ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f✝ : M → B
g : M → F
x : M
f : M → TotalSpace F E
hp : ContMDiffWithinAt IM IB n (TotalSpace.proj ∘ f) s x
hf : ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => (↑e (f y)).2) s x
he : (f x).proj ∈ e.baseSet
he' : (f x).proj ∈ e'.baseSet
⊢ (fun y => (↑e' (f y)).2) =ᶠ[𝓝[s] x] fun y => e.coordChange e' ((TotalSpace.proj ∘ f) y) (↑e (f y)).2
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : ↑hf'.choose = ↑hg'.choose
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose
⊢ f = g
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
⊢ UniformInducing f ↔ UniformSpace.comap f inst✝¹ = inst✝²
R : Type u₁
S : Type u₂
Ring R
Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (ModuleCat.restrictScalars f).obj Y ⟶ X
y : ↑Y
s : S
⊢ ((ModuleCat.RestrictionCoextensionAdj.HomEquiv.fromRestriction f g) y) s = g (s • y)
α : Type u_1
β : Type u_2
Bornology α
Bornology β
s : Set (α × β)
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ Bornology.IsBounded (Prod.fst '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s : Set β
h : r.codom ⊆ s
⊢ r.preimage s = r.dom
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
f : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ (-f) n = -f n
G : Type u_1
Group G
H₁ H₂ : Subgroup G
⊢ ⁅H₁, H₂⁆ = Subgroup.closure {g | ∃ g₁ ∈ H₁, ∃ g₂ ∈ H₂, ⁅g₁, g₂⁆ = g}
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle y (y - x)).cos * ‖y - x‖ = ‖y‖
α : Type u_2
TopologicalSpace α
x : α
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun x => True) SetLike.coe
α : Type u_1
AddCommGroup α
self : AddCommGroup.PositiveCone α
⊢ self.nonneg 0
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
⊢ ↑(((decompose 𝒜) ((Finsupp.total (↑s✝) A A Subtype.val) s)) i) ∈ span s✝
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
hna : v ≠ w → G.Adj v w
⊢ ((G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w})).card = n - (2 * k - ℓ)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hxz : x ≤ z
hyz : y ≤ z
h : z \ x = z \ y
⊢ x = y
m n a b c d : ℕ
h : a / c ≡ b / c [MOD m / c]
ha✝¹ : c ∣ a
ha✝ : c ∣ b
ha : c ∣ m
⊢ a ≡ b [MOD m]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
n a a' : ℤ
ha' : n + a = a'
K : CochainComplex C ℤ
⊢ (CochainComplex.ShiftSequence.shiftIso C n a a' ha').inv.app K =
  CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap ((CochainComplex.shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').inv.app K)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.equivalence.functor = CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.N
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
x : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum.adicCompletion K v
⊢ Valued.v x = Valued.extension x
R : Type u_4
S : Type u_5
Semiring R
Semiring S
f : R ≃+* S
a : R
⊢ IsUnit (f a) ↔ IsUnit a
⊢ (type fun x x_1 => x < x_1) = type fun x x_1 => x < x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P t → s ⊆ t → P s
⊢ P s → ((∀ ⦃y : Set α⦄, P y → s ⊆ y → s = y) ↔ ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.adjToComonadIso G).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.obj X)
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : MulZeroClass M₀
s : Set M₀
x✝ : M₀
⊢ 0 * x✝ = x✝ * 0
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
self : GaloisCoinsertion l u
x : α
⊢ u (l x) ≤ x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
hc : Differentiable ℝ f
⊢ Differentiable ℝ fun x => Real.sinh (f x)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator 1 a ∂μ ≤ μ s
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
ι : Type u_3
U : ι → TopologicalSpace.Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f
⊢ Embedding f ↔ ∀ (i : ι), Embedding ((U i).carrier.restrictPreimage f)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (chartAt H' y).source
⊢ ContMDiffAt I I' n f x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) x
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
Γ' : Type u_5
OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
NonUnitalNonAssocSemiring R
