ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, f'' x ≤ 0
this : EqOn (deriv f) f' (interior D)
⊢ DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior D)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
GroupWithZero G
SmoothInv₀ I G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
n : ℕ∞
hf : ContMDiff I' I n f
hg : ContMDiff I' I n g
h₀ : ∀ (x : M), g x ≠ 0
⊢ ContMDiff I' I n (f / g)
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
⊢ ∃ σ, φ.comp ↑σ.symm = ψ
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
L.IsCountablyGenerated
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0
c : ℝ≥0
fs_le_const : ∀ᶠ (i : ι) in L, ∀ᵐ (ω : Ω) ∂↑μ, (fs i) ω ≤ c
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
fs_lim : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂↑μ, Filter.Tendsto (fun i => (fs i) ω) L (𝓝 (f ω))
⊢ Filter.Tendsto (fun i => μ.testAgainstNN (fs i)) L (𝓝 (μ.testAgainstNN f))
x y : EReal
h1 : x ≠ ⊥ ∨ y ≠ ⊥
h2 : x ≠ ⊤ ∨ y ≠ ⊤
⊢ -(x - y) = -x + y
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s✝ t : Set α
a b : α
f : α ↪ β
s : Finset α
hs : G.IsClique ↑s
ht : (map f s).Nontrivial
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique ↑(map f s)
w k : Nat
x : BitVec w
i : Nat
⊢ (x <<< i).getMsb k = x.getMsb (k + i)
z : ℂ
⊢ HasSum (fun n => (z * Complex.I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) (Complex.cos z)
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
⊢ BijOn (fun x => x + d) (Ico a b) (Ico (a + d) (b + d))
R : Type u_1
S : Type ?u.189967
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.190432
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.191572
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : FinitePresentation R M
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
I : Type (max u_2 u_1) := Free.ChooseBasisIndex k (k ⊗[R] M)
b : Basis I k (k ⊗[R] M) := Free.chooseBasis k (k ⊗[R] M)
this✝² : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))
f : k ⊗[R] M → M
hf : ∀ (b : k ⊗[R] M), ((TensorProduct.mk R k M) 1) (f b) = b
i : (I →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total I M R (f ∘ ⇑b)
hi : Surjective ⇑i
this✝¹ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)
this✝ : Surjective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
hi' : Function.Bijective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
this : ∀ {g₁ : ↥(LinearMap.ker i) →ₗ[R] I →₀ R} {g₂ : (I →₀ R) →ₗ[R] M}, Exact ⇑(Submodule.subtype 𝔪) ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Surjective ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Exact ⇑g₁ ⇑g₂ → Surjective ⇑g₂ → Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪)) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor R g₁) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) g₁)
x : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)
⊢ (LinearMap.lTensor k (i ∘ₗ (LinearMap.ker i).subtype)) x = (LinearMap.lTensor k i) ((LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) 0)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
inst✝ : Mono f
abar abar' : Pseudoelement P
a a' : Over P
ha : pseudoApply f ⟦a⟧ = pseudoApply f ⟦a'⟧
this : ⟦Over.mk (a.hom ≫ f)⟧ = ⟦Over.mk (a'.hom ≫ f)⟧
⊢ a ≈ a'
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly✝ : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
hq_poly : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b' * x) x, (fun x => ‖deriv q x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖deriv q x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖deriv q x‖) x)
⊢ (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) =O[atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
(i : η) → Group (Gs i)
∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
n : ℕ
h : ∀ (i : η), Group.nilpotencyClass (Gs i) ≤ n
⊢ Group.IsNilpotent ((i : η) → Gs i)
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivWithinAt f f' S x
⊢ ∃ u ∈ Ioi x, Ioc x u ⊆ S
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddGroup α
StarAddMonoid α
M : Matrix m n α
⊢ (-M)ᴴ = -Mᴴ
R : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero R
WfDvdMonoid R
a b : R
ha : Prime a
hb : b ≠ 0
⊢ multiplicity.Finite a b
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
htc : ContinuousOn F R
htd : ∀ p ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ˢ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ t, HasFDerivAt F (F' p) p
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) + ∫ (x : ℝ) in w.im..z.im, -(I • f (e (w.re, x)))) - ∫ (x : ℝ) in w.im..z.im, -(I • f (e (z.re, x))) = ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (x_1 : ℝ) in w.im..z.im, (-(I • F' (x, x_1))) (1, 0) + (F' (x, x_1)) (0, 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
α : Type u_1
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (α × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
ρCond : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
ρ.IsCondKernel ρCond
MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
⊢ (ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ρ ({x} ×ˢ s)
α : Type u
⊢ Set.univ.Subsingleton ↔ Subsingleton α
