ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a b : α
⊢ sInf s ⊔ b = ⨅ a ∈ s, a ⊔ b
α : Type u_2
β : Type u_3
HeytingAlgebra α
HeytingAlgebra β
f : HeytingHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddGroup A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
n : A
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
Preorder α
Preorder β
SMulPosMono α β
ha : a ≤ 0
hb : 0 ≤ b
⊢ a • b ≤ 0
ι : Type u_1
M : Type u_2
DecidableEq ι
Zero M
s : Multiset (ι →₀ M)
x : ι
⊢ x ∈ (Multiset.map Finsupp.support s).sup ↔ ∃ f ∈ s, x ∈ f.support
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_4} D₁
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D₂
T : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
R : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
B : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
L' : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
R' : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
α : L ⟶ L'
β : R' ⟶ R
X : C₁
⊢ (w.whiskerVertical α β).app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (β.app (T.obj X)) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (w.app X) (B.map (α.app X)))
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hc : AddLECancellable c
⊢ a < b - c ↔ c + a < b
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
h : x ∈ n.divisorsAntidiagonal
⊢ x.2 ∈ n.divisors
G : Type u_1
P : Type u_2
AddCommGroup G
AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
⊢ p₁ -ᵥ p₂ - (p₃ -ᵥ p₄) = p₁ -ᵥ p₃ - (p₂ -ᵥ p₄)
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S✝ : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r
n₁ : ℕ
hn₁ : (f r) (↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple S (f r) (s₁ r))
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.2, -z.2 + z.1)) (μ.prod ν) (ν.prod μ)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.11729, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
x : A ⟶ S.X₁
hx : k = x ≫ S.f
⊢ k ≫ S.g = 0
G : Type u
Group G
H : Type v
Group H
φ : G →* H
g : G
⊢ (QuotientGroup.kerLift φ) ↑g = φ g
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f μ
y : ℝ
⊢ HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in y + ↑n..y + ↑n + 1, f x ∂μ) (∫ (x : ℝ), f x ∂μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a • b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
s : β → β → Prop
a : α
h : ¬r a a
⊢ ∀ {a_1 b : β}, Prod.Lex r s ({ toFun := Prod.mk a, inj' := ⋯ } a_1) ({ toFun := Prod.mk a, inj' := ⋯ } b) ↔ s a_1 b
p₁ p₂ q₁ q₂ : Prop
h₁ : p₁ = p₂
h₂ : p₂ → q₁ = q₂
⊢ (p₁ → q₁) = (p₂ → q₂)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ Function.Surjective ⇑(TruncatedWittVector.truncate hm)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
t : ℝ≥0∞
H : ¬t = 0
x : α
⊢ ↑g x = t → x ∈ s
a t n : ℤ
⊢ a + n * t ≡ a [ZMOD n]
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ (x + y).toFin = x.toFin + y.toFin
α : Type u_1
ι : Type u_4
PartialOrder α
OrderBot α
s : Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∉ s
h : ∀ j ∈ s, Disjoint (f i) (f j)
⊢ (insert i s).PairwiseDisjoint f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.triangleMorphismId T).hom₁ = 𝟙 T.obj₁
α : Type u_2
β : Type u_3
BiheytingAlgebra α
BiheytingAlgebra β
f : BiheytingHom α β
⊢ (BiheytingHom.id β).comp f = f
m n✝ i n : ℕ
h✝ : i < 2
⊢ i + (n + 1)! ≤ (i + (n + 1))!
