ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s t : Set M
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ t) x ↔ MDifferentiableWithinAt I I' f s x
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ Codisjoint a ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞
CompleteSpace 𝕜
f : 𝕜 ≃ₜ 𝕜
f' : 𝕜 → 𝕜
h₀ : ∀ (x : 𝕜), f' x ≠ 0
hf' : ∀ (x : 𝕜), HasDerivAt (⇑f) (f' x) x
hf : ContDiff 𝕜 n ⇑f
⊢ ContDiff 𝕜 n ⇑f.symm
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
⊢ |1| = 1
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i✝ : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
i : δ
hi : i ∉ s
⊢ ∫⋯∫⁻_insert i s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, fun x => ∫⁻ (xᵢ : π i), f (update x i xᵢ) ∂μ i ∂μ
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x + dt) v (t₀ - dt)
⊢ γ = (γ ∘ fun x => x + dt) ∘ fun x => x + -dt
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ ⨅ r, ρ (s ×ˢ Set.Iic ↑↑r) = ρ (s ×ˢ Set.Iic ↑t)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]
⊢ ((taylor r) f).coeff 1 = eval r (derivative f)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
h : EMetric.diam s ≠ ⊤
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ dist x y ≤ diam s
R : Type u
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
I✝ J K L : Ideal R
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
I : ι → R
hI : ∀ (i j : ι), i ≠ j → IsCoprime (I i) (I j)
⊢ ⨅ i, span {I i} = span {∏ i : ι, I i}
p : ℕ
⊢ Nat.rec (unpair p).1 (fun y IH => IH + 1) (unpair p).2 = (unpair p).1 + (unpair p).2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
⊢ (X * p).content = p.content
G : Type u_1
AddGroup G
H K L : AddSubgroup G
hHK : H ≤ K
hKL : K.relindex L = 0
⊢ H.relindex L = 0
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
Y : C
⊢ (MonoidalCategory.leftUnitor (F.obj Y)).hom = MonoidalCategory.whiskerRight (asIso (terminalComparison F)).inv (F.obj Y) ≫ (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) (𝟙_ C) Y ≫ F.map (MonoidalCategory.leftUnitor Y).hom
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y : α
hy : x ≠ y
hx : x ∉ l
h : optParam (x ∈ y :: l ++ [x]) ⋯
⊢ (y :: l ++ [x]).next x h = y
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
y : ↥S
⊢ f.toMap ↑y * ↑((IsUnit.liftRight (f.toMap.restrict S) ⋯) y)⁻¹ = 1
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ = 0
⊢ (⇑f)^[k] ⟨x, hx⟩ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hfu : UniformIntegrable f p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)
hgunif : UniformIntegrable g p μ
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
x : α
hx : f i x = Exists.choose ⋯ x
⊢ {x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i) x = {x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i) x
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedField R
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace R M
inst✝⁴ : NormedSpace R N
inst✝³ : NormedSpace R G
inst✝² : NormedAddCommGroup M'
inst✝¹ : NormedSpace R M'
f : M →L[R] N
g : N →L[R] G
c : R
inst✝ : Subsingleton M
f' : M →L[R] N
x : M
⊢ ‖0 x‖ = ‖x‖
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : Tendsto (Box.lower ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.lower)
hJu : Tendsto (Box.upper ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.upper)
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)
α : Type u_1
M : Type u_13
Zero M
P : α → Prop
DecidablePred P
f : α →₀ M
hf : ∀ a ∈ f.support, P a
⊢ (Finsupp.subtypeDomain P f).extendDomain = f
n✝ b b' : ℕ
h : b' % b = 1
n : ℕ
⊢ n ≡ (b'.digits n).sum [MOD b]
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
L : Type u_4
Field L
C : Type u_5
CommRing C
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
Algebra C L
IsIntegralClosure C A L
Algebra A C
IsScalarTower A C L
Algebra.IsSeparable K L
⊢ IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid C A⁰) L
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
S : Set (Set α)
hs : S.Countable
hd : S.Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ)
h : ∀ s ∈ S, MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ μ (⋃₀ S) = ∑' (s : ↑S), μ ↑s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
⊢ UniformConvexOn s φ (-f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
e : X ≅ Y
hX : F.obj X = G.obj X
hY : F.obj Y = G.obj Y
