ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
f : ℕ →. ℕ
hf : Partrec f
this : Partrec fun a => Nat.rfind fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$> unpaired (fun a b => f (Nat.pair (unpair a).1 (b + (unpair a).2))) (Nat.pair a n)
⊢ Partrec (unpaired fun a b => Nat.rfind fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$> f (Nat.pair a (n + b)))
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
CompactSpace β
f.NeBot
hs : s.Nonempty
⊢ (omegaLimit f ϕ s).Nonempty
α : Type u_1
s : Set α
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x : α
⊢ p.toList x = [] ↔ x ∉ p.support
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i • g i < ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i ↔ ¬AntivaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
⊢ extensionToFun i f h x = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r
X : Type u_1
R : Type u_2
TopologicalSpace X
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
⊢ ContinuousMap.idealOfSet R ∅ = ⊥
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
⊢ f ∈ s.pi t ↔ ∀ (i : ι), i ∈ s → f i ∈ t i
α : Type u_1
⊢ Function.Bijective ⇑SymAlg.unsym
α β : SemilatSupCat
e : α.X ≃o β.X
a : β.X
⊢ (SemilatSupCat.Iso.mk e).inv.toSupHom a = e.symm a
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R
⊢ m ≤ m + n
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ↑f.range = LinearMap.range ↑f
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
P : Type u₂
CommSemiring P
CharP P p
PerfectRing P p
π : P →+* R
self : PerfectionMap p π
f : ℕ → R
⊢ (∀ (n : ℕ), f (n + 1) ^ p = f n) → ∃ x, ∀ (n : ℕ), π ((⇑(frobeniusEquiv P p).symm)^[n] x) = f n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
NormedAddCommGroup β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (f : ι → α → β) (p : ENNReal) (μ : MeasureTheory.Measure α),
  MeasureTheory.UnifTight f p μ ↔
    ∀ ⦃ε : ENNReal⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), MeasureTheory.eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
f : α → F'
m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm₂)
⊢ μ[μ[f|m₂]|m₁] =ᵐ[μ] μ[f|m₁]
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.IsRightDescent w i ↔ ¬cs.IsRightDescent (w * cs.simple i) i
K : Type u_1
Field K
k : Type u_2
Field k
Algebra k K
φ : K →+* ℂ
⊢ NumberField.ComplexEmbedding.IsConj φ 1 ↔ NumberField.ComplexEmbedding.IsReal φ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
p : P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
t'p : Fin 3 → P := Function.update t.points i₂ p
h₁ : t'p i₁ = t.points i₁
h₂ : t'p i₂ = p
h₃ : t'p i₃ = t.points i₃
⊢ p ∈ Simplex.circumsphere t
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
inst✝ : f.IsCountablyGenerated
u : ℕ → α
hx : (comap u f ⊓ atTop).NeBot
φ : ℕ → ℕ
hφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop f ∧ Tendsto φ atTop atTop
ψ : ℕ → ℕ
hψ : StrictMono ψ
hψφ : StrictMono (φ ∘ ψ)
⊢ ∃ θ, StrictMono θ ∧ Tendsto (u ∘ θ) atTop f
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = K
F : Type u_1
R : outParam (Type u_2)
A : outParam (Type u_3)
B : outParam (Type u_4)
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
EquivLike F A B
self : AlgEquivClass F R A B
f : F
r : R
⊢ f ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R B) r
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
⊢ (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
C : Type u₁
W : Type (v + 1)
CategoryTheory.Category.{v, v + 1} W
CategoryTheory.MonoidalCategory W
CategoryTheory.EnrichedCategory W C
X : CategoryTheory.ForgetEnrichment W C
⊢ CategoryTheory.ForgetEnrichment.homTo W (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) =
  CategoryTheory.eId W (CategoryTheory.ForgetEnrichment.to W X)
