ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂ᵒᵖ
W₁.IsMultiplicative
⊢ ∀ {X Y : (Φ.op.RightResolution X₂)ᵒᵖ} (φ : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.LocalizerMorphism.RightResolution.unopFunctor Φ X₂).map φ).f = φ.unop.f.unop
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
ne : s.Nonempty
⊢ EMetric.hausdorffEdist s ∅ = ⊤
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
⊢ Associates.mk a ⊓ Associates.mk b = 1 ↔ ∀ {d : α}, d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsPrime
hk : RingHom.ker f ≤ I
⊢ (map f I).IsPrime
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ {x} ∈ 𝓝[s] x
Fq F : Type
Field Fq
Field F
Fqt : Type u_1
Field Fqt
Algebra Fq[X] Fqt
IsFractionRing Fq[X] Fqt
Algebra (RatFunc Fq) F
Algebra Fqt F
Algebra Fq[X] F
IsScalarTower Fq[X] Fqt F
IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
⊢ FunctionField Fq F ↔ FiniteDimensional Fqt F
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
⊢ mapFun (⇑f) (x + y) = mapFun (⇑f) x + mapFun (⇑f) y
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c
⊢ ↑m / ↑d ∣ ↑c / ↑d * (↑b - ↑a)
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x : α → DirectLimit G f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Quotient.out (x a)).fst)
a : α
r : ((Quotient.out ∘ x) a).fst ≤ i
⊢ Quotient.out (x a) ≈ Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)
α : Type u
t : TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.generateFrom {s | IsOpen s} = t
s : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (-1) ^ k / ↑k.factorial
n k : ℕ
hk : k ∈ Finset.range (n + 1)
h_le : k ≤ n
⊢ (-1) ^ k * ↑(n.factorial / k.factorial) / ↑n.factorial = (-1) ^ k / ↑k.factorial
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
⊢ ⇑(QuotientAddGroup.mk' N) = QuotientAddGroup.mk
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ UniformContinuous MulOpposite.op
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
Coalgebra R A
Coalgebra R B
⊢ Coalgebra.counit ∘ₗ LinearMap.inl R A B = Coalgebra.counit
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ x y
⊢ ‖y‖ - ‖x‖ < ‖y - x‖
E : Type u_4
AddGroup E
p q : AddGroupNorm E
⊢ ⇑p < ⇑q ↔ p < q
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ ¬G < 0
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
hdeg : ¬P.natDegree = 0
P₁ : R[X] := P.eraseLead
hP₁ : P₁ = P.eraseLead
hdeg₂ : P.eraseLead.natDegree < P.natDegree
⊢ IsUnit P₁
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
h✝ : IsCyclic G
σ : G →* G
h : G
hG : ∀ (x : G), x ∈ zpowers h
m : ℤ
hm : (fun x => h ^ x) m = σ h
n : ℤ
⊢ σ ((fun x => h ^ x) n) = (fun x => h ^ x) n ^ m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m n : M
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.obj n).map ((F.obj m).map f)) ((F.μ m n).app Y) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ m n).app X) ((F.obj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m n)).map f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) < max (f x) (f y)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this✝¹ : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E
adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤
P : IntermediateField F E → Prop := fun K => Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K
K : IntermediateField F E
x : E
hx : x ∈ (p.aroots E).toFinset
hK : Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K
this✝ : Module ↥K ↥(↥K)⟮x⟯ := (↥K)⟮x⟯.module
this : IsScalarTower F ↥K ↥(↥K)⟮x⟯ := IntermediateField.isScalarTower (↥K)⟮x⟯
⊢ ↥(IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯) ≃ₗ[F] ↥(↥K)⟮x⟯
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (f : ℕ → Set ℝ), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun s => Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s) (f i)) → (fun s => Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s) (⋃ i, f i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.HasInitial D
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C) G
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesInitial.iso G).inv = CategoryTheory.Limits.initialComparison G
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{max (u + 1) v}
