ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hp : p ≠ 0
mul_eq : (X - C t) ^ rootMultiplicity t p * (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = p
⊢ eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = (p.comp (X + C t)).trailingCoeff
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ ∀ ⦃ℱ : Filter X⦄ ⦃y : Y⦄, MapClusterPt y ℱ f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x ℱ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y✝ x y : α
h : x ≤ y
hxy : x < y
⊢ leftLim f x ≤ leftLim f y
𝕜 : Type u_1
NormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x₀ - y‖
X : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
g : Polynomial ℝ
⊢ (g.toContinuousMapOn (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).comp (↑f).attachBound = ↑((Polynomial.aeval f) g)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α
I : Set ι
I_fin : I.Finite
V : ↑I → Set α
hV : ∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i
hU : ⋂ i, V i ⊆ U
this : Fintype ↑I
i : ↑I
⊢ V i ∈ ⨅ i, s i
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
f g : Polynomial ↥(subfield G F)
hf : f.Monic
hg : g.Monic
hfg : f * g = minpoly G F x
hf2 : f ∣ minpoly G F x
⊢ f = 1 ∨ g = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
a : A
F : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
⊢ (CategoryTheory.SingleFunctors.evaluation C D a).obj F = F.functor a
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
⊢ closure ((fun g => ⟨g * (↑(toFun hR g))⁻¹, ⋯⟩) '' (R * S)) = ⊤
α : Type u
γ : Type w
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
l : Filter γ
f : γ → α
u v : α
hv : v < u
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 v)
⊢ ∀ᶠ (a : γ) in l, f a < u
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x : X
h : 0 < s.length
⊢ x ∈ eraseLast s ↔ x ≠ last s ∧ x ∈ s
L : FirstOrder.Language
K : Set (CategoryTheory.Bundled L.Structure)
self : FirstOrder.Language.IsFraisse K
M N : CategoryTheory.Bundled L.Structure
⊢ Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
⊢ (p * p.mirror).natDegree = 2 * p.natDegree
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧
    ∀ ⦃x : E⦄,
      x ∈ s →
        ∀ ⦃y : E⦄,
          y ∈ s →
            ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
              0 ≤ a →
                0 ≤ b →
                  0 < a + b → (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y ≤ f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y)
G : Type u_10
Group G
a : G
⊢ ⇑(Equiv.mulRight a) = fun x => x * a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)
f g : Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom ⟶ Φ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x : P.Elementsᵒᵖ
eq : yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd ≫ F.op.lanUnit.app P = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ whiskerLeft F.op (F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd))
eq₁ : (f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
eq₂ : (g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
⊢ F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd) ≫ f.right.app P = F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd) ≫ g.right.app P
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l✝ : Filter α
f✝ g✝ h : α → β
l : Filter α
f : α → β
g : β → γ
b : β
hb : f =ᶠ[l] fun x => b
⊢ (↑(g ∘ f)).IsConstant
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
hf1 : IsUnit ((expand R p) f)
hf2 : (expand R p) f = C (f.coeff 0)
⊢ IsUnit f
α : Type u
n : ℕ
f : α → α
a : α
⊢ (Stream'.iterate f a).get n.succ = (Stream'.iterate f (f a)).get n
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
⊢ GaloisConnection (AddSubsemigroup.map f) (AddSubsemigroup.comap f)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Memℒp (f n) p μ
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → MeasureTheory.eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
⊢ ∃ f_lim,
  MeasureTheory.Memℒp f_lim p μ ∧ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - f_lim) p μ) Filter.atTop (𝓝 0)
x✝ : ℝ
⊢ (-↑x✝).expMapCircle = (↑x✝).expMapCircle⁻¹
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a b : E
f' : ℝ
h : IsMaxOn f s a
hd : HasLineDerivWithinAt ℝ f f' s a b
h' : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, a + t • b ∈ s
⊢ f' = 0
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).sublists' = l.sublists' ++ List.map (List.cons a) l.sublists'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
⊢ (∀ (a : α), Irreducible a ↔ Prime a) ↔ ∀ (a : Associates α), Irreducible a ↔ Prime a
