ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
Semiring R
toFinsupp : R[ℕ]
⊢ (Polynomial.toFinsuppIso R).symm toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp }
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.cyclotomic (p ^ (n + 1)) ℤ).comp (Polynomial.X + 1)).IsEisensteinAt (Submodule.span ℤ {↑p})
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
⊢ Nat.card { u // addOrderOf u = n } = n.totient
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
⊢ (condCount s) Set.univ = 1
α : Sort u_2
β : Sort u_1
p : α → β → Prop
⊢ (∃ a b, p a b) ↔ ∃ b a, p a b
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x : E
a✝ : Nontrivial E
H : 𝓝[univ \ {x}] x ≠ ⊥
⊢ fderivWithin 𝕜 f univ x = fderiv 𝕜 f x
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
H : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} D₂
CategoryTheory.Category.{u_8, u_4} H
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₂.IsLocalization W₂
Φ.HasRightResolutions
F G : CategoryTheory.Functor D₂ H
α : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.IsIso α ↔ ∀ (X₁ : C₁), CategoryTheory.IsIso (α.app (L₂.obj (Φ.functor.obj X₁)))
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
hyz : z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
ι : Type u_1
M : Type u_3
AddCommMonoid M
I : BoxIntegral.Box ι
i : ι
x : ℝ
f : BoxIntegral.Box ι → M
⊢ ∑ J ∈ (BoxIntegral.Prepartition.split I i x).boxes, f J =
  Option.elim' 0 f (I.splitLower i x) + Option.elim' 0 f (I.splitUpper i x)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
πi₁ πi₂ : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
h : π₁ = π₂
hi : ∀ J ∈ π₁, πi₁ J = πi₂ J
⊢ π₁.biUnion πi₁ = π₂.biUnion πi₂
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
lt : j < ω.length
⊢ cs.wordProd (take j ω ++ ω[j]?.toList ++ drop (j + 1) ω) * ((cs.wordProd (drop (j + 1) ω))⁻¹ * (Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * cs.wordProd (drop (j + 1) ω)) = cs.wordProd (take j ω ++ drop (j + 1) ω)
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ (Fin.last n).predAbove i.castSucc = i
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → δ → ε
n : β → γ → δ
m₁ : α → β → β'
m₂ : α → γ → γ'
n' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m a (n b c) = n' (m₁ a b) (m₂ a c)
s : Set ε
t₁ : Set β'
u₁ : Set α
hu₁ : u₁ ∈ f
v : Set β
hv : v ∈ g
ht₁ : image2 m₁ u₁ v ⊆ t₁
t₂ : Set γ'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
u₂ : Set α
hu₂ : u₂ ∈ f
w : Set γ
hw : w ∈ h
ht₂ : image2 m₂ u₂ w ⊆ t₂
⊢ s ∈ map₂ m f (map₂ n g h)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
sym : Symmetric r
⊢ Irreflexive r ↔ ∀ {z : Sym2 α}, z ∈ Sym2.fromRel sym → ¬z.IsDiag
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : UniformGroup G
f : ℕ → G
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set ℕ), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∏' (n : ↑t), f ↑n ∈ e
α : Type u
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {f : α → Option α_1}, List.findSome? f List.nil = none
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
M✝ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁴ : Semiring R✝
inst✝³ : Semiring S
R : Type u_7
inst✝² : CommSemiring R
r : R
rs : List R
M : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
⊢ ofList (r :: rs) • N = r • N ⊔ ofList rs • N
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
f : α → Set (Set α)
s : Set α
h : v.FineSubfamilyOn f s
p : α × Set α
hp : p ∈ h.index
⊢ h.covering p ∈ v.setsAt p.1
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : b ≤ c
⊢ Set.Ico a b ∪ Set.Icc b c = Set.Icc a c
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ
hia : i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n
⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
d : Nat
n : Int
d0 : d ≠ 0
⊢ normalize n d d0 = 0 ↔ n = 0
α : Type u_1
a : α
n m : Nat
l : List α
h : m < n
i : Nat
⊢ (take m (l.set n a))[i]? = (take m l)[i]?
