ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ f x < r}
G : Type u_1
Group G
Finite ↑(commutatorSet G)
Group.FG G
⊢ (Subgroup.center G).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ Group.rank G
k : Type u
Field k
K : Type v
Field K
IsSepClosed k
Algebra k K
Algebra.IsSeparable k K
⊢ Function.Surjective ⇑(algebraMap k K)
R : Type u
CommRing R
X : Type v
Ring X
HopfAlgebra R X
⊢ Coalgebra.counit = Coalgebra.counit
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a b : α
hr : Symmetric r
x : α × α
⊢ x.swap.1 ∈ s ∧ x.swap.2 ∈ t ∧ r x.swap.2 x.swap.1 ↔ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ s ∧ r x.1 x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
AddZeroClass δ
Min δ
C : Levenshtein.Cost α β δ
ys : List β
⊢ (suffixLevenshtein C [] ys).val = [levenshtein C [] ys]
α : Type u_2
Div α
s : Set α
b : α
⊢ s / {b} = (fun x => x / b) '' s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
CompleteSpace E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
⊢ b ∈ ProperCone.map f K ↔ ∀ (y : F), (ContinuousLinearMap.adjoint f) y ∈ K.dual → 0 ≤ ⟪y, b⟫_ℝ
M : Type u_2
AddZeroClass M
a : M
⊢ AddSemiconjBy a 0 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
(F.mapShortComplex.obj S₁).HasHomology
(F.mapShortComplex.obj S₂).HasHomology
F.PreservesLeftHomologyOf S₁
F.PreservesLeftHomologyOf S₂
F.ReflectsIsomorphisms
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso (F.mapShortComplex.map φ) ↔ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
self : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
⊢ (hζ.toInteger - 1) ^ 2 ∣ self.a + self.b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ : α
f : α → β
ha : ∀ x < a, f x = f a
hb : ∀ (x : α), b < x → f x = f b
x : α
⊢ IccExtend h (f ∘ Subtype.val) x = f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
Y : C
⊢ (CategoryTheory.prodComonad X).obj Y = (X ⨯ Y)
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r✝ s r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ IsOpen (sphere x r)
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
DecidableEq β
f : α → β
⊢ Finset.image f 0 = {f 0}
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
I : Ideal S
hI : I.IsMaximal
⊢ (comap (algebraMap R S) I).IsMaximal
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
Fintype ι
Fintype κ
AddCommMonoid α
e : ι ≃ κ
f : ι → α
g : κ → α
h : ∀ (x : ι), f x = g (e x)
⊢ ∑ x : ι, f x = ∑ x : κ, g x
a : ℤ
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
χ : R →* ℤ
hp : ∀ (p : ℕ) (pp : Nat.Prime p), p ≠ 2 → legendreSym p a = χ ↑p
b : ℕ
hb : Odd b
⊢ J(a | b) = χ ↑b
α : Type u_1
s : Multiset α
a : α
⊢ s ≤ a ::ₘ s
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
f : (a : α) → E a
C : ℝ
_i : Fact (1 ≤ ⊤)
F : ι → ↥(lp E ⊤)
hF : Bornology.IsBounded (Set.range F)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
hCF : ∀ (k : ι), ‖F k‖ ≤ C
⊢ Memℓp f ⊤
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
⊢ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI) ⊆ C
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝ : L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h2 : lift.{w, w'} #M ≤ lift.{w', w} κ
N0 : (L.elementaryDiagram M).ModelType
hN0 : lift.{max (max u w') v w, w} κ ≤ #↑N0
⊢ ∃ N, Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ ∀ {X Y : G.Elements} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCatInverse G).map f).base = ↑f
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
⊢ DFinsupp.filter (fun x => x ≠ i) f = DFinsupp.erase i f
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
⊢ mgf 0 μ t = (μ Set.univ).toReal
α : Type u_1
n : Type u_3
AddCommSemigroup α
A : Matrix n n α
⊢ (A + A.transpose).IsSymm
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : b < c
⊢ Set.Ioc a b ∪ Set.Ioo b c = Set.Ioo a c
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : CommRing C
p : K[X]
⊢ (∀ (n : ℕ), p.coeff n = coeff 0 n) ↔ ∀ (n : ℕ), (integerNormalization (nonZeroDivisors A) p).coeff n = coeff 0 n
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
s : ↑(F ⋙ CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op X)).sections
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Limits.compCoyonedaSectionsEquiv F X) s).app j = ↑s j
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Set α → Set β
hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ∩ g t
⊢ (iInf f).lift' g = ⨅ i, (f i).lift' g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
h : CategoryTheory.HasLiftingProperty i p
⊢ CategoryTheory.HasLiftingProperty p.op i.op
