ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable σ
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x✝ : RePred p ∧ RePred fun a => ¬p a
h₁ : RePred p
h₂ : RePred fun a => ¬p a
⊢ Computable fun a => decide (p a)
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω
⊢ μ s ≤ μ.mass
M : Type u_1
TopologicalSpace M
Monoid M
⊢ Inducing ⇑(Units.embedProduct M)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
q : ℕ → Prop := fun i => p i ∧ 0 < r i
h₁ : blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p = blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop q
h₂ : blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p = blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop q
⊢ blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type v
MvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
P : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
h : MvFunctor.LiftP P x
i : Fin2 n
y : α i
⊢ y ∈ MvFunctor.supp x i → P y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : BorelSpace γ
p : ℝ≥0∞
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : Memℒp f p μ
⊢ Memℒp g p ν
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ x : Fin n → ℕ
⊢ x ∈ sphere n d 0 → x ∈ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α
⊢ (a ⊔ b) \ c ≤ d ↔ a \ c ⊔ b \ c ≤ d
N : Type u_4
CommMonoid N
s t : Submonoid N
x : N
⊢ x ∈ s ⊔ t ↔ ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F F' : CategoryTheory.Functor C D
i : F ≅ F'
⊢ F.Initial ↔ F'.Initial
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
AddMonoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
φ₁ φ₂ : AddMonoidAlgebra k G →ₐ[k] A
h : ∀ (x : G), φ₁ (AddMonoidAlgebra.single x 1) = φ₂ (AddMonoidAlgebra.single x 1)
⊢ φ₁ = φ₂
R : Type u_1
M : Type u_3
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
a : R
h : a = 0
b : M
⊢ a • b = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ e.inverse.map (e.counitIso.inv.app (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.inverse.toPrefunctor.2 (e.counit.app Y)) ≫ e.unitInv.app (e.inverse.toPrefunctor.1 Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
ι : Type u_1
t : ι → Set α
h : s ⊆ ⋃ i, t i
this : Finite ↑s
⊢ ∃ I, I.Finite ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ I, t i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
⊢ ∀ (i : Finset ι), AEMeasurable (fun b => ∑ i ∈ i, f i b) μ
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
r : ℕ
s t : V
h : G.IsTuranMaximal r
⊢ ¬G.Adj s t ↔ h.finpartition.part s = h.finpartition.part t
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
s : Set α
f : α → Filter β
⊢ (map f (𝓟 s)).join = ⨆ x ∈ s, f x
A : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.8867, u_1} A
inst✝² : ConcreteCategory A
inst✝¹ : ReflectsFiniteLimits (CategoryTheory.forget A)
F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A
inst✝ : PreservesFiniteProducts (F ⋙ CategoryTheory.forget A)
hF : EqualizerCondition (F ⋙ CategoryTheory.forget A)
⊢ IsSheaf (coherentTopology LightProfinite) F
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hlt✝ : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
n : ℕ
hnC : C < ↑n ^ (p - q)
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
hn : 0 < ↑n
⊢ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedAddCommGroup β
l : Filter α
f g : α → β
hf : l.BoundedAtFilter f
hg : l.BoundedAtFilter g
⊢ l.BoundedAtFilter (f + g)
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
h : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝ : IsDomain B
⊢ NeZero ↑↑n
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε = univ
this : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
t : Set α
htc : t.Countable
ht : univ ⊆ closure t
⊢ SeparableSpace α
a : ℤ
⊢ ↑(↑a)⁻¹.den = ↑(if a = 0 then 1 else a.natAbs)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
⊢ SameRay R (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x -ᵥ x) (z -ᵥ (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x))
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ (Finset.Ioc a b).Nonempty ↔ a < b
α : Type u_2
DecidableEq α
AddCancelCommMonoid α
s : Finset α
a : α
⊢ addRothNumber (Finset.map (addRightEmbedding a) s) = addRothNumber s
ι : Type u_1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
Unique ι
Fintype ι
x : α
i : ι
⊢ (IsometryEquiv.funUnique ι α).invFun x i = x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Function.Injective (Set.preimage f)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p ≠ 0
n : ℕ
hn : ¬n ∉ p.degree
⊢ p.degree = ↑p.natDegree
