ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : β → γ
hg : Continuous g
f : α →ₘ[μ] β
⊢ (MeasureTheory.AEEqFun.comp g hg f).toGerm = Filter.Germ.map g f.toGerm
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_3
TopologicalSpace β
s : Set α
hs : MeasureTheory.AnalyticSet s
f : α → β
hf : Continuous f
⊢ MeasureTheory.AnalyticSet (f '' s)
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
AddMonoid ιA
VAdd ιA ιB
(i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
(i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
GradedMonoid.GMonoid A
DirectSum.Gmodule A M
i : ιA
j : ιB
a : A i
b : M j
⊢ ((DirectSum.gsmulHom A M) a) b = GradedMonoid.GSMul.smul a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u_1
K : Type u_2
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
CategoryTheory.Limits.HasProduct g
⊢ (CategoryTheory.Limits.Pi.whiskerEquiv e w).inv = CategoryTheory.Limits.Pi.map' ⇑e fun j => (w j).hom
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : LieSubalgebra R L
x y : ↥L'
⊢ x = y ↔ ↑x = ↑y
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
⊢ LSeries.term (-f) s = -LSeries.term f s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
sb : Submodule R M
sc : Submodule R P
hsb : sb.FG
hsc : sc.FG
tb : Set M
htb : tb.Finite ∧ span R tb = sb
tc : Set P
htc : tc.Finite ∧ span R tc = sc
⊢ span R (⇑(LinearMap.inl R M P) '' tb ∪ ⇑(LinearMap.inr R M P) '' tc) = sb.prod sc
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
h : AEMeasurable f μ
⊢ f =ᵐ[μ] AEMeasurable.mk f h
α : Type u_1
AddMonoid α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
j : Fin (n + 1)
⊢ Fin.partialSum f j.succ = f 0 + Fin.partialSum (Fin.tail f) j
α : Type u_1
CommMonoid α
a b u : α
hu : IsUnit u
⊢ a ∣ u * b ↔ a ∣ b
α : Type u
Mul α
β : Type v
Semigroup β
f : Magma.AssocQuotient α →ₙ* β
⊢ Magma.AssocQuotient.lift.symm f = f.comp Magma.AssocQuotient.of
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
i₁_lt_i : i₁ < ↑i
i₁_succ : i₁ + 1 = ↑i
⊢ False
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
Nontrivial S
pb : PowerBasis R S
y : S
⊢ ∃ f, f.natDegree < pb.dim ∧ y = (Polynomial.aeval pb.gen) f
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
hr : Valid' (↑x) (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
H1 : ¬l.size + (Ordnode.node rs rl rx rr).size ≤ 1
H2 : delta * l.size ≤ rl.size + rr.size
H3 : 2 * (rl.size + rr.size) ≤ 9 * l.size + 3 ∨ rl.size + rr.size ≤ 2
H3_0 : l.size = 0 → rl.size + rr.size ≤ 2
H3p : l.size > 0 → 2 * (rl.size + rr.size) ≤ 9 * l.size + 3
ablem : ∀ {a b : ℕ}, 1 ≤ a → a + b ≤ 2 → b ≤ 1
⊢ Valid' o₁ (l.rotateL x (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : FirstCountableTopology α
f : Filter β
inst✝ : CountableInterFilter f
u : β → α
hf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
ha : ∃ b, limsup u f < b
⊢ ∀ᶠ (b : β) in f, u b ≤ limsup u f
R : Type u_2
Add R
Mul R
c : RingCon R
⊢ ⇑c.toCon = ⇑c
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
hf : Monotone f
hg : Antitone g
⊢ Antitone fun x => Set.Ioc (f x) (g x)
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₁ d₂ d₃ : ManyOneDegree
⊢ d₁ + d₂ ≤ d₃ ↔ d₁ ≤ d₃ ∧ d₂ ≤ d₃
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hl : l.HasBasis p s
p' : ι → Prop
s' : ι → Set α
hp : ∀ (i : ι), p i ↔ p' i
hs : ∀ (i : ι), p i → s i = s' i
⊢ l.HasBasis p' s'
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ W.Nonsingular x y ↔ W.Equation x y ∧ (W.a₁ * y - (3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄) ≠ 0 ∨ 2 * y + W.a₁ * x + W.a₃ ≠ 0)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → AddSubgroup N
h : Independent p
