ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedCommRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
⊢ HasStrictFDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) (NormedSpace.exp 𝕂 x • 1) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h2f : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ μ {a | f a = ⊤} = 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α
h : n ≠ 0
⊢ |a ^ n| = |a| ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_5
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ AEMeasurable g μ
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
b x : α
⊢ x ∈ Iic b ↔ x ≤ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 ≤ δ
x : E
⊢ thickening ε (Metric.closedBall x δ) = Metric.ball x (ε + δ)
A B : Type u
CommGroup A
CommGroup B
f : A →* B
g : B →* A
n : ℤ
⊢ QuotientGroup.homQuotientZPowOfHom (f.comp g) n =
  (QuotientGroup.homQuotientZPowOfHom f n).comp (QuotientGroup.homQuotientZPowOfHom g n)
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
b : Ordinal.{0}
⊢ e.NF → a.NFBelow e.repr → e.repr < b → (e.oadd n a).NFBelow b
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictAnti f
⊢ Function.Injective f
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S *
    FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S =
  ↑S.u * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
T : AddSubmonoid M
hST : S ≤ T
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
AddCommMonoid A
l : M →+ A
hl : ∀ (w : ↥T), IsAddUnit (l ↑w)
⊢ (k.lift hl).comp (f.lift ⋯) = f.lift ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : F.Elements
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.π F).obj X = X.fst
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
z w : S
h : z * w = 0
x : A × ↥M
hx : z * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1
y : A × ↥M
hy : w * (algebraMap A S) ↑y.2 = (algebraMap A S) y.1
⊢ z = 0 ∨ w = 0
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E
this : FiniteDimensional F E
hx : IsIntegral F x
L : Type u_1 := (p * minpoly F x).SplittingField
hL : Splits (algebraMap F (p * minpoly F x).SplittingField) p ∧ Splits (algebraMap F (p * minpoly F x).SplittingField) (minpoly F x)
⊢ IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
G : Type u_1
Group G
x : G
⊢ IsOfFinOrder x⁻¹ ↔ IsOfFinOrder x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Monoid γ
TopologicalSpace α
AddCommMonoid α
DistribMulAction γ α
ContinuousConstSMul γ α
f : β → α
b : γ
hf : Summable f
⊢ Summable fun i => b • f i
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
hε : 0 < ε
hs' : {a} ⊆ {a}
hs : ε ≤ ↑{a}.card
ht' : {b} ⊆ {b}
ht : ε ≤ ↑{b}.card
⊢ |↑(G.edgeDensity {a} {b}) - ↑(G.edgeDensity {a} {b})| < ε
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : (algebraMap R S) M ≠ 0
b : S
b_mem : b ∈ ↑I
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min : ∀ c ∈ ↑I, abv ((Algebra.norm R) c) < abv ((Algebra.norm R) b) → c = 0
r' : S
hr' : (algebraMap R S) M ∣ r'
a : S
ha : a ∈ ↑I
⊢ b ∣ r' * a
this✝ : Irrational √↑5
this : Irrational (↑1 - √↑5)
⊢ Irrational ψ
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ χ.conductor = 0 ↔ n = 0
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
m n k : α
⊢ gcd m n ∣ gcd m (n * k)
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
δ : α → Type u_3
(a : α) → DecidableEq (δ a)
s : (i : α) → Finset (δ i)
i : α
t : Finset (δ i)
hts : t ⊆ s i
⊢ Fintype.piFinset (Function.update s i t) = Finset.filter (fun f => f i ∈ t) (Fintype.piFinset s)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
Y : C
j✝ : J
⊢ ∑ x : J, (X ◁ biproduct.π f x ⊗ 𝟙 Y) ≫ (biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) x ⊗ 𝟙 Y) ≫ biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j✝ ▷ Y = ∑ x : J, (α_ X (⨁ f) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ biproduct.π f x ▷ Y ≫ biproduct.ι (fun j => f j ⊗ Y) x) ≫ X ◁ biproduct.π (fun j => f j ⊗ Y) j✝ ≫ (α_ X (f j✝) Y).inv
X : Type u_1
ι : Type u_3
TopologicalSpace X
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → Set X
h : ∀ i ∈ s, IsGδ (f i)
⊢ IsGδ (⋃ i ∈ s, f i)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
hp : 0 < p.natDegree
⊢ (derivative p).degree = ↑(p.natDegree - 1)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
g : α → β
hf : TendstoUniformlyOn F f p s
hfg : EqOn f g s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (g x, F n x) ∈ u
