ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
⊢ Set.image2 f (lowerBounds s) (lowerBounds t) ⊆ lowerBounds (Set.image2 f s t)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → M i
i : ι
⊢ (↑univ).Pairwise fun a b => Commute ((fun i => (MonoidHom.mulSingle M i) (x i)) a) ((fun i => (MonoidHom.mulSingle M i) (x i)) b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →L[𝕜] E
hf : ‖f‖ ≤ 1
x : E
⊢ ↑(LinearMap.ker (orthogonalProjection (LinearMap.eqLocus f 1))) ⊆ closure ↑(LinearMap.range (↑f - 1))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s₂ : Seq α
a : α
ss : Seq α
h : a ∈ ss
⊢ ∀ (b : α) (s' : Seq α), (a = b ∨ ∀ {s₁ : Seq α}, a ∈ s₁.append s₂ → s₁.append s₂ = s' → a ∈ s₁ ∨ a ∈ s₂) → ∀ {s₁ : Seq α}, a ∈ s₁.append s₂ → s₁.append s₂ = cons b s' → a ∈ s₁ ∨ a ∈ s₂
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s
⊢ ∃! t, t ∈ P.parts ∧ a ∈ t
α : Type u_1
EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
⊢ LipschitzWith K f
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure Ω
μs : ι → MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
∀ (i : ι), MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : μ Eᶜ ≤ Filter.liminf (fun i => (μs i) Eᶜ) L
⊢ Filter.limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
hla : la.HasBasis pa sa
hlb : lb.HasBasis pb sb
⊢ Tendsto f la lb ↔ ∀ (ib : ι'), pb ib → ∃ ia, pa ia ∧ ∀ x ∈ sa ia, f x ∈ sb ib
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝¹ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝ : v \ u = v
this : x ∉ u
hus : u ⊆ s
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (∃ a ∉ (s ∪ v) \ u, insert a ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜) ∧ ¬∃ a ∉ (s ∪ v) \ u, insert a ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
h : s ⊆ e.source
⊢ ↑e '' s = e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
Algebra R S
self : Algebra.PreSubmersivePresentation R S
⊢ Function.Injective self.map
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Set α
⊢ s.IsWF ↔ s.IsPWO
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
x✝ : V
⊢ (o.rotation θ).symm x✝ = (o.rotation (-θ)) x✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f₂
small_k : IsKernelPair f₁ a b
s : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂)
m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt
hm : ∀ (j : WalkingCospan), m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).π.app j = s.π.app j
⊢ m ≫ (IsPullback.cone small_k).fst = (fun s => small_k.lift s.fst s.snd ⋯) s ≫ (IsPullback.cone small_k).fst
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q :
  ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj
          (CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f))).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier f_deg q
hb : b ∈ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier f_deg q
⊢ a + b ∈ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier f_deg q
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
i : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
n : ℕ
⊢ HomogeneousLocalization.mk (i ^ n) = HomogeneousLocalization.mk i ^ n
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
a : F
h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)
ha : ¬a = 0
⊢ IsSolvable (X ^ n - C a).Gal
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : Subgroup G
inst✝ : H.FiniteIndex
n : ℕ
hn : Nat.card (G ⧸ H.normalCore) = p ^ n
⊢ ∃ n, H.index = p ^ n
R : Type u_2
NonAssocRing R
Pow R ℕ
NatPowAssoc R
BinomialRing R
k : ℕ
⊢ Ring.choose 0 k = if k = 0 then 1 else 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
x y : E
⊢ (((p.changeOriginSeriesTerm k l s hs) fun x_1 => x) fun x => y) = (p (k + l)) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i : Fin s.length
⊢ s.toFun i.castSucc < s.toFun i.succ
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
⊢ S = ⊥ ↔ ∀ x ∈ S, x = 1
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.684544, u_1} C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ pullback f i
inst✝ : HasPullback i₁ i₂
⊢ (i₁ ≫ snd f i) ≫ i = (i₁ ≫ fst f i) ≫ f
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
⊢ ∃ c, ∀ (f : G → ℝ), Continuous f → HasCompactSupport f → ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂c • μ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO : f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)
g : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => cexp (↑ε * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → Complex.abs (g ε w) ≤ 1
⊢ ‖g ε z • f z‖ ≤ C
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
c : G
⊢ (IsometryEquiv.divRight c).toEquiv = Equiv.divRight c
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ ↑(s • t) = ↑s • ↑t
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S T : Subsemigroup M
this : S ≤ S ⊔ T
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
v : Nat
x : BitVec v
⊢ (~~~x).toNat = 2 ^ v - 1 - x.toNat
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
a b : α
⊢ toLowerSet a ⤳ toLowerSet b ↔ a ≤ b
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : S
⊢ x ∈ IsLocalization.invSubmonoid M S ↔ ∃ m, IsLocalization.mk' S 1 m = x
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
l : Finset α
hp : ∃! a, a ∈ l ∧ p a
⊢ Finset.choose p l hp ∈ l ∧ p (Finset.choose p l hp)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ a ∈ Set.Ioc (↑z - 1) ↑z → ↑⌈a⌉ = ↑z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), F.op.map f = (F.map f.unop).op
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ p.factorization = Finsupp.single p 1
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
e : (Module.Dual R M ⊗[R] M × Module.Dual R N ⊗[R] N) ≃ₗ[R] (M →ₗ[R] M) × (N →ₗ[R] N) := (dualTensorHomEquiv R M M).prod (dualTensorHomEquiv R N N)
⊢ trace R (M × N) ∘ₗ prodMapLinear R M N M N R = id.coprod id ∘ₗ (trace R M).prodMap (trace R N)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot
⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ 0 < r
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
ca cb : E
la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
ua va ub vb : ι → ℝ
intervalIntegral.FTCFilter a la la'
intervalIntegral.FTCFilter b lb lb'
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Filter.Tendsto f (la' ⊓ MeasureTheory.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Filter.Tendsto f (lb' ⊓ MeasureTheory.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Filter.Tendsto ua lt la
hva : Filter.Tendsto va lt la
hub : Filter.Tendsto ub lt lb
hvb : Filter.Tendsto vb lt lb
⊢ (fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
  fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : 0 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length
H : s.Nonempty
l : List α := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨0, h⟩ ≤ s.min' H
α : Type u_2
l : Filter α
self : CountableInterFilter l
S : Set (Set α)
⊢ S.Countable → (∀ s ∈ S, s ∈ l) → ⋂₀ S ∈ l
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
⊢ FractionalIdeal.spanSingleton S 1 = 1
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Mul M
ContinuousMul M
a b : M
⊢ 𝓝 a * 𝓝 b ≤ 𝓝 (a * b)
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α (last n)
p : (j : Fin n) → α ((last n).succAbove j)
j : Fin n
⊢ p j = (last n).removeNth (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x) j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f✝ g✝ : (i : α) → δ i
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
⊢ Injective (s.piecewise f g) ↔ InjOn f s ∧ InjOn g sᶜ ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∉ s, f x ≠ g y
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ p.ball x₁ r₁
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ p.ball x₂ r₂
⊢ (fun x x_1 => x + x_1) y₁ y₂ ∈ p.ball (x₁ + x₂) (r₁ + r₂)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
q : R[X]
n✝ : ℕ
a✝ : R
⊢ derivative (((monomial n✝) a✝).comp q) = derivative q * (derivative ((monomial n✝) a✝)).comp q
α : Type u
AddCommMonoid α
Subsingleton (AddUnits α)
a b : α
h : a + b = 0
⊢ a = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
h : M✶.RkPos
hI : M.Indep I
⊢ I ⊂ M.E
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
⊢ P.toPoly.natDegree ≤ 2
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
key : (bind₁ fun i => (expand p) ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n))) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) = (bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i)) (W_ ℚ n)
⊢ (bind₁ fun i => (expand p) ((rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℚ n))) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) = (bind₁ fun i => (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))) (W_ ℚ n)
