ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → Zero (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a
⊢ f.neLocus g = ∅ ↔ f = g
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : M →+ N
h : ∀ (y : ↥S), IsAddUnit (f ↑y)
y : ↥S
w z : N
⊢ z = w + ↑(-(IsAddUnit.liftRight (f.restrict S) h) y) ↔ z + f ↑y = w
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
hr' : r ≤ Fintype.card α
⊢ ↑𝒜.card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ ↑(∂ 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (r - 1))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
f : (A →ₐ[R] B) × (A →ₐ[R] C)
⊢ AlgHom.prodEquiv f = f.1.prod f.2
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g : α → β
inst✝¹ : Add β
inst✝ : ContinuousAdd β
f' : α → β
h_f'_meas : StronglyMeasurable f'
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'
g' : α → β
h_g'_meas : StronglyMeasurable g'
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
⊢ AEStronglyMeasurable' m (f + g) μ
x n m : ℕ
h : x < 2 ^ n
⊢ x <<< m < 2 ^ (n + m)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S✝ : Sieve X
R✝ : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
R S : Sieve X
hR : Presieve.IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
⊢ Presieve.IsSheafFor P (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S).arrows
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
x₀ : X
h₁ : ∀ (x : X), Tendsto (fun i => F i x) l (𝓝 (f x))
h₂ : EquicontinuousWithinAt F univ x₀
⊢ ContinuousWithinAt f univ x₀
α : Type u_1
L : List α
j : Nat
i : Fin (List.take j L).length
⊢ (List.take j L).get i = L.get ⟨↑i, ⋯⟩
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
v : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hv : v ≠ 0
⊢ (Orientation.reindex R M e) (rayOfNeZero R v hv) = rayOfNeZero R (AlternatingMap.domDomCongr e v) ⋯
R : Type u_1
OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
⊢ 1 + ↑n * a ≤ (1 + a) ^ n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i = ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ AntivaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
S : DiscreteQuotient ↑C.pt.toTop := f.discreteQuotient
ff : Quotient S.toSetoid → α := ⇑f.lift
⊢ ∃ j g, f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
β : Type u_3
MeasurableSpace β
l.IsCountablyGenerated
l.NeBot
f : α → β
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
hfm : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ.restrict (φ i))
⊢ AEMeasurable f μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f f = CategoryTheory.Limits.pullback.snd f f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : CommSemiring A'
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R A'
inst✝² : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x✝ : A
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
f : F
x : A
p : R[X]
⊢ (aeval (f x)) p = f ((aeval x) p)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝¹ : K.HasTotal (up ℤ)
inst✝ : L.HasTotal (up ℤ)
n i₁ i₂ : ℤ
h : i₁ + i₂ = n
⊢ (((shiftFunctor₂ C y).map f).f i₁).f i₂ ≫ ((i₁ * y).negOnePow • (L.shiftFunctor₂XXIso i₁ i₂ y (i₂ + y) ⋯).hom ≫ L.ιTotal (up ℤ) i₁ (i₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (L.total (up ℤ)) y n (n + y) ⋯).inv) = ((i₁ * y).negOnePow • (K.shiftFunctor₂XXIso i₁ i₂ y (i₂ + y) ⋯).hom ≫ K.ιTotal (up ℤ) i₁ (i₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (K.total (up ℤ)) y n (n + y) ⋯).inv) ≫ (total.map f (up ℤ)).f (n + y)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
ψ₁ ψ₂ : S₂ ⟶ S₃
h' : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy ψ₁ ψ₂
⊢ (h.comp h').h₀ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.h₀ ψ₁.τ₁ + CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₂.τ₁ h'.h₀
U : Type u_1
Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Quiver.Path u v
p' : Quiver.Path u' v'
⊢ p' = Quiver.Path.cast hu hv p ↔ HEq p' p
R : Type u
CommRing R
X : Comon_ (ModuleCat R)
⊢ Coalgebra.comul = X.comul
M : Type u_1
A : Type u_5
Mul M
SetLike A M
hA : MulMemClass A M
S' : A
x y : M
hx : x ∈ S'
hy : y ∈ S'
⊢ ⟨x, hx⟩ * ⟨y, hy⟩ = ⟨x * y, ⋯⟩
α : Type u
TopologicalSpace α
Group α
ContinuousConstSMul α α
s t : Set α
⊢ IsOpen t → IsOpen (s * t)
α : Type u_1
β : Type u_4
Finite (α × β)
Nonempty β
⊢ Finite α
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type
f g : α → β
d : α → ℝ≥0∞
hd : AEMeasurable d μ
h_ae_nonneg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, d x ≠ 0
⊢ f =ᵐ[μ.withDensity d] g ↔ f =ᵐ[μ] g
m✝ n✝ m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
this : (bit b n >>> (m + 1)).bodd = (n >>> m).bodd
