ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : F
⊢ (Trivialization.linearMapAt R e b) ((Trivialization.symmₗ R e b) y) = y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
s : S.Splitting
⊢ s.splitMono_f.retraction = s.r
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, g (b * x) = b⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Ioi (b * a), g x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S : C
X : C
πX : X ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX)) C
CategoryTheory.Limits.HasPushout (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTop f πX)
    (CategoryTheory.SmallObject.functorObjLeft f πX)
⊢ CategoryTheory.SmallObject.functorMap f πX πX (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) ⋯ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.SmallObject.functorObj f πX)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
h : u ≠ v
p : G.Walk u v
⊢ p ∈ {p | p.length = 0} ↔ p ∈ ∅
α : Type u
Preorder α
a b : α
⊢ BddAbove (Set.Ico a b)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
c : E
⊢ MeasureTheory.Memℒp.toLp (fun x => c) ⋯ = (MeasureTheory.Lp.const p μ) c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
self : CategoryTheory.InjectiveResolution Z
i : ℕ
⊢ HomologicalComplex.HasHomology self.cocomplex i
n : ℕ
⊢ 1 < n.factorial ↔ 1 < n
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace Q
AddTorsor W Q
f : P →ᵃ[R] Q
h : Continuous f.toFun
⊢ ⇑{ toAffineMap := f, cont := h } = ⇑f
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ ↑0 = ↑zero <<< n
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a : α
h : Summable fun n => dist (f n) (f n.succ)
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
⊢ dist (f 0) a ≤ ∑' (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
h0 : 0 < type r
a : α
⊢ 0 ≤ typein r a
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
w : Finset E
b : OrthonormalBasis { x // x ∈ w } ℝ E
_hw : ⇑b = Subtype.val
⊢ (b.toBasis.map f.toContinuousLinearEquiv.toLinearEquiv).addHaar = (b.map f).toBasis.addHaar
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A
⊢ ‖x.fst‖ ⊔ ‖(algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd‖ ≤ 2 * max ‖((addEquiv 𝕜 A) x).1‖ ‖((addEquiv 𝕜 A) x).2‖
n : ℕ
C : TypeVec.{u_1} (n + 1) → Sort u
H : (α : TypeVec.{u_1} n) → (β : Type u_1) → C (α ::: β)
α : TypeVec.{u_1} n
β : Type u_1
⊢ TypeVec.append1Cases H (α ::: β) = H α β
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y + o.oangle y x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₂ : f₂ =O[l] g₂
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₁ g₁
c : ℝ
cpos : 0 < c
c' : ℝ
c'pos : c' > 0
hc' : IsBigOWith c' l f₂ g₂
⊢ IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
φ : h.Q ⟶ (KernelFork.ofι h.ι ⋯).pt
hφ : φ ≫ h.ι = 𝟙 h.Q
⊢ IsIso h.ι
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
NormedSpace ℝ E
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫ (x : α) in s, f (g +ᵥ x) ∂μ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
n : ℕ∞
h : ContDiffOn ℝ n f s
⊢ ContDiffOn ℝ n (fun x => Real.arsinh (f x)) s
F : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
⊢ ∀ {x y z : C(X, Y)}, x.Homotopic y → y.Homotopic z → x.Homotopic z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct A A
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.diag A)
⊢ CategoryTheory.IsSubterminal A
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
⊢ f = f ⇑e • e.det
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
x : E
⊢ fract b x = x ↔ x ∈ fundamentalDomain b
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable (fun ω => (((condexpKernel μ m) ω) s).toReal) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
γ : Type u_7
s : Finset (α × β × γ)
f : α × β × γ → M
⊢ ∑ᶠ (abc : α × β × γ) (_ : abc ∈ s), f abc = ∑ᶠ (a : α) (b : β) (c : γ) (_ : (a, b, c) ∈ s), f (a, b, c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct X X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct Y Y
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.map f f ≫ CategoryTheory.Limits.codiag Y = CategoryTheory.Limits.codiag X ≫ f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ (o.areaForm x) x = 0
q a b c : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
n₃ : ℤ
d₃ : ℕ
h₃ : d₃ ≠ 0
⊢ n₁ /. ↑d₁ + n₂ /. ↑d₂ + n₃ /. ↑d₃ = n₁ /. ↑d₁ + (n₂ /. ↑d₂ + n₃ /. ↑d₃)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π
