ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : Basis.SmithNormalForm N ι n
i : ι
hi : i ∉ Set.range ⇑snf.f
⊢ N ≤ LinearMap.ker (snf.bM.coord i)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
⊢ StructureSheaf.toOpen (A⁰_ f) ⊤ ≫ (toSpec 𝒜 f).val.c.app (op ⊤) ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.germ ⟨x, True.intro⟩ = awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
S : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
CategoryTheory.ClosedUnderIsomorphisms S.P
h₂ : S.P T.obj₂
h₃ : S.P T.obj₃
⊢ S.P T.obj₁
m n✝ : ℕ
C : ℕ → Sort u
H : (b : Bool) → (n : ℕ) → C (bit b n)
b : Bool
n : ℕ
⊢ HEq (H (bit b n).bodd (bit b n).div2) (H b n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
NormedAddCommGroup F₄
NormedSpace 𝕜 F₄
n : ℕ∞
f : M → F₁ ≃L[𝕜] F₂
g : M → F₃ ≃L[𝕜] F₄
s : Set M
x : M
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₁) n (fun x => ↑(f x).symm) s x
hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₃ →L[𝕜] F₄) n (fun x => ↑(g x)) s x
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, (F₁ →L[𝕜] F₃) →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₄) n (fun y => ↑((f y).arrowCongr (g y))) s x
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
K : Type (max v u)
inst✝⁴ : SmallCategory K
inst✝³ : FinCategory K
inst✝² : HasLimitsOfShape K D
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)
inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))
k : K
j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ
⊢ Multiequalizer.lift ((unop j).index (F.obj k)) (multiequalizer ((unop j).index (limit F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop j).index (limit F)) i ≫ (limit.π F k).app (op i.Y)) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (F.obj k) X) j = ((limit.lift (F ⋙ J.diagramFunctor D X) ((J.diagramFunctor D X).mapCone (limit.cone F)) ≫ limit.π (F ⋙ J.diagramFunctor D X) k).app j ≫ (colimit.ι (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip j).app k) ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k).hom
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0
⊢ p₁ ≠ p₃
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x => f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
⊢ Tendsto (fun x => ∑' (k : β), f x k) 𝓕 (𝓝 (∑' (k : β), g k))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
r : ℝ≥0∞
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
A : ℕ → Set α
hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)
hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n
hAd : Pairwise (Disjoint on A)
hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)
hr : r > μ (⋃ n, A n)
HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0∞
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
hδε : μ (⋃ n, A n) + ∑' (i : ℕ), δ i < r
this : ∀ (n : ℕ), ∃ U ⊇ A n, IsOpen U ∧ μ U < μ (A n) + δ n
⊢ ∃ U ⊇ ⋃ n, A n, IsOpen U ∧ μ U < r
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
f g : ℕ → M
hf : Summable f
hg : Summable g
⊢ Summable fun t => Int.rec f g t
x : SetTheory.PGame
⊢ ¬x.Fuzzy x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁✝ : IsBlock G B₁
h₂ : IsBlock G B₂
g : G
h₁ : Disjoint (g • B₁) B₁
⊢ g • B₁ ∩ g • B₂ = B₁ ∩ B₂ ∨ Disjoint (g • B₁ ∩ g • B₂) (B₁ ∩ B₂)
α : Type u_1
Preorder α
⊢ ∀ (a : Antisymmetrization α fun x x_1 => x ≤ x_1),
  (OrderEmbedding.ofAntisymmetrization α) a = ofAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.63975, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝³ : Preregular C
inst✝² : FinitaryExtensive C
inst✝¹ : ∀ (X : C), Projective X
inst✝ : ReflectsFiniteProducts s
hF : IsSheaf (coherentTopology C) (F ⋙ s)
⊢ IsSheaf (coherentTopology C) F
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
h : a ∣ b
n : ℕ
⊢ a ^ n * a ∣ b ^ n * b
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ divided_by_X_pow_order ⋯ = 1
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
a : R
h : a ∈ nonunits R
⊢ IsUnit (1 - a)
ι : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ≥0
hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
h0p : 0 < ↑p
⊢ ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p ∂μ ≤ ↑(lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ ↑p) * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂μ) ^ ↑p
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im < 0
⊢ (-x).arg = x.arg + π ↔ x.im < 0 ∨ x.im = 0 ∧ 0 < x.re
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
ι : Sort u_2
S : ι → NonUnitalSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
hf : Injective f
h : f a ∈ image f s
⊢ a ∈ s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
⊢ (∃ I, lieIdealSubalgebra R L I = K) ↔ ∀ (x y : L), y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
M : Type u_1
N : Type u_2
Semigroup M
Semigroup N
s : Set M
f : M → N
hs : Subsemigroup.closure s = ⊤
hmul : ∀ (x y : M), y ∈ s → f (x * y) = f x * f y
⊢ ⇑(MulHom.ofDense f hs hmul) = f
R : Type u_1
self : Distrib R
a b c : R
⊢ (a + b) * c = a * c + b * c
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0
⊢ ‖x‖ / Real.cos (InnerProductGeometry.angle x (x + y)) = ‖x + y‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M : Comon_ C
N : Mon_ C
⊢ 1 = CategoryTheory.CategoryStruct.comp M.counit N.one
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
ι : Type u_4
μ : F
s : ι → Set α
l : Filter ι
l.NeBot
h0 : Filter.Tendsto (fun k => μ ((⋃ n, s n) \ s k)) l (𝓝 0)
⊢ μ (⋃ n, s n) = ⨆ n, μ (s n)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.reverse.Nodup
x : α
hx : x ∈ s.reverse
⊢ s.reverse.next hs x hx = s.prev ⋯ x ⋯
α : Type u_1
Preorder α
a : WithTop α
b : α
⊢ ↑(WithTop.untop' b a) ≤ a
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u i).indicator f y - (u i).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
n : ℕ
hn : x ∈ u n
a : Set α
ha : a ⊆ u n
h'a : MeasurableSet a
⊢ (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a = (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a
α : Type u_1
MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
⊢ dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
W : MorphismProperty C
J : Type u_1
inst✝¹ : W.RespectsIso
inst✝ : HasProductsOfShape J C
hW : ∀ (X₁ X₂ : J → C) (f : (j : J) → X₁ j ⟶ X₂ j), (∀ (j : J), W (f j)) → W (Pi.map f)
X₁ X₂ : Discrete J ⥤ C
c₁ : Cone X₁
c₂ : Cone X₂
hc₁ : IsLimit c₁
hc₂ : IsLimit c₂
f : X₁ ⟶ X₂
hf : W.functorCategory (Discrete J) f
φ : (j : J) → X₁.obj { as := j } ⟶ X₂.obj { as := j } := fun j => f.app { as := j }
hf' : W (Pi.map φ)
⊢ Arrow.mk (hc₂.lift { pt := c₁.pt, π := c₁.π ≫ f }) ≅ Arrow.mk (Pi.map φ)
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
⊢ Prime Polynomial.X
z : ℂ
h₁ : z ≠ I
h₂ : z ≠ -I
z₁ : 1 + z * I ≠ 0
z₂ : 1 - z * I ≠ 0
⊢ (1 - cexp (2 * (z.arctan * I))) / (cexp (2 * (z.arctan * I)) + 1) * I = z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
s t : Set E
⊢ span 𝕜 s ⟂ span 𝕜 t ↔ ∀ ⦃u : E⦄, u ∈ s → ∀ ⦃v : E⦄, v ∈ t → ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f g : E → 𝕝
x : E
fa : AnalyticAt 𝕜 f x
ga : AnalyticAt 𝕜 g x
g0 : g x ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x / g x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
⊢ l.support = l.splitSupport.sigma fun i => (l.split i).support
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
has : a ∉ s
⊢ (insert a s).encard = s.encard + 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X : C
⊢ ⇑(CategoryTheory.CategoryStruct.id X) = id
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
a : R
f : R[X]
hf : f.natDegree ≤ n
⊢ (a • f).natDegree ≤ n
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a
hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ
hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ)
⊢ Tendsto (fun n => (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f' n a) ∂μ).toReal) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ).toReal)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α
⊢ (MeasureTheory.Measure.dirac a) s = s.indicator 1 a
