ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
⊢ Summable fun n => ‖p n‖₊ * r ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ ∀ x ∈ t, x ∈ Set.range p
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
IsDirected β fun x x_1 => x ≤ x_1
f : α → β
hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) Filter.cofinite f
⊢ BddAbove (Set.range f)
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H✝
inst✝⁵ : Mul G
μ : Measure G
inst✝⁴ : MeasurableMul G
H : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : MeasurableMul H
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G →ₙ* H
hf : Measurable ⇑f
h_surj : Surjective ⇑f
g : G
⊢ Measure.map ((fun x => f g * x) ∘ ⇑f) μ = Measure.map (⇑f) μ
α : Type u_1
s t : Set α
ht : t.Finite := by toFinite_tac
⊢ s.ncard ≤ (s \ t).ncard + t.ncard
X : TopCat
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
Y : TopologicalSpace.Opens ↑X
hY : Y = iSup U
⊢ (TopCat.Presheaf.generateEquivalenceOpensLe U hY).functor = TopCat.Presheaf.generateEquivalenceOpensLe_functor' U ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f g : α → β
h : f =ᶠ[l] g
⊢ Filter.EventuallyConst f l ↔ Filter.EventuallyConst g l
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : Set α → Prop
h : ∀ (s : Set α), p s ↔ MeasurableSet s
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ p s
⊢ 𝓝 ⊥ = ⨅ a, 𝓟 (Set.Iio ↑a)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CompleteLattice β
DecidableEq α
f : γ → α
g : α → β
s : Finset γ
⊢ ⨅ x ∈ Finset.image f s, g x = ⨅ y ∈ s, g (f y)
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
W : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
⊢ ∀ {X Y : Action V G} (f : X ⟶ Y), ((F.mapAction G).map f).hom = F.map f.hom
R : Type u_1
CommRing R
v w : Fin 3 → R
⊢ v ⬝ᵥ (crossProduct v) w = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (x + y)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs y)
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Add (f i)
x y z : (i : I) → f i
⊢ AddSemiconjBy x y z ↔ ∀ (i : I), AddSemiconjBy (x i) (y i) (z i)
R : Type u_1
NormedCommRing R
CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) Filter.atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x y : G × G → CoeSort.coe A
g : G × G × G
⊢ (A.ρ g.1) (x (g.2.1, g.2.2) + y (g.2.1, g.2.2)) - (x (g.1 * g.2.1, g.2.2) + y (g.1 * g.2.1, g.2.2)) + (x (g.1, g.2.1 * g.2.2) + y (g.1, g.2.1 * g.2.2)) - (x (g.1, g.2.1) + y (g.1, g.2.1)) = (A.ρ g.1) (x (g.2.1, g.2.2)) - x (g.1 * g.2.1, g.2.2) + x (g.1, g.2.1 * g.2.2) - x (g.1, g.2.1) + ((A.ρ g.1) (y (g.2.1, g.2.2)) - y (g.1 * g.2.1, g.2.2) + y (g.1, g.2.1 * g.2.2) - y (g.1, g.2.1))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
h : cylinder s S = ∅
⊢ S = ∅
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
ζ : K
l : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ l
hl✝ : l ≠ 0
hl : NeZero l
hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n
key : φ (l.lcm ↑n) ≤ φ ↑n
r : ℕ
hr : GCDMonoid.lcm l ↑n = ↑n * r
ineq : φ ↑n * φ r ≤ φ (GCDMonoid.lcm l ↑n)
⊢ l ∣ 2 * ↑n
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F✝
inst✝¹⁰ : Field E✝
inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
inst✝¹ : Field A
inst✝ : Algebra F A
hA : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F A) (minpoly F x)
α : E
φ : E →ₐ[F] A
h : ∀ (ψ : E →ₐ[F] A), φ α = ψ α → φ = ψ
this✝ : Algebra (↥F⟮α⟯) A := (φ.comp F⟮α⟯.val).toAlgebra
this : Algebra.IsSeparable (↥F⟮α⟯) E
⊢ ∀ (x : E), Splits (algebraMap (↥F⟮α⟯) A) (minpoly (↥F⟮α⟯) x)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
t : Finset β
a : α
⊢ Finset.image₂ f {a} t = Finset.image (f a) t
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
Field S
AddCommGroup M
Algebra R S
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
B : LinearMap.BilinForm S M
ι : Type u_1
Finite ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
⊢ B.dualSubmodule (B.flip.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b))) = Submodule.span R (Set.range ⇑b)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : S ∈ l
⊢ ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
(i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
h : 1 < s.card
⊢ ∃ i, 1 < (Finset.image (fun x => x i) s).card ∧ ∀ (ai : α i), Finset.filter (fun x => x i = ai) s ⊂ s
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
