ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
m n : ℕ
m.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat m ≤ ↑n ↔ OfNat.ofNat m ≤ n
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
e : V ≃ₗᵢ[𝕜] V₂
⊢ ⇑e.toAffineIsometryEquiv = ⇑e
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ≤ b ⊔ (a \ c ⊔ c \ b)
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a : α
ZeroLEOneClass α
MulPosStrictMono α
NeZero 1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ha : 0 < a
⊢ a < 2 * a
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s = ∅ ↔ ∀ (x : α), x ∉ s
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex
rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n
rs_null : ∀ (n : ℕ), μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
Fthicks_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (Metric.thickening (rs n) F)
key : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs n) F)) L (𝓝 (μ (Metric.thickening (rs n) F)))
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
μF_finite : μ F < ⊤
keyB : Tendsto (fun r => μ (Metric.cthickening r F)) (𝓝 0) (𝓝 (μ F))
nhd : Iio (μ F + ↑ε) ∈ 𝓝 (μ F)
m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, μ (Metric.cthickening (rs b) F) < μ F + ↑ε
aux' : ∀ (i : ι), (μs i) F ≤ (μs i) (Metric.thickening (rs m) F)
aux : (fun i => (μs i) F) ≤ᶠ[L] fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs m) F)
⊢ limsup (fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs m) F)) L ≤ μ F + ↑ε
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
⊢ Function.Surjective ⇑f
m : Type u_2
α : Type v
ι : Type u_6
v : m → α
⊢ (Matrix.col ι v).transpose = Matrix.row ι v
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : M
this : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
⊢ ιInv ((ι R) x) = x
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
t_ne_zero' : t ≠ 0
t_ne_zero : ↑t ≠ 0
ν : Measure α := μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)
f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ
f_meas : Measurable f
⊢ (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s ≤ ↑t ^ 2 * ρ s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ ⇑Homeomorph.finTwoArrow.symm = fun x => ![x.1, x.2]
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₁ s.center).cos = 2 * s.radius
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℕ
m : ℤ
h : (f ^ n) x = x + ↑m
hn : 0 < n
⊢ τ f = ↑m / ↑n
α✝ : Type u_1
cmp : α✝ → α✝ → Ordering
t : RBNode α✝
v : α✝
h : Ordered cmp t
⊢ Ordered cmp (match t.isRed with | red => (ins cmp v t).setBlack | black => ins cmp v t)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : d ≤ c
h₁ : a ≤ c
h₂ : d ≤ b
⊢ Ico a b ∪ Ico c d = Ico (min a c) (max b d)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q
x : α
⊢ ↑‖‖f x‖ ^ q‖₊ ^ p = ↑‖f x‖₊ ^ (p * q)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
g : β → γ
f : α → β
R : RegularExpression α
⊢ map g (map f R.star) = map (g ∘ f) R.star
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
a : α
⊢ G.IsNClique n {a} ↔ n = 1
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i j : ι
h_le : i ≤ j
hi_max : ¬IsMax i
hj_min : ¬IsMin j
⊢ toZ i0 i ≤ toZ i0 j
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
⊢ a • b ≤ 0 ↔ (a < 0 → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → a ≤ 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
hs : s ≠ Set.univ
f : α → ↑s
hf : Injective f
h : Fintype α
⊢ False
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing α
inst✝⁶ : CommRing β
inst✝⁵ : Algebra R α
inst✝⁴ : Algebra R β
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β
⊢ (A.map fun a => includeLeft a).det ^ Fintype.card n * (B.map fun b => includeRight b).det ^ Fintype.card m = (A.det ^ Fintype.card n) ⊗ₜ[R] (B.det ^ Fintype.card m)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
u : ℂ → ℝ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → ∀ (z : ℂ), ‖expR (B₁ * expR (c₁ * |u z|))‖ ≤ ‖expR (B₂ * expR (c₂ * |u z|))‖
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[l] fun z => expR (Bf * expR (cf * |u z|))
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[l] fun z => expR (Bg * expR (cg * |u z|))
⊢ cf ≤ max cf cg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((κ ⊗ₖ η) a) s = ∑' (n : ℕ) (m : ℕ), ((κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) a) s
