ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
w₁ w₂ w₃ w₄ p₁ p₂ p₃ p₄ : ℝ
hw₁ : 0 ≤ w₁
hw₂ : 0 ≤ w₂
hw₃ : 0 ≤ w₃
hw₄ : 0 ≤ w₄
hp₁ : 0 ≤ p₁
hp₂ : 0 ≤ p₂
hp₃ : 0 ≤ p₃
hp₄ : 0 ≤ p₄
hw : w₁ + w₂ + w₃ + w₄ = 1
⊢ p₁ ^ w₁ * p₂ ^ w₂ * p₃ ^ w₃ * p₄ ^ w₄ ≤ w₁ * p₁ + w₂ * p₂ + w₃ * p₃ + w₄ * p₄
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
⊢ ∑ i : Unit, (Basis.singleton Unit K).equivFun 1 i • ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i
n m : ℕ+
⊢ n.gcd m ∣ m
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
R : Type u_3
Semiring R
Module R ℝ
ContinuousConstSMul R ℝ
ContinuousConstSMul R ℂ
⊢ ∀ (a : MeasureTheory.SignedMeasure α × MeasureTheory.SignedMeasure α),
  MeasureTheory.ComplexMeasure.equivSignedMeasureₗ.symm a = MeasureTheory.ComplexMeasure.equivSignedMeasure.invFun a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
h : x < y
u : ℕ → α
hu_anti : StrictAnti u
hu_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo x y
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)
⊢ ∃ u v, StrictAnti u ∧ StrictMono v ∧ (∀ (k : ℕ), u k ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (l : ℕ), v l ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (k l : ℕ), u k < v l) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 y)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖ * (o.oangle x y).cos
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a : α
s : Multiset α
⊢ (a ::ₘ s).gcd = gcd a s.gcd
X : Type u_1
R : Type u_2
TopologicalSpace X
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
T2Space R
I : Ideal C(X, R)
⊢ ↑(ContinuousMap.opensOfIdeal I) = ContinuousMap.setOfIdeal I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q R : C
f f' : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
⊢ (f - f') ≫ g = f ≫ g - f' ≫ g
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
f : M → B
hf : Smooth IM IB f
he : ∀ (x : M), f x ∈ e.baseSet
he' : ∀ (x : M), f x ∈ e'.baseSet
⊢ Smooth IM 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) fun y => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' (f y))
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
⊢ EuclideanGeometry.inversion c R '' ↑(AffineSubspace.perpBisector c y) =
  Metric.sphere (EuclideanGeometry.inversion c R y) (R ^ 2 / dist y c) \ {c}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom.unop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (Opposite.unop X)).inv
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
x : M
f : M → E'
g : M → F'
hf : SmoothAt I 𝓘(𝕜, E') f x
hg : SmoothAt I 𝓘(𝕜, F') g x
⊢ SmoothAt I 𝓘(𝕜, E' × F') (fun x => (f x, g x)) x
α β : Type u
s : Set Cardinal.{u_1}
hs : BddAbove s
⊢ lift.{u, u_1} (sSup s) = sSup (lift.{u, u_1} '' s)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
v : Π₀ (i : ι), β i
f : (i : ι) → β i → γ
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 1
⊢ ∏ i ∈ v.support, f i (v i) = ∏ i : ι, f i (v i)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
p0 : P
fs1 : Finset ι
hfs1 : ↑fs1 ⊆ s1
w1 : ι → k
hw1 : ∑ i ∈ fs1, w1 i = 1
hp0s1 : p0 = (affineCombination k fs1 p) w1
fs2 : Finset ι
hfs2 : ↑fs2 ⊆ s2
w2 : ι → k
hw2 : ∑ i ∈ fs2, w2 i = 1
hp0s2 : p0 = (affineCombination k fs2 p) w2
⊢ ∃ i, i ∈ s1 ∩ s2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ W.Equation x y ∧ (W.a₁ * y ≠ 3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄ ∨ 2 * y + W.a₁ * x + W.a₃ ≠ 0) ↔ W.Equation x y ∧ (W.a₁ * y ≠ 3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄ ∨ y - (-y - W.a₁ * x - W.a₃) ≠ 0)
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
⊢ Functor.supp x = {u | ∀ (a : (QPF.P F).A) (f : (QPF.P F).B a → α), QPF.abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f '' Set.univ}
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a < b + c
hle : c ≤ 0
⊢ a < b
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
j : Fin (n + 1) →₀ ℕ
r : R
m : Fin n →₀ ℕ
i : ℕ
