ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : 0 < C
⊢ ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (W ∩ closedBall (w j) (r₁ (f j))) / μ (closedBall (w j) (r₁ (f j))) ≤ ↑(1 - C⁻¹)
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ b ∧ (m.1 - 1, m.2) ∈ b
⊢ (m.1 - 1, m.2) ∈ Finset.erase b m
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x
⊢ x ^ y < x ^ z ↔ y < z
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
⊢ (preadditiveCoyonedaObj (op G) ⋙ forget₂ (ModuleCat (End (op G))) AddCommGrp).Faithful ↔ (preadditiveCoyonedaObj (op G)).Faithful
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
A : Splitting.IndexSet (op [n])
⊢ (((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ (Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) = ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))
α : Type u
β : Type v
Group β
f : α → β
⊢ (FreeGroup.lift f).range = Subgroup.closure (Set.range f)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜₁ : Type u_7
𝕜₂ : Type u_8
inst✝⁹ : NormedDivisionRing 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedDivisionRing 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
s : Set E
f : E →SL[σ] F
σ_iso : Isometry ⇑σ
this : map (⇑σ) (𝓝 0) = 𝓝 0
hf₀ : Tendsto (⇑f) (𝓝 0) (𝓝 0)
hs : Tendsto (fun x => x • s) (𝓝 0) (𝓝 0).smallSets
⊢ Tendsto ((fun x => x • ⇑f '' s) ∘ ⇑σ) (𝓝 0) (𝓝 0).smallSets
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.equivCostructuredArrow F).functor.obj c).right.as = PUnit.unit
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Neg β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ ↑(-f) = -↑f
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Set C
x✝² x✝¹ : C
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
⊢ x✝ ∈ (full univ).arrows x✝² x✝¹ ↔ x✝ ∈ ⊤.arrows x✝² x✝¹
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
f : G ⧸ H → G
hf : ∀ (q : G ⧸ H), ↑(f q) = q
q : G ⧸ H
⊢ ↑((toEquiv ⋯) q) = f q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ Function.Bijective ⇑(AddMonoid.Coprod.swap M N)
α : Type u
CanonicallyOrderedCommSemiring α
Sub α
OrderedSub α
IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ (a - b) * c = a * c - b * c
R : Type u
CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑f.dualMap
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite
⊢ False
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : IsNormal f
a o : Ordinal.{u}
ha : a.IsLimit
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hg : a.IsFundamentalSequence o g
⊢ (o.blsub fun b hb => f (g b hb)) = f a
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hf : BddBelow (f '' Set.Ioi x)
hf_mono : Monotone f
⊢ ⨅ r, f ↑r = ⨅ q, f ↑↑q
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Add M
Add N
AddCommSemigroup P
f : AddHom M P
g : AddHom N P
p : M × N
⊢ (f.coprod g) p = f p.1 + g p.2
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
c : F
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => c) 0 s x
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
CompleteLattice δ
f : CompleteLatticeHom γ δ
g : CompleteLatticeHom β γ
h : CompleteLatticeHom α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
s : Set α
hs : μ s ≠ ⊤
hsc : IsCompact s
f : α → ℝ≥0
hf : Continuous f
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑(f x) ∂μ < ⊤
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
q : ℚ≥0
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ ↑⟨q • a, ⋯⟩ = q • a
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n m k : ℕ
hmn : m ≤ m + k
⊢ x ^ (m + k) = x ^ m ↔ m + k ≡ m [MOD orderOf x]
ι : Type u_1
α : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring α
a : α
s : Multiset ι
f : ι → α
⊢ (Multiset.map (fun i => a * f i) s).sum = a * (Multiset.map f s).sum
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
x : G
⊢ Filter.map (fun x_1 => x_1 * x) (𝓝 1) = 𝓝 x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
f : α → 𝕜
h : MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
c : 𝕜
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun x => c * f x) μ
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → Matrix m m 𝔸
h : (↑s).Pairwise fun i j => Commute (f i) (f j)
this✝¹ : SeminormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpSemiNormedRing
this✝ : NormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedRing
this : NormedAlgebra 𝕂 (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedAlgebra
⊢ exp 𝕂 (∑ i ∈ s, f i) = s.noncommProd (fun i => exp 𝕂 (f i)) ⋯
α : Type u_1
AddGroupWithOne α
m n : Num
⊢ ↑(m.sub' n) = ↑m - ↑n
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
h : b ⟶ c
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRightIso η h).inv = CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η.inv h
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ b ∈ Metric.ball a r ↔ ‖a / b‖ < r
α : Sort u
β : α → Sort v
p₁ p₂ : (a : α) ×' β a
h₁ : p₁.fst = p₂.fst
⊢ Eq.recOn h₁ p₁.snd = p₂.snd → p₁ = p₂
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.natDegree < Q.natDegree
hP : ¬P = 0
⊢ ↑P.natDegree - ↑Q.natDegree < 0
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
d : ENNReal
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
hd : d ≤ s.einfsep
⊢ d ≤ edist x y
R : Type u
Semiring R
q : ℕ
hR : ExpChar R q
x y : R
h : Commute x y
⊢ (x + y) ^ q = x ^ q + y ^ q
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
m : M
⊢ ∀ (m_1 : L), ((LieDerivation.inner R L M) m) m_1 = ⁅m_1, m⁆
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
p : P2
⊢ ⇑(AffineMap.const k P1 p) = Function.const P1 p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
f : CategoryTheory.Over X
⊢ ((CategoryTheory.overToCoalgebra X).obj f).a =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift f.hom (CategoryTheory.CategoryStruct.id f.left)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype ι
⊢ (EuclideanSpace.basisFun ι 𝕜).toBasis = PiLp.basisFun 2 𝕜 ι
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Fintype β
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
this : DecidableEq β
r' : α → Finset β := fun a => filter (fun b => r a b) univ
h : ∀ (A : Finset α), filter (fun b => ∃ a ∈ A, r a b) univ = A.biUnion r'
h' : ∀ (f : α → β) (x : α), r x (f x) ↔ f x ∈ r' x
⊢ (∀ (A : Finset α), A.card ≤ (A.biUnion r').card) ↔ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : α), f x ∈ r' x
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.20862, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c
x✝⁴ x✝³ x✝² : ι
x✝¹ : c.symm.Rel x✝⁴ x✝³
x✝ : c.symm.Rel x✝³ x✝²
⊢ (fun i j => (X.d j i).unop) x✝⁴ x✝³ ≫ (fun i j => (X.d j i).unop) x✝³ x✝² = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
h : F = G
X : C
⊢ F.obj X = G.obj X
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
p n : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ n ∣ Nat.card G
⊢ Nat.card ↥⊥ = p ^ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y) (p : CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection F (Opposite.unop X)),
  (CategoryTheory.OverPresheafAux.yonedaCollectionPresheaf A F).map f p =
    CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₂ F f.unop p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ
f : 𝕜 → 𝕜
h : ContDiff 𝕜 (↑n) f
c : 𝕜
⊢ (iteratedDeriv n fun x => f (c * x)) = fun x => c ^ n * iteratedDeriv n f (c * x)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMaxOrder α
a b : α
⊢ interior (Set.Ioc a b) = Set.Ioo a b
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : sin (angle x y) = 1
⊢ angle x y = π / 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.id h).φH = CategoryTheory.CategoryStruct.id h.H
α : Type u
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
a b : α
⊢ a ∈ (PEquiv.ofSet s) b ↔ a = b ∧ a ∈ s
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
this✝ : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable ↑b
A : Type u_3 := { p // Disjoint ↑p.1 ↑p.2 }
q : A → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' ↑(↑p).1 ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' ↑(↑p).2) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
⊢ MeasurableSet (range f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A : C
X : CategoryTheory.Subobject B
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
g : CategoryTheory.Subobject.underlying.obj X ⟶ A
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f = X.arrow
⊢ X ≤ CategoryTheory.Subobject.mk f
α : Type u
Mul α
HasDistribNeg α
a b : α
⊢ -(a * b) = a * -b
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ Algebra.adjoin R {1} = ⊥
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : Type w'
CategoryTheory.Limits.HasBiproductsOfShape K C
e : J ≃ K
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBiproductsOfShape J C
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CommMonoidWithZero α
