ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
⊢ MulOpposite.op (∑ x ∈ s, f x) = ∑ x ∈ s, MulOpposite.op (f x)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
c d : ℝ≥0
hcd : c < d
s : Set α
hc : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ ↑c * μ a
hd : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ↑d * μ a ≤ ρ a
⊢ μ s = 0
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : a.primeFactorsList ~ b.primeFactorsList
⊢ a = b
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
⊢ ⇑(SchwartzMap.coeHom E F) = DFunLike.coe
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
f_int : Integrable f μ
⊢ Tendsto (fun n => Integrable.toL1 (fs n) ⋯) atTop (𝓝 (Integrable.toL1 f f_int))
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
e : G ≃+c[a, b] H
⊢ (AddConstEquiv.refl a).trans e = e
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z : ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤ ‖w‖ ^ n * ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
hn : n ≠ 0
⊢ ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ HasDerivAt Neg.neg (-1) x
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
b : B
⊢ Algebra.TensorProduct.includeRight b = 1 ⊗ₜ[R] b
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a b : K
⊢ (-a)⁻¹ = -a⁻¹
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
i : ℕ
⊢ C.augmentTruncate.inv.f (i + 1) = 𝟙 (C.X (i + 1))
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ ⇑(LinearMap.quotientInfToSupQuotient p p') = ⇑(LinearMap.quotientInfEquivSupQuotient p p')
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : Memℒp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
⊢ ∀ ⦃f g : Ω → E⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Memℒp f 1 μ → Memℒp g 1 μ → StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), f x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, f x ∂μ → (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, g x ∂μ → (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), (f + g) x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, (f + g) x ∂μ
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
s : ↥M
⊢ mk' S 0 s = 0
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace β
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
OrderTopology β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r s : β
⊢ StrictConvex 𝕜 (Set.Ico r s)
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
L' : Language
φ : L →ᴸ L'
h : φ.Injective
⊢ (φ.onTheory T).IsSatisfiable ↔ T.IsSatisfiable
M : ℝ
hM : 1 < M
⊢ Tendsto id (Filter.map ofReal' (𝓝[<] 1)) (𝓝[stolzSet M] 1)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z₁
g₂ : Y₂ ⟶ Z₂
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), tensorHom ℬ (f₁ ≫ g₁) (f₂ ≫ g₂) ≫ (ℬ Z₁ Z₂).cone.π.app j = (tensorHom ℬ f₁ f₂ ≫ tensorHom ℬ g₁ g₂) ≫ (ℬ Z₁ Z₂).cone.π.app j
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : ⇑κ =ᶠ[ae μ] ⇑η
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
this : (fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ] fun a => (η a) (Prod.mk a ⁻¹' s)
⊢ (μ ⊗ₘ κ) s = (μ ⊗ₘ η) s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
a b : R ⟶ X✝
X Y Z A : C
g : Y ⟶ Z
a₁ a₂ : A ⟶ Y
h : IsKernelPair g a₁ a₂
f : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback f (a₁ ≫ g)
s : PullbackCone (pullback.fst f g) (pullback.fst f g)
⊢ (fun s => pullback.lift (s.fst ≫ pullback.fst f g) (h.lift (s.fst ≫ pullback.snd f g) (s.snd ≫ pullback.snd f g) ⋯) ⋯) s ≫ (PullbackCone.mk (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₁ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₂ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) ⋯).snd = s.snd
w v i : Nat
h : w = v
x : BitVec w
⊢ (BitVec.cast h x).getLsb i = x.getLsb i
x : ℝ
⊢ Real.cos (x + Real.pi / 2) = -Real.sin x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s (⇑OrderDual.toDual ∘ f)
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
h : ↥K
⊢ h ∈ H.addSubgroupOf K ↔ ↑h ∈ H
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y) → P124 a
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
ihxyn : IH1 (-x) (-y)
ihyxn : IH1 (-y) (-x)
⊢ ∀ (j : (x * y).RightMoves), ((x * y).moveRight j).Numeric
