ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
a b n : ℤ
h : a + b = n
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctorAdd' C a b n h).inv.app X).hom₃ =
  (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b n h).inv.app X.obj₃
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ stieltjesFunctionAux f a x ≤ stieltjesFunctionAux f a y
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
terminates : (GenContFract.of v).Terminates
⊢ ∃ q, v = ↑q
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (π i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : Set ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x₁ x₂ : π i
y : (i : ι) → π i
a : 𝕜 × 𝕜
ha : a ∈ {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
⊢ update y i (a.1 • x₁ + a.2 • x₂) = a.1 • update y i x₁ + a.2 • update y i x₂
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
σ : α → Perm β
l : List α
hl : l.Nodup
mem_l : ∀ (x : α), x ∈ l
⊢ sign (prodCongrRight σ) = ∏ k : α, sign (σ k)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
FunLike F α β
InfHomClass F α β
f : F
⊢ InfClosed (Set.range ⇑f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f₁
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J f₂
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : LieSubalgebra R L
x : ↥L'
⊢ ↑x = 0 ↔ x = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
⊢ IsZero ((homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) n).obj ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K)) ↔ HomologicalComplex.ExactAt K n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
hbot : f.NeBot
⊢ ∃ c, Tendsto u f (𝓝 c)
c : Char
cs : List Char
b e : Pos
⊢ go₁ (c :: cs) 0 (b + c) (e + c) = go₁ cs 0 b e
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
Unique αˣ
⊢ ∀ (a : Associates α), associatesEquivOfUniqueUnits a = a.out
B : Type u₁
Quiver B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : CategoryTheory.FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : CategoryTheory.FreeBicategory.Hom₂ f g
H : CategoryTheory.FreeBicategory.Rel η θ
⊢ CategoryTheory.FreeBicategory.liftHom₂ F η = CategoryTheory.FreeBicategory.liftHom₂ F θ
R : Type u_1
S : Type u_2
EuclideanDomain R
OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
self : abv.IsEuclidean
x y : R
⊢ abv x < abv y ↔ x ≺ y
a : Bool
x : ℕ
⊢ Nat.bit a x % 2 = 0 ↔ (!a) = true
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
f : R →+* S
x : R
⊢ f.IsIntegralElem (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : DivisionSemiring α
h : Periodic f c
a : α
⊢ Periodic (fun x => f (x / a)) (c * a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β : Type w
⊢ ∀ {X Y Z : (i : β) → (fun x => C) i} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z) (i : β),
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g i = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f i) (g i)
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : IsCompact s
⊢ IsCompact (μ.everywherePosSubset s)
a b : ℝ≥0∞
h : a ≠ ⊤ ∨ b ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => x * a) b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
m : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin (n + 1)) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), SigmaFinite (μ i)
i : Fin (n + 1)
e : α i × ((j : Fin n) → α (i.succAbove j)) ≃ᵐ ((j : Fin (n + 1)) → α j) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i).symm
s : (i : Fin (n + 1)) → Set (α i)
x✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), MeasurableSet (s i)
⊢ ((μ i).prod (Measure.pi fun j => μ (i.succAbove j))) (⇑e ⁻¹' univ.pi s) = ((μ i).prod (Measure.pi fun i_1 => μ (i.succAbove i_1))) (s i ×ˢ univ.pi fun i_1 => s (i.succAbove i_1))
p : ℕ
f : ⦃R : Type u_3⦄ → [inst : CommRing R] → WittVector p R → WittVector p R → WittVector p R
self : WittVector.IsPoly₂ p f
⊢ ∃ φ,
  ∀ ⦃R : Type u_3⦄ [inst : CommRing R] (x y : WittVector p R),
    (f x y).coeff = fun n => WittVector.peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n✝ : ℕ
a b c : α
n : ℕ
⊢ |(-1) ^ n| = 1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
n : ℕ
⊢ count K v (↑v.asIdeal ^ n) = ↑n
α : Type u_2
OrderedCommMonoid α
s : Multiset α
f : α → α
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ x
