ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → γ
g : β → γ
e : (c : γ) → { a // f a = c } ≃ { b // g b = c }
a : α
⊢ g ((Equiv.ofFiberEquiv e) a) = f a
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ o.oangle x ((o.rotation θ) x) = θ
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : WellPowered C
inst✝ : HasWidePullbacks C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
hf : f ∈ s
⊢ sInf s ≤ f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
f : C(X, ℝ)
⊢ f ∈ A.topologicalClosure
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝ : Set α
hs : x✝ ∈ atBot
h✝ : IsEmpty α
⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ x✝
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (nilradical R).IsPrime
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hm : f.Monic
R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R
ψ : R' →+* S := Ideal.Quotient.lift (nilradical R) φ ⋯
ι : R →+* R' := algebraMap R R'
hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)
a b : R[X]
h : f = a * b
hb : IsUnit (Polynomial.map ι b)
hn : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (b.coeff i)
hc : 1 - a.coeff f.natDegree * b.coeff 0 = ∑ x ∈ Finset.range f.natDegree, a.coeff x * b.coeff (f.natDegree - x)
⊢ IsUnit (-(a.coeff f.natDegree * b.coeff 0))
m : ℕ∞
⊢ ↑m + Cardinal.aleph0 = Cardinal.aleph0
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
⊢ SemidirectProduct.right 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
n : ℕ
IH : ∀ (ts : List α), ts.length < n → ts.permutations ~ ts.permutations'
ts✝ : List α
h✝ : ts✝.length < n + 1
ts : List α
t : α
x✝ : ts.length < n + 1 → ts.permutations ~ ts.permutations'
h : ts.length < n
IH₂ : ts.reverse.permutations ~ ts.permutations'
⊢ (ts.permutations'.bind fun x => (permutationsAux2 t [] [] x id).2 ++ [x ++ [t]]) = ts.permutations'.bind (permutations'Aux t)
K : Type u_1
RCLike K
⊢ RCLike.I⁻¹ = -RCLike.I
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l : List α
n : ℕ
hl : (b :: l).Nodup
⊢ b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l = b :: List.filter (fun a => elem a (b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l)) l
β : Type u_2
inst✝ : Fintype β
⊢ ‖PEmpty.{u_1 + 1} ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖PEmpty.{u_1 + 1}‖
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
⊢ SameRay R (x -ᵥ x) (y -ᵥ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
⊢ List.map f l₁ ~ List.map f l₂
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
U : Type u_2
CommRing U
Algebra R U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
h'' : IsAdjoinRoot U f
⊢ (h.aequiv h').trans (h'.aequiv h'') = h.aequiv h''
n : ℕ
⊢ (↑n).toNNReal = ↑n
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (imageUnopOp g).inv ≫ (factorThruImage g.unop).op = image.ι g
m n : ℕ
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
s : Set ι'
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ ⇑(piCongrLeft α f) ⁻¹' (⇑f '' s).pi t = s.pi fun i => t (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0
heq : s.restrict (S ∩ T)ᶜ = (μ.singularPart ν).restrict (S ∩ T)ᶜ
⊢ s = μ.singularPart ν
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n : ℕ
⊢ CauSeq.lim ⟨fun n => (↑(exp' ↑x) n).re, ⋯⟩ = rexp x
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle R F E
e e' : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
he : e ∈ a.pretrivializationAtlas
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
⊢ (a.coordChange he he' b) v = (↑e' { proj := b, snd := e.symm b v }).2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : ι → Set E
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ PartENat.card ι
h_convex : ∀ (i : ι), Convex 𝕜 (F i)
h_compact : ∀ (i : ι), IsCompact (F i)
h_inter : ∀ (I : Finset ι), I.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
⊢ (⋂ i, F i).Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
CategoryTheory.BraidedCategory C
self : CategoryTheory.FullSubcategory P
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.fullBraidedSubcategoryInclusion P).obj self = self.obj