f : Γ ↪o Γ'
hf : ∀ (x y : Γ), f (x + y) = f x + f y
x y : HahnSeries Γ R
⊢ HahnSeries.embDomain f (x * y) = HahnSeries.embDomain f x * HahnSeries.embDomain f y
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lip : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
⊢ IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
α : Type u_1
β : Type v
f : α → Option β
a : α
s : Multiset α
b : β
h : f a = some b
⊢ Multiset.filterMap f (a ::ₘ s) = b ::ₘ Multiset.filterMap f s
H : Type u
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
e : PartialHomeomorph H H
h : ∀ x ∈ e.source, ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ e.restr s ∈ G
⊢ e ∈ G
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a : α
⊢ 0 ≤ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : dist x z < ε + δ
⊢ ∃ y, dist x y < δ ∧ dist y z < ε
G : Type u_1
Mul G
A B : Finset G
h : 1 < A.card * B.card → ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueMul A B a b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
s₁ s₂ : Set α
hs₁ : IsOpen s₁
hs₂ : IsOpen s₂
h₁ : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s₁
h₂ : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s₂
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p (s₁ ∪ s₂)
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
X Y : T
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Arrow.mk f).left = X
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f
l : ℕ
hl : f (ζ ^ l) = f 1
⊢ orderOf ζ ∣ l
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i
k : Fin ([n + 1].len + 1)
⊢ j.castSucc.predAbove (i.succ.succAbove k) = i.succAbove (j.predAbove k)
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y
⊢ QuasiSeparated f ↔ QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
α : Type u_1
AddMonoid α
s : AddSubmonoid α
a : α
ha : a +ᵥ ↑s = ↑s
⊢ a ∈ s
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E
X : Ω → E
MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ
f : E → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (x : E), MeasureTheory.pdf X ℙ μ x * f x ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), f (X x) ∂ℙ
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ χ.conductor = 0 ↔ n = 0
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : LocallyCompactSpace G
D : G → ℝ := fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂ν
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ preNormEDS' ((mapRingHom f) W.Ψ₂Sq ^ 2) ((mapRingHom f) W.Ψ₃) ((mapRingHom f) W.preΨ₄) n = preNormEDS' ((mapRingHom f) (W.Ψ₂Sq ^ 2)) ((mapRingHom f) W.Ψ₃) ((mapRingHom f) W.preΨ₄) n
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x ^ k = 0
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
x : S'
⊢ x ∈ Algebra.adjoin R' ↑(Finset.image (⇑(algebraMap S S')) T)
p : ℝ
x : ℝ
⊢ ‖↑x‖ = |x - ↑(round (p⁻¹ * x)) * p|
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : CompleteSpace E
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 ℂ E
a : 𝕜
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), a • f z) = a • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.IsPushout ↔ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsColimit sq.pushoutCocone)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
ρ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ρ
κ : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) Ω
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
hκ : ρ.fst ⊗ₖ κ = ρ
a : α
⊢ (fun b => κ (a, b)) =ᵐ[ρ.fst a] ⇑(ρ a).condKernel
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_12
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
q : Seminorm 𝕜 E
ε : ℝ
C : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), (∀ i ∈ s, (p i) x < ε) → ∀ j ∈ s, ε / ‖c‖ ≤ (p j) x → q x ≤ (C • p j) x
x : E
hx : ∃ j ∈ s, (p j) x ≠ 0
⊢ q x ≤ (C • s.sup p) x
G : Type u_1 → Type u_1
Applicative G
CommApplicative G
α β γ : Type u_1
g : α → β
h : β → G γ
x : Multiset α
⊢ Multiset.traverse h (Multiset.map g x) = Multiset.traverse (h ∘ g) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₀ f₁ : E → F
x : E
