ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : L₂.IsLocalization W₂
W₃ : MorphismProperty C₁
hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁
E₂ : C₂ ≌ W₁.Localization := uniq L₁ W₁.Q W₁
W₂' : MorphismProperty W₁.Localization := W₂.map E₂.functor
Φ : LocalizerMorphism W₂ W₂' := { functor := E₂.functor, map := ⋯ }
this : Φ.IsLocalizedEquivalence
⊢ (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n => ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
L : R
n : ℕ
hL : f n - L ∈ I ^ n
⊢ (1 + -(x * y)) * L - 1 ∈ I ^ n
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
InvolutiveStar α
M : Matrix m n α
⊢ Mᴴᴴ = M
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
X Y : R
⊢ W'.Equation ![X, Y, 1] ↔ W'.toAffine.Equation X Y
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Finset.Colex α
⊢ s < t ↔ ∃ (h : s ≠ t), (symmDiff s.ofColex t.ofColex).max' ⋯ ∈ t.ofColex
a b : ℤ
h : b ≤ a
⊢ ↑(a - b).toNat = a - b
E : Type u_2
Norm E
x : E
⊢ ‖OrderDual.toDual x‖ = ‖x‖
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
s : Set M
inst✝ : Fintype ↑s
⊢ Module.rank R ↥(span R s) ≤ ↑s.toFinset.card
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ (AffineIsometryEquiv.refl 𝕜 P).trans e = e
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
c₁ c₂ : ℝ
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h₁ : Asymptotics.IsBigOWith c₁ l f₁ g
h₂ : Asymptotics.IsBigOWith c₂ l f₂ g
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (c₁ + c₂) l (fun x => f₁ x + f₂ x) g
α : Type u_1
β : α → Type u
DecidableEq α
t : (a : α) → Finset (β a)
⊢ ∅.pi t = {Finset.Pi.empty β}
α : Type u_1
m n : ℕ
f : Vector3 α n.succ → Prop
x✝ : Exists f
v : Vector3 α n.succ
fv : f v
⊢ f v
q : ℚ
x : ℝ
h : Irrational (↑q - x)
⊢ Irrational x
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : M'
m : M
s : ↥S
e : s • x = f m
⊢ ∃ a, Function.uncurry (mk' f) a = x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
⊢ PartialHomeomorph.MDifferentiable I I e
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p q : α
hp : ¬IsUnit p
h : DvdNotUnit p q
⊢ ¬Irreducible q
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}
t₁ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₂, p₄], independent := ⋯ }
t₂ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₃, p₄], independent := ⋯ }
⊢ p₂ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius
M : Type w
c f₁ f₂ : Type u
r₁ r₂ : Type v
c' : c → M
f₁' : f₁ → M → M
f₂' : f₂ → M → M → M
r₁' : r₁ → Set M
r₂' : r₂ → M → M → Prop
r : r₁
x : M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.RelMap r ![x] = (x ∈ r₁' r)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
DecidableEq ι
l : List ι
x : { i // i ∈ l } → 𝔸
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (List.map x l.attach).prod)
  (∑ i : Fin l.length,
    (List.map x (List.take (↑i) l.attach)).prod •
      (ContinuousLinearMap.proj (l.attach.get (Fin.cast ⋯ i))).smulRight
        (List.map x (List.drop (↑i).succ l.attach)).prod)
  x
n m : Nat
⊢ LE.le n m → LE.le n.pred m.pred
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β
⊢ MeasurableSet (⇑e '' s) ↔ MeasurableSet s
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
⊢ Set.univ = zeroLocus ↑⊥
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
s1 : Stream'.WSeq α
s2 : Stream'.WSeq β
h : Stream'.WSeq.LiftRel R s1 s2
⊢ Stream'.WSeq.LiftRel (Function.swap R) s2 s1
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
f✝ : R →+* S
M : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : IsScalarTower R A M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M
N : Submodule R M
hN : N ≠ ⊥
hN' : N.FG
x : A
hx : ∀ n ∈ N, x • n ∈ N
A' : Subalgebra R A := { carrier := {x | ∀ n ∈ N, x • n ∈ N}, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := ⋯ }
f : ↥A' →ₐ[R] Module.End R ↥N := AlgHom.ofLinearMap { toFun := fun x => (DistribMulAction.toLinearMap R M x).restrict ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ⋯ ⋯
a : M
ha₁ : a ∈ N
ha₂ : a ≠ 0
this✝ : Function.Injective ⇑f
this : Module.Finite R ↥N
⊢ IsIntegral R (f ⟨x, hx⟩)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
A B : T.Algebra
f : A ⟶ B
inst✝ : IsIso f.f
⊢ T.map (inv f.f) ≫ A.a = B.a ≫ inv f.f
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f g : α → δ
s : Set α
