ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁴ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace R F
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle R F E
this✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
h₁ : Trivialization.IsLinear R (a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he)
⊢ ↑(Trivialization.coordChangeL R (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') b) v = (a.coordChange he he' b) v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
h : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J F
hG : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf
⊢ G = CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf.sheafify J G
s : Set ℕ
hs : ∀ (k₁ k₂ : ℕ), k₁ ≤ k₂ → k₁ ∈ s → k₂ ∈ s
k : ℕ
⊢ sInf s = k + 1 ↔ k + 1 ∈ s ∧ k ∉ s
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsLindelof t
⊢ IsLindelof (s ∪ t)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
η : Type u_8
s : Set η
t : η → Set M
hs : DirectedOn (t ⁻¹'o fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, LinearIndependent R fun (x : ↑(t a)) => ↑x
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(⋃ a ∈ s, t a)) => ↑x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
X : LeftInvariantDerivation I G
f : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
f' : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
⊢ X (f * f') = f • X f' + f' • X f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
hn : p₂ ≠ p₃
h : dist p₁ p₂ = dist p₁ p₃
⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = ↑π - 2 • ∡ p₁ p₂ p₃
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
s t : Set α
⊢ univ / univ = univ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero S.X₂
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : Infinite α
s : Set β
f : α → β
hi : Injective f
hf : range f ⊆ s
⊢ s.Infinite
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift f g
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.lanLiftLeftLift f g).unit = CategoryTheory.Bicategory.lanLiftUnit f g
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X Y : C
g : X ⟶ Y
⊢ F'.map g ≫ (fun X => F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X)) Y = (fun X => F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X)) X ≫ F.map g
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
h : HasGradientWithinAt f f' s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b : α
ZeroLEOneClass α
PosMulMono α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 ≤ b
⊢ 1 ≤ a * b
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᵐ[μ] g
⊢ μ.withDensity f ≤ μ.withDensity g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
⊢ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) = ⊤
α : Type u_1
S : Set (Set α)
t : Set α
⊢ Disjoint (⋃₀ S) t ↔ ∀ s ∈ S, Disjoint s t
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMaxOrder α
NoMinOrder α
a : α
p : α → Prop
hp : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 a, p x
⊢ ∃ l u, a ∈ Set.Ioo l u ∧ Set.Ioo l u ⊆ {x | p x}
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Abelian C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
S : ShortComplex C
hS : kernel.ι (F.map S.g) ≫ cokernel.π (F.map S.f) = 0
⊢ F.map (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
di : DenseInducing i
s : Set α
⊢ Dense (i '' s) ↔ Dense s
α : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
x : α
f : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet ((fun y => (x, f y)) '' s)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (tensorLeft P.X).map (coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = (tensorLeft P.X).map (coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X P (Q.tensorBimod L))
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ ≤ π / 2
n k : ℕ
h : MinFacHelper n k
this : 2 < n.minFac
⊢ 1 < n
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q :
  ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj
