ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : α → E
hf : ∀ (c : E), (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) =ᶠ[ae μ] 0
s : ℕ → E := denseSeq E
hs : DenseRange s
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ⟪s n, f x⟫_𝕜 = 0
x : α
hx : ∀ (n : ℕ), ⟪s n, f x⟫_𝕜 = 0
⊢ ⟪f x, f x⟫_𝕜 = 0
X : AlgebraicGeometry.RingedSpace
R : CommRingCat
α β : X ⟶ AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceObj R
w : α.base = β.base
h :
  ∀ (r : ↑R),
    let U := PrimeSpectrum.basicOpen r;
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen (↑R) U) (α.c.app (Opposite.op U)))
        (X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen (↑R) U) (β.c.app (Opposite.op U))
⊢ α = β
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
α : Type u_17
SemilatticeSup α
Nonempty α
f : α → E
g : α → F
⊢ f =O[Filter.atTop] g ↔ ∀ᶠ (n₀ : α) in Filter.atTop, ∃ c, ∀ n ≥ n₀, ‖f n‖ ≤ c * ‖g n‖
R : Type u
A : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : PartialOrder R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : StarOrderedRing R
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : PartialOrder A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : StarModule R A
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
c : R
hab : 0 < b - a
hc : 0 < c
⊢ 0 ≤ c • (b - a)
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
z : ℤ
⊢ Continuous fun a => z • a
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C✝ K r✝ : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
s : Set X
C : X → ℝ≥0
t : X → Set X
htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x
hC : ∀ x ∈ s, HolderOnWith (C x) r f (t x)
u : Set X
hus : u ⊆ s
huc : u.Countable
huU : ⋃ i ∈ u, s ∩ t i = s
⊢ ⨆ i ∈ u, dimH (f '' (s ∩ t i)) ≤ ⨆ i ∈ u, dimH (s ∩ t i) / ↑r
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ map f I ≤ J ↔ I ≤ comap f J
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ
⊢ ∃ x, f x ≤ ∫ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
x y z : α
h : IsCompl x y
⊢ z ≤ y ↔ Disjoint z x
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).c₄ = ↑C.u⁻¹ ^ 4 * W.c₄
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b : α
⊢ Disjoint a b → a ⊓ b = ⊥
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)
⊢ Multiset.map (fun i => g i) s.val ≠ ∅
α : Type u_2
M : Type u_4
Preorder M
One M
s : Set α
f g : α → M
a : α
h : f a ≤ g a
⊢ s.mulIndicator f a ≤ s.mulIndicator g a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (WittVector.wittAdd p n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
G : Type u_3
Group G
⊢ Group.FG G ↔ Monoid.FG G
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X A : C
inst✝ : IsConnected A
h : Nonempty ↑(F.obj X)
f : X ⟶ A
Z : C
u v : A ⟶ Z
huv : f ≫ u = f ≫ v
⊢ u = v
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
n : ℕ
⊢ map (↑(opLinearEquiv R)) (M ^ n) = map (↑(opLinearEquiv R)) M ^ n
α : Type u_1
A : Type u_3
AddGroup A
Monoid α
DistribMulAction α A
m : A
a : α
S : AddSubgroup A
⊢ m ∈ S → a • m ∈ a • S
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1
i : Fin (m + 1)
⊢ (s.face h).points i = s.points ((fs.orderEmbOfFin h) i)
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R
h : op x ◃ op x = op y ◃ op y ↔ op x = op y
⊢ x ◃⁻¹ x = y ◃⁻¹ y ↔ x = y
A : Type u_5
CommRing A
m : Type u_6
n : Type u_7
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
M : Matrix m n A
M' : Matrix n m A
N : Matrix n n A
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
⊢ (M * N * M').det = N.det
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
S : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid S
inst✝² : Pow S ℕ
inst✝¹ : Module R✝ S
x : S
