ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (tensorLeft R.X).map (coequalizer.π ({ X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X R.X P.X).hom ≫ { X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft)) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft R.X) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.X ◁ R.mul ▷ P.X) (R.X ◁ ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ((α_ R.X (R.X ⊗ R.X) P.X).inv ≫ (α_ R.X R.X R.X).inv ▷ P.X ≫ R.mul ▷ R.X ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).inv ≫ R.mul ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ = (tensorLeft R.X).map (coequalizer.π ({ X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X R.X P.X).hom ≫ { X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft)) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ≫ P.actLeft
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n
⊢ (B (v i)) (vi j • v j) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection K
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection U
y : E
⊢ ∀ w ∈ U, ⟪y - ↑((orthogonalProjection U) y), w⟫_𝕜 = 0
R : Type u_1
CommRing R
n : Type u_4
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
⊢ M.charmatrix i j = -Polynomial.C (M i j)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝ : FunLike F α β
e : α ≃ β
s : Set β
⊢ (fun s => ⇑e '' s) ((fun s => ⇑e.symm '' s) s) = s
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
h_non : (Ico x y).Nonempty
z : α
z_mem : z ∈ Ico x y
hz : ∀ x_1 ∈ Ico x y, ¬z < x_1
⊢ TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
R : Type u
ι : Type w
s✝ : Finset ι
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → R
⊢ (∏ i ∈ s, (X - C (f i))).nextCoeff = -∑ i ∈ s, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
y : Set β
⊢ x ∩ f ⁻¹' maximals s (f '' x ∩ y) = maximals r (x ∩ f ⁻¹' y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
⊢ fromRel ⋯ = ∅
α : Type u_1
n : ℤ
⊢ ↑↑n.natAbs = |↑n|
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
x : α
hx : x ∈ List.rtakeWhile p l
⊢ p x = true
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ ↑(TopologicalSpace.Closeds.closure s) = closure s
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.Measure.toFinite 0 = 0
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : Supermartingale f ℱ μ
⊢ Supermartingale (c • f) ℱ μ
C₁ : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁
W₁ : MorphismProperty C₁
C₂ : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₂ : MorphismProperty C₂
D₁ : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
W : ?m.28304
X Y Z : C₁
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Y)
G : D₁ ⥤ D₂
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G
g : W₁.Q.obj X ⟶ W₁.Q.obj Y
G' : W₁.Localization ⥤ W₂.Localization := Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q
β : Φ.functor ⋙ W₂.Q ≅ W₁.Q ⋙ G' := CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q G'
E₁ : W₁.Localization ⥤ D₁ := (uniq W₁.Q L₁ W₁).functor
α₁ : W₁.Q ⋙ E₁ ≅ L₁ := compUniqFunctor W₁.Q L₁ W₁
E₂ : W₂.Localization ⥤ D₂ := (uniq W₂.Q L₂ W₂).functor
α₂ : W₂.Q ⋙ E₂ ≅ L₂ := compUniqFunctor W₂.Q L₂ W₂
⊢ α₂.inv.app (Φ.functor.obj X) ≫ E₂.map ((((CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).symm.app X).homCongr ((CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).symm.app Y)) ((Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q).map g)) ≫ α₂.hom.app (Φ.functor.obj Y) = e.hom.app X ≫ G.map (α₁.inv.app X ≫ E₁.map g ≫ α₁.hom.app Y) ≫ e.inv.app Y
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
S : Subsemigroup M
f : M →ₙ* N
⊢ S ≤ Subsemigroup.comap f (Subsemigroup.map f S)
m n✝ : ℕ
a : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : ¬a = 0
⊢ n✝ + 1 + 1 ≤ n✝ + 1 + ↑a
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
⊢ MulOpposite.op ↑n = ↑n
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ (g • z).im = (↑↑g).det * z.im / Complex.normSq (UpperHalfPlane.denom g z)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
⊢ leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ = h₁.descH (h₂.liftH (h₁.i ≫ h₂.p) ⋯) ⋯
s : Set ℝ
h : s.OrdConnected
⊢ (Real.toNNReal '' s).OrdConnected
