ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
hg : S.g = 0
⊢ (S.opcyclesIsoRightHomology hg).inv = S.rightHomologyι
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.IsAffineHom f ↔
  ∀ (U : Y.Opens),
    AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U → AlgebraicGeometry.IsAffineOpen ((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
e₁ : α → β
e₂ : γ → δ
de₁ : DenseInducing e₁
de₂ : DenseInducing e₂
⊢ DenseInducing fun p => (e₁ p.1, e₂ p.2)
M : Type u_3
G : Type u_6
AddZeroClass M
AddCommGroup G
f : M →+ G
x : M
⊢ (-f) x = -f x
R : Type u_1
B : Type u_3
CommRing R
Ring B
Algebra R B
Module.Finite R B
x : B
⊢ IsIntegral R x
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ y₁ L : A
⊢ (baseChange W B).toAffine.negAddY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = (baseChange W B).toAffine.negAddY (f.toRingHom x₁) (f.toRingHom x₂) (f.toRingHom y₁) (f.toRingHom L)
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : MulOneClass M
⊢ 1 ∈ S.centralizer
α : Type u_1
r : α → α → Prop
h : Symmetric r
⊢ flip r = r
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N
⊢ (-f).neLocus g = f.neLocus (-g)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
hd : p ∣ a
⊢ Associates.mk p ∈ (Associates.mk a).factors
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ ⊤ → ContDiffWithinAt 𝕜 (↑m) f s x) ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x
R : Type u
M : Type v
Ring R
StrongRankCondition R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
⊢ Module.rank R M < ℵ₀ ↔ Module.Finite R M
X₁ X₂ Y : TopCat
f : C(↑X₁, ↑Y)
g : C(↑X₂, ↑Y)
x₀ x₁ : ↑X₁
x₂ x₃ : ↑X₂
p : Path x₀ x₁
q : Path x₂ x₃
hfg : ∀ (t : ↑I), f (p t) = g (q t)
⊢ HEq ⟦p.map ⋯⟧ ⟦q.map ⋯⟧
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
⊢ ↑f =ᶠ[𝓝 c] 1
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
f : β → α
CompleteSpace α
⊢ Multipliable f ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕂 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n
⊢ ContDiffAt 𝕂 n (hf.localInverse hf' hn) (f a)
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝²⁰ : Ring k
inst✝¹⁹ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : Module k V₁
inst✝¹⁷ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁵ : Module k V₂
inst✝¹⁴ : AddTorsor V₂ P₂
inst✝¹³ : AddCommGroup V₃
inst✝¹² : Module k V₃
inst✝¹¹ : AddTorsor V₃ P₃
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V₄
inst✝⁹ : Module k V₄
inst✝⁸ : AddTorsor V₄ P₄
inst✝⁷ : TopologicalSpace P₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid P₁
inst✝⁵ : Module k P₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace P₂
inst✝³ : AddCommMonoid P₂
inst✝² : Module k P₂
inst✝¹ : TopologicalSpace P₃
inst✝ : TopologicalSpace P₄
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
s : Set P₂
⊢ ⇑e.symm '' s = ⇑e ⁻¹' s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.UniformIntegrable f p 0
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
⊢ x ∈ p ⊔ p' ↔ ∃ y z, ↑y + ↑z = x
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a : α
h : ¬IsMax a
⊢ Set.Iio (Order.succ a) = insert a (Set.Iio a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
g : t ↪r u
⊢ ∀ (a : α × γ), (f.prodLexMap g) a = Prod.map (⇑f) (⇑g) a
G : Type u_1
Monoid G
x : G
⊢ IsOfFinOrder x ↔ ∃ n, 0 < n ∧ x ^ n = 1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
self : Urysohns.CU P
c u : Set X
⊢ IsClosed c → P c → IsOpen u → c ⊆ u → ∃ v, IsOpen v ∧ c ⊆ v ∧ closure v ⊆ u ∧ P (closure v)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] g
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Module.Finite R M'
ι : Type v
inst✝ : Fintype ι
⊢ finrank R (ι →₀ R) = card ι
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
t : TopologicalSpace γ
inst✝ : CompactSpace γ
u u' : UniformSpace γ
h : toTopologicalSpace = t
h' : toTopologicalSpace = t
⊢ u = u'
M : Type u
AddLeftCancelMonoid M
a b : M
⊢ a + b ≠ a ↔ b ≠ 0
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
HasOuterApproxClosed Ω
BorelSpace Ω
⊢ Embedding MeasureTheory.FiniteMeasure.toWeakDualBCNN
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : TopCat.LocalPredicate T
⊢ (TopCat.subsheafToTypes P).val = TopCat.subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
SemilatticeSup β
f g : SupHom α β
a : α
⊢ (f ⊔ g) a = f a ⊔ g a
σ : Type u_1
k : Type u_3
Field k
r : k
⊢ ((MvPowerSeries.C σ k) r)⁻¹ = (MvPowerSeries.C σ k) r⁻¹
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ
hc : c ≠ 0
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) volume (a / c) (b / c)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ (fun x => ⟪f x, g x⟫_𝕜) =ᵐ[μ] fun x => ⟪mk f hf x, mk g hg x⟫_𝕜
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
n : ℕ
⊢ v (x ^ n) = v x ^ n
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
k x : ℕ
⊢ (f.ppow (k + 1)) x = (f.pmul (f.ppow k)) x
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
⊢ p.mirror = 0 ↔ p = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
ha : AffineIndependent ℝ p
t : Triangle ℝ P
left✝ : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
⊢ affineSpan ℝ (Set.range p) = affineSpan ℝ s
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
ε : 𝕜
Fintype α
DecidableRel G.Adj
Nonempty α
DecidableEq α
hG : G.FarFromTriangleFree ε
hε : 0 < ε
⊢ (G.cliqueFinset 3).Nonempty
α : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : NormalSpace α
inst✝⁷ : R1Space α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : ↥(Lp E p μ)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
g : α →ᵇ E
hg : eLpNorm (↑↑f - ⇑g) p μ ≤ ε
g_mem : Memℒp (⇑g) p μ
⊢ Memℒp.toLp (⇑g) g_mem ∈ EMetric.closedBall f ε
R : Type u
CommSemiring R
x y : R
m n : ℕ
hm : 0 < m
hn : 0 < n
⊢ IsCoprime (x ^ m) (y ^ n) ↔ IsCoprime x y
n m : ℕ
h : ↑m < ↑n + 1
⊢ m ≤ n
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
f : X → Y
hinj : Function.Injective f
hc : Continuous f
⊢ T2Space X
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
r : F.M → Sort u_2
f : (x : ↑F F.M) → r (M.mk x)
fst✝ : F.A
snd✝ : F.B fst✝ → F.M
⊢ f = f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
⊢ ∑' (n : ℕ), (↑n.factorial)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c = f z
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : Set α
h : IsIrreducible s
h' : IsClosed s
⊢ ↑{ carrier := s, is_irreducible' := h, is_closed' := h' } = s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y✝ z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 < ε
h : dist x z / (ε + δ) < 1
y : E
hy : dist x y = δ / (ε + δ) * dist x z ∧ dist y z = ε / (ε + δ) * dist x z
⊢ dist x z / (ε + δ) * δ ≤ δ ∧ dist x z / (ε + δ) * ε < ε
m : Type u_2
n : Type u_3
α : m → n → Type v
(i : m) → (j : n) → Add (α i j)
M N : DMatrix m n α
i : m
j : n
⊢ (M + N) i j = M i j + N i j
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
⊢ Monotone Sum.inl
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : SecondCountableTopology V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
μ : Measure V
hf : AEStronglyMeasurable f μ
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun v => (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L v)) (f v)) μ
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
r : R
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ ((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1)) x = r • x
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
⊢ (↑(π.boxes.biUnion fun J => (πi J).boxes)).Pairwise (Disjoint on Box.toSet)
V : Type u_2
Quiver V
a b : Quiver.Symmetrify V
e : a ⟶ b
⊢ Quiver.reverse e = Sum.swap e
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ padicValNat p n = (multiplicity p n).get ⋯
G₀ : Type u
self : GroupWithZero G₀
a : G₀
⊢ a ≠ 0 → a * a⁻¹ = 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
DecidableEq ι
Semiring R
AddCommMonoid M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
Module R M
⊢ ⇑(finsuppLequivDFinsupp R) = Finsupp.toDFinsupp
l m r : List Char
p : Char → Bool
⊢ m ++ r = List.takeWhile p m ++ (List.dropWhile p m ++ r)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x y : ↥M
⊢ IsLocalization.mk' S (↑x) y * IsLocalization.mk' S (↑y) x = 1
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
x : ↥K
⊢ (LieSubalgebra.inclusion h) x = ⟨↑x, ⋯⟩
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
⊢ StrictConcaveOn ℝ s f
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace M
inst✝⁵ : MeasurableSpace N
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure M α μ
inst✝ : MeasurableSMul M α
c : M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
b : E
⊢ μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) ≠ ⊤
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n✝² n✝¹ n : ℕ
h : n ≠ 0
n✝ : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))
g_poly : (ZMod (n✝ + 1))[X] := X ^ (n✝ + 1) ^ n - X
hp : 1 < n✝ + 1
aux : g_poly ≠ 0
