ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set G
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
h2s : μ s ≠ 0
y : G
⊢ μ ((fun x => x + y) ⁻¹' s) ≠ 0
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ ∏ x : Fin pb.dim, ∏ x ∈ Ioi x, -1 = (-1) ^ (n * (n - 1) / 2)
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
h0 : 0 ∈ s
inst✝ : CompactSpace ↑s
⊢ ↑(RingHom.ker (evalStarAlgHom 𝕜 𝕜 ⟨0, h0⟩)) = closure ↑(adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
⊢ FirstOrder.Language.Hereditary (L.age M)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : One R
inst✝ : AddGroup R
f : ι → R
⊢ mulSupport (1 - f) = support f
ι : Sort u_1
IsEmpty ι
f : ι → ℕ
⊢ iInf f = 0
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F✝
inst✝¹⁰ : Field E✝
inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
inst✝¹ : Field A
inst✝ : Algebra F A
hA : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F A) (minpoly F x)
α : E
⊢ F⟮α⟯ = ⊤ ↔ Function.Injective fun φ => φ α
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R B)
cl : ∀ {x : B}, IsIntegral R x ↔ ∃ y, (algebraMap R B) y = x
x✝ : A
hx : IsIntegral R x✝
⊢ ∃ y, (algebraMap R A) y = x✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
p : Seminorm ℝ E
x : E
⊢ gauge (p.ball 0 1) x = p x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
p : Quiver.Path X Y
e : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.composePath (p.cons e) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.composePath p) e
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
s : Finset α
t : Finset β
hs : ∀ a ∈ s, ∃ b ∈ t, r a b
ht : ∀ b ∈ t, {a | a ∈ s ∧ r a b}.Subsingleton
⊢ s.card ≤ t.card
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a - x) '' Ioi b = Iio (a - b)
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
n : ℕ
h : PseudoMetricSpace ((n : ℕ) × X n) := inductivePremetric I
x✝ : TopologicalSpace ((n : ℕ) × X n) := UniformSpace.toTopologicalSpace
⊢ toInductiveLimit I n.succ ∘ f n = toInductiveLimit I n
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
a b : R
⊢ ∑ s : Finset (Fin n), a ^ s.card * b ^ (n - s.card) = (a + b) ^ n
R : Type u_1
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
f : M → M₂
lin : IsLinearMap R f
x : M
⊢ (IsLinearMap.mk' f lin) x = f x
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in 𝓝[s] b, dist (f x) (f b) < ε
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y x : E
⊢ ↑‖x‖₊ ≤ egauge 𝕜 (closedBall 0 1) x
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T : Triangle Cᵒᵖ
⊢ T ∈ distinguishedTriangles C ↔ ∃ T', ∃ (_ : T' ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles), Nonempty (T ≅ (triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T'))
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n : ℕ
hn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥↑I) M k = ⊥
⊢ LieModule.IsNilpotent R L M
s : Substring
i : String.Pos
h : i.byteIdx < s.bsize
⊢ i.byteIdx < (s.next i).byteIdx
θ : Angle
h : θ.sign ≤ 0
⊢ -↑|θ.toReal| = θ
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
L' : Filter 𝕜
h : HasDerivAt g (((toDual 𝕜 𝕜) g') 1) u
⊢ HasDerivAt g ((starRingEnd 𝕜) g') u
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap φ) h₂.opcyclesIso.hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.opcyclesIso.hom γ.φQ
x y : ONote
⊢ x ≤ y ↔ x.repr ≤ y.repr
p q✝ : ℤ[X]
hp : p.IsUnitTrinomial
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
⊢ q = p ∨ q = -p ∨ q = p.mirror ∨ q = -p.mirror
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
c₁ : CategoryTheory.Limits.KernelFork S₁.g
hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsLimit c₁
hf₂ : S₂.f = 0
c₂ : CategoryTheory.Limits.KernelFork S₂.g
hc₂ : CategoryTheory.Limits.IsLimit c₂
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
comm :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Fork.ι c₁) φ.τ₂ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.Limits.Fork.ι c₂)
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.ofIsLimitKernelFork φ hf₁ c₁ hc₁ hf₂ c₂ hc₂ f comm).φH = f
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P Q : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
f : P ⟶ Q
X : C
p : yoneda.obj X ⟶ P
⊢ yonedaEquiv (p ≫ presheafHom φ P ≫ whiskerLeft F.op (G.map f)) = yonedaEquiv (p ≫ f ≫ presheafHom φ Q)
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
f : α → α → α
