ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ) μ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ) μ
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
⊢ (fun t => ((lsmul ℝ ℝ) (f t)) (g (x - t))) ≤ fun t => ((lsmul ℝ ℝ) (f t)) (g' (x - t))
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
⊢ Disjoint (Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding.latticeBasis K))) (LinearMap.ker (commMap K))
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
B C : Finset α
n : ℕ
hAB : ∀ A' ⊆ ∅, (∅ * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * ∅.card
⊢ ↑(∅ * B ^ n).card ≤ (↑(∅ * B).card / ↑∅.card) ^ n * ↑∅.card
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
n d : ℕ
f : K⟦X⟧
H : Valued.v ((ofPowerSeries ℤ K) f) ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑d))
hnd : n < d
⊢ (PowerSeries.idealX K).valuation ((algebraMap K⟦X⟧ (LaurentSeries K)) f) ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑d))
A : Type u_2
CommRing A
TopologicalSpace A
TopologicalRing A
⊢ IsAdic ⊥ ↔ DiscreteTopology A
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
s t : Set Ω
S T : Set (Set Ω)
_m0 : MeasurableSpace Ω
hs : s ∈ S
ht : t ∈ T
hs_meas : MeasurableSet s
ht_meas : MeasurableSet t
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets S T κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSet s t κ μ
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : DecidableEq L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : IsDomain R
K' : Type u_4
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R K'
inst✝ : IsFractionRing R K'
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
⊢ (canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K').toMulEquiv (↑(canonicalEquiv R⁰ K (FractionRing R)) ↑I) = ↑(canonicalEquiv R⁰ K K') ↑I
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : α → ι
g : (i : ι) → Equiv.Perm { a // f a = i }
a : α
⊢ f (DomMulAct.stabilizerEquiv_invFun g a) = f a
α : Type u_2
Semiring α
a : α
ha : Even a
b : α
⊢ Even (b * a)
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ μ ≪ map (fun h => g / h) μ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
f : α → 𝕜
h : MeasureTheory.Integrable f μ
c : 𝕜
⊢ MeasureTheory.Integrable (f * fun x => c) μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
self : Bimod A B
⊢ self.X ◁ B.mul ≫ self.actRight = (α_ self.X B.X B.X).inv ≫ self.actRight ▷ B.X ≫ self.actRight
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N →ₗ[R] P
⊢ LinearMap.rTensor M (-f) = -LinearMap.rTensor M f
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
_hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
n m : ℕ
hdvd : p ^ m ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
hnm✝ : n ≤ m
hnm : n < m
h0m : 0 < m
_wf : m - 1 < m
hnm1 : n ≤ m - 1
K : Subgroup G
hK : Nat.card ↥K = p ^ (m - 1) ∧ H ≤ K
hdvd' : p ^ (m - 1 + 1) ∣ Nat.card G
K' : Subgroup G
hK' : Nat.card ↥K' = p ^ (m - 1 + 1) ∧ K ≤ K'
⊢ Nat.card ↥K' = p ^ m
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
⊢ (∀ (X : C) (p : X ⟶ X), p ≫ p = p → HasEqualizer (𝟙 X) p) ↔ ∀ (X : C) (p : X ⟶ X), p ≫ p = p → HasKernel p
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ Polynomial.Chebyshev.U R (-n - 1) = -Polynomial.Chebyshev.U R (n - 1)
a b c : ENNReal
⊢ a * b / c = a / c * b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
⊢ (reflection K)⁻¹ = reflection K
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
I J : Ideal A
⊢ I ∣ J ↔ J ≤ I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
hJ : CategoryTheory.Sheaf.Subcanonical J
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (hJ.yoneda.map f).val = CategoryTheory.yoneda.map f
K : Type u_1
Field K
A : Type u_2
NormedDivisionRing A
Nontrivial A
φ : K →+* A
x : K
⊢ (NumberField.place φ) x = ‖φ x‖
G : Type u_2
Group G
H : Subgroup G
b : { b // (fun x => x ∈ H.op) b }
⊢ ↑(H.equivOp.symm b) = MulOpposite.unop ↑b
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
G : Type u → Type u
Applicative G
LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → β
h : β → G γ
⊢ traverse (h ∘ g) = traverse h ∘ Functor.map g
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
⊢ Continuous fun r => (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
f : Module.End R M
i : ι
⊢ f (((Fintype.total R R) b) (Pi.single i 1)) = f (b i)
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
C : ℝ
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ∀ (i : α), C ≤ ↑(r i n)
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
TopologicalSpace β
k s : Set β
f : β → α
hk : IsCompact k
hks : k ⊆ s
hf : ContinuousOn f s
⊢ ∃ t, k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ Bornology.IsBounded (f '' (t ∩ s))
a b : Int
