ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
h₁ : α = β
h₂ : HEq r s
a : α
⊢ (RelIso.cast h₁ h₂) a = cast h₁ a
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
x : ℤ_[p]
⊢ (toZModPow n) x = 0 ↔ x ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
x : ↥H
n : ℤ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
⊢ ↑↑p ^ (↑p - 1 - 1) = ↑↑p ^ (↑p - 2)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
⊢ ⇑0 = 0
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
i : P ≅ P'
h : IsSheafFor P R
x : FamilyOfElements P' R
hx : x.Compatible
x' : FamilyOfElements P R := FamilyOfElements.compPresheafMap i.inv x
this : x'.Compatible
t : P.obj (op X)
ht1 : x'.IsAmalgamation t
ht2 : ∀ (y : P.obj (op X)), (fun t => x'.IsAmalgamation t) y → y = t
⊢ (fun t => x.IsAmalgamation t) (i.hom.app (op X) t) ∧ ∀ (y : P'.obj (op X)), (fun t => x.IsAmalgamation t) y → y = i.hom.app (op X) t
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
f₁' : β → α
h : Set.LeftInvOn f₁' f s
⊢ Set.InjOn f s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + ((x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI) • (q.i * q.i) + (x.imI * y.imJ) • (q.i * q.j) + (x.imI * y.imK) • (q.i * q.k)) + ((x.imJ * y.re) • q.j + (x.imJ * y.imI) • (q.j * q.i) + (x.imJ * y.imJ) • (q.j * q.j) + (x.imJ * y.imK) • (q.j * q.k)) + ((x.imK * y.re) • q.k + (x.imK * y.imI) • (q.k * q.i) + (x.imK * y.imJ) • (q.k * q.j) + (x.imK * y.imK) • (q.k * q.k))
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
⊢ ∃ S, Unbounded r S ∧ type (Subrel r S) = (type r).cof.ord
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x✝ : ↥(skewAdjoint.submodule R A)
x : A
hx : star x = -x
⊢ ↑((skewAdjointPart R ∘ₗ (skewAdjoint.submodule R A).subtype) ⟨x, hx⟩) = ↑(LinearMap.id ⟨x, hx⟩)
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Z.Opens
V : Y.Opens
W : X.Opens
e₁ : V ≤ g ⁻¹ᵁ U
e₂ : W ≤ f ⁻¹ᵁ V
⊢ (Hom.app g U ≫ Y.presheaf.map (homOfLE e₁).op) ≫ Hom.app f V ≫ X.presheaf.map (homOfLE e₂).op = (Hom.app g U ≫ Hom.app f (g ⁻¹ᵁ U)) ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
hp_odd : p % 2 = 1
f : (ZMod p)[X] := X ^ 2
g : (ZMod p)[X] := X ^ 2 - C x
a b : ZMod p
hab : eval a f + eval b g = 0
⊢ a ^ 2 + b ^ 2 = x
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd
⊢ (x ^ n).snd = n •> x.fst ^ n.pred •> x.snd
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
u : Finset α
s t : Set α
⊢ ↑u ⊆ s / t → ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ s' / t'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G H : CategoryTheory.Functor C C
α : F ⟶ G
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight α H).app X = H.map (α.app X)
w : Nat
x : BitVec w
i : Fin w
⊢ (BitVec.iunfoldr (fun i c => (c, !x.getLsb ↑i)) ()).snd.getLsb ↑i = !x.getLsb ↑i
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
⊢ Field.finInsepDegree F ↥⊥ = Field.finInsepDegree F E
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
a : α
h : IsLocalMin f a
s : Set α
⊢ IsLocalMinOn f s a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x : Part α
⊢ x.bind some = x
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
AddCommMonoid α
DecidableEq κ
Fintype κ
s : Finset ι
g : ι → κ
f : ι → α
⊢ ∑ j : κ, ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => g i = j) s, f i = ∑ i ∈ s, f i
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
s' s : ↥S
m : M
⊢ LocalizedModule.mk (s' • m) (s' * s) = LocalizedModule.mk m s
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology
⊢ ShortComplex.cyclesMap ((natIsoSc' C c i j k hi hk).hom.app K) ≫ (K.sc' i j k).iCycles = K.iCycles j
R : Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
M : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M₂ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : TopologicalAddGroup M
inst✝ : T1Space M
p : Submodule R M
f : M →L[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
⊢ IsClosed ↑p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : ℝ
v : Set ℝ
hav : a ∈ v
hv : IsOpen v
l u : ℝ
hl : l < a
hu : a < u
h : Ioo l u ⊆ v
q : ℚ
hlq : l < ↑q
hqa : ↑q < a
p : ℚ
hap : a < ↑p
hpu : ↑p < u
⊢ Ioo ↑q ↑p ∈ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b}
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (F.mapTriangleRotateIso.hom.app X).hom₃ = (F.commShiftIso 1).inv.app X.obj₁
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Option β
g : β → α
H : ∀ (x : α), Option.map g (f x) = some x
l : List α
