ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀
u : G₀ˣ
hu : ∀ (g : G₀ˣ), g * u = u * g
⊢ 0 * ↑u = ↑u * 0
n : ℕ
hn : n > 0
this : n = ∑ d ∈ n.divisors, (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card
⊢ ∑ d ∈ n.divisors, φ (n / d) = ∑ d ∈ n.divisors, (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p p' : R[X]
q : PolynomialModule R M
⊢ eval₂ (algebraMap R R[X]) p p' • (eval p) ((map R[X] (lsingle R 0)) q) = eval₂ C p p' • (eval p) ((map R[X] (lsingle R 0)) q)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
hP : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P S.arrows
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra A K
inst✝⁹ : IsFractionRing A K
inst✝⁸ : Algebra B L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A B L
inst✝⁴ : IsScalarTower A K L
inst✝³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : IsGalois K L
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B
⊢ (algebraMap B L) (∏ σ : L ≃ₐ[K] L, ((galRestrict A K L B) σ) x) = ((algebraMap K L).comp (algebraMap A K)) (IsIntegralClosure.mk' A ((Algebra.norm K) ((algebraMap B L) x)) ⋯)
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i✝ : ι
x : F
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ r i * eval x (Lagrange.basis s v i) = eval x (nodal s v) * (nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : V
p : P
⊢ z +ᵥ p ∈ affineSegment R (x +ᵥ p) (y +ᵥ p) ↔ z ∈ affineSegment R x y
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ ∀ (a : A ≃ₐ[R] Bᵐᵒᵖ) (a_1 : B),
  (AlgEquiv.opComm a).symm a_1 = (↑↑AlgEquiv.refl).symm ((↑↑((AlgEquiv.op a).trans (AlgEquiv.opOp R B).symm)).symm a_1)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
hlt : x < y
⊢ 0 < sin (y - x)
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
⊢ interior s ⊆ {x | gauge s x < 1}
α : Type u_1
LinearOrderedSemiring α
a : α
Invertible a
⊢ 0 < ⅟a ↔ 0 < a
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
Countable β
MeasurableSingletonClass β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : Measurable f
⊢ MeasureTheory.Measure.map f μ = MeasureTheory.Measure.sum fun b => μ (f ⁻¹' {b}) • MeasureTheory.Measure.dirac b
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
I : Ideal R
hx : Ideal.comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
h_alg : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥(Algebra.adjoin R {x})) S)
a : ↥(Algebra.adjoin R {x})
⊢ (quotAdjoinEquivQuotMap hx h_alg) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (algebraMap R ↥(Algebra.adjoin R {x})) I)) a) =
  (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (algebraMap R S) I)) ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
a : α
l : List α
u : List β
⊢ List.Forall₂ R (a :: l) u ↔ ∃ b u', R a b ∧ List.Forall₂ R l u' ∧ u = b :: u'
G H : PGame
inst✝¹ : G.Impartial
inst✝ : H.Impartial
n m : ℕ
hG : G.grundyValue = ↑n
hH : H.grundyValue = ↑m
⊢ (G + H).grundyValue = ↑(n ^^^ m)
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.IsLimit
⊢ Cardinal.aleph' o = ⨆ a, Cardinal.aleph' ↑a
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
H : p * Polynomial.X ^ n = 0
⊢ p = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i
⊢ update x i a ≤ update y i b ↔ a ≤ b ∧ ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ≤ y j
α : Type u_1
UniformSpace α
⊢ DenseInducing ↑α
a : ℝ≥0∞
⊢ 0 < a.toReal ↔ 0 < a ∧ a < ⊤
α : Type u
a : α
inst✝³ : Group α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsCyclic α
n : ℕ
hn0 : 0 < n
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g
x : α
hx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ
m : ℕ
hm : g ^ m = x
hgmn : g ^ (m * n.gcd (Fintype.card α)) = 1
⊢ Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α) * n.gcd (Fintype.card α) ∣ m * n.gcd (Fintype.card α)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedDivisionRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
y x : 𝔸
hy : y ≠ 0
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (y⁻¹ * x * y) = y⁻¹ * NormedSpace.exp 𝕂 x * y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
g : β → γ
⊢ ∀ (a : β) (b₁ b₂ : M), single (g a) (b₁ + b₂) = single (g a) b₁ + single (g a) b₂
r p : ℝ≥0
⊢ ↑(max r p) = max ↑r ↑p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
p q : R[X]
hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < (p * q).degree → (p * q).coeff n ∈ P
hfd0✝ : 0 < (p * q).degree
h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2
hu : (p * q).IsPrimitive
hf0 : p * q ≠ 0
hf : map (mk P) p * map (mk P) q = C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) * X ^ (p * q).natDegree
hfd0 : 0 < (p * q).natDegree
m n : ℕ
b c : (R ⧸ P)[X]
hmnd : m + n = (p * q).natDegree
hbc : C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) = b * c
hp : map (mk P) p = b * X ^ m
hq : map (mk P) q = c * X ^ n
