ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Ring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
⊢ Function.Injective ⇑f ↔ RingHom.ker f = ⊥
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
p : M → Prop
hp₀ : p 0
hp₁ : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
hp₂ : ∀ x ∈ s, p (f x)
⊢ p (∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i)
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
Monoid M
MulAction M β
MeasurableSMul M β
MeasurableSpace α
f : α → β
c : M
hc : IsUnit c
⊢ (Measurable fun x => c • f x) ↔ Measurable f
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : Function.Surjective (pseudoApply f)
pbar : Pseudoelement P
hpbar : pseudoApply f pbar = Quot.mk (PseudoEqual Q) (Over.mk (𝟙 Q))
⊢ Epi f
u v : Level
n nn n' : ℕ
pn : NormNum.IsNat n nn
pn' : nn = n'.succ
⊢ Multiset.range n = n' ::ₘ Multiset.range n'
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
NormalizationMonoid R
p : R[X]
⊢ (normalize p).leadingCoeff = normalize p.leadingCoeff
α : Type u_1
β : Type u_2
Encodable α
Encodable β
n : ℕ
⊢ Encodable.decode n =
  (Encodable.decode (Nat.unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (Encodable.decode (Nat.unpair n).2)
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
hxy : dist x y = 0
⊢ x = y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A X Y : C
CategoryTheory.Closed A
f : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj A Y ⟶ X
g : Y ⟶ (CategoryTheory.ihom A).obj X
⊢ g = CategoryTheory.MonoidalClosed.curry f ↔ CategoryTheory.MonoidalClosed.uncurry g = f
α : Type u_1
f : α → α
x : α
⊢ x ∈ Function.periodicPts f ↔ ∃ n > 0, Function.IsPeriodicPt f n x
K : Type u_1
Field K
x y : K
hx : x ∈ integralClosure ℤ K
hy : y ∈ integralClosure ℤ K
⊢ ⟨x, hx⟩ - ⟨y, hy⟩ = ⟨x - y, ⋯⟩
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s t : Set A
hst : s ⊆ t
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val
u : Set A
huai : AlgebraicIndependent R Subtype.val
left✝ : s ⊆ u
hut : u ⊆ t
hsu : s ⊆ u
hx : ∀ a ∈ {u | AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t}, u ⊆ a → a = u
⊢ ∃ u, AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → u ⊆ x → x ⊆ t → x = u
α : Type u
Add α
a b c : WithTop α
IsLeftCancelAdd α
ha : a ≠ ⊤
h : a + b = a + c
⊢ b = c
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ IsPreconnected s
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Multiset ℤ
n : ℤ
⊢ s.prod % n = (map (fun x => x % n) s).prod % n
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (J.plusObj P) S
inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)
⊢ ∃ t, Meq.mk S t = s
α : Type u
Add α
a b c : WithTop α
IsLeftCancelAdd α
ha : a ≠ ⊤
⊢ a + b = a + c ↔ b = c
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
R : Type u
LT R
x y : Tropical R
⊢ Tropical.untrop x < Tropical.untrop y ↔ x < y
m n : Nat
k : Nat
h : m.Coprime n
⊢ k.gcd (m * n) = k.gcd m * k.gcd n
ι : Sort u_1
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : ι → Subsemiring R
⊢ (iSup S).op = ⨆ i, (S i).op
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
ι : Type u_7
m : ι → Measure α
μ : Measure β
inst✝ : SFinite μ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ ((sum m).prod μ) s = (sum fun i => (m i).prod μ) s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y z : X
hxy : Joined x y
hyz : Joined y z
⊢ Joined x z
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Field K
Field L
Algebra A K
IsFractionRing A K
Algebra B L
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A B L
IsScalarTower A K L
IsIntegralClosure B A L
FiniteDimensional K L
σ : L ≃ₐ[K] L
⊢ ↑((galRestrict A K L B) σ) = (galRestrictHom A K L B) ↑σ
X✝ : Scheme
P : (X : Scheme) → ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop
h₁ : ∀ (R : CommRingCat) (x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace), P (Spec R) x
h₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsOpenImmersion f] (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P X x → P Y (f.val.base x)
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
y : ↑↑(X.affineCover.obj (X.affineCover.f x)).toPresheafedSpace
e : (X.affineCover.map (X.affineCover.f x)).val.base y = x
⊢ P X x
X : Type u
TopologicalSpace X
HereditarilyLindelofSpace X
s : Set X
⊢ IsLindelof s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h : t ⊆ s
