ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddGroup α
h : Periodic f c
x : α
⊢ f (x - c) = f x
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op (basicOpen 1))) ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpec.val.base).obj X.presheaf).map (eqToHom ⋯).op = 𝟙 (Γ.obj (op X))
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Add α
M N : Matrix m n α
⊢ (M + N)ᵀ = Mᵀ + Nᵀ
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
⊢ ENNReal.ofReal (p + q) = ENNReal.ofReal p + ENNReal.ofReal q
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype (Sym2 V)
this : DecidableEq V
⊢ univ.card = ∑ x : V, (filter (fun d => d.toProd.1 = x) univ).card
p : Char → Bool
l r : List Char
⊢ { data := l.reverse ++ r }.revFindAux p { byteIdx := String.utf8Len l } =
  Option.map (fun x => { byteIdx := String.utf8Len x }) (List.dropWhile (fun x => !p x) l).tail?
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
⊢ LinearIndependent R u
α : Type u_5
self : SeminormedRing α
a b : α
⊢ ‖a * b‖ ≤ ‖a‖ * ‖b‖
R : Type u_1
CommRing R
P : Polynomial R
⊢ IsNilpotent P ↔ ∀ (i : ℕ), IsNilpotent (P.coeff i)
R : Type u
CommRing R
x y z : R
⊢ IsCoprime (y * z + x) y ↔ IsCoprime x y
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ Monotone fun n => n • a
M : Type u_1
Monoid M
X : Type u
MulAction M X
p q : CategoryTheory.ActionCategory M X
f : p ⟶ q
⊢ (CategoryTheory.ActionCategory.π M X).map f = ↑f
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
f : K →+* L
s : Subfield K
y : L
⊢ y ∈ Subfield.map f s ↔ ∃ x ∈ s, f x = y
x ε : ℝ
⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' Metric.closedBall (↑x) ε = Metric.closedBall x ε
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
One F
NormOneClass F
c : E
l : Filter α
⊢ (fun _x => c) =O[l] fun _x => 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
c✝ c : ComplexMeasure α
μ : Measure α
⊢ Integrable (c.rnDeriv μ) μ
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set ↑M.E
⊢ (M.restrictSubtype M.E).Basis I X ↔ M.Basis ↑I ↑X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Square.flipFunctor.map φ).τ₂ = φ.τ₃
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Cone (Discrete.functor f)
m : s.pt ⟶ { pt := of R ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => LinearMap.proj j.as }.pt
w : ∀ (j : Discrete J), m ≫ { pt := of R ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => LinearMap.proj j.as }.π.app j = s.π.app j
x : ↑s.pt
j : J
⊢ m x j = (lift f s) x j
α : Type u_2
s : Set α
Preorder α
InfSet α
Inhabited ↑s
t : Set ↑s
ht : ¬BddBelow t
⊢ sInf t = default
α : Type u_1
SemilatticeInf α
BoundedOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
a : α
h : a ∈ upperClosure ↑s
⊢ s.truncatedInf a = (Finset.filter (fun x => x ≤ a) s).inf' ⋯ id
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : I₁ ≤ I₂
⊢ Function.Injective ⇑(LieIdeal.inclusion h)
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x (Metric.ball x ε ∩ s))
K : ℝ≥0
t : Set E
hst : t ∈ 𝓝[Metric.ball x ε ∩ s] x
hft : LipschitzOnWith K f t
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
⊢ xᶜ = y ↔ yᶜ = x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
h : Function.Semiconj₂ f ga gb
x y : α
⊢ f (ga x y) = gb (f x) (f y)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' : QuadraticForm R M
h : Q' = -Q
h' : Q = -Q'
m₁ m₂ : M
⊢ (evenToNeg Q' Q h') (-((even.ι Q').bilin m₁) m₂) = ((even.ι Q).bilin m₁) m₂
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
a1 a2 : (i : ι) → α i
h1 : a1 ∈ s
h2 : a2 ∈ s
i : ι
hne : a1 i ≠ a2 i
⊢ ∃ i, (∃ a b, a ∈ image (fun x => x i) s ∧ b ∈ image (fun x => x i) s ∧ a ≠ b) ∧ ∀ (ai : α i), filter (fun x => x i = ai) s ⊂ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
One γ
x : α → β
⊢ 1 ∘ x = 1
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
