ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖↑(f n) x - g x‖ ≤ ‖↑(f m) x - g x‖
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
ε0' : 0 < ↑ε
N₀ : ℕ
hN₀ : ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, ‖↑(f N₀) x - g x‖ ∂μ ≤ ↑ε
Nx : (ι → ℝ) → ℕ
hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x
hNxε : ∀ (x : ι → ℝ), dist (↑(f (Nx x)) x) (g x) ≤ ↑ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun c x => ⋯.convergenceR (↑(δ (Nx x))) c x
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c (r c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ((μ ↑I).toReal + 1 + 1) * ↑ε
R : Type u
NonAssocSemiring R
r : ↥⊤
⊢ Subsemiring.topEquiv r = ↑r
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
G.ReflectsIsomorphisms
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{v, v, v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfSize.{v, v, v₁, v₂, u₁, u₂} G
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
⊢ F.IsSheaf ↔ TopCat.Presheaf.IsSheaf (F ⋙ G)
α : Type u_2
SubtractionMonoid α
f : Filter α
⊢ IsAddUnit f ↔ ∃ a, f = pure a ∧ IsAddUnit a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a b c : ℕ
⊢ ofAdd (-↑c) ≤ max (ofAdd (-↑a)) (ofAdd (-↑b)) ↔ min a b ≤ c
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
⊢ normUnit X = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ (CochainComplex.mappingConeCompTriangle f g).obj₁ = CochainComplex.mappingCone f
X Y : Type u
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.typeToCat.map f = id (CategoryTheory.Discrete.functor (CategoryTheory.Discrete.mk ∘ f))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Sheaf C X
⊢ ((TopCat.Sheaf.pushforward C f).obj F).val = (TopCat.Presheaf.pushforward C f).obj F.val
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I J : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
I' J' : Ideal R
hI : ↑I = ↑I'
hJ : ↑J = ↑J'
⊢ (∃ x, I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) x = J) ↔ ∃ x y, x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ Ideal.span {x} * I' = Ideal.span {y} * J'
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
a : α
⊢ Filter.Tendsto (↑(ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f hf a)) Filter.atTop (𝓝 1)
M : Type u_4
Monoid M
l : List M
a : M
⊢ (l.concat a).prod = l.prod * a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
h₀ : ¬R = 0
h : IntervalIntegrable (fun θ => deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)) volume 0 (2 * π)
⊢ CircleIntegrable f c R
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f μ
c : ℝ≥0
⊢ ↑ofNNRealHom.toMonoidWithZeroHom c ≠ ⊤
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : Nontrivial R
X Y : R
h : W'.toAffine.Nonsingular X Y
h0 : fromAffine (Affine.Point.some h) = 0
u : Rˣ
eq : (fun m => m • ![1, 1, 0]) u = ![X, Y, 1]
⊢ False
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0
h_spanx : spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≠ 0
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : J ≤ spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I
⊢ (↑J).FG
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
p : A[X]
hm : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hl : ∀ (q : A[X]), q.degree < p.degree → q = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) q ≠ 0
a✝ : Nontrivial A
hx : IsIntegral A x
h : minpoly A x %ₘ p = 0
r : A[X]
hr : minpoly A x = p * r
hlead : 1 = r.leadingCoeff
this : r.natDegree ≤ 0
⊢ p = p * r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝² : s ⊆ insert a u
this✝¹ : t ⊆ insert a u
this✝ : insert a s ⊆ insert a u
this : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
hat : a ∉ t
⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y✝ : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : ∀ (z : β), f x < z → ∃ y, x < y ∧ f y < z
u : β
hu : u > f x
v : α
xv : x < v
fvu : f v < u
this : Ioo x v ∈ 𝓝[>] x
y : α
hy : y ∈ Ioo x v
⊢ f y < u
n m k : Nat
⊢ (n + m) * k = n * k + m * k
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
Semiring B
StarRing B
Algebra R B
StarModule R B
S : StarSubalgebra R A
f : A →⋆ₐ[R] B
U : StarSubalgebra R B
⊢ StarSubalgebra.map f S ≤ U ↔ S ≤ StarSubalgebra.comap f U
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
