ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommMonoid α
t : Multiset ι
f₁ f₂ : ι → Set α
hf : ∀ i ∈ t, f₁ i ⊆ f₂ i
⊢ (Multiset.map f₁ t).prod ⊆ (Multiset.map f₂ t).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
h : OpenEmbedding f
s : Set α
⊢ IsQuasiSeparated s ↔ IsQuasiSeparated (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
f : α ↪ β
I : Set β
⊢ (M.mapEmbedding f).Indep I ↔ M.Indep (⇑f ⁻¹' I) ∧ I ⊆ Set.range ⇑f
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b✝ c✝ : α
P : Finpartition a
Q✝ Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
b : α
hb : b ∈ P.parts
c : α
hc : c ∈ P.parts
hbc : ¬b = c
d : α
hdb : d ∈ (Q ↑⟨b, hb⟩ ⋯).parts
hdc : d ∈ (Q ↑⟨c, hc⟩ ⋯).parts
⊢ False
α : Type u_1
s₁ s₂ s₃ : Finset α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₂ ⊆ s₃ → s₁ ⊆ s₃
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
⊢ W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3) = (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) / (P z * Q z * addZ P Q)
x y : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 ≤ y
⊢ √x ≤ √y ↔ x ≤ y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
inst✝² : Module.Free R ↑S.X₁
inst✝¹ : Module.Free R ↑S.X₃
inst✝ : StrongRankCondition R
⊢ Module.rank R ↑S.X₂ = Module.rank R ↑S.X₁ + Module.rank R ↑S.X₃
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasMulticoequalizer I
b : I.R
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι I.multispan (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.right b) =
  CategoryTheory.Limits.Multicoequalizer.π I b
x y i : Nat
⊢ (x ||| y).testBit i = (x.testBit i || y.testBit i)
u v : PrimeMultiset
⊢ (coePNatMonoidHom u + coePNatMonoidHom v).prod = u.prod * v.prod
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : CategoryTheory.ShortComplex (CategoryTheory.Functor J C)
⊢ ∀ (X_1 : J),
  ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.unitIso J C).inv.app X).τ₂.app X_1 =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.X₂.obj X_1)
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K V
⊢ Function.Surjective ⇑(Submodule.dualRestrict W)
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → α
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ (s.card * n + 1) ∈ span ((fun i => f i ^ (n + 1)) '' ↑s)
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
⊢ ↑(⨆ i, Hom.opensRange (𝒰.map i)) = ↑⊤
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h : s ⊆ ↑N
a : G
w : a ∈ normalClosure s
x : G
hx : x ∈ conjugatesOfSet s
⊢ x ∈ N
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
S✝ : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
S : Submodule R M'
I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ I
x : M
hx : f x ∈ S
⊢ r • f x ∈ I • S
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x : α}, Mathlib.Vector.nil.snoc x = x ::ᵥ Mathlib.Vector.nil
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
f : α →₀ M
inst✝ : CommMonoid N
g : α → M → N
⊢ (filter p f).prod g = ∏ x ∈ (filter p f).support, g x (f x)
k : Type u
Field k
⊢ AlgebraicClosure.spanEval k ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
f : P →ᵃ[𝕜] P₂
inhabited_h : Inhabited P
this : ⇑f.linear = ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 (f default)).toHomeomorph.symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 default).toHomeomorph
⊢ Continuous (⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 (f default)).toHomeomorph.symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 default).toHomeomorph) ↔ Continuous ⇑f
n : ℕ+
m : ℕ
u : PrimeMultiset := n.factorMultiset
this : n = u.prod
⊢ (m • u).prod.factorMultiset = m • u.prod.factorMultiset
α : Type u_1
⊢ ⇑SymAlg.unsym ∘ ⇑SymAlg.sym = id
α : Type u_1
β : Type u_2
Pow α β
a : α
b : β
⊢ a ^ OrderDual.toDual b = a ^ b
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : D
Y : C
f f' : X ⟶ F.obj Y
⊢ f ≫ α.hom.app Y = f' ≫ α.hom.app Y ↔ f = f'
M : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid M
ExistsAddOfLE M
a b c : M
⊢ (fun x => x + a) '' Set.Icc b c = Set.Icc (b + a) (c + a)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
⊢ Finset.centroid k {i} p = p i
R : Type u
a : R
CommRing R
p : R[X]
⊢ Polynomial.X - Polynomial.C a ∣ p ↔ p.IsRoot a
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : CharZero K
a b : ℕ
h : a ≤ b
