ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
f : E →SL[σ₁₂] F
M : ℝ≥0
hM : ∀ (x : E), ‖x‖₊ ≠ 0 → ‖f x‖₊ ≤ M * ‖x‖₊
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ‖x‖₊ ≠ 0
s : ℝ
hs : 0 < s
this : (Function.support fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ∩ Ioi 0 = Ioi 0
⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
⊢ IsClosed {f | LipschitzOnWith K f s}
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
⊢ Ioc a b ⊆ Iic b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
h : Associated p q
u : R[X]ˣ
hu : p * ↑u = q
⊢ p.degree = q.degree
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
ha : ¬a = 0
hb0 : p.count b.factors = 0
⊢ p.count a.factors = p.count (a * b).factors
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a✝ : ⨂[R]^na M
b✝ : ⨂[R]^nb M
c✝ : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M := fun n m => (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ mul na nb
lhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)
rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ mul nb nc)).flip
rhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
c : Fin nc → M
j : Fin (na + (nb + nc))
⊢ ((Fin.append a (Fin.append b c) ∘ Fin.cast ⋯) ∘ Fin.cast ⋯) j = Fin.append a (Fin.append b c) j
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
LieRing L
LieAlgebra K L
Module.Finite K L
Infinite K
⊢ ∃ x, (LieSubalgebra.engel K x).IsCartanSubalgebra
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Nontrivial S
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p q : R[X]
h : IsCoprime p q
s : S
hpq : (aeval s) p = 0 ∧ (aeval s) q = 0
⊢ False
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
⊢ Inv_divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hf = 1
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ
this : ∀ x ∈ Iio b, HasDerivAt f (deriv f x) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic b, deriv f x = f b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
R : CategoryTheory.Presieve X
⊢ CategoryTheory.Presieve.functorPushforward (F.comp G) R =
  CategoryTheory.Presieve.functorPushforward G (CategoryTheory.Presieve.functorPushforward F R)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
hsin : Real.sin (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = 0
⊢ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Monotone u
n : ℕ
ihn : ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1)) ≤ ∑ k ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f k
⊢ ∑ k ∈ range (n + 1), (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1)) ≤ ∑ k ∈ Ico (u 0 + 1) (u (n + 1) + 1), f k
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.OrdConnected ↔ ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → [[y, x]] ⊆ s
E : Type u_4
F : Type u_5
AddCommGroup E
AddCommGroup F
p : AddGroupSeminorm E
f g : F →+ E
⊢ p.comp (f + g) ≤ p.comp f + p.comp g
x y : ℤ
hc : x = 0 ∧ y = 0
⊢ x.gcd y = 0
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
k : α
lin_0 : ∀ (u : K →+* ℂ), ∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r)) = 0
this✝ : 0 = ∑ u : K →+* ℂ, (∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r))) * (NumberField.house.newBasis K) u
this : 0 = ∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(x (l, r)) * ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * (NumberField.house.newBasis K) u
⊢ 0 = (a *ᵥ NumberField.house.ξ K x) k
a b c : Nat
⊢ ↑(a - b - c) = ↑(a - (b + c))
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a < b
a✝ : ℕ
h : t.chainHeight = ↑a✝
l : List α
hl : l ∈ s.subchain
⊢ ∃ l' ∈ (s ∪ t).subchain, l.length + a✝ ≤ l'.length + 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
c : ℝ
c_neg : c < 0
⊢ μ {a | f a ≤ c} < ⊤
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ((powersetCard n univ).biUnion fun t => (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support) = (powersetCard n univ).biUnion fun t => {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi D)
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.FunctorExtension₁.obj F).obj P).p = (F.map P.p).f
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x.asHomogeneousIdeal.toIdeal.primeCompl
⊢ (stalkToFiberRingHom 𝒜 x) (homogeneousLocalizationToStalk 𝒜 x (Quotient.mk'' z)) = Quotient.mk'' z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
A : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace A
f₀ f₁ : C(A, α)
g₀ g₁ : C(A, β)
S : Set A
F : f₀.Homotopy f₁
G : g₀.Homotopy g₁
x : A
⊢ { toFun := fun t => (F t, G t), continuous_toFun := ⋯ }.toFun (0, x) = (f₀.prodMk g₀) x
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
x : α
y : β
f : α ≃ β
⊢ f x = f (f.symm y) ↔ x = f.symm y
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Type u_2
inst✝² : Ring S
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Surjective ⇑f
H : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
⊢ WellFounded fun x x_1 => x < x_1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
⊢ ↑(f ''ᵁ ⊤) = ↑f.opensRange
