ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
x : M
h : (f ^ n) x = 0
c : ℕ
w : n ≤ n + c
⊢ x ∈ (fun n => ker (f ^ n)) (n + c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
H : (Nonempty β → ¬Infinite α) ∧ (Nonempty α → ¬Infinite β)
H' : Infinite (α × β)
a : α
b : β
this : Fintype α
⊢ False
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
⊢ r < ↑b ^ (log b r + 1)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M
x : M
⊢ x ∈ span R (Set.range v) ↔ ∃ x_1, ∑ i : α, Finsupp.equivFunOnFinite x_1 i • v i = x
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
x : ↥(f.closure.domRestrict f.domain).domain
y : ↥f.domain
hxy : ↑x = ↑y
z : ↥f.closure.domain := ⟨↑y, ⋯⟩
hyz : ↑y = ↑z
⊢ ↑(f.closure.domRestrict f.domain) x = ↑f.closure z
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
f₁ : Q₁ →qᵢ Qₙ
f₂ : Q₂ →qᵢ Qₙ
hf : ∀ (x : M₁) (y : M₂), QuadraticMap.IsOrtho Qₙ (f₁ x) (f₂ y)
m₁ : CliffordAlgebra Q₁
m₂ : CliffordAlgebra Q₂
hm₁ : m₁ ∈ evenOdd Q₁ 1
hm₂ : m₂ ∈ evenOdd Q₂ 1
⊢ (map f₁) m₁ * (map f₂) m₂ = -(map f₂) m₂ * (map f₁) m₁
n : Nat
a : Fin n
⊢ ↑a ≤ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
⊢ WithSeminorms (gaugeSeminormFamily 𝕜 E)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a n' n'' : ℤ
hn' : n' + a = n
hn'' : n + a = n''
⊢ (γ.rightShift a n' hn').leftShift a n hn' = a.negOnePow • (γ.leftShift a n'' hn'').rightShift a n hn''
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
a : Set (α × α)
ha : a ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ range s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ a}
Fq : Type u_1
Field Fq
Fintype Fq
p : Polynomial Fq
hp : p ≠ 0
⊢ Polynomial.cardPowDegree p = ↑(Fintype.card Fq) ^ p.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
AddMonoidWithOne α
AddMonoidWithOne β
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).1 = OfNat.ofNat n
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ ((α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight) ≫ P.actLeft = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ▷ S.X ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
x : Unitization 𝕜 A
⊢ (x.fst, (lift (NonUnitalAlgHom.Lmul 𝕜 A)).toRingHom x) = (x.fst, (algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd)
R : Type u
M₂ : Type w
ι : Type x
Semiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M₂ →ₗ[R] φ i
⊢ LinearMap.pi f = 0 ↔ ∀ (i : ι), f i = 0
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.95502, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.96011, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
s : ↑(F.op ⋙ yoneda.obj X).sections
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ F.map f ≫ ↑s (op j') = ↑s (op j) ≫ 𝟙 X
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Prime p
h : p ^ (n.factorization p + 1) ∣ n
⊢ False
V : Type u_1
W : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v : V
w y : W
⊢ (fderiv ℝ (fun w => ↑(𝐞 (-(L v) w))) w) y = -2 * ↑π * Complex.I * ↑((L v) y) * ↑(𝐞 (-(L v) w))
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
ha : ∃ l, l < a
⊢ (𝓝[≤] a).HasBasis (fun l => l < a) fun l => Set.Ioc l a
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ
a : E
b : ℝ
hf : HasSum f a
hg : HasSum g b
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ g i
⊢ ‖a‖ ≤ b
x y : ℝ
hx : x < 0
⊢ rexp (log x) = -x
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | x.2 / x.1 ∈ U i}
α : Type u
PseudoMetricSpace α
Preorder α
CompactIccSpace α
a b : α
⊢ Bornology.IsBounded (Set.Icc a b)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hx : x ∈ s
L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
u₀ : Set (β × β)
hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β
u₁ : Set (β × β)
h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β
u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀
u₂ : Set (β × β)
h₂ : u₂ ∈ 𝓤 β
hsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ u₂ → (b, a) ∈ u₂
u₂₁ : u₂ ○ u₂ ⊆ u₁
t : Set α
tx : t ∈ 𝓝[s] x
F : α → β
hFc : ContinuousWithinAt F s x
hF : ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u₂
A : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, (f y, F y) ∈ u₂
B : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, (F y, F x) ∈ u₂
⊢ u₀ ∈ map (fun x_1 => (f x_1, f x)) (𝓝[s] x)
α : Type u_1
LinearOrder α
MulOneClass α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 ≤ b
⊢ max a b ≤ a * b
n k : ℕ
S : Set ℕ
hk : k ∈ S
h_ind : ∀ (k : ℕ), k ∈ S → k + 1 ∈ S
