ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
ContinuousAdd G
U : Set G
h : IsClosed U
x : G
⊢ IsClosed (x +ᵥ U)
α : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
f : α → α
g : α → M
n : ℕ
x : α
⊢ birkhoffSum f g (n + 1) x = g x + birkhoffSum f g n (f x)
a i : Nat
h : i < a
⊢ a - (i + 1) < a - i
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
H : FreeAddGroup.mk L₁ = FreeAddGroup.mk L₂
⊢ FreeAddGroup.reduce L₁ = FreeAddGroup.reduce L₂
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ s.Nonempty → (f '' s).Nonempty
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddCommMonoid G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℕ
x : G
⊢ f (n • a + x) = f x + n • b
α : Type u_1
PartialOrder α
BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
x : α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
⊢ x ∈ Flag.rangeFin f h0 hlast hcovBy ↔ ∃ k, f k = x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
⊢ Function.Bijective MeasurableEquiv.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h : Ioi b ⊆ Ici a
⊢ a ≤ b
C : Type v
CommMonoid C
n : ℕ
ψ : AddChar (ZMod n) C
hψ : ∀ (a : ZMod n), ψ a = 1 → a = 0
⊢ ψ.IsPrimitive
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c d : X ⟶ Y
⊢ prod.lift a b - prod.lift c d = prod.lift (a - c) (b - d)
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
⊢ I / J = I * J⁻¹
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
a : α
⊢ _root_.Disjoint a (s.sup f) ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → _root_.Disjoint a (f i)
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
CategoryTheory.Epi i
⊢ i = 𝟙 x
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
⊢ F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ F.map (colimMap (J.diagramNatTrans η (unop X))) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ (J.plusCompIso F P).hom.app X ≫ colimMap (J.diagramNatTrans (whiskerRight η F) (unop X))
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
l : List α
pa : ¬p a = true
al : a ∈ l
⊢ a ∈ eraseP p l
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
f : X → Y
a : X
b : Y
h : ∀ (u : ℕ → X), Tendsto u atTop (𝓝 a) → Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 b)
⊢ ∀ (ib : Set Y), b ∉ ib ∧ IsClosed ib → ∃ ia, (a ∉ ia ∧ IsClosed ia) ∧ ∀ x ∈ iaᶜ, f x ∈ ibᶜ
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ (↑(unitLattice K) ∩ Metric.closedBall 0 r).Finite
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
⊢ UniqueMul A B a0 b0 ↔ (filter (fun p => p.1 * p.2 = a0 * b0) (A ×ˢ B)).card ≤ 1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
f : A →⋆ₐ[R] B
h₁ : f 1 = 1
h₂ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := ⇑f, map_one' := h₁ }.toFun (x * y) =
      { toFun := ⇑f, map_one' := h₁ }.toFun x * { toFun := ⇑f, map_one' := h₁ }.toFun y
h₃ : (↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun 0 = 0
h₄ :
  ∀ (x y : A),
    (↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun (x + y) =
      (↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun x +
        (↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun y
h₅ :
  ∀ (r : R),
    (↑↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂, map_zero' := h₃, map_add' := h₄ }).toFun ((algebraMap R A) r) =
      (algebraMap R B) r
h₆ :
  ∀ (x : A),
    (↑↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂, map_zero' := h₃, map_add' := h₄,
                  commutes' := h₅ }.toRingHom).toFun
        (star x) =
      star
        ((↑↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂, map_zero' := h₃, map_add' := h₄,
                    commutes' := h₅ }.toRingHom).toFun
          x)
⊢ { toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂, map_zero' := h₃, map_add' := h₄, commutes' := h₅, map_star' := h₆ } = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
t : Set β
x✝ : α × β
⊢ x✝ ∈ ↑(lowerClosure (s ×ˢ t)) ↔ x✝ ∈ ↑(lowerClosure s ×ˢ lowerClosure t)
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
LocallyFiniteOrderTop α
⊢ Finset.Ico a b ⊆ Finset.Ici a
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a : α
ha : IsSquare a
⊢ ¬Prime a
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ⊓ b ≤ a ⇔ b
K : SSet
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
x : K.obj Δ
⊢ (ρ_ K).inv.app Δ x = (x, PUnit.unit)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → E
hs : μ s ≠ ⊤
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
⊢ ∫ (x : α) in s, ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ - f x ∂μ = 0
α : Type u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
FirstCountableTopology α
S : Set α
hS : S.Nonempty
hS' : BddBelow S
