ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : DivisionRing K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : AddCommGroup V'
inst✝⁶ : Module K V'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
db : V₂ →ₗ[K] V
eb : V₃ →ₗ[K] V
cd : V₁ →ₗ[K] V₂
ce : V₁ →ₗ[K] V₃
hde : ⊤ ≤ LinearMap.range db ⊔ LinearMap.range eb
hgd : ker cd = ⊥
eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce
eq₂ : ∀ (d : V₂) (e : V₃), db d = eb e → ∃ c, cd c = d ∧ ce c = e
hf : Surjective ⇑(db.coprod eb)
⊢ Module.rank K V + Module.rank K V₁ = Module.rank K V₂ + Module.rank K V₃
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
h : s ⊆ e.source
⊢ ↑e.symm '' (↑e '' s) = s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ (f a, 0) ∈ (HasStrictFDerivAt.implicitToPartialHomeomorphOfComplemented f f' hf hf' hker).target
ψ θ : Real.Angle
n : ℕ
hz : n ≠ 0
⊢ n • ψ = n • θ ↔ ∃ k, ψ = θ + ↑k • ↑(2 * π / ↑n)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i + m * i, num := ⟨∑ x ∈ range (m + m + 1), (m + m).choose x • ((proj 𝒜 i) a ^ x * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - x)), ⋯⟩, den := ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
x : ENNReal
hx : 1 ≤ x
a b : ℤ
h : a ≤ b
⊢ x ^ a ≤ x ^ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
⊢ StarConvex 𝕜 x s ↔ ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • {x} + b • s ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
n : ℕ
⊢ 1 ^ Int.negSucc n = 1
R : Type u_1
CommRing R
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), I ≤ P → J ≤ P → ¬P.IsPrime
⊢ IsCoprime I J
R : Type u
CommRing R
Fintype R
R' : Type v
CommRing R'
IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
p n : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
hp : IsUnit ↑p
hp' : p ≠ 2
hg : gaussSum χ ψ ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card R)
⊢ (χ (-1) * ↑(Fintype.card R)) ^ (p ^ n / 2) = χ (↑p ^ n)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ (∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∈ s) ↔ μ s = μ Set.univ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
U : TopCat
X : PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑U
V : OpenNhds (f x)
i : (⋯.functorNhds x).obj ((OpenNhds.map f x).obj V) ⟶ V := homOfLE ⋯
⊢ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) (op V) = (((whiskeringLeft (OpenNhds ((X.ofRestrict h).base x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion ((X.ofRestrict h).base x)).op).map (X.ofRestrict h).c).app (op V) ≫ (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (X.ofRestrict h).base x).inv) (X.restrict h).presheaf).app (op V) ≫ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑↑(X.restrict h))ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (X.restrict h).presheaf) ((OpenNhds.map (X.ofRestrict h).base x).op.obj (op V)) ≫ (X.restrictStalkIso h x).hom
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
hn : ¬G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : ¬x✝ = t
h✝ : y✝ = t
⊢ G.Adj x✝ s ↔ G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)
⊢ (f x₁, f y₁) ∈ Prod.map f f '' A ∧ (f x₁, f y₂) ∈ Prod.map f f '' A ∧ (f x₂, f y₁) ∈ Prod.map f f '' A ∧ f x₁ + f y₂ = f x₂ + f y₁ ↔ (x₁, y₁) ∈ A ∧ (x₁, y₂) ∈ A ∧ (x₂, y₁) ∈ A ∧ x₁ + y₂ = x₂ + y₁
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
⊢ σ.supportᶜ.card ≤ Fintype.card α
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ≅ Y
Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRightIso f Z).hom = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f.hom Z
G : Type u_1
AddGroup G
tG : AddMonoid.IsTorsion G
H : AddSubgroup G
⊢ AddMonoid.IsTorsion ↥H
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
⊢ ⨆ μ, ⨆ k, (genEigenspace (LinearMap.restrict f h) μ) k = ⊤
χ : DirichletCharacter ℂ 0
⊢ (fun n => χ ↑n) = δ
E : Type u_2
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
TopologicalAddGroup E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
⊢ ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasInjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
n : ℕ
X : C
CategoryTheory.Injective X
