ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (map Prod.fst (μ.prod ν)) s = (ν univ • μ) s
n : ℕ
p : Fin n
⊢ p.predAbove p.castSucc = p
s : String
n : Nat
⊢ s.take n = { data := List.take n s.data }
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ z * (starRingEnd K) z = ↑‖z‖ ^ 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : CategoryTheory.Aut X
⊢ α.conjAut f = α.symm ≪≫ f ≪≫ α
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.bypass.support ⊆ p.support
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β
i : ℕ × ℕ
s' : Set α
t' : Set β
hs' : MeasurableSet s'
ht' : MeasurableSet t'
⊢ (((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2)).restrict (s ×ˢ t)) (s' ×ˢ t') = ((sFiniteSeq μ i.1).restrict s) s' * ((sFiniteSeq ν i.2).restrict t) t'
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
X Y : LeftInvariantDerivation I G
⊢ ⇑⁅X, Y⁆ = ⇑⁅↑X, ↑Y⁆
α : Type u_1
p : PMF α
s : Set α
h : ∃ a ∈ s, a ∈ p.support
a : α
⊢ (p.filter s h) a ≠ 0 ↔ a ∈ s ∧ a ∈ p.support
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ
a b : ZMod p
hx : ↑a.valMinAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs ^ 2 = ↑x
⊢ ↑(a.valMinAbs ^ 2 + b.valMinAbs ^ 2) = ↑x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
⊢ ContDiffOn ℝ ⊤ (stereoToFun v) {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.Limits.pair Y Z)
CategoryTheory.Limits.HasColimit
    (CategoryTheory.Limits.parallelPair (f ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.inl) (g ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.inr))
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.Limits.span f g)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x : α
hx : x ∈ closure s
⊢ Metric.infDist x s = 0
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxV : ↑x ∈ V
g : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := U ⊓ V
hxW : ↑x ∈ W
heq : (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f * (X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) 1
W' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxW' : ↑x ∈ W'
i₁ i₂ : W' ⟶ W
heq' : (X.presheaf.map i₁.op) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f) * (X.presheaf.map i₁.op) ((X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = 1
⊢ IsUnit ((X.presheaf.map (i₁ ≫ U.infLELeft V).op) f)
α : Type u_1
o : Part α
⊢ {a | a ∈ o}.Subsingleton
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
h : 0 < l.length
⊢ ↑(List.minimum_of_length_pos h) = l.minimum
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
hg : UnifTight g p μ
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
η : ℝ≥0∞
hη_pos : 0 < η
hη : ∀ (f g : α → β), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < ↑ε
hη_top : ¬η = ⊤
s : Set α
hμs : s ∈ μ.cofinite
hsm : MeasurableSet s
hfs : ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ η
hgs : ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ η
i : ι
η_cast : ↑η.toNNReal = η
⊢ eLpNorm (sᶜᶜ.indicator ((f + g) i)) p μ ≤ ↑ε
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ IsAddSubgroup s ↔ IsSubgroup s
α : Type u_1
Nonempty α
⊢ ∑' (x : α), ⊤ = ⊤
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
r : S
hr : r ∈ I
p : R[X]
hp : eval₂ f r p.divX * r + f (p.coeff 0) ∈ I
⊢ p.coeff 0 ∈ comap f I
α : Type u_4
r : α → α → Prop
H : WellFounded r
s : Set α
⊢ s.Nonempty → ∃ a ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x a
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
x✝ : a₁ ≡ b₁ [PMOD p]
m : ℤ
hm : b₁ - a₁ = m • p
⊢ (∃ b, b₁ + b₂ - (a₁ + a₂) = (Equiv.symm (Equiv.addLeft m)).symm b • p) ↔ a₂ ≡ b₂ [PMOD p]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
a : α
hf : IsLocalMin f a
g : β → γ
hg : Antitone g
⊢ IsLocalMax (g ∘ f) a
α : Type u
β : Type v
a : Thunk α
b : Thunk β
⊢ (a.prod b).get.snd = b.get
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s : Finmap β
i : α
⊢ (↑(Finmap.keysLookupEquiv s)).2 i = Finmap.lookup i s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
X : CochainComplex C ℤ
⊢ (CochainComplex.shiftEval C n i i' hi).hom.app X = (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).hom
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
hR : autoParam (R ⊆ M.E) _auto✝
hXR : X ⊆ R
⊢ M.Basis I (X ∩ M.E) ↔ M.Basis I X
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N N ω = N
α : Type u
β : Type v
GroupWithZero α
MulAction α β
Mul β
SMulCommClass α β β
IsScalarTower α β β
a b : β
c : α
hc : c ≠ 0
⊢ Commute a (c • b) ↔ Commute a b
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
Field F
Field K
Field E
Algebra F K
Algebra F E
Algebra K E
IsScalarTower F K E
IsGalois F E
⊢ IsGalois K E