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → List α
hf1 : IsBadSeq (List.SublistForall₂ r) {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} f
hf2 : ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq (List.SublistForall₂ r) List.length {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} n f
hnil : ∀ (n : ℕ), f n ≠ []
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
b : B.IsSymm
W : Submodule R M
⊢ (B.restrict W).IsSymm
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
inst✝ : l.NeBot
⊢ Tendsto (fun x => 0 * f x) l atTop ↔ 0 < 0 ∧ Tendsto f l atTop ∨ 0 < 0 ∧ Tendsto f l atBot
p : ℝ≥0∞
h : p ≤ 1
i : Fin (1 + 1)
⊢ (binomial p h 1) i = (map (fun x => bif x then 1 else 0) (bernoulli p h)) i
x y : ℝ
⊢ rexp (x + y) = rexp x * rexp y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology α
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
x : α × β
⊢ Tendsto f (map (Prod.mk x.1) (𝓝 x.2 ⊓ 𝓟 (Prod.mk x.1 ⁻¹' s))) (𝓝 (f (x.1, x.2))) ↔ Tendsto (fun x_1 => f (x.1, x_1)) (𝓝 x.2 ⊓ 𝓟 {b | (x.1, b) ∈ s}) (𝓝 (f (x.1, x.2)))
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn f [[a, b]]
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ioi x) x
hint : IntervalIntegrable f' MeasureTheory.volume a b
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S₁ S₂ : Subalgebra R A
⊢ S₁.op ≤ S₂.op ↔ S₁ ≤ S₂
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹
F : ℂ → E := fun z => (z - c) • f z
⊢ ContinuousWithinAt F {c}ᶜ c
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
⊢ trace R M = contractLeft R M ∘ₗ ↑(dualTensorHomEquivOfBasis b).symm
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
⊢ x.toNNReal ^ z = (x ^ z).toNNReal
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
LocallyCompactSpace Y
f : C(X, C(Y, Z))
⊢ ∀ (a : X × Y), f.uncurry a = Function.uncurry (fun x y => (f x) y) a
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
⊢ ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → (∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ) → ∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f✝ : β → γ
x : t β
η : ApplicativeTransformation F G
f : α → F β
x✝ : t α
⊢ traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x✝ = ((fun {α} => η.app α) ∘ traverse f) x✝
α : Type ua
s t : Set (α × α)
h : idRel ⊆ t
⊢ s ⊆ s ○ t
F : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
FunLike F M N
Monoid M
Monoid N
MonoidHomClass F M N
f : F
x : M
h : IsUnit x
⊢ IsUnit (f x)
c : Cardinal.{u_1}
h : Cardinal.aleph0 ≤ c
⊢ Cardinal.toPartENat c = ⊤
X Y : Scheme
U✝ : X.Opens
hU✝ : IsAffineOpen U✝
f✝ : ↑Γ(X, U✝)
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen (f ''ᵁ U)
⊢ Set.range ⇑(X.ofRestrict ⋯ ≫ f).val.base = Set.range ⇑(Y.ofRestrict ⋯).val.base
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
ha : ↑a ≠ ⊤
h'a : ↑a ≠ ⊥
⊢ Tendsto (toReal ∘ Real.toEReal) (𝓝 a) (𝓝 (↑a).toReal)
a b : Int
h : a - b ≤ 0
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → Indep J → I.encard < J.encard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_bdd : ∃ n, ∀ (I : Set α), Indep I → I.encard ≤ ↑n
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
⊢ (IndepMatroid.ofBddAugment E Indep indep_empty indep_subset indep_aug indep_bdd subset_ground).Indep = Indep
α : Type u
TopologicalSpace α
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : α → β
h : Continuous f
⊢ Continuous h.connectedComponentsMap
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s t : Set α
p : Prop
hs : p → MeasurableSet s
ht : ¬p → MeasurableSet t
⊢ MeasurableSet (if p then s else t)
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
s : S
n : ℕ
hzero : ¬s = 0
q : R[X]
hq : (map f q).coeff n = ((monomial n) s).coeff n
hcoeff : f (q.coeff n) = s
⊢ ∃ q, map f q = (monomial n) s ∧ q.degree = ((monomial n) s).degree
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
a : E
⊢ (MeasureTheory.Lp.constₗ p μ 𝕜) a = (MeasureTheory.Lp.const p μ) a
α : Type u_1
p : Prop
o : Part α
h : p → o.Dom
a : α
⊢ a ∈ Part.restrict p o h ↔ p ∧ a ∈ o
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformEmbedding g
f : α → β
⊢ UniformEmbedding (g ∘ f) ↔ UniformEmbedding f