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, AEStronglyMeasurable f μ) → AEStronglyMeasurable l.prod μ
hl : AEStronglyMeasurable f μ ∧ ∀ x ∈ l, AEStronglyMeasurable x μ
⊢ AEStronglyMeasurable (f * l.prod) μ
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
AB_dvd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
⊢ p * b ^ 2 < (b ^ 2) ^ (p - 1) * b ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
e₁ : α → β
e₂ : γ → δ
de₁ : DenseEmbedding e₁
de₂ : DenseEmbedding e₂
⊢ DenseEmbedding fun p => (e₁ p.1, e₂ p.2)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
e : F ≅ G
X : C
⊢ CategoryTheory.inv (e.inv.app X) = e.hom.app X
α : Type u_1
E' : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E'
f' : α → E'
l : Filter α
g : α → ℝ
h : (fun x => ‖f' x‖) =ᶠ[l] g
⊢ f' =Θ[l] g
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ Quaternion.normSq (star a) = Quaternion.normSq a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
⊢ (s.erase x).min ≠ ↑x
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
f g : R → R
a : A
h : cfcₙ f a = cfcₙ g a
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
⊢ Set.EqOn f g (σₙ R a)
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℝ}, x ∈ Set.Iio 1 → dist x 1 < δ → dist (((fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) ∘ ofReal') x) ↑l < ε
a✝⁴ : ℝ
a✝³ : a✝⁴ > 0
x✝ a✝² : ℝ
a✝¹ : a✝² ∈ Set.Iio 1
a✝ : dist a✝² 1 < x✝
⊢ ‖∑' (n : ℕ), f n * a✝² ^ n - l‖ = ‖∑' (n : ℕ), ↑(f n) * ↑a✝² ^ n - ↑l‖
a b c : Int
⊢ a * (b - c) = a * b - a * c
p : ℝ
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1
⊢ 0 ≤ (1 - p) ^ n * p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
⊢ (CochainComplex.mappingCone.triangleRotateShortComplex φ).X₃ = (CochainComplex.mappingCone.triangle φ).rotate.obj₃
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : α → β
a : α
x✝ : β
⊢ x✝ ∈ f '' {a} ↔ x✝ ∈ {f a}
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
c : M
hd : ∀ᶠ (z : M) in 𝓝 c, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
hI : range ↑I = univ
H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)
H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c
⊢ ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 c, ‖f y‖ = ‖f c‖
α : Type u
β : Type v
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
s : Set α
⊢ f (sSup s) = sSup (f '' s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
W.ContainsIdentities
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.ofHom W f).s = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
p : PerfectPairing R M N
a : N
⊢ p.toDualRight a = p.flip a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square Cᵒᵖ
h : sq.IsPushout
⊢ sq.unop.IsPullback
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β i ≃+ β₁ i
f₂ : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
⊢ ∀ (i : ι), (fun i x => (f i) x) i 0 = 0
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
x : F
⊢ IsSeparable F ((algebraMap F E) x)
a : ℕ
a1 : 1 < a
this : 1 ≤ a * a
⊢ ↑(a * a) - ↑1 = az a * az a - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
n : ℕ
⊢ ∃ j, μ (s ∩ notConvergentSeq f g n j) ≤ ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n)
G : Type u_3
InvolutiveNeg G
⊢ Function.Injective Neg.neg
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ z₁' : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₁
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
⊢ (z₁ - z₁').comp z₂ h = z₁.comp z₂ h - z₁'.comp z₂ h
K : Type u_1
Field K
NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (NumberField.RingOfIntegers K)
ha : a ≠ 0
⊢ NumberField.house.asiegel K a ≠ 0
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x : ⨁ (i : ι), β i
i : ι
⊢ (∑ i : ι, (of β i) (x i)) i = x i
α : Type u
s : Set α
⊢ (∀ (x : α), x ∈ s) → s = Set.univ
α : Type u_2
β : Type u_3
CommSemiring β
f : α → ℕ
s : Finset α
⊢ ↑(∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ↑(f i)
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
hθ : ∃ x x_1, (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) x_1 ∧ ¬x = x_1
x y : Fin (n + 2)
h₁ : (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) y
h₂ : x < y
⊢ (Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).castSucc ≤ (Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).succ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
t : Set X
h : IsClosed t
⊢ 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ (s ∩ t) ⊔ 𝓟 tᶜ
R : Type u_2
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
η : Type u_8
ιs : η → Type u_9
f : (j : η) → ιs j → M
hindep : ∀ (j : η), LinearIndependent R (f j)
hd :
  ∀ (i : η) (t : Set η),
    t.Finite → i ∉ t → Disjoint (Submodule.span R (Set.range (f i))) (⨆ i ∈ t, Submodule.span R (Set.range (f i)))
⊢ LinearIndependent R fun ji => f ji.fst ji.snd
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun i j => 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
⊢ n ≤ multiplicity E
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
t : R
hnezero : Polynomial.derivative p ≠ 0
