ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0
⊢ W.negMap ⟦P⟧ = ⟦![1, 1, 0]⟧
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R[X]
hw : a.wronskian b ≠ 0
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ ↑(a.wronskian b).natDegree < ↑a.natDegree + ↑b.natDegree
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ s.einfsep < ⊤ ↔ s.Nontrivial
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M
x : α → R
⊢ ∀ x_1 ∈ Finset.univ, x_1 ∉ ((linearEquivFunOnFinite R R α).symm x).support → (fun i => ⇑((fun i => LinearMap.id.smulRight (v i)) i)) x_1 (((linearEquivFunOnFinite R R α).symm x) x_1) = 0
α : Sort u_1
β : Sort u_2
Subsingleton α
f : α → β
a : α
⊢ f = Function.const α (f a)
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a : σ
b : Option σ
self : Turing.EvalsTo f a b
⊢ (flip bind f)^[self.steps] (some a) = b
α : Type u
β : Type v
γ : Type x
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
ht : t.Infinite
ha : a ∈ s
hf : Set.InjOn (f a) t
⊢ (Set.image2 f s t).Infinite
k : ℕ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (↑(if k = 1 then 1 else 0) - fourierCoeffOn ⋯ (fun x => ↑(↑k * bernoulliFun (k - 1) x)) n) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((if k = 1 then 1 else 0) - ↑k * fourierCoeffOn bernoulliFourierCoeff.proof_1 (fun x => ↑(bernoulliFun (k - 1) x)) n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι → 𝕜
s : Finset ι
⊢ ⟪∑ i ∈ s, l₁ i • v i, ∑ i ∈ s, l₂ i • v i⟫_𝕜 = ∑ i ∈ s, (starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * l₂ i
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N
⊢ NormalizerCondition G ↔ ∀ (H : Subgroup G), H.normalizer = H → H = ⊤
α : Type u
β : Type u_1
Group α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
Preorder β
f : β → α
hf : StrictAnti f
⊢ StrictMono fun x => (f x)⁻¹
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Field K
a b : σ → K
h : a ≠ b
i : σ
hi : a i ≠ b i
⊢ 1 - (a i - b i) ^ (Fintype.card K - 1) = 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
γ : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : AddMonoid γ
P : (α →ₛ γ) → Prop
h_ind : ∀ (c : γ) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s), P (piecewise s hs (const α c) (const α 0))
h_add : ∀ ⦃f g : α →ₛ γ⦄, Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P f → P g → P (f + g)
f : α →ₛ γ
s : Finset γ
h : range ↑f \ {0} = ↑s
⊢ P f
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y✝ : α
s t : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
h : r < infEdist x s
y : α
hy : y ∈ closedBall x r
h'y : y ∈ s
⊢ infEdist x s < infEdist x s
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ≈ b → f a = f b
x : α
⊢ Quotient.lift f h ⟦x⟧ = f x
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
v₁ v₂ v₃ : V
⊢ EuclideanGeometry.angle (-v₁) (-v₂) (-v₃) = EuclideanGeometry.angle v₁ v₂ v₃
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a b c : M
m n✝ n : ℕ
⊢ 1 ^ (n + 1) = 1
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module R F
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
⊢ ⇑(Pretrivialization.linearMapAt R e b) = fun y => (↑e { proj := b, snd := y }).2
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsCofiltered J
F : CategoryTheory.Functor J Profinite
C : CategoryTheory.Limits.Cone F
α : Type u_1
hC : CategoryTheory.Limits.IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
⊢ ∃ j g, f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
x : α
⊢ ⇑(OrderHom.apply x) = Function.eval x ∘ fun f => ⇑f
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s ∩ 0 = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Hσ q).f 0 = 0
m n : ℕ
⊢ Nat.bitwise (fun x y => !(!x || !y)) m n = m &&& n
α : Type u_2
SemilatticeSup α
⊢ supClosure Set.univ = Set.univ
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : LipschitzWith K f
K' : ℝ≥0
h : K ≤ K'
⊢ LipschitzWith K' f
p m n : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ multiplicity p (m * n) = multiplicity p m + multiplicity p n
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
m p : Associates α
h0 : m ≠ 0
hp : Irreducible p
a✝ : Nontrivial α
h : 0 < p.count m.factors
⊢ p ≤ m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
n : ℕ
_i : Fact (FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n + 1)
v : E
hv : v ≠ 0
⊢ FiniteDimensional.finrank 𝕜 ↥(Submodule.span 𝕜 {v})ᗮ = n
α : Type u_1
E : Type u_2
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ ‖MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f‖ ≤ C * ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
