ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y
this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
hf : Q.diagonal (pullback.snd f (𝟙 Y))
𝒰 : (pullback f (𝟙 Y)).OpenCover := X.affineCover.pushforwardIso (inv (pullback.fst f (𝟙 Y)))
this : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
⊢ P.diagonal f
α : Type u_1
s t : Finset α
DecidableEq α
h : s ⊆ t
⊢ (t \ s).card = t.card - s.card
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
f g : A ⟶ X φ i
h₁ : f ≫ fstX φ i j hij = g ≫ fstX φ i j hij
h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i
this : HasBinaryBiproduct (F.X j) (G.X i)
⊢ (f ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom) ≫ biprod.fst = (g ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom) ≫ biprod.fst
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hPα' : stepBound P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPpos : 0 < stepBound P.parts.card
⊢ ∑ A ∈ P.parts.attach, (chunk hP G ε ⋯).parts.card = stepBound P.parts.card
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
x : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
(i' : ι) → Decidable (i' ∈ {i})
⊢ (DFinsupp.single i (x i)).piecewise (DFinsupp.erase i x) {i} = x
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hs : n ≤ s.card
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ P.parts.card = n
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
p : α → Nat
q : β → Nat
xs : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ xs → (p a = 0 ↔ q (f a) = 0)
w : ∀ (a : α), a ∈ xs → p a ≠ 0 → q (f a) ≤ p a
⊢ (List.map q (List.map f xs)).nonzeroMinimum ≤ (List.map p xs).nonzeroMinimum
α : Sort u_1
hα : Nonempty α
o : Ordinal.{u_2}
f : α → Ordinal.{u_2}
H : ∀ ⦃a : Ordinal.{u_2}⦄, a < o → ∃ i, a < f i
b a : Ordinal.{u_2}
h✝ : a < b + o
h : a < b
⊢ ∃ i, a < b + f i
M : Type u_2
AddCommMonoid M
n : ℕ
f : ℕ → ℕ → M
⊢ ∑ m ∈ Finset.range n, ∑ k ∈ Finset.range (m + 1), f k (m - k) = ∑ m ∈ Finset.range n, ∑ k ∈ Finset.range (n - m), f m k
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
p : ℕ
⊢ CharP R p ↔ ∀ (x : ℕ), ↑x = 0 ↔ p ∣ x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
⊢ μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_6
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
μ : Measure α
A_mble : MeasurableSet A
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
B : Set α
B_mble : MeasurableSet B
B_finmeas : μ B ≠ ⊤
As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ ∫⁻ (a : α), B.indicator 1 a ∂μ ≠ ⊤
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ ∡ p₂ p₁ p₃ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Mono g
⊢ CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ ⇑(LinearMap.baseChange A f) = ⇑(LinearMap.lTensor A f)
x y : ℂ
⊢ x ^ (-y) = (x ^ y)⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
h : 0 < p.radius
⊢ ContinuousOn p.sum (EMetric.ball 0 p.radius)
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : FundamentalGroupoid.fromTop x₀ ⟶ FundamentalGroupoid.fromTop x₁
⊢ (π.map f).map p =
  ContinuousMap.Homotopy.hcast ⋯ ≫
    (π.map H.uliftMap).map (ContinuousMap.Homotopy.prodToProdTopI (𝟙 (FundamentalGroupoid.fromTop { down := 0 })) p) ≫
      ContinuousMap.Homotopy.hcast ⋯
m n : ℕ+
⊢ (m.lcm n).factorMultiset = m.factorMultiset ⊔ n.factorMultiset
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_4
I : Ideal R
t : ι → Submodule R M
⊢ I • iSup t = ⨆ i, I • t i
E : Type u_2
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup E
X : Type u_5
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
f : X → E
hf : HasCompactSupport f
h2f : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_one : f 1 = 1
hp_one : p 1
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hpsa : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
⊢ f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
f : A →⋆ₙₐ[R] B
h₁ : ∀ (m : R) (x : A), f (m • x) = (MonoidHom.id R) m • f x
h₂ : { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun 0 = 0
h₃ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun (x + y) =
      { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun x + { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun (x * y) =
      { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun x *
        { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun y
h₅ :
  ∀ (a : A),
    { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃, map_mul' := h₄ }.toFun (star a) =
      star ({ toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃, map_mul' := h₄ }.toFun a)