⊢ (bit b n).testBit m.succ = n.testBit m
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ RCLike.im z ≤ ‖z‖
K : Type v
Field K
f : K[X]
⊢ f.removeFactor.natDegree = f.natDegree - 1
α : Type u_3
Lattice α
⊢ LatticeHom.dual.symm (LatticeHom.id αᵒᵈ) = LatticeHom.id α
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Add α
Add β
Add γ
f : AddHom α β
g : AddHom β γ
x : WithZero α
⊢ (WithZero.map g) ((WithZero.map f) x) = (WithZero.map (g.comp f)) x
x : Int
xs : List Int
⊢ -(x :: xs) = -x :: -xs
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ n ≥ N, u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k ∈ range (n + 1), v k
d : ℕ → E := fun n => ∏ k ∈ range (n + 1), u k / v k
⊢ CauchySeq (d * fun n => ∏ k ∈ range (n + 1), v k)
α : Type u
L : List (α × Bool)
DecidableEq α
⊢ FreeAddGroup.Red L (FreeAddGroup.reduce L)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction₂ X Y
hφ₁ : f₁ = φ.fst.map L ⋯
hφ₂ : f₂ = φ.snd.map L ⋯
⊢ add' W f₁ f₂ = φ.add.map L ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s✝ t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
s t : Set X
⊢ 𝓝ˢ (s ∪ t) = 𝓝ˢ s ⊔ 𝓝ˢ t
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
⊢ gauge s 0 = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
⊢ W.negAddY P Q = (-addU P Q) ^ 3
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
h : LinearIndependent R v
f : ι' → ι
hf : Injective f
l : ι' →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v ∘ₗ Finsupp.lmapDomain R R f) l = 0
h_map_domain : ∀ (x : ι'), (Finsupp.mapDomain f l) (f x) = 0
⊢ l = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
adj : F ⊣ G
A₁ A₂ : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
f : A₁ ⟶ A₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((adj.homEquiv A₁.a A₁.a) A₁.str) (G.map f.f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f ((adj.homEquiv A₂.a A₂.a) A₂.str)
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
X Y Z : (i : I) → C i
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
i : I
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g i = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f i) (g i)
M : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace M
Mul M
m : MeasurableSpace α
f : α → M
MeasurableMul M
hf : Measurable f
c : M
⊢ Measurable fun x => f x * c
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
α : E
⊢ Field.finSepDegree F ↥F⟮α⟯ ∣ FiniteDimensional.finrank F ↥F⟮α⟯
K : Type u_1
LinearOrderedField K
m : ℕ
s : Bool
e : ℕ
⊢ ↑(OfScientific.ofScientific m s e) = OfScientific.ofScientific m s e
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
h : x.moveLeft i ≈ x.moveLeft j
⊢ ⟦x.mulOption y i k⟧ < -⟦x.mulOption (-y) j l⟧
α : Type u
Fintype α
h : Set.univ.Finite
⊢ h.toFinset = Finset.univ
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSemisimpleRing R
J : Ideal R
f : Module.End R R
idem : IsIdempotentElem f
h : IsCompl (LinearMap.range f) J
⊢ ∃ e, IsIdempotentElem e ∧ LinearMap.range f = Ideal.span {e}
α : Type u_1
l : List α
n : ℕ
i : Fin (List.enumFrom n l).length
⊢ (List.enumFrom n l).get i = (n + ↑i, l.get (Fin.cast ⋯ i))
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℝ
hε : 0 < ε
ε' : ℚ
hε'0 : 0 < ↑ε'
hε' : ↑ε' < ε
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n)‖ < ε
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
X : C × D
⊢ (CategoryTheory.uncurry.obj F).obj X = (F.obj X.1).obj X.2
α : Type u_1
p q : ℚ≥0
⊢ ↑q = 0 ↔ q = 0
f : ℝ → ℝ
p : ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : 0 < c₁
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hfnew : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hc₁p : 0 < c₁ ^ p
⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => f x ^ p) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => f x ^ p) x) (c₂ * (fun x => f x ^ p) x)
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs' : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (cosZeta a) s
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ)
⊢ ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc (f - g)) =ᵐ[μ]
  ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f) - ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc g)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
x₁ x₂ x₃ x₄ : α
h₁₂₃ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₂ ≤ toIocMod hp x₃ x₁
h₂₃₄ : toIcoMod hp x₂ x₄ ≤ toIocMod hp x₂ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₄ ≤ toIocMod hp x₃ x₂
⊢ toIcoMod hp x₁ x₄ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₄ ≤ toIocMod hp x₃ x₁
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