⊢ ConvexCone.Pointed 0
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
c : G
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (c • s) μ
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
a : A
m : M
hm : m ∈ p
⊢ a ⊗ₜ[R] m ∈ baseChange A p
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ I.mul J = I * J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k : ℕ
h : ↑‖x‖₊ < p.radius
this : Summable fun s => ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst
⊢ HasSum (fun l => ∑' (x_1 : { s // s.card = l }), ‖p (k + l)‖₊ * ‖x‖₊ ^ l) (∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
u₂ : L
hu₂ : u₂ ∈ Submodule.span R {x}
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ ⁅t • x + v, u₂ + w⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SSameSide x y
⊢ s.WSameSide x y
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
(i : ι) → KleeneAlgebra (π i)
a : (i : ι) → π i
i : ι
⊢ a∗ i = (a i)∗
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝ : (i : ι) → (j : α i) → Zero (δ i j)
i : ι
j : α i
x : δ ⟨i, j⟩.fst ⟨i, j⟩.snd
i' : ι
j' : α i'
⊢ ((single ⟨i, j⟩ x).sigmaCurry i') j' = ((single i (single j x)) i') j'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ (⇑f.symm '' A)
⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ (map (⇑f) μ) U < r
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasPullbacks C
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
G : ModuleCat R
x y : Over G
P : ModuleCat R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : ↑((Functor.fromPUnit G).obj x.right)
ha : a ∈ LinearMap.range y.hom
⊢ a ∈ LinearMap.range x.hom
R : Type u
CommRing R
p q : R[X]
hq : q.Monic
⊢ p * q %ₘ q = 0
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
x : α
⊢ h.symm (h x) = x
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n).natDegree = n
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
a b : R
⊢ (DiscreteValuationRing.addVal R) a ≤ (DiscreteValuationRing.addVal R) b ↔ a ∣ b
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
n : ℕ
⊢ M ⊨ FirstOrder.Language.Sentence.cardGe L n ↔ ↑n ≤ Cardinal.mk M
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Set.Ioo a b = Set.Ioo (b / c) (a / c)
M : Type u
N : Type v
Monoid M
Monoid N
f : M →* N
u : Mˣ
⊢ ↑((Units.map f) u)⁻¹ = f ↑u⁻¹
G : Type u
AddGroup G
H : Type v
AddGroup H
I : Type w
AddGroup I
f : G →+ H
f.range.Normal
g : H →+ I
⊢ g.ker ≤ f.range ↔ (QuotientAddGroup.mk' f.range).comp g.ker.subtype = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
F : Type u_4
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
φ ψ : F
x : A
⊢ x ∈ AlgHom.equalizer φ ψ ↔ φ x = ψ x
α : Type u_1
as bs : List α
⊢ (List.toArray as = List.toArray bs) = (as = bs)
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : U ⟶ X.toTopCat
h : OpenEmbedding ⇑f
⊢ ↑(X.restrict h).toPresheafedSpace = U
θ : Angle
⊢ (↑(π / 2) - θ).cos = θ.sin
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
U : Set H
hU : IsOpen U
s : Set H
comp : IsCompact s
sU : s ⊆ U
u : Set ↑s := Subtype.val ⁻¹' interior s
u_open_in_s : IsOpen u
x : { x // x ∈ s }
memU : ↑x ∈ U
xs : ↑x ∈ interior s
this : CompactSpace ↑s
V : Set ↑s
VisClopen : IsClopen V
Vx : x ∈ V
V_sub : V ⊆ u
VisClopen' : IsClopen (Subtype.val '' V)
⊢ ∃ v ∈ {s | IsClopen s}, ↑x ∈ v ∧ v ⊆ U
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
n : ℤ
⊢ (1 / A) ^ n = 1 / A ^ n
α : Type u
s : Set α
h : s.Finite
⊢ ∃ n f, Function.Injective f ∧ Set.range f = s
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
hs : CompleteLattice.SetIndependent s
x : α
y : Set α
hx : x ∈ s
hy : y ⊆ s
hxy : x ∉ y
⊢ Disjoint x (sSup y)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h : (Set.image2 f s t).Nonempty
⊢ t.Nonempty
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
⊢ RCLike.im ⟪x, y⟫_𝕜 = -RCLike.im ⟪y, x⟫_𝕜
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
hxy hxz : x ≠ y
⊢ dist x y ≤ max (dist x y) (dist y y)
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
h₁ : m.IsCaratheodory s₁
h₂ : m.IsCaratheodory s₂
⊢ m.IsCaratheodory (s₁ ∩ s₂)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
⊢ s.Infinite
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hsc : IsClosed s
hs : s ⊆ support ↑f
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
⊢ ∃ r ∈ Ioo 0 f.rOut, s ⊆ (chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) r
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
x : α
