ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
f : α → β
inst✝ : WellFoundedLT β
hf : StrictMono f
s : Set α
hne : s.Nonempty
⊢ ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬x < m
l : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq l
CommRing R
Fintype l
⊢ (Matrix.J l R).det * (Matrix.J l R).det = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : AddSubmonoid M
hA : ∀ (a : A) {m : M}, m ∈ p → a • m ∈ p
hB : ∀ (b : B) {m : M}, m ∈ p → b • m ∈ p
ab : A ⊗[R] B
m : M
a : A
b : B
hm : m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier
⊢ a ⊗ₜ[R] b • m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
⊢ (E.indicator fun x => 1) ≤ ⇑(thickenedIndicator δ_pos E)
R : Type u_2
Add R
Mul R
c : RingCon R
a b : R
⊢ ↑a = ↑b ↔ c a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := B.toSeminormFamily
h : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' : (Filter.pi fun x => 𝓝 0).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun If => If.1.pi fun i => Metric.ball 0 (If.2 i)
h'' : (Filter.comap (fun x y => (B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun i => (fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)
U : Set E
hU : ∃ i r, 0 < r ∧ U = (i.sup p).ball 0 r
⊢ ∃ i, (i.1.Finite ∧ ∀ i_1 ∈ i.1, 0 < i.2 i_1) ∧ ((fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)) ⊆ _root_.id U
p n k : ℕ
n_big : 2 < n
p_le_n : p ≤ n
big : 2 * n < 3 * p
⊢ n ≤ 2 * n - n
R : Type u_1
G : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
Group G
Fintype G
f : G →* R
Decidable (f = 1)
⊢ ∑ g : G, f g = ↑(if f = 1 then Fintype.card G else 0)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SupSet α
SupSet β
SupSet γ
g₁ g₂ : sSupHom β γ
f : sSupHom α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
g'inv : G →L[𝕜] E
hg'inv : φ.rightDeriv.comp g'inv = ContinuousLinearMap.id 𝕜 G
hg'invf : φ.leftDeriv.comp g'inv = 0
⊢ HasStrictFDerivAt (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt)) g'inv (φ.rightFun φ.pt)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ ι)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
inst✝² : HasCoproduct (X ∘ ι)
inst✝¹ : HasCoproduct X
inst✝ : HasCoproduct fun k => X ↑k
⊢ (Sigma.map' ι fun j => 𝟙 ((X ∘ ι) j)) = Sigma.desc fun j => Sigma.ι X (ι j)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
j : J
⊢ (D.obj j).a ≫ T.δ.app (D.obj j).A ≫ T.map (T.map (c.ι.app j)) = (D.obj j).a ≫ T.map (c.ι.app j) ≫ T.map (t.desc (newCocone D c))
A : Type u_2
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
a : A
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal (‖a ^ n‖ ^ (1 / ↑n))) Filter.atTop (nhds (spectralRadius ℂ a))
α : Type u_3
Add α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ cmp (a + b) (a + c) = cmp b c
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing 𝕜
inst✝⁹ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁸ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁷ : ContinuousAdd 𝕜
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra 𝕜 A
inst✝² : Nontrivial 𝕜
inst✝¹ : T2Space 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
⊢ IsClosed {a | ∀ (x y : A), a (x * y) = a x * a y}
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
f : ℕ → α
n : ℕ
x✝ : α
⊢ (partialSups f) n ≤ x✝ ↔ (Finset.range (n + 1)).sup f ≤ x✝
⊢ ∃ f, Computable₂ f ∧ ∀ (c : Nat.Partrec.Code) (n x : ℕ), (f c n).eval x = c.eval (Nat.pair n x)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : 𝓢(ℝ, F)
x : ℝ
⊢ |x| ^ k * ‖iteratedDeriv n (⇑f) x‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k n) f
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ : P
x : P × P × P
hx12 : x.1 ≠ x.2.1
hx32 : x.2.2 ≠ x.2.1
f : P × P × P → V × V := fun y => (y.1 -ᵥ y.2.1, y.2.2 -ᵥ y.2.1)
hf1 : (f x).1 ≠ 0
hf2 : (f x).2 ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun y => ∠ y.1 y.2.1 y.2.2) x
x : ℝ
x_large : 512 ≤ x
⊢ x * (2 * x) ^ √(2 * x) * 4 ^ (2 * x / 3) ≤ 4 ^ x
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
hf : Injective ⇑f
H K : Subgroup G
⊢ map f H ≤ map f K ↔ H ≤ K
a : Ordinal.{u_4}
b : Ordinal.{u_4}
b0 : b ≠ 0
c : Ordinal.{u_4}
⊢ (b * a + c) / b = a + c / b
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDomain R
IsDedekindDomain R
I : ↥(Ideal R)⁰
⊢ ClassGroup.mk ((FractionalIdeal.mk0 K) I) = ClassGroup.mk0 I
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a b : α
