ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
I : Type u_4
AddMonoid I
c : ComplexShape I
c.TensorSigns
⊢ ∀ (x : I × I),
  TotalComplexShape.π c c c x =
    match x with
    | (p, q) => p + q
p q : Prop
⊢ (p → q) ∧ (¬p → q) ↔ q
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : V
e : EuclideanSpace ℝ (Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ V)) ≃ₗᵢ[ℝ] V := (stdOrthonormalBasis ℝ V).repr.symm
⊢ Integrable ((fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ)) ∘ ⇑e) volume
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
u : V
hu : u ≠ 0
v : V
hv : v ≠ 0
h : (mk K u hu).submodule = (mk K v hv).submodule
⊢ mk K u hu = mk K v hv
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ Absorbent 𝕜 (p.ball 0 r)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ AEMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map f μ) ↔ AEMeasurable (g ∘ f) μ
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace W
f : Y × Z → W
g : X → Y
h : X → Z
x : X
y : Y × Z
hf : ContinuousAt f y
hg : ContinuousAt g x
hh : ContinuousAt h x
e : (g x, h x) = y
⊢ ContinuousAt (fun x => f (g x, h x)) x
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p q : R[X]
x : R
hpq : p * q ≠ 0
⊢ Polynomial.rootMultiplicity x (p * q) = Polynomial.rootMultiplicity x p + Polynomial.rootMultiplicity x q
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s MeasureTheory.volume
ι : Type u_1
l : Filter ι
l.NeBot
u : ι → AddCircle T
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᵐ[MeasureTheory.volume] s
hu₂ : Filter.Tendsto (addOrderOf ∘ u) l Filter.atTop
⊢ s =ᵐ[MeasureTheory.volume] ∅ ∨ s =ᵐ[MeasureTheory.volume] Set.univ
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
n : ℤ
⊢ ContinuousOn (fun x => ↑⌈x⌉) (Set.Ioc (↑n - 1) ↑n)
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) ≤ f x * f y
h_one : f 1 ≤ 1
⊢ seminormFromBounded' f x = f x
q' q : Λ'
q_ih : q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q
⊢ q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ insert q.copy (trStmts₁ q)
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
r b : ↥R⁰
c : R_hat R K
h : a * ↑↑b = ↑c
m : FiniteAdeleRing R K
hm : m ∈ Submodule.span (R_hat R K) {↑(↑r * ↑b)}
⊢ (DistribMulAction.toLinearMap (R_hat R K) (FiniteAdeleRing R K) a) m ∈ Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r}
a✝ b c a n : ℕ
ih : Set.InjOn (fun x => x % a) ↑(Ico n (n + a))
⊢ Set.InjOn (fun x => x % a) ↑((insert (n + a) (Ico n (n + a))).erase n)
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
n : ℕ
⊢ Polynomial.Splits i (Polynomial.X ^ n)
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
w✝ : FormalMultilinearSeries 𝕂 𝔸 𝔸
h✝ : HasFPowerSeriesAt (exp 𝕂) w✝ (t • x)
⊢ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (exp 𝕂 (t • x)) = exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
⊢ y ∈ ball x ε ↔ dist x y < ε
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
comm : a ≫ f₁ = b ≫ f₁
big_k : IsKernelPair (f₁ ≫ f₂) a b
s : PullbackCone f₁ f₁
s' : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂) := PullbackCone.mk s.fst s.snd ⋯
⊢ { l // l ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).fst = s.fst ∧ l ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).snd = s.snd ∧ ∀ {m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt}, m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).fst = s.fst → m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).snd = s.snd → m = l }
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)
f g : Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom ⟶ Φ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x : P.Elementsᵒᵖ
eq : yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd ≫ F.op.lanUnit.app P = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ whiskerLeft F.op (F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd))
eq₁ : (f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
eq₂ : (g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
⊢ yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd ≫ F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (f.right.app P) = yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd ≫ F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (g.right.app P)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 < δ
a b : E
⊢ Metric.closedBall a ε + Metric.ball b δ = Metric.ball (a + b) (ε + δ)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s
