ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i✝ : ι
g✝ : G i✝
w : NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i✝
hgr : g✝ ∉ (φ i✝).range
n : ↑↑(φ i✝).range × ↑(d.set i✝) := ⋯.equiv (g✝ * (φ i✝) w.head)
w' : Word G := Word.cons (↑n.2) w.toWord hmw ⋯
i : ι
g : G i
hg : i = i✝ ∧ HEq g ↑n.2 ∨ ⟨i, g⟩ ∈ w.toList
⊢ g ∈ d.set i
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
r : R
g : PolynomialModule R M
n : ℕ
⊢ ((monomial i) r • g) n = if i ≤ n then r • g (n - i) else 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.40064, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.40068, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
inst✝ : HasZeroObject C
kf : KernelFork S.g
hkf : IsLimit kf
this : S.HasHomology
⊢ Arrow.mk S.toCycles ≅ Arrow.mk ((hkf.ofIsoLimit (Fork.ext (Iso.refl kf.pt) ⋯)).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯))
F : Type u → Type u
inst✝⁵ : Applicative F
inst✝⁴ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G H : Type u_1 → Type u_1
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : Applicative H
inst✝¹ : CommApplicative G
inst✝ : CommApplicative H
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → H γ
x : Multiset α
⊢ traverse (Comp.mk ∘ Functor.map h ∘ g) x = Comp.mk (traverse h <$> traverse g x)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
hn : ∃ l ∈ Finsupp.supported R R ↑t, (Finsupp.total ι R R h) l = f ^ (n + 1)
⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
M : Type u_1
AddZeroClass M
⊢ ↑AddSubmonoid.topEquiv = ⊤.subtype
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
s : AffineSubspace ℝ E
hs : s ≠ ⊤
⊢ μ ↑s = 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A✝
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] volume
c : ℝ
hc : c ≠ 0
A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹
⊢ IntegrableOn ((fun x => f (c * x)) ∘ fun x => x * c⁻¹) ((fun x => x * c⁻¹) ⁻¹' [[a / c, b / c]]) volume
α : Type u_2
M : Matroid α
X : Set α
e : α
he : e ∈ M.closure X
⊢ M.closure (insert e X) = M.closure X
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
i : K →+* L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : DecidableEq L
P : K[X]
hmo : P.Monic
hP : Splits (algebraMap K L) P
r : L
hr : r ∈ P.aroots L
⊢ (aeval r) (derivative P) = (Multiset.map (fun a => r - a) ((P.aroots L).erase r)).prod
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d
hbdc : b • d ≤ b • c
h : d ≤ c
⊢ False
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommGroup M'
Module R M'
l : M ≃ₗ[R] M'
⊢ IsAssociatedPrime I M ↔ IsAssociatedPrime I M'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits CategoryTheory.ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : TopCat.Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (Opposite.op (iSup U)))
h :
  ∀ (i : ι),
    (F.val.map (TopologicalSpace.Opens.leSupr U i).op) s = (F.val.map (TopologicalSpace.Opens.leSupr U i).op) t
⊢ s = t
ι : Type u_1
α : Type u_3
CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
f : ι → α
b : α
hf : IsLUB (Set.range fun s => ∏ i ∈ s, f i) b
⊢ HasProd f b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.surjective C = CategoryTheory.MorphismProperty.epimorphisms C ↔
  (CategoryTheory.forget C).PreservesEpimorphisms
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
this : Fact (μ ↑I < ⊤)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : ℕ → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x ↑(r x) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
x✝ : π.IsPartition
n : ℕ
m : ℝ≥0∞ := μ (π.filter fun J => N (π.tag J) = n).iUnion
⊢ m.toReal * ↑n ≤ ↑(δ n)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
⊢ ∀ {a b : B} (f : a ⟶ b),
  ((CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans.id F).naturality f).inv =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (F.map f)).hom
      (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (F.map f)).inv
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
One α
Preorder α
ZeroLEOneClass α
i : n
⊢ 0 ≤ 1 i
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ LinearIndependent ℤ (eval C ∘ ⇑(sum_equiv C hsC ho)) ↔ LinearIndependent ℤ (eval C ∘ (sum_equiv C hsC ho).toFun)
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ (NonUnitalSubring.center R).toNonUnitalSubsemiring = NonUnitalSubsemiring.center R
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : HomologicalComplex₂ C (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)
x y : ℤ
K.HasTotal (ComplexShape.up ℤ)
⊢ (((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₂ C y).obj K).totalShift₁Iso x).hom ≫