⊢ ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
α : Sort u_6
β : Type u_7
γ : β → Sort u_8
DecidableEq β
g : (b : β) → γ b
f : α → β
i : β
a : γ i
h : i ∉ Set.range f
⊢ (fun j => Function.update g i a (f j)) = fun j => g (f j)
R : Type u_1
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R M₂
e : M ≃ₗ[R] M₂
rs : List R
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs ↔ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M₂ rs
M : Type u_6
N : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
e : M ≃* N
⊢ ⇑e.toMonoidHom = ⇑e
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
g : Set α → Filter β
hg : Monotone g
⊢ (𝓝 x).lift g = (𝓤 α).lift fun s => g {y | (y, x) ∈ s}
α : Type u
n : ℕ
a : α
⊢ (Stream'.const a).get n = a
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s u : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ
hu : u ∈ 𝓝 x
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f (s ∩ u) x = iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivAtFilter g₁ g₁' (h x) L'
hh : HasDerivAtFilter h h' x L
hy : y = h x
hL : Tendsto h L L'
⊢ HasDerivAtFilter (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x L
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝
inst✝ : NonAssocSemiring T
S : Set (Subsemiring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ ↑(sSup S) ↔ x ∈ ⋃ s ∈ S, ↑s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y X' Y' : C
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
p' : X' ⟶ Y'
e : CategoryTheory.Arrow.mk p ≅ CategoryTheory.Arrow.mk p'
hip : CategoryTheory.HasLiftingProperty i p
⊢ CategoryTheory.HasLiftingProperty i p'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ IsPiSystem (⋃ a, {Iic ↑a})
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
S : CategoryTheory.Sieve X
f : Y ⟶ X
⊢ ⊤.Covers S f
α : Sort u_1
p : α → Prop
a : α
⊢ (∃ x x_1, p x) ↔ p a
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
p : ℕ
ExpChar M p
IsPRadical i p
h : pNilradical M p = ⊥
⊢ Function.Injective fun f => f.comp i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
a : α
⊢ LipschitzWith 1 (Prod.mk a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
X : CategoryTheory.StructuredArrow S T
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
b : Basis ι R M
c : ι → R
⊢ ⇑(b.repr (∑ i : ι, c i • b i)) = c
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
S : Set G
h : S ∈ AddSubgroup.leftTransversals ↑H
⊢ Finite ↑S ↔ H.FiniteIndex
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
⊢ Set.image2 f (upperBounds s) (lowerBounds t) ⊆ lowerBounds (Set.image2 f s t)
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
H : ¬M.IsTwoBlockDiagonal
hM : M (inr ()) (inr ()) = 0
⊢ ∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
x : X
h : x ∉ c.U
⊢ c.lim x = 1
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
Nontrivial R
s : σ
⊢ (MvPolynomial.X s).totalDegree = 1
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
j : M ≃* P
H : Submonoid.map j.toMonoidHom S = T
x : M
y : ↥S
⊢ (f.mulEquivOfMulEquiv k H) (f.mk' x y) = k.mk' (j x) ⟨j ↑y, ⋯⟩
M : Type u_2
CommMonoid M
p : Prop
Decidable p
f : p → M
⊢ ∏ᶠ (i : p), f i = if h : p then f h else 1
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.HasShift D ℤ
L.CommShift ℤ
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle D
e : T₂ ≅ T₁
h : T₁ ∈ L.essImageDistTriang
⊢ T₂ ∈ L.essImageDistTriang
α : Type u
f : Filter α
hf : f.NeBot
⊢ Nonempty α
p x : ℝ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hn : n ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑n)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
i' : Δ'' ⟶ Δ'
i : Δ' ⟶ Δ
inst✝¹ : Mono i'
inst✝ : Mono i
h₁ : ¬Δ = Δ'
h₂ : ¬Δ' = Δ''
k : ℕ
hk : Δ.len = Δ'.len + k + 1
k' : ℕ
hk' : Δ'.len = Δ''.len + k' + 1
eq : Δ.len = Δ''.len + (k + k' + 2)
⊢ mapMono K i ≫ mapMono K i' = 0
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
⊢ Stream'.WSeq.LiftRel R Stream'.WSeq.nil Stream'.WSeq.nil
α : Type u
LinearOrder α
OrderBot α
a b : α
⊢ min a b = ⊥ ↔ a = ⊥ ∨ b = ⊥
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
val✝¹ : X
val✝ : Y
⊢ glueDist Ψ Φ ε (Sum.inl val✝¹).swap (Sum.inr val✝).swap = glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl val✝¹) (Sum.inr val✝)
α : Type u_1
M : Matroid α