lift : (s : CategoryTheory.Limits.Cone F) → s ⟶ t
uniq : ∀ (s : CategoryTheory.Limits.Cone F) (m : s ⟶ t), m = lift s
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.IsLimit.mkConeMorphism lift uniq).lift s = (lift s).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in atTop, ∀ x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg, dist (g x) (f n x) < δ
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
⊢ DenseRange Nat.cast
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
S : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid S
inst✝ : DistribMulAction S M
x y : M
a : S
hx : a • x = 0
b : S
hy : b • y = 0
⊢ (b * a) • (x + y) = 0
G : Type u_1
Group G
g₁ g₂ : G
H₁ H₂ : Subgroup G
h₁ : g₁ ∈ H₁
h₂ : g₂ ∈ H₂
⊢ ⁅g₁, g₂⁆ ∈ ⁅H₁, H₂⁆
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
x : α
n : ℕ
⊢ spanningSetsIndex μ x = n ↔ x ∈ disjointed (spanningSets μ) n
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁸ : AddGroup M
inst✝⁷ : AddGroup N
inst✝⁶ : AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂
inst✝³ : AddCommMonoid X₃
inst✝² : AddCommMonoid Y₁
inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂
inst✝ : AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃
h₁₂ : ∀ (x : X₁), (g₁₂.comp ↑e₁) x = ((↑e₂).comp f₁₂) x
⊢ Exact ⇑g₁₂ ⇑g₂₃
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsum : Summable fun n => ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
⊢ LSeriesSummable f s
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (GenContFract.of v).partDens.get? n = some b
⊢ |v - (GenContFract.of v).convs n| ≤ 1 / (b * (GenContFract.of v).dens n * (GenContFract.of v).dens n)
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : IsAntisymm α r₂
h : ∀ (a b : α), r₁ a b → r₂ a b
a : α
ha : a ∈ maximals r₂ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r₁ a b
⊢ r₁ b a
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
ha : a ≠ 0
h : n ≤ m
h1 : m - n + n = m
h2 : a ^ (m - n) * a ^ n = a ^ m
⊢ a ^ (m - n) = a ^ m * (a ^ n)⁻¹
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : Fix F α → β
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f i)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f i))
⊢ g₁ (mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩)) = g₂ (mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩))
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ (a \ b) \ c = a \ (b ⊔ c)
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I✝ X R J I E : Set α
⊢ uniqueBaseOn (I ∩ E) E = uniqueBaseOn I E
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => if n = 0 then 0 else s.Gammaℝ * ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (completedCosZeta (↑a) s)
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ K', K.carrier ⊆ interior K'.carrier ∧ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K' ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
⊢ M.det = ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) i
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
f p : R[X]
⊢ (AdjoinRoot.Polynomial.quotQuotEquivComm I f)
    ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f}))
      (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) p)) =
  (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {(Ideal.Quotient.mk (Ideal.map Polynomial.C I)) f}))
    ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map Polynomial.C I)) p)
x y : SetTheory.PGame
L : y.LeftMoves ≃ x.LeftMoves
R : y.RightMoves ≃ x.RightMoves
hL : (i : y.LeftMoves) → (x.moveLeft (L i)).Relabelling (y.moveLeft i)
hR : (j : y.RightMoves) → (x.moveRight (R j)).Relabelling (y.moveRight j)
⊢ (SetTheory.PGame.Relabelling.mk' L R hL hR).rightMovesEquiv = R.symm
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ Filter.comap Prod.swap (𝓤 α) = 𝓤 α
M : Type u_1
MulOneClass M