a : Int
b : Int
H : 0 < b
⊢ a < (a / b + 1) * b
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
⊢ ↑(ρ.asGroupHom g) = ρ g
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
RegularSpace Y
f : X → Y
A : Set X
hA : Dense A
hf : ∀ (x : X), ∃ y, Filter.Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
⊢ Continuous (extendFrom A f)
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
i : ι
x : M
h : ↑(fs.toFun i) x = 1
⊢ x ∈ (extChartAt I (fs.c i)).source
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
⊢ map₂ m f (g₁ ⊔ g₂) = map₂ m f g₁ ⊔ map₂ m f g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
f : α → ℕ
g : α → β
h : α → ℕ × β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
⊢ Primrec fun a => Nat.rec (g a) (fun n IH => h a (n, IH)) (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a : α
n : ℕ
hp : Prime p
x : α
hb : ¬p ^ 2 ∣ p * x
hbdiv : p ∣ (p * x) ^ n
y : α
hy : a ^ n.succ * (p * x) ^ n = p ^ n.succ * y
this : a ^ n.succ * x ^ n = p * y
⊢ p ∣ a
ι : Type u_1
LinearOrder ι
SuccOrder ι
IsSuccArchimedean ι
PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i < i0
⊢ toZ i0 i = -↑(Nat.find ⋯)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
p q : α
⊢ dist (SeparationQuotient.mk p) (SeparationQuotient.mk q) = dist p q
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
⊢ MvPolynomial.divMonomial 0 s = 0
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
a : α
⊢ ContinuousAt f a ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, dist x a < δ → dist (f x) (f a) < ε
m s step n : Nat
h : ∀ (i : Nat), i ≤ n ↔ i = 0 ∨ ∃ j, i = j.succ ∧ j < n
⊢ m ∈ range' s (n + 1) step ↔ ∃ i, i < n + 1 ∧ m = s + step * i
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p f' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f f' s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
⊢ s ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p s
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
hfi_zero : ∀ {i : ℕ}, f (i ^ 0) = 1
⊢ (x.gcd y).factorization.support ⊆ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors
a b m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 0 ∣ n ↔ ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ 0 → p ^ k ∣ n
α : Type u_1
β : Type u_2
Denumerable α
Denumerable β
⊢ (Denumerable.equiv₂ α β).Computable
X : Compactum
A : Set X.A
⊢ ∀ (F : Ultrafilter X.A), Compactum.cl A ∈ F → X.str F ∈ Compactum.cl A
A : Type u_5
CommRing A
n : Type u_7
Fintype n
DecidableEq n
M N : Matrix n n A
⊢ (M * N).det = (N * M).det
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid M
inst✝¹ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)
hf₂ : ∀ (b : β), v.restrict (f b) ≤ w.restrict (f b)
⊢ v.restrict (⋃ b, f b) ≤ w.restrict (⋃ b, f b)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N ≃ₗ[R] P
⊢ ↑(LinearEquiv.rTensor M f).symm = LinearMap.rTensor M ↑f.symm
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
sq : f ⟶ g
CategoryTheory.IsIso sq
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.inv sq.left) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom sq.right) =
  g.hom
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
ha : DifferentiableAt 𝕜 a x
n : ℕ
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => a x ^ n) x
n : ℕ
m : ℝ
m1 : 1 < m
m0 : 0 < m
mi : 1 / m < 1
⊢ ∑' (i : ℕ), 1 / m ^ (i + (n + 1)!) = ∑' (i : ℕ), (1 / m) ^ i * (1 / m ^ (n + 1)!)
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
IF : PrimePair P
w : P
h : w ∈ ↑IF.F
⊢ w ∉ IF.I
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : α → β
g : M →+ N
⊢ (Finsupp.mapDomain.addMonoidHom f).comp (Finsupp.mapRange.addMonoidHom g) =
  (Finsupp.mapRange.addMonoidHom g).comp (Finsupp.mapDomain.addMonoidHom f)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀
α : Type u_1
p q : α → Prop
DecidablePred p
x : { x // p x ∨ q x }
hx : ¬p ↑x
⊢ (subtypeOrLeftEmbedding p q) x = Sum.inr ⟨↑x, ⋯⟩
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
⊢ { length := p.length + q.length, toFun := fun i => if H : ↑i < p.length then p.toFun ⟨↑i, ⋯⟩ else q.toFun ⟨↑i - p.length, ⋯⟩, step := ⋯ }.toFun 0 = p.toFun 0
α : Type u_1
S : Set (Set α)
⊢ ⋂₀ S = Set.univ ↔ ∀ s ∈ S, s = Set.univ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
p : P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
t'p : Fin 3 → P := Function.update t.points i₂ p
