ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.Square C} (f : X.Hom Y) (g : Y.Hom Z),
  (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).τ₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.τ₁ g.τ₁
α : Type u_1
l₁ l₂ : Lists' α true
H : ∀ a ∈ l₁.toList, a ∈ l₂
⊢ ofList l₁.toList ⊆ l₂
n : ℕ
⊢ (unpair n).2 ≤ n
α : Type u_1
Preorder α
OrderTop α
f : Filter α
⊢ Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
⊢ ¬Function.Injective f ↔ ∃ a b, f a = f b ∧ a ≠ b
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : SchwartzMap E F
k : ℕ
⊢ ⇑f =O[Filter.cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ (-↑k)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPushout (G.map f) (G.map g)
W : C
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
w : f ≫ h = g ≫ k
⊢ G.map f ≫ G.map h = G.map g ≫ G.map k
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hK : K.relindex L ≠ 0
hH : H.relindex (K ⊓ L) ≠ 0
⊢ (H ⊓ K).relindex L ≠ 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsIrrefl α r
s' s : Multiset α
⊢ CutExpand r s' s ↔ ∃ t a, (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
⊢ Embedding ⇑(TopologicalSpace.productOfMemOpens X)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
Z : C
π : Y ⟶ Z
q : IsSplitCoequalizer f g π
F : C ⥤ D
⊢ F.map q.leftSection ≫ F.map g = 𝟙 (F.obj Y)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ (2 * 2) • Q x = ↑4 • Q x
α : Type u_1
a b c d : α
Mul α
Zero α
Preorder α
MulPosMono α
h : a * b ≤ c
hle : d ≤ a
b0 : 0 ≤ b
⊢ d * b ≤ c
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
this : Nonempty ↑S
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
h : p ≠ Fin.last n
⊢ p.succAbove (p.castPred h) = (p.castPred h).succ
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
⊢ (AlgebraicGeometry.affineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
AddCommMonoid N
Module R N
DecidableEq ι
Semiring S
Module S N
SMulCommClass R S N
F : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
i : ι
x : M i
⊢ ((DFinsupp.lsum S) F) (DFinsupp.single i x) = (F i) x
n c d : ℕ
hn : 2 * (c ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)
c0 : c > 0
⊢ (c ^ 2) ^ (c ^ 2 + d + 1) < (c ^ 2)! * (c ^ 2 + 1) ^ (c ^ 2 + d + 1)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot
hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflection_perm = P₂.reflection_perm
this : NoZeroSMulDivisors ℤ M
⊢ P₁.coroot = P₂.coroot
α : Type u_4
MeasurableSpace α
⊢ ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF fun x q => ProbabilityTheory.defaultRatCDF q
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ
hs : IsOpen s
⊢ Set.EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f f'✝ : M →ₗ[R] M'
g g'✝ : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
f' : M' →ₗ[R] M''
g' : M'' →ₗ[R] M'
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B'.IsAdjointPair B'' f' g'
x : M
y : M''
⊢ (B'' ((f' ∘ₗ f) x)) y = (B x) ((g ∘ₗ g') y)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
p : ι → Prop
p' : ι' → Prop
s : ι → Set (α × α)
s' : ι' → Set (β × β)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
h' : (𝓤 β).HasBasis p' s'
f : α → β
⊢ UniformInducing f ↔ (∀ (i : ι'), p' i → ∃ j, p j ∧ ∀ (x y : α), (x, y) ∈ s j → (f x, f y) ∈ s' i) ∧ ∀ (j : ι), p j → ∃ i, p' i ∧ ∀ (x y : α), (f x, f y) ∈ s' i → (x, y) ∈ s j
h : Decidable (Part.Dom 1)
⊢ PartENat.toWithTop 1 = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ (M.whiskerLeft f).hom =
  CategoryTheory.Limits.colimMap
    (CategoryTheory.Limits.parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft)
      (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
P : Sort v
p q : K[X]
f : K[X] → K[X] → P
f0 : ∀ (p : K[X]), f p 0 = f 0 1
H : ∀ {p q a : K[X]}, q ≠ 0 → a ≠ 0 → f (a * p) (a * q) = f p q
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).liftOn' f H = f p q
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hc : c₁ = c₂
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ IsBigOWith c₁ l f₁ g₁ ↔ IsBigOWith c₂ l f₂ g₂
n m : ℕ
⊢ n.succ * m = 0 → n.succ = 0 ∨ m = 0
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ γ : Type
f : α → β → σ → σ × γ
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α) (b : β), ∀ s ∈ S, (f a b s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (b : β) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a b s).2 = (f a b s').2