R : Type u_1
CommSemigroup R
a b : R
⊢ IsRegular (a * b) ↔ IsRegular a ∧ IsRegular b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
f : Filter α
g : Filter β
hg : g.NeBot
s : Set β
hs : s ∈ g
⊢ {0} ∈ 0
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
n : Nat
h : l₁.length = n
⊢ List.drop n (l₁ ++ l₂) = l₂
R : Type u_1
inst✝ : OrderedCommSemiring R
s✝ : Multiset R
a : R
s : Multiset R
hs : (∀ a ∈ s, 0 ≤ a) → 0 ≤ s.prod
ih : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, 0 ≤ a_1
⊢ 0 ≤ (a ::ₘ s).prod
G : Type u_1
Group G
⊢ upperCentralSeries G 1 = Subgroup.center G
E : Type u
F : Type v
PseudoEMetricSpace F
PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
D : Set E
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f D x < ε
⊢ ∃ δ > 0, ∀ x ∈ K, EMetric.diam (f '' (EMetric.ball x (ENNReal.ofReal δ) ∩ D)) ≤ ε
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
motive : (⨂[R] (i : ι), s i) → Prop
z : ⨂[R] (i : ι), s i
tprodCoeff : ∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), motive (PiTensorProduct.tprodCoeff R r f)
add : ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), motive x → motive y → motive (x + y)
⊢ motive z
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
a : X
ha : a ∈ B
g : G
hg : g ∈ stabilizer G a
⊢ ∃ x ∈ g • B, x ∈ B
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
LinearOrder ι
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSet s κ μ
i : ι
k : ι
hk : i < k
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep (MeasurableSpace.generateFrom {s k})
  (MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ j ≤ i, s j = t}) κ μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a
⊢ (fun o => Option.rec none (fun val => some (g (f val))) o) = (fun o => Option.rec none (fun val => some (g val)) o) ∘ fun o => Option.rec none (fun val => some (f val)) o
x✝ y✝ z✝ : ℤ
h✝ : PythagoreanTriple x✝ y✝ z✝
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h_coprime : x.gcd y = 1
h_parity : x % 2 = 1
h_pos : 0 < z
⊢ ∃ m n, x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∧ z = m ^ 2 + n ^ 2 ∧ m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0) ∧ 0 ≤ m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b c : Ordinal.{u_4}
h : c ≠ 0
⊢ 0 < b / c ↔ c ≤ b
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder G
inst✝² : LinearOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty
x : G
hx : x ∈ s
y : P
hy : y ∈ t
⊢ hs.min hsn • ht.min htn ≤ (fun x x_1 => x • x_1) x y
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E
⊢ e x = 0 ↔ x = 0
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
⊢ μ.restrict (s ∪ t) + μ.restrict (s ∩ t) = μ.restrict s + μ.restrict t
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ #↑s = #E
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
⊢ ∀ (x : L), (toEnd R L M) x ^ k = 0
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set σ
this : x ∈ Ideal.span ((fun s => (monomial s) 1) '' ((fun i => Finsupp.single i 1) '' s)) ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ (fun i => Finsupp.single i 1) '' s, si ≤ xi
⊢ x ∈ Ideal.span (X '' s) ↔ ∀ m ∈ x.support, ∃ i ∈ s, m i ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β
h₁ : Set.MapsTo (⇑e) s t
h₂ : Set.MapsTo (⇑e.symm) t s
⊢ Set.BijOn (⇑e) s t
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
F : CategoryTheory.Functor D E
G : CategoryTheory.Functor E D
adj : F ⊣ G
X : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ (X_1 : C), ((CategoryTheory.Adjunction.whiskerRight C adj).unit.app X).app X_1 = adj.unit.app (X.obj X_1)
α : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedGroup E
TopologicalSpace α
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → E
hf : ContinuousOn f s
⊢ ∃ C, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : C → Prop
h : CategoryTheory.Limits.ClosedUnderColimitsOfShape J P
F : J ⥤ CategoryTheory.FullSubcategory P
CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ CategoryTheory.fullSubcategoryInclusion P)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit F
α : Type u_1
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s₁ s₂ : Set α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ m s₁ ≤ m s₂
