ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
Ring R
n k : ℕ
⊢ Polynomial.eval (↑n) (descPochhammer R k) = ↑(n.descFactorial k)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f = 0 ∧ ¬g = 0
x : AlgebraicClosure F
hf : f ≠ 0 ∧ (aeval x) f = 0
hg : g ≠ 0 ∧ (aeval x) g = 0
u v : F[X]
hfg : u * f + v * g = 1
⊢ False
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ s ∈ 𝓝 x → x ∈ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
CompleteSpace F
LocallyCompactSpace 𝕜
MeasurableSpace 𝕜
OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither α F
f : α → 𝕜 → F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun p => deriv (f p.1) p.2
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
ha : IsGLB s a
hs : s.Nonempty
⊢ a ∈ closure s
p n k : ℕ
p_large : n < p ^ 2
hn0 : n ≠ 0
⊢ log p n ≤ 1
α : Type u_1
l : List α
⊢ (↑l).antidiagonal = ↑(Multiset.powersetAux l).revzip
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f g : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hf : DiffContOnCl ℂ f U
hg : DiffContOnCl ℂ g U
hfg : EqOn f g (frontier U)
⊢ EqOn f g (closure U)
n : ℕ
⊢ Fintype.card ↑(derangements (Fin n)) = numDerangements n
α : Type ua
U : Set (α × α)
hU : SymmetricRel U
⊢ Prod.swap ⁻¹' U = U
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
⊢ a ∈ limsup s 𝓕 ↔ ∃ᶠ (i : ι) in 𝓕, a ∈ s i
α : Type u
m n : ℕ
f : Fin (m * n) → α
i : Fin n
j : Fin m
⊢ m * ↑i + m = m * (↑i + 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Abelian C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasKernels C
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
s : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Bijective ⇑f
α : Type u
a : α
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
g' : G'
f₁ f₂ : G →* G'
H : f₁ g = f₂ g
x : G
n : ℤ
hn : g ^ n = x
⊢ f₁ x = f₂ x
ι : Type u_1
α : Type u_3
Preorder α
f : ι → α
PartialOrder ι
⊢ Antivary f id ↔ Antitone f
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
inst✝ : IsDomain α
h : ⊥ = ⊤
⊢ 1 = 0
α : Type u
l l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁, l₂) ∈ l.sublists'.revzip → (l₁ ++ l₂).Perm l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a✝ b : α
inst✝ : LE α
a : α
⊢ ↑a ≤ ⊥ ↔ ↑a = ⊥
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
o : IsPell { re := ↑a, im := 1 } := isPell_one a1
⊢ IsPell (pellZd a1 (n + 1))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
n : ℕ
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
⊢ deriv (fun x => c x ^ n) x = ↑n * c x ^ (n - 1) * deriv c x
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : LieRingModule L M₂
inst✝² : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : Codisjoint N₁ N₂
⊢ LieSubmodule.map N₁.incl (posFittingComp R L ↥↑N₁) ⊔ LieSubmodule.map N₂.incl (posFittingComp R L ↥↑N₂) = posFittingComp R L M
α : Type u_1
Preorder α
self : LocallyFiniteOrderTop α
a x : α
⊢ x ∈ LocallyFiniteOrderTop.finsetIci a ↔ a ≤ x
α : Type u_1
inst✝¹ : Neg α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : α
⊢ (equivShrink α) (-x) = -(equivShrink α) x
a : ℤ
e b x✝ : ℕ
ih : J(a ^ x✝ | b) = J(a | b) ^ x✝
⊢ J(a ^ x✝.succ | b) = J(a | b) ^ x✝.succ
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
⊢ ∃ g, ↑g 1 = cd ∧ ∀ (g' : SL(2, ℤ)), ↑g 1 = ↑g' 1 → |(g • z).re| ≤ |(g' • z).re|
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
f : β → α
s : Cycle β
a : β
l : List β
⊢ Chain r (map f (Quotient.mk'' (a :: l))) ↔ Chain (fun a b => r (f a) (f b)) (Quotient.mk'' (a :: l))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
h : (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ⊆ range ↑I
x : E
hx : x ∈ (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source
⊢ (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ∈ 𝓝[range ↑I] x
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsMinFilter f (𝓝[≥] a) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
c : ℝ
hc : c ∈ Icc a b
⊢ f a ≤ f c
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
x : X
g : X → Y
hf : ContinuousAt f x
h : f =ᶠ[𝓝 x] g
⊢ ContinuousAt g x
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
CommRing A
CommRing B
CommRing C
g : B →+* C
