ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε.toReal / 3
hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
n p : ℕ
h : n < p
⊢ n.factorization p = 0
x y : ℝ
⊢ Real.sinh (x - y) = Real.sinh x * Real.cosh y - Real.cosh x * Real.sinh y
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set β
hs : s.Nonempty
f : α → β
hf : s ⊆ Set.range f
⊢ (f ⁻¹' s).Nonempty
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α
h : ∃ i, p i
⊢ (⨅ i, ⨅ (h : p i), f i h) ⊓ a = ⨅ i, ⨅ (h : p i), f i h ⊓ a
J : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} J
K : CategoryTheory.Functor J (Type u)
c : CategoryTheory.Limits.Cocone K
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
lc : CategoryTheory.Limits.Cocone (K.comp CategoryTheory.uliftFunctor.{v, u})
s : Set c.pt
ls : Set lc.pt
⊢ CategoryTheory.Limits.Types.descSet hc ls = s ↔ ∀ (j : J) (x : K.obj j), lc.ι.app j { down := x } ∈ ls ↔ c.ι.app j x ∈ s
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
E₀ E E₁ : Set Ω
E₀_subset : E₀ ⊆ E
subset_E₁ : E ⊆ E₁
nulldiff : μ (E₁ \ E₀) = 0
h_E₀ : μ E₀ ≤ liminf (fun i => (μs i) E₀) L
h_E₁ : limsup (fun i => (μs i) E₁) L ≤ μ E₁
⊢ autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => (μs i) E) _auto✝
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ l.Sublist (List.insert a l)
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
b : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ n • r
hn' : 1 ≤ ↑n * r
⊢ ∀ᶠ (a : α) in l, b ≤ f a * r
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
Algebra R S₁
f : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.aeval f) p = MvPolynomial.eval₂ (algebraMap R S₁) f p
R : CommRingCat
⊢ ∀ (r : ↑(unop (op ((𝟭 CommRingCat).obj R)))), (SpecΓIdentity.inv.app R).op.unop ≫ ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R))).presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑(unop (op ((𝟭 CommRingCat).obj R)))) (basicOpen r) ≫ (𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))).val.c.app (op (basicOpen r))
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
a : R
h : a ≠ 0
⊢ ((PowerSeries.monomial R n) a).order = ↑n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
a✝ : α
ha✝ : a✝ ∈ A
a : α
ha : a ∈ t + replicate (n - m) a✝
⊢ a ∈ A
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace β
s : Set α
MeasurableSpace α
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure β
hfi : Function.Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → MeasureTheory.NullMeasurableSet (f '' s) μ
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s (MeasureTheory.Measure.comap f μ)
⊢ (MeasureTheory.Measure.comap f μ) s = μ (f '' s)
α : Type u_1
Preorder α
s : LowerSet α
a : α
⊢ LowerSet.Iic a ≤ s ↔ a ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
⊢ (∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.EssSurj
⊢ f ∈ L.mapArrow.essImage
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace δ
f : α → δ
g : δ → β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => g (f x)) μ
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁.ndunion s₂).sup = s₁.sup ⊔ s₂.sup
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R B
f : F
⊢ ↑(NonUnitalStarSubalgebra.comap f S) = ⇑f ⁻¹' ↑S
a : UnitAddCircle
x : ℝ
⊢ HurwitzZeta.oddKernel (-a) x = -HurwitzZeta.oddKernel a x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝² : Fintype ι'
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
ν : (i : ι) → Measure (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)
hf : ∀ (i : ι), MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)
this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (β i)
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ (Measure.map (fun a i => f i (a i)) (Measure.pi μ)) (univ.pi s) = ∏ i : ι, (ν i) (s i)
α : Type u_1
inst✝¹ : Mul α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α
⊢ (equivShrink α) (x * y) = (equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm ((equivShrink α) x) * (equivShrink α).symm ((equivShrink α) y))
α : Type w
Finite α
X : α → CompHaus
B : CompHaus
e : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHaus.finiteCoproduct.ι X a) (CompHaus.finiteCoproduct.desc X e) = e a
L : FirstOrder.Language
α : Type w'
ie : IsEmpty α
⊢ (FirstOrder.Language.LEquiv.addEmptyConstants L α).invLHom =
  (FirstOrder.Language.LHom.id L).sumElim (FirstOrder.Language.LHom.ofIsEmpty (FirstOrder.Language.constantsOn α) L)
