ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
hs : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s
Hs : StrictMono (enumOrd s)
h : IsNormal (enumOrd s)
ι : Type u
hι : Nonempty ι
f : ι → Ordinal.{u}
hf : ∀ (i : ι), f i ∈ s
⊢ sup f ∈ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
K : CategoryTheory.Functor J D
c : CategoryTheory.Limits.Cone K
⊢ ((adj.functorialityCounit' K).app c).hom = adj.counit.app c.pt
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : LinearOrder E
f : X → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h_union : {x | f x ≤ 0} = {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}
B : NullMeasurableSet {x | f x = 0} μ
⊢ ∫ (x : X) in {x | f x < 0}, f x ∂μ = ∫ (x : X) in {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f✝ : ℕ → Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
val✝ : Encodable β
g : ℕ → Set α := fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg : g = fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (g i)
hg₂ : Pairwise (Disjoint on g)
this : ↑v (⋃ b, f b) = ∑' (i : ℕ), ↑v ((fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b) i)
hg₃ : (fun i => ↑v (f i)) = fun i => ↑v (g (Encodable.encode i))
⊢ Summable fun i => ↑v (f i)
K : Type u
Field K
x : RatFunc K
hx : x ≠ 0
⊢ x.num ≠ 0
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_10
(i' : ι') → MeasurableSpace (β i')
x : (i : ι) → β (e i)
i : ι
⊢ (MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i' => β i') e) x (e i) = x i
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring A
Semiring B
Module A M
Module B M
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R B M
SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
⊢ ↑(Subbimodule.toSubmodule p) = ↑p
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (b : β) in s, ↑(ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q ∂ν a = ((κ a) (s ×ˢ Set.Iic ↑q)).toReal
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
⊢ s.disjiUnion (fun i => Finset.map (Function.Embedding.sigmaMk i) (t i)) ⋯ = s.sigma t
α : Sort u
β : Sort v
a₁ a₂ : α
f : α → β
h : Eq a₁ a₂
⊢ Eq (f a₁) (f a₂)
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ x✝¹ L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)
x✝ : α
b✝ : Bool
⊢ Step (x✝¹ ++ (L₁✝ ++ (x✝, b✝) :: (x✝, !b✝) :: L₂✝)) (x✝¹ ++ (L₁✝ ++ L₂✝))
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
p : Submodule R M₂
h : ∀ (v : (i : ι) → M₁ i), f v ∈ p
⊢ (f.codRestrict p h).toMultilinearMap = f.codRestrict p h
X✝ X : CondensedSet
x✝² x✝¹ : CompHausᵒᵖ
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
a✝ : X.val.obj x✝²
⊢ { toFun := fun s => X.val.map (x✝ ≫ (CompHaus.const (Opposite.unop x✝¹) s).op) a✝, continuous_toFun := ⋯ } = { toFun := fun s => X.val.map (CompHaus.const (Opposite.unop x✝²) s).op a✝, continuous_toFun := ⋯ }.comp x✝.unop
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ↑1 = LinearMap.id
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
hh : CategoryTheory.IsIso h
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = h
⊢ CategoryTheory.IsIso f
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y : P
h : Wbtw R x y x
hne : y ≠ x
⊢ False
a r : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Metric.ball a r) = ENNReal.ofReal (2 * r)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => Real.cosh (f x)) s x
α : Type u_1
n : Type u_4
Zero α
DecidableEq n
A : Matrix n n α
h : A.IsDiag
⊢ Matrix.diagonal A.diag = A
S : Type u_3
Add S
a b : S
h : AddCommute a b
⊢ a + b = b + a
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b - b = -toIcoDiv hp a b • p
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
TopologicalSpace β
CommSemiring β
hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k (f * k)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
lbot : ¬IsBot l
⊢ IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F
z : ℂ
this : 𝓝 (Complex.sin (↑π * z)) = 𝓝 (Complex.sin (↑π * z) * 1)
A : Tendsto (fun n => (↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) * ((∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n)))) atTop (𝓝 (Complex.sin (↑π * z) * 1))
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n)) atTop (𝓝 1)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
⊢ Ex ≤ Ey
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
x : α
y₁ y₂ : β
⊢ dist (x, y₁) (x, y₂) = dist y₁ y₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ ⟨k + l - s.card, ⟨s.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s, ⋯⟩⟩⟩ = ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩
M : Type u_1
DivisionMonoid M
a : M
ha : a ∈ Set.center M
⊢ a⁻¹ ∈ Set.center M
