ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝ : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : ⋃ x ∈ T, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x)) = ⋃ x, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x))
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → ↑T → Set E := fun n z => {x | x ∈ s ∧ ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n), ‖f y - f x - (f' ↑↑z) (y - x)‖ ≤ ↑(r (f' ↑↑z)) * ‖y - x‖}
⊢ ∃ t A, (∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, t n ∧ (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))) ∧ (s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y)
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ s.re
⊢ f =O[atTop] fun n => ↑n ^ s.re
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : (σ a).Nonempty
⊢ σ (0 • a) = 0 • σ a
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime x (y * z)
⊢ IsCoprime x z
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsEulerian
⊢ p.IsTrail
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a b : E
f' : ℝ
h : IsMinOn f s a
hd : HasLineDerivWithinAt ℝ f f' s a b
h' : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, a + t • b ∈ s
⊢ f' = 0
N k n : ℕ
hn : n ∈ N.smoothNumbersUpTo k
hn₁ : n ≤ N
hn₂ : n ∈ k.smoothNumbers
s : Finset ℕ
hs : s ∈ k.primesBelow.powerset
m : ℕ
hm : n = m ^ 2 * s.prod id
⊢ ∃ a b, (a ⊆ k.primesBelow ∧ b ≠ 0 ∧ b < N.sqrt.succ) ∧ b ^ 2 * ∏ x ∈ a, x = n
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ p ∈ ⊤
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffWithinAt I' I n (f i) s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) s x₀
R : Type u_2
Semiring R
f : HahnSeries ℕ R
⊢ HahnSeries.toPowerSeries f = PowerSeries.mk f.coeff
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
J : Type w₁
F : C ⥤ D
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
F.PreservesZeroMorphisms
CategoryTheory.Limits.PreservesBiproduct f F
⊢ (F.mapBiproduct f).inv = CategoryTheory.Limits.biproduct.desc fun j => F.map (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j)
G : Type u_1
Semigroup G
IsCancelMul G
h : ∀ {A : Finset G}, A.Nonempty → ∃ a1 ∈ A, ∃ a2 ∈ A, UniqueMul A A a1 a2
⊢ UniqueProds G
α : Type u
s : Set α
hs : s.Nontrivial
⊢ s ≠ ∅
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
⊢ ⇑h.toEquiv = ⇑h
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₂ - f K₁
this : Continuous eval
⊢ IsClosed (eval ⁻¹' Ici 0)
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
a : P.A
f' : P.drop.B a ⟹ α
f : P.last.B a → P.W α
this : MvFunctor.map g ∘ f = fun i => ⟨(f i).fst, g ⊚ (f i).snd⟩
⊢ g <$$> P.wMk a f' f = P.wMk a (g ⊚ f') (MvFunctor.map g ∘ f)
R✝ : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
x y z : R✝
s : I → R✝
t : Finset I
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : ℕ
h : a.Coprime b
⊢ IsCoprime ↑a ↑b
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G → H
hf : IsAddGroupHom f
a b : G
⊢ f a = f b ↔ a + -b ∈ IsAddGroupHom.ker f
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
c : σ → K
s : σ
x✝ : s ∈ Finset.univ
⊢ (X s - C (c s)).degrees ≤ {s}
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
j : ι
hj₁ : j ∈ Set.Icc n m₁
hj₂ : u j ω ∈ s
⊢ sInf (Set.Icc n m₁ ∩ {i | u i ω ∈ s}) = if ∃ j ∈ Set.Icc n m₂, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m₂ ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m₂
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
x : E
⊢ Algebra.IsSeparable F ↥F⟮x⟯ ↔ IsSeparable F x
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A : Type u_2
inst✝² : AddGroup A
η : Type u_3
f : η → Type u_4
inst✝¹ : (i : η) → Group (f i)
inst✝ : DecidableEq η
H : Subgroup ((i : η) → f i)
x : (i : η) → f i
h1 : ∀ i ∉ ∅, x i = 1
h2 : ∀ i ∈ ∅, Pi.mulSingle i (x i) ∈ H
