ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 N f
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => (f y) c) x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 n f x‖
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
W : C
m : t.pt ⟶ W
⊢ m = h.desc { pt := W, ι := { app := fun b => t.ι.app b ≫ m, naturality := ⋯ } }
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
⊢ ∃ g, g ∘ₗ f = id
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ X.rightUnitor.hom.f = CategoryTheory.Limits.prod.fst
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x✝ y✝ ε x y : α
h : x < y
n : ℕ
nh : (y - x)⁻¹ < ↑n
z : ℤ
zh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n
n0' : 0 < ↑n
n0 : 0 < n
⊢ ↑(↑(z + 1)).den ≠ 0
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ 2 ≤ S.multiplicity
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Monotone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Monotone (aeSeq hf p)
n : ℕ
⊢ ∫⁻ (a : α), aeSeq hf p n a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
δ ε : ℝ
h : δ + ε ≤ dist x y
⊢ Disjoint (Metric.closedBall x δ) (Metric.ball y ε)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) + (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v = ↑x
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
⊢ I ⊆ M.E
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
y : PrimeSpectrum S
⊢ ((PrimeSpectrum.comap f) y).asIdeal = Ideal.comap f y.asIdeal
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Sigma σ → X
⊢ Continuous f ↔ ∀ (i : ι), Continuous fun a => f ⟨i, a⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s : Set α
⊢ r.image (s ∩ r.dom) = r.image s
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : Y
hx : x ∈ e.target
s : Set Y
⊢ 𝓝[e.target ∩ s] x = 𝓝[s] x
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x + a) ⁻¹' Set.Ioc b c = Set.Ioc (b - a) (c - a)
G : Type u_3
CommGroup G
a b c : G
h : b = c / a
⊢ a * b = c
d : ℤ
x y : ℤ
⊢ Zsqrtd.sqrtd * { re := x, im := y } = { re := d * y, im := x }
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
K : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} K
e : J ≌ K
F : CategoryTheory.Functor K C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ CategoryTheory.IsUniversalColimit (CategoryTheory.Limits.Cocone.whisker e.functor c) ↔
  CategoryTheory.IsUniversalColimit c
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * x.1 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
k : ℕ
⊢ HasSum (fun c => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * k + ↑c + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * k + ↑c) / ↑(2 * k + ↑c))) ((-1) ^ k * z ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1))
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
l₁ l₂ l₃ l₄ : List (Sigma β)
nd₃ : l₃.NodupKeys
p₁₂ : l₁.Perm l₂
p₃₄ : l₃.Perm l₄
⊢ (l₁.kunion l₃).Perm (l₂.kunion l₄)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
f : Module.End R M
⊢ f ∈ B.skewAdjointSubmodule ↔ (-B).IsAdjointPair B f f
α : Type u_1
M : MeasurableSpace α
S : Set (Set α)
h_meas_S : ∀ s ∈ S, MeasurableSet s
t : Set α
h_in_pi : t ∈ generatePiSystem S
⊢ MeasurableSet t
num : Int
den g : Nat
den_nz : den ≠ 0
e : g = num.natAbs.gcd den
⊢ (num.div ↑g).natAbs = num.natAbs / g
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
j : C ⥤ D
inst✝ : Coreflective j
X : D
⊢ j.map ((coreflectorAdjunction j).unit.app ((coreflector j).obj X)) ≫ (coreflectorAdjunction j).counit.app (j.obj ((coreflector j).obj X)) = j.map ((coreflectorAdjunction j).unit.app ((coreflector j).obj X) ≫ (coreflector j).map ((coreflectorAdjunction j).counit.app X))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
