ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ : P
⊢ (perpBisector p₁ p₂).direction = (Submodule.span ℝ {p₂ -ᵥ p₁})ᗮ
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
MeasureTheory.SFinite μ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
p : α × β → Prop
hp : MeasurableSet {x | p x}
⊢ (∀ᵐ (x : α × β) ∂μ ⊗ₘ κ, p x) ↔ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, p (a, b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
⊢ Embedding ⇑(ContinuousLinearMapWOT.inducingFn 𝕜 E F)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → G
s : Set E
f' : E → E →L[𝕜] G
C : ℝ≥0
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖₊ ≤ C
hs : Convex ℝ s
⊢ LipschitzOnWith C f s
z : ℂ
⊢ Complex.reCLM z = z.re
α : Type u_2
β : Type u_3
One α
f : α → β
⊢ Filter.map f 1 = pure (f 1)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Ici a ⊆ Set.Icc a b ∪ Set.Ioi b
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
⊢ (∀ (x : α), ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ V ∈ 𝓝 x, IsPreconnected V ∧ V ⊆ U) ↔ ∀ (x : α), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsPreconnected s) id
α : Sort u
r : α → α → Prop
self : IsAntisymm α r
a b : α
⊢ r a b → r b a → a = b
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) μ
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (iteratedFDeriv ℝ n f) = fun w => fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w n
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Inducing f
x : X
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ f '' s ∈ 𝓝[Set.range f] f x
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
⊢ ⇑(f ^ n) = (⇑f)^[n]
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
x₀ : { j // j ≠ i } → K
e : K ≃ { x // x ∘ Subtype.val = x₀ } := (Equiv.subtypeEquivCodomain x₀).symm
⊢ ∑ x : { x // x ∘ Subtype.val = x₀ }, ∏ j : σ, ↑x j ^ d j = 0
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
h : E → 𝕜
c' : 𝕜
z : E
S : Set E
hc : HasDerivAt c c' x
hx : c x ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun y => (c y)⁻¹) (-c' / c x ^ 2) x
x✝ : ℝ
⊢ π = -π + 2 * π
ι : Type u_4
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M
⊢ ∀ x_1 ∈ (bm.repr x).support.offDiag, ¬x_1.1 = x_1.2
cs : List Char
i p : String.Pos
⊢ p ≠ 0 → (String.utf8PrevAux cs i p).byteIdx < p.byteIdx
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
⊢ IsPreconnected (Set.Ico a b)
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
X Y : C × D
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.uncurry.obj F).map f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map f.1).app X.2) ((F.obj Y.1).map f.2)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a
h_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k
m : ℤ
hm : m ∈ s
hm' : ∀ z ∈ s, z ≤ m
hm'' : g < (m + 1) • a
n : ℤ
hn : (fun k => k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a) n
⊢ m < n + 1
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
DecidableEq δ
s : Finset δ
x : (i : δ) → π i
⊢ Measurable (Function.updateFinset x s)
R : Type u_1
Semiring R
x : R
S : Subsemiring R
⊢ x ∈ subalgebraOfSubsemiring S ↔ x ∈ S
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq✝ : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hq0_lt : 0 < q
hpq_eq : ¬p = q
hpq : p < q
⊢ eLpNorm' f p μ ≤ eLpNorm' f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q)
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
x : P₁
⊢ (AffineEquiv.refl k P₁) x = x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
LinearOrder ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
a b : Lex (Π₀ (i : ι), α i)
i : ι
⊢ (∀ j < i, (ofLex a) j = (ofLex b) j) → (ofLex a) i < (ofLex b) i → a < b
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ ¬a < b ↔ a = b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