s : Set M
p : M → Prop
x : M
h : x ∈ Submonoid.closure s
mem : ∀ x ∈ s, p x
one : p 1
mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
⊢ p x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ {a, b}), f i = f a * f b
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hs : s ≠ univ
this : ∀ (t : Finset α), (↑(card α) - ↑({s}.truncatedSup t).card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = if t ⊆ s then (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) else 0
n : ℕ
x✝ : n ∈ range (s.card + 1)
⊢ ∑ t ∈ powersetCard n s, (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = s.card.choose n • ((↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑n) * ↑((card α).choose n)))
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ g✝ : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
u : Ultrafilter α
f g : Filter α
⊢ ¬↑u ≤ f ⊔ g ↔ ¬(↑u ≤ f ∨ ↑u ≤ g)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
SupSet α
f g : ι → α
p : ι → Prop
h : ∀ (i : ι), p i → f i = g i
⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), g i
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ
⊢ (ProbabilityTheory.gaussianReal μ v) s = ∫⁻ (x : ℝ) in s, ProbabilityTheory.gaussianPDF μ v x
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
a : α
⊢ Int.fract (OfNat.ofNat n + a) = Int.fract a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s s' : Set A
⊢ zeroLocus 𝒜 s ∪ zeroLocus 𝒜 s' = zeroLocus 𝒜 ↑(Ideal.span s ⊓ Ideal.span s')
k : Type u_1
Ring k
V₁ : Type u_4
P₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
v : V₁
s : AffineSubspace k P₁
⊢ AffineSubspace.map f (v +ᵥ s) = f.linear v +ᵥ AffineSubspace.map f s
α : Type u_1
β : Type u_2
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
s t : Set α
h : Function.Semiconj f fa fb
ha : Set.MapsTo fa s t
⊢ Set.MapsTo fb (f '' s) (f '' t)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (J.plusObj P) S
inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
Z : B.Arrow → C
e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I
e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X
he2 : ∀ (I : B.Arrow), S.sieve.arrows (e2 I)
h✝ : ∀ (I : B.Arrow), (fun Y f h => ((fun Y f hf => (T { Y := Y, f := f, hf := hf }).sieve) Y f h).arrows) (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)
a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f
w : Meq P B := meqOfSep P hsep X S s T t ht
I : S.Arrow
II : (T I).Arrow
⊢ ((J.plusObj P).map II.f.op) (mk (w.pullback I.f)) = ((J.plusObj P).map II.f.op) (mk (t I))
α : Type u_1
c : Set (Set α)
H : ∀ (a : α), ∃! b, b ∈ c ∧ a ∈ b
x : α
⊢ {y | (mkClasses c H).Rel x y} ∈ c
α : Type u_1
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ ￢∂ a = ⊤
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
inst✝ : DiscreteTopology α
⊢ SeparableSpace α ↔ Countable α
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ q.lift (x + y) = q.lift x + q.lift y
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
LE α
ZeroLEOneClass α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 1 ≤ 2
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq σ
s t : σ
⊢ (coeff R (single t 1)) (X s) = if t = s then 1 else 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
y : ℤ
⊢ round (↑y + x) = y + round x
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a ≠ 0
⊢ Finset.filter IsPrimePow (a * b).divisors = Finset.filter IsPrimePow (a.divisors ∪ b.divisors)
α : Sort u_1
p₁ : α → Prop
s₁ : Setoid α
s₂ : Setoid (Subtype p₁)
p₂ : Quotient s₁ → Prop
hp₂ : ∀ (a : α), p₁ a ↔ p₂ ⟦a⟧
h : ∀ (x y : Subtype p₁), Setoid.r x y ↔ ↑x ≈ ↑y
x : Subtype p₁
⊢ (Equiv.subtypeQuotientEquivQuotientSubtype p₁ p₂ hp₂ h).symm ⟦x⟧ = ⟨⟦↑x⟧, ⋯⟩
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : SFinite ν✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : SFinite μ✝
E' : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
X : Type u_8
Y : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
h'f : HasCompactSupport (uncurry f)
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
U : Set X := Prod.fst '' tsupport (uncurry f)
this✝ : Fact (μ U < ⊤)
V : Set Y := Prod.snd '' tsupport (uncurry f)
this : Fact (ν V < ⊤)
⊢ ∫ (x : X), ∫ (y : Y), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (y : Y), ∫ (x : X), f x y ∂μ ∂ν
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousAt f x
hg : LowerSemicontinuousAt g x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (f x, g x)
⊢ LowerSemicontinuousAt (fun z => f z + g z) x
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
FloorDiv α β
a : α
ha : a ≤ 0
b : β
⊢ b ⌊/⌋ a = 0
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable X ℙ
⊢ ProbabilityTheory.variance X ℙ ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a
X Y : AlgebraicGeometry.RingedSpace
f g : X ⟶ Y
H : f = g
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
h : IsLocalRingHom (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x)
⊢ IsLocalRingHom (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap g x)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : Type u_2
Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h_ne : A ≠ 0
⊢ ∃ v t, t ≠ 0 ∧ v ≠ 0 ∧ A.mulVec v = t • v
n : ℕ
p : ℕ → Prop
hn : n ≤ sInf {m | p m}
h : {m | p (m + n)} = ∅
⊢ sInf {m | p (m + n)} + n = sInf {m | p m}
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hi : Irreducible p
a b : K[X]
hab : map (algebraMap R K) p = a * b
c : R
c0 : c ∈ R⁰
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ a) = ↑⟨c, c0⟩ • a
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
ι : Type u
β : ι → Type v
κ : Type u_1
(i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
f : Π₀ (i : ι), β i
k : κ
⊢ (DFinsupp.comapDomain h hh f) k = f (h k)
a : ℤ
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
h : jacobiSym a p = 1
⊢ IsSquare ↑a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
ha : a ∈ lowerBounds s
hb : b ∈ lowerBounds t
⊢ f a b ∈ upperBounds (Set.image2 f s t)
a : ℂ
ha : a.re < 0
b : ℂ
s : ℝ
⊢ (fun x => cexp (a * ↑x ^ 2 + b * ↑x)) =o[Filter.atTop] fun x => x ^ s
α : Type u
x s : Set α
⊢ x ∈ 𝒫 s ↔ x ⊆ s
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥M
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.total κ (↥M) R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι (↥N) R n)
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] ↥M ⊗[R] (ι →₀ R) := LinearMap.rTensor (ι →₀ R) (Finsupp.total κ (↥M) R m)
i2 : ↥M ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] ↥M ⊗[R] ↥N := LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.total ι (↥N) R n)
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ i2 ∘ₗ i1 ∘ₗ ↑i0
h1 : Function.Injective ⇑i1
h2 : Function.Injective ⇑i2
h : Function.Injective ⇑i
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
α : Type u_1
DecidableEq α
Add α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
hs : s₁ ⊆ s₂
ht : t₁ ⊆ t₂
⊢ s₁.addEnergy t₁ ≤ s₂.addEnergy t₂
α : Sort u_1
β : Sort u_2
C : Trunc α → Trunc β → Prop
q₁ : Trunc α
q₂ : Trunc β
h : ∀ (a : α) (b : β), C (Trunc.mk a) (Trunc.mk b)
⊢ C q₁ q₂
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
a₁ a₂ a₃ : ℤ
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : ℤ
h₁ : a₁ + b₁ = 0
h₂ : a₂ + b₂ = 0
h₃ : a₃ + b₃ = 0
⊢ (shiftFunctorAdd' Cᵒᵖ a₁ a₂ a₃ h).inv.app X = (shiftFunctor Cᵒᵖ a₂).map ((shiftFunctorOpIso C a₁ b₁ h₁).hom.app X) ≫ (shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).hom.app ((shiftFunctor C b₁).op.obj X) ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).inv.app X
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w u' w' : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
