ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ
⊢ (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 2) ^ 2 * preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 5) - preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 1) * preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 4) ^ 2) * b * b = (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 2) * if Even m then b else 1) ^ 2 * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * if Even m then 1 else b) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 5) * if Even m then 1 else b) - (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 1) * if Even m then 1 else b) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * if Even m then 1 else b) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 4) * if Even m then b else 1) ^ 2
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : SemilatticeInf δ
g : γ → δ
a : δ
h : (image₂ f s t).Nonempty
⊢ a ≤ (image₂ f s t).inf' h g ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, a ≤ g (f x y)
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set (α →o β)
hc : ∀ f ∈ DFunLike.coe '' s, Continuous' f
⊢ Continuous' (sSup (DFunLike.coe '' s))
α : Type u_1
p : Set α → Prop
s₀ : Set α
hp : p s₀
t : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p t
S : ℕ → Set α
hSne : (range S).Nonempty
hSc : (range S).Countable
hS : (∀ s ∈ range S, p s) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ s ∈ range S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
⊢ (∀ (n : ℕ), p (S n)) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ (n : ℕ), x ∈ S n ↔ y ∈ S n) → x = y
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ HasFDerivWithinAt f f' (s ∩ t) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
R : Type u_8
M : Type u_9
CommRing R
NoZeroDivisors R
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
a b c d : R
h' : a * d - b * c ≠ 0
⊢ LinearIndependent R ![a • x + b • y, c • x + d • y]
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n m : ℕ
s : Stream' α
n✝ : ℕ
⊢ (drop n (drop m s)).get n✝ = (drop (n + m) s).get n✝
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ Cᵒᵖ
⊢ (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' C A).counit = A.one.unop
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
r : ↑⋯.choose
⊢ Set.range ⇑(((fun x => affineBasisCoverOfAffine ⋯.choose) ⟨x, r⟩.fst).map ⟨x, r⟩.snd).val.base = (PrimeSpectrum.basicOpen r).carrier
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
ha : #α ≠ 0
⊢ #{ s // Bounded r s } = #α
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
u : ℕ → α
hu : DenseRange u
s : Set (ℕ → ℕ) := {x | (⋂ n, closedBall (u (x n)) ((1 / 2) ^ n)).Nonempty}
g : ↑s → α := fun x => Set.Nonempty.some ⋯
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
α : Type u_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
Sub α
p₁ : a₁ = b₁
p₂ : a₂ = b₂
⊢ a₁ - a₂ = b₁ - b₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
⊢ (ConvexCone.strictlyPositive 𝕜 E).Salient
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
right✝ : t ≤ 1
⊢ SameRay R ((lineMap x z) t -ᵥ x) (z -ᵥ x)
α : Type u_1
OmegaCompletePartialOrder α
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
⊢ Scott.IsωSup c (OmegaCompletePartialOrder.ωSup c)
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : e ∉ M.closure (⋂₀ Js)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a b x : α
⊢ Icc a b ∈ 𝓝 x ↔ x ∈ Ioo a b
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α × β → γ
f : Filter α
g : Filter β
⊢ Filter.map₂ (Function.curry m) f g = Filter.map m (f ×ˢ g)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
R : Type u_6
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
h : HasFDerivAt f f' x
c : R
⊢ HasFDerivAt (fun x => c • f x) (c • f') x
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
⊢ Submodule.restrictScalars S (ideal R S) ≤ Submodule.span S (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1)
τ : Type u_1
α : Type u_2
Preorder τ
Zero τ
ϕ : τ → α → α
s : Set α
h : IsInvariant ϕ s
⊢ IsFwInvariant ϕ s
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : ‖f z - 1‖ = ‖z - 1‖
⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
⊢ x ∈ (fun a => ↑a) 1
α : Type u_1
a : α
o1 o2 : Option α
h1 : a ∈ o1
h2 : a ∈ o2
