ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
⊢ (AffineSubspace.map f s).WSameSide (f x) (f y)
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
x : ↥S
⊢ IsIntegral K x ↔ IsIntegral K ↑x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
DecidableEq ι
α : ι → Type u_5
(i : ι) → AddZeroClass (α i)
(i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → α i → E
l : Π₀ (i : ι), α i
x : E
⊢ ⟪l.sum f, x⟫_𝕜 = l.sum fun i a => ⟪f i a, x⟫_𝕜
n m : ℕ
⊢ ↑n + 1 ≠ -↑m
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
self : r ≼i s
a : α
b : β
⊢ s b (self.toRelEmbedding a) → ∃ a', self.toRelEmbedding a' = b
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
x : α
s : Set α
h : x ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousAt (s.restrict f) ⟨x, h⟩
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
U : Submodule R M
x₁ x₂ y₁ y₂ : M
hxy₁ : x₁ ≡ y₁ [SMOD U]
hxy₂ : x₂ ≡ y₂ [SMOD U]
⊢ x₁ + x₂ ≡ y₁ + y₂ [SMOD U]
R : Type u
Ring R
Γ₀ : Type v
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
⊢ RingSubgroupsBasis fun γ => v.ltAddSubgroup γ
α : Type u
β : Type v
a : α
l : List β
⊢ List.foldl (fun a x => a) a l = a
σ : Type u
m : Type u → Type v
β : Type u
f : σ → σ
s : σ
k : PUnit → σ → m β
⊢ (modify f).runK s k = k PUnit.unit (f s)
R : Type u
CommRing R
M N P : ModuleCat R
f : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj M N ⟶ P
x : ↑M
y : ↑N
⊢ ((CategoryTheory.MonoidalClosed.curry f) y) x = f (x ⊗ₜ[R] y)
X : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
A D E : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : TopologicalSpace D
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : ExtremallyDisconnected A
inst✝² : T2Space A
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : CompactSpace E
ρ : E → A
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Surjective ρ
zorn_subset : ∀ (E₀ : Set E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → ρ '' E₀ ≠ univ
x₁ x₂ : E
hρx : ρ x₁ = ρ x₂
hx : ¬x₁ = x₂
G₁ G₂ : Set E
G₁_open : IsOpen G₁
G₂_open : IsOpen G₂
hx₁ : x₁ ∈ G₁
hx₂ : x₂ ∈ G₂
disj : Disjoint G₁ G₂
G₁_comp : IsCompact G₁ᶜ
G₂_comp : IsCompact G₂ᶜ
G₁_open' : IsOpen (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ
G₂_open' : IsOpen (ρ '' G₂ᶜ)ᶜ
⊢ False
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : G) ∂μ', ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s) < ⊤
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
a b : G
ha : ∀ (n : G), n ∈ s ↔ a * n * a⁻¹ ∈ s
hb : ∀ (n : G), n ∈ s ↔ b * n * b⁻¹ ∈ s
n : G
⊢ n ∈ s ↔ a * b * n * (a * b)⁻¹ ∈ s
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
⊢ Finset.Ioo a b = Finset.subtype p (Finset.Ioo ↑a ↑b)
G : Type u_1
Group G
s t : Set G
h : s ⊆ t
⊢ Subgroup.centralizer t ≤ Subgroup.centralizer s
p q : ℚ
s t : Set ℚ
a✝ : (𝓝 ∞).IsCountablyGenerated
this : (comap OnePoint.some (𝓝 ∞)).IsCountablyGenerated
⊢ False
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 < b
⊢ 1 < a * b
α : Type u_3
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_5
(a : α) → (b : β a) → Mul (γ a b)
x y : (a : α) → (b : β a) → γ a b
⊢ Sigma.uncurry (x * y) = Sigma.uncurry x * Sigma.uncurry y
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
r : ℝ≥0
f : C(X, ℝ)₀
⊢ (-(r • f)).toNNReal = r • (-f).toNNReal
ι : Type u_1
β : Type u_4
AddCommMonoid β
f : ι → β
s t : Finset ι
h : s ⊆ t
⊢ ∑ i ∈ t, (↑s).indicator f i = ∑ i ∈ s, f i
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hD : M.Dep D
⊢ D ≠ ∅
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
IsReduced R
f g : Module.End R M
μ : R
h_comm : Commute f g
hg : IsNilpotent (g - (algebraMap R (Module.End R M)) μ)
⊢ (LinearMap.trace R M) (f ∘ₗ g) = μ * (LinearMap.trace R M) f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : CategoryTheory.GlueData C
i j k : D.J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (D.t' i j k)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.pullbackSymmetry (D.f j k) (D.f j i)).hom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (D.t' j i k)
        (CategoryTheory.Limits.pullbackSymmetry (D.f i k) (D.f i j)).hom)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.Limits.pullback (D.f i j) (D.f i k))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
R S : CategoryTheory.Sieve X
Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ (R ⊔ S).arrows f ↔ R.arrows f ∨ S.arrows f
α : Type u_1
a : α
m n : Nat
⊢ List.replicateTR.loop a n (List.replicate m a) = List.replicate (n + m) a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f g : End F