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : G →L[𝕜] E
f : E → F
hf : ContDiff 𝕜 n f
x : G
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 i (f ∘ ⇑g) x = (iteratedFDeriv 𝕜 i f (g x)).compContinuousLinearMap fun x => g
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
⊢ ∃ ck, ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK ∧ ck.2 ∈ K ∧ G.Adj ck.1 ck.2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace E
f✝ : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝² : OpensMeasurableSpace 𝕜
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
f : α → 𝕜 → F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
⊢ Measurable fun p => deriv (f p.1) p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
r s : Rel α β
⊢ (∀ (a : α), r a = s a) → r = s
f : Bool → Bool → Bool
h : f false false = false := by rfl
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ Nat.bitwise f (Nat.bit a m) (Nat.bit b n) = Nat.bit (f a b) (Nat.bitwise f m n)
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
h : a = c + b
⊢ a - b = c
P : TopCat → Prop
X Y : CompHausLike P
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ Function.Injective ⇑f
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
⊢ a⁻¹.y = -a.y
α : Type u
β : Type v
f : α → β → β
b : β
L : List (List α)
⊢ List.foldr f b L.join = List.foldr (fun l b => List.foldr f b l) b L
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
p : Set β
f : r ↪r s
H : ∀ (a : α), f a ∈ p
a : α
⊢ (RelEmbedding.codRestrict p f H) a = ⟨f a, ⋯⟩
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
p : Submodule R N
hf : Injective ⇑f
h : p ≤ LinearMap.range f
x y : ↥(comap f p)
hxy : (LinearMap.codRestrict p (f ∘ₗ (comap f p).subtype) ⋯) x = (LinearMap.codRestrict p (f ∘ₗ (comap f p).subtype) ⋯) y
⊢ x = y
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
s t : A
x : L
y : M
⊢ ⁅s ⊗ₜ[R] x, t ⊗ₜ[R] y⁆ = (s * t) ⊗ₜ[R] ⁅x, y⁆
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
g_intble' : ∀ (t : ℝ), 0 ≤ t → IntervalIntegrable g volume 0 t
integrand_eq : ∀ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioc 0 (f ω), ENNReal.ofReal (g t)
aux₂ : (Function.uncurry fun x y => (Ioc 0 (f x)).indicator (fun t => ENNReal.ofReal (g t)) y) = {p | p.2 ∈ Ioc 0 (f p.1)}.indicator fun p => ENNReal.ofReal (g p.2)
mble₀ : MeasurableSet {p | p.2 ∈ Ioc 0 (f p.1)}
⊢ AEMeasurable ({p | p.2 ∈ Ioc 0 (f p.1)}.indicator fun p => ENNReal.ofReal (g p.2)) (μ.prod volume)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
A B : G.Coalgebra
self : A.Hom B
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp A.a (G.map self.f) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.f B.a
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
Field F
Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (Cubic.map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ Cubic.map φ P =
  { a := φ P.a, b := φ P.a * -(x + y + z), c := φ P.a * (x * y + x * z + y * z), d := φ P.a * -(x * y * z) }
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X✝ Y Z : C
fst : P ⟶ X✝
snd : P ⟶ Y
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ ((zeroProdIso X).symm ≪≫ (pullbackZeroZeroIso 0 X).symm).hom ≫ pullback.fst 0 0 = 0
α : Type u
Add α
a b : WithTop α
c : α
⊢ a + b = ↑c ↔ ∃ a' b', ↑a' = a ∧ ↑b' = b ∧ a' + b' = c
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hr✝ : ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), (fun x => dist x p = r) (s.points i)
r : ℝ
hr : ∀ p1 ∈ Set.range fun i => s.points i, dist p1 ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range fun i => s.points i))) p) = r
⊢ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p) = s.circumcenter
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v, u'} D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts D
F : CategoryTheory.Functor C D
L : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.CartesianClosed C
CategoryTheory.CartesianClosed D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
i : CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.frobeniusMorphism F h A)
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.expComparison F A)
α : Type u_2
SemilatticeSup α
⊢ supClosure ∅ = ∅
