ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
⊢ (HomologicalComplex.unopEquivalence V c).unitIso = HomologicalComplex.unopUnitIso V c
α : Type u
β : α → Type v
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys
⊢ List.Pairwise (fun s s' => s.fst ≠ s'.fst) l
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
G.LocallyFinite
d : ℕ
h : G.IsRegularOfDegree d
v : V
⊢ G.degree v = d
α : Type u
TopologicalSpace α
TotallyDisconnectedSpace α
s : Set α
⊢ IsTotallyDisconnected s
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
X : D
⊢ ∀ (X_1 : C),
  ((CategoryTheory.flipIsoCurrySwapUncurry F).hom.app X).app X_1 = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.obj X_1).obj X)
G : Type u_1
Group G
s t : Set G
⊢ Subgroup.closure (s ∪ t) = Subgroup.closure s ⊔ Subgroup.closure t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ NormedSpace.polar 𝕜 Set.univ = {0}
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S✝ : B
s S : Submonoid M
l : List M
comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ ⟦l⟧, x ∈ S
⊢ Multiset.noncommProd ⟦l⟧ comm ∈ S
α : Type u_2
TopologicalSpace α
Preorder α
a : α
⊢ (ContinuousOrderHom.id α) a = a
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hs : s ⊆ e.source
⊢ (∀ x ∈ s, ContMDiffWithinAt I I' n f s x) ↔ ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ s → ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x)
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : LightProfinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget LightProfinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
⊢ (↑(a z)).2 = (↑(b z)).2
a : ℝ
⊢ ContinuousOn (sinKernel ↑a) (Ioi 0)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
⊢ (∀ (s : Set (α × α)), s ∈ comap (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) ↔ s ∈ 𝓤 α) ↔ ∀ (s : Set (α × α)), s ∈ 𝓤 α ↔ s ∈ 𝓤 α
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hL : L ≤ adjoin F S
hS : adjoin F S = ⊤
x : E
hx : x ∈ adjoin F S
y : K
hy : (aeval y) (minpoly F x) = 0
⊢ ∃ φ, φ ⟨x, hx⟩ = y
H : Type u_4
AddGroup H
self : AddGroup.FG H
⊢ ⊤.FG
α : Type u_1
β : Type u_2
c : α
Add α
AddCommMonoid β
ι : Type u_4
f : ι → α → β
s : Finset ι
hs : ∀ i ∈ s, Function.Periodic (f i) c
⊢ Function.Periodic (∑ i ∈ s, f i) c
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → τ
p : MvPolynomial σ R
⊢ (map f) ((rename g) p) = (rename g) ((map f) p)
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p ≠ 0
hn : ∀ m < n, p.coeff m = 0
⊢ n ≤ p.support.min' ⋯
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
hx : x ∈ torsionBySet R M s
⊢ x ∈ torsionBySet R M ↑(Ideal.span s)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
a b c d y z : F
r R : ℝ
x : F
hx : (fun x => c + x) x ≠ c
this : HasFDerivAt (inversion c R) ((R ^ 2 * ((fun y => y⁻¹) ∘ fun x => ‖_root_.id x - c‖ ^ 2) (c + x)) • ContinuousLinearMap.id ℝ F + (R ^ 2 • -((‖_root_.id (c + x) - c‖ ^ 2) ^ 2)⁻¹ • 2 • ((innerSL ℝ) (_root_.id (c + x) - c)).comp (ContinuousLinearMap.id ℝ F)).smulRight (_root_.id (c + x) - c)) (c + x)
⊢ HasFDerivAt (inversion c R) ((R / dist ((fun x => c + x) x) c) ^ 2 • ↑{ toLinearEquiv := (reflection (Submodule.span ℝ {(fun x => c + x) x - c})ᗮ).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }) ((fun x => c + x) x)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.StructuredArrow F (CategoryTheory.Functor.const J)
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cocone.equivStructuredArrow F).inverse.obj c).ι = c.hom
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
F : Type u → Type u
Applicative F
LawfulApplicative F
α : Type u
x : t α
⊢ traverse pure x = pure x
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
h : a < ω ^ ω ^ b
b0 : ¬b = 0
⊢ a * ω ^ ω ^ b ≤ ω ^ ω ^ b
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
hf : f.IsCycle
⊢ f⁻¹.IsCycle
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
hT : T ∈ HomotopyCategory.Pretriangulated.distinguishedTriangles C
n : ℤ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) n).obj T ∈
  HomotopyCategory.Pretriangulated.distinguishedTriangles C
K : Type u
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
⊢ IsPrincipalIdealRing (NumberField.RingOfIntegers K)
a b : ℕ
