ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
s : Set β
⊢ (p.bindOnSupport f).toOuterMeasure s = ∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h).toOuterMeasure s
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E : Set α
hE✝ : E.Finite
f : Matroid α → Set α × Set (Set α) := fun M => (M.E, {B | M.Base B})
hf : Function.Injective f
M : Matroid α
hE : M.E ⊆ E
⊢ M.E ⊆ E ∧ ∀ (a : Set α), M.Base a → a ⊆ E
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
x : (i : ι) → E i
⊢ Continuous fun p => p x
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
a : S
⊢ (h.aequiv h) a = AlgEquiv.refl a
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : IsCompact s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u
⊢ IsCompact (μ.everywherePosSubset s)
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup (-u) f < -a
hb : limsup (-v) f < -b
ha' : a ≠ ⊤
hb' : b ≠ ⊤
h : limsup (-(u + v)) f = limsup (-u + -v) f
⊢ limsup (-(u + v)) f < -(a + b)
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℤ
⊢ ↑x = mk K p (0, ↑x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
⊢ univ.Nontrivial ↔ Nontrivial α
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => (f x).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f g : Filter α
⊢ (∀ ⦃s : Set α⦄, s ∈ f → ∀ ⦃s' : Set α⦄, s' ∈ g → (s ∩ s').Nonempty) ↔ ∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in f, p x) → ∀ {U : Set α}, U ∈ g → ∃ x, p x ∧ x ∈ U
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
x : α
hx : (μ.tilted f).rnDeriv ν x = ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv ν x
⊢ 0 ≤ rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ ∨ (μ.rnDeriv ν x).toReal = 0
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF
this✝ : a₁.NF
this : a₂.NF
h' : (a₁.sub a₂).repr = a₁.repr - a₂.repr
⊢ (match e₁.cmp e₂ with | Ordering.lt => 0 | Ordering.gt => e₁.oadd n₁ a₁ | Ordering.eq => match ↑n₁ - ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then a₁.sub a₂ else 0 | k.succ => e₁.oadd k.succPNat a₁).repr = (e₁.oadd n₁ a₁).repr - (e₂.oadd n₂ a₂).repr
n a b : ℕ
h : n = a + b
⊢ n.choose (n - b) = n.choose b
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, deriv f a < (f y - f x) / (y - x)
α : Type u_1
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
x : ↑(Ioo 0 1)
⊢ 1 - ↑x < 1
α : Type u_1
MetricSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
x : α
t r : ℝ
ht : t ∈ Set.Ioc 0 K
hr : r ≤ IsUnifLocDoublingMeasure.scalingScaleOf μ K
⊢ μ (Metric.closedBall x (t * r)) ≤ ↑(IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ K) * μ (Metric.closedBall x r)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : c ≤ d
h : c ≤ b
⊢ Iio b ∪ Ico c d = Iio (max b d)
M : ℝ
hM : M ≤ 1
⊢ Complex.stolzSet M = ∅
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.functorialityEquivalence F e).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun c => CategoryTheory.Limits.Cocones.ext (e.unitIso.app ((𝟭 (CategoryTheory.Limits.Cocone F)).obj c).1) ⋯) ⋯
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
CommMonoid N
Fintype α
f : α →₀ M
g : α → M → N
h : ∀ (i : α), g i 0 = 1
⊢ f.prod g = ∏ i : α, g i (f i)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor g).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)).inv
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f g (CategoryTheory.CategoryStruct.id c)).hom
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
β : ι → Type u_3
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (x : ι) → Ω → β x
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ iCondIndepFun m' hm' m f μ ↔ ∀ (s : Finset ι) {g : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (g i)) → μ[(⋂ i ∈ s, g i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(g i).indicator fun ω => 1|m']
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest
⊢ (TypeVec.id ::: ((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest)
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
CompleteLattice α
CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
ι : Sort x
f : ι → α
hf : ∀ (i : ι), u (l (f i)) = f i
⊢ l (⨅ i, f i) = ⨅ i, l (f i)
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
⊢ Polynomial.eval q (Polynomial.cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ n.totient
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) + I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) - I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) = ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
n : ℕ
α α' β β' : TypeVec.{u_1} (n + 1)