key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField (n✝ + 1) n)) = (n✝ + 1) ^ n
nat_degree_eq : g_poly.natDegree = (n✝ + 1) ^ n
x : GaloisField (n✝ + 1) n
hx : x ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪ (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField)
⊢ ∀ (x y : GaloisField (n✝ + 1) n), (aeval x) g_poly = 0 → (aeval y) g_poly = 0 → (aeval (x + y)) g_poly = 0
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
⊢ s.inits = [s.head] :: map (List.cons s.head) s.tail.inits
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
⊢ (swap x y).support = {x, y} ↔ x ≠ y
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
hM : M.IsMaximal
⊢ comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M) ≤ p
X : Type u
x : X
⊢ (ρ_ X).inv x = (x, PUnit.unit)
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
⊢ (frobenius R p) 1 = 1
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
Lattice δ
BoundedOrder α
BoundedOrder β
BoundedOrder γ
BoundedOrder δ
f : BoundedLatticeHom γ δ
g : BoundedLatticeHom β γ
h : BoundedLatticeHom α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : eval 1 (∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i ℤ) = eval 1 (∑ i ∈ range n, X ^ i)
⊢ False
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝² : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝¹ : v \ u = v
this✝ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∉ (s ∪ v) \ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∉ u
⊢ False
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f s
hz : s ∈ 𝓝 z
⊢ AnalyticAt ℂ f z
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ≠ 0
⊢ (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => cexp (Complex.log x.1 * x.2)
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
⊢ ↑(B ^ m / B ^ n).card * ↑C.card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card
α : Type u_1
DecidableEq α
f : ℕ → α
a : α
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ (i : ℕ), f (i % n) = f i
⊢ a ∈ Set.range f ↔ a ∈ Finset.image (fun i => f i) (Finset.range n)
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
s A : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : IsAddFreimanHom 2 s t f
hf' : Set.InjOn f s
hAs : A ⊆ s
hA : ThreeAPFree (f '' A)
⊢ ThreeAPFree A
α : Type u_1
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ : α
s : Multiset α
a : α
t : Multiset α
hst : s < t
hts : t < a ::ₘ s
⊢ card t < succ (card s)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C
⊢ (λ_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one) = (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv) ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one)
n : ℕ
this : fib n ≤ 2 * fib (n + 1)
⊢ fib n * (2 * fib (n + 1) - fib n) + (fib (n + 1) ^ 2 + fib n ^ 2) = fib (n + 1) * (2 * fib n + fib (n + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
SeminormedAddCommGroup β
m m0 : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m0
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ ∃ s, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ μ (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, ‖f x‖ ≤ ↑n) ∧ ⋃ i, s i = Set.univ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝ : OrderBot α
⊢ ⊥ < a
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
self : Algebra.FormallyUnramified R A
B : Type u
CommRing B
Algebra R B
I : Ideal B
⊢ I ^ 2 = ⊥ → Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f
h : Nat.card β = 0
h✝ : Infinite β
⊢ Nat.card α = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
Fintype ι
FiniteDimensional 𝕜 E
h : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
⊢ ((gramSchmidtOrthonormalBasis h f).toBasis.toMatrix f).BlockTriangular id
x w : ℂ
w₀ : w ≠ 0
hw : 1 * w * w + -2 * x * w + 1 = 0
⊢ cexp (log w / I * I) ^ 2 - 2 * x * cexp (log w / I * I) + 1 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
h : sq.IsPullback
⊢ sq.op.IsPushout
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ T R (n - 1) = 2 * X * T R n - T R (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
PosSMulStrictMono α β
ha : 0 < a
⊢ StrictMono fun x => a • x
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ι → Ω → ℝ
hadp : Adapted ℱ f
hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
x✝ : (μ.trim ⋯) s < ⊤
hf : ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
⊢ 0 ≤ ∫ (x : Ω) in s, (μ[f j|↑ℱ i] - f i) x ∂μ.trim ⋯
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasImage f