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 y t
⊢ StarConvex 𝕜 (x + y) (s + t)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
y✝ : L
hy✝ : y✝ ∈ engel K x
Ex : ↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} := ⟨engel K x, ⋯⟩
y : L
hy : y ∈ engel K x
hyx : ⟨engel K y, ⋯⟩ ≤ Ex
⊢ Ex ≤ ⟨engel K y, ⋯⟩
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor.id C).μ X Y =
  𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj ((𝟭 C).obj X) ((𝟭 C).obj Y))
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
hm : p.Monic
hpu : IsUnit p
a✝ : Nontrivial R
q : R[X]
h : p * q = 1
this : p.natDegree = 0 ∧ q.natDegree = 0
⊢ p = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ (CategoryTheory.simplicialCosimplicialAugmentedEquiv C).inverse = CategoryTheory.cosimplicialToSimplicialAugmented C
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n m : ℕ
f : R⟦X⟧
hnm : autoParam (n ≤ m) _auto✝
d : ℕ
⊢ (trunc n ↑(trunc m f)).coeff d = (trunc n f).coeff d
α : Type u_1
SemilatticeSup α
f : ℕ → α
⊢ (partialSups f) 0 = f 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
α : Type u_5
self : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
⊢ sSup ∅ = ⊥
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
a : α
⊢ Measurable ((fun p => κ.rnDerivAux η p.1 p.2) ∘ fun x => (a, x))
V : Type u
G : SimpleGraph V
hG : G.IsTree
v w : V
⊢ ∃! p, p.IsPath
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n k : ℕ
hk : k ∈ ↑(range n)
⊢ ((fun n => X ^ n) k).degree < ↑n
α : Sort u
f : α → α
h : Function.Involutive f
⊢ Function.Injective f
K : Type u_3
V : Type u_4
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
⊢ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Basis.ofVectorSpaceIndex K V }) K Subtype.val
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
r : ℝ
hpos : 0 < r
hr : ∀ (x : E), x ≠ 0 → r ≤ ‖x‖
⊢ DiscreteTopology E
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hM : Disjoint ↑M ↑I
⊢ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) = I
r s : ℝ
⊢ ↑(r * s) = ↑r * ↑s
a b✝ c d m n : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
zb : ℕ
hz : b ≤ b + ↑zb
hzb : ↑zb = b + ↑zb - b
⊢ (b + ↑zb).inductionOn' b H0 Hs Hp = inductionOn'.pos b H0 Hs zb
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
U V : OpenAddSubgroup G
h : ∀ (x : G), x ∈ U ↔ x ∈ V
⊢ U = V
α : Type u_1
LE α
⊢ WithBot.orderIsoPUnitSumLex ⊥ = toLex (Sum.inl PUnit.unit)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
⊢ x ∈ u
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
p : Fin (n + 1)
a : α p
f : (i : Fin n) → α (p.succAbove i)
g : (j : Fin (n + 1)) → α j
⊢ g = p.insertNth a f ↔ g p = a ∧ p.removeNth g = f
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁷ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁵ : Preadditive C
inst✝¹⁴ : HasZeroObject C
inst✝¹³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹² : Pretriangulated C
inst✝¹¹ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁰ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁹ : L.IsLocalization W
inst✝⁸ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁷ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : HasZeroObject D
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : L.Additive
inst✝² : Pretriangulated D
inst✝¹ : L.IsTriangulated
inst✝ : IsTriangulated C
this : (L.mapComposableArrows 2).EssSurj
⊢ IsTriangulated D
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ ∅ ∩ s = ∅
α : Type u_1
x : α → ℕ
⊢ 1 x = 1
X Y : Type u_1
CommSemiring X
CommSemiring Y
e : X ≃+* Y
⊢ ⇑↑e = ⇑e
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α} {s : Set α}, ¬Bornology.IsBounded s → s.Nonempty
α : Type u_2
Lattice α
BoundedOrder α
IsModularLattice α
ComplementedLattice α
IsAtomic α
⊢ IsCoatomic α
b : ℝ
hb₀ : -1 < b
hb₁ : b < 1
hb : b < 0
⊢ Tendsto (fun x => b ^ x) atTop (𝓝 0)
a : SignType
⊢ -a = a ↔ a = 0
M : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid M
ExistsAddOfLE M
a b c : M
⊢ (fun x => x + a) '' Set.Ico b c = Set.Ico (b + a) (c + a)
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
i : ℕ
⊢ Part.Fix.approx (⇑f) i ∈ Part.Fix.approxChain f
α : Type u_2
β : Type u_3
Mul α
Add α
LE α
Mul β
Add β
LE β
e : α ≃+*o β
⊢ e.trans e.symm = OrderRingIso.refl α
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a c p : R
hp : 0 ≤ p
⊢ ∃ p_1, 0 ≤ p_1 ∧ star c * (a + p) * c = star c * a * c + p_1
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrictOrderedSemiring Γ
x : PowerSeries R
⊢ ∀ {a b : ℕ}, ↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Abelian.OfCoimageImageComparisonIsIso.imageMonoFactorisation f).e =
