ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x✝ y : R✝
r : ℝ
inst✝⁴ : NonAssocRing R✝
inst✝³ : DecidableEq R✝
inst✝² : NoZeroDivisors R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
f g : MulRingNorm R
c : ℝ
hcpos : 0 < c
h : (fun x => f x ^ c) = ⇑g
x : R
⊢ g x ^ (1 / c) = f x
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ ∃ a, s.max = ↑a
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a * b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hb' : ℵ₀ ≤ b
⊢ a * b = max a b
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t
hg : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
⊢ f =ᶠ[𝓝 t₀] g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
x y s t : Finset α
h : x ⊆ y
h' : s ⊆ t
a : α
a_in : a ∈ x ∧ a ∈ s
⊢ a ∈ y ∧ a ∈ t
M : Type u
Mul M
PseudoEMetricSpace M
IsometricSMul Mᵐᵒᵖ M
a b c : M
⊢ edist (a * c) (b * c) = edist a b
f g : ℕ →. ℕ
hf : Nat.Partrec f
H : ∀ (n : ℕ), f n = g n
⊢ Nat.Partrec g
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
Ring α
Ring β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℕ
⊢ f (↑n * c - x) = (-1) ^ n * f (-x)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
⊢ inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ rTensor Q g = (range (rTensor Q f)).mkQ
x : Nat
xnz : x ≠ 0
⊢ ∃ i, x.testBit i = true
M : Type u_1
Monoid M
A : Type u_4
AddMonoid A
DistribMulAction M A
B₁ : Type u_6
AddMonoid B₁
DistribMulAction M B₁
f : A →+[M] B₁
g : B₁ → A
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : B₁), (f.inverse g h₁ h₂) a = g a
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → β
⊢ range (map f) = {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f}
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m✝ n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R
n : σ →₀ ℕ
h : ∀ (n_1 : σ →₀ ℕ), (coeff R n_1) (φ * (monomial R n) a) = (coeff R n_1) ((monomial R n) a * φ)
m : σ →₀ ℕ
⊢ Commute ((coeff R m) φ) a
α : Type u_2
AddMonoid α
a : α
n : ℕ
⊢ Even a → Even (n • a)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
ht : t.Finite
hst : s ⊆ t
hts : (t \ s).encard + s.encard ≤ 0 + s.encard
⊢ s = t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
s : Set E
hf : DiffContOnCl 𝕜 f s
hg : DiffContOnCl 𝕜 g s
⊢ DiffContOnCl 𝕜 (f + g) s
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor D T
X : T
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Comma (F.comp (CategoryTheory.Functor.id T)) (CategoryTheory.Functor.fromPUnit X)),
  ((CategoryTheory.CostructuredArrow.toOver F X).obj X_1).hom = X_1.hom
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
⊢ IsUpperSet s⁻¹
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
⊢ (X.prodIsoProd Y).inv ≫ prod.fst = prodFst
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
x : L
⊢ x ∈ (X ^ ↑n - 1).rootSet L ↔ x ^ ↑n = 1
M : Type u_1
ι : Type u_2
R✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R✝
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : M → ι
m : M
r : R
x : M
hx : x ∈ (Finsupp.single m r).support
⊢ f x = f m
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
r : R₁ ⟶ R₂
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L R₁} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comma.mapRight L r).map f).right = f.right
d✝ : ℤ
c d b : ℕ
⊢ Nonnegg c d (-↑0) ↑b → SqLe 0 d b c
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e✝ : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
inst✝¹ : CommSemiring S₂
inst✝ : CommSemiring S₃
e : S₁ ≃+* S₂
f : S₂ ≃+* S₃
p : MvPolynomial σ S₁
⊢ ((mapEquiv σ e).trans (mapEquiv σ f)) p = (mapEquiv σ (e.trans f)) p
this : 𝓝 (π / 2) = 𝓝 ((1 - 0) * (π / 2))
h : ∀ (n : ℕ), (2 * ↑n + 1) / (2 * ↑n + 2) = 1 - 1 / (2 * ↑n + 2)
⊢ Tendsto (fun i => (2 * ↑i + 1) / (2 * ↑i + 2)) atTop (𝓝 (1 - 0))
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
⊢ NormedAddGroupHom.NormNoninc 0
α : Type u_1
ι : Type u_3
Countable ι
t : ι → TopologicalSpace α
ht₀ : ∃ i₀, ∀ (i : ι), t i ≤ t i₀
ht : ∀ (i : ι), PolishSpace α
⊢ PolishSpace α
