ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid N
Module R N
a : ι
b : κ
r : R
n : N
⊢ (finsuppTensorFinsuppLid R N ι κ) (Finsupp.single a r ⊗ₜ[R] Finsupp.single b n) = Finsupp.single (a, b) (r • n)
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x✝¹ : ℝ
x✝ : 𝕜
⊢ ↑x✝¹ * ↑(RCLike.im x✝) * I = ↑x✝¹ * (↑(RCLike.im x✝) * I)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : Memℒp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
⊢ ∀ ⦃f g : Ω → E⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f 1 μ → (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), f x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, f x ∂μ → (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, g x ∂μ
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
⊢ s \ ⋃₀ ↑I = ⋃₀ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
ha : IsMax a
⊢ ∃ b, a ≤ b ∧ Icc a b ∈ 𝓝[≥] a ∧ Icc a b ⊆ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : 0 < b
⊢ 1 < a / b ↔ 0 < b ∧ b < a ∨ b < 0 ∧ a < b
K : Type u
Field K
x : RatFunc K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ x.num * q = p * x.denom ↔ x = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
K : CategoryTheory.Limits.Multicofork I
a : I.L
⊢ K.ι.app (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.left a) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.fst a) (K.π (I.fstFrom a))
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel)
⊢ (∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Integrable (fun ω => f (a, ω)) (ρ.condKernel a)) ∧ Integrable (fun a => ∫ (ω : Ω), ‖f (a, ω)‖ ∂ρ.condKernel a) ρ.fst ↔ Integrable f ρ
x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℂ
⊢ Complex.abs (↑x ^ y) = x ^ y.re
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h1 : g ∘ₗ f = 0
h2 : LinearMap.ker g ≤ LinearMap.range f
⊢ Function.Exact ⇑f ⇑g
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
⊢ qrSign m n = (-1) ^ (m / 2 * (n / 2))
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
h's : IsGδ s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
U : ℕ → Set X
U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hU : s = ⋂ n, U n
⊢ ∃ f, s = ⇑f ⁻¹' {1} ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite τ
this : (sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1).prod ((sFiniteSeq ν p.2.1).prod (sFiniteSeq τ p.2.2))) = sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1.1).prod ((sFiniteSeq ν p.1.2).prod (sFiniteSeq τ p.2))
⊢ (sum fun i => map (⇑MeasurableEquiv.prodAssoc) (((sFiniteSeq μ i.1.1).prod (sFiniteSeq ν i.1.2)).prod (sFiniteSeq τ i.2))) = sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1.1).prod ((sFiniteSeq ν p.1.2).prod (sFiniteSeq τ p.2))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
⊢ (f.extend I).target = ↑I.symm ⁻¹' f.target ∩ range ↑I
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
p : k[X]
hsep : p.Separable
h : p.roots = 0
⊢ p = C (p.coeff 0)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
r : R
u : Rˣ
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
n : ℕ
hr : r = ↑u * ϖ ^ n
⊢ (DiscreteValuationRing.addVal R) r = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
ι : Type u_3
U : ι → TopologicalSpace.Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f
⊢ Inducing f ↔ ∀ (i : ι), Inducing ((U i).carrier.restrictPreimage f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)
⊢ ∃ δ > 0, ∀ {a₁ a₂ b₁ b₂ : β}, abv a₁ < K₁ → abv b₂ < K₂ → abv (a₁ - b₁) < δ → abv (a₂ - b₂) < δ → abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
⊢ (e.trans e').target = e'.target ∩ ↑e'.symm ⁻¹' e.target
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
⊢ Filter.atBot ×ˢ Filter.atBot = Filter.atBot
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
Module R M
Module R₂ M₂
f : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
U : Submodule R₂ M₂
x : ↥(Submodule.comap (↑f) U)
⊢ ↑((f.ofSubmodule' U) x) = f ↑x
α : Type u
DecidableEq α
a : α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ ⋯.toFinset = insert a hs.toFinset
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Finset.Ico a b = ∅ ↔ ¬a < b
z : ℂ
m : z ∈ Complex.slitPlane
⊢ AnalyticAt ℂ Complex.log z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : E × F
⊢ fderiv 𝕜 Prod.snd p = ContinuousLinearMap.snd 𝕜 E F
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ ↑a < ↑b ↔ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