h₂ :
  F.map e.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map e.hom) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
⊢ F.map e.inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map e.inv) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
G : Type u_3
DivInvMonoid G
x : G
⊢ ConjAct.toConjAct x⁻¹ = (ConjAct.toConjAct x)⁻¹
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ m s ≤ m t
f : ℕ → ℕ → ℕ
hf : Nat.Primrec' fun v => f v.head v.tail.head
n : ℕ
g h : Mathlib.Vector ℕ n → ℕ
hg : Nat.Primrec' g
hh : Nat.Primrec' h
⊢ Nat.Primrec' fun v => f (g v) (h v)
I : Type u
X : I → TopCat
⊢ CategoryTheory.Functor.pi' (proj X) ⋙ piToPiTop X = 𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of ((i : I) → ↑(X i))))
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
⊢ |↑t - ↑v.t₀| ≤ v.tDist
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : Type u_2
MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
NormedDivisionRing β
BorelSpace β
hXY : ProbabilityTheory.IndepFun X Y μ
hX : MeasureTheory.Integrable X μ
hY : MeasureTheory.Integrable Y μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (X * Y) μ
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
h✝ : abv.IsAdmissible
A : Fin (h✝.card ε ^ Fintype.card ι).succ → ι → R
e : ι ≃ Fin (Fintype.card ι) := Fintype.equivFin ι
i₀ i₁ : Fin (h✝.card ε ^ Fintype.card ι).succ
ne : i₀ ≠ i₁
h : ∀ (k : Fin (Fintype.card ι)), ↑(abv (A i₁ (e.symm k) % b - A i₀ (e.symm k) % b)) < abv b • ε
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : ι), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
G : Type u
TopologicalSpace G
Neg G
self : ContinuousNeg G
⊢ Continuous fun a => -a
h : Summable ({p | Nat.Prime p}.indicator fun n => 1 / ↑n)
k : ℕ
hk : ∑' (x : ℕ), ({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator (fun n => 1 / ↑n) x < 1 / 2
h' : Summable (({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator fun n => 1 / ↑n)
p : ℕ
hp : p ∈ (4 ^ (k.primesBelow.card + 1)).succ.primesBelow \ k.primesBelow
⊢ 1 / ↑p = ({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator (fun n => 1 / ↑n) p
α : Type u
⊢ Multiplicative.toAdd.symm = Multiplicative.ofAdd
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
c : R
⊢ (A.updateRow i (A i + c • A j)).det = A.det
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
(i : ι) → MetricSpace (E i)
x y : (i : ι) × E i
h : dist x y < 1
⊢ x.fst = y.fst
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype m
i : n
j : m
c : α
x : m → α
⊢ (∑ x_1 : m, if i = i ∧ j = x_1 then c * x x_1 else 0) = Function.update 0 i (c * x j) i
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
γ : Sort u_1
Nonempty β
SemilatticeSup β
u : β → α
p : γ → Prop
s : γ → Set (α × α)
H : (𝓤 α).HasBasis p s
⊢ CauchySeq u ↔ ∀ (i : γ), p i → ∃ N, ∀ n ≥ N, (u n, u N) ∈ s i
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : InjectiveResolution X
Q : InjectiveResolution Y
φ : P.cocomplex ⟶ Q.cocomplex
comm : P.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ Q.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ F.map f ≫ Q.toRightDerivedZero' F = P.toRightDerivedZero' F ≫ HomologicalComplex.cyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
a : G₀
h : Tendsto Inv.inv (𝓝 1) (𝓝 1)
x : G₀
hx : x ≠ 0
hx' : x⁻¹ ≠ 0
⊢ Tendsto ((fun x_1 => x_1 * x⁻¹⁻¹) ∘ Inv.inv ∘ fun x_1 => x * x_1) (𝓝 1) (𝓝 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hm : Antitone s
hf : ∃ i, μ (s i) ≠ ⊤
⊢ Tendsto (⇑μ ∘ s) atTop (𝓝 (⨅ i, μ (s i)))
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f - g) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
⊢ log (2 / (1 - 2 / rexp 1)) * (69 / 50) ≤ √(log ↑N)
α : Type u_1
NonAssocSemiring α
n : ℕ
a : α
⊢ n • a = ↑n * a
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.offDiag ⊆ s ×ˢ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set α
f : α → β
hs : CompactSpace ↑s
hf : Continuous (s.restrict f)
⊢ UniformContinuous (s.restrict f)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i k₀ : ι
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
hk₀' : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₀
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
⊢ C.d k₀ (c.next k₀) ≫ hom (c.next k₀) k₀ + hom k₀ (c.prev k₀) ≫ D.d (c.prev k₀) k₀ = 0
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : ι ≃ κ
