ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t✝ s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
m : ℕ → Measure α
hv : ∀ (n : ℕ), (m n) t ≠ ⊤
hμ : μ = sum m
A : ∃ t' ⊇ t, MeasurableSet t' ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t' ∩ u) = μ (t ∩ u)
⊢ μ ((if h : ∃ t_1 ⊇ t, MeasurableSet t_1 ∧ t_1 =ᶠ[ae μ] t then h.choose else if h' : ∃ t_1 ⊇ t, MeasurableSet t_1 ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t_1 ∩ u) = μ (t ∩ u) then h'.choose else ⋯.choose) ∩ s) = μ (t ∩ s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : Differentiable 𝕜 f
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ∃ n, c ^ n ≠ 0 ∧ ‖c ^ n • x‖ < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ n • x‖ ∧ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
xD : x ∈ D
hf : oscillationWithin f D x = 0
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ Filter.map f (𝓝[D] x)), diam i < ε
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[D] x, edist (f x_1) (f x) < ε
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
VAdd M β
m : MeasurableSpace α
g : α → β
MeasurableVAdd M β
hg : Measurable g
c : M
⊢ Measurable (c +ᵥ g)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : PerfectField E
eq : perfectClosure F E = ⊥
p : ℕ := ringExpChar F
this✝ : ExpChar E p
this : PerfectRing F p
⊢ PerfectField F
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero S.leftHomology
n : ℕ
⊢ Nat.nth (fun x => True) n = n
R : Type u_2
Add R
c : R
self : IsAddRegular c
⊢ IsAddRightRegular c
α : Type u_1
a l : Lists α
⊢ a ∈ l → l.IsList
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : ∀ (x : L ≃ₐ[K] L), x ∈ Subgroup.zpowers σ
hσ' : orderOf σ = Fintype.card (L ≃ₐ[K] L)
this : (minpoly K σ.toLinearMap).IsRoot ζ
v : L
hv : Module.End.HasEigenvector σ.toLinearMap ζ v
hv' : ∀ (n : ℕ), (σ ^ n) v = ζ ^ n • v
⊢ ∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
S : Type u_7
F : Type u_8
CommRing S
IsDomain S
FunLike F R S
MonoidHomClass F R S
n : ℕ+
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
hζ : (primitiveRoots (↑n) R).Nonempty
⊢ ∀ (a : ↥(rootsOfUnity n R)), ⋯ = ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.HasForget₂ C Ab
CategoryTheory.Abelian C
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).Additive
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k
⊢ ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map (hS.δ i j hij))
    (((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map (S.X₃.homologyπ i)) (S.X₃.cyclesMk x₃ j ⋯ hx₃)) =
  ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map (S.X₁.homologyπ j)) (S.X₁.cyclesMk x₁ k hk ⋯)
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
AddCommMonoid X₁
AddCommMonoid X₂
AddCommMonoid X₃
AddCommMonoid Y₁
AddCommMonoid Y₂
AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
⊢ Function.Exact ⇑g₁₂ ⇑g₂₃ ↔ Function.Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃
α : Type u
t : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
b : Set (Set α)
hb : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis b
⊢ s ∈ 𝓝 a ↔ ∃ t ∈ b, a ∈ t ∧ t ⊆ s
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : IsAbsoluteValue norm
inst✝ : ProperSpace R
p : R[X]
hp0 : ¬0 < p.degree
⊢ ∀ (y : R), ‖eval (p.coeff 0) p‖ ≤ ‖eval y p‖
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S₁ S₂ : StarSubalgebra R A
h : S₁ ≤ S₂
hS₁ : IsClosed ↑S₁
⊢ ClosedEmbedding ⇑(StarSubalgebra.inclusion h)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s
⊢ m ≤ n → s ^ m ⊆ s ^ n
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
AddCommMonoid β
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α → β
⊢ ∑ a ∈ Finset.filter p s, f a = ∑ a ∈ s, if p a then f a else 0
T : Type w
CommRing T
p : Polynomial T
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
⊢ (p.rootSet S).Finite
α : Type u_1
s : Set α
t : Set Bool
⊢ ((if true ∈ t then s else ∅) ∪ if false ∈ t then sᶜ else ∅) = univ ∨ ((if true ∈ t then s else ∅) ∪ if false ∈ t then sᶜ else ∅) = s ∨ ((if true ∈ t then s else ∅) ∪ if false ∈ t then sᶜ else ∅) = sᶜ ∨ ((if true ∈ t then s else ∅) ∪ if false ∈ t then sᶜ else ∅) = ∅
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝¹ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
i✝ : Composition j
a✝ : i✝ ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset
⊢ ‖p.compAlongComposition (p.rightInv i) i✝‖ ≤ C * r ^ i✝.length * ∏ j_1 : Fin i✝.length, ‖p.rightInv i (i✝.blocksFun j_1)‖