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s t : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g (s ∩ t) x ↔ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f g h : M →ₗ[R] M
⊢ (trace R M) (f * (g * h)) = (trace R M) (h * (f * g))
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B c : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
h : 0 ≤ c
⊢ c = |c|
p : ℕ → Prop
⊢ nth p 0 = sInf (setOf p)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε ε' : 𝕜
hP : P.IsUniform G ε
h : ε ≤ ε'
⊢ P.IsUniform G ε'
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
c : R
x : E
⊢ f (c • x) = σ₁₂ c • f x
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Bool}, Option.all p none = true
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSingletonClass α
MeasurableSingletonClass β
f : β → α
hf : Function.Injective f
s : Set β
⊢ MeasureTheory.Measure.count (f '' s) = MeasureTheory.Measure.count s
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
j✝ : J
⊢ X ◁ biproduct.π f j✝ = (∑ j : J, X ◁ biproduct.π f j ≫ biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) j) ≫ biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j✝
E : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
n : ℕ
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : PartialOrder F
inst✝¹ : MeasureSpace F
inst✝ : BorelSpace F
eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ
he_ord : ∀ (x y : F), eL x ≤ eL y ↔ x ≤ y
he_vol : MeasurePreserving (⇑eL) volume volume
f : Fin (n + 1) → F → E
f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E
s : Set F
hs : s.Countable
a b : F
hle : a ≤ b
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x
DF : F → E
hDF : ∀ (x : F), DF x = ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i))
Hi : IntegrableOn DF (Set.Icc a b) volume
he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL
hIcc : ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b) = Set.Icc a b
⊢ Set.Icc (eL a) (eL b) = ⇑eL.symm ⁻¹' Set.Icc a b
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝ : Monoid M'
P : Submonoid M
e : M →* M'
he : Function.Injective ⇑e
s : Finset M'
hs : closure ↑s = Submonoid.map e P
⊢ P.FG
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
CategoryTheory.Limits.HasImage f.hom
CategoryTheory.Limits.HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f.hom
F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation g.hom
hF' : CategoryTheory.Limits.IsImage F'
map : F.I ⟶ F'.I
map_ι : map ≫ F'.m = F.m ≫ sq.right
⊢ CategoryTheory.Limits.HasImageMap sq
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
hG : G.Colorable n
⊢ G.chromaticNumber = ↑n ↔ ∀ (C : G.Coloring (Fin n)), Function.Surjective ⇑C
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t : Finset α
⊢ s ⊼ t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
X : TopCat
⊢ ∀ (X_1 : Opens ↑((toTopCat X).obj ⊤)), ⋯.functor.obj X_1 = (map (inclusionTopIso X).inv).obj X_1
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.45590, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (F.shift n₀).map T.mor₂ ≫ F.shiftMap T.mor₃ n₀ n₁ ⋯ = 0
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[f j - f i|↑ℱ i]
⊢ CategoryTheory.RelCat.opEquivalence.functor = CategoryTheory.RelCat.opFunctor
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
f g : MeasureTheory.Filtration ι m
⊢ ↑(f ⊓ g) = ↑f ⊓ ↑g
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
γ : Type
γtop : TopologicalSpace γ
γpolish : PolishSpace γ
g : γ → α
g_cont : Continuous g
gs : range g = s
this : f '' s = range (f ∘ g)
⊢ ∀ (x : γ), g x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
n m : ℕ
h : xs ~ ys
h' : ys.Nodup
this : n ≤ n + m
h₂ : xs.Nodup
⊢ take n xs ++ drop (n + m) xs ~ ys ∩ take n xs ++ ys ∩ drop (n + m) xs
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
⊢ A ∈ unitaryGroup n α ↔ A * star A = 1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : CliffordAlgebra Q
a b : M
h : QuadraticMap.IsOrtho Q a b
⊢ x * (ι Q) a * (ι Q) b = -(x * (ι Q) b * (ι Q) a)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z
k' : ℕ
hk' : k ≤ k'
hfk : ¬f ^ k = 0
⊢ ∃ x ∈ 𝒜 ((k' - k) • m + deg z), (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) x = (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) (f ^ (k' - k) • num z)
