ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
U : Over X
S : Sieve U.left
hS : (Sieve.overEquiv U).symm S ∈ (J.over X).sieves U
⊢ (Sieve.overEquiv ((Over.map f).obj U)).symm S ∈ (J.over Y).sieves ((Over.map f).obj U)
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α
⊢ ∑ i ∈ range 2, x ^ i = x + 1
R : Type u_1
CommSemiring R
a b c d : R
⊢ (Matrix.toLin (Basis.finTwoProd R) (Basis.finTwoProd R)) !![a, b; c, d] =
  (a • LinearMap.fst R R R + b • LinearMap.snd R R R).prod (c • LinearMap.fst R R R + d • LinearMap.snd R R R)
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬⊥ < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι
⊢ (b.repr x) i = 0
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : CompHaus
a : Z ⟶ X
b : Z ⟶ Y
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp a f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp b g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHaus.pullback.lift f g a b w) (CompHaus.pullback.snd f g) = b
α : Type u
UniformSpace α
⊢ UniformEmbedding CauchyFilter.pureCauchy
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑S
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toStalk (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p))
    (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap (AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceMap f) p) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toStalk (↑S) p)
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : β → α
h : Monotone m ∨ Function.Surjective f
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) (MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction m m_empty) =
  MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f '' s)) ⋯
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h : ∀ (i : ι), f.f i = g.f i
⊢ f = g
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : Type w
Nontrivial R
B : LinearMap.BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
⊢ ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
α : Type u_1
i : Nat
as bs : Array α
h : i < (as ++ bs).size
hlt : i < as.size
⊢ (as ++ bs)[i] = as[i]
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)
⊢ firstDiff x y < Nat.find A
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
D : LieDerivation R L M
a b : L
⊢ D (a - b) = D a - D b
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s1 s2 : Set (Set Ω)
hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s
hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs1_eq : ∀ s ∈ s1, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']
⊢ (∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ s1 → t2 ∈ s2 → ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (t1 ∩ t2) = ((condexpKernel μ m') a) t1 * ((condexpKernel μ m') a) t2) ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ s1 → t2 ∈ s2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
d₁ d₂ d₃ : CategoryTheory.Factorisation f
⊢ ∀ (f_1 : d₁.Hom d₂) (g : d₂.Hom d₃), (f_1.comp g).h = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f_1.h g.h
G : Type u_3
H : Type u_4
Sub G
Sub H
a b : G × H
⊢ (a - b).1 = a.1 - b.1
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
ψ : mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 ⟶ mk₃ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 := homMk₃ (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) (𝟙 ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).obj' 3 ⋯)) ⋯ ⋯ ⋯
⊢ (ShortComplex.mk ((mk₂ ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 1 2 ⋯ ⋯) ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 2 3 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₂ ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 1 2 ⋯ ⋯) ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 2 3 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯) ⋯).Exact
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f g : G → E
s : Set G
hf : DifferentiableOn ℝ f s
hg : DifferentiableOn ℝ g s
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun x => ⟪f x, g x⟫_𝕜) s
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : Nonempty β
f : β → α
hf : Continuous f
hlim : Tendsto f (cocompact β) atTop
inhabited_h : Inhabited β
⊢ ∃ x, ∀ (y : β), f x ≤ f y
R : Type u_2
K : Type ?u.14465
L : Type ?u.14468
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
a✝ : Nontrivial S
⊢ (minpolyDiv R x).Monic
R : Type u_2
Ring R
S₁ : Subring R
S₂ : Subring Rᵐᵒᵖ
⊢ S₁.op ≤ S₂ ↔ S₁ ≤ S₂.unop
V : Type u_3
W : Type u_4
Nonempty V
Nonempty W
⊢ (completeBipartiteGraph V W).chromaticNumber = 2
α : Type u_1
β : Type u_2
Group α
MulAction α β
FaithfulSMul α β
⊢ Function.Injective MulAction.toPerm
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan),
  (CategoryTheory.Limits.spanOp f g).inv.app X_1 =
    (Option.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Z))
        (fun val =>
          CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op X))