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
a : α
l : List α
ih : filterMap f l = l.bind fun a => (f a).toList
⊢ (match f a with | none => filterMap f l | some b => b :: filterMap f l) = (f a).toList ++ l.bind fun a => (f a).toList
R S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
Algebra.FormallyUnramified R S
Algebra.EssFiniteType R S
⊢ TensorProduct.AlgebraTensorModule.lift (↑R (Algebra.lsmul S S M).toLinearMap.flip).flip ∘ₗ
    Algebra.FormallyUnramified.sec R S M =
  LinearMap.id
α : Type u
s t r : Set α
⊢ r ⊆ s ∩ t ↔ r ⊆ s ∧ r ⊆ t
a b c : ℍ
⊢ dist a c ≤ dist a b + dist b c
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ioc (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ioc (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b
i1 : m ≤ n
i2 : n ≤ m
⊢ m = n
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a - b + c = a - (b - c)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
c : Cardinal.{u_3}
ho : o ≤ c.ord
⊢ o.card ≤ c
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.67791, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.67795, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s
⊢ LeftFractionRel ((ofInv s hs).comp₀ (ofHom W s) (ofHom W (𝟙 Y))) (ofHom W (𝟙 ((Q W).obj Y)))
X : Type u_1
α : Type u_2
One α
TopologicalSpace X
f : X → α
x : X
hx : x ∉ mulTSupport f
⊢ f x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List β
y : α
ys : List α
f : List α → β
⊢ (permutationsAux2 t ts r (y :: ys) f).2 = f (t :: y :: ys ++ ts) :: (permutationsAux2 t ts r ys fun x => f (y :: x)).2
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
σ : Perm n
M : Matrix n n R
⊢ sign σ • detRowAlternating M = ↑↑(sign σ) * M.det
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁰ : T2Space E
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : T2Space F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : ker f = ⊥
g : E ≃ₗ[𝕜] ↥(range f) := LinearEquiv.ofInjective f ⋯
this : FiniteDimensional 𝕜 ↥(range f)
⊢ IsClosed (Set.range ⇑f)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ ↑⌈a⌉₊ = ↑⌈a⌉
P : ℕ → Sort u_1
h0 : P 0
h_even : (i : ℕ) → P i → P (2 * i)
h_odd : (i : ℕ) → P i → P (2 * i + 1)
H : h_even 0 h0 = h0
n : ℕ
⊢ Nat.evenOddRec h0 h_even h_odd (2 * n) = h_even n (Nat.evenOddRec h0 h_even h_odd n)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
⊢ Function.Exact ⇑P.cotangentComplex ⇑P.toKaehler
X Y : AddCommGrp
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget AddCommGrp).map f = ⇑f
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
LieModule.LinearWeights R L M
χ : LieModule.Weight R L M
a : L
⊢ (LieModule.Weight.toLinear R L M χ) a = χ a
n : ℕ+
K : Type u
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
ζ : K
l : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ l
hl : l ≠ 0
⊢ l ∣ 2 * ↑n
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, x ≤ 0
⊢ sSup S ≤ 0
Fq : Type u_1
Fintype Fq
Field Fq
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Polynomial Fq
hb : b ≠ 0
A : Fin n → Polynomial Fq
⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑(Polynomial.cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < Polynomial.cardPowDegree b • ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.ShortComplex.π₁Toπ₂ CategoryTheory.ShortComplex.π₂Toπ₃ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f✝ : α → β
inst✝ : Nonempty α
f : α → β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
x' : α
hx' : x' ∈ s
he : invFunOn f s (f x) = invFunOn f s (f x')
⊢ f x = f x'
ι : Type u_1
Fintype ι
A : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (A i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i),
    f x ^ (1 - (↑#ι - 1) * p) *
      ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (Function.update x i xᵢ) ∂μ i) ^ p ∂MeasureTheory.Measure.pi μ ≤
  (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂MeasureTheory.Measure.pi μ) ^ (1 + p)
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
α : Type u_3
hA : PartialOrder α
A B : OrderTop α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ ⊤ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p : α → ℕ → Prop
inst✝ : (x : α) → DecidablePred (p x)
N : ℕ
hN : ∀ k ≤ N, MeasurableSet {x | p x k}
k : ℕ
hk : k ≤ N
⊢ MeasurableSet ({a | k ≤ N} ∩ ((⋂ (_ : k ≠ 0), {x | p x k}) ∩ ⋂ i, ⋂ (_ : k < i), ⋂ (_ : i ≤ N), {a | p a i}ᶜ))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
a : α
ha : a ∈ upperBounds s
