ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : CompleteSpace 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
A : lift.{v, u} 𝔠 ≤ lift.{v, u} #𝕜
⊢ 𝔠 ≤ #E
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
h : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
W : C
f f' : W ⟶ t.pt
w : ∀ (j : J), f ≫ t.π.app j = f' ≫ t.π.app j
⊢ f = f'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj W X) Y Z).inv
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X Y).hom Z)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft W (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z).inv
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
p : GenContFract.IntFractPair K
h : GenContFract.IntFractPair.stream v n = some p
h' : p.fr ≠ 0
⊢ GenContFract.IntFractPair.stream v (n + 1) = some (GenContFract.IntFractPair.of p.fr⁻¹)
M : Type u_1
Monoid M
a b c : M
h : IsUnit a
⊢ a * b = a * c → b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
ContinuousAdd α
T3Space α
f : β → γ → α
h : Summable (Function.uncurry f)
h₁ : ∀ (b : β), Summable (f b)
h₂ : ∀ (c : γ), Summable fun b => f b c
⊢ ∑' (c : γ) (b : β), f b c = ∑' (b : β) (c : γ), f b c
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
∀ (i : ι), (f₁ i).NeBot
⊢ Filter.pi f₁ = Filter.pi f₂ ↔ f₁ = f₂
x : ℂ
⊢ Complex.tan (-x) = -Complex.tan x
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
a m : α
⊢ a ∈ l → l.minimum = ↑m → m ≤ a
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f g : α → β
comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)
x : α
hx : x ∈ ↑s
y : α
hy : y ∈ ↑s
h : x ≠ y
⊢ Commute (f x) (f y)
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
f' : α → E'
l : Filter α
One F
NormOneClass F
⊢ (f' =o[l] fun _x => 1) ↔ Filter.Tendsto f' l (𝓝 0)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommGroup M'
Module R M'
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
b : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M'
⊢ (b.map f).det = b.det.compLinearMap ↑f.symm
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
self : ModularForm Γ k
A : SL(2, ℤ)
⊢ UpperHalfPlane.IsBoundedAtImInfty (SlashAction.map ℂ k A ⇑self.toSlashInvariantForm)
o : ONote
f : ℕ → ONote
h : o.fundamentalSequence = Sum.inr f
⊢ o.fastGrowing = fun i => (f i).fastGrowing i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
P Q : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.biprod.braiding P Q).inv =
  CategoryTheory.Limits.biprod.lift CategoryTheory.Limits.biprod.snd CategoryTheory.Limits.biprod.fst
r : ℝ
⊢ ENNReal.ofReal r ≠ ⊤
X : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ
c : ℝ
⊢ ∫ (x : X), (const X c - f) x ∂μ = (μ Set.univ).toReal • c - ∫ (x : X), f x ∂μ
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
rs : List R
⊢ RingTheory.Sequence.IsRegular M rs ↔ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs ∧ ⊤ ≠ Ideal.ofList rs • ⊤
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ (s₁ ∩ s₂) ⊼ t ⊆ s₁ ⊼ t ∩ s₂ ⊼ t
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁶ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
q₁ q₁' : Submodule R M'
⊢ (p ⊔ p').prod (q₁ ⊔ q₁') ≤ p.prod q₁ ⊔ p'.prod q₁'
M : Type u
⊢ Function.Injective (@LeftCancelMonoid.toMonoid M)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ {b | toIcoMod hp a b = toIocMod hp a b} = ⋃ z, Set.Ioo (a + z • p) (a + p + z • p)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, g u ≤ c₂ * g ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, g u ≤ c₂ * g ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
⊢ ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ max c₂ (c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) * g ↑n
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ (2 * n + 1 + 1) * ((2 * n + 1) * (2 * n)!) * ((2 * n + 1) * (2 * n)! * ((∏ x ∈ range n, (2 * x + 1) * (2 * x)!) ^ 2 * 2 ^ n * n !)) = (∏ x ∈ range n, (2 * x + 1) * (2 * x)!) ^ 2 * ((2 * n + 1) ^ 2 * (2 * n)! ^ 2) * 2 ^ (n + 1) * ((n + 1) * n !)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : ι → α
g : α → Set β
⊢ ⋃ x, ⋃ y, ⋃ (_ : f y = x), g x = ⋃ y, g (f y)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
s : l₁ <+ l₂
⊢ l₁ <+~ l₂
R : Type u_1
CommRing R
x₁ x₂ x₃ x₄ y₁ y₂ y₃ y₄ : R
⊢ (x₁ ^ 2 + x₂ ^ 2 + x₃ ^ 2 + x₄ ^ 2) * (y₁ ^ 2 + y₂ ^ 2 + y₃ ^ 2 + y₄ ^ 2) =