s✝ : Multiset α
inst✝¹ : NoZeroDivisors α
inst✝ : Nontrivial α
s : Multiset α
l : List α
⊢ l.prod = 0 ↔ 0 ∈ ↑l
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a b c : ⨁ (i : ι), A i
⊢ (compHom (mulHom A)).comp (mulHom A) = ((compHom flipHom) ((compHom (mulHom A).flip).comp (mulHom A))).flip
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
g : γ → δ
f' : α' → β → δ
g' : α → α'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' a) b
⊢ g '' Set.image2 f s t = Set.image2 f' (g' '' s) t
R : Type x
Distrib R
a b x y : R
ha : SemiconjBy a x y
hb : SemiconjBy b x y
⊢ SemiconjBy (a + b) x y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
inst✝ : Semiring T
⊢ eval₂ f x (X * p) = eval₂ f x p * x
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
inst✝ : NoAtoms μ
⊢ 0 ≠ ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
s : Set α
⊢ intentClosure r (extentClosure r (intentClosure r s)) = intentClosure r s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
⊢ p.leftInv i = p.rightInv i
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v
⊢ (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * ∫ (x : ℝ), rexp (-x ^ 2 / (2 * ↑v)) = 1
M : Type u_1
R : Type u_2
GroupWithZero M
Ring R
MulSemiringAction M R
a : M
ha : a ≠ 0
S T : Subring R
⊢ a • S ≤ T ↔ S ≤ a⁻¹ • T
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
⊢ t ∈ (p.append p').support ↔ t ∈ p.support ∨ t ∈ p'.support
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a * c ≤ b * c
hc : 0 < c
⊢ c * a ≤ c * b
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
⊢ False
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
f : ↥(lp G 2)
x✝ : ι
⊢ ‖↑f x✝‖ ^ 2 = ‖↑f x✝‖ ^ ENNReal.toReal 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f : CategoryTheory.Arrow C
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
S : CategoryTheory.SplitEpi f.hom
n : ℕ
⊢ CategoryTheory.Arrow.AugmentedCechNerve.ExtraDegeneracy.s f S n ≫
    CategoryTheory.Limits.WidePullback.π (fun x => f.hom) 0 =
  (CategoryTheory.Limits.WidePullback.base fun x => f.hom) ≫ S.section_
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R T
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
b : Basis ι R S
inst✝³ : Module.Free R S
inst✝² : Module.Free R T
inst✝¹ : Module.Finite R S
inst✝ : Module.Finite R T
p : S × T
⊢ (trace R (S × T)) p = ((trace R S).coprod (trace R T)) p
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
⊢ contDiffGroupoid 0 I = continuousGroupoid H
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set (β × ℝ)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ ∅} ∂ν a = (κ a) ∅
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor ((i : I) × C i) D
h : (i : I) → (CategoryTheory.Sigma.incl i).comp F ⟶ (CategoryTheory.Sigma.incl i).comp G
i : I
X : C i
⊢ (CategoryTheory.Sigma.natTrans h).app ⟨i, X⟩ = (h i).app X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F✝
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → G i
s₁ s₂ : Finset ι
F : (i : ι) → G i := fun i => if i ∈ s₁ then f i else -f i
hF₁ : ∀ i ∈ s₁ \ s₂, F i = f i
hF₂ : ∀ i ∈ s₂ \ s₁, F i = -f i
⊢ ‖∑ x ∈ s₁ \ s₂, (V x) (f x) + ∑ x ∈ s₂ \ s₁, -(V x) (f x)‖ ^ 2 = ∑ i ∈ s₁ \ s₂, ‖f i‖ ^ 2 + ∑ i ∈ s₂ \ s₁, ‖f i‖ ^ 2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑(⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
CategoryTheory.Limits.HasWideCoequalizer f
Nonempty J
W : C
k l : CategoryTheory.Limits.wideCoequalizer f ⟶ W
h :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.wideCoequalizer.π f) k =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.wideCoequalizer.π f) l
⊢ k = l
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x y : β
⊢ (const x - const y).LimZero ↔ x = y
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Add M
Add N
Add P
f : AddHom M (N × P)
⊢ ((AddHom.fst N P).comp f).prod ((AddHom.snd N P).comp f) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f
⊢ OpenEmbedding f ↔ ∀ (i : ι), OpenEmbedding ((U i).carrier.restrictPreimage f)
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_4
Semiring α
Module α R
Module α M
SMulCommClass α R M
IsScalarTower α R M
a : α
S : Submodule R M
⊢ a • S ≤ S
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s
he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r
⊢ r ∈ p.asIdeal.primeCompl
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
X : C
p : A.obj (op X)
p' : F.obj (op (CostructuredArrow.mk (yonedaEquiv.symm p)))
