ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / ((-o).oangle y (y + x)).cos = ‖y + x‖
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ ∃ Z g h, Triangle.mk f g h ∈ L.essImageDistTriang
n : Nat
⊢ 0 ≤ Int.negSucc n ↔ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : T.mor₁ = 0
⊢ CategoryTheory.Epi T.mor₃
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
x y : R
⊢ (algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) x = (algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) y ↔ x = y
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat
⊢ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.presheaf).map ⋯.hom.op ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩ = ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecBase ↑⟨x, ⋯⟩, ⋯⟩
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : b ∣ a
⊢ padicValNat p (a / b) = padicValNat p a - padicValNat p b
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1
⊢ a * b ≤ 1
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 < b
hn : n ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => (b * rexp x + c) / x ^ n) atTop atTop
a : Int
n : Nat
⊢ a.natAbs = n ↔ (a - ↑n) * (a + ↑n) = 0
E : Type u_6
SeminormedGroup E
x : E
⊢ edist x 1 = ↑‖x‖₊
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
⊢ ∃ T, T.Countable ∧ (∀ u ∈ T, IsOpen u) ∧ s ⊆ ⋃ u ∈ T, u ∧ ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
a : α
⊢ (ProbabilityTheory.condCDF ρ a).measure Set.univ = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
H₁ : S₁.LeftHomologyData
H₂ : S₂.LeftHomologyData
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₀ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g h₃ = 0
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃) H₁ H₂ = 0
R : Type u
ι : Type w
CommRing R
s : Finset ι
f : ι → R
hs : 0 < s.card
⊢ (∏ i ∈ s, (Polynomial.X - Polynomial.C (f i))).coeff (s.card - 1) = -∑ i ∈ s, f i
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
q : ℚ≥0
⊢ ↑↑q = ↑q
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
⊢ gauge s 0 = 0
I : Type u₁
J : Type u₂
e : I ≃ J
⊢ (CategoryTheory.Discrete.equivalence e).unitIso = CategoryTheory.Discrete.natIso fun i => CategoryTheory.eqToIso ⋯
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ ↑n * ⌊f 0⌋ ≤ ⌊(⇑f)^[n] 0⌋
α : Type u_1
G : Type u_5
SeminormedAddCommGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
SecondCountableTopology G
f : α → G
_m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ ↔ AEMeasurable f μ
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCones F
Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)
c : Cone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
this : c.π.app (j', k) = c.π.app (j, k) ≫ (F.map f).app k
⊢ c.π.app (j', k) = c.π.app (j, k) ≫ (F.map f).app k
b : ℝ
x : ℝ
⊢ Real.logb b |x| = Real.logb b x
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X Y : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
hY : Memℒp Y 2 ℙ
h : IndepFun X Y ℙ
⊢ (∫ (a : Ω), X a ^ 2 + Y a ^ 2 + 2 * (X a * Y a)) - (∫ (a : Ω), X a + Y a) ^ 2 = (((∫ (a : Ω), X a ^ 2) + ∫ (a : Ω), Y a ^ 2) + 2 * ∫ (a : Ω), X a * Y a) - ((∫ (a : Ω), X a) + ∫ (a : Ω), Y a) ^ 2
R : Type u
inst✝ : Ring R
M✝ : ModuleCat R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↥(LinearMap.ker f)
⊢ (⇑(kernelSubobject f).arrow ∘ ⇑(kernelSubobjectIso f ≪≫ kernelIsoKer f).inv) x = ↑x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
h : CategoryTheory.Limits.IsIndObject A
⊢ CategoryTheory.FinallySmall (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₁ : {w | w.IsReal}.Nonempty
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
⊢ ∃ x ∈ ⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ D ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Set.Icc (-↑C) ↑C), ↑(Polynomial.map (algebraMap ℤ A) f).roots.toFinset, ↑⟨K, hK₀⟩ = ℚ⟮x⟯
R : Type u
S : Type u_1
Ring R
Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
⊢ Polynomial.eval₂ f x p = Polynomial.eval₂ (f.comp (Subring.closure ↑p.coeffs).subtype) x p.restriction
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Ioi b ⊆ Set.Ici a
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
φ ψ : PowerSeries R
