ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
R : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Coreflective R
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J D
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ↑m ≠ 0
x✝ y x : ℝ
⊢ |sin x| = √(1 - cos x ^ 2)
α : Type u_1
_m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : Filter α
⊢ μ.FiniteAtFilter f
α : Type u_1
Add α
i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x + x_1
PartialOrder α
a : α
ha : AddLECancellable a
⊢ Function.Injective fun x => x + a
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : R[X]
r : R
hr : IsUnit r
a : R[X]
⊢ p.scaleRoots r ∣ p.scaleRoots r * a.scaleRoots r
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
DecidableEq o
Zero α
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
k k' : o
i : m' k
j : n' k'
h : k ≠ k'
⊢ Matrix.blockDiagonal' M ⟨k, i⟩ ⟨k', j⟩ = 0
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ
⊢ (∀ (i j : V), G.Adj i j → x i = x j) → ∀ (i j : V), G.Reachable i j → x i = x j
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
⊢ μ {a | ε ≤ f a} < ⊤
α : Type u
f : Filter α
s t : Set α
⊢ s ∩ t ∈ f ↔ s ∈ f ∧ t ∈ f
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ Continuous ⇑h
F : Type u_1
X : outParam (Type u_2)
Y : outParam (Type u_3)
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
EquivLike F X Y
self : DilationEquivClass F X Y
f : F
⊢ ∃ r, r ≠ 0 ∧ ∀ (x y : X), edist (f x) (f y) = ↑r * edist x y
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (-(2 / π ^ 2 * (↑2 * x ^ (2 - 1))) - -sin x) x
⊢ cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ (MeasureTheory.Measure.mapₗ f) μ = (MeasureTheory.Measure.mapₗ g) μ
G : Type u
AddGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
U : Set G
⊢ U ∈ B → 0 ∈ U
c : ℂ
R θ : ℝ
⊢ circleMap c R θ ∉ Metric.ball c R
α : Type u_1
Primcodable α
Inhabited α
⊢ Primrec₂ List.getI
α : Type u
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
s : Set (Set α)
hs : ∀ t ∈ s, Continuous' fun x => x ∈ t
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ ⋃₀ s ↔ sSup (setOf ⁻¹' s) x✝
α : Type u_1
CompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set α
⊢ sInf (-s) = -sSup s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hB : ‖B‖ ≤ 1
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ : Set α
hB : M.Base B
h : B.Infinite
hB₁ : M.Base B₁
⊢ B₁.Infinite
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ
⊢ eval (1 + y) ((monomial d) (↑d + 1)) - eval y ((monomial d) (↑d + 1)) = ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * y ^ (x_1 - 1))
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
h : a ∈ s
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
comm' : optParam (∀ x ∈ ↑(s.erase a), ∀ y ∈ ↑(s.erase a), x ≠ y → (fun a b => Commute (f a) (f b)) x y) ⋯
⊢ f a * (s.erase a).noncommProd f comm' = s.noncommProd f comm
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
h :
  ∀ (g : G) {K : TopologicalSpace.Compacts G},
    (fun s => ↑(μ.toFun s)) (TopologicalSpace.Compacts.map (fun b => g + b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
g : G
U : TopologicalSpace.Opens G
⊢ μ.innerContent ((TopologicalSpace.Opens.comap (Homeomorph.addLeft g).toContinuousMap) U) = μ.innerContent U
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : V
⊢ ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : Sigma β
l : List (Sigma β)
h : a ≠ s.fst
⊢ List.kerase a (s :: l) = s :: List.kerase a l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
⊢ -(a - b) = -a + b
d : ℤ
⊢ Zsqrtd.im 1 = 0
R : Type u
inst₁ inst₂ : AddGroupWithOne R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_one : One.one = One.one
this✝¹ : toAddMonoidWithOne = toAddMonoidWithOne
this✝ : AddMonoidWithOne.toNatCast = AddMonoidWithOne.toNatCast
toAddMonoid_eq✝ : AddMonoidWithOne.toAddMonoid = AddMonoidWithOne.toAddMonoid
toNeg_eq✝ : toNeg = toNeg
toSub_eq✝ : toSub = toSub
zsmul_eq✝ : AddGroupWithOne.zsmul = AddGroupWithOne.zsmul
this : IntCast.intCast = IntCast.intCast
⊢ inst₁ = inst₂
F : PFunctor.{u}
X : Type u_2
f : X → ↑F X
x₀ : X
⊢ PFunctor.M.corec f x₀ = PFunctor.M.mk (F.map (PFunctor.M.corec f) (f x₀))
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space X
f : X → Y
g : Y → X
h : Function.LeftInverse f g
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ ClosedEmbedding g
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ (eval₂Hom f g) ((monomial d) (coeff d φ)) = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
x✝ : R
⊢ (ψ.mulShift 0) x✝ = 1 x✝
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K L : ChainComplex C ℕ
φ : K ⟶ L
inst✝¹ : HomologicalComplex.HasHomology K 0
inst✝ : HomologicalComplex.HasHomology L 0
⊢ K.isoHomologyι₀.inv ≫ HomologicalComplex.homologyMap φ 0 = HomologicalComplex.opcyclesMap φ 0 ≫ L.isoHomologyι₀.inv
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
hm : m ≤ M.M i i' * 2
⊢ (if Even ↑m then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (↑m / ↑2) = (if Even (↑(M.M i i' * 2) - ↑m) then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i' * 2) - ↑m) / ↑2)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
c : F
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun x => c + f x) f' x
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
s : Finset β
f : β → α
⊢ HasSum (f ∘ Subtype.val) (∑ b ∈ s, f b)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).a₁ = ↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
F : ι → β → α
S : Set β
h : UniformEquicontinuousOn F S
⊢ EquicontinuousOn F S
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology
⊢ rightHomologyMap φ ≫ h₂.rightHomologyIso.hom = h₁.rightHomologyIso.hom ≫ γ.φH
⊢ IsConformalMap ↑{ toLinearEquiv := Complex.conjLIE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
M : Type u_1
AddMonoid M
ι : Sort u_2
f : ι → AddSubgroup (AddUnits M)
⊢ (iSup f).ofAddUnits = ⨆ i, (f i).ofAddUnits
α : Type u
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
s : Set α
a : α
⊢ BddBelow (insert a s) ↔ BddBelow s
α : Type u_3
CommGroup α
f : Multiplicative ℤ →* α
⊢ (zpowersMulHom α).symm f = f (Multiplicative.ofAdd 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →ₗ[ℝ] ℝ
x : F
⊢ re ((starRingEnd 𝕜) (fr.extendTo𝕜' x) * fr.extendTo𝕜' x) = fr ((starRingEnd 𝕜) (fr.extendTo𝕜' x) • x)
ι : Sort u_1
⊢ ⨅ i, 0 = 0
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI : (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹ ≤ 1
⊢ ↑I * (↑I)⁻¹ = 1
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ mixedEmbedding.norm x = 0 ↔ ∃ w, (normAtPlace w) x = 0
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p✝ : R
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed R
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
Q : A[X]
p : A
x z : B
hp : p ≠ 0
f : ℕ → A
hz : p • ∑ x_1 : Fin (Q.natDegree + 1), f ↑x_1 • x ^ ↑x_1 = p • z
hf : ∀ i ∈ range (Q.natDegree + 1), Q.coeff i = p * f i
⊢ z ∈ adjoin A {x}
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2
cell : (i, j2) ∈ μ
h : j1 = j2
⊢ T i j1 ≤ T i j2
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
A B : Subalgebra R S
Module.Free R ↥B
Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥(A ⊔ B) =
  FiniteDimensional.finrank R ↥B * FiniteDimensional.finrank ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : AddCommGroup β
inst✝ : Module α β
a : α
s : Set α
t : Set β
⊢ -a • t = -(a • t)
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
b : β
f : α → β
s : Set α
f_mble : NullMeasurable f (μ.restrict s)
hs : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] fun x => b
t : Set β
t_mble : MeasurableSet t
ht : b ∉ t
⊢ μ (f ⁻¹' t) = (μ.restrict s) (f ⁻¹' t)
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A B : Matrix n' n' R
h : Commute A B
m : ℤ
⊢ Commute (A ^ m) B
k G : Type u
CommRing k
n : ℕ
Group G
g : G
f : (Fin n → G) →₀ k
r : k
⊢ (groupCohomology.resolution.diagonalSucc k G n).inv.hom (Finsupp.single g r ⊗ₜ[k] f) =
  ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k (Fin n → G)) fun f => Finsupp.single (g • Fin.partialProd f) r) f
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
⊢ LinearMap.range F.dualMap ≤ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
CommRing k
IsDomain k
CharP k p
PerfectRing k p
V : Type u_2
AddCommGroup V
WittVector.Isocrystal p k V