  (x₁ * y₁ - x₂ * y₂ - x₃ * y₃ - x₄ * y₄) ^ 2 + (x₁ * y₂ + x₂ * y₁ + x₃ * y₄ - x₄ * y₃) ^ 2 +
      (x₁ * y₃ - x₂ * y₄ + x₃ * y₁ + x₄ * y₂) ^ 2 +
    (x₁ * y₄ + x₂ * y₃ - x₃ * y₂ + x₄ * y₁) ^ 2
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic
⊢ cyclotomic n R = (cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic x R) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
CommMonoid A
U : Submonoid A
R : Type u_6
CommMonoid R
j : U.LocalizationMap R
l : P →* A
hl : ∀ (w : ↥T), l ↑w ∈ U
x : N
⊢ (k.map hl j) ((f.map hy k) x) = (f.map ⋯ j) x
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
⊢ Option.map (Sigma.mk a) (List.dlookup a l) = List.find? (fun s => decide (a = s.fst)) l
N : ℕ
hn : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
⊢ (abscissaOfAbsConv fun n => χ ↑n) = 1
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : CartesianClosed C
inst✝ : Reflective i
h : (A : C) → i ⋙ exp A ⋙ reflector i ⋙ i ≅ i ⋙ exp A
⊢ ∀ (B : D) (A : C), (A ⟹ i.obj B) ∈ i.essImage
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
Finite ι
Fintype ι'
DecidableEq ι
Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
⊢ affineSpan k (Set.range p) = ⊤
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a : E
r : ℝ
⊢ a ∈ Metric.sphere 0 r ↔ ‖a‖ = r
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
⊢ IntegrableAtFilter f ⊤ μ ↔ Integrable f μ
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
x : ↥H
α : ↥H → K
hαx : α x = 0
hx : x ∈ corootSpace α
⊢ x = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
inst✝ : Fintype V
C : ⊤.Coloring V
v w : V
h : ¬v = w
⊢ ¬C v = C w
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Ψ₂Sq = W.twoTorsionPolynomial.toPoly
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s t : Set σ
inst✝ : Nontrivial R
i : σ
⊢ X i ∈ supported R s ↔ i ∈ s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ ⇑(piCongrLeft α f) ⁻¹' univ.pi t = univ.pi fun i => t (f i)
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ (b ⇨ c) ⊓ (a ⇨ b) ⊓ a ≤ c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (HomologicalComplex.eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
i : ℤ
⊢ (CochainComplex.mappingConeHomOfDegreewiseSplitIso S σ).inv.f i =
  (CochainComplex.mappingConeHomOfDegreewiseSplitXIso S σ i (i + 1) ⋯).inv
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
a b : R ⟶ X✝
X Y Z A : C
g : Y ⟶ Z
a₁ a₂ : A ⟶ Y
h : IsKernelPair g a₁ a₂
f : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback f (a₁ ≫ g)
⊢ IsKernelPair (pullback.fst f g) (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₁ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₂ (𝟙 Z) ⋯ ⋯)
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
⊢ x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ Embedding ⇑DomMulAct.mk
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
α : CategoryTheory.coyoneda.obj X ⟶ CategoryTheory.coyoneda.obj Y
Z Z' : C
f : Z' ⟶ Z
h : Opposite.unop X ⟶ Z'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α.app Z' h) f = α.app Z (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h f)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
⊢ α.inv.app X ≫ α.hom.app X = 𝟙 (G.obj X)
J : Type w
⊢ (CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeOpEquiv J).inverse = CategoryTheory.Limits.widePushoutShapeOp J
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
IsEmpty σ
a : R
⊢ ((MvPolynomial.isEmptyRingEquiv R σ).symm a).support = if a = 0 then ∅ else {0}
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
f : α → γ
h : Continuous f
⊢ LowerSemicontinuous f
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
x : α
h : Bornology.IsBounded (range fun x_1 => g (f^[x_1] x))
⊢ Tendsto (fun n => birkhoffAverage 𝕜 f g n (f x) - birkhoffAverage 𝕜 f g n x) atTop (𝓝 0)
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
B : Type uB
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : EvenHom Q A
x : CliffordAlgebra Q
x_property : x ∈ even Q
val✝ : CliffordAlgebra Q
property✝ : val✝ ∈ even Q
⊢ (((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (1, 0)) val✝)) x).1 = (aux f) ⟨x, x_property⟩ * (aux f) ⟨val✝, property✝⟩
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
this✝ : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable ↑b
A : Type u_3 := { p // Disjoint ↑p.1 ↑p.2 }
