ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
x y : 𝕎 k
⊢ peval (polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i] = (x * y).coeff (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * x.coeff (n + 1) * y.coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * x.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) - x.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * y.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i)
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁷ : HasZeroObject C
inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁵ : Preadditive C
inst✝¹⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹³ : Pretriangulated C
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹¹ : HasZeroObject D
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁷ : Pretriangulated D
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_3} A
inst✝⁵ : Abelian A
F✝ : C ⥤ A
inst✝⁴ : F✝.IsHomological
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.CommShift ℤ
inst✝² : L.IsTriangulated
inst✝¹ : L.mapArrow.EssSurj
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
inst✝ : G.IsHomological
this✝ : F.PreservesZeroMorphisms
this : (L ⋙ F).IsHomological
⊢ F.IsHomological
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
l₃ : Turing.ListBlank Γ
⊢ Turing.ListBlank.append (l₁ ++ l₂) l₃ = Turing.ListBlank.append l₁ (Turing.ListBlank.append l₂ l₃)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
pb : PowerBasis R S
I : Ideal R
⊢ ∀ (a : S ⧸ Ideal.map (algebraMap R S) I),
  (pb.quotientEquivQuotientMinpolyMap I) a =
    (AdjoinRoot.quotAdjoinRootEquivQuotPolynomialQuot I (minpoly R pb.gen))
      ((Ideal.quotientMap (Ideal.map (AdjoinRoot.of (minpoly R pb.gen)) I)
          ↑(↑(AdjoinRoot.equiv' (minpoly R pb.gen) pb ⋯ ⋯)).symm ⋯)
        a)
F : Type u_1
Field F
⊢ IsSolvable Polynomial.X.Gal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
cc : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f
cc' : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f'
hf : CategoryTheory.Limits.IsColimit cc
hf' : CategoryTheory.Limits.IsColimit cc'
φ : CategoryTheory.Arrow.mk f ≅ CategoryTheory.Arrow.mk f'
⊢ (CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.mapIsoOfIsColimit hf hf' φ).hom =
  CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.mapOfIsColimit hf cc' φ.hom
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = (∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ) / μ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x : M × M'
⊢ mfderiv (I.prod I') I' Prod.snd x = ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
⊢ polar (⇑Q) x (-y) = -polar (⇑Q) x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
F_le_bound✝ : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ENNReal.ofReal ‖F i a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)
a : α
tendsto_norm : Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a‖) atTop (𝓝 (ENNReal.ofReal ‖f a‖))
F_le_bound : ∀ (i : ℕ), ENNReal.ofReal ‖F i a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)
⊢ ENNReal.ofReal ‖f a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)
G : Type u_1
SubtractionMonoid G
a b : G
h : a + b = 0
⊢ -b = a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)
(x : M) → TopologicalSpace (V x)
FiberBundle F V
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ContMDiff I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n fun x => Bundle.TotalSpace.mk' F x (s x)
α : Type u
β : α → Type v
s : AList β
⊢ s.keys.Nodup
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
⊢ ∃ l, l.Nodup ∧ ∀ (x : α), x ∈ l
V : Type u_1
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K = ↑K
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
⊢ (λ_ (𝟙 a)).inv = (ρ_ (𝟙 a)).inv
α : Sort u
β : Sort v
f g : α ≃ β
h : f = g
x : α
⊢ f x = g x
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
⊢ ∀ c_1 ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}, IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c_1 → c_1.Nonempty → ∃ ub ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}, ∀ s ∈ c_1, s ⊆ ub
G : Type u
Group G
Fintype G
⊢ Monoid.exponent G ∣ Fintype.card G
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : F.FullyFaithful
s : A → CategoryTheory.Functor C C
i : (i : A) → (s i).comp F ≅ F.comp (CategoryTheory.shiftFunctor D i)
a b : A
X : C