h : a / b = 1
⊢ a = b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B
⊢ A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = ((A.X ◁ f.hom ≫ f.hom ▷ B.X) ▷ M.X ≫ B.mul ▷ M.X) ≫ M.act
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q Q' : QuadraticMap R M N
⊢ Q = Q' ↔ ∀ (x : M), Q x = Q' x
R : Type u
CommRing R
M : ModuleCat R
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor M = ModuleCat.MonoidalCategory.leftUnitor M
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
hv : v ≠ 0
⊢ finrank K ↥(span K {v}) = 1
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
N : Submodule R S
⊢ ⊥.LinearDisjoint N
α : Type u
Preorder α
OrderBot α
⊢ IsGLB Set.univ ⊥
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Finset S
f : S → R
⊢ ∑ i ∈ s, trop (f i) = (Multiset.map (fun i => trop (f i)) s.val).sum
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁰ : CommRing A
inst✝²⁹ : CommRing B
inst✝²⁸ : Algebra A B
inst✝²⁷ : Field K
inst✝²⁶ : Field L
inst✝²⁵ : Algebra A K
inst✝²⁴ : IsFractionRing A K
inst✝²³ : Algebra B L
inst✝²² : Algebra K L
inst✝²¹ : Algebra A L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.752508
Bₘ : Type ?u.752511
inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹³ : Algebra A Aₘ
inst✝¹² : Algebra B Bₘ
inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : IsGalois (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
⊢ (algebraMap A B) ((intNorm A B) x) = ∏ σ : B ≃ₐ[A] B, σ x
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hadp : MeasureTheory.Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), MeasureTheory.Integrable (f i) μ
hf :
  ∀ (τ π : Ω → ℕ),
    MeasureTheory.IsStoppingTime 𝒢 τ →
      MeasureTheory.IsStoppingTime 𝒢 π →
        τ ≤ π →
          (∃ N, ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N) →
            ∫ (x : Ω), MeasureTheory.stoppedValue f τ x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), MeasureTheory.stoppedValue f π x ∂μ
⊢ MeasureTheory.Submartingale f 𝒢 μ
α : Type u_2
Preorder α
x : α
⊢ x < x → False
α : Type u_1
Lattice α
Group α
⊢ Monotone oneLePart
G : Type u_1
inst✝⁷ : CommGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : CompactSpace G
inst✝ : RootableBy G ℤ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
f : G →* G := zpowGroupHom n
hf : Continuous ⇑f
⊢ map (fun g => g ^ n) μ = μ
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
x : F α
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
⊢ (∃ a f, abs (repr x) = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p i (f i j)) ↔ ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp (abs (repr x)) i, p i u
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y
⊢ (adj.homEquiv X Y) f = { app := fun X => (adj.homEquiv X (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X)), naturality := ⋯ }.app X ≫ G.map f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
FiniteDimensional ℝ V
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ V = n
hc : EuclideanGeometry.Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Affine.Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
⊢ sx₁.circumsphere = sx₂.circumsphere
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
X : Type u_6
TopologicalSpace X
f : Z → X
z : Z
e : Trivialization F proj
he : proj z ∈ e.baseSet
hf : ContinuousAt (f ∘ ↑e.symm) (↑e z)
⊢ ContinuousAt f z
α : Type u_1
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (α × Ω)
ρCond : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
self : ρ.IsCondKernel ρCond
⊢ ρ.fst ⊗ₘ ρCond = ρ
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
s : Set α
x : α
hbdd : BddAbove s
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)
hs : s.Nonempty
⊢ sSup s ∈ s
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y
diagram : WalkingParallelPair ⥤ Type u := parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ⋙ forget TopCat
this : colimit.ι diagram one x = colimit.ι diagram one y
⊢ EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i
k : Fin ([n + 1].len + 1)
hik : i < k
⊢ j.castSucc.predAbove (i.succ.succAbove k) = i.succAbove (j.predAbove k)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
inst✝¹ : IsFiltered (CostructuredArrow yoneda A)
inst✝ : FinallySmall (CostructuredArrow yoneda A)
h₁ : (factoring (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A)) ⋙ inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A))).Final
