ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ∫⁻ (x : α), 1 ∂μ = μ Set.univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
U : C
s : (CategoryTheory.forget A).obj (G.obj (Opposite.op U))
⊢ CategoryTheory.Presheaf.imageSieve (CategoryTheory.whiskerRight f (CategoryTheory.forget A)) s =
  CategoryTheory.Presheaf.imageSieve f s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
h : μ s ≠ 0
d : AddCircle T
I : ι → Set (AddCircle T) := fun j => closedBall d (T / (2 * ↑(n j)))
hd : Tendsto (fun j => μ (s ∩ I j) / μ (I j)) l (𝓝 1)
⊢ μ s = ENNReal.ofReal T
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := B.toSeminormFamily
h : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' : (Filter.pi fun x => 𝓝 0).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun If => If.1.pi fun i => Metric.ball 0 (If.2 i)
h'' : (Filter.comap (fun x y => (B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun i => (fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
⊢ ∃ i, (i.1.Finite ∧ ∀ i_1 ∈ i.1, 0 < i.2 i_1) ∧ ((fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)) ⊆ _root_.id U
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
⊢ (A i₁ - A i₀).degree < ↑(b.natDegree - d)
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
MulAction R X
r : X
s t : ↥S
⊢ (1 /ₒ t) • (r /ₒ s) = r /ₒ (s * t)
α : Type u_1
inst✝¹ : Div α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α
⊢ (equivShrink α) (x / y) = (equivShrink α) x / (equivShrink α) y
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : N ≃* P
x : M
⊢ k.symm ((f.ofMulEquivOfLocalizations k).toMap x) = f.toMap x
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsInitial c
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ hc.to s = (c.isColimitEquivIsInitial.symm hc).descCoconeMorphism s
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ LightProfinite.pullback.fst f g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (LightProfinite.pullbackIsoPullback f g).hom
    (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Iic t) t
hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Iic t) t
hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t
hb : f b = g b
hv' : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (Neg.neg ∘ v (-t)) (s (-t))
⊢ EqOn f g (Icc a b)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
f : M → M'
hf : ContMDiff I I' n (e' ∘ f)
this : f = ↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e' h').symm ∘ e' ∘ f
⊢ ∀ (x : M), (e' ∘ f) x ∈ range e'
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
self : MeasureTheory.IsSetAlgebra 𝒜
⊢ ∅ ∈ 𝒜
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
DecidableEq α
⊢ MulAction.stabilizer G ∅ = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
R : CategoryTheory.Functor D C
R.Full
L : CategoryTheory.Functor C D
adj : L ⊣ R
⊢ (CategoryTheory.Monad.comparison adj).Full
α : Type u_1
BooleanRing α
a : α
⊢ -a = a
α : Type u_1
OrderedSemiring α
Nontrivial α
t : ↑(Set.Ico 0 1)
⊢ 0 ≤ t
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ μ Set.univ * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
α : Type u
⊢ Cardinal.mk α = 2 ↔ ∃ x y, x ≠ y ∧ {x, y} = Set.univ
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
C : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C
F : CategoryTheory.Functor C A
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma (F.comp L) R} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comma.preLeft F L R).map f).right = f.right
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
v : ℕ → ℝ
v_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < v n
v_lim : Tendsto v atTop (𝓝 0)
this : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a| < v i * ↑⌊c ^ n⌋₊
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a| < v i * ↑⌊c ^ n⌋₊
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
i : ℕ
hi : v i < ε
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, truncation (X i) ↑i) a‖ ≤ ε * ‖↑⌊c ^ x⌋₊‖
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
s : Set α
⊢ mulSupport f = s ↔ (∀ x ∈ s, f x ≠ 1) ∧ ∀ x ∉ s, f x = 1
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
h : a ≤ n + n
⊢ n * n + a < n.succ * n.succ
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