⊢ ↑(b.choose a) = ↑b ! / (↑a ! * ↑(b - a)!)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I✝ J X✝ Y : Set α
e✝ : α
ι : Type u_2
X I : ι → Set α
hI : ∀ (i : ι), M.Basis (I i) (X i)
h_ind : M.Indep (⋃ i, I i)
e : α
he' : ∀ (x : ι), e ∉ I x
i : ι
hes : e ∈ X i
⊢ M.Dep (insert e (⋃ i, I i))
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
b' : Pseudoelement S.X₂
b : Over S.X₂
hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0
hb' : b.hom ≫ S.g = 0
c : (𝟭 C).obj b.left ⟶ (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯).pt
hc : c ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯) = b.hom
⊢ 𝟙 (pullback (Abelian.factorThruImage S.f) c) ≫ ((fun g => app S.f g) (Over.mk (pullback.fst (Abelian.factorThruImage S.f) c))).hom = pullback.snd (Abelian.factorThruImage S.f) c ≫ b.hom
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : hl₁.IsPreservedBy F
inst✝ : hl₂.IsPreservedBy F
γ : LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂
⊢ F.map (leftHomologyMap' φ hl₁ hl₂) = leftHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (hl₁.map F) (hl₂.map F)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hi : ↑i < x.orderTop
⊢ x.coeff i = 0
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
f g : CoprodI M →* N
h : ∀ (i : ι), f.comp of = g.comp of
x✝ : (i : ι) × M i
i : ι
x : M i
⊢ (f.comp (conGen (Rel M)).mk') (FreeMonoid.of ⟨i, x⟩) = (g.comp (conGen (Rel M)).mk') (FreeMonoid.of ⟨i, x⟩)
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β → δ
s₁ : Stream' α
s₂ : Stream' β
⊢ (Stream'.zip f s₁ s₂).head = f s₁.head s₂.head
x✝ y x : ℝ
hx : cos x ≠ 0
⊢ tan x ^ 2 / (1 + tan x ^ 2) = sin x ^ 2
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
⊢ (List.map f s.toList).prod = s.prod f
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
v : M₁
⊢ ((Matrix.toLin v₁ v₂) M) v = ∑ j : m, (M *ᵥ ⇑(v₁.repr v)) j • v₂ j
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x : α
hx₂ : x ∈ t.ordT5Nhd s
a : α
has : a ∈ s
ha : x ∈ (tᶜ ∩ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ).ordConnectedComponent a
⊢ x ∈ ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
G : CategoryTheory.Functor C D
iso : e.functor ≅ G
X : C
⊢ (e.changeFunctor iso).unitIso.inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.inverse.map (iso.inv.app X)) (e.unitIso.inv.app X)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.negAddY P (W'.neg P) = W'.dblZ P ^ 3
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
LinearOrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : MonovaryOn f g₁ s
h₂ : AntivaryOn f g₂ s
⊢ MonovaryOn f (g₁ - g₂) s
α : Type u
β : α → Type v
s : Sigma β
⊢ [s].NodupKeys
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ
this : IsGLB (range Rat.cast ∩ Ioi a) a
⊢ MeasurableSet (⋃ y ∈ Rat.cast ⁻¹' Ioi a, Ioi ↑y)
α : Type u_1
LE α
x : PUnit.{u_5 + 1}
⊢ WithBot.orderIsoPUnitSumLex.symm (toLex (Sum.inl x)) = ⊥
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ (s.sup p).ball 0 (r / 2) + (s.sup p).ball 0 (r / 2) ⊆ U
α : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq α
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : MulZeroOneClass R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : MulZeroOneClass S
inst✝¹ : DecidableEq S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : WithTop R
this : ∀ (z : WithTop R), map (⇑f) z = 0 ↔ z = 0
hx : x ≠ 0
⊢ { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun x * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun y
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
r : R
n a✝ : ℕ
b✝ : M
⊢ ((monomial i) r • (single R a✝) b✝) n = if i ≤ n then r • ((single R a✝) b✝) (n - i) else 0
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
⊢ U ⊆ V
α : Type u_2
Add α
f g : Filter α
⊢ (f + g).NeBot → f.NeBot
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal) = ENNReal.ofReal (‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal))
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
h : p.degrees.Disjoint q.degrees
⊢ (p + q).degrees = p.degrees ∪ q.degrees
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ f (x * c ^ (m + (n - m))) / f c ^ n ≤ f (x * c ^ m) / f c ^ m
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ (l ++ [a]).getLast ⋯ = a
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
⊢ (1 + X • M.map ⇑C).det = 1 + M.trace • X + (1 + X • M.map ⇑C).det.divX.divX * X ^ 2
