ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
A : HasIntegral I ⊥ (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) volume.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i ∂volume)
B : HasIntegral I IntegrationParams.GP (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) BoxAdditiveMap.volume (∑ i : Fin (n + 1), (BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume))
⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ x : Fin (n + 1), ((∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.upper x) x_1) x) - ∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.lower x) x_1) x)
G : Type u
Monoid G
h : ∀ (g : G), 0 < orderOf g
⊢ Monoid.exponent G ≠ 0 ↔ (Set.range orderOf).Finite
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ (a ⊔ b) * c = a * c ⊔ b * c
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
s : Set A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (StarAlgebra.adjoin R s).toSubalgebra = Submodule.span R ↑(Submonoid.closure (s ∪ star s))
R : Type u
m n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
o : ℕ
pn : p.natDegree ≤ n
mno : m * n ≤ o
⊢ (p ^ m).coeff o = if o = m * n then p.coeff n ^ m else 0
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ s.OrdConnected ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → Set.Icc x y ⊆ s
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ K = (fun h => g⁻¹ * h) '' ((fun b => g * b) '' K)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
w : Word G
hw : Reduced φ w
h : ofCoprodI w.prod ∈ (base φ).range
d : Transversal φ
⊢ w = Word.empty
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
LieRing L
LieAlgebra K L
Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I
⊢ IsCompl ↑I ↑(LieAlgebra.InvariantForm.orthogonal Φ hΦ_inv I)
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
h : e.target = e'.source
⊢ (e.trans' e' h).toPartialEquiv = e.trans' e'.toPartialEquiv h
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
CategoryTheory.Limits.HasWideCoequalizer f
⊢ (CategoryTheory.Limits.wideCoequalizer.cotrident f).ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.one =
  CategoryTheory.Limits.wideCoequalizer.π f
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁷ : F.PreservesZeroMorphisms
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
ψl : LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂
ψr : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂
inst✝⁶ : S₁.HasHomology
inst✝⁵ : S₂.HasHomology
inst✝⁴ : (F.mapShortComplex.obj S₁).HasHomology
inst✝³ : (F.mapShortComplex.obj S₂).HasHomology
inst✝² : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₂
inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms
γ : RightHomologyMapData φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData
⊢ IsIso (F.map γ.φH) ↔ IsIso γ.φH
n : Type u_3
R : Type u_6
Fintype n
AddCommMonoid R
IsEmpty n
A : Matrix n n R
⊢ A.trace = 0
α : Type u_1
Mul α
s t : SetSemiring α
⊢ SetSemiring.down (s * t) = SetSemiring.down s * SetSemiring.down t
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
S : Submonoid M
y : N
⊢ y ∈ Submonoid.map f S ↔ ∃ x ∈ S, f x = y
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
f' : E → E →L[𝕜] F
h1 : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' s
h2 : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ (f '' s).Nonempty ↔ s.Nonempty
K : Type u_1
M : Type u_3
CommRing K
CommRing M
j : K →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar M p
PerfectRing M p
x : K
⊢ (PerfectRing.lift (RingHom.id K) j p) x = j x
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
⊢ f.IsCycle ↔ ∃ s, s.Nontrivial ∧ f.IsCycleOn s ∧ ∀ ⦃x : α⦄, ¬Function.IsFixedPt (⇑f) x → x ∈ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
g : ι → α
⊢ sSup (range (f ∘ fun i => g i)) = sSup (range fun i => f (g i))
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
⊢ Setoid.IsPartition (Set.range fun a => MulAction.orbit G a)
α : Sort u_1
q : Prop
p : α → Prop
⊢ (∀ (x : α), p x ∨ q) ↔ (∀ (x : α), p x) ∨ q
