ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
t✝ : Multiset α
b : α
t : Multiset α
IH : ∀ (s : Multiset α), count a (s - t) = count a s - count a t
s : Multiset α
⊢ count a (s.erase b) - count a t = count a s - count a (b ::ₘ t)
P : Type u_1
Preorder P
x y : P
F : Order.PFilter P
⊢ x ≤ y → x ∈ F → y ∈ F
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)
⊢ (f * g).signAux = f.signAux * g⁻¹.signAux
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
⊢ s ∪ t =ᵐ[μ] t ↔ μ (s \ t) = 0
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
ζ : K
l : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ l
hl✝ : l ≠ 0
hl : NeZero l
hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n
key : φ (l.lcm ↑n) ≤ φ ↑n
⊢ l ∣ 2 * ↑n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝¹ : IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
inst✝ : Fintype ↥G
h : degree 1 < (X ^ Fintype.card ↥G).degree
⊢ Set.InjOn Units.val ↑(↑G).toFinset
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j : J
⊢ (isoProduct f).inv ≫ π f j = lift (Pi.π f) ≫ π f j
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ (∑ i_1 : n, ((Pi.basisFun R m).repr (r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1))).sum fun j yj => ((Pi.basisFun R n).repr (l ((stdBasis R (fun x => R) i) 1))) i_1 •> yj •> (B ((Pi.basisFun R n) i_1)) ((Pi.basisFun R m) j)) = ∑ y : n, ∑ x : m, of (fun i j => l ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) y i * (B ((stdBasis R (fun x => R) y) 1)) ((stdBasis R (fun x => R) x) 1) * of (fun i j => r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsRefl
x y : M₁
⊢ B.IsOrtho x y ↔ B.IsOrtho y x
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E
⊢ ENNReal.ofReal ‖a‖ = ↑‖a‖₊
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
⊢ (⨅ γ, ⨅ (_ : γ ≠ 0), 𝓟 (Iio γ)).HasBasis (fun γ => γ ≠ 0) Iio
R : Type u_1
Semiring R
ι : Type u_2
DecidableEq ι
M : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
C : (⨁ (i : ι), M i) → Prop
x : ⨁ (i : ι), M i
H_zero : C 0
H_basic : ∀ (i : ι) (x : M i), C ((DirectSum.lof R ι M i) x)
H_plus : ∀ (x y : ⨁ (i : ι), M i), C x → C y → C (x + y)
⊢ C x
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
s : Submodule R M
lt : FiniteDimensional.finrank R ↥s < FiniteDimensional.finrank R M
⊢ s < ⊤
M : Type u_4
N : Type u_5
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ Function.Injective AddMonoidHom.toZeroHom
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup β
Module 𝕜 β
BoundedSMul 𝕜 β
l : Filter α
f : α → β
c : 𝕜
hf : l.BoundedAtFilter f
⊢ l.BoundedAtFilter (c • f)
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
⊢ IsCoprime (x * y) z ↔ IsCoprime x z ∧ IsCoprime y z
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : f ≤ 𝓟 s
h : ∀ (x : ↑s), ∃ i, (↑x ∈ i ∧ IsOpen i) ∧ iᶜ ∈ f
⊢ ∃ ι U, (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) ∧ s ⊆ ⋃ i, U i ∧ ∀ (t : Finset ι), ¬s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hcd : c ≤ d
b : α
hab : a ≤ a + b
⊢ a * d + (a + b) * c ≤ a * c + (a + b) * d
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
⊢ ¬(T ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable ↔ ∃ T0, ↑T0 ⊆ T ∧ ¬(↑T0 ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nonempty n
M : Matrix n n R
⊢ ∑ i : n, M.diag i = ∑ i : n, M i i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : C ⥤ TopCat
Y : Type w'
TopologicalSpace Y
X : Cᵒᵖ
⊢ (ContinuousMap.yonedaPresheaf F Y).obj X = C(↑(F.obj (Opposite.unop X)), Y)
z : ℂ
this : HasSum (fun i => ((-z * I) ^ i / ↑i ! - (z * I) ^ i / ↑i !) * I / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)
⊢ HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / I) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)
α : Type u_2
CompleteLattice α
a : α
b : ↑(Set.Iic a)
h : CompleteLattice.IsCompactElement ↑b
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement b
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝.Hom Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U V : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U
⊢ (appIso f U).inv ≫ appLE f (f ''ᵁ U) V e = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
a b : Nat
⊢ a + 1 < b + 1 ↔ a < b
G : Type u_1
Group G
H₁ H₂ : Subgroup G
H₁.Normal
H₂.Normal
⊢ ⁅H₁, H₂⁆ ≤ H₁ ⊓ H₂
