ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
v : Set M
hv : span R v = ⊤
x : M'
x✝ : x ∈ ⊤
m : M
s : ↥S
h : ⋯.unit⁻¹ • f (m, s).1 = x
⊢ x ∈ span Rₛ (⇑f '' v)
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
UniformSpace β
F : ι → β → α
⊢ UniformEquicontinuous F ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β, ∀ (i : ι), dist (F i xy.1) (F i xy.2) < ε
α : Type u
l : List α
⊢ List.sublistsLen 0 l = [[]]
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ ⊤ ≤ fst R M M₂ ⊔ snd R M M₂
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0
⊢ (algebraMap A K) (num A x⁻¹ * num A x) / (algebraMap A K) (↑(den A x⁻¹) * ↑(den A x)) = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
ProperSpace 𝕜
s : Set (WeakDual 𝕜 E)
hb : Bornology.IsBounded (⇑NormedSpace.Dual.toWeakDual ⁻¹' s)
hc : IsClosed s
⊢ IsCompact s
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_7
Zero α
CommMonoidWithZero β
Nontrivial β
NoZeroDivisors β
f : ι →₀ α
g : ι → α → β
⊢ f.prod g = 0 ↔ ∃ i ∈ f.support, g i (f i) = 0
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a b : α
NoMinOrder α
⊢ Order.pred a < b ↔ a = b ∨ a < b
α : Type u_1
G : Type u_9
AddGroup G
f : α →₀ G
a : α
b : G
⊢ f.update a b = f - Finsupp.single a (f a) + Finsupp.single a b
c d x y z w : ℕ
zw : Zsqrtd.SqLe y d x c
h : Zsqrtd.SqLe (x + z) c (y + w) d
⊢ Zsqrtd.SqLe z c w d
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
P' : Type u_7
f : M → N
g : N → P
g' : P → P'
Zero P
Zero P'
exact : Function.Exact f g
inj : Function.Injective g'
h0 : g' 0 = 0
⊢ Function.Exact f (g' ∘ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hst : s ⊆ t
hsn : s.ncard ≤ n
hnt : n ≤ t.ncard
ht : t.Infinite
⊢ ∃ u, s ⊆ u ∧ u ⊆ t ∧ u.ncard = n
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
h : ∀ (i : ι) (j : κ i), s i j ⊆ t
⊢ ⋃ i, ⋃ j, s i j ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Nonempty α
inst✝³ : Preorder β
f : α → β
inst✝² : NoMaxOrder α
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
hf : StrictMono f
m : β
hm : m ∈ upperBounds (range f)
hm' : ∀ (a : α), f a ≤ m
a₀ : α
h : ∀ (a : α), ∃ a', f a < f a'
⊢ ∃ a, f a₀ < f a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : C ⥤ TopCat
Y : Type w'
TopologicalSpace Y
⊢ ∀ {X Y_1 : Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y_1) (g : C(↑(F.obj (Opposite.unop X)), Y)),
  (ContinuousMap.yonedaPresheaf F Y).map f g = g.comp (F.map f.unop)
α : Type u
SemilatticeInf α
a b : α
⊢ a = a ⊓ b ↔ a ≤ b
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a b : F
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
⊢ quadraticCharFun F (a * b) = quadraticCharFun F a * quadraticCharFun F b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : CPolynomialAt 𝕜 f x
hg : CPolynomialAt 𝕜 g x
⊢ CPolynomialAt 𝕜 (f - g) x
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
p : FractionalIdeal S P
s : Set P
hs : s = ↑p
⊢ ↑(p.copy s hs) = s
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
i : m
j : n
⊢ ((monomial (Finsupp.single j 1)) (M i j)).IsHomogeneous 1
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
i : ι
x✝ : i ∈ s
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = i}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib g f ν μ
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n i : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ (Finsupp.erase n toFinsupp✝) i = if i = n then 0 else toFinsupp✝ i
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p✝ : Type u_5
q✝ : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
d : m → α
p q : m → Prop
hpq : Disjoint p q
i : m
hi : p i
j : m
hj : q j
this : i ≠ j
⊢ (diagonal d).toBlock p q ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩ = 0 ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
H : Function.Injective f
⊢ f '' sᶜ ⊆ (f '' s)ᶜ
a b : ℤ
r : ℤ
hr : 0 < r
⊢ ↑(Finset.filter (fun x => r ∣ x) (Finset.Ioc a b)).card = max (⌊↑b / ↑r⌋ - ⌊↑a / ↑r⌋) 0
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
α' : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α'
β' : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace β'
f : α → α'
g : β → β'
f_mble : Measurable f
g_mble : Measurable g
