ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
s t : Finset α
h : G.IsUniform ε s t
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ t
s' : Finset α
hs' : s' ⊆ s
ht : ↑t.card * ε ≤ ↑t'.card
hs : ↑s.card * ε ≤ ↑s'.card
⊢ |↑(G.edgeDensity t' s') - ↑(G.edgeDensity t s)| < ε
G : Type u_1
AddGroup G
IsAddKleinFour G
x : G
⊢ -x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ u : Finset α
a b : α
r : ℕ
s t : Colex α
⊢ s < t ↔ ∃ (h : s ≠ t), (s.ofColex ∆ t.ofColex).max' ⋯ ∈ t.ofColex
X : Type u_1
k : ℕ
h : k ≠ 0
a : FreeAbelianGroup X
⊢ (k • a).support = a.support
n : ℕ
α β γ : TypeVec.{u} n
F : TypeVec.{u} n → Type v
inst✝¹ : MvFunctor F
P : α ⟹ TypeVec.repeat n Prop
R : α ⊗ α ⟹ TypeVec.repeat n Prop
inst✝ : LawfulMvFunctor F
x : F α
⊢ ∀ (u : F fun i => Subtype ((fun i x => ofRepeat (P i x)) i)), (fun i => Subtype.val) <$$> u = x ↔ subtypeVal P <$$> toSubtype P <$$> u = x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
A : Finset α
h : A ∈ ↑(∂ 𝒜)
⊢ A.card = r - 1
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ
⊢ (↑n / ↑d).num / ↑(↑n / ↑d).den = n / ↑d
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
β : Type u_2
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
hm : ∀ (i : β), P (f i)
val✝ : Encodable β
⊢ extend m (⋃ i, ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b) = ∑' (i : ℕ), extend m (⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b)
M : Type u_1
Group M
S : Submonoid M
x : ↥S.leftInv
⊢ ↑(S.fromLeftInv x) = (↑x)⁻¹
m✝ n✝ m n : ℕ
H : IsUnit ↑m
H' : (m % n).gcd n = 1
⊢ n.gcd m = (m % n).gcd n
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure X
LinearOrder E
f : X → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∫ (x : X) in {x | f x < 0}, f x ∂μ = ∫ (x : X) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 1 < x
⊢ 0 < logb b x
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a - |a| = -(2 • a⁻)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {β : Type u_2} {x : α ⊕ β}, x.getLeft? = some a ↔ x = Sum.inl a
x : ℂ
⊢ HasStrictDerivAt sin ((cexp (x * I) + cexp (-x * I)) * 2⁻¹) x
α β : BddOrd
e : ↑α.toPartOrd ≃o ↑β.toPartOrd
⊢ (BddOrd.Iso.mk e).hom = ↑e
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
i j : ι
h : i ≠ j
⊢ (b.coord i) (b j) = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
y : M'
hg : ContMDiffWithinAt I' I'' n g t y
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
st : Set.MapsTo f s t
hx : f x = y
⊢ ContMDiffWithinAt I I'' n (g ∘ f) s x
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
S : AddSubsemigroup M
f : AddHom M N
⊢ S ≤ AddSubsemigroup.comap f (AddSubsemigroup.map f S)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
⊢ Metric.closedBall x ε =ᵐ[MeasureTheory.volume] Metric.ball x ε
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
SemilatticeSup β
Nonempty β
f : β → α
x : α
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 x)
⊢ CauchySeq f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F G H : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
F.Additive
G.Additive
H.Additive
⊢ CategoryTheory.NatTrans.leftDerivedToHomotopyCategory (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.NatTrans.leftDerivedToHomotopyCategory α)
    (CategoryTheory.NatTrans.leftDerivedToHomotopyCategory β)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology α
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (a : α), ContinuousOn (fun x => f (a, x)) {b | (a, b) ∈ s}
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true
s : (f (Nat.find h')).isSome = true
fd : (rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).Dom
this : true ∈ ↑(Option.some (f ((rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).get fd)).isSome)
⊢ ((fun b => (fun n => ↑(f n)) ((rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).get b)) fd).Dom
