ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
⊢ Continuous fun μ => μ.mass
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Finite α
S : Set G
hS1 : ∀ σ ∈ S, ((toPermHom G α) σ).IsSwap
hS2 : closure S = ⊤
h : IsPretransitive G α
this : IsPretransitive (↥(toPermHom G α).range) α
⊢ (toPermHom G α).range = ⊤
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n α
N N' : Matrix n o α
⊢ M * (N - N') = M * N - M * N'
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v w : V
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ mk K v hv = mk K w hw ↔ ∃ a, a • w = v
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ s.rnDeriv μ = fun x =>
  (s.toJordanDecomposition.posPart.rnDeriv μ x).toReal - (s.toJordanDecomposition.negPart.rnDeriv μ x).toReal
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddMonoid α
StarAddMonoid α
M : Matrix m n α
⊢ Mᴴ = 0 ↔ M = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
f : K ⟶ L
Φ : C ⥤ D
Φ.Additive
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom f).map Φ =
  CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom ((Φ.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map f)
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a : Ordinal.{u}
⊢ x ∈ {x_1 | ∃ b, ∃ (_ : b < a), f (lfpApprox f x b) = x_1} ∪ {x}
R : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero R
x : R
h : Prime x
⊢ Squarefree x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_ℝ = 0
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
f : α ≃ α'
l : α →₀ R
⊢ (Finsupp.total α' M' R v') (equivMapDomain f l) = (Finsupp.total α M' R (v' ∘ ⇑f)) l
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
⊢ a₁ ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁ * ↑a₂ ᵍ⊗ₜ[R] b₂ = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (a₁ * ↑a₂) ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
p : X × Y
⊢ ContinuousAt Prod.fst p
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
⊢ f ◁ (θ.naturality (𝟙 a)).hom ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.mapId a = f ◁ G.mapId a ▷ θ.app a ≫ f ◁ (λ_ (θ.app a)).hom ≫ f ◁ (ρ_ (θ.app a)).inv
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
h : Codisjoint p p'
x : M
⊢ ∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
LinearOrder α
f : α → β
a b : α
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict (Ι a b)) ↔
  AEMeasurable f (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧ AEMeasurable f (μ.restrict (Set.Ioc b a))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' : F
x v : E
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f₁ f' x v
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ Units.mk0 a ha = Units.mk0 b hb ↔ a = b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
a : C
x : G.obj a
⊢ (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductIso F G).hom.app a (CategoryTheory.Limits.coprod.inr.app a x) = Sum.inr x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
hs : Convex ℝ s
h0 : μ t ≠ 0
ht : μ t ≠ ⊤
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, f x ∈ s
hfi : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
⊢ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ closure s
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set R
⊢ Submodule.torsionBySet R M s = Submodule.torsionBySet R M ↑(Ideal.span s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M✝ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M✝
a b : α
s t : Set α
M : Type u_7
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
hf : (mulSupport f).Finite
i : ι
hi : 1 < f i
⊢ 1 < ∏ i ∈ hf.toFinset, f i
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
γ : Type
γtop : TopologicalSpace γ
γpolish : PolishSpace γ
g : γ → α
g_cont : Continuous g
gs : range g = s
this : f '' s = range (f ∘ g)
⊢ Continuous (f ∘ g)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : ↑d < dimH s
⊢ μH[↑d] s = ⊤
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
u : γ → α
v : δ → β
hu : CauchySeq u
hv : CauchySeq v
⊢ CauchySeq (Prod.map u v)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
