ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hg : UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε2 : 0 < ε / 2
δ₁ : ℝ
hδ₁_pos : 0 < δ₁
hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
δ₂ : ℝ
hδ₂_pos : 0 < δ₂
hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
⊢ eLpNorm (s.indicator ((f + g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
LinearOrder α
PredOrder α
IsPredArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
h1 : ∀ i ∈ Set.Ioc m n, r i (Order.pred i)
h2 : ∀ i ∈ Set.Ioc n m, r (Order.pred i) i
⊢ Relation.ReflTransGen r n m
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
IsNoetherianRing R
s : Finset A
hs : ∀ x ∈ s, IsIntegral R x
⊢ IsNoetherian R ↥(Algebra.adjoin R ↑s)
x : ℝ≥0
⊢ ‖↑x‖₊ = x
G : Type w
TopologicalSpace G
Neg G
Add G
ContinuousAdd G
g : G
⊢ Continuous fun h => g + h + -g
α : Type u_1
β : Type u_2
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
g : α → β
H : ∀ x ∈ s, f x = g x
⊢ Finset.fold op b f s = Finset.fold op b g s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
⊢ p /ₘ 1 = p
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot
⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ r < 0
α : Type u_1
AddSemigroup α
s : Set α
a b : α
⊢ AddOpposite.op b +ᵥ (AddOpposite.op a +ᵥ s) = AddOpposite.op (a + b) +ᵥ s
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ IsHomogeneous 𝒜 I ↔ ∃ S, I = span (Subtype.val '' S)
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x✝ : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e₁ e₂ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
x : F
⊢ (b, e₁.coordChange e₂ b x).1 = (↑e₂ (↑e₁.symm (b, x))).1
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a b c : α
⊢ a - (b + c) = a - c - b
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
Nontrivial R
M : Matrix n n R
⊢ M.charpoly.natDegree = Fintype.card n
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → E
⊢ (μ Set.univ).toReal • ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
⊢ ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (ν * (ν - 1)) • bernsteinPolynomial R n ν = (n * (n - 1)) • Polynomial.X ^ 2
z : Complex.UnitDisc
hz : Complex.abs ↑z < 1 := ⋯
⊢ Complex.UnitDisc.mk (↑z) hz = z
α : Type u_1
a : α
⊢ (Equiv.optionEquivSumPUnit α).symm (Sum.inl a) = some a
α : Sort u_1
x y z : α
h : x = y
⊢ x = z ↔ y = z
α : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
y : Scott α
h : Monotone (notBelow y)
c : Chain α
z : Prop
⊢ { toFun := fun x => x ∈ notBelow y, monotone' := h } (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map { toFun := fun x => x ∈ notBelow y, monotone' := h }) ≤ z
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}
⊢ (sup fun n => id a) = id a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → Option γ
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
H : m.WF
g₁ : AssocList α β → List (α × γ) := fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList
⊢ (Imp.filterMap f m).WF
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Filter α
G : Filter β
s : Set α
t : Set β
m : α → β
⊢ SurjOn (map m) (Iic (𝓟 s)) (Iic (𝓟 t)) ↔ SurjOn m s t
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b
⊢ ContinuousWithinAt f (Ioc a b) b ↔ ContinuousWithinAt f (Iic b) b
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
h : ¬p i
⊢ filter p (single i x) = 0
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.4583, u_3} D
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_4} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_5} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G : C₁ ⥤ D₂
G' : D₁ ⥤ D₂
inst✝¹ : Lifting L₁ W₁ G G'
F : C₂ ⥤ D₁
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝ : Lifting L₂ W₂ F F'
α : G ⋙ F' ≅ L₁
β : F ⋙ G' ≅ L₂
X : C₂
⊢ G'.map ((Lifting.iso' W₂).hom.app X) ≫ β.hom.app X ≫ 𝟙 (L₂.obj X) = G'.map ((Lifting.iso' W₂).hom.app X) ≫ β.hom.app X
n : ℕ
hn0 : n ≠ 0
⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
K : Type u_1
DivisionRing K
p : K[X]
h : p ≠ 0
⊢ (p * Polynomial.C p.leadingCoeff⁻¹).Monic
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
s : ι → Set α
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0
hsν : ∀ (i : ι), ν (s i)ᶜ = 0