⊢ F.map ((CategoryTheory.Functor.FullyFaithful.hasShift.add hF s i a b).hom.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((i (a + b)).hom.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd D a b).hom.app (F.obj X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor D b).map ((i a).inv.app X))
        ((i b).inv.app ((s a).obj X))))
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
h : a ∈ s
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
comm' : ∀ x ∈ ↑(s.erase a), ∀ y ∈ ↑(s.erase a), x ≠ y → (fun a b => Commute (f a) (f b)) x y := ⋯
⊢ f a * (s.erase a).noncommProd f comm' = s.noncommProd f comm
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] F
t_closed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)
st : s ⊆ ⋃ n, t n
t_approx : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))
ht : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
⊢ s ⊆ ⋃ n, disjointed t n
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
f : α → Set (Set α)
s : Set α
h : v.FineSubfamilyOn f s
SecondCountableTopology α
ρ : MeasureTheory.Measure α
hρ : ρ ≪ μ
⊢ ρ s ≤ ∑' (p : ↑h.index), ρ (h.covering ↑p)
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∩ U
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
⊢ ↑(μ.toFun ↑⟨L, hL⟩) + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
T : ℝ
x : ℝ
⊢ AddCircle.toCircle ↑x = expMapCircle (2 * π / T * x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty Cᵒᵖ
X Y : Cᵒᵖ
φ : W.RightFraction X Y
⊢ φ.unop.f = φ.f.unop
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoMetricSpace X
PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
⊢ nndist (f x) (f y) ≤ C * nndist x y ^ ↑r
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ e.source ⊆ ↑e ⁻¹' e.target
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P
b : P
⊢ ((s \ s₂).weightedVSubOfPoint p b) w + (s₂.weightedVSubOfPoint p b) w = (s.weightedVSubOfPoint p b) w
α : Type u_1
TopologicalSpace α
C U : Set α
hC : Preperfect C
hU : IsOpen U
⊢ Preperfect (U ∩ C)
α : Type v
G : Type u
AddGroup G
AddAction G α
a : G
b : α
n : ℤ
⊢ (n % ↑(Function.minimalPeriod (fun x => a +ᵥ x) b)) • a +ᵥ b = n • a +ᵥ b
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddCommMonoid P
AddZeroClass Q
f : M →+ N →+ P
g : Q →+ N
m : M
q : Q
⊢ ((f.compl₂ g) m) q = (f m) (g q)
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : Unique Mˣ
inst✝ : Unique Nˣ
m : M
n : N
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
x : Associates N
hx : x ∈ Set.Iic (Associates.mk n)
⊢ associatesEquivOfUniqueUnits ↑⟨x, hx⟩ ∣ n
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
c : R
x : M₁ i
⊢ f (Function.update m i (c • x)) = c • f (Function.update m i x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
h : CategoryTheory.Limits.IsLimit (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk fst snd)
t : CategoryTheory.Limits.IsTerminal Z
⊢ CategoryTheory.IsPullback fst snd (t.from X) (t.from Y)
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x y z : M
hy : SameRay R x y
hz : SameRay R x z
⊢ SameRay R x (y + z)
G : Type u
AddMonoid G
IsCancelAdd G
h : ∀ (g : G), addOrderOf g ∣ 2
a b : G
⊢ AddCommute a b
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
hsc : sᶜ ∉ f
h : ↑f ⊓ 𝓟 s = ⊥
⊢ ↑f ⊓ 𝓟 sᶜᶜ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
c : α
Add α
CommMonoid β
ι : Type u_4
f : ι → α → β
s : Finset ι
hs : ∀ i ∈ s, Function.Periodic (f i) c
⊢ Function.Periodic (∏ i ∈ s, f i) c
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁵ : Ring 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ p.removeZero n = p n
α : Type u
l : List α
⊢ List.ofFn l.get = l
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hp : p ≠ 0
r : R
hr : p = GCDMonoid.gcd p q * r
pq0 : GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
r0 : r ≠ 0
⊢ GCDMonoid.gcd p q * r / GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
Group α
OrderedAddCommMonoid β
GroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α
⊢ f (x / y) ≤ f x + f y
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Antitone f
x : α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
⊢ ContinuousAt f x ↔ Function.leftLim f x = Function.rightLim f x
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
h : Normal F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
s : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)) F K := Basis.ofVectorSpace F K