h₁ : t'p i₁ = t.points i₁
h₂ : t'p i₂ = p
h₃ : t'p i₃ = t.points i₃
ha : AffineIndependent ℝ t'p
t' : Triangle ℝ P := { points := t'p, independent := ha }
h₁' : t'.points i₁ = t.points i₁
h₂' : t'.points i₂ = p
h₃' : t'.points i₃ = t.points i₃
h' : 2 • ∡ (t'.points i₁) (t'.points i₂) (t'.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
⊢ t'.points i₂ ∈ Simplex.circumsphere t'
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α := {x | ¬∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a}
hs : s = {x | ¬∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a}
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
π : α → Type u_6
π' : β → Type u_7
f : α → β
hf : Function.Injective f
g : (a : α) → π a → π' (f a)
a : α
l : Filter (π' (f a))
x✝ : Set (π' (f a))
⊢ Sigma.mk a '' (g a ⁻¹' id x✝) = Sigma.map f g ⁻¹' (Sigma.mk (f a) '' id x✝)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : β → Sort v
f : α → β
g : β → α
h : Function.LeftInverse g f
C : (a : α) → γ (f a)
a : α
⊢ ⋯ ▸ C (g (f a)) = C a
n : ℕ
⊢ {i | i ≤ n}.Finite
R : Type u
S : Type v
T : Type w
Semiring R
Semiring S
Semiring T
f : S →+* R
g : T →+* S
⊢ Ideal.comap g (RingHom.ker f) = RingHom.ker (f.comp g)
α : Type u_1
le : α → α → Bool
n r : Nat
a : α
c : HeapNode α
s : Heap α
h : WF le n (cons r a c s)
this : FindMin.WF le (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s })
⊢ WF le 0 (Heap.merge le (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).node.toHeap ((Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).before (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).next))
x : ℝ
⊢ HurwitzZeta.sinKernel 0 x = 0
α : Type u_2
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
⊢ 𝒜.card ≤ (Fintype.card α).choose (Fintype.card α / 2)
H : Type u
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℂ H
CompleteSpace H
self : VonNeumannAlgebra H
⊢ self.carrier.centralizer.centralizer = self.carrier
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ b ∈ closedBall a r ↔ ‖b / a‖ ≤ r
α : Type u_1
R : α → α → Prop
DecidableRel R
l : List α
⊢ List.Chain' R (List.destutter R l)
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
s : Set α
α' : Type u_5
β' : Type u_6
TopologicalSpace β'
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
ϕ' : τ → α' → β'
ga : α → α'
s' : Set α'
hs : Set.MapsTo ga s s'
gb : β → β'
hg : ∀ (t : τ) (x : α), gb (ϕ t x) = ϕ' t (ga x)
hgc : Continuous gb
⊢ Set.MapsTo gb (omegaLimit f ϕ s) (omegaLimit f ϕ' s')
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
⊢ mk' (centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points) (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂})ᗮ ⊓ affineSpan ℝ (Set.range s.points) = mk' (centroid ℝ {i₂, i₁}ᶜ s.points) (Submodule.span ℝ {s.points i₂ -ᵥ s.points i₁})ᗮ ⊓ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
p : ι → Prop
DecidablePred p
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.subtypeDomain p f = DFinsupp.mk (Finset.subtype p f.support) fun i => f ↑↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
μ κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel μ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
⊢ (μ + κ).compProd η = μ.compProd η + κ.compProd η
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t : Finset α
a b : α
⊢ a ∈ s → b ∈ t → a ⊔ b ∈ s ⊻ t
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
hX : AEMeasurable X μ
⊢ ProbabilityTheory.evariance X μ = 0 ↔ X =ᵐ[μ] fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ
w w' : Nat
x y : BitVec w
h : w = w'
⊢ BitVec.cast h x ||| BitVec.cast h y = BitVec.cast h (x ||| y)
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
X Y Z : (i : I) → C i
f : X ≅ Y
g : Y ≅ Z
i : I
⊢ CategoryTheory.Pi.isoApp (f ≪≫ g) i = CategoryTheory.Pi.isoApp f i ≪≫ CategoryTheory.Pi.isoApp g i
α : Type u_1
LinearOrder α
b c d : α
h : min c d < b
⊢ Set.Iio b ∪ Set.Ioo c d = Set.Iio (max b d)
n : ℕ
h : n ≠ 1
h1 : Prime n
this : Fact (Prime n)
⊢ ↑(n - 1)! = -1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
⊢ ContinuousOn (↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e h).symm) (range e) ∧ ∀ (x : H) (y : M), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ ↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e h).symm ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (range e ∩ ↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e h).symm ⁻¹' (extChartAt I y).source))
