ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ inst✝ : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hc : (↑(insert a s)).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)
n : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
⊢ (insert a s).sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ (insert a s).sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α →. σ ⊕ α
hf : Partrec f
F : α → ℕ →. σ ⊕ α := fun a n => Nat.rec (Part.some (Sum.inr a)) (fun x IH => IH.bind fun s => Sum.casesOn s (fun x => Part.some s) f) n
⊢ Partrec f.fix
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {X : Ω → E} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {μ : MeasureTheory.Measure E},
  MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ ↔
    AEMeasurable X ℙ ∧ (MeasureTheory.Measure.map X ℙ).HaveLebesgueDecomposition μ ∧ MeasureTheory.Measure.map X ℙ ≪ μ
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²³ : Semiring R₁
inst✝²² : Semiring R₂
inst✝²¹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M'₁
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
inst✝⁶ : RingHomSurjective σ₁₂
inst✝⁵ : TopologicalSpace R₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace R₂
inst✝³ : ContinuousSMul R₁ M₁
inst✝² : ContinuousAdd M₁
inst✝¹ : ContinuousSMul R₂ M₂
inst✝ : ContinuousAdd M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hf' : DenseRange ⇑f
s : Submodule R₁ M₁
hs : Dense ↑s
⊢ Dense ↑(Submodule.map (↑f) s)
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.LevyProkhorov (MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω)
⊢ dist μ ν = MeasureTheory.levyProkhorovDist ↑μ ↑ν
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
x : G
hx : x ∈ closure {x | ∃ p ∈ lowerCentralSeries G n, ∃ q, p * q * p⁻¹ * q⁻¹ = x}
⊢ ∀ x ∈ {x | ∃ p ∈ lowerCentralSeries G n, ∃ q, p * q * p⁻¹ * q⁻¹ = x}, x ∈ lowerCentralSeries G n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
A : Set E
w : E
l₁ : E →L[𝕜] 𝕜
hB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x}
hwB : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x}
l₂ : E →L[𝕜] 𝕜
hC : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x}
hwC : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x}
⊢ ∃ l, {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x} ∩ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x} = {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
X : Type u_1
TopologicalSpace X
f : C(X, ℝ)
x : X
⊢ f.toNNReal x = (f x).toNNReal
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E
r : ℝ
⊢ IsPreconnected (sphere x r)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ List.count a [] = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
inst✝ : Semiring T
h : Commute (f a) x
⊢ eval₂ f x (p * C a) = eval₂ f x p * f a
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ Set.SurjOn List.toFinset {l | l.Nodup} Set.univ
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x a : M
H : 1 ≤ a
k : ℕ
⊢ 1 ≤ a ^ (k + 1)
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU✝ : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : ℕ → Set α
hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)
mU : m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
i : ℕ
⊢ m (f i) ⋯ = extend m (f i)
f : ℕ → ℚ
H : IsCauSeq abs f
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
δ : ℚ
δ0 : 0 < δ
δε : ↑δ < ε
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, |f j - f i| < δ
j : ℕ
ij : j ≥ i
⊢ |↑(f j) - ↑(f i)| < ε
p : String.Pos
c₁ c₂ : Char
⊢ p + c₁ + c₂ = p + c₂ + c₁
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
⊢ F.Initial
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
K : ProperCone ℝ E
y : E
⊢ y ∈ K.dual ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ K → 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
G : Type u_1
AddGroup G
K : AddSubgroup G
l : List G
⊢ (∀ x ∈ l, x ∈ K) → l.sum ∈ K
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
⊢ Submodule.span R ↑(AddSubmonoid.closure s) = Submodule.span R s
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Monoid S
AddCommMonoid M
Module R M
DistribMulAction S M
s : Set S
p q : Submodule R M
le : p ≤ q
⊢ s • p ≤ s • q
n : Nat
⊢ Int.negSucc n = -↑(n + 1)
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
a : ℂ
b : ℝ
hb : b < 0
⊢ (fun z => cexp (↑b * z)) =o[l] fun z => z ^ a
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ min (min a b) c = min (min a c) b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ f '' (s ∪ f ⁻¹' t) ⊆ f '' s ∪ t