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
u : Set α := {x | x ∈ s ∧ f x ≠ 0}
⊢ IntegrableOn f t μ
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set α
⊢ (μ.restrict s).prod ν = (μ.prod ν).restrict (s ×ˢ Set.univ)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
ι : Type u
E : Type v
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
l : BoxIntegral.IntegrationParams
I : BoxIntegral.Box ι
y : E
f g : (ι → ℝ) → E
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : BoxIntegral.HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
hfg : f =ᵐ[μ.restrict ↑I] g
hl : l.bRiemann = false
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul y
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
this✝ : (a : Prop) → Decidable a
this : ∃ ub, ↑ub ≤ x ∧ ∀ (z : ℤ), ↑z ≤ x → z ≤ ub
⊢ ∃ fl, ∀ (z : ℤ), z ≤ fl ↔ ↑z ≤ x
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
k : ℕ
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : Function.Surjective ⇑f
h' : map f ⊤ = ⊤
⊢ map f (lowerCentralSeries R L L k) = lowerCentralSeries R L' L' k
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Mul M
ContinuousMul M
a : M
⊢ Continuous fun b => a * b
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
Add ι
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
self : DirectSum.GNonUnitalNonAssocSemiring A
i j : ι
a : A i
⊢ GradedMonoid.GMul.mul a 0 = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : closure s ⊆ s
⊢ IsClosed s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
π : α → β
s : Set β
t : Set α
a : { x // x ∈ t }
hs : (fun x => π ↑x) ⁻¹' s ∈ 𝓝 a
⊢ π ⁻¹' s ∈ 𝓝[t] ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
hG : Primrec₂ G
F : α → ℕ → σ × List β := fun a n => (G a)^[n] (g a, f a)
hF : Primrec fun a => (F a (encode (f a))).1
⊢ ∀ (a : α) (n : ℕ), F a n = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (List.take n (f a)), List.drop n (f a))
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : (a : α) → β a → Type u_3
inst✝ : (x : α) → (y : β x) → OmegaCompletePartialOrder (γ x y)
c : Chain ((a : α) → (b : β a) → γ a b)
x : α
y : β x
⊢ ωSup ((c.map (evalOrderHom x)).map (evalOrderHom y)) = ωSup ((c.map (monotoneUncurry α β γ)).map (evalOrderHom ⟨x, y⟩))
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective (Ideal.map f)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Group G
LieGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
s : Set M
x₀ : M
hf : SmoothWithinAt I' I f s x₀
⊢ SmoothWithinAt I' I (fun x => (f x)⁻¹) s x₀
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs (x (n + k)) a) atTop (𝓝 (f a))
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g✝ : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
X₁ : C₁
a : X₂ ⟶ T.obj X₁
b : L.obj X₁ ⟶ X₃
comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g✝
g : CostructuredArrow L X₃
φ : CostructuredArrow.mk g✝ ⟶ (w.costructuredArrowRightwards X₃).obj g
⊢ ∃ X₁ a b, ∃ (comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g✝), StructuredArrow.mk φ = mk w g✝ X₁ a b comm
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ e.conj.symm = e.symm.conj
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
x✝ : Fin n.succ
⊢ x✝ ∈ ↑(Ioi 0) ↔ x✝ ∈ ↑(map (succEmb n) univ)
D : Type u_1
DivisionRing D
Finite D
⊢ Subring.center D = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ
⊢ (Primrec₂ fun a n => Option.map (f a) (decode n)) ↔ Primrec₂ f
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
inst✝⁶ : ContinuousStar A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : Algebra R B
x : A
⊢ IsClosed (range Subtype.val)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ {i : Ordinal.{u}} (h : i < o), f i h ≠ o.bsup f
a : Ordinal.{max u v}
⊢ a < o.bsup f → succ a < o.bsup f
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
⊢ AffineEquiv.constVAdd k P₁ 0 = AffineEquiv.refl k P₁
n : ℤ
⊢ Even n ↔ n % 2 = 0
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Mul G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulLeftInvariant