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero ((F.rightDerived (n + 1)).obj X)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
o : Ordinal.{u}
h : o < Ordinal.type r
⊢ Ordinal.typein r (Ordinal.enum r o h) = o
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
Mi : Infinite M
h : L.ElementarilyEquivalent M N
⊢ Infinite N
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ Set.univ, f x ∂ρ
u : XgcdType
wp x y zp ap bp : ℕ
h : wp + zp + wp * zp = x * y
⊢ (wp + 1) * (zp + 1) = x * y + 1
ξ q : ℚ
h : |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2
⊢ q.den ≤ ξ.den ∧ ⌈ξ * ↑q.den⌉ - 1 ≤ q.num ∧ q.num ≤ ⌊ξ * ↑q.den⌋ + 1
M : Type u_2
N : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
⊢ ∀ (a : Mᵐᵒᵖ), (AddMonoidHom.mulOp f) a = (MulOpposite.op ∘ ⇑f ∘ MulOpposite.unop) a
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.1522, u_2} D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
X : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
α : Type
w✝ : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ X
inst✝ : (ofArrows Z π).Extensive
hc : IsColimit (Cofan.mk X π)
⊢ IsSheafFor F (ofArrows Z π)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X × Y → Z
hf : Continuous f
y : Y
⊢ Continuous fun x => f (x, y)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f₁ s x f'
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.attach = Finset.univ
s : Set ℕ∞
⊢ sSup s = 0 ↔ s = ∅ ∨ s = {0}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : α ≃ β
f : γ ≃ δ
⊢ (e.sumCongr f).symm = e.symm.sumCongr f.symm
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
x y : α
hf : x ∈ orbit (↥(closure S)) y
⊢ swap x y ∈ closure S
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : LocPathConnectedSpace X
U : Set X
h : IsOpen U
x : X
x_in : x ∈ U
⊢ (comap Subtype.val (𝓝 x)).HasBasis (fun s => s ∈ comap Subtype.val (𝓝 x) ∧ IsPathConnected s) id
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
WfDvdMonoid α
DecompositionMonoid α
⊢ UniqueFactorizationMonoid α
α : Sort u_1
DecidableEq α
a b x : α
π : Equiv.Perm α
⊢ (Equiv.trans π (Equiv.swap a b)) x = if π x = a then b else if π x = b then a else π x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
x : α
⊢ p x * (pure x) x = p x
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α
⊢ μ (c • s) = μ s
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝¹ : ConnectedSpace α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
i : ι
g : α → π i
hf : Continuous (Sigma.mk i ∘ g)
hi : range (Sigma.mk i ∘ g) ⊆ range (Sigma.mk i)
⊢ ∃ i_1 g_1, Continuous g_1 ∧ Sigma.mk i ∘ g = Sigma.mk i_1 ∘ g_1
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
f : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
⊢ ∑' (i : ℕ), m (disjointed f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
⊢ IsPathConnected F ↔ IsPathConnected (f '' F)
α : Type u_2
M : Type u_4
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
s : Set α
f g : α → M
hfg : ∀ a ∈ s, f a ≤ g a
⊢ s.indicator f ≤ g
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
φ : L.Hom M N
n : ℕ
r : L.Relations n
x : Fin n → M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.RelMap r x → FirstOrder.Language.Structure.RelMap r (⇑φ ∘ x)
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
s : Set ℝ
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ derivWithin (fun x => Real.exp (f x)) s x = Real.exp (f x) * derivWithin f s x
k : ℕ
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
n : ℕ
⊢ HurwitzKernelBounds.f_int k a t (Int.ofNat n) = HurwitzKernelBounds.f_nat k a t n
R : Type u_1
Semiring R
DecidableEq R
n : ℤ
a : R
⊢ (LaurentPolynomial.C a * LaurentPolynomial.T n).degree = if a = 0 then ⊥ else ↑n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
⊢ a ≤ ↑⌊a⌋ + 1
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
α : Type u_1
S : Set (Set α)
p : α → Prop
⊢ (∃ x ∈ ⋃₀ S, p x) ↔ ∃ s ∈ S, ∃ x ∈ s, p x
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
⊢ (-f).domain = f.domain
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
DecidableEq α
ht : t.Nonempty
⊢ Finset.image Prod.fst (s ×ˢ t) = s
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
