ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasRightHomology
inst✝² : S₂.HasRightHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂
⊢ rightHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (F.mapShortComplex.obj S₁).rightHomologyData (F.mapShortComplex.obj S₂).rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).rightHomologyData (S₂.rightHomologyData.map F) = rightHomologyMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).rightHomologyData (S₁.rightHomologyData.map F) ≫ F.map (rightHomologyMap' φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData)
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ : Basis ι R M
N O : Submodule R M
b : Basis ι R ↥O
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
hgen : generator (ϕ.submoduleImage N) = 0
⊢ N = ⊥
X₁ : Type u₁
TopologicalSpace X₁
X : Type u
TopologicalSpace X
NormalSpace X
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y : Type v
TopologicalSpace Y
f : C(X₁, Y)
t : Set Y
hf : ∀ (x : X₁), f x ∈ t
ht : TietzeExtension ↑t
⊢ ∃ g, (∀ (x : X), g x ∈ t) ∧ g.comp { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ } = f
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NoAtoms μ✝
h : s.Countable
μ : Measure α
inst✝ : NoAtoms μ
⊢ ∀ i ∈ s, μ {i} = 0
β : Type u_2
AddCommMonoid β
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → β
x : Fin (n + 1)
⊢ ∑ i : Fin (n + 1), f i = f x + ∑ i : Fin n, f (x.succAbove i)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y z : α
h : x ∈ y :: z :: l
hx : x = y
⊢ (y :: z :: l).next x h = z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor C D
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
F : CategoryTheory.Functor J C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit F G
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.preservesLimitIso G F).hom
    (CategoryTheory.Limits.limit.π (F.comp G) j) =
  G.map (CategoryTheory.Limits.limit.π F j)
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ term_tsum s = 1 / (s - 1) - 1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s
G : Type u_1
H : Type u_2
AddCommMonoid G
AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
hf : IsAddFreimanHom 2 s t f
hf' : Set.InjOn f s
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hA : IsCornerFree (Prod.map f f '' A)
⊢ IsCornerFree A
w v : Nat
x : BitVec w
h : w ≤ v
⊢ BitVec.zeroExtend' h x = BitVec.zeroExtend v x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ generateFrom (range fun a => Iio ↑a) = generateFrom (range fun a => Ici ↑a)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
s : Set ↥H := {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
⊢ ⇑H.subtype '' s = {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = x}
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ ∃ q, (of v).convs n = ↑q
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
b₁ : ∀ (y : ↥W), ((B.domRestrict₁₂ W W) ⟨x, hx⟩) y = 0
y : M
hy : y ∈ W
⊢ B.IsOrtho y x
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree id p.toFinsupp = p.natDegree
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
M : Matrix m m R
b : m → α
LT α
hM : M.BlockTriangular b
⊢ (-M).BlockTriangular b
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
P : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
h : Projective R P
f : M →ₗ[R] N
g : P →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
φ : (P →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total P M R fun p => Function.surjInv hf (g p)
⊢ ∃ h, f ∘ₗ h = g
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
⊢ p x fun n => aeSeq hf p n x
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
s : Set α
t : Set β
hs : s.Subsingleton
ht : t.Subsingleton
f : α → β → γ
⊢ (Set.image2 f s t).Subsingleton
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
hfi : Integrable (↑f) μ
i : G'
hi : i ∈ f.range
h0 : ¬i = 0
⊢ 0 ≤ (T (↑f ⁻¹' {i})) i
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
MeasureTheory.SigmaFinite ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.restrict s).rnDeriv ν =ᵐ[ν] s.indicator (μ.rnDeriv ν)
a b : ℕ+
⊢ (Icc a b).card = (map (Embedding.subtype fun n => 0 < n) (Icc a b)).card
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
j k : S →* P
h : j.comp ↑(algebraMap R S) = k.comp ↑(algebraMap R S)
⊢ j = k
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
s : Submodule R M
h : 0 < Module.rank R ↥s
eq : s = ⊥
⊢ False
ι : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
I₀ : WithTop (BoxIntegral.Box ι)
f g : BoxIntegral.BoxAdditiveMap ι M I₀
⊢ ⇑f = ⇑g ↔ f = g
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field L'
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
h_le : F ≤ E
h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L
⊢ F = E
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
⊢ id <$> abs (repr x) = abs (repr x)
k : Type u_3
A : Type u_4
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
CommSemiring k
Semiring A
Algebra k A
AddMonoid G₁
AddMonoid G₂
AddMonoid G₃
f : G₁ →+ G₂
g : G₂ →+ G₃
⊢ AddMonoidAlgebra.mapDomainAlgHom k A (g.comp f) =
  (AddMonoidAlgebra.mapDomainAlgHom k A g).comp (AddMonoidAlgebra.mapDomainAlgHom k A f)
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
ha : a < 0
hbc : b ≤ c
⊢ a + b < c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : Disjoint a b
⊢ a ∆ b = a ⊔ b
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ f x < x + ↑⌊f.translationNumber⌋ + 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B
this : (𝓝[A] y).NeBot
limy : Tendsto f (𝓝[A] y) (𝓝 (φ y))
⊢ φ y ∈ V'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
F : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor C D
G : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor D E
⊢ (F ⊗⋙ G).toFunctor = F.toFunctor ⋙ G.toFunctor
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
h : ContinuousWithinAt f s x
hg : Tendsto g p (𝓝[s] x)
hunif : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ Tendsto (fun n => F n (g n)) p (𝓝 (f x))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s : Set β
⊢ f.preimage s ⊆ f.Dom
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Profinite.NobelingProof.C0 C ho ∪ Profinite.NobelingProof.C1 C ho = C
α : Type u_1
Preorder α
t₁ t₂ : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
⊢ t₁.Bounded o₁ ↑x → t₂.Bounded (↑x) o₂ → t₂.Bounded o₁ o₂
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
x y : A
hx : IsIntegral R x
hy : IsIntegral R y
⊢ IsIntegral R (x * y)
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B₁ : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
H : B₁.IsAlt
⊢ B₁.IsRefl
a b : ℝ≥0∞
⊢ a ≠ ⊤ ∨ b ≠ ⊤ → Filter.Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (a, b)) (𝓝 (a - b))
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ cs.rightInvSeq (List.drop j ω) = List.drop j (cs.rightInvSeq ω)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯)
Z✝ : C
u v : Y ⟶ Z✝
huv : f ≫ u = f ≫ v
W : C
w : Y ⟶ W
hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0
hl : IsLimit (KernelFork.ofι (equalizer.ι u v) hw)
m : X ⟶ equalizer u v
hm : m ≫ equalizer.ι u v = f
hwf : f ≫ w = 0
n : (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯).pt ⟶ W
hn : 0 = w
⊢ u = v
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)
⊢ let D := closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C); Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C ∧ EMetric.diam D ≤ ε
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
f : α → 𝕜
h : MeasureTheory.Integrable f μ
c : 𝕜
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => c * f x) μ
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddCommGroup G
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
MeasurableAdd₂ G
MeasureTheory.SFinite μ
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (Function.support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hmg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
α : Type u_2
Div α
f : Filter α
b : α
⊢ f / pure b = Filter.map (fun x => x / b) f
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range (n + 1), ∑ x_1 ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1).choose (x + x_1)) • (monomial x) (_root_.bernoulli x_1 * ↑((x + x_1).choose x)) = (monomial n) ↑n + (monomial n) 1
G : Type u
Group G
Finite G
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
H : Subgroup G
card_eq : Nat.card ↥H = p ^ (Nat.card G).factorization p
⊢ ↑(Sylow.ofCard H card_eq) = H
n k : ℕ
⊢ n.descFactorial k.succ = 0 ↔ n < k.succ
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
s : AList β
⊢ a' ∈ erase a s ↔ a' ≠ a ∧ a' ∈ s
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Path u v
e : Sym2 V
hw : e ∈ (↑p).edges
⊢ List.count e (↑p).edges = 1
α : Type u_1
a : α
⊢ {a} ≠ ∅
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ (∀ x ∈ S, _root_.IsAlgebraic R x) ↔ Algebra.IsAlgebraic R ↥S
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f g : α → M
a : α
r : M → M → Prop
h1 : r 0 0
ha : a ∈ s → r (f a) (g a)
⊢ r (s.indicator f a) (s.indicator g a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → β
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
S : Set (Set β)
hSc : S.Countable
hc : MeasurableSpace.CountablyGenerated β
h : NullMeasurable f μ
T : Set β → Set α
hTf : ∀ s ∈ S, T s ⊆ f ⁻¹' s
hTm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (T s)
hTeq : ∀ s ∈ S, T s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
U : Set β → Set α
hUf : ∀ s ∈ S, U s ⊇ f ⁻¹' s
hUm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (U s)
hUeq : ∀ s ∈ S, U s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
v : Set α := ⋃ s ∈ S, U s \ T s
hvm : MeasurableSet v
hvμ : μ v = 0
⊢ Measurable (v.piecewise (fun x => default) f)
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K V : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
⊢ Module.rank K V < Module.rank K (V →ₗ[K] K)
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι✝ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι✝
inst✝¹ : Fintype ι✝
e✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
h : f ⇑e = 0
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ f = 0
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
⊢ max ℵ₀ #(↑s ⊕ (i : ℕ) × L.Functions i) ≤ max ℵ₀ (lift.{max w u, w} #↑s + lift.{w, u} #((i : ℕ) × L.Functions i))
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
K : Type u_5
VAdd K β
c : K
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ ↑(c +ᵥ f) = c +ᵥ ↑f
α✝ : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
α : Type u_2
x✝ : UniformSpace α
⊢ 𝓤 α = 𝓤 α
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
i j x : α
⊢ (swap i j) x = update (update id j i) i j x
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ l₂ : List α
f : α → β
H : l₁ ⊆ l₂
x : β
⊢ (∃ a, a ∈ l₁ ∧ f a = x) → ∃ a, a ∈ l₂ ∧ f a = x
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
m : M
a : α
⊢ AddAction.orbit M (m +ᵥ a) ⊆ AddAction.orbit M a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
n : ℤ
K : CochainComplex C ℤ
i✝ j✝ k✝ : ℤ
a✝¹ : (ComplexShape.up ℤ).Rel i✝ j✝
a✝ : (ComplexShape.up ℤ).Rel j✝ k✝
⊢ (fun i j => n.negOnePow • K.d (i + n) (j + n)) i✝ j✝ ≫ (fun i j => n.negOnePow • K.d (i + n) (j + n)) j✝ k✝ = 0
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
s t✝ u : Set α
x✝ y : α
Φ : α → β
inst✝ : ProperSpace α
h : IsClosed s
x z : α
hz : z ∈ s
t : Set α := s ∩ closedBall x (dist z x)
⊢ ∃ y ∈ s, infDist x t = dist x y
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hroot : ∀ m ≤ n, ((⇑derivative)^[m] p).IsRoot t
hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R
h' : rootMultiplicity t p ≤ n
⊢ False
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s t : Set α
⊢ s * ↑(upperClosure t) = ↑(upperClosure (s * t))
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x : α
i : m
⊢ Pi.single i x ⬝ᵥ v = x * v i
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → E
p : ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hp : 1 ≤ p
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X A : C
Nonempty ↑(F.obj X)
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected A
f : X ⟶ A
⊢ Function.Surjective (F.map f)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f p μ
this : ∀ (x : α), ‖RCLike.re (f x)‖ ≤ 1 * ‖f x‖
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => RCLike.re (f x)) μ
T : ℝ
hT : T ≠ 0
z✝¹ z✝ : ℝ
h : expMapCircle (2 * π / T * z✝¹) = expMapCircle (2 * π / T * z✝)
⊢ ↑z✝¹ = ↑z✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ C
c₁ : Fan F.obj
c₂ : Fan fun f => F.obj f.fst.2
s t : c₁.pt ⟶ c₂.pt
hs : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), s ≫ c₂.π.app { as := f } = c₁.π.app { as := f.fst.1 } ≫ F.map f.snd
ht : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), t ≫ c₂.π.app { as := f } = c₁.π.app { as := f.fst.2 }
i : Fork s t
j₁ j₂ : J
f : j₁ ⟶ j₂
⊢ 𝟙 i.pt ≫ i.ι ≫ c₁.π.app { as := j₂ } = (i.ι ≫ c₁.π.app { as := j₁ }) ≫ F.map f
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ Metric.ball c R
hc : ContinuousOn f (Metric.closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ Metric.ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * Complex.I) • f w
ι : Type u_1
M : Type u_4
CanonicallyOrderedCommMonoid M
f : ι → M
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ f i ≤ ∏ j ∈ s, f j
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
s : Set ((a : ι) → π a)
⊢ (∀ x ∈ s, 𝓝 x ≤ 𝓟 s) ↔ ∀ f ∈ s, ∃ I u, (∀ a ∈ I, IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ (↑I).pi u ⊆ s
G : Type u_2
Group G
H : Subgroup G
x : Gˣ
⊢ x ∈ H.units ↔ ↑x ∈ H
M : Type u_1
R : Type u_2
GroupWithZero M
Ring R
MulSemiringAction M R
a : M
ha : a ≠ 0
S T : Subring R
⊢ S ≤ a • T ↔ a⁻¹ • S ≤ T
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b : α
k : ℕ
⊢ gcd a (b ^ k) ∣ gcd a b ^ k
n : ℕ
a b c : ℤ
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0
⊢ IsCoprime a b
x y z : SetTheory.PGame
h : x ≈ y
⊢ x + z ≈ y + z
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ norm 1 = 1
x y : ℝ*
⊢ ¬x.Infinitesimal → 0 < x → y.InfinitePos → (x * y).InfinitePos
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
x✝ : α × List α
a : α
l : List α
⊢ ContinuousAt (fun p => insertNth n p.1 p.2) (a, l)
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ (S.a + S.b) * ((S.a + ↑η * S.b) * (S.a + ↑η ^ 2 * S.b)) = (S.a + S.b) * (S.a + ↑η * S.b) * (S.a + ↑η ^ 2 * S.b)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
f : S ⊗[R] T
J : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
hJ : f ∉ J.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g J.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * f = a ⊗ₜ[R] t
⊢ ∃ t ⊆ ↑(basicOpen f), IsOpen t ∧ J ∈ t
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
β : Type u_1
X Y : GradedObject β C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (x : β), f x = g x
x✝ : β
⊢ f x✝ = g x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r r' : ℚ
hrr' : r ≤ r'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : ρ.fst s < ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, preCDF ρ r x ∂ρ.fst ≤ ∫⁻ (x : α) in s, preCDF ρ r' x ∂ρ.fst
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
z : ℂ
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ re ⁻¹' {0, 1}
⊢ (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z.re) * ‖f z‖ ≤ 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite J K G
⊢ G.IsLocallyFull K
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
e : E ≃L[𝕜] F
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (⇑e '' s) ↔ UniqueDiffOn 𝕜 s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
⊢ Nonempty (α ↪o β)
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
VAdd G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
s : Set α
h : μ s = 0
c : G
⊢ μ ((fun x => c +ᵥ x) ⁻¹' s) = 0
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
S : Set (Set α)
hS : S.Finite
⊢ TotallyBounded (⋃₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, TotallyBounded s
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t✝ : Multiset R[X]
a : R[X]
t : Multiset R[X]
ih : (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0 → t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff t).prod
h : a.leadingCoeff * (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0
⊢ a.leadingCoeff * t.prod.leadingCoeff = a.leadingCoeff * (Multiset.map leadingCoeff t).prod
u : XgcdType
hr : u.r ≠ 0
⊢ u.step.v = u.v.swap
R : Type u
S : Type v
DivisionRing R
Semiring S
Nontrivial S
f : R →+* S
p : R[X]
⊢ (Polynomial.map f p).Monic ↔ p.Monic
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : MeasureTheory.Measure E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ ∫ (x : E), ↑f x ∂μ ≤ (μ (Metric.closedBall c f.rOut)).toReal
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.trim hm)] AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
terminatedAt_n : (of v).TerminatedAt n
⊢ ∀ b ≥ n, v = (of v).convs b
X : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Finite
hf : ∀ i ∈ s, IsCompact (f i)
⊢ IsCompact (⋃ i ∈ s, f i)
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
x✝ : R
h : x✝ ∈ closure s
x y : R
hx : x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
q : R
hq : q ∈ ↑(Subsemigroup.closure s)
⊢ 0 * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
α : Type u_3
t : TopologicalSpace α
PolishSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.AnalyticSet s
α : Type u
p : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in ⊤, p x) ↔ ∃ x, p x