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
h : fract v ≠ 0
⊢ (match some (IntFractPair.of (IntFractPair.of v).fr⁻¹), some ∘ fun p => { a := 1, b := ↑p.b } with | none, x => none | some a, f => f a) = some { a := 1, b := ↑⌊(fract v)⁻¹⌋ }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
IsWellOrder γ t
e : r ≃r s
f : r ≺i t
g : s ≺i t
⊢ f.top = g.top
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
i : DecidableRel fun x x_1 => x ⊆ x_1 := fun x x_1 => Classical.dec ((fun x x_2 => x ⊆ x_2) x x_1)
s : Finset α
hs : s ∈ ∂ 𝒜
t : Finset α
ht : t ∈ bipartiteAbove (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝒜 s
⊢ t ∈ image (fun a => insert a s) sᶜ
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
Fintype n
CommRing R
StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
⊢ A.rank ≤ Fintype.card n
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
k : β
b : α → β
hk : k ∈ Finset.image b Finset.univ
p : β → Prop
DecidablePred p
hp : ¬p k
⊢ Finset.image (fun i => b ↑i) Finset.univ ⊂ Finset.image b Finset.univ
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0
⊢ x⁻¹⁻¹ = 1 * x⁻¹⁻¹
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
q : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
⊢ q.j * q.k = -c₂ • q.i
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x✝ : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
B' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace B'
e : Trivialization F proj
s : Set B
x : Z
hx : x ∈ e.source
⊢ ↑e.toPartialHomeomorph x ∈ s ×ˢ univ ↔ x ∈ proj ⁻¹' s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
⊢ ∀ (n : ℕ), (p.divX * X + C (p.coeff 0)).coeff n = p.coeff n
k : ℕ
x : Fin k → ℕ
⊢ ((Finset.Nat.sigmaAntidiagonalTupleEquivTuple k).symm x).fst = ∑ i : Fin k, x i
α : Type u_1
o : Part α
Decidable o.Dom
x : α
⊢ x ∈ o.toFinset ↔ x ∈ o
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f✝ : N ≃ₗ[R] P
m : M
n✝ : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M
f : N ≃ₗ[R] N
n : ℕ
⊢ lTensor M f ^ n = lTensor M (f ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ↪o β
he : IsLowerSet (Set.range ⇑e)
a : α
⊢ ⇑e '' Set.Iic a = Set.Iic (e a)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ Ideal.homogeneousHull 𝒜 I.toIdeal = I
n b : ℕ
h : 1 ≤ b
this : 1 ≤ b ^ (n - 1)
⊢ n.ProbablePrime b ↔ 1 ≡ b ^ (n - 1) [MOD n]
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)
⊢ ⇑(D.f j i) ∘ ⇑(D.t i j) '' (⇑(D.f i j) ⁻¹' U) = ⇑(D.f j i) '' (⇑(D.f i j) ∘ ⇑(D.t j i) ⁻¹' U)
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
x : A
⊢ IsAlgebraic K x ↔ IsIntegral K x
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : x ≤ 1
n : ℕ
⊢ x ^ n ≤ 1
f g : ℕ → ℕ
hf : Nat.Primrec f
H : ∀ (n : ℕ), f n = g n
⊢ Nat.Primrec g
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
⊢ ↑p.bit0 = ↑p + ↑p
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
n : ℕ
h : l ~r l.rotate n
⊢ l.get ⟨(↑k + 1) % l.length, ⋯⟩ = (l.rotate n).next ((l.rotate n).get ⟨(l.length - n % l.length + ↑k) % l.length, ⋯⟩) ⋯
α β : Type u
n : ℕ
⊢ succ ↑n ≤ ℵ₀
self : Lean.Compiler.LCNF.Pass
⊢ self.phaseOut ≥ self.phase
α : Type u
MetricSpace α
ProperSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
⊢ ∃ ι c r r',
  (∀ (i : ι), c i ∈ s ∧ 0 < r i ∧ r i < r' i ∧ r' i < R (c i)) ∧
    (LocallyFinite fun i => Metric.ball (c i) (r' i)) ∧ s ⊆ ⋃ i, Metric.ball (c i) (r i)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
NoZeroDivisors R
Nontrivial R
⊢ ↑(Submodule.torsion R M) = {x | (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊥}
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κs : ι → ProbabilityTheory.Kernel α β
I : Finset ι
h : ∀ i ∈ I, ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel (κs i)
