ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
P : {X : AlgebraicGeometry.Scheme} → X.Opens → Prop
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
h₁ : ∀ (X : AlgebraicGeometry.Scheme) (U : X.Opens), (∀ (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ x, P V) → P U
h₂ :
  ∀ (X Y : AlgebraicGeometry.Scheme) (f : X ⟶ Y) [hf : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f],
    ∃ U V,
      ∃ (hU : U = ⊤) (hV : V = Set.range ⇑f.val.base),
        P { carrier := U, is_open' := ⋯ } → P { carrier := V, is_open' := ⋯ }
h₃ : ∀ (R : CommRingCat), P ⊤
⊢ P U
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
p : ι → Prop
p' : ι' → Prop
s : ι → Set (α × α)
s' : ι' → Set (β × β)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
h' : (𝓤 β).HasBasis p' s'
f : α → β
⊢ UniformInducing f ↔
  (∀ (i : ι'), p' i → ∃ j, p j ∧ ∀ (x y : α), (x, y) ∈ s j → (f x, f y) ∈ s' i) ∧
    ∀ (j : ι), p j → ∃ i, p' i ∧ ∀ (x y : α), (f x, f y) ∈ s' i → (x, y) ∈ s j
X : Pointed
⊢ partialFunEquivPointed.inverse.obj X = { x // ¬x = X.point }
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.815889) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, 1 ≤ f x
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ 1 ≤ cfc f a
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
x y x' y' : α
h : IsCompl x y
h' : IsCompl x' y'
hx : x ≤ x'
⊢ y' ≤ y
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a₁₂₃ : A
h₁₂ : a₁ + a₂ = a₁₂
h₂₃ : a₂ + a₃ = a₂₃
h₁₂₃ : a₁ + a₂ + a₃ = a₁₂₃
X : C
⊢ (shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd' C a₁ a₂ a₁₂ h₁₂).inv.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' C a₁₂ a₃ a₁₂₃ ⋯).inv.app X = (shiftFunctorAdd' C a₂ a₃ a₂₃ h₂₃).inv.app ((shiftFunctor C a₁).obj X) ≫ (shiftFunctorAdd' C a₁ a₂₃ a₁₂₃ ⋯).inv.app X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ (CategoryTheory.Abelian.imageStrongEpiMonoFactorisation f).m = CategoryTheory.Abelian.image.ι f
α : Type u_1
o : Part α
a : α
h : o.Dom
⊢ o.get h = a ↔ a ∈ o
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cocycle K F 1
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G 0
eq : CochainComplex.HomComplex.δ 0 1 β + (↑α).comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q
⊢ (CochainComplex.mappingCone.lift φ α β eq).f p ≫ (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v p q hpq = (↑α).v p q hpq
F : Type u_1
inst✝⁸ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
p : F[X]
hFE : FiniteDimensional F E
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsScalarTower F K E
x : E
hx : x ∈ p.aroots E
inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)
inst✝ : Fintype (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E)
h : IsIntegral K x
h1 : p ≠ 0
h2 : minpoly K x ∣ Polynomial.map (algebraMap F K) p
key_equiv : (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E) ≃ (f : K →ₐ[F] E) × (↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E) := let_fun this := algHomEquivSigma; this
this : (f : K →ₐ[F] E) → Fintype (↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E)
⊢ ∑ i : K →ₐ[F] E, Fintype.card (↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E) = Fintype.card (K →ₐ[F] E) * (minpoly K x).natDegree
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
F : Type u_1
FunLike F R S
f g : F
h : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑⊤
⊢ f = g
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
a b : WithTop α
⊢ WithTop.untop' 0 (a * b) = WithTop.untop' 0 a * WithTop.untop' 0 b
⊢ (deriv fun x => 1 + AkraBazziRecurrence.smoothingFn x) =o[Filter.atTop] fun x => x⁻¹
α : Type u_1
AddCommMonoid α
x : α
⊢ x = Mathlib.Tactic.Abel.term 1 x 0
R : Type u
Ring R
s : Set R
C : R → Prop
x : R
hx : x ∈ Ring.closure s
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
⊢ C x
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ (fun x => -f' x) =o[l] g ↔ f' =o[l] g
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤
⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
he : p = (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod * 0
⊢ Multiset.card p.roots + natDegree 0 = p.natDegree ∧ roots 0 = 0
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
ι : Type v
Fintype ι
ξ : Basis ι 𝕜 E
⊢ Continuous ⇑ξ.equivFun
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ support f
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H K : AddSubgroup G
f : G →+ N
⊢ AddSubgroup.map f (H ⊔ K) = AddSubgroup.map f H ⊔ AddSubgroup.map f K
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y
⊢ WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal W x (Polynomial.C (W.negY x y)) *
    WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal W x (Polynomial.C y) =
  WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XIdeal W x
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : β → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
X : C
g₁ g₂ : X ⟶ ∏ᶜ f
h : ∀ (b : β), g₁ ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.π f b = g₂ ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.π f b
⊢ g₁ = g₂
R : Type u
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
Module B M
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R B M
SMulCommClass A B M
a : A
⊢ ⇑((Algebra.lsmul R B M) a) = fun x => a • x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
g : β ≃. γ
a : α
⊢ (∀ (a_1 : γ), ∀ b ∈ f a, a_1 ∉ g b) ↔ ∀ (b : β) (c : γ), b ∈ f a → c ∉ g b
G : Type u_2
Group G
⊢ ⊥.op = ⊥
x : ℂ
⊢ Complex.cosh (2 * x) = Complex.cosh x ^ 2 + Complex.sinh x ^ 2
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
n : ℕ
a : α
⊢ |n • a| = n • |a|
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M
g : G
x : RestrictScalars k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule
⊢ ((ofModule ρ.asModule) g) x = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule).symm (ρ.asModuleEquiv.symm ((ρ g) (ρ.asModuleEquiv ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) x))))
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
hε' : 0 < ε / 3
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ = 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ = 1 → ε / 3 ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
δ' : ℝ := min (1 / 2) (min (ε / 3) (δ / 3))
x : E
hx : ‖x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
hx' : 1 - δ' < ‖x‖
hy' : 1 - δ' < ‖y‖
hδ' : 0 < 1 - δ'
h₁ : ∀ (z : E), 1 - δ' < ‖z‖ → ‖‖z‖⁻¹ • z‖ = 1
h₂ : ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ 1 → 1 - δ' ≤ ‖z‖ → ‖‖z‖⁻¹ • z - z‖ ≤ δ'
x' : E := ‖x‖⁻¹ • x
y' : E := ‖y‖⁻¹ • y
hxy' : ε / 3 ≤ ‖x' - y'‖
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 - δ'
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
⊢ (AlgHom.fst R A B).prod (AlgHom.snd R A B) = 1
M : Type u_1
Mul M
S : Set (Con M)
⊢ ⇑(sInf S) = sInf (DFunLike.coe '' S)
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space X
h : X ≃ₜ Y
⊢ T2Space Y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f g : α → E
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT (f + g) = MeasureTheory.setToFun μ T hT f + MeasureTheory.setToFun μ T hT g
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ constantCoeff (X 0 - X 1) = 0
α : Sort ?u.56697
β : Sort ?u.56701
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β
h : ∀ (a : α), p a ↔ q (e a)
a : β
⊢ q a ↔ p (e.symm a)
d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x y : ℕ
⊢ 0 * x / 0 * (d * y / d) = 0 * x * (d * y) / (0 * d)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : 𝓢(ℝ, F)
M : ℝ
hMp : 0 ≤ M
hM : ∀ (x : ℝ), |x| ^ k * ‖iteratedDeriv n (⇑f) x‖ ≤ M
⊢ ∀ (x : ℝ), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ M
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
⊢ ⊤.toMeasure ⋯ = ⊤
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : W.Point
⊢ (WeierstrassCurve.Jacobian.Point.toAffineAddEquiv W) P = P.toAffineLift
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
AddZeroClass E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
DistribSMul 𝕜 E
s t : Set E
hs : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
ht : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 t
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (s + t)
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Group S
DistribMulAction S M
SMulCommClass S R M
s : S
⊢ (DistribMulAction.toModuleAut R M) s = DistribMulAction.toLinearEquiv R M s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁
⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
⊢ ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊) ≤ ↑b.natDegree - ↑⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
⊢ ∀ (x x_1 : CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}),
  ((Mon_.EquivLaxMonoidalFunctorPUnit.monToLaxMonoidal C).obj A).μ x x_1 = A.mul
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
S U : Set α
h : IsGenericPoint x S
hU : IsOpen U
⊢ Disjoint S U ↔ x ∉ U
M : Type u_2
MulOneClass M
S₁ S₂ : Submonoid Mᵐᵒᵖ
⊢ (S₁ ⊓ S₂).unop = S₁.unop ⊓ S₂.unop
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
r : R
s t : ↥S
⊢ 0 -ₒ t + (r -ₒ s) = r -ₒ (s + t)
α : Type u_1
OrderedSemiring α
Nontrivial α
h : 0 ∈ Set.Ico 0 1
⊢ ⟨0, h⟩ = 0
