ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
e : L
he₀ : e ≠ 0
he : ∀ (x : ↥H), ⁅x, e⁆ = α x • e
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
f : L
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f ≠ 0
⊢ ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace β
Preorder β
OrderBot β
OrderTopology β
l : Filter α
f g : α → β
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 ⊥)
hg : g ≤ f
⊢ Filter.Tendsto g l (𝓝 ⊥)
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
s✝ : Finset ι
f : ι → R[X]
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ s.sup fun b => (f b).degree
⊢ (∑ i ∈ Finset.cons a s has, f i).degree ≤ max (f a).degree (∑ i ∈ s, f i).degree
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
⊢ Inseparable a 1 ↔ ‖a‖ = 0
a c : Nat
b d : Nat
h : b ≥ d
⊢ (a + b ≤ c + d) = (a + (b - d) ≤ c)
A : Type u_1
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : PartialOrder A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarOrderedRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Module ℝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝³ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
⊢ 0 ≤ a ↔ IsSelfAdjoint a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Group α
inst✝² : CommSemigroup β
inst✝¹ : LE β
inst✝ : SubmultiplicativeHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f a ≤ f b * f (a / b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ (s ∩ t ∩ mulSupport f).Finite
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
LinearOrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : AntivaryOn f g₁ s
h₂ : AntivaryOn f g₂ s
⊢ AntivaryOn f (g₁ + g₂) s
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a ∣ m
bn : b ∣ n
⊢ a = m.gcd (a * b)
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ xs : List α
⊢ List.filter p l₁ <+: List.filter p (l₁ ++ xs)
α : Type u
l : List α
Inhabited α
⊢ l.getI 0 = l.headI
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g✝ : 𝕜 → E
n✝ : ℕ
z z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
h_le : n ≤ m
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
left✝ : g z₀ ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
j : 𝕜 → E
hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀
hj_ne : j z₀ ≠ 0
hj_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • j z
⊢ m = n
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | (fun ω => max (τ ω) (π ω)) ω ≤ i}
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
X Y : R
h : Y ^ 2 + W'.toAffine.a₁ * X * Y + W'.toAffine.a₃ * Y - (X ^ 3 + W'.toAffine.a₂ * X ^ 2 + W'.toAffine.a₄ * X + W'.toAffine.a₆) = 0
hX : W'.a₁ * Y - (3 * X ^ 2 + 2 * W'.a₂ * X + W'.a₄) = 0
hY : 2 * Y + W'.toAffine.a₁ * X + W'.toAffine.a₃ = 0
⊢ W'.a₁ * X * Y + 3 * W'.a₃ * Y - (2 * W'.a₂ * X ^ 2 + 4 * W'.a₄ * X + 6 * W'.a₆) = 0
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
hyx : 0 ≤ y / x - 1
⊢ log y - log x ≤ log x / x * y - log x
α : Type u_4
β : Type u_5
EMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
⊢ Function.Injective f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
h₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.Iic n }) 𝕜 (f ∘ Subtype.val)
⊢ ‖gramSchmidtNormed 𝕜 f n‖ = 1
i j : ℤ
⊢ 0 < i.gcd j ↔ i ≠ 0 ∨ j ≠ 0
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ ⇑(LinearEquiv.neg R) = -id
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
hc : Convex ℝ s
hne : (interior s).Nonempty
hb : Bornology.IsBounded s
⊢ ∃ h, ⇑h '' interior s = Metric.ball 0 1 ∧ ⇑h '' closure s = Metric.closedBall 0 1 ∧ ⇑h '' frontier s = Metric.sphere 0 1
R : Type u_1
a b : R
inst✝ : Monoid R
n : ℕ
n0 : 0 < n
⊢ IsRightRegular (a ^ n) → IsRightRegular a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
self : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (self.obj X)).hom =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight self.ε (self.obj X) ≫
    self.μ (𝟙_ C) X ≫ self.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
AddAction α β
s : Set β
⊢ ⋃ g, -g +ᵥ s = ⋃ g, g +ᵥ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ ⋃ a, {Iic ↑a} = Iic '' (Rat.cast '' univ)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
⊢ (μ.restrict s) t = μ (t ∩ s)
G : Type u_3
Monoid G
a : G
n : ℕ
⊢ (fun x => x * a)^[n] 1 = a ^ n
F : Type u_1
M : Type u_12
N : Type u_13
AddZeroClass M
AddZeroClass N
EquivLike F M N
AddEquivClass F M N
h : F
x : M
⊢ h x = 0 ↔ x = 0
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : SMul G X
B : Set X
⊢ IsBlock G B ↔ ∀ (g g' : G), g • B ∩ g' • B ≠ ∅ → g • B = g' • B