⊢ ContinuousWithinAt f (s ∪ t) x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt f t x
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure α
s : Set α
⊢ μ s ≤ ⨆ (_ : s.Nonempty), m s ↔ μ s ≤ m s
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup (-u) f < -a
hb : limsup (-v) f < -b
ha' : a ≠ ⊤
hb' : b ≠ ⊤
h : limsup (-(u + v)) f = limsup (-u + -v) f
⊢ limsup (-u + -v) f < -a - b
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
X : C
⊢ Triangle.mk 0 (𝟙 X) 0 ≅ (contractibleTriangle X).invRotate
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing T
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁷ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : Algebra R F
inst✝² : IsScalarTower R L F
pb✝ : PowerBasis K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
this : FiniteDimensional K L
pb : PowerBasis K L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable K L
⊢ b.toMatrix ⇑pb.basis * pb.basis.toMatrix ⇑b = 1
R : Type u_2
K : Type ?u.6272
L : Type ?u.6275
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
i : ℕ
⊢ (minpolyDiv R x).coeff i = (algebraMap R S) ((minpoly R x).coeff (i + 1)) + (minpolyDiv R x).coeff (i + 1) * x
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ τ (f ^ (n + 1)) = ↑(n + 1) * τ f
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ ∏ i : Fin 2, ‖![x, y] i‖ = ‖x‖ * ‖y‖
G : Type u_2
α : Type u_3
Group G
TopologicalSpace α
MulAction G α
MulAction.IsMinimal G α
U : Set α
hUo : IsOpen U
hne : U.Nonempty
⊢ ⋃ g, g • U = Set.univ
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
⊢ ∀ (u : ℕ → (n : ℕ) → E n), (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < (fun n => (1 / 2) ^ n) N) → ∃ x, Tendsto u atTop (𝓝 x)
G : Type u_3
H : Type u_4
Neg G
Neg H
a : G
b : H
⊢ -(a, b) = (-a, -b)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
h : Nonempty α
⊢ ‖f‖ = sInf {C | ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C}
X : Type u_1
TopologicalSpace X
A : Type u_2
Ring A
StarRing A
Algebra ℝ A
φ : C(X, NNReal) →⋆ₐ[NNReal] A
f : C(X, ℝ)
⊢ φ.realContinuousMapOfNNReal f = φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ jacobiTheta₂' (z + τ) τ = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * (jacobiTheta₂' z τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂ z τ)
α : Type u
inst✝² : DecidableEq α
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α
f : Perm α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x
l : { l // l.prod = f.subtypePerm h₁ ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap } := (f.subtypePerm h₁).truncSwapFactors.out
hl' : ∀ g' ∈ List.map ⇑ofSubtype ↑l, g'.IsSwap
hl'₂ : (List.map ⇑ofSubtype ↑l).prod = f
⊢ sign (↑l).prod = sign (List.map ⇑ofSubtype ↑l).prod
M : Type u_1
Semigroup M
U : Ultrafilter M
U_idem : U * U = U
s₀ : Set M
sU : s₀ ∈ U
⊢ ∃ a, Hindman.FP a ⊆ s₀
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : ∀ (k : ℕ), padicNorm p (↑f k) = padicNorm p (↑g k)
hf : f ≈ 0
⊢ f.norm = g.norm
l r : Type u
L : l → PGame
R : r → PGame
x✝ : (mk l r L R).Impartial
⊢ (mex fun i => ((-mk l r L R).moveLeft i).grundyValue) = mex fun i => ((mk l r L R).moveRight i).grundyValue
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H : Subgroup G
a b : G
⊢ (setoid ↑⊥ ↑H).Rel a b ↔ (QuotientGroup.leftRel H).Rel a b
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
⊢ (e.trans e').source = e.source ∩ ↑e ⁻¹' (e.target ∩ e'.source)
n : ℕ
⊢ ↑(List.range n) = Multiset.range n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s u ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 u
hw₁ : ↑s w = 0
hw₂ : w ⊆ u
hwt : v ⊆ w
⊢ ↑s v = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : a = i), f i = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
c : γ
⊢ (Equiv.sumAssoc α β γ).symm (Sum.inr (Sum.inr c)) = Sum.inr c
α : Type u
s : Set α
⊢ s.Countable ↔ ∃ f, Set.InjOn f s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
⊢ {a, b} ⊆ s ↔ a ∈ s ∧ b ∈ s
μ : ℝ
v : ℝ≥0
x y : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v (x + y) = ProbabilityTheory.gaussianPDFReal (μ - y) v x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
n : ℕ
⊢ eval (↑n) (map f p) = f (eval (↑n) p)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g
hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)
hhmgle : Martingale h ℱ μ
ω : Ω
hω : (f - martingalePart (f + g) ℱ μ) n ω = (f - martingalePart (f + g) ℱ μ) 0 ω
⊢ (f n - martingalePart (f + g) ℱ μ n) ω = 0 ω
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