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ (base φ).range ≤ (of i).range
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
γ : Type u_3
UniformSpace γ
f : α → β → γ
CompleteSpace γ
⊢ UniformContinuous₂ (pkg.extend₂ pkg' f)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.eraseLead = 0
h₂ : ¬f.nextCoeff = 0
⊢ False
m n : ℕ
h : n ≠ 0
this : n * 1 < n * succ 1
⊢ n < n * succ 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrderedAddCommGroup α
OrderTopology α
NoMaxOrder α
a : α
ha : 0 < a
⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun ε => 0 < ε ∧ ε ≤ a) fun ε => Set.Ioo (a - ε) (a + ε)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ 1 / a < b ↔ 1 / b < a
X : Type u_1
α : Type u_4
TopologicalSpace X
f : X → α
hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y
⊢ SeparationQuotient.lift f hf ∘ SeparationQuotient.mk = f
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))
⊢ IntegrableOn (fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))) (Ioc 0 Y) volume
k : Type u
CommRing k
G : Type u
Group G
V : Type v
AddCommGroup V
Module k V
Module (MonoidAlgebra k G) V
IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
AddCommGroup W
Module k W
Module (MonoidAlgebra k G) W
IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
Fintype G
v : W
⊢ (LinearMap.sumOfConjugates G π) v = ∑ g : G, (π.conjugate g) v
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
h₃ : S₃.RightHomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
ψ' : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ' h₂ h₃
⊢ (ψ.comp ψ').φH = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ψ.φH ψ'.φH
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.RightFraction X Y
⊢ φ.op.s = φ.s.op
α : Type u_1
LinearOrder α
b c d : α
h₁ : c ≤ b
⊢ Set.Iio b ∪ Set.Ico c d = Set.Iio (max b d)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} B
F : CategoryTheory.Functor A B
G₁ : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A) (CategoryTheory.Sheaf J A)
adj₁ : G₁ ⊣ CategoryTheory.sheafToPresheaf J A
G₂ : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ B) (CategoryTheory.Sheaf J B)
adj₂ : G₂ ⊣ CategoryTheory.sheafToPresheaf J B
J.HasSheafCompose F
⊢ J.PreservesSheafification F ↔ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.sheafComposeNatTrans J F adj₁ adj₂)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
⊢ ‖(f' x - A) z‖ ≤ ↑δ * ‖z‖
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
A.IsTrivial
⊢ ↑(groupCohomology.H0LequivOfIsTrivial A) = A.ρ.invariants.subtype
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
p : M → Prop
hs : closure s = ⊤
x : M
one : p 1
mul : ∀ x ∈ s, ∀ (y : M), p y → p (x * y)
this : x ∈ closure s
⊢ p x
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
j : NormedAddGroupHom K H
hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : ∀ (k : K), ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖k‖
⊢ f.SurjectiveOnWith j.range.topologicalClosure (C + ε)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
hr : Relator.LeftUnique R
a b : List α
c : List β
⊢ List.Forall₂ R a c → List.Forall₂ R b c → a = b
a : UnitAddCircle
⊢ ContinuousOn (HurwitzZeta.evenKernel a) (Set.Ioi 0)
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f : α → M
⊢ (s.indicator f = fun x => 0) ↔ Disjoint (Function.support f) s
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
hn'' : 1 < n
this : eval x (cyclotomic n R) * eval x (∏ x ∈ n.properDivisors.erase 1, cyclotomic x R) = ∑ i ∈ range n, x ^ i
⊢ 0 < eval x (cyclotomic n R)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g✝ s t : ι → α
a b : α
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : (i : ι) → p i → α
g : (i : ι) → ¬p i → α
⊢ (⨆ i, if h : p i then f i h else g i h) = ⨆ x, (⨆ (h : p x), f x h) ⊔ ⨆ (h : ¬p x), g x h
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
p : M → Prop
hs : Submonoid.closure s = ⊤
x : M
one : p 1
mul : ∀ x ∈ s, ∀ (y : M), p y → p (x * y)
⊢ p x
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
CommSemiring R
Semiring A₁
Algebra R A₁
e₁ e₂ : A₁ ≃ₐ[R] A₁
x : A₁
⊢ (e₁ * e₂) x = e₁ (e₂ x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
l : List α
H : Pairwise R l
this : Pairwise (Lex (swap fun b a => R a b)) l.reverse.sublists'
⊢ Pairwise (fun l₁ l₂ => Lex R l₁.reverse l₂.reverse) l.sublists
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
b : β
s : Finset α
LinearOrder β
c : β
⊢ Finset.fold min b f s ≤ c ↔ b ≤ c ∨ ∃ x ∈ s, f x ≤ c
α : Type u
R : α → α → Prop
l : List α
⊢ List.Chain' R l ↔ List.Chain' (fun x y => x ∈ l ∧ y ∈ l ∧ R x y) l