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this✝ : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
this : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L
⊢ (algebraMap K E) ((Algebra.norm K) (ζ - 1)) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFiltered C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
h : C ≌ D
⊢ CategoryTheory.IsFiltered D
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal D
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Functor.empty C) F
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) F
⊢ F.toMonoidalFunctorOfHasFiniteProducts.ε = (CategoryTheory.asIso (CategoryTheory.Limits.terminalComparison F)).inv
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
a b : X
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
Preorder X
CompactIccSpace X
T2Space X
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Icc a b) μ
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : 0 < a
⊢ b = 0 ∨ a ^ ω ≤ b
G : Type u_1
inst✝¹³ : Group G
inst✝¹² : MeasurableSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁷ : Countable ↥Γ
inst✝⁶ : Γ.Normal
inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁴ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝³ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝² : ν.IsMulRightInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite ν
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
x : G ⧸ Γ
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
x₁ : G
h : ⟦x₁⟧ = x
⊢ SMulInvariantMeasure G (G ⧸ Γ) μ
K : Type u
DivisionRing K
S : Set (Subfield K)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(sSup S) = ⋃ s ∈ S, ↑s
α : Type u
C : FreeAbelianGroup α → Prop
z : FreeAbelianGroup α
C0 : C 0
C1 : ∀ (x : α), C (pure x)
Cn : ∀ (x : α), C (pure x) → C (-pure x)
Cp : ∀ (x y : FreeAbelianGroup α), C x → C y → C (x + y)
⊢ C z
α : Type u_1
Fintype α
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
n : ℕ
⊢ AkraBazziRecurrence.asympBound g a b n =
  ↑n ^ AkraBazziRecurrence.p a b * (1 + ∑ u ∈ Finset.range n, g ↑u / ↑u ^ (AkraBazziRecurrence.p a b + 1))
α : Type u_3
ι : Type u_6
x : ι → α
f : Filter α
l : Filter ι
l.IsCountablyGenerated
hxy : ∀ (ns : ℕ → ι), Filter.Tendsto ns Filter.atTop l → ∃ ms, Filter.Tendsto (fun n => x (ns (ms n))) Filter.atTop f
⊢ Filter.Tendsto x l f
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace δ
NormedAddCommGroup β
f : α → δ
ν : MeasureTheory.Measure δ
h₁ : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ ν
h₂ : MeasurableEmbedding f
g : δ → β
⊢ MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ ↔ MeasureTheory.Integrable g ν
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 - ε ↑y
h_smoothing_gt_half : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 1 / 2 < 1 - ε ↑y
h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)
h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
n₀_pos : 0 < n₀
h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 - ε ↑(r i y)
bound1 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), ↑(r i y) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i y)) ≤ b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 - ε ↑y)
h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 - ε ↑y
h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), c₁ * g ↑y ≤ sumTransform (p a b) g (r i y) y
h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)
⊢ ∃ c, ∀ n ≥ n₀, ‖T n‖ ≤ c * ‖(1 - ε ↑n) * asympBound g a b n‖
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
⊢ ∃ g, Disjoint K (g • L)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ P g
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
f : F
x : A
⊢ map f (adjoin R {x}) = adjoin R {f x}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : Prop
Decidable P
X Y Z : C
f f' : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (if P then f else f') g =
  if P then CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g else CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y
⊢ HasStrictFDerivAt g (↑f'.symm) a
V : Type u
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
⊢ LinearMap.ker (InnerProductSpace.continuousLinearMapOfBilin B) = ⊥
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R)
hI : I ≠ 0
⊢ I.num ∈ (Ideal R)⁰
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
f : α → β
hf : ↑e = f
