ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → E
v : 𝕜 → F
u' : E
v' : F
hu : HasDerivAt u u' x
hv : HasDerivAt v v' x
⊢ HasDerivAt (fun x => (B (u x)) (v x)) ((B (u x)) v' + (B u') (v x)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : (multiplicity p (a * b)).Dom
hdiva : p ^ (multiplicity p a).get ⋯ ∣ a
hdivb : p ^ (multiplicity p b).get ⋯ ∣ b
hpoweq : p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) = p ^ (multiplicity p a).get ⋯ * p ^ (multiplicity p b).get ⋯
hdiv : p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) ∣ a * b
hsucc : ¬p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯ + 1) ∣ a * b
⊢ (multiplicity p (a * b)).get h = (multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯
n m : ℕ
h : ↑m < ↑n + 1
⊢ m < n.succ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set (Set α)
hs : s.Countable
⊢ (⋃₀ s).Countable ↔ ∀ a ∈ s, a.Countable
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ffmE : Fact (μ E < ⊤)
hInner : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε
N : ℕ
hfngε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε / 3
n : ℕ
hn : n ≥ N
hmfngE : AEStronglyMeasurable (E.indicator (f n - g)) μ
hfngEε : eLpNorm (E.indicator (f n - g)) p μ ≤ ε / 3
hmgEc : AEStronglyMeasurable (Eᶜ.indicator g) μ
hgEcε : eLpNorm (Eᶜ.indicator g) p μ ≤ ε / 3
hmfnEc : AEStronglyMeasurable (Eᶜ.indicator (f n)) μ
hfnEcε : eLpNorm (Eᶜ.indicator (f n)) p μ ≤ ε / 3
hmfngEc : AEStronglyMeasurable (Eᶜ.indicator (f n - g)) μ
⊢ eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : f.NeBot
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hs : s.Nonempty
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
⊢ ∀ (i : ↑f.sets), (closure (image2 ϕ (↑i ∩ v) s)).Nonempty
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h0 : μ s ≠ 0
t : ℕ → Set α := fun n => s ∩ f^[n] ⁻¹' s
H : ¬∃ᶠ (m : ℕ) in atTop, μ (s ∩ f^[m] ⁻¹' s) ≠ 0
N : ℕ
hN : μ (t N) ≠ 0
hmax : ∀ n > N, μ (t n) = 0
htm : ∀ {n : ℕ}, NullMeasurableSet (t n) μ
T : Set α := t N \ ⋃ n, ⋃ (_ : n > N), t n
hT : T = t N \ ⋃ n, ⋃ (_ : n > N), t n
hμT : μ T ≠ 0
hTm : NullMeasurableSet T μ
⊢ False
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
a b : n
hb : b ≠ j
c : R
M : Matrix n n R
⊢ (M * transvection i j c) a b = M a b
X : Type u_2
TopologicalSpace X
A B : DiscreteQuotient X
h : A ≤ B
a : Quotient A.toSetoid
⊢ A.proj ⁻¹' {a} ⊆ B.proj ⁻¹' {DiscreteQuotient.ofLE h a}
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ'✝ : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
μ' : Measure α
inst✝ : SFinite μ'
⊢ (sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1 + sFiniteSeq μ' p.1).prod (sFiniteSeq ν p.2)) = sum fun n => (sFiniteSeq μ n.1).prod (sFiniteSeq ν n.2) + (sFiniteSeq μ' n.1).prod (sFiniteSeq ν n.2)
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x + y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ multiplicity p (x ^ n + y ^ n) = multiplicity p (x + y) + multiplicity p n
X : Type u_3
TopologicalSpace X
h : PreconnectedSpace X
x : X
⊢ connectedComponent x = Set.univ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
F : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
X Y Z : CategoryTheory.Grothendieck F
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z
⊢ (CategoryTheory.Grothendieck.comp f g).fiber =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map g.base).map f.fiber) g.fiber)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp : p.Monic
r : R
ha : 1 = 0
⊢ False
α : Type u_1
⊢ Filter.Realizer.top.σ = Unit
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ deriv (fun x => 1 + ε x) x = deriv ε x
