ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I₁ I₂ : LieIdeal R L
⊢ LieIdeal.map I₁.incl (LieIdeal.comap I₁.incl I₂) = I₁ ⊓ I₂
X : Scheme
U : X.Opens
s : Set ↑Γ(X, U)
hs : Ideal.span s = ⊤
⊢ ⨆ i ∈ s, X.basicOpen i ≤ U
a : Int
H : 0 ≤ a
⊢ ↑a.natAbs = a
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I : Ideal (R × S)
⊢ I.IsPrime ↔ (∃ p, p.IsPrime ∧ I = p.prod ⊤) ∨ ∃ p, p.IsPrime ∧ I = ⊤.prod p
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
g : Filter β
⊢ 0 • g ≤ 0
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
α : Type u_5
S : L.Substructure M
v : α → ↥S
t : L.Term α
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize (Subtype.val ∘ v) t = ↑(FirstOrder.Language.Term.realize v t)
⊢ ∀ {x : Sort u_1} {cmp : x → x → Ordering} [inst : Batteries.TransCmp cmp] {x_1 y z : x},
  cmp x_1 y ≠ Ordering.lt → cmp y z ≠ Ordering.lt → cmp x_1 z ≠ Ordering.lt
α : Type u_1
f : α → α
x : α
⊢ Function.periodicOrbit f x = Cycle.map (fun n => f^[n] x) ↑(List.range (Function.minimalPeriod f x))
γ : Type w
SemilatticeInf γ
DenselyOrdered γ
a b : γ
hab : a < b
⊢ IsLUB (Set.Ico a b) b
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ (if h : Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0) = if Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0
μ ν : YoungDiagram
⊢ ↑(μ ⊓ ν) = ↑μ ∩ ↑ν
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal - 1 / q.toReal)
R : Type u_1
Semiring R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → R
hnp : ∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)
⊢ IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
h : μ ≤ ν
hf : Measurable f
⊢ MeasureTheory.Measure.map f μ ≤ MeasureTheory.Measure.map f ν
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
⊢ 0 < ⊤ → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
ι : Type u_3
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
r : ι ↪ M
c : ι → Dual R M
hfin : (range ⇑r).Finite
h_two : ∀ (i : ι), (c i) (r i) = 2
h_mapsTo : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (r i) (c i))) (range ⇑r) (range ⇑r)
i j : ι
hij : (span R (range ⇑r)).subtype.dualMap (c i) = (span R (range ⇑r)).subtype.dualMap (c j)
⊢ i = j
M : Type u_1
Monoid M
n : ℕ
a : M
ha : a ^ n = 1
hn : n ≠ 0
⊢ IsUnit a
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ ‖x‖ = Finset.univ.sup' ⋯ fun w => (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) x
x : ℝ
⊢ x ∈ {x | Liouville x} ↔ x ∈ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) \ {↑a / ↑b}
M : Type v
X : Type x
UniformSpace X
VAdd M X
self : UniformContinuousConstVAdd M X
c : M
⊢ UniformContinuous fun x => c +ᵥ x
x y : ℂ
z : ℂ
h₁ : -π < (Complex.log x * y).im
h₂ : (Complex.log x * y).im ≤ π
⊢ x ^ (y * z) = (x ^ y) ^ z
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ↑⁅I, N⁆ = Submodule.span R {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
rid : f ∈ asIdeal f_deg hm q
e_1✝ : ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f)) = HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ 1 = Localization.mk (↑(((decompose 𝒜) f) m) ^ m) ⟨f ^ m, ⋯⟩
c : Char
it : String.Iterator
⊢ it.Valid → (it.setCurr c).Valid
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ ((γ₁ + γ₂).shift a).v p q hpq = (γ₁.shift a + γ₂.shift a).v p q hpq
R' : Type u_6
CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰
⊢ r * x ∣ r * y ↔ x ∣ y
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
t : Subsemiring S
⊢ Subsemiring.map f (Subsemiring.comap f t) = t
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ ∈ alternatingGroup α
n : ℕ
ih : ∀ (l : List (Perm α)), (∀ g ∈ l, g.IsSwap) → l.length = 2 * n → l.prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
a : Perm α
l : List (Perm α)
hl : ∀ g ∈ a :: l, g.IsSwap
hn : l.length = 2 * n + 1
⊢ (a :: l).prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
s t : Set E
c c' : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
⊢ LipschitzWith (‖f'‖₊ + c) (s.restrict f)
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂
⊢ F₁ = F₂
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c c' : E