    (CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) x).map (K.totalShift₂Iso y).hom =
  (x * y).negOnePow •
    HomologicalComplex₂.total.map ((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁₂CommIso C x y).hom.app K) (ComplexShape.up ℤ) ≫
      (((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ C x).obj K).totalShift₂Iso y).hom ≫
        (CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) y).map (K.totalShift₁Iso x).hom ≫
          (CategoryTheory.shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).hom.app (K.total (ComplexShape.up ℤ))
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ PartENat.withTopEquiv (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a : R
ha₀ : 0 < a
ha₁ : a ≠ 1
⊢ Function.Injective fun x => a ^ x
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0
⊢ ↑(φ n) = ↑n * ∏ p ∈ n.primeFactors, (1 - (↑p)⁻¹)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x y : HahnSeries Γ R
xy : embDomain f x = embDomain f y
g : Γ
⊢ x.coeff g = y.coeff g
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
hf : MeasureTheory.Integrable f MeasureTheory.volume
hf' : MeasureTheory.Integrable (fun x => x • f x) MeasureTheory.volume
w : ℝ
⊢ HasDerivAt (𝓕 f) (𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * Complex.I * ↑x) • f x) w) w
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
s : Set N
f : G ≃* N
⊢ normalClosure (⇑f ⁻¹' s) = comap (↑f) (normalClosure s)
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Semiring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
hb : b.natDegree ≤ d
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff ↑j
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ A i₁ = A i₀
α : Type u_1
m n : PosNum
h : ↑m < ↑n
⊢ ↑m + 1 + (↑m + 1) ≤ ↑n + ↑n
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
h : W.Nonsingular x y
⊢ -WeierstrassCurve.Affine.Point.some h = WeierstrassCurve.Affine.Point.some ⋯
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
NonUnitalSemiring B
StarRing B
Module R B
ι : Type u_1
Nonempty ι
K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (NonUnitalStarSubalgebra.inclusion h)
T : NonUnitalStarSubalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
x : ↥(K i)
hx : ↑x ∈ T
⊢ (NonUnitalStarSubalgebra.iSupLift K dir f hf T hT) ⟨↑x, hx⟩ = (f i) x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ (o.areaForm (φ x)) (φ y) = (o.areaForm x) y
K : Type u
CommRing K
⊢ { toFractionRing := 0 } = 0
α : Type u_2
OrderedCommGroup α
s : NonemptyInterval α
⊢ ↑s⁻¹ = (↑s)⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.sheafOfTypesBotEquiv.inverse.map f).val = f
α : Type u_1
l : List (Equiv.Perm α)
h1 : 1 ∉ l
h2 : List.Pairwise Equiv.Perm.Disjoint l
⊢ l.Nodup
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
I : (d : D) → colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
d : D
⊢ IsConnected (StructuredArrow d F)
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : PartialOrder α
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {x | x ≤ b ∧ a ≤ x} = {a}
f : Turing.ToPartrec.Code
⊢ f.fix.eval = PFun.fix fun v => Part.map (fun v => if v.headI = 0 then Sum.inl v.tail else Sum.inr v.tail) (f.eval v)
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
⊢ UniformContinuous fun x => -x
α : Type u_1
Star α
⊢ star ∅ = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
Ring α
h : Function.Periodic f c
n : ℤ
⊢ Function.Periodic f (↑n * c)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
a b : α
⊢ normalize a ∣ b ↔ a ∣ b
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
X : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
Es : ℕ → Set X
Es_mble : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (Es i)
Es_disj : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
⊢ Tendsto (⇑μ ∘ fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i) atTop (𝓝 0)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map hU.fromSpec.val.base).obj U = ⊤
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ'✝ : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
μ' : Measure α
inst✝ : SFinite μ'
i : ℕ × ℕ
s : Set α
t : Set β
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : MeasurableSet t
⊢ ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2) + (sFiniteSeq μ' i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2)) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq μ i.1 + sFiniteSeq μ' i.1) s * (sFiniteSeq ν i.2) t
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ σ (a ^ n) = (fun x => x ^ n) '' σ a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h : Function.Injective ⇑(mul 𝕜 A)
a✝ : A
hx : (algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) 0 + (mul 𝕜 A) a✝ = 0