n a : ℕ
⊢ n + a ≡ a [MOD n]
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
z : ℤ
⊢ (↑z).imK = 0
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ ProbabilityTheory.cgf X μ 0 = Real.log (μ Set.univ).toReal
α : Type u
β : α → Type v
γ : Type (max u v)
hκ : (i : α) × (β i → γ) ↪ γ
⊢ #(WType β) ≤ #γ
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
CategoryTheory.HasWeakSheafify J AddCommGrp
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
M : SheafOfModules R
σ : M.GeneratingSections
⊢ σ.ofEpi (𝟙 M) = σ
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq μ
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid μ
inst✝ : HasAntidiagonal μ
s : Finset ι
f : ι →₀ μ
⊢ f ∈ s.finsuppAntidiag 0 ↔ f ∈ {0}
G : Type u
inst✝¹ : Group G
A : Type v
inst✝ : CommGroup A
f : G →* A
⊢ commutator G ≤ f.ker
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → E
hF_int : ∀ (i : ι), Integrable (F i) μ
hF_sum : Summable fun i => ∫ (a : α), ‖F i a‖ ∂μ
hE : CompleteSpace E
⊢ HasSum (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∑' (i : ι), ∫ (a : α), F i a ∂μ)
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
⊢ ∫ (x : Ω), f x ∂↑μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) atTop
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
d✝ : Derivation R A M
a : A
d : Derivation R A M
f : R[X]
⊢ (d.compAEval a) X = ((mkDerivation R) ((AEval.of R M a) (d a))) X
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
SemilatticeSup β
Bot β
a : α
⊢ ⊥ a = ⊥
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddMonoid ι
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
x y : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)
⊢ (DirectSum.decompose 𝒜).symm (x * y) = (DirectSum.decompose 𝒜).symm x * (DirectSum.decompose 𝒜).symm y
α : Sort u_3
p : Nonempty α → Prop
⊢ (∀ (h : Nonempty α), p h) ↔ ∀ (a : α), p ⋯
E : Type u_5
P : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace P
MetricSpace P
NormedAddTorsor E P
BorelSpace P
x y : P
s : Set ℝ
⊢ μH[1] (⇑(AffineMap.lineMap x y) '' s) = nndist x y • μH[1] s
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ (↑n).degree ≤ 0
α β : Type u
c : Cardinal.{u}
⊢ lift.{v, u} c < ℵ₀ ↔ c < ℵ₀
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / (o.oangle x (x + y)).tan = ‖x‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
p q✝ : Subspace 𝕜 E
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 (E ⧸ p)
hp : IsClosed ↑p
q : Subspace 𝕜 E
hq : IsCompl p q
this : FiniteDimensional 𝕜 ↥q
⊢ ClosedComplemented p
ι : Type u_1
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} W₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₂
c : ComplexShape ι
F G : W₁ ⥤ W₂
F.PreservesZeroMorphisms
G.PreservesZeroMorphisms
α : F ⟶ G
C D : HomologicalComplex W₁ c
f : C ⟶ D
⊢ (F.mapHomologicalComplex c).map f ≫ (CategoryTheory.NatTrans.mapHomologicalComplex α c).app D =
  (CategoryTheory.NatTrans.mapHomologicalComplex α c).app C ≫ (G.mapHomologicalComplex c).map f
M : Type u
inst✝² : Monoid M
α : Type v
inst✝¹ : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝ : MulAction M β
S : Submonoid M
a : α
g : ↥S
⊢ (fun m => m • a) g ∈ orbit M a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : ℕ
E : Fin n → Type u_2
inst✝¹ : (i : Fin n) → MeasureSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : Fin n), SigmaFinite volume
f : (i : Fin n) → E i → 𝕜
⊢ ∫ (x : (i : Fin n) → E i), ∏ i : Fin n, f i (x i) = ∏ i : Fin n, ∫ (x : E i), f i x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofZeros S hf hg).K = S.X₂
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
hf : MeasurableEmbedding f
hκ : ∀ (a : α), (κ a) (Set.range f) = 1
⊢ ProbabilityTheory.IsMarkovKernel (κ.comapRight hf)
X : Type u
α : Type v
TopologicalSpace X
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
a : X
l : Filter X
ha : a ∈ s
l.NeBot
hl : l ≤ 𝓟 s
f : X → α
hf : ContinuousOn f s
ht : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
⊢ Set.Iic (f a) ⊆ f '' s
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
⊢ (Stonean.pullback.cone f hi).pt = Stonean.pullback f hi
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
A : ↥(Matrix.unitaryGroup n α)
⊢ IsUnit (↑A).det
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a
⊢ HasStrictFDerivAt (↑(toPartialHomeomorph f hf)) (↑f') (↑(toPartialHomeomorph f hf).symm (f a))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.OrdConnected