  CategoryTheory.Limits.cokernel.π (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f) ≫ CategoryTheory.Abelian.coimageImageComparison f
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≤] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≤] f a
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Iic a) a
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
⊢ Continuous (thickenedIndicatorAux δ E)
α : Type u_1
a : α
⊢ Measurable fun s => a ∉ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
⊢ mex f < (succ #ι).ord
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
⊢ Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n) atTop (𝓝 (‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * 0))
l r : List Char
c : Char
h : ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }
⊢ ValidFor l (List.modifyHead (fun x => c) r) { s := { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l } c, i := { byteIdx := utf8Len l } }
n : ℕ
hn : NeZero n
⊢ Monoid.exponent (DihedralGroup n) ∣ lcm n 2
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
hs : Dense s
ht : IsOpen t
⊢ t ⊆ closure (t ∩ s)
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝¹ : BorelSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν
⊢ μ = ν
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
⊢ FreeMonoid.toList (List.reverse (foldMap FreeMonoid.of xs)).reverse = FreeMonoid.toList (List.foldr cons [] (List.reverse (foldMap FreeMonoid.of xs))).reverse
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type s
CommRing S
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ (WeierstrassCurve.baseChange W B).toAffine.negPolynomial =
  Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom ↑f) (WeierstrassCurve.baseChange W A).toAffine.negPolynomial
R : Type u_1
CommRing R
q : Quaternion (DualNumber R)
⊢ (TrivSqZeroExt.snd (Quaternion.dualNumberEquiv q)).imI = TrivSqZeroExt.snd q.imI
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingCospan ⥤ C
X : CategoryTheory.Limits.WalkingCospan
⊢ (CategoryTheory.Limits.diagramIsoCospan F).hom.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
h₁ : ↑⌈x⌉₊ < x + 1
⊢ rexp (-2 * x) < rexp (2 - ↑⌈x⌉₊) / ↑⌈x⌉₊
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
f : Π₀ (i : ι), α i
(i : ι) → DecidableEq (α i)
t : Π₀ (i : ι), Finset (α i)
ht : t.support ⊆ s
⊢ f ∈ s.dfinsupp ⇑t ↔ ∀ (i : ι), f i ∈ t i
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
hf : ¬f = 0
hf1 : (expand R p) f ≠ 0
⊢ ↑(f.natDegree * p) = ((expand R p) f).degree
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝ : T2Space M
⊢ closure (↑(extChartAt I c).symm '' (ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)) ⊆ ↑(extChartAt I c).symm '' (closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
⊢ (𝟙 X).val = 𝟙 X.toSheafedSpace
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
α : Type u_1
Monoid α
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
AddCommMonoid γ
DistribMulAction α γ
f : Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
c : α
⊢ c • f.sum h = f.sum fun a b => c • h a b
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↑M
⊢ (𝟙 (of R R)) (1, x).1 • f (1, x).2 = 1 • f x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommGroup M
TopologicalSpace M
TopologicalAddGroup M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
⊢ ↑(v - w) i = ↑v i - ↑w i
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (p.length + 1)
⊢ Fin.append p.toFun q.toFun (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd (q.length + 1) i))) = p.toFun i
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
𝕜 : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g ν
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun z => f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)
α : Type u_1
Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
h : t.Bounded o₁ o₂
⊢ t.Bounded ⊥ ⊤
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
m : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
r : R
⊢ (MvPolynomial.C r * φ).IsHomogeneous m
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝¹ : ConnectedSpace α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
i : ι
g : α → π i
hf : Continuous (Sigma.mk i ∘ g)
hi : range (Sigma.mk i ∘ g) ⊆ range (Sigma.mk i)
⊢ Continuous g
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ (QuotientAddGroup.equivIocMod hp a) ↑b = ⟨toIocMod hp a b, ⋯⟩
α : Type u_2
DecidableEq α
β : Type u_1
DecidableEq β
l : List α
f : α → β
x : α
⊢ List.count x l ≤ List.count (f x) (List.map f l)
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_4
f : M →ₗ[R] α →₀ R
s : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.LeftInverse ⇑f ⇑(f.splittingOfFinsuppSurjective s)