⊢ Function.Injective ⇑(sumAddHom fun i => (p i).subtype)
R : Type u_1
Semiring R
n : ℤ
f : R[T;T⁻¹]
⊢ Commute (LaurentPolynomial.T n) f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
x₀ : E
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x₀
⊢ (fun x => f x - f x₀) =O[𝓝[s] x₀] fun x => x - x₀
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a✝ : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hs : ThreeGPFree s
a : β
hfa : a ∈ t
b : β
hfb : b ∈ t
c : β
hfc : c ∈ t
habc : a * c = b * b
⊢ a = b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
X Y : HomotopyCategory C c
f : X ⟶ Y
⊢ HomotopyCategory.quasiIso C c f ↔ ∀ (n : ι), CategoryTheory.IsIso ((HomotopyCategory.homologyFunctor C c n).map f)
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
motive : Monoid.CoprodI.Word M → Sort u_4
i : ι
m : M i
w : Monoid.CoprodI.Word M
h1 : w.fstIdx ≠ some i
h2 : m ≠ 1
h_empty : motive Monoid.CoprodI.Word.empty
h_cons :
  (i : ι) →
    (m : M i) →
      (w : Monoid.CoprodI.Word M) →
        (h1 : w.fstIdx ≠ some i) → (h2 : m ≠ 1) → motive w → motive (Monoid.CoprodI.Word.cons m w h1 h2)
⊢ Monoid.CoprodI.Word.consRecOn (Monoid.CoprodI.Word.cons m w h1 h2) h_empty h_cons =
  h_cons i m w h1 h2 (Monoid.CoprodI.Word.consRecOn w h_empty h_cons)
y : ℝ
h : y < 0
⊢ ⊤ ^ y = 0
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
F : J ⥤ AddCommGrp
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ F.map f ≫ AddCommGrp.Colimits.coconeMorphism F j' = AddCommGrp.Colimits.coconeMorphism F j
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
𝕝 : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕝
NormedAlgebra 𝕜 𝕝
NormedSpace 𝕝 F
IsScalarTower 𝕜 𝕝 F
f : E → 𝕝
g : E → F
s : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f s
hg : AnalyticOn 𝕜 g s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => f x • g x) s
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i0 ≤ i
⊢ 0 ≤ toZ i0 i
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
CompleteLattice ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
ω : Ω
⊢ MeasureTheory.hitting u s ⊥ ⊤ ω = sInf {i | u i ω ∈ s}
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
⊢ sSup {a | CompleteLattice.IsCompactElement a} = ⊤
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
AddCommGroup V₃
Module k V₃
AddTorsor V₃ P₃
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
TopologicalSpace P₃
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
e' : P₂ ≃ᵃL[k] P₃
⊢ ⇑(e.trans e') = ⇑e' ∘ ⇑e
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
u : F α → α
x y : (P F).W
h : Wequiv x y
⊢ recF u x = recF u y
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c d : α
⊢ a ≤ b ↔ ∃ c, b = c * a
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : s.OrdConnected
⊢ (a • s).OrdConnected
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
K : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
⊢ K.facets ⊆ K.faces
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
ha : ¬a = 0
⊢ C a⁻¹ * (C q.leadingCoeff⁻¹ * (p /ₘ (C a * (q * (C a⁻¹ * C q.leadingCoeff⁻¹))))) = C a⁻¹ * (C q.leadingCoeff⁻¹ * (p /ₘ (q * C q.leadingCoeff⁻¹)))
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4
X : 𝓞 K
hX : ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 = λ ^ 2 * X
Y : 𝓞 K
hY : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 - 1 = λ ^ 2 * Y
Z : 𝓞 K
hZ : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 + 1 = λ ^ 2 * Z
⊢ ∃ n, λ ^ 2 ∣ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) - ↑n
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
eₘ : m ≃ l
eₙ : n ≃ o
