ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₂
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).inverse.obj X).left = X.left
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapId a).hom (F.map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) f).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).hom)
      (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (F.map f)).inv)
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
Ring k
AddCommGroup V1
AffineSpace V1 P1
Module k V1
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommGroup (φv i)
(i : ι) → Module k (φv i)
(i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
i : ι
⊢ (AffineMap.proj i).comp (AffineMap.pi fp) = fp i
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
b : HasDerivAt (fun y => Complex.sin (y * (2 * z))) (Complex.cos (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x
c : HasDerivAt (fun x => Complex.sin (↑x * (2 * z)) / (2 * z)) (Complex.cos (↑x * (2 * z))) x
⊢ HasDerivAt (fun y => Complex.sin (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.cos (2 * z * ↑x)) x
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ (DFinsupp.erase i f) i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ rexp 4 < 64
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : ∀ (x : M), ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g u
⊢ LiftProp P g
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p₁ p₂ : Submodule R M
q₁ q₂ : Submodule R N
hp : p₁ ≤ p₂
hq : q₁ ≤ q₂
⊢ Submodule.map₂ f p₁ q₁ ≤ Submodule.map₂ f p₂ q₂
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F
f : G → E
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 E''
NormedSpace ℝ F
NormedSpace 𝕜 F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
NormedAddCommGroup G
BorelSpace G
g : G → E'' →L[𝕜] E'
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x₀ : G
x : E''
⊢ (MeasureTheory.convolution f g (ContinuousLinearMap.precompR E'' L) μ x₀) x =
  MeasureTheory.convolution f (fun a => (g a) x) L μ x₀
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
a : α
B : Filter β
⊢ Filter.map (Function.uncurry f) (pure a ×ˢ B) = Filter.map (f a) B
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
h : e.source = univ
h' : e.target = univ
x : Y
⊢ x ∈ univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : δ' ≃ δ
⊢ Measurable ⇑(piCongrLeft π f)
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
⊢ cs.leftInvSeq ω.reverse = (cs.rightInvSeq ω).reverse
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ Set.BijOn (⇑(P.reflection i)) (Set.range ⇑P.root) (Set.range ⇑P.root)
α : Type u
a : α
s : Stream' α
⊢ (Stream'.cons a s).tail = s
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hx : x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree = -∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (Polynomial.map (algebraMap R S) f).coeff ↑i * x ^ ↑i
this : ∀ n < f.natDegree, p ∣ f.coeff n
⊢ ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
⊢ s.HaveLebesgueDecomposition μ
α : Type u_3
β : Type u_6
CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
⊢ s.noncommProd f ⋯ = s.prod f
α : Type u
β : Type v
x : α ⊕ β
h₁ : x.isRight = true
h₂ : x.getRight?.isSome = true
⊢ x.getRight h₁ = x.getRight?.get h₂
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
β : Type u_4
u : ι ⊕ β → ↑S.X₂
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))
m : ↑S.X₂
a✝ : m ∈ ⊤
cm : β →₀ R
hm : (cm.sum fun i a => a • (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr) i) = S.g m
m' : ↑S.X₂ := cm.sum fun j a => a • u (Sum.inr j)
n : ↑S.X₁
cn : ι →₀ R
hnm : (cn.sum fun a b => S.f (b • v a)) = m - m'
hn : (cn.sum fun i a => a • v i) = n
hn' : (cn.sum fun a b => b • S.f (v a)) = cn.sum fun a b => b • u (Sum.inl a)
⊢ (cn.sum fun a b => b • S.f (v a)) + m' ∈ span R (range u)
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : CommRing α
A B : Matrix n n α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : CommRing α
M : Matrix m m α
h : IsUnit M
N : Matrix m m α
⊢ (M⁻¹ * N * M).det = N.det
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ lowerCentralSeries R L L k
⊢ (trace R M) (φ x) = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Finite α
Nonempty α
LinearOrder β
f : α → β