b : β
hb : b ∈ lowerBounds t
⊢ BddAbove (image2 f s t)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
S : AddSubmonoid N
⊢ AddSubmonoid.map f (AddSubmonoid.comap f S) = S ⊓ AddMonoidHom.mrange f
G : Type u_2
SubNegMonoid G
a : G
n : ℕ
⊢ Int.negSucc n • a = -((n + 1) • a)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
u : ℕ → Set E := fun n => disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
⊢ μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
d : n → α
i : n
⊢ Matrix.diagonal d i i = d i
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
⊢ ∀ (x : ℕ), (I.trivialFiltration N).N x = N
⊢ |1 - 36295539 / 44271641| ≤ 311834363841 / 610351562500 - |1| / 22 * ((22 + 1) / 22)
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
f : K →+* L
y : L
⊢ y ∈ f.fieldRange ↔ ∃ x, f x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hg : Memℒp g p μ
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g
⊢ UnifTight (fun n => f n - g) p μ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
self : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ ∃ p, Measurable p.2 ∧ p.1 ⟂ₘ ν ∧ μ = p.1 + ν.withDensity p.2
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝³ : DivInvMonoid M
inst✝² : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
x y : G
h : x ∈ H
hab : x * y ∈ H
⊢ y ∈ H
G : Type u
AddCommGroup G
hG : AddGroup.FG G
⊢ ∃ n ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)), ∃ e, Nonempty (G ≃+ (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i))
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ (∀ (a_1 : ↑(spectrum R a)), 0 a_1 ≤ { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } a_1) ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ f x
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'
⊢ Function.Injective (IntermediateField.map f)
α : Type u_1
M : Matroid α
R I : Set α
⊢ (M.restrictIndepMatroid R).Indep I = (M.Indep I ∧ I ⊆ R)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : 0 < ε
N : ℕ
hN : 1 / ε < ↑N
i : ℕ
hi : i ≥ N
h : padicNormE (↑f i - ↑(Classical.choose ⋯)) < 1 / (↑i + 1)
⊢ padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
inst✝¹ : Infinite X
inst✝ : DiscreteTopology X
inhabited_h : Inhabited X
⊢ ¬Continuous ⇑CofiniteTopology.of.symm
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
I : Set (ι × α)
⊢ (∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' ((fun a => ⟨a.1, a.2⟩) '' I))) ↔ ∀ (i : ι), (M i).Indep (Prod.mk i ⁻¹' I)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
One γ
i : α
c : γ
⊢ Sum.elim (Pi.mulSingle i c) 1 = Pi.mulSingle (Sum.inl i) c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
self : CategoryTheory.SheafOfTypes J
⊢ (CategoryTheory.sheafOfTypesToPresheaf J).obj self = self.val
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : (o.kahler x) y = 0
this : ‖x‖ * ‖y‖ = 0
h : ‖y‖ = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace E
⊢ ∀ (i : E ≃L[𝕜] F), range toContinuousLinearMap ∈ 𝓝 ↑i
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
h : cofinite ≤ l
⊢ l.kerᶜ.Countable
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y
⊢ (adj.homEquiv X' Y) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((adj.homEquiv X Y) g)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
⊢ b.map (b.equiv b' e) = b'.reindex e.symm
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
⊢ ∃ v m, Monotone v ∧ (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧ x ∈ v '' Iio m ∧ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))
α : Type u_2
MulZeroOneClass α
PartialOrder α
PosMulStrictMono α
ZeroLEOneClass α
NeZero 1
⊢ ↑(Submonoid.pos α) = Set.Ioi 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q✝ : R[X]
h : IsUnit p
a✝ : Nontrivial R
q : R[X]
hq : p * q = 1
this : (p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree
⊢ p.natDegree = 0
x y : ℝ
h : ↑(cexp ↑x).re = ↑0
⊢ cexp ↑x = 0
α : Type u_1
Ring α
a b : α
⊢ a ∣ a + b ↔ a ∣ b
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s✝ s : Set G
⊢ closure s ≤ normalClosure s
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b c : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c - d) = c • ∫ (x : ℝ) in a / c - d..b / c - d, f x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
N : Type u_6
AddCommGroup N
TopologicalSpace N
TopologicalAddGroup N
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
w : MeasureTheory.VectorMeasure α N
h : v ⟂ᵥ w
⊢ v ⟂ᵥ -w
