ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
t : Set β
hs : s.PartiallyWellOrderedOn r
ht : t.PartiallyWellOrderedOn r'
f : ℕ → α × β
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ×ˢ t
g₁ : ℕ ↪o ℕ
h₁ : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → r ((Prod.fst ∘ f) (g₁ m)) ((Prod.fst ∘ f) (g₁ n))
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x y => r x.1 y.1 ∧ r' x.2 y.2) (f m) (f n)
α : Type u_1
Preorder α
s : Ordset α
⊢ s = ∅ ↔ (↑s).empty = true
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
H : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
⊢ Function.Injective ⇑(X.presheaf.map i.op)
α : Sort u_1
n m : Nat
f : α → Fin n → α
x : α
h : m < n
⊢ foldl.loop n f x m = foldl.loop n f (f x ⟨m, h⟩) (m + 1)
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
⊢ ∃ y, ↑a * y ≡ 1 [ZMOD ↑b]
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
(↑I).IsPrincipal
⊢ I * I⁻¹ = 1 ↔ Submodule.IsPrincipal.generator ↑I ≠ 0
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}
m : ℕ
hm : m ∈ {m | p m}
b : ℕ
hb : b ∈ {m | p (m - n)}
hbn : b < n
⊢ b - n ∈ {m | p m}
a b : String
⊢ a ++ b = { data := a.data ++ b.data }
F : Type u_1
Field F
x y : F
hxy : x ≠ y
⊢ (Lagrange.basisDivisor x y).natDegree = 1
v : List ℕ
⊢ Turing.ToPartrec.Code.nil.eval v = pure []
α : Type u
a : α
⊢ GaloisConnection (nhdsAdjoint a) fun t => 𝓝 a
V : Type u
G : SimpleGraph V
H K : G.Subgraph
hH : H.Connected
hK : K.Connected
hn : (H ⊓ K).verts.Nonempty
⊢ (H ⊔ K).Connected
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosMono α
h : a ≤ b * c
hb : b ≤ 1
hc : 0 ≤ c
⊢ a ≤ c
x : ℂ
⊢ Complex.sin ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (Complex.sin x)
G : Type u_1
LeftCancelMonoid G
Finite G
x : G
⊢ 0 < orderOf x
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
⊢ ∑ xbar ∈ Finset.image Quotient.mk'' Finset.univ, ∑ y ∈ Finset.filter (fun x => ⟦x⟧ = xbar) Finset.univ, Perm.sign y • domDomCongr y (a.domCoprod b) = ∑ σ : Perm.ModSumCongr ιa ιb, domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) σ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : ∀ (g g' : G), g • B = g' • B ∨ Disjoint (g • B) (g' • B)
g : G
⊢ g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable (Function.uncurry f)
a : α
⊢ (κ.withDensity f) a = (κ a).withDensity (f a)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hQ : Q ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 0) ↔ P.degree < Q.degree
α : Type u_1
LinearOrder α
x y : α
⊢ cmp x y = Ordering.eq ↔ x = y
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallyEtale R S
this✝ : FormallyEtale S Sₘ
this : FormallyEtale R Sₘ
⊢ FormallyEtale Rₘ Sₘ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s = ⇑(ContinuousMultilinearMap.piFieldEquiv 𝕜 (Fin n) F) ∘ iteratedDerivWithin n f s
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
CompleteLattice β
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous ⊤
α : Type u
s : Set α
h : s.Finite
⊢ h.toFinset = ∅ ↔ s = ∅
M : Type u_1
AddMonoid M
s : Set (AddSubgroup (AddUnits M))
⊢ (sSup s).ofAddUnits = ⨆ S ∈ s, S.ofAddUnits
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G H K : CategoryTheory.Functor D E
α : G ⟶ H
β : H ⟶ K
⊢ CategoryTheory.whiskerLeft F (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft F α) (CategoryTheory.whiskerLeft F β)
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
⊢ H.subgroupOf K = ⊤ ↔ K ≤ H
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
f : X → ℝ
c : Continuous f
ε : ℝ
pos : 0 < ε
⊢ ∃ g, ∀ (x : X), ‖↑g x - f x‖ < ε
α : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
NoMaxOrder α
NoMinOrder α
OrderClosedTopology α
