ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M✝ : Type u_2
M'✝ : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'✝
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M✝
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝
f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝
g : M✝ →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s : ↥S
⊢ mk' f (m₁ - m₂) s = mk' f m₁ s - mk' f m₂ s
p j : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
F : ℕ → ℚ
S : Finset ℕ
hS : S.Nonempty
hF : ∀ i ∈ S, padicValRat p (F j) < padicValRat p (F i)
hn1 : ∀ (i : ℕ), 0 < F i
⊢ padicValRat p (F j) < padicValRat p (∑ i ∈ S, F i)
x n : Nat
h₁ : n ≤ x
h₂ : x < 2 * n
⊢ x % n = x - n
x : ℝ
⊢ Real.cosh x ^ 2 - Real.sinh x ^ 2 = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
CompleteSpace E
⊢ K.topologicalClosure = ⊤ ↔ Kᗮ = ⊥
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
A : 0 < ↑m
⊢ f ↑m + log ↑m = f 1 + log ↑m !
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
b : β
s : Set ι
⊢ AntivaryOn f (Function.const ι b) s
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X✝
inst✝³ : R1Space X✝
x✝ y : X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : R1Space Y
f : X → Y
x : X
K : Set X
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
hKc : IsCompact K
hKx : K ∈ 𝓝 x
hc : IsCompact (f '' K \ interior s)
⊢ ∃ K ∈ 𝓝 x, IsCompact K ∧ MapsTo f K s
α : Type u
ι : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c : ι → α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
r : ι → ℝ
hs : IsClosed s
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ ball (c i) (r i)}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
v : ι → Set α
hsv : s ⊆ iUnion v
hvc : ∀ (i : ι), IsClosed (v i)
hcv : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r i)
this : ∀ (i : ι), ∃ r' < r i, v i ⊆ ball (c i) r'
⊢ ∃ r', s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i < r i
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
a : A i
⊢ (((lift R A) fun {i} => maps) ∘ₐ ι R A i) a = maps a
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
ht : IsUpperSet t
⊢ s ⊆ t ∨ t ⊆ s
α : Type u_2
Lattice α
s : Set α
h_sup : SupClosed s
h_inf : InfClosed s
⊢ ↑{ carrier := s, supClosed' := h_sup, infClosed' := h_inf } = s
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
⊢ AdicCompletion.AdicCauchySequence.map I LinearMap.id = LinearMap.id
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
h𝒜 : ∀ s ∈ 𝒜, a ∉ s
⊢ Finset.memberSubfamily a (Finset.image (insert a) 𝒜) = 𝒜
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
f : C(X, Y)
x : X
U : Set Y
hx : f x ∈ U
hU : IsOpen U
K : Set X
hxK : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
hKU : MapsTo (⇑f) K U
⊢ ∀ᶠ (x : C(X, Y) × X) in 𝓝 (f, x), x.1 x.2 ∈ U
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
p : α → Prop
D : DecidablePred p
f : α →₀ M
⊢ (Finsupp.subtypeDomain p f).support = Finset.subtype p f.support
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
i j k l : ι
w₁ : Monoid.CoprodI.NeWord M i j
hne : j ≠ k
w₂ : Monoid.CoprodI.NeWord M k l
⊢ (w₁.append hne w₂).head = w₁.head
α : Type u_1
F : Type u_4
Norm F
g : α → F
l : Filter α
u : α → ℝ
⊢ (fun x => |u x|) =o[l] g ↔ u =o[l] g
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Stream' α
⊢ Stream'.map f s = Stream'.pure f ⊛ s
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s - s ∩ t = s - t
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
w : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)
pos : 0 ≤ (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)
⊢ A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁ ≤ √2 ^ 3 • 1
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
b : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproduct.bicone f).π b = CategoryTheory.Limits.biproduct.π f b
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
⊢ I.splitLower i x = ↑I ↔ I.upper i ≤ x
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → Zero (β i)
x : (i : ι) → β i
⊢ hammingNorm x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
f : α → β
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidablePred fun y => y ∈ Set.range f
inst✝ : DecidableEq β
this : DecidablePred fun y => ∃ x, f x = y := inst✝¹
⊢ filter (fun y => y ∈ Set.range f) univ = image f univ
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
ContinuousAdd M₂
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ (f + f') m = f m + f' m
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
P : Submodule ℕ M
x✝ : P.FG
S : Finset M
hS : span ℕ ↑S = P
⊢ AddSubmonoid.closure ↑S = P.toAddSubmonoid
