ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x y : A
x✝¹ : Homogeneous 𝒜 x
x✝ : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q
nx : ℕ
hnx : x ∈ 𝒜 nx
ny : ℕ
hny : y ∈ 𝒜 ny
⊢ ∀ (b : ℕ), b ≠ nx → HomogeneousLocalization.mk { deg := m * b, num := ⟨(proj 𝒜 b) x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ b, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
x : α
y : Set α
hx : x ∈ s
hy : y ⊆ s
hxy : x ∉ y
this : Disjoint x (sSup y)
⊢ Disjoint x (sSup y)
n : ℕ
⊢ n % 2 = bif n.bodd then 1 else 0
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ (Metric.ball x δ)⁻¹ = Metric.ball x⁻¹ δ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
CategoryTheory.IsSplitEpi f
⊢ CategoryTheory.Sieve.generate (CategoryTheory.Presieve.singleton f) = ⊤
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)
p_odd : Odd p
AB_not_prime : ¬Prime (A * B)
AB_id : A * B = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
ha₁ : (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1) = b * (b ^ (p - 1) - 1) * (b ^ p + b)
ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b
⊢ (A * B).ProbablePrime b
p x : ℝ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (↑m * x) ↔ LiouvilleWith p x
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : AtPrime 𝒜 𝔭
b : at 𝔭.primeCompl
eq0 : val f * b = 1
eq1 : b * val f = 1
⊢ IsUnit f
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₂ : γ₂
⊢ inr c₂ ∈ sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b ↔ (∃ a₁ b₂, a = inl a₁ ∧ b = inr b₂ ∧ c₂ ∈ g₂ a₁ b₂) ∨ ∃ a₂ b₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ c₂ ∈ f₂ a₂ b₂
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ∈ 𝓟 t ↔ t ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
f : α × β → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f (x, y) ∂κ x
R : Type u
CommRing R
p q : R[X]
a : R
hzero : p + q ≠ 0
⊢ min (Polynomial.rootMultiplicity a p) (Polynomial.rootMultiplicity a q) ≤ Polynomial.rootMultiplicity a (p + q)
α : Type u_1
p : PosNum
⊢ pos (p + 1) = (pos p + 0).succ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Add G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
n : ℕ∞
hf : ContMDiff I' I n f
hg : ContMDiff I' I n g
⊢ ContMDiff I' I n (f + g)
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.IsComplete
⊢ AEMeasurable f μ ↔ Measurable f
α : Type u_1
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a : ι → ℝ≥0∞
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, Filter.Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))
h' : ∀ i ∈ s, a i ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun b => ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a c))
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α
hp : Irreducible p
l : Multiset { a // Irreducible a }
⊢ BfactorSetMem ⟨p, hp⟩ ↑l ↔ Mem ⟨p, hp⟩ l
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
hI : ker f ≤ I
⊢ ∀ (x : R ⧸ I), (Ideal.Quotient.lift I f H) x = 0 → x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ✝ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
huniv : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) univ = (ρ.condKernel x) univ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, κ x = ρ.condKernel x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
⊢ preimage Eq s = s
α : Sort u_1
p : α → Prop
⊢ (¬∀ (x : α), p x) = ∃ x, ¬p x
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ LieIdeal.map f (LieAlgebra.derivedSeries R L' k) = LieAlgebra.derivedSeries R L k
A : Type u
CommRing A
K : Type v
Field K
Algebra A K
IsDomain A
ValuationRing A
IsFractionRing A K
x : K
⊢ x ∈ (ValuationRing.valuation A K).integer ↔ ∃ a, (algebraMap A K) a = x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2
⊢ dist p1 p3 = dist p1 p2 + dist p3 p2 ↔ EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3 = π
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ {x} / closedBall y δ = closedBall (x / y) δ
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
K : Type (max v u)
inst✝⁴ : SmallCategory K
inst✝³ : FinCategory K
inst✝² : HasLimitsOfShape K D
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)
inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))
k : K
j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ
⊢ Multiequalizer.lift ((unop j).index (F.obj k)) (multiequalizer ((unop j).index (limit F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop j).index (limit F)) i ≫ (limit.π F k).app (op i.Y)) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (F.obj k) X) j = (limit.lift (F ⋙ J.diagramFunctor D X) ((J.diagramFunctor D X).mapCone (limit.cone F))).app j ≫ colimit.ι (limit (F ⋙ J.diagramFunctor D X)) j ≫ (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D X)).hom ≫ limit.lift (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X)) ((Cones.postcompose (NatIso.ofComponents (fun k => colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k) ⋯).hom).obj (limit.cone (colimit (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip))) ≫ limit.π (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X)) k
α : Type u
ι : Sort w
Order.Frame α
a : α
f : ι → α
⊢ Disjoint a (⨆ i, f i) ↔ ∀ (i : ι), Disjoint a (f i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x a b c : α
h : (fun b => [[b, a]]) b = (fun b => [[b, a]]) c
⊢ b = c
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ LSeriesHasSum (fun x => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑x)) s (expZeta (↑a) s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
h : ∀ (x : α), ‖⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜‖ ≤ ‖‖↑↑f x‖ ^ 2 + ‖↑↑g x‖ ^ 2‖
⊢ eLpNorm (fun a => ‖↑↑f a‖ ^ 2) 1 μ < ⊤ ∧ eLpNorm (fun a => ‖↑↑g a‖ ^ 2) 1 μ < ⊤
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ Monotone AddSubmonoid.addUnits
s r : ℝ
hs : s < 0
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
⊢ x ∈ {x | (fun x => ((fun x => log x ^ r) ∘ fun x => x⁻¹) x = (fun x => |log x| ^ r) x) x}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ ↑(extChartAt I x).symm = ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm
b : ℂ
hb : 0 < b.re
hb' : b ≠ 0
A : ∀ (x : ℂ), HasDerivAt (fun x => -(2 * b)⁻¹ * cexp (-b * x ^ 2)) (x * cexp (-b * x ^ 2)) x
⊢ ∫ (r : ℝ) in Ioi 0, ↑r * cexp (-b * ↑r ^ 2) = (2 * b)⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e✝ : α
M : Matroid α
e : α
X : Set α
⊢ M.closure (insert e (M.closure X)) = M.closure (insert e X)
p : ℂ × ℂ
hp : p.1 ∈ slitPlane
A : p.1 ≠ 0
this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => cexp (log x.1 * x.2)
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) p
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
PartialOrder G
PartialOrder P
VAdd G P
IsOrderedCancelVAdd G P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
⊢ (s.vaddAntidiagonal t a).Finite
⊢ ∀ {α β α_1 β_1 : Type} {f : α → β → α_1 → α_1 × β_1} {s : α_1},
  Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f Mathlib.Vector.nil Mathlib.Vector.nil s = (s, Mathlib.Vector.nil)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' : Cycle α
s : List α
h : s.length ≤ 1
⊢ s.formPerm = 1
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).hom)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h))
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (self.map f) (self.mapComp g h))) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (self.mapComp f g) (self.map h))
      (CategoryTheory.Bicategory.associator (self.map f) (self.map g) (self.map h)).hom)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
hL : Tendsto f L L
hx : f x = x
n : ℕ
this : HasFDerivAtFilter f^[n] (smulRight 1 f' ^ n) x L
⊢ HasDerivAtFilter f^[n] (f' ^ n) x L
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
V : X.Opens
hV : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen V
e : V ≤ (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U
r : ↑(Y.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f (Y.basicOpen r) (X.basicOpen ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f U V e) r)) ⋯ =
  IsLocalization.Away.map (↑(Y.presheaf.obj (Opposite.op (Y.basicOpen r))))
    (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op (X.basicOpen ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f U V e) r)))))
    (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f U V e) r
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist (a / b) a = ‖b‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T0Space X
f : X → Y
hf : Inducing f
⊢ Embedding f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet
ht : MeasurableSet t
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ν.restrict t, μ.rnDeriv ν' x = 0 x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ (p - 1) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi 0) volume
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
ha : a ∈ s
⊢ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝[≤] a ∧ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝[≥] a
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
AddCommMonoid M₁'
Module R M₁'
b₁' : Basis n' R M₁'
Fintype n'
DecidableEq n'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R
⊢ M * (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂) B = (LinearMap.toMatrix₂ b₁' b₂) (B ∘ₗ (Matrix.toLin b₁' b₁) Mᵀ)
α : Type u
Monoid α
a : αˣ
b c : α
