ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
b : OrthonormalBasis { x // x ∈ Classical.choose ⋯ } 𝕜 E := Classical.choose ⋯
⊢ OrthonormalBasis (Fin (Fintype.card { x // x ∈ Classical.choose ⋯ })) 𝕜 E
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
P : α → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (Ι a b), P x) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (Ioc a b), P x) ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (Ioc b a), P x
ι : Type u_1
Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
⊢ MeasureTheory.volume s ≤ EMetric.diam s ^ Fintype.card ι
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n
⊢ ↑m / ↑n - ↑(m % n) / ↑n = ↑(↑m / ↑n)
a : ℕ
⊢ ⌊√↑a⌋ = ↑a.sqrt
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a : G
h : |(-1)| = 1
⊢ orderOf (-1) ≤ 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
x : E
y : NormedSpace.Dual 𝕜 E
⊢ ((toDual 𝕜 E) ((toDual 𝕜 E).symm y)) x = y x
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ posFittingComp R L M₂ = LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (LieSubmodule.map e.symm.toLieModuleHom (posFittingComp R L M₂))
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
(x : α) → Decidable (x ∈ s)
(y : β) → Decidable (y ∈ t)
H : e.IsImage s t
H' : e'.IsImage s t
⊢ (e.piecewise e' s t H H').target = t.ite e.target e'.target
z : ℍ
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
hk' : 2 < ↑k
p_sum : Summable fun x => ‖↑x‖ ^ (-k)
⊢ TendstoLocallyUniformly (fun s x => ∑ x_1 ∈ s, eisSummand k (↑x_1) x) (fun x => eisensteinSeries a k x) Filter.atTop
R : Type u
ι : Type v
CommRing R
L : ι → Type w
(i : ι) → LieRing (L i)
(i : ι) → LieAlgebra R (L i)
x y : DirectSum ι fun i => L i
h : ∀ (i : ι), (DirectSum.lieAlgebraComponent R ι L i) x = (DirectSum.lieAlgebraComponent R ι L i) y
⊢ x = y
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
⊢ Submodule.span R s ≤ ↑(lieSpan R L s)
α : Type u_1
M : Type u_5
G : Type u_9
Monoid G
MulAction G α
AddCommMonoid M
g : G
a : α
b : M
⊢ g • Finsupp.single a b = Finsupp.single (g • a) b
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ e.source ∈ 𝓝 x
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
hab : a < b
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N n = MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ∧
  MeasureTheory.lowerCrossingTime 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N n = MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n
R : Type u_1
CommRing R
G : Type u
Ring G
Algebra R G
H : AlgebraCat R
f : G →ₐ[R] ↑H
⊢ AlgHom.comp (𝟙 H) f = f
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMapOn f s
⊢ ContinuousOn f (f ⁻¹' s)
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s t₁ t₂ : Set E
ht : t₁ ⊆ t₂
⊢ convexJoin 𝕜 s t₁ ⊆ convexJoin 𝕜 s t₂
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
a : α
l : List α
⊢ List.orderedInsert r a l = List.takeWhile (fun b => decide ¬r a b) l ++ a :: List.dropWhile (fun b => decide ¬r a b) l
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α →. β
(x : α) → Decidable (f x).Dom
s : Finset α
⊢ Finset.pimage f s = Finset.image (fun x => (f ↑x).get ⋯) (Finset.filter (fun x => (f x).Dom) s).attach
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : Continuous f
hf' : IsOpenMap f
s : TopologicalSpace.CompactOpens α
⊢ (TopologicalSpace.CompactOpens.map f hf hf' s).toCompacts = TopologicalSpace.Compacts.map f hf s.toCompacts
R : Type u
M : Type v
SubNegZeroMonoid R
Sub M
m₁ m₂ : M
⊢ TrivSqZeroExt.inr (m₁ - m₂) = TrivSqZeroExt.inr m₁ - TrivSqZeroExt.inr m₂
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
⊢ UniformInducing f ↔ UniformContinuous f ∧ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, edist (f a) (f b) < ε → edist a b < δ
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
h : u ∈ c.support
⊢ (c.rotate h).darts ~r c.darts
X : Type u_1
l : Type u_3
R : Type u_8
m' : l → Type u_9
n' : l → Type u_10
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
DecidableEq l
T2Space R
f : X → (i : l) → Matrix (m' i) (n' i) R
⊢ Matrix.blockDiagonal' (∑' (x : X), f x) = ∑' (x : X), Matrix.blockDiagonal' (f x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
⊢ IsLocallyConstant f ↔ ∀ (x : X), IsOpen (f ⁻¹' {f x})
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂✝ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj (e₁ i)
e₂ : ∀ (i : J), map i = (e₂✝ i).hom ≫ 𝒰.map (e₁ i)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ Function.Surjective ⇑(e₂✝ ((fun x => e₁.symm (𝒰.f x)) x)).hom.val.base