f : α.Arrow β
f' : α'.Arrow β'
⊢ TypeVec.dropFun (TypeVec.prod.map f f') = TypeVec.prod.map (TypeVec.dropFun f) (TypeVec.dropFun f')
a b : Bool
⊢ (a = true ↔ b = false) ↔ a = !b
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f g : PiLp p β
⊢ edist f g = edist g f
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
h : M ≤ nonZeroDivisors R
⊢ StrictMono (IsLocalization.coeSubmodule S)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : Y ⟶ X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f α.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y ↔ f = α.inv
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
n : ℕ
⊢ (↑n).toProd.1 = ↑n
α : Type u_2
DistribLattice α
s t u : Set α
⊢ t ⊼ u ⊻ s ⊆ (t ⊻ s) ⊼ (u ⊻ s)
F : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_4
UniformSpace β
UniformSpace γ
Zero γ
FunLike F β γ
CompactlySupportedContinuousMapClass F β γ
f : F
⊢ UniformContinuous ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
x₀ : E'
n m : ℕ
h : n < m
⊢ Tendsto (fun x => x - x₀) (𝓝 x₀) (𝓝 0)
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : Set ((i : ι) × π i)
⊢ IsConnected s ↔ ∃ i t, IsConnected t ∧ s = Sigma.mk i '' t
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
i✝ : κ
⊢ (comapDomain h hh 0) i✝ = 0 i✝
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab✝ : a ≤ b
hcd : c ≤ d
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
h : a * c = b * d
hab : a < b
⊢ a * c < b * d
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
⊢ ⋃₀ ↑I ∪ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI) = s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : HasMFDerivAt I I' f x f'
⊢ ContinuousAt f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv = CategoryTheory.Limits.coprod.inr
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Preorder ι
G : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
g : G i
m : M
⊢ (TensorProduct.directLimitLeft f M) ((Module.DirectLimit.of R ι G f i) g ⊗ₜ[R] m) =
  (Module.DirectLimit.of R ι (fun i => G i ⊗[R] M) (fun i j h => LinearMap.rTensor M (f i j h)) i) (g ⊗ₜ[R] m)
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
U V : ↑X.affineOpens
s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)
hs' : ↑s' ⊆ s
e : Ideal.span ↑s' = ⊤
⊢ IsCompact (⋃ i, ↑↑U ∩ ↑↑V ∩ ↑(X.basicOpen ↑i))
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s
hf : AnalyticWithinOn 𝕜 f s
x : E
m : x ∈ s
r : ℝ
r0 : r > 0
rs : Metric.ball x r ⊆ s
⊢ AnalyticAt 𝕜 f x
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.RightExtension F
h : E.IsPointwiseRightKanExtension
⊢ L.HasRightKanExtension F
q✝ a b c q : ℚ
hq : q.den = 1
⊢ q.num /. 1 = q.num /. ↑1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Monoid Y
ContinuousMul Y
f : LocallyConstant X Y
⊢ LocallyConstant.toContinuousMapMonoidHom f = ↑f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
⊢ Bornology.relativelyCompact X = Bornology.inCompact X
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℕ
hr : r < 0
hf : Tendsto f l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x • r) l atBot
M : Type u_1
α : Type u_2
Monoid M
MulAction M α
s : SubMulAction M α
⊢ Set.range ⇑s.inclusion = s.carrier
α : Type u
l : List α
⊢ drop l.length l ++ take l.length l = l
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ⨳ (b ♯ c) = a ⨳ b ♯ a ⨳ c
X : Type u
TopologicalSpace X
a : X
⊢ ↑(ContinuousMap.HomotopyEquiv.refl X).symm a = a
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
x : ↑C
i : I
⊢ (i ∈ ↑l → ↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) i = true) = (i ∈ ↑l → ↑x i = true)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2
⊢ Submodule.comap reverse (evenOdd Q n) = evenOdd Q n
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F✝ F : J ⥤ C
X : (X : Cᵒᵖ) × F.cones.obj X
⊢ ((fun c => { pt := unop c.fst, π := c.snd }) ≫ fun c => ⟨op c.pt, c.π⟩) X = 𝟙 ((X : Cᵒᵖ) × F.cones.obj X) X
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α →𝒄 Part β
g : α →𝒄 β → Part γ
c : Chain α
⊢ ((↑f).partBind g.toOrderHom) (ωSup c) = ωSup (c.map ((↑f).partBind g.toOrderHom))
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MulAction G X
inst✝⁸ : MulAction G Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
H : Type u_5
inst✝³ : Group H
inst✝² : MulAction H X
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : ProperSMul G X
f : H →* G
f_clemb : ClosedEmbedding ⇑f
f_compat : ∀ (h : H) (x : X), f h • x = h • x
this : IsProperMap ⇑f
⊢ IsProperMap fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)
R : Type u_1
Ring R
