ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
i : SigmaFinite ν
i' : HasFundamentalDomain G α ν
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
A : ℕ → Set α
hA_meas : ∀ (i : ℕ), A i ∈ {s | MeasurableSet s}
hA : ∀ (i : ℕ), ν (A i) < ⊤
hA' : ⋃ i, A i = univ
⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn univ)
α : Type u_1
s : Finset α
DecidableEq α
⊢ s.card = 2 ↔ ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯
⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
a g : ℝ≥0
h : ι → ℝ≥0
H : ∀ (j : ι), g * h j ≤ a
⊢ ⨆ i, g * h i ≤ a
m n : ℕ
⊢ ↑m * ↑n = ↑(m * n)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
L : Filter E
x' : E
⊢ ‖‖x' - x‖⁻¹ • (f x' - f x - f' (x' - x)) - 0‖ = ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
μ ν : Measure α✝
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
c : ℝ≥0∞ := ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
d : ℝ≥0∞ := f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
hd : d = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a ≤ f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a ∧ f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B
⊢ opcyclesMap ((single C c j).map f) j ≫ (singleObjOpcyclesSelfIso c j B).inv = (singleObjOpcyclesSelfIso c j A).inv ≫ f
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
⊢ ¬(hζ.toInteger - 1) ^ 2 ∣ S.a + ↑⋯.unit ^ 2 * S.b
V : Type u
v w : V
s : Set (Sym2 V)
⊢ (SimpleGraph.fromEdgeSet s).Adj v w ↔ s(v, w) ∈ s ∧ v ≠ w
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ (-o).rightAngleRotation x = -o.rightAngleRotation x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
hr₁ : ↑p * r = 0
⊢ False
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Reachable u v
hx : G.edist u v = ⊤
⊢ False
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
h : a ∈ nonunits α
⊢ ∃ I, I.IsMaximal ∧ a ∈ I
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s₁ s₂ t : Set α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ ⊼ t ⊆ s₂ ⊼ t
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
hz : b ≤ z
⊢ (z + 1).inductionOn' b H0 Hs Hp = Hs z hz (z.inductionOn' b H0 Hs Hp)
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X X' : C
f : X ⟶ X'
Y Z : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Y) Z)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X' Y Z).hom)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
p : Set γ
f : α → β
g : β → γ
hg : Set.BijOn g t p
hf : Set.BijOn f s t
⊢ Set.BijOn (g ∘ f) s p
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
σ : Perm n
⊢ ∀ (x : n), Mᵀ (σ x) x = M (σ⁻¹ (σ x)) (σ x)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
a b c : B
f : a ⟶ b
g g' : b ⟶ c
η : g ⟶ g'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η)) (self.mapComp f g') =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.mapComp f g)
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (self.map f) (self.map₂ η))
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f : Finset α → β
DecidableEq α
⊢ StrictMono f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄, a ∉ s → f s < f (insert a s)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ((-o).oangle x (x - y)).sin * ‖x - y‖ = ‖y‖
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
⊢ Nonempty (Φ.RightResolution X₂) ↔ Nonempty (Φ.op.LeftResolution (Opposite.op X₂))
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →A[R] B
⊢ f.comp (ContinuousAlgHom.id R A) = f
M : Type u_1
Monoid M
γ : Type u_3
Monoid γ
f : M → γ
hf : IsMonoidHom f
⊢ IsSubmonoid (Set.range f)
m n : ℕ
hn : 1 < n
h : n ! = m !
