ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
U : Ultrafilter M
U_idem : U * U = U
s₀ : Set M
sU : s₀ ∈ U
exists_elem : ∀ {s : Set M}, s ∈ U → (s ∩ {m | ∀ᶠ (m' : M) in ↑U, m * m' ∈ s}).Nonempty
elem : { s // s ∈ U } → M := fun p => ⋯.some
succ : { s // s ∈ U } → { s // s ∈ U } := fun p => ⟨↑p ∩ {m | elem p * m ∈ ↑p}, ⋯⟩
⊢ FP (Stream'.corec elem succ ⟨s₀, sU⟩) ⊆ s₀
α : Type v
β : Type w
Small.{u, w} β
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Small.{u, v} α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
h : IsUnit z
w : ℤ_[p]
eq : 1 = z * w
⊢ 1 ≤ ‖z‖
x : ℝ
⊢ √(x ^ 2) = |x|
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : (↑s).Nonempty
⊢ IsPreconnected {y | s.WSameSide x y}
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module A M'
b : Basis ι A M
b' : Basis ι A M'
f : M →ₗ[A] M'
⊢ b'.det (⇑f ∘ ⇑b) = LinearMap.det (f ∘ₗ ↑(b'.equiv b (Equiv.refl ι)))
i a : Nat
h : i < a
⊢ 0 < a - i
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
f : LocallyConstant ↑C ℤ
hf : ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₁ C hsC ho, continuous_toFun := ⋯ }) f) = ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₀ C ho, continuous_toFun := ⋯ }) f)
C₀C : ↑(C0 C ho) → ↑C := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩
h₀ : Continuous C₀C
⊢ ∃ y, (πs C o) y = f
K : Type u_2
CommRing K
IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∏ i ∈ n.divisors, Polynomial.cyclotomic' i K = Polynomial.X ^ n - 1
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
self : MultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
x y : M₁ i
⊢ self.toFun (Function.update m i (x + y)) = self.toFun (Function.update m i x) + self.toFun (Function.update m i y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
r : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n
⊢ ↑r ≤ p.radius
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
hS : S.Nonempty
hT : T.Nonempty
⊢ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T = ⋂ r ∈ S ×ˢ T, r.1 ×ˢ r.2
⊢ ContinuousOn Real.tan (Set.Ioo (-(Real.pi / 2)) (Real.pi / 2))
y z : ℤ
h : PythagoreanTriple 0 y z
hc : y.natAbs = 1
hy : y = -↑y.natAbs
⊢ h.IsPrimitiveClassified
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
Finite ι
s : ι → Set α
⊢ TotallyBounded (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), TotallyBounded (s i)
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ : ↥S
⊢ (r₁ /ₒ s₁) • (r₂ /ₒ s₂) = OreLocalization.oreNum r₁ s₂ • r₂ /ₒ (OreLocalization.oreDenom r₁ s₂ * s₁)
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
b : α
H : ∀ a < b, Order.succ a < b
⊢ Order.IsSuccLimit b
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
⊢ Multiset.count a s = 0 ↔ a ∉ s
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
OrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r s : β
⊢ Convex 𝕜 (Set.Ico r s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
⊢ F.IsSheaf ↔ F.IsSheafPreservesLimitPairwiseIntersections
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
j : Fin (n + 1)
a✝ : n + 1 ≤ ↑j + (n + 1)
eq : ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ (Γ₀.obj K).map (SimplexCategory.δ j.succ).op = Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K (SimplexCategory.δ j.succ) ≫ ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))
⊢ ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ (Γ₀.obj K).δ j.succ = 0
x : Nat
z : Nat
H : 0 < z
⊢ (z + x) / z = x / z + 1
n : ℕ
hn : 0 < n
c : Composition n
⊢ c ≠ Composition.single n hn ↔ ∀ (i : Fin c.length), c.blocksFun i < n
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoidWithOne α
p : ι → Prop
DecidablePred p
s : Finset ι
⊢ (∑ x ∈ s, if p x then 1 else 0) = ↑(Finset.filter p s).card
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f✝ g✝ : α → β