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x ∂ν < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s : Sym α n
a b : α
e : α ≃ β
x : Sym α n
⊢ map (⇑e.symm) (map (⇑e) x) = x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F → G
g : E → F
n m : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 m (Function.uncurry f)
hg : ContDiff 𝕜 n g
hnm : n + 1 ≤ m
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => fderiv 𝕜 (f x) (g x)
α : Type u_2
Mul α
LinearOrder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
m n : α
⊢ (OrderEmbedding.mulRight m) n = n * m
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
⊢ (a₁, b) ⋖ (a₂, b) ↔ a₁ ⋖ a₂
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0
f : α →ₛ F
s : Finset F
hs : filter (fun x => x ≠ 0) f.range ⊆ s
hx : 0 ∉ f.range ∨ 0 = 0
⊢ (μ (↑f ⁻¹' {0})).toReal • 0 = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
g : Y ⟶ X
inv_hom_id : g ≫ f = 𝟙 Y
⊢ inv f ≫ f = g ≫ f
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
hx : x ∈ a • s
⊢ gauge s x ≤ a
M : Type u_1
MulOneClass M
⊢ ↑⊤ = Set.univ
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
P : R[X]
hmo : P.Monic
f : R →+* S
⊢ 1 ≠ 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
⊢ MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • μ
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ = (3 * x₁ ^ 2 + 2 * W.a₂ * x₁ + W.a₄ - W.a₁ * y₁) / (y₁ - W.negY x₁ y₁)
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x
this : ∀ (x : ↑s), Subtype.val ⁻¹' f ↑x ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, f x
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.natDegree = 0 ↔ p.degree ≤ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
a a✝ : α
⊢ a✝ ∈ insert a (Ioi a) ↔ a✝ ∈ Ici a
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
h : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Subsingleton ∧ t ∈ l
n : ℕ
⊢ RingHom.ker (Int.castRingHom (ZMod n)) = Ideal.span {↑n}
n : ℕ
α β : TypeVec.{u} n
⊢ TypeVec.prod.map TypeVec.id TypeVec.id = TypeVec.id
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
inst✝ : Nonempty α
s : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
hs : s ∉ 𝒜
h𝒜₁ : (insert s 𝒜).Nonempty
h𝒜₂ : univ ∉ insert s 𝒜
h𝒜₃ : (insert s 𝒜).Nontrivial
ih : ∀ (𝒜_1 : Finset (Finset α)), 𝒜_1.card < 𝒜.card + 1 → 𝒜_1.Nonempty → univ ∉ 𝒜_1 → supSum 𝒜_1 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
hm : 𝒜.card + 1 = (insert s 𝒜).card
h𝒜 : 𝒜.Nonempty
⊢ (image (fun x => s ⊓ x) 𝒜).card < 𝒜.card + 1
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset αᵒᵈ
⊢ WithBot.map (⇑OrderDual.ofDual) s.max = (Finset.image (⇑OrderDual.ofDual) s).min
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIciTopology α
Nonempty α
f : β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : ContinuousOn f K
⊢ BddAbove (f '' K)
n : ℕ
i k : Fin (n + 3)
m : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ ↑(SSet.horn.const n i k m) = SSet.standardSimplex.const (n + 2) k m
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
hf : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω)
ρ' : Measure (α × ℝ) := Measure.map (Prod.map id f) ρ
hρ'def : ρ' = Measure.map (Prod.map id f) ρ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, κ x = ρ.condKernel x
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → α
a : α
⊢ iterate f a = a :: iterate f (f a)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
⊢ f x < f y
A : Type u_1
K : Type u_2
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
p : A[X]
hp : p.Monic
r : K
hr : (Polynomial.aeval r) p = 0
⊢ IsLocalization.IsInteger A r
ι : Type u_1
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
hp : ∀ i ∈ s, IsSemisimpleModule R ↥(p i)
⊢ IsSemisimpleModule R ↥(⨆ i ∈ s, p i)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C
⊢ ∀ (b : FullSubcategory (CofilteredClosure f)), ∃ a, CategoryTheory.IsCofiltered.CofilteredClosureSmall.abstractCofilteredClosureRealization f a = b.obj
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E E
v : Fin 0 → E
⊢ (q.comp p 0) v = (q 0) v
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ 𝓝[Set.Icc a b] b = 𝓝[≤] b
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range n.succ, ↑(n.choose (n - k)) / (↑n - ↑k + 1) * bernoulli' k = 1
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
⊢ Monotone fun x => I * x
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
s : Set α
t : Set β
u : Finset (α × β)
hu : ↑u ⊆ s ×ˢ t