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom ≠ 0
α : Type u_1
n : Type u_4
NonUnitalSemiring α
StarRing α
Fintype n
A B : Matrix n n α
hA : A.IsHermitian
hB : B.IsHermitian
⊢ Commute A B ↔ (A * B).IsHermitian
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
z : M
f : M → E'
f' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, E') f z f'
s : 𝕜
⊢ HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, E') (s • f) z (s • f')
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
h : HasStrongEpiMonoFactorisations C
X Y : D
f : X ⟶ Y
em : StrongEpiMonoFactorisation (F.inv.map f) := ⋯.some
this✝ : Mono (F.map em.m ≫ F.asEquivalence.counitIso.hom.app Y)
this : StrongEpi (F.asEquivalence.counitIso.inv.app X ≫ F.map em.e)
⊢ Nonempty (StrongEpiMonoFactorisation f)
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
⊢ Subsemiring.closure (MulOpposite.unop ⁻¹' Set.range ⇑(algebraMap R A) ∪ MulOpposite.unop ⁻¹' s) = Subsemiring.closure (Set.range ⇑(algebraMap R Aᵐᵒᵖ) ∪ MulOpposite.unop ⁻¹' s)
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
TopologicalSpace α
f g : α → P
x : α
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
⊢ ContinuousAt (f -ᵥ g) x
G : Type u_1
DivInvMonoid G
a : G
⊢ a ^ 2 = a * a
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h : a ≤ b
hf : ¬MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Set.Ioc a b))
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type v'
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
⊢ { toFun := fun x => (↑I x.1, ↑I' x.2), invFun := fun x => (↑I.symm x.1, ↑I'.symm x.2), source := {x | x.1 ∈ I.source ∧ x.2 ∈ I'.source}, target := __src✝.target, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.source = univ
α : Type u_1
DenselyNormedField α
⊢ DenseRange nnnorm
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ℕ → R
g : ℕ → M
m n : ℕ
hmn : m < n
h₁ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range i, g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
h₂ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i
h₃ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • g i = ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ((range (i + 1)).sum g - (range i).sum g)
⊢ f m • g m + ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ((range (i + 1)).sum g - (range i).sum g) = f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range m, g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
f : Module.End K V
q : Polynomial K
hq : q.degree = 1
⊢ f.eigenspace (-q.coeff 0 / q.leadingCoeff) = LinearMap.ker ((Polynomial.aeval f) q)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
S : Type u_5
CommSemiring S
Algebra S A
Module S M
LinearMap.CompatibleSMul A M R S
d : Derivation S A M
x : A
⊢ (Derivation.restrictScalars R d) x = d x
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
F : A → C ⥤ C
zero : F 0 ≅ 𝟭 C
add : (n m : A) → F (n + m) ≅ F n ⋙ F m
assoc_hom_app : autoParam (∀ (m₁ m₂ m₃ : A) (X : C), (add (m₁ + m₂) m₃).hom.app X ≫ (F m₃).map ((add m₁ m₂).hom.app X) = eqToHom ⋯ ≫ (add m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫ (add m₂ m₃).hom.app ((F m₁).obj X)) _auto✝
zero_add_hom_app : autoParam (∀ (n : A) (X : C), (add 0 n).hom.app X = eqToHom ⋯ ≫ (F n).map (zero.inv.app X)) _auto✝
n : A
X : C
⊢ (F (n + 0)).obj X = (F n).obj X
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A B : M
h : Commute A B
m : ℤ
hB : B⁻¹ * B = 1
right✝ : B * B⁻¹ = 1
⊢ Commute A (B ^ m)
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
inst✝⁵ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor D C
