ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : FirstOrder.Language
(a : α) → L.Structure (M a)
β : Type u_3
x : β → (a : α) → M a
t : L.Term β
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize (fun i => Quotient.mk' (x i)) t =
  Quotient.mk' fun a => FirstOrder.Language.Term.realize (fun i => x i a) t
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
K : CochainComplex C ℤ
⊢ i + n = i'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
c_ne_top : c ≠ ⊤
tsum_le_c : ∑' (i : ι), a i ≤ c
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
hf : {i | ε ≤ a i}.Finite
⊢ ∃ (hf : {i | ε ≤ a i}.Finite), ↑hf.toFinset.card ≤ c / ε
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
bs : Bornology.IsBounded s
bt : Bornology.IsBounded t
cs : α
hcs : cs ∈ s
ct : α
hct : ct ∈ t
rs : ℝ
hrs : s ⊆ closedBall ct rs
rt : ℝ
hrt : t ⊆ closedBall cs rt
⊢ hausdorffEdist s t ≠ ⊤
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℝ H
S : Set (Set H)
⊢ (⋃₀ S).innerDualCone = sInf (Set.innerDualCone '' S)
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G →g G'
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ (SimpleGraph.Walk.map f p).length = p.length
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
ω : Ω
⊢ (ProbabilityTheory.condexpKernel μ m) ω = (ProbabilityTheory.condDistrib id id μ) (id ω)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
S.HasRightHomology
h : CategoryTheory.IsIso S.leftRightHomologyComparison
⊢ S.HasHomology
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
CommRing 𝕜
NoZeroDivisors 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra 𝕜 A
Nontrivial 𝕜
T2Space 𝕜
ContinuousMul 𝕜
⊢ IsClosed (WeakDual.characterSpace 𝕜 A)
K : Type u
Field K
G : Type u_1
Group G
MulSemiringAction G K
g : G
S : ValuationSubring K
⊢ (g • S).toSubring = g • S.toSubring
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t.toCone
⊢ t.inr = ht.lift (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk 0 (𝟙 Y))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
FirstCountableTopology X
CompactSpace X
x : ℕ → X
⊢ ∃ a φ, StrictMono φ ∧ Filter.Tendsto (x ∘ φ) Filter.atTop (𝓝 a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] F
S : ConvexCone 𝕜 F
⊢ ↑(ConvexCone.comap f S) = ⇑f ⁻¹' ↑S
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
FiniteDimensional ℝ V
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2
s₁ s₂ : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ p : P
hs : s₁ ≠ s₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁s₁ : p₁ ∈ s₁
hp₂s₁ : p₂ ∈ s₁
hps₁ : p ∈ s₁
hp₁s₂ : p₁ ∈ s₂
hp₂s₂ : p₂ ∈ s₂
hps₂ : p ∈ s₂
⊢ p = p₁ ∨ p = p₂
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
hb : ∀ (p : G.Walk v w), s(v, w) ∈ p.edges
c : G.Walk u u
hc : c.IsTrail
he : s(v, w) ∈ c.edges
hw : w ∈ (c.takeUntil v ⋯).support
hv : v ∈ c.support
puw : G.Walk u w := (c.takeUntil v hv).takeUntil w hw
pwv : G.Walk w v := (c.takeUntil v hv).dropUntil w hw
pvu : G.Walk v u := c.dropUntil v hv
this : c = (puw.append pwv).append pvu
hbq : s(v, w) ∈ (pvu.append puw).edges
hpq' : s(v, w) ∈ pwv.edges
⊢ False
⊢ ∀ {X Y : TwoP} (f : X ⟶ Y) (a : X.toBipointed.X), (TwoP.swapEquiv.inverse.map f).toFun a = f.toFun a
R : Type u_1
CommSemiring R
Nontrivial R
⊢ ¬IsField R ↔ ∃ p, p ≠ ⊥ ∧ p.IsPrime
α : Type u_1
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
s : Set (Specialization α)
⊢ IsOpen (⇑Specialization.toEquiv ⁻¹' s) ↔ IsUpperSet s
α : Sort u_1
C : α → Sort u_3
a a' : α
h : a = a'
⊢ Function.Bijective fun x => h ▸ x
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.index = Nat.card (G ⧸ H)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : ¬M ≤ 0
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable G
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
⊢ μ s ≠ 0
α : Type u
⊢ Filter.generate ∅ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
b₁ b₂ : β
⊢ Sum.inrₗ (b₁ ⊔ b₂) = Sum.inrₗ b₁ ⊔ Sum.inrₗ b₂
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f s
