ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
TopologicalSpace α
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
ContinuousConstSMul G₀ α
TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c : G₀
s : Set β
hc : c ≠ 0
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => c • f x) s b ↔ ContinuousWithinAt f s b
R : Type u
Ring R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ LinearMap.ker f = ⊥
R : Type u
CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
CommRing S
Algebra R S
x : S
hx : (Polynomial.aeval x) f = 0
hmo : f.Monic
i : ℕ
⊢ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ≤ i → x ^ i ∈ Ideal.map (algebraMap R S) 𝓟
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
⊢ (insert a s).erase a = s.erase a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝ : HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ pullback f i
⊢ snd (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯) ≫ snd (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) ≫ i₂ ≫ fst f i = fst (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯)
a b : Int
⊢ ↑a = ↑b ↔ a = b
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N' : Type u_6
AddCommGroup N'
Module R N'
ι : Type u_7
g : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v : ι → M
DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ g (v ∘ ⇑(Equiv.swap i j)) = -g v
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
⊢ ↑(f - g) = ↑f - ↑g
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
i : Fin (n + 1)
e : ℝ × (Fin n → ℝ) ≃ᵐ (Fin (n + 1) → ℝ) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove (fun x => ℝ) i).symm
hem : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
⊢ (∯ (x : Fin (n + 1) → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (x : ℂ) in C(c i, R i), ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ i.succAbove, R ∘ i.succAbove), f (i.insertNth x y)
cf cg : Nat.Partrec.Code
⊢ Encodable.encode cf < Encodable.encode (cf.pair cg) ∧ Encodable.encode cg < Encodable.encode (cf.pair cg)
n a b : ℤ
c : ℤ
h : a + c ≡ b + c [ZMOD n]
⊢ a ≡ b [ZMOD n]
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : M → Prop
hp₀ : p 1
hp₁ : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)
⊢ p (∏ᶠ (i : α), f i)
c : CliffordAlgebra CliffordAlgebraComplex.Q
⊢ CliffordAlgebraComplex.toComplex (CliffordAlgebra.involute c) = (starRingEnd ℂ) (CliffordAlgebraComplex.toComplex c)
n : Int
⊢ n.toNat + (-n).toNat = n.natAbs
p : ℕ
q : ℚ
hq : q ≠ 0
⊢ ∃ z, padicNorm p q = ↑p ^ (-z)
α : Type u_1
StrictOrderedSemiring α
⊢ ↑1 = 1
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => u ⌊c k ^ n⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 l)
a : ℝ
ha : 1 < a
⊢ ∃ c, (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧ Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n => u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
a b c : α
hab : G.Adj a b
hac : G.Adj a c
hbc : G.Adj b c
⊢ ∀ (x y : α), G.Adj x y → x = a ∨ x = b ∨ x = c → y = a ∨ y = b ∨ y = c → s(x, y) = s(a, b) ∨ s(x, y) = s(a, c) ∨ s(x, y) = s(b, c)
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ a
⊢ a + b ≤ max (max a b) ℵ₀
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g : G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.Regular
inst✝ : NeZero μ
f : G → ℝ≥0∞
hf : Continuous f
⊢ ∫⁻ (x : G), f x ∂μ = 0 ↔ f = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
F : Set X
h : x ⤳ y
hx : x ∈ F
hy : y ∈ F
⊢ JoinedIn F x y
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Set.Ioc a b = Set.Ioc (a / c) (b / c)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ ↑‖⟪x, x⟫_𝕜‖ = ⟪x, x⟫_𝕜
R L : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
x y : L
h : ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => ¬x_1 = 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯) = ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬x = 0 ∧ (Polynomial.aeval y) x = 0) ⋯) ∧ HEq ⟨x, ⋯⟩ ⟨y, ⋯⟩
⊢ x = y
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x y : Ordinal.{u}
hxy : p.index x = p.index y
x_le_y : x ≤ y
H : x < y
h : ∃ x, p.c x ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r x
⊢ x = y
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
U : TopologicalSpace.Opens M
f : M → M'
x : ↥U
⊢ ChartedSpace.LiftPropAt P f ↑x ↔ ChartedSpace.LiftPropAt P (f ∘ Subtype.val) x
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ OpenEmbedding ⇑DomAddAct.mk.symm
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r✝ : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
g : Γ
r : R
g' : Γ'
