ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
y z : ℤ
h : PythagoreanTriple 0 y z
hc : y.natAbs = 1
⊢ h.IsPrimitiveClassified
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
n✝ : ℕ
x : M
hn : 0 < n✝
h : x < 1
n : ℕ
x✝ : Nat.succ 0 ≤ n
ih : x ^ n < 1
⊢ x ^ (n + 1) < 1
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
⊢ ∀ (a : ι), (HomologicalComplex.forget V c).obj C a = C.X a
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
⊢ 2 ∣ (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 ∧ 2 ∣ (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 ∧ ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0 ∧ (((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2).gcd (((m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2) = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
NonAssocSemiring α
NonAssocSemiring β
f : α →+* β
⊢ ∀ (a : αᵐᵒᵖ), (RingHom.op f) a = MulOpposite.op (f (MulOpposite.unop a))
σ : Type u_1
k : Type u_3
Field k
φ : MvPowerSeries σ k
h : (MvPowerSeries.constantCoeff σ k) φ ≠ 0
⊢ φ⁻¹ * φ = 1
Z : Type u_1
N : Type u_2
R : Type u_3
PseudoMetricSpace R
d : N → ℝ
j : Z → N → R
f : R → R
α : R
ε M : ℝ
d0 : ∀ (a : N), 1 ≤ d a
e0 : 0 < ε
B : ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ Metric.closedBall α ε → dist (f α) (f y) ≤ dist α y * M
L : ∀ ⦃z : Z⦄ ⦃a : N⦄, j z a ∈ Metric.closedBall α ε → 1 ≤ d a * dist (f α) (f (j z a))
⊢ ∃ A, 0 < A ∧ ∀ (z : Z) (a : N), 1 ≤ d a * (dist α (j z a) * A)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.CostructuredArrow (CategoryTheory.Functor.const J) F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.fromCostructuredArrow F).obj c).pt = c.left
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T1Space α
s : Opens α
⊢ IsAtom ((Closeds.complOrderIso α) s.compl) ↔ ∃ x, s.compl.compl = (Closeds.singleton x).compl
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : 0 < a
⊢ AntitoneOn (fun x => x⁻¹) (Set.Icc a b)
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
y : (n : ℕ) → E n
⊢ (∃ i, ∀ i_1 < n + 1, y i_1 = update x n i i_1) ↔ ∀ i < n, y i = x i
α : Sort u_1
β : Sort u_2
e : α ≃ β
⊢ IsEmpty α ↔ IsEmpty β
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
⊢ ∀ {X Y : C ⥤ D} (η : X ⟶ Y) (A : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C),
  (((CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.whiskering C D).map η).app A).left =
    CategoryTheory.whiskerLeft (CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.drop.obj A) η
n : ℕ
k : Fin (n + 2)
⊢ k < k - 1 ↔ k = 0
R : Type u_4
M : Type u_5
ι : Type u_6
Semiring R
Subsingleton R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ∀ (x : M), (Module.subsingletonEquiv R M ι) x = 0
k n : ℕ
⊢ List.Pairwise (Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) fun x x x_1 => x < x_1) (List.Nat.antidiagonalTuple k n)
R : Type u
S✝ : Type v
K : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
f✝ : R[X]
inst✝³ : CommRing S✝
i : R →+* S✝
a : S✝
h : eval₂ i a f✝ = 0
inst✝² : Algebra R S✝
hfx : (aeval a) f✝ = 0
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : R
f g : AdjoinRoot (C r * X - 1) →ₐ[R] S
⊢ (algebraMap R S) r * g (root (C r * X - 1)) = 1
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (f * g).Separable
⊢ f.Separable
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1 : Computation α
s2 : Computation β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1 s2
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
⊢ ∀ {a : α} {b : β}, R a b → ∃ a_2, a_2 ∈ pure (f1 a) ∧ S a_2 (f2 b)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : LinearOrderedField β
a a₁ a₂ : α
b : β
q✝ q : ℚ
⊢ cutMap β ↑q = Rat.cast '' {r | ↑r < ↑q}
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
p : ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (f + g) p μ ≤
  MeasureTheory.LpAddConst p * (MeasureTheory.eLpNorm f p μ + MeasureTheory.eLpNorm g p μ)
S : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasShift C S
inst✝ : (shiftFunctor C 1).PreservesZeroMorphisms
X Y : DifferentialObject S C
f : X ≅ Y
⊢ f.inv.f ≫ f.hom.f = 𝟙 Y.obj
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x : M
Hmaps : MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e.baseSet ∧ MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e'.baseSet
⊢ ∀ y ∈ e.target ∩ e'.target, ↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph) y = (y.1, e.coordChange e' y.1 y.2)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s t : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
h : s ⟶ t
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.unit (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight h.right f) = t.unit
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
x✝ : C