h : I ≤ LieAlgebra.center R L
⊢ IsLieAbelian ↥↑I
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : f.IsCycle ∧ ∀ a ∈ f.support, f a = g a
⊢ (g * f⁻¹).Disjoint f
M : Type u_1
α : Type u_2
Bornology M
SMul M α
s t₁ t₂ : Set α
h₁ : Absorbs M s t₁
h₂ : Absorbs M s t₂
⊢ Absorbs M s (t₁ ∪ t₂)
α : Type u_1
Mul α
x y : WithZero α
hxy : x * y ≠ 0
⊢ WithZero.unzero hxy = WithZero.unzero ⋯ * WithZero.unzero ⋯
α : Type u
x a : α
s : Set α
⊢ x ∈ insert a s ↔ x = a ∨ x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
as : List α
bs : List β
⊢ List.mapTR.loop f as bs = bs.reverse ++ List.map f as
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
a : ℂ
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ (fun z => Real.exp (a.re * Real.log (abs z))) =o[l] fun x => ‖cexp (↑b * x)‖
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.OuterMeasure.toMeasure 0 ⋯ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.tensoringRightMonoidal C).ε.app X = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
E : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : MetrizableSpace E
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
x : α
hfx : f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x
hgx : g x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x
⊢ {x | AEStronglyMeasurable.mk f hf x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x} x = {x | f x = g x} x
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
F G : CategoryTheory.Functor J C
α : F ⟶ G
hα : CategoryTheory.NatTrans.Equifibered α
H : CategoryTheory.Functor C D
(i j : J) → (f : j ⟶ i) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (α.app i) (G.map f)) H
⊢ CategoryTheory.NatTrans.Equifibered (CategoryTheory.whiskerRight α H)
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a - x) '' Ioc b c = Ico (a - c) (a - b)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T4Space Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
⊢ T4Space X
n : ℕ+
K : Type u
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
α : Type u_1
DecidableEq α
a b c d e : α
⊢ {a, b, c, d, e}.card ≤ 5
x : ℝ
⊢ Real.arccos x < π / 2 ↔ 0 < x
α : Type u_1
m n : Num
h : Ordering.casesOn Ordering.gt (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)
⊢ ↑m < ↑n ↔ Ordering.gt = Ordering.lt
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
huv : G.Reachable u v
⊢ G.Reachable v u
G : Type u_1
Monoid G
x : G
n : ℕ
h : IsOfFinOrder x
⊢ orderOf (x ^ n) = orderOf x / (orderOf x).gcd n
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
a₁✝ a₂✝ : M ≃[L] N
h : a₁✝.toEmbedding = a₂✝.toEmbedding
⊢ a₁✝ = a₂✝
n : ℕ
i j : Fin (n + 2)
h : j ≠ i
⊢ ↑(SSet.horn.face i j h) = (SSet.standardSimplex.objEquiv [n + 1] (Opposite.op [n])).symm (SimplexCategory.δ j)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
⊢ (h.aequiv h') h.root = h'.root
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
this : p.IsPrime
⊢ ∃ p', p'.IsPrime ∧ I ≤ p' ∧ comap f p' = p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
inst✝ : f.NeBot
p : Prop
q : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p → q x) ↔ p → ∃ᶠ (x : α) in f, q x
⊢ ∃ c a, ∀ b ≥ a, ∀ (a : ℂ), a.im = b → ‖jacobiTheta a - 1‖ ≤ c * ‖rexp (-π * a.im)‖
X : CommRingCat
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.SpecΓIdentity.inv.app X = AlgebraicGeometry.toSpecΓ X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
f : E → β
hf : Antitone f
⊢ QuasiconcaveOn 𝕜 Set.univ f
α : Type u_1
d : α
Decidable Part.none.Dom
⊢ Part.none.getOrElse d = d
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
⊢ RingHom.ker (LocalRing.residue R) = LocalRing.maximalIdeal R
α : Type u_1
NNRatCast α
q : ℚ≥0
⊢ AddOpposite.unop ↑q = ↑q
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s
⊢ s.esymm (card s - k) = ∑ x ∈ Finset.range (card s + 1), if k = card s - x then s.esymm x else 0
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
GroupWithZero α
DistribMulAction α A
a : α
ha : a ≠ 0
S T : AddSubmonoid A
⊢ S ≤ a • T ↔ a⁻¹ • S ≤ T
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