⊢ List.map g (List.filterMap f l) = l
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
CommRing R
AddCommGroup M₁
Module R M₁
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
⊢ Q₁.tensorRId.toLinearEquiv = TensorProduct.rid R M₁
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => (↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s - ↑(SignType.sign (↑n + 1 - a)) / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2) (hurwitzZetaOdd (↑a) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
hfin : Finite a b
c : α
hc : b = a ^ (multiplicity a b).get hfin * c
k : α
hk : c = a * k
⊢ False
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
T : Type u_1
CommSemiring T
Algebra R T
IsLocalization S T
x : T
p q : LocalizedModule S M
⊢ x • (p + q) = x • p + x • q
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
p : 𝕜[X]
a : A
⊢ p ∈ Polynomial.annIdeal 𝕜 a ↔ ∃ s, p = s • Polynomial.annIdealGenerator 𝕜 a
ι : Type u_1
α : Type u_3
Preorder α
f : ι → α
s : Set ι
PartialOrder ι
⊢ AntivaryOn f id s ↔ AntitoneOn f s
c : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.continuum ≤ Cardinal.lift.{v, u} c ↔ Cardinal.continuum ≤ c
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellFounded α r
s : α → α → Prop
h : Subrelation s r
⊢ IsWellFounded α s
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
⊢ α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)) ≠ 0
p : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
⊢ legendreSym p a = jacobiSym a p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S T : CategoryTheory.Sieve X
h : S ≤ T
hT : J₁.IsClosed T
⊢ J₁.close S ≤ T
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.StableUnderComposition P
hP' : ∀ {R S : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (e : R ≃+* S), P e.toRingHom
⊢ RingHom.RespectsIso P
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose
⊢ f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = g ↑↑hμ.toRootsOfUnity
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
⊢ s.chainHeight = ⊤ ↔ ∀ (n : ℕ), ∃ l ∈ s.subchain, l.length = n
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ MeasureTheory.levyProkhorovEDist μ μ = 0
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b
x : α
⊢ Tendsto (fun i => (As i).indicator (fun x => b) x) L (𝓝 (A.indicator (fun x => b) x)) ↔ ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
m n k : Nat
⊢ m.gcd n ∣ m.gcd (k * n)
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
f : 𝓕
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' Metric.ball 0 ε ∈ cocompact E
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : Field K
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
inst✝² : CommRing Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
h : IsField Aₘ
this : Field Aₘ := h.toField
x : A
x_mem : x ∈ P
x_ne : x ≠ 0
⊢ False
R : Type u_3
CommSemiring R
⊢ nilradical R = sInf {J | J.IsPrime}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
kf : CategoryTheory.Limits.KernelFork f
kf' : CategoryTheory.Limits.KernelFork f'
hf : CategoryTheory.Limits.IsLimit kf
hf' : CategoryTheory.Limits.IsLimit kf'
φ : CategoryTheory.Arrow.mk f ≅ CategoryTheory.Arrow.mk f'
⊢ (CategoryTheory.Limits.KernelFork.mapIsoOfIsLimit hf hf' φ).hom = kf.mapOfIsLimit hf' φ.hom
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
CommMonoid M
CommMonoid N
g : M →* N
hg : Function.Injective ⇑g
f : α → M
⊢ g (∏ᶠ (i : α), f i) = ∏ᶠ (i : α), g (f i)
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hpe : List.count p (orderOf t).primeFactorsList < List.count p (exponent G).primeFactorsList
hp : Nat.Prime p
⊢ False
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
F : ℕ → ℚ
hF : ∀ i < n, 0 < padicValRat p (F i)
hn0 : ∑ i ∈ Finset.range n, F i ≠ 0
⊢ 0 < padicValRat p (∑ i ∈ Finset.range n, F i)
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
e : M ≃ₗ[R] M
v : Module.Ray R M
⊢ e • v = (Module.Ray.map e) v
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜 ⊆ ℬ
x✝ : Finset α
⊢ x✝ ∈ 𝒜.shatterer → x✝ ∈ ℬ.shatterer
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : SFinite ν✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : SFinite μ✝
E' : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
X : Type u_8
Y : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
h'f : HasCompactSupport (uncurry f)
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
U : Set X := Prod.fst '' tsupport (uncurry f)