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] g
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G
hx : IsOfFinOrder x
n : ℕ
⊢ (finEquivZPowers x hx).symm ⟨x ^ n, ⋯⟩ = ⟨n % orderOf x, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial E
⊢ ‖fst 𝕜 E F‖ = 1
U : Type u_1
V : Type u_2
Quiver U
Quiver V
F : U ⥤q V
⊢ 𝟭q U ⋙q F = F
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : β → α → β
b : β
⊢ List.foldl f b l.reverse = List.foldr (fun x y => f y x) b l
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) δ
right✝ : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
g : E → E →L[ℝ] E
g_meas : Measurable g
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), dist (g x) (f' x) ≤ ε
β : Type u_2
LinearOrder β
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
x : β
s : Set β
hx : x ∈ s
hne : s.Nonempty := ⋯
⊢ h.min s hne ≤ x
α : Type u_1
ι : Sort u_5
SupSet α
p : ι → Prop
f g : (i : ι) → p i → α
h : ∀ (i : ι) (hi : p i), f i hi = g i hi
⊢ ⨆ i, ⨆ (hi : p i), f i hi = ⨆ i, ⨆ (hi : p i), g i hi
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n m : ℕ
f : R⟦X⟧
hnm : autoParam (n ≤ m) _auto✝
d : ℕ
⊢ (if d < n then (trunc m f).coeff d else 0) = if d < n then (coeff R d) f else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
s : Set β
f : β → α
⊢ IsGLB (f '' s) (⨅ x ∈ s, f x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : ↥(Lp E p μ)
⊢ eLpNorm (↑↑(f - g)) p μ = eLpNorm (↑↑f - ↑↑g) p μ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : Ordinal.{u_2}
h : b ≠ 0
⊢ (a + b).cof = b.cof
α : Type u
β : Type v
Inf α
Inf β
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
⊢ (a₁, b₁) ⊓ (a₂, b₂) = (a₁ ⊓ a₂, b₁ ⊓ b₂)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X Y : C
g : X ⟶ Y
⊢ F'.map (g ≫ (adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app Y) ≫ adj2.counit.app (F.obj Y) = (F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X)) ≫ F.map g
β : Type u_5
Monoid β
a u : β
hu : IsUnit u
⊢ a ~ᵤ a * u
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
hdiv0 : p /ₘ q ≠ 0
hlc : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ q.degree + (p /ₘ q).degree = p.degree
𝓕 : Type u_1
α✝ : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝
inst✝² : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝
r r₁ r₂ : ℝ
α : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
s : Set α
x✝ : α
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
hK : Kg < Kf⁻¹
this : PseudoMetricSpace α := PseudoEMetricSpace.toPseudoMetricSpace ⋯
x y : α
⊢ dist x y * ↑(Kf⁻¹ - Kg) ≤ dist (f x * g x) (f y * g y)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x y : P
⊢ dist ((AffineIsometryEquiv.pointReflection 𝕜 x) y) y = ‖2‖ * dist x y
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
h : (fun z => resolvent (z⁻¹ • a) 1) =O[cobounded 𝕜] fun x => 1
z : 𝕜
hz : z ∈ {0}ᶜ
⊢ resolvent a z = z⁻¹ • resolvent (z⁻¹ • a) 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.desc CategoryTheory.Limits.coprod.inl CategoryTheory.Limits.coprod.inr = 𝟙 (X ⨿ Y)
n : ℕ
⊢ Multiset.map Prod.swap (Multiset.Nat.antidiagonal n) = Multiset.Nat.antidiagonal n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (derivative p).coeff n = p.coeff (n + 1) * (↑n + 1)
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B : LinearMap.BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
ι : Type u_11
Finite ι
DecidableEq ι
b : Basis ι K V
⊢ B.dualBasis hB (B.flip.dualBasis ⋯ b) = b
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f g : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : f x ≠ 0
hg : g x ≠ 0
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hdg : DifferentiableAt 𝕜 g x
⊢ logDeriv (fun z => f z * g z) x = logDeriv f x + logDeriv g x
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
x : ℝ × ℝ
hx : x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s
⊢ ∀ (i : Fin (1 + 1)), HasFDerivAt (![f, g] i) (![f', g'] i x) x
x : ℂ
⊢ Complex.cos (3 * x) = 4 * Complex.cos x ^ 3 - 3 * Complex.cos x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi₂ : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
n : ℕ
hn : ¬restrict s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)
⊢ 0 < ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.toFun f ⁻¹' ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (HomogeneousLocalization.mk z)) =
