ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝¹ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq β
s✝ : Finset α
t : α → Finset β
this : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : (s.biUnion t).card ≤ ∑ a ∈ s, (t a).card
⊢ (t a).card + (s.biUnion t).card ≤ (t a).card + ∑ x ∈ s, (t x).card
x : ℝ
⊢ LiouvilleWith 1 x
α : Type u
β : Type v
m : α → β
f : Ultrafilter α
⊢ ↑(Ultrafilter.map m f) = Filter.map m ↑f
p : ℕ+
k : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
⊢ IsIntegralClosure (CyclotomicRing (p ^ k) ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ |(o.oangle x (x - y)).toReal| < π / 2
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝¹ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
inst✝ : Finite ι
h_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i j : ι
h_ne : i ≠ j
⊢ IsClosed (s j \ s i)
α : Type u_2
LinearOrderedField α
FloorRing α
⊢ round 2⁻¹ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
val✝ : Multiset α
nodup✝ : val✝.Nodup
⊢ { val := val✝, nodup := nodup✝ }.card = 1 ↔ ∃ a, { val := val✝, nodup := nodup✝ } = {a}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
h : t ∈ 𝓝 x
⊢ HasFDerivWithinAt f f' (s ∩ t) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
i a b : ℕ
⊢ Nat.succ^[a] b = b + a
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
⊢ Set.range ⇑e = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α
⊢ s ⊆ {a} ↔ s = ∅ ∨ s = {a}
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
⊢ sin (arccos x) = √(1 - x ^ 2)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : Type u_10
m : MeasurableSpace β
Add β
MeasurableAdd₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (f i + f j) (f k + f l) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑l.support)
⊢ (Finsupp.comapDomain f l hf).support = l.support.preimage f hf
α : Type u
a : Set α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in 𝓟 a, p x) ↔ ∀ x ∈ a, p x
R : Type u_1
Semiring R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
AddCommMonoid X
Module R X
n : ℕ
x : OreLocalization S X
⊢ n • x = n • x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ LinearMap.lTensor P g ∘ₗ LinearMap.rTensor N f = TensorProduct.map f g
α : Type u_1
Mul α
self : HasDistribNeg α
x y : α
⊢ x * -y = -(x * y)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
AddCommMonoid N
Module R N
DecidableEq ι
Semiring S
Module S N
SMulCommClass R S N
F : (Π₀ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
i : ι
⊢ (DFinsupp.lsum S).symm F i = F ∘ₗ DFinsupp.lsingle i
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i : ι
x : ↑((forget₂ C Ab).obj (K.X i))
hx : ((forget₂ C Ab).map (K.d i (c.next i))) x = 0
⊢ ((forget₂ C Ab).map (K.iCycles i)) (K.cyclesMk x (c.next i) ⋯ hx) = x
α : Type u
f : Filter α
P : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in f, P x) ↔ {x | P x} ∈ f
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ s : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b
⊢ IsOpen s ↔ ∀ a ∈ s, ∃ t ∈ b, a ∈ t ∧ t ⊆ s
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
t : CategoryTheory.Limits.Trident f
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
Z : C
h : { h // ∀ (j₁ j₂ : J), CategoryTheory.CategoryStruct.comp h (f j₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h (f j₂) }
⊢ (CategoryTheory.Limits.Trident.IsLimit.homIso ht Z).symm h = ↑(CategoryTheory.Limits.Trident.IsLimit.lift' ht ↑h ⋯)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
self : CategoryTheory.ExactPairing X Y
⊢ CategoryTheory.ExactPairing.coevaluation' ▷ X ≫ (α_ X Y X).hom ≫ X ◁ CategoryTheory.ExactPairing.evaluation' =
  (λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv
K : Type u
L : Type v
M : Type w
DivisionRing K
DivisionRing L
DivisionRing M
s : Subfield K
g : L →+* M
f : K →+* L
⊢ Subfield.map g (Subfield.map f s) = Subfield.map (g.comp f) s
β : Type u_1
γ : Type u_2
x : γ
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
⊢ TypeVec.const x (α ::: β) = (TypeVec.const x α ::: fun x_1 => x)
α : Type u_1
Preorder α
OrderTop α
PredOrder α
⊢ Order.pred ⊤ = ↑⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
K' : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K'
h : K = K'
u : E
⊢ ↑((orthogonalProjection K) u) = ↑((orthogonalProjection K') u)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z X' Y' Z' : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
f' : X' ⟶ Y'
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f'
g' : Y' ⟶ Z'
w' : f' ≫ g' = 0
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