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (f : ℕ → Set G), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun t => t • closure {1} = t) (f i)) → (fun t => t • closure {1} = t) (⋃ i, f i)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
L : IntermediateField F E
h : separableClosure F E ≤ L
this✝² : IsPurelyInseparable (↥(separableClosure F E)) E
this✝¹ : Algebra ↥(separableClosure F E) ↥L := (inclusion h).toAlgebra
this✝ : SMul ↥(separableClosure F E) ↥L := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower (↥(separableClosure F E)) (↥L) E
⊢ IsPurelyInseparable (↥L) E
X : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily (ULift.{w, 0} Bool)
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingParallelFamilyEquivWalkingParallelPair.unitIso.hom.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
α : G ⟶ F
A : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
⊢ ((CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.functorOfNatTrans α).obj A).str =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α.app A.a) A.str
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ a < b ∨ a ≥ b
α : Type u_1
l : List α
i j : Nat
h : i ≠ j
a : α
hj : j < (l.set i a).length
⊢ (l.set i a)[j] = l[j]
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
⊢ 0 ≤ x
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
C : Monoid.CoprodI M → Prop
m : Monoid.CoprodI M
h_one : C 1
h_of : ∀ (i : ι) (m : M i), C (Monoid.CoprodI.of m)
h_mul : ∀ (x y : Monoid.CoprodI M), C x → C y → C (x * y)
⊢ C m
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≃r s
⊢ ⇑f.toEquiv = ⇑f
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
s : Finset M
⊢ Module.rank R ↥(Submodule.span R ↑s) < ℵ₀
J : Type w
⊢ (CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeOpEquiv J).functor = CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeUnop J
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
a : R
⊢ ((Polynomial.monomial n) a).degree ≤ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
ι : Type u_3
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
u.NeBot
u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Filter.Tendsto f u (𝓝 g)
⊢ Measurable g
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ↑↑(MeasureTheory.condexpL1 hm μ f) =ᵐ[μ] f
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} A
CategoryTheory.Abelian A
Y : CategoryTheory.SimplicialObject A
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.homotopyEquivNormalizedMooreComplexAlternatingFaceMapComplex.homotopyHomInvId =
  Homotopy.ofEq ⋯
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ x.Nonempty
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ (∃ j, G.moveRight j ≈ 0) ↔ G.Fuzzy 0
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hbc : AddLECancellable (b - c)
h₁ : b ≤ a
h₂ : c ≤ b
⊢ a - (b - c) = a - b + c
α : Type u_1
s t : Set (Set α)
h : s ⊆ t
⊢ MeasurableSpace.generateFrom s ≤ MeasurableSpace.generateFrom t
n : ℕ
⊢ map (fun i => (i, n + 1 - i)) (range n) = map (Prod.map id succ ∘ fun i => (i, n - i)) (range n)
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
x y : MulAction.orbitRel.Quotient G α
⊢ x.orbit = y.orbit ↔ x = y
K : Type u₁
Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
CommRing O
Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
x : O
⊢ v ↑p < v ((algebraMap O K) x) ↔ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x ≠ 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : CommRing B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
a : A
hp0 : ¬p = 0
⊢ rootMultiplicity (f a) (map f p) ≤ rootMultiplicity a p
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
h : t.Valid
⊢ (insertWith id x t).Valid
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
mα : MeasurableSpace α
f : α → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
a : α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
Decidable (a ∈ s)
⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂MeasureTheory.Measure.dirac a = if a ∈ s then f a else 0
y : ℝ
⊢ WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Iic ↑↑y) = Iic y
J : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J TopCat
∀ (X : TopCat), CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (TopCat.Presheaf C X)
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑(CategoryTheory.Limits.colimit F)
j : J
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.colimitPresheafObjIsoComponentwiseLimit F U).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.limit.π (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.componentwiseDiagram F U) (Opposite.op j) =
  (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j).c.app (Opposite.op U)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ IsPell (pellZd a1 (n + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
