ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val
h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum * ↑↑a ^ k
hzero : (↑↑a ^ k - 1) * (Multiset.map (fun i => ↑↑i ^ k) univ.val).sum = 0
⊢ (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = 0
R : Type u
CommSemiring R
p n : ℕ
ExpChar R p
x : R
⊢ (⇑(frobenius R p))^[n] x = x ^ p ^ n
α : Type u_1
Monoid α
⊢ Associates.mk 1 = 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal I
⊢ Integrable f μ
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
⊢ p.toLin.flip (coroot k) = p.toLin.flip ((preReflection α' (p.toLin α)) β')
K : Type u_3
L : Type u_4
Field K
Field L
Algebra K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
⊢ (iSup t).toSubalgebra = ⨆ i, (t i).toSubalgebra
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
u v : V
h : H.Adj u v
⊢ u ∈ H.verts
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)
⊢ a ≠ 0 → ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m, φ b * a = ↑p ^ m * b
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ f'' x
⊢ ConvexOn ℝ D f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((Kernel.sum fun x => 0) a) s = (0 a) s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.CompactOpens α
⊢ IsOpen ↑s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
g : M' → M''
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ mfderiv I I'' (g ∘ f) x = (mfderiv I' I'' g (f x)).comp (mfderiv I I' f x)
a : UnitAddCircle
⊢ Filter.Tendsto (fun s => s * HurwitzZeta.completedCosZeta a s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (-1))
n : ℕ
⊢ 0 ≤ Real.log ↑n
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x : V) in cocompact V, ‖∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • f v‖ < ε
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
x y : α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ A
h : G.Adj x y
h' : ∀ x_1 ∈ P.parts, ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4
⊢ (∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨ (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨ ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
s : CategoryTheory.CommSq f g h i
⊢ s.cocone.inr = i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
⊢ IsOpen (extChartAt I x).target
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
x : R
⊢ ↑(f.rangeRestrict x) = f x
s : Set ℕ
⊢ BddAbove s → ↑(sSup s) = ⨆ a ∈ s, ↑a
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂
⊢ Function.Surjective ⇑f.dualMap ↔ Function.Injective ⇑f
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hl : l.HasBasis p s
⊢ l = ⊥ ↔ ∃ i, p i ∧ s i = ∅
α : Type u
l : List α
d : α
n : ℕ
hn : l.length ≤ n
⊢ l.getD n d = d
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : E
⊢ (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT) (MeasureTheory.Lp.simpleFunc.indicatorConst 1 ⋯ ⋯ x) = (T Set.univ) x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (α i)
s : Set ι
⊢ s.pi t ∩ sᶜ.pi t = Set.univ.pi t
α : Type u_4
β : Type u_5
F : Type u_6
FunLike F α β
EmbeddingLike F α β
f : F
Fintype α
Fintype ↑(Set.range ⇑f)
⊢ Fintype.card ↑(Set.range ⇑f) = Fintype.card α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x✝ : E
a✝⁵ : x✝ ∈ ↑K
y✝ : E
a✝⁴ : y✝ ∈ ↑K
a✝³ b✝ : 𝕜
a✝² : 0 ≤ a✝³
a✝¹ : 0 ≤ b✝
a✝ : a✝³ + b✝ = 1
⊢ a✝³ • x✝ + b✝ • y✝ ∈ ↑K
f : ℝ → ℂ
x : ℝ
f' : ℂ
h₁ : HasStrictDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasStrictDerivAt (fun t => Complex.log (f t)) (f' / f x) x
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f₁ : R →+* S
g₁ g₂ : σ → S
p₁ : MvPolynomial σ R
h : ∀ i ∈ p₁.vars, i ∈ p₁.vars → g₁ i = g₂ i
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ p₁.support
i : σ
hi : i ∈ d.support
⊢ g₁ i ^ d i = g₂ i ^ d i
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
self : L.Embedding M N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ self.toFun (FirstOrder.Language.Structure.funMap f x) = FirstOrder.Language.Structure.funMap f (self.toFun ∘ x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : CategoryTheory.Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X : Cᵒᵖ