w x y z : ℝ
ι : Type u_1
l : List ι
f : ι → ℝ
hl : ∀ i ∈ l, 0 ≤ f i
r : ℝ
⊢ (List.map (fun x => f x ^ r) l).prod = (List.map f l).prod ^ r
V : Type u_1
W : Type u_2
f : V ↪ W
⊢ Function.LeftInverse (SimpleGraph.comap ⇑f) (SimpleGraph.map f)
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
Group H
I : Type u_1
Group I
M : Subgroup H
O : Subgroup I
M.Normal
O.Normal
f : G →* H
g : H →* I
hf : N ≤ Subgroup.comap f M
hg : M ≤ Subgroup.comap g O
hgf : N ≤ Subgroup.comap (g.comp f) O := ⋯
⊢ (QuotientGroup.map M O g hg).comp (QuotientGroup.map N M f hf) = QuotientGroup.map N O (g.comp f) hgf
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
x : α
H2 : x ∈ s
⊢ x ≤ s.max' ⋯
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
hm : m ≠ 0
⊢ Irrational (x * ↑m)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.87350, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
hg : S.g = 0
this : IsIso S.rightHomologyι
⊢ S.opcycles ≅ S.rightHomology
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : Tendsto (Box.lower ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.lower)
hJu : Tendsto (Box.upper ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.upper)
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)
α : Type u_2
DecidableEq α
x : Finset α
⊢ ∑ m ∈ x.powerset, (-1) ^ m.card = if x = ∅ then 1 else 0
G : Type w
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
x b : G
⊢ (Homeomorph.divRight x).symm b = b * x
a✝ b✝ c✝ : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ ∀ {i j : Ordinal.{u_1}}, i < a ♯ b → j < a ♯ b → i ≤ j → i ♯ c ≤ j ♯ c
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
x : ZMod m
hψ : ψ (-1) = 1
⊢ ψ (-x) = ψ x
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp_pos : 0 < p
h : (a ^ 1 + b ^ 1) ^ (1 / 1) ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p)
⊢ (a + b) ^ p ≤ a ^ p + b ^ p
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
a : R
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : a = 0
⊢ ((monomial n) a).degree ≤ ↑n
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
⊢ Continuous (GenLoop.fromLoop i)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f volume a b
hpos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 < f x
hab : a < b
⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a✝ a : α
⊢ s.mulIndicator f a ≠ 1 ↔ a ∈ s ∩ mulSupport f
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
k : Set G
hk : IsCompact k
μ : MeasureTheory.Measure G
⊢ μ (closure k) = μ k
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject f).arrow ≫ f = 0
z : ℍ
r : ℝ
⊢ UpperHalfPlane.coe '' Metric.ball z r = Metric.ball (↑(z.center r)) (z.im * Real.sinh r)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
⊢ Continuous fun x => ‖↑x‖
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a < b
⊢ IsGLB (Set.Ico a b) a
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring R
⊢ ∀ (a : ↥S), S.ringEquivOpMop a = MulOpposite.op (S.addEquivOp a)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ a ∈ s → (a ::ₘ s).dedup = s.dedup
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
⊢ s ∩ {a} = ∅ ↔ a ∉ s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
f g : End K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
⊢ (annihilator K[X] (AEval' f)).IsRadical
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : μ s = 0
ht : ν t = 0
hst : Set.univ ⊆ s ∪ t
⊢ μ ⟂ₘ ν
α : Sort u_1
β : Trunc α → Prop
⊢ (∀ (a : α), β (Trunc.mk a)) → ∀ (q : Trunc α), β q
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ ‖∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c‖ ≤ ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j_1 : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j_1)‖
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
this : ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) * MulOpposite.op x ^ k = ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k)
⊢ (MulOpposite.op x - MulOpposite.op y) * ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) = MulOpposite.op x ^ n - MulOpposite.op x ^ m * MulOpposite.op y ^ (n - m)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_5
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : F
⊢ LinearMap.eqLocus f g = ⊤ ↔ f = g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x₁ x₂ : E
y : F
⊢ (fun x => (x.1 • x₁ + x.2 • x₂, y)) '' {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1} = (fun p => p.1 • (x₁, y) + p.2 • (x₂, y)) '' {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
R : Type u_1
AddSemigroup R
a b : R
ab : IsAddRegular (a + b)
ba : IsAddRegular (b + a)