h : c < univ.{u, v}
c' : Cardinal.{u}
e : lift.{v, u + 1} (lift.{u + 1, u} c') = c
h' : lift.{u + 1, u} c' < univ.{u, u + 1}
⊢ ∃ c', c = lift.{max (u + 1) v, u} c'
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
⊢ P.toPoly = C P.b * X ^ 2 + C P.c * X + C P.d
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, a / b ^ i ≤ a * b / (b - 1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : 0 ∈ s
⊢ balancedCore 𝕜 s = ⋂ r, ⋂ (_ : 1 ≤ ‖r‖), r • s
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
DecidableEq β
⊢ (s₁ ∪ s₂).lcm f = lcm (s₁.lcm f) (s₂.lcm f)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
i : ι
s : Set (α i)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (t : Set ((a : ι) → α a)), piPremeasure (fun i => (μ i).toOuterMeasure) (t ∩ (fun b => b i) ⁻¹' s) + piPremeasure (fun i => (μ i).toOuterMeasure) (t \ (fun b => b i) ⁻¹' s) ≤ piPremeasure (fun i => (μ i).toOuterMeasure) t
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
⊢ Φ.HasLeftResolutions ↔ Φ.op.HasRightResolutions
K : Type u_1
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : TopologicalSpace K
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
a b : 𝕜
h : a ≠ 0
x : 𝕜
⊢ a * x / a = x
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hs : s ⊆ s'
ht : t ⊆ t'
⊢ image2 f ↑s ↑t ⊆ image2 f ↑s' ↑t'
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Set.LeftInvOn id id s
d : ℤ
x : ℤ√d
⊢ ↑(-x).norm = ↑x.norm
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℕ
⊢ a⁻¹ ^ ↑n = (a ^ ↑n)⁻¹
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p₂ : ι → P
p₁ : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ -ᵥ p₂ i) = p₁ -ᵥ (Finset.affineCombination k s p₂) w
X : Type u
α : Type u_1
TopologicalSpace X
f : Filter α
g : α → X
h : ∃ x, Filter.Tendsto g f (𝓝 x)
⊢ Filter.Tendsto g f (𝓝 (limUnder f g))
K : Type u_1
inst✝ : Field K
p : K[X]
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
⊢ 2 ≤ (p * C p.leadingCoeff⁻¹).natDegree
ι : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
Fintype ι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : ι → M
w : ι → R
⊢ ((Module.piEquiv ι R M) v) w = ∑ i : ι, w i • v i
G : Type u
Add G
h : TwoUniqueSums Gᵃᵒᵖ
⊢ TwoUniqueSums G
M : Type u_2
Monoid M
m : M
h : IsUnit m
⊢ IsUnit (MulOpposite.op m)
α : Type u_1
a b c : α
MulZeroClass α
PartialOrder α
MulPosReflectLE α
b0 : 0 < b
⊢ a * b = c * b ↔ a = c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
z : M
f : M → E'
hf : MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') f z
⊢ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') (-f) z
R : Type u
⊢ Function.Injective (@Ring.toNonAssocRing R)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
⊢ ↑(F.mapPresheaf.obj X) = ↑X
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp (m • p + a) b = m • p + toIocMod hp a b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
F : CategoryTheory.Functor C C
F.Additive
A₁ A₂ : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
n : ℕ
α : A₁ ⟶ A₂
⊢ (n • α).f = n • α.f
n : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ (n + 1)).smeval (-↑n) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedDivisionRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
x : E
hx : ‖x‖ = 1
r : 𝕜
⊢ (LinearIsometryEquiv.toSpanUnitSingleton x hx) r = ⟨r • x, ⋯⟩
α : Type u_1
DistribLattice α
Fintype α
DecidablePred SupIrred
DecidableEq α
a b : α
⊢ OrderEmbedding.birkhoffFinset (a ⊔ b) = OrderEmbedding.birkhoffFinset a ∪ OrderEmbedding.birkhoffFinset b
n : ℕ
a : Fin (n + 2)
b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hk : a.succAbove b ≠ 0 := ⋯
⊢ (a.pred ha).succAbove (b.pred hb) = (a.succAbove b).pred hk
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
⊢ 0 ≤ ((∫ (x : E), u x ∂μ) * |D| ^ finrank ℝ E)⁻¹
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
hn : IsPrimePow ↑n
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
h : n ≠ 2
this : 2 < n
hprime : Fact (Nat.Prime (↑n).minFac) := { out := minFac_prime (IsPrimePow.ne_one hn) }
⊢ ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ)) = ↑(↑n).minFac
ι : Type u_1
α : Type u_3
s : Finset ι
CommMonoid α
f : ι → α
h : ∀ c ∈ s, IsSquare (f c)
