ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ t) x ↔ MDifferentiableWithinAt I I' f s x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
⊢ W'.a₁ * P y * 0 - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * 0 ^ 2 + W'.a₄ * 0 ^ 4) = -3 * P x ^ 2
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
⊢ M.Indep B → ((B ⊆ M.E ∧ ∀ (J : Set α), M.Indep J → B ⊆ J → J ⊆ M.E → B = J) ∧ M.E ⊆ M.E ↔ ∀ (I : Set α), M.Indep I → B ⊆ I → B = I)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
⊢ sInf {x | ∃ s ∈ range fun i => p i, ↑s = x} = ⨅ i, ↑(p i)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R (Dual R M)
this : IsReflexive R N
⊢ map e.flip.symm (map e.symm p).dualAnnihilator = map e.flip.symm (map e.flip p.dualCoannihilator)
p : ℕ
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
⊢ PadicInt.nthHom f 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range
⊢ ∑ i ∈ Finset.filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, g (↑f a) * μ (↑f ⁻¹' {i}) = ∑ x ∈ Finset.filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens
⊢ U.ι ''ᵁ (X.restrictFunctor.map i).left ⁻¹ᵁ W ≤ V.ι ''ᵁ W
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
h₁ : Q₁ = comp Q₂ f.toLinearMap
h₃ : Q₃ = comp Q₄ g.toLinearMap
⊢ comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap) = Q₁.tmul Q₃
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ interior (closedBall x r) = ball x r
α : Type u_2
β : Type u_3
Fintype β
f : α → β
Fintype ↑(Setoid.ker f).classes
⊢ Fintype.card ↑(Setoid.ker f).classes ≤ Fintype.card β
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ {∅}.shadow = ∅
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
⊢ i.cycleRange (i.succAbove j) = j.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
⊢ StronglyMeasurable f ↔ Measurable f ∧ IsSeparable (range f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U V : Submodule 𝕜 E
⊢ U ⟂ V ↔ ∀ u ∈ U, ∀ v ∈ V, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
R : Type u
S : Type v
Star R
Star S
x : R × S
⊢ star x = (star x.1, star x.2)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
⊢ Disjoint l (𝓝ˢ s) ↔ ∀ x ∈ s, Disjoint l (𝓝 x)
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
m n : ℕ
h : m ≤ n
hn : n < hf.toFinset.card
⊢ Nat.nth p m ≤ Nat.nth p n
α : Type u_1
x : α
⊢ Function.minimalPeriod id x = 1
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
Fintype ι
Fintype κ
AddCommMonoid α
e : ι ≃ κ
g : κ → α
⊢ ∑ i : ι, g (e i) = ∑ i : κ, g i
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
⊢ ∀ (x : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))), ContinuousAt (fun f => ∫ (x : α), ∫ (y : β), ↑↑f (x, y) ∂ν ∂μ) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
⊢ x = y
G : Type u_3
Group G
P : Subgroup G
⊢ P.FG ↔ ∃ S, Subgroup.closure S = P ∧ S.Finite
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
K : Type u_3
AddGroup K
f : AddMonoid.Coprod G H →+ K
⊢ f.range = (f.comp AddMonoid.Coprod.inl).range ⊔ (f.comp AddMonoid.Coprod.inr).range
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain R
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : Nontrivial L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsDomain S
s : S
hs : IsIntegral R s
⊢ Irreducible (map (algebraMap R K) (minpoly R s))
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hIX : M.Basis' I X
⊢ M.Basis I (X ∩ M.E)
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderTopology α
a : α
ha : ∃ u, a < u
⊢ 𝓝[≥] a = ⨅ u, ⨅ (_ : a < u), 𝓟 (Set.Ico a u)
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommGroup M
SetLike σ M
AddSubgroupClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
x y : ⨁ (i : ι), ↥(ℳ i)
⊢ (DirectSum.decompose ℳ).symm (x - y) = (DirectSum.decompose ℳ).symm x - (DirectSum.decompose ℳ).symm y
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
⊢ (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
⊢ (∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ univ, dist (f x) (F n x) < ε) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), dist (f x) (F n x) < ε
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
f : Y ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.Over.mk f).left = Y
b o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ o % b ^ log b o < o
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 x
h : ContMDiffOn I I' (↑n) f u
⊢ ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
⊢ Epi S₂.g
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α × β
x : α
⊢ p.1 = x ↔ p = (x, p.2)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderBot α
⊢ sInf Set.univ = ⊥
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M
⊢ (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m) = (ι R) m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
⊢ μ (liminf s atTop) ≤ 0
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
h : π.IsPartition
s : Finset (ι × ℝ)
