ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
f : G → E
x : G
⊢ fderiv 𝕜 (⇑iso ∘ f) x = (↑{ toLinearEquiv := iso.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp (fderiv 𝕜 f x)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
h : m ≤ m + k
⊢ p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hMN : ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {m : ι → M} {n : ι → N}, ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0 → VanishesTrivially R m n
M' : Submodule R M
⊢ ∀ (a : ↥M' ⊗[R] N), (rTensor N M'.subtype) a = 0 → a = 0
x✝ y✝ x : ℝ
hex : 1 ≤ x
y : ℝ
hey : 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
y_pos : 0 < y
⊢ 0 ≤ log y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hg_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
h_le : g ≤ᵐ[μ] f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a - g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ - ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : (setOf p).Finite
n : ℕ
⊢ count p n ≤ hp.toFinset.card
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (x : hat K) in 𝓝 x, ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
⊢ IsPreconnected {y | s.SOppSide x y}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
OrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
h : IsLinearMap 𝕜 f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {w | f w < r}
α : Type u
a : α
Group α
Fintype α
ha : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers a
x : α
⊢ ∃! n, x = a ^ n.val
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
φ : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
h0 : P.toPoly ≠ 0
x : R
⊢ x ∈ P.roots ↔ P.a * x ^ 3 + P.b * x ^ 2 + P.c * x + P.d = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
ha : IsLeast s a
hb : IsGreatest t b
⊢ IsLeast (Set.image2 f s t) (f a b)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
ProperSpace 𝕜
a : A
ha : (spectrum 𝕜 a).Nonempty
r : ℝ≥0
hr : ∀ k ∈ spectrum 𝕜 a, ‖k‖₊ < r
⊢ spectralRadius 𝕜 a < ↑r
R : Type u_1
M : Type u_2
Monoid R
MulAction R M
One M
x : M
⊢ x ∈ 1 ↔ ∃ r, r • 1 = x
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteSemilatticeInf α
s t : Set α
b : α
⊢ IsGLB s (sInf s)
α : Sort u_1
x y : α
⊢ x = y ∨ x ≠ y
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
h : μ μ.sigmaFiniteSetᶜ = 0
⊢ MeasureTheory.SigmaFinite μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
h : μ.InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤
A s : Set α
s_meas : MeasurableSet s
hs : (μ.restrict A) s ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < (μ.restrict A) s
⊢ ∃ K ⊆ s, p K ∧ r < (μ.restrict A) K
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → AddGroup (β i)
g₁ g₂ : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
⊢ (g₁ - g₂) i = g₁ i - g₂ i
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sSup ((fun x => ‖f x‖) '' ball 0 1) = ‖f‖
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : IsLeftCancelMul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0
x : G
⊢ (single x r * f).support = map (mulLeftEmbedding x) f.support
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
SMul α β
Preorder α
LinearOrder β
Zero α
PosSMulMono α β
ha : 0 ≤ a
b₁ b₂ : β
⊢ a • max b₁ b₂ = max (a • b₁) (a • b₂)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
⊢ ∀ ⦃d : α⦄, d ∣ p ^ i p → d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p' → ¬Prime d
α : Sort u_1
k l k' l' : ℕ
h : k = l
h' : k' = l'
f : Fin k → Fin k' → α
g : Fin l → Fin l' → α
⊢ HEq f g ↔ ∀ (i : Fin k) (j : Fin k'), f i j = g ⟨↑i, ⋯⟩ ⟨↑j, ⋯⟩
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
r : ℝ
⊢ ∏ i ∈ s, f i ^ r = (∏ i ∈ s, f i) ^ r
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂
⊢ clog b r₁ ≤ clog b r₂
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
SeminormedAddCommGroup V₁
f g : NormedAddGroupHom V W
φ : { φ // f.comp φ = g.comp φ }
⊢ NormedAddGroupHom.Equalizer.liftEquiv φ = NormedAddGroupHom.Equalizer.lift ↑φ ⋯
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
f : M ≃[L] N
⊢ ⇑f.toElementaryEmbedding = ⇑f
n k : ℕ
⊢ (n + k).choose k = (n + 1).ascFactorial k / k !