⊢ ∃ x₀, ∀ (x : α), f x ≤ f x₀
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesAt f pf x
hg : HasFPowerSeriesAt g pg x
⊢ HasFPowerSeriesAt (f + g) (pf + pg) x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
t : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
A : C
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ ∃ X Y,
  ∃ (_ : t.LE n₀ X) (_ : t.GE n₁ Y),
    ∃ f g h, CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk f g h ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
p : ι → Prop
l : Filter α
h : ∀ {s : Set α}, s ∈ l ↔ ∃ i, p i ∧ s ∈ f i
⊢ l = ⨅ x, f ↑x
α : Type u_1
LE α
s : Set α
⊢ IsUpperSet sᶜ ↔ IsLowerSet s
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ Disjoint p p' ↔ ∀ x ∈ p, x ∈ p' → x = 0
X : Scheme
U : X.Opens
this : Scheme.Spec.map (X.presheaf.map (𝟙 (op U))).op = 𝟙 (Scheme.Spec.obj (op Γ(X, U)))
W : (Spec Γ(X, U)).Opens
⊢ Hom.app (𝟙 (Scheme.Spec.obj (op Γ(X, U)))) W ≫ (Scheme.Spec.obj (op Γ(X, U))).presheaf.map (eqToHom ⋯).op = eqToHom ⋯
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
h : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N
⊢ b ≤ stoppedValue f (upperCrossingTime a b f N (n + 1)) ω
a b : Bool
⊢ xor a b = true ↔ Xor' (a = true) (b = true)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
C : Set α
hC : Preperfect C
⊢ Perfect (closure C)
A : Type u_1
NormedCommRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
a : A
ha : ¬IsUnit a
⊢ ∃ f, f a = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
⊢ Filter.map (⇑e) Filter.atBot = Filter.atBot
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : O
⊢ v ↑p < v ((algebraMap O K) x) ↔ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x ≠ 0
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
MeasurableSingletonClass Ω
s : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
⊢ MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (ProbabilityTheory.condCount s)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf = MeasureTheory.AEEqFun.mk g hg ↔ f =ᵐ[μ] g
⊢ Function.Antiperiodic Real.Angle.sin ↑π
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
hf : Q.diagonal f
⊢ P.diagonal f
S : AddSemigrp
⊢ AddMonCat.adjoinZero.obj S = AddMonCat.of (WithZero ↑S)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : (x : 𝒰.J) → 𝒰.obj x ⟶ Y
hf :
  ∀ (x y : 𝒰.J),
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y) ≫ f x =
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd (𝒰.map x) (𝒰.map y) ≫ f y
x : 𝒰.J
⊢ 𝒰.map x ≫ 𝒰.glueMorphisms f hf = f x
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ (ofFn f).Nodup ↔ Function.Injective f
α : Type u
β : Type v
f : α ⊕ β → Ordinal.{max (max u v) w}
⊢ Ordinal.lsub f = max (Ordinal.lsub fun a => f (Sum.inl a)) (Ordinal.lsub fun b => f (Sum.inr b))
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
pb : PowerBasis R S
⊢ ⇑pb.basis = fun i => pb.gen ^ ↑i
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ (o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ p₂ + -1 • (p₃ -ᵥ p₂))).sign = -(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)).sign
α : Type ua
p : α → Prop
UniformSpace α
⊢ 𝓤 (Subtype p) = Filter.comap (fun q => (↑q.1, ↑q.2)) (𝓤 α)
α : Type u_1
_m : MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.Measure.toOuterMeasure 0 = 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
⊢ (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ V, clPrehaar (↑K₀) V).Nonempty
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 4
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
φ : R₁ ⟶ R₂
h₀ : Epi (φ.app 0)
h₁ : IsIso (φ.app 1)
h₂ : IsIso (φ.app ⟨3, ⋯⟩)
h₃ : Mono (φ.app ⟨4, ⋯⟩)
this✝ : Mono (app' φ 2 ⋯)
this : Epi (app' φ 2 ⋯)
⊢ IsIso (app' φ 2 ⋯)
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ (chartAt H (fs.c (fs.ind x hx))).source
k : Type u_1
Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
v : V
s : AffineSubspace k P
⊢ v +ᵥ s = AffineSubspace.map (↑(AffineEquiv.constVAdd k P v)) s
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : b ≠ 0
⊢ 0 < a / b ↔ b ≤ a
β : Type u_3
AddGroupWithOne β
s : List ℤ
⊢ ↑s.sum = (List.map Int.cast s).sum
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / s) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