a b : α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
hf : f = HSub.hSub
ra : IsRat a na da
rb : IsRat b nb db
h₁ : (na.mul ↑db).sub (nb.mul ↑da) = (↑k).mul nc
h₂ : da.mul db = k.mul dc
⊢ (na.mul ↑db).add ((-nb).mul ↑da) = (↑k).mul nc
α : Type u_1
β : α → Type u_2
s : (a : α) → Set (β a)
f : (a : α) → ↑(s a)
a : α
⊢ ↑((Equiv.Set.univPi s).symm f) a = ↑(f a)
α : Type u_2
Preorder α
p : α → Prop
⊢ ⇑(OrderEmbedding.subtype p) = Subtype.val
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
h : G.Reachable u v
hne : u ≠ v
⊢ 0 < G.dist u v
R : Type (u + 1)
Ring R
X Y : CondensedMod R
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔
  ∀ (S : CompHaus) (y : ↑(Y.val.obj (Opposite.op S))),
    ∃ S' φ, ∃ (_ : Function.Surjective ⇑φ), ∃ x, (f.val.app (Opposite.op S')) x = (Y.val.map (Opposite.op φ)) y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : Fin 3 → P
⊢ Collinear k (Set.range p) ↔ ¬AffineIndependent k p
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥N
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
m : Fin 2 → ↥M := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hm : LinearIndependent R m
⊢ False
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
s : Set ι
⊢ s.pi t ∩ sᶜ.pi t = univ.pi t
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x y : E
x' y' : F
hxy : x = y
x'' : ↥f.domain
hx1 : ↑x'' = x
hx2 : ↑f x'' = x'
y'' : ↥f.domain
hy1 : ↑y'' = y
hy2 : ↑f y'' = y'
⊢ x' = y'
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : LinearOrderedField R
A : Matrix m n R
⊢ (A * Aᵀ).rank = A.rank
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U ∧ IsCompact (closure V)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e) ↔ CompleteOrthogonalIdempotents e
α : Type u_1
r : Rel α α
p : RelSeries r
newHead : α
rel : r newHead p.head
⊢ (p.cons newHead rel).head = newHead
R : Type u_3
S : Type u_4
OrderedCommRing S
Ring R
abv : AbsoluteValue R S
NoZeroDivisors S
a b : R
⊢ abv (a - b) = abv (b - a)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : D ⟶ E
h : Homotopy f g
e : C ⟶ D
i j : ι
⊢ (h.compLeft e).hom i j = e.f i ≫ h.hom i j
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n
ho : 0 < orderOf μ
this : ∃ i ∈ (orderOf μ).divisors, (cyclotomic i K).IsRoot μ
⊢ False
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n
⊢ IsColimit (Cocone.whisker (Discrete.equivalence e).symm.functor c)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
x : E
⊢ mfderiv 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f x = fderiv 𝕜 f x
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
Unique β
f : β → α
⊢ HasProd f (f default)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
G : Type u_2
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
FunLike G S T
NonUnitalRingHomClass G S T
s : NonUnitalSubsemiring R
g : G
f : F
⊢ NonUnitalSubsemiring.map (↑g) (NonUnitalSubsemiring.map (↑f) s) = NonUnitalSubsemiring.map ((↑g).comp ↑f) s
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
SMul M α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure M α μ
MeasurableSMul M α
c : Mᵈᵐᵃ
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ dist (c • f) (c • g) = dist f g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
hom : X ⟶ Y
inv : Y ⟶ X
hom_inv_id : CategoryTheory.CategoryStruct.comp hom inv = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
inv_hom_id : CategoryTheory.CategoryStruct.comp inv hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y
hom' : Y ⟶ Z
inv' : Z ⟶ Y
hom_inv_id' : CategoryTheory.CategoryStruct.comp hom' inv' = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y
inv_hom_id' : CategoryTheory.CategoryStruct.comp inv' hom' = CategoryTheory.CategoryStruct.id Z
hom_inv_id'' :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp hom hom')
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp inv' inv) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id X
inv_hom_id'' :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp inv' inv)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp hom hom') =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id Z
⊢ { hom := hom, inv := inv, hom_inv_id := hom_inv_id, inv_hom_id := inv_hom_id } ≪≫
    { hom := hom', inv := inv', hom_inv_id := hom_inv_id', inv_hom_id := inv_hom_id' } =
  { hom := CategoryTheory.CategoryStruct.comp hom hom', inv := CategoryTheory.CategoryStruct.comp inv' inv,
    hom_inv_id := hom_inv_id'', inv_hom_id := inv_hom_id'' }