left✝ : p2 -ᵥ p3 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p4 -ᵥ p3 = r • (p2 -ᵥ p3)
⊢ p4 -ᵥ p2 = - -(p4 -ᵥ p3) + 1 • -(p2 -ᵥ p3)
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
n : ℕ
⊢ ((groupCohomology.resolution k G).d (n + 1) n).hom = groupCohomology.resolution.d k G (n + 1)
R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝ : Countable R
⊢ lift.{?u.23919, v} #↑{x | IsAlgebraic R x} ≤ ℵ₀
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
H K L : Subgroup G
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
f : ι → Subgroup G
hf : ∀ (i : ι), (f i).relindex ⊤ ≠ 0
⊢ (⨅ i, f i).relindex ⊤ ≠ 0
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
⊢ μH[d] s ≤ 1
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯
⊢ (Fin (Classical.choose ⋯) → M) ≃ (γ → M)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
m : ℕ
hm : ∃ (h : (multiplicity a b).Dom), (multiplicity a b).get h < m
h : a ^ m ∣ b
⊢ False
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
f : ι →₀ R
i : ι
⊢ ((Finsupp.total ι (Dual R M) R ⇑b.dualBasis) f) (b i) = f i
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
⊢ firstDiff x y + 1 ≤ shortestPrefixDiff x s
n : ℕ
⊢ SetTheory.PGame.powHalf n ≤ 1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
Invertible 2
m : M
⊢ IsUnit ((CliffordAlgebra.ι Q) m) ↔ IsUnit (Q m)
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
M : Type x
AddMonoid M
φ : G →+ M
HN : N ≤ φ.ker
g : G
⊢ (QuotientAddGroup.lift N φ HN) ↑g = φ g
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁹ : Monoid A
inst✝¹⁸ : Monoid B
inst✝¹⁷ : Monoid C
inst✝¹⁶ : Monoid D
inst✝¹⁵ : CommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group X
inst✝⁶ : TopologicalGroup X
inst✝⁵ : UniformSpace Y
inst✝⁴ : CommGroup Y
inst✝³ : UniformGroup Y
inst✝² : T0Space Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : LocallyCompactSpace X
V : ℕ → Set Y
hV : ∀ {n : ℕ} {x : Y}, x ∈ V n → x * x ∈ V n → x ∈ V (n + 1)
hVo : (nhds 1).HasBasis (fun x => True) V
U0 : Set X
hU0c : IsCompact U0
hU0o : U0 ∈ nhds 1
U_aux : ℕ → ↑{S | S ∈ nhds 1} := fun t => Nat.rec ⟨U0, hU0o⟩ (fun x S => let h := ⋯; ⟨Classical.choose h, ⋯⟩) t
U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)
hU1 : ∀ (n : ℕ), U n ∈ nhds 1
hU2 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) * U (n + 1) ⊆ U n
hU3 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) ⊆ U n
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
M : Type u_6
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
e : M ≃+ N
⊢ (↑e.symm).comp ↑e = AddMonoidHom.id M
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ pullback.snd f g = ((pullback.isLimit f g).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (cospan f g))).hom ≫ Limits.pullback.snd f g
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
n : ℕ
⊢ ↑n ∈ S
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
f : AdjoinRoot g
⊢ (mk g) ((modByMonicHom hg) f) = f
s : ℂ
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => (Gamma s)⁻¹) s
α : Type u_1
a : α
⊢ (PMF.pure a) a = 1
f : C(ℝ, ℂ)
h_norm : ∀ (K : Compacts ℝ), Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
h_sum : Summable fun n => 𝓕 ⇑f ↑n
x : ℝ
F : C(UnitAddCircle, ℂ) := { toFun := ⋯.lift, continuous_toFun := ⋯ }
⊢ ∑' (n : ℤ), f (x + ↑n) = ∑' (n : ℤ), 𝓕 ⇑f ↑n * (fourier n) ↑x
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
⊢ ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → ∑ x ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2 = (∑ x ∈ m.divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2) * ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ e.symm.symm = e
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q✝ : QuadraticMap R M N
Q : QuadraticForm R M
hB₁ : associated' Q ≠ 0
h : ∀ (x : M), Q x = 0
⊢ associated' Q = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
φ φ₀ : W.LeftFraction₂ X Y
hφ₁ : φ₀.fst.map L ⋯ = φ.fst.map L ⋯
hφ₂ : φ₀.snd.map L ⋯ = φ.snd.map L ⋯
hφ₀ : add' W (φ₀.fst.map L ⋯) (φ₀.snd.map L ⋯) = φ₀.add.map L ⋯
⊢ add' W (φ₀.fst.map L ⋯) (φ₀.snd.map L ⋯) = φ.add.map L ⋯
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
⊢ WittVector.truncateFun n 0 = 0
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
⊢ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree)) = Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x})
