ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
p : PrimeSpectrum R
x✝ : ∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, ¬r • m = 0
x : R
hx : x ∈ RingHom.ker (algebraMap R A)
m : A
hm : ∀ r ∉ p.asIdeal, ¬r • m = 0
hx' : x ∉ p.asIdeal
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → β
hf : Injective f
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ range f
g : α → M
⊢ (∏ᶠ (b : β), if h : b ∈ range f then g (Classical.choose h) else 1) = ∏ᶠ (a : α), g a
α : Type u_1
M : Type u_2
PartialOrder α
AddCommMonoid M
f : α → M
a b : α
LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b
⊢ f a + ∑ x ∈ Finset.Ioc a b, f x = ∑ x ∈ Finset.Icc a b, f x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hpi : i ≠ n
hin : i < n
⊢ ↑p ^ i ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t s : Set α
σ : Equiv.Perm α
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ s
i : α
⊢ i ∈ ⇑σ '' s ↔ i ∈ s
n : Nat
p : Fin n → Prop
⊢ (Exists fun i => p i) ↔ Exists fun i => Exists fun h => p ⟨i, h⟩
o : Ordinal.{u_3}
⊢ o.card.ord ≤ o
α : Type u_1
Add α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d
⊢ a + c ≤ b + d
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ∞
s : Set E
x : E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n id s x
ι : Sort u_1
α : Type u_2
f : ι → α
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
a : α
h : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
⊢ a ⊓ ⨆ i, f i = ⨆ i, a ⊓ f i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
hA : A ≠ 0
i : α
j : β
h : |↑(A i j)| < 1
⊢ A i j = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x y : S
hxy : ∀ i < f.natDegree, h.coeff x i = h.coeff y i
i : Fin f.natDegree
⊢ h.basis.equivFun x i = h.basis.equivFun y i
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
this : IsSFiniteKernel ρCond
⊢ (ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ρ ({x} ×ˢ s)
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
CharZero R
n : ℕ
⊢ ↑n ≠ 1 ↔ n ≠ 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s : Set E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
⊢ ∀ (i' : Set E), 0 ∈ i' ∧ IsOpen i' ∧ Balanced 𝕜 i' ∧ Convex ℝ i' → ∃ i, (i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i ∧ Convex ℝ i) ∧ id i ⊆ id i'
α✝ : Type u_1
inst✝⁵ : DistribLattice α✝
inst✝⁴ : OrderBot α✝
inst✝³ : Fintype α✝
inst✝² : DecidablePred SupIrred
α : Type u
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : DistribLattice α
⊢ ∃ β x x_1 f, Injective ⇑f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1
⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun (μ + ν) (weightedSMul μ) hμ_dfma f + setToFun (μ + ν) (weightedSMul ν) hν_dfma f
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h✝ : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖(id 𝕜 E) x‖ / ‖x‖ ≤ ‖id 𝕜 E‖
⊢ 1 ≤ ‖id 𝕜 E‖
α : Type u_1
R : α → α → Prop
s : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
l₁ l₂ : List α
⊢ List.Pairwise R (l₁ ++ l₂) ↔ List.Pairwise R (l₂ ++ l₁)
A : Type u_1
Ring A
Algebra ℝ A
I' : A
hI' : I' * I' = -1
z : ℂ
⊢ (Complex.liftAux I' hI') z = (algebraMap ℝ A) z.re + z.im • I'
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r
⊢ ¬WellFounded r
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
⊢ AEDisjoint μ (⋃ i, s i) t ↔ ∀ (i : ι), AEDisjoint μ (s i) t
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ ν₁ ν₂ : MeasureTheory.Measure α
h : μ₁ ⟂ₘ ν₁
hμ : μ₂ ≤ μ₁
hν : ν₂ ≤ ν₁
⊢ μ₂ ⟂ₘ ν₂
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
γ : Type u_6
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
hf : Measurable f
⊢ (κ.map (fun a => (f a, a)) ⋯).snd = κ
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ Continuous fun φ => φ f
α : Type u_1
ι : Sort u_5
SupSet α
f : ι → ULift.{v, u_1} α
⊢ (⨆ i, f i).down = ⨆ i, (f i).down
α : Type u_1
l : List α
h : l ≠ []
a : α
⊢ List.drop l.length (a :: l) = [l.getLast h]
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
c : n ≃ n
hc : c ∈ univ.erase (Equiv.refl n)
⊢ ↑(∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).natDegree < ↑(Fintype.card n - 1)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
⊢ Real.sin (angle x (x - y)) = ‖y‖ / ‖x - y‖
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ_[p]
⊢ ↑(z1 * z2) = ↑z1 * ↑z2
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
hf : OpenEmbedding ⇑f
⊢ CategoryTheory.CompatiblePreserving (Opens.grothendieckTopology ↑Y) ⋯.functor
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
