ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
i j : J
x : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj i)
y : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj j)
h : ∃ k f g, (F.map f) x = (F.map g) y
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F i) x = (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j) y
α : Type u
ι : Sort x
f : ι → Filter α
p : ι → Prop
l : Filter α
h : ∀ {s : Set α}, s ∈ l ↔ ∃ i, p i ∧ s ∈ f i
⊢ l = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f ⊥
this : Continuous eval
⊢ closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' {0}
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < ↑δ
t : Set α
left✝ : MeasurableSet t
ht : μ t ≤ ENNReal.ofReal ↑δ
hunif : TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ↑δ
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K✝ : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
R : Type u_6
S : Type u_7
K : Type u_8
L : Type u_9
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : S
s : ↥S⁰
⊢ (algebraMap K L).IsIntegralElem ((algebraMap S L) x)
R : Type u_1
Ring R
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
v.RankOne
⊢ ∃ r, v r ≠ 0 ∧ v r ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
h : Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂
x : α
xa : a₁ < x
xb : x < b₁
h' : a₁ < a₂
⊢ False
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
⊢ (∀ U ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (xy : ↑S × ↑S) in 𝓤 ↑S, ∀ (i : ι), ((S.restrict ∘ F) i xy.1, (S.restrict ∘ F) i xy.2) ∈ U) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (xy : β × β) in map (Prod.map Subtype.val Subtype.val) (Filter.comap (Prod.map Subtype.val Subtype.val) (𝓤 β)), ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ U
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
n : ℕ
h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom
hpn : ¬2 ^ ((multiplicity 2 (n + 1)).get h + 1) ∣ n + 1
k : ℕ
hk : n + 1 = 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * k
⊢ Prime 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : ∀ (x : α), ↑e x = ↑e' x
hsymm : ∀ (x : β), ↑e.symm x = ↑e'.symm x
hs : e.source = e'.source
A : ↑e = ↑e'
B : ↑e.symm = ↑e'.symm
I : ↑e '' e.source = e.target
I' : ↑e' '' e'.source = e'.target
⊢ e = e'
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
n : ℕ
h : PseudoMetricSpace ((n : ℕ) × X n) := inductivePremetric I
x✝ : TopologicalSpace ((n : ℕ) × X n) := UniformSpace.toTopologicalSpace
x : X n
⊢ Quotient.mk'' ⟨n.succ, f n x⟩ = Quotient.mk'' ⟨n, x⟩
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ s t : Set α
⊢ 𝓟 s ⊓ 𝓟 t ≤ 𝓟 (s ∩ t)
x z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hz : z ≤ 0
⊢ x ^ z ≤ 1
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
A₁ A₂ : Set α
B₁ B₂ : Set β
f : α → β
n : ℕ
hA : A₁ ⊆ A₂
hf : IsMulFreimanHom n A₂ B₂ f
hf' : Set.MapsTo f A₁ B₁
⊢ IsMulFreimanHom n A₁ B₁ f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
x✝ : ℕ
⊢ x✝ ∈ Nat.cast ⁻¹' Ioc a b ↔ x✝ ∈ Ioc ⌊a⌋₊ ⌊b⌋₊
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x y : E
⊢ openSegment 𝕜 x y = openSegment 𝕜 y x
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} F
G : CategoryTheory.Functor C E
H : CategoryTheory.Functor D F
L₁ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ : CategoryTheory.Functor D C
L₂ : CategoryTheory.Functor E F
R₂ : CategoryTheory.Functor F E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
β : R₁.comp G ⟶ H.comp R₂
⊢ (CategoryTheory.mateEquiv adj₁ adj₂).symm β =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerRight adj₁.unit (G.comp L₂))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.whiskerLeft L₁ β) L₂)
      (CategoryTheory.whiskerLeft (L₁.comp H) adj₂.counit))
n : Nat
i : BitVec n
⊢ i.toInt = if 2 * i.toNat < 2 ^ n then ↑i.toNat else ↑i.toNat - ↑(2 ^ n)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x y : R
p : R[X][Y]
⊢ eval y (map (evalRingHom x) p) = evalEval x y p
