ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.64946, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
this✝¹ : S.HasHomology
this✝ : Epi S.toCycles
this : S.iCycles = 0
⊢ ∀ {P : C} (g : P ⟶ S.X₂), g ≫ S.g = 0 → g = 0
α : Type u
β : Type v
R✝ r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
R : α → α → Prop
a b : α
t : List α
⊢ R a b → ((∀ (i : ℕ) (h : i < t.length), R (b :: t)[i] t[i]) ↔ ∀ (n : ℕ) (h : n + 1 < t.length + 1), R (b :: t)[n] t[n])
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
A : Set β
a : α
x : β
⊢ x ∈ a⁻¹ • A ↔ a • x ∈ A
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜
this : 0 < s.card
⊢ ↑s.card ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
o : Part α
a : α
⊢ a ∈ o → f a ∈ Part.map f o
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hIY : I ⊂ Y
hYX : Y ⊆ X
this : X ⊆ M.E
⊢ M.Dep Y
K : Type u
V : Type v
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
Module.Finite K V
⊢ FiniteDimensional.finrank K V ≤ 1 ↔ ∃ v, ∀ (w : V), ∃ c, c • v = w
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable α
x y : α
e : encode x = encode y
⊢ some x = some y
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsLindelof s
this : ∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x
t : Set X
ht : t.Countable
left✝ : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hssubt : s ⊆ ⋃ x ∈ t, {x}
⊢ s.Countable
R : Type u_2
Semiring R
f : RingAut R
r : R
⊢ f • r = f r
α : Type u_1
DecidableEq (Option α)
DecidableEq α
s t : Finset (Option α)
⊢ Finset.eraseNone (s ∪ t) = Finset.eraseNone s ∪ Finset.eraseNone t
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
mul_ι : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q), P x → P (x * (ι Q) m)
x : CliffordAlgebra Q
⊢ P x
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x : (i : Fin (n + 1)) → α i
s : (i : Fin (n + 1)) → Finset (α i)
⊢ x ∈ piFinset s ↔ x 0 ∈ s 0 ∧ tail x ∈ piFinset (tail s)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
f✝ : R →+* S
M : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : IsScalarTower R A M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M
N : Submodule R M
hN : N ≠ ⊥
hN' : N.FG
x : A
hx : ∀ n ∈ N, x • n ∈ N
A' : Subalgebra R A := { carrier := {x | ∀ n ∈ N, x • n ∈ N}, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := ⋯ }
f : ↥A' →ₐ[R] Module.End R ↥N := AlgHom.ofLinearMap { toFun := fun x => (DistribMulAction.toLinearMap R M x).restrict ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ⋯ ⋯
a : M
ha₁ : a ∈ N
ha₂ : a ≠ 0
this : Function.Injective ⇑f
⊢ IsIntegral R (f ⟨x, hx⟩)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g✝ : G
x✝ y z : α
s : Set α
g : β →ᵈ γ
f₁ f₂ : α →ᵈ β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : α
⊢ g (f₁ x) = g (f₂ x)
c : ℝ
⊢ Tendsto (fun i => rexp c - rexp (id i)) atBot (𝓝 (rexp c - 0))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
hs : NullMeasurableSet s μ
hp : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
⊢ (fun x => ↑‖x‖₊ ^ p.toReal) 0 = 0
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
self : VectorBundleCore R B F ι
i : ι
⊢ IsOpen (self.baseSet i)
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
F : LaxBraidedFunctor C D
G : LaxBraidedFunctor D E
X Y : C
⊢ ((β_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y))).hom ≫ G.μ (F.obj Y) (F.obj X)) ≫ G.map (F.μ Y X) = (β_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y))).hom ≫ G.μ (F.obj Y) (F.obj X) ≫ G.map (F.μ Y X)
N : ℕ
⊢ Function.Injective (Polynomial.revAtFun N)
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
⊢ μ (t \ s) = μ t
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
i : ι
y : N i
⊢ Finset.univ.noncommProd (fun j => (ϕ j) (Pi.mulSingle i y j)) ⋯ = (ϕ i) y
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x : R
⊢ (∃ y ∈ N, ∃ z ∈ Submonoid.map (algebraMap R S) M, y * z = (algebraMap R S) x) ↔ ∃ y z, (algebraMap R S) x = ↑y * (algebraMap R S) ↑z
p q : ℕ+ → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
h : ∀ (n : ℕ+), q n → p n
hp : ∃ n, p n
hq : ∃ n, q n
⊢ PNat.find hp ≤ PNat.find hq
n p : ℕ
pp : Prime p
k x : ℕ
⊢ (∃ x_1 ≤ k, x = p ^ x_1 ∧ x < p ^ k) ↔ ∃ j < k, x = p ^ j
α : Type u_1
f : Finpartition Set.univ
⊢ Setoid.IsPartition ↑f.parts
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
F G : Ultrafilter α
x : α
hG : ↑G ≤ 𝓝 x
hF : map g ↑F ≤ 𝓝 (g x)
⊢ Ultrafilter.extend g F = Ultrafilter.extend g G
