ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S✝ : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S✝
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
S : Submodule R M
S' : Submodule R M₂
⊢ (fun a => f a.1 + g a.2) '' ↑(S.prod S') = ⇑f '' ↑S + ⇑g '' ↑S'
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : Module.rank R M ≤ ↑n
⊢ ↑n < ℵ₀
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Q : AffineSubspace 𝕜 E
⊢ Convex 𝕜 ↑Q
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x y : M
S : Type u_5
OrderedCommSemiring S
Algebra S R
Module S M
SMulPosMono S R
IsScalarTower S R M
a : S
h : SameRay R x y
ha : 0 < a
⊢ SameRay R x (a • y)
J : Type u
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
⊢ F.sections.Nonempty
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R₁
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
f g : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
x : M
⊢ (f + g) x = f x + g x
α : Type u
a : α
s : Stream'.Seq α
⊢ (Stream'.Seq.cons a s).tail = s
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : G
b : α
n : ℤ
⊢ a ^ n • b = b ↔ ↑(minimalPeriod (fun x => a • x) b) ∣ n
R : Type u
Ring R
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
x : ↑(ModuleCat.FilteredColimits.M F)
⊢ 1 • x = x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule.IsNilpotent R L M
h : ¬LieModule.IsTrivial L M
⊢ LieModule.lowerCentralSeriesLast R L M ≤ LieModule.lowerCentralSeries R L M 1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
g : ℂ →L[ℝ] E
f : ℂ → E
map : ℂ →L[ℂ] E
nonzero : map ≠ 0
⊢ IsConformalMap (restrictScalars ℝ map)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
S.HasRightHomology
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
⊢ S.leftRightHomologyComparison =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.leftHomologyIso.hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁ h₂)
      h₂.rightHomologyIso.inv)
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
F G : CategoryTheory.Functor W.Localization D
τ₁ τ₂ : F ⟶ G
h : CategoryTheory.CategoryStruct.id W.Q ◫ τ₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id W.Q ◫ τ₂
⊢ τ₁ = τ₂
α : Type u_1
Preorder α
OrderTop α
f : Filter α
⊢ Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
G : Type u_2
Group G
Fintype G
R : Type u_3
CommRing R
MulSemiringAction G R
x : R
⊢ Polynomial.eval x (prodXSubSMul G R x) = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
G : AddSubgroup R
k : ℤ
g : R
h : g ∈ G
⊢ ↑k * g = k • g
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0 : a ≠ 0
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M
hM' : 0 ∉ M'
this : IsDomain (Localization M')
bot_maximal : ⊥.IsMaximal := (bot_quotient_isMaximal_iff P).mpr hP
⊢ IsField (R[X] ⧸ P)
ι : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Fintype ι
x : EuclideanSpace ℝ ι
r : ℝ
⊢ volume (Metric.closedBall x r) = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal (√π ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / 2 + 1))
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
RCLike 𝕜
NonUnitalNormedRing A
StarRing A
CstarRing A
CompleteSpace A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
⊢ NonUnitalContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p
K : Type u_2
Field K
⊢ Disjoint {w | w.IsReal} {w | w.IsComplex}
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMaxOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
this : {x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2}.Countable
⊢ {x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2} ⊆ {S | ∃ l u, l < u ∧ Ico l u = S}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : PartialIso α β
a : α
h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f
this✝ : ∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), x < y
b : β
hb : (∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), x < b) ∧ ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), b < y
p1 : α
p2 : β
hp : (p1, p2) ∈ ↑f
this : p1 ≠ a
hl : p1 < a
⊢ cmp (p1, p2).1 a = cmp (p1, p2).2 b
