ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
m : Fin 1 → E
⊢ (((↑{ toLinearEquiv := (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp (fderivWithin 𝕜 f s x)) (m 0)) (tail m) = (fderivWithin 𝕜 f s x) (m 0)
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
C : (n : ℕ) → (x : A) → x ∈ M ^ n → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C 0 ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (i : ℕ) (hx : x ∈ M ^ i) (hy : y ∈ M ^ i), C i x hx → C i y hy → C i (x + y) ⋯
mem_mul : ∀ (m : A) (hm : m ∈ M) (i : ℕ) (x : A) (hx : x ∈ M ^ i), C i x hx → C i.succ (m * x) ⋯
n : ℕ
n_ih : ∀ {x : A} (hx : x ∈ M ^ n), C n x hx
x : A
⊢ ∀ (hx : x ∈ M ^ (n + 1)), C (n + 1) x hx
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
S : Submodule R E
⊢ f.domRestrict S ≤ f
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
n : Type u_4
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
f : R →+* S
⊢ (M.map ⇑f).charpoly = Polynomial.map f M.charpoly
R : Type u
AddGroupWithOne R
⊢ ↑0 = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a • f x) • a • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y) = (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x)
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ (Polynomial.aeval f) f.charpoly = 0
z y x : ℝ
⊢ (fun x => cexp x - ∑ i ∈ Finset.range 0, x ^ i / ↑i !) =O[𝓝 0] fun x => x ^ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
LE α
LE β
LE γ
c : γ
⊢ (OrderIso.sumAssoc α β γ) (Sum.inr c) = Sum.inr (Sum.inr c)
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ S.Exact ↔ LinearMap.ker S.g ≤ LinearMap.range S.f
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
a b : α → 𝕜
u v : α → E
l : Filter α
hab : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖(a - b) x‖ ≤ c * ‖b x‖
φ : α → 𝕜
habφ : a =ᶠ[l] φ * b
this : ((fun x => a x • u x) - fun x => b x • v x) =ᶠ[l] fun x => b x • (φ x • u x - v x)
C : ℝ
hC : C > 0
hCuv : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖u x‖ ≤ C * ‖v x‖
c : ℝ
hc : 0 < c
hφ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x - 1‖ < c / 2 / C
huv : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖(u - v) x‖ ≤ c / 2 * ‖v x‖
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x • u x - v x‖ ≤ c * ‖v x‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
⊢ SpecializingMap f ↔ ∀ (x : X), closure {f x} ⊆ f '' closure {x}
α : Type u_1
x : Option α
⊢ x.bind some = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : NegZeroClass G
inst✝ : NegZeroClass H
f : G → H
hf : f 0 = 0
hf' : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
v : α →₀ G
x✝ : α
⊢ (mapRange f hf (-v)) x✝ = (-mapRange f hf v) x✝
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
hB : B ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M✶.Base B ↔ M.Base (M.E \ B)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
PartialOrder M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ v.restrict i ≤ w.restrict i ↔ ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ i → ↑v j ≤ ↑w j
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c : α
hc : c ≠ 0
⊢ a * c⁻¹ ≤ b ↔ a ≤ b * c
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a✝ : A
ha✝ : p a✝
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
a : A
ha : p a
ψ : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀ →⋆ₙₐ[𝕜] A := (↑(inrRangeEquiv 𝕜 A).symm).comp (codRestrict (cfcₙAux ⋯ a ha) (NonUnitalStarAlgHom.range (inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)) ⋯)
coe_ψ : ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), ↑(ψ f) = (cfcₙAux ⋯ a ha) f
⊢ ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ 𝕜 a) (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := ⋯ } = a
R : Type u
M : Type v
DivisionSemiring R
AddCommGroup M
Module Rᵐᵒᵖ M
Module R M
m : M
⊢ (TrivSqZeroExt.inr m)⁻¹ = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i : ι
b : α
⊢ single i b = indicator {i} fun x x => b
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
c : Chain α
f : α →o Part β
g : α →o β → Part γ
⊢ ∀ (c_1 : Part γ), ωSup (c.map (f.partBind g)) ≤ c_1 ↔ ωSup (c.map f) >>= ωSup (c.map g) ≤ c_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty Cᵒᵖ
W.unop.ContainsIdentities
⊢ W.ContainsIdentities
a : Ordinal.{u}
s : Set Ordinal.{u}