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
X✝ Y✝ Z✝ : D
⊢ 0 ▷ X✝ = 0
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : OrderBot L
inst✝ : ContinuousSup L
hs : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
⊢ Tendsto (s.sup f) l (𝓝 (s.sup g))
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ : Subgroup α
a b : α
N : Subgroup α
s : Set α
x : α
⊢ (∃ x_1 ∈ s, x_1⁻¹ * x ∈ N) ↔ ∃ x_1 ∈ N, x * x_1 ∈ s
c : Cardinal.{u}
n : ℕ
h1 : ℵ₀ ≤ c
h2 : 1 ≤ n
⊢ c ^ n = c
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ IsGLB ∅ a ↔ IsTop a
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y
hyp_f_epi : Epi f
⊢ y.len ≤ x.len
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
⊢ IsClosed (zeroLocus s)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Functor.mapCoconeOp G).hom.hom = 𝟙 (Opposite.op (G.obj t.pt))
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
hdm : d ∣ m
⊢ d ∣ a ↔ d ∣ b
a b c : ℕ
p : Mathlib.Meta.NormNum.IsNatPowT (a.pow 1 = a) a b c
⊢ a.pow b = c
α : Sort u_1
a : α
⊢ (Function.Embedding.refl α) a = a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Ring α
TopologicalRing α
s : Subring α
t : Subring α
h : s ≤ t
ht : IsClosed ↑t
⊢ s.topologicalClosure ≤ t
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
hc : Differentiable ℂ f
⊢ Differentiable ℂ fun x => Complex.sin (f x)
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
CommRing R
AddCommGroup M₁
Module R M₁
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
x : M₁ ⊗[R] R
⊢ Q₁.tensorRId x = (TensorProduct.rid R M₁) x
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
a : α
b : β
⊢ IsLocalExtr (fun x => b) a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ 0 = (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).rightFun (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).pt
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
s₁ s₂ s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
h₁ : ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets s₁ s' κ μ
h₂ : ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets s₂ s' κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets (s₁ ∪ s₂) s' κ μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
a : E
x b c : E
⊢ a + x ∈ openSegment 𝕜 (a + b) (a + c) ↔ x ∈ openSegment 𝕜 b c
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u✝ : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
u : Multiset ι
x : ι → 𝔸'
l : List ι
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (Multiset.map x ⟦l⟧).prod) (Multiset.map (fun i => (Multiset.map x (Multiset.erase ⟦l⟧ i)).prod • proj i) ⟦l⟧).sum x
F : Type u_1
Field F
x : F
⊢ IsSolvable (Polynomial.X - Polynomial.C x).Gal
α : Type u_1
p : α → Bool
as : Array α
⊢ as.all p 0 = as.data.all p
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
⊢ UpperSet.Ici 0 = 0
n : ℕ
⊢ (SetTheory.PGame.powHalf (n + 1)).RightMoves = PUnit.{u_1 + 1}
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hscv : Convex ℝ s
this : Nonempty ↑s
p : V
hp : p ∈ s
⊢ (intrinsicInterior ℝ s).Nonempty
x : ℝ
h₁ : x ≠ -1
h₂ : x ≠ 1
⊢ HasStrictDerivAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) x ∧ ContDiffAt ℝ ⊤ arcsin x
x : ℝ
n : ℕ
⊢ (⇑↑(CircleDeg1Lift.translate (Multiplicative.ofAdd x)))^[n] =
  ⇑↑(CircleDeg1Lift.translate (Multiplicative.ofAdd (↑n * x)))
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X : TopCat
F : Presheaf (Type u) X
ι✝ : Type x
U✝ : ι✝ → Opens ↑X
ι : Type x
U : ι → Opens ↑X
h : ∀ s ∈ ((Pairwise.diagram U).op ⋙ F).sections, ∃! x, ∀ (j : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app j x = s j
