ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
g : ℝ → ℝ
h : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖f t‖ ≤ g t
hbound : IntervalIntegrable g μ a b
⊢ ‖∫ (t : ℝ) in a..b, f t ∂μ‖ ≤ |∫ (t : ℝ) in a..b, g t ∂μ|
K : Type u_1
Field K
NumberField K
w₁ : NumberField.InfinitePlace K
B : ℕ
hB : NumberField.mixedEmbedding.minkowskiBound K 1 < ↑(NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : NumberField.InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
l : List α
⊢ Tendsto (fun p => p.1 :: p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (a :: l))
α : Type u
CommMonoid α
⊢ Function.Bijective ConjClasses.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
a : α
s : Finset α
⊢ f a ∈ Finset.map f s ↔ a ∈ s
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h : Fintype.card R ≤ 2
h✝ : Subsingleton R
⊢ univ = {0, 1}
α : Type u_2
β : Type u_3
Mul α
Add α
LE α
Mul β
Add β
LE β
f g : α ≃+*o β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝¹ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
inst✝ : NoZeroDivisors S
⊢ ψ.Even ∨ ψ.Odd
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
b : β
⊢ MeasurableSpace.map (fun _a => b) m = ⊤
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : lift.{max u v, u} #α = lift.{max u v, v} #β
g : α ≃ β
⊢ Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b c : α
⊢ Associated (gcd (b * a) (c * a)) (gcd b c * a)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
h₀ : x = abs ⟨a, f⟩
h₁ : ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p (f i j)
⊢ abs ((fun i => Subtype.val) <$$> ⟨a, fun i j => ⟨f i j, ⋯⟩⟩) = abs ⟨a, f⟩
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y1 y2 : ℕ × K
H : R K p y1 y2
n : ℕ
y : K
⊢ R K p (x.1 + (n, y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n, y).1] x.2 + (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n, y).2) (x.1 + (n + 1, (frobenius K p) y).1, (frobenius K p) ((⇑(frobenius K p))^[n] x.2 + (⇑(frobenius K p))^[x.1] y))
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
⊢ dist z w ≤ dist ↑z ↑w / √(z.im * w.im)
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h2s : MeasurableSet (univ.pi s)
⊢ (Measure.map (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume) (univ.pi s) = ∏ i : ι, volume (s i)
R : Type u
CommSemiring R
f : R
⊢ PrimeSpectrum.basicOpen f = ⊥ ↔ IsNilpotent f
R : Type u
σ : Type v
r : R
CommRing R
Fintype σ
⊢ Prime (MvPolynomial.C r) ↔ Prime r
α : Type u_1
f : ℕ → ℝ≥0
k : ℕ
⊢ (Summable fun a => ↑(f (a + k))) ↔ Summable fun a => ↑(f a)
xl xr : Type u
x x' : PGame
⊢ (-x).insertLeft (-x') = -x.insertRight x'
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
⊢ 0⁻¹ = (starRingEnd K) 0 * ↑(‖0‖ ^ 2)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
⊢ ∀ i ∈ s, x ≠ i → (insert x s).einfsep ≤ edist x i
R : Type u_2
self : AddMonoidWithOne R
⊢ NatCast.natCast 0 = 0
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
h : Module.rank E K ≤ Module.rank F ↥S
ι : Set ↥S
b : Basis (↑ι) F ↥S
⊢ sepDegree F K = Module.rank E K
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
AddCommMonoid S
p : R[X]
f : ℕ → R → S
⊢ p.sum f = ∑ n ∈ p.support, f n (p.coeff n)
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
⊢ (foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } xs).down = (toList xs).length
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
I X : Set ((i : ι) × α i)
hI : ∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' I)
x✝ : I ⊆ X ∧ (∀ ⦃y : Set ((i : ι) × α i)⦄, (∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' y)) → y ⊆ X → I ⊆ y → I = y) ∧ X ⊆ univ.sigma fun i => (M i).E
hIX : I ⊆ X
h : ∀ ⦃y : Set ((i : ι) × α i)⦄, (∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' y)) → y ⊆ X → I ⊆ y → I = y
h' : X ⊆ univ.sigma fun i => (M i).E
i : ι
I₀ : Set (α i)
hI₀ : (M i).Indep I₀
hI₀X : I₀ ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' X
hII₀ : Sigma.mk i ⁻¹' I ⊆ I₀
⊢ Sigma.mk i ⁻¹' I = I₀
b : ℕ
h : 1 ≤ b
⊢ {n | n.FermatPsp b}.Infinite
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, I'⟯ M'
hn : 1 ≤ n
⊢ MDifferentiable I I' ⇑h
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g
h₅ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f * f.inv hf)
h₆ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f.inv hf * f)
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
S : Set α
