ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → Option β
s' s t : Finset α
f_inj : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'
⊢ ∀ (x : β), x ∈ ↑(filterMap f s f_inj) ↔ x ∈ {b | ∃ a ∈ s, f a = some b}
α : Type u_1
Add α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h : a + b < c
hle : d ≤ b
⊢ a + d < c
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
a b c : ℝ
hne : a ≠ b
hc : c ∈ [[a, b]]
h_deriv : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[[[a, b]] \ {c}] c, DifferentiableAt ℝ f x
h_infty : Tendsto (fun x => ‖f x‖) (𝓝[[[a, b]] \ {c}] c) atTop
hg : deriv f =O[𝓝[[[a, b]] \ {c}] c] g
l : Filter ℝ
hl : TendstoIxxClass Icc l l
hl' : l.NeBot
hle : l ≤ 𝓝 c
hmem : [[a, b]] \ {c} ∈ l
this : l ≤ 𝓝[[[a, b]] \ {c}] c
⊢ ¬IntervalIntegrable g volume a b
V : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} V
CategoryTheory.Abelian V
X Y Z : V
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
⊢ imageToKernel g.op f.op ⋯ =
  (CategoryTheory.Limits.imageSubobjectIso g.op ≪≫ (CategoryTheory.imageOpOp g).symm).hom ≫
    (CategoryTheory.Limits.cokernel.desc f (CategoryTheory.Limits.factorThruImage g) ⋯).op ≫
      (CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectIso f.op ≪≫ CategoryTheory.kernelOpOp f).inv
α : Type u_1
TopologicalSpace α
TopologicalSpace.NoetherianSpace α
T2Space α
⊢ DiscreteTopology α
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
h : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E' F
⊢ ↑(((liftIsometry 𝕜 E' F) h).comp (mapL f)) = ↑((liftIsometry 𝕜 E F) (h.compContinuousLinearMap f))
F : Type u_1
K✝¹ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝¹
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝¹
inst✝¹ : Algebra F L
K✝ K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
K : IntermediateField F L
⊢ Normal F ↥K ↔ ∀ (σ : L →ₐ[F] L), map σ K ≤ K
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
⊢ p.removeZero.leftInv i = p.removeZero.rightInv i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Sort u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : Set α
⊢ t ∈ ⨆ i, l i ↔ ∃ i, (∀ (i_1 : ι), p i_1 (i i_1)) ∧ ⋃ i_1, s i_1 (i i_1) ⊆ t
α : Type u
a b : α
hne : a ≠ b
⊢ {a, b} \ {b} = {a}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
i : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀NondegComplexIso K).inv.f i = 𝟙 ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).N i)
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 3
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
⊢ b % 2 = 1
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.17728
s✝ t s : Finset α
i : ℕ
⊢ Multiset.map val (powersetCard i s).val = Multiset.powersetCard i s.val
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : x ≥ max (1 + max 0 (-2 * R)) (d - R)
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ r • x = y) ↔ SameRay R x y
R : Type u_2
CommSemiring R
φ ψ : Polynomial R
⊢ ↑(φ + ψ) = ↑φ + ↑ψ
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hi' : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ω ∈ Set.range i
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.Measure.comap i (ProbabilityTheory.cond μ s) =
  ProbabilityTheory.cond (MeasureTheory.Measure.comap i μ) (i ⁻¹' s)
σ : Type u_1
DecidableEq σ
t : Finset σ × σ
⊢ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t ≠ t
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
this : IntegrableOn (fun x => (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (a * x)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Ioi 0) volume
⊢ MellinConvergent (fun t => f (a * t)) s ↔ MellinConvergent f s
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y L : R
⊢ (C L * (X - C x) + C y) ^ 2 + (C W.a₁ * X + C W.a₃) * (C L * (X - C x) + C y) - (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆) = -(1 * X ^ 3 + (-C L ^ 2 - C W.a₁ * C L + C W.a₂) * X ^ 2 + (2 * C x * C L ^ 2 + (C W.a₁ * C x - 2 * C y - C W.a₃) * C L + (-C W.a₁ * C y + C W.a₄)) * X + (-C x ^ 2 * C L ^ 2 + (2 * C x * C y + C W.a₃ * C x) * C L - (C y ^ 2 + C W.a₃ * C y - C W.a₆)))
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
f : Module.End K V
c : (Polynomial K)ˣ
⊢ LinearMap.ker ((Polynomial.aeval f) ↑c) = ⊥
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
m : M
_hm : m ∈ p
n : N
hn : n = 0
⊢ (f m) n ∈ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun u => f (u.1.2, u.2)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 0, HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (x + y))
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ∩ t ≤ t
