ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_5
α : ι → Type u_6
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → Add (α i)
s t : (i : ι) → Finset (α i)
⊢ (Fintype.piFinset fun i => s i + t i) = Fintype.piFinset s + Fintype.piFinset t
R : Type u_1
M : Type u_3
AddCommMonoid M
Semiring R
Module R M
α : Type u_4
Unique α
m : M
⊢ (Finsupp.LinearEquiv.finsuppUnique R M α).symm m = Finsupp.single default m
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P Q : C → Prop
CategoryTheory.ClosedUnderIsomorphisms Q
⊢ CategoryTheory.isoClosure P ≤ Q ↔ P ≤ Q
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
f : ((n : ℕ) → E n) → α
⊢ (∀ (x y : (n : ℕ) → E n), dist (f x) (f y) ≤ dist x y) ↔
  ∀ (x y : (n : ℕ) → E n) (n : ℕ), y ∈ PiNat.cylinder x n → dist (f x) (f y) ≤ (1 / 2) ^ n
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ : AddChar A M
f : A →+ B
hf : Surjective ⇑f
ψ χ : AddChar B M
h : ⇑((fun ψ => ψ.compAddMonoidHom f) ψ) = ⇑((fun ψ => ψ.compAddMonoidHom f) χ)
⊢ ⇑ψ = ⇑χ
G : Type u_2
AddGroup G
S : Set (AddSubgroup Gᵃᵒᵖ)
⊢ (sSup S).unop = sSup (AddSubgroup.op ⁻¹' S)
X : Type u_3
Z : Type u_5
MeasurableSpace X
StandardBorelSpace X
MeasurableSpace Z
MeasurableSpace.CountablySeparated Z
f : X → Z
hf : Measurable f
hsurj : Function.Surjective f
⊢ MeasurableSpace.map f inst✝ = inst✝¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
J : Type w
F : CategoryTheory.Discrete J ⥤ CategoryTheory.Over B
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Over.ConstructProducts.conesEquivInverseObj B F c).pt = c.pt.left
L : Type u_1
TopologicalSpace L
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
SemilatticeSup L
ContinuousSup L
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, Filter.Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
⊢ Filter.Tendsto (fun a => s.sup' hne fun x => f x a) l (𝓝 (s.sup' hne g))
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a✝ : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
hts : t ⊆ s
a : α
⊢ a ∈ (filter (fun u => u ⊆ t ∧ u.Nonempty) (atomise s F).parts).biUnion id ↔ a ∈ t
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : N ⊗[R] M
⊢ (rTensor M id) x = x
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
⊢ ↑{a, b} = {a, b}
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
X Y : D
f : X ⟶ Y
this : L.mapArrow.EssSurj
φ : Arrow C
e : L.mapArrow.obj φ ≅ Arrow.mk f
Z : C
g : (𝟭 C).obj φ.right ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj ((𝟭 C).obj φ.left)
H : Triangle.mk φ.hom g h ∈ distinguishedTriangles
⊢ Triangle.mk f (e.inv.right ≫ L.map g) (L.map h ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app ((𝟭 C).obj φ.left) ≫ (shiftFunctor D 1).map e.hom.left) ≅ L.mapTriangle.obj (Triangle.mk φ.hom g h)
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
⊢ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ + a₂ } { as := a₃ }).inv.app X ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μ (MonoidalCategory.tensorObj { as := a₁ } { as := a₂ }) { as := a₃ }).app X ≫ eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } (MonoidalCategory.tensorObj { as := a₂ } { as := a₃ })).inv.app X ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₂ } { as := a₃ }).inv.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₁ }).obj X) = (eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } { as := a₂ + a₃ }).inv.app X) ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₂ } { as := a₃ }).inv.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₁ }).obj X)
α : Type u
s : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ s = ∅ ∨ ∃ x, s = {x}
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
S : Set G
hS : S ∈ Subgroup.leftTransversals ↑H
g : G
⊢ (↑(Subgroup.MemLeftTransversals.toFun hS g))⁻¹ * g ∈ H
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ x ^ y < 1 ↔ x = 0 ∧ y ≠ 0 ∨ 1 < x ∧ y < 0 ∨ x < 1 ∧ 0 < y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q✝ f g q r : R[X]
hg : g.Monic
h : r + g * q = f ∧ r.degree < g.degree
a✝ : Nontrivial R
⊢ f /ₘ g = q ∧ f %ₘ g = r
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E2
⊢ (E1 ⊔ E2).toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra
δ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : δ → α → β → δ
