ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_2
K : Type ?u.43539
L : Type ?u.43542
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra K L
x✝ : S
hx : IsIntegral R x✝
T : Type u_1
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : IsDomain T
inst✝ : DecidableEq T
x : S
σ₁ σ₂ : S →ₐ[R] T
⊢ eval₂ ((↑σ₁).comp (algebraMap R S)) (σ₂ x) (minpoly R x) = 0
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x r y : ℝ
⊢ y ∈ ball x r ↔ y ∈ Ioo (x - r) (x + r)
m n : Nat
H : n % m = 0
⊢ m ∣ n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ -(∡ p₁ p₂ p₃).sign = (∡ p₁ p₃ p₂).sign
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel η
⊢ (κ.prod η).fst = κ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * x.1 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
k : ℕ
⊢ (-1) ^ k * z ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1) = -I * (z * I) ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1)
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
⊢ g = T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
H₁ : Embedding ⇑i₁
H₂ : Embedding ⇑i₂
i₃ : S ⟶ T
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
⊢ Embedding (⇑(prod.lift (pullback.fst g₁ g₂) (pullback.snd g₁ g₂)) ∘ ⇑(pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂))
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
a : α
s : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : s.Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = f a + ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
CategoryTheory.ConcreteCategory A
hH : CategoryTheory.CoverPreserving J K H
H.IsCoverDense K
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J (CategoryTheory.whiskerLeft H.op f)
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective K f
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
K : TopologicalSpace.PositiveCompacts α
L : TopologicalSpace.PositiveCompacts β
⊢ ↑(K.prod L) = ↑K ×ˢ ↑L
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset α
t : Multiset γ
f : γ → β
⊢ Rel (flip fun a b => flip r (f a) b) s t ↔ Rel (fun a b => r a (f b)) s t
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
x : E
⊢ ∃ i ∈ s, (s.sup p) x = (p i) x
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
f : κ → Ideal A
h : ∀ (i : κ), IsHomogeneous 𝒜 (f i)
⊢ IsHomogeneous 𝒜 (⨆ i, f i)
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
⊢ ∀ (x : R[X]),
  Polynomial.erase n x =
    match x with
    | { toFinsupp := p } => { toFinsupp := Finsupp.erase n p }
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R✝ : Sieve X
S : Presieve X
R : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → S f → Sieve Y
f : Y ⟶ X
h : S f
⊢ R h ≤ pullback f (bind S R)
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
s✝ : Set γ
f : γ → β
t t' : TopologicalSpace γ
ht : PolishSpace γ
ht' : PolishSpace γ
hle : t ≤ t'
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
e : MeasurableEmbedding id
⊢ s = id '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3
⊢ log 2 ≤ ↑3 / 2 ^ 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 α
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g : β → α
hg : ConcaveOn 𝕜 (f '' s) g
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg' : AntitoneOn g (f '' s)
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (g ∘ f)
α : Type u
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
⊢ ∀ {t_1 : Set α}, TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B → IsOpen s → IsOpen t_1 → (∀ U ∈ B, U ⊆ s ↔ U ⊆ t_1) → s = t_1
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n + 1
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
ha : ∀ (s : Finset ι), s.Nonempty → s ≠ univ → s.card < (s.biUnion t).card
this : Nonempty ι
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
α : Type u_1
G : Type u_9
AddGroup G
p : α → Prop
v : α →₀ G
⊢ Finsupp.subtypeDomain p (-v) = -Finsupp.subtypeDomain p v
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ConditionallyCompleteLattice β
NeZero μ
c : β
⊢ essSup (fun x => c) μ = c
f : CircleDeg1Lift
P : ℝ → Prop
h : ∀ x ∈ Set.Icc 0 1, P (f x - x)
x : ℝ
⊢ P (f x - x)
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
b : ℝ≥0
⊢ ENNReal.ofReal a < ↑b ↔ a < (↑b).toReal
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ c * c ≤ c
R : Type uR
S : Type uS
A✝ : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Semiring A✝
inst✝⁹ : Algebra R A✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