g : G
X : Type u_4
MeasurableSpace X
μ' : MeasureTheory.Measure X
f : X → G
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ' μ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun x => g * f x) μ' μ
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
hp : p ≠ 0
s : Multiset R
⊢ (Multiset.map (fun a => Polynomial.X - Polynomial.C a) s).prod ∣ p ↔ s ≤ p.roots
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
a✝ : α
b : β
this✝ : type r * typein s b + type r ≤ c
this : type r * typein s b + typein r a✝ < c
a : ↑{b_1 | Prod.Lex s r b_1 (b, a✝)}
⊢ ↑{b_1 | s b_1 b} × α ⊕ ↑{b | r b a✝}
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁵ : HasZeroObject C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms S.P
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h₁ : S.P T.obj₁
h₃ : S.P T.obj₃
⊢ S.P T.obj₂
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b✝ b' b₁ b₂ b₃ c c₁ : R
ea₁ b : ℕ
xa₁ : R
⊢ (xa₁ ^ ea₁ * a₂) ^ b = xa₁ ^ (ea₁ * b) * a₂ ^ b
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
P : Type uP
Q : Type uQ
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid P
Module A P
AddCommMonoid Q
Module R Q
m : M
p : P
q : Q
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.rightComm R A M P Q).symm ((m ⊗ₜ[R] q) ⊗ₜ[A] p) = (m ⊗ₜ[A] p) ⊗ₜ[R] q
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α} {n : Fin l.length} {x : α}, l.get n = x ↔ l.get? ↑n = some x
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
K : AddSubgroup ↥H
⊢ AddSubgroup.map H.subtype K ≤ H
i j k : Int
⊢ k - i = k - j ↔ i = j
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
f : X → Y
hf : Embedding f
⊢ IsCompact s ↔ IsCompact (f '' s)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₗ[R] M
n m : ℕ
w : n ≤ m
x : M
h : x ∈ (fun n => range (f ^ n)) m
⊢ x ∈ (fun n => range (f ^ n)) n
α : Type u_2
TopologicalSpace α
Us : Set (TopologicalSpace.Opens α)
x : α
⊢ x ∈ sSup Us ↔ ∃ u ∈ Us, x ∈ u
a x✝ z x : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ ↑(-x).arg = ↑x.arg + ↑π
M : Type u_4
Monoid M
n : ℕ
a : M
⊢ (List.replicate n a).prod = a ^ n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hf✝ : f =O[l] g
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hg✝ : IntegrableAtFilter g l μ
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖
s : Set α
hsl : s ∈ l
hsm : MeasurableSet s
hfg : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hg : IntegrableOn g s μ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖C * ‖g x‖‖
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
a : α
x : α
⊢ x ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors a → normalize x = x
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
⊢ ↑A.nonunits ⊆ ↑A
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
⊢ affineSpan k ↑s = s
J : Type w
⊢ (CategoryTheory.Limits.widePushoutShapeOpEquiv J).unitIso = (CategoryTheory.Limits.widePushoutShapeOpUnop J).symm
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
α β : Ext X Y n
α' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.fst).comp α ⋯
β' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.snd).comp β ⋯
eq₁ : α + β = (mk₀ (biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X))).comp (α' + β') ⋯
eq₂ : α' + β' = homEquiv.symm (α'.hom + β'.hom)
⊢ (mk₀ (biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X))).hom.comp α'.hom ⋯ + (mk₀ (biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X))).hom.comp β'.hom ⋯ = α.hom + β.hom
α : Type u_1
E : Type u_3
Norm E
c : ℝ
f : α → E
l : Filter α
u : α → ℝ
⊢ (Asymptotics.IsBigOWith c l f fun x => |u x|) ↔ Asymptotics.IsBigOWith c l f u
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ [[a, b]].OrdConnected
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α →ₘ[μ] ℝ≥0∞
⊢ f.lintegral = 0 ↔ f = 0
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
ρ ν : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ ν a
⊢ ρ s ≤ ν s
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B✝ : Set (Set α)
s : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
B : Set (Set α)
hB : IsTopologicalBasis B
f : α → β
hf : ∀ s ∈ B, IsOpen (f '' s)
o : Set α
ho : IsOpen o
⊢ IsOpen (⋃ i, f '' ↑i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E
⊢ ‖x * x⋆‖ = ‖x‖ * ‖x‖
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
s : Set M
⊢ Module.rank R ↥(Submodule.span R s) ≤ #↑s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
⊢ ContDiffOn ℝ ⊤ (fun x => 1 - ((innerSL ℝ) v) x) {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
inst✝ : ⊥.IsCountablyGenerated
⊢ MeasurableSet {x | ∃ c, Tendsto (fun n => f n x) ⊥ (𝓝 c)}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
x : M
he : e ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
he' : e' ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I' M'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x)
ι : Type u_1
α' : ι → Type u_2
(i : ι) → Sup (α' i)
f g : (i : ι) → α' i
⊢ f ⊔ g = fun i => f i ⊔ g i
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
C : ℝ
StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ f =ᵐ[μ] Function.const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
a b : ENNReal
⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ b⁻¹ ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : f₁ =O[l] g
h₂ : f₂ =O[l] g
⊢ (fun x => f₁ x - f₂ x) =O[l] g
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
f : α →₀ M
a : α
g : α → M → N
h₀ : ∀ (b : α), f b ≠ 0 → b ≠ a → g b (f b) = 0
h₁ : f a = 0 → g a 0 = 0
⊢ f.sum g = g a (f a)
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
⊢ TensorProduct.AlgebraTensorModule.congr (LinearEquiv.refl A M) (LinearEquiv.refl R N) =
  LinearEquiv.refl A (TensorProduct R M N)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯
dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯
hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯
H_add_d : df + dg = dfg
H : X ^ (f * g).order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order ⋯ = f * g
⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft R.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.X ◁ P.actRight ▷ S.X) (R.X ◁ ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ((α_ R.X (P.X ⊗ S.X) S.X).inv ≫ (α_ R.X P.X S.X).inv ▷ S.X ≫ P.actLeft ▷ S.X ▷ S.X) ((α_ R.X P.X S.X).inv ≫ P.actLeft ▷ S.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ≫ P.actLeft
α : Type u_2
Preorder α
a : α
hs : {a}.IsWF
hn : {a}.Nonempty
⊢ hs.min hn = a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : LinearWeights R L M
χ✝ : L → R
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M
hχ : Nontrivial ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m
E : Type u_2
Norm E
x : Eᵒᵈ
⊢ ‖OrderDual.ofDual x‖ = ‖x‖
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ (Multiset.card ↑(fill x m s)).choose (Multiset.count x ↑(fill x m s)) = n.choose ↑m
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ ∑ i : ι, f i * g (σ i) = ∑ i : ι, f i * g i ↔ Monovary f (g ∘ ⇑σ)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : comap m g ≠ ⊥
⊢ g ≠ ⊥
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N
⊢ Module.rank R ↥(M ⊓ N) ≤ 1
α : Type u_1
d : MeasurableSpace.DynkinSystem α
s : Set (Set α)
h : ∀ t ∈ s, d.Has t
⊢ MeasurableSpace.DynkinSystem.generate s ≤ d
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : LE α
inst✝ : PartialOrder β
f : α ≃o β
x : α
y : β
hx : ∀ (x' : α), x ≤ x'
hy : ∀ (y' : β), y ≤ y'
⊢ f x = y
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f : ℝ → ℝ
hA' : IsSelfAdjoint A
this : cfcHom hA' = hA.cfcAux
⊢ cfc f A = hA.cfc f
R : Type u
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1
⊢ Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Option β
l : List α
⊢ List.map some (List.filterMap f l) = List.filter (fun b => b.isSome) (List.map f l)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x : E
hs : Absorbent ℝ s
hr : 0 ≤ r
hsr : s ⊆ closedBall 0 r
⊢ gauge (closedBall 0 r) x ≤ gauge s x