⊢ a ∣ b ↔ ↑a ∣ ↑b
R : Type u_1
Semiring R
x y : R
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ (x + y) ^ n = ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), x ^ m * y ^ (n - m) * ↑(n.choose m)
k : ℤ
N : ℕ
hk : 3 ≤ k
a : Fin 2 → ZMod N
τ : ℍ
⊢ DifferentiableOn ℂ (⇑(eisensteinSeries_SIF a k) ∘ ↑ofComplex) {b | 0 < b.im}
α : Type u
l : List α
⊢ List.map l.get (List.finRange l.length) = l
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
⊢ H.support ⊆ H.verts
V : Type u_1
s t : V
h : s ≠ t
⊢ (SimpleGraph.edge s t).edgeSet = {s(s, t)}
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E
⊢ ‖u‖ ≤ ‖v‖ + ‖u / v‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeInf α
inst✝⁴ : BoundedOrder α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a✝ b a : α
⊢ {b}.truncatedInf a = if b ≤ a then b else ⊥
β : Type u_2
MeasurableSpace β
s : Set β
x : β
hs : MeasurableSet s
hx : x ∈ s
⊢ measurableAtom x ⊆ s
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : MeasureTheory.Measure δ
Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
⊢ AEMeasurable (fun b => ⨆ i, f i b) μ
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hn : cornersTheoremBound (ε / 9) ≤ n
A : Finset (ℕ × ℕ)
hAn : ↑A ⊆ ↑(range n) ×ˢ ↑(range n)
hAε : ε * ↑n ^ 2 ≤ ↑A.card
hA : IsCornerFree (Prod.map Fin.val Fin.val '' (Prod.map Nat.cast Nat.cast '' ↑A))
this✝¹ : ↑A = Prod.map Fin.val Fin.val '' (Prod.map Nat.cast Nat.cast '' ↑A)
this✝ : IsAddFreimanIso 2 (Set.Iio ↑n) (Set.Iio n) Fin.val
this : IsCornerFree ↑(image (Prod.map Nat.cast Nat.cast) A)
⊢ False
I : Type u
f : I → Type v
DecidableEq I
(i : I) → SemilatticeInf (f i)
(i : I) → One (f i)
i : I
x y : f i
⊢ Pi.mulSingle i (x ⊓ y) = Pi.mulSingle i x ⊓ Pi.mulSingle i y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
⊢ κ.fst ⊗ₖ κ.condKernelReal = κ
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
φ : PowerSeries R
⊢ (PowerSeries.coeff R (n + 1)) (PowerSeries.X * φ) = (PowerSeries.coeff R n) φ
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G →₀ k
f : Fin n → G
r : k
⊢ (diagonalSucc k G n).inv.hom (g ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
sq : CategoryTheory.Square C
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (sq.map F).X₄ = F.obj sq.X₄
X : UniformSpaceCat
⊢ (CategoryTheory.forget UniformSpaceCat).map (𝟙 X) = id
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
h : A.primeSpectrumEquiv a✝ ≤ A.primeSpectrumEquiv b✝
⊢ A ≤ ↑(A.primeSpectrumEquiv a✝)
i j k : ℤ
h1 : k ∣ i
h2 : k ∣ j
⊢ k ∣ ↑(i.gcd j)
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
this : ∀ (hfd : (X ^ n - C a).degree ≠ 0), eval₂ (algebraMap K L) (rootOfSplits (algebraMap K L) ⋯ hfd) (X ^ n - C a) = 0
⊢ rootOfSplitsXPowSubC hn a L ^ n = (algebraMap K L) a
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
H K : AddSubgroup N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ AddSubgroup.comap f H ⊔ AddSubgroup.comap f K = AddSubgroup.comap f (H ⊔ K)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a
⊢ HasStrictFDerivAt.localInverse f f' a hf = ↑(HasStrictFDerivAt.toPartialHomeomorph f hf).symm
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
e : PartialEquiv H E
a : e.source = Set.univ
b : UniqueDiffOn 𝕜 e.target
c : Continuous ↑e
d : Continuous e.invFun
⊢ { toPartialEquiv := e, source_eq := a, unique_diff' := b, continuous_toFun := c, continuous_invFun := d }.symm = e.symm
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
ContinuousAdd M
v₁ v₂ : MeasureTheory.VectorMeasure α M
w : MeasureTheory.VectorMeasure α N
hv₁ : v₁ ≪ᵥ w
hv₂ : v₂ ≪ᵥ w
⊢ v₁ + v₂ ≪ᵥ w
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
NeZero 1
n : ℕ
⊢ 0 < ↑n + 1
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
n : ℕ
hn_pos : 0 < n
hnx : x ^ n = x ^ 0
⊢ False
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ b (AkraBazziRecurrence.min_bi b) / 2 < 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
NormedAddCommGroup F₄
NormedSpace 𝕜 F₄
n : ℕ∞
f : M → F₁ ≃L[𝕜] F₂
g : M → F₃ ≃L[𝕜] F₄
s : Set M
hf : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₁) n (fun x => ↑(f x).symm) s
hg : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F₃ →L[𝕜] F₄) n (fun x => ↑(g x)) s
