ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁸ : Category.{?u.62618, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.62622, u_2} D
inst✝⁶ : Category.{?u.62626, u_3} E
inst✝⁵ : Category.{?u.62630, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : HasShift D A
inst✝² : HasShift E A
inst✝¹ : HasShift E' A
F G✝ H : SingleFunctors C D A
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ (shiftFunctorAdd E m n).hom.app (G.obj ((F.functor a'').obj X)) ≫ (shiftFunctor E n).map ((G.commShiftIso m).inv.app ((F.functor a'').obj X)) ≫ (G.commShiftIso n).inv.app ((shiftFunctor D m).obj ((F.functor a'').obj X)) ≫ G.map ((shiftFunctorAdd D m n).inv.app ((F.functor a'').obj X)) ≫ G.map ((shiftFunctorAdd D m n).hom.app ((F.functor a'').obj X)) ≫ G.map ((shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X)) ≫ G.map ((F.shiftIso n a a' ha').hom.app X) = (shiftFunctorAdd E m n).hom.app (G.obj ((F.functor a'').obj X)) ≫ (shiftFunctor E n).map ((G.commShiftIso m).inv.app ((F.functor a'').obj X)) ≫ (G.commShiftIso n).inv.app ((shiftFunctor D m).obj ((F.functor a'').obj X)) ≫ G.map ((shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X)) ≫ G.map ((F.shiftIso n a a' ha').hom.app X)
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : #α = succ c
⊢ c < (succ c).ord.cof
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : s ⊆ invFunOn f s '' (f '' s)
x : α
hx' : x ∈ s
hx : invFunOn f s (f x) ∈ s
⊢ invFunOn f s (f (invFunOn f s (f x))) = invFunOn f s (f x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
s✝ : WSeq α
s1 s2 : Computation (List α)
l' : List α
s : WSeq α
h : s1 = Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l' ++ l, s) ∧ s2 = Computation.map (fun x => l.reverse ++ x) (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l', s))
⊢ Computation.BisimO (fun c1 c2 => ∃ l' s, c1 = Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l' ++ l, s) ∧ c2 = Computation.map (fun x => l.reverse ++ x) (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l', s))) s1.destruct s2.destruct
V : Type u_1
⊢ (Equiv.refl V).simpleGraph = Equiv.refl (SimpleGraph V)
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.Scheme
f : U ⟶ TopCat.of ↑↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f
⊢ (X.ofRestrict h).val.base = f
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
Fintype β
f : β → α
⊢ ∏' (b : β), f b = ∏ b : β, f b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹³ : TopologicalSpace α
inst✝¹² : MeasurableSpace α
inst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β
inst✝⁹ : MeasurableSpace β
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁷ : TopologicalSpace γ
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ₂
inst✝³ : MeasurableSpace γ₂
inst✝² : BorelSpace γ₂
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
inst✝ : R1Space γ
K s : Set γ
hK : IsCompact K
hs : MeasurableSet s
hKs : K ⊆ s
⊢ closure K ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
g : γ → β
hg : Injective g
f : β → α
hf : mulSupport f ⊆ Set.range g
this : mulSupport f = g '' mulSupport (f ∘ g)
⊢ tprod (f ∘ g) = ∏' (b : β), f b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
a : α
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ {a} • dirac a = f a * μ {a}
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
Fintype α
f : α →₀ M
g : α → M → N
h : ∀ (i : α), g i 0 = 0
⊢ f.sum g = ∑ i : α, g i (f i)
R : Type u
AddGroupWithOne R
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
n : ℕ
⊢ ⌊a + ↑n⌋ = ⌊a⌋ + ↑n
G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝³ : SigmaFinite ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
h : covolume (↥Γ.op) G ν = μ univ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
finiteCovol : μ univ < ⊤
⊢ QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
h : M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
t : TransvectionStruct n R
⊢ Commute t.toMatrix M
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝² : Add α
inst✝¹ : MulOneClass α
inst✝ : RightDistribClass α
a b : α
⊢ (a + 1) * b = a * b + b
α : Type
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
dg : Dioph.DiophFn g
h : (α → ℕ) → ℕ
dh : Dioph.DiophFn h
⊢ Dioph fun v => f v ≡ g v [MOD h v]
G : Type u_4
E : Type u_5
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
MeasurableMul G
μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
g : G
⊢ ∫ (x : G), f (x / g) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
g : G
⊢ MeasurableEmbedding fun x => x * g
n : ℕ
⊢ n.fastFib = Nat.fib n
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
AddGroup ι