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ (PInfty.f n ≫ (PInfty.f n ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))) ≫ (PInfty.f n ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))) ≫ PInfty.f n ≫ (Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) = PInfty.f n
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
RCLike 𝕜
NonUnitalNormedRing A
StarRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : ContinuousMapZero (↑(quasispectrum 𝕜 a)) 𝕜
⊢ spectrum 𝕜 ((cfcₙAux ⋯ a ha) f) = Set.range ⇑f
R : Type u
A : Type u_1
CommRing R
CommRing A
f : R →+* A
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
hp : p.Monic
x y : R
z : A
h : Polynomial.eval₂ f z p = 0
hz : f x * z = f y
⊢ x ∣ y ^ p.natDegree
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemiring α
LinearOrderedSemiring β
s : Set ι
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
hg₁ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ g₁ i
hg₂ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ g₂ i
h₁ : MonovaryOn f g₁ s
h₂ : MonovaryOn f g₂ s
⊢ MonovaryOn f (g₁ * g₂) s
x y : SetTheory.PGame
⊢ x.LF y → ¬y ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x y : ℝ≥0∞
x_le_y : x ≤ y
obs_x : min t x ≠ ⊤
obs_y : min t y ≠ ⊤
⊢ t.truncateToReal x ≤ t.truncateToReal y
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
fund_dom_s : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s ν
⊢ MeasureTheory.HasFundamentalDomain G α ν
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b
⊢ (∏ x ∈ Ioc a b, f x) * f a = ∏ x ∈ Icc a b, f x
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s
⊢ card s - k ∈ Finset.range (card s + 1)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
⊢ ∃ f, Set.EqOn (⇑f) 0 s ∧ Set.EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Set.Icc 0 1
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
x : K
hx : x ∈ primitiveRoots n K
⊢ x ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset
p q : ℝ
h : 0 ≤ q
⊢ ENNReal.ofReal p ≤ ENNReal.ofReal q ↔ p ≤ q
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : CategoryTheory.Grothendieck (G.comp CategoryTheory.typeToCat)
⊢ ((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCatFunctor G).obj X).snd = X.fiber.as
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
ha : (toFun G F) a ∈ Submodule.span F (⇑(toFun G F) '' ↑s)
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε
h : Disjoint (ball x δ) (closedBall y ε)
hxy : dist x y < ε + δ
⊢ False
α : Type u_1
MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
self : Besicovitch.SatelliteConfig α N τ
i : Fin (N + 1)
⊢ i < Fin.last N → self.r i ≤ dist (self.c i) (self.c (Fin.last N)) ∧ self.r (Fin.last N) ≤ τ * self.r i
R : Type u_3
CommRing R
a b : ℍ[R]
⊢ Quaternion.normSq (a + b) = Quaternion.normSq a + Quaternion.normSq b + 2 * (a * star b).re
R : Type u_2
AddGroup R
Γ : Type u_3
LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
⊢ min x.orderTop y.orderTop ≤ (x - y).orderTop
α : Type u_1
SemilatticeSup α
f : ℕ → α
p : α → Prop
hp : ∀ {a b : α}, p (a ⊔ b) ↔ p a ∧ p b
n : ℕ
⊢ p ((partialSups f) n) ↔ ∀ k ≤ n, p (f k)
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
M : ModuleCat ↑B
α β : KaehlerDifferential f ⟶ M
h : ∀ (b : ↑B), α (d b) = β (d b)
⊢ α - β = 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x y z : α
⊢ (⇑ofDual ⁻¹' s).ordSeparatingSet (⇑ofDual ⁻¹' t) = ⇑ofDual ⁻¹' s.ordSeparatingSet t
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s t : Set M
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : ChartedSpace.LiftPropOn P g t
hst : s ⊆ t
⊢ ChartedSpace.LiftPropOn P g s
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
OrderBot α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ ⊥ ∈ s ↔ s = {⊥}
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ (↑↑f.toRingHom).toFun = ⇑f
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h : Fintype.card n ≠ 1
n✝ : ℕ
h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1
A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ
h_card' : Fintype.card n - 2 + 1 = Fintype.card n - 1
⊢ A'.adjugate.adjugate = A'.det ^ (Fintype.card n - 2) • A'
α : Type u
t : Set α
s₁ s₂ s : Set α
h : s₁ ∩ s = s₂ ∩ s
⊢ t.ite s₁ s₂ ∩ s = s₁ ∩ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F G : CategoryTheory.Functor C D
H : CategoryTheory.Functor D E
H.Full
H.Faithful
comp_iso : F.comp H ≅ G.comp H
X : C
⊢ (CategoryTheory.Functor.fullyFaithfulCancelRight H comp_iso).hom.app X = H.preimage (comp_iso.hom.app X)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
⊢ IsClosed (⋂ x ∈ s, {y | ‖(B x) y‖ ≤ 1})
A : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
⊢ ⇑1 = id
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