h : IsGenericPoint x S
⊢ IsIrreducible S
a : UnitAddCircle
n : ℕ
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZetaOdd a (-2 * ↑n - 1) = 0
M : Type u_1
α : Type u_7
SMul M α
Mul α
SMulCommClass M α α
IsScalarTower M α α
a b : α
h : Commute a b
r : M
⊢ Commute a (r • b)
P : Type u_2
MetricSpace P
p : P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
⊢ p ∈ Metric.sphere s.center s.radius ↔ p ∈ s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w✝ : σ → M
n : M
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
m : M
⊢ IsWeightedHomogeneous w ((weightedHomogeneousComponent w m) φ) m
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
l : List (Perm α)
x : α
hx : x ∈ l.prod.support
⊢ ∃ f ∈ l, x ∈ f.support
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
W : C
k : Y ⟶ W
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g k
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g)
    (CategoryTheory.Limits.coequalizer.desc k h) =
  k
η : Type u_7
f : η → Type u_8
(i : η) → Group (f i)
I : Set η
H : (i : η) → Subgroup (f i)
⊢ ↑(Subgroup.pi I H) = I.pi fun i => ↑(H i)
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
c : ℤ → ℂ := fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => if ↑n = 0 then 0 else c n * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ((↑(cosKernel (↑a) t) - 1) / 2)
⊢ HasSum (fun n => s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedCosZeta (↑a) s)
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ : Measure Ω
ε : ℝ≥0∞
x✝¹ : ε ∈ Ioo 0 ⊤
B : Set Ω
x✝ : MeasurableSet B
hε₀ : 0 < ε
hε_top : ε < ⊤
⊢ 0 < ε.toReal
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
F : SimpleGraph W
inst✝ : Finite W
h : (G' : G.Subgraph) → G'.verts.Finite → G'.coe →g F
val✝ : Fintype W
this✝ : ∀ (G' : G.Finsubgraphᵒᵖ), Nonempty ((G.finsubgraphHomFunctor F).obj G')
this : (G' : G.Finsubgraphᵒᵖ) → Fintype ((G.finsubgraphHomFunctor F).obj G')
⊢ Nonempty (G →g F)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
f : OnePoint X → Y
⊢ ContinuousAt f OnePoint.infty ↔ Filter.Tendsto (f ∘ OnePoint.some) (Filter.coclosedCompact X) (𝓝 (f OnePoint.infty))
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : ComplementedLattice α
h : IsCoatomic α
⊢ IsStronglyAtomic α
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
⊢ eLpNorm (fun x => c) p μ < ⊤
α : Type u_1
a : α
⊢ {a} ≠ 0
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
fs gs : ℕ → α → F'
f g : α → F'
hfs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
hgs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (gs n) μ
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n x) atTop (𝓝 (f x))
hgs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => gs n x) atTop (𝓝 (g x))
bound_fs : α → ℝ
h_int_bound_fs : Integrable bound_fs μ
bound_gs : α → ℝ
h_int_bound_gs : Integrable bound_gs μ
hfs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖fs n x‖ ≤ bound_fs x
hgs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖gs n x‖ ≤ bound_gs x
hfg : ∀ (n : ℕ), μ[fs n|m] =ᶠ[ae μ] μ[gs n|m]
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ ↑↑(condexpL1 hm μ g) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpL1 hm μ f)
R : Type u_1
CommRing R
n : Type u_4
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
i : n
⊢ M.charmatrix i i = Polynomial.X - Polynomial.C (M i i)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t✝ : Set α
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
hfs : ∀ b ∈ t, InjOn (fun x => f x b) s
hft : ∀ a ∈ s, InjOn (f a) t
⊢ ¬(s.Infinite ∧ t.Nonempty ∨ t.Infinite ∧ s.Nonempty) ↔ s.Finite ∧ t.Finite ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
⊢ UniformInducing ⇑(ContinuousMap.equivBoundedOfCompact α β)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
a : α
hsl : {a} ∈ l
hs : {a}.Subsingleton
⊢ l ≤ pure a
α : Type u_3
β : Type u_4
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
H : ∀ x ∈ s, f x ∈ t
⊢ s.card = ∑ a ∈ t, (Finset.filter (fun x => f x = a) s).card
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
f : α × β
⊢ ‖(WithLp.equiv ⊤ (α × β)).symm f‖₊ = ‖f‖₊
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf : Inducing ⇑f
hg : Inducing ⇑g
⊢ Inducing ⇑(CategoryTheory.Limits.prod.map f g)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₃)
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