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g
⊢ ker f ≤ ker (f ∘ₗ g)
p : ℤ[X]
hp : p.IsUnitTrinomial
h : ∀ (z : ℂ), ¬((aeval z) p = 0 ∧ (aeval z) p.mirror = 0)
q : ℤ[X]
hq : q ∣ p
hq' : q ∣ p.mirror
hq'' : 0 < (map (algebraMap ℤ ℂ) q).degree
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ edist (MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf) (MeasureTheory.Integrable.toL1 g hg) = ∫⁻ (a : α), edist (f a) (g a) ∂μ
⊢ FinPartOrd.dualEquiv.functor = FinPartOrd.dual
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x y : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
n : ℕ
⊢ (eval₂Hom (g.comp (algebraMap ℤ R)) fun i => g (![x.coeff, y.coeff] i.1 i.2)) (φ n) = (aeval fun a => ![((WittVector.map g) x).coeff, ((WittVector.map g) y).coeff] a.1 a.2) (φ n)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α ↪o β
⊢ Monotone ⇑f
α : Type u
Semiring α
x y : α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, MulOpposite.op y ^ (n - 1 - i) * MulOpposite.op x ^ i =
  ∑ i ∈ Finset.range n, MulOpposite.op y ^ i * MulOpposite.op x ^ (n - 1 - i)
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
p : α → Prop
⊢ Continuous p ↔ IsOpen {x | p x}
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
A : C
f₁ f₂ : Subobject A
inst✝ : HasBinaryProduct f₁ f₂
⊢ (f₁ ⨯ f₂) ≤ f₁ ⊓ f₂
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ W.ΨSq (2 * (↑m + 2) + 1) = ((W.preΨ' (m + 4) * W.preΨ' (m + 2) ^ 3 * if Even m then W.Ψ₂Sq ^ 2 else 1) - W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else W.Ψ₂Sq ^ 2) ^ 2
α : Type u_2
Preorder α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Interval α
⊢ s / ⊥ = ⊥
s : Finset ℕ
n a : ℕ
hn : 2 ≤ n
hi : a ∈ s
⊢ a < ∑ i ∈ s, n ^ i
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List (List α)
n : ℕ
l : List α
L : List (List α)
ih : (∀ (l : List α), l ∈ L → l.length = n) → Nat.sum (map length L) = n * L.length
H : ∀ (l_1 : List α), l_1 ∈ l :: L → l_1.length = n
⊢ Nat.sum (map length (l :: L)) = n * (l :: L).length
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : α
⊢ LinearMap.ker (Finsupp.lsingle a) = ⊥
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
EDist α
EDist β
hp : 0 < p.toReal
f g : WithLp p (α × β)
⊢ edist f g = (edist f.1 g.1 ^ p.toReal + edist f.2 g.2 ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
R : Type u
CommRing R
W : ℤ → R
h : IsDivSequence W
x : R
⊢ IsDivSequence (x • W)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder β
SuccOrder β
IsSuccArchimedean β
s : β → Set α
H : ∀ (n : β), IsPreconnected (s n)
K : ∀ (n : β), (s n ∩ s (Order.succ n)).Nonempty
⊢ IsPreconnected (⋃ n, s n)
α : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid α
s : AddSubmonoid α
b : ↥s
a : α
⊢ (AddLocalization.mkOrderEmbedding b) a = (AddLocalization.addMonoidOf s).mk' a b
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.WOppSide x y
⊢ (↑s).Nonempty
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
hS : 0 ∉ S
I : FractionalIdeal S P
hI : I.num = ⊥
x : P
hx : x ∈ ↑I
⊢ ↑I.den • x = 0
τ : ℂ
⊢ jacobiTheta (2 + τ) = jacobiTheta τ
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i : ι, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype (LinearMap.ker ϕ)
N' : Submodule R O := map N.subtype (LinearMap.ker (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M))
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis (Fin n') R ↥N'
m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis (Fin m') R ↥M'
as : Fin n' → R
h : ∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))
i : Fin (n' + 1)
⊢ ↑(Fin.cons ⟨y, yN⟩ (⇑(inclusion N'_le_N) ∘ ⇑bN') i) = Fin.cons a as i • ↑(Fin.cons ⟨y', y'M⟩ (⇑(inclusion M'_le_M) ∘ ⇑bM') (Fin.castLE ⋯ i))
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
s : Set (Set A)
hsn : s.Nonempty
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, AlgebraicIndependent R Subtype.val
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
y z : M
hyz : SameRay R y z
hxy : SameRay R 0 y
hy : y = 0 → 0 = 0 ∨ z = 0
⊢ SameRay R 0 z
R : Type u_1
n i✝ : ℕ
a✝ : i✝ ∈ range (2 * n + 1)
⊢ (2 * n).choose i✝ ≤ (2 * n).choose (2 * n / 2)