h : M✶.RkPos
⊢ ¬M.Base M.E
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
a : α
Hf : AntitoneOn f t
Hst : s ⊆ t
Has : a ∈ lowerBounds s
⊢ a ∈ t → f a ∈ upperBounds (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
hab : a ≠ b
⊢ closure (Ico a b) ⊆ Icc a b
α : Type u_1
MeasurableSpace α
ι : Type u_2
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.sum fun i => (m i).trim) ≤ (MeasureTheory.OuterMeasure.sum m).trim
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
x✝⁵ : ∀ (y : PGame), (invImage (fun x => x) instWellFoundedRelation).1 y (mk xl xr xL xR) → Subsingleton y.Short
a b : (mk xl xr xL xR).Short
α β : Type u_1
L : α → PGame
R : β → PGame
x✝⁴ : ∀ (y : PGame), (invImage (fun x => x) instWellFoundedRelation).1 y (mk α β L R) → Subsingleton y.Short
h✝³ : mk xl xr xL xR = mk α β L R
α_eq✝¹ : xl = α
L✝² : xl → PGame
inst✝³ : Fintype xl
β_eq✝¹ : xr = β
R✝² : xr → PGame
inst✝² : Fintype xr
a_eq✝³ : HEq xL L✝²
x✝³ : (i : xl) → (xL i).Short
a_eq✝² : HEq xR R✝²
x✝² : (j : xr) → (xR j).Short
h✝² : HEq a (Short.mk x✝³ x✝²)
α✝ β✝ : Type u_1
L✝¹ : α✝ → PGame
R✝¹ : β✝ → PGame
h✝¹ : mk xl xr xL xR = mk α✝ β✝ L✝¹ R✝¹
α_eq✝ : xl = α✝
L✝ : xl → PGame
inst✝¹ : Fintype xl
β_eq✝ : xr = β✝
R✝ : xr → PGame
inst✝ : Fintype xr
a_eq✝¹ : HEq xL L✝
x✝¹ : (i : xl) → (xL i).Short
a_eq✝ : HEq xR R✝
x✝ : (j : xr) → (xR j).Short
h✝ : HEq b (Short.mk x✝¹ x✝)
x : xl
⊢ (invImage (fun x => x) instWellFoundedRelation).1 (xL x) (mk α β L R)
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ x.ule y = !y.ult x
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
f : ↑X.V →ₗ[k] ↑Y.V
g : ↑G
⊢ f ≫ Y.ρ g = X.ρ g ≫ f ↔ f ∘ₗ X.ρ g = f ≫ Y.ρ g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ
⊢ f (x - ↑n * c) = ↑↑n.negOnePow * f x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
h✝ : μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
z : α
h : ↑f z = x ∧ ↑g z = y
⊢ ¬↑f z = ↑g z
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
⊢ 1 / 2 < 1
R : Type u_1
Semiring R
⊢ PowerSeries.X = (PowerSeries.monomial R 1) 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hF : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
⊢ ∀ᶠ (m : (ι × ι) × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p', (F m.1.1 m.2, F m.1.2 m.2) ∈ u
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E
⊢ ∀ (x : α), ↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x = f.toContinuousMap x → ‖↑↑⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩ x‖₊ ≤ ‖f‖₊
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
⊢ Monotone (Set.projIci a)
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
F.ShiftSequence M
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms A
F.PreservesZeroMorphisms
∀ (n : M), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).PreservesZeroMorphisms
X Y : C
n a a' : M
ha' : n + a = a'
⊢ F.shiftMap 0 a a' ha' = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type u_1
C : G.Coloring α
⊢ Setoid.IsPartition C.colorClasses
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDedekindDomain R
inst✝⁷ : Module.Free ℤ R
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝¹ : Algebra ℚ K
inst✝ : Module.Finite ℚ K
x : K
this : IsDomain K
⊢ absNorm (spanSingleton R⁰ x) = |(Algebra.norm ℚ) x|
S : Type u'
R : Type u
M : Type v
SMul R M
SetLike S M
hS : SMulMemClass S R M
s : S
r : R
x : M
hx : x ∈ s
⊢ r • ⟨x, hx⟩ = ⟨r • x, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
this : (ρCond x) s = (comap (fun y => (x, y)) ((ρ.fst {x})⁻¹ • ρ)) s
⊢ (ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ρ ({x} ×ˢ s)
a x z : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : 0 < x.im
⊢ IsOpen fun y => y.re < 0 ∧ 0 < y.im
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f : End F
A : PointedGaloisObject F
⊢ (↑((Types.limitEquivSections (incl F ⋙ (F ⋙ FintypeCat.incl) ⋙ uliftFunctor.{u₁, u₂})) ((colimitCoyonedaHomIsoLimit' (incl F) (F ⋙ FintypeCat.incl)).hom ((colimit.isoColimitCocone { cocone := cocone F, isColimit := isColimit F }).hom ≫ ((FullyFaithful.ofFullyFaithful FintypeCat.incl).whiskeringRight C).homEquiv f))) A).down = f.app A.obj A.pt
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
x y : X
h : x ≠ y
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