b : R
hb : b = 0
⊢ ∑ a : R, χ (a * b⁻¹) * ψ (a - b) = ∑ c : R, χ c * ψ (b * (c - 1))
Γ : Type u_1
R : Type u_2
LinearOrderedAddCommGroup Γ
CommRing R
IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
⊢ IsUnit x ↔ IsUnit x.leadingCoeff
f : StieltjesFunction
l : ℝ
hf : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 l)
x : ℝ
h_le1 : ∀ (x : ℝ), ↑f (x - 1) ≤ leftLim (↑f) x
h_le2 : ∀ (x : ℝ), leftLim (↑f) x ≤ ↑f x
⊢ ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℝ), i ≤ a → b ≤ a - 1
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hf : IntegrableOn f (↑I) μ
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
⊢ HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
lfa lga lfb lgb : ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)
h : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f x - (lfb - lfa) * g x
hha : Tendsto h (𝓝[>] a) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))
hhb : Tendsto h (𝓝[<] b) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))
h' : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f' x - (lfb - lfa) * g' x
⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, (lgb - lga) * f' c = (lfb - lfa) * g' c
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
⊢ IsOpenMap Units.val
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
⊢ Filter.Tendsto Int.ceil Filter.atBot Filter.atBot
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
ha : a ∉ upperClosure ↑s ⊔ upperClosure ↑t
⊢ a ∉ upperClosure ↑(s ⊻ t)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
x : R
hxJ : x ∉ J
hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}
hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J ⊔ Ideal.span {x}
hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}
this✝ : J ⊔ Jac • Ideal.span {x} ≤ J ⊔ Ideal.span {x}
this : Jac * Ideal.span {x} ≤ J
⊢ False
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : ExactPairing X Y
⊢ η_ X Y ▷ X ⊗≫ X ◁ ε_ X Y = ⊗𝟙
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X : PresheafedSpace C
⊢ ⋯.functor.op ⋙ X.presheaf = (Presheaf.pushforward C (Opens.inclusionTopIso ↑X).inv).obj X.presheaf
a b : USize
⊢ ¬a < b ↔ b ≤ a
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X
u : α → β
hu : UniformInducing u
this : Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun)
⊢ ContinuousAt ((⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun) ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀ ↔ ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap ((fun x => u ∘ x) ∘ F)) x₀
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
s : α → Set β
⊢ ⋃ x ∈ {a}, s x = s a
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
⊢ JoinedIn sᶜ a b
G : Type u_1
AddCommGroup G
Finite G
⊢ ∃ ι x n, (∀ (i : ι), 1 < n i) ∧ Nonempty (G ≃+ ⨁ (i : ι), ZMod (n i))
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f✝ : ↑Γ(X, U)
V : X.Opens
hV : IsAffineOpen V
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ U ⊓ V
f : ↑Γ(X, U)
hf₁ : X.basicOpen f ≤ V
hf₂ : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ X.basicOpen f
g : ↑Γ(X, V)
hg₁ : X.basicOpen g ≤ X.basicOpen f
hg₂ : ↑⟨x, hf₂⟩ ∈ X.basicOpen g
⊢ ∃ f g, X.basicOpen f = X.basicOpen g ∧ x ∈ X.basicOpen f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : EqOn f g [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
S : SSet
σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S
h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)
m : ℕ
f : Λ[n + 1, i] _[m]
f' : unop (op [m]) ⟶ [n + 1]
hf : (standardSimplex.objEquiv [n + 1] (op [m])).symm f' = ↑f
j : Fin (n + 2)
hji : ¬j = i
hfj : ∀ (k : Fin ((unop (op [m])).len + 1)), (Hom.toOrderHom f') k ≠ j
H : f = Λ[n + 1, i].map (factor_δ f' j).op (face i j hji)
H₁ : (Λ[n + 1, i].map (factor_δ f' j).op ≫ σ₁.app (op [m])) (face i j hji) = (σ₁.app (op [n]) ≫ S.map (factor_δ f' j).op) (face i j hji)
⊢ σ₁.app (op [m]) f = σ₂.app (op [m]) f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
r : ℝ
hd : DifferentiableOn 𝕜 f (Metric.ball x r)
hc : ContinuousOn f (Metric.closedBall x r)
⊢ DiffContOnCl 𝕜 f (Metric.ball x r)
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
j : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Coreflective j
X : D
⊢ (CategoryTheory.coreflectorAdjunction j).counit.app (j.obj ((CategoryTheory.coreflector j).obj X)) =
  j.map ((CategoryTheory.coreflector j).map ((CategoryTheory.coreflectorAdjunction j).counit.app X))
R : Type u
CommRing R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.obj (Opposite.op U))
x : ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hx : x ∈ U
⊢ ∃ V,
  ∃ (_ : x ∈ V),
    ∃ i f g,
      ∃ (hg : ∀ x ∈ V, g ∈ x.asIdeal.primeCompl),
        AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f g V hg = ((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.map i.op) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M N : Bimod A B
self : M.Hom N
⊢ M.actLeft ≫ self.hom = A.X ◁ self.hom ≫ N.actLeft
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoid α
l : Finset ι
S : ι → Set α
⊢ (fun f => ∑ i ∈ l, f i) '' (↑l).pi S = ∑ i ∈ l, S i
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ = ⊤
h1 : ¬p = 1
hp1_lt : 1 < p
⊢ (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
G : Comonad C
M N : Monad C
f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor
f_η : autoParam (∀ (X : C), M.η.app X ≫ f.hom.app X = N.η.app X) _auto✝
f_μ : autoParam (∀ (X : C), M.μ.app X ≫ f.hom.app X = (M.map (f.hom.app X) ≫ f.hom.app (N.obj X)) ≫ N.μ.app X) _auto✝
X : C
⊢ (N.μ.app X ≫ f.inv.app X) ≫ f.hom.app X = ((N.map (f.inv.app X) ≫ f.inv.app (M.obj X)) ≫ M.μ.app X) ≫ f.hom.app X
d : ℕ
hd0 : d > 0
x : ℕ
⊢ ∀ b ∈ filter (fun k => (d * x).gcd k = d) (range (d * x)), ∃ a, ∃ (_ : a ∈ filter x.Coprime (range x)), d * a = b
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
⊢ log y / y ^ a ≤ log x / x ^ a
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
g h : (⨁ f) ⊗ X ⟶ Y
w : ∀ (j : J), biproduct.ι f j ▷ X ≫ g = biproduct.ι f j ▷ X ≫ h
j✝ : J
⊢ biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j✝ ≫ (rightDistributor f X).inv ≫ g = biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j✝ ≫ (rightDistributor f X).inv ≫ h
q : ℚ
f : ℚ → ℚ → ℚ
f₁ f₂ : ℤ → ℤ → ℤ → ℤ → ℤ
fv : ∀ {n₁ : ℤ} {d₁ : ℕ} {h₁ : d₁ ≠ 0} {c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁} {n₂ : ℤ} {d₂ : ℕ} {h₂ : d₂ ≠ 0} {c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂}, f { num := n₁, den := d₁, den_nz := h₁, reduced := c₁ } { num := n₂, den := d₂, den_nz := h₂, reduced := c₂ } = f₁ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂ /. f₂ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂
f0 : ∀ {n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ}, d₁ ≠ 0 → d₂ ≠ 0 → f₂ n₁ d₁ n₂ d₂ ≠ 0
a b c d : ℤ
b0 : b ≠ 0
d0 : d ≠ 0
H : ∀ {n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ}, a * d₁ = n₁ * b → c * d₂ = n₂ * d → f₁ n₁ d₁ n₂ d₂ * f₂ a b c d = f₁ a b c d * f₂ n₁ d₁ n₂ d₂
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
ha : a /. b = n₁ /. ↑d₁
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
hc : c /. d = n₂ /. ↑d₂
⊢ f { num := n₁, den := d₁, den_nz := h₁, reduced := c₁ } { num := n₂, den := d₂, den_nz := h₂, reduced := c₂ } = f₁ a b c d /. f₂ a b c d
α : Type u_1
LinearOrder α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
h1 : ∀ i ∈ Set.Ico n m, r i (Order.succ i)
h2 : ∀ i ∈ Set.Ico m n, r (Order.succ i) i
hnm : n ≠ m
⊢ Relation.TransGen r n m
n : ℕ
x : { x // x ≠ Fin.last n }
⊢ (finSuccAboveEquiv (Fin.last n)).symm x = (↑x).castLT ⋯
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)
μ : (X Y : C) → F.obj X ⊗ F.obj Y ⟶ F.obj (X ⊗ Y)
μ_natural : autoParam (∀ {X Y X' Y' : C} (f : X ⟶ Y) (g : X' ⟶ Y'), (F.map f ⊗ F.map g) ≫ μ Y Y' = μ X X' ≫ F.map (f ⊗ g)) _auto✝
associativity : autoParam (∀ (X Y Z : C), (μ X Y ⊗ 𝟙 (F.obj Z)) ≫ μ (X ⊗ Y) Z ≫ F.map (α_ X Y Z).hom = (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ (𝟙 (F.obj X) ⊗ μ Y Z) ≫ μ X (Y ⊗ Z)) _auto✝
left_unitality : autoParam (∀ (X : C), (λ_ (F.obj X)).hom = (ε ⊗ 𝟙 (F.obj X)) ≫ μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom) _auto✝
right_unitality : autoParam (∀ (X : C), (ρ_ (F.obj X)).hom = (𝟙 (F.obj X) ⊗ ε) ≫ μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom) _auto✝
X : C
⊢ (λ_ ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X)).hom = ε ▷ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X ≫ μ (𝟙_ C) X ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map (λ_ X).hom