⊢ (Multiset.map f s).prod ≤ s.prod
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
h' : ⨅ r, stieltjesFunctionAux f a ↑r = ⨅ r, stieltjesFunctionAux f a ↑↑r
h'' : ⨅ r, stieltjesFunctionAux f a ↑↑r = ⨅ r, f a ↑r
⊢ stieltjesFunctionAux f a x = ⨅ r, f a ↑r
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
⊢ (Orientation.reindex R M e).symm = Orientation.reindex R M e.symm
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrable (-f) μ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h : a ≠ 0
s : Set ℝ
⊢ (Measure.map (fun x => a * x) volume) s = ofReal |a⁻¹| * volume s
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p : Submodule R M
⊢ restrictScalars S p = ⊥ ↔ p = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
LinearOrderedCommRing 𝕜
LinearOrderedCommRing E
LinearOrderedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module E F
IsScalarTower 𝕜 E F
SMulCommClass 𝕜 E F
OrderedSMul 𝕜 F
OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : AntivaryOn f g s
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f • g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
J.IsGeneratedByOneHypercovers
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P ↔
  ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit (E.multifork P))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p q : α
h : p ~ᵤ q
hp : Prime p
u : αˣ
hu : p * ↑u = q
a b : α
⊢ p ∣ a * b → p ∣ a ∨ p ∣ b
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
H : s ≤ᶠ[ae μ] t
⊢ μ t + μ (s \ t) = μ t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ γ.neg.φK = -γ.φK
⊢ SetTheory.PGame.RightMoves 1 = PEmpty.{u_1 + 1}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R₁ R₂ : CategoryTheory.Presieve X
h : R₁ ≤ R₂
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P R₂
t : P.obj (Opposite.op X)
ht : x.IsAmalgamation t
⊢ (CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.restrict h x).IsAmalgamation t
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
⊢ Function.Injective RelIso.toEquiv
L : Type v
M : Type w
Bracket L M
Zero M
LieModule.IsTrivial L M
x : L
m : M
⊢ ⁅x, m⁆ = 0
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
x : G
⊢ x ∈ conjugatesOfSet s ↔ ∃ a ∈ s, IsConj a x
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.yn a1 (n + 2) + Pell.yn a1 n = 2 * a * Pell.yn a1 (n + 1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v : Fin 1 → E
this : {Composition.ones 1} = Finset.univ
i : ℕ
hi1 : i < (Composition.ones 1).length
hi2 : i < 1
⊢ p.applyComposition (Composition.ones 1) v ⟨i, hi1⟩ = (p 1) v
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
x y : α
⊢ ↑K⁻¹ * dist x y ≤ dist (f x) (f y)
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e : α' ≃ β'
p : Equiv.Perm β'
x : α'
⊢ (e.permCongr.symm p) x = e.symm (p (e x))
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇨ a ⇔ b = a ⇨ b
B : Type u_1
F : Type u_2
E : B → Type u_3
B' : Type u_4
f : B' → B
x : B'
y : E (f x)
⊢ Bundle.Pullback.lift f (Bundle.TotalSpace.mk' F x y) = { proj := f x, snd := y }
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
⊢ range (liftBaseChange A l) ≤ Submodule.span A ↑(range l)
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
this : dist (f^[n] x) (f^[n] (f x)) ≤ ↑K * dist x (f x)
⊢ IsFixedPt f x
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x
hr : ‖f'‖ < r
this : ∃ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] x, ‖x_1 - x‖⁻¹ * (‖f x_1‖ - ‖f x‖) < r
z : ℝ
hxz : x < z
hz : ‖z - x‖⁻¹ * (‖f z‖ - ‖f x‖) < r
⊢ (z - x)⁻¹ * (‖f z‖ - ‖f x‖) < r
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a b : X
γ : Path a b
t : ↑(Set.Icc 0 1)
⊢ γ.extend ↑t = γ t
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff = 0
⊢ f.eraseLead.natDegree ≤ f.natDegree - 2
I : Type u
C : Set (I → Bool)
x : ↑C
l : List (LocallyConstant ↑C ℤ)
⊢ l.prod x = (List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom x)) l).prod
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq : ∀ (i j : ι), IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n
basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
i : ι
a✝ : i ∈ t
⊢ ∀ x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)), h i ∈ x.asIdeal.primeCompl
α✝ : Type u
β : Type v
a b : α✝
inst✝² : CommSemiring α✝
I : Ideal α✝
