ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf✝ : f ≤ᶠ[ae μ] 0
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] -f
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ 0
α : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
One M
One N
s : Set α
f : α → M
g : M → N
hg : g 1 = 1
⊢ s.mulIndicator (g ∘ f) = g ∘ s.mulIndicator f
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule.IsNilpotent R L M
⊢ ∃ k, LieModule.lowerCentralSeries R L M k = ⊥
x₀ : ℝ
a : ℕ
f : ℝ → ℝ
hf : MonotoneOn f (Set.Icc x₀ (x₀ + ↑a))
⊢ ∫ (x : ℝ) in x₀..x₀ + ↑a, f x ≤ ∑ i ∈ Finset.range a, f (x₀ + ↑(i + 1))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
⊢ ContinuousWithinAt f s x
num✝¹ : Int
den✝¹ : Nat
den_nz✝¹ : den✝¹ ≠ 0
reduced✝¹ : num✝¹.natAbs.Coprime den✝¹
g₁ : Nat
zg₁ : g₁ ≠ 0
z₁ : den✝¹ * g₁ ≠ 0
e₁ : normalize (num✝¹ * ↑g₁) (den✝¹ * g₁) z₁ = { num := num✝¹, den := den✝¹, den_nz := den_nz✝¹, reduced := reduced✝¹ }
num✝ : Int
den✝ : Nat
den_nz✝ : den✝ ≠ 0
reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝
g₂ : Nat
zg₂ : g₂ ≠ 0
z₂ : den✝ * g₂ ≠ 0
e₂ : normalize (num✝ * ↑g₂) (den✝ * g₂) z₂ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }
⊢ normalize ((num✝¹ * ↑den✝ + num✝ * ↑den✝¹) * ↑(g₁ * g₂)) (den✝¹ * den✝ * (g₁ * g₂)) ⋯ = normalize (num✝¹ * ↑g₁ * ↑(den✝ * g₂) + num✝ * ↑g₂ * ↑(den✝¹ * g₁)) (den✝¹ * g₁ * (den✝ * g₂)) ⋯
c : Char
l r : List Char
h : ValidFor (c :: l) r { s := { data := (c :: l).reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len (c :: l).reverse } }
this : { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l }
⊢ ValidFor l (c :: r) { s := { data := (c :: l).reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len (c :: l).reverse } }.prev
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp α.inv f = g ↔ f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp α.hom g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝕜' : Type u_6
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
c : 𝕜'
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x / c) x
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.Rel (fun x x_1 => x = x_1) s s
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : ↥P.ker
⊢ P'.ker.cotangentEquivIdeal (mk ⟨f.toAlgHom ↑x, ⋯⟩ - mk ⟨g.toAlgHom ↑x, ⋯⟩).val = P'.ker.cotangentEquivIdeal (P'.ker.toCotangent ((f.subToKer g) ↑x))
K : Type u
Field K
L : Type u
Field L
f : K →+* L
a : L
x : RatFunc K
h : RatFunc.eval f a x ≠ 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
⊢ Function.Surjective ⇑realPart
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
hf : Antitone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun x => Set.Ico (f x) (g x)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
k : ℕ
⊢ (l₁ ++ l₂).rdrop (l₂.length + k) = l₁.rdrop k
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : (↑p)⁻¹ < 1
⊢ ↑p ∈ nonunits ℤ_[p]
R : Type u
Semiring R
p r : R[X]
⊢ (p * Polynomial.X).comp r = p.comp r * r
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
X : CategoryTheory.Comma L₂ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).inverse.obj X).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (i.hom.app X.left) X.hom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
h : Kᗮ = ⊥
⊢ K = ⊤
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
s : Finset { x // p x }
f : { x // p x } → β
g : α → β
h : ∀ x ∈ s, g ↑x = f x
⊢ ∏ x ∈ s, g ((Embedding.subtype fun x => p x) x) = ∏ x ∈ s, f x
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
⊢ ∏ p ∈ a.primeFactors, p ∣ a
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
inst✝¹ : Bifunctor F
inst✝ : LawfulBifunctor F
α₀ α₁ α₂ : Type u₀
β : Type u₁
f : α₀ → α₁
f' : α₁ → α₂
x : F α₀ β
⊢ fst f' (fst f x) = fst (f' ∘ f) x
R : Type u_1
Semiring R
p : PowerSeries R
n d : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R (d + n)) (p * PowerSeries.X ^ n) = (PowerSeries.coeff R d) p
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Semiring M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
f : AddMonoidAlgebra M ι
⊢ f.toDirectSum.toAddMonoidAlgebra = f
