ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
s : κ → HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ (⨅ i, s i).toIdeal = ⨅ i, (s i).toIdeal
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
⊢ (W.map f).Ψ₃ = Polynomial.map f W.Ψ₃
cf cg : Code
this : encode (cf.pair cg) < encode (cf.comp cg)
⊢ encode cf < encode (cf.comp cg) ∧ encode cg < encode (cf.comp cg)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : CategoryTheory.Limits.ImageFactorisation f
⊢ CategoryTheory.Limits.HasImage f
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : W.IsCompatibleWithShift M
X✝ Y✝ : C
L : C ⥤ D
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L.CommShift M
X Y : C
⊢ (∀ (a b : M), HasSmallLocalizedHom W ((shiftFunctor C a).obj X) ((shiftFunctor C b).obj Y)) ↔ ∀ (a b : M), Small.{w, v₂} ((shiftFunctor D a).obj (L.obj X) ⟶ (shiftFunctor D b).obj (L.obj Y))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
μ' : MeasureTheory.Measure α
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
hμ : μ ≪ μ'
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
f' : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ')
h : ↑↑↑f =ᵐ[μ] ↑↑↑f'
⊢ (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT) f = (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ' hT') f'
G : Type u_1
AddCommGroup G
AddGroup.FG G
n : ℕ
hG : ∀ (g : G), n • g = 0
⊢ Nat.card G ∣ n ^ AddGroup.rank G
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.45870, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{?u.45877, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : HasShift E M
X Y Z T : C
inst✝ : Preadditive C
a b c : M
α : ShiftedHom X Y a
β : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
⊢ (-α).comp β h = -α.comp β h
a b m n✝ p✝ p k n : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
⊢ p ^ k ∣ n ↔ k ≤ n.factorization p
S : Type u_1
R : Type u
M : Type v
CommSemiring S
Semiring R
AddCommMonoid M
Algebra S R
Module S M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
IsScalarTower S R M
IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
r : R
⊢ (TrivSqZeroExt.inlAlgHom S R M) r = TrivSqZeroExt.inl r
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
r : R
⊢ (algebraMap R S) r = 0 ↔ ∃ m, ↑m * r = 0
R : Type u
Ring R
StrongRankCondition R
m : Type u_2
n : Type u_3
Fintype m
Fintype n
⊢ FiniteDimensional.finrank R (Matrix m n R) = Fintype.card m * Fintype.card n
R : CommRingCat
f : ↑R
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec R).basicOpen ((AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso R).inv f) = PrimeSpectrum.basicOpen f
α : Type u
s : Set α
⊢ s.Countable ↔ Nonempty (Encodable ↑s)
G : Type u_1
LinearOrderedRing G
a : G
ha₀ : a ≤ 0
ha : IsOfFinOrder a
⊢ a = -1
S : Type u_1
inst✝ : UnitalShelf S
x y : S
⊢ x ◃ x ◃ y = x ◃ y
A : Type u_1
ι : Type u_2
Ring A
Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun x => True) fun i => ↑(B i)
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R
⊢ ∑ t ∈ filter (fun t => t.1.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k), f t = ∑ a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k), ∑ A ∈ powersetCard a.1 univ, ∑ j : σ, f (A, j)
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : ι → α
f' : α → γ
g : ι → β
s : Set ι
h : MonovaryOn f g s
hf : Monotone f'
⊢ MonovaryOn (f' ∘ f) g s
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
h : Sorted r l
k iy : ℕ
hiy : iy < (drop k l).length
hy : (drop k l)[iy] ∈ drop k l
ix : ℕ
hix : ix < (take k l).length
hx : (take k l)[ix] ∈ take k l
⊢ r (take k l)[ix] (drop k l)[iy]
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
AddCommGroup V₁
Module K V₁
W : Subspace K V₁
⊢ (Submodule.dualPairing W).Nondegenerate
m : Type u_1 → Type u_2
β : Type u_1
α : Type u_3
Monad m
LawfulMonad m
f : β → m (ForInStep β)
g : α → β → m (ForInStep β)
s : ForInStep β
l : List α
⊢ (do
    let x ← s.bind f
    ForInStep.bindList g l x) =
  s.bind fun b => do
    let x ← f b
    ForInStep.bindList g l x
α : Type ua
β : Type ub
f : α → β
u₁ : Set (UniformSpace α)
u₂ : UniformSpace β
u : UniformSpace α
h₁ : u ∈ u₁
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformContinuous f
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
x : α × β
⊢ LatticeHom.fst x = x.1
ι : Type u_1
α : Type u_3
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
f : ι → α
b : α
hf : IsLUB (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, f i) b
⊢ HasSum f b
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U : { U // U ≤ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensRange f }
⊢ (AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion.opensEquiv f).symm U = (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj ↑U