⊢ ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF f κ ν
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
s : Multiset (Ideal R)
⊢ s.prod = ⊥ ↔ ⊥ ∈ s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
⊢ 1 = if circumcenterIndex ∈ univ then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 circumcenterIndex else 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : IsOpen s
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hspec : ∀ (x : X), f x ⤳ g x
this : ∀ (U : Set Y), IsOpen U → g ⁻¹' U ⊆ f ⁻¹' U
⊢ Continuous (s.piecewise f g)
x y : SetTheory.PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
⊢ x < y ↔ (∃ i, x ≤ y.moveLeft i) ∨ ∃ j, x.moveRight j ≤ y
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.range = ⊤
⊢ ∃ N, ↑N = ⊤
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f : C ⟶ D
hom : (i j : ι) → D.X i ⟶ E.X j
⊢ f ≫ Homotopy.nullHomotopicMap hom = Homotopy.nullHomotopicMap fun i j => f.f i ≫ hom i j
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : 0 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length
H : s.Nonempty
l : List α := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨0, h⟩ = s.min' H
n i j : ℕ
hij : i ≠ j
h : n.testBit i = false
⊢ (n &&& 2 ^ i).testBit j = (false.toNat * 2 ^ i).testBit j
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a : α
⊢ Function.Involutive fun x => x ⇔ a
R : Type u
CommRing R
M : ModuleCat R
Module.Flat R ↑M
C : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
hC : C.Exact
⊢ (C.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft M)).Exact
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ |a ⊔ b - c ⊔ d| ≤ ||a - c| + |b - d||
x : ℝ
hx₁ : 0 ≤ x
hx₂ : x ≤ π
⊢ Real.arccos (Real.cos x) = x
a✝ b n✝ n a : ℕ
h : ¬(n = 0 ∨ a = 0)
⊢ ((a.factorization ⌊/⌋ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = a.factorization ⌊/⌋ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f g : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
m m0 : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m0
hf : StronglyMeasurable f
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ (μ.trim hm) (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, ‖f x‖₊ ≤ ↑n
hs_univ : ⋃ i, s i = univ
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
⊢ ‖f x‖ ≤ ↑n
m n : Nat
⊢ ↑(m % n) = (↑m).fmod ↑n
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A
⊢ ‖x‖₊ = ‖(Unitization.splitMul 𝕜 A) x‖₊
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ star a + a = 2 * ↑a.re
V : Type
G : SimpleGraph V
e : ↑G.end
K : (Finset V)ᵒᵖ
⊢ (ComponentCompl.supp (↑e K)).Infinite
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
⊢ ↑φ = 0 ↔ φ = 0
s : ℂ
hs : 1 < s.re
χ : DirichletCharacter ℂ 0
⊢ L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s
a : ℕ
m : Multiset ℕ
c : ℕ
left✝ : c ∈ m
hxa : a + c < a
hxb : a + c ∈ map (fun x => a + x) m
⊢ False
R : Type u_1
Semiring R
f g : ArithmeticFunction ℕ
⊢ ↑(f * g) = ↑f * ↑g
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
⊢ CategoryTheory.decomposedEquiv.functor = CategoryTheory.decomposedTo J
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : p → α
hp : p
⊢ ⨆ (h : p), f h = f hp
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M : Mon_ C
Z : C
f : Z ⟶ M.X
⊢ (M.one ⊗ f) ≫ M.mul = (λ_ Z).hom ≫ f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
H : X ≅ Y
G : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ ⥤ C
⊢ ∀ (X_1 : (TopologicalSpace.Opens ↑Y)ᵒᵖ),
  ((TopCat.Presheaf.presheafEquivOfIso C H).functor.obj G).obj X_1 =
    G.obj (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map H.hom).obj (Opposite.unop X_1)))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hr : r ≠ 0
s : Set E
⊢ μ ((fun x => r • x) ⁻¹' s) = ENNReal.ofReal |(r ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E)⁻¹| * μ s
R : Type u_2
LinearOrderedSemiring R
ExistsAddOfLE R
S : R
pS : isSumSq S
⊢ 0 ≤ S
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun a => max (f a) 0) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
x : α
⊢ ↑(e.trans e') x = ↑e' (↑e x)
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
CommSemiring R
Semiring A₁
Algebra R A₁
⊢ ↑AlgEquiv.refl = AlgHom.id R A₁
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A✝ A' B B' : C
inst✝⁶ : HasBinaryCoproduct A✝ B
inst✝⁵ : HasBinaryCoproduct A' B'
inst✝⁴ : HasBinaryCoproduct (F.obj A✝) (F.obj B)
inst✝³ : HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasBinaryCoproducts D
A : C
inst✝ : ∀ (B : C), IsIso (coprodComparison F A B)
⊢ F ⋙ coprod.functor.obj (F.obj A) ≅ coprod.functor.obj A ⋙ F
