ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
⊢ (b.smulTower c).repr (b (i, j).1 • c (i, j).2) = single (i, j) 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
j : Fin (Composition.single n hn).length
i : ℕ
hi1 : i < (Composition.single n hn).blocksFun j
hi2 : i < n
⊢ ((Composition.single n hn).embedding j) ⟨i, hi1⟩ = ((Composition.single n hn).embedding 0) ⟨i, hi2⟩
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Nontrivial R
x : S
hx : IsIntegral R x
f : R[X]
⊢ (aeval x) f ∈ Submodule.span R (Set.range fun i => x ^ ↑i)
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
hn : n ≠ 0
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
⊢ (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, 0), f x) = 0
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
Field k
AddCommGroup E
Module k E
AddTorsor E PE
f : k → PE
a b r : k
⊢ (AffineMap.lineMap (slope f ((AffineMap.lineMap a b) r) b) (slope f a ((AffineMap.lineMap a b) r))) r = slope f a b
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x y : K
h : y * (algebraMap A K) ↑(den A x) = (algebraMap A K) (num A x)
⊢ x = y
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C
⊢ (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ ((M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
K : Type u_1
k : ℕ
Field K
M : Matrix n n K
⊢ matPolyEquiv ((↑(Polynomial.expand K k)).mapMatrix (M ^ k).charmatrix) = Polynomial.X ^ k - Polynomial.C (M ^ k)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = (μ s).toReal
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
p : PrimeSpectrum R
hfp : f ∉ p.asIdeal
⊢ p ∉ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I
a b c : ℕ
hac : a.Coprime c
b_dvd_c : b ∣ c
⊢ (a * b).gcd c = b
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
x : K
h : K[X]
h_splits : Splits i h
h_roots : (map i h).roots = {i x}
⊢ C (i h.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) {i x}).prod = map i (C h.leadingCoeff * (X - C x))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
h : (fun y => p fun x => y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)
y : E
⊢ (p fun x => y) = 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
s : Set α
hs : AnalyticSet s
hsc : AnalyticSet sᶜ
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : ℝ≥0∞
h : p ≤ 1
b : Bool
⊢ (bernoulli p h).support = {b | bif b then p ≠ 0 else p ≠ 1}
x : ℂ
⊢ Complex.sin (3 * x) = 3 * Complex.sin x - 4 * Complex.sin x ^ 3
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalRing R
J : Ideal R
h : IsAdic J
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ IsAdic (J ^ n)
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A B : GL n R
h : ∀ (i j : n), ↑A i j = ↑B i j
⊢ A = B
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIciTopology α
Zero α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactSupport f
⊢ BddAbove (Set.range f)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ ↥s.direction = 2
s₁ s₂ : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ p : P
hs₁ : s₁.center ∈ s
hs₂ : s₂.center ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
hs : s₁ ≠ s₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁s₁ : p₁ ∈ s₁
hp₂s₁ : p₂ ∈ s₁
hps₁ : p ∈ s₁
hp₁s₂ : p₁ ∈ s₂
hp₂s₂ : p₂ ∈ s₂
hps₂ : p ∈ s₂
⊢ p = p₁ ∨ p = p₂
x y y₁ y₂ : PGame
hx✝ : x.Numeric
hy✝ : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hy : y₁ < y₂
x₁ x₂ : PGame
ih : ∀ (y : PGame × PGame), Prod.GameAdd IsOption IsOption y (x₁, x₂) → y.1.Numeric → y.2.Numeric → y.1 < y.2 → P3 y.1 y.2 y₁ y₂
hx₁ : (x₁, x₂).1.Numeric
hx₂ : (x₁, x₂).2.Numeric
hx : (x₁, x₂).1 < (x₁, x₂).2
i : (x₁, x₂).2.LeftMoves
⊢ IH3 (x₁, x₂).1 ((x₁, x₂).2.moveLeft i) (x₁, x₂).2 y₁ y₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
c : CategoryTheory.Limits.Cone (TopCat.Presheaf.SheafConditionEqualizerProducts.diagram F U)
⊢ ((TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquivInverse F U).obj c).pt = c.pt
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
⊢ ∀ x ∈ {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}, 1 - ((innerSL ℝ) v) x ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
h : Nonempty α
⊢ Function.invFunOn f s '' (f '' s) ⊆ s
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
⊢ (matrixToStdBasis K).det = ∏ _k : { w // w.IsComplex }, (2⁻¹ • !![1, 1; -I, I]).det