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + 1)) f p s ↔
  (∀ x ∈ s, (p x 0).uncurry0 = f x) ∧
    (∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y => p y 0) (p x 1).curryLeft s x) ∧
      HasFTaylorSeriesUpToOn (↑n) (fun x => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) (fun x => (p x).shift) s
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (∑ x ∈ range (n + 1), if single x (p ^ (n - x)) = 0 then ↑p ^ x else 0) = 0
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s : Set α
⊢ supClosure (supClosure s) = supClosure s
α : Type u_1
Preorder α
T : Set (Topology.WithLawson α)
⊢ IsOpen T ↔ TopologicalSpace.IsOpen (⇑Topology.WithLawson.toLawson ⁻¹' T)
α : Type u_1
β : Type u_2
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
b₁ b₂ : β
⊢ Sum.inrₗ (b₁ ⊓ b₂) = Sum.inrₗ b₁ ⊓ Sum.inrₗ b₂
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
p : B × F
⊢ p ∈ (Z.localTriv i).target ↔ p.1 ∈ (Z.localTriv i).baseSet
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (truncation f n) μ
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
h : IsUnit (C r)
⊢ Type ?u.214285
G : Type u_1
X : Type u_2
AddGroup G
AddAction G X
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
H : Type u_5
AddGroup H
AddAction H X
TopologicalSpace H
ProperVAdd G X
f : H →+ G
f_clemb : ClosedEmbedding ⇑f
f_compat : ∀ (h : H) (x : X), f h +ᵥ x = h +ᵥ x
⊢ ProperVAdd H X
α : Type u_3
⊢ Subsingleton α ∨ Nontrivial α
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m₁✝ m₂✝ : M × R
m₁ : M
r₁ : R
m₂ : M
r₂ : R
⊢ (v Q) m₁ * (v Q) m₂ + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ + (v Q) m₁ * r₂ • e0 Q + r₁ • e0 Q * r₂ • e0 Q = (ι (Q' Q)) (m₁, r₁) * (ι (Q' Q)) (m₂, r₂)
n : ℕ
c : Char
s : String
⊢ s.IsSuffix (String.leftpad n c s)
ι : Type u_1
LinearOrder ι
SuccOrder ι
IsSuccArchimedean ι
PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i0 ≤ i
⊢ 0 ≤ toZ i0 i
n : ℕ
NeZero n
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
⊢ a.succAbove 0 = 0
R : Type u_1
r : R
Semiring R
n : ℕ
hnil : IsNilpotent r
⊢ IsNilpotent (Polynomial.X ^ n * Polynomial.C r)
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
s : Finset (BoxIntegral.Box ι)
h₁ : ∀ J ∈ s, J ≤ I
h₂ : (↑s).Pairwise (Disjoint on BoxIntegral.Box.toSet)
⊢ J ∈ { boxes := s, le_of_mem' := h₁, pairwiseDisjoint := h₂ } ↔ J ∈ s
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
SeminormedRing 𝕜
SeminormedRing 𝕜₂
SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₁₃
AddCommGroup E
AddCommGroup E₂
AddCommGroup E₃
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ E₂
Module 𝕜₃ E₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p : Seminorm 𝕜₃ E₃
g : E₂ →ₛₗ[σ₂₃] E₃
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
⊢ p.comp (g.comp f) = (p.comp g).comp f
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
m : M
n : N
p : P
⊢ (TensorProduct.assoc R M N P) ((m ⊗ₜ[R] n) ⊗ₜ[R] p) = m ⊗ₜ[R] n ⊗ₜ[R] p
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i : Discrete ι
this✝ : colimit.ι (F ⋙ forget C) i = (Discrete.natIsoFunctor.hom.app i ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) i) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv
this : colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) { as := i.as } ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom = TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) i.as
⊢ OpenEmbedding ⇑(((Discrete.natIsoFunctor.hom.app i ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) i) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv) ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).inv)
α : Type u_1
LT α
DenselyOrdered α
a : α
⊢ Order.IsPredLimit a
α : Type u_2
Preorder α
a b c : α
⊢ b < c → a = b → a < c
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
a : G₀
h : Tendsto Inv.inv (𝓝 1) (𝓝 1)
x : G₀
hx : x ≠ 0
hx' : x⁻¹ ≠ 0
⊢ ContinuousAt Inv.inv x
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
n : ℕ
hc : G.Colorable n
⊢ s.card ≤ n
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s✝ s t : Set (Sym2 V)
h : s ⊆ t
v w : V
⊢ (fromEdgeSet s).Adj v w → (fromEdgeSet t).Adj v w
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherian R M
rs rs' : List R
h1 : RingTheory.Sequence.IsRegular M rs
h2 : rs.Perm rs'
h3 : ∀ r ∈ rs, r ∈ (Module.annihilator R M).jacobson
⊢ RingTheory.Sequence.IsRegular M rs'
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