f : A →+* B
hg : g.Finite
hf : f.Finite
⊢ (g.comp f).Finite
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀
⊢ ∃ n, c = ↑n
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a b c : α
d : α
⊢ a / b = c / d ↔ b / a = d / c
R : Type u_1
Semiring R
P : R[X] → Prop
N : ℕ
P_0 : P 0
P_C_mul_pow : ∀ (n : ℕ) (r : R), r ≠ 0 → n ≤ N → P (Polynomial.C r * Polynomial.X ^ n)
P_C_add : ∀ (f g : R[X]), f.natDegree < g.natDegree → g.natDegree ≤ N → P f → P g → P (f + g)
f : R[X]
⊢ f.natDegree ≤ N → P f
n : ℕ
⊢ Fin.equivSubtype.symm.toEmbedding.trans Fin.valEmbedding = Function.Embedding.subtype fun x => x < n
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
⊢ tsupport ↑f ∈ 𝓝 c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ ∀ t ∈ range Ioi, MeasurableSet t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
he : e ≈ e'
s : Set β
⊢ e.source ∩ ↑e ⁻¹' s = e'.source ∩ ↑e' ⁻¹' s
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
p : Submodule R E
p' : Submodule R F
x : ↥(p.prod p')
⊢ ↑(LinearPMap.fst p p') x = (↑x).1
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ CategoryTheory.LaxMonoidal.ε =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift ((CategoryTheory.Functor.const J).obj (𝟙_ C))
    { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (((CategoryTheory.Functor.const J).obj (𝟙_ C)).obj j), naturality := ⋯ } }
K : Type u
inst✝ : CommRing K
P : Sort v
x : RatFunc K
f : K[X] → K[X] → P
H : ∀ {p q p' q' : K[X]}, q ∈ K[X]⁰ → q' ∈ K[X]⁰ → q' * p = q * p' → f p q = f p' q'
p p' : K[X]
q q' : ↥K[X]⁰
h : (Localization.r K[X]⁰) (p, q) (p', q')
⊢ (fun p q => f p ↑q) p q = (fun p q => f p ↑q) p' q'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
⊢ (hf.stieltjesFunction a).measure (Iic x) = ENNReal.ofReal (↑(hf.stieltjesFunction a) x)
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
AddAction G β
VAdd α β
VAddAssocClass G α β
a : α
b : β
h : Function.Injective fun x => x +ᵥ b
⊢ AddAction.stabilizer G (a +ᵥ b) = AddAction.stabilizer G a
a b m n p : ℕ
f : ℕ →₀ ℕ
hf : ∀ p ∈ f.support, Prime p
⊢ (f.prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = f
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ‖p1 -ᵥ p2‖ = ‖p1 -ᵥ p3‖
⊢ InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p2 -ᵥ p3)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
x : M
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ f.HasEigenvalue μ
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
⊢ p₁ -ᵥ p₂ - (p₃ -ᵥ p₄) = p₁ -ᵥ p₃ - (p₂ -ᵥ p₄)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
x_ne_zero : x ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun y => y⁻¹) (-(x ^ 2)⁻¹) x
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
⊢ (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ = LinearMap.range (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtype
R : Type u
Semiring R
a : R[X]
⊢ a.toFinsupp = 1 ↔ a = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁵ : StarRing E
inst✝⁴ : NormedStarGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 E
a b : E
⊢ ‖((mul 𝕜 E) a⋆) b‖ ≤ ‖(mul 𝕜 E).flip a‖ * ‖b‖
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
i : ℕ
m : M
⊢ (comp p) ((single R i) m) = p ^ i • (single R 0) m
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : T
ha : a ≠ 0
n : ℕ
⊢ (C a * X ^ n).aroots S = n • {0}
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
⊢ ↑I = ↑I
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →₀ ℕ
g : α → β
⊢ Multiset.map g (Finsupp.toMultiset f) = Finsupp.toMultiset (Finsupp.mapDomain g f)
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
h : v (y - x) < v x
⊢ v y = v x
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.isSubperm l₂ = true ↔ l₁ <+~ l₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.ShrinkHoms.equivalence C).unitIso.inv.app X = 𝟙 X
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts (c • μ)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
⊢ Tendsto (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) l (𝓝 v)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
x✝ : ∃ n y, minpoly F x = (expand F (q ^ n)) (X - C y)
n : ℕ
y : F