h : ¬g' = f g
⊢ g' ∉ ⇑f '' ((single g) r).support
α : Type u_1
t : Ordnode α
⊢ t.dual.size = t.size
G : Type u_3
AddGroup G
a b : G
⊢ a - b = a ↔ b = 0
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
hI : I.IsPrime
x y : α
h : x ∈ I
⊢ x * y ∈ I
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
Countable ι
s : ι → Set α
⊢ μ (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ι), μ (s i)
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I✝ J B : Set α
f x y : α
M : Matroid α
X I : Set α
hI : M.Basis I (X ∩ M.E)
hI' : M.Basis I (M.closure X)
⊢ ∃ I, M.Basis I (X ∩ M.E) ∧ M.Basis I (M.closure X)
α : Type u_1
r : Setoid α
x y : α
⊢ Quotient.mk' x = Quotient.mk' y ↔ r.Rel x y
n m : ℕ
eq : n = m
i : Fin m
⊢ (finCongr eq).symm i = Fin.cast ⋯ i
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
l : List α
comm : {x | x ∈ ↑l}.Pairwise Commute
⊢ List.foldr (fun x x_1 => x * x_1) 1 l = l.prod
n nn n' : ℕ
pn : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n nn
pn' : nn = n'.succ
⊢ Finset.range n = Finset.cons n' (Finset.range n') ⋯
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑0
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
⊢ y ∈ ker (map I g) → y ∈ range (map I f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p μ
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Injective f
x y z : α
hx : ¬z = x
hy : ¬z = y
⊢ (Equiv.swap (f x) (f y)) (f z) = f ((Equiv.swap x y) z)
m : Type u_1 → Type u_2
α β : Type u_1
Bind m
x : m α
f g : α → m β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ x >>= f = x >>= g
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
x₀ : E
this : ‖x₀‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 n) f
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 n) f
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
e : M' ≃ₗ[R] M''
hf : IsLocalizedModule S f
x : M''
p : M × ↥S
h : p.2 • e.symm x = f p.1
⊢ ∃ x_1, x_1.2 • x = (↑e ∘ₗ f) x_1.1
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
⊢ b * star (a * star c) = b * (c * star a)
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
P : Type u₁
inst✝¹ : CommRing P
g : (i : ι) → G i →+* P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) (f i j hij x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →+* P
x : DirectLimit G f
h✝ : Nonempty ι
⊢ F x = (lift G f P (fun i => F.comp (of G f i)) ⋯) x
b : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
x : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.log b (b ^ x) = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E
⊢ ‖x⋆ * x‖ = ‖x⋆‖ * ‖x‖
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝⁶ : MonoidWithZero R
inst✝⁵ : MonoidWithZero S
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : MulActionWithZero R M
inst✝² : MulActionWithZero R S
inst✝¹ : MulActionWithZero S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
⊢ ¬IsSMulRegular M 0 ↔ Nontrivial M
α : Type u_5
self : NonUnitalSeminormedCommRing α
x y : α
⊢ x * y = y * x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
𝔸' : Type u_7
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
c : E → 𝔸'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
d : 𝔸'
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => c y * d) s x = d • fderivWithin 𝕜 c s x
S : Type u_5
OrderedSemiring S
R : Type u_6
Semiring R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
⊢ abv 0 = 0
R : Type u_1
p m : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hm : ¬p ∣ m
a : ℕ
x✝ : 0 < a + 2
hdiv : p ∣ p ^ a.succ * m
⊢ ¬p ∣ m
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp a (m • p + b) = toIocMod hp a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : r ≺i r
h : r (f.toRelEmbedding f.top) f.top
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
n : ↑↑S
this : DecidableEq M := Classical.decEq M
⊢ (∏ i ∈ S, ↑⋯.choose) • ↑n = 0
S : Type v
T : Type w
CommRing T
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
NoZeroSMulDivisors T S
p : Polynomial T
a : S
⊢ a ∈ p.aroots S ↔ p ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval a) p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
self : PosSMulMono α β
a : α
ha : 0 ≤ a
b₁ b₂ : β
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ a • b₁ ≤ a • b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
m : Sym2 α
⊢ (∀ b ∈ Sym2.diag a, b ∈ s) ↔ a ∈ s
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : Cocone F
α : Type u
f : Quot F → α
hc : IsColimit c
x : Quot F
⊢ hc.desc (toCocone f) (desc c x) = f x
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ I ^ n ≤ I ^ m