s : Set E
g : F →L[𝕜] G
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
x : E
hx : x ∈ s
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hp : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
⊢ CPolynomialAt 𝕜 (⇑g ∘ f) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y
hxz : f x ≤ f z
⊢ f z ≤ f y
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
inst✝ : Mono f
g₁ g₂ : ↑G
h : f g₁ = f g₂
t0 : asHom g₁ ≫ f = asHom g₂ ≫ f
t1 : asHom g₁ = asHom g₂
⊢ g₁ = g₂
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => -I * ↑↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) * ↑(rexp (-π * ↑↑n ^ 2 * t)) + -I * ↑(-↑n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑n) ^ 2 * t))) ↑(sinKernel (↑a) t)
n : ℕ
⊢ ↑(2 * ↑n * Real.sin (2 * π * a * ↑n) * rexp (-π * ↑n ^ 2 * t)) = -I * ↑↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) * ↑(rexp (-π * ↑↑n ^ 2 * t)) + -I * ↑(-↑n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑n) ^ 2 * t))
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
Nonempty α
x : { i // i ∈ P.parts.offDiag }
hε₁ : ε ≤ 1
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
⊢ ↑(G.edgeDensity (↑x).1 (↑x).2) ^ 2 + ((if G.IsUniform ε (↑x).1 (↑x).2 then 0 else ε ^ 4 / 3) - ε ^ 5 / 25) ≤
  (∑ i ∈ SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
n : Nat
⊢ List.drop n (l₁ ++ l₂) = List.drop n l₁ ++ List.drop (n - l₁.length) l₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
h : f.IsUniversal
c : C
η η' : c ⟶ f.left
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map η) f.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map η') f.hom
⊢ η = η'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
ι : Sort u_5
f : ι → ConvexCone 𝕜 E
⊢ ↑(iInf f) = ⋂ i, ↑(f i)
G : Type u_3
Group G
⊢ Group.FG G ↔ AddGroup.FG (Additive G)
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²³ : Semifield R
inst✝²² : StarRing R
inst✝²¹ : MetricSpace R
inst✝²⁰ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁹ : ContinuousStar R
inst✝¹⁸ : Semifield S
inst✝¹⁷ : StarRing S
inst✝¹⁶ : MetricSpace S
inst✝¹⁵ : TopologicalSemiring S
inst✝¹⁴ : ContinuousStar S
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : Ring A
inst✝¹¹ : StarRing A
inst✝¹⁰ : Algebra S A
inst✝⁹ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R S A
inst✝⁵ : StarModule R S
inst✝⁴ : ContinuousSMul R S
inst✝³ : CompleteSpace R
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
a : A
hpa : p a
hqa : q a
h : SpectrumRestricts a ⇑f
inst✝ : CompactSpace ↑(spectrum S a)
⊢ (starAlgHom (cfcHom hqa) h) (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.CG L M ↔ ⊤.CG
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsSepClosed E
⊢ separableClosure F E = ⊥ ↔ IsSepClosed F
A : Type u_2
B : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
i : A × B
⊢ (ContinuousAddMonoidHom.swap A B) i =
  ((ContinuousAddMonoidHom.snd A B).toAddMonoidHom i, (ContinuousAddMonoidHom.fst A B).toAddMonoidHom i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
h : gauge s x < a
b : ℝ
hba : b < a
hb : 0 < b
hx : x ∈ b • s
⊢ ∃ b, 0 < b ∧ b < a ∧ x ∈ b • s
x✝ y x : ℝ
⊢ arcsin x = 0 ↔ x = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
NonUnitalNonAssocSemiring γ
g : β →ₙ+* γ
f : α →ₙ+* β
⊢ { toFun := ⇑g ∘ ⇑f, map_mul' := ⋯ } = (↑g).comp ↑f
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
δ c d : α
hdc : 0 ≤ c - d
⊢ (fun a_1 => ↑a_1) (projIcc a b h c) - (fun a_1 => ↑a_1) (projIcc a b h d) ≤ c - d
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hi : Irreducible p
a b : K[X]
hab : map (algebraMap R K) p = a * b
c : R
c0 : c ≠ 0
