ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
c : n ≃ n
hc : c ∈ univ.erase (Equiv.refl n)
i✝ : n
a✝ : i✝ ∈ univ
⊢ (M.charmatrix (c i✝) i✝).natDegree ≤ if c i✝ = i✝ then 1 else 0
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Mul G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulRightInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => x * g) μ = μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u t s s' : Set α
⊢ tᶜ.ite s s' = t.ite s' s
D : GlueData
i : D.J
U : Opens ↑(D.U i)
j : D.J
⊢ IsOpen (⇑(D.t j i ≫ D.f i j) ⁻¹' ↑U)
G : Type u
Group G
H : Type v
Group H
e : G ≃* H
⊢ e.abelianizationCongr.symm = e.symm.abelianizationCongr
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ ε ^ p.toReal * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊} ≤ MeasureTheory.eLpNorm f p μ ^ p.toReal
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0
n : ℕ
hn : r < ↑n
⊢ ∃ n, ↑r < ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f ⊓ g)
α : Type u
Group α
a : α
n : ℕ
⊢ Equiv.mulLeft a ^ n = Equiv.mulLeft (a ^ n)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
U : C
⊢ (𝟙_ (CategoryTheory.Center C)).snd.β U = λ_ U ≪≫ (ρ_ U).symm
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set β)
h_pi : IsPiSystem S
f : α → β
s : Set β
hs_mem : s ∈ S
t : Set β
ht_mem : t ∈ S
hst : (f ⁻¹' (s ∩ t)).Nonempty
⊢ f ⁻¹' (s ∩ t) ∈ {s | ∃ t ∈ S, f ⁻¹' t = s}
G : Type u_1
Group G
s : Set G
a : G
⊢ a ∈ s → a ∈ Group.closure s
R : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroupWithOne R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : NeZero 1
inst✝ : Nontrivial R
m n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑-[n+1] ↔ 0 ≤ -[n+1]
𝕂 : Type u_1
𝕂' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁶ : Field 𝕂
inst✝⁵ : Field 𝕂'
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝² : Algebra 𝕂' 𝔸
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝ : TopologicalRing 𝔸
n : ℕ
x : 𝔸
⊢ ((expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) = (expSeries 𝕂' 𝔸 n) fun x_1 => x
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
r : R
⊢ (optionEquivRight R S₁) (C r) = C (Polynomial.C r)
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : K_hat R K
hx : ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, x v ∈ adicCompletionIntegers K v
⊢ ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, (-x) v ∈ adicCompletionIntegers K v
c : Cardinal.{u_1}
h : c.IsLimit
⊢ Cardinal.aleph0 ≤ c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : Cᴹᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.unmopFunctor C).map f = f.unmop
a x z✝ z : ℂ
⊢ |z.arg| ≤ π / 2 ↔ 0 ≤ z.re
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0
hef✝ : ⁅e, f'⁆ = ((killingForm K L) e) f' • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩
hh : α h ≠ 0
f : L := (2 * (α h)⁻¹) • f'
hef : ⁅⁅e, f⁆, e⁆ = 2 • e
contra : ⁅e, f⁆ = 0
⊢ False
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ (q * r).num * ↑q.den * ↑r.den = q.num * r.num * ↑(q * r).den
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
⊢ SuperpolynomialDecay l k f ↔ ∀ (z : ℤ), f =O[l] fun a => k a ^ z
M : Type u_1
Monoid M
self : Monoid.FG M
⊢ ⊤.FG
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
U : ι → Set M
g : ι → M → F
hf : f.IsSubordinate U
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hg : ∀ (i : ι), ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, F) n (g i) (U i)
⊢ ContMDiff I 𝓘(ℝ, F) n fun x => ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
⊢ ∀ {a : α}, s.max = ↑a → a ∈ s
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
x y : α
⊢ x ∈ A → y ∈ A → G.Adj x y → (G.Adj x y → ∀ x_1 ∈ P.parts, ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4) → (∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨ (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨ ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (W.map φ).Δ = φ W.Δ
p q : Prop
⊢ (p → q) = (¬p ∨ q)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ quadraticCharFun F a = if a ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
u : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
⊢ 𝓝 0 = ⨅ i, comap (⇑(p i)) (𝓝 0) ↔ 𝓝 0 = ⨅ i, 𝓝 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : DivisionSemiring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ IsSelfAdjoint x⁻¹
M : Type u_5
AddCommMonoid M
h : Module ℕ M
n : ℕ
x : M
⊢ SMul.smul n x = n • x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X : C
