ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this : QuasiSober ↑U
⊢ ∃ x, IsGenericPoint x t
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
Du : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uE uF uG, uD} D
Eu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uF uG, uE} E
Fu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uG, uF} F
Gu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uF, uG} G
isoD : Du ≃ₗᵢ[𝕜] D
isoE : Eu ≃ₗᵢ[𝕜] E
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : Du → Eu := ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
hfu✝ : fu = ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
gu : Du → Fu := ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
hgu✝ : gu = ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
Bu₀ : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] G := ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
hBu₀ : Bu₀ = ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
Bu : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu := ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
hBu : Bu = ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
Bu_eq : (fun y => (Bu (fu y)) (gu y)) = ⇑isoG.symm ∘ (fun y => (B (f y)) (g y)) ∘ ⇑isoD
Bu_le : ‖Bu‖ ≤ ‖B‖
su : Set Du := ⇑isoD ⁻¹' s
hsu : UniqueDiffOn 𝕜 su
xu : Du := isoD.symm x
hxu : xu ∈ su
xu_x : isoD xu = x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu su
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu su
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu su xu‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
Ngu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu su xu‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g s x‖
NBu : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (Bu (fu y)) (gu y)) su xu‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖
this : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ‖Bu‖ * ∑ x_1 ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose x_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 x_1 f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - x_1) g s x‖
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type w
Semiring R
CategoryTheory.Linear R C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
r : Rˣ
g : Y ⟶ Z
⊢ f ≫ (r • g) = r • f ≫ g
c w : ℂ
R : ℝ
n : ℤ
⊢ CircleIntegrable (fun z => (z - w) ^ n) c R ↔ R = 0 ∨ 0 ≤ n ∨ w ∉ Metric.sphere c |R|
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (f =o[l] fun x => ‖c‖ * ‖f' x‖) ↔ f =o[l] f'
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ o.oangle (-x) y = o.oangle x y + ↑π
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n : ℕ
a : M
m : ℕ
⊢ a ^ (m * 0) = (a ^ m) ^ 0
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝¹ : UniformSpace ι
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
⊢ UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ F) (UniformFun.uniformSpace X α) = inst✝¹ ↔ UniformSpace.comap F (UniformFun.uniformSpace X α) = inst✝¹
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
μ : Measure β
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
⊢ HasFiniteIntegral (fun x => f x - 0) μ
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
Y Z : C
f : Y ≅ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f.inv)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f.hom) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Z)
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
a b : ℤ√d
⊢ (↑{ toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (a + b) = (↑{ toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun a + (↑{ toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → ((∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)) → (∀ i ∈ insert a s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ insert a s, f i) = ∑ i ∈ insert a s, setToFun μ T hT (f i)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι'
m : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
i : ι'
c : R
this : DecidableEq ι := σ.decidableEq
⊢ ∀ (x : M₁ (σ.symm (σ (σ.symm i)))), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) x)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
ε a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ |a₁ - b₁| < ε → |a₂ - b₂| < ε → |a₁ ⊓ a₂ - b₁ ⊓ b₂| < ε
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
A : C
x : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)
A' : C
π : A' ⟶ A
w✝¹ : Epi π
x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀
w✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0
hx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀
a : A' ⟶ S.X₁.X n₁
b : A' ⟶ S.X₂.X n₀
w : a ≫ S.X₁.d n₁ (n₁ + 1) = 0 ∧ a ≫ S.f.f n₁ + b ≫ S.X₂.d n₀ n₁ = 0
hab : x' = a ≫ (inl S.f).v n₁ n₀ ⋯ + b ≫ (inr S.f).f n₀
⊢ HomologicalComplex.liftCycles S.X₁ ((x' ≫ (triangle S.f).mor₃.f n₀) ≫ (HomologicalComplex.XIsoOfEq S.X₁ ⋯).hom) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ HomologicalComplex.homologyπ S.X₁ n₁ ≫ 𝟙 (HomologicalComplex.homology S.X₁ n₁) = S.X₁.liftCycles (-a) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ n₁
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
h : a :: b :: l ≠ []
⊢ a :: ((b :: l).dropLast ++ [(b :: l).getLast ⋯]) = a :: b :: l