init : δ
l : Batteries.AssocList α β
⊢ Batteries.AssocList.foldl f init l =
  List.foldl
    (fun d x =>
      match x with
      | (a, b) => f d a b)
    init l.toList
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose
⊢ ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ f (fract x) - fract x = f x - x
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
hs : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)
u v : Set ((i : ι) → π i)
uo : IsOpen u
vo : IsOpen v
hsuv : univ.pi s ⊆ u ∪ v
f : (i : ι) → π i
hfs : f ∈ univ.pi s
hfu : f ∈ u
g : (i : ι) → π i
hgs : g ∈ univ.pi s
hgv : g ∈ v
I : Finset ι
hI : I.piecewise f g ∈ u
⊢ (univ.pi s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
a : EReal
⊢ a * 0⁻¹ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
f : α → β
hf : ∀ (i : ι), InjOn f (s i)
x : α
hx : x ∈ ⋃ i, s i
y : α
hy : y ∈ ⋃ i, s i
hxy : f x = f y
⊢ x = y
α : Type u_1
n : Nat
f : α → Fin n → α
x : α
⊢ foldl n f x = List.foldl f x (list n)
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ ys : List α
h✝ : xs✝ <+ ys
xs : List α
n : ℕ
l₂✝ : List α
a : α
h : xs <+ l₂✝
⊢ List.sym (n + 1) xs <+ List.sym (n + 1) l₂✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝² : AddMonoid α
inst✝¹ : Group γ
inst✝ : DistribMulAction γ α
h : Periodic f c
a : γ
x : α
⊢ (fun x => f (a • x)) (x + a⁻¹ • c) = (fun x => f (a • x)) x
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit F ↔ CategoryTheory.Limits.HasInitial (CategoryTheory.Limits.Cocone F)
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
s : Set G
MeasurableInv G
μ' ν' : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite μ'
MeasureTheory.SigmaFinite ν'
μ'.IsMulLeftInvariant
ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
⊢ μ' = (μ' s / ν' s) • ν'
α : Type u_1
Preorder α
a b₁ b₂ : α
h : b₁ ≤ b₂
⊢ Set.Icc a b₁ ⊆ Set.Icc a b₂
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
⊢ Continuous ↑(PartialHomeomorph.univBall c r)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : Module R N₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Preorder P
inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ (∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ Q₁ a + Q₂ b) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i✝ i : ℕ
f : E → F
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 i (-f) x = -iteratedFDeriv 𝕜 i f x
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Monoid G
AddCommMonoid V
Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
⊢ ρ.asAlgebraHom (Finsupp.single g 1) = ρ g
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ IsClosed (Ici 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Simple Y
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
w : CategoryTheory.IsIso f → False
⊢ f = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
⊢ coclosedCompact X ≤ cocompact X
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f₁ f₂ : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Localization.Preadditive.add' W (L.map f₁) (L.map f₂) = L.map (f₁ + f₂)
R : Type x
NonUnitalNonAssocRing R
a b c : R
⊢ Commute a b → Commute a c → Commute a (b - c)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
k : ℕ
⊢ LieAlgebra.derivedSeries R L k ≤ LieModule.lowerCentralSeries R L L k
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
j : J
⊢ (lambda c t ≫ T.ε.app c.pt) ≫ c.π.app j = 𝟙 c.pt ≫ c.π.app j
R : Type u_1
B : Type u_3
CommRing R
Ring B
Algebra R B
x : B
hx : IsIntegral R x
⊢ (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x})).FG
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
s : ↥S
m : M
⊢ LocalizedModule.mk m s = mk' (LocalizedModule.mkLinearMap S M) m s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ ‖f‖ = SimpleFunc.integral μ (SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc f))
α β : Type u
f : α → β
x y : FreeAbelianGroup α
⊢ f <$> (x + y) = f <$> x + f <$> y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
x y : (i : ι) → α i
Nonempty ι
⊢ (Set.univ.pi fun i => Set.Ico (x i) (y i)) ⊆ Set.Ico x y
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
x : α × β
a : α
b : β
m n : ℕ
⊢ minimalPeriod f x.1 ∣ minimalPeriod (Prod.map f g) x
