ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
m : M
a✝¹ : R
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R ↑S
a✝ : (f ^ S.sup g) x✝ = 0 x✝
⊢ (f ^ S.sup g) (a✝¹ • x✝) = 0 (a✝¹ • x✝)
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V' : Type u_3
G' : SimpleGraph V'
h : ∀ (n : ℕ), G'.Colorable n → G.Colorable n
⊢ ⨅ n ∈ setOf G.Colorable, ↑n ≤ ⨅ n ∈ setOf G'.Colorable, ↑n
α : Sort u_1
a b : Trunc α
⊢ a = b
α : Type u_1
Fintype α
s t : Finset α
DecidableEq α
⊢ s ∩ t = Finset.univ ↔ s = Finset.univ ∧ t = Finset.univ
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
F : Type u_6
ι : Type u_8
NormedField 𝕝
AddCommGroup F
NormedField 𝕝₂
Module 𝕝₂ F
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
RingHomIsometric τ₁₂
Nonempty ι
E : Type u_10
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕝 E
TopologicalSpace F
q : ι → Seminorm 𝕝₂ F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∀ (i : ι), ∃ C, (q i).comp f ≤ C • normSeminorm 𝕝 E
⊢ Continuous ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i j : Set α
s : SignedMeasure α
f : ℕ → ℝ
left✝ : Antitone f
hf₂ : Tendsto f atTop (nhds (sInf s.measureOfNegatives))
B : ℕ → Set α
hB : ∀ (n : ℕ), B n ∈ {B | MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B} ∧ ↑s (B n) = f n
hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)
hB₂ : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)
A : Set α := ⋃ n, B n
hA : A = ⋃ n, B n
hA₁ : MeasurableSet A
hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A
hA₃ : ↑s A = sInf s.measureOfNegatives
⊢ ∃ i, MeasurableSet i ∧ restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ restrict s iᶜ ≤ restrict 0 iᶜ
I : Type u
f : I → Type v
γ : Type w
Nonempty I
(i : I) → MulOneClass (f i)
MulOneClass γ
g : (i : I) → γ →* f i
hg : ∀ (i : I), Function.Injective ⇑(g i)
⊢ Function.Injective ⇑(Pi.monoidHom g)
R : Type u
⊢ Function.Injective (@NonUnitalNonAssocCommRing.toNonUnitalNonAssocRing R)
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
PR_eq_RPR : ∀ (R : M), IsLprojection X R → P * R = R * P * R
QP_eq_QPQ : Q * P = Q * P * Q
⊢ Commute P Q
G : Type u_1
Group G
Finite G
x : G
⊢ ↑(Submonoid.powers x) = ↑(Subgroup.zpowers x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x : α → ℕ
p : Poly α
ps : List (Poly α)
⊢ (sumsq (p :: ps)) x = 0 ↔ List.Forall (fun a => a x = 0) (p :: ps)
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
p : ℕ
CharP R p
⊢ ↑p = 0
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁰ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSemiring R
B : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : TopologicalSemiring B
f : A →A[R] B
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subalgebra R A
hs : Dense ↑s
⊢ Dense ((fun a => f a) '' ↑s)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : P.k < s.re
hc1 : MellinConvergent (fun x => P.f x - P.f₀) s
hc2 : HasMellin P.f_modif s (P.Λ₀ s)
hc3 : mellin (fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀) s = (1 / s) • P.f₀ + (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀
this : mellin (fun t => P.f_modif t - (P.f t - P.f₀)) s = mellin P.f_modif s - mellin (fun x => P.f x - P.f₀) s
⊢ mellin (fun x => P.f x - P.f₀) s = P.Λ s
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
DecidablePred fun x => x < c
hca : c ≤ a
⊢ Multiset.filter (fun x => x < c) (Multiset.Ico a b) = ∅
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
j i : ι
hij : j < succFn i
⊢ j ≤ i
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
x : E
⊢ p x 0 = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (p x 0).uncurry0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
hl : HasFDerivAt l l' (f x)
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (l ∘ f) (l' f') x
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
y : ↥N
m : R
hm : m * ↑y ∈ M
this : IsUnit ((algebraMap R S) m * (algebraMap R S) ↑y)
⊢ IsUnit ((algebraMap R S) ↑y)
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
α : Type u_9
inst✝ : DecidableEq α
x : Multiset α
⊢ ((Finset.range (card x + 1)).sup fun k => powersetCard k x) = x.powerset
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : C
⊢ R.map (L.map (R.map (h.counit.app (L.obj X))) ≫ h.counit.app (L.obj X)) = R.map (h.counit.app (L.obj (R.obj (L.obj X)))) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ ⁅I ⊓ J, N⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ⊓ ⁅J, N⁆
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s t : Set α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hf : (s * t).Finite := ⋯