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ ∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ ≤ ∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
c : ℝ≥0∞
hG : CompleteSpace G
hc : c ≠ ⊤
hdfma : DominatedFinMeasAdditive μ (weightedSMul (c • μ)) c.toReal
hdfma_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) (weightedSMul (c • μ)) 1
⊢ setToFun (c • μ) (weightedSMul (c • μ)) ⋯ f = setToFun μ (fun s => c.toReal • weightedSMul μ s) ⋯ f
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
r : G.Walk u x
⊢ (p.append q).reverseAux r = q.reverseAux (p.reverseAux r)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
inst✝ : IsRefl α r
f : β → α
c : Set β
h : IsChain (f ⁻¹'o r) c
x✝¹ x✝ : { a // a ∈ c }
a : β
ha : a ∈ c
b : β
hb : b ∈ c
hab : a = b
⊢ ∃ z, r ((fun x => f ↑x) ⟨a, ha⟩) ((fun x => f ↑x) z) ∧ r ((fun x => f ↑x) ⟨b, hb⟩) ((fun x => f ↑x) z)
R : Type u_1
AddCommMonoid R
Pow R ℕ
BinomialRing R
r : R
⊢ Ring.multichoose r 1 = r ^ 1
R : Type u_1
CommSemiring R
R' : Type u_2
Monoid R'
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
DistribMulAction R' M
DistribMulAction R' N
TensorProduct.CompatibleSMul R R' M N
r : R'
m : M
n : N
⊢ (r • m) ⊗ₜ[R] n = m ⊗ₜ[R] (r • n)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra k A
inst✝ : Monoid G
r : k
⊢ (↑↑__src✝).toFun ((algebraMap k A) r) = (algebraMap k (MonoidAlgebra A G)) r
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
x : M
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R₂ M₂
⊢ x ∈ Submodule.comap f p ↔ f x ∈ p
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι
v : V
⊢ (∃ x, (∃ x_1, (x_1 ∈ univ ∧ ¬x_1 = i₀) ∧ p x_1 = x) ∧ p i₀ -ᵥ x = v) ↔ ∃ a, ∃ (_ : a ≠ i₀), p i₀ -ᵥ p a = v
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor C D
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
F : CategoryTheory.Functor J C
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit F G
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.preservesColimitIso G F).inv
    (G.map (CategoryTheory.Limits.colimit.desc F t)) =
  CategoryTheory.Limits.colimit.desc (F.comp G) (G.mapCocone t)
α : Type u_13
M : Type u_14
Zero M
self : α →₀ M
a : α
⊢ a ∈ self.support ↔ self.toFun a ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
x y : (CategoryTheory.forget D).obj (F.obj X)
⊢ ∀ (x_1 : C) (f : x_1 ⟶ Opposite.unop X),
  (CategoryTheory.Presheaf.equalizerSieve x y).arrows f = ((F.map f.op) x = (F.map f.op) y)
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
L : List (Γ k)
c₁ : TM1.Cfg Γ' Λ' σ
h₁ : c₁ ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
H₁ : c₁.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
q✝ : Option Λ
v✝ : σ
S✝ : (k : K) → List (Γ k)
L' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S✝ k)).reverse
h₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ } ∈ eval (TM2.step M) (TM2.init k L)
H₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k ∈ TM2.eval M k L
h₃ : { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') } ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
⊢ ∃ S L', addBottom L' = c₁.Tape.right₀ ∧ (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k
α : Type u
l₁ : List α
l₂ : List α
⊢ l₂ ≠ [] → (l₁ ++ l₂).getLast? = l₂.getLast?
