ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hL : L ≤ adjoin F S
hS : adjoin F S = ⊤
x : E
hx : x ∈ adjoin F S
y : K
hy : (aeval y) (minpoly F x) = 0
this : Algebra.IsAlgebraic F ↥(adjoin F S)
ix : IsAlgebraic F ⟨x, hx⟩
⊢ ∃ φ, φ ⟨x, hx⟩ = y
α : Type u_1
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ∂ (a ⊓ b) ≤ ∂ a ⊔ ∂ b
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
n : α →₀ ℕ
f : (α →₀ ℕ) → (α →₀ ℕ) → M
⊢ ∀ (i : (α →₀ ℕ) × (α →₀ ℕ)), i ∈ antidiagonal n ↔ (Equiv.prodComm (α →₀ ℕ) (α →₀ ℕ)) i ∈ antidiagonal n
α : Type u_1
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup F'
g' : α → F'
l : Filter α
ι : Type u_17
Fintype ι
E' : ι → Type u_18
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
f : α → (i : ι) → E' i
⊢ f =O[l] g' ↔ ∀ (i : ι), (fun x => f x i) =O[l] g'
R : Type u_1
CommRing R
q : Quaternion (DualNumber R)
⊢ (TrivSqZeroExt.snd (Quaternion.dualNumberEquiv q)).re = TrivSqZeroExt.snd q.re
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a \ c ⊓ (a ⊔ b) = a \ c
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
P : R[X]
r : R
⊢ Polynomial.eval r ((Polynomial.expand R p) P) = Polynomial.eval (r ^ p) P
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
R : CategoryTheory.Sieve X
⊢ R ≤ CategoryTheory.Sieve.functorPullback F (CategoryTheory.Sieve.functorPushforward F R)
ι : Type u
α : ι → Type v
DecidableEq ι
l : List ι
f : (i : ι) → α i
i : ι
hi : i ∈ l
⊢ (List.TProd.mk l f).elim hi = f i
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
s : Set M
p : M → Prop
h : x ∈ Submodule.span R s
mem : ∀ x ∈ s, p x
zero : p 0
add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
smul : ∀ (a : R) (x : M), p x → p (a • x)
⊢ p x
M : Type u_1
Monoid M
⊢ Submonoid.powers 1 = ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hq_top : ¬q = ⊤
hq0 : q ≠ 0
hpq_real : p.toReal ≤ q.toReal
⊢ eLpNorm f p μ < ⊤
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hyx : y ≤ x
⊢ multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y) + multiplicity p n
𝕆 : Type u_5
α : Type u_6
Preorder 𝕆
Preorder α
self : GradeMaxOrder 𝕆 α
a : α
⊢ IsMax a → IsMax (GradeOrder.grade a)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f p s ↔ ContinuousOn f s ∧ ∀ x ∈ s, (p x 0).uncurry0 = f x
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J Y
hJX : J ⊆ X
hIY : I ⊆ Y
hI' : M.Basis I (X ∩ Y)
⊢ M.Basis I Y
ι : Type u_1
n : Type u_3
R : Type u_6
Fintype n
AddCommMonoid R
s : Finset ι
f : ι → Matrix n n R
⊢ (∑ i ∈ s, f i).trace = ∑ i ∈ s, (f i).trace
⊢ algebraMap ℚ ℚ = RingHom.id ℚ
o : ONote
x✝ : NF 0
h₂ : o.NF
⊢ (0 - o).repr = repr 0 - o.repr
n m : ℕ
h : m = n
k : Fin m
⊢ ↑((finCongr h) k) = ↑k
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X Y : C
⊢ Nat.card ↑(F.obj (X ⨿ Y)) = Nat.card ↑(F.obj X) + Nat.card ↑(F.obj Y)
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
h : ∀ (u : H), ∀ s ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (φ u '' s)
⊢ ContinuousSMul 𝕜 H
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a : WithTop α
⊢ ⊤ - a = ⊤
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
⊢ (a / b).toNNReal = a.toNNReal / b.toNNReal
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
x : ↥I
m : ↥N
⊢ ⁅↑x, ↑m⁆ ∈ lieSpan R L {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f✝ : ℕ → Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
⊢ HasSum (fun i => ↑v (f i)) (↑v (⋃ i, f i))
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x y : E
⊢ (o.kahler x) y = (starRingEnd ℂ) (f x) * f y
X Y : Type u
Add X
Add Y
f : AddHom X Y
x : X
⊢ (AddMagmaCat.ofHom f) x = f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
⊢ UniqueMDiffWithinAt I s x ↔
  UniqueDiffWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ (extChartAt I x).target) (↑(extChartAt I x) x)
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μs : ℕ → LevyProkhorov (ProbabilityMeasure Ω)
ν : LevyProkhorov (ProbabilityMeasure Ω)
hμs : Tendsto μs atTop (𝓝 ν)
P : ProbabilityMeasure Ω := ν.toProbabilityMeasure
Ps : ℕ → ProbabilityMeasure Ω := fun n => (μs n).toProbabilityMeasure
f✝ f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
f_zero : ¬‖f‖ = 0
⊢ limsup (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑((toProbabilityMeasure ∘ μs) i)) atTop ≤ ∫ (x : Ω), f x ∂↑P
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
h : s.Terminates
⊢ s.think.length = s.length + 1
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
InnerProductSpaceable E
n : ℤ
⊢ InnerProductSpaceable.innerProp' E ↑n
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
⊢ (W.baseChange B).ΨSq n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).ΨSq n)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ iteratedDerivWithin 1 f s x = derivWithin f s x
n : ℕ
⊢ Nat.Primrec'.Vec id
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
n : ℕ
enc : Γ → Mathlib.Vector Bool n
enc0 : enc default = Mathlib.Vector.replicate n false
L R : Turing.ListBlank Γ
⊢ (Turing.Tape.move Turing.Dir.left)^[n] (Turing.TM1to1.trTape' enc0 L R) =
  Turing.TM1to1.trTape' enc0 L.tail (Turing.ListBlank.cons L.head R)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ s₄ : AList β
p₁₂ : s₁.entries ~ s₂.entries
p₃₄ : s₃.entries ~ s₄.entries
⊢ (s₁ ∪ s₃).entries ~ (s₂ ∪ s₄).entries
α : Type u_1
s t : Set α
i : ℕ
h₁ : i + s.ncard ≤ t.ncard
h₂ : s ⊆ t
⊢ ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.ncard = i + s.ncard
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
n : ℤ
⊢ ((mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (triangle (mappingConeCompTriangle f g).mor₁).mor₃).f n = (mappingConeCompTriangle f g).mor₃.f n
ι : Type u_1
X : Type u_4
Y : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : ι → Set X
g : X → Y
hf : LocallyFinite f
h_cov : ⋃ i, f i = Set.univ
hc : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ closure (f i), ContinuousWithinAt g (f i) x
⊢ Continuous g
m : Type u_1 → Type u_2
Monad m
LawfulMonad m
x : m PUnit
⊢ (do
    x
    pure PUnit.unit) =
  x
S : Finset Λ'
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q
q : Λ'
q_ih : Λ'.Supports S q → trStmts₁ q ⊆ S → Supports (trStmts₁ q) S
H₁ : Λ'.Supports S q.copy
HS₁ : insert q.copy (trStmts₁ q) ⊆ S
h₁ : q.copy ∈ S
h₂ : trStmts₁ q ⊆ S
h₃ : q ∈ S
⊢ Supports (insert q.copy (trStmts₁ q)) S
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
(i : ι) → TopologicalSpace (X i)
T : (i : ι) → Set (Set (X i))
cond : ∀ (i : ι), TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (T i)
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {S | ∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ T i) ∧ S = (↑F).pi U}
α : Type u
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ s.tails.get n = Stream'.drop n s.tail
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : Option α → Prop
⊢ (∃ x, x ≠ none ∧ p x) ↔ ∃ x, p (some x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
p : α → Prop
⊢ ∀ {x : DecidablePred p},
  MeasurableSet {a | p a} → Measurable f → Measurable g → Measurable fun x_1 => if p x_1 then f x_1 else g x_1
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))⌉₊
⊢ {x | IsIntegral ℤ x ∧ ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B}.Finite
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
δ : Type u_4
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderTopology δ
g : γ → δ
f : α → γ
hg : ContinuousAt g (f x)