hnk : k ≤ n
⊢ n ∈ S
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n : ℕ
a : M
m : ℕ
⊢ a ^ (m + 0) = a ^ m * a ^ 0
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
n : ℤ
X₃ : C
g : X₂ ⟶ X₃
h : X₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
mem : S.P X₃
⊢ S.W (n.negOnePow • (shiftFunctor C n).map f)
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hm : 0 < m
hmn : n.Coprime m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A n δ
⊢ (fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x t : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
ht : 0 < t
⊢ |log x * x ^ t| < 1 / t
R : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring R
M N P : AddSubmonoid R
h : M ≤ N
⊢ M * P ≤ N * P
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddAbove s
hlim : ¬Order.IsSuccLimit (sSup s)
⊢ sSup s ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
f : α → β
h : t₁ ≤ t₂
⊢ TopologicalSpace.coinduced f t₁ ≤ TopologicalSpace.coinduced f t₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
self : IndexedPartition s
x : α
⊢ x ∈ s (self.index x)
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℝ
⊢ ∫⁻ (y : ℝ) in Set.Iic x, ProbabilityTheory.exponentialPDF r y =
  ENNReal.ofReal (if 0 ≤ x then 1 - rexp (-(r * x)) else 0)
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
f : M ≃ₗ[R] N
x : AdicCompletion I N
⊢ (AdicCompletion.congr I f).symm x = (AdicCompletion.map I ↑f.symm) x
A : Type u_1
NormedCommRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
⊢ Isometry ⇑(WeakDual.gelfandTransform ℂ A)
a b : Prop
h₁ : a → b
h₂ : b → a
⊢ a = b
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : a ≠ 0
⊢ (normalizedFactors a).prod ~ᵤ a
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : M →+ N
hf : ∀ (x : M), f x = 0 → x = 0
g : α → M
⊢ f (∑ᶠ (i : α), g i) = ∑ᶠ (i : α), f (g i)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r
k : ℕ
⊢ Nonempty { f_1 // f k ∈ Set.range ⇑f_1 }
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
hdeg : ¬P.natDegree = 0
P₁ : R[X] := P.eraseLead
hP₁ : P₁ = P.eraseLead
⊢ IsUnit P₁
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → β
v : α →₀ M
⊢ (Finsupp.mapDomain.addMonoidHom f) v = Finsupp.mapDomain f v
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsEulerian
⊢ ∀ (a : Sym2 V), List.count a p.edges ≤ 1
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℕ
hm : m ≠ 0
⊢ Irrational (↑m / x)
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec List.reverse
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.convs' m = g.convs' n
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx : x ≤ 1
hz : 0 ≤ z
⊢ x ^ z ≤ 1
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hYdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (Y i) (Y j)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
inhabited_h : Inhabited ι
⊢ 3 ≤ #(FreeGroup Unit)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
⊢ HasFiniteIntegral (fun x => (1 + ‖x‖) ^ (-r)) μ
α : Type u_1
Mul α
a b : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (a * b) = OrderDual.ofDual a * OrderDual.ofDual b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ 0 < p.radius
f : ℝ → ℝ
hf : Differentiable ℝ f
hf'_anti : Antitone (deriv f)
⊢ ConcaveOn ℝ Set.univ f
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
p : Sort u_4
f : M → ↥S → M → ↥S → p
H :
  ∀ {a a' : M} {b b' : ↥S} {c c' : M} {d d' : ↥S},
    (Localization.r S) (a, b) (a', b') → (Localization.r S) (c, d) (c', d') → f a b c d = f a' b' c' d'
a c : M
b d : ↥S
⊢ (Localization.mk a b).liftOn₂ (Localization.mk c d) f H = f a b c d
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasStrictInitialObjects C
I A : C
f : A ⟶ I
⊢ CategoryTheory.Limits.IsInitial I → CategoryTheory.IsIso f
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_2
Semiring k
NonUnitalNonAssocSemiring R
f : k →+ R
g : Multiplicative G → R
a : G
b : k
⊢ (AddMonoidAlgebra.liftNC f g) (AddMonoidAlgebra.single a b) = f b * g (Multiplicative.ofAdd a)
α : Type u
SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ a ⊔ b ⊔ c = c ⊔ b ⊔ a
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
⊢ SemidirectProduct.rightHom.comp SemidirectProduct.inr = MonoidHom.id G
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
⊢ ↑f x ∈ Set.Icc 0 1
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
Nontrivial α
Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
⊢ (∀ (t : Finset α), (↑t).Intersecting → s ⊆ t → s = t) ↔ 2 * s.card = Fintype.card α
