ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
μ : G ⟶ A
ε : F ⟶ G
hε : CategoryTheory.CategoryStruct.comp ε μ = η
X : C
p : CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection (CategoryTheory.OverPresheafAux.restrictedYonedaObj η) X
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.unitForward μ X
    (CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₁ (CategoryTheory.OverPresheafAux.restrictedYonedaObjMap₁ ε hε)
      p) =
  ε.app (Opposite.op X) (CategoryTheory.OverPresheafAux.unitForward η X p)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
F : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
⊢ (TensorAlgebra.lift R).symm F = F.toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R
α : Type u_1
ι : Type u_3
Countable ι
t : TopologicalSpace α
p : PolishSpace α
m : ι → TopologicalSpace α
hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t
h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α
⊢ ∃ t', (∀ (n : ι), t' ≤ m n) ∧ t' ≤ t ∧ PolishSpace α
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
J : Ideal S
f : R ≃+* S
hIJ : J = map (↑f) I
⊢ I ≤ comap (↑f) (map (↑f) I)
α : Type u
f : α → α
a : α
⊢ Stream'.iterate f a = Stream'.cons a (Stream'.iterate f (f a))
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hm : f.Monic
hs : Splits (RingHom.id F) f
h : f.natSepDegree = 1
h1 : f = (Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots).prod
⊢ ∃ m y, m ≠ 0 ∧ f = (X - C y) ^ m
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Prop
s : ι → Set α
⊢ μ (⋃ (i : ι), s i) = 0 ↔ ∀ (i : ι), μ (s i) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Function.Surjective Prod.swap
n m step : Nat
i : Nat
H : i < (List.range' n m step).length
⊢ (List.range' n m step).get ⟨i, H⟩ = n + step * i
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : k ∈ (range n).finsuppAntidiag d
⊢ ∏ i ∈ range n, (coeff R (k i)) f = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
S : CategoryTheory.Sieve X
f : Y ⟶ X
⊢ ⊥.Covers S f ↔ S.arrows f
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r X : R
hr : r ≠ 0
hX : Prime X
this : multiplicity (span {X}) (span {r}) = multiplicity X r
⊢ Multiset.count (span {X}) (normalizedFactors (span {r})) = Multiset.count (normalize X) (normalizedFactors r)
x y : ℝ
hx₁ : -(Real.pi / 2) ≤ x
hy₂ : y ≤ Real.pi / 2
hxy : x < y
⊢ Real.sin x < Real.sin y
α : Type u
SemilatticeInf α
a b c : α
⊢ a ⊓ b ⊓ c = a ⊓ c ⊓ b
n : Nat
m i : Nat
h : i < n
⊢ Fin.castAdd m ⟨i, h⟩ = ⟨i, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
UniformSpace β
s : Set α
f : α → β
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
⊢ UniformContinuousOn f s
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
DecompositionMonoid α
⊢ IsRelPrime x (y * z) ↔ IsRelPrime x y ∧ IsRelPrime x z
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_11, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_12, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_13, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_14, u_4} C₄
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄))
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
∀ (X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂) (X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃),
    ((((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
X₃ Y₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
φ : X₃ ⟶ Y₃
i : J
⊢ ((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorMapFunctorObj F p X₁).obj X₂).map φ i =
  CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorMapMap F p (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₁)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₂) φ i
α β : Type u
m : Type u → Type u
Applicative m
F : α → m β
⊢ traverse F ∘ pure = fun x => pure <$> F x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ ≤ D ^ i
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
a : α
h : s ∈ 𝓝 1
⊢ s * {a} ∈ 𝓝 a
z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂ (z + τ) τ = cexp (-↑π * Complex.I * (τ + 2 * z)) * jacobiTheta₂ z τ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : α → E
