ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ ((α_ M₁.X N.X Z.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actRight ≫ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ▷ Z.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M₂ N
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
⊢ MulAction.fixedPoints M α = ⋂ m, MulAction.fixedBy α m
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ' : IsIso (homologyMap φ')
hφφ' : IsIso (homologyMap φ ≫ homologyMap φ')
⊢ IsIso (homologyMap φ)
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Ioo A B)) l fun i => Set.Icc (a i) (b i)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term α
⊢ ∀ (i : Fin 1), Term.realize v (![t₁, t₂] i.succ) = ![Term.realize v t₁, Term.realize v t₂] i.succ
α : Type u_1
𝒜 ℬ : Set (Set α)
h : 𝒜 ⊆ ℬ
⊢ MeasureTheory.generateSetAlgebra 𝒜 ⊆ MeasureTheory.generateSetAlgebra ℬ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
X Y : CategoryTheory.StructuredArrow S T
f : X ⟶ Y
⊢ f.left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
𝕜 : Type u
A : Type v
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
a : A
n : ℕ
⊢ (fun x => x ^ n) '' spectrum 𝕜 a ⊆ spectrum 𝕜 (a ^ n)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
s : Set P
⊢ Metric.diam (⇑e '' s) = Metric.diam s
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{?u.88315, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
a : R
⊢ a • (h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃) = a • h.h₃ + (a • h.h₂) ≫ S₂.g + a • φ₂.τ₃
M : Type u_1
CommMonoid M
k : ℕ
ζ : M
hk : 0 < k
h1 : ζ ^ k = 1
h : ∀ (l : ℕ), 0 < l → l < k → ζ ^ l ≠ 1
⊢ IsPrimitiveRoot ζ k
α : Type u
β : Type v
f : α → β
S : WSeq (Computation α)
⊢ IsBisimulation fun c1 c2 => ∃ l S, c1 = map f (corec parallel.aux1 (l, S)) ∧ c2 = corec parallel.aux1 (List.map (map f) l, WSeq.map (map f) S)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S₁ S₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C n
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.IsComplex
h₂ : S₂.IsComplex
i j k : ℕ
hij : i + 1 = j := by omega
hjk : j + 1 = k := by omega
hk : k ≤ n := by omega
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.sc'MapIso e h₁ h₂ i j k hij hjk hk).hom =
  CategoryTheory.ComposableArrows.sc'Map e.hom h₁ h₂ i j k ⋯ ⋯ ⋯
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
x : G
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddCommGroup G
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
MeasurableAdd G
μ.IsNegInvariant
⊢ MeasureTheory.ConvolutionExistsAt g f x L.flip μ ↔ MeasureTheory.ConvolutionExistsAt f g x L μ
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
ι : Type u_3
DecidableEq σ
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
⊢ (∑ i ∈ s, f i).degrees ≤ s.sup fun i => (f i).degrees
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
base : ↑X ⟶ ↑Y
c c' : Y.presheaf ⟶ (Presheaf.pushforward C base).obj X.presheaf
h : c = c'
⊢ { base := base, c := c } = { base := base, c := c' }
x y z : ℝ
n : ℕ
⊢ deriv^[n + 1] rexp = rexp
n p k : ℕ
pp : Prime p
l : ℕ
h : l ≤ k + 1
h₁ : ¬p ^ l ∣ p ^ k
h₂ : p ^ l ∣ p ^ (k + 1)
⊢ l = k + 1
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.IsPreconnected J
r : J → J → Prop
hr : Equivalence r
h : ∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → r j₁ j₂
j₁ j₂ : J
⊢ r j₁ j₂
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
AddGroup M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
f : Π₀ (x : ι), M
⊢ (-f).toFinsupp = -f.toFinsupp
α : Type u
s t : Set α
⊢ s.Finite → t.Finite → (s ⊔ t).Finite
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.right
b : I.L
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι I.left b) I.sndSigmaMap =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.snd b) (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι I.right (I.sndFrom b))
F : Type u_8
M : outParam (Type u_9)
N : outParam (Type u_10)
φ : outParam (M → N)
X : outParam (Type u_11)
Y : outParam (Type u_12)
SMul M X
SMul N Y
FunLike F X Y
self : MulActionSemiHomClass F φ X Y
f : F
c : M
x : X
⊢ f (c • x) = φ c • f x
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
x : E
hx : x ∈ closure U
⊢ ball w (infDist w (interior U)ᶜ) ⊆ U
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
self : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w
𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
A : Type u_5
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜₁ A
NormedAlgebra 𝕜₂ A
NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂
IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A
f : 𝕜₂ → 𝕜₁
a : A
h : SpectrumRestricts a f
⊢ spectralRadius 𝕜₁ a = spectralRadius 𝕜₂ a
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
xy : SqLe (x + 1) 1 (y + 1) d
yx : SqLe (y + 1) d x.succ 1
t : 1 * (x + 1) * (x + 1) = d * (y + 1) * (y + 1) := le_antisymm xy yx
⊢ { re := -[x+1], im := ↑(y + 1) } = 0
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : Module.End K V
m : ℕ
⊢ LinearMap.ker (f ^ m) ≤ LinearMap.ker (f ^ FiniteDimensional.finrank K V)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (W.Φ n).natDegree ≤ n.natAbs ^ 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
P Q : TopCat.Presheaf C X
f g : P ⟶ Q
w : ∀ (U : TopologicalSpace.Opens ↑X), f.app (Opposite.op U) = g.app (Opposite.op U)
⊢ f = g
p : Prop
⊢ ∀ {α : Type u_1} {t : Batteries.RBNode α} {n : Nat}, ¬p → Batteries.RBNode.RedRed p t n → ∃ c, t.Balanced c n
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
f✝ : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither α F
f : α → 𝕜 → F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
hα : SecondCountableTopology α
⊢ StronglyMeasurable fun p => deriv (f p.1) p.2
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
n : ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₁) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₂ = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₁ ≫ (n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map Y✝.mor₁)
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{w, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁸ : Category.{w', u₃} E
F✝ : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A✝ A' B B' : C
inst✝⁷ : HasBinaryProduct A✝ B
inst✝⁶ : HasBinaryProduct A' B'
inst✝⁵ : HasBinaryProduct (F✝.obj A✝) (F✝.obj B)
inst✝⁴ : HasBinaryProduct (F✝.obj A') (F✝.obj B')
inst✝³ : HasBinaryProduct (G.obj (F✝.obj A✝)) (G.obj (F✝.obj B))
inst✝² : HasBinaryProduct ((F✝ ⋙ G).obj A✝) ((F✝ ⋙ G).obj B)
inst✝¹ : HasBinaryProducts C
inst✝ : HasBinaryProducts D
F : C ⥤ D
A f : C
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ (f_1 : f ⟶ Y), (prod.functor.obj A ⋙ F).map f_1 ≫ (fun B => prodComparison F A B) Y = (fun B => prodComparison F A B) f ≫ (F ⋙ prod.functor.obj (F.obj A)).map f_1
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some ⁻¹' Ioo ↑a ↑b = Ioo a b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
Mul α
Mul β
FunLike F α β
MulHomClass F α β
f : F
s : Finset α
⊢ (Finset.imageMulHom f) s = Finset.image (⇑f) s
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
⊢ s ≤ s + t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
hf : S.f = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.leftHomologyπ (S.cyclesIsoLeftHomology hf).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id S.cycles
R : Type u
Nontrivial R
Semiring R
r : R
⊢ Polynomial.X + Polynomial.C r ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η γ : J.plusObj P ⟶ Q
hQ : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J Q
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (J.toPlus P) η = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (J.toPlus P) γ
⊢ η = γ
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type v
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
⊢ Field.insepDegree F ↥⊥ = Field.insepDegree F E
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : T
p₁ p₂ : LocalizedModule S A
⊢ x • p₁ * p₂ = x • (p₁ * p₂)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ Z
hf : T f
⊢ (FunctorPushforwardStructure.casesOn (getFunctorPushforwardStructure ⋯) fun Z_1 g h h₁ fac => ℱ.val.map h.op (x g h₁)) = x f hf
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
t : Set α := toMeasurable μ s
ht : t = toMeasurable μ s
ht_m : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν ≤ (μ s).toReal
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₂, v₁} I
F : CategoryTheory.Functor I C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
i : I
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda F).inv