ht : IsLowerSet t
⊢ Disjoint s t → Disjoint (↑(upperClosure s)) t
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
X : Set R
x y : ↑X
h : x ≠ y
⊢ ∃ f ∈ (fun f => ⇑f) '' ↑(polynomialFunctions X), f x ≠ f y
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, Prime (f i)) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → f i ≠ f j) → (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
⊢ ((insert a s).inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ insert a s, f i ^ e i
K : Type u_1
Field K
NumberField K
w₁ : NumberField.InfinitePlace K
⊢ ∃ u, ∀ (w : NumberField.InfinitePlace K), w ≠ w₁ → Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)) < 0
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
a : Ordinal.{u_1}
h : f a = a
⊢ Ordinal.nfp f a = a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (a ⊓ b) * (a * b * (a ⊓ b)⁻¹) = a * b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
⊢ f.hom ≫ f.inv = 𝟙 P.X
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulZeroClass α β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
hs : s.Nonempty
⊢ 0 ⊆ s • 0
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
h : Valid' o₂ t.dual o₁
⊢ Valid' o₁ t o₂
x y : ZFSet
⊢ (x ∪ y).toSet = x.toSet ∪ y.toSet
R : Type u
M : Type v
Monoid R
MulAction R M
p : SubMulAction R M
m : ↥p
⊢ Subtype.val ⁻¹' MulAction.orbit R ↑m = MulAction.orbit R m
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
NonarchimedeanGroup G
U : Set (G × G)
hU : U ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ V, ↑V ×ˢ ↑V ⊆ U
s : Finset ℕ
m n✝ p n k : ℕ
hn : n ≠ 1
hk : k ≠ 0
h : Squarefree (n ^ k)
h₁ : ¬k = 1
this : 2 ≤ k
⊢ False
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
f : Filter β
b : β
⊢ f -ᵥ pure b = Filter.map (fun x => x -ᵥ b) f
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ (match bit b -[n+1], m.succ with | ofNat m, n => m.testBit n | -[m+1], n => !m.testBit n) = !n.testBit m
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
hs : ThreeGPFree (a • s)
b : α
hb : b ∈ s
c : α
hc : c ∈ s
d : α
hd : d ∈ s
h : b * d = c * c
⊢ a • b * a • d = a * c * (a * c)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx✝ : Quot.mk Setoid.r x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
hx : x ∈ P ^ i
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i
this : DecidableEq (Ideal S) := Classical.decEq (Ideal S)
⊢ x ∈ span {a} ⊔ P ^ (i + 1)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
⊢ Localization.mk = IsLocalization.mk' (Localization M)
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
y p d z w : R
h0 : z * z * w ≠ 0
h : z * z * w ∣ z * w
⊢ IsUnit z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ r • closedBall 0 1 = closedBall 0 r
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ ψ : W.LeftFraction X Y
⊢ φ.map L ⋯ = ψ.map L ⋯ ↔ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel φ ψ
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R Aᵐᵒᵖ
⊢ ↑S.unop = MulOpposite.op ⁻¹' ↑S
⊢ PartOrd.dualEquiv.inverse = PartOrd.dual
K : Type u
DivisionRing K
S : Set (Subfield K)
x : K
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁷ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y✝ z : β
γ : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder γ
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : OrderTopology γ
δ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderTopology δ
ι : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace ι
f : α → β
g : ι → α
y : α
x : ι
hf : LowerSemicontinuousAt f (g x)
hg : ContinuousAt g x
hy : g x = y
⊢ LowerSemicontinuousAt (fun x => f (g x)) x
α : Type u_1
Preorder α
x : WithBot α
⊢ (∀ (y : α), x < ↑y) ↔ x = ⊥
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
h : lowerCentralSeries G n ≤ center G
⊢ lowerCentralSeries G (n + 1) = ⊥
X Y : Type u
AddSemigroup X
AddSemigroup Y
e : X ≃+ Y
⊢ ∀ (a : Y), e.toAddSemigrpIso.inv a = e.symm.toFun a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : F
⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => fderiv 𝕜 (fun x => c) y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
⊢ atTop = generate (range Ici)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
P Q R : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
hR : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J R
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.sheafifyMap J η) (CategoryTheory.sheafifyLift J γ hR) =
