ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
invFun : N → M
h₁ : Function.LeftInverse invFun (↑f).toFun
h₂ : Function.RightInverse invFun (↑f).toFun
⊢ ⇑{ toLieModuleHom := f, invFun := invFun, left_inv := h₁, right_inv := h₂ } = ⇑f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
⊢ {s | IsPreconnected s} = range (uncurry Icc) ∪ range (uncurry Ico) ∪ range (uncurry Ioc) ∪ range (uncurry Ioo) ∪ (range Ici ∪ range Ioi ∪ range Iic ∪ range Iio ∪ {univ, ∅})
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M✝ : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
M : Submonoid S
inst✝ : IsLocalization M S'
x : S
s : Finset S'
A : Subalgebra R S
hA₁ : ↑(finsetIntegerMultiple M s) ⊆ ↑A
hA₂ : M ≤ A.toSubmonoid
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
g : S →ₐ[R] S' := IsScalarTower.toAlgHom R S S'
y : ↥M := commonDenomOfFinset M s
hx₁ : ↑y • ↑s = ⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple M s)
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, ↑y ^ n_1 • (algebraMap S S') x ∈ Subalgebra.map g A
x' : S
hx' : x' ∈ ↑A.toSubsemiring
hx'' : ↑g x' = (algebraMap S S') (↑y ^ n * x)
a : ↥M
ha₂ : ↑a * x' = ↑a * (↑y ^ n * x)
⊢ (a * y ^ n) • x = x' * ↑a
M : Type u_1
Monoid M
s : Set (Submonoid M)
⊢ (sInf s).units = ⨅ S ∈ s, S.units
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] F
⊢ HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) f' s x ↔
  HasFDerivWithinAt f
    ((↑{ toLinearEquiv := iso.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp f') s x
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
inhabited_h : Inhabited P
⊢ Subsingleton G ↔ Subsingleton P
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
f : ι → Set α
I : Set ι
x : α
⊢ EMetric.infEdist x (⋃ i ∈ I, f i) = ⨅ i ∈ I, EMetric.infEdist x (f i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h₁ : CategoryTheory.Limits.IsZero T.obj₁
h₂ : CategoryTheory.Limits.IsZero T.obj₂
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero T.obj₃
R : Type u_2
LinearOrderedField R
Archimedean R
p : R → Prop
h : ∀ᶠ (x : R) in Filter.atTop, p x
⊢ ∀ᶠ (n : ℚ) in Filter.atTop, p ↑n
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)) (↑I '' s)
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
self : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
⊢ A₀ ^ 2 = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hu : u ∈ K
hv : v ∈ Kᗮ
⊢ ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
m n : ℤ
even : Even (n - m)
⊢ 2 + m ≤ n ↔ m < n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Balanced 𝕜 s
ht : Balanced 𝕜 t
⊢ Balanced 𝕜 (s + t)
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J
⊢ G.map (colimit.ι X✝ j ≫ colimMap f) = G.map (f.app j ≫ colimit.ι Y✝ j)
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a : α
⊢ a ∈ (PMF.uniformOfFinset s hs).support ↔ a ∈ s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Sheaf C X
U V : Opens ↑X
s : PullbackCone (F.val.map (homOfLE ⋯).op) (F.val.map (homOfLE ⋯).op)
⊢ ⋯.some.lift { pt := s.pt, π := { app := fun X_1 => Pairwise.rec (fun a => WalkingPair.rec s.fst s.snd a.down) (fun a a_1 => WalkingPair.rec (s.fst ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op) (s.snd ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op) a.down) (unop X_1), naturality := ⋯ } } ≫ F.val.map ((eqToHom ⋯).op ≫ (homOfLE ⋯).op) = s.snd
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
Fact (1 ≤ p)
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
f : α →ᵇ E
⊢ ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜) f) =ᵐ[μ] ⇑f
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
G : V ⥤ W
inst✝ : G.Additive
hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
n : ι
⊢ ((G.mapHomologicalComplex c).map (nullHomotopicMap' hom)).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => G.map (hom i j hij)).f n
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
l : List (Perm α)
hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap
⊢ -1 ≠ 1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
s : Set X
hs : IsOpen s
hne : s.Nonempty
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsOpen t → t = s
⊢ ∃ x, s = {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α α
μ : Measure α
hκ : κ.Invariant μ