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ (((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).kahler x) y = (o.kahler (φ.symm x)) (φ.symm y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
hs : IsOpen s
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (t : Set β), IsOpen t → IsOpen (s ∩ f ⁻¹' t)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Module α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0
s : Set ℝ
⊢ sSup (a • s) = a • sInf s
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ (Finset.Ico a b).card = (Finset.Icc a b).card - 1
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
N'' : Type u_13
CommSemiring R'
AddCommMonoid M''
AddCommMonoid N''
Module R' M''
Module R' N''
n : ℕ
f : M'' [⋀^Fin n.succ]→ₗ[R'] N''
⊢ AlternatingMap.curryLeftLinearMap f = f.curryLeft
X : Type u
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → Set X
⊢ interior (⋂ i ∈ s, f i) = ⋂ i ∈ s, interior (f i)
n : Nat
h : n = n
x : BitVec n
⊢ BitVec.cast h x = x
q : ℝ
hq' : 1 < q
n : ℕ
⊢ Polynomial.eval q (Polynomial.cyclotomic n ℝ) ≤ (q + 1) ^ n.totient
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
I J : Ideal R
⊢ IsLocalization.coeSubmodule S (I ⊔ J) = IsLocalization.coeSubmodule S I ⊔ IsLocalization.coeSubmodule S J
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
v : ι → M
DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ f (Function.update v i (v j)) = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup R
a b : R
⊢ IsRegular (a * b) ↔ IsRegular (a * b) ∧ IsRegular (b * a)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a
ts : t ⊆ s
t_diff : DifferentiableOn ℝ f t
t_conv : Convex ℝ t
t_open : IsOpen t
t_closure : closure t = Icc b a
⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
x y : α
⊢ x +ᵥ ↑s = y +ᵥ ↑s ↔ -x + y ∈ s
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ zeroLocus ↑(vanishingIdeal t) = closure t
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List (List α)
⊢ L.join.length = Nat.sum (map length L)
q : Turing.PartrecToTM2.Λ'
s : Option Turing.PartrecToTM2.Γ'
n : ℕ
c d : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ Turing.Reaches₁ (Turing.TM2.step Turing.PartrecToTM2.tr)
  { l := some q.succ, var := s, stk := Turing.PartrecToTM2.K'.elim (Turing.PartrecToTM2.trList [n]) [] c d }
  { l := some q, var := none, stk := Turing.PartrecToTM2.K'.elim (Turing.PartrecToTM2.trList [n.succ]) [] c d }
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Field α
p : ℕ
h✝ : CharP α p
⊢ IsPrimePow ‖α‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ : α
s : Multiset α
h : ∀ (a : α) (t : Multiset α), s ≠ a ::ₘ a ::ₘ t
a : α
le : a ::ₘ a ::ₘ 0 ≤ s
t : Multiset α
s_eq : s = a ::ₘ a ::ₘ 0 + t
⊢ s = a ::ₘ a ::ₘ t
m : Type u_5
n : Type u_6
α : Type u_7
Fintype n
DecidableEq n
Semiring α
f : n ≃ n
M : Matrix m n α
⊢ M * f.toPEquiv.toMatrix = M.submatrix id ⇑f.symm
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
inst✝ : Nontrivial R
h : IsCoprime (0 0) (0 1)
⊢ False
K : Type u_3
V : Type u_4
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v : V
hv : v ≠ 0
⊢ IsAtom (Submodule.span K {v})
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (HomologicalComplex.eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
⊢ (CochainComplex.triangleOfDegreewiseSplit S σ).obj₂ = S.X₂
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c d : α
b0 : 0 < b
d0 : 0 < d
⊢ a / b ≤ c / d ↔ a * d ≤ c * b
R : Type u_1
Zero R
a : R
⊢ a = 0 ∨ NeZero a
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪[L] N
htv : ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → M) (a : N), φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) (f b))
⊢ ∀ {n : ℕ} (φ : L.Formula (Fin n)) (x : Fin n → M), φ.Realize (⇑f ∘ x) ↔ φ.Realize x
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.73697, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift B
X : C
a b : B
eq : (F.commShiftIso (a + b)).hom.app X = (CommShift.isoAdd (F.commShiftIso a) (F.commShiftIso b)).hom.app X
⊢ F.map ((shiftFunctorComm C a b).hom.app X) = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorComm D a b).hom.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).inv.app ((shiftFunctor C b).obj X)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ sSup (a • ∅) = a • sSup ∅
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
i : ι
x₂ : M
hx₂ : x₂ ∈ S i
⊢ (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') x₂
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
U : TopCat
X : PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
V : Opens ↑U
x : ↑U
hx : x ∈ V
