ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
TopologicalSpace α
g : α → E →WOT[𝕜]F
h : ∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), Continuous fun a => y ((g a) x)
⊢ Continuous g
α : Type u_1
Monoid α
a : α
⊢ multiplicity.Finite a 1 → ¬a ∣ 1
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Set (α × α) → Filter β
h : Monotone f
⊢ ((𝓤 α).lift fun s => f (s ○ s)) = ((𝓤 α).lift' fun s => s ○ s).lift f
⊢ (fun n => ↑(ArithmeticFunction.vonMangoldt n)) ⍟ 1 = fun n => Complex.log ↑n
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ StrictMonoOn (fun x => 1 + -ε x) (Set.Ioi 1)
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
h : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ↑p ≠ 0
p : ℕ := ringChar R
⊢ CharZero R
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
⊢ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ ofVectorSpaceIndex K V }) K Subtype.val
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
⊢ Submonoid.closure (Set.range ⇑f) = MonoidHom.mrange f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hAC : IsExtreme 𝕜 A C
⊢ ∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ A → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ A → ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ B ∩ C → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ ∈ B ∩ C ∧ x₂ ∈ B ∩ C
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a' a b : α
hr : r a' a
⊢ Relation.CutExpand r {a', b} {a, b}
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ Module.rank F ↥⊤ = Module.rank F E
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
AddCommMonoid β
p : α → Prop
⊢ ∀ {x : DecidablePred p}, (∀ x ∈ s, p x) → ∀ (f g : α → β), (∑ x_1 ∈ s, if p x_1 then f x_1 else g x_1) = ∑ x ∈ s, f x
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
⊢ o.rotation ↑π = LinearIsometryEquiv.neg ℝ
⊢ ContinuousOn (fun x => (Complex.equivRealProd.symm x).arg) { toFun := fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg), invFun := fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2), source := {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}, target := Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.source
α : Type u_1
G : Type u_9
SubNegZeroMonoid G
g₁ g₂ : α →₀ G
a : α
⊢ (g₁ - g₂) a = g₁ a - g₂ a
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ ∃ n, s ≤ n • s.dedup
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)
hsx : s ≤ x
hyt : y ≤ t
this : StrictMonoOn f (Icc x y)
⊢ f x < f y
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
⊢ ∃! a₁, 1 < a₁.x ∧ 0 < a₁.y ∧ ∀ (a : Solution₁ d), ∃ n, a = a₁ ^ n ∨ a = -a₁ ^ n
G : Type u_1
AddGroup G
H K L : AddSubgroup G
hHK : H.relindex K ≠ 0
hKL : K.relindex L ≠ 0
⊢ H.relindex L ≠ 0
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) volume 0 Y
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : t ∈ 𝓝 x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
MeasurableSMul G α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : G
⊢ MeasurableSet (a • s)
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
x : ℤ
⊢ ↑x = PerfectClosure.mk K p (0, ↑x)
α : Type u_1
τ : Type u_4
TopologicalSpace α
F : Ctop.Realizer α
E : F.σ ≃ τ
s : τ
⊢ (F.ofEquiv E).F.f s = F.F.f (E.symm s)
a : Ordinal.{u_1}
H : ∀ ⦃b c : Ordinal.{u_1}⦄, b < a → c < a → b + c ≠ a
ha : ¬Principal (fun x x_1 => x + x_1) a
⊢ False
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
CharZero R
m n : ℕ
m.AtLeastTwo
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat m = OfNat.ofNat n ↔ OfNat.ofNat m = OfNat.ofNat n
a b : ℕ
⊢ a ⌊/⌋ b = a / b
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.eraseP p l <+ l
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝ : MeasurableSMul G α
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν
t : Set α
fund_dom_t : IsFundamentalDomain G t ν
⊢ Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict s) = Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict t)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ
a : Γ
⊢ (HahnSeries.addOppositeEquiv.symm x).coeff a = AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
⊢ M.Basis I X ↔ ∀ e ∈ X \ I, M.Dep (insert e I)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝⁶ : atTop.IsCountablyGenerated
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : OrderTopology ι
inst✝³ : MeasurableSpace ι
inst✝² : SecondCountableTopology ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ μ[f|⋯.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x ≤ σ x})] μ[f|hτ.measurableSpace]
R : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_4
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
AddOreLocalization.AddOreSet S
AddAction M X
VAdd R X
VAdd R M
VAddAssocClass R M M
