ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U : Set M
hU : IsOpen U
hSig : IsSigmaCompact U
hf : LocallyIntegrableOn f U μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
meas_U : MeasurableSet U
⊢ ∀ᵐ (x : ↑U) ∂Measure.comap Subtype.val μ, f ↑x = 0
m n k : Nat
⊢ Int.subNatNat (m + n) k = ↑m + Int.subNatNat n k
J : Type u₁
K : Type u₂
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
Small.{v, u₂} K
CategoryTheory.FinCategory J
F : J × K ⥤ Type v
CategoryTheory.IsFiltered K
⊢ Function.Surjective (CategoryTheory.Limits.colimitLimitToLimitColimit F)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.2905, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
n : ℕ
i : [n] ⟶ [n + 1]
inst✝ : Mono i
hi : Isδ₀ i
⊢ i = SimplexCategory.δ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
K L : CochainComplex C ℤ
n a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
⊢ ∀ (a_1 : CochainComplex.HomComplex.Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'),
  (CochainComplex.HomComplex.Cochain.rightShiftLinearEquiv R K L n a n' hn').symm a_1 = a_1.rightUnshift n hn'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α
⊢ ↑(⨆ i, f i).compl = ↑(⨆ i, (f i).compl)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v2 : ℕ
⊢ padicNorm p (↑f (PadicSeq.stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑f (max v1 (max v2 (PadicSeq.stationaryPoint hf))))
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
NormalSpace X
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
α : Sort u_5
E : α → Sort u_4
⊢ IsEmpty (PSigma E) ↔ ∀ (a : α), IsEmpty (E a)
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun t => √(f t)) (f' / (2 * √(f x))) x
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a
hb : ¬IsMax b
⊢ Order.succ a = Order.succ b ↔ a = b
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α✝
inst✝² : LocallyFiniteOrder α✝
a✝¹ b✝ : α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a b a✝ : α
⊢ a✝ ∈ filter (fun x => x < b) (Iio a) ↔ a✝ ∈ Iio (min a b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
G.IsEquivalence
⊢ F.Initial ↔ (F.comp G).Initial
n : ℕ
r : ℝ
⊢ r.toNNReal < ↑n ↔ r < ↑n ∧ n ≠ 0
h : HasDerivAt Gammaℝ (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2) 1
⊢ Tendsto (fun s => 1 / (s - 1) - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
R : Type u_1
K : Type v
L : Type w
CommRing R
Field K
Field L
Algebra R K
Algebra R L
p : R[X]
h : Polynomial.Splits (algebraMap R K) p
f : K →ₐ[R] L
⊢ ⇑f '' p.rootSet K = p.rootSet L
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
Nonempty N
⊢ (AddHom.fst M N).srange = ⊤
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
Nontrivial k
p1 : P
p : ι → P
⊢ p1 ∈ affineSpan k (Set.range p) ↔ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w
a b c : Nat
⊢ min (a - c) (b - c) = min a b - c
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ min a b = if a ≤ b then a else b
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
h1 : ∀ (n : ℕ), 2 * ↑k ≠ -↑n
h2 : 2 * ↑k ≠ 1
⊢ hurwitzZetaEven (↑x) (1 - 2 * ↑k) = -1 / (2 * ↑k) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
α : Type u_4
r : α → α → Prop
DecidableRel r
hr : Symmetric r
s t : Finset α
⊢ (Rel.interedges r s t).card = (Rel.interedges r t s).card
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
f g : P ⟶ Q
h : f.f = g.f
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nontrivial
⊢ ∃ t a, ∃ (ha : a ∉ t), ∃ b, ∃ (hb : b ∉ t) (hab : ¬a = b), cons a (cons b t hb) ⋯ = s
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
F : RingQuot r →+* T
x✝ : R
⊢ ({ toFun := fun x => Quot.lift ⇑(F.comp (mkRingHom r)) ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.comp (mkRingHom r)) x✝ = (F.comp (mkRingHom r)) x✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ Balanced 𝕜 s → Balanced 𝕜 (-s)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hx : (aeval x) f = 0
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
⊢ ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : ¬MDifferentiableWithinAt I I' f s x
⊢ mfderivWithin I I' f s x = 0
α : Type u_1