⊢ IsSquare (∏ i ∈ s, f i)
α : Type u_2
G : Type u_4
TopologicalSpace α
Group G
MulAction G α
ContinuousConstSMul G α
s : Set α
hs : IsClosed s
c : G
⊢ IsClosed (c • s)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
α β : Ext X Y n
⊢ (α + β).hom = α.hom + β.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.beq l₂ = decide (l₁ = l₂)
R : Type u_1
Semiring R
P Q : Cubic R
⊢ P.toPoly = Q.toPoly ↔ P = Q
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
a : α
Fintype ↑(MulAction.orbit M a)
⊢ a ∈ MulAction.fixedPoints M α ↔ Fintype.card ↑(MulAction.orbit M a) = 1
α : Type u_1
Preorder α
FiniteDimensionalOrder α
p : LTSeries α
is_longest : ∀ (q : LTSeries α), q.length ≤ p.length
⊢ p.length = (LTSeries.longestOf α).length
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ
h : r > 0
h✝ : ↑⌊(↑j + 1) / r⌋ * r > ↑j
⊢ j ∈ {x | ∃ k, beattySeq' r k = x} ∨ ∃ k, ↑k ≤ ↑j / r ∧ (↑j + 1) / r < ↑k + 1
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
z : M₂
⊢ MultilinearMap.mkPiRing R ι z = 0 ↔ z = 0
α : Sort u_2
DecidableEq α
β : Sort u_1
i j : α
f : α → β
⊢ f ∘ ⇑(Equiv.swap i j) = Function.update (Function.update f j (f i)) i (f j)
n n' : ℕ
k : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n n' →
  Mathlib.Meta.NormNum.MinFacHelper n' k → 0 = n' % k → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n.minFac k
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
z : (i : ι) → α i
h₁ : z ∈ univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)
h₂ : z ∈ univ.pi fun i => Ioc (update x i₀ m i) (y i)
⊢ update y i₀ m i₀ < z i₀
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
A : Set X
⊢ derivedSet (closure A) = derivedSet A
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : M
u : Mˣ
x✝ : IsUnit (a * ↑u)
v : Mˣ
hv : ↑v = a * ↑u
⊢ IsUnit a
d : ℕ
x y : ℤ
a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d
⊢ x.gcd y = d
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : Pell.xn a1 j ≡ Pell.xn a1 i [MOD Pell.xn a1 n]
⊢ j ≡ i [MOD 4 * n] ∨ j + i ≡ 0 [MOD 4 * n]
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
a₁ : P.mp.A
f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α
a₂ : P.mp.A
f₂ : P.mp.B a₂ ⟹ α
r : R ⟨a₁, f₁⟩ ⟨a₂, f₂⟩
⊢ ⟨a₁, f₁⟩ = ⟨a₂, f₂⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∈ s
⊢ (insert a s \ {b}).ncard = s.ncard
α : Type u
Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y) = x ^ n - y ^ n
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIcoDiv hp a (b - c) = toIcoDiv hp (a + c) b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), f a ≤ 1
h'f : ∀ a ∈ sᶜ, f a = 0
x : α
⊢ f x ≤ s.indicator 1 x
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ↑I
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
X : Type u_5
m m0 : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
hm : m ≤ m0
f : X → E
hf_meas : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
s : Set X
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ.trim hm
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
c : F
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => f y + c) s x
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : L.comp F' ⟶ F
⊢ (CategoryTheory.Functor.RightExtension.mk F' α).right.as = PUnit.unit
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
M : SheafOfModules R
∀ (X : C), (J.over X).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
∀ (X : C), CategoryTheory.HasWeakSheafify (J.over X) AddCommGrp
∀ (X : C), (J.over X).WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
self : M.IsFinitePresentation
⊢ ∃ σ, ∀ (i : σ.I), Finite (σ.presentation i).generators.I ∧ Finite (σ.presentation i).relations.I
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : Filter α
g : Filter β
hf : Cauchy f
hg : Cauchy g
⊢ Cauchy (f ×ˢ g)
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
inst✝¹ : Fintype α
s : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
b : α
H : ∃! a_1, a_1 ∈ image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ ∧ a ∈ a_1
⊢ b ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H ↔ Setoid.r a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Sheaf J D
φ : F₁ ⟶ F₂
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget D)
