ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁' i)
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Set ι
inst✝ : DecidableEq { x // x ∈ s }
e : α ≃ ↑s
m : α → (i : ι) → M₁ i
a : α
z : (i : ι) → M₁ i
i : ↑s
⊢ update m a z (e.symm i) ↑i = update (fun j => m (e.symm j) ↑j) (e a) (z ↑(e a)) i
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
ι : Type u_2
l : Filter ι
f : ι → Set α
x : α
⊢ Filter.Tendsto f l (v.filterAt x) ↔
  (∀ᶠ (i : ι) in l, f i ∈ v.setsAt x) ∧ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (i : ι) in l, f i ⊆ Metric.closedBall x ε
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
⊢ max b c ≤ max (max a b) c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ
⊢ fract (↑↑m₀ / ↑n) = ↑(↑m₀ % ↑n) / ↑n
M : Type u_10
AddZeroClass M
x : M
⊢ (AddMonoidHom.id M) x = x
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass M'
MulOneClass N'
e : M ≃* N
e' : M' ≃* N'
⊢ ⇑(Monoid.MulEquiv.coprodCongr e e').symm = ⇑(Monoid.Coprod.map ↑e.symm ↑e'.symm)
E : Type u_4
CommGroup E
p q : GroupSeminorm E
x : E
⊢ BddBelow (Set.range fun y => p y + q (x / y))
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
ih : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0 → (p ^ n).leadingCoeff = p.leadingCoeff ^ n
h : p.leadingCoeff ^ n.succ ≠ 0
h₁ : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
⊢ (p ^ n.succ).leadingCoeff = p.leadingCoeff ^ n.succ
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
u : ↥S
v : R
h₁ : u • r₂ = v • r₁
h₂ : ↑u * ↑1 = v * ↑1
⊢ r₁ = r₂
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → WittVector p R → WittVector p R
hf : WittVector.IsPoly p f
hg : WittVector.IsPoly p g
h :
  ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x : WittVector p R) (n : ℕ),
    (WittVector.ghostComponent n) (f x) = (WittVector.ghostComponent n) (g x)
R : Type u
_Rcr : CommRing R
x : WittVector p R
⊢ f x = g x
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.121039, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K : CochainComplex C ℤ
A : C
n i : ℤ
f : A ⟶ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K).X i
j : ℤ
hj : i + 1 = j
hi' : n + i = i + n
hj' : i + n + 1 = j + n
hf : n.negOnePow • f ≫ K.d (i + n) (j + n) = 0
⊢ (f ≫ 𝟙 (K.X (i + n))) ≫ K.d (i + n) (j + n) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
L L' : List (List α)
join_eq : L.join = L'.join
length_eq : map length L = map length L'
⊢ L = L'
n : ℕ
⊢ n.div2 = n / 2
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
a b : ℤ
T : Triangle C
⊢ ((a + b).negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C (a + b)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 (a + b)).hom.app T.obj₁) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₁) = (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₃ ≫ (b.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C b).map (a.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C a).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 a).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm C 1 b).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj T.obj₁))
s : Set ℕ
⊢ sInf s = 0 ↔ 0 ∈ s ∨ s = ∅
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
⊢ Indep (limsup s atBot) (limsup s atBot) κ μα
A B : Grp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ MonoidHom.ker f = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : PartialOrder M
v w : VectorMeasure α M
j : Set α
a✝ : MeasurableSet j
⊢ ↑(v.restrict ∅) j ≤ ↑(w.restrict ∅) j
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ Complex.abs ((o.kahler x) y) = ‖x‖ * ‖y‖
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
s : Multiset α
hs_nonempty : s ≠ ∅
hs : ∀ a ∈ s, p a
⊢ f s.prod ≤ (Multiset.map f s).prod
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
y₁ y₂ : F
a : 𝕜 × 𝕜
ha : a ∈ {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
⊢ (x, a.1 • y₁ + a.2 • y₂) = a.1 • (x, y₁) + a.2 • (x, y₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
f : Filter α
g : Filter β
α₁ : Type u
α₂ : Type v
β₁ : Type w
β₂ : Type x
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
m₁ : α₁ → β₁
m₂ : α₂ → β₂
s : Set (β₁ × β₂)
⊢ ((∃ t₁, m₁ ⁻¹' t₁ ∈ f₁ ∧ Prod.fst ⁻¹' t₁ ⊆ s) ∧ ∃ t₂, m₂ ⁻¹' t₂ ∈ f₂ ∧ Prod.snd ⁻¹' t₂ ⊆ s) → (∃ t₁ ∈ f₁, Prod.fst ⁻¹' t₁ ⊆ Prod.map m₁ m₂ ⁻¹' s) ∧ ∃ t₂ ∈ f₂, Prod.snd ⁻¹' t₂ ⊆ Prod.map m₁ m₂ ⁻¹' s
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b : Ordinal.{u}
h : a ≤ b
⊢ sSup ({x_1 | ∃ b, ∃ (_ : b < a), f (lfpApprox f x b) = x_1} ∪ {x}) ≤ sSup ({x_1 | ∃ b_1, ∃ (_ : b_1 < b), f (lfpApprox f x b_1) = x_1} ∪ {x})
