ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer I
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
a : I.L
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ιPi I) (CategoryTheory.Limits.Pi.π I.left a) =
  CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι I a
B : Type u
F : Type v
E : B → Type w₁
B' : Type w₂
f✝ : B' → B
inst✝⁵ : TopologicalSpace B'
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
f : B' → B
x : B'
⊢ instTopologicalSpacePullback E f x ≤ induced (fun x_1 => Pullback.lift f { proj := x, snd := x_1 }) inst✝⁴
E' : Type u_2
F' : Type u_3
A : Type u_4
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace ℝ E'
FiniteDimensional ℝ E'
MeasurableSpace E'
BorelSpace E'
NormedAddCommGroup F'
InnerProductSpace ℝ F'
FiniteDimensional ℝ F'
MeasurableSpace F'
BorelSpace F'
f : E' ≃ₗᵢ[ℝ] F'
NormedAddCommGroup A
g : F' → A
⊢ MeasureTheory.Integrable (g ∘ ⇑f) MeasureTheory.volume ↔ MeasureTheory.Integrable g MeasureTheory.volume
a b c : ℕ
⊢ (a * b + c) % b = c % b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Monoid M
N : Type u_5
inst✝ : Monoid N
f g : FreeMonoid α →* M
h : ∀ (x : α), f (of x) = g (of x)
l : FreeMonoid α
x : α
xs : FreeMonoid α
hxs : f xs = g xs
⊢ f (of x * xs) = g (of x * xs)
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice β
m : MeasurableSpace α
f : α → β
⊢ essSup f 0 = ⊥
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ (QuotientAddGroup.equivIcoMod hp a) ↑b = ⟨toIcoMod hp a b, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] F
⊢ HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) f' s x ↔ HasFDerivWithinAt f ((↑iso.symm).comp f') s x
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
h₁ : a ^ (Fintype.card F / 2) * a ^ (Fintype.card F / 2) = 1
⊢ a ^ (Fintype.card F / 2) = 1 ∨ a ^ (Fintype.card F / 2) = -1
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
⊢ ∏ i : n, ↑(hA.eigenvalues i) = (↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues) * star ↑hA.eigenvectorUnitary).det
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
S : Set β
hβ : (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂
⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
x y : SetTheory.PGame
⊢ x + y ≈ y + x
M : Type u_1
AddMonoid M
a b c : M
h : IsAddUnit b
⊢ a + b = c + b → a = c
α : Type u
hα : Nonempty α
a : α
l : List α
x✝ : ∃ a_1, a :: l = replicate (a :: l).length a_1
n : ℕ
b : α
hb : a :: l = replicate (a :: l).length b
⊢ (a :: l).rotate n = a :: l
α : Type u
r : CommRing α
TopologicalSpace α
TopologicalRing α
⊢ SeparationQuotient α = (α ⧸ ⊥.closure)
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
inst✝ : NeZero m
i : Fin n
j : Fin m
x : Fin n
hx : x ≠ i
⊢ ↑(Pi.single i j x) * m ^ ↑x = 0
f : ℂ → ℂ
g : ℝ → ℝ
g' s : ℝ
hf : DifferentiableAt ℂ f ↑s
hg : HasDerivAt g g' s
hfg : ∀ (s : ℝ), f ↑s = ↑(g s)
⊢ deriv f ↑s = ↑g'
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
GroupWithZero α
DistribMulAction α A
a : α
ha : a ≠ 0
S : AddSubmonoid A
x : A
⊢ x ∈ a⁻¹ • S ↔ a • x ∈ S
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
⊢ ∃ c ∈ P.parts, c ≤ b
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : IsHausdorff ⊤ M
x y : M
n : ℕ
⊢ x - y ≡ 0 [SMOD ⊤]
p x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
hp : 1 < p
⊢ Irrational x
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ ¬Bornology.IsBounded univ
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
hs : BddBelow s
sne : s.Nonempty
ht : BddBelow t
tne : t.Nonempty
⊢ sInf (s ∪ t) = sInf s ⊓ sInf t
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : CommRing C
inst✝⁴ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι'
inst✝ : IsDomain A
b : ι → B
hli : ¬LinearIndependent A b
⊢ discr A b = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
NormedSpace ℝ F
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : MeasureTheory.Integrable f (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun a => ∫ (y : Ω), f (X a, y) ∂(ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) (X a)) μ
R : Type u_1
M : Type u
M' : Type v
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
HasRankNullity.{u, u_1} R
f : M →ₗ[R] M'
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ Cardinal.lift.{v, u} (Module.rank R M) =
  Cardinal.lift.{u, v} (Module.rank R M') + Cardinal.lift.{v, u} (Module.rank R ↥(LinearMap.ker f))
R : Type u
Ring R
a b : R[ℕ]
⊢ { toFinsupp := a - b } = { toFinsupp := a } - { toFinsupp := b }
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x y : E
⊢ Metric.ball x δ * {y} = Metric.ball (x * y) δ
