ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
ι : Sort u_2
hι : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
U : NonUnitalSubsemiring R := NonUnitalSubsemiring.mk' (⋃ i, ↑(S i)) (⨆ i, (S i).toSubsemigroup) ⋯ (⨆ i, (S i).toAddSubmonoid) ⋯
⊢ ⨆ i, S i ≤ U
m✝ n✝ m n : ℕ
⊢ m ! * (m + 1) ^ n * (m + 1) ≤ (m + n)! * (m + n + 1)
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
f₁ f₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g : M₂ →ₗ[R] M
x✝ : ι → M₂
⊢ ((f₁ + f₂).compLinearMap g) x✝ = (f₁.compLinearMap g + f₂.compLinearMap g) x✝
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
η : Type x
inst✝ : Semiring R
s : ι → η
r : R
f : ι → R
⊢ { toFun := fun f => extend s f 0, map_add' := ⋯ }.toFun (r • f) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun f => extend s f 0, map_add' := ⋯ }.toFun f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ Filter.map φ.leftFun (𝓝 φ.pt) = 𝓝 (φ.leftFun φ.pt)
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I' : ClassGroup S
⊢ ∃ a, mkMMem bS adm a = I'
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
Add M
Add N
FunLike F M N
AddHomClass F M N
f : F
x y : M
⊢ f (x + y) = f x + f y
⊢ SetTheory.PGame.inv' 0 ≈ 1
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ✝ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ✝ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R n) f).coeff i ≠ 0
hf'_sup : (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support.Nonempty
σ : Fin n →₀ ℕ
hσ1 : σ ∈ (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support
hσ2 : ((((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support.sup fun s => s.sum fun x e => e) = σ.sum fun x e => e
σ' : Fin (n + 1) →₀ ℕ := cons i σ
⊢ σ' ∈ f.support
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
⊢ p ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors a → ∀ q ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors a, p ∣ q → p = q
R : Type u
Ring R
s : Subring R
⊢ 0 ∈ s
R : Type u_2
Zero R
Γ : Type u_3
LinearOrder Γ
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.coeff g ≠ 0
⊢ x.orderTop ≤ ↑g
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
⊢ ⊥.jacobson = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
Archimedean α
Nontrivial β
x : β
hx1 : abv x < 1
⊢ IsCauSeq abv fun n => ∑ m ∈ Finset.range n, x ^ m
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
⊢ Balanced 𝕜 ((convexHull ℝ) s)
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : α
hx : x ∈ s
this : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ s
⊢ (Trans.trans (Trans.trans (Set.union ⋯).symm (Set.ofEq ⋯)) (Set.univ α)).symm x = Sum.inl ⟨x, hx⟩
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
L.Faithful
L.Full
X : D
Y : C
e : X ≅ L.obj Y
⊢ CategoryTheory.IsIso (h.counit.app X)
x y : ℝ≥0∞
⊢ ↑x < ↑y ↔ x < y
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Inducing f
h : StableUnderGeneralization (Set.range f)
⊢ GeneralizingMap f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
DecidableEq α
g : γ → α
s : Finset γ
H : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, g x = g y → x = y
⊢ Finset.fold op b f (Finset.image g s) = Finset.fold op b (f ∘ g) s
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : M
n m : ℕ
ha : 1 ≤ a
h : n ≤ m
⊢ a ^ n ≤ a ^ m
G : outParam (Type u_1)
P : Type u_2
AddGroup G
self : AddTorsor G P
⊢ Nonempty P
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
⊢ Disjoint (Set.univ.pi t₁) (Set.univ.pi t₂) ↔ ∃ i, Disjoint (t₁ i) (t₂ i)
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
Algebra ℤ R
Algebra ℤ S
⊢ Function.Injective RingHom.toIntAlgHom
f : Bool → Bool → Bool
a b : Bool
m n : ℕ
⊢ (bif f true true then -[Nat.bitwise (fun x y => !f (!x) !y) (Nat.bit (!a) m) (Nat.bit (!b) n)+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f (!x) !y) (Nat.bit (!a) m) (Nat.bit (!b) n))) = bit (f a b) (bif f true true then -[Nat.bitwise (fun x y => !f (!x) !y) m n+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f (!x) !y) m n))