          (CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f))).toPresheafedSpace
⊢ Ideal.IsHomogeneous 𝒜 (AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier.asIdeal f_deg hm q)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
j : α
hij : j ≠ i
⊢ ↑(lp.single p i a) j = 0
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
⊢ ∃ h, Bijective h
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
a : A
d : Derivation R A M
f : Polynomial R
⊢ (d.compAEval a) f = Polynomial.derivative f • (Module.AEval.of R M a) (d a)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R B)
cl : ∀ {x : B}, IsIntegral R x ↔ ∃ y, (algebraMap R B) y = x
⊢ IsIntegrallyClosedIn R A
m n k : ℕ
h : k < n
⊢ ↑(finAddFlip ⟨k, ⋯⟩) = k + 1
p : Char → Bool
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝
⊢ (x✝.takeWhile p).toString.data = List.takeWhile p x✝.toString.data
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r
⊢ ↑b ^ Int.log b r ≤ r
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
⊢ (fun x => f x ^ n.succ) =o[l] fun x => g x ^ n.succ
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.yz a1 (n + 2) = ↑(2 * a) * Pell.yz a1 (n + 1) - Pell.yz a1 n
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : Finmap β
⊢ (Finmap.lookup a s).isSome = true ↔ a ∈ s
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z
⊢ x ⊔ y < z \ y ⊔ y
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • (sec (v i)).1 = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
Ω : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {X : Ω → E} {s : Set E},
  μ s ≠ 0 → μ s ≠ ⊤ → MeasureTheory.pdf.IsUniform X s ℙ μ → MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ
R : CommRingCat
f : ↑R
x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace
⊢ IsUnit ((StructureSheaf.toStalk (↑R) x) f) ↔ f ∉ x.asIdeal
α : Type u
R : α → α → Prop
l₁ l₂ : List α
h : List.Chain' R (l₁ ++ l₂)
⊢ List.Chain' R l₁
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {f : α → Option α_1} {n : Nat} {a : α},
  (f a).isSome = true → List.findSome? f (List.replicate n a) = if n = 0 then none else f a
V : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} V
CategoryTheory.Abelian V
X Y Z : Vᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
⊢ imageToKernel g.unop f.unop ⋯ =
  (CategoryTheory.Limits.imageSubobjectIso g.unop ≪≫ (CategoryTheory.imageUnopUnop g).symm).hom ≫
    (CategoryTheory.Limits.cokernel.desc f (CategoryTheory.Limits.factorThruImage g) ⋯).unop ≫
      (CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectIso f.unop ≪≫ CategoryTheory.kernelUnopUnop f).inv
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : DistribMulAction 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg : StrictConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y + (a • g x + b • g y) = a • (f x + g x) + b • (f y + g y)
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
x : EReal
hx : ⊥ < x
⊢ ∃ i', True ∧ Iio ↑i' ⊆ Iio x
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι✝
b✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_1
inst✝ : _root_.Finite ι
b : Basis ι R M
⊢ range (Dual.eval R M) = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z✝ z : 𝕜
hxz : 0 ≤ z - x
hyz : 0 ≤ y - z
h : x < y
⊢ z ∈ [x-[𝕜]y]
α : Type u_1
a : Array α
i : Fin a.size
v : α
j : Nat
pj : j < (a.set i v).size
h : ↑i ≠ j
⊢ (a.set i v)[j] = a[j]
α : Type u_2
Fintype α
⊢ ∅.dens = 0
x : ℝ
hx : rexp 1 ≤ x
⊢ 1 + AkraBazziRecurrence.smoothingFn x ≤ 2
R : Type u_1
AddGroup R
StarAddMonoid R
x : ↥(selfAdjoint R)
⊢ star ↑x = ↑x
M₀ : Type u
self : MulZeroClass M₀
a : M₀
⊢ a * 0 = 0
P : Type u_2
MetricSpace P
p₁ p₂ : P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
⊢ dist s.center p₁ = dist s.center p₂
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ
Qₚ_max : (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ).IsMaximal
⊢ comap (algebraMap R S) (comap (algebraMap S Sₚ) Qₚ) = comap (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (LocalRing.maximalIdeal (Localization P.primeCompl))
