ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
a : α
m : M
n : N
a' : α
⊢ (zipWith f hf (single a m) (single a n)) a' = (single a (f m n)) a'
α : Type u_1
DecidableEq α
l l' : List α
⊢ {x | (List.zipWith Equiv.swap l l').prod x ≠ x} ≤ ↑(l.toFinset ⊔ l'.toFinset)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
AddCommMonoid A
StarAddMonoid A
Module R A
StarModule R A
⊢ ∀ (a : A), (starLinearEquiv R).symm a = starAddEquiv.invFun a
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
⊢ StrictMonoOn (derivWithin f S) S
α : Type u_1
LE α
p : Interval α → Prop
⊢ (∀ (s : Interval α), p s) ↔ p ⊥ ∧ ∀ (s : NonemptyInterval α), p ↑s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
⊢ MDifferentiableOn I I (↑e.symm) e.target
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
n : ℕ∞
V : Type u_18
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
f : M → 𝕜
g : M → V
hf : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, 𝕜) n f s
hg : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, V) n g s
⊢ ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, V) n (fun p => f p • g p) s
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g h : E →ₗ.[R] F
H : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
fh : f ≤ h
gh : g ≤ h
⊢ f.sup g H ≤ h
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ (fun x => a + x) '' [[b, c]] = [[a + b, a + c]]
𝕜 : Type u_11
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_12
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_13
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_14
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x y : M
h : y ∈ (chartAt H x).source
⊢ HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) y (mfderiv I I (↑(chartAt H x)) y)
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
a : RBNode α
x : α
parent : Path α
b : RBNode α
hb : RBNode.Ordered cmp b
hp : Ordered cmp parent
ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a
xp : RootOrdered cmp parent x
ap : All (RootOrdered cmp parent) a
ha : RBNode.Ordered cmp a
H : All (RootOrdered cmp (right red a x parent)) b
xb : All (cmpLT cmp x) b
bp : All (RootOrdered cmp parent) b
⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.ins (node red a x b))
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G → H
hf : IsAddGroupHom f
⊢ Function.Injective f ↔ IsAddGroupHom.ker f = IsAddSubgroup.trivial G
α : Type u
Add α
a b c : WithTop α
IsRightCancelAdd α
ha : a ≠ ⊤
⊢ b + a = c + a ↔ b = c
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
K : Type w'
inst✝² : SmallCategory K
inst✝¹ : FinCategory K
inst✝ : HasLimitsOfShape K D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
⊢ J.toSheafify P ≫ (plusPlusIsoSheafify J D P).hom = toSheafify J P
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
Add L
FunLike F L (Module.End R M)
AddHomClass F L (Module.End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)
x y : L
⊢ μ (x + y) = μ x + μ y
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R n) f).coeff i ≠ 0
⊢ (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).totalDegree + i ≤ f.totalDegree
R : Type u
inst✝²⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝²⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝²³ : Field K
inst✝²² : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝²¹ : Field L
inst✝²⁰ : Algebra S L
inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : Module R V
inst✝¹⁶ : Module K V
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'
inst✝¹³ : Module R V'
inst✝¹² : Module S V'
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''
inst✝⁹ : Module R V''
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : IsNoetherian R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤
hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
M : Submodule R S := Submodule.span R b
h : Module.Finite R (S ⧸ M) := Module.Finite.of_surjective M.mkQ (Submodule.Quotient.mk_surjective M)
n : ℕ
a : Fin n → S ⧸ M
ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤
smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤
exists_sum : ∀ (x : S ⧸ M), ∃ a', (∀ (i : Fin n), a' i ∈ p) ∧ ∑ i : Fin n, a' i • a i = x
A' : Fin n → Fin n → R
hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p
hA' : ∀ (i : Fin n), ∑ i_1 : Fin n, A' i i_1 • a i_1 = a i
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := Matrix.of A' - 1
B : Matrix (Fin n) (Fin n) R := A.adjugate
A_smul : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin n, A i j • a j = 0
