ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
⊢ induced f inst✝¹ ≤ Preorder.topology α
R : Type u_1
Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r u
⊢ IsUnit (u + r)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝¹ : FiniteDimensional L F
this✝ : Algebra.IsSeparable L F
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
⊢ ∏ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = (∏ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen) ^ finrank L F
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
⊢ succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂ ^ p * a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + a₁.coeff (n + 1) * (bs 0 ^ p) ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n (fun v => bs v ^ p) (truncateFun (n + 1) a₁) = succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂ * a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + a₂.coeff (n + 1) * bs 0 ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n bs (truncateFun (n + 1) a₂)
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁷ : Module R✝ A✝
inst✝⁶ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁵ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a : A
r : R
hr : ¬IsUnit r
h : r ∈ resolventSet R ↑a
⊢ IsUnit r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α
⊢ a ∈ ⨆ i, f i ↔ ∀ (i : ι), a ∈ f i
α : Type u_1
G : Type u_2
AddCommGroup G
UniformSpace G
UniformAddGroup G
NonarchimedeanAddGroup G
f : α → G
hf : Filter.Tendsto f Filter.cofinite (𝓝 0)
⊢ CauchySeq fun s => ∑ i ∈ s, f i
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a x : α
⊢ x ∈ Ici a ↔ a ≤ x
z : ℂ
⊢ Complex.cos z = ∑' (n : ℕ), (z * Complex.I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (∃ I, lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe h) ↔ ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : Disjoint p (ker f)
x : V
hx : x ∈ comap f p
⊢ x ∈ p ⊔ ker f
α : Type u
β : Type v
LinearOrderedAddCommMonoid β
h₀ : ∃ x, 0 < x
d : α → α → β
refl : ∀ (x : α), d x x = 0
symm : ∀ (x y : α), d x y = d y x
triangle : ∀ (x y z : α), d x z ≤ d x y + d y z
half : ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ x < δ, ∀ y < δ, x + y < ε
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun x => 0 < x) fun ε => {x | d x.1 x.2 < ε}
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
p s : ℝ
hs : -1 < s
hp : 1 ≤ p
⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-x ^ p)) (Ioi 0) volume
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
(i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : DirectSum ι fun i => A i
⊢ a * a' = DFinsupp.sum a fun i ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (DirectSum.of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ
⊢ padicNorm p ↑m = 1 ↔ (↑p)⁻¹ < padicNorm p ↑m
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
h : φ ≠ 0
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0
⊢ n ≤ φ.totalDegree
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
i : ι := Classical.arbitrary ι
⊢ (p i).ball 0 1 ∈ p.basisSets
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
⊢ ∃ m ∈ s, x ≤ m ∧ ∀ z ∈ s, m ≤ z → z ≤ m
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : C(AddCircle T, ℂ)
n : ℤ
⊢ fourierCoeff (↑↑((ContinuousMap.toLp 2 AddCircle.haarAddCircle ℂ) f)) n = fourierCoeff (⇑f) n
α : Type u
self : PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ dist x x = 0
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
⊢ Integrable ((fun x => ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
o : Ordinal.{u_2}
⊢ o.cof ≠ 0 ↔ o ≠ 0
σ : Type u_1
inst✝¹ : Fintype σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
h : 0 < k
hesymm : ↑k * esymm σ R k = (-1) ^ (k + 1) * (∑ x ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2 + ∑ x ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2)
sub_both_sides : ↑k * esymm σ R k - (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2 = (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2
⊢ psum σ R k = (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ x ∈ filter (fun a => a.1 < k ∧ 0 < a.1) (antidiagonal k), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