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
⊢ edist x (efixedPoint' f hsc hsf hf x hxs hx) ≤ edist x (f x) / (1 - ↑K)
α : Type u_2
β : Type u_3
BiheytingAlgebra α
BiheytingAlgebra β
f : BiheytingHom α β
⊢ ⇑f.toLatticeHom = ⇑f
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}
⊢ Ordinal.IsNormal (Ordinal.derivFamily f)
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ groupCohomologyπ A 2 ≫ (groupCohomology.isoH2 A).hom =
  (groupCohomology.isoTwoCocycles A).hom ≫ (groupCohomology.shortComplexH2 A).moduleCatHomologyπ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hqf : IsField (R ⧸ I)
⊢ 1 ∉ I ∧ ∀ (J : Ideal R) (x : R), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
Vsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
Ω : X → Set X := fun x => {y | ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V}
A : Finset X
Acover : ⋃ x ∈ A, Ω x = ⊤
this : ⋂ a ∈ A, {ij | (F ij.1 a, F ij.2 a) ∈ V} ⊆ Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U
⊢ Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
AddGroup α
OrderedAddCommMonoid β
AddGroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α
⊢ f (x - y) = f (y - x)
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b
X : Type u := FreeGroup (WeaklyConnectedComponent (Generators G))
f : G → X := fun g => FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk g)
F : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X := differenceFunctor f
a✝ b✝ : Generators G
e✝ : a✝ ⟶ b✝
⊢ Nonempty (Path b✝ (let_fun this := a✝; this))
ι : Type u_1
R : Type u_2
N : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid N
Module R N
s : Finset ι
p : ι → Submodule R N
a : N
⊢ a ∈ ⨆ i ∈ s, p i ↔ ∃ μ, ∑ i ∈ s, ↑(μ i) = a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
l : ℕ
v : α → M
xs : Fin l → M
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin l)
⊢ (t₁.bdEqual t₂).Realize v xs ↔
  FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim v xs) t₁ = FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim v xs) t₂
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b
h₁ : f a = 1
⊢ multinomial {a, b} f = (f b).succ
x y : ONote
⊢ x < y ↔ x.repr < y.repr
α : Type u_1
AddGroupWithOne α
n : Num
⊢ ↑↑n = ↑n
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Semigroup α
x : Holor α ds₁
y : Holor α ds₂
z : Holor α ds₃
⊢ HEq (x ⊗ y ⊗ z) (x ⊗ (y ⊗ z))
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x : Z
ex : proj x ∈ e.baseSet
⊢ (proj x, (↑e x).2) = ↑e x
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Monoid α
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosMono α β
hb : 0 ≤ b
h : 1 ≤ a
⊢ b ≤ a • b
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M''
Module R M
Module R M'
Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
map_unit : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
j k : M' →ₗ[R] M''
h : j ∘ₗ f = k ∘ₗ f
⊢ j = k
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S
x y : S
⊢ P.σ x • y = x * y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp0 : p ≠ 0
⊢ ↑(Multiset.card p.roots) ≤ p.degree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
g : β → γ
hg : Function.Injective g
⊢ Multipliable (Function.extend g f 1) ↔ Multipliable f
α : Type u
β : Type v
f : α → α
g : ℕ → α → α
H : ∀ (n : ℕ), Semiconj f (g n) (g (n + 1))
n k : ℕ
⊢ Semiconj f^[n] (g k) (g (n + k))
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
⊢ B.SeparatingRight ↔ ker B.flip = ⊥
x y z : ℝ
n : ℕ
hb₀ : 0 < 1
hb₁ : 1 ≤ 1
⊢ Antitone fun x => 1 ^ x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H✝ : s✝.Nonempty
x a : α
s : Finset α
H : s.Nonempty
⊢ IsGreatest (insert a ↑s) (max a (s.max' H))
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift f g
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.lanLiftLeftLift f g).lift = CategoryTheory.Bicategory.lanLift f g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
b : β
h : (↑s).PairwiseDisjoint t
⊢ b ∈ s.disjiUnion t h ↔ ∃ a ∈ s, b ∈ t a
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
α : Type u'
φ : L ≃ᴸ L'
⊢ ⇑φ.onFormula = φ.toLHom.onFormula
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
cond : ∀ (m : M), f m * f m = (algebraMap R A) (Q m)
g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
⊢ g.toLinearMap ∘ₗ CliffordAlgebra.ι Q = f ↔ g = (CliffordAlgebra.lift Q) ⟨f, cond⟩
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD n.gcd m]
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0
lcm_pos : 0 < ↑(n.lcm m)
⊢ ((↑n * (n.gcdA m, n.gcdB m).1 * ↑b + ↑m * (n.gcdA m, n.gcdB m).2 * ↑a) / ↑(n.gcd m) % ↑(↑(n.lcm m)).toNat).toNat < (↑(n.lcm m)).toNat