α : Type u_1
Primcodable α
n : ℕ
⊢ Primrec Mathlib.Vector.tail
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
Algebra R S
self : Algebra.PreSubmersivePresentation R S
⊢ Finite self.rels
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ Filter.comap (⇑h) (Filter.cocompact Y) = Filter.cocompact X
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ [RegularSpace X, ∀ (s : Set X), ∀ x ∉ closure s, Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝 x),
    ∀ (x : X) (s : Set X), Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝 x) ↔ x ∉ closure s, ∀ (x : X), ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ t ∈ 𝓝 x, IsClosed t ∧ t ⊆ s,
    ∀ (x : X), (𝓝 x).lift' closure ≤ 𝓝 x, ∀ (x : X), (𝓝 x).lift' closure = 𝓝 x].TFAE
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_6
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this : (fun y => f y - f x - f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (f' v))
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ↑(inducedMap A).fst
n : ℕ
this : ∀ (i : ℕ), Set.Nonempty.some ⋯ ∈ A (res (↑x) i)
⊢ (inducedMap A).snd x ∈ A (res (↑x) n)
a b c d : Int
h₁ : a = b
h₂ : c = d
⊢ a - c = b - d
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
f : Y ⟶ X
⊢ f ≫ α.hom = 𝟙 Y ↔ f = α.inv
α : Type u_4
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
⊢ G.interedges s t = Finset.filter (fun e => G.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
H : Subgroup G
⊢ map f H = f.range ↔ Codisjoint H f.ker
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M N P : Submodule R A
h : N ≤ P
⊢ M * N ≤ M * P
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x
⊢ AntitoneOn (deriv f) S
n : ℕ
α : Type u_1
PartialOrder α
f : Fin n → α
σ τ : Equiv.Perm (Fin n)
hfσ : Monotone (f ∘ ⇑σ)
hfτ : Monotone (f ∘ ⇑τ)
⊢ f ∘ ⇑σ = f ∘ ⇑τ
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
f : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
f' : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli' i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
hle : 1 ≤ n + 1
hne : ↑p + 1 + 1 ≠ 0
h1 : ∀ (r : ℚ), r * (↑p + 1 + 1) * ↑n ^ p.succ / (↑p + 1 + 1) = r * ↑n ^ p.succ
h2 : f 1 + ↑n ^ p.succ = 1 / 2 * ↑n ^ p.succ
⊢ ∑ k ∈ Ico 1 n.succ, ↑k ^ p.succ = ∑ i ∈ range p.succ.succ, f' i
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (-f)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] ↑↑(-lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
a✝ b✝ : List α
h : Disjoint (Quot.mk Setoid.r a✝) (Quot.mk Setoid.r b✝)
⊢ (Quot.mk Setoid.r a✝ + Quot.mk Setoid.r b✝).dedup = dedup (Quot.mk Setoid.r a✝) + dedup (Quot.mk Setoid.r b✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
p : PMF α
b : β
s : Set β
⊢ (map f p).toOuterMeasure s = p.toOuterMeasure (f ⁻¹' s)
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ : ℝ
s✝ t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ε : ℝ≥0
⊢ 2 * ↑ε = ⊤ → EMetric.diam (cthickening (↑ε) s) = ⊤
a b : ℝ
ha : a ≤ 0
z : ℂ
hz : |z.im| ≤ b
hb : b ≤ π / 2
this : rexp |z.re| ≤ rexp z.re + rexp (-z.re)
⊢ Real.cos b ≤ Real.cos |z.im|
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
DecidableRel R
a : α
⊢ List.destutter' R a l = a :: l ↔ List.Chain R a l
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
⊢ Multiset.fold (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⊥ (↑l).dedup = (↑l).dedup.sup
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.IsIdempotentComplete D
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.karoubiUniversal₂ C D).functor = CategoryTheory.Idempotents.functorExtension₂ C D
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderTop α
a x : α
h : IsCoatom a
⊢ a ≤ x ↔ x = ⊤ ∨ x = a
V : Type u
G : SimpleGraph V
K✝ L L' M : Set V
K : (Finset V)ᵒᵖ
C : G.componentComplFunctor.obj K
⊢ (∀ (L : Finset V) (h : Opposite.unop K ⊆ L), ∃ D, ComponentCompl.hom h D = C) ↔ ∀ (i : (Finset V)ᵒᵖ) (i_1 : i ⟶ K), ∃ y, ComponentCompl.hom ⋯ y = C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
as : Array α
bs : Array β
⊢ (as.zipWith bs f).data = List.zipWith f as.data bs.data
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.45519, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.45523, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
inst✝ : HasZeroObject C
cc : CokernelCofork S.f
hcc : IsColimit cc
this : S.HasHomology