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ a) = C ((algebraMap R K) c) * a
d : R
d0 : d ≠ 0
hd : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ b) = C ((algebraMap R K) d) * b
hcd0 : ¬C (c * d) = 0
u : Rˣ
h1 : C (c * d) * (C ↑u * (integerNormalization R⁰ b).primPart * (integerNormalization R⁰ a).primPart) = C (c * d) * p
hu : c * d * ↑u = (integerNormalization R⁰ a).content * (integerNormalization R⁰ b).content
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedGroup (π i)
f : (i : ι) → π i
⊢ ∑ i : ι, ‖f i‖ ≤ Fintype.card ι • ‖f‖
E : Type
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
fa : AnalyticAt ℂ f x
m : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => Complex.log (f z)) x
X Y : CommRingCat
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget CommRingCat).map f = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
x y : α
⊢ K⁻¹ * nndist x y ≤ nndist (f x) (f y)
n a : ℕ
⊢ a + n ≡ a [MOD n]
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : CompleteLattice α
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : IsLower α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsLower β
f : sInfHom α β
b : β
⊢ IsClosed (⇑f ⁻¹' Ici b)
α : Type u_3
F : Filter α
V : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), V n ∈ F
u : ℕ → α
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop F
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), u (φ n) ∈ V n
x : SetTheory.PGame
⊢ 0 ≤ -x + x
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
x : β
⊢ e (e.symm x) = x
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
r : R
x : U
g : Lex (Γ' × Γ)
⊢ ((of R).symm ({ toFun := fun u => (of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x))).coeff g = ((of R).symm ((RingHom.id R) r • { toFun := fun u => (of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate, map_add' := ⋯ }.toFun x)).coeff g
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : C ⥤ D ⥤ D
X : C
e : F.obj X ≅ 𝟭 D
inst✝² : (Y : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y Y' : GradedObject J D
φ : Y ⟶ Y'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap p
j : J
⊢ φ j ≫ e.inv.app (Y' j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y' j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯ = e.inv.app (Y j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y j) ≫ (F.obj ((single₀ I).obj X 0)).map (φ j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra.FinitePresentation R A
f : A →ₐ[R] S
hf : Function.Surjective ⇑f
t : Finset A
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Algebra.FinitePresentation R (Localization.Away (f ↑g))
⊢ ∀ (g : ↑↑t), (ker (Localization.awayMap f.toRingHom ↑g)).FG
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
h : p ≤ p'
x : ↥p
⊢ (Submodule.inclusion h) x = ⟨↑x, ⋯⟩
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.43805, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.43809, u_2} C
P✝ Q : Karoubi (J ⥤ C)
f : P✝ ⟶ Q
X : J
P : Karoubi (J ⥤ C)
j j' : J
φ : j ⟶ j'
h : (P.p ≫ P.p).app j = P.p.app j
⊢ P.p.app j ≫ P.X.map φ = P.p.app j ≫ P.p.app j ≫ P.p.app j ≫ P.X.map φ
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hp0 : p ≠ 0
hp0_lt : 0 < p
hq0_lt : 0 < q
hq_top : ¬q = ⊤
hp_lt_top : p < ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
⊢ eLpNorm' f p.toReal μ ≤ eLpNorm' f q.toReal μ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal - 1 / q.toReal)
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G'' : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
CompleteSpace G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α) (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT ↑↑f ≤ MeasureTheory.setToFun μ T' hT' ↑↑f