b✝ : Basis ι R M
inst✝⁶ : Fintype ι
ι' : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ι'
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R N
ij : ι × ι'
⊢ baseChange A ((b'.linearMap b) ij) = ((basis A b').linearMap (basis A b)) ij
ι : Type u_1
α : Type u_2
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
s : Finset ι
f : ι → Set α
⊢ (s.sup f).WellFoundedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).WellFoundedOn r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_3
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x : 𝕜'
⊢ ‖(ContinuousLinearMap.lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ ‖x‖
n : ℕ
K : Type u_2
Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
CharZero K
⊢ Polynomial.cyclotomic n ℚ = minpoly ℚ μ
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ (∀ (I : Set α), M.Indep I → I = ∅) ↔ ∀ I ⊆ M.E, M.Indep I ↔ I = ∅
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : HasContDiffBump E
inst✝ : MeasurableSpace E
c : E
f✝ : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
f : ContDiffBump 0
x : E
⊢ f.normed μ (-x) = f.normed μ x
α : Type u_1
F : Type u_3
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(MeasureTheory.lpMeas F 𝕜 m p μ)
⊢ ↑↑(MeasureTheory.lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f) =ᵐ[μ] ↑↑↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
ι : Type u_6
Countable ι
Nonempty ι
t : ι → Set α
t_meas : ∀ (n : ι), MeasurableSet (t n)
g : ι → α → β
hg : ∀ (n : ι), Measurable (g n)
ht : Pairwise fun i j => Set.EqOn (g i) (g j) (t i ∩ t j)
⊢ ∃ f, Measurable f ∧ ∀ (n : ι), Set.EqOn f (g n) (t n)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f : ℕ → α
hr : r < 1
hf : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C * r ^ n
a : α
ha : HasSum f a
n : ℕ
⊢ dist (∑ x ∈ Finset.range n, f x) a ≤ C * r ^ n / (1 - r)
α : Type u
Preorder α
s : Set α
OrderTop α
⊢ IsGreatest s ⊤ ↔ ⊤ ∈ s
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
⊢ Function.Injective ⇑f.toMap ↔ ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsAddLeftRegular x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
y : E
hy : y ∈ s
⊢ x ∈ s
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a * b ≤ c
hle : 1 ≤ a
⊢ b ≤ c
s : ℂ
H : LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) s
⊢ 1 < s.re
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
f : R
inst✝ : IsLocalization.Away f S
e : (↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm).comp (algebraMap R (Localization.Away f)) = algebraMap R S
⊢ IsOpenImmersion (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R S)))
a b c : Ordinal.{u_1}
h : b ≤ c
⊢ a ^ c = a ^ b * a ^ (c - b)
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s t : Set E
x : E
⊢ x ∈ convexJoin 𝕜 s t ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, x ∈ segment 𝕜 a b
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
β : Type u_5
SeminormedAddCommGroup β
hp : p ≠ ⊤
One β
⊢ ‖(WithLp.equiv p (ι → β)).symm 1‖ = ↑↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖1‖
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
⊢ {I | I.IsPrime}.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
⊢ (s.singularPart μ).totalVariation = s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ + s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
s : Set M
P : M
hP : P ∉ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s
⊢ P ∉ s
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : Field R
inst✝¹ : Module R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : F
t : R
ht : t ≠ 0
⊢ IsOpenMap ⇑(homothety x t)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Bool} {l : List α}, (List.filter p l).length = l.length ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → p a = true
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a : R[X]
⊢ 0 a = 0
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
⊢ ENNReal.ofReal p = ENNReal.ofReal q ↔ p = q
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
s t : SummableFamily Γ R α
g : Γ
⊢ (s + t).hsum.coeff g = (s.hsum + t.hsum).coeff g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
CategoryTheory.Mono g
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelCompMono f g).hom =
  CategoryTheory.Limits.kernel.lift f (CategoryTheory.Limits.kernel.ι (f ≫ g)) ⋯
x : ℝ
⊢ ↑(Real.arctan x) ≠ ↑π / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑r)) atBot (𝓝 0)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : C
