ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
μ.IsAddLeftInvariant
μ.IsNegInvariant
hcf : HasCompactSupport f
hf : Continuous f
hg : MeasureTheory.LocallyIntegrable g μ
⊢ MeasureTheory.ConvolutionExists f g L μ
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
⊢ (μ.restrict t).restrict s = μ.restrict (s ∩ t)
μ : ℝ
v : ℝ≥0
x y : ℝ
⊢ gaussianPDFReal μ v (x + y) = gaussianPDFReal (μ - y) v x
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha : a₁ ≤ a₂
hb✝ : b₁ ≤ b₂
h₂ : 0 < a₂
h₁ : 0 < b₁
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂
hb : b₁ < b₂
⊢ a₁ • b₁ < a₂ • b₂
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : 0 < ε
⊢ x ∈ ball x ε
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
x : α
r : ℝ
⊢ f ⁻¹' Metric.ball (f x) r = Metric.ball x r
α : Type u
UniformSpace α
⊢ Filter.comap (Prod.map SeparationQuotient.mk SeparationQuotient.mk)
    (Filter.map (Prod.map SeparationQuotient.mk SeparationQuotient.mk) (𝓤 α)) =
  𝓤 α
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
⊢ discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
r : ℝ≥0∞
⊢ volume (EMetric.closedBall a r) = 2 * r
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ 0 ≠ 1 ↔ I ≠ ⊤
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Submodule R M
v₀ : M
⊢ s ≤ Submodule.span R {v₀} ↔ ∀ v ∈ s, ∃ r, r • v₀ = v
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
c : E
⊢ BoxIntegral.Integrable I l (fun x => c) vol
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : ContinuousOn f s
hs : IsOpen s
hp : f ⁻¹' t ⊆ s
ht : IsOpen t
⊢ IsOpen (f ⁻¹' t)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
⊢ ↑((r * r') n) = DFinsupp.sum r fun i ri => DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι✝ : Type u_3
γ✝ : Path x y
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace ι
a b : ι → X
γ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h : Continuous ↿γ
⊢ Continuous ↿fun t => (γ t).extend
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
ι : Type u_3
U : ι → TopologicalSpace.Opens β
hU : iSup U = ⊤
⊢ IsClosedMap f ↔ ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
a : ℤ
⊢ ∃ u, ∃ (_ : IsUnit u), ↑a.natAbs = u * a
x : ℝ
⊢ |Real.sin (x / 2)| = √((1 - Real.cos x) / 2)
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
R : Type u_10
Semiring R
MulSemiringAction M R
S : Type u_12
Semiring S
MulSemiringAction N S
f : R →ₑ+*[φ] S
⊢ f 0 = 0
A : Finset ℕ
⊢ schnirelmannDensity ↑A ≤ 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
AddCommGroup V'
Module R V'
AddTorsor V' P'
f : P ≃ᵃ[R] P'
a b : P
⊢ f (midpoint R a b) = midpoint R (f a) (f b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
g : N → N'
r : Set N
y : N
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hg : ContMDiffWithinAt J J' n g r y
⊢ ContMDiffWithinAt (I.prod J) (I'.prod J') n (Prod.map f g) (s ×ˢ r) (x, y)
A : Type u_2
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
a : A
⊢ Filter.limsup (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) Filter.atTop ≤ spectralRadius ℂ a
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp3 : p % 4 = 3
hq3 : q % 4 = 3
hpq : p ≠ q
⊢ IsSquare ↑q ↔ ¬IsSquare ↑p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : LinearOrder β
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
x : α
hx : x ∈ s
ha : IsLUB (s ∩ Ici x) a
this : (𝓝[s ∩ Ici x] a).NeBot
⊢ ∀ᶠ (c : α) in 𝓝[s ∩ Ici x] a, f x ≤ f c
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ ∏ x ∈ {a, b}, f x = f a * f b
ι : Type u_1
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
Group G
DivisionMonoid H
MonoidHomClass F G H
f : F
g : ι → G
⊢ ⇑f ∘ g⁻¹ = (⇑f ∘ g)⁻¹
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ unop U⦄, (G.sieveOfSection x).arrows f → F.map f.op x = F.map f.op ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app U ⟨x, hx⟩)
α β γ : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
h₁ : α = β
h₁' : β = γ
h₂ : HEq r s
h₂' : HEq s t
⊢ (RelIso.cast h₁ h₂).trans (RelIso.cast h₁' h₂') = RelIso.cast ⋯ ⋯
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hf : HasDerivWithinAt f f' univ x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y • f y) (c x • f' + c' • f x) univ x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence
⊢ N ⊨ φ ↔ M ⊨ φ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : OrderedRing 𝕜
f : ↑(stdSimplex 𝕜 (Fin 2))
⊢ 1 - ↑f 0 = ↑f 0 + ↑f 1 - ↑f 0
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R 1 n = MvPolynomial.homogeneousSubmodule σ R n
α : Type u_1
f : α → NNReal
⊢ (Summable fun a => ↑(f a)) ↔ Summable f
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ (Finset.Icc s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, (Multiset.count i t + 1 - Multiset.count i s)
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
⊢ ⨅ i, ↑(f i) ≠ ⊤ ↔ Nonempty ι
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
g : P ≃ₗ[R] Q
f : N ≃ₗ[R] P
⊢ LinearEquiv.rTensor M (f ≪≫ₗ g) = LinearEquiv.rTensor M f ≪≫ₗ LinearEquiv.rTensor M g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
i i' : α
⊢ (if i' = i then 0 else f i') ≤ f i'
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
⊢ f.SameCycle x y → f.SameCycle y x
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : b = a * c
⊢ a⁻¹ * b = c
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : IsEmpty β
⊢ ∃ s, (∀ (i : Fin N), (s i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧ range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : PresheafOfModules R
s : M.sections
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ (M.map f) (↑s X) = ↑s Y
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
hx' : x ≤ 1
⊢ x ≤ Real.sin (Real.pi / 2 * x)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
s t : CategoryTheory.Limits.Trident f
i : s.pt ≅ t.pt
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp i.hom t.ι = s.ι := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.Trident.ext i w).hom = CategoryTheory.Limits.Trident.mkHom i.hom w
R : Type u
a : R
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.comp (Polynomial.C a) = Polynomial.C (Polynomial.eval a p)
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
T2Space M
hi : Fintype ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
⊢ Function.Injective ⇑f.embeddingPiTangent
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Sup β
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ ↑(f ⊔ g) = ↑f ⊔ ↑g
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Finite m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
G : Type u_7
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G M₁
inst✝ : SMulCommClass G R M₁
g : G
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (v₂.repr (f ((g • v₁) j✝))) i✝ = (v₂.repr ((f ∘ₗ DistribMulAction.toLinearMap R M₁ g) (v₁ j✝))) i✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
⊢ (minCardFinsetOfMemConvexHull hx).Nonempty
R : Type u_4
S : Type u_5
ConditionallyCompleteLinearOrder R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
ConditionallyCompleteLinearOrder S
TopologicalSpace S
OrderTopology S
F : Filter R
F.NeBot
f : R → S
f_incr : Monotone f
f_cont : ContinuousAt f F.limsInf
cobdd : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F := by isBoundedDefault
bdd_below : Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F := by isBoundedDefault
⊢ f F.limsInf = Filter.liminf f F
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
A : Set P
inst✝ : Nonempty ↑A
⊢ affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A) = ⊤
R : Type u_2
OrderedSemiring R
Archimedean R
p : R → Prop
h : ∀ᶠ (x : R) in Filter.atTop, p x
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, p ↑n
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
D : Type u_3
inst✝ : Category.{u_4, u_3} D
F : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
⊢ autoParam (∀ (X Y : C) (f : X ⟶ Y), (functor r ⋙ lift r F H).map f = eqToHom ⋯ ≫ F.map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
p : R[X]
⊢ (Polynomial.aeval M) p = (Polynomial.aeval M) (p %ₘ M.charpoly)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hts : s ⊆ t
h't : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
h'aux : IntegrableOn f t μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k
⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
f₁ f₂ : M →ₗ[R] M₃
g₁ g₂ : M₂ →ₗ[R] M₄
⊢ (f₁ + f₂).prodMap (g₁ + g₂) = f₁.prodMap g₁ + f₂.prodMap g₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)
hsx : s ≤ x
hyt : y ≤ t
⊢ f x < f y
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → F
u : Fˣ
⊢ toAffine W ((fun m => m • Q) u) = toAffine W Q
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ b : α
s t : Multiset α
a : α
⊢ s + {a} = t ↔ a ∈ t ∧ s = t.erase a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
s : Set α
hf : AntilipschitzWith K (s.restrict f)
g : β → α
t : Set β
g_maps : MapsTo g t s
g_inv : RightInvOn g f t
x y : ↑t
⊢ edist (t.restrict g x) (t.restrict g y) ≤ ↑K * edist x y
α : Type u_1
ι : Type u_4
r : α → α → Prop
f : ι → α
s : Set ι
h : Set.InjOn f s
⊢ (f '' s).Pairwise r ↔ s.Pairwise (r on f)
α : Type u_1
Zero α
LinearOrder α
a : α
⊢ SignType.sign a ≠ 0 ↔ a ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ q : α → Prop
inst✝ : Countable ι
p : ι → α → Prop
hp : ∀ (i : ι), Measurable (p i)
⊢ MeasurableSet (⋂ i, {x | p i x})
α : Type u_2
r : α → α → Prop
IsRefl α r
a : α
⊢ {a}.PartiallyWellOrderedOn r
α : Type u_1
s : Cycle α
h : s.Nontrivial
⊢ 2 ≤ s.length
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p ∧ p < ⊤
f : (i : α) → E i
⊢ (if p = 0 then {i | ¬f i = 0}.Finite else if p = ⊤ then BddAbove (Set.range fun i => ‖f i‖) else Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal) ↔ Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal
M : Type u_3
MulOneClass M
f : M →* M
a : Additive M
⊢ ((monoidEndToAdditive M) f) a = Additive.ofMul (f (Additive.toMul a))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
x : ℝ
⊢ 0 < ε + Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f x
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
t : Measure α := μ.withDensity (ρ.rnDeriv μ)
eq_add : ρ = ρ.singularPart μ + t
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (ρ.singularPart μ) a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, t.rnDeriv μ x = ρ.rnDeriv μ x
C : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => t a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.rnDeriv μ x))
a✝ : α
Ax : Tendsto (fun a => (ρ.singularPart μ) a / μ a) (v.filterAt a✝) (𝓝 0)
Bx : t.rnDeriv μ a✝ = ρ.rnDeriv μ a✝
Cx : Tendsto (fun a => t a / μ a) (v.filterAt a✝) (𝓝 (t.rnDeriv μ a✝))
⊢ (fun a => ρ a / μ a) = fun x => (ρ.singularPart μ) x / μ x + t x / μ x
α : Type u_1
β : Type u_2
Bornology α
Bornology β
s : Set α
t : Set β
h : Bornology.IsBounded (s ×ˢ t)
hs : s.Nonempty
⊢ Bornology.IsBounded t
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
IF : Ideal.PrimePair P
⊢ IsIdeal ↑IF.I
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Continuous f
SigmaCompactSpace X
⊢ IsSigmaCompact (Set.range f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
NormedAddCommGroup X
NormedAddCommGroup Y
NormedSpace ℝ X
NormedSpace ℝ Y
f : X → Y
x : X
c : ℝ
hc : c ≠ 0
hf : ConformalAt f x
⊢ ConformalAt (c • f) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
L : Filter E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivAtFilter (A i) (A' i) x L
⊢ HasFDerivAtFilter (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x L
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nat
BEq α
Hashable α
⊢ (Batteries.HashMap.Imp.empty n).WF
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.36631, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.36635, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.36639, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.36643, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{?u.36647, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{?u.36651, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.36655, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
⊢ ((LocalizerMorphism.id W).comp (LocalizerMorphism.id W)).homMap L₁ L₁ f = f
G : Type u_3
Group G
a b c : G
⊢ a⁻¹ * b = c ↔ b = a * c
α : Type u
β : Type v
a : α
f : β → α → β
l : List α
b : β
⊢ List.foldl f b (a :: l) = List.foldl f (f b a) l
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer
⊢ x ∈ zeroRootSubalgebra R L H
