ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ ‖MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c‖ = ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hgm : Measurable g
hgf : g ≤ f
hint : ∀ (s : Set α), ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.withDensity g) s = (μ.withDensity f) s
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian (p.map φ) φ
inst✝ : IsIso (p.map φ)
φ' : b ⟶ a := map p (p.map φ) φ ⋯ (𝟙 b)
inv_hom : φ' ≫ φ = 𝟙 b
h₁ : p.IsHomLift (𝟙 (p.obj a)) (φ ≫ φ')
⊢ (φ ≫ φ') ≫ φ = 𝟙 a ≫ φ
α : Type u
m : ℕ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
A : Matrix (Fin m.succ) n' α
v : n' → α
f : o' → n'
i : Fin m.succ
⊢ (A.updateRow i v).submatrix i.succAbove f = A.submatrix i.succAbove f
n : Nat
x : Nat
lt : 0 < n
y : Fin n
⊢ Fin.ofNat' x lt + y = Fin.ofNat' (x + ↑y) lt
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ x = (o.rotation θ) x ↔ θ = 0
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some ⁻¹' Ico ↑a ↑b = Ico a b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure (Measure α)
⊢ μ.join = μ.bind id
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (DerivedCategory C)
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ : ℤ
⊢ CategoryTheory.Mono ((DerivedCategory.homologyFunctor C n₀).map T.mor₂) ↔
  (DerivedCategory.homologyFunctor C n₀).map T.mor₁ = 0
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ a * sSup s = ⨆ i ∈ s, a * i
B : Type u_1
self : CoxeterMatrix B
⊢ self.M.IsSymm
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
Nonempty F
⊢ Set.SurjOn proj e.source e.baseSet
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Sheaf J D
φ : F₁ ⟶ F₂
hφ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.val.app X)
⊢ CategoryTheory.Mono φ
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
E : IntermediateField K L
FiniteDimensional K ↥E
⊢ IsOpen ↑E.fixingSubgroup
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Finset ι
t : ι → Set α
h : ∀ i ∈ s, NullMeasurableSet (t i) μ
H : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → t i ∩ t j = ∅
⊢ ∑ i ∈ s, μ (t i) ≤ μ univ
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => eLpNorm (F i - f) 1 μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
⊢ Continuous fun x => 1 / 2
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
f : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
f' : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli' i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
⊢ ∑ k ∈ Ico 1 n.succ, ↑k ^ p.succ = ∑ i ∈ range p.succ.succ, f' i
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
CommRing R''
CommRing S''
Algebra R'' S''
P'' : Algebra.Generators R'' S''
Algebra R R''
Algebra S S''
Algebra R S''
IsScalarTower R R'' S''
IsScalarTower R S S''
Algebra R' R''
Algebra S' S''
Algebra R' S''
IsScalarTower R' R'' S''
IsScalarTower R' S' S''
IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
x : P.CotangentSpace
⊢ (Algebra.Generators.CotangentSpace.map (g.comp f)) x =
  (Algebra.Generators.CotangentSpace.map g) ((Algebra.Generators.CotangentSpace.map f) x)
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ (aeval (↑(algEquivMatrix (chooseBasis R M)) f)) ((toMatrix (chooseBasis R M) (chooseBasis R M)) f).charpoly = 0
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
⊢ ⋃ x, descSet hc {x} = Set.univ
R : Type u_1
x : R
Zero R
Pow R ℕ
Subsingleton R
⊢ IsNilpotent x
n : ℕ
⊢ Nat.Primrec' Encodable.encode
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : Valued K Γ₀
⊢ Continuous ⇑v
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ∃ c, c ∈ {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖}
R✝ : Type u
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring A
f : R →+* A
H : Function.Injective ⇑f
p : ℕ
inst✝ : ExpChar A p
⊢ ExpChar R p
R : Type u
CommRing R
x : ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
f : R
⊢ ((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, trivial⟩)
    ((AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen R ⊤) f) =
  (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toStalk R x) f
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / s) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.169944}