⊢ inl 0 + ↑a✝ = 0
F : Type u_1
Field F
x y : F
⊢ Lagrange.basisDivisor x y = 0 ↔ x = y
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
eval_fst_CLM : (ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ) →L[ℂ] ℂ := { toFun := fun f => f (1, 0), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, cont := ⋯ }
step1 : HasSum (fun x => jacobiTheta₂'_term x z τ) ((jacobiTheta₂_fderiv z τ) (1, 0))
step2 : ∀ (n : ℤ), (jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (1, 0) = jacobiTheta₂'_term n z τ
⊢ HasDerivAt (fun x => jacobiTheta₂ x τ) (jacobiTheta₂' z τ) z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
OrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : 0 < ∑ i ∈ t, w i
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
⊢ f (t.centerMass w p) ≤ t.centerMass w (f ∘ p)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
A : Set E
⊢ Set.exposedPoints 𝕜 A ⊆ A
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
⊢ max (max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yL b).birthday)) (max (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yR b).birthday)) = max ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b')
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
g : G
h : ∀ (n : G), n * g ∈ H ↔ g * n ∈ H
n : G
⊢ n ∈ H ↔ g * n * g⁻¹ ∈ H
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Group γ
TopologicalGroup γ
f g : α →ₘ[μ] γ
⊢ (f / g).toGerm = f.toGerm / g.toGerm
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ p q : R[X]
hp : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) p) = p
hq : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) q) = q
⊢ eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (p + q)) = p + q
t : ↑I
⊢ unitInterval.qRight (t, 1) = t
α : Type u
s : Set α
p : α → Prop
x : α
xs : x ∈ s
px : p x
⊢ x ∈ {x | x ∈ s ∧ p x}
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
h_irr : Irreducible (map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b
⊢ a ∣ f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
f : β × γ → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x)
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a / c < b ↔ a < b * c
α : Type u_1
MetricSpace α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ 0 < s.infsep ↔ s.Nontrivial
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : MultilinearMap 𝕜 E G
C : ℝ
H : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
⊢ ⇑(f.mkContinuous C H) = ⇑f
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S : Subalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ star S ↔ star x ∈ S
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇔ b ⊓ (a ⊔ b) = a ⊓ b
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
M : Subgroup H
hM : M ∈ {H_1 | IsCoatom H_1}
⊢ comap φ M ∈ {H | IsCoatom H}
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
DecidableEq (Associates α)
(p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
m p : Associates α
h0 : m ≠ 0
hp : Irreducible p
⊢ p.count m.factors ≠ 0 → p ≤ m
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Basis I X
hJI : J ⊆ I
hJ : X ⊆ M.closure J
⊢ I ⊆ M.closure J
E : Type u_6
SeminormedGroup E
y : E
ε : ℝ
⊢ Metric.ball y ε = {x | ‖x / y‖ < ε}
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a : R
n : ℕ
ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
⊢ 0 ≤ a ^ n ↔ 0 ≤ a
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 1 < b
⊢ a / b < a
F : Type u → Type v
Applicative F
G : Type u → Type w
Applicative G
self : ApplicativeTransformation F G
α : Type u
x : α
⊢ self.app α (pure x) = pure x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
X : C
⊢ CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk 0 0 (𝟙 ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X)) ∈
  CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S
⊢ f.mk' x₁ y₁ = f.mk' x₂ y₂ ↔ f.toMap (x₁ + ↑y₂) = f.toMap (x₂ + ↑y₁)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
sneg : { x // x ∈ P.parts ∧ ¬x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card } := (Equiv.refl (Finset α)).subtypeEquiv ⋯
el : { x // (↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (s.card % P.parts.card)
es : { x // ¬(↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (P.parts.card - s.card % P.parts.card)
f : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin (s.card % P.parts.card + (P.parts.card - s.card % P.parts.card)) := (Equiv.sumCompl fun a => (↑a).card = s.card / P.parts.card + 1).symm.trans ((el.sumCongr es).trans finSumFinEquiv)
p : Finset α
property✝ : p ∈ P.parts