q : A → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' ↑(↑p).1 ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' ↑(↑p).2) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : ↑b → Set β := fun s => closure (f '' ↑s) ∩ ⋂ t, ⋂ (ht : Disjoint ↑s ↑t), q ⟨(s, t), ht⟩ \ q ⟨(t, s), ⋯⟩
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β := fun n => ⋃ s, ⋃ (_ : Bornology.IsBounded ↑s ∧ diam ↑s ≤ u n), E s
⊢ ⋂ n, F n ⊆ range f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f✝ f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
this : Nonempty ↑s
hx : f x ∈ closure (Subtype.val '' closure (Set.range (denseSeq ↑s)))
⊢ Subtype.val '' closure (Set.range (denseSeq ↑s)) ⊆ closure (Set.range fun k => Nat.casesOn k y₀ (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
Y Z : CategoryTheory.Dial C
f : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Dial.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) f)
    (X.braiding Z).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.braiding Y).hom
    (CategoryTheory.Dial.tensorHom f (CategoryTheory.CategoryStruct.id X))
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
x : X
⊢ IsOpenMap fun g => g • x
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s : AList β
⊢ Finmap.replace a b ⟦s⟧ = ⟦AList.replace a b s⟧
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : (X * p).support = Finset.map { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } p.support
a : ℕ
⊢ (p * X).coeff a.succ = p.coeff a
α : Type u_1
l : List (Option α)
⊢ l.reduceOption.length = (List.filter Option.isSome l).length
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
⊢ ↑(den A r) ∣ p.leadingCoeff
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
x : ℚ
⊢ Integrable (fun a => (preCDF ρ x a).toReal) ρ.fst
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
n : ℕ
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] Fin n → M₂
m : M
⊢ (f.vecCons g) m = Matrix.vecCons (f m) (g m)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
SetLike S R
Monoid R
AddMonoid ι
A : ι → S
SetLike.GradedMonoid A
ι' : Type u_4
l : List ι'
i : ι' → ι
r : ι' → R
h : ∀ j ∈ l, r j ∈ A (i j)
⊢ (List.map r l).prod ∈ A (List.map i l).sum
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Polynomial.eval (v i) (Lagrange.nodal s v) = 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroObject D
F : C ⥤ D
hF : IsZero F
X : C
G : C ⥤ D := (Functor.const C).obj 0
⊢ IsZero (F.obj X)
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
⊢ W.Φ (↑n + 1) = (X * W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even n then 1 else W.Ψ₂Sq) - W.preΨ' (n + 2) * W.preΨ' n * if Even n then W.Ψ₂Sq else 1
b : ℕ
⊢ (Finset.Iic b).card = b + 1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
r : ℝ
⊢ ⟪x, r • y⟫_ℝ = r * ⟪x, y⟫_ℝ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasTwoOutOfThreeProperty
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hg : W g
hfg : W (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
⊢ W f
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i : n
⊢ A.transpose.cramer b i = (A.updateRow i b).det
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ Z
hf : T f
X : C
g : X ⟶ Z
f' : G.obj Y ⟶ G.obj X
hg : T g
eq : G.map f = f' ≫ G.map g
⊢ (FunctorPushforwardStructure.casesOn { preobj := X, premap := g, lift := f', cover := hg, fac := eq } fun Z_1 g h h₁ fac => ℱ.val.map h.op (x g h₁)) = x f hf
M : Type u_1
N : Type u_4
α : Type u_5
Monoid M
MulAction M N
SMul N α
MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
⊢ IsScalarTower M N α
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU' : U ∈ p.basisSets
⊢ ∃ V ∈ p.basisSets, V ⊆ (fun x => -x) ⁻¹' U
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
ι : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
m : M
g : G i
⊢ (directLimitRight f M) (m ⊗ₜ[R] (of R ι G f i) g) = (of R ι (fun x => M ⊗[R] G x) (fun i j h => LinearMap.lTensor M (f i j h)) i) (m ⊗ₜ[R] g)
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ (∀ ⦃X Y : Type v⦄ [inst : AddCommGroup X] [inst_1 : AddCommGroup Y] [inst_2 : Module R X] [inst_3 : Module R Y] (f : X →ₗ[R] Y), Function.Injective ⇑f → ∀ (g : X →ₗ[R] CharacterModule M), ∃ h, ∀ (x : X) (x_1 : M), (h (f x)) x_1 = (g x) x_1) ↔ ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N'] (L : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑L → ∀ (b : N →ₗ[R] CharacterModule M), ∃ a, ∀ (x : N) (x_1 : M), (((lcomp R (CharacterModule M) L) a) x) x_1 = (b x) x_1