  Subtype.val ⁻¹' ↑(ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 ↑z.num)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l₁ l₂ : Filter α
⊢ 𝓝 l₁ ≤ 𝓝 l₂ ↔ l₁ ≤ l₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
DivisionRing α
CharZero α
s : Finset ι
f : ι → ℚ
⊢ ↑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ↑(f i)
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : BinaryBicone P Q
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ F.map f.hom ≫ ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) Y✝).snd = ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) X✝).snd
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
h2 : 4 * cos x ^ 3 = 2 * cos x * cos x * cos x + 2 * cos x * cos x ^ 2
⊢ cos x * (2 * (cos x * cos x)) - cos x - sin x * (2 * sin x * cos x) = 4 * cos x ^ 3 - 3 * cos x
S : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : AddMonoidWithOne R
inst✝¹ : SetLike S R
s : S
inst✝ : AddSubmonoidWithOneClass S R
n : ℕ
⊢ ↑n ∈ s
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : μ s ≠ 0
p : α → Prop
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x
⊢ ∃ x ∈ s, p x
G : Type u_1
AddMonoid G
⊢ ¬AddMonoid.IsTorsion G ↔ ∃ g, ¬IsOfFinAddOrder g
R : Type u_4
S : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
H : LocalRing S
f : R →+* S
IsLocalRingHom f
⊢ LocalRing R
n n' : Nat
h : n + 1 = n' + 1
i : Fin n
⊢ Fin.cast h i.castSucc = (Fin.cast ⋯ i).castSucc
o : Ordinal.{u}
⊢ ∃ f, o.cof.ord.blsub f = o
θ : Real.Angle
⊢ (θ + ↑π).tan = θ.tan
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A B : C
e : A ≅ B
⊢ (CategoryTheory.MonoOver.mapIso e).inverse = CategoryTheory.MonoOver.map e.inv
α : Type u
a : Set α
⊢ Set.univ ∩ a = a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
s : Set E
f₂ : E → F × G
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f₂ s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun x => (f₂ x).1) s x = (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 F G).comp (fderivWithin 𝕜 f₂ s x)
n p : ℕ
h : n ≤ p
x : ℕ
hx : x ∈ range n
⊢ ↑(p - 1 - x) = -1 * ↑(x + 1)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => x + a) ⁻¹' Set.Iic b = Set.Iic (b - a)
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
h_ninj : ∃ a b, (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) a = (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) b ∧ a ≠ b
a b : ↑(Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord)
h_fab : (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) a = (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) b
h_nab : a ≠ b
⊢ ∃ a < (succ #α).ord, ∃ b < (succ #α).ord, a ≠ b ∧ lfpApprox f x a = lfpApprox f x b
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.HomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h.left.IsPreservedBy F
h.right.IsPreservedBy F
⊢ (h.map F).right = h.right.map F
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
f : PartialHomeomorph 𝕜 𝕜
a f' : 𝕜
ha : a ∈ f.target
hf' : f' ≠ 0
htff' : HasStrictDerivAt (↑f) f' (↑f.symm a)
⊢ HasStrictDerivAt (↑f.symm) f'⁻¹ a
a b : Int
h : a ≤ b
c : Int
⊢ c + a ≤ c + b
α : Type u
β : Type u_1
Group α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
Preorder β
f : β → α
hf : StrictMono f
⊢ StrictAnti fun x => (f x)⁻¹
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
(p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
Nontrivial α
DecidableEq (Associates α)
a : Associates α
ha : a ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
k : ℕ
⊢ p.count (a ^ k).factors = k * p.count a.factors
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
e : α ≃ β
f : γ → α
g : γ → β
⊢ f = ⇑e.symm ∘ g ↔ ⇑e ∘ f = g
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
n : ℕ
M : Submodule R Aᵐᵒᵖ
⊢ Submodule.comap (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R)) (M ^ n) = Submodule.comap (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R)) M ^ n
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x : P
hx : IsIntegral R x
⊢ IsFractional S (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x}))
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.ShortComplex C)
⊢ ∀ (X_1 : J),
  (((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.counitIso J C).hom.app X).app X_1).τ₃ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.obj X_1).X₃