p : ℝ≥0∞
K : Type uK
V : Type uV
Semiring K
AddCommGroup V
Module K V
c : K
x' : V
⊢ (WithLp.equiv p V).symm (c • x') = c • (WithLp.equiv p V).symm x'
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
n : ℕ
⊢ (↑n).val = ↑n
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Semiring B
Algebra R S
Algebra S A
Algebra S B
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
Star A
Star B
⊢ Function.Injective (StarAlgEquiv.restrictScalars R)
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε x r' : ℝ
rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
s : ℝ
s_gt : r / 2 < s
s_lt : s < r'
this : s ∈ Ioc (r / 2) r
⊢ ∃ u ∈ Ioi x, Ioo x u ⊆ A f L r ε
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
s : Set β
⊢ EMetric.diam (⇑h ⁻¹' s) = EMetric.diam s
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ (tensorLeft X.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft)) ≫ (M.tensorBimod N₁).actLeft ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = (tensorLeft X.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft)) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ≫ (M.tensorBimod N₂).actLeft
R : Type u_1
CommSemiring R
a₁ a₂ b c₁ c₂ d : R
⊢ a₁ * b = c₁ → a₂ * b = c₂ → c₁ + c₂ = d → (a₁ + a₂) * b = d
f g : CircleDeg1Lift
G : Type u_1
inst✝ : Group G
f₁ f₂ : G →* CircleDeg1Lift
h : ∀ (g : G), τ (f₁ g) = τ (f₂ g)
this : ∀ (x : ℝ), BddAbove (range fun g => (f₂ g⁻¹) ((f₁ g) x))
F₁ : G →* ℝ ≃o ℝ := toOrderIso.comp f₁.toHomUnits
F₂ : G →* ℝ ≃o ℝ := toOrderIso.comp f₂.toHomUnits
hF₁ : ∀ (g : G), ⇑(F₁ g) = ⇑(f₁ g)
hF₂ : ∀ (g : G), ⇑(F₂ g) = ⇑(f₂ g)
x : ℝ
⊢ BddAbove (range fun g => (f₂ g⁻¹) ((f₁ g) x))
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
f : α →o β
s : Interval α
⊢ ⇑f '' ↑s ⊆ ↑(Interval.map f s)
p : ℤ[X]
hp : p.IsPrimitive
⊢ Irreducible p ↔ Irreducible (Polynomial.map (Int.castRingHom ℚ) p)
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => u ⌊c k ^ n⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 l)
a : ℝ
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : c k < a
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑((fun n => ⌊c k ^ n⌋₊) (n + 1)) ≤ a * ↑((fun n => ⌊c k ^ n⌋₊) n)
a✝ b c : Ordinal.{u}
h : b ≤ c
a : Ordinal.{u}
⊢ a ♯ b ≤ a ♯ c
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
F : Set X
h : JoinedIn F x y
⊢ Joined ⟨x, ⋯⟩ ⟨y, ⋯⟩
G : Type u_1
inst✝⁷ : CommGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : CompactSpace G
inst✝ : RootableBy G ℤ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
f : G →* G := zpowGroupHom n
⊢ map (fun g => g ^ n) μ = μ
k : Type u
CommRing k
G : Type u
Group G
V : Type v
AddCommGroup V
Module k V
Module (MonoidAlgebra k G) V
IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
AddCommGroup W
Module k W
Module (MonoidAlgebra k G) W
IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
h : ∀ (v : V), π (i v) = v
Fintype G
Invertible ↑(Fintype.card G)
v : V
⊢ (LinearMap.equivariantProjection G π) (i v) = v
α : Type u_2
One α
⊢ 𝓟 1 = 1
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0
⊢ (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ Y : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
hx : Compatible P π x
⊢ ∃ x', ∀ (i : I), x' (π i) ⋯ = x i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f g : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α
h : ∀ (x : β), p x → q x
a : α
ha : a ∈ {a | ∀ᶠ (x : β) in f, q x → u x ≤ a}
⊢ ∀ (x : β), (q x → u x ≤ a) → p x → u x ≤ a
n : Nat
⊢ List.range (n + 1) = 0 :: List.map Nat.succ (List.range n)
R : Type u
Semiring R
n a : ℕ
c : R
h : a ∈ (Polynomial.C c * Polynomial.X ^ n).support
⊢ a = n
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsCompact s
⊢ IsSigmaCompact s
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
G : Type wG
G' : Type wG'
Fintype ι
Fintype ι'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
σ : ι ≃ ι'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x => G) G'
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.domDomCongr σ f‖ = ‖f‖
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ (ClosureOperator.id α) a = a
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p % 4 = 3
hq : q % 4 = 3
⊢ legendreSym q ↑p = -legendreSym p ↑q
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
⊢ (algebraMap R S) x = 0 ↔ x = 0
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
φ φ' : B → F ≃L[𝕜] F
U U' : Set B
hU : IsOpen U
