ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F F' : 𝕜 → ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
this : Integrable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b)) ∧ HasDerivAt (fun n => ∫ (a : ℝ) in Ι a b, F n a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Ι a b, F' x₀ a ∂μ) x₀
⊢ IntegrableOn (F' x₀) (Ι a b) μ ∧ HasDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ) ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' x₀ t ∂μ) x₀
α : Type u
m : Type u → Type v
x : m (Option α)
⊢ (OptionT.mk x).run = x
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
MulOneClass G
r : k
f : MonoidAlgebra k G
⊢ MonoidAlgebra.single 1 r * f = f * MonoidAlgebra.single 1 r
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (F.mapTriangleInvRotateIso.hom.app X).hom₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X.obj₁)
α : Type u_1
CompleteLattice α
a : Set α
b : α
d : Disjoint b (sSup a)
i : α
hi : i ∈ a
⊢ Disjoint b i
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
r : ℝ
hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
⊢ sx₁.circumradius = sx₂.circumradius
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
A : Type u_3
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
f g : E → A
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : E
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => f y * g y) x‖ ≤
  ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n - i) g x‖
R : Type u_1
Semiring R
r : R
f : R[X]
⊢ (Polynomial.leval r) f = Polynomial.eval r f
α : Type
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
dg : Dioph.DiophFn g
⊢ Dioph fun v => f v = g v
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
n : ℕ
hn_pos : 0 < 0
hnx : x ^ n = x ^ 0
⊢ False
K : Type u_1
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
hk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic m K = cyclotomic' m K
ζ : K
hz : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
⊢ cyclotomic k K = cyclotomic' k K
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
inst✝ : BraidedCategory C
A B : Comon_ C
⊢ (A.comul ⊗ B.comul) ≫ (tensor_μ Cᵒᵖ (op A.X, op B.X) (op A.X, op B.X)).unop = (A.comul ⊗ B.comul) ≫ tensor_μ C (A.X, A.X) (B.X, B.X)
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
x y : α
hxy : x ≠ y
⊢ {x, y}.einfsep = edist x y
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
U : (AlgebraicGeometry.Spec R).Opens
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (AlgebraicGeometry.Spec.map f) U =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.comap f U
    ((TopologicalSpace.Opens.map (AlgebraicGeometry.Spec.map f).val.base).obj U) ⋯
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : M →* N
g : α → M
h : (mulSupport (g ∘ PLift.down)).Finite
⊢ mulSupport ((fun x => f (g x)) ∘ PLift.down) ⊆ ↑h.toFinset
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
f : α → E
l : Filter α
g₁ g₂ : α → F
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f g₁
hg : ∀ (x : α), g₁ x = g₂ x
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l f g₂
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
ι : Type u_2
α : Type u_3
F : ι → α → G
f : α → G
p : Filter ι
⊢ TendstoUniformly F f p ↔ ∀ u ∈ 𝓝 1, ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ (a : α), F i a / f a ∈ u
α : Type u
β : Type v
CompleteLattice α
CompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α
⊢ l (sSup s) = ⨆ a ∈ s, l a
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ Set.univ, f x ∂κ a
α : Type u_1
l : List α
n : ℕ
hn : n < l.inits.length
⊢ l.inits.nthLe n hn = List.take n l
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
hf : Adapted ℱ f
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_eq_sum : μ[martingalePart f ℱ μ j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f 0 + ∑ k ∈ Finset.range j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i])
h_ge : ∀ (k : ℕ), i ≤ k → μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] 0
h_lt : ∀ k < i, μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f (k + 1) - f k - μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]