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
i : ι
hi : i ∈ ↑t
⊢ const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (f ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ?h.h.mk.hv = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b d y : α
x : WithBot α
⊢ unbot' d x = y ↔ x = ↑y ∨ x = ⊥ ∧ y = d
α : Type u_1
MetricSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0,
  ∀ (x : α),
    μ (Metric.closedBall x (K * r)) ≤ ↑(IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ K) * μ (Metric.closedBall x r)
x y : ℂ
hy : ‖1‖ = 1
θ : ℝ
hθ : θ ∈ Ioc (-π) π
⊢ θ ∈ Ioc (-π) (-π + 2 * π)
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
⊢ c.length < c.length + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
inst✝³ : BEq α
inst✝² : Hashable α
m : Imp α β
k : α
h : m.buckets.WF
inst✝¹ : PartialEquivBEq α
inst✝ : LawfulHashable α
H : List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val].toList
⊢ List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) (List.replaceF (fun x => bif x.fst == k then some (k, f x.fst x.snd) else none) m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat].toList)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ IndepFun f g κ μ ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → IndepSet (f ⁻¹' s) (g ⁻¹' t) κ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
⊢ ∃ u, f '' u = f '' s ∧ Set.InjOn f u
α : Type u_1
Semigroup α
a b : α
⊢ a ∣ b ↔ ∃ c, b = a * c
R : Type u_1
CommRing R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Free.embedding R C).obj X = X
α : Type u_2
Semiring α
a : α
ha : Even a
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → Even (a ^ n)
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hu : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}, y - u ∈ U
⊢ TotallyBounded (⇑u '' closedBall 0 1)
J : Type w
C : Type uC
inst✝⁴ : Category.{uC', uC} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
G : C ⥤ D
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
A : Bicone F
i j : J
⊢ G.map (if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0) = if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
DecidableEq α
s : Finset γ
t : γ → Finset α
f : α → Set β
⊢ ⋃ y ∈ s.biUnion t, f y = ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ t x, f y
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ f.toFun = ⇑f
f : ℝ → ℝ
f' a : ℝ
h : IsLocalMax f a
hf : HasDerivAt f f' a
⊢ f' = 0
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ
ψ' : K →ₐ[k] ℂ := { toRingHom := ψ, commutes' := ⋯ }
x : K
⊢ (φ.comp ↑(ψ'.restrictNormal' K).symm.symm) x = ψ x
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : Wbtw R x y z
⊢ Wbtw R x z y ↔ y = z
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
hι : Nonempty ι
K : ι → Subgroup G
hK : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(K i))
⊢ ∃ i, 1 ∈ K i
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
b : M
⊢ Finsupp.update 0 a b = Finsupp.single a b
α : Type u
s : Set α
⊢ ∀ {x : DecidablePred fun x => x ∈ s} {a : α}, (PEquiv.ofSet s) a = some a ↔ a ∈ s
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n := lt_of_add_lt_add_right (let_fun this := Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (tsub_add_cancel_of_le k2n))) (Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (two_mul n))) (add_lt_add_left kn n)); this)
xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n
⊢ xn a1 k + xn a1 (2 * n - k) ≡ xn a1 n [MOD xn a1 n]
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id F = CategoryTheory.OplaxNatTrans.id F
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
A : ι → Submodule 𝕜 E
DecidableEq ι
h : DirectSum.IsInternal A
α : ι → Type u_8
(i : ι) → Fintype (α i)
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(A i)) fun i => (A i).subtypeₗᵢ
v : (i : ι) → OrthonormalBasis (α i) 𝕜 ↥(A i)
a : (i : ι) × α i
⊢ (DirectSum.IsInternal.collectedOrthonormalBasis hV h v) a ∈ A a.fst
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
