ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Comma L R)
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (F.comp (CategoryTheory.Comma.fst L R)) L
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp (CategoryTheory.Comma.fst L R))
t₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp (CategoryTheory.Comma.snd L R))
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Comma.coconeOfPreserves F t₁ c₂).ι.app j).right = c₂.ι.app j
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategory
i : Δ ⟶ Δ'
CategoryTheory.Mono i
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K[X] i ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f Δ.len =
  AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f Δ'.len ≫ X.map i.op
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
a : S
x y : M
⊢ polar (⇑Q) (a • x) y = a • polar (⇑Q) x y
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
self : Coalgebra R A
⊢ LinearMap.lTensor A Coalgebra.counit ∘ₗ Coalgebra.comul = (TensorProduct.mk R A R).flip 1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
this✝ : ∀ {x : ℕ}, ∀ s ∈ powersetCard x univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x) * ↑((card α).choose x))
this : ∀ n ∈ range (card α + 1), ↑((card α).choose n) / ((↑(card α) - ↑n) * ↑((card α).choose n)) = (↑(card α) - ↑n)⁻¹
⊢ ∑ x ∈ range (card α + 1), (↑(card α) - ↑x)⁻¹ = ∑ x ∈ range (card α).succ, (↑x)⁻¹ ∨ card α = 0
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K✝ : Type w
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
inst✝² : Algebra E K✝
inst✝¹ : IsScalarTower F E K✝
f : F[X]
hsep : f.Separable
hirr : Irreducible f
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
K : Type v := AlgebraicClosure E
x : K
hx : (aeval x) f = 0
ha : Associated f (minpoly F x)
⊢ Irreducible (Polynomial.map (algebraMap F E) f)
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a b : α
hb : 0 ≤ b
⊢ Nat.cast ⁻¹' Set.Icc a b = Set.Icc ⌈a⌉₊ ⌊b⌋₊
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Fan f
r : R
x : ↑s.pt
⊢ { toFun := fun x j => (s.π.app { as := j }) x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun x j => (s.π.app { as := j }) x, map_add' := ⋯ }.toFun x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
eq : a = b
⊢ (if a ≤ b then a else b) = if b ≤ a then b else a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
b b' : β
⊢ ¬(SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).Adj (Sum3.in₁ b) (Sum3.in₁ b')
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᴹᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv.unmop = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X.unmop).inv
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t
ntu : t ≠ u
⊢ G.edgeFinset.card < ((G.replaceVertex s t).replaceVertex s u).edgeFinset.card
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : BaireSpace X
inst✝ : Countable ι
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
f : ι → Set X
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
hU : s ⊆ ⋃ i, f i
g : ι → Set X := fun i => (frontier (f i))ᶜ
hgo : ∀ (i : ι), IsOpen (g i)
⊢ Dense (⋃ i, interior (f i))
α : Type u
β : Type v
Preorder β
l : Filter α
f g : α → β
h : ∀ᶠ (x : α) in l, f x < g x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ g x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
PE : Type u_1
PF : Type u_2
MetricSpace PE
NormedAddTorsor E PE
MetricSpace PF
NormedAddTorsor F PF
FiniteDimensional 𝕜 E
f : PE ≃ᵃ[𝕜] PF
⊢ Continuous ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ i, S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), μ (S i ∩ s) < ⊤
h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s
h_eq_forall : (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ) = fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ
h_right : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ))
h_left : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ))
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
S : Type u_1
AddMonoidWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
X Y Z : CategoryTheory.DifferentialObject S C
f : X ≅ Y
g : Y ≅ Z
⊢ CategoryTheory.DifferentialObject.isoApp (f ≪≫ g) =
  CategoryTheory.DifferentialObject.isoApp f ≪≫ CategoryTheory.DifferentialObject.isoApp g
α : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
⊢ EMetric.hausdorffEdist s t = (⨆ x ∈ s, EMetric.infEdist x t) ⊔ ⨆ y ∈ t, EMetric.infEdist y s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ⊔ b ≤ a ∆ b ⊔ a ⊓ b
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a b : α
⊢ 0 - (a - b) = b - a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable (Function.uncurry f)
a : α
g : β → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (b : β), g b ∂(κ.withDensity f) a = ∫⁻ (b : β), f a b * g b ∂κ a
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => x) u ∈ Set.Icc (b * (fun x => x) x) (c₂ * (fun x => x) x)
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
H : i.castSucc < p
⊢ p.succAbove i < p ↔ i.castSucc < p
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
Semiring R₁
Semiring R₂
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
α : Type u_18
f : α → M₁
g : α → M₂
⊢ ⇑e₁₂.symm ∘ g = f ↔ g = ⇑e₁₂ ∘ f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq0_lt : 0 < q
⊢ q ≠ 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
p : G.Walk v w
⊢ ¬p.Nil ↔ ∃ u, ∃ (h : G.Adj v u), ∃ q, p = SimpleGraph.Walk.cons h q
α : Type u_1
ι : Type u_4
M : Type u_5
AddCommMonoid M
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset ι
f : ι → α →₀ M
⊢ Finsupp.filter p (∑ a ∈ s, f a) = ∑ a ∈ s, Finsupp.filter p (f a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
this✝¹ : 0 ∈ C
this✝ : Convex ℝ C
this : x₀ ∉ C
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u ≤ f b
α : Type u
CommSemiring α
I : Ideal α
hI : I.IsPrime
r : α
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ r ^ n ∈ I ↔ r ∈ I
n : Nat
i : Fin n
⊢ i.addNat 1 = i.succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s t
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u < f b
α : Type u
π : α → Type u_1
(a : α) → Preorder (π a)
s : Set ((a : α) → π a)
f : (a : α) → π a
⊢ IsLUB s f ↔ ∀ (a : α), IsLUB (Function.eval a '' s) (f a)
k : ℕ
m : ℕ := 2 ^ k.primesBelow.card
N₀ : ℕ := 2 * m ^ 2
hN₀ : N₀ = 2 * m ^ 2
S : ℝ := ∑ p ∈ (2 * N₀).succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p
⊢ 2 * ↑N₀ ≤ ↑m * ↑(2 * N₀).sqrt + 2 * ↑N₀ * S
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ e.symm = e.symm.toAffineEquiv
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
m n : ℕ∞
x₀ : N'
f : N → M → M'
g : N → M
g₁ : N' → N
g₂ : N' → E
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (Function.uncurry f) (g₁ x₀, g (g₁ x₀))
hg : ContMDiffAt J I m g (g₁ x₀)
hg₁ : ContMDiffAt J' J m g₁ x₀
hg₂ : ContMDiffAt J' 𝓘(𝕜, E) m g₂ x₀
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContMDiffAt J' 𝓘(𝕜, E') m
  (fun x =>
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) (g₁ x₀) (g₁ x)) (g₂ x))
  x₀
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)
⊢ ∀ x ∈ ⋃ a ∈ I, ⋃ b ∈ Set.range f, {a • b}, ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m x
n : ℕ
⊢ IsPeriodicPt f (m * n) x
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Add α
inst✝² : Add α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : AddHomClass F α α₂
f : F
x y : β[α]
⊢ ∀ (b : α₂) (m₁ m₂ : β), (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b + a₂) ((m₁ + m₂) * b₂)) = (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b + a₂) (m₁ * b₂)) + sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b + a₂) (m₂ * b₂)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
⊢ l.sublists' = foldr (fun a r => sublists'Aux a r r) [[]] l
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
T : Set α
hx : x ∈ T
S : Set α
⊢ 𝓝[S] x = comap (Prod.mk x) (𝓤 α ⊓ 𝓟 (T ×ˢ S))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ ‖x‖ = ‖(coeToLp α E ℝ) x‖
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
ts : Set (TopologicalSpace E)
h : ∀ t ∈ ts, LocallyConvexSpace 𝕜 E
this : TopologicalSpace E := sInf ts
⊢ LocallyConvexSpace 𝕜 E
n : ℕ
⊢ harmonic n = ∑ i ∈ Finset.Icc 1 n, (↑i)⁻¹
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : AddCommMonoid E
n : ι
h_mem : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ Finset.Iio n
⊢ stoppedProcess u τ n = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.Iio n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