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ CategoryTheory.IsPullback 0 (𝟙 X) 0 0
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e e' : PartialHomeomorph X Y
h : e.toPartialEquiv = e'.toPartialEquiv
⊢ e = e'
G : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : R1Space G
inst✝ : BorelSpace G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G
⊢ μ.measure ↑K ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
R : Type u
a : R
CommRing R
IsDomain R
DecidableEq R
p : Polynomial R
⊢ Multiset.count a p.roots = Polynomial.rootMultiplicity a p
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((MeasureTheory.condexpL2 E 𝕜 hm) f)) μ
K : Type u_5
LinearOrderedField K
p q : ℚ
⊢ Rat.cast ⁻¹' Set.uIcc ↑p ↑q = Set.uIcc p q
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
x : X
⊢ c.lim x = midpoint ℝ (c.left.lim x) (c.right.lim x)
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, Measurable f) → Measurable l.prod
hl : Measurable f ∧ ∀ x ∈ l, Measurable x
⊢ Measurable (f :: l).prod
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
s : Cocone D
j : J
⊢ (D.obj j).a ≫ T.map ((T.forget.mapCocone s).ι.app j) = T.forget.map (s.ι.app j) ≫ s.pt.a
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : WithBot ℕ
f : R[X]
⊢ (∀ (i : ℕ), ↑i > n → (lcoeff R i) f = 0) ↔ ∀ (m : ℕ), n < ↑m → f.coeff m = 0
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.lift a ⊓ Booleanisation.lift b = Booleanisation.lift (a ⊓ b)
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
H : ¬y.gcd z = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ y.natAbs
hpz : p ∣ z.natAbs
⊢ False
α : Type u_3
OmegaCompletePartialOrder α
LawfulFix α
f : α → α
hf : OmegaCompletePartialOrder.Continuous' f
⊢ Fix.fix f = f (Fix.fix f)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
⊢ (↑(affineSpan k s)).Nonempty ↔ s.Nonempty
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : CompleteLattice γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
l u : α → β → γ
l₁ u₁ : β → γ → α
l₂ u₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (swap l b) (u₁ b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l a) (u₂ a)
⊢ sSup (image2 l s t) = l (sSup s) (sSup t)
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M : Submodule R S
N : Submodule R S
M' : Submodule R S
hM : M' ≤ M
⊢ M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N) (Submodule.inclusion hM) = M'.mulMap N
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝² : Monoid N✝
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : (i : ι) → G i →* N
s : Subgroup N
h : ∀ (i : ι), (f i).range ≤ s
x y : CoprodI G
hx : (lift f) x ∈ s
hy : (lift f) y ∈ s
⊢ (lift f) (x * y) ∈ s
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
e : C ≌ D
B : C
α : Type u_3
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
W : D
ε : (a : α) → e.functor.obj (X a) ⟶ W
h : ∀ {Z : D} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₁)) (g₂ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₂)), g₁ ≫ e.functor.map (π a₁) = g₂ ≫ e.functor.map (π a₂) → g₁ ≫ ε a₁ = g₂ ≫ ε a₂
Z : C
a₁ a₂ : α
g₁ : Z ⟶ X a₁
g₂ : Z ⟶ X a₂
hg : g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂
this : True → e.functor.map g₁ ≫ ε a₁ = e.functor.map g₂ ≫ ε a₂
⊢ g₁ ≫ (fun a => e.unit.app (X a) ≫ e.inverse.map (ε a)) a₁ = g₂ ≫ (fun a => e.unit.app (X a) ≫ e.inverse.map (ε a)) a₂
α : Type u
β : Type v
PartialOrder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
b : β
⊢ u (l (u b)) = u b
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
p : α → Prop
⊢ (∀ a ∈ s ∪ t, p a) ↔ (∀ a ∈ s, p a) ∧ ∀ a ∈ t, p a
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
t : Multiset α
h : a ∈ t
⊢ (a ::ₘ s).ndinter t = a ::ₘ s.ndinter t
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
Algebra.IsSeparable F E
Algebra.IsSeparable E K
⊢ Algebra.IsSeparable F K
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
x : β
hx : x ∈ s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : ∀ {a b : α}, edist a b < ε → (a, b) ∈ u
t : Set β
ht : t ∈ 𝓝[s] x
Ht : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
α : Type u_1
LinearOrderedSemiring α
m n : PosNum
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
α : Type u_2
G₀ : Type u_4
TopologicalSpace α
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ IsOpenMap fun x => c • x
R : Type u_1
Semiring R
s : R
⊢ Polynomial.scaleRoots 0 s = 0
R : Type u_1
p m : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hm : ¬p ∣ m