r : Z ⟶ Z'
h₁ : f ≫ q = p ≫ f'
h₂ : g ≫ r = q ≫ g'
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernel.map f f' p q h₁ ≫ CategoryTheory.Limits.cokernel.desc f' g' w' =
  CategoryTheory.Limits.cokernel.desc f g w ≫ r
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ ‖MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf‖ = (MeasureTheory.eLpNorm f p μ).toReal
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero α
s : Multiset α
h : 0 ∈ s
s' : Multiset α
hs' : s = 0 ::ₘ s'
⊢ s.prod = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
g : γ → α
h₁ : ∀ (u : Finset γ), ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∏ x ∈ u', g x = ∏ b ∈ v', f b
h₂ : ∀ (v : Finset β), ∃ u, ∀ (u' : Finset γ), u ⊆ u' → ∃ v', v ⊆ v' ∧ ∏ b ∈ v', f b = ∏ x ∈ u', g x
⊢ HasProd f a ↔ HasProd g a
α : Type u_1
s : Multiset α
i : ℕ
hi : 0 < i
⊢ Multiset.powersetCard (Multiset.card s + i) s = 0
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ dist (f n) a ≤ C * r ^ n / (1 - r)
R : Type u
Semiring R
k n : ℕ
r : R
⊢ Polynomial.X ^ k * (Polynomial.monomial n) r = (Polynomial.monomial (n + k)) r
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
ha : a ∈ s
n : ℤ
hb : (f ^ n) a ∈ s
hba : (f ^ n) a ≠ a
⊢ f a ≠ a
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
hf : ∀ (z : ℤ), Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)
z : ℤ
⊢ ∀ (z_1 : ℤ), Tendsto (fun a => k a ^ z_1 * (k a ^ z * f a)) l (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
hs : ⨆ i, ∑ i_1 ∈ s, (↑i).lintegral (μ i_1) = ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)
φ ψ : { i // ↑i ≤ fun a => f a }
⊢ ∃ k, (↑φ).lintegral (μ i) + ∑ i ∈ s, (↑ψ).lintegral (μ i) ≤ (↑k).lintegral (μ i) + ∑ i ∈ s, (↑k).lintegral (μ i)
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ LowerSemicontinuousWithinAt f s x ∧ UpperSemicontinuousWithinAt f s x
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
x₀ : X
K : Set Y
hK : IsCompact K
P : X → Y → Prop
hP : ∀ᶠ (z : X × Y) in 𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝ˢ K, P z.1 z.2
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ y ∈ K, P x y
R : Type u_1
CommRing R
p k : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Polynomial.cyclotomic (p ^ (k + 1)) R * (Polynomial.X ^ p ^ k - 1) = Polynomial.X ^ p ^ (k + 1) - 1
p : ℝ × ℝ
⊢ HasFDerivAt (↑polarCoord.symm) (LinearMap.toContinuousLinearMap ((Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ)) !![cos p.2, -p.1 * sin p.2; sin p.2, p.1 * cos p.2])) p
C : Type (u₁ + 1)
CategoryTheory.LargeCategory C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
⊢ (CategoryTheory.Mat_.equivalenceSelfOfHasFiniteBiproducts C).functor = CategoryTheory.Mat_.lift (𝟭 C)
S : Type u_5
OrderedSemiring S
R : Type u_6
Semiring R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
x y : R
⊢ abv (x + y) ≤ abv x + abv y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : Type
Finite K
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelBiproductToSubtypeIso f p).hom =
  (CategoryTheory.Limits.KernelFork.IsLimit.ofι (CategoryTheory.Limits.biproduct.fromSubtype f pᶜ) ⋯
        (fun {W} g x => g ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.toSubtype f pᶜ) ⋯ ⋯).lift
    (CategoryTheory.Limits.limit.cone
      (CategoryTheory.Limits.parallelPair (CategoryTheory.Limits.biproduct.toSubtype f p) 0))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hx : f x ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun y => √(f y)) x
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution' hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ ∃ a' b',
  a' ^ 3 + b' ^ 3 = ↑S'.u * S'.c ^ 3 ∧
    IsCoprime a' b' ∧ ¬hζ.toInteger - 1 ∣ a' ∧ ¬hζ.toInteger - 1 ∣ b' ∧ (hζ.toInteger - 1) ^ 2 ∣ a' + b'
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.castSucc
x y : M (last n)
⊢ f (snoc m (x + y)) = f (snoc m x) + f (snoc m y)
α : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq α
Semiring R
s : Finset α
f : α → R
hc : (↑s).Pairwise fun i j => Commute (f i) (f j)
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ k ∈ s.piAntidiag n, ↑(Nat.multinomial s k) * s.noncommProd (fun i => f i ^ k i) ⋯
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
hu : u ∈ S
this : (f u - f x) / (u - x) < (f y - f x) / (y - x)
⊢ f' < slope f x y
R : Type u
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ((cyclotomic p ℤ).comp (X + 1)).coeff 0 ∉ Submodule.span ℤ {↑p} ^ 2
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
a : α
⊢ Acc s (f a) → Acc r a
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)