⊢ BijOn (fun x => x + d) (Ioo a b) (Ioo (a + d) (b + d))
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0
hf : Continuous f
x : α
U : Set α
hμU : μ U < ⊤
hUf : U ⊆ {x_1 | (fun a => f a ≤ f x + 1) x_1}
hUx : U ∈ nhds x
hUo : IsOpen U
⊢ (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) U < ⊤
x y : ℝ*
⊢ x.InfinitePos → y.InfinitePos → (x + y).InfinitePos
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : J ≠ 0
⊢ I / J = ⟨↑I / ↑J, ⋯⟩
x✝ y✝ z✝ : PGame
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
x : PGame := mk xl xr xL xR
y : PGame := mk yl yr yL yR
z : PGame := mk zl zr zL zR
⊢ ∀ (j : (mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).RightMoves), ⟦(mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).moveRight j⟧ = ⟦(mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR)).moveRight (?refine_2 j)⟧
𝕜 : Type u
ι : Type v
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
Subsingleton ι
i : ι
⊢ ‖(ContinuousMultilinearMap.ofSubsingleton 𝕜 G G i) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G)‖₊ ≤ 1
R : Type u_1
Semiring R
r : R
p : Polynomial R
⊢ Polynomial.eval r p = p.smeval r
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ bernoulli' n = (-1) ^ n * bernoulli n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : Quotient.mk'' f ≠ 0
⊢ ↑(↑p ^ (-PadicSeq.valuation f)) = ↑p ^ (-PadicSeq.valuation f)
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal |(μ[f|m]) a| ∂μ).toReal ≤ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal |f a| ∂μ).toReal
A : Type u_1
Ring A
Algebra ℚ A
⊢ (PowerSeries.constantCoeff A) (PowerSeries.exp A) = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₀ : T.mor₃ = 0
inr : T.obj₃ ⟶ T.obj₂
inr_snd : inr ≫ T.mor₂ = 𝟙 T.obj₃
fst : T.obj₂ ⟶ T.obj₁
total : fst ≫ T.mor₁ + T.mor₂ ≫ inr = 𝟙 T.obj₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.binaryBiproductData T hT hT₀ inr inr_snd fst total).bicone.snd = T.mor₂
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f g : L.Hom M N
s : Set M
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑((FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s)
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
a : Dual K (V₁ ⧸ W)
b : Dual K (V₁ ⧸ W')
⊢ ∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) (a, b))
α β : Type u
f : α → β
x : FreeMagma α
⊢ (Seq.seq (pure f) fun x_1 => x) = f <$> x
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ ENNReal.ofReal |(r ^ finrank ℝ E)⁻¹| • μ ≪ μ
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
hxy₁ : 0 ≤ ‖x + y‖
hxy₂ : 0 ≤ ‖x‖ + ‖y‖
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
x y : ℤ_[p]
⊢ ‖Polynomial.eval x F - Polynomial.eval y F‖ ≤ ‖x - y‖
s b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x ^ s * rexp (-b * x)) Filter.atTop (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
g : M' → M''
x : M
hg : SmoothAt I' I'' g (f x)
hf : SmoothWithinAt I I' f s x
⊢ SmoothWithinAt I I'' (g ∘ f) s x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝¹ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
inst✝ : PreservesColimit F (forget C)
D : Cocone F
hD : IsColimit D
x : (forget C).obj D.pt
⊢ ∃ j y, (D.ι.app j) y = x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
v : α → M
n : ℕ
f : L.Functions n
ts : Fin n → L.Term α
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize v (FirstOrder.Language.func f ts) =
  FirstOrder.Language.Structure.funMap f fun i => FirstOrder.Language.Term.realize v (ts i)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ 1 = p / p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂N₁.natTrans.app X).f.app Δ =
  (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A =>
    AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f (Opposite.unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op
α : Type u_1
G : Type u_2
TopologicalSpace G
LinearOrderedAddCommGroup G
OrderTopology G
f : α → G
TopologicalSpace α
s : Set α
h : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn (fun x => |f x|) s