⊢ L₂.map (G.map (adj₁.unit.app x✝)) ≫ α.app (R₁.obj (L₁.obj x✝)) ≫ H.map (adj₁.counit.app (L₁.obj x✝)) = α.app x✝
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ a * b ∈ Metric.closedBall a r ↔ ‖b‖ ≤ r
α : Type u
AddGroup α
self : IsAddCyclic α
⊢ ∃ g, ∀ (x : α), x ∈ AddSubgroup.zmultiples g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X Y : C
f g : X ⟶ Y
x : ↑(F.obj X)
h : F.map f x = F.map g x
⊢ F.map (CategoryTheory.Limits.equalizer.ι f g)
    ((CategoryTheory.PreGaloisCategory.fiberEqualizerEquiv F f g).symm ⟨x, h⟩) =
  x
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x₁ x₂ : Filter α
y : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f x₁ y → Filter.Tendsto f x₂ y → Filter.Tendsto f (x₁ ⊔ x₂) y
α : Type u_1
⊢ Set.univ.offDiag = (Set.diagonal α)ᶜ
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
l : List α
⊢ List.count a (l.erase b) = List.count a l - if a = b then 1 else 0
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.inv f) Z) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Z)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C c)
n : ι
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.unitIso.inv.app P).f.f n = P.p.f n
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
s : Set α
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ m t = m.trim s
α : Type u
inst✝ : EMetricSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
t : Closeds α
ht : t ∈ closure {t | ↑t ⊆ s}
x : α
hx : x ∈ t
this : x ∈ closure s
⊢ x ∈ s
α : Type u_2
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Finset.map (addLeftEmbedding c) (Finset.Ico a b) = Finset.Ico (c + a) (c + b)
P : Type u_2
MetricSpace P
p : P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
⊢ p ∈ s ↔ dist p s.center = s.radius
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
FloorRing 𝕜
x : 𝕜
⊢ ↑((AddCircle.equivIco p 0) ↑x) = Int.fract (x / p) * p
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T1Space β
inst✝¹ : SecondCountableTopology β
inst✝ : Nonempty β
f : α → β
m : OuterMeasure β := (OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure
h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0
inhabited_h : Inhabited β
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (∀ s ∈ 𝓝 a, 0 < μ (f ⁻¹' s)) ∧ ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < μ (f ⁻¹' t)
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abs' (↑f j - ↑f i) < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i
⊢ |(fun n => (↑f n).im) j - (fun n => (↑f n).im) i| < ε
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
Nonempty J
h : ∀ {α : Type u₁} (F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Discrete α)) (j j' : J), F.obj j = F.obj j'
⊢ CategoryTheory.IsConnected J
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p : A
x y : ↥p
⊢ ↑x = ↑y ↔ x = y
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝² : DiscreteTopology ↥L
inst✝¹ : IsZlattice ℝ L
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝ : Measure.IsAddHaarMeasure μ
⊢ μ (Zspan.fundamentalDomain (Basis.ofZlatticeBasis ℝ L (Free.chooseBasis ℤ ↥L))) ≠ 0 ∧ μ (Zspan.fundamentalDomain (Basis.ofZlatticeBasis ℝ L (Free.chooseBasis ℤ ↥L))) ≠ ⊤
α : Type u
m n : ℕ
⊢ (take m (range n)).length = (range (min m n)).length
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
d : 𝔸'
z : E
⊢ (d • c') z = (c'.smulRight d) z
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
⊢ (Measure.pi μ) univ = ∏ i : ι, (μ i) univ
R : Type u
CommSemiring R
x : R
⊢ IsCoprime x x ↔ IsUnit x
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
n : ℕ
h_meas_n : MeasurableSet (S n)
hμn : μ (S n) < ⊤
⊢ (μ.restrict (S n)) {a | ¬f a = 0 a} = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : D
⊢ (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app (G.obj x) ≫ adj2.counit.app x = (whiskerLeft G (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom ≫ adj2.counit).app x
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : CentroidHom α
a : α
⊢ (f * g) a = f (g a)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : r < 0
x✝ : E
⊢ r < p (x✝ - x)
M : Type u
AddZeroClass M
P : Prop
Decidable P
a b : M
⊢ (if P then 0 else a + b) = (if P then 0 else a) + if P then 0 else b
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
a : A
⊢ quasispectrum R a = spectrum R a ∪ {r | ¬IsUnit r}
α : Sort u_1
β : Sort u_2
Setoid α
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ≈ b → f a = f b
⊢ Quotient.lift f h ∘ Quotient.mk inst✝ = f
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a : α
ha : 0 < a
⊢ StrictMono fun n => n • a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hc_pos : 0 < f c
⊢ f (x * c ^ m) * f (c ^ (n - m)) / f c ^ n ≤ f (x * c ^ m) / f c ^ m
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
