ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι✝ : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_10
inst✝ : Nonempty ι
p : Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
h : ∀ (i : ι'), ∃ C, (q i).comp f ≤ C • p
i : ι'
⊢ ∃ s C, (q i).comp f ≤ C • s.sup fun x => p
G : Type u
inst✝ : Group G
⊢ ⁅centralizer ↑(commutator G), centralizer ↑(commutator G)⁆ ≤ Subgroup.center G
C₁ : Type u₁
inst✝¹¹ : Category.{v₁, u₁} C₁
W₁ : MorphismProperty C₁
C₂ : Type u₂
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₂ : MorphismProperty C₂
D₁ : Type u₃
inst✝⁹ : Category.{v₃, u₃} D₁
D₂ : Type u₄
inst✝⁸ : Category.{v₄, u₄} D₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝⁷ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝⁶ : L₂.IsLocalization W₂
W : ?m.49815
X Y Z : C₁
inst✝⁵ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y
inst✝⁴ : HasSmallLocalizedHom W₁ Y Z
inst✝³ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Z
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Y)
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj Y) (Φ.functor.obj Z)
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Z)
f : SmallHom W₁ X Y
g : SmallHom W₁ Y Z
⊢ Φ.smallHomMap (f.comp g) = (Φ.smallHomMap f).comp (Φ.smallHomMap g)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y z : F
⊢ ⟪x, y + z⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪x, z⟫_𝕜
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
g : X → E
s : Set X
hs : MeasurableSet s
⊢ (∫ (x : X) in s, g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X) in s, f x • g x ∂μ
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs' : μ s < ⊤
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => (f x).toReal) (μ.restrict s)
τ : ℍ
h0 : ↑τ ≠ 0
h1 : (-I * ↑τ) ^ (1 / 2) ≠ 0
⊢ jacobiTheta ↑(ModularGroup.S • τ) = (-I * ↑τ) ^ (1 / 2) * jacobiTheta ↑τ
a b : ℝ
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.log x = b * Real.log b - a * Real.log a - b + a
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
a : α
h : ∀ (i : ι) (j : κ i), a ∈ s i j
⊢ a ∈ ⋂ i, ⋂ j, s i j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f f' : CategoryTheory.StructuredArrow S T
φ : f ⟶ f'
⊢ ∃ ψ, ∃ (hψ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom (T.map ψ) = f'.hom), φ = CategoryTheory.StructuredArrow.homMk ψ hψ
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
ma : Finset (↥(ker G) × N)
hkn : (rTensor N (ker G).subtype) (∑ kj ∈ ma, kj.1 ⊗ₜ[R] kj.2) = en
⊢ VanishesTrivially R m n
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → Set X
ho : ∀ (i : α), IsOpen (f i)
hU : ⋃ i, f i = univ
h : ∀ (i : α), IsOpen (f i ∩ s)
⊢ IsOpen (⋃ i, f i ∩ s)
x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ deriv AkraBazziRecurrence.smoothingFn x = -x⁻¹ / Real.log x ^ 2
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ p %ₘ 1 = 0
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ (↑n + 3) / (2 * 2 * ↑n) = (↑n + 3) / (4 * ↑n)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : OrderTop α
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : OrderTop β
a b : α
f : α ≃o β
ha : Codisjoint a b
⊢ f ⊤ ≤ f (a ⊔ b)
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p : Finset σ × σ), p.1.card = a.1 → p ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
Z₁ Z₂ : C
⊢ (f₁ ⊗ f₂) ▷ (Z₁ ⊗ Z₂) ≫ tensor_μ C (Y₁, Y₂) (Z₁, Z₂) = tensor_μ C (X₁, X₂) (Z₁, Z₂) ≫ (f₁ ▷ Z₁ ⊗ f₂ ▷ Z₂)
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
i₁_lt_i : i₁ < ↑i
⊢ False
α : Type u_2
M : Type u_4
One M
LinearOrder M
f g : α → M
⊢ (Function.mulSupport fun x => min (f x) (g x)) ⊆ Function.mulSupport f ∪ Function.mulSupport g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ ‖(1 / 2) • (x + y)‖ < ‖x‖ ↔ x ≠ y
x y : ℂ
⊢ sinh x - cosh x = -cexp (-x)
R : Type x
CommRing R
a b : R
⊢ a ^ 2 - b ^ 2 = (a + b) * (a - b)
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_2
CommRing A
Algebra R A
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module A M
Module R M
D : Derivation R A M
⊢ ↑(-D) = -↑D
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
S : Set G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
hG : 0 < Fintype.card G
a : G
ha : a ∈ S
key : ∀ (a : G) (s t : Set G) [inst : Fintype ↑s] [inst_1 : Fintype ↑t], (∀ b ∈ s, b * a ∈ t) → Fintype.card ↑s ≤ Fintype.card ↑t
mono : Monotone fun n => Fintype.card ↑(S ^ n)
n : ℕ
