ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g : α → β
inst✝¹ : SMul 𝕜 β
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f' : α → β
h_f'_meas : StronglyMeasurable f'
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'
⊢ AEStronglyMeasurable' m (c • f) μ
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
this : listTransvecCol M = listTransvecCol (M * (listTransvecRow M).prod)
⊢ ((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow M).prod) (inl i) (inr ()) = 0
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
Fintype ι
c : ℝ≥0
h₁ : π.boxes.Nonempty
h₂ : ∀ J ∈ π, J.distortion = c
⊢ π.distortion = c
o : Ordinal.{u}
o' : Ordinal.{v}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max (max u v) w}
g : (a : Ordinal.{v}) → a < o' → Ordinal.{max (max u v) w}
h : {o_1 | ∃ i, ∃ (hi : i < o), f i hi = o_1} = {o | ∃ i, ∃ (hi : i < o'), g i hi = o}
⊢ o.blsub f = o'.blsub g
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : C
⊢ R.map (L.map (h.unit.app X)) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X)) = 𝟙 (R.obj (L.obj X))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictInitialObjects C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct (⊥_ C) X
⊢ (CategoryTheory.Limits.initialMul X).inv = CategoryTheory.Limits.initial.to ((⊥_ C) ⨯ X)
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ x ≤ y ↔ (∀ (i : x.LeftMoves), (∃ i', x.moveLeft i ≤ y.moveLeft i') ∨ ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), (∃ i, x ≤ (y.moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', x.moveRight j' ≤ y.moveRight j
G : Type u_1
AddCommGroup G
s : Set G
hs : IsAddSubgroup s
⊢ IsNormalAddSubgroup s
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
S : Submodule R M
⊢ S.cardQuot = Nat.card (M ⧸ S)
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
s : Set α
⊢ s.Intersecting ↔ (s.Pairwise fun a b => ¬Disjoint a b) ∧ s ≠ {⊥}
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)
⊢ firstDiff x y < shortestPrefixDiff x s
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
Fintype ι
x : DirectSum ι fun i => β i
⊢ ∑ i : ι, (DirectSum.of β i) (x i) = x
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
δ : ℝ≥0∞
h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε
δ_top : ¬δ = ⊤
x : ℝ≥0∞
B : Set Ω
x_pos : 0 < x
x_lt_top : x < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
⊢ μ B ≤ ν (thickening (δ + x).toReal B) + δ + x ∧ ν B ≤ μ (thickening (δ + x).toReal B) + δ + x
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
e : ι → β
f : ι → α
hf : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
he : Injective e
i j : ι
⊢ ∃ z, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (extend e f ⊥ (e i)) (extend e f ⊥ z) ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (extend e f ⊥ (e j)) (extend e f ⊥ z)
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
f : M.V ≅ N.V
comm : ∀ (g : ↑G), M.ρ g ≫ f.hom = f.hom ≫ N.ρ g := by aesop_cat
⊢ (Action.mkIso f comm).hom.hom = f.hom
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
⊢ M.Basis' I X ↔ M.Basis I (M.closure X) ∧ I ⊆ X
R : Type u_1
Semiring R
a : R
n : ℤ
⊢ (LaurentPolynomial.C a * LaurentPolynomial.T n).support ⊆ {n}
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Type u_3
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ∑' (i : ι), f i x') s x
α : Type u_1
β : Type u_2
EDist α
d : ENNReal
f : β → α
s : Set β
⊢ d ≤ (f '' s).einfsep ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x ≠ f y → d ≤ edist (f x) (f y)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
⊢ p.trailingDegree = ↑p.natTrailingDegree
Ω : Type u_1
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s t : Set Ω
⊢ ProbabilityTheory.IndepSets {s} {t} μ ↔ μ (s ∩ t) = μ s * μ t