VAddAssocClass R M X
r : R
x : X
s : ↥S
⊢ r +ᵥ (x -ₒ s) = AddOreLocalization.oreMin (r +ᵥ 0) s +ᵥ x -ₒ AddOreLocalization.oreSubtra (r +ᵥ 0) s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x : α
k : ℕ
⊢ (f.cycleOf x) ((f ^ k) x) = (f ^ (k + 1)) x
c : Cardinal.{u}
⊢ lift.{v, u} c < 𝔠 ↔ c < 𝔠
⊢ CliffordAlgebraComplex.toComplex.comp CliffordAlgebraComplex.ofComplex = AlgHom.id ℝ ℂ
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌊↑z + a⌋ = z + ⌊a⌋
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ : ℕ
⊢ ∀ (a p : ℕ), a ≠ 0 → Prime p → (IsPrimitiveRoot μ n✝ → a.Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ a)) → IsPrimitiveRoot μ n✝ → (p * a).Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r x : R
⊢ x ∈ {r} + σ a ↔ x ∈ σ (↑ₐ r + a)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_ind : Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
F_cl : IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
F_pointwiseCompact : ∀ x ∈ ⋃₀ 𝔖, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ (i : ι), F i x ∈ Q
this : Inducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)
⊢ IsCompact (range ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F))
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β
⊢ dist f g = sInf {C | 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C}
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f g : N ≃ₗ[R] N
⊢ LinearEquiv.lTensor M (f * g) = LinearEquiv.lTensor M f * LinearEquiv.lTensor M g
α : Type u_1
CompleteLattice α
p : ℕ → Prop
u : ℕ → α
⊢ Filter.bliminf u Filter.atTop p = ⨆ i, ⨅ j, ⨅ (_ : p j ∧ i ≤ j), u j
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ (∀ (f : ℕ →o Submodule R M), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m) ↔ IsNoetherian R M
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝ : Epi π₁
f₁ : A₁ ⟶ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).f
⊢ f₂ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
⊢ s.disjSum 0 = Multiset.map Sum.inl s
M : Type u_2
Monoid M
a b c : M
hba : b * a = 1
hac : a * c = 1
⊢ b = c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
⊢ (s ∩ t).Nonempty ↔ ∃ x ∈ t, x ∈ s
X : Type u_7
Y : Type u_8
α : Type u_9
Zero α
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
MeasurableSpace X
MeasurableSpace Y
OpensMeasurableSpace X
OpensMeasurableSpace Y
PseudoMetricSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ g, ∀ (x : X × Y), dist (f x) (↑g x) < ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.Exact
⊢ S₂.Exact
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ENNReal
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
haef : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg' : MeasureTheory.Memℒp g p μ
hui : MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
hut : MeasureTheory.UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (nhds (g x))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - g) p μ) Filter.atTop (nhds 0)
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁷ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁶ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝⁵ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝⁴ : K.HasTotal c
inst✝³ : K.flip.HasTotal c
inst✝² : DecidableEq J
inst✝¹ : TotalComplexShapeSymmetry c₂ c₁ c
inst✝ : TotalComplexShapeSymmetrySymmetry c₁ c₂ c
j : J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j
⊢ c₂.σ c₁ c i₂ i₁ • K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j ⋯ = K.flip.flip.ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ (K.totalFlipIso c).inv.f j
ι : Type u_1
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
Fintype ι
Nonempty ι
f : ι → α
⊢ Finset.univ.sup' ⋯ f = ⨆ i, f i
K : Type u_1
Field K
NumberField K
h : 1 < FiniteDimensional.finrank ℚ K
⊢ 2 < |NumberField.discr K|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
z : at x
⊢ (stalkToFiberRingHom 𝒜 x) (homogeneousLocalizationToStalk 𝒜 x z) = z
n d : ℕ
⊢ ∑ i : Fin n, d * (2 * d + 1) ^ ↑i < (2 * d + 1) ^ n
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
as : List α
⊢ List.findIdxs (fun b => decide (p b)) as = List.map Prod.fst (List.indexesValues (fun b => decide (p b)) as)
G : Type u_1
Group G
S T : Set G
⊢ S ∈ Subgroup.rightTransversals T ↔ ∀ (g : G), ∃! s, g * (↑s)⁻¹ ∈ T
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
x : ↑I × X
⊢ (ContinuousMap.Homotopy.refl f) x = f x.2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
F₁ : CategoryTheory.Discrete PEmpty.{w + 1} ⥤ C
F₂ : CategoryTheory.Discrete PEmpty.{w' + 1} ⥤ C
h : CategoryTheory.Limits.HasColimit F₁
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit F₂
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0
hap : a0 % 2 = 0
⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
g : Set (Set α)
s : Set α
hreg : c.IsRegular
S : Set (Set α)
Sg : S ⊆ g
Sct : #↑S < c
hS : ⋂₀ S ⊆ s
this : CardinalInterFilter (cardinalGenerate g ⋯) c
⊢ s ∈ cardinalGenerate g ⋯
α : Type u
c d : Cardinal.{u}
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ toNat c = n ↔ c = ↑n
R : Type u_1
CommRing R
Module R (Additive ℤˣ)
s : ℤˣ
x : R
⊢ s ^ (-x) = (s ^ x)⁻¹
M : Type u_1
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ ↑(AddSubmonoid.nonneg M) = Set.Ici 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
h : HasProd f a
⊢ HasProd (fun b => (f b)⁻¹) a⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set β
hg : ContinuousOn g s
hf : Continuous f
hs : ∀ (x : α), f x ∈ s
⊢ Continuous (g ∘ f)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
y p q : R[X]
⊢ (p • 1 + q • (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) Y) *
    (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) (Polynomial.C y) =
  (p * y) • 1 + (q * y) • (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) Y
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X : TopCat
F : Presheaf (Type u) X
ι✝ : Type x
U✝ : ι✝ → Opens ↑X
ι : Type x
U : ι → Opens ↑X
h : ∀ (sf : (i : ι) → (forget (Type u)).obj (F.obj (op (U i)))), F.IsCompatible U sf → ∃! s, ∀ (i : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app i s = objPairwiseOfFamily sf i
s : (j : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ) → ((Pairwise.diagram U).op ⋙ F).obj j
hs : s ∈ ((Pairwise.diagram U).op ⋙ F).sections
⊢ ∃! x, ∀ (j : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app j x = s j
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0
this : 0 < μ ({x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ} \ N)
x : α
hx : x ∈ {x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ}
hxN : x ∉ N
⊢ ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ
n : ℕ
⊢ antidiagonal n = map { toFun := fun i => (n - i, i), inj' := ⋯ } (range (n + 1))
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
L.Structure P
f : L.Hom M N
g : L.Hom N P
p : L.Substructure P
h : ∀ (b : N), g b ∈ p
⊢ (FirstOrder.Language.Hom.codRestrict p g h).comp f = FirstOrder.Language.Hom.codRestrict p (g.comp f) ⋯
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
h : 0 < |ξ - ↑q|
m : ℕ
hm : 1 / |ξ - ↑q| < ↑m
m_pos : 0 < ↑m
q' : ℚ
hbd : |ξ - ↑q'| ≤ 1 / ((↑m + 1) * ↑q'.den)
hden : q'.den ≤ m
⊢ ∃ q', |ξ - ↑q'| < 1 / ↑q'.den ^ 2 ∧ |ξ - ↑q'| < |ξ - ↑q|
x : ℝ≥0
y z : ℝ
hx0 : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
hyz : z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D : Type u_4
I₁ : Type u_5
I₂ : Type u_6
I₃ : Type u_7
J : Type u_8
inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁
inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃
inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D
inst✝¹¹ : Zero I₂
inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂
inst✝⁹ : HasInitial C₂
F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁
F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃
G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D
associator : bifunctorComp₁₂ F₁ G ≅ bifunctorComp₂₃ G F₂
X₂ : C₂
e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁
e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃
inst✝⁸ : (X₁ : C₁) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₁.obj X₁)
inst✝⁷ : (X₃ : C₃) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₂.flip.obj X₃)
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
τ : TriangleIndexData r π
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝⁶ : (((mapBifunctor F₁ I₁ I₂).obj X₁).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).HasMap τ.p₁₂
inst✝⁵ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂))).obj X₃).HasMap π
inst✝⁴ : (((mapBifunctor F₂ I₂ I₃).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).obj X₃).HasMap τ.p₂₃
inst✝³ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj F₂ τ.p₂₃ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃)).HasMap π
inst✝² : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁ G τ.ρ₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝¹ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj G F₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj X₃).HasMap π
triangle : ∀ (X₁ : C₁) (X₃ : C₃), ((associator.hom.app X₁).app X₂).app X₃ ≫ (G.obj X₁).map (e₂.hom.app X₃) = (G.map (e₁.hom.app X₁)).app X₃
j : J
i₁ : I₁
i₃ : I₃
hj : π (i₁, i₃) = j