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hp : p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : ε > 0
k : 𝕜
hk₀ : 0 < ‖k‖
hk : ‖k‖ * r < ε
⊢ p.closedBall 0 ε ∈ 𝓝 0
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.6070, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.6074, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasLimit (F ⋙ eval C c n)
n m : ι
h : ¬c.Rel n m
j : J
⊢ limit.π (F ⋙ eval C c n) j ≫ (F.obj j).d n m = 0 ≫ limit.π (F ⋙ eval C c m) j
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C D
τ : F₁ ⟶ F₂
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
F₁.CommShift A
F₂.CommShift A
CategoryTheory.NatTrans.CommShift τ A
a : A
X : C
⊢ τ.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F₁.commShiftIso a).hom.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor D a).map (τ.app X))
      ((F₂.commShiftIso a).inv.app X))
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s + t).Nonempty
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
T : Submodule 𝕜 E
hT : IsCompl S T
M : (↥S × ↥T) ≃ₗ[𝕜] E := S.prodEquivOfIsCompl T hT
M_cont : Continuous ⇑M.symm
P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T
P_cont : Continuous ⇑P
I✝ : Function.Bijective ⇑(L.domRestrict T)
L' : ↥T ≃ₗ[𝕜] F := LinearEquiv.ofBijective (L.domRestrict T) I✝
L'_cont : Continuous ⇑L'
A : L = ↑L' ∘ₗ P ∘ₗ ↑M.symm
I : map (⇑L) μ = map (⇑L') (map (⇑P) (map (⇑M.symm) μ))
μS : Measure ↥S := addHaar
μT : Measure ↥T := addHaar
c₀ : ℝ≥0∞
c₀_pos : c₀ ≠ 0
c₀_fin : c₀ ≠ ⊤
h₀ : map (⇑M.symm) μ = c₀ • μS.prod μT
J : map (⇑P) (μS.prod μT) = μS univ • μT
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝ : Archimedean 𝕜
⊢ ⇑(equivIccQuot p a) ∘ Quotient.mk'' = fun x => Quot.mk (EndpointIdent p a) ⟨toIocMod ⋯ a x, ⋯⟩
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
third_ε_pos : 0 < ε / 3
⊢ ∀ᶠ (x : ProbabilityMeasure Ω) in 𝓝 P, dist x.toLevyProkhorov P.toLevyProkhorov < ε
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
⊢ ↑((B ^ m * C).card * (C * B ^ n).card) ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
SubtractionMonoid β
f : α →+ β
g : α
n : ℤ
⊢ f (n • g) = n • f g
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)
⊢ ∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) - g (x, y) ∂ν) ∂μ = ∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν) ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
FunLike F α β
AddGroup α
AddGroup β
AddMonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
ContinuousNeg β
f : F
⊢ ContinuousNeg α
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
⊢ μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ ⋃ b, spanningSets μ b) = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ PathConnectedSpace X ↔ IsPathConnected Set.univ
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
⊢ m.toFinset.sym2 = m.sym2.toFinset
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ∩ t = t ∩ s
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
⊢ (dualDistribInvOfBasis b c ∘ₗ dualDistrib R M N) ((b.dualBasis.tensorProduct c.dualBasis) (i, j)) = LinearMap.id ((b.dualBasis.tensorProduct c.dualBasis) (i, j))
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
h : c.Rel i j
⊢ c.Rel i (if h : ∃ j, c.Rel i j then h.choose else i)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
Fintype ↑(G.neighborSet v)
DecidableEq V
⊢ (G.incidenceFinset v).card = G.degree v
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
H : FermatLastTheoremForThreeGen hζ
⊢ FermatLastTheoremFor 3
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ Metric.ball x₀ ε, ‖F' x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ Metric.ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x => F x t) (F' x t) x
⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : Semiring R
x y : R
⊢ evalEval x y Y = y
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
VSub α β
s : ι → Set β
t : Set β
⊢ (⋃ i, s i) -ᵥ t = ⋃ i, s i -ᵥ t
l✝ r : List Char
it : Iterator
n : Nat
a : Char
l : List Char
h : ValidFor (a :: l) r it
hn : n + 1 ≤ (a :: l).length
⊢ ValidFor (List.drop (n + 1) (a :: l)) ((List.take (n + 1) (a :: l)).reverse ++ r) (it.prev.prevn n)