b o : Ordinal.{u_1}
⊢ foldr (fun p r => b ^ p.1 * p.2 + r) 0 (CNF b 0) = 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, 0 ≤ 1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn ↑n
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
e : α
hI : M.Basis' I X
he : e ∈ X
hIe : M.Indep (insert e I)
⊢ e ∈ I
α : Type u_1
xs : List (List α)
⊢ FreeMonoid.ofList xs.join = (List.map (⇑FreeMonoid.ofList) xs).prod
ι : Type u_1
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsModularLattice α
IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Set.Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
⊢ ComplementedLattice α
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
Field F
Field E
Field K
Algebra F E
Algebra F K
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Polynomial.Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
⊢ Nonempty (E →ₐ[F] K)
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set β
a : α
⊢ s.Nonempty → (a • s).Nonempty
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
hn : 2 < n
h : ↑n ≠ 0
⊢ 2 ≤ n ^ 2 - if Even n then 4 else 1
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E → F
C : ℝ≥0
⊢ LipschitzWith C f ↔ ∀ (x y : E), ‖f x / f y‖ ≤ ↑C * ‖x / y‖
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
a b x : α
ha : a < x
hb : x < b
⊢ Set.Ioo a b ∈ 𝓝 x
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
i : ι
x : ↥(ℳ i)
⊢ (DirectSum.decompose ℳ).symm ((DirectSum.of (fun i => ↥(ℳ i)) i) x) = ↑x
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
h : (Finset.image₂ f s t).Nonempty
⊢ t.Nonempty
a : Cardinal.{u_1}
⊢ 0 ≤ a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
⊢ IntegrableOn g' (Ioc a b) volume
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp ℝ p μ)
⊢ ↑↑(MeasureTheory.Lp.posPart f) =ᵐ[μ] fun a => max (↑↑f a) 0
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
⊢ ⋃ i, ⋃ j, s i j ⊆ t ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), s i j ⊆ t
d : ℤ
hd : d ≤ 0
n : ℤ√d
⊢ 0 ≤ -(d * n.im * n.im)
α : Type u_1
β δ : Type
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
C : Levenshtein.Cost α β δ
xs : List α
ys : List β
self : LevenshteinEstimator' C xs ys
⊢ self.distances = suffixLevenshtein C xs self.suff
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
hp : p ∈ e.source
this : UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (s ×ˢ univ) (↑e p)
y : TotalSpace F Z
hy : y ∈ e.symm.target
hys : (↑e.symm.symm y).1 ∈ s
⊢ y ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
⊢ Isometry f ↔ ∀ (x y : α), nndist (f x) (f y) = nndist x y
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.RespectsIso
X Y S : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
h : P.diagonal g
⊢ P ((Over.pullback f).map (Over.homMk (pullback.diagonal g) ⋯)).left
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a⁻¹ ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Balanced C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
CategoryTheory.Epi f
⊢ CategoryTheory.IsIso f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
t : α → Set β
s₁ s₂ : Set α
⊢ s₁ ⊆ s₂ ∪ s₁
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → β → α
S : Set β
hA : UniformEquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) S
hu : Continuous (S.restrict ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
x y : β
hxy : ∀ (x_1 : Y) (h : x_1 ∈ A), ((u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ (x, y).1, (u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ (x, y).2) ∈ V
hxS : (x, y).1 ∈ S
hyS : (x, y).2 ∈ S
⊢ ∀ (x_1 : Y) (h : x_1 ∈ closure A), ((u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ (x, y).1, (u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ (x, y).2) ∈ U
α : Type u_3
Inf α
Top α
⊢ ⇑(InfTopHom.id α) = id
A : Type u_7
A' : Type u_8
AddGroup A
AddGroup A'
f : A →+ A'
⊢ (AddMonoidHom.toMultiplicative f).range = AddSubgroup.toSubgroup f.range
α : Type u_1
f : Char → α → α
l m r : List Char
a : α
⊢ String.foldrAux f a { data := l ++ m ++ r } { byteIdx := String.utf8Len l + String.utf8Len m }
    { byteIdx := String.utf8Len l } =
  List.foldr f a m
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a b : α
⊢ a ≠ b → a - b ≠ 0
