ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₃ : p₃ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
⊢ Collinear k {p₁, p₂, p₃, p₄, p₅}
n m : Nat
H : n ∣ m
⊢ n * (m / n) = m
G : Type u_1
Group G
G' : Type u_3
G'' : Type u_4
Group G'
Group G''
f : G' →* G
g : G →* G''
hfg : g.ker ≤ f.range
hG' : IsSolvable G'
hG'' : IsSolvable G''
⊢ IsSolvable G
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℕ → α → Prop
hp : ∑' (i : ℕ), μ {x | p i x} ≠ ⊤
⊢ μ {x | ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, p n x} = 0
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
s : Subfield L
f : K →+* L
x : K
⊢ x ∈ Subfield.comap f s ↔ f x ∈ s
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
⊢ σ.IsThreeCycle
p q : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p)
q_prime : Fact (Nat.Prime q)
neq : p ≠ q
⊢ padicNorm p ↑q = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : K
hx : x ≠ 0
⊢ spanSingleton R₁⁰ x / spanSingleton R₁⁰ x = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
t : Set M
ht : t ⊆ f.source
⊢ ↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) '' t = t
G : Type u_1
CommGroup G
a b : G
⊢ a * b * a⁻¹ = b
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
h : a < b
⊢ a + (b - a) / 2 < b
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
p : PerfectPairing R M N
⊢ Function.Bijective fun x => p.toDualRight.symm.dualMap (p.toDualLeft x)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
MetricSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
SemilatticeSup ι
Nonempty ι
Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f n)
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
⊢ MeasureTheory.Egorov.iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg ⊆ s
V : Type u
G : SimpleGraph V
x : G.Subgraph
⊢ ⇑x.hom = fun v => ↑v
α : Type u
s : Set α
p : α → Prop
⊢ s ∩ {a | p a} = {a | a ∈ s ∧ p a}
z : ℂ
h₀ : z ≠ ↑π / 2
h₁ : -(π / 2) < z.re
h₂ : z.re ≤ π / 2
⊢ cos z ≠ 0
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
⊢ f.range = Subgroup.map f ⊤
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, F⟮↑i⟯
s : Finset ↑S
hx' : x ∈ ⨆ i ∈ s, F⟮↑i⟯
i✝ : ↑S
h : i✝ ∈ s
⊢ ↑i✝ ∈ ↑(adjoin F (Subtype.val '' ↑s))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X₁ X₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.binaryProductTriangleIsoBinaryBiproductTriangle X₁ X₂).inv.hom₂ =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.biprod.fst CategoryTheory.Limits.biprod.snd
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f g : N →ₗ[R] P
⊢ (lTensorHom M) (f - g) = (lTensorHom M) f - (lTensorHom M) g
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : ℕ → Set α
M : Type u_4
TopologicalSpace M
OrderedAddCommMonoid M
OrderClosedTopology M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
hf₃ : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ↑v (f i)
⊢ 0 ≤ ↑v (⋃ i, f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
f : α → β
H : ∀ (i : ι) (j : κ i), Set.MapsTo f (s i j) (t i j)
⊢ Set.MapsTo f (⋂ i, ⋂ j, s i j) (⋂ i, ⋂ j, t i j)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα✝ : α ≠ 0
n : ℕ
hn : n ≤ chainTopCoeff α β
hα : ¬α = 0
⊢ weightSpace M (n • α + ⇑β) ≠ ⊥
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h₁ : b ≤ a
h₂ : c ≤ b
⊢ a - (b - c) = a - b + c
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
⊢ Function.Injective AddConstEquiv.toEquiv
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
i j : ι
hij : p i = p j
⊢ p j ∈ {p j}
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ WithSeminorms fun x => normSeminorm 𝕜 E
a b : ENNReal
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
⊢ ∃ n > 0, (↑n)⁻¹ * a < b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C × D
⊢ (CategoryTheory.Prod.braiding C D).unitIso.hom.app X =
  (CategoryTheory.CategoryStruct.id X.1, CategoryTheory.CategoryStruct.id X.2)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸' : Type u_7
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
hd : HasStrictFDerivAt d d' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun y => c y * d y) (c x • d' + d x • c') x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