α : Type u_2
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ [[a, b]] = [[b, a]]
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝¹ x✝ y : Cofix F α
h : x✝ = mk y.dest
x : Cofix F α
⊢ (((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) x = Quot.mk (fun x y => x = mk y.dest) x
α : Type u_2
l₁ l₂ : Filter α
⊢ l₁ ⤳ l₂ ↔ l₁ ≤ l₂
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
Nontrivial R
n : ℕ
⊢ IsAlgebraic R ↑n
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, ↑f j ≤ ↑g j
⊢ f ≤ g
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ I.jacobson = I ↔ ⊥.jacobson = ⊥
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹
F : ℂ → E := fun z => (z - c) • f z
H : Tendsto (fun x => (x - c)⁻¹⁻¹ • (f x - f c)) (𝓝[≠] c) (𝓝 0)
⊢ ContinuousWithinAt F {c}ᶜ c
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddBelow s
⊢ sSup s⁻¹ = (sInf s)⁻¹
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
r r' r₁ r₂ : R
s t : ↥S
h : ↑t + r = ↑t + r'
⊢ r₁ + r + r₂ -ₒ s = r₁ + r' + r₂ -ₒ s
α : Type u_1
n : ℕ
p : Finset α → Sort u_4
s : Finset α
H : (t₁ : Finset α) → ({t₂ : Finset α} → t₂.card ≤ n → t₁ ⊂ t₂ → p t₂) → t₁.card ≤ n → p t₁
⊢ (fun a => s.strongDownwardInductionOn H a) = H s fun {t} ht x => t.strongDownwardInductionOn H ht
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ
⊢ tsupport (iteratedFDeriv 𝕜 n f) ⊆ tsupport f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
NormedSpace ℂ E
hf : CircleIntegrable f c R
⊢ IntervalIntegrable (fun θ => deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)) MeasureTheory.volume 0 (2 * π)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
hX : IsTerminal X
⊢ 𝟙 X = 0
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_4
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'
p : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection p
HasOrthogonalProjection (Submodule.map f p)
x : E
⊢ f ↑((orthogonalProjection p) x) = ↑((orthogonalProjection (Submodule.map f p)) (f x))
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
⊢ IsPullback ((pullbackRestrictIsoRestrict f U).inv ≫ pullback.snd f U.ι) (f ⁻¹ᵁ U).ι U.ι f
m n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i✝ j✝ : Fin n
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
e : Fin n ≃o Fin m
i : ℕ
h : ∀ m_1 < i, ∀ (hi : m_1 < n), ↑(e ⟨m_1, hi⟩) = m_1
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < ↑(e ⟨i, hi⟩)
⊢ j < i
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
p : α → Bool
q : β → Bool
hpq : (R ⇒ fun x x_1 => x ↔ x_1) (fun x => p x = true) fun x => q x = true
⊢ (List.Forall₂ R ⇒ List.Forall₂ R) (List.filter p) (List.filter q)
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)
⊢ ∀ a ∈ finPairsLT n, (if (f * g) a.fst ≤ (f * g) a.snd then -1 else 1) = (if f (g.signBijAux a).fst ≤ f (g.signBijAux a).snd then -1 else 1) * if g⁻¹ (g.signBijAux a).fst ≤ g⁻¹ (g.signBijAux a).snd then -1 else 1
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
j : J
x : ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat).obj j
⊢ M.mk F ⟨⟨j, x⟩.fst, 1 • ⟨j, x⟩.snd⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) ⟨j, x⟩
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
UniformSpace F
UniformAddGroup F
⊢ Embedding ContinuousMultilinearMap.toUniformOnFun
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
⊢ Gamma z * Gamma (1 - z) = ↑π / sin (↑π * z)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α
⊢ s.erase a ∩ t = s ∩ t.erase a
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
h : IsCoatomic αᵒᵈ
b : α
⊢ b = ⊥ ∨ ∃ a, IsAtom a ∧ a ≤ b
k n : ℕ
⊢ Pairwise (Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) fun x x x_1 => x < x_1) (antidiagonalTuple (k + 1) n)
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B₁ B₂ : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
hB₁ : B₁.IsSymm
hB₂ : B₂.IsSymm
⊢ (B₁ - B₂).IsSymm
K✝ : Type uK
inst✝⁸ : Field K✝
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K✝ V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K✝ V₂
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥W
e1 : ↥W ≃ₗ[K] Dual K V ⧸ dualAnnihilator W := (Free.chooseBasis K ↥W).toDualEquiv ≪≫ₗ W.quotAnnihilatorEquiv.symm
this✝ : FiniteDimensional K (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W)
e2 : (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W) ≃ₗ[K] ↥(dualAnnihilator W).dualAnnihilator := (Free.chooseBasis K (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W)).toDualEquiv ≪≫ₗ (dualAnnihilator W).dualQuotEquivDualAnnihilator
