ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle x (x + y) = ↑(Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < p.toReal
hf_eLpNorm : eLpNorm (↑f) p μ < ⊤
⊢ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
⊢ cobounded ℝ = atBot ⊔ atTop
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Continuous (Profinite.NobelingProof.CC'₁ C hsC ho)
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
s : Set γ
hs : IsClosed s
f : γ → β
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
⊢ MeasurableSet (range fun x => f ↑x)
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup N✝
N : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
g : NormedAddGroupHom (M ⧸ S) N
h : g.comp S.normedMk = f
x : M ⧸ S
⊢ g x = (lift S f hf) x
c : Lean.Omega.Constraint
v : Int
⊢ c.sat v = true → c.neg.sat (-v) = true
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ioi a ∩ Set.Iio b = Set.Ioo a b
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → α → α
hcomm : Commutative f
hassoc : Associative f
a b : α
l : List α
⊢ foldl f a (b :: l) = foldr f a (b :: l)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : (𝓞 K)ˣ
⊢ ζ ^ ↑(torsionOrder K) = 1 ↔ ζ ∈ CommGroup.torsion (𝓞 K)ˣ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
⊢ ⁅f, e⁆ = -h
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
⊢ ∀ (x : Seminorm 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)) (x_1 : Type (max uι u𝕜 uE)) (x_2 : SeminormedAddCommGroup x_1) (x_3 : NormedSpace 𝕜 x_1), x = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E x_1 →L[𝕜] x_1)).comp (toDualContinuousMultilinearMap x_1) → x ≤ projectiveSeminorm
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
v : ι' → M
e : ι ≃ ι'
⊢ (b.reindex e).toMatrix v = (b.toMatrix v).submatrix (⇑e.symm) id
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
zero_le_ifp_n_fract : 0 ≤ ifp_n.fr
ifp_n_fract_lt_one : ifp_n.fr < 1
this : 0 < ifp_n.fr
⊢ (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr.num < ifp_n.fr.num
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.preΨ' 3 = W.Ψ₃
V : Type u_1
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G✝ : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G✝.Adj
n r : ℕ
s✝ t✝ u : V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : V
hn : ¬G.Adj s t
h : G.degree s ≠ G.degree t
cf : G.CliqueFree (r + 1)
hd : G.degree t < G.degree s
⊢ G.edgeFinset.card < (G.replaceVertex s t).edgeFinset.card
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TotallyDisconnectedSpace β
f✝ : α → β
S : Set α
hS : IsPreconnected S
T : Set β
inst✝ : DiscreteTopology ↑T
f : α → β
hc : ContinuousOn f S
hTm : MapsTo f S T
x y : α
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
F : ↑S → ↑T := MapsTo.restrict f S T hTm
⊢ F ⟨x, hx⟩ = F ⟨y, hy⟩
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A B : Matrix.SpecialLinearGroup n R
⊢ (∀ (i j : n), ↑A i j = ↑B i j) → A = B
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α
h : Nodup ⟦l⟧
⊢ (powerset ⟦l⟧).Nodup
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y L : R
⊢ (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) (Polynomial.C (W.addPolynomial x y L)) =
  (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W)
    ((Y - Polynomial.C (WeierstrassCurve.Affine.linePolynomial x y L)) *
      (W.negPolynomial - Polynomial.C (WeierstrassCurve.Affine.linePolynomial x y L)))
α : Type u_1
C : FreeAddMonoid α → Sort u_6
h0 : C 0
ih : (x : α) → (xs : FreeAddMonoid α) → C xs → C (FreeAddMonoid.of x + xs)
⊢ FreeAddMonoid.recOn 0 h0 ih = h0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α
⊢ Measurable fun x => (s.toJordanDecomposition.posPart.rnDeriv μ x).toReal - (s.toJordanDecomposition.negPart.rnDeriv μ x).toReal
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
exps : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R → ℤ
h_exps : ∀ᶠ (v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, exps v = 0
⊢ FractionalIdeal.count K v (∏ᶠ (v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ exps v) = exps v
R : Type u
CommSemiring R
c : R
⊢ Polynomial.derivative ((Polynomial.X + Polynomial.C c) ^ 2) = Polynomial.C 2 * (Polynomial.X + Polynomial.C c)
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ≅ b
p.IsHomLift f φ.hom
⊢ (CategoryTheory.IsHomLift.isoOfIsoLift p f φ).hom = f
α : Type u
β : Type v