g : B ⟶ C
CategoryTheory.Limits.HasKernel g
CategoryTheory.ConcreteCategory V
w : f ≫ g = 0
x : (CategoryTheory.forget V).obj (CategoryTheory.Subobject.underlying.obj (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f))
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject g).arrow ((imageToKernel f g w) x) =
  (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).arrow x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Ring α
TopologicalRing α
s : Subring α
⊢ IsClosed ↑s.topologicalClosure
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
⊢ x.natAbs ≤ (↑n * m + x).natAbs
α✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R✝ : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : Semiring R✝
inst✝⁹ : Semiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R✝ P
α : Type u_7
β : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : α × β →₀ M
x : α
y : β
⊢ (((finsuppProdLEquiv R) f) x) y = f (x, y)
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M
x✝ : ↥(p ⊔ p') ⧸ comap (p ⊔ p').subtype p'
y : M
hy : y ∈ p
z : M
hz : z ∈ p'
hx : y + z ∈ p ⊔ p'
⊢ Quot.mk Setoid.r ⟨y + z, hx⟩ ∈ range (subToSupQuotient p p')
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l : Filter α
h : f'' =O[l] g''
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, g'' x = 0 → f'' x = 0
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithBot.some '' Set.Iic a = Set.Ioc ⊥ ↑a
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
CommSemiring A
Algebra R A
B : Type u
Semiring B
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
Algebra.FormallyUnramified R A
Algebra.FormallyUnramified A B
⊢ Algebra.FormallyUnramified R B
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
R' : Type u_3
Semiring R'
MulSemiringAction R' A
SMulCommClass R' R A
m : R'
S : Subalgebra R A
⊢ ↑(m • S) = m • ↑S
n : ℕ
c : Fin n → ℂ
R θ : Fin n → ℝ
⊢ torusMap c R θ = c ↔ R = 0
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
P : K[X]
hmo : P.Monic
hP : Splits (RingHom.id K) P
⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) P.roots).prod.coeff 0 = (-1) ^ P.natDegree * P.roots.prod
a : ℝ
ha : a < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun t => t ^ a) (Set.Ioi c) MeasureTheory.volume
α : Type u
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.dropWhile p l = [] ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → p x = true
R : Type u
EuclideanDomain R
a b : R
⊢ a % b = 0 ↔ b ∣ a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → E
x : α
⊢ ‖s.indicator f x‖ ≤ ‖f x‖
α : Type u_2
Semiring α
a : α
ha : Odd a
n : ℕ
⊢ Odd (a ^ n)
a b c d : Int
hab : a < b
hcd : c ≤ d
⊢ a - d < b - c
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
f g : C(X, ℝ)₀
this : SemilinearMapClass (C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] C(X, ℝ≥0)) (RingHom.id ℝ≥0) C(X, ℝ≥0)₀ C(X, ℝ≥0)
⊢ (f + g).toNNReal + (-f).toNNReal + (-g).toNNReal = (-(f + g)).toNNReal + f.toNNReal + g.toNNReal
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
n : ℕ
⊢ (circulant fun i => if ↑i = 0 then 1 else 0) = circulant (Pi.single 0 1)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.ker (LinearMap.inl R M M₂) = ⊥
E : Type u_4
AddGroup E
p q : AddGroupNorm E
⊢ ⇑p ≤ ⇑q ↔ p ≤ q
α : Type u
l : List α
n : ℕ
h : n < l.cyclicPermutations.length
⊢ l.cyclicPermutations[n] = l.rotate n
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
r : ↑⋯.choose
⊢ Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map ⟨x, r⟩).val.base = ⇑(X.affineCover.map x).val.base '' (PrimeSpectrum.basicOpen r).carrier
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
hs_m₂ : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
⊢ μ[s.indicator f|m] =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator f|m₂]
α : Type u_1
Zero α
p : Prop
Decidable p
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ (if p then a else b) ≠ 0
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
ι : Type u_3
Preorder ι
u v : ι → α
hu : CauchySeq u
hv : CauchySeq v
⊢ CauchySeq (u + v)
f : C(ℝ, ℂ)
hf : ∀ (K : Compacts ℝ), Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
m : ℤ
e : C(ℝ, ℂ) := (fourier (-m)).comp { toFun := QuotientAddGroup.mk, continuous_toFun := ⋯ }
neK : ∀ (K : Compacts ℝ) (g : C(ℝ, ℂ)), ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (e * g)‖ = ‖ContinuousMap.restrict (↑K) g‖
⊢ fourierCoeff ⋯.lift m = 𝓕 ⇑f ↑m
α : Type u_1
M : Matroid α
self : M.Nonempty
⊢ M.E.Nonempty