⊢ coeff m (if i = j 0 then ∏ x : Fin n, X x ^ j x.succ else 0) = if j = cons i m then 1 else 0
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
v : V
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
h : v ∈ e
e' : Sym2 V
⊢ (e' ∈ G.edgeSet ∧ v ∈ e') ∧ e' ∈ G.edgeSet ∧ Sym2.Mem.other h ∈ e' ↔ e' = e
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
a✝ : ↥(closure s)
x✝ : a✝ ∈ ⊤
a : α
ha : a ∈ s
⊢ a ∈ ↑(map (closure s).subtype (Subfield.rangeOfWType s))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → ℝ≥0∞
hf : Monotone f
hg : Monotone g
i j _k : ι
x✝ : i ≤ _k ∧ j ≤ _k
hi : i ≤ _k
hj : j ≤ _k
⊢ f i + g j ≤ f _k + g _k
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
c : ℝ
c_neg : c < 0
⊢ μ {a | f a ≤ c} < ⊤
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
x y : M
f : M →ₗ[R] N
h : SameRay R x y
⊢ SameRay R (f x) (f y)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E ⊤)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
a : α
⊢ ‖f a‖ ≤ C
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
⊢ ∀ (q : A[X]), q.degree < (X - C a).degree → q = 0 ∨ (Polynomial.aeval ((algebraMap A B) a)) q ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ ∀ (n : ℤ), ‖f_int k a t n‖ = ‖(fun t_1 => Int.rec (f_nat k a t) (f_nat k (1 - a) t) t_1) n‖
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
L : Φ.RightResolution X₂
⊢ L.op.X₁ = Opposite.op L.X₁
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
⊢ f.IsCycleOn ∅
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofiltered C
⊢ CategoryTheory.IsConnected C
α : Type u
CommGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ a / b ≤ c / d ↔ a * d ≤ c * b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : CommMonoid α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
inst✝⁵ : CommMonoid γ
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
G : Type u_5
G' : Type u_6
inst✝³ : FunLike G α γ
inst✝² : MonoidHomClass G α γ
inst✝¹ : FunLike G' γ α
inst✝ : MonoidHomClass G' γ α
g : G
g' : G'
hg : Continuous ⇑g
hg' : Continuous ⇑g'
hinv : LeftInverse ⇑g' ⇑g
h : Multipliable (⇑g ∘ f)
⊢ Multipliable f
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
c : ℝ≥0∞
T : Set Ω
h_meas_T : MeasurableSet T
h_ind : IndepSets {s | MeasurableSet s} {T} μ
h_mul_indicator : ∀ (g : Ω → ℝ≥0∞), Measurable g → Measurable fun a => g a * T.indicator (fun x => c) a
⊢ ∀ (c_1 : ℝ≥0∞) ⦃s : Set Ω⦄, MeasurableSet s → ∫⁻ (ω : Ω), s.indicator (fun x => c_1) ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), s.indicator (fun x => c_1) ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 1
⊢ o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
x : MeasurableSpace α
hx : x ∈ Set.range fun i => (p i • dirac i).caratheodory
⊢ ⊤ ≤ x
ι : Type u_1
I J✝ J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
boxes : Finset (WithBot (Box ι))
le_of_mem : ∀ J ∈ boxes, J ≤ ↑I
pairwise_disjoint : (↑boxes).Pairwise Disjoint
H : ∀ J ∈ π, ∃ J' ∈ boxes, ↑J ≤ J'
J : Box ι
hJ : J ∈ π
J' : WithBot (Box ι)
J'mem : J' ∈ boxes
hle : ↑J ≤ J'
⊢ ∃ I' ∈ ofWithBot boxes le_of_mem pairwise_disjoint, J ≤ I'
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
q : ℝ≥0∞
⊢ Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ Continuous fun f => MeasureTheory.setToFun μ T hT ↑↑f
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
a1 : 1 < a
⊢ StrictAnti fun n => 1 / a ^ n
α : Type u
a : α
r₁ r₂ : List (List α)
⊢ List.sublists'Aux a r₁ r₂ = (Array.foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (List.toArray r₂) (List.toArray r₁) 0).toList
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
⊢ (Metric.cthickening δ s)⁻¹ = Metric.cthickening δ s⁻¹
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
FirstCountableTopology G
SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (Set.range fun x => ‖g x‖)
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : Continuous g
