ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
this✝ : IsDomain C
this : NoZeroSMulDivisors A L
⊢ IsLocalization (algebraMapSubmonoid C A⁰) L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Inter α
a b : α
⊢ some a ∩ some b = some (a ∩ b)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : y ∈ s ∩ closedBall x (dist y x)
hlt : infDist x s < infDist x (s ∩ closedBall x (dist y x))
z : α
hzs : z ∈ s
hz : dist x z < infDist x (s ∩ closedBall x (dist y x))
⊢ False
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
σ : Equiv.Perm α
l : List (Equiv.Perm α)
hn : l.Nodup
⊢ σ.cycleFactorsFinset = l.toFinset ↔ (∀ f ∈ l, f.IsCycle) ∧ List.Pairwise Equiv.Perm.Disjoint l ∧ l.prod = σ
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
i j : A
h : i + j = 0
X : C
e_1✝ : ((shiftFunctor C i).obj ((𝟭 C).obj X) ⟶ (𝟭 C).obj ((shiftFunctor C i).obj X)) = ((equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor.obj ((𝟭 C).obj X) ⟶ (𝟭 C).obj ((equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor.obj X))
e_3✝ : (shiftFunctor C i).obj ((𝟭 C).obj X) = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor.obj ((𝟭 C).obj X)
e_4✝¹ : (shiftFunctor C i).obj ((shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j).obj X) = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor.obj (((equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor ⋙ (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).inverse).obj X)
e_7✝ : (shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j).obj X = ((equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor ⋙ (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).inverse).obj X
e_6✝ : shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor ⋙ (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).inverse
e_4✝ : shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor ⋙ (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).inverse
⊢ (shiftFunctorCompIsoId C i j h).symm = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).unitIso
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
h0 : P.a ≠ 0 ∨ P.b ≠ 0 ∨ P.c ≠ 0 ∨ P.d ≠ 0
⊢ P.toPoly ≠ 0
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
a : R
⊢ (p - C a).natDegree = p.natDegree
R : Type u_1
S : Type u_2
EuclideanDomain R
OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
h : abv.IsEuclidean
a : R
b : R
hb : b ≠ 0
⊢ abv (a % b) < abv b
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioc 0 Y → rexp (-x) * x ^ (s.re - 1) = abs ↑(rexp (-x)) * abs (↑x ^ (s - 1))
m n : ℕ
α : Type u_1
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
b : α
⊢ Fin.append as (Fin.snoc bs b) = Fin.snoc (Fin.append as bs) b
α : Type u_1
arr : Array α
⊢ arr.toList = arr.data
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ min (f x) (f y) ≤ f (a • x + b • y)
α : Type u
Monoid α
a b c : α
Invertible c
⊢ a * c = b ↔ a = b * ⅟c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
s : Set E
g : F → G
t : Set F
hg : DifferentiableOn 𝕜 g t
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
st : Set.MapsTo f s t
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (g ∘ f) s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hAC : IsExtreme 𝕜 A C
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxB : x ∈ B
hxC : x ∈ C
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
hx₁B : x₁ ∈ B
hx₂B : x₂ ∈ B
⊢ x₁ ∈ B ∩ C ∧ x₂ ∈ B ∩ C
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ e.symm.symm = e
ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : UniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ F) 1
⊢ Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F))
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
⊢ (algebraMap B L) b ∈ dual A K I
b k l : Nat
⊢ (b + 2) ^ k ∣ (b + 2) ^ l ↔ k ≤ l
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ Disjoint (x \ z) y ↔ Disjoint x (y \ z)
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxV : ↑x ∈ V
g : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))
heq : (X.presheaf.germ x) f * (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxV⟩) g = 1