⊢ IsAddRegular a ∧ IsAddRegular b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p q : α
hq : Irreducible q
left✝ : p ≠ 0
x : α
hx : ¬IsUnit x
hx' : q = p * x
⊢ IsUnit p
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f g : ℂ → E
hdf : DiffContOnCl ℂ f (Complex.im ⁻¹' Set.Ioo a b)
hBf :
  ∃ c < π / (b - a),
    ∃ B,
      f =O[Filter.comap (abs ∘ Complex.re) Filter.atTop ⊓ 𝓟 (Complex.im ⁻¹' Set.Ioo a b)] fun z =>
        expR (B * expR (c * |z.re|))
hdg : DiffContOnCl ℂ g (Complex.im ⁻¹' Set.Ioo a b)
hBg :
  ∃ c < π / (b - a),
    ∃ B,
      g =O[Filter.comap (abs ∘ Complex.re) Filter.atTop ⊓ 𝓟 (Complex.im ⁻¹' Set.Ioo a b)] fun z =>
        expR (B * expR (c * |z.re|))
ha : ∀ (z : ℂ), z.im = a → f z = g z
hb : ∀ (z : ℂ), z.im = b → f z = g z
⊢ Set.EqOn f g (Complex.im ⁻¹' Set.Icc a b)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
x : A
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ IsIntegral R (x ^ n) ↔ IsIntegral R x
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
x y : ℝ
left✝ : ⊥ < ↑y
hy : ↑y < liminf v f
⊢ ↑x < ⊤ → ↑x ≤ liminf (u + v) f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.SheafOfTypes J} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.sheafOfTypesToPresheaf J).map f = f.val
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
q : ℚ≥0
⊢ ↑q < 0 ↔ q < 0
α : Type u_1
a : α
⊢ (some a).toFinset = {a}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
c : F
⊢ HasFDerivAt (fun x => f x + c) f' x
a : ℕ
a.AtLeastTwo
⊢ ⊤ ≠ OfNat.ofNat a
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
⊢ χ = 1 ↔ ∀ (a : Rˣ), χ ↑a = 1
α : Type u_1
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup G
s : Set α
c : G
p : ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
s : Set A
⊢ span R ↑(Subsemigroup.closure s) ≤ (adjoin R s).toSubmodule
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
⊢ ⇑(ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow R M) = fun f => (f 0, f 1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
self : CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight 0 X = 0
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ
⊢ (fun x => a + x)^[n] 0 = a * ↑n
α : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup α
n : ℤ
a : α
⊢ ‖a ^ n‖₊ ≤ ‖n‖₊ * ‖a‖₊
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop (𝓝 l)
M : ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n) (𝓝[Complex.stolzSet M] 1) (𝓝 l)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ Set.Ici a ∈ 𝓝 b
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
i : ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ {i}.pi t = {x | x i ∈ t i}
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y✝ : α
s t : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x (closure s) < ⊤
ε0 : 0 < ↑ε / 2
this : infEdist x (closure s) < infEdist x (closure s) + ↑ε / 2
y : α
ycs : y ∈ closure s
hy : edist x y < infEdist x (closure s) + ↑ε / 2
z : α
zs : z ∈ s
dyz : edist y z < ↑ε / 2
⊢ infEdist x s ≤ infEdist x (closure s) + ↑ε
α : Type u_1
m n : ℕ
A : Matrix (Fin m) (Fin n) α
⊢ A.etaExpand = A
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) = Associates.mk I
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
x y : (i : ι) → A i
⊢ (PiTensorProduct.mul ((PiTensorProduct.tprod R) x)) ((PiTensorProduct.tprod R) y) = (PiTensorProduct.tprod R) (x * y)
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
l₁ l₂ : BoxIntegral.IntegrationParams
h : l₁ ≤ l₂
π₀ : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ l₁.toFilteriUnion I π₀ ≤ l₂.toFilteriUnion I π₀
f : C(ℝ, ℂ)
h_norm :
  ∀ (K : TopologicalSpace.Compacts ℝ),
    Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
h_sum : Summable fun n => 𝓕 ⇑f ↑n
x : ℝ
⊢ ∑' (n : ℤ), f (x + ↑n) = ∑' (n : ℤ), 𝓕 ⇑f ↑n * (fourier n) ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
self : SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.ExplicitDisjoint t
a : α
b : β
c c' : γ
⊢ (a, b, c) ∈ t → (a, b, c') ∈ t → c = c'
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : Iᵒᵖ ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.rightOp ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.rightOp ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
⊢ Equiv.ulift.symm (coyonedaEquiv (colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i ≫ f)) = { down := f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i)))) }
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α
⊢ x ∈ g⁻¹ • s ↔ x ∈ s
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
⊢ (A / C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B * C).card