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
hf : ContinuousOn f (Metric.sphere c |R|)
⊢ CircleIntegrable f c R
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
⊢ (rightShiftAddEquiv K L n a n' hn') (-γ) = -γ.rightShift a n' hn'
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_lt_m : n < m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
k : ℕ
hnk : n.succ ≤ n + k + 1
hk : g.contsAux (n + k + 1) = g.contsAux (n + 1)
⊢ g.TerminatedAt (n + k)
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_3
Finite ι
f : ι → Subgroup G
hf : ∀ (i : ι), (f i).FiniteIndex
⊢ (⨅ i, f i).FiniteIndex
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
σ : Equiv.Perm n
M : Matrix n n R
⊢ (M.submatrix id ⇑σ).det = ↑↑(Equiv.Perm.sign σ) * M.det
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : CommMonoid N
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
h : α → M → N
h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 1
⊢ (indicator s f).prod h = ∏ x ∈ s.attach, h (↑x) (f ↑x ⋯)
n : ℤ
hn : n % 4 = 3
⊢ ZMod.χ₄ ↑n = -1
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
⊢ StrictMono fun s => ∑ k ∈ s.ofColex, n ^ k
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
h : n < l.length
⊢ l.get ⟨n, h⟩ ∈ l
α : Type u
AddCommMonoid α
Subsingleton (AddUnits α)
a b : α
h : a + b = 0
⊢ b = 0
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hn : 0 < a
hm : 1 < b
⊢ a < b * a
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
StarAddMonoid α
ContinuousStar α
f : β → α
hf : Summable fun b => star (f b)
⊢ Summable f
α : Type u_1
Preorder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
a : α
hf : StrictMono f
ha : a < f 0
⊢ StrictMono (Matrix.vecCons a f)
α : Type u
DecidableEq α
l : List α
d : l.Nodup
a : α
⊢ l.erase a = List.filter (fun x => decide (x ≠ a)) l
cont : Type u
idx : Type v
elem : outParam (Type w)
dom : outParam (cont → idx → Prop)
ge : GetElem? cont idx elem dom
self : LawfulGetElem cont idx elem dom
Inhabited elem
c : cont
i : idx
⊢ getElem! c i =
  match getElem? c i with
  | some e => e
  | none => default
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0
⊢ HasFiniteIntegral (fun x => ↑(f x)) μ ↔ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
this✝ : {x | ¬κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1} ⊆ {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0}
this : {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0} ⊆ ⋃ u ∈ countablePartition γ n, ⋃ (_ : (κ.fst a) u = 0), u
⊢ (countablePartition γ n).Countable
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
α : Type u_4
TopologicalSpace α
f g : α → E
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
inst✝ : IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)
hx0 : x ≠ 0
hP0 : ¬P = ⊥
⊢ P = span {x}
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
xy : SqLe (y + 1) d (x + 1) 1
yx : SqLe (x + 1) 1 y.succ d
t : 1 * (x + 1) * (x + 1) = d * y.succ * y.succ := le_antisymm yx xy
⊢ { re := ↑(x + 1), im := -[y+1] } = 0
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i : J
s : Set (F.obj i)
j : J
⊢ (F.toPreimages s).obj j = ↑(⋂ f, F.map f ⁻¹' s)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring R
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
AddLeftCancelMonoid ι
SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
j : ι
⊢ ↑(((DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) r * r') (i + j)) = ↑r * ↑(r' j)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ frontier (Metric.sphere x r) = Metric.sphere x r
o : Ordinal.{u_1}
f : (b : Ordinal.{u_1}) → b < o → Ordinal.{max u_1 u_2} → Ordinal.{max u_1 u_2}
⊢ Ordinal.IsNormal (o.derivBFamily f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜
⊢ x - y ∈ Kᗮ
G : Type u''
S : Type u'
R : Type u
M : Type v
ι : Type w
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : AddCommGroup M
module_M : Module R M
p p' : Submodule R M
r : R
x y : M
hx : x ∈ p
⊢ x - y ∈ p ↔ y ∈ p
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
⊢ ∀ (i : P.vars), (CotangentSpace.map (Hom.id P)) (P.cotangentSpaceBasis i) = LinearMap.id (P.cotangentSpaceBasis i)
α✝ β α : Type u
h : Fintype α
⊢ ∀ (α : Type u) [inst : Fintype α], (∀ (f : α → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : α, f i)) → ∀ (f : Option α → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : Option α, f i)
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