⊢ Finset.filter p {a} = if p a then {a} else ∅
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
h : v ∈ e
he : s(Sym2.Mem.other h, v) ∈ G.edgeSet
⊢ Sym2.Mem.other h ≠ v
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g₁ g₂ : QPF.Fix F → α
h : ∀ (x : F (QPF.Fix F)), g₁ <$> x = g₂ <$> x → g₁ (QPF.Fix.mk x) = g₂ (QPF.Fix.mk x)
x : QPF.Fix F
⊢ g₁ x = g₂ x
α : Type u_1
β : Type u_2
InfSet α
InfSet β
s : Set (α × β)
⊢ (sInf s).1 = sInf (Prod.fst '' s)
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : Set α
x : α
h : IsClopen s
⊢ x ∈ { carrier := s, isClopen' := h } ↔ x ∈ s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : HeytingAlgebra α
inst✝¹ : HeytingAlgebra β
inst✝ : HeytingHomClass F α β
f : F
a : α
⊢ f aᶜ = (f a)ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a✝ p : α
hp : Prime p
a b : α
k l : ℕ
x✝² : p ^ k ∣ a
x✝¹ : p ^ l ∣ b
x✝ : p ^ (k + l + 1) ∣ a * b
x : α
hx : a = p ^ k * x
y : α
hy : b = p ^ l * y
z : α
hz : a * b = p ^ (k + l + 1) * z
⊢ p ^ (k + l) * (x * y) = p ^ (k + l) * (p * z)
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Zero M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
i : ι
m : M
⊢ (DFinsupp.single i m).toFinsupp = Finsupp.single i m
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : MultilinearMap 𝕜 E G
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
H : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
m₁ m₂ : (i : ι) → E i
⊢ ‖f m₁ - f m₂‖ ≤ C * ↑(Fintype.card ι) * max ‖m₁‖ ‖m₂‖ ^ (Fintype.card ι - 1) * ‖m₁ - m₂‖
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
⊢ recF g ((P F).wMk a f' f) = g (abs ((TypeVec.id ::: recF g) <$$> (P F).wDest' ((P F).wMk a f' f)))
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
⊢ (a ⇨ b)ᶜᶜ = aᶜᶜ ⇨ bᶜᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderTop α
OrderBot β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a : α
b : β
⊢ Finset.Ioc (Sum.inrₗ b) (Sum.inlₗ a) = ∅
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeSup α
Preorder β
u : α → β
h : Filter.Tendsto u Filter.atTop Filter.atTop
a : α
b : β
⊢ ∃ a' ≥ a, b ≤ u a'
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
i₁ : G
r₁ : k
i₂ : G
r₂ : k
⊢ (opAddEquiv.symm.trans ((mapRange.addEquiv opAddEquiv).trans (Finsupp.domCongr opEquiv))).toAddMonoidHom (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁) * opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)) = (opAddEquiv.symm.trans ((mapRange.addEquiv opAddEquiv).trans (Finsupp.domCongr opEquiv))).toAddMonoidHom (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁)) * (opAddEquiv.symm.trans ((mapRange.addEquiv opAddEquiv).trans (Finsupp.domCongr opEquiv))).toAddMonoidHom (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂))
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
h : G.Adj u v
x✝ w✝ : V
hw : u = x✝ ∧ v = w✝ ∨ u = w✝ ∧ v = x✝
⊢ x✝ ∈ {u, v}
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
⊢ ↑2 * X 1 ^ (2 - 1) * 0 * X 2 + X 1 ^ 2 * 0 + (((0 * X 0 + C W.a₁ * 1) * X 1 + C W.a₁ * X 0 * 0) * X 2 + C W.a₁ * X 0 * X 1 * 0) + ((0 * X 1 + C W.a₃ * 0) * X 2 ^ 2 + C W.a₃ * X 1 * (↑2 * X 2 ^ (2 - 1) * 0)) - (↑3 * X 0 ^ (3 - 1) * 1 + ((0 * X 0 ^ 2 + C W.a₂ * (↑2 * X 0 ^ (2 - 1) * 1)) * X 2 + C W.a₂ * X 0 ^ 2 * 0) + ((0 * X 0 + C W.a₄ * 1) * X 2 ^ 2 + C W.a₄ * X 0 * (↑2 * X 2 ^ (2 - 1) * 0)) + (0 * X 2 ^ 3 + C W.a₆ * (↑3 * X 2 ^ (3 - 1) * 0))) = C W.a₁ * X 1 * X 2 - (3 * X 0 ^ 2 + 2 * C W.a₂ * X 0 * X 2 + C W.a₄ * X 2 ^ 2)
α : Type u_1
β : Type v
p : α → Prop
f : α → β
s : Multiset α
H : ∀ a ∈ s, p a
⊢ Multiset.pmap (fun a x => f a) s H = Multiset.map f s
x : ℝ≥0
⊢ ↑(NNReal.sqrt x) = √↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h : IsFiniteMeasure μ
this : ∀ (n : ℕ), ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ g ≤ ↑n ∧ ∫⁻ (a : α), min (f a) ↑n ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∀ (s : Set α), ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
F : CategoryTheory.BraidedFunctor C D
⊢ (CategoryTheory.BraidedFunctor.toLaxBraidedFunctor C D F).toLaxMonoidalFunctor = F.toLaxMonoidalFunctor
m n : Nat
⊢ m ^ n.succ = m * m ^ n
a b r : ℝ
h : -1 < r
⊢ IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) MeasureTheory.volume a b
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ G.Adj v w ↔ v ≠ w ∧ ∃ e ∈ G.edgeSet, v ∈ e ∧ w ∈ e
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