Preorder ι
CovariantClass ι ι (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
hi : 0 ≤ i
⊢ MeasureTheory.IsStoppingTime f fun ω => τ ω + i
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ι → ℂ
⊢ ∫ (v : ι → ℝ), cexp (-b * ∑ i : ι, ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i)) = (↑π / b) ^ (↑(Fintype.card ι) / 2) * cexp ((∑ i : ι, c i ^ 2) / (4 * b))
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x : β
⊢ CauSeq.Completion.ofRat x⁻¹ = (CauSeq.Completion.ofRat x)⁻¹
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I M : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hIM : I ≤ M
hM : M.IsMaximal
Z₀ : Multiset (PrimeSpectrum A)
hZ₀ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≠ ⊥
Z : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_eraseZ : ∀ x ∈ {Z | (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥}, ¬x < Z
hZI : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
hprodZ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥
P : PrimeSpectrum A
hPZ : P ∈ Z
hPZ' : P.asIdeal ∈ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z
hPM : P.asIdeal ≤ M
⊢ ∃ Z, (M ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
R✝ : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
n✝ : ℕ
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
x : R
⊢ ↑(finSuccEquiv R n).symm ((Polynomial.C.comp C) x) = C x
γ : Type u
⊢ Function.RightInverse (WType.ofList γ) (WType.toList γ)
M : Type v
Monoid M
J : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.SingleObj M) (Type u)
⊢ ∀ (a : ↑(MulAction.fixedPoints M (J.obj (CategoryTheory.SingleObj.star M)))),
  (CategoryTheory.Limits.SingleObj.Types.limitEquivFixedPoints J).symm a =
    (CategoryTheory.Limits.Types.limitEquivSections J).symm
      ((CategoryTheory.Limits.SingleObj.Types.sections.equivFixedPoints J).symm a)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
⊢ ∃ m v, LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) ∧ m ≠ 0
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
cond : f ≫ g = 0
hg : NormedAddGroupHom.NormNoninc g
⊢ NormedAddGroupHom.NormNoninc (SemiNormedGrp.explicitCokernelDesc cond)
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
l : Batteries.RBNode α
v : α
r : Batteries.RBNode α
lv : Batteries.RBNode.All (fun x => Batteries.RBNode.cmpLT cmp x v) l
vr : Batteries.RBNode.All (fun x => Batteries.RBNode.cmpLT cmp v x) r
hl : Batteries.RBNode.Ordered cmp l
hr : Batteries.RBNode.Ordered cmp r
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmp (l.balLeft v r)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ ⊥.jacobson
⊢ N = ⊥
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
f : R →+* S
n : ℕ := max p.natDegree (map f p).natDegree
⊢ ((map f p).sum fun n a => C (a * ↑n) * X ^ (n - 1)) = map f (p.sum fun n a => C (a * ↑n) * X ^ (n - 1))
⊢ ∀ {α : Type u_1} {cmp : α → α → Ordering} {t : Batteries.RBNode α} {v : α},
  Batteries.RBNode.Ordered cmp t → Batteries.RBNode.Ordered cmp (Batteries.RBNode.insert cmp t v)
a b : UInt64
⊢ a ≤ b ↔ a.val ≤ b.val
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a : α
⊢ Multiset.Ioc a a = 0
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R
h : φ.order.Dom
⊢ (PowerSeries.coeff R (φ.order.get h)) φ ≠ 0
n d : ℤ
d_ne_zero : d ≠ 0
⊢ ↑n / ↑d = n /. d
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : DecidableEq J
j : J
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (single j).map f j ≫ (singleObjApplyIso j Y).hom = (singleObjApplyIso j X).hom ≫ f
M : Type u_1
MulOneClass M
N : Type u_6
MulOneClass N
f : M →* N
x : M
⊢ ↑(f.mrangeRestrict x) = f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
X : LeftInvariantDerivation I G
⊢ ⇑(-X) = -⇑X
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
⊢ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x} ⊆ f ⁻¹' s
G : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G
Sub G
m : MeasurableSpace α
f : α → G
MeasurableSub G
hf : Measurable f
c : G
⊢ Measurable fun x => f x - c
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
⊢ f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hv : LinearIndependent R v
i : ι
x : ↥(Submodule.span R (Set.range v))
hx : ↑x = v i
⊢ hv.repr x = Finsupp.single i 1
γ : Type w
SemilatticeSup γ
a b : γ
s t : Set γ
hs : IsLUB s a
ht : IsLUB t b
⊢ IsLUB (s ∪ t) (a ⊔ b)
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
MetricSpace β
CompleteSpace β
f : α → β
h : Isometry f
⊢ Isometry (UniformSpace.Completion.extension f)
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
m : (i : ι) → E i
⊢ ((liftEquiv 𝕜 E F).symm l) m = (l.compContinuousMultilinearMap (tprodL 𝕜)) m