a : ℕ
x✝ : 0 < a + 2
hdiv : p ∣ p ^ a.succ * m
⊢ cyclotomic m R ^ ((p ^ a.succ - p ^ (a.succ - 1)) * p) = cyclotomic m R ^ (p * p ^ (a + 1) - p ^ (a + 2 - 1))
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
hc : 0 ≤ c
hab : a ≤ b
⊢ a / c ≤ b / c
x y : ℝ
f : Cauchy abs
⊢ { cauchy := f⁻¹ } = Real.inv' { cauchy := f }
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
f : LocallyConstant ↑C ℤ
hf : ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₁ C hsC ho, continuous_toFun := ⋯ }) f) = ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₀ C ho, continuous_toFun := ⋯ }) f)
⊢ ∃ y, (πs C o) y = f
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
Nontrivial R
x : R
⊢ IsAlgebraic R ((algebraMap R A) x)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
zero_mem : 0 ∈ {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M_nonneg : 0 ≤ M
hgM : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 M))] 0
ν : Measure α := μ.restrict {a | M < f a}
this : SigmaFinite ν
A : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂ν
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
f : ι → Set Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
⊢ iIndep (fun i => MeasurableSpace.comap (fun x => x ∈ f i) ⊤) κ μ ↔ iIndepSet f κ μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
DecidableEq 𝕜
f : 𝕜 → E
a : 𝕜
⊢ dslope (fun x => (x - a) • f x) a = Function.update f a (deriv (fun x => (x - a) • f x) a)
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α
⊢ BijOn (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), BijOn (⇑(f ^ n)) s s
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
z : ℤ
⊢ ⌊a - ↑z⌋ = ⌊a⌋ - z
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
T : Type u_3
CommRing T
Algebra R T
hf : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
⊢ (algebraMap S (TensorProduct R S T)).SurjectiveOnStalks
M : Type u_3
CommMonoid M
f : ℕ × ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ ij ∈ Finset.antidiagonal n, f ij = ∏ k ∈ Finset.range n.succ, f (k, n - k)
n : ℕ
hpos : 0 < n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
⊢ ∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R = X ^ n - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : Set α
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x ∈ p
inst✝ : Fintype ↑p
⊢ card ↑p = s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite
C' : ℝ
hC' : ∀ i ∈ Finset.image (fun x => ‖f x‖ / ‖g'' x‖) hC.toFinset, i ≤ C'
this : ∀ (x : α), C * ‖g'' x‖ < ‖f x‖ → ‖f x‖ / ‖g'' x‖ ≤ C'
⊢ ∃ C > 0, ∀ ⦃x : α⦄, g'' x ≠ 0 → ‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖
α : Type u
s : Set α
p : α → Prop
⊢ {x | x ∈ s ∧ p x} ⊆ s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
⊢ f.toFun v.t₀ = v.x₀
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
MeasurableSpace ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
SecondCountableTopology ι
BorelSpace ι
TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
TopologicalSpace.MetrizableSpace ι
hu : MeasureTheory.ProgMeasurable f u
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (MeasureTheory.stoppedProcess u τ i)
G : Type u
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M₁
inst✝ : Monoid M₂
⊢ exponent (M₁ × M₂) ∣ GCDMonoid.lcm (exponent M₁) (exponent M₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hf : ContinuousOn f s
hs : IsOpen s
ht : IsOpen t
⊢ IsOpen (s ∩ f ⁻¹' t)
M : Type u_1
α : Type u_5
β : Type u_6
VAdd M α
VAdd M β
a : M
x : α × β
⊢ (a +ᵥ x).1 = a +ᵥ x.1
α : Type u_1
LinearOrder α
b c d : α
h₁ : c < b
⊢ Set.Iic b ∪ Set.Ioc c d = Set.Iic (max b d)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.π
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁ h₂) h₂.ι) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.i h₂.p
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
⊢ lp.single p i (-a) = -lp.single p i a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
⊢ F.Initial
x : ℝ
⊢ Real.sin (x - Real.pi / 2) = -Real.cos x
S : Type v
CommRing S
d : ℕ
y : S
⊢ Polynomial.eval (1 + y) ((Polynomial.monomial d) (↑d + 1)) - Polynomial.eval y ((Polynomial.monomial d) (↑d + 1)) =
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * y ^ (x_1 - 1))
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_2
CommRing A
Algebra R A
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module A M
Module R M
D : Derivation R A M
⊢ ⇑(-D) = -⇑D
