ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
⊢ ↑H = ↑⊤ ↔ ↑H = Set.univ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
DecidableEq ι
i : ι
a : 𝕜
⊢ (WithLp.equiv 2 (ι → 𝕜)).symm (Pi.single i a) = EuclideanSpace.single i a
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ
⊢ 0 < dist x y ↔ x ≠ y
α : Sort u_1
p q : Prop
Decidable p
Decidable q
a b c : α
⊢ (if p then a else if q then b else c) = if q then if p then a else b else if p then a else c
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
p : ℝ := (∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card)
q : ℝ := (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card)
r : ℝ := ↑(G.edgeDensity ((star hP G ε hU V).biUnion id) ((star hP G ε hV U).biUnion id))
s : ℝ := ↑(G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε U V) (G.nonuniformWitness ε V U))
t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)
hrs : |r - s| ≤ ε / 5
hst : ε ≤ |s - t|
hpr : |p - r| ≤ ε ^ 5 / 49
hqt : |q - t| ≤ ε ^ 5 / 49
⊢ 3 / 4 * ε ≤ |p - q|
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
⊢ MvQPF.SuppPreservation ↔ MvQPF.LiftPPreservation
x : EReal
⊢ x.abs = 0 ↔ x = 0
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m
d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|
ε : ℝ
hε : μ (closedBall 0 ε + ⇑A '' closedBall 0 1) < ↑m * μ (closedBall 0 1)
εpos : 0 < ε
this : Iio ⟨ε, ⋯⟩ ∈ 𝓝 0
δ : ℝ≥0
s : Set E
f : E → E
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hδ : ↑δ < ε
I : ∀ (x : E) (r : ℝ), x ∈ s → 0 ≤ r → μ (f '' (s ∩ closedBall x r)) ≤ ↑m * μ (closedBall x r)
⊢ μ (f '' s) ≤ ↑m * μ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
⊢ (blimsup u f fun x => False) = ⊥
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : Finpartition s
Q : Finpartition t
⊢ ∑ a ∈ P.parts, (interedges r a t).card = ∑ x ∈ P.parts, ∑ y ∈ Q.parts, (interedges r (x, y).1 (x, y).2).card
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K'
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : Algebra R K'
inst✝¹ : IsFractionRing R K'
I J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
z : ↥R⁰
x : R
hx : (algebraMap R K) x = ↑z • y
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ (algebraMap R K) x ∈ I
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeSup L
OrderBot L
ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x
⊢ ContinuousWithinAt (fun a => s.sup fun x => f x a) t x
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A B : Matrix n n R
s : Finset n
c : n → R
⊢ (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
m n : ℕ
α : Type u_4
o : ℕ
ho : o + 1 = m + 1 + n
u : Fin (m + 1) → α
v : Fin n → α
⊢ Matrix.vecAppend ho u v 0 = u 0
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
⊢ ⋃ g, g +ᵥ s =ᵐ[μ] Set.univ
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
S : Set (Subring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
this : Nonempty ↑S
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
D : Set E
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f D x < ε
S : ℝ → Set E := fun r => {x | ∃ a > r, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal a) ∩ D)) ≤ ε}
S_open : ∀ r > 0, IsOpen (S r)
S_cover : K ⊆ ⋃ r, ⋃ (_ : r > 0), S r
⊢ ∃ δ > 0, ∀ x ∈ K, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal δ) ∩ D)) ≤ ε
α : Type u_1
β : Type u_2
Monoid α
Monoid β
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
F : Type u_3
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ multiplicity a b ≤ multiplicity (f a) (f b)
M : Type u_2
Monoid M
a : M
m n : ℕ
⊢ a ^ m * a ^ n = a ^ n * a ^ m
R : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
DivisionSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : α → α
g : α → M
x : α
⊢ birkhoffAverage R f g 1 x = g x
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
h : TendstoLocallyUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p
⊢ Filter.Tendsto F p (𝓝 f)
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
⊢ (f.toPartitionOfUnity i) x = (f i) x * ∏ᶠ (j : ι) (_ : WellOrderingRel j i), (1 - (f j) x)
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
M M' : Ideal α
hM : M.IsMaximal
hM' : M'.IsMaximal
hne : M ≠ M'
⊢ M ⊔ M' = ⊤
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K