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT (c • f) = c • MeasureTheory.setToFun μ T hT f
α : Type u_2
LE α
⊢ (OrderIso.refl α).toEquiv = Equiv.refl α
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
⊢ (tangentBundleCore I M).indexAt x = achart H x
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ chainBotCoeff (-α) β = chainTopCoeff α β
c' : Char
cs cs' : List Char
i p : Nat
hp : i + String.utf8Len cs = p
⊢ String.utf8SetAux c' (cs ++ cs') { byteIdx := i } { byteIdx := p } = cs ++ List.modifyHead (fun x => c') cs'
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
u : ℕ → Set X
su : s ⊆ ⋃ n, u n
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
this : s = ⋃ n, u n ∩ s
⊢ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
z : ℂ
⊢ ‖Complex.equivRealProd z‖ ≤ 1 * Complex.abs z
a b : Bool
⊢ a.atLeastTwo b true = (a || b)
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
FirstCountableTopology β
f : α → β
⊢ FirstCountableTopology α
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Flag α
⊢ IsChain (fun x x_1 => x < x_1) ↑s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIocMod hp a (b + c) = toIocMod hp (a - c) b + c
z : ℍ
⊢ ∃ g, g • z ∈ ModularGroup.fd
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁✝ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB✝ : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
⊢ {I | 1 ≤ Ideal.absNorm I ∧ Ideal.absNorm I ≤ B}.Finite
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
inst✝ : EnoughProjectives C
X Y : C
f : X ⟶ Y
α : ShortComplex.mk (d f) f ⋯ ⟶ ShortComplex.mk (kernel.ι f) f ⋯ := { τ₁ := π (kernel f), τ₂ := 𝟙 (ShortComplex.mk (d f) f ⋯).X₂, τ₃ := 𝟙 (ShortComplex.mk (d f) f ⋯).X₃, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
this✝¹ : Epi α.τ₁
this✝ : IsIso α.τ₂
this : Mono α.τ₃
⊢ (ShortComplex.mk (d f) f ⋯).Exact
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
s : Set α
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict s) l φ
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n + ↑r
⊢ ∃ m, x + ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧ |x + ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id n) ^ p
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
c : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ (-c).deg = c.deg
α✝ α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n i : ℕ
hi : i ∈ range n
⊢ x ^ i * y ^ (n - i) = x ^ i * y ^ (n - 1 - i + 1)
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R✝
I✝ J✝ K L : Ideal R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
I J : Ideal R
h : I = ⊥ ∨ J = ⊥
⊢ I * J = ⊥
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : SFinite ν
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
⊢ Integrable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
α : Type u_1
β : Type v
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ ↑l₁ ×ˢ ↑l₂ = ↑(l₁ ×ˢ l₂)
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
inst✝ : Fact (finrank ℝ F = n + 1)
x : Fin (n + 1) → F
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o
he : e.toBasis.orientation = o
heφ : (e.map φ).toBasis.orientation = (map (Fin n.succ) φ.toLinearEquiv) o
⊢ (e.map φ).toBasis.det x = o.volumeForm (⇑φ.symm ∘ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (b : β), ContinuousOn (fun x => f (x, b)) {a | (a, b) ∈ s}
X : Type u_1
α : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
S : Type u_7
R : Type u_8
m' : l → Type u_9
n' : l → Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace R
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : TopologicalRing R
A : X → Matrix n n R
hA : Continuous A
⊢ Continuous fun x => (A x).det
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : OrderedCommGroup α
inst✝ : OrderedCommGroup β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
⊢ MonovaryOn f g⁻¹ s ↔ AntivaryOn f g s
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle y (y - x)).sin * ‖y - x‖ = ‖x‖
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
x : ℚ≥0
⊢ ↑x.den ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
