ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)
⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : F →L[𝕜] E
⊢ S = adjoint (adjoint S)
n k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ IsPrimePow (n ^ k) ↔ IsPrimePow n
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
TopologicalAddGroup α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto Int.fract (𝓝[≥] ↑n) (𝓝[≥] 0)
f : ℕ →. ℕ
⊢ Nat.Partrec f ↔ ∃ c, c.eval = f
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
φ : ι → Type u_4
f : (ι : ι) → φ ι → M
hf : ∀ (i : ι), LinearIndependent R (f i)
⊢ ∀ (i : ι) (t : Set ι), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (Set.range fun x => single i (f i x))) (⨆ i ∈ t, span R (Set.range fun x => single i (f i x)))
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ (p.succAbove i).rev = p.rev.succAbove i.rev
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
φ : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
d : Fin N →₀ ℕ
hd : coeff (cons i d) φ ≠ 0
h' : (d.sum fun x e => e) = j
⊢ (d.sum fun i c => c) = j
R : Type u
CommRing R
X : Type v
Ring X
HopfAlgebra R X
⊢ (BialgEquiv.refl R X).toHopfAlgebraCatIso = CategoryTheory.Iso.refl (HopfAlgebraCat.of R X)
α : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ a - (a + b) = 0
R : Type u_2
Semiring R
M : Type u_9
AddCommMonoidWithOne M
CharZero M
Module R M
⊢ CharZero R
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a✝ a : α
⊢ (∀ (b : α), ∀ x ∈ s.val, f x = b → b ≤ a) ↔ ∀ b ∈ s, f b ≤ a
G : Type u_1
Group G
tG : Monoid.IsTorsionFree G
H : Subgroup G
⊢ Monoid.IsTorsionFree ↥H
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
⊢ StrictMono (Prod.fst ∘ Concept.toProd)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ (z - x) * f y ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
x : ℝ≥0
y : ℝ≥0
hy : 1 < y
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, x ^ (1 / ↑n) ≤ y
K : Type u
DivisionRing K
s : Set K
⊢ s ⊆ ↑(Subfield.closure s)
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Nat.card ↑s = s.ncard
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
Fintype ι
f : ι → M
p : ι → Submodule R M
h : ∀ (i : ι), f i ∈ p i
⊢ ∑ i : ι, f i ∈ ⨆ i, p i
α : Type u_1
LinearOrderedField α
x y : α
⊢ CauSeq.const abs x ≤ CauSeq.const abs y ↔ x ≤ y
α : Type u_1
NormedLatticeAddCommGroup α
⊢ LipschitzWith 1 posPart
S : LightProfinite
n : ℕ
⊢ lightToProfinite.map (S.proj n) = (lightToProfinite.obj S).asLimitCone.π.app ((sequentialFunctor (DiscreteQuotient ↑(lightToProfinite.obj S).toTop)).obj (Opposite.op n))
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hz : ¬0 < z
h' : PythagoreanTriple x y (-z)
⊢ 0 < -z
E : Type u_6
NormedGroup E
a : E
⊢ ‖a‖ = 0 ↔ a = 1
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
x : X
hx : x ∈ derivedSet (closure A)
⊢ x ∈ derivedSet A
α : Type u_1
β : Type u_2
p a b : ℕ
hp : p ≠ 1
hle : ∀ (n : ℕ), p ^ n ∣ a → p ^ n ∣ b
hab : a.Coprime b
h : p ^ 1 ∣ a
this : p ^ 1 ∣ a.gcd b
⊢ False
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
f_add : ∀ (a b : R), f (a + b) ≤ f a + f b
x y : R
⊢ seminormFromBounded' f (x + y) ≤ seminormFromBounded' f x + seminormFromBounded' f y
G : Type u_2
S : Type u_4
AddGroup G
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
s : S
a : G
ha : a ∈ s
⊢ AddOpposite.op a +ᵥ ↑s = ↑s
R : Type u₁
L : Type u₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
IsNoetherian R L
⊢ LieAlgebra.IsEngelian R L
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n
this : x < ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n
⊢ ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) < x * ↑n + 2
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
r : R
x : ↥p
⊢ ↑(r • x) = r • ↑x
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
e : R ≃+* S
x y : R
⊢ e (x + y) = e x + e y
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
p : P₁
v : V₁
⊢ e (v +ᵥ p) = e.linear v +ᵥ e p
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CompatiblePreserving (Opens.grothendieckTopology ↑X) (TopologicalSpace.Opens.map f)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
U : Opens α
⊢ ¬(↑U).Nonempty ↔ U = ⊥
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
C : ℝ≥0
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
ι : Type u_3
Fintype ι
f : E → ι → ℝ
s : Set E
hf : LipschitzOnWith C f s