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : MeasureTheory.Measure β
⊢ MeasureTheory.Measure.map f (MeasureTheory.Measure.comap f μ) = μ.restrict (Set.range f)
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑((toSpanSingleton ℝ x).compLp ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x : M
hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x
⊢ mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a b : R
h : IsCoprime a b
h' : a ^ 2 + b ^ 2 = 0
⊢ False
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝¹ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
inst✝ : PreservesColimit F (forget C)
D : Cocone F
hD : IsColimit D
ff : (j : J) × (forget C).obj (F.obj j) → (forget C).obj D.pt := fun a => (D.ι.app a.fst) a.snd
x : (forget C).obj D.pt
E : Cocone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCocone D
hE : IsColimit E := isColimitOfPreserves (forget C) hD
⊢ ∃ a, ff a = x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : UpperSet α
t : UpperSet β
⊢ ↑(s ×ˢ t) = ↑s ×ˢ ↑t
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
a s : R
h : s ∈ v.supp
aux : ∀ (a s : R), v s = 0 → v (a + s) ≤ v a
⊢ v (a + s) = v a
α : Type u
AddMonoid α
b : AddUnits α
a c : α
⊢ a + ↑(-b) = c ↔ a = c + ↑b
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ γ.symm.symm = γ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
hs : IsAntichain r s
⊢ IsAntichain (flip r) s
u : ℂ
hu : 0 < u.re
v : ℂ
⊢ ContinuousOn (fun x => (1 - ↑x) ^ (v - 1)) (uIcc 0 (1 / 2))
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Sub (f i)
DecidableEq I
f₁ f₂ : (i : I) → f i
i : I
x₁ x₂ : f i
⊢ Function.update (f₁ - f₂) i (x₁ - x₂) = Function.update f₁ i x₁ - Function.update f₂ i x₂
m n : PosNum
⊢ ↑m ∣ ↑n ↔ m ∣ n
α β : Sort u_3
h : α = β
⊢ Function.Bijective h.mpr
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
⊢ p ∣ a → ∃ q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a, p ~ᵤ q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite β
f : α → β
hf : Function.Injective f
this✝ : Fintype β
this : Fintype α
⊢ Nat.card α ≤ Nat.card β
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Monotone u
n : ℕ
ihn : ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1)) ≤ ∑ k ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f k
⊢ (u (n + 1) - u n) • f (u (n + 1)) ≤ ∑ k ∈ Ico (u n + 1) (u (n + 1) + 1), f k
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
DecidableEq ι
e : E ≃ₗᵢ[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
⊢ ⇑{ repr := e } = fun i => e.symm (EuclideanSpace.single i 1)
f : ℝ → ℝ
a : ℝ
h : IsLocalExtr f a
⊢ deriv f a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
h : a ∈ s
⊢ s ∩ {a} = {a}
B : Type u_1
F : Type u_2
E : B → Type u_3
x x' : B
h : x = x'
b : E x
⊢ Bundle.TotalSpace.mk' F x' (cast ⋯ b) = { proj := x, snd := b }
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
H : ∀ (x : G), x ≠ 1 → ∃ U ∈ 𝓝 1, x ∉ U
x y : G
hspec : x ⤳ y
hne : ¬x = y
U : Set G
hU₁ : U ∈ 𝓝 1
hU : x * y⁻¹ ∉ U
⊢ False
α : Type u_1
OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
x : α × α
⊢ x ∈ Finset.mulAntidiagonal hs ht a ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t ∧ x.1 * x.2 = a
n p : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ p ∈ n.primeFactorsList ↔ Nat.Prime p ∧ p ∣ n
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ (((Functor.const J).obj (limit F)).map f ≫ (fun j => { hom := limit.π (F ⋙ forget C) j, one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) j').hom = ((fun j => { hom := limit.π (F ⋙ forget C) j, one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) j ≫ F.map f).hom
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
l : Filter β
l.NeBot
f : β → α
a : α
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ Cauchy (Filter.map f l)
R : Type u_3
CommRing R
a b : ℍ[R]
⊢ (a * b).imI = a.re * b.imI + a.imI * b.re + a.imJ * b.imK - a.imK * b.imJ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : TruncatedWittVector p n R
⊢ ∃ a, (truncate hm) a = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
Y : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.yoneda.obj X).obj Y = (Opposite.unop Y ⟶ X)
α : Type u_2
OrderedCommGroup α
s t : NonemptyInterval α
⊢ s * t = 1 ↔ ∃ a b, s = NonemptyInterval.pure a ∧ t = NonemptyInterval.pure b ∧ a * b = 1
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_4
b : M
p : ι → Submodule R M
i : ι
h : b ∈ p i
⊢ b ∈ ⨆ i, p i