γ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : Continuous g
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
x : α
hx : f x = mk f hf x
⊢ (g ∘ f) x = (fun x => g (mk f hf x)) x
α : Type u_1
n : Type u_4
Star α
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
⊢ IsSelfAdjoint A
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ b ∈ Icc a b ↔ a ≤ b
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
c d : ℝ
hca : c ≤ a
hab : a ≤ b
hbd : b ≤ d
hf : 0 ≤ᵐ[μ.restrict (Set.Ioc c d)] f
hfi : IntervalIntegrable f μ c d
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ≤ ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ
β : Type u_4
CommMonoid β
f : ℕ → β
n : ℕ
⊢ ∏ x ∈ Finset.range (n + 1), f x = f n * ∏ x ∈ Finset.range n, f x
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
s : Set K
p : K → Prop
x : K
h : x ∈ closure s
mem : ∀ x ∈ s, p x
one : p 1
add : ∀ (x y : K), p x → p y → p (x + y)
neg : ∀ (x : K), p x → p (-x)
inv : ∀ (x : K), p x → p x⁻¹
mul : ∀ (x y : K), p x → p y → p (x * y)
this : Subfield K := { carrier := p, mul_mem' := ⋯, one_mem' := one, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, neg_mem' := ⋯, inv_mem' := inv }
⊢ p x
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
DecidableEq α
f : α → M
x : α
y : M
hy : y ≠ 0
⊢ Function.support (Function.update f x y) = insert x (Function.support f)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
⊢ (∑' (n : ℕ), (f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 n) fun x_1 => x) (Fin.snoc 0 y) = ∑ i : ι, f (Function.update x i (y i))
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
CommMonoid γ
i : ι
b : β i
h : (i : ι) → β i → γ
h_zero : h i 0 = 1
⊢ (DFinsupp.single i b).prod h = h i b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
s s' t : Set α
ht : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t
⊢ t.ite s s' ∩ closure tᶜ = s' ∩ closure tᶜ
m : ℤ
n : ℕ
⊢ m <<< ↑n = m * ↑(2 ^ n)
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a b x✝ y✝ : A
k : 𝕜
k_neq : k ∉ {0}
k_mem : ↑(Units.mk0 k k_neq) ∈ σ (x✝ * y✝)
⊢ k ∈ σ (y✝ * x✝) \ {0}
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x : R
hx : x ∈ I
⊢ -x ∈ I
a b c : ℤ
hcb : c ∣ b
h : a ∣ b / c
⊢ c * a ∣ b
α : Type u_3
LinearOrderedField α
c : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hc : c < 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => c * x ^ n) Filter.atTop Filter.atBot
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕝
AddCommGroup E
Module 𝕝 E
UniformSpace E
UniformAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ∀ r > 0, p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ UniformContinuous ⇑p
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
a : α
l : Filter β
s : Set α
f : β → α
h1 : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
h2 : ∀ᶠ (x : β) in l, f x ∈ s
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝[s] a)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) ≠ ⊤
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
⊢ ζ⁻¹ ^ k = 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
ht : t.Nonempty
⊢ 0 ⊆ 0 • t
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⇑1 = id
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
TopologicalSpace α₁
TopologicalSpace α₂
TopologicalSpace β₁
TopologicalSpace β₂
f : C(α₁, α₂)
g : C(β₁, β₂)
⊢ ∀ (a : α₁ × β₁), (f.prodMap g) a = Prod.map (⇑f) (⇑g) a
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ Subgroup.center G ≤ Subgroup.centralizer s
G : Type u_1
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableAdd G
μ.IsAddRightInvariant
f : G → ENNReal
g : G
⊢ ∫⁻ (x : G), f (x + g) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ
M : Type u_2
Mul M
S : Set (Subsemigroup M)
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
q : ℍ
hq : q.re = 0
c s : ℝ
