ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.mgf (-X) μ t = ProbabilityTheory.mgf X μ (-t)
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
α : Type u
a : m α
⊢ joinM (pure <$> a) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Setoid α)
⊢ {x | ∀ ⦃a : Setoid α⦄, a ∈ S → ∀ {x_1 y : α}, a.Rel x_1 y → x.Rel x_1 y} = {s | ∀ ⦃x y : α⦄, ∀ x_1 ∈ S, x_1.Rel x y → s.Rel x y}
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set (Sym2 ↑G'.verts)
⊢ G'.coe.deleteEdges s = (G'.deleteEdges (Sym2.map Subtype.val '' s)).coe
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedDivisionRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CharZero 𝕂
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (-x) = (NormedSpace.exp 𝕂 x)⁻¹
K : Type u_1
Field K
⊢ ⟨1, ⋯⟩ = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset β
a : α
⊢ (a • s).Nonempty ↔ s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ (μ.toSignedMeasure.toMeasureOfZeroLE univ ⋯ ⋯) i = μ i
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
self : Module.IsReflexive R M
⊢ Function.Bijective ⇑(Module.Dual.eval R M)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
ι : Type u_1
Fintype ι
E' : ι → Type u_2
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
φ : 𝕜 → (i : ι) → E' i
φ' : (i : ι) → E' i
⊢ HasDerivAtFilter φ φ' x L ↔ ∀ (i : ι), HasDerivAtFilter (fun x => φ x i) (φ' i) x L
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
⊢ ‖f z‖ ≤ C
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ CategoryTheory.Abelian.coimageImageComparison f = CategoryTheory.Abelian.coimageImageComparison' f
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
e : β → γ
l : Filter α
hm : ∀ (b₁ b₂ : β), e b₁ ≤ e b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
hu : ∀ (c : γ), ∃ b, e b ≤ c
⊢ Filter.Tendsto (e ∘ f) l Filter.atBot ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
m : M
r : R
⊢ (decomposeAux f) (Finsupp.single m r) = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩
K : Type u_1
inst✝ : Field K
p : K[X]
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
⊢ (p * C p.leadingCoeff⁻¹).natDegree ≤ 3
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝¹ : Archimedean 𝕜
inst✝ : TopologicalSpace B
f : 𝕜 → B
hf : f a = f (a + p)
hc : ContinuousOn f (Icc a (a + p))
⊢ Continuous (Quot.lift ((Icc a (a + p)).restrict f) ⋯ ∘ ⇑(equivIccQuot p a))
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Antitone fun x => Set.Ioi (f x)
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑S
x : ↑R
⊢ (((stalkIso (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)).inv ≫ PresheafedSpace.Hom.stalkMap (Spec.sheafedSpaceMap f) p) ≫ (stalkIso (↑S) p).hom) ((algebraMap (↑R) (Localization.AtPrime ((PrimeSpectrum.comap f) p).asIdeal)) x) = (algebraMap (↑S) (Localization.AtPrime p.asIdeal)) (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a t : α
ts is : List α
IH1 : ∀ (l : List α), l ~ t :: is ++ ts → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ t :: is), l = is' ++ ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is)
IH2 : ∀ (l : List α), l ~ [] ++ is → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ []), l = is' ++ is) ∨ l ∈ is.permutationsAux []
l : List α
p : l ~ is ++ t :: ts
is' : List α
p' : is' ~ t :: is
e : l = is' ++ ts
⊢ (∃ is', ∃ (_ : is' ~ is), l = is' ++ t :: ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is) ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ is.permutations ∧ l₂ ≠ [] ∧ l = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
A : Set X
a : X
⊢ IsClosed ({a} ∩ A)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
⊢ ↑0 = 0
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Multiset α
⊢ normalize s.lcm = s.lcm
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
disc : TotallyDisconnectedSpace X
x y : X
h : ∀ (Q : DiscreteQuotient X), Q.proj x = Q.proj y
U : Set X
hU1 : IsClopen U
hU2 : y ∈ U
⊢ x ∈ ↑⟨U, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
f : α → β
p : Set β → Prop
s : Set β
HasCountableSeparatingOn β p s
hs : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ s
hne : s.Nonempty
h : ∀ (U : Set β), p U → (∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ U) ∨ ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∉ U
⊢ ∃ a ∈ s, f =ᶠ[l] Function.const α a
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
x y : Associates ↥(nonZeroDivisors R)
⊢ ↑↑((Ideal.associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) (x * y)) =
  ↑↑((Ideal.associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) x) * ↑↑((Ideal.associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) y)