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
r : R
⊢ ⇑(leval r) = fun p => p.smeval r
α : Type u_1
f : α → α
x : α
n : ℕ
hx : Function.IsPeriodicPt f n x
⊢ Function.IsPeriodicPt f n (f x)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : IntermediateField F K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F ↥S
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
this✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥(adjoin F ↑S)
this : sepDegree E ↥(adjoin E ↑S) = sepDegree F ↥(adjoin F ↑S)
⊢ sepDegree E ↥(adjoin E ↑S) = sepDegree F ↥S
G : Type u_1
Mul G
IsLeftCancelMul G
g h : G
⊢ (mulLeftEmbedding g) h = g * h
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
Nontrivial R
⊢ W.Nonsingular ![0, 1, 0]
M : Type u_1
Mul M
S : Set (Additive M)
⊢ AddSubsemigroup.toSubsemigroup' (AddSubsemigroup.closure S) = Subsemigroup.closure (⇑Additive.ofMul ⁻¹' S)
ho : 1 ≤ 1
⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : α →ₘ[μ] β
⊢ f.Integrable → g.Integrable → (f + g).Integrable
ι : Type u
γ : Type w
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
Monoid γ
(i : ι) → (j : α i) → AddMonoid (δ i j)
DecidableEq ι
(i : ι) → (j : α i) → DistribMulAction γ (δ i j)
r : γ
f : Π₀ (i : ι) (j : α i), δ i j
⊢ (r • f).sigmaUncurry = r • f.sigmaUncurry
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
h0 : ¬orderOf x = 0
⊢ orderOf y ∣ (orderOf x).lcm (orderOf (x * y))
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
⊢ List.kerase a [] = []
ι : Sort u_1
r : ℝ
ha : 0 ≤ r
f : ι → ℝ
⊢ (⨆ i, f i) * r = ⨆ i, f i * r
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
⊢ iteratedDeriv n (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x✝ : ℕ
x : ℕ := x✝
hx : x✝ ∈ s
t : List ↑s := List.pmap (fun y hy => ⟨y, hy⟩) (List.filter (fun y => decide (y ∈ s)) (List.range x)) ⋯
ht : t = List.pmap (fun y hy => ⟨y, hy⟩) (List.filter (fun y => decide (y ∈ s)) (List.range x)) ⋯
hmt : ∀ {y : ↑s}, y ∈ t ↔ y < ⟨x, hx⟩
wf : ∀ (m : ↑s), t.maximum = ↑m → ↑m < x
m : ↑s
hmax : t.maximum = ↑m
a : ℕ
ha : ofNat s a = ⟨↑m, ⋯⟩
⊢ ∃ n, ofNat s n = ⟨x✝, hx⟩
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
Φ : CategoryTheory.Functor (Fin (n + 1)) (Fin (m + 1))
F : CategoryTheory.ComposableArrows C m
⊢ ∀ {X Y : Fin (n + 1)} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.ComposableArrows.whiskerLeftFunctor Φ).obj F).map f = F.map (Φ.map f)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
⊢ sublistsAux = fun a r => (Array.foldl (fun r l => (r.push l).push (a :: l)) #[] (toArray r) 0).toList
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : p.Monic
q : R[X]
⊢ p * q = 0 ↔ q = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain F K m
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + -1 = p₂
h₂₃ : p₂ + n = p₃
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inl φ).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (CochainComplex.mappingCone.descCochain φ α β h).v p₂ p₃ h₂₃ =
  α.v p₁ p₃ ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hg : Set.EqOn f g (EMetric.ball x r)
⊢ HasFPowerSeriesOnBall g p x r
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
x : G
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
Sub G
⊢ MeasureTheory.convolution f g L μ x = ∫ (t : G), (L (f t)) (g (x - t)) ∂μ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun x => |f x|) μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
ha : IsLeast s a
hb : IsGreatest t b
⊢ IsGreatest (Set.image2 f s t) (f a b)
α : Type u
Order.Coframe α
s t : Set α
⊢ sInf s ⊔ sInf t = ⨅ p ∈ s ×ˢ t, p.1 ⊔ p.2
x y z : PGame
⊢ ⟦(y + -z) * x⟧ = ⟦y * x⟧ + -⟦z * x⟧
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ ↑π ^ (-s / 2) ≠ 0
X Y : Type u