Add α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h : a ≤ b + c
hle : b ≤ d
⊢ a ≤ d + c
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
⊢ M ⊨ L.infiniteTheory ↔ Infinite M
n a : ℕ
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
pp : Periodic p a
⊢ Multiset.count True (map p (Ico n (n + a))) = Multiset.count True (map (p ∘ fun x => x % a) (Ico n (n + a)))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F F' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F' ⟶ F
U : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.GrothendieckTopology.imagePresheaf f).obj U = Set.range (f.app U)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
S : AddSubmonoid M
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
⊢ AddSubmonoid.map f (AddSubmonoid.comap f (AddSubmonoid.map f S)) = AddSubmonoid.map f S
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ J = I⁻¹
R : Type u
m : ℕ
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
hp : p.natDegree ≤ m
⊢ (p ^ n).natDegree ≤ n * m
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
CategoryTheory.Limits.HasKernels V
CategoryTheory.Limits.HasImages V
w : f ≫ g = 0
⊢ (CategoryTheory.Limits.imageSubobjectIso f).hom ≫ imageToKernel' f g w =
  imageToKernel f g w ≫ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectIso g).hom
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
this : IsSelfAdjoint a
⊢ ‖a‖₊ = (spectralRadius ℝ a).toNNReal
n : ℕ
⊢ 1 <<< ↑n = ↑(2 ^ n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₁.RightHomologyData
h₁' : S₂.LeftHomologyData
h₂' : S₂.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ h₁ h₁')
    (CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁' h₂') =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁ h₂)
    (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' φ h₂ h₂')
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} B
F : CategoryTheory.Functor A B
G₁ : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A) (CategoryTheory.Sheaf J A)
adj₁ : G₁ ⊣ CategoryTheory.sheafToPresheaf J A
G₂ : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ B) (CategoryTheory.Sheaf J B)
adj₂ : G₂ ⊣ CategoryTheory.sheafToPresheaf J B
J.HasSheafCompose F
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj₂.unit.app (P.comp F))
    ((CategoryTheory.sheafToPresheaf J B).map ((CategoryTheory.sheafComposeNatTrans J F adj₁ adj₂).app P)) =
  CategoryTheory.whiskerRight (adj₁.unit.app P) F
R₁ : Type u_2
ι : Type u_16
CommRing R₁
DecidableEq ι
Fintype ι
IsDomain R₁
M : Matrix ι ι R₁
h : M.det ≠ 0
⊢ ((Matrix.toLinearMap₂' R₁) M).SeparatingLeft
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
n : ℕ
h : ∀ m ≤ n, ¬P m
⊢ ↑n < PartENat.find P
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
MulZeroClass β
f f' : α → β
hf : HasCompactSupport f'
⊢ HasCompactSupport (f * f')
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₃ : Type u_3
J : Type u_4
Zero I₂
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
self : CategoryTheory.GradedObject.TriangleIndexData r π
i₃ : I₃
⊢ self.p₂₃ (0, i₃) = i₃
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a : α
⊢ Finset.Ioo a a = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o a : Ordinal.{v}
e : o = succ a
⊢ lift.{u, v} o.pred = (lift.{u, v} o).pred
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosedIn A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
x : B
⊢ (∃ y, (algebraMap A B) y = x) → IsIntegral R x
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : Ideal R
f : R →ₗ[R] M
⊢ Submodule.map f I ≤ I • ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid D
φ : CategoryTheory.Functor C D
S T : CategoryTheory.Subgroupoid D
⊢ S ≤ T → CategoryTheory.Subgroupoid.comap φ S ≤ CategoryTheory.Subgroupoid.comap φ T
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
A : ↥(Matrix.unitaryGroup n α)
⊢ star ↑A * ↑A = 1
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (s * t)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
x : F
hs : MeasurableSet ∅
⊢ setToSimpleFunc T (piecewise ∅ hs (const α x) (const α 0)) = (T ∅) x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