α : Sort u
β : Sort v
F : Sort u_1
EquivLike F α β
e : F
⊢ ⇑↑e = ⇑e
α : Type u_1
Ω : Type u_2
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
mγ : MeasurableSpace γ
mγ' : MeasurableSpace γ'
φ : β → γ
ψ : β' → γ'
hfg : ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun f g κ μ
hφ : Measurable φ
hψ : Measurable ψ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (φ ∘ f) (ψ ∘ g) κ μ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R✝ : ℝ
c x : P
R : ℝ
hx : x ≠ c
⊢ dist (inversion c R x) c = R ^ 2 / dist x c
P : Type u_1
Preorder P
IF : Order.Ideal.PrimePair P
⊢ ↑IF.F ∪ ↑IF.I = Set.univ
α : Type u
β : α → Type v
s t : Finmap β
⊢ s = t ↔ s.entries = t.entries
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
⊢ ↑(Pi.basisFun ℝ ι).parallelepiped = uIcc (fun i => 0) fun i => 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.35536, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
⊢ IsZero (CokernelCofork.ofπ h.π ⋯).pt
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
c d : C
p : c ⟶ d
⊢ BijOn (fun γ => Groupoid.inv p ≫ γ ≫ p) (S.arrows c c) (S.arrows d d)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsPathConnected (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsPathConnected s
R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
a : A
r : R
r_mem : r ∈ p.roots
r_nu : ¬IsUnit (a - ↑ₐ r)
⊢ ∃ k ∈ σ a, eval k p = 0
α : Type u_1
Add α
a b : Lex α
⊢ ofLex (a + b) = ofLex a + ofLex b
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
⊢ ∫ (v : EuclideanSpace ℝ ι), cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ) = (↑π / b) ^ (↑(Fintype.card ι) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
x y z : L
⊢ ((LieAlgebra.ad R L) x) ⁅y, z⁆ = ⁅((LieAlgebra.ad R L) x) y, z⁆ + ⁅y, ((LieAlgebra.ad R L) x) z⁆
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b c : α
h : Disjoint a b
⊢ c ≤ a ∆ c ⊔ b ∆ c
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
⊢ ∀ (a b : α), Setoid.r a b = (b * a⁻¹ ∈ s)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝² : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
a : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X
i j : α
⊢ F.map (pullback.fst (c.inj i) (c.inj j)).op (Pi.π (fun i => F.obj (op (X i))) i a) = F.map (pullback.snd (c.inj i) (c.inj j)).op (Pi.π (fun i => F.obj (op (X i))) j a)
⊢ ∀ {x : Sort u_1} {cmp : x → x → Ordering} [inst : Batteries.TransCmp cmp] {x_1 y : x},
  cmp x_1 y = Ordering.eq → cmp x_1 = cmp y
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
l : Finset α
hp : ∃! a, a ∈ l ∧ p a
⊢ Finset.choose p l hp ∈ l
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
p : MvQPF.Fix F α → Prop
h : ∀ (x : F (α ::: MvQPF.Fix F α)), MvFunctor.LiftP (α.PredLast p) x → p (MvQPF.Fix.mk x)
x : MvQPF.Fix F α
⊢ p x
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hk : 1 < k
⊢ ∑ i ∈ range k, ζ ^ i = 0
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
s : SetSemiring A
⊢ Submodule.span.ringHom s = Submodule.span R (SetSemiring.down s)
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ ⊤ ∨ b ≠ ⊤
hb : b ≠ ⊤
⊢ a - b < c → a < b + c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝¹ y z✝ x z : E
x✝ : z ∈ [x-[𝕜]x]
a b : 𝕜
left✝¹ : 0 ≤ a
left✝ : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hz : a • x + b • x = z
⊢ z ∈ {x}
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
ι : Type u_5
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S : ι → Submonoid M
⊢ Submonoid.comap f (⨆ i, Submonoid.map f (S i)) = iSup S
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
k : ℤ
hc : h.IsClassified
⊢ ⋯.IsClassified
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
J : Type u_4
i : J ≃ I
⊢ OrthogonalIdempotents (e ∘ ⇑i) ↔ OrthogonalIdempotents e
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
CommSemiring S
Algebra S R
Module S N
IsScalarTower S R N
Invertible 2
Q : QuadraticMap R M N
N' : Type u_8
AddCommGroup N'
Module R N'
f : N' →ₗ[R] M
⊢ (QuadraticMap.associatedHom S) (Q.comp f) = LinearMap.compl₁₂ ((QuadraticMap.associatedHom S) Q) f f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
inst✝¹ : f₁.NeBot
inst✝ : g₁.NeBot
h : f₁ ×ˢ g₁ = f₂ ×ˢ g₂
hle : f₁ ≤ f₂ ∧ g₁ ≤ g₂
this✝ : f₂.NeBot
this : g₂.NeBot
⊢ f₁ = f₂ ∧ g₁ = g₂
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f
x : X
hx : x ∈ s
t : Set X
ht : t ∈ 𝓝[s] x
hst : tᶜ ∈ f
⊢ sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
p : Prop