hs : ∀ (x y : α), exterior {x} ⊆ exterior {y} → y ∈ s → x ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s, ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ x ∈ t
G : Type u
inst✝¹ : CancelCommMonoid G
inst✝ : Fintype G
⊢ exponent G = (Finset.image orderOf Finset.univ).max' ⋯
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
α : Type u_3
φ : L.Formula α
v : α → ↥⊤
⊢ φ.Realize v ↔ φ.Realize (Subtype.val ∘ v)
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
x : Bundle.TotalSpace F E
⊢ Filter.map Bundle.TotalSpace.proj (𝓝 x) = 𝓝 x.proj
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
δ' : Type u_2
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
UniformSpace δ
UniformSpace δ'
f : α → β → γ
ga : δ → α
gb : δ' → β
hf : UniformContinuous₂ f
hga : UniformContinuous ga
hgb : UniformContinuous gb
⊢ UniformContinuous₂ (Function.bicompl f ga gb)
x✝ x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ x
hx2 : x ≤ 3 * π / 2
hx3 : x ≠ 0
y : ℝ
hy1 : 0 < y
hy2 : y ≤ 3 * π / 2
⊢ cos y < 1 / √(y ^ 2 + 1)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ |a - c| ≤ |a - b| + |b - c|
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ μ (closedBall x r) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1)
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
x : R
⊢ ↑(f.rangeSRestrict x) = f x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.L₁'.X₁ = S.L₀.X₂
ι : Type u_1
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq ι
Fintype ι
κ : ι → Type u_6
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : ((i : ι) → i ∈ Finset.univ → κ i) → β
⊢ ∏ x ∈ Finset.univ.pi t, f x = ∏ x ∈ Fintype.piFinset t, f fun a x_1 => x a
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
⊢ a < b → Order.succ a ≤ b
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
L : Turing.ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
⊢ Turing.ListBlank.map { f := Prod.snd, map_pt' := ⋯ } (Turing.TM2to1.addBottom L) = L
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq α
Fintype β
f : β ≃ α
⊢ Finset.image (⇑f) Finset.univ = Finset.univ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : IsDomain R
⊢ Irreducible W.polynomial
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
hnm : ¬n + 1 = m
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n m z = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
φ₁ φ₂ : A →ₗc[R] B
H : ∀ (x : A), φ₁ x = φ₂ x
⊢ φ₁ = φ₂
x y : ℝ
⊢ ↑(cosh (3 * x)) = ↑(4 * cosh x ^ 3 - 3 * cosh x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback f.op g.op
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g ≫ (CategoryTheory.Limits.pushoutIsoUnopPullback f g).hom =
  (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f.op g.op).unop
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ 1 ≤ LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨0, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
A : Set E
w : E
l₁ : E →L[𝕜] 𝕜
hB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x}
hwB : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x}
l₂ : E →L[𝕜] 𝕜
hC : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x}
hwC : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x}
⊢ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x} ∩ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x} ⊆ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, (l₁ + l₂) y ≤ (l₁ + l₂) x}
α : Type u_1
γ : α → Type u_3
Encodable α
(a : α) → Encodable (γ a)
a : α
b : γ a
⊢ Encodable.encode ⟨a, b⟩ = Nat.pair (Encodable.encode a) (Encodable.encode b)
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
eif : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a
uif : ∀ (f g : Multiset α), (∀ x ∈ f, Irreducible x) → (∀ x ∈ g, Irreducible x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g
a✝³ : α
a✝² : a✝³ ≠ 0
x✝ : Multiset α
a✝¹ : α
a✝ : a✝¹ ∈ x✝
⊢ Prime a✝¹ ↔ Irreducible a✝¹
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
hs_m₂ : MeasurableSet s
⊢ s.indicator (μ[f|m]) =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m₂])
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
p : M → Prop
x : M
H : x ∈ I • N
smul : ∀ r ∈ I, ∀ n ∈ N, p (r • n)
add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
H0 : p 0
⊢ p x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X : C
⊢ A.X.map (𝟙 X) = 𝟙 (A.X.obj X)