⊢ IsOpen ↑v.integer
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Semiring B
Algebra R S
Algebra R A
Algebra R B
Algebra S A
IsScalarTower R S A
x : (A ⊗[R] B)ᵐᵒᵖ
⊢ (Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R S A B).symm x =
  (TensorProduct.map ↑(MulOpposite.opLinearEquiv R) ↑(MulOpposite.opLinearEquiv R)) (MulOpposite.unop x)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
⊢ (PresheafedSpace.IsOpenImmersion.isoRestrict f.val).hom ≫ SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.map (Y.ofRestrict ⋯).val = SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.map f.val
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
⊢ Irreducible (f.comp g)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hn : 1 ≤ n
⊢ ContinuousOn (fun x => fderivWithin 𝕜 f s x) s
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P g
⊢ ∀ (i : ((S.affineCover.pullbackCover f).pullbackCover (pullback.fst f g)).J), P ((S.affineCover.pullbackCover f).pullbackHom (pullback.fst f g) i)
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ a < b⁻¹ ↔ b < a⁻¹
α : Type u_1
G : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
a : α
g : G
⊢ -g +ᵥ a ∈ AddAction.fixedBy α g ↔ a ∈ AddAction.fixedBy α g
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L'
h₂ : Surjective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L' k = ⊥
⊢ IsSolvable R L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hfi : HasFiniteIntegral f μ
eq : (fun a => ↑‖‖f a‖‖₊) = fun a => ↑‖f a‖₊
⊢ HasFiniteIntegral (fun a => ‖f a‖) μ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ μ.withDensity (f * fun x => (f x)⁻¹) ≤ μ
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c p₁ p₂ : P
⊢ c ∈ AffineSubspace.perpBisector p₁ p₂ ↔ ⟪c -ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
α : Sort u
c : Prop
⊢ ∀ {x : Decidable c} {t : c → α} {e : ¬c → α} (h : c = False), dite c t e = e ⋯
α : Type u_1
n : ℕ
DecidableEq α
a : α
i : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑i)
hx : a ∉ s
⊢ Multiset.count a ↑(Sym.fill a i s) = ↑i
α : Type u_1
l : List α
h : l ≠ []
⊢ l.getLast h ∈ l
x y : PartENat
hx : x ≠ ⊤
⊢ x < x + y ↔ x + 0 < x + y
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} A
L : C ⥤ D
G : C ⥤ A
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
CategoryTheory.HasShift D M
L.CommShift M
G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D A).obj L).Full
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
n a a' : M
ha' : n + a = a'
X : C
⊢ (CategoryTheory.Functor.ShiftSequence.induced.shiftIso L G M F' e' n a a' ha').hom.app (L.obj X) =
  (F' a).map ((L.commShiftIso n).inv.app X) ≫
    (e' a).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj X) ≫ (G.shiftIso n a a' ha').hom.app X ≫ (e' a').inv.app X
n : ℕ
⊢ ZMod.χ₄ ↑n = if n % 2 = 0 then 0 else if n % 4 = 1 then 1 else -1
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
f : ℕ → M
k : ℕ
h : Multipliable fun n => f (n + k)
⊢ Multipliable f
G : Type u_1
Group G
H K L : Subgroup G
hH : H.relindex L ≠ 0
hK : K.relindex L ≠ 0
⊢ (H ⊓ K).relindex L ≠ 0
m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2
⊢ m = ((x - y) / 2) ^ 2 + ((x + y) / 2) ^ 2
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : ℕ → Set α
p : ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), p n → MeasurableSet (s n)
⊢ MeasurableSet (Filter.blimsup s Filter.atTop p)
a : UnitAddCircle
x : ℝ
⊢ HurwitzZeta.oddKernel a x = 1 / x ^ (3 / 2) * HurwitzZeta.sinKernel a (1 / x)
R : Type u
S₁ : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S₁
Algebra R S₁
s : Set S₁
⊢ Algebra.adjoin R s = (MvPolynomial.aeval Subtype.val).range
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ ‖MeasureTheory.L1.integral f‖ ≤ ‖f‖
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ∀ (i : α), b (AkraBazziRecurrence.min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
R : Type u_1
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
⊢ finsuppTensorFinsuppLid R R ι κ = finsuppTensorFinsupp' R ι κ
α : Type u_1