⊢ ∑ k ∈ Finset.range j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i]) =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ Finset.range i, (f (i + 1) - f i - μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i])
r : ℝ≥0
⊢ ⊤ - ↑r = ⊤
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∀ᵐ (y : α) ∂μ, f y ≤ essSup f μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
j : ι
hj : ¬c.Rel j (c.next j)
⊢ (HomologicalComplex.homotopyCofiber.desc φ α hα).f j = HomologicalComplex.homotopyCofiber.sndX φ j ≫ α.f j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
CategoryTheory.HasRightDual X
⊢ ᘁXᘁ = X
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball y (r / 2)
⊢ f z = 0 z
K : Type u_1
Field K
f : NumberField.InfinitePlace K → NNReal
NumberField K
w₁ : NumberField.InfinitePlace K
B : NNReal
hf : ∀ (w : NumberField.InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
⊢ ∃ g, (∀ (w : NumberField.InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w) ∧ ∏ w : NumberField.InfinitePlace K, g w ^ w.mult = B
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≼i s
a✝ : α
x✝ : ↑{b | s b (f a✝)}
a : α
h : f a ∈ {b | s b (f a✝)}
⊢ ∃ a_1, (RelEmbedding.codRestrict {b | s b (f a✝)} ((Subrel.relEmbedding r {b | r b a✝}).trans f.toRelEmbedding) ⋯) a_1 = ⟨f a, h⟩
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
(i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
(i : ι) → Module R (t' i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i
a : (i : ι) → s i
b : (i : ι) → t i
⊢ ((PiTensorProduct.piTensorHomMap₂ ((PiTensorProduct.tprod R) f)) ((PiTensorProduct.tprod R) a))
    ((PiTensorProduct.tprod R) b) =
  ⨂ₜ[R] (i : ι), ((f i) (a i)) (b i)
G : Type u_1
AddCommMonoid G
x : G × G
⊢ IsCornerFree {x}
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
D : Cocone F
i j : J
x : (forget C).obj (F.obj i)
y : (forget C).obj (F.obj j)
E : Cocone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCocone D
k : J
f : i ⟶ k
g : j ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget C).map f x = (F.map g) y
h1 : (F ⋙ forget C).map f ≫ E.ι.app k = E.ι.app i := E.ι.naturality f
h2 : (F ⋙ forget C).map g ≫ E.ι.app k = E.ι.app j := E.ι.naturality g
⊢ E.ι.app k ((F.map g) y) = E.ι.app j y
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
hπ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ ∀ (i : ι), ∀ s_1 ∈ {s i}, MeasurableSet s_1
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsFiltered J
F : J ⥤ Grp
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
h : CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ CategoryTheory.forget Grp) x y
⊢ Grp.FilteredColimits.colimitInvAux F x = Grp.FilteredColimits.colimitInvAux F y
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
M : Type u_3
MulOneClass M
f : Additive M →+ Additive M
a : M
⊢ ((monoidEndToAdditive M).symm f) a = Additive.toMul (f (Additive.ofMul a))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
v : ι → E
i j : ι
hij : i < j
⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 v j, gramSchmidt 𝕜 v i⟫_𝕜 + ∑ x ∈ Iio i, ⟪gramSchmidt 𝕜 v x, v i⟫_𝕜 / ↑‖gramSchmidt 𝕜 v x‖ ^ 2 * ⟪gramSchmidt 𝕜 v j, gramSchmidt 𝕜 v x⟫_𝕜 = 0
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
x y : P.Cotangent
⊢ (x + y).val = x.val + y.val
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
P : C(X, Y) → Prop
F : f₀.HomotopyWith f₁ P
⊢ ⇑F.toHomotopy = ⇑F
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
b : β
ca : Computation α
cb : Computation β
ma : a ∈ ca
mb : b ∈ cb
ab : R a b
b' : β
mb' : b' ∈ cb
⊢ ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b
α : Type u_1
ls : ℕ
ll : Ordnode α
lx : α
lr : Ordnode α
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
⊢ (Ordnode.node ls ll lx lr).merge (Ordnode.node rs rl rx rr) =
  if Ordnode.delta * ls < rs then ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rl).balanceL rx rr
  else
    if Ordnode.delta * rs < ls then ll.balanceR lx (lr.merge (Ordnode.node rs rl rx rr))
    else (Ordnode.node ls ll lx lr).glue (Ordnode.node rs rl rx rr)
a b : ℕ+
⊢ (Finset.Icc a b).card = ↑b + 1 - ↑a