Hashable α
m : Batteries.HashMap.Imp α β
h : m.WF
⊢ m.size = m.buckets.size ∧ m.buckets.WF
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
E : J.OneHypercover X
F : CategoryTheory.Functor C D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
self : E.IsPreservedBy F K
i₁ i₂ : E.I₀
W : D
p₁ : W ⟶ F.obj (E.X i₁)
p₂ : W ⟶ F.obj (E.X i₂)
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp p₁ (F.map (E.f i₁)) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp p₂ (F.map (E.f i₂))
⊢ (E.map F).sieve₁ p₁ p₂ ∈ K.sieves W
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
f : X → Y
h : Continuous f
t : ↑I
⊢ ((γ.trans γ').map h) t = ((γ.map h).trans (γ'.map h)) t
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
hm : m.Sized
⊢ (l.node4L x m y r).size = l.size + m.size + r.size + 2
x y : UInt16
⊢ (x - y).toNat = (UInt16.size - y.toNat + x.toNat) % UInt16.size
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
f : α → E
g : E → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
hgi : MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ
⊢ f =ᵐ[μ] Function.const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ < g (⨍ (x : α), f x ∂μ)
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
f : α ≃o β
L : Sublattice α
⊢ Sublattice.map { toFun := ⇑f, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } L =
  Sublattice.comap { toFun := ⇑f.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } L
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
w✝ : InfinitePlace K
a✝ : w✝ ≠ w₁
⊢ ¬↑x = 0 ∧ ¬2 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
⊢ uniformSpace α β 𝔖 = ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i))
a b r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ a / r ≤ b ↔ a ≤ b * r
α : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
f : α → M
x : M
s : Finset α
⊢ x + ∑ i ∈ s, f i = ∑ i ∈ Finset.insertNone s, i.elim x f
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsAddFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
⊢ addRothNumber A = addRothNumber B
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
p' : Filter ι'
s' : Set α'
h : UniformCauchySeqOn F p s
h' : UniformCauchySeqOn F' p' s'
u : Set ((β × β') × β × β')
v : Set (β × β)
hv : v ∈ 𝓤 β
w : Set (β' × β')
hw : w ∈ 𝓤 β'
hvw : (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) '' v ×ˢ w ⊆ u
⊢ ∀ (x : (ι × ι') × ι × ι'), ((∀ x_1 ∈ s, (F ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.1 x_1, F ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.2 x_1) ∈ v) ∧ ∀ x_1 ∈ s', (F' ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.1 x_1, F' ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.2 x_1) ∈ w) → ∀ (a : α) (b : α'), a ∈ s → b ∈ s' → ((F x.1.1 a, F' x.1.2 b), F x.2.1 a, F' x.2.2 b) ∈ u
α : Type u_1
p q : ℚ≥0
n : ℕ
⊢ ↑n = ↑↑n
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
⊢ closure E ⊆ Metric.thickening δ E
a b : Ordinal.{u_1}
b1 : 0 < b
⊢ a ≤ a ^ b
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : CompleteSpace E
c : E
⊢ ∫ (x : X) in s, c ∂μ = (μ s).toReal • c
γ : Type u_3
U : TopologicalSpace γ
m : MetricSpace γ
H : U = UniformSpace.toTopologicalSpace
⊢ m.replaceTopology H = m
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing 𝕜
inst✝⁵ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a b : A
a✝ : ↑(characterSpace 𝕜 A)
⊢ ((↑{ toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (a + b)) a✝ = ((↑{ toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun a + (↑{ toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun b) a✝
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x y : 𝕜
⊢ ↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.re y) + ↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.im y) * I + (↑(RCLike.re y) * ↑(RCLike.im x) * I - ↑(RCLike.im x) * ↑(RCLike.im y)) = ↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.re y) + ↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.im y) * I + ↑(RCLike.re y) * ↑(RCLike.im x) * I + ↑(RCLike.im x) * ↑(RCLike.im y) * -1
a b : Prop
⊢ ¬(a ∧ b) ↔ b → ¬a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
H : DifferentiableOn 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s)
y : F
hy : y ∈ s
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm y)