⊢ Set.Finite.toFinset hf = hs.toFinset * ht.toFinset
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
hμ : NeZero μ
hp : ¬p = 0
⊢ eLpNorm f p μ ≤ C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (mk W) (W.φ n) = (mk W) (C (W.Φ n))
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ BddBelow {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖}
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : Mul M✝
inst✝³ : ContinuousMul M✝
M : Type u_6
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
h : a ⤳ b
n : ℕ
⊢ (a ^ Nat.zero) ⤳ (b ^ Nat.zero)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.17320, u_1} C
X : C
⊢ 𝟙 X ≫ 𝟙 X = 𝟙 X
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a : α
n : ℤ
⊢ a ^ (-n) = (a ^ n)⁻¹
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, ∅ * V ⊆ U
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
h : y < x
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
⊢ ltByCases x y h₁ h₂ h₃ = h₃ h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
x y z : Ordinal.{u_4}
⊢ (x * y + z) % x = z % x
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.chromaticNumber < ↑n
hne : G.chromaticNumber ≠ ⊤
m : ℕ
hc' : G.Colorable m
this : G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
⊢ G.chromaticNumber.toNat < n
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => u ⌊c k ^ n⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 l)
a : ℝ
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : c k < a
⊢ ∃ c, (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧ Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n => u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
n : ℕ
hn0 : n ≠ 0
⊢ ∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
hμ : f.HasEigenvalue μ
h_unit : IsUnit ((algebraMap R (End R M)) μ - f)
f' : M ≃ₗ[R] M := LinearMap.GeneralLinearGroup.toLinearEquiv h_unit.unit
v : M
hv : f.HasEigenvector μ v
⊢ False
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
hπ₁ : Epi π₁
y₁ : A₁ ⟶ S.L₁.X₁
hy₁ : π₁ ≫ x₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = y₁ ≫ S.L₁.f
hy₁' : y₁ ≫ S.v₁₂.τ₁ = 0
x₁ : A₁ ⟶ S.L₀.X₁
hx₁ : x₁ ≫ S.v₀₁.τ₁ = y₁
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : Set G
V_open : IsOpen V
V_mem : 1 ∈ V
hV : V * V ⊆ U
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, IsClosed V ∧ V⁻¹ = V ∧ V * V ⊆ U
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
⊢ intrinsicInterior 𝕜 s ⊆ s
a : ℤ
b : ℕ
h : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a (Int.negOfNat b)
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (-a) b
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
p : X → Prop
⊢ (∃ᶠ (x' : X) in 𝓝 x, ∃ᶠ (x'' : X) in 𝓝 x', p x'') ↔ ∃ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x y : R
⊢ { toFun := fun x => op (star x), invFun := __src✝.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => op (star x), invFun := __src✝.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => op (star x), invFun := __src✝.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
e : α ≃ β
f : β → γ
⊢ Function.Bijective (f ∘ ⇑e) ↔ Function.Bijective f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
se : CategoryTheory.SplitEpi f
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (se.map F).section_ = F.map se.section_
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a : α
OrderBot α
NoMaxOrder α
⊢ a < Order.succ ⊥ ↔ a = ⊥
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η
val✝ : Fintype η
ι : Type
w✝ : Fintype ι
hι : ∀ (C : (ι → Shrink.{0, u_7} η → α) → κ), ∃ l, Line.IsMono C l
C : (ι × Shrink.{0, u_7} η → α) → κ
l : Line (Shrink.{0, u_7} η → α) ι
hl : Line.IsMono (fun x => C fun x_1 => match x_1 with | (i, e) => x i e) l
⊢ IsMono C (l.toSubspace.reindex (equivShrink η).symm (Equiv.refl α) (Equiv.refl (ι × Shrink.{0, u_7} η)))
y : EReal
y_nbot : ⊥ < y
y_ntop : y < ⊤
⊢ ∃ a, a.log = y
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
⊢ ∀ (U_1 : Opens G), μ.outerMeasure (↑U_1 ∩ U) + μ.outerMeasure (↑U_1 \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U_1
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F : Sheaf C X
U : Opens ↑X
s t : (forget C).obj (F.val.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.germ x) s = (F.presheaf.germ x) t
V : ↥U → Opens ↑X
m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
i₁ i₂ : (x : ↥U) → V x ⟶ U
heq : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.map (i₁ x).op) s = (F.presheaf.map (i₂ x).op) t
⊢ ∀ (i : ↥U), (F.val.map (i₁ i).op) s = (F.val.map (i₁ i).op) t