f : X → Y
A : Set X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
⊢ (∀ (x : X), RestrictGermPredicate P A x ↑f) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ A, P x ↑f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ
⊢ Odd (a + (a + 1))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∀ (p q : ℝ≥0), p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
s : Set ℝ≥0∞
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
left✝ : 0 ∉ s
s_top : ⊤ ∉ s
I : ∀ x ∈ s, x ≠ ⊤
⊢ AEMeasurable f μ
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝² : Countable G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α ν
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν
⊢ IsFundamentalDomain G ⋯.choose ν
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
⊢ BddBelow s → BddBelow t → BddAbove (Set.image2 f s t)
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ∀ {α_1 : Type u_3} {f : α → β → α_1} {a : α} {b : β} {n : Nat},
  List.zipWith f (List.replicate n a) (List.replicate n b) = List.replicate n (f a b)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
⊢ v.intValuationDef 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑l.support)
a : α
⊢ f a ∈ l.support ↔ l (f a) ≠ 0
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
hx : x ∈ Set.Icc a b
⊢ Set.projIcc a b h x = ⟨x, hx⟩
R : Type u_1
CommRing R
IsArtinianRing R
⊢ IsNilpotent ⊥.jacobson
α : Type u_1
β : Type u_2
InfSet α
InfSet β
s : Set (α × β)
⊢ (sInf s).2 = sInf (Prod.snd '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : α
⊢ Set.InjOn f {a}
R : Type u
Ring R
T : Type v
Ring T
f : R →+* T
n : ℕ
⊢ Polynomial.map f (descPochhammer R n) = descPochhammer T n
R : Type u
CommRing R
X Y Z : ModuleCat R
⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ ((X ⊗ Y).braiding Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv =
  X ◁ (Y.braiding Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (X.braiding Z).hom ▷ Y
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ℕ → Measure Ω
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
same : ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) atTop
⊢ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂μs i) atTop = (liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) atTop).toReal
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
CategoryTheory.Limits.HasColimit (F.comp G)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit G
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α} {a : α}, l₁ <:+: l₂ → l₁ <:+: l₂.concat a
R : Type u_1
X : Type u_2
PseudoMetricSpace R
Sub R
BoundedSub R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
⊢ ∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f - g) x) ((f - g) y) ≤ C
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
u a : α
⊢ UV.compress u u a = a
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : X → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
g : X → E
hE : CompleteSpace E
hg : Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x))
⊢ ∀ ⦃f_1 g : X → E⦄, f_1 =ᶠ[ae (μ.withDensity fun x => ↑(f x))] g → Integrable f_1 (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) f_1 → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) g
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring R
inst✝¹ : ExistsAddOfLE R
s : Finset ι
f g : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
h' : 0 = ∑ i ∈ ?m.33436, g (?m.34208 i) ^ 2
⊢ (∑ i ∈ s, f i * g i) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 2) * ∑ i ∈ s, g i ^ 2
o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
c : Cardinal.{u_1}
h : ∀ o' < o, aleph' o' ≤ c
x : Ordinal.{u_1}
h' : x < o
⊢ x ≤ c.alephIdx
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
⊢ ⟦α⟧ < ⟦α⟧ ^ (ord ⟦α⟧).cof
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ n + 1 ≤ ↑i + (n + 1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s : Set E
⊢ (∀ t ⊆ s, s ∩ (convexHull 𝕜) t ⊆ t) ↔ ∀ x ∈ s, x ∉ (convexHull 𝕜) (s \ {x})
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b✝ c a b : α
⊢ |a * b| = |a| * |b|
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{v}
α : Type v
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (type r).cof ≤ (lift.{u, v} (type r)).cof
x y : ℝ
hx : 0 < x
⊢ 1 < x ^ y ↔ 1 < x ∧ 0 < y ∨ x < 1 ∧ y < 0
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
hucard : u.card = m * 4 ^ P.parts.card + a
⊢ (4 ^ P.parts.card - a) * m + a * (m + 1) = u.card
m n✝ n a✝ p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
h : a ≠ 0
⊢ a * a⁻¹ = 1
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ IsSubgroup (Group.normalClosure s)
