ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
IsDomain R
p : Polynomial R
a : A
h : ¬IsUnit ((Polynomial.aeval a) (Multiset.map (fun x => Polynomial.X - Polynomial.C x) p.roots).prod)
⊢ ∃ k ∈ spectrum R a, Polynomial.eval k p = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
this : DecidableEq V
k : ℕ
hg : (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card = 2 * k + 1
hg' : (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card > 0
w : V
hw : w ∈ filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ
⊢ ∃ w, w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
hR : IsField R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsMaximal
x : R
hx : C x ∈ I
hx0 : ¬x = 0
y : R
hy : x * y = 1
⊢ 1 = C y * C x
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h : s ⊆ ↑N
a : G
w : a ∈ normalClosure s
x : G
ihx : x ∈ N
⊢ x⁻¹ ∈ N
A B C D B' D' : SemiNormedGrp
fab : A ⟶ B
fbd : B ⟶ D
fac : A ⟶ C
fcd : C ⟶ D
h : fab ≫ fbd = fac ≫ fcd
fbb' : B ⟶ B'
fdd' : D ⟶ D'
condb : fab ≫ fbb' = 0
condd : fcd ≫ fdd' = 0
g : B' ⟶ D'
h' : fbb' ≫ g = fbd ≫ fdd'
⊢ explicitCokernelDesc condb ≫ g = explicitCokernelDesc ⋯ ≫ explicitCokernelDesc condd
α : Type u
LE α
OrderBot α
a : α
⊢ ⊥ ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β
g : γ → δ
x : α × γ
⊢ (Prod.map f g x).snd = g x.snd
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ LieSubalgebra.lieSpan R L ∅ = ⊥
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
hf : StrictAntiOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ cmp (f x) (f y) = cmp y x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
⊢ I.IsInteriorPoint x ∨ I.IsBoundaryPoint x
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List (List α)
i : ℕ
h : i < L.length
⊢ drop (Nat.sum (take i (map length L))) (take (Nat.sum (take (i + 1) (map length L))) L.join) = L[i]
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
this✝ : I.IsMaximal := hI
this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I
ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C
hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ
φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k
hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ
⊢ ∃ x, I = vanishingIdeal {x}
b : ℕ
⊢ Nat.pow 1 b = 1
n : Type u_3
R : Type u_6
S : Type u_7
Fintype n
AddCommMonoid R
AddCommMonoid S
f : R →+ S
A : Matrix n n R
⊢ f A.trace = (f.mapMatrix A).trace
s : ℝ
⊢ Complex.Gamma ↑s = ↑(Real.Gamma s)
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ (LatticeHom.dual.symm f).toSupHom = SupHom.dual.symm f.toInfHom
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ Subgroup.normalClosure ↑(Subgroup.closure s) = Subgroup.normalClosure s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Perm ι
f g : ι → α
hfg : AntivaryOn f g ↑s
⊢ s.card • ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, g i
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ (∃ I, I ≠ ⊤ ∧ CharP (R ⧸ I) p) ↔ ∃ I, I.IsMaximal ∧ CharP (R ⧸ I) p
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n
⊢ s.GammaSeq n = ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑(x / ↑n * ↑n) ^ (s - 1)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hg : Embedding g
hf : Embedding f
⊢ Embedding (g ∘ f)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hg : HasFDerivAtFilter g g' x L
x✝ : E
⊢ f x✝ - f x - (f' x✝ - f' x) + (g x✝ - g x - (g' x✝ - g' x)) = f x✝ + g x✝ - (f x + g x) - (f' x✝ + g' x✝ - (f' x + g' x))
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
SetLike S R
hSR : SubsemiringClass S R
s : S
⊢ ⇑(SubsemiringClass.subtype s) = Subtype.val
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t : Set (PrimeSpectrum R)
f : R
x : PrimeSpectrum R
⊢ f ∈ ⨅ (_ : x ∈ t), x.asIdeal ↔ x ∈ t → f ∈ x.asIdeal
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : (S →₀ S) ⧸ kerTotal R S
⊢ (derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential (__src✝.toFun x) = x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ (toLinearMap₂' R) J' ∘ₗ toLin' A = ((toLinearMap₂' R) J).compl₂ (toLin' A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
a : ⨂[R]^n M
⊢ (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul GradedMonoid.GOne.one a) = a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ IntegrableOn f (Ioc b c) μ
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ
⊢ ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝 0, ∀ (r : ℚ), r.den ≤ n → ε ≤ dist x ↑r
