ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
⊢ ∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
f : β → Set α
hf : Pairwise (Disjoint on f)
s : Set α
h'f : ∀ (t : β), f t ⊆ s
hs : Countable ↑s
F : { t // (f t).Nonempty } → ↑s
hF : ∀ (t : { t // (f t).Nonempty }), ↑(F t) ∈ f ↑t
⊢ Countable ↑{t | (f t).Nonempty}
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
x y z : α
hxy : x ≠ y
hyz : y ≠ z
hxz : x ≠ z
⊢ {x, y, z}.infsep = dist x y ⊓ dist x z ⊓ dist y z
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : ν ≪ μ
⊢ (fun x => rexp (-llr μ ν x)) =ᶠ[ae ν] fun x => (ν.rnDeriv μ x).toReal
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
x : F
⊢ (weightedSMul μ ∅) x = 0 x
a n✝ n : ℕ
⊢ (2 * n + 1).bitIndices = 0 :: map (fun x => x + 1) n.bitIndices
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsNoetherian R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : LinearMap.range f = LinearMap.ker g
⊢ ∀ (a : Submodule R N), Submodule.map ((LinearMap.ker f).liftQ f ⋯) (Submodule.comap ((LinearMap.ker f).liftQ f ⋯) a) = a ⊓ LinearMap.range f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝³ : AddCommMonoid α
inst✝² : Neg β
inst✝¹ : DivisionSemiring γ
inst✝ : Module γ α
h : Antiperiodic f c
a : γ
ha : a ≠ 0
⊢ Antiperiodic (fun x => f (a⁻¹ • x)) (a • c)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 -ᵥ p2 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)
⊢ p2 -ᵥ p1 ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ p3 -ᵥ p1 = r • (p2 -ᵥ p1)
θ : Angle
h : θ.toReal < 0
⊢ θ.toReal < 0 ↔ Real.sin θ.toReal < 0
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTop α
OrderTopology α
Nontrivial α
⊢ (𝓝 ⊤).HasBasis (fun a => a < ⊤) fun a => Set.Ioi a
α : Type u_1
a : α
⊢ ⊥ ≠ ↑a
α : Type u
n : ℕ
x : α
LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i ↔ Odd n ∨ 0 < x + 1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x + g x) μ a b
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
⊢ y ^ z < x ^ z
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
IsDedekindDomain S
hp0 : Ideal.map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : Ideal.map f p ≤ P
⊢ Ideal.ramificationIdx f p P ≠ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
⊢ Pairwise (Disjoint on fun i => s i \ (fun i => toMeasurable μ (s i ∩ ⋃ j ∈ {i}ᶜ, s j)) i)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
⊢ ⊤ * f = ⊤
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
n₀ : ℕ
⊢ (∀ (i : ℕ), ⇑(single R i) '' ↑(F.N i) ⊆ ↑(Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n₀), ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)))) ↔ ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a : E
l : Filter α
f : α → E
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ‖f x‖) l (𝓝 ‖a‖)
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
DecidableEq α
h : a < b
⊢ Finset.Ioc a b \ Finset.Ioo a b = {b}
ι : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
β : ι → Type u_6
β₁ : ι → Type u_7
β₂ : ι → Type u_8
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
(i : ι) → AddCommMonoid (β₁ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (β₂ i)
(i : ι) → Module R (β i)
(i : ι) → Module R (β₁ i)
(i : ι) → Module R (β₂ i)
f : (i : ι) → β i ≃ₗ[R] β₁ i
f₂ : (i : ι) → β₁ i ≃ₗ[R] β₂ i
⊢ (DFinsupp.mapRange.linearEquiv fun i => f i ≪≫ₗ f₂ i) =
  DFinsupp.mapRange.linearEquiv f ≪≫ₗ DFinsupp.mapRange.linearEquiv f₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
P : C → Prop
h : CategoryTheory.Limits.ClosedUnderLimitsOfShape J P
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
⊢ (∀ (j : J), P (F.obj j)) → P (CategoryTheory.Limits.limit F)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
Sub β
MeasurableSub₂ β
f : ι → Ω → β
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
hf_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (f i - f j) (f k) κ μ
R : Type u
ι : Type v
M : Type u_1
Fintype ι
CommRing R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
ContinuousMul R
ContinuousSMul R M
⊢ ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι 0 = 0
G : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G
Sub G
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSub G
hf : AEMeasurable f μ
c : G
⊢ AEMeasurable (fun x => c - f x) μ
n : ℕ
x✝ : 0 ≤ n
⊢ (n - 0)! * n.descFactorial 0 = n !
