ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖ = ‖fun i j => A i j‖
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v✝ : ι → M
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing R₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M''
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
G : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G R
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → G
j : M
hj : ∀ (p : Submodule R M), Set.range v ⊆ ↑p → j ∈ p
⊢ ∀ (p : Submodule R M), Set.range (w • v) ⊆ ↑p → j ∈ p
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 1 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)
ψ : mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) ⟶ mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) := homMk₃ (𝟙 ((mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)).obj' 0 ⋯)) (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) ⋯ ⋯ ⋯
⊢ (ShortComplex.mk ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯) ⋯).Exact
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
V' : Type u_3
P' : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup V'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : MetricSpace P'
inst✝ : NormedAddTorsor V' P'
f : P → P'
h : Isometry f
p₁ p₂ x : P
⊢ x ∈ f ⁻¹' ↑(perpBisector (f p₁) (f p₂)) ↔ x ∈ ↑(perpBisector p₁ p₂)
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
x : G
⊢ ↑x = 1 ↔ x ∈ N
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f : α → β
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ Filter.EventuallyConst f l ↔ ∃ i, p i ∧ ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s i, f x = f y
R : Type u
Ring R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
⊢ ∀ (x : X), ContinuousAt (fun x => ∫ (y : Y) in s, f x y ∂μ) x
α : Sort u
β : Sort v
x : α
y : β
f : α ≃ β
⊢ f x = y ↔ x = f.symm y
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal
hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
h₁ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal
h₂ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∉ p₂.asIdeal
h₃ : t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ Nonempty (C ≌ CategoryTheory.Discrete PUnit.{w + 1}) ↔ Nonempty C ∧ ∀ (x y : C), Nonempty (Unique (x ⟶ y))
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u i).indicator f y - (u i).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
n : ℕ
hn : x ∈ u n
⊢ (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) =ᶠ[v.filterAt x] fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α →CO β
⊢ (ContinuousOpenMap.id β).comp f = f
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set R
⊢ Submodule.torsionBySet R (↥(Submodule.torsionBySet R M s)) s = ⊤
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
⊢ ⇑(pullback.snd (Scheme.forgetToTop.map f) (Scheme.forgetToTop.map g)) '' (⇑(pullback.fst f.val.base g.val.base) ⁻¹' Set.univ) = (g ⁻¹ᵁ Scheme.Hom.opensRange f).carrier
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ.AbsolutelyContinuous ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.llr μ (c • ν) =ᵐ[μ] fun x => MeasureTheory.llr μ ν x - Real.log c.toReal
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)
⊢ ∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
⊢ ascPochhammer ℕ (n + 1) = ascPochhammer ℕ n * (X + ↑n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
d e : CategoryTheory.Factorisation f
self : d.Hom e
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.h e.π = d.π
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
⊢ ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x ↔ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u
a b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
b c : ℕ
⊢ 0 / c * b / 0 ≤ b / c
α : Type u_1
NontriviallyNormedField α
⊢ ∃ x, 1 < ‖x‖
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
mono_of_mem : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, s ∈ 𝓝[t] x → P f s x → P f t x
h : LiftPropWithinAt P g s x
hst : s ∈ 𝓝[t] x
⊢ LiftPropWithinAt P g t x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Pretriangulated.contractibleTriangleFunctor C).map f).hom₁ = f
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : SemilatticeSup δ
g : γ → δ
h : (image₂ f s t).Nonempty
⊢ (image₂ f s t).sup' h g = s.sup' ⋯ fun x => t.sup' ⋯ fun x_1 => g (f x x_1)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this✝ : QuasiSober ↑U
H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)
this : H.genericPoint ∈ Subtype.val ⁻¹' closure t
⊢ IsGenericPoint (↑H.genericPoint) t
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p q : Multiset (Associates α)
hp : ∀ a ∈ p, Irreducible a