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
⊢ Module.rank K V < Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K)
p n b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hnb : Nat.log p n < b
⊢ padicValNat p n ! = ∑ i ∈ Finset.Ico 1 b, n / p ^ i
n✝ p q m n : ℕ
hp : Prime p
hq : Prime q
h : p ^ (m + 1) = q ^ (n + 1)
⊢ p = q ∧ m = n
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)
⊢ (coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (coconeMorphism F j) x
α : Type u_1
p : Set α → Prop
he : p ∅
hmono : ∀ (t : Set α), p t → ∀ s ⊆ t, p s
hunion : ∀ (s : Set α), p s → ∀ (t : Set α), p t → p (s ∪ t)
s : Set α
⊢ sᶜ ∈ Filter.comk p he hmono hunion ↔ p s
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hs : s ⊆ e.source
x : M
hx : x ∈ s
⊢ 𝓝[↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(e.extend I) x = 𝓝[↑(e.extend I) '' s] ↑(e.extend I) x
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
x : G × N
⊢ x ∈ K.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (MonoidHom.fst G N) K
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
⊢ t ∈ 𝒜.shadow ↔ ∃ a ∉ t, insert a t ∈ 𝒜
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ -↑((o.areaForm x) y) + ↑⟪x, y⟫_ℝ * Complex.I = Complex.I * (↑⟪x, y⟫_ℝ + ↑((o.areaForm x) y) * Complex.I)
α : Type u_1
p : PMF α
a : α
⊢ p a = 1 ↔ p.support = {a}
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B
g g' : G
⊢ φ g • ⇑j '' B = φ g' • ⇑j '' B ∨ Disjoint (φ g • ⇑j '' B) (φ g' • ⇑j '' B)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
F G K : CochainComplex C ℤ
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
k : Rˣ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₁
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
⊢ (k • z₁).comp z₂ h = k • z₁.comp z₂ h
α : Type u
β : Type v
l : Filter α
f g : α → β
s : Set α
hs : s ∈ l
h : Set.EqOn f g s
⊢ f =ᶠ[l] g
α : Type u
Add α
a : WithTop α
⊢ ⊤ + a = ⊤
x : ℝ
⊢ Real.cosh |x| = Real.cosh x
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
⊢ (Submodule.span ℂ (Set.range fourier)).topologicalClosure = ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
BiheytingAlgebra α
BiheytingAlgebra β
f : BiheytingHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
⊢ TendstoUniformlyOn F f l univ ↔ ∀ (u : ℕ → ι), Tendsto u atTop l → TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f atTop univ
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
f g : MvPolynomial σ R →+* A
hC : f.comp MvPolynomial.C = g.comp MvPolynomial.C
hX : ∀ (i : σ), f (MvPolynomial.X i) = g (MvPolynomial.X i)
⊢ f = g
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ) → AEMeasurable l.prod μ
hl : ∀ f_1 ∈ f :: l, AEMeasurable f_1 μ
⊢ AEMeasurable (f :: l).prod μ
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
U : TopologicalSpace.Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨆ g, ⨆ (_ : Measurable g), ⨆ (_ : g ≤ f), ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop
⊢ sSup (Subtype.val '' range fun i => f i) = ⨆ i, ↑(f i)
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_2
Semiring k
Add G
Semiring R
g_hom : Type u_3
FunLike g_hom (Multiplicative G) R
MulHomClass g_hom (Multiplicative G) R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : AddMonoidAlgebra k G
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.support → Commute (f (b x)) (g (Multiplicative.ofAdd y))
⊢ (AddMonoidAlgebra.liftNC ↑f ⇑g) (a * b) = (AddMonoidAlgebra.liftNC ↑f ⇑g) a * (AddMonoidAlgebra.liftNC ↑f ⇑g) b
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝⁴ : DecidableEq ι
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq M
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
⊢ (DirectSum.coeAddMonoidHom A) x = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x
x : ℝ
⊢ cos (π / 6) ^ 2 = 3 / 4
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = InnerProductGeometry.angle y x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : MapsTo f s s
n : ℕ
⊢ Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓟 s)
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
hri : r ∉ I.radical
m : Ideal R
hrm : r ∉ m.radical
