ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
AddMonoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : Multiplicative G →* A
a : G
b : k
⊢ ((AddMonoidAlgebra.lift k G A) F) (AddMonoidAlgebra.single a b) = b • F (Multiplicative.ofAdd a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.IsCodetector (Opposite.unop G) ↔ CategoryTheory.IsDetector G
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᴹᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).unmop = CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X.unmop
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
i : σ
j : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ MvPolynomial.X i ∣ (MvPolynomial.monomial j) r ↔ r = 0 ∨ j i ≠ 0
n : Nat
⊢ n ∣ 1 ↔ n = 1
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s t : Set α
ht : t.PartiallyWellOrderedOn r
h : s ⊆ t
⊢ s.PartiallyWellOrderedOn r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) {x, y}) f
hz : z ∈ (convexHull 𝕜) {x, y}
⊢ f z ≤ max (f x) (f y)
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᴬ[𝕜] W
g : W₂ →ᴬ[𝕜] V
⊢ ‖f.comp g‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖ + ‖f 0‖
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J✝ X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
J : Set α
hJ : M.Basis J Y
I : Set α
hI : M.Basis I (X ∪ Y) ∧ I ∩ Y = J
⊢ M.Basis (I ∩ Y) Y
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.684544, u_1} C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ pullback f i
inst✝ : HasPullback i₁ i₂
⊢ (i₂ ≫ snd f i) ≫ i = (i₂ ≫ fst f i) ≫ f
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.49535, u_1} E
F : D ⥤ E
G✝ : E ⥤ D
inst✝² : HasWeakSheafify J D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget D)
G : Type (max v₁ u₁) ⥤ D
adj : G ⊣ forget D
X : Sheaf J D
⊢ toSheafify J (((whiskeringRight Cᵒᵖ (Type (max u₁ v₁)) D).obj G).obj ((sheafToPresheaf J (Type (max u₁ v₁))).obj ((sheafEquivSheafOfTypes J).inverse.obj ((sheafForget J).obj X)))) ≫ ((adjunctionToTypes J adj).counit.app X).val = (X.1.associator (forget D) G).hom ≫ (Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).counit.app X.1
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
⊢ toLex x ≤ toLex (update x i a) ↔ x i ≤ a
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
h : StarConvex ℝ x s
hne : s.Nonempty
⊢ ContractibleSpace ↑s
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
n : ℕ
x : K
⊢ (⇑(frobenius (PerfectClosure K p) p))^[n] (PerfectClosure.mk K p (n, x)) = (PerfectClosure.of K p) x
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
⊢ HNNExtension.NormalWord.empty.head = 1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasPullbacks C
P Q R : C
f : P ⟶ R
g : Q ⟶ R
p : Pseudoelement P
q : Pseudoelement Q
x : Over P
y : Over Q
h : pseudoApply f ⟦x⟧ = pseudoApply g ⟦y⟧
Z : C
a : Z ⟶ ((fun g => app f g) x).left
b : Z ⟶ ((fun g_1 => app g g_1) y).left
ea : Epi a
eb : Epi b
comm : a ≫ ((fun g => app f g) x).hom = b ≫ ((fun g_1 => app g g_1) y).hom
l : Z ⟶ pullback f g
hl₁ : l ≫ pullback.fst f g = a ≫ x.hom
hl₂ : l ≫ pullback.snd f g = b ≫ y.hom
⊢ ∃ s, pseudoApply (pullback.fst f g) s = ⟦x⟧ ∧ pseudoApply (pullback.snd f g) s = ⟦y⟧
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ 2 < s.ncard ↔ ∃ a b c, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ c ∈ s ∧ a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace W
f : X → Z
g : Y → W
p : X × Y
hf : ContinuousAt f p.1
hg : ContinuousAt g p.2
⊢ ContinuousAt (fun p => (f p.1, g p.2)) p
f : ℕ → ℂ
⊢ LSeries.abscissaOfAbsConv (LSeries.logMul f) = LSeries.abscissaOfAbsConv f
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
⊢ (descPochhammer R (n + 1)).comp (X - 1) = descPochhammer R (n + 1) - (↑n + 1) • (descPochhammer R n).comp (X - 1)
α : Type u
s : Set (Set α)
i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
IH : ∀ (y : (Quotient.out (aleph 1).ord).α), (Quotient.out (aleph 1).ord).r y i → #↑(generateMeasurableRec s y) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
A : ℵ₀ ≤ aleph 1
B : aleph 1 ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
C : ℵ₀ ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
⊢ #↑(generateMeasurableRec s i) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
x : F
hx : x ∈ f '' s
y : F
hy : y ∈ f '' s
A : PartialEquiv E F := hf.toPartialEquiv hc
Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z
⊢ ‖↑A.symm x - ↑A.symm y - ↑f'.symm (x - y)‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖x - y‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁ h₂)
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIsIsoLeftRightHomologyComparison' h₁ h₂).right = h₂
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
h'p : 1 ≤ p
⊢ eLpNorm (f + g) p μ ≤ LpAddConst p * (eLpNorm f p μ + eLpNorm g p μ)
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
k : Cardinal.{u_1}
hk : ↑m = ↑n * k
this : ↑m < ℵ₀
⊢ n ∣ m
α✝ : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y x' y' : α
ex : x = gcd x y * x'
ey : y = gcd x y * y'
h : gcd x y ≠ 0
⊢ Associated (gcd x' y') 1
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ All P r.dual ∧ P x ∧ All P l.dual ↔ All P l ∧ P x ∧ All P r
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
ih : i ≠ j.castSucc → i < j.castSucc → swap i j.castSucc ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
ne : i ≠ j.succ
lt : i < j.succ
mem : swap j.castSucc j.succ ∈ Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ)
lts : i < j.castSucc
⊢ swap i j.succ ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Comon_ C
⊢ (Comon_.forget C).obj A = A.X
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
⊢ Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (φ i)
S : Type ?u.32694
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f g : (i : ι) → φ i →ₗ[R] M
⊢ (fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i) (f + g) = (fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i) f + (fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i) g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedCommRing 𝕜
inst✝² : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
hs : s ≠ t
c : E
⊢ [c + x-[𝕜]c + t • y] ∩ [c + x-[𝕜]c + s • y] = {c + x}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace G
self : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ LinearMap.range self.rightDeriv = ⊤
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
⊢ seminormFromBounded' f 1 = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
ha : DifferentiableWithinAt 𝕜 a s x
b : 𝔸
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => b * a y) s x = b • fderivWithin 𝕜 a s x
p : ℝ
⊢ 0 = ENNReal.ofReal p ↔ p ≤ 0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
F : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace F
u : α → ℝ
NormedSpace 𝕜 F
g : α → 𝕜 → F
y₀ : 𝕜
hu : Summable u
hg : ∀ (n : α), Differentiable 𝕜 (g n)
hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖deriv (g n) y‖ ≤ u n
hg0 : Summable fun n => g n y₀
y : 𝕜
⊢ deriv (fun z => ∑' (n : α), g n z) y = ∑' (n : α), deriv (g n) y
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
⊢ u ∈ [1, -1, η, -η, η ^ 2, -η ^ 2]
α : Type u_2
Add α
s : Set α
⊢ ∅ + s = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
s : Set α
hs : s ∈ memPartition t n
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
a b : α
hab : Codisjoint a b
⊢ a ≠ b ↔ a ≠ ⊤ ∨ b ≠ ⊤
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ l ∈ tl, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1) → C (List.map List.prod tl).sum
HL : ∀ x ∈ hd, x ∈ s ∨ x = -1
⊢ C hd.prod
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ 0 = { f := 0, comm := ⋯ }
a b c : Int
H1 : 0 < c
H2 : a * c ≤ b
⊢ a ≤ b / c
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
U : Set (Quotient (AddAction.orbitRel G α))
meas_U : MeasurableSet U
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (Quotient.mk (AddAction.orbitRel G α)) (μ.restrict s)) U =
  μ (Quotient.mk (AddAction.orbitRel G α) ⁻¹' U ∩ s)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν
⊢ ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
⊢ image (fun x => x + c) (Ioo a b) = Ioo (a + c) (b + c)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
x✝ : α × Vector α n
a : α
l : Vector α n
⊢ ContinuousAt (fun p => Vector.insertNth p.1 i p.2) (a, l)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id S).f₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.L₃
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ fixedBy α g⁻¹ ↔ x✝ ∈ fixedBy α g
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ
Inhabited Γ'
a : Γ
l : Turing.ListBlank Γ
f : Γ → List Γ'
hf : ∃ n, f default = List.replicate n default