⊢ ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel (∑ i ∈ I, κs i)
α : Type u
AddGroup α
g : AddGroupTopology α
⊢ Continuous Neg.neg
x : ℝ
⊢ Real.exp (x / 2) = √(Real.exp x)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
⊢ ∀ (f g : M[ι]), to_hom (f * g) = to_hom f * to_hom g
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : ModuleCat R
f : Y ⟶ Z
⊢ X ◁ f ≫ (X.braiding Z).hom = (X.braiding Y).hom ≫ f ▷ X
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M
⊢ -r • x + r • x = 0
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ (↑{s}).PairwiseDisjoint id
a b : PUnit.{u_5 + 1}
⊢ min a b = PUnit.unit
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i / ↑i ! ≤ ∑ i ∈ range j, (↑x ^ i / ↑i !).re
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
⊢ Unit_of_divided_by_X_pow_order 0 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
NormedAddCommGroup β
Norm β₂
l : Filter α
f g₁ : α → β
g₂ : α → β₂
h : f ~[l] g₁
h₂ : g₁ =o[l] g₂
⊢ f =o[l] g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : MulOneClass N
f g : Multiplicative (α →₀ M) →* N
H : ∀ (x : α) (y : M), f (Multiplicative.ofAdd (single x y)) = g (Multiplicative.ofAdd (single x y))
this : ∀ (x : α →₀ M), (MonoidHom.toAdditive'' f) x = (MonoidHom.toAdditive'' g) x
x✝ : Multiplicative (α →₀ M)
⊢ f x✝ = g x✝
α : Type u
s : Stream'.Seq α
⊢ Stream'.Seq.map id s = s
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
e : A ≃ₐ[R] B
⊢ IsIntegrallyClosedIn R A ↔ IsIntegrallyClosedIn R B
α : Type u
l : List α
hl : l.Nodup
hn : l ≠ []
i j : ℕ
h : l.rotate i = l.rotate j
⊢ i % l.length = j % l.length
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
τ : Type u_9
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁸ : DecidableEq ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq κ
inst✝¹⁶ : DecidableEq τ
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype κ
inst✝¹³ : Fintype τ
inst✝¹² : Finite ι'
inst✝¹¹ : Finite κ'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bP : Basis τ R P
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
i : κ
j i' : ι
j' : κ
⊢ (toMatrix (bM.tensorProduct bN) (bN.tensorProduct bM)) ↑(TensorProduct.comm R M N) (i, j) (i', j') = submatrix 1 Prod.swap _root_.id (i, j) (i', j')
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ LieAlgebra.IsNilpotent R ↥(LieAlgebra.ad R L).range ↔ LieAlgebra.IsNilpotent R L
E : Type u_6
SeminormedGroup E
x : ↑(Metric.sphere 1 1)
⊢ ↑x ≠ 1
x y : Nat
⊢ ↑(x <<< y) = ↑x * ↑(2 ^ y)
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : c ≤ a
⊢ a + b - (a - c) = b + c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ image2 f s (⋂ i, ⋂ j, t i j) ⊆ ⋂ i, ⋂ j, image2 f s (t i j)
n x✝ y✝ p : ℕ
hp : Prime p
hx✝ : x✝ ≠ 1
hy✝ : y✝ ≠ 1
h✝ : x✝ * y✝ = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x✝ * y✝
x y : ℕ
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
a : ℕ
ha : x = p * a
this : a ∣ p
hap : a = p
⊢ x = p ∧ y = p
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
CommRing R
p : MvPolynomial σ R
q : MvPolynomial σ R
CommRing S
f : R →+* S
g : σ → S
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g (p - q) = MvPolynomial.eval₂ f g p - MvPolynomial.eval₂ f g q
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
NatCast α
n : ℕ
⊢ Measurable ↑n
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
⊢ (cauSeqAbs (exp' x + -const (⇑abs) (∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial))).lim ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : D ⥤ C ⥤ D
Y : C
e : F.flip.obj Y ≅ 𝟭 D
inst✝² : (X : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.obj X)
p : J × I → J
hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j
X X' : GradedObject J D