p : PMF α
g : β → γ
⊢ PMF.map g (PMF.map f p) = PMF.map (g ∘ f) p
α : Type u_1
ι : Type u_2
MetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
SecondCountableTopology α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ Metric.closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (Metric.closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
⊢ ∃ u ⊆ t, u.Countable ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ μ (s \ ⋃ a ∈ u, B a) = 0
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
hf : Adapted ℱ f
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_eq_sum : μ[martingalePart f ℱ μ j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f 0 + ∑ k ∈ Finset.range j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i])
h_ge : ∀ (k : ℕ), i ≤ k → μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] 0
h_lt : ∀ k < i, μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f (k + 1) - f k - μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]
⊢ ∑ k ∈ Finset.range i, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i]) + ∑ k ∈ Finset.Ico i j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i]) =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ Finset.range i, (f (i + 1) - f i - μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i]) + 0
G : Type u_1
Add G
a : G
u : (G →+c[a, a] G)ˣ
⊢ ⇑(AddConstEquiv.equivUnits.symm u) = ⇑↑u
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : DivisionRing 𝕜
inst✝³ : HasKernels C
inst✝² : Linear 𝕜 C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : (X ≅ Y) → False
f : X ⟶ Y
p : ¬IsIso f ↔ ¬f ≠ 0
⊢ f = 0
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
⊢ MeasurableSet {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ioi x) x}
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G✝ : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G✝
G : W.FunctorsInverting D
⊢ eqToHom ⋯ ≫ 𝟙 G ≫ eqToHom ⋯ = 𝟙 W.Q ◫ 𝟙 ({ obj := fun G => lift G.obj ⋯, map := fun {X Y} τ => natTransExtension (eqToHom ⋯ ≫ τ ≫ eqToHom ⋯) }.obj G)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p ↑(nthHom f r j - nthHom f r k) ≤ ↑p ^ (-↑k)
α : Type u_1
s t : Set α
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ t
⊢ hs.min hsn * ht.min htn ≤ (fun x x_1 => x * x_1) x y
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
IsDedekindDomain R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ DedekindDomain.ProdAdicCompletions.IsFiniteAdele 1
k G : Type u
CommRing k
n : ℕ
Group G
g : G
f : Fin n → G
a b : k
⊢ (groupCohomology.resolution.diagonalSucc k G n).inv.hom (Finsupp.single g a ⊗ₜ[k] Finsupp.single f b) =
  Finsupp.single (g • Fin.partialProd f) (a * b)
μ : YoungDiagram
T T' : SemistandardYoungTableau μ
h : ∀ (i j : ℕ), T i j = T' i j
x✝¹ x✝ : ℕ
⊢ T x✝¹ x✝ = T' x✝¹ x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
g : ℕ → ℝ≥0∞
h✝ : Monotone g
hg₂ : Filter.Tendsto g Filter.atTop (nhds (sSup (measurableLEEval ν μ)))
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ∈ measurableLE ν μ
hf₂ : ∀ (n : ℕ), (fun f => ∫⁻ (x : α), f x ∂ν) (f n) = g n
ξ : α → ℝ≥0∞ := ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k
hξ : ξ = ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k
hξ₁ : sSup (measurableLEEval ν μ) = ∫⁻ (a : α), ξ a ∂ν
hξm : Measurable ξ
μ₁ : Measure α := μ - ν.withDensity ξ
hμ₁ : μ₁ = μ - ν.withDensity ξ
hle : ν.withDensity ξ ≤ μ
this : IsFiniteMeasure (ν.withDensity ξ)
⊢ ∃ p, Measurable p.2 ∧ p.1 ⟂ₘ ν ∧ μ = p.1 + ν.withDensity p.2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
⊢ balancedCore 𝕜 ∅ = ∅
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
⊢ ArithmeticFunction.cardDistinctFactors n = ArithmeticFunction.cardFactors n ↔ Squarefree n
α : Type u_2
DecidableRel (Equiv.Perm.SameCycle 1)
x : α
⊢ Equiv.Perm.cycleOf 1 x = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.homologyIso.inv (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' φ h₁ h₂) h₂.homologyIso.inv
m : ℕ∞
⊢ ↑m ≤ 1 ↔ m ≤ 1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
⊢ 0 < Real.pi / (1 - 0) ∧ ∃ B, (fun x => invInterpStrip f x ε • f x) =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo 0 1)] fun z => Real.exp (B * Real.exp (0 * |z.im|))
α : Type u
DecidableEq α
Finite α
P : Equiv.Perm α → Prop
f : Equiv.Perm α
⊢ P 1 → (∀ (f : Equiv.Perm α) (x y : α), x ≠ y → P f → P (Equiv.swap x y * f)) → P f
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g : β → F
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ MeasureTheory.eLpNorm g p (MeasureTheory.Measure.map f μ) = MeasureTheory.eLpNorm (g ∘ f) p μ
