ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
c : R
h : c ≠ 0
⊢ (C c * X).support = {1}
n d : ℕ
⊢ ∃ k ∈ Finset.range (n * (d - 1) ^ 2 + 1), ↑(d ^ n) / (↑(n * (d - 1) ^ 2) + 1) ≤ ↑(Behrend.sphere n d k).card
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
⊢ s.sym2.Nonempty ↔ s.Nonempty
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s).Pairwise (Disjoint on fun c => ball c δ)
A_subset : A ⊆ ball 0 ρ
I : ↑s.card * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1)
J : ↑s.card * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)
K : ↑s.card ≤ 5 ^ finrank ℝ E
⊢ s.card ≤ 5 ^ finrank ℝ E
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ re (⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜‖
α : Type u
s : Set α
Infinite α
hs : s.Finite
⊢ ∃ a, a ∉ s
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Semiring A₃
Algebra R A₁
Algebra R A₂
Algebra R A₃
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₃
⊢ ⇑(e₁.trans e₂) = ⇑e₂ ∘ ⇑e₁
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R✝ S✝ : Set G
inst✝ : H.FiniteIndex
S : Finset G
hS : closure ↑S = ⊤
this✝¹ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
this✝ : DecidableEq G
R₀ : Set G
this : Fintype ↑R₀
R : Finset G := R₀.toFinset
hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
⊢ ∃ T, T.card ≤ H.index * S.card ∧ closure ↑T = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 α
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g : β → α
hg : ConvexOn 𝕜 (f '' s) g
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg' : MonotoneOn g (f '' s)
⊢ ConvexOn 𝕜 s (g ∘ f)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
p2 : P
⊢ (∃ p2_1 ∈ s, p2 -ᵥ p = p2_1 -ᵥ p) ↔ p2 ∈ s
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X
⊢ sSup T₁ ⊓ sSup T₂ ≤ sSup (T₁ ∩ T₂)
G : Type u_1
AddGroup G
a : G
n : ℤ
⊢ |n| • a = 0 ↔ n • a = 0
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
AddGroupWithOne α
d : ℤ
⊢ (↑d)ᵀ = ↑d
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≤ b / c
⊢ a * c⁻¹⁻¹ ≤ b
J : Type w
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
inst✝ : Nonempty J
s : Cotrident f
W : C
k l : s.pt ⟶ W
h : s.π ≫ k = s.π ≫ l
⊢ s.ι.app zero ≫ k = s.ι.app zero ≫ l
x : ℝ
n : ℕ
⊢ 0 ≤ 2 + sqrtTwoAddSeries 0 n
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : SecondCountableTopology ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
h : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ
n : ι
hτ_le : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ n
this : stoppedValue u τ = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun ω => (⟨τ ω, ⋯⟩, ω)
⊢ StronglyMeasurable ((fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun ω => (⟨τ ω, ⋯⟩, ω))
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.sym2.card = (s.card + 1).choose 2
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
self : WeakFEPair E
⊢ self.ε ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
L : ℝ≥0∞
hL : ∃ i, ∃ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ ↑(f x)), L < (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ f x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
n : ℕ
⊢ Squarefree n ↔ n.minSqFac = none
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n' a : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
p' : ℤ
hp' : p + n' = p'
⊢ (γ.rightUnshift n hn).v p q hpq = γ.v p p' hp' ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a p' q ⋯).hom
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
B : Set X
⊢ MulAction.IsBlock G B ↔ ∀ (g : G), ∀ a ∈ B, g • a ∈ B → g • B = B
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝¹ : TopologicalSpace ι
inst✝ : T2Space α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_clemb : ClosedEmbedding (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
s : Set ι
s_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn (F ∘ Subtype.val) K
s_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ i ∈ s, F i x ∈ Q
this : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, Continuous (eval x ∘ F)
cls_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn (F ∘ Subtype.val) K
cls_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ i ∈ closure s, F i x ∈ Q
⊢ CompactSpace ↑(closure s)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ N.incl.ker = ⊥