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_2
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β
inst✝⁵ : DenselyOrdered β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
s : Set β
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
f : α → β
h : ∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
this : Encodable ↑s
u v : β → β → Set α
huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → μ (u p q ∩ v p q) = 0)
u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q
⊢ AEMeasurable f μ
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W.negY Q * P z ^ 3
⊢ W.add P Q = W.dblU P • ![1, 1, 0]
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder β
Add β
One β
s : Set α
f : α → β
⊢ ¬s.EquitableOn f ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, f b + 1 < f a
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
M₀ : Type u_7
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
l : ℕ
hl : 0 ^ l = 1
⊢ 0 ∣ l
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
f : β → α
⊢ Summable f ↔
  (CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b) ∧
    ∑' (i : β), UniformSpace.Completion.toCompl (f i) ∈ Set.range ⇑UniformSpace.Completion.toCompl
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
x y : E
i : ι
⊢ ⟪x, (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i⟫_𝕜 * ⟪(fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i, y⟫_𝕜 = ((innerSL 𝕜) x) (↑(b.repr y) i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i)
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.43710, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.43714, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasColimit (F ⋙ eval C c n)
n m : ι
h : ¬c.Rel n m
j : J
⊢ { app := fun j => (F.obj j).d n m, naturality := ⋯ }.app j ≫ colimit.ι (F ⋙ eval C c m) j = colimit.ι (F ⋙ eval C c n) j ≫ 0
m : ℕ∞
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ↑m = OfNat.ofNat n ↔ m = OfNat.ofNat n
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝¹ : F.Initial
inst✝ : (F ⋙ G).Initial
this : (F.op ⋙ G.op).Final
⊢ G.op.Final
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
TopologicalSpace α
h : TendstoUniformlyOn F f p s
hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) s
p.NeBot
⊢ ContinuousOn f s
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
h0 : 0 < b
hf : ContinuousOn f (Set.Ici a)
ho : f =O[Filter.atTop] fun x => rexp (-b * x)
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioi a) MeasureTheory.volume
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : Products I
hl : ↑l ≠ []
hlh : (↑l).head! = term I ho
hlc : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (term I ho :: ↑l.Tail)
⊢ (Linear_CC' C hsC ho) (eval C l) = eval (C' C ho) l.Tail
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
ps : List (MvPolynomial σ R)
⊢ (p :: ps).prod.totalDegree ≤ (List.map totalDegree (p :: ps)).sum
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
⊢ IsGLB s (sInf s)
S : Type u_1
R : Type u
M : Type v
CommSemiring S
Semiring R
AddCommMonoid M
Algebra S R
Module S M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
IsScalarTower S R M
IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
A : Type u_2
Semiring A
Algebra S A
fg :
  { fg //
    (∀ (x y : M), fg.2 x * fg.2 y = 0) ∧
      (∀ (r : R) (x : M), fg.2 (r •> x) = fg.1 r * fg.2 x) ∧ ∀ (r : R) (x : M), fg.2 (x <• r) = fg.2 x * fg.1 r }
⊢ TrivSqZeroExt.liftEquiv fg = TrivSqZeroExt.lift (↑fg).1 (↑fg).2 ⋯ ⋯ ⋯
α : Type u
β : Type v
Preorder α
PartialOrder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
a : α
⊢ l (u (l a)) = l a
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
ha : a ∉ s
⊢ s ⋖ Finset.cons a s ha
α : ℝ
ha : Irrational α
f : Polynomial ℤ
f0 : f ≠ 0
fa : Polynomial.eval α (Polynomial.map (algebraMap ℤ ℝ) f) = 0
⊢ ∃ A, 0 < A ∧ ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), 1 ≤ (↑b + 1) ^ f.natDegree * (|α - ↑a / (↑b + 1)| * A)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
a : R
⊢ (p.update n a).coeff = Function.update p.coeff n a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.ULift.equivalence.unitIso.inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.ULift.upFunctor.comp CategoryTheory.ULift.downFunctor)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x y : E
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ [x-[𝕜]y]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f g : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
m m0 : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m0
hf : StronglyMeasurable f
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ (μ.trim hm) (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, ‖f x‖₊ ≤ ↑n