⊢ IsClosed (diagonal (Quotient R))
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : R
⊢ (map W f).toAffine.Nonsingular (f x) (f y) ↔ W.Nonsingular x y
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
⊢ ∫⁻ (x : ℝ), ProbabilityTheory.gaussianPDF μ v x = 1
α : Type u_1
f g : α ↪ α
h : Function.Commute ⇑f ⇑g
⊢ Function.Commute (Finset.map f) (Finset.map g)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j k : ι
left✝ : k ∈ Set.Iic j
hk : ¬gramSchmidtNormed 𝕜 f k = 0
⊢ ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) k, (gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i⟫_𝕜 = 0
x y : Bool
⊢ (!(x && y)) = (!x || !y)
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G'' : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α) (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT) f ≤ (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT') f
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p : ℕ
ExpChar R p
PerfectRing R p
y : R
m : ℕ
⊢ ((Polynomial.X ^ p - Polynomial.C y) ^ m).roots = (m * p) • {(frobeniusEquiv R p).symm y}
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
σ : Perm n
i : n
⊢ A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = A ((e.permCongr σ) (e i)) (e i)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X₁ X₂ : C
⊢ tensorHom ℬ (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) = 𝟙 (tensorObj ℬ X₁ X₂)
m i : Nat
x : BitVec m
n : Nat
⊢ (x.shiftLeftZeroExtend n).getLsb i = (!decide (i < n) && x.getLsb (i - n))
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)
⊢ (⨆ i, LinearMap.range (V i).toLinearMap).topologicalClosure ≤ LinearMap.range hV.linearIsometry.toLinearMap
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E ⊤)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
a : α
this : Tendsto (fun k => ‖↑(F k) a‖) l (𝓝 ‖f a‖)
k : ι
hCFk : ‖F k‖ ≤ C
⊢ ‖↑(F k) a‖ ≤ C
cs₁ cs₂ : List Char
h : cs₁ <:+ cs₂
⊢ String.utf8Len cs₁ ≤ String.utf8Len cs₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ s t : Set X
hs : IsClosed s
h : s ⊆ t
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcov : ⋃ n, K n = t
⊢ s ∩ t = s
α : Type u
n : ℕ
⊢ 0 :: map (Nat.succ ∘ Fin.val) (finRange n) = 0 :: map (Fin.val ∘ Fin.succ) (finRange n)
α✝ β α : Type u
⊢ #α < 2 ^ #α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
this : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
⊢ ↑p ^ (n + 1) ≠ 0
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → Zero (β i)
f g : Π₀ (i : ι), β i
h : ∀ (i : ι), f i = g i
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
h : Set α → Set β
t : Set α
ht : t ∈ f
⊢ h t ∈ f.lift' h
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction X Y
hβ : f'' = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.s ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f
ψ : W.LeftFraction₃ X Y := LeftFraction₃.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.f ≫ γ.s) (β.s ≫ γ.s) ⋯
this✝ : IsIso (L.map β.s)
this : IsIso (L.map γ.s)
⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯
α : Type u_1
LinearOrderedField α
FloorRing α
b : α
⊢ toIcoMod ⋯ 0 b = Int.fract b
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_one : f 1 = 1
hp_one : p 1
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
s : Multiset α
hps : ∀ a ∈ s, p a
⊢ f s.prod ≤ (Multiset.map f s).prod
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
⊢ angle (-x) y = π - angle x y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
hm : Injective m
f₁ f₂ : Filter α
⊢ Disjoint (map m f₁) (map m f₂) ↔ Disjoint f₁ f₂
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
F : Type u_2
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace ℝ F
IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →L[ℝ] ℝ
⊢ ‖fr.extendTo𝕜'‖ = ‖fr‖
A : Type u
TopologicalSpace A
CompactSpace A
T2Space A
⊢ CompactT2.Projective A ↔ ExtremallyDisconnected A
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : AddSubmonoid P
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
j : M ≃+ P
H : AddSubmonoid.map j.toAddMonoidHom S = T
x : N
⊢ (f.addEquivOfAddEquiv k H) x = (f.map ⋯ k) x
α : Type u
⊢ ⇑FreeMagma.toFreeSemigroup ∘ FreeMagma.of = FreeSemigroup.of
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R
n : ℕ
⊢ (WittVector.verschiebung x).coeff n.succ = x.coeff n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
⊢ ⨍ (x : α), 0 ∂μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
s : Set β
MeasurableSpace β
hs : MeasurableSet s
⊢ (p.bindOnSupport f).toMeasure s = ∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h).toMeasure s