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ ((D.f i i).c.app (op U) ≫ (D.t i i).c.app ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ invApp (D.f i i) (unop (op ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 (unop ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)))))) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ EuclideanGeometry.angle p₃ p₂ p₁ = π
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
⊢ ∃ u ⊆ t, u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ (CategoryTheory.opOpEquivalence C).counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.opOp C).comp (CategoryTheory.unopUnop C))
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
H : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c) ^ (-↑n - 1)) = 0
this : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ 0 * (z - c)⁻¹) = 2 * ↑π * I
n : ℕ
hn : n ≠ 0
z : ℂ
hz✝ : z ∈ sphere c R
⊢ (z - c)⁻¹ ^ n * (z - c)⁻¹ = (z - c) ^ (-↑n - 1)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s t : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
hst : s =ᵐ[μ] t
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ = ∫ (x : X) in t, f x ∂μ
α : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
c : α
n : ℕ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => c * x ^ n) Filter.atTop Filter.atTop ↔ n ≠ 0 ∧ 0 < c
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
n' a : ℤ
γ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
x : R
⊢ (rightShiftLinearEquiv R K L n a n' hn).symm (x • γ) = x • γ.rightUnshift n hn
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
inst✝ : f.NeBot
p : α → Prop
q : Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p x → q) ↔ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) → q
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
Module R₁ M₃
f : M₁ →L[R₁] M₂
g : M₁ →L[R₁] M₃
⊢ LinearMap.ker (f.prod g) = LinearMap.ker f ⊓ LinearMap.ker g
α : Type u_1
CommSemiring α
E : LinearRecurrence α
init : Fin E.order → α
n : Fin E.order
⊢ E.mkSol init ↑n = init n
⊢ Primrec fun p => Nat.Partrec.Code.lup p.1 p.2.1 p.2.2
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ Multiset.dedup 0 = 0
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n).Monic
X T : TopCat
U : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (X.presheafToTop T).obj U = ((TopologicalSpace.Opens.toTopCat X).obj (Opposite.unop U) ⟶ T)
A B : TopCat
⊢ (projLeft A B).prod' (projRight A B) ⋙ prodToProdTop A B = 𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
x : α
⊢ [].formPerm.toList x = []
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E✝ : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E✝
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
D_comp : CompactSpace ↑D
π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val
π₁_cont : Continuous π₁
π₁_surj : Surjective π₁
E : Set ↑D
left✝ : CompactSpace ↑E
E_onto : π₁ '' E = univ
E_min : ∀ (E₀ : Set ↑E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → E.restrict π₁ '' E₀ ≠ univ
ρ : ↑E → A := E.restrict π₁
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Surjective ρ
ρ' : ↑E ≃ₜ A := ExtremallyDisconnected.homeoCompactToT2 ρ_cont ρ_surj E_min
π₂ : ↑D → B := Prod.snd ∘ Subtype.val
π₂_cont : Continuous π₂
x : ↑E
⊢ (f ∘ E.restrict π₂) x = (φ ∘ ⇑ρ') x
R : Type u
Semiring R
p : R[ℕ]
n : ℕ
⊢ { toFinsupp := Finsupp.erase n p } = Polynomial.erase n { toFinsupp := p }
R : Type u_1
CommSemiring R
f : PowerSeries R
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R n) ((PowerSeries.derivative R) f) = (PowerSeries.coeff R (n + 1)) f * (↑n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
f : α → β
inst✝ : WellFoundedLT β
hf : StrictMono f
s : Set α
hne : s.Nonempty
hs' : (f '' s).Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
hex : f x = ⋯.min (f '' s) hs'
y : α
hy : y ∈ s
hlt : y < x
⊢ f y < ⋯.min (f '' s) hs'
α : Type u_1
ι : Type u_3
CompleteLattice α
t : ι → α
⊢ (CompleteLattice.Independent fun i => t ↑i) ↔ CompleteLattice.Independent t
B : Type u
Quiver B
a b : CategoryTheory.FreeBicategory B
f : a ⟶ b
⊢ Quot.mk CategoryTheory.FreeBicategory.Rel (CategoryTheory.FreeBicategory.Hom₂.right_unitor_inv f) =
  (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).inv
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆
m : M
x : ↥I
n : M
hn : n ∈ N ⊔ N'
h : ⁅↑x, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m
n₁ : M
hn₁ : n₁ ∈ N
n₂ : M
hn₂ : n₂ ∈ N'
hn' : n₁ + n₂ = n
⊢ ∃ y ∈ ⁅I, N⁆, ∃ z ∈ ⁅I, N'⁆, y + z = m
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
⊢ m.IsCaratheodory ∅
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : ℕ → R
i : Fin n
⊢ TruncatedWittVector.coeff i ((truncate n) { coeff := f }) = TruncatedWittVector.coeff i (TruncatedWittVector.mk p fun k => f ↑k)
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
⊢ ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : Tendsto f l (𝓝 1)
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((Norm.norm ∘ g) a) C
⊢ Tendsto (fun x => op (f x) (g x)) l (𝓝 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.fullMonoidalSubcategoryInclusion P).ε = CategoryTheory.CategoryStruct.id (𝟙_ C)
α : Type u_1
β : Type u_2
p : PMF α
b : β
⊢ PMF.map (Function.const α b) p = PMF.pure b
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : b * a = 1
⊢ b = 1 / a
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x : α
h : IsClosed s
hs : s.Nonempty
⊢ x ∉ s ↔ 0 < Metric.infDist x s
p n : ℕ
⊢ padicValInt p ↑n = padicValNat p n
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : Type u_2
MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
NormedDivisionRing β
BorelSpace β
hXY : ProbabilityTheory.IndepFun X Y μ
h'XY : MeasureTheory.Integrable (X * Y) μ
hX : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable X μ
hY : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᵐ[μ] 0
⊢ MeasureTheory.Integrable Y μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).unop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (Opposite.unop X)).symm
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y z : F
⊢ ⟪x, y - z⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪x, z⟫_𝕜
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hr0' : r ≠ 0
hr1' : r ≠ 1
⊢ -(1 - r) / r < 0 ∧ p₃ -ᵥ p₂ = (-(1 - r) / r) • (p₁ -ᵥ p₂)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
(CategoryTheory.Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P (CategoryTheory.Presieve.ofArrows X π) ↔
  ∀ (x : (i : I) → P.obj (Opposite.op (X i))),
    CategoryTheory.Presieve.Arrows.PullbackCompatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
⊢ lineCount L p = lineCount L q
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
⊢ ∀ (g : Fin 1 → R), ∑ i : Fin 1, g i • (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩) i = 0 → ∀ (i : Fin 1), g i = 0
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
⊢ IsCauSeq norm (newton_seq_gen hnorm)
α : Type u_1
m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ (μ.withDensity f).trim hm = (μ.trim hm).withDensity f
A : Type u_1
B : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Star B
f : A →⋆ₙ+* B
f' : A → B
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
⊢ ‖∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v‖ < ε
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
h : Y✝ ⟶ Z✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsIso (f ≫ g)
⊢ IsIso g
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
⊢ s.bind pure = s ∨ ∃ s_1, s.bind pure = s_1.bind pure ∧ s = s_1
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s : Set α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
⊢ (μ.trim hm).toOuterMeasure = μ.trim
q : ℚ≥0
⊢ (↑q).num.natAbs = q.num
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hKδ : cthickening δ K ⊆ U
⊢ ∃ δ > 0, cthickening δ K ⊆ U ∧ TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
ι : Type u_1
Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Set.Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
⊢ HasSum (fun i => (s + 1).Gammaℝ * a i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s) (mellin F ((s + 1) / 2))
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
SMul M β
m : MeasurableSpace α
g : α → β
MeasurableSMul M β
μ : MeasureTheory.Measure α
hg : AEMeasurable g μ
c : M
⊢ AEMeasurable (fun x => c • g x) μ
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
t : Set α