h₂ : (inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A))).Final
⊢ IsIndObject A
α : Type u_1
r : α → α → Prop
h : Equivalence r
⊢ EqvGen r = r
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hspan : affineSpan ℝ s ≠ ⊤
⊢ μ (frontier s) = 0
α : Type u
x : α
⊢ Function.IsFixedPt id x
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hcf : ContinuousOn f (Ioc a b)
hcg : ContinuousOn g (Ioc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfb : f b = 0
hgb : g b = 0
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] b) l
⊢ Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (𝟙 A).hom₁ = 𝟙 A.obj₁
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_2
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
Module R M
TopologicalAddGroup M
T1Space M
p : Submodule R M
h : p.ClosedComplemented
⊢ IsClosed ↑p
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
s : Set α
⊢ L.distinctConstantsTheory s = ⋃ t, L.distinctConstantsTheory ↑(Finset.map (Function.Embedding.subtype fun x => x ∈ s) t)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
x : α
hx : x ∉ closure s
⊢ ContinuousWithinAt f s x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ dist f g = (edist f g).toReal
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ (α_ M₁.X N.X Z.X).hom ≫ (f.hom ▷ (N.X ⊗ Z.X) ≫ M₂.X ◁ N.actRight) ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (f.hom ▷ N.X ▷ Z.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one ▷ Z.X) ≫ TensorBimod.actRight M₂ N
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(spectrum R a), R)
f' : C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)))
hff' : ∀ (x : ↑(spectrum R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R)
⊢ (cfcHom ha) (g.comp f') = (cfcHom ⋯) g
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
L : Type u_4
Field L
C : Type u_5
CommRing C
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
Algebra C L
IsIntegralClosure C A L
Algebra A C
IsScalarTower A C L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsNoetherianRing A
⊢ IsNoetherian A C
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
i✝ j✝ : G.ConnectedComponent
h : i✝ ≠ j✝
a : V
hsx : G.connectedComponentMk a = i✝
hsy : G.connectedComponentMk a = j✝
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ p.radius = Filter.liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) Filter.atTop
c : Cardinal.{v}
⊢ Cardinal.toPartENat (Cardinal.lift.{u, v} c) = Cardinal.toPartENat c
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Module.Free A B
Module.Finite A B
a : A
x : B
⊢ ∃ r, (Algebra.norm A) (1 + a • x) = 1 + (Algebra.trace A B) x * a + r * a ^ 2
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SFinite μ
ht_subset : t ⊆ μ.sigmaFiniteSetᶜ
this : μ t = (μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) t
⊢ (μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) t = 0 ∨ (μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) t = ⊤
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
h : ∀ i ∈ Set.Ico m n, r (Order.succ i) i
hmn : m ≤ n
⊢ Relation.ReflTransGen r n m
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α → M
s : Set α
⊢ Function.support f ⊆ s ↔ ∀ (x : α), f x ≠ 0 → x ∈ s
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
m' : MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep ⊥ m' κ μ
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
s : ι → Sublattice β
⊢ Sublattice.comap f (iInf s) = ⨅ i, Sublattice.comap f (s i)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
s : Finset ι
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
x : E
⊢ ((s.sup q).comp f) x = (s.sup (q.comp f)) x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
g' : Z ⟶ W
inst✝² : HasPushout f g
inst✝¹ : HasPushout (pushout.inr f g) g'
inst✝ : HasPushout f (g ≫ g')
⊢ pushout.inr f (g ≫ g') ≫ (pushoutLeftPushoutInrIso f g g').inv = pushout.inr (pushout.inr f g) g'
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : v.restrict i ≤ w.restrict i
hj₁ : MeasurableSet j
hj₂ : v.restrict j ≤ w.restrict j
⊢ v.restrict (i ∪ j) ≤ w.restrict (i ∪ j)
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
⊢ (∏ i ∈ s, f i).natDegree ≤ ∑ i ∈ s, (f i).natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CharZero α
m n : ℕ
⊢ ↑n < 1 ↔ n = 0