this : Fact (μ U < ⊤)
⊢ ∫ (x : X), ∫ (y : Y), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (y : Y), ∫ (x : X), f x y ∂μ ∂ν
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field K
Field L
Algebra K L
Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p} K L
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑p) K)
h : p ≠ 2
⊢ (Algebra.norm K) (IsCyclotomicExtension.zeta p K L - 1) = ↑↑p
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this : ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤ (↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50) ^ 2
a b : Prop
⊢ (a ∧ b) ∧ b ↔ a ∧ b
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {α_2 : Type u_3} {f : α → α_1 → α_2} {l : List α} {l' : List α_1} {n : Nat},
  List.drop n (List.zipWith f l l') = List.zipWith f (List.drop n l) (List.drop n l')
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ Disjoint l' l ↔ ∃ i, p i ∧ (s i)ᶜ ∈ l'
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
F : Type u_8
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F N S
inst✝ : AddMonoidHomClass F N S
f : M → N
g : F
x y : M
⊢ polar (⇑g ∘ f) x y = g (polar f x y)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl
b : A
s : ↥𝔭.primeCompl
eq1 : IsLocalization.mk' (at 𝔭.primeCompl) b s * (mk f).val = 1
c : ↥𝔭.primeCompl
hc : ↑c * (↑f.num * b) = ↑c * (↑f.den * ↑s)
⊢ IsUnit (mk f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s✝ : Set X
f✝ g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
f : X → Y → α
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
x : X
y : Y
s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)
l : Filter α
⊢ Tendsto (uncurry (lift₂ f hf)) (Filter.map (Prod.map mk mk) (𝓝 (x, y) ⊓ 𝓟 (Prod.map mk mk ⁻¹' s))) l ↔ Tendsto (uncurry f) (𝓝[Prod.map mk mk ⁻¹' s] (x, y)) l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : C × C
⊢ (CategoryTheory.tensorMonoidal C).μ X Y = CategoryTheory.tensor_μ C X Y
𝕜✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝³ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ polar 𝕜 (closedBall 0 r) ⊆ closedBall 0 r⁻¹
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
⊢ (H ⊓ K).relindex K = H.relindex K
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ENNReal
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p (μ.trim hm) = MeasureTheory.eLpNorm f p μ
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
X Y : J
f : X ⟶ Y
⊢ c.ι.app X = c.ι.app X ≫ 𝟙 c.pt
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
b : ℝ
s : Set ℝ≥0∞
hs : s ∈ 𝓝 (μ {b})
⊢ μ (Icc (b - 0) (b + 0)) ∈ s
x : ↑unitInterval
⊢ unitInterval.symm (unitInterval.symm x) = x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm ∘ₗ ↑(MulOpposite.opLinearEquiv R)) (LinearMap.range (ι Q)) = LinearMap.range (ι Q)
R : Type u_1
c d : R
Semiring R
⊢ { a := 0, b := 0, c := c, d := d }.toPoly = Polynomial.C c * Polynomial.X + Polynomial.C d
G : Type u_1
AddGroup G
G' : AddSubgroup G
H K : AddSubgroup ↥G'
⊢ AddSubgroup.map G'.subtype H ≤ AddSubgroup.map G'.subtype K ↔ H ≤ K
α β : Type u
f : α → FreeSemigroup β
x : α
⊢ pure x >>= f = f x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
⊢ IsBlock G B ↔ ∀ (g : G), ∀ a ∈ B, g • a ∈ B → g • B = B
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
b₃ : B.Nondegenerate
⊢ B.orthogonal W = ⊥ ↔ W = ⊤
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : MulZeroOneClass β
inst✝ : Nontrivial β
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ (fun i => MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ j ≤ i, s j = t}) = fun i => MeasurableSpace.generateFrom {s_1 | ∃ n, MeasurableSet s_1}
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
hbdd : MeasureTheory.UniformIntegrable f 1 μ
n : ℕ
⊢ f n =ᵐ[μ] μ[MeasureTheory.Filtration.limitProcess f ℱ μ|↑ℱ n]
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
l' : Filter ι'
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
u : ι' → ι
hu : Filter.Tendsto u l' l
⊢ MeasureTheory.AECover μ l' (φ ∘ u)
M : Type u_1
AddGroup M
c : AddCon M
n : ℤ
w x : M
⊢ c w x → c (n • w) (n • x)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
a : α
⊢ {a}.min = ↑a
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ Filter.Tendsto (fun x => c * x ^ y) (𝓝 0) (𝓝 0)
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
a : M
⊢ z₁ * z₂ * a = z₂ * z₁ * a
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