⊢ n = m
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ ∀ {X_1 Y : C} (f : X_1 ⟶ Y),
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X).map f = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f X
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : DistribSMul R V
x : HahnSeries Γ R
y z : HahnModule Γ' R V
k : Γ'
hwf : (((of R).symm y).support ∪ ((of R).symm z).support).IsPWO
⊢ ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ hwf k, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y + (of R).symm z).coeff ij.2 = ((of R).symm (x • y + x • z)).coeff k
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α
a b : α
⊢ Setoid.r a b ↔ s.Rel a b
a b c : PartENat
ha : a ≠ ⊤
⊢ a + b = a + c ↔ b = c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.Square C} (f : X.Hom Y) (g : Y.Hom Z),
  (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).τ₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.τ₂ g.τ₂
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
Finite ↑w
s : Set.range v ≤ ↑(Submodule.span R w)
⊢ Finite ι
M : Type u_1
Monoid M
S : Subgroup Mˣ
x : M
⊢ x ∈ S.ofUnits ↔ ∃ y ∈ S, ↑y = x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α × β → StieltjesFunction
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
_hs : MeasurableSet s
x : ℝ
⊢ ∫ (b : β) in s, ↑(f (a, b)) x ∂ν a = ((κ a) (s ×ˢ Set.Iic x)).toReal
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
Fintype n
Fintype o
CommRing R
StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R
⊢ (A * B).rank ≤ min A.rank B.rank
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
f : M → M'
g : M → N'
hf : ContMDiff I I' n f
hg : ContMDiff I J' n g
⊢ ContMDiff I (I'.prod J') n fun x => (f x, g x)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set α
t : Set β
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s ×ˢ t) ∂μ = ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun a => (κ a) t) a ∂μ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → E
⊢ MeasureTheory.Integrable g (μ.withDensity f) ↔ MeasureTheory.Integrable (fun x => (f x).toReal • g x) μ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
x : ↥U
⊢ ∃ f g i, ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen g ∧ const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map i.op) s
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ Finsupp.single n ((match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n) + Finsupp.erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (Finset.Iic f).card = ∏ i ∈ f.support, (Finset.Iic (f i)).card
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoMod hp a (b + m • p) = toIcoMod hp a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesAt f pf x
hg : HasFPowerSeriesAt g pg x
⊢ HasFPowerSeriesAt (f - g) (pf - pg) x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
n : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ n f
h : ∀ (x : E), f x ≠ 0
⊢ ContDiff ℝ n fun x => Real.log (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊
⊢ Tendsto (fun i => ‖i - g‖) (𝓝 g) (𝓝 0)
α : Type u_1
DecidableEq α
a b c d e f : α
⊢ {a, b, c, d, e, f}.card ≤ 6
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
hpq : p ∣ q
h₁ : q.natDegree ≤ p.natDegree
h₂ : p.leadingCoeff = q.leadingCoeff
hq : ¬q = 0
⊢ p = q
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
⊢ ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 > 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
⊢ (finRange l.length).sublists.Nodup
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
p✝ q : α✝ → Prop
α : Sort u_5
β : α → Type u_4
ne : ∀ (a : α), Nonempty (β a)
p : α → Prop
this : DecidablePred p := Classical.decPred p
f : (x : Subtype p) → β ↑x
⊢ ∀ (x : Subtype p), (fun f => restrict p f) (fun x => if h : p x then f ⟨x, h⟩ else ⋯.some) x = f x
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimit.toOver F).pt =
  CategoryTheory.Over.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.Limits.colimit F))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : sup f < lsub f
⊢ sup f = lsub f ∨ succ (sup f) = lsub f
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ a ∈ l, p a
hf : ∀ (a : α) (ha : p a) (b : α) (hb : p b), f a ha = f b hb → a = b
h : l.Nodup
⊢ (map (fun x => f ↑x ⋯) l.attach).Nodup
α : Type u_2
AddGroup α
a : α
