ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Ico A B)) l fun i => Set.Ioc (a i) (b i)
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J α
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
CategoryTheory.HasWeakSheafify J AddCommGrp
P : PresheafOfModules R₀
F : SheafOfModules R
f : (PresheafOfModules.sheafification α).obj P ⟶ F
⊢ ((PresheafOfModules.sheafificationHomEquiv α) f).hom = CategoryTheory.toSheafify J P.presheaf ≫ f.val.hom
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i
⊢ (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) =O[atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
e : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
⊢ mergeSort r (a :: b :: l) ~ a :: b :: l
⊢ IsPrincipalIdealRing (𝓞 ℚ)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
hs : IsPreconnected s
hxs : x ∈ s
hsF : s ⊆ F
this : IsPreconnected (Subtype.val ⁻¹' s)
h2xs : ⟨x, ⋯⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' s
⊢ s ⊆ connectedComponentIn F x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
K : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ K.vertices ↔ {x} ∈ K.faces
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
AddCommMonoid S
p : R[X]
f : ℕ → R → S
hf : ∀ (i : ℕ), f i 0 = 0
s : Finset ℕ
hs : p.support ⊆ s
⊢ p.sum f = ∑ n ∈ s, f n (p.coeff n)
ι : Type u_1
R₂ : Type u_4
M : Type u_6
CommRing R₂
AddCommGroup M
Module R₂ M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
i : ι
⊢ (e.unitsSMul w).coord i = (w i)⁻¹ • e.coord i
α : Type u
l : List α
⊢ l.sublists.length = 2 ^ l.length
α : Type u_3
MeasurableSpace α
self : MeasureTheory.JordanDecomposition α
⊢ MeasureTheory.IsFiniteMeasure self.negPart
α : Type u_2
LinearOrder α
s t : Finset α
H : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
⊢ t.min' ⋯ ≤ s.min' H
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : G.chromaticNumber ≤ ↑n
this : G.chromaticNumber ≠ ⊤
⊢ G.Colorable n
F : Type u
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
Field F
Algebra K L
Algebra K F
p : K[X]
f : F ≃ₐ[K] L
Polynomial.IsSplittingField K F p
⊢ Polynomial.IsSplittingField K L p
o₁ : Ordinal.{u_4}
o₂ : Ordinal.{u_5}
op : {a : Ordinal.{u_4}} → a < o₁ → {b : Ordinal.{u_5}} → b < o₂ → Ordinal.{max (max u_4 u_5) u_6}
a : Ordinal.{u_4}
b : Ordinal.{u_5}
ha : a < o₁
hb : b < o₂
⊢ op ha hb < o₁.blsub₂ o₂ fun {a} => op
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
Mul β
f g : α → β
⊢ (UniformOnFun.ofFun 𝔖) (f * g) = (UniformOnFun.ofFun 𝔖) f * (UniformOnFun.ofFun 𝔖) g
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
⊢ Metric.closedBall 1 δ / s = Metric.cthickening δ s⁻¹
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f g : α → β
s : Multiset α
h : ∀ x ∈ s, f x = g x
⊢ map f s = map g s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f' g'
c : ℝ
cpos : 0 < c
⊢ IsBigOWith c l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
a : Args
⊢ a.Numeric → P124 a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
hs : ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
H : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f m) (f n)
m n : ℕ
hmn : f m ≠ f n
⊢ rᶜ (f m) (f n)
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
w : InfinitePlace K
a : 𝓞 K
ha : a ≠ 0
h : ∀ ⦃z : InfinitePlace K⦄, z ≠ w → z ↑a < 1
⊢ 1 ≤ |(Algebra.norm ℤ) a|
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Basis I X
hY : I ⊆ Y
h : M.closure X = M.closure Y
hYE : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
⊢ Y ⊆ M.closure I
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
E : Set X
x : X
key_iff : ∀ (z : X), edist x z < ENNReal.ofReal δ ↔ dist x z < δ
⊢ x ∈ thickening δ E ↔ ∃ z ∈ E, dist x z < δ
n k : ℕ
⊢ (n + 1 - (k + 1)) * (n + 1).descFactorial (k + 1) = (n + 1) * n.descFactorial (k + 1)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Injective ⇑f
⊢ Wbtw R (f x) (f y) (f z) ↔ Wbtw R x y z
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
L : E →L[𝕜] F
r ε : ℝ
x : E
r' : ℝ
r'_mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ ball x r', ∀ z ∈ ball x r', ‖f z - f y - L (z - y)‖ < ε * r
s : ℝ
s_gt : r / 2 < s
s_lt : s < r'
⊢ ∃ ε_1 > 0, ball x ε_1 ⊆ A f L r ε
α : Type u_1
ι : Sort u_5
SupSet α
f : ι → α
⊢ sSup (Set.range f) = iSup f
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace α
OpensMeasurableSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
h's : TopologicalSpace.IsSeparable s