⊢ (mapAccumr₂ f xs ys s₀).2 = (mapAccumr₂ (fun x y x_1 => ((), (f x y s₀).2)) xs ys ()).2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : Mul α
inst✝³ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h : a₁ < a₂ ∨ b₁ < b₂
⊢ a₁ * b₁ < a₂ * b₂
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }
v : { w // w ≠ w₀ } → { w // w ≠ w₀ } → ℝ := fun w => (logEmbedding K) ⋯.choose
⊢ ⊤ ≤ Submodule.span ℝ ↑(unitLattice K)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Grp
I : Type w'
U : I → C
⊢ CategoryTheory.PresheafOfGroups.OneCocycle.toOneCochain 1 = 1
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
t : Set P
x : P
h : intrinsicClosure 𝕜 ∅ ≠ ∅
⊢ False
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (E.map φ).j = φ E.j
C : Type u_1
inst✝¹⁵ : Category.{u_6, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} A
inst✝¹³ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹² : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝¹¹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_5, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁹ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁸ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full
inst✝⁵ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J B).Full
inst✝³ : J.PreservesSheafification U
inst✝² : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
inst✝¹ : (sheafCompose J U).ReflectsIsomorphisms
inst✝ : IsDiscrete J ht ((sheafCompose J U).obj F)
f : (sheafCompose J U).obj (((sheafSections J A).obj (op t) ⋙ constantSheaf J A).obj F) ⟶ (sheafCompose J U).obj ((𝟭 (Sheaf J A)).obj F) := (sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)
⊢ IsDiscrete J ht F
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
a : Γ
r : R
⊢ ((HahnSeries.single a) r).support ⊆ {a}
α : Type u
LinearOrder α
DenselyOrdered α
Monoid α
ExistsMulOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ ∀ (ε : α), 1 < ε → a < b * ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
hc : ContinuousWithinAt f s b
⊢ ContinuousWithinAt (dslope f a) s b
R : Type x
Mul R
HasDistribNeg R
a x y : R
h : SemiconjBy a x y
⊢ SemiconjBy (-a) x y
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
s : σ
f : σ →₀ ℕ
⊢ f s ≤ (weight 1) f
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
hn : rootSpace H (-n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
⊢ n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
LinearOrder ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
(i : ι) → PartialOrder (β i)
x : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
⊢ toLex x < toLex (Function.update x i a) ↔ x i < a
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
y : L
hy : y ∈ ⊤
⊢ ∃ t, ∃ z ∈ I, y = t • x + z
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
M : Matrix n n R
⊢ M.det = ∑ σ : Equiv.Perm n, ↑↑(Equiv.Perm.sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) i
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
e f : α
hB : M.Base B
he : e ∈ B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f B \ {e})
⊢ M.Base (insert f B \ {e})
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
b : β
⊢ b ∈ Finset.image f s ↔ ∃ a ∈ s, f a = b
α : Type u_6
β : Type u_7
CompleteLattice β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h : ∃ᶠ (a : α) in f, u a ≤ x
⊢ Filter.liminf u f ≤ x
n : ℤ
⊢ mkRat n 1 = ↑n
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
h : ↑e '' (e.source ∩ s) = e.target ∩ t
⊢ e.IsImage s t
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝² : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝¹ : α → X
g✝ : X → Y
f✝ : α → X
s : Set X
g : Y → Z
f : α → Y
hg : DenseRange g
hf : DenseRange f
cg : Continuous g
⊢ Dense (g '' range f)
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
T S : E →ₗ.[R] F
h : T ≤ S
x : ↥T.domain
⊢ ↑T x = ↑S ((Submodule.inclusion ⋯) x)
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
Finite G
⊢ H.IsComplement' K ↔ Nat.card ↥H * Nat.card ↥K = Nat.card G ∧ Disjoint H K
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p q : R[X]
CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ p ∣ q → Polynomial.eval₂ f x p ∣ Polynomial.eval₂ f x q
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ 0 ≤ -a ↔ a ≤ 0
G : Type u_3
Group G
H : Subgroup G
H.Normal
g : G
h : ↥H
⊢ ↑((MulAut.conjNormal g) h) = g * ↑h * g⁻¹