⊢ ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j hj ≫ (mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).inv (𝟙 X₃) ≫ (mapBifunctorAssociator associator τ.ρ₁₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃).hom ≫ mapBifunctorMapMap G π (𝟙 X₁) (mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom) j = ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j hj ≫ (mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).inv (𝟙 X₃) ≫ mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom (𝟙 X₃)) j
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
⊢ s.ndinter t ⊆ 0 ↔ s.Disjoint t
α : Type u
NatCast α
n : ℕ
⊢ { down := ↑n } = ↑n
a b c : ℕ
h1 : a.pow b = c
⊢ (Int.ofNat a).pow b = Int.ofNat c
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ub : ℝ≥0
hub : ub < ‖f‖₊
⊢ ∃ a ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1, ub < a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : α
⊢ ((Equiv.sigmaPreimageEquiv f).symm x).fst = f x
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∈ (exponent G).factorization.support
he : 0 < exponent G
g : G
hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1
k : ℕ
hk : exponent G = p ^ (exponent G).factorization p * k
t : ℕ
ht : (exponent G).factorization p = t.succ
⊢ ¬(g ^ k) ^ p ^ t = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Zero β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ f.restrict ∅ = 0
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x y : V
⊢ ↑e (x - y) ≤ ↑e x + ↑e y
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
L : Matrix m n α
M N : Matrix n o α
i✝ : m
j✝ : o
⊢ (L * (M + N)) i✝ j✝ = (L * M + L * N) i✝ j✝
d x y : ℕ
a : ℤ√↑d
ha : a.Nonneg
this : { re := ↑x, im := ↑y } * a = ↑x * a + sqrtd * (↑y * a)
⊢ ({ re := ↑x, im := ↑y } * a).Nonneg
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
I : (d : D) → colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
d : D
this : Nonempty (StructuredArrow d F)
X₁ : C
f₁ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₁
X₂ : C
f₂ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₂
t : EqvGen (Types.Quot.Rel (F ⋙ coyoneda.obj (op d))) ⟨X₁, f₁⟩ ⟨X₂, f₂⟩
⊢ Zigzag { left := { as := PUnit.unit }, right := X₁, hom := f₁ } { left := { as := PUnit.unit }, right := X₂, hom := f₂ }
θ : Angle
h : 0 ≤ θ.sign
⊢ ↑|θ.toReal| = θ
b x y : ℕ
hy : y ≠ 0
h : x = 0
hb : b ≤ 1
⊢ b ^ x ≤ y
α : Type u_2
InfSet α
a : α
⊢ (sInfHom.id α) a = a
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c
⊢ ∑ i ∈ filter (fun x => j < c ^ x) (range N), 1 / (c ^ i) ^ 2 ≤ c ^ 3 * (c - 1)⁻¹ / j ^ 2
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
⊢ Filter.Tendsto (fun w => ∫ (v : ℝ), 𝐞 (-(v * w)) • f v) (Filter.cocompact ℝ) (𝓝 0)
p : Polynomial ℤ
⊢ p.IsUnitTrinomial ↔ (p * p.mirror).coeff (((p * p.mirror).natDegree + (p * p.mirror).natTrailingDegree) / 2) = 3
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
s : Set M
κ : Cardinal.{w'}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ lift.{w, w'} κ
h3 : lift.{w', max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w'} κ
h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M
⊢ ∃ S, s ⊆ ↑S ∧ lift.{w', w} #↥S = lift.{w, w'} κ
R : Type u_1
TopologicalSpace R
CommRing R
N : Ideal R
TopologicalRing R
⊢ QuotientMap fun p => ((Ideal.Quotient.mk N) p.1, (Ideal.Quotient.mk N) p.2)
R : Type uR
S : Type uS
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
⊢ (Algebra.TensorProduct.lmul' R).comp Algebra.TensorProduct.includeLeft = AlgHom.id R S
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
P' : C
inl' : X ⟶ P'
inr' : Y ⟶ P'
h : IsPushout f g inl inr
h' : IsPushout f g inl' inr'
⊢ inr' ≫ (isoIsPushout X Y h h').inv = inr
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}
h2 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)}
h3 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)}
⊢ MeasurableSet {a | IsRatStieltjesPoint f a}
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
x : P.Ring
⊢ (algebraMap P.Ring S) x = (MvPolynomial.aeval P.val) x
a b : Prop
h : b = False
⊢ (a ∨ b) = a
K : Type u
Field K
L : Type u
Field L
f : K →+* L
a : L
c : K
⊢ RatFunc.eval f a (RatFunc.C c) = f c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n
hkmn' : m * k ≤ n
⊢ IsAddFreimanIso m (Iio ↑(k + 1)) (Iio (k + 1)) val
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f t y ↔ ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x i) t y
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
hx : x ≠ 0
v : M₁
h : f v • x = 0
⊢ f v = 0 v
R : Type u_1
CommRing R
p : PolynomialModule R R
⊢ PolynomialModule.equivPolynomialSelf p = PolynomialModule.equivPolynomial p
G : Type u_1
SubtractionMonoid G
a b c d : G
hcd : AddCommute c d
hbc : AddCommute b (-c)
⊢ a + b - (c + d) = a - c + (b - d)
α : Type u_5
TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
OrderTopology α
BorelSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (a : α), μ (Set.Ici a) = ν (Set.Ici a)
⊢ μ = ν