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
𝔸 : Type u_6
RCLike 𝕂
Fintype m
DecidableEq m
NormedCommRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
A : Matrix m m 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (-A) = (NormedSpace.exp 𝕂 A)⁻¹
α : Type u_1
β : Type v
s : Multiset α
⊢ s ×ˢ 0 = 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : DecidableEq l
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
g : (l → R) →ₗ[R] n → R
⊢ f ∘ₗ g = toLin' (toMatrix' f * toMatrix' g)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
x : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet ((fun y => (f y, x)) '' s)
α : Type u
i✝ : Nat
a b : Array α
i j : Nat
h : j ≤ a.size
⊢ ∀ (i_1 : Nat) (hi₁ : i_1 < ((a ++ b).extract i j).size) (hi₂ : i_1 < (a.extract i j).size), ((a ++ b).extract i j)[i_1] = (a.extract i j)[i_1]
α : Sort u_1
p : α → Prop
h : ∀ (x : α), p x
x : α
⊢ p x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
⊢ Disjoint (univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)) (univ.pi fun i => Ioc (update x i₀ m i) (y i))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ₁ γ₂ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
eq : γ₁ = γ₂
⊢ γ₁.φQ = γ₂.φQ
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
L₁'' : LieSubalgebra R L₁
e : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
x : ↥L₁''
⊢ ↑((LieEquiv.lieSubalgebraMap L₁'' e) x) = e ↑x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n m : ℕ
ω : Ω
hnm : n ≤ m
⊢ MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n ω ≤ MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N m ω
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : f' ≤ 0
x : ℝ
⊢ f' x ≤ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
⊢ Filter.map f (𝓝 x) = 𝓝 (f x)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
⊢ μ (limsup s atTop) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
⊢ { ofColex := {a} } < { ofColex := {b} } ↔ a < b
α : Type u
R : α → α → Prop
x : α
l : List α
⊢ List.Chain' R l → (∀ (y : α), y ∈ l.head? → R x y) → List.Chain' R (x :: l)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
r : α → β → Prop
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∃ y, r x y
⊢ ∃ f, ∀ᶠ (x : α) in l, r x (f x)
K : Type u_1
v : K
inst✝² : LinearOrderedField K
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Archimedean K
ε : K
ε_pos : ε > 0
N' : ℕ
one_div_ε_lt_N' : 1 / ε < ↑N'
N : ℕ := max N' 5
n : ℕ
n_ge_N : n ≥ N
g : GenContFract K := of v
⊢ |v - (of v).convs n| < ε
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Topology.lawson α ≤ Topology.scott α
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
⊢ baseChange A ⊤ = ⊤
q : ℚ
x y : ℝ
⊢ x ∈ Set.range Rat.cast ∧ y ∈ Set.range Rat.cast → x * y ∈ Set.range Rat.cast
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring R
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike.GradedMonoid A
Sub ι
OrderedSub ι
ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : i ≤ n
⊢ ↑(((DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) r * r') n) = ↑r * ↑(r' (n - i))
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ LightProfinite.pullback.snd f g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (LightProfinite.pullbackIsoPullback f g).hom
    (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g)
α : Type v
G : Type u
Group G
MulAction G α
j : ℤ
g : G
a : α
⊢ g ^ (j % ↑(MulAction.period g a)) • a = g ^ j • a
x : (SetTheory.PGame.nim 1).LeftMoves
⊢ (SetTheory.PGame.nim 1).moveLeft x = SetTheory.PGame.nim 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
⊢ s.erase a = s ↔ a ∉ s
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
(i : ι) → TopologicalSpace (X i)
s : Set ((i : ι) → X i)
hs : IsClosed s
⊢ IsCompact s ↔ ∀ (i : ι), IsCompact (Function.eval i '' s)
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_6
Monoid R
Monoid S
σ : R → S
MulAction R M
MulAction S N
F : Type u_7
h : F
FunLike F M N
MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
⊢ ⇑h '' (c • s) = σ c • ⇑h '' s
x : ℝ
⊢ (Complex.tanh ↑x).im = 0
m k : ℕ+
h : k ∣ m
⊢ ↑(k * m.divExact k) = ↑m
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
ν : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂ν = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in g +ᵥ s, f x ∂ν
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
⊢ (Finset.filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).card = s.card % P.parts.card
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ((↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x)))