hz : s ∈ 𝓝 z
R : ℝ≥0
hR0 : 0 < ↑R
hRs : closedBall z ↑R ⊆ s
⊢ AnalyticAt ℂ f z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
U V : TopologicalSpace.Opens M
h : U ≤ V
⊢ Smooth I I (Set.inclusion h)
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥M
ι : Type u_1
n : ι → ↥N
hn : LinearIndependent R n
⊢ Function.Injective ⇑(M.mulRightMap n)
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n✝ n : ℕ
a✝ : Pair K
⊢ a✝ ∈ (Stream'.Seq.map (Pair.map Rat.cast) (of q).s).get? n ↔ a✝ ∈ (of v).s.get? n
a b : Int
⊢ a ∣ b ↔ b.mod a = 0
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
x y : α
⊢ edist (f x) (f y) = edist x y
α : Type u_2
β : Type u_3
Mul α
Add α
LE α
Mul β
Add β
LE β
f : α ≃+*o β
⊢ ⇑↑f = ⇑f
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.encard < ⊤ ↔ s.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : β → γ
s : Set γ
⊢ g ∘ f ⁻¹' s = f ⁻¹' (g ⁻¹' s)
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : SMul R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
M : Type u_4
N : Type u_5
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
hmul : ∀ (x y : M), (↑f).toFun (x + y) = (↑f).toFun x + (↑f).toFun y
⊢ { toZeroHom := ↑f, map_add' := hmul } = f
m n✝ n : ℕ
a : ZMod n
ha : 2 * a.val ≠ n
h : NeZero n
⊢ -a = ↑(-a.valMinAbs)
G : Type u_12
AddGroup G
x : AddUnits G
⊢ toAddUnits ↑x = x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
⊢ c.ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left = c.inl
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix l m α
f : m ≃. n
i : l
j : n
⊢ (∑ j_1 : m, M i j_1 * if j ∈ f j_1 then 1 else 0) = Option.rec 0 (fun val => M i val) (f.symm j)
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ ∑ x : Finset α, ↑(𝒜ᶜˢ.truncatedInf ({ toFun := compl, inj' := ⋯ } x)).card / (↑({ toFun := compl, inj' := ⋯ } x).card * ↑((card α).choose ({ toFun := compl, inj' := ⋯ } x).card)) + ∑ s ∈ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } univ, ↑(𝒜.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
Hashable α
buckets : Batteries.HashMap.Imp.Buckets α β
self : buckets.WF
Batteries.HashMap.LawfulHashable α
PartialEquivBEq α
bucket : Batteries.AssocList α β
⊢ bucket ∈ buckets.val.data → List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) bucket.toList
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a : α
h : ∀ (b : α), Order.pred b ≠ a
⊢ Order.IsPredLimit a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Embedding M N
p : L.Substructure M
x : ↥p
⊢ ↑((f.substructureEquivMap p) x) = f ↑x
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I : Ideal α
⊢ (I = ⊤ ∨ ∃ x x_1, ∃ (_ : x * x_1 ∈ I), x ∉ I ∧ x_1 ∉ I) ↔ I = ⊤ ∨ ∃ x, ∃ (_ : x ∉ I), ∃ y, ∃ (_ : y ∉ I), x * y ∈ I
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
f : α → F
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm f p (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm f p μ
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
A B : Set (σ → k)
h : A ≤ B
⊢ MvPolynomial.vanishingIdeal B ≤ MvPolynomial.vanishingIdeal A
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
u v : Rˣ
m n : ℕ
h : ↑u * ϖ ^ m = ↑v * ϖ ^ n
⊢ u = v
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
s t : Set α
a✝ b✝ c : α
h : (s.Pairwise fun a b => ¬Disjoint a b) ∧ s ≠ {⊥}
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : Disjoint a b
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : (f '' s).encard = s.encard
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ InjOn f s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
π : α → Type u_6
inst✝¹ : (x : α) → CommMonoid (π x)
inst✝ : (x : α) → TopologicalSpace (π x)
f : ι → (x : α) → π x
g : (x : α) → π x
⊢ HasProd f g ↔ ∀ (x : α), HasProd (fun i => f i x) (g x)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
x : N
⊢ (AddMonoid.Coprod.swap M N) (AddMonoid.Coprod.inr x) = AddMonoid.Coprod.inl x
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α 0
