ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.592608
Bₘ : Type ?u.592611
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intNorm A B) 0) = (algebraMap A (FractionRing A)) 0
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : Completion α
⊢ IsClosed {x | dist x.1 x.2 = dist x.2 x.1}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Encodable α
inst✝ : Encodable β
n : ℕ
⊢ Option.map (⇑(Equiv.sigmaEquivProd α β)) ((decode (unpair n).1).bind fun a => Option.map (Sigma.mk a) (decode (unpair n).2)) = (decode (unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (decode (unpair n).2)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
n : ℤ
K : CochainComplex C ℤ
i j : ℤ
hij : ¬(ComplexShape.up ℤ).Rel i j
⊢ ¬(ComplexShape.up ℤ).Rel (i + n) (j + n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Full
F.Faithful
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso (F.map f)
⊢ CategoryTheory.IsIso f
G : Type u_1
Group G
H H' : Subgroup G
⊢ H ⊔ H' = Subgroup.closure (↑H ∪ ↑H')
A₁ : Type u_4
B₁ : Type u_5
A₂ : Type u_6
B₂ : Type u_7
Field A₁
Field B₁
Field A₂
Field B₂
Algebra A₁ B₁
Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
Algebra.IsSeparable A₁ B₁
⊢ Algebra.IsSeparable A₂ B₂
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
NoMinOrder α
⊢ IsConnected (Set.Iio a)
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
A B : Action V G
f : A ⟶ B
⊢ (Action.functorCategoryMonoidalEquivalence V G).map f = Action.FunctorCategoryEquivalence.functor.map f
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f✝ : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁ K₂ : Subgroup G
f : G →* G'
⊢ map f ⁅H₁, H₂⁆ = ⁅map f H₁, map f H₂⁆
α : Type u
m : ℕ
n' : Type uₙ
B : Fin m.succ → n' → α
j : n'
⊢ (Matrix.vecHead fun i => B i j) = Matrix.vecHead B j
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
b : B
a v : F
h : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j, Z.coordChange i j x v = v
x : B
A : Z.baseSet (Z.indexAt x) ∈ 𝓝 x
⊢ ContinuousAt (let_fun this := fun x => { proj := x, snd := v }; this) x
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ L₃ : CategoryTheory.Functor A T
l : L₁ ⟶ L₂
l' : L₂ ⟶ L₃
X : CategoryTheory.Comma L₃ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftComp R l l').inv.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M →[L] N
s : L.Substructure M
hs : s.FG
t : Set M
ht : t.Finite ∧ (closure L).toFun t = s
⊢ (closure L).toFun (⇑f '' t) = Substructure.map f s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
h₁ : U R (n + 1) = X * U R n + T R (n + 1)
h₂ : U R (n + 1 + 1) = X * U R (n + 1) + T R (n + 1 + 1)
h₃ : U R (n + 2) = 2 * X * U R (n + 1) - U R n
⊢ T R (n + 2) = X * T R (n + 1) - (1 - X ^ 2) * U R n
R : Type u_1
Semiring R
r : R → R → Prop
⊢ ∀ (x x_1 : RingQuot r),
  RingQuot.add r x x_1 =
    match x, x_1 with
    | { toQuot := a }, { toQuot := b } => { toQuot := Quot.map₂ (fun x x_2 => x + x_2) ⋯ ⋯ a b }
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ' μ ν : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
ν.IsAddHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsAddLeftInvariant
⊢ μ'.addHaarScalarFactor ν = μ'.addHaarScalarFactor μ * μ.addHaarScalarFactor ν
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
a : E
r : ℝ
⊢ Convex ℝ (closedBall a r)
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕝 : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕝
NormedAlgebra 𝕜 𝕝
f g : E → 𝕝
s : Set E
fa : AnalyticOn 𝕜 f s
ga : AnalyticOn 𝕜 g s
g0 : ∀ x ∈ s, g x ≠ 0
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => f x / g x) s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
u : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 (μ.withDensity fun x => ↑(f x)))