K : Type u_1
RCLike K
r : ℝ
z : K
⊢ RCLike.im (↑r * z) = r * RCLike.im z
V : Type v
inst✝² : Category.{w, v} V
inst✝¹ : MonoidalCategory V
C : Type u₁
inst✝ : EnrichedCategory V C
W X Y Z : C
⊢ (α_ (EnrichedCategory.Hom W X) (EnrichedCategory.Hom X Y) (EnrichedCategory.Hom Y Z)).hom ≫ EnrichedCategory.Hom W X ◁ eComp V X Y Z ≫ eComp V W X Z = eComp V W X Y ▷ EnrichedCategory.Hom Y Z ≫ eComp V W Y Z
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
⊢ x ≤ y ↔ ReflTransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
α : Type w
Finite α
X : α → LightProfinite
B : LightProfinite
e : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (LightProfinite.finiteCoproduct.ι X a) (LightProfinite.finiteCoproduct.desc X e) =
  e a
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : OrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g✝ : ι → α
a a₁ a₂ : α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Injective e
hs : ∀ c ∉ Set.range e, 1 ≤ g c
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g (e i)
hf : HasProd (extend e f 1) a₁
hg : HasProd g a₂
⊢ a₁ ≤ a₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ ConvexOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧ s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₀ : β → P.A
g₁ : (b : β) → P.drop.B (g₀ b) ⟹ α
g₂ : (b : β) → P.last.B (g₀ b) → β
x : β
⊢ MvPFunctor.M.dest P (MvPFunctor.M.corec' P g₀ g₁ g₂ x) =
  ⟨g₀ x, TypeVec.splitFun (g₁ x) (MvPFunctor.M.corec' P g₀ g₁ g₂ ∘ g₂ x)⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hmeas : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ,
  ∃ (_ : 0 < δ),
    ∀ (s : Set α),
      MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → MeasureTheory.eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ 2 * ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
h : ¬{i | ¬∃ b, p.c b ∉ p.iUnionUpTo i ∧ p.R i ≤ p.τ * p.r b}.Nonempty
⊢ Function.Injective p.index
α : Type u
β : Type u_1
m n✝ : ℕ
s : Finset ℕ
hm : 2 ≤ m
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range n, m ^ k = (m ^ n - 1) / (m - 1)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ : R[X]
p : ℕ
n : R
x✝ : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C n * Polynomial.X ^ p)) = Polynomial.C n * Polynomial.X ^ p
⊢ eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C n * Polynomial.X ^ (p + 1))) = Polynomial.C n * Polynomial.X ^ (p + 1)
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ [(starRingEnd K) z = z, ∃ r, ↑r = z, ↑(RCLike.re z) = z, RCLike.im z = 0].TFAE
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
m : Multiset R[A]
a b : A
⊢ OrderDual.ofDual (degt (a + b)) ≤ OrderDual.ofDual (degt a + degt b)
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddGroup β
f : α → β
hf : IsAddGroupHom f
a b : α
⊢ f (a - b) = f a - f b
α : Type u_2
self : NormedLinearOrderedGroup α
x y : α
⊢ dist x y = ‖x / y‖
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥⊤ = FiniteDimensional.finrank R M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
fs : ℕ → α →ₛ β
hT_lt_top : ∀ (n : ℕ), μ (support ↑(fs n)) < ⊤
h_approx : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(fs n) x) atTop (𝓝 (f x))
T : ℕ → Set α := fun n => support ↑(fs n)
⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ (∀ x ∈ tᶜ, f x = 0) ∧ SigmaFinite (μ.restrict t)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : CompactSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
⊢ CompactSpace X
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Module α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0
s : Set ℝ
hs : s.Nonempty
⊢ sInf (a • s) = a • sSup s
α : Type u_1
o₁ o₂ : Option α
⊢ (∀ (a : α), a ∈ o₁ ↔ a ∈ o₂) → o₁ = o₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P Q : Cᵒᵖ × CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
α : P ⟶ Q
x : (CategoryTheory.yonedaEvaluation C).obj P
⊢ ((CategoryTheory.yonedaEvaluation C).map α x).down = α.2.app Q.1 (P.2.map α.1 x.down)