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso f ↔ Function.Bijective f
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
n : σ
f : MvPolynomial σ R
⊢ degreeOf n f = f.support.sup fun m => m n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
⊢ CategoryTheory.Mono f
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ ∃ R > 0, ∀ x ∈ s, ‖x‖ < R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
M : (x : C) → F.obj x ⟶ Z
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) (M y) = M x
X : C
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.inclLift F M hM).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : Infinite α
⊢ ∃ a, Infinite ↑(f ⁻¹' {a})
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
x : A
⊢ ↑((skewAdjointPart R) x) = ⅟2 • (x - star x)
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
Nonempty ι
Nonempty ι'
hf : BddAbove (Set.range f)
g : ι' → Cardinal.{v}
hg : BddAbove (Set.range g)
⊢ (⨆ i, f i) + ⨆ j, g j = ⨆ i, ⨆ j, f i + g j
𝕜 : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
E : Type u_2
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
T1Space E
Module 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
Lattice α
IsLowerModularLattice α
a b : α
⊢ b ⋖ a ⊔ b → a ⊓ b ⋖ a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
R : Type u
TopologicalSpace R
ChartedSpace H R
CommRing R
SmoothRing I R
x : ↑(TopCat.of M)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (smoothSheafCommRing.forgetStalk IM I M R x).inv
    ⇑(smoothSheafCommRing.evalHom IM I M R x) =
  smoothSheaf.evalHom IM I R x
R : Type uR
Semiring R
r : R → R → Prop
⊢ { toQuot := Quot.mk (RingQuot.Rel r) 0 } = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
M : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => (Multiset.map (fun f => f x) s).sum) μ
α : Sort u_1
β : Sort u_2
⊢ ∀ (a : PProd α β), Equiv.pprodEquivProdPLift a = (Equiv.plift.symm a.fst, Equiv.plift.symm a.snd)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤
y : M
h₃ : ∀ I ∈ {P | (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P ∧ P ≠ ⊤ ∧ ∃ y, P = (Submodule.span R {y}).annihilator}, ¬(Submodule.span R {y}).annihilator < I
l : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ (Submodule.span R {y}).annihilator
h₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≠ ⊤
⊢ ∃ P, IsAssociatedPrime P M ∧ (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hm : m = rootMultiplicity t p
⊢ eval t (m.choose 0 • ((⇑derivative)^[m - 0] ((X - C t) ^ m) * (⇑derivative)^[0] (p /ₘ (X - C t) ^ m))) = m.factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ m)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → δ
hf : MeasurableEmbedding f
g : δ → β
⊢ Integrable g (Measure.map f μ) ↔ Integrable (g ∘ f) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
hfin : Finite a b
c : α
hc : b = a ^ (multiplicity a b).get hfin * c
⊢ ∃ c, b = a ^ (multiplicity a b).get hfin * c ∧ ¬a ∣ c
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : Norm E
l✝ : Filter α
f : α → ℝ
l : Filter α
⊢ (fun x => ‖↑(f x)‖) =Θ[l] f
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
e : α ≃ᵐ β
⊢ MeasureTheory.Measure.map (⇑e.symm) (MeasureTheory.Measure.map (⇑e) μ) = μ
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
C : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C
L : CategoryTheory.Functor A T
F : CategoryTheory.Functor C B
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma L (F.comp R)
⊢ ((CategoryTheory.Comma.preRight L F R).obj X).hom = X.hom
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f μ
hN : μ N = 0
this : 0 < μ ({x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ} \ N)
x : α
hx : x ∈ {x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ}