g : Filter β
p : β → Prop
hf : ∀ᶠ (b : β) in g, p b
f : α → β
⊢ ∀ᶠ (a : α) in Filter.comap f g, p (f a)
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
⊢ ((snd (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientInfEquivQuotientProd J coprime)).comp (Quotient.mk (I ⊓ J)) = (factor (I ⊓ J) J ⋯).comp (Quotient.mk (I ⊓ J))
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
e : divNat a b = ⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩
hd : ↑d ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hd' : d ≠ 0
⊢ ↑⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩ = ↑a / ↑b
α : Type u
n : ℕ
AddCommMonoid α
Mul α
x : α
v : Fin n → α
y : α
w : Fin n → α
⊢ Matrix.dotProduct (Matrix.vecCons x v) (Matrix.vecCons y w) = x * y + Matrix.dotProduct v w
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
x : X
s : Finset X
h : x ∉ s
⊢ SeparatedNhds {x} ↑s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
⊢ ((Orientation.map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).rightAngleRotation = (φ.symm.trans o.rightAngleRotation).trans φ
α : Type u
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
u : Mˣ
a : M
x✝ : IsUnit (↑u * a)
v : Mˣ
hv : ↑v = ↑u * a
⊢ IsUnit a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
this : Fintype G
h : ¬Odd (Nat.card G)
⊢ False
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ ContinuousOn (fun p => (f p.1, (fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' p.1 f) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I p.1) p.1)) p.2)) (Prod.fst ⁻¹' s)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ (Finset.Ico s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, (count i t + 1 - count i s) - 1
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R
hz : 0 ∈ p.coeffs
⊢ False
o : Ordinal.{u}
⊢ (Order.succ o).IsFundamentalSequence 1 fun x x => o
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (CommMon_.equivLaxBraidedFunctorPUnit C).inverse = CommMon_.EquivLaxBraidedFunctorPUnit.commMonToLaxBraided C
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom =
  CategoryTheory.Limits.coprod.desc (CategoryTheory.Limits.initial.to X) (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
n : ℕ
S : Type u_3
MonoidWithZero S
x : S
hx : IsNilpotent x
⊢ IsNilpotent (x ^ n.succ)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
⊢ IsUnit ↑(den A 0)
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
f : α → β
⊢ Continuous (pkg.map pkg' f)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
⊢ Filter.comap Subtype.val (𝓝[<] b) = Filter.atTop
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset β
a : α
hs : s.Nonempty
⊢ (a +ᵥ s).Nonempty
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddMonoid M
Nontrivial R
m : M
S : Set M
⊢ AddMonoidAlgebra.of' R M m ∈ Submodule.span R (AddMonoidAlgebra.of' R M '' S) ↔ m ∈ S
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op V))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = (F.val.map (iUV i).op) t
V_eq_supr_U : V = iSup U
⊢ s = t
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
⊢ NonUnitalRingHom.srange f = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
⊢ ∏ i ∈ s, z i ^ w i = x
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
Fintype m
Fintype n
PartialOrder R
NonUnitalRing R
StarRing R
StarOrderedRing R
NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R
⊢ A.conjTranspose * A * B = 0 ↔ A * B = 0
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
C : Cone F
hC : IsLimit C
homeo : ↑C.pt ≃ₜ ↑(limitConeInfi F).pt := homeoOfIso (hC.conePointUniqueUpToIso (limitConeInfiIsLimit F))
⊢ induced (⇑homeo) (⨅ j, induced ((Types.limitCone (F ⋙ forget TopCat)).π.app j) (F.obj j).str) = ⨅ j, induced (⇑(C.π.app j)) (F.obj j).str
Fq : Type
Field Fq
DecidableEq (RatFunc Fq)
x y : RatFunc Fq
⊢ FunctionField.inftyValuationDef Fq (x * y) = FunctionField.inftyValuationDef Fq x * FunctionField.inftyValuationDef Fq y
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
F₁ F₂ : C ⥤ D
app : (X : C) → F₁.obj X ⟶ F₂.obj X
X Y : C
e : X ≅ Y
he : F₁.map e.hom ≫ app Y = app X ≫ F₂.map e.hom
⊢ F₁.map e.hom ≫ F₁.map e.inv ≫ app X = F₁.map e.hom ≫ app Y ≫ F₂.map e.inv
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
⊢ eVariationOn (f ∘ φ) t = eVariationOn f (φ '' t)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