⊢ IsExtrOn f s a → (IsMinOn f s a → p) → (IsMaxOn f s a → p) → p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ℬ : (X Y : C) → CategoryTheory.Limits.LimitCone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
X Y : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.braiding (ℬ X Y).isLimit (ℬ Y X).isLimit).hom
    (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.braiding (ℬ Y X).isLimit (ℬ X Y).isLimit).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorObj ℬ X Y)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S T : AddSubmonoid M
⊢ AddSubmonoid.comap f (AddSubmonoid.map f S ⊓ AddSubmonoid.map f T) = S ⊓ T
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ IsLeast {a} a
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p q : ℝ≥0
hpq : p < q
s : Set α := {x | ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)}
o : ℕ → Set α := spanningSets (ρ + μ)
u : ℕ → Set α := fun n => s ∩ {x | v.limRatio ρ x < ↑p} ∩ o n
w : ℕ → Set α := fun n => s ∩ {x | ↑q < v.limRatio ρ x} ∩ o n
m n : ℕ
I : (ρ + μ) (u m) ≠ ⊤
J : (ρ + μ) (w n) ≠ ⊤
A : ρ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) ≤ ↑p * μ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n))
B : ↑q * μ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) ≤ ρ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n))
h : ¬μ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) = 0
⊢ ρ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) < ρ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n))
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Set R
⊢ Subsemiring.closure ↑(Submonoid.closure s) = Subsemiring.closure s
f : ℝ → ℝ
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
hf' : ∃ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, f x = 0
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, f x = 0
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''
⊢ f ((insert i t).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert i t).powerset, f (s.piecewise m m')
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderTopology α
a : α
ha : ∃ l, l < a
⊢ 𝓝[≤] a = ⨅ l, ⨅ (_ : l < a), 𝓟 (Set.Ioc l a)
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
⊢ MeasurableSet {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Ici x) x ∧ derivWithin f (Set.Ici x) x ∈ K}
a b : ℚ
⊢ TotallyBounded (Icc a b)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → β
a : α
h : a ∈ filter p s
⊢ f a = if p a then f a else 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1
⊢ Finset.centroid k Finset.univ (s.face h).points = Finset.centroid k fs s.points
⊢ ∀ (X : Scheme), Presieve.IsSheaf zariskiTopology (yoneda.obj X)
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter β
a : α
⊢ (a • f).NeBot ↔ f.NeBot
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
s : Set α
t : Set β
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
⊢ (s ×ˢ t).IsPWO
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
⊢ P.symm.Λ s + (1 / s) • P.symm.f₀ + (P.symm.ε / (↑P.symm.k - s)) • P.symm.g₀ = P.symm.Λ s + (1 / s) • P.g₀ + (P.ε⁻¹ / (↑P.k - s)) • P.f₀
α : Type u_1
Preorder α
s₁ s₂ : UpperSet α
⊢ s₁ ×ˢ s₁ < s₂ ×ˢ s₂ ↔ s₁ < s₂
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
⊢ IsOpen e.source
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
h₁ : s.Nonempty
h₂ : ∀ b ∈ s, b ≤ a
⊢ sSup s ≤ a
M : Type u_2
CommMonoid M
a b : ℕ
hab : a ≤ b
f : ℕ → M
⊢ ∏ k ∈ Finset.Ioc a (b + 1), f k = (∏ k ∈ Finset.Ioc a b, f k) * f (b + 1)
M✝ : Type u_1
inst✝² : Monoid M✝
s✝ : Set M✝
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
m : Multiset M
l : List M
hl : ∀ a ∈ ⟦l⟧, a ∈ s
⊢ l.prod ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : α → β
⊢ Function.Bijective f ↔ Function.Injective f ∧ Fintype.card α = Fintype.card β
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝⁴ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
α : Type u_4
inst✝³ : SMul α R
inst✝² : SMul α A
inst✝¹ : IsScalarTower α R A
inst✝ : IsScalarTower α A A
n : α
x✝ : NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ (n • Quotient.mk'' x✝).val = n • val (Quotient.mk'' x✝)
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ : ℕ
hf0 : f ≠ 0
g₁ : F[X]
hg₁ : g₁.Separable
hgf₁ : (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
k : ℕ
hgf₂ : (expand F (p ^ k)) g₂ = g₁
⊢ n₁ = n₁ + k ∧ g₁ = g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
f : l.Germ β
lc : Filter γ
g : γ → α
hg : Filter.Tendsto g lc l
⊢ f.compTendsto' ↑g ⋯ = f.compTendsto g hg
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
x : X
hx : x ∈ s
H : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
⊢ ∑ᶠ (i : ι), (f i) x ≠ 1
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