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
φ : MvPolynomial (MvPolynomial σ R) R
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom MvPolynomial.C id) φ = MvPolynomial.join₁ φ
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e e' : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
⊢ ↑e = ↑e' ↔ e = e'
b : ℂ
ι : Type u_2
Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ)) MeasureTheory.volume
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n x : ℕ
hx : x ∈ range n
⊢ (wittMul p x ^ p ^ (n - x)).vars ⊆ univ ×ˢ range n
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
H : C ⥤ D
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (H.mapCone c).pt = H.obj c.pt
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
g : L →ᴸ L'
T : L.Theory
φ : L'.Sentence
⊢ φ ∈ g.onTheory T ↔ ∃ φ₀ ∈ T, g.onSentence φ₀ = φ
G : Type u_2
MeasurableSpace G
InvolutiveNeg G
MeasurableNeg G
μ : MeasureTheory.Measure G
⊢ μ.neg.neg = μ
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.1 / p.2‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer I
a : I.L
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.multifork I).π.app (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.left a) =
  CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι I a
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ (Equiv.symm i.cycleRange) 0 = i
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
h : u ≠ v
p : G.Walk u v
⊢ ¬p.length = 0
K : Type u_1
hK : NormedField K
h : IsNonarchimedean (sorryAx (K → ℝ) true)
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
Γ₀ : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
val : Valued L Γ₀
hv : v.RankOne
x : L
hx : norm x = 0
⊢ x = 0
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R✝
inst✝⁴ : Ring S
f : R✝ →+* S
I✝ : Type u_3
e : I✝ → R✝
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝³ : Fintype I✝
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
I : Type u_4
inst✝² : Fintype I
inst✝¹ : DecidableEq I
R : I → Type u_5
inst✝ : (i : I) → Ring (R i)
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents fun x => Pi.single x 1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C
CategoryTheory.Abelian C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
X : ChainComplex C α
A : Type u_4
Ring A
CategoryTheory.Linear A C
Y : C
i j : α
⊢ (X.linearYonedaObj A Y).d i j = ModuleCat.ofHom (CategoryTheory.Linear.leftComp A Y (X.d j i))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
H : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y
k : α →. σ
hk : Partrec k
K : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
a : α
x : σ
h : x ∈ f a ∨ x ∈ g a
this : (k a).Dom
⊢ x ∈ k a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∑' (i : ι), ↑(ε' i) < ε
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
OpensMeasurableSpace α
μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
⊢ μ.IsEverywherePos (μ.everywherePosSubset s)
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : (i : ι) → NonUnitalSemiring (A i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
x y z : ⨂[R] (i : ι), A i
⊢ (mul ((mul x) y)) z = (mul x) ((mul y) z)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
Nontrivial R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Finite R L
Module.Free R L
Module.Finite R M
Module.Free R M
x y : L
i j : ℕ
hij : i + j = FiniteDimensional.finrank R M
⊢ ((LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j
x : ℝ
⊢ √x = 0 ↔ x ≤ 0
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
f : F[X]
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
⊢ f = (Lagrange.interpolate s v) fun i => Polynomial.eval (v i) f
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
s t : A
x : L
m : M
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (s ⊗ₜ[R] x)) (t ⊗ₜ[R] m) = (s * t) ⊗ₜ[R] ⁅x, m⁆
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
⊢ nil.append s = s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : SupSet α
inst✝² : SupSet β
inst✝¹ : SupSet γ
inst✝ : SupSet δ
g : sSupHom β γ
f₁ f₂ : sSupHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