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
⊢ 1 ≤ Submodule.toAddSubmonoid 1
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun x => True) fun n => Metric.ball x (1 / (↑n + 1))
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
S : Set (NonUnitalSubsemiring R)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
α : Type u
L₁ : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.invRev (FreeGroup.invRev L₁) = L₁
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : β → α
h : Monotone m ∨ Surjective f
⊢ (comap f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) = OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f '' s)) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ m n : ℕ
hm : m < minimalPeriod f x
hmn : f^[m - n] (f^[n] x) = f^[n] x
hmn' : n < m
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
SemilatticeSup α
Nonempty α
⊢ Filter.EventuallyConst f Filter.atTop ↔ ∃ i, ∀ (j : α), i ≤ j → f j = f i
R : Type u
inst✝ : CommRing R
⊢ toOpen R ⊤ = CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away 1)) ≫ toBasicOpen R 1 ≫ (structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
ι : Sort u_1
p : ι → Prop
s : ι → Set G
hb : (𝓝 0).HasBasis p s
x : G
⊢ (𝓝 x).HasBasis p fun i => {y | y - x ∈ s i}
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion.isoRestrict f).inv ≫ f = Y.ofRestrict ⋯
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ (leftHomologyMap' (𝟙 S₁) h₁ S₁.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData S₁.homologyData.left) ≫ leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left = leftHomologyMap' φ h₁ h₂ ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.leftHomologyData S₂.homologyData.left
p : ℕ
hp : Prime p
⊢ (p ^ 2).divisors = {p ^ 2, p, 1}
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
⊢ W.addX P Q / addZ P Q ^ 2 = W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddRightInvariant
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving Neg.neg μ μ
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : σ → R
τ : Type u_2
f : σ → MvPolynomial τ R
g : τ → R
p : MvPolynomial σ R
⊢ (eval (⇑(eval g) ∘ f)) p = (eval g) (eval₂ C f p)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set (β × γ)⦄, MeasurableSet s → ((κ ⊗ₖ η) a) s < ⊤ → ∫ (z : β × γ), s.indicator (fun x => c) z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), s.indicator (fun x => c) (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.Comma (𝟭 (CategoryTheory.SimplicialObject C)) (CategoryTheory.SimplicialObject.const C)}
  (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), (f ≫ g).right = f.right ≫ g.right
a b c : ℕ
hcb : c ∣ b
h : a ∣ b / c
⊢ c * a ∣ b
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
ha₂ : ∀ x ∈ σ ℝ (-a), 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
⊢ a = 0
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K✝ : Type u
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K✝ L
inst✝ : FiniteDimensional F E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
K : IntermediateField F E
g : E[X] := Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)
K' : IntermediateField F E := adjoin F ↑g.coeffs
⊢ K' = K
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
x y : ℝ≥0∞
h : x < y
⊢ x ^ (n + 1) * x < y ^ (n + 1) * y
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Finset.Ico a b = Finset.fin n (Finset.Ico ↑a ↑b)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p1 p2 p3 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s
⊢ dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p3) * dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p3) + dist p3 ↑((orthogonalProjection s) p3) * dist p3 ↑((orthogonalProjection s) p3) = dist p2 ↑((orthogonalProjection s) p3) * dist p2 ↑((orthogonalProjection s) p3) + dist p3 ↑((orthogonalProjection s) p3) * dist p3 ↑((orthogonalProjection s) p3) ↔ dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p3) * dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p3) = dist p2 ↑((orthogonalProjection s) p3) * dist p2 ↑((orthogonalProjection s) p3)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
l : Filter γ
u : γ → α
⊢ (Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun x => e (u x)) ↔ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l u
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
⊢ cs.length (cs.simple i) ≤ 1
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module.Free R M₁
h : ¬Module.Finite R M
⊢ Module.rank R M = 0 ∨ ¬Module.Finite R M
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
⊢ (mkMetric fun x => ⊤).toOuterMeasure = ⊤.toOuterMeasure