ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
Q : Type u_4
CommMonoid Q
k : N ≃* P
j : P ≃* Q
⊢ (f.ofMulEquivOfLocalizations (k.trans j)).toMap = j.toMonoidHom.comp (f.ofMulEquivOfLocalizations k).toMap
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Fintype J
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
T U : C
g : (j : J) → T ⟶ f j
h : (j : J) → f j ⟶ U
⊢ lift g ≫ desc h = ∑ j : J, g j ≫ h j
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a : X
⊢ (Path.refl a).extend = fun x => a
α : Type u_1
a : α
⊢ (Equiv.prodPUnit α).symm a = (a, PUnit.unit)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Precoherent D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
B₁ B₂ : C
f : B₂ ⟶ B₁
α : Type
x✝¹ : Finite α
X₁ : α → C
π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁
x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁
β : Type
w✝ : Finite β
Y₂ : β → D
τ₂ : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj B₂
H : EffectiveEpiFamily Y₂ τ₂
i : β → α
ι : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj (X₁ (i b))
hh : ∀ (b : β), ι b ≫ F.map (π₁ (i b)) = τ₂ b ≫ F.map f
⊢ ∃ β, ∃ (_ : Finite β), ∃ X₂ π₂, EffectiveEpiFamily X₂ π₂ ∧ ∃ i ι, ∀ (b : β), ι b ≫ π₁ (i b) = π₂ b ≫ f
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
i : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.CartesianClosed C
CategoryTheory.Reflective i
h :
  (A : C) → i.comp ((CategoryTheory.exp A).comp ((CategoryTheory.reflector i).comp i)) ≅ i.comp (CategoryTheory.exp A)
⊢ CategoryTheory.ExponentialIdeal i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 a
hc : ContinuousOn f s
hd : DifferentiableAt 𝕜 f a
x : 𝕜
hx : x ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt (dslope f a) s x
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F✝ F : Sheaf J A
⊢ (presheafToSheaf J B).map ((constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)) ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val = ((presheafToSheaf J B).map ((compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) ≫ (sheafCompose J U).map ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val))
M : Type u_2
α : Type u_3
AddMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableAdd₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => (List.map (fun f => f x) l).sum) μ
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel Dvd.dvd
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
ha : Irreducible a
hb : b ≠ 0
⊢ multiplicity a b ≤ ↑(count (normalize a) (normalizedFactors b))
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder β
f : α → β
l : List α
m : α
DecidableEq α
⊢ m ∈ List.argmax f l ↔
  m ∈ l ∧ (∀ (a : α), a ∈ l → f a ≤ f m) ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → f m ≤ f a → List.indexOf m l ≤ List.indexOf a l
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
⊢ (LinearMap.toContinuousLinearMap f).det = LinearMap.det f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h₁ : 0 < a
h₂ : a ≤ 1
⊢ 1 ≤ a⁻¹
n : ℕ
a : { i // i < n }
⊢ Fin.equivSubtype.symm a = ⟨↑a, ⋯⟩
a b c : ℝ≥0∞
hle : a ≤ b + c
hb : b ≠ ⊤
hc : c ≠ ⊤
⊢ a.toReal ≤ b.toReal + c.toReal
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ x ⊓ (y ⊓ z ⊓ y \ z) = ⊥
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
U V : CategoryTheory.Under X
f : U ⟶ V
⊢ (CategoryTheory.Under.forget X).map f = f.right
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
w₁ w₂ : HNNExtension.NormalWord.ReducedWord G A B
hprod : HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.prod φ w₁ = HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.prod φ w₂
⊢ List.map Prod.fst w₁.toList = List.map Prod.fst w₂.toList ∧
  ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁.head⁻¹ * w₂.head ∈ HNNExtension.toSubgroup A B (-u)
α : Type u
β : Type v
f : α → β → β
b : β
hf : ∀ (a : α), f a b = b
l : List α
⊢ List.foldr f b l = b
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
val✝ : Fintype α
ι : α → α → Fin 2 := fun x y => if x = y then 0 else 1
ff : α → LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2) := (LocallyConstant.map ι f).flip
j : α → J
g : (a : α) → LocallyConstant (↑(F.obj (j a)).toTop) (Fin 2)
h : ∀ (a : α), ff a = LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)
