ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ.tilted f = ∫⁻ (x : α) in s, ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * g x ∂μ
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
⊢ IsVanKampenColimit c
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
x y : A
h : x = y
⊢ φ x = φ y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
H : p ≠ 0
⊢ p.natDegree ∈ p.support
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
p : ℕ
hp : p ≠ 0
hdiv : p ∣ k
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ p) (k / p)
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set Y
hU : U ∈ {U | IsOpen U}
⊢ IsOpen {f | MapsTo (⇑f) K U}
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
⊢ filter (fun x => i ≠ x) f = erase i f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
S : Type u_10
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
i : ι
⊢ ((b.constr S) f) (b i) = f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
⊢ ∀ᵐ (a_1 : γ) ∂ν a, Antitone fun i => κ.density ν a a_1 (seq i)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
H : IsJacobson R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
p : Ideal S
hp : p.IsPrime
⊢ ∃ M, (∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ p = sInf M
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : ∀ (v : X → ℝ) (x y : X), ∃ f ∈ L, f x = v x ∧ f y = v y
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
nX : Nonempty X
g : X → X → C(X, ℝ)
hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L
w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x
w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y
U : X → X → Set X := fun x y => {z | f z - ε < (g x y) z}
U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y
ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose
ys_w : ∀ (x : X), ⋃ y ∈ ys x, U x y = ⊤ := fun x => Exists.choose_spec (CompactSpace.elim_nhds_subcover (U x) (U_nhd_y x))
ys_nonempty : ∀ (x : X), (ys x).Nonempty
h : X → ↑L := fun x => ⟨(ys x).sup' ⋯ fun y => g x y, ⋯⟩
lt_h : ∀ (x z : X), f z - ε < ↑(h x) z
h_eq : ∀ (x : X), ↑(h x) x = f x
W : X → Set X := fun x => {z | ↑(h x) z < f z + ε}
W_nhd : ∀ (x : X), W x ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ x, dist x f < ε ∧ x ∈ L
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
x : M × M₂
⊢ (LinearMap.snd R M M₂) x = x.2
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s t : Finset α
f : α → β
⊢ ∑ x ∈ s ∩ t, f x + ∑ x ∈ s \ t, f x = ∑ x ∈ s, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Add γ
f : α → β
g₁ g₂ : α → γ
e₁ e₂ : β → γ
⊢ Function.extend f (g₁ + g₂) (e₁ + e₂) = Function.extend f g₁ e₁ + Function.extend f g₂ e₂
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
h : IsGLB s a
⊢ lowerBounds s = Set.Iic a
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hconj : ∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
x₀ : G
⊢ 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
h : IsMin a
⊢ Set.Iio a = ∅
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
g : γ → δ
f' : β' → α' → δ
g₁ : β → β'
g₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)
⊢ g '' image2 f s t = image2 f' (g₁ '' t) (g₂ '' s)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
⊢ LieModule.weightSpaceChain M (-χ₁) χ₂ (-q) (-p) = LieModule.weightSpaceChain M χ₁ χ₂ p q
f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
a : ↥circle := ⟨f 1, ⋯⟩
this : (f.trans (rotation a).symm) 1 = 1
⊢ f = rotation a ∨ f = conjLIE.trans (rotation a)
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
hμm : MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ μ[f|m] = f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : SchwartzMap E F
x : E
⊢ ((SchwartzMap.toBoundedContinuousFunctionCLM 𝕜 E F) f) x = f x
M : Type u_1
AddSemigroup M
⊢ AddSubsemigroup.centralizer Set.univ = AddSubsemigroup.center M
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : ProbabilityTheory.IndepFun X Y μ
hX : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
hY : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
⊢ ProbabilityTheory.mgf (X + Y) μ t = ProbabilityTheory.mgf X μ t * ProbabilityTheory.mgf Y μ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : s.card = Fintype.card α
⊢ univ.card ≤ s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ Antitone (Function.leftLim f)
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
n : ℤ
⊢ a ^ n = 1 ↔ n = 0
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
x : R
⊢ (algebraMap R P) x ∈ 1
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
Φ : Subspace K (Module.Dual K V)
⊢ finrank K ↥(dualCoannihilator Φ) = finrank K ↥(dualAnnihilator Φ)
H : Type u
TopologicalSpace H
s : Set H
hs : IsOpen s
⊢ PartialHomeomorph.ofSet s hs ∈ idRestrGroupoid
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
e : α ≃ᵐ β
⊢ MeasureTheory.Measure.comap (⇑e.symm) μ = MeasureTheory.Measure.map (⇑e) μ
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕝 : Type u_3
R : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
M : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : CommSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
l : Filter α
f : α → WeakBilin B
x : WeakBilin B
hB : Function.Injective ⇑B