⊢ x ∈ H
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : l.Nodup
h' : a ∉ l
⊢ (List.insert a l).Nodup
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
v : E
⊢ ∃ y ∈ K, ∃ z ∈ Kᗮ, v = y + z
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
hfc : ConvexOn 𝕜 s f
hx : x ∈ s
⊢ MonotoneOn (slope f x) (s \ {x})
R : Type u_1
S : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : CommSemiring P
inst✝⁴ : CommSemiring Q
M : Submonoid R
T : Submonoid P
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization T Q
g : R →+* P
hT : Submonoid.map g M = T
⊢ IsLocalizedModule M (toKerIsLocalization S Q g ⋯)
R : Type u
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass R R (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : Tropical R
n : ℕ
h : x ≤ y
⊢ (x + y) ^ n = x ^ n + y ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : CompleteSpace α
i : γ → β
hf : Multipliable f
hi : Injective i
⊢ Multipliable (f ∘ i)
α : Sort u_1
a : α
⊢ (a = a) = True
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable α
n : ℕ
a : α
⊢ a ∈ decode₂ α n ↔ a ∈ decode n ∧ encode a = n
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
D : LieDerivation R L L
x : L
⊢ ⁅D, (LieDerivation.ad R L) x⁆ = (LieDerivation.ad R L) (D x)
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
w : ⇑f ∘ FreeAlgebra.ι R = ⇑g ∘ FreeAlgebra.ι R
⊢ f = g
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
s : ι → ι' → Set α
⊢ ⋃ j, ⋂ i, s i j ⊆ ⋂ i, ⋃ j, s i j
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
⊢ List.Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a
⊢ ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 (f a), f (HasStrictFDerivAt.localInverse f f' a hf y) = y
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsDomain S
Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
⊢ ∃ Q, Q.IsPrime ∧ Ideal.comap (algebraMap R S) Q = P
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
⊢ ⟪x, y⟫_𝕜 = 1 ↔ x = y
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hi : I.IsLocal
x : R
h : I ⊔ span {x} = ⊤
p : R
hpi : p ∈ I
q : R
hq : q ∈ span {x}
hpq : p + q = 1
r : R
hr : q = x * r
⊢ -p ∈ I
num : ℤ
den : ℕ
hd : den ≠ 0
hdn : num.natAbs.Coprime den
n : ℕ
⊢ { num := num, den := den, den_nz := hd, reduced := hdn } ^ n =
  { num := num ^ n, den := den ^ n, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝² : Pretriangulated C
inst✝¹ : HasShift D ℤ
inst✝ : L.CommShift ℤ
H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
T₁ T₂ : Triangle D
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
T₁' : Triangle C
e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'
hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles
T₂' : Triangle C
e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'
hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles
comm₁ : (L.mapTriangle.obj T₁').mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁
comm₁' : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₁
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ = e₁.hom.hom₂ ≫ (L.mapTriangle.obj T₁').mor₂
comm₂' : T₂.mor₂ ≫ e₂.hom.hom₃ = e₂.hom.hom₂ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₂
comm₃ : (L.mapTriangle.obj T₁').mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₁.inv.hom₁ = e₁.inv.hom₃ ≫ T₁.mor₃
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
r : ℕ
s : V
h : G.IsTuranMaximal r
⊢ G.degree s = Fintype.card V - (h.finpartition.part s).card
K : Type u
DivisionRing K
s : Set K
P : K
hP : P ∉ Subfield.closure s
⊢ P ∉ s
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : MulZeroOneClass α
inst✝¹ : Nontrivial α
A : Matrix V V α
h : A.IsAdjMatrix
inst✝ : DecidableEq α
i j : V
⊢ adjMatrix α h.toGraph i j = A i j