⊢ (MeasureTheory.withDensitySMulLI μ f_meas) u = MeasureTheory.Memℒp.toLp (fun x => f x • ↑↑u x) ⋯
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : Codisjoint a b
⊢ a ⇔ b = a ⊓ b
α : Type u_2
Inv α
⊢ Set.univ⁻¹ = Set.univ
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
r : R
hr : IsUnit r
⊢ span R (r • s) ≤ span R s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
X Y : CategoryTheory.FullSubcategory P
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y).obj = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X.obj Y.obj
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
h : ∀ (x : E), 0 < 1 + ‖x‖ ^ 2
⊢ ContDiff ℝ n fun x => √(1 + ‖x‖ ^ 2)
R : Type u_1
Semiring R
p : PowerSeries R
n d : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R d) (p * PowerSeries.X ^ n) = if n ≤ d then (PowerSeries.coeff R (d - n)) p else 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s
r1 r2 : ℝ
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
⊢ dist (r1 • v +ᵥ p1) (r2 • v +ᵥ p2) * dist (r1 • v +ᵥ p1) (r2 • v +ᵥ p2) = ‖p1 -ᵥ p2 + (r1 - r2) • v‖ * ‖p1 -ᵥ p2 + (r1 - r2) • v‖
G : Type u_2
MeasurableSpace G
AddGroup G
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
BorelSpace G
TopologicalAddGroup G
H : Type u_4
AddGroup H
TopologicalSpace H
MeasurableSpace H
BorelSpace H
TopologicalAddGroup H
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : G →+ H
hf : Continuous ⇑f
h_surj : Function.Surjective ⇑f
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ).IsAddHaarMeasure
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
val✝² : List α
property✝ : val✝².length = n
val✝¹ : ℕ
isLt✝¹ : val✝¹ < n
val✝ : ℕ
isLt✝ : val✝ < n
h : ⟨val✝¹, isLt✝¹⟩ ≠ ⟨val✝, isLt✝⟩
⊢ (set ⟨val✝², property✝⟩ ⟨val✝¹, isLt✝¹⟩ a).get ⟨val✝, isLt✝⟩ = get ⟨val✝², property✝⟩ ⟨val✝, isLt✝⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
f✝ g : α → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
f : α → β
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
h✝ : SecondCountableTopology α
⊢ StronglyMeasurable f
α : Type u_2
β : α → Type u_1
(a : α) → Unique (β a)
x : (a : α) × β a
⊢ (Equiv.sigmaUnique α β) x = x.fst
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
h : #↑(range f) < #β
u : ∀ (b : β), ∃ a, b ∈ f a := fun b => Eq.mp (Eq.trans Mathlib.Order.SetNotation._auxLemma.3 (congrArg Exists (funext fun i => Mathlib.Data.Finset.Basic._auxLemma.6))) (Eq.ge w (mem_univ b))
u' : β → ↑(range f) := fun b => ⟨f ⋯.choose, ⋯⟩
⊢ False
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : 0 < 1 - ε ↑n
⊢ 0 ≤ 1 - ε ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MulZeroOneClass A
inst✝¹ : FunLike F ℕ A
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F ℕ A
f g : F
h_pos : ∀ {n : ℕ}, 0 < n → f n = g n
⊢ ∀ (x : ℕ), f x = g x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.map (CategoryTheory.Limits.prod.map f₁ f₂) f₃ ≫
    (CategoryTheory.Limits.prod.associator Y₁ Y₂ Y₃).hom =
  (CategoryTheory.Limits.prod.associator X₁ X₂ X₃).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.prod.map f₁ (CategoryTheory.Limits.prod.map f₂ f₃)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
z₁ z₂ : W.LeftFraction X Y
h : CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₁ z₂
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.homMk z₁ =
  CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.homMk z₂
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J
hJ : J ∈ π
⊢ ((π.biUnion πi).restrict J).iUnion ⊆ (πi J).iUnion
u : ℂ
hu : 0 < u.re
v : ℂ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)) MeasureTheory.volume 0 (1 / 2)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ ￢￢(a \ b) = ￢￢a \ ￢￢b