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i < g i
x✝ : sum f ≥ prod g
F : ((i : ι) → Quotient.out (g i)) ↪ (i : ι) × Quotient.out (f i)
this : Inhabited ((i : ι) → Quotient.out (g i))
⊢ False
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
⊢ Continuous fun f => posPart (-f)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X A B : C
f : A ⟶ X
g : B ⟶ X
a : ↑(F.obj A)
b : ↑(F.obj B)
h : F.map f a = F.map g b
⊢ ((Types.pullbackIsoPullback (F.map f) (F.map g)).inv ≫ (PreservesPullback.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) f g).inv ≫ (F ⋙ FintypeCat.incl).map (pullback.snd f g)) ⟨(a, b), h⟩ = b
n m l : ℕ
hln : l ≤ n
k : ℕ
hk : k ∈ Ico n m
⊢ ¬decide (k < l) = true
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
ε_top : ¬ε = ⊤
easy : ε ≤ ↑P G
⊢ {Q | ↑P G < ↑Q G + ε} ∈ 𝓝 P
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
D : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
i₁ i₂ : D.J
⊢ ∀ (x : PUnit.{u + 1}), D.oneHypercover.Y x = D.V (i₁, i₂)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X' X : CategoryTheory.SimplicialObject C
f : X ⟶ X'
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
⊢ X.δ i ≫ f.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk n)) = f.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1))) ≫ X'.δ i
M : Type u_2
α : Type u_3
SMul M α
Preorder α
CovariantClass M α HSMul.hSMul LE.le
m : M
⊢ Monotone (HSMul.hSMul m)
α : Type u_1
a b : PosNum
⊢ ↑a + ↑b + (↑a + ↑b) + 1 = ↑a + ↑a + 1 + (↑b + ↑b)
R : Type u
I : Type v
CommSemiring R
s : I → R
t : Finset I
DecidableEq I
h : t.Nonempty
⊢ (∃ μ, ∑ i ∈ t, μ i * ∏ j ∈ t \ {i}, s j = 1) ↔ Pairwise (IsCoprime on fun i => s ↑i)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
⊢ ∀ G ⊆ F, G.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
m : ℕ
l : List ℕ
n : ℕ
h : Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) (n :: m :: l)
⊢ raise (lower (m :: l) n) n = m :: l
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : y ∈ s ∩ closedBall x (dist y x)
hlt✝ : infDist x s < infDist x (s ∩ closedBall x (dist y x))
z : α
hzs : z ∈ s
hz : dist x z < infDist x (s ∩ closedBall x (dist y x))
hlt : dist y x < dist z x
⊢ False
α α' : Sort u
β β' : Sort v
h : α = α'
h' : α' → β = β'
⊢ (α → β) = (α' → β')
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
Zero α
DecidableEq o
M N : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
⊢ Matrix.blockDiagonal' M = Matrix.blockDiagonal' N ↔ M = N
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
a : α
b : β
⊢ {a} +ᵥ {b} = {a +ᵥ b}
R : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass R
b : R
inst✝ : Nontrivial R
ra : IsRightRegular 0
⊢ False
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s₁ s₂ : Finset β
a : α
⊢ a +ᵥ (s₁ ∪ s₂) = a +ᵥ s₁ ∪ (a +ᵥ s₂)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeInf α
OrderTop α
f : β → α
DecidableEq β
s : Finset γ
t : γ → Finset β
⊢ (s.biUnion t).inf f = s.inf fun x => (t x).inf f
N k m : ℕ
⊢ (m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ ∃ x ≤ m, Prime x ∧ x ∣ m ∧ k ≤ x) ↔ ∃ a, ((a < N.succ ∧ Prime a) ∧ (a < k → ¬Prime a)) ∧ m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ a ∣ m
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
CommSemiring A
CommSemiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
ι : Type u_1
f : ι → A
s : Finset ι
⊢ φ (∏ x ∈ s, f x) = ∏ x ∈ s, φ (f x)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
hse : s ⊆ e.source
⊢ IsOpen (↑e '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ a - b ≤ c ↔ a - c ≤ b
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : S.LocalizationMap P
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S
⊢ f.mk' x₁ y₁ = f.mk' x₂ y₂ ↔ g.mk' x₁ y₁ = g.mk' x₂ y₂
n : ℕ
a : Fin (n + 1)
h : a ≠ 0
⊢ 0 < a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
RegularNormedAlgebra 𝕜 A
⊢ Isometry Unitization.inr
ι : Type u_2
Fintype ι
y : ι → ℝ
⊢ MonotoneOn (fun x => dist x y) (Set.Ici y)
p x t : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)
ht : t ≠ 0
ht' : |t| ≠ 0
z : ℝ
⊢ z ∈ (fun a => |a|) '' {m | m - t * x ∈ zmultiples (t * p)} ↔ |t|⁻¹ • z ∈ (fun a => |a|) '' {m | m - x ∈ zmultiples p}
c₁ c₂ : Nat.Partrec.Code
n₁ n₂ : ℕ