⊢ MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c + MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c' =
  MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs (c + c')
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Unique X
Unique Y
⊢ ∀ (a : X), (Homeomorph.homeomorphOfUnique X Y) a = default
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ LieIdeal.map f I ≤ f.idealRange
Γ₀ : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
h : Nontrivial Γ₀ˣ
f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0
hf : StrictMono ⇑f
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ≥0 := ⟨r, ⋯⟩
⊢ ∃ d, ↑(f ↑d) < r
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n
hkmn' : m * k ≤ n
x : Fin (n + 1)
⊢ x ∈ Iio ↑(k + 1) ↔ x ∈ Iic ↑k
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace α'
Zero β
f : α → β
T2Space α'
hf : HasCompactSupport f
g : α → α'
cont : Continuous g
⊢ HasCompactSupport (Function.extend g f 0)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : IsDomain A
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_5
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
i : ι
y : C
⊢ ((traceForm K L).flip (b i)) ((↑A (Algebra.linearMap C L)) y) ∈ 1
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.33373, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.33377, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : HasPullback π π
⊢ P.map π.op ≫ P.map (pullback.fst π π).op = P.map π.op ≫ P.map (pullback.snd π π).op
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ MonovaryOn f g s → MonovaryOn (⇑OrderDual.toDual ∘ f) (⇑OrderDual.toDual ∘ g) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb✝ : ι' → Set β
f : α → β
p : ι → Prop
sb : ι → Set β
hla : la.HasBasis p sa
hlb : lb.HasBasis p sb
h_dir : ∀ {i j : ι}, p i → p j → ∃ k, p k ∧ sa k ⊆ sa i ∧ sb k ⊆ sb j
⊢ ∀ (t : Set (α × β)), (∃ i, (p i.fst ∧ p i.snd) ∧ sa i.fst ×ˢ sb i.snd ⊆ t) ↔ ∃ i, p i ∧ sa i ×ˢ sb i ⊆ t
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
hf : f' =o[l] k'
hg : g' =o[l] k'
⊢ (fun x => (f' x, g' x)) =o[l] k'
α : Type u
n : ℕ
l : List α
⊢ (List.sublistsLen n l).Sublist l.sublists'
n : ℕ∞
⊢ ∀ {x : Decidable (↑n).Dom}, (↑n).toWithTop = n
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), min (c₂ * (1 - c₃)) ((1 - c₃) * c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
R : Type u_1
Semiring R
k : ℕ
hk : 1 < k
⊢ (Polynomial.hasseDeriv k) Polynomial.X = 0
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ LSeriesHasSum (fun x => cexp (2 * ↑π * Complex.I * ↑a * ↑x)) s (HurwitzZeta.expZeta (↑a) s)
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
ι : Type u_1
t : ι → Set α
h : s ⊆ ⋃ i, t i
⊢ ∃ I, I.Finite ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ I, t i
R : Type u_1
M : Type u_3
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
i : ι × κ
m : M
r : R
⊢ (finsuppTensorFinsuppRid R M ι κ).symm (Finsupp.single i (r • m)) = Finsupp.single i.1 m ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 r
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
⊢ IsAtom f ↔ ∃ i, IsAtom (f i) ∧ ∀ (j : ι), j ≠ i → f j = ⊥
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
S T : Submodule R M
⊢ -(S ⊔ T) = -S ⊔ -T
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
v : V
hv : v ∈ small
cf : G.CliqueFree (r + 1)
large_eq : fp.part w = large
small_eq : fp.part v = small
ha : G.Adj v w
⊢ G.edgeFinset.card < G.edgeFinset.card + (Fintype.card V - small.card) - (Fintype.card V - large.card) - 1
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
⊢ Function.Surjective ⇑f.mrangeRestrict
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (WittVector.fromPadicInt p).comp (WittVector.toPadicInt p) = RingHom.id (𝕎 (ZMod p))
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
x y : ι → ℝ
⊢ dist (x ⊓ y) (x ⊔ y) = dist x y
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin n
a✝ : Nontrivial R
⊢ b.flag k.castSucc ≤ LinearMap.ker (b.dualBasis k)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
⊢ (LinearIndependent K fun o => o.casesOn' x v) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