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e e' : PartialHomeomorph X Y
h : Set.EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ e'.source)
⊢ e.restr e'.source ≈ e'.restr e.source
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
a : α
h : IsRatStieltjesPoint f a
q : ℚ
⊢ toRatCDF f a q = f a q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂dirac a = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
⊢ NoetherianSpace ↑s ↔ ∀ t ⊆ s, IsCompact t
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ℂ
a : A
this : ℜ (z • a) = ℜ ((↑z.re + ↑z.im * I) • a)
⊢ ℜ (z • a) = z.re • ℜ a - z.im • ℑ a
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β
t : ℕ → Set α
ht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t
⊢ ∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' (fun n => (range f)ᶜ ∪ f '' t n) n) ≤ ∑' (n : ℕ), m (t n)
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
(𝓝[≠] x).NeBot
⊢ interior {x} = ∅
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α
a b : α
⊢ a ∈ s → b ∈ t → a ⊔ b ∈ s ⊻ t
n✝ m n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : m ∈ n.properDivisors
⊢ n = m * (n / m)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n f x‖ = ‖iteratedDeriv n f x‖
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ LiouvilleWith p (-x)
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : IsDomain R✝
p✝ q : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p : R[X]
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
hf : Function.Injective f
heval : ∀ (i : ι), eval (f i) p = 0
hcard : p.natDegree < Fintype.card ι
⊢ p = 0
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • (K.shiftFunctorObjXIso a p (p + a) ⋯).hom ≫ γ.v (p + a) (q + a) ⋯ ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a q (q + a) ⋯).inv = (a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.v (p + a) (q + a) ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Grp
I : Type w'
U : I → C
γ : CategoryTheory.PresheafOfGroups.ZeroCochain G U
i : I
⊢ γ⁻¹ i = (γ i)⁻¹
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
i : Fin (n + 1)
m : Sym α (n - ↑i)
⊢ ↑(Sym.fill a i m) = ↑m + ↑(Sym.replicate (↑i) a)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
H : Filter.Tendsto f la lb
hla : la.HasBasis pa sa
hlb : lb.HasBasis pb sb
ib : ι'
⊢ pb ib → ∃ ia, pa ia ∧ Set.MapsTo f (sa ia) (sb ib)
C : Type w
CategoryTheory.Category.{v, w} C
X Y : Condensed C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (S : CompHausᵒᵖ), f.val.app S = g.val.app S
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
x : 𝕜
⊢ HasStrictDerivAt (⇑f) (f.linear 1) x
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
s : Multiset α
⊢ s.toList.prod = s.prod
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s : ↥S
t : R
hst : t * ↑s ∈ S
⊢ (r, s) ≈ (t • r, ⟨t * ↑s, hst⟩)
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddZeroClass M
ContinuousAdd M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 0, ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ s
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
TopologicalSpace E
T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
⊢ gauge s x = 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(μ.toSignedMeasure - ν.toSignedMeasure) i = (μ i).toReal - (ν i).toReal
α : Type u_1
CompleteLattice α
u : ℕ → α
⊢ u 0 ⊔ ⨆ i, u (i + 1) = ⨆ i, u i
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hp : Fact (1 ≤ p)
hm : m ≤ m0
f : ↥(MeasureTheory.lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ ‖MeasureTheory.lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f‖ = ‖f‖
σ : Type u_1
R : Type u
CommSemiring R
s : Set σ
⊢ ↑(MvPolynomial.supported R s) = {p | ↑p.vars ⊆ s}
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair Y Z