β : Type u_4
PartialOrder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
x : α
⊢ gc.closureOperator x = u (l x)
X : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
Finite α
TopologicalSpace X
f : LocallyConstant X (α → β)
⊢ LocallyConstant.unflip f.flip = f
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
⊢ IsSimpleModule R M ↔ ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)
ι : Type u_1
Fintype ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
DecidableEq ι
A : Matrix ι ι R
f f' : Module.End R M
h : Matrix.Represents b A f
h' : Matrix.Represents b A f'
⊢ f = f'
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
⊢ (fun a => μ {a_1 | a ≤ f a_1}) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => μ {a_1 | a < f a_1}
n : Nat
m : Nat
h : 0 < n
⊢ 0 < m + n
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)) (↑I '' s)
c : Cardinal.{u_1}
⊢ Cardinal.mk (Quotient.out c) = c
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ
⊢ Even (∑ i ∈ s, f i) ↔ Even (filter (fun x => Odd (f x)) s).card
a : ℤ
⊢ -a.pred = (-a).succ
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
NonLindelofSpace X
hs : IsLindelof s
⊢ s ≠ Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.fst 0 = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : α → G'
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT (g - f)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)
x y : M
⊢ (∃ c ∈ S, c x y) ↔ (⨆ a ∈ S, ⇑a) x y
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p t x r
hs : s ⊆ t
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
e a : ℝ
ha : 1 ≤ a
⊢ 0 < a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.NoetherianSpace α ↔ ∀ (s : TopologicalSpace.Opens α), IsCompact ↑s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
G_obj : D → C
e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)
he : ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y), (e X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (e X Y) g
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G_obj Y
⊢ f ≫ (e X Y) ((e X Y).symm g) = f ≫ g
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoid α
Fintype ι
f : ι → Set α
a : α
⊢ a ∈ ∑ i : ι, f i ↔ ∃ g, ∃ (_ : ∀ (i : ι), g i ∈ f i), ∑ i : ι, g i = a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ (𝓝[>] a).HasBasis (fun x => a < x) (Set.Ioo a)
M : Type u_2
α : Type u_4
VAdd M α
VAdd Mᵃᵒᵖ α
IsCentralVAdd M α
r : Mᵃᵒᵖ
a : αᵃᵒᵖ
⊢ AddOpposite.unop (r +ᵥ a) = AddOpposite.unop r +ᵥ AddOpposite.unop a
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
self : Algebra.IsAlgebraic R A
x : A
⊢ IsAlgebraic R x
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Sum.elim Sum.inl Sum.inr = id
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
a : R
⊢ ((↑(starRingEnd ℂ)).compAddChar φ) a = φ⁻¹ a
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a : α
ZeroLEOneClass α
PosMulStrictMono α
H : 0 < a
n : ℕ
⊢ 0 < a ^ n
x y : ℝ
⊢ ↑(cosh x + sinh x) = ↑(rexp x)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
SecondCountableTopology β
OrderClosedTopology β
OpensMeasurableSpace β
hg : AEMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
⊢ essSup g (MeasureTheory.Measure.map f μ) = essSup (g ∘ f) μ
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
n : ℕ
n0 : 0 < n
⊢ IsSMulRegular M (a ^ n) → IsSMulRegular M a
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₂ : β₁ ≃ β₂
⊢ (e₁.prodCongr e₂).symm = e₁.symm.prodCongr e₂.symm
A : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n : A
kl : A × A
hlk : kl ∈ antidiagonal n
⊢ n = kl.2 + kl.1
α : Type u
β : Type u_1
Group α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Preorder β
f : β → α
s : Set β
hf : AntitoneOn f s
⊢ MonotoneOn (fun x => (f x)⁻¹) s
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
S : Set (Subfield K)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K
this : Nonempty ↑S
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
α : Type u
inst✝ : CommMonoid α
x y : α
u : αˣ
⊢ x /ₚ u * y = x * y /ₚ u