ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → MeasureTheory.eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - f_lim) p μ) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Set α
x a : α
x✝ : x ∈ op a • s
b : α
hb : b ∈ s
Eq : (fun x => op a • x) b = x
⊢ x * a⁻¹ ∈ s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i < n
this : ↑p ^ i = (WittVector.truncate n) (↑p ^ i)
⊢ ∃ x, ¬coeff x ((WittVector.truncate n) (↑p ^ i)) = coeff x 0
m n : ℕ
⊢ m ⋖ n ↔ m + 1 = n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C D
app : (X : C) → F₁.obj X ⟶ F₂.obj X
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.naturalityProperty app).StableUnderInverse
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α ≃ β
a✝ : β
⊢ (equivMapDomain f 0) a✝ = 0 a✝
α : Type u
f : Filter α
f.NeBot
p : Prop
q : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p → q x) ↔ p → ∃ᶠ (x : α) in f, q x
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hxy : x + y ≠ 0
h_zero : x.num * y.denom + x.denom * y.num = 0
h : (x + y).num * (x.denom * y.denom) = (x.num * y.denom + x.denom * y.num) * (x + y).denom
⊢ False
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}
⊢ HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂ p.1 p.2) (jacobiTheta₂_fderiv z τ) (z, τ)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
⊢ P.parts.card ≤ ⊥.parts.card
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'
⊢ ∀ (a_1 a'_1 : α), a_1 = a'_1 → HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f) a_1) (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f) a'_1)
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
⊢ (s.smulAntidiagonal t a).Finite
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ measurableCylinders α
ht : t ∈ measurableCylinders α
⊢ (sᶜ ∩ tᶜ)ᶜ ∈ measurableCylinders α
R✝ : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : Semiring S
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
I : ι → Ideal R
hf : Pairwise fun i j => IsCoprime (I i) (I j)
x : (i : ι) → R ⧸ I i
⊢ ∃ r, ∀ (i : ι), (Quotient.mk (I i)) r = x i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → γ → α
b : β
c : γ
hfb : ∀ (b' : β), b' ≠ b → f b' c = 0
hfc : ∀ (b' : β) (c' : γ), c' ≠ c → f b' c' = 0
⊢ ∑' (b' : β) (c' : γ), f b' c' = f b c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
A B : Preorder α
le✝ A_lt : α → α → Prop
le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
A_iff : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
B_lt : α → α → Prop
le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
B_iff : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
this : A_lt = B_lt
⊢ mk le_refl✝¹ le_trans✝¹ A_iff = mk le_refl✝ le_trans✝ B_iff
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_6, u_3} E
inst✝¹ : L✝.IsLocalization W✝
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
F₁ F₂ : D ⥤ E
τ τ' : F₁ ⟶ F₂
h : ∀ (X : C), τ.app (L.obj X) = τ'.app (L.obj X)
this : L.EssSurj
Y : D
⊢ τ.app Y = τ'.app Y
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
⊢ Function.Injective ⇑e
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
VSub α β
s : Set β
t : ι → Set β
⊢ s -ᵥ ⋂ i, t i ⊆ ⋂ i, s -ᵥ t i
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (closedBall 0 r)
hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
R : ℝ
f : ℕ → E
Rgt : 1 < R
fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R
lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
⊢ False
b p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_int 0 (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ (evenKernel (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0) = HurwitzKernelBounds.F_int 0 (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n✝
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n✝
M : Matrix n✝ n✝ R
hM : M.PosSemidef
n : ℕ
⊢ (M ^ ↑n).PosSemidef
α : Type u_1
β : Type u_2
AddMonoid β
r : α → α → Prop
IsTotal α r
f : α → α → β
p : α → Prop
hswap : ∀ {a b : α}, p a → p b → f a b + f b a = 0
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a → p b → p c → f a c = f a b + f b c
a b c : α
pa : p a
pb : p b
pc : p c
⊢ f a c = f a b + f b c
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