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ENNReal
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p (μ.trim hm) = MeasureTheory.eLpNorm f p μ
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
⊢ IsClosed (nonunits R)
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
s : Set V
t : Set P
hs : IsClosed s
ht : IsCompact t
u : ℕ → P
p : P
hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)
a : ℕ → V
ha : ∀ (n : ℕ), a n ∈ s
v : ℕ → P
hv : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hav : ∀ (n : ℕ), (fun x x_1 => x +ᵥ x_1) (a n) (v n) = u n
q : P
hqt : q ∈ t
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hφq : Tendsto (v ∘ φ) atTop (𝓝 q)
n : ℕ
⊢ (u ∘ φ -ᵥ v ∘ φ) n ∈ s
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
γ : Type u₁
inst✝ : AddCommMonoid γ
i : ι
f : γ →+ β i
⊢ fromAddMonoid ((of (fun i => γ →+ β i) i) f) = (of β i).comp f
α : Type u
β : Type v
rα : Semiring α
rβ : Semiring β
f : α → β
hf : IsSemiringHom f
⊢ ⇑(RingHom.of hf) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
s : Set β
x : ↑f.Dom
⊢ x ∈ f.asSubtype ⁻¹' s ↔ x ∈ Subtype.val ⁻¹' f.preimage s
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Zero N
f✝ g✝ f g : α →₀ N
h : f = g
⊢ f.neLocus f = ∅
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
⊢ volume (Metric.closedBall x ε) = ENNReal.ofReal (min T (2 * ε))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
N : ℕ
hN : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
h : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) 1
⊢ Summable ({n | ↑n = 1}.indicator fun n => 1 / ↑n)
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ Ideal.span {x} * I ≤ Ideal.span {x} * J ↔ I ≤ J
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
m : ℕ
H : m ∈ range n
⊢ constantCoeff (C (↑p ^ m) * xInTermsOfW p R m ^ p ^ (n - m)) = 0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J K : FractionalIdeal S P
⊢ I * J ≤ K ↔ ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, i * j ∈ K
r : ℝ
⊢ Convex ℝ {c | c.im < r}
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
SecondCountableTopology G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite μ
μ.IsAddLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
h2K : (interior K).Nonempty
hμK : μ K ≠ ⊤
⊢ μ.Regular
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Finset M
⊢ Module.rank R ↥(span R ↑s) ≤ ↑s.card
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t
⊢ ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s → x ∈ (t ∪ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})) ∩ s
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
m : ι → MeasurableSpace Ω
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ _mΩ
h_indep : iIndep m κ μ
S T : Set ι
hST : Disjoint S T
⊢ IndepSets (piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) S) (piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) T) κ μ
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Generators R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
s : S
⊢ (aeval fun x => IsLocalization.Away.invSelf r) ((fun s => C (IsLocalization.Away.sec r s).1 * X () ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2) s) = s
m n k : ℕ
⊢ (m + k * n).gcd n = m.gcd n
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : Monoid.PushoutI.NormalWord d
⊢ (Monoid.PushoutI.of i) g • w =
  (Monoid.PushoutI.NormalWord.equivPair i).symm
    (let __src := (Monoid.PushoutI.NormalWord.equivPair i) w;
    { head := g * ((Monoid.PushoutI.NormalWord.equivPair i) w).head, tail := __src.tail, fstIdx_ne := ⋯,
      normalized := ⋯ })
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
p : FractionRing K[X]
⊢ { toFractionRing := p⁻¹ } = { toFractionRing := p }⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
⊢ -a + a = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
h : TendstoUniformly F f p
⊢ TendstoUniformlyOnFilter F f p ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a₁ a₂ a₃ : X
b₁ b₂ b₃ : Y
γ₁ : Path a₁ a₂
δ₁ : Path a₂ a₃
γ₂ : Path b₁ b₂
δ₂ : Path b₂ b₃
⊢ (γ₁.prod γ₂).trans (δ₁.prod δ₂) = (γ₁.trans δ₁).prod (γ₂.trans δ₂)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsAntisymm α r
a b : α
⊢ r a b → r b a → a = b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y
⊢ (adj.homEquiv X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (adj.homEquiv X Y) g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ IsPiSystem (⋃ a, {Iio ↑a})
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