hu : u = u'
hw : w = w'
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h p).copy hu hw = SimpleGraph.Walk.cons ⋯ (p.copy ⋯ hw)
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
x : X
L : Filter X
h : ¬Tendsto id L (𝓝 x)
U : Set X
U_nhd : U ∈ 𝓝 x
hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U
Uint_nhd : interior U ∈ 𝓝 x
f : X →ᵇ ℝ≥0
fx_eq_one : f x = 1
f_vanishes_outside : ∀ y ∈ (interior U)ᶜ, f y = 0
⊢ ¬Tendsto diracProba L (𝓝 (diracProba x))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
x y : ℚ
hxy : x ≤ y
h_1 : ¬x < 0
h_2 : ¬y < 0
⊢ 1 ≤ 1
R : Type u_1
n : ℕ
⊢ (σ 0) n = n.divisors.card
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ
⊢ ((fun x => rexp (f x)) =Θ[l] fun x => 1) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |f x|
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
ha : a ∈ s
hmem : tᶜ ∈ 𝓝[≥] a
⊢ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝[≥] a
α : Type u_1
p : Set α → Prop
⊢ compl '' {s | p s} = {s | p sᶜ}
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
f : CostructuredArrow S T
g : Y' ⟶ f.left
g' : Y'' ⟶ Y'
⊢ (f.homMk' (g' ≫ g)).left = (eqToHom ⋯ ≫ (mk (S.map g ≫ f.hom)).homMk' g' ≫ f.homMk' g).left
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
f : k →+* K
w : InfinitePlace K
hφ : ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
⊢ ComplexEmbedding.IsReal (w.embedding.comp f)
α : Type u
f₁ f₂ : Filter (Filter α)
⊢ f₁.join ⊔ f₂.join = (f₁ ⊔ f₂).join
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubgroup (AddUnits M)
x : M
h₁ : IsAddUnit x
h₂ : x ∈ S.ofAddUnits
⊢ h₁.addUnit = S.addUnit_of_mem_ofAddUnits h₂
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ IsOpen (Set.range OnePoint.some)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ (P.X ◁ (α_ Q.X T.X T.X).inv ≫ P.X ◁ Q.actRight ▷ T.X ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (((α_ (P.X ⊗ Q.X) T.X T.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X ▷ T.X) ≫ actRight P Q ▷ T.X) ≫ actRight P Q
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
i j : ι
hij : c.Rel j i
⊢ (HomologicalComplex.homotopyCofiber.inrCompHomotopy φ hc).hom i j = HomologicalComplex.homotopyCofiber.inlX φ i j hij
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
Preorder ι
(i : ι) → LT (β i)
i : ι
NoMaxOrder (β i)
⊢ NoMaxOrder (Lex ((i : ι) → β i))
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J
⊢ (ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = ((𝟙 (limit X) ⊗ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (limit.π X j ⊗ 𝟙 (𝟙_ C))) ≫ (ρ_ (X.obj j)).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
DivisionSemiring α
Neg β
h : Function.Antiperiodic f c
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ Function.Antiperiodic (fun x => f (x * a)) (c * a⁻¹)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
StrongRankCondition R
Module.Free R S
x : R
⊢ (Algebra.trace R S) ((algebraMap R S) x) = FiniteDimensional.finrank R S • x
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x y : ↑(Function.fixedPoints ⇑f)
⊢ f (↑x ⊓ ↑y) ≤ ↑x ⊓ ↑y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
c : Set (Set E)
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c
hc : ∀ ⦃A : Set E⦄, A ∈ c → Convex 𝕜 A
⊢ Convex 𝕜 (⋃₀ c)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
One β
⊢ ⇑1 = 1
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
⊢ μ.toFiniteMeasure.mass = 1
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
hf : LinearMap.range f = ⊤
⊢ LinearMap.range (f.domRestrict S) = LinearMap.range f ↔ S ⊔ LinearMap.ker f = ⊤
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
CompleteSpace E
hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀
⊢ ∃ f, f t₀ = x₀ ∧ ∃ ε > 0, ∀ t ∈ Set.Ioo (t₀ - ε) (t₀ + ε), HasDerivAt f (v (f t)) t