hf : S.f = 0
⊢ CategoryTheory.IsIso S.leftHomologyπ
α : Type u_1
x : List α
⊢ x ∈ 1 ↔ x = []
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod (2 * n)
this : Fact (Nat.Prime 2)
⊢ xa i ^ 2 ^ (1 + 1) = 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : ∀ k < n, ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, p (n * a + k)
⊢ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, p a
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
U : Set (G ⧸ N)
g : ↥N.op
x : G
⊢ (mk' N) (g⁻¹ • x) ∈ U ↔ (mk' N) x ∈ U
F : Type u
K : Type v
A✝ : Type w
inst✝¹⁵ : Ring F
inst✝¹⁴ : Ring K
inst✝¹³ : AddCommGroup A✝
inst✝¹² : Module F K
inst✝¹¹ : Module K A✝
inst✝¹⁰ : Module F A✝
inst✝⁹ : IsScalarTower F K A✝
inst✝⁸ : StrongRankCondition F
inst✝⁷ : StrongRankCondition K
inst✝⁶ : Module.Free F K
inst✝⁵ : Module.Free K A✝
A : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module K A
inst✝² : Module F A
inst✝¹ : IsScalarTower F K A
inst✝ : Module.Free K A
⊢ Module.rank F K * Module.rank K A = Module.rank F A
α β : Type u
f g : α ⟶ β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : (↑n)⁻¹ * a < b
⊢ (↑n)⁻¹ > 0 ∧ ↑(↑n)⁻¹ * a < b
𝕜 : Type u_1
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₁' : Type u_9
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V₁'
NormedSpace 𝕜 V₁'
MetricSpace P₁'
NormedAddTorsor V₁' P₁'
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
E : AffineSubspace 𝕜 P₁'
Nonempty ↥E
φ : P₁' →ᵃⁱ[𝕜] P₂
x : ↥(AffineSubspace.map φ.toAffineMap E)
⊢ φ ↑((AffineSubspace.isometryEquivMap φ E).symm x) = ↑x
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : support f ⊆ k
h'f : Continuous f
h : ¬f = 0
⊢ LocallyCompactSpace G
a : Nat
⊢ a < UInt32.size → ↑(UInt32.ofNat a).val = a
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_6
CommMonoid M
CommMonoid N
g : M ≃* N
f : α → M
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ g (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g (f i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
b : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
p : E × F
⊢ HasFDerivAt b (h.deriv p) p
n : ℕ
⊢ n ^ 2 ≤ 2 ^ (n + 1) - 3
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
M : n × n → S
⊢ ((mvPolynomialX n n R).map (eval₂ f M)).charpoly = ((mvPolynomialX n n R).map (eval₂ f fun p => of (Function.curry M) p.1 p.2)).charpoly
q : ℤ[X]
k✝ k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hk : k✝ ∈ (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).support
⊢ IsUnit ((trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).coeff k✝)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ : HomologicalComplex V c
f : (i : ι) → C₁.X i ≅ C₂.X i
hf : ∀ (i j : ι), c.Rel i j → (f i).hom ≫ C₂.d i j = C₁.d i j ≫ (f j).hom := by aesop_cat
i : ι
⊢ (HomologicalComplex.Hom.isoOfComponents f hf).hom.f i = (f i).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
n : ℕ
⊢ μ (support fun x => -↑(hf.approx n) x) < ⊤
R : Type u
CommRing R
X Y : BialgebraCat R
e : X ≅ Y
⊢ e.symm.toBialgEquiv = e.toBialgEquiv.symm
n : Type u_1
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
DecidableEq n
Fintype n
P : Matrix n n 𝕜 → Prop
M : Matrix n n 𝕜
hMdet : M.det ≠ 0
hdiag : ∀ (D : n → 𝕜), (Matrix.diagonal D).det ≠ 0 → P (Matrix.diagonal D)
htransvec : ∀ (t : Matrix.TransvectionStruct n 𝕜), P t.toMatrix
hmul : ∀ (A B : Matrix n n 𝕜), A.det ≠ 0 → B.det ≠ 0 → P A → P B → P (A * B)
⊢ P M
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : MulHomClass F α α₂
f : F
x y : MonoidAlgebra β α
⊢ mapDomain (⇑f) (x * y) = mapDomain (⇑f) x * mapDomain (⇑f) y
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T
⊢ Pretopology.ofGrothendieck (Opens T) (grothendieckTopology T) = pretopology T
o₁ o₂ : ONote
b : Ordinal.{0}
⊢ o₁.NFBelow b → o₂.NF → (o₁ - o₂).NFBelow b