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
l : ℕ
φ : L.BoundedFormula α l
k m : ℕ
h : φ.IsPrenex
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.liftAt k m φ).IsPrenex
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
B : Set X
hfB : IsBlock G B
g : G
property✝ : g ∈ H
⊢ ⟨g, property✝⟩ • B = B ∨ Disjoint (⟨g, property✝⟩ • B) B
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) W.ψ₂ ^ 2 =
  (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) (Polynomial.C W.Ψ₂Sq)
X : Type u_5
TopologicalSpace X
Mul X
ContinuousMul X
x : X
⊢ ⇑(ContinuousMap.mulLeft x) = fun y => x * y
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X : Cᵒᵖ
⊢ ∀ (j : J), limMap (whiskerLeft F (restriction R (𝟙 X))) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R X ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) j = ((ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R X))).inv ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) (F ⋙ evaluation R X)).hom) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R X ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) j
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
⊢ ↑‖Memℒp.toLp f hf‖₊ = eLpNorm f p μ
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : ι → Type u_3
CommSemiring R
(i : ι) → Semiring (A i)
(i : ι) → Algebra R (A i)
⊢ (AlgEquiv.piCongrRight fun i => AlgEquiv.refl) = AlgEquiv.refl
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecidableEq α
f : Associates α →* α
hinv : Function.RightInverse (⇑f) Associates.mk
a : α
⊢ a * ↑(Classical.choose ⋯) = f (Associates.mk a)
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
A : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
ι : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
k : ℕ
⊢ (toMatrix b b) (f ^ k) = 0 ↔ f ^ k = 0
c : Cardinal.{u_1}
co : ℵ₀ ≤ c
⊢ c.ord.IsLimit
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (1 < ↑n / ↑d) = true
⊢ 0 < Real.log e
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
n : ℕ
f : L.Functions n
S : Set (Set M)
hS : ∀ s ∈ S, FirstOrder.Language.ClosedUnder f s
⊢ FirstOrder.Language.ClosedUnder f (sInf S)
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
f : α → M
s : Set α
⊢ Function.mulSupport f ⊆ s ↔ ∀ (x : α), f x ≠ 1 → x ∈ s
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : AddCommGroup G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : μ.IsNegInvariant
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : Continuous f
hg : LocallyIntegrable g μ
⊢ Continuous (g ⋆[L.flip, μ] f)
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
ε : ℝ
hε : ε > 0
g : V → E
hg_supp : HasCompactSupport g
hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2
hg_cont : Continuous g
⊢ ∀ᶠ (x : V) in cocompact V, dist (∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • f v) 0 < ε
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃
comm : T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂
a : T₁.rotate.obj₃ ⟶ T₂.rotate.obj₃
ha₁ : T₁.rotate.mor₂ ≫ a = c ≫ T₂.rotate.mor₂
ha₂ : T₁.rotate.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map b = a ≫ T₂.rotate.mor₃
⊢ ∃ a, T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
s : (n : ℕ) × Finset (Fin n)
⊢ ↑(FormalMultilinearSeries.changeOriginIndexEquiv.symm s).snd.snd = Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ f : α → β
g₁ g₂ : β → α
h₁ : LeftInverse g₁ f
h₂ : RightInverse g₂ f
⊢ g₁ = g₁ ∘ f ∘ g₂
x : ℝ
⊢ ↑(Real.arctan x) = (↑(Real.tan (Real.arctan x))).arctan
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
R : ℝ
z w : ℂ
hw : w ∈ ball z R
this : ∀ (θ : ℝ), circleMap z R θ - w ≠ 0
⊢ Continuous fun θ => (circleMap z R θ - w)⁻¹
α : Type u
DivisionMonoid α
a : α
h : IsUnit a
b : α
⊢ a⁻¹ * (a * b) = b
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
E : Set β
e : ↑M.E ≃ ↑E
⊢ (M.mapSetEquiv e).E = E
α : Type u_1
LT α
a b : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual a < OrderDual.ofDual b ↔ b < a
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Category.{v₃, u₃} C
U : B ⥤ C
F : C ⥤ B
R : A ⥤ B
F' : C ⥤ A
adj₁ : F ⊣ U
adj₂ : F' ⊣ R ⋙ U
inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A
inst✝ : (X : B) → RegularEpi (adj₁.counit.app X)
Y : A
X : B
g : U.obj X ⟶ U.obj (R.obj Y)
⊢ adj₁.counit.app (F.obj (U.obj X)) ≫ F.map g ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y) = F.map (U.map (adj₁.counit.app X)) ≫ F.map g ≫ adj₁.counit.app ((𝟭 B).obj (R.obj Y)) ↔ F.map (U.map (adj₁.counit.app X)) ≫ F.map g ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y) = adj₁.counit.app (F.obj (U.obj X)) ≫ F.map g ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y)
q : ℚ≥0
⊢ ↑↑q = ↑q