⊢ IsQuasiSeparated U.carrier → ∀ (f : ↑Γ(X, U)) (x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ n y, (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
self : CategoryTheory.GlueData C
i j k : self.J
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPullback (self.f i j) (self.f i k)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
hsc : sᶜ.Finite
⊢ (s ∪ sᶜ).Finite
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
⊢ t.orthocenter = 3 • (centroid ℝ univ t.points -ᵥ circumcenter t) +ᵥ circumcenter t
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsIrrefl α r
s : Multiset α
⊢ ¬Relation.CutExpand r s 0
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
n d : F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ W.toAffine.negAddY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (n / (P z * Q z * d)) =
  (n *
        (n ^ 2 + W.a₁ * n * P z * Q z * d - W.a₂ * P z ^ 2 * Q z ^ 2 * d ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * d ^ 2 -
            Q x * P z ^ 2 * d ^ 2 -
          P x * Q z ^ 2 * d ^ 2) +
      P y * Q z ^ 3 * d ^ 3) /
    (P z * Q z * d) ^ 3
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂✝ a₂ : α
hf : HasSum f a₁
⊢ HasSum (fun i => f i * a₂) (a₁ * a₂)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ : List (Sigma β)
⊢ b ∈ List.dlookup a (l₁.kunion l₂) ↔ b ∈ List.dlookup a l₁ ∨ a ∉ l₁.keys ∧ b ∈ List.dlookup a l₂
α : Type u
σ : Type v
α' : Type u_1
f : α' → α
M : DFA α σ
⊢ (DFA.comap f M).start = M.start
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
Zero β
hf : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
⊢ f =ᵐ[μ] MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable.mk f hf
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.62056, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
inst✝ : S.HasHomology
this : IsSplitMono S.fromOpcycles
⊢ Mono S.fromOpcycles
M : Type u
AddMonoid M
X Y Z : CategoryTheory.Discrete M
⊢ α_ X Y Z = CategoryTheory.Discrete.eqToIso ⋯
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.512830
Bₘ : Type ?u.512833
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
⊢ (algebraMap A K) ((intNorm A B) x) = (norm K) ((algebraMap B L) x)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : R1Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
l : List K
⊢ (∀ x ∈ l, x ∈ s) → l.prod ∈ s
M : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing M
a : M
ha : a ∈ center M
x✝¹ x✝ : M
⊢ -a * (x✝¹ * x✝) = -a * x✝¹ * x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
⊢ κ.compProd (η.restrict ht) = (κ.compProd η).restrict ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k✝ N : ℕ
x : Fin n → ℕ
k n✝¹ n✝ : ℕ
⊢ (sphere (n✝¹ + 1) (n✝ + 1) k).card ≤ rothNumberNat ((2 * (n✝ + 1) - 1) ^ (n✝¹ + 1))
x : ℝ
h₁ : x ≠ -1
h₂ : x ≠ 1
⊢ HasStrictDerivAt Real.arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) x
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
a b : α
ha : IsGreatest s a
hb : IsGreatest t b
hst : s ⊆ t
⊢ a ≤ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.equivSubZero φ₁ φ₂) h =
  (h.sub (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.refl φ₂)).trans (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofEq ⋯)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
P : Ideal R
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < f.degree → f.coeff n ∈ P
n : ℕ
hf0 : ¬f = 0
h : ↑n = f.degree
⊢ (map (mk P) f).coeff n = (C ((mk P) f.leadingCoeff) * X ^ f.natDegree).coeff n
M : Type u_1
Add M
c d : AddCon M
⊢ c ⊔ d = addConGen (⇑c ⊔ ⇑d)
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
⊢ ∃ B, ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < min p.radius q.radius
⊢ ↑r ≤ (p + q).radius
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp1 : p % 4 = 1
hq1 : q ≠ 2
h : p ≠ q
⊢ IsSquare ↑q ↔ IsSquare ↑p
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f₁ f₂ : X ⟶ Y
⊢ L.map (f₁ + f₂) = L.map f₁ + L.map f₂
m : Type u → Type v
h : Applicative m
CommApplicative m
α β γ : Type u
a : m α
b : m β
f : α → β → γ
⊢ (Seq.seq (f <$> a) fun x => b) = Seq.seq (flip f <$> b) fun x => a