h : ⊤ ≤ (Submodule.span 𝕜 (Set.range v)).topologicalClosure
i : ι
⊢ ⋯.linearIsometryEquiv.symm (lp.single 2 i 1) = v i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f.symm
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : ¬p = 0
⊢ p.natTrailingDegree ≤ rootMultiplicity 0 p
α : Type u
SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ a ⊔ b ⊔ c = a ⊔ (b ⊔ c)
a x✝ z x : ℂ
⊢ ↑(abs x) * (cos ↑x.arg + sin ↑x.arg * I) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
Neg β
f : α → β
⊢ UniformFun.ofFun (-f) = -UniformFun.ofFun f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p : α → ℕ → Prop
inst✝ : (x : α) → DecidablePred (p x)
N : ℕ
hN : ∀ k ≤ N, MeasurableSet {x | p x k}
k : ℕ
hk : k ≤ N
⊢ MeasurableSet {x | Nat.findGreatest (p x) N = k}
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
Fintype ι
b : Basis ι R S
f : S
hf : f ≠ 0
⊢ Associated ((Algebra.norm R) f) (∏ i : ι, Ideal.smithCoeffs b (Ideal.span {f}) ⋯ i)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → R
⊢ ↑(∏ i ∈ s, a i) = ∏ i ∈ s, ↑(a i)
α : Type u
s : Set α
hs : s.Nontrivial
z : α
⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
p q r : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hp : Prime p
hr : r ∣ q
hp' : p ∣ r
⊢ p = c 1
α : Type u
x y : FreeRing α
⊢ ↑(x - y) = ↑x - ↑y
𝕜 : Type v
RCLike 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
h : x ≠ 0
⊢ ∃ g, ‖g‖ = 1 ∧ g x = ↑‖x‖
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
Algebra S C
IsScalarTower R S C
f : A →ₐ[S] C
g : B →ₐ[R] C
hfg : ∀ (x : A) (y : B), Commute (f x) (g y)
a : A
b : B
⊢ (Algebra.TensorProduct.lift f g hfg) (a ⊗ₜ[R] b) = f a * g b
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
e : M ≃ N
⊢ ∀ {n : ℕ} (r : L.Relations n) (x : Fin n → N),
  FirstOrder.Language.Structure.RelMap r x = FirstOrder.Language.Structure.RelMap r (⇑e.symm ∘ x)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DecidableEq M
φ : MvPolynomial σ R
i : M
hi : i ∉ Finset.image (⇑(weight w)) φ.support
⊢ (weightedHomogeneousComponent w i) φ = 0
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
x_ne_zero : x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderiv 𝕜 (fun x => x⁻¹) x = smulRight 1 (-(x ^ 2)⁻¹)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Ioc a b = Ioc (a / c) (b / c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
Primcodable σ
f : α → β ⊕ γ
g : α → β →. σ
h : α → γ → σ
hf : Computable f
hg : Partrec₂ g
hh : Computable₂ h
⊢ Partrec fun a => Sum.casesOn (f a) (g a) fun c => Part.some (h a c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
n : ℕ
ih : ∀ {q : α}, q ∣ p ^ n ↔ ∃ i, i ≤ n ∧ q ~ᵤ p ^ i
q : α
⊢ q ∣ p ^ (n + 1) ↔ ∃ i, i ≤ n + 1 ∧ q ~ᵤ p ^ i
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F
f✝ : V₀ ⟶ V₁
g : V₁ ⟶ V₂
f : V₀ ⟶ V₁
inst✝ : IsIso f.f
⊢ V₁.str ≫ F.map (inv f.f) = inv f.f ≫ V₀.str
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
⊢ eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } (MonoidalCategory.tensorObj { as := a₂ } { as := a₃ })).inv.app X ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₂ } { as := a₃ }).inv.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₁ }).obj X) = eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } { as := a₂ + a₃ }).inv.app X ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₂ } { as := a₃ }).inv.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₁ }).obj X)
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
f : α × β → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (z : β × α), f z.swap ∂ν.prod μ = ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν
Γ : Type u_1
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
S : Finset Turing.TM1to1.Λ'
l : List Bool
q : Turing.TM1.Stmt Bool Turing.TM1to1.Λ' σ
⊢ Turing.TM1.SupportsStmt S (Turing.TM1to1.write l q) = Turing.TM1.SupportsStmt S q
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x : M
⊢ 0 ≤ ∑ᶠ (i : ι), (f i) x
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
hsec : x = 0 ∨ ↑(sec M x).2 = 0
hfst : (sec M x).1 = 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x : E
n : ℕ∞
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
t : Finset ι
f : ι → E → 𝔸'
h : ∀ i ∈ t, ContDiffWithinAt 𝕜 n (f i) s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun y => ∏ i ∈ t, f i y) s x