g : β → α
hg : ↑e.symm = g
s : Set α
hs : e.source = s
t : Set β
ht : e.target = t
⊢ e.copy f hf g hg s hs t ht = e
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
s : Set α
AddGroup H
AddAction H α
VAddCommClass H G α
g : H
⊢ MeasureTheory.addFundamentalInterior G (g +ᵥ s) = g +ᵥ MeasureTheory.addFundamentalInterior G s
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : LieSubalgebra R L
M : Type w
AddCommGroup M
LieRingModule L M
N : Type w₁
AddCommGroup N
LieRingModule L N
Module R N
Module R M
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ⇑(f.restrictLie L') = ⇑f
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Preorder ι
f : Filtration ι m
i j : ι
⊢ MeasurableSet {ω | (fun x => i) ω ≤ j}
α : Type u
t : TopologicalSpace α
β : Type u_2
TopologicalSpace β
B : Set (Set α)
hB : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B
f : α → β
⊢ IsOpenMap f ↔ ∀ s ∈ B, IsOpen (f '' s)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃
x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂
x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁
h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃
h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂
this✝ : PreservesFiniteLimits (forget₂ C Ab)
this : PreservesFiniteLimits (forget C)
eq : (forget C).map (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ ≫ D.δ) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = (forget C).map (D.φ₁ ≫ D.v₂₃.τ₁) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂)
⊢ D.δ x₃ = D.v₂₃.τ₁ x₁
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype m
M : Matrix l m α
x : Matrix m n α
⊢ M.addMonoidHomMulLeft x = M * x
l m r : List Char
p : Char → Bool
⊢ ValidFor (l ++ List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m) r ({ str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.dropWhile p)
α : Type u
Group α
Fintype α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card α = p
⊢ IsSimpleGroup α
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ⇔ b ⇔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α
h : ∃ i, p i
this : Nonempty { i // p i }
⊢ (⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h) ⊔ a = ⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h ⊔ a
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∩ t).offDiag = s.offDiag ∩ t.offDiag
x y : ℝ
⊢ √x = y ↔ y * y = x ∧ 0 ≤ y ∨ x < 0 ∧ y = 0
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
ifp_n' : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n'
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n'.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹ = ifp_succ_n
this : ifp_n = ifp_n'
⊢ ifp_succ_n.fr.num < ifp_n.fr.num
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Inv α
SemilatticeSup β
OrderBot β
s : Finset α
f : α → β
⊢ s⁻¹.sup f = s.sup fun x => f x⁻¹
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]
h : -1 < r.re
c : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..c, ↑x ^ r = ↑c ^ (r + 1) / (r + 1) - 0 ^ (r + 1) / (r + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε.toReal / 3
hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal
hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)
δ₁ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ₁
heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
δ₂ : ℝ
hδ₂ : 0 < δ₂
heLpNorm₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
t : Set α
htm : MeasurableSet t
ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε.toReal / (3 * ↑(measureUnivNNReal μ) ^ (1 / p.toReal))
n : ℕ
hn : n ≥ N
hnf : eLpNorm (t.indicator (f n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
hng : eLpNorm (t.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
hlt : eLpNorm (tᶜ.indicator (f n - g)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
this : ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3) = ε / 3
⊢ eLpNorm (t.indicator (f n)) p μ + eLpNorm (-t.indicator g) p μ + eLpNorm (tᶜ.indicator (f n + -g)) p μ ≤ ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
D : DecidableEq α
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
g₁ : α →₀ M
g₂ : α →₀ N
⊢ (zipWith f hf g₁ g₂).support ⊆ g₁.support ∪ g₂.support
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Mul M✝
inst✝² : ContinuousMul M✝
M : Type u