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E₂ : Type u_6
F : Type u_9
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R₂ E₂
NormedAddCommGroup F
Module R F
f : F →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
hfr : Function.Surjective ⇑f
⊢ ⇑(LinearIsometryEquiv.ofSurjective f hfr) = ⇑f
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
β : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : l.NeBot
f : α → β
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
hfm : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (φ i))
u : ℕ → ι
hu : Tendsto u atTop l
⊢ AEStronglyMeasurable f μ
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ'
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')
⊢ QuasiIso φ
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U V : (Opens ↑↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ X.presheaf.map i ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ inv (f.c.app (op ((opensFunctor f).obj (unop U))))) ≫ Y.presheaf.map ((opensFunctor f).op.map i)) ≫ f.c.app (op ((opensFunctor f).obj (unop V)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
a : WithTop α
⊢ WithTop.map₂ f a ⊤ = ⊤
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝³ : LocallyCompactSpace H
this✝² : LocallyCompactSpace M
this✝¹ : SecondCountableTopology H
this✝ : SecondCountableTopology M
this : MetrizableSpace M
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, f x = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Filter α
m : α → Filter β
g₁ g₂ : β → γ
⊢ g₁ =ᶠ[f.bind m] g₂ ↔ ∀ᶠ (x : α) in f, g₁ =ᶠ[m x] g₂
R : Type u_1
CommRing R
a b : R[X]
hw : a.wronskian b ≠ 0
⊢ (a.wronskian b).natDegree < a.natDegree + b.natDegree
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ HasDerivAt GammaIntegral (∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) * (↑(Real.log t) * ↑(rexp (-t)))) s
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
H.IsCartanSubalgebra
⊢ H.toLieSubmodule.normalizer = H.toLieSubmodule
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A✝ : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A✝
inst✝⁴ : TransportsGrothendieckTopology J K e
inst✝³ : HasSheafify K A✝
A : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} A
B : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
inst✝ : K.HasSheafCompose F
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : Presheaf.IsSheaf J P
⊢ Presheaf.IsSheaf J (P ⋙ F)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
⊢ Finsupp.mapRange.equiv (Equiv.refl M) ⋯ ⋯ = Equiv.refl (α →₀ M)
α : Type u_1
n : Nat
as : Array α
i : Nat
h₁ : as.size = n
h₂ : i < n
⊢ as.getLit i h₁ h₂ = getElem as.data i ⋯
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
self : IndexedPartition s
i : ι
⊢ self.some i ∈ s i
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set Y
hs : IsLocallyClosed s
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ IsLocallyClosed (f ⁻¹' s)
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys
⊢ l₁ ~ l₂ → List.kerase a l₁ ~ List.kerase a l₂
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
motive : (m : ℕ) → m ≤ k → Sort u_1
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
of_succ : (k_1 : ℕ) → (h : k_1 < k) → motive (k_1 + 1) h → motive k_1 ⋯
self : motive k ⋯
⊢ decreasingInduction of_succ self ⋯ = decreasingInduction (fun n_1 ih => of_succ n_1 ⋯) (decreasingInduction of_succ self hnk) hmn
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
⊢ ⊤.smallSets = ⊤
n nn n' : ℕ
pn : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n nn
pn' : nn = n'.succ
⊢ List.range n = 0 :: List.map Nat.succ (List.range n')
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Option α → β → γ
as : List α
⊢ List.map₂Right' f as [] = ([], as)
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
n m : ℕ
ha : 0 < a
h : n < m
⊢ n • a < m • a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • s + b • interior s ⊆ interior s
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
f : X → ℝ
hfi : Integrable f μ
h_meas : NullMeasurableSet {x | 0 ≤ f x} μ
⊢ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ = ∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}, ‖f x‖ ∂μ + ∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}ᶜ, ‖f x‖ ∂μ
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized
hm : m.Sized
hr : r.Sized
⊢ (l.node3L x m y r).Sized