            (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Y)) val)
        X_1).inv
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (x : ↑X), IsIso ((stalkFunctor C x).map f.val)
⊢ IsIso ((Sheaf.forget C X).map f)
R : Type u
Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.natDegree
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, P ^ i).Monic
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg✝ : GrowsPolynomially g
hf : f =Θ[atTop] g
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_pos : 0 < b
c₁ : ℝ
hc₁_pos : 0 < c₁
hf_lb : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, c₁ * ‖g x‖ ≤ ‖f x‖
c₂ : ℝ
hc₂_pos : 0 < c₂
hf_ub : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖f x‖ ≤ c₂ * ‖g x‖
hg : ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => ‖g x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖g x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖g x‖) x)
⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
x : List α
y : List β
H : x.length = y.length
H' : ∀ (i : ℕ) (h₁ : i < x.length) (h₂ : i < y.length), R (x.nthLe i h₁) (y.nthLe i h₂)
⊢ List.Forall₂ R x y
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
f : M ≃* N
x x' : M
⊢ x = x' → f x = f x'
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
⊢ (i, j) ∈ μ ↔ j < μ.rowLen i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ‖x + y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 + 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ ^ 2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
⊢ (↑k.succ)⁻¹ - (↑(max k.succ n))⁻¹ ≤ (↑k + 1)⁻¹
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : ↑((inhomogeneousCochains A).X 2)
y : G × G × G
⊢ (A.ρ y.1) (x (Fin.cons y.2.1 (Fin.cons y.2.2 finZeroElim))) - x (Fin.cons (y.1 * y.2.1) (Fin.cons y.2.2 finZeroElim)) + x (Fin.cons y.1 (Fin.cons (y.2.1 * y.2.2) finZeroElim)) - x (Fin.cons y.1 (Fin.cons y.2.1 finZeroElim)) = (A.ρ ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) 0)) (x fun i => (Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) i.succ) + ((-1) ^ (↑0 + 1) • x (Fin.contractNth 0 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y))) + (-1) ^ (↑1 + 1) • x (Fin.contractNth 1 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y))) + (-1) ^ (↑2 + 1) • x (Fin.contractNth 2 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y))))
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x✝ y✝ : α
hf : IsSemiringHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Semiring γ
g : β → γ
hg : IsSemiringHom g
x y : α
⊢ (g ∘ f) (x * y) = (g ∘ f) x * (g ∘ f) y
α : Type u_7
β : Type u_8
DecidableEq β
s : Finset α
t : α → Finset β
⊢ s.sup t = s.biUnion t
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
J : LieIdeal R L'
x : L
⊢ x ∈ LieIdeal.comap f J ↔ f x ∈ J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Epi (f ≫ g)
⊢ Epi g
a b c : Prop
f : a → b
⊢ a ∨ c → b ∨ c
G : Type u_7
CommGroup G
L : List G
n : ℕ
a : G
⊢ (L.set n a).prod = L.prod * if hn : n < L.length then (L.get ⟨n, hn⟩)⁻¹ * a else 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
⊢ ‖VectorFourier.fourierSMulRight L f v‖ ≤ 2 * π * ‖L‖ * ‖v‖ * ‖f v‖
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
hy : y ∈ s
⊢ s.WOppSide z x
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
ι' : Type u_7
N : ι' → Type u_8
(i : ι') → AddCommMonoid (N i)
(i : ι') → TopologicalSpace (N i)
(i : ι') → Module R (N i)
f : M [⋀^ι]→L[R] ((i : ι') → N i)
i : ι'
⊢ ContinuousAlternatingMap.piEquiv.symm f i = (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousAlternatingMap f
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
f : G → G → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable (uncurry f) (μ.prod ν)
h : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)
⊢ ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f (y * x) x⁻¹ ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f x y ∂ν ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.HasForget₂ C Ab
CategoryTheory.Abelian C
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).Additive
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).obj (S.X₃.homology i))
x₂ : ↑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).obj (S.X₂.opcycles i))
x₁ : ↑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).obj (S.X₁.cycles j))
h₂ :
  ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map (HomologicalComplex.opcyclesMap S.g i)) x₂ =
    ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map (S.X₃.homologyι i)) x₃
h₁ :
  ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map (HomologicalComplex.cyclesMap S.f j)) x₁ =
    ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map (S.X₂.opcyclesToCycles i j)) x₂
⊢ ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map (hS.δ i j hij)) x₃ = ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map (S.X₁.homologyπ j)) x₁
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R✝ : Sieve X