⊢ CategoryTheory.Sheaf.IsLocallyInjective φ ↔ ∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.val.app X)
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
x : ↑(X ⨯ Y)
⊢ ((X.prodIsoProd Y).hom x).1 = (prod.fst x, prod.snd x).1
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
h_deg_le : f.degree ≤ ↑s.card
h_deg_eq : f.degree = g.degree
hlc : f.leadingCoeff = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g
hf : f ≠ 0
⊢ f = g
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
p : P
r : ℝ
hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r
⊢ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p) = s.circumcenter
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C t) ^ n ∣ p ↔ Polynomial.X ^ n ∣ p.comp (Polynomial.X + Polynomial.C t)
α : Type u
Monoid α
a b : α
h₁ : a * b = 1
h₂ : b * a = 1
⊢ ↑{ val := a, inv := b, val_inv := h₁, inv_val := h₂ } = a
G : Type u_1
P : Type u_2
PartialOrder G
PartialOrder P
SMul G P
IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t v : Set P
hv : v.IsPWO
a : P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
h : v ⊆ t
⊢ Finset.SMulAntidiagonal hs hv a ⊆ Finset.SMulAntidiagonal hs ht a
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (x + y * z) y
⊢ IsCoprime x y
x : ℝ
⊢ Real.cosh (2 * x) = Real.cosh x ^ 2 + Real.sinh x ^ 2
X Y : TopCat
x₀ x₁ : ↑X
f : C(↑X, ↑Y)
p : Path.Homotopic.Quotient x₀ x₁
⊢ (FundamentalGroupoid.fundamentalGroupoidFunctor.map f).map p = p.mapFn f
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
f : A₁' →ₐ[R] A₂'
⊢ (↑e₂).comp ((↑e₂.symm).comp (f.comp (AlgHom.id R A₁'))) = f
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A✝ B X✝ X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A✝
A X : C
inst✝ : Exponentiable A
⊢ (exp.coev A).app ((𝟭 C).obj X) ≫ 𝟙 (A ⟹ A ⨯ (𝟭 C).obj X) = (exp.coev A).app X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
A✝ B✝ : C
f✝ g✝ : A✝ ⟶ B✝
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : HasCoreflexiveEqualizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
r : B ⟶ A
fr : f ≫ r = 𝟙 A
gr : g ≫ r = 𝟙 A
this : IsCoreflexivePair f g := IsCoreflexivePair.mk' r fr gr
⊢ HasEqualizer f g
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y : 𝒰.J
⊢ 𝒰.gluedCover.f x y = CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β✝
T✝ T' : Set α → β✝
C✝ C' : ℝ
β : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs_zero : μ s = 0
⊢ ‖T s‖ = 0
α : Type u_1
Mul α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
⊢ a * c < b * d
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsTrail
h : u ∈ c.support
⊢ c.edges.Nodup
x : ℝ
⊢ sign (-↑x) = -sign ↑x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U : Submodule 𝕜 E
⊢ U ⟂ Uᗮ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
DecidableEq α
g : γ → α
s : Finset γ
hi : Std.IdempotentOp op
⊢ Finset.fold op b f (Finset.image g s) = Finset.fold op b (f ∘ g) s
α : Type u_1
⊢ ⇑FreeAddMonoid.ofList ∘ ⇑FreeAddMonoid.toList = id
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
⊢ A.rank = finrank R ↥(LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A))
α : Type u_1
DistribLattice α
a b c : α
ha : a ∈ Set.uIcc b c
hb : b ∈ Set.uIcc a c
⊢ a = b
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
⊢ μ W = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) s
inst✝ : p.NeBot
⊢ ContinuousOn f s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
ha : a < 0
k : ℤ
⊢ a ^ (2 * k + 1) < 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
⊢ (∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, r a b) → Cycle.Chain r s
θ : Angle
⊢ θ.toReal = -π / 2 ↔ θ = ↑(-π / 2)
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
ι : Sort u_4
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
⊢ dimH (⋃ i, s i) = ⨆ i, dimH (s i)
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
b : B
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯
⊢ Continuous (↑e.toPartialHomeomorph ∘ TotalSpace.mk b)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hcd : IntervalIntegrable f μ c d
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in d..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in c..a, f x ∂μ