R : Type u_1
Add R
IsCancelAdd R
g : R
⊢ IsAddRegular g
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
h : ¬G.Reachable u v
⊢ G.edist u v = ⊤
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
ε : ℝ≥0
⊢ EMetric.diam (Metric.thickening (↑ε) s) ≤ EMetric.diam s + 2 * ↑ε
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
RegularNormedAlgebra 𝕜 A
⊢ Function.Injective ⇑(Unitization.splitMul 𝕜 A)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ
hf : LocallyLipschitz f
a : ℝ
⊢ LocallyLipschitz fun x => min (f x) a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
⊢ ∃ q ≥ p, q.domain = ⊤ ∧ ∀ (x : ↥q.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑q x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
x : E
⊢ x ∈ comap i (perfectClosure F K) ↔ x ∈ perfectClosure F E
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
as : Array α
f : α → m β
motive : Nat → Prop
h0 : motive 0
p : Fin as.size → β → Prop
hs : ∀ (i : Fin as.size), motive ↑i → SatisfiesM (fun x => p i x ∧ motive (↑i + 1)) (f as[i])
⊢ (fun i arr => motive i ∧ arr.size = i ∧ ∀ (i : Fin as.size) (h2 : ↑i < arr.size), p i arr[↑i]) 0 #[]
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
h3 : K ≠ ⊤
h4 : (comap K.subtype N).index = N.index
h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G
h6 : (Nat.card ↥(comap K.subtype N)).Coprime (comap K.subtype N).index
H : Subgroup ↥K
hH : (comap K.subtype N).IsComplement' H
⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
hsurj : Function.Surjective ⇑f
s : Set F
⊢ interior (⇑f ⁻¹' s) = ⇑f ⁻¹' interior s
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
d : ℝ≥0
h : μ ≪ μH[↑d]
s : Set X
hd : dimH s < ↑d
⊢ μ s = 0
R : Type u_2
NonAssocRing R
p : MulRingNorm R
⊢ p.toFun = ⇑p
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
hδ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ 2 * ENNReal.ofReal (ε / 2)
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
ι : Type u_2
Fintype ι
⊢ Zspan.fundamentalDomain (Pi.basisFun ℝ ι) = Set.univ.pi fun x => Set.Ico 0 1
α : Type u_1
Preorder α
⊢ lowerClosure Set.univ = ⊤
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : Fin n
c : Fin n →₀ R
hm✝ : (c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i)) ∈ N
hm : ⟨c.sum fun i t => t • ↑(snf.bN i), hm✝⟩ = c.sum fun i t => t • ⟨↑(snf.bN i), ⋯⟩
⊢ (snf.bM.repr ↑⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm✝⟩) (snf.f i) = (snf.bN.repr (snf.a i • ⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm✝⟩)) i
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃
⊢ S₁.f ≫ h₁₂.h₁ + h₁₂.h₀ + (S₁.f ≫ h₂₃.h₁ + h₂₃.h₀ + φ₃.τ₁) = S₁.f ≫ h₁₂.h₁ + S₁.f ≫ h₂₃.h₁ + (h₁₂.h₀ + h₂₃.h₀) + φ₃.τ₁
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure (Measure (Measure α))
⊢ μ.bind join = μ.bind fun a => (id a).bind id
x✝¹ x✝ : ℝ
⊢ (↑x✝ + ↑x✝¹).cos = (↑x✝).cos * (↑x✝¹).cos - (↑x✝).sin * (↑x✝¹).sin
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder α r
IsWellOrder β s
⊢ Ordinal.type r ≤ Ordinal.type s ↔ Nonempty (r ≼i s)
x y✝ z✝ : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y
⊢ z ∈ ⋃₀ x
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
⊢ Module.rank K V = 1 ↔ ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
⊢ |↑((RingOfIntegers.norm ℚ) x)| = 1 ↔ IsUnit ((RingOfIntegers.norm ℚ) x)
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Set.Ioi 0) Real.log
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq m
DecidableEq n
Semiring α
i : m
j : n
c : α
i' : m
j' : n
h : ¬(i = i' ∧ j = j')
⊢ Matrix.stdBasisMatrix i j c i' j' = 0
α : Type u_2
Mul α
s t : Set α
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s * t).Nonempty
α : Type u_6
β : Type u_7
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
φ : α ≃ₜ β
s : Set β
⊢ (interior s).Nonempty ↔ (interior (⇑φ ⁻¹' s)).Nonempty