f : Π₀ (k : κ), β (h.symm k)
k : κ
⊢ (comapDomain' ⇑h.symm ⋯ ((fun f => mapRange (fun i => ⇑(Equiv.cast ⋯)) ⋯ (comapDomain' ⇑h ⋯ f)) f)) k = f k
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ↑(MulOpposite.opLinearEquiv R) = MulOpposite.opAddEquiv
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
⊢ (UpperSet.map f).symm = UpperSet.map f.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set α
H : Nonempty α
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤
x : ι
m : x ∈ t
⊢ t.Nonempty
α : Type u_2
β : Type u_3
InfSet α
InfSet β
f : sInfHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
R : Type u
Nontrivial R
Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
⊢ Polynomial.X ^ n + Polynomial.C a ≠ 0
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ m ∣ ↑n ↔ m.natAbs ∣ n
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3
⊢ log 2 * 2 ≤ √(log 8)
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
Subsingleton M
x y : M
⊢ SameRay R x y
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ cos (angle x y) = -1 ↔ angle x y = π
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] c, DifferentiableAt ℂ f z
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹
⊢ Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 (limUnder (𝓝[≠] c) f))
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder β
f : α → β
l : Filter α
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
c : β
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≤ c
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_3
φ : Type u_4
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
OmegaCompletePartialOrder γ
OmegaCompletePartialOrder φ
f : γ →𝒄 φ
g : β →𝒄 γ
h : α →𝒄 β
⊢ f.comp (g.comp h) = (f.comp g).comp h
G : Type u_1
AddGroup G
a x y : G
⊢ AddSemiconjBy (-a) y x ↔ AddSemiconjBy a x y
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D : Type u_4
I₁ : Type u_5
I₂ : Type u_6
I₃ : Type u_7
J : Type u_8
inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁
inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃
inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D
inst✝¹¹ : Zero I₂
inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂
inst✝⁹ : HasInitial C₂
F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁
F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃
G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D
associator : bifunctorComp₁₂ F₁ G ≅ bifunctorComp₂₃ G F₂
X₂ : C₂
e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁
e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃
inst✝⁸ : (X₁ : C₁) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₁.obj X₁)
inst✝⁷ : (X₃ : C₃) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₂.flip.obj X₃)
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
τ : TriangleIndexData r π
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝⁶ : (((mapBifunctor F₁ I₁ I₂).obj X₁).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).HasMap τ.p₁₂
inst✝⁵ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂))).obj X₃).HasMap π
inst✝⁴ : (((mapBifunctor F₂ I₂ I₃).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).obj X₃).HasMap τ.p₂₃
inst✝³ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj F₂ τ.p₂₃ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃)).HasMap π
inst✝² : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁ G τ.ρ₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝¹ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj G F₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj X₃).HasMap π
triangle : ∀ (X₁ : C₁) (X₃ : C₃), ((associator.hom.app X₁).app X₂).app X₃ ≫ (G.obj X₁).map (e₂.hom.app X₃) = (G.map (e₁.hom.app X₁)).app X₃
j : J
i₁ : I₁
i₃ : I₃
hj : π (i₁, i₃) = j
⊢ (G.map ((F₁.obj (X₁ i₁)).map (singleObjApplyIso 0 X₂).hom)).app (X₃ i₃) ≫ ((associator.hom.app (X₁ i₁)).app X₂).app (X₃ i₃) = ((associator.hom.app (X₁ i₁)).app ((single₀ I₂).obj X₂ 0)).app (X₃ i₃) ≫ (G.obj (X₁ i₁)).map ((F₂.map (singleObjApplyIso 0 X₂).hom).app (X₃ i₃))
X : Type u_1
Y : Sort u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
⊢ Embedding (toPullbackDiag f)
α : Type u
a : α
l l₁ l₂ : List α
h : l.split = (l₁, l₂)
⊢ (a :: l).split = (a :: l₂, l₁)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inl 0 0 ≫ (CategoryTheory.Limits.pushoutZeroZeroIso X Y).hom =