⊢ (Matrix.reindex eₘ eₙ).symm = Matrix.reindex eₘ.symm eₙ.symm
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : G × G → CoeSort.coe A
x : G → CoeSort.coe A
hf : ∀ (g h : G), (A.ρ g) (x h) - x (g * h) + x g = f (g, h)
⊢ ↑↑(groupCohomology.twoCoboundariesOfEq hf) = f
b : ℝ
hb₀ : -1 < b
hb₁ : b < 1
hb : 0 < b
⊢ Tendsto (fun x => b ^ x) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ 0 = hammingDist x y ↔ x = y
R : Type u
LinearOrder R
x y z : Tropical R
⊢ x + y = z ↔ x = z ∧ x ≤ y ∨ y = z ∧ y ≤ x
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : VectorPrebundle.IsSmooth IB a
⊢ SmoothVectorBundle F E IB
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1
b : P
hb : b ∈ I
⊢ IsInteger R (1 • b)
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
h : s.OrdConnected
⊢ ↑(upperClosure s) ∩ ↑(lowerClosure s) = s
a b : ℕ
⊢ Multiplicative.ofAdd (a * b) = Multiplicative.ofAdd a ^ b
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
⊢ e.finsetCongr.symm = e.symm.finsetCongr
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x y : R✝
r : ℝ
inst✝⁴ : NonAssocRing R✝
inst✝³ : DecidableEq R✝
inst✝² : NoZeroDivisors R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
f g : MulRingNorm R
c : ℝ
hcpos : 0 < c
h : (fun x => f x ^ c) = ⇑g
⊢ g.equiv f
a b : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
b0 : 0 < b
⊢ (a * b).IsLimit
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
_hP : (↑P).IsCommutative
x g : G
hx : x ∈ P
hy : g⁻¹ * x * g ∈ P
⊢ ∃ n ∈ (↑P).normalizer, g⁻¹ * x * g = n⁻¹ * x * n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.AsSmall.up.obj X).down = X
R : Type u
S : Type u'
M✝ : Type v
N : Type w
K : Type u_1
M : Type u_2
L : Type v
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Ring M
inst✝⁵ : Algebra K M
inst✝⁴ : Module.Free K M
inst✝³ : Module.Finite K M
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
⊢ lift.{v, u_2} (Module.rank K M) = lift.{max u_2 v, max u_2 v} (Module.rank L (M →ₗ[K] L))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
f_int : Integrable f μ
lintegral_norm_tendsto_zero : Tendsto (fun n => (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ).toReal) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun e => ‖Integrable.toL1 (fs e) ⋯ - Integrable.toL1 f f_int‖) atTop (𝓝 0)
L : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
x : 𝓞 L
⊢ x ∣ (algebraMap (𝓞 K) (𝓞 L)) ((norm K) x)
⊢ AlgebraicGeometry.ΓSpec.locallyRingedSpaceAdjunction.unit = AlgebraicGeometry.identityToΓSpec
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵤ[𝔖] β
x : α
h𝔖 : ∃ V ∈ 𝔖, V ∈ 𝓝 x
hc : ContinuousAt ((toFun 𝔖) f) x
⊢ ∀ s ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (a : (α →ᵤ[𝔖] β) × α) in 𝓝 (f, x), (Prod.mk ((toFun 𝔖) (f, x).1 (f, x).2) ∘ fun fx => (toFun 𝔖) fx.1 fx.2) a ∈ s ○ s
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J✝ : Box ι
i : ι
x : ℝ
I J Js : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
HJs : Js ∈ splitMany I s
Hn : ¬Disjoint ↑J ↑Js
H : ∀ (i : ι), (i, J.lower i) ∈ s ∧ (i, J.upper i) ∈ s
⊢ Js ≤ J
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Mul α
s : Set α
t : ι → Set α
⊢ s * ⋃ i, t i = ⋃ i, s * t i
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S✝
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
e : R
he : IsIdempotentElem e
H : RingHom.ker (algebraMap R S) = Ideal.span {1 - e}
H' : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
r : ↥(Submonoid.powers e)
⊢ IsUnit ((algebraMap R S) ↑r)
a b : ℝ
⊢ UniqueDiffOn ℝ (Set.Ioo a b)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ |min a b - min c d| ≤ max |a - c| |b - d|
G : Type u_2
