ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ Y
R : CategoryTheory.Sieve Z
⊢ CategoryTheory.Sieve.pushforward (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f) R =
  CategoryTheory.Sieve.pushforward f (CategoryTheory.Sieve.pushforward g R)
p : ℕ
hp : 1 < p
⊢ padicValRat p ↑p = 1
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
H : IsIrreducible s
⊢ IsConnected s
n : Nat
j : Fin (n + 1)
h : j ≠ 0
⊢ ↑(j.pred h) = ↑j - 1
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y✝ : R✝
inst✝¹ : CommSemiring R✝
x y : R✝
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
⊢ sInf {J | ⊥ ≤ J ∧ J.IsPrime} = sInf {J | J.IsPrime}
α : Type u_1
Preorder α
b x : α
⊢ x ∈ Set.Iio b ↔ x < b
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n ∈ Complex.slitPlane
G✝ : Type u_1
inst✝² : Group G✝
H : Subgroup G✝
inst✝¹ : H.Normal
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
⊢ Group.nilpotencyClass G ≤ 1
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
m₁ : M i
m₂ : M j
w : Monoid.CoprodI.Word M
⊢ ⟨i, m₁⟩ ∈ (Monoid.CoprodI.of m₂ • w).toList ↔ ⟨i, m₁⟩ ∈ w.toList
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
R : Type u_1
S : Type u_2
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
h : R →+* S
f : Π₀ (i : ι), β i
g : (i : ι) → β i →+ R
⊢ h ((DFinsupp.sumAddHom g) f) = (DFinsupp.sumAddHom fun i => h.toAddMonoidHom.comp (g i)) f
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable G
MeasurableSpace G
s t : Set α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
MeasurableVAdd G α
fund_dom_s : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
fund_dom_t : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G t μ
⊢ MeasureTheory.Measure.map (Quotient.mk (AddAction.orbitRel G α)) (μ.restrict s) =
  MeasureTheory.Measure.map (Quotient.mk (AddAction.orbitRel G α)) (μ.restrict t)
α : Type u_1
c : Set (Set α)
⊢ (⋂₀ c).Nonempty ↔ ∃ a, ∀ b ∈ c, a ∈ b
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsPerfectMatching
c : G.ConnectedComponent
⊢ (M.induce c.supp).IsMatching
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K✝ : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
K : Type u_9
E : Type u_10
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module K E
s : Submodule K E
x : E
⊢ Disjoint s (span K {x}) ↔ x ∈ s → x = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
Inv α
s : Finset α
⊢ s⁻¹.card ≤ s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s \ t).card + t.card = (s ∪ t).card
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
⊢ IsClosed {p | Inseparable p.1 p.2}
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
a : α
l : List α
f : α → β → m β
b : β
⊢ List.foldrM f b (a :: l) = List.foldrM f b l >>= f a
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R x y
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
M' : Submodule R S
h : M' ≤ M
inst✝ : Module.Flat R ↥N
i : ↥M' ⊗[R] ↥N →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion h)
hi : Function.Injective ⇑i
⊢ M'.LinearDisjoint N
R : Type u_1
S : Type ?u.48975
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N✝ : Type ?u.49440
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N✝
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N✝
P : Type ?u.50580
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f : M →ₗ[R] N✝
g : N✝ →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
N : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ Submodule.map (𝔪 • ⊤).mkQ N = ⊤ ↔ N = ⊤
α : Type u_2
CompletePartialOrder α
d : Set α
a : α
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
ha : a ∈ d
⊢ a ≤ sSup d
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
al : Perm ιa
ar : Perm ιb
⊢ Perm.sign (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) • domDomCongr (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) (a.domCoprod b) = Perm.sign σ • (domDomCongrEquiv σ) (Perm.sign al • Perm.sign ar • (domDomCongr al a).domCoprod (domDomCongr ar b))
ι : Type u_4
Unique ι
f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4}
⊢ Ordinal.sup f = f default
a b : ℕ
ha2 : a % 2 = 1
hb2 : b % 2 = 1
ha3 : a % 4 = 3
⊢ (if a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3 then -J(↑b | a) else J(↑b | a)) = J(↑a | b)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
iso₁ : A.obj₁ ≅ B.obj₁
iso₂ : A.obj₂ ≅ B.obj₂
iso₃ : A.obj₃ ≅ B.obj₃