⊢ o1 = o2
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
s : Set B
hb : s ⊆ e.baseSet
p : ↑s × F
⊢ (e.preimageHomeomorph hb).symm p = ⟨↑e.symm (↑p.1, p.2), ⋯⟩
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
⊢ aleph o₁ + aleph o₂ = aleph (max o₁ o₂)
motive : ℤ → Prop
zero : motive 0
one : motive 1
add_two : ∀ (n : ℕ), motive (↑n + 1) → motive ↑n → motive (↑n + 2)
neg_add_one : ∀ (n : ℕ), motive (-↑n) → motive (-↑n + 1) → motive (-↑n - 1)
a : ℤ
⊢ motive a
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k l : ℕ
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
⊢ (f.genEigenspace μ₁) k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) l = ⊥
α : Type u_2
Mul α
s t : Set α
⊢ ⋃ a ∈ t, (fun x => x * a) '' s = s * t
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf'' : ∀ x ∈ D, 0 < deriv^[2] f x
⊢ StrictConvexOn ℝ D f
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
a✝ : ∀ (y : LieIdeal K L), (invImage (fun x => finrank K ↥↑x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
⊢ (invImage (fun x => finrank K ↥↑x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 (J' ⊓ I) I
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
⊢ μ (s ∪ t) + μ (s ∩ t) = μ s + μ t
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y : C
f : J → C
g h : X ⊗ ⨁ f ⟶ Y
w : ∀ (j : J), X ◁ biproduct.ι f j ≫ g = X ◁ biproduct.ι f j ≫ h
⊢ (leftDistributor X f).inv ≫ g = (leftDistributor X f).inv ≫ h
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
L : List α
i : Nat
⊢ List.map f (List.drop i L) = List.drop i (List.map f L)
α : Type u_1
CancelMonoidWithZero α
PartialOrder α
⊢ PosMulMono α ↔ PosMulStrictMono α
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S x
⊢ ∃ u ∈ Ioi x, Ioc x u ⊆ S
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ ((α_ R.X P.X S.X).inv ≫ P.actLeft ▷ S.X) ≫ P.actRight = R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ≫ P.actLeft
𝕜 : Type u
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
inst✝⁴ : StarRing 𝕜
inst✝³ : TrivialStar 𝕜
inst✝² : StarAddMonoid F
inst✝¹ : ContinuousStar F
inst✝ : StarModule 𝕜 F
f' : F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
h : HasDerivAtFilter f f' x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun x => star (f x)) (star f') x L
G : Type u_3
Group G
h : Group.FG G
S : Finset G
hS : Subgroup.closure ↑S = ⊤
⊢ Group.rank G ≤ S.card
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
⊢ ∀ {x : CategoryTheory.IsIso α} (X : C), (CategoryTheory.inv α).app X = CategoryTheory.inv (α.app X)
u : PNat.XgcdType
⊢ u.flip.IsSpecial ↔ u.IsSpecial
n : ℕ
hn : ¬n = 0
p : ℕ
hp : p ∈ n.factorization.support
⊢ p ^ (n.factorization p - 1) * (p - 1) * p = p ^ n.factorization p * (p - 1)
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
r : R
p q : R[X]
⊢ (taylor r) (p * q) = (taylor r) p * (taylor r) q
f g : ℝ → ℝ
hfg : f =ᶠ[atTop] g
hg : GrowsPolynomially g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
x : ℝ
hx₁ : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
hx₂ : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → f y = g y
hx₃ : f x = g x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
⊢ f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
G : Type u
Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
hn : p ^ n ≤ Nat.card G
⊢ ∃ H, Nat.card ↥H = p ^ n
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
H1 : IsRelPrime x y
H2 : x ∣ y * z
h : IsPrimal x
⊢ x ∣ z
α' : Type u_1
β' : Type u_2
p : β' → Prop
DecidablePred p
f : α' ≃ Subtype p
e e' : Equiv.Perm α'
⊢ Equiv.trans (e.extendDomain f) (e'.extendDomain f) = Equiv.Perm.extendDomain (Equiv.trans e e') f
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥
⊢ LieIdeal.map f (derivedSeries R L' k) ≤ derivedSeries R L k
α : Type u_1
F : Type u_3
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
m : MeasurableSpace α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} (f : ↥(MeasureTheory.lpMeas F 𝕜 m p μ)),
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑f) μ
α : Type u_1
One α
Subsingleton α
a : α
⊢ a = 1
R : Type u_1
inst✝²³ : CommSemiring R
R₂ : Type u_2
inst✝²² : CommSemiring R₂
R₃ : Type u_3
inst✝²¹ : CommSemiring R₃
R₄ : Type u_4
inst✝²⁰ : CommSemiring R₄
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Q : Type u_8