h : minpoly F x = (expand F (q ^ n)) (X - C y)
⊢ (minpoly F x).natSepDegree = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ sSup ↑s ∈ s
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h_zero : μ s = 0
⊢ MeasureTheory.weightedSMul μ s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
⊢ Finset.map f (Finset.cons a s ha) = Finset.cons (f a) (Finset.map f s) ⋯
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
s : Set X
x : X
⊢ 𝓝 x ≤ 𝓝ˢ s ↔ x ∈ s
M : Type u_1
MulOneClass M
Pow M ℕ
NatPowAssoc M
m n : ℕ
x : M
⊢ x ^ m * x ^ n = x ^ n * x ^ m
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
⊢ (Formula.iExs f φ).Realize v ↔ ∃ i, φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
Nonempty α
h : (G □ H).Preconnected
⊢ H.Preconnected
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
⊢ Bornology.vonNBornology 𝕜 E = PseudoMetricSpace.toBornology
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this✝ : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
a2 : α
ha2 : a2 > 0
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)
this : 0 < a1 * a2
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, abv (↑(f * g) j) < a1 * a2
i : ℕ := max N (max N1 N2)
hN' : abv (↑(f * g) i) < a1 * a2
hN1'✝ : a1 ≤ abv (↑f i)
hN1' : a2 ≤ abv (↑g i)
⊢ a1 * a2 ≤ abv (↑f i) * abv (↑g i)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
c : 𝕜
x : E
⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (c • ⇑f) x‖ = ‖c‖ * ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖
u : ℤ
hu : IsUnit u
⊢ u * u = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SupSet α
SupSet β
SupSet γ
f : sSupHom β γ
g : sSupHom α β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
exp_pos : 0 < Monoid.exponent M
m : M
⊢ Monoid.exponent M ∈ upperBounds (Set.range fun a => period m a)
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R✝
n✝ : ℕ
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
μ : R
n : ℕ
inst✝¹ : Algebra K R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
h : Irreducible (cyclotomic n K)
inst✝ : NeZero ↑n
⊢ cyclotomic n K = minpoly K μ
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂ν a, ∀ (q : ℚ), ⨅ r, f (a, b) ↑r = f (a, b) q
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
hγ' : IsIntegralCurveAt γ' v t₀
h : γ t₀ = γ' t₀
v' : E → E := fun x => (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x)) (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
hv' : v' = fun x => (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x)) (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) (γ t₀)
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := γ t₀, snd := v (γ t₀) }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I (γ t₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))
K : NNReal
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))
hlip : LipschitzOnWith K v' s
⊢ γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : IntegrableOn g K μ
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
⊢ Integrable (fun a => ‖f a • g a‖) (μ.restrict K)
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
IsScalarTower ℝ 𝕜 E
f f' : 𝕜 → E
z₀ z₁ : 𝕜
hcont : ContinuousOn (fun t => f' (z₀ + t • z₁)) (Set.Icc 0 1)
hderiv : ∀ t ∈ Set.Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (z₀ + t • z₁)) (z₀ + t • z₁)
⊢ z₁ • ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, f' (z₀ + t • z₁) = f (z₀ + z₁) - f z₀
M : Type u_1
α : Type u_2
Monoid M
MulAction M α
⊢ GaloisConnection (⇑OrderDual.toDual ∘ fixingSubmonoid M) ((fun P => MulAction.fixedPoints (↥P) α) ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
S' : Type u_17
Monoid S'
DistribMulAction S' M
SMulCommClass R S' M
a : S'ᵈᵐᵃ
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑(a • f) = a • ⇑f
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set (Set R)
⊢ NonUnitalSubsemiring.closure (⋃₀ s) = ⨆ t ∈ s, NonUnitalSubsemiring.closure t
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
h : (condCount s) t = 1
hsf : s.Finite
⊢ s ⊆ t
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
⊢ Continuous f
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s : Set Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