A : PointedGaloisObject F
⊢ (g.app A.obj ≫ f.app A.obj) A.pt = F.map (((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) f)).hom ≫ ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) g)).hom) A.pt
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : Countable ↥L
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h_cpt : IsCompact s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s
h_mes : μ s ≠ 0
h_nemp : s.Nonempty
u : ℕ → ℝ≥0 := ⋯.choose
K : ConvexBody E := { carrier := s, convex' := h_conv, isCompact' := h_cpt, nonempty' := h_nemp }
S : ℕ → ConvexBody E := fun n => (1 + u n) • K
Z : ℕ → Set E := fun n => ↑(S n) ∩ (↑L \ {0})
h_zero : 0 ∈ K
h_clos : IsClosed (↑L \ {0})
⊢ (⋂ n, Z n).Nonempty
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ mk (((IsLocalization.sec S x).1 * ↑(IsLocalization.sec S x).2) • (t • m + s • n)) ((IsLocalization.sec S x).2 * (IsLocalization.sec S x).2 * (s * t)) = mk (((IsLocalization.sec S x).2 * t) • (IsLocalization.sec S x).1 • m + ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 • n) ((IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S x).2 * t))
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
⊢ ∀ (a : List α), a <:+ xs → (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑(levenshtein C a (y :: ys))
R : Type u_1
CommGroupWithZero R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
⊢ (f.pdiv g).IsMultiplicative
a b c : ℤ
habc : a ∣ b * c
hab : a.gcd c = 1
⊢ a ∣ b
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ closure s = {a | ClusterPt a (𝓟 s)}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiff 𝕜 (↑i) f
hg : ContDiff 𝕜 (↑i) g
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 i (fun x => f x + g x) x = iteratedFDeriv 𝕜 i f x + iteratedFDeriv 𝕜 i g x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
V : Submodule 𝕜 E
⊢ ⊥ ⟂ V
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
hf : CPolynomialAt 𝕜 f x
⊢ ContinuousAt f x
α : Type u_1
ι : Type u_2
s t r : Set α
h : Disjoint s t
⊢ ↑(Sum.inl ⁻¹' (⇑(sumSet h) ⁻¹' r)) = r ∩ s
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s : Set β
⊢ r.preimage (s ∩ r.codom) = r.preimage s
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
x : S
this✝¹ : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
this✝ : IsScalarTower R S A
this : IsScalarTower S A A
⊢ (pushoutDesc S' f g H) ((algebraMap S S') x) = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ca : α × γ
s : Set β
⊢ ((ProbabilityTheory.Kernel.prodMkRight γ κ) ca) s = (κ ca.1) s
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Add Y
f g : LocallyConstant X Y
x : X
⊢ (f + g) x = f x + g x
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M : Submodule R S
y : R
m : ↥M
⊢ M.rTensorOne (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) y) = y • m
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f✝ f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
⊢ ‖{ toFun := mapL, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } f‖ ≤ ∏ i : ι, ‖f i‖
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
S : L.Substructure M
x : ↥S
⊢ f ↑x ∈ FirstOrder.Language.Substructure.map f S
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i : ℕ
h : i < l.length - 1
⊢ i + 1 < l.length
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.offDiag = ∅ ↔ s.Subsingleton
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
(F.comp G).Full
G.Faithful
⊢ F.Full
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)
⊢ ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = 0
α : Type u_1
Preorder α
a b x : α
h : x ∈ Set.Ico a b
⊢ x ∈ Set.Icc a b
c d : Cardinal.{u}
hc : c < Cardinal.aleph0
hd : d < Cardinal.aleph0
⊢ Cardinal.toNat c = Cardinal.toNat d ↔ c = d
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
X : C
Y Z : C
CategoryTheory.Preadditive C
a : M
b c : M
β : CategoryTheory.ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
⊢ CategoryTheory.ShiftedHom.comp 0 β h = 0
R : Type u
Ring R
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (Polynomial.X ^ n - 1).leadingCoeff = 1
𝒮 : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : BasedCategory 𝒮
𝒴 : BasedCategory 𝒮
F : 𝒳 ⥤ᵇ 𝒴
R S : 𝒮
a b : 𝒳.obj
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : 𝒴.p.IsHomLift f (F.map φ)
⊢ 𝒳.p.IsHomLift f φ
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
t : Finset ι
ht : ∀ (j : ι), WellOrderingRel j i → (f j) x ≠ 0 → j ∈ t
j : ι
hj : ¬(f j) x = 0
⊢ WellOrderingRel j i ↔ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t
n m : Nat
⊢ Eq (n.beq m) false → Not (Eq n m)