hs : π ⊓ splitMany I s = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion
⊢ splitMany I s ≤ π
α : Type u
l : List α
⊢ l.split.2.length ≤ l.length
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
MulPosMono α
ha : a ≤ 1
bc : b ≤ c
a0 : 0 ≤ a
c0 : 0 ≤ c
⊢ a * b ≤ c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
n : ℤ
a : α
⊢ IsSquare ((a * a) ^ n)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≪ μ
⊢ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) ν ≤ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
x : K
⊢ ‖w.embedding x‖ = w x
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
a b : R
⊢ Ideal.span {a} ∣ Ideal.span {b} ↔ a ∣ b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T5Space Y
e : X → Y
he : _root_.Embedding e
⊢ ∀ ⦃s t : Set X⦄, Disjoint (closure s) t → Disjoint s (closure t) → Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝ˢ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : Measurable f
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.const γ μ).map f hf = ProbabilityTheory.Kernel.const γ (MeasureTheory.Measure.map f μ)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
x y a✝ : α
⊢ ¬f a✝ = a✝ → ¬(a✝ = x ∨ a✝ = y) → ¬(swap x y) (f a✝) = a✝
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
m : ℕ
φ : L[[↑A]].Formula (α ⊕ Fin m)
x : α → M
⊢ x ∈ (fun g => g ∘ Sum.inl) '' setOf φ.Realize ↔ x ∈ setOf (BoundedFormula.relabel id φ).exs.Realize
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : DenselyOrdered (α ⊕ β)
a b : β
h : a < b
c : α
ha : inr a < inl c
hb : inl c < inr b
⊢ ∃ a_1, a < a_1 ∧ a_1 < b
α : Type u
Add α
a b c : WithTop α
LE α
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≠ ⊤
h : b + a ≤ c + a
⊢ b ≤ c
α : Type u
Denumerable α
⊢ Cardinal.mk α = Cardinal.aleph0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hνμ : ν ≪ μ
⊢ (μ.rnDeriv ν)⁻¹ =ᵐ[μ] ν.rnDeriv μ
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
Finite G
h : Nat.card G ≤ Nat.card ↥H
⊢ H = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R₁
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : FiniteDimensional K V
ι✝ : Type u_10
inst✝³ : DecidableEq ι✝
inst✝² : Finite ι✝
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
ι : Type u_11
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K V
i : ι
⊢ (B.dualBasis hB (B.flip.dualBasis ⋯ b)) i = b i
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), (Localization.awayMap f ↑r).FiniteType
this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
⊢ f.FiniteType
n a : ℕ
l : List ℕ
hn : ∀ a_1 ∈ (a :: l ++ [0]).head?, a_1 < n
this : ∀ b ∈ (l ++ [0]).head?, b < a - 1
hl : ((∀ x ∈ l, x + 2 ≤ a) ∧ 2 ≤ a) ∧ Chain' (fun a b => b + 2 ≤ a) (l ++ [0])
⊢ fib (a + 1) ≤ fib n
σ : Type u
R : Type v
CommSemiring R
s t : Set (σ →₀ ℕ)
h : s ⊆ t
⊢ MvPolynomial.restrictSupport R s ≤ MvPolynomial.restrictSupport R t
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V c.symm
i j : ι
⊢ X.opSymm.d i j = (X.d j i).op
R : Type u
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type u_1
ψ : ι → Type u_2
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (ψ i)
(i : ι) → Module R (ψ i)
e : (i : ι) → φ i ≃ₗ[R] ψ i
f : (i : ι) → φ i
i : ι
⊢ (LinearEquiv.piCongrRight e) f i = (e i) (f i)
ε : ℝ
n : ℕ
h : 100 ≤ 4 ^ n * ε ^ 5
⊢ 0 < ε
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ IsClosedImmersion f ↔ IsPreimmersion f ∧ IsClosed (Set.range ⇑f.val.base)
R : Type u
CommSemiring R
p m n : ℕ
ExpChar R p
x : R
⊢ (iterateFrobenius R p (m * n)) x = (⇑(iterateFrobenius R p m))^[n] x
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
h : Disjoint l l'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
⊢ ∃ i, p i ∧ ∃ i', p' i' ∧ Disjoint (s i) (s' i')
α : Type u_1
r : α → α → Prop
H : WellFounded r
s : Set α
h : s.Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ¬r x (H.min s h)
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) (W.φ n) =
  (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) (Polynomial.C (W.Φ n))
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ∀ (x y : α), f x = f y
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
⊢ StronglyMeasurable f
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
h : e.IsImage s t
⊢ Set.MapsTo (↑e.symm) (e.target ∩ t) (e.source ∩ s)
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
A B : ↥(unitaryGroup n α)
⊢ ↑(toGL (A * B)) = ↑(toGL A * toGL B)
x : Tree Unit
_hx : x ≠ Tree.nil
⊢ Tree.node () x.left x.right = x
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
⊢ ⌊1⌋₊ = 1
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
⊢ (∃ (h : i < μ.colLen 0), j < μ.rowLens.get ⟨i, ⋯⟩) ↔ (i, j) ∈ μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (CategoryTheory.Center.ofBraided C).ε.f = 𝟙 (𝟙_ (CategoryTheory.Center C)).fst
α : Type u_1
s t : Set α
a : α
inst✝ : InvolutiveStar α
⊢ star '' s = s⋆
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ x • Metric.closedBall 1 δ = Metric.closedBall x δ
