ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : R
⊢ Polynomial.eval x p = ∑ i ∈ Finset.range n, p.coeff i * x ^ i
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
n : ℕ
⊢ take (n + 1 + 1) s = take (n + 1) s ++ [s.get (n + 1)]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ univ → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
s : Set γ
hs : IsClosed s
h1 : s = ∅
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β → E
μ : Measure β
a : α
s : Set β
⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂(const α μ) a = ∫ (x : β) in s, f x ∂μ
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
⊢ Polynomial.X.coeff n = if 1 = n then 1 else 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝.Hom Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
V : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
⊢ Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
M : Type u_1
L.Structure M
S : ι →o L.Substructure M
i : ι
⊢ (FirstOrder.Language.DirectLimit.Equiv_iSup S).symm.toEmbedding.comp (FirstOrder.Language.Substructure.inclusion ⋯) =
  FirstOrder.Language.DirectLimit.of L ι (fun x => ↥(S x)) (fun x x_1 h => FirstOrder.Language.Substructure.inclusion ⋯)
    i
α : Type u
TopologicalSpace α
x y : α
h : y ∈ connectedComponent x
⊢ connectedComponent x = connectedComponent y
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmp t → Batteries.RBNode.Ordered cmp (Batteries.RBNode.del cut t)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
p : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in l, p x) ↔ {x | p x}ᶜ ∉ l
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
v : n → α
⊢ (diagonal v)⁻¹ = diagonal (Ring.inverse v)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q
⊢ ∑ i : Fin (a + 1), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑i) • φ ≫ X.δ ⟨↑i, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + ((-1) ^ a * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + (∑ i : Fin (a + 1), ((-1) ^ ↑i * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ ⟨↑i, ⋯⟩ + ((-1) ^ (a + 1) * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ + ((-1) ^ (a + 2) * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ ⟨a + 2, ⋯⟩) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
ι : Type u_1
α : Type u_8
CommMonoid α
l : List ι
f g : ι → α
⊢ (List.map (fun i => f i * g i) l).prod = (List.map f l).prod * (List.map g l).prod
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
⊢ ↑f c = 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
K : (Finset V)ᵒᵖ
C : G.componentComplFunctor.obj K
⊢ (SimpleGraph.ComponentCompl.supp C).Infinite ↔ C ∈ G.componentComplFunctor.eventualRange K
α : Type u
PseudoMetricSpace α
c : α
⊢ (Bornology.cobounded α).HasBasis (fun x => True) fun r => (Metric.closedBall c r)ᶜ
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.IsPreconnected J
Z : J → Sort u_1
h₁ : {j₁ j₂ : J} → (j₁ ⟶ j₂) → Z j₁ → Z j₂
h₂ : {j₁ j₂ : J} → (j₁ ⟶ j₂) → Z j₂ → Z j₁
j₀ : J
x : Z j₀
j : J
⊢ Nonempty (Z j)
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
K : Set X
U : Set Y
hK : IsCompact K
hU : IsClopen U
⊢ IsClopen {f | Set.MapsTo (⇑f) K U}
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
CommSemiring R
f : ι → R[X]
⊢ (∏ i ∈ s, f i).degree ≤ ∑ i ∈ s, (f i).degree
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
DecidablePred fun x => x < c
hca : c ≤ a
⊢ Finset.filter (fun x => x < c) (Finset.Ico a b) = ∅
α : Type u_1
s t : Finset α
hst : s ⊆ t
hs : s.Nonempty
⊢ t.Nonempty
w : Nat
b : Bool
x : BitVec w
⊢ (BitVec.cons b x).toNat = b.toNat <<< w ||| x.toNat
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieModule.IsTriangularizable R L M
x : L
⊢ ⨆ φ, LieModule.weightSpaceOf M φ x = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t t' : Set β
⊢ Set.image2 f s (t ∩ t') ⊆ Set.image2 f s t ∩ Set.image2 f s t'
α : Type u
⊢ (Computation.empty α).tail = Computation.empty α
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hij : i ≠ j
hj : j ∈ s
⊢ Polynomial.eval (v j) (Lagrange.basis s v i) = 0
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Module S N
inst✝⁹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝⁸ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁷ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
M' : Submodule R M
P : Type w
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
Q : Type w'
inst✝⁴ : AddCommGroup Q
inst✝³ : Module R Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
x : N