V₂ : Type u_3
AddCommGroup V₂
WittVector.Isocrystal p k V₂
self : WittVector.IsocrystalHom p k V V₂
x : V
⊢ (WittVector.Isocrystal.frobenius p k) (self.toLinearMap x) = self.toLinearMap ((WittVector.Isocrystal.frobenius p k) x)
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ a ∈ 𝓒 u v s ↔ a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α (last n)
p : (j : Fin n) → α ((last n).succAbove j)
j : Fin n
⊢ HEq (p j) ((last n).removeNth (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x) j)
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree ↑A
this : ↑A = Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A)
⊢ False
R : Type u_1
B : Type u_3
CommRing R
Ring B
Algebra R B
x : B
h : IsIntegral R x
n : ℕ
⊢ IsIntegral R (x ^ n)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ AntilipschitzWith 1 ⇑e
N M : ℕ
hNM : N ≤ M
⊢ N.smoothNumbers ⊆ M.smoothNumbers
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ e.toHomeomorph.symm = e.symm.toHomeomorph
n m k : Nat
⊢ n < m → m = k → n < k
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
s : Set V
inst✝¹ : Nonempty ↑s
inst✝ : Fintype ↑s
lin_ind : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
card_eq : s.toFinset.card = finrank K V
⊢ ⇑(basisOfLinearIndependentOfCardEqFinrank lin_ind ⋯) = Subtype.val
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K
⊢ x ∈ r • Ico a b ↔ x ∈ Ico (r • a) (r • b)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
⊢ (CategoryTheory.Pseudofunctor.mkOfOplax F F').toPrelaxFunctor = F.toPrelaxFunctor
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
h_ne : ¬A = B
v : n → 𝕜
t : ℝ
ht : t ≠ 0
hv : v ≠ 0
hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v
h_sum : star v ⬝ᵥ A *ᵥ v + star v ⬝ᵥ B *ᵥ v = 0
⊢ False
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
⊢ (F.obj n).map (F.εIso.inv.app X) = (F.μ (𝟙_ M) n).app X ≫ (F.map (λ_ n).hom).app X
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
Fintype n
Fintype o
DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
M₂' : Type u_13
AddCommMonoid M₂'
Module R₂ M₂'
c : Basis o R₂ M₂'
DecidableEq o
B : LinearMap.BilinForm R₂ M₂
M : Matrix o n R₂
N : Matrix n o R₂
⊢ M * (BilinForm.toMatrix b) B * N =
  (BilinForm.toMatrix c) (B.comp ((Matrix.toLin c b) M.transpose) ((Matrix.toLin c b) N))
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h : f =o[l] g
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
α : Type u
a : α
t : Set α
p : Set α → Prop
he : p ∅
h₁ : ∀ (x : α), p {x}
x : α
hs : {x}.Subsingleton
⊢ p {x}
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G → H
hf : IsAddGroupHom f
⊢ IsNormalAddSubgroup (IsAddGroupHom.ker f)
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
hxz : x ≠ z
hxy : x ≠ y
hyz : y ≠ z
⊢ dist x z ≤ max (dist x y) (dist y z)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
hA' : MeasurableSet A
⊢ ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal
a b c : SignType
⊢ a * b * c = a * (b * c)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : W f
⊢ CategoryTheory.Localization.Construction.wIso f hf = CategoryTheory.Localization.isoOfHom W.Q W f hf
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
y : Y
⊢ ⇑(LocallyConstant.const X y) = Function.const X y
x y : ℝ
⊢ Tendsto (fun x => log |x|) (𝓝[≠] 0) atBot
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k✝ : T.LocalizationMap Q
hg : Injective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
z w : N
i : N →* Q := f.map ⋯ k
hizw : i z = i w
ifkg : ∀ (a : M), i (f.toMap a) = k.toMap (g a)
z' w' : M
x : ↥S
hxz : z * f.toMap ↑x = f.toMap z'
hxw : w * f.toMap ↑x = f.toMap w'
this : k.toMap (g z') = k.toMap (g w')
c : M
hc : c ∈ ↑S
eq : ↑⟨g c, ⋯⟩ * g z' = ↑⟨g c, ⋯⟩ * g w'
⊢ z = w
α : Type u_1
as bs : Array α
h : as.data = bs.data
⊢ as = bs
α : Type u
a b : α
s : Set α
⊢ {a, b} ⊆ s ↔ a ∈ s ∧ b ∈ s
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
n : ℕ
kl : ℕ × ℕ
hkl : kl ∈ Finset.antidiagonal n
⊢ (↑n !)⁻¹ * (↑n ! / (↑kl.1! * ↑kl.2!)) = (↑kl.1!)⁻¹ * (↑kl.2!)⁻¹
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)
x✝¹ x✝ : M
⊢ (sInf S) x✝¹ x✝ ↔ sInf (DFunLike.coe '' S) x✝¹ x✝