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
E₀ E E₁ : Set Ω
E₀_subset : E₀ ⊆ E
subset_E₁ : E ⊆ E₁
nulldiff : μ (E₁ \ E₀) = 0
h_E₀ : μ E₀ ≤ liminf (fun i => (μs i) E₀) L
h_E₁ : limsup (fun i => (μs i) E₁) L ≤ μ E₁
⊢ autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => (μs i) E) _auto✝
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
z n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
⊢ z ≤ n / ↑d ↔ ↑z ≤ n /. ↑d
α : Sort u_1
inst✝ : IsEmpty α
f : α → ℝ
⊢ IsEmpty α
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝⁶ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝⁵ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝⁴ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f g : Module.End R M
h_comm : Commute f g
hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
hg : ∀ (μ : R), (trace R ↥(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) (restrict g ⋯) = 0
hfg : ∀ (μ : R), MapsTo ⇑(g ∘ₗ f) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)
μ : R
⊢ (trace R ↥(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) ((g ∘ₗ f).restrict ⋯) = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ((i : ι) × α i)
⊢ (Set.univ.sigma fun i => Sigma.mk i ⁻¹' s) = s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, I'⟯ M'
⊢ ⇑↑h = ⇑h
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Finset.filter (fun x => x ∈ s) Finset.univ = s
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop
⊢ (⋃ n, (x ^ n).support).IsPWO
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
AddGroup α
M N : Matrix ((i : o) × m' i) ((i : o) × n' i) α
⊢ (M - N).blockDiag' = M.blockDiag' - N.blockDiag'
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Sup α
Sup β
Sup γ
g : InfHom βᵒᵈ γᵒᵈ
f : InfHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ SupHom.dual.symm (g.comp f) = (SupHom.dual.symm g).comp (SupHom.dual.symm f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : LinearOrder E
f : X → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h_union : {x | f x ≤ 0} = {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}
B : NullMeasurableSet {x | f x = 0} μ
⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict {x | f x = 0}, f x = 0
α β : Type u
f g : α ⟶ β
h : ∀ (a : α), f a = g a
x : α
⊢ f x = g x
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
p q : List (Symbol T N)
⊢ r.Rewrites (p ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q) (p ++ r.output ++ q)
s : Set ℤ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
b : ℤ
Hb : ∀ z ∈ s, b ≤ z
Hinh : ∃ z, z ∈ s
this : s.Nonempty ∧ BddBelow s
⊢ sInf s = ↑(b.leastOfBdd Hb Hinh)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
C : ℝ≥0
f : E → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : s.Countable
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∃ L, ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : L → R
m : M
⊢ m ∈ weightSpace M χ ↔ ∀ (x : L), ∃ k, (((toEnd R L M) x - χ x • 1) ^ k) m = 0
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
r₁ r₂ : R
s₁ s₂ : ↥S
⊢ r₁ /ₒ s₁ * (r₂ /ₒ s₂) = OreLocalization.oreNum r₁ s₂ * r₂ /ₒ (OreLocalization.oreDenom r₁ s₂ * s₁)
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hij : i ≠ j
⊢ (interpolate s v) r = (interpolate (s.erase j) v) r * basisDivisor (v i) (v j) + (interpolate (s.erase i) v) r * basisDivisor (v j) (v i)
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
DecidableEq n
DecidableEq p
CommRing R
Fintype n
Fintype p
M : Matrix n n R
L : List (Matrix.TransvectionStruct n R)
N : Matrix p p R
⊢ (List.map (Matrix.TransvectionStruct.toMatrix ∘ Matrix.TransvectionStruct.sumInl p) L).prod *
    Matrix.fromBlocks M 0 0 N =
  Matrix.fromBlocks ((List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L).prod * M) 0 0 N
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : IsOpenMap g
hf : IsOpenMap f
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (g '' (f '' s))
α : Type u_4
self : BooleanRing α
a : α
⊢ a * a = a
a x z✝ z : ℂ
hπ : 0 < π
hz : z ≠ 0
N : ℤ
hN : z.arg + N • (2 * π) ∈ Ioc (-π) (-π + 2 * π)
⊢ z.arg ∈ Ioc (-π) π
a b : ℤ
hb0 : 0 < b
h : a.natAbs.Coprime b.natAbs
⊢ ↑(↑a / ↑b).den = b
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
b : ↥B
⊢ HNNExtension.of ↑b * HNNExtension.t = HNNExtension.t * HNNExtension.of ↑(φ.symm b)
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Group γ
TopologicalGroup γ
f : α →ₘ[μ] γ
⊢ ↑f⁻¹ =ᵐ[μ] (↑f)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
h this : SigmaFinite μ
s : ℕ → Set α := spanningSets μ
hs_univ : ⋃ i, s i = univ
hs_meas : ∀ (i : ℕ), s i = ∅ ∨ s i = univ
h_univ_empty : ¬univ = ∅