N : Subgroup G
nN : N.Normal
a : X
g : G
x✝ : X
⊢ (x✝ ∈ Set.range fun i => g • i • a) ↔ x✝ ∈ Set.range fun m => m • g • a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.δ S.L₃.f = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
β₂ : ι → Type u_8
(i : ι) → AddCommMonoid (β₂ i)
(i : ι) → Module R (β₂ i)
⊢ (DFinsupp.mapRange.linearMap fun i => LinearMap.id) = LinearMap.id
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α
Nontrivial α
⊢ aᶜ ≠ a
n m : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : i ≤ p
hp : p ≠ last n
hi : optParam (i ≠ last n) ⋯
⊢ (p.castPred hp).predAbove i = i.castPred hi
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : Set (Set α)
⊢ generate s = generate (sInter '' {t | t.Finite ∧ t ⊆ s})
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : IsSheaf J P
I : Type u_1
S : C
X : I → C
f : (i : I) → X i ⟶ S
hf : ofArrows X f ∈ J.sieves S
E : A
x y : E ⟶ P.obj (op S)
h : ∀ (i : I), x ≫ P.map (f i).op = y ≫ P.map (f i).op
⊢ ∀ (I_1 : GrothendieckTopology.Cover.Arrow ⟨ofArrows X f, hf⟩), x ≫ P.map I_1.f.op = y ≫ P.map I_1.f.op
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
w✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
⊢ Presieve.ofArrows Y π ≤ S.arrows
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h_card : Fintype.card n = 0
⊢ A.adjugate.det = A.det ^ (Fintype.card n - 1)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
sl : List α
sl' : sl.Nodup
tl : List α
tl' : tl.Nodup
h : Disjoint sl.toFinset tl.toFinset
comm : {x | x ∈ sl.toFinset ∪ tl.toFinset}.Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
⊢ (sl.toFinset ∪ tl.toFinset).noncommProd f comm = sl.toFinset.noncommProd f ⋯ * tl.toFinset.noncommProd f ⋯
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ reverse (involute x) = involute (reverse x)
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
AddMonoid X
DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
rb sb : R
hb : sb * ↑s₁ = rb * ↑s₂
h : sb * ↑s₁ ∈ S
⊢ OreLocalization.add'' r₁ s₁ r₂ s₂ = (sb • r₁ + rb • r₂) /ₒ ⟨sb * ↑s₁, h⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
f : β → γ
g : α → Part β
hg : Antitone g
⊢ Antitone fun x => Part.map f (g x)
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
β : Type v
CommRing β
A : Matrix n n β
⊢ A ∈ Matrix.orthogonalGroup n β ↔ star A * A = 1
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : (FractionalIdeal S P)ˣ
⊢ (↑↑I).FG
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α × β → ℚ → ℝ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
_hs : Antitone seq
_hs_tendsto : Filter.Tendsto seq Filter.atTop Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun m => ∫ (c : β), f (a, c) (seq m) ∂ν a) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
NormedAddCommGroup G
CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Filter.Tendsto (fun x => f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ∑' (k : β), f x k) 𝓕 (𝓝 (∑' (k : β), g k))
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablySeparated α
⊢ ∃ f, Measurable f ∧ Function.Injective f
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ∀ (x y : α), f x = f y
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
⊢ β
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
c d : R
hc0 : c ≠ 0
hd0 : d ≠ 0
k1 k2 : R
⊢ c * k1 * (d * k2) / (c * d) = c * k1 / c * (d * k2 / d)
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
hab : 0 ≤ a • b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
⊢ a • b < 0
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
⊢ ↑(NonUnitalSubsemiring.center R) = Set.center R
n : Nat
a : Fin n
⊢ sizeOf a = ↑a + 1
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid α
f : β → α
g : γ → α
h_eq : ∀ (u : Finset γ), ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∏ x ∈ u', g x = ∏ b ∈ v', f b
⊢ Filter.map (fun s => ∏ b ∈ s, f b) Filter.atTop ≤ Filter.map (fun s => ∏ x ∈ s, g x) Filter.atTop
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.WSameSide x y
ho : s.SOppSide x y
hxy : x ∈ s ∨ y ∈ s
⊢ False