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_9
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
⊢ Q.Equivalent Q
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
(i : η) → Group (Gs i)
Finite η
n : ℕ
⊢ lowerCentralSeries ((i : η) → Gs i) n = Subgroup.pi Set.univ fun i => lowerCentralSeries (Gs i) n
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
this : NumberField K
H : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p ^ 1
⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a✝ : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, b ≤ c → b ∈ t
a : α
ha : a ∈ (⇑toDual ∘ SetLike.coe) s
⊢ a ∈ (⇑toDual ∘ SetLike.coe) (s.sdiff t ⊓ upperClosure t)
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
⊢ Multiset.replicate n a ⊆ {a}
α : Type u_1
PartialOrder α
c : ClosureOperator α
⊢ Monotone ⇑c
α : Type u_3
DivisionRing α
q : ℚ
hq : ↑q.num ≠ 0
⊢ ↑q⁻¹ = (↑q)⁻¹
K : Type u
Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
⊢ n ≠ 0
α : Type u_2
U : Set α
⊢ IsOpen U ↔ U = ∅ ∨ U = Set.univ
s : Set ℝ
⊢ ContinuousOn Real.cos s
α : Type u_1
M : Type u_7
OrderedCommMonoid M
i : α
f : α → M
hf : (Function.mulSupport f).Finite
h : ∀ (j : α), 1 ≤ f j
⊢ f i ≤ ∏ᶠ (j : α), f j
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
this : log (Gamma x) = (log ∘ Gamma) x - (log ∘ Gamma) 1
⊢ Tendsto (logGammaSeq x) atTop (𝓝 ((log ∘ Gamma) x - (log ∘ Gamma) 1))
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => ‖f ↑x‖
him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hz : 0 ≤ z.re
⊢ ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[<] 0, ‖cexp (↑ε * z) • f z‖ ≤ C
a b c : ℤ
h : a.gcd b = 1
heq : a * b = c ^ 2
h' : IsUnit (GCDMonoid.gcd a b)
⊢ ∃ a0, a = a0 ^ 2 ∨ a = -a0 ^ 2
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.NoetherianSpace α ↔ ∀ (s : Set α), IsCompact s
G : Type u_1
Monoid G
n : ℕ
Fintype G
DecidableEq G
hn : n ≠ 0
⊢ ∑ m ∈ Finset.filter (fun x => x ∣ n) (Finset.range n.succ), (Finset.filter (fun x => orderOf x = m) Finset.univ).card =
  (Finset.filter (fun x => x ^ n = 1) Finset.univ).card
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
⊢ n ≤ 1 ∨ ¬(GenContFract.of v).TerminatedAt (n - 2) → ↑(Nat.fib n) ≤ ((GenContFract.of v).contsAux n).b
M : Type w
c f₁ f₂ : Type u
r₁ r₂ : Type v
c' : c → M
f₁' : f₁ → M → M
f₂' : f₂ → M → M → M
r₁' : r₁ → Set M
r₂' : r₂ → M → M → Prop
r : r₂
x y : M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.RelMap r ![x, y] = r₂' r x y
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set α
⊢ f '' (s ∩ t) ⊆ f '' s ∩ f '' t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A B : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct A B
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
⊢ CategoryTheory.Limits.prodComparison F A B ≫ CategoryTheory.Limits.prod.snd = F.map CategoryTheory.Limits.prod.snd
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : Subsingleton ι
i₀ : ι
x : ⨂[R] (x : ι), M
⊢ ((tprod R) fun x_1 => (lift ((ofSubsingleton R M M i₀) LinearMap.id)) x) = x
β : Type u_2
π : β → Type u_3
Fintype β
(b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
Nonempty β
f g : (b : β) → π b
r : ℝ
⊢ dist f g ≤ r ↔ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) ≤ r
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : (∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x) ∧ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : (∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0) ∧ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0) ∧ Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0) ∧ Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l ∧ Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l ∧ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
f' g' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hg : HasFDerivAtFilter g g' x L
⊢ HasFDerivAtFilter (fun y => f y + g y) (f' + g') x L
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
⊢ v ∈ {x_1 | (fun x_2 => ‖f (x + x_2) - f x - L x_2‖ ≤ ε * ‖x_2‖) x_1}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
⊢ Balanced 𝕜 ∅
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ EqvGen.Setoid (EqvGen.Setoid r).Rel = EqvGen.Setoid r