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
a : α
l : List α
a✝ : (∀ a ∈ ↑l, ∀ b ∈ ↑l, r a b) → Chain r ↑l
hs : ∀ a_1 ∈ ↑(a :: l), ∀ b ∈ ↑(a :: l), r a_1 b
Ha : a ∈ ↑(a :: l)
Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)
⊢ Chain r ↑(a :: l)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F✝
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → G i
s₁ s₂ : Finset ι
F : (i : ι) → G i := fun i => if i ∈ s₁ then f i else -f i
hF₁ : ∀ i ∈ s₁ \ s₂, F i = f i
hF₂ : ∀ i ∈ s₂ \ s₁, F i = -f i
hF : ∀ (i : ι), ‖F i‖ = ‖f i‖
this : ‖∑ i ∈ s₁ \ s₂, (V i) (F i) + ∑ i ∈ s₂ \ s₁, (V i) (F i)‖ ^ 2 = ∑ i ∈ s₁ \ s₂, ‖F i‖ ^ 2 + ∑ i ∈ s₂ \ s₁, ‖F i‖ ^ 2
⊢ ‖∑ x ∈ s₁ \ s₂, (V x) (f x) + ∑ x ∈ s₂ \ s₁, -(V x) (f x)‖ ^ 2 = ∑ i ∈ s₁ \ s₂, ‖f i‖ ^ 2 + ∑ i ∈ s₂ \ s₁, ‖f i‖ ^ 2
R : Type u
α : Type u_1
SMul α R
x : Tropical R
n : α
⊢ Tropical.untrop (x ^ n) = n • Tropical.untrop x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.ord.cof
hf : ∀ (i : ι), f i < c
i : ι
⊢ (f i).ord < c.ord
α : Sort u_1
p : α → Prop
P Q : (x : α) → p x → Prop
H : ∀ (x : α) (h : p x), P x h → Q x h
⊢ (∃ x h, P x h) → ∃ x h, Q x h
A : Type u_1
AddCommMonoid A
Finset.HasAntidiagonal A
n : A
⊢ Finset.map { toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ } (Finset.antidiagonal n) = Finset.antidiagonal n
t : ℝ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving QuotientAddGroup.mk (MeasureTheory.volume.restrict (Set.Ioc t (t + 1)))
  MeasureTheory.volume
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
⊢ exterior s ⊆ exterior t ↔ 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ t
n : ℕ
⊢ IsUnit n ↔ n = 1
α : Type u_2
Lattice α
s : Set α
⊢ IsSublattice (latticeClosure s)
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α₁ : Sort u_1
β₁ : Sort u_2
α₂ : Sort u_3
β₂ : Sort u_4
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₂ : β₁ ≃ β₂
f : α₂ → β₂
x : α₂
⊢ (fun f => ⇑e₂ ∘ f ∘ ⇑e₁.symm) ((fun f => ⇑e₂.symm ∘ f ∘ ⇑e₁) f) x = f x
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
h₁ : X ≃ₕ Y
h₂ : Y ≃ₕ Z
⊢ ((h₂.toFun.comp h₁.toFun).comp (h₁.invFun.comp h₂.invFun)).Homotopic (ContinuousMap.id Z)
x : ℝ
n : ℕ
A : 1 < 2 ^ (n + 1)
B : π / 2 ^ (n + 1) < π
C : 0 < π / 2 ^ (n + 1)
⊢ cos (π / 2 ^ (n + 1 + 1)) = sqrtTwoAddSeries 0 (n + 1) / 2
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →A[R] B
⊢ (ContinuousAlgHom.id R B).comp f = f
n : ℕ
α : Type u
p : Fin n → Type u
τ : Type u
⊢ Function.FromTypes (Matrix.vecCons α p) τ = (α → Function.FromTypes p τ)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
h : s.Finite
⊢ FiniteDimensional k ↥(affineSpan k s).direction
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCommMonoid α
s t : Multiset α
a : α
h : ∀ x ∈ s, a ≤ x
⊢ (map (Function.const α a) s).prod ≤ s.prod
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
A : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
⊢ ((CategoryTheory.Limits.BinaryBicones.functoriality P Q F).obj A).inr = F.map A.inr
R : Type u_2
CommSemiring R
n : ℤ
⊢ LaurentPolynomial.invert (LaurentPolynomial.T n) = LaurentPolynomial.T (-n)
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ¬‖x‖ = 0
hlt : 0 < ‖x‖
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
M : Type u_4
Monoid M
l : List M
DecidableEq M
a : M
h : ∀ (a' : M), a' ≠ a → a' ∈ l → a' = 1
⊢ l.prod = a ^ List.count a l
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a
ts : t ⊆ s
t_diff : DifferentiableOn ℝ f t
t_conv : Convex ℝ t
t_open : IsOpen t
t_closure : closure t = Icc b a
t_cont : ∀ y ∈ closure t, ContinuousWithinAt f t y
⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ AnalyticWithinOn 𝕜 f (s ∩ u)
x : E
m : x ∈ s
u : Set E
ou : IsOpen u
xu : x ∈ u
fu : AnalyticWithinOn 𝕜 f (s ∩ u)
r : ℝ
r0 : r > 0
ru : Metric.ball x r ⊆ u
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
⊢ Set.EqOn (Prod.fst ∘ ↑e) proj e.source
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x y : ModP K v O hv p
hx0 : ¬x = 0
hy0 : ¬y = 0
hxy0 : ¬x + y = 0
⊢ preVal K v O hv p (x + y) ≤ max (preVal K v O hv p x) (preVal K v O hv p y)
R : Type u_1