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
gmon : Antitone g
⊢ UpperSemicontinuousWithinAt (g ∘ f) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
l.NeBot
a b : β
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, a = b) ↔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ f ×ˢ g = ⊥ ↔ f = ⊥ ∨ g = ⊥
I : Type u
DecidableEq I
R : Type v
CommSemiring R
A : I → Type w
(i : I) → Semiring (A i)
(i : I) → Algebra R (A i)
i : I
⊢ LinearAlgebra.FreeProduct.rel R A ((TensorAlgebra.ι R) ((DirectSum.lof R I A i) 1)) 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasInjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
⊢ CategoryTheory.NatTrans.rightDerivedToHomotopyCategory (CategoryTheory.CategoryStruct.id F) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id F.rightDerivedToHomotopyCategory
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasCokernel f
inst✝² : HasCokernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasCokernel g
inst✝ : HasCokernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map f ≫ G.map (coequalizer.π f 0) = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I x)
M : Type u_1
AddMonoid M
s : Set M
⊢ ↑(AddSubmonoid.closure s) = List.sum '' {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ (∀ i ∈ ∅, Prime (f i)) → (∀ i ∈ ∅, ∀ j ∈ ∅, i ≠ j → f i ≠ f j) → (∅.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ ∅, f i ^ e i
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
s : Set α
hc : IsClosed s
hs : s.Nonempty
B : BddBelow s
⊢ IsLeast s (sInf s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty Cᵒᵖ
X Y : Cᵒᵖ
φ : W.RightFraction X Y
⊢ φ.unop.Y' = Opposite.unop φ.X'
C : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝⁴ : S₁.HasHomology
inst✝³ : S₂.HasHomology
inst✝² : S₃.HasHomology
inst✝¹ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝ : QuasiIso φ
⊢ QuasiIso φ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s t : MeasureTheory.SignedMeasure α
⊢ MeasureTheory.ComplexMeasure.re (s.toComplexMeasure t) = s
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
AlgebraicGeometry.Surjective f
⊢ AlgebraicGeometry.Surjective (f ≫ g) ↔ AlgebraicGeometry.Surjective g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hg : f.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
G : α
G0 : G > 0
hG : ∀ (i : ℕ), abv (↑g i) < G
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε / G
j : ℕ
ij : j ≥ i
⊢ abv (↑(f * g) j) < ε
⊢ IsGδ (⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) \ {↑a / ↑b})
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a ≤ c
⊢ b ≤ c - a ↔ a + b ≤ c
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
⊢ ContDiff 𝕜 1 f ↔ ∃ f', Continuous f' ∧ ∀ (x : E), HasFDerivAt f (f' x) x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
hB : ∀ (y : M), (B (v.repr.symm vi)) y = 0
i : n
⊢ vi i = 0
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
LinearOrder ι
u : ι → Ω → β
τ σ : Ω → ι
⊢ MeasureTheory.stoppedValue (MeasureTheory.stoppedProcess u τ) σ = MeasureTheory.stoppedValue u fun ω => min (σ ω) (τ ω)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ
⊢ y ∈ Metric.closedBall x ε ↔ dist x y ≤ ε
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
this : ((AlgHom.op (toBaseChange A Q)).comp reverseOp) x = ((↑(Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R A A (CliffordAlgebra Q))).comp ((Algebra.TensorProduct.map (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)) reverseOp).comp (toBaseChange A Q))) x
⊢ (toBaseChange A Q) (reverse x) = (TensorProduct.map LinearMap.id reverse) ((toBaseChange A Q) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
h : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μa μb