⊢ μ univ < ⊤
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Nontrivial B
this : Nontrivial A
⊢ ¬IsUnit (minpoly A x)
α : Type u_1
β : Type u_2
a b : β
⊢ Sum.inr a = Sum.inr b ↔ a = b
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
N M : Matroid α
hR : R ⊂ R
h : M ↾ R = M
⊢ False
α : Type u_1
DecidableEq α
xs ys : List α
h : xs ⊆ ys
⊢ xs ∩ ys = xs
p q y : ℝ
r✝ : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hp : 1 < p
r : ℚ
h : LiouvilleWith p ↑r
h0 : r ≠ 0
⊢ False
b : ℕ
L : List ℕ
⊢ Nat.ofDigits b L = (List.mapIdx (fun i a => a * b ^ i) L).sum
R : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero R
UniqueFactorizationMonoid R
NormalizationMonoid R
DecidableEq R
p x : R
hp : Irreducible p
hnorm : normalize p = p
n : ℕ
hle : p ^ n ∣ x
hlt : ¬p ^ (n + 1) ∣ x
⊢ Multiset.count p (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors x) = n
n : ℕ
⊢ antidiagonal (n + 2) = cons (0, n + 2) (cons (n + 2, 0) (map ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) (antidiagonal n)) ⋯) ⋯
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
j : ι
hj : ↑y ∈ S j
k : ι
hik : S i ≤ S k
hjk : S j ≤ S k
⊢ iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = f k (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
⊢ limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp' (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯).inv.app ((F.obj j).obj Z) = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limMap (whiskerLeft F (restriction R g))) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map ((ModuleCat.restrictScalars (R.map g)).map (limit.π (F ⋙ evaluation R Z) j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F ⋙ evaluation R Z).obj j)).inv
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
⊢ Function.Surjective (WType.elim (↥(closure s)) (Subfield.operate s))
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
F : W → V → E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • f v
F' : W → V → W →L[ℝ] E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • fourierSMulRight L f v
B : V → ℝ := fun v => 2 * π * ‖L‖ * ‖v‖ * ‖f v‖
h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ
h1 : ∀ᶠ (w' : W) in 𝓝 w, AEStronglyMeasurable (F w') μ
h3 : AEStronglyMeasurable (F' w) μ
h4 : ∀ᵐ (v : V) ∂μ, ∀ w' ∈ Metric.ball w 1, ‖F' w' v‖ ≤ B v
⊢ HasFDerivAt (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) w
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
S S₁ S₂ : ShortComplex C
hS : S.Exact
A : C
x₂ : A ⟶ S.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.g = 0
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.f
α : Type u_1
M : Type u_5
R : Type u_11
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
b : R
hb : b ≠ 0
g : α →₀ M
⊢ (b • g).support = g.support
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioi a ∩ Set.Ioi b = Set.Ioi (a ⊔ b)
z τ J J' : ℂ
⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (J' - 2 * ↑π * I * J) + (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) + cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) * (2 * ↑π * I)) / (2 * ↑π * I) = cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (J' + z * J * (2 * ↑π * I)) / (2 * ↑π * I)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
α : Type u
CommSemiring α
x : α
⊢ x ∈ Ideal.span {x}
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommRing α
LinearOrder ι
s : Finset ι
f g : ι → α
⊢ ∏ i ∈ s, (f i - g i) =
  ∏ i ∈ s, f i -
    ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ Finset.filter (fun x => x < i) s, (f j - g j)) * ∏ j ∈ Finset.filter (fun j => i < j) s, f j
α : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
uc : UniformContinuous (pkg.compare pkg')
⊢ pkg.compare pkg' ∘ pkg'.compare pkg = id
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
⊢ Polynomial.derivative (bernsteinPolynomial R n 0) = -↑n * bernsteinPolynomial R (n - 1) 0
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
i : Function.Injective ⇑f
p : Submodule R M
x : ↥(Submodule.map f p)
⊢ f ↑((Submodule.equivMapOfInjective f i p).symm x) = ↑x
ctx : Nat.Linear.Context
m₁ m₂ : Nat.Linear.Poly
h : Nat.Linear.Poly.denote_le ctx (m₁, m₂)
⊢ Nat.Linear.Poly.denote_le ctx (m₁.cancel m₂)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖f x‖ = a * ‖x‖
x : E
hx : 0 < ‖x‖
ha : 0 ≤ a
⊢ ‖f‖ = a
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ ∡ p₁ s.center p₃ = 2 • ∡ p₁ p₂ p₃
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
p : β → Prop
DecidablePred p
⊢ Finset.filter p (s.biUnion f) = s.biUnion fun a => Finset.filter p (f a)
x y : Bool
⊢ xor (!x) y = !xor x y