d_smul : ∀ (i : Fin n), A.det • a i = 0
span_d : Submodule.restrictScalars R (Submodule.span S {(algebraMap R S) A.det}) ≤ M
⊢ ⊤ = Submodule.restrictScalars K (span {(algebraMap R L) A.det})
R : Type u_1
Semiring R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
T : Type u_3
Semiring T
f : R →+* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
r : R
s : ↥S
⊢ (OreLocalization.universalHom f fS hf) (r /ₒ s) = ↑(fS s)⁻¹ * f r
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
⊢ ⇑(LinearMap.rTensorHom M) = LinearMap.rTensor M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : c ∣ b
⊢ a % b % c = a % c
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
x : R
⊢ (↑x).imJ = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
⊢ s.inf' H f = s.inf f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
t : CategoryTheory.Limits.BinaryFan P Q
⊢ t.swap.fst = t.snd
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
α : G ≅ F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.precomposeEquivalence α).inverse = CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose α.inv
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin l)
⊢ realize (Sum.elim v xs) (![t₁, t₂] 0) = ![realize (Sum.elim v xs) t₁, realize (Sum.elim v xs) t₂] 0
α : Type u
Group α
a : α
n : ℤ
⊢ Equiv.mulLeft a ^ n = Equiv.mulLeft (a ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ μ.rnDeriv (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)) =ᶠ[ae μ] μ.rnDeriv (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ) + ν.singularPart μ)
α : Type u_1
Preorder α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
s : (i : ι) → p i → Set α
hs : ∀ (i : ι) (hi : p i), (s i hi).OrdConnected
⊢ (⋂ i, ⋂ (hi : p i), s i hi).OrdConnected
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ closure (zeroLocus ↑I) ∈ irreducibleComponents (PrimeSpectrum R) ↔ vanishingIdeal (zeroLocus ↑I) ∈ minimalPrimes R
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i < ∑ i ∈ s, f i * g (σ i) ↔ ¬AntivaryOn f (g ∘ ⇑σ) ↑s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
CompactSpace α
f : C(α, ℝ)
x : α
⊢ -‖f‖ ≤ f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
u : Set ↑t
⊢ t.restrictPreimage f ⁻¹' u = (fun a => f ↑a) ⁻¹' (Subtype.val '' u)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 3 ≠ 0
⊢ W.Ψ₃.natDegree = 4
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re = 0
⊢ (0 ≤ z.re ∨ 0 ≤ z.im) ∧ ¬(z.re = 0 ∧ z.im < 0) ↔ 0 < z.re ∨ 0 ≤ z.im
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ
⊢ fourierCoeff (liftIoc T a f) n = fourierCoeffOn ⋯ f n
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J✝ : Matrix n n R
u : Rˣ
J A : Matrix n n R
⊢ A ∈ skewAdjointMatricesSubmodule (u • J) ↔ A ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hg : x ^ p = 1
hg1 : x ≠ 1
⊢ ¬IsFixedPt (fun x_1 => x * x_1) 1
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
⊢ gcd 0 0 = 0
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ
⊢ ((fun x => 1) =O[l] fun x => Real.exp (f x)) ↔ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l f
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
⊢ μ[f|m] =ᶠ[ae (μ.restrict s)] μ[f|m₂]
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hfi : MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral (-f) μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
u : E
⊢ ↑((orthogonalProjection Kᗮ) u) = u - ↑((orthogonalProjection K) u)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
ι : Type u_4
f : ι → R
s : Finset ι
b : ↥M
⊢ Localization.mk (∑ i ∈ s, f i) b = ∑ i ∈ s, Localization.mk (f i) b
P : Type u_1
Preorder P
OrderTop P
F : Order.PFilter P
⊢ ⊤ ∈ F
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
i j : Ordinal.{u}
hi : i < o
hj : j < o
hij : i ≤ j
⊢ f i hi ≤ f j hj
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ IsNormalAddSubgroup (IsAddSubgroup.trivial G)
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
DecidableEq α
DecidableEq β
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → Finset α
g : κ → Finset β
⊢ Rel.interedges r (s.biUnion f) (t.biUnion g) = (s ×ˢ t).biUnion fun ab => Rel.interedges r (f ab.1) (g ab.2)
a : UnitAddCircle
⊢ ContinuousOn (HurwitzZeta.sinKernel a) (Set.Ioi 0)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
F G : CategoryTheory.Functor C D
X : C
α β : F ⟶ G
⊢ (α - β).app X = α.app X - β.app X
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
inst✝ : Invertible D
this : fromBlocks A B C D = (fromBlocks D C B A).submatrix ⇑(Equiv.sumComm m n) ⇑(Equiv.sumComm m n)