φ : PowerSeries R
u : Rˣ
⊢ (PowerSeries.constantCoeff R) (φ.invOfUnit u) = ↑u⁻¹
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : p ≠ 0
⊢ ∃ n g, g.Separable ∧ (expand F (p ^ n)) g = f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a b : R
η : Type u_9
inst✝ : Nonempty η
s : η → Set A
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (i : η), AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Set A
ht : t ⊆ ⋃ i, s i
ft : t.Finite
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ eval₂ f 0 p = f (p.coeff 0)
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
x : α
⊢ ↑(SignType.sign x) * |x| = x
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
Q : QuadraticMap R (Mᵢ i) P
m : (i : ι) → Mᵢ i
j : ι
hij : j ≠ i
⊢ (Pi.single i Q j) (m j) = 0
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
⊢ s.min = ⊤ ↔ s = ∅
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
A B C : Set E
hC : IsExposed 𝕜 A C
hBA : B ⊆ A
hCB : C ⊆ B
⊢ IsExposed 𝕜 B C
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
hy : ∀ x ∈ K, ¬Inseparable x y
⊢ y ∉ closure K
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => (f x).toNNReal) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
G : Type u_2
CommGroup G
⊢ Group.nilpotencyClass G ≤ 1
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
a : K
nth_partNum_eq : (of v).partNums.get? n = some a
⊢ a = 1
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t
hg : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : ∀ y ∈ ball t₀ ε, (HasDerivAt f (v y (f y)) y ∧ f y ∈ s y) ∧ HasDerivAt g (v y (g y)) y ∧ g y ∈ s y
⊢ EqOn f g (ball t₀ ε)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
T : Submodule 𝕜 E
hT : IsCompl S T
M : (↥S × ↥T) ≃ₗ[𝕜] E := S.prodEquivOfIsCompl T hT
M_cont : Continuous ⇑M.symm
P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T
P_cont : Continuous ⇑P
I✝ : Function.Bijective ⇑(L.domRestrict T)
L' : ↥T ≃ₗ[𝕜] F := LinearEquiv.ofBijective (L.domRestrict T) I✝
L'_cont : Continuous ⇑L'
A : L = ↑L' ∘ₗ P ∘ₗ ↑M.symm
I : map (⇑L) μ = map (⇑L') (map (⇑P) (map (⇑M.symm) μ))
μS : Measure ↥S := addHaar
μT : Measure ↥T := addHaar
c₀ : ℝ≥0∞
c₀_pos : c₀ ≠ 0
c₀_fin : c₀ ≠ ⊤
h₀ : map (⇑M.symm) μ = c₀ • μS.prod μT
J : map (⇑P) (μS.prod μT) = μS univ • μT
c₁ : ℝ≥0∞
c₁_pos : c₁ ≠ 0
c₁_fin : c₁ ≠ ⊤
h₁ : map (⇑L') μT = c₁ • ν
⊢ (c₀ * μS univ * c₁) • ν = (c₀ * c₁ * addHaar univ) • ν
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ Collinear k (insert p₁ s) ↔ Collinear k {p₁, p₂, p₃}
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ι : Type u_4
t : ι → IntermediateField K L
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic K ↥(t i)
x : L
hx✝ : x ∈ ⨆ i, t i
s : Finset ((i : ι) × ↥(t i))
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, K⟮↑i.snd⟯
⊢ IsAlgebraic K ⟨x, hx⟩
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ✝ φ : V ⥤q V'
Φ : FreeGroupoid V ⥤ V'
hΦ : of V ⋙q Φ.toPrefunctor = φ
⊢ Φ = lift φ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4719, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S✝ S₁ S₂ : ShortComplex C
S : ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.ShortExact
⊢ Mono S.unop.f
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : dist z c < R₁
hR₁ : 0 < R₁
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo (dist z c) R₁
hr₀ : 0 < r
hd : DiffContOnCl ℂ (dslope f c) (ball c r)
⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / r
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
DecidableEq ι
i : ι
b₁ b₂ : β i
⊢ dist ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₁)) ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₂)) =
  dist b₁ b₂
R : Type u_1
Semiring R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
x : OreLocalization S R
⊢ x * 0 = 0
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
c : ℕ → ℝ
d : ℕ → E
hc : Tendsto c atTop atTop
hcd : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
hc' : Tendsto (fun x => ‖c x‖) atTop atTop
hd : Tendsto (fun n => a + d n) atTop (𝓝[s] (a + 0))
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, c n • (f (a + d n) - f a) ≤ 0
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ (∀ (f g : R[X]), f = g) ↔ ∀ (a b : R), a = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
self : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
⊢ s ∈ self.faces → t ⊆ s → t ≠ ∅ → t ∈ self.faces
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
⊢ span R ↑∅ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
Fintype α
Fintype β
e : α ≃ β
⊢ Fintype.card (α ≃ β) = (Fintype.card α)!