n : ℕ
x : ℝ
⊢ (aeval x) (hermite n) = (-1) ^ n * deriv^[n] (fun y => Real.exp (-(y ^ 2 / 2))) x / Real.exp (-(x ^ 2 / 2))
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
v : V
b : AffineBasis ι k P
⊢ ⇑(v +ᵥ b) = v +ᵥ ⇑b
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Memℒp (↑f) p μ
hg : MeasureTheory.Memℒp (↑g) p μ
⊢ MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp (f - g) ⋯ =
  MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp f hf - MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp g hg
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ Nat.rawCast 0 = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
⊢ s.ndinter t = 0 ↔ s.Disjoint t
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
inst✝¹ : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))
⊢ Algebra ?R ((forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))))
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f₁ : R →+* S
g₁ g₂ : σ → S
p₁ : MvPolynomial σ R
h : ∀ i ∈ p₁.vars, i ∈ p₁.vars → g₁ i = g₂ i
⊢ (∑ x ∈ p₁.support, f₁ (coeff x p₁) * x.prod fun i k => g₁ i ^ k) = ∑ x ∈ p₁.support, f₁ (coeff x p₁) * x.prod fun i k => g₂ i ^ k
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x y : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x y) = (ghostComponent n) (g x y)
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
⊢ (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ k)) = (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ k))
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
⊢ f u + g u ∈ Set.Icc (min c₁ c₃ * (f x + g x)) (max c₂ c₄ * (f x + g x))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
n : ℕ∞
ι : Type u_3
Fintype ι
F' : ι → Type u_5
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
⊢ ContDiffAt 𝕜 n Φ x ↔ ∀ (i : ι), ContDiffAt 𝕜 n (fun x => Φ x i) x
α : Type u_1
p : Prop
f : p → Part α
h : p
⊢ (f h).Dom → (Part.assert p f).Dom
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
⊢ (1 - 4 * z ^ 2 / ↑n ^ 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n = (↑n - 1) / ↑n * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
inst✝³ : HasImage (g ≫ h)
inst✝² : HasImage (f ≫ g ≫ h)
inst✝¹ : HasImage h
inst✝ : HasImage ((f ≫ g) ≫ h)
⊢ (preComp f (g ≫ h) ≫ preComp g h) ≫ ι h = (eqToHom ⋯ ≫ preComp (f ≫ g) h) ≫ ι h
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
N₁ N₂ : ℕ
hN₁ : N ≤ N₁
hN₁' : f N₁ ω < a
hN₂ : N₁ ≤ N₂
hN₂' : b < f N₂ ω
⊢ ∃ j ∈ Set.Icc (upperCrossingTime a b f (N₂ + 1) (upcrossingsBefore a b f N ω) ω) N₂, f j ω ∈ Set.Iic a
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x (closure s) < ⊤
ε0 : 0 < ↑ε / 2
this : infEdist x (closure s) < infEdist x (closure s) + ↑ε / 2
⊢ infEdist x s ≤ infEdist x (closure s) + ↑ε
α : Type u_3
OrderedSemiring α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x ^ n) Filter.atTop Filter.atTop
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont : ContinuousWithinAt g (Ici a) a
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
g'neg : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≤ 0
hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)
⊢ Integrable (-g') (volume.restrict (Ioi a))
F : Type u → Type u
q : QPF F
x : (QPF.P F).W
⊢ QPF.Wequiv (QPF.Wrepr x) x
α : Type u_3
s : Set α
Nonempty α
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
⊢ s.Finite ↔ BddBelow s ∧ BddAbove s
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ J
h₃ : x < y i
⊢ ↑J = ↑I ∩ {y | x < y i}
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Γ' : Type u_3
PartialOrder Γ'
x : HahnSeries Γ (HahnSeries Γ' R)
⊢ HahnSeries.iterateEquiv x = x.ofIterate
n : Nat
x y : BitVec n
⊢ x.toInt ≠ y.toInt ↔ x ≠ y
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
v w : F
⊢ ((innerₗ F) v) w = ⟪v, w⟫_ℝ
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
VAdd M X
ContinuousVAdd M X
f : Y → M
g : Y → X
b : Y
s : Set Y
hf : ContinuousWithinAt f s b
hg : ContinuousWithinAt g s b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x +ᵥ g x) s b
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
DecidableEq α
DecidableEq M
⊢ (f.update a b).support ⊆ insert a f.support
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
p : (x : G) → x ∈ closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_left : ∀ (x : G) (hx : x ∈ s) (y : G) (hy : y ∈ closure s), p y hy → p (x * y) ⋯