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
α : Type u_12
e : M ≃* N
f : N → α
g : M → α
⊢ f = g ∘ ⇑e.symm ↔ f ∘ ⇑e = g
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : PartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
this : ↑f '' f.source = f.target
⊢ ∫ (x : E) in ↑f '' f.source, g x ∂μ = ∫ (x : E) in f.source, |(f' x).det| • g (↑f x) ∂μ
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a : α
ha : ¬IsMin a
⊢ Set.Ioi (Order.pred a) = Set.Ici a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X✝ Y : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
J J₂ : GrothendieckTopology C
hJ : Subcanonical J
X : C
⊢ Presieve.IsSheaf J (CategoryTheory.yoneda.obj X)
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid β
l : Filter α
f : α → β
C : β
hf : Filter.Tendsto (fun x => f x + C) l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
⊢ False
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
Field F
Field K
Field L
Algebra F K
Algebra F L
h : IsNormalClosure F K L
⊢ Normal F L
R : Type u_1
p m : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hm : ¬p ∣ m
a : ℕ
x✝ : 0 < a + 2
⊢ cyclotomic (p ^ (a + 2) * m) R = cyclotomic m R ^ (p ^ (a + 2) - p ^ (a + 2 - 1))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
ha : DifferentiableWithinAt 𝕜 a s x
n : ℕ
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => a x ^ n) s x
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x * x_1) 2
α : Type u_5
β : Type u_6
Ω : Type u_7
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
h : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
⊢ κ.condKernel =
  if hα : Countable α then ProbabilityTheory.Kernel.condKernelCountable (fun a => (κ a).condKernel) ⋯
  else κ.condKernelBorel
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x < 1
hz : z < 0
⊢ 1 < x ^ z
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
p : G.Walk v w
hp : ¬p.Nil
⊢ (p.firstDart hp).toProd = (v, p.sndOfNotNil hp)
δ : Type u_1
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
∀ (i : δ), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s t : Finset δ
hst : Disjoint s t
⊢ ∫⋯∫⁻_s ∪ t, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_t, ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ∂μ
α : Type u_1
E' : Type u_6
E'' : Type u_9
SeminormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup E''
f' : α → E'
l : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0
⊢ (fun _x => c) =O[l] f' ↔ ∃ b, 0 < b ∧ ∀ᶠ (x : α) in l, b ≤ ‖f' x‖
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
x : 𝕜
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ ∃ V ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V ⊆ (fun y => x • y) ⁻¹' U
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Setoid X
V : Set (Quotient s)
x : X
hs : V ∈ 𝓝 (Quotient.mk' x)
⊢ Quotient.mk' ⁻¹' V ∈ 𝓝 x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p₁ p₂ : α
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₂ : 0 < k₂
h : p₁ ^ k₁ ~ᵤ p₂ ^ k₂
⊢ p₁ ~ᵤ p₂
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ s = MeasureTheory.extend (fun t _ht => μ t) s
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
h : -a • b₂ < -a • b₁
ha : a ≤ 0
⊢ b₂ < b₁
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
x y : ℕ → α
h : res x = res y
n : ℕ
⊢ res x n.succ = res y n.succ
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g MeasureTheory.volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ =
  ∫⁻ (t : ℝ) in Set.Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddCommMonoid G
⊢ ∀ (a : G →₀ kᵐᵒᵖ), AddMonoidAlgebra.opRingEquiv.symm a = MulOpposite.op (Finsupp.mapRange MulOpposite.unop ⋯ a)
τ : ℂ
⊢ jacobiTheta τ = jacobiTheta₂ 0 τ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
s : Set X
h : x ⤳ y
hs : IsOpen s
hy : y ∈ s
⊢ x ∈ s
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
n : ℕ
hn : p.Coprime n
g : G
⊢ (hG.powEquiv hn).symm g = g ^ (orderOf g).gcdB n
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
m : a ∉ s
⊢ ∀ {t' : Multiset α}, s ≤ t' → a ∈ t' → a ::ₘ s ≤ t'
n : ℕ
z : ℂ
⊢ HasDerivAt (logTaylor (n + 1)) (∑ j ∈ Finset.range n, (-1) ^ j * z ^ j) z
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_3
t : TopologicalSpace α
inst✝² : PolishSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ AnalyticSet s
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
U : Set 𝕜
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hg : AnalyticOn 𝕜 g U
hU : IsPreconnected U
h₀ : z₀ ∈ U
hfg : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = g z
⊢ EqOn f g U
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
a : ℝ
h0 : 0 < rexp a
b : ℝ
hle : a ≤ b
hd : ∀ z ∈ (ball c (rexp b) \ closedBall c (rexp a)) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
A : Set ℂ := closedBall c (rexp b) \ ball c (rexp a)
R : Set ℂ := [[a, b]] ×ℂ [[0, 2 * π]]
g : ℂ → ℂ := fun x => c + cexp x
hdg : Differentiable ℂ g
hs : (g ⁻¹' s).Countable
h_maps : MapsTo g R A
hc : ContinuousOn (f ∘ g) R
⊢ ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, I • f (circleMap c (rexp b) θ) = ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, I • f (circleMap c (rexp a) θ)
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hb : AddLECancellable b