t : Set Ω
⊢ (ProbabilityTheory.cond μ s) t * μ s = μ (s ∩ t)
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type u_1
C : G.Coloring α
Fintype α
Fintype ↑C.colorClasses
⊢ Fintype.card ↑C.colorClasses ≤ Fintype.card α
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
Countable ι
f : ι → C(ℝ, E)
hf_sum : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := Set.uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f i)‖
⊢ HasSum (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b, (f i) x) (∫ (x : ℝ) in a..b, ∑' (i : ι), (f i) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
K : α
H : ∀ (i : ℕ), |↑f i| < K
i : ℕ
x✝ : i ≥ 0
⊢ 1 ≤ ↑(const (K + 1) - f) i
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι✝ → Type u
U : (i : ι✝) → UniformSpace (α i)
inst✝ : UniformSpace β
ι : Type u_4
X : Type u_5
u : ι → UniformSpace X
hu : ∀ (i : ι), CompleteSpace X
a✝ : Nontrivial X
t : TopologicalSpace X
ht : T2Space X
hut : ∀ (i : ι), toTopologicalSpace ≤ t
this : UniformInducing (const ι)
⊢ IsComplete (⋂ i, ⋂ i_1, {x | x i = x i_1})
𝕜₁ : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁
inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂
inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'
h₁ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₂ F₂ σ (RingHom.id 𝕜₂))
h₂ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₁ F₂ (RingHom.id 𝕜₁) σ).flip
h₃ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₁ e₁' e₁ b)) (e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet)
h₄ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₂ e₂ e₂' b)) (e₂.baseSet ∩ e₂'.baseSet)
⊢ EqOn (continuousLinearMapCoordChange σ e₁ e₁' e₂ e₂') (fun x => ((⇑(compSL F₁ F₂ F₂ σ (RingHom.id 𝕜₂)) ∘ fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₂ e₂ e₂' b)) x).comp ((⇑(compSL F₁ F₁ F₂ (RingHom.id 𝕜₁) σ).flip ∘ fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₁ e₁' e₁ b)) x)) (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet))
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
f'' : α → E''
l : Filter α
y : E''
h : Filter.Tendsto f'' l (𝓝 y)
c : F''
hc : c ≠ 0
⊢ f'' =O[l] fun _x => c
α : Type u
π : α → Type w
a : α
Uncountable (π a)
⊢ Uncountable (Sigma π)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝
inst✝⁶ : Nonempty γ
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
Mf : Monotone f
x : α
h : (Iio x).Nonempty
m : β
hm : m > sSup (f '' Iio x)
⊢ ∀ᶠ (b : α) in 𝓝[<] x, f b < m
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f : P1 →ᵃ[k] P2
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ f ((AffineMap.lineMap p₀ p₁) c) = (AffineMap.lineMap (f p₀) (f p₁)) c
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t u : Set α
⊢ MeasureTheory.AEDisjoint μ s (t ∪ u) ↔ MeasureTheory.AEDisjoint μ s t ∧ MeasureTheory.AEDisjoint μ s u
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁹ : Field R
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁵ : TopologicalRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V
inst✝¹³ : Module R V
inst✝¹² : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝⁵ : Nontrivial E
ι : Type u_6
inst✝⁴ : Finite ι
M : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SeparatingDual 𝕜 (M i)
inst✝ : CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F)
m : (i : ι) → M i
hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
φ : (i : ι) → M i →L[𝕜] 𝕜
hφ : ∀ (i : ι), (φ i) (m i) = 1
val✝ : Fintype ι
⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
h0 : p ∅
hU : q U
hμU : μ U ≠ ⊤
hε : ε ≠ 0
h₀ : μ U = 0
⊢ ∃ K ⊆ U, p K ∧ μ U < μ K + ε
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
x : X
s : Set X
hsx : s ∈ 𝓝 x
hsf : {i | (f i ∩ s).Nonempty}.Finite
⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, {i | ((fun i => closure (f i)) i ∩ t).Nonempty}.Finite
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F.op
⊢ c.unop.pt = Opposite.unop c.pt
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2
⊢ p ∣ Nat.card ↥(center G)
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
p : α × Bool
L : List (α × Bool)
⊢ Red (p :: L ++ L₁) (p :: L ++ L₂) ↔ Red L₁ L₂