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Z → X
hf : IsOpenMap (⇑h ∘ f)
⊢ IsOpenMap f
a✝ b✝ : ℤ
n✝ a b n : ℕ
a_lt_n : a < n
b_lt_n : b < n
⊢ |↑a - ↑b| < ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
e : γ ≃ β
⊢ Multipliable (f ∘ ⇑e) ↔ Multipliable f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s✝ : Set E
x✝ : E
ι : Sort u_5
s : ι → Set E
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
hc : ∀ ⦃i : ι⦄, Convex 𝕜 (s i)
x : E
hx : ∃ i, x ∈ s i
y : E
hy : ∃ i, y ∈ s i
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∃ i, a • x + b • y ∈ s i
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A
⊢ IsUnit (fromBlocks A B C D) ↔ IsUnit (D - C * ⅟A * B)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : a < b
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-a)
this : log =o[𝓝[>] 0] fun t => t ^ (a - b)
⊢ (fun t => log t • f t) =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
I I' : C
hI : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
hI' : CategoryTheory.Limits.IsInitial I'
⊢ (hI.uniqueUpToIso hI').inv = hI'.to I
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M
v : n → M₁
h : ∀ (i j : n), i ≠ j → (B.flip (v i)) (v j) = 0
i j : n
hij : i ≠ j
⊢ (B (v i)) (v j) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
p : α → Prop
f : α →₀ M
hf : ∀ x ∈ f.support, p x
H : ∀ (x : α), p x → f x = 0
x : α
⊢ f x = 0 x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set 𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
q : R[X]
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => (Polynomial.aeval x) q) s
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D
F' F'' : CategoryTheory.Functor D H
e : F' ≅ F''
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : L.comp F' ⟶ F
α' : L.comp F'' ⟶ F
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft L e.hom) α' = α
F'.IsRightKanExtension α
⊢ F''.IsRightKanExtension α'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.δ (CategoryTheory.Limits.pushout.inr S.L₂.f S.v₂₃.τ₁)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.pullback.fst S.L₁.g S.v₀₁.τ₃)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.v₁₂.τ₂ (CategoryTheory.Limits.pushout.inl S.L₂.f S.v₂₃.τ₁))
α : Type u_1
o o' : Option α
x : α
⊢ (o.orElse fun x => o') = some x ↔ o = some x ∨ o = none ∧ o' = some x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
ha : a ∈ Ici a
has : a ∈ s
b : β
hb : b < f a
⊢ ∀ᶠ (b_1 : α) in 𝓝[≥] a, b < f b_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i
⊢ ((Finset.filter pred s).weightedVSub p) w = (s.weightedVSub p) w
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.colimit F) → Nonempty J
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Ico a b ↔ x✝ ∈ Ico ⌈a⌉ ⌈b⌉
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
f f' : t ⟶ s
⊢ f = f'
α : Type u_1
DecidableEq α
Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.mulETransformLeft e x).2.card + (Finset.mulETransformRight e x).2.card = 2 * x.2.card
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t₁ t₂ : Set β
⊢ s -ᵥ t₁ ∩ t₂ ⊆ (s -ᵥ t₁) ∩ (s -ᵥ t₂)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
⊢ σ.supportᶜ.card ≡ Fintype.card α [MOD p]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α
⊢ -toIcoDiv hp a z✝ • p ∈ AddSubgroup.zmultiples p
x : ℝ
⊢ Real.arsinh (-x) = -Real.arsinh x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Set α
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set α
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hs : s ⊆ ⋃ i, U i
t : Finset ι✝
ht : ↑{ carrier := ⋃ i, U i, is_open' := ⋯ } ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
⊢ ∃ t, s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
α : Type u
PseudoMetricSpace α
p : α → Prop
x : α