p : (j : Fin n) → α (Fin.succAbove 0 j)
⊢ Fin.insertNth 0 x p = Fin.cons x fun j => cast ⋯ (p j)
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
F : C ⥤ᵣ D
⊢ ((CategoryTheory.AdditiveFunctor.ofRightExact C D).obj F).obj = F.obj
a b : ℤ
r : ℤ
hr : 0 < r
v : ℤ
⊢ ↑(Finset.filter (fun x => x ≡ v [ZMOD r]) (Finset.Ioc a b)).card = max (⌊(↑b - ↑v) / ↑r⌋ - ⌊(↑a - ↑v) / ↑r⌋) 0
n a b c d : ℤ
h₁ : a ≡ b [ZMOD n]
h₂ : c ≡ d [ZMOD n]
⊢ a * c ≡ b * d [ZMOD n]
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 : (extendIdealTo i f h y) (r - snd i x) = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨(r - snd i x) • y, ⋯⟩
⊢ extensionToFun i f h x = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r
f : ℍ → ℂ
⊢ IsBoundedAtImInfty f ↔ ∃ M A, ∀ (z : ℍ), A ≤ z.im → Complex.abs (f z) ≤ M
a : Ordinal.{v}
⊢ Cardinal.lift.{u, v} a.card = (Ordinal.lift.{u, v} a).card
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
ht : IsOpen t
h't : IsPreconnected t
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun n => g n y₀
hy : y ∈ t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)) y
⊢ ContinuousLinearMap.smulRight 1 (∑' (n : α), g' n y) = ∑' (n : α), ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n a b : ℕ
h : a ≤ b
⊢ addRothNumber (Ico a b) = rothNumberNat (b - a)
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
a : A
x : A ⊗[R] M
⊢ (Algebra.TensorProduct.basisAux A b) (a • x) = a • (Algebra.TensorProduct.basisAux A b) x
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
HasContinuousInv₀ R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : R → R
n : ℤ
a : Aˣ
hf : ContinuousOn f ((fun x => x ^ n) '' spectrum R ↑a) := by cfc_cont_tac
ha : p ↑a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => f (x ^ n)) ↑a = cfc f ↑(a ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
x : α
⊢ ‖((κ x) s).toReal‖ ≤ (IsFiniteKernel.bound κ).toReal
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasImage f
W : C
g h : image f ⟶ W
inst✝ : HasLimit (parallelPair g h)
w : factorThruImage f ≫ g = factorThruImage f ≫ h
q : equalizer g h ⟶ image f := equalizer.ι g h
e' : X ⟶ equalizer g h := equalizer.lift (factorThruImage f) w
F' : MonoFactorisation f := MonoFactorisation.mk (equalizer g h) (q ≫ ι f) e' ⋯
v : image f ⟶ F'.I := lift F'
⊢ g = h
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
hpq : q.degree ≤ p.degree
this : (p % q).degree < (q * (p / q)).degree
⊢ q.degree + (p / q).degree = p.degree
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommGroup β
hle : τ ≤ π
ω : Ω
⊢ (stoppedValue u π - stoppedValue u τ) ω = (u (π ω) - u 0 - (u (τ ω) - u 0)) ω
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hp : (Polynomial.aeval s) p = 0
⊢ (minpoly R s).degree ≤ p.degree
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ ‖f + g‖ ≤ ‖f‖ + ‖g‖
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
S : Type u_1
CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.addY (WeierstrassCurve.map W' f) (⇑f ∘ P) (⇑f ∘ Q) = f (W'.addY P Q)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
⊢ ↑‖toL1 f hf‖₊ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : TopologicalSpace F
hι : Nonempty ι
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
this✝ : TopologicalAddGroup F
x✝ : TopologicalSpace E := TopologicalSpace.induced (⇑f) inferInstance
this : TopologicalAddGroup E
i : ι
⊢ comap (⇑f) (comap (⇑(q i)) (𝓝 0)) = comap (⇑(q.comp f i)) (𝓝 0)
a b c : ℕ
⊢ a < c - b ↔ a + b < c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU : ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β), (∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) → U s1 s2
n : ℕ
IH : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)}, LiftRel (LiftRel R) S T → ∀ {a : Option (α × WSeq α)}, S.join.destruct.Results a m → ∃ b, b ∈ T.join.destruct ∧ LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a : Option (α × WSeq α)
ra : S.join.destruct.Results a n
