∀ (X : C), τ.app (L.obj X) = τ'.app (L.obj X)
this : L.EssSurj
⊢ τ = τ'
R : Type u
A : Type u_1
Semiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
NonUnitalRing A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Module R A
StarModule R A
NoZeroSMulDivisors R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
a b : A
c : R
hab : a < b
hc : 0 < c
⊢ c • a < c • b
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ dist (↑α x) (↑α y) = dist x y
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
E : Type u_11
E₂ : Type u_12
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
self : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E
⊢ ‖self.toLinearEquiv x‖ = ‖x‖