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
⊢ ord 1 = 1
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β : Type u_3
LE β
Zero β
v₁ : α₁ → β
v₂ : α₂ → β
⊢ 0 ≤ Sum.elim v₁ v₂ ↔ 0 ≤ v₁ ∧ 0 ≤ v₂
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : sheafify J P ⟶ Q
h : (sheafificationAdjunction J D).unit.app P ≫ γ = η
γ' : (presheafToSheaf J D).obj P ⟶ { val := Q, cond := hQ } := { val := γ }
⊢ (sheafificationAdjunction J D).unit.app P ≫ (sheafToPresheaf J D).map γ' = η
z τ : ℂ
h : Summable fun x => jacobiTheta₂_term x z τ
⊢ 0 < τ.im
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : r a b
h₂ : ¬r c b
⊢ r a c
V : Type u
G : SimpleGraph V
S : Set (Set V)
Sn : S.Nonempty
Snd : ∀ {s t : Set V}, s ∈ S → t ∈ S → (s ∩ t).Nonempty
Sc : ∀ {s : Set V}, s ∈ S → (SimpleGraph.induce s G).Connected
⊢ (SimpleGraph.induce (⋃₀ S) G).Connected
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
m : (i : ι) → E i
⊢ PiTensorProduct.projectiveSeminorm (⨂ₜ[𝕜] (i : ι), m i) ≤ ∏ i : ι, ‖m i‖
α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
Star α
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
f : m → n
⊢ (A.submatrix f f).IsHermitian
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : ι → Type u_6
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
hf_Indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' m f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (fun a => (f i a, f j a)) (f k) μ
R : Type u
ι : Type u_1
CommSemiring R
I : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, J i ⊔ I = ⊤
⊢ (⨅ i ∈ s, J i) ⊔ I = ⊤
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc ℝ 1 μ)
h_pos : 0 ≤ᵐ[μ] ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.integral f =
  (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f) a) ∂μ).toReal
R : Type u
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
a✝ : Nontrivial R
hpos : n > 0
n' : R
hn' : n' * ↑n = 1
⊢ -C ↑u⁻¹ * (X ^ n - C ↑u) + C ↑u⁻¹ * C n' * X * (C ↑n * X ^ (n - 1)) = 1
α : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
TopologicalSpace α
Preorder α
SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
ha : IsLUB (Set.range f) a
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → β → α
hA : UniformEquicontinuous (u ∘ Subtype.val)
hu : Continuous u
⊢ UniformEquicontinuous (u ∘ Subtype.val)
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
u : Set ↑s
hu : MeasurableSet u
⊢ MeasurableSet (s.restrict f '' u)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I ∈ (Ideal R)⁰
⊢ ClassGroup.mk0 ⟨I, hI⟩ = 1 ↔ Submodule.IsPrincipal I
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a.toPGame < b.toPGame ↔ a < b
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
⊢ Irreducible (X ^ n - X - 1)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f
x : X
hx : x ∈ s
t : Set X
hst : tᶜ ∈ f
ht : {x | x ∈ s → x ∈ t} ∈ 𝓝 x
⊢ {x | x ∈ s → x ∈ t} ∩ tᶜ ⊆ sᶜ
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
v₁ v₂ : G
p : P
⊢ v₁ +ᵥ p -ᵥ (v₂ +ᵥ p) = v₁ - v₂
b : ℕ
l : List ℕ
hb : 1 < b
hl : ∀ x ∈ l, x < b
⊢ Nat.ofDigits b l < b ^ l.length
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → V
⊢ LinearIndependent K v ↔ LinearIndependent K (Fin.tail v) ∧ v 0 ∉ Submodule.span K (Set.range (Fin.tail v))
α : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring α
StarRing α
z : ↥(NonUnitalStarSubsemiring.center α)
a : α
⊢ (CentroidHom.starCenterToCentroid z) a = ↑z * a
d x y : ℤ
⊢ IsPell { re := x, im := y } ↔ IsPell (star { re := x, im := y })
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y
r : ℝ
hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r
⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ r
R : Type u
Ring R
r : R
⊢ ↑(Subring.topEquiv.symm r) = r
m n x✝² x✝¹ x✝ : ℕ
hk : x✝ ≤ x✝¹
⊢ x✝² <<< (x✝¹ - x✝) = x✝² <<< x✝¹ >>> x✝
β : Type u_4
LinearOrder β
NoMaxOrder β
u : ℕ → β
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop Filter.atTop
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ StrictMono (u ∘ φ)
x y : ℂ
⊢ (cexp x - cexp (-x)) * (cexp y + cexp (-y)) + (cexp x + cexp (-x)) * (cexp y - cexp (-y)) = 2 * (cexp x * cexp y - cexp (-x) * cexp (-y))
α : Type u_2
β : Type u_3
g : Equiv.Perm α
x y : α
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
⊢ (g.extendDomain f).SameCycle ↑(f x) ↑(f y) ↔ g.SameCycle x y