hc : HasSum (fun a => ↑((-1) ^ a * ‖q‖ ^ (2 * a) / ↑(2 * a)!)) ↑c
hs : HasSum (fun z => ((-1) ^ z * ‖q‖ ^ (2 * z + 1) / ↑(2 * z + 1)! / ‖q‖) • q) ((s / ‖q‖) • q)
⊢ HasSum (fun k => (expSeries ℝ ℍ (2 * k)) fun x => q) ↑c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : Prop
Decidable P
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : P → (Y ⟶ Z)
g' : ¬P → (Y ⟶ Z)
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (if h : P then g h else g' h) f =
  if h : P then CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (g h) f
  else CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (g' h) f
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
g : G
⊢ AddMonoidAlgebra.divOf 0 g = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s ∩ t ∩ u = s ∩ u ∩ (t ∩ u)
k m n : Nat
⊢ k.gcd (m * n) ∣ k.gcd m * k.gcd n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : CategoryTheory.Center C
⊢ (λ_ X).inv.f = (λ_ X.fst).inv
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hp0 : 0 ≤ 0
hp1 : 0 ≤ 1
⊢ (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ 0 ∂μ) ^ (1 / 0) ≤ 2 ^ (1 / 0 - 1) * ((∫⁻ (a : α), f a ^ 0 ∂μ) ^ (1 / 0) + (∫⁻ (a : α), g a ^ 0 ∂μ) ^ (1 / 0))
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(S i)) → Decidable (x ≠ 0)
x : γ
⊢ (∃ f, (sumAddHom fun i => (S i).subtype) f = x) ↔ ∃ f, (f.sum fun i xi => ↑xi) = x
α : Type u
β : Type v
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
f : α → β
hf : RightOrdContinuous f
h : Function.Injective f
x y : α
⊢ f x < f y ↔ x < y
x : ℤ[i]
⊢ 0 ≤ norm x ∧ ¬x = 0 ↔ x ≠ 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
x : E
h : x ≠ 0
hx : 0 < ‖x‖
⊢ ‖coord 𝕜 x h‖ = ‖x‖⁻¹
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : C₁ ⟶ C₂
g : C₂ ⟶ C₃
i : ι
⊢ (f ≫ g).f i = f.f i ≫ g.f i
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ OpenEmbedding ⇑DomMulAct.mk.symm
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A
p : Subalgebra R A
⊢ (↑p.valA).range = p
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasLimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasLimitsOfShape J D
H : C ⥤ D
j✝ : J
⊢ (H.map (limMap α) ≫ post G H) ≫ π (G ⋙ H) j✝ = (post F H ≫ limMap (whiskerRight α H)) ≫ π (G ⋙ H) j✝
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i j : Set α
hi : MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s i
hi₁ : MeasurableSet i
hj₁ : MeasurableSet j
⊢ (s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi) j = ↑⟨↑s (i ∩ j), ⋯⟩
α : Type u
f g : Filter α
⊢ (f ⊔ g).sets = f.sets ∩ g.sets
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
τ : Ω → ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
LinearOrder ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
FirstCountableTopology ι
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
NormedAddCommGroup E
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), MeasureTheory.Integrable (u n) μ
n : ι
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
⊢ MeasureTheory.Integrable (MeasureTheory.stoppedProcess u τ n) μ
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
h : p.degree = 1
this : p.coeff 1 ≠ 0
⊢ p.IsRoot (-(p.coeff 0 / p.coeff 1))
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSingletonClass α
Fintype α
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = ∑ x : α, (μ {x}).toReal • f x
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖f‖ = 0 ↔ f = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ W.addPolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) = -((X - C x₁) * (X - C x₂) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))))
X : TopCat
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ ⇑U.inclusion = Subtype.val
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ DenseRange preStoneCechUnit