H : ∃ᶠ (R : ℝ) in Filter.atTop, ∀ y ∈ Metric.ball x R, p y
y : α
⊢ p y
x y : ℝ
hxy : x < y
⊢ Icc x y ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt y
n : ℕ
θ : SimplexCategory.mk n ⟶ SimplexCategory.mk (n + 1)
CategoryTheory.Mono θ
⊢ ∃ i, θ = SimplexCategory.δ i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Preregular C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
X : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.regularTopology D) A
⊢ ∀ (X_1 : Dᵒᵖ),
  ((e.sheafCongrPreregular A).counitIso.hom.app X).val.app X_1 = X.val.map (e.counitIso.inv.app (Opposite.unop X_1)).op
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ ofFn f = pmap (fun i hi => f ⟨i, hi⟩) (range n) ⋯
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s₁ s₂ : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (s₁ ∪ s₂).sigma t = s₁.sigma t ∪ s₂.sigma t
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Mul β
ContinuousMul β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
c : β
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => f x * c
R : Type u_1
StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
v₁ v₂ : RayVector R M
⊢ -v₁ ≈ -v₂ ↔ v₁ ≈ v₂
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
HU : ∀ (u : ℕ → α), (∀ (N m n : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → (u m, u n) ∈ U N) → ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)
U' : ℕ → Set (α × α)
hU' : ∀ {s : Set (α × α)}, s ∈ 𝓤 α ↔ ∃ i, U' i ⊆ s
Hmem : ∀ (n : ℕ), U n ∩ U' n ∈ 𝓤 α
f✝ : Filter α
hf : Cauchy f✝
N m n : ℕ
hm : N ≤ m
hn : N ≤ n
⊢ (SequentiallyComplete.seq hf Hmem m, SequentiallyComplete.seq hf Hmem n) ∈ U N
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ -x < 0 ↔ 0 < x
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
B : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory B
CategoryTheory.Bicategory.Strict B
F : CategoryTheory.Functor I B
i : CategoryTheory.LocallyDiscrete I
⊢ F.toPseudoFunctor.obj i = F.obj i.as
n : Type u_3
α : Type u_5
R : Type u_6
Fintype n
AddCommMonoid R
Monoid α
DistribMulAction α R
r : α
A : Matrix n n R
⊢ (r • A).trace = r • A.trace
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ g✝ : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
f : Ultrafilter α
g : Filter α
⊢ Disjoint (↑f) g ↔ ¬↑f ≤ g
α : Type u
s : Computation α
a : α
⊢ s.destruct = Sum.inl a → s = Computation.pure a
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : F.obj j
⊢ CategoryTheory.Limits.Types.Quot.ι F j' (F.map f x) = CategoryTheory.Limits.Types.Quot.ι F j x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (X ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ X (𝟙_ C)).hom) ≫ (β_ X (𝟙_ C)).inv = (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ X ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ X (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ X (𝟙_ C)).inv
α : Type u
One α
a : α
⊢ 1 = ↑a ↔ a = 1
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
⊢ a⁺ᵐ ≤ 1 ↔ a ≤ 1
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
s : Set E
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ ∃ C, ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ C
α : Type u_1
l : List α
⊢ (↑l).attach = ↑l.attach
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
xi : ι
xv : A xi
⊢ (((fun f => ↑f) ((fun f => toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯) ((fun F => ⟨fun {i} => (↑F).comp (of A i), ⋯⟩) F))).comp (of A xi)) xv = (((fun f => ↑f) F).comp (of A xi)) xv
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
hcd : c ≤ d
h₁ : b < d
h₂ : c < a
⊢ Ioo a b ∪ Ioo c d = Ioo (min a c) (max b d)
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun γ => γ ≠ 0) Iio
F : Type u
Field F
f : F[X]
x : F
hx : x ≠ 0
⊢ (Polynomial.C x * f).natSepDegree = f.natSepDegree