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
CompleteSpace F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
⊢ Measurable fun x => derivWithin f (Set.Ioi x) x
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E
X : Ω → E
h : ¬MeasureTheory.pdf X ℙ μ =ᵐ[μ] 0
⊢ AEMeasurable X ℙ
c : ℝ
a : ℝ≥0∞
h : 0 ≤ c
⊢ (ENNReal.ofReal c * a).toReal = c * a.toReal
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Invertible ↑p
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (xInTermsOfW p R n) = 0
p k : ℕ
p_large : 0 < p ^ 2
⊢ log p 0 ≤ 1
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ) = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * (z / τ) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * (-1 / τ))
α : Type u
l : List α
h : l ≠ []
⊢ l.dropLast ++ [l.getLast h] = l
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hlead : f.eraseLead ≠ 0
hnext : f.nextCoeff = 0
⊢ 2 ≤ f.natDegree
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x y : L
k : ℕ
hx : x ∈ ⊤.lcs L k
hy : y ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥
⊢ ((LieModule.traceForm R L M) x) y = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
f : X → X
hf : ContinuousAt f x
hx : f x = x
n : ℕ
⊢ ContinuousAt f^[n] x
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f
x : X
hx : x ∈ s
⊢ sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
y : Set β
⊢ minimals r (⇑f ⁻¹' y) = ⇑f ⁻¹' minimals s (y ∩ Set.range ⇑f)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Opens ↑↑Z.toPresheafedSpace
⊢ (pullbackRestrictIsoRestrict (f ≫ g) U).inv ≫ (pullbackRightPullbackFstIso g (Scheme.Opens.ι U) f).inv ≫ pullback.snd f (pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U)) ≫ pullback.snd g (Scheme.Opens.ι U) = ((pullbackRestrictIsoRestrict f (g ⁻¹ᵁ U)).inv ≫ pullback.snd f (g ⁻¹ᵁ U).ι) ≫ (pullbackRestrictIsoRestrict g U).inv ≫ pullback.snd g (Scheme.Opens.ι U)
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
c x : G
⊢ (IsometryEquiv.mulRight c) x = x * c
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
m s : σ →₀ ℕ
r : R
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.coeff (s + m) ((MvPolynomial.monomial s) r * p) = r * MvPolynomial.coeff m p
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
T2Space Y
SequentialSpace Y
⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ ∀ ⦃K : Set Y⦄, IsCompact K → IsCompact (f ⁻¹' K)
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ (ndinsert a s).lcm = GCDMonoid.lcm a s.lcm
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
dir_lt : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) < vectorSpan k (Set.range Subtype.val)
finrank_lt : finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1 < finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1
⊢ s.card < t.card
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
ho : o ≠ 0
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
b : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi b < o.nfpBFamily f a) ↔ b < o.nfpBFamily f a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : C(α, β)
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ ⊤ ∆ a = ￢a
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
h : v ≠ w
⊢ (Set.univ.toFinset \ {v, w}.toFinset).card = Fintype.card V - 2
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
y : ℝ≥0∞
hy : 1 < y
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, x ^ (1 / ↑n) ≤ y
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
x : α
y : β
⊢ h.symm y = x ↔ y = h x
n : ℕ
e : Equiv.Perm (Fin n)
p : Fin (n + 1)
x : Fin n
⊢ (Equiv.Perm.decomposeFin.symm (p, e)) x.succ = (Equiv.swap 0 p) (e x).succ
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s
⊢ s.esymm (card s - k) = (∑ j ∈ Finset.range (card s + 1), C (s.esymm j) * X ^ (card s - j)).coeff k
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b r : ℝ
ha : 0 ≤ a
hr : 0 < r
⊢ Set.Ioo a b • Metric.sphere 0 r = Metric.ball 0 (b * r) \ Metric.closedBall 0 (a * r)
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hνs : ν s ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.weightedSMul (μ + ν) s = MeasureTheory.weightedSMul μ s + MeasureTheory.weightedSMul ν s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T : Set (Set X)