inst✝ : Simple X
Y Z : C
i : X ≅ Y ⊞ Z
h : biprod.inl ≠ 0
this : Simple (Y ⊞ Z)
⊢ IsZero Z
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y Y' : D
f : X ⟶ G.obj Y
g : Y ⟶ Y'
⊢ F.map f ≫ (adj.homEquiv (G.obj Y) Y').symm (G.map g) = (adj.homEquiv X Y).symm f ≫ g
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
g : ↥A
w : HNNExtension.NormalWord d
⊢ HNNExtension.NormalWord.unitsSMul φ 1 (↑g • w) = ↑(φ g) • HNNExtension.NormalWord.unitsSMul φ 1 w
x : ℝ
⊢ HasDerivAt Real.cos (-Real.sin x) x
x : ℂ
⊢ Complex.cos x ^ 2 = 1 - Complex.sin x ^ 2
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
G : Type u_7
NormedLatticeAddCommGroup G
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc G p μ)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] ↑↑↑f ↔ 0 ≤ f
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ -llr μ ν =ᶠ[ae μ] llr ν μ
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
⊢ (PiTensorProduct.liftIsometry 𝕜 E F).symm l = l.compContinuousMultilinearMap (PiTensorProduct.tprodL 𝕜)
x : PSet
a : ZFSet
h : a ∈ (mk x).toSet
⊢ x.Nonempty
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
t : Set ℂ
ht : t ∈ 𝓝 w
g : ℝ → ℂ := fun x => w + ofReal x
this : Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 w)
l u : ℝ
hlu₀ : 0 ∈ Ioo l u
hlu_sub : Ioo l u ⊆ g ⁻¹' (t ∩ ball c R)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo l u \ g ⁻¹' s
⊢ (t ∩ (ball c R \ s)).Nonempty
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
Nonempty ι
a : α
⊢ Function.const ι a ≠ 0 ↔ a ≠ 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
b : Set (Set X)
hb : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis b
x y : X
⊢ x = y ↔ ∀ s ∈ b, x ∈ s ↔ y ∈ s
α : Type u
f g : List α → List α
n : ℕ
l : List α
⊢ List.modifyNthTail g n (List.modifyNthTail f n l) = List.modifyNthTail (g ∘ f) n l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
hg : S.g = 0
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Epi S.f
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ e.trans e.symm = LinearIsometryEquiv.refl R E
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasColimits C
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝¹ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝ : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : SheafedSpace C
f : ↑X.toPresheafedSpace ⟶ ↑Y.toPresheafedSpace
fc gc : Y.presheaf ⟶ (pushforward C f).obj X.presheaf
h' : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), { base := f, c := fc }.stalkMap x = (Y.presheaf.stalkCongr ⋯).hom ≫ { base := f, c := gc }.stalkMap x
U : Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace
s : (CategoryTheory.forget C).obj (Y.presheaf.obj (op U))
x : ↥((Opens.map f).obj (unop (op U)))
⊢ (X.presheaf.germ x) ((fc.app (op U)) s) = (X.presheaf.germ x) ((gc.app (op U)) s)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeas E' 𝕜 m p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑↑f) s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑f x ∂μ = 0
g : α → E'
hg_sm : FinStronglyMeasurable g (μ.trim hm)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ↑↑↑f x = g x
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
inst✝¹¹ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_3} D
inst✝⁸ : Preadditive C₁
inst✝⁷ : Preadditive C₂
inst✝⁶ : Preadditive D
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
f₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁
h₁ : Homotopy f₁ f₁'
K₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
f₂ : K₂ ⟶ L₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
inst✝⁵ : F.Additive
inst✝⁴ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
c : ComplexShape J
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝¹ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F c
inst✝ : L₁.HasMapBifunctor L₂ F c
j j' : J
h : ¬c.Rel j' j
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h' : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j
⊢ c₁.ε₁ c₂ c (c₁.prev i₁, i₂) • (F.map (h₁.hom i₁ (c₁.prev i₁))).app (K₂.X i₂) ≫ (F.obj (L₁.X (c₁.prev i₁))).map (f₂.f i₂) ≫ L₁.ιMapBifunctorOrZero L₂ F c (c₁.prev i₁) i₂ j' = 0
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
x : X
⊢ ∑ᶠ (i : ι), (f.toPartitionOfUnity i) x = 1 - ∏ᶠ (i : ι), (1 - (f i) x)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} (X : Ω → E) (ℙ : MeasureTheory.Measure Ω) (μ : MeasureTheory.Measure E)
  [hX : MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ], AEMeasurable X ℙ