ht : Balanced 𝕜 t
⊢ t ⊆ balancedCoreAux 𝕜 s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f
a : α
⊢ Filter.Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) Filter.atBot (𝓝 0)
M : Type u_1
α : Type u_7
SMul M α
Mul α
SMulCommClass M α α
IsScalarTower M α α
a b : α
h : Commute a b
r : M
⊢ Commute (r • a) b
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
⊢ F.map (((Cocones.precompose (J.diagramNatTrans η (unop X))).obj (colimit.cocone (J.diagram Q (unop X)))).ι.app W) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W
n k : ℕ
h : k ≤ n
i j : ℕ
hi : i + j = n ∧ k ≤ i
⊢ i - k + j = n - k
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ 0 ≠ 1
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : oddKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => (ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S T : Subalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
dm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).natDegree ≤ m + n := fun {m n} {p q} => natDegree_mul_le_of_le
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
cm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).coeff (m + n) = p.coeff m * q.coeff n := fun {m n} {p q} => coeff_mul_of_natDegree_le
h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n
n : ℕ
⊢ (W.Φ ↑(n + 1 + 1)).natDegree ≤ (n + 1 + 1) ^ 2 ∧ (W.Φ ↑(n + 1 + 1)).coeff ((n + 1 + 1) ^ 2) = 1
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
κ : Cardinal.{w}
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Infinite M
N : ((L.lhomWithConstants (Quotient.out κ)).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory Set.univ).ModelType
⊢ ∃ N, lift.{max u v w, w} κ ≤ #↑N
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
f : Filter α
s : Set β
x : Set α
x✝ : xᶜ ∈ f
⊢ kernImage m xᶜ = s ↔ m '' x = sᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
Subsingleton β
f : α → β
h : t.Nonempty → s.Nonempty
⊢ Set.SurjOn f s t
x y : ℝ
⊢ cos (x - y) = cos x * cos y + sin x * sin y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
f : E →L[𝕜] F
FiniteDimensional 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
⊢ (LinearMap.ker f).ClosedComplemented
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
⊢ CochainComplex.mappingCone.inr S.f ≫ CochainComplex.mappingCone.descShortComplex S = S.g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Mf : Monotone f
ne : s.Nonempty
H : BddAbove s
⊢ f (sSup s) = sSup (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s
hst : s ⊆ t
hs' : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
h : μ t < μ s + ε
⊢ μ t - μ s < ε
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y L : R
⊢ W.addPolynomial x y L =
  -{ a := 1, b := -L ^ 2 - W.a₁ * L + W.a₂, c := 2 * x * L ^ 2 + (W.a₁ * x - 2 * y - W.a₃) * L + (-W.a₁ * y + W.a₄),
        d := -x ^ 2 * L ^ 2 + (2 * x * y + W.a₃ * x) * L - (y ^ 2 + W.a₃ * y - W.a₆) }.toPoly
R : Type u
S : Type v
M : Type w
CommSemiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
Module R M
Module S M
SMulCommClass S R M
SMul R S
IsScalarTower R S M
x : R
h : IsUnit ((algebraMap R (Module.End S M)) x)
m m' : M
⊢ ↑h.unit⁻¹ m = m' ↔ m = x • m'
J : Type v
inst✝² : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J
inst✝ : HasColimit F
t : Cocone F
ht : IsColimit t
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
⊢ t.ι.app i xi = t.ι.app j xj ↔ (colimitCocone F).ι.app i xi = (colimitCocone F).ι.app j xj
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)
⊢ MeasurableSet {x | Integrable (f x) ν}
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
y : M
hy : y ∈ W
b₁ : ((B.domRestrict₁₂ W W) ⟨x, hx⟩) ⟨y, hy⟩ = 0
⊢ B.IsOrtho y x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : ¬(q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0)
hp : ¬p ≠ 0
⊢ (0, 0).2.degree < q.degree
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
x : L
⊢ ↑(LieSubalgebra.engel R x) = ⋂ s ∈ fun x_1 => ∀ (a : ℕ), LinearMap.ker ((LieAlgebra.ad R L) x ^ a) ≤ x_1, ↑s
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
hy : y ≤ x
hz : z ≤ x
⊢ x \ y = z ↔ x \ z = y
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ Polynomial.derivative (Polynomial.X ^ n) = Polynomial.C ↑n * Polynomial.X ^ (n - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
s : Finset β
f : β → α