k p i : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ (ArithmeticFunction.sigma k) (p ^ i) = ∑ j ∈ Finset.range (i + 1), p ^ (j * k)
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAntiOn f s
c : α
⊢ StrictAntiOn (fun x => c * f x) s
α : Type u
a✝ : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
IH : ∀ m < d, m ∣ Fintype.card α → 0 < (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card → (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card = φ m
hd : d ∣ Fintype.card α
hpos : 0 < (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card
hd0 : d ≠ 0
a : α
ha' : a ∈ filter (fun a => orderOf a = d) univ
⊢ (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card = φ d
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
⊢ (toZMod x).cast = ↑x.zmodRepr
c : ℝ
⊢ (fun x => c) =o[Filter.atTop] Real.log
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = ∏ᶠ (a : HeightOneSpectrum R), ↑(a.maxPowDividing I)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
h : (cyclotomic n R).roots = 0
⊢ (cyclotomic n R).roots.Nodup
n m : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ p.castSucc
⊢ p.castSucc.succAbove (p.predAbove i) = i
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Type u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
T : Set α
hT : T ⊆ iUnion S
hT' : T = iUnion S
t : Set β
x : ↑T
⊢ x ∈ iUnionLift S f hf T hT ⁻¹' t ↔ x ∈ inclusion hT ⁻¹' ⋃ i, inclusion ⋯ '' (f i ⁻¹' t)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f_int : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
g_int : MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
hfg : f ≤ᵐ[μ.restrict s] g
⊢ (μ.prod MeasureTheory.volume) (regionBetween f g s) = ENNReal.ofReal (∫ (y : α) in s, (g - f) y ∂μ)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑p) K)
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} K L
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (0 + 1))
⊢ discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
htendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun M => {x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x) atTop (𝓝 0)
⊢ ∃ M, ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
n k : ℕ
⊢ n.ascFactorial k = k ! * (n + k - 1).choose k
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val
⊢ (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = 0
R : Type u
X : Type v
Semiring R
A : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
f : X → A
F : FreeNonUnitalNonAssocAlgebra R X →ₙₐ[R] A
⊢ ⇑F ∘ FreeNonUnitalNonAssocAlgebra.of R = f ↔ F = (FreeNonUnitalNonAssocAlgebra.lift R) f
x y : SetTheory.PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
⊢ x < y ↔
  (∃ i,
      (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' < y.moveLeft i) ∧
        ∀ (j : (y.moveLeft i).RightMoves), x < (y.moveLeft i).moveRight j) ∨
    ∃ j,
      (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i < y) ∧
        ∀ (j' : y.RightMoves), x.moveRight j < y.moveRight j'
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set E
x y : E
a b : 𝕜
S : Set (Set E)
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
hS : ∀ s ∈ S, StrictConvex 𝕜 s
⊢ StrictConvex 𝕜 (⋃ i, ↑i)
B : Type u_4
F : Type u_5
AddMonoidWithOne B
A : Type u_6
AddMonoidWithOne A
FunLike F A B
AddMonoidHomClass F A B
f : F
h : f 1 = 1
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ f (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
V W : SemiNormedGrp
CompleteSpace ↑W
T0Space ↑W
f : V ⟶ W
g : SemiNormedGrp.completion.obj V ⟶ W
⊢ SemiNormedGrp.completion.incl ≫ g = f → g = SemiNormedGrp.completion.lift f
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ closure ((closure t)ᶜ ∩ s) = closure (s \ closure t)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
A : C
f g : X φ i ⟶ A
h : inrX φ i ≫ f = inrX φ i ≫ g