h : c₁.curry n₁ = c₂.curry n₂
⊢ c₁ = c₂ ∧ n₁ = n₂
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
T S : CentroidHom α
a b : α
⊢ (⇑T ∘ ⇑S) (a * b) = (⇑S ∘ ⇑T) (a * b)
R : Type u_1
CommRing R
I : Type u_3
Fintype I
e : I → R
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
⊢ Function.Bijective ⇑(Pi.ringHom fun i => Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {1 - e i}))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → E
a : α
hfm : StronglyMeasurable f
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ ∫ (x : α), f x ∂Measure.dirac a = f a
I : Type w₀
J : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝² : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
D : I → Type u₂
inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₂, u₂} (D i)
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
f : (i : I) → A ⥤ C i
i : I
⊢ pi' f ⋙ Pi.eval C i = f i
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
x : ℝ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun a => ↑(ProbabilityTheory.condCDF ρ a) x) ρ.fst
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
s : Set (M × N)
⊢ SmoothOn (I.prod J) J Prod.snd s
K : Type u_2
LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
⊢ r • Set.Ico a b = Set.Ico (r • a) (r • b)
Fq : Type u_1
Field Fq
Fintype Fq
DecidableEq Fq
p : Polynomial Fq
⊢ Polynomial.cardPowDegree p = if p = 0 then 0 else ↑(Fintype.card Fq) ^ p.natDegree
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.68425, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.68429, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b) (a ≫ φ₂)
⊢ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (inr φ₁) ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mapOfHomotopy H) = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (inr φ₂)
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
a : α
⊢ (PMF.uniformOfFintype α) a = (↑(Fintype.card α))⁻¹
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
p : F
⊢ ↑e.symm (b, p) ∈ proj ⁻¹' {b}
α : Type u_2
Preorder α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
⊢ (s ∪ t).IsPWO
c : ℝ
h1 : 0 < c
h2 : c < 1 / 2
n : ℕ
f g : ℕ → Bool
hn : ∀ k < n, f k = g k
fn : f n = false
gn : g n = true
⊢ Cardinal.cantorFunction c f < Cardinal.cantorFunction c g
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f g : Option α →₀ M
⊢ (f + g).some = f.some + g.some
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ℕ → R
g : ℕ → M
m n : ℕ
hmn : m < n
⊢ ∑ i ∈ Ico m n, f i • g i = f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range m, g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
α : Type u_1
β : Type u_2
AddGroup α
AddCommGroup β
f : α → β
hf : IsAddGroupHom f
⊢ IsAddGroupHom fun a => -f a
S : Finset Λ'
q : Λ'
H₁ : Λ'.Supports S q
HS₁ : trStmts₁ q ⊆ S
⊢ Supports (trStmts₁ q) S
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ Nonempty ι
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
v : E
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ {x | x • v ∈ (s.sup p).ball 0 r} ∈ 𝓝 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Module.rank R M = 0 ↔ Module.IsTorsion R M
α : Type u
x y : α
⊢ x ∈ pure y ↔ x = y
α : Type u
l : List α
Inhabited α
n : ℕ
⊢ l.getD n default = l.getI n
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasStrictInitialObjects C
I : C
hI : IsInitial I
A : C
f g : A ⟶ I
this✝ : IsIso f
this : IsIso g
⊢ f = g
α : Type u_1
n : ℕ
l : List α
⊢ Multiset.powersetCard n ↑l = ↑(Multiset.powersetCardAux n l)
α : Type u_1
x : Option α
⊢ (none.orElse fun x_1 => x) = x
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r✝ : X
s✝ : ↥S
⊢ (r✝ + 0) /ₒ s✝ = r✝ /ₒ s✝
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
t : Set α
hf : IsExtrOn f t a
h : s ⊆ t
⊢ IsExtrOn f s a
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
I : Submodule B L
⊢ I ≤ Submodule.traceDual A K (Submodule.traceDual A K I)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p✝ : α → Prop
f : β → α
p : ℝ≥0∞
hμs : p < μ s
s_mble : MeasurableSet s
⊢ 1 - (1 - p) = p
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
⊢ μ.restrict (toMeasurable μ s) = μ.restrict s
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b : α
⊢ Codisjoint a b ↔ ⊤ ≤ a ⊔ b