⊢ (∃ m, g m = 0 ∧ ∃ s, IsLocalizedModule.mk' f m s = x) ↔ ((IsLocalizedModule.map p f f') g) x = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
F : Type u_4
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
φ ψ : F
S T : Subalgebra R A
hS : Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑S
hT : Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑T
⊢ Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑(S ⊔ T)
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
Add M
Add N
a x y : M
FunLike F M N
AddHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
h : AddSemiconjBy (f a) (f x) (f y)
⊢ AddSemiconjBy a x y
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S₁ S₂ : StarSubalgebra R A
h : S₁ ≤ S₂
⊢ Function.Injective ⇑(StarSubalgebra.inclusion h)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
⊢ ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows), a.Compatible → ((∃! t, a.IsAmalgamation t) ↔ ∃! x, forkMap P S.arrows x = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv a)
V : Type u_2
Quiver V
V' : Type u_4
Quiver V'
Quiver.HasReverse V'
φ : V ⥤q V'
⊢ Quiver.Symmetrify.of ⋙q Quiver.Symmetrify.lift φ = φ
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s t : Submodule K V
FiniteDimensional K ↥s
FiniteDimensional K ↥t
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥(s ⊔ t) + FiniteDimensional.finrank K ↥(s ⊓ t) =
  FiniteDimensional.finrank K ↥s + FiniteDimensional.finrank K ↥t
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a + b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
x : (b : β) → π b
r : ℝ
h : 0 < r ∨ Nonempty β
⊢ sphere x r = (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) r) ∩ closedBall x r
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑q / x) ↔ q ≠ 0 ∧ Irrational x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : b ≤ a
⊢ EMetric.diam (Ioo a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
VAdd M α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ
MeasurableVAdd M α
c : Mᵈᵃᵃ
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ↑↑(c +ᵥ f) =ᵐ[μ] fun x => ↑↑f (DomAddAct.mk.symm c +ᵥ x)
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ
a✝ : (HMul.hMul 0)^[n] a ≤ id a
⊢ (HMul.hMul 0 ∘ (HMul.hMul 0)^[n]) a ≤ id a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty
x : E
hx : x ∈ s \ interior s
y : E
hy : y ∈ s \ interior s
x✝ : x ≠ y
c : 𝕜
hc : c ∈ Icc 0 1
hcs : (lineMap x y) c ∉ frontier s
⊢ (lineMap x y) c ∈ [x-[𝕜]y]
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : ↑g 0 1 = ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1
⊢ g = T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
⊢ Irreducible Polynomial.X
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
f : α → β
hf : f 0 = 0
i✝ : (i : o) × m' i
j✝ : (i : o) × n' i
⊢ (blockDiagonal' M).map f i✝ j✝ = blockDiagonal' (fun k => (M k).map f) i✝ j✝
α : Type u_1
OrderedSemiring α
x : ↑(Set.Icc 0 1)
⊢ ↑x ≠ 1 ↔ x ≠ 1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
ContractibleSpace X
⊢ (ContinuousMap.id X).Nullhomotopic
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddZeroClass M
p : (α →₀ M) → Prop
f✝ : α →₀ M
h0 : p 0
ha : ∀ (a : α) (b : M) (f : α →₀ M), a ∉ f.support → b ≠ 0 → p f → p (single a b + f)
s✝ : Finset α
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : ∀ (f : α →₀ M), f.support = s → p f
f : α →₀ M
hf : f.support = cons a s has
⊢ p (single a (f a) + erase a f)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Mono f
inst✝ : IsSplitEpi f
⊢ f ≫ section_ f = 𝟙 X
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
⊢ Function.Injective ⇑(AdjoinRoot.of f)
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
K : TopologicalSpace.Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.index (↑K) V ≤
  MeasureTheory.Measure.haar.index ↑K ↑K₀ * MeasureTheory.Measure.haar.index (↑K₀) V
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
h : SameRay R x y
ha : 0 ≤ a
hy : y = 0
⊢ a • y = 0
x : ℝ
⊢ 0 < Real.arcsin x ↔ 0 < x
x : ℤ[i]
⊢ norm x = 0 ↔ x = 0
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
l : Filter ι
l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
S : Set X
x₀ : X
h₁ : ∀ x ∈ S, Filter.Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (nhds (f x))
h₂ : Filter.Tendsto (fun x => F x x₀) l (nhds (f x₀))
h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀
⊢ ContinuousWithinAt f S x₀
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f✝ : ι✝ → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