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
Nontrivial E
⊢ ‖ContinuousLinearMap.id 𝕜 E‖₊ = 1
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
hx₀ : x₀ ∈ s
I : Finset ι
hI : ρ.finsupport x₀ ⊆ I
⊢ ∑ i ∈ I, (ρ i) x₀ = 1
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
P : ℕ → ℕ → Prop
ha : ∀ (a : ℕ), P (a + 1) (a + 1)
hb : ∀ (b : ℕ), P 0 (b + 1)
hd : ∀ (a b : ℕ), a < b → P (a + 1) b → P a (b + 1) → P (a + 1) (b + 1)
a b : ℕ
h : a + 1 < b + 1
⊢ P a (b + 1)
G : Type u_1
Group G
k : Set G
x : G
⊢ x ∈ Subgroup.closure k ↔ ∀ (K : Subgroup G), k ⊆ ↑K → x ∈ K
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
h : f =O[atTop] fun n => ↑n ^ (x - 1)
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ‖f x_1‖ ≤ C * ‖↑x_1 ^ (x - 1)‖
m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, ‖f b‖ ≤ C * ‖↑b ^ (x - 1)‖
C' : ℝ := max C ((insert 0 (image (fun n => ‖f n‖ / ↑n ^ (x - 1)) (range m))).max' ⋯)
hC'₀ : 0 ≤ C'
hCC' : C ≤ C'
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
⊢ ‖f n‖ ≤ C' * ↑n ^ (x - 1)
m : Type u_2
o : Type u_4
α : Type u_12
DecidableEq o
DecidableEq m
Fintype o
Fintype m
NonAssocSemiring α
M : o → Matrix m m α
⊢ (Matrix.blockDiagonalRingHom m o α) M = Matrix.blockDiagonal M
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
⊢ MonovaryOn f⁻¹ g s ↔ AntivaryOn f g s
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsOrderConnected α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ l₃ : List α
h : Lex r l₁ l₃
ab : r a b
⊢ Lex r (a :: l₁) (b :: l₂) ∨ Lex r (b :: l₂) (a :: l₃)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q✝ q r : ℚ
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q + r) = ↑q + ↑r
m k : ℕ+
⊢ ↑k * m.div k + ↑(m.mod k) = ↑m
α : Type u
⊢ ↑(AddCommGrp.free.obj α) = FreeAbelianGroup α
α : Type u
β : Type v
SemilatticeSup β
l : Filter α
f g h : α → β
hg : h ≤ᶠ[l] g
⊢ h ≤ᶠ[l] f ⊔ g
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int : Integrable f ρ
hf_ae : AEStronglyMeasurable f ρ
⊢ Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂ρ.condKernel x) ρ.fst
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
hμ : Module.End.HasEigenvalue T μ
⊢ (starRingEnd 𝕜) μ = μ
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
⊢ Subgroup.comap f ⊥ = f.ker
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.Iio a ∪ Set.Ici a = Set.univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{z, w} D
CategoryTheory.Abelian D
F G : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ (CategoryTheory.Abelian.FunctorCategory.coimageObjIso α X).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Limits.PreservesCokernel.iso ((CategoryTheory.evaluation C D).obj X)
        (CategoryTheory.Limits.kernel.ι α)).hom
    (CategoryTheory.Limits.cokernel.map ((CategoryTheory.Limits.kernel.ι α).app X)
      (CategoryTheory.Limits.kernel.ι (α.app X))
      (CategoryTheory.Limits.kernelComparison α ((CategoryTheory.evaluation C D).obj X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)) ⋯)
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝ : Preorder M
⊢ (∀ (a a_1 : M), Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 0 < Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 1 → ∃ a_3, Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1) a_3 0 < Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1) a_3 2 ∧ Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1) a_3 2 < Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1) a_3 1) ↔ DenselyOrdered M
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
i : Δ' ⟶ [n]
hi : CategoryTheory.Mono i
h₁ : Δ'.len ≠ n
h₂ : ¬AlgebraicTopology.DoldKan.Isδ₀ i
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n ≫ X.map i.op = 0
n n✝ : ℕ
h : n✝ + 1 ∈ n.divisors
⊢ 0 < n✝ + 1
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I : R →+* R
B : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
H : B.IsSymm
x y : M
H1 : (B x) y = 0
⊢ I ((B x) y) = 0
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
⊢ gcd (a * b) (a * c) = normalize a * gcd b c
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s₁ s₂ : AList β
p : s₁.entries ~ s₂.entries
⊢ (AList.insert a b s₁).entries ~ (AList.insert a b s₂).entries
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ IsLowerSet (Set.Iio a)
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
r : R
m : LocalizedModule S M
a : M
b : ↥S
⊢ r • lift' S g h (mk a b) = lift' S g h (r • mk a b)
α : Type u
t : Set α
s₁ s₂ : Set α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ t.ite s₁ s₂ = s₁ ∪ s₂ \ t