⊢ (PowerSeries.coeff R n) (φ * ψ) = ∑ p ∈ Finset.antidiagonal n, (PowerSeries.coeff R p.1) φ * (PowerSeries.coeff R p.2) ψ
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
p : α × β → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α × β) in l.curry m, p x) ↔ ∃ᶠ (x : α) in l, ∃ᶠ (y : β) in m, p (x, y)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
⊢ a / 2 ≤ a ↔ 0 ≤ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : SchwartzMap E F
k : ℕ
x₀ : E
⊢ ‖x₀‖ ^ k * ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k 0) f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x : α
hx : x ∈ s
ha : x ∉ s
h : insert x s ⊆ insert x t
⊢ x ∈ t
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
⊢ (W.baseChange B).Φ n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).Φ n)
m : ℕ
a : Fin m → ℕ
i : Fin m
⊢ a i < Nat.coprimes a i
R : Type u
Ring R
s t : Set R
⊢ Subring.closure (s ∪ t) = Subring.closure s ⊔ Subring.closure t
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Module.Free R M ↔ ∃ S, Nonempty (Basis (↑S) R M)
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x y : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x y) = (ghostComponent n) (g x y)
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
⊢ ∀ (x : Fin 2 × ℕ → ℤ), (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ k)) = (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ k))
R : Type u_1
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
I : Ideal R
f : M →ₗ[R] M₂
⊢ I • ⊤ ≤ Submodule.comap f (I • ⊤)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : Integrable f μ
g : α → β
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
⊢ Integrable (fun x => f x • g x) μ
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hs : Convex ℝ s
⊢ intrinsicInterior ℝ s ≠ ∅ → s ≠ ∅
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsPurelyInseparable F E
L : Type w
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsReduced L
f g : E →+* L
x : E
q : ℕ := ringExpChar F
n : ℕ
y : F
h : (algebraMap F E) y = x ^ q ^ n
heq : ((fun f => f.comp (algebraMap F E)) f) y = ((fun f => f.comp (algebraMap F E)) g) y
⊢ f x = g x
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
⊢ ↑⊤ = ⊤
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
⊢ edgeDensity r s₂ t₂ - edgeDensity r s₁ t₁ ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
α : Type u_1
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
this : card ({ a // a = 0 } ⊕ { a // ¬a = 0 }) = card α
⊢ card { a // a ≠ 0 } + 1 = card α
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
hb : b ≠ ⊥
hab : Disjoint a b
hc : a ⊔ b = c
⊢ (P.extend hb hab hc).parts = insert b P.parts
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ ClassGroup.mk (XYIdeal' h₁ * XYIdeal' h₂) = ClassGroup.mk (XYIdeal' ⋯)
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (μ : MeasureTheory.Measure α), ⇑μ.completion = ⇑μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
x✝ : IntegrableAtFilter f (cocompact X) μ ∧ LocallyIntegrable f μ
s : Set X
hsc : s ∈ cocompact X
hs : IntegrableOn f s μ
hloc : LocallyIntegrable f μ
⊢ Integrable f μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) (QuadraticMap.polar ⇑(Q' Q) (0, 1) ((LinearMap.inl R M R) m)) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
f : ↑s ≃o ↑t
x : α
hx : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ ↑(f ⟨x, ⋯⟩) ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
J : Type u_1
obj : J → AlgebraicGeometry.Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj (e₁ i)
⊢ ∀ (e₂_1 : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map (e₁ i)), (𝒰.copy J obj map e₁ e₂ e₂_1).J = J
x y z : ℝ
h : 0 ≤ x
h₁ : x ≤ y
h₂ : 0 ≤ z
⊢ x ^ z ≤ y ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
g : γ → β
hg : Function.Injective g
⊢ HasProd (fun x => f ↑x) a ↔ HasProd (f ∘ g) a
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
⊢ IsSimpleModule R M ↔ Nontrivial M ∧ ∀ (x : M), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R M x)
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G R
inst✝¹ : SMulCommClass G R R
inst✝ : IsScalarTower G R R
x : G
y z : R
x✝ : IsCoprime y z
a b : R
h : a * y + b * z = 1
⊢ x⁻¹ • a * x • y + b * z = 1