⊢ Finset.preimage 0 (fun x => -a + x) ⋯ = {a}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : OneHom N P
x✝ : M
⊢ (f.comp 1) x✝ = 1 x✝
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
hconn : G.Connected
p : G.Walk u v
hp : p.length = G.dist u v
q : G.Walk v w
hq : q.length = G.dist v w
⊢ G.dist u w ≤ G.dist u v + G.dist v w
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
α : Type u_2
f : M × ↥S → α
wd : ∀ (p p' : M × ↥S), p ≈ p' → f p = f p'
m : M
s : ↥S
⊢ (mk m s).liftOn f wd = f (m, s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β
abv : β → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : Nontrivial β
x : β
hx1 : abv x < 1
hx1' : abv x ≠ 1
this : 0 < 1 - abv x
⊢ IsCauSeq abs fun m => (1 - abv x ^ m) / (1 - abv x)
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
hx : x ≠ []
⊢ x.head hx = y.head ⋯
X : Type u_3
Z : Type u_5
β : Type u_6
MeasurableSpace X
StandardBorelSpace X
MeasurableSpace β
MeasurableSpace Z
f : X → Z
MeasurableSpace.CountablySeparated ↑(Set.range f)
hf : Measurable f
g : Z → β
⊢ Measurable (g ∘ f) ↔ Measurable ((Set.range f).restrict g)
H : Type u
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
f : PartialHomeomorph H H
hf : f ∈ G
⊢ f ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas H G
R : Type u_1
CommSemiring R
f : ℕ → R
a : R
⊢ (PowerSeries.rescale a) (PowerSeries.mk f) = PowerSeries.mk fun n => a ^ n * f n
A₁ : Type u_7
B₁ : Type u_8
A₂ : Type u_9
B₂ : Type u_10
CommRing A₁
CommRing B₁
CommRing A₂
CommRing B₂
Algebra A₁ B₁
Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
x : B₁
⊢ (Algebra.trace A₁ B₁) x = e₁.symm ((Algebra.trace A₂ B₂) (e₂ x))
a : ℤ
⊢ -a.succ = (-a).pred
α : Type u_2
M : Type u_4
Preorder M
One M
s : Set α
f : α → M
hf : ∀ x ∉ s, 1 ≤ f x
⊢ s.mulIndicator f ≤ f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m₁ m₂ : MeasureTheory.OuterMeasure α
H : ∀ {s : Set α}, MeasurableSet s → m₁ s = m₂ s
⊢ m₁.trim = m₂.trim
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v, u'} D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.CartesianClosed C
CategoryTheory.CartesianClosed D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) F
A B : C
⊢ CategoryTheory.CartesianClosed.uncurry ((CategoryTheory.expComparison F A).app B) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.prodComparison F A (A ⟹ B)))
    (F.map ((CategoryTheory.exp.ev A).app B))
σ : Type u_1
Fintype σ
DecidableEq σ
k : ℕ
t : Finset σ × σ
⊢ t ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k ↔ t.1.card ≤ k ∧ (t.1.card = k → t.2 ∈ t.1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
b : γ
⊢ ((p.bind f).bind g) b = (p.bind fun a => (f a).bind g) b
T : Type u
inst✝² : Category.{v, u} T
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Arrow C
f : X✝ ⟶ Y✝
w : f.left ≫ Y✝.hom = X✝.hom ≫ f.right := f.w
⊢ F.map f.left ≫ F.map Y✝.hom = F.map X✝.hom ≫ F.map f.right
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
⊢ ∀ j ≥ n, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat (r * s) - nthHomSeq f_compat r * nthHomSeq f_compat s) j) < ε
R : Type u_1
inst✝ : OrderedCommSemiring R
s : Multiset R
⊢ (∀ a ∈ 0, 0 ≤ a) → 0 ≤ prod 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
⊢ ∀ (x y : α), s(x, y) ∈ fromRel ⋯
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
hdvd : map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ) ∣ X ^ n - 1
⊢ ↑n ≠ 0
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (J.plusObj P) S
inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
Z : B.Arrow → C
e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I
e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X
he2 : ∀ (I : B.Arrow), S.sieve.arrows (e2 I)
h✝ : ∀ (I : B.Arrow), (fun Y f h => ((fun Y f hf => (T { Y := Y, f := f, hf := hf }).sieve) Y f h).arrows) (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)
a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f
w : Meq P B := meqOfSep P hsep X S s T t ht
I : S.Arrow
II : (T I).Arrow
⊢ ∃ h1 h2, ((w.pullback I.f).pullback II.f).refine h1 = ((t I).pullback II.f).refine h2
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
PseudoMetricSpace α
OpensMeasurableSpace α
x : α
r : ι → ℝ
hr : Filter.Tendsto r l Filter.atTop
⊢ MeasureTheory.AECover μ l fun i => Metric.ball x (r i)
I : Type u
f : I → Type v
i : I
DecidableEq I
(i : I) → Preorder (f i)
(i : I) → One (f i)