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := U ⊓ V
⊢ ∃ V i, ∃ (_ : ↑x ∈ V), IsUnit ((X.presheaf.map i.op) f)
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ Subsingleton α ↔ Subsingleton β
n m : Nat
h : n ≤ m
k : Nat
⊢ Int.subNatNat (m - n) k = Int.subNatNat m (k + n)
a b : Prop
⊢ (¬a → b) → ¬b → a
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
P : C(X, Y) → Prop
f : C(X, Y)
hf : P f
⊢ f.HomotopicWith f P
J : Type v
F : J → TypeMax
j : J
x : ∏ᶜ F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.productIso F).hom x j = CategoryTheory.Limits.Pi.π F j x
α : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
hn : ∀ (a b c : R), a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → {a, b, c}.gcd id = 1 → a ^ n + b ^ n ≠ c ^ n
a b c : R
s : Finset R := {a, b, c}
d : R := s.gcd id
A : R
hA : a = d * A
B : R
hB : b = d * B
C : R
hC : c = d * C
ha : d ≠ 0 ∧ A ≠ 0
hb : d ≠ 0 ∧ B ≠ 0
hc : d ≠ 0 ∧ C ≠ 0
habc : d ^ n * A ^ n + d ^ n * B ^ n = d ^ n * C ^ n
⊢ False
M : Type v
X : Type x
UniformSpace X
VAdd M X
UniformContinuousConstVAdd M X
c : M
x : X
⊢ ↑X (c +ᵥ x) = c +ᵥ ↑X x
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf (CategoryTheory.Discrete Unit) X
⊢ F.IsSheaf
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
z : (type r).cof = 1
S : Set α
hl : Unbounded r S
e : #↑S = (type r).cof
⊢ ∃ a, type r = succ a
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
CauSeq.IsComplete β abv
s : CauSeq β abv
⊢ ∃ b, s ≈ CauSeq.const abv b
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
x : α × Bool
H : FreeAddGroup.Red.Step L₁ L₂
⊢ FreeAddGroup.Red.Step (x :: L₁) (x :: L₂)
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
self : Configuration.Nondegenerate P L
p : P
⊢ ∃ l, p ∉ l
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → β
x : α
hs : x ∈ s
h : x ∈ s → ¬p x
⊢ (if p x then f x else 1) = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : F → β
s : Set F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
g : E →ₗ[𝕜] F
x : E
hx : x ∈ ⇑g ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑g ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (g (a • x + b • y)) = f (a • g x + b • g y)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
n : ℕ∞
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
f g : E → 𝔸
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ContDiffAt 𝕜 n g x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x * g x) x
R : Type u
CommSemiring R
q : ℕ
hR : ExpChar R q
n : ℕ
x y : R
⊢ (x + y) ^ q ^ n = x ^ q ^ n + y ^ q ^ n
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
a_pos : 0 < a
b_pos : 0 < b
c_neg : c < 0
⊢ (a + b) * c = a * c + b * c
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
X : (c d : C) → Set (c ⟶ d)
⊢ generated X ≤ generatedNormal X
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
ι' : Sort u_6
inst✝ : Mul M
ts : ι' → TopologicalSpace M
h' : ∀ (i : ι'), ContinuousMul M
⊢ ContinuousMul M
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f
⊢ IsZero Y ↔ f = 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F G F'✝ G' : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : F'✝ ⟶ G'
F' : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (tensorObj F F').map f ≫ (α.app Y ⊗ 𝟙 (F'.obj Y)) = (α.app X ⊗ 𝟙 (F'.obj X)) ≫ (tensorObj G F').map f
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
fpow : ∀ {c x : ℝ}, 0 < c → ∀ (u : ℝ), 0 < x → rexp (-x) * x ^ (u - 1) = f c u x ^ (1 / c)
f_mem_Lp : ∀ {c u : ℝ}, 0 < c → 0 < u → Memℒp (f c u) (ENNReal.ofReal (1 / c)) (volume.restrict (Ioi 0))
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (a * s + b * t - 1) ≤ (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ^ a * (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (t - 1)) ^ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S : CategoryTheory.ComposableArrows C (n + 2)
hS : S.Exact
⊢ S.δlast.Exact
m n : ℕ
⊢ (m + n).gcd n = m.gcd n
xs ys : Lean.Omega.Coeffs
⊢ ↑xs.gcd ∣ xs.dot ys