    (CategoryTheory.coyoneda.map (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F i).op) =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (F.op.comp CategoryTheory.coyoneda) (Opposite.op i)
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
⊢ Gamma s * Gamma t = Gamma (s + t) * s.betaIntegral t
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f : WithLp ⊤ (α × β)
⊢ ‖(WithLp.equiv ⊤ (α × β)) f‖₊ = ‖f‖₊
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S T : Set (Set X)
hS : RestrictGenTopology S
hT : S ⊆ T
⊢ RestrictGenTopology T
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
ha : i ∉ t
hw : ∑ j ∈ t, w j ≠ 0
⊢ (w i + ∑ i ∈ t, w i)⁻¹ = (∑ i ∈ t, w i) / (w i + ∑ i ∈ t, w i) * (∑ i ∈ t, w i)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
SemilatticeSup δ
OrderBot δ
g : γ → δ
⊢ (Finset.image₂ f s t).sup g = t.sup fun y => s.sup fun x => g (f x y)
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
⊢ Function.Surjective fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
a b : ι
⊢ K.d a b = 𝟙 (X K (some a)) ≫ K.d a b ≫ 𝟙 (X K (some b))
q : ℕ+
⊢ Fintype.card (LucasLehmer.X q) = ↑q ^ 2
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
⊢ I ⊓ J = I * J
M : Type u_2
Monoid M
a x y : M
h : SemiconjBy a x y
n : ℕ
⊢ SemiconjBy a (x ^ n) (y ^ n)
α : Type u
x : α
l : Batteries.DList α
⊢ (l.push x).toList = l.toList ++ [x]
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
p : β → Prop
⊢ (∃ y ∈ e.target, p y) ↔ ∃ x ∈ e.source, p (↑e x)
x : ℂ
⊢ (x ^ 2⁻¹).re = √((abs x + x.re) / 2)
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
⊢ affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤ → affineSpan k s = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
h : ∀ d ∈ φ.support, (weight w) d ≠ n
⊢ (weightedHomogeneousComponent w n) φ = 0
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
c : ℝ
f : α → E
g' : α → F'
l : Filter α
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f g'
⊢ ∃ c' > 0, Asymptotics.IsBigOWith c' l f g'
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
x : K
hsep : IsSeparable E x
f : E[X] := minpoly E x
hf : f = minpoly E x
E' : IntermediateField F E := adjoin F ↑f.coeffs
this : FiniteDimensional F ↥E'
g : (↥E')[X] := f.toSubring E'.toSubring ⋯
⊢ IsSeparable F x
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : G
⊢ (fun a => ↑↑(indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1) a • c) =ᶠ[ae μ] s.indicator fun x => c
a : ℕ
⊢ ⌊√↑a⌋₊ = a.sqrt
x y : EReal
⊢ sign (x * y) = sign x * sign y
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
A : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cocones.functoriality F G).obj A).pt = G.obj A.pt
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
this : ↑a.val - ↑n ≤ 0
⊢ ↑(if a.val ≤ n / 2 then ↑a.val else ↑a.val - ↑n).natAbs = if a.val ≤ n / 2 then a else -a
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
h : Sum.LiftRel r s x y
⊢ x.isLeft = true ↔ y.isLeft = true
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ b ≤ a ∆ b ↔ Disjoint a b
M : Type u_1
A : Type u_4
Monoid M
Group A
MulDistribMulAction M A
r : M
x : A
⊢ r • x⁻¹ = (r • x)⁻¹
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a
hb : ¬IsMax b
⊢ Order.succ a < Order.succ b ↔ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
hom : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : TopologicalGroup α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group β
inst✝¹ : FunLike hom β α
inst✝ : MonoidHomClass hom β α
e : hom
de : DenseInducing ⇑e
x₀ : α
comm : ((fun x => x.2 / x.1) ∘ fun t => (e t.1, e t.2)) = ⇑e ∘ fun t => t.2 / t.1
⊢ Tendsto (fun t => t.2 / t.1) (comap (fun p => (e p.1, e p.2)) (𝓝 (x₀, x₀))) (𝓝 1)
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
Ring R
Ring R'
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module R M
Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M ≃+ M₁
hi : Function.Bijective ⇑i
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
⊢ Module.rank R M = Module.rank R' M₁
n✝ n b e : ℕ
h_b_pos : 0 < b
⊢ n < b ^ e.succ → n / b < b ^ e
α : Type u
a : α
⊢ {a} ∈ pure a
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : Semiring R
α : Type u_3
x : HahnSeries Γ R
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ
⊢ ∑ b ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, ∑ᶠ (a : α), x.coeff b.1 * (s a).coeff b.2 = ∑ x_1 ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, x.coeff x_1.1 * ∑ᶠ (i : α), (s i).coeff x_1.2