mul_left_inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ s) (y : G) (hy : y ∈ closure s), p y hy → p (x⁻¹ * y) ⋯
x : G
⊢ ∀ (h : x ∈ closure s), p x h
α : Type u_1
inst✝³ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
f : α → β
inst✝¹ : CompleteSpace β
inst✝ : T0Space β
hf : UniformContinuous f
g : pkg.space → β
hg : UniformContinuous g
h : ∀ (a : α), f a = g (pkg.coe a)
⊢ pkg.extend f = g
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
x : R
⊢ (LocalRing.residue R) x = 0 ↔ x ∈ LocalRing.maximalIdeal R
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∀ (L : IntermediateField F E), FiniteDimensional F ↥L → IsPurelyInseparable F ↥L
x : E
hx : IsIntegral F x
x✝ : IsSeparable F x
⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
K : Type u
Field K
L : Type u_3
Field L
Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x
⊢ Algebra.IsAlgebraic K ↥K⟮x⟯
M : Type u_1
N : Type u_2
mM : MulOneClass M
mN : MulOneClass N
f : M →* N
⊢ IsMonoidHom ⇑f
E : Type u_1
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
mE : MeasurableSpace E
tE : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
g : E → ℝ
h1 : g 0 = 0
h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x
h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y
h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0
h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x
inst✝ : Nontrivial E
r : ℝ
F : Type u_1 := E
this : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯
⊢ μ {x | g x ≤ r} = μ {x | g x < r}
R : Type u
Ring R
StrongRankCondition R
m : Type v
n : Type w
Finite m
Finite n
⊢ Module.rank R (Matrix m n R) = Cardinal.lift.{max v w u, v} #m * Cardinal.lift.{max v w u, w} #n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hs' : s.Nonempty
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑∅
⊢ s.card < ∅.card
α : Type u
g : Set (Set α)
t : TopologicalSpace α
⊢ t ≤ TopologicalSpace.generateFrom g ↔ g ⊆ {s | IsOpen s}
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
h : IsLowerSet ↑𝒜
⊢ IsLowerSet ↑(Finset.memberSubfamily a 𝒜)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
U : Set 𝕜
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hg : AnalyticOn 𝕜 g U
hU : IsPreconnected U
h₀ : z₀ ∈ U
hfg : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = g z
hfg' : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, (f - g) z = 0
⊢ EqOn f g U
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
𝔗 : Set (Set γ)
f : γ → α
hf : MapsTo (fun x => f '' x) 𝔗 𝔖
t : Set γ
ht : t ∈ 𝔗
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
⊢ Tendsto (fun x => ((ofFun 𝔗) ((toFun 𝔖) x.1 ∘ f), (ofFun 𝔗) ((toFun 𝔖) x.2 ∘ f))) (𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔖 (f '' t) V)) (𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔗 t V))
α : Type u
β : α → Type v
s : Sigma β
l : List (Sigma β)
h : (s :: l).NodupKeys
⊢ l.NodupKeys
R : Type u_1
CommRing R
M₁ : Type u_4
AddCommGroup M₁
Module R M₁
Q₁ : QuadraticForm R M₁
⊢ CliffordAlgebra.equivOfIsometry (QuadraticMap.IsometryEquiv.refl Q₁) = AlgEquiv.refl
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_2
CompleteLinearOrder β
DenselyOrdered β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
SecondCountableTopology β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
s : Set β
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
f : α → β
h :
  ∀ p ∈ s,
    ∀ q ∈ s, p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
⊢ AEMeasurable f μ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrn : r.num ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0
hqreq : q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
hqrd : q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num ≠ 0
⊢ multiplicity ↑p ↑q.den + multiplicity (↑p) (q.num * ↑r.den) ≤ multiplicity (↑p) (q.num * ↑r.den * ↑q.den + ↑q.den * r.num * ↑q.den)
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ IsIso (homologyMap φ.τ₂ i)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
hn : n ∈ Finset.range (p.natDegree + p.natTrailingDegree).succ
⊢ p.coeff (n, p.natDegree + p.natTrailingDegree - n).1 * p.mirror.coeff (n, p.natDegree + p.natTrailingDegree - n).2 = p.coeff n ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
r : ℝ≥0
hr : ⊥ < r
⊢ nndist f g < r ↔ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) < r