⊢ MeasureTheory.ae (MeasureTheory.Measure.map f μa) ≤ MeasureTheory.ae μb
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : n < p.natDegree
H : p = 0
⊢ False
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
a b : Module.Baer.ExtensionOf i f
domain_eq : a.domain = b.domain
to_fun_eq : ∀ ⦃x : ↥a.domain⦄ ⦃y : ↥b.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑a.toLinearPMap x = ↑b.toLinearPMap y
⊢ a = b
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
p : α → Prop
h : MeasurableSet {x | p x}
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂MeasureTheory.Measure.sum μ, p x) ↔ ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : α) ∂μ i, p x
M : Type u
inst✝² : Monoid M
α : Type v
inst✝¹ : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝ : MulAction M β
y : α × β
g : M
⊢ ((fun m => m • y) g).1 ∈ orbit M y.1
α : Type u_1
β : Type u_2
o : Option α
f : α → Option β
⊢ o.bind f = none ↔ ∀ (a : α), o = some a → f a = none
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
h : p ≤ p'
⊢ Function.Injective ⇑(Submodule.inclusion h)
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
a b c : α
hab : Disjoint a b
hbc : Codisjoint b c
⊢ a ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
⊢ ⇑e.symm ∘ ⇑e = id
i : ℤ
h : 0 < i
⊢ ↑(i.toNat - 1) = i - 1
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a b : Multiset { a // Irreducible a }
⊢ ↑(a + b) = ↑a + ↑b
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
⊢ a = 0 ∨ ∃ u, a = ↑u
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Module.Baer R Q
y : N
r r' : R
eq1 : r • y = r' • y
⊢ (Module.Baer.ExtensionOfMaxAdjoin.extendIdealTo i f h y) r = (Module.Baer.ExtensionOfMaxAdjoin.extendIdealTo i f h y) r'
cs cs' : List Char
i p : Nat
hp : i + utf8Len cs = p
⊢ utf8GetAux? (cs ++ cs') { byteIdx := i } { byteIdx := p } = cs'.head?
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
x : E
I : Type u_3
TopologicalSpace I
h : IsEvenlyCovered f (f x) I
⊢ (↑h.toTrivialization x).2 = ⟨x, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
⊢ ↑e.toPartialEquiv.symm = ⇑e.symm
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ ≃ᵐ ℝ
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
f' : ℝ → ℝ
hf' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑f) (f' x) x
g : ℝ → ℝ
hg : 0 ≤ᶠ[ae volume] g
hg_int : Integrable g volume
⊢ (Measure.map (⇑f.symm) (volume.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (g x))) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : Quotient ↑H.toSubmonoid ↑K
⊢ a ≠ b → Disjoint (doset (Quotient.out' a) ↑H ↑K) (doset (Quotient.out' b) ↑H ↑K)
V : Type u_1
G₁ G₂ : SimpleGraph V
Fintype ↑G₁.edgeSet
Fintype ↑G₂.edgeSet
DecidableEq V
⊢ (G₁ \ G₂).edgeFinset = G₁.edgeFinset \ G₂.edgeFinset
K : Type u_2
CommRing K
R : Type u_3
SMul R (FractionRing K[X])
⊢ ∀ (x : R) (x_1 : RatFunc K),
  RatFunc.smul x x_1 =
    match x, x_1 with
    | r, { toFractionRing := p } => { toFractionRing := r • p }
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
H : Subgroup G
f : G' →* G
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (Subgroup.comap f H).index = H.index
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
A : G.Coalgebra
⊢ CategoryTheory.Comonad.Coalgebra.Hom.id A = CategoryTheory.CategoryStruct.id A
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
h : M✶.RkPos
hI : M.Indep I
⊢ I ⊂ M.E
α : Type u_1
Mul α
a b : α
⊢ OrderDual.toDual (a * b) = OrderDual.toDual a * OrderDual.toDual b
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖y‖ * ‖y‖ + ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⊥.dualCoannihilator = ⊤
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝² : Pretriangulated C