this : FiniteDimensional K ↥(dualAnnihilator W).dualAnnihilator
⊢ (dualAnnihilator W).dualAnnihilator = map (Dual.eval K V) W
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : BorelSpace G
g : G
⊢ {g} = (fun h => g⁻¹ * h) ⁻¹' {1}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
i k' : ℕ
hi : abv (∑ i ∈ range (k' + max n i), f i - ∑ i ∈ range (max n i), f i) ≤ ∑ k ∈ range (k' + max n i), a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k
⊢ abv (f (k' + max n i)) + abv (∑ x ∈ range (k' + max n i), f x + -∑ x ∈ range (max n i), f x) ≤ a (k' + max n i) + (∑ x ∈ range (k' + max n i), a x + -∑ x ∈ range (max n i), a x)
Fq F : Type
inst✝⁴ : Field Fq
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
⊢ Function.Injective ⇑((algebraMap (RatFunc Fq) F).comp (algebraMap Fq[X] (RatFunc Fq)))
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
inst✝ : StrongEpi (f ≫ g)
X Y : C
z : X ⟶ Y
x✝ : Mono z
u : Q ⟶ X
v : R ⟶ Y
sq : CommSq u g z v
h₀ : (f ≫ u) ≫ z = (f ≫ g) ≫ v
⊢ sq.HasLift
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R✝ : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : Integrable g μ
hgmeas : StronglyMeasurable g
hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0
hunif : UniformIntegrable (fun n => μ[g|↑ℱ n]) 1 μ
R : ℝ≥0
hR : ∀ (i : ℕ), eLpNorm ((fun n => μ[g|↑ℱ n]) i) 1 μ ≤ ↑R
hlimint : Integrable (limitProcess (fun n => μ[g|↑ℱ n]) ℱ μ) μ
this : ∀ (n : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (x : Ω) in s, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ IsPiSystem {s | ∃ n, MeasurableSet s}
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
T1Space X
Zero X
TopologicalSpace Y
f : Y → X
hf : Continuous f
⊢ IsOpen (Function.support f)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
T : AddSubmonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
z : N
⊢ k.toMap (g ↑(f.sec z).2) + (f.map hy k) z = k.toMap (g (f.sec z).1)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsSeparable F E
PerfectField E
⊢ PerfectField F
V : Type u_1
TopologicalSpace V
AddCommGroup V
Module ℝ V
K : ConvexBody V
⊢ IsCompact ↑K
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
β γ : Type v
f : β → γ
g : α → Part β
hg : OmegaCompletePartialOrder.Continuous' g
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous' fun x => f <$> g x
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X A : C
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
a : ↑(F.obj A)
h1 : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
h2 : IsConnected A
h3 : Mono u
⊢ ∃ a, IsGalois A ∧ Function.Bijective fun f => F.map f a
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
a : I
z : I → Bool
hz : z ∈ C
hx : ↑⟨Proj (fun x => x ∈ s) z, ⋯⟩ a = true
⊢ ∃ a_1 ∈ s, (if Proj (fun x => x ∈ s) z a_1 = true then e (π C fun x => x ∈ s) a_1 else 1 - e (π C fun x => x ∈ s) a_1) = e (π C fun x => x ∈ s) a
p n : ℕ
h_pos : 0 < n.centralBinom.factorization p
⊢ p ≤ 2 * n
α : Type u_1
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ s.ncard ≠ 0
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
n : ℤ
H : ℤ → Prop := fun n => ∀ T ∈ distinguishedTriangles, (shiftFunctor C n).obj T ∈ distinguishedTriangles
H_zero : H 0
H_one : H 1
⊢ H n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h_le : μ.restrict s ≤ ν.restrict s
h_meas_s : MeasurableSet s
⊢ (μ - ν) s = 0
α : Type u_1
NormedRing α
Nontrivial α
x : αˣ
⊢ 0 < ‖↑x‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
M N : CategoryTheory.Monad C
f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor
f_η : ∀ (X : C), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M.η.app X) (f.hom.app X) = N.η.app X := by aesop_cat
f_μ :
  ∀ (X : C),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M.μ.app X) (f.hom.app X) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M.map (f.hom.app X)) (f.hom.app (N.obj X))) (N.μ.app X) := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.MonadIso.mk f f_η f_μ).hom.toNatTrans = f.hom
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasDerivAt e e' ↑z
A : HasFDerivAt ofReal' ofRealCLM z
B : HasFDerivAt e (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM z)
⊢ HasDerivAt (fun x => (e ↑x).re) e'.re z
H : Type x
TopologicalSpace H
OrderedAddCommGroup H
ContinuousNeg H
a : H
⊢ Filter.Tendsto Neg.neg (𝓝[>] a) (𝓝[<] (-a))
R : Type u
CommRing R
p mod : R[X]
⊢ -p %ₘ mod = -(p %ₘ mod)
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup V
Algebra R A
Module R V
Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
⊢ (AlgHom.op (CliffordAlgebra.toBaseChange A Q)).comp CliffordAlgebra.reverseOp =