⊢ ∀ (i_1 : Finset α), ↑i_1 ⊆ f '' {j | j ≠ i} → Disjoint (f i) (i_1.sup id)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
P : RegularExpression α
n : ℕ
⊢ RegularExpression.map f (P ^ n) = RegularExpression.map f P ^ n
u : XgcdType
hr : u.r ≠ 0
⊢ u.r - 1 < u.bp
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
s : Set (E × F)
y : F
fa : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => f (x, y)) {x | (x, y) ∈ s}
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ
⊢ ↑a.sqrt ≤ √↑a
β : Type u_1
α : Type u_2
p : α → Bool
f : β → α
l : List β
⊢ List.find? p (List.map f l) = Option.map f (List.find? (p ∘ f) l)
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ↑⌈x⌉) (𝓝[≤] ↑n) (𝓝[≤] ↑n)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C
h : F.map P.p ≫ φ.app P.X = φ.app P.X ≫ G.map P.p
h' : F.map (P.p ≫ P.p) = F.map P.p
⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = ((obj F).obj P).p ≫ ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ ((obj G).obj P).p
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
x₁ x₂ x₃ : α
h : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (b : α), ∫⁻ (c : β), f (b, c) ∂(Kernel.prodMkLeft Unit κ) ((), b) ∂(Kernel.const Unit μ) () = ∫⁻ (a : α), ∫⁻ (b : β), f (a, b) ∂κ a ∂μ
α : Type u_2
GroupWithZero α
a : α
s : Set α
⊢ (MulOpposite.op a • s)⁻¹ = a⁻¹ • s⁻¹
R L K : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
ι : Type u
v : ι → K
hv✝ : IsTranscendenceBasis R v
inst✝ : Nontrivial R
hv : IsTranscendenceBasis R v
hR : #R ≤ ℵ₀
hK : ℵ₀ < #K
this : ℵ₀ ≤ #ι
⊢ #R ≤ #ι
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
⊢ 1 = Quotient.mk'' 1
n : Type u_3
α : Type v
AddMonoid α
StarAddMonoid α
A : Matrix n n α
⊢ Aᴴ.diag = star A.diag
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
t : R
⊢ Polynomial.rootMultiplicity t p = (p.comp (Polynomial.X + Polynomial.C t)).natTrailingDegree
X : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
x : X
f : X →ᵇ ℝ≥0
f_mble : Measurable fun X_1 => ↑(f X_1)
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : X), ↑(f ω) ∂↑(diracProba i)) (𝓝 x) (𝓝 (∫⁻ (ω : X), ↑(f ω) ∂↑(diracProba x)))
a b c : Ordinal.{u_1}
ba : b + a = a
l : c.IsLimit
IH : ∀ c' < c, (a + b) * Order.succ c' = a * Order.succ c' + b
⊢ (a + b) * c = a * c
α : Type u_1
Semiring α
b : α
L : List ℕ
⊢ Nat.ofDigits b L = List.foldr (fun x y => ↑x + b * y) 0 L
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i j k : n
hkl : j ≠ k
⊢ diagonal (fun x => M i i) j k = M j k
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝¹¹ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : ChartedSpace HB B
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F E
x : B
⊢ ContMDiffAt IB 𝓘(𝕜, F) ⊤ (fun x_1 => (↑(trivializationAt F E x) { proj := x_1, snd := 0 }).2) x
R : Type u
Semiring R
a : R
n : ℕ
⊢ Polynomial.derivative (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ n) = Polynomial.C (a * ↑n) * Polynomial.X ^ (n - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
⊢ (M.map f hf).Dep (insert (f e) (f '' I))
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
m : α → β
g : Filter β
⊢ g ≤ Filter.map m f ↔ ∀ s ∈ f, m '' s ∈ g
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f✝ f g : α → ℚ → ℝ
a : α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hf : p a → IsRatStieltjesPoint f a
hg : ¬p a → IsRatStieltjesPoint g a
h : ¬p a
⊢ Tendsto (g a) atBot (𝓝 0)
m n : ℕ+
⊢ m.factorMultiset ⊔ n.factorMultiset ≤ (m.lcm n).factorMultiset
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
h_singleton_eq_inter : {a} = Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a)
this : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
⊢ IsOpen (Iio (succ a))
G : Type u
Monoid G
n : ℕ
⊢ ∀ (a : (Action.diagonal G (n + 1)).V), (Action.diagonalSucc G n).hom.hom a = (Equiv.piFinSuccAbove (fun a => G) 0) a
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
hu : Bornology.IsBounded (range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s
R : ℝ
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s ∩ closedBall 0 R)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
s : Set ↑Γ(X, U)
⊢ X.zeroLocus s = ⊤ ↔ s ⊆ ↑(nilradical ↑Γ(X, U))
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p q : ℝ≥0
hpq : p < q
s : Set α := {x | ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)}
o : ℕ → Set α := spanningSets (ρ + μ)
u : ℕ → Set α := fun n => s ∩ {x | v.limRatio ρ x < ↑p} ∩ o n