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : PosSMulStrictMono α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
a : α
ha : 0 < a
b₁ b₂ : β
smul : α → β → True
hb : f b₁ < f b₂
⊢ a • f b₁ < a • f b₂
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
⊢ s.chainHeight = ⨆ i ∈ s, (s ∩ Set.Iic i).chainHeight
M : Type u_1
MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → M
Inf M
MeasurableInf₂ M
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (fun a => f a ⊓ g a) μ
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
mB : ℝ → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun t => of ![![t, -↑1], Int.cast ∘ cd]
hmB : Continuous mB
f₁ : SL(2, ℤ) → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun g => (↑g).map Int.cast
cocompact_ℝ_to_cofinite_ℤ_matrix : Tendsto (fun m => m.map Int.cast) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
hf₁ : Tendsto f₁ cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
⊢ Tendsto (mB ∘ fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
η : Type u_3
Gs : η → Type u_4
(i : η) → Group (Gs i)
tfGs : ∀ (i : η), Monoid.IsTorsionFree (Gs i)
⊢ Monoid.IsTorsionFree ((i : η) → Gs i)
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → Zero (β i)
⊢ ⇑0 = 0
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
inst✝ : Nonempty γ
hf : FactorsThrough g f
x : α
⊢ g x = (extend f g (const β (Classical.arbitrary γ)) ∘ f) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
hφ : ∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x => Φ x i) s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 Φ s
I : Type u
X : I → TopCat
⊢ (FundamentalGroupoidFunctor.piIso X).hom = FundamentalGroupoidFunctor.piToPiTop X
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
x : R
⊢ abv x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a : α
hs : IsAntichain r s
hl : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a ≠ b → ¬r b a
hr : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a ≠ b → ¬r a b
⊢ IsAntichain r (insert a s)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
S : Type u_3
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
Module S M₃
Module S M₄
SMulCommClass R S M₃
SMulCommClass R S M₄
f : (M →ₗ[R] M₃) × (M₂ →ₗ[R] M₄)
⊢ (LinearMap.prodMapLinear R M M₂ M₃ M₄ S) f = f.1.prodMap f.2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommSemiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommSemiring T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this : IsScalarTower S T Q
⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : IsBasis p s
⊢ h.filter = h.filterBasis.filter
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup P
inst✝² : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : μ.IsNegInvariant
L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F
s : Set P
n : ℕ∞
v : P → G
hv : ContDiffOn 𝕜 n v s
f : G → E
g : P → G → E'
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (g x ⋆[L, μ] f) (v x)) s
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.projIcc a b h b = ⟨b, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.Regular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
this : (μ.restrict A).WeaklyRegular
V : Set α
hV : IsOpen V
r : ℝ≥0∞
hr : r < (μ.restrict A) V
⊢ ∃ K ⊆ V, IsCompact K ∧ r < (μ.restrict A) K
α : Type u
β : Type v
f : β → α → β
a : β
l : List α
⊢ (List.scanl f a l).length = l.length + 1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ LiftPropWithinAt Q (↑e) e.source x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
Φ : CategoryTheory.Functor C C
ε : CategoryTheory.Functor.id C ⟶ Φ
J : Type u
LinearOrder J
IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1
OrderBot J
j : J
iter : CategoryTheory.Functor.Iteration ε j
i : J
hi : i < j
⊢ iter.mapSucc i hi =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft (iter.F.obj ⟨i, ⋯⟩) ε) (iter.isoSucc i hi).inv
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₁ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₁
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
⊢ ¬c.Rel (c.prev k₁) k₁
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0
hw' : w₁ + w₂ = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i = 1
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
x y : Cofix F α
rxy : r x y
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ fun {i} => (α ::: Cofix F α) i
dxeq : x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩
dyeq : y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩
h' : ∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a i), α.RelLast r (f₀ i j) (f₁ i j)
⊢ MvQPF.abs ⟨a, splitFun (TypeVec.id ⊚ dropFun f₀) (Quot.mk r ∘ lastFun f₀)⟩ = MvQPF.abs ⟨a, splitFun (TypeVec.id ⊚ dropFun f₁) (Quot.mk r ∘ lastFun f₁)⟩
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
F : Type u_5
inst✝ : Monoid F
c : F → M → M
h1 : c 1 = id
hmul : ∀ (f g : F), c (f * g) = c f ∘ c g
f : F
n : ℕ
⊢ c (f ^ (n + 1)) = (c f)^[n + 1]
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : MulZeroOneClass M₀
s t : Set ι
i : ι
inst✝ : Nontrivial M₀
h : s.indicator 1 = t.indicator 1
x✝ : ι
⊢ x✝ ∈ s ↔ x✝ ∈ t
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
f : ↥(lp G 2)
⊢ 0 < ENNReal.toReal 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommGroup α
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformGroup α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝¹ : CompleteSpace α
inst✝ : T2Space α
f : β → α
hf : Multipliable f
s : Finset β
⊢ ∏' (x : { x // x ∉ s }), f ↑x = ∏' (x : ↑(↑s)ᶜ), f ↑x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
φ : h.Q ⟶ (KernelFork.ofι h.ι ⋯).pt
hφ : φ ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι h.ι ⋯) = 𝟙 h.Q
⊢ IsIso h.ι
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H : Subgroup G
K : Subgroup N
J : Subgroup (G × N)
⊢ J ≤ H.prod K ↔ map (MonoidHom.fst G N) J ≤ H ∧ map (MonoidHom.snd G N) J ≤ K
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : LipschitzWith K f
x : α
r : ℝ
⊢ Set.MapsTo f (Metric.closedBall x r) (Metric.closedBall (f x) (↑K * r))
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
L : IntermediateField F E
h : IsPurelyInseparable (↥L) E
⊢ separableClosure F E ≤ L
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝ : v.RankOne
x : Γ₀
hx : (hom v) x = 0
h_lt : 0 < x
hs : (hom v) 0 < (hom v) x
⊢ False
X : Type u_1
UniformSpace X
(𝓤 X).IsCountablyGenerated
T0Space X
⊢ TopologicalSpace.MetrizableSpace X
n : ℕ
⊢ Complex.Gamma (↑n + 1) = ↑n !
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Function.Injective PFun.lift
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E
s : Set E
x : E
x✝ : x ∈ s
h : ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • 0 + b • x ∈ s
a : 𝕜
ha₀ : 0 ≤ a
ha₁ : a ≤ 1
⊢ a • x ∈ s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : C
⊢ R.map (L.map (R.map (h.counit.app (L.obj X)))) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X)) = R.map (h.counit.app (L.obj (R.obj (L.obj X)))) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X))
α : Type u_2
f : Filter α
s : Set α
P : α → Prop
hP : ∀ᶠ (x : α) in f, P x
hf : 𝓟 s ≤ f
x : α
⊢ x ∈ s → P x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
n : ℕ
π : Fin (n + 1) → Type u_7
(i : Fin (n + 1)) → TopologicalSpace (π i)
i : Fin (n + 1)
f : α → π i
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
g : α → (j : Fin n) → π (i.succAbove j)
hg : ContinuousOn g s
⊢ ContinuousOn (fun a => i.insertNth (f a) (g a)) s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSpace.map id m = m
x : ℂ
n : ℤ
⊢ Complex.cos (↑n * (2 * ↑Real.pi) - x) = Complex.cos x
𝕜 : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Ring A✝
A : Type u_4
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ha : (spectrum ℝ a).Nonempty
x : ℝ
hx₁ : x ∈ spectrum ℝ a
hx₂ : ↑‖x‖₊ = spectralRadius ℝ a
⊢ (spectralRadius ℝ a).toReal ∈ spectrum ℝ a ∨ -(spectralRadius ℝ a).toReal ∈ spectrum ℝ a
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha0 : ↑a ≠ 0
⊢ IsSquare ↑↑a ↔ IsSquare ↑a
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b : α
H : a < b
⊢ Set.Ioc a b ∈ 𝓝[≤] b
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A B : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
x : ℍ
⊢ (f ∣[k](A * B)) x = ((f ∣[k]A) ∣[k]B) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
⊢ LiftRel R s.think t ↔ LiftRel R s t
M : Type u_1
AddMonoid M
s : Set M
⊢ AddSubmonoid.centralizer s = ⊤ ↔ s ⊆ ↑(AddSubmonoid.center M)
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
A : ι → Submodule R M
h : DirectSum.IsInternal A
⊢ iSup A = ⊤
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
hI : I ≤ 1
⊢ I * I ≤ I
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
this : Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator (fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) i) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
F : ℕ → R := fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)
⊢ Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))