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : IsIso a
l : X ⟶ (IsPullback.cone h).pt
h₁ : l = inv a
h₂ : l ≫ (IsPullback.cone h).snd = 𝟙 X
⊢ Mono f
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
hs : s.Subsingleton
f : α → β
⊢ (f '' s).Subsingleton
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Bot α
Sup β
Bot β
f : SupBotHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
α : Sort u
σ τ : Equiv.Perm α
⊢ σ = τ ↔ ∀ (x : α), σ x = τ x
G : Type u_1
Group G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
SubgroupClass S G
P : G → Prop
⊢ (∃ x ∈ H, P x⁻¹) ↔ ∃ x ∈ H, P x
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
hn : 2 ≤ l.length
⊢ l.formPerm.IsCycle
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid α
x : Holor α ds
h : x.CPRankMax1
h' : CPRankMax (0 + 1) (x + 0)
⊢ CPRankMax 1 x
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
v : V
x : P
⊢ nndist (v +ᵥ x) x = ‖v‖₊
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
h : u ∈ c.support
⊢ ((c.dropUntil u h).darts ++ (c.takeUntil u h).darts) ~r c.darts
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I, J⁆ = ⁅J, I⁆
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ 0
⊢ num A r ∣ num A r ^ j
M : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace α
SMul M α
ContinuousConstSMul M α
x y : α
h : x ⤳ y
c : M
⊢ (c • x) ⤳ (c • y)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : HasKernels C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
f : X ⟶ Y
I : IsIso f
h : f = 0
⊢ 𝟙 X = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v w : E
hw : w ∈ K
⊢ ⟪w, v - ↑((orthogonalProjection K) v)⟫_𝕜 = 0
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
a : α
⊢ ∃ b > 0, |a| < b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : E
h : x ∈ (f.extend I).target
⊢ ContinuousAt (↑(f.extend I).symm) x
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
ϕ : E ≃ₐ[F] E
x : ↑(p.rootSet E)
ψ : p.SplittingField ≃ₐ[F] ↥(IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E).range := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E)
⊢ ↑(ψ (ψ.symm (↑((↑ϕ).restrictNormalAux p.SplittingField) (↑↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E)) ↑((rootsEquivRoots p E).symm x))))) = ϕ ↑x
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
M : Matrix n m N₂
⊢ (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂) ((Matrix.toLinearMap₂ b₁ b₂) M) = M
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
SeminormedAddCommGroup β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (fun a => edist (f a) (g a)) μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : StrictConvex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : μ t ≠ 0
h₀' : μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : Adhesive D
H₁ : ∀ {X Y S : C} (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S) [inst : Mono f], HasPullback f g
H₂ : ∀ {X Y S : C} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
inst✝³ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hf : Mono f
H : IsPushout f g h i
⊢ IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk ((F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯)).ι.app WalkingSpan.left) ((F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯)).ι.app WalkingSpan.right) ⋯)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : IsOpenMap f
s : Set Y
⊢ f ⁻¹' closure s ⊆ closure (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
s : Set α
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
⊢ MeasurableSet (interior s)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ f₂ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
G : f₁.Homotopy f₂
x : ↑I × X
⊢ (F.trans G) x = if h : ↑x.1 ≤ 1 / 2 then F (⟨2 * ↑x.1, ⋯⟩, x.2) else G (⟨2 * ↑x.1 - 1, ⋯⟩, x.2)
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
T : Turing.Tape Γ
n : ℕ
⊢ T.right₀.nth n = T.nth ↑n
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α β γ : ↥(solvableByRad F E)
hγ : γ ∈ F⟮α, β⟯
hα : P α
hβ : P β
p : F[X] := minpoly F α
q : F[X] := minpoly F β
hpq : Splits (algebraMap F (p * q).SplittingField) (minpoly F α) ∧ Splits (algebraMap F (p * q).SplittingField) (minpoly F β)
f : ↥F⟮α, β⟯ →ₐ[F] (p * q).SplittingField := Classical.choice ⋯
key : minpoly F γ = minpoly F (f ⟨γ, hγ⟩)
⊢ Normal F (p * q).SplittingField
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : Sheaf J D