hq : ∀ a ∈ q, Irreducible a
c : Associates α
eqc : q.prod = p.prod * c
⊢ p ≤ q
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
p : P1
⊢ (f -ᵥ g) p = f p -ᵥ g p
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
t : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : PolishSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
tβ : TopologicalSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β
f : α → β
inst✝ : SecondCountableTopology ↑(range f)
hf : Measurable f
⊢ ∃ t' ≤ t, Continuous f ∧ PolishSpace α
x y : ℤ[i]
⊢ (GaussianInt.toComplex (x / y)).im = ↑(round (GaussianInt.toComplex x / GaussianInt.toComplex y).im)
α : Type u
Add α
a b : WithTop α
⊢ a + b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∨ b = ⊤
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherianRing R
h : FiniteType R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
hnoet : IsNoetherian (MvPolynomial (Fin n) R) (MvPolynomial (Fin n) R)
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
⊢ ∫ (a : Ω), (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2 ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a
α : Type u
UniformSpace α
CompleteSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
⊢ CompleteSpace ↑s
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α✝
x✝ y : α✝
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x
hffx : f (f x) ≠ x
⊢ (swap x (f x) * f) (f x) ≠ f x
n : Nat
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α}, (List.replicate n a).isEmpty = decide (n = 0)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
SemilatticeInf β
f g : α → β
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
hg : MonotoneOn g s
⊢ MonotoneOn (f ⊓ g) s
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_3}
⊢ a ≤ b + a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸'
⊢ d • c' = c'.smulRight d
α : Sort u_1
β : Sort u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Injective f
x y z : α
⊢ f ((Equiv.swap x y) z) = if f z = f x then f y else if f z = f y then f x else f z
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
hp : ∀ {g' : SL(2, ℤ)}, g' • z ∈ 𝒟ᵒ → ↑g' 1 0 ≠ 1
hn : ↑g 1 0 ≠ -1
⊢ ↑g 1 0 = 0
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
h : StarConvex ℝ x s
hne : s.Nonempty
⊢ ContractibleSpace ↑s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Transitive R
s✝ t✝ u✝ : WSeq α
h1✝¹ : LiftRel R s✝ t✝
h2✝¹ : LiftRel R t✝ u✝
s u t : WSeq α
h1✝ : LiftRel R s t
h2✝ : LiftRel R t u
h1 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
h2 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) t.destruct u.destruct
a c : Option (α × WSeq α)
ha : a ∈ s.destruct
hc : c ∈ u.destruct
⊢ LiftRelO R (fun s u => ∃ t, LiftRel R s t ∧ LiftRel R t u) a c
α : Type u_1
⊢ OrderDual.toDual.symm = OrderDual.ofDual
β : Type u_2
α : Type u_6
ConditionallyCompleteLattice β
f : Filter α
u v : α → β
h : ∀ᶠ (a : α) in f, u a = v a
⊢ Filter.limsup u f = Filter.limsup v f
l : List ℕ
h : ∀ p ∈ l, Nat.Prime p
this : ↑(ofNatMultiset (↑l) h).prod = (↑l).prod
⊢ ↑(ofNatList l h).prod = l.prod
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
Zero I
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
F : CategoryTheory.Functor D (CategoryTheory.Functor C D)
Y : C
e : F.flip.obj Y ≅ CategoryTheory.Functor.id D
X : CategoryTheory.GradedObject J D
a : J × I
ha : a.2 = 0
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorObjObjSingle₀Iso F Y e X a ha).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((F.obj (X a.1)).map (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIsoOfEq 0 Y a.2 ha).hom) (e.hom.app (X a.1))
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
q : Seminorm 𝕜 E
ε : ℝ
C : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), (∀ i ∈ s, (p i) x < ε) → ∀ j ∈ s, ε / ‖c‖ ≤ (p j) x → q x ≤ (C • p j) x
x : E
j : ι
hj : j ∈ s
hjx : (p j) x ≠ 0
this : (s.sup p) x ≠ 0
y : E
hle : ε / ‖c‖ ≤ (s.sup p) y
hlt : (s.sup p) y < ε
⊢ q y ≤ (C • s.sup p) y
α : Type u_1
H : SemilatticeInf α
⊢ OrderDual.instSemilatticeInf αᵒᵈ = H
A B : CommRingCat
⊢ (A.prodFan B).pt = CommRingCat.of (↑A × ↑B)
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f | f (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f | f (inr x, inr y) = dist x y}
I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, y) = f (y, x)}
I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z)}
I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, x) = 0}
I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)}
⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
s : Injective ⇑f
⊢ Surjective ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
M : Type u_4
inst✝ : One M