α : Type u_1
β : Type u_2
Encodable α
Inhabited α
Preorder β
f : α → β
hf : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
⊢ Monotone (f ∘ Directed.sequence f hf)
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
x : A
⊢ ↑((selfAdjointPart R) x) + ↑((skewAdjointPart R) x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
s : Set α
a : α
di : DenseInducing i
hs : ∃ i_1, (i a ∈ i_1 ∧ IsOpen i_1) ∧ i ⁻¹' i_1 ⊆ s
⊢ closure (i '' s) ∈ 𝓝 (i a)
F : Type u_1
α : Type u_3
DivisionRing α
FunLike F ℚ α
RingHomClass F ℚ α
f : F
q : ℚ
⊢ f q = ↑q
α : Type u_1
l : List α
a : α
⊢ l.getLastD a ∈ a :: l
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hf : S.Finite
hc : ∀ s ∈ S, IsCompact s
⊢ IsCompact (⋃₀ S)
α : Type u_3
β : Type u_4
AddMonoid β
s : Finset α
a : α
f : α → β
ha : a ∉ s
comm : (↑(Finset.cons a s ha)).Pairwise fun a b => AddCommute (f a) (f b)
⊢ (Finset.cons a s ha).noncommSum f comm = f a + s.noncommSum f ⋯
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
TopologicalSpace R₁
ContinuousSMul R₁ M₁
x : M₁
r : R₁
⊢ (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton R₁ x) r = r • x
α : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
hn : ∀ (a b c : R), a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → {a, b, c}.gcd id = 1 → a ^ n + b ^ n ≠ c ^ n
a b c : R
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
habc : a ^ n + b ^ n = c ^ n
s : Finset R := {a, b, c}
d : R := s.gcd id
A : R
hA : a = d * A
⊢ False
R : Type u_1
p n : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
⊢ ⇑(iterateFrobeniusEquiv R p n) = ⇑(iterateFrobenius R p n)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
e✝ e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ range ⇑e = univ
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ✝ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ (Perm.sign σ • (↑a fun i => v (σ (Sum.inl i))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i => v (σ (Sum.inr i))) + -(Perm.sign σ • (↑a fun i_1 => v ((swap i j) (σ (Sum.inl i_1)))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i_1 => v ((swap i j) (σ (Sum.inr i_1)))) = 0
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
⊢ ∃ a b, 0 < b ∧ ∀ x ∈ corootSpace α, (a • α + b • χ) x = 0
x y : ℂ
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
j : ℕ
hj : j ≥ 1
⊢ abs (↑(exp' 0 - const (⇑abs) 1) j) < ε
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
m n : ℕ
H : m ≤ n
p : R[X]
hpI : p ∈ I
hpdeg : p.degree ≤ ↑m
⊢ ↑m + ↑(n - m) ≤ ↑n
x : ℝ
⊢ (Complex.cosh ↑x).re = Real.cosh x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
h : HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f → ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => x i) ((proj i).comp id') s' f
h' : (proj i).comp id' = proj i
⊢ HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
f : α →₀ M
a : α
b : M
⊢ f.update a b = Finsupp.single a b + Finsupp.erase a f
v i : Nat
x y : BitVec v
⊢ (x &&& y).getLsb i = (x.getLsb i && y.getLsb i)
z : ℍ
r : ℝ
⊢ UpperHalfPlane.coe '' Metric.sphere z r = Metric.sphere (↑(z.center r)) (z.im * Real.sinh r)
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →+* β) (f' : α → β) (h : f' = ⇑f), ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u
e : Computability.FinEncoding α
⊢ #α ≤ ℵ₀
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ 1 < a⁻¹ ↔ a < 1
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ AntivaryOn (⇑OrderDual.toDual ∘ f) g s ↔ MonovaryOn f g s
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ antidiagonal n, bernoulli' x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹ * ↑n ! = ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
Algebra R S₁
f : σ → S₁
s : σ
⊢ (MvPolynomial.aeval f) (MvPolynomial.X s) = f s
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : PreservesColimit (span f f) F
inst✝ : Epi f
this : IsColimit (PushoutCocone.mk (F.map (𝟙 Y)) (F.map (𝟙 Y)) ⋯)
⊢ Epi (F.map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
a : α
hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
h : ∀ (b : α), (∀ᶠ (n : β) in f, u n ≤ b) → a ≤ b
⊢ a ≤ Filter.limsup u f
M : Type u_2
α : Type u_4
CommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => (Multiset.map (fun f => f x) s).prod) μ
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x y : V
q : G.Walk v w
hadj : G.Adj u v
⊢ notNilRec (fun x u x_1 x x => u) (cons hadj q) ⋯ = v
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ball ((IsometryEquiv.vaddConst c) 0) ‖r‖ = ball c r
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
g : γ → δ
f' : α' → β' → δ
g₁ : α → α'
g₂ : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ a) (g₂ b)
⊢ g '' image2 f ↑s ↑t = image2 f' (g₁ '' ↑s) (g₂ '' ↑t)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤
b : α
s : Set α
s_max : ∀ a ∈ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}, s ⊆ a → a = s
s_ind : CompleteLattice.SetIndependent s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a
a : α
ha : a ∈ {a | IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
⊢ ∀ x ∈ s ∪ {a}, Disjoint x (sSup ((s ∪ {a}) \ {x}))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.RightFraction X Y
W.HasRightCalculusOfFractions
h₁₂ : CategoryTheory.MorphismProperty.RightFractionRel z₁ z₂
h₂₃ : CategoryTheory.MorphismProperty.RightFractionRel z₂ z₃
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.RightFractionRel z₁ z₃
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
s : Finset α
⊢ a ∈ s.erase b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ s
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
r : R
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (MvPolynomial.C r) = r
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
self : s.IsFinite
⊢ s.toList.Terminates
R : Type uR
A : Type uA
M₂ : Type uM₂
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup M₂
Algebra R A
Module R M₂
Q₁ Q₂ : QuadraticForm A (A ⊗[R] M₂)
h : ∀ (m : M₂), Q₁ (1 ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (1 ⊗ₜ[R] m)
⊢ Q₁ = Q₂
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
GroupWithZero α
MulDistribMulAction α M
a : α
ha : a ≠ 0
S T : Submonoid M
⊢ a • S ≤ a • T ↔ S ≤ T
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : TruncatedWittVector p m (ZMod p)
⊢ (TruncatedWittVector.zmodEquivTrunc p n).symm ((TruncatedWittVector.truncate hm) x) =
  (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))) ((TruncatedWittVector.zmodEquivTrunc p m).symm x)
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
x y : ↥S.leftInv
⊢ ↑({ toFun := S.fromLeftInv, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y)) = ↑({ toFun := S.fromLeftInv, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := S.fromLeftInv, map_one' := ⋯ }.toFun y)
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ Δ'
inst✝¹ : Epi e
i : Δ' ⟶ Δ''
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = φ
this : StrongEpi e
⊢ image φ = Δ'
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.ProjectivePlane P L
Finite P
Fintype L
⊢ Fintype.card L = Configuration.ProjectivePlane.order P L ^ 2 + Configuration.ProjectivePlane.order P L + 1
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
f : α → m β
arr : Array α
⊢ Array.mapM f arr = Array.foldlM (fun bs a => bs.push <$> f a) #[] arr 0
ι : Type uι
inst✝⁷ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
this : Nonempty { a // a ∈ x.lifts } := nonempty_subtype.mpr (nonempty_lifts x)
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
hp✝ : p ∈ x.lifts
hp : (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p).sum = x
a : 𝕜
m : (i : ι) → E i
a✝ : (a, m) ∈ p
⊢ ‖a • f fun i => m i‖ ≤ ‖f‖ * (‖a‖ * ∏ x : ι, ‖m x‖)
k n m : Nat
lo : k * n ≤ m
hi : m < (k + 1) * n
⊢ m / n = k
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
j✝ : J
⊢ (∑ x : J, if h : x = j✝ then (biproduct.π f x ⊗ 𝟙 X) ≫ eqToHom ⋯ ⊗ 𝟙 Y else (biproduct.π f x ⊗ 𝟙 X) ≫ 0 ⊗ 𝟙 Y) = (α_ (⨁ f) X Y).hom ≫ (biproduct.π f j✝ ⊗ 𝟙 (X ⊗ Y)) ≫ (α_ (f j✝) X Y).inv