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
C : Set X
⊢ AccPt x (𝓟 C) ↔ ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ y ∈ U ∩ C, y ≠ x
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).den = 1
α : Type u
Sub α
x y : α
⊢ Multiplicative.ofAdd (x - y) = Multiplicative.ofAdd x / Multiplicative.ofAdd y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S
⊢ eval (1 + y) ((monomial d) (↑d + 1)) - eval y ((monomial d) (↑d + 1)) = ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * y ^ (x_1 - 1))
α : Type u
Add α
a b c : WithBot α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≠ ⊥
⊢ a + b ≤ a + c ↔ b ≤ c
I : Type u_5
X : I → Type u_7
Y : I → Type u_8
(i : I) → TopologicalSpace (X i)
(i : I) → TopologicalSpace (Y i)
f : (i : I) → C(X i, Y i)
a : (i : I) → X i
i : I
⊢ (ContinuousMap.piMap f) a i = (f i) (a i)
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hca : c ∣ b
⊢ (a + b) / c = a / c + b / c
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ b ⊔ a ⊓ b = a ⊔ b
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn : N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)
hs : insert i s ⊆ ↑N
⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N
X : Type u_2
TopologicalSpace X
DiscreteTopology X
⊢ Function.Bijective ⊥.proj
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
h3 : ∀ (g : G) {K : Compacts G}, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
K : Compacts G
hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0
U : Opens G
hU : (↑U).Nonempty
this✝ : (interior ↑U).Nonempty
s : Finset G
hs : K.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun x => g * x) ⁻¹' ↑U
this : ↑K ⊆ ↑(⨆ g ∈ s, (Opens.comap (Homeomorph.mulLeft g).toContinuousMap) U)
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ ↑s.card * μ.innerContent U
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : (J ⥤ C)ᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : C) (a : (Opposite.unop X).cocones.obj X_1),
  ((CategoryTheory.Limits.opHomCompWhiskeringLimYonedaIsoCocones J C).inv.app X).app X_1 a =
    (CategoryTheory.Limits.Types.limitEquivSections ((Opposite.unop X).op ⋙ CategoryTheory.yoneda.obj X_1)).symm
      ((CategoryTheory.Limits.opCompYonedaSectionsEquiv (Opposite.unop X) X_1).symm a)
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.Finite
this✝³ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝² : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝¹ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower R R' S'
this : IsScalarTower R S S'
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).Finite
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ filter (fun x => c ≤ x) (Ico a b) = Ico (max a c) b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this : Mono S₁.f
⊢ IsIso φ.τ₂
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
inst✝ : Unique ι
f : ι → α
⊢ ⨆ i, f i = f default
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ IsClosed (((dualPairing 𝕜 E).flip.flip.polar ∘ ⇑OrderDual.ofDual) ((dualPairing 𝕜 E).flip.polar s))
x✝ y x : ℝ
hx : 1 ≤ x
⊢ arcsin x = π / 2
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
Q : Type u_5
CommSemiring Q
Algebra R Q
IsLocalization M Q
x : R
y : ↥M
⊢ (IsLocalization.map Q (RingHom.id R) ⋯) (IsLocalization.mk' S x y) = IsLocalization.mk' Q x y
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
c : ℤ
⊢ smulg c 0 = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x : A
hx : x ∈ carrier f_deg q
⊢ ∀ (c : A), c • x ∈ carrier f_deg q
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C
h : F.map P.p ≫ φ.app P.X = φ.app P.X ≫ G.map P.p
h' : F.map (P.p ≫ P.p) = F.map P.p
⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f ≫ (φ'.app P.X).f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
hpq : p.degree < q.degree
⊢ (p /ₘ q).degree < p.degree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x : Part α
⊢ map (fun a => a) x = x
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}
this : ∀ (i : ι), f i + c ≤ (⨆ i, f i) + c
⊢ (⨆ i, f i) + c = ⨆ i, f i + c