T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t
T_count : T.Countable
T_int : t = ⋂₀ T
T_nonempty : T.Nonempty
g : ℕ → ↑T
g_surj : Surjective g
g' : ℕ → Set X
g'_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (g' n)
clt_sub_g' : ∀ (n : ℕ), t ⊆ g' n
clg'_sub_g : ∀ (n : ℕ), closure (g' n) ⊆ ↑(g n)
⊢ HasSeparatingCover s t
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
z : β
⊢ UpperSemicontinuous fun _x => z
X : Type u
ι : Sort w
x : X
t : Set X
TopologicalSpace X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : (𝓝 x).HasBasis p s
⊢ x ∈ closure t ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ y ∈ t, y ∈ s i
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
MulOneClass G
n : ℕ
⊢ ↑n = MonoidAlgebra.single 1 ↑n
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1
⊢ False
s n : Nat
⊢ List.range.loop s (List.range' s n) = List.range' 0 (n + s)
α : Type u_1
CommMonoid α
a : α
ha : IsSquare a
⊢ ¬Irreducible a
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
hpq : p ≠ q
⊢ legendreSym q ↑p * legendreSym p ↑q = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2))
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
SeminormedAddCommGroup V₃
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
hg : Isometry ⇑g
hf : Isometry ⇑f
⊢ Isometry ⇑(g.comp f)
α : Type u
Monoid α
⊢ Function.Surjective ConjClasses.mk
p x : ℝ
⊢ {y | ↑y = ↑x} = {x}
n k : ℕ
h : k ≤ n
aux₁ : (fun a => a.1 ≤ k) = (fun a => a.2 ≤ k) ∘ ⇑(Equiv.prodComm ℕ ℕ).symm
⊢ filter (fun a => a.1 ≤ k) (antidiagonal n) = map ((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := fun x => x + (n - k), inj' := ⋯ }) (antidiagonal k)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f₁ i).NeBot
h : pi f₁ = pi f₂
⊢ f₁ = f₂
n : ℕ
⊢ Squarefree n ↔ ∀ (x : ℕ), Nat.Prime x → ¬x * x ∣ n
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α →ₘ[μ] β
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (↑f) μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.span f g) F
s : CategoryTheory.IsPushout f g h i
⊢ CategoryTheory.IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
x : PartENat
n : ℕ
h : x < ↑n
⊢ x + 1 ≤ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ μ' : MeasureTheory.Measure α
ν ν' : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite ν'
h1 : μ ≪ μ'
h2 : ν ≪ ν'
⊢ μ.prod ν ≪ μ'.prod ν'
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x + d) = ∫ (x : ℝ) in c * a + d..c * b + d, f x
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
g : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
⊢ g.comp 0 = 0
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
r : R
x p q : M ⊗[R] N
ih1 : (liftAux f) (r • p) = r • (liftAux f) p
ih2 : (liftAux f) (r • q) = r • (liftAux f) q
⊢ (liftAux f) (r • (p + q)) = r • (liftAux f) (p + q)
p : Prop
h : Decidable p
b : Bool
⊢ (if p then b else decide p) = (decide p && b)
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S x
⊢ f' ≤ slope f x y
α : Type u_1
Preorder α
a : α
NoMinOrder α
⊢ ¬BddBelow (Set.Iic a)
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
⊢ Monotone b.flag
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
g : ℕ → A⁰_ f := fun j => (m + m).choose j • if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
j : ℕ
hj : j ∈ range (m + m + 1)
h2 : ¬m + m < j
h1 : ¬j ≤ m
⊢ Localization.mk ((m + m).choose j • ((proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j))) ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = (m + m).choose j • HomogeneousLocalization.val (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ })
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
⊢ ∀ b_1 ∈ Finset.univ, b_1 ≠ i → ∑ x : κ, ((Finsupp.single b_1 1) i * (Finsupp.single x 1) j) • b.coord b_1 ⊗ₜ[R] c.coord x = 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this✝ : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)
this : HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..x, f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
a✝ : ℝ
ht' : a✝ ∈ Icc v.tMin v.tMax