⊢ (fromBlocks A B C D).det = D.det * (A - B * ⅟D * C).det
α : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
hn : ∀ (a b c : R), a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → {a, b, c}.gcd id = 1 → a ^ n + b ^ n ≠ c ^ n
a b c : R
s : Finset R := {a, b, c}
d : R := s.gcd id
A : R
hA : a = d * A
B : R
hB : b = d * B
C : R
hC : c = d * C
ha : d ≠ 0 ∧ A ≠ 0
hb : d ≠ 0 ∧ B ≠ 0
hc : d ≠ 0 ∧ C ≠ 0
habc : A ^ n + B ^ n = C ^ n
u : Rˣ
hu : normalize d * ↑u = d
⊢ IsUnit ({A, B, C}.gcd id)
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
s t : σ
hlen : Fintype.card σ ≤ x.length
hx : M.evalFrom s x = t
n m : Fin (Fintype.card σ + 1)
hneq : n ≠ m
heq : M.evalFrom s (List.take (↑n) x) = M.evalFrom s (List.take (↑m) x)
hle : ↑n ≤ ↑m
hm : ↑m ≤ Fintype.card σ
⊢ M.evalFrom (M.evalFrom s (List.take (↑n) (List.take (↑m) x))) (List.drop (↑n) (List.take (↑m) x)) = M.evalFrom s (List.take (↑n) (List.take (↑m) x)) ∧ M.evalFrom (M.evalFrom s (List.take (↑n) (List.take (↑m) x))) (List.drop (↑m) x) = t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : CategoryTheory.GlueData C
i j : D.J
⊢ D.t' j i i =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (D.f j i) (D.f j i))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (D.t j i)
      (CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.pullback.snd (D.f i i) (D.f i j))))
a b : ℚ
⊢ a ≤ b ↔ 0 ≤ b - a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
f : α →ᵤ[{s}] E
this : ∀ s_1 ∈ {s}, TendstoUniformlyOn (⇑(UniformOnFun.toFun {s}) ∘ id) ((UniformOnFun.toFun {s}) f) (𝓝 f) s_1
⊢ ∀ x ∈ s, TendstoUniformlyOn id f (𝓝 f) {x}
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
⊢ (IsLocalization.toLocalizationMap M S).toMap x = (algebraMap R S) x
m n✝ i n : ℕ
hi : 2 ≤ i
⊢ i + (n + 1)! < (i + n + 1)!
α : Type u
f : Filter α
f.NeBot
⊢ ∅ ∉ f
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
l : List α
⊢ l.maximum = ⊥ ↔ l = []
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : r ≤ 0
⊢ log b r = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l l' : ℝ≥0
hl' : l' ≠ 0
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ s
hfφ : HasConstantSpeedOnWith (f ∘ φ) s l
hf : LocallyBoundedVariationOn f (φ '' s) ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ φ '' s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ φ '' s → variationOnFromTo f (φ '' s) x y = ↑l' * (y - x)
x : ℝ
xs : x ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s
⊢ (φ y - φ x) * ↑l' = (y - x) * ↑l
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
r : R
b : CliffordAlgebra Q
⊢ (CliffordAlgebra.contractRight ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r * b)) d =
  (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r * (CliffordAlgebra.contractRight b) d
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
leftSide : ∫⁻ (x : ℝ) in Iio 0, gammaPDF a r x = 0
rightSide : ∫⁻ (x : ℝ) in Ici 0, gammaPDF a r x = ∫⁻ (x : ℝ) in Ici 0, ENNReal.ofReal (r ^ a / Gamma a * x ^ (a - 1) * rexp (-(r * x)))
⊢ ∫⁻ (x : ℝ), gammaPDF a r x = 1
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
⊢ Filter.Tendsto μs F (𝓝 μ)
w : Nat
msb : Bool
lsbs : BitVec w
⊢ BitVec.ofBool msb ++ lsbs = BitVec.cast ⋯ (BitVec.cons msb lsbs)
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SpecialLinearGroup n R
⊢ A ∈ center (SpecialLinearGroup n R) ↔ ∃ r, r ^ Fintype.card n = 1 ∧ (scalar n) r = ↑A
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ Measurable μ.densityToFinite
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
i : ℕ
⊢ ¬2 ^ (1 + 1) ∣ x ^ 2 ^ (i + 1) + y ^ 2 ^ (i + 1)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝¹ : Archimedean 𝕜
x✝ : AddCircle p
hx✝ : x✝ ≠ ↑a
inst✝ : DiscreteTopology ↥(zmultiples p)
x : AddCircle p
hx : x ∈ {↑a}ᶜ
⊢ (fun x => ↑((equivIco p a) x)) x ∈ Ioo a (a + p)
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x : M
⊢ torsionOf R M x = Ideal.span {p ^ Nat.find ⋯}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
X Y : C
e : X ≅ Y
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
Z : D
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map e.hom).app Z) ((F.map e.inv).app Z) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.obj X).obj Z)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
⊢ f.update a (f a) = f
ι : Type u_2
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
W : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} W
CategoryTheory.Preadditive W
F : V ⥤ W
F.Additive
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex V c