CompactIccSpace α
⊢ Filter.cocompact α = Filter.atBot ⊔ Filter.atTop
k : Type u_1
Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
v : V
s : Set P
⊢ v +ᵥ affineSpan k s = affineSpan k (v +ᵥ s)
G : Type u_3
Group G
a : G
⊢ Function.Surjective fun x => x * a
R : Type u_1
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
v : M
f : M →ₗ[R] M₂
⊢ (LinearMap.applyₗ v) f = f v
α : Type u_2
β : α → Type u_3
DecidableEq α
Fintype α
(a : α) → Fintype (β a)
⊢ (Finset.univ.pi fun a => Finset.univ) = Finset.univ
a b c d n : ℕ
z : ℝ
hz : z ≤ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : a ^ 2 * d ≤ (2 * d + c) * b ^ 2
⊢ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n ≤ (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries (n + 1)
R : Type u_1
inst✝ : Zero R
f : ArithmeticFunction R
n : ℕ
⊢ (toArithmeticFunction ⇑f) n = f n
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq (α ⊕ β)
f : α ⊕ β → γ
i j : α
x : γ
⊢ update f (inl i) x (inl j) = update (f ∘ inl) i x j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U
y : 𝕜
hy₀ : y ≠ 0
hyr : ‖y‖ < r
this : y • V ∈ 𝓝 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
⊢ (a * y) • V ⊆ U
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
x : B × F
⊢ x ∈ e.target ↔ x.1 ∈ e.baseSet
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f g : M [⋀^ι]→L[R] N
ContinuousAdd N
v : ι → M
⊢ (f + g) v = f v + g v
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
⊢ (LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x) ↔ ∀ l ∈ Finsupp.supported R R s, (Finsupp.total M M R id) l = 0 → l = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
LocalRing R
CommRing S
Nontrivial S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ LocalRing S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.lift f g ≫ CategoryTheory.Limits.prod.fst = f
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a b✝ : α
hs : IsAntichain r s
φ : r ↪r r'
b : β
hb : ∃ x ∈ s, φ x = b
b' : β
hb' : ∃ x ∈ s, φ x = b'
h₁ : b ≠ b'
h₂ : r' b b'
⊢ False
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : Set.InjOn f s
⊢ MeasurableEmbedding (s.restrict f)
E : Type u_3
SeminormedGroup E
⊢ Filter.Tendsto norm (Bornology.cobounded E) Filter.atTop
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
h : IsHausdorff I N
f : M →ₗ[R] N
g : Hausdorffification I M →ₗ[R] N
hg : g ∘ₗ Hausdorffification.of I M = f
⊢ g = Hausdorffification.lift I f
m : ℤ
n : ℕ
⊢ dyadicMap (IsLocalization.mk' (Localization (Submonoid.powers 2)) m (Submonoid.pow 2 n)) = m • powHalf n
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : MeasureTheory.IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ s ∩ t ∈ C
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
a b : AsBoolRing α
⊢ ofBoolRing a ≤ ofBoolRing b ↔ a * b = a
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSpace H
inst✝¹ : Mul G
μ✝ : Measure G
inst✝ : MeasurableMul G
μ : Measure G
⊢ (∀ (g : G), Measure.map (fun x => g * x) μ = μ) ↔ μ.IsMulLeftInvariant
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
s : Set M
⊢ s ⊆ ↑((FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
⊢ W'.add P P = W'.dblXYZ P
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
CommRing A'
Algebra R A
Algebra R A'
f : A →ₐ[R] A'
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x) ↔ AlgebraicIndependent R x
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
⊢ IsPreconnected s
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ Monotone Finset.diag
k : Type u
inst✝ : Field k
v : MonicIrreducible k →₀ MvPolynomial (MonicIrreducible k) k
left✝ : v ∈ Finsupp.supported (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) Set.univ