h : Fintype.card ↑(S ^ n) = Fintype.card ↑(S ^ (n + 1))
h₂ : S ^ n * {a} = S ^ (n + 1)
x : G
hx : x ∈ S ^ (n + 1)
⊢ x * a * a⁻¹ ∈ S ^ (n + 1)
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X : C
⊢ (MonoidalCategory.rightUnitor (F.obj X)).hom = MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X) (asIso (terminalComparison F)).inv ≫ (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) X (𝟙_ C) ≫ F.map (MonoidalCategory.rightUnitor X).hom
R : Type u
S : Type u_3
L : Type v
M : Type w
CommRing R
CommRing S
Field L
Field M
Algebra R M
NoZeroSMulDivisors R M
IsAlgClosure R M
Algebra S L
NoZeroSMulDivisors S L
IsAlgClosure S L
hSR : S ≃+* R
⊢ (↑(IsAlgClosure.equivOfEquiv L M hSR)).comp (algebraMap S L) = (algebraMap R M).comp ↑hSR
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : α
⊢ WithTop.map f ↑a = ↑(f a)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_12
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (p i) x ≤ (s.sup p) x
R : Type u_1
Semiring R
k : ℕ
r : R
hk : 0 < k
⊢ (Polynomial.hasseDeriv k) (Polynomial.C r) = 0
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
f : β → α
x : α
⊢ x ∈ closure (range f) ↔ ∀ r > 0, ∃ y, dist x (f y) < r
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → (I ^ n).radical = I.radical
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f : G → E
n : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ n f
h0 : ∀ (x : G), f x ≠ 0
⊢ ContDiff ℝ n fun y => ‖f y‖
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
f : α → β → m β
init : β
arr : Array α
⊢ Array.foldrM f init arr arr.size = List.foldlM (fun x y => f y x) init arr.data.reverse
α : Type u_1
a : Array α
i : Nat
h : i ≥ a.size
⊢ a[i]? = none
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K
h : x ∈ Ideal.comap i (pNilradical L p)
⊢ ∃ n, x ^ p ^ n = 0
𝕜 : Type u_7
Field 𝕜
M : Type u_8
AddCommGroup M
Module 𝕜 M
h : FiniteDimensional.finrank 𝕜 M = 0
f : M →ₗ[𝕜] M
⊢ LinearMap.det f = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
s : CategoryTheory.Discrete PUnit.{v + 1}
⊢ (CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation.yoneda X).ι.app s =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (((CategoryTheory.Functor.fromPUnit X).comp CategoryTheory.yoneda).obj s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : E × F
⊢ HasFDerivAt Prod.snd (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 E F) p
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
i j : α → ℕ
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
p : α
s : Finset α
hps : p ∉ s
ih : (∀ p ∈ s, Prime p) → (∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p ∣ q → p = q) → f (∏ p ∈ s, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ s, p ^ i p) * f (∏ p ∈ s, p ^ j p)
is_prime : ∀ p_1 ∈ insert p s, Prime p_1
is_coprime : ∀ p_1 ∈ insert p s, ∀ q ∈ insert p s, p_1 ∣ q → p_1 = q
hpr_p : Prime p
hpr_s : ∀ p ∈ s, Prime p
hcp_p : ∀ (i : α → ℕ), IsRelPrime (p ^ i p) (∏ p' ∈ s, p' ^ i p')
⊢ f (∏ p ∈ insert p s, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ insert p s, p ^ i p) * f (∏ p ∈ insert p s, p ^ j p)
K : Type u
Field K
L : Type u
Field L
f : K →+* L
a : L
⊢ RatFunc.eval f a 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
this : IsFiniteKernel κ
S : Finset (Set γ)
hS_subset : ↑S ⊆ countablePartition γ n
hA : MeasurableSet (⋃₀ ↑S)
h_disj : Pairwise (Disjoint on fun i => ↑i)
⊢ ∑' (n_1 : ↑↑S), ∫ (x : γ) in ↑n_1, κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a = ∑' (a_1 : ↑↑S), ((κ a) (↑a_1 ×ˢ s)).toReal
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
c : ℝ
⊢ (μ.tilted fun x => c) = μ
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
coe_mono : Monotone toIdeal
x : Ideal A
⊢ x ∈ {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ J ≤ I} ↔ x ∈ toIdeal '' {a | a.toIdeal ≤ I}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (g ∘ f '' s)
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
⊢ desc b.inl b.inr ≫ lift b.fst b.snd = 𝟙 (X ⊞ Y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
⊢ (fun y => f (x + y) - p.partialSum n y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ n
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α ↪ β
x y : α
⊢ f x = f y ↔ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
s : Set β
t : Set α
⊢ s = ⇑e '' t ↔ ⇑e.symm '' s = t
n : ℕ
hn : NeZero n
⊢ lcm (2 * n) 4 ∣ Monoid.exponent (QuaternionGroup n)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