sf : (i : ι) → (forget (Type u)).obj (F.obj (op (U i)))
cpt : F.IsCompatible U sf
⊢ ∃! s, ∀ (i : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app i s = objPairwiseOfFamily sf i
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
third_ε_pos : 0 < ε / 3
third_ε_pos' : 0 < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Es : ℕ → Set Ω
Es_mble : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Es n)
Es_bdd : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (Es n)
Es_diam : ∀ (n : ℕ), diam (Es n) ≤ ε / 3
Es_cover : ⋃ n, Es n = univ
Es_disjoint : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
N : ℕ
hN : ↑P (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite
Gs : Set (Set Ω) := (fun J => thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j)) '' {J | J ⊆ Iio N}
Gs_open : ∀ (J : Set ℕ), IsOpen (thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j))
mem_nhds_P : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → {Q | ↑P G < ↑Q G + ENNReal.ofReal (ε / 3)} ∈ 𝓝 P
Q : ProbabilityMeasure Ω
hQ : ∀ i ⊆ Iio N, ↑P (⋃ i_2 ∈ i, thickening (ε / 3) (Es i_2)) < ↑Q (⋃ i_2 ∈ i, thickening (ε / 3) (Es i_2)) + ENNReal.ofReal (ε / 3)
⊢ dist Q.toLevyProkhorov P.toLevyProkhorov < ε
α : Type u
ι : Sort w
f : ι → α
hf : Function.Injective f
Finite ↑(Set.range f)
⊢ Finite ι
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
∀ (a b : C), CategoryTheory.Limits.HasCoproductsOfShape (a ⟶ b) D
c : C
d : D
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.evaluationLeftAdjoint D c).obj d).map f =
    CategoryTheory.Limits.Sigma.desc fun g =>
      CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (fun x => d) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f)
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
IsRightCancelAdd α
ZeroLEOneClass α
ExistsAddOfLE α
PosMulMono α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ 0 ≤ a * a
L : FirstOrder.Language
ι : Type w
Preorder ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty ι
G : ι → Type (max w w')
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
⊢ L.age (FirstOrder.Language.DirectLimit G f) = ⋃ i, L.age (G i)
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ mkLinearMap S M = g
m : M
s : ↥S
⊢ 1 • s • m = 1 • 1 • ↑s • m
n : ℕ
⊢ ((range n).bind fun a => map (fun x => Fin.cons a x) (antidiagonalTuple 0 (n - a))) ++ map (fun x => Fin.cons n x) (antidiagonalTuple 0 0) = [] ++ [![n]]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C n
i j k : ℕ
hij : i ≤ j := by valid
hjk : j ≤ k := by valid
hk : k ≤ n := by valid
⊢ F.map' i k ⋯ hk = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map' i j hij ⋯) (F.map' j k hjk hk)
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
a b c : R
⊢ c ∣ a → c ∣ b → c ∣ EuclideanDomain.gcd a b
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
f : α ↪ β
⊢ Disjoint (Finset.map f s) (Finset.map f t) ↔ Disjoint s t
α : Type u_1
Preorder α
s t : Set α
h : s ⊆ t
x y : ↑s
⊢ Set.inclusion h x < Set.inclusion h y ↔ x < y
z : ℂ
⊢ |z.re| < Complex.abs z ↔ z.im ≠ 0
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
A B : V
f : A ⟶ B
⊢ ((CochainComplex.single₀ V).map f).f 0 = f
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p.support = p.support
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
inst✝ : LieModule.IsTrivial ↥↑I ↥↑N
hy' : ∀ m ∈ N, (φ x ∘ₗ φ y) m ∈ N := fun m x_1 => N.lie_mem ((mem_idealizer N).mp (h hy) m)
⊢ (φ x ∘ₗ φ y).restrict hy' = 0
m n k : ℕ+
⊢ k.Coprime m → m.gcd (n * k) = m.gcd n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α →. σ ⊕ α