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h : μ s = μ univ
t : Set α
ht₁ : MeasurableSet t
ht₂ : t =ᶠ[ae μ] s
⊢ s =ᶠ[ae μ] univ
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).cos * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
inst✝ : IsTrans α r
a : α
l : List α
a✝ : Chain r ↑l → ∀ a ∈ ↑l, ∀ b ∈ ↑l, r a b
hs : List.Pairwise r (a :: (l ++ [a]))
b : α
hb : b ∈ ↑(a :: l)
c : α
hc : c ∈ ↑(a :: l)
⊢ r b c
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure β
x : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((Kernel.sum fun n => const α (μ n)) x) s = ((const α (Measure.sum μ)) x) s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (f =o[l] fun x => ‖c • f' x‖) ↔ f =o[l] f'
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
⊢ t.disjiUnion (fun a => Finset.filter (fun x => f x = a) s) ⋯ = Finset.filter (fun c => f c ∈ t) s
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : Products I
hl : ↑l ≠ []
hlh : (↑l).head! = term I ho
hlc : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (term I ho :: ↑l.Tail)
x : ↑(C' C ho)
⊢ ((if ∀ i ∈ ↑l.Tail, SwapTrue o (↑x) i = true then (e C (term I ho)) ⟨SwapTrue o ↑x, ⋯⟩ else 0) - if ∀ i ∈ ↑l.Tail, ↑x i = true then (e C (term I ho)) ⟨↑x, ⋯⟩ else 0) = if ∀ i ∈ ↑(Tail ⟨term I ho :: ↑l.Tail, hlc⟩), ↑x i = true then 1 else 0
α : Type u_1
⊢ MeasurableSpace.generateFrom {∅} = ⊥
α : Type u
β : Type v
f✝ : α → α
m✝ n✝ : ℕ
a : α
f : α → α
m n : ℕ
⊢ f^[n * m] = f^[m * n]
α : Type u_2
Monoid α
m : α
⊢ IsSquare m ↔ ∃ c, m = c ^ 2
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
a b : Complementeds α
⊢ ↑a < ↑b ↔ a < b
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type v
f : α → β
x : Comp F G α
⊢ (Seq.seq (pure f) fun x_1 => x).run = (f <$> x).run
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
X : F.Elementsᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.costructuredArrowYonedaEquivalenceFunctorProj F).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.unop (Opposite.unop X).1)
α : Type u_2
AddMonoid α
a : α
⊢ Even (2 • a)
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
g : HNNExtension G A B φ
w : NormalWord d
⊢ ReducedWord.prod φ (g • w).toReducedWord = g * ReducedWord.prod φ w.toReducedWord
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
DecidableRel R
a b : α
h : ¬R b a
⊢ List.destutter' R b (a :: l) = List.destutter' R b l
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x y : R✝
r : ℝ
inst✝⁴ : NonAssocRing R✝
inst✝³ : DecidableEq R✝
inst✝² : NoZeroDivisors R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
f : MulRingNorm R
⊢ f.equiv f
m : ℤ
n : ℕ
ihn : 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (2 * n), (m - ↑k)
⊢ 0 ≤ (∏ x ∈ Finset.range ((1 + 1) * n), (m - ↑x)) * ((m - ↑((1 + 1) * n)) * (m - ↑((1 + 1) * n + 1)))
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
⊢ ⊥.jacobson ≤ J
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
h : IsEmpty α
f g : BoundedContinuousFunction α β
⊢ f = g
R : Type u_4
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
e : R ≃+* S
⊢ e.symm.toNonUnitalRingHom.comp e.toNonUnitalRingHom = NonUnitalRingHom.id R
G : Type u_1
Group G
x : G
hx : IsOfFinOrder x
n : Fin (orderOf x)
⊢ (finEquivZPowers x hx) n = ⟨x ^ ↑n, ⋯⟩
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E
⊢ ‖m.prod‖ ≤ (Multiset.map toReal (Multiset.map (fun x => ‖x‖₊) m)).sum
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁸ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁷ : AddGroup ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : MeasurableSingletonClass ι
inst✝¹ : SecondCountableTopology ι
inst✝ : MeasurableSub₂ ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j}
⊢ MeasurableSet {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j}
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s ≤ ρ s
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ j → biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) b ≫ (F b).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) b = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommMonoid M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