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ f = DFinsupp.mk f.support fun i => f ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
t : Set β
⊢ (if a ∈ s then κ a else η a) t = if a ∈ s then (κ a) t else (η a) t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : SurjOn f s t
y : β
hy : y ∈ t
⊢ f (invFunOn f s y) ∈ t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g s
n : ℕ
⊢ MonovaryOn (n • f) g s
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝³ : Semiring K
inst✝² : SMulWithZero R K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : IsScalarTower R K M
hinj : Injective fun r => r • 1
li : LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ g i • 1 = 0
m n✝ n : ℕ
⊢ ¬2 ∣ 2 * n + 1
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
i j : Fin n
⊢ ((Matrix.vandermonde v)ᵀ * Matrix.vandermonde v) i j = ∑ k : Fin n, v k ^ (↑i + ↑j)
R : Type u
Ring R
StrongRankCondition R
ι : Type u
⊢ Module.rank R (ι →₀ R) = #ι
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsCompact s ↔ ∀ (f : Ultrafilter X), ↑f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
G : Type u_10
Group G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H' G
LieGroup I' G
f : C^⊤⟮I, N; I', G⟯
⊢ ⇑f⁻¹ = (⇑f)⁻¹
α : Type u_1
Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ
h₀ : x 0 ≤ y 0
hx : ∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) ≤ f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x n ≤ y n
x z : EReal
h : x < z
a : EReal
ha₁ : x < a
ha₂ : a < z
⊢ ∃ y, x < ↑y ∧ ↑y < z
α : Type u
e : Computability.Encoding α
Countable e.Γ
⊢ #α ≤ ℵ₀
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
γ' : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ' h₁ h₂
⊢ (γ.add γ').φH = γ.φH + γ'.φH
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a✝ a : α
ha : a ≠ 0
x y : α
⊢ edist ((Equiv.mulLeft₀ a ha).toFun x) ((Equiv.mulLeft₀ a ha).toFun y) = ↑‖a‖₊ * edist x y
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
I.IsPrime
hIJ : I ≤ J
r : S
hr : r ∈ ↑J \ ↑I
p : Polynomial R
p_ne_zero : Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap f I)) p ≠ 0
hp : Polynomial.eval₂ f r p ∈ I
⊢ Ideal.comap f I < Ideal.comap f J
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
R' : Type u_5
S' : Type u_6
CommRing R'
CommRing S'
f : R →+* S
f' : R' →+* S'
g : R →+* R'
g' : S →+* S'
hfg : f'.comp g = g'.comp f
I : Ideal S'
⊢ let leq := ⋯;
(Ideal.quotientMap I g' ⋯).comp (Ideal.quotientMap (Ideal.comap g' I) f ⋯) =
  (Ideal.quotientMap I f' ⋯).comp (Ideal.quotientMap (Ideal.comap f' I) g leq)
x y : ℝ
hp : 0 < y
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (x, y)
α : Type u_1
f : α → α
x y : α
m n : ℕ
hx : Function.IsPeriodicPt f m x
hy : Function.IsPeriodicPt f n y
hm : 0 < m
hn : 0 < n
h : f x = f y
⊢ x = y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : CategoryTheory.Grothendieck (G.comp CategoryTheory.typeToCat)
⊢ ((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCat G).functor.obj X).fst = X.base
L : Type u
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
n✝ n : ℕ+
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R L
μ : L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
g : L ≃ₐ[R] L
⊢ μ ^ (↑((autToPow R hμ) g)).val = μ ^ (↑((ModularCyclotomicCharacter L ⋯) ↑g)).val
G : Type u_1
AddGroup G
Fintype G
x : G
⊢ Fintype.card ↥(AddSubgroup.zmultiples x) = addOrderOf x
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
⊢ 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
α : Type u_3
Ring α
n : ℤ
hn : Odd n
⊢ Odd ↑n
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
h : x * x = d * y * y
g : ℕ := x.gcd y
gpos : g > 0
m n : ℕ
co : m.Coprime n
hx : x = m * g
hy : y = n * g
⊢ False
α : Type u
β : Type v
Preorder α
LinearOrder β