  (↑(Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R A A (CliffordAlgebra Q))).comp
    ((Algebra.TensorProduct.map (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)) CliffordAlgebra.reverseOp).comp
      (CliffordAlgebra.toBaseChange A Q))
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : StarRing B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : StarRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : StarModule R C
S✝ : StarSubalgebra R A
S : StarSubalgebra R C
g : B →⋆ₐ[R] C
f : A →⋆ₐ[R] B
⊢ ↑(comap f (comap g S)) = ↑(comap (g.comp f) S)
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
⊢ ¬Polynomial.Monic 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
⊢ (ρ_ X).inv ≫ (β_ X (𝟙_ C)).hom = (λ_ X).inv
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
n : ℕ
h : ¬n = 0
⊢ (n • f.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card = if n = 0 then 0 else (f.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Set.Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) < ⊤
α : Type u_1
x y : List α
h : x <+: y
hx : x ≠ []
⊢ x.head hx = y.head ⋯
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
ab : a ≤ b
⊢ variationOnFromTo f s a b = 0 ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s ∩ Set.Icc a b → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ Set.Icc a b → edist (f x) (f y) = 0
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
⊢ JoinedIn sᶜ a b
r : ℝ
hn : r < 0
⊢ r.sign = -1 ∨ r.sign = 0 ∨ r.sign = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
n : ℕ
i : ℝ≥0∞
x✝ : i ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range
⊢ Measurable fun μ => i * μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {i})
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η : P ⟶ Q
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp η (J.toSheafify Q) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (J.toSheafify P) (J.sheafifyMap η)
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))
⊢ HasFiniteIntegral (fun a => ‖s * (↑(rexp (-a)) * ↑a ^ (s - 1))‖) (volume.restrict (Ioc 0 Y))
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
g : ℕ → A⁰_ f := fun j => (m + m).choose j • if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
j : ℕ
hj : j ∈ range (m + m + 1)
⊢ Localization.mk ((m + m).choose j • ((proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j))) ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = (m + m).choose j • HomogeneousLocalization.val (if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ })
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ dist (AddOpposite.op x) (AddOpposite.op y) = dist x y
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
x : G
⊢ nhdsAddHom x = 𝓝 x
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
s : Set α
⊢ f⁻¹.IsCycleOn s ↔ f.IsCycleOn s
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L : Set V
C : G.ComponentCompl L
h : K ⊆ L
D : G.ComponentCompl K
⊢ SimpleGraph.ComponentCompl.hom h C = D ↔ ¬Disjoint ↑C ↑D
m n : ℕ
f : Vector ℕ m → Vector ℕ n
h : Vec f
⊢ Primrec f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
Zero E
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
SMul ℝ E
s : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
⊢ ↑s ∈ 𝓝 0
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
D : Derivation R A M
r : R
a : A
⊢ D (r • a) = r • D a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ n f s
hs : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ ContDiffOn ℝ n (fun x => Real.log (f x)) s
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
H : ∀ (x : S), IsUnit x → x ∈ N
⊢ Submonoid.comap (algebraMap R S) N = localizationLocalizationSubmodule M N
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
f_inj : InjOn f s
ht : autoParam t.Finite _auto✝
hle : s.encard ≤ t.encard
⊢ s.ncard ≤ t.ncard
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ I • N
p : (x : M) → x ∈ I • N → Prop
smul : ∀ (r : R) (hr : r ∈ I) (n : M) (hn : n ∈ N), p (r • n) ⋯
add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ I • N) (y : M) (hy : y ∈ I • N), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
⊢ p x hx
α : Type u_1
a : α
L : Array (Array α)
⊢ a ∈ L.join ↔ ∃ l, l ∈ L ∧ a ∈ l
x : ℂ
n : ℕ
⊢ Complex.cos (x - ↑n * (2 * ↑Real.pi)) = Complex.cos x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
CategoryTheory.Projective Z
⊢ (CategoryTheory.ProjectiveResolution.self Z).π = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((ChainComplex.single₀ C).obj Z)