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Finset X
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) l
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteLattice β
⊢ essSup (fun x => ⊥) μ = ⊥
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
⊢ Submodule.span R s = LinearMap.range (Finsupp.total (↑s) M R Subtype.val)
α : Type u_1
s t : Finset α
h : s ⊆ t
h₂ : t.card ≤ s.card
⊢ s = t
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
⊢ TotallyBounded s ↔ ∀ (f : Ultrafilter α), ↑f ≤ 𝓟 s → Cauchy ↑f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
n : ℕ
hx : (σ ^ n) (Classical.choose hσ) ∈ ↑σ.support
⊢ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨σ ((σ ^ n) (Classical.choose hσ)), ⋯⟩))) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨(σ ^ n) (Classical.choose hσ), hx⟩)))
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm f p μ < ⊤
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocDiv hp (a + m • p) b = toIocDiv hp a b - m
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
h : I ≤ J
⊢ (π.restrict J).boxes = π.boxes
α : Type u_1
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), MeasureTheory.NullMeasurableSet (s i) μ
H : Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on s)
⊢ ∑' (i : ι), μ (s i) ≤ μ Set.univ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ ↔ μ Set.univ = 1
α : Type u_1
x : α
p : α → Prop
⊢ (∃ a, p a ∧ ↑a = ↑x) ↔ p x
F : Type u_1
CommSemiring F
q : ℕ
f : Polynomial F
hf : Polynomial.HasSeparableContraction q f
g : Polynomial F
⊢ Polynomial.IsSeparableContraction q f g → ∃ m, g.natDegree * q ^ m = f.natDegree
α : Type u_1
a : α
o : Option α
⊢ a ∈ o.toList ↔ a ∈ o
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
this : Tendsto ((fun p => p.1 / p.2) ∘ fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) (comap (fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) ((𝓝 1).prod (𝓝 1))) (𝓝 (1 / 1))
⊢ UniformGroup G
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
Algebra A B
x : B
p : A[X]
⊢ minpoly A x ∣ p ↔ (Polynomial.aeval x) p = 0
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
h_ifs : ¬x = 0 ∧ ¬y = 0
⊢ 0 ≤ x
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹⁴ : HasSolidNorm K
inst✝¹³ : FloorRing K
E✝ : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace K E✝
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K E✝
inst✝⁹ : ProperSpace E✝
L✝ : AddSubgroup E✝
inst✝⁸ : DiscreteTopology ↥L✝
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L✝
b✝ : Basis ι ℤ ↥L✝
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
inst✝² : _root_.Finite ι
b : Basis ι ℤ ↥L
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
e_1✝ : ↥L = ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b))).toAddSubgroup
e_2✝ : NormedAddGroup.toAddGroup = AddCommGroup.toAddGroup
⊢ L = (span ℤ (Set.range ⇑(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b))).toAddSubgroup
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.97646, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ φ₂.τ₃ = -h.h₃ + -h.h₂ ≫ S₂.g + (h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : T.mor₃ = 0
⊢ CategoryTheory.Mono T.mor₁
A B : TopCat
⊢ (FundamentalGroupoidFunctor.prodIso A B).hom = FundamentalGroupoidFunctor.prodToProdTop A B
k : ℕ
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ F_int k (↑a) t = F_nat k a t + F_nat k (1 - a) t
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i < g i
h_ne : s.Nonempty
⊢ ∃ i ∈ s, f i < g i
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
SMul M X
ContinuousSMul M X
f : Y → M
g : Y → X
b : Y
s : Set Y
hf : ContinuousWithinAt f s b
hg : ContinuousWithinAt g s b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x • g x) s b
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) volume
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this : (fun t => ((∫ (x : ℝ) in t.1.1 ..t.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.2.1 ..t.2.2, f x) - ((t.1.2 - t.2.2) • cb - (t.1.1 - t.2.1) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)] fun t => ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖
⊢ ∀ (x : (ℝ × ℝ) × ℝ × ℝ), ((∫ (x : ℝ) in x.1.1 ..x.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in x.2.1 ..x.2.2, f x) - ((x.1.2 - x.2.2) • cb - (x.1.1 - x.2.1) • ca) = (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x) x.1 - (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x) x.2 - ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (x.1 - x.2)