x✝ : R
⊢ x✝ ∈ M.subsemiringClosure ↔ x✝ ∈ Subsemiring.closure ↑M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → γ
g : β → δ
⊢ Prod.fst ∘ Prod.map f g = f ∘ Prod.fst
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
m n : ℕ
a : G₀
h : n < m
⊢ a⁻¹ ^ (m - n) = (a ^ m)⁻¹ * a ^ n
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this : u = n.factorMultiset
⊢ (n.factorMultiset ⊔ v).prod = n.lcm m
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
⊢ 1 * χ = χ
⊢ Cardinal.aleph0 ^ Cardinal.aleph0 = Cardinal.continuum
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
NoZeroSMulDivisors R M
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank R M = n.succ
⊢ Nontrivial M
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
p q : R[X]
hq : q.Monic
x : S
hx : Polynomial.eval₂ f x q = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f x (p %ₘ q) = Polynomial.eval₂ f x p
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
s : Set α
⊢ BddAbove (⇑e '' s) ↔ BddAbove s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G'' : Type u_7
G' : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup G'
NormedSpace ℝ G'
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
T : Set α → G'' →L[ℝ] G'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc G'' 1 μ)
hfg : f ≤ g
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f ≤ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T g
α : Type u
x : FreeRing α
L : FreeMonoid α
⊢ (FreeMonoid.lift FreeCommRing.of) L = (fun x => FreeAbelianGroup.of ↑x) L
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ'
Λ : Type u_3
Inhabited Λ
Λ' : Type u_4
Inhabited Λ'
M : Turing.TM0.Machine Γ Λ
f₁ : Turing.PointedMap Γ Γ'
f₂ : Turing.PointedMap Γ' Γ
g₁ : Turing.PointedMap Λ Λ'
g₂ : Λ' → Λ
S : Set Λ
ss : Turing.TM0.Supports M S
f₂₁ : Function.RightInverse f₁.f f₂.f
g₂₁ : ∀ q ∈ S, g₂ (g₁.f q) = q
⊢ Turing.Respects (Turing.TM0.step M) (Turing.TM0.step (M.map f₁ f₂ g₁.f g₂)) fun a b =>
  a.q ∈ S ∧ Turing.TM0.Cfg.map f₁ g₁.f a = b
ι : Type u_2
α : Type u_3
DivisionCommMonoid α
m : Multiset ι
f : ι → α
⊢ (Multiset.map (fun i => (f i)⁻¹) m).prod = (Multiset.map f m).prod⁻¹
α : Type u
u : Level
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : DivisionRing α
inv : Invertible ↑d
⊢ ↑n * ⅟↑d = Rat.rawCast n d
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
h : max a b ≤ c
⊢ b ≤ c
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ (N.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ AssociatorBimod.invAux M N P'
D : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Groupoid D
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalClosed C
F : D ⥤ C
G H : D ⥤ C
f : G ⟶ H
⊢ (CategoryTheory.ihom F).map f = F.closedIhom.map f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
π : α → β
s : Set β
t : Set α
a : α
h : a ∈ t
ht : IsOpen t
hs : s ∈ 𝓝 (π a)
⊢ π ⁻¹' s ∈ 𝓝[t] a
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_3, u_4} C
r : HomRel C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
X : C
⊢ (CategoryTheory.Quotient.lift.isLift r F H).hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
α : Type u
IsEmpty α
f : Filter α
⊢ f = ⊥
α : Type u_1
p : PMF α
a : α
⊢ p a ≤ 1
G : Type u_1
H : Type u_2
Mul G
Mul H
f : G →ₙ* H
hf : Function.Injective ⇑f
a0 b0 : G
A B : Finset H
u : UniqueMul A B (f a0) (f b0)
⊢ UniqueMul (A.preimage ⇑f ⋯) (B.preimage ⇑f ⋯) a0 b0
α : Type u_1
SDiff α
a b : α
⊢ Part.some a \ Part.some b = Part.some (a \ b)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ Function.Surjective ⇑f.rangeRestrict
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S : StarSubalgebra ℂ A
⊢ Function.Bijective (characterSpaceToSpectrum a)
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsMinFilter f (𝓝[≥] a) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
c : ℝ
hc : c ∈ Icc a b
a_lt_c : a < c
H₁ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, f a ≤ f y
H₂ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, y ∈ Ioc a c
ya yc : ℝ
ya₀ : 0 ≤ ya
yc₀ : 0 < yc
yac : ya + yc = 1
hfy : f a ≤ f (ya * a + yc * c)
hy_ac : ya * a + yc * c ∈ Ioc a c
⊢ ya • f a + yc • f a ≤ ya • f a + yc • f c
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
NormalizationMonoid α
DecidableEq α
n : α
⊢ (factorization n).support = (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors n).toFinset