Mₗ : Type u_9
Nₗ : Type u_10
Pₗ : Type u_11
Qₗ : Type u_12
Qₗ' : Type u_13
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝¹³ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝¹² : AddCommMonoid Qₗ
inst✝¹¹ : AddCommMonoid Qₗ'
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R₂ N
inst✝⁸ : Module R₃ P
inst✝⁷ : Module R₄ Q
inst✝⁶ : Module R Mₗ
inst✝⁵ : Module R Nₗ
inst✝⁴ : Module R Pₗ
inst✝³ : Module R Qₗ
inst✝² : Module R Qₗ'
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₃ σ₄₃
f : M →ₛₗ[σ₁₃] N →ₛₗ[σ₂₃] P
x✝¹ : M
x✝ : N
⊢ ((f.compl₂ id) x✝¹) x✝ = (f x✝¹) x✝
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ : CategoryTheory.Center C
f : X₁ ⟶ X₂
Y : CategoryTheory.Center C
U : C
⊢ f.f ▷ Y.fst ▷ U ≫ ((X₂.tensorObj Y).snd.β U).hom = ((X₁.tensorObj Y).snd.β U).hom ≫ U ◁ f.f ▷ Y.fst
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f g : β → α
h : ∀ b ∈ s, f b ∣ g b
⊢ s.lcm f ∣ s.lcm g
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
AddMonoid β
BoundedAdd β
ContinuousAdd β
f : BoundedContinuousFunction α β
n : ℕ
⊢ ⇑(nsmulRec n f) = n • ⇑f
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
hG : Group.IsNilpotent G
⊢ Group.nilpotencyClass ↥H ≤ Group.nilpotencyClass G
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
h : S = ⊤
x : A
⊢ x ∈ ⊤
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hl : l.HasBasis p s
P : Set α → Prop
mono : ∀ ⦃s t : Set α⦄, s ⊆ t → P t → P s
⊢ (∃ s ∈ l, P s) ↔ ∃ i, p i ∧ P (s i)
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
(i : ι) → VAdd K (R i)
r : K
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (R i)
⊢ r +ᵥ s.pi t ⊆ s.pi (r +ᵥ t)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
⊢ 𝓝 (x, y) = (𝓝 x).prod (𝓝 y)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitMono f
CategoryTheory.Epi f
⊢ CategoryTheory.IsIso f
α : Type u
ι : Sort v
f : ι → TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.generateFrom (⋃ i, {s | IsOpen s}) = ⨅ i, f i
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
F₁ F₂ : W.Localization ⥤ D
τ : W.Q ⋙ F₁ ⟶ W.Q ⋙ F₂
⊢ ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), MorphismProperty.naturalityProperty (NatTransExtension.app τ) (W.Q.map f)
α : Sort u_1
Unique α
a : α
⊢ a = default
α : Type u_1
OrderedSemiring α
Nontrivial α
⊢ ↑0 = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
h : (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ⊆ range ↑I
x : E
hx : x ∈ (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I)) (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source x
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ
⊢ Primrec (Function.uncurry f) ↔ Primrec₂ f
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
F : ↥↑(rootSpace H ⇑α) →ₗ[K] K := (killingForm K L) f ∘ₗ (↑(rootSpace H ⇑α)).subtype
hF : LinearMap.ker F ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ ↑(rootSpace H ⇑α)
hy₀ : ⟨y, hyα⟩ ≠ 0
hy : ⁅y, f⁆ = 0
P : ⋯.HasPrimitiveVectorWith y (-2)
n : ℕ
hn : -2 = ↑n
⊢ False
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart
u : Rˣ
hu : C ↑u = (integerNormalization R⁰ p).primPart
c : R
c0 : c ∈ R⁰
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ p) = C ((algebraMap R K) c) * p
con : (integerNormalization R⁰ p).content * ↑u = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
this : (2 * dValue N - 1) ^ nValue N ≤ (2 * dValue N) ^ nValue N
⊢ 2 * ↑(dValue N) ≤ ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹
a : UnitAddCircle
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => hurwitzZetaEven a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ + hurwitzZetaOdd a s) 1
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
MulAction G α
g h : G
⊢ h • MulAction.fixedBy α g = MulAction.fixedBy α (h * g * h⁻¹)
α : Type u
ι : Sort w
f : ι → α
Finite ι
⊢ (Set.range f).Finite
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
⊢ ↑(e.restr s) = ↑e
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α := {x | ¬∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a}
hs : s = {x | ∃ᶠ (x : Set α) in v.filterAt x, μ x = 0}
f : α → Set (Set α) := fun x => {a | μ a = 0}
⊢ μ s = 0
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, 𝓝 x ≤ 𝓟 s
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ -a ≤ b ↔ -b ≤ a
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