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝¹ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n✝ n : ℕ
h : n ≠ 0
g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X
hp : 1 < p
aux : g_poly ≠ 0
key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField p n)) = p ^ n
nat_degree_eq : g_poly.natDegree = p ^ n
⊢ ∀ x ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod p) (GaloisField p n)) ∪ (X ^ p ^ n - X).rootSet (X ^ p ^ n - X).SplittingField), x ∈ (X ^ p ^ n - X).rootSet (GaloisField p n)
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V
⊢ G'.deleteVerts s ≤ G'
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : MeasureTheory.Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), MeasureTheory.Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i] =ᵐ[μ] 0
⊢ MeasureTheory.Martingale f 𝒢 μ
a b : Ordinal.{u_1}
hba : b ≤ a * Ordinal.omega
⊢ Ordinal.nfp (fun x => a + x) b = a * Ordinal.omega
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : IsEmpty ι
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = ‖1‖
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : E
⊢ ContinuousAt (↑I.symm) x
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
f : β → α
p : α → Prop
hb : p ⊥
hp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)
hs : ∀ b ∈ s, p (f b)
⊢ p (s.sup f)
α : Type u
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : FinCategory J
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
x y : α
⊢ x ⊔ (y ⊔ ⊥) = x ⊔ y
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
MulOneClass G
a : G
h : ∀ (a' : G), Commute a a'
f : MonoidAlgebra k G
⊢ Commute ((MonoidAlgebra.of k G) a) f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
t : Set E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x
R : Type u
CommRing R
M N K : ModuleCat R
m : ↑M
n : ↑N
k : ↑K
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator M N K).hom ((m ⊗ₜ[R] n) ⊗ₜ[R] k) = m ⊗ₜ[R] n ⊗ₜ[R] k
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : IsCompact s
hμ : ∀ x ∈ s, μ.FiniteAtFilter (𝓝[s] x)
⊢ μ s < ⊤
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
Module S M
Module S M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S
fₗ gₗ : M →ₗ[S] M₂
⊢ ↑R fₗ = ↑R gₗ ↔ fₗ = gₗ
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
g : G
hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
l₁ l₂ : Filter α
Filter.TendstoIxxClass Set.Ico l₁ l₂
lb : Filter β
u₁ u₂ : β → α
h₁ : Filter.Tendsto u₁ lb l₁
h₂ : Filter.Tendsto u₂ lb l₁
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Set.Ico (u₁ x) (u₂ x)) lb l₂.smallSets
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
pr : (i : ι) → ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] F' i := ContinuousLinearMap.proj
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n Φ s x ↔ ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => Φ x i) s x
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝
s✝ s₁ s₂ t : Set α✝
α : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
hfin : ∃ i, μ (f i) ≠ ⊤
s : ι → Set α := fun i => ⋂ j, ⋂ (_ : j ≤ i), f j
iInter_eq : ⋂ i, f i = ⋂ i, s i
ms : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ μ (⋂ i, f i) = ⨅ i, μ (⋂ j, ⋂ (_ : j ≤ i), f j)
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
y' : S
z' : ↥S⁰
hx : (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})
y : S
z : R
hz0 : z ≠ 0
yz_eq : z • y' = ↑z' * y
injRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hz0' : (algebraMap R S) z ∈ S⁰
⊢ (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
⊢ (a :: l).erase b <+~ a :: l.erase b
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
f : α → β
hf : ↑e = f
g : β → α
hg : ↑e.symm = g
s : Set α
hs : e.source = s
t : Set β
ht : e.target = t
⊢ ↑(e.copy f hf g hg s hs t ht).symm = g
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
h✝ h : E.IsPointwiseRightKanExtension
G : L.RightExtension F
f₁ f₂ : G ⟶ E
Y : D
⊢ f₁.left.app Y = f₂.left.app Y
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
⊢ (desc fun k => eqToHom ⋯ ≫ (w (e.symm k)).hom ≫ ι f (e.symm k)) = lift fun j => π g (e j) ≫ (w j).hom