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
⊢ ⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y)) + dist f g
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
ha : (∀ (o : Set Ordinal.{u}), IsOpen o → a ∈ o → (o ∩ s).Nonempty) ∧ ∀ (o : Set Ordinal.{u}), IsOpen o → a ∈ o → (o ∩ sᶜ).Nonempty
h : IsOpen {a}
b : Ordinal.{u}
hb : b ∈ {a}
hb' : b ∈ s
⊢ False
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝² : Frame α
s t : Set α
a b : α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → α
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ (⨆ i, f i) ⊓ ⨆ i, g i ≤ ⨆ i, f i ⊓ g i
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : AddGroup β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : DecidableEq β
a : α
s : Finset α
t : Finset β
⊢ s • image (fun x => -x) t = image (fun x => -x) (s • t)
R : Type u_1
Semiring R
P : Polynomial R
⊢ IsNilpotent (P * Polynomial.X) ↔ IsNilpotent P
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Set.Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + Real.log y
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
⊢ Filter.Tendsto (Real.BohrMollerup.logGammaSeq x) Filter.atTop (𝓝 (f x - f 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
b : β
hf : ∀ (b' : β), b' ≠ b → f b' = 0
⊢ ∑' (b : β), f b = f b
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U = ⨆ i, ↑↑i
h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U
n : ↑s → ℕ
hn : ∀ (i : ↑s), (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n i * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x = 0
this : Finite ↑s
val✝ : Fintype ↑s
⊢ ∃ n, f ^ n * x = 0
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ (Set.Ici a).Nonempty
α : Type u
b : Ultrafilter α
⊢ Filter.Tendsto pure (↑b) (𝓝 b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : ContinuousWithinAt f (Ioi x) x
h'x : ContinuousWithinAt f (Iio x) x
⊢ ContinuousAt f x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
y : 𝕜'
hg : HasStrictDerivAt g₁ g₁' y
hh : HasStrictDerivAt h h' x
hy : y = h x
⊢ HasStrictDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
V : Type u_18
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
f : M → 𝕜
g : M → V
hf : SmoothOn I 𝓘(𝕜, 𝕜) f s
hg : SmoothOn I 𝓘(𝕜, V) g s
⊢ SmoothOn I 𝓘(𝕜, V) (fun p => f p • g p) s
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0
hc : a0 % 2 = 1
h1 : 0 < c0
⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1 ∧ 0 < c0
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
hspec : map (Int.castRingHom ℂ) (X - 1) = cyclotomic' 1 ℂ
⊢ X - 1 = map (Int.castRingHom R) (X - 1)
R : Type u_9
M : Type u_10
Semiring R
CharZero R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
v : M
⊢ v ≠ -v ↔ v ≠ 0
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPoly p n) = frobeniusPolyRat p n
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s✝ : Set (Sym2 V)
s : Set (Sym2 ↑G'.verts)
v : V
hv : v ∈ G'.verts
w : V
hw : w ∈ G'.verts
⊢ (G'.coe.deleteEdges s).Adj ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩ ↔ (G'.deleteEdges (Sym2.map Subtype.val '' s)).coe.Adj ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
LocalRing R
CommRing S
LocalRing S
CommRing T
LocalRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
x : LocalRing.ResidueField R
IsLocalRingHom f
IsLocalRingHom g
⊢ (LocalRing.ResidueField.map g) ((LocalRing.ResidueField.map f) x) = (LocalRing.ResidueField.map (g.comp f)) x
⊢ MDifferentiable 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) UpperHalfPlane.coe
α : Type u_1
β : Type u_2
Subsingleton β
⊢ Function.Injective Prod.fst
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
⊢ (fun x => a - x) '' Icc b c = Icc (a - c) (a - b)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
⊢ u ∈ (s ∩ t).powerset ↔ u ∈ s.powerset ⊼ t.powerset
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
f : α → Set (Set α)
s : Set α
h : v.FineSubfamilyOn f s
⊢ h.index.PairwiseDisjoint h.covering
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₁.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₁.f ⋯)
hf' : f' ≫ i = S₁.f
⊢ S₁.LeftHomologyData
R : Type u
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : Nontrivial R
x : R
hx : IsRegular x
⊢ 0 < x * star x