AddCommMonoid β
b : β
hf : ∀ a ∈ s, f a = b
⊢ ∑ a ∈ s, f a = s.card • b
m M N : ℕ
i : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)
hi : i ∈ FormalMultilinearSeries.compPartialSumSource m M N
⊢ (FormalMultilinearSeries.compChangeOfVariables m M N i hi).snd.length = i.fst
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
Zero I
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D D)
X : C
e : F.obj X ≅ CategoryTheory.Functor.id D
(Y : D) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y : CategoryTheory.GradedObject J D
⊢ (((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
⊢ mapFun (⇑f) (-x) = -mapFun (⇑f) x
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁰ : CommRing A
inst✝²⁹ : CommRing B
inst✝²⁸ : Algebra A B
inst✝²⁷ : Field K
inst✝²⁶ : Field L
inst✝²⁵ : Algebra A K
inst✝²⁴ : IsFractionRing A K
inst✝²³ : Algebra B L
inst✝²² : Algebra K L
inst✝²¹ : Algebra A L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.752508
Bₘ : Type ?u.752511
inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹³ : Algebra A Aₘ
inst✝¹² : Algebra B Bₘ
inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : IsGalois (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
⊢ (algebraMap A B) ((intNorm A B) x) = ∏ σ : B ≃ₐ[A] B, σ x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxU : x ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj ((structureSheaf R).presheaf.obj (op U))
⊢ ((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩ ≫ stalkToFiberRingHom R x ≫ localizationToStalk R x) s = ((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ Ici (⨆ i, ⨆ j, f i j) = ⋂ i, ⋂ j, Ici (f i j)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
⊢ ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, ∀ (i : ℕ), f (a, a_1) (seq i) ≤ 1
K : Type u_1
NontriviallyNormedField K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
x : E
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt K n (fun x => x) x
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T
⊢ Pretopology.ofGrothendieck (Opens T) (grothendieckTopology T) ≤ pretopology T
s n step : Nat
⊢ List.range' s n step = [] ↔ n = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p q : A[X]
⊢ invFun R A (p + q) = invFun R A p + invFun R A q
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
t' : Set M
h : t'.Finite
⊢ (span R t').FG
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
⊢ ContinuousLinearMap.IsPositive 0
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ
h : n < k
⊢ multichoose (-↑n) k = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝¹ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a✝ : ι → ℝ≥0∞
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
IH : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ i ∈ s, a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a✝ c))
h : ∀ i ∈ insert a s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))
h' : ∀ i ∈ insert a s, a✝ i ≠ ⊤
⊢ a✝ a ≠ 0 ∨ ∏ c ∈ s, a✝ c ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
T₁ T₂ : Triangle D
hT₁ : T₁ ∈ L.essImageDistTriang
hT₂ : T₂ ∈ L.essImageDistTriang
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
T : CategoryTheory.Comonad C
D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra
c : CategoryTheory.Limits.Cone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (D.comp T.forget) T.toFunctor
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit ((D.comp T.forget).comp T.toFunctor) T.toFunctor
⊢ (CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesLimits'.conePoint c t).a = CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesLimits'.lambda c t
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ HasSum (fun b => term (b + 1) s) (1 / (s - 1) - 1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t t' : Set (PrimeSpectrum R)
r : R
⊢ r ∈ vanishingIdeal t ⊔ vanishingIdeal t' → r ∈ vanishingIdeal (t ∩ t')
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
Z : C
h : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Mono h
⊢ CategoryTheory.Limits.HasEqualizer (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h)
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
CommRing R
MulSemiringAction M R
a : M
⊢ a • ⊥ = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
L.IsLocalization W
X Y : C
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Y