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s : Set α
s_mem : s ∈ MeasureTheory.generateSetAlgebra 𝒜
⊢ ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ s = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
DecompositionMonoid α
H1 : IsRelPrime x z
H2 : IsRelPrime y z
⊢ IsRelPrime (x * y) z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Inv γ
x : β → γ
y : α → β
⊢ x⁻¹ ∘ y = (x ∘ y)⁻¹
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ sᶜ ∈ cocompact X ↔ ∃ t, IsCompact t ∧ s ⊆ t
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
⊢ (convexHull R) (↑t₁ ∩ ↑t₂) = (convexHull R) ↑t₁ ∩ (convexHull R) ↑t₂
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y z : α
⊢ (if f z = x then y else if f z = y then x else f z) = f (if z = f⁻¹ x then f⁻¹ y else if z = f⁻¹ y then f⁻¹ x else z)
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇔ (a ⇔ b) = b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝¹ : CommSemiring α
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ι → α
s : Finset ι
⊢ ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∑ t ∈ s.powerset, (∏ i ∈ t, f i) * ∏ i ∈ s \ t, g i
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : P
⊢ Coplanar k {p}
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → AddRightCancelMonoid (N a)
f g h : Π₀ (a : α), N a
⊢ (f + h).neLocus (g + h) = f.neLocus g
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
f : α → β
a : α
⊢ ∑ x ∈ {a}, f x = f a
m n : Nat
H : m.gcd n = 0
⊢ n = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ ∀ (a : Fin (1 + 1 + 1)),
  S.toComposableArrows.obj a =
    CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.obj (CategoryTheory.ComposableArrows.mk₁ S.g) S.X₁ a
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
h : IsAddUnit a
⊢ Function.Injective fun x => a + x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
q : ℝ≥0∞
hq1 : 1 ≤ q
f : α → β
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hfq : MeasureTheory.Memℒp f q μ
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
h₁ : M ≃ₘ^n⟮I, I'⟯ M'
h₂ : M' ≃ₘ^n⟮I', J⟯ N
⊢ (h₁.trans h₂).symm = h₂.symm.trans h₁.symm
A✝ : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁹ : Field A✝
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : Algebra A✝ B
x✝ : B
A : Type u_3
K : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : Algebra A R
inst✝¹ : Algebra K R
inst✝ : IsScalarTower A K R
x : R
⊢ minpoly K x ∣ map (algebraMap A K) (minpoly A x)
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
a : Stream' M
s : Finset ℕ
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ (hs : t.Nonempty), ∏ i ∈ t, a.get i ∈ FP (Stream'.drop (t.min' hs) a)
hs : s.Nonempty
⊢ ∏ i ∈ s, a.get i ∈ FP (Stream'.drop (s.min' hs) a)
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ s₁ ∩ s₂ ⊆ s₁
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
⊢ ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (n • Polynomial.X - ↑ν) ^ 2 * bernsteinPolynomial R n ν =
  n • Polynomial.X * (1 - Polynomial.X)
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTotal α r
IsTrans α r
l : List α
⊢ List.Sorted r (List.insertionSort r l)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.80198, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
this : IsSplitEpi S.g
⊢ Epi S.g
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : IsLocalHomeomorph f
⊢ IsOpenMap f
X Y : TopCat
H : X ≅ Y
⊢ (TopologicalSpace.Opens.mapMapIso H).unitIso = CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun U => CategoryTheory.eqToIso ⋯) ⋯
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
ha : 0 < a
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume
hf_top : f =O[Filter.atTop] fun t => rexp (-a * t)
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
⊢ MellinConvergent f s
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
hbad : b • d ≤ a • d
h : b ≤ a
⊢ False
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : LinearOrder ι
inst✝⁸ : MeasurableSpace ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : OrderTopology ι
inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
inst✝² : MetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
hf_prog : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ
h_str_meas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (stoppedValue u fun ω => min (τ ω) i)
t : Set β
ht : MeasurableSet t
i : ι
⊢ stoppedValue u τ ⁻¹' t ∩ {ω | τ ω ≤ i} = (stoppedValue u fun ω => min (τ ω) i) ⁻¹' t ∩ {ω | τ ω ≤ i}
⊢ BddAbove (Set.range eulerMascheroniSeq)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
⊢ W.Equation x y ↔ (WeierstrassCurve.variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.Equation 0 0
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
e : α ≃ᵢ α
x : α
⊢ e⁻¹ (e x) = x
α : Sort u_1
p : α → Prop
h : ∀ (a : α), p a ↔ p ((Equiv.refl α) a) := ⋯
⊢ (Equiv.refl α).subtypeEquiv h = Equiv.refl { a // p a }
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
UniformSpace F
UniformAddGroup F
⊢ UniformEmbedding ContinuousMultilinearMap.toUniformOnFun
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).op = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (Opposite.op X)).symm
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ T₃ : CategoryTheory.Monad C
f : T₁ ⟶ T₂
g : T₂ ⟶ T₃
X : T₃.Algebra
⊢ ((CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHomComp f g).inv.app X).f =
  (CategoryTheory.Iso.refl
      ((CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHom (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)).obj X).A).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ (⋂ i, ⋂ j, s i j)ᶜ = ⋃ i, ⋃ j, (s i j)ᶜ
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc : s ∈ 𝓝 c
⊢ DifferentiableOn ℂ (dslope f c) s ↔ DifferentiableOn ℂ f s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → EReal
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => (f x).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι✝ : Sort uι
s t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
ι : Type u_6
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : Nonempty ι
t : ι → Set α
t_meas : ∀ (n : ι), MeasurableSet (t n)
g : ι → α → β
hg : ∀ (n : ι), Measurable (g n)
ht : Pairwise fun i j => EqOn (g i) (g j) (t i ∩ t j)
inhabited_h : Inhabited ι
g' : (i : ι) → ↑(t i) → β := fun i => g i ∘ Subtype.val
ht' : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ t i) (hxj : x ∈ t j), g' i ⟨x, hxi⟩ = g' j ⟨x, hxj⟩
f : ↑(⋃ i, t i) → β := iUnionLift t g' ht' (⋃ i, t i) ⋯
hfm : Measurable f
⊢ ∃ f, Measurable f ∧ ∀ (n : ι), EqOn f (g n) (t n)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
T2Space M
a b : ℝ
BoundarylessManifold I M
ht₀ : t₀ ∈ Set.Ioo a b
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurveOn γ v (Set.Ioo a b)
hγ' : IsIntegralCurveOn γ' v (Set.Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
⊢ Set.EqOn γ γ' (Set.Ioo a b)
α : Type u
f g : Filter α
s t u : Set α
hs : s ∈ f
ht : t ∈ g
h : s ∩ t ⊆ u
⊢ u ∈ f ⊓ g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
G H : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct G H
hG : CategoryTheory.IsSeparator G
⊢ CategoryTheory.IsSeparator (G ⨿ H)
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
x : P ⊗[R] (M →ₗ[R] Q)
⊢ (lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) x = (lTensorHomToHomLTensor R M P Q) x
X : Type u_2
EMetricSpace X
m : Set X → ℝ≥0∞