hf : IntegrableOn f t μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ (s ∩ t) < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] f
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α ≃o β
s : Set α
⊢ f (sSup s) = sSup (⇑f.symm ⁻¹' s)
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Z.Opens
V : X.Opens
e : V ≤ (TopologicalSpace.Opens.map (f ≫ g).val.base).obj U
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE (f ≫ g) U V e =
  AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app g U ≫
    AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f ((TopologicalSpace.Opens.map g.val.base).obj U) V e
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.154709, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : HasPullbacks D
inst✝ : HasColimitsOfShape J D
F : J ⥤ C ⥤ D
c : Cocone F
hc : ∀ (x : C), IsVanKampenColimit (((evaluation C D).obj x).mapCocone c)
F' : J ⥤ C ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ c.pt
e : α ≫ c.ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f (c.ι.app j)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
hA : IsUnit A.det
b : Basis m R (m → R) := Pi.basisFun R m
⊢ (A * B).rank = B.rank
n : ℕ
i j : Fin n
⊢ ↑i = ↑j → i = j
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P
⊢ (Finset.affineCombination k (s \ s₂) p) w -ᵥ (Finset.affineCombination k s₂ p) (-w) = (s.weightedVSub p) w
θ : Real.Angle
⊢ θ.tan = θ.sin / θ.cos
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
self : w.GuitartExact
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
⊢ CategoryTheory.IsConnected (w.StructuredArrowRightwards g)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
⊢ f ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
s : ℂ
⊢ LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) s ↔ 1 < s.re
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₂ : CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
h₁ : CategoryTheory.Epi φ.τ₁
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap φ)
k G : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Group G
A : Rep k G
inst✝ : A.IsTrivial
f : ↥(oneCocycles A)
g h : G
⊢ ↑f (g * h) = ↑f g + ↑f h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ μ (closedBall 0 1) ≠ ⊤
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.prod 0 = 0
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ W.preΨ (2 * (↑m + 2) + 1) =
  (W.preΨ (↑m + 4) * W.preΨ (↑m + 2) ^ 3 * if Even m then W.Ψ₂Sq ^ 2 else 1) -
    W.preΨ (↑m + 1) * W.preΨ (↑m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else W.Ψ₂Sq ^ 2
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ s ⊂ t ↔ ∃ a, ∃ (h : a ∉ s), Finset.cons a s h ⊆ t
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
dim_pos : 0 < Fintype.card ι
ε : ℝ := ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
ε_eq : ε = ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
hε : 0 < ε
ε_le : ↑(normBound abv bS) * (abv b • ε) ^ ↑(Fintype.card ι) ≤ ↑(abv b) ^ ↑(Fintype.card ι)
μ : Fin (cardM bS adm).succ ↪ R := distinctElems bS adm
hμ : μ = distinctElems bS adm
s : ι →₀ R := bS.repr a
s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i
qs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i / b
rs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i % b
r_eq : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ) (i : ι), rs j i = μ j * s i % b
μ_eq : ∀ (i : ι) (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j * s i = b * qs j i + rs j i
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - b • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b))
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x✝ y✝ z a b : α
x y : ↑(Icc (a ⊓ b) a)
⊢ { toFun := fun x => ⟨↑x ⊔ b, ⋯⟩, invFun := fun x => ⟨a ⊓ ↑x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } x ≤ { toFun := fun x => ⟨↑x ⊔ b, ⋯⟩, invFun := fun x => ⟨a ⊓ ↑x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } y ↔ x ≤ y
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
⊢ #↑(Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a) < 𝔠
G : Type u_3
α : Type u_7
AddGroup G
AddAction G α
g : G
a b : α
⊢ -g +ᵥ a = b ↔ a = g +ᵥ b