⊢ (hcc.coconePointUniqueUpToIso S.opcyclesIsCokernel).hom ≫ (Arrow.mk S.fromOpcycles).hom = (Arrow.mk ((hcc.ofIsoColimit (Cofork.ext (Iso.refl cc.pt) ⋯)).desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯))).hom ≫ (Iso.refl (Arrow.mk ((hcc.ofIsoColimit (Cofork.ext (Iso.refl cc.pt) ⋯)).desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯))).right).hom
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ : SimplicialObject C
X Y : Augmented C
f : X ⟶ Y
⊢ (drop.map f).app (op [0]) ≫ Y.hom.app (op [0]) = X.hom.app (op [0]) ≫ point.map f
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
⊢ FractionalIdeal.spanSingleton S 0 = 0
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x✝ y✝ : α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
z : α
hz : z ∈ Icc x y
⊢ z ∈ s
X : Type u_2
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
self : Urysohns.CU P
⊢ self.C ⊆ self.U
x : ℝ
h : 0 < x
⊢ π / 2 - arctan x < π / 2
X : Type u_2
TopologicalSpace X
CompactSpace X
⊢ Function.Injective (DiscreteQuotient.finsetClopens X)
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass M'
inst✝¹ : MulOneClass N'
inst✝ : MulOneClass P
⊢ Submonoid.closure (Set.range ⇑inl ∪ Set.range ⇑inr) = ⊤
X : Type u_5
TopologicalSpace X
⊢ IsMeagre ∅
α : Type u
p : Prop
Decidable p
t : p → Set α
x : α
⊢ (x ∈ if h : p then t h else Set.univ) ↔ ∀ (h : p), x ∈ t h
g✝ : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
this : Nonempty { g // ↑g 1 = cd }
g : { g // ↑g 1 = cd }
hg : ∀ (a : { g // ↑g 1 = cd }), |(↑g • z).re| ≤ |(↑a • z).re|
⊢ ∀ (g' : SL(2, ℤ)), ↑↑g 1 = ↑g' 1 → |(↑g • z).re| ≤ |(g' • z).re|
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
h0 : 0 < r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
⊢ ∃ δ > 0, ∀ {a : X}, a ∈ s → ∀ {b : X}, b ∈ s → edist a b < δ → edist (f a) (f b) < ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
t : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
⊢ (CategoryTheory.Limits.HasZeroObject.zeroIsoIsTerminal t).inv = 0
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
f : α ≃ β
g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s
this✝ : IsWellOrder α (⇑f ⁻¹'o s)
this : lift.{max u v, u} (type (⇑f ⁻¹'o s)) = lift.{max u v, max u v} (type s)
⊢ ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
hf : OpenEmbedding ⇑f
F : Presheaf C X
x : ↑X
this : (⋯.functorNhds x).Initial
⊢ IsIso (stalkPushforward C f F x)
J : Type
Finite J
f : J → AddCommGrp
x : ↑(CategoryTheory.Limits.biproduct.bicone f).toCone.pt
j : J
⊢ (AddCommGrp.biproductIsoPi f).hom x j = (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j) x
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
h : G ≤ G'
x : V
⊢ (SimpleGraph.Hom.mapSpanningSubgraphs h) x = x
d x y : ℤ
⊢ IsPell { re := x, im := y } ↔ { re := x, im := y } * star { re := x, im := y } = 1
α : Type u_1
N : Type u_2
Zero N
LinearOrder α
PartialOrder N
⊢ Monotone ⇑toLex
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : N.StrictRestriction M
⊢ ∃ R ⊂ M.E, N = M.restrict R
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this✝ : HasSum (fun i => (1 - x) * x ^ i) ((1 - x) * ∑' (b : ℕ), x ^ b)
this : Tendsto (fun n => 1 - x ^ n) atTop (𝓝 1)
⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (1 - x) * x ^ i) atTop (𝓝 1)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : IsCompact s
⊢ IsCompact (μ.everywherePosSubset s)
K : Type u
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : IsDomain K
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R K[X]
x : R
⊢ (algebraMap R (RatFunc K)) x = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) ((algebraMap R K[X]) x) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) 1
p : ℂ × ℂ
hp : p.1 ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2)
  ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ +
    (p.1 ^ p.2 * Complex.log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ)
  p
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Ring R
MulSemiringAction M R
m : M
S : Subring R
⊢ (m • S).toAddSubgroup = m • S.toAddSubgroup
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ⇑(o.basisRightAngleRotation x hx) = ![x, o.rightAngleRotation x]
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Module.IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Module.Dual R M
⊢ e.flip.symm = e.symm.dualMap ≪≫ₗ (Module.evalEquiv R M).symm