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : _root_.Finite K
inst✝ : FiniteDimensional K V
⊢ _root_.Finite V
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
H : C
h : X ⟶ H
hG : IsCodetector H
hf : ∀ (h : X ⟶ H), ∃! h', f ≫ h' = h
hH : H ∈ {H}
⊢ ∃! h', f ≫ h' = h
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ s.ncard ≤ 1 ↔ ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
f : A₁ →ₐ[R] A₂
⊢ (↑e₂.symm).comp ((↑e₂).comp (f.comp (AlgHom.id R A₁))) = f
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsLimit t.toCone
⊢ t.inl = ht.lift (BinaryFan.mk (𝟙 X) 0)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hs : Splits i f
hf0 : (map i f).natDegree ≠ 0
x : L
hx : eval x (map i f) = 0
h : (map i f).roots = 0
this : map i f ≠ 0
⊢ False
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)
x : X
hx : x ∈ F
y : X
hy : y ∈ F
γ : Path (f x) (f y)
hγ : ∀ (t : ↑I), γ t ∈ f '' F
⊢ JoinedIn F x y
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M : Mat_ C
i : M.ι
⊢ (F.map (biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift (F.mapBicone (biproduct.bicone fun i => (embedding C).obj (M.X i))).π) ≫ biproduct.π (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) i = F.map ((biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Group G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
self : LieGroup I G
⊢ Smooth I I fun a => a⁻¹
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ FractionalIdeal.count K v 1 = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
IH : (⇑derivative)^[n] (p * q) = ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k • ((⇑derivative)^[n - k] p * (⇑derivative)^[k] q)
⊢ ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k • ((⇑derivative)^[n - k + 1] p * (⇑derivative)^[k] q) + ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k • ((⇑derivative)^[n - k] p * (⇑derivative)^[k + 1] q) = ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k.succ • ((⇑derivative)^[n - k] p * (⇑derivative)^[k + 1] q) + 1 • ((⇑derivative)^[n + 1] p * (⇑derivative)^[0] q) + ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k • ((⇑derivative)^[n - k] p * (⇑derivative)^[k + 1] q)
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
hpq : p ≠ q
hp₁ : p % 2 = 1
⊢ legendreSym q ↑p * legendreSym p ↑q = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2))
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ s.ncard ≤ 1 ↔ ∃ x, s ⊆ {x}
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.73452, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C 1
left : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
right : F.obj' 1 ⋯ ≅ G.obj' 1 ⋯
w : autoParam (F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ right.hom = left.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯) _auto✝
⊢ G.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ right.inv = left.inv ≫ F.map' 0 1 ⋯ ⋯
a : ℝ
hapos : 0 < a
halimit : Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)
⊢ Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 √π)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂
⊢ K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' = -K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ K.D₂ c₁₂ i₁₂' i₁₂''
x : EuclideanSpace ℝ (Fin 2)
⊢ Complex.orthonormalBasisOneI.repr.symm x = ↑(x 0) + ↑(x 1) * Complex.I
α : Type u_2
AddGroup α
s t : Set α
x : α
⊢ (x +ᵥ s) ∩ t ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a ∈ t ∧ b ∈ s) ∧ a + -b = x
x : ℝ
h : |x| < 1
n : ℕ
⊢ |∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + Real.log (1 - x)| ≤ |x| ^ (n + 1) / (1 - |x|)
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
s : Set Rᵐᵒᵖ
⊢ sInf {a | s ⊆ MulOpposite.unop ⁻¹' ↑a} = sInf {S | MulOpposite.op ⁻¹' s ⊆ ↑S}
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
R : Type u_1
inst✝⁴ : Zero R
inst✝³ : SMulWithZero R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R ℝ≥0∞
inst✝ : DecidableEq R
c : R
⊢ (if c • 1 = 0 then 0 else ⊤) = if c = 0 then 0 else ⊤
α : Type u_1
β : Type u_3
x : β
rels : Set (FreeGroup α)
e : α ≃ β
⊢ (PresentedGroup.equivPresentedGroup rels e).symm (PresentedGroup.of x) = PresentedGroup.of (e.symm x)
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra K E
inst✝ : IsScalarTower F K E
h : Normal F E
x : E
⊢ IsIntegral K x ∧ Splits (algebraMap K E) (minpoly K x)
X₁ X₂ Y : TopCat
f : C(↑X₁, ↑Y)
g : C(↑X₂, ↑Y)
x₀ x₁ : ↑X₁
x₂ x₃ : ↑X₂
p : Path x₀ x₁
q : Path x₂ x₃
hfg : ∀ (t : ↑I), f (p t) = g (q t)
⊢ f x₀ = g x₂
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
h : a ∉ s
⊢ s ∩ {a} = ∅