⊢ ∃ b, b ∈ T.join.destruct ∧ LiftRelO R U a b
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
CompleteLattice β
s : Set (α → β)
hs : ∀ f ∈ s, Monotone f
⊢ Monotone (sInf s)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f✝ : X → ℝ
s✝ : Set X
f : X → ℝ
f_int : Integrable f μ
f_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, 1 ≤ f x
⊢ μ s ≤ ∫⁻ (x : X), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
b : Basis ι R M
x : ι → R
⊢ b.equivFun.symm x = ∑ i : ι, x i • b i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a✝ : Unit
r r' : ℚ
hrr' : r ≤ r'
a : α
h1 : Monotone fun r => preCDF ρ r a
h2 : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1
⊢ (preCDF ρ r a).toReal ≤ (preCDF ρ r' a).toReal
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
r : ℝ
⊢ (ρ.IicSnd r) Set.univ = ρ (Set.univ ×ˢ Set.Iic r)
α : Type u_1
ms : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.toMeasure ⋯ = μ
Ω : Type u_1
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
hf₁ : Filter.liminf (fun n => ↑‖f n ω‖₊) Filter.atTop < ⊤
hf₂ : ∀ (a b : ℚ), a < b → MeasureTheory.upcrossings (↑a) (↑b) f ω < ⊤
⊢ ∃ c, Filter.Tendsto (fun n => f n ω) Filter.atTop (𝓝 c)
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
f g : Equiv.Perm α
h : f ∈ g.cycleFactorsFinset
⊢ (g * f⁻¹).Disjoint f
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, ∀ {v w s t : M}, v ∈ V → w ∈ V → s ∈ V → t ∈ V → v * w * s * t ∈ u
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R✝ M✝
inst✝³ : Module R✝ M₂
R : Type u_17
M : Type u_18
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
c : R
⊢ ∀ (c_1 : R) (x : M), c • c_1 • x = c_1 • c • x
θ : Angle
h : 0 ≤ Real.cos θ.toReal
hn : θ.toReal < -(π / 2) ∨ π / 2 < θ.toReal
⊢ Real.cos θ.toReal < 0
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∑ i : α, a i * b i ^ AkraBazziRecurrence.p a b = 1
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
⊢ LipschitzWith 1 Prod.fst
R : Type u
X : Type v
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S R
inst✝ : IsScalarTower S R R
t : S
a b : lib R X
h : Rel R X a b
⊢ Rel R X (t • a) (t • b)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
inst✝² : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset β
b a✝ : β
⊢ a✝ ∈ filter (fun a => b ≠ a) s ↔ a✝ ∈ s.erase b
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r✝ r : R → R → Prop
⊢ Function.Surjective fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }
α : Type u_1
x y : αᵐᵒᵖ
⊢ MulOpposite.unop x = MulOpposite.unop y ↔ x = y
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ aᶜ ⇔ bᶜ = a ⇔ b
ι : Type u
inst✝ : Infinite ι
c : ι → Cardinal.{v}
h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i
h₂ : ∀ (i : ι), lift.{u, v} (c i) ≤ lift.{v, u} #ι
⊢ prod c = 2 ^ lift.{v, u} #ι
γ : Type w
MetricSpace γ
x y : γ
⊢ dist x y ≤ 0 ↔ x = y
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_4
L : Filter ι
inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
inst✝ : L.NeBot
μ : Measure α
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
As_mble : ∀ (i : ι), AEMeasurable ((As i).indicator fun x => 1) μ
⊢ AEMeasurable (A.indicator fun x => 1) μ
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedAddCommMonoid N
s : Finset ι
f : ι → N
n : N
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ n
⊢ s.sum f ≤ s.card • n
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f : P1 →ᵃ[k] P2
⊢ Function.Injective ⇑f.linear ↔ Function.Injective ⇑f
K : Type u
Field K
n : ℕ
hn : n ≠ 1
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
⊢ a ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Zero γ
f : α × β → γ
a : α
h : (Function.support f).Finite
⊢ (Function.support fun b => f (a, b)).Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ a ≤ 1 / b ↔ b ≤ 1 / a
n : ℕ
⊢ (Polynomial.hermite (n + 1)).coeff 0 = -(Polynomial.hermite n).coeff 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : Function.Injective f
ht : t ⊆ range f
⊢ (f ⁻¹' t).encard = t.encard