f : ⊤ ↪g G
⊢ ¬G.CliqueFree (Fintype.card α)
α β γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
d : Dioph S
f : (α → ℕ) →. ℕ
df : DiophPFun f
v : α → ℕ
x✝ : v ∈ {v | ∃ x, x ::ₒ v ∈ S ∩ {v | f.graph (v ∘ some, v none)}}
x : ℕ
hS : x ::ₒ v ∈ S
h : ∃ (h : (f ((x ::ₒ v) ∘ some, (x ::ₒ v) none).1).Dom), (f ((x ::ₒ v) ∘ some, (x ::ₒ v) none).1).get h = ((x ::ₒ v) ∘ some, (x ::ₒ v) none).2
⊢ v ∈ {v | ∃ (h : f.Dom v), f.fn v h ::ₒ v ∈ S}
R : Type u
Ring R
p q r : R[X]
⊢ (p - q).comp r = p.comp r - q.comp r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformContinuous fun x => 1
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
l : ℕ
φ : L.BoundedFormula α l
hφ : φ.IsPrenex
n : ℕ
h : l ≤ n
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.castLE h φ).IsPrenex
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∉ s
f : α → β
b : β
⊢ ∑ x ∈ s, Function.update f i b x = ∑ x ∈ s, f x
γ : Type w
LinearOrder γ
a : γ
b : γ
s : Set γ
hs : IsLeast s b
⊢ IsLeast (insert a s) (min a b)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).sin * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂
n : ℕ
⊢ 0 < SetTheory.PGame.powHalf n
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
v : ℕ
hv : v ≠ 1
hr : CharP R v
⊢ Nontrivial R
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
f₁ f₂ : v.FunSpace
n : ℕ
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
⊢ (↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂ ≤ (↑v.L * v.tDist) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ LinearMap.range (ι Q) ≤ evenOdd Q 1
X : RelCat
x y : X
⊢ 𝟙 X x y ↔ x = y
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α✝
x✝ y✝ : α✝
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hfx : f x ≠ x
hffx : f (f x) = x
y z : α
hz : f z ≠ z ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle z y
i : ℤ
hi : (f ^ i) z = x
hyx : ¬y = x
hfyx : ¬y = f x
hy : ¬f y = y
j : ℤ
hj : (f ^ j) z = y
⊢ False
R : Type u_1
Semiring R
f : ArithmeticFunction R
x : ℕ
⊢ (f * ↑ArithmeticFunction.zeta) x = ∑ i ∈ x.divisors, f i
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : CharP R n
I : Ideal R
⊢ (∀ (x : ℕ), ↑x ∈ I → ↑x = 0) ↔ Ideal.comap (Nat.castRingHom R) I ≤ Ideal.comap (Nat.castRingHom R) ⊥
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s
α : Type u
β : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : a < b
hcd : c < d
this : MulPosStrictMono α
⊢ a * c < b * d
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : (c ≤ a ∧ d ≤ a) ∧ c ≤ b ∧ d ≤ b
⊢ c * d ≤ a * b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Set α
⊢ IsCompact s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ eval (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (-((X - C x₁) * (X - C x₂) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))))) = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ LinearMap.baseChange A 1 = 1
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsAffine Y
ι : Type u_1
U : ι → ↑X.affineOpens
hU : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤
H : ∀ (i : ι), Q (Scheme.Hom.appLE f ⊤ ↑(U i) ⋯)
this : ∀ (i : (X.openCoverOfISupEqTop (fun i => ↑(U i)) hU).J), IsAffine ((X.openCoverOfISupEqTop (fun i => ↑(U i)) hU).obj i)
i : (X.openCoverOfISupEqTop (fun i => ↑(U i)) hU).J
⊢ Q (Scheme.Hom.app ((X.openCoverOfISupEqTop (fun i => ↑(U i)) hU).map i ≫ f) ⊤)
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s : Set α
⊢ (boundedBy m) s = (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Inf β
f : InfHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
M : PresheafOfModules R
⊢ (PresheafOfModules.restriction R f).app M = PresheafOfModules.restrictionApp f M
R : Type u_1
AddCommMonoid R
Pow R ℕ
BinomialRing R
MulOneClass R
NatPowAssoc R
r : R
⊢ Ring.multichoose r 0 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →ᵤ β
⊢ UniformFun.ofFun (UniformFun.toFun f) = f
α : Type u_6
β : Type u_7
PartialOrder α
Preorder β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), f a ≤ f b ↔ a ≤ b
⊢ ⇑(OrderEmbedding.ofMapLEIff f h) = f
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (y ⊓ x ⊔ y ⊓ z) ⊓ (y \ x ⊓ y \ z) = y ⊓ x ⊓ (y \ x ⊓ y \ z) ⊔ y ⊓ z ⊓ (y \ x ⊓ y \ z)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : Basis κ R ↥M
n : Basis ι R ↥N
H : Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
⊢ M.LinearDisjoint N
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
h : a ∉ s
⊢ Finset.cons a s h = insert a s