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.subgroupOf ⊥ = ⊥
p₁ p₂ : Prop
q₁ : p₁ → Prop
q₂ : p₂ → Prop
h₁ : p₁ = p₂
h₂ : ∀ (a : p₂), q₁ ⋯ = q₂ a
⊢ (∀ (a : p₁), q₁ a) = ∀ (a : p₂), q₂ a
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : L ≤ perfectClosure F E
x : ↥L
⊢ ∃ n, x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F ↥L).range
α : Type u_2
Lattice α
BoundedOrder α
IsModularLattice α
ComplementedLattice α
IsCoatomic α
⊢ IsStronglyCoatomic α
G : Type u_3
AddGroup G
s : Set G
Finite ↑s
⊢ AddGroup.rank ↥(AddSubgroup.closure s) ≤ Nat.card ↑s
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
T : Type u_1
CommSemiring T
Algebra R T
IsLocalization S T
p : LocalizedModule S M
⊢ 0 • p = 0
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
x : B × F
hx : x ∈ e.target
this : proj (↑e.symm x) = (↑e (↑e.symm x)).1
⊢ proj (↑e.symm x) = x.1
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝² : L.IsLocalization W
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L'.IsLocalization W
G : D ⥤ D'
e : L ⋙ G ≅ L'
X Y : C
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Y
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ (homEquiv W W.Q L') ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) ((homEquiv W L W.Q) f))) = e.inv.app X ≫ G.map f ≫ e.hom.app Y
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ Submodule.span R (⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}) = Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
α : Type u_1
as : List α
acc : Array α
⊢ (as.toArrayAux acc).data = acc.data ++ as
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1107598
N' : Type ?u.1107601
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
x : LocalizedModule S M₀
m : M₀
s : ↥S
⊢ f₁ (g m) = fromLocalizedModule' S f₁ (((map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m 1))
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
P : Submodule R M
b : Basis ι R ↥P
x : M
⊢ x ∈ P ↔ ∃ c, x = ∑ i : ι, c i • ↑(b i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
T : Set β
hT : IsClosed T
hS : IsIrreducible (f ⁻¹' T)
hS' : IsClosed (f ⁻¹' T)
hS'' : IsIrreducible (T ∩ range f)
y : α
hx : IsGenericPoint (f y) (closure (T ∩ range f))
hxT : f y ∈ T
⊢ IsGenericPoint y (f ⁻¹' T)
P : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop
inst✝ : (topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P).RespectsIso
hP₂ : ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) (s : Set β), P f → P (s.restrictPreimage f)
hP₃ : ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) {ι : Type u} (U : ι → Opens β), iSup U = ⊤ → Continuous f → (∀ (i : ι), P ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → P f
⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) (f ∣_ U i)) → topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) f
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
BoundedOrder α
Preorder β
BoundedOrder β
f : BoundedOrderHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ (BoundedOrderHom.dual.symm f).toOrderHom = OrderHom.dual.symm f.toOrderHom
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
s : Finset α
hs1 : s ∈ 𝒜
hs2 : a ∈ s
⊢ insert a (s.erase a) ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s.erase a
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup A
inst✝⁴ : CompactSpace A
inst✝³ : ConnectedSpace A
inst✝² : MeasurableSpace A
inst✝¹ : BorelSpace A
μ : Measure A
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
ξ : A
n : ℕ
hn : 0 < n
δ : ℝ
hδ : μ univ ≤ (n + 1) • μ (closedBall 0 (δ / 2))
this : IsFiniteMeasure μ
B : ↑(Icc 0 n) → Set A := fun j => closedBall (↑j • ξ) (δ / 2)
hB : ∀ (j : ↑(Icc 0 n)), IsClosed (B j)
⊢ ∃ j ∈ Icc 1 n, ‖j • ξ‖ ≤ δ
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
mB : ℝ → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun t => of ![![t, -↑1], Int.cast ∘ cd]