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
C : TensorAlgebra R M → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C ((_root_.algebraMap R (TensorAlgebra R M)) r)
ι : ∀ (x : M), C ((TensorAlgebra.ι R) x)
mul : ∀ (a b : TensorAlgebra R M), C a → C b → C (a * b)
add : ∀ (a b : TensorAlgebra R M), C a → C b → C (a + b)
a : TensorAlgebra R M
s : Subalgebra R (TensorAlgebra R M) := { carrier := C, mul_mem' := mul, one_mem' := ⋯, add_mem' := add, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := algebraMap }
h : AddCommMonoid ↥s := inferInstanceAs (AddCommMonoid ↥(Subalgebra.toSubmodule s))
of : M →ₗ[R] ↥s := LinearMap.codRestrict (Subalgebra.toSubmodule s) (TensorAlgebra.ι R) ι
of_id : AlgHom.id R (TensorAlgebra R M) = s.val.comp ((lift R) of)
⊢ C ((s.val.comp ((lift R) of)) a)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r✝ : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
m : Set X → ℝ≥0∞
hcl : ∀ (s : Set X), m (closure s) = m s
r : ℝ≥0∞
s : Set X
hs : diam s ≤ r
⊢ (pre m r).trim s ≤ m s
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
c : ℂ
R C : ℝ
f : ℂ → F
hR : 0 < R
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)
hC : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
e : F →L[ℂ] F̂ := UniformSpace.Completion.toComplL
⊢ ‖deriv f c‖ ≤ C / R
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
f : Matrix ι ι R
⊢ LinearMap.det (Matrix.toLin' f) = f.det
α β : Type u
h : α → β
⊢ Functor.map h ∘ Multiset.toFinset = Multiset.toFinset ∘ Functor.map h
a✝ b c a n : ℕ
ih : Set.InjOn (fun x => x % a) ↑(Ico n (n + a))
⊢ Set.InjOn (fun x => x % a) ↑(Ico (n + 1) (n + 1 + a))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ ↑(re ⟪x, x⟫_𝕜) = ⟪x, x⟫_𝕜
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
C : Type u_1
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
h : IsCyclotomicExtension S A B
f : B ≃ₐ[A] C
this✝¹ : Algebra B C := (↑f).toAlgebra
this✝ : IsCyclotomicExtension {1} B C
this : IsScalarTower A B C
⊢ IsCyclotomicExtension S A C
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
this : HasSum (fun n => C * r ^ n) (C / (1 - r))
⊢ dist (f n) a ≤ C * r ^ n / (1 - r)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
f : M' → M
x : M'
⊢ ContMDiffAt I' (I.transDiffeomorph e) n f x ↔ ContMDiffAt I' I n f x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.BijOn f s t
⊢ Set.SurjOn f s t
f : Nat → Bool
m n : Nat
⊢ (Nat.any f n || Nat.anyTR.loop f (m + n) m) = Nat.any f (m + n)
γ : Type w
LinearOrder γ
DenselyOrdered γ
a : γ
⊢ upperBounds (Set.Iio a) = Set.Ici a
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
CstarRing A
CompleteSpace A
NormedAlgebra ℂ A
StarModule ℂ A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Nontrivial A
a : A
ha : 0 ≤ a := by cfc_tac
⊢ ‖a‖₊ ∈ spectrum ℝ≥0 a
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s κ μ
S T : Set ι
hST : Disjoint S T
⊢ IndepSets (piiUnionInter (fun k => {s k}) S) (piiUnionInter (fun k => {s k}) T) κ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
p : PMF α
f : α → PMF β
s : Set β
⊢ (p.bind f).toOuterMeasure s = ∑' (a : α), p a * (f a).toOuterMeasure s
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : IsSimpleModule R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
⊢ IsClosed ↑(ker l) ∨ Dense ↑(ker l)
n m k : Nat
⊢ n.succ - m - k.succ = n - m - k
I : Type w₀
J : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
X Y : (i : I) → C i
f : X ≅ Y
i : I
⊢ f.inv i ≫ f.hom i = 𝟙 (Y i)
G : Type u_8
Monoid G
L : Type u_9
CommRing L
NoZeroDivisors L
⊢ LinearIndependent L fun f => ⇑f
X : Type u_4
TopologicalSpace X
π : X → Sort u_6
f : ℕ → (x : X) → π x
hf : LocallyFinite fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}
⊢ ∃ F, ∀ (x : X), ∀ᶠ (p : ℕ × X) in Filter.atTop ×ˢ 𝓝 x, f p.1 p.2 = F p.2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A X Y : C
CategoryTheory.Closed A
g : Y ⟶ (CategoryTheory.ihom A).obj X
⊢ CategoryTheory.MonoidalClosed.uncurry g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft A g)
    ((CategoryTheory.ihom.ev A).app X)
a b : NONote
⊢ (a - b).repr = a.repr - b.repr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p₁ p₂ : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
h₁ : HasFPowerSeriesAt f p₁ x
h₂ : HasFPowerSeriesAt f p₂ x
⊢ HasFPowerSeriesAt 0 (p₁ - p₂) ?m.1179749
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