CategoryTheory.BraidedCategory E
F : CategoryTheory.BraidedFunctor C D
G : CategoryTheory.BraidedFunctor D E
X : C
⊢ (F.comp G).obj X = G.obj (F.obj X)
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
_hn : n ≠ 0
hmn : m.Coprime n
hm' : m ≠ 1
⊢ ¬m = 1 ∨ ¬n = 1
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDedekindDomain R
inst✝⁴ : Module.Free ℤ R
inst✝³ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
a : ↥R⁰
I₀ : Ideal R
h : a • ↑I = Submodule.map (Algebra.linearMap R K) I₀
⊢ ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑a| ≠ 0
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁✝ : QuadraticForm R M₁
Q₂✝ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₂ →qᵢ Q₁
x : CliffordAlgebra Q₁
h : g.comp f = QuadraticMap.Isometry.id Q₁
⊢ (map g) ((map f) x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
⊢ (∀ (z : ℤ), Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)) ↔ ∀ (z : ℤ), f =O[l] fun a => k a ^ z
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ
⊢ ⌊↑n / ↑d⌋ = n / ↑d
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
this : ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 0, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ (i : ι), (ENNReal.ofReal x_1, y).2 ∈ K i → closedBall (ENNReal.ofReal x_1, y).2 (ENNReal.ofReal x_1, y).1 ⊆ U i
⊢ ∃ r, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, r ∈ Ioi 0 ∩ ENNReal.ofReal ⁻¹' ⋂ i, ⋂ (_ : y ∈ K i), {r | closedBall y r ⊆ U i}
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R
⊢ basicOpen f = ⊥ ↔ IsNilpotent f
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range
⊢ ∃ e', OrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
α : Type u_1
Fintype α
k : ℕ
⊢ Fintype.card { s // s.card = k } = (Fintype.card α).choose k
α : Type u
l : List α
n : ℕ
a : α
⊢ l.Nodup → a ∉ l → (l.set n a).Nodup
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ (𝓝[s] x).NeBot ↔ ∀ ⦃t : Set X⦄, t ∈ 𝓝 x → (t ∩ s).Nonempty
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a : R
n : ℕ
ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
⊢ a ^ n < 0 ↔ a < 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
f : E → Fu
s : Set E
t : Set Fu
x : E
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
n : ℕ
IH : ∀ m ≤ n, ∀ {Gu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Gu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Gu] {g : Fu → Gu}, ContDiffOn 𝕜 (↑m) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑m) f s → (∀ i ≤ m, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C) → (∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ m → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i) → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 m (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑m ! * C * D ^ m
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
g : Fu → Gu
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) f s
hC : ∀ i ≤ n.succ, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n.succ → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
M : ↑n < ↑n.succ
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n.succ (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n.succ ! * C * D ^ n.succ
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
a b c d : R
x : R × R
⊢ ((toLin (Basis.finTwoProd R) (Basis.finTwoProd R)) !![a, b; c, d]) x = (a * x.1 + b * x.2, c * x.1 + d * x.2)
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
n : ℕ
⊢ (f.sum fun e a => C a * (X ^ p) ^ e).coeff n = if p ∣ n then f.coeff (n / p) else 0
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b l : G
hl : l ∈ ↑H
r : G
hr : r ∈ ↑K
y : G
hy : y ∈ ↑H
r' : G
hr' : r' ∈ ↑K
hrx : y * b * r' = l * a * r
⊢ ∃ x ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, b = x * a * y
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
n : ℕ
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.homogeneousComponent n) φ ∈ MvPolynomial.homogeneousSubmodule σ R n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction X Y
hβ : f'' = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : (RightFraction.mk α.s ⋯ β.s).f ≫ γ.s = (RightFraction.mk α.s ⋯ β.s).s ≫ γ.f
⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
⊢ ⊥.relindex H * H.index = ⊥.index
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ CharZero R ↔ ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ↑p ≠ 0
a p : ℕ
ha : a > 0
hab : a.Coprime 0
⊢ p ∈ (a * 0).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∪ primeFactorsList 0
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ I.target = range ↑I
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g✝ : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜
a : 𝕜
s t : Set 𝕜
ha : a ∈ s
hsu : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s a
hf : HasDerivWithinAt f 0 t (g a)
hst : MapsTo g s t
hfg : f ∘ g =ᶠ[𝓝[s] a] id
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s a
this : HasDerivWithinAt id (0 * derivWithin g s a) s a
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, s ∈ 𝓝[>] x
M : α → α
hM : ∀ x ∈ s, x < M x
A : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ Ioi x, Ioo x y ⊆ s
⊢ (s \ interior s).Countable
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
this : IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)
x : ↑Γ(X, U)
n : ℕ
⊢ X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen x = X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen x ⊓ X.basicOpen ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩)
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
x y : G
⊢ (Doset.setoid ↑H ↑K).Rel x y ↔ ∃ a ∈ H, ∃ b ∈ K, y = a * x * b
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
Coalgebra R A
Coalgebra R B
⊢ Coalgebra.comul ∘ₗ LinearMap.inl R A B =
  TensorProduct.map (LinearMap.inl R A B) (LinearMap.inl R A B) ∘ₗ Coalgebra.comul
α : Type u_1
l : List α
n k : ℕ
⊢ List.map (Prod.map (fun x => x + n) id) (List.enumFrom k l) = List.enumFrom (n + k) l
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
⊢ (Polynomial.cyclotomic n R).IsPrimitive
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → F
inst✝ : NormedAddCommGroup F
hm : m ≤ mΩ
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, id ω)) μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LE α
inst✝¹ : MulOneClass α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : MulLECancellable a
⊢ a * b ≤ a ↔ a * b ≤ a * 1
S : Type uS
CommSemiring S
A : Type uA
Semiring A
Algebra S A
s : A → A → Prop
x y : A
w : s x y
⊢ (RingQuot.mkAlgHom S s) x = (RingQuot.mkAlgHom S s) y
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Submodule.span (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
⊢ x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
h : contained C o
this : (∀ (i : I), ∀ x ∈ C, x i ≠ false → ord I i < o) → (π C fun x => ord I x < o) = C
⊢ C = π C fun x => ord I x < o
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α ≃ β
x : α →₀ M
a : β
⊢ (mapDomain (⇑f) x) (f (f.symm a)) = x (f.symm a)
m n✝ n : ℕ
⊢ valMinAbs 0 = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x
n : N
x : CliffordAlgebra Q
⊢ ((CliffordAlgebra.foldl Q f hf) n) (CliffordAlgebra.reverse x) = ((CliffordAlgebra.foldr Q f hf) n) x
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
a b : α
⊢ a < |b| ↔ a < b ∨ a < -b
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
⊢ t⁻¹ = t
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (Complex.HadamardThreeLines.verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' Complex.HadamardThreeLines.verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ Complex.HadamardThreeLines.verticalStrip 0 1
⊢ ‖f z‖ ≤ ‖Complex.HadamardThreeLines.interpStrip f z‖
n : ℕ+
A : Type u
K : Type w
CommRing A
Field K
Algebra A K
μ : CyclotomicField n K
h : IsPrimitiveRoot μ ↑n
⊢ CyclotomicRing n A K = ↥(Algebra.adjoin A {μ})
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
e : u ⟶ v
e' : u' ⟶ v'
⊢ HEq e e' ↔ HEq e' e
A : SL(2, ℤ)
⊢ 1 ∣[0] A = 1
M : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid M
ExistsAddOfLE M
a b : M
⊢ (fun x => x + a) '' Set.Ioi b = Set.Ioi (b + a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : T2Space α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ K ⊆ A, IsCompact K ∧ μ (A \ K) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝ : SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