α : Type u
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : IsDomain α
x y : α
⊢ span {y} ≤ span {x} ∧ span {x} ≤ span {y} ↔ x ∣ y ∧ y ∣ x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.rotCompInvRot.hom.app X).hom₂ = 𝟙 X.obj₂
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y
⊢ f.c.app (op U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = f.c.app (op U) ≫ ((TopCat.Presheaf.pushforward C f.base).obj X.presheaf).map (homOfLE ⋯).op
α : Type u_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
Div α
p₁ : a₁ = b₁
p₂ : a₂ = b₂
⊢ a₁ / a₂ = b₁ / b₂
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp (a + p) b = toIcoMod hp a b + p
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : MeasureTheory.Measure δ
Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
⊢ AEMeasurable (fun b => ⨅ i, f i b) μ
J : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} K
h : ∀ (j₁ j₂ : J), ∃ l, List.Chain Zag j₁ l ∧ (j₁ :: l).getLast ⋯ = j₂
j₁ j₂ : J
l : List J
hl₁ : List.Chain Zag j₁ l
hl₂ : (j₁ :: l).getLast ⋯ = j₂
⊢ Zigzag j₁ j₂
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
⊢ Differentiable ℂ cexp
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n
⊢ n + 1 < a ^ (n + 1)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a b : α
⊢ Int.fract a + Int.fract b ≤ Int.fract (a + b) + 1
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n
hpos : n > 0
⊢ minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))
s : ℝ
r : ℝ
hs : s < 0
⊢ (fun x => |Real.log x| ^ r) =o[𝓝[>] 0] fun x => x ^ s
F : Type u_1
K : Type u_2
A : Type u_3
Field F
Field K
Field A
Algebra F K
Algebra F A
Algebra.IsAlgebraic F K
L : IntermediateField F A
hL : ∀ (x : K), Polynomial.Splits (algebraMap F ↥L) (minpoly F x)
f : K →ₐ[F] A
⊢ (IntermediateField.algHomEquivAlgHomOfSplits A L hL).symm f = f.codRestrict L.toSubalgebra ⋯
n : ℕ
⊢ (Multiset.range n).Nodup
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Turing.Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
⊢ (Turing.eval f₂ a₂).Dom ↔ (Turing.eval f₁ a₁).Dom
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
⊢ a ≤ b + a - b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
y' y : α
hy' : y' ∈ measurableAtom y
⊢ κ y' = κ y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
J : Type v
CategoryTheory.Category.{v, v} J
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
α : Type u
SDiff α
a b : ULift.{u_1, u} α
⊢ (a \ b).down = a.down \ b.down
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
⊢ LiftRel R ca cb.think ↔ LiftRel R ca cb
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f.NeBot
g.NeBot
⊢ s ×ˢ t ∈ f ×ˢ g ↔ s ∈ f ∧ t ∈ g
R✝ : Type u
K : Type u'
M✝ : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι✝ : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : Module R✝ M₃
φ : ι✝ → Type i
inst✝⁶ : (i : ι✝) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → Module R✝ (φ i)
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : CommRing R
M : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
x : (i : ι) → M i
⊢ ((lsum R M R) single) x = id x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
F : TopCat.Sheaf C X
G : TopCat.Presheaf C X
f : F.val ⟶ G
⊢ (∀ (x : ↑X), Function.Injective ⇑((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C x).map f)) ↔
  ∀ (U : TopologicalSpace.Opens ↑X), Function.Injective ⇑(f.app (Opposite.op U))
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
h : IsClosed (range f)
t : Set Y
ht : IsClosed t
hs : IsClosed (f ⁻¹' t)
⊢ IsClosed (f '' (f ⁻¹' t))
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
⊢ Subgroup.map (MonoidHom.id G) K = K
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
hl : l.reverse ≠ []
hl' : optParam (0 < l.length) ⋯
⊢ l.length - 1 - ↑⟨l.reverse.length - 1, ⋯⟩ < l.length
β : Type u_2
AddMonoid β
x : β
n : ℕ
⊢ ((multiplesHom β) x) n = n • x
x : Fin 2 → ℤ
⊢ ‖x‖ = ↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs)
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 ≤ r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R x y
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
x : F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
hs : s.Nonempty
⊢ ∑ i ∈ s, Lagrange.nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ ≠ 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