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
x y z : 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y ≤ z
h : f x ≤ f y
⊢ f y ≤ f z
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (x : α × β), f x ∂μ ⊗ₘ κ = ∫⁻ (a : α), ∫⁻ (b : β), f (a, b) ∂κ a ∂μ
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
ns : List ℕ
IH : ∀ {l : List α}, ns.sum ≤ l.length → map length (l.splitWrtCompositionAux ns) = ns
l : List α
h : n + ns.sum ≤ l.length
⊢ map length (l.splitWrtCompositionAux (n :: ns)) = n :: ns
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
ha : ¬p a
⊢ cfc f a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ : α
f : α → β
ha : ∀ x < a, f x = f a
hb : ∀ (x : α), b < x → f x = f b
x : α
hxa : x < a
⊢ IccExtend h (f ∘ Subtype.val) x = f x
α : Type u_1
CancelMonoidWithZero α
PartialOrder α
⊢ MulPosReflectLE α ↔ MulPosReflectLT α
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
ι : Type u_1
B : ι → Opens ↑X
F : Presheaf C X
F' : Sheaf C X
h : Opens.IsBasis (Set.range B)
α β : F ⟶ F'.val
he : ∀ (i : ι), α.app (op (B i)) = β.app (op (B i))
⊢ (restrictHomEquivHom F F' h).symm α = (restrictHomEquivHom F F' h).symm β
a b : Prop
Decidable a
h : ¬a → b
hb : ¬b
⊢ a
ι : Type u_1
I J J₁ : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ J₁ ∈ π.restrict J ↔ ∃ J' ∈ π, ↑J₁ = ↑J ∩ ↑J'
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative
inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝² : W₂.ContainsIdentities
D : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D
L : C₂ ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W₂
X₂ : C₂
X₃ : D
y : L.obj X₂ ⟶ X₃
w : TwoSquare Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) := TwoSquare.mk Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) (Φ.functor ⋙ L).rightUnitor.inv
this : Nonempty (w.CostructuredArrowDownwards y)
c : C₁
g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c
x : (Φ.functor ⋙ L).obj c ⟶ X₃
fac : L.map g ≫ w.app c ≫ (𝟭 D).map x = y
⊢ ∃ Y, Zigzag (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards.mk w y c g x fac) ((fromRightResolution Φ L y).obj Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b
⊢ {a, b}.card = 2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C Dᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Functor.leftOpRightOpEquiv C D).inverse.obj F = Opposite.op F.leftOp
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G →g G'
hinj : Function.Injective ⇑f
u v : V
⊢ Function.Injective (SimpleGraph.Path.map f hinj)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → M i) →* γ
h : ∀ (i : ι) (x : M i), f (Pi.mulSingle i x) = g (Pi.mulSingle i x)
val✝ : Fintype ι
⊢ f = g
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0
⊢ (W.preΨ n).leadingCoeff = ↑(if Even n then n / 2 else n)
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
a : α
⊢ Filter.map (fun x => (x.1 + a, x.2 + a)) (𝓤 α) = 𝓤 α
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ((↑m + 1) / ↑m) ^ 2 ≤ 1 + ε ^ 5 / 49
α : Type u_1
Preorder α
T : Set (Topology.WithLower α)
⊢ IsOpen T ↔ TopologicalSpace.IsOpen (⇑Topology.WithLower.toLower ⁻¹' T)
G : Type u_1
Group G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
BorelSpace G
PolishSpace G
Γ : Subgroup G
Countable ↥Γ
Γ.Normal
T2Space (G ⧸ Γ)
SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : MeasureTheory.Measure (G ⧸ Γ)
ν : MeasureTheory.Measure G
ν.IsMulLeftInvariant
ν.IsMulRightInvariant
MeasureTheory.SigmaFinite ν
μ.IsMulLeftInvariant
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hasFun : MeasureTheory.HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
h : MeasureTheory.covolume (↥Γ.op) G ν = μ Set.univ
⊢ MeasureTheory.QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
hA : A.Nonempty
⊢ ↑A.card * (↑A.card + ↑P.parts.card) / ↑P.parts.card ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2
α : Type u_1
c : RBColor
n : Nat
p : Prop
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
hl : l.Balanced c n
hr : RedRed p r n
x✝ : RBColor
h : (r.reverse.balance1 v l.reverse).Balanced x✝ (n + 1)
⊢ (l.balance2 v r).Balanced x✝ (n + 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F → G
g k : E → F