⊢ ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, (F₁ →L[𝕜] F₃) →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₄) n (fun y => ↑((f y).arrowCongr (g y))) s
x : Int
xs : Lean.Omega.IntList
y : Int
ys : Lean.Omega.IntList
⊢ x :: xs + y :: ys = (x + y) :: (xs + ys)
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
⊢ IsOpen ↑U
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk v w
he : s(u, t) ∈ p.edges
⊢ u ∈ p.support
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝⁵ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝⁴ : FiberFunctor F
X A B : C
inst✝³ : IsConnected A
inst✝² : IsConnected B
a : ↑(F.obj A)
b : ↑(F.obj B)
i : A ⟶ X
j : B ⟶ X
h : F.map i a = F.map j b
inst✝¹ : Mono i
inst✝ : Mono j
Y : C := pullback i j
u : Y ⟶ A := pullback.fst i j
v : Y ⟶ B := pullback.snd i j
G : C ⥤ Type w := F ⋙ FintypeCat.incl
e : ↑(F.obj Y) ≃ { p // F.map i p.1 = F.map j p.2 } := fiberPullbackEquiv F i j
y : ↑(F.obj Y) := e.symm ⟨(a, b), h⟩
hn : IsInitial Y → False
⊢ ∃ f, F.map f.hom a = b
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Set α
a : α
hs : s.IsWF
hn : s.Nonempty
⊢ a ≤ hs.min hn ↔ ∀ b ∈ s, a ≤ b
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
⊢ Z.toFiberBundleCore.indexAt = Z.indexAt
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
⊢ -Y - C (C (map W f).toAffine.a₁ * X + C (map W f).toAffine.a₃) = Polynomial.map (mapRingHom f) (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃))
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊
hk : -↑k ≤ s
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
⊢ ‖x ^ (-↑k)‖ ≤ 1 * ‖x ^ s‖
α : Type u
u : Fin 0 → α
⊢ Set.range u = ∅
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : A
⊢ (Algebra.TensorProduct.lid R A).symm a = 1 ⊗ₜ[R] a
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ Monoid.Closure s ⊆ Group.closure s
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
i : ι
h :
  ∀ (i : ι),
    Set.MapsTo (⇑(Module.preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (Set.range ⇑root) (Set.range ⇑root)
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
j : ι
⊢ (RootPairing.equiv_of_mapsTo p root coroot i h hp).symm j = ⋯.choose
x✝ y x : ℝ
⊢ sin 0 ≤ x ↔ 0 ≤ x
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
⊢ ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) = η
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f✝ g : ι → M
s t : Finset ι
f : ι → M
h₂ : ∃ i ∈ s, f i ≠ 1
h₁ : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1
⊢ ∏ i ∈ s, f i ≠ 1
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : X →ᵇ ℝ
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) ⊥ ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) ⊥ (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V)) (1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j) = (↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V)) (1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j)
a : ℕ
ha : 1 < a
n : ℕ
⊢ n < a ^ n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
⊢ 1 < a / b ↔ a < b
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
R' : Type v
inst✝ : CommMonoid R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
a b : R
h : ψ.mulShift a * ψ.mulShift (-b) = ψ.mulShift b * ψ.mulShift (-b)
⊢ a = b
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal
⊢ p.2 ≠ 0
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
ha : ∀ (i : ι), f i a ≤ a
⊢ ∀ (o : Ordinal.{max u v}), a ≤ derivFamily f o → ∃ o, derivFamily f o = a
x y : SetTheory.PGame
k : (x + y).LeftMoves
P : (x + y).LeftMoves → Prop
hl : ∀ (i : x.LeftMoves), P (SetTheory.PGame.toLeftMovesAdd (Sum.inl i))
hr : ∀ (i : y.LeftMoves), P (SetTheory.PGame.toLeftMovesAdd (Sum.inr i))
⊢ P k
α : Type u_1
β : Type u_2
Pow α β
a : α
b : β
⊢ toLex (a ^ b) = toLex a ^ b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
h : Injective ⇑(algebraMap R A)
s : Set A
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ ∅ ⊆ s ∧ s ⊆ univ ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → s ⊆ x → x ⊆ univ → x = s
⊢ ∀ (s_1 : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → range Subtype.val ≤ s_1 → range Subtype.val = s_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ {x | ¬x.asIdeal ^ (Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk I).factors = 1}.Finite