⊢ Prod.GameAdd rα rβ (a₁, b₁) (a₂, b₂) ↔ rα a₁ a₂ ∧ b₁ = b₂ ∨ rβ b₁ b₂ ∧ a₁ = a₂
n : ℕ
NeZero n
⊢ Fintype.card (DihedralGroup n) = 2 * n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
⊢ Multiset.map (⇑(frobenius R p)) ((expand R p) f).roots ≤ p • f.roots
α : Type u_1
⊢ Function.Injective ULift.down
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
K : Type u_5
VAdd K β
k : K
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
a : α
⊢ ↑(k +ᵥ f) a = k +ᵥ ↑f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
hge : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β) in g '' s, f b ∂ν
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
B : E →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜
v f : E
is_lax_milgram : ∀ (w : E), ⟪f, w⟫_𝕜 = (B v) w
w : E
⊢ ⟪f, w⟫_𝕜 = ⟪B♯ v, w⟫_𝕜
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
s : Set A
t : Set B
⊢ Algebra.adjoin R (s ×ˢ t) ≤ (Algebra.adjoin R s).prod (Algebra.adjoin R t)
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
⊢ ¬a ≡ b [PMOD p] ↔ ∀ (z : ℤ), b ≠ a + z • p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
h : ¬{i | ε ≤ a i}.Finite
this : Infinite ↑{i | ε ≤ a i}
⊢ False
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ l ∈ tl, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1) → C (List.map List.prod tl).sum
HL : (∀ x ∈ hd, x ∈ s ∨ x = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, ∀ x_1 ∈ x, x_1 ∈ s ∨ x_1 = -1
⊢ C (List.map List.prod (hd :: tl)).sum
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
TopologicalSpace α
hA : CantorScheme.ClosureAntitone A
⊢ CantorScheme.Antitone A
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
k : α
h : m.buckets.WF
⊢ (m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val (AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).WF
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Function.Bijective PartialHomeomorph.symm
α : Type u_1
s : Heap α
le : α → α → Bool
n : Nat
tl : Heap α
hwf : WF le n s
eq : Option.map (fun x => x.snd) (Heap.deleteMin le s) = some tl
⊢ WF le 0 tl
⊢ riemannZeta 2 = ↑π ^ 2 / 6
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
N : ℝ≥0
hN : ∀ (x : n → α), ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ } x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊
i : m
x✝ : i ∈ Finset.univ
h✝ : Nonempty n
⊢ ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ≤ N
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
h : CategoryTheory.ShiftMkCore C A
⊢ CategoryTheory.HasShift.shift.toFunctor = CategoryTheory.Discrete.functor h.F
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
b : M
⊢ (Finsupp.single a b).support ⊆ {a}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x y : α
h4 : x ≠ y
h5 : τ = swap x y
⊢ closure {σ, τ} = ⊤
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
k : ℕ
⊢ (deriv^[k] fun x => x ^ m) = fun x => (∏ i ∈ Finset.range k, (↑m - ↑i)) * x ^ (m - ↑k)
R : Type u
M : Type v
One R
Zero M
⊢ TrivSqZeroExt.snd 1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : Set.InjOn f (⋃ i, s i)
⊢ f '' ⋂ i, s i = ⋂ i, f '' s i
R : Type u
σ : Type v
CommRing R
r : R
⊢ Prime (MvPolynomial.C r) ↔ Prime r
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Set.Ioi a = Set.Ioi (a / c)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingCospanᵒᵖ),
  (CategoryTheory.Limits.opCospan f g).hom.app X_1 =
    (Option.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Z))
        (fun val =>
          CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op X))
            (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Y)) val)
        (Opposite.unop X_1)).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
hco : Function.Commute f g
hfg : IsPeriodicPt (f ∘ g) n x
hg : IsPeriodicPt g n x
⊢ IsPeriodicPt f n x
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : K
hn : 0 < n
e : α ^ n = a
⊢ (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun x => ζ ^ x * α) (Multiset.range n)).prod = ∏ i ∈ Finset.range n, (X - C (ζ ^ i * α))
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝¹ : IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
inst✝ : Fintype ↥G
h : degree 1 < (X ^ Fintype.card ↥G).degree
⊢ nodal (↑G).toFinset Units.val = X ^ Fintype.card ↥G - 1
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : NormedRing 𝔹
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
r : NNReal
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ‖‖expSeries 𝕂 𝔸 n‖ * ↑r ^ n‖ ≤ ↑r ^ n / ↑n !