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ E
⊢ ‖∫ (x : X), f x ∂μ‖ ≤ (μ Set.univ).toReal * ‖f‖
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ
q : ℤ := ⌈↑m₀ / ↑n⌉
m₁ : ℤ := q * ↑n - ↑m₀
⊢ fract (↑(-↑m₀) / ↑n) = ↑(-↑m₀ % ↑n) / ↑n
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
⊢ ¬∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m = 0
G : Type u_1
InvolutiveInv G
a : G
⊢ a⁻¹⁻¹ = a
M : Type u_1
AddMonoid M
M' : Type u_3
AddMonoid M'
AddMonoid.FG M
f : M →+ M'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ AddMonoid.FG M'
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
x : R
inst✝ : Away x S
⊢ (algebraMap R S) x = mk' S (↑⟨x, ⋯⟩) 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞
⊢ ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) I n (↑I.symm) (Set.range ↑I)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Monoid β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
n : ℕ
⊢ ↑(f ^ n) = ↑f ^ n
x : EReal
h : x < 0
⊢ ⊤ * x = ⊥
α : Type u_1
β : α → Type u_2
F G : (a : α) → Equiv.Perm (β a)
⊢ Equiv.trans (Equiv.Perm.sigmaCongrRight F) (Equiv.Perm.sigmaCongrRight G) =
  Equiv.Perm.sigmaCongrRight fun a => Equiv.trans (F a) (G a)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁴ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝³ : G.IsCocontinuous J K
inst✝² : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Sheaf K A
H : Sheaf J A
f : (G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F ⟶ H
⊢ (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val ≫ G.op.ran.map ((G.sheafPushforwardContinuousCompSheafToPresheafIso A J K).inv.app F) ≫ G.op.ran.map f.val ≫ 𝟙 ((G.sheafPushforwardCocontinuous A J K).obj H).val = ((G.op.ranAdjunction A).homEquiv F.val H.val) f.val
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
h : C ≌ D
⊢ CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty D
α : Type u_1
n : ℕ
x : α
b : Fin n → α
⊢ Set.range (Fin.cons x b) = insert x (Set.range b)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
s : Finset α
hs : a ∉ s
ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s
h₀ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.nonMemberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s
h₁ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.memberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s
⊢ (Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ✝
f✝ g✝ : α → β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mα : MeasurableSpace α
f : γ → α
μ : Measure γ
hf : MeasurableEmbedding f
g : α → β
⊢ AEStronglyMeasurable (g ∘ f) μ → AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
x : α
s : Set (Set α)
⊢ s ∈ v.filterAt x ↔ ∃ ε > 0, ∀ a ∈ v.setsAt x, a ⊆ Metric.closedBall x ε → a ∈ s
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
hι : Nonempty ι
K : ι → Subgroup G
hK : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
⊢ x ∈ iSup K ↔ ∃ i, x ∈ K i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
f g : Z ⟶ X ⊞ Y
h₀ : f ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst = g ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst
h₁ : f ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd = g ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd
⊢ f = g
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
⊢ x \ yᶜ = x ⊓ y
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : M
H : a ≤ 1
n : ℕ
⊢ a ^ n ≤ 1
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y
xs : Ultrafilter X.A
⊢ (X.a ≫ f.f) xs = Y.str (Ultrafilter.map f.f xs)
a : Ordinal.{u_4}
b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0
⊢ a % b < b
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y'
h : X' ⟶ G.obj Y
k : Y ⟶ Y'
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h (G.map k)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) ((adj.homEquiv X Y').symm g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((adj.homEquiv X' Y).symm h) k
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddMonoid β
StarAddMonoid β
ContinuousStar β
f : α →C₀ β
x : α
⊢ (star f) x = star (f x)
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
hε' : 0 < ε / 3
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
α : Type u_3
LinearOrder α
pred : α → α
hn : ∀ {a : α}, ¬IsMin a → ∀ (b : α), b ≤ pred a ↔ b < a
hm : ∀ (a : α), IsMin a → pred a = a
⊢ ∀ (a : α), PredOrder.pred a = pred a
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
l : Filter α
b a : α
s : Set α
h : pure a ≤ l
hs : s ∈ update pure a l a
⊢ ∀ᶠ (y : α) in update pure a l a, s ∈ update pure a l y
α : Type u_1
β : Type u_2