inst✝¹ : HasShift D ℤ
inst✝ : L.CommShift ℤ
H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
T₁ T₂ : Triangle D
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
T₁' : Triangle C
e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'
hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles
T₂' : Triangle C
e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'
hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles
comm₁ : (L.mapTriangle.obj T₁').mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁
comm₁' : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₁
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ = e₁.hom.hom₂ ≫ (L.mapTriangle.obj T₁').mor₂
comm₂' : T₂.mor₂ ≫ e₂.hom.hom₃ = e₂.hom.hom₂ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₂
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
⊢ ∀ (p q : MvPolynomial σ R), (∀ {p_1 : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p_1 * p) = eval₂ f g p_1 * eval₂ f g p) → (∀ {p : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p * q) = eval₂ f g p * eval₂ f g q) → ∀ {p_1 : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p_1 * (p + q)) = eval₂ f g p_1 * eval₂ f g (p + q)
G : Type u
Group G
F : Type v
Field F
MulSemiringAction G F
Fintype G
x : F
⊢ FixedPoints.minpoly G F x ≠ 1
X : Scheme
inst✝¹ : IsIntegral X
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
inst✝ : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this✝ : IsAffine ↑U
this : IsIntegral ↑U
⊢ IsLocalization (nonZeroDivisors ↑Γ(X, U)) ↑(X.presheaf.stalk (genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace))
α : Type u_1
X I : Set α
M : Matroid α
hIX : I ⊆ X
⊢ (M.restrictSubtype X).Indep (X ↓∩ I) ↔ M.Indep I
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
s : Set α
⊢ BddBelow (⇑e '' s) ↔ BddBelow s
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝ : Monoid M'
P : Submonoid M
h : P.FG
e : M →* M'
⊢ (Submonoid.map e P).FG
d : ℤ
h₀ : 0 < d
⊢ (∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0) ↔ ¬IsSquare d
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ num (x * y) z / (denom x (smulAux y z) * denom y z) = (↑(↑↑x 0 0) * (num y z / denom y z) + ↑(↑↑x 0 1)) / denom x (smulAux y z)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
n : ℕ
hn : n ≤ Fintype.card α
h𝒜 : Set.Sized (Fintype.card α - n) ↑𝒜
⊢ Set.Sized n ↑𝒜ᶜˢ
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeftTensor X Y).inv.app Z =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ⇑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ⇑(f i)
f : CircleDeg1Lift
⊢ Continuous ⇑f ↔ Function.Surjective ⇑f
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ LSeries.term (fun x => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑x))) s n = ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π ↔ ∠ p₁ p₂ p₃ = π
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
N : ℕ
x✝ : True
⊢ Ici N ∈ cofinite
M : Type u_1
Monoid M
a : M
⊢ IsUnit (a * a) ↔ IsUnit a
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h₁ : Turing.Reaches₀ f a b
h₂ : Turing.Reaches₀ f b c
⊢ Turing.Reaches₀ f a c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : β
⊢ ⇑e ⁻¹' Ioo a b = Ioo (e.symm a) (e.symm b)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
I : (FractionalIdeal (nonZeroDivisors (NumberField.RingOfIntegers K)) K)ˣ
⊢ MeasureTheory.volume (Zspan.fundamentalDomain (NumberField.mixedEmbedding.fractionalIdealLatticeBasis K I)) =
  ENNReal.ofReal ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I) *
    MeasureTheory.volume (Zspan.fundamentalDomain (NumberField.mixedEmbedding.latticeBasis K))
α : Sort u_1
π : α → Sort u_4
⊢ IsEmpty ((a : α) → π a) ↔ ∃ a, IsEmpty (π a)