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
⊢ descPochhammer ℤ (n + 1) = descPochhammer ℤ n * (X - ↑n)
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n : ℕ
hn : 0 < n
this : (X ^ n - C x).degree ≠ 0
z : k
hz : (X ^ n - C x).IsRoot z
⊢ z ^ n = x
α : Type u_1
s t : Set α
Star α
⊢ star (s ∪ t) = star s ∪ star t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospan f g).map CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.Hom.inr = g
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoid α
LT α
s : Finset ι
f : ι → WithBot α
h : ∀ i ∈ s, f i ≠ ⊥
⊢ ⊥ < ∑ i ∈ s, f i
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.16591, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : HasKernel S.g
inst✝ : HasCokernel S.f
⊢ S.Exact ↔ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
R : Type u
N : Type w
CommSemiring R
σ : Type u_1
DecidableEq σ
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
CommSemiring N
Algebra R N
e : σ →₀ ℕ
s : S
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ MvPolynomial.coeff d (MvPolynomial.rTensorAlgHom ((MvPolynomial.monomial e) s ⊗ₜ[R] n)) = if e = d then s ⊗ₜ[R] n else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : ∀ (z : ℕ), IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun a => |k a ^ z * f a|
z : ℕ
⊢ Tendsto (fun a => |k a ^ z * f a|) l (𝓝 0)
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
h2 : cos x * (2 * sin x * cos x) = 2 * sin x * cos x ^ 2
⊢ sin x * (2 * (1 - sin x ^ 2) - 1) + cos x * (2 * sin x * cos x) = 3 * sin x - 4 * sin x ^ 3
n : ℕ
x a₁ b₁ a₂ b₂ : ℝ
e : |1 + x / ↑(n + 1) * a₂ - a₁| ≤ b₁ - |x| / ↑(n + 1) * b₂
h : |rexp x - expNear (n + 1) x a₂| ≤ |x| ^ (n + 1) / ↑(n + 1).factorial * b₂
⊢ |x| ^ (n + 1) / ↑(n + 1).factorial * b₂ + |x ^ n / ↑n.factorial| * |1 + x / (↑n + 1) * a₂ - a₁| = |x| ^ n / ↑n.factorial * (|x| / ↑(n + 1) * b₂ + |1 + x / ↑(n + 1) * a₂ - a₁|)
E : Type
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℂ
n : ℤ
hab : a < b
⊢ fourierCoeffOn hab (c • f) n = c • fourierCoeffOn hab f n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
n : ℕ
_hn : n ∈ f.support
this✝ : C (f.coeff n) ∈ p
this : (monomial n) 1 • C (f.coeff n) ∈ p
⊢ C (f.coeff n) * X ^ n ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
R : Type v
CommRing R
A : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R
⊢ A.det = A 0 0 * A 1 1 - A 0 1 * A 1 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x✝ : X
s✝ : Set X
x : X
s : Set X
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, IsClosed t ∧ t ⊆ s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
S : Set X
⊢ IsIrreducible S ↔ ∃ x, S = {x}
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b c✝ d x✝ y z : P
r R✝ : ℝ
c : P
a R : ℝ
x : P
⊢ inversion c (a * R) x = (homothety c (a ^ 2)) (inversion c R x)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
hH : Group.IsNilpotent H
⊢ Group.nilpotencyClass G ≤ Group.nilpotencyClass H + 1
G : Type u_1
AddCommGroup G
a b : G
⊢ a + b + -a = b
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
⊢ ⇑(AffineMap.id k P1) = id
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
hp : p < ⊤
hp' : Free R (M ⧸ p)
⊢ ∃ f, f ≠ 0 ∧ map f p = ⊥