⊢ κ ∘ₖ const α μ = const α μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
M : Matrix m m R
p : m → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ M.det = (fromBlocks (M.toBlock p p) (M.toBlock p fun j => ¬p j) (M.toBlock (fun j => ¬p j) p) (M.toBlock (fun j => ¬p j) fun j => ¬p j)).det
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
ι : Sort u_4
s : ι → Set E
h : ∀ (i : ι), StarConvex 𝕜 x (s i)
⊢ StarConvex 𝕜 x (⋂ i, s i)
η : Type u_8
Fintype η
ι : η → Type u_9
(i : η) → Fintype (ι i)
𝕜 : Type u_10
RCLike 𝕜
E : η → Type u_11
(i : η) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : η) → InnerProductSpace 𝕜 (E i)
B : (i : η) → OrthonormalBasis (ι i) 𝕜 (E i)
⊢ (Pi.orthonormalBasis B).toBasis = (Pi.basis fun i => (B i).toBasis).map (WithLp.linearEquiv 2 𝕜 ((j : η) → E j)).symm
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
f : X ⟶ Y
⊢ (prod.rightUnitor X).inv ≫ prod.map f (𝟙 (⊤_ C)) = f ≫ (prod.rightUnitor Y).inv
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Finset α
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ i ∈ s, f i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ eval₂ f x 1 = 1
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x : α
xs : Fin n → α
⊢ cons x xs = append (cons x elim0) xs ∘ cast ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n k : ℕ
hk : ∀ m < k, ∀ (y : E), ((p m) fun x => y) = 0
psum_eq : p.partialSum (k + 1) = fun y => (p k) fun x => y
h : (fun x => (p k) fun x_1 => x) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ k.succ
⊢ ∀ (y : E), ((p k) fun x => y) = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I J : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ J.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'
⊢ N ⊔ N' = N ⊔ J • N'
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
⊢ coclosedCompact X = cocompact X
L : Language
L' : Language
M✝ : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M✝
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
M : Type w
inst✝ : L[[α]].Structure M
s : Set α
⊢ (∀ (φ : L[[α]].Sentence) (x x_1 : α), (x, x_1) ∈ s ×ˢ s ∩ (Set.diagonal α)ᶜ → ((L.con x).term.equal (L.con x_1).term).not = φ → M ⊨ φ) ↔ Set.InjOn (fun i => ↑(L.con i)) s
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), f.outer t ≤ f.outer s
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧
⊢ c ∈ MulAction.orbit ↥H ↑a ↔ c ∈ MulAction.orbit ↥H ↑b
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
inst✝² : CommSemiring S₂
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : Algebra R S₂
f : S₁ →ₐ[R] S₂
r : R
h₁ : (algebraMap R (MvPolynomial σ S₁)) r = C ((algebraMap R S₁) r)
h₂ : (algebraMap R (MvPolynomial σ S₂)) r = C ((algebraMap R S₂) r)
⊢ (map ↑f) ((algebraMap R (MvPolynomial σ S₁)) r) = (algebraMap R (MvPolynomial σ S₂)) r
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))
h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j
h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j
h₃ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, Disjoint (b j) (W ∩ B j)
h₄ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
j : ℕ
hj₀ : Disjoint (b j) (W ∩ B j) ∧ μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
hB : μ (B j) ≠ ⊤
⊢ μ (W ∩ B j) / μ (B j) ≤ ↑(1 - C⁻¹)
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsMinFilter f (𝓝[≥] a) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
c : ℝ
hc : c ∈ Icc a b
a_lt_c : a < c
H₁ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, f a ≤ f y
⊢ f a ≤ f c
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
i : B
⊢ (ContinuousMonoidHom.inr A B) i =
  ((ContinuousMonoidHom.one B A).toMonoidHom i, (ContinuousMonoidHom.id B).toMonoidHom i)
R : Type u_1
CommRing R
c₁ c₂ : R
q : QuaternionAlgebra R c₁ c₂
⊢ CliffordAlgebraQuaternion.toQuaternion (CliffordAlgebraQuaternion.ofQuaternion q) = q
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term α
⊢ (R.formula₂ t₁ t₂).Realize v ↔ RelMap R ![Term.realize v t₁, Term.realize v t₂]
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ (DirichletCharacter.changeLevel ⋯) χ = χ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0
⊢ ∑' (b : β), ↑(f b) ≠ ⊤ ↔ Summable f
R : Type u_1
Infinite R
⊢ Cardinal.mk R ^ 4 = Cardinal.mk R
α : Type u_1
DivisionRing α
n : ℤ
h : Odd n
⊢ (-1) ^ n = -1