⊢ ?convert_1 ≤ card (map (fun t => -t) s)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
H : C ⥤ D
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
c : CategoryTheory.Limits.Cocone G
⊢ H.mapCoconePrecompose.hom.hom = 𝟙 (H.obj c.pt)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Infinite
hf : MapsTo f s t
ht : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → f x ≠ f y
⊢ ¬t.Finite
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
⊢ map Prod.snd l.revzip = l.reverse
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m + n = 1 ↔ m = 0 ∧ n = 1 ∨ m = 1 ∧ n = 0
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a b : α
h : 0 - a = 0 - b
⊢ a = b
b : Bool
n : ℕ
h : bit b n ≠ 0
⊢ binaryRec 0 (fun x x => succ) (bit b n).div2 + 1 = (binaryRec 0 (fun x x => succ) n).succ
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
_m1 : (unpair m).1 < n + 4
_m2 : (unpair m).2 < n + 4
⊢ (ofNatCode (n + 4)).encodeCode = n + 4
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
x y : X
⊢ dist x y = ↑(⨅ l, (List.zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
c : ℝ
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Martingale (c • f) ℱ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₂ : Set α
f : α → β
Preorder α
Preorder β
h : MonotoneOn f s
h' : s₂ ⊆ s
⊢ MonotoneOn f s₂
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
C : Type uC
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring C
Algebra R C
⊢ Algebra.TensorProduct.map (AlgHom.id S A) (AlgHom.id R C) = AlgHom.id S (A ⊗[R] C)
σ : Type u
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulApplicative G
LawfulApplicative F
η : ApplicativeTransformation F G
α : Type u_1
β : Type u
f : α → F β
x : σ ⊕ α
⊢ (fun {α} => η.app α) (Sum.traverse f x) = Sum.traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => Real.cosh (f x)) (Real.sinh (f x) • f') s x
a b m n✝ p d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hdn : d ≤ n
hd_lt_n : d < n
h1 : n / d ≠ 0
⊢ (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization → d ∣ n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0
hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (MeasureTheory.ae μ) f
⊢ ↑(essSup f μ) = essSup (fun x => ↑(f x)) μ
q : ℚ
⊢ q.num = 0 ↔ q = 0
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n k : ℕ
h : k < count p n
⊢ nth p k < n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : α
h0 : p ≠ 0
hu : ¬IsUnit p
n : ℕ
⊢ multiplicity p (p ^ n) = ↑n
α : Type w
CommRing α
a b c d : α
⊢ !![a, b; c, d].adjugate = !![d, -b; -c, a]
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
x : ↑s
⊢ ↑((e.image s) x) = e ↑x
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
StarModule R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ ↑(star S) = star ↑S
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot
⊢ P₁ = P₂
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
e : α ≃ₜ β
a : α
⊢ e.toContinuousMap a = e a
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : Basis.SmithNormalForm N ι n
i : Fin n
⊢ snf.bM.coord (snf.f i) ∘ₗ N.subtype = snf.a i • snf.bN.coord i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
ha : DifferentiableAt 𝕜 a x
b : 𝔸
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => b * a y) x = b • fderiv 𝕜 a x
n : ℕ
b : Bool
⊢ bit b n = 0 ↔ n = 0 ∧ b = false
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α
⊢ l ~ List.replicate n a ↔ l = List.replicate n a
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
CompleteLattice α
CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
ι : Sort x
f : ι → β
⊢ l (⨅ i, u (f i)) = ⨅ i, f i
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (C ⥤ D)ᵒᵖ
f : F ⟶ G
⊢ ((NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop G).obj X)) ⋯).hom ≫ f.unop).op = ({ app := fun X => f.unop.op.unop.app X, naturality := ⋯ } ≫ (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop F).obj X)) ⋯).hom).op
n : PosNum
d : ZNum
⊢ ↑(↑(Num.pos n) % (↑d).natAbs) = ↑↑n % ↑d
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : β
⊢ ⇑e ⁻¹' Ico a b = Ico (e.symm a) (e.symm b)
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
hpq : IsCompl p q
x : E
⊢ ↑((LinearMap.fst R ↥p ↥q ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl q hpq).symm) x) + ↑((LinearMap.fst R ↥q ↥p ∘ₗ ↑(LinearEquiv.prodComm R ↥q ↥p ≪≫ₗ p.prodEquivOfIsCompl q hpq).symm) x) = x
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : ¬x * y = 0
⊢ x.orderTop + y.orderTop ≤ (x * y).orderTop