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l l' : Filter α
⊢ f =o[l ⊔ l'] g ↔ f =o[l] g ∧ f =o[l'] g
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S
⊢ D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * y) = (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ Function.Surjective ⇑f.rangeRestrict
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix m m R
⊢ (M * N).det = (N * M).det
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C × D ⥤ E
X Y Z : C
W : D
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ F.map (f ≫ g, 𝟙 W) = F.map (f, 𝟙 W) ≫ F.map (g, 𝟙 W)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
F : CategoryTheory.Functor D E
(F : CategoryTheory.Functor D E) → (X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
(F : CategoryTheory.Functor D E) →
    (X : C) →
      (W : J.Cover X) →
        (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
⊢ (J.sheafificationWhiskerLeftIso P).hom.app F = (J.sheafifyCompIso F P).hom
α : Type u
m : ℕ
n' : Type uₙ
NonUnitalNonAssocSemiring α
x : α
v : Fin m → α
w : n' → α
⊢ Matrix.vecMulVec (Matrix.vecCons x v) w = Matrix.vecCons (x • w) (Matrix.vecMulVec v w)
M : Type u_4
Monoid M
l : List M
a : M
DecidableEq M
ha : a ∈ l
comm : ∀ x ∈ l, ∀ y ∈ l, x * y = y * x
⊢ a * (l.erase a).prod = l.prod
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a * (b / c) ≤ d
hc : 0 < c
⊢ b * a ≤ d * c
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
b₁ : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b₁
e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b₂ : Ordinal.{0}
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow b₂
IH : (e₁.oadd n₁ a₁ * a₂).NFBelow (e₁.repr + e₂.repr)
e0 : e₂ = 0
⊢ (e₁.oadd (n₁ * n₂) a₁).NFBelow (e₁.repr + b₂)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → F
f_lim : α → F
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ essSup (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) μ ≤ liminf (fun n => essSup (fun x => ↑‖f n x‖₊) μ) atTop
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.PushoutCocone.isoMk t).inv.hom = 𝟙 t.pt
α : Type u_1
a b : α
⊢ toLex a = toLex b ↔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
x y : ℚ
hxy : x ≤ y
h_1 : x < 0
h_2 : y < 0
⊢ 0 ≤ 0
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
s : Submonoid M
⊢ closure ↑s * closure ↑s ⊆ closure ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a : Option α
b : Option β
β' : Type u_6
f : α → β' → γ
g : β → β'
f' : α → β → δ
g' : δ → γ
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β), f a (g b) = g' (f' a b)
⊢ Option.map₂ f a (Option.map g b) = Option.map g' (Option.map₂ f' a b)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hw : w ≠ 0
i : ℕ
h : i = k ∨ i = m ∨ i = n
⊢ ↑i ≤ ↑n
m n✝ n : ℕ
hi : 3 ≤ n
this : 0 < n
hn : 1 < n.pred
⊢ n.pred.succ < (n.pred + 1) * n.pred !
G : Type u_3
DivInvMonoid G
⊢ ConjAct.toConjAct 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
as : Array α
bs : Array β
⊢ (as.zip bs).data = as.data.zip bs.data
R : Type u
S : Type v
T : Type w
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
NonAssocSemiring T
s : Subsemiring T
g : S →+* T
f : R →+* S
⊢ Subsemiring.comap f (Subsemiring.comap g s) = Subsemiring.comap (g.comp f) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : Measurable (uncurry f)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b => ∫⁻ (a : β), f a b ∂(κ.restrict hs) b
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a : α
⊢ 1 = a⁻¹ ↔ a = 1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (Set.range p)
x : E
⊢ (⨆ i, p i) x = ⨆ i, (p i) x
R : Type u
a b : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C b).degree < (Polynomial.C a * Polynomial.X).degree
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g ν
⊢ Integrable (fun z => f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F : CategoryTheory.Functor C (Type v₁)
f : CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op X) ⟶ F
g : X ⟶ Y
⊢ F.map g (CategoryTheory.coyonedaEquiv f) =
  CategoryTheory.coyonedaEquiv (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.coyoneda.map g.op) f)