⊢ ∃ u, Antitone u ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 (sInf S)) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ S
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasPullback f f
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f f = 𝟙 X
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r : List (List α)
⊢ sublistsAux a r = (Array.foldl (fun r l => (r.push l).push (a :: l)) #[] (toArray r) 0).toList
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
s : Set Ω
_s_mble : MeasurableSet s
⊢ ↑μ.normalize s = (μ.mass⁻¹ • ↑μ) s
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
⊢ Metric.closedBall 1 δ * s = Metric.cthickening δ s
α : Type u
s s' : Set α
⊢ Set.univ.ite s s' = s
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
g : N →+ P
f : M →+ N
⊢ AddSubmonoid.map g (AddMonoidHom.mrange f) = AddMonoidHom.mrange (g.comp f)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
t : CategoryTheory.Limits.ColimitCocone F
j : J
⊢ t.cocone.ι.app j ≫ (CategoryTheory.Limits.colimit.isoColimitCocone t).inv = CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
f g : ContinuousMonoidHom A B
h : ∀ (x : A), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s : Set S
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass S R M
r : S
⊢ r • N ≤ {r} • N
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ 𝓒 u v s
ha : a ∉ s
⊢ (a ⊔ v) \ u ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
b : Option β
⊢ Option.map₂ f none b = none
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
ContinuousMul G
H : Subgroup G
h_1_int : 1 ∈ interior ↑H
⊢ IsOpen ↑H
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
x1 y1 x2 y2 : G
h : UniqueMul A B x1 y1
hx : x1 ∈ A ∧ y1 ∈ B ∧ x1 * y1 = x1 * y1
hy : x2 ∈ A ∧ y2 ∈ B ∧ x2 * y2 = x1 * y1
⊢ (x1, y1) = (x2, y2)
α : Type u_1
s : Set α
Fintype ↑s
⊢ s.encard = ↑s.toFinset.card
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n : ℕ
⊢ n < Nat.find h ↔ ∀ (m : ℕ), m ≤ n → ¬p m
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i : ι
h : f ≤ g
hi : f i < g i
hf : HasSum f a₁
hg : HasSum g a₂
⊢ a₁ < a₂
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
⊢ H.normalizer = H ↔ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule) = ⊥
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
⊢ ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ (𝟙 f✝)).app = (𝟙 ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map f✝)).app
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
⊢ ∅.SemanticallyEquivalent φ φ.toPrenex
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S =
  -⋯.unit ^ 2 * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ f ⁻¹' s = ∅ ↔ Disjoint s (Set.range f)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f g : a ⟶ b
η θ : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η (CategoryTheory.CategoryStruct.id b) =
    CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight θ (CategoryTheory.CategoryStruct.id b) ↔
  η = θ
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a b : α
h : normalize a = a
⊢ lcm a b = a ↔ b ∣ a
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g κ μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᶠ[ae (κ a)] g'
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B
a : α
hf' : f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg' : g =ᶠ[ae (κ a)] g'
hfg' : (κ a) (f ⁻¹' A ∩ g ⁻¹' B) = (κ a) (f ⁻¹' A) * (κ a) (g ⁻¹' B)
⊢ (κ a) (f' ⁻¹' A ∩ g' ⁻¹' B) = (κ a) (f' ⁻¹' A) * (κ a) (g' ⁻¹' B)
x y : ℝ
hy₀ : 0 ≤ y
hy₁ : y ≤ π
hxy : x = Real.cos y
⊢ Real.arccos x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ C
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≤ C
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : G.Elements
⊢ ↑((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCat G).counitIso.hom.app X) = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : SuccOrder α
a b : α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : NoMaxOrder α
⊢ a < succ ⊥ ↔ a = ⊥
ι : Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι ℝ (ι → ℝ)
⊢ MeasureTheory.volume (Zspan.fundamentalDomain b) = ENNReal.ofReal |(Matrix.of ⇑b).det|
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
p : β → β → Prop
a b : α
f : α → β
h : ∀ (a b : α), r a b → Relation.TransGen p (f a) (f b)
hab : Relation.TransGen r a b
⊢ Relation.TransGen p (f a) (f b)
G : Type u_1
Group G
M : Type u_7
Monoid M
f g : G →* M
h : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑⊤
⊢ f = g
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : ℕ → α → Prop
hp : ∑' (i : ℕ), μ {x | p i x} ≠ ⊤
⊢ μ {x | ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p n x} = 0