⊢ ∀ (x : C(X, Y) × C(Y, Z)) (K : Set X), IsCompact K → ∀ (U : Set Z), IsOpen U → MapsTo (⇑(x.2.comp x.1)) K U → ∀ᶠ (a : C(X, Y) × C(Y, Z)) in 𝓝 x, MapsTo (⇑(a.2.comp a.1)) K U
X : Type u_6
TopologicalSpace X
⊢ ⇑(Homeomorph.refl X) = id
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Zero M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
⊢ DFinsupp.toFinsupp 0 = 0
α : Type u_1
Fintype α
s t : Finset α
DecidableEq α
⊢ s ⊆ tᶜ ↔ t ⊆ sᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
⊢ Measurable dirac
M : Type u_1
Mul M
ι : Sort u_4
p : ι → Subsemigroup M
m : M
⊢ m ∈ ⨆ i, p i ↔ ∀ (N : Subsemigroup M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
hIX : I ⊆ X
⊢ I ⊆ range Subtype.val
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ≥0∞
h : y ∈ EMetric.ball x ε
⊢ ∃ ε' > 0, EMetric.ball y ε' ⊆ EMetric.ball x ε
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : LaurentSeries R
n : ℤ
⊢ ((single (order x)) 1 * (ofPowerSeries ℤ R) x.powerSeriesPart).coeff n = x.coeff n
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M (2 * k) = ⊥
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y)
G : Type u_1
Group G
s : Subgroup G
x : G
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
⊢ CategoryTheory.forget₂ BddLat SemilatInfCat ⋙ CategoryTheory.forget₂ SemilatInfCat PartOrd =
  CategoryTheory.forget₂ BddLat BddOrd ⋙ CategoryTheory.forget₂ BddOrd PartOrd
α : Type u
x : α
xs : List α
⊢ (x :: xs).isEmpty = false
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p = ∑ i ∈ p.support, Polynomial.C (p.coeff i) * Polynomial.X ^ i
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
PredOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioc (f n) (f (Order.pred n)))
ι : Type u_1
κ✝¹ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
κ✝ : Type u_6
κ : Type u_7
s : Finset ι
t : ι → Set κ
f : κ → β
⊢ (↑s).PairwiseDisjoint t → (⋃ i ∈ s, t i).mulIndicator f = fun a => ∏ i ∈ s, (t i).mulIndicator f a
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : P.M α
⊢ MvPFunctor.M.dest P (g <$$> x) = (g ::: fun x => g <$$> x) <$$> MvPFunctor.M.dest P x
E : Type u_4
AddGroup E
DecidableEq E
x : E
⊢ 1 x = if x = 0 then 0 else 1
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
x : PrimeSpectrum R
⊢ x ∈ zeroLocus ↑(Ideal.span s) ↔ x ∈ zeroLocus s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ c - a - (c - b) ≤ b - a
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
⊢ ∃ M A_1, ∀ (z : ℍ), A_1 ≤ z.im → Complex.abs ((eisensteinSeries a k ∣[k] A) z) ≤ M
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ (↑a ^ (n + 1))⁻¹ = (↑a)⁻¹ ^ (n + 1)
p : Prop
h : Decidable p
b c : Bool
⊢ (¬if p then b = false else c = false) ↔ if p then b = true else c = true
α : Type u_2
G : Type u_4
TopologicalSpace α
Group G
MulAction G α
ContinuousConstSMul G α
c : G
s : Set α
hs : Dense s
⊢ Dense (c • s)
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g✝ : α → α
h✝ : Function.Commute f✝ g✝
hco✝ : (minimalPeriod f✝ x).Coprime (minimalPeriod g✝ x)
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)
⊢ IsPeriodicPt g (minimalPeriod g x * minimalPeriod (f ∘ g) x) x
α : Type u_1
OrderedSemiring α
x : ↑(Set.Icc 0 1)
⊢ ↑x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
inst✝ : HasGroupoid M G
s✝ s : Opens M
hs : Nonempty ↥s
e : PartialHomeomorph (↥s) H
xset : Set (PartialHomeomorph (↥s) H)
he : e ∈ xset
x : ↥s
hx : (fun x => {(chartAt H ↑x).subtypeRestr ⋯}) x = xset
⊢ ∃ x, e = (chartAt H ↑x).subtypeRestr hs
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ eval 0 (descPochhammer R n) = 0
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
h₁ : Function.Injective f₁
⊢ Function.Injective (Sigma.map f₁ f₂) ↔ ∀ (a : α₁), Function.Injective (f₂ a)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