hf : Partrec f
F : α → ℕ →. σ ⊕ α := fun a n => Nat.rec (Part.some (Sum.inr a)) (fun x IH => IH.bind fun s => Sum.casesOn s (fun x => Part.some s) f) n
hF : Partrec₂ F
p : α → ℕ → Part Bool := fun a n => Part.map (fun s => Sum.casesOn s (fun x => true) fun x => false) (F a n)
hp : Partrec₂ p
⊢ Partrec f.fix
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice β
⊢ (CompleteSublattice.comap f L).carrier = ⇑f ⁻¹' ↑L
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
α : Type u_4
g : Y → Z
f : α → Y
hg : DenseRange g
hf : DenseRange f
cg : Continuous g
⊢ DenseRange (g ∘ f)
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
Nontrivial R
b : Basis (Fin n) R M
i : Fin n
k : Fin (n + 1)
⊢ b i ∈ b.flag k ↔ i.castSucc < k
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁✝ : b ≤ 1
hb₁ : b < 1
⊢ Antitone fun x => b ^ x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ (Opens.map f.base).op.obj (op ((opensFunctor f).obj U)) = op U
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
s : Multiset R[X]
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x s.prod = (Multiset.map (Polynomial.eval₂ f x) s).prod
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
⊢ descSet hc Set.univ = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
h : AntilipschitzWith K f
x y : α
⊢ edist x y < ⊤
K✝ : Type uK
inst✝⁸ : Field K✝
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K✝ V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K✝ V₂
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥W
e1 : ↥W ≃ₗ[K] Dual K V ⧸ dualAnnihilator W := (Free.chooseBasis K ↥W).toDualEquiv ≪≫ₗ W.quotAnnihilatorEquiv.symm
this : FiniteDimensional K (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W)
e2 : (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W) ≃ₗ[K] ↥(dualAnnihilator W).dualAnnihilator := (Free.chooseBasis K (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W)).toDualEquiv ≪≫ₗ (dualAnnihilator W).dualQuotEquivDualAnnihilator
⊢ (dualAnnihilator W).dualAnnihilator = map (Dual.eval K V) W
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A C : Set E
hA : Convex 𝕜 A
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
⊢ Convex 𝕜 ∅
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x p' : P
⊢ (IsometryEquiv.vaddConst x).symm p' = p' -ᵥ x
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (Sigma σ)
⊢ IsOpen s ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (Sigma.mk i ⁻¹' s)
ι : Type u_1
I J : WithBot (BoxIntegral.Box ι)
⊢ Disjoint ↑I ↑J ↔ Disjoint I J
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set M
a : Submonoid Mᵐᵒᵖ
⊢ a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C✝ : Set (I → Bool)
x✝¹ : 0 ≤ Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
x✝ : IsClosed C
hsC : contained C 0
this : C ⊆ {fun x => false}
⊢ LinearIndependent ℤ (eval C)
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : Nontrivial R
φ : R[X] →*₀ G₀
hφ : Function.Injective ⇑φ
hφ' : optParam (R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ G₀⁰) ⋯
a a' : R[X] × ↥R[X]⁰
h : φ a.1 / φ ↑a.2 = φ a'.1 / φ ↑a'.2
⊢ Localization.mk a.1 a.2 = Localization.mk a'.1 a'.2
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) '' Ioi b = Ioi (b - a)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
α : Type u_3
x c : P
R : ℝ
l : Filter α
fc fx : α → P
fR : α → ℝ
hc : Filter.Tendsto fc l (𝓝 c)
hR : Filter.Tendsto fR l (𝓝 R)
hx : Filter.Tendsto fx l (𝓝 x)
hne : x ≠ c
⊢ Filter.Tendsto (fun a => EuclideanGeometry.inversion (fc a) (fR a) (fx a)) l (𝓝 (EuclideanGeometry.inversion c R x))