h : A.det = 0
⊢ ∃ k, ‖A k k‖ ≤ ∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
⊢ mapFun (⇑f) (x * y) = mapFun (⇑f) x * mapFun (⇑f) y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a₁ a₂ : α
b : β
x z y : α
h : G.Adj x y
w : G.Walk y z
⊢ (Walk.boxProdLeft H b (cons' x y z h w)).ofBoxProdLeft = cons' x y z h w
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝¹ : atBot.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : OrderTop α
hf : LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[atBot] g
hg : IntegrableAtFilter g atBot μ
⊢ Integrable f μ
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Dependent f ↔ ¬Independent f
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
s : Set P₂
⊢ ⇑e.symm '' s = ⇑e ⁻¹' s
r : ℝ
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (ProbabilityTheory.exponentialPDFReal r)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
x : ↥M ⊗[R] ↥N
⊢ (M.mulMap N) x ∈ M * N
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
⊢ LSeriesSummable f s
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
a : α
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
m1 : (unpair m).1 < n + 4
⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4)))
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
⊢ Nonempty (IsColimit c')
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
L.IsEquivalence
⊢ R.IsEquivalence
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
b✝ : ι → M
S : Type u_4
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
i : ι
hi : smithCoeffs b I hI i = 0
⊢ False
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.IsCommutative
inst✝ : H.FiniteIndex
α β : ↑(leftTransversals ↑H)
hH : H.Normal
g : Gᵐᵒᵖ
this : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
ϕ : ↥H →* ↥H := { toFun := fun h => ⟨(unop g)⁻¹ * ↑h * unop g, ⋯⟩, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
x : G ⧸ H
⊢ (MonoidHom.id ↥H) ⟨(↑((toEquiv ⋯) x))⁻¹ * ↑((toEquiv ⋯) x), ⋯⟩ = ϕ ((MonoidHom.id ↥H) ⟨(↑((toEquiv ⋯) ((Equiv.symm (toPerm g)) x)))⁻¹ * ↑((toEquiv ⋯) ((Equiv.symm (toPerm g)) x)), ⋯⟩)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
z : N
⊢ z * f.toMap ↑(f.sec z).2 = f.toMap (f.sec z).1
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f g : CategoryTheory.Under X
k : f ⟶ g
hk : CategoryTheory.Mono k.right
⊢ CategoryTheory.Mono k
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Field K
a b : σ → K
h : a ≠ b
i : σ
hi : a i ≠ b i
⊢ (eval a) (indicator b) = 0
w : Nat
x : BitVec w
r : Nat
hr : r < w
⊢ x.rotateLeft r = x.rotateLeftAux r
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ✝ : Type w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : AddCommGroup γ
f : α → β
g : β → γ
x : FreeAbelianGroup α
⊢ ∀ (x : α), (lift (g ∘ f)) (of x) = (lift g) ((map f) (of x))
⊢ 0 = Surreal.mk 0 SetTheory.PGame.numeric_zero
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsHomLift f φ
⊢ p.map φ = CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫ f ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DecidableEq R
⊢ Polynomial.nthRootsFinset n R = (Polynomial.nthRoots n 1).toFinset
x : ℝ
⊢ Real.log |x| = Real.log x
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b✝ b c : α
l₁ l₂ : List α
⊢ Chain' R (l₁ ++ b :: c :: l₂) ↔ Chain' R (l₁ ++ [b]) ∧ R b c ∧ Chain' R (c :: l₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a x : α
i : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑i)
hx : x ≠ a
⊢ x ∉ Multiset.replicate (↑i) a
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
h : IsCompact s
hne : s.Nonempty
x : α
⊢ ∃ y ∈ s, Metric.infDist x s = dist x y
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.domain = g.domain
h' : ∀ ⦃x : ↥f.domain⦄ ⦃y : ↥g.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
h_sup : sSup s = ⊥
hne : s.Nonempty
⊢ s = {⊥}
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
i : σ
⊢ (MvPolynomial.X i).modMonomial (Finsupp.single i 1) = 0
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ HasFDerivWithinAt f (fderivWithin 𝕜 f s x) s x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