⊢ { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃, map_mul' := h₄, map_star' := h₅ } = f
n a : ℕ
h : a < n
⊢ (↑a).val = a
α : Type u_1
Preorder α
Subsingleton α
a : α
⊢ IsTop a
m n a b c✝ d c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ a * c ≡ b * c [MOD n]
A B : TopCat
⊢ ∀ (X : ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))), ((projLeft A B).prod' (projRight A B) ⋙ prodToProdTop A B).obj X = (𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))).obj X
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
⊢ ↑a ∈ A.nonunits ↔ a ∈ LocalRing.maximalIdeal ↥A
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
M : Matrix m m R
b : m → α
LT α
⊢ M.BlockTriangular b → Mᵀ.BlockTriangular (⇑OrderDual.toDual ∘ b)
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.IsLimit
⊢ ∀ o' < o, aleph' o' ≤ ⨆ a, aleph' ↑a
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
s₁ s₂ : Set α
n : ℕ
hs : s₁ ⊆ s₂
h₂ : G.CliqueFreeOn s₂ n
⊢ G.CliqueFreeOn s₁ n
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
P : Type u_8
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
f : M ≃+ N
f₂ : N ≃+ P
⊢ Finsupp.mapRange.addEquiv (f.trans f₂) = (Finsupp.mapRange.addEquiv f).trans (Finsupp.mapRange.addEquiv f₂)
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.birthday = k
⊢ (lsub fun i => (typein (fun x x_1 => x < x_1) i).toPGame.birthday) = lsub (typein fun x x_1 => x < x_1)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : SpecializingMap f
s : Set X
hs : StableUnderSpecialization s
⊢ StableUnderSpecialization (f '' s)
⊢ PartENat.withTopEquiv.symm 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t u : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
h₂ : t ∩ s = u ∩ s
⊢ 𝓝[t] a = 𝓝[u] a
G : Type u_1
Group G
H₁ H₂ : Subgroup G
H₁.Normal
H₂.Normal
⊢ ⁅H₁, H₂⁆ = Subgroup.normalClosure {g | ∃ g₁ ∈ H₁, ∃ g₂ ∈ H₂, ⁅g₁, g₂⁆ = g}
R : Type u
CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
LieModule R L N
M' : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L N
⊢ TensorProduct.LieModule.mapIncl M' N' = TensorProduct.LieModule.map M'.incl N'.incl
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
TopologicalSpace 𝕜
CommSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
TopologicalSpace α
g : α → WeakBilin B
h : ∀ (y : F), Continuous fun a => (B (g a)) y
⊢ Continuous g
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
MeasurableSingletonClass Ω
s t : Set Ω
hs : s.Finite
⊢ (ProbabilityTheory.condCount s) t = 0 ↔ s ∩ t = ∅
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
obs : ∀ (i : γ), (μs i).testAgainstNN f ≤ nndist f 0 * (μs i).mass
⊢ Tendsto (fun t => (fun a => ↑a) (nndist f 0 * (μs t).mass)) F (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
hf : Tendsto (fun s => ∏ b ∈ s, f b) atTop (𝓝 a)
hg : Tendsto (fun s => ∏ b ∈ s, g b) atTop (𝓝 b)
⊢ Tendsto (fun s => ∏ b ∈ s, f b * g b) atTop (𝓝 (a * b))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x : E
hK : Dense ↑K
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = 0
⊢ x = 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroObject D
F : C ⥤ D
hF : IsZero F
X : C
G : C ⥤ D := (Functor.const C).obj 0
hG : IsZero G
e : F ≅ G := hF.iso hG
⊢ IsZero (F.obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
⊢ t ∈ ⨅ i ∈ dom, l i ↔ ∃ i, (i.1 ∈ dom ∧ p i.1 i.2) ∧ s i.1 i.2 ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : β → List γ
l : List α
⊢ (List.map f l).bind g = l.bind fun a => g (f a)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
s : Finset α
Nonempty α
hs : s ≠ Finset.univ
⊢ AhlswedeZhang.supSum {s} = ↑(Fintype.card α) * ∑ k ∈ Finset.range (Fintype.card α), (↑k)⁻¹
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v✝ v : VitaliFamily μ
f : α → Set (Set α)
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, a ∈ f x
x : α
hx : x ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : Set α
av : a ∈ v.setsAt x
ha : a ⊆ closedBall x ε
af : a ∈ f x
⊢ ∃ a ∈ v.setsAt x ∩ f x, a ⊆ closedBall x ε
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X : PresheafedSpace C
x : ↑↑X
e_1✝ : (X.presheaf.stalk x ⟶ X.presheaf.stalk x) = ((stalkFunctor C x).obj X.presheaf ⟶ (stalkFunctor C x).obj X.presheaf)
U✝ : Opens ↑↑X
⊢ ((𝟙 X).c ≫ (Pushforward.id X.presheaf).hom).app (op U✝) = (𝟙 X.presheaf).app (op U✝)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype m
s : Finset β
f : β → Matrix l m α
M : Matrix m n α
⊢ (∑ a ∈ s, f a) * M = ∑ a ∈ s, f a * M
α : Type u
Infinite α
s : Set α
hf : sᶜ.Finite
⊢ s ∈ Filter.hyperfilter α
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha : a < 0