⊢ ∑' (x : ↑↑s), f ↑x = ∑ x ∈ s, f x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : E
⊢ (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) (MeasureTheory.indicatorConstLp 1 ⋯ ⋯ x) = (T Set.univ) x
f : ℝ → ℝ
p : ℤ
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, 0 ≤ f x
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => f x ^ p
α : Type u_3
OrderedSemiring α
Nontrivial α
n : ℕ
⊢ 0 < ↑n ↔ 0 < n
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Finite β
f : Perm α
e : α ≃ β
s : Multiset α
t : Multiset β
hs : ∀ (x : α), x ∈ s
ht : ∀ (x : β), x ∈ t
⊢ signAux3 ((e.symm.trans f).trans e) ht = f.signAux3 hs
α : Type u_1
l₁ l₂ : Filter α
⊢ (l₁ ⊓ l₂).smallSets = l₁.smallSets ⊓ l₂.smallSets
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝² : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K L
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcyc : IsCyclotomicExtension {p} K L
h : p ≠ 2
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑p ^ (0 + 1)) K)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} K L
⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = ↑↑p
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
f g : α → ℝ≥0∞
Hle : ∑ i ∈ s, f i ≤ ∑ i ∈ s, g i
⊢ ∃ i ∈ s, f i ≤ g i
a b : ℝ≥0∞
⊢ a < b ↔ ∃ r, 0 < r ∧ a + ↑r < b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsSimpleOrder α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ Finset.map { toFun := ⇑IsSimpleOrder.equivBool.symm, inj' := ⋯ } {true, false} = {⊤, ⊥}
G : Type u_1
α : Type u_2
Zero G
VAdd G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝
self : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ g, g +ᵥ x ∈ s
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h₁ : Continuous f
h₂ : Function.Injective f
h₃ : IsOpenMap f
⊢ OpenEmbedding f
n : ℕ
⊢ (2 ^ n).size = n + 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
⊢ IsBoundedBilinearMap 𝕜 fun p => p.1 * p.2
a b : UInt32
⊢ ¬a < b ↔ b ≤ a
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
⊢ LipschitzWith 1 norm
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
H : C ⥤ D
F : J ⥤ C
E : K ⥤ J
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ H.mapCoconeWhisker.inv.hom = 𝟙 (H.obj c.pt)
m n : Num
⊢ ↑(m * n) = ↑m * ↑n
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime (y + x * z) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this : HasSum (fun i => x ^ i * (1 - x)) ((∑' (b : ℕ), x ^ b) * (1 - x))
⊢ (∑' (i : ℕ), x ^ i) * (1 - x) = 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ
⊢ padicNorm p ↑m = 1 ↔ ¬↑(p ^ 1) ∣ m
n : ℕ
p : ℕ
hp : ¬Nat.Prime p
⊢ n.factorization p = 0
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
f : F
I : Ideal R
x : ↥I
⊢ f ↑x ∈ Ideal.map f I
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
One M
g : β → M
f : α → β
⊢ Function.mulSupport (g ∘ f) = f ⁻¹' Function.mulSupport g
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set α
⊢ μ s ≤ (MeasureTheory.Measure.map f μ) (f '' s)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s : UpperSet α
⊢ 0 + s = s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
f : γ → β
x✝ : List α
b : γ
u : List γ
⊢ Forall₂ R x✝ (map f (b :: u)) ↔ Forall₂ (fun a c => R a (f c)) x✝ (b :: u)
m n : ℕ+
⊢ m ∣ n → n ∣ m → m = n
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
self : NonarchimedeanGroup G
U : Set G
⊢ U ∈ 𝓝 1 → ∃ V, ↑V ⊆ U
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓟 K
⊢ ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S T : Ideal R
h : a • S ≤ a • T
⊢ S ≤ T
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α
g : Quotient s → β
h : α → β
Hh : h = g ∘ Quotient.mk''
r : Set (β × β)
⊢ {x | (g x.1, g x.2) ∈ r} = (fun a => (⟦a.1⟧, ⟦a.2⟧)) '' ((fun a => (h a.1, h a.2)) ⁻¹' r)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F.leftOp
⊢ (CategoryTheory.Limits.isColimitCoconeLeftOpOfCone F hc).desc s =
  (hc.lift (CategoryTheory.Limits.coneOfCoconeLeftOp s)).unop
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : Multiset (α →₀ M)
h : α → M → N
h₀ : ∀ (a : α), h a 0 = 0
h₁ : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ + h a b₂
⊢ f.sum.sum h = (Multiset.map (fun g => g.sum h) f).sum
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ ↑p.natTrailingDegree ≤ p.trailingDegree
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : DecidableEq n
i : n
