ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) μ
I2 : Integrable (fun a => (L (f a)) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)).comp (g' (q₀.1, q₀.2 - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.2}
K'_def : K' = -k + {q₀.2}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U μ
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := U.indicator fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖((precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.1, x.2 - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound μ
I6 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → HasFDerivAt (fun x => (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) ((L (f a)).comp (g' (x.1, x.2 - a))) x
⊢ HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
R : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x : L
⊢ e.toLinearEquiv.conj ((LieAlgebra.ad R L) x) = (LieAlgebra.ad R L') (e x)
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a : α
⊢ Function.Injective fun x => a ⇔ x
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
n : ℕ
m : M
a : α
⊢ n • m +ᵥ a = a ↔ AddAction.period m a ∣ n
A : Type u_1
B : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Star B
F : Type u_5
FunLike F A B
NonUnitalRingHomClass F A B
NonUnitalStarRingHomClass F A B
f : F
⊢ ⇑↑f = ⇑f
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
⊢ Function.Bijective ⇑e
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : Integrable f ρ
⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω), f x ∂ρ
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
y : Y
h : e.IsImage s t
hy : y ∈ e.target
⊢ ↑e.symm y ∈ s ↔ y ∈ t
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⊥.annihilator = ⊤
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
⊢ lowerBounds (s ∪ t) = lowerBounds s ∩ lowerBounds t
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
h_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hg : 0 ≤ᵐ[μ] g
h_int : MeasureTheory.Integrable (f + g) μ
⊢ MeasureTheory.Integrable g μ
S : Type v
CommSemiring S
R : Type u_1
CommRing R
f : R →+* S
x : R
p : R[X]
h : (Polynomial.map f p).IsRoot (f x)
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ p.IsRoot x
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp 0 (a - b) = p - toIocMod hp 0 (b - a)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m : ℕ
hm : m > 0
k : ℕ
hk : m ≤ m + k → Irreducible (cyclotomic (p ^ (m + k)) R) → Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
hmn : m ≤ m + (k + 1)
h : Irreducible (cyclotomic (p ^ (m + (k + 1))) R)
this : m + k ≠ 0
⊢ Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
f : M ≃ N
h : ∀ (x y : M), f.toFun (x * y) = f.toFun x * f.toFun y
⊢ { toEquiv := f, map_mul' := h }.symm = { toEquiv := f.symm, map_mul' := ⋯ }
R : Type u_1
EuclideanDomain R
GCDMonoid R
p q : R
hp : q ≠ 0
⊢ gcd p q ≠ 0
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x✝ : R
⊢ x✝ ∈ map (MulSemiringAction.toRingHom M R a) S ↔ x✝ ∈ map (MulSemiringAction.toRingEquiv M R a) S
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
hne : ¬padicNorm p (-↑f m) = padicNorm p (↑f n)
hnam : padicNorm p (-↑f m + ↑f n) = max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
⊢ False
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T1Space X
inst✝¹ : DecidableEq X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
x x' : X
y : Y
hne : x' ≠ x
⊢ ContinuousAt (update f x y) x' ↔ ContinuousAt f x'
M : Type u
Mul M
PseudoEMetricSpace M
IsometricSMul M M
a : M
⊢ Isometry fun x => a * x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} E
inst✝ : L.IsLocalization W
F₁ F₂ F₃ : C ⥤ E
F₁' F₂' F₃' : D ⥤ E
h₁ : Lifting L W F₁ F₁'
h₂ : Lifting L W F₂ F₂'
h₃ : Lifting L W F₃ F₃'
τ : F₁ ⟶ F₂
τ' : F₂ ⟶ F₃
X : C
⊢ (liftNatTrans L W F₁ F₂ F₁' F₂' τ ≫ liftNatTrans L W F₂ F₃ F₂' F₃' τ').app (L.obj X) = (liftNatTrans L W F₁ F₃ F₁' F₃' (τ ≫ τ')).app (L.obj X)
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.natDegree = p.natDegree ∧ q.Monic
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