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
⊢ ∑ x : Fin n.succ, ∑ y : Perm (Fin n), sign (decomposeFin.symm (x, y)) • ∏ x_1 : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (x, y)) x_1) x_1 = ∑ x : Fin n.succ, (-1) ^ ↑x * A x 0 * (of fun i j => A (x.succAbove i) j.succ).det
α : Type u_1
Lattice α
s t : NonemptyInterval α
⊢ (s ⊔ t).toProd.1 = s.toProd.1 ⊓ t.toProd.1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X A : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected A
h : Nonempty ↑(F.obj X)
f : X ⟶ A
⊢ CategoryTheory.Epi f
y z : ZFSet
hy : y ∈ ⋂₀ ∅
hz : z ∈ ∅
⊢ y ∈ z
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ LinearMap.lTensor (Module.Dual K V) (coevaluation K V) = ↑(TensorProduct.lid K (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.rid K (Module.Dual K V))
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s + t = s ∪ t ↔ s.Disjoint t
α β : Type u
a b c : Cardinal.{u_1}
⊢ a ^ (c * b) = (a ^ b) ^ c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)) (CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ (Type v₁))
φ : F.comp CategoryTheory.yoneda ⟶ CategoryTheory.yoneda.comp G
X : C
⊢ CategoryTheory.yonedaEquiv
    (CategoryTheory.Presheaf.compYonedaIsoYonedaCompLan.presheafHom φ (CategoryTheory.yoneda.obj X)) =
  (φ.app X).app (F.op.obj (Opposite.op X)) (CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op X))))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
s : Set α
a : α
hsa : a ∈ upperBounds s
hsf : a ∈ closure s
⊢ IsLUB s a
a b c : ℕ
hb0 : 0 < b
hc : a / b ≤ c
x : ℕ
this : x * b ≤ a → x ≤ c
⊢ x ∈ Ico 1 (a / b).succ ↔ x ∈ filter (fun x => x * b ≤ a) (Ico 1 c.succ)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α
h : ∀ x ∈ s, IsBounded s
⊢ IsBounded s
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
k : Cardinal.{u_1}
hk : ↑m = ↑n * k
⊢ n ∣ m
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ ↔ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ h₁ h₂)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
F : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor C D
⊢ ∀ {X Y : CommMon_ C} (f : X ⟶ Y), (F.mapCommMon.map f).hom = F.map f.hom
B C : CategoryTheory.Cat
F : B ⟶ C
X : ↑B
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor F).hom.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
⊢ u ≠ v ∧ G.Reachable u v ↔ u ≠ v ∧ G.Reachable u v
r : ℝ
⊢ 1 < ENNReal.ofReal r ↔ 1 < r
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
x y : V
⊢ midpoint R (x + y) (x - y) = x
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝¹¹ : SmallCategory J
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝⁹ : Small.{v, u₂} K
inst✝⁸ : FinCategory J
F✝ : J × K ⥤ Type v
inst✝⁷ : IsFiltered K
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape J C
inst✝³ : HasColimitsOfShape K C
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape J (forget C)
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape K (forget C)
inst✝ : PreservesLimitsOfShape J (forget C)
F : J ⥤ K ⥤ C
a : K
b : J
⊢ (limit.π F b).app a ≫ colimit.ι (F.obj b) a ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (flipCompEvaluation F b)).inv ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation F.flip b).inv = (limit.π F b).app a ≫ (colimit.ι F.flip a).app b
α : Type u
SubtractionMonoid α
a b c : α
h : IsAddUnit b
⊢ a = c + b → a - b = c
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
A : Set V
hA : A.Finite
⊢ FiniteDimensional K ↥(Submodule.span K A)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
f : F →ₗ[𝕜] 𝕜
g : E →ₗ[𝕜] F
x✝ : E
⊢ (f.toSeminorm.comp g) x✝ = (f ∘ₗ g).toSeminorm x✝
K m n : Type u
CommRing K
Fintype n
DecidableEq n
w : m → K
v : n → K
⊢ (Matrix.toLin' (Matrix.vecMulVec w v)).rank ≤ 1
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
e : E
f : E → F
g : E → G
s : Set E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
w✝¹ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s e w✝¹
w✝ : ℝ≥0∞
hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q s e w✝
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt (fun x => (f x, g x)) (p.prod q) s e
α : Type u
β : Type v
PartialOrder α
OrderTop α
Preorder β
f : α → β
a : α
hf : StrictAnti f
⊢ f a = f ⊤ ↔ a = ⊤
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
v : ι → M
hv : Submodule.span R (Set.range v) = ⊤
inst✝ : Fintype ι
f : ι →₀ ↥I
⊢ (finsuppTotal ι M I v) f = ∑ i : ι, ↑(f i) • v i
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : IsLeftCancelMul α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s : Set α
t : Finset α