⊢ (∀ (r : R), x ∣ r → ∀ s ∈ I, r * s ∈ J) ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonAssocSemiring R
r : R
h : C r = C 0
⊢ r = 0
δ : Type u_4
MeasurableSpace δ
α : Type u_5
MeasurableSpace α
ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : δ → α
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun b => ⨆ (_ : p), f b
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
⊢ ∃ f, Inducing f
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
CompactSpace X
Nonempty X
MetricSpace Y
CompactSpace Y
Nonempty Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y
⊢ Metric.hausdorffDist (Set.range (GromovHausdorff.optimalGHInjl X Y)) (Set.range (GromovHausdorff.optimalGHInjr X Y)) ≤
  GromovHausdorff.HD f
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
y : F
⊢ y ∈ Set.range ↑f ↔ ∃ x, (x, y) ∈ f.graph
α : Type u_1
Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
⊢ s.sdiff t < s ↔ ¬Disjoint (↑s) t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
J : Type u
LinearOrder J
j : J
F : CategoryTheory.Functor { i // i ≤ j } C
i : J
hi : i ≤ j
k : J
hk : k < i
⊢ (CategoryTheory.Functor.Iteration.restrictionLT F hi).obj ⟨k, hk⟩ = F.obj ⟨k, ⋯⟩
n : ℕ
NeZero n
a b : ZMod n
h : b.val ≤ a.val
⊢ (a - b).val = a.val - b.val
α : Type u_2
Group α
t : Set α
a : α
⊢ (fun x => a⁻¹ * x) '' t = (fun x => a * x) ⁻¹' t
α : Type u
Monoid α
a : α
Invertible a
⊢ ↑(unitOfInvertible a) = a
δ' : Type u_5
π : δ' → Type u_6
(x : δ') → MeasurableSpace (π x)
p : δ' → Prop
DecidablePred p
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.piEquivPiSubtypeProd π p) = fun f => (fun x => f ↑x, fun x => f ↑x)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0
hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (f - g) s μ
⊢ f - g =ᶠ[ae μ] 0
G : Type w
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
x b : G
⊢ (Homeomorph.divLeft x).symm b = b⁻¹ * x
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F G : A ⥤ B
H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
fst✝¹ : A
snd✝¹ : C
fst✝ : A
snd✝ : C
f : (fst✝¹, snd✝¹) ⟶ (fst✝, snd✝)
⊢ H.map f.2 ≫ β.app snd✝ = β.app snd✝¹ ≫ I.map f.2
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
H.IsCartanSubalgebra
k : ℕ
⊢ LieSubmodule.ucs k H.toLieSubmodule = H.toLieSubmodule
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) '' Set.Ioo b c = Set.Ioo (b - a) (c - a)
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ b ⇨ c ≤ a ⇨ c
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' x c : ℂ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
h0 : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => f x ^ c) (c * f x ^ (c - 1) * f') s x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset
a : α
⊢ card (filter (fun a_1 => a = a_1.1) s.val) ≤ count a m
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x y : ℝ
hy : 0 < y
hxy : y ≤ x
hz : z ≤ 0
⊢ x ^ z ≤ y ^ z
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
a1 : 1 < a
m n : ℕ
mn : m < n
⊢ 1 / a ^ n < 1 / a ^ m
α : Type u_7
β : Type u_8
GeneralizedBooleanAlgebra α
s : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ (s.sup fun b => f b \ a) = s.sup f \ a
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
ContinuousMul G
a : G
⊢ IsClosedMap fun x => x * a
M : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
AddMonoid M
AddAction M X
ContinuousVAdd M X
N : Type u_5
TopologicalSpace N
AddMonoid N
f : N →+ M
hf : Continuous ⇑f
⊢ ContinuousVAdd N X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
f : α → Option γ
g : β → Option δ
hfg : (R ⇒ Option.Rel P) f g
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
h₁ : R a b
h₂ : Forall₂ R as bs
⊢ Forall₂ P (filterMap f (a :: as)) (filterMap g (b :: bs))
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
⊢ 0 ≤ 1 + 1 / ↑m
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
ProperSpace α
h : IsClosed s
hne : s.Nonempty
x : α
⊢ ∃ y ∈ s, Metric.infDist x s = dist x y
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
f : AdicCompletion.AdicCauchySequence I M
n : ℕ
⊢ ↑((AdicCompletion.mk I M) f) n = (I ^ n • ⊤).mkQ (↑f n)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Batteries.AssocList α β
⊢ l.toList.toAssocList = l
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f✝ : X → ℝ
s✝ : Set X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, f x ≤ 1
h's : ∀ x ∈ sᶜ, f x ≤ 0
H : Integrable f μ
g : X → ℝ := fun x => max (f x) 0
g_int : Integrable g μ
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ) ≤ μ s