comm₁ : autoParam (A.mor₁ ≫ iso₂.hom = iso₁.hom ≫ B.mor₁) _auto✝
comm₂ : autoParam (A.mor₂ ≫ iso₃.hom = iso₂.hom ≫ B.mor₂) _auto✝
comm₃ : autoParam (A.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map iso₁.hom = iso₃.hom ≫ B.mor₃) _auto✝
⊢ B.mor₂ ≫ iso₃.inv = iso₂.inv ≫ A.mor₂
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
i : ι
⊢ f.toPartitionOfUnity i = ↑(f i)
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Ici a) a
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Ici a)
⊢ (fun x => f x - f a) =ᶠ[atTop] fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
⊢ (↑f).toFun = ⇑f
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
ι : Type u_8
t : Finset ι
p : ι → E
w : ι → R
hw₂ : ∑ i ∈ t, w i = 1
⊢ (Finset.affineCombination R t p) w = t.centerMass w p
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : j ⟶ i
k : J
f' : k ⟶ i
l : J
g : l ⟶ j
g' : l ⟶ k
he : g ≫ f = g' ≫ f'
x : F.obj l
hx : ∀ ⦃i : J⦄ (f : i ⟶ j), F.map g x ∈ range (F.map f)
⊢ (F.map g' ≫ F.map f') x ∈ range (F.map f')
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ (∑ y ∈ f.range, ↑‖y‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {y})) ^ (1 / p.toReal) < ⊤
R : Type u
Ring R
k : ℕ
f g : R[X]
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[k] (f - g) = (⇑Polynomial.derivative)^[k] f - (⇑Polynomial.derivative)^[k] g
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
h : ∀ (J : Type w) {𝒥 : SmallCategory J}, FinCategory J → HasColimitsOfShape J C
J : Type
hJ : SmallCategory J
hhJ : FinCategory J
this : HasColimitsOfShape (ULiftHom (ULift.{w, 0} J)) C
l : J ≌ ULiftHom (ULift.{?u.2350, 0} J)
⊢ HasColimitsOfShape J C
m n : ℕ
h : n = m
⊢ (Fin.castOrderIso h).toEquiv = Equiv.cast ⋯
u : XgcdType
hr : u.r ≠ 0
h₀ : u.r - 1 + 1 = u.r
⊢ u.r - 1 < u.bp
α : Type u_1
TopologicalSpace α
F : Ctop.Realizer α
s : Set α
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (a : α), (∀ (b : F.σ), a ∈ F.F.f b → ∃ z, z ∈ F.F.f b ∩ s) → a ∈ s
G : Type u_3
Group G
a b c : G
⊢ a / b * (b / c) = a / c
α : Type u_1
n : ℕ
s t : Multiset α
h : s ≤ t
⊢ Multiset.powersetCard n s ≤ Multiset.powersetCard n t
F : Type u
Γ₀ : Type v
Field F
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
CommRing O
Algebra O F
hv : v.Integers O
x y : O
h : v ((algebraMap O F) x) ≤ v ((algebraMap O F) y)
⊢ y ∣ x
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hpos : 0 < r
hr : ∀ (x : E), x ≠ 1 → r ≤ ‖x‖
x y : E
hne : x ≠ y
⊢ (fun x x_1 => r ≤ dist x x_1) x y
a : ENNReal
⊢ a⁻¹ = 0 ↔ a = ⊤
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
f : Filter ι
x₀ : α
p : α × ι → Prop
⊢ (∃ a, 0 < a ∧ ∃ x ∈ f, ∀ (x_1 : α), dist x_1 x₀ < a → ∀ y ∈ x, p (x_1, y)) ↔ ∃ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → ∀ {i : ι}, pa i → p (x, i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G H : CategoryTheory.Functor D E
α : G ≅ H
⊢ (CategoryTheory.isoWhiskerLeft F α).inv = CategoryTheory.whiskerLeft F α.inv
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ p₀ -ᵥ (lineMap p₀ p₁) c = c • (p₀ -ᵥ p₁)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ContinuousConstSMul R M
ContinuousAdd M
s : Submodule R M
t : Submodule R M
h : s ≤ t
ht : IsClosed ↑t
⊢ s.topologicalClosure ≤ t
m n : Nat
⊢ List.range m <+ List.range n ↔ m ≤ n
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ -y ⧏ x ↔ -x ⧏ y
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
x : PrimeSpectrum R
m : M
hm : ∀ r ∉ x.asIdeal, r • m ≠ 0
⊢ ∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, r • m ≠ 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
c : ℝ≥0∞
s : Set α
x : F
⊢ ((c • ⇑μ) s).toReal • x = c.toReal • (μ s).toReal • x
α : Type u_1
β : Type u_2
AddGroup α
AddCommGroup β
f g : α → β
hf : IsAddGroupHom f
hg : IsAddGroupHom g
⊢ IsAddGroupHom fun a => f a + g a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
π : X → Y
V : Set (Set X)
hV : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis V
h' : QuotientMap π
h : IsOpenMap π
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.image π '' V)
M : Type u_2
MonoidWithZero M
x : M
c : ↥M⁰
⊢ x * ↑c = 0 ↔ x = 0
α : Type u_4
f : Sym2 α → Prop
⊢ (∀ (x : Sym2 α), f x) ↔ ∀ (x y : α), f s(x, y)
α : Type u
β : Type v
a : α
f : Filter α
t : TopologicalSpace α
⊢ t ≤ nhdsAdjoint a f ↔ 𝓝 a ≤ pure a ⊔ f ∧ ∀ (b : α), b ≠ a → 𝓝 b = pure b