⊢ Polynomial.rootMultiplicity t p - 1 ≤ Polynomial.rootMultiplicity t (Polynomial.derivative p)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ‖-f‖ = ‖f‖
o : Ordinal.{u}
⊢ (o.blsub fun x x_1 => x) = o
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S
h : J ∈ I.minimalPrimes
⊢ Ideal.comap f J ∈ (Ideal.comap f I).minimalPrimes
p : True → Prop
⊢ (∀ (x : True), p x) ↔ p True.intro
F : Sort u_1
α : Sort u_3
β : α → Sort u_5
DFunLike F α β
Finite α
∀ (i : α), Finite (β i)
⊢ Finite F
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Faithful
⊢ Function.Injective F.mapIso
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
b₁ : (1 + z * I).arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
S : DiscreteQuotient ↑C.pt.toTop := f.discreteQuotient
ff : Quotient S.toSetoid → α := ⇑f.lift
h✝ : Nonempty (Quotient S.toSetoid)
⊢ ∃ j g, f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
hroots : Multiset.card p.roots = p.natDegree
⊢ Multiset.map (⇑f) p.roots = (map f p).roots
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (a : β), f a ∂MeasureTheory.Measure.map g μ ≤ ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
a b : M
⊢ e (a + b) = e a + e b
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
s : Set α
t : Set β
s_mble : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
t_mble : MeasureTheory.NullMeasurableSet t ν
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (s ×ˢ t) (μ.prod ν)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ Continuous f ↔ ∀ (s : Set Y), IsClosed s → IsClosed (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n m l : ℕ
⊢ range n = ∅ ↔ n = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ : α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌊↑z + a⌋ = z + ⌊a⌋
α : Type u
Monoid α
a : α
⊢ Nonempty (Invertible a) ↔ IsUnit a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => Real.exp (f x)) (Real.exp (f x) • f') x
n : ℕ
s : Finset ℕ
h : ∀ m ∈ s, m < n
⊢ (s.attachFin h).card = s.card
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
⊢ (MeasureTheory.cylinder s S)ᶜ = MeasureTheory.cylinder s Sᶜ
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
x y : α
hf : x ∈ orbit (↥(closure S)) y
h : swap x y ∉ closure S
z : α
hz : z ∈ {x | swap x y ∈ closure S}
⊢ z ∈ orbit (↥(closure S)) x
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
CommRing B
IsDomain A
IsDomain B
p : Polynomial A
f : A →+* B
h : Polynomial.map f p ≠ 0
⊢ Multiset.map (⇑f) p.roots ≤ (Polynomial.map f p).roots
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type v
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
⊢ Field.sepDegree F ↥⊥ = Field.sepDegree F E
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ ⟦l⟧
comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
⊢ a * (erase ⟦l⟧ a).noncommProd comm' = noncommProd ⟦l⟧ comm
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
n : ℕ
hn : ⊥.radical ^ n ≤ ⊥
⊢ IsNilpotent (nilradical R)
ι : Type uι
inst✝¹⁰ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
c : 𝕜
u : E i →L[𝕜] E' i
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ (mapL (update f i (c • u))) x = (c • mapL (update f i u)) x
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
TopologicalSpace M₄
AddCommMonoid M₄
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
R₄ : Type u_9
Semiring R₄
Module R₄ M₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₁₄ : R₁ →+* R₄
RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
e₁₂ : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
e₄₃ : M₄ ≃SL[σ₄₃] M₃
f : M₁ →SL[σ₁₄] M₄
⊢ (e₁₂.arrowCongrEquiv e₄₃) f = (↑e₄₃).comp (f.comp ↑e₁₂.symm)
z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂'' (z + 1) τ = jacobiTheta₂'' z τ
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
MeasureTheory.SFinite μ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
h : ⇑κ =ᵐ[μ] ⇑η
⊢ μ ⊗ₘ κ = μ ⊗ₘ η
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
s : Set α
⊢ (𝓝[s] x).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => Metric.ball x ε ∩ s
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ (e.restr s).source = e.source ∩ s
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
⊢ (⋂₀ ↑I).Nonempty
K : Type u_1
RCLike K
⊢ ⇑RCLike.imCLM = ⇑RCLike.im
M : Type u_5
N : Type u_6
Mul M
Mul N
p q : M × N
⊢ (p * q).swap = p.swap * q.swap
x : ℂ
⊢ Complex.sin (x + ↑Real.pi) = -Complex.sin x
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x * y).denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x * y).num / Polynomial.eval₂ f a (x * y).denom = Polynomial.eval₂ f a x.num / Polynomial.eval₂ f a x.denom * (Polynomial.eval₂ f a y.num / Polynomial.eval₂ f a y.denom)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
h : IsEmpty ι
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
h : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun x => -f x) (-f') x
α : Type u_2
LinearOrder α
⊢ ∅.min = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
f : Fin k → α
hfs : ∀ (x : Fin k), f x ∈ s
hmono : StrictMono f
⊢ image f univ = s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
⊢ F.IsSheaf ↔ F.IsSheafEqualizerProducts