⊢ Convex 𝕜 s
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderTop α
⊢ (SemilatInfCat.of α).X = α
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
⊢ (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w₁ = (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w₂
α : Type u_1
TopologicalSpace α
PolishSpace α
C : Set α
hC : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable
⊢ ∃ f, Set.range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Function.Injective f
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ p / gcd p q ∣ p
α : Type u_2
Monoid α
n : ℕ
⊢ Even n → ∀ (a : α), IsSquare (a ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Mul β
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ f * g = MeasureTheory.SimpleFunc.map (fun p => p.1 * p.2) (f.pair g)
R : Type u_1
η : Type u_2
Semiring R
Finite η
DecidableEq η
i : η
⊢ (Pi.basisFun R η) i = (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i✝ j : ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot
hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflection_perm = P₂.reflection_perm
this : NoZeroSMulDivisors ℤ M
i : ι
⊢ P₁.coroot i = P₂.coroot i
n : ℕ
⊢ ∑ d ∈ n.divisors, ↑(μ d) * log d = -Λ n
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec (X.presheaf.obj (Opposite.op U))).basicOpen
    ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app hU.fromSpec U) f) =
  PrimeSpectrum.basicOpen f
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
this : ρ (s ×ˢ t) = (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel) (s ×ˢ t)
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, (ρ.condKernel b) t ∂ρ.fst = ∫⁻ (a : β), (ρ.condKernel a) (Prod.mk a ⁻¹' s ×ˢ t) ∂ρ.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ sup f = 0 ↔ ∀ (i : ι), f i = 0
K : Type u_1
Field K
k : K
g : RingSeminorm K
hg1 : g 1 ≤ 1
hg_k : g k ≠ 0
hg_pm : IsPowMul ⇑g
x : K
⊢ (normFromConst hg1 hg_k hg_pm) x = seminormFromConst' hg1 hg_k hg_pm x
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
R : ℝ
h0 : 0 < R
f : ℂ → E
y : E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (closedBall c R \ {c})
hd : ∀ z ∈ (ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ : ℝ
δ0 : δ > 0
hδ : ∀ z ∈ closedBall c δ \ {c}, dist (f z) y < ε / (2 * π)
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hrδ : r ≤ δ
hrR : r ≤ R
hsub : closedBall c R \ ball c r ⊆ closedBall c R \ {c}
⊢ ‖(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) - (2 * ↑π * I) • y‖ ≤ ε
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
⊢ derivWithin f (Set.Ioi x) x = derivWithin f (Set.Ici x) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v w : F
h : ‖v‖ = ‖w‖
R : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (Submodule.span ℝ {v - w})ᗮ
h₁ : R (v - w) = -(v - w)
h₂ : R (v + w) = v + w
⊢ R v + R v = w + w
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg : ∀ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧ ∃ ε_1 > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)
i : ι
hpi : p i
hki : dist (k i) x₀ < δ / 2
hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)
hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ
hgi : dist (g i (k i)) z₀ < ε / 3
h1 : ∀ x' ∈ ball (k i) (δ / 2), dist (g i x') (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3
⊢ dist ((φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g i) (k i)) z₀ < ε
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
⊢ CauSeq.Completion.ofRat 0 = 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : CauSeq α abs
⊢ a ⊔ a = a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MulOneClass γ
inst✝ : MulOneClass δ
f✝ g✝ f g : α →*o β
h : f.toOrderHom = g.toOrderHom
⊢ ∀ (a : α), f a = g a
F : Type u_2
E : Type u_3
CommRing F
Ring E
Algebra F E
StrongRankCondition F
NoZeroSMulDivisors F E
Nontrivial E
⊢ Module.rank F ↥⊥ = 1
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.22854, u_3} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_4} D₁
inst✝² : Category.{u_9, u_5} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : C₁ ≌ C₂
E' : D₁ ≌ D₂
inst✝ : CatCommSq E.functor L₁ L₂ E'.functor
hW₁ : W₁ ≤ W₂.isoClosure.inverseImage E.functor
hW₂ : W₂.IsInvertedBy L₂
⊢ L₂.IsLocalization W₂
X✝ X : CondensedSet
x✝² x✝¹ : CompHausᵒᵖ
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
a✝ : X.val.obj x✝²