⊢ Tendsto f l (𝓝 x) ↔ ∀ (y : F), Tendsto (fun i => (B (f i)) y) l (𝓝 ((B x) y))
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ FractionalIdeal.count K v ↑v.asIdeal = 1
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
⊢ NonUnitalSubsemiring.closure ∅ = ⊥
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
a₀ x : α
h : a₀ ≠ 0
hx : ¬IsUnit x
⊢ ∃ n a, ¬x ∣ a ∧ a₀ = x ^ n * a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ffmE : Fact (μ E < ⊤)
hInner : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : ⊥ ≠ ⊤
⊢ μ ↑⊥ = 0
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α}, l <:+ [] ↔ l = []
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom 0 = 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
n m : ℕ
h : n < m
⊢ ↑n + 1 < ↑m + 1
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
γ : (a : α) → β a → Sort u_3
δ : (a : α) → (b : β a) → γ a b → Sort u_4
p q : (a : α) → (b : β a) → (c : γ a b) → δ a b c → Prop
h : ∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b) (d : δ a b c), p a b c d ↔ q a b c d
⊢ (∃ a b c d, p a b c d) ↔ ∃ a b c d, q a b c d
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
c : idx × ℕ →₀ ℕ
sum_induction_steps : (map (Int.castRingHom ℚ)) (∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i)) = ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)
⊢ (fun x => ↑x) (coeff c ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)) / ↑p ^ n).num = coeff c ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)) / ↑p ^ n
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : FunLike 𝓕 E F
ι : Type u_11
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_12
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
C : ℝ
L : (i : ι) → E →L[𝕜] M i
hL : ∀ (i : ι), ‖L i‖ ≤ C
hC : 0 ≤ C
x : E
⊢ ‖(pi L) x‖ ≤ C * ‖x‖
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
Preorder 𝕆
Preorder α
GradeOrder 𝕆 α
a : α
⊢ grade 𝕆ᵒᵈ (OrderDual.toDual a) = OrderDual.toDual (grade 𝕆 a)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
ys₁ ys₂ : List β
⊢ (↑(suffixLevenshtein C xs ys₂)).minimum ≤ (↑(suffixLevenshtein C xs (ys₁ ++ ys₂))).minimum
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : Products I
hl : ↑l ≠ []
hlh : (↑l).head! = term I ho
⊢ ↑l = term I ho :: ↑l.Tail
α : Type u_2
Semiring α
a b : α
ha : Odd a
hb : Even b
⊢ Odd (a + b)
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : N
i : ι
⊢ (TensorProduct.piScalarRightInv R S N ι) (Pi.single i x) = x ⊗ₜ[R] Pi.single i 1
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : IsTorsionBySet K[X] (AEval K M f) ↑(Ideal.span {p})
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}
this✝¹ : IsReduced R
this✝ : FiniteDimensional K R
this : IsArtinianRing R
⊢ f.IsSemisimple
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
R₁ R₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₂ : R₂.Exact
hR₁' : CategoryTheory.Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
h₀ : CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 0 ⋯)
h₁ : CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 2 ⋯)
⊢ CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 1 ⋯)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H ≠ ⊥ ↔ ∃ a, a ≠ 0
M : Type u_10
One M
x : M
⊢ (OneHom.id M) x = x
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
z : α (Fin.last n)
⊢ Fin.init (Function.update q (Fin.last n) z) = Fin.init q
R : Type u
CommRing R
ι : Type u_1
I : ι → Ideal R
x : R
i : ι
⊢ (Ideal.quotientInfToPiQuotient I) ((Ideal.Quotient.mk (⨅ i, I i)) x) i = (Ideal.Quotient.mk (I i)) x
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - ↑p ^ (-s))⁻¹) atTop (𝓝 (riemannZeta s))
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
DecidableEq ι
AddCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
AddCommMonoid μ'
Finset.HasAntidiagonal μ'
DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
⊢ Finset.map (Finsupp.mapRange.addEquiv e).toEmbedding (s.finsuppAntidiag n) = s.finsuppAntidiag (e n)
M : Type u_5
N : Type u_6
Add M
Add N
x y : M × N
hm : AddCommute x.1 y.1
hn : AddCommute x.2 y.2
⊢ AddCommute x y
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}
hle : (altitude t₁ i₃).directionᗮ ≤ (affineSpan ℝ {t₁.orthocenter, t₁.points i₃}).directionᗮ
⊢ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ {t₁.orthocenter, t₁.points i₃}).directionᗮ
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul G G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
⊢ edist a⁻¹ b⁻¹ = edist a b
α : Type u
a : α
L : List α
⊢ L ⊆ [a] ↔ ∃ n, L = List.replicate n a
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring C
DistribMulAction R C
Star C
f : A →⋆ₙₐ[R] B
g : A →⋆ₙₐ[R] C
⊢ ⇑(f.prod g) = Pi.prod ⇑f ⇑g
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
AddCommGroup V3
Module k V3
AffineSpace V3 P3
f : P2 →ᵃ[k] P3
g : P1 →ᵃ[k] P2
p : P1
⊢ (f.comp g) p = f (g p)
G : Type u_1
AddGroup G
Finite G
x y : G
h : addOrderOf x = addOrderOf y
n : ℕ
⊢ (zmultiplesEquivZMultiples h) ⟨n • x, ⋯⟩ = ⟨n • y, ⋯⟩
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
h : ∀ᵐ (x : α) (y : α) ∂μ, f x = f y
⊢ AEMeasurable f μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.triangleOpEquivalence C).unitIso =
  CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.unitIso C
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
S : Set (Subfield K)
this : ∀ {s t : Subfield K}, ↑s ≤ ↑t ↔ s ≤ t
⊢ ↑(sInf S) = ⨅ x ∈ S, ↑x
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
this : xInTermsOfW p ℚ n * C (↑p ^ n) = X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)
⊢ wittStructureRat p Φ n * C (↑p ^ n) = (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalSeminormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
RegularNormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜'
⊢ ‖(ContinuousLinearMap.mul 𝕜 𝕜') x‖₊ = ‖x‖₊
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
s : Set Y
f : ↑s →ᵇ ℝ
hs : IsClosed s
t : Set ℝ
inst✝ : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : ↑s), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ g.restrict s = f
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s : Finset α
a : α
⊢ {a} - s = Finset.image (fun x => a - x) s
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
β : Type u_6
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure β
C : β → Set α → Prop
s : Set (Set α)
m : MeasurableSpace α
h_eq : m = generateFrom s
h_inter : IsPiSystem s
h_empty : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, C x ∅
h_basic : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ∀ t ∈ s, C x t
h_compl : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → C x t → C x tᶜ
h_union : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ∀ (f : ℕ → Set α), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), C x (f i)) → C x (⋃ i, f i)
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ∀ ⦃t : Set α⦄, MeasurableSet t → C x t
α : Type u
a b : α
s : Set α
⊢ s ⊆ {a, b} ↔ ∀ x ∈ s, x = a ∨ x = b
x : ℝ*
⊢ x.Infinitesimal ↔ ∀ (r : ℝ), 0 < r → -↑r < x ∧ x < ↑r
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
p : Prop
Decidable p
s : Finset α
f g : α → β
⊢ (∑ x ∈ s, if p then f x else g x) = if p then ∑ x ∈ s, f x else ∑ x ∈ s, g x
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
r : R
f : R[X]
s : R
⊢ eval s ((taylor r) f) = eval (s + r) f
α : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring α
m' : Type u_1
x : α
A : Fin 0 → m' → α
⊢ x • A = ![]
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
β : Type u_5
ConditionallyCompleteLattice β
f : α → β
hf : Monotone f
hs : s.Nonempty
⊢ f (sInf s) = sInf (f '' s)
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Cardinal.toNat (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
x✝¹ : E
x✝ : ℕ
⊢ P' x✝¹ x✝ = ContinuousMultilinearMap.pi fun i => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousMultilinearMap (P' x✝¹ x✝)
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
⊢ s ∈ fixedBy (Set α) g
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
AddCommSemigroup β
f : α → β
a b : α
⊢ f (min a b) + f (max a b) = f a + f b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b✝ c : β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
b : β
⊢ b ∈ filter p (image f s) ↔ b ∈ image f (filter (fun a => p (f a)) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a✝¹ : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ ((κ a✝¹).withDensity (1 a✝¹)) s✝ = (κ a✝¹) s✝
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → ℝ
hf : f ∈ stdSimplex ℝ ι
x : ι
⊢ dist (f x) (0 x) ≤ 1
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : Prop
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet {_a | p} μ
X : Type u_2
Y : Sort u_3
Z : Type u_1
f : X → Y
g : Z → X
inj : Function.Injective g
⊢ Function.mapPullback g id g ⋯ ⋯ ⁻¹' Function.pullbackDiagonal f = Function.pullbackDiagonal (f ∘ g)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝¹ : Group N✝
f✝ : G →* N✝
N : Type u_6
inst✝ : Group N
H : Subgroup G
f : N →* G
hf : Injective ⇑f
h : H.normalizer ≤ f.range
⊢ map f (comap f H).normalizer ≤ H.normalizer
R : Type u
CommSemiring R
ι : Type u_2
s : Finset ι
I : ι → R
hI : (↑s).Pairwise (IsCoprime on I)
⊢ (s.inf fun i => Ideal.span {I i}) = Ideal.span {∏ i ∈ s, I i}
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E
⊢ s / Metric.closedBall x δ = x⁻¹ • Metric.cthickening δ s
α : Type ua
V : Set (α × α)
⊢ SymmetricRel (symmetrizeRel V)
α : Type u_1
n : ℕ
l : List α
⊢ List.enumFrom n l = [] ↔ l = []
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M
hx : x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
⊢ 0 ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddRightInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.1 - z.2, z.2)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : ℕ → Set (β × γ)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf_disj : Pairwise (Disjoint on f)
h_Union : (fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ ⋃ i, f i}) = fun b => (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i})
h_tsum : (fun b => (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i})) = fun b => ∑' (i : ℕ), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ f i}
⊢ ∑' (i : ℕ), ∫⁻ (a_1 : β), (η (a, a_1)) {c | (a_1, c) ∈ f i} ∂κ a = ∑' (i : ℕ), κ.compProdFun η a (f i)
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Polynomial.toLaurent Polynomial.X = LaurentPolynomial.T 1