hs_univ : ⋃ i, s i = univ
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
hx_nnnorm : ‖f x‖₊ ≤ ↑n
⊢ ‖f x‖ ≤ ↑n
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
CommSemiring A₁
CommSemiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
ι : Type u_1
f : ι → A₁
s : Finset ι
⊢ e (∏ x ∈ s, f x) = ∏ x ∈ s, e (f x)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℂ
⊢ logDeriv cosh x✝ = tanh x✝
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R B
hf : ∀ (x : A), f x ∈ S
⊢ S.val.comp (f.codRestrict S hf) = f
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Group α
a b : α
n : ℕ
x✝ : α
⊢ (Equiv.mulLeft a ^ n) x✝ = (Equiv.mulLeft (a ^ n)) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
⊢ ⨆ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ⨆ i, f i a ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
P Q : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprod.braiding P Q).hom ≫ (CategoryTheory.Limits.coprod.braiding Q P).hom = 𝟙 (P ⨿ Q)
a : ↥circle
z : ℂ
⊢ (rotation a) z = ↑a * z
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.negAddY P (W'.neg P) = W'.dblZ P ^ 3
P Q : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
H : ∀ ⦃X Y : AlgebraicGeometry.Scheme⦄ (f : X ⟶ Y) [inst : AlgebraicGeometry.IsAffine Y], P f ↔ Q f
⊢ P = Q
G₀ : Type u_1
R : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
CommRing R
φ : R[X] →*₀ G₀
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ G₀⁰
n : R[X]
d : ↥R[X]⁰
⊢ (RatFunc.liftMonoidWithZeroHom φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk n d } = φ n / φ ↑d
F : Type u_1
ι : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α✝ → β → β
op : α✝ → α✝ → α✝
inst✝³ : Monoid α✝
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α✝ β
α : Type u_6
inst✝ : CommMonoid α
a✝ : List α
⊢ noncommProd ⟦a✝⟧ ⋯ = prod ⟦a✝⟧
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s t : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
P : s.IsKan
Q : t.IsKan
⊢ (P.uniqueUpToIso Q).hom.right = P.desc t
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
h : 0 < b
⊢ b⁻¹ * a < c ↔ a < b * c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
⊢ S.rightHomologyData.homologyIso = S.rightHomologyIso.symm
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
⊢ (map (Int.castRingHom R) (cyclotomic n ℤ)).Monic
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
hi : c.prev j = i
h : K.d i j = 0
K.HasHomology j
⊢ K.homologyπ j ≫ (K.isoHomologyπ i j hi h).inv = 𝟙 (K.cycles j)
α✝ : Type ua
β : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
ι : Sort u_2
α : Type u_3
γ : Type u_4
u : ι → UniformSpace γ
f : α → γ
⊢ 𝓤 α = 𝓤 α
R : Type u_1
CommSemiring R
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R N
Module R P
Module R Q
g : N →ₗ[R] P
q : Q
⊢ LinearMap.range g ≤ Submodule.comap ((TensorProduct.mk R P Q).flip q) (LinearMap.range (LinearMap.rTensor Q g))
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDedekindDomain R
inst✝⁴ : Module.Free ℤ R
inst✝³ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
a : ↥R⁰
I₀ : Ideal R
h : a • ↑I = Submodule.map (Algebra.linearMap R K) I₀
⊢ ↑(Ideal.absNorm I.num) / ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑I.den| = ↑(Ideal.absNorm I₀) / ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑a|
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter α
s : Set β
⊢ Tendsto f l (𝓟 s) ↔ ∀ᶠ (a : α) in l, f a ∈ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
⊢ F.εIso.inv ≫ F.ε = 𝟙 (F.obj (𝟙_ C))
R R' : Type u
M M' : Type v
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousConstSMul R M
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R' M'
inst✝ : ContinuousAdd M
s : Set M
⊢ closure s ⊆ ↑(span R s).topologicalClosure
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
OrderBot α
OrderBot β
f : α ≃o β
a : α
⊢ IsAtom (f a) ↔ IsAtom a
x : ℝ
hx : Liouville x
n : ℕ
H : ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
⊢ False
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), f a * g a ^ (p - 1) ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / q)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
MeasureTheory.SFinite μ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
p : α × β → Prop
h : ∀ᵐ (x : α × β) ∂μ ⊗ₘ κ, p x
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, p (a, b)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ : Ideal A
I J : HomogeneousIdeal 𝒜
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ 𝒜 i, x ∈ I ↔ x ∈ J
x✝ : A
⊢ ∀ (a : ι), ↑(((decompose 𝒜) x✝) a) ∈ I.toIdeal ↔ ↑(((decompose 𝒜) x✝) a) ∈ J.toIdeal
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