n d : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ x ∈ Behrend.box n d ↔ ∀ (i : Fin n), x i < d
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Module.rank R M = 1 ↔ FiniteDimensional.finrank R M = 1
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
e e' : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P
⊢ ⇑(e * e') = ⇑e ∘ ⇑e'
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
e_3✝ : Complex.instSemiring = DivisionSemiring.toSemiring
he✝ : Lp.instModule = Lp.instModule
⊢ span ℂ (⇑(toLp p haarAddCircle ℂ) '' range fourier) = span ℂ (⇑↑(toLp p haarAddCircle ℂ) '' range fourier)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
⊢ ∀ (x x_1 : S.Arrow) (r : x.Relation x_1), S.preOneHypercover.p₁ r = r.g₁
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : TopCat.PrelocalPredicate T
U V : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
f : { f // P.pred f }
x : ↥(Opposite.unop V)
⊢ ↑((TopCat.subpresheafToTypes P).map i f) x = ↑f ⟨↑x, ⋯⟩
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ Summable fun n => ‖↑n ^ (-s)‖
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
⊢ IsGLB (Set.range f) (⨅ j, f j)
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
f : Equiv.Perm (Subtype p)
h : ¬p a
⊢ ↑((Equiv.Perm.subtypeEquivSubtypePerm p).toFun f) a = a
r s : ℤ
h : IsCoprime r s
⊢ IsCoprime (s ^ 2 + r ^ 2) s
x y z : PGame
⊢ ⟦x * (y + -z)⟧ = ⟦x * y⟧ + -⟦x * z⟧
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite ν₁
inst✝¹ : SigmaFinite ν₂
inst✝ : SigmaFinite μ
⊢ (ν₁ + ν₂).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ
α : Type u_2
β : Type u_3
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β
f g : α →+*o β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ jacobiTheta τ = 1 + 2 * ∑' (n : ℕ), cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
a : α
⊢ (Function.Embedding.sectl α b) a = (a, b)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α ↪ β
s₁ s₂ : Finset α
⊢ Finset.map f (s₁ ∩ s₂) = Finset.map f s₁ ∩ Finset.map f s₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : C(X, E)
s : ι → Compacts X
hf : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal
⊢ IntegrableOn (⇑f) (⋃ i, ↑(s i)) μ
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.inits = (foldr (fun a arrs => (Array.map (fun t => a :: t) arrs).push []) #[[]] l).data.reverse
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
w : Word M
m : M i
⊢ ⟨i, m⟩ ∈ (↑(consRecOn w ⟨{ head := 1, tail := empty, fstIdx_ne := ⋯ }, ⋯⟩ fun j_1 m w h1 h2 x => if ij : j = j_1 then ⟨{ head := ⋯ ▸ m, tail := w, fstIdx_ne := ⋯ }, ⋯⟩ else ⟨{ head := 1, tail := cons m w h1 h2, fstIdx_ne := ⋯ }, ⋯⟩)).tail.toList ↔ ⟨i, m⟩ ∈ w.toList.tail ∨ ¬i = j ∧ ∃ (h : ¬w.toList = []), w.toList.head h = ⟨i, m⟩
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h_le_pow : ∀ (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (sFiniteSeq μ n) Set.univ ≤ (2 ^ (n + 1))⁻¹
⊢ ∑' (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (sFiniteSeq μ n) Set.univ ≤ 1
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c ⊤ f g ↔ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
⊢ ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p μ → ∃ g, eLpNorm (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) - g) p μ ≤ δ ∧ P g
q : ℚ
hq : q.den = 1
⊢ ↑q.num = q
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
⊢ ⇑s.subtype = Subtype.val
c b : Nat
a : Nat
h : c ∣ b
⊢ a % b % c = a % c
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Ring A₁
Ring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
x y : A₁
⊢ e (x - y) = e x - e y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalFunctor.id C).toFunctor = 𝟭 C
α : Type u
x y : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ Disjoint (x ⊓ y) (x \ y)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ
⊢ nndist x y = 0 → x = y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ ∀ {X Y : C × D} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Prod.fst C D).map f = f.1
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
h : G.Adj u v
⊢ s(u, v) ∈ (↑(SimpleGraph.Path.singleton h)).edges
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
r s : (InducedCategory (Opens (PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)))) basicOpen)ᵒᵖ
f : r ⟶ s
⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen (unop r)) ≫ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val).map f) ≫ X.toΓSpecCApp (unop s) = (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen (unop r)) ≫ X.toΓSpecCApp (unop r)) ≫ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.𝒪).val).map f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsIso g