n m : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 m (Function.uncurry f)
hg : ContDiff 𝕜 n g
hk : ContDiff 𝕜 n k
hnm : n + 1 ≤ m
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => (fderiv 𝕜 (f x) (g x)) (k x)
α : Type u_1
σ : α → Type u_4
a : α
s : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (σ a)
⊢ (a ::ₘ s).sigma t = Multiset.map (Sigma.mk a) (t a) + s.sigma t
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : Filter α
s : Set α → Set β
⊢ (f ⊓ g).lift' s ≤ f.lift' s ⊓ g.lift' s
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l✝ : Subspace η α ι
x : η → α
i✝ : ι
a : α
e : η
inst✝ : Nontrivial α
l m : Subspace η α ι
hlm : ↑l = ↑m
i : ι
⊢ l.idxFun i = m.idxFun i
x : ℂ
hx : x.im < 0
⊢ (x ^ 2⁻¹).im = -√((abs x - x.re) / 2)
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ Ioo a b), p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict s, p x
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ := if p.toReal < 1 then 1 else 2 ^ (p.toReal - 1)
⊢ Summable fun i => ‖(f + g) i‖ ^ p.toReal
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ (Profinite.pullback.cone f g).pt = Profinite.pullback f g
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (𝟙 M.X ▷ Y.X ▷ N.X) (𝟙 M.X ▷ N.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X M N)
G : Type u_1
Group G
g₁ g₂ : G
⊢ ⁅g₁, g₂⁆ = 1 ↔ Commute g₁ g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
hu₂ : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 / 2 ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ C / 2 ^ n = ∑' (m : ℕ), C / 2 / 2 ^ m / 2 ^ n
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ G.map (F.map (f✝ ≫ g✝)) = G.map (F.map f✝) ≫ G.map (F.map g✝)
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x y : L
⊢ χ ⁅x, y⁆ = 0
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α × β → γ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ Finset.image₂ (Function.curry f) s t = Finset.image f (s ×ˢ t)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
⊢ ((∑ s : { s // s.card = Fintype.card ι - 1 }, f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeriesTerm 1 (Fintype.card ι - 1) ↑s ⋯) fun x_1 => x) (Fin.snoc 0 y) = ∑ i : ι, f (Function.update x i (y i))
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ Measurable ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
K : Set α
hKA : K ⊆ A
hK : IsCompact K
hμK : μ A < μ K + ε
⊢ μ A < μ (closure K) + ε
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
x : α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
this : f =ᶠ[ae (μ.restrict {x})] fun x_1 => f x
⊢ f x = 0 ∨ (μ.restrict {x}) univ < ⊤ ↔ f x = 0 ∨ μ {x} < ⊤
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
h : SeparatedNhds s₂ t₂
hs : s₁ ⊆ s₂
ht : t₁ ⊆ t₂
⊢ SeparatedNhds s₁ t₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α × β → E
hf : StronglyMeasurable f
⊢ StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f (x, y) ∂κ x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f : α → F
c : 𝕜
hq_pos : 0 < q
hc : c ≠ 0
⊢ eLpNorm' (c • f) q μ = ‖c‖₊ • eLpNorm' f q μ
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
H : Ordinal.IsNormal f
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ f a ≤ f b ↔ a ≤ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ ∀ (x : C) (f : x ⟶ X), (J₁.close S).arrows f = J₁.Covers S f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
v : E
⊢ (reflection Kᗮ) v = -(reflection K) v
a b c d : ℕ
hac : a < c
hbd : b < d
⊢ a * b < c * d
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
i j : n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
e : n ≃ p
t_i t_j : n
hij✝ : t_i ≠ t_j
c✝ : R
a b : p
⊢ (reindexEquiv e { i := t_i, j := t_j, hij := hij✝, c := c✝ }).toMatrix a b = (reindexAlgEquiv R R e) { i := t_i, j := t_j, hij := hij✝, c := c✝ }.toMatrix a b
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
x y : List α
s : σ
hx : M.evalFrom s x = s
hy : ∃ L, y = L.join ∧ ∀ y ∈ L, y ∈ {x}
⊢ M.evalFrom s y = s
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Antitone f
a : α
⊢ Antitone fun x => f x + a
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ‖MeasureTheory.Memℒp.toLp ↑↑f ⋯‖ ≤ ‖f‖
r : ℝ≥0∞
⊢ ∑' (n : ℕ), r ^ n = (1 - r)⁻¹