ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
ae_eq₁ : ↑(toSimpleFunc f).posPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))
⊢ integral f = ‖posPart f‖ - ‖negPart f‖
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Projectivization.Independent f ↔ CompleteLattice.Independent fun i => (f i).submodule
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
⊢ Int.clog b 0 = 0
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ μ.testAgainstNN 1 = μ.mass
α : Type u_1
Preorder α
u : Set α
⊢ IsOpen (⇑Topology.WithScott.ofScott ⁻¹' u) ↔ IsUpperSet u ∧ TopologicalSpace.IsOpen u
α β γ : Type u
F : Type u → Type v
Applicative F
LawfulApplicative F
x : F (α → β)
f : γ → α
y : F γ
⊢ (Seq.seq x fun x => f <$> y) = Seq.seq ((fun x => x ∘ f) <$> x) fun x => y
R : Type u_1
x : R
MonoidWithZero R
Nontrivial R
⊢ nilpotencyClass x = 1 ↔ x = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
f✝ : R →+* S
M : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : IsScalarTower R A M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M
N : Submodule R M
hN : N ≠ ⊥
hN' : N.FG
x : A
hx : ∀ n ∈ N, x • n ∈ N
A' : Subalgebra R A := { carrier := {x | ∀ n ∈ N, x • n ∈ N}, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := ⋯ }
f : ↥A' →ₐ[R] Module.End R ↥N := AlgHom.ofLinearMap { toFun := fun x => (DistribMulAction.toLinearMap R M x).restrict ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ⋯ ⋯
a : M
ha₁ : a ∈ N
ha₂ : a ≠ 0
⊢ IsIntegral R x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Continuous (g ∘ f) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Z⦄, Tendsto (g ∘ f) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, (g ∘ f) x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
𝒰 : Ultrafilter X
y : Y
h : Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)
x : X
hx : ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
⊢ ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
CommRing A
CommRing B
CommRing C
f : A →+* B
g : B →+* C
hf : f.FiniteType
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ (g.comp f).FiniteType
M : Type u_4
A : Type u_5
AddMonoid M
SetLike A M
AddSubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
n : ℕ
⊢ n • x ∈ S
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
h_ne : ¬A = B
v : n → 𝕜
t : ℝ
ht : t ≠ 0
hv : v ≠ 0
hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v
h_sum : star v ⬝ᵥ A *ᵥ v + star v ⬝ᵥ B *ᵥ v = 0
h_van : star v ⬝ᵥ A *ᵥ v = 0 ∧ star v ⬝ᵥ B *ᵥ v = 0
aux : star v ⬝ᵥ (A - B) *ᵥ v = 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ⟪x, x⟫_𝕜 = 0 ↔ x = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso g
⊢ pushout.inr f g ≫ inv (pushout.inl f g) = inv g ≫ f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
r : ℝ≥0
⊢ ↑r • j = r • j
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : Filter β
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (a : α) in Filter.comap f l, p a) ↔ ∀ᶠ (b : β) in l, ∀ (a : α), f a = b → p a
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
a0 : a ≠ 0
n : ℤ
⊢ (Finsupp.single n a).support = {n}
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1
⊢ x ^ y ≤ x ^ z ↔ z ≤ y
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ
⊢ f^[n % minimalPeriod f x] x = f^[n] x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : Set α
t : Set β
⊢ lowerClosure (s ×ˢ t) = lowerClosure s ×ˢ lowerClosure t
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
m : Matrix n n R[X]
i j : n
⊢ (m i j).support ⊆ (matPolyEquiv m).support
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace Y
f : X → Y
hf : Inducing f
s : Set X
x : X
hx : x ∈ closure s
⊢ x ∈ seqClosure s
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f p : R[X]
⊢ (quotQuotEquivComm I f).symm ((Ideal.Quotient.mk (span {(Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) f})) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p)) = (Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) p)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G
h : QuasiIso (forget₂ToModuleCatHomotopyEquiv k G).hom
⊢ QuasiIso (((forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map (εToSingle₀ k G))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
p : ℝ