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f : P1 →ᵃ[k] P2
⊢ Function.Bijective ⇑f.linear ↔ Function.Bijective ⇑f
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
s : Set (CategoryTheory.Subgroupoid C)
c d : C
p : c ⟶ d
⊢ p ∈ (sInf s).arrows c d ↔ ∀ S ∈ s, p ∈ S.arrows c d
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget C).map f = ⇑f
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
i : F →+* K
x : F
h : F[X]
h_sep : h.Separable
h_root : eval x h = 0
h_splits : Splits i h
h_roots : ∀ y ∈ (map i h).roots, y = i x
h_ne_zero : h ≠ 0
⊢ h = C h.leadingCoeff * (X - C x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
hf : Differentiable 𝕜 f
c : F
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => c + f y
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
z : ℂ
hz : 1 ≤ z.re
h2 : 0 < √2
hz' : 1 ≤ abs z
hm₀ : 0 < max z.re |z.im|
⊢ √2 ≠ 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖f z‖ ≤ c
⊢ ∃ C, ∀ (z : E), ‖f z‖ ≤ C * ‖z‖
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
s : Submonoid M
⊢ ↑s.topologicalClosure = closure ↑s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₂
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Finite κ
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Finite κ'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq ι'
⊢ (toLin b c') ((toMatrix b' c') f * b'.toMatrix ⇑b) = (toLin b c') ((toMatrix b c') f)
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
s t : Set α
h : t ⊆ s
⊢ G.IsClique s → G.IsClique t
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SMul K (R i)
r : K
t : (i : ι) → Set (R i)
x : (i : ι) → R i
h : x ∈ univ.pi (r • t)
⊢ x ∈ r • univ.pi t
R : Type u
Semiring R
M : CategoryTheory.Mat R
i j : ↑M
⊢ 𝟙 M i j = if i = j then 1 else 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖ε x‖ ≤ c * ‖1‖
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, (fun n => 0 < 1 + ε n) x
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
x : G
hx : x ∈ center G
y : G
⊢ y ∈ H ↔ x * y * x⁻¹ ∈ H
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇔ (a ⇨ b) = a ⊓ b
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set α
⊢ AntilipschitzWith K (s.restrict f)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z✝ : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z x : E
hko : r / ‖k‖ ≤ ‖x‖
hxo : ‖x‖ < r
⊢ ‖f x‖ ≤ c * (‖k‖ / r) * ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a✝ b c d a : K
h : a ≠ 0
⊢ -a / a = -1
a : Cardinal.{u}
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n ≤ Cardinal.lift.{v, u} a ↔ OfNat.ofNat n ≤ a
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : PProd α β → Prop
⊢ (∃ x, p x) ↔ ∃ a b, p ⟨a, b⟩
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
σ : α → Type u_4
a : α
s : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (σ a)
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (σ a)
⊢ ((↑l₁).sigma fun a => ↑(l₂ a)) = ↑(l₁.sigma l₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
k : β
b : α → β
⊢ (image b univ).erase k ⊆ image (fun i => b ↑i) univ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : a - c < b
⊢ a - c ≤ b ∧ a ≠ b + c
ι : Sort u_1
M : Type u_2
AddZeroClass M
S : ι → AddSubmonoid Mᵃᵒᵖ
⊢ (iSup S).unop = ⨆ i, (S i).unop
X Y : FintypeCat
f : X ⟶ Y
⊢ fintypeToFinBoolAlgOp.map f =
  Quiver.Hom.op
    (let __src := { toFun := ⇑(CompleteLatticeHom.setPreimage f), map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ };
    { toFun := ⇑(CompleteLatticeHom.setPreimage f), map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ })
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ✝ : μ.FiniteAtFilter l
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
C : ℝ
hC✝ : ∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
s : Set α
hsl : s ∈ l
hsm : MeasurableSet s
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hμ : μ s < ⊤
hC : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
⊢ IntegrableAtFilter f l μ
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f : CategoryTheory.Over X
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.Over f.left} (α : X_1 ⟶ Y),
  f.iteratedSliceBackward.map α = CategoryTheory.Over.homMk (CategoryTheory.Over.homMk α.left ⋯) ⋯