⊢ ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ image (fun x => f x.1 x.2) u ⊆ image₂ f s' t'
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
x : ↑X.toTopCat
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
⊢ (X.Γevaluation x) f ≠ 0 ↔ x ∈ X.toRingedSpace.basicOpen f
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μα : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
t : Set ι
ht : p t
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep (⨆ n ∈ t, s n) (Filter.limsup s f) κ μα
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
S T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasPullback i i
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
CategoryTheory.Limits.HasPullback (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal i)
    (CategoryTheory.Limits.pullback.map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
⊢ CategoryTheory.IsPullback (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g ≫ f)
  (CategoryTheory.Limits.pullback.map f g (f ≫ i) (g ≫ i) (𝟙 X) (𝟙 Y) i ⋯ ⋯) (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal i)
  (CategoryTheory.Limits.pullback.map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : AddZeroClass δ
inst✝ : Min δ
C : Cost α β δ
y : β
ys : List β
⊢ (List.foldr (fun y d => ⟨[C.insert y + d.val.getLast ⋯], impl.proof_3⟩) ⟨[0], suffixLevenshtein.proof_2⟩ ys).val.get ⟨(List.foldr (fun y d => ⟨[C.insert y + d.val.getLast ⋯], impl.proof_3⟩) ⟨[0], suffixLevenshtein.proof_2⟩ ys).val.length - 1, ⋯⟩ = (List.foldr (fun y d => ⟨[C.insert y + d.val.getLast ⋯], impl.proof_3⟩) ⟨[0], suffixLevenshtein.proof_2⟩ ys).val[0]
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
ι : Sort u_4
p : ι → Subsemigroup M
m : M
⊢ (∀ (b : Subsemigroup M), (∀ (i : ι), p i ≤ b) → closure {m} ≤ b) ↔ ∀ (N : Subsemigroup M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N
x y : ℂ
⊢ cos x ^ 2 + sin x ^ 2 = 1
X : Type u_1
ι : Sort u_3
t : ι → TopologicalSpace X
h : ∀ (i : ι), SequentialSpace X
⊢ SequentialSpace X
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_11, u_5} C₁₂
F₁₂ : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₁₂)
G : CategoryTheory.Functor C₁₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄)
X₁ : C₁
X₂ : C₂
X₃ Y₃ : C₃
φ : X₃ ⟶ Y₃
⊢ ((CategoryTheory.bifunctorComp₁₂Obj F₁₂ G X₁).obj X₂).map φ = (G.obj ((F₁₂.obj X₁).obj X₂)).map φ
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing Rₘ
inst✝¹² : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R Sₘ
inst✝⁹ : Algebra S Sₘ
inst✝⁸ : Algebra R Rₘ
inst✝⁷ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁶ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝³ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝² : FormallySmooth R Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra Rₘ Q
I : Ideal Q
e : I ^ 2 = ⊥
f : Sₘ →ₐ[Rₘ] Q ⧸ I
this : Algebra R Q := ((algebraMap Rₘ Q).comp (algebraMap R Rₘ)).toAlgebra
⊢ ∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ Rₘ I).comp a = f
α : Type u_1
M : Matroid α
B I : Set α
hI : M.Indep I
hB : M.Base B
⊢ ∃ B', M.Base B' ∧ I ⊆ B' ∧ B' ⊆ I ∪ B
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), Ordinal.IsNormal (f i hi)
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (⋂ i, ⋂ (hi : i < o), Function.fixedPoints (f i hi))
r : ℝ
hr : r ≤ 0
⊢ AntitoneOn (fun x => x ^ r) (Set.Ioi 0)
σ : Type u
R : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ m : ℕ
inst✝ : DecidableEq σ
p : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ (∀ s ∈ p.support, ∀ (i : σ), s i ≤ n) ↔ ∀ (i : σ), ∀ b ∈ p.support, b i ≤ n
M : Type u_1
AddZeroClass M
m : M
p : AddSubmonoid M
⊢ AddSubmonoid.closure {m} ≤ p ↔ m ∈ p
α : Type u
f : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f
t : Set α
⊢ s \ t ∈ f ⊓ 𝓟 tᶜ
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
s : Set (Ideal S)
⊢ Ideal.comap f (sInf s) = ⨅ I ∈ Ideal.comap f '' s, I
R : Type u
X : Type v
inst✝² : CommRing R
L : Type w
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
f : X → L
a b : lib R X
h : Rel R X a b
⊢ (liftAux R f) a = (liftAux R f) b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
CategoryTheory.IsIso g
CategoryTheory.IsIso inl
sq : CategoryTheory.CommSq f g inl inr
⊢ CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Z
x : X
f : X → Z
hf : ContinuousWithinAt f s x
hxe : x ∈ e.source
ht : t ∈ 𝓝 (f x)
y : X
hy : y ∈ e.source
hyu : y ∈ s → y ∈ f ⁻¹' t
⊢ ↑e y ∈ ↑e.symm ⁻¹' s ↔ ↑e y ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t)