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ NonUnitalRingHom.srange f = ⊤
a b c : Int
⊢ a * b * c = a * (b * c)
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
r r' r₁ r₂ : R
s t : ↥S
h : ↑t * r = ↑t * r'
⊢ r₁ * r * r₂ /ₒ s = r₁ * r' * r₂ /ₒ s
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
CommMonoid β
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α → β
⊢ ∏ a ∈ Finset.filter p s, f a = ∏ a ∈ s, if p a then f a else 1
α : Type u
x : α
a b : Set α
ha : x ∈ a
hb : x ∈ b
⊢ x ∈ a ∩ b
a₁ a₂ b : ℕ
h : a₁ < a₂
h₁ : ¬a₁ < b
⊢ a₁ * a₁ + (a₁ + b) < if a₂ < b then b * b + a₂ else a₂ * a₂ + (a₂ + b)
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] L
b : L
p : K[X]
hp : p ≠ 0
he : (aeval b) p = 0
⊢ ∃ a, f a = b
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
a : R
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g (MvPolynomial.C a) = f a
F : Type u
Γ₀ : Type v
Field F
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
CommRing O
Algebra O F
hv : v.Integers O
x : F
⊢ ∃ a, x = (algebraMap O F) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap O F) a
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
g : α → β
hf : MeasureTheory.NullMeasurable f μ
hg : f =ᵐ[μ] g
⊢ MeasureTheory.NullMeasurable g μ
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f g : β → α
hg : Multipliable g
hfg : Multipliable fun b => f b / g b
⊢ Multipliable f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.id C) (CategoryTheory.Functor.id C)
⊢ CategoryTheory.Arrow.rightFunc.obj X = X.right
α β : Type u
m : Type u → Type u
Applicative m
F : α → m β
x y : FreeAddMagma α
⊢ traverse F (x + y) = Seq.seq ((fun x x_1 => x + x_1) <$> traverse F x) fun x => traverse F y
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup M₁
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
NormedSpace 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
r : ℝ
⊢ ∃ K, IsCompact K ∧ ⇑f '' Metric.ball 0 r ⊆ K
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
DecidableEq n
DecidableEq p
CommRing R
Fintype n
Fintype p
e : n ≃ p
L : List (Matrix.TransvectionStruct n R)
⊢ (List.map (Matrix.TransvectionStruct.toMatrix ∘ Matrix.TransvectionStruct.reindexEquiv e) L).prod =
  (Matrix.reindexAlgEquiv R R e) (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L).prod
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ e.changeFunctor (CategoryTheory.Iso.refl e.functor) = e
α : Type u_1
DecidableEq α
x y z : Multiset α
h : z ≤ y
⊢ x + y = x ∪ z ↔ y = z ∧ x.Disjoint y
α : Type u_1
a : Array α
i : Fin a.size
⊢ a.get i = a[↑i]
s : ℝ
n : ℕ
hn : s < ↑n
⊢ (fun x => rexp x / x ^ n) ≤ᶠ[atTop] fun x => rexp x / x ^ s
n : ℕ
hn : Even n
h : n ≠ 0
⊢ StrictConvexOn ℝ univ fun x => x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
di : DenseInducing i
b : β
⊢ (Filter.comap i (𝓝 b)).NeBot
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ K) ↑(p ^ k)
this : NumberField K
pB₁ : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
⊢ Algebra.discr ℚ ⇑(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K pB₁.basis) = Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s ∩ Ioo a b → p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i
M : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∉ s \ u
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s → p x
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
a : σ →₀ ℕ
x : MvPolynomial σ R
⊢ ((MvPolynomial.monomial a) 1 * x).divMonomial a = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeInf α
inst✝⁵ : BoundedOrder α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : a ∉ upperClosure ↑s
ht : a ∈ upperClosure ↑t
⊢ (s ∪ t).truncatedInf a = t.truncatedInf a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Dᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.NatTrans.unop (CategoryTheory.CategoryStruct.id F) = CategoryTheory.CategoryStruct.id F.unop
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
this : aeval (Generators.localizationAway r).val = (↑(mvPolynomialQuotientEquiv S r)).comp (Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.span {C r * X () - 1}))
⊢ Ideal.span {C r * X () - 1} = RingHom.ker (aeval (Generators.localizationAway r).val)
a b : ℝ
h : b ≤ a
⊢ (polynomialFunctions (Set.Icc a b)).topologicalClosure = ⊤
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ star a + a = ↑(2 * a.re)
P : Type u_2
MetricSpace P
c : P
r : ℝ
⊢ { center := c, radius := r }.center = c
M : Type u_4
Add M
self : AddSubsemigroup M
a b : M
⊢ a ∈ self.carrier → b ∈ self.carrier → a + b ∈ self.carrier
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