⊢ ↑a * b = ↑a * c ↔ b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a = b * c⁻¹
⊢ a * c = b
R : Type u_1
Mul R
Star R
x : R
self : IsStarNormal x
⊢ Commute (star x) x
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
a b : M
h : QuadraticMap.IsOrtho Q a b
⊢ (CliffordAlgebra.ι Q) a * (CliffordAlgebra.ι Q) b + (CliffordAlgebra.ι Q) b * (CliffordAlgebra.ι Q) a = 0
A : Type u_1
M : Type u_2
AddCommGroup A
CommMonoid M
ψ : AddChar A M
x : A
⊢ ψ⁻¹ x = ψ (-x)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
S : Set (LieSubmodule R L M)
⊢ ⋂ p ∈ {x | ∃ s ∈ S, ↑s = x}, ↑p = ⋂ s ∈ S, ↑s
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)
⊢ Localization.mk (a ^ m) (⟨f ^ n, ⋯⟩ ^ m) = Localization.mk (a ^ m) ⟨(f ^ n) ^ m, ⋯⟩
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
S : NonUnitalSubsemiring R
h1 : 1 ∈ S
⊢ (S.toSubsemiring h1).toNonUnitalSubsemiring = S
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
self : LieRingModule L M
x y : L
m : M
⊢ ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ = ⁅⁅x, y⁆, m⁆ + ⁅y, ⁅x, m⁆⁆
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Group G
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
BorelSpace G
TopologicalGroup G
H : Type u_4
Group H
TopologicalSpace H
MeasurableSpace H
BorelSpace H
TopologicalGroup H
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : G →* H
hf : Continuous ⇑f
h_surj : Function.Surjective ⇑f
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ).IsHaarMeasure
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
⊢ ⨆ n, ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.eapprox f n) a = f a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.im
hz_im : 0 ≤ z.re
H : MapsTo (fun x => x * I) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
c : ℝ
hc : c < 2
B : ℝ
hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ ‖(f ∘ fun x => x * I) (↑x * I)‖ ≤ C
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b✝ b' : β
c : γ
f : γ → β → γ
b : β
h : ∀ (a : γ), f a b = a
s : Finset γ
⊢ image₂ f s {b} = s
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ 1 < a⁻¹ ↔ a < 1
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E
hdeg : F⟮x⟯ = ⊥
halg : IsIntegral F x
hsep : IsSeparable F x
⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
⊢ logb b x < y ↔ b ^ y < x
p : ℕ
⊢ padicValNat p 0 = 0
xs : List Nat
y : Nat
h : y ≠ 0
⊢ xs.nonzeroMinimum = y ↔ y ∈ xs ∧ ∀ (x : Nat), x ∈ xs → y ≤ x ∨ x = 0
α : Type u_4
β : Type u_5
Fintype α
Fintype β
⊢ Fintype.card (α × β) = Fintype.card α * Fintype.card β
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝ : Group G
x : G
⊢ x ∈ fixedPoints (ConjAct G) G ↔ x ∈ ↑(center G)
α : Type u_3
Sup α
Bot α
⊢ (SupBotHom.id α).toSupHom = SupHom.id α
α : Type u_2
δ : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace δ
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → δ
hf : AEMeasurable f μ
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μ).restrict s = MeasureTheory.Measure.map f (μ.restrict (f ⁻¹' s))
α : Type u_1
l₁ l₂ t₁ t₂ : List α
p₁ : l₁ ~ l₂
p₂ : t₁ ~ t₂
⊢ l₁ ++ t₁ ~ l₂ ++ t₂
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n k : ℕ
this : 2 ^ n ≤ 2 ^ (n + k)
⊢ ‖newton_seq (n + k + 1) - newton_seq n‖ = ‖newton_seq (n + k + 1) - newton_seq (n + k) + (newton_seq (n + k) - newton_seq n)‖
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h2 : p2 ≠ p1
h3 : p3 ≠ p1
⊢ ∠ p1 p2 p3 + ∠ p2 p3 p1 + ∠ p3 p1 p2 = π
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
LinearOrder ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
(i : ι) → PartialOrder (β i)
x : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
⊢ toLex (Function.update x i a) ≤ toLex x ↔ a ≤ x i
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ S = ⊤ ↔ ∀ (x : A), x ∈ S
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m n : ℕ
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (WittVector.wittNSMul p m n) = 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
N : Submonoid R
h₁ : M ≤ N
h₂ : ∀ r ∈ N, IsUnit ((algebraMap R S) r)
x y : R
⊢ (∃ c, ↑c * x = ↑c * y) → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
⊢ (map f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) = OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f ⁻¹' s)) m_empty
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEMeasurable f μ
⊢ 0 < μ {x | f x ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ}
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
R : Type u_1
S : Type u_2
AddCommMonoid R
AddCommMonoid S
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
h : R ≃+ S
f : Π₀ (i : ι), β i
g : (i : ι) → β i →+ R