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ ClosedEmbedding ⇑(PrimeSpectrum.comap f)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X
⊢ ⨆ x ∈ s, limsup dimH (𝓝[s] x).smallSets = dimH s
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B
⊢ adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b)) ≫ (L₂ ⋙ H₂).map ((adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj b)))
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u_1} n
C : (x : P.last.W) → TypeVec.Arrow (P.WPath x) α → Prop
ih :
  ∀ (a : P.A) (f : P.last.B a → P.last.W) (f' : TypeVec.Arrow (P.WPath (WType.mk a f)) α),
    (∀ (i : P.last.B a), C (f i) (P.wPathDestRight f' i)) → C (WType.mk a f) f'
x : P.last.W
f' : TypeVec.Arrow (P.WPath x) α
⊢ C x f'
α : Type u_1
Preorder α
IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
⊢ (Ordnode.insert x t).dual = Ordnode.insert x t.dual
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
self : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor C D
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' : C
⊢ self.δ X X' ≫ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (self.map f) (self.obj X') =
  self.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f X') ≫ self.δ Y X'
n : ℕ
⊢ n.smoothNumbers = factoredNumbers (Finset.range n)
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1
i : Equiv.Perm n
⊢ (∏ x : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if i x = x then Polynomial.X else 0) - X (some (i x, x)))).IsHomogeneous (∑ i : n, 1)
α : Type u_1
inst✝ : Field α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : ad ≠ 0
hbd : bd ≠ 0
hgcd : gcd ≠ 0
⊢ (a ≠ b) = (1 / gcd * (bd * a') ≠ 1 / gcd * (ad * b'))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ b⁻¹ ≤ a
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m0
μ : MeasureTheory.Measure α
P : α → Prop
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.trim hm, P x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, P x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen U
x✝¹ : α × α
x₁ x₂ : α
x✝ : (x₁, x₂) ∈ Prod.map mk mk ⁻¹' (Prod.map mk mk '' id U)
y₁ y₂ : α
hyU : (y₁, y₂) ∈ id U
hxy : Prod.map mk mk (y₁, y₂) = Prod.map mk mk (x₁, x₂)
⊢ (x₁, x₂) ∈ id U
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
f : α → β → α
xs : t β
x : α
⊢ foldl f x xs = List.foldl f x (toList xs)
x : Int
m : Nat
h : 0 < m
⊢ x.bmod m ≤ (↑m - 1) / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁✝ μ₂✝ μ₃ ν✝ ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
μ₁ μ₂ ν : Measure α
⊢ μ₁ + μ₂ ≪ ν ↔ μ₁ ≪ ν ∧ μ₂ ≪ ν
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
M : Type u_5
N : Type u_6
Pₗ : Type u_12
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid Pₗ
Module R M
Module S N
Module R Pₗ
Module S Pₗ
SMulCommClass S R Pₗ
f : M → N → Pₗ
H1 : ∀ (m₁ m₂ : M) (n : N), f (m₁ + m₂) n = f m₁ n + f m₂ n
H2 : ∀ (c : R) (m : M) (n : N), f (c • m) n = c • f m n
H3 : ∀ (m : M) (n₁ n₂ : N), f m (n₁ + n₂) = f m n₁ + f m n₂
H4 : ∀ (c : S) (m : M) (n : N), f m (c • n) = c • f m n
m : M
n : N
⊢ ((LinearMap.mk₂' R S f H1 H2 H3 H4) m) n = f m n
a b : Ordinal.{u_4}
H : a % b = 0
⊢ b ∣ a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi (G.map f)
this : Epi (G.map f ≫ (α.app Y).inv)
⊢ Epi (F.map f)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
l₁ : List α
l₂ : List β
z : γ
i : ℕ
⊢ (zipWith f l₁ l₂).get? i = some z ↔ ∃ x y, l₁.get? i = some x ∧ l₂.get? i = some y ∧ f x y = z
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
OrderedSemiring 𝕜
(i : ι) → AddCommMonoid (π i)
(i : ι) → Module 𝕜 (π i)
DecidableEq ι
i : ι
x₁ x₂ : π i
y : (i : ι) → π i
⊢ Function.update y i '' openSegment 𝕜 x₁ x₂ = openSegment 𝕜 (Function.update y i x₁) (Function.update y i x₂)
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
⊢ s.einfsep ≤ edist x y
R : Type u_1
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
i : ι × κ
r₁ r₂ : R
⊢ (finsuppTensorFinsupp' R ι κ).symm (Finsupp.single i (r₁ * r₂)) = Finsupp.single i.1 r₁ ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 r₂
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ 0
⊢ cfc f a ≤ 0
α : Type u_1
as bs : Array α
size start : Nat
⊢ Array.extract.loop as size start bs = bs ++ Array.extract.loop as size start #[]
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
⊢ l = List.replicate n a ↔ l.length = n ∧ ∀ (b : α), b ∈ l → b = a
α : Type u
Preorder α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ ∃ f, StrictMono f ∧ f 0 = a
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
x : X
h : Continuous f
⊢ ContinuousAt f x