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
⊢ pullback f (S ⊓ R) = pullback f S ⊓ pullback f R
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ L.distinctConstantsTheory s ⊆ L.distinctConstantsTheory t
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : I ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type u₂)
A : C
i : I
⊢ ((coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda F).hom ≫ limit.π (F.op ⋙ coyoneda) (op i)).app A = (coyoneda.map (colimit.ι F i).op).app A
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ EquicontinuousAt Subtype.val x₀
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
i : n
a inv✝ : R
val_inv✝ : a * inv✝ = 1
inv_val✝ : inv✝ * a = 1
ha : { val := a, inv := inv✝, val_inv := val_inv✝, inv_val := inv_val✝ } ∈ rootsOfUnity (Fintype.card n).toPNat' R
⊢ (fun A => rootsOfUnity.mkOfPowEq (↑↑A i i) ⋯) ((fun a => ⟨⟨a • 1, ⋯⟩, ⋯⟩) ⟨{ val := a, inv := inv✝, val_inv := val_inv✝, inv_val := inv_val✝ }, ha⟩) = ⟨{ val := a, inv := inv✝, val_inv := val_inv✝, inv_val := inv_val✝ }, ha⟩
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hf : GrowsPolynomially f
c₁ : ℝ
left✝ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂ : c₂ > 0
h : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
⊢ ∀ (a : ℝ), (∀ u ∈ Set.Icc (b * a) a, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f a) (c₂ * f a)) → ∀ u ∈ Set.Icc (b * a) a, f u ≤ c₂ * f a
α : Type u_1
x : α
i j : ℕ
xs : List α
h : (i, x) ∈ List.enumFrom j xs
⊢ j ≤ i ∧ i < j + xs.length ∧ x ∈ xs
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s : Finset α
⊢ s ⊻ s ⊆ s ↔ SupClosed ↑s
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s
⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (Iio 0) volume ∧ IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (Ioi 0) volume
n x y : ℕ
hc : x.Coprime y
h : ↑n = ↑x ^ 2 + ↑y ^ 2
⊢ IsSquare (-1)
α : Type u_1
Bornology α
p : α → Prop
s : Set { x // p x }
⊢ Bornology.IsBounded (Subtype.val '' s) ↔ Bornology.IsBounded s
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
self : A × B
⊢ (ContinuousMonoidHom.fst A B) self = self.1
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : WithLp ⊤ (α × β)
⊢ edist x y ≤ edist ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) x) ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) y)
⊢ (LSeries.abscissaOfAbsConv fun n => ↑(ArithmeticFunction.zeta n)) = 1
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
v : m → α
⊢ ‖col ι v‖₊ = ‖v‖₊
R : Type u
a b : R
Ring R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.monomial n) (a - b) = (Polynomial.monomial n) a - (Polynomial.monomial n) b
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ insert a s ⊆ insert a t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_4
CompleteLattice α
f : β × γ → α
⊢ ⨆ x, f x = ⨆ i, ⨆ j, f (i, j)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : AntitoneOn f s
h₂ : AntitoneOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
⊢ AntitoneOn f (s ∪ t)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)).hom ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 W) (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj W X) Y Z).inv ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X Y).hom (𝟙 Z) ≫
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z).hom
E : Type u_6
SeminormedGroup E
u v : E
⊢ ‖u‖ ≤ ‖u * v‖ + ‖v‖
G : Type u
Monoid G
x y : G
h : Commute x y
⊢ ∃ z ∈ Submonoid.closure {x, y}, orderOf z = (orderOf x).lcm (orderOf y)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
h : OpenEmbedding ⇑f
⊢ CompatiblePreserving (Opens.grothendieckTopology ↑Y) ⋯.functor
α : Type u_1
CompleteSemilatticeInf α
s : Set α
a : α
⊢ sInf s ≤ a ↔ ∀ b ∈ lowerBounds s, b ≤ a
n : ℕ
⊢ primeFactors 0 = filter Prime (divisors 0)
X : Type u
α : Type v
TopologicalSpace X
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
PreconnectedSpace X
a b : X
f g : X → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
ha : f a ≤ g a
hb : g b ≤ f b
⊢ ∃ x, f x = g x
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
s : Subsemiring R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
x : ↥s
⊢ ↑((s.equivMapOfInjective f hf) x) = f ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hg : ContinuousOn g t
hf : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn (g ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' t)
n : ℕ
θ : SimplexCategory.mk (n + 1) ⟶ SimplexCategory.mk n
CategoryTheory.Epi θ
⊢ ∃ i, θ = SimplexCategory.σ i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor (CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}) C
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}),
  ((Mon_.EquivLaxMonoidalFunctorPUnit.unitIso C).hom.app X).app X_1 = 𝟙 (X.obj X_1)
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E
⊢ ‖a‖.toNNReal = ‖a‖₊
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