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (T : C), Function.Bijective fun x => x ≫ f
g : Y ⟶ X
hg : g ≫ f = 𝟙 Y
⊢ IsIso f
R : Type u_1
CommSemiring R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M
Module R M₁
Module R M₂
Module R M
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
AddCommMonoid N₁
AddCommMonoid N₂
AddCommMonoid N
Module R N₁
Module R N₂
Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
hf : IsTensorProduct f
hg : IsTensorProduct g
i₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
i₂ : M₂ →ₗ[R] N₂
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ (hf.map hg i₁ i₂) ((f x₁) x₂) = (g (i₁ x₁)) (i₂ x₂)
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁ : MulAction.IsBlock G B₁
h₂ : MulAction.IsBlock G B₂
⊢ MulAction.IsBlock G (B₁ ∩ B₂)
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
D : ℤ
f : LaurentSeries K
⊢ Valued.v f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-D)) ↔ ∀ n < D, f.coeff n = 0
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v3 : ℕ
⊢ padicNorm p (↑f (PadicSeq.stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑f (max v1 (max (PadicSeq.stationaryPoint hf) v3)))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
N : ℕ
h_B : B N ≤ ε
n : ℕ
hn : n ≥ N
h_sub : eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ liminf (fun m => eLpNorm (f n - f m) p μ) atTop
⊢ eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MonoidWithZero β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
⊢ ∀ (n : ℕ), μ (support ↑((fun n => hf.approx n * hg.approx n) n)) < ⊤
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
ι : Sort u_3
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ comap f ⊥ ≤ I
X : PartialFun
⊢ (partialFunEquivPointed.functor.obj X).point = none
α : Type u_1
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)
h0 : ∑' (k : ℕ), m (s (k + 1) \ s k) ≠ ⊤
⊢ m (⋃ n, s n) = ⨆ n, m (s n)
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair Y Z
f : C(X, Y)
g : C(Y, Z)
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set Z
hU : IsOpen U
hKU : MapsTo (⇑g ∘ ⇑f) K U
L : Set Y
hKL : MapsTo (⇑f) K (interior L)
hLc : IsCompact L
hLU : MapsTo (⇑g) L U
⊢ ∀ᶠ (a : C(X, Y) × C(Y, Z)) in 𝓝 (f, g), MapsTo (⇑(a.2.comp a.1)) K U
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
ContinuousAdd G
a : G
⊢ ⇑(Homeomorph.addLeft a) = fun x => a + x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.unopMap (CategoryTheory.CategoryStruct.id S) = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.unop
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
e : E
f : E → F
g : E → G
s : Set E
w✝¹ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFPowerSeriesWithinAt f w✝¹ s e
w✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hg : HasFPowerSeriesWithinAt g w✝ s e
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 (fun x => (f x, g x)) s e
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
a₁ a₂ : α
⊢ Sum.inlₗ (a₁ ⊓ a₂) = Sum.inlₗ a₁ ⊓ Sum.inlₗ a₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }
⊢ Multiset.map Subtype.val univ.val = (filter p univ).val
cs : List Char
c : Char
cs' : List Char
⊢ { data := cs ++ c :: cs' }.next { byteIdx := String.utf8Len cs } = { byteIdx := String.utf8Len cs + c.utf8Size }
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : ∀ {ι : Type u} (U : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : f ≤ 𝓟 s
⊢ ∃ x ∈ s, ClusterPt x f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : f.cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset
⊢ f.cycleFactorsFinset.noncommProd id ⋯ = g
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
S : Set X
x : ↑I × X
⊢ (ContinuousMap.HomotopyRel.refl f S) x = f x.2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCancelCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
c : E
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => z + c)
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
⊢ FreeAddGroup.mk L₁ + FreeAddGroup.mk L₂ = FreeAddGroup.mk (L₁ ++ L₂)
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring C