φ : X ⟶ X'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F J I).obj X).obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F J I).obj X').obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p
Y' : ?m.129704
j : J
⊢ φ j ≫ (mapBifunctorRightUnitor F Y e p hp X').inv j = (mapBifunctorRightUnitor F Y e p hp X).inv j ≫ mapBifunctorMapMap F p φ (𝟙 ((single₀ I).obj Y)) j
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ (emptyOn α)✶.E = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
x : σ
⊢ Primrec₂ fun x_1 x_2 => x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hfp : eLpNorm f p μ < ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ < ⊤
J : Type v
inst✝² : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J
inst✝ : HasColimit F
t : Cocone F
ht : IsColimit t
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
⊢ (ht.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F)).toEquiv (t.ι.app i xi) = (ht.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F)).toEquiv (t.ι.app j xj) ↔ (colimitCocone F).ι.app i xi = (colimitCocone F).ι.app j xj
X : Type u_1
TopologicalSpace X
FirstCountableTopology X
s : Set X
x : ℕ → X
hs : IsCompact s
hx : ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, x n ∈ s
⊢ ∃ a ∈ s, ∃ φ, StrictMono φ ∧ Filter.Tendsto (x ∘ φ) Filter.atTop (𝓝 a)
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
l✝ : Multiset (α → M)
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ Quot.mk Setoid.r l, Measurable f
⊢ Measurable (prod (Quot.mk Setoid.r l))
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f₁ g₁ f₂ g₂ : C ⟶ D
h₁ : Homotopy f₁ g₁
h₂ : Homotopy f₂ g₂
i : ι
⊢ (f₁ + f₂).f i = (dNext i) (h₁.hom + h₂.hom) + (prevD i) (h₁.hom + h₂.hom) + (g₁ + g₂).f i
R : Type u
CommRing R
M N : QuadraticModuleCat R
f g : M ⟶ N
h : f.toIsometry = g.toIsometry
⊢ f = g
α β : Type u
β' : Type v
⊢ #↑{f | Surjective f} = 0 ↔ #α < #β ∨ #α ≠ 0 ∧ #β = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
i j k : ℕ
h : i = j
h' : j = k
a : ⨂[R]^i M
⊢ (TensorPower.cast R M h') ((TensorPower.cast R M h) a) = (TensorPower.cast R M ⋯) a
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
a₁ : P.mp.A
i✝ : Fin2 n
x : P.last.M
a : P.A
f : P.last.B a → P.last.M
h' : x.dest = ⟨a, f⟩
i : P.last.B a
c : Fin2 n
p : Path P (f i) c
IH : ∀ (f₁ f₂ : P.mp.B (f i) ⟹ α), R ⟨f i, f₁⟩ ⟨f i, f₂⟩ → f₁ c p = f₂ c p
f₁ f₂ : P.mp.B x ⟹ α
r : R ⟨x, f₁⟩ ⟨x, f₂⟩
e₁' : x.dest = ⟨a, f⟩
e₁ : dest P ⟨x, f₁⟩ = ⟨a, splitFun (pathDestLeft P e₁' f₁) fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₁' f₁ x_1⟩⟩
e₂' : x.dest = ⟨a, f⟩
e₃ : pathDestLeft P e₁' f₁ = pathDestLeft P e₂' f₂
e₂ : dest P ⟨x, f₂⟩ = ⟨a, splitFun (pathDestLeft P e₁' f₁) fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₂' f₂ x_1⟩⟩
h'' : ∀ (i : (P.B a).last), R ((fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₁' f₁ x_1⟩) i) ((fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₂' f₂ x_1⟩) i)
⊢ f₁ c (Path.child x a f h' i c p) = f₂ c (Path.child x a f h' i c p)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V
this : Nontrivial K
⊢ lift.{u, v} #V = lift.{v, u} #K ^ lift.{u, v} (Module.rank K V)
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
⊢ (∀ n > 0, n ∈ s → ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f n) ↔ ∀ n > 0, n ∈ s → ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f n
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Semifield R
inst✝ : StarRing R
x y : R
hx : IsSelfAdjoint x
hy : IsSelfAdjoint y
⊢ IsSelfAdjoint (x / y)
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), σ pb.gen ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E
⊢ ∀ (a b : Fin pb.dim) (ha : ¬b = a), pb.lift ((e a) pb.gen) ⋯ = e a
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y L : R