S : Type v
T : Type w
CommRing T
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
NoZeroSMulDivisors T S
a : T
ha : a ≠ 0
n : ℕ
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ n).aroots S = n • {0}
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
⊢ Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C D
e : F₁ ≅ F₂
F₁.CommShift ℤ
F₂.CommShift ℤ
CategoryTheory.NatTrans.CommShift e.hom ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Functor.mapTriangleIso e).inv.app X).hom₂ = e.inv.app X.obj₂
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S : StarSubalgebra ℂ A
φ ψ : ↑(characterSpace ℂ ↥(elementalStarAlgebra ℂ a))
h : characterSpaceToSpectrum a φ = characterSpaceToSpectrum a ψ
⊢ Continuous ⇑ψ
x y : ℝ
hx : 0 < x
⊢ rexp (log x) = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 2
h₀ : f.obj' 0 ⋯ = g.obj' 0 ⋯
h₁ : f.obj' 1 ⋯ = g.obj' 1 ⋯
h₂ : f.obj' 2 ⋯ = g.obj' 2 ⋯
w₀ :
  f.map' 0 1 ⋯ ⋯ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom h₀)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (g.map' 0 1 ⋯ ⋯) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
w₁ :
  f.map' 1 2 ⋯ ⋯ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom h₁)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (g.map' 1 2 ⋯ ⋯) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
⊢ f = g
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p q : Submodule R M
⊢ ↑(p ⊓ q) = ↑p ∩ ↑q
M : Type u_1
Add M
s : Set M
⊢ AddSubsemigroup.closure (Subtype.val ⁻¹' s) = ⊤
a b c : Ordinal.{u}
h₁ : a ≤ b
h₂ : 0 ≤ c
⊢ c ⨳ a ≤ c ⨳ b
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
h : s ⊆ t
⊢ s.ndunion t = t
x : ℝ
h : x ≠ 1
⊢ HasDerivWithinAt Real.arccos (-(1 / √(1 - x ^ 2))) (Set.Iic x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
f : α → β
hf : ↑e = f
g : β → α
hg : ↑e.symm = g
s : Set α
hs : e.source = s
t : Set β
ht : e.target = t
⊢ (e.copy f hf g hg s hs t ht).target = t
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
Zero M
Zero N
FunLike F M N
ZeroHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
x : M
⊢ f x = 0 ↔ x = 0
R : Type u
CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
f : RatFunc R
⊢ (RatFunc.laurent r) ((RatFunc.laurent s) f) = (RatFunc.laurent (r + s)) f
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
⊢ ((aeval f) F).natDegree ≤ m * n
N : ℕ
NeZero N
R : Type u_1
CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
h_ne : gaussSum χ e ≠ 0
⊢ χ.FactorsThrough d
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsSigmaCompact s ↔ SigmaCompactSpace ↑s
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)
this : eval 1 (∏ k ∈ range n, (X - C (μ ^ (k + 1) * 1))) = eval 1 (∑ i ∈ range (n + 1), X ^ i)
⊢ ∏ k ∈ range n, (1 - μ ^ (k + 1)) = ↑n + 1
f : ℕ → ℝ≥0
⊢ ¬Summable f ↔ Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop Filter.atTop
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c a b : G
⊢ a * (a⁻¹ * b) = b
α : Type u_2
Add α
s t : Set α
⊢ AddOpposite.op '' (s + t) = AddOpposite.op '' t + AddOpposite.op '' s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
EquivLike F α β
OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β
⊢ EquivLike.inv f b ≤ a ↔ b ≤ f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : a ≤ b
⊢ a - b = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
⊢ Filter.comap (⇑e) Filter.atBot = Filter.atBot
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ mellin (fun t => f (t ^ a)) s = |a|⁻¹ • mellin f (s / ↑a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
Preorder α
f g : ι →₀ α
⊢ ⇑f < ⇑g ↔ f < g
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hr✝ : ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), (fun x => dist x p = r) (s.points i)
hr : ∃ r, ∀ a ∈ Set.range fun i => s.points i, dist a p = r
⊢ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p) = s.circumcenter
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j : ι
⊢ f j ∈ (span 𝕜 {(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i})ᗮ