inst✝⁵ : CommSemiring D
inst✝⁴ : CommSemiring E
inst✝³ : Algebra C D
inst✝² : Algebra C E
inst✝¹ : Algebra D E
inst✝ : IsScalarTower C D E
S : Set E
⊢ Set.range ⇑(algebraMap D E) = Set.range ⇑(algebraMap (↥(Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom C D E) ⊤)) E)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ c : Con M
⊢ conGen ⇑c ≤ c
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
r : M
s : Set α
f : α → M
⊢ r ∈ Set.range (s.indicator f) ↔ r = 0 ∧ s ≠ Set.univ ∨ r ∈ f '' s
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Preorder α
LinearOrder β
Preorder γ
f : ι → α
g : ι → β
g' : β → γ
s : Set ι
h : MonovaryOn f g s
hg : AntitoneOn g' (g '' s)
⊢ AntivaryOn f (g' ∘ g) s
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a - b - c = a - (b + c)
o : ONote
self : o.NF
⊢ Exists o.NFBelow
α : Type u_2
β : Type u_3
Top α
LE β
OrderTop β
a : α
⊢ ⊤ a = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
⊢ ∀ (a : (Module.Dual R M × M) × Module.Dual R N × N),
  QuadraticForm.dualProdProdIsometry.invFun a =
    ((Module.dualProdDualEquivDual R M N).symm.prod (LinearEquiv.refl R (M × N))).symm ((a.1.1, a.2.1), a.1.2, a.2.2)
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
L.HasPointwiseRightKanExtension F
X : C
⊢ (L.pointwiseRightKanExtensionCounit F).app X =
  CategoryTheory.Limits.limit.π ((CategoryTheory.StructuredArrow.proj (L.obj X) L).comp F)
    (CategoryTheory.StructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.obj X)))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
⊢ μ (Metric.closedBall x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E) * μ (Metric.closedBall 0 s)
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
NonAssocSemiring S
Pow S ℕ
Module R S
IsScalarTower R S S
NatPowAssoc S
x : S
n : ℕ
⊢ (ascPochhammer R n).smeval x = (ascPochhammer ℕ n).smeval x
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
⊢ p = X ^ p.natDegree + ∑ i ∈ range p.natDegree, C (p.coeff i) * X ^ i
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i : ι
d : Transversal φ
⊢ Injective ⇑(of i)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
a✝ : Nontrivial E
O₁ : (E →L[𝕜] E) → F →L[𝕜] E := fun f => f.comp ↑e.symm
O₂ : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => (↑e.symm).comp f
this : inverse = O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂
h₁ : ContDiff 𝕜 n O₁
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂) ↑e
n k : ℕ
⊢ (hermite n).coeff k - (↑(k + 1) + 1) * (hermite n).coeff (k + 1 + 1) = (hermite n).coeff k - (↑k + 2) * (hermite n).coeff (k + 2)
X : Type u_1
x : X
a : FreeAbelianGroup X
⊢ (toFinsupp a) x = 0 ↔ (coeff x) a = 0
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ (I * J).radical = I.radical ⊓ J.radical
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z))
      (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst Y Z)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z)
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd X Y)
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}
⊢ (fun a => sup fun n => f^[n] a) a ≤ b ↔ ∀ (n : ℕ), f^[n] a ≤ b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₃ : p₃ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
⊢ Collinear k {p₁, p₂, p₃, p₄}
α : Type u_1
s : Cycle α
⊢ s.reverse.Nontrivial ↔ s.Nontrivial
a b m n✝ p : ℕ
P : ℕ → Prop
zero : P 0
one : P 1
prime : ∀ (p : ℕ), Prime p → P p
composite : ∀ (a : ℕ), 2 ≤ a → P a → ∀ (b : ℕ), 2 ≤ b → P b → P (a * b)
n : ℕ
⊢ P n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hst : Disjoint (s ∩ mulSupport f) (t ∩ mulSupport f)
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
h : FiniteType R R[M]
S : Finset M
hS : adjoin R (of' R M '' ↑S) = ⊤
m : M
hm : of' R M m ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (of' R M '' ↑S))
⊢ m ∈ closure ↑S
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1
hg₁r : g₁ ∉ (φ i).range
hg₂r : g₂ ∉ (φ j).range
w : Word G := { toList := [⟨i, g₁⟩, ⟨j, g₂⁻¹⟩], ne_one := ⋯, chain_ne := ⋯ }
hw : Reduced φ w
this : w = Word.empty
⊢ False