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.136944, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.136948, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.136952, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
⊢ (L ⋙ L.pointwiseRightKanExtension F).map f ≫ (fun X => limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))) X₂ = (fun X => limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))) X₁ ≫ F.map f
C : Type u_6
AddCommGroup C
s t : AddSubgroup C
x : C
⊢ x ∈ s ⊔ t ↔ ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y + z = x
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape K C
F : J ⥤ C
E₁ E₂ : K ⥤ J
α : E₁ ⟶ E₂
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.pre F E₁ =
  CategoryTheory.Limits.colim.map (CategoryTheory.whiskerRight α F) ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.pre F E₂
M₀ : Type u_1
CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
ha : a ≠ 0
⊢ a * b = a * c ↔ b = c
α : Type u
s : Computation α
⊢ s.bind Computation.pure = s
R✝ : Type u_1
r : R✝
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
a b : S
hb : IsUnit ((aeval b) P)
hab : IsNilpotent (a - b)
⊢ IsUnit ((aeval a) P)
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : lift.{w, v} (Module.rank R M) ≤ lift.{v, w} (Module.rank R N)
h' : Module.rank R N < ℵ₀
⊢ finrank R M ≤ finrank R N
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
hf : p.natDegree ≤ n
hn : p.coeff n = 0
⊢ p.natDegree ≤ n - 1
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
hn : n ≠ 0
⊢ ¬1 ≤ (n / p ^ n.factorization p).factorization p
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m₁ m₂ : M
⊢ (CliffordAlgebra.ι Q) m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q) m₂ ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
s : Finset α
f : α → Finset β
g : β → Finset γ
h1 : (↑s).PairwiseDisjoint f
h2 : (↑(s.disjiUnion f h1)).PairwiseDisjoint g
a : { x // x ∈ s }
x✝¹ : a ∈ ↑s.attach
b : { x // x ∈ s }
x✝ : b ∈ ↑s.attach
hab : a ≠ b
x : γ
hxa : x ∈ (fun a => (f ↑a).disjiUnion g ⋯) a
hxb : x ∈ (fun a => (f ↑a).disjiUnion g ⋯) b
xa : β
hfa : xa ∈ f ↑a
hga : x ∈ g xa
⊢ False
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
g : X ⟶ X
⊢ f = 𝟙 X ≫ f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
cg : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hg : CategoryTheory.Limits.IsLimit cg
cf : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hf : CategoryTheory.Limits.IsColimit cf
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Limits.Fork.ι cg ≫ CategoryTheory.Limits.Cofork.π cf = 0
G : Type u_2
CommGroup G
g : G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
f : ℕ → G
k : ℕ
⊢ HasProd (fun n => f (n + k)) (g / ∏ i ∈ Finset.range k, f i) ↔ HasProd f g
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₀ ⟶ X₁
d₁ : X₁ ⟶ X₂
s : d₀ ≫ d₁ = 0
succ : (S : CategoryTheory.ShortComplex V) → (X₄ : V) ×' (d₂ : S.X₃ ⟶ X₄) ×' S.g ≫ d₂ = 0
⊢ (CochainComplex.mk X₀ X₁ X₂ d₀ d₁ s succ).X 0 = X₀
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)
v : E
hv : v ∈ 2⁻¹ • s
w : E
hw : w ∈ 2⁻¹ • s
hvw : (fun x => y +ᵥ x) w = (fun x_1 => x +ᵥ x_1) v
⊢ ↑(x - y) ∈ s
G : Type u_1
Group G
H₁ H₂ : Subgroup G
h : H₂.Normal
⊢ ⁅H₁, H₂⁆ ≤ H₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
⊢ ‖adjointAux A‖ = ‖A‖
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ
hx' : IsUnit (X ^ n.succ).det
⊢ SemiconjBy A (X ^ -[n+1]) (Y ^ -[n+1])
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁✝ s₂✝ t s₁ s₂ s₃ : Set α
h12 : s₁ ⊆ s₂
h23 : s₂ ⊆ s₃
h_nulldiff : μ (s₃ \ s₁) = 0
le12 : μ s₁ ≤ μ s₂
le23 : μ s₂ ≤ μ s₃
⊢ μ s₁ = μ s₂ ∧ μ s₂ = μ s₃
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
⊢ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ p.order • (Function.swap dslope z₀)^[p.order] f z
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ
x0 : ¬x = 0
h : {(1, x)} ⊆ x.divisorsAntidiagonal
⊢ ∑ x ∈ {(1, x)}, 1 x.1 • b x.2 = b x
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f g : M →ₗ[R] N
⊢ LinearMap.baseChange A (f + g) = LinearMap.baseChange A f + LinearMap.baseChange A g