⊢ liftAux (RingHom.id K) j p x = j x
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x z
H2 : x ∣ y * z
⊢ x ∣ y
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
⊢ limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limit.π (F ⋙ evaluation R Y) j ≫ (whiskerLeft F (restriction R g)).app j) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : α → β → γ
s : Set α
t : ι → Set β
⊢ Set.image2 f s (⋃ i, t i) = ⋃ i, Set.image2 f s (t i)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : Limits.IsInitial X
M : PresheafOfModules R
c₁ c₂ : Cᵒᵖ
f : c₁ ⟶ c₂
r : ↑(R.obj X)
m : ↑((ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c₁))).obj (M.obj c₁))
⊢ (R.map f) ((R.map (hX.to c₁)) r) • (M.presheaf.map f) m = r • (M.presheaf.map f) m
ι : Type u_1
X : Type u_4
Y : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
g : ι → Set Y
hg : LocallyFinite g
f : ι → Set X
⊢ LocallyFinite fun i => f i ×ˢ g i
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f g : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hf : DiffContOnCl ℂ f U
hg : DiffContOnCl ℂ g U
hfg : EqOn f g (frontier U)
⊢ ∀ z ∈ closure U, ‖(f - g) z‖ ≤ 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
⊢ ↑(X.restrict h) = U
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a < b
⊢ Nonempty ↑(Set.Ico a b)
α : Type u_1
M : Type u_4
AddCommMonoid M
Fintype α
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α → M
⊢ ∑ a ∈ {x | p x}.toFinset, f a = ∑ a : Subtype p, f ↑a
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
NormedSpace ℝ 𝕜
Module 𝕜 E
Module ℝ E
IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
⊢ Convex ℝ (p.ball x r)
α : Type u_6
β : Type u_7
Preorder α
Preorder β
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
self : α →*₀o β
⊢ Monotone (↑self.toMonoidWithZeroHom).toFun
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ GenContFract.IntFractPair.stream v (n + 1) = none ↔
  GenContFract.IntFractPair.stream v n = none ∨ ∃ ifp, GenContFract.IntFractPair.stream v n = some ifp ∧ ifp.fr = 0
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂
inst✝² : Category.{?u.53917, u_4} H
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
inst✝ : Φ.HasLeftResolutions
X₂ : D₂
⊢ X₂ ∈ (Φ.functor ⋙ L₂).essImage
α : Type u_2
β : Type u_3
Top α
Top β
f : TopHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
P Q R : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.prod.associator P Q R).hom =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift (CategoryTheory.Limits.prod.fst ≫ CategoryTheory.Limits.prod.fst)
    (CategoryTheory.Limits.prod.lift (CategoryTheory.Limits.prod.fst ≫ CategoryTheory.Limits.prod.snd)
      CategoryTheory.Limits.prod.snd)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct P Q
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct Q P
⊢ (CategoryTheory.Limits.prod.braiding P Q).hom =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst
α : Sort u
r q : α → α → Prop
h₁ : Subrelation q r
h₂ : WellFounded r
⊢ WellFounded q
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
l : E →ₗ[𝕜] 𝕜
⊢ Continuous ⇑l ↔ IsClosed ↑(LinearMap.ker l)
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.IsSymmetric 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯
φ' : W.LeftFraction X Y
hφ' : f' = φ'.map L ⋯
α : W.LeftFraction φ.Y' φ'.Y'
hα : (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).f ≫ α.s = (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).s ≫ α.f
ψ : W.LeftFraction₂ X Y := LeftFraction₂.mk (φ.f ≫ α.f) (φ'.f ≫ α.s) (φ'.s ≫ α.s) ⋯
this✝¹ : IsIso (L.map φ'.s)
this✝ : IsIso (L.map α.s)
this : IsIso (L.map (φ'.s ≫ α.s))
⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2
h : Rel α a (x, y)
⊢ (filter (fun x_1 => Sym2.mk x_1 = s(x, y)) s.offDiag).card = 2
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
CommSemiring A
Algebra R A
I J K : Submodule R A
⊢ I ≤ J / K ↔ ∀ x ∈ I, ∀ z ∈ K, x * z ∈ J
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
hι : (n : β) → Fintype (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
⊢ (mkMetric m) s ≤ liminf (fun n => ∑ i : ι n, m (diam (t n i))) l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : CategoryTheory.Dial C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom.F =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift
    (CategoryTheory.Limits.prod.lift
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst)))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd))
K : Type u_1
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
x : K
⊢ (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) ((NumberField.mixedEmbedding K) x) = w x
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
StarRing A
CstarRing A
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ ‖a.toProd.1‖₊ = ‖a‖₊
X : Type u_1
n : Type u_5
R : Type u_8
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
f : X → Matrix n n R
a : Matrix n n R
hf : HasSum f a
⊢ HasSum (fun x => (f x).diag) a.diag
α : Type u_2
AddRightCancelSemigroup α
a i j : α
h : j + a = i
⊢ (ComplexShape.down' a).Rel i j
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ⇔ (a ⇔ b) = b
F : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
LE α
LE β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
FunLike F α β
self : BoundedOrderHomClass F α β
f : F
⊢ f ⊤ = ⊤
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
CategoryTheory.HasWeakSheafify J AddCommGrp
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
I : Type u
⊢ ∀ {J_1 : Type u} (f : I → J_1),
  (SheafOfModules.free J_1).freeHomEquiv (SheafOfModules.freeMap f) = SheafOfModules.freeSection ∘ f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
⊢ ((fun x' => Φ x' - Φ x - Φ' (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x) ↔ ∀ (i : ι), (fun x' => Φ x' i - Φ x i - ((proj i).comp Φ') (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x
D : GlueData
i : D.J
x y : ↑(D.U i)
h : (D.ι i) x = (D.ι i) y
⊢ x = y
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
⊢ ↑(I.splitLower i x) = ↑I ∩ {y | y i ≤ x}
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
⊢ ∠ p₂ p₁ p₃ = 0
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
LPμν_finite : ¬levyProkhorovEDist μ ν = ⊤
LPνκ_finite : ¬levyProkhorovEDist ν κ = ⊤
ε : ℝ≥0∞
B : Set Ω
ε_pos : 0 < ε
ε_lt_top : ε < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
half_ε_pos : 0 < ε / 2
⊢ μ B ≤ κ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε ∧ κ B ≤ μ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
⊢ IsBoundedAtImInfty ((eisensteinSeries_SIF a k).toFun ∣[k] A)
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 0, ‖f (x + x_1) - f x - L x_1‖ ≤ ε * ‖x_1‖
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
s : Set M
⊢ BddBelow (norm '' s)
R✝ : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne R✝
inst✝² : CharZero R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CharZero R
q n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ q ^ n = 1 ↔ q = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ D
f : F ⟶ G
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts F
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts G
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget D)
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective (CategoryTheory.extensiveTopology C) f ↔
  ∀ (X : C), Function.Surjective ⇑(f.app (Opposite.op X))
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
C : CochainComplex V ℕ
X : V
φ : (CochainComplex.single₀ V).obj X ⟶ C
⊢ ↑((C.fromSingle₀Equiv X) φ) = φ.f 0
K : Type u
Field K
V : FGModuleCat K
⊢ (FGModuleCat.FGModuleCatCoevaluation K V) 1 =
  ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↑V), (Basis.ofVectorSpace K ↑V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K ↑V).coord i
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s κ μ
S T : Set ι
hST : Disjoint S T
⊢ Indep (generateFrom {t | ∃ n ∈ S, s n = t}) (generateFrom {t | ∃ k ∈ T, s k = t}) κ μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ J.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'
hNN' : N ⊔ N' = N ⊔ I • N'
h_comap : Function.Injective (comap N.mkQ)
⊢ N ⊔ N' = N ⊔ J • N'
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
⊢ LinearIndependent R x
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : PropertyIsLocal P
R S : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
e : R ≃+* S
this : Algebra R S := e.toRingHom.toAlgebra
⊢ P e.toRingHom
xs ys : Lean.Omega.IntList