α : Type u_2
TopologicalSpace α
U : TopologicalSpace.Opens α
⊢ OpenEmbedding Subtype.val
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
v : V
Fintype ↑(G'.neighborSet v)
⊢ G'.degree v = 1 ↔ ∃! w, G'.Adj v w
L : FirstOrder.Language
M N : CategoryTheory.Bundled L.Structure
h : FirstOrder.Language.Structure.FG L ↑M
MN : Nonempty (↑M ≃[L] ↑N)
⊢ N ∈ L.age ↑M
a b c : ℕ
h : a = b + c
⊢ a - b = c
M : Type u_2
AddCommMonoid M
f : False → M
⊢ ∑ᶠ (i : False), f i = 0
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hn : x₁.Numeric
h : IH24 x₁ x₂ y
he : x₁ ≈ x₂
i : x₁.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ x₁.moveLeft i < x₂
n : ℕ
⊢ (Finset.range n).val = Multiset.range n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.121165, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.121169, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
h : S.Splitting
⊢ S.g ≫ h.s + h.r ≫ S.f = h.r ≫ S.f + S.g ≫ h.s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X : C
IsSimpleOrder (CategoryTheory.Subobject X)
⊢ CategoryTheory.Simple X
f : ℝ → ℝ
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => ‖f x‖
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
j : n
⊢ A.det = ∑ i : n, A i j * A.adjugate j i
b n : ℕ
hb : n < b
⊢ Nat.log b n = 0
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
⊢ ∃ n₀, ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
l : List α
⊢ Multiset.map f ↑l = ↑(List.map f l)
n : Nat
⊢ Fin.last n + 1 = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
c : F
x : E
⊢ HasFDerivAt (fun x => c) 0 x
α : Type u
t : TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
⊢ ∃ T, T.Countable ∧ ⋃ i ∈ T, s i = ⋃ i, s i
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
⊢ D ((algebraMap R A) r) = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableOn 𝕜 f s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y + g y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 g s
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
Subsingleton R
⊢ Subsingleton S
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : outParam AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
self : AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P Q
⊢ AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty.IsLocal Q
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hs : (s ∩ u).Nonempty → (s ∩ v).Nonempty → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
hsu : s ∩ u = ∅
⊢ s ⊆ u ∨ s ⊆ v
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
M : Λ → Stmt₁
S : Finset Λ
q₁ q₂ : Stmt₁
h₁ : q₁ ∈ stmts₁ q₂
⊢ ∀ x ∈ S, q₂ ∈ stmts₁ (M x) → ∃ a ∈ S, q₁ ∈ stmts₁ (M a)
α : Type u_1
Inhabited α
⊢ Semiquot.univ.IsPure ↔ Subsingleton α
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → Nat.fib (n + 1) = Nat.fib (n - 1) + Nat.fib n
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
⊢ List.take (n + 1) l = List.take n l ++ l[n]?.toList
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β
H : Multiset.card (Multiset.map f s.val).dedup = Multiset.card s.val
this : (Multiset.map f s.val).dedup = Multiset.map f s.val
⊢ Set.InjOn f ↑s
G : Type u
AddGroup G
A' A B' B : AddSubgroup G
_hAN : (A'.addSubgroupOf A).Normal
_hBN : (B'.addSubgroupOf B).Normal
h' : A' ≤ B'
h : A ≤ B
x : ↥A
⊢ (QuotientAddGroup.quotientMapAddSubgroupOfOfLe h' h) ↑x = ↑((AddSubgroup.inclusion h) x)
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
OrderedCommSemiring 𝕜
NonUnitalRing A
PartialOrder A
Module 𝕜 A
self : NonnegSpectrumClass 𝕜 A
a : A
⊢ 0 ≤ a → ∀ x ∈ quasispectrum 𝕜 a, 0 ≤ x
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
rs₁ rs₂ : List R
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M (rs₁ ++ rs₂) ↔
  RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs₁ ∧
    RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular (M ⧸ Ideal.ofList rs₁ • ⊤)
      (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.ofList rs₁))) rs₂)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j k : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : K.HasHomology k
⊢ K.d i j ≫ K.toCycles j k = 0
α : Type u
s : Set (Set α)
⊢ 𝔠 ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
⊢ 0 < (s + 1).re
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
hg : LSeriesSummable g s
⊢ LSeriesSummable (f + g) s
f : StieltjesFunction
⊢ borel ℝ ≤ f.outer.caratheodory
α : Type u_2
β : Type u_3
a : α
s : α → Set β
⊢ ⋃ x ∈ {a}, s x = s a