R' : Type u_6
CommRing R'
x y : R'
c : ↥R'⁰
⊢ ↑c * x ∣ ↑c * y ↔ x ∣ y
R : Type u_1
Semiring R
n k : ℕ
⊢ ((1 + Polynomial.X) ^ n).coeff k = ↑(n.choose k)
X : Type u_1
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
C₁ C₂ : Set X
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
h : C₁ ∪ C₂ = Set.univ
f : LocallyConstant (↑C₁) Z
g : LocallyConstant (↑C₂) Z
hfg : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f ⟨x, ⋯⟩ = g ⟨x, ⋯⟩
DecidablePred fun x => x ∈ C₁
x : X
hx : x ∈ C₁
⊢ (LocallyConstant.piecewise h₁ h₂ h f g hfg) x = f ⟨x, hx⟩
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
⊢ closure (s ×ˢ t) = closure s ×ˢ closure t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
obj : Fin (n + 1) → C
mapSucc : (i : Fin n) → obj i.castSucc ⟶ obj i.succ
i : ℕ
hi : i < n := by valid
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.mkOfObjOfMapSucc obj mapSucc).arrow i hi =
  CategoryTheory.ComposableArrows.mk₁ (mapSucc ⟨i, hi⟩)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ (b ∆ c) = b ∆ (a ∆ c)
n : Nat
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {α_1 : Type u_2} {f : α → α_1}, List.map f (List.replicate n a) = List.replicate n (f a)
X Y : Skeleton
x✝ : IsIsomorphic X Y
h : X ≅ Y
a : Fin Y.len
⊢ (h.hom { down := (fun x => (h.inv { down := x }).down) a }).down = a
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ MonovaryOn (⇑OrderDual.toDual ∘ f) g s ↔ AntivaryOn f g s
α : Type u_2
Preorder α
OrderBot α
a : α
⊢ IsCoatom (OrderDual.toDual a) ↔ IsAtom a
α : Type u
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
Order.Coframe α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α
⊢ (⨅ i, ⨅ j, f i j) ⊔ a = ⨅ i, ⨅ j, f i j ⊔ a
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
n : ℕ
⊢ (opRingEquiv R) (op (C r * X ^ n)) = C (op r) * X ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s : Sym α n
a b : α
⊢ (Multiset.card ↑s = n ∧ ∀ b ∈ ↑s, b = a) ↔ ∀ b ∈ s, b = a
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁴ : AddCommGroup F'
inst✝³ : Module 𝕜 F'
inst✝² : TopologicalSpace F'
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F'
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F'
l : E →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
hs₁ : IsOpen s
hs₂ : s.Nonempty
hs₃ : ∀ x ∈ s, l x ≠ 0
hl : Dense ↑(ker l)
⊢ False
α : Type u
l : List α
Inhabited α
n : ℕ
⊢ l.getI n = (l.get? n).iget
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
⊢ (b * b ^ (p - 1) - b * 1) * (b ^ p + b) = b * (b ^ (p - 1) - 1) * (b ^ p + b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct Y Z
f : W ≅ Y
g : X ≅ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprod.mapIso f g).hom = CategoryTheory.Limits.coprod.map f.hom g.hom
α : Type u_1
Sub α
a b : Lex α
⊢ ofLex (a - b) = ofLex a - ofLex b
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ (π.toSubordinate r).distortion = π.distortion
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)
intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)
half_pi_pos : 0 < π / 2
cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y
⊢ x < tan x
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
ha : Filter.Tendsto a l Filter.atBot
hb : Filter.Tendsto b l Filter.atTop
NoMinOrder α
NoMaxOrder α
⊢ MeasureTheory.AECover μ l fun i => Set.Ioo (a i) (b i)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
e : K ≃ₐ[F] E
inst✝ : IsPurelyInseparable F K
x : E
h : (minpoly F (e.symm x)).Separable
⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a \ c ⊓ (b ⊔ a) = a \ c
x : ℝ*
⊢ |x|.InfinitePos ↔ |x|.Infinite
α : Type u_1
Mul α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ min a c * min b d ≤ min (a * b) (c * d)
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : IsSkewAdjoint B f
hg : IsSkewAdjoint B g
hfg : IsAdjointPair B B (f * g) (g * f)
hgf : IsAdjointPair B B (g * f) (f * g)
⊢ IsAdjointPair B B (f * g - g * f) (-(f * g - g * f))
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε} ∈ uniformity ↥(lp E p)
n : ℕ
hn : ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, ‖(fun f => F n - f) (F l)‖ < ε
⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun i => id (fun i => ↑((fun f => F n - f) (F i))) i x) atTop (𝓝 (↑(F n - f) x))
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
τ : Ω → ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
Preorder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
AddCommMonoid E
N : ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ N
⊢ MeasureTheory.stoppedValue u τ = ∑ i ∈ Finset.Iic N, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ OpenEmbedding f ↔ Embedding f ∧ IsOpenMap f