ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
inst✝⁸ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
p : F[X]
hFE : FiniteDimensional F E
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsScalarTower F K E
x : E
hx : x ∈ p.aroots E
inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)
inst✝ : Fintype (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E)
h : IsIntegral K x
h1 : p ≠ 0
h2 : minpoly K x ∣ Polynomial.map (algebraMap F K) p
⊢ Fintype.card (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E) = Fintype.card (K →ₐ[F] E) * finrank K ↥K⟮x⟯
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
⊢ cfc (fun x => star x) a = star a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Star α
⊢ Mᴴ.updateRow j (star c) = (M.updateColumn j c)ᴴ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Monad C
f g : T₁ ⟶ T₂
h : f = g
X : T₂.Algebra
⊢ ((CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHomEq h).inv.app X).f =
  (CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHom f).obj X).A).inv
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ Set.range ⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g).val.base =
  ((TopologicalSpace.Opens.map g.val.base).obj (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensRange f)).carrier
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : L.Functions 2
t₁ t₂ : L.Term α
v : α → M
⊢ ∀ (i : Fin 1), realize v (![t₁, t₂] i.succ) = ![realize v t₁, realize v t₂] i.succ
E : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
Pow α E
Pow β E
p : α × β
c : E
⊢ p ^ c = (p.1 ^ c, p.2 ^ c)
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a 0).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
    ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
⊢ ∃ Z h, CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
s : Set α
hs : IsConnected s
hb : BddBelow s
ha : BddAbove s
⊢ Set.Ioo (sInf s) (sSup s) ⊆ s
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
p : (ι → ℝ) → BoxIntegral.Box ι → Prop
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.TaggedPrepartition J
⊢ (∀ J ∈ π.biUnionTagged πi, p ((π.biUnionTagged πi).tag J) J) ↔ ∀ J ∈ π, ∀ J' ∈ πi J, p ((πi J).tag J') J'
V : Type u
s t : Set (Sym2 V)
h : s ⊆ t
⊢ SimpleGraph.fromEdgeSet s ≤ SimpleGraph.fromEdgeSet t
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x) = ∫ (x : ℝ) in d - b..d - a, f x
R : Type u
Semiring R
S : Type v
Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
hlifts : p ∈ Polynomial.lifts f
⊢ ∃ q, Polynomial.map f q = p ∧ q.degree = p.degree
𝕜 : Type u_3
F : Type u_10
NormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : F
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ d, d ≠ 0 ∧ ‖d • x‖ < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖ ∧ ‖d‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
α✝ β α : Type u
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset α), s.card ≤ n
⊢ #α ≤ ↑n
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i✝ j✝ : ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hr : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hc : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (coroot i) (p.toLin (root i)))) (range ⇑coroot) (range ⇑coroot)
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
l : ι
hl : coroot l = (preReflection (coroot i) (p.toLin (root i))) (coroot j)
⊢ coroot k = coroot l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
DecidableEq ι
α : ι → Type u_5
(i : ι) → AddZeroClass (α i)
(i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → α i → E
l : Π₀ (i : ι), α i
x : E
⊢ ⟪x, l.sum f⟫_𝕜 = l.sum fun i a => ⟪x, f i a⟫_𝕜
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k
x₀ : G
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ) x₀
α : Type u_1
l : Filter α
ι : Type u_4
Preorder ι
s : ι → Set α
hl : l.HasAntitoneBasis s
⊢ Filter.Tendsto s Filter.atTop l.smallSets
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : ∀ (i : ℕ), 2 ^ (i + 1) * (sFiniteSeq μ i) Set.univ = ⊤ ∨ (sFiniteSeq μ i) s = 0
⊢ μ s = 0 s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x : M
c : M'
⊢ mfderiv I I' (fun x => c) x = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
FirstCountableTopology α
x y : α
hy : x < y
⊢ ∃ u, StrictAnti u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ∈ Set.Ioo x y) ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
⊢ ‖↑z‖ = ‖z‖
α : Type u_1
β : Type u_6
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure β