hmB : Continuous mB
⊢ Tendsto (fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) cofinite (cocompact ℝ)
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_3
A : Matrix n n α
h : A.IsSymm
f : α → β
⊢ (A.map f).IsSymm
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
L : Type v
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L
x : ↥K
n : ℕ
hn : (LieAlgebra.ad R L) ↑x ^ n = 0
⊢ IsNilpotent ((LieAlgebra.ad R ↥K) x)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
r : R
⊢ r ∣ p.content ↔ Polynomial.C r ∣ p
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T25Space α
hC : Perfect C
y : α
yC : y ∈ C
⊢ ∃ C₀ C₁, (Perfect C₀ ∧ C₀.Nonempty ∧ C₀ ⊆ C) ∧ (Perfect C₁ ∧ C₁.Nonempty ∧ C₁ ⊆ C) ∧ Disjoint C₀ C₁
R : Type u_4
k : ℕ
CommRing R
IsDomain R
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hk : 1 < k
⊢ ∑ i ∈ Finset.range k, ζ ^ i = 0
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
⊢ (I.stableFiltration N).Stable
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι → 𝕜
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ⟪v i, ∑ i ∈ s, l i • v i⟫_𝕜 = l i
J : Type w
C : Type uC
inst✝⁴ : Category.{uC', uC} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
G : C ⥤ D
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : Bicone F
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J
⊢ ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := fun j => G.map (A.π j), ι := fun j => G.map (A.ι j), ι_π := ⋯ }) X✝).ι j ≫ G.map f.hom = ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := fun j => G.map (A.π j), ι := fun j => G.map (A.ι j), ι_π := ⋯ }) Y✝).ι j
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ (Polynomial.evalRingHom (Polynomial.C Polynomial.X)).comp
    (Polynomial.eval₂RingHom (Polynomial.mapRingHom (algebraMap R R[X][Y])) (Polynomial.C Y)) =
  RingHom.id R[X][Y]
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
inst✝ : Fintype ι
S : ι → Set α
⊢ (fun f => ∏ i : ι, f i) '' univ.pi S = ∏ i : ι, S i
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
P' : Type uP'
Q' : Type uQ'
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : Semiring A
inst✝²⁹ : Semiring B
inst✝²⁸ : Algebra R A
inst✝²⁷ : Algebra R B
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : Module R M
inst✝²⁴ : Module A M
inst✝²³ : Module B M
inst✝²² : IsScalarTower R A M
inst✝²¹ : IsScalarTower R B M
inst✝²⁰ : SMulCommClass A B M
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁸ : Module R N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : Module R P
inst✝¹⁵ : Module A P
inst✝¹⁴ : Module B P
inst✝¹³ : IsScalarTower R A P
inst✝¹² : IsScalarTower R B P
inst✝¹¹ : SMulCommClass A B P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R Q
inst✝⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝⁷ : Module R P'
inst✝⁶ : Module A P'
inst✝⁵ : Module B P'
inst✝⁴ : IsScalarTower R A P'
inst✝³ : IsScalarTower R B P'
inst✝² : SMulCommClass A B P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
x✝¹ : B
x✝ : M →ₗ[A] N →ₗ[R] P
x : M
y : N
⊢ ({ toFun := lift, map_add' := ⋯ }.toFun (x✝¹ • x✝)) (x ⊗ₜ[R] y) = ((RingHom.id B) x✝¹ • { toFun := lift, map_add' := ⋯ }.toFun x✝) (x ⊗ₜ[R] y)
α : Type u_1
DecidableEq α
x y : α
h : x ∈ [y]
⊢ [y].prev x h = y
N k : ℕ
⊢ ↑(N.roughNumbersUpTo k).card ≤ ∑ x ∈ N.succ.primesBelow \ k.primesBelow, ↑N / ↑x
L : Type u_2
Field L
F E : Subfield L
h : F ≤ E
E' : IntermediateField (↥F) L
⊢ Subfield.extendScalars h ≤ E' ↔ E ≤ E'.toSubfield
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
h : HasFPowerSeriesAt f p x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Module.Dual R M × M
⊢ (QuadraticForm.dualProd R M) p = p.1 p.2
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ LieAlgebra.center R L
h₂ : LieAlgebra.IsNilpotent R (L ⧸ I)