⊢ Continuous (MeasureTheory.convolution f g L μ)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
⊢ vanishingIdeal '' {s | IsIrreducible s} ⊆ vanishingIdeal '' {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s}
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
I : Decidable (n < 1 + p.natDegree)
⊢ (if n < 1 + p.natDegree then p.coeff n else 0) = p.coeff n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ AlgebraicTopology.NormalizedMooreComplex.objX X 0 = ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
⊢ MeasurableSet {p | ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, ∀ i_2 ≥ i_1, ∀ i_4 ≥ i_1, p.2 ∈ B (f p.1) K ((1 / 2) ^ i_2) ((1 / 2) ^ i_4) ((1 / 2) ^ i)}
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
Ω : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {X : Ω → E} {s : Set E},
  MeasurableSet s →
    MeasureTheory.pdf.IsUniform X s ℙ μ →
      (fun x_1 => (MeasureTheory.pdf X ℙ μ x_1).toReal) =ᵐ[μ] fun x => (s.indicator ((μ s)⁻¹ • 1) x).toReal
q : ℚ
⊢ ↑q.den * q = ↑q.num
x : ℂ
⊢ HasDerivAt Complex.sin (Complex.cos x) x
ι : Type u_2
Countable ι
α : Type u_3
MeasurableSpace α
s t : ι → Set α
h : ∀ (m n : ι), MeasureTheory.MeasurablySeparable (s m) (t n)
⊢ MeasureTheory.MeasurablySeparable (⋃ n, s n) (⋃ m, t m)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
⊢ HasDerivWithinAt f f' s x ↔ HasDerivWithinAt f f' t x
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
⊢ MeasureTheory.HasPDF X ℙ MeasureTheory.volume ↔ AEMeasurable X ℙ ∧ MeasureTheory.Measure.map X ℙ ≪ MeasureTheory.volume
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : (∡ p₁ p₂ p₃).sign = -1
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = -↑(∠ p₁ p₂ p₃)
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
⊢ BijOn (fun x => x + d) (Icc a b) (Icc (a + d) (b + d))
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
span_ne_zero : Ideal.span {P} ≠ 0 ∧ Ideal.span {Polynomial.X} ≠ 0
span_ne_zero' : Ideal.span {↑P} ≠ 0 ∧ (idealX K).asIdeal ≠ 0
⊢ (Associates.mk (Ideal.span {Polynomial.X})).count (Associates.mk (Ideal.span {P})).factors = (Associates.mk (idealX K).asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑P})).factors
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
⊢ (addBottom L).head.1 = true
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
⊢ f.inverse.domain = LinearMap.range f.toFun
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') (g a)
hg : ContinuousAt (fun p => (g p.1, g p.2)) (a, a)
hfg : ∀ᶠ (p : F × F) in 𝓝 (a, a), f (g p.1) = p.1 ∧ f (g p.2) = p.2
this : (fun p => g p.1 - g p.2 - f'.symm (p.1 - p.2)) =O[𝓝 (a, a)] fun p => f' (g p.1 - g p.2) - (p.1 - p.2)
⊢ (fun p => f' (g p.1 - g p.2) - (p.1 - p.2)) =o[𝓝 (a, a)] fun p => p.1 - p.2
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ : L → R
a : ↥↑(LieModule.weightSpace M χ)
⊢ (LieModule.shiftedWeightSpace.shift R L M χ) a = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
h : Tendsto (fun i => ∫ (x : γ) in A, κ.densityProcess ν i a x s ∂ν a) atTop (𝓝 (∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a))
⊢ ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = limsup (fun i => ∫ (x : γ) in A, κ.densityProcess ν i a x s ∂ν a) atTop
G : Type u_1
AddGroup G
S : Set G
hS : AddSubgroup.closure S = ⊤
⊢ AddSubgroup.center G = ⨅ g, AddSubgroup.centralizer ↑(AddSubgroup.zmultiples ↑g)
m : ℕ∞
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ↑m < OfNat.ofNat n ↔ m < OfNat.ofNat n
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
r : ↑Γ(↑U, ⊤)
⊢ U.ι ''ᵁ (↑U).basicOpen r = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)
G : Type u
Group G
⊢ commutator G = Subgroup.normalClosure (commutatorSet G)
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
n : ℕ
x : Holor α [d]
y₁ y₂ : Holor α ds
hy₁ : y₁.CPRankMax1
hy₂ : CPRankMax n y₂
⊢ CPRankMax (n + 1) (x ⊗ y₁ + x ⊗ y₂)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
Finite ↥H