Ring R
S : Type u_2
AddCommGroup S
Pow S ℕ
Module R S
p q : Polynomial R
x : S
⊢ (p - q).smeval x = p.smeval x - q.smeval x
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : α → E
a : Filter α
⊢ Tendsto (fun e => ‖f e / 1‖) a (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun x => ‖f x‖) a (𝓝 0)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.WeaklyRegular
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε
p : ℕ
inst✝¹⁰ : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : CharP R p
P : Type u₃
inst✝⁷ : CommSemiring P
inst✝⁶ : CharP P p
inst✝⁵ : PerfectRing P p
S : Type u₂
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : CharP S p
Q : Type u₄
inst✝² : CommSemiring Q
inst✝¹ : CharP Q p
inst✝ : PerfectRing Q p
φ : R →+* S
f : Ring.Perfection R p
⊢ (Perfection.coeff S p 0) ((map p ⋯ ⋯ φ) f) = (Perfection.coeff S p 0) ((Perfection.map p φ) f)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : IsHomogeneous 𝒜 I
x : A
hx : x ∈ I
⊢ x ∈ homogeneousCore' 𝒜 I
R : Type u_3
CommRing R
t : R
a : R[X]
⊢ (Polynomial.algEquivAevalXAddC t).symm a = (Polynomial.aeval (Polynomial.X - Polynomial.C t)) a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
hv : v ∈ s.direction
p : P
h : v +ᵥ p ∈ s
⊢ p ∈ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
f : E → F
g : F →ₗᵢ[𝕜] G
hf : ContDiff 𝕜 n f
x : E
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 i (⇑g ∘ f) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖
R : Type u
a : R
Semiring R
p : R[X]
h : p.leadingCoeff * a ≠ 0
⊢ (p * Polynomial.C a).natDegree = p.natDegree
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
n : ℕ
x : 𝕎 R
⊢ (WittVector.ghostComponent n) x = (MvPolynomial.aeval x.coeff) (W_ ℤ n)
S : Type
CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
hψ : ψ.Odd
⊢ (MulChar.toUnitHom ψ) (-1) = -1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
m : Fin n → 𝕜
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) m = (∏ i : Fin n, m i) • iteratedDerivWithin n f s x
R : Type u_1
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
e : M ≃ₗ[R] M₂
f : Module.End R M
⊢ e.conj f = (↑e ∘ₗ f) ∘ₗ ↑e.symm
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f₁ f₂ : v.FunSpace
d : ℝ
h : ∀ (t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax)), dist (f₁.toFun t) (f₂.toFun t) ≤ d
⊢ dist f₁ f₂ ≤ d
α : Type u_1
o : Part α
⊢ o.Dom ↔ ∃ y, y ∈ o
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
⊢ Ring.inverse a = a⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb : 1 ≤ b
⊢ a / b ≤ a
α : Type u_2
GroupWithZero α
f : Filter α
hf : f.NeBot
⊢ 0 ≤ f / 0
s : Finset ℕ
m n✝ p✝ n p : ℕ
hn : Squarefree n
⊢ n.factorization p ≤ 1
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ Measurable fun a => ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊
α : Type u_1
l : Language α
⊢ l∗ = {x | ∃ L, x = L.join ∧ ∀ y ∈ L, y ∈ l}
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : LinearOrder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : R →* M
⊢ f (-1) ^ Nat.succ 1 = 1
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
f : Module.End K V
a b : K
hb : b ≠ 0
⊢ f.eigenspace (a / b) = LinearMap.ker (b • f - (algebraMap K (Module.End K V)) a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b b' : M
hb : b ≠ 0
hb' : b' ≠ 0
i j : α
⊢ Disjoint (single i b).support (single j b').support ↔ i ≠ j
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hpn0 : p ^ n = 0
h1 : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
⊢ False
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
⊢ (Polynomial.eval₂AddMonoidHom f x) p = Polynomial.eval₂ f x p
a b : Bool
⊢ (a || b) = a ↔ b = true → a = true
a b : Cardinal.{u_1}
h : b ≠ 0
⊢ a ≤ a * b
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
X : ι → Ω → ℝ
h_indep : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun i => inferInstance) X μ
h_meas : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
s : Finset ι
h_int : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * X i ω)) μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * (∑ i ∈ s, X i) ω)) μ