C : β → Set α → Prop
s : Set (Set α)
m : MeasurableSpace α
h_eq : m = MeasurableSpace.generateFrom s
h_inter : IsPiSystem s
h_empty : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, C x ∅
h_basic : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ∀ t ∈ s, C x t
h_compl : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → C x t → C x tᶜ
h_union :
  ∀ᵐ (x : β) ∂μ,
    ∀ (f : ℕ → Set α),
      Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), C x (f i)) → C x (⋃ i, f i)
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ∀ ⦃t : Set α⦄, MeasurableSet t → C x t
R : Type u_2
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
M₄ : Type u_7
N : Type u_8
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
AddCommMonoid N
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
Q₃ : QuadraticMap R M₃ N
Q₄ : QuadraticMap R M₄ N
h : Q₃ →qᵢ Q₄
g : Q₂ →qᵢ Q₃
f : Q₁ →qᵢ Q₂
⊢ (h.comp g).comp f = h.comp (g.comp f)
α : Type u_1
NormedOrderedAddGroup α
s : Set α
⊢ ↑(upperClosure (interior s)) ⊆ interior ↑(upperClosure s)
p q r : ℕ+
H : 1 < ADEInequality.sumInv {p, q, r}
⊢ ADEInequality.Admissible {p, q, r}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedCommRing 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
y : F
⊢ y ∈ B.polar s ↔ ∀ x ∈ s, ‖(B x) y‖ ≤ 1
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => (1 + x ^ 2)⁻¹) MeasureTheory.volume
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
Preorder β
⊢ StrictMono ⇑toLex
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ cosZeta a s = (expZeta a s + expZeta (-a) s) / 2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s t : Seq α
⊢ omap (corec fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (match (cons a s, t).1.destruct with | none => match (cons a s, t).2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a_1, s₁') => some (a_1, s₁', (cons a s, t).2)) = some (a, corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (s, t))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
⊢ (deriv fun x => x ^ m) = fun x => ↑m * x ^ (m - 1)
R : Type u_1
Semiring R
p q : R[X]
pq : p.natDegree < q.natDegree
⊢ (p + q).eraseLead = p + q.eraseLead
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∩ U
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.countP (fun x => True) s = Multiset.card s
α : Type u
f : α → α
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f ∘ f^[n.pred] = f^[n]
⊢ schnirelmannDensity (setOf Nat.Prime) = 0
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
x : E
s : Set E
⊢ EMetric.infEdist x⁻¹ s⁻¹ = EMetric.infEdist x s
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin 1 → ℂ) → E
c : Fin 1 → ℂ
R : Fin 1 → ℝ
H₁ : (⇑(MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ).symm ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π)
H₂ : torusMap c R = fun θ x => circleMap (c 0) (R 0) (θ 0)
⊢ (∯ (x : Fin 1 → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (z : ℂ) in C(c 0, R 0), f fun x => z
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))
hb : 0 < b
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
N : ℤ → Submodule R M := fun k => ↑(weightSpace M (k • α + χ))
⊢ (a • α + ↑b • χ) x = 0
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_4
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
CommSemiring R
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
Module R α
Module R β
B : Matrix n p β
⊢ Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) 0 B = 0
α : Type u_1
f : α → α
a : α
n i : ℕ
h : i < n
⊢ (iterate f a n).get? i = some (f^[i] a)
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
StrongRankCondition R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
AddCommGroup M'
Module R M'
Module.Free R M'
cnd : Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) = Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R M')
⊢ Nonempty (M ≃ₗ[R] M')
α : Type u_2
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b : α
ha : IsAtom a
hb : IsAtom b
hab : a ≠ b
⊢ Disjoint a b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : β → E
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
a : α
g : α → β → ℝ≥0
hg : Measurable (Function.uncurry g)
⊢ ∫ (b : β), f b ∂(κ.withDensity fun a b => ↑(g a b)) a = ∫ (b : β), g a b • f b ∂κ a
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsLindelof s ↔ IsLindelof Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β
abv : β → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : Nontrivial β