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.length (w * cs.simple i) ≠ cs.length w
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
n : σ
f g : MvPolynomial σ R
⊢ ((f + g).support.sup fun m => m n) ≤ max (f.support.sup fun m => m n) (g.support.sup fun m => m n)
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I M : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hIM : I ≤ M
hM : M.IsMaximal
⊢ ∃ Z, (M ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
hs : MeasurableSet s
a : α
⊢ (κ.restrict hs) a = (κ a).restrict s
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
hn : ↑n < φ.order + ψ.order
i j : ℕ
hij : (i, j).1 + (i, j).2 = n
hi : φ.order ≤ ↑i
hj : ψ.order ≤ ↑j
⊢ ↑n = ↑i + ↑j
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
DecidableEq α
DecidableEq (α ⊕ β)
f : α → γ
g : β → γ
i : α
x : γ
⊢ Function.update (Sum.elim f g) (Sum.inl i) x = Sum.elim (Function.update f i x) g
α : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → E
l : Filter α
c : α
y : E
h : IsMaxFilter (norm ∘ f) l c
hy : SameRay ℝ (f c) y
⊢ IsMaxFilter (fun x => ‖f x + y‖) l c
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
DecidableEq ι
Module.Free R M
Module.Finite R M
b : Basis ι R L
x : L
i : ℕ
⊢ (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) ((φ.polyCharpoly b).coeff i) = (LinearMap.charpoly (φ x)).coeff i
K : Type u_1
RCLike K
x y : ℝ
⊢ ↑x < ↑y ↔ x < y
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ ContinuousMap.compactOpen =
  ⨅ K, ⨅ (_ : IsCompact K), TopologicalSpace.induced (ContinuousMap.restrict K) ContinuousMap.compactOpen
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ ∑' (a : ℕ), ENNReal.ofReal (ε / 2 * 2⁻¹ ^ a) ≤ ENNReal.ofReal ε
n : ℕ
c : Composition n
d : CompositionAsSet n := c.toCompositionAsSet
⊢ d.blocks = c.blocks
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddGroup β
f : α → β
hf : IsAddGroupHom f
γ : Type u_1
AddGroup γ
g : β → γ
hg : IsAddGroupHom g
⊢ IsAddGroupHom (g ∘ f)
n : ℕ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
hg : TorusIntegrable g c R
⊢ TorusIntegrable (f - g) c R
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring R
⊢ ⇑AddMonoidHom.mul.flip = AddMonoidHom.mulRight
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ h.triangle.mor₁ = h.m₁
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E B I X R J : Set α
inst✝ : IsEmpty α
M : Matroid α
⊢ M.E = ∅
n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ
⊢ Rat.divInt n₁ d₁ / Rat.divInt n₂ d₂ = Rat.divInt (n₁ * d₂) (d₁ * n₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
n : ℕ
h : xs ~ ys
h' : ys.Nodup
⊢ take n xs ~ List.filter (fun x => elem x (take n xs)) ys
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Fact (1 ≤ p)
NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(MeasureTheory.Lp F p μ) → Prop
h_ind :
  ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ) (hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ),
    MeasureTheory.StronglyMeasurable f →
      MeasureTheory.StronglyMeasurable g →
        Disjoint (Function.support f) (Function.support g) →
          P (MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf) →
            P (MeasureTheory.Memℒp.toLp g hg) → P (MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf + MeasureTheory.Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f : ↥(MeasureTheory.Lp F p μ)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ → P f
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α ↪ β
l₁ l₂ : α →₀ M
⊢ Finsupp.embDomain f l₁ = Finsupp.embDomain f l₂ ↔ l₁ = l₂
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_6
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.StronglyMeasurable (f i)
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (∑ i ∈ s, f i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
x y : E
a b : 𝕜
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hfx : f (a • x + b • y) < f x
⊢ f y < f (a • x + b • y)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField α
Module α ℝ
OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0
f : ι → ℝ
⊢ a • ⨆ i, f i = ⨅ i, a • f i
ι : Type u_1
α : Type u_2
CompleteLinearOrder α
f : ι → α
hf : ¬Order.IsSuccLimit (⨆ i, f i)
⊢ ∃ i, f i = ⨆ i, f i
K : Type u_1
Field K
x : K
hx : x ∈ integralClosure ℤ K
⊢ -⟨x, hx⟩ = ⟨-x, ⋯⟩
k : Type u₁
G : Type u₂
H✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x y z : G
H : ∀ (a : G), x * a = y ↔ a = z
⊢ (single x r * f) y = r * f z
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝³ : e.IsTruncGE