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
hpos₁ : 0 < ε₁
hpos₂ : 0 < ε₂
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ (h.convergenceR ε₁ c₁) π₁
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ (h.convergenceR ε₂ c₂) π₂
HU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
π : Prepartition I
hπU✝ : π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion
hπU : π.iUnion = ↑I \ π₂.iUnion
hπc₁ : l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₁
hπc₂ : l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₂
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun x => min (h.convergenceR ε₁ c₁ x) (h.convergenceR ε₂ c₂ x)
πr : TaggedPrepartition I := π.toSubordinate r
H₁ : dist (integralSum f vol (π₁.unionComplToSubordinate π hπU✝ r)) (integral I l f vol) ≤ ε₁
⊢ dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε₁ + ε₂
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
s : Set (G ⧸ Γ)
s_meas : MeasurableSet s
hs : (μ.restrict 𝓕) (π ⁻¹' s) = 0
⊢ μ (π ⁻¹' s) = 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type
inst✝ : Ring R
X : Mat_ (SingleObj Rᵐᵒᵖ)
i✝ j✝ : ↑({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj X)
⊢ MulOpposite.unop (if h : i✝ = j✝ then eqToHom ⋯ else 0) = if i✝ = j✝ then 1 else 0
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
p : PrimeSpectrum R
hfp : f ∉ p.asIdeal
⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ∉ ↑p.asIdeal
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g : α → β
TopologicalSpace β
CommSemiring β
hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
hfg : ∀ (x : α), f x = g x
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
NormedSpace ℝ E
f : β × γ → E
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.univ ×ˢ t) ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (z : β × γ) in Set.univ ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
h : (s ∩ Icc x y).OrdConnected
z : α
hz : z ∈ Icc x y
⊢ z ∈ s
α : Type u_1
xs : List α
⊢ xs.reverse = [] ↔ xs = []
α : Type u
S : Set (Set α)
cond : ∀ (T : Finset (Set α)), ↑T ⊆ S → (⋂₀ ↑T).Nonempty
⊢ ∃ F, S ⊆ (↑F).sets
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x⁻¹ = Real.log (b / a)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
n : ↥N
⊢ N.lTensorOne' (1 ⊗ₜ[R] n) = n
s : ℂ
X : ℝ
hs : 0 < s.re
hX : 0 ≤ X
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) MeasureTheory.volume 0 X
G : Type u
Group G
⊢ Abelianization.lift Abelianization.of = MonoidHom.id (Abelianization G)
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
a b : A
n i : ι
Sub ι
OrderedSub ι
ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
b_mem : b ∈ 𝒜 i
h : i ≤ n
⊢ ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) (a * b)) n) = ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) a) (n - i)) * b
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
CommRing R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
J : Ideal R
v : Valuation (R ⧸ J) Γ₀
⊢ (Valuation.comap (Ideal.Quotient.mk J) v).onQuot ⋯ = v
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
c : α
⊢ a / c ≤ b / c ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f 0
⊢ Integrable f ((0 univ)⁻¹ • 0)
x : ℝ
f g : ℝ → ℝ
f' g' : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x
h : 0 < f x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x)) x
n : ℕ
⊢ (∃ k, n = 2 ^ k) ∨ ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ Odd p
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype pᶜ
k : Subtype p
⊢ biproduct.ι (Subtype.restrict p f) k ≫ (biproduct.fromSubtype f p ≫ biproduct.toSubtype f pᶜ) ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j = biproduct.ι (Subtype.restrict p f) k ≫ 0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j
x✝ y : ℝ
C : ℝ → Prop
h : ∀ (y : CauSeq ℚ abs), C (mk y)
x : CauSeq ℚ abs
⊢ C { cauchy := Quot.mk Setoid.r x }
R : Type u
CommSemiring R
s : Multiset (Ideal R)
⊢ s.prod ≤ s.inf
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ
⊢ ∃ a b, a ≤ p / 2 ∧ b ≤ p / 2 ∧ ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ x [ZMOD ↑p]
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
v : (x : M) → TangentSpace I x
x : M
h : v x = 0
⊢ IsIntegralCurve (fun x_1 => x) v
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
sm : SplitMono f
Z✝ : C
g h : Z✝ ⟶ X
w : g ≫ f = h ≫ f
⊢ g = h
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
Y₁ Y₂ Y₃ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
f' : Y₂ ⟶ Y₃
j : CostructuredArrow L Y₁