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : IsEmpty ι
⊢ Tendsto (fun i => ↑((orthogonalProjection (U i)) x)) atTop (𝓝 ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x))
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : Subgroup G
hG : Group.IsNilpotent G
⊢ ∀ (n : ℕ), lowerCentralSeries G n = ⊥ → lowerCentralSeries (↥H) n = ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0
m : MeasurableSpace α
f : α →ₛ F
μ : Measure α
⊢ ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x = ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K
⊢ (limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ limit.π (Prod.swap K J ⋙ G) ((Prod.braiding K J).inverse.obj (j, k)) ≫ 𝟙 ((Prod.swap K J ⋙ G).obj ((Prod.braiding K J).inverse.obj (j, k))) ≫ G.map (𝟙 j, 𝟙 k) = limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j
α : Type u
p : α → Bool
l l' : List α
h : l ⊆ l'
⊢ List.filter p l ⊆ List.filter p l'
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x₀ y₀ : α 0
x y : (i : Fin n) → α i.succ
s : {i : Fin n.succ} → α i → α i → Prop
⊢ Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) s (Fin.cons x₀ x) (Fin.cons y₀ y) ↔
  s x₀ y₀ ∨ x₀ = y₀ ∧ Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun i => s) x y
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
H₂ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
⊢ (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
α : Type u_4
LinearOrderedRing α
FloorRing α
⊢ Function.Periodic Int.fract 1
A : Type u_1
NormedCommRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
a : A
⊢ (WeakDual.gelfandTransform ℂ A) (star a) = star ((WeakDual.gelfandTransform ℂ A) a)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ Function.Injective ⇑(NumberField.mixedEmbedding K)
c : ℂ
R θ : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ deriv (circleMap c R) θ ≠ 0
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsRelPrime (x + y * z) y
⊢ IsRelPrime x y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
α : Type u_2
B : C
X Y : α → C
f : (a : α) → X a ⟶ B
g : (a : α) → Y a ⟶ X a
∀ (a : α), CategoryTheory.Epi (g a)
CategoryTheory.EffectiveEpiFamily Y fun a => CategoryTheory.CategoryStruct.comp (g a) (f a)
⊢ CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X f
α : Type u
Monoid α
n : ℕ
a : Additive α
⊢ Additive.toMul (n • a) = Additive.toMul a ^ n
n : ℕ
⊢ SetTheory.PGame.powHalf (n + 1) < SetTheory.PGame.powHalf n
α : Type u_1
self : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b : α
⊢ a ≤ b → ∃ c, b = a * c
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
r : R
rs : List R
⊢ IsRegular M (r :: rs) ↔ IsSMulRegular M r ∧ IsRegular (QuotSMulTop r M) (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
⊢ m ∉ p.support ↔ MvPolynomial.coeff m p = 0
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
i : ι
⊢ y i ∈ Set.Ioc (if i ∈ s then (I.lower i + I.upper i) / 2 else I.lower i) (if i ∈ s then I.upper i else (I.lower i + I.upper i) / 2) ↔ y i ∈ Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i) ∧ ((I.lower i + I.upper i) / 2 < y i ↔ i ∈ s)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ (d.sum fun x e => e) ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∉ s
⊢ Multiset.fold op b (Multiset.map f (insert a s).val) = op (f a) (Multiset.fold op b (Multiset.map f s.val))
α : Type u
DecidableEq α
x y : α
h : x ≠ y
⊢ {x, y} = [x, y]
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
a : ℕ
⊢ a > 0 → a ∈ s → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f a ↔ a > 0 → a ∈ s → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
F G : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor C D
i : F.toLaxMonoidalFunctor ≅ G.toLaxMonoidalFunctor
⊢ (CategoryTheory.LaxBraidedFunctor.mkIso i).inv = i.inv
x : ℝ
h₁ : -π < x
h₂ : x ≤ π
⊢ (↑(expMapCircle x)).arg = x
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ Complex.abs ((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2 + (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2) ≤ Complex.abs ((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2) + Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2)
α : Type u
CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b : α
⊢ a ≤ b * a
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y x z : V
left✝ : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
h : angle x (r • x) = π
⊢ angle x z + angle (r • x) z = π
α : Type u
CommRing α
x y : α
n : ℕ
h : Odd n
⊢ x + y ∣ x ^ n + y ^ n
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
⊢ (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n