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
j : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Coreflective j
A : D
CategoryTheory.IsSplitEpi ((CategoryTheory.coreflectorAdjunction j).counit.app A)
⊢ A ∈ j.essImage
B : Type u
self : CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator f (CategoryTheory.CategoryStruct.id b) g).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor g).hom) =
  CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).hom g
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
⊢ v ∈ s.direction ↔ ∃ p2 ∈ s, v = p2 -ᵥ p
α : Type u_1
a b c d : α
MulZeroClass α
PartialOrder α
PosMulStrictMono α
MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
⊢ a * c = b * d ↔ a = b ∧ c = d
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : HasPushout f g
⊢ pushout.inl g f ≫ (pushoutSymmetry f g).inv = pushout.inr f g
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
G' : Type wG'
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
SeminormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
g : G ≃L[𝕜] G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ (ContinuousLinearEquiv.compContinuousMultilinearMapL E g) f = (↑g).compContinuousMultilinearMap f
q : ℚ
n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ
⊢ n₁ /. d₁ / (n₂ /. d₂) = n₁ * d₂ /. (d₁ * n₂)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
self : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ 0 < r
m : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ZMod m
⊢ ¬Summable ({n | ↑n = k}.indicator fun n => 1 / ↑n)
w : Nat
i : Nat
x y : BitVec w
c : Bool
⊢ BitVec.carry (i + 1) x y c = (x.getLsb i).atLeastTwo (y.getLsb i) (BitVec.carry i x y c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : ι → Set α
⊢ ⋃ i, f i = univ ↔ ∀ (x : α), ∃ i, x ∈ f i
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
m : Matrix n n R[X]
k : ℕ
i j : n
⊢ (matPolyEquiv m).coeff k i j = (m i j).coeff k
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
x₀ t : G
ht : f t = 0
⊢ (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) t = 0
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
F : IntermediateField K L
E : IntermediateField (↥F) L
⊢ ↑((RelIso.symm (IntermediateField.extendScalars.orderIso F)) E) = IntermediateField.restrictScalars K E
α : Type u_1
n m : Nat
l : List α
⊢ dropSlice n m l = dropSliceTR n m l
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
hWo : IsOpen W
hdVW : Disjoint V W
hUVW : U ⊆ V ∪ W
⊢ U ⊆ V
J : Type v
F : J → TypeMax
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.productIso F).inv ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.π F j = fun f => f j
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.xn a1 (n + 2) + Pell.xn a1 n = 2 * a * Pell.xn a1 (n + 1) ∧
  Pell.yn a1 (n + 2) + Pell.yn a1 n = 2 * a * Pell.yn a1 (n + 1)
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.IsHomogeneous 1 0
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
self : PosSMulStrictMono α β
a : α
ha : 0 < a
b₁ b₂ : β
hb : b₁ < b₂
⊢ a • b₁ < a • b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set (α ⊕ β)
⊢ Sum.inl '' (Sum.inl ⁻¹' s) ∪ Sum.inr '' (Sum.inr ⁻¹' s) = s
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : f ≤ g
⊢ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ
α : Type u_1
X : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace X
TopologicalSpace.MetrizableSpace X
Nonempty X
f : α → α
h : QuasiErgodic f μ
g : α →ₘ[μ] X
hg_eq : g.compQuasiMeasurePreserving f ⋯ = g
⊢ ∃ c, g = MeasureTheory.AEEqFun.const α c
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
⊢ sinh x * cosh (2 * x) + cosh x * sinh (2 * x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
⊢ Tendsto arg (𝓝[{z | z.im < 0}] z) (𝓝 (-π))
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
s : Cycle α
h : s.Nodup
hn : s.Nontrivial
⊢ (s.formPerm h).support = s.toFinset
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set X
F : ι → X → α
x₀ : X
hX : (𝓝 x₀).HasBasis p s
⊢ (∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ x ∈ s ia, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α ib}) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ x ∈ s k, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ U