ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
this : ∀ (b : β), (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) ≤ (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t)
ht : MeasurableSet t
h2t : ((κ ⊗ₖ η) a) t ≠ ⊤
ht_lt_top : ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t) < ⊤
b : β
hb : (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t) < ⊤
⊢ (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) < ⊤
α : Type u_1
M : Matroid α
I J X : Set α
hIX : M.Basis I X
hIJ : I ⊆ J
hJ : M.Indep J
⊢ J ∩ X = I
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
p : SubMulAction R M
m : ↥p
x✝ : R
⊢ x✝ ∈ MulAction.stabilizerSubmonoid R m ↔ x✝ ∈ MulAction.stabilizerSubmonoid R ↑m
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : q < ε
n : (ι × ι) × 𝕜
hn : ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ < q
⊢ ‖ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)‖ ≤ q
⊢ ¬{x | ∀ ⦃a : ℝ⦄, (a ∈ range fun x => ↑x) → a ≤ x}.Nonempty
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
i : F
his : i ∈ s
g : G
⊢ ∑ x ∈ s, (g • l x - l x) • (toFun G F) x = 0
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, g' x ≠ 0
hfa : Filter.Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 0)
hga : Filter.Tendsto g (𝓝 a) (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝 a) l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[≠] a) l
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ {x | f x = g x} = {x | (f - g) x = 0}
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.InducedCategory (Type u_1) CategoryTheory.Bundled.α} (f : X ⟶ Y) (a : ↑X),
  FintypeCat.incl.map f a = f a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
⊢ Filter.rcomap' r ∘ Filter.rcomap' s = Filter.rcomap' (r.comp s)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.HasTrivialRadical R L
⊢ IsLieAbelian ↥↑(LieAlgebra.radical R L)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ f ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiff 𝕜 (↑n) f
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
b : α
h : StrictAnti f
⊢ Set.MapsTo f (Set.Iio b) (Set.Ioi (f b))
α : Type u_1
l : List α
a : α
x✝ : [a] <+~ l
s : List α
hla : s ~ [a]
h : s <+ l
⊢ a ∈ l
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n : ℕ
⊢ x ^ n / ↑n.factorial ≤ Real.exp x
k G : Type u
CommRing k
n : ℕ
Group G
f : Fin (n + 1) → G
a : k
⊢ (groupCohomology.resolution.diagonalSucc k G n).hom.hom (Finsupp.single f a) =
  Finsupp.single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] Finsupp.single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a
α : Type u_1
s : Set α
⊢ 0 < s.encard ↔ s.Nonempty
α : Type u
t : Set α
ht : t.Finite
s : Finset α
⊢ s ⊂ ht.toFinset ↔ ↑s ⊂ t
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑q)).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
⊢ IsClosedMap f ↔ ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
H : SetTheory.PGame
⊢ G ≈ H ↔ G + H ≈ 0
β : Type u_1
α : Type u_2
R : α → α → Prop
f : β → Option α
l : List β
_S : β → β → Prop := fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ f a → ∀ (b' : α), b' ∈ f a' → R b b'
⊢ Pairwise R (filterMap f l) ↔ Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ f a → ∀ (b' : α), b' ∈ f a' → R b b') l
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
Fintype ↑s
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∑ i ∈ s.toFinset, f i
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁✝ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB✝ : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
⊢ ∃ u, ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)) < 0
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : IsUnit x
hfx : f x ≠ 0
n : ℕ
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
h1 : f 1 ≠ 0
hxn : f (x ^ n) = 0
⊢ False
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : UpperSet α
a : α
⊢ InfIrred (Ici a)
α : Type u_2
β : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
x : α
⊢ 0 x = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
a b : 𝕜
x y : E
h : y ≤ x
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ uIcc x y
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
m : M
⊢ (algebraMap R (RingQuot (Rel Q))) (Q m) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) (Q m)
α : Type u_1
ι : Type u_3
CompleteLattice α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ CompleteLattice.Independent (f ∘ Subtype.val) ↔ s.SupIndep f
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
y : β
⊢ (Finset.filter (fun x => f x = y) s).Nonempty ↔ y ∈ Finset.image f s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
Preorder ι
Preorder α
u : ι → α
φ : ι' → ι
h : Monotone u
l : Filter ι'
l.NeBot
H : Filter.Tendsto (u ∘ φ) l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto u Filter.atBot Filter.atBot
r p : ℝ
⊢ (r + p).toNNReal ≤ r.toNNReal + p.toNNReal
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
g h : (⨁ f) ⊗ X ⟶ Y
w : ∀ (j : J), biproduct.ι f j ▷ X ≫ g = biproduct.ι f j ▷ X ≫ h
⊢ g = h
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
this : Nonempty X
F : ℕ → X → X
u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / 2 ^ x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
y : X
limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.KaroubiKaroubi.equivalence C).counitIso =
  CategoryTheory.Idempotents.KaroubiKaroubi.counitIso C
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ
⊢ a % b + b * (a / b) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
m : ℕ
l : List ℕ
n : ℕ
⊢ lower (raise (m :: l) n) n = m :: l
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
⊢ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) = ⊤
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v : ι → V
⊢ LinearIndependent K v ↔ ∀ (i : ι), v i ∉ Submodule.span K (v '' (Set.univ \ {i}))
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (HurwitzZeta.cosZeta (↑a) s)
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
t : β
ht_top : Tendsto (f (a, t)) atTop (𝓝 1)
ht_bot : Tendsto (f (a, t)) atBot (𝓝 0)
ht_iInf : ∀ (q : ℚ), ⨅ r, f (a, t) ↑r = f (a, t) q
h_mono : Monotone (f (a, t))
⊢ IsRatStieltjesPoint f (a, t)
G : Type u
Group G
X : Action FintypeCat (MonCat.of G)
Nonempty ↑X.V
⊢ CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected X ↔ MulAction.IsPretransitive G ↑X.V
G : Type u_1
ι : Type u_2
AddCommGroup G
N : AddSubgroup G
s : Finset ι
f : ι → G
⊢ ↑(s.sum f) = ∑ i ∈ s, ↑(f i)
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
s : Set N
⊢ AddSubgroup.closure (⇑f ⁻¹' s) ≤ AddSubgroup.comap f (AddSubgroup.closure s)
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ⊓ ￢(a ⊔ b) ⊔ b ⊓ ￢(a ⊔ b) ≤ ∂ a ⊔ ∂ b
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
hφ : ComplexEmbedding.IsReal φ
⊢ ComplexEmbedding.IsReal (mk φ).embedding
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝³ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝² : GradedAlgebra ℬ
C : Type ?u.815509
inst✝¹ : Ring C
inst✝ : Algebra R C
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)
⊢ ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (lof R ι (fun x => ↥(ℬ x)) j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι (fun x => ↥(𝒜 x)) i) a = (auxEquiv R ℬ 𝒜) (↑↑((-1) ^ (j * i)) • ↑b ᵍ⊗ₜ[R] ↑a)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace.SeparableSpace 𝕜
f : 𝕜 → F
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable (Set.range (deriv f))
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
⊢ ∑ x : σ → K, coeff d f * ∏ i : σ, x i ^ d i = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ i)
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
s : ι → Set α := fun i => toMeasurable (μ i) {x | f x ≠ mk f ⋯ x}
hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0
hsm : MeasurableSet (⋂ i, s i)
hs : ∀ (i : ι), ∀ x ∉ s i, f x = mk f ⋯ x
g : α → β := (⋂ i, s i).piecewise (const α default) f
⊢ Measurable ((⋂ i, s i).restrict g)
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose
hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s
hUo : ∀ (i : ↑S), IsOpen ((fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i)
hsU : U ⊆ ⋃ i, (fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i
G : Finset ↑S
hG : U ⊆ ⋃ i ∈ G, (fun s => ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i
j0 : J
hj0 : ∀ {X : J}, X ∈ Finset.image j G → Nonempty (j0 ⟶ X)
⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β
⊢ (image f s).card ≤ s.card
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
M : Matrix ((i : o) × m' i) ((i : o) × n' i) α
k : o
i : m' k
j : n' k
⊢ M.blockDiag' k i j = M ⟨k, i⟩ ⟨k, j⟩
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F.leftOp
hc : IsColimit c
s : Cone F
j : J
⊢ ((fun s => (hc.desc (coconeLeftOpOfCone s)).op) s ≫ (coneOfCoconeLeftOp c).π.app j).unop = (s.π.app j).unop
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
⊢ S₁.LeftHomologyData
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
W : Type v
AddCommGroup W
Module K W
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hVW : Module.rank K V = n • Module.rank K W
⊢ FiniteDimensional K V ↔ FiniteDimensional K W
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
s : Finset α
⊢ s.powerset ⊻ s.powerset = s.powerset
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
⊢ (RingHom.snd (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientMulEquivQuotientProd J coprime) = Ideal.Quotient.factor (I * J) J ⋯
ι : Type u_3
χ : ι → Type u_4
(i : ι) → TopologicalSpace (χ i)
as bs cs : (i : ι) → χ i
γ₀ : (i : ι) → Path (as i) (bs i)
γ₁ : (i : ι) → Path (bs i) (cs i)
⊢ (Path.pi γ₀).trans (Path.pi γ₁) = Path.pi fun i => (γ₀ i).trans (γ₁ i)
α : Type u_1
self : Array.PrefixTable α
i : Nat
h : i < self.size
⊢ self.toArray[i].snd ≤ i
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsComplex
B : ℝ≥0
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLT'Factor K) * ↑B
this : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT' K (fun w => if w = w₀ then NNReal.sqrt B else 1) ⟨w₀, hw₀⟩)
⊢ ∃ a, ℚ⟮↑a⟯ = ⊤ ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < √(1 + ↑B ^ 2)
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
⊢ p.restriction.coeff p.natDegree = 1 ↔ p.coeff p.natDegree = 1
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : CG L M
f : M →[L] N
⊢ (map f ⊤).CG
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Add α
Add β
f₁ f₂ : Filter α
FunLike F α β
AddHomClass F α β
m : F
⊢ Filter.map (⇑m) (f₁ + f₂) = Filter.map (⇑m) f₁ + Filter.map (⇑m) f₂
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s₁ s₂ : Simplex ℝ P n
h : Set.range s₁.points = Set.range s₂.points
hs : s₁.circumcenter ∈ affineSpan ℝ (Set.range s₂.points)
hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s₂.points i) s₁.circumcenter = s₁.circumradius
⊢ s₁.circumcenter = s₂.circumcenter
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R
n : ℕ
z : R
⊢ (RingHom.id R) z * (x + y) ^ n = z * (x ^ n + ↑n * x ^ (n - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y n z) * y ^ 2)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBicone.ofLimitCone ht).inl = ht.lift (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk (𝟙 X) 0)
ι : Type u_4
β₁ : ι → Type u_5
β₂ : ι → Type u_6
(i : ι) → UniformSpace (β₁ i)
(i : ι) → UniformSpace (β₂ i)
F : (i : ι) → β₁ i ≃ᵤ β₂ i
⊢ (UniformEquiv.piCongrRight F).toEquiv = Equiv.piCongrRight fun i => (F i).toEquiv
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
h : Group.IsNilpotent G
⊢ Group.nilpotencyClass G' ≤ Group.nilpotencyClass G
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
R : C
g : Q ⟶ R
h : f ≫ g = 0
⊢ f ≫ CategoryTheory.Abelian.coimage.π g = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₁ : ¬p₂ = p₁
hp₃ : ¬p₂ = p₃
hs : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ dist p₂ p ≤ max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
b n m r : ℕ
l : List ℕ
e : r + b * m = n
hr : r < b
h : b.digits m = l ∧ 1 < b ∧ 0 < m
⊢ b.digits n = r :: l ∧ 1 < b ∧ 0 < n
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
MulPosMono α
ha : a ≤ 1
bc : b < c
a0 : 0 < a
c0 : 0 ≤ c
⊢ a * b < c
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
q : Submodule R N
f : (i : ι) → Ms i →ₗ[R] N
hf : ∀ (i : ι), p i ≤ comap (f i) q
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
⊢ ∑ x_1 : ι, ((p x_1).mapQ q (f x_1) ⋯) (Pi.single i x x_1) = ((p i).mapQ q (f i) ⋯) x
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
x : A
⊢ x ∈ NonUnitalStarAlgebra.adjoin R {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ (multiplicity a (-b)).Dom ↔ (multiplicity a b).Dom
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsClosedMap ⇑Multiplicative.ofAdd
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁷ : HasZeroObject C
inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁵ : Preadditive C
inst✝¹⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹³ : Pretriangulated C
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹¹ : HasZeroObject D
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁷ : Pretriangulated D
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_3} A
inst✝⁵ : Abelian A
F✝ : C ⥤ A
inst✝⁴ : F✝.IsHomological
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.CommShift ℤ
inst✝² : L.IsTriangulated
inst✝¹ : L.mapArrow.EssSurj
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
inst✝ : G.IsHomological
⊢ F.IsHomological
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ZNum
⊢ ↑(- -n).bitm1 = ↑n + ↑n - 1
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
x x' : (Quotient.out o).α
⊢ typein (fun x x_1 => x < x_1) x ≤ typein (fun x x_1 => x < x_1) x' ↔ x ≤ x'
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Bool} {n : Nat} {a : α}, ¬p a = true → List.filter p (List.replicate n a) = []
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
fab : α → β
fbc : β → γ
ga : α → α
gb : β → β
gc : γ → γ
hab : Function.Semiconj fab ga gb
hbc : Function.Semiconj fbc gb gc
⊢ Function.Semiconj (fbc ∘ fab) ga gc
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s t : TopologicalSpace.Closeds α
⊢ ↑(s ⊓ t) = ↑s ∩ ↑t
a : ℝ≥0∞
h0 : a ≠ 0
hinf : a ≠ ⊤
⊢ StrictMono fun x => a * x
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
hγ : IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x * a) (a • v)
⊢ v = a⁻¹ • a • v
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x : List α
hx : x ≠ []
h : x <+: []
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
x : α
hx : x ∉ s
⊢ s \ {x} ⊆ t ↔ s ⊆ t ∨ x ∈ s ∧ s \ {x} ⊆ t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f c : Perm α
a : α
ha : a ∈ c.support
hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset
hfc : c.Disjoint (f * c⁻¹) := Disjoint.symm (disjoint_mul_inv_of_mem_cycleFactorsFinset hc)
hfc2 : Commute c (f * c⁻¹) := Disjoint.commute hfc
⊢ (f * c⁻¹) a = a
α : Type u_1
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup α
G : Type u_2
inst✝² : OrderedAddCommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousSub G
h : IsClosed {x | 0 ≤ x}
this : {p | p.1 ≤ p.2} = (fun p => p.2 - p.1) ⁻¹' {x | 0 ≤ x}
⊢ IsClosed ((fun p => p.2 - p.1) ⁻¹' {x | 0 ≤ x})
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : L.Structure N
S : ι →o L.Substructure M
i : ι
x : ↥(S i)
⊢ ((Equiv_iSup S).symm.toEmbedding.comp (Substructure.inclusion ⋯)) x = (of L ι (fun x => ↥(S x)) (fun x x_1 h => Substructure.inclusion ⋯) i) x
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} B
CategoryTheory.Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₂ eB hF).functor = F ⋙ eB.inverse
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊
nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊
hXY' : IndepFun (fun a => ‖X a‖₊) (fun a => ‖Y a‖₊) μ
hXY'' : IndepFun nX nY μ
hnX : AEMeasurable nX μ
hnY : AEMeasurable nY μ
⊢ Integrable (X * Y) μ
α : Type u
β : Type v
a : α
b : β
s : Set α
t : Set β
⊢ ((a, b) ∈ s ×ˢ t) = (a ∈ s ∧ b ∈ t)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
f : E →ₛₗ[σ₁₃] F →ₛₗ[σ₂₃] G
C : ℝ
hC : ∀ (x : E) (y : F), ‖(f x) y‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
⊢ ‖f.mkContinuous₂ C hC‖ ≤ max C 0
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Semiring S
Module S M
Module R M
SMul S R
IsScalarTower S R M
p : Submodule R M
⊢ Submodule.restrictScalars S p = ⊥ ↔ p = ⊥
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
⊢ LinearMap.range (fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
⊢ ∑ σ ∈ Finset.map decomposeFin.symm.toEmbedding (univ ×ˢ univ), sign σ • ∏ i : Fin n.succ, A (σ i) i = ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i * A i 0 * (A.submatrix i.succAbove Fin.succ).det
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
Y Z : C
P Q : Subobject Y
f : Z ⟶ Y
h : P ≤ Q
⊢ (representative.obj P).Factors f → (representative.obj Q).Factors f
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
W : Projective R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
P : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ u • P = ![↑u * P 0, ↑u * P 1, ↑u * P 2]
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ {x | EMetric.infEdist x s ≤ ENNReal.ofReal δ}⁻¹ = {x | EMetric.infEdist x⁻¹ s ≤ ENNReal.ofReal δ}
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
⊢ H.toLieSubmodule ≤ LieAlgebra.rootSpace H 0
n : ℕ
Zero (Fin n)
x y : EuclideanHalfSpace n
h : ↑x = ↑y
⊢ x = y
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
⊢ HasSum (fun n => ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ n * (z - c)⁻¹) (2 * ↑π * I)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α
hp : Irreducible p
l : Multiset { a // Irreducible a }
⊢ p ∈ ↑l ↔ ⟨p, hp⟩ ∈ l