⊢ Small.{w, v₂} (L.obj X ⟶ L.obj Y)
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
h : ∀ (ε : ℝ) (B : Set Ω), δ < ε → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε B) + ENNReal.ofReal ε
ε : ℝ≥0∞
B : Set Ω
ε_gt : ENNReal.ofReal δ < ε
ε_lt_top : ε < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
ε_gt' : δ < ε.toReal
⊢ ε = ENNReal.ofReal ε.toReal
b x : Bool
l : List Bool
h : Chain (fun x x_1 => x ≠ x_1) b (x :: l)
⊢ count (!b) (x :: l) = count b (x :: l) + (x :: l).length % 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
⊢ ∃ k, Partrec k ∧ ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
⊢ Polynomial.primPart 0 = 1
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedDivisionRing R
inst✝² : Algebra 𝕜 R
inst✝¹ : CompleteSpace R
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : C(X, 𝕜)
⊢ ⇑(RingHom.id 𝕜) ⁻¹' Set.range ⇑f = Set.range ⇑f
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a.factorization.support ⊆ (a.lcm b).factorization.support
α : Type u_1
OrderedSemiring α
Nontrivial α
a : α
⊢ 0 < a ^ 0
α : Type u
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ a < a ⊔ b ↔ ¬b ≤ a
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ι : Type u_4
t : ι → IntermediateField K L
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic K ↥(t i)
x : L
hx✝ : x ∈ ⨆ i, t i
s : Finset ((i : ι) × ↥(t i))
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, K⟮↑i.snd⟯
this : ∀ (i : (i : ι) × ↥(t i)), FiniteDimensional K ↥K⟮↑i.snd⟯
⊢ IsAlgebraic K ⟨x, hx⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
P : Prop
Decidable P
x : β → P → α
⊢ (∑' (b : β), if h : P then x b h else 0) = if h : P then ∑' (b : β), x b h else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℝ
this : Nonempty { r' // r < ↑r' }
⊢ 0 ≤ stieltjesFunctionAux f a r
α : Type u
CommGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ a * b⁻¹ ≤ c * d⁻¹ ↔ a * d ≤ c * b
n : ℕ
hn : ¬n = 0
p : ℕ
hp : 0 < n.factorization p
⊢ p ^ (n.factorization p - 1) * (p - 1) * p = p ^ n.factorization p * (p - 1)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = fb - fa
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
E : K ⥤ J
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cocone F} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Limits.Cocones.whiskering E).map f).hom = f.hom
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : { w // w.IsComplex }
h : minkowskiBound K I < volume (convexBodyLT' K f w₀)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w a < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
y : Y
f : X → Y
h : Continuous f
h' : EqOn f (fun x => y) s
⊢ Tendsto f (𝓝ˢ s) (𝓝 y)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Group M
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
c : Con M
x✝ y : M
h : c x✝ y
x : M
⊢ c (x⁻¹ * x) 1
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
⊢ ¬p ∣ 1
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b : α
⊢ -(-a - -b) = a - b
M : Type u_2
MulOneClass M
x : Submonoid Mᵐᵒᵖ
⊢ (RelIso.symm Submonoid.opEquiv) x = x.unop
R : Type u
k : Type y
Field R
CommSemiring k
DecidableEq R
ϕ : R →+* k
f g : R[X]
α : k
⊢ Polynomial.eval₂ ϕ α (EuclideanDomain.gcd f g) = 0 ↔ Polynomial.eval₂ ϕ α f = 0 ∧ Polynomial.eval₂ ϕ α g = 0
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μα : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
SemilatticeInf ι
NoMinOrder ι
Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndep s κ μα
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1
β : Type u_1
γ : Type u_2
α : Type u_3
h : β → γ
g : α → β
x : Option α
⊢ Option.map (h ∘ g) x = Option.map h (Option.map g x)
a b c : Int
H : a ∣ c
⊢ a ∣ b + c ↔ a ∣ b
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖
hsub : [[c, d]] ⊆ k
hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ Ι c d, ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
⊢ False
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.SOppSide x y
hyz : s.WOppSide y z
⊢ s.WSameSide x z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : α → β
hf : Injective f
h : f '' s ⊆ f '' t
⊢ s ⊆ t
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
s : Set α
t : Set β
⊢ infClosure (s ×ˢ t) = infClosure s ×ˢ infClosure t
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
P : Ideal A
⊢ P.IsPrime ↔ P = ⊥ ∨ Prime P