⊢ X.presheaf.germ ⟨f x, ⋯⟩ ≫ (X.restrictStalkIso h x).inv = (X.restrict h).presheaf.germ ⟨x, hx⟩
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.whiskeringEquivalence e).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun s =>
      CategoryTheory.Limits.Cones.ext
        (CategoryTheory.Iso.refl
          (((CategoryTheory.Limits.Cones.whiskering e.inverse ⋙
                    CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose (e.invFunIdAssoc F).hom) ⋙
                  CategoryTheory.Limits.Cones.whiskering e.functor).obj
              s).pt)
        ⋯)
    ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β
abv : β → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : Nontrivial β
x : β
hx1 : abv x < 1
hx1' : abv x ≠ 1
⊢ IsCauSeq abs fun m => (1 - abv x ^ m) / (1 - abv x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ univ → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
s : Set γ
hs : IsClosed s
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Monoid γ
ContinuousMul γ
f : α →ₘ[μ] γ
n : ℕ
⊢ ↑(f ^ n) =ᵐ[μ] ↑f ^ n
α : Type u_1
⊢ Function.Surjective ⇑SymAlg.unsym
a b : Prop
ha : a
hb : b
⊢ a = b
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
x✝ : (C × D)ᵒᵖ
X : C
Y : D
⊢ (𝟙 (op X) ≫ 𝟙 (op X), 𝟙 (op Y) ≫ 𝟙 (op Y)) = (𝟙 (op X), 𝟙 (op Y))
ι : Type u_1
α' : ι → Type u_2
(i : ι) → PartialOrder (α' i)
(i : ι) → OrderBot (α' i)
f g : (i : ι) → α' i
⊢ Disjoint f g ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (f i) (g i)
f : ℝ → ℂ
s : Set ℝ
x : ℝ
f' : ℂ
h₁ : HasDerivWithinAt f f' s x
h₂ : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => Complex.log (f t)) (f' / f x) s x
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Set.Ioi a = Set.Iio (a / c)
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
t : ℝ
⊢ γ t = γ' t
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
⊢ IsGalois F E
M : Type u_1
α : Type u_2
SMul M α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [self : MeasureTheory.SMulInvariantMeasure M α μ] (c : M)
  ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) = μ s
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.filter p l <+ l
n : ℕ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x ^ n * Real.exp (-x)) Filter.atTop (𝓝 0)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
x y : X
⊢ 𝓝[≠] x ≤ 𝓝[{y}ᶜ] x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → P
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
c : k
⊢ (affineCombination k s p) (affineCombinationLineMapWeights i j c) = (AffineMap.lineMap (p i) (p j)) c
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
K.Normal
⊢ K.relindex (K ⊔ H) = K.relindex H
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
s : Equiv.Perm α →* ℤˣ
hs : Function.Surjective ⇑s
⊢ s = Equiv.Perm.sign
q : ℚ
⊢ 0 < (1 - fract q) * ↑q.den
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set β
g : β → α
hg : Set.InjOn g s
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ g '' s), f i = ∏ᶠ (j : β) (_ : j ∈ s), f (g j)
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : Module R' M₁
inst✝ : Subsingleton R
this✝ : Subsingleton M
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
⊢ Module.rank R M = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
i j k : ℕ
h : i = j
h' : j = k
⊢ TensorPower.cast R M h ≪≫ₗ TensorPower.cast R M h' = TensorPower.cast R M ⋯
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Injective ⇑f
⊢ Sbtw R (f x) (f y) (f z) ↔ Sbtw R x y z
α : Type u_1
β : Type u_2
Lattice α
AddGroup α
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : Measurable f
MeasurableSup α
⊢ Measurable fun x => (f x)⁺
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
hP : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P
I : Type u_1
S : C
X : I → C
f : (i : I) → X i ⟶ S
hf : CategoryTheory.Sieve.ofArrows X f ∈ J.sieves S
E : A
x y : E ⟶ P.obj (Opposite.op S)
h :
  ∀ (i : I),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp x (P.map (f i).op) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp y (P.map (f i).op)
⊢ x = y
⊢ PartOrd.dualEquiv.functor = PartOrd.dual
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h h' : IsAdjoinRoot S f
eq : h.root = h'.root
⊢ h = h'
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
⊢ b ^ (2 * p) - (1 + b ^ 2 - 1) = b ^ (2 * p) - b ^ 2
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ T1Space X ↔ Pairwise fun x y => ∃ U, IsOpen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
n : ℕ
⊢ Nat.fib (n + 1) = ∑ p ∈ Finset.antidiagonal n, p.1.choose p.2
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace Y
K : Set Y
l : Filter X
s : Set (X × Y)
hK : IsCompact K
hs : ∀ y ∈ K, s ∈ l ×ˢ 𝓝 y
⊢ s ∈ l ×ˢ 𝓝ˢ K