hv : ∑ x ∈ v.support, (toSplittingField k v.support) (v x • evalXSelf k x) = 1
j : MonicIrreducible k
hj : j ∈ v.support
⊢ (toSplittingField k v.support) (v j • evalXSelf k j) = 0
a b c : Cardinal.{u_1}
⊢ a ^ (b + c) = a ^ b * a ^ c
α : Type u_1
Fintype α
s : Set α
Fintype ↑s
⊢ Fintype.finsetEquivSet.symm s = s.toFinset
α : Type u_1
Preorder α
FiniteDimensionalOrder α
⊢ krullDim α = ↑(LTSeries.longestOf α).length
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ e.trans e.symm = LieModuleEquiv.refl
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op V))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = (F.val.map (iUV i).op) t
V_eq_supr_U : V = iSup U
⊢ (F.val.map (eqToHom ⋯).op) s = (F.val.map (eqToHom ⋯).op) t
n n' : Nat
e : n = n'
i : Fin n
⊢ e ▸ i = ⟨↑i, ⋯⟩
α : Type u_1
p : Prop
f : p → Part α
a : α
⊢ a ∈ Part.assert p f ↔ ∃ (h : p), a ∈ f h
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
h : m ≤ n
⊢ a ^ n ∈ I
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X
⊢ ↑⊤ = ↑(Scheme.Hom.opensRange (𝟙 X))
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
⊢ ∏ x ∈ s, f x * g x = fold (fun x x_1 => x * x_1) 1 (fun x => f x * g x) s
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 1 + p * s ≤ 0
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hi : I.radical.IsMaximal
this : I.radical = I.jacobson
x y : R
hxy : x * y ∈ I
x✝ : ∃ y_1, y_1 * y - 1 ∈ I
z : R
hz : z * y - 1 ∈ I
⊢ z * (x * y) - x * (z * y - 1) ∈ I
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CompleteLattice α
inst✝² : CompleteLattice β
inst✝¹ : CompleteLattice γ
inst✝ : CompleteLattice δ
g : CompleteLatticeHom β γ
f₁ f₂ : CompleteLatticeHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
a b : ℝ
nb ne : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsNat (a ^ nb) ne
⊢ IsNat (a ^ b) ne
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
ε : G
ε0 : ε > 0
hε : ∀ g ∈ S, g ∉ Ioo 0 ε
⊢ ∃ a, S = closure {a}
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
⊢ ∀ (x : (i : I) × (fun i => C (id i)) i),
  (CategoryTheory.Sigma.mapId I C).hom.app x = CategoryTheory.CategoryStruct.id ⟨x.fst, x.snd⟩
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a
hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ
hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x
⊢ Tendsto (fun n => (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f' n a) ∂μ).toReal) atTop (𝓝 (∫ (x : α), (F - f 0) x ∂μ))
X : Type u_3
a : (typeToPointed.obj X).X
⊢ (typeToPartialFunIsoPartialFunToPointed.inv.app X).toFun a = a
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c✝ : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m✝ : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
c : 𝕜'
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖c‖ * ‖f m‖ ≤ ‖c‖ * (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
⊢ φ.nilRankAux b = (φ.polyCharpoly b').natTrailingDegree
F : Type u
Field F
⊢ Polynomial.X.natSepDegree = 1
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)
⊢ (forget TopCat).map (D.t i j) '' (⇑(D.f i j) ⁻¹' U) = ⇑(D.f i j) ∘ ⇑(D.t j i) ⁻¹' U
α : Type u_1
β : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f✝ g : α → E✝
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
s : Set α
f : ↥(Lp E p μ)
hp : 1 ≤ p
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ Memℒp (↑↑f) 1 (μ.restrict s)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
x : 𝕜
⊢ (AddCircle.homeomorphAddCircle p q hp hq).symm ↑x = ↑(x * (q⁻¹ * p))
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
l : List α
a : α
ha : a ∈ l