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
A : Type u
CommRing A
K : Type v
Field K
Algebra A K
IsDomain A
ValuationRing A
IsFractionRing A K
a : A
⊢ ↑((ValuationRing.equivInteger A K) a) = (algebraMap A K) a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.20185, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
c : CokernelCofork S.f
hc : IsColimit c
⊢ 𝟙 S.X₂ ≫ S.g = 0
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
f : α → α → α
a b : α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
hf : f = HSub.hSub
ra : IsRat a na da
rb : IsRat b nb db
h₁ : (na.mul ↑db).sub (nb.mul ↑da) = (↑k).mul nc
h₂ : da.mul db = k.mul dc
⊢ IsRat (f a b) nc dc
𝕜 : Type u_11
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_12
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_13
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_14
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x y : M
h : y ∈ (chartAt H x).source
⊢ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hg : Memℒp g p μ
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g
⊢ UnifTight ((fun x => g) + fun n => f n - g) p μ
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
B : LinearMap.BilinMap R M N
x : M
⊢ B.toQuadraticMap x = (B x) x
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Add γ
ContinuousAdd γ
f g : α →ₘ[μ] γ
⊢ ↑(f + g) =ᵐ[μ] ↑f + ↑g
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Bijective f
⊢ Nat.card α = Nat.card β
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α
⊢ 0 ≤ f x + ‖f‖
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : R
h : IsPrimePow n
⊢ n ≠ 1
α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
x : List α
⊢ x ∈ M.toDFA.accepts ↔ x ∈ M.accepts
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f
⊢ sᶜ ∈ f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
⊢ μ K = ⨅ U, ⨅ (_ : K ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ U
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
CompleteLattice β
s : Set α
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ ⨆ a ∈ s, f a ≤ f (sInf s)
α : Type u
f : Ultrafilter α
⊢ IsAtom ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hf : ContinuousOn f s
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
u : Set α
hu : IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
⊢ IsClosed (u ∩ s)
ι : Type u_1
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
I : BoxIntegral.Box ι
c : ℝ≥0
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
self : l.MemBaseSet I c r π
⊢ l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct W Y
inst✝ : HasBinaryCoproduct X Z
g : W ⟶ X
g' : Y ⟶ Z
⊢ map g g' ≫ desc inl inr = map g g'
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.90392, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (ShortComplex.mk (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ((F.shift n₁).map T.mor₁) ⋯).Exact
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
Nonempty α
f : α →₀ M
⊢ f.support.card ≤ 1 ↔ ∃ a, f = Finsupp.single a (f a)
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n : ℕ
hn : n ≠ 1
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1
⊢ IsPrimePow n
X : Type u_2
MetricSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
MeasureTheory.NoAtoms μ
x : X
r : ℝ
⊢ 0 < μ (Metric.closedBall x r) ↔ 0 < r
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
c : R
u : s i →ₗ[R] t i
x : (i : ι) → s i
⊢ ((map (update f i (c • u))).compMultilinearMap (tprod R)) x = ((c • map (update f i u)).compMultilinearMap (tprod R)) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteColimits C
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
⊢ (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (circumcenterWeightsWithCircumcenter n) = s.pointsWithCircumcenter circumcenterIndex
K : Type u_1
GroupWithZero K
Fintype K
a : K
ha : a ≠ 0
⊢ a ^ (q - 1) = 1
a : UnitAddCircle
⊢ Filter.Tendsto (fun s => (s - 1) * HurwitzZeta.hurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Nontrivial α
h : (X • Matrix.map 1 ⇑C + A.map ⇑C).det.natDegree < Fintype.card n
⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (X • 1 + A.map ⇑C).det.natDegree = (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
x : E
⊢ (setToL1 hT) ↑(indicatorConst 1 hs ⋯ x) = (T s) x
R : Type u_3
M : Type u_4
A : Type u_7