hA : IsSubterminal A
inst✝ : HasBinaryProduct A A
this : IsIso (diag A) := isIso_diag hA
⊢ A ⨯ A ≅ A
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
i : B
⊢ cs.leftInvSeq (ω.concat i) = (cs.leftInvSeq ω).concat (cs.wordProd ω * cs.simple i * (cs.wordProd ω)⁻¹)
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ Finset.filterMap some s ⋯ = s
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : Y ⟶ (coextendScalars f).obj X
r : R
y : ↑Y
⊢ (f r • g y) 1 = (g y) (↑f.toMonoidWithZeroHom r)
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
⊢ ¬IsLieAbelian ↥(sl n R)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
AddCommMonoid α
Mul α
Fintype n
Monoid R
DistribMulAction R α
IsScalarTower R α α
a : R
M : Matrix m n α
N : Matrix n l α
⊢ a • M * N = a • (M * N)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
PseudoMetricSpace γ
G : β → γ
C : ℝ≥0
H : LipschitzWith C G
⊢ LipschitzWith C (BoundedContinuousFunction.comp G H)
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
hL : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
⊢ Fintype.card (E →ₐ[F] L) = finrank F E
R : Type u
S : Type v
CommRing R
f : R[X]
CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : Polynomial.eval₂ i a f = 0
⊢ (AdjoinRoot.lift i a h) (AdjoinRoot.root f) = a
M : Type u_2
α : Type u_3
VAdd M α
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
self : MeasurableVAdd₂ M α
⊢ Measurable (Function.uncurry fun x x_1 => x +ᵥ x_1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCancelCommMonoid E
ContinuousAdd E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E
⊢ StrictConvex 𝕜 ((fun x => z + x) ⁻¹' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (CategoryTheory.inv f)) (F.map f) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj Y)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_6
𝔸' : Type u_8
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
DecidableEq ι
x : E
hg : ∀ i ∈ u, HasFDerivWithinAt (g i) (g' i) s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => ∏ i ∈ u, g i x) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, g j x) • g' i) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ✝ : Type u_5
mγ✝ : MeasurableSpace γ✝
f✝ : β → γ✝
g : γ✝ → α
κ : Kernel α β
γ : Type u_6
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
hf : Measurable f
⊢ (κ.map (fun a => (f a, a)) ⋯).snd = κ
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝² : Epi π₁
f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝¹ : Epi π₂
f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1
h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₄ : (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₃ : C
π₃ : A₃ ⟶ A₂
w✝ : Epi π₃
g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0
h₅ : π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1 = g₀ ≫ R₂.map (homOfLE ⋯)
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x, π ≫ g₁ = x ≫ app' φ 1 ⋯
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : E → ℝ
x : E
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hg : DifferentiableAt ℝ g x
h : f x ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => f x ^ g x) x
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
⊢ χ⁻¹ = χ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
rι : ι → ι → Prop
rπ : (i : ι) → π i → π i → Prop
f : γ → ι
g : (i : ι) → γ → π i
s : Set γ
hι : WellFounded (rι on f)
hπ : ∀ (i : ι), (f ⁻¹' {i}).WellFoundedOn (rπ i on g i)
⊢ WellFounded (Sigma.Lex rι rπ on fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s \ (t ∩ s) = s \ t
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
x : E
⊢ i x ∈ separableClosure F K ↔ x ∈ separableClosure F E
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)
intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)
half_pi_pos : 0 < π / 2
cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y
sin_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ interior U → 0 < sin y
tan_cts_U : ContinuousOn tan U
tan_minus_id_cts : ContinuousOn (fun y => tan y - y) U
⊢ x < tan x
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
⊢ it.hasNext = true ↔ r ≠ []
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ : ℝ≥0∞
h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε
ε : ℝ≥0∞
B : Set Ω
ε_gt : δ < ε
ε_lt_top : ε < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
B_subset : B ⊆ (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ)ᶜ