him : I ≤ m
hm : ∀ z ∈ {K | r ∉ K.radical}, m ≤ z → z = m
this : ∀ x ∉ m, r ∈ (m ⊔ span {x}).radical
x y : R
hxym : x * y ∈ m
hxm : x ∉ m
hym : y ∉ m
n : ℕ
hrn : r ^ n ∈ m ⊔ span {x}
p : R
hpm : p ∈ m
q : R
hq : q ∈ span {x}
hpqrn : p + q = r ^ n
c : R
hcxq : c * x = q
k : ℕ
hrk : r ^ k ∈ m ⊔ span {y}
f : R
hfm : f ∈ m
g : R
hg : g ∈ span {y}
hfgrk : f + g = r ^ k
d : R
hdyg : d * y = g
⊢ p * (f + d * y) + (c * x * f + c * d * (x * y)) ∈ m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
f : α ≃ β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ map f.toEmbedding (filter p s) = filter (p ∘ ⇑f.symm) (map f.toEmbedding s)
M : Type u_5
N : Type u_6
Mul M
Mul N
a₁ a₂ : M
b₁ b₂ : N
⊢ (a₁, b₁) * (a₂, b₂) = (a₁ * a₂, b₁ * b₂)
α : Type u_2
Lattice α
L : Sublattice α
a b : ↥L
⊢ ↑(a ⊓ b) = ↑a ⊓ ↑b
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
H : G.Subgraph
h : H.Adj v w
⊢ G.subgraphOfAdj ⋯ ≤ H
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s : Set α
⊢ supClosure.IsClosed s = SupClosed s
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
N : Submonoid R
h₁ : M ≤ N
h₂ : ∀ r ∈ N, IsUnit ((algebraMap R S) r)
x y : R
c : ↥M
hc : ↑c * x = ↑c * y
⊢ ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ eraseP p l <+ l
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
⊢ 0 ≤ dist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : Zero γ
c : α
hc : c ≠ 0
f : β → γ
x : β
⊢ (x ∈ support fun x => f (c⁻¹ • x)) ↔ x ∈ c • support f
M : Type u_1
AddGroup M
S : AddSubmonoid M
⊢ S.leftNeg = -S
k : Type u
Field k
K : Type v
Field K
IsSepClosed k
Algebra k K
L : IntermediateField k K
Algebra.IsSeparable k ↥L
⊢ L = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
s₁ s₂ : Finset α
h : Disjoint s₁ s₂
h' : Disjoint (Finset.map f s₁) (Finset.map f s₂) := ⋯
⊢ Finset.map f (s₁.disjUnion s₂ h) = (Finset.map f s₁).disjUnion (Finset.map f s₂) h'
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P Q
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
∀ (i : 𝒰.J), AlgebraicGeometry.IsAffine (𝒰.obj i)
⊢ P f ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), Q (𝒰.pullbackHom f i)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ p.mirror.mirror.coeff n = p.coeff n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, 1 ≤ f x
⊢ μ s ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
ho : lift.{v, u} o.card < c
⊢ lift.{v, u} o.card < c.ord.cof
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι : Type u_5
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
b : ℝ≥0∞
b_ne_top : b ≠ ⊤
xs : ι → ℝ≥0∞
le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b
liminf_le : liminf xs F ≤ b
aux : ∀ᶠ (i : ι) in F, (xs i).toReal = b.truncateToReal (xs i)
⊢ liminf (fun i => (xs i).toReal) F = (liminf xs F).toReal
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C (ComplexShape.up α))
i j : α
⊢ (((CategoryTheory.Idempotents.karoubiCochainComplexEquivalence C α).functor.obj P).d i j).f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.X.d i j) (P.p.f j)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
H.IsCartanSubalgebra
IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
⊢ x ∈ LieAlgebra.corootSpace α ↔
  x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ LieAlgebra.rootSpace H α, ∃ z ∈ LieAlgebra.rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
G₀ : Type u_2
CommGroupWithZero G₀
DecidableEq G₀
a : G₀
h0 : a ≠ 0
⊢ ↑(normUnit a) = a⁻¹
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this : Nontrivial E
⊢ ∫ (x : E), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E), (B (f' x)) (g x) ∂μ
n p : ℕ
⊢ padicValNat (p + 1 + 1) (n + 1) ≤ log (p + 1 + 1) (n + 1)
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ ∀ (a : α), (OrderIso.inv α) a = OrderDual.toDual a⁻¹
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C).card
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
y : β
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ {x | x ∈ s ∧ f x = y}.ncard ≠ 0 ↔ y ∈ f '' s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a✝ b✝ c✝ : α
f : α → β
a b c : α
H : b ∈ Ico a c
⊢ Iio c ∩ Ioi b ⊆ Ioo a c