μ_fin : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
f_bdd : ∃ c, ∀ (x : α), f x ≤ ↑c
⊢ ∫⁻ (x : α) in univ, f x ∂μ < ⊤
a b : ℕ
⊢ a + b = b ↔ a = 0
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
Finite F
FiniteDimensional F E
⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set α
b : Set (Set α)
hb : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis b
hs : s ∈ b
⊢ IsOpen s
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
⊢ MonotoneOn (fun x => dist x y) (Ici y)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
e : M ≃ₗ[R] M₂
x✝ : M₂
⊢ (e.conj LinearMap.id) x✝ = LinearMap.id x✝
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ oddKernel a x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel a (1 / x)
M : Type u_1
AddMonoid M
s : AddSubmonoid M
l : List M
hl : ∀ x ∈ l, x ∈ s
⊢ l.sum ∈ s
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
⊢ ∀ (a : α), Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 (v.limRatio ρ a)) → v.limRatio ρ a = AEMeasurable.mk (v.limRatio ρ) ⋯ a → Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ a))
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
R R' : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R ⟶ R'
M' : PresheafOfModules R'
⊢ (PresheafOfModules.restrictScalars α).obj M' = (M'.restrictScalarsBundledCore α).toPresheafOfModules
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
⊢ (map f) (⨅ i, (comap f) (m i)) = ⨅ i, (map f) ((comap f) (m i))
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : ∀ (a : K), a • x ≠ y
⊢ LinearIndependent (ι := { x_1 // x_1 ∈ {x, y} }) K Subtype.val
R : Type u_1
CommRing R
iic : IsIntegrallyClosed R
K : Type u_3
CommRing K
Algebra R K
ifr : IsFractionRing R K
x : K
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : IsIntegral R (x ^ n)
⊢ ∃ y, (algebraMap R K) y = x
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : α → ι
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ∏ a : ι, Nat.card (Perm { a_1 // f a_1 = a }) = ∏ i : ι, (Fintype.card { a // f a = i })!
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
f : α → β
s : Set ι
μ : ι → Measure α
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ ((sum fun i => μ ↑i) + sum fun i => μ ↑i) t = (sum μ) t
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsInternal V
hV' : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
w : PiLp 2 fun i => ↥(V i)
⊢ (hV.isometryL2OfOrthogonalFamily hV').symm w = ∑ i : ι, ↑(w i)
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ J > M, (fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) J
h_prM : ¬M.IsPrime
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}
x : R
hx : x ∉ M
y : R
hy : y ∉ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span R {x}
Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wy : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span R {y}
⊢ (M + span R {x}) * (M + span R {y}) ≤ M
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : LinearOrderedCommRing S
n : Type u_3
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
ι : Type u_4
s : Finset ι
c : ι → R
A : ι → Matrix n n R
abv : AbsoluteValue R S
x : S
hx : ∀ (k : ι) (i j : n), abv (A k i j) ≤ x
y : S
hy : ∀ (k : ι), abv (c k) ≤ y
⊢ abv (∑ k ∈ s, c k • A k).det ≤ (Fintype.card n).factorial • (s.card • y * x) ^ Fintype.card n
ι : Type u
β : ι → Type v
κ : Type u_1
DecidableEq ι
DecidableEq κ
(i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
k : κ
x : β (h k)
⊢ DFinsupp.comapDomain' h hh' (DFinsupp.single (h k) x) = DFinsupp.single k x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
a : α
⊢ ∏' (b' : β), Pi.mulSingle b a b' = a
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
y r s g : R
h : ¬g = 0
hs : y = gcd (g * r) y * s
⊢ g * (g * r * y / g) = g * r * y
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ (α_ M.X N₁.X Z.X).hom ≫ M.X ◁ (f.hom ▷ Z.X ≫ N₂.actRight) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (M.X ◁ f.hom) ▷ Z.X ≫ (α_ M.X N₂.X Z.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actRight ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
h : Int.fract v ≠ 0
n : ℕ
⊢ GenContFract.IntFractPair.stream v (n + 1) = GenContFract.IntFractPair.stream (Int.fract v)⁻¹ n
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
⊢ ∃ p₀ v, ∀ p ∈ {x, y, z}, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
L R : ListBlank Γ
⊢ move Dir.left (mk' L R) = mk' L.tail (ListBlank.cons L.head R)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ↑(f x).toNNReal) μ
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