⊢ xs - ys = List.zipWithAll (fun x y => x.getD 0 - y.getD 0) xs ys
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
f : ι → E
g : ι → F
hg : Summable g
h : f =O[Filter.cofinite] g
⊢ Summable f
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
AddCommGroup V₂
Module k V₁
Module k V₂
AddTorsor V₁ P₁
AddTorsor V₂ P₂
E : AffineSubspace k P₁
Ene : Nonempty ↥E
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
⊢ Nonempty ↥(AffineSubspace.map φ E)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
a : α
⊢ 𝓝[<] a ⊔ 𝓝[≥] a = 𝓝 a
R : Type u
inst✝ : Ring R
G H : ModuleCat R
f✝ : G ⟶ H
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
y : ↑N
m : ↑M
⊢ (cokernel.π f) (y + f m) = (cokernel.π f) y
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
b0 : f₂ b₂ = none
⊢ ∃ b₁, tr b₁ b₂ ∧ b₁ ∈ eval f₁ a₁
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
hb : b < 0
h : 1 / a < 1 / b
⊢ b < a
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
s : Set J
Small.{v, u} ↑s
hs : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)
⊢ CategoryTheory.InitiallySmall J
x y : ℝ
⊢ Continuous fun x => expOrderIso.symm ⟨|↑x|, ⋯⟩
a b : ℚ
⊢ a < b ↔ ↑a < ↑b
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (((α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ P.X ◁ Q.X ◁ T.mul) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : StarRing A
inst✝¹⁰ : StarModule R A
inst✝⁹ : TopologicalSemiring A
inst✝⁸ : ContinuousStar A
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : T2Space B
F : Type u_4
S : StarSubalgebra R A
inst✝² : FunLike F (↥S.topologicalClosure) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥S.topologicalClosure) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥S.topologicalClosure) B
φ ψ : F
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : ∀ (x : ↥S), φ ((inclusion ⋯) x) = ψ ((inclusion ⋯) x)
this : ↑φ = ↑ψ
⊢ φ = ψ
P : Type u_2
Preorder P
self : Order.Cofinal P
x : P
⊢ ∃ y ∈ self.carrier, x ≤ y
R : Type u
Ring R
s : Subring R
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X✝ : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : TopologicalSpace M✝
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : ContinuousMul M✝
X : Type u_6
M : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
s : Finset ι
l : Filter X
f g : ι → X → M
hs : ∀ i ∈ s, f i =ᶠ[l] g i
⊢ ∏ i ∈ s, f i =ᶠ[l] ∏ i ∈ s, g i
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α × β → ℚ → ℝ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
⊢ Measurable f
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
hx₀ : x ≠ 0
⊢ SameRay R (x + y) z
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → PMF β
⊢ (PMF.pure a).bind f = f a
P : MorphismProperty Scheme
inst✝² : IsLocalAtSource P
X✝ Y✝ U V : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g : U ⟶ Y✝
inst✝¹ : IsOpenImmersion g
𝒰✝ : X✝.OpenCover
inst✝ : P.IsMultiplicative
hP : ∀ {X Y Z : Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z) [inst : IsOpenImmersion g], P (f ≫ g) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
⊢ P f ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)
F : Type u
Field F
⊢ Field.sepDegree F F = 1
x x' : SetTheory.PGame
⊢ (-x).insertRight (-x') = -x.insertLeft x'
M : Type u_3
f : ℕ → M
m n : ℕ
CommGroup M
hmn : m ≤ n
⊢ (∏ i ∈ Finset.Ico m (n + 1), f i) / f n = ∏ i ∈ Finset.Ico m n, f i
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
x : ↥U
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : ↑x ∈ V.carrier
iVU : V ⟶ U
f g : R
hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
s_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
h : R
hxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h
hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V
n : ℕ
c : R
hc : c * g = h ^ (n + 1)
basic_opens_eq : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen h
i_basic_open : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) ⟶ V
⊢ const R (f * c) (h ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ⋯ = const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ?right.hv
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
e : M ≃* N
x : N
y : M
⊢ y = e.symm x ↔ e y = x
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ (Ioo ⊥ ⊤).OrdConnected