ι : Type u_4
s : Finset ι
g : ι → M'
i : { x // x ∈ s }
⊢ f (IsLocalizedModule.integerMultiple S f s g i) = IsLocalizedModule.commonDenom S f s g • g ↑i
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ ∀ (a : ↥S.toSubsemiring), S.algEquivOpMop a = MulOpposite.op (S.addEquivOp a)
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
⊢ χ * 1 = χ
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
f : α → β
h : (↑∅).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
⊢ ∅.noncommProd f h = 1
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * sa • r₂ = rb * ↑s₁
hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S
ha' : ↑(sb * sa * s₂) = ↑sb * ra * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * (↑sb * ra) • r₃ = rc * ↑s₁
hc' : ((↑sb * ra) • r₃ /ₒ (sb * sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rc • r₁ /ₒ (sc * (sb * sa * s₂))
⊢ ((sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = (sc • rb • r₁ + 1 • rc • r₁) /ₒ (sc * (sb * (sa * s₂)))
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G : OplaxFunctor B C
η θ ι : F ⟶ G
app : (a : B) → η.app a ≅ θ.app a
naturality : ∀ {a b : B} (f : a ⟶ b), F.map f ◁ (app b).hom ≫ θ.naturality f = η.naturality f ≫ (app a).hom ▷ G.map f
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ F.map f ◁ (fun a => (app a).inv) b ≫ η.naturality f = θ.naturality f ≫ (fun a => (app a).inv) a ▷ G.map f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
hg : HasStrictFDerivAt g g' (f x)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => g (f x)) (g'.comp f') x
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)
⊢ Irreducible f
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
⊢ Irreducible (f.comp g)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Function.Injective f
⊢ Function.Injective (List.map f)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ ¬Monotone f ∧ ¬Antitone f ↔ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E
⊢ e.symm (e x) = x
R : Type u_1
A : Type u_2
Zero R
a : A
⊢ (↑a).fst = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ xs : List M
⊢ xs.prod * [].prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs []).prod * (drop [].length xs).prod * (drop xs.length []).prod
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ (∀ (b : α), ∀ x ∈ s.val, f x = b → b ∣ a) ↔ ∀ b ∈ s, f b ∣ a
f : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.contSupp (Turing.PartrecToTM2.Cont'.comp f k) = Turing.PartrecToTM2.codeSupp f k
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
T2Space X
f g : Y → X
l : Filter Y
a b : X
l.NeBot
ha : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
hb : Filter.Tendsto g l (𝓝 b)
hfg : f =ᶠ[l] g
⊢ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
T : Set (Set β)
hT : T.Nonempty
s : Set α
⊢ ⋂ r ∈ {s} ×ˢ T, r.1 ×ˢ r.2 = ⋂ t ∈ T, s ×ˢ t
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
⊢ cosh (3 * x) = 4 * cosh x ^ 3 - 3 * cosh x
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
c : R
p : N
this✝ : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq
this : DecidableEq ι₂ := ⋯.decidableEq
⊢ (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i (c • p)) = c • (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i p)
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
f : LocallyConstant ↑C ℤ
⊢ ∃ s g,
  f = LocallyConstant.comap { toFun := Profinite.NobelingProof.ProjRestrict C fun x => x ∈ s, continuous_toFun := ⋯ } g
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
x : Z
ex : x ∈ e.source
⊢ Filter.map proj (𝓝 x) = 𝓝 (proj x)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
j : StructuredArrow (op X) G.op
⊢ lift hF hR s ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right = liftAux hF α s j.hom.unop
S : Set Ordinal.{u}
⊢ enumOrd Set.univ = id
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
Monoid α
DistribMulAction α A
a : α
S : AddSubmonoid A
⊢ ↑(a • S) = a • ↑S
G : Type u_3
CommGroup G
a b c d : G
⊢ a / b = c / d ↔ a * d = c * b