f g : α → β
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
hg : MonotoneOn g s
⊢ MonotoneOn (fun x => min (f x) (g x)) s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
f : Π₀ (i : ι), Finset (α i)
g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ g ∈ f.pi ↔ ∀ (i : ι), g i ∈ f i
m n : Num
⊢ m.toZNum = n.toZNum ↔ m = n
M : Type u_11
N : Type u_12
α : Type u_13
SMul M α
SMul N α
self : SMulCommClass M N α
m : M
n : N
a : α
⊢ m • n • a = n • m • a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c R₁)
h_maps : Set.MapsTo f (Metric.ball c R₁) (Metric.ball (f c) R₂)
h₀ : 0 < R₁
⊢ ‖deriv f c‖ ≤ R₂ / R₁
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin (n + 1)
l : Fin n
h : k ≤ l.castSucc
a✝ : Nontrivial R
⊢ b.flag k ≤ LinearMap.ker (b.coord l)
R : Type u_1
CommRing R
self : HenselianLocalRing R
f : R[X]
⊢ f.Monic →
  ∀ (a₀ : R),
    Polynomial.eval a₀ f ∈ LocalRing.maximalIdeal R →
      IsUnit (Polynomial.eval a₀ (Polynomial.derivative f)) → ∃ a, f.IsRoot a ∧ a - a₀ ∈ LocalRing.maximalIdeal R
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree ≤ ↑i
i j : Fin n
this : (p j).support ⊆ range n
k : Fin n
⊢ (RingHom.id R) ((p j).coeff ↑k) * v i ^ ↑k = v i ^ ↑k * of (fun i j => (p j).coeff ↑i) k j
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.220633, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
P : C
f : P ⟶ S.X₂
inst✝ : Projective P
hf : f ≫ S.g = 0
this : Epi S.toCycles
⊢ Projective.factorThru (S.liftCycles f hf) S.toCycles ≫ S.f = f
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
m : ℤ
x : 𝕎 R
⊢ WittVector.ghostFun (m • x) = m • WittVector.ghostFun x
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ S ∪ T ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
hf : Function.FactorsThrough g f
e' : β → γ
a : α
⊢ Function.extend f g e' (f a) = g a
M : Type u_1
MeasurableSpace M
Inf M
self : MeasurableInf M
c : M
⊢ Measurable fun x => c ⊓ x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, g u ≤ c₂ * g ↑n
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c * g ↑n
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
h : LiftPropOn P g s
y : H
hy : y ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ g ⁻¹' f.source)
⊢ y = ↑e (↑e.symm y)
a b : Nat
⊢ a ≠ b ↔ a < b ∨ b < a
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Z
x : X
y : Y
hf : ContinuousAt f x
⊢ ContinuousAt (fun x => f x.1) (x, y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
X Y : (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda F)ᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ ↑((CategoryTheory.CategoryOfElements.fromCostructuredArrow F).map f) = f.unop.left.op
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : ↑J₁ ⊆ ↑J₂
⊢ (↑(comap f J₁)).carrier ⊆ (↑(comap f J₂)).carrier
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
S : Set (Set α)
Sct : S.Countable
Sp : ∀ s ∈ S, p s
hS : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
⊢ ∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, (∀ s ∈ {x | ∃ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' s = x}, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
β : Type u_1
X Y : GradedObject β C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (x : β), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x y : α
inst✝² : BEq α
inst✝¹ : LawfulBEq α
inst✝ : BEqCmp cmp
⊢ cmp x y = Ordering.eq ↔ x = y
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddMonoid β
AddMonoid γ
FunLike F β γ
AddMonoidHomClass F β γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => AddCommute (f a) (f b)
g : F
⊢ g (s.noncommSum f comm) = s.noncommSum (fun i => g (f i)) ⋯
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
M : Matrix n n α
v : n → α
⊢ Mᵀ = Matrix.diagonal v ↔ M = Matrix.diagonal v