⊢ PowerSeries.trunc n PowerSeries.X = Polynomial.X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : α → Type u_11
f : Sigma γ → β
⊢ Set.range f = ⋃ a, Set.range fun b => f ⟨a, b⟩
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝² : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
X : C
h : E.IsPointwiseLeftKanExtensionAt (L.obj X)
inst✝¹ : L.Full
inst✝ : L.Faithful
⊢ IsIso (E.hom.app X)
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
⊢ {x | gauge s x < 1} = interior s
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a d d' e e' : S
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
e_mem : e ∈ P ^ (i + 1)
e'_mem : e' ∈ P ^ (i + 1)
h : a * d + e - (a * d' + e') ∈ P ^ (i + 1)
h' : a * (d - d') ∈ P ^ (i + 1)
⊢ d - d' ∈ P
τ : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace τ
inst✝² : AddCommGroup τ
inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
hf : ∀ (t : τ), Tendsto (fun x => t + x) f f
x✝ : α
h : ∀ n ∈ 𝓝 x✝, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (ϕ.toFun x '' ω f ϕ.toFun s ∩ n).Nonempty
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝 x✝
u : Set τ
hu : u ∈ f
o : Set α
ho₁ : o ⊆ n
ho₂ : IsOpen o
ho₃ : x✝ ∈ o
t : τ
_ht₁ : t ∈ u
ht₂ : (ϕ.toFun t '' ω f ϕ.toFun s ∩ o).Nonempty
l₁ : (ω f ϕ.toFun s ∩ o).Nonempty
l₂ : (closure (image2 ϕ.toFun u s) ∩ o).Nonempty
l₃ : (o ∩ image2 ϕ.toFun u s).Nonempty
⊢ ∃ x ∈ u, (ϕ.toFun x '' s ∩ n).Nonempty
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
M : Type u_5
Monoid M
DistribMulAction M F
SMulCommClass R M F
a : M
f : E →ₗ.[R] F
⊢ ↑(a • f) = a • ↑f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
f : C(X, ℝ)
x : X
⊢ ↑(f.attachBound x) = f x
p n : ℕ
⊢ p ^ p.maxPowDiv n ∣ n
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w✝ : ι✝ → R
z✝ : ι✝ → E
ι : Sort u_8
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
h₁ : ∑ᶠ (i : ι), w i = 1
hz : ∀ (i : ι), w i ≠ 0 → z i ∈ s
hfin_w : (support (w ∘ PLift.down)).Finite
hsub : support ((fun i => w i • z i) ∘ PLift.down) ⊆ ↑hfin_w.toFinset
⊢ ∑ i ∈ hfin_w.toFinset, w i.down • z i.down ∈ s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
this : IsComplete univ
⊢ MeasurableSet {x | DifferentiableAt 𝕜 f x}
α : Type u_1
P : α → Prop
t : Ordnode α
⊢ Ordnode.Any P t ↔ ∃ x, Ordnode.Emem x t ∧ P x
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
h : μ.rnDeriv (c • ν) =ᶠ[ae ν] c⁻¹ • μ.rnDeriv ν
x : α
hx_eq : μ.rnDeriv (c • ν) x = (c⁻¹ • μ.rnDeriv ν) x
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤
⊢ (μ.rnDeriv ν x).toReal ≠ 0
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype m
A B : Matrix m n α
x : m → α
⊢ x ᵥ* (A - B) = x ᵥ* A - x ᵥ* B
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x y : E
⊢ f (x - y) = f x - f y
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
I X : Set α
hIX : M.Basis I X
⊢ (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
⊢ EuclideanGeometry.Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
α : Type u_1
LE α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
⊢ IsLowerSet (Subtype.val ⁻¹' t) ↔ ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, b ≤ c → b ∈ t
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
⊢ HasDerivAt f f' x ↔ Filter.Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - (x' - x) • f'‖) (𝓝 x) (𝓝 0)
x : ℂ
⊢ 2 * Complex.sinh x = Complex.exp x - Complex.exp (-x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
i j k : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j k
⊢ HomologicalComplex.homotopyCofiber.inlX φ j i hij ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.d φ i j =
  -F.d j k ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.inlX φ k j hjk + φ.f j ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.inrX φ j
R : Type u_2
Ring R
s : Set R
⊢ (Subring.closure s).op = Subring.closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
⊢ ((Pi.basisFun ℝ (Fin 2)).map basisOneI.equivFun.toContinuousLinearEquiv.symm.toLinearEquiv).addHaar = volume
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : ArtinianObject X
h : ¬IsZero X
this✝ : Nontrivial (Subobject X)
this : IsAtomic (Subobject X)
Y : Subobject X
s : IsAtom Y ∧ Y ≤ ⊤