⊢ (Measure.map f ↑μ).prod (Measure.map g ↑ν) = Measure.map (Prod.map f g) ((↑μ).prod ↑ν)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace W
g : X × Y → Z
hg : Continuous g
e : W → X
he : Continuous e
f : W → Y
hf : Continuous f
⊢ Continuous fun w => g (e w, f w)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : Integrable f μ
⊢ ↑↑(condexpL1 hm μ f) =ᶠ[ae μ] f
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ s.restrict f = f ∘ Subtype.val
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U✝ : Set Y
a : X
U : Set Y
hU : IsOpen U
⊢ IsOpen ((fun f => f a) ⁻¹' U)
α : Type u_1
s t : Set α
h : Disjoint s t
⊢ ∀ (a : ↑s ⊕ ↑t), (Function.Embedding.sumSet h) a = Sum.elim Subtype.val Subtype.val a
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.coconeRightOpOfCone c).pt = Opposite.op c.pt
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
⊢ Finsupp.equivMapDomain (Equiv.refl α) = id
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ Bimod.RightUnitorBimod.hom P ≫ Bimod.RightUnitorBimod.inv P = 𝟙 (Bimod.TensorBimod.X P (Bimod.regular S))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.IsIso T.mor₃
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero T.obj₂
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0
x : G
lx : IsLeftRegular x
y : G
yf : y ∈ f.support
hy : x * y ∈ image (fun x_1 => x * x_1) f.support
⊢ x * y ∈ (single x r * f).support
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
n : PosNum
⊢ ↑n.succ = ↑n + 1
V : Type u
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
⊢ LinearMap.range (InnerProductSpace.continuousLinearMapOfBilin B) = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
U V W X Y Z : C
f : U ⟶ X
g : V ⟶ Y
h : W ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.map (CategoryTheory.Limits.biprod.map f g) h ≫
    (CategoryTheory.Limits.biprod.associator X Y Z).hom =
  (CategoryTheory.Limits.biprod.associator U V W).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.biprod.map f (CategoryTheory.Limits.biprod.map g h)
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.306779, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.306786, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsVanKampenColimit c₁
t₂ : IsVanKampenColimit c₂
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C
c : Cocone F
α : F ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
Hc : IsColimit c
j : Fin (n + 1)
t₂' : ∀ (j : Discrete WalkingPair), IsPullback ((BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (Sigma.desc fun b => c.ι.app { as := b.succ })).ι.app j) ((mapPair (α.app { as := 0 }) (Sigma.desc fun b => α.app { as := b.succ } ≫ c₁.inj b)).app j) i (c₂.ι.app j)
⊢ IsPullback (c.ι.app { as := j }) (α.app { as := j }) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app { as := j })
ι : Type u_3
R : Type u_7
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
c : R
f : ι → M
hf : (Function.support f).Finite
⊢ c • ∑ᶠ (i : ι), f i = ∑ᶠ (i : ι), c • f i
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
α : Type u'
φ : L ≃ᴸ L'
⊢ φ.onFormula.symm = φ.symm.onFormula
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
Zero β
f : α → β
R1Space α
K : Set α
hK : IsCompact K
h : Function.support f ⊆ K
⊢ HasCompactSupport f
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, x ∈ {c}ᶜ → DifferentiableAt ℂ f x
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹
⊢ Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 (limUnder (𝓝[≠] c) f))
α : Type u
s : Computation α
a b : α
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : s.Results b n
⊢ m = n
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.re
hz_im : 0 ≤ z.im
⊢ ‖f (-z)‖ ≤ C
x : ℝ
m : ℕ
h : Irrational (↑m + x)
⊢ Irrational x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
f : (i : ι) × α i → β
SemilatticeInf β
OrderTop β
⊢ (s.sigma t).inf f = s.inf fun i => (t i).inf fun b => f ⟨i, b⟩
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
hs : s.Nonempty
⊢ TotallyBounded s
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ s ∈ t.powerset ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
x : ↑(range f)
⊢ ↑(rangeFactorization f (rangeSplitting f x)) = ↑x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ 1 = ‖(↑e.symm).comp ↑e‖