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ Ioo a b), p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i
this : s ⊆ s \ u ∪ ⋃ p ∈ A, s ∩ T p
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s \ u ∪ ⋃ p ∈ A, s ∩ T p), p x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]
hp : (Polynomial.aeval s) p = 0
K : Type u_1 := FractionRing R
L : Type u_2 := FractionRing S
x✝ : Algebra K L := FractionRing.liftAlgebra R L
this✝ : IsScalarTower R (FractionRing R) L
this : minpoly K ((algebraMap S L) s) ∣ map (algebraMap R K) (p %ₘ minpoly R s)
⊢ minpoly R s ∣ p
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hf : f.IsSemisimple
μ : R
⊢ f.maxGenEigenspace μ = f.eigenspace μ
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν)
hg : MeasureTheory.Integrable g (μ.prod ν)
⊢ ∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) + g (x, y) ∂ν) ∂μ = ∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν + ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν) ∂μ
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P✝ : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝³ : Module R P✝
P : Type u_10
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ (∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ ∑ x_1 : ι, (Q x_1) (x x_1)) ↔ ∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹¹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝¹⁰ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : Module E F
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝⁵ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝⁴ : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝³ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝² : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f✝ : 𝕜 → E
g✝ : 𝕜 → F
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 E E
f g : 𝕜 → E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
n : ℕ
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f * f ^ n)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
⊢ QuotientAddGroup.mk '' Ico a (a + p) = univ
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B✝ A B : Matrix n n α
⊢ Ring.inverse (A * B).det • (A * B).adjugate = Ring.inverse B.det • B.adjugate * Ring.inverse A.det • A.adjugate
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
a : α
⊢ 𝓝[≤] a ⊔ 𝓝[>] a = 𝓝 a
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
⊢ sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖(-f) m‖ ≤ c * ∏ i : ι, ‖m i‖} = ‖f‖
R : Type u
CommRing R
M N U : ModuleCat R
f : M ⟶ N
g : N ⟶ U
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
CategoryTheory.Preregular C
CategoryTheory.FinitaryPreExtensive C
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) F ↔
  CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.extensiveTopology C) F ∧
    CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.regularTopology C) F
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
e : ℕ
he : 2 ≤ e
⊢ I ^ e < I
α : Type u
R : α → α → Prop
l : List α
h : List.Chain' R l
n : ℕ
⊢ List.Chain' R (List.take n l)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0
hm : m ≤ m0
⊢ μ[s.indicator f|m] =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m])
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
P : Type u_3
AddCommMonoid P
Module R P
f : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
N : Submodule R M
hfn : (Submodule.map f N).FG
⊢ N.FG
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) '' [[b, c]] = [[b - a, c - a]]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
X Y : T.Algebra
f : X ⟶ Y
h : CategoryTheory.Mono f.f
⊢ CategoryTheory.Mono f
R : Type u_1
Star R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ star x = x
p x t : ℝ
⊢ ‖↑(t * x)‖ = |t| * ‖↑x‖
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
n : ℕ
npos : n > 0
hn : a < ↑n * b
⊢ (↑n)⁻¹ * a < b
a b c : Nat
⊢ c ≤ a → a < b → a - c < b - c
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
δ : Type u_4
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderTopology δ
g : γ → δ
f : α → γ
hg : ContinuousAt g (f x)
hf : UpperSemicontinuousWithinAt f s x
gmon : Antitone g
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (g ∘ f) s x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
⊢ (⨍⁻ (x : α), f x ∂μ).toReal = ⨍ (x : α), (f x).toReal ∂μ
α : Type u
m n : ℕ
h : m = n
f : Fin m → α
⊢ List.ofFn f = List.ofFn fun i => f (Fin.cast ⋯ i)
α : Type u_1
inst1 inst2 : BEq α
inst✝¹ : LawfulBEq α
inst✝ : LawfulBEq α
⊢ ∀ (x y : α), (x == y) = (x == y)
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
TopologicalSpace α
f : α → E
a : α
h : ContinuousAt f a
⊢ ContinuousAt (fun x => ‖f x‖₊) a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
MetricSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
SemilatticeSup ι
Nonempty ι
Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f n)
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
⊢ TendstoUniformlyOn f g Filter.atTop (s \ MeasureTheory.Egorov.iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg)
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f g : ↥A
⊢ 2⁻¹ • (↑f + ↑g + |↑g - ↑f|) ∈ A.topologicalClosure
α : Type u_1
a : Array α
i : Fin a.size
j : Nat
v : α
h : ↑i ≠ j
⊢ (a.set i v)[j]? = a[j]?