⊢ [a ∈ closure s, a ∈ closure (s ∩ Set.Iic a), (s ∩ Set.Iic a).Nonempty ∧ sSup (s ∩ Set.Iic a) = a,
    ∃ t ⊆ s, t.Nonempty ∧ BddAbove t ∧ sSup t = a,
    ∃ o, o ≠ 0 ∧ ∃ f, (∀ (x : Ordinal.{u}) (hx : x < o), f x hx ∈ s) ∧ o.bsup f = a,
    ∃ ι, Nonempty ι ∧ ∃ f, (∀ (i : ι), f i ∈ s) ∧ Ordinal.sup f = a].TFAE
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
i : n
⊢ A.det = ∑ j : n, A i j * A.adjugate j i
⊢ ∀ {α : Type u_1} {o : Option (Option α)}, o.join = none ↔ o = none ∨ o = some none
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
M : Matrix n n 𝕜
L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D : n → 𝕜
h : (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
⊢ M = (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod * (List.map toMatrix L).prod * M * ((List.map toMatrix L').prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L'.reverse).prod)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ ⇑f.toLinearMap = ⇑f
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
R' : Type u_3
Semiring R'
MulSemiringAction R' A
SMulCommClass R' R A
m : R'
r : A
S : Subalgebra R A
⊢ r ∈ S → m • r ∈ m • S
R : Type u_2
AddMonoid R
Γ : Type u_3
LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
⊢ (x + y).orderTop = x.orderTop
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hn : p ^ n ≤ Nat.card ↥H
H' : Subgroup ↥H
H'card : Nat.card ↥H' = p ^ n
⊢ Nat.card ↥(Subgroup.map H.subtype H') = Nat.card ↥H'
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
s : Set α
⊢ f ⁻¹' (f '' s) = s
α : Type u
c : Cardinal.{u}
g : Set (Set α)
s : Set α
hreg : c.IsRegular
⊢ s ∈ Filter.cardinalGenerate g ⋯ ↔ ∃ S ⊆ g, #↑S < c ∧ ⋂₀ S ⊆ s
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
X : Subobject B
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
h₁ : mk f ≤ X
h₂ : X ≤ mk g
⊢ (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) ≫ (underlyingIso g).hom = (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map ⋯.hom ≫ (underlyingIso g).hom
α : Type u_1
DecidableEq α
AddCommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ Finset.addETransformRight (-e) x = (Finset.addETransformLeft e x.swap).swap
m : Type u_2
α : Type u_12
DecidableEq m
Zero α
d : m → α
p q : m → Prop
hpq : Disjoint p q
⊢ (Matrix.diagonal d).toBlock p q = 0
α : Type u_5
self : NormedField α
x y : α
⊢ dist x y = ‖x - y‖
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
j : ι
s : Set (σ j)
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (Sigma.mk j ⁻¹' (Sigma.mk j '' s))
p q : ℚ
s t : Set ℚ
H : (cocompact ℚ).IsCountablyGenerated
x : ℕ → ℚ
hxc : Tendsto x atTop (cocompact ℚ)
hx0 : Tendsto x atTop (𝓝 0)
⊢ False
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h_le : H ≤ K
⊢ (Subgroup.inclusion h_le).range = H.subgroupOf K
α : Type u
Group α
a b : α
⊢ Equiv.mulLeft (a * b) = Equiv.mulLeft a * Equiv.mulLeft b
f : ℝ → ℂ
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
a : ℂ
⊢ MellinConvergent (fun t => f t / a) s
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁷ : EMetricSpace X
inst✝⁶ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ≥0
hd : ↑(finrank ℝ E) < ↑d
⊢ dimH univ < ↑d
α : Type u_1
ι : Sort u_4
LE α
f : ι → UpperSet α
⊢ ↑(⨅ i, f i) = ⋃ i, ↑(f i)
R : Type u_2
Bornology R
Monoid R
BoundedMul R
s : Set R
s_bdd : Bornology.IsBounded s
n : ℕ
⊢ Bornology.IsBounded ((fun x => x ^ n) '' s)
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n
h : ∃ i < ↑n, zeta n K L ^ i = μ
pf✝¹ : h.choose.Coprime ↑n
hμ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑(ZMod.unitOfCoprime h.choose pf✝¹)).val) ↑n
pf✝ : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hμ).gen
⊢ ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hμ) pf✝) (zeta n K L) = μ
X : Type u_2
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
TopologicalSpace X
f : X → E
c : X
h : IsLocalMax (norm ∘ f) c
⊢ IsLocalMax (fun x => ‖f x + f c‖) c
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a x y : E
⊢ (o.kahler x) a * (o.kahler a) y = ↑‖a‖ ^ 2 * (o.kahler x) y
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ f =ᵐ[μ.restrict t] 0
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ μ ≪ MeasureTheory.Measure.map (fun h => g / h) μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