a b : UInt32
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H : Subgroup G
a b : G
⊢ (∃ a_1 ∈ ⊥, ∃ b_1 ∈ H, b = a_1 * a * b_1) ↔ a⁻¹ * b ∈ H
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a b : M₀
h : Commute a b
hab : ¬IsUnit (a * b)
hb : ¬IsUnit b
⊢ inverse (a * b) = inverse b * inverse a
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n => ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
L : R
n : ℕ
hL : f n ≡ L [SMOD I ^ n • ⊤]
⊢ (1 + -(x * y)) * L - 1 ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
⊢ Filter.coclosedCompact X = Filter.cocompact X
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊
this : eLpNorm (↑↑f) p μ ≤ c • eLpNorm (↑↑g) p μ
⊢ (eLpNorm (↑↑f) p μ).toNNReal ≤ c * (eLpNorm (↑↑g) p μ).toNNReal
X : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace X
Monoid α
f g : X → α
⊢ (mulTSupport fun x => f x * g x) ⊆ mulTSupport f ∪ mulTSupport g
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
hg : MeasureTheory.Integrable (↑g) μ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T (f + g) =
  MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f + MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T g
α : Type u_1
Preorder α
OrderBot α
a : α
⊢ Set.Ico ⊥ a = Set.Iio a
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : Mul α
inst✝² : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Preorder α
⊢ PosMulMono α ↔ MulPosMono α
n k : ℕ
⊢ 2 ^ n * Surreal.powHalf (n + k) = Surreal.powHalf k
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
a b : ℝ
e : X → Y
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
he : ClosedEmbedding e
g : Y →ᵇ ℝ
hgf : ‖g‖ = ‖f - const X ((a + b) / 2)‖
hge : ⇑g ∘ e = ⇑(f - const X ((a + b) / 2))
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ Icc a b) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
(𝓝[≠] x).NeBot
⊢ closure {x}ᶜ = Set.univ
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
f : N →+ P
⊢ f.comp 0 = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
D1 D2 : Derivation R A M
H : ∀ (a : A), D1 a = D2 a
⊢ D1 = D2
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a.im.re = 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hF_meas : AEMeasurable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
g : ℕ → α → ℝ≥0∞
gmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)
gf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n
hg : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ
g' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun t => Nat.rec (motive := fun x => α → ℝ≥0∞) (g 0) (fun n I x => max (g (n + 1) x) (I x)) t
M : ∀ (n : ℕ), Measurable (g' n)
I : ∀ (n : ℕ) (x : α), g n x ≤ g' n x
I' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), g' n x ≤ f n x
Int_eq : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (x : α), g' n x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => g' i a) atTop (𝓝 (F a))
x : α
hx : Tendsto (fun i => g' i x) atTop (𝓝 (F x))
h'x : ∀ (n : ℕ), g' n x ≤ f n x
h''x : ∀ (i : ℕ), f i x ≤ F x
⊢ Tendsto (fun i => f i x) atTop (𝓝 (F x))
M : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace M
Add M
m : MeasurableSpace α
f g : α → M
MeasurableAdd₂ M
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable fun a => f a + g a
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
⊢ P.parts.card ≤ s.card
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
l : Filter α
a : α
hf : IsMaxFilter f l a
g : β → γ
hg : Monotone g
⊢ IsMaxFilter (g ∘ f) l a
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
m : E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
hcont : ContinuousWithinAt f (Set.Ici a) a
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : MeasureTheory.IntegrableOn f' (Set.Ioi a) MeasureTheory.volume
hf : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 m)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi a, f' x = m - f a
m n : ℕ
i : Fin n
h : i.castSucc ≠ Fin.last n
⊢ some i = some (i.castSucc.castLT ⋯)
o₁ o₂ : Ordinal.{u_3}
⊢ o₁ ≤ o₂ → o₁.card ≤ o₂.card
R : Type u
M : Type v
Neg M
Inv R
SMul Rᵐᵒᵖ M
SMul R M
x : tsze R M
⊢ x⁻¹.fst = x.fst⁻¹
α : Type u
s : Set α
⊢ {u | s ∈ u}ᶜ = {u | sᶜ ∈ u}
α : Type