j : Fin n.succ
⊢ ∑ j_1 : Fin n.succ, (-1) ^ (↑j + ↑j_1) * Aᵀ j j_1 * (Aᵀ.submatrix j.succAbove j_1.succAbove).det = ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ (↑i + ↑j) * A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : A →ₐ[S] B
h : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y
⊢ (↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0 = 0
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
o : StAct k
q : Stmt₂
v : σ
S : List (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse
n : ℕ
IH : n ≤ S.length → Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
H : n + 1 ≤ S.length
⊢ Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n + 1] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
MeasurableInv G
μ' ν' : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite μ'
MeasureTheory.SigmaFinite ν'
μ'.IsMulLeftInvariant
ν'.IsMulLeftInvariant
s t : Set G
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
⊢ μ' s * ν' t = ν' s * μ' t
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
inst✝² : SemilatticeInf L
inst✝¹ : OrderTop L
inst✝ : ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousAt (f i) x
⊢ ContinuousAt (s.inf f) x
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
hfc : ConcaveOn 𝕜 s f
hx : x ∈ s
⊢ AntitoneOn (slope f x) (s \ {x})
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
a₁ b₁ : M
a₂ b₂ : ↥S
⊢ f.mk' a₁ a₂ = f.mk' b₁ b₂ ↔ ∃ c, ↑c + (↑b₂ + a₁) = ↑c + (↑a₂ + b₁)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x ζ : (𝓞 K)ˣ
f : Fin (NumberField.Units.rank K) → ℤ
hζ : ζ ∈ NumberField.Units.torsion K
h : x = ζ * ∏ i : Fin (NumberField.Units.rank K), NumberField.Units.fundSystem K i ^ f i
⊢ f = ⇑((NumberField.Units.basisModTorsion K).repr (Additive.ofMul ↑x))
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
a₁ : R := choose ⋯
J₁ : Ideal R := choose ⋯
h_aJ : ↑(J₁ * Ideal.span {a}) = ↑(J * Ideal.span {a₁})
h_a₁J₁ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁)⁻¹ * ↑J₁
h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0
h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0
h_a_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
h_J_ne_zero : J ≠ 0
h_a₁' : spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁) ≠ 0
h_a' : spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
⊢ Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯}) ≠ 0
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Iic t) t
hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Iic t) t
hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t
hb : f b = g b
hv' : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (Neg.neg ∘ v (-t)) (s (-t))
hmt1 : MapsTo Neg.neg (Icc (-b) (-a)) (Icc a b)
hmt2 : MapsTo Neg.neg (Ico (-b) (-a)) (Ioc a b)
⊢ EqOn f g (Icc a b)
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
⊢ (I * J).radical ≤ I.radical ⊓ J.radical
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
a b : G₀
⊢ a ^ 2 * b / a = a * b
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
k : Set X
hk : IsCompact k
k_mem : k ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ f, HasCompactSupport ⇑f ∧ 0 ≤ ⇑f ∧ f x ≠ 0
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : p.degree < q.degree
⊢ (p - q).leadingCoeff = -q.leadingCoeff
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : AEMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
h_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g (f x) = AEMeasurable.mk g hg (f x)
⊢ AEMeasurable.mk g hg ∘ f =ᶠ[ae μ] g ∘ f
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω = i} ∪ {ω | i < τ ω}
⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω = i} ∪ {ω | i < τ ω})
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑p ≠ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hg : Inducing g
⊢ Continuous f ↔ Continuous (g ∘ f)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module A M
f : R
⊢ Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M) ↔ Disjoint (↑(PrimeSpectrum.basicOpen f)) (Module.support R M)
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ ↔ CategoryTheory.IsIso γ.φH
R : Type w
Ring R
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
F : J ⥤ ModuleCat R
CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)
r : R
⊢ (ModuleCat.HasColimit.coconePointSMul F) r =
  CategoryTheory.Limits.colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ }
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ g : β → α
a : α
s : Finset β
t : Finset γ
f : β × γ → α
⊢ (s ×ˢ t).sup f = t.sup fun i' => s.sup fun i => f (i, i')