w : Nat
x : BitVec (w + 1)
⊢ x = BitVec.cons x.msb (BitVec.truncate w x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalFunctor.id C).μ X Y = 𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj ((𝟭 C).obj X) ((𝟭 C).obj Y))
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
⊢ StructureSheaf.toOpen (A⁰_ f) ⊤ ≫ (Spec.structureSheaf (A⁰_ f)).presheaf.germ ⟨(toSpec 𝒜 f).val.base x, True.intro⟩ ≫ LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (toSpec 𝒜 f) x = awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
⊢ dist z ((starRingEnd ℂ) z) = 2 * |z.im|
M : Type u_1
TopologicalSpace M
AddMonoid M
⊢ AddUnits.instTopologicalSpaceAddUnits =
  TopologicalSpace.induced AddUnits.val inst✝ ⊓ TopologicalSpace.induced (fun u => ↑(-u)) inst✝
a b : ℝ≥0∞
⊢ a + b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∨ b = ⊤
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
hp : ∀ i ∈ s, IsSemisimpleModule R ↥(p i)
q : Submodule R M := ⨆ i ∈ s, p i
p' : ι → Submodule R ↥q := fun i => Submodule.comap q.subtype (p i)
⊢ IsSemisimpleModule R ↥(⨆ i ∈ s, p i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set E
x : E
c : Set (Set E)
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c
hc : ∀ ⦃A : Set E⦄, A ∈ c → Convex 𝕜 A
⊢ Convex 𝕜 (⋃₀ c)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁶ : DecidableEq R
inst✝⁵ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝⁴ : NormalizationMonoid R
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝¹ : DecidableEq (Associates (Ideal R))
inst✝ : (p : Associates (Ideal R)) → Decidable (Irreducible p)
I J : Ideal R
hJ : J.IsPrime
hJ₀ : J ≠ ⊥
hI : Associates.mk I ≠ 0
⊢ (Associates.mk J).count (Associates.mk I).factors = Multiset.count J (normalizedFactors I)
n : ℕ∞
x : Cardinal.{u_1}
⊢ ↑n ≤ x ↔ n ≤ x.toENatAux
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
i : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Reflective i
CategoryTheory.CartesianClosed C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts D
CategoryTheory.ExponentialIdeal i
A B : C
⊢ (CategoryTheory.bijection i A B ((CategoryTheory.reflector i).obj A ⨯ (CategoryTheory.reflector i).obj B)).symm
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.reflector i).obj A ⨯ (CategoryTheory.reflector i).obj B)) =
  CategoryTheory.Limits.prodComparison (CategoryTheory.reflector i) A B
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹
F : ℂ → E := fun z => (z - c) • f z
⊢ DifferentiableOn ℂ F (s \ {c}) ∧ ContinuousAt F c
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
⊢ a ≤ ↑⌈a⌉₊
R : Type u
σ : Type u_1
CommRing R
p : MvPolynomial σ R
q : MvPolynomial σ R
DecidableEq σ
hpq : Disjoint p.vars q.vars
⊢ (p - q).vars = p.vars ∪ q.vars
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
ϕ : τ → α → β
s : Set α
f₁ f₂ : Filter τ
hf : f₁ ≤ f₂
⊢ omegaLimit f₁ ϕ s ⊆ omegaLimit f₂ ϕ s
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasLimit (F ⋙ G)
j : J
⊢ post F G ≫ π (F ⋙ G) j = G.map (π F j)
G : Type u
inst✝ : Group G
⊢ centralizer ↑(commutator G) ≤ centralizer ↑⁅⊤, centralizer ↑(commutator G)⁆
α : Type u_1
m n : ℕ
L : List (List (Option α))
hm : m < L.length
⊢ List.take m L <+: List.take n L ↔ m ≤ n
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ : V → E
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
⊢ ‖fourierSMulRight L f v‖ = 2 * π * ‖L v‖ * ‖f v‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hμst : μ (s ∆ t) ≠ ⊤
u v : Set α
hμuv : μ (u ∆ v) ≠ ⊤
hμu : μ u = ⊤
hμv : μ v ≠ ⊤
⊢ μ (u ∆ v) = ⊤
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
h24 : Surreal.Multiplication.IH24 x₁ x₂ y
h4 : Surreal.Multiplication.IH4 x₁ x₂ y
hl : Surreal.Multiplication.MulOptionsLTMul x₂ y
i : x₂.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ Surreal.Multiplication.IH3 x₁ (x₂.moveLeft i) x₂ (y.moveLeft j) y
F : Type u → Type u
inst✝⁵ : Applicative F
inst✝⁴ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G H : Type u_1 → Type u_1
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : Applicative H
inst✝¹ : CommApplicative G
inst✝ : CommApplicative H
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → H γ
x : Multiset α
a✝ : List α