p : inv f = inv g
⊢ f = g
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
⊢ QuotientMap (⇑h ∘ ⇑h.symm)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ fderiv 𝕜 (fun x => x⁻¹) x = ContinuousLinearMap.smulRight 1 (-(x ^ 2)⁻¹)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
⊢ Measurable Sum.inr
α : Type u_2
A : Set α
S : Set (Set α)
⊢ Subtype.val ⁻¹' ⋂₀ S = ⋂₀ {x | ∃ B ∈ S, Subtype.val ⁻¹' B = x}
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R✝
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
U U₁ U₂ : Submodule R✝ M
x✝ x₁ x₂ y✝ y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R✝ N
V V₁ V₂ : Submodule R✝ N
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x y : R
f : R[X]
h : (Ideal.Quotient.mk I) x = (Ideal.Quotient.mk I) y
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval x f) = (Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval y f)
M : Type u_1
N : Type u_2
CommMonoid M
CommMonoid N
f : Mˣ →* Nˣ
k : ℕ+
⊢ Subgroup.map f (rootsOfUnity k M) ≤ rootsOfUnity k N
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Add M
ContinuousAdd M
a b c d : M
hab : a ⤳ b
hcd : c ⤳ d
⊢ (a + c) ⤳ (b + d)
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K
⊢ re (x * (starRingEnd K) x) = ‖x * (starRingEnd K) x‖
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
x : E
hx : x ≠ 0
r : 𝕜
hr : c / ‖x‖ < ‖r‖
⊢ ∃ x, c < ‖x‖
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V
u v : V
⊢ (G'.deleteVerts s).Adj u v ↔ u ∈ G'.verts ∧ u ∉ s ∧ v ∈ G'.verts ∧ v ∉ s ∧ G'.Adj u v
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
IinS : ↑I ∈ S
chainub : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub ∈ S, ∀ s ∈ c, s ⊆ ub
⊢ ∃ J, J.IsPrime ∧ I ≤ J ∧ Disjoint ↑F ↑J
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤
f : ((g : { x // x ∈ S }) → ↥(zpowers ↑g)) →* G := noncommPiCoprod ⋯
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Nat.card G ∣ ∏ _x : { x // x ∈ S }, Monoid.exponent G
A B : NonemptyFinLinOrd
f : A ⟶ B
a✝ : Mono f
a₁ a₂ : ↑A
h : f a₁ = f a₂
X : NonemptyFinLinOrd := of (ULift.{u, 0} (Fin 1))
g₁ : X ⟶ A := { toFun := fun x => a₁, monotone' := ⋯ }
g₂ : X ⟶ A := { toFun := fun x => a₂, monotone' := ⋯ }
eq : g₁ ≫ f = g₂ ≫ f
⊢ g₁ { down := 0 } = g₂ { down := 0 }
x : ℂ
⊢ ↑(Real.log (abs x)) + ↑(if x.arg = π then π else -x.arg) * I = if x.arg = π then ↑(Real.log (abs x)) + ↑x.arg * I else ↑(Real.log (abs x)) + ↑x.arg * (starRingEnd ℂ) I
α : Type u_2
β : Type u_3
Mul α
Add α
LE α
Mul β
Add β
LE β
f : α ≃+*o β
⊢ f.toFun = ⇑f
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
⊢ ↑(Pi.basisFun ℝ ι).parallelepiped = ↑(PositiveCompacts.piIcc01 ι)
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
⊢ IsOpen s ↔ ∃ t_1, IsOpen t_1 ∧ f ⁻¹' t_1 = s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a \ b ≤ c ↔ a \ c ≤ b
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
L' : Type u_5
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : IsKilling R L
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x' : L'
⊢ x' ∈ LieIdeal.killingCompl R L' ⊤ ↔ x' ∈ ⊥
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} B
f g : StructuredArrow S T
h : f.IsUniversal
c : C
η η' : f.right ⟶ c
w : f.hom ≫ T.map η = f.hom ≫ T.map η'
⊢ η = η'
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ ∀ᶠ (C : ℝ) in Filter.atTop, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → dist x y ≤ C
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
m n : ℕ
⊢ A ^ (-[m+1] * ↑n) = (A ^ -[m+1]) ^ ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs₀ : Balanced 𝕜 s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : IsOpen s
⊢ (gaugeSeminorm hs₀ hs₁ hs₂).ball 0 1 = s
b : ℂ
hb : 0 < b.re
full_integral : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume + ∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume = (↑π / b) ^ (1 / 2)
this✝ : MeasurableSet (Ioi 0)
this : ∀ (c : ℝ), ∫ (x : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * ↑x ^ 2) = ∫ (x : ℝ) in -c..0, cexp (-b * ↑x ^ 2)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
x : E
⊢ thickening ε (Metric.ball x δ) = Metric.ball x (ε + δ)
n b : ℕ
L : List ℕ
⊢ ofDigits b L = (List.mapIdx (fun i a => a * b ^ i) L).sum
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ -a ≤ b ↔ 0 ≤ b + a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs✝ : IsLindelof s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
r : Set ↑s
hr : r.Countable
hs : s ⊆ ⋃ i ∈ r, (fun x => interior (U ↑x ⋯)) i
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