r' : Cofix F → Cofix F → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F
rxy : r x y
⊢ ∀ (x : Cofix F), r' x x
α : Sort u
β : Sort v
⊢ Function.Injective Equiv.toEmbedding
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
this : Tendsto (fun ε => ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ))
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
⊢ μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a : α
h : AntitoneOn f (Set.Ici a)
⊢ f '' Set.Ici a ⊆ Set.Iic (f a)
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : α → ι
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq ι
x✝ : Perm α
⊢ f ∘ ⇑x✝ = f ↔ mk x✝ ∈ stabilizer (Perm α)ᵈᵐᵃ f
I : Type u
inst✝²⁵ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝²⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝²³ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C
inst✝²² : X₁.HasTensor X₂
inst✝²¹ : X₂.HasTensor X₃
inst✝²⁰ : X₃.HasTensor X₄
inst✝¹⁹ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝¹⁸ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
inst✝¹⁷ : (tensorObj X₂ X₃).HasTensor X₄
inst✝¹⁶ : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)
inst✝¹⁵ : (tensorObj (tensorObj X₁ X₂) X₃).HasTensor X₄
inst✝¹⁴ : (tensorObj X₁ (tensorObj X₂ X₃)).HasTensor X₄
inst✝¹³ : X₁.HasTensor (tensorObj (tensorObj X₂ X₃) X₄)
inst✝¹² : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))
inst✝¹¹ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor (tensorObj X₃ X₄)
inst✝¹⁰ : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃
inst✝⁹ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
inst✝⁸ : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor (tensorObj X₂ X₃) X₄
inst✝⁷ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ (tensorObj X₂ X₃) X₄
inst✝⁶ : X₂.HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄
inst✝⁵ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄
inst✝⁴ : (tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄
inst✝³ : (tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄
inst✝² : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ (tensorObj X₃ X₄)
inst✝¹ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ (tensorObj X₃ X₄)
inst✝ : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄
⊢ tensorHom (associator X₁ X₂ X₃).hom (𝟙 X₄) ≫ (associator X₁ (tensorObj X₂ X₃) X₄).hom ≫ tensorHom (𝟙 X₁) (associator X₂ X₃ X₄).hom = (associator (tensorObj X₁ X₂) X₃ X₄).hom ≫ (associator X₁ X₂ (tensorObj X₃ X₄)).hom
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
TopologicalSpace A
ContinuousSub A
ContinuousStar A
ContinuousConstSMul R A
⊢ Continuous ⇑(skewAdjointPart R)
α : Type u_2
β : Type u_3
UniformSpace β
f g : α → β
l : Filter α
b : β
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 b)
hg : Filter.Tendsto (fun x => (f x, g x)) l (𝓤 β)
⊢ Filter.Tendsto g l (𝓝 b)
M : Type u_2
α : Type u_3
SMul M α
SemilatticeInf α
CovariantClass M α HSMul.hSMul LE.le
m : M
a₁ a₂ : α
⊢ m • (a₁ ⊓ a₂) ≤ m • a₁ ⊓ m • a₂
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α' : Type u_8
β : Type u_9
uβ : UniformSpace β
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → β → α'
S : Set β
⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ (k : κ), UniformEquicontinuousOn F S
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (comap f μ)
⊢ f '' s =ᶠ[ae μ] toMeasurable μ (f '' toMeasurable (comap f μ) s)
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ ⋃ n, Ico a ↑n = Ici a \ {⊤}
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ : List α
⊢ Lex r (a :: l₁) (b :: l₂) ∨ a :: l₁ = b :: l₂ ∨ Lex r (b :: l₂) (a :: l₁)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
hp₁ : p₁ ∈ affineSpan ℝ (insert p (Set.range s.points))
hp₂ : p₂ ∈ affineSpan ℝ (insert p (Set.range s.points))
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set α
hb : BddAbove s
⊢ ↑(sSup s) = ⨆ a ∈ s, ↑a
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
w x y z : P
h₁ : Sbtw R w x z
h₂ : Sbtw R x y z
⊢ Sbtw R w x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁶ : SemilatticeSup β
inst✝⁵ : OrderBot β
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderClosedTopology β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
n : ℕ
a : α
hf : Measurable f
k : ℕ
⊢ {a | i k ≤ f a}.indicator (↑(const α (i k))) a = if i k ≤ f a then i k else 0
q : ℚ
⊢ ↑↑q = ↑q
x✝ y x : ℝ
h : x ≤ 0
⊢ 0 < (rexp (-x))⁻¹
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
s : β → Set α
t : Set β
ht : t.OrdConnected
H : ∀ n ∈ t, IsPreconnected (s n)
K : ∀ n ∈ t, succ n ∈ t → (s n ∩ s (succ n)).Nonempty
⊢ IsPreconnected (⋃ n ∈ t, s n)