ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hnqp : padicNorm p q ≥ 0
hnrp : padicNorm p r ≥ 0
hq : q = 0
⊢ padicNorm p (q + r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p r)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
m : ℕ
pr : n < m
⊢ ∏ p ∈ Finset.filter Nat.Prime (Finset.range m), p ^ padicValNat p n = n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : MulZeroClass α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ 0 ⊆ s * 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.attach.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length
⊢ Pairwise Perm.Disjoint [l.attach.formPerm]
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
h : p = q
⊢ legendreSym q ↑p = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2)) * legendreSym p ↑q
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
w : NumberField.InfinitePlace K
IsGalois k K
⊢ NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w ↔ MulAction.stabilizer (K ≃ₐ[k] K) w = ⊥
E : Type u_1
ι : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
Fintype ι
⊢ Zspan.fundamentalDomain b ⊆ parallelepiped ⇑b
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0
⊢ x ^ z⁻¹ ≤ y ↔ y ^ z ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ m : OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)
h0 : ∑' (k : ℕ), m (s (k + 1) \ s k) ≠ ⊤
n : ℕ
h' : Monotone s
x : α
this✝ : ∃ i, x ∈ s i
j : ℕ
hj : x ∈ s j
hlt : ∀ m < j, x ∉ s m
hnj : n < j
this : j - (n + 1) + n + 1 = j
⊢ x ∈ s (j - (n + 1) + n + 1)
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
Inhabited I
l : Profinite.NobelingProof.Products I
hl : ↑l ≠ []
hlh : (↑l).head! = Profinite.NobelingProof.term I ho
⊢ (Profinite.NobelingProof.Linear_CC' C hsC ho) (Profinite.NobelingProof.Products.eval C l) =
  Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.C' C ho) l.Tail
n : ℤ
⊢ 0 ≤ Int.sqrt n
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
⊢ P.coroot ((P.reflection_perm i) j) = (P.coreflection i) (P.coroot j)
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
⊢ S = ⊥ ∨ Nontrivial ↥S
α : Type u_1
β : Type u_2
a b : Set α
f : α → β
h : a ⊆ b
⊢ f '' a ⊆ f '' b
α : Type u_1
_m0 : MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.ae 0 = ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
x : (Unitization R A)ˣ
⊢ x ∈ Unitization.unitsFstOne R A ↔ (↑x).fst = 1
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
m : M
a : α
n : ℕ
period_pos : 0 < AddAction.period m a
moved : ∀ (k : ℕ), 0 < k → k < n → k • m +ᵥ a ≠ a
⊢ n ≤ AddAction.period m a
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hfg : g ≤ f
f' : E →ₗ.[R] F
hf : f.graph.topologicalClosure = f'.graph
⊢ g.IsClosable
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsModularLattice α
IsCompactlyGenerated α
h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤
⊢ ∃ s, CompleteLattice.SetIndependent s ∧ sSup s = ⊤ ∧ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → IsAtom a
α : Type u_1
⊢ WithTop.toDual ⊤ = ⊥
K : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_5
Field K
Field L
Ring A
Algebra K L
Algebra L A
Algebra K A
IsScalarTower K L A
L_alg : Algebra.IsAlgebraic K L
A_alg : Algebra.IsAlgebraic L A
⊢ Algebra.IsAlgebraic K A
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ A.adjugate.det = A.det ^ (Fintype.card n - 1)
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
S : Submonoid N
f : F
x : M
⊢ x ∈ Submonoid.comap f S ↔ f x ∈ S
n : ℕ
⊢ 0 < ArithmeticFunction.vonMangoldt n ↔ IsPrimePow n
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
A : C
y : A ⟶ Y
⊢ ∃ A' π,
  ∃ (_ : CategoryTheory.Epi π), ∃ x, CategoryTheory.CategoryStruct.comp π y = CategoryTheory.CategoryStruct.comp x f
a b c : ℤ
h : a.gcd b = 1
heq : a * b = c ^ 2
h' : IsUnit (GCDMonoid.gcd a b)
d : ℤ
u : ℤˣ