⊢ LieAlgebra.IsNilpotent R L
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A B : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct A B
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A B)
⊢ F.map CategoryTheory.Limits.coprod.inl ≫ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A B) =
  CategoryTheory.Limits.coprod.inl
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
AddCommGroup U
Module R U
AddCommGroup V
Module R V
AddCommGroup W
Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u : U
⊢ (A.comp B) u = (HahnModule.of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs : s ⊆ s'
⊢ Set.image2 f s t ⊆ Set.image2 f s' t
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
conjeq : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) ((mateEquiv h h) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))) = (conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))
B : C
⊢ h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ F.map (prodComparison L (F.obj A) (F.obj B)) ≫ prodComparison F (L.obj (F.obj A)) (L.obj (F.obj B)) ≫ prod.map (F.map (h.counit.app A)) (F.map (h.counit.app B)) = 𝟙 (F.obj A ⨯ F.obj B)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ (PartialHomeomorph.refl X).symm = PartialHomeomorph.refl X
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ CommRingCat
⊢ Quot.mk Setoid.r CommRingCat.Colimits.Prequotient.zero = 0
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys
⊢ (lookupAll a l).length ≤ 1
x y : ℝ
h : x ≤ y
⊢ x.toNNReal ≤ y.toNNReal
α : Type u
f : Equiv.Perm α
s : Set α
Finite ↑s
⊢ Set.MapsTo (⇑f⁻¹) s s ↔ Set.MapsTo (⇑f) s s
x y : ℝ≥0
⊢ sqrt x = 1 ↔ x = 1
S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Nontrivial S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain S
inst✝³ : Module.Free ℤ S
inst✝² : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
E : Type u_2
inst✝¹ : EquivLike E S ↥I
inst✝ : AddEquivClass E S ↥I
e : E
hI : ¬I = ⊥
ι : Type u_1 := Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S
h✝ : Nonempty ι
this✝ : Fintype (S ⧸ I) := I.fintypeQuotientOfFreeOfNeBot hI
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S → ℤ := smithCoeffs b I hI
b' : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := ringBasis b I hI
ab : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ ↥I := selfBasis b I hI
ab_eq : ∀ (i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S), ↑((selfBasis b I hI) i) = smithCoeffs b I hI i • (ringBasis b I hI) i
e' : S ≃ₗ[ℤ] ↥I := b'.equiv ab (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S))
f : S →ₗ[ℤ] S := ↑ℤ (Submodule.subtype I) ∘ₗ ↑e'
f_apply : ∀ (x : S), f x = ↑((b'.equiv ab (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S))) x) := fun x => rfl
⊢ (LinearMap.det f).natAbs = absNorm I
a b : ℕ+
⊢ Finset.uIcc a b = Finset.subtype (fun n => 0 < n) (Finset.uIcc ↑a ↑b)
α β : Sort u_1
h : α = β
⊢ h.mpr = cast ⋯
k : Type u_1
V : Type u_2
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
ι : Type u_4
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → k
p : ι → V
hp : AffineIndependent k p
hw : ∑ i ∈ s, w₁ i = ∑ i ∈ s, w₂ i
hwp : ∑ i ∈ s, w₁ i • p i = ∑ i ∈ s, w₂ i • p i
i : ι
⊢ i ∈ s → w₁ i = w₂ i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ 𝟙 A = CategoryTheory.Pretriangulated.triangleMorphismId A
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L I J P : Ideal R
hp : P.IsPrime
⊢ I * J ≤ P ↔ I ≤ P ∨ J ≤ P
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
H : C ⥤ D
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategory ⥤ C} (α : X ⟶ Y) (X_1 : SimplexCategory),
  (((CategoryTheory.CosimplicialObject.whiskering C D).obj H).map α).app X_1 = H.map (α.app X_1)
t : Int
c : Lean.Omega.Constraint
k : Int
w : c.sat t = true
⊢ (Lean.Omega.Constraint.scale k c).sat (k * t) = true