ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
⊢ ({ hom := F.map (eqToHom ⋯), w := ⋯ } ≫ { hom := F.map (eqToHom ⋯), w := ⋯ }).hom = (𝟙 (Cone.whisker (generateEquivalenceOpensLe U hY).op.functor (Functor.mapCone F (opensLeCoverCocone U).op))).hom
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
M : Matrix n n A
⊢ M.Nondegenerate ↔ ¬∃ v, v ≠ 0 ∧ v ᵥ* M = 0
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
a b : A
n x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range n.succ
⊢ 1 / ↑x ! * (1 / ↑(n - x)!) = ↑(n.choose x) * (1 / ↑n !)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
e : c.Embedding c'
self : K.IsSupported e
i' : ι'
hi' : ∀ (i : ι), e.f i ≠ i'
⊢ K.ExactAt i'
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
v : V
hv : v ∈ W
hv' : v ∈ B.orthogonal W
⊢ v ∈ map W.subtype (ker (B.restrict W))
X : Type u
α : Type u_1
x : X
TopologicalSpace X
f g : X → α
h : f =ᶠ[𝓝 x] g
⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, f =ᶠ[𝓝 y] g
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec Option.toList
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
I : FractionalIdeal A⁰ K
hI : I ≠ 0
⊢ I * I⁻¹ = 1
β : Type u
_m : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure β
α : Type v
Unique α
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.funUnique α β)) (MeasureTheory.Measure.pi fun x => μ) μ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ¬Irrational (OfNat.ofNat n)
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N' : Type u_6
AddCommGroup N'
Module R N'
ι : Type u_7
g : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
⊢ ↑(-g) = -↑g
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ i, V i ⊆ U
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
α : E
halg : IsAlgebraic F α
⊢ Field.finSepDegree F ↥F⟮α⟯ ≤ FiniteDimensional.finrank F ↥F⟮α⟯
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
Traversable t
LawfulTraversable t
⊢ LawfulTraversable t'
α : Type u_2
Preorder α
Zero α
⊢ ⊥ ≠ 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
m n : ℕ
⊢ m = ⌊↑m⌋₊
𝕜 : Type u
n : ℕ
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
k l : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) (ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G')
m : Fin n → G
⊢ ((ContinuousMultilinearMap.curryFinFinset 𝕜 G G' hk hl).symm f) m =
  (f fun i => m ((finSumEquivOfFinset hk hl) (Sum.inl i))) fun i => m ((finSumEquivOfFinset hk hl) (Sum.inr i))
x y x✝ : ℝ
⊢ 2 = 1 / (1 / 2)
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
S : Set (Set V)
Snd : ∀ {s t : Set V}, s ∈ S → t ∈ S → (s ∩ t).Nonempty
Sc : ∀ {s : Set V}, s ∈ S → (induce s G).Connected
s : Set V
sS : s ∈ S
v : V
vs : v ∈ s
w : V
t : Set V
tS : t ∈ S
wt : w ∈ t
⊢ ∃ s' ⊆ ⋃₀ S, ∃ (hu' : v ∈ s') (hv' : w ∈ s'), (induce s' G).Reachable ⟨v, hu'⟩ ⟨w, hv'⟩
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
u v : Rˣ
m : ℕ
h : ↑u * ϖ ^ m = ↑v * ϖ ^ m
⊢ u = v
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
h : H
w : NormalWord d
⊢ (base φ) h • w = h • w
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
MetricSpace X
MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
p q : X ⊕ Y
⊢ Metric.glueDist Φ Ψ ε p q = 0 → p = q
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
⊢ FiniteDimensional F E
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
Fintype n
RCLike 𝕜
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
⊢ A = B
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
H : a ∉ s
⊢ ∀ (x : α), ¬(x = a ∧ x ∈ s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
p : E × F
⊢ ContDiffAt 𝕜 n Prod.snd p
ι✝ : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t✝ : ι✝ → Finset α
inst✝ : Fintype ι✝
ι : Type u
t : ι → Finset α
s : Finset ι
hus : s.card = (s.biUnion t).card
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
s' : Finset ↑(↑s)ᶜ
this✝ : DecidableEq ι
disj : Disjoint s (image (fun z => ↑z) s')
this : s'.card = (s ∪ image (fun z => ↑z) s').card - s.card
⊢ s.biUnion t ⊆ (s ∪ image (fun z => ↑z) s').biUnion t
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.IsThreeCycle
⊢ Perm.sign σ = 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' m₁ m₂ mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
hm₁ : m₁ ≤ mΩ
hm₂ : m₂ ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ ∀ s ∈ {s | MeasurableSet s}, MeasurableSet s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : ℕ → β