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.rightHomologyIso.hom (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ) S₂.rightHomologyIso.hom
A : Type u_1
inst✝⁶ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
inst✝⁵ : Sub A
inst✝⁴ : OrderedSub A
inst✝³ : ContravariantClass A A (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : HasAntidiagonal A
n m : A
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x = m
inst✝ : Decidable (m ≤ n)
a b : A
⊢ (a, b) ∈ filter (fun x => x.1 = m) (antidiagonal n) ↔ (a, b) ∈ if m ≤ n then {(m, n - m)} else ∅
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x✝ : ∃ m, x ^ p ^ m = 1
w✝ : ℕ
hm : x ^ p ^ w✝ = 1
⊢ ∃ k, orderOf x = p ^ k
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ ↑e.symm = ↑e.symm
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
⊢ (killingForm K L) x = 0
E : Type u_7
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
x y : E
⊢ μH[1] (segment ℝ x y) = edist x y
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
i✝ : Fin2 n
u : α i✝
⊢ u ∈ supp (abs ⟨a, f⟩) i✝ ↔ u ∈ f i✝ '' univ
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a : αᵒᵈ
⊢ InfPrime (OrderDual.ofDual a) ↔ SupPrime a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
⊢ W'.negAddY P Q = (P x * Q z) ^ 3 * W'.negY Q
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
S : Type u_3
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module S M₃
SMulCommClass R S M₃
f : (M →ₗ[R] M₃) × (M₂ →ₗ[R] M₃)
⊢ (LinearMap.coprodEquiv S) f = f.1.coprod f.2
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
T2Space M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 c
⊢ (𝓝 c).HasBasis (fun f => tsupport ↑f ⊆ s) fun f => Function.support ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
f : α → β
s : Set α
hs : ∀ a ∈ frontier s, f a = 0
hf : ContinuousOn f (closure s)
⊢ Continuous (s.indicator f)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α →ₘ[μ] E
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑f x‖₊ ≤ C
⊢ f ∈ MeasureTheory.Lp E p μ
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeries.abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
⊢ LSeriesSummable (LSeries.logMul f) s
α : Type u
hd : α
tl : List α
⊢ (tl ++ [hd]) ~r (hd :: tl)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : UpperSet α
t t₁ t₂ : UpperSet β
x : α × β
⊢ s ×ˢ t = ⊤ ↔ s = ⊤ ∨ t = ⊤
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
α : Type u_12
Fintype l
Fintype m
NonUnitalNonAssocSemiring α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
A' : Matrix l p α
B' : Matrix l q α
C' : Matrix m p α
D' : Matrix m q α
⊢ Matrix.fromBlocks A B C D * Matrix.fromBlocks A' B' C' D' =
  Matrix.fromBlocks (A * A' + B * C') (A * B' + B * D') (C * A' + D * C') (C * B' + D * D')
α : Type u_1
f : α → α → α
h : ∀ (a b : α), f a b = a ∨ f a b = b
o₁ o₂ : Option α
⊢ Option.liftOrGet f o₁ o₂ = o₁ ∨ Option.liftOrGet f o₁ o₂ = o₂
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ
⊢ 0 = dist x y ↔ x = y
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
h : x ≤ f x
a : Ordinal.{u}
⊢ lfpApprox f x (a + 1) ≤ f (lfpApprox f x a)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
Nontrivial R
s t : σ
⊢ MvPowerSeries.X s = MvPowerSeries.X t ↔ s = t
m : ℕ
f : ℕ → ℝ := fun k => 1 / (2 * ↑k + 1) * ((1 / (2 * ↑(m + 1) + 1)) ^ 2) ^ k
⊢ HasSum (fun k => f (k + 1)) (Real.log (stirlingSeq (m + 1)) - Real.log (stirlingSeq (m + 2)))
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → 𝕜
μ : MeasureTheory.Measure α
hre : Measurable fun x => RCLike.re (f x)
him : Measurable fun x => RCLike.im (f x)
⊢ Measurable f
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
DecidableEq α
f : α ↪ β
s : Finset α
a : α
⊢ Finset.map f (s.erase a) = (Finset.map f s).erase (f a)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
e₁ e₂ : R
he₁ : IsIdempotentElem e₁
he₂ : IsIdempotentElem e₂