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
h : f x ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => f x ^ p) x
α : Type u
β : Type v
s : Set α
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ StrictAntiOn f s ↔ StrictAnti fun a => f ↑a
X : Type u
TopologicalSpace X
n : ℕ
f : ℕ → Set X
⊢ interior (⋂ m, ⋂ (_ : m ≤ n), f m) = ⋂ m, ⋂ (_ : m ≤ n), interior (f m)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : StrictAnti f
⊢ Set.MapsTo f (Set.Ioo a b) (Set.Ioo (f b) (f a))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h'f : 0 ≤ f
M : MeasurableSet (Set.Ioc 0 A)
M' : MeasurableSet (Set.Ioc A 0)
hA : A < 0
⊢ ∫ (x : α), (fun z => (Set.Ioc 0 A).indicator id z ^ n) (f x) ∂μ = ∫ (y : ℝ) in 0 ..A, y ^ n ∂Measure.map f μ
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
s : Set (Filter α)
l : Filter α
⊢ l ∈ closure s ↔ ∀ t ∈ l, ∃ l' ∈ s, t ∈ l'
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
e : α ≃ β
q : β → Prop
h : Computable ⇑e
⊢ (q ∘ ⇑e) ≤₁ q
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
H : Subgroup G
hH : IsCompact ↑H
t : Set G
ht : IsClosed t
⊢ ⋃ x, (fun x_1 => x_1 * ↑x) '' t = t * ↑H
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Finset α
h : Function.mulSupport f ⊆ ↑s
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ i ∈ s, f i
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (γ : G) (x : α), f (γ • x) = f x
a : ℝ≥0∞
ha : (μ.restrict s) {x | a < f x} = 0
⊢ a ∈ {a | μ {x | a < f x} = 0}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f g : α →₀ M
x✝ : f.support = g.support ∧ ∀ x ∈ f.support, f x = g x
h₁ : f.support = g.support
h₂ : ∀ x ∈ f.support, f x = g x
a : α
⊢ f a = g a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : OrderedRing E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : OrderClosedTopology E
l : E
f : ℕ → E
hfl : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)
hfa : Antitone f
k : ℕ
ha : Antitone fun n => ∑ i ∈ Finset.range (2 * n + 1), (-1) ^ i * f i
⊢ l ≤ ∑ i ∈ Finset.range (2 * k + 1), (-1) ^ i * f i
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P Q
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Sort u_1
U : ι → ↑Y.affineOpens
hU : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤
⊢ P f ↔ ∀ (i : ι), Q (f ∣_ ↑(U i))
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
key : 16 ^ P.parts.card = ↑((chunk hP G ε hU).parts ×ˢ (chunk hP G ε hV).parts).card
⊢ ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^ 2 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
⊢ (↑a)⁻¹.toNNReal = (↑a).toNNReal⁻¹
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)
⊢ ((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)
α : Type u_1
CompleteLattice α
⊢ ↑(CompleteLat.of α) = α
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
BoundedOrder α
Lattice β
BoundedOrder β
FunLike F α β
BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α
h : Disjoint a b
⊢ Disjoint (f a) (f b)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* S
g : τ → S
h : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (eval₂Hom f g) ((bind₁ h) φ) = (eval₂Hom f fun i => (eval₂Hom f g) (h i)) φ
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F
f : V₀ ⟶ V₁
g : V₁ ⟶ V₂
h : V₀.V ≅ V₁.V
w : autoParam (V₀.str ≫ F.map h.hom = h.hom ≫ V₁.str) _auto✝
⊢ V₀.str ≫ F.map (h.hom ≫ h.inv) = V₀.str
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ Subsingleton I.Cotangent ↔ IsIdempotentElem I
C : Type u_4
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_4} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
X : C
h : whiskerLeft F (zero F s i).inv = (i 0 ≪≫ isoWhiskerRight (shiftFunctorZero C A) F ≪≫ F.leftUnitor ≪≫ F.rightUnitor.symm).inv
⊢ (zero F s i).inv.app (F.obj X) = F.map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X) ≫ (i 0).inv.app X
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : stabilizer G a ≤ H
g : G
h₁ h₂ : ↥H
h : (fun x => g • x) ((fun m => m • a) h₁) = (fun m => m • a) h₂
⊢ g • ↑h₁ • a = ↑h₂ • a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : ¬μ univ = 0
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < g x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ univ → f x < g x
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ M₁