r r' : ℝ≥0∞
h : r ≤ r'
⊢ MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric'.pre m r' ≤ MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric'.pre m r
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (↑I ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ∧ ↑I ∘ ↑I.symm '' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ⊆ interior (range ↑I)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y z : E
h : SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hxy : x - y = a • (z - y)
hzx : z - x = b • (z - y)
⊢ b • (-x + y) + a • (-x + z) = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
p : PMF α
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f p.toMeasure
⊢ ∫ (a : α), f a ∂p.toMeasure = ∑' (a : α), (p a).toReal • f a
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
a : α
hf : StrictAnti f
ha : IsMax (f a)
⊢ IsMin a
Ω : Type u_1
β : Type u_2
u : ℕ → Ω → β
τ : Ω → ℕ
AddCommMonoid β
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ N
⊢ MeasureTheory.stoppedValue u τ = fun x => (∑ i ∈ Finset.range (N + 1), {ω | τ ω = i}.indicator (u i)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n✝ : ℕ
s : Finset α
n : ℕ
f : ⊤ ↪g G
v : α
hv✝ : v ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)
w : α
hw✝ : w ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)
hv : ∃ x, f.toEmbedding x = v
hw : ∃ x, f.toEmbedding x = w
⊢ (induce (↑(map f.toEmbedding univ)) G).Adj ⟨v, hv✝⟩ ⟨w, hw✝⟩ ↔ ⊤.Adj ⟨v, hv✝⟩ ⟨w, hw✝⟩
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
v : n → R
A : Matrix n n R
i✝ j✝ : n
⊢ of (fun i j => v j * A i j) i✝ j✝ = (A * diagonal v) i✝ j✝
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ Odd (m - n) ↔ (Odd n ↔ Even m)
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ C (W.preΨ' (m + 2) ^ 2 * W.preΨ' (m + 3) * W.preΨ' (m + 5) - W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) * W.preΨ' (m + 4) ^ 2) * W.ψ₂ * W.ψ₂ = (C (W.preΨ' (m + 2)) * if Even m then W.ψ₂ else 1) ^ 2 * (C (W.preΨ' (m + 3)) * if Even m then 1 else W.ψ₂) * (C (W.preΨ' (m + 5)) * if Even m then 1 else W.ψ₂) - (C (W.preΨ' (m + 1)) * if Even m then 1 else W.ψ₂) * (C (W.preΨ' (m + 3)) * if Even m then 1 else W.ψ₂) * (C (W.preΨ' (m + 4)) * if Even m then W.ψ₂ else 1) ^ 2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
hf' : f.FinMeasSupp μ
⊢ integral μ (map (ENNReal.toReal ∘ g) f) = ((map g f).lintegral μ).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
b : β
a : α
⊢ (G.boxProdLeft H b) a = (a, b)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
M' : LieSubmodule R L M
⊢ M' ≤ f.ker ↔ LieSubmodule.map f M' = ⊥
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
c : G
⊢ (IsometryEquiv.mulRight c).toEquiv = Equiv.mulRight c
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Add R
inst✝⁴ : Mul R
inst✝³ : Neg R
inst✝² : One R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : CompatibleRing R
v : α → R
⊢ Term.realize v 1 = 1
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'
⊢ ((Pi.basis s).repr ((stdBasis R Ms j) ((s j) i))) ⟨j', i'⟩ = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
W : C
k l : W ⟶ t.pt
h₀ : k ≫ t.fst = l ≫ t.fst
h₁ : k ≫ t.snd = l ≫ t.snd
⊢ k = l
z : ℍ
h1 : ↑π * ((cexp (2 * ↑π * I * ↑z) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * ↑π * I * ↑z)))) = -↑π * I * ((cexp (2 * ↑π * I * ↑z) + 1) * (1 / (1 - cexp (2 * ↑π * I * ↑z))))
⊢ ↑π * (↑π * ↑z).cot = ↑π * I - 2 * ↑π * I * ∑' (n : ℕ), cexp (2 * ↑π * I * ↑z) ^ n
x y : ℂ
s1 : cos ((x + y) / 2 + (x - y) / 2) = cos ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) - sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)
⊢ cos x - cos y = -2 * sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)