φ : F₁ ⟶ F₂
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget D)
⊢ Presieve.IsSheaf J (F₁.val ⋙ forget D)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp a (m • p + b) = toIocMod hp a b
α : Type u
Monoid α
b : αˣ
a c : α
⊢ a * ↑b⁻¹ = c ↔ a = c * ↑b
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hf : ContinuousOn f s
ht : Set.MapsTo f s t
⊢ Continuous (Set.MapsTo.restrict f s t ht)
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
f : α → β
⊢ UniformContinuous (pkg.map pkg' f)
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ
⊢ ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝 0, ∀ (m : ℤ), ε ≤ dist x (↑m / ↑n)
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Submodule.span R ↑s
g : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
y : ↥(Submonoid.map (algebraMap R S) M) := commonDenomOfFinset (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s
hx₁ : ↑y • ↑s = ⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
y' : R
hy' : y' ∈ ↑M
e : (algebraMap R S) y' = ↑y
this : (algebraMap R S) y' • ↑s = y' • ↑s
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ ⌊a / ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ / n
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} C
inst✝ : HasTerminal C
A a : C
U : Opens ↑X
⊢ (map' p₀ (𝟙 a)).app (op U) = (𝟙 (skyscraperPresheaf p₀ a)).app (op U)
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I J K : Submodule R A
⊢ I ≤ J / K ↔ I * K ≤ J
α : Type u_1
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ s.sym2 ⊆ t.sym2
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
⊢ ∀ (x : ↑X), (HomEquiv.toRestrictScalars f (HomEquiv.fromExtendScalars f g)) x = g x
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
a : R
⊢ (γ.smul a).φH = a • γ.φH
n : ℕ
⊢ SetTheory.PGame.powHalf (n + 1) + SetTheory.PGame.powHalf (n + 1) ≈ SetTheory.PGame.powHalf n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝³ : EquivLike F α β
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
e : M ≃* N
f : N →* P
⊢ (fun f => f.comp ↑e.symm) (f.comp ↑e) = f
n : ℕ
⊢ ↑n = 0 ↔ n = 0
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K
⊢ G.map (𝟙 j, 𝟙 k) ≫ colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k = colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f✝ : α → β
n : ℕ
f : (i : ℕ) → i < n → α
hf : ∀ a ∈ s, ∃ i, ∃ (h : i < n), f i h = a
hf' : ∀ (i : ℕ) (h : i < n), f i h ∈ s
f_inj : ∀ (i j : ℕ) (hi : i < n) (hj : j < n), f i hi = f j hj → i = j
f' : Fin n → α := fun i => f ↑i ⋯
x : α
⊢ x ∈ s ↔ ∃ y, f' y = x
u : PNat.XgcdType
⊢ u.v = PNat.XgcdType.succ₂ u.vp
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ count s = ∑' (i : ↑s), 1
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ (f ⊔ g) x = max (f x) (g x)
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ X - C (v i) ≠ 0
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
GroupWithZero G₀
Bornology G₀
MulAction G₀ α
s : Set α
⊢ Absorbs G₀ Set.univ s
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : Countable ↥L
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h_cpt : IsCompact s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s
h_mes : μ s ≠ 0
h_nemp : s.Nonempty
u : ℕ → ℝ≥0 := ⋯.choose
K : ConvexBody E := { carrier := s, convex' := h_conv, isCompact' := h_cpt, nonempty' := h_nemp }
S : ℕ → ConvexBody E := fun n => (1 + u n) • K
Z : ℕ → Set E := fun n => ↑(S n) ∩ (↑L \ {0})
h_zero : 0 ∈ K
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃ₛₗ[σ] F
h : Continuous ⇑↑e
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (⇑↑e '' s)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
⊢ ucs 1 ⊥ = LieModule.maxTrivSubmodule R L M
α : Type u_1
Ring α
m n : ZNum
⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}
⊢ ∃ b ∈ ↑I, nndist f b < ε
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
ι : Sort u_10
S : ι → Submodule R₂ M₂
⊢ Submodule.map f (⨅ i, Submodule.comap f (S i)) = iInf S
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
S U : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ S.toNonUnitalSubsemiring = U.toNonUnitalSubsemiring ↔ S = U
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
e_1✝ : ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X) ⟶ (F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X)) = ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X) ⟶ (F.obj n).obj X)