hu : d ^ 2 * ↑u = a
⊢ a = d ^ 2 ∨ a = -d ^ 2
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x : P.Cotangent
⊢ (CotangentSpace.map f ∘ₗ P.cotangentComplex) x = (↑S P'.cotangentComplex ∘ₗ Cotangent.map f) x
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ s ∈ Filter.coclosedLindelof X ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ IsLindelof t ∧ tᶜ ⊆ s
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j✝ : Fin n✝
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
⊢ i.castSucc.succAbove j.castSucc = (i.succAbove j).castSucc
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f x : σ → R
p : MvPolynomial σ R
s : R
⊢ (eval x) (s • p) = s * (eval x) p
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
κ : Kernel α β
hf : MeasurableEmbedding f
hκ : ∀ (a : α), (κ a) (Set.range f) = 1
a : α
⊢ (κ a) (Set.range f) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
h : (x :: xs).Nodup
⊢ (map (fun p => x ::ₛ p) (List.sym n (x :: xs)) ++ List.sym (n + 1) xs).Nodup
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
x : Perm α
x✝ : x ∈ ⊤
h1 : (↑x.truncSwapFactors.out).prod = x
h2 : ∀ g ∈ ↑x.truncSwapFactors.out, g.IsSwap
⊢ x ∈ Submonoid.closure {σ | σ.IsSwap}
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
m : M
h : ∀ (N_1 : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N_1 → m ∈ N_1
⊢ ∀ (N : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N → m ∈ N
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
CharZero R
n : ℕ
⊢ ↑n + 1 ≠ 0
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝓤 : X.AffineOpenCover
j : 𝓤.J
⊢ 𝓤.openCover.obj j = AlgebraicGeometry.Spec (𝓤.obj j)
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
hb' : b ≠ ⊤
⊢ c / b = d / a ↔ a * c = b * d
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂
h : K₁ ≤ K₂
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₁
this : ProperSpace ↥K₁
hd : finrank 𝕜 ↥K₂ = finrank 𝕜 ↥K₁ + finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂)
⊢ finrank 𝕜 ↥K₁ + finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂) = finrank 𝕜 ↥K₂
G : Type w
ι : Sort u_1
AddGroup G
ts' : ι → TopologicalSpace G
h' : ∀ (i : ι), TopologicalAddGroup G
⊢ TopologicalAddGroup G
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
⊢ Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = (-1) ^ (φ (↑p ^ (k + 1)) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
M : Type u_5
N : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
M' : Type u_8
N' : Type u_9
AddZeroClass M'
AddZeroClass N'
f : M →+ M'
g : N →+ N'
⊢ ⇑(f.prodMap g) = Prod.map ⇑f ⇑g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
h : Ici x = {x}
y : α
H : x < y
this : y ∈ Ici x
⊢ False
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
h₁ : ¬a ∈ l₁
⊢ l₁.erase a ~ l₂.erase a
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
i j : ι
AddLeftCancelMonoid ι
GradedRing 𝒜
a : ↥(𝒜 i)
b : A
⊢ ((DirectSum.decompose 𝒜) (↑a * b)) (i + j) = GradedMonoid.GMul.mul a (((DirectSum.decompose 𝒜) b) j)
F : Sort u_1
α : outParam (Sort u_2)
β : outParam (α → Sort u_3)
self : DFunLike F α β
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
S : Set R[M]
hS : adjoin R S = ⊤
f : R[M]
hf : f ∈ S
hincl : of' R M '' ↑f.support ⊆ ⋃ g ∈ S, of' R M '' ↑g.support
⊢ f ∈ ↑(adjoin R (⋃ f ∈ S, of' R M '' ↑f.support))
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ (-φ₁).τ₁ = S₁.f ≫ (-h.h₁) + -h.h₀ + (-φ₂).τ₁
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
t : A
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff A (n + 1)) ((PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (exp A - 1)) = (PowerSeries.coeff A (n + 1)) (PowerSeries.X * (rescale t) (exp A))
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ (engel R x).normalizer ≤ engel R x
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝¹ : Archimedean 𝕜