hb : 0 < b
⊢ a • b < 0
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a + b - c = a - c + b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
S : Set (Set H)
⊢ (⋃₀ S).innerDualCone = sInf (innerDualCone '' S)
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
x y : CliffordAlgebra Q
hx : (changeForm h') ((changeForm h) x) = (changeForm ⋯) x
hy : (changeForm h') ((changeForm h) y) = (changeForm ⋯) y
⊢ (changeForm h') ((changeForm h) (x + y)) = (changeForm ⋯) (x + y)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hef : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
h : ↥H
ht : IsSl2Triple (↑h) e f
⊢ ↑h = ↑(coroot α)
E : Type u_4
F : Type u_5
Group E
Group F
p : GroupSeminorm E
f : F →* E
⊢ ⇑(p.comp f) = ⇑p ∘ ⇑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : Disjoint (ball x δ) (ball y ε)
hxy : dist x y < δ + ε
⊢ False
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
⊢ List.pmap f l H = [] ↔ l = []
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ Grp
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
k : J
f : x.fst ⟶ k
g : y.fst ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget Grp).map f x.snd = (F ⋙ forget Grp).map g y.snd
⊢ (F.map f) x.snd = (F.map g) y.snd
α : Type u
L : List (α × Bool)
β : Type v
Group β
f : α → β
⊢ (FreeGroup.lift f) (FreeGroup.mk L) = (List.map (fun x => bif x.2 then f x.1 else (f x.1)⁻¹) L).prod
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Profinite.NobelingProof.Products I
o : Ordinal.{u}
hlt : ∀ i ∈ ↑l, Profinite.NobelingProof.ord I i < o
⊢ (Profinite.NobelingProof.πs C o)
    (Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o)
      l) =
  Profinite.NobelingProof.Products.eval C l
α : Type u_1
t : Ordnode α
⊢ t.toList.length = t.realSize
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
⊢ x ^ y = 0 ↔ x = 0 ∧ 0 < y ∨ x = ⊤ ∧ y < 0
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P Q
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsAffine Y
⊢ P f ↔ Q f
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
q n : ℕ
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
⊢ f.app (op [n]) ≫ 𝟙 (K[Y].X n) = 𝟙 (K[X].X n) ≫ f.app (op [n])
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
FiniteDimensional K L
IsIntegrallyClosed A
⊢ 1 ≤ Submodule.traceDual A K 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
x : α
⊢ (⨅ i ∈ {x_1 | x_1 < f x}, 𝓟 (f ⁻¹' {x | i < x})) ⊓ ⨅ i ∈ {x_1 | f x < x_1}, 𝓟 (f ⁻¹' {x | x < i}) ≤ (⨅ b ∈ {x_1 | f x_1 < f x}, 𝓟 {x | f b < f x}) ⊓ ⨅ b ∈ {x_1 | f x < f x_1}, 𝓟 {x | f x < f b}
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
⊢ Function.RightInverse (fun f => derivationToSquareZeroOfLift I hI ↑f ⋯) fun d => ⟨liftOfDerivationToSquareZero I hI d, ⋯⟩
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
No : (a0.oadd n a').NF
⊢ (k ≠ 0 → R' < (ω ^ a0.repr) ^ succ ↑k) ∧ (ω ^ a0.repr) ^ ↑k * (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr) + R' = (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr + ↑m) ^ succ ↑k
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ φ(p, k) b * (φ(p, k) c * a) = b * (↑p ^ m * φ(p, k) c)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
A : C
B : D
e : CategoryTheory.MonoOver A ≌ CategoryTheory.MonoOver B
⊢ (CategoryTheory.Subobject.lowerEquivalence e).unitIso = CategoryTheory.eqToIso ⋯
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β✝
β : Type u_3
f : List α → β
r : List α → Filter β
h_nil : Tendsto f (pure []) (r [])
h_cons : ∀ (l : List α) (a : α), Tendsto f (𝓝 l) (r l) → Tendsto (fun p => f (p.1 :: p.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (r (a :: l))
⊢ Tendsto f (𝓝 []) (r [])
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
self : WeakFEPair E
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Ioi 0 → self.f (1 / x) = (self.ε * ↑(x ^ self.k)) • self.g x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
compactlyGenerated : ∀ (s : Set Y), IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set Y⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ Tendsto f (cocompact X) (cocompact Y)
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
⊢ Irrational x⁻¹⁻¹
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂
⊢ W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ = (y₁ - y₂) / (x₁ - x₂)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
β : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : l.NeBot
f : α → β
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
hfm : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ.restrict (φ i))