x y : E
⊢ (fun i => ⟪x, (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i⟫_𝕜 * ⟪(fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i, y⟫_𝕜) = fun b_1 => ((innerSL 𝕜) x) (↑(b.repr y) b_1 • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) b_1)
β : Type u_2
CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → β
⊢ ∏ i : Fin (n + 1), f i = f 0 * ∏ i : Fin n, f i.succ
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedSinZeta (-a) s = -HurwitzZeta.completedSinZeta a s
α : Type u_1
μ₁ μ₂ : MeasureTheory.OuterMeasure α
h : ∀ (s : Set α), μ₁ s = μ₂ s
⊢ μ₁ = μ₂
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle (x + y) y).tan = ‖x‖ / ‖y‖
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
l : Filter α
One F
NormOneClass F
⊢ (fun _x => 1) =o[l] f ↔ Filter.Tendsto (fun x => ‖f x‖) l Filter.atTop
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ringChar R = 1
⊢ 1 = 0
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
x : ↑X.toTopCat
⊢ LocalRing.ResidueField.map (𝟙 (X.presheaf.stalk x)) = 𝟙 (X.residueField x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
functor : CategoryTheory.Functor C D
inverse : CategoryTheory.Functor D C
unit_iso : CategoryTheory.Functor.id C ≅ functor.comp inverse
counit_iso : inverse.comp functor ≅ CategoryTheory.Functor.id D
f :
  ∀ (X : C),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (functor.map (unit_iso.hom.app X)) (counit_iso.hom.app (functor.obj X)) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.id (functor.obj X)
⊢ { functor := functor, inverse := inverse, unitIso := unit_iso, counitIso := counit_iso,
      functor_unitIso_comp := f }.counit =
  counit_iso.hom
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝ : DecidableEq ιM
bₘ : Basis ιM R M
⊢ φ.polyCharpoly b = Polynomial.map (↑(MvPolynomial.bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (charpoly.univ R ιM)
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0
inj : Function.Injective ⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)
a : Finset ℂ := (p.rootSet ℂ).toFinset
b : Finset ℂ := Finset.image (⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)) (p.rootSet ℝ).toFinset
c : Finset ℂ := Finset.image (fun a => ↑a) ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support
⊢ a.card = b.card + c.card
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun x => x.1
α : Type u_1
StrictOrderedRing α
Archimedean α
x : α
⊢ ∃ fl, ∀ (z : ℤ), z ≤ fl ↔ ↑z ≤ x
R : Type u_1
AddMonoid R
a : AddUnits R
⊢ IsAddRegular ↑a
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ ↑(C.u⁻¹ ^ 12 * E.Δ') = (E.variableChange C).Δ
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M
⊢ LinearMap.range ((Fintype.total R S) v) = span R (Set.range v)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : R[X]
g : PolynomialModule R M
n : ℕ
⊢ (f • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, f.coeff x.1 • g x.2
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℕ → G
hf : Multipliable f
⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 1)
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f : α →. σ
⊢ (Partrec fun a => Part.map some (f a)) ↔ Partrec f
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
AddZeroClass M
CommMonoid N
f g : α →₀ M
h : α → Multiplicative M →* N
⊢ ((f + g).prod fun a b => (h a) (Multiplicative.ofAdd b)) =
  (f.prod fun a b => (h a) (Multiplicative.ofAdd b)) * g.prod fun a b => (h a) (Multiplicative.ofAdd b)
c : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.toNat c ≠ 0 ↔ c ≠ 0 ∧ c < Cardinal.aleph0
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
Nontrivial R
x : A
⊢ IsIntegral R x → IsAlgebraic R x
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
P : ProjectiveResolution Z
n : ℕ
⊢ n + 1 + 1 = n + 2
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ (freeOn E).Base B ↔ B = E
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
⊢ 𝓝[<] a = ⊥ ↔ IsBot a ∨ ∃ b, b ⋖ a
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
⊢ IsRat (↑(Int.negOfNat n.succ) * ⅟↑d)⁻¹ (Int.negOfNat d) n.succ