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
⊢ x ≤ √y ↔ x ^ 2 ≤ y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
c : E
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) μ
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
Nontrivial S
Module.Free R S
Module.Finite R S
⊢ (Algebra.norm R) 0 = 0
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
E : K ⥤ J
inst✝ : HasColimit (E ⋙ F)
c : Cocone F
j✝ : K
⊢ ι (E ⋙ F) j✝ ≫ pre F E ≫ desc F c = ι (E ⋙ F) j✝ ≫ desc (E ⋙ F) (Cocone.whisker E c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ ∀ {x : CategoryTheory.IsIso f}, (CategoryTheory.asIso f).hom = f
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s s' : Finset α
t : Finset β
DecidableEq α
⊢ Finset.image₂ f (s ∪ s') t = Finset.image₂ f s t ∪ Finset.image₂ f s' t
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
f g : C(α, β)
C : ℝ
Nonempty α
w : ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
⊢ dist f g < C
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
∀ (X : Cᵒᵖ),
    Small.{v, max u₂ v}
      ↑((F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R X) ⋙ CategoryTheory.forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ (PresheafOfModules.limitBundledCore F).map f =
  CategoryTheory.Limits.limMap (CategoryTheory.whiskerLeft F (PresheafOfModules.restriction R f)) ≫
    (CategoryTheory.preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R Y)).inv
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop atBot
r : ℝ
hf' : ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → f a ≤ b
i : ℕ
hi : ∀ (a : ℕ), i ≤ a → f a ≤ r - 1
hi' : ∀ (a : ℕ), r - 1 < f a → a < i
⊢ {a | r ≤ f a} ⊆ {a | a ≤ i}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFiltered C
O : Finset C
⊢ ∃ S, ∀ {X : C}, X ∈ O → Nonempty (X ⟶ S)
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
⊢ (toLin v₁ v₂) ((toMatrix v₁ v₂) f) = f
l : List ℕ
a m n✝ n : ℕ
⊢ (map fib n.zeckendorf).sum = n
α₁ : Type u_2
β₁ : Type u_1
β₂ : Type u_3
e : α₁ → β₁ ≃ β₂
a : α₁
b : β₁
⊢ ⟨((sigmaEquivProd α₁ β₁).symm (a, b)).fst, (e ((sigmaEquivProd α₁ β₁).symm (a, b)).fst) ((sigmaEquivProd α₁ β₁).symm (a, b)).snd⟩ = (sigmaEquivProd α₁ β₂).symm (a, (e a) b)
F : Type u_10
M : outParam (Type u_11)
N : outParam (Type u_12)
Add M
Add N
FunLike F M N
self : AddHomClass F M N
f : F
x y : M
⊢ f (x + y) = f x + f y
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
⊢ Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
LE β
⊢ Relation.Fibration (fun x x_1 => x ≥ x_1) (fun x x_1 => x ≥ x_1) f ↔ ∀ (x : α), IsUpperSet (f '' Set.Ici x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
⊢ (fun b => ⨆ i, f i b) =ᶠ[ae μ] fun b => ⨆ i, AEMeasurable.mk (f i) ⋯ b
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
u v : Set α
hu : u ∈ memPartition f n
hv : v ∈ memPartition f n
huv : u ≠ v
⊢ Disjoint u v
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
hp : 0 < p.toReal
⊢ ‖-f‖ = ‖f‖
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : Type w
f : J → C
inst✝⁶ : HasProduct f
D : Type t
inst✝⁵ : Category.{r, t} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
F : C ⥤ D
inst✝³ : PreservesLimit (Discrete.functor f) F
inst✝² : HasProduct fun j => F.obj (f j)
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan (forget D)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun b => F.obj (f b)) (forget D)
x y : (forget D).obj (F.obj (∏ᶜ f))
h : ∀ (i : J), (F.map (Pi.π f i)) x = (F.map (Pi.π f i)) y
⊢ x = y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → LE (α i)
f : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
⊢ DFinsupp.orderEmbeddingToFun f i = f i
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y y' : M
⊢ QuadraticMap.polar (⇑Q) x (y - y') = QuadraticMap.polar (⇑Q) x y - QuadraticMap.polar (⇑Q) x y'
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S T : StarSubalgebra R A
⊢ ↑(S ⊓ T) = ↑S ∩ ↑T
α : Type u_1
BooleanRing α
⊢ ofBoolAlg ⊥ = 0
n : Type u_1
Fintype n
A : Type u_4
DecidableEq n
CommRing A
IsDomain A
M : Matrix n n A
⊢ (∃ v, v ≠ 0 ∧ Matrix.vecMul v M = 0) ↔ M.det = 0
α β : BddDistLat
e : ↑α.toDistLat ≃o ↑β.toDistLat
x✝ : (forget BddDistLat).obj β
⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