hmn : 0 < m → 0 < n → False
hpql0 : (mk P) (p * q).leadingCoeff ≠ 0
hp0 : p ≠ 0
⊢ IsUnit p ∨ IsUnit q
R : Type u
η : Type u₁'
Ring R
StrongRankCondition R
Fintype η
⊢ Module.rank R (η → R) = ↑(Fintype.card η)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsArtinian R M
IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ IsCompl (⨆ n, LinearMap.ker (f ^ n)) (⨅ n, LinearMap.range (f ^ n))
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
DecidableEq o
α : Type u_14
AddMonoid α
StarAddMonoid α
M : o → Matrix m n α
⊢ (Matrix.blockDiagonal M)ᴴ = Matrix.blockDiagonal fun k => (M k)ᴴ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
x : CategoryTheory.Subobject X
⊢ (CategoryTheory.Subobject.pullback (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)).obj x = x
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
φ : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
d : Fin N →₀ ℕ
hd : coeff (cons i d) φ ≠ 0
⊢ (weight 1) d = j
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
h : BddAbove t
⊢ BddAbove (s ∩ t)
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ
⊢ p.obj b = S
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
C : Type u_1
g : (a : P.A) → P.drop.B a ⟹ α → (P.last.B a → P.W α) → (P.last.B a → C) → C
a : P.A
f' : P.drop.B a ⟹ α
f : P.last.B a → P.W α
⊢ P.wpRec (fun a f h h' => g a (P.wPathDestLeft h) (fun i => ⟨f i, P.wPathDestRight h i⟩) h') (WType.mk a fun i => (f i).fst) (P.wPathCasesOn f' fun i => (f i).snd) = g a f' f fun i => P.wRec g (f i)
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hYdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (Y i) (Y j)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
⊢ Function.Injective ⇑(lift fun i => FreeGroup.lift fun x => a i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
hs : IsClosed s
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
x : X
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝 x) (μ.restrict s)
C : Type u_1
inst✝¹⁵ : Category.{u_6, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} A
inst✝¹³ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹² : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝¹¹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_5, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁹ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁸ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full
inst✝⁵ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J B).Full
inst✝³ : J.PreservesSheafification U
inst✝² : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
inst✝¹ : (sheafCompose J U).ReflectsIsomorphisms
inst✝ : IsDiscrete J ht ((sheafCompose J U).obj F)
f : (sheafCompose J U).obj (((sheafSections J A).obj (op t) ⋙ constantSheaf J A).obj F) ⟶ (sheafCompose J U).obj ((𝟭 (Sheaf J A)).obj F) := (sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)
this✝ : IsIso ((sheafToPresheaf J B).map f)
this : IsIso f
⊢ IsDiscrete J ht F
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
g : α → ℝ≥0∞ := fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)
⊢ (μ.tilted f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv ν x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : F.FullyFaithful
X Y : C
e : F.obj X ≅ F.obj Y
⊢ (hF.preimageIso e).inv = hF.preimage e.inv
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ (M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).coeff k = 0
n : ℕ
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 ≤ n
⊢ ↑(harmonic n) ≤ 1 + Real.log ↑n
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
⊢ HNNExtension.toSubgroupEquiv φ 1 = φ
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
⊢ IsIntegralClosure (CyclotomicRing p ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField p ℚ)
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
r : R
⊢ (monomial n) r * X = (monomial (n + 1)) r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b✝ c : β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
b : β
⊢ (∃ a ∈ s, f a = b) ∧ p b ↔ ∃ a, (a ∈ s ∧ p (f a)) ∧ f a = b
α : Type u_1
G : Type u_4
s : Set α
SubtractionCommMonoid G
f : α → G
hs : s.Finite
⊢ ∑ᶠ (x : α) (_ : x ∈ s), -f x = -∑ᶠ (x : α) (_ : x ∈ s), f x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
⊢ J.toPlus P ≫ J.plusMap η = η ≫ J.toPlus Q
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
i : ι
⊢ (e.adjustToOrientation x) i = e i ∨ (e.adjustToOrientation x) i = -e i
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
m n : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) g ≠ 0
⊢ valAux K v O hv p (f * g) = valAux K v O hv p f * valAux K v O hv p g
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : α → Finset β
DecidableEq β
⊢ ↑(s.biUnion t) = ⋃ x ∈ ↑s, ↑(t x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