⊢ (s.PairwiseDisjoint fun x => x • t) ↔ Set.InjOn (fun p => p.1 * p.2) (s ×ˢ ↑t)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
ProperSpace α
c : α
h : ∃ r, (Metric.closedBall c r)ᶜ ⊆ s
⊢ s ∈ Filter.cocompact α
p q✝ : ℤ[X]
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
m' : ℕ
x y z : ℤˣ
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑y ↑z
h1 : ↑y = ↑v
⊢ q = p ∨ q = -p ∨ q = p.mirror ∨ q = -p.mirror
β : Sort v
α : Sort u_1
Countable α
e : α ≃ β
⊢ Countable β
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : L.comp F' ⟶ F
F'.IsRightKanExtension α
⊢ L.HasRightKanExtension F
α : Type u_2
InvolutiveInv α
f : Filter α
⊢ Filter.comap Inv.inv f = f⁻¹
m : Type u_1 → Type u_2
α ε β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
x : m α
f : α → ExceptT ε m β
⊢ (ExceptT.lift x >>= f).run = do
  let a ← x
  (f a).run
α : Type u_5
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
PseudoEMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → E
⊢ AntilipschitzWith K (-f) ↔ AntilipschitzWith K f
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_7, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E✝ : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.62184, u_3} E✝
E : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} E
L' : C ⥤ E
eq : D ≌ E
inst✝ : L.IsLocalization W
e : L ⋙ eq.functor ≅ L'
h : W.IsInvertedBy L'
⊢ L'.IsLocalization W
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f)) μ
ι : Type u_1
M : Type u_4
CanonicallyOrderedCommMonoid M
f : ι → M
s t : Finset ι
h : s ⊆ t
⊢ ∏ x ∈ s, f x ≤ ∏ x ∈ t, f x
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
z : ↑s✝
hz1 : z ∈ s.support
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (s z • ↑z)) i) ∈ span s✝
α : Type u
β : Type v
Group β
g : FreeGroup α →* β
⊢ ∀ (a : α), FreeGroup.lift.symm g a = (⇑g ∘ FreeGroup.of) a
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖x‖ / (o.oangle y (y - x)).tan = ‖y‖
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0
h : LinearIndependent R ![x, AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1]
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R ≃ₗ[R] R := AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty.symm
⊢ False
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
h : ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ), gaussianPDFReal μ v x) = ENNReal.ofReal 1
⊢ ∫ (x : ℝ), gaussianPDFReal μ v x = 1
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
n : ℕ
f : R[A]
⊢ (f ^ n).support.sup degb ≤ n • f.support.sup degb
R : Type u
a : R
CommSemiring R
p : R[X]
q : R[X]
⊢ q.IsRoot a → (p * q).IsRoot a
α : Type u
CompleteLattice α
k : α
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement k ↔ ∀ (ι : Type u) (s : ι → α), k ≤ iSup s → ∃ t, k ≤ t.sup s
F : Type u_12
A : outParam (Type u_13)
B : outParam (Type u_14)
Mul A
Mul B
EquivLike F A B
self : MulEquivClass F A B
f : F
a b : A
⊢ f (a * b) = f a * f b
a : Int
b : Int
c : Int
H : b ≠ 0
⊢ (a + b * c) / b = a / b + c
R : Type u_1
CommSemiring R
a : R
⊢ a = a ^ Nat.rawCast 1 * Nat.rawCast 1 + 0
α : Type ua
V W : Set (α × α)
h : V ⊆ W
⊢ symmetrizeRel V ⊆ symmetrizeRel W
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
g : ↑(Set.range f) → α
hf₁ : Measurable f
hf₂ : MeasurableSet (Set.range f)
hg : Measurable g
H : Function.LeftInverse g (Set.rangeFactorization f)
⊢ MeasurableEmbedding f
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.QuasiCompact f ↔ ∀ (U : Y.Opens), AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂
⊢ Int.log b r₁ ≤ Int.log b r₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵈ Y
⊢ Function.Injective ⇑e
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
T2Space G
H : Subgroup G
DiscreteTopology ↥H
⊢ Filter.Tendsto Subtype.val Filter.cofinite (Filter.cocompact G)
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (starRingEnd ℂ) (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Semifield S
Ring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
a : A
f : S → R
IsScalarTower R S A
h : SpectrumRestricts a f
⊢ ⇑(algebraMap R S) '' spectrum R a = spectrum S a
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
Zero N
g : M → N
hg : g 0 = 0
f : α → M
⊢ Function.support (g ∘ f) ⊆ Function.support f
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
A : NonUnitalSubsemiring R
⊢ A = ⊤ ↔ ∀ (x : R), x ∈ A
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max v u}
⊢ a < Ordinal.lsub f ↔ ∃ i, a ≤ f i
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕂 F'
f : 𝕂 → F'
x : 𝕂
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hn : 1 ≤ n
⊢ HasStrictDerivAt f (deriv f x) x