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
α : Type u_1
s : Set α
n : ℕ
⊢ Cardinal.mk ↑s = ↑n ↔ ∃ t, ↑t = s ∧ t.card = n
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : GL n R
⊢ ↑(Matrix.GeneralLinearGroup.toLinear A) = (↑A).mulVecLin
C✝ : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C✝
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
F : C✝ ⥤ D✝
A : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C✝
K✝ : GrothendieckTopology D✝
L : GrothendieckTopology A
G✝ : C✝ ⥤ D✝
hG : CompatiblePreserving K✝ G✝
ℱ✝ : SheafOfTypes K✝
Z✝ : C✝
T✝ : Presieve Z✝
x✝ : FamilyOfElements (G✝.op ⋙ ℱ✝.val) T✝
h : x✝.Compatible
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D
K : GrothendieckTopology D
G : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
e : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
c : Cone (cospan g₁ g₂ ⋙ G) := (Cones.postcompose (diagramIsoCospan (cospan g₁ g₂ ⋙ G)).inv).obj (PullbackCone.mk f₁ f₂ e)
c' : Cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G) := IsCofiltered.cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G)
eq₁ : f₁ = (c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app left).right) ≫ eqToHom ⋯
eq₂ : f₂ = (c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app right).right) ≫ eqToHom ⋯
⊢ ℱ.val.map ((c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app left).right) ≫ eqToHom ⋯).op (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map ((c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app right).right) ≫ eqToHom ⋯).op (x g₂ hg₂)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.Splitting
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct S.X₁ S.X₃
⊢ h.isoBinaryBiproduct.hom = CategoryTheory.Limits.biprod.lift h.r S.g
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
r C : ℝ≥0∞
hr : r < 1
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
⊢ ∑' (n : ℕ), C * r ^ n ≠ ⊤
x : SetTheory.PGame
⊢ 0 < -x ↔ x < 0
G : Type u
Group G
H : Grp
f : G →* ↑H
⊢ MonoidHom.comp (𝟙 H) f = f
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
⊢ (Classical.choose ⋯ - c) • x = 0
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
ι' : Type u_4
e : ι ≃ ι'
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ fundamentalDomain (b.reindex e) ↔ x✝ ∈ fundamentalDomain b
m : Type u_1
DecidableEq m
Fintype m
R : Type v
CommRing R
M N : Matrix m m R
⊢ (M * N).det = (N * M).det
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set α)
hS : S.Nonempty
t : Set β
⊢ ⋂₀ S ×ˢ t = ⋂ s ∈ S, s ×ˢ t
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Unit →₀ ℕ
n : ℕ
h : s () = n
⊢ coeff R n = MvPowerSeries.coeff R s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.IsPullback 0 0 CategoryTheory.Limits.biprod.inl CategoryTheory.Limits.biprod.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : PartialIso α β
a : α
h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f
this✝ : ∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), x < y
b : β
hb : (∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), x < b) ∧ ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), b < y
p1 : α
p2 : β
hp : (p1, p2) ∈ ↑f
this : p1 ≠ a
hr : p1 > a
⊢ cmp (p1, p2).1 a = cmp (p1, p2).2 b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
unmop : C
⊢ ((CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopBraidedFunctor C).obj unmop).unmop = unmop
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ
hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ
hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior sᶜ
H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
ε : ℕ → ℝ
hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n
hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)
n : ℕ
⊢ ((fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) ∘ ε) n ≤ 1 - ENNReal.ofReal (4⁻¹ ^ Fintype.card ι)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
h₁ : b.coeff 0 ≠ 0
h₂ : a = ↑p ^ m * b
⊢ ∃ m b, a = ↑p ^ m * ↑b
α : Type u_1
β : Type u_2
σ✝ : Type u_3
τ : Type u_4
T : TopologicalSpace α
σ : Type u_5
F : Ctop α σ
H : ∀ (a : α) (s : Set α), s ∈ 𝓝 a ↔ ∃ b, a ∈ F.f b ∧ F.f b ⊆ s
x : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ s ∈ 𝓝 x
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
φ : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
DecidableEq ι
Finite ι
⊢ ⨆ i, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis R φ i) = ⊤
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
A : Set X
h : derivedSet A ⊆ A
⊢ IsClosed A
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
m : ↥N
⊢ ↑⁅x, m⁆ = ⁅x, ↑m⁆
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
this : InnerProductSpace.Core 𝕜 E := InnerProductSpace.toCore