⊢ h ((DFinsupp.sumAddHom g) f) = (DFinsupp.sumAddHom fun i => h.toAddMonoidHom.comp (g i)) f
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
Fintype α
s : Setoid α
DecidableRel Setoid.r
b : α
⊢ b ∈ (Finpartition.ofSetoid s).part a ↔ Setoid.r a b
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α₁ : Type u_7
α₂ : Type u_8
e : α₁ ≃ α₂
i : α₁
m : M
⊢ (Finsupp.domLCongr e) (Finsupp.single i m) = Finsupp.single (e i) m
α : Type u
β : Type v
a : α
m : α → Filter β
⊢ (pure a).bind m = m a
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
a₁ a₂ : α
⊢ a₁ ∈ orbit G a₂ ↔ a₂ ∈ orbit G a₁
ι : Type u_1
β : Type u_4
CommMonoid β
κ : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → κ → β
t : ι → Set κ
g : ι → κ
DecidablePred fun i => g i ∈ t i
⊢ ∏ i ∈ s, (t i).mulIndicator (f i) (g i) = ∏ i ∈ Finset.filter (fun i => g i ∈ t i) s, f i (g i)
K : Type u
Field K
x y : RatFunc K
⊢ (x * y).num * (x.denom * y.denom) = x.num * y.num * (x * y).denom
G : Type u_1
AddMonoid G
H : AddSubmonoid G
x : ↥H
⊢ IsOfFinAddOrder ↑x ↔ IsOfFinAddOrder x
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor g).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator f g (CategoryTheory.CategoryStruct.id c)).inv
    (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)).hom
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap φ) h₂.leftHomologyIso.hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.leftHomologyIso.hom γ.φH
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs✝ : s.Finite
ht✝ : t.Finite
inst✝ : DecidableEq α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
h : (s ∆ t).Finite
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ h.toFinset ↔ a✝ ∈ hs.toFinset ∆ ht.toFinset
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
x✝ : ↥(X.ρ.linHom Y.ρ).invariants
⊢ ↑((fun f => ⟨f.hom, ⋯⟩) ({ toFun := fun f => { hom := ↑f, comm := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x✝)) = ↑x✝
n : ℕ
⊢ n.choose 2 = n * (n - 1) / 2
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ y₁ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
hy : y₁ ≠ W.negY x₁ y₁
⊢ WeierstrassCurve.Affine.Point.some h₁ + WeierstrassCurve.Affine.Point.some h₁ = -WeierstrassCurve.Affine.Point.some ⋯
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
t : ι → Set X
htd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t
htc : ∀ (i : ι), IsCompact (t i)
htcl : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
i₀ : ι := hι.some
htn : ∀ (i : ι), t i ≠ ∅
⊢ ¬(Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t → ∃ i, t i₀ ∩ t i = ∅)
α : Type u_1
E : Set α
⊢ (Matroid.loopyOn E)✶ = Matroid.freeOn E
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
⊢ μ₁ + μ₂ ⟂ₘ ν ↔ μ₁ ⟂ₘ ν ∧ μ₂ ⟂ₘ ν
R : Type u_1
p m : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hm : ¬p ∣ m
x✝ : 0 < 1
⊢ cyclotomic (p ^ 1 * m) R = cyclotomic m R ^ (p ^ 1 - p ^ (1 - 1))
A : Type u_3
F : Type u_5
FunLike F ℕ A
AddMonoid A
AddMonoidHomClass F ℕ A
f g : F
h : f 1 = g 1
⊢ f = g
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 : Presheaf C X
c : C
f : 𝓕.stalk p₀ ⟶ c
U : (OpenNhds p₀)ᵒᵖ
⊢ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds p₀)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion p₀).op).obj 𝓕) U ≫ fromStalk p₀ (toSkyscraperPresheaf p₀ f) = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds p₀)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion p₀).op).obj 𝓕) U ≫ f
xl✝ xr✝ : Type u
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
h : mk xl xr xL xR ≤ mk yl yr yL yR
i : yr
⊢ (∃ i_1, mk xl xr xL xR + mk zl zr zL zR ≤ ((mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR).moveRight (Sum.inl i)).moveLeft i_1) ∨ ∃ j', (mk xl xr xL xR + mk zl zr zL zR).moveRight j' ≤ (mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR).moveRight (Sum.inl i)
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
⊢ (⋂₀ ↑F).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
⊢ 2 / (1 - 2 / rexp 1) ≤ ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I J : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ (I ⊔ J).toIdeal = I.toIdeal ⊔ J.toIdeal
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U : Set ℂ
hU : IsOpen U
c w₀ : ℂ
R : ℝ
f : ℂ → E
hc : closedBall c R ⊆ U
hf : DifferentiableOn ℂ f U
hw₀ : w₀ ∈ ball c R
hf' : DifferentiableOn ℂ (dslope f w₀) U
h0 : ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w₀)⁻¹ • dslope f w₀ z) = dslope f w₀ w₀
⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((z - w₀) ^ 2)⁻¹ • f z) = deriv f w₀
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
h : c.Rel i j
⊢ c.Rel ?hc.choose j
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c ≠ 0
⊢ P.toPoly.degree = 1