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace N
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
p : M × N
⊢ p ∈ (I.prod J).interior (M × N) ↔ p ∈ I.interior M ×ˢ J.interior N
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α : L → R
β : LieModule.Weight R L M
⊢ LieModule.chainBotCoeff (-α) β = LieModule.chainTopCoeff α β
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v3 : ℕ
⊢ padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑f (max v1 (max (stationaryPoint hf) v3)))
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ (QuadraticMap.Isometry.snd M₁ Q₂).comp (QuadraticMap.Isometry.inr 0 Q₂) = QuadraticMap.Isometry.id Q₂
α : Type u
l : List α
⊢ l.sublists' = List.foldr (fun a r => List.sublists'Aux a r r) [[]] l
α : Type u
s : Set α
x : α
hs : s.Nontrivial
⊢ ¬s ⊆ {x}
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
k : ℕ
x : R
⊢ (x • stdBasisMatrix i j 1) ⊗ₜ[R] (X ^ k) = ↑includeLeft (stdBasisMatrix i j x) * 1 ⊗ₜ[R] (X ^ k)
α✝ : Type u_1
l : RBNode α✝
v : α✝
r : RBNode α✝
cl : RBColor
n : Nat
hl : l.Balanced cl (n + 1)
hr : RedRed True r n
⊢ RedRed (cl = red) (r.reverse.balLeft v l.reverse).reverse (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
hμν : μ ≤ ν
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ g
⊢ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => g a), g_1.lintegral ν
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y₁ Y₂ Y₃ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
f' : Y₂ ⟶ Y₃
j : StructuredArrow Y₃ L
⊢ limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map (f ≫ f')).obj j) = limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map f).obj ((StructuredArrow.map f').obj j))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h :
  ∀ (p q : ℝ≥0),
    p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
⊢ AEMeasurable f μ
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
c : 𝕜
⊢ HasDerivAt (fun x => x * c) c x
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
⊢ z.im = (↑↑↑g).det * z.im
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂
⊢ K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ i₂' ≫ K.ιTotalOrZero c₁₂ i₁ i₂' i₁₂
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℂ
s : Set α
x : α
h₁ : ContinuousWithinAt f s x
h₂ : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ ContinuousWithinAt (fun t => Complex.log (f t)) s x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
⊢ padicNorm p (↑(f + g) (stationaryPoint hfg)) ≤ max (padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))) (padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)))
a : Ordinal.{u_4}
⊢ a / 1 = a
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsDomain R
r : R
⊢ Ideal.span {generator (Ideal.span {r})} = Ideal.span {r}
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑G g‖ < δ
g' : G
hgg' : f g' = f g
hfg : ‖g'‖ ≤ C' * ‖f g‖
mem_ker : g - g' ∈ f.ker
this : ‖f g‖ ≤ ‖f‖ * δ
⊢ ‖hatg - (toCompl.comp (incl f.ker)).toAddMonoidHom ⟨g - g', mem_ker⟩‖ < ε
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp : p.Monic
r : R
⊢ (p.comp (X - C r)).Monic
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
hI : I ⊆ M.E
hX : X ⊆ M.E
h : (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)
hI' : M.Indep I
hss : I ⊆ X
J : Set α
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
⊢ J ⊆ I
l : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq l
Fintype l
CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ Matrix.symplecticGroup l R
⊢ IsUnit A.det
f : Char → Bool
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝
⊢ x✝.all f = x✝.toString.data.all f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
f g : C^n⟮I, M; I', M'⟯
h : ⇑f = ⇑g
⊢ f = g
α : Sort u_1
p : α → Prop
b : Prop
⊢ (∃ x, p x ∧ b) ↔ (∃ x, p x) ∧ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ‖x - y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 - 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ ^ 2
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.79019, u_1} C
X : PresheafedSpace C
⊢ X.presheaf = (Presheaf.pushforward C ((Opens.inclusionTopIso ↑X).inv ≫ (X.ofRestrict ⋯).base)).obj X.presheaf