⊢ μ.toSphere Set.univ = ↑(dim E) * μ (Metric.ball 0 1 \ {0})
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = c
ha : a < c
hc : ℵ₀ ≤ c
⊢ ¬b < c
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α✝
inst✝² : Fintype β
α : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ (∃! a, p a) ↔ ∃ a, filter p univ = {a}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g h : C
η η' : f ⟶ g
θ θ' : g ⟶ h
ι : f ⟶ h
pf_η : η = η'
pf_θ : θ = θ'
pf_ηθ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp η' θ' = ι
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp η θ = ι
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.kahler x) (o.rightAngleRotation y) = Complex.I * (o.kahler x) y
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
p : Submodule K V
f : Module.End K V
FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
⊢ ⨆ μ, ⨆ k, (Module.End.genEigenspace (LinearMap.restrict f h) μ) k = ⊤
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
hm₁ : ∃ k, (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k) m₁ = 0
hm₂ : ∃ k, (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k) m₂ = 0
⊢ ∃ k, ((f₁ + f₂) ^ k) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
ι : Sort u_1
a : ℝ≥0
g h : ι → ℝ≥0
H : ∀ (i j : ι), g i * h j ≤ a
⊢ iSup g * iSup h ≤ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
hgauge : gauge s x < 1
⊢ ∃ y ∈ s, x ∈ openSegment ℝ 0 y
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
h : p ^ (k - s + 1) = 2
⊢ p = 2
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
a b c d x y z : F
r R : ℝ
hx : x ≠ c
⊢ HasFDerivAt (inversion c R) ((R / dist x c) ^ 2 • ↑{ toLinearEquiv := (reflection (Submodule.span ℝ {x - c})ᗮ).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }) x
α : Type u
s₁ s₂ : Stream' α
⊢ s₁ ⋈ s₂ = Stream'.cons s₁.head (Stream'.cons s₂.head (s₁.tail ⋈ s₂.tail))
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
⊢ IsFiniteAdele 0
p : ℤ[X]
hp : p.IsUnitTrinomial
h : ∀ (z : ℂ), ¬((aeval z) p = 0 ∧ (aeval z) p.mirror = 0)
q : ℤ[X]
hq : q ∣ p
hq' : q ∣ p.mirror
⊢ IsUnit q
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this : Primrec G₁
⊢ Primrec fun a => F a (c a)
α : Type u
self : OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ a ≤ b → ∀ (c : α), c + a ≤ c + b
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
F : ℕ → R := fun n => ∑' (e : ℕ), f (n ^ e)
ε : ℝ
hε : ε > 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ (s : Finset ℕ), N₀.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (∏ b ∈ n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F b) (∑' (n : ℕ), f n) < ε
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype α
⊢ ∃! s, ∃ (h : s.Nodup), s.formPerm h = f
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
⊢ s ∈ 𝓓 a (𝓓 a 𝒜) ↔ s ∈ 𝓓 a 𝒜
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
sXY : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X Y
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit sXY
sYZ : CategoryTheory.Limits.BinaryFan Y Z
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit sYZ
s : CategoryTheory.Limits.BinaryFan sXY.pt Z
R : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
t : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Limits.pair X sYZ.pt)
⊢ (P.assoc Q R).lift t = R.lift (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.assocInv P t)
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s.ordConnectedSection
hy : y ∈ s.ordConnectedSection
h : [[x, y]] ⊆ s
⊢ x = y
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → M
⊢ ∏ p ∈ antidiagonal (n + 1), f p = f (n + 1, 0) * ∏ p ∈ antidiagonal n, f (p.1, p.2 + 1)
a : ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
h : ∃ i, p i
f : ι → ℝ≥0∞
⊢ (⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) + a = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i + a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor D E
X Y : C
⊢ (F ⊗⋙ G).μ X Y = G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)
α : Type u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
p : α → Prop
e : β ≃ Subtype p
v : β → γ
w : α → γ
j : β
x : γ
DecidableEq β
DecidableEq α