⊢ p.card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(finSumFinEquiv (Sum.map (⇑el) (⇑es) ((Equiv.sumCompl fun a => (↑a).card = s.card / P.parts.card + 1).symm ⟨p, property✝⟩))) < s.card % P.parts.card
x y : ℝ
⊢ Real.sin x = Real.sin y ↔ ∃ k, y = 2 * ↑k * Real.pi + x ∨ y = (2 * ↑k + 1) * Real.pi - x
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H K : Subgroup N
f : G →* N
⊢ Subgroup.comap f (H ⊓ K) = Subgroup.comap f H ⊓ Subgroup.comap f K
α : Type u
l : List α
a : α
⊢ (l ++ [a]).reverse = a :: l.reverse
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e : β → α
h_e : UniformInducing e
h_dense : DenseRange e
f : β → γ
h_f : UniformContinuous f
inst✝ : CompleteSpace γ
d : Set (γ × γ)
hd : d ∈ 𝓤 γ
s : Set (γ × γ)
hs : s ∈ 𝓤 γ
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
h_pnt : ∀ {a : α} {m : Set α}, m ∈ 𝓝 a → ∃ c ∈ f '' (e ⁻¹' m), (c, ⋯.extend f a) ∈ s ∧ (⋯.extend f a, c) ∈ s
this✝¹ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β
this✝ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ comap (Prod.map e e) (𝓤 α)
t : Set (α × α)
ht : t ∈ 𝓤 α
ts : Prod.map e e ⁻¹' t ⊆ Prod.map f f ⁻¹' s
x✝ : α × α
x₁ x₂ : α
hx_t : (x₁, x₂) ∈ interior t
this : interior t ∈ 𝓝 (x₁, x₂)
⊢ (x₁, x₂) ∈ Prod.map (⋯.extend f) (⋯.extend f) ⁻¹' d
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj : j ≥ n
k : ℕ := j - n
⊢ abs (∑ m ∈ range j, x ^ m / ↑m.factorial - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial) ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2
X : Type u_1
TopologicalSpace X
A : Set X
⊢ derivedSet A ⊆ closure A
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
⊢ (fun I => ↑I) ↑(differentIdeal A B) = (fun I => ↑I) (FractionalIdeal.dual A K 1)⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution X
Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (φ.f 0) (Q.π.f 0) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.π.f 0) f
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (HomologicalComplex.opcyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) 0)
    (Q.fromLeftDerivedZero' F) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.fromLeftDerivedZero' F) (F.map f)
F : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
Group G
Monoid M
FunLike F G M
MonoidHomClass F G M
f g : F
x : G
h : f x = g x
⊢ f x⁻¹ = g x⁻¹
n : ℕ
⊢ ∏ p ∈ Finset.range (2 * n + 1), p ^ n.centralBinom.factorization p = n.centralBinom
x✝ y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
n : ℤ
⊢ x ^ (y + ↑n) = x ^ y * x ^ n
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
this✝ : PreservesColimits G
this : i.inv.app X✝ ≫ (F ⋙ G).map f ≫ i.hom.app Y✝ = (𝟭 C).map f
⊢ HasCokernel f
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
inst✝ : LocallyCompactSpace α
hs : IsCompact s
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ IsCompact (cthickening δ s)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
n : ℤ
h : b - n • p ∈ Set.Ico a (a + p)
⊢ toIcoDiv hp a b = n
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ (PFun.res f s).core t = sᶜ ∪ f ⁻¹' t
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
j k : ι
inst✝ : K.HasHomology j
h : K.d (c.prev j) j = 0
⊢ IsIso (K.pOpcycles j)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₂
ι' : Type u_1
k l n : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : MultilinearMap R (fun x => M') (MultilinearMap R (fun x => M') M₂)
x y : M'
this : ((curryFinFinset R M₂ M' hk hl).symm f) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) = (f fun x_1 => x) fun x => y
⊢ ((f fun x_1 => x) fun i => s.piecewise (fun x_1 => x) (fun x => y) ((sᶜ.orderEmbOfFin hl) i)) = (f fun x_1 => x) fun x => y
α : Type u
NonAssocRing α
a b : α
⊢ (a - 1) * b = a * b - b
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (b : β) in Set.univ, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
MulAction R X
r : X
s s' : ↥S
⊢ r /ₒ s = s' • r /ₒ (s' * s)
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ E
InnerProductSpace ℝ F
f : E → F
x : E
f' : E →L[ℝ] F
h : HasFDerivAt f f' x
H : ConformalAt f x
u v : E
⊢ InnerProductGeometry.angle (f' u) (f' v) = InnerProductGeometry.angle u v
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.324351, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.324358, u_2} D
inst✝¹ : HasInitial C
ι : Type u_3
X : ι → C
c : Cofan X
hc : IsVanKampenColimit c
i j : ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ (Discrete.natTrans fun k => if h : k.as = i then eqToHom ⋯ else eqToHom ⋯ ≫ initial.to ((Discrete.functor X).obj k)) ≫ c.ι = (Cofan.mk (X i) fun k => if h : k = i then eqToHom ⋯ else eqToHom ⋯ ≫ initial.to (X i)).ι ≫ (Functor.const (Discrete ι)).map (c.inj i)
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ Codisjoint (￢a) a