⊢ ∃ i, True ∧ ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ norm ⁻¹' Set.Ioi i → IsUnit (resolvent a x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
hf : BddBelow (range f)
⊢ Iic (⨅ i, f i) ⊆ ⋂ i, Iic (f i)
α : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} ⦃μ : MeasureTheory.Measure α⦄ {s t : Set α} {f : α → ℝ≥0∞},
  s ≤ᵐ[μ] t → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in t, f x ∂μ
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
⊢ b₂.coords x ᵥ* b.toMatrix ⇑b₂ = b.coords x
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f t y ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => f x i) t y
n k : ℕ
h : n ≤ k
⊢ Set.range (Fin.castLE h) = {i | ↑i < n}
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
⊢ List.pmap f l H = List.map (fun x => f ↑x ⋯) l.attach
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Zero M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
f : ι →₀ M
⊢ f.toDFinsupp.toFinsupp = f
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α✝
inst✝² : FloorRing α✝
z : ℤ
a✝ : α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing α
inst✝ : FloorRing α
a b : α
h : ⌊a⌋ = ⌊b⌋
this✝² : a < ↑⌊a⌋ + 1
this✝¹ : b < ↑⌊b⌋ + 1
this✝ : ↑⌊a⌋ = ↑⌊b⌋
this : ↑⌊a⌋ ≤ a
⊢ |a - b| < 1
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
hs : s ⊂ {a}
b : α
hb : b ∈ s
⊢ {a} ⊆ s
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsDomain S
Nontrivial R
I : Ideal ↥(integralClosure R S)
I_ne_bot : I ≠ ⊥
⊢ Ideal.comap (algebraMap R ↥(integralClosure R S)) I ≠ ⊥
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
a : α
ha : a ∈ s
has : ∀ b ∈ s, b ≤ a → b = a
⊢ UpperSet.Ici a ⊓ s.erase a = s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Mon_ (C ⥤ C)
f : X ⟶ Y
Z : C
⊢ (MonoidalCategory.tensorHom f.hom f.hom ≫ Y.mul).app Z = ((ofMon X).map (__src✝.app Z) ≫ __src✝.app ((ofMon Y).obj Z)) ≫ (ofMon Y).μ.app Z
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)
⊢ MulAction ?convert_1 X
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
⊢ x ≡ y [SMOD ⊥] ↔ x = y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ ↑⌊a + b⌋ - 1 - a ≤ ↑⌊b⌋
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
x : R
⊢ (aeval ((algebraMap R A) x)) (X - C x) = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
S : Sieve X
f : Y ⟶ X
⊢ ⊤.Covers S f
a b : Int
⊢ a ≠ b → a < b ∨ b < a
α : Type u_1
ι : Type u_4
PartialOrder α
OrderBot α
s : Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint f
i : ι
h : ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (f i) (f j)
⊢ (insert i s).PairwiseDisjoint f
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p.coeff 0 = 0
⊢ p.IsRoot 0
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y) → P124 a
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
ihxyn : IH1 (-x) (-y)
ihyxn : IH1 (-y) (-x)
⊢ ∀ (i : (x * y).LeftMoves), ((x * y).moveLeft i).Numeric
H : Type u_4
AddGroup H
⊢ AddGroup.FG H ↔ ⊤.FG
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
s : Set M
⊢ s ⊆ ↑(LieSubmodule.lieSpan R L s)
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCancelCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
i : ι
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq (ι → μ)
hi : i ∉ s
n : μ
⊢ (insert i s).piAntidiag n = (antidiagonal n).biUnion fun p => image (fun f j => f j + if j = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
P : ProjectiveResolution Y
Q : ProjectiveResolution Z
⊢ liftFOne f P Q ≫ Q.complex.d 1 0 = P.complex.d 1 0 ≫ liftFZero f P Q
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ (x : { a // a ∈ b }), IsOpen (c ↑x)
hc₂ : s ⊆ ⋃ x, c ↑x
d : Finset ↑b
hd : s ⊆ ⋃ i ∈ d, c ↑i
⊢ ∃ b' ⊆ b, b'.Finite ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ b', c i
a b✝ c d m n b : ℤ
hb : 0 < b
a✝ : ℕ
h : -[a✝+1].toNat < b.toNat
⊢ -[a✝+1] < b
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Z → W
⊢ Continuous (Sum.map f g) ↔ Continuous f ∧ Continuous g
R : Type u
S : Type v
A' : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring A'