⊢ i ∉ Finset.univ → (monomial (Finsupp.single i 1)) (1 i i) = 0
p : ℝ≥0
⊢ ↑p < 1 ↔ p < 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
J : LieIdeal R L
k l : ℕ
D₁ : LieIdeal R L →o LieIdeal R L := { toFun := fun I => ⁅I, I⁆, monotone' := ⋯ }
h₁ : ∀ (I J : LieIdeal R L), D₁ (I ⊔ J) ≤ D₁ I ⊔ J
⊢ D (k + l) (I + J) ≤ D k I + D l J
α : Type u_1
MeasurableSpace α
DiscreteMeasurableSpace α
s : Set α
⊢ MeasurableSet s
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) MeasureTheory.volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) MeasureTheory.volume
ha : Filter.Tendsto f (𝓝 a ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 ca)
hb : Filter.Tendsto f (𝓝 b ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 cb)
⊢ HasFDerivAt (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x)
  ((ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (a, b)
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p : A
x : ↥p
⊢ ↑x ∈ p
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
Fintype (Sym2 α)
NonAssocSemiring R
a : α
Fintype ↑(G.neighborSet a)
⊢ ∑ e : Sym2 α, SimpleGraph.incMatrix R G a e = ↑(G.degree a)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ ↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal ↔ ↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal
β : Type v
f g : β → Type v
α : (j : β) → f j ⟶ g j
b : β
x : ∏ᶜ f
⊢ CategoryTheory.Limits.Pi.π g b (CategoryTheory.Limits.Pi.map α x) = α b (CategoryTheory.Limits.Pi.π f b x)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
⊢ (∀ (g : G) (x : X), g⁻¹ • x ∈ B → x ∈ B → g • B = B) ↔ ∀ (g : G), ∀ a ∈ B, g • a ∈ B → g • B = B
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
⊢ (X.toToΓSpecMapBasicOpen r) r = (X.toRingedSpace.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (eqToHom ⋯).op)) r
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f
a : α
⊢ Filter.Tendsto (f a) Filter.atBot (𝓝 0)
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R✝
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ A✝
inst✝⁹ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁸ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁷ : Semifield R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : Module S A
inst✝² : IsScalarTower S A A
inst✝¹ : SMulCommClass S A A
inst✝ : Algebra R S
a : A
f : S → R
h : QuasispectrumRestricts a f
⊢ f 0 = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ 𝓝ˢ Set.univ = ⊤
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : IsKleinFour G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y
⊢ {1}.card + 1 + 1 + 1 = 4
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
CommRing R
CommRing S
AddCommGroup M
Module R M
Algebra R S
p : Submonoid R
IsLocalization p S
hp : p ≤ R⁰
N : Type v
AddCommGroup N
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
IsLocalizedModule p f
⊢ Module.rank S N = Module.rank R M
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c : α
hc : c ≠ 0
⊢ a * c ≤ b * c ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ a - b - c = a - c - b
α : Type u_1
f : Filter α
self : f.IsCountablyGenerated
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ f = Filter.generate s
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
a b : E
r : ℝ
c : E
⊢ c ∈ (fun x => b * x) ⁻¹' sphere a r ↔ c ∈ sphere (a / b) r
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A / C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B * C).card
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hiw : ⟪i w, w⟫_ℝ = 1 / 2
this : (fun v => 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w)) = fun v => (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w)
⊢ ∫ (v : V), (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
h : StrictMono ⇑(Equiv.trans σ (graphEquiv₁ f))
i j : Fin n
hij : i < j
hfij : f (σ i) = f (σ j)
⊢ σ i < σ j
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
⊢ s \ t =ᶠ[ae μ] s ↔ μ (s ∩ t) = 0
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊥, ⊥), a.1 + a.2 < ↑x
θ : Angle
⊢ θ.toReal = toReal 0 ↔ θ = 0
α : Type u
CommRing α
x y : α
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y) = x ^ n - y ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v : Fin 1 → E
this : {Composition.ones 1} = Finset.univ
⊢ (q (Composition.ones 1).length) (p.applyComposition (Composition.ones 1) v) = (q 1) fun _i => (p 1) v