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
S : Subsemigroup M
x : ↥S
⊢ f ↑x ∈ Subsemigroup.map f S
α : Type u_1
CommSemigroup α
a b : α
h : a ∣ b
⊢ ∃ c, b = c * a
α : Type u
l : List α
h : l ≠ []
⊢ l.cyclicPermutations.length = l.length
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p✝² p✝¹ p✝ : Set ℕ
⊢ of p✝² ≤ of p✝¹ → of p✝¹ ≤ of p✝ → of p✝² ≤ of p✝
b : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
⊢ a / b ≠ a' / b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
l : Filter γ
u : γ → α
a : α
⊢ (∀ᶠ (x : β) in map (fun x => e (u x)) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (e a)) ↔ ∀ᶠ (x : α) in map u l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a * b < c
hle : 1 ≤ b
⊢ a < c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
h : (μ + ν) t ≠ ⊤
h' : s ⊆ t
h'' : (μ + ν) s = (μ + ν) t
this : μ t + ν t ≤ μ s + ν t
⊢ ν t ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a * b < c * d
⊢ (a < c ∨ a < d) ∨ b < c ∨ b < d
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ico (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b) = ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Set.Ioc b a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ (ν.withDensity f).singularPart ν = 0
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
f : K →+* L
s : Subfield L
h : s ≤ f.fieldRange
⊢ Subfield.map f (Subfield.comap f s) = s
T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ := by volume_tac
⊢ MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥(AddSubgroup.zmultiples T)) (Set.Ioc t (t + T)) μ
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
K : TopologicalSpace.Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addIndex (↑K) V ≤
  MeasureTheory.Measure.haar.addIndex ↑K ↑K₀ * MeasureTheory.Measure.haar.addIndex (↑K₀) V
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 1
⊢ x ≠ y
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
DecidableEq α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HAdd.hAdd) LT.lt
LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ Finset.Icc a b + Finset.Ico c d ⊆ Finset.Ico (a + c) (b + d)
C : Type u
motive : {X Y : F C} → (X ⟶ Y) → Prop
X Y : F C
t : X ⟶ Y
id : ∀ (X : F C), motive (𝟙 X)
α_hom : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).hom
α_inv : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).inv
l_hom : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).hom
l_inv : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).inv
ρ_hom : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).hom
ρ_inv : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).inv
comp : ∀ {X Y Z : F C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), motive f → motive g → motive (f ≫ g)
whiskerLeft : ∀ (X : F C) {Y Z : F C} (f : Y ⟶ Z), motive f → motive (X ◁ f)
whiskerRight : ∀ {X Y : F C} (f : X ⟶ Y) (Z : F C), motive f → motive (f ▷ Z)
⊢ ∀ (a : X ⟶ᵐ Y), motive ⟦a⟧
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
Fintype β
Nonempty β
a b : α
⊢ (nndist (fun x => a) fun x => b) = nndist a b
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
CommRing R
n₁ n₂ n₃ : ℕ
h1 : n₁ ≤ n₂
h2 : n₂ ≤ n₃
x : TruncatedWittVector p n₃ R
⊢ (TruncatedWittVector.truncate h1) ((TruncatedWittVector.truncate h2) x) = (TruncatedWittVector.truncate ⋯) x
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
h : f ≈ g
ε : α
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑g j) < ε
R : Type u_1
M : Type u_3
MonoidWithZero R
Zero M
MulActionWithZero R M
⊢ ¬IsSMulRegular M 0 ↔ Nontrivial M
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
this : ∀ (M : Type ?u.4635) (N : Type ?u.4634) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
y : α
hya : a ≤ y
hyb : y < b
z : α
hzc : c ≤ z
hzd : z ≤ d
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ico (a * c) (b * d)
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
Field k
AddCommGroup E
Module k E
AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k
⊢ (b - a) • slope f a b +ᵥ f a = f b
α : Type u_1
⊢ Multiset.sym2 0 = 0
α : Type u_1
o : Part α
a : α
h : a ∈ o
h' : o.Dom
⊢ o.get h' = a