⊢ (X.val.map x✝ ≫ (fun S x => { toFun := fun s => X.val.map (CompHaus.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }) x✝¹) a✝ = ((fun S x => { toFun := fun s => X.val.map (CompHaus.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }) x✝² ≫ X.toTopCat.toCondensedSet.val.map x✝) a✝
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
Y : C
f : c.pt ⟶ Y
⊢ (c.extend f).pt = Y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct fun j => G.obj (f j)
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Discrete.functor f) G
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesCoproduct.iso G f).inv = CategoryTheory.Limits.sigmaComparison G f
b : ℕ
⊢ Nat.factorizationLCMLeft 0 b = 1
M : Type u_2
Mul M
S T : Subsemigroup M
x y : M
hx : x ∈ S
hy : y ∈ T
⊢ x * y ∈ S ⊔ T
x y : ℝ
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
α : Type u
l : List α
x : α
n : ℕ
⊢ l.length ≤ (List.insertNth n x l).length
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0 ∧ ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ ↑π ↔ AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
p p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
hp : p = v +ᵥ p1
hp1s1 : p1 ∈ ↑s1
hs : ∀ ⦃x : V⦄, x ∈ vectorSpan k s → x ∈ s1.direction
⊢ v ∈ ↑s1.direction
R : Type u_1
CommSemiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
Algebra R A
s : Set R
φ ψ : C(↑s, R) →ₐ[R] A
h : φ ((Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom s) Polynomial.X) = ψ ((Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom s) Polynomial.X)
⊢ polynomialFunctions s ≤ AlgHom.equalizer φ ψ
α : Type
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
dg : Dioph.DiophFn g
⊢ Dioph.DiophFn fun v => f v - g v
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Zero X
A : Type u_2
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
Module ℝ A
TopologicalRing A
φ : ContinuousMapZero X NNReal →⋆ₙₐ[NNReal] A
hφ : Continuous ⇑φ
⊢ Continuous ⇑φ.realContinuousMapZeroOfNNReal
n : ℕ
⊢ (Finset.orderIsoColex n).ofColex = Finset.equivBitIndices n
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hpos : ∀ (x : ℝ), 0 < f x
hab : a < b
⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
Nonempty V
⊢ ∃ v, G.minDegree = G.degree v
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x : E
⊢ 0 = e x - e x✝ - e (x - x✝)
q✝ : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational (-x)
x✝ : x ∈ Set.range Rat.cast
q : ℚ
hx : ↑q = x
⊢ ↑(-q) = -x
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ J > M, (fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) J
⊢ (fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) M
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
p : α → Prop
⊢ Finsupp.subtypeDomain p 0 = 0
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (mk K (Module.Dual K V) K).compr₂ (LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ LinearMap.lTensor (Module.Dual K V) (coevaluation K V)) = (mk K (Module.Dual K V) K).compr₂ (↑(TensorProduct.lid K (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.rid K (Module.Dual K V)))
R : Type u
Ring R
M : ModuleCat R
Subsingleton ↑M
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero M
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set X
⊢ IsClosed (⇑h '' s) ↔ IsClosed s
R : Type u
X : Type v
inst✝ : CommRing R
a b c : lib R X
h : Rel R X a b
⊢ Rel R X (a - c) (b - c)
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : IsAtomic α
x y : α
h : ∀ (a : α), IsAtom a → (a ≤ x ↔ a ≤ y)
⊢ x = y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
x : E
y : F
s : Set E
t : Set F
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g t y
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
h : Set.MapsTo f s t
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hy : f x = y
v : E
⊢ (fderivWithin 𝕜 g t y) ((fderivWithin 𝕜 f s x) v) = (fderivWithin 𝕜 (g ∘ f) s x) v
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u_1
inst✝¹ : MvFunctor F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
β✝ : Type u
pp : β✝ → Prop
β : Type u
P : β → Prop
x : F (α ::: β)
⊢ ∀ (u : F fun i => { p_1 // ofRepeat (α.PredLast' P i p_1) }), (fun i => Subtype.val) <$$> u = x ↔ (fun i => Subtype.val) <$$> MvFunctor.f P n α <$$> u = x
n c d : ℕ
hn : 2 * (c ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)
c0 : c > 0
⊢ (c ^ 2) ^ (c ^ 2 + d + 1) < (c ^ 2 + (c ^ 2 + d + 1))!
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
A s : Set M
h : A ⊆ ↑S
a : M
ha : a ∈ A
⊢ a ∈ (closure (L[[↑A]])).toFun s