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
δ : Sort u_6
f : α → β → γ → δ
a : α
b : β
c : γ
⊢ ∃ x y z, f a b c = f x y z
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
h : u ≤ᶠ[f] v
⊢ Filter.limsup u f ≤ Filter.limsup v f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
⊢ κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η = ((κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η).comapRight ⋯
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
⊢ 𝔠 ≤ #↑s
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
δ : Type u_7
MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
μa : MeasureTheory.Measure α
μc : MeasureTheory.Measure γ
MeasureTheory.SFinite μa
MeasureTheory.SFinite μc
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μa).prod (MeasureTheory.Measure.map g μc) =
  MeasureTheory.Measure.map (Prod.map f g) (μa.prod μc)
R : Type u_1
Ring R
e : R
he : IsIdempotentElem e
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents ![e, 1 - e]
R : Type u
Ring R
S : Type u_1
Ring S
f : R →+* S
s : Set R
⊢ ⇑f '' Ring.closure s = Ring.closure (⇑f '' s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
Y Y' : C
S : CategoryTheory.Functor C D
f : S.obj Y ⟶ T
g : Y' ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.CostructuredArrow.mkPrecomp f g).right =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map g) f)).right
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ derivWithin f s x = deriv f x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
b : β
s : Finset α
LinearOrder β
c : β
⊢ c < Finset.fold min b f s ↔ c < b ∧ ∀ x ∈ s, c < f x
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝⁷ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β✝ i)
inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β✝ i)
c : 𝕜
β : Type u_5
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
hp : p ≠ ⊤
b : β
⊢ ‖(WithLp.equiv p (ι → β)).symm (Function.const ι b)‖₊ = ↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖b‖₊
α : Type u
a : α
l : List α
h : l ≠ []
⊢ (a :: l).getLast ⋯ = l.getLast h
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
A : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F
⊢ (CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject.incl F).obj A = A.obj
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₁' : Type uA₁'
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₁'
Algebra R A₁
Algebra R A₁'
⊢ AlgEquiv.refl.equivCongr AlgEquiv.refl = Equiv.refl (A₁ ≃ₐ[R] A₁')
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
m : ℕ
s : Set (α ⊕ Fin m → M)
h : A.Definable L s
⊢ A.Definable L ((fun g => g ∘ Sum.inl) '' s)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
A : Finset α
hA : A ∈ 𝒜
i : α
hi : i ∈ A
h : A.erase i ∈ ↑(∂ 𝒜)
⊢ (A.erase i).card = r - 1
c : Cardinal.{u_2}
H : c.IsStrongLimit
⊢ c.IsLimit
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s✝ : R
x y : M
t : Multiset M
a : R
s : Multiset R
ih : s.sum • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) (s ×ˢ t)).sum
⊢ (a ::ₘ s).sum • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) ((a ::ₘ s) ×ˢ t)).sum
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
H : C
h : Y ⟶ H
hG : IsCoseparator H
hfg : ∀ (h : Y ⟶ H), f ≫ h = g ≫ h
hH : H ∈ {H}
⊢ f ≫ h = g ≫ h
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H ≤ H.normalizer
x : ℝ
⊢ 0 < Real.cos (Real.arctan x)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
γ : Type u_3
CompleteLinearOrder γ
DenselyOrdered γ
f : α → γ
⊢ LowerSemicontinuousAt f x ↔ f x ≤ Filter.liminf f (𝓝 x)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
f : ℕ → L → R := fun k => k • χ₁ + χ₂
k l : ℕ
hkl : f k = f l
⊢ k = l
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ (W.baseChange B).ψ₂ = Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom ↑f) (W.baseChange A).ψ₂
ι : Type u_1
G : ι → Type u_4
(i : ι) → Group (G i)
x : Monoid.CoprodI G
⊢ x⁻¹ =
  MulOpposite.unop
    ((Monoid.CoprodI.lift fun i => (MonoidHom.op Monoid.CoprodI.of).comp (MulEquiv.inv' (G i)).toMonoidHom) x)
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ici x) x
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Set.Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Set.Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Set.Ico a b, f' x ≤ B' x
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Icc a b → f x ≤ B x
α : Type u_1
M : Matroid α
B₁ B₂ : Set α
e : α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
hxB₁ : e ∈ B₁
hxB₂ : e ∉ B₂
⊢ ∃ y, (y ∈ B₂ ∧ y ∉ B₁) ∧ M.Base (insert y (B₁ \ {e}))