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f₀ x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f₁ x
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
h : IsUnit f
⊢ f = divided_by_X_pow_order hf
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(b - a) j
εc : α
εc0 : εc > 0
ic : ℕ
hc : ∀ j ≥ ic, εc ≤ ↑(c - a) j
i : ℕ
hi : i ≥ ib ⊔ ic
this : min εb εc ≤ min (↑(b - a) i) (↑(c - a) i)
⊢ εb ⊓ εc ≤ ↑(b ⊓ c - a) i
n : ℕ
I : BoxIntegral.Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
⊢ ∀ (a : Fin n), (I.face i).lower a = I.lower (i.succAbove a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : α → ℝ≥0
hg : Summable g
i : α
hi : 0 < g i
⊢ ∑' (x : ?m.316521), 0 < ∑' (b : α), g b
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
⊢ Module.annihilator R (R ⧸ I) = I
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
SMul M β
m : MeasurableSpace α
g : α → β
MeasurableSMul M β
hg : Measurable g
c : M
⊢ Measurable fun x => c • g x
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j
⊢ C.dFrom i = C.d i j ≫ (C.xNextIso r).inv
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
inst✝ : HasGroupoid M G
s U V : Opens M
hUV : U ≤ V
x : ↥U
e : PartialHomeomorph M H := chartAt H ↑x
heUx_nhds : (e.subtypeRestr ⋯).target ∈ 𝓝 (↑e ↑x)
⊢ ↑(chartAt H (inclusion hUV x)).symm =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H (inclusion hUV x)) (inclusion hUV x))] inclusion hUV ∘ ↑(chartAt H x).symm
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
⊢ c • closedBall 0 1 = closedBall 0 ‖c‖
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g : G
x : X.V
r : k
⊢ (((Rep.linearization k G).obj X).ρ g) (Finsupp.single x r) = Finsupp.single (X.ρ g x) r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z✝ : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
y' : E
hy' : y' ∈ s
⊢ (fun x => z + x) (a • x + b • y') = a • (z + x) + b • (fun x => z + x) y'
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
inst✝ : Semiring T
p q : R[ℕ]
hf : ∀ (k : ℕ), Commute (f (q k)) x
⊢ eval₂ f x ({ toFinsupp := p } * { toFinsupp := q }) = eval₂ f x { toFinsupp := p } * eval₂ f x { toFinsupp := q }
G : Type u_1
Group G
φ : G →* G
Finite G
hφ : MonoidHom.FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
g : G
⊢ orderOf g ≠ 2
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s : Set X
⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝 x) ↔ x ∉ closure s
⊢ Cardinal.lift.{v, u_1} Cardinal.continuum = Cardinal.continuum
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X Y : C
x : ↑(F.obj X)
y : ↑(F.obj Y)
⊢ F.map prod.snd ((PreservesLimitPair.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) X Y).inv ((Types.binaryProductIso ↑(F.obj X) ↑(F.obj Y)).inv (x, y))) = y
m n k : Nat
⊢ ↑m * Int.subNatNat n k = Int.subNatNat (m * n) (m * k)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
hy' : optParam (∀ m ∈ N, (φ x ∘ₗ φ y) m ∈ N) ⋯
⊢ (trace R M) (φ x ∘ₗ φ y) = (trace R ↥↑N) ((φ x ∘ₗ φ y).restrict hy')
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i✝ : ι
f g : ι → M₀
i : ι
⊢ s.indicator (t.indicator fun j => f j * g j) i = s.indicator f i * t.indicator g i
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N₁ N₂ : L.Substructure M
hN₁ : N₁.CG
hN₂ : N₂.CG
t₁ : Set M
ht₁ : t₁.Countable ∧ (closure L).toFun t₁ = N₁
t₂ : Set M
ht₂ : t₂.Countable ∧ (closure L).toFun t₂ = N₂
⊢ (closure L).toFun (t₁ ∪ t₂) = N₁ ⊔ N₂
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
S : Set G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
hG : 0 < Fintype.card G
a : G
ha : a ∈ S
⊢ ∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(S ^ k) = Fintype.card ↑(S ^ Fintype.card G)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
h : ∃ t, IsChain r s ∧ SuperChain r s t
this : IsChain r s ∧ SuperChain r s h.choose
⊢ SuperChain r s (SuccChain r s)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfmono : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), f n ω ≤ f (n + 1) ω
hf : Adapted ℱ f
hint : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), |f (n + 1) ω - f n ω| ≤ ↑R