α : Type u
l : List α
n : ℕ
h : n < l.length
⊢ l.get? n = some (l.nthLe n h)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), ↑(σₙ R a)) := { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }
h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)
this : inferInstanceAs (UniformSpace C(↑(σₙ R a), R)) = UniformSpace.comap (fun x => x.comp f) inferInstance ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x.comp 0) inferInstance
⊢ Filter.comap (fun x => (↑((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom).toNonUnitalAlgHom x.1, ↑((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom).toNonUnitalAlgHom x.2)) (𝓤 C(↑(spectrum R a), R)) = 𝓤 C(↑(σₙ R a), R)₀
w x y z : ℝ
ι : Type u_1
l : List ι
f : ι → ℝ≥0
r : ℝ
⊢ (List.map (fun x => f x ^ r) l).prod = (List.map f l).prod ^ r
α : Type u_1
ι : Type u_7
Preorder ι
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : ι → Set α
hs : Antitone s
⊢ (⨅ i, 𝓟 (s i)).HasAntitoneBasis s
α : Type u_3
β : Type u_4
Zero β
s : Set β
Decidable (0 ∈ s)
⊢ 0 ⁻¹' s = if 0 ∈ s then Set.univ else ∅
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_6
Monoid R
Monoid S
MulAction R M
MulAction S N
σ : R →* S
F : Type u_8
FunLike F M N
MulActionSemiHomClass F (⇑σ) M N
h : F
c : R
hc : IsUnit c
t : Set N
⊢ ⇑h ⁻¹' (σ c • t) = c • ⇑h ⁻¹' t
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
q : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hq : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < q i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-π * q i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / q i ^ s.re
⊢ HasSum (fun i => ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(q i) ^ s) (mellin F s)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : p.support.card ≤ 1
⊢ (Polynomial.monomial p.natDegree) p.leadingCoeff = p
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Function.Bijective f
g : γ → α
⊢ Function.Surjective (f ∘ g) ↔ Function.Surjective g
n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ j.contractNth op g k = g k.castSucc
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hf : BoxIntegral.Integrable I l f vol
hg : BoxIntegral.Integrable I l g vol
⊢ BoxIntegral.Integrable I l (f + g) vol
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
Z : D
g g' : F.obj X ⟶ Z
⊢ α.inv.app X ≫ g = α.inv.app X ≫ g' ↔ g = g'
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℂ n f s x
⊢ ContDiffWithinAt ℂ n (fun x => Complex.sin (f x)) s x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ (((α_ (R.X ⊗ R.X) P.X Q.X).inv ≫ R.mul ▷ P.X ▷ Q.X) ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (R.X ⊗ R.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (α_ R.X R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ R.X ◁ actLeft P Q ≫ actLeft P Q
a t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun x => ↑(2 * Real.cos (2 * π * a * (↑x + 1)) * rexp (-π * (↑x + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
⊢ ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N
⊢ ∃ S, x = (Multiset.map (fun i => i.1 ⊗ₜ[R] i.2) S).sum
M : Type u_3
G : Type u_6
MulOneClass M
CommGroup G
f : M →* G
x : M
⊢ f⁻¹ x = (f x)⁻¹
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K
inst✝³¹ : Field L
inst✝³⁰ : Algebra A K
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K
inst✝²⁸ : Algebra B L
inst✝²⁷ : Algebra K L
inst✝²⁶ : Algebra A L
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K L
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝²² : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
ι : Type u_5
ιₘ : Type u_6
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : Nontrivial R
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : Algebra R A
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : Module.Finite R L
inst✝¹⁰ : Module.Free R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ιₘ
inst✝ : DecidableEq ιₘ
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιₘ R M
x : L
⊢ rank R L M = ((↑(toEnd R L M)).polyCharpoly b).natTrailingDegree
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
⊢ ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial R
⊢ p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
s : ℕ
o₂ : WithTop α
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
l_ih✝ : ∀ {l : Ordnode α} {x : α} {o₁ : WithBot α}, Valid' o₁ (l.node' x rl) o₂ → Valid' o₁ (l.node' x rl).eraseMax ↑(findMax' x rl) ∧ (l.node' x rl).size = (l.node' x rl).eraseMax.size + 1