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g₁ g₂ : Equiv.Perm α
t : Set α
h : Set.RightInvOn (⇑g₁) (⇑g₂) t
⊢ Set.RightInvOn (⇑(g₁.extendDomain f)) (⇑(g₂.extendDomain f)) (Subtype.val ∘ ⇑f '' t)
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
⊢ CompleteSpace ((n : ℕ) → E n)
G : Type u_1
AddGroup G
s t : Set G
h : s ⊆ t
⊢ AddSubgroup.centralizer t ≤ AddSubgroup.centralizer s
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝² : Fintype (Sym2 α)
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
a b : α
e : Sym2 α
inst✝ : Fintype ↑(G.neighborSet a)
⊢ ∑ e : Sym2 α, incMatrix R G a e = ↑(G.degree a)
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
a : A
⊢ ↑((GradedRing.projZeroRingHom' 𝒜) a) = (GradedRing.projZeroRingHom 𝒜) a
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.169944}
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i < g i
x✝ : sum f ≥ prod g
F : ((i : ι) → Quotient.out (g i)) ↪ (i : ι) × Quotient.out (f i)
this : Inhabited ((i : ι) → Quotient.out (g i))
G : (i : ι) × Quotient.out (f i) → (i : ι) → Quotient.out (g i) := invFun ⇑F
sG : Surjective G
⊢ False
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Type u_4
β : Sort u_5
f : α → β
I : Injective f
a : α
b : β
h : partialInv f b = some a
hpi : partialInv f b = if h : ∃ a, f a = b then some (Classical.choose h) else none
h' : ∃ a, f a = b
⊢ f a = b
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
DecidableEq α
DecidableEq M
Zero M
DecidableEq P
Zero P
Zero N
F : M → N → P
F0 : F 0 0 = 0
f₁ f₂ : α →₀ M
g : α →₀ N
hF : ∀ (g : N), Function.Injective fun f => F f g
⊢ (Finsupp.zipWith F F0 f₁ g).neLocus (Finsupp.zipWith F F0 f₂ g) = f₁.neLocus f₂
R : Type u
Ring R
IsDomain R
⊢ ∃ q, ExpChar R q
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass M'
MulOneClass N'
f : M →* M'
g : N →* N'
⊢ (Monoid.Coprod.map f g).comp Monoid.Coprod.inl = Monoid.Coprod.inl.comp f
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
Fintype m
DecidableEq m
A : Matrix m m α
e₁ e₂ : n ≃ m
⊢ ∀ (x : Invertible A), (A.submatrixEquivInvertibleEquivInvertible e₁ e₂).symm x = A.submatrixEquivInvertible e₁ e₂
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G X
inst✝³ : IsometricSMul G X
inst✝² : PseudoEMetricSpace G
inst✝¹ : IsometricSMul G G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
x y : G
⊢ edist x⁻¹ y = edist x y⁻¹
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsClopen Set.univ
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : f.Nullhomotopic
g : C(Y, Z)
⊢ (g.comp f).Nullhomotopic
n m : Nat
h₁ : LE.le n m
h₂ : Not (Eq n m)
⊢ LT.lt n m
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
x y : (j : J) × F.obj j
⊢ CategoryTheory.Limits.Types.Quot.Rel F x y → CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.Rel F x y
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod
⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
this : (μ.toFinite.withDensity fun a => ∑' (n : ℕ), (sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite a) = μ.toFinite.withDensity (∑' (n : ℕ), (sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite)
n : ℕ
s✝ : Set α
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ (μ.toFinite.withDensity ((sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite)) s✝ = (sFiniteSeq μ n) s✝
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s t : Set α
hs : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → s ∈ l → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
ht : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → t ∈ l → ∃ x ∈ t, ↑l ≤ 𝓝 x
⊢ ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → (s ∈ l → ∃ x ∈ s ∪ t, ↑l ≤ 𝓝 x) ∧ (t ∈ l → ∃ x ∈ s ∪ t, ↑l ≤ 𝓝 x)
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
⊢ exterior s ⊆ s ↔ IsOpen s
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
a b : α
hab : a < b
hmem : h.min (Set.Ioc a b) ⋯ ∈ Set.Ioc a b
⊢ a ⋖ h.min (Set.Ioc a b) ⋯ ∧ h.min (Set.Ioc a b) ⋯ ≤ b
α : Type u_1
s : Set α
k : ℕ∞
hk : k ≤ s.encard
⊢ ∃ t ⊆ s, t.encard = k
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
⊢ StrictMono (nth p)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
⊢ (Polynomial.map f p).degree = p.degree
T : ℝ
⊢ ↑(Submonoid.closure (range fourier)) ⊆ ↑(span ℂ (range fourier))
α : Type u_1
s t : Set (Set α)
⊢ ⋃₀ s ∩ ⋃₀ t = ⋃ p ∈ s ×ˢ t, p.1 ∩ p.2
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : Filter α
self : f.IsMeasurablyGenerated
s : Set α
⊢ s ∈ f → ∃ t ∈ f, MeasurableSet t ∧ t ⊆ s
α : Type u_1
Preorder α
DenselyOrdered α
a b : α
h : a < b
⊢ Infinite ↑(Set.Ioo a b)
R : Type u_1