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
G : Comonad C
X : G.Coalgebra
Y : C
g : X ⟶ G.cofree.obj Y
⊢ g.f ≫ 𝟙 (G.obj Y) = g.f
α : Type u_1
f : Filter α
ConditionallyCompleteLinearOrder α
a : α
hf : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) f := by isBoundedDefault
h : f.limsInf < a
⊢ ∃ᶠ (n : α) in f, n < a
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ BddAbove (Set.Iic a)
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α →ᵇ E
hg : eLpNorm (f - ⇑g) (↑p.toNNReal) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p))
g_mem : Memℒp (⇑g) (↑p.toNNReal) μ
⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) (ENNReal.ofReal p) μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r ε : ℝ
hε : 0 < ε
hr : 0 < r
x : E
L₁ L₂ : E →L[𝕜] F
h₁ : x ∈ FDerivMeasurableAux.A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ FDerivMeasurableAux.A f L₂ r ε
⊢ ‖L₁ - L₂‖ ≤ 4 * ‖c‖ * ε
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
h : IsRelPrime z y
dvd : x ∣ y
⊢ IsRelPrime z x
K : Type u
Field K
p : K[X]
Fact (Irreducible p)
⊢ K⟮AdjoinRoot.root p⟯ = ⊤
G : Type u_7
OrderedAddCommGroup G
⊢ -Filter.atTop = Filter.atBot
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a : R
s : S
Monoid S
SMul R M
SMul R S
MulAction S M
IsScalarTower R S M
h : a • s = 1
⊢ IsSMulRegular M s
α : Type u
t : TopologicalSpace α
TopologicalSpace.SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
a : Set ι
h : a.PairwiseDisjoint s
ha : ∀ i ∈ a, (interior (s i)).Nonempty
⊢ a.Countable
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
s : ℕ → Set α
hs : f.HasAntitoneBasis s
r : ℕ → ℕ → Prop
hr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r m n
this : ∀ (t : Set ℕ), t.Finite → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ m ∈ t, m < n ∧ r m n
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (m n : ℕ), m < n → r (φ m) (φ n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ).op =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₂.homologyOpIso.inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap (CategoryTheory.ShortComplex.opMap φ))
      S₁.homologyOpIso.hom)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
t : ι → Set β
f : α → β
H : ∀ (i : ι), Set.MapsTo f (s i) (t i)
⊢ Set.MapsTo f (⋃ i, s i) (⋃ i, t i)
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c : E
la la' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v : ι → ℝ
intervalIntegral.FTCFilter a la la'
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hf : Filter.Tendsto f (la' ⊓ MeasureTheory.ae μ) (𝓝 c)
hu : Filter.Tendsto u lt la
hv : Filter.Tendsto v lt la
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in v t..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t =>
  ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
hdeg : 1 < f.natDegree
⊢ h.coeff h.root = Pi.single 1 1
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CharP R p
x : WittVector p R
n : ℕ
⊢ (WittVector.frobenius x).coeff n = x.coeff n ^ p
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
α' : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α'
β' : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace β'
f : α → α'
g : β → β'
f_mble : Measurable f
g_mble : Measurable g
⊢ (μ.map ⋯).prod (ν.map ⋯) = (μ.prod ν).map ⋯
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t : Multiset ι
f : ι → R[X]
⊢ ∀ (a : ι) (s : Multiset ι), ((∀ i ∈ s, (f i).Monic) → (Multiset.map f s).prod.Monic) → (∀ i ∈ a ::ₘ s, (f i).Monic) → (Multiset.map f (a ::ₘ s)).prod.Monic
α : Type u_2
SemilatticeSup α
OrderBot α
WellFoundedLT α
a : α
⊢ ∃ s, s.sup id = a ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → SupIrred b
R : Type u
M : Type v
AddMonoidWithOne R
AddMonoid M
n : ℕ
⊢ (↑n).snd = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
N : ℕ
ihN : ↑(nearestPtInd e N) x ≤ N
h✝ : ∀ k ≤ N, edist (e (N + 1)) x < edist (e k) x
⊢ N + 1 ≤ N + 1
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
⊢ ∃ C > 0, ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
M : Type u_1
MulOneClass M
s : Set M
P : M
hP : P ∉ Submonoid.closure s
⊢ P ∉ s
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s₁ s₂ t : Set β
⊢ s₁ ∩ s₂ -ᵥ t ⊆ (s₁ -ᵥ t) ∩ (s₂ -ᵥ t)