c : R
⊢ (⇑derivative)^[n] ((X - C c) ^ n) = ↑n.factorial
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ List.count a l ≤ l.length
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
to_fun : M → M₂
inv_fun : M₂ → M
map_add : ∀ (x y : M), to_fun (x + y) = to_fun x + to_fun y
map_smul :
  ∀ (m : R) (x : M),
    { toFun := to_fun, map_add' := map_add }.toFun (m • x) = σ m • { toFun := to_fun, map_add' := map_add }.toFun x
left_inv : Function.LeftInverse inv_fun { toFun := to_fun, map_add' := map_add, map_smul' := map_smul }.toFun
right_inv : Function.RightInverse inv_fun { toFun := to_fun, map_add' := map_add, map_smul' := map_smul }.toFun
⊢ ⇑{ toFun := to_fun, map_add' := map_add, map_smul' := map_smul, invFun := inv_fun, left_inv := left_inv,
      right_inv := right_inv } =
  to_fun
R : Type u
CommRing R
self : MaximalSpectrum R
⊢ self.asIdeal.IsMaximal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s t : CategoryTheory.Limits.Fork f g
k : s.pt ⟶ t.pt
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k t.ι = s.ι
⊢ (CategoryTheory.Limits.Fork.mkHom k w).hom = k
α : Type u_1
a b : Thunk α
⊢ a.get = b.get → a = b
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
x : A ⊗[R] M
a : A
y : M
⊢ 1 ⊗ₜ[R] y ∈ ↑(LinearMap.range ((TensorProduct.mk R A M) 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (g + f) μ ↔ MeasureTheory.Integrable g μ
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
C : Set (ℕ →. ℕ)
f g : ℕ →. ℕ
hf : Nat.Partrec f
hg : Nat.Partrec g
fC : f ∈ C
w✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C
h : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)
c : Code
e : c.eval = fun b => if c.eval ∈ C then g b else f b
⊢ g ∈ C
M : Type u_4
N : Type u_5
AddMonoid M
AddMonoid N
R : M → N → Prop
h : R 0 0
hf : (R ⇒ R ⇒ R) (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x + x_1
⊢ (List.Forall₂ R ⇒ R) List.sum List.sum
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
H : Subgroup (Equiv.Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Equiv.Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
⊢ H = ⊤
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X
d : DiscreteQuotient X
x✝ : Set X
⊢ x✝ ∈ (((image fun t => t.carrier) ∘ Finset.toSet) ∘ finsetClopens X) d ↔ x✝ ∈ match d with | { toSetoid := f, isOpen_setOf_rel := isOpen_setOf_rel } => f.classes
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X →. Y
hf : ∀ {x : X} {y : Y}, y ∈ f x → PTendsto' f (𝓝 x) (𝓝 y)
s : Set Y
os : IsOpen s
x : X
y : Y
ys : y ∈ s
fxy : y ∈ f x
t : Set X
h : f.preimage s ⊆ t
⊢ t ∈ 𝓝 x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
h : L.Equiv M N
⊢ Function.Injective fun f => f.comp h
u : PSet
⊢ u.toSet.Nonempty ↔ u.Nonempty
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Semiring B
Algebra R S
Algebra S A
Algebra S B
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
Star A
Star B
f : A →⋆ₐ[S] B
⊢ ∀ (a : A), (StarAlgHom.restrictScalars R f) a = f a
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
f : F
this : HasStrictDerivAt (fun y => c y • f) (c x • 0 + c' • f) x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y • f) (c' • f) x
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
x : M
i j : ι
hij : i ≠ j
a : α j
hx : x ∈ A i
⊢ ((h.collectedBasis v).repr x) ⟨j, a⟩ = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
m a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hm : m ≠ 0
⊢ (Finpartition.equitabilise h).parts.card = a + b
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
ι₁ : Type u₁
DecidableEq ι₁
β₁ : ι₁ → Type v₁
(i₁ : ι₁) → Zero (β₁ i₁)
(i : ι₁) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
AddCommMonoid γ
f : Π₀ (i₁ : ι₁), β₁ i₁
g : (i₁ : ι₁) → β₁ i₁ → Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
h_zero : ∀ (i : ι), h i 0 = 0
h_add : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ + b₂) = h i b₁ + h i b₂
⊢ (f.sum g).sum h = f.sum fun i b => (g i b).sum h
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v✝ : α → M
v' : α' → M'
v : α → M
x : M
⊢ x ∈ span R (Set.range v) ↔ ∃ c, (c.sum fun i a => a • v i) = x
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
⊢ ∃ k > 0, LieModule.weightSpace M (k • χ₁ + χ₂) = ⊥
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
x : ℝ
⊢ schnirelmannDensity A ≤ x ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < x + ε