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddRightInvariant
t : G
p : G → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (x - t)) ↔ ∀ᵐ (x : G) ∂μ, p x
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ MonoidHom.mrange (Monoid.Coprod.swap M N) = ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f (s ∩ t) x f' ↔ HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulMono α β
a : α
ha : a ≤ 0
b₁ b₂ : β
⊢ a • max b₁ b₂ = min (a • b₁) (a • b₂)
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) → (a : α) → Part (β a)
x : α
h' : ∃ i, (Fix.approx f i x).Dom
p : ℕ → Prop := fun i => (Fix.approx f i x).Dom
k : ℕ
this : p (k + ↑Upto.zero)
⊢ Nat.find h' = k + ↑Upto.zero → ⋯.fix (fixAux f) Upto.zero x = Fix.approx f (k + 1) x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
h' : IsUnit ((aeval x) (derivative P))
⊢ ∃! r, IsNilpotent (r - x) ∧ (aeval r) P = 0
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
H : AddSubgroup G
f : G' →+ G
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (AddSubgroup.comap f H).index = H.index
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥N
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
m : Fin 2 → ↥M := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hm : LinearIndependent R m
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥N) := Finsupp.instAddCommGroup
n : Fin 2 →₀ ↥N := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩
⊢ False
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzWith C f
⊢ ‖deriv f x₀‖ ≤ ↑C
α : Type u_2
Preorder α
One α
⊢ NonemptyInterval.pure 1 = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedCommSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
c : 𝕜
hc : 0 ≤ c
hf : ConvexOn 𝕜 s f
⊢ ConvexOn 𝕜 s fun x => c • f x
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a : α
⊢ ⊤ ⇔ a = a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
hf : ∀ x ∈ t, f ∈ x.asHomogeneousIdeal
g : A
hg : ∀ x ∈ t', g ∈ x.asHomogeneousIdeal
x : ProjectiveSpectrum 𝒜
hxt : x ∈ t
hxt' : x ∈ t'
⊢ f + g ∈ x.asHomogeneousIdeal
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.natDegree
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ (∑ i ∈ range n, P ^ i).Monic
R : Type u_17
S : Type u_18
M : Type u_19
N : Type u_20
Semiring R
Semiring S
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Module S M
Module S N
LinearMap.CompatibleSMul M N R S
R₁ : Type u_21
Semiring R₁
Module R₁ N
SMulCommClass S R₁ N
SMulCommClass R R₁ N
fₗ : M →ₗ[S] N
⊢ (LinearMap.restrictScalarsₗ N) fₗ = ↑R fₗ
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
Fintype α
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖Equiv.lpPiLp f‖ = ‖f‖
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ω : Ω
M : ℕ
hNM : N ≤ M
h : MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω < N
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f M n ω = MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
a : α
hs : MeasurableSet s
Decidable (a ∈ s)
⊢ (MeasureTheory.Measure.dirac a).restrict s = if a ∈ s then MeasureTheory.Measure.dirac a else 0
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
β : Type u_13
M : Matrix (m × o) (n × o) α
f : α → β
⊢ (M.map f).blockDiag = fun k => (M.blockDiag k).map f
X✝ X Y : LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y
⊢ e.inv.val.base ≫ e.hom.val.base = 𝟙 ↑Y.toPresheafedSpace
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / (o.oangle (x - y) x).tan = ‖x‖
α : Type u_1
⊢ Ordnode.nil.toList = []
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