hu : Tendsto u atTop atTop
N : ℕ
⊢ ∃ n ≥ N, ∀ k < n, u k < u n
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeInf α
a : α
f : β → ↑(Set.Iio a)
l : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f l Filter.atBot ↔ Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l Filter.atBot
α : Type u
l : List α
x : α
⊢ x ∈ l.getLast? → ∃ h, x = l.getLast h
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
a b : α
⊢ a ∈ l.set n b → a ∈ l ∨ a = b
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α✝ β : TypeVec.{u} m
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
⊢ (∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, LiftP P_1 ⟨a, f⟩ → P_1 i x) ↔ ∃ y, f i y = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ dist x (a • x + b • z) = b * dist x z ∧ dist (a • x + b • z) z = a * dist x z
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
⊢ c ^ 2 ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
α : Type u_7
f : α → E
s : Set α
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (f '' s) ↔ ∃ r, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ r
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ ContDiffAt 𝕜 n f₁ x
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
s : ℝ
⊢ (fun x => cexp (-a * ↑x ^ 2)) =o[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ s
K : Type u_1
DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
Inhabited Λ
σ : Type u_4
M : Λ → Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
S : Finset Λ
ss : Turing.TM2.Supports M S
⊢ Turing.TM1.Supports (Turing.TM2to1.tr M) (Turing.TM2to1.trSupp M S)
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
e : R ≃+* S
⊢ e.symm.symm = e
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ ⊥ ⋖ a ↔ IsAtom a
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
f : M ≃+ N
⊢ f.symm.symm = f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : N → M'
s : Set M
hm : m ≤ n
⊢ ContMDiffOn I I' m (f ∘ ⇑h) s ↔ ContMDiffOn J I' m f (⇑h.symm ⁻¹' s)
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g : G
x : X.V →₀ k
⊢ (((Rep.linearization k G).obj X).ρ g) x = (Finsupp.lmapDomain k k (X.ρ g)) x
K : Type u_1
g : GenContFract K
DivisionRing K
gp : GenContFract.Pair K
zeroth_s_eq : g.s.get? 0 = some gp
⊢ g.conts 1 = { a := gp.b * g.h + gp.a, b := gp.b }
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ ∀ {X Y Z : C × D} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z),
  (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).2 = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.2 g.2
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : PreErgodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s = s
⊢ μ s = 0 ∨ μ sᶜ = 0
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
hdeg : 1 < f.natDegree
⊢ h.modByMonicHom h.root = Polynomial.X
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 V
inst✝¹³ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹² : AddCommGroup W
inst✝¹¹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
w : W
aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g μ → ∀ (x : W), Integrable (fun v => e (-(L v) x) • g v) μ
⊢ Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ ↔ Integrable f μ
k : ℕ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ bernoulliFourierCoeff k n =
  1 / (-2 * ↑π * Complex.I * ↑n) * ((if k = 1 then 1 else 0) - ↑k * bernoulliFourierCoeff (k - 1) n)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a c d : α
⊢ -a ∈ Set.Ioo c d ↔ a ∈ Set.Ioo (-d) (-c)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ h.triangle.mor₂ = h.m₃
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
xs : FreeMonoid α
⊢ FreeMonoid.toList ((FreeMonoid.map f) xs) = List.map f (FreeMonoid.toList xs)
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
x y : R
⊢ abv (x + y) ≤ abv x + abv y
α : Type u
β : Type v
R : α → α → Prop
S : β → β → Prop
f : α → β
H : ∀ (a b : α), R a b → S (f a) (f b)
l : List α
p : List.Chain' R l
⊢ List.Chain' S (List.map f l)
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
f : M →ₗ[R] M₁
h : Surjective ⇑f
⊢ Module.rank R M = Module.rank R M₁ + Module.rank R ↥(LinearMap.ker f)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s
⊢ ∀ x_1 ∈ VAddAntidiagonal hs ⋯ a \ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a, x.coeff x_1.1 • ((of R).symm y).coeff x_1.2 = 0
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