m : ↑(A.val.obj X)
⊢ PresheafOfModules.Sheafify.smul α φ 0 m = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : KernelFork f
⊢ s.π.app one = 0
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f g : α → M
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), (f i + g i) = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i + ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g i
α : Type u_1
Ω✝ : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω✝
κ✝ : Kernel α Ω✝
μ✝ : Measure α
Ω : Type u_4
m : ι → MeasurableSpace Ω
m' m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0
h_le' : m' ≤ m0
hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m
p : ι → Set (Set Ω) := fun n => {t | MeasurableSet t}
hp : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)
h_gen_n : ∀ (n : ι), m n = generateFrom (p n)
hp_supr_pi : IsPiSystem (⋃ n, p n)
⊢ Indep (⨆ i, m i) m' κ μ
α : Type u_2
AddRightCancelSemigroup α
One α
i : α
⊢ (ComplexShape.down α).prev i = i + 1
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ Disjoint (↑I ∩ {y | y i ≤ x}) (↑I ∩ {y | x < y i})
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
F : CategoryTheory.Functor D E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
(X : C) →
    (W : J.Cover X) →
      (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (J.toPlus (P.comp F)) (J.plusCompIso F P).inv =
  CategoryTheory.whiskerRight (J.toPlus P) F
R : Type u_1
Semiring R
f : Polynomial R
⊢ f.reverse.coeff 0 = f.leadingCoeff
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Ring R'
inst✝⁵ : AddZeroClass A
inst✝⁴ : SemilatticeSup B
inst✝³ : Add B
inst✝² : OrderBot B
D : A → B
p q : R[A]
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
inst✝¹ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hD : Function.Injective D
ap aq : A
hp : supDegree D p ≤ D ap
hq : supDegree D q ≤ D aq
⊢ (∑ x ∈ p.support, ∑ x_1 ∈ q.support, if x + x_1 = ap + aq then p x * q x_1 else 0) = p ap * q aq
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn (fun t => (x - t) ^ (n + 1)) (Icc x₀ x)
xy_ne : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, (x - y) ^ n ≠ 0
⊢ ∃ x' ∈ Ioo x₀ x, f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) x' * (x - x₀) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
C : β
hC : C ∈ upperBounds (range g)
⊢ BddAbove (range f)
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
i j : J
f : i ⟶ j
⊢ Function.Surjective (F.toEventualRanges.map f)
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp : Pair K
zeroth_s_eq : g.s.get? 0 = some gp
⊢ g.nums 1 = gp.b * g.h + gp.a
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ Disjoint (⨆ i, ⨆ j, f i j) a ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), Disjoint (f i j) a
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
b : β i
⊢ ⇑(DFinsupp.update i f b) = Function.update (⇑f) i b
α : Type u
⊢ Set.univ.Infinite ↔ Infinite α
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
AddCommMonoid C
Module R A
Module R B
Module R C
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
e₁₂ : A ≃ₗc[R] B
e₂₃ : B ≃ₗc[R] C
⊢ ↑(e₁₂.trans e₂₃) = ↑e₁₂ ≪≫ₗ ↑e₂₃
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hz_re : z.re ≤ 0
hz_im : z.im ≤ 0
⊢ ‖f z‖ ≤ C
m : Type u
DecidableEq m
K : Type u_3
Field K
Fintype m
A : Matrix m m K
Invertible A
⊢ Function.Injective A.mulVec
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
⊢ IntermediateField.adjoin F S = ⊥ ↔ S ⊆ ↑⊥
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
φ' : S' ⟶ R
X : Dᵒᵖ
⊢ (PresheafOfModules.DifferentialsConstruction.relativeDifferentials' φ').obj X =
  CommRingCat.KaehlerDifferential (φ'.app X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
UniformSpace β
f : γ → α
⊢ UniformContinuous fun g => UniformFun.ofFun (UniformFun.toFun g ∘ f)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
tn : N.Normal
a✝ : G
h : a✝ ∈ N
a : G
hc : a ∈ conjugatesOf a✝
⊢ a ∈ ↑N
α : Type u