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
⊢ ⟨Associates.mk p, ⋯⟩ ∈ Associates.factors' a ↔ p ∣ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
S : Set (Set E)
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
hS : ∀ s ∈ S, StrictConvex 𝕜 s
⊢ StrictConvex 𝕜 (⋃₀ S)
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
⊢ s.einfsep = ⨅ d, Function.uncurry edist ↑d
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
F : Type u_4
NormedLatticeAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Submartingale (c • f) ℱ μ
V : Type u
Quiver V
a b : V
p : Quiver.Path a b
hzero : p.length = 0
⊢ a = b
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
⊢ ω ∣ (e.oadd n a).repr → e.repr ≠ 0 ∧ ω ∣ a.repr
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
a : M₀
⊢ a * ↑u = 0 ↔ a = 0
w : Nat
x : BitVec w
⊢ x + ~~~x = BitVec.allOnes w
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'
⊢ SemiconjBy a (x / x') (y / y')
x✝ y : ℂ
x : ℝ
⊢ (starRingEnd ℂ) (cexp ↑x) = cexp ↑x
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
S₁ S₂ : AffineSubspace k P₁
Nonempty ↥S₁
Nonempty ↥S₂
h : S₁ ≤ S₂
⊢ (AffineSubspace.inclusion h).linear = Submodule.inclusion ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
g : Y ⟶ X
hom_inv_id : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
⊢ CategoryTheory.inv f = g
α : Type u
OrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ 0 ≤ a → -a ≤ 0
p n k b : ℕ
hp : Prime p
hnb : log p (n + k) < b
h₁ : multiplicity p ((n + k).choose k) + multiplicity p (k ! * n !) = ↑(filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + n % p ^ i) (Ico 1 b)).card + multiplicity p (k ! * n !)
⊢ multiplicity p ((n + k).choose k) = ↑(filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + n % p ^ i) (Ico 1 b)).card
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
f : R[X]
s : R
⊢ eval (s - r) ((taylor r) f) = eval s f
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p q : Polynomial R
h0 : p * q ≠ 0
⊢ (p * q).primPart = p.primPart * q.primPart
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective (Polynomial.map f)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : _root_.Finite K
inst✝ : FiniteDimensional K V
val✝ : Fintype K
⊢ _root_.Finite V
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderClosedTopology α
SemilatticeInf β
f : β → α
a : α
hf : Antitone f
ha : Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 a)
b : β
⊢ f b ≤ a
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x : α
⊢ ↑(Metric.infNndist x s) = Metric.infDist x s
x : ↑unitInterval
⊢ 0 ≤ ↑x
α : Type u_1
r : Rel α α
r.InfiniteDimensional
n : ℕ
⊢ (RelSeries.withLength r n).length = n
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
h : e.IsImage s t
⊢ Set.MapsTo (↑e) (e.source ∩ s) (e.target ∩ t)
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ 0 < z ↔ ∃ x > 0, ↑x = z
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ |a| ≤ |b|
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
h' : Epi f.base
⊢ IsIso f
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
⊢ 0 < P.pairing i j ↔ 0 < P.pairing j i
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h2 : orderOf σ = Fintype.card α
⊢ 1 < 2
R : Type u
X : Type v
CommRing R
a b : lib R X
h : FreeLieAlgebra.Rel R X a b
⊢ FreeLieAlgebra.Rel R X (-a) (-b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
⊢ (adj.homEquiv X' Y).symm (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) ((adj.homEquiv X Y).symm g)
R : Type u_1
CommRing R
n m : ℕ
hpos : 0 < n
hm : m ∣ n
hdiff : m ≠ n
⊢ Polynomial.X ^ m - 1 ∣ ∏ i ∈ n.properDivisors, Polynomial.cyclotomic i R
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α
hσ2 : (↑σ).IsCycle
hσ3 : (↑σ).support = ⊤
hσ4 : Subgroup.closure {↑σ, τ} = ⊤
⊢ H = ⊤
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
hpq : q < p
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x ^ p / x ^ q) Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
hs : Summable fun x => ‖f x‖
⊢ AEStronglyMeasurable f Measure.count
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ s : Set X
hs₁ : IsClosed s
hs₂ : IsCompact s
t : Set X
ht₁ : IsClosed t
ht₂ : IsCompact t
⊢ ∃ k, (IsClosed k ∧ IsCompact k) ∧ kᶜ ⊆ sᶜ ∧ kᶜ ⊆ tᶜ