CommSemiring S
Algebra S R
Algebra S A'
g : R →ₐ[S] A'
y : A'
⊢ (↑(Polynomial.aevalTower g y)).comp Polynomial.C = ↑g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
h : (μ + ν) t ≠ ⊤
h' : s ⊆ t
h'' : (μ + ν) s = (μ + ν) t
⊢ μ s = μ t
q : ℚ≥0
⊢ ↑q = 0 ↔ q = 0
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
Module R S
n : ℕ
φ : PowerSeries S
a : R
⊢ (PowerSeries.coeff S n) (a • φ) = a • (PowerSeries.coeff S n) φ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
G.PreservesZeroMorphisms
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
CategoryTheory.Limits.HasKernel (G.map f)
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelComparison f G ≫ CategoryTheory.Limits.kernel.ι (G.map f) =
  G.map (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f)
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
⊢ Nonempty (T.CompleteType α) ↔ T.IsSatisfiable
n m : ℕ
h : n ≠ m
⊢ IsCoprime (Polynomial.cyclotomic n ℚ) (Polynomial.cyclotomic m ℚ)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : One M
inst✝² : One N
s✝ t : Set α
f g : α → M
a✝ : α
U : Set α
s : Set M
a : M
inst✝¹ : Decidable (a ∈ s)
inst✝ : Decidable (1 ∈ s)
⊢ U.ite (if a ∈ s then univ else ∅) (if 1 ∈ s then univ else ∅) = (if a ∈ s then U else ∅) ∪ if 1 ∈ s then Uᶜ else ∅
m n : ℕ
h : Odd (m + n)
⊢ m ≠ n
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
One β
h1 : HasCompactMulSupport f
h2 : Continuous f
⊢ UniformContinuous f
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
⊢ Tendsto (fun x => ‖f x‖) (cocompact E) (𝓝 0)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
⊢ I₁.incl.IsIdealMorphism
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
f : X → 𝕜
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ↑(∫ (x : X), RCLike.re (f x) ∂μ) + ↑(∫ (x : X), RCLike.im (f x) ∂μ) * RCLike.I = ∫ (x : X), f x ∂μ
ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
AddCommMonoid P
(i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Module R P
Fintype ι
DecidableEq ι
i : ι
Q : QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ (QuadraticMap.Isometry.proj i Q).comp (QuadraticMap.Isometry.single (Pi.single i Q) i) = QuadraticMap.Isometry.ofEq ⋯
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h✝ e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h✝ e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
hn : μ = ↑n
h : ¬((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : ¬IsUnit a
ha0 : a ≠ 0
⊢ multiplicity a a = ↑1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
F : Type u_3
E : ι → Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
s : Set ((i : ι) → E i)
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (⇑f '' s)
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f : CategoryTheory.Arrow T
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id f).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id f.left
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
α : Type u
⊢ traverse pure = pure
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring S₁
Semiring S₂
Module S₁ N₂
Module S₂ N₂
SMulCommClass S₁ R N₂
SMulCommClass S₂ R N₂
SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
⊢ (LinearMap.toMatrixₛₗ₂' R).symm = Matrix.toLinearMapₛₗ₂' R σ₁ σ₂
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : (algebraMap R S) M ≠ 0
b : S
b_mem : b ∈ ↑I
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min : ∀ c ∈ ↑I, abv ((Algebra.norm R) c) < abv ((Algebra.norm R) b) → c = 0
r' : S
hr' : (algebraMap R S) M ∣ r'
a : S
ha : a ∈ ↑I
q : S
r : R
r_mem : r ∈ finsetApprox bS adm
lt : abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) r * a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
⊢ q * b ∣ r' * a
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ completedCosZeta₀ (-a) s = completedCosZeta₀ a s
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F E
⊢ ⊥ = ⊤ ↔ Module.rank F E = 1
M : Type u_1
inst✝ : Distrib M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M
x✝ : M
⊢ (a + b) * x✝ = x✝ * (a + b)