inst✝² : ∀ (i' : ι'), K.HasHomology i'
inst✝¹ : ∀ (i' : ι'), L.HasHomology i'
inst✝ : ∀ (i' : ι'), M.HasHomology i'
i j : ι
hij : c.Rel i j
i' j' : ι'
hi' : e.f i = i'
hj' : e.f j = j'
hi : ¬e.BoundaryGE i
⊢ (truncGE'.XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f i) (e.f j) ≫ (truncGE'.XIso K e ⋯).inv = (K.truncGE'XIso e hi' hi).hom ≫ K.d i' j' ≫ (K.truncGE'XIso e hj' ⋯).inv
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
M₄ : Type u_8
SeminormedAddCommGroup M₁
NormedSpace 𝕜 M₁
SeminormedAddCommGroup M₂
NormedSpace 𝕜 M₂
SeminormedAddCommGroup M₃
NormedSpace 𝕜 M₃
SeminormedAddCommGroup M₄
NormedSpace 𝕜 M₄
X : Type u_9
TopologicalSpace X
f : X → M₁ →L[𝕜] M₂
g : X → M₃ →L[𝕜] M₄
s : Set X
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
⊢ ContinuousOn (fun x => (f x).prodMap (g x)) s
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
TopologicalSpace M₂
T2Space M₂
MulOneClass M₁
MulOneClass M₂
ContinuousMul M₂
⊢ IsClosed (Set.range DFunLike.coe)
K : Type u_1
NormedLinearOrderedField K
HasSolidNorm K
FloorRing K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
FiniteDimensional K E
ProperSpace E
L : AddSubgroup E
DiscreteTopology ↥L
IsZlattice K L
⊢ Module.Finite ℤ ↥L
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U
y : 𝕜
hy₀ : 0 < ‖y‖
hyr : ‖y‖ < r
⊢ balancedCore 𝕜 U ∈ 𝓝 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ₁ φ₂ : A →ₐ[R] B
⊢ φ₁ = φ₂ ↔ ∀ (x : A), φ₁ x = φ₂ x
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X✝ Y✝ Z✝ : W.FunctorsInverting D
τ₁ : X✝ ⟶ Y✝
τ₂ : Y✝ ⟶ Z✝
X : C
⊢ (𝟙 W.Q ◫ { obj := fun G => lift G.obj ⋯, map := fun {X Y} τ => natTransExtension (eqToHom ⋯ ≫ τ ≫ eqToHom ⋯) }.map (τ₁ ≫ τ₂)).app X = (𝟙 W.Q ◫ ({ obj := fun G => lift G.obj ⋯, map := fun {X Y} τ => natTransExtension (eqToHom ⋯ ≫ τ ≫ eqToHom ⋯) }.map τ₁ ≫ { obj := fun G => lift G.obj ⋯, map := fun {X Y} τ => natTransExtension (eqToHom ⋯ ≫ τ ≫ eqToHom ⋯) }.map τ₂)).app X
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
h✝ : isGood (π C J) l
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬J i
w✝ : I → Bool
left✝ : w✝ ∈ C
h : ∀ i ∈ ↑l, ↑⟨Proj J w✝, ⋯⟩ i = true
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h : IntegrableAtFilter f l μ
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ a = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommGroup β
l : Filter α
f : α → β
⊢ Filter.Tendsto (fun x => -f x) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s t : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : t ∈ 𝓝 x
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f (s ∩ t) x f' ↔ HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScott α
⊢ inst✝ = Topology.scott α
α : Type u
AddCommMonoid α
Mul α
a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ b₁₁ b₁₂ b₂₁ b₂₂ : α
⊢ !![a₁₁, a₁₂; a₂₁, a₂₂] * !![b₁₁, b₁₂; b₂₁, b₂₂] =
  !![a₁₁ * b₁₁ + a₁₂ * b₂₁, a₁₁ * b₁₂ + a₁₂ * b₂₂; a₂₁ * b₁₁ + a₂₂ * b₂₁, a₂₁ * b₁₂ + a₂₂ * b₂₂]
α : Type u_1
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
hY : Y ⊆ M.E
⊢ X ⊆ M.E
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
⊢ Function.support ExistsContDiffBumpBase.u = Metric.ball 0 1
a b c d m✝ n✝¹ k✝ : ℕ
p q P✝ Q : ℕ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred P✝
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
m n k : ℕ
hmk : m.le k
ih : findGreatest P m ≤ findGreatest P k
⊢ findGreatest P m ≤ if P (k + 1) then k + 1 else findGreatest P k
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
c : ℝ≥0∞
hG : CompleteSpace G
⊢ ∫ (x : α), f x ∂c • μ = c.toReal • ∫ (x : α), f x ∂μ
ι α : Type v
U : ι → α
CompleteLattice α
⊢ (CategoryTheory.Pairwise.cocone U).pt = iSup U
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ.restrict (⋃ i, s i)) t = ⨆ i, (μ.restrict (s i)) t
R : Type u
CommRing R
X Y : CoalgebraCat R
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (CoalgebraCat R) (ModuleCat R)).map f = ↑f.toCoalgHom
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
h : a ∈ l
w : 0 < l.length
⊢ a ≤ maximum_of_length_pos w
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
⊢ Filter.comap Subtype.val (𝓝[>] a) = Filter.atBot
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : Unique Mˣ
inst✝ : Unique Nˣ
m : M
n : N
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
x✝ : ↑(Set.Iic (Associates.mk m))
l : Associates M
hl : l ∈ Set.Iic (Associates.mk m)
⊢ (fun l => ⟨Associates.mk ↑(d.symm ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩), ⋯⟩) ((fun l => ⟨Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩), ⋯⟩) ⟨l, hl⟩) = ⟨l, hl⟩