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
hr : a ≠ ⊤
hp : b ≠ ⊤
h : b ≤ a
⊢ (min a b).toReal = min a.toReal b.toReal
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
h : μ.rnDeriv (c • ν) =ᶠ[ae ν] c⁻¹ • μ.rnDeriv ν
⊢ (fun x => log (μ.rnDeriv (c • ν) x).toReal) =ᶠ[ae μ] fun x => log (μ.rnDeriv ν x).toReal - log c.toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
μs : ι → Measure α
i : ι
hνμ : ν ≪ μs i
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : (sum μs) s = 0
⊢ ν s = 0
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
Ring A
Algebra R A
f : CliffordAlgebra.EvenHom Q A
m : M
x : A × ↥(CliffordAlgebra.even.lift.S f)
⊢ ((CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) m) (((CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) m) x) = Q m • x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution X
Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (φ.f 0) (Q.π.f 0) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.π.f 0) f
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.leftDerivedToHomotopyCategory.map f)
    (Q.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom
    (((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).comp (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ))).map φ)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Free R M
ι : Type v
Fintype ι
⊢ FiniteDimensional.finrank R (ι →₀ M) = Fintype.card ι * FiniteDimensional.finrank R M
R : Type u
inst✝²⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝²⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝²³ : Field K
inst✝²² : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝²¹ : Field L
inst✝²⁰ : Algebra S L
inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : Module R V
inst✝¹⁶ : Module K V
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'
inst✝¹³ : Module R V'
inst✝¹² : Module S V'
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''
inst✝⁹ : Module R V''
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : IsNoetherian R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤
hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
M : Submodule R S := Submodule.span R b
h : Module.Finite R (S ⧸ M) := Module.Finite.of_surjective M.mkQ (Submodule.Quotient.mk_surjective M)
n : ℕ
a : Fin n → S ⧸ M
ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤
smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤
exists_sum : ∀ (x : S ⧸ M), ∃ a', (∀ (i : Fin n), a' i ∈ p) ∧ ∑ i : Fin n, a' i • a i = x
A' : Fin n → Fin n → R
hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p
hA' : ∀ (i : Fin n), ∑ i_1 : Fin n, A' i i_1 • a i_1 = a i
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := Matrix.of A' - 1
B : Matrix (Fin n) (Fin n) R := A.adjugate
A_smul : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin n, A i j • a j = 0
⊢ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b) = ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : Stream' (Option α)
al : f.IsSeq
⊢ ↑(cons a ⟨f, al⟩).tail = ↑⟨f, al⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : BorelSpace E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace E
inst✝ : LocallyCompactSpace F
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
this✝ : ProperSpace E
this : ProperSpace F
⊢ (∀ᵐ (y : F) ∂ν, ∀ᵐ (x : E) ∂μ, y + L x ∈ s) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = ⊤
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
⊢ closure {σ, swap x (σ x)} = ⊤
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q R : Karoubi C
g : Q.Hom R
f : P.Hom Q
⊢ f.f ≫ g.f = P.p ≫ (f.f ≫ g.f) ≫ R.p
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Lattice (α i)
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (α i)
i : ι
b : α i
⊢ Pi.single i '' Set.uIcc 0 b = Set.uIcc 0 (Pi.single i b)
n d : Num
⊢ ↑(n / d) = ↑n / ↑d
α : Type u_1
p : PMF α
⊢ ⇑p ≠ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
h0 : p 0 = 0
⊢ (p.leftInv i).comp (id 𝕜 F) = (p.leftInv i).comp (p.comp (p.rightInv i))
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
⊢ Pi.constAlgHom R A R = Algebra.ofId R (A → R)
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
B : LinearMap.BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
⊢ W ⊓ B.orthogonal W ≤ Submodule.map W.subtype (LinearMap.ker (B.restrict W))
ι : Type u_1
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
Fintype ι
f : ι → α
⊢ Finset.univ.sup f = ⨆ i, f i