⊢ ℙ {ω | ↑c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ ProbabilityTheory.evariance X ℙ / ↑c ^ 2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → MeasureTheory.Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ ν : MeasureTheory.Measure ((i : ι) → α i)
∀ (i : Finset ι), MeasureTheory.IsFiniteMeasure (P i)
hμ : MeasureTheory.IsProjectiveLimit μ P
hν : MeasureTheory.IsProjectiveLimit ν P
⊢ μ = ν
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
σ : Perm n
inst✝ : AddCommMonoidWithOne R
⊢ ∑ i : n, (Perm.permMatrix R σ).diag i = ↑(Function.fixedPoints ⇑σ).ncard
α : Type u_1
Sub α
a b : α
⊢ Part.some a - Part.some b = Part.some (a - b)
α : Type u_1
f : α → Char → α
l : List Char
c : Char
m r : List Char
a : α
⊢ (if h : { byteIdx := utf8Len l } < { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } then let_fun this := ⋯; foldlAux f { data := l ++ c :: m ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) (f a ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l })) else a) = List.foldl f a (c :: m)
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x y : 𝓞 K
hy : x - 1 = λ * y
this : x ^ 3 - 1 = λ ^ 3 * (y * (y - 1) * (y - (↑η + 1)))
⊢ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
n : ℕ
⊢ multiplicity a b = ↑n ↔ a ^ n ∣ b ∧ ¬a ^ (n + 1) ∣ b
α : Type u_2
LinearOrderedField α
MulActionWithZero α ℝ
OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
s : Set ℝ
⊢ sInf (a • s) = a • sInf s
α : Type u
UniformSpace α
⊢ Nonempty (CauchyFilter α) ↔ Nonempty α
x✝ : Iterator
h✝ : x✝.Valid
l r : List Char
h : ValidFor l r x✝
⊢ x✝.remainingBytes ≤ x✝.s.utf8ByteSize
α : Type u_2
DecidableEq α
DistribLattice α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s t u v : Finset α
⊢ (s.disjSups t).disjSups (u.disjSups v) = (s.disjSups u).disjSups (t.disjSups v)
L R : Type w
fst snd : R → L
X : CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd
⊢ CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.Hom.id X = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ (Multiset.ndinsert a s).sup = a ⊔ s.sup
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ ContinuousAt inverse ↑x
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
self : RingHom.PropertyIsLocal P
⊢ RingHom.LocalizationPreserves P
n p : ℕ
h : 2 ≤ p ∧ ∀ (m : ℕ), m ∣ p → m = 1 ∨ m = p
h1 : 1 < p
a b : ℕ
hab : p = a * b
⊢ a = 1 ∨ b = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
CategoryTheory.Limits.HasCokernel g
h : f = g
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernel.π g ≫ (CategoryTheory.Limits.cokernelIsoOfEq h).inv = CategoryTheory.Limits.cokernel.π f
R : Type u
Ring R
s : Subring R
⊢ Subring.map (RingHom.id R) s = s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
x_ne_zero : x ≠ 0
⊢ HasFDerivAt (fun x => x⁻¹) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (-(x ^ 2)⁻¹)) x
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
h : T.IsSatisfiable
⊢ T.IsFinitelySatisfiable
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₁ * ‖g₂ x‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
R : Type u_4
VAdd R Y
r : R
f : LocallyConstant X Y
⊢ ⇑(r +ᵥ f) = r +ᵥ ⇑f
α : Sort u_1
q : Trunc α
⊢ Nonempty α
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
x : M
⊢ Quot.mk Setoid.r x = Submodule.Quotient.mk x
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
LinearOrderedField α
ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
Archimedean α
a : α
⊢ LinearOrderedField.inducedMap β γ (LinearOrderedField.inducedMap α β a) = LinearOrderedField.inducedMap α γ a
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ p.prod q = map (inl R M M₂) p ⊔ map (inr R M M₂) q
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
⊢ ∃ T ⊆ S, sSup C = sSup T