⊢ t₁.points i₁ ≠ t₂.points j₂ ∧ t₁.points i₁ ∈ affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) ∧ t₁.points i₁ -ᵥ t₂.points j₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
hf : ∀ (x : α), f x ∈ 𝓝 x
s : Set α
hsc : s.Countable
hsU : ⋃ i ∈ s, interior (f i) = ⋃ i, interior (f i)
⊢ ⋃ x ∈ s, interior (f x) = univ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α
⊢ ↑(lowerClosure s) ⊆ closure s
C : Type u_5
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_5} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
X : C
h : whiskerLeft F (zero F s i).hom = (i 0 ≪≫ isoWhiskerRight (shiftFunctorZero C A) F ≪≫ F.leftUnitor ≪≫ F.rightUnitor.symm).hom
⊢ (zero F s i).hom.app (F.obj X) = (i 0).hom.app X ≫ F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X)
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Semiring 𝕜
AddCommGroup α
AddCommGroup β
x : WithLp p (α × β)
c : 𝕜
Module 𝕜 α
Module 𝕜 β
⊢ (c • x).1 = c • x.1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e₀ : E
f₀ : F
⊢ HasFDerivAt (fun f => (e₀, f)) (ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E F) f₀
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).sin = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : x < 0
⊢ Real.arctan x + Real.arctan y = Real.arctan ((x + y) / (1 - x * y)) - Real.pi
a : ℝ
r : ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.volume (EMetric.ball a r) = 2 * r
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.48051, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.48055, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.48059, u_3} E
G : Karoubi C ⥤ Karoubi D
P Q : Karoubi C
f : P ⟶ Q
⊢ (((whiskeringLeft C (Karoubi C) (Karoubi D)).obj (toKaroubi C) ⋙ functorExtension₁ C D).obj G).map f ≫ (fun P => { f := (G.map P.decompId_p).f, comm := ⋯ }) Q = (fun P => { f := (G.map P.decompId_p).f, comm := ⋯ }) P ≫ ((𝟭 (Karoubi C ⥤ Karoubi D)).obj G).map f
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
Monoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : G →* A
f : MonoidAlgebra k G
⊢ ((MonoidAlgebra.lift k G A) F) f = Finsupp.sum f fun a b => b • F a
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
⊢ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) = ⊤
R : Type u_3
A : Type u_4
Neg R
Neg A
x : Unitization R A
⊢ (-x).fst = -x.fst
R : Type u_1
N₁ : Type u_10
Semiring R
n : ℕ
AddCommMonoid N₁
Module R N₁
⊢ ↑n = (Module.toModuleEnd R N₁) n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (CommMon_.trivial C).mul = (λ_ (𝟙_ C)).hom
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α
hp : ¬Irreducible p
s : FactorSet α
h : p ∈ s
⊢ False
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ dist a b = ‖a - b‖
α : Type u
β : Type v
MulOneClass α
MulOneClass β
f : α → β
hf : IsMonoidHom f
⊢ IsAddMonoidHom f
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve.Affine R
f : R →+* S
x : R[X][Y]
⊢ (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.map W f) ((WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) x) =
  (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk (WeierstrassCurve.map W f)) (Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom f) x)
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
x : R
⊢ star x ≤ 0 ↔ x ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty α
f : α ↪ β
h : Nat.card α = 0
⊢ Nat.card β = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
c : ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => c) a ∂μ ≤ c * μ s
X Y : Bipointed
self : X.Hom Y
⊢ self.toFun X.toProd.2 = Y.toProd.2
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
⊢ Integrable f (μ.prod ν) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, Integrable (fun y => f (x, y)) ν) ∧ Integrable (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂ν) μ
f : CircleDeg1Liftˣ
x : ℝ
⊢ ↑f⁻¹ (↑f x) = x
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S✝
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : R
hr : IsUnit r
H : Function.Bijective ⇑(algebraMap R S)
z' : R
⊢ ∃ x, (algebraMap R S) z' * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) x.1
X : Scheme
U V : X.Opens
h : U = V
W : (Spec Γ(X, V)).Opens
this : Scheme.Spec.map (X.presheaf.map (𝟙 (op U))).op = 𝟙 (Scheme.Spec.obj (op Γ(X, U)))
⊢ Hom.app (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom h).op)) W = eqToHom ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
g : ℕ → ℝ≥0∞
h✝ : Monotone g
hg₂ : Filter.Tendsto g Filter.atTop (nhds (sSup (measurableLEEval ν μ)))
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ∈ measurableLE ν μ
hf₂ : ∀ (n : ℕ), (fun f => ∫⁻ (x : α), f x ∂ν) (f n) = g n
ξ : α → ℝ≥0∞ := ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k
hξ : ξ = ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k
hξ₁ : sSup (measurableLEEval ν μ) = ∫⁻ (a : α), ξ a ∂ν