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ s.diffs t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
α : Type u_1
f : α → α
x : α
⊢ (Function.periodicOrbit f x).length = Function.minimalPeriod f x
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ℝ
⊢ volume (Ioo a b) = ofReal (b - a)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
σ : ℝ
f : ℝ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hFf : VerticalIntegrable (mellin f) σ volume
hfx : ContinuousAt f x
g : ℝ → E := fun u => rexp (-σ * u) • f (rexp (-u))
hf : Integrable g volume
⊢ mellinInv σ (mellin f) x = f x
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
hI : M.Indep I
⊢ I ⊆ M.E
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y : D
j : StructuredArrow Y L
⊢ (StructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj j = j
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
hf : Embedding ⇑f
g : Y ⟶ S
H : Set.range ⇑g ⊆ Set.range ⇑f
esto : ↑(pullback f g) ≃ₜ ↑Y := (Homeomorph.ofEmbedding ⇑(pullback.snd f g) ⋯).trans { toFun := Subtype.val, invFun := fun x => ⟨x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
⊢ IsIso (pullback.snd f g)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
t : Affine.Triangle R P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
p₁ p₂ p : P
h₁ : Sbtw R (t.points i₂) p₁ (t.points i₃)
h₂ : Sbtw R (t.points i₁) p₂ (t.points i₃)
h₁' : p ∈ affineSpan R {t.points i₁, p₁}
h₂' : p ∈ affineSpan R {t.points i₂, p₂}
this : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1 := LinearOrderedRing.decidableLT
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h3 : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
hp : p ∈ affineSpan R (Set.range t.points)
h₁i : ∃ x ∈ Set.Ioo 0 1, (lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) x = p₁
h₂i : ∃ x ∈ Set.Ioo 0 1, (lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) x = p₂
⊢ Sbtw R (t.points i₁) p p₁
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
a : α
r : ℝ
⊢ 0 ≤ ↑(ProbabilityTheory.condCDF ρ a) r
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s✝ s t : Set X
r : RegularSpace X
inst✝ : LindelofSpace X
s_cl : IsClosed s
t_cl : IsClosed t
st_dis : Disjoint s t
empty_X : IsEmpty X
⊢ _root_.HasSeparatingCover s t
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
⊢ P (CommRingCat.ofHom (e₁.toCommRingCatIso.hom ≫ CommRingCat.ofHom (IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯)) ≫ e₂.toCommRingCatIso.hom) ↔ P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
hh₂ : HasDerivAt h₂ h₂' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
⊢ HasDerivWithinAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') s x
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
⊢ ker (eval K V) = ⊥
z y✝ x✝ r : ℝ
hr_nonneg : 0 ≤ r
hr_le : r ≤ 1
x y : ℂ
hyx : ‖y - x‖ < r
hy_eq : y = x + (y - x)
⊢ ‖cexp y - cexp x‖ ≤ (1 + r) * ‖cexp x‖ * ‖y - x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
hs : IsLowerSet s
⊢ Disjoint s ↑(upperClosure t) ↔ Disjoint s t
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
z : N
⊢ g ↑(f.sec z).2 * (f.lift hg) z = g (f.sec z).1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.re
hz_im : 0 ≤ z.im
⊢ ‖(f ∘ Neg.neg) z‖ ≤ C
a x z✝ z : ℂ
⊢ -(π / 2) ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.re ∨ 0 ≤ z.im
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
e₁ : E
⊢ Continuous fun e₂ => f (e₁, e₂)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
hst : Disjoint s t
⊢ SeparatedNhds s t
α : Type u_1
G : Type u_4
ConditionallyCompleteLattice α
Group G
f₁ f₂ : G →* α ≃o α
hbdd : ∀ (x : α), BddAbove (Set.range fun g => (f₁ g)⁻¹ ((f₂ g) x))
g : G
⊢ Function.Semiconj (fun x => ⨆ g', (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') x)) ⇑(f₂ g) ⇑(f₁ g)
α : Type u_1
a b : α
l : List α
n : Nat
⊢ (l.set n a).set n b = l.set n b
x : ℝ
⊢ -1 ≤ Real.sin x
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hcb : z ≤ y
⊢ (x \ z) \ (x \ y) ≤ y \ z ∧ x \ y ≤ (x \ z) \ (y \ z)
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r : α
l.NeBot
h : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / r) l Filter.atTop ↔ 0 < r