G : Finset J := Finset.image j Finset.univ
⊢ ∃ j g, LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
⊢ padicNorm p (q + r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p r)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a b : α
h : b ∈ insert a s
⊢ b ≠ a → b ∈ s
α : Type u
a✝ : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : H
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
⊢ x ^ n = f b
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ : Basis ι R M
N O : Submodule R M
b : Basis ι R ↥O
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
hgen : generator (ϕ.submoduleImage N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι
⊢ (b.repr ⟨x, ⋯⟩) i = (b.repr 0) i
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
h2 : ∀ (t : G), ‖(L (f t)) (g (x₀ - t)) - (L (f t)) z₀‖ ≤ ‖L (f t)‖ * ε
⊢ ∫ (a : G), ‖L (f a)‖ ∂μ ≤ ‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)
this : X ^ (n + 1) - C 1 = ∏ i ∈ range (n + 1), (X - C (μ ^ i * 1))
⊢ ∏ k ∈ range n, (1 - μ ^ (k + 1)) = ↑n + 1
α : Type u
β : α → Type u_1
DecidableEq α
s : Finset ((a : α) × β a)
⊢ ((Finset.image Sigma.fst s).sigma fun a => s.preimage (Sigma.mk a) ⋯) = s
α : Type u_1
ι : Type u_4
f : ι → Set α
⊢ (∀ (a : α), {i | a ∈ f i}.Subsingleton) ↔ Pairwise (Disjoint on f)
α : Type u
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.Nontrivial ↔ ∃ y ∈ s, y ≠ x
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
⊢ b = 0 ∨ a ^ Ordinal.omega ≤ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ interior s
H₁ : Tendsto (fun r => r⁻¹ • x) (𝓝[<] 1) (𝓝 x)
H₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[<] 1, x ∈ r • s ∧ 0 < r ∧ r < 1
⊢ x ∈ {x | gauge s x < 1}
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
MeasurableSpace Ω
MeasurableSpace Ω'
ν : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
f : Ω → Ω'
f_aemble : AEMeasurable f ↑ν
A : Set Ω'
A_mble : MeasurableSet A
⊢ (ν.map f_aemble) A = ν (f ⁻¹' A)
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
Zero α
⊢ Matrix.blockDiag 0 = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
LinearOrder X
OrderTopology X
m : MeasurableSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
a b : X
f g : X → Y
hfg : f =ᵐ[μ.restrict (Set.Ioo a b)] g
hf : ContinuousOn f (Set.Ioo a b)
hg : ContinuousOn g (Set.Ioo a b)
⊢ Set.EqOn f g (Set.Ioo a b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
StarAddMonoid F
NormedSpace 𝕜 F
StarModule 𝕜 F
ContinuousStar F
f : E → F
⊢ (Differentiable 𝕜 fun y => star (f y)) ↔ Differentiable 𝕜 f
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = π
α : Type u_3
DivisionRing α
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
⊢ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌈a⌉ = z ↔ ↑z - 1 < a ∧ a ≤ ↑z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.op.f₃₄ = sq.f₁₃.op
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
⊢ (a.pred ha).castSucc < b ↔ a ≤ b
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Neg G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsNegInvariant
⊢ MeasureTheory.Measure.map Neg.neg μ = μ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Semiring B
hB : IsField B
e : A ≃* B
a✝ : A
h : a✝ ≠ 0
⊢ ∃ b, a✝ * b = 1
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
ι : Sort u_2
hι : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s : ι → M
indep : Set ι → Prop := fun I => LinearIndependent (ι := ↑I) R (s ∘ Subtype.val)
X : Type u' := { I // indep I }
r : X → X → Prop := fun I J => ↑I ⊆ ↑J
key : ∀ (c : Set X), IsChain r c → indep (⋃ I ∈ c, ↑I)
trans : Transitive r
⊢ ∃ I, (LinearIndependent R fun (x : ↑I) => s ↑x) ∧ ∀ (J : Set ι), I ⊆ J → (LinearIndependent R fun (x : ↑J) => s ↑x) → I = J
b : Bool
n : ℕ
⊢ (bit b ↑n).testBit 0 = b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ IsPathConnected (f '' univ)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
ι : Type u_4
p : ι → Submodule R M
m : M
hm : m ∈ ⨆ i, p i
⊢ ∃ s, m ∈ ⨆ i ∈ s, p i
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α F
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (MeasureTheory.SimpleFunc.piecewise s hs f 0) =
  MeasureTheory.SimpleFunc.integral (μ.restrict s) f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ closure s