⊢ ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑(v.proj a✝), f.vComp τ = ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..a✝, f.vComp τ
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
f : α → E
g : E → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
hgi : MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ
⊢ f =ᵐ[μ] Function.const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
δ : Type u_7
inst✝² : MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
μa : Measure α
μc : Measure γ
inst✝¹ : SFinite μa
inst✝ : SFinite μc
hf : Measurable f
hg : Measurable g
i : ℕ × ℕ
⊢ (map f (sFiniteSeq μa i.1)).prod (map g (sFiniteSeq μc i.2)) = map (Prod.map f g) ((sFiniteSeq μa i.1).prod (sFiniteSeq μc i.2))
X Y : AddCommMonCat
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : ↑X), f x = g x
⊢ f = g
M : Type u_2
Monoid M
g h : M
H : IsConj g h
Hg : g ∈ Set.center M
⊢ g = h
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
a : 𝕜
⊢ deriv (fun x => f (-x)) a = -deriv f (-a)
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : 0 ≤ z.im
⊢ -(π / 2) ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.im
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
⊢ ∀ (a : Sym2 α), f.sym2Map a = Sym2.map (⇑f) a
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w₁ w₂ : ReducedWord G A B
hprod : ReducedWord.prod φ w₁ = ReducedWord.prod φ w₂
d : TransversalPair G A B
w₁' : NormalWord d
hw₁'1 : ReducedWord.prod φ w₁'.toReducedWord = ReducedWord.prod φ w₁
hw₁'2 : List.map Prod.fst w₁'.toList = List.map Prod.fst w₁.toList
hw₁'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁'.head⁻¹ * w₁.head ∈ toSubgroup A B (-u)
⊢ List.map Prod.fst w₁.toList = List.map Prod.fst w₂.toList ∧ ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁.head⁻¹ * w₂.head ∈ toSubgroup A B (-u)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Function.Surjective (Set.preimage f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
ι : Sort u_4
Nonempty ι
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iInf g)
Mf : Monotone f
bdd : BddBelow (Set.range g) := by bddDefault
⊢ f (⨅ i, g i) = ⨅ i, f (g i)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ Seminorm.IsBounded p (fun i => (Finset.Iic i).sup p) LinearMap.id
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
f : M → M'
⊢ Smooth (I.transDiffeomorph e) I' f ↔ Smooth I I' f
α : Type u_1
x : α
s : Set α
⊢ s ⩿ insert x s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompactSpace Y
W : Clopens (X × Y)
a : X × Y
h : a ∈ W
⊢ ∃ U, a.1 ∈ U ∧ ∃ V, a.2 ∈ V ∧ U ×ˢ V ≤ W
α : Type u_2
DecidableEq α
Monoid α
s : List (Finset α)
⊢ ↑s.prod = (List.map Finset.toSet s).prod
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
h : (Filter.map₂ m f g).NeBot
⊢ f.NeBot
σ : Type u
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulApplicative G
α β γ : Type u
f : β → F γ
g : α → G β
x : σ ⊕ α
⊢ Sum.traverse (Functor.Comp.mk ∘ (fun x => f <$> x) ∘ g) x = Functor.Comp.mk (Sum.traverse f <$> Sum.traverse g x)
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₂ m₂' : M₂
⊢ ((LinearMap.compl₁₂ ((associatedHom R) Q₂) ↑(TensorProduct.lid R M₂) ↑(TensorProduct.lid R M₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂') = (((associated QuadraticMap.sq).tmul (associated Q₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂')
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hu : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}, y - u ∈ U
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set M₂
hV : V ∈ 𝓝 0
hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U
SV : Set M₁ × Set M₂ := (closedBall 0 1, -V)
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ ⇑u '' closedBall 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ t, y +ᵥ U
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B
⊢ A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = f.hom ▷ A.X ▷ M.X ≫ ((B.X ◁ f.hom) ▷ M.X ≫ B.mul ▷ M.X) ≫ M.act
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
h : ¬FiniteDimensional K V
⊢ finrank K (Module.Dual K V) = finrank K V
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
⊢ (∃ M, (∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ I = sInf M) → I.jacobson = I