a b : ℤ
H1 : 0 ≤ a
H2 : a < |b|
⊢ a / b = 0
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
h : StrictConvex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a / (a + b) + b / (a + b) = 1
α : Type u_1
inst✝¹¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁷ : HasBesicovitchCovering α
inst✝⁶ : MetricSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : SecondCountableTopology β
inst✝² : HasBesicovitchCovering β
ρ μ : Measure β
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
x : β
hx : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
⊢ Tendsto (fun r => ρ (closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
⊢ GrowsPolynomially fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 - ε z)) x‖
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsBezout R
a b c : R
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
h : Associated (c ^ k) (a * b)
⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V)) (∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) x) ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.relindex H = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ c₀ * d₁
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
hcd : 0 < c₀ * d₁
⊢ a₀ * b₁ + a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁ + c₁ * d₀
M : Type u_1
AddMonoid M
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Fintype ι
N : ι → Type u_3
(i : ι) → AddMonoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →+ M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), AddCommute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
i : ι
y : N i
⊢ (AddMonoidHom.noncommPiCoprod ϕ hcomm) (Pi.single i y) = (ϕ i) y
n : ℕ
α₀ : TypeVec.{u_1} n
α₁ : TypeVec.{u_2} n
α₂ : TypeVec.{u_3} n
β₀ : Type u_1
β₁ : Type u_2
β₂ : Type u_3
f₀ : α₀.Arrow α₁
f₁ : α₁.Arrow α₂
g₀ : β₀ → β₁
g₁ : β₁ → β₂
⊢ TypeVec.comp (f₁ ::: g₁) (f₀ ::: g₀) = (TypeVec.comp f₁ f₀ ::: g₁ ∘ g₀)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
y : E
h : y ∈ (extChartAt I x).target
⊢ ContinuousAt (↑(extChartAt I x).symm) y
α : Type u_2
s : Set α
Preorder α
InfSet α
Inhabited ↑s
t : Set ↑s
h' : t.Nonempty
h'' : BddBelow t
h : sInf (Subtype.val '' t) ∈ s
⊢ sInf (Subtype.val '' t) = ↑(sInf t)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ HasStrictFDerivAt φ.prodFun (↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯)) φ.pt
α : Type u_2
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
a : α
⊢ {a}.WellFoundedOn r
p n k : ℕ
h : ¬(n.choose k).factorization p = 0
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
⊢ (multiplicity p (n.choose k)).get ⋯ ≤ log p n
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
⊢ Embedding (tensorProductTo R S T)
α : Type u
β : Type v
l : List α
f g : α → List β
h : ∀ (x : α), x ∈ l → f x = g x
⊢ l.bind f = l.bind g
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
hne : ¬padicNorm p (-↑f m) = padicNorm p (↑f n)
hnam : padicNorm p (-↑f m + ↑f n) = max (padicNorm p (-↑f m)) (padicNorm p (↑f n))
⊢ False
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Nat.card G' ∣ Nat.card G
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : LocalRing R
T : Type u
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
x : PrimeSpectrum (ResidueField T)
⊢ (PrimeSpectrum.comap (residue T)) ⊥ = closedPoint T
α : Type u_2
AddGroup α
a b : α
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' {b} = {-a + b}
n k : ℕ
⊢ let iter_next := fun n guess => (guess + n / guess) / 2;
Nat.sqrt.iter n k ≤ iter_next n (Nat.sqrt.iter n k)
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A B : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
x : ℍ
e3 : (A * B) • x = A • B • x
⊢ f (A • B • x) * (↑(↑↑A).det * ↑(↑↑B).det) ^ (k - 1) * ((↑(↑↑A 1 0) * ((↑(↑↑B 0 0) * ↑x + ↑(↑↑B 0 1)) / (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1))) + ↑(↑↑A 1 1)) * (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1))) ^ (-k) = f (A • B • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * (↑(↑↑A 1 0) * ((↑(↑↑B 0 0) * ↑x + ↑(↑↑B 0 1)) / (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1))) + ↑(↑↑A 1 1)) ^ (-k) * ↑(↑↑B).det ^ (k - 1) * (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1)) ^ (-k)