(j : α) → Decidable (p j)
⊢ (fun i => if h : p i then Function.update v j x (e.symm ⟨i, h⟩) else w i) =
  Function.update (fun i => if h : p i then v (e.symm ⟨i, h⟩) else w i) (↑(e j)) x
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : {i : Fin2 n} → α i → α i → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ α
xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩
yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), r (f₀ i j) (f₁ i j)
⊢ LiftR (fun {i} => r) x y
α : Sort u_1
f : Fin 0 → α → α
x : α
⊢ Fin.foldr 0 f x = x
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : {i | f i ≠ 0}.Finite
⊢ Memℓp f 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f pf x n
hg : HasFiniteFPowerSeriesAt g pg x m
⊢ HasFiniteFPowerSeriesAt (f - g) (pf - pg) x (max n m)
A : Type u_17
B : Type u_18
R : Type u_19
Semiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R B
f : A →ₗ[ℕ] B
⊢ (addMonoidHomLequivNat R).symm f = f.toAddMonoidHom
Q : Type u_1
inst✝ : Quandle Q
x : Q
⊢ x ◃ x ◃⁻¹ x = x ◃ x
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : c.IsLimit
⊢ ℵ₀ ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
ht : IsOpen t
h't : IsPreconnected t
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun x => g x y₀
hy : y ∈ t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)) y
⊢ Summable fun n => g n y
G : Type u_1
Group G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : MeasureTheory.IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
Countable ↥Γ
MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
BorelSpace (G ⧸ Γ)
μ.IsMulRightInvariant
g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞
g_ae_measurable : AEMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕))
⊢ essSup g (MeasureTheory.Measure.map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕)) = essSup (fun x => g ↑x) μ
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S₁ S₂ : StarSubalgebra R A
h : S₁ ≤ S₂
⊢ Embedding ⇑(StarSubalgebra.inclusion h)
w : Nat
x : BitVec w
r i : Nat
hi : i < r
⊢ (x.rotateLeftAux r).getLsb i = x.getLsb (w - r + i)
α : Type u
AddGroup α
ι : Sort u_1
s : ι → AddGroupTopology α
⊢ (⨅ i, s i).toTopologicalSpace = ⨅ i, (s i).toTopologicalSpace
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
i j : n
⊢ (M.charmatrix i j).natDegree ≤ if i = j then 1 else 0
G : Type u
Group G
G' : Subgroup G
G'.Normal
he : Subgroup.map (↑(MulEquiv.refl G)) G' = G' := ⋯
⊢ QuotientGroup.congr G' G' (MulEquiv.refl G) he = MulEquiv.refl (G ⧸ G')
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E
p : 0 < finrank (↥(IntermediateField.fixedField ⊤)) E
⊢ IntermediateField.fixedField ⊤ = ⊥
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : FiniteDimensional k V
n : ℕ
T : Simplex k V n
hrank : finrank k V = n
⊢ affineSpan k (Set.range T.points) = ⊤
x✝ y : ℝ
C : ℝ → Prop
h : ∀ (y : CauSeq ℚ abs), C (mk y)
x : Cauchy abs
⊢ C { cauchy := x }
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i : ι
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex C c} (f : X ⟶ Y),
  (HomologicalComplex.opcyclesFunctor C c i).map f = HomologicalComplex.opcyclesMap f i
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
SeminormedRing R
NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
c₁ c₂ : ℝ
h₁ : Asymptotics.IsBigOWith c₁ l f₁ g₁
h₂ : Asymptotics.IsBigOWith c₂ l f₂ g₂
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (c₁ * c₂) l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ 𝟙_ C ◁ f = (λ_ X).hom ≫ f ≫ (λ_ Y).inv
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y✝ : α
s t u : Set α
Φ : α → β
x : α
xs : x ∈ s
y : α
yt : y ∈ t
⊢ hausdorffEdist s t ≤ diam (s ∪ t)
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
⊢ Polynomial.degree 1 = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0
⊢ ContinuousAt (gauge s) 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
⊢ Sigma.map f g ⁻¹' (Sigma.mk (f i) '' s) ⊆ Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s)
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
⊢ (AlgebraicGeometry.pullbackRestrictIsoRestrict f U).hom ≫ f ∣_ U = CategoryTheory.Limits.pullback.snd f U.ι