⊢ (sum μ) (⋂ i, s i) = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Over X),
  (CategoryTheory.Over.mapPullbackAdj f).unit.app X_1 =
    CategoryTheory.Over.homMk
      (CategoryTheory.Limits.pullback.lift (CategoryTheory.CategoryStruct.id X_1.left) X_1.hom ⋯) ⋯
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝⁴ : Mono S₁.f
this✝³ : Mono S₂.f
this✝² : Epi S₁.g
this✝¹ : Epi S₂.g
this✝ : Mono φ.τ₂
this : Epi φ.τ₂
⊢ IsIso φ.τ₂
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
S : Set G
h : S ∈ Subgroup.leftTransversals ↑H
⊢ Nat.card ↑S = H.index
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
r : ℝ
hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r
h : p = s.circumsphere.center ∧ r = s.circumsphere.radius
⊢ p = s.circumcenter
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
⊢ α.IsZero ∨ ∃ x, x.IsNonZero ∧ Weight.toLinear K (↥H) L x = Weight.toLinear K (↥H) L α
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
IsSemisimpleModule R M
N : Submodule R M
⊢ sSup {m | IsSimpleModule R ↥m ∧ m ≤ N} = N
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ ∃ C, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → nndist x y ≤ C
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
⊢ ⟨Exists.choose ⋯, ⋯⟩ • ↑I ≤ LinearMap.range (Algebra.linearMap R P)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Module.Free R M
Infinite R
Nontrivial M
⊢ Infinite M
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
self : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
⊢ ∃ Z, ∃ (_ : CategoryTheory.Limits.IsZero Z), self.P Z
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
⊢ ∀ (z : ℂ), z.im = 0 → ‖(f ∘ cexp) z‖ ≤ C
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
α : Type u_11
TopologicalSpace α
f : α → E
⊢ Continuous (⇑e ∘ f) ↔ Continuous f
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
f : α →o β
g : β →o γ
x : β
c : Chain α
z : β
⊢ ((OrderHom.const α) x) (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map ((OrderHom.const α) x)) ≤ z
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : MeasureTheory.Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K : ℕ
⊢ ∑ j ∈ Finset.range K, (↑j ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : Ω), (ProbabilityTheory.truncation X ↑j ^ 2) a ≤ 2 * ∫ (a : Ω), X a
R : Type u
M : Type v
ι : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
t : Finset ι
f : ι → M
⊢ (∀ c ∈ t, f c ∈ p) → ∑ i ∈ t, f i ∈ p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Monad C} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Monad.monadToMon C).map f).hom = f.toNatTrans
α : Type u_1
s : Set (Sym2 α)
⊢ Symmetric (Sym2.ToRel s)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : β → E
⊢ ∫ (z : α × β), f z.2 ∂μ.prod ν = (μ univ).toReal • ∫ (y : β), f y ∂ν
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
R : Type u_6
NormedRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ fderiv 𝕜 Ring.inverse ↑x = -((ContinuousLinearMap.mulLeftRight 𝕜 R) ↑x⁻¹) ↑x⁻¹
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
x : E × F
⊢ f.fpowerSeriesBilinear x 2 = f.uncurryBilinear
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
a : α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
h : a ∈ l₁
⊢ eraseP (fun x => a == x) (l₁ ++ l₂) = eraseP (fun x => a == x) l₁ ++ l₂
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w x z
h₂ : Wbtw R x y z
⊢ Wbtw R w x y
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
I J : Ideal A
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑(I ⊔ J) = ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑I ∩ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑J
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
IsDomain R
hf : Prime f
hf' : f.degree ≠ 0
⊢ NoZeroSMulDivisors R (AdjoinRoot f)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ f' x
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
⊢ 0 ≤ deriv f x
R : Type u_1
M : Type u_5
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid Mₗ₁
AddCommMonoid Mₗ₂
AddCommMonoid Mₗ₁'
AddCommMonoid Mₗ₂'
Module R Mₗ₁
Module R Mₗ₂
Module R Mₗ₁'
Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] M
e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'