hf : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω)
ρ' : Measure (α × ℝ) := Measure.map (Prod.map id f) ρ
hρ'def : ρ' = Measure.map (Prod.map id f) ρ
hρ' : ρ'.fst = ρ.fst
hρ'' : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ.map f ⋯) x = ρ'.condKernel x
s : Set (α × ℝ)
hs : MeasurableSet s
⊢ (Measure.map (Prod.map id f) ρ) s = (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel.map f ⋯) s
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ : M ⊗[R] N
x : M
y : N
⊢ 0 = (-x + x) ⊗ₜ[R] y
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Preorder α
LinearOrder β
Preorder γ
f : ι → α
g : ι → β
g' : β → γ
s : Set ι
h : MonovaryOn f g s
hg : MonotoneOn g' (g '' s)
⊢ MonovaryOn f (g' ∘ g) s
α : Type u
β : Set α
γ : Set ↑β
hγ :
  (do
      let a ← γ
      pure ↑a) =
    β
⊢ γ = Set.univ
M : Type u_1
AddMonoid M
s : Set M
a : M
hs : IsAddSubmonoid s
h : a ∈ s
n : ℕ
⊢ n • a ∈ s
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
⊢ (f * g).IsMultiplicative
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
this : g = (range g).subtype ∘ₗ g.rangeRestrict
⊢ Function.Surjective ⇑(lTensor Q g.rangeRestrict)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Arrow C} (F : X ⟶ Y) (n : SimplexCategoryᵒᵖ),
  (CategoryTheory.SimplicialObject.augmentedCechNerve.map F).left.app n =
    CategoryTheory.Limits.WidePullback.lift ((CategoryTheory.Limits.WidePullback.base fun x => X.hom) ≫ F.right)
      (fun i => CategoryTheory.Limits.WidePullback.π (fun x => X.hom) i ≫ F.left) ⋯
α : Type w
Finite α
X : α → CompHaus
B : CompHaus
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (CategoryTheory.forget CompHaus).obj (X a)
⊢ (CompHaus.finiteCoproduct.desc X π) ((CompHaus.finiteCoproduct.ι X a) x) = (π a) x
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ ⨆ i, mrange (ϕ i) ≤ mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
t : Set α
a : α
Hf : MonotoneOn f t
Ha : IsGreatest t a
⊢ IsGreatest (f '' t) (f a)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
⊢ ih_gen 0 a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
t : Set Y
ht : IsCompact t
n : Set (X × Y)
hn : IsOpen n
hp : s ×ˢ t ⊆ n
⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ s ⊆ u ∧ t ⊆ v ∧ u ×ˢ v ⊆ n
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h_dir : Directed (fun x y => x ⊆ y) fun q => Iic ↑q
h_dir_prod : Directed (fun x y => x ⊆ y) fun q => s ×ˢ Iic ↑q
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (⋃ r, Iic ↑r) ∂ν a = (κ a) (⋃ i, s ×ˢ Iic ↑i)
a b : ℕ
hb : Odd b
⊢ J(↑a | b) = J(↑a | b % (4 * a))
V : Type u
Fintype V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
self : G.IsSRGWith n k ℓ μ
⊢ Fintype.card V = n
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s✝ s : Set G
a : G
h : a ∈ closure s
x✝² : G
x✝¹ : InClosure s x✝²
x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x✝²
L : List G
HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s
HL2 : L.prod = x✝²
x : G
hx : x ∈ List.map Inv.inv L.reverse
y : G
hy1 : y ∈ L.reverse
hy2 : y⁻¹ = x
⊢ y ∈ s → y ∈ s
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ i ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s, IsCompact i → μ i = 0
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
NoZeroSMulDivisors R M
S : Submodule R M
⊢ Module.rank R ↥S = 0 ↔ S = ⊥
α : Type u_3
β : Type u_6
AddCommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
⊢ s.noncommSum f ⋯ = s.sum f
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝³ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝² : CommMonoid P
R : Type u_4
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
inst✝¹ : SMul R M
inst✝ : IsScalarTower R M M
c : R
a : M
b : ↥S
⊢ c • mk a b = mk (c • a) b
G : Type u_1
Mul G
A B : Finset G
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hA1 : A.card ≤ 1
hB1 : B.card ≤ 1
⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueMul A B a b
n : ℕ
⊢ ↑(Real.log ↑n) = Complex.log ↑n
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑f.natDegree < ↑m → f.reverse.coeff m = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
h : Set α → Set β
hh : Monotone h
⊢ ⋂₀ {s | s ∈ f.lift' h} = ⋂ s ∈ f, h s
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) (0, z)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ M.LinearDisjoint N ↔ (equivOpposite.symm (MulOpposite.op N)).LinearDisjoint (equivOpposite.symm (MulOpposite.op M))