α : Type u_1
Semifield α
LinearOrder α
PosMulReflectLT α
ZeroLEOneClass α
a b : α
MulPosMono α
ha : a ≤ 0
hb : 0 ≤ b
⊢ a / b ≤ 0
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
T0Space β
f : α → β
⊢ UniformContinuous (SeparationQuotient.lift' f)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
f' : E →L[𝕜'] F
s : Set E
x : E
g' : E →L[𝕜] F
h : HasFDerivWithinAt f g' s x
H : ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 f' = g'
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x
R : Type u
CommRing R
X Y : Type v
Ring X
Ring Y
Bialgebra R X
Bialgebra R Y
e : X ≃ₐc[R] Y
⊢ e.symm.toBialgebraCatIso = e.toBialgebraCatIso.symm
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤
⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E
n : ℕ
⊢ 1 / 4 ∈ preCantorSet n ∧ 3 / 4 ∈ preCantorSet n
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
c : ℝ
g' : α → F'
l : Filter α
hc : 0 ≤ c
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l (fun _x => 0) g'
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
h : ∀ (x : α), (connectedComponent x).Subsingleton
s : Set α
s_sub : s ⊆ univ
hs : IsPreconnected s
⊢ s.Subsingleton
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
β : Type u_1
n : ℕ
s✝ : Finset β
f : β → Holor α ds
this : DecidableEq β := Classical.decEq β
x : β
s : Finset β
h_x_notin_s : x ∉ s
ih : (∀ x ∈ s, CPRankMax n (f x)) → CPRankMax (s.card * n) (∑ x ∈ s, f x)
h_cprank : ∀ x_1 ∈ insert x s, CPRankMax n (f x_1)
ih' : CPRankMax (s.card * n) (∑ x ∈ s, f x)
⊢ CPRankMax (n + s.card * n) (f x + ∑ x ∈ s, f x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.cosimplicialToSimplicialAugmented C).map f =
    Quiver.Hom.op { left := CategoryTheory.NatTrans.leftOp f.right, right := f.left.unop, w := ⋯ }
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
⊢ countP p l = 0 ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → ¬p a = true
R : Type u
Ring R
StrongRankCondition R
ι : Type v
Fintype ι
⊢ FiniteDimensional.finrank R (ι → R) = Fintype.card ι
α : Type u_1
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
f : Exists p → Set α
⊢ ⋂ (x : Exists p), f x = ⋂ i, ⋂ (h : p i), f ⋯
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
A : Type w
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
F : CategoryTheory.Functor C E
F' : CategoryTheory.Functor D E
CategoryTheory.Localization.Lifting L W F F'
CategoryTheory.HasShift D A
CategoryTheory.HasShift E A
L.CommShift A
F.CommShift A
a : A
X : C
⊢ (F'.commShiftIso a).inv.app (L.obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.shiftFunctor E a).map ((CategoryTheory.Localization.Lifting.iso L W F F').hom.app X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.commShiftIso a).inv.app X)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        ((CategoryTheory.Localization.Lifting.iso L W F F').inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
        (F'.map ((L.commShiftIso a).hom.app X))))
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
⊢ j ∉ Finset.univ → ((Finsupp.single i 1) i * (Finsupp.single j 1) j) • b.coord i ⊗ₜ[R] c.coord j = 0
A : Type u_1
Add A
e₁ e₂ : AddAut A
a : A
⊢ (e₁ * e₂) a = e₁ (e₂ a)
α : Type u_1
β : Type u_2
la : Filter α
p : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in la, p x
lb : Filter β
⊢ ∀ᶠ (x : α × β) in la ×ˢ lb, p x.1
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
a : B
⊢ (GradedTensorProduct.includeRight 𝒜 ℬ) a = 1 ᵍ⊗ₜ[R] a
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S S' : IntermediateField K L
⊢ S.toSubalgebra ≤ S'.toSubalgebra ↔ S ≤ S'
x : ENNReal
⊢ x.log = 0 ↔ x = 1
ι : Type u_4
α : ι → Type u_6
Fintype ι
(i : ι) → Fintype (α i)
⊢ Fintype.card (Sigma α) = ∑ i : ι, Fintype.card (α i)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
n : σ
f : MvPolynomial σ R
d : ℕ
h : 0 < d
⊢ MvPolynomial.degreeOf n f < d ↔ ∀ m ∈ f.support, m n < d
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DecidableEq ι
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
z : Module.DirectLimit G f
⊢ ∃ i x, (Module.DirectLimit.of R ι G f i) x = z
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₂ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
⊢ limsup u f ≤ x ↔ ∀ y > x, ∀ᶠ (a : α) in f, u a < y
V : Type u
adj : V → V → Bool