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
n : ℕ
x : X
hx : x ∉ c.U
⊢ Urysohns.CU.approx n c x = 1
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m m₁ m₂ : OuterMeasure α
⊢ m₁.trim = m₂.trim ↔ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → m₁ s = m₂ s
α : Type u_1
a : Array α
i j : Fin a.size
⊢ a.swap i j = (a.set i (a.get j)).set ⟨↑j, ⋯⟩ (a.get i)
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
g : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
y : ↥(Submonoid.map (algebraMap R S) M) := commonDenomOfFinset (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s
y' : R
hy' : y' ∈ ↑M
e : (algebraMap R S) y' = ↑y
this : (algebraMap R S) y' • ↑s = y' • ↑s
hx₁ : y' • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))
x' : S
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))
hx'' : (algebraMap S S') x' = g (y' • x)
a : R
ha₁ : a ∈ ↑M
ha₂ : ↑⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ * x' = ↑⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ * y' • x
⊢ (⟨a, ha₁⟩ * ⟨y', hy'⟩) • x = ↑⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ * y' • x
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
⊢ σ.cycleType = Multiset.map (Finset.card ∘ Equiv.Perm.support) σ.cycleFactorsFinset.val
θ ψ : ℝ
⊢ ↑(toIcoMod Real.two_pi_pos ψ θ) = ↑θ
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
b✝ : ℤ
fr✝ : K
stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some { b := b✝, fr := fr✝ }
nth_fr_ne_zero : { b := b✝, fr := fr✝ }.fr ≠ 0
⊢ fr✝ = 0 → False
a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ AntitoneOn (fun x => Real.log x / x ^ a) {x | Real.exp (1 / a) ≤ x}
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
s t : Set α
y : β
Zero β
hs : IsOpen s
hy : 0 ≤ y
⊢ LowerSemicontinuousOn (s.indicator fun _x => y) t
C : Type u_2
D : Type ?u.34421
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝ : Category.{?u.34429, ?u.34421} D
X Y : C
S T : Sieve X
h : S ≤ T
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ (Sieve.pullback f T).arrows g ↔ ⊤.arrows g
α : Type u_2
PartialOrder α
⊢ (OrderIso.refl α).withTopCongr = OrderIso.refl (WithTop α)
M : Type u_4
AddMonoid M
l : List (List M)
⊢ l.join.sum = (List.map List.sum l).sum
A : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
Finset.HasAntidiagonal A
n : A
kl : A × A
hlk : kl ∈ Finset.antidiagonal n
⊢ kl.1 ≤ n
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
ι : Type u_3
Fintype ι
f : ι → R → R
a : A
hf : ∀ (i : ι), ContinuousOn (f i) (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
⊢ cfc (∑ i : ι, f i) a = ∑ i : ι, cfc (f i) a
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
MulOneClass G
f : MonoidAlgebra k G
⊢ f ∈ Submodule.span k (⇑(MonoidAlgebra.of k G) '' ↑f.support)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), g a ≤ᶠ[ae (κ a)] f a
⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => f a x - g a x)
x : EReal
⊢ EReal.expOrderIso x = x.exp
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet ({a | a.1 ∈ s} ∩ {a | a.2 ∈ {a_1 | f a.1 < a_1} ∩ {a_1 | a_1 ≤ g a.1}})
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
a : α
⊢ ContinuousAt f a ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, dist x a < δ → dist (f x) (f a) < ε
a b : Prop
⊢ (a ↔ b) ↔ (b → a) ∧ (a → b)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
x : P
⊢ x ∈ intrinsicInterior 𝕜 s ↔ ∃ y ∈ interior (Subtype.val ⁻¹' s), ↑y = x
ι : Type u
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → Zero (β₁ i)
(i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
g₁ : Π₀ (i : ι), β₁ i
g₂ : Π₀ (i : ι), β₂ i
i : ι
⊢ (DFinsupp.zipWith f hf g₁ g₂) i = f i (g₁ i) (g₂ i)
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
f : { f // ∀ (i : α), (f.2 i).isSome = true ↔ i ∈ f.1 }
⊢ ∀ x ∈ ((↑f).1.sigma fun i => ((↑f).2 i).toFinset).val, ∀ y ∈ ((↑f).1.sigma fun i => ((↑f).2 i).toFinset).val, x.fst = y.fst → x = y
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
x : ℝ
this : IsProbabilityMeasure (gammaMeasure a r)
⊢ ↑(gammaCDFReal a r) x = (∫⁻ (x : ℝ) in Iic x, gammaPDF a r x).toReal
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬Submodule.map ϕ N < Submodule.map ψ N
(Submodule.map ϕ N).IsPrincipal
hgen : Submodule.IsPrincipal.generator (Submodule.map ϕ N) = 0
⊢ N = ⊥