β : Type u_2
E : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace E
NormedAddCommGroup E
OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
⊢ ‖↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖
H : Type x
TopologicalSpace H
OrderedCommGroup H
ContinuousInv H
a : H
⊢ Filter.Tendsto Inv.inv (𝓝[≤] a⁻¹) (𝓝[≥] a)
α : Type u_1
inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
⊢ sInf s⁻¹ = (sSup s)⁻¹
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
G : Type u_10
Group G
DistribMulAction G M
SMulCommClass G R M
g : G
b : Basis ι R M
⊢ ⇑(g • b) = g • ⇑b
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ x ⧏ y ↔ (∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' ⧏ y.moveLeft i) ∧ ∀ (j : (y.moveLeft i).RightMoves), x ⧏ (y.moveLeft i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ y) ∧ ∀ (j' : y.RightMoves), x.moveRight j ⧏ y.moveRight j'
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Nontrivial M
x : M
hx : x ≠ 0
P : Ideal R
hP : IsAssociatedPrime P M
right✝ : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P
⊢ (associatedPrimes R M).Nonempty
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this✝ : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)
this : (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)).NeBot
⊢ ∃ x ∈ f '' s, ClusterPt x l
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
⊢ Injective supp
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
φ : ℕ → R
hx : x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree = -∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (algebraMap R S) p * ((algebraMap R S) (φ ↑i) * x ^ ↑i)
hφ : ∀ n < f.natDegree, f.coeff n = p * φ n
⊢ ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
x : L
m : M
a : ℤ
⊢ ⁅a • x, m⁆ = a • ⁅x, m⁆
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle R F E
e e' : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
he : e ∈ a.pretrivializationAtlas
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
⊢ (b, (a.coordChange he he' b) v) = ↑e' { proj := b, snd := e.symm b v }
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
y : L
m : M
hm : ∀ (k : ℕ), ∃ n, ((toEnd R L M) y ^ k) n = m
⊢ m ∈ LieSubmodule.comap f (posFittingCompOf R M₂ y)
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
⊢ K = ⊥ ∨ K = N
α : Type u_1
m₁ m₂ : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ m₁.caratheodory ⊓ m₂.caratheodory ≤ (m₁ + m₂).caratheodory
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
n : ℕ
hn : Even (2 * n)
⊢ χ ^ (2 * n) = 1
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K
⊢ (∃ y, (a ≤ y ∧ y < b) ∧ r * y = x) ↔ r * a ≤ x ∧ x < r * b
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
h : f ≠ 0
⊢ f.eraseLead.support.card + 1 = f.support.card
M : Type u_1
Add M
c : AddCon M
⊢ AddCon.addKer AddCon.toQuotient ⋯ = c
a b c d : Int
h₁ : a < b
h₂ : c < d
⊢ a + c < b + d
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
x : C
h : x ∈ closure (↑s ∪ ↑t)
⊢ ∀ (x : C), (∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x) → ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x⁻¹
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.snd R M₂ M ∘ₗ ↑(LinearEquiv.prodComm R M M₂) = LinearMap.fst R M M₂
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)
⊢ (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ i ∈ t, clPrehaar (↑K₀) i).Nonempty
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
⊢ (p.dropUntil u h).length ≤ p.length
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
CommRing B
IsNoetherianRing A
f : A →+* B
⊢ f.FiniteType ↔ f.FinitePresentation
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ ‖f‖ = 0 ↔ f = 0
R : Type u
Field R
p q : R[X]
hpq : q.degree ≤ p.degree
⊢ (p / q).leadingCoeff = p.leadingCoeff / q.leadingCoeff
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
A : Set E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
hA : Balanced 𝕜 A
h : 0 ∈ interior A
⊢ Balanced 𝕜 (interior A)
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