hxN : x ∉ N
⊢ ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ
α : Sort u
β : Sort v
q : β → Prop
e : α ≃ β
⊢ (∃! a, q (e a)) ↔ ∃! b, q b
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set (α × β)
f : Filter α
g : Filter β
⊢ s ∈ f.coprod g ↔ (∃ t₁ ∈ f, Prod.fst ⁻¹' t₁ ⊆ s) ∧ ∃ t₂ ∈ g, Prod.snd ⁻¹' t₂ ⊆ s
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
Semiring γ
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
(i : ι) → Module γ (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
x : Π₀ (i : ι), β i
⊢ (DFinsupp.subtypeDomainLinearMap γ β p) x = DFinsupp.subtypeDomain p x
α : Type u_1
⊢ ⊥.IsCountablyGenerated
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime z y
hdvd : x ∣ y
⊢ IsCoprime z x
b c : Ordinal.{u_1}
a0 : 1 ≠ 0
⊢ 1 ^ (b + c) = 1 ^ b * 1 ^ c
X : TopCat
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
Y : TopologicalSpace.Opens ↑X
hY : Y = iSup U
⊢ ∀
  {x x_1 :
    CategoryTheory.FullSubcategory fun f =>
      (CategoryTheory.Sieve.generate (TopCat.Presheaf.presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom}
  (g : x ⟶ x_1), (TopCat.Presheaf.generateEquivalenceOpensLe_functor' U hY).map g = g.left
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
x y : E
⊢ dist (-x) y = dist x (-y)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
p : R
z : S
hp : p ∈ comap (algebraMap R S) (conductor R x)
l : R →₀ S
H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I
H' : (Finsupp.total R S S ⇑(algebraMap R S)) l = z
⊢ (algebraMap R S) p * z ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)
p : String.Pos
c : Char
⊢ p + c = { byteIdx := p.byteIdx + c.utf8Size }
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Function.Injective Submodule.toSubMulAction
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
hfin : multiplicity.Finite a b
⊢ ∃ c, b = a ^ (multiplicity a b).get hfin * c ∧ ¬a ∣ c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.Square.flipEquivalence.functor = CategoryTheory.Square.flipFunctor
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm K V
b₁ : B.Nondegenerate
b₂ : B.IsRefl
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
m : ↥(B.orthogonal (Submodule.span K {x}))
hm : ∀ (n : ↥(B.orthogonal (Submodule.span K {x}))), ((B.restrict (B.orthogonal (Submodule.span K {x}))) m) n = 0
n : V
this : n ∈ Submodule.span K {x} ⊔ B.orthogonal (Submodule.span K {x})
⊢ (B ↑m) n = 0
M : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid M
ExistsAddOfLE M
a b : M
⊢ (fun x => a + x) '' Set.Ici b = Set.Ici (a + b)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.toCycles S.leftHomologyπ = 0
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
⊢ DenseRange Int.cast
o b : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) (b ^ o)
x y : Ordinal.{u_1}
hx : x < o
hy : y < o
this : (fun x x_1 => x * x_1) (b ^ x) (b ^ y) < b ^ o
⊢ (fun x x_1 => x + x_1) x y < o
a b : ℝ
c : ℝ
⊢ c + a < c + b ↔ a < b
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : V
inst✝¹ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)
inst✝ : Fintype ↑(G'.spanningCoe.neighborSet v)
⊢ G'.spanningCoe.degree v = G'.degree v
X : Type u_1
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
T2Space X
h₁s : IsSigmaCompact s
h₂s : μ s = 0
⊢ IsMeagre s
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α✝
inst✝² : FloorRing α✝
z : ℤ
a✝ : α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing α
inst✝ : FloorRing α
a b : α
h : ⌊a⌋ = ⌊b⌋
this : a < ↑⌊a⌋ + 1
⊢ |a - b| < 1
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ Disjoint s s ↔ s = ∅
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction
⊢ s.WSameSide (v +ᵥ x) y ↔ s.WSameSide x y