α : Type u_1
a : αᵒᵈ
⊢ WithTop.ofDual ↑a = ↑(OrderDual.ofDual a)
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
hφ : ∀ (u : U), Function.Injective (φ.star u)
u : U
⊢ Function.Injective (φ.pathStar u)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
e : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
K : Submodule R₂ M₂
⊢ Submodule.comap (↑e) K = Submodule.map (↑e.symm) K
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s
γ : Path (p 0) (p ↑n)
h₁ : ∀ (y : ↑I), γ y ∈ s
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), ∃ y, γ y = p i
⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), γ (t i) = p i
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.17320, u_1} C
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ f = ((fun X => { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ }) X✝).p ≫ f ≫ ((fun X => { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ }) Y✝).p
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t α
⊢ traverse (Comp.mk ∘ map (pure ∘ f) ∘ g) x = traverse (map f ∘ g) x
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ℂ
⊢ ↑(ℜ ↑z.re) + ↑(-ℑ ↑z.im) = ↑z.re
s✝ n✝ : Nat
step : optParam Nat 1
s n m : Nat
⊢ range'TR.go step n (s + step * n) ((s + step * n) :: range' (s + step * n + step) m step) = range' s (n + m + 1) step
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝¹ : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup M✝¹
inst✝¹² : Module R✝ M✝¹
N✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R M✝
inst✝⁶ : IsNoetherianRing R
M : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑(↑(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I N).symm ∘ₗ map I f ∘ₗ ↑(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I M))
α : Type u_1
start stop : Nat
⊢ #[].extract start stop = #[]
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
hs : IsOpen s
hx : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, x ∈ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P Q : PresheafOfModules R
f : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
⊢ ((PresheafOfModules.toPresheaf R).map f).app X = (PresheafOfModules.Hom.app f X).toAddMonoidHom
l : List ℕ
a m n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n.greatestFib ≠ 0
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Submodule R M
⊢ ⊥ • N = ⊥
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ ↑s.card ≤ Cardinal.mk α
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
R' : Type u_1
A : Type u_3
Monoid R'
Semiring A
(i : ι) → Module A (M₁ i)
Module A M₂
DistribMulAction R' M₂
ContinuousConstSMul R' M₂
SMulCommClass A R' M₂
c : R'
f : ContinuousMultilinearMap A M₁ M₂
⊢ (c • f).toMultilinearMap = c • f.toMultilinearMap
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
this : listTransvecRow M = listTransvecRow ((listTransvecCol M).prod * M)
⊢ ((listTransvecCol M).prod * M) (inr ()) (inr ()) ≠ 0
M : Type u_1
S : Set M
AddSemigroup M
a b : M
ha : a ∈ S.addCentralizer
hb : b ∈ S.addCentralizer
⊢ a + b ∈ S.addCentralizer
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfε : ∀ (i : Fin n), eLpNorm (sᶜ.indicator (g i)) p μ ≤ ↑ε
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ n.divisors, i = ∑ i ∈ n.properDivisors, i + n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cocycle.equivHom F G) φ = CochainComplex.HomComplex.Cocycle.ofHom φ
n d : ℕ
hnd : d ∣ n
hd0 : d > 0
⊢ φ (n / d) = (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
D D1 D2 : LieDerivation R L M
a b : L
s : Set L
h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s
z : L
hz : z ∈ ↑(LieSubalgebra.lieSpan R L s)
zero : D1 0 = D2 0
smul : ∀ (r : R) {x : L}, D1 x = D2 x → D1 (r • x) = D2 (r • x)
x✝¹ x✝ : L
hx : D1 x✝¹ = D2 x✝¹
hy : D1 x✝ = D2 x✝
⊢ D1 (x✝¹ + x✝) = D2 (x✝¹ + x✝)
α : Type u_5
β : Type u_6
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : TopologicalSpace β] (f : MeasureTheory.SimpleFunc α β),
  MeasureTheory.StronglyMeasurable ↑f
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : A ⟶ F.obj X
v : B ⟶ F.obj Y
sq : CommSq u i (F.map p) v
adj : G ⊣ F
⊢ G.map u ≫ adj.counit.app X ≫ p = G.map (u ≫ F.map p) ≫ adj.counit.app Y
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V
⊢ midpoint R x y +ᵥ midpoint R y x = x + y