q : A.obj (op X)
q' : F.obj (op (CostructuredArrow.mk (yonedaEquiv.symm q)))
h : fst ⟨p, p'⟩ = fst ⟨q, q'⟩
h' : F.map (eqToHom ⋯) (snd ⟨q, q'⟩) = snd ⟨p, p'⟩
⊢ ⟨p, p'⟩ = ⟨q, q'⟩
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
hf : Continuous f
t : Set Y
⊢ closure (f ⁻¹' t) ⊆ f ⁻¹' closure t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
hμν : μ ≪ ν.singularPart μ + μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hνs : (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)) s = 0
t : Set α
left✝ : MeasurableSet t
ht1 : (ν.singularPart μ) t = 0
ht2 : μ tᶜ = 0
⊢ μ (s ∩ ?intro.intro.intro ∪ s ∩ ?intro.intro.introᶜ) = 0
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ J > M, (fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) J
h_prM : ¬M.IsPrime
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}
x : R
hx : x ∉ M
y : R
hy : y ∉ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span R {x}
Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wy : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span R {y}
⊢ M * (M + span R {y}) + span R {x} * (M + span R {y}) ≤ M
a : UnitAddCircle
⊢ Differentiable ℂ (HurwitzZeta.completedCosZeta₀ a)
n m : Nat
k : Nat
h : n ≤ m
⊢ k * n ≤ k * m
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ T0Space X ↔ ∀ (x y : X), Inseparable x y → x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
i✝ j : Set α
hs : VectorMeasure.restrict 0 univ ≤ VectorMeasure.restrict s univ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(s.toMeasureOfZeroLE univ ⋯ hs).toSignedMeasure i = ↑s i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
g : F →L[𝕜] G
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (⇑g ∘ f) (g.compFormalMultilinearSeries p) x n r
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ midpoint ℝ p₁ p₂ ∈ AffineSubspace.perpBisector p₁ p₂
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : s ⊆ Set.range f
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk ↑s) ≤ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk ↑(f ⁻¹' s))
α : Type u_1
Mul α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le
a b c d : α
⊢ Set.Icc a b * Set.Icc c d ⊆ Set.Icc (a * c) (b * d)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
⊢ W'.dblY P = (P x ^ 2) ^ 3
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
inst✝ : Nontrivial α
h : Associates.mk p ≤ Associates.mk a
⊢ (Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors ≠ 0
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
CommRing R
Field K
Field L
Algebra K L
Algebra R L
Algebra R K
IsScalarTower R K L
Algebra.IsSeparable K L
IsDomain R
IsFractionRing R K
IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
n : ℕ
z : L
hzint : IsIntegral R z
hz : p ^ n • z ∈ Algebra.adjoin R {B.gen}
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
⊢ z ∈ Algebra.adjoin R {B.gen}
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hsu : (s ∩ u).Nonempty
hs : IsPreconnected s
⊢ Disjoint s v
α : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
uc : UniformContinuous (pkg.compare pkg')
uc' : UniformContinuous (pkg'.compare pkg)
⊢ pkg.compare pkg' ∘ pkg'.compare pkg = id
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.50566, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.50570, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ m + n + a = a''
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
p : α → α → Prop
⊢ (∀ (a b : α), r a b → p a b) → Relation.ReflTransGen r a b → Relation.ReflTransGen p a b
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Neg α
s : ι → Set α
⊢ -⋃ i, s i = ⋃ i, -s i
a b c d a' : List Γ'
⊢ update (elim a b c d) main a' = elim a' b c d
α : Type u_2
M : Matroid α
ι : Type u_3
Nonempty ι
Fs : ι → Set α
hFs : ∀ (i : ι), M.Flat (Fs i)
⊢ M.Flat (⋂ i, Fs i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.sheafOfTypesBotEquiv.unitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.SheafOfTypes ⊥))
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
MeasurableSpace ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
SecondCountableTopology ι
BorelSpace ι
TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
TopologicalSpace.MetrizableSpace ι
h : MeasureTheory.ProgMeasurable f u
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
⊢ MeasureTheory.Adapted f (MeasureTheory.stoppedProcess u τ)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
⊢ ⁅I, N⁆ ≤ N