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
hx✝ : x ∈ H0 A
g : G
hx : (A.ρ g) x = x
⊢ (dZero A ∘ₗ (H0 A).subtype) ⟨x, hx✝⟩ g = 0 ⟨x, hx✝⟩ g
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
U : Set α
hu : U.Nontrivial
x : α
hx : x ∈ U
h : (U ∩ ({x} ∩ closure (U \ {x}))).Nonempty
⊢ AccPt x (𝓟 U)
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial σ S
r : R
⊢ (MvPolynomial.bind₂ f) (MvPolynomial.C r) = f r
R : Type u
CommSemiring R
p : R[X]
x : R
n : ℕ
⊢ Polynomial.eval x (p ^ n) = Polynomial.eval x p ^ n
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
φ : MvPowerSeries σ R
u : Rˣ
h : (constantCoeff σ R) φ = ↑u
⊢ φ.invOfUnit u ∈ nonZeroDivisors (MvPowerSeries σ R)
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
⊢ Matrix.adjugate 1 = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.48026, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.48030, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
e₁ : S₁.X₁ ≅ S₂.X₁
e₂ : S₁.X₂ ≅ S₂.X₂
e₃ : S₁.X₃ ≅ S₂.X₃
comm₁₂ : autoParam (e₁.hom ≫ S₂.f = S₁.f ≫ e₂.hom) _auto✝
comm₂₃ : autoParam (e₂.hom ≫ S₂.g = S₁.g ≫ e₃.hom) _auto✝
⊢ e₂.inv ≫ S₁.g = S₂.g ≫ e₃.inv
α : Type u_1
s✝ t✝ u s t : Set α
h : s ⊆ t
h_surj : Surjective (inclusion h)
x : α
hx : x ∈ t
⊢ x ∈ s
R : Type uR
CommRing R
A : Type uA
AddCommGroup A
B : Type uB
AddCommGroup B
Module R A
Module R B
c : A →ₗ[R] CharacterModule B
x : (addConGen (TensorProduct.Eqv R A B)).Quotient
⊢ (CharacterModule.homEquiv c) x = AddCon.liftOn x ⇑(FreeAddMonoid.lift fun mn => (c.toAddMonoidHom mn.1) mn.2) ⋯
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : UniqueDiffOn ℝ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
⊢ ContinuousOn (fun t => taylorWithinEval f n s t x) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : TopCat.Presheaf C (TopCat.of PUnit.{u_1 + 1})
it : CategoryTheory.Limits.IsTerminal (F.obj (Opposite.op ⊥))
⊢ F.IsSheaf
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
hab : AntisymmRel (fun x x_1 => x ≤ x_1) a b
⊢ a ⩿ c ↔ b ⩿ c
M : Type u_2
MulOneClass M
⊢ Reflexive fun a b => ∃ c, SemiconjBy c a b
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ
⊢ Convex ℝ (s + ball 0 δ)
a : ℤ
⊢ jacobiSym a 0 = 1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ (𝓝ˢ s).HasBasis (fun U => IsOpen U ∧ s ⊆ U) fun U => U
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
a : α
⊢ Ico ⊥ a = Iio a
M : Type u_3
CommMonoid M
HasDistribNeg M
l : List M
⊢ (List.map Neg.neg l).prod = (-1) ^ l.length * l.prod
w v : Nat
x₁ x₂ : BitVec w
y₁ y₂ : BitVec v
⊢ x₁ ++ y₁ ^^^ x₂ ++ y₂ = (x₁ ^^^ x₂) ++ (y₁ ^^^ y₂)
α : Type u_2
f g : Equiv.Perm α
DecidableRel f.SameCycle
DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
⊢ (f * g).cycleOf x = f.cycleOf x
δ : Type u_4
π : δ → Type u_5
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
i : δ
l : List δ
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
⊢ MeasureTheory.Measure.tprod (i :: l) μ = (μ i).prod (MeasureTheory.Measure.tprod l μ)
x : ℝ
lx : Liouville x
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
ef0 : eval x (map (algebraMap ℤ ℝ) f) = 0
A : ℝ
hA : 0 < A
h : ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), 1 ≤ (↑b + 1) ^ f.natDegree * (|x - ↑a / (↑b + 1)| * A)
⊢ False
ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : UniformSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : UniformGroup G
inst✝² : UniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ F) 1
⊢ UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ F)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
⊢ map Prod.swap (l₁.zip []) = [].zip l₁