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
r : R
x : LocalizedModule S M
⊢ r • IsLocalizedModule.fromLocalizedModule' S f x = IsLocalizedModule.fromLocalizedModule' S f (r • x)
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalAddGroup G
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
L : E →SL[σ] F
this : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G
⊢ Continuous { toFun := fun f => f.comp L, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝² : Group N
P : Type u_6
inst✝¹ : Group P
η : Type u_7
f : η → Type u_8
inst✝ : (i : η) → Group (f i)
p : (i : η) → f i
hp : ∀ i ∈ univ, p i = 1
j : η
⊢ p j = 1 j
r : ℝ≥0
⊢ Measurable (ProbabilityTheory.poissonPMFReal r)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]
Y_sq : (mk W) Y ^ 2 = (mk W) (C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆) - C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y)
⊢ (mk W) (C p) * (1 * (mk W) Y) + (mk W) (C q) * ((mk W) (C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) - (mk W) (C (C W.a₁ * X + C W.a₃)) * (mk W) Y) = (mk W) (C q) * ((mk W) (C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) * 1) + ((mk W) (C p) - (mk W) (C q) * (mk W) (C (C W.a₁ * X + C W.a₃))) * (mk W) Y
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x
fy₁ : ↥(map f I₁) := ⟨f y₁, ⋯⟩
⊢ ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)
R : Type u_1
Semiring R
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
self : CategoryTheory.MonoidalLinear R C
r : R
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
X : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (r • f) X = r • CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
hf : Pairwise fun i j => ⟪f i, f j⟫_𝕜 = 0
⊢ gramSchmidt 𝕜 f = f
α : Type u_3
β : Type u_4
DivisionCommMonoid β
f : α → β
s : Finset α
n : ℤ
⊢ ∏ a ∈ s, f a ^ n = (∏ a ∈ s, f a) ^ n
R : Type u
S✝ : Type v
K : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
f✝ : R[X]
inst✝³ : CommRing S✝
i : R →+* S✝
a : S✝
h : eval₂ i a f✝ = 0
inst✝² : Algebra R S✝
hfx : (aeval a) f✝ = 0
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : R
f g : AdjoinRoot (C r * X - 1) →ₐ[R] S
⊢ (algebraMap R S) r * f (root (C r * X - 1)) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset α
t : α → Finset β
⊢ (s.biUnion t).val = (s.val.bind fun a => (t a).val).dedup
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : ℤ → G
p : Multipliable f
⊢ Injective Nat.cast
α : Type u_2
LE α
a : α
⊢ WithTop.toDualBotEquiv ↑(OrderDual.toDual a) = OrderDual.toDual ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f₁ f₂ : α → β
⊢ s.restrict f₁ = s.restrict f₂ ↔ Set.EqOn f₁ f₂ s
a : Ordinal.{u_1}
⊢ ((ord ∘ aleph) a).card.ord = (ord ∘ aleph) a
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius
this : ∀ᶠ (h : 𝔸) in 𝓝 0, h ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
a✝ : 𝔸
hh : a✝ ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ exp 𝕂 x * (exp 𝕂 a✝ - 1 - a✝) = exp 𝕂 x * exp 𝕂 a✝ - exp 𝕂 x - exp 𝕂 x * a✝
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat (r * s) - nthHomSeq f_compat r * nthHomSeq f_compat s) j) < ε
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
ContinuousAdd M₂
ι : Type u_9
t : Finset ι
f : ι → M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑(∑ d ∈ t, f d) = ∑ d ∈ t, ⇑(f d)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hR : R ≠ 0
hy' : inversion c R y ≠ c
⊢ dist (inversion c R x) (inversion c R (inversion c R y)) * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : M
hab : a ≤ b
i : ℕ
⊢ i • a ≤ i • b
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : LocallyConstant X (Fin 2)
h : ⇑f ⁻¹' {0} = ⇑g ⁻¹' {0}
⊢ f = g
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F✝
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝ : SecondCountableTopology F✝
f : E → F✝
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F✝
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F✝) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F✝), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : ⋃ x ∈ T, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x)) = ⋃ x, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x))