⊢ 1 < Nat.card ↥H ↔ H ≠ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
m p : ℕ
hp0 : 0 < p
h : m < m + p
⊢ (fun x => x ^ (m + p)) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
rb sb : R
hb : sb * ↑s₁ = rb * ↑s₂
h : sb * ↑s₁ ∈ S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * sb = rc * ↑sa
this : ↑sc * rb * ↑s₂ = rc * ra * ↑s₂
sd : ↥S
hd : ↑sd * (↑sc * rb) = ↑sd * (rc * ra)
⊢ (sd * sc) • (sb • r₁ + rb • r₂) = (↑sd * rc) • (sa • r₁ + ra • r₂) ∧ ↑(sd * sc) * ↑⟨sb * ↑s₁, h⟩ = ↑sd * rc * ↑(sa * s₁)
α : Type u_1
β : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
f : α →ₙ+* β
I : Type u_3
h : I → α
⊢ ∀ (a : I), (f.compLeft I) h a = (⇑f ∘ h) a
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : x ∈ nonZeroDivisorsRight R
k : ℕ
hk : (x * y) ^ k = 0
⊢ IsNilpotent y
α : Type u_1
t : Ordnode α
⊢ t.dual.findMax = t.findMin
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
hc' : ∃ a, ∀ b_1 ≥ a, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
⊢ ∃ c a, ∀ b_1 ≥ a, ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (b_1 + R) (b_1 + S)) f‖‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
x y : Fin (n + 1)
h : x ≠ y
⊢ ∃ z, y.succAbove z = x
ζ : ℂ
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n ≠ 0
⊢ ‖ζ‖ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α
⊢ x ≤ b ∨ c < x ∧ x ≤ d ↔ x ≤ b ∨ x ≤ d
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝¹ j✝ k : J
s : Set (F.obj i✝¹)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), ∃ i f, (range (F.map f)).Finite
j i✝ : J
hi : i✝ ⟶ j
hf : (range (F.map hi)).Finite
m : Finset (F.obj j)
hmin : ∀ x ∈ {s | ∃ i f, ↑s = range (F.map f)}, ¬x < m
i : J
f : i ⟶ j
hm : ↑m = range (F.map f)
⊢ ∃ i f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ j), range (F.map f) ⊆ range (F.map g)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₀.X₃)
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₁.X₂)
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₂.X₁)
h₂ : ((forget₂ C Ab).map D.L₁.g) x₂ = ((forget₂ C Ab).map D.v₀₁.τ₃) x₃
h₁ : ((forget₂ C Ab).map D.L₂.f) x₁ = ((forget₂ C Ab).map D.v₁₂.τ₂) x₂
e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C
⊢ e.hom.app D.L₃.X₁ (((forget₂ C Ab).map D.δ) x₃) = e.hom.app D.L₃.X₁ (((forget₂ C Ab).map D.v₂₃.τ₁) x₁)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesFilteredColimits (forget C)
F : Presheaf C X
x : ↑X
t : (forget C).obj (F.stalk x)
U : (OpenNhds x)ᵒᵖ
s : (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj F ⋙ forget C).obj U
e : ((forget C).mapCocone (colimit.cocone (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj F))).ι.app U s = t
⊢ ∃ U, ∃ (m : x ∈ U), ∃ s, (F.germ ⟨x, m⟩) s = t
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
DecidableEq β
s : Finset β
⊢ 0 • s ⊆ 0
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
hc : 1 < A✝.card * B✝.card
⊢ ∃ p1 ∈ A✝ ×ˢ B✝, ∃ p2 ∈ A✝ ×ˢ B✝, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p2.1 p2.2
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ ker (lTensor P g') = Submodule.map (rTensor N' g) (range (lTensor N f'))
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁' l₂' : List α
e : l.split = (l₁', l₂')
h : (a :: b :: l).split = (a :: l₁', b :: l₂')
⊢ (a :: l₁').length < (a :: b :: l).length ∧ (b :: l₂').length < (a :: b :: l).length
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : Tendsto (fun n x => (f n) x) atTop (𝓝 ⇑g)
hf : CauchySeq f
b : ℕ → ℝ
hb₀ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hfb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) ≤ b N
hb_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
n : ℕ
x : E'
this : Tendsto (fun m => ‖(f n) x - (f m) x‖) atTop (𝓝 ‖(f n) x - g x‖)
⊢ ‖(f n) x - g x‖ ≤ b n * ‖x‖
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
d : n → R
⊢ (Matrix.diagonal d).det = ∏ i : n, d i
n : ℕ
α : Type u_1
LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ f ∘ ⇑σ = f ∘ ⇑(Tuple.sort f) ↔ Monotone (f ∘ ⇑σ)