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁
inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
this✝ : UniformSpace M₂ := TopologicalAddGroup.toUniformSpace M₂
this : UniformAddGroup M₂
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ U ∈ map (⇑f) (𝓝 0)
a c b d : Nat
hac : a ≤ c
hbd : b < d
ha : 0 < a
⊢ a * b < c * d
α : Type u_1
SeminormedRing α
l : List α
⊢ l ≠ [] → ‖l.prod‖ ≤ (List.map norm l).prod
α : Type u
β : Type v
x✝ x y : FreeMagma α
hx : (toFreeSemigroup x).length = x.length
hy : (toFreeSemigroup y).length = y.length
⊢ x.length + y.length = (x * y).length
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
u v : α → β
l : Filter α
inst✝ : OrderTopology β
huv : u ~[l] v
hu : Tendsto u l atBot
⊢ v = Neg.neg ∘ fun x => -v x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v₁, u_1} D
inst✝ : Preadditive D
ι✝¹ : Type
fintype✝¹ : Fintype ι✝¹
X✝¹ : ι✝¹ → C
i✝ : ((𝟭 C).mapMat_.obj (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).ι
ι✝ : Type
fintype✝ : Fintype ι✝
X✝ : ι✝ → C
j✝ : ((𝟭 (Mat_ C)).obj (Mat_.mk ι✝ X✝)).ι
f : Mat_.mk ι✝¹ X✝¹ ⟶ Mat_.mk ι✝ X✝
⊢ ((𝟭 C).mapMat_.map f ≫ ((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝ X✝)).hom) i✝ j✝ = (((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).hom ≫ (𝟭 (Mat_ C)).map f) i✝ j✝
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M.Coindep X ↔ ∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E \ X
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U : Set M
hU : IsOpen U
hSig : IsSigmaCompact U
hf : LocallyIntegrableOn f U μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, x ∈ U → f x = 0
α : Type u_7
self : MeasurableSpace α
⊢ self.MeasurableSet' ∅
a b c : Ordinal.{u}
⊢ a ♯ 1 = succ a
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
s : Set E
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a c d : α
⊢ -a ∈ Set.Ioc c d ↔ a ∈ Set.Ico (-d) (-c)
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝¹ : SeparableSpace ↑s
this✝ : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k => Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i => ↑(φ k) ∘ X i
A : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (fun ω => ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) a))
ω : Ω
hω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
h'ω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) a‖))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ + δ + δ < ε
k : ℕ
hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ < δ
this : ‖(∫ (a : Ω), Y k 0 a) - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < δ
I : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ
J : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (a : Ω), Y k 0 a‖ < δ
n : ℕ
hn : (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ
h'n : ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (a : Ω), Y k 0 a‖ < δ
⊢ ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < ε
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
Finite ι
T2Space E
v : Basis ι 𝕜 E
x : E
⊢ v.equivFunL.symm ⇑(v.repr x) = x
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
Fintype ↑G.edgeSet
⊢ Finset.univ.card = G.edgeFinset.card
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
⊢ HasEigenvector (↑T) (↑(⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x)) x₀
⊢ ∫ (x : ℝ), (1 + x ^ 2)⁻¹ = π
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇨ b = ⊤ ↔ a ≤ b
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
self : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution' hζ
⊢ ¬hζ.toInteger - 1 ∣ self.a
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a
h_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k
m : ℤ
hm : m ∈ s
hm' : ∀ z ∈ s, z ≤ m
hm'' : g < (m + 1) • a
n : ℤ
hn : (fun k => k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a) n
⊢ m • a < (n + 1) • a
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun x => True) fun n => {p | edist p.1 p.2 < (↑n)⁻¹}
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ a ∈ [[b, c]] ↔ b ≤ a ∧ a ≤ c ∨ c ≤ a ∧ a ≤ b
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x y : 𝕎 R
⊢ (x * y).coeff 0 = x.coeff 0 * y.coeff 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
a : α