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (∃ g, g 0 • ![x, r • x + y] 0 + g 1 • ![x, r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0) ↔ ∃ g, ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, g i • ![x, y] i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
I : Type u
X : I → TopCat
x : (i : I) → ↑(π.obj (X i))
⊢ (Path.Homotopic.pi fun i => ⟦Path.refl (x i).as⟧) = 𝟙 ({ obj := fun g => { as := fun i => (g i).as }, map := fun {X_1 Y} p => Path.Homotopic.pi p }.obj x)
a : UInt64
n : ℕ
⊢ a ^ n = { val := a.val ^ n }
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
h : ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {f : ι →₀ R} {x : (ι →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
⊢ Module.Flat R M
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
b : α
H : ∀ a > b, Order.pred a < b
⊢ Order.IsPredLimit b
d : ℤ
h₀ : 0 ≤ d
a : Pell.Solution₁ d
⊢ a.x ≠ 0
ι : Type u_1
m✝ : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype m✝
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype p
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : DecidableEq p
m : p → Type u_8
inst✝ : (i : p) → Fintype (m i)
M : (i : p) → Matrix (m i) (m i) R
⊢ (blockDiagonal' M).trace = ∑ i : p, (M i).trace
G : Type u''
S : Type u'
R : Type u
M : Type v
ι : Type w
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : AddCommGroup M
module_M : Module R M
p p' : Submodule R M
r : R
x y : M
hy : y ∈ p
⊢ x - y ∈ p ↔ x ∈ p
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
⊢ ↑(AddSubgroup.topEquiv.symm x) = x
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.leadingCoeff = 0 ↔ p = 0
n m : ℕ
⊢ n ^^^ (n ^^^ m) = m
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ a b : α
i j : Fin (n + 1)
h : i ≤ j
l : List α
hl : l.length = n
⊢ ↑j ≤ l.length
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S
⊢ f x₁ * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y₁)⁻¹ = f x₂ * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y₂)⁻¹ ↔
  f (x₁ * ↑y₂) = f (x₂ * ↑y₁)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
a : α
x : α
⊢ x ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors a → Irreducible x
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.17202, u_1} C
F G : ℕ ⥤ C
app : (n : ℕ) → F.obj n ⟶ G.obj n
naturality : ∀ (n : ℕ), F.map (homOfLE ⋯) ≫ app (n + 1) = app n ≫ G.map (homOfLE ⋯)
i j k : ℕ
hk : j = i + k
⊢ F.map (homOfLE ⋯) ≫ app j = app i ≫ G.map (homOfLE ⋯)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
x : γ
hx : x ∈ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
⊢ ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) - ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) * κ.rnDeriv η a x = 0 x
α : Type u
x : α
⊢ Cardinal.mk α = 2 ↔ ∃! y, y ≠ x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
F : CategoryTheory.Functor C E
X : C
⊢ (e.funInvIdAssoc F).inv.app X = F.map (e.unit.app X)
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Iic a) a
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Iic a)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in id i..a, f' x) atBot (𝓝 (f a - m))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J✝ : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J✝
T : Comonad C
D : J✝ ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
s : Cocone D
m : (liftedCocone D c t).pt ⟶ s.pt
J : ∀ (j : J✝), (liftedCocone D c t).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
j : J✝
⊢ c.ι.app j ≫ m.f = c.ι.app j ≫ ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f
R : Type u
Semiring R
a : R[X]
⊢ a.toFinsupp = 0 ↔ a = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
rk : α → ℕ
s : Set α
f0 : ℕ → α
hf0 : IsBadSeq r s f0
fs : (n : ℕ) → { f // IsBadSeq r s f ∧ IsMinBadSeq r rk s n f } := fun t => Nat.rec ⟨↑(minBadSeqOfBadSeq r rk s 0 f0 hf0), ⋯⟩ (fun n fn => ⟨↑(minBadSeqOfBadSeq r rk s (n + 1) ↑fn ⋯), ⋯⟩) t
h : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → ↑(fs m) m = ↑(fs n) m
m n : ℕ
mn : m < n
⊢ ¬r ((fun n => ↑(fs n) n) m) ((fun n => ↑(fs n) n) n)
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
⊢ 1 - ∑ k ∈ range 1, ↑(Nat.choose 1 k) / (↑1 - ↑k + 1) * bernoulli' k = 1 / 2
d : ℤ
a : ℤ√d
⊢ a.norm = 1 ↔ a ∈ unitary (ℤ√d)
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
h : x ∈ s
⊢ egauge 𝕜 s x ≤ 1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
⊢ ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq (α × β)
s : Finset α
t : Finset β
⊢ Finset.image Prod.swap (t ×ˢ s) = s ×ˢ t
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
⊢ s ∈ 𝓓 a 𝒜 → s.erase a ∈ 𝓓 a 𝒜