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
⊢ IsLindelof s
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
⊢ (l ++ [x]).rtake (n + 1) = l.rtake n ++ [x]
n : ℕ
⊢ deriv Complex.Gamma (↑n + 1) = ↑n ! * (-↑γ + ↑(harmonic n))
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t => ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
⊢ c₂ 1 ^ s = ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.range fun r => ↑(ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 r))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
g : α → F
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
hgi : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ ⨍ (x : α), (f x, g x) ∂μ = (⨍ (x : α), f x ∂μ, ⨍ (x : α), g x ∂μ)
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
hp✝ : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
hp : 0 - Pell.d a1 * y * y = 1
⊢ 1 ≤ { re := ↑0, im := ↑y }
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
H : C ⥤ D
F : SimplexCategory ⥤ C
X : SimplexCategory
⊢ (((CategoryTheory.CosimplicialObject.whiskering C D).obj H).obj F).obj X = H.obj (F.obj X)
α β : Type u
x : FreeAbelianGroup α
⊢ (Seq.seq 0 fun x_1 => x) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace Z'
e : X ≃ₜ Y
f : PartialHomeomorph Y Z
f' : PartialHomeomorph Z Z'
⊢ (e.transPartialHomeomorph f).trans f' = e.transPartialHomeomorph (f.trans f')
cd : Fin 2 → ℝ
z : ℍ
this : cd 0 = 0
h : cd 1 = 0
⊢ cd = 0
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s t : Set α
hs : IsComplete s
ht : IsComplete t
⊢ IsComplete (s ∪ t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
h : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Set.Icc 0 1
⊢ (AffineMap.lineMap x y) t ∈ s
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
⊢ (toMatrix v₁ v₂) ((toLin v₁ v₂) M) = M
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
HasContinuousInv₀ R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0
n : ℤ
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfcUnits f a hf' hf ha ^ n = cfcUnits (f ^ n) a ⋯ ⋯ ha
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ max a 1 / max a⁻¹ 1 = a
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : lcm a b = 0
this : Associated (a * b) 0
⊢ a = 0 ∨ b = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset β
a : α
⊢ Finset.image (fun x => a • x) s = a • s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ (a \ liminf u f)ᶜ = (limsup (fun b => a \ u b) f)ᶜ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hfi : Integrable f μ
⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (f a)) =ᶠ[ae μ] 0 ↔ f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α →. β
(x : α) → Decidable (f x).Dom
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ Finset.pimage f s ⊆ Finset.pimage f t
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g MeasureTheory.volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ =
  ∫⁻ (t : ℝ) in Set.Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
⊢ ∀ t ∈ range (natGeneratingSequence α), MeasurableSet (⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯).symm ⁻¹' t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommGroup β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ ConvexOn 𝕜 s (-f) ↔ ConcaveOn 𝕜 s f
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
x y : (i : ι) → β i
⊢ Hamming.toHamming x = Hamming.toHamming y ↔ x = y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
R : CategoryTheory.Sieve Y
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : R.arrows g
f : Y ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.Sieve.pushforward f R).arrows (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f)
𝕜 : Type u_4
F : Type u_5
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
self : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
α : Type u_1
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ card { a // a ≠ 0 } + 1 = card α
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
f g : α →+o β
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
h : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h' : Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)
x : S
hx : x ∈ spectrum S a ∪ {0}
⊢ (algebraMap R S) (f x) = x
m : Type u_1 → Type u_2
Monad m
α : CategoryTheory.KleisliCat m
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id α = pure
α : Type u