e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
⊢ ((e₁.arrowCongr (e₂.arrowCongr (LinearEquiv.refl R M))) B).SeparatingLeft ↔ B.SeparatingLeft
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : r.gcd s = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : m.gcd (r * s) = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = m * (r * s)
hrsz : r * s ≠ 0
h2b0 : b' ≠ 0
⊢ False
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type u₂)
A : C
i : I
⊢ ((coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).hom ≫ limit.π (F.rightOp ⋙ coyoneda) i).app A = (coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op).app A
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
Fintype α
s : Finset α
d : ℕ
hs : ∀ s' ⊆ s, AddDissociated ↑s' → s'.card ≤ d
⊢ ∃ s' ⊆ s, s'.card ≤ d ∧ s ⊆ s'.addSpan
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ x ∧ x ∣ y ^ n
n d : ℕ
n_coprime_d : n.Coprime d
this : ↑n % ↑d = ↑n - ↑d * ⌊↑n / ↑d⌋
⊢ (↑n % ↑d).natAbs.Coprime d
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
I : Ideal A
⊢ RingHom.ker ↑(Ideal.Quotient.mkₐ R₁ I) = I
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M : Matrix m n α
β : Type u_10
γ : Type u_11
f : α → β
g : β → γ
⊢ (M.map f).map g = M.map (g ∘ f)
α : Type u
⊢ Function.Surjective FreeGroup.invRev
M₀ : Type u_1
CommGroupWithZero M₀
⊢ ∀ (a : M₀ × M₀), divMonoidWithZeroHom a = (↑divMonoidHom).toFun a
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
a : α
⊢ (AddAction.orbit M a).Nonempty
α : Type u_2
⊢ ¬Equiv.Perm.IsCycle 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk f g h).obj₃ = Z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ↑s i < 0
hi₁ : MeasurableSet i
⊢ ∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ restrict s j ≤ restrict 0 j ∧ ↑s j < 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
self : ProperCone 𝕜 E
⊢ IsClosed self.carrier
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : Ordinal.IsNormal f
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ f b ≤ Ordinal.nfp f a ↔ b ≤ Ordinal.nfp f a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)
⊢ IsBounded (s ×ˢ s) ↔ IsBounded s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f : ℕ → α
h : CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, f k
b : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
key : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (∑ k ∈ Finset.range n, f k) (∑ k ∈ Finset.range m, f k) ≤ b N
right✝ : Tendsto b atTop (𝓝 0)
⊢ ∃ C, ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
g : M' → M''
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ MDifferentiableAt I I'' (g ∘ f) x
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsClosed Set.univ
r : ℝ≥0
⊢ 0 = ↑r ↔ 0 = r
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ↑(μ.withDensityᵥ 0) s = ↑0 s
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
c : ℝ
hXm : AEMeasurable X ℙ
⊢ Measure.map (fun x => c * x) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
hL : L.ExactAt i
⊢ QuasiIsoAt f i ↔ K.ExactAt i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ Bimod.AssociatorBimod.hom P Q L ≫ Bimod.AssociatorBimod.inv P Q L = 𝟙 ((P.tensorBimod Q).tensorBimod L).X
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ count p (nth p 0) = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
g : R[X]
⊢ f ∣ h.repr (h.map g) - g
R : Type u_7
CommSemiring R
r : R
rs : List R
M : Type u_8
AddCommMonoid M
Module R M
N : Submodule R M
⊢ Ideal.ofList (r :: rs) • N = r • N ⊔ Ideal.ofList rs • N
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.225, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.229, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : HasShift C G
sequence : M → C ⥤ A
isoZero : sequence 0 ≅ F
shiftIso : (n a a' : M) → n + a = a' → (shiftFunctor C n ⋙ sequence a ≅ sequence a')
shiftIso_zero : ∀ (a : M), shiftIso 0 a a ⋯ = isoWhiskerRight (shiftFunctorZero C M) (sequence a) ≪≫ (sequence a).leftUnitor
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
⊢ m + n + a = a''
f : ℕ → ℝ
h_bdd : BddBelow (range f)
h_ant : Antitone f
⊢ ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
R : Type u_1
CommSemiring R
Module R (Additive ℤˣ)
s : ℤˣ
⊢ s ^ 0 = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace X