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hA : schnirelmannDensity A = 0
h : ∀ (n : ℕ), 0 < n → ε ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑Y
⊢ f.c.app (Opposite.op U) ≫
    AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp f ((TopologicalSpace.Opens.map f.base).obj U) =
  Y.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
f : α → β
x : α
hf : Set.InjOn f s
hs : s₁ ⊆ s
h : x ∈ s
h₁ : f x ∈ f '' s₁
⊢ x ∈ s₁
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiff 𝕜 n g
hf : ContDiff 𝕜 n f
⊢ ContDiff 𝕜 n (g ∘ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
a b : WithTop α
mono_iff : ∀ {a b : α}, f a ≤ f b ↔ a ≤ b
⊢ map f a ≤ map f b ↔ a ≤ b
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M
r : MonoidAlgebra k G
m : RestrictScalars k (MonoidAlgebra k G) M
⊢ ∀ (f g : MonoidAlgebra k G), ((ofModule M).asAlgebraHom f) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm (f • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m) → ((ofModule M).asAlgebraHom g) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm (g • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m) → ((ofModule M).asAlgebraHom (f + g)) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm ((f + g) • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j ≫ (hc.coconePointUniqueUpToIso (CategoryTheory.Limits.colimit.isColimit F)).inv =
  c.ι.app j
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
J : C
⊢ (yoneda.obj J).PreservesEpimorphisms ↔ (preadditiveYoneda.obj J).PreservesEpimorphisms
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (o.oangle y (y - x)).sign = (o.oangle x y).sign
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
hs : s ≠ univ
y : E
hys : y ∈ (interior s)ᶜ
hyd : infDist x sᶜ = dist x y
⊢ ∃ y ∈ frontier s, infDist x sᶜ = dist x y
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
hst : s ⊆ t
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
a : α
b : β
⊢ l a ≤ b ↔ a ≤ u b
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
a' : ↥(dualAnnihilator W)
b' : ↥(dualAnnihilator W')
⊢ ↑a' + ↑b' = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) ((dualQuotEquivDualAnnihilator W).symm a', (dualQuotEquivDualAnnihilator W').symm b'))
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
f g : ↥(Lp E p μ)
s : Set X
⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x = ↑↑g x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x = (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) + ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g ⋯)) x → ↑↑(f + g) x = (↑↑f + ↑↑g) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) ⋯) x = ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Set R
sm : Submonoid R
hm : ↑sm = s
sa : AddSubmonoid R
ha : ↑sa = s
⊢ (Subsemiring.mk' s sm hm sa ha).toSubmonoid = sm
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
⊢ Int.fract 1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : β), AEMeasurable (f i) μ
⊢ ∀ (b : Finset β), AEMeasurable (fun a => ∑ i ∈ b, f i a) μ
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype m
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
A : Matrix m n R
⊢ (A * A.conjTranspose).PosSemidef
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : GroupWithZero G
inst✝⁶ : SmoothInv₀ I G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
a : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s a
hg : ContMDiffWithinAt I' I n g s a
h₀ : g a ≠ 0
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (f / g) s a
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf CommRingCat X
G : F.SubmonoidPresheaf
U : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ G.toLocalizationPresheaf.app U = CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑(F.obj U)) (Localization (G.obj U)))
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
⊢ CentroidHom.toEnd 0 = 0
n : ℕ
⊢ (-1) ^ (n + 1) * ↑(2 * (n + 1) - 1)‼ * ↑((2 * (n + 1) + 0).choose 0) = -(hermite (2 * n + 1)).coeff 1
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
X : J
⊢ c.toCostructuredArrowCompProj.hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
δ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology δ
f : α ↪ δ
g₁ g₂ : α →ᵇ β
h₁ h₂ : δ →ᵇ β
⊢ dist (h₁.restrict (range ⇑f)ᶜ) (h₂.restrict (range ⇑f)ᶜ) ≤ dist (extend f g₁ h₁) (extend f g₂ h₂)
α : Type u_1
MetricSpace α
SecondCountableTopology α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
r : ℕ → ℝ
hr : Filter.Tendsto r Filter.atTop (𝓝 0)
hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in Filter.atTop, p i → 0 < r i
⊢ Filter.blimsup (fun i => Metric.cthickening (r i) (s i)) Filter.atTop p =ᵐ[μ]
  Filter.blimsup (fun i => Metric.thickening (r i) (s i)) Filter.atTop p
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ algebraMap R (R ⧸ I) = Ideal.Quotient.mk I
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ LieAlgebra.derivedSeries R (↥↑I) k = ⊥ ↔ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : J ≠ 0
⊢ J⁻¹ = ⟨↑1 / ↑J, ⋯⟩
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ (deriv fun x => 1 + ε x) =ᶠ[atTop] deriv ε
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : α → E
f : α → ℝ≥0
g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hfg : Integrable (f • g) μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ↑(μ.withDensityᵥ (f • g)) s = ↑((μ.withDensity fun x => ↑(f x)).withDensityᵥ g) s
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
(𝓝[≠] x).NeBot
⊢ Dense {x}ᶜ
α : Type u
β : Type v
OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsMinOn f s a
hg : IsMaxOn g s a
⊢ IsMinOn (fun x => f x - g x) s a
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
b : β
⊢ s • {b} = Finset.image (fun x => x • b) s
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.diff l₂ <+ l₁
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.HasForget₂ C Ab
CategoryTheory.Preadditive C
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).Additive
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).PreservesHomology
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
x₂ : ↑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).obj S.X₂)
hx₂ : ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map S.g) x₂ = 0
⊢ ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map S.iCycles) (S.cyclesMk x₂ hx₂) = x₂
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
s : S.obj (op α)
β : Type u
f : β ⟶ α
hf : discretePresieve α f
⊢ S.map (↾fun x => PUnit.unit).op (eval S α s (f (Classical.choose hf))) = S.map f.op s
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
AddCommGroup P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Invertible 2
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ QuadraticMap.associated (Q₁.prod Q₂) =
  LinearMap.compl₁₂ (QuadraticMap.associated Q₁) (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) +
    LinearMap.compl₁₂ (QuadraticMap.associated Q₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂)
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m / n = (m - m % n) / n
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bf * Complex.abs z ^ cf)
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bg * Complex.abs z ^ cg)
⊢ (f - g) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (max 0 (max Bf Bg) * Complex.abs z ^ max cf cg)
x : ℝ
⊢ Real.arcsin ↑(Set.projIcc (-1) 1 ⋯ x) = Real.arcsin x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
T T' : L.Theory
_h : M ⊨ T'
hs : T ⊆ T'
⊢ M ⊨ T
p x ε : ℝ
⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' Metric.closedBall (↑x) ε = ⋃ z, Metric.closedBall (x + z • p) ε
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
h : l.isEmpty = true ∨ L.any isEmpty = true
⊢ (l :: L).sections = []
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M✝
inst✝⁹ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup T
inst✝³ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝² : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
j : ι
x : AdicCompletion I (M j)
⊢ (sum I M) ((DirectSum.of (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) x) = (map I (lof R ι M j)) x
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4
h : λ ^ 2 ∣ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3
⊢ ∃ n, λ ^ 2 ∣ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) - ↑n
a b c m : ℕ
hc : c ≠ 0
⊢ a * c ≡ b * c [MOD m * c] → a ≡ b [MOD m]
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
⊢ ∀ a ∈ Ioi 0, ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) a = μ (s ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • u)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f1 f2 g1 g2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
hg : g1 ≈ g2
⊢ f1 + g1 ≈ f2 + g2
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℚ
l : Filter α
⊢ Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atBot ↔ Tendsto f l atBot
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f g : BoundedOrderHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
b : M
⊢ ⇑(Finsupp.single a b) = {a}.indicator fun x => b