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
Ring R
v v' : AddValuation R Γ₀
h : v = v'
⊢ v.IsEquiv v'
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α
⊢ ⊥ ⇨ a = ⊤
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
⊢ ker f = ⊥ ↔ range f = ⊤
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
s : Set G.Subgraph
hs : s.Nonempty
⊢ (sInf s).Adj a b ↔ ∀ G' ∈ s, G'.Adj a b
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
⊢ 2 • ∡ p₃ p₁ s.center + 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π
α : Type u_1
x : α
h : ↑x ≠ ⊥ := ⋯
⊢ (↑x).unbot h = x
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
NoMinOrder α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x > x_1) s ↔ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
h : ∃ i, p i
f : ι → ℝ≥0∞
this : Nonempty { i // p i }
⊢ (⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) + a = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i + a
num : ℕ
den : ℤ
n : ℕ
⊢ Rat.divInt (↑num) den ^ n = Rat.divInt (↑num ^ n) (den ^ n)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset P
⊢ centroid k univ Subtype.val = centroid k s id
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
M : Matrix m m' R
⊢ (toMatrix₂' R) B * M = (toMatrix₂' R) (B.compl₂ (toLin' M))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h : t ⊆ s
ht : Balanced 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ t
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
⊢ ‖r⁻¹‖ ≤ 1
α : Type u_1
arr : Array α
a : α
⊢ (arr.push a).data = arr.data ++ [a]
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
x : ℝ≥0
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
⊢ ↑x ∈ spectrum ℝ a ↔ x ∈ spectrum ℝ≥0 a
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
g : α → β
a : α
l : List α
ih : filterMap f l = map g l → ∀ (x : α), x ∈ l → f x = some (g x)
ha : f a = none
⊢ ¬filterMap f l = g a :: map g l
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
self : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
r : 𝕜
⊢ ⟪r • x, y⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) r * ⟪x, y⟫_𝕜
α : Type u_4
β : Type u_5
f : α → β
g : Poly α
v : β → ℕ
⊢ (Poly.map f g) v = g (v ∘ f)
n b : Nat
i : Fin b
h : b ≤ n
⊢ ↑i < n
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f : β → α
s : Finset β
⊢ (Multipliable fun x => f ↑x) ↔ Multipliable f
α : Type u
x : α
S : Set (Set α)
⊢ x ∈ ⋃₀ S ↔ ∃ t, t ∈ S ∧ x ∈ t
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Ring K
inst✝² : NoZeroDivisors K
inst✝¹ : Nontrivial K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
n : ℕ := Fintype.card ↥G
nzero : ↑(Fintype.card ↥G) = 0
p : ℕ
char_p : CharP K p
⊢ False
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
MeasurableSpace X
BorelSpace X
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
K : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : LipschitzOnWith K f s
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
M : Matrix n n R
⊢ (LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁) ((Matrix.toLinAlgEquiv v₁) M) = M
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
⊢ (quadraticChar F).IsQuadratic
K : Type u_2
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
h : w.IsReal
⊢ NumberField.ComplexEmbedding.conjugate w.embedding = w.embedding
γ : Type w
EMetricSpace γ
⊢ 𝓤 γ = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | edist p.1 p.2 < ε}
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
γ : α → Sort u_3
e : (a : α) → β a ↪ γ a
f : (a : α) → β a
a : α
⊢ (Function.Embedding.piCongrRight e) f a = (e a) (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
S : Type u_1
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
Monoid S
DistribMulAction S R
s : S
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ star (s • a) = s • star a
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
h : e ∈ M.E \ B
⊢ ¬M.Indep (insert e B)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : b < a
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
⊢ (fun t => log t • f t) =O[atTop] fun x => x ^ (-b)
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
g : X ⟶ widePullback B objs arrows
h1 : ∀ (j : J), g ≫ π arrows j = fs j
h2 : g ≫ base arrows = f
⊢ g = lift f fs w
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered C
inst✝¹ : HasLimits C
𝒢 : Set C
inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : IsCoseparating 𝒢
this : HasProductsOfShape (↑𝒢) C