b₁ : B.IsRefl
W : Submodule K V
⊢ finrank K ↥W + finrank K ↥(range (domRestrict B W)).dualCoannihilator = finrank K V + finrank K ↥(ker (domRestrict B W))
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Memℒp f ⊤ μ
hmeas : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ ∃ M, MeasureTheory.eLpNormEssSup ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ = 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ⟂ₘ μ
A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a
u : ℕ → ℝ≥0
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
α : Type u_1
Add α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d
⊢ a + c < b + d
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
hs : Dense s
ht : Dense t
x : X × Y
⊢ x ∈ closure s ×ˢ closure t
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹⁴ : Semiring R
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : Semiring R₃
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R₂ M₂
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p✝ p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
x : M
inst✝⁴ : RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
inst✝¹ : RingHomSurjective σ₂₃
inst✝ : RingHomSurjective σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
p : Submodule R M
⊢ ↑(map (g.comp f) p) = ↑(map g (map f p))
X : Type u_2
TopologicalSpace X
⊢ (∀ (s : Set X), IsOpen s) ↔ DiscreteTopology X
p : Char → Bool
s : Substring
⊢ s.Valid → (s.dropWhile p).Valid
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
g₁ : X ⟶ W
CategoryTheory.Epi g₁
g₂ : W ⟶ Z
CategoryTheory.Mono g₂
hg : g₁ ≫ g₂ = g
f' : W ⟶ Y
hf : g₁ ≫ f' = f
t : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
⊢ CategoryTheory.Mono t.inl
β : Type u_2
OrderedRing β
t : β
⊢ t ∈ Set.Icc 0 1 ↔ 1 - t ∈ Set.Icc 0 1
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
s : Set α
hs : s.OrdConnected
f : α → δ
hf : ContinuousOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ Set.SurjOn f s (Set.Icc (f a) (f b))
α : Type u_2
Preorder α
Zero α
⊢ (NonemptyInterval.toProd 0).1 = 0
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
⊢ χ₀ n (RingEquiv.refl L) = 1
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : Flat R M
e : N ≃ₗ[R] M
h : ↑e.symm ∘ₗ ↑e = LinearMap.id
⊢ Flat R N
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
a : α
⊢ G.IsClique {a}
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => x * log x) x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
hp_zero : ¬p = 0
⊢ eLpNorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ eLpNorm f q μ * eLpNorm g r μ
α : Type u_1
a : Array α
x : α
⊢ (a.push x)[a.size] = x
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0
⊢ Associated (↑(IsFractionRing.den A x)) (IsFractionRing.num A x⁻¹)
X : Type u_1
EMetricSpace X
s : Set X
⊢ IsMetricSeparated s ∅
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
s : Set ℝ
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ derivWithin (fun x => Real.sinh (f x)) s x = Real.cosh (f x) * derivWithin f s x
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
x y : ↥s
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
x y : ℝ
⊢ WithBot.some '' (WithTop.some '' Icc x y) = Icc ↑x ↑y
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ 𝓝ˢ (Set.diagonal α) ≤ 𝓤 α
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ logb b x < logb b y ↔ x < y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
l : Filter (E →WOT[𝕜]F)
A : E →WOT[𝕜]F
⊢ l ≤ 𝓝 A ↔ ∀ (x : E) (y : F), Filter.map (fun T => ⟪y, T x⟫_𝕜) l ≤ 𝓝 ⟪y, A x⟫_𝕜
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.783706) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ 1
hf : ContinuousOn f (spectrum R a)
ha : p a
⊢ (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } ≤ (cfcHom ha) 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
B : Set (Set β)
hB : B ⊆ 𝒫 Set.range f
⊢ Set.InjOn (Set.preimage f) B
α : Sort u
β : Sort u_1
Unique α
⊢ ⇑(Equiv.funUnique α β) = fun f => f default
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : Field 𝕜
inst✝⁵ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁴ : Linear 𝕜 C
inst✝³ : HasKernels C
X Y : C
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
⊢ finrank 𝕜 (X ⟶ Y) ≤ 1