⊢ LieAlgebra.rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥ ↔
  n ≤ ↑(LieModule.chainTopCoeff (⇑α) β) ∧ -n ≤ ↑(LieModule.chainBotCoeff (⇑α) β)
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
⊢ b = 0 ∨ a ^ ω ≤ b
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
Ring R
v : AddValuation R Γ₀
x : R
⊢ v (-x) = v x
α : Type u_2
AddGroup α
a : α
⊢ IsAddUnit (pure a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
Mul β
ContinuousMul β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
c : β
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => f x * c) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
s : Finset β
f : β → α
⊢ ∑' (x : { x // x ∈ s }), f ↑x = ∑ x ∈ s, f x
m : Type u
DecidableEq m
R : Type u_2
CommRing R
Fintype m
A : Matrix m m R
⊢ Function.Surjective A.mulVec ↔ IsUnit A
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n✝ : ?m.21546
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
x : α
s : Finset α
h : x ∉ s
n : ℕ
⊢ image (insert x) (filter (fun a => (insert x a).card = n.succ) s.powerset) = image (insert x) (filter (fun x => x.card = n) s.powerset)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
a : α i
⊢ {i}.sigma t = Sigma.mk i '' t i
σ : Type u_1
R : Type u_2
Ring R
φ : MvPowerSeries σ R
u : Rˣ
h : (MvPowerSeries.constantCoeff σ R) φ = ↑u
⊢ φ.invOfUnit u * φ = 1
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
hr : Valid' (↑x) (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
H1 : ¬l.size + (Ordnode.node rs rl rx rr).size ≤ 1
H2 : delta * l.size ≤ rl.size + rr.size
H3 : 2 * (rl.size + rr.size) ≤ 9 * l.size + 3 ∨ rl.size + rr.size ≤ 2
H3_0 : l.size = 0 → rl.size + rr.size ≤ 2
H3p : l.size > 0 → 2 * (rl.size + rr.size) ≤ 9 * l.size + 3
⊢ Valid' o₁ (l.rotateL x (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂dirac a = f a
D : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Groupoid D
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
⊢ (CategoryTheory.ihom.ev F).app G = F.closedCounit.app G
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Type u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
hS : Set.iUnion S = Set.univ
t : Set β
⊢ Set.liftCover S f hf hS ⁻¹' t = ⋃ i, Subtype.val '' (f i ⁻¹' t)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.WSameSide x y
⊢ ¬s.SOppSide x y
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
x : m.ToType
⊢ m.coeEmbedding x = (x.fst, ↑x.snd)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (x : β), f x ∂(deterministic g hg) a = f (g a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
y : α
hys : y ∈ s
hy : s ⊆ closedBall x (dist y x)
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => (fourier n) ↑y) (2 * ↑π * Complex.I * ↑n / ↑T * (fourier n) ↑x) x
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
a : α
s : Set α
hs : s ∈ memPartition f n
⊢ memPartitionSet f n a = s ↔ a ∈ s
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
⊢ (MeasureTheory.Lp.LpSubmodule E p μ 𝕜).toAddSubgroup = MeasureTheory.Lp E p μ
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : α → ℝ
hint : Integrable g μ
ℱ : ι → MeasurableSpace α
hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0
A : MeasurableSpace α := m0
hmeas : ∀ (n : ι) (C : ℝ≥0), MeasurableSet {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}
hg : Memℒp g 1 μ
⊢ UniformIntegrable (fun i => μ[g|ℱ i]) 1 μ
n m : Nat
h : n ≤ m
k : Nat
⊢ n + k ≤ m + k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a₁✝ g : α → β
h : graph a₁✝ = graph g
x : α
h2 : a₁✝ x = g x
⊢ a₁✝ x = g x
α : Type u_1
a✝¹ a✝ : PosNum
⊢ ((pos a✝¹).cmp (pos a✝)).swap = (pos a✝).cmp (pos a✝¹)
α : Type u
a : α
f : Filter α
b : α
h : b ≠ a
⊢ 𝓝 b = pure b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ ∀ (x x_1 : CategoryTheory.Dial C) (f : x ⟶ x_1),
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f).F =
    CategoryTheory.Limits.prod.lift
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.Limits.prod.map CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd) f.F)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₂ ≤ a₁ ∧ b₂ < b₁ → a₂ * b₂ < a₁ * b₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
this✝ : Countable (Subtype p)
hp : Nonempty (Subtype p)
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)
m : Subtype p → Set δ := fun j => {x | BddBelow (range fun i => f (↑i) x)}
m_meas : ∀ (j : Subtype p), MeasurableSet (m j)
mc_meas : MeasurableSet {x | ∀ (j : Subtype p), x ∉ m j}
j : Subtype p
⊢ Measurable fun b => ⨅ i, f (↑i) b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
Zero β
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
BorelSpace β
f : α → β
hf : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable f μ
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
Subsingleton R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p.coeffs = ∅
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s).toSubalgebra = span R ↑(Submonoid.closure (s ∪ star s))