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hd : HasDerivWithinAt d d' univ x
hx : d x ≠ 0
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y / d y) ((c' * d x - c x * d') / d x ^ 2) univ x
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.288867, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
h : HomotopyEquiv C D
⊢ Homotopy ((F.mapHomologicalComplex c).map h.inv ≫ (F.mapHomologicalComplex c).map h.hom) (𝟙 ((F.mapHomologicalComplex c).obj D))
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c c' : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.IsUniversalColimit c
e : c ≅ c'
⊢ CategoryTheory.IsUniversalColimit c'
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
⊢ ⅟↑p ^ n * ∑ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = ⅟↑p ^ n * 0
R : Type u_1
M : Type u_2
AddMonoid M
CommSemiring R
S : Set M
hS : AddSubmonoid.closure S = ⊤
⊢ Function.Surjective ⇑((FreeAlgebra.lift R) fun s => AddMonoidAlgebra.of' R M ↑s)
θ : Angle
h : θ.toReal < 0
⊢ 0 ≤ θ.toReal ↔ 0 ≤ θ.sign
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin 1 → ℂ) → E
c : Fin 1 → ℂ
R : Fin 1 → ℝ
⊢ (∯ (x : Fin 1 → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (z : ℂ) in C(c 0, R 0), f fun x => z
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R : ℝ
c x : P
hne : x ≠ c
⊢ inversion c (dist x c) x = x
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DecidableEq ι
G' : ι → Type v'
(i : ι) → AddCommGroup (G' i)
(i : ι) → Module R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → G i ≃ₗ[R] G' i
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), ↑(e j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ ↑(e i)
i : ι
g : G i
⊢ (Module.DirectLimit.congr e he) ((Module.DirectLimit.of R ι G f i) g) = (Module.DirectLimit.of R ι G' f' i) ((e i) g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
CommMonoid γ
TopologicalSpace γ
T2Space γ
G : Type u_5
FunLike G α γ
MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Inducing ⇑g
f : β → α
⊢ Multipliable f ↔ Multipliable (⇑g ∘ f) ∧ ∏' (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
CommMonoid α
DecidableEq κ
s : Finset ι
t : Finset κ
g : ι → κ
f : κ → α
⊢ ∏ j ∈ t, ∏ _i ∈ Finset.filter (fun i => g i = j) s, f j = ∏ i ∈ Finset.filter (fun i => g i ∈ t) s, f (g i)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : ∀ (i : ℕ), 2 ^ (i + 1) * (sFiniteSeq μ i) Set.univ = ⊤ ∨ (sFiniteSeq μ i) s = 0
⊢ ∑' (i : ℕ), (sFiniteSeq μ i) s = 0 s
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
h : Disjoint a b
⊢ b \ a = b
a b : UInt64
h : a.val = b.val
⊢ a = b
n m : ℕ
h : n ≤ m
i : Fin n
⊢ (Fin.castLEquiv h) i = ⟨Fin.castLE h i, ⋯⟩
α : Type u_9
β : Type u_10
AddCommMonoid β
Subsingleton α
Fintype α
f : α → β
a : α
⊢ ∑ x : α, f x = f a
x y : ℂ
hp : x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2)
  ((y * x ^ (y - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + (x ^ y * Complex.log x) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) (x, y)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
G₀ : Type u_7
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ β
ContinuousConstSMul G₀ β
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => c • f x) μ ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
x : ℝ
hl : -(2 * Real.pi) ≤ x
hr : x ≤ 0
⊢ Real.sin (x / 2) = -√((1 - Real.cos x) / 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
m : β
f : β → α
⊢ HasSum ({m}.restrict f) (f m)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h₁.IsPreservedBy F
h₂.IsPreservedBy F
⊢ (ψ.map F).φH = F.map ψ.φH
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : μ.IsComplete
s : Set α
⊢ μ s = 0 → MeasurableSet s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[<] R₁, ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / r
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g g₁ g₂ : σ → S₁
h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i
⊢ eval₂ f g₁ p = eval₂ f g₂ p
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h'r : r < 1
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑n * r ^ n) Filter.atTop (𝓝 0)
n k m : Nat
h : m ≤ k
⊢ n ≤ k - m → m + n ≤ k