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
L : IntermediateField k K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic k ↥L
x : K
hx : x ∈ L
⊢ x ∈ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
inst✝ : IsEmpty β
⊢ HasProd f 1
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ (DFinsupp.sumAddHom φ) f = f.sum fun x => ⇑(φ x)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
⊢ Padic.mk f = Padic.mk g ↔ f ≈ g
a : ℕ
a.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat a)⁻¹.num = 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax)
⊢ f.vComp ↑t = v.toFun (↑t) (f.toFun t)
F : Type u_1
E : Type u_2
CommRing F
StrongRankCondition F
Ring E
Algebra F E
Nontrivial E
Module.Free F E
⊢ ⊥ = ⊤ ↔ Module.rank F E = 1
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
t : R
⊢ Polynomial.rootMultiplicity t p = Polynomial.rootMultiplicity 0 (p.comp (Polynomial.X + Polynomial.C t))
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
n : ℕ
x : 𝕜
k : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ (∏ x ∈ Finset.range k, (↑n - ↑x)) * x ^ (↑n - ↑k) = (∏ i ∈ Finset.range k, (↑n - ↑i)) * x ^ ↑(n - k)
α : Type u_1
MulZeroOneClass α
P : Prop
Decidable P
a : α
⊢ (a * if P then 1 else 0) = if P then a else 0
x y z t : EReal
h : x < y
h' : z ≤ t
hz : z ≠ ⊥
ht : t ≠ ⊤
⊢ x - t < y - z
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
ha : a ≤ 0
⊢ ⌊a⌋₊ = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
h : ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime
⊢ LocalRing R
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Algebra.adjoin (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
⊢ Algebra.adjoin R ↑(s.attach.biUnion sf) = ⊤
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
Semiring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0
⊢ x ^ m ∣ (x + y) ^ p
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
⊢ IsOpen (range some)
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
h : ker f ⊔ ker g = ⊤
x y : M
⊢ ∃ y_1, (f y_1, g y_1) = (f x, g y)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
⊢ ∃ Y i y, F.map i y = x ∧ CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected Y ∧ CategoryTheory.Mono i
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
g : ℕ → ℝ≥0∞
h✝ : Monotone g
hg₂ : Filter.Tendsto g Filter.atTop (nhds (sSup (measurableLEEval ν μ)))
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ∈ measurableLE ν μ
hf₂ : ∀ (n : ℕ), (fun f => ∫⁻ (x : α), f x ∂ν) (f n) = g n
ξ : α → ℝ≥0∞ := ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k
hξ : ξ = ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k
hξ₁ : sSup (measurableLEEval ν μ) = ∫⁻ (a : α), ξ a ∂ν
hξm : Measurable ξ
μ₁ : Measure α := μ - ν.withDensity ξ
hμ₁ : μ₁ = μ - ν.withDensity ξ
hle : ν.withDensity ξ ≤ μ
⊢ ∃ p, Measurable p.2 ∧ p.1 ⟂ₘ ν ∧ μ = p.1 + ν.withDensity p.2
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
r s t : Set (α × α)
a b : α
⊢ (a, b) ∈ r ○ s ○ t ↔ (a, b) ∈ r ○ (s ○ t)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_3, u_1} C
B B' : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
i : B ⟶ B'
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ ≫ i = g₂ ≫ π a₂ ≫ i → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
a₁ a₂ : α
g₁ : Z ⟶ X a₁
g₂ : Z ⟶ X a₂
hg : g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂
⊢ (g₂ ≫ π a₂) ≫ i = g₂ ≫ π a₂ ≫ i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
a' : E →L[𝕜] 𝔸
ha : HasFDerivAt a a' x
b : 𝔸
⊢ HasFDerivAt (fun y => a y * b) (a'.smulRight b) x
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Submartingale f ℱ μ
hg : Supermartingale g ℱ μ
⊢ Submartingale (f - g) ℱ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Antitone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atBot
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a_1 : β), f (a, a_1) (seq i) ∂ν a) atTop (𝓝 (∫ (a : β), 0 ∂ν a))
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁵ : Ring k
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1
inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1
inst✝¹² : AddCommGroup V2
inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3
inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁸ : Module k V1
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
⊢ f 0 = g 0
α : Type u_1
LE α
a : α
⊢ IsMax (OrderDual.toDual a) ↔ IsMin a