⊢ ¬l.maximum < ↑a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ Limits.image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
g : C(Y, Z)
y : Y
hy : f.Homotopic (const X y)
⊢ (g.comp f).Nullhomotopic
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Finite α
f : α → ι
b a : α
j_property : a ∈ f ⁻¹' {f b}
⊢ o.matrixDecomposition (𝟙 (⨁ fun a => s (f a))) (f b) ⟨b, ⋯⟩ ⟨a, j_property⟩ = 1 ⟨b, ⋯⟩ ⟨a, j_property⟩
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
hp : (setOf p).Infinite
n : ℕ
⊢ Nat.count p (Nat.nth p n) = n
α : Type u_5
β : Type u_6
Monoid α
MulAction αᵐᵒᵖ β
b : β
a₁ a₂ : α
⊢ MulOpposite.op a₂ • MulOpposite.op a₁ • b = MulOpposite.op (a₁ * a₂) • b
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f✝ : X → ℝ
s✝ : Set X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, f x ≤ 1
h's : ∀ x ∈ sᶜ, f x ≤ 0
H : Integrable f μ
g : X → ℝ := fun x => max (f x) 0
g_int : Integrable g μ
this : ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ) ≤ ENNReal.ofReal (∫ (x : X), g x ∂μ)
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : X), g x ∂μ) ≤ μ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C n
X : C
f : X ⟶ F.left
j : ℕ
hj : j + 2 < n + 1 + 1
⊢ CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.map F f 0 ⟨j + 2, hj⟩ ⋯ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (F.map' 0 (j + 1) ⋯ ⋯)
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) GenLoop.const
⊢ (GenLoop.loopHomeo i).symm p = GenLoop.fromLoop i p
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
f : Filter X✝
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X✝
x : X✝
X : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace (X × X)
⊢ 𝓝ˢ (diagonal X) = ⨆ x, 𝓝 (x, x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
X : HomologicalComplex C c
⊢ ((HomologicalComplex.natIsoSc' C c i j k hi hk).hom.app X).τ₁ = (X.XIsoOfEq hi).hom
α : Type u_1
xs ys : List α
⊢ (xs ++ ys).enum = xs.enum ++ List.enumFrom xs.length ys
M : Type u_2
Monoid M
a : M
⊢ a ^ 1 = a
ι : Sort u_1
a b : ℝ
h : a ≤ b
c : ι → Set ↑(Icc a b)
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
ball_subset : ∀ x ∈ univ, ∃ i, Metric.ball x δ ⊆ c i
⊢ ∃ t, ↑(t 0) = a ∧ Monotone t ∧ (∃ m, ∀ n ≥ m, ↑(t n) = b) ∧ ∀ (n : ℕ), ∃ i, Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ c i
a : SetTheory.PGame
n : ℕ
⊢ (↑n + a).birthday = a.birthday + ↑n
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Monoid M
TopologicalSpace α
MulAction M α
ContinuousConstSMul M α
TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c : M
hc : IsUnit c
⊢ ContinuousAt (fun x => c • f x) b ↔ ContinuousAt f b
G : Type w
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
a : G
⊢ IsOpenMap fun x => x / a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
a : Q ⟶ P
⊢ Quot.mk (CategoryTheory.Abelian.PseudoEqual P) (CategoryTheory.Over.mk a) = ⟦CategoryTheory.Over.mk a⟧
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g₁ g₂ : β →o γ
hg : g₁ ≤ g₂
f₁ f₂ : α →o β
hf : f₁ ≤ f₂
⊢ g₁.comp f₁ ≤ g₂.comp f₂
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct W Y
inst✝ : HasBinaryCoproduct X Z
g : W ⟶ X
g' : Y ⟶ Z
⊢ desc (g ≫ inl) (g' ≫ inr) = map g g'
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R
⊢ W.Equation ![X, Y, 1] ↔ W.toAffine.Equation X Y
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
l : Multiset α
hp : ∃! a, a ∈ l ∧ p a
⊢ p (Multiset.choose p l hp)
n : ℕ
⊢ n.divisors.Nonempty ↔ n ≠ 0
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
C : Set α
hC : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable
this : UpgradedPolishSpace α := upgradePolishSpace α
D : Set α
hD : Perfect D
Dnonempty : D.Nonempty
hDC : D ⊆ C
f : (ℕ → Bool) → α