⊢ (Turing.ListBlank.cons a l).bind f hf = Turing.ListBlank.append (f a) (l.bind f hf)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
⊢ CategoryTheory.Limits.factorThruImageSubobject f ≫ (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).arrow = f
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝² : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
g : G
k : ℕ
g₀ : G
h : g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ ∈ P
this : (↑P).IsCommutative
hg : g ^ k ∈ ↑P
⊢ g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ = g ^ k
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
x : α
hx : x ∈ cthickening δ (closure E)
⊢ x ∈ ⋃ x ∈ closure E, closedBall x δ
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
⊢ q.k * q.i = -c₁ • q.j
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
lt : j < ω.length
⊢ cs.wordProd (take j ω) * (Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * (cs.wordProd (take j ω))⁻¹ * cs.wordProd (take j ω ++ ω[j]?.toList ++ drop (j + 1) ω) = cs.wordProd (take j ω ++ drop (j + 1) ω)
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_4
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ IsIntegrallyClosed R ↔ ∀ {x : K}, IsIntegral R x → ∃ y, (algebraMap R K) y = x
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
hι : Nonempty ι
a : α
⊢ ⨆ x, a = a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M k) = lowerCentralSeries R L M₂ k
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ∏ i_1 ∈ s, (v i - v i_1) = 0
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
NoMinOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioc a (Order.pred b) = Set.Ioo a b
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
⊢ ⊥ = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Path u v
⊢ ↑p.reverse = (↑p).reverse
α : Type u_1
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
DistribLattice α
OrderBot α
DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → Finset ι
f : ι → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup f
hg : ∀ i' ∈ s, (g i').SupIndep f
⊢ (s.sup g).SupIndep f
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Mono (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)
ψ : mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) ⟶ mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) := homMk₃ (𝟙 ((mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)).obj' 0 ⋯)) (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) ⋯ ⋯ ⋯
⊢ Mono (app' φ 1 ⋯)
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
x y : α
⊢ x ≤ y ↔ Relation.ReflTransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K
⊢ -(b / a) = -b / a
α : Type u
β : Type u_1
l : List (α × β)
⊢ l.unzip.1.zip l.unzip.2 = l
n : ℕ
i j : ZMod (2 * n)
⊢ QuaternionGroup.a i * QuaternionGroup.a j = QuaternionGroup.a (i + j)
S : Type u_1
T : Type u_2
CommRing S
CommRing T
g : S →+* T
u : Set S
x : S
hx : x ∈ Subring.closure u
⊢ g x ∈ Subring.closure (⇑g '' u)
n : ℕ
h : ↑(T ^ ↑n) = !![1, ↑n; 0, 1]
⊢ ↑(T ^ (↑n + 1)) = !![1, ↑n + 1; 0, 1]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
a b c : ℤ
h : a + b = c
⊢ CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C) a b c h =
  CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctorAdd' C a b c h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : IsBasis p s
U : Set α
⊢ U ∈ h.filter ↔ ∃ i, p i ∧ s i ⊆ U
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
s : Set α
t : Set β
⊢ (μ.prod ν) (s ×ˢ t) = μ s * ν t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0
⊢ s = μ.singularPart ν
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M : Submodule R A
A' : Type u_1
Semiring A'
Algebra R A'
f : A →ₐ[R] A'
n : ℕ
⊢ Submodule.map f.toLinearMap (M ^ n) = Submodule.map f.toLinearMap M ^ n
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
⊢ IsClosed {p | p.1 ⤳ p.2}
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
⊢ (fun x => a - x) '' Ioi b = Iio (a - b)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : C
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app X✝.obj₁ ≫ f.hom₁ = (shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctor C (-1)).map ((shiftFunctor C 1).map f.hom₁) ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app Y✝.obj₁
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor (CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}) C} (α : X ⟶ Y),