⊢ n / 2 < n
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b c : α
hab : Relation.TransGen r a b
hbc : Relation.TransGen r b c
⊢ Relation.TransGen r a c
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing Rₘ
inst✝⁶ : CommRing Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Rₘ
inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝³ : Algebra S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝¹ : Algebra Rₘ S
inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S
x : S
hx : IsIntegral Rₘ x
⊢ ∃ m, IsIntegral R (m • x)
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℤ
n : ℤ
hf : ∀ i ∈ s, n ∣ f i
⊢ (∑ i ∈ s, f i) / n = ∑ i ∈ s, f i / n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
h : s.Countable
default : α
h_mem : default ∈ s
n : ℕ
⊢ enumerateCountable h default n ∈ s
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
e : m ≃ n
x : n → M
⊢ (LinearEquiv.funCongrLeft R M e) x = (LinearMap.funLeft R M ⇑e) x
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
u : Set X
hu : IsOpen u
⊢ IsOpen (inl '' u)
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderTop α
a : α
s : Multiset α
⊢ (a ::ₘ s).inf = a ⊓ s.inf
f : ℝ → ℝ
f' a : ℝ
h : IsLocalExtr f a
⊢ HasDerivAt f f' a → f' = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
f : X → E
hf : HasCompactSupport f
h2f : AEStronglyMeasurable f μ
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ Memℒp f p μ
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Group G
AddCommMonoid V
Module k V
ρ : Representation k G V
Fintype G
Invertible ↑(Fintype.card G)
⊢ LinearMap.IsProj ρ.invariants ρ.averageMap
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
b : Set (Set X)
hb : IsTopologicalBasis b
x y : X
h : x ≠ y
⊢ ∃ a ∈ b, x ∈ a ∧ y ∉ a
X : TopCat
U : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 X)).obj (Opposite.unop U) = Opposite.unop U
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), R)
h : ⇑f = (spectrum R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g)
⊢ (cfcHom ha) f = cfc (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Sort u_5
E : α → Sort u_4
⊢ IsEmpty (PSigma E) ↔ ∀ (a : α), IsEmpty (E a)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
e : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
x : M₂
⊢ x ∈ Submodule.map (↑e) p ↔ e.symm x ∈ p
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
⊢ (haarMeasure K₀) (closure ↑K₀) = 1
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
n : ℕ
⊢ Isδ₀ (SimplexCategory.δ 0)
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
g : Matrix.SpecialLinearGroup n R
⊢ Matrix.GeneralLinearGroup.det ↑g = 1
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w✝ : V
ι : Type u_2
f : ι → G.Subgraph
hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching
hd : Pairwise fun i j => Disjoint (f i).support (f j).support
v : V
hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts
i : ι
hi : v ∈ (f i).verts
w : V
hw : (fun w => (f i).Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (f i).Adj v w) y → y = w
⊢ ∀ (y : V), (fun w => (⨆ i, f i).Adj v w) y → y = w
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ ‖F_nat 0 a t‖ ≤ rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t))
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i : ι
⊢ (hli.repr ⟨v i, ⋯⟩) i = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
f f' : ι → β → α
g g' : β → α
hf : TendstoUniformly f g l
hf' : TendstoUniformly f' g' l
⊢ TendstoUniformly (f * f') (g * g') l
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : NormOneClass A
a : A
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
⊢ k ∈ Metric.closedBall 0 ‖a‖
ι : Type u_1
R : Type u_5
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : ι → R
s : Finset ι
x : M
⊢ (∑ i ∈ s, f i) • x = ∑ i ∈ s, f i • x
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace δ
NormedAddCommGroup β
f : α ≃ᵐ δ
g : δ → β
⊢ MeasureTheory.Integrable g (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ) ↔ MeasureTheory.Integrable (g ∘ ⇑f) μ
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
f g : PowerSeries R
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
⊢ PowerSeries.divided_by_X_pow_order hf * PowerSeries.divided_by_X_pow_order hg = PowerSeries.divided_by_X_pow_order ⋯