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
acc : Array γ
as : List α
bs : List β
⊢ List.zipWithLeftTR.go f as bs acc = acc.toList ++ List.zipWithLeft f as bs
α : Sort u_1
β : Sort u_2
Nonempty α
f : α → β
g : β → α
hf : Function.Injective f
hg : Function.RightInverse g f
⊢ Function.invFun f = g
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ BddBelow {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ c * ∏ i : ι, ‖m i‖}
a : Ordinal.{u_1}
⊢ 0 ^ a = 1 - a
β : Type u_5
Monoid β
a u b : β
hu : IsUnit u
⊢ a * u ~ᵤ b ↔ a ~ᵤ b
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
hp : p.natDegree ≤ n
hq : q.natDegree ≤ n
⊢ p = q ↔ ∀ i ≤ n, p.coeff i = q.coeff i
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set β
⊢ s₁ ∩ s₂ -ᵥ (t₁ ∪ t₂) ⊆ s₁ -ᵥ t₁ ∪ (s₂ -ᵥ t₂)
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
c : ℕ → ℝ
d : ℕ → E
hc : Tendsto c atTop atTop
hcd : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
hc' : Tendsto (fun x => ‖c x‖) atTop atTop
hd : Tendsto (fun n => a + d n) atTop (𝓝[s] a)
n : ℕ
hfn : f (a + d n) ≤ f a
hcn : 0 ≤ c n
⊢ c n • (f (a + d n) - f a) ≤ 0
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
M₁' : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
(i : ι) → Module R (M₁' i)
g : MultilinearMap R M₁' M₂
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ (g.compLinearMap f) m = g fun i => (f i) (m i)
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
FloorDiv α β
a : α
ha : 0 < a
⊢ GaloisConnection (fun x => a • x) fun x => x ⌊/⌋ a
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 E''
NormedSpace ℝ F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
MeasurableSpace G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
NormedSpace 𝕜 F'
CompleteSpace F'
NormedAddCommGroup F''
NormedSpace ℝ F''
NormedSpace 𝕜 F''
CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
AddGroup G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν
μ.IsAddRightInvariant
MeasurableAdd₂ G
ν.IsAddRightInvariant
MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, MeasureTheory.ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, MeasureTheory.ConvolutionExistsAt g k x L₄ μ
hi : MeasureTheory.Integrable (Function.uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)
⊢ MeasureTheory.convolution (MeasureTheory.convolution f g L ν) k L₂ μ x₀ =
  MeasureTheory.convolution f (MeasureTheory.convolution g k L₄ μ) L₃ ν x₀
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
⊢ (p.concat h).darts = p.darts.concat { toProd := (v, w), adj := h }
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
inst✝ : BraidedCategory C
A B : Comon_ C
⊢ (α_ (op A.X) (op B.X) (op A.X ⊗ op B.X)).hom ≫ op A.X ◁ (α_ (op B.X) (op A.X) (op B.X)).inv ≫ op A.X ◁ (β_ (op B.X) (op A.X)).hom ▷ op B.X ≫ op A.X ◁ (α_ (op A.X) (op B.X) (op B.X)).hom ≫ (α_ (op A.X) (op A.X) (op B.X ⊗ op B.X)).inv = op ((α_ A.X A.X (B.X ⊗ B.X)).hom ≫ A.X ◁ (α_ A.X B.X B.X).inv ≫ A.X ◁ (β_ A.X B.X).hom ▷ B.X ≫ A.X ◁ (α_ B.X A.X B.X).hom ≫ (α_ A.X B.X (A.X ⊗ B.X)).inv)
α : Type u_1
M : Matroid α
B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
⊢ (B₁ \ B₂).Infinite ↔ (B₂ \ B₁).Infinite
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
q : R[X]
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun a => eval a q) a = (aeval a) q
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h)
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapComp f g) (F.map h)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).hom)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (F.mapComp g h))
        (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (F.map g) (F.map h)).inv))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + m = q
q₁ q₂ : ℤ
hq₁ : q₁ = q - 1
hq₂ : p + 1 = q₂
⊢ (CochainComplex.HomComplex.δ n m z).v p q hpq = z.v p q₁ ⋯ ≫ G.d q₁ q + m.negOnePow • F.d p q₂ ≫ z.v q₂ q ⋯
σ : Type u
m : Type u → Type v
β γ : Type u
f : σ → σ
g : PUnit → StateCpsT σ m β
s : σ
k : β → σ → m γ
⊢ (modify f >>= g).runK s k = (g PUnit.unit).runK (f s) k
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
α : Type u_5
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : α → E
l : Filter α
hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x • g x) l (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x