H' : Commute e₁ e₂
this✝ : (e₁ - e₂) ^ 3 = e₁ - e₂
n : ℕ
hn : (e₁ - e₂) ^ n = 0
this : (e₁ - e₂) ^ (2 * n + 1) = e₁ - e₂
⊢ e₁ = e₂
α : Type u
β' : Type v
⊢ #(α → β') = 0 ↔ #α ≠ 0 ∧ #β' = 0
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hs : Convex ℝ s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hf' : ∀ x ∈ s, fderivWithin 𝕜 f s x = 0
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
bound : ∀ x ∈ s, ‖fderivWithin 𝕜 f s x‖ ≤ 0
⊢ f x = f y
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : y * (algebraMap R B) r = 1
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap R B) x = ⇑(aeval (x * y * (algebraMap R B) r))
z : ℂ
⊢ |z.re| ≤ abs z
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
x : α
⊢ f.cycleOf x ∈ f.cycleFactorsFinset ↔ x ∈ f.support
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∃ n, p n
⊢ nth p 0 = Nat.find h
z : ℂ
⊢ -z.re = abs z ↔ z ≤ 0
α : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 ≤ 2
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
h : a ∈ nonunits α
this : Ideal.span {a} ≠ ⊤
I : Ideal α
Imax : I.IsMaximal
H : Ideal.span {a} ≤ I
⊢ a ∈ I
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
LE α
OrderTop α
LE β
OrderTop β
LE γ
OrderTop γ
g : TopHom β γ
f : TopHom α β
⊢ TopHom.dual (g.comp f) = (TopHom.dual g).comp (TopHom.dual f)
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α) in s, |(μ[f|m]) x| ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, |f x| ∂μ
α : Type u
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ s.inits.get n = Stream'.take n.succ s
X : RingedSpace
U V : (Opens ↑↑X.toPresheafedSpace)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
inst✝ : IsIso i
f : ↑(X.presheaf.obj U)
⊢ X.basicOpen ((X.presheaf.map i) f) ≤ X.basicOpen f
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E
⊢ 1 + ‖x‖ ≤ √2 * √(1 + ‖x‖ ^ 2)
ι : Type u_1
K : Type u_4
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing A
Field K
Algebra K A
IsEmpty ι
Nontrivial A
⊢ AlgebraicIndependent K x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)
f g : Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom ⟶ Φ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
⊢ ∀ (j : P.Elementsᵒᵖ), (coconeOfRepresentable P).ι.app j ≫ F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (f.right.app P) = (coconeOfRepresentable P).ι.app j ≫ F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (g.right.app P)
a x : ℝ
⊢ ↑(oddKernel (↑a) x) = cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
I J : Submodule B L
⊢ I ≤ Submodule.traceDual A K J ↔ Submodule.map (↑A (Algebra.trace K L)) (Submodule.restrictScalars A (I * J)) ≤ 1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' Y' Z' X'' Y'' Z'' : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
f' : X' ⟶ Y'
g' : X' ⟶ Z'
f'' : X'' ⟶ Y''
g'' : X'' ⟶ Z''
i₁ : X ⟶ X'
j₁ : X' ⟶ X''
i₂ : Y ⟶ Y'
j₂ : Y' ⟶ Y''
i₃ : Z ⟶ Z'
j₃ : Z' ⟶ Z''
inst✝² : HasPushout f g
inst✝¹ : HasPushout f' g'
inst✝ : HasPushout f'' g''
e₁ : f ≫ i₂ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₁ ≫ g'
e₃ : f' ≫ j₂ = j₁ ≫ f''
e₄ : g' ≫ j₃ = j₁ ≫ g''
⊢ g ≫ i₃ ≫ j₃ = (i₁ ≫ j₁) ≫ g''
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : z ∈ 𝒟ᵒ
⊢ |2 * z.re| < 1
⊢ ∀ {x : Sort u_1} {cmp : x → x → Ordering} [inst : Batteries.TransCmp cmp] {x_1 y z : x},
  cmp x_1 y = Ordering.gt → cmp y z = Ordering.gt → cmp x_1 z = Ordering.gt
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ X₂' : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
g' : R.obj X₂' ⟶ B.obj X₃
γ : X₂' ⟶ X₂
hγ : R.map γ ≫ g = g'
A A' : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : A ⟶ A'
⊢ L.map φ.left.right ≫ A'.hom.right = ((StructuredArrow.pre (R.obj X₂) L B).map ((Comma.mapRight (Functor.fromPUnit (R.obj X₂)) w).map (StructuredArrow.homMk φ.left.right ⋯)) ≫ A'.hom).right