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
Fintype α₁
Fintype α₂
CommMonoid γ
f : α₁ → α₂ → γ
⊢ ∏ x : α₁ × α₂, f x.1 x.2 = ∏ x : α₁, ∏ y : α₂, f x y
α : Type u_1
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Multiset.Ico a b - Multiset.Ico c b = Multiset.Ico a (min b c)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c x : P
R : ℝ
⊢ EuclideanGeometry.inversion c R x = c ↔ x = c ∨ R = 0
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
⊢ (p.natDegree, q.natDegree) ∉ antidiagonal (p.natDegree + q.natDegree) → p.coeff (p.natDegree, q.natDegree).1 * q.coeff (p.natDegree, q.natDegree).2 = 0
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
j : J
Finj : ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : ↑F.sections
h : ↑s₀ j = ↑s₁ j
k m : J
mi : m ⟶ i
mk : m ⟶ k
h✝ : True
⊢ ↑s₀ k = ↑s₁ k
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
⊢ Algebra.Generators.CotangentSpace.map f - Algebra.Generators.CotangentSpace.map g = ↑S P'.cotangentComplex ∘ₗ f.sub g
α : Type u
Preorder α
s : Set α
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ≥ x_1) s
m : α
hm : m ∈ s
hmin : ∀ a ∈ s, a ≤ m → m ≤ a
a : α
⊢ a ∈ s → m ≤ a
m n : Nat
⊢ Int.subNatNat m n = ↑m - ↑n
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.284, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.288, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.292, u_3} E
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasShift D ℤ
inst✝² : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (F.map X✝.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app X✝.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (F.map f.hom₁) = F.map f.hom₃ ≫ F.map Y✝.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app Y✝.obj₁
α : Type u_2
Add α
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (t.biUnion fun a => AddOpposite.op a +ᵥ s) = s + t
α : Type u
TopologicalSpace α
LocallyConnectedSpace α
x : α
⊢ IsClopen (connectedComponent x)
M : Type u_3
AddMonoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n • a ≤ n • b → a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set β
⊢ f ⁻¹' (s ∪ t) = f ⁻¹' s ∪ f ⁻¹' t
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T1Space Y
y : Y
s : Set X
x✝ : IsClosed s
h2s : s.Nonempty
⊢ IsClosed (const X y '' s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ₑ D
α : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.LeftExactFunctor.ofExact C D).map α = α
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
CharZero R
n : ℕ
⊢ ↑n = 1 ↔ n = 1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R[X]
i : R →+* ↥((Quotient.mk I).comp C).range := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I
y : R
hx' : ((Quotient.mk I).comp C) y ∈ ((Quotient.mk I).comp C).range
hx : C ⟨((Quotient.mk I).comp C) y, hx'⟩ ∈ map (mapRingHom ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict) I
⊢ ⟨((Quotient.mk I).comp C) y, hx'⟩ = 0
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n
⊢ rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥
x✝ : ZFSet
s : Set ZFSet
hs : Small.{u, u + 1} ↑s
x : ZFSet
⊢ (Quotient.out x ∈ PSet.mk (Shrink.{u, u + 1} ↑s) fun x => Quotient.out ↑((equivShrink ↑s).symm x)) ↔ x ∈ s
q : ℚ
⊢ -q = Rat.divInt (-q.num) ↑q.den
α : Type u_2
β : Type u_3
Bornology α
Bornology β
f : LocallyBoundedMap α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
hs : Dense s
⊢ Dense (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
k m n m' n' : α
hm' : m' ∣ m
hn' : n' ∣ n
h : gcd k (m * n) = m' * n'
hm'n' : m' * n' ∣ k
⊢ m' ∣ gcd k m
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
n : ℕ
h : IsFractional S I
⊢ IsFractional S (n • I + I)