⊢ (C L * (X - C x) + C y) ^ 2 + (C W.a₁ * X + C W.a₃) * (C L * (X - C x) + C y) - (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆) = -(C 1 * X ^ 3 + C (-L ^ 2 - W.a₁ * L + W.a₂) * X ^ 2 + C (2 * x * L ^ 2 + (W.a₁ * x - 2 * y - W.a₃) * L + (-W.a₁ * y + W.a₄)) * X + C (-x ^ 2 * L ^ 2 + (2 * x * y + W.a₃ * x) * L - (y ^ 2 + W.a₃ * y - W.a₆)))
a b c : SignType
⊢ a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
α : Type u_1
CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n + 1), u k = u 0 ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), u (k + 1)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (x : α) in s, (f * g) x ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
hst : Disjoint s t
S : Set (Set E) := {C | Convex 𝕜 C ∧ Disjoint C t}
C : Set E
hC : C ∈ S
hsC : s ⊆ C
hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C
x : E
hx : x ∈ Cᶜ
y : E
hy : y ∈ Cᶜ
z : E
hz : z ∈ segment 𝕜 x y
hzC : z ∈ C
c : E
hc : c ∈ Cᶜ
h : ∀ a ∈ C, segment 𝕜 c a ∩ t = ∅
⊢ Disjoint (⋃ y ∈ (convexHull 𝕜) C, segment 𝕜 c y) t
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
NormedSpace ℝ E
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫ (x : α) in g +ᵥ s, f x ∂μ
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Fintype ι₁
Finite ι₂
DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₂
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (LinearMap.toMvPolynomial b₁ b₂ f i) = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ℕ → R
g : ℕ → M
m n : ℕ
hmn : m < n
h₁ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range i, g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
h₂ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i
h₃ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • g i = ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ((range (i + 1)).sum g - (range i).sum g)
h₄ : ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = f (n - 1) • (range n).sum g - f m • (range (m + 1)).sum g + ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f i • (range (i + 1)).sum g - f (i + 1) • (range (i + 1)).sum g)
this : ∀ (i : ℕ), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i - f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = -((f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i)
⊢ f m • g m + (f (n - 1) • (range n).sum g - f m • (range (m + 1)).sum g + ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f i • (range (i + 1)).sum g - f (i + 1) • (range (i + 1)).sum g)) = f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range m, g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Abelian C
A : Type u₁
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Abelian A
inst✝¹ : Abelian B
L : A ⥤ B
inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms
hL : ∀ (S : ShortComplex A), S.Exact → (S.map L).Exact
X✝ Y✝ : A
f : X✝ ⟶ Y✝
hf : Mono f
⊢ (ShortComplex.mk 0 (L.map f) ⋯).Exact
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
d : τ →₀ ℕ
h : MvPolynomial.coeff d ((MvPolynomial.rename f) φ) ≠ 0
⊢ ∃ u, Finsupp.mapDomain f u = d ∧ MvPolynomial.coeff u φ ≠ 0
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t₁ t₂ : Set α
⊢ s ⊼ (t₁ ∪ t₂) = s ⊼ t₁ ∪ s ⊼ t₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
X : CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda F
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.costructuredArrowYonedaEquivalenceInverseπ F).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
⊢ Tendsto (fun s => 1 / (s - 1) - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
α : Type u
β : Type v
f : α → β × α
a : α
⊢ Stream'.corec' f a = Stream'.cons (f a).1 (Stream'.corec' f (f a).2)
G : Type u_1
Group G
S T : Subgroup G
x : G
⊢ x ∈ S → x ∈ S ⊔ T