∀ (X : CategoryTheory.GradedObject I C₁) (Y : CategoryTheory.GradedObject J C₂),
    (((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p
X₁ X₂ : CategoryTheory.GradedObject I C₁
φ : X₁ ⟶ X₂
Y : CategoryTheory.GradedObject J C₂
i : K
⊢ ((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMap F p).map φ).app Y i =
  CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapMap F p φ (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y) i
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
c : F
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => c - f x) (-f') s x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
i j : ℕ
h : i = j
a : Fin i → M
⊢ (TensorPower.cast R M h) ((PiTensorProduct.tprod R) a) = (PiTensorProduct.tprod R) (a ∘ Fin.cast ⋯)
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
Small.{v, u} R
⊢ Module.Baer R Q ↔ Module.Injective R Q
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M' N P) ⋯
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : LocalPredicate T
x : ↑X
U : (OpenNhds x)ᵒᵖ
fU : (x_1 : ↥(unop ((OpenNhds.inclusion x).op.obj U))) → T ↑x_1
hU : P.pred fU
V : (OpenNhds x)ᵒᵖ
fV : (x_1 : ↥(unop ((OpenNhds.inclusion x).op.obj V))) → T ↑x_1
hV : P.pred fV
h : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩
W : OpenNhds x
iU : W ⟶ unop U
iV : W ⟶ unop V
w : ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)
⊢ ∃ W s, ∃ (hW : P.pred s), colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate) U ⟨fU, hU⟩ = (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩ ∧ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate) V ⟨fV, hV⟩ = (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
⊢ evariance X μ < ⊤ ↔ Memℒp X 2 μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
s t : Set E
c : ℝ≥0
hst : s ⊆ t
hf : ApproximatesLinearOn f f' t c
⊢ ApproximatesLinearOn f f' s c
F : Type u
Field F
x : F
⊢ (Polynomial.C x).natSepDegree = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s✝ t : Set α
s : Finset α
⊢ p.toOuterMeasure ↑s = ∑ x ∈ s, p x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
⊢ μ K ≤ ⨅ U, ⨅ (_ : K ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ U
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x✝ : E
h : StarConvex ℝ x✝ s
hne : s.Nonempty
x : ↑s
⊢ { toFun := fun p => ⟨↑p.1 • x✝ + (1 - ↑p.1) • ↑p.2, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2 }.toFun (0, x) = (ContinuousMap.id ↑s) x
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
self : I.IsMaximal
⊢ IsCoatom I
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ I ≤ PrimeSpectrum.vanishingIdeal (PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f
⊢ Embedding f ↔ ∀ (x : ι), Embedding ((U x).carrier.restrictPreimage f)
X : Type u_3
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
h₁ : R1Space X
h₂ : R1Space X
⊢ R1Space X
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
⊢ Ideal.map f ⊥ = ⊥
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝² : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ (span R s).toAddSubmonoid
r : R
m : M
hm : m ∈ closure (univ • s)
x✝¹ x✝ : M
h : r • x✝¹ ∈ closure (univ • s)
h' : r • x✝ ∈ closure (univ • s)
⊢ r • (x✝¹ + x✝) ∈ closure (univ • s)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
⊢ ‖z‖ = ‖↑z‖
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernels C
X : C
A B : Cᵒᵖ
g : B ⟶ op X
hg : Mono g
i : A ≅ B
hf : Mono (i.hom ≫ g)
⊢ kernel (i.hom ≫ g).unop ≅ kernel g.unop
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
y z✝ : V
a : K
z : V
hz : z ∈ span K s
h : a • y + z ∉ span K s
⊢ ∃ a_1, ∃ z_1 ∈ span K s, y = a_1 • (a • y + z) + z_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
e : X.toPresheafedSpace ≅ Y.toPresheafedSpace
⊢ (AlgebraicGeometry.SheafedSpace.isoMk e).inv = e.inv
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
β γ : Type v
f : α → Part β
g : α → β → Part γ
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous' f →
  OmegaCompletePartialOrder.Continuous' g → OmegaCompletePartialOrder.Continuous' fun x => f x >>= g x
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
⊢ dimH s = ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
σ : Type u
x✝ : Nonempty (Cardinal.{u} ↪ σ)
f : Cardinal.{u} → σ
hf : Injective f
g : σ → Cardinal.{u} := invFun f
x : σ
hx : g x = 2 ^ sum g
this : g x ≤ sum g
⊢ 2 ^ sum g > sum g
R : Type u_1