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
AddCommMonoid M
Module R M
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
N' : Type u_8
AddCommMonoid N'
Module R N'
f g : M →ₗ[R] A
h : N' →ₗ[R] M
⊢ (QuadraticMap.linMulLin f g).comp h = QuadraticMap.linMulLin (f ∘ₗ h) (g ∘ₗ h)
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ✝
r : R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.coeff g ≠ 0
⊢ ⋯.min ⋯ ≤ g
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : F ⟶ L.comp F'
⊢ (CategoryTheory.Functor.LeftExtension.mk F' α).right = F'
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg pkg' : AbstractCompletion α
⊢ UniformContinuous ⇑(pkg.compareEquiv pkg')
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ IntervalIntegrable (fun x => (x - ↑n) / x ^ (s + 1)) volume (↑n) (↑n + 1)
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J✝ B : Set α
f✝ x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
heEI : e ∈ M.E \ I
J : Set α
hJI : M.Basis J (insert e I)
heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J
hIb : M.Basis I (insert e I)
f : α
hfIJ : f ∈ I \ J
hfb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e I)
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor C (Type w)
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
Small.{w, u₁} I
F : CategoryTheory.Functor I A.Elements
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape I C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape I A
i : I
⊢ A.map (CategoryTheory.Limits.limit.π (F.comp (CategoryTheory.CategoryOfElements.π A)) i)
    (CategoryTheory.CategoryOfElements.CreatesLimitsAux.liftedConeElement F) =
  (F.obj i).snd
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
h : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ν s = 0 → μ s = 0
s : Set α
hs : ν s = 0
⊢ μ s = 0
x : ℝ
n : ℕ
⊢ sin (π / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 = 1 - (sqrtTwoAddSeries 0 n / 2) ^ 2
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
⊢ Lagrange.nodalWeight s v i = (Polynomial.eval (v i) (Lagrange.nodal (s.erase i) v))⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
N : E → ℝ
N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x
N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y
hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x
s : ConvexCone ℝ (E × ℝ) := { carrier := {p | N p.1 ≤ p.2}, smul_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯ }
f' : E × ℝ →ₗ.[ℝ] ℝ := (-f).coprod (LinearMap.id.toPMap ⊤)
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ |(o.areaForm x) y| ≤ ‖x‖ * ‖y‖
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ ¬(s ∩ Icc x y).OrdConnected ↔ ∃ z ∉ s, z ∈ Ioo x y
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
⊢ Submodule.span R ↑(t.attach.biUnion sf) = ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : IsOpen s
xs : x ∈ s
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 F
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
⊢ A = LinearMap.adjoint B ↔ ∀ (i : ι) (x : E), ⟪A x, b i⟫_𝕜 = ⟪x, B (b i)⟫_𝕜
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
f : Module.Dual R M
h : f x = 2
⊢ (Module.preReflection x f) x = -x
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : 0 < s.length
this : s.length - 1 + 1 = s.length
⊢ Fin.last s.length = ⟨s.length - 1, ⋯⟩.succ
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma L R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftId L R).inv.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
hspec : map (Int.castRingHom ℂ) (X - 1) = cyclotomic' 1 ℂ
⊢ X - 1 = cyclotomic 1 R
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} D
inst✝⁵ : Preadditive C₁
inst✝⁴ : Preadditive C₂
inst✝³ : Preadditive D
K₁ : CochainComplex C₁ ℤ
K₂ : CochainComplex C₂ ℤ
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
inst✝² : F.Additive
inst✝¹ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
x y : ℤ
inst✝ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F