⊢ HasInitial C
α : Type u
s t : Stream'.WSeq α
h : s ~ʷ t
⊢ s.Productive ↔ t.Productive
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : ∀ (v : X → ℝ) (x y : X), ∃ f ∈ L, f x = v x ∧ f y = v y
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
nX : Nonempty X
g : X → X → C(X, ℝ)
hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L
w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x
w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y
U : X → X → Set X := fun x y => {z | f z - ε < (g x y) z}
U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y
ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose
ys_w : ∀ (x : X), ⋃ y ∈ ys x, U x y = ⊤ := fun x => Exists.choose_spec (CompactSpace.elim_nhds_subcover (U x) (U_nhd_y x))
ys_nonempty : ∀ (x : X), (ys x).Nonempty
h : X → ↑L := fun x => ⟨(ys x).sup' ⋯ fun y => g x y, ⋯⟩
lt_h : ∀ (x z : X), f z - ε < ↑(h x) z
h_eq : ∀ (x : X), ↑(h x) x = f x
W : X → Set X := fun x => {z | ↑(h x) z < f z + ε}
W_nhd : ∀ (x : X), W x ∈ 𝓝 x
xs : Finset X := ⋯.choose
⊢ ∃ x, dist x f < ε ∧ x ∈ L
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
⊢ (reflection s) (v +ᵥ p) = -v +ᵥ p
α : Type u
ι : Type w
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → Set α
⊢ ⨅ i ∈ s, 𝓟 (f i) = 𝓟 (⋂ i ∈ s, f i)
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hx : x ^ n = 0
⊢ (x + y) ^ m ∣ y ^ p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
t : Finset α
ht : t ∈ 𝒜
ha : a ∉ t
hu : insert a t ∈ 𝒜
⊢ collapse 𝒜 a f t = f t + f (insert a t)
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c
cpos : 0 < c
A : 0 < c⁻¹ ^ 2
⊢ ∑ i ∈ filter (fun x => j < c ^ x) (range N), 1 / (c ^ i) ^ 2 ≤ c ^ 3 * (c - 1)⁻¹ / j ^ 2
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
F : Type u_8
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
s : Set M
⊢ ⇑f '' ↑(Submodule.span R s) ⊆ ↑(Submodule.span R₂ (⇑f '' s))
R : Type u_2
LinearOrder R
a b c : R
ha : a ≠ c
hb : b ≠ c
⊢ max a b ≠ c
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
⊢ x ∈ N.idealizer ↔ ∀ (m : M), ⁅x, m⁆ ∈ N
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ y ∈ affineSegment R x y
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ Icc a b = cons a (Ioc a b) ⋯
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f 1 (c • μ) = c * MeasureTheory.eLpNorm f 1 μ
x y : ℝ
hx_nonneg : 0 ≤ x
⊢ |x ^ y| = |x| ^ y
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
T : C
hT : IsTerminal T
F : Sheaf J D
⊢ toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op T))) ≫ 𝟙 ((presheafToSheaf J D).obj ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op T)))).val ≫ sheafifyLift J { app := fun x => F.val.map (hT.from (unop x)).op, naturality := ⋯ } ⋯ = { app := fun x => F.val.map (hT.from (unop x)).op, naturality := ⋯ }
f g : StieltjesFunction
x : ℝ
⊢ ↑(f + g) x = ↑f x + ↑g x
α : Type u_1
Add α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
b c : α
bc : b ≤ c
a : α
⊢ a + b ≤ a + c
m n k : ℕ
hk : k + 1 < n + 2
this : (n + 1 + (k + 1)) % (n + 2) = k % (n + 2)
⊢ ⟨k + 1, hk⟩ < ⟨k + 1, hk⟩ - 1 ↔ ⟨k + 1, hk⟩ = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : PseudoEpimorphism α β
⊢ ⇑f.toOrderHom = ⇑f
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
ι : Sort ?u.161801
inst✝² : _root_.Finite ι
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
this✝ : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance
f : ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) →ₗ[R] ↥(LinearMap.ker l) := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype = (LinearMap.ker l).subtype ∘ₗ f
hf : Function.Surjective ⇑f
this : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (l ∘ₗ π)
⊢ (LinearMap.ker π).FG
k✝ p✝ n✝ : ℕ
h✝ : 1 < p✝ ∧ 0 < n✝ ∧ n✝ % p✝ = 0
ih1✝ : go (k✝ + 1 + 1) p✝ (n✝ / p✝) = go (k✝ + 1) p✝ (n✝ / p✝) + 1
⊢ go (k✝ + 1) p✝ n✝ = go k✝ p✝ n✝ + 1
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Semifield S
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : IsScalarTower R S A
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSpace S
a : A
f : C(S, R)
h : SpectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : IsCompact (spectrum S a)
⊢ IsCompact (spectrum R a)
α : Type u_2
TopologicalSpace α
U : TopologicalSpace.Opens α
⊢ U.carrier = ↑U
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
⊢ Function.Injective ContinuousAlternatingMap.toContinuousMultilinearMap
o : Ordinal.{u_1}
⊢ (sup fun n => o * ↑n) = o * ω