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → ↑T → Set E := fun n z => {x | x ∈ s ∧ ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n), ‖f y - f x - (f' ↑↑z) (y - x)‖ ≤ ↑(r (f' ↑↑z)) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z
closure_M_subset : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T), s ∩ closure (M n z) ⊆ M n z
d : ℕ → E
hd : DenseRange d
K : ℕ → ↑T → ℕ → Set E := fun n z p => closure (M n z) ∩ closedBall (d p) (u n / 3)
K_approx : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T) (p : ℕ), ApproximatesLinearOn f (f' ↑↑z) (s ∩ K n z p) (r (f' ↑↑z))
K_closed : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T) (p : ℕ), IsClosed (K n z p)
F : ℕ → ℕ × ↑T × ℕ
hF : Function.Surjective F
x : E
xs : x ∈ s
n : ℕ
z : ↑T
hnz : x ∈ M n z
p : ℕ
hp : x ∈ closedBall (d p) (u n / 3)
⊢ x ∈ ⋃ n, (fun q => K (F q).1 (F q).2.1 (F q).2.2) n
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
CompactSpace X
l : Filter Y
y : X
f : Y → X
h : ∀ (x : X), MapClusterPt x l f → x = y
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 y)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∀ i ∈ primitiveRoots n R, X - C i ≠ 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
a✝ : Nontrivial R
⊢ (0 * X).reverse = reverse 0
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
r : Set (α × α)
s : Set β
f g : β → α
hf : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
hg : ∀ x ∈ s, ContinuousAt g x
hfg : EqOn f g s
hr : r ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t, IsOpen t ∧ s ⊆ t ∧ ∀ x ∈ t, (f x, g x) ∈ r
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedAddCommMonoid N
s : Finset ι
ι' : Type u_9
DecidableEq ι'
t : Finset ι'
g : ι → ι'
f : ι → N
h : ∀ y ∉ t, 0 ≤ ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => g x = y) s, f x
⊢ ∑ y ∈ t, ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => g x = y) s, f x ≤ ∑ x ∈ s, f x
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
t : Set α
h : (s ∩ Function.support f).Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i + ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s \ t), f i = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
n : ℕ
⊢ ∃ k, n = 2 * k ∨ n = 2 * k + 1
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
⊢ σ 𝕜 ((cfcHom ⋯) ((Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯)) (ContinuousMapZero.toContinuousMapHom f))) = Set.range ⇑f
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E ⊤)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
a : α
this : Tendsto (fun k => ‖↑(F k) a‖) l (𝓝 ‖f a‖)
⊢ ∀ (x : ι), ‖F x‖ ≤ C → ‖↑(F x) a‖ ≤ C
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ xn a1 (4 * n + j) + xn a1 (2 * n + j) ≡ xn a1 j + xn a1 (2 * n + j) [MOD xn a1 n]
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
M : Type u_5
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
ι : Type u_6
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f i) μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun a => ∏ i ∈ s, f i a) μ
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Φ 3 = Polynomial.X * W.Ψ₃ ^ 2 - W.preΨ₄ * W.Ψ₂Sq
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L₁ : CategoryTheory.Functor A T
R₁ : CategoryTheory.Functor B T
X Y : CategoryTheory.Comma L₁ R₁
l : X.left ≅ Y.left
r : X.right ≅ Y.right
h :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L₁.map l.hom) Y.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp X.hom (R₁.map r.hom) := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Comma.isoMk l r h).inv.left = l.inv
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
J : Type
inst✝² : Fintype J
f✝ : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f✝
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f g : J → C
h : (j : J) → f j ⟶ g j
j✝¹ j✝ : J
⊢ ι f j✝ ≫ map h ≫ π g j✝¹ = ι f j✝ ≫ (∑ j : J, π f j ≫ h j ≫ ι g j) ≫ π g j✝¹
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
⊢ iteratedDeriv (n + 1) f x = deriv (iteratedDeriv n f) x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
h : ∀ t ∈ s, IsIntegralCurveAt γ v t
⊢ IsIntegralCurveOn γ v s
f : C(ℝ, ℂ)
hf : ∀ (K : Compacts ℝ), Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
m : ℤ
⊢ fourierCoeff ⋯.lift m = 𝓕 ⇑f ↑m
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