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : NumDenSameDeg 𝒜 x
h : f.num = 0
⊢ (mk f).val = val 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.homologyπ h.homologyIso.hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.cyclesIso.hom h.π
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : β → γ
F : Filter α
G : Filter β
⊢ F ×ˢ map f G = map (Prod.map id f) (F ×ˢ G)
α : Type u_1
LinearOrder α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
Fintype α
⊢ Finset.Colex.IsInitSeg 𝒜 r ∧ 𝒜.Nonempty ↔ ∃ s, s.card = r ∧ 𝒜 = Finset.Colex.initSeg s
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
f : R →+* S
z : S
hz : Polynomial.eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
⊢ 0 < p.degree
α : Type u_1
n m : ℕ
l : List α
⊢ List.dropSlice n m l ⊆ l
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α
⊢ ⊤ ≤ 𝓟 univ
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
inst✝ : Finite η
⊢ Module.rank R ((i : η) → φ i) = sum fun i => Module.rank R (φ i)
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty J
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι F i xi = CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j xj ↔ ∃ k f g, F.map f xi = F.map g xj
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
S : Type u_3
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module S M₂
Module S M₃
SMulCommClass R S M₂
SMulCommClass R S M₃
f : (M →ₗ[R] M₂) × (M →ₗ[R] M₃)
⊢ (LinearMap.prodEquiv S) f = f.1.prod f.2
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
X Y : R
⊢ W.Equation ![X, Y, 1] ↔ W.toAffine.Equation X Y
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l : List α
o✝ : Option α
a✝ m : α
hr₀ : Irreflexive r
hr₁ : Transitive r
tl : List α
a : α
ih : ∀ {a m : α} {o : Option α}, a ∈ tl → m ∈ foldl (argAux r) o tl → ¬r a m
b : α
o : Option α
hb : b ∈ tl ++ [a]
c : α
hf : foldl (argAux r) o tl = some c
hac : ¬r a c
h : b ∈ tl
⊢ ¬r b c
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k₁ : ℕ
hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k₂) m₂ = 0
hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
⊢ ((f₁ + f₂) ^ (k₁ + k₂ - 1)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
R : CommRingCat
IsDomain ↑R
⊢ genericPoint ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec R).toPresheafedSpace = ⊥
n : ℕ
⊢ ↑n.succ = Order.succ ↑n
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
T : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup T
inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
a : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (fun n => f (↑a n)) m ≡ (fun n => f (↑a n)) n [SMOD I ^ m • ⊤]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : Prop
Decidable P
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g g' : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (if P then g else g') =
  if P then CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g else CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g'
f : Prop → Prop
⊢ (∃ p, f p) ↔ f True ∨ f False
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B₁ : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
H : B₁.IsAlt
x y : M₁
⊢ -(B₁ x) y = (B₁ y) x
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
Ms : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
(i : ι) → Module R (Ms i)
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
x y : ((i : ι) → Ms i) ⧸ Submodule.pi Set.univ p
⊢ Submodule.quotientPi_aux.toFun p (x + y) = Submodule.quotientPi_aux.toFun p x + Submodule.quotientPi_aux.toFun p y
α : Type u
l₁ : List α
DecidableEq α
l₂ : List α
⊢ l₁.Nodup → (l₁ ∩ l₂).Nodup
c : Char
s : Substring
⊢ s.Valid → (s.contains c = true ↔ c ∈ s.toString.data)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂
f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁
f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂
⊢ CategoryTheory.Biprod.ofComponents f₁₁ f₁₂ f₂₁ f₂₂ ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd =
  CategoryTheory.Limits.biprod.fst ≫ f₁₂ + CategoryTheory.Limits.biprod.snd ≫ f₂₂
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u✝ v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
v w u : V
⊢ u ∈ ⊤.commonNeighbors v w ↔ u ∈ Set.univ \ {v, w}
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
SMul M α
ContinuousConstSMul M α
TopologicalSpace β
g : β → α
b : β
s : Set β
hg : ContinuousWithinAt g s b
c : M
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => c • g x) s b