M : SheafOfModules R
f : SheafOfModules.unit R ⟶ M
X : Cᵒᵖ
⊢ ↑(M.unitHomEquiv f) X = (PresheafOfModules.Hom.app f.val X) 1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
A : V
⊢ ((ChainComplex.single₀ V).obj A).X 0 = A
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
H.IsCommutative
H.FiniteIndex
H.Normal
hH : (Nat.card ↥H).Coprime H.index
α β : H.QuotientDiff
⊢ ∃ h, h • α = β
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
Semiring R
OrderedSemiring S
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
f : ι → R
s : Finset ι
⊢ abv (∑ i ∈ s, f i) ≤ ∑ i ∈ s, abv (f i)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
⊢ (deriv fun x => x ^ p * (1 + ε x)) =ᶠ[atTop] fun x => deriv (fun x => x ^ p) x * (1 + ε x) + x ^ p * deriv (fun x => 1 + ε x) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
h₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.Iic n }) 𝕜 (f ∘ Subtype.val)
h : gramSchmidt 𝕜 f n = 0
h₁ : f n ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iio n)
h₂ : (f ∘ Subtype.val) ⟨n, ⋯⟩ ∈ span 𝕜 (f ∘ Subtype.val '' Set.Iio ⟨n, ⋯⟩)
⊢ False
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]
⊢ (taylor r) X = X + C r
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b✝ : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
a b : M
ab : (fun x => 1 • x) a = (fun x => 1 • x) b
⊢ a = b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : CategoryTheory.Aut X
⊢ (α.conjAut f).hom = α.conj f.hom
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
a b c : R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : NoZeroDivisors R
ha : a ≠ 0
x : R
⊢ a * x * x + b * x + c = 0 ↔ discrim a b c = (2 * a * x + b) ^ 2
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k✝ n✝ k n : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ ∀ (x : Fin n.succ), ↑x < k → ∃ x_1 < k, ↑x_1 = x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
Nonempty ↥s
a b : ↥s
⊢ ↑(a -ᵥ b) = ↑a -ᵥ ↑b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
p : X ⟶ Y
q : Z = Y
⊢ cast ⋯ p = CategoryTheory.CategoryStruct.comp p (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
⊢ (p.changeOriginSeries k).sum = (p.changeOriginSeries k).partialSum (n - k)
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ
⊢ -(x✝¹ * x✝) + -(x✝¹ * (↑n * x✝)) = x✝¹ * -x✝ + x✝¹ * -(↑n * x✝)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (MeasureTheory.Measure.pi μ) (Set.univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Subsingleton α
⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.leadingCoeff = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAntiOn f s
hg : AntitoneOn g s
⊢ StrictAntiOn (fun x => f x + g x) s
σ : Type u_1
Fintype σ
R : Type u_2
CommRing R
⊢ ∑ a ∈ Finset.antidiagonal (Fintype.card σ), (-1) ^ a.1 * MvPolynomial.esymm σ R a.1 * MvPolynomial.psum σ R a.2 = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : IsOpenMap f
s : Set Y
⊢ (closure (f ⁻¹' s))ᶜ ⊆ (f ⁻¹' closure s)ᶜ
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun V => V ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen V) id
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Module.Free R M
h : ∀ (s : Set M), Basis (↑s) R M → ¬s.Finite
h✝ : Nontrivial R
⊢ finrank R M = 0
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (star a).imK = -a.imK
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
⊢ (l.set n a).get? n = some a
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Inv Y
f : LocallyConstant X Y
x : X
⊢ f⁻¹ x = (f x)⁻¹
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsFibAux 1 1 1
R : Type u
Ring R
s : Set R
p : (x : R) → x ∈ Subring.closure s → Prop
mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
one : p 1 ⋯
add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ Subring.closure s) (y : R) (hy : y ∈ Subring.closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
neg : ∀ (x : R) (hx : x ∈ Subring.closure s), p x hx → p (-x) ⋯
mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ Subring.closure s) (y : R) (hy : y ∈ Subring.closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
a : R
ha : a ∈ Subring.closure s
⊢ p a ha
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.homologyπ S.moduleCatHomologyIso.hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.moduleCatCyclesIso.hom S.moduleCatHomologyπ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