Countable ι
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum ε' c ∧ c < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
⊢ HasProd (fun b => f b * (g b)⁻¹) (a₁ * a₂⁻¹)
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
a b : E
r : ℝ
f : E → F
C : ℝ≥0
h : LipschitzWith C f
hr : ‖a / b‖ ≤ r
⊢ ‖f a / f b‖ ≤ ↑C * r
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hf : MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (f x)) ν
⊢ (fun x => (μ.rnDeriv (ν.tilted f) x).toReal) =ᵐ[ν] fun x =>
  (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s✝ t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Multiset α
f : α → Multiset β
x : β
⊢ count x (s.dedup.bind f).dedup = count x (s.bind f).dedup
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
j : J
⊢ (T.mapCocone (T.mapCocone c)).ι.app j ≫ T.μ.app c.pt ≫ lambda c t = (T.mapCocone (T.mapCocone c)).ι.app j ≫ T.map (lambda c t) ≫ lambda c t
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
n : ℕ
a b : Fin (n + 1) → ℝ
hle : a ≤ b
f : Fin (n + 1) → (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : Fin (n + 1) → (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ (Set.univ.pi fun i => Set.Ioo (a i) (b i)) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x
Hi :
  MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (Pi.single i 1)) (Set.Icc a b) MeasureTheory.volume
⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Set.Icc a b, ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (Pi.single i 1) =
  ∑ i : Fin (n + 1),
    ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Set.Icc (a ∘ i.succAbove) (b ∘ i.succAbove), f i (i.insertNth (b i) x)) -
      ∫ (x : Fin n → ℝ) in Set.Icc (a ∘ i.succAbove) (b ∘ i.succAbove), f i (i.insertNth (a i) x))
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝¹ : TopologicalSpace ι
inst✝ : T2Space α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_clemb : ClosedEmbedding (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
s : Set ι
s_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn (F ∘ Subtype.val) K
s_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ i ∈ s, F i x ∈ Q
this : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, Continuous (eval x ∘ F)
cls_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn (F ∘ Subtype.val) K
⊢ CompactSpace ↑(closure s)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ‖↑(harmonic n)‖ = 2 ^ Nat.log 2 n
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
Zero β
⊢ (UniformOnFun.ofFun 𝔖) 0 = 0
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommMonoid α
SMul 𝕜 α
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConvexOn 𝕜 Set.univ ⇑f
⊢ ConcaveOn 𝕜 Set.univ ⇑f.symm
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
self : CategoryTheory.GlueData' C
i j k : self.J
hij : i ≠ j
hik : i ≠ k
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPullback (self.f i j hij) (self.f i k hik)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Sym2 α
f : α → β
⊢ e.IsDiag → (Sym2.map f e).IsDiag
α : Type u
s t s' t' : Set α
l : Filter α
h : s ≤ᶠ[l] t
h' : s' ≤ᶠ[l] t'
⊢ s ∩ s' ≤ᶠ[l] t ∩ t'
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
SemilatticeSup γ
f : SupHom β γ
g : SupHom α β
⊢ (f.comp g).withBot = f.withBot.comp g.withBot
M : Type u_12
N : Type u_13
P : Type u_14
Q : Type u_15
MulOneClass M
MulOneClass N
CommMonoid P
CommMonoid Q
f : M ≃* N
g : P ≃* Q
h : M →* P
⊢ (f.monoidHomCongr g) h = g.toMonoidHom.comp (h.comp f.symm.toMonoidHom)
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
DecidableEq G.ConnectedComponent
⊢ ⊤ ≤ Submodule.span ℝ (Set.range G.lapMatrix_ker_basis_aux)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
a : ⨂[R]^n M
⊢ (TensorPower.cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul GradedMonoid.GOne.one a) = a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
W : C
inl : Y ⟶ W
inr : Z ⟶ W
eq : f ≫ inl = g ≫ inr
⊢ (CategoryTheory.Limits.PushoutCocone.mk inl inr eq).ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.right = inr
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
⊢ S.preOneHypercover.I₀ = S.Arrow
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ‖x‖ / ((-o).oangle x (x - y)).cos = ‖x - y‖
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v w : V
hvw : G.Adj v w
⊢ (G.subgraphOfAdj ⋯).neighborSet w = {v}