e_5✝ : (F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X) = (F.obj n).obj X
⊢ inv ((F.μIso (𝟙_ M) n).inv.app X) = (F.μ (𝟙_ M) n).app X
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : ι → Filter α
s : Set α
hs : s ∈ iInf f
p : Set α → Prop
uni : p univ
ins : ∀ {i : ι} {s₁ s₂ : Set α}, s₁ ∈ f i → p s₂ → p (s₁ ∩ s₂)
⊢ p s
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
L : CategoryTheory.Functor C D
hL : W.IsInvertedBy L
W.ContainsIdentities
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.RightFraction.ofHom W f).map L hL = L.map f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.IsRefl
W : Submodule R₁ M₁
hW : Disjoint W (B.orthogonal W)
x : M₁
hx : x ∈ W
y : M₁
hy : y ∈ W
b₁ : (B x) y = 0
⊢ B.IsOrtho y x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
x : M
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
⊢ ((b.reindex e).repr x) i' = (b.repr x) (e.symm i')
X W : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
⊢ (𝒰.pullbackCover f).J = 𝒰.J
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
A : Set E
ContinuousAdd 𝕜
F : Finset (Set E)
hF : F.Nonempty
hAF : ∀ B ∈ F, IsExposed 𝕜 A B
⊢ IsExposed 𝕜 A (⋂₀ ↑F)
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
H : Set (β → α)
h : H.UniformEquicontinuous
f : β → α
hf : f ∈ H
⊢ UniformContinuous f
k : ℕ
⊢ 2 / π * W k = 2 / π * ∏ x ∈ range k, (2 * ↑x + 2) / (2 * ↑x + 3) / ((2 * ↑x + 1) / (2 * ↑x + 2))
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
h : OpenEmbedding ⇑f
⊢ ⋯.functor.IsContinuous (Opens.grothendieckTopology ↑X) (Opens.grothendieckTopology ↑Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (uncurry f)
F : ℕ → SimpleFunc (α × β) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (uncurry f)
h : ∀ (a : α × β), ⨆ n, ↑(F n) a = uncurry f a
⊢ Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), f a b ∂κ a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n
e : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), weightSpace_ne_bot' := e }
hW : ⇑W = -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)
H₁ : 1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W ≤ chainLength (-α) W
H₂ : (1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W) • ⇑α + ⇑(chainTop (⇑(-α)) W) = (chainTopCoeff (⇑α) β + 1) • ⇑α + ⇑β
⊢ False
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
f : K[X]
hf : Polynomial.Splits i f
n : ℕ
⊢ Polynomial.Splits i (f ^ n)
M : Type u_1
AddMonoid M
ι : Type u_2
Fintype ι
N : ι → Type u_3
(i : ι) → AddMonoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →+ M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), AddCommute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
⊢ AddMonoidHom.mrange (AddMonoidHom.noncommPiCoprod ϕ hcomm) = ⨆ i, AddMonoidHom.mrange (ϕ i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : α →ₘ[μ] β
g : α →ₘ[μ] γ
⊢ f.pair g = MeasureTheory.AEEqFun.mk (fun x => (↑f x, ↑g x)) ⋯
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
v : Vector α n.succ
v' : Vector α n
h : v.head = a ∧ v.tail = v'
⊢ v.head ::ᵥ v.tail = a ::ᵥ v'
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
x : X
⊢ ContinuousAt f x ↔ ∀ A ∈ 𝓝 (f x), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 x
a✝ b✝ c p q : ℚ
a b : ℤ
hb : 0 < b
n : ℤ
d : ℕ
hd : d ≠ 0
hnd : n.natAbs.Coprime d
hab : a * ↑d = n * b
⊢ 0 ≤ { num := n, den := d, den_nz := hd, reduced := hnd } ↔ 0 ≤ a
α : Type u
a b : α
⊢ a ∈ {b} ↔ a = b
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
e : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
x y : L₁
⊢ e ⁅x, y⁆ = ⁅e x, e y⁆
n : ℕ
⊢ List.map Prod.swap (List.Nat.antidiagonal n) = (List.Nat.antidiagonal n).reverse
x y z : Bool
⊢ ((x != y) != z) = (x != (y != z))
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : StarRing α
M : Matrix n n α
d : ℕ
⊢ M = (↑d)ᴴ ↔ M = ↑d
ι : Type u_1
Fintype ι
⊢ IsClosed (stdSimplex ℝ ι)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 8 → β
⊢ ∏ i : Fin 8, f i = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4 * f 5 * f 6 * f 7
α : Type u
a : α
n : ℕ
as : List α
⊢ n ≤ as.length → (List.insertNth n a as).length = as.length + 1
R : Type u_2
Ring R
S : Subring Rᵐᵒᵖ
⊢ S.unop.op = S
c : Prop
Decidable c
a b : Ordering
⊢ ((if c then a else b) = Ordering.lt) = if c then a = Ordering.lt else b = Ordering.lt