h₁ : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Tendsto (fun n => martingalePart f ℱ μ n ω) atTop atTop
h₂ : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Tendsto (fun n => martingalePart f ℱ μ n ω) atTop atBot
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => predictablePart f ℱ μ n ω) atTop atTop
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_4
DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ N
⊢ (TensorProduct.finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] p) = p.sum fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasSum (f ∘ Subtype.val) a₁
⊢ HasSum f a₂ ↔ HasSum (f ∘ Subtype.val) (a₂ - a₁)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : ℕ → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
h : Summable fun x => f x.1 * g x.2
⊢ Summable fun n => ∑ ij ∈ antidiagonal n, f ij.1 * g ij.2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝ : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
f g : F[X]
sf : Multiset E := (Polynomial.map ϕ f).roots
sg : Multiset E := (Polynomial.map ϕ g).roots
s : Finset E := (sf.bind fun α' => Multiset.map (fun β' => -(α' - α) / (β' - β)) sg).toFinset
s' : Finset F := s.preimage ⇑ϕ ⋯
c : F
hc : c ∉ s'
⊢ ∃ c, ∀ α' ∈ (Polynomial.map ϕ f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map ϕ g).roots, -(α' - α) / (β' - β) ≠ ϕ c
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
⊢ GaloisConnection (Subsemigroup.map f) (Subsemigroup.comap f)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s
t : Set (α × α)
t_in : t ∈ 𝓤 α
t_symm : SymmetricRel t
t_sub : t ○ t ⊆ w
this : t ⊆ t ○ t
ht : t ⊆ t
⊢ t ○ t ○ t ⊆ s
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
⊢ EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃ ≠ π
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
val✝ : Encodable β
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
α : Type u
a : α
s t : Set α
h : a ∉ t
⊢ insert a s ∩ t = s ∩ t
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
⊢ IsField R ↔ IsSimpleOrder (Ideal R)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
p : X → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ s, p x) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, p y
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t
t : ℝ
Ht : t ∈ Ioo 0 1
hMVT' : (f' (g t)) (y - x) = (f (g 1) - f (g 0)) / (1 - 0)
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
α : Type u_1
AddCancelCommMonoid α
a b c d : α
h : a + b = c + d
⊢ a = c ↔ b = d
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{w, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁶ : Category.{w', u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A A' B B' : C
inst✝⁵ : HasBinaryProduct A B
inst✝⁴ : HasBinaryProduct A' B'
inst✝³ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝² : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝¹ : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))
inst✝ : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)
⊢ prod.lift ((F ⋙ G).map prod.fst) ((F ⋙ G).map prod.snd) = G.map (prod.lift (F.map prod.fst) (F.map prod.snd)) ≫ prod.lift (G.map prod.fst) (G.map prod.snd)
i : Nat
⊢ Lean.Omega.Coeffs.get [] i = 0
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
r s t w : 𝓞 K
hr : ¬λ ∣ r
hs : ¬λ ∣ s
Hp : ∀ {p : 𝓞 K}, Prime p → p ∣ t → p ∣ w → Associated p λ
H₁ : ∀ {q : 𝓞 K}, q ∣ r → q ∣ t
H₂ : ∀ {q : 𝓞 K}, q ∣ s → q ∣ w
p : 𝓞 K
hp : Prime p
p_dvd_r : p ∣ r
p_dvd_s : p ∣ s
⊢ λ ∣ r
α : Type u_1
p : Lex α → Prop
⊢ (∀ (a : Lex α), p a) ↔ ∀ (a : α), p (toLex a)
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
f' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => ENNReal.ofReal (f n a - f 0 a)
F' : α → ℝ≥0∞ := fun a => ENNReal.ofReal (F a - f 0 a)
hf'_int_eq : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), f i a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
hF'_int_eq : ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), F a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
h_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F' a ∂μ))
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))