  CategoryTheory.Limits.coprod.inl
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
ha : a ≠ 0
c : R
⊢ (C a * X + C c).nextCoeff = c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X Y : C
σ : F ⟶ G
f : X ⟶ Y
x : F.obj X
⊢ σ.app Y (F.map f x) = G.map f (σ.app X x)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
x x✝ : E
⊢ x✝ ∈ -p.ball x r ↔ x✝ ∈ p.ball (-x) r
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
⊢ ∀ (a : ↑(CategoryTheory.Limits.KernelFork.ofι (AddMonoidHom.ker f).subtype ⋯).pt),
  (AddCommGrp.kernelIsoKerOver f).inv.left a =
    (CategoryTheory.Limits.limit.lift (CategoryTheory.Limits.parallelPair f 0)
        (CategoryTheory.Limits.KernelFork.ofι (AddMonoidHom.ker f).subtype ⋯))
      a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
x : α
y : β
s t : Set β
h : ContinuousWithinAt f (f ⁻¹' s) x
ht : t ∈ 𝓝[s] f x
hxy : y = f x
⊢ f ⁻¹' t ∈ 𝓝[f ⁻¹' s] x
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₃ : M₃
⊢ (TensorProduct.prodRight R M₁ M₂ M₃) (m₁ ⊗ₜ[R] (m₂, m₃)) = (m₁ ⊗ₜ[R] m₂, m₁ ⊗ₜ[R] m₃)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α × β → E
hf : Integrable f (μ ⊗ₘ κ)
⊢ ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂(Kernel.prodMkLeft Unit κ) ((), x) ∂(Kernel.const Unit μ) () = ∫ (a : α), ∫ (b : β), f (a, b) ∂κ a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s✝ t : Set α
a b : α
f : β → α
s : Set β
H : BddAbove (f '' s)
Hne : s.Nonempty
⊢ IsLUB (f '' s) (⨆ i, f ↑i)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
⊢ MDifferentiableAt I I' f x ↔ ContinuousAt f x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
⊢ sx₁.circumradius = sx₂.circumradius
α : Type u_1
β : Type u_2
Pow α β
a : α
b : β
⊢ a ^ toLex b = a ^ b
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n => ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
L : R
n : ℕ
hL : f n - L ∈ I ^ n
⊢ (1 - x * y) * f n - 1 ∈ I ^ n
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
h : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
⊢ μ ^ (↑h.choose).val = f μ
G : Type u_1
TopologicalSpace G
LocallyCompactSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
⊢ Continuous fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hm : m ≠ 0
⊢ (filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts).card * m + b * (m + 1) = ∑ i ∈ (equitabilise h).parts, i.card
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅y, ⁅x, z⁆⁆
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E
⊢ gauge (-s) x = gauge s (-x)
α : Type u_1
Primcodable α
n : ℕ
⊢ Computable Mathlib.Vector.head
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ =
  AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.op ⋙ AlgebraicGeometry.SheafedSpace.Γ
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H
⊢ Tendsto (fun a => a⁻¹) (𝓟 (Ici a)) (𝓟 (Iic a⁻¹))
α : Type u
BEq α
LawfulBEq α
a : α
as : List α
h : a ∈ as
⊢ List.elem a as = true
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x ≤ y
ht : ∀ y ∈ t, ∃ x ∈ s, y ≤ x
⊢ sSup s = sSup t
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommGroup M
AddCommGroup N
f : M → N
x y : M
⊢ f (x + y) = f x + f y + QuadraticMap.polar f x y
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal (MvPolynomial σ R)
p : MvPolynomial σ R
hcoe : ∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m p ∈ Ideal.comap C I
⊢ ∑ v ∈ p.support, (monomial v) (coeff v p) ∈ I
G : Type u_1
AddGroup G
A A' B : AddSubgroup G
hA : A ≤ B
hA' : A' ≤ B
⊢ (A ⊔ A').addSubgroupOf B = A.addSubgroupOf B ⊔ A'.addSubgroupOf B
α : Type u
a b : α
n : ℕ
l : List α
⊢ n ≤ l.length → (a ∈ List.insertNth n b l ↔ a = b ∨ a ∈ l)
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
Nonempty ι
Nonempty ι'
f : ι → ℝ≥0∞
g : ι' → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), f i + g j ≤ a
⊢ iSup f + iSup g ≤ a
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
⊢ Function.Injective Subalgebra.toSubring
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η : P ⟶ Q
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp η (J.toPlus Q) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (J.toPlus P) (J.plusMap η)
x y : ℤ[i]
hy : y ≠ 0
⊢ (norm x).natAbs ≤ (norm x).natAbs * (norm y).natAbs
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') s x
A : f = ⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x