⊢ (HomologicalComplex₂.total.map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₂ ℤ) y).obj K₂) F x).hom (ComplexShape.up ℤ) ≫ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₂ ℤ) y).obj K₂)).totalShift₁Iso x).hom) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex D ℤ) x).map (HomologicalComplex₂.total.map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F y).hom (ComplexShape.up ℤ) ≫ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂).totalShift₂Iso y).hom) = (x * y).negOnePow • (HomologicalComplex₂.total.map (((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₁ ℤ) x).obj K₁).mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F y).hom (ComplexShape.up ℤ) ≫ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₁ ℤ) x).obj K₁)).obj K₂).totalShift₂Iso y).hom) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex D ℤ) y).map (HomologicalComplex₂.total.map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso K₂ F x).hom (ComplexShape.up ℤ) ≫ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂).totalShift₁Iso x).hom) ≫ (shiftFunctorComm (CochainComplex D ℤ) x y).hom.app (K₁.mapBifunctor K₂ F)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (cyclotomic n R).natDegree = n.totient
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
N : Type (max u v)
AddCommGroup N
Module R N
h' : Module.Finite R N
⊢ ∃ n ι x p,
  ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)),
    ∃ e, Nonempty (N ≃ₗ[R] (Fin n →₀ R) × ⨁ (i : ι), R ⧸ Submodule.span R {p i ^ e i})
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
h : ∀ a ∈ s, (filter (fun x => a ∈ x) B).card ≤ n
⊢ ∑ t ∈ B, (s ∩ t).card ≤ s.card * n
l : ℝ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, (-1) ^ i / (2 * ↑i + 1)) atTop (𝓝 l)
abel : Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), (-1) ^ n / (2 * ↑n + 1) * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
m : 𝓝[<] 1 ≤ 𝓝 1
q : Tendsto (fun x => x ^ 2) (𝓝[<] 1) (𝓝[<] 1)
⊢ Tendsto (fun k => ∑ i ∈ range k, (-1) ^ i / (2 * ↑i + 1)) atTop (𝓝 (π / 4))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ts : List α
⊢ List.map (List.map f) ts.permutations' = (List.map f ts).permutations'
α : Type u_1
LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
LinearOrder β
x' y' : β
⊢ cmp x y = cmp x' y' ↔ cmp y x = cmp y' x'
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
⊢ ((toEnd R L M) x).HasEigenvalue (χ x)
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.25867, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.25874, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : 0 + 0 = 0
⊢ (mk₀ 0 ⋯ f).comp (mk₀ 0 ⋯ g) h = mk₀ 0 ⋯ (f ≫ g)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
c : ℝ≥0
⊢ μ.testAgainstNN (BoundedContinuousFunction.const Ω c) = c * μ.mass
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this : 0 < μ {x | x ∈ s ∧ (f x).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ}
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
hf : f.IsCycle
⊢ (f.toCycle hf).Nontrivial
R : Type u
M : Type v
Zero M
r : R
⊢ (TrivSqZeroExt.inl r).fst = r
α : Type u_1
MeasurableSpace α
x y : α
⊢ MeasureTheory.Measure.dirac x ≠ MeasureTheory.Measure.dirac y ↔ ∃ A, MeasurableSet A ∧ x ∈ A ∧ y ∉ A
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <+ l₂ → l₁ ⊆ l₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk S.v₁₂.τ₃ S.v₂₃.τ₃ ⋯).Exact
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h✝ : finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0
b : Basis ι K V := basisUnique ι h✝
h : (b.repr v) default ≠ 0 := mt basisUnique_repr_eq_zero_iff.mp hv
w : V
⊢ Equiv.finsuppUnique (b.repr ((fun f => f default • v) ({ toFun := fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun w))) = Equiv.finsuppUnique (b.repr w)
C : Type u₁
W : Type (v + 1)
CategoryTheory.Category.{v, v + 1} W
CategoryTheory.MonoidalCategory W
CategoryTheory.EnrichedCategory W C
X Y Z : CategoryTheory.ForgetEnrichment W C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.ForgetEnrichment.homTo W (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (𝟙_ W)).inv
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.ForgetEnrichment.homTo W f)
        (CategoryTheory.ForgetEnrichment.homTo W g)))
    (CategoryTheory.eComp W (CategoryTheory.ForgetEnrichment.to W X) (CategoryTheory.ForgetEnrichment.to W Y)
      (CategoryTheory.ForgetEnrichment.to W Z))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
⊢ Continuous (s.restrict f)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → E
MeasureTheory.NoAtoms μ
h_int : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Icc a b) μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Set.Icc a x, f t ∂μ) (Set.Icc a b)