V : X.Opens
x : ↥V
h : ↑x ∈ U
this : IsAffine ↑U
⊢ ∃ f, X.basicOpen f ≤ V ∧ ↑x ∈ X.basicOpen f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
h : (↑(s.product t)).PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ ↑s
j : ι
hj : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j
i' : ι'
hi' : i' ∈ t
j' : ι'
hj' : j' ∈ t
⊢ Disjoint (f (i, i')) (f (j, j'))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.244988, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
n' m' : ℤ
α' : Cochain F L m'
β' : Cochain G L n'
h : n + 1 = m
h' : m' + 1 = n'
p : ℤ
hp : n + n' = p
⊢ (liftCochain φ α β h).comp (descCochain φ α' β' h') hp = α.comp α' ⋯ + β.comp β' ⋯
a b c : ℝ≥0∞
⊢ c ≠ 0 → c ≠ ⊤ → (a * c < b * c ↔ a < b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
cg : Code
hg : Partrec cg.eval
this✝ : Partrec fun n => rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n
n : ℕ
this : ∀ x ∈ rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun _x => Code.evaln k cg n, x ∈ cf.eval n ∨ x ∈ cg.eval n
h : (cf.eval n).Dom ∨ (cg.eval n).Dom
⊢ ∃ n_1 a, a ∈ HOrElse.hOrElse (Code.evaln n_1 cf n) fun x => Code.evaln n_1 cg n
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
A B : C
f : A ⟶ B
⊢ ∀ (a₁ a₂ : MonoOver B), Factors (Quotient.mk'' a₁) f ∧ Factors (Quotient.mk'' a₂) f → (Quotient.mk'' a₁ ⊓ Quotient.mk'' a₂).Factors f
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
SetLike S R
Mul R
Add ι
A : ι → S
self : SetLike.GradedMul A
i j : ι
gi gj : R
⊢ gi ∈ A i → gj ∈ A j → gi * gj ∈ A (i + j)
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : AddSubgroup G
g : ι → G
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i +ᵥ ↑H = Set.univ
⊢ H.index ≤ s.card
R₁ : Type u_2
M₁ : Type u_7
ι : Type u_16
CommRing R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
DecidableEq ι
Fintype ι
M : Matrix ι ι R₁
b : Basis ι R₁ M₁
⊢ ((Matrix.toLinearMap₂' R₁) M).SeparatingLeft ↔ ((Matrix.toLinearMap₂ b b) M).SeparatingLeft
R : Type u
CommRing R
L : Type v
LieRing L
LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L
x : ↥K
h : IsNilpotent ((LieAlgebra.ad R L) ↑x)
⊢ IsNilpotent ((LieAlgebra.ad R ↥K) x)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
⊢ AffineIndependent k fun x => ↑x
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
x : σ → R
i : σ
⊢ comap (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) x i = x i
R : Type u
Ring R
s : Set R
a : R
h : a ∈ Ring.closure s
⊢ ∃ L, (∀ l ∈ L, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = a
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ G ≈ 0 ↔ 0 ≤ G
f : Type u → Type v
Applicative f
self : LawfulApplicative f
α β : Type u
x : f α
y : f β
⊢ (SeqRight.seqRight x fun x => y) = Seq.seq (Function.const α id <$> x) fun x => y
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
(i : ι) → PartialOrder (π i)
(i : ι) → OrderBot (π i)
⊢ IsAtom f ↔ ∃ i, IsAtom (f i) ∧ ∀ (j : ι), j ≠ i → f j = ⊥
⊢ Tendsto (fun N => term_sum 1 N) atTop (𝓝 (1 - γ))
θ ψ : Angle
h : θ = ψ ∨ θ = ψ + ↑π
⊢ θ.tan = ψ.tan
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.max = ⊥
H : s.Nonempty
a : α
ha : s.max = ↑a
⊢ s = ∅
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p q : Submodule R M
h : p ≤ q
⊢ LinearMap.range (Submodule.inclusion h) = Submodule.comap q.subtype p
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
⊢ a₁ ⊓ a₂ ∉ J
R : Type u
A : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : R
⊢ (Algebra.lmul R A) ((algebraMap R A) x) = (Algebra.lsmul R R A) x
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
f : G →* N
h : Surjective ⇑f
x : N
a✝ : x ∈ ⊤
y : G
hy : f y = x
⊢ x ∈ map f ⊤
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
f : α × β → E
h1f : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
⊢ MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν) ↔
  (∀ᵐ (x : α) ∂μ, MeasureTheory.Integrable (fun y => f (x, y)) ν) ∧
    MeasureTheory.Integrable (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂ν) μ