hbdd : BddAbove (range f)
h✝ : IsEmpty ι
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 (⨆ i, f i))
a b : Int
H : a.mod b = 0
⊢ b * a.div b = a
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G
z : ℤ
⊢ x ^ (z % ↑(orderOf x) + ↑(orderOf x) * (z / ↑(orderOf x))) = x ^ z
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
K : TopologicalSpace.Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.prehaar (↑K₀) U K ≤ ↑(MeasureTheory.Measure.haar.index ↑K ↑K₀)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
f' x : 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hf' : f' ≠ 0
⊢ HasStrictFDerivAt f (↑((ContinuousLinearEquiv.unitsEquivAut 𝕜) (Units.mk0 f' hf'))) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
b : β
⊢ (Equiv.prodSumDistrib α β γ) (a, Sum.inl b) = Sum.inl (a, b)
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
B : LinearMap.BilinMap R M N
⊢ B.toQuadraticMap.polarBilin = B + LinearMap.flip B
α : Type u_1
Group α
ι : Type u_2
f : ι → Subgroup α
q : α ⧸ ⨅ i, f i
i : ι
⊢ (Subgroup.quotientiInfEmbedding f) q i = Subgroup.quotientMapOfLE ⋯ q
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.283606, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.283613, u_2} D
X Y : C
inst✝ : HasInitial C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c
⊢ IsPullback (initial.to ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left })) (initial.to ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })) c.inl c.inr
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
a b : α
⊢ mabs a < b → a < b
R : Type u
Ring R
⊢ descPochhammer R 1 = Polynomial.X
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
CommRing R
AddCommGroup M₁
Module R M₁
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
x : M₁
⊢ Q₁.tensorRId.symm x = (TensorProduct.rid R M₁).symm x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
⊢ (o.blsub f).cof.ord ≤ o
R : Type u
CommSemiring R
σ : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring A
Algebra R A
s : σ
⊢ (MvPolynomial.algebraTensorAlgEquiv R A).symm (MvPolynomial.X s) = 1 ⊗ₜ[R] MvPolynomial.X s
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
s : Set A
⊢ (NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s).toNonUnitalSubalgebra = NonUnitalAlgebra.adjoin R (s ∪ star s)
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux : ∀ y ∈ s, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧ f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
t : ℝ
ht : t ∈ s
xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)
h : HasDerivAt f ((tangentCoordChange I xₜ x₀ xₜ) (v xₜ)) t
hf3 : f t ∈ interior (extChartAt I x₀).target
hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target
hft1 : ↑(extChartAt I x₀).symm (f t) ∈ (extChartAt I x₀).source
hft2 : xₜ ∈ (extChartAt I xₜ).source
⊢ HasDerivAt ((↑(extChartAt I xₜ) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) ∘ f) (v xₜ) t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit F (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.IsFiltered J
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
i j : J
x : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj i)
y : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj j)
h : (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F i) x = (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j) y
⊢ ∃ k f g, (F.map f) x = (F.map g) y
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
⊢ (∀ b ∈ s, ¬a = b) ↔ a ∉ s
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
⊢ addY (map W' f) (⇑f ∘ P) (⇑f ∘ Q) = f (W'.addY P Q)
α : Type u
CommGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a * b⁻¹ ≤ c ↔ a ≤ b * c
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a✝ : A
a : Aˣ
ha : autoParam (p ↑a) _auto✝
⊢ ↑a = cfc id ↑a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ (∏ x ∈ s₂ \ s₁, f x) * ∏ x ∈ s₁, f x = ∏ x ∈ s₂, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
One γ
i : β
c : γ
⊢ Sum.elim 1 (Pi.mulSingle i c) = Pi.mulSingle (Sum.inr i) c