⊢ (XIso φ i hi).inv ≫ f = (XIso φ i hi).inv ≫ g
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a x : E
⊢ ⟪a, x⟫_ℝ • o.areaForm a - (o.areaForm a) x • (innerₛₗ ℝ) a = ‖a‖ ^ 2 • o.areaForm x
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
h : H ≤ K
⊢ Function.Injective ⇑(AddSubgroup.inclusion h)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → s ∩ ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
ι✝ : Type u
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hsU : s ⊓ ⋂ i, (U i)ᶜ = ⊥
⊢ ∃ t, s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑↑((AlgebraicGeometry.Proj.toLocallyRingedSpace 𝒜).restrict ⋯).toPresheafedSpace
⊢ (AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.toFun f x).asIdeal =
  AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.carrier x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
⊢ ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ s) Finset.univ).card / ↑Finset.univ.card = ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ s) Finset.univ).card / ↑(Fintype.card α)
x : ℝ
h : DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Neg.neg '' Ici (-x)) (- -x)
this : DifferentiableWithinAt ℝ (fun y => -(arcsin ∘ Neg.neg) y) (Ici (-x)) (-x)
⊢ x ≠ 1
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Algebra R α
r : R
⊢ { toFun := fun M => MulOpposite.op Mᵀ, invFun := __src✝¹.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ((algebraMap R (Matrix m m α)) r) = (algebraMap R (Matrix m m α)ᵐᵒᵖ) r
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
a : α
ih : map pure l <+ l.sublists
⊢ map pure l ++ [pure a] <+ l.sublists ++ map (fun x => x ++ [a]) l.sublists
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
⊢ sin x < x
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → β
b : β
⊢ List.map f l = List.replicate l.length b ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → f x = b
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
h : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μa μb
s : Set β
hs : μb s = 0
⊢ μa (f ⁻¹' s) = 0
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
Finite (G ⧸ H)
hH : H ≠ ⊤
⊢ 1 < H.index
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s t : MeasureTheory.SignedMeasure α
⊢ s ⟂ᵥ t ↔ s.totalVariation ⟂ₘ t.totalVariation
N : ℕ
⊢ ↑N * rexp (-4 * √(Real.log ↑N)) ≤ ↑(rothNumberNat N)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
r : α → α → Prop
f : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
h : ∀ (x : ι), DirectedOn r (f x)
⊢ ∀ (x : α) (x_1 : ι), x ∈ f x_1 → ∀ (y : α) (x_2 : ι), y ∈ f x_2 → ∃ z, (∃ i, z ∈ f i) ∧ r x z ∧ r y z
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
c✝ c : ComplexMeasure α
μ : Measure α
⊢ Memℒp (fun x => RCLike.re (c.rnDeriv μ x)) 1 μ ∧ Memℒp (fun x => RCLike.im (c.rnDeriv μ x)) 1 μ
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
CategoryTheory.IsFiltered J
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ F.map f ≫ MonCat.FilteredColimits.coconeMorphism F j' = MonCat.FilteredColimits.coconeMorphism F j
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s.toFinset ⊂ t.toFinset ↔ s ⊂ t
M : Type u_1
R : Type u_2
GroupWithZero M
Semiring R
MulSemiringAction M R
a : M
ha : a ≠ 0
S T : Subsemiring R
⊢ a • S ≤ a • T ↔ S ≤ T
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
⊢ Irrational (↑↑m + x)
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
S : Type u_8
Fintype n
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
M : Matrix n m R
v : n → R
i : m
⊢ f ((v ᵥ* M) i) = (⇑f ∘ v ᵥ* M.map ⇑f) i
α : Type u_1
n : ℕ
m₁ m₂ : (i : Fin (n + 1)) × Sym α (n - ↑i)
h : ↑m₁.snd = ↑m₂.snd
⊢ m₁ = m₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
a b c : M
h : b + a = c
ha : a = 0
hb : b = 0
⊢ (CategoryTheory.ShiftedHom.mk₀ a ha f).comp (CategoryTheory.ShiftedHom.mk₀ b hb g) h =