DecidablePred fun x => x ∈ s
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a : α
g : β → E
t : Set β
⊢ ∫ (b : β) in t, g b ∂(ProbabilityTheory.Kernel.piecewise hs κ η) a =
  if a ∈ s then ∫ (b : β) in t, g b ∂κ a else ∫ (b : β) in t, g b ∂η a
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ Nat.bit a m &&& Nat.bit b n = Nat.bit (a && b) (m &&& n)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
X : CommMon_ (C ⥤ D)
⊢ ∀ (x : C), (CategoryTheory.Monoidal.CommMonFunctorCategoryEquivalence.unitIso.hom.app X).hom.app x = 𝟙 (X.X.obj x)
n x y p : ℕ
hp : Prime p
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x * y
⊢ ∀ (x' y' : ℕ), x' ≠ 1 → y' ≠ 1 → x' * y' = p ^ 2 → p ∣ x' → x' = p ∧ y' = p
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h : ¬IntervalIntegrable f μ a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : NormalSpace α
inst✝¹⁰ : R1Space α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : SecondCountableTopologyEither α E
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ DenseRange ⇑(toLp p μ 𝕜)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Option α → β → γ
bs : List β
⊢ List.map₂Right' f [] bs = (List.map (f none) bs, [])
n : ℕ
⊢ n ∉ Finset.range n
σ α β : Type u
f : α → β
x : σ ⊕ α
⊢ Sum.traverse (pure ∘ f) x = pure (f <$> x)
𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E✝
inst✝⁶ : HasOrthogonalProjection K
E : Type u_4
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'
p : Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection p
inst✝ : HasOrthogonalProjection (Submodule.map f.toLinearMap p)
x : E
⊢ f ↑((orthogonalProjection p) x) = ↑((orthogonalProjection (Submodule.map f.toLinearMap p)) (f x))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : CategoryTheory.Limits.Fork f g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp t.ι f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp t.ι g
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝³ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →ₗ[R] P
x : DirectLimit G f
⊢ F x = (lift R ι G f (fun i => F ∘ₗ of R ι G f i) ⋯) x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.23741, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.23745, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
ψ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h₁.IsPreservedBy F
inst✝ : h₂.IsPreservedBy F
⊢ (h₁.map F).f' ≫ F.map ψ.φK = (F.mapShortComplex.map φ).τ₁ ≫ (h₂.map F).f'
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
a : α
h1 : ∀ (h : ↥H), h • a = a → h = 1
h2 : ∀ (g : G), ∃ h, h • g • a = a
g : G
h : ↥H
hh : h • g • a = a
⊢ ∃! x, ↑x.1 * ↑x.2 = g
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b a : α
f : β → α
⊢ ⨆ o, o.elim a f = a ⊔ ⨆ b, f b
α : Type u_1
a : Part α
ha : a.Dom
b : Part α
h : a = b
⊢ a.get ha = b.get ⋯
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝ : S.HasHomology
⊢ leftHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.left S.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S) S.leftHomologyData S.leftHomologyData = leftHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.left S.leftHomologyData
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : (algebraMap R S) M ≠ 0
⊢ ∃ J, mk0 I = mk0 J ∧ (algebraMap R S) M ∈ ↑J
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p (μ.restrict s) ≤ MeasureTheory.eLpNorm f p μ
x✝ y✝ x y : ℂ
⊢ cos (x + y * I) = cos x * cosh y - sin x * sinh y * I
α : Type u_1
rα : α → α → Prop
C : α → α → Sort u_3
hr : WellFounded rα
IH : (a₁ b₁ : α) → ((a₂ b₂ : α) → Sym2.GameAdd rα s(a₂, b₂) s(a₁, b₁) → C a₂ b₂) → C a₁ b₁
a b : α
⊢ Sym2.GameAdd.fix hr IH a b = IH a b fun a' b' x => Sym2.GameAdd.fix hr IH a' b'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : WSeq α
⊢ (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) ([], cons a s)).destruct = Sum.inr (List.cons a <$> Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) ([], s))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ⇔ ⊤ = a
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
F : CategoryTheory.Functor D E
G : CategoryTheory.Functor E D