f : α → β
h : ContinuousOn f (Set.Icc 0 1)
hf : f 0 = f 1
⊢ Continuous (f ∘ Int.fract)
X : Sort u_2
DecidableEq X
x : X
Y : Sort u_1
f : { x' // x' ≠ x } → Y
⊢ ⇑(Equiv.subtypeEquivCodomain f).symm = fun y => ⟨fun x' => if h : x' ≠ x then f ⟨x', h⟩ else y, ⋯⟩
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
⊢ Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | ¬b < a}) ↔ Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
⊢ f.toFun = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ↑s i < 0
hi₁ : MeasurableSet i
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
A : Set α := i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
hA : A = i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
bdd : ℕ → ℕ := fun n => MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)
hn' : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₁ : ↑s i = ↑s A + ∑' (l : ℕ), ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₂ : ↑s A ≤ ↑s i
⊢ ∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ restrict s j ≤ restrict 0 j ∧ ↑s j < 0
G : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Group G
MulSemiringAction G A
SMulCommClass G R A
FaithfulSMul G A
⊢ Function.Injective (MulSemiringAction.toAlgEquiv R A)
s : ℝ
this : (fun x => rexp (-x) * x ^ s / rexp (-(1 / 2) * x)) = (fun x => rexp (1 / 2 * x) / x ^ s)⁻¹
⊢ Tendsto (fun x => rexp (1 / 2 * x) / x ^ s)⁻¹ atTop (𝓝 0)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → α
a : α
hf : ∀ (b : β), f a b = a
b : β
l : List β
⊢ foldl f a (b :: l) = a
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ Pell.xz a1 (m - n) = Pell.xz a1 m * Pell.xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * Pell.yz a1 m * Pell.yz a1 n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : Besicovitch.SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (Fin.last N) = 0
lastr : a.r (Fin.last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : 2 < ‖a.c i‖
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / ‖a.c i‖) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n✝ : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq M
m n : M
p : MvPolynomial σ R
h : p ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w n
⊢ (weightedHomogeneousComponent w m) p = if m = n then p else 0
X : Type u_3
TopologicalSpace X
IrreducibleSpace X
⊢ IsIrreducible Set.univ
k : Type u
Field k
⊢ algebraMap k (AlgebraicClosure.AdjoinMonic k) = (Ideal.Quotient.mk (AlgebraicClosure.maxIdeal k)).comp MvPolynomial.C
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
⊢ s.sym2 = ∅ ↔ s = ∅
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝ : CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
this : IsComplete univ
x✝ : α × E
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (f x✝.1) x✝.2 ↔ DifferentiableAt 𝕜 (f x✝.1) x✝.2 ∧ fderiv 𝕜 (f x✝.1) x✝.2 ∈ univ
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ CategoryTheory.Localization.Preadditive.add' W f₁ f₂ = CategoryTheory.Localization.Preadditive.add' W f₂ f₁
α : Type u_1
Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
⊢ ↑(s.sdiff t) = ↑s \ ↑(upperClosure t)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ = ⊥
n✝ n : ℕ
a : ℕ := n + 2
ha : a ≠ 1 := succ_succ_ne_one n
⊢ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ n + 2
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
n : ℕ
hc : G.Colorable n
⊢ s.card ≤ n
α : Type u
s t : Set α
Fintype ↑s
Fintype ↑t
h : s ⊂ t
⊢ Fintype.card ↑s < Fintype.card ↑t
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
M : Type u_6
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup
⊢ (a :: l).toFinset.prod f = (map f (a :: l)).prod
α : Type u_1
CommMonoid α
a b : Associates α
⊢ a ≤ a * b