i : ι
⊢ ↑(W₀.sum (lp.single 2)) i = W₀ i
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : MvQPF.Cofix F α → MvQPF.Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : MvQPF.Cofix F α), r x y → MvFunctor.LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
x y : MvQPF.Cofix F α
⊢ r x y → x = y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
h' : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₃ φ₄
⊢ (h.add h').h₂ = h.h₂ + h'.h₂
α : Type u_1
LinearOrder α
Mul α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ max (a * b) (a * c) = a * max b c
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
f : P ≃ᵃ[R] P'
⊢ Sbtw R (f x) (f y) (f z) ↔ Sbtw R x y z
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, φ x ≤ g' x
⊢ -(g b - g a) = -g b - -g a
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
B : Set X
hfB : MulAction.IsInvariantBlock G B
⊢ MulAction.IsBlock G B
R : Type u_1
A : Type u_2
Semifield R
DivisionSemiring A
Algebra R A
r : R
⊢ ↑r⁻¹ = (↑r)⁻¹
p q : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d✝ a : ℕ
ha : a ≠ 0
n d : ℕ
⊢ Rat.divInt (↑a * ↑n) (↑a * ↑d) = Rat.divInt ↑n ↑d
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
f g : Filter β
s t : Set β
⊢ s ∈ f → t ∈ g → s -ᵥ t ∈ f -ᵥ g
M : Type u_3
f : ℕ → M
n : ℕ
CommGroup M
⊢ (∏ i ∈ Finset.range (n + 1), f i) / ∏ i ∈ Finset.range n, f i = f n
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
Unique ι
F : ι → X → α
S : Set X
x : X
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x ↔ ContinuousWithinAt (F default) S x
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
⊢ (M * N).det = ∑ p : n → n, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) (p i) * N (p i) i
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
⊢ s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
TopologicalSpace A
TopologicalAddGroup A
ContinuousStar A
ContinuousConstSMul R A
a : ↥(selfAdjoint A) × ↥(skewAdjoint A)
⊢ (StarModule.decomposeProdAdjointL R A).symm a =
  (selfAdjoint.submodule R A).subtype a.1 + (skewAdjoint.submodule R A).subtype a.2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT 0 = 0
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
Nonempty ι
f : ι → α
a : α
⊢ a ≤ iInf f ↔ ∀ (i : ι), a ≤ f i
x✝ : Unit
p n : ℕ
this : List.range p = List.range (Nat.pair (unpair p).1 (encode (ofNat Code (unpair p).2)))
c : Code
k' : ℕ
k : ℕ := k' + 1
nk : n ≤ k'
⊢ rec (some 0) (some n.succ) (some (unpair n).1) (some (unpair n).2) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cf) n let y ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cg) n some (Nat.pair x y)) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cg) n Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cf) x) (fun cf cg x x => Nat.rec (Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cf) (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k', c) (Nat.pair (unpair n).1 n_1) Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cg) (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) (unpair n).2) (fun cf x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cf) n Nat.rec (some (unpair n).2) (fun n_1 n_ih => Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k', c) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) x) c = evaln (k' + 1) c n
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
f : β → α
hf : Tendsto (Prod.map f f) (Filter.cofinite ×ˢ Filter.cofinite) (𝓤 α)
⊢ IsBounded (range f)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h : vectorSpan k s = ⊤
x : P
hx : x ∈ s
⊢ Nonempty ↥(affineSpan k s)
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Inf β
f : InfHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
z : ℤ
⊢ Int.log b (↑b ^ z) = z
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
⊢ a / b = b⁻¹ ↔ a = 1
k : Type u
inst✝³ : Field k
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra k K
p q : k[X]
h : ∀ (a : K), (aeval a) p ≠ 0 ∨ (aeval a) q ≠ 0
x : k[X]
hu : x ∈ nonunits k[X]
h0 : x ≠ 0
⊢ x ∣ p → ¬x ∣ q
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
IsUltrametricDist X
x : X
r : ℝ
⊢ IsClopen (Metric.ball x r)
a b : ℤ
h : a ≤ b
⊢ ↑(Ico a b).card = b - a