  (CommMon_.EquivLaxBraidedFunctorPUnit.laxBraidedToCommMon C).map α =
    ((CategoryTheory.LaxBraidedFunctor.mapCommMonFunctor (CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}) C).map α).app
      (CommMon_.trivial (CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}))
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace Z
proj : Z → B
self : Trivialization F proj
⊢ self.target = self.baseSet ×ˢ Set.univ
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
u : V →L[R] R
ux : u x = 1
uy : u y = 0
v : V →L[R] R
vy : v y = 1
vx : v x ≠ 0
⊢ ∃ f, f x = 1 ∧ f y ≠ 0
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : J.sheafify P ⟶ Q
h : J.toSheafify P ≫ γ = η
⊢ J.toPlus P ≫ J.toPlus (J.plusObj P) ≫ γ = η
X : Type u_1
TopologicalSpace X
h : ∀ (x y : X), Inseparable x y → ∃ s, x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ T0Space ↑s
⊢ T0Space X
α : Type u_2
G : Type u_4
TopologicalSpace α
Group G
MulAction G α
ContinuousConstSMul G α
c : G
s : Set α
⊢ interior (c • s) = c • interior s
x✝ y x : ℝ
⊢ arcsin ↑(projIcc (-1) 1 ⋯ x) = arcsin x
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ a ≤ ⊥ ↔ a = ⊥
G : Type u
Group G
self : GroupFilterBasis G
U : Set G
⊢ U ∈ GroupFilterBasis.toFilterBasis.sets → ∃ V ∈ GroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V ⊆ (fun x => x⁻¹) ⁻¹' U
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
f : E →ₗ[𝕜] β
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x✝⁸ : E
x✝⁷ : x✝⁸ ∈ s
x✝⁶ : E
x✝⁵ : x✝⁶ ∈ s
x✝⁴ x✝³ : 𝕜
x✝² : 0 ≤ x✝⁴
x✝¹ : 0 ≤ x✝³
x✝ : x✝⁴ + x✝³ = 1
⊢ f (x✝⁴ • x✝⁸ + x✝³ • x✝⁶) ≤ x✝⁴ • f x✝⁸ + x✝³ • f x✝⁶
X : Type w
t : TopologicalSpace X
inst✝ : UCompactlyGeneratedSpace X
⊢ compactlyGenerated X ≤ t
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n : ℕ
⊢ ((addBottom L).nth n).2 = L.nth n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
NormedAddCommGroup F₄
NormedSpace 𝕜 F₄
n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₃
f : M → F₂ →L[𝕜] F₄
s : Set M
x : M
hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₃) n g s x
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₄) n f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁ × F₂ →L[𝕜] F₃ × F₄) n (fun x => (g x).prodMap (f x)) s x
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k
⊢ ∑ x ∈ f.support, ∑ x_1 ∈ (a x).support, ((a x) x_1 • f x) ⊗ₜ[R] b x_1 = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => ((fun i => b.repr (b i * x)) i).support, (b.repr (f.sum fun i y => ((fun i => b.repr (b i * x)) i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k
D : GlueData
h : MkCore
i j : h.J
x : ↥(h.V j i)
this : ↑((h.t i j) ⟨↑((h.t j i) x), ⋯⟩) = ↑((h.t j j) ⟨↑x, ?refine_1⟩)
⊢ (h.t i j) ((h.t j i) x) = x
α : Type u
S T : Stream'.WSeq (Computation α)
a : α
h1 : ∀ (s : Computation α), s ∈ S → s.Promises a
H : Stream'.WSeq.LiftRel Computation.Equiv S T
⊢ (Computation.parallel S).Equiv (Computation.parallel T)
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Free K V
inst✝ : Finite K V
⊢ finrank K V ≤ 1 ↔ ⊤.IsPrincipal
α : Type u_1
Union α
a b : Part α
hab : (a ∪ b).Dom
⊢ b.Dom
I : Type u_4
AddMonoid I
c : ComplexShape I
c.TensorSigns
p q : I
hpq : c.Rel p q
r : I
⊢ c.Rel (p + r) (q + r)
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ Finset.range (n + 1), (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) (↑p ^ x * (expand p) (wittStructureInt p Φ x) ^ p ^ (n - x)) = (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) (C (↑p ^ x) * wittStructureInt p Φ x ^ p ^ (n + 1 - x))
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ GaloisConnection (LieIdeal.map f) (LieIdeal.comap f)
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
k : ℕ
hk : k ∉ A
hk' : k > 0
⊢ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 k)).card / ↑k ≤ 1 - (↑k)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
PolishSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
⊢ PolishSpace α
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : M
s : Set M
⊢ m ∈ Submodule.span R s ↔ ∃ c, ↑c.support ⊆ s ∧ (c.sum fun mi r => r • mi) = m
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0
⊢ ¬Summable fun b => jacobiTheta₂_term_fderiv b z τ
a' x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ ContinuousAt (fun x => jacobiTheta₂ (↑a' * I * ↑x) (I * ↑x)) x