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n✝ : ℕ
ha : Odd a
n : ℕ
⊢ Odd (a ^ n * a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
huv : u ~[l] v
hwv : w =o[l] v
⊢ u + w ~[l] v
X : Type v
TopologicalSpace X
WeaklyLocallyCompactSpace X
SigmaCompactSpace X
T2Space X
ι : X → Type u
p : (x : X) → ι x → Prop
B : (x : X) → ι x → Set X
hB : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (p x) (B x)
⊢ ∃ α c r, (∀ (a : α), p (c a) (r a)) ∧ ⋃ a, B (c a) (r a) = Set.univ ∧ LocallyFinite fun a => B (c a) (r a)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
hinj : Injective ⇑f
⊢ (Walk.map f p).IsTrail ↔ p.IsTrail
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₃
m₂' : M₁
m₁'' : M₂
m₂'' : M₃
⊢ ((LinearMap.compl₁₂ ((associated Q₁).tmul ((associated Q₂).tmul (associated Q₃))) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃)) ((m₁ ⊗ₜ[R] m₂) ⊗ₜ[R] m₁')) ((m₂' ⊗ₜ[R] m₁'') ⊗ₜ[R] m₂'') = ((((associated Q₁).tmul (associated Q₂)).tmul (associated Q₃)) ((m₁ ⊗ₜ[R] m₂) ⊗ₜ[R] m₁')) ((m₂' ⊗ₜ[R] m₁'') ⊗ₜ[R] m₂'')
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
m : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable f ↔ Measurable f ∧ TopologicalSpace.IsSeparable (Set.range f)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z₁ z₂ : M
hx✝ : z₁ ∈ ⨆ i, weightSpace M (↑i • α + χ)
hy✝ : z₂ ∈ ⨆ i, weightSpace M (↑i • α + χ)
hz₁ : ⁅x, z₁⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
hz₂ : ⁅x, z₂⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, z₁ + z₂⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
z : ℂ
this : 𝓝 (Complex.sin (↑π * z)) = 𝓝 (Complex.sin (↑π * z) * 1)
A : Tendsto (fun n => (↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) * ((∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n)))) atTop (𝓝 (Complex.sin (↑π * z) * 1))
⊢ Tendsto (fun n => ↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) atTop (𝓝 (Complex.sin (↑π * z)))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
t : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
X : C
n : ℤ
t.IsLE X n
⊢ t.LE n X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
SMul 𝕜 β
f : F → β
s : Set F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
g : E →ₗ[𝕜] F
⊢ ConcaveOn 𝕜 (⇑g ⁻¹' s) (f ∘ ⇑g)
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s t : Finset α
x : α
⊢ x ∈ s * t ↔ ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x
K : Type u_1
g : GenContFract K
DivisionRing K
⊢ g.contsAux 0 = { a := 1, b := 0 }
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : A
h : IsUnit x
hxS : x ∈ S
⊢ ↑h.unit⁻¹ ∈ S
b : ℂ
hb : 0 < b.re
hb' : b ≠ 0
A : ∀ (x : ℂ), HasDerivAt (fun x => -(2 * b)⁻¹ * cexp (-b * x ^ 2)) (x * cexp (-b * x ^ 2)) x
B : Tendsto (fun y => -(2 * b)⁻¹ * cexp (-b * ↑y ^ 2)) atTop (𝓝 (-(2 * b)⁻¹ * 0))
⊢ ∫ (r : ℝ) in Ioi 0, ↑r * cexp (-b * ↑r ^ 2) = (2 * b)⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
h : NullMeasurableSet s μ
⊢ toMeasurable μ s =ᶠ[ae μ] s
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
a c : M
⊢ a * (z₁ * (z₂ * c)) = a * (z₁ * z₂ * c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ) h₂.homologyIso.hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.homologyIso.hom γ.φH
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : r ≤ 0
⊢ r < ↑b ^ (log b r + 1)
ι : Type u_1
α : Type u_2
OrderedCancelAddCommMonoid α
s : Multiset ι
f g : ι → α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
hlt : ∃ i ∈ s, f i < g i
⊢ (Multiset.map f s).sum < (Multiset.map g s).sum
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ♯ b ♯ c = a ♯ c ♯ b
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
BorelSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
CompleteSpace E
TopologicalSpace.MetrizableSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : ContinuousOn g s
⊢ Filter.Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (g x₀))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S R : CategoryTheory.Sieve X
hS : J.Covers S f
hR : J.Covers R f
⊢ J.Covers (S ⊓ R) f
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (b * a)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) = 0
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn : N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ((-o).kahler x) y = (starRingEnd ℂ) ((o.kahler x) y)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) + I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) - I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) = ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
α : Sort u_1
⊢ ¬Nonempty α ↔ IsEmpty α
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
⊢ False
K : Type u_1
E : Type u_2
RCLike K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
n : ℕ
x : E
⊢ ‖n • x‖ = n • ‖x‖
R : Type u_5
Semiring R
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ Odd ↑n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : ℕ∞
x : M
⊢ ContMDiffAt I I' n f x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
P : C
⊢ Projective P ↔ (preadditiveCoyoneda.obj (op P)).PreservesEpimorphisms
m n : ℕ
hd : m ∣ n
hs : IsSquare (-1)
f : ZMod n →+* ZMod m := castHom hd (ZMod m)
⊢ IsSquare (-1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopEquiv C).unitIso = CategoryTheory.Iso.refl (𝟭 C)
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
p : ↑e.baseSet × F
⊢ e.sourceHomeomorphBaseSetProd.symm p = ⟨↑e.symm (↑p.1, p.2), ⋯⟩