hφ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x)) U
h2φ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x).symm) U
hU' : IsOpen U'
hφ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x)) U'
h2φ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x).symm) U'
⊢ (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hU hφ h2φ ≫ₕ FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ' hU' hφ' h2φ').source =
  (U ∩ U') ×ˢ Set.univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.GlueData C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
i : D.J
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑(D.U i)
⊢ D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ D.ιInvApp U = 𝟙 (CategoryTheory.Limits.limit (D.diagramOverOpen U))
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S T : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ (S ⊓ T).toNonUnitalSubsemiring = S.toNonUnitalSubsemiring ⊓ T.toNonUnitalSubsemiring
s : ℝ
n : ℕ
hn : s < ↑n
x : ℝ
hx₀ : 0 < x
hx₁ : 1 ≤ x
⊢ x ^ s ≤ x ^ ↑n
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H₁ : l.size = 0 → r.size ≤ 1
H₂ : 1 ≤ l.size → 1 ≤ r.size → r.size ≤ delta * l.size
H₃ : 2 * l.size ≤ 9 * r.size + 5 ∨ l.size ≤ 3
r0 : r.size > 0
l0 : l.size = 0
⊢ 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
t : Set Ω
h_indep : IndepSet t t μ
⊢ μ t = 0 ∨ μ t = 1
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝¹ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a✝ : α
n : ℕ
𝒜✝ : Finset (Finset α)
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
ih₀ : (nonMemberSubfamily a 𝒜).card ≤ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer.card
ih₁ : (memberSubfamily a 𝒜).card ≤ (memberSubfamily a 𝒜).shatterer.card
ℬ : Finset (Finset α) := image (insert a) ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∩ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer)
hℬ : ℬ.card = ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∩ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer).card
⊢ (memberSubfamily a 𝒜).card + (nonMemberSubfamily a 𝒜).card ≤ 𝒜.shatterer.card
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : LindelofSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
t : Set X
tc : t.Countable
s : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, U x = univ
n : Type u_1
R : Type u_2
Field R
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix n n R
⊢ (spectrum R A).Finite
R : Type u
CommRing R
ι : Type u_1
Fintype ι
f : ι → R[X]
h1 : Pairwise (IsCoprime on f)
h2 : ∀ (x : ι), (f x).Separable
⊢ (∏ x : ι, f x).Separable
T : ℝ
hT : T ≠ 0
z✝¹ z✝ : ℝ
h : toCircle ↑z✝¹ = toCircle ↑z✝
⊢ ↑z✝¹ = ↑z✝
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ InfIrred (UpperSet.Ici a)
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
z w : S
h : z * w = 0
x : A × ↥M
hx : z * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1
y : A × ↥M
hy : w * (algebraMap A S) ↑y.2 = (algebraMap A S) y.1
this : z * w * (algebraMap A S) ↑y.2 * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1 * (algebraMap A S) y.1
⊢ z = 0 ∨ w = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
⊢ (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ = j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g k
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ c - a ⊓ b = (c - a) ⊔ (c - b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ M.whiskerLeft g ≫ Bimod.whiskerRight f Q = Bimod.whiskerRight f P ≫ N.whiskerLeft g
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = ((fun x => x.2.1.piecewise x.2.2 x.1) (p, x₁, x₂)) j
hs : s i (x i) (((fun x => x.2.1.piecewise x.2.2 x.1) (p, x₁, x₂)) i)
⊢ ∃ a', InvImage (GameAdd (DFinsupp.Lex r s) (DFinsupp.Lex r s)) snd a' (p, x₁, x₂) ∧ (fun x => x.2.1.piecewise x.2.2 x.1) a' = x
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedGroup (π i)
f : (i : ι) → π i
i : ι
⊢ ‖f i‖₊ ≤ ‖f‖₊
α : Type u
HasSubset α
HasSSubset α
IsNonstrictStrictOrder α (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun x x_1 => x ⊂ x_1
a b : α
⊢ a ⊂ b ↔ a ⊆ b ∧ ¬b ⊆ a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β → γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f)
h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b
h_mono : Monotone F
⊢ ∫⁻ (bc : β × γ), ⨆ n, ↑(F n) (bc.1, bc.2) ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b) ∂κ a
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
c : γ
h : Sum.LiftRel r s x (Sum.inl c)
⊢ x.isLeft = true