⊢ AEMeasurable f μ
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝ : v.RankOne
⊢ ¬↑(unit v) = 1
f : ℝ →o ℝ
h : ∀ (x : ℝ), f.toFun (x + 1) = f.toFun x + 1
⊢ ⇑{ toOrderHom := f, map_add_one' := h } = ⇑f
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
d : l₁.Nodup
H : l₁ ⊆ l₂
⊢ l₁.Subperm l₂
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp_pos : p ≠ 0
hμs_pos : μ s ≠ 0
⊢ ‖MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c‖ = ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
⊢ (∀ (y : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ((topDualPairing ℝ≥0 (Ω →ᵇ ℝ≥0)) (μs i).toWeakDualBCNN) y) F (𝓝 (((topDualPairing ℝ≥0 (Ω →ᵇ ℝ≥0)) μ.toWeakDualBCNN) y))) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => (μs i).toWeakDualBCNN f) F (𝓝 (μ.toWeakDualBCNN f))
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasBinaryProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
F : WalkingParallelPair ⥤ C
⊢ pullbackFst F = pullback.snd (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.left)) (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.right))
α : Type u_1
LinearOrder α
Ring α
a : α
⊢ Odd |a| ↔ Odd a
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
x : ℝ
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (↑(ProbabilityTheory.condCDF ρ a) x) ∂ρ.fst = ρ (Set.univ ×ˢ Set.Iic x)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y
g : Z → W
hf : IsOpenMap f
hg : IsOpenMap g
⊢ ∀ (x : X × Z), 𝓝 (f x.1, g x.2) ≤ map (fun p => (f p.1, g p.2)) (𝓝 x)
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
⊢ (∏ i ∈ s, f i).toReal = ∏ i ∈ s, (f i).toReal
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
⊢ EuclideanGeometry.angle p3 (midpoint ℝ p1 p2) p2 = π / 2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t✝ : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : LinearOrder γ
a b : γ
s t : Set γ
ha : IsGreatest s a
hb : IsGreatest t b
⊢ max a b ∈ s ∪ t
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)
⊢ ∀ {f g : α → α}, Function.Commute f g → (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x) → minimalPeriod f x ∣ minimalPeriod (f ∘ g) x
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
⊢ hτ.measurableSpace ⊓ hπ.measurableSpace ≤ ⋯.measurableSpace
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple
⊢ ∀ (i : B), cs1.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i) = cs2.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
⊢ (Multiset.map (fun n => -(-1) ^ n) 0).prod = (-1) ^ (Multiset.sum 0 + card 0)
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁷ : HasZeroObject C
inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁵ : Preadditive C
inst✝¹⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹³ : Pretriangulated C
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹¹ : HasZeroObject D
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁷ : Pretriangulated D
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_3} A
inst✝⁵ : Abelian A
F✝ : C ⥤ A
inst✝⁴ : F✝.IsHomological
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.CommShift ℤ
inst✝² : L.IsTriangulated
inst✝¹ : L.mapArrow.EssSurj
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e✝ : L ⋙ F ≅ G
inst✝ : G.IsHomological
this✝ : F.PreservesZeroMorphisms
this : (L ⋙ F).IsHomological
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
T₀ : Triangle C
e : T ≅ L.mapTriangle.obj T₀
hT₀ : T₀ ∈ distinguishedTriangles
⊢ ∃ T' e, ((shortComplexOfDistTriangle T' ⋯).map F).Exact
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X
⊢ Presieve.IsSeparatedFor (Functor.closedSieves J₁) S.arrows ∧ ∀ (x : Presieve.FamilyOfElements (Functor.closedSieves J₁) S.arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
φ : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
DecidableEq ι
i : ι
⊢ LinearMap.ker (LinearMap.stdBasis R φ i) = ⊥
α : Type u_1
inst✝¹⁴ : Ring α
inst✝¹³ : UniformSpace α
inst✝¹² : TopologicalRing α
inst✝¹¹ : UniformAddGroup α
β : Type u
inst✝¹⁰ : UniformSpace β
inst✝⁹ : Ring β
inst✝⁸ : UniformAddGroup β
inst✝⁷ : TopologicalRing β
f : α →+* β
hf : Continuous ⇑f
A : Type u_2
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : UniformSpace A
inst✝⁴ : UniformAddGroup A
inst✝³ : TopologicalRing A
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : UniformContinuousConstSMul R A
r : R
x : Completion A
a : A
⊢ Completion.map (fun x => r • x) (↑A a) = ↑A ((algebraMap R A) r) * ↑A a
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
r : w ○ w ○ w ⊆ t
⊢ ∃ r ∈ 𝓤 α, IsClosed r ∧ r ⊆ t