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)
x : ℝ
⊢ Real.tan (Real.arcsin x) = x / √(1 - x ^ 2)
α : Type u
UniformSpace α
T0Space α
x y : α
h : ClusterPt (x, y) (𝓤 α)
⊢ x = y
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScott α
a : α
⊢ closure {a} = Set.Iic a
α : Type u_1
β : Type u_2
m m' : Multiset α
h : m ≤ m'
⊢ m.sym2 ≤ m'.sym2
α : Type u_3
f : Filter α
s : ℕ → Set α
hs : f.HasAntitoneBasis s
r : ℕ → ℕ → Prop
hr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, r m n
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ (∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → r (φ m) (φ n)) ∧ f.HasAntitoneBasis (s ∘ φ)
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : CG L M
f : M →[L] N
⊢ f.range.CG
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ (boundedBy m) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (t n)
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
D : I → Type u₂
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} (D i)
F G : (i : I) → CategoryTheory.Functor (C i) (D i)
e : (i : I) → F i ≅ G i
⊢ (CategoryTheory.NatIso.pi e).inv = CategoryTheory.NatTrans.pi fun i => (e i).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
⊢ edist f g = ∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : NormalSpace α
inst✝¹⁰ : R1Space α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : SecondCountableTopologyEither α E
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ range ⇑(BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜) ⊆ range ⇑(toLp p μ 𝕜)
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c d : ℝ
⊢ c⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c + d) = ∫ (x : ℝ) in a / c + d..b / c + d, f x
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
h : ¬IsPredLimit a
b : α
hb : ¬IsMin b ∧ pred b = a
⊢ a ∈ range pred
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
⊢ ∀ (s : Set (Submodule R M)), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → span R {x} ≤ sSup s → ∃ x_1 ∈ s, span R {x} ≤ x_1
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
this✝⁸ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this✝⁷ : 0 ≤ ε₂
this✝⁶ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)
this✝⁵ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝⁶
Fl : X → X ⊕ Y := inl
Fr : Y → X ⊕ Y := inr
Il : Isometry Fl
Ir : Isometry Fr
this✝⁴ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)
this✝³ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)
this✝² : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr)
this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁
this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ
this : hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) ≤ ε₃
⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x b₁ b₂ : ↥(adjoin A {ζ})
hb₁ : b₁ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
hb₂ : b₂ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
⊢ b₁ + b₂ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
α : Type u_1
β : Type u_2
s s' : Finset α
t : Finset β
DecidableEq α
DecidableEq β
⊢ (s ∩ s') ×ˢ t = s ×ˢ t ∩ s' ×ˢ t
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun a => ↑(-f a).toNNReal) μ
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ ∀ (a : ↑(↑U).affineOpens),
  ↑↑((AlgebraicGeometry.affineOpensRestrict U) a) = (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor U.ι).obj ↑a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s t : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
hs : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
ht : HasMFDerivWithinAt I I' f t x f'
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f (s ∪ t) x f'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
Z : D
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Prod.sectl C Z).map f = (f, CategoryTheory.CategoryStruct.id Z)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ * ‖⟪y, x⟫_𝕜‖ ≤ re ⟪x, x⟫_𝕜 * re ⟪y, y⟫_𝕜
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 : (extendIdealTo i f h y) r = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)
⊢ ↑(fst i x) = ↑x - snd i x • y
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
hf : Function.Injective ⇑f
S : Subsemigroup M
x : M
⊢ f x ∈ Subsemigroup.map f S ↔ x ∈ S
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.Colorable n
⊢ sInf {n' | G.Colorable n'} ≤ n