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
⊢ ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : Prop
Decidable P
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : P → (Y ⟶ Z)
g' : ¬P → (Y ⟶ Z)
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f (if h : P then g h else g' h) =
  if h : P then CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f (g h)
  else CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f (g' h)
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
NormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
a b : α → 𝕜
u v : α → E
l : Filter α
hab : a ~[l] b
huv : u ~[l] v
⊢ (fun x => a x • u x) ~[l] fun x => b x • v x
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
LinearOrder β
x y : β
⊢ ↑(min x y) = min ↑x ↑y
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
a : α
⊢ (∀ (y : Quot r), mk r a = y) ↔ ∀ (i : α), ⊤ ≤ EqvGen r a i
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
h : s.pi t₁ ⊆ s.pi t₂
⊢ ¬s.pi t₁ = ∅ → ∀ i ∈ s, t₁ i ⊆ t₂ i
f : ℕ →₀ ℕ
hf : ∀ p ∈ f.support, Nat.Prime p
⊢ ↑(Nat.factorizationEquiv.symm ⟨f, hf⟩) = f.prod fun x x_1 => x ^ x_1
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} C₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₃)
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
X : CategoryTheory.GradedObject I C₁
Y : CategoryTheory.GradedObject J C₂
A : C₃
k : K
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p
f : (i : I) → (j : J) → p (i, j) = k → ((F.obj (X i)).obj (Y j) ⟶ A)
i : I
j : J
hij : p (i, j) = k
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij)
    (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObjDesc f) =
  f i j hij
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
ι : Type w
b : Basis ι R M
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
b' : ι
w : ∀ (x : κ), (b.repr (v x)) b' = 0
v' : Option κ → M := fun o => o.elim (b b') v
r : range v ⊆ range v'
r' : b b' ∉ range v
⊢ False
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
DecidablePred fun x => c ≤ x
hca : c ≤ a
⊢ Finset.filter (fun x => c ≤ x) (Finset.Ico a b) = Finset.Ico a b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ κ.compProdFun η a s = ∑' (n : ℕ) (m : ℕ), (κ.seq n).compProdFun (η.seq m) a s
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
⊢ ∅.compls = ∅
a b m n p✝ p : ℕ
hp : p ∈ (a.lcm b).factorization.support
q : ℕ
hq : q ∈ (a.lcm b).factorization.support
⊢ ((fun p n => if b.factorization p ≤ a.factorization p then p ^ n else 1) p ((a.lcm b).factorization p)).Coprime ((fun p n => if b.factorization p ≤ a.factorization p then 1 else p ^ n) q ((a.lcm b).factorization q))
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
y : 𝕜
hy : y ∈ (s ∩ t) \ {x}
⊢ f x ∈ (Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
R : ℝ
s : Set E
x : E
hR : 0 < R
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x R
⊢ ∃ r ∈ Ioo 0 R, s ⊆ ball x r
α : Type u_2
OrderedAddCommGroup α
s : Interval α
⊢ 0 ≤ s.length
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (CategoryTheory.toSheafification J D).app P = CategoryTheory.toSheafify J P
σ : Type u
R : Type v
CommSemiring R
⊢ LinearIndependent R MvPolynomial.X
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ DiscreteTopology α ↔ ∀ (x : α), 𝓝 x = pure x
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ ker (inr R M M₂) = ⊥
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ interior s
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
⊢ 𝓝 x = ⨅ s, ⨅ (_ : IsOpen s), ⨅ (_ : x ∈ s), 𝓟 s
l mr lm r : List Char
e : lm ++ r = l ++ mr
h✝ : utf8Len l ≤ utf8Len lm
h : ∃ a', l = lm ++ a' ∧ r = a' ++ mr
⊢ ∃ c', lm = l ++ c' ∧ mr = c' ++ r
x y b c : ℝ
y✝ : CauSeq ℚ abs
⊢ c + mk y✝ < c + b ↔ mk y✝ < b
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : J ≠ 0
I I' : FractionalIdeal A⁰ K
⊢ J * I ≤ J * I' ↔ I * J ≤ I' * J
α : Type u_1
Preorder α
x : LTSeries α
⊢ Monotone x.toFun
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20583, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.20587, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.20591, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
X Y : Comma L₁ R₁
l : X.left ≅ Y.left
r : X.right ≅ Y.right
h : autoParam (L₁.map l.hom ≫ Y.hom = X.hom ≫ R₁.map r.hom) _auto✝
⊢ L₁.map l.inv ≫ X.hom = Y.hom ≫ R₁.map r.inv