⊢ Filter.Tendsto Int.floor Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (s ∩ {b | b < a}) ↔ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n' a : ℤ
γ₁ γ₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn : n + a = n'
⊢ (γ₁ + γ₂).leftUnshift n hn = γ₁.leftUnshift n hn + γ₂.leftUnshift n hn
A : Type u_2
B : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
⊢ Set.range ContinuousAddMonoidHom.toContinuousMap = {f | f 0 = 0 ∧ ∀ (x y : A), f (x + y) = f x + f y}
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
self : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ self.asHomogeneousIdeal.toIdeal.IsPrime
p : Char → Bool
l m r : List Char
⊢ { data := l ++ m ++ r }.findAux p { byteIdx := String.utf8Len l + String.utf8Len m } { byteIdx := String.utf8Len l } =
  { byteIdx := String.utf8Len l + String.utf8Len (List.takeWhile (fun x => !p x) m) }
ctx : Nat.Linear.Context
p : Nat.Linear.Poly
h : p.isNonZero = true
⊢ Nat.Linear.Poly.denote ctx p > 0
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp : IntFractPair K
stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp
g : GenContFract K := of v
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
g_finite_correctness : v = GenContFract.compExactValue pred_conts conts ifp.fr
ifp_fr_ne_zero : ifp.fr ≠ 0
⊢ let g := of v; let B := (g.contsAux (n + 1)).b; let pB := (g.contsAux n).b; v - g.convs n = if ifp.fr = 0 then 0 else (-1) ^ n / (B * (ifp.fr⁻¹ * B + pB))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom.f = CategoryTheory.Limits.prod.fst
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e e' : Pretrivialization F proj
h₁ : e.toPartialEquiv = e'.toPartialEquiv
h₂ : e.baseSet = e'.baseSet
⊢ e = e'
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
⊢ (thickenedIndicator δ_pos E) x ≤ 1
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l l' : List α
h : l ~r l'
hn : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.reverse.next x ⋯ = l'.reverse.next x ⋯
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero N
UniqueFactorizationMonoid N
UniqueFactorizationMonoid M
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
⊢ multiplicity p m = multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n
α : Type u
x y n : ℕ
h : x < y
⊢ x - y ∣ x ^ n - y ^ n
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
DecidableEq α
b : α
⊢ AddAction.stabilizer G {b} = AddAction.stabilizer G b
x y : ℝ*
hix : ¬x.Infinite
hiy : ¬y.Infinite
⊢ x ≤ y → x.st ≤ y.st
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
δ : C(X, ℝ≥0)
hδ₀ : ∀ (x : X), 0 < (ContinuousMap.coeNNRealReal.comp δ) x
hδ : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, closedBall x (ENNReal.ofReal ((ContinuousMap.coeNNRealReal.comp δ) x)) ⊆ U i
i : ι
x : X
hi : x ∈ K i
⊢ closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i
R : Type u_3
CommSemiring R
N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hFn : ((MvPolynomial.finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0
⊢ ∃ r, (MvPolynomial.eval r) F ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
self : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
⊢ self.inr ≫ self.fst = 0
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁰ : Module k V₁
inst✝⁹ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁸ : AddCommGroup V₂
inst✝⁷ : Module k V₂
inst✝⁶ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝⁵ : AddCommGroup V₃
inst✝⁴ : Module k V₃
inst✝³ : AffineSpace V₃ P₃
inst✝² : AddCommGroup V₄
inst✝¹ : Module k V₄
inst✝ : AffineSpace V₄ P₄
e : P₁ ≃ P₂
el : V₁ ≃ₗ[k] V₂
h : ∀ (p : P₁) (v : V₁), e (v +ᵥ p) = el v +ᵥ e p
e' : P₁ ≃ P₂
el' : V₁ ≃ₗ[k] V₂
h' : ∀ (p : P₁) (v : V₁), e' (v +ᵥ p) = el' v +ᵥ e' p
H : e = e' ∧ el = el'
⊢ el = el'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
f : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ F
⊢ CategoryTheory.yonedaEquiv f = f.app (Opposite.op X) (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
α : X ≅ Y
⊢ α.op.inv = α.inv.op
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑(MeasureTheory.condexpL1 hm μ f)) μ
α : Type u_1
G : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
s : Set α