h : a + b ≤ c
⊢ a ≤ c - b
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
X : (i : I) → C i
i : I
⊢ (CategoryTheory.Pi.comapId I C).hom.app X i = CategoryTheory.CategoryStruct.id X i
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
j : ι
hj : ¬c.Rel (c.prev j) j
k : ι
hk' : c.Rel k j
⊢ c.Rel (c.prev j) j
c : Lean.Omega.Constraint
h : c.isImpossible = true
t : Int
⊢ ¬c.sat t = true
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
a : α
n : ℕ
x : α
xs : List α
z : Sym α (n + 1)
ha : a ∈ z
hz : z ∈ List.sym (n + 1) (x :: xs)
⊢ a ∈ x :: xs
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : StarRing R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
inst✝ : StarMemClass S A
s : S
⊢ StarAlgebra.adjoin R ↑(NonUnitalStarAlgHom.range (NonUnitalStarSubalgebraClass.subtype s)) = StarAlgebra.adjoin R ↑s
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
⊢ ‖f‖ ≤ C
R : Type u
Semiring R
k m n : ℕ
x y z : R
⊢ (Polynomial.C x * Polynomial.X ^ k + Polynomial.C y * Polynomial.X ^ m + Polynomial.C z * Polynomial.X ^ n).support ⊆
  {k, m, n}
n k : ℕ
⊢ hyperoperation (n + 4) 0 k = if Even k then 1 else 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝ : Fintype ι
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h's : Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
⊢ ∫ (x : X) in ⋃ i, s i, f x ∂μ = ∑ i : ι, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
⊢ f n = gramSchmidt 𝕜 f n + ∑ i ∈ Finset.Iio n, ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f i})) (f n))
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I
⊢ IsCompl (lieIdealSubalgebra K L (orthogonal Φ hΦ_inv I)).toSubmodule (Φ.orthogonal (lieIdealSubalgebra K L (orthogonal Φ hΦ_inv I)).toSubmodule)
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ M.charpoly.coeff k = (∏ i : n, (Polynomial.X - Polynomial.C (M i i))).coeff k
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : Preregular C
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
inst✝ : PreservesFiniteProducts G
h : Presheaf.IsLocallySurjective (coherentTopology C) f
U✝ : C
y : (forget (Type w)).obj (G.obj (op U✝))
⊢ Presheaf.imageSieve f y ∈ (regularTopology C).sieves U✝
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0
f : α →ₛ F
s : Finset F
hs : filter (fun x => x ≠ 0) f.range ⊆ s
x : F
hx : x ∉ filter (fun x => x ≠ 0) f.range
⊢ (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x = 0
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
β : Type w
SMul R α
SMul R β
f : α → β
r : R
hf : ∀ (a : α), f (r • a) = r • f a
M : Matrix m n α
⊢ (r • M).map f = r • M.map f
α : Type u
Monoid α
a b : α
Invertible a
Invertible b
⊢ ⅟a = ⅟b ↔ a = b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
j : J
I : CategoryTheory.Limits.IsTerminal j
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j)
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
a : X
⊢ MulAction.IsFixedBlock G (MulAction.orbit G a)
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ LSeriesSummable ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(ArithmeticFunction.vonMangoldt n)) s
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ 0 < -b + a ↔ b < a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ a • x' + b • y' ≤ f.symm (a • f x' + b • f y')
R : Type u
σ : Type v
a : R
CommSemiring R
i : σ
⊢ (MvPolynomial.pderiv i) (MvPolynomial.C a) = 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
⊢ v ∈ f '' closedBall z₀ r
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b
X : Type u := FreeGroup (WeaklyConnectedComponent (Generators G))
f : G → X := fun g => FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk g)
F : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X := differenceFunctor f
a✝ b✝ : Generators G
e✝ : a✝ ⟶ b✝
⊢ F.map (of e✝) = ((Functor.const G).obj ()).map (of e✝)
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
⊢ IsOpen {x | IsUnit x}
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
⊢ Monotone fun π => π.restrict J
X : AlgebraicGeometry.Scheme
self : X.OpenCover
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ Set.range ⇑(self.map (self.f x)).val.base
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement S {g}
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
y : ↑S × ↑{g}
hy : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) y = x * ↑y.2
⊢ ↑y.1 ∈ S
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ y ∈ s, f y = g y
hx : f x = g x
hf : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' n g s x
M : Type u_4
N : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
hmul : ∀ (x y : M), (↑f).toFun (x * y) = (↑f).toFun x * (↑f).toFun y
⊢ { toOneHom := ↑f, map_mul' := hmul } = f
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f g : M₁ →ₗ[R] M₁
⊢ (toMatrixAlgEquiv v₁) (f ∘ₗ g) = (toMatrixAlgEquiv v₁) f * (toMatrixAlgEquiv v₁) g
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : ¬y ≤ 0
⊢ ∃ n, y ^ n < x
𝕜 : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
⊢ stdSimplex 𝕜 (Fin 2) = [Pi.single 0 1-[𝕜]Pi.single 1 1]
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
s : Set L
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
ι : Sort u_6
f : ι → α
g : α → M
⊢ (Set.range f).mulIndicator g ∘ f = g ∘ f