adj : F ⊣ G
X : CategoryTheory.Functor D C
⊢ ∀ (X_1 : D), ((CategoryTheory.Adjunction.whiskerLeft C adj).unit.app X).app X_1 = X.map (adj.unit.app X_1)
m : Type u → Type v
Functor m
LawfulFunctor m
α β : Type u
f : α → β
⊢ (CategoryTheory.ofTypeFunctor m).map f = Functor.map f
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ a, 1 < a.x ∧ 0 < a.y
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
⊢ (WeierstrassCurve.map W f).toAffine.polynomialY = Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom f) W.polynomialY
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₂ φ₃
⊢ (h₁₂.trans h₂₃).h₀ = h₁₂.h₀ + h₂₃.h₀
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ AddMonCatMax
CategoryTheory.IsFiltered J
x y y' : (j : J) × ↑(F.obj j)
hyy' : CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ CategoryTheory.forget AddMonCat) y y'
⊢ AddMonCat.FilteredColimits.colimitAddAux F x y = AddMonCat.FilteredColimits.colimitAddAux F x y'
b : ℕ
⊢ Nat.log b 1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
⊢ r.inv.preimage s = r.image s
a : ℤ
b ab' : ℕ
ab r b' : ℤ
hb' : ↑b = b'
hab : a % b' = ab
h : ↑ab' = ab
hr : Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat ab' b = r
⊢ jacobiSym a b = r
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z✝ : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB : ∃ c < π / (b - a), ∃ B, f =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * |z.im|))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z✝.re
hzb : z✝.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
z : ℂ
hz : z.im = a
⊢ (z * -I).re = a
R : Type u_1
Zero R
SMulWithZero R ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
NoZeroSMulDivisors R ℝ≥0∞
DecidableEq R
c : R
⊢ c • ⊤ = if c = 0 then 0 else ⊤
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasPushouts C
W X Y Z : C
f✝ : X ⟶ Y
g✝ : X ⟶ Z
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
g₁ : X ⟶ W
inst✝¹ : Epi g₁
g₂ : W ⟶ Z
inst✝ : Mono g₂
hg : g₁ ≫ g₂ = g
f' : W ⟶ Y
hf : g₁ ≫ f' = f
t : PushoutCocone f g
ht : IsColimit t
⊢ Mono t.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
a₁ a₂ : α
h_mon : Monotone f
h_fa : f a₁ = f a₂
i : α
h₁ : a₁ ≤ i
h₂ : i ≤ a₂
⊢ f a₁ ≤ f i
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
TopologicalSpace β
DiscreteTopology β
f : α → β
⊢ Continuous f ↔ ∀ (b : β), IsOpen (f ⁻¹' {b})
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v w : HeightOneSpectrum R
hw : w ≠ v
hw_fact : ↑w.asIdeal = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑w.asIdeal
hw_ne_zero : ↑w.asIdeal ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hw' : Irreducible (Associates.mk w.asIdeal)
⊢ ¬Associates.mk v.asIdeal = Associates.mk w.asIdeal
M : Type u_1
B : Type u_3
Monoid M
SetLike B M
SubmonoidClass B M
S : B
l : List ↥S
⊢ ↑l.prod = (List.map Subtype.val l).prod
α : Type u_4
self : DivisionSemiring α
q : ℚ≥0
⊢ ↑q = ↑q.num / ↑q.den
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : PreservesBiproduct f F
W : C
g : (j : J) → W ⟶ f j
j : J
⊢ (F.map (lift g) ≫ (F.mapBiproduct f).hom) ≫ π (F.obj ∘ f) j = (lift fun j => F.map (g j)) ≫ π (F.obj ∘ f) j
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommSemiring Q
Algebra P Q
IsLocalization T Q
h : R ≃+* P
H : Submonoid.map h.toMonoidHom M = T
a : S
⊢ (IsLocalization.ringEquivOfRingEquiv S Q h H) a = (IsLocalization.map Q ↑h ⋯) a
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hn : 2 ≤ l.length
x : { x // x ∈ l }
⊢ 2 ≤ l.attach.length
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s₁ s₂ s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
h₁ : IndepSets s₁ s' κ μ
h₂ : IndepSets s₂ s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ s₁ ∪ s₂
ht2 : t2 ∈ s'
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
h : IsColimit t
W : C
f f' : t.pt ⟶ W
w : ∀ (j : J), t.ι.app j ≫ f = t.ι.app j ≫ f'
⊢ (fun b => t.ι.app b ≫ f) = fun b => t.ι.app b ≫ f'
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
c : ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((MeasureTheory.SimpleFunc.const α c).restrict s).lintegral μ = c * μ s