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ (NonemptyInterval.pure a).toProd.1 = a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f).mop =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f.mop { unmop := X }
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ Summable fun x => jacobiTheta₂_term x z τ
α : Type u
β : Type v
LinearOrder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hf : IsMaxFilter f l a
hg : IsMaxFilter g l a
⊢ IsMaxFilter (fun x => min (f x) (g x)) l a
R : Type u
CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
⊢ ModuleCat.MonoidalCategory.tensorHom f (𝟙 (ModuleCat.of R R)) ≫ (ModuleCat.MonoidalCategory.rightUnitor N).hom =
  (ModuleCat.MonoidalCategory.rightUnitor M).hom ≫ f
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x y : ℝ
⊢ re ↑x ≤ re ↑y ∧ im ↑x = im ↑y ↔ x ≤ y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
hd : AEDisjoint μ s t
⊢ μ (s ∪ t) = μ s + μ t
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Type u_8
N : Type u_10
AddCommMonoid M
CommMonoid N
s : Finset ι
g : ι → α →₀ M
h : α → M → N
h_zero : ∀ (a : α), h a 0 = 1
h_add : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ * h a b₂
⊢ ∏ i ∈ s, (g i).prod h = (∑ i ∈ s, g i).prod h
α : Type u_1
LinearOrderedField α
Archimedean α
f : ℕ → α
a : α
m : ℕ
ham : ∀ n ≥ m, |f n| ≤ a
hnm : ∀ n ≥ m, f n ≤ f n.succ
⊢ IsCauSeq abs f
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ Function.Involutive ⇑CliffordAlgebra.reverse
a b : UInt8
⊢ ¬a ≤ b ↔ b < a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} A
t : C
ht : CategoryTheory.Limits.IsTerminal t
B : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} B
U : A ⥤ B
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J B
(CategoryTheory.constantSheaf J A).Faithful
(CategoryTheory.constantSheaf J A).Full
(CategoryTheory.constantSheaf J B).Faithful
(CategoryTheory.constantSheaf J B).Full
J.PreservesSheafification U
J.HasSheafCompose U
F : CategoryTheory.Sheaf J A
(CategoryTheory.sheafCompose J U).ReflectsIsomorphisms
⊢ CategoryTheory.Sheaf.IsDiscrete J ht F ↔ CategoryTheory.Sheaf.IsDiscrete J ht ((CategoryTheory.sheafCompose J U).obj F)
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
⊢ (initsCore [s.head] s.tail).tail = initsCore [s.head, s.tail.head] s.tail.tail
n m : Nat
h : n < m
k : Nat
⊢ k + n < k + m
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ∞
ι : Type u_3
Fintype ι
F' : ι → Type u_5
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
⊢ ContDiff 𝕜 n Φ ↔ ∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => Φ x i
β : Type v
UniformSpace β
α : Type u_1
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
T0Space β
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
⊢ ClosedEmbedding f
M : Type u_4
N : Type u_5
⊢ ∀ {x : Mul M} {x_1 : Mul N} (f : M →ₙ* N) (f' : M → N) (h : f' = ⇑f), f.copy f' h = f
s : String
n : Nat
⊢ s.drop n = { data := List.drop n s.data }
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
⊢ (span 𝕜 (Set.range fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1))).topologicalClosure ≤ (span 𝕜 (⋃ i, ↑(Finset.image (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i))).topologicalClosure
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift f g
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
x : B
h : x ⟶ c
H : (t.whisker h).IsKan
i : t.whisker h ≅ (CategoryTheory.Bicategory.lanLiftLeftLift f g).whisker h
⊢ CategoryTheory.Bicategory.LanLift.CommuteWith f g h
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hg : g.IsClosable
h : f ≤ g
⊢ f.graph.topologicalClosure ≤ g.closure.graph
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
Y : C
S : CategoryTheory.Functor C D
f : S.obj Y ⟶ T
⊢ (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk f).right = { as := PUnit.unit }
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : StarRing R
inst✝²⁰ : MetricSpace R
inst✝¹⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁸ : ContinuousStar R
inst✝¹⁷ : Field S
inst✝¹⁶ : StarRing S
inst✝¹⁵ : MetricSpace S
inst✝¹⁴ : TopologicalRing S
inst✝¹³ : ContinuousStar S
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module S A
inst✝⁸ : IsScalarTower S A A
inst✝⁷ : SMulCommClass S A A
inst✝⁶ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
a : A
φ : C(↑(σₙ S a), S)₀ →⋆ₙₐ[S] A
hφ : ClosedEmbedding ⇑φ
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h_cpct : CompactSpace ↑(σₙ S a)
⊢ ClosedEmbedding ⇑(nonUnitalStarAlgHom φ h)
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → Option β
x y : Option α
hx : x = y
hf : ∀ (a : α), a ∈ y → f a = g a
⊢ x.bind f = y.bind g
A : Type u_1
Add A
⊢ ⇑1 = id