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
𝓕 : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
FunLike 𝓕 E E₂
SemilinearIsometryClass 𝓕 σ₁₂ E E₂
f : 𝓕
s : Set E
⊢ EMetric.diam (⇑f '' s) = EMetric.diam s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f σ : Perm α
l : List (Perm α)
hn : l.Nodup
l' : List (Perm α)
hp' : l'.prod = σ
hc' : ∀ g ∈ l', g.IsCycle
hd' : List.Pairwise Disjoint l'
hl : Trunc.mk ⟨l', ⋯⟩ = σ.truncCycleFactors
⊢ σ.cycleFactorsFinset = l.toFinset ↔ (∀ f ∈ l, f.IsCycle) ∧ List.Pairwise Disjoint l ∧ l.prod = σ
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → γ
hf : AEMeasurable f μ
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib f (AEMeasurable.mk f hf) μ μ
R : Type u
CommRing R
s : Set R
hs : s.Finite
⊢ IsNoetherianRing ↥(Subring.closure s)
α : Type u_2
TopologicalSpace α
ι : Sort u_4
x : α
s : ι → TopologicalSpace.Closeds α
⊢ x ∈ iInf s ↔ ∀ (i : ι), x ∈ s i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g s
⊢ iteratedDerivWithin n (f + g) s x = iteratedDerivWithin n f s x + iteratedDerivWithin n g s x
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
i : ι
⊢ HomologicalComplex.Hom.f 0 i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : α → β
hf : Function.Bijective f
s : ι → Set α
⊢ f '' ⋂ i, s i = ⋂ i, f '' s i
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
⊢ (RingHom.snd R S).rangeS = ⊤
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
p : (Submodule R A)ᵐᵒᵖ
⊢ Submodule.equivOpposite.symm p = Submodule.comap (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm) (MulOpposite.unop p)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
S : LieSubmodule R L M
s : Set M
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
α : Type u
Preorder α
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f (n + 1) < f n
⊢ StrictAnti f
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
SeminormedAddGroup G
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 0)
hg : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ g)
op : E → F → G
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ ‖x‖ * ‖y‖
⊢ Filter.Tendsto (fun x => op (f x) (g x)) l (𝓝 0)
M : Type u_1
N : Type u_2
SeminormedAddCommGroup M
SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
self : f.IsQuotient
⊢ Function.Surjective ⇑f
α : Type u_2
GroupWithZero α
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ (a • s)⁻¹ = MulOpposite.op a⁻¹ • s⁻¹
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : f.range \ {0} ⊆ s
⊢ f.lintegral μ = ∑ x ∈ s, x * μ (↑f ⁻¹' {x})
z : Complex.UnitDisc
⊢ ↑z.conj = conj' ↑z
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ IsSimpleModule R ↥m ↔ IsAtom m
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
hs : HasFDerivWithinAt f f' s x
ht : HasFDerivWithinAt f f' t x
⊢ HasFDerivWithinAt f f' (s ∪ t) x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
h : x ≠ 0
H : 0 = ⟨x, ⋯⟩
⊢ False
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : n ≃ o
e₂ : l → o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o
A : Matrix m o α := M.submatrix id ⇑e₁.symm
this : M = A.submatrix id ⇑e₁
⊢ M * submatrix 1 (⇑e₁) e₂ = M.submatrix id (⇑e₁.symm ∘ e₂)
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
⊢ (int.divByNat 0) ↑0 = 0
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
m n k l : ℕ
hpm : p ^ k ∣ m
hpn : p ^ l ∣ n
hpmn : p ^ (k + l + 1) ∣ m * n
⊢ p ^ (k + 1) ∣ m ∨ p ^ (l + 1) ∣ n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : v ∈ T
⊢ A *ᵥ v ∈ S
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd G G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
⊢ (IsometryEquiv.neg G).toEquiv = Equiv.neg G
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, 0 < ν.rnDeriv μ x
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
⊢ ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s.ncard < t.ncard
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ ¬t ⊆ s
ι : Type u_1
E : Type u_2
l : Filter ι
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
NormedAddCommGroup E
a : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a₀ b : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioc (a i) b) MeasureTheory.volume
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 a₀)
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in Set.Ioc (a i) b, ‖f x‖ ≤ I
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioc a₀ b) MeasureTheory.volume