h₁ : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h0 : ¬p 0
⊢ Nat.find h₁ = Nat.find h₂ + 1
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {l : List α} {f : α → Bool}, (a :: l).all f = (f a && l.all f)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G'' : Type u_7
G' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝ : NormedSpace ℝ G''
T : Set α → G'' →L[ℝ] G'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : ↥(simpleFunc G'' 1 μ)
hfg : f ≤ g
⊢ setToL1S T f ≤ setToL1S T g
G : Type u_2
Group G
g : G
h : Gᵐᵒᵖ
s : Set G
⊢ (fun y => h • y) '' ((fun x => g * x) ⁻¹' s) = (fun x => g * x) ⁻¹' ((fun y => h • y) '' s)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasCoproduct f
h : IsSeparating (Set.range f)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : ∐ f ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
Z : C
hZ : Z ∈ Set.range f
g : Z ⟶ X
⊢ g ≫ u = g ≫ v
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A
⊢ (shiftAdd X i j).inv ≫ (shiftFunctor C (i + j)).map f ≫ (shiftAdd Y i j).hom = (shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ IsPullback (b.inl ≫ b.fst) 0 0 (0 ≫ 0)
a₀ a₁ a₂ : Type u
i : ℕ
⊢ Cardinal.lift.{v, u} #(FirstOrder.Sequence₂ a₀ a₁ a₂ i) =
  #(FirstOrder.Sequence₂ (ULift.{v, u} a₀) (ULift.{v, u} a₁) (ULift.{v, u} a₂) i)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
i : ι
⊢ (mk s 0) i = 0 i
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
m : ℕ
hpm : ¬p ∣ m
hm : f ↑m < 1
M : ℝ := f ↑p ⊔ f ↑m
hM : M = f ↑p ⊔ f ↑m
k : ℕ := ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1
hk : k = ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1
a b : ℤ
bezout : a * ↑p ^ k + b * ↑m ^ k = 1
le_half : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → x < 1 → x ≤ M → x ^ k < 1 / 2
⊢ 1 < 1
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : R1Space X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : BorelSpace Y
inst✝² : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
l : Filter α
f : α → C(X, Y)
g : C(X, Y)
hfg : Tendsto f l (𝓝 g)
hf : ∀ᶠ (a : α) in l, MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν
this : ν.InnerRegularCompactLTTop
s : Set Y
hs : MeasurableSet s
hνs : ν s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hso : IsOpen s
hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤
K : Set X
hKg : MapsTo (⇑g) K s
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hKμ : μ (⇑g ⁻¹' s \ K) < ε / 2
hKm : MeasurableSet K
a : α
hfa : MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
ha : MapsTo (⇑(f a)) K s
hK' : μ K ≠ ⊤
⊢ μ (⇑(f a) ⁻¹' s \ K) ≤ ε / 2
α : Type u_4
β : Type u_5
Monoid α
Monoid β
x : α × β
hx : IsOfFinOrder x
⊢ IsOfFinOrder x.2
R : Type u
Semiring R
M : CategoryTheory.Mat R
i j : ↑M
h : i ≠ j
⊢ 𝟙 M i j = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Finset α
⊢ a ∈ stabilizer G ↑s ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ ↑s → a • b ∈ ↑s
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
hb₁ : IsSelfAdjoint b
ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
hb₂ : SpectrumRestricts b ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ ‖(algebraMap ℝ A) ↑‖a‖₊ - a + ((algebraMap ℝ A) ↑‖b‖₊ - b)‖₊ ≤ ‖a‖₊ + ‖b‖₊
α : Type u_1
CommMonoid α
a b : α
h : a ∣ b
n : ℕ
⊢ a ^ n ∣ b ^ n
a n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
hs : (map (fun i => 2 ^ i) n.bitIndices).sum = n
⊢ (map (fun i => 2 ^ i) (bit b n).bitIndices).sum = bit b n
α : Type u_1
a b : PosNum
⊢ ↑a + ↑b + 1 + (↑a + ↑b + 1) = ↑a + ↑a + 1 + (↑b + ↑b + 1)
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t α
⊢ Comp.instApplicativeComp = inst✝³
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (n + 1) → R
⊢ (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin (n + 1), ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)
K : Type u_1
Field K
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
hpq : Associated p q
⊢ ↑(AdjoinRoot.algEquivOfAssociated hp hpq) = AdjoinRoot.liftHom p (AdjoinRoot.root q) ⋯
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume ↔
  MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝ : FunLike F α β
e : α ≃ β
a✝ b✝ : Set α
h : { toFun := fun s => ⇑e '' s, invFun := fun s => ⇑e.symm '' s, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } a✝ ≤ { toFun := fun s => ⇑e '' s, invFun := fun s => ⇑e.symm '' s, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } b✝
⊢ a✝ ≤ b✝
m : Type u_2
α : Type v
Star α
M : Matrix m m α
⊢ star M = Mᴴ
K✝ : Type u
inst✝² : Field K✝
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : R
hn : 0 < n
e : α ^ n = a
K : Type u_1 := FractionRing R
i : R →+* K := algebraMap R K
⊢ X ^ n - C a = ∏ i ∈ Finset.range n, (X - C (ζ ^ i * α))
k : ℕ
⊢ ascFactorial 1 (k + 1) = (k + 1)!