⊢ ∃ p, Measurable p.2 ∧ p.1 ⟂ₘ ν ∧ μ = p.1 + ν.withDensity p.2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' : C
iX : X ≅ X'
iY : Y ≅ Y'
iZ : Z ≅ Z'
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
wf : iX.hom ≫ f' = f ≫ iZ.hom
wg : iY.hom ≫ g' = g ≫ iZ.hom
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospanExt iX iY iZ wf wg).hom.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.left = iX.hom
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
⊢ p x fun n => f n x
ι : Type u_1
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Finset ι
f : ι → Set α
⊢ (s.sup f).PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).PartiallyWellOrderedOn r
s : ℂ
hs : 0 < s.re
f : ℕ → ℝ → ℂ := fun n => (Ioc 0 ↑n).indicator fun x => ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)
f_ible : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) (volume.restrict (Ioi 0))
f_tends : ∀ x ∈ Ioi 0, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)))
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)) atTop (𝓝 s.GammaIntegral)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a b : X
γ : Path a b
⊢ Set.range γ.extend = Set.range ⇑γ
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ MonoidHom.mker (MonoidHom.fst M N) = ⊥.prod ⊤
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} E
CategoryTheory.Category.{u_9, u_4} E'
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
CategoryTheory.HasShift E A
CategoryTheory.HasShift E' A
F : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
G : D ⥤ E
G' : E ⥤ E'
G.CommShift A
G'.CommShift A
a : A
⊢ ∀ (x : C), ((F.postcompPostcompIso G G').inv.hom a).app x = 𝟙 (G'.obj (G.obj ((F.functor a).obj x)))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f g : E → F
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => f x - g x
β : Type u_1
α : Type u_2
f : β → α → β
b : β
l : List α
⊢ List.foldl f b l = List.foldlM f b l
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
H : Type u_1
inst✝ : Monoid H
e : G →* H
e_inj : Function.Injective ⇑e
g : G
⊢ e (g ^ exponent H) = e 1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ Metric.thickening δ (Metric.thickening δ E)ᶜ ⊆ Eᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : δ → γ
hf : MeasurableEmbedding f
a : α
t : Set (β × δ)
ht : MeasurableSet t
⊢ (((κ ⊗ₖ η).comapRight ⋯) a) t = ((κ ⊗ₖ η.comapRight hf) a) t
B : Type u_3
S : B
M : Type u_4
CommMonoid M
SetLike B M
SubmonoidClass B M
ι : Type u_5
t : Finset ι
f : ι → M
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S
⊢ ∏ c ∈ t, f c ∈ S
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : ℕ
hpq : p < q
⊢ ↑p - ↑q < 0
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Finset.uIcc a b = Finset.fin n (Finset.uIcc ↑a ↑b)
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
pprime : Nat.Prime p
⊢ ↑p ≠ 1
α : Type u_1
N : Type u_7
P : Type u_8
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
F : Type u_13
FunLike F N P
AddMonoidHomClass F N P
e : F
a : α
n : N
b : α
⊢ e ((Finsupp.single a n) b) = (Finsupp.single a (e n)) b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
⊢ ⊥ᗮ = ⊤
α : Type u
β : Type v
s : Stream'.Seq α
f g : Stream'.Seq α → Stream'.Seq β
H : ∀ (s : Stream'.Seq α), Stream'.Seq.BisimO (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = f s ∧ s2 = g s) (f s).destruct (g s).destruct
⊢ f s = g s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : s.sym n = ∅
⊢ s = ∅
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
I : Ideal R
x : R
s : ↥M
⊢ IsLocalization.mk' S x s ∈ Ideal.map (algebraMap R S) I ↔ ∃ s ∈ M, s * x ∈ I
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Icc a b))] g
⊢ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ s ∈ Filter.cocompact X ↔ ∃ t, IsCompact t ∧ sᶜ ⊆ t
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
f : X ⟶ C.X 0
n : ℕ
⊢ ((C.fromSingle₀Equiv X).symm f).f (n + 1) = 0
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
⊢ {i | ↑(fs.toFun i) x ≠ 0}.Finite
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
μ : R
k : ℕ
hk : 0 < k
⊢ f.eigenspace μ ≤ (f.genEigenspace μ) k
α : Type u_4
β : Type u_5
f : α ≃ β
⊢ (SimpleGraph.Iso.completeGraph f).toEmbedding = SimpleGraph.Embedding.completeGraph f.toEmbedding
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle x (x + y) = ↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖))
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : NonUnitalSubsemiring R
⊢ NonUnitalRingHom.srange (NonUnitalSubsemiringClass.subtype s) = s
α : Type u_1
M : Type u_5
G : Type u_9
Zero M
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α →₀ M
CommGroup G
g : α → M → G
⊢ f.prod g / (Finsupp.filter p f).prod g = (Finsupp.filter (fun a => ¬p a) f).prod g
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
⊢ IsPiSystem (Set.Ioi '' s)