inst✝ : TopologicalSpace B
f : 𝕜 → B
hf : f 0 = f p
hc : ContinuousOn f (Icc 0 p)
⊢ f 0 = f (0 + p)
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b : α
x✝ : Invertible b
⊢ a * b * ⅟b = a
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a b : A
r : Rˣ
h₁ : ∀ (x y : A), IsUnit (1 - x * y) → IsUnit (1 - y * x)
this : IsUnit (1 - r⁻¹ • a * b) ↔ IsUnit (1 - b * r⁻¹ • a)
⊢ ↑r ∈ σ (a * b) ↔ ↑r ∈ σ (b * a)
R : Type u_1
CommSemiring R
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R N
Module R P
Module R Q
g : N →ₗ[R] P
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ Function.Surjective ⇑(LinearMap.lTensor Q g)
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ
hx' : IsUnit (X ^ n.succ).det
hy' : IsUnit (Y ^ n.succ).det
⊢ (fun x => Y ^ n.succ * x) (A * ↑hx'.unit⁻¹ • (X ^ n.succ).adjugate) = (fun x => Y ^ n.succ * x) (↑hy'.unit⁻¹ • (Y ^ n.succ).adjugate * A)
G : Type u_1
Group G
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g g' : G
hg : g ∈ N
hg' : g' ∈ N
hc : IsConj g g'
ht : Subgroup.normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
⊢ Subgroup.normalClosure {⟨g', hg'⟩} = ⊤
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : Subsingleton M
x✝ : Ideal R
⊢ x✝ ∉ associatedPrimes R M
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
l : Filter α
One F
NormOneClass F
⊢ (f =O[l] fun _x => 1) ↔ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x‖
s : Finset ℕ
m : ℕ
⊢ m ∈ Nat.factoredNumbers s ↔ m ≠ 0 ∧ ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p ∈ s
x : ℝ
⊢ Real.cos (Real.arcsin x) = √(1 - x ^ 2)
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → F
inst✝ : NormedAddCommGroup F
hm : m ≤ mΩ
hf : Integrable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, ω)) μ)
⊢ Integrable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, id ω)) μ)
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
this✝ : (FreeGroup.of i * FreeGroup.of i') ^ M.M i i' ∈ M.relationsSet
this : ↑((FreeGroup.of i * FreeGroup.of i') ^ M.M i i') = 1
⊢ (cs.mulEquiv.symm (PresentedGroup.of i) * cs.mulEquiv.symm (PresentedGroup.of i')) ^ M.M i i' = 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : Set (Set α)
hs : s.Finite
h : ∀ t ∈ s, MeasurableSet t
⊢ MeasurableSet (⋃₀ s)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F₁ : Type u_3
F₂ : Type u_4
E₁ : B → Type u_6
E₂ : B → Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
(x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
(x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
(x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
(x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
(x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
(x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
EB : Type u_8
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_9
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F₁ E₁
VectorBundle 𝕜 F₁ E₁
FiberBundle F₂ E₂
VectorBundle 𝕜 F₂ E₂
e₁ e₁' : Trivialization F₁ Bundle.TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ Bundle.TotalSpace.proj
SmoothVectorBundle F₁ E₁ IB
SmoothVectorBundle F₂ E₂ IB
MemTrivializationAtlas e₁
MemTrivializationAtlas e₁'
MemTrivializationAtlas e₂
MemTrivializationAtlas e₂'
⊢ SmoothOn IB 𝓘(𝕜, (F₁ →L[𝕜] F₂) →L[𝕜] F₁ →L[𝕜] F₂)
  (Pretrivialization.continuousLinearMapCoordChange (RingHom.id 𝕜) e₁ e₁' e₂ e₂')
  (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet))
A : Type u_1
K : Type u_2
CommRing A
S : Submonoid A
CommRing K
Algebra A K
IsFractionRing A K
B : Type u_3
CommRing B
Algebra A B
IsLocalization S B
hS : S ≤ nonZeroDivisors A
b : B
⊢ (Localization.mapToFractionRing K S B hS) b = (IsLocalization.lift ⋯) b
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
p : ι → Prop
DecidablePred p