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ (x ~ᵢ y) ↔ 𝓝 x = 𝓝 y
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
i : ι
hi : ‖F i‖ ≤ C
⊢ ‖f‖ ≤ C
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ Wbtw R x (midpoint R x y) y
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ (n - m).Coprime m ↔ n.Coprime m
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f g : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
⊢ CompleteLattice.Independent fun i => (ϕ i).range
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ s.val.Disjoint t.val ↔ Disjoint s t
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
⊢ Dioph fun v => ∃ (h : 1 < v &0), xn h (v &1) = v &2 ∧ yn h (v &1) = v &3
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
⊢ (s1 ⊓ s2).direction ≤ s1.direction ⊓ s2.direction
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : GroupWithZero G₀
inst✝³ : MulAction G₀ α
inst✝² : MeasurableSpace G₀
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSMul G₀ α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ MeasurableSet ((fun x => a⁻¹ • x) ⁻¹' s)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : μ s = 0
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ μ t = 0
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
z x y : α
⊢ ‖x ⊔ z - y ⊔ z‖ ≤ ‖x - y‖
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : StrongFEPair E
s : ℂ
step1 : mellin (fun t => P.g (1 / t)) (-s) = mellin P.g s
step2 : mellin (fun t => ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s) = mellin P.g s
step3 : mellin (fun t => P.ε • ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s) = P.ε • mellin P.g s
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑t ^ (↑P.k - s - 1) • P.f t = (↑t ^ (↑P.k - s - 1) * (P.ε * ((↑t ^ ↑P.k)⁻¹ * (P.ε⁻¹ * ↑t ^ ↑P.k)))) • P.f t
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ⊓ t = s ∩ t
R : Type u_1
Semiring R
M₂ : Type u_3
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
ι : Type u_4
φ : ι → Type u_5
(i : ι) → TopologicalSpace (φ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M₂ →L[R] φ i
i : ι
⊢ (ContinuousLinearMap.proj i).comp (ContinuousLinearMap.pi f) = f i
σ : Type u_1
R : Type u
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
s : Set σ
⊢ p ∈ MvPolynomial.supported R s ↔ ↑p.vars ⊆ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (a * x + b * y) • g (a * x + b * y) ≤ a • f x • g x + b • f y • g y
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : DivInvMonoid M
inst✝ : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
x : M
hx : x ∈ K
n : ℕ
⊢ x ^ ↑n ∈ K
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
i : E ≃ₐ[F] K
⊢ Field.finSepDegree F E = Field.finSepDegree F K
z : ℍ
⊢ Complex.normSq ↑z ≠ 0
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeftIso (F.map f) (F.mapId b) =
  (F.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.id b)).symm ≪≫
    F.map₂Iso (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f) ≪≫ (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (F.map f)).symm
R : Type u_1
Semiring R
M' : Type u_5
AddCommGroup M'
Module R M'
N' : Type u_6
AddCommGroup N'
Module R N'
ι : Type u_7
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v' : ι → M'
DecidableEq ι
i : ι
x y : M'
⊢ g' (Function.update v' i (x - y)) = g' (Function.update v' i x) - g' (Function.update v' i y)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
hab : 0 ≤ a • b
⊢ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
StrictConvexSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
a b c : P
⊢ dist a b + dist b c = dist a c ↔ Wbtw ℝ a b c