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ : L → R
x : L
n : Module.End R ↥↑(weightSpace M χ) := (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id
⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpace M χ) ∘ₗ ↑(toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ))) x = (finrank R ↥↑(weightSpace M χ) • χ) x
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f : R[X]
n : ℕ
h : (f ^ (n + 2)).Separable
⊢ IsUnit f ∨ f.Separable ∧ n + 2 = 1 ∨ n + 2 = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : CountableInterFilter f
fsub : f ≤ 𝓟 s
U : ↑s → Set X
hU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f
t : Set ↑s
ht : t.Countable
h : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
uinf : ⋃ i ∈ t, U i ∈ f.sets
uninf : ⋂ i ∈ t, (U i)ᶜ ∈ f
⊢ False
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
h : a ∈ n • s
⊢ a ∈ s
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this✝¹ : Algebra.IsAlgebraic (↥(separableClosure F E)) E
h : finSepDegree F E = finSepDegree F ↥(separableClosure F E) * finSepDegree (↥(separableClosure F E)) E
this✝ : Algebra.IsSeparable F ↥(separableClosure F E)
this : IsPurelyInseparable (↥(separableClosure F E)) E
⊢ finSepDegree F E = Cardinal.toNat (sepDegree F E)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
self : CategoryTheory.Pretopology C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : CategoryTheory.Presieve X
⊢ S ∈ self.coverings X → CategoryTheory.Presieve.pullbackArrows f S ∈ self.coverings Y
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
r : R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, x ≤ r
ha : p a := by cfc_tac
⊢ a ≤ (algebraMap R A) r
α : Type u_1
inst✝³ : Preorder α
a : α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : NoMaxOrder α
h : IsSuccLimit a
b : α
hb : b ≤ a
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => ↑x * y) fun x x_1 => x < x_1
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : ↑a * b < ↑a * c
⊢ b < c
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
h✝ : Nontrivial R
a✝ : Nontrivial S
this✝¹ : Algebra ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := (Algebra.adjoin ↥A ↑B).algebra
this✝ : SMul ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower R ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
⊢ Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥A * Module.rank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
s t : Set α
⊢ f '' (s \ t) = f '' s \ f '' t
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ closure U
⊢ ‖f z‖ ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
x : α
⊢ (∀ t ∈ l, x ∈ t) ↔ ∀ (i : ι), p i → x ∈ s i
a : Cardinal.{u}
⊢ 1 < Cardinal.lift.{v, u} a ↔ 1 < a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X : TopCat
F : Presheaf (Type u) X
ι : Type x
U : ι → Opens ↑X
⊢ (∀ ⦃ι : Type x⦄ (U : ι → Opens ↑X), ∀ s ∈ ((Pairwise.diagram U).op ⋙ F).sections, ∃! x, ∀ (j : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app j x = s j) ↔ ∀ ⦃ι : Type x⦄ (U : ι → Opens ↑X) (sf : (i : ι) → (forget (Type u)).obj (F.obj (op (U i)))), F.IsCompatible U sf → ∃! s, ∀ (i : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app i s = objPairwiseOfFamily sf i
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W : C
X Y : C
f : X ≅ Y
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeftIso W f).symm = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeftIso W f.symm
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D : Type u_4
I₁ : Type u_5
I₂ : Type u_6
I₃ : Type u_7
J : Type u_8
inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁
inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃
inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D
inst✝¹¹ : Zero I₂
inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂
inst✝⁹ : HasInitial C₂
F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁
F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃
G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D
associator : bifunctorComp₁₂ F₁ G ≅ bifunctorComp₂₃ G F₂
X₂ : C₂
e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁
e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃
inst✝⁸ : (X₁ : C₁) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₁.obj X₁)