⊢ (f.comp S.val).range = map f S
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
F : Type u_17
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module S M₃
σ : R →+* S
f : F
inst✝² : FunLike F M M₃
inst✝¹ : SemilinearMapClass F σ M M₃
σ' : S →+* R
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
c : S
x : M
⊢ c • f x = f (σ' c • x)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
h : ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
x : ↥U
V₁ : Opens ↑X
hxV₁ : ↑x ∈ V₁
s₁ : (forget C).obj (F.presheaf.obj (op V₁))
hs₁ : (germ G.val ⟨↑x, hxV₁⟩) ((f.val.app (op V₁)) s₁) = (G.presheaf.germ x) t
V₂ : Opens ↑X
hxV₂ : ↑x ∈ V₂
iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁
iV₂U : V₂ ⟶ U
heq : (G.presheaf.map iV₂V₁.op) ((f.val.app (op V₁)) s₁) = (G.presheaf.map iV₂U.op) t
⊢ ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
z w : E
hd : DiffContOnCl ℂ f s
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) s z
hsub : Metric.ball z (dist w z) ⊆ s
⊢ f w = f z
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
IH : ∀ (m : ℕ), A⁻¹ ^ m * A ^ n = A ^ n * A⁻¹ ^ m
m : ℕ
h : A⁻¹ = 0
⊢ A⁻¹ ^ (m + 1) * A ^ (n + 1) = A ^ (n + 1) * A⁻¹ ^ (m + 1)
x y z✝ : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
z : ZFSet
hz : z ∈ x ∩ y
w : ZFSet
hw : w ∈ z
⊢ w ∈ x ∩ y
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hr : dist 1 0 = 1
⊢ ‖(f ∘ e) 1‖ = ‖(f ∘ e) 0‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f g : G → E
s : Set G
hf : DifferentiableOn ℝ f s
hg : DifferentiableOn ℝ g s
hne : ∀ x ∈ s, f x ≠ g x
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun y => dist (f y) (g y)) s
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
I : Type u₁
F G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete I) C
f : (i : CategoryTheory.Discrete I) → F.obj i ≅ G.obj i
i : CategoryTheory.Discrete I
⊢ (CategoryTheory.Discrete.natIso f).app i = f i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
⊢ ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
R : Type u_1
M : Type u
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
HasRankNullity.{u, u_1} R
StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : n < FiniteDimensional.finrank R M
⊢ ∃ x, LinearIndependent R (Fin.snoc v x)
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : ↑r ∈ resolventSet R ↑a
⊢ ↑r⁻¹ ∈ resolventSet R ↑a⁻¹
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s μ
H : (μ.restrict s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
this : Fact (μ s < ⊤)
⊢ False
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
h : x ≠ 0
H : x = 0
⊢ False
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
x : B × F
hx : x ∈ e.target
⊢ x ∈ ↑e.symm ⁻¹' (proj ⁻¹' e.baseSet)
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜
EM : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup EM
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
M : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace HM M
x : M
f : ↑((smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜).presheaf.stalk x)
⊢ IsUnit f ↔ f ∉ ↑(RingHom.ker (eval IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x))
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0
h1 : √π ≠ 0
⊢ (log ∘ doublingGamma) s = (fun s => log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + s * log 2 - log (2 * √π)) s
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
R : ℝ
hs : s ⊆ closedBall 0 R
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
h's : s.Nonempty
this : ∀ (A : E →L[ℝ] E), ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t δ → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + ε) * μ t
⊢ μ (f '' s) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.formPerm x = l.next x hx
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
μ' : Measure α := ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
⊢ (μ.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => f x * μ.rnDeriv ν x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
⊢ ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 f = ⨆ i, ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List (α × β)
⊢ l.unzip.2 = map Prod.snd l
α : Type u_2
Group α
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ (MulOpposite.op a • s)⁻¹ = a⁻¹ • s⁻¹
R : Type u
Ring R
s : Subring R
x : ↥s
⊢ ↑x = 0 ↔ x = 0
K : Type u_1
NontriviallyNormedField K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace K F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace K G
f : E → F
s : Set E
g : F → G
t : Set F
hg : DifferentiableOn K g t
hf : DifferentiableOn K f s
st : Set.MapsTo f s t
⊢ DifferentiableOn K (fun x => g (f x)) s