hy : y ∈ interior s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior s
X : Type u
Preorder X
x y : Xᵒᵖ
h : x ⟶ y
⊢ Opposite.unop y ≤ Opposite.unop x
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑π = 0
hs : ↑θ + ↑ψ = ↑π
n : ℤ
hn : n • (2 * π) = -π + 0
⊢ ↑θ = ↑ψ
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
x : α
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
f : α →C₀ β
⊢ (-f) x = -f x
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f : ι → E
x y : E
⊢ (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) (x * y) ≤ (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) x * (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) y
γ : Type u_1
δ : Type u_2
α : Type u_1
β : Type u_2
μ : Type u_3
f : Option γ → Option δ → μ
g : α → γ
h : β → δ
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ List.zipWithAll f (List.map g l₁) (List.map h l₂) = List.zipWithAll (fun a b => f (g <$> a) (h <$> b)) l₁ l₂
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
h : Sorted r l
k iy : ℕ
hiy : iy < (drop k l).length
hy : (drop k l)[iy] ∈ drop k l
ix : ℕ
hix : ix < (take k l).length
hx : (take k l)[ix] ∈ take k l
⊢ r l[ix] l[k + iy]
α : Type u_5
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Set.Ioo x y = ∅ → y ∈ s
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Set.Ico l u = S}
α : Type u_1
BEq α
self : PartialEquivBEq α
a b : α
⊢ (a == b) = true → (b == a) = true
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T0Space α
s : Closeds α
hs : IsAtom s
t : Set α
hts : t ⊆ ↑s
ht : t.Nonempty
ht' : IsClosed t
⊢ t = ↑s
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
u : U
⊢ φ.symmetrify.star u =
  ⇑(Quiver.symmetrifyStar (φ.obj u)).symm ∘ Sum.map (φ.star u) (φ.costar u) ∘ ⇑(Quiver.symmetrifyStar u)
a b : Int
⊢ a ≠ b ↔ a < b ∨ b < a
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n : ℕ
⊢ ‖Polynomial.eval (newton_seq n) F‖ / ‖Polynomial.eval (newton_seq n) (Polynomial.derivative F)‖ = ‖Polynomial.eval (newton_seq n) F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
xl✝ xr✝ xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
⊢ (-mk yl yr yL yR ≤ -mk xl xr xL xR ↔ mk xl xr xL xR ≤ mk yl yr yL yR) ∧ (-mk yl yr yL yR ⧏ -mk xl xr xL xR ↔ mk xl xr xL xR ⧏ mk yl yr yL yR)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
R : L.Relations 1
t : L.Term α
⊢ (R.formula₁ t).Realize v ↔ RelMap R ![Term.realize v t]
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal S
i : ℕ
a d d' e e' : S
a_mem : a ∈ P ^ i
e_mem : e ∈ P ^ (i + 1)
e'_mem : e' ∈ P ^ (i + 1)
h : d - d' ∈ P
this : a * d - a * d' ∈ P ^ (i + 1)
⊢ a * d + e - (a * d' + e') ∈ P ^ (i + 1)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
hi : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
f' : (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)
hf' : f' = 𝟙 (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt
⊢ S.LeftHomologyData
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ n : ℕ
x✝ : IsPeriodicPt f 0 x
hn : IsPeriodicPt f n x
⊢ IsPeriodicPt f (Nat.gcd 0 n) x
R : Type u_2
A : Type u_3
M : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
a : A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
m : M
⊢ X • (of R M a) m = (of R M a) (a • m)
α : Type u_1
a : α
⊢ {a}.val = {a}
α : Type u_1
l : List (Option α)
⊢ l.reduceOption.length ≤ l.length
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁ ++ l₂).rdrop l₂.length = l₁
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f✝ : ↥(Lp F p μ)
hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ
f g : α → F
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
h_disj : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hPf : P (Memℒp.toLp f hf)
hPg : P (Memℒp.toLp g hg)
s_f : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hs_f : MeasurableSet s_f
⊢ P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
⊢ Compatibility.τ₀.hom.app K = (Compatibility.τ₁ isoN₁ isoΓ₀ N₁Γ₀).hom.app K
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Order.succ a ≤ Order.succ b
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S₁ S₂ : Subsemiring R
⊢ (S₁ ⊔ S₂).op = S₁.op ⊔ S₂.op
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