  CategoryTheory.sheafifyLift J (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η γ) hR
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
⊢ autoParam (∀ (X Y_1 : Over Y) (f : X ⟶ Y_1), (map (𝟙 Y)).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 (Over Y)).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
Module ℝ E
SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
⊢ Balanced 𝕜 ((convexHull ℝ) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → αᵐᵒᵖ
hf : Summable f
⊢ Summable (MulOpposite.unop ∘ f)
α : Type u_1
StrictOrderedSemiring α
h : 1 ∈ Set.Ioc 0 1
⊢ ⟨1, h⟩ = 1
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
PartialOrder X
x y : X
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ ∫ (t : X) in Set.Icc x y, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Set.Ioo x y, f t ∂μ
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.ΨSq 4 = W.preΨ₄ ^ 2 * W.Ψ₂Sq
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
s t : Set A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R (s ∪ t)) =
  Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s) * Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R t)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y : C
f : J → C
g h : X ⊗ ⨁ f ⟶ Y
w : ∀ (j : J), X ◁ biproduct.ι f j ≫ g = X ◁ biproduct.ι f j ≫ h
⊢ g = h
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
s : Set β
f : α → β
⊢ IsOpen s ↔ IsOpen (f ⁻¹' s)
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
H' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
e : PartialHomeomorph H H
e' : PartialHomeomorph H' H'
he : (contDiffPregroupoid ⊤ I).property (↑e) e.source
he_symm : (contDiffPregroupoid ⊤ I).property (↑e.symm) e.target
he' : (contDiffPregroupoid ⊤ I').property (↑e') e'.source
he'_symm : (contDiffPregroupoid ⊤ I').property (↑e'.symm) e'.target
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑(I.prod I') ∘ ↑(e.prod e').symm ∘ ↑(I.prod I').symm) (↑(I.prod I').symm ⁻¹' (e.prod e'.toPartialEquiv).target ∩ range ↑(I.prod I'))
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
i j : A
h : i + j = 0
X : C
⊢ (shiftFunctor C i).map ((shiftFunctorCompIsoId C i j h).symm.hom.app X) ≫ (shiftFunctorCompIsoId C j i ⋯).hom.app ((shiftFunctor C i).obj X) = 𝟙 ((shiftFunctor C i).obj X)
M : Type u_1
A : Type u_4
Zero A
SMulZeroClass M A
a : M
⊢ a • 0 = 0
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
hr : ‖↑r‖ * ‖↑r.den‖ = ‖↑r.num‖
key : ‖↑r.num‖ < 1
this : ↑p ∣ r.num ∧ ↑p ∣ ↑r.den
⊢ p ∣ 1
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (x ⊔ y \ x) ⊓ (x \ y ⊔ y) = x ⊔ y
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p.totalDegree ≤ Multiset.card p.degrees
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
ι' : Type u_7
M' : ι' → Type u_8
(i : ι') → AddCommMonoid (M' i)
(i : ι') → TopologicalSpace (M' i)
(i : ι') → Module R (M' i)
f : (i : ι') → M [⋀^ι]→L[R] M' i
m : ι → M
j : ι'
⊢ (ContinuousAlternatingMap.pi f) m j = (f j) m
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
x : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)
B : Nat.find A - 1 < Nat.find A
y : (n : ℕ) → E n
ys : y ∈ s
hy : x ∈ cylinder y (Nat.find A - 1)
⊢ y ∈ cylinder x (Nat.find A - 1)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ μ.withDensity f = μ.withDensity g ↔ f =ᵐ[μ] g
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
s : ℕ → Set α
hs : f.HasAntitoneBasis s
r : ℕ → ℕ → Prop
hr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r m n
this : ∀ (t : Set ℕ), t.Finite → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ m ∈ t, m < n ∧ r m n
φ : ℕ → ℕ
hφ : (∀ (x : ℕ) ⦃x_1 : ℕ⦄, x_1 < x → φ x_1 < φ x) ∧ ∀ (x : ℕ) ⦃x_1 : ℕ⦄, x_1 < x → r (φ x_1) (φ x)
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (m n : ℕ), m < n → r (φ m) (φ n)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
⊢ J = 1 / I
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
⊢ X.map (SimplexCategory.σ j).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i).op = X.map (SimplexCategory.δ (i.pred ⋯)).op ≫ X.map (SimplexCategory.σ (j.castLT ⋯)).op
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxV : ↑x ∈ V
g : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))
heq : (X.presheaf.germ x) f * (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxV⟩) g = 1
⊢ ∃ V i, ∃ (_ : ↑x ∈ V), IsUnit ((X.presheaf.map i.op) f)