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Subsingleton (Quot r) ↔ EqvGen r = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
c : CategoryTheory.Limits.Cone (TopCat.Presheaf.SheafConditionEqualizerProducts.diagram F U)
⊢ (TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquivInverseObj F U c).pt = c.pt
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝² : IsCancelAdd R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : BilinMap R M R
x y : M
h : LinearMap.IsSymm B
⊢ B.toQuadraticMap.IsOrtho x y ↔ LinearMap.IsOrtho B x y
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hy : y ≠ 0
hxy : (x ^ 2 - ↑a * y ^ 2) * y⁻¹ ^ 2 = 0
⊢ legendreSym p a = 1
s b p : ℝ
hp : 1 < p
hb : 0 < b
⊢ (fun x => x ^ s * rexp (-x)) =o[atTop] fun x => rexp (-(1 / 2) * x)
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
⊢ Subsemiring.closure ↑s = s
M : Type u_1
inst✝²⁴ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝²³ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝²² : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝²¹ : AddMonoid A
inst✝²⁰ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddMonoid B
inst✝¹⁸ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝¹⁷ : AddMonoid B₁
inst✝¹⁶ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝¹⁵ : AddMonoid C
inst✝¹⁴ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝¹³ : AddGroup A'
inst✝¹² : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝¹¹ : AddGroup B'
inst✝¹⁰ : DistribMulAction N B'
R : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : MulSemiringAction M R
R' : Type u_11
inst✝⁷ : Ring R'
inst✝⁶ : MulSemiringAction M R'
S : Type u_12
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : MulSemiringAction N S
S' : Type u_13
inst✝³ : Ring S'
inst✝² : MulSemiringAction N S'
T : Type u_14
inst✝¹ : Semiring T
inst✝ : MulSemiringAction P T
f : R →ₑ+*[φ] S
x : R
⊢ ((MulSemiringActionHom.id N).comp f) x = f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (DerivedCategory C)
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk ((DerivedCategory.homologyFunctor C n₀).map T.mor₂)
    (DerivedCategory.HomologySequence.δ T n₀ n₁ h) ⋯).Exact
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : Filter α
v : α → β
l : β → γ
u : γ → β
gc : GaloisConnection l u
hlv : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => l (v x)) _auto✝
hv_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝
c : γ
hc : ∀ᶠ (a : α) in f, l (v a) ≤ c
⊢ l (limsup v f) ≤ c
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty
⊢ ∑ x_1 ∈ (piecewise s hs (const α x) (const α 0)).range, (T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 = (T s) x
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
AddCommMonoid N'
Module R N'
TopologicalSpace N'
e : N ≃L[R] N'
f : M [⋀^ι]→L[R] N
⊢ ⇑(e.compContinuousAlternatingMap f) = ⇑e ∘ ⇑f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] F
⊢ HasFDerivAt (⇑iso ∘ f) f' x ↔ HasFDerivAt f ((↑iso.symm).comp f') x
α : Type u_2
CommRing α
TopologicalSpace α
TopologicalRing α
⊢ inseparableSetoid α = Submodule.quotientRel ⊥.closure
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
X : HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)
⊢ (HomotopyCategory.subcategoryAcyclic C).P X ↔
  ∀ (n : ℤ), CategoryTheory.Limits.IsZero ((HomotopyCategory.homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) n).obj X)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
A : C
f₁ f₂ : CategoryTheory.Subobject A
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct f₁ f₂
⊢ (f₁ ⨯ f₂) = f₁ ⊓ f₂
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₁ s.center ≤ s.radius
⊢ 0 ≤ ⟪p₁ -ᵥ p₁, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : LowerSet α
⊢ ↑(s + t) = ↑s + ↑t
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
⊢ star (star b * a) * c = star a * b * c
R : Type u_1
ι : Type u_2
n : ℕ
M : Fin n → Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : (i : Fin n) → Module R (M i)
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Finite ι
f g : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
ι₁ : Type u_6
e : Basis ι₁ R M₂
h : ∀ (v : ι → ι₁), (f fun i => e (v i)) = g fun i => e (v i)
⊢ f = g
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
⊢ Submodule.span R {x | ↑x ∈ s} = ⊤
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Injective ⇑(rTensor N (span R (Set.range m)).subtype)
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
mem_M' : ∀ (i : ι), m i ∈ span R (Set.range m)
m' : ι → ↥(span R (Set.range m)) := Subtype.coind m mem_M'
m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'
⊢ VanishesTrivially R m n
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology
⊢ (K.sc j).iCycles = K.iCycles j