l l' l'' : List α
⊢ l ~r l' → l' ~r l'' → l ~r l''
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F
⊢ ∫ (x : E) in f '' s, g x ∂μ = ∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • g (f x) ∂μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ
⊢ s.tail.drop n = s.drop (1 + n)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ Continuous f ↔ ∀ (x : X) (g : Ultrafilter X), ↑g ≤ 𝓝 x → Filter.Tendsto f (↑g) (𝓝 (f x))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i
⊢ x < update x i a ↔ x i < a
X : Type u_1
inst✝ : UniformSpace X
i : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
s : Set X
this : PseudoEMetricSpace X := PseudoMetricSpace.toPseudoEMetricSpace
h : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, EMetric.ball y ε
h' : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, EMetric.closedBall y ε
t : Set X
left✝ : t ⊆ s
htc : t.Countable
hts : s ⊆ _root_.closure t
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable s
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
⊢ (s ∩ ⋂ x, Iic ↑x).Nonempty
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
α : Type u_1
β : Type u_2
Nontrivial α
f : α → β
hf : Function.Injective f
y : β
⊢ ∃ x, f x ≠ y
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
b : ι → M
hli : LinearIndependent R b
⊢ LinearIndependent Rₛ b
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
A : Set (Set α)
F : (s : Set α) → s ∈ A → C(↑s, β)
hF :
  ∀ (s : Set α) (hs : s ∈ A) (t : Set α) (ht : t ∈ A) (x : α) (hxi : x ∈ s) (hxj : x ∈ t),
    (F s hs) ⟨x, hxi⟩ = (F t ht) ⟨x, hxj⟩
hA : ∀ (x : α), ∃ i ∈ A, i ∈ 𝓝 x
s : Set α
hs : s ∈ A
⊢ ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.liftCover' A F hF hA) = F s hs
n m l : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ n ≤ l ∧ l < n + (m - n) ↔ n ≤ l ∧ l < m
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Preregular C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
X : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.regularTopology C) A
⊢ ∀ (X_1 : Cᵒᵖ),
  ((e.sheafCongrPreregular A).unitIso.inv.app X).val.app X_1 = X.val.map (e.unitIso.hom.app (Opposite.unop X_1)).op
α : Type u_1
Fintype α
⊢ 0 < Fintype.card α ↔ Nonempty α
σ α : Type u_1
x : σ ⊕ α
⊢ Sum.traverse pure x = x
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
⊢ lfpApprox f ⊥ (succ #α).ord = lfp f
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
hL : Tendsto f L L
hx : f x = x
n : ℕ
⊢ HasDerivAtFilter f^[n] (f' ^ n) x L
M : Type u_1
MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
f : α → M
Inf M
MeasurableInf M
hf : Measurable f
c : M
⊢ Measurable fun x => c ⊓ f x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ Isometry ⇑f
α : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
s : Set α
f : α → E
a : α
⊢ ‖s.indicator f a‖ ≤ ‖f a‖
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b + m • p - (toIcoDiv hp a b + m) • p ∈ Set.Ico a (a + p)
α : Type u_1
m : Multiset α
a : α
r : α → α → Prop
n : ℕ
⊢ Multiset.Rel r (Multiset.replicate n a) m ↔ Multiset.card m = n ∧ ∀ x ∈ m, r a x
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ ⊥.verts = ∅
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommSemiring Q
Algebra P Q
IsLocalization T Q
j : R ≃+* P
H : Submonoid.map j.toMonoidHom M = T
⊢ ↑(IsLocalization.ringEquivOfRingEquiv S Q j H) = IsLocalization.map Q ↑j ⋯
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
⊢ μ.innerContent ⊥ = 0
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) μ
ha : Tendsto a l atBot
hb : Tendsto b l atTop
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hφ : AECover μ l fun i => Ioc (a i) (b i)
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a x..b x, ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Ioc (a x) (b x), ‖f x‖ ∂μ ≤ I
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
f : α →₀ M
y : α
g : α → M → N
hyf : y ∈ f.support
⊢ g y (f y) + (Finsupp.erase y f).sum g = f.sum g
G : Type u_1
H : Type u_2
⊢ ∀ {x : Group G} {x_1 : Group H} (h : G ≃* H), IsGroupHom ⇑h
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
h : E → 𝕜
c' : 𝕜
z : E
S : Set E
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hx : c x ≠ 0
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => (c y)⁻¹) (-c' / c x ^ 2) univ x
ι : Sort u_1
f✝ : ι → ℕ
s✝ : Set ℕ
f : ι → ℕ∞
s : Set ℕ∞
⊢ sInf s = 0 ↔ 0 ∈ s