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ≤ √(re ⟪x, x⟫_𝕜) * √(re ⟪y, y⟫_𝕜)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ ⁅map f I₁, map f I₂⁆ ≤ map f ⁅I₁, I₂⁆
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.61158, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.61162, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁✝ S₂✝ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ φ.τ₂.unop ≫ S₁.f.unop = S₂.f.unop ≫ φ.τ₁.unop
x : ℝ
h1 : ∀ (y : ℝ), ↑(𝐞 y) = (fourier 1) ↑y
⊢ HasDerivAt (fun x => ↑(𝐞 x)) (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 x)) x
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : ¬1 < p
⊢ pNilradical R p ≤ nilradical R
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
U V : ↑X.affineOpens
s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)
hs' : ↑s' ⊆ s
e : Ideal.span ↑s' = ⊤
⊢ ∀ (i : ↑↑s'), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V ∩ ↑(X.basicOpen ↑i))
α : Type u_1
s : Set α
Star α
⊢ star sᶜ = (star s)ᶜ
n : ℕ
⊢ n.minFac = if 2 ∣ n then 2 else n.minFacAux 3
n : ℕ
i j : ZMod (2 * n)
⊢ QuaternionGroup.xa i * QuaternionGroup.a j = QuaternionGroup.xa (i + j)
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
x : R
⊢ Polynomial.eval x (p + q) = Polynomial.eval x p + Polynomial.eval x q
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g s : ι → Set X
hs : LocallyFinite s
hs' : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
x y : X
hy : y ∈ ⋂ i, ⋂ (_ : x ∉ s i), (s i)ᶜ
i : ι
hi : i ∈ {i | y ∈ s i}
⊢ i ∈ {i | x ∈ s i}
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
(i : ι) → Sub (α i)
∀ (i : ι), OrderedSub (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
⊢ (f - g) i = f i - g i
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ 0 ≤ ‖f‖
X : Type u
TopologicalSpace X
CompactSpace X
F : Ultrafilter X
⊢ ↑F ≤ 𝓝 F.lim
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
φ : R⟦X⟧
u : Rˣ
⊢ (constantCoeff R) (φ.invOfUnit u) = ↑u⁻¹
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
r : K[X]
hr : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) q * r
⊢ q ∣ p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.WellPowered C
A : C
s : Set (CategoryTheory.Subobject A)
j : ↑(⇑(equivShrink (CategoryTheory.Subobject A)) '' s)
⊢ (CategoryTheory.Subobject.wideCospan s).map (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape.Hom.term j) =
  ((equivShrink (CategoryTheory.Subobject A)).symm ↑j).arrow
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
U : X.Opens
⊢ Hom.app (inv f) U = X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ inv (Hom.app f (inv f ⁻¹ᵁ U))
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
⊢ x - 1 ∣ x ^ n - 1 ^ n
R : Type u_1
Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
⊢ Polynomial.trinomial k m n u v w =
  Polynomial.C u * Polynomial.X ^ k + Polynomial.C v * Polynomial.X ^ m + Polynomial.C w * Polynomial.X ^ n
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : MulZeroOneClass β
inst✝ : Nontrivial β
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
i : ι
⊢ ∀ t ∈ {s_1 | ∃ n, MeasurableSet s_1}, MeasurableSet t
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R ≃+* R'
j : S ≃+* S'
hc : (algebraMap R' S').comp i.toRingHom = j.toRingHom.comp (algebraMap R S)
r : R
x✝ : S
⊢ ↑j (r • x✝) = ↑i r • ↑j x✝
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ t✝ : WSeq α
h✝ : ∀ (n : ℕ), s✝.get? n ~ t✝.get? n
s t : WSeq α
h : (fun s t => ∀ (n : ℕ), s.get? n ~ t.get? n) s t
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s t => ∀ (n : ℕ), s.get? n ~ t.get? n) s.destruct t.destruct
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
c : Set (ShrinkingLemma.PartialRefinement u s)
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
ne : c.Nonempty
i : ι
v : ShrinkingLemma.PartialRefinement u s
hv : v ∈ c
hi : i ∈ v.carrier
⊢ (ShrinkingLemma.PartialRefinement.find c ne i).toFun i = v.toFun i
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₁ → R
hg : g 0 = 0
φ : MvPolynomial σ S₁
⊢ ∀ (a : σ →₀ ℕ), coeff a ((map f) (mapRange g hg φ)) = coeff a φ ↔ f (g (coeff a φ)) = coeff a φ
α : Type u_1
p : α → Prop
x : α
⊢ x ∈ [] → p x
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f) (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
l : ↑s →₀ R
hl : (Finsupp.total (↑s) R R Subtype.val) l = 1
⊢ ∑ i ∈ l.support, f (l i) * f ↑i = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
S : Type u_5
Monoid S
DistribMulAction S M
SMulCommClass R S M
SMulCommClass S A M
r : S
D : Derivation R A M
⊢ ⇑(r • D) = r • ⇑D
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ c ≤ a + -b ↔ c + b ≤ a
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
x : K
hx : IsIntegral A x