W : C
h : W ⟶ X
w : h ≫ f = 0
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject f).Factors h
α β : Type u
f : α → β
x y : FreeAddGroup α
⊢ f <$> (x + y) = f <$> x + f <$> y
n✝ : ℕ
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ x ∈ n.divisors, f ({ toFun := fun d => (d, n / d), inj' := ⋯ } x).1 ({ toFun := fun d => (d, n / d), inj' := ⋯ } x).2 = ∏ i ∈ n.divisors, f i (n / i)
α : Type u_2
LE α
p : α → Prop
x y : Subtype p
⊢ ↑x ≤ ↑y ↔ x ≤ y
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal
⊢ p.1 ≠ 0
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n : ℕ
⊢ f^[n.succ] = f ∘ f^[n]
a : Int
h : 0 ≤ -a
⊢ a ≤ 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
j : J
⊢ (T.toFunctor ⋙ T.toFunctor).map (c.π.app j) ≫ T.map (D.obj j).a ≫ (D.obj j).a = T.map (T.map (c.π.app j)) ≫ T.map (D.obj j).a ≫ (D.obj j).a
R : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace R
inst✝ : Sub R
K : ℝ≥0
lip : LipschitzWith K fun p => p.1 - p.2
s t : Set R
s_bdd : Bornology.IsBounded s
t_bdd : Bornology.IsBounded t
bdd : Bornology.IsBounded (s ×ˢ t)
p : R
⊢ p ∈ s - t ↔ ∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ t) ∧ a - b = p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Inter α
a b : Part α
hab : (a ∩ b).Dom
⊢ (a ∩ b).get hab = a.get ⋯ ∩ b.get ⋯
⊢ ContinuousOn ↑{ toFun := fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg), invFun := fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2), source := {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}, target := Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ } { toFun := fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg), invFun := fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2), source := {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}, target := Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.source
n : Nat
α : Sort u_1
m : Nat
f : Fin (n + 1) → α → α
x : α
h : m + 1 ≤ n + 1
⊢ Fin.foldr.loop (n + 1) f ⟨m + 1, h⟩ x = f 0 (Fin.foldr.loop n (fun i => f i.succ) ⟨m, ⋯⟩ x)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Subsingleton ↥H
⊢ H = ⊥
a b : ℝ
nb : ℕ
num : ℤ
den : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsRat (a ^ nb) num den
⊢ IsRat (a ^ b) num den
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsBezout R
GCDMonoid R
x y : R
⊢ Ideal.span {gcd x y} = Ideal.span {x, y}
m : Type u → Type u
inst✝ : Monad m
α β : Type u
f : β → α → β
x✝ y✝ : FreeMonoid α
⊢ (op fun a => List.foldl f (List.foldl f a (FreeMonoid.toList x✝)) (FreeMonoid.toList y✝)) = (op fun a => List.foldl f a (FreeMonoid.toList x✝)) * op fun a => List.foldl f a (FreeMonoid.toList y✝)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
G : Type u_10
Group G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H' G
LieGroup I' G
f g : C^⊤⟮I, N; I', G⟯
⊢ ⇑(f / g) = ⇑f / ⇑g
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
⊢ (pullbackP1Iso 𝒰 f g i).inv ≫ pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) = (gluing 𝒰 f g).ι i
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
⊢ (f '' s).encard ≤ s.encard
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.homogeneousSubmodule σ R n = Finsupp.supported R R {d | d.degree = n}
a b : ℤ
c : ℕ
ha : a.natAbs ≠ 1
hb : b.natAbs ≠ 1
hc : a * b = ↑c
⊢ ¬Nat.Prime c
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K ≤ ↑|discr K|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a✝ a : α
ha : a ≠ 0
x y : α
⊢ edist ((Equiv.mulRight₀ a ha).toFun x) ((Equiv.mulRight₀ a ha).toFun y) = ↑‖a‖₊ * edist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : ℕ → E''
g : ℕ → F''
h : ∀ (x : ℕ), g x = 0 → f x = 0
⊢ f =O[atTop] g ↔ ∃ C, ∀ (x : ℕ), ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range (n + 1), ∑ x_1 ∈ range (n + 1 - x), (↑((n + 1 - x).choose x_1) * _root_.bernoulli x_1) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = (monomial n) ↑n + (monomial n) 1
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
f : R →+* ZMod n
k : ZMod n
⊢ f k.cast = k
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
⊢ TypeVec.comp (TypeVec.subtypeVal α.repeatEq) TypeVec.diagSub = TypeVec.prod.diag
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
⊢ Function.Injective DFunLike.coe