⊢ ∃ Y, Simple (underlying.obj Y)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ y ∈ tl, y ∈ s ∨ y = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s
HP : tl.prod = L.prod
hhd : hd = -1
⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x : M
hf : ContMDiffWithinAt IM IB n f s x
hg : ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n g s x
he : f x ∈ e.baseSet
he' : f x ∈ e'.baseSet
⊢ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => e.coordChange e' (f y) (g y)) s x
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SecondCountableTopology H
s : Set M
hs : ⋃ x ∈ s, (chartAt H x).source = univ
hsc : s.Countable
this : ∀ (x : M), SecondCountableTopology ↑(chartAt H x).source
⊢ SecondCountableTopology M
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
⊢ Function.swap (Stream'.WSeq.LiftRel R) = Stream'.WSeq.LiftRel (Function.swap R)
α : Type u_1
a y : α
l : List α
⊢ a ≠ y → ¬a ∈ l → ¬a ∈ y :: l
α : Type u_1
f : α → ℚ → ℝ
a : α
⊢ ProbabilityTheory.IsRatStieltjesPoint (fun p => f p.2) ((), a) ↔ ProbabilityTheory.IsRatStieltjesPoint f a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
⊢ AEStronglyMeasurable ((Set.Ioc (-A) A).indicator id) (Measure.map f μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
TopologicalSpace β
CommSemiring β
ContinuousAdd β
ContinuousMul β
hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
p : Polynomial β
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k fun x => f x * Polynomial.eval (k x) p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformContinuous fun x => (f x)⁻¹
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X✝
inst✝³ : R1Space X✝
x✝ y : X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : R1Space Y
f : X → Y
x : X
K : Set X
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
hKc : IsCompact K
hKx : K ∈ 𝓝 x
hc : IsCompact (f '' K \ interior s)
U V : Set Y
Uo : IsOpen U
Vo : IsOpen V
hxU : {f x} ⊆ U
hV : f '' K \ interior s ⊆ V
hd : Disjoint U V
⊢ ∃ K ∈ 𝓝 x, IsCompact K ∧ MapsTo f K s
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
t : A
n : ℕ
hnp1 : IsUnit ↑(n + 1)!
i : ℕ
hi : i ∈ range (n + 1)
⊢ (algebraMap ℚ A) (↑(n + 1)! * (↑i !)⁻¹ * (↑(n + 1 - i)!)⁻¹) * (aeval t) (bernoulli i) = (algebraMap ℚ A) (↑(n + 1)! / (↑i ! * ↑(n + 1 - i)!)) * (aeval t) (bernoulli i)
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
h : CategoryTheory.ShiftMkCore C A
a b : A
⊢ CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a b = h.add a b
a b : Bool
⊢ (!decide (a = b)) = true ↔ a ≠ b
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
t' : Set E
t'_meas : MeasurableSet t'
t't : t' ⊆ t
t'pos : 0 < μ t'
t'top : μ t' < ⊤
r : ℝ
hr : 0 < μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • t')
this : μ (s ∩ ({x} + r • t')) ≠ 0
⊢ (s ∩ ({x} + r • t)).Nonempty
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_5
Nₗ : Type u_10
Pₗ : Type u_11
AddCommMonoid M
AddCommMonoid Nₗ
AddCommMonoid Pₗ
Module R M
Module R Nₗ
Module R Pₗ
f : M →ₗ[R] Nₗ
g : Nₗ →ₗ[R] Pₗ
x : M
⊢ ((LinearMap.lcomp R Pₗ f) g) x = g (f x)
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
hdeg : 0 < P.degree
⊢ Filter.Tendsto (fun x => |Polynomial.eval x P|) Filter.atTop Filter.atTop
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ : Measure Ω
⊢ levyProkhorovDist μ μ = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h : ProbabilityTheory.iIndepFun m f μ
⊢ MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
q : α
hq : ¬IsUnit q
hq' : q ≠ 0
⊢ Function.Injective fun n => q ^ n
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
Field S
StarRing S
MetricSpace S
TopologicalRing S
ContinuousStar S
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
Module S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
Algebra R S
Module R A
IsScalarTower R S A
StarModule R S
ContinuousSMul R S
CompleteSpace R
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
a : A
hpa : p a
hqa : q a
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
CompactSpace ↑(quasispectrum S a)
⊢ cfcₙHom hpa = QuasispectrumRestricts.nonUnitalStarAlgHom (cfcₙHom hqa) h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
hb : ¬IsMax b
⊢ Ioo a (succ b) = Ioc a b