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
inst✝¹ : Algebra P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
h : R ≃+* P
H : Submonoid.map h.toMonoidHom M = T
H' : Submonoid.map h.symm.toMonoidHom T = M
x : S
⊢ (map S ↑h.symm ⋯) ((map Q ↑h ⋯) x) = x
α : Type u_1
dec : DecidableEq α
a : α
⊢ (RegularExpression.char a).deriv a = 1
s : Set Prop
⊢ sInf s = ∀ p ∈ s, p
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ a ⋖ b ↔ IsAtom ⟨b, h⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
PseudoMetricSpace γ
f : α → β → γ
K₂ : ℝ≥0
hf : ∀ (a : α), AntilipschitzWith K₂ (f a)
s : Set α
t : Set β
hst : Bornology.IsBounded (Set.image2 f s t)
⊢ Bornology.IsBounded s ∨ Bornology.IsBounded t
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
h_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {x | p x fun n => f n x}
⊢ p x fun n => f n x
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
⊢ Real.toEReal '' {x | LSeriesSummable f ↑x} ∈ {x | ↑s.re ∈ x}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
⊢ ⋃ i, ⋃ j, s i j ⊆ t ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), s i j ⊆ t
x✝ y x : ℝ
⊢ π / 2 - arcsin x ≤ π
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ≃ β
⊢ Nat.card α = Nat.card β
b : ℂ
hb : 0 < b.re
t : ℂ
⊢ ∫ (x : ℝ), cexp (Complex.I * t * ↑x) * cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2) * cexp (-t ^ 2 / (4 * b))
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ
⊢ Tendsto (fun n => π * T * ↑n) atTop atTop
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs' : p ^ s ≤ m
hs : ¬s = 0
⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ^ s ≤ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, HasStrictFDerivAt.localInverse f f' a hf (f x) = x
α : Type u_1
E : Type u_2
m✝ m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfg : μ.withDensity f = μ.withDensity g
⊢ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k I ≤ I
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulRightInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.1 / z.2, z.2)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q f g : R[X]
hg : g.Monic
a✝ : Nontrivial R
hfg hgf : ¬f /ₘ g = 0
⊢ (f /ₘ g).natDegree = f.natDegree - g.natDegree
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝ : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
b : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V := Basis.extend this
b_eq : b = Basis.extend this
i1 : Fintype ↑(this.extend ⋯) := ⋯.fintype
⊢ S = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
n : ℕ
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Abelian.extFunctor n).obj X = CategoryTheory.Abelian.extFunctorObj (Opposite.unop X) n
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
q : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hq : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < q i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-π * q i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / q i ^ s.re
hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < π * q i
⊢ HasSum (fun i => ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(q i) ^ s) (mellin F s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
DecidableEq α
DecidableEq β
DecidableEq γ
SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.NoAccidental t
s : Finset (α ⊕ β ⊕ γ)
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).IsNClique 3 s ↔
  ∃ x ∈ t, SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.toTriangle x = s
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
DecidableEq α
f : α → M
x : α
y : M
hy : y ≠ 1
⊢ Function.mulSupport (Function.update f x y) = insert x (Function.mulSupport f)
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
l₂ : List α
h : ¬a ∈ l₂
l₁ : List α
⊢ (a :: l₁).diff l₂ = a :: l₁.diff l₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
F : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor C D
⊢ (CategoryTheory.LaxBraidedFunctor.mapCommMonFunctor C D).obj F = F.mapCommMon
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => I * sinZeta a y) s
x y : ℝ
⊢ Real.sin (x + y) = Real.sin x * Real.cos y + Real.cos x * Real.sin y
α : Type u_1
ι : Type u_3
Lattice α
OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i : ι
hs : s.SupIndep f
hts : t ⊆ s
hi : i ∈ s
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊥
⊢ f i ≤ t.sup f ↔ i ∈ t
S T : Set Ordinal.{u_1}
hS : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