g : G
s_subset : (AddAction.fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
⊢ s ∈ AddAction.fixedBy (Set α) g
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ TensorBimod.actRight (P.tensorBimod Q) L ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ ▷ U.X ≫ TensorBimod.actRight P (Q.tensorBimod L)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
x : ↥(Unitization.unitsFstOne R A)
⊢ (↑↑x).fst = 1
G : Type u
CommMonoid G
H : CommMonCat
f : G →* ↑H
⊢ MonoidHom.comp (𝟙 H) f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
b✝ b : α
hb : b ∈ s
h : (∀ b_1 ∈ s, b_1 ≤ b ∧ (b ∈ s → b_1 = b)) ∧ s ≠ {b}
⊢ False
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
⊢ ∀ (b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R), Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p2 𝒰 f g = Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.snd
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} C
inst✝ : HasTerminal C
A a : C
U : Opens ↑X
⊢ (if h : p₀ ∈ U then eqToHom ⋯ ≫ 𝟙 a ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj (op U))) = (𝟙 (skyscraperPresheaf p₀ a)).app (op U)
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
i : F.obj 0 ≅ 0
X Y : C
⊢ F.map 0 ≫ (i.hom ≫ i.inv) ≫ F.map 0 = 0
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
b : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ n • r
hn' : 1 ≤ ↑n * r
x : α
hx : max b 0 * ↑n ≤ f x
⊢ b ≤ f x * r
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsIntegrallyClosed R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
h : Polynomial.map (algebraMap R K) q ∣ Polynomial.map (algebraMap R K) p
⊢ q ∣ p
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v✝ : K
q✝ : ℚ
v_eq_q✝ : v✝ = ↑q✝
n : ℕ
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
⊢ (of v).Terminates ↔ (of q).Terminates
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ (⨅ s ∈ f, ⨆ a ∈ s, u a) ⊓ aᶜ = ⨅ s ∈ f, ⨆ a_1 ∈ s, u a_1 ⊓ aᶜ
M : Type u
R : Type v
Monoid M
Semiring R
self : MulSemiringAction M R
g : M
⊢ g • 1 = 1
A : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : Algebra ℂ A
inst✝⁴ : StarModule ℂ A
inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℂ A
a : A
f : ℝ → ℝ
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
this : CompactSpace ↑(σ ℂ a)
⊢ cfc f a = cfc (fun x => ↑(f x.re)) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, Tendsto (fun m => κ.densityProcess κ.fst n a x (seq m)) atTop (𝓝 1)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this : FiniteDimensional L F
⊢ ∏ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = (∏ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen) ^ finrank L F
α : Type u_1
PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x y : α
hxy : x ≤ y
hy : c.IsClosed y
⊢ c x ≤ y
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ Ordnode.All P (l.node' x r) ↔ Ordnode.All P l ∧ P x ∧ Ordnode.All P r
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
h : 0 < μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}
⊢ IntegrableOn (fun x => |(μ[f|m]) x|) {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|} μ
R : Type u
CommRing R
IsDedekindDomain R
S : Set (IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R)
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ ↑(S.unit K) = {x | ∀ v ∉ S, v.valuation ↑x = 1}
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
⊢ multiplicity 2 (x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i) = ↑1
α : Type u
⊢ PEquiv.ofSet Set.univ = PEquiv.refl α
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r q : ℚ
hr_le_q : r ≤ q
x : α × ℝ
⊢ x ∈ s ×ˢ Iic ↑r → x ∈ s ×ˢ Iic ↑q
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝² : Algebra R S₁
inst✝¹ : CommSemiring S₂
f : σ → S₁
B : Type u_2
inst✝ : CommSemiring B
g : σ → S₁
φ : S₁ →+* B
p : MvPolynomial σ R
⊢ φ ((aeval g) p) = (φ.comp (eval₂Hom (algebraMap R S₁) g)) p
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
m : Basis ι R ↥M
H : LinearMap.ker (Submodule.mulLeftMap N ⇑m) = ⊥
⊢ M.LinearDisjoint N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
inst✝ : IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)
hx0 : x ≠ 0
hP0 : ¬P = ⊥
hspan0 : span {x} ≠ ⊥