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ OrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e) ↔ OrthogonalIdempotents e
m : ℕ
α : Type u_1
u : Fin m → α
⊢ Fin.append u Fin.elim0 = u ∘ Fin.cast ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
⊢ (sesqFormOfInner (A x)) y = (sesqFormOfInner x) ((adjoint A) y)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
eq₁ : H.inv.c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ H.hom.c.app (op ((Opens.map H.inv.base).obj (unop (op ((Opens.map H.hom.base).obj U))))) = eqToHom ⋯
eq₂ : Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ H.hom.c.app (op ((Opens.map ((forget C).map (𝟙 Y))).obj U)) = H.hom.c.app (op ((Opens.map ((forget C).map (H.inv ≫ H.hom))).obj U)) ≫ ((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).map (eqToHom ⋯).op
⊢ H.inv.c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ eqToHom ⋯ ≫ H.hom.c.app (op U) = 𝟙 (((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).obj (op U))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ : E
s✝ t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ∈ s
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ Disjoint ↑(Submonoid.powers f) ↑(↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℕ → M
hf : Multipliable fun n => f (n + 1)
⊢ ∏' (b : ℕ), f b = f 0 * ∏' (b : ℕ), f (b + 1)
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ s₁ ∩ s₂ / t ⊆ s₁ / t ∩ (s₂ / t)
n m p : ℕ
pp : Prime p
h : 1 = 1 ∨ m ≤ minFac 1
d : p ∣ 1
⊢ m ≤ p
X : TopCat
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
Y : TopologicalSpace.Opens ↑X
hY : Y = iSup U
f :
  CategoryTheory.FullSubcategory fun f =>
    (CategoryTheory.Sieve.generate (TopCat.Presheaf.presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom
⊢ ((TopCat.Presheaf.generateEquivalenceOpensLe_functor' U hY).obj f).obj = f.obj.left
J : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} J
K : CategoryTheory.Functor J (Type u)
c : CategoryTheory.Limits.Cocone K
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
lc : CategoryTheory.Limits.Cocone (K.comp CategoryTheory.uliftFunctor.{v, u})
x y : lc.pt
hn : x ≠ y
⊢ CategoryTheory.Limits.Types.descSet hc {x} ∩ CategoryTheory.Limits.Types.descSet hc {y} = ∅
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : MeasureTheory.Measure.map X MeasureTheory.volume = ProbabilityTheory.gaussianReal μ v
c : ℝ
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun ω => X ω * c) MeasureTheory.volume =
  ProbabilityTheory.gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
n : ℕ
⊢ (p ^ n).primeFactorsList = List.replicate n p
X Y : AddCommGrp
a : ↑X →+ ↑Y
⊢ AddCommGrp.toCommGrp.map a = AddMonoidHom.toMultiplicative a
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Set (Submodule R M)
p : Submodule R M
⊢ p ∈ S → sInf S ≤ p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
L.IsLocalization W
X Y : C
⊢ CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Y
α : Type u_2
M : Matroid α
e : α
I : Set α
⊢ M.Indep (insert e I) ↔ M.Indep I ∧ (e ∉ I → e ∈ M.E \ M.closure I)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t
⊢ SeparatedNhds s t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
f : α → β
⊢ Set.MapsTo f s (⋂ i, ⋂ j, t i j) ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), Set.MapsTo f s (t i j)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
⊢ p.degree < ↑n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
⊢ Even (a - b)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
⊢ (∀ (x : FamilyOfElements P R), (∀ (t₁ t₂ : P.obj (op X)), x.IsAmalgamation t₁ → x.IsAmalgamation t₂ → t₁ = t₂) ∧ (x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t)) ↔ IsSheafFor P R
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
B : Type u_5
CommRing A
CommRing B
IsDomain B
Algebra A B
Algebra A S
pb : PowerBasis A S
⊢ ∀ (a : S →ₐ[A] B), ↑(pb.liftEquiv' a) = a pb.gen
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
as : Array α
i : Nat
h : i < (Array.map f as).size
⊢ (Array.map f as)[i] = f as[i]
z : ℍ
n : ℤ
⊢ (ModularGroup.T ^ n • z).re = z.re + ↑n
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
⊢ (x + y).orderTop = x.orderTop