hfD : range f ⊆ D
hf : Continuous f ∧ Function.Injective f
⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Function.Injective f
α : Type u_1
CompleteLattice α
p : Prop
Decidable p
a : p → α
⊢ ⨅ (h : p), a h = if h : p then a h else ⊤
n : ℕ
x : ℕ
h : x.Coprime n
⊢ ↑(ZMod.unitOfCoprime x h) = ↑x
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
⊢ 0 = Quotient.mk'' 0
p n✝ k✝ n k : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ ∏ p ∈ Finset.range (n + 1), p ^ (n.choose k).factorization p = (n.choose k).factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1
n m : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : p ≤ i
hp : p ≠ 0
hi : optParam (i ≠ 0) ⋯
⊢ (p.pred hp).predAbove i = i.pred hi
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hx₀ : x ≠ 0
hy : SameRay R 0 z
⊢ SameRay R (x + 0) z
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
⊢ (∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → ↑(nndist (f x) (f y)) ≤ ↑K * ↑(nndist x y)) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ↑(nndist (f x) (f y)) ≤ ↑K * ↑(nndist x y)
α : Type u
SemilatticeSup α
a b c : α
h : c < b
⊢ c < a ⊔ b
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
x✝ : R⟦X⟧
n✝ : ℕ
⊢ (coeff R n✝) ((rescale 1) x✝) = (coeff R n✝) ((RingHom.id R⟦X⟧) x✝)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
⊢ ↑b ≤ a + ↑n ↔ b ≤ ⌊a⌋₊ + n
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
⊢ UniformEmbedding f ↔ UniformInducing f ∧ Function.Injective f
a b c : ℤ
h : a.gcd b = 1
heq : a * b = c ^ 2
h' : IsUnit (GCDMonoid.gcd a b)
d : ℤ
u : ℤˣ
hu : d ^ 2 * ↑u = a
⊢ ∃ a0, a = a0 ^ 2 ∨ a = -a0 ^ 2
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
b₁ : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b₁
e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b₂ : Ordinal.{0}
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow b₂
IH : (e₁.oadd n₁ a₁ * a₂).NFBelow (e₁.repr + e₂.repr)
⊢ (e₁.oadd n₁ a₁ * e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow (e₁.repr + b₂)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f f' : α → E
s : Set α
h : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → edist (f x) (f' x) = 0
p : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
i : ℕ
⊢ edist (f (↑p.2 (i + 1))) (f (↑p.2 i)) = edist (f' (↑p.2 (i + 1))) (f' (↑p.2 i))
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
Star A
s : NonUnitalSubalgebra R A
h_star : ∀ x ∈ s, star x ∈ s
x : A
⊢ x ∈ s.toNonUnitalStarSubalgebra h_star ↔ x ∈ s
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ≥0
hf : ∀ (x : E), ‖x‖₊ = 1 → ‖f x‖₊ ≤ C
⊢ ‖f‖₊ ≤ C
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F G : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
f : X ⟶ Y
H : CategoryTheory.Functor D E
hobj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X
hmap : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), HEq (F.map f) (G.map f)
⊢ HEq ((F.comp H).map f) ((G.comp H).map f)
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)
has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'
this✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
this : SigmaFinite μ'
⊢ μ = μ'
β : Type u_2
CommMonoid β
f : Fin 7 → β
⊢ ∏ i : Fin 7, f i = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4 * f 5 * f 6
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
h : ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ dist x y
⊢ LipschitzWith 1 f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ AffineSubspace.perpBisector p₁ p₂ = ⊤ ↔ p₁ = p₂
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁.Disjoint l₂ ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ l₁ → ¬a ∈ l₂