span_le : span {x} ≤ P
⊢ P = span {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
hf : Injective f
⊢ Injective (image f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a
hb : ¬IsMax b
⊢ succ a = succ b ↔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
l : Filter α
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hl : s ∈ l
⊢ StronglyMeasurableAtFilter f l μ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ seqClosure s ⊆ closure s
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
hκη : κ ≤ η
a : α
⊢ κ.rnDerivAux η a ≤ᵐ[η a] 1
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsClosed (Function.pullbackDiagonal f)
g : A → Y
⊢ IsClosed (Function.PullbackSelf.map_fst ⁻¹' Function.pullbackDiagonal f)
α : Type u
Semiring α
Preorder α
ExistsAddOfLE α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ ∃ c, c ≥ 0 ∧ b = a + c
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
⊢ A.valuation ↑a < 1 ∨ A.valuation ↑a = 1
G : Type u_1
P : Type u_2
SMul G P
s : Set G
t : Set P
a : P
x : G × P
⊢ x ∈ s.smulAntidiagonal t a ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t ∧ x.1 • x.2 = a
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.rtake 0 = []
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
x y : R
⊢ EuclideanDomain.xgcdAux x 1 0 y 0 1 = (EuclideanDomain.gcd x y, EuclideanDomain.xgcd x y)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField α
MulActionWithZero α ℝ
OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
f : ι → ℝ
⊢ a • ⨆ i, f i = ⨆ i, a • f i
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < log (b i * ↑x)
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y
⊢ S ∈ 𝓝[<] y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
TopologicalSpace N'
ChartedSpace H'' N'
G : Type u_10
Add G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H' G
SmoothAdd I' G
f g : C^⊤⟮I'', N'; I', G⟯
h : C^⊤⟮I, N; I'', N'⟯
⊢ (f + g).comp h = f.comp h + g.comp h
x y : ℝ
⊢ Complex.normSq (↑x + ↑y * Complex.I) = x ^ 2 + y ^ 2
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
DecidableRel R
a : α
⊢ List.destutter' R a l ≠ []
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} J
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Functor J C)} (τ : X ⟶ Y) (j : J),
  ((CategoryTheory.MorphismProperty.FunctorialFactorizationData.functorCategory.Z data J).map τ).app j =
    data.mapZ { left := τ.left.app j, right := τ.right.app j, w := ⋯ }
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
r s : A
⊢ φ (r + s) = φ r + φ s
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
Hashable α
m : Batteries.HashMap.Imp α β
k : α
h : m.buckets.WF
⊢ (m.erase k).buckets.WF
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → β → σ
⊢ (Primrec₂ fun a n => Option.map (f a) (Encodable.decode n)) ↔ Primrec₂ f
d n n' : Int
d' : Nat
z' : d' ≠ 0
c : n'.natAbs.Coprime d'
z : d ≠ 0
h : n /. d = { num := n', den := d', den_nz := z', reduced := c }
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ n = n' * m ∧ d = ↑d' * m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
n : Type u_6
Fintype n
DecidableEq n
FiniteDimensional 𝕜 E
v₁ : OrthonormalBasis n 𝕜 E
⊢ ∀ (a : E →ₗ[𝕜] E), (LinearMap.toMatrixOrthonormal v₁) a = (↑(LinearMap.toMatrix v₁.toBasis v₁.toBasis)).toFun a
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a c d : α
h : c ≤ a
h2 : a - c < a - c
⊢ False
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
inst✝ : Nonempty ι
a : ℝ≥0
g : ι → ℝ≥0
h : ℝ≥0
H : ∀ (i : ι), a ≤ g i * h
⊢ a ≤ ⨅ i, g i * h
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x✝ : M × ↥S
m : M
s : ↥S
⊢ 1 • (m, s).2 • (m, s).1 = 1 • (m, s).2 • (m, s).1
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
x : M₂ ⊗[R] N₁
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₂) x) = 0
this✝ : (LinearMap.rTensor N₂ f₂) ((LinearMap.lTensor M₂ g₁) x) = 0
y : M₁ ⊗[R] N₂
hy : (LinearMap.rTensor N₂ f₁) y = (LinearMap.lTensor M₂ g₁) x
this : (LinearMap.lTensor M₁ g₂) y = 0
⊢ (LinearMap.rTensor N₁ f₂) x = 0
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ BoxIntegral.Box.Ioo I ⊆ ↑I
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i j k : n
⊢ (scalar n) (M i i) j k = M j k