CommRing R
v w : Fin 3 → R
⊢ (crossProduct v) w + (crossProduct w) v = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ha : Absorbent ℝ s
ε : ℝ
hε₀ : 0 < ε
this : ε • s ∩ -(ε • s) ∈ 𝓝 0
⊢ ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 0, gauge s (x + a) ∈ Icc (gauge s x - ε) (gauge s x + ε)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
b : α
h : AntitoneOn f (Set.Iic b)
⊢ Set.MapsTo f (Set.Iic b) (Set.Ici (f b))
r : ℝ
h : r.sign = 0
hn : r < 0
⊢ r = 0
R : Type u
CommSemiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ Polynomial.derivative (p ^ n) = Polynomial.C ↑n * p ^ (n - 1) * Polynomial.derivative p
a b✝ c d m n : ℤ
ha : a ≠ 0
b : ℤ
hb : n = m * b
⊢ m ∣ n
a b m✝ n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
m : ℕ
pr : n < m
⊢ ∀ x ∈ Finset.filter Prime (Finset.range m) \ n.factorization.support, x ^ padicValNat x n = 1
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑(hC.diffFinset hs ht)
⊢ u ≤ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset hs ht)
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
x✝ : CharacterModule (A ⊗[R] B)
z : A ⊗[R] B
⊢ ((uncurry ∘ₗ curry) x✝) z = (LinearMap.id x✝) z
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp.toLp (-f) ⋯ = -MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ Icc a b \ Ico a b = {b}
l r : Type u
L : l → PGame
R : r → PGame
x✝ : (mk l r L R).Impartial
⊢ (mk l r L R).grundyValue = mex fun i => ((mk l r L R).moveRight i).grundyValue
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set V
⊢ SimpleGraph.induce s G = (⊤.induce s).coe
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : Function.support u ⊆ s
p q : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E)
hpq : ↑p⁻¹ - (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E))⁻¹ ≤ (↑q)⁻¹
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ MeasureTheory.eLpNorm u (↑q) μ ≤
  ↑(MeasureTheory.eLpNormLESNormFDerivOfLeConst F μ s p q) * MeasureTheory.eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : (algebraMap R S) M ≠ 0
b : S
b_mem : b ∈ ↑I
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min : ∀ c ∈ ↑I, abv ((Algebra.norm R) c) < abv ((Algebra.norm R) b) → c = 0
⊢ Ideal.span {b} ∣ Ideal.span {(algebraMap R S) M} * ↑I
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter β
a : α
⊢ (a • f).NeBot → f.NeBot
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → ℂ
a : E
c : ℂ
R : ℝ
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z • a) = (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) • a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
f : α →ₛ ℝ
hf : Integrable (↑f) μ
h_pos : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑f
this : ↑f =ᶠ[ae μ] ↑(map (ENNReal.toReal ∘ ENNReal.ofReal) f)
⊢ integral μ f = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (↑f a) ∂μ).toReal
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ♯ (b ♯ c) = b ♯ (a ♯ c)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑(n + 1)) f s x ↔
  ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
E : Type u_2
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup E
α : Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (μ : MeasureTheory.Measure α) (c : E) [inst : MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ],
  MeasureTheory.AEEqFun.const α c ∈ MeasureTheory.Lp E p μ
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → β → γ
n : γ → δ
⊢ map (n ∘ fun p => m p.1 p.2) (f ×ˢ g) = map (fun p => n (m p.1 p.2)) (f ×ˢ g)
α : Type u_1
l : Lists α
⊢ l.IsList → Lists.ofList l.toList = l
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
hf' : LocallyIntegrable f' μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = ∫ (x : M), g x • f' x ∂μ
this : ∀ᵐ (x : M) ∂μ, (f - f') x = 0
x : M
hx : (f - f') x = 0
⊢ f x = f' x
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
K : AddSubgroup G
⊢ Monotone fun t => K.prod t
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
⊢ P.IsOrthogonal i j ↔ P.IsOrthogonal j i
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K'
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : Algebra R K'
inst✝¹ : IsFractionRing R K'
I J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
x : R
hx : (algebraMap R K) x ∈ I
map_eq_zero : map h I = 0
⊢ x = 0
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk v w
he : s(t, u) ∈ p.edges
⊢ u ∈ p.support