inst✝³ : T2Space X
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → E
g : X → 𝕜
s : Set X
hs : IsOpen s
hf : ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ
hg : ContinuousOn g s
⊢ ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn (fun x => g x • f x) k μ
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq α
Fintype α
a : α
f : α → β
⊢ ∏ i : α, f i = (∏ i ∈ {a}ᶜ, f i) * f a
E : Type u_4
F : Type u_5
Group E
Group F
p : GroupSeminorm E
⊢ p.comp 1 = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p
hp₀' : 0 ≤ 1 / p.toReal
hp₀'' : 0 < p.toReal
η : ℝ≥0
hη_pos : 0 < η
hη_le : ↑‖c‖₊ * ↑η ^ (1 / p.toReal) ≤ ε
s : Set α
hs : μ s ≤ ↑η
⊢ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖c‖₊ * ↑η ^ (1 / p.toReal)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ k, ↑p ^ (-↑k) < ε
lc : Lean.Omega.LinearCombo
i : Int
⊢ (i * lc).coeffs = i * lc.coeffs
n : ℕ
⊢ Finset.univ.card = n
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
⊢ (idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).symm = idealFactorsEquivOfQuotEquiv f.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f g : β → α
u₁ u₂ : α
s : Multiset β
a : β
b : Multiset β
h : fold op (op u₁ u₂) (map (fun x => op (f x) (g x)) b) = op (fold op u₁ (map f b)) (fold op u₂ (map g b))
⊢ fold op (op u₁ u₂) (map (fun x => op (f x) (g x)) (a ::ₘ b)) = op (fold op u₁ (map f (a ::ₘ b))) (fold op u₂ (map g (a ::ₘ b)))
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
this : IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)
x : ↑Γ(X, U)
n : ℕ
⊢ ∃ f', X.basicOpen f' = X.basicOpen (x • ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩))
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Ring T
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S T
inst✝⁵ : Algebra R T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S T
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis m R S
c : Basis n S T
x : S
i : m
k : n
j : m
k' : n
⊢ (leftMulMatrix (b.smulTower c)) ((algebraMap S T) x) (i, k) (j, k') = blockDiagonal (fun x_1 => (leftMulMatrix b) x) (i, k) (j, k')
T a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
s2 : ↑b = ↑a
⊢ 1 / ↑(b - a) * ((f b - f a) * (↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * (fourier (-n)) ↑a)) - 1 / ↑(b - a) * (↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x * (fourier (-n)) ↑x) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((f b - f a) * (fourier (-n)) ↑a) - 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (↑(b - a) * (1 / ↑(b - a) * ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x * (fourier (-n)) ↑x))
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
s : Set M
y : M
⊢ x ∈ Submodule.span R (insert y s) ↔ ∃ a, ∃ z ∈ Submodule.span R s, x = a • y + z
f g : StieltjesFunction
l : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
hgl : Tendsto (↑g) atBot (𝓝 l)
x : ℝ
hf : ofReal (↑g x - l) = ofReal (↑f x - l)
⊢ 0 ≤ ↑g x - l
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r ↔
  ContinuousWithinAt f s x ∧ ∃ g, Set.EqOn f g (s ∩ EMetric.ball x r) ∧ HasFPowerSeriesOnBall g p x r
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g✝ : E → F
f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
L' : Filter F
hg : HasFDerivAtFilter g g' (f x) L'
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hL : Tendsto f L L'
eq₁ : (fun x' => g' (f x' - f x - f' (x' - x))) =o[L] fun x' => x' - x := IsBigO.trans_isLittleO (isBigO_comp g' (fun x' => f x' - f x - f' (x' - x)) L) hf.isLittleO
eq₂ : ((fun x' => g x' - g (f x) - g' (x' - f x)) ∘ f) =o[L] fun x' => x' - x := IsLittleO.trans_isBigO (IsLittleO.comp_tendsto hg.isLittleO hL) (isBigO_sub hf)
x' : E
⊢ g' (f x' - f x - f' (x' - x)) = g' (f x' - f x) - (g'.comp f') (x' - x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Finite J
F : J → CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.Karoubi.Biproducts.bicone F).ι j).f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι (fun j => (F j).X) j)
    (CategoryTheory.Limits.biproduct.map fun j => (F j).p)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ IntermediateField.adjoin F S
⊢ ∃ T, ↑T ⊆ S ∧ x ∈ IntermediateField.adjoin F ↑T