x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)
⊢ ∏ x_1 : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K), (aeval (s x)) (minpoly F (s x_1)) = 0
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : μ o = μ s
a : BallPackage (↑s) α := { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x) (r ↑x)
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : StandardBorelSpace α
inst✝ : Finite α
n : ℕ
n_equiv : α ≃ Fin n
⊢ ∃ n, Nonempty (α ≃ᵐ ↑(range fun x => ↑↑x))
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i : Fin (s.length + 1)
hx : s.toFun i ≠ last s
⊢ s.toFun i ∈ eraseLast s
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
hM : 0 < M
hε : 0 < ε
H : ∀ (x y : ℝ), 0 < x → x < ε → |y| < s * x → √(x ^ 2 + y ^ 2) < M * (1 - √((1 - x) ^ 2 + y ^ 2))
z : ℂ
hzl : (1 - z).re < ε
hzr : |z.im| < s * (1 - z).re
⊢ z ∈ stolzSet M
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
⊢ s ⊆ ↑(AddSubmonoid.toNatSubmodule.symm.symm (AddSubmonoid.closure s))
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : f.NeBot
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hs : s.Nonempty
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
⊢ ∀ (i : ↑f.sets), IsCompact (closure (image2 ϕ (↑i ∩ v) s))
⊢ ∀ {a b c : CategoryTheory.Cat} (F : CategoryTheory.Functor ↑a ↑b) (G : CategoryTheory.Functor ↑b ↑c),
  CategoryTheory.WithTerminal.pseudofunctor.mapComp F G = CategoryTheory.WithTerminal.mapComp F G
n : ℕ
⊢ antidiagonal (n + 1) = cons (0, n + 1) (map ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ)) (antidiagonal n)) ⋯
x : ℝ
h0x : 0 ≤ x
hxp : x ≤ Real.pi
⊢ 0 ≤ Real.sin x
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x y : CliffordAlgebra Q
hx : (contractLeft d) ((contractLeft d') x) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) x)
hy : (contractLeft d) ((contractLeft d') y) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) y)
⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d') (x + y)) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) (x + y))
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
q : Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hV : (s.sup p).ball 0 ε ∈ p.basisSets
hε : id ((s.sup p).ball 0 ε) ⊆ q.ball 0 1
x✝ : SeminormedAddCommGroup E := (s.sup p).toSeminormedAddCommGroup
⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ q ≤ C • s.sup p
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
a : α
⊢ l₁.diff (a :: l₂) = (l₁.diff l₂).erase a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : ¬IsIso f
⊢ Nat.card ↑(F.obj X) < Nat.card ↑(F.obj Y)
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Finset α
a b : α
DecidableEq α
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s
⊢ { ofColex := insert a s } < { ofColex := insert b s } ↔ a < b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
X : CochainComplex C ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftShortComplexFunctorIso C n i i' hi).inv.app X).τ₁ =
  n.negOnePow • (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).inv
α : Type u
t : TopologicalSpace α
ι : Sort u_2
Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), TopologicalSpace.IsSeparable (s i)
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable (⋃ i, s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
MulOneClass α
MulOneClass β
f : α →* β
s : Set α
⊢ Set.up (⇑f '' s) = (SetSemiring.imageHom f) (Set.up s)
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
DivisionRing K
gp : GenContFract.Pair K
ppredB predB : K
succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp
nth_den_eq : g.dens n = ppredB
succ_nth_den_eq : g.dens (n + 1) = predB
⊢ g.dens (n + 2) = gp.b * predB + gp.a * ppredB
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ ν : Measure ((i : ι) → α i)
hμ : IsProjectiveLimit μ P
I : Finset ι
⊢ μ univ = (P I) univ
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
τ : (CategoryTheory.Functor.const J).obj X ⟶ F
⊢ ∀ (X_1 : J), ↑((CategoryTheory.Limits.compCoyonedaSectionsEquiv F X).symm τ) X_1 = τ.app X_1
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a : α
a✝ : List α
comm : {x | x ∈ a ::ₘ ⟦a✝⟧}.Pairwise Commute
⊢ (a ::ₘ ⟦a✝⟧).noncommProd comm = a * noncommProd ⟦a✝⟧ ⋯
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
hx : ∀ (a : ↑s), ↑a • x = 0
⊢ Ideal.span s ≤ Ideal.torsionOf R M x
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(GoodProducts (π C fun x => ord I x < o))
x✝ : ↑C