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
hu : u = u'
hv : v = v'
⊢ (p.copy hu hv).length = p.length
α : Type u_1
⊢ (fun x => !x) ∘ Option.isNone = Option.isSome
A B : CommRingCat
f : A ⟶ B
M : ModuleCat ↑B
α β : CommRingCat.KaehlerDifferential f ⟶ M
h : ∀ (b : ↑B), α (CommRingCat.KaehlerDifferential.d b) = β (CommRingCat.KaehlerDifferential.d b)
⊢ α = β
G : Type u_1
Group G
S : Type u_6
H K : S
SetLike S G
SubgroupClass S G
L : S
hHK : H ≤ K
hKL : K ≤ L
x : ↥H
⊢ (SubgroupClass.inclusion hKL) ((SubgroupClass.inclusion hHK) x) = (SubgroupClass.inclusion ⋯) x
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
mβ : MeasurableSpace β
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
X : Ω → β
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hX : Measurable X
f : Ω → F
hf_int : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ μ[f|MeasurableSpace.comap X mβ] =ᵐ[μ] fun a => ∫ (y : Ω), f y ∂(ProbabilityTheory.condDistrib id X μ) (X a)
x : ℂ
⊢ Complex.sin (x - 2 * ↑Real.pi) = Complex.sin x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
n p : ℕ
inst✝⁴ : Module.Free R ↑S.X₁
inst✝³ : Module.Free R ↑S.X₃
inst✝² : Module.Finite R ↑S.X₁
inst✝¹ : Module.Finite R ↑S.X₃
hN : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₁ = n
hP : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₃ = p
inst✝ : StrongRankCondition R
⊢ Module.rank R ↑S.X₂ = ↑(n + p)
α : Type u_3
Lattice α
BoundedOrder α
⊢ BoundedLatticeHom.dual.symm (BoundedLatticeHom.id αᵒᵈ) = BoundedLatticeHom.id α
R : Type u
S : Type v
M : Type w
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
AddCommGroup M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
Module.Flat R S
Module.Flat S M
⊢ Module.Flat R M
α : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
⊢ ∃ c, a ≤ c ∧ b ≤ c
α : Type u_1
Add α
P : Prop
Decidable P
a b c : α
⊢ (a + if P then b else c) = if P then a + b else a + c
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ o.oangle x y = θ ↔ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
x y : γ
⊢ 0 < edist x y ↔ x ≠ y
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0
⊢ Integrable (fun x => g (S • x)) μ
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Multiset (MvPolynomial σ R)
⊢ s.prod.totalDegree ≤ (Multiset.map totalDegree s).sum
X : TopCat
⊢ topCatToCondensedSet.obj X = X.toCondensedSet
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hxy : x + y ≠ 0
h_zero : x.num * y.denom + x.denom * y.num = 0
h : (x + y).num * (x.denom * y.denom) = 0
⊢ False
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
⊢ cofinite = atTop
R : Type u_1
CommRing R
d : DualNumber (Quaternion R)
⊢ TrivSqZeroExt.fst (Quaternion.dualNumberEquiv.symm d).imJ = (TrivSqZeroExt.fst d).imJ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
P : Type u_1
Preorder P
C : Set (Set P)
hidl : ∀ I ∈ C, Order.IsIdeal I
hC : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) C
hNe : C.Nonempty
⊢ Order.IsIdeal (⋃₀ C)
x : SetTheory.PGame
⊢ 0 ≈ -x ↔ 0 ≈ x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι✝ : Type u_3
γ : Path x y
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace ι
a b c : ι → X
γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h₁ : Continuous ↿γ₁
γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)
h₂ : Continuous ↿γ₂
h₁' : Continuous ↿fun t => (γ₁ t).extend
h₂' : Continuous ↿fun t => (γ₂ t).extend
⊢ Continuous ↿fun t => (γ₁ t).trans (γ₂ t)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
μ' : MeasureTheory.Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT f = MeasureTheory.setToFun μ' T hT' f
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
a : α
s : Set α
⊢ a ∈ lowerBounds s → f a ∈ upperBounds (f '' s)