x : β
hx1 : abv x < 1
hx1' : abv x ≠ 1
⊢ IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (x ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → α → β
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.Integrable (f i) μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (∑ i ∈ s, f i) μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofIsLimitKernelFork S hf c hc).i = CategoryTheory.Limits.Fork.ι c
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddCommMonoid P
f : M →+ P
g : N →+ P
⊢ (f.coprod g).comp (AddMonoidHom.inl M N) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
a : WithTop α
b : WithTop β
⊢ WithTop.map₂ f a b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∨ b = ⊤
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := fun g => toFun hR g
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
⊢ g ∈ ↑(closure U) * R
z τ : ℂ
n : ℤ
⊢ cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z) * cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * (τ + 2)) = cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z) * cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.117700, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.117704, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + -1 = p₂
h₂₃ : p₂ + n = p₃
⊢ p₁ + m = p₃
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₁'.map f).τ₁ = f.f₀.τ₂
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
β : Type v
f : α ⊕ β → Ordinal.{max (max u v) w}
⊢ ∀ (i : α ⊕ β), f i ≤ max (sup fun a => f (Sum.inl a)) (sup fun b => f (Sum.inr b))
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
h : e.source = Set.univ
h' : e.target = Set.univ
⊢ ⇑(e.toHomeomorphOfSourceEqUnivTargetEqUniv h h') = ↑e
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < x + 1
⊢ Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atBot (𝓝 0)
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I✝ : Ideal R
F F' : I✝.Filtration M
I : Ideal R
N : Submodule R M
i : ℕ
⊢ I ^ (i + 1) • N ≤ I ^ i • N
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H
g : G
⊢ ∃ a, (rangeKerLift φ) a = ⟨φ g, ⋯⟩
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
Fintype m
Finite o
NonAssocSemiring α
DecidableEq o
e₁ : l → o
e₂ : m ≃ o
M : Matrix m n α
⊢ Matrix.submatrix 1 e₁ ⇑e₂ * M = M.submatrix (⇑e₂.symm ∘ e₁) id
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
v₁ v₂ : V
⊢ v₂ - midpoint R v₁ v₂ = ⅟2 • (v₂ - v₁)
J : Type u₁
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J × K ⥤ C
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'
⊢ F.map (𝟙 j, f) = ((CategoryTheory.curry.obj F).obj j).map f
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
x : ℝ
⊢ ↑(ProbabilityTheory.cdf μ) x ≤ 1
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
u : Set E
u_sep : IsSeparable u
hu : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, f x ∈ u
c : Dual ℝ E
⊢ (fun x => c (f x)) =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
⊢ Fintype (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
S : Set X
⊢ Equicontinuous (S.restrict ∘ F) ↔ EquicontinuousOn F S
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
a b : α
(𝓝[<] b).NeBot
⊢ Set.Ici a ∈ 𝓝ˢ (Set.Ici b) ↔ a < b
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₂₃ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_11, u_6} C₂₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂₃ C₄)
G₂₃ : CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₂₃)
X₁ : C₁
X₂ : C₂
X₃ : C₃
⊢ ((CategoryTheory.bifunctorComp₂₃Obj F G₂₃ X₁).obj X₂).obj X₃ = (F.obj X₁).obj ((G₂₃.obj X₂).obj X₃)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : γ → β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : Continuous ↿f
⊢ Continuous fun x => sInf (f x '' K)
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ Integrable (fun x => ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) μ
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
ho : o ≠ 0
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), Ordinal.IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
b : Ordinal.{max u v}
⊢ (∃ i, ∃ (hi : i < o), o.nfpBFamily f a ≤ f i hi b) ↔ o.nfpBFamily f a ≤ b
y : ℝ
h : ContinuousAt log 0
⊢ False
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsStrictOrder ι r
x y : Π₀ (i : ι), α i
hlt : x < y
⊢ Pi.Lex r (fun {i} x x_1 => x < x_1) ⇑x ⇑y
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
s t✝ u : Set α
x✝ y : α
Φ : α → β
inst✝ : ProperSpace α