⊢ s ⊆ SuccChain r s
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
s : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
⊢ #↑s ≤ Module.rank R M
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ ↑s.card * ↑t.card ≠ 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : Set P
h : affineSpan k s₁ ∥ affineSpan k s₂
⊢ vectorSpan k s₁ = vectorSpan k s₂
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n : ℕ
a b c : α
s : Finset α
⊢ (G.cliqueFinset n).card ≤ (powersetCard n univ).card
C : Type u_4
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_4} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
X : C
this : HasShift D A := HasShift.induced F A s i
⊢ (shiftFunctorZero D A).inv.app (F.obj X) = F.map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X) ≫ (i 0).inv.app X
F : Type u_1
E : Type u_2
CommSemiring F
Semiring E
Algebra F E
b : F ≃ₗ[F] E
⊢ Function.Bijective ⇑(algebraMap F E)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
i : ι
h : i = j
⊢ w₁ i • (p i -ᵥ p j) = w₂ i • (p i -ᵥ p j)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Mono (ModuleCat.ofHom (πs C o))
α : Type u_3
OrderedSemiring α
Nontrivial α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ 0 < OfNat.ofNat n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' : C
iX : X ≅ X'
iY : Y ≅ Y'
iZ : Z ≅ Z'
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
f' : X' ⟶ Y'
g' : X' ⟶ Z'
wf : iX.hom ≫ f' = f ≫ iY.hom
wg : iX.hom ≫ g' = g ≫ iZ.hom
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanExt iX iY iZ wf wg).hom.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.right = iZ.hom
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
f : M →* N
g : M →* P
⊢ (MonoidHom.fst N P).comp (f.prod g) = f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
⊢ ContinuousOn (↑(f.extend I)) (f.extend I).source
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : ↥N
h : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ⁅↑⟨x₁, hx₁⟩, ↑n⁆ ∈ ⁅I, N⁆ ∧ ∃ z ∈ ⁅J, N⁆, ⁅↑⟨x₁, hx₁⟩, ↑n⁆ + z = m
f : ℕ → ℂ
n : ℕ
⊢ (if n = 1 then f n else 0) = if n = 1 then f 1 else 0
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)
i : Nat
x✝¹ : i + 1 ≤ as.size
x✝ : β
j : Nat
ij : j + (i + 1) = as.size
j_eq : j = as.size - 1 - i
this✝ : as.size - 1 - i < as.size
this : as[as.size - 1 - i] :: List.drop (j + 1) as.data = List.drop j as.data
⊢ (do let __do_lift ← f as[as.size - 1 - i] x✝ match __do_lift with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn.loop as f i ⋯ b) = do let x ← f as[as.size - 1 - i] x✝ match x with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn (List.drop (j + 1) as.data) b f
K : Type u
inst✝ : Field K
A R S : ValuationSubring K
hR : A ≤ R
hS : A ≤ S
h : R ≤ S
x : ↥A
hx : x ∈ A.idealOfLE S hS
c : 1 ≤ S.valuation ↑((A.inclusion R hR) x)
⊢ False
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve φ m ⊓ Presheaf.imageSieve φ m'
⊢ smul α φ r (m + m') = smul α φ r m + smul α φ r m'
a x z : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : 0 < x.im
⊢ arg =ᶠ[𝓝 x] fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) + π
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun a => 0 < a) fun a => Set.Iio a
M : Type u_1
Monoid M
a b c : M
h : IsUnit b
⊢ a * b = c * b → a = c
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
a b : α
⊢ {a, b}.prod = a * b
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
x : G
m n : ℤ
h : x ^ n = 1
⊢ x ^ m = x ^ (m % n + n * (m / n))
n : ℕ
⊢ n.bodd = n.bits.headI
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
h : I = 0
⊢ ∀ (x y : K), { toFun := ⇑re, invFun := ofReal, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := ⇑re, invFun := ofReal, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x * { toFun := ⇑re, invFun := ofReal, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
b : β
hb : b ∈ B
s t : Multiset α
x✝² : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
x✝¹ : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
x✝ : s.prod = t.prod
⊢ (map (fun x => b) s).prod = (map (fun x => b) t).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s t u : Set α
f : α → β
ι : Type u_11
Es : ι → Set α
Es_union : ⋃ i, Es i = univ
Es_disj : Pairwise fun i j => Disjoint (Es i) (Es j)
I : Set ι
x : α
i : ι
hix : x ∈ Es i
⊢ x ∈ (⋃ i ∈ I, Es i)ᶜ ↔ x ∈ ⋃ i ∈ Iᶜ, Es i
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ b ∈ Set.Ioo a b ↔ False