f : α → M
s : Set α
⊢ s.mulIndicator f =ᶠ[ae μ] 1 ↔ μ (s ∩ Function.mulSupport f) = 0
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter α
f.NeBot
h₁ : Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) f := by isBoundedDefault
h₂ : Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) f := by isBoundedDefault
⊢ f.limsInf ≤ f.limsSup
S : Set Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
hf : StrictMono f
o a : Ordinal.{u_1}
H : ∀ k < a, enumOrd (range f) k = f k
Hfa : f a ∈ range f ∩ {b | ∀ c < a, enumOrd (range f) c < b}
c : Ordinal.{u_1}
hc : ∀ b < a, enumOrd (range f) b < f c
⊢ f a ≤ f c
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y
⊢ (fun x => f' (g x - g a) - (x - a)) =o[𝓝 a] fun x' => x' - a
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g SimpleGraph.turanGraph n r
hr : 0 < r
⊢ G.IsTuranMaximal r
F : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalRingHomClass F A B
NonUnitalStarRingHomClass F A B
f : F
hf : Function.Bijective ⇑f
⊢ ⇑(StarRingEquiv.ofBijective f hf) = ⇑f
M : Type u_2
MulOneClass M
Pow M ℕ
self : NatPowAssoc M
x : M
⊢ x ^ 1 = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → M
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ {x | p x} ↔ p x✝
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
⊢ 1 ≤ ⌈a⌉₊ ↔ 0 < a
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
hf : f.Monic
⊢ (AdjoinRoot.isAdjoinRootMonic f hf).map = AdjoinRoot.mk f
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b ≠ 0
⊢ P.toPoly.degree = 2
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
c d : R
x✝ y : M
b✝ : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R M
w : Set M
hi : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ w }) R Subtype.val
h : Set.range ⇑b ≤ w
x : M
p : x ∈ w
q : x ∉ Set.range ⇑b
e : ((b.repr x).sum fun i a => a • b i) = x
u : ι ↪ ↑w := { toFun := fun i => ⟨b i, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
⊢ False
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
f : α ≃ β
g : β ≃ γ
a : α
⊢ (f.trans g) a = g (f a)
α : Type u
s : Set α
p : Set α → Prop
hs : s.Subsingleton
he : p ∅
h₁ : ∀ (x : α), p {x}
⊢ p s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
a✝ a : α
ha : a ≠ 0
x y : β
h : x = a • y
⊢ a⁻¹ • x = y
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
φ₁ φ₂ : A →ₐ[R] A
⊢ φ₁ * φ₂ = φ₁.comp φ₂
⊢ hyperoperation 1 = fun x x_1 => x + x_1
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
j₁ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 0)
b₂ : B
⊢ a₁ ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁ * ↑a₂ ᵍ⊗ₜ[R] b₂ = (a₁ * ↑a₂) ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : H
hy : y ∈ f.target
hy' : ↑I y ∈ interior (range ↑I)
⊢ ↑I.symm (↑I y) ∈ f.target ∧ ↑I y ∈ interior (range ↑I)
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ I.radical = sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ a⁻¹ ^ (m - n) = (a ^ m)⁻¹ * a ^ n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
h : ∀ a ∈ s, n ≤ (filter (fun x => a ∈ x) B).card
⊢ (∑ x ∈ s, ∑ a ∈ B, if x ∈ a then 1 else 0) ≤ ∑ x ∈ B, ∑ a ∈ s, if a ∈ x then 1 else 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
g : Filter β
hg : g.NeBot
⊢ 0 ≤ 0 • g
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
⊢ ↑(GenContFract.of q).h = (GenContFract.of v).h
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₄
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherian R M
rs rs' : List R
h2 : rs ~ rs'
h3 : IsWeaklyRegular M rs
h4 : ⊤ ≠ Ideal.ofList rs • ⊤
⊢ IsRegular M rs'
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
s : Submodule R M
h : 0 < 0
eq : s = ⊥
⊢ False
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
h : ∃ f', ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' s ∧ ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x : E
r : 𝕜
hr : ‖r‖ ≤ 1
hx : x ∈ a • r • s
⊢ ∃ i, ∃ (_ : ‖i‖ ≤ 1), x ∈ i • s
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
MulZeroClass α
B : Matrix n p α
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) 0 B = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
f g : X → Y
DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : IsClosed s
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hspec : ∀ (x : X), g x ⤳ f x
⊢ Continuous (s.piecewise f g)
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
hψ : ψ.IsSymmetric
⊢ (φ + ψ).IsSymmetric
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
x : ↥U
⊢ ∀ (a : ↑(X.presheaf.obj (op U))), (X.presheaf.germ x) a = 0 → a = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : IsUnit x
hfx : f x ≠ 0
n : ℕ
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
h1 : f 1 ≠ 0
⊢ f (x ^ n) ≠ 0