f : K ⟶ L
⊢ (F.mapHomotopyCategory c).map ((HomotopyCategory.quotient V c).map f) =
  (HomotopyCategory.quotient W c).map ((F.mapHomologicalComplex c).map f)
X : Type u_5
TopologicalSpace X
self : DiscreteQuotient X
x : X
⊢ IsOpen (setOf (self.Rel x))
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb✝ : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
hb : { re := ↑z, im := -↑w }.Nonneg
⊢ { re := -(↑x * ↑z + ↑d * ↑y * ↑w), im := ↑x * ↑w + ↑y * ↑z }.Nonneg
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
x y : α × β
h : x ⩿ y
⊢ x.1 ⩿ y.1
α : Type u_1
G : Type u_9
AddGroup G
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α →₀ G
⊢ Finsupp.filter p (-f) = -Finsupp.filter p f
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
⊢ 0 ≤ (∫ (x : E), u x ∂μ) * |D| ^ finrank ℝ E
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V₁ → K₁
h : B.IsOrtho x (μ x • x)
⊢ μ x • x ∈ ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ CategoryTheory.Square.flipFunctor.obj sq = sq.flip
α : Type u_1
β : Type u_2
p✝ : α → Prop
f : (a : α) → p✝ a → β
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
H₁ : ∀ (a : α), a ∈ l₁ → p✝ a
H₂ : ∀ (a : α), a ∈ l₂ → p✝ a
⊢ List.pmap f l₁ H₁ ~ List.pmap f l₂ H₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.ReflectsEffectiveEpiFamilies
α : Type u
B : C
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
⊢ (CategoryTheory.EffectiveEpiFamily (fun a => F.obj (X a)) fun a => F.map (π a)) → CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n₂ n₃ n₂₃ : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G 0
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n₂
z₃ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n₃
h₂₃ : n₂ + n₃ = n₂₃
⊢ (z₁.comp z₂ ⋯).comp z₃ h₂₃ = z₁.comp (z₂.comp z₃ h₂₃) ⋯
α : Type u
DecidableEq α
β : Type v
Fintype α
DecidableEq β
Fintype β
a : α
σ : Equiv.Perm β
⊢ Equiv.Perm.sign (Equiv.Perm.prodExtendRight a σ) = Equiv.Perm.sign σ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ < ⨆ i ∈ fun φ => ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x, (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ + ε
⊢ ∃ φ, (∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x) ∧ ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace γ} {f : α ⊕ β → γ}, Measurable (f ∘ Sum.inl) → Measurable (f ∘ Sum.inr) → Measurable f
P : Type u_1
Preorder P
x y : P
⊢ x ∈ Order.PFilter.principal y ↔ y ≤ x
J : Type u
inst✝³ : Category.{w, u} J
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type v
inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
J' : Type (max w v u) := AsSmall J
down : J' ⥤ J := AsSmall.down
F' : J' ⥤ Type (max u v w) := down ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{max u w, v}
this✝¹ : ∀ (i : J'), Nonempty (F'.obj i)
this✝ : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)
h✝ : Nonempty J
this : IsCofiltered J
u : (j : J') → F'.obj j
hu : u ∈ F'.sections
⊢ F.sections.Nonempty
x y z : Bool
⊢ xor x (xor y z) = xor y (xor x z)
X✝ X : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toRingedSpace.toPresheafedSpace
hx : x ∈ U
⊢ ¬0 = 1
α : Type u_5
β γ : Type u_6
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
x : Option α
g : β → Option γ
H : ∀ (a : α), a ∈ x → p a
⊢ Option.pmap f x H >>= g = x.pbind fun a h => g (f a ⋯)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
x y : M
hu : IsAddUnit (x + y)
⊢ IsAddUnit y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Zero β
inst✝² : SMulWithZero α β
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a : α
⊢ 0 ∈ ↑s ∧ (↑t).Nonempty ∨ 0 ∈ ↑t ∧ (↑s).Nonempty ↔ 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ] univ
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
⊢ FractionalIdeal.spanSingleton S ((algebraMap R P) ↑I.den) * I = ↑I.num
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Precoherent C
⊢ CategoryTheory.Precoherent D
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
⊢ a * b⁻¹ = 1 ↔ a = b
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
g : Filter β
a : β
⊢ pure a -ᵥ g = Filter.map (fun x => a -ᵥ x) g
p : ZFSet → Prop
x y : ZFSet
h : ZFSet.Hereditarily p x
hy : y ∈ x
⊢ ZFSet.Hereditarily p y
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
h's : IsSeparable s
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : ι → Subalgebra R Aᵐᵒᵖ
⊢ (iInf S).unop = ⨅ i, (S i).unop
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
⊢ HasSum (fun a => MulOpposite.op (f a)) (MulOpposite.op a) ↔ HasSum f a