inst✝⁷ : (X₃ : C₃) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₂.flip.obj X₃)
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
τ : TriangleIndexData r π
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝⁶ : (((mapBifunctor F₁ I₁ I₂).obj X₁).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).HasMap τ.p₁₂
inst✝⁵ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂))).obj X₃).HasMap π
inst✝⁴ : (((mapBifunctor F₂ I₂ I₃).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).obj X₃).HasMap τ.p₂₃
inst✝³ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj F₂ τ.p₂₃ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃)).HasMap π
inst✝² : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁ G τ.ρ₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝¹ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj G F₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj X₃).HasMap π
triangle : ∀ (X₁ : C₁) (X₃ : C₃), ((associator.hom.app X₁).app X₂).app X₃ ≫ (G.obj X₁).map (e₂.hom.app X₃) = (G.map (e₁.hom.app X₁)).app X₃
⊢ (mapBifunctorAssociator associator τ.ρ₁₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃).hom ≫ mapBifunctorMapMap G π (𝟙 X₁) (mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom = mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom (𝟙 X₃)
α : Type u
Group α
DecidableEq α
Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (Finset.filter (fun a => a ^ n = 1) Finset.univ).card ≤ n
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
⊢ (Finset.filter (fun a => orderOf a = d) Finset.univ).card = d.totient
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p1 p2 p3 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s
⊢ dist p1 p3 = dist p2 p3 ↔ dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p3) = dist p2 ↑((orthogonalProjection s) p3)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.op.LeftFraction (Opposite.op Y) (Opposite.op X)
eq : f.op = φ.map L.op ⋯
⊢ f.op = (φ.unop.map L ⋯).op
α β : DistLat
e : ↑α ≃o ↑β
a : ↑α
⊢ (DistLat.Iso.mk e).hom.toSupHom a = e a
hprimes : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → Odd p → FermatLastTheoremFor p
⊢ FermatLastTheorem
φ : ℕ → ℕ
h : StrictMono φ
⊢ Filter.Tendsto φ Filter.atTop Filter.atTop
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
exps : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R → ℤ
⊢ FractionalIdeal.count K v (∏ᶠ (w : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R) (_ : w ≠ v), ↑w.asIdeal ^ exps w) = 0
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
E : K ⥤ J
CategoryTheory.Limits.HasLimit (E ⋙ F)
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.lift F c ≫ CategoryTheory.Limits.limit.pre F E =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift (E ⋙ F) (CategoryTheory.Limits.Cone.whisker E c)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
a : Pseudoelement P
a' : Over P
⊢ pseudoApply 0 ⟦a'⟧ = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Finite ι
b : Basis ι R M
⊢ Module.Finite R M
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
h : f x = x + ↑m
n : ℕ
⊢ (⇑f)^[n] x = x + ↑n * ↑m
α β : SemilatSupCat
e : α.X ≃o β.X
x✝ : (forget SemilatSupCat).obj β
⊢ ({ toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_bot' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
⊢ W_ R 0 = MvPolynomial.X 0
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M✝ N✝ P Q : Submodule R A
m n : A
M N : Submodule R Aᵐᵒᵖ
⊢ comap (↑(opLinearEquiv R)) (M * N) = comap (↑(opLinearEquiv R)) N * comap (↑(opLinearEquiv R)) M
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
ι : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
i : ι
g : G i
m : M
⊢ (((mk R (G i) M).compr₂ (of R ι (fun _i => G _i ⊗[R] M) (fun _i _j h => LinearMap.rTensor M (f _i _j h)) i)) g) m = (of R ι (fun x => G x ⊗[R] M) (fun i j h => LinearMap.rTensor M (f i j h)) i) (g ⊗ₜ[R] m)
α : Type u_1
s : Set α
⊢ (fun x => ↑x) ⁻¹' s = ∅
x y : SetTheory.PGame
⊢ x < y ↔ ⟦x⟧ < ⟦y⟧
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac
hprime : Fact (Prime p)
hroot : (cyclotomic k (ZMod p)).IsRoot ((castRingHom (ZMod p)) b)
hpb : ¬p ∣ b
⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
hs : ∀ (f : α → Bool), ContinuousOn f s → ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y
⊢ IsPreconnected s