β : Type v
SemilatticeSup β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hf : IsMinFilter f l a
hg : IsMinFilter g l a
⊢ IsMinFilter (fun x => f x ⊔ g x) l a
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
hne : s.Nonempty
x : α
⊢ ∃ y ∈ s, infEdist x s = edist x y
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R
⊢ multichoose r 1 = r ^ 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l : List M
ha : a ∈ l
⊢ a ∣ l.prod
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : SurjOn f s t
⊢ BijOn f (invFunOn f s '' t) t
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
a b x : α
⊢ |x| * ↑(sign x) = x
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
x : ι → 𝕜
i : ι
y : 𝕜
⊢ HasDerivAt (Function.update x i) (Pi.single i 1) y
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
Nontrivial R
⊢ W.NonsingularLift ⟦![0, 1, 0]⟧
M : Type u_1
A : Type u_4
Monoid M
Monoid A
MulDistribMulAction M A
a : M
b₁ b₂ : A
⊢ a • (b₁ * b₂) = a • b₁ * a • b₂
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
hc : DifferentiableOn ℝ f s
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun x => Real.sin (f x)) s
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
u : F → E
f : Filter F
y₀ : E
⊢ Tendsto u f (𝓝 y₀) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (p i) (u x - y₀) < ε
R : Type u
Field R
Fintype R
R' : Type v
CommRing R'
IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
b : R
⊢ ∑ a : R, χ (a * b⁻¹) * ψ (a - b) = ∑ c : R, χ c * ψ (b * (c - 1))
d : ℕ
h : d ≠ 0
w : (Int.natAbs 0).Coprime d
⊢ { num := 0, den := d, den_nz := h, reduced := w } = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderTop α
OrderBot β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
b₁ b₂ : β
⊢ Finset.Ioo (Sum.inrₗ b₁) (Sum.inrₗ b₂) = Finset.map (Function.Embedding.inr.trans toLex.toEmbedding) (Finset.Ioo b₁ b₂)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
DecidableEq ι
AddMonoid ι
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
hI : Ideal.IsHomogeneous 𝒜 I
x : A
⊢ x ∈ I ↔ ∀ (i : ι), ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) x) i) ∈ I
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph
h : (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) (fst✝, snd✝) = (x_fst, x_snd)
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
⊢ f.SameCycle x (f y) ↔ f.SameCycle x y
R : Type u
CommSemiring R
I J K : Ideal R
h : I ⊔ K = ⊤
⊢ I ⊔ J * K = I ⊔ J
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
g : γ → δ
f' : α' → β' → δ
g₁ : α → α'
g₂ : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ a) (g₂ b)
⊢ g '' Set.image2 f s t = Set.image2 f' (g₁ '' s) (g₂ '' t)
G : Type u_1
Group G
Fintype G
G_cyclic : IsCyclic G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card G
⊢ ∃ a, a ^ k ≠ 1
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
PolishSpace X
T2Space Y
s : Set Y
hs : MeasureTheory.AnalyticSet s
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ MeasureTheory.AnalyticSet (f ⁻¹' s)
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : ∀ (v : X → ℝ) (x y : X), ∃ f ∈ L, f x = v x ∧ f y = v y
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
nX : Nonempty X
g : X → X → C(X, ℝ)
hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L
w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x
w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y
U : X → X → Set X := fun x y => {z | f z - ε < (g x y) z}
U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y
ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose
ys_w : ∀ (x : X), ⋃ y ∈ ys x, U x y = ⊤ := fun x => Exists.choose_spec (CompactSpace.elim_nhds_subcover (U x) (U_nhd_y x))
ys_nonempty : ∀ (x : X), (ys x).Nonempty
h : X → ↑L := fun x => ⟨(ys x).sup' ⋯ fun y => g x y, ⋯⟩
lt_h : ∀ (x z : X), f z - ε < ↑(h x) z
h_eq : ∀ (x : X), ↑(h x) x = f x
W : X → Set X := fun x => {z | ↑(h x) z < f z + ε}
W_nhd : ∀ (x : X), W x ∈ 𝓝 x
xs : Finset X := ⋯.choose
xs_w : ⋃ x ∈ xs, W x = ⊤ := Exists.choose_spec (CompactSpace.elim_nhds_subcover W W_nhd)