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
CommSemiring A
Algebra R A
ι : Type u_1
s : Finset ι
x : ι → A
⊢ ∏ i ∈ s, Submodule.span R {x i} = Submodule.span R {∏ i ∈ s, x i}
R : Type u_1
f : ArithmeticFunction ℕ
Semiring R
h : f.IsMultiplicative
⊢ (↑f).IsMultiplicative
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.12795, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12799, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : h.IsPreservedBy F
this✝ : PreservesLimit (parallelPair S.g 0) F
this : PreservesColimit (parallelPair h.f' 0) F
wi : F.map h.i ≫ F.map S.g = 0
⊢ (S.map F).LeftHomologyData
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
⊢ Gamma (a * s + b * t) ≤ Gamma s ^ a * Gamma t ^ b
α : Type u_1
DecidableEq α
p : Finset α → Prop
s : Finset α
h₀ : p ∅
h₁ : ∀ (a : α) (s : Finset α), a ∉ s → (∀ t ⊆ s, p t) → p (insert a s)
⊢ p s
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
⊢ cgf 0 μ t = log (μ Set.univ).toReal
α : Type u_1
LT α
a b : WithTop α
⊢ WithTop.toDual a < WithTop.toDual b ↔ b < a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMapIso e).inv = CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap e.inv
x : ℝ
⊢ HasStrictDerivAt Real.sin (Real.cos x) x
ι : Type u_1
DecidableEq ι
Fintype ι
m : ℕ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Finset.map { toFun := fun x => n • x, inj' := ⋯ } (Finset.univ.piAntidiag m) =
  Finset.filter (fun f => ∀ (i : ι), n ∣ f i) (Finset.univ.piAntidiag (n * m))
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
s : Set α
a b : α
hs : s.Finite
hf : f.IsCycleOn s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ ∃ n, (f ^ n) a = b
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
hu' : u ≠ 0
⊢ p ≤ addOrderOf u • ‖u‖
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
FiniteDimensional 𝕜 V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : Set P
⊢ intrinsicClosure 𝕜 s = closure s
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
H : L₂ ∈ List.filter (fun b => decide (FreeGroup.Red L₁ b)) L₁.sublists
⊢ FreeGroup.Red L₁ L₂
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.cos x ^ (n + 2) =
  (Real.cos b ^ (n + 1) * Real.sin b - Real.cos a ^ (n + 1) * Real.sin a) / (↑n + 2) +
    (↑n + 1) / (↑n + 2) * ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.cos x ^ n
ι : Type u_1
Fintype ι
DecidableEq ι
R : Type u_2
Semiring R
x : ι → R
⊢ x = ∑ i : ι, x i • fun j => if i = j then 1 else 0
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
ha0 : a ≠ 0
ha1 : ¬IsUnit a
this✝¹ : DecidableEq R := Classical.decEq R
i j : ℕ
hij : (fun x => a ^ x) i = (fun x => a ^ x) j
this✝ : Nontrivial R := { exists_pair_ne := Exists.intro a (Exists.intro 0 ha0) }
this : NormalizationMonoid R := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid
p' : R
hp' : Irreducible p'
dvd' : p' ∣ a
⊢ i = j
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : Fork f g
⊢ s.π.app one = s.ι ≫ f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (CategoryTheory.cokernelUnopUnop g).inv =
  (CategoryTheory.Limits.kernel.lift g (CategoryTheory.Limits.cokernel.π g.unop).op ⋯).unop
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (lift G hG).map (W.Q.map f) = G.map f
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
⊢ cos x * cos (2 * x) - sin x * sin (2 * x) = 4 * cos x ^ 3 - 3 * cos x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
⊢ (CategoryTheory.Limits.equalizerSubobjectIso f g).inv ≫ (CategoryTheory.Limits.equalizerSubobject f g).arrow =
  CategoryTheory.Limits.equalizer.ι f g
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
x : O
hvx : v ((algebraMap O F) x) = 1
⊢ (algebraMap O F) x ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ Symmetric Submodule.IsOrtho
R : Type u_1
Ring R
n : ℕ
φ : PowerSeries R
u : Rˣ
⊢ (PowerSeries.coeff R n) (φ.invOfUnit u) =
  if n = 0 then ↑u⁻¹
  else
    -↑u⁻¹ *
      ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n,
        if x.2 < n then (PowerSeries.coeff R x.1) φ * (PowerSeries.coeff R x.2) (φ.invOfUnit u) else 0
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
g' : α → F'
l : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, A i =o[l] g'
⊢ (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) =o[l] g'
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R
n : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R n) ↑(φ * ψ) = (MvPowerSeries.coeff R n) (↑φ * ↑ψ)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofHasCokernel S hg).right =
  CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofHasCokernel S hg