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
𝕜 : Type u
E : Type v
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n : ℕ
⊢ p.coeff n = 0 ↔ p n = 0
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set ↑(range f)
x : ↑s
⊢ (fun x => ⟨⟨f ↑x, ⋯⟩, ⋯⟩) ((fun x => ⟨rangeSplitting f ↑x, ⋯⟩) x) = x
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
AddMonoid ι
(i : ι) → AddCommGroup (A i)
self : DirectSum.GRing A
n : ℕ
⊢ DirectSum.GRing.intCast ↑n = DirectSum.GSemiring.natCast n
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ p %ₘ 0 = p
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
Semiring R
(i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
(i : η) → Module R (Ms i)
Fintype η
DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
⊢ (Pi.basis s).repr ((LinearMap.stdBasis R Ms j) ((s j) i)) = Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
DecidablePred fun x => x ∈ A \ {0}
⊢ schnirelmannDensity (A \ {0}) = schnirelmannDensity A
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
e : α ≃ β
⊢ Multiset.map (⇑e) Finset.univ.val = Finset.univ.val
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ_[p]
⊢ q ≠ 0 → ∃ n, padicNormE q = ↑p ^ (-n)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m✝ : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
m : M
hm : m ≠ 0
⊢ Ideal.IsMaximal (ker (toSpanSingleton R M m))
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
B : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : TopologicalRing B
inst✝ : Algebra R B
f : B →ₐ[R] A
f' : B ≃ₜ A
w : ⇑f = ⇑f'
⊢ ↑(comap f s.topologicalClosure) = closure ↑(comap f s)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜' → 𝕜'
g : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜' f (g x)
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x
⊢ logDeriv (f ∘ g) x = logDeriv f (g x) * deriv g x
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift ⟦P⟧
⊢ (WeierstrassCurve.Jacobian.Point.mk hP).toAffineLift = WeierstrassCurve.Jacobian.Point.toAffine W P
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set α
⊢ μ.restrict (MeasureTheory.toMeasurable μ s) = μ.restrict s
ι : Type ?u.54871
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Free R M
Q : QuadraticMap R M N
⊢ ∃ a, a.toQuadraticMap = Q
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
⊢ ↑s = {a | a ∈ s.toList}
R : Type u_1
S : Type v₃
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
CommSemiring R'
CommSemiring S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R' S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
H : Algebra.IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
Semiring A
Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
⊢ ∀ (H_1 : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x) (x : S),
  (Algebra.pushoutDesc S' f g H_1) ((algebraMap S S') x) = f x
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → α → M
⊢ (∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Ioi x, f x_1 x) * ∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Ioi x, f x x_1 = (∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Ioi x, f x_1 x) * ∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Iio x, f x_1 x
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
this : 2 ^ Fintype.card α * (𝒜ᶜ ∩ ℬ).card ≤ 2 ^ Fintype.card α * ℬ.card - 𝒜.card * ℬ.card
⊢ 2 ^ Fintype.card α * (𝒜ᶜ ∩ ℬ).card ≤ 2 ^ Fintype.card α * ℬ.card
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
DecidableEq n
AddGroupWithOne α
AddGroupWithOne β
f : α → β
h : f 0 = 0
d : ℤ
⊢ (↑d).map f = Matrix.diagonal fun x => f ↑d
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
s : Set Ω
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSet ∅ s κ μ
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
⊢ s.FG
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
S : μ.FiniteSpanningSetsIn {s | MeasurableSet s}
⊢ S.disjointed.set = disjointed S.set
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / ((-o).oangle x (x - y)).tan = ‖x‖
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q f g : R[X]
hg : g.Monic
a✝ : Nontrivial R
hfg : ¬f /ₘ g = 0
hgf : g.degree ≤ f.degree
this : g.degree + (f /ₘ g).degree = f.degree
hf : f ≠ 0
⊢ (f /ₘ g).natDegree = f.natDegree - g.natDegree
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X : C
⊢ prodComparison F X (⊤_ C) ≫ prod.map (𝟙 (F.obj X)) (terminalComparison F) ≫ prod.fst = F.map prod.fst