xs_nonempty : xs.Nonempty
k : ↑L := ⟨xs.inf' xs_nonempty fun x => ↑(h x), ⋯⟩
⊢ dist (↑k) f < ε
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₂ d₃ : ManyOneDegree
p✝ : Set ℕ
⊢ of p✝ + d₂ ≤ d₃ ↔ of p✝ ≤ d₃ ∧ d₂ ≤ d₃
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ a = b * c⁻¹ ↔ a * c = b
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
φ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
⊢ (-φ).IsSymmetric
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ (a : Ordinal.{u}) (ha : a < o), f a ha < f (succ a) ⋯
⊢ ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi < o.bsup f
R : Type u_1
A : Type u_3
CommRing R
Ring A
Algebra R A
⊢ Algebra.IsIntegral R A ↔ ∀ (x : A), IsIntegral R x
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
α : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → LinearOrder (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsWellOrder (α i) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Finite ι
s : Set ((i : ι) → α i)
⊢ s.IsPWO
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
⊢ φ 0 = 0
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
H : ∀ (a : β), NumberField.house.ξ K x a = 0 a
l : β
r : K →+* ℂ
hblin : ∀ (g : (K →+* ℂ) → ℤ), ∑ x : K →+* ℂ, ↑(g x) * (NumberField.house.newBasis K) x = 0 → ∀ (i : K →+* ℂ), g i = 0
⊢ x (l, r) = 0 (l, r)
α : Type u_1
Add α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
h₁ : a < b
h₂ : c < d
⊢ a + c < b + d
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
⊢ s ⊆ {x | gauge s x ≤ 1}
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
s : Sym2 α
h : ∀ x ∈ s, f x = g x
⊢ Sym2.map f s = Sym2.map g s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
S : F →L[𝕜] E
⊢ IsSelfAdjoint ((adjoint S).comp (T.comp S))
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R
⊢ ↑φ = 0 ↔ φ = 0
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
⊢ eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
s t : Set E
disj : Disjoint s t
hs₁ : Convex 𝕜 s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex 𝕜 t
ht₂ : IsClosed t
this✝¹ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
this✝ : UniformAddGroup E
this : (uniformity E).HasBasis (fun s => 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Convex 𝕜 s) fun i => (fun x => x.2 - x.1) ⁻¹' id i
V : Set E
hV : Disjoint (⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x ((fun x => x.2 - x.1) ⁻¹' id V)) (⋃ x ∈ t, UniformSpace.ball x ((fun x => x.2 - x.1) ⁻¹' id V))
hV0 : 0 ∈ V
hVopen : IsOpen V
hVconvex : Convex 𝕜 V
⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ Convex 𝕜 u ∧ Convex 𝕜 v ∧ s ⊆ u ∧ t ⊆ v ∧ Disjoint u v
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
χ : DirichletCharacter ℂ N
k : ZMod N
⊢ ∑ j : ZMod N, toCircle (-(j * k)) • χ j = gaussSum χ (stdAddChar.mulShift (-k))
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ✝ η : Kernel α β
μ : Measure α
κ : Kernel α β
h : ¬SFinite μ
⊢ ¬IsSFiniteKernel (Kernel.const Unit μ)
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
n : ℕ
⊢ (fun x => x ^ n) '' σ a ⊆ σ (a ^ n)
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f
this : IsNoetherian R N
n : ℕ
H : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → { toFun := fun n => f.iterateMapComap i n ⊥, monotone' := ⋯ } n = { toFun := fun n => f.iterateMapComap i n ⊥, monotone' := ⋯ } m
⊢ Injective ⇑f
R R' : Type u
M M' : Type v
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousConstSMul R M
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R' M'
inst✝ : ContinuousAdd M
s : Set M
⊢ closure s ⊆ closure ↑(span R s)
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : |a| < b
⊢ -b < a
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
m : ℕ
hpm : ¬p ∣ m
hm : f ↑m < 1
M : ℝ := f ↑p ⊔ f ↑m
hM : M = f ↑p ⊔ f ↑m
k : ℕ := ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1
hk : k = ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
self : CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite J K G
⊢ G.IsLocallyFull K