property✝¹ : (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true
adj' : V → V → Bool
property✝ : (∀ (x y : V), adj' x y = adj' y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj' x x = true
h : (fun v w => adj v w = true) = fun v w => adj' v w = true
v w : V
⊢ adj v w = adj' v w
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
f : ∑ k ∈ range n, ↑(n.succ.succ.choose (k + 1 + 1)) * bernoulli' (k + 1 + 1) = ↑n + 1 + 1 - ↑(n.succ.succ.choose 0) * bernoulli' 0 - ↑(n.succ.succ.choose (0 + 1)) * bernoulli' (0 + 1)
⊢ ∑ i ∈ range n, ↑((n + 2).choose (i + 2)) * bernoulli (i + 2) = ∑ k ∈ range n, ↑(n.succ.succ.choose (k + 1 + 1)) * bernoulli' (k + 1 + 1)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
g h : X ⟶ (⨁ f) ⊗ Y
w : ∀ (j : J), g ≫ biproduct.π f j ▷ Y = h ≫ biproduct.π f j ▷ Y
j✝ : J
⊢ (g ≫ (rightDistributor f Y).hom) ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ Y) j✝ = (h ≫ (rightDistributor f Y).hom) ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ Y) j✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
InnerProductSpace 𝕜 E''
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
v' : Basis ι' 𝕜 E'
hv' : Orthonormal 𝕜 ⇑v'
e : ι ≃ ι'
v'' : Basis ι'' 𝕜 E''
hv'' : Orthonormal 𝕜 ⇑v''
e' : ι' ≃ ι''
⊢ (hv.equiv hv' e).trans (hv'.equiv hv'' e') = hv.equiv hv'' (e.trans e')
n : ℕ
x : { x // x ≠ Fin.last n }
⊢ (finSuccAboveOrderIso (Fin.last n)).symm x = (↑x).castLT ⋯
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h_int : MeasureTheory.Integrable X μ
⊢ ProbabilityTheory.centralMoment X 1 μ = (1 - (μ Set.univ).toReal) * ∫ (x : Ω), X x ∂μ
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
(j : Fin (n + 1)) → Mul (α j)
i : Fin (n + 1)
x y : α i
p q : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
⊢ i.insertNth (x * y) (p * q) = i.insertNth x p * i.insertNth y q
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
F : MonoFactorisation f
⊢ kernel.ι f ≫ F.e = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝¹ : Countable ι
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : ι → α → β → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : ι), Measurable (Function.uncurry (f i))
h_sum_a : ∀ (a : α), Summable fun n => f n a
h_sum : Summable fun n => f n
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable (Function.uncurry (∑' (n : ι), f n))
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
x : E
hf : ContinuousWithinAt f univ x
⊢ oscillation f x = 0
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ (1 / z) ≤ y ↔ x ≤ y ^ z
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X A : C
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
a : ↑(F.obj A)
h1 : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
h2 : IsConnected A
h3 : Mono u
⊢ ∃ A a, IsGalois A ∧ Function.Bijective fun f => F.map f a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
r : P
hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = r
⊢ sx₁.circumcenter = sx₂.circumcenter
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ
i : ι
x : ℝ
⊢ -b i * ↑x ^ 2 + c i * ↑x = -b i * ↑x ^ 2 + c i * ↑x + 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
t : Finset β
x : β
⊢ (∃ a ∈ s, x ∈ f a) ∧ x ∈ t ↔ ∃ a ∈ s, x ∈ f a ∧ x ∈ t
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_1
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ (PiTensorProduct.mapL f) x = (PiTensorProduct.map fun i => ↑(f i)) x
α : Type u
Preorder α
x : α
⊢ Antitone fun x_1 => x_1 < x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
a b : α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : DecidableEq α
f : α → β
inj : Injective f
inst✝ : Decidable (a < b)
h : compare (f a) (f b) = compareOfLessAndEq (f a) (f b)
⊢ compare (f a) (f b) = compareOfLessAndEq a b
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
f : α → ℝ
K : ℝ
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x ≤ f y + K * dist x y
⊢ LipschitzOnWith K.toNNReal f s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β✝
μ ν : Measure α
β : Type u_7
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
x : α
g : α → β
g_meas : ∀ t > x, AEMeasurable g (μ.restrict (Ioc x t))
this : Nonempty α
u : ℕ → α
hu_tendsto : Tendsto u atTop atTop
Ioi_eq_iUnion : Ioi x = ⋃ n, Ioc x (u n)
⊢ ∀ (i : ℕ), AEMeasurable g (μ.restrict (Ioc x (u i)))
x y : ℝ
⊢ Real.sinh x = Real.sinh y ↔ x = y