⊢ (Products.eval C ↑l) x✝ = (eval (π C fun x => ord I x < o) l) (ProjRestrict C (fun x => ord I x < o) x✝)
α : Type u_5
self : KleeneAlgebra α
a : α
⊢ 1 ≤ a∗
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 1 n = ↑((fun x => ζ x) n)
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h₁ : b = ⊤ → a ≠ 0
h₂ : a = ⊤ → b ≠ 0
⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ 1 ≤ a * b
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x : T
y : S
s : ↥N
eq₁ : x * (algebraMap S T) ↑(y, s).2 = (algebraMap S T) (y, s).1
z : R
t : ↥M
eq₂ : y * (algebraMap R S) ↑(z, t).2 = (algebraMap R S) (z, t).1
⊢ ∃ y, x * (algebraMap R T) ↑y.2 = (algebraMap R T) y.1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ'✝ : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
μ' : Measure α
inst✝ : SFinite μ'
i : ℕ × ℕ
⊢ (sFiniteSeq μ i.1 + sFiniteSeq μ' i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2) = (sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2) + (sFiniteSeq μ' i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ (𝓟 s).IsMeasurablyGenerated ↔ MeasurableSet s
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : Set ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ IsCompact U ∧ IsOpen U ↔ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, ↑↑i
m n : Nat
⊢ Int.negSucc m * Int.negOfNat n = Int.ofNat (m.succ * n)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
a : α
⊢ count a (map Prod.fst m.toEnumFinset.val) = count a m
α : Type u_1
LE α
s t : NonemptyInterval α
⊢ ↑s = ↑t ↔ s = t
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ ofReal |∏ i : ι, D i| * volume (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D)) ⁻¹' univ.pi s) = ∏ x : ι, volume (s x)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D).toBlocks₂₁ = C
α : Type u_1
M : Matroid α
R : Set α
hR : R ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ (M.restrict R).Restriction M
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
hn : n ≠ 0
⊢ ¬1 ≤ (n.factorization - (p ^ n.factorization p).factorization) p
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
a : Γ
L R : ListBlank Γ
n : ℕ
⊢ (move Dir.left { head := a, left := L, right := R }).nth (↑(n + 1) + 1) = { head := a, left := L, right := R }.nth (↑(n + 1) + 1 - 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Balanced C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsCoseparator G → CategoryTheory.IsCodetector G
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ t
⊢ s.erase a ⊆ t ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a)
h₁ : (↑x).1 ≤ (↑y).1
h₂ : (↑x).2 ≤ (↑y).2
⊢ x = y
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ volume (⇑(stdOrthonormalBasis ℝ E).repr.symm ⁻¹' Metric.ball x r) = ENNReal.ofReal r ^ finrank ℝ E * ENNReal.ofReal (√π ^ finrank ℝ E / Gamma (↑(finrank ℝ E) / 2 + 1))
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
OpensMeasurableSpace X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f (μ.restrict s)
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
⊢ ‖a‖ - ‖b‖ ≤ ‖a / b‖
n✝ n : ℕ
t : ↑n ≡ ofDigits (-1) (digits 10 n) [ZMOD ↑11]
⊢ ↑n ≡ (List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)).alternatingSum [ZMOD 11]
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ
⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) n
E : Type u_1
SeminormedGroup E
s t : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
ht : Bornology.IsBounded t
⊢ Bornology.IsBounded (s / t)
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F P : Sheaf J A
⊢ ((sheafificationAdjunction J B).homEquiv (P.val ⋙ U) ((sheafCompose J U).obj ((presheafToSheaf J A).obj P.val))).symm (whiskerRight (toSheafify J P.val) U) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app P) = (sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj P)
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
n : ℕ
ha : 1 < a
k : ℕ
⊢ a ^ n < a ^ n * a ^ (k + 1)
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
s : Set G
⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' (QuotientAddGroup.mk '' s) = ↑N + s
A : Type u_1
M : Type u_2
AddGroup A
DivisionMonoid M
ψ : AddChar A M
a : A
⊢ ψ (-a) = (ψ a)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g✝ : α → α
h✝ : Function.Commute f✝ g✝
hco✝ : (minimalPeriod f✝ x).Coprime (minimalPeriod g✝ x)
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)
⊢ minimalPeriod f x ∣ minimalPeriod (f ∘ g) x