p n k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hkn : k ≤ p ^ n
hk0 : k ≠ 0
⊢ multiplicity p ((p ^ n).choose k) + multiplicity p k = ↑n
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
_n : ℕ
val : L'.Functions _n
⊢ FirstOrder.Language.LHom.sumInr.onFunction val = Sum.inr val
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
F : J ⥤ Type u
t : Cocone F
h : IsColimit t
x : t.pt
⊢ ∃ j y, t.ι.app j y = x
α : Type u_1
R : Type u_5
Semiring R
α' : Type u_7
M' : Type u_8
AddCommMonoid M'
Module R M'
v' : α' → M'
f : α ≃ α'
l : α →₀ R
⊢ (Finsupp.total α' M' R v') (Finsupp.equivMapDomain f l) = (Finsupp.total α M' R (v' ∘ ⇑f)) l
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
cd : Fin 2 → R
b₀ a : R
gcd_eqn : b₀ * cd 0 + a * cd 1 = 1
A : Matrix (Fin (Nat.succ 0).succ) (Fin (Nat.succ 0).succ) R := of ![![a, -b₀], cd]
det_A_1 : A.det = 1
⊢ (fun g => ↑g 1) ⟨A, det_A_1⟩ = cd
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
GroupWithZero α
MulDistribMulAction α G
a : α
ha : a ≠ 0
S T : Subgroup G
⊢ S ≤ a • T ↔ a⁻¹ • S ≤ T
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x V) (⋃ x ∈ B, ball x V)
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
x y : FirstOrder.Language.Structure.Sigma f
i : ι
hx : x.fst ≤ i
hy : y.fst ≤ i
⊢ x ≈ y ↔ (f x.fst i hx) x.snd = (f y.fst i hy) y.snd
M : Type u_2
CommMonoid M
n : ℕ
f : ℕ → ℕ → M
⊢ ∏ m ∈ Finset.range n, ∏ k ∈ Finset.range (m + 1), f k (m - k) = ∏ m ∈ Finset.range n, ∏ k ∈ Finset.range (n - m), f m k
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ x ∈ p.ball x r
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
l : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, A i =O[l] g
⊢ (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) =O[l] g
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ 0 ∈ lowerBounds (Set.range fun p => projectiveSeminormAux ↑p)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
OpensMeasurableSpace α
μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
⊢ μ.IsEverywherePos (μ.everywherePosSubset s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : a < b
⊢ a < b * succ 0
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hn : n ≠ 0
⊢ ¬p ∣ n / p ^ n.factorization p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
x✝¹ : E
x✝ : x✝¹ ∈ s
⊢ ‖(B x✝¹) 0‖ ≤ 1
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.tan (x - ↑n * Real.pi) = Real.tan x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivAt f f' x
⊢ fderiv 𝕜 f x = f'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
Φ : C ⥤ D
Φ.Additive
⊢ (-z).map Φ = -z.map Φ
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t : Finset α
⊢ (s ⊻ t).Nonempty → s.Nonempty
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
P : Subgroup G
hP : IsPGroup p ↥P
Q : Sylow p G
⊢ Q ∈ fixedPoints (↥P) (Sylow p G) ↔ P ≤ ↑Q
X : Type u_1
Y : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
TopologicalSpace X
CompactSpace X
TopologicalSpace Y
CompactSpace Y
CommSemiring R
Semiring A
MetricSpace A
TopologicalSemiring A
Algebra R A
f : C(X, Y)
⊢ Continuous ⇑(ContinuousMap.compRightAlgHom R A f)
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G
⊢ IsClosed ↑U
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
ContinuousAdd E
s t : Set E
hst : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (s - t)
ht : t.Nonempty
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K
⊢ b / -a = b * (1 / -a)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.61160, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.61164, u_3} E
X B : C
π : X ⟶ B
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
⊢ ∀ ⦃Z : (Sieve.ofArrows (fun x => X) fun x => π).arrows.categoryᵒᵖ⦄ (i j : op ((Sieve.ofArrows (fun x => X) fun x => π).arrows.categoryMk π ⋯) ⟶ Z), ∃ a, i = (Over.homMk c.fst ⋯).op ≫ a ∧ j = (Over.homMk c.snd ⋯).op ≫ a
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x y : E
x' y' : F
x'' : ↥f.domain
hx1 : ↑x'' = x
hx2 : ↑f x'' = x'
y'' : ↥f.domain
hxy : x'' = y''
hy1 : ↑y'' = y
hy2 : ↑f y'' = y'
⊢ x' = y'
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g μ
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this✝ : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)
G : ℕ → SimpleFunc α E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (range g ∩ s) y₀ h₀
this : Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (G n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), g x ∂μ))
n : ℕ
⊢ ∀ i ∈ (G n).range, ↑(ContinuousLinearMap.id ℝ E) i ∈ s
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ y₁ L : A
⊢ (baseChange W B).toAffine.addY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = f ((baseChange W A).toAffine.addY x₁ x₂ y₁ L)
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra F L
ne : Nonempty (K →ₐ[F] L)
h : Normal F L
φ : K →ₐ[F] L
⊢ normalClosure F K L = ⨆ x, adjoin F ((minpoly F x).rootSet L)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
hb : LinearIndependent ℝ b
hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction
hv : ∀ v ∈ s.direction, ∃ t₁ t₂, v = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
t₁ t₂ : ℝ
hpt : p -ᵥ p₁ = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
hop : t₁ = 0
⊢ p = p₁ ∨ p = p₂
M : Type u_1
CommMonoid M
ζ : M
⊢ IsPrimitiveRoot ζ (orderOf ζ)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
ι : Sort u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
C : M → Prop
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, N i
hN : ∀ (i : ι), ∀ y ∈ N i, C y
h0 : C 0
hadd : ∀ (y z : M), C y → C z → C (y + z)
⊢ C x
α : Type u
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
⊢ s.Nontrivial
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ AffineSubspace.perpBisector p₁ p₂ ≠ ⊥
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
aux : (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) = fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) (Icc a b)
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{vC, uC} C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{vD, uD} D
G : CategoryTheory.Functor C D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
self : G.IsLocallyFull K
U V : C
f : G.obj U ⟶ G.obj V
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPushforward G (G.imageSieve f) ∈ K.sieves (G.obj U)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h : ν ≤ μ
⊢ MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
f : F
G : Type u_2
FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
g : G
I : Ideal R
h : Function.LeftInverse ⇑g ⇑f
⊢ Ideal.map f I ≤ Ideal.comap g I
m n : ℕ
⊢ ack m ((n + 1) ^ 2) < ack (m + 4) n
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = π
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = -(‖x‖ * ‖y‖)
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
⊢ S = ⊥ ∨ ∃ x ∈ S, x ≠ 1
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M N : Submodule R A
C : (r : A) → r ∈ M * N → Prop
mem_mul_mem : ∀ (m : A) (hm : m ∈ M) (n : A) (hn : n ∈ N), C (m * n) ⋯
add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ M * N) (y : A) (hy : y ∈ M * N), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
r : A
hr : r ∈ M * N
⊢ C r hr
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.IsCommutative
inst✝¹ : H.FiniteIndex
α β : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.Normal
h : ↥H
this : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
⊢ diff (MonoidHom.id ↥H) α (op ↑h • β) = diff (MonoidHom.id ↥H) α β * h ^ H.index
P : TopCat → Prop
X✝ : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X✝
inst✝² : CompactSpace X✝
inst✝¹ : T2Space X✝
inst✝ : HasProp P X✝
X Y : CompHausLike P
f : X ⟶ Y
hf : Epi ⇑f
⊢ Epi f
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
f : { x // x ∈ m } → β
g : α → β
hfg : ∀ (x : { x // x ∈ m }), f x = g ↑x
⊢ ∏ x : { x // x ∈ m }, f x = ∏ x ∈ m.toFinset, g x
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
e' : PartialEquiv α β
h : e.IsImage s t
h' : e'.IsImage s t
hs : e.source ∩ s = e'.source ∩ s
heq : Set.EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ s)
⊢ e.target ∩ t = e'.target ∩ t
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
Monoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : MonoidAlgebra k G →ₐ[k] A
⊢ F = (MonoidAlgebra.lift k G A) ((↑F).comp (MonoidAlgebra.of k G))
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s t : Set X
⊢ (∀ x ∈ 𝓝ˢ t, x ∈ 𝓝ˢ s) → s ⊆ t
n : Num
⊢ n + n + 1 = n.bit1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B R : C
f g : R ⟶ A
q : A ⟶ B
h : CategoryTheory.IsKernelPair q f g
⊢ CategoryTheory.IsReflexivePair f g
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
Zero β
Zero γ
f : α → β → γ
hf : ∀ (a : α), f a 0 = 0
A : Matrix l m α
⊢ Matrix.kroneckerMap f A 0 = 0