this✝¹ : ↑I x = (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x))
this✝ : ↑I (↑e x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
this : ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
⊢ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ (↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) ⊆ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I ∩ ↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
a b : α
hf : StrictAnti f
h : a < b
⊢ f b < f a
a b : UInt8
h : a = b
⊢ a.val = b.val
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
this✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ ⨆ i, ↑((fun i => ⟨PrimeSpectrum.basicOpen ↑i, ⋯⟩) i) = ⊤
X Y : Type u
f g : X ⟶ Y
⊢ ↾Quot.mk (CategoryTheory.Limits.Types.CoequalizerRel f g) ≫ (CategoryTheory.Limits.Types.coequalizerIso f g).inv =
  CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g
α : Type u_1
LE α
s t : LowerSet α
⊢ ↑(s ⊔ t) = ↑s ∪ ↑t
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : DistribSMul R V
x : HahnSeries Γ R
y z : HahnModule Γ' R V
k : Γ'
hwf : (((of R).symm y).support ∪ ((of R).symm z).support).IsPWO
⊢ ((of R).symm (x • (y + z))).coeff k = ((of R).symm (x • y + x • z)).coeff k
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct W Y
inst✝ : HasBinaryProduct X Z
g : W ⟶ X
g' : Y ⟶ Z
⊢ lift fst snd ≫ map g g' = map g g'
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
s : Set β
a : α
⊢ a • sᶜ = (a • s)ᶜ
G : Type u_2
AddGroup G
s : Set G
⊢ AddSubmonoid.closure (-s) = -AddSubmonoid.closure s
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a b : α
⊢ b ∈ {a} ↔ b = a
α : Type u
LinearOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ max a ⊥ = a
n : Nat
x y : Fin n
⊢ x = y ↔ x ≤ y ∧ y ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β → γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f)
h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b
h_mono : Monotone F
this : ∀ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b) = ⨆ n, ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b)
h_some_meas_integral : ∀ (f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞), Measurable fun b => ∫⁻ (c : γ), ↑f' (b, c) ∂η (a, b)
⊢ ⨆ n, ∫⁻ (a : β × γ), ↑(F n) a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ⨆ n, ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ
⊢ IsZero (HomologicalComplex.homology ((ProjectiveResolution.self X).complex.linearYonedaObj R Y) (n + 1))
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : SubMulAction R M
h : (↑p).Nonempty
⊢ 0 ∈ p
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
⊢ ((N₁ ⋙ Γ₂).map f ≫ (fun X => { f := { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ }, comm := ⋯ }) Y).f = ((fun X => { f := { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ }, comm := ⋯ }) X ≫ (toKaroubi (SimplicialObject C)).map f).f
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ Tendsto (fun x => x ^ y) (𝓝 ⊤) (𝓝 ⊤)
α : Type u
x : α
⊢ (FreeSemigroup.of x).length = 1
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.tan (↑n * Real.pi - x) = -Real.tan x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
⊢ ⇑(Diffeomorph.prodComm I J M N n) = Prod.swap
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
⊢ ContinuousAt hatInv x
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
θ : CategoryTheory.OplaxNatTrans G H
a b : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
g h : a ⟶ b
β : g ⟶ h
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (G.map₂ β) (θ.app b)))
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (θ.naturality h)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (θ.naturality g))
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (θ.app a) (H.map₂ β)))
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
s : Set R
⊢ s ∈ 𝓝 0 ↔ ∃ γ, {x | v x < ↑γ} ⊆ s
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
h₁ : ∀ (Z : C), Nonempty (X ⟶ Z)
h₂ : ∀ ⦃Z : C⦄ (i j : X ⟶ Z), ∃ a, i = f ≫ a ∧ j = g ≫ a
Z : C
a : Y ⟶ Z
f₁ : mk (f ≫ a) ⟶ mk a := homMk left ⋯
f₂ : mk (g ≫ a) ⟶ mk a := homMk right ⋯
⊢ Zigzag (mk (f ≫ a)) (mk (g ≫ a))
α : Type u_1
β : Type u_2
Bornology α
Bornology β
s : Set α
t : Set β
⊢ Bornology.IsBounded (s ×ˢ t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ Bornology.IsBounded s ∧ Bornology.IsBounded t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X X' : C
f : X ⟶ X'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X').inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f (𝟙_ C))