G : Type u
Group G
H : Type v
Group H
f : G →* H
I : Type w
Group I
g : H →* I
x : Abelianization G
⊢ (Abelianization.map g) ((Abelianization.map f) x) = (Abelianization.map (g.comp f)) x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m₁ m₂ : MeasureTheory.OuterMeasure α
op : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
h : ∀ (s : Set α), m₁ s = op (m₂ s)
s : Set α
⊢ m₁.trim s = op (m₂.trim s)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : PInfty.f n = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])
π : Y₄ ⟶ Y₄ := (toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C) ⋙ karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).map Y.p
⊢ Y.p.app (op [n]) ≫ (PInfty.f n).f ≫ Y.p.app (op [n]) = Y.p.app (op [n]) ≫ (P₄.f n).f
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
⊢ False
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
Monoid P
P' : Type u_4
Monoid P'
f : P →* P'
g₁ : M →* P
g₂ : N →* P
⊢ f.comp (Monoid.Coprod.lift g₁ g₂) = Monoid.Coprod.lift (f.comp g₁) (f.comp g₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : ∀ ⦃s_1 : Set α⦄, s_1 ∈ 𝓟 s → ∃ t ∈ 𝓟 s, MeasurableSet t ∧ t ⊆ s_1
⊢ MeasurableSet s
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hS : S ∈ rightTransversals ↑H
g : G
⊢ (g * (↑(toFun hS g))⁻¹)⁻¹ = ↑(toFun hS g) * g⁻¹
a b : ℤ
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
⊢ (a + b).natAbs = a.natAbs + b.natAbs
α : Type u_2
LinearOrder α
i : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ IsLUB (↑s) i ↔ IsGreatest (↑s) i
n : ℕ
⊢ n.div2.bits = n.bits.tail
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℂ
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => Complex.sinh (f x)
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v : ι → V
x : V
hv : LinearIndependent K v
hx : x ∉ Submodule.span K (Set.range v)
⊢ LinearIndependent K fun o => o.casesOn' x v
R : Type u
M : Type v
Zero M
⊢ TrivSqZeroExt.fst ∘ TrivSqZeroExt.inl = id
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α
gxs : g • x ∈ s
⊢ x ∈ s
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
v : Set τ
hv : v ∈ f
⊢ omegaLimit f ϕ s = ⋂ u, closure (Set.image2 ϕ (↑u ∩ v) s)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0
c : ℝ → ℝ
hc : ∀ x ∈ Ioo a b, c x ∈ Ioo a x ∧ f x * g' (c x) = g x * f' (c x)
this : ∀ x ∈ Ioo a b, ((fun x' => f' x' / g' x') ∘ c) x = f x / g x
cmp : ∀ x ∈ Ioo a b, a < c x ∧ c x < x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[Ioo a b] a) l
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi c, ↑t ^ a = -↑c ^ (a + 1) / (a + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝ n : ℕ
xs✝ : List α
a : α
xs : List α
ha : a ∈ Sym.nil
hz : Sym.nil ∈ List.sym 0 xs
⊢ a ∈ xs
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C * r ^ n
n : ℕ
⊢ ‖f n‖ ≤ C * r ^ n
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
a : α
⊢ f a ∈ ↑(lift f).range
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
h : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r ≠ 0
hp : ↑p ∣ r
⊢ ↑p ∣ r
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
⊢ ↑(B ^ m / B ^ n).card ≤ (↑(A / B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
i : ι
b₁ : β₁ i
b₂ : β₂ i
⊢ f i ((single i b₁) i) ((single i b₂) i) = (single i (f i b₁ b₂)) i
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
sq : Square C
F : C ⥤ D
⊢ F.map sq.f₁₂ ≫ F.map sq.f₂₄ = F.map sq.f₁₃ ≫ F.map sq.f₃₄
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α
φ : α → β
hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)
h : u =ᶠ[l] φ * v
⊢ (fun x => (u x)⁻¹) =ᶠ[l] (fun x => (φ x)⁻¹) * fun x => (v x)⁻¹
α : Type u_1
a b : α
⊢ {a} ⊆ {b} ↔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
T2Space α
h : Summable f
⊢ HasSum f a ↔ ∑' (b : β), f b = a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : C → Prop
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms Q
h : P ≤ Q
⊢ isoClosure Q ≤ Q
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
⊢ (toBasicOpen R f) (IsLocalization.mk' (Localization.Away f) (∑ i ∈ t, b i * a i) ⟨f ^ (n + 1), ⋯⟩) = s
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L
⊢ ∀ᶠ (p : ℕ) in Filter.atTop, u p / ↑p < L
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G H K : MonCat
f : G ⟶ H
g : H ⟶ K
X : Action V K
⊢ ((Action.resComp V f g).hom.app X).hom = 𝟙 X.V
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n : PartENat
h : ∀ (i : ℕ), ↑i < n → (coeff R i) φ = 0
⊢ n ≤ φ.order