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder β
m : α → β
f : Filter α
⊢ Filter.Tendsto m f Filter.atTop ↔ ∀ (b : β), ∀ᶠ (a : α) in f, b ≤ m a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsCoseparating 𝒢
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0
⊢ ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0 ≫ h
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
s : Multiset (α →₀ M)
a : α
⊢ a ∈ s.sum.support → ∃ f ∈ s, a ∈ f.support
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1
⊢ Irreducible p ↔ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f = 1 ∨ g = 1
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (x : J), ((CategoryTheory.Functor.const J).map f).app x = f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
G : Type u_4
x : E
⊢ ⟪x, I • x⟫_ℝ = 0
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : AddCommMonoid R
A : Matrix (Fin 3) (Fin 3) R
⊢ A.trace = A 0 0 + A 1 1 + A 2 2
a x✝ z x : ℂ
hr : x.re = 0
hi : x.im < 0
⊢ (if 0 ≤ x.re then -Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ -x.im then Real.arcsin (x.im / abs x) + π else Real.arcsin (x.im / abs x) - π) = if x.re < 0 ∧ x.im = 0 then π else -if 0 ≤ x.re then Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ x.im then -Real.arcsin (x.im / abs x) + π else -Real.arcsin (x.im / abs x) - π
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
R : CategoryTheory.Sieve Y
⊢ R ≤ CategoryTheory.Sieve.pullback f (CategoryTheory.Sieve.pushforward f R)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
t' : Set E
t'_meas : MeasurableSet t'
t't : t' ⊆ t
t'pos : 0 < μ t'
t'top : μ t' < ⊤
⊢ ∀ (a : ℝ), 0 < μ (s ∩ ({x} + a • t')) / μ ({x} + a • t') → (s ∩ ({x} + a • t)).Nonempty
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a : Ordinal.{u}
⊢ x ≤ OrdinalApprox.lfpApprox f x a
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
⊢ G.CliqueFree 2 ↔ G = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : α → Finset β
DecidableEq β
hs : s.Nonempty
ht : ∀ x ∈ s, (t x).Nonempty
⊢ (s.biUnion t).Nonempty
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
z : M
⊢ z ∈ center M ↔ z ∈ Set.center M
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 f
⊢ ∃ I, ((convexHull 𝕜) (f '' I) ∩ (convexHull 𝕜) (f '' Iᶜ)).Nonempty
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
⊢ max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ≤ (mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
PosSMulMono α β
hb : b₁ ≤ b₂
ha : 0 ≤ a
⊢ a • b₁ ≤ a • b₂
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
⊢ ω.length = ω.length ∧ cs.wordProd ω = cs.wordProd ω
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
G : Comonad C
A B : G.Coalgebra
f : A ⟶ B
inst✝ : IsIso f.f
⊢ A.a ≫ G.map f.f ≫ G.map (inv f.f) = A.a
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
T2Space M
f : ℤ → M
hf : Summable f
⊢ ∑' (n : ℕ), (f ↑n + f (-(↑n + 1))) = ∑' (n : ℤ), f n
a x✝ z x : ℂ
⊢ (-x).arg = x.arg + π ↔ x.im < 0 ∨ x.im = 0 ∧ 0 < x.re
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
⊢ closure {f | IsCompactOperator ⇑f} ⊆ {f | IsCompactOperator ⇑f}
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : IsIntegral A x
I : FractionalIdeal A⁰ K := adjoinIntegral A⁰ x hx
hI : IsUnit I
⊢ I = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)
⊢ (Multiset.map f (Multiset.map (fun i => g i) s.val)).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
α : Type u_1
l : List α
⊢ (Multiset.powersetAux l).Perm (Multiset.powersetAux' l)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
Nonempty γ
hf : Function.Injective f
⊢ Function.Surjective fun g => g ∘ f
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
⊢ Tendsto (fun a => s.sup' hne fun x => f x a) l (𝓝 (s.sup' hne g))
α : Type u_1
n' : ℕ
s s' : Sym α n'
⊢ s.append s' = (Sym.cast ⋯) (s'.append s)
x : ℂ
⊢ Real.sin x.arg = x.im / Complex.abs x
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ RingCat
x y : RingCat.Colimits.Prequotient F
⊢ Quot.mk Setoid.r (x.add y) = Quot.mk Setoid.r x + Quot.mk Setoid.r y
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℂ n f s x
⊢ ContDiffWithinAt ℂ n (fun x => Complex.sinh (f x)) s x
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
⊢ MeasureTheory.condexpInd G hm μ (s ∪ t) = MeasureTheory.condexpInd G hm μ s + MeasureTheory.condexpInd G hm μ t
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
⊢ ↑s.toSubsemigroup = ↑s