hI : IsUnit (FractionalIdeal.adjoinIntegral A⁰ x hx)
⊢ FractionalIdeal.adjoinIntegral A⁰ x hx = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
this : ∀ (b : β), (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) ≤ (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t)
ht : MeasurableSet t
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
⊢ ∃ δ, (∀ (i : ι), 0 < δ i) ∧ ∑' (i : ι), (fun i => ↑(w i)) i * ↑(δ i) < ε
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
this : (I * J).radical ≤ (I ⊓ J).radical
⊢ (I * J).radical ≤ I.radical ⊓ J.radical
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂ (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
w₃ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 3 4 ⋯ ⋯) app₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₃ (g.map' 3 4 ⋯ ⋯)
w₄ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 4 5 ⋯ ⋯) app₅ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₄ (g.map' 4 5 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₅ app₀ app₁ app₂ app₃ app₄ app₅ w₀ w₁ w₂ w₃ w₄).app 0 = app₀
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
s : ι → M
⊢ ∃ I, (LinearIndependent R fun (x : ↑I) => s ↑x) ∧ ∀ i ∉ I, ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ Submodule.span R (s '' I)
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
TopologicalSpace M'₁
AddCommMonoid M'₁
Module R₁ M₁
Module R₁ M'₁
ContinuousAdd M₁
ContinuousAdd M'₁
⊢ (ContinuousLinearMap.inl R₁ M₁ M'₁).coprod (ContinuousLinearMap.inr R₁ M₁ M'₁) = ContinuousLinearMap.id R₁ (M₁ × M'₁)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
M : ℝ≥0
hM : ∀ (x : E), ‖f x‖₊ ≤ M * ‖x‖₊
⊢ ‖f‖₊ ≤ M
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
⊢ S.multiplicity.pred < S.multiplicity
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
v_ne : v ≠ 0
w : E
ρ : ℝ
w_mem : w ∈ sphere 0 1
hvw : v = ρ • w
hρ : ρ = ‖v‖
⊢ v ∈ {x_1 | (fun x_2 => ‖f (x + x_2) - f x - L x_2‖ ≤ ε * ‖x_2‖) x_1}
G : Type u
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : G
q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)
k : ZMod (minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q))
⊢ (g ^ if k = 0 then ↑(minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' ⟨q, k - 1⟩.fst)) else k.cast) * Quotient.out' (Quotient.out' ⟨q, k - 1⟩.fst) = if k = 0 then g ^ minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q) * Quotient.out' (Quotient.out' q) else g ^ k.cast * Quotient.out' (Quotient.out' q)
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.12961, u_3} D'
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
X : C
P : StructuredArrow (L.obj X) L → Prop
hP₀ : P (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))
hP₁ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₁), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ L.map f))
hP₂ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₂), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom L W w hw).inv))
g : StructuredArrow (L.obj X) L
P' : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q → Prop := fun g => P ((structuredArrowEquiv W W.Q L) g)
⊢ P' (StructuredArrow.mk (𝟙 (W.Q.obj X)))
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
⊢ I ≤ MvPolynomial.vanishingIdeal (MvPolynomial.zeroLocus I)
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : Finite Mˣ
χ : MulChar M R
val✝ : Fintype Mˣ
⊢ IsOfFinOrder χ
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
ι : Type u_1
t : ι → Set α
h : s ⊆ ⋃ i, t i
this : Finite ↑s
f : ↑s → ι
hf : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ t (f x)
⊢ ∃ I, I.Finite ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ I, t i
α : Type u_1
M : Matroid α
E B X R J : Set α
hX : X ⊆ E
⊢ (loopyOn E).Basis ∅ X
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : α → ℝ
hint : Integrable g μ
ℱ : ι → MeasurableSpace α
hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0
A : MeasurableSpace α := m0
hmeas : ∀ (n : ι) (C : ℝ≥0), MeasurableSet {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}
hg : Memℒp g 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hne : ¬eLpNorm g 1 μ = 0
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator g) 1 μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ i]) x‖₊}.indicator (μ[g|ℱ i])) 1 μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
Archimedean α
⊢ Monotone (LinearOrderedField.inducedMap α β)
z τ : ℂ
n : ℤ
⊢ jacobiTheta₂'_term n z (τ + 2) = jacobiTheta₂'_term n z τ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hp : p ≠ ⊤
⊢ eLpNorm (s.indicator f) p μ = eLpNorm f p (μ.restrict s)
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Rack R✝
R : Type u_2
inst✝ : Rack R
x y z : R
⊢ x ◃ y ◃ z = (x ◃ y) ◃ z ↔ x ◃ z = z