⊢ ∀ (b' : β), b' ≠ b → Pi.mulSingle b a b' = 1
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ (-o).oangle y (x + y) = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖x + y‖))
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
A : Matrix m n S
⊢ (Matrix.mvPolynomialX m n R).map (MvPolynomial.eval₂ f fun p => A p.1 p.2) = A
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.Ici a) = {a}
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ 1 < a * b⁻¹ ↔ b < a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
f : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
g : α → E
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp f p (μ.restrict s)
hg : Memℒp g p (μ.restrict sᶜ)
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : p ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖s.piecewise f g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ < ⊤ ∧ ∫⁻ (x : α) in sᶜ, ↑‖s.piecewise f g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ < ⊤
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
v : M
h : P.pairing i j = 0 ∧ P.pairing j i = 0
⊢ v - (P.toLin v) (P.coroot i) • P.root i - (P.toLin v) (P.coroot j) • P.root j = v - (P.toLin v) (P.coroot j) • P.root j - (P.toLin v) (P.coroot i) • P.root i
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
⊢ (X ^ n).leadingCoeff = 1
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y
⊢ 2 / (1 - rexp (-π * τ.im)) * rexp (-π * τ.im) ≤ 2 / (1 - rexp (-π)) * ‖rexp (-π * τ.im)‖
α : Type u
a : α
⊢ Eq { down := a }.down a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
Subsingleton ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), MeasureTheory.Memℒp (f i) p μ
⊢ MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
β : Type u_2
Group β
ι : Sort u_3
us' : ι → UniformSpace β
h' : ∀ (i : ι), UniformGroup β
⊢ UniformGroup β
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cocycle K F 1
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G 0
eq : CochainComplex.HomComplex.δ 0 1 β + (↑α).comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q
⊢ (CochainComplex.mappingCone.lift φ α β eq).f p =
  (↑α).v p q hpq ≫ (CochainComplex.mappingCone.inl φ).v q p ⋯ + β.v p p ⋯ ≫ (CochainComplex.mappingCone.inr φ).f p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
⊢ ‖ContinuousLinearMap.adjointAux A‖ = ‖A‖
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ δ i.castSucc ≫ σ i = 𝟙 [n]
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
hA : A.det ≠ 0
B : E ≃L[ℝ] E := A.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hA
I : ENNReal.ofReal |(↑B.symm).det| < ↑m⁻¹
δ₀ : ℝ≥0
δ₀pos : 0 < δ₀
hδ₀ : ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g (↑B.symm) t δ₀ → μ (g '' t) ≤ ↑m⁻¹ * μ t
L1 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹
L2 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ < δ₀
⊢ {x | (fun δ => ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → ↑m * μ s ≤ μ (f '' s)) x} ∈ 𝓝 0
x y✝ z✝ : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ⊆ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y
⊢ z ⊆ x
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
CommSemiring R
b : S₁
⊢ (MvPolynomial.sumToIter R S₁ S₂) (MvPolynomial.X (Sum.inl b)) = MvPolynomial.X b
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ
f : X → ℝ
hf : Continuous f
hfs : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := hf }) 0 s
hft : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := hf }) 1 (interior k)ᶜ
h'f : ∀ (x : X), { toFun := f, continuous_toFun := hf } x ∈ Icc 0 1
A : t ⊆ (interior k)ᶜ
⊢ ∃ f, EqOn (⇑f) 1 s ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
⊢ y ∈ f '' closedBall b ε
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
v : V
⊢ (toBaseChange A Q) ((ofBaseChange A Q) (1 ⊗ₜ[R] (ι Q) v)) = 1 ⊗ₜ[R] (ι Q) v
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
Nonempty α
h : Set.InjOn f s
⊢ Set.LeftInvOn (Function.invFunOn f s) f s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
x : (b : β) → π b
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
p : (b : β) → π b
⊢ p ∈ closedBall x r ↔ p ∈ Set.univ.pi fun b => closedBall (x b) r
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ LinearMap.toSpanSingleton R M 0 = 0