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Set.Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + Real.log y
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
n : ℕ
⊢ f x ≤ f 1 + x * Real.log (↑n + 1) - x * Real.log ↑n + Real.BohrMollerup.logGammaSeq x n
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n.rawCast n
X : CondensedSet
S : CompHausᵒᵖ
x : X.val.obj S
⊢ X.topCatAdjunctionUnit.val.app S x =
  { toFun := fun s => X.val.map (CompHaus.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
CommMonoid β
MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
hf_Indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (∏ j ∈ s, f j) (f i) κ μ
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup n R
⊢ A ∈ Subgroup.center (Matrix.SpecialLinearGroup n R) ↔ ∃ r, r ^ Fintype.card n = 1 ∧ (Matrix.scalar n) r = ↑A
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
h : IsUpperSet s
⊢ IsOpen (⇑Topology.WithLawson.ofLawson ⁻¹' s) ↔ IsOpen (⇑Topology.WithScott.ofScott ⁻¹' s)
z x✝ y x : ℝ
⊢ √x = x ^ (1 / 2)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : MeasureTheory.Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), MeasureTheory.Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ
⊢ MeasureTheory.Submartingale f 𝒢 μ
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
m✝ : Multiset α
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
m : Multiset α
f : α → ℕ → β
⊢ ∀ (x : m.ToType), f x.fst ↑x.snd = f (↑(m.coeEquiv x)).1 (↑(m.coeEquiv x)).2
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
h : IsPreconnected s
t t' : Set α
ht : IsClosed t
ht' : IsClosed t'
htt' : s ⊆ t ∪ t'
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t
y : α
ys : y ∈ s
yt' : y ∈ t'
h' : s ⊆ tᶜ ∪ t'ᶜ
xt' : x ∉ t'
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
CommRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
AddCommGroup G
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module 𝕜 G
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
TopologicalAddGroup G
ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v : Fin 0 → E
⊢ (q.comp p 0) v = (q 0) fun _i => 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ₁ γ₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a : ℤ
⊢ (γ₁ + γ₂).shift a = γ₁.shift a + γ₂.shift a
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ Disjoint a (⨆ i, ⨆ j, f i j) ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), Disjoint a (f i j)
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
f : α → R
f' : α → M
x : α
hf : f' =ᶠ[coclosedCompact α] 0
⊢ f • f' =ᶠ[coclosedCompact α] 0
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ Real.exp (Real.log x) = x
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_12
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ LinearMap.ker f = ⊥
ι : Type u_1
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
rι : ι → ι → Prop
rπ : (i : ι) → π i → π i → Prop
f : γ → ι
g : (i : ι) → γ → π i
hι : WellFounded (rι on f)
hπ : ∀ (i : ι), (f ⁻¹' {i}).WellFoundedOn (rπ i on g i)
⊢ WellFounded (Sigma.Lex rι rπ on fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩)
α : Type w
Finite α
X : α → CompHaus
R : ↑(CompHaus.finiteCoproduct X).toTop
⊢ ∃ a r, R = (CompHaus.finiteCoproduct.ι X a) r
ι α : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
CardinalInterFilter l c
s t : ι → Set α
hic : #ι < c
h : ∀ (i : ι), s i =ᶠ[l] t i
⊢ ⋃ i, s i =ᶠ[l] ⋃ i, t i
α : Type u_1
s : Set α
r : α → α → Prop
h : ∀ (a b : α), r a b
⊢ s.Pairwise r
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
τ : Ω → ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
LinearOrder ι
AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
⊢ MeasureTheory.stoppedProcess u τ n =
  {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => x < n) s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (shiftFunctor C a).obj X = (shiftFunctor C (0 + a)).obj X
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Iio a ⊆ Set.Iio b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ CategoryTheory.NatTrans.rightOp (CategoryTheory.CategoryStruct.id F) = CategoryTheory.CategoryStruct.id F.rightOp
α : Type u
AddCommGroup α
Fintype α
⊢ IsAddCyclic α ↔ AddMonoid.exponent α = Fintype.card α
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n ≤ firstDiff x y
i : ℕ
hi : i < n
⊢ x i = y i