a : (i : ι) × α i
⊢ (toModule R ι M fun i => (A i).subtype) (DFinsupp.mapRange (fun i x => (v i).repr.symm x) ⋯ (DFinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd 1))) = ↑((v a.fst) a.snd)
α : Type u_1
R : Type u_13
SeminormedRing R
c : R
f : α → R
l : Filter α
⊢ (fun x => c * f x) =O[l] f
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : SimpleFunc α ℝ
g : α → ℝ
hg : Integrable g μ
this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), s.indicator (Function.const α c) * f = s.indicator (c • f)
c : ℝ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ[↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) * g|m] =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) * μ[g|m]
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
n : ℕ∞
f : M → F₁ →L[𝕜] F₂
s : Set M
hf : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n f s
⊢ ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, (F₂ →L[𝕜] F₃) →L[𝕜] F₁ →L[𝕜] F₃) n (fun y => ContinuousLinearMap.precomp F₃ (f y)) s
R : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero R
x y a p : R
n : ℕ
hp : Prime p
hx : x * y = a * p ^ n
⊢ ∃ i j b c, i + j = n ∧ a = b * c ∧ x = b * p ^ i ∧ y = c * p ^ j
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
l : List α
⊢ powersetCard (n + 1) (a ::ₘ ⟦l⟧) = powersetCard (n + 1) ⟦l⟧ + map (cons a) (powersetCard n ⟦l⟧)
α : Type u_2
Lattice α
self : Sublattice α
⊢ SupClosed self.carrier
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
hs : s ⊆ f.source
⊢ map (↑(f.extend I)) (𝓝[s] y) = 𝓝[↑(f.extend I) '' s] ↑(f.extend I) y
n : ℕ
x : PartENat
⊢ ↑n < x ↔ ∀ (h : x.Dom), n < x.get h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n✝ : ℕ
a : α
e : decode n✝ = Option.some a
n : ℕ
⊢ Part.map (fun m => decide (m = 0)) (Part.map (fun b => bif b then 0 else 1) (p a n)) = p a n
l r : List Char
it : String.Iterator
⊢ String.Iterator.ValidFor l r it → it.remainingBytes = String.utf8Len r
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter β
s : Set β
a : α
⊢ s ∈ f → a • s ∈ a • f
R : Type u_2
NonUnitalRing R
p q : RingSeminorm R
⊢ (∀ (x : R), p x = q x) → p = q
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint b c
⊢ a ≤ b ∆ a ⊔ c ∆ a
α : Type u_1
AddMonoid α
s : AddSubmonoid α
a : α
⊢ a ∈ AddOpposite.op a +ᵥ ↑s
I : Type u
f : I → Type v
i : I
DecidableEq I
(i : I) → Group (f i)
g : (i : I) → f i
x : f i
⊢ Function.update g i x = g / Pi.mulSingle i (g i) * Pi.mulSingle i x
R : Type u_1
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ DualNumber.lift ⟨(TrivSqZeroExt.inlAlgHom R A A, ε), ⋯⟩ = AlgHom.id R A[ε]
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
⊢ M.Coindep X ↔ ∃ B, M.Base B ∧ X ⊆ M.E \ B
α : Type u
NatCast α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ { down := OfNat.ofNat n } = OfNat.ofNat n
c : ℂ
R θ : ℝ
⊢ circleMap c R θ - c = circleMap 0 R θ
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕂
inst✝³ : Ring 𝔸
inst✝² : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝ : TopologicalRing 𝔸
⊢ exp 𝕂 0 = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
p : ℝ
hp_nonneg : 0 ≤ p
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
a : α
ha : Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 (f_lim a))
⊢ Tendsto (fun a_1 => ‖f a_1 a‖₊ ^ p) atTop (𝓝 (‖f_lim a‖₊ ^ p))
A : Type u_11
CommRing A
IsDomain A
ι : Type u_12
DecidableEq ι
Fintype ι
M : Matrix ι ι A
h : M.det ≠ 0
⊢ (Matrix.toBilin' M).Nondegenerate
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) 0 a✝).f = Algebra.Hom.f 0
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCones F
Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)
c : Cone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'
⊢ 𝟙 c.pt ≫ c.π.app (j, k') = c.π.app (j, k) ≫ (F.obj j).map f
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
DecidableEq α
Fintype α
DecidableRel G.Adj
hG : G.EdgeDisjointTriangles
⊢ 3 * (G.cliqueFinset 3).card ≤ G.edgeFinset.card
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.diagonalObjPullbackFstIso f g).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
        (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.snd g g ≫ g) f ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd g g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F F' : CategoryTheory.Functor C D
iso : F ≅ F'
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.equivHomsetLeftOfNatIso iso) f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (iso.inv.app X) f