⊢ traverse (Comp.mk ∘ Functor.map h ∘ g) ⟦a✝⟧ = Comp.mk (traverse h <$> traverse g ⟦a✝⟧)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g✝ : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
g : D ⟶ E
n : ι
⊢ (nullHomotopicMap hom ≫ g).f n = (nullHomotopicMap fun i j => hom i j ≫ g.f j).f n
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ = c * ∫ (x : Ω), X x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
ha : ¬IsUnit a
hb : IsUnit b
⊢ ¬a ∣ b
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : T2Space A
inst✝⁴ : NonUnitalRing A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h✝ : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(quasispectrum 𝕜 a)
s : Set 𝕜
hs : CompactSpace ↑s
_inst : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
φ ψ : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜 →⋆ₙₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 } = ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 }
f : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜
hf : f ∈ ↑(adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id h0})
⊢ {ContinuousMapZero.id h0} ⊆ ↑(NonUnitalStarAlgHom.equalizer φ ψ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ 0 • sphere x r = sphere (0 • x) (‖0‖ * r)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ o.oangle x (r • y) = o.oangle x (-y)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
l : List α
⊢ l₁ ++ l ~ l₂ ++ l ↔ l₁ ~ l₂
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
β : Type v
f : α ⊕ β → Ordinal.{max (max u v) w}
⊢ (sup fun a => f (Sum.inl a)) ≤ sup f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ ContDiff 𝕜 n (f ∘ ⇑e) ↔ ContDiff 𝕜 n f
m✝ n : ℤ
x✝ : Odd n
m : ℤ
hm : n = 2 * m + 1
⊢ n % 2 = 1
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest
⊢ (TypeVec.id ::: ((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) <$$> y.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
f : γ → α
g : α → β
s : Finset γ
⊢ ⨅ x ∈ image f s, g x = ⨅ y ∈ s, g (f y)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
n : ℕ∞
h : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → Differentiable 𝕜 (iteratedDeriv m f)
⊢ ContDiff 𝕜 n f
α : Type u_1
DecidableEq α
Mul α
s t : Finset α
⊢ s.card * t.card ≤ s.mulEnergy t
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
MulOneClass α
MulOneClass β
MulOneClass γ
f : β →*o γ
g : α →*o β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
⊢ Finset.nonMemberSubfamily a (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜) = Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜
n : Type u_1
R : Type u₂
CommRing R
t : Matrix.TransvectionStruct n R
⊢ t.inv.c = -t.c
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
R : Type u_1
Distrib R
r : R
⊢ ⇑(AddHom.mulLeft r) = fun x => r * x
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
CommRing K
AddCommGroup V
Module K V
Finite ι
b : Basis ι K V
⊢ Cardinal.lift.{uK, uV} (Module.rank K V) = Module.rank K (Module.Dual K V)
a b a' b' c : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a a' → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b b' → a'.div b' = c → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a / b) c
I : Type u_1
A : Type u_2
X : I → Type u_3
inst✝¹ : (i : I) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : (i : I) → C(A, X i)
S : Set A
homotopies : (i : I) → (f i).HomotopyRel (g i) S
t : ↑unitInterval
x : A
hx : x ∈ S
i : I
⊢ (Homotopy.pi fun i => (homotopies i).toHomotopy).toContinuousMap (t, x) i = (f i) x
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
Countable α
κCond : α → ProbabilityTheory.Kernel β Ω
h_atom : ∀ (x y : α), x ∈ measurableAtom y → κCond x = κCond y
p : α × β
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.condKernelCountable κCond h_atom) p = (κCond p.1) p.2
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
o : Ordinal.{u}
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Profinite.NobelingProof.ord I (Profinite.NobelingProof.term I ho) = o
y : ℝ
hy : 0 < y
x c : ℝ≥0
left✝ : True
hc : ∀ x_1 ∈ Set.Ioi c, x_1 ^ y ∈ Set.Ioi x
⊢ ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞) in 𝓝 ⊤, ↑x < a ^ y
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a : α
hs : s.Pairwise r
h : ∀ b ∈ s, a ≠ b → r a b ∧ r b a
⊢ (insert a s).Pairwise r