  CategoryTheory.ShiftedHom.mk₀ c ⋯ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
s : Finset.Colex ℕ
⊢ (RelIso.symm Finset.orderIsoColex) s = Finset.equivBitIndices.symm s.ofColex
f g : CircleDeg1Lift
⊢ f 0 + g 0 - 1 < f (g 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑Y
hU : ↑U ⊆ Set.range ⇑f.base
⊢ CategoryTheory.IsIso (f.c.app (Opposite.op U))
n x i : Nat
⊢ (BitVec.ofNat n x).getLsb i = (decide (i < n) && x.testBit i)
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
t : W
ht : t ∈ cs.rightInvSeq ω
⊢ cs.IsReflection t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : α ↪ β
⊢ Function.Injective ⇑(Equiv.Perm.viaEmbeddingHom ι)
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : (starRingEnd ℂ) (f z) + f z = (starRingEnd ℂ) z + z
⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
δ : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
⊢ closedBall x δ ⊆ cthickening δ {x}
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp F p μ)
⊢ f ∈ MeasureTheory.lpMeasSubgroup F m p μ ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Dᵒᵖ
α : F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.NatIso.unop α).hom = CategoryTheory.NatTrans.unop α.hom
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
A A₀ A₁ A₂ : Algebra F
f : A₀ ⟶ A₁
g : A₁ ⟶ A₂
h : A₀.a ≅ A₁.a
w : autoParam (F.map h.hom ≫ A₁.str = A₀.str ≫ h.hom) _auto✝
⊢ F.map (h.inv ≫ h.hom) ≫ A₁.str = A₁.str
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace X'
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Y'
eX : PartialHomeomorph X X'
eY : PartialHomeomorph Y Y'
⊢ (eX.prod eY).target = eX.target ×ˢ eY.target
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
t : ι → Set β
f : α → β
H : ∀ (i : ι), Set.SurjOn f (s i) (t i)
⊢ Set.SurjOn f (⋃ i, s i) (⋃ i, t i)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
G : K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
k : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.HasLimit.isoOfEquivalence e w).hom ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π G k =
  CategoryTheory.Limits.limit.π F (e.inverse.obj k) ≫ w.inv.app (e.inverse.obj k) ≫ G.map (e.counit.app k)
α : Sort u_1
SizeOf α
f : Unit → α
⊢ sizeOf f = sizeOf (f Unit.unit)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
g : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso g
f : Y ⟶ X
h : f ≫ g = 𝟙 Y
⊢ IsIso f
a : ℝ
b : ℝ≥0∞
h : a ≤ b.toReal
⊢ ENNReal.ofReal a ≤ b
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
l : List α
⊢ (a ::ₘ ⟦l⟧).powerset = powerset ⟦l⟧ + map (cons a) (powerset ⟦l⟧)
α : Type u
s : Stream'.Seq α
n : ℕ
⊢ s.enum.get? n = Option.map (Prod.mk n) (s.get? n)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
X Y X' Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
φ : CategoryTheory.Arrow.mk f ⟶ CategoryTheory.Arrow.mk g
X'' Y'' : C
h : X'' ⟶ Y''
ψ : CategoryTheory.Arrow.mk g ⟶ CategoryTheory.Arrow.mk h
⊢ data.mapZ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ ψ) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (data.mapZ φ) (data.mapZ ψ)
α : Type u
x y : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ y \ x ⊔ x = y ⊔ x
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
h : ∑ i : InfinitePlace K, Real.log (i ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) ^ i.mult) = 0
⊢ ∑ w : { w // w ≠ w₀ }, (logEmbedding K) x w = -↑w₀.mult * Real.log (w₀ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x))
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
b c : α
u : αˣ
⊢ ↑u * (↑u)⁻¹ = 1
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b : β
⊢ (a, b) ∈ Rel.interedges r s t ↔ a ∈ s ∧ b ∈ t ∧ r a b
x y : SetTheory.PGame
⊢ x.Fuzzy y ↔ y.Fuzzy x
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α ≃ β
l : β →₀ M
a : α
⊢ (Finsupp.equivMapDomain f.symm l) a = l (f a)