p q : ℚ≥0
⊢ p ≤ q ↔ p.num * q.den ≤ q.num * p.den
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
NormedLatticeAddCommGroup G'
NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc G' 1 μ)
hfg : f ≤ g
⊢ (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α G' μ hT) f ≤ (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α G' μ hT) g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
Y : C
T : CategoryTheory.Functor C D
f : S ⟶ T.obj Y
⊢ (CategoryTheory.StructuredArrow.mk f).right = Y
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ ((hasseDeriv n) p).natDegree = p.natDegree - n
α : Type u
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
⊢ List.Chain R a l ↔ List.Chain (fun x y => x ∈ a :: l ∧ y ∈ l ∧ R x y) a l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ Iic (⨅ i, ⨅ j, f i j) = ⋂ i, ⋂ j, Iic (f i j)
A : Type u_1
inst✝³ : NormedCommRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
I : Ideal A
inst✝ : I.IsMaximal
a : A
ha : a ∈ I
⊢ (CharacterSpace.equivAlgHom.symm ((↑(NormedRing.algEquivComplexOfComplete ⋯).symm).comp (Quotient.mkₐ ℂ I))) a = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
l : List α
⊢ Filter.Tendsto (fun p => p.1 :: p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (a :: l))
p : Prop
h : Decidable p
h₁ : p → Sort u
h₂ : ¬p → Sort u
h₃ : ∀ (h : p), Subsingleton (h₁ h)
h₄ : ∀ (h : ¬p), Subsingleton (h₂ h)
⊢ Subsingleton (Decidable.casesOn h h₂ h₁)
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
⊢ min x.orderTop (-y).orderTop ≤ (x + -y).orderTop
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hα : (𝓤 α).HasBasis p s
⊢ (∀ (i : κ), p i → ∀ᶠ (x : β × β) in 𝓤 β, ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ (UniformFun.gen ι α ∘ s) i) ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β, ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ s k
R : Type u
EuclideanDomain R
a : R
⊢ 0 / a = 0
A B : AddCommGrp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
f₀ f₁ : F → 𝕜
f₀' f₁' x₀ x₁ : F
s₀ s₁ t : Set F
L₀ L₁ : Filter F
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ (toDual 𝕜 F).symm (fderiv 𝕜 f₁ x) = (toDual 𝕜 F).symm (fderiv 𝕜 f x)
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : HasShift C G
inst✝¹ : F.ShiftSequence M
inst✝ : F.ShiftSequence G
X Y : C
m : G
f : X ⟶ (shiftFunctor C m).obj Y
n : G
hnm : n + m = 0
a a' : G
ha' : m + a = a'
hnm' : m + n = 0
⊢ (F.shiftIso n a' a ⋯).hom.app X ≫ F.shiftMap f a a' ha' = (F.shift a').map ((shiftFunctor C n).map f ≫ (shiftFunctorCompIsoId C m n ⋯).hom.app Y)
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
⊢ (M.restrict X).Base I ↔ M.Basis' I X
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this : (a : Prop) → Decidable a
nk : ¬∃ K > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ abv (↑f j)
ε : α
ε0 : ε > 0
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε
r : ℝ
⊢ (↑r).Infinitesimal ↔ r = 0
p n✝ k✝ n k : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ ∀ x ∈ Finset.range (n + 1), x ∉ (n.choose k).factorization.support → (fun x x_1 => x ^ x_1) x ((n.choose k).factorization x) = 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : μ ≪ ν
⊢ μ.singularPart ν = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
⊢ ⨆ i, ∑ i_1 ∈ ∅, (↑i).lintegral (μ i_1) = ∑ i ∈ ∅, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi c, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in Set.Iic (-c), f x
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b c : α
⊢ Disjoint (a ⊔ b) c ↔ Disjoint a c ∧ Disjoint b c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
x : M
n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (chartAt H x).source
hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source
⊢ ContMDiffAt I I' n f x' ↔
  ContinuousAt f x' ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (Set.range ↑I) (↑(extChartAt I x) x')
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f g : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
h : ⇑f = ⇑g
⊢ f = g