R : Type u_2
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
s t s' t' : R
h' : s • x + t • y = s' • x + t' • y
⊢ s = s' ∧ t = t'
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝² : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (Ico f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : Set (α × β)
⊢ BddAbove s ↔ BddAbove (Prod.fst '' s) ∧ BddAbove (Prod.snd '' s)
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ s, w i
⊢ ∑ i ∈ s, w i • f i ≤ ∑ i ∈ s, w i • s.sup' ⋯ f
R : Type u_1
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₁
Module R M
Module R M₁
Semiring S
Module R S
Module S M
IsScalarTower R S M
x : M
⊢ LinearMap.smulRight 0 x = 0
α : Type u_1
self : Encodable α
a : α
⊢ Encodable.decode (Encodable.encode a) = some a
α : Type u
SemilatticeInf α
OrderTop α
a b : α
⊢ a ⊓ b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∧ b = ⊤
X : Type u_1
UniformSpace X
s : Set X
h : IsSeqCompact s
⊢ TotallyBounded s
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
x : L
⊢ (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((norm K) x)) = (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (∏ σ : L ≃ₐ[K] L, σ x)
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as
⊢ (π.map f).map ⟦p'⟧ = hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 0 })) ⟦p'⟧) ≫ hcast ⋯
α : Type u_1
LE α
Add α
i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x + x_1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : AddLECancellable a
⊢ b + a ≤ c + a ↔ b ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
Ring α
AddCommGroup β
Module α β
NoZeroSMulDivisors α β
PartialOrder α
PartialOrder β
⊢ SMulPosMono α β ↔ SMulPosStrictMono α β
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
x : ↥(f.closure.domRestrict f.domain).domain
y : ↥f.domain
hxy : ↑x = ↑y
z : ↥f.closure.domain := ⟨↑y, ⋯⟩
hyz : ↑y = ↑z
⊢ ↑(f.closure.domRestrict f.domain) x = ↑f y
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
A : C
f₁ f₂ : A ⟶ S.cycles
h : f₁ ≫ S.iCycles = f₂ ≫ S.iCycles
⊢ f₁ = f₂
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
⊢ ‖x • 1‖ = ‖x‖ * ‖1‖
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
self : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.φH h₂.ι = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.ι self.φQ
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
h : p.degree = 0
⊢ p.degree ≤ 0
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
LinearOrder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
h : MonovaryOn f g s
⊢ MonovaryOn g f s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Comonad C
X : T.Coalgebra
⊢ (CategoryTheory.Comonad.beckCoalgebraFork X).pt = X
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
TopologicalSpace B
F₁ : Type u_3
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
E₁ : B → Type u_4
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_5
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
E₂ : B → Type u_6
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
(x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)
(x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
(x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)
(x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
(x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
(x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
FiberBundle F₁ E₁
FiberBundle F₂ E₂
e₁ : Trivialization F₁ Bundle.TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁
Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂
x : B
hx : x ∈ (e₁.prod e₂).baseSet
⊢ Trivialization.continuousLinearEquivAt 𝕜 (e₁.prod e₂) x hx =
  (Trivialization.continuousLinearEquivAt 𝕜 e₁ x ⋯).prod (Trivialization.continuousLinearEquivAt 𝕜 e₂ x ⋯)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
inst✝ : Nontrivial A
r : R
⊢ spectrum R ((algebraMap R A) r) = {r}
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : Ideal R
N P : Submodule R M
h : N ≤ P
⊢ I • N ≤ I • P
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
c : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) MeasureTheory.volume
ha : Filter.Tendsto f (𝓝 a ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 c)
⊢ HasStrictDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-c) a
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocMod hp 0 (a - b) = p - toIcoMod hp 0 (b - a)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : OrderedRing E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : OrderClosedTopology E
l : E
f : ℕ → E
hfl : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)
hfa : Antitone f
k : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (2 * k), (-1) ^ i * f i ≤ l
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
T2Space M
f g : ℕ → M
hf : Multipliable f
hg : Multipliable g
⊢ ∏' (n : ℤ), Int.rec f g n = (∏' (n : ℕ), f n) * ∏' (n : ℕ), g n