IHrr : ∀ {l : Ordnode α} {x : α} {o₁ : WithBot α}, Valid' o₁ (l.node' x rr) o₂ → Valid' o₁ (l.node' x rr).eraseMax ↑(findMax' x rr) ∧ (l.node' x rr).size = (l.node' x rr).eraseMax.size + 1
l : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
H : Valid' o₁ (l.node' x (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂
⊢ Valid' o₁ (l.node' x (Ordnode.node rs rl rx rr)).eraseMax ↑(findMax' x (Ordnode.node rs rl rx rr)) ∧ (l.node' x (Ordnode.node rs rl rx rr)).size = (l.node' x (Ordnode.node rs rl rx rr)).eraseMax.size + 1
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝³ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Finite (Sylow p G)
inst✝ : (↑P).FiniteIndex
hf : Function.Bijective ⇑((transferSylow P hP).restrict ↑P)
⊢ (transferSylow P hP).ker.IsComplement' ↑P
α : Type u_1
a : α
m : Multiset α
⊢ a ::ₘ m ≠ 0
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'_mono : MonotoneOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulOneClass α
MulOneClass β
f : α →*o β
⊢ ⇑↑f = ⇑f
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
n : ℕ
⊢ (↑n).card = ↑n
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
⊢ IsSubmonoid (Monoid.Closure s)
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
⊢ Disjoint s {a} ↔ a ∉ s
p q : ℚ≥0
⊢ ↑(p / q) = ↑(divNat (p.num * q.den) (p.den * q.num))
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ min |a| |b| ≤ |min a b|
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
ContinuousAdd G
a : G
⊢ IsOpenMap fun x => a + x
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
⊢ -(π / 2) ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.im
a b c d : ℝ≥0∞
⊢ a ≠ ⊤ → a ≤ b → c < d → a + c < b + d
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder α r
IsWellOrder β s
h : r ≃r s
⊢ Ordinal.type r = Ordinal.type s
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
xs : List α
n m : Fin xs.length
h : xs.get n = xs.get m
hne : n ≠ m
⊢ ¬xs.Nodup
n : Type u_1
Fintype n
A : Type u_4
DecidableEq n
CommRing A
IsDomain A
M : Matrix n n A
⊢ (∃ v, v ≠ 0 ∧ M.mulVec v = 0) ↔ M.det = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
j : Fin (n + 3)
i : Fin (n + 2)
H : j = i.castSucc
⊢ X.δ j ≫ X.δ i = X.δ i.succ ≫ X.δ i
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddMonoid β
AddAction β α
H : AddSubgroup α
self : AddAction.QuotientAction β H
b : β
a a' : α
⊢ -a + a' ∈ H → -(b +ᵥ a) + (b +ᵥ a') ∈ H
n : ℕ
⊢ List.Pairwise (fun x x_1 => x ≤ x_1) (List.range n)
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ
⊢ (𝓝[>] x).NeBot
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
self : Pretrivialization F proj
p : Z
⊢ p ∈ self.source → (↑self.toPartialEquiv p).1 = proj p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
P : C
f g : P ⟶ ⊤_ C
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
⊢ Kᗮ = Kᗮ ⊓ ⊤
n k : ℕ
h : k ≤ n
⊢ Finset.filter (fun a => a.1 ≤ k) (Finset.antidiagonal n) =
  Finset.map ((Function.Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := fun x => x + (n - k), inj' := ⋯ }) (Finset.antidiagonal k)
α : Type ua
β : Type ub
f : α → β
u : UniformSpace β
⊢ UniformContinuous f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T₁ T₂ : (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C)ᵒᵖ
φ : T₁ ⟶ T₂
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.functor C).map φ).hom₁ = φ.unop.hom₃.op
n : ℕ
⊢ IsPrimePow n → 2 ≤ n
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx1 : x < 1
hz : 0 < z
⊢ x ^ z < 1
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S T : NonUnitalSubalgebra R A
x y : A
hx : x ∈ S
hy : y ∈ T
⊢ x * y ∈ S ⊔ T
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : G → CoeSort.coe A
x : CoeSort.coe A
hf : ∀ (g : G), (A.ρ g) x - x = f g
⊢ ↑↑(groupCohomology.oneCoboundariesOfEq hf) = f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
hy' : y ∉ interior s
c : 𝕜
hc : (lineMap x y) c ∈ interior s
⊢ openSegment 𝕜 ((lineMap x y) c) y ⊆ interior s
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Finset α
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s), f i = ∏ i ∈ s, f i
α : Type u_1
UniformSpace α
T0Space α
⊢ UniformEmbedding ↑α
α : Type u
UniformSpace α
ι : Type u_1
T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
f : ι → α
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ V₀
⊢ IsClosed (Set.range f)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
s : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ NonUnitalAlgebra.adjoin R ↑s = s