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
MeasurableSpace X
BorelSpace X
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hf : Isometry f
hd : 0 ≤ d ∨ Function.Surjective f
s : Set X
⊢ μH[d] (f '' s) = μH[d] s
α : Type u_1
l₁ : List α
a : α
DecidableEq α
h : a ∈ l₁
l₂ : List α
⊢ a ∈ l₁ ∪ l₂
p : Prop
h : Decidable p
f : Bool
⊢ (if p then true else f) = (decide p || f)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)
⊢ sSup S = conGen fun x y => ∃ c ∈ S, c x y
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
⊢ P.toPoly.natDegree ≤ 1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
f : Perm α
hf : f.IsThreeCycle
hi : Function.Injective ⇑(alternatingGroup α).subtype
c : Perm α
h : c * f * c⁻¹ ∈ {σ | σ.IsThreeCycle}
⊢ ∃ a ∈ {⟨f, ⋯⟩}, IsConj a ⟨c * f * c⁻¹, ⋯⟩
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ last n
hb : b ≠ 0
⊢ a.castPred ha ≤ b.pred hb ↔ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
h : 2 ≤ n
t : Finset α
ht : ⊥.IsNClique n t
this : 2 ≤ 1
⊢ False
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
LocallyFiniteOrder α
a : α
⊢ Finset.Ioc ↑a ⊤ = Finset.insertNone (Finset.Ioi a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
k : Rˣ
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (k • z).v p q hpq = k • z.v p q hpq
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hM : M.PosDef
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, 0 < ↑(⋯.eigenvalues i)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X✝ I✝ : Set α
M : Matroid α
Y : Set α
I X : Set ↑Y
⊢ (M.restrictSubtype Y).Basis I X ↔ M.Basis' ↑I ↑X
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
F : ↥↑(rootSpace H ⇑α) →ₗ[K] K := (killingForm K L) f ∘ₗ (↑(rootSpace H ⇑α)).subtype
hF : LinearMap.ker F ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ ↑(rootSpace H ⇑α)
hy₀ : ⟨y, hyα⟩ ≠ 0
hy : ⁅y, f⁆ = 0
P : ⋯.HasPrimitiveVectorWith y (-2)
⊢ False
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Set α
IsPreorder α r
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
⊢ s.WellFoundedOn fun a b => r a b ∧ ¬r b a
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
⊢ (∏ i ∈ s, f i).degrees ≤ ∑ i ∈ s, (f i).degrees
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
⊢ (p.append q).length = p.length + q.length
a b r : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a r → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b 0 → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a / b) 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
hc : c ≠ 0
⊢ a ≤ b / c ↔ a * c ≤ b
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
h : p.trailingDegree = ↑n
⊢ p.natTrailingDegree = n
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Transitive (Relation.ReflTransGen r)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocRing α
Fintype n
v : n → α
A : Matrix m n α
⊢ -A *ᵥ v = -(A *ᵥ v)
R : Type u_1
S : Type u_2
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
⊢ IsAddMonoidHom ⇑f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : P.RespectsIso
X Y Z : C
e : X ≅ Y
f : Y ⟶ Z
hf : P f
⊢ P (e.hom ≫ f)
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : r.gcd s = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : (r * s).gcd m = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = r * s * m
hrsz : r * s ≠ 0
h2b0 : b' ≠ 0
i : ℤ
hi' : ¬m = -i ^ 2
hi : m = i ^ 2
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace β
f : α → β
ν : MeasureTheory.Measure β
g : β →ₘ[ν] γ
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μ ν
⊢ (g.compQuasiMeasurePreserving f hf).toGerm = g.toGerm.compTendsto f ⋯
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
⊢ (J.isoToPlus P hP).inv = J.plusLift (𝟙 P) hP
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ p.factors.prod = FactorSet.prod ↑{⟨p, hp⟩}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
s : Set α
ho : Ioi a ⊆ s
hc : s ⊆ Ici a
h : a ∈ s
⊢ Ici a ⊆ s
m n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : (Fin 0 → α) → Prop
⊢ Exists P ↔ ∃ x, P x