h : IsClosed s
x z : α
hz : z ∈ s
t : Set α := s ∩ closedBall x (dist z x)
htc : IsCompact t
⊢ ∃ y ∈ s, infDist x t = dist x y
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
Fintype ι
c : ℝ≥0
h₁ : π.boxes.Nonempty
h₂ : ∀ J ∈ π, J.distortion = c
⊢ π.distortion = c
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T3Space X
x y : X
h : x ≠ y
⊢ ∃ U₁ ∈ 𝓝 x, ∃ V₁ ∈ 𝓝 x, ∃ U₂ ∈ 𝓝 y, ∃ V₂ ∈ 𝓝 y, IsClosed V₁ ∧ IsClosed V₂ ∧ IsOpen U₁ ∧ IsOpen U₂ ∧ V₁ ⊆ U₁ ∧ V₂ ⊆ U₂ ∧ Disjoint U₁ U₂
α : Type u_1
l r : Ordnode α
H : (∃ l', Raised l.size l' ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r' r.size ∧ BalancedSz l.size r'
⊢ (∃ l', Raised l' r.dual.size ∧ BalancedSz l' l.dual.size) ∨ ∃ r', Raised l.dual.size r' ∧ BalancedSz r.dual.size r'
s : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (-1) ^ k / ↑k.factorial
⊢ Tendsto (fun n => ↑(numDerangements n) / ↑n.factorial) atTop (𝓝 (Real.exp (-1)))
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
⊢ ⊤ * a = if a = 0 then 0 else ⊤
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hx : x ∈ rootSpace H χ₁
hm : m ∈ weightSpace M χ₂
n : ℕ
⊢ ((toEnd R L M) x ^ n) m ∈ weightSpace M (n • χ₁ + χ₂)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
w : ℝ
⊢ Real.fourierIntegral f w = ∫ (v : ℝ), Real.fourierChar (-(v * w)) • f v
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ Filter.Tendsto (Real.logb b) Filter.atTop Filter.atTop
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
z : S
x : R
y : ↥M
h : z * (algebraMap R S) ↑y = (algebraMap R S) x
hx : x = 0
⊢ z = 0
α : Type u_1
Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
h : Ordnode.Valid' o₁ t o₂
⊢ t.Valid
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_9
FunLike F E E'
LinearMapClass F 𝕜 E E'
f : F
⊢ (∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖x‖) ↔ ∀ (x y : E), ⟪f x, f y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Finset α
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s), f i = ∑ i ∈ s, f i
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
Add A
Add B
Mul A
Mul B
Star A
Star B
Add C
Mul C
Star C
e₁ : A ≃⋆+* B
e₂ : B ≃⋆+* C
x : A
⊢ (e₁.trans e₂) x = e₂ (e₁ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s✝ t : Set α
a b : α
inst✝ : Unique ι
s : ι → α
⊢ ⨆ i, s i = s default
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
hfx : ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {f : ι → R} {x : ι → M}, ∑ i : ι, f i • x i = 0 → Module.IsTrivialRelation f x
⊢ Module.Flat R M
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
DecompositionMonoid α
a : α
irr : Irreducible a
⊢ Prime a
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
SMul M β
m : MeasurableSpace α
f : α → M
MeasurableSMul M β
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
y : β
⊢ AEMeasurable (fun x => f x • y) μ
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
h : 0 < μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}
⊢ MeasurableSet {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
⊢ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (Iic a)
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
r x : M₁
hr : r ∈ M₁⁰
⊢ r * x = 0 ↔ x = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ Nontrivial ↥↑N ↔ N ≠ ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
CategoryTheory.ConcreteCategory C
F : TopCat.Presheaf C X
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
x : ↑X
hxU : x ∈ U
hxV : x ∈ V
W : TopologicalSpace.Opens ↑X
hxW : x ∈ W
iWU : W ⟶ U
iWV : W ⟶ V
sU : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj (Opposite.op U))
sV : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj (Opposite.op V))
ih : (F.map iWU.op) sU = (F.map iWV.op) sV
⊢ (F.germ ⟨x, hxU⟩) sU = (F.germ ⟨x, hxV⟩) sV
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪o.rightAngleRotation x, y⟫_ℝ = -⟪x, o.rightAngleRotation y⟫_ℝ
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq α'
DecidableEq β'
DecidableEq γ
DecidableEq δ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
g : γ → δ
f' : α' → β' → δ
g₁ : α → α'
g₂ : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ a) (g₂ b)
⊢ Finset.image g (Finset.image₂ f s t) = Finset.image₂ f' (Finset.image g₁ s) (Finset.image g₂ t)
a : ℚ
tr : Transcendental ℚ ↑a
⊢ False
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
x : G₀
hx : x ≠ 0
⊢ IsUnit x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Presentation R S
i : P.rels
⊢ (aeval P.val) (P.relation i) = 0