hST : S ⊆ T
a : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.enumOrd T a ≤ Ordinal.enumOrd S a
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp a (p + b) = toIocMod hp a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedCommSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
z : E
c : 𝕜
⊢ Convex 𝕜 ((fun x => z + c • x) '' s)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMul ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
x✝² : x ∈ univ
y : E
x✝¹ : y ∈ univ
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
x✝ : a + b = 1
⊢ p (a • x + b • y) ≤ a • p x + b • p y
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
hm : m ≤ M.M i i' * 2
⊢ cs.wordProd (alternatingWord i i' m) = cs.wordProd (alternatingWord i' i (M.M i i' * 2 - m))
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p q : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R
h : IsUnit (a - b)
⊢ ↑h.unit⁻¹ * (a - b) = 1
n : Type u_1
Fintype n
R : Type u_2
CommRing R
DecidableEq n
P : Matrix n n R
h : Invertible P
⊢ ↑(P.toLinearEquiv' h) = Matrix.toLin' P
P : Type u_2
LE P
self : Order.Ideal P
⊢ self.carrier.Nonempty
α : Type u
Mul α
β : Type v
Semigroup β
f : α →ₙ* β
x : α
⊢ (Magma.AssocQuotient.lift f) (Magma.AssocQuotient.of x) = f x
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
f : α → β
comm : (↑l.toFinset).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
hl : l.dedup = l
⊢ l.toFinset.noncommProd f comm = (List.map f l).prod
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℂ
⊢ ‖↑n ^ s‖ = ↑n ^ s.re
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
⊢ ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
i : Fin f.natDegree
⊢ h.basis i = h.root ^ ↑i
α : Type u
i s1 e2 e1 s2 : Nat
a : Array α
h : s1 + e2 ≤ e1
⊢ ((a.extract s1 e1).extract s2 e2).size = (a.extract (s1 + s2) (s1 + e2)).size
α : Type u_4
Fintype α
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ (∃! a, p a) ↔ (Finset.filter p Finset.univ).card = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False
x y z : α
⊢ x = y ∨ y = z ∨ x = z
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ TensorProduct.map f g ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R N M) = ↑(TensorProduct.comm R Q P) ∘ₗ TensorProduct.map g f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : ∀ (n : ℕ), (derivative f).coeff n = coeff 0 n
hf : f ≠ 0
f_nat_degree_pos : 0 < f.natDegree
m : ℕ := f.natDegree - 1
hm : m + 1 = f.natDegree
h2 : f.coeff (m + 1) = 0
⊢ False
z w : ℂ
⊢ (z - w).re = z.re - w.re
C : Type u_1
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_10, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_5} D₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_6} D₂
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L₁ : CategoryTheory.Functor C D₁
L₁.IsLocalization W
L₂ : CategoryTheory.Functor C D₂
L₂.IsLocalization W
X Y : C
G : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
e : L₁.comp G ≅ L₂
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
⊢ (CategoryTheory.Localization.homEquiv W L₁ L₂) f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.inv.app X) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map f) (e.hom.app Y))
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
z : ℤ
⊢ ↑(p ^ n) ∣ z ↔ padicNorm p ↑z ≤ ↑p ^ (-↑n)
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ deriv (fun x => x * log x) x = log x + 1
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement univ S
a : G
ha : a ∈ S
b : G
hb : b ∈ S
⊢ a = b
α : Type u_3
β : Type u_4
PseudoMetricSpace β
l : Filter α
f : α → β
x : β
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
⊢ ∃ s ∈ l, Bornology.IsBounded (f '' s)
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ TendstoInMeasure μ (fun i => AEStronglyMeasurable.mk (f i) ⋯) atTop (AEStronglyMeasurable.mk g hg)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Polynomial.map f (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →ₗ[𝕜] E'
h : ∀ (x y : E), ⟪f x, f y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
⊢ (f.isometryOfInner h).toLinearMap = f
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
s : Set M
hs : AddSubsemigroup.closure s = ⊤
f g : AddHom M N
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ f = g
α : Type u_3
DecidableEq α
CommMonoid α
s : List α
⊢ s.prod = ∏ m ∈ s.toFinset, m ^ List.count m s
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x : HahnSeries Γ R
⊢ x.coeff = 0 ↔ x = 0