w : ℕ → Set α := fun n => s ∩ {x | ↑q < v.limRatio ρ x} ∩ o n
m n : ℕ
I : (ρ + μ) (u m) ≠ ⊤
J : (ρ + μ) (w n) ≠ ⊤
A : ρ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) ≤ ↑p * μ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n))
⊢ μ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset
ih : (∑ s ∈ u.powerset, collapse 𝒜 a f₁ s) * ∑ s ∈ u.powerset, collapse ℬ a f₂ s ≤ (∑ s ∈ u.powerset ⊼ u.powerset, collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ s) * ∑ s ∈ u.powerset ⊻ u.powerset, collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ s
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* MulAut N
x✝ : N ⋊[φ] G
⊢ x✝ ∈ inl.range → x✝ ∈ rightHom.ker
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x y : V₁
⊢ dist (f x) (f y) ≤ ↑⟨‖f‖, ⋯⟩ * dist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
o : Option α
p : β → Prop
⊢ (∀ (y : β), y ∈ Option.map f o → p y) ↔ ∀ (x : α), x ∈ o → p (f x)
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : WithLp p ((i : ι) → β i)
⊢ edist x y ≤ ↑(↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal) * edist ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) x) ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) y)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f✝ : X ⟶ Y
A : Rep k G
f : ofMulAction k G G ⟶ A
x : G
this : f.hom (((ofMulAction k G G).ρ x) (Finsupp.single 1 1)) = (A.ρ x) (f.hom (Finsupp.single 1 1))
⊢ f.hom (Finsupp.single x 1) = f.hom (Finsupp.single x 1)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a - x) '' Set.Ioo b c = Set.Ioo (a - c) (a - b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ Dense ↑(simpleFunc E p μ)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
hX : CategoryTheory.Limits.IsZero X
⊢ CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : ValuationRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
b c : R
⊢ ∃ c_1, f (b * c) * c_1 = f b ∨ f b * c_1 = f (b * c)
X : Type u_1
R : Type u_3
TopologicalSpace X
NormedRing R
CompleteSpace R
f : C(X, R)
h : ∀ (x : X), IsUnit (f x)
⊢ Continuous fun x => ⋯.unit
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.38229, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
inst✝¹ : Preregular C
inst✝ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
⊢ IsSheaf (coherentTopology C) F ↔ Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
K : Type u_5
SMul K β
k : K
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ k • f = MeasureTheory.SimpleFunc.map (fun x => k • x) f
ι : Type u_1
R : Type u_2
N : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid N
Module R N
β₁ : ι → Type u_7
β₂ : ι → Type u_8
(i : ι) → AddCommMonoid (β₁ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (β₂ i)
(i : ι) → Module R (β₁ i)
(i : ι) → Module R (β₂ i)
DecidableEq ι
f : (i : ι) → β₁ i →ₗ[R] β₂ i
h : (i : ι) → β₂ i →ₗ[R] N
l : Π₀ (i : ι), β₁ i
⊢ ((DFinsupp.lsum ℕ) h) ((DFinsupp.mapRange.linearMap f) l) = ((DFinsupp.lsum ℕ) fun i => h i ∘ₗ f i) l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S : CategoryTheory.Sieve X
hf : S.arrows f
⊢ J.Covers S f
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₃ p₁).sin = dist p₁ p₃
R : Type u_1
S : Type ?u.268667
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
inst✝² : Finite R M
inst✝¹ : Finite R N
inst✝ : Free R N
hf : Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor k f)
⊢ Free R P
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ comap f (coLindelof Y) ≤ coLindelof X
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G
h : b = c / a
⊢ a * b = c
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hμ : AEMeasurable f μ
hν : AEMeasurable f ν
⊢ AEMeasurable f (μ + ν)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this✝ : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
a2 : α
ha2 : a2 > 0
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)
this : 0 < a1 * a2
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, abv (↑(f * g) j) < a1 * a2
i : ℕ := max N (max N1 N2)
hN' : abv (↑(f * g) i) < a1 * a2
hN1' : a1 ≤ abv (↑f i)
⊢ False
G : Type u
Group G
H : Type v
Group H
φ : G →* H
⊢ Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.rangeKerLift φ)
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
⊢ tsupport ↑f = closedBall c f.rOut
α : Type u_4
self : CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ ⊤ \ a = ￢a
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : ¬IsAlgebraic F α
this : finrank F ↥F⟮α⟯ = 0
⊢ finSepDegree F ↥F⟮α⟯ ∣ finrank F ↥F⟮α⟯