⊢ StrictMono (Pi.mulSingle i)
R : Type u
Semiring R
Subsingleton R
p : R[X]
⊢ p.Monic
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
⊢ Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
c : 𝕜
⊢ HasSum (fun x => re (f x)) (re c) ∧ HasSum (fun x => im (f x)) (im c) → HasSum f c
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
p : J → Prop
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j : Subtype p
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f ↑j ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.toSubtype f p =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.ι (Subtype.restrict p f) j
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
⊢ (CategoryTheory.Pseudofunctor.mkOfLax F F').toPrelaxFunctor = F.toPrelaxFunctor
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
⊢ (DirectSum.of (fun n => ⨂[R]^n M) ((List.finRange n).dProdIndex fun x => 1)) ((List.finRange n).dProd (fun x => 1) fun x_1 => (PiTensorProduct.tprod R) fun x_2 => x x_1) = (DirectSum.of (fun i => ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
p : R[X][Y]
x y : R
⊢ Polynomial.evalEval (f x) (f y) (Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom f) p) = f (Polynomial.evalEval x y p)
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
x ζ : (𝓞 K)ˣ
f : Fin (rank K) → ℤ
hζ : ζ ∈ torsion K
h : x = ζ * ∏ i : Fin (rank K), fundSystem K i ^ f i
⊢ Additive.ofMul ↑x = ∑ i : Fin (rank K), f i • (basisModTorsion K) i
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Affine.Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ dist (t.points i₁) (t.points i₃) / |(∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)).sin| / 2 =
  Affine.Simplex.circumradius t
α : Sort u
r : α → α → Prop
self : Equivalence r
x y : α
⊢ r x y → r y x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
hr : Reflexive r
⊢ Relation.ReflGen r = r
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
n : ℕ
ih : res x n = res y n
hA : ¬x n = y n
⊢ ∃ x_1 ∈ A (x n :: res x n), x_1 ∈ A (y n :: res x n)
L : Type u
CommRing L
IsDomain L
g : L ≃+* L
n : ℕ+
t : ↥(rootsOfUnity n L)
⊢ g ↑↑t = ↑(↑t ^ (ModularCyclotomicCharacter.toFun n g).val)
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedRing α
H₁ H₂ : FloorRing α
this✝ : FloorRing.floor = FloorRing.floor
this : FloorRing.ceil = FloorRing.ceil
⊢ H₁ = H₂
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y : R
h : W.Equation x y
⊢ Equation (WeierstrassCurve.map W f) (f x) (f y)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra A B
Algebra R B
IsScalarTower R A B
NoZeroSMulDivisors A B
Nontrivial B
x : A
p : R[X]
⊢ (Polynomial.aeval ((algebraMap A B) x)) p = 0 ↔ (Polynomial.aeval x) p = 0
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a : R
ha : 0 ≤ a
⊢ 1 < a ^ 2 ↔ 1 < a
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
f'' : Z ≃ₜ Z'
⊢ (e.trans e').transHomeomorph f'' = e.trans (e'.transHomeomorph f'')
α : Type u_1
m : Multiset α
hm : m.Nodup
⊢ { val := m, nodup := hm }.Nonempty ↔ m ≠ 0
P : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : P.toProperty.RespectsIso
H : ∀ ⦃X Y S : Scheme⦄ [inst : IsAffine S] [inst_1 : IsAffine X] (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), P g → P (pullback.fst f g)
Z X Y S : Scheme
inst✝¹ : IsAffine S
inst✝ : IsAffine X
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : Z ⟶ Y
g' : Z ⟶ X
h : IsPullback g' f' f g
hg : P g
⊢ P g'
θ : Real.Angle
⊢ θ = -θ ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
(L.withConstants α).Structure M
(L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n : ℕ
t : (L.withConstants α).Term (β ⊕ Fin n)
v : β → M
xs : Fin n → M
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) xs)
    (FirstOrder.Language.Term.constantsVarsEquivLeft t) =
  FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim v xs) t
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
h : IsGLB s a
x : α
hx : x ∈ Ioi a
⊢ x ∈ ⋃ i ∈ s, Ioi i
α : Type u_4
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
⊢ 0 ≤ a / b
a b : Int
H1 : 0 ≤ a
H2 : a < b
⊢ a % b = a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
δ : Type u_4
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderTopology δ
g : γ → δ
f : α → γ
hg : ContinuousAt g (f x)
hf : LowerSemicontinuousAt f x
gmon : Antitone g
⊢ UpperSemicontinuousAt (g ∘ f) x