⊢ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₁ ⋙ F) j ≫ colimit.desc (CostructuredArrow.proj L Y₁ ⋙ F) { pt := colimit (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F), ι := { app := fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map (f ≫ f')).obj g), naturality := ⋯ } } = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₁ ⋙ F) j ≫ colimit.desc (CostructuredArrow.proj L Y₁ ⋙ F) { pt := colimit (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F), ι := { app := fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map f).obj g), naturality := ⋯ } } ≫ colimit.desc (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F) { pt := colimit (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F), ι := { app := fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map f').obj g), naturality := ⋯ } }
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_4
CommSemiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
Algebra R S
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
v : ι → M
li : LinearIndependent S v
⊢ LinearIndependent R v
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
⊢ (AffineIndependent k fun p => ↑p) ↔ LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p => p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))) => ↑v
a b : Cardinal.{u_1}
⊢ a.alephIdx ≤ b.alephIdx ↔ a ≤ b
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝² : Group α✝
α : Type u
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Fintype α
hp : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
this : Nontrivial α
⊢ IsSimpleGroup α
α : Type u_1
γ : Type u_3
TopologicalSpace γ
β : Type u_4
f : α → β
mα : MeasurableSpace α
μa : MeasureTheory.Measure α
mβ : MeasurableSpace β
μb : MeasureTheory.Measure β
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μa μb
h₂ : MeasurableEmbedding f
g : β → γ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (g ∘ f) μa ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μb
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
⊢ {a} ≤ s ↔ a ∈ s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
⊢ ∀ (x : E), ‖LinearMap.id x‖ ≤ 1 * ‖x‖
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hu : ↑(d ⟨u, hu'⟩) = 1
⊢ ↑(d.symm ⟨↑(d ⟨u, hu'⟩), ⋯⟩) = 1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
e₁ : T₁.obj₁ ≅ T₂.obj₁
e₂ : T₁.obj₂ ≅ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ T₂.mor₁
⊢ T₁ ≅ T₂
m n k : ℕ
⊢ (∃ a, a + n = m ∧ k.succ = a) ↔ k + (n + 1) = m
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s t : Finset ι
v : ι → F
r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
⊢ (Lagrange.interpolate t v) r = ∑ i ∈ s, (Lagrange.interpolate (insert i (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v i
α : Type u_1
NonUnitalRing α
a b c : α
⊢ a ∣ b - c ↔ a ∣ c - b
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : c • x ∈ s
hc : c ≠ 0
⊢ egauge 𝕜 s x ≤ (↑‖c‖₊)⁻¹
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ √x ^ 2 = x
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddCommMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
X : C
a : A
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorComm C a 0).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
    ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).inv.app X))
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
r : R
f : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f ((fun x => r * x) '' spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => f (r * x)) a = cfc f (r • a)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℕ
a : α
⊢ mabs (a ^ n) = mabs a ^ n
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P✝ P : R[X]
N : ℕ
hN : P.natDegree ≤ N
h : ∀ (i : ℕ), IsNilpotent (P.coeff i)
i : ℕ
hi : i ≤ N
⊢ IsNilpotent ((reflect N P).coeff i)
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
γ : Type u_2
TopologicalSpace γ
h : α ≃ᵢ β
f : β → γ
⊢ Continuous (f ∘ ⇑h) ↔ Continuous f
N : ℕ
hN : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
H : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s
h : s.re ≤ 1
⊢ False
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
Group α
MulAction α β
a : α
s : Finset β
⊢ (a • s).card = s.card
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
⊢ ↑n ≤ G.chromaticNumber ↔ ∀ (C : G.Coloring (Fin n)), Surjective ⇑C
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
f : R →+* S
n : ℕ := max p.natDegree (map f p).natDegree
⊢ derivative (map f p) = map f (derivative p)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
s : Set F
hs : MeasurableSet s
⊢ (∀ᵐ (x : E) ∂μ, L x ∈ s) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s
α : Type u_1
DistribLattice α
Fintype α
DecidablePred SupIrred
a b : α
⊢ OrderEmbedding.birkhoffSet (a ⊔ b) = OrderEmbedding.birkhoffSet a ∪ OrderEmbedding.birkhoffSet b