CommRing R
p : R[X]
⊢ (normalizeScaleRoots p).support ≤ p.support
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
l : Batteries.RBNode α
v : α
r : Batteries.RBNode α
lv : Batteries.RBNode.All (fun x => Batteries.RBNode.cmpLT cmp x v) l
vr : Batteries.RBNode.All (fun x => Batteries.RBNode.cmpLT cmp v x) r
hl : Batteries.RBNode.Ordered cmp l
hr : Batteries.RBNode.Ordered cmp r
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmp (l.balance2 v r)
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
⊢ CategoryTheory.IsPullback (f ∣_ U) ((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U).ι U.ι f
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type v
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
DecidableEq ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : CategoryTheory.Limits.Cocone (ModuleCat.directLimitDiagram G f)
⊢ (ModuleCat.directLimitIsColimit G f).desc s = Module.DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R
J : Submodule R R
hfg : J.FG
hle : J ≤ I
y : ↥J ⊗[R] M
hx₀ : (rTensor M (Submodule.subtype I ∘ₗ inclusion hle)) y = 0
⊢ (rTensor M (inclusion hle)) y = 0
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : a + b = 1
⊢ a < a + b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : s ≤ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
h_fin : μ s ≠ ⊤
⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ] univ
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
l : List α
acc : Array α
⊢ go f l acc = acc.toListAppend (lookmap f l)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
hs : BddAbove s
ht : BddAbove t
hst : (s ∩ t).Nonempty
⊢ sSup (s ∩ t) ≤ sSup s ⊓ sSup t
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Nontrivial R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Module R M'
v✝ : ι → M
s t : Set M
x y z : M
v : ι → M
inst✝ : Unique ι
⊢ LinearIndependent R v ↔ v default ≠ 0
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ a + b ∈ Set.Icc c d ↔ b ∈ Set.Icc (c - a) (d - a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset β
t : Finset α
f : α → Finset β
⊢ Disjoint s (t.biUnion f) ↔ ∀ i ∈ t, Disjoint s (f i)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
⊢ HasFDerivAt (f ⋆[L, μ] g) ((f ⋆[precompR G L, μ] fderiv 𝕜 g) x₀) x₀
x y : ℝ
⊢ Real.cosh (x - y) = Real.cosh x * Real.cosh y - Real.sinh x * Real.sinh y
M : Type u_6
AddMonoid M
A : Type u_5
SetLike A M
AddSubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
n : ℕ
⊢ n • ⟨x, hx⟩ = ⟨n • x, ⋯⟩
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
⊢ QuasiMeasurePreserving Inv.inv μ.inv.inv μ.inv.inv
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → αᵐᵒᵖ
a : αᵐᵒᵖ
hf : HasSum f a
⊢ HasSum (fun a => MulOpposite.unop (f a)) (MulOpposite.unop a)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
x : α
h : t ∈ 𝓝 x
⊢ ContinuousWithinAt f (s ∩ t) x ↔ ContinuousWithinAt f s x
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
a' : α
ha'b : a' ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨a', ha'b⟩
d : α
hd : IsAtom d ∧ d ≤ a'
⊢ ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ b
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => ‖f ↑x‖
him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hz : 0 ≤ z.re
ε : ℝ
ε₀ : ε ∈ Iio 0
⊢ ‖cexp (↑ε * z) • f z‖ ≤ C
K : Type u_1
Field K
p q : K[X]
hpq : p ∣ q
h₁ : p.degree = q.degree
⊢ Associated p q
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n p k : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hk : ¬IsPeriodicPt f (p ^ k) x
hk1 : IsPeriodicPt f (p ^ (k + 1)) x
⊢ minimalPeriod f x = p ^ (k + 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
TopologicalSpace N'
ChartedSpace H'' N'
V : Type u_10
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
f : C^⊤⟮I'', N'; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
g : C^⊤⟮I'', N'; 𝓘(𝕜, V), V⟯
h : C^⊤⟮I, N; I'', N'⟯
⊢ (f • g).comp h = f.comp h • g.comp h
n : ℕ
α α' β β' : TypeVec.{u_1} n
f : α ⟹ β
g : α' ⟹ β'
⊢ prod.fst ⊚ (f ⊗' g) = f ⊚ prod.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
h : s ⊂ t
a : α
ht : a ∈ t
hs : a ∉ s
⊢ ∃ a ∈ t, s ⊆ t.erase a
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
⊢ NonUnitalSubsemiring.closure Set.univ = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
A B : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F
f g : A ⟶ B
h : f.val = g.val
⊢ f = g
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ
⊢ taylorWithinEval f (n + 1) s x₀ x =
  taylorWithinEval f n s x₀ x + (((↑n + 1) * ↑n !)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ s₁ ⊆ s₁ ∪ s₂