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.filter p f = DFinsupp.mk (Finset.filter p f.support) fun i => f ↑i
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace X
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : MulAction G X
inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G
inst✝⁸ : BaireSpace X
inst✝⁷ : T2Space X
inst✝⁶ : ContinuousSMul G X
inst✝⁵ : IsPretransitive G X
H : Type u_3
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : BaireSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : ContinuousMul H
f : G →* H
hf : Surjective ⇑f
h'f : Continuous ⇑f
A : MulAction G H := MulAction.compHom H f
this✝¹ : ContinuousSMul G H
this✝ : IsPretransitive G H
this : ⇑f = fun g => g • 1
⊢ IsOpenMap fun g => g • 1
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
f : G' →* G
hf : Injective ⇑f
inst✝ : H.IsCommutative
a b : ↥(comap f H)
this : ⟨f ↑a, ⋯⟩ * ⟨f ↑b, ⋯⟩ = ⟨f ↑b, ⋯⟩ * ⟨f ↑a, ⋯⟩
⊢ ↑(a * b) = ↑(b * a)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
⊢ (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) =O[atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f : α →. σ ⊕ α
hf : Partrec f
⊢ Partrec f.fix
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring S₁
Semiring S₂
Module S₁ N₂
Module S₂ N₂
SMulCommClass S₁ R N₂
SMulCommClass S₂ R N₂
SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
M : Matrix n m N₂
x : n → R₁
y : m → R₂
⊢ (((Matrix.toLinearMapₛₗ₂' R σ₁ σ₂) M) x) y = ∑ i : n, ∑ j : m, σ₁ (x i) •> σ₂ (y j) •> M i j
S : LightProfinite
n : ℕ
⊢ Function.Surjective ⇑(S.transitionMap n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
g : γ → α
h₁ : ∀ (u : Finset γ), ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∑ x ∈ u', g x = ∑ b ∈ v', f b
h₂ : ∀ (v : Finset β), ∃ u, ∀ (u' : Finset γ), u ⊆ u' → ∃ v', v ⊆ v' ∧ ∑ b ∈ v', f b = ∑ x ∈ u', g x
⊢ HasSum f a ↔ HasSum g a
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f p : R[X]
x : R
⊢ (aeval (root f)) (C x) = (mk f) (C x)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
⊢ ¬(ComplexShape.up ℕ).Rel ((ComplexShape.up ℕ).prev 0) 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
A : Set P
inst✝ : Nonempty ↑A
⊢ ⊤ ≤ affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
SecondCountableTopology β
OrderClosedTopology β
OpensMeasurableSpace β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ
⊢ essSup g (MeasureTheory.Measure.map f μ) = essSup (g ∘ f) μ
n✝ n : ℕ
a : ℕ := n + 2
⊢ n + 2 ≠ 1 ↔ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ n + 2
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
⊢ f ≤ᵐ[μ] g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
⊢ Ici (sSup s) = ⋂ a ∈ s, Ici a
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ
h : r > 0
⊢ j ∈ {x | ∃ k, beattySeq r k = x} ∨ ∃ k, ↑k < ↑j / r ∧ (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
s : Finset ι
hv : Orthonormal 𝕜 v
⊢ ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2 ≤ ‖x‖ ^ 2
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
⊢ ∃ y, (adjoint f) y ∈ K.dual ∧ ⟪y, b⟫_ℝ < 0
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
ρ : PartitionOfUnity ι X
x₀ : X
I : Finset ι
H : (∀ᶠ (x : X) in 𝓝[univ] x₀, ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1) ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (support fun x_1 => (ρ x_1) x) ⊆ ↑I
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1 ∧ (support fun x_1 => (ρ x_1) x) ⊆ ↑I
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
NoZeroSMulDivisors ℕ M
hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0
⊢ (MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w 0) φ = MvPolynomial.C (MvPolynomial.coeff 0 φ)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
x : α
n : ℕ
⊢ (insertNth n x l).length ≤ l.length + 1
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : ∀ (v : X → ℝ) (x y : X), ∃ f ∈ L, f x = v x ∧ f y = v y
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
nX : Nonempty X
g : X → X → C(X, ℝ)
hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L
w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x
w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y
U : X → X → Set X := fun x y => {z | f z - ε < (g x y) z}
U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y
ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose
ys_w : ∀ (x : X), ⋃ y ∈ ys x, U x y = ⊤ := fun x => Exists.choose_spec (CompactSpace.elim_nhds_subcover (U x) (U_nhd_y x))
ys_nonempty : ∀ (x : X), (ys x).Nonempty
h : X → ↑L := fun x => ⟨(ys x).sup' ⋯ fun y => g x y, ⋯⟩
lt_h : ∀ (x z : X), f z - ε < ↑(h x) z
h_eq : ∀ (x : X), ↑(h x) x = f x
W : X → Set X := fun x => {z | ↑(h x) z < f z + ε}
W_nhd : ∀ (x : X), W x ∈ 𝓝 x
xs : Finset X := ⋯.choose
xs_w : ⋃ x ∈ xs, W x = ⊤ := Exists.choose_spec (CompactSpace.elim_nhds_subcover W W_nhd)
xs_nonempty : xs.Nonempty
k : ↑L := ⟨xs.inf' xs_nonempty fun x => ↑(h x), ⋯⟩
⊢ ∀ (x : X), dist (↑k x) (f x) < ε
n : ℕ
hn : n ≠ 0
p : ℕ
hp : p ≠ 1
⊢ ∃ e n', ¬p ∣ n' ∧ n = p ^ e * n'
α : Type u
s : Set α
LinearOrder α
⊢ s.Nontrivial ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x < y
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
φ₁ φ₂ : M ⟶ N
h : φ₁.hom = φ₂.hom
⊢ φ₁ = φ₂
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
sz : Set α
hsz : sz ∈ cs
hzsz : z ∈ sz
hyz : y ≠ z
hsseq : sy ≠ sz
⊢ r y z ∨ r z y
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f✝ g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
f : X → Y → α
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
x : X
y : Y
l : Filter α
⊢ Tendsto (uncurry (lift₂ f hf)) (𝓝 (mk x, mk y)) l ↔ Tendsto (uncurry f) (𝓝 (x, y)) l
c : Prop
Decidable c
α : Sort u_1
t : α
⊢ (if c then t else t) = t
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 < y
h : Real.log x ≤ z * Real.log y
⊢ x ≤ y ^ z
α : Type u_1
x : α
xs : List α
p : α → Bool
⊢ List.filter p (x :: xs) = if p x = true then x :: List.filter p xs else List.filter p xs
M : Type u_3
AddMonoid M
S T : Set M
⊢ AddSubmonoid.closure (S + T) ≤ AddSubmonoid.closure S ⊔ AddSubmonoid.closure T
ι : Type u_1
M✝ : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
M : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
f : Box ι → M
⊢ ∑ J ∈ (split I i x).boxes, f J = Option.elim' 0 f (I.splitLower i x) + Option.elim' 0 f (I.splitUpper i x)
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d d' : D
g : d ⟶ d'
δ : d ⟶ d
hδ : ∃ a b g, ∃ (ha : φ.obj a = d) (hb : φ.obj b = d) (_ : g ∈ S.arrows a b), δ = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g ≫ eqToHom hb
⊢ Groupoid.inv g ≫ δ ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
f : Dual R M
⊢ (p.toDualLeft x) (p.toDualRight.symm f) = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁴ : OrderedRing α
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : a < 0
⊢ a • b < 0 ↔ 0 < b
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
f : G →* G'
H' : Subgroup G'
x : ↥(Submonoid.comap f H'.toSubmonoid)
⊢ ↑((f.subgroupComap H') x) = f ↑x
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement S univ
⊢ S.Nonempty
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
⊢ mabs a / mabs b ≤ mabs (a / b) ∧ (mabs a / mabs b)⁻¹ ≤ mabs (a / b)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a
h_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k
m : ℤ
hm : m ∈ s
hm' : ∀ z ∈ s, z ≤ m
hm'' : g < (m + 1) • a
⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp : Pair K
zeroth_s_eq : g.s.get? 0 = some gp
⊢ g.contsAux 2 = { a := gp.b * g.h + gp.a, b := gp.b }
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
pn : p.natDegree ≤ n
p1 : p.coeff n ≠ 0
⊢ p.natDegree = n