⊢ count K v I = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (choose ⋯)).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
x : ↥U
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : ↑x ∈ V.carrier
iVU : V ⟶ U
f g : R
hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
s_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
h : R
hxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h
hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V
n : ℕ
hn : h ^ n * h ∈ Ideal.span {g}
⊢ ∃ f g i, ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen g ∧ const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map i.op) s
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
h : y ≠ 0
⊢ cons y s ≠ 0
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' Set.Ico b c = Set.Ico (b - a) (c - a)
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y✝ a x y b : G
⊢ b * a * x * b⁻¹ = b * y * a * b⁻¹ ↔ a * x = y * a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
inst✝ : f.NeBot
a : α
⊢ a \ limsup u f = liminf (fun b => a \ u b) f
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
Nonempty γ
⊢ Function.FactorsThrough g f ↔ ∃ e, g = e ∘ f
s : ℝ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
⊢ ∀ (m : ℕ), ¬s = -↑m
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Supermartingale f ℱ μ
hg : Supermartingale g ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ μ[f j|↑ℱ i] + μ[g j|↑ℱ i] ≤ᶠ[ae μ] (f + g) i
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R✝
inst✝¹³ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹² : Module R✝ A✝
inst✝¹¹ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Nontrivial S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
u : (Unitization S A)ˣ
hu : ↑u = ↑a
⊢ False
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hμ : μ ≠ 0
⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α), f x ∂μ) = (∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ) / μ univ
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ -(o.rotation ↑(π / 2)) x = (o.rotation ↑(-π / 2)) x
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ b - (b - a) ≤ a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
X : C ⥤ CommMon_ D
⊢ ∀ (X_1 : C),
  ((CategoryTheory.Monoidal.CommMonFunctorCategoryEquivalence.counitIso.inv.app X).app X_1).hom = 𝟙 (X.obj X_1).X
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : ChainComplex V ℕ
⊢ C.augmentTruncate.hom.f 0 = 𝟙 (C.X 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
a : α
⊢ ((κ.compProd η) a) Set.univ ≤ (κ a) Set.univ * ProbabilityTheory.IsFiniteKernel.bound η
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x : R[X]
y : W.CoordinateRing
⊢ (map W f) (x • y) = Polynomial.map f x • (map W f) y
φ : Sort u_1
p q : Set ℕ
f : Set ℕ → Set ℕ → φ
h : ∀ (p₁ p₂ q₁ q₂ : ℕ → Prop), ManyOneEquiv p₁ p₂ → ManyOneEquiv q₁ q₂ → f p₁ q₁ = f p₂ q₂
⊢ (ManyOneDegree.of p).liftOn₂ (ManyOneDegree.of q) f h = f p q
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
⊢ (e.restr (e.source ∩ s)).source = (e.restr s).source
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
rs : List R
h1 : IsSMulRegular M r
h2 : RingTheory.Sequence.IsRegular (QuotSMulTop r M) (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs)
⊢ RingTheory.Sequence.IsRegular M (r :: rs)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (_x : α), 0 ∂μ = 0
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : l₂.Nodup
⊢ l₁ ~ l₂ ↔ ∀ (a : α), a ∈ l₁ ↔ a ∈ l₂
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
φ : E → ℝ
x₀ : E
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_3
Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | ∀ (i : ι), f i x = f i x₀} x₀
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
α : Type u_1
CommRing α
a b k : α
h : k ∣ a - b
L : List ℕ
⊢ k ∣ Nat.ofDigits a L - Nat.ofDigits b L
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y
i : (forget SimplexCategory).obj y
⊢ Continuous fun a => ∑ j ∈ Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = i) Finset.univ, ↑a j
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ IsLowerSet ↑𝒜.shatterer
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s t : Finset β
⊢ s -ᵥ t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
x : Rˣ
y : R
h : ‖y - ↑x‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
⊢ ↑(x.ofNearby y h) = y