⊢ ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ)ᶜ ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : 1 < pB.dim
h : (pB.basis.repr hζ.toInteger) ⟨1, hdim⟩ = (pB.basis.repr (↑↑p * x + ↑n)) ⟨1, hdim⟩
⊢ False
G : Type u_2
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddRightInvariant
x : G
⊢ Filter.map (fun t => t - x) (MeasureTheory.ae μ) = MeasureTheory.ae μ
r : ℝ
n : ℕ
⊢ ↑n < r.toNNReal ↔ ↑n < r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx : x ∈ closedBall 0 r
hy : y ∈ closedBall 0 r
⊢ a • x + b • y ∈ ball 0 r
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
f g : α × β → E
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν)
hg : MeasureTheory.Integrable g (μ.prod ν)
⊢ ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) - g (x, y) ∂ν ∂μ =
  ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ - ∫ (x : α), ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν ∂μ
x : UInt64
⊢ x.toUInt16.toNat = x.toNat % 2 ^ 16
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg : StrictConvexOn 𝕜 s g
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s (f ⊔ g)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
A : Type u_2
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra ℝ A
TopologicalRing A
φ : C(X, NNReal) →⋆ₐ[NNReal] A
hφ : Continuous ⇑φ
⊢ Continuous ⇑φ.realContinuousMapOfNNReal
K : Type u_1
Field K
nf : NumberField K
i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (NumberField.RingOfIntegers K)
⊢ (NumberField.integralBasis K) i = (algebraMap (NumberField.RingOfIntegers K) K) ((NumberField.RingOfIntegers.basis K) i)
R : Type u
x : R
⊢ Tropical.untrop (Tropical.trop x) = x
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
a b : ℕ+
⊢ (Ioc a b).card = (map (Embedding.subtype fun n => 0 < n) (Ioc a b)).card
α : Type u
ι : Sort x
s : ι → Set (Set α)
⊢ Filter.generate (⋃ i, s i) = ⨅ i, Filter.generate (s i)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ s ∈ coclosedCompact X ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ sᶜ ⊆ t
b : Bool
n : ℕ
h : n = 0 → b = true
ih : n.bits.length = n.size
⊢ (bit b n).bits.length = (bit b n).size
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
hp : 1 ≤ p
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (f - g) p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm f p μ + MeasureTheory.eLpNorm g p μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
X : D
⊢ ((CategoryTheory.Monad.comparison h).obj X).A = R.obj X
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M'
v : Basis ι R M
v' : Basis ι R M'
h : IsUnit ((toMatrix v v') f).det
x : M
⊢ ((toLin v' v) ((toMatrix v v') f)⁻¹) (f x) = ((toLin v v) (((toMatrix v v') f)⁻¹ * (toMatrix v v') f)) x
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
⊢ M.Basis I {x | M.Basis I (insert x I)}
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a x y : G
h : SemiconjBy a x y
n : ℕ
⊢ SemiconjBy a (x ^ (n + 1)) (y ^ (n + 1))
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
hj : ¬c.Rel j (c.next j)
⊢ (inlX φ j i hij ≫ d φ i j) ≫ sndX φ j = (φ.f j ≫ inrX φ j) ≫ sndX φ j
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
this : Finsupp.total ι A R x = (aeval x).toLinearMap ∘ₗ Finsupp.total ι (MvPolynomial ι R) R X
⊢ LinearIndependent R X
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocMod hp a b = a + p - Int.fract ((a + p - b) / p) * p
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i j : ℕ
h : i ≠ j
a : α
hj : j < (l.set i a).length
⊢ (l.set i a).get ⟨j, hj⟩ = l.get ⟨j, ⋯⟩
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedDeriv n f) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
⊢ 𝓕 (iteratedDeriv n f) x = (2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • 𝓕 f x
G : Type u_1
P : Type u_2
LE G
Preorder P
SMul G P
IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d
⊢ a • c < b • d
R : Type u_1
n : ℕ
x : Fin n → R
CommSemiring R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
q : MvPolynomial (Fin n) R
⊢ (MvPolynomial.eval x) (Polynomial.eval q ((MvPolynomial.finSuccEquiv R n) f)) =
  (MvPolynomial.eval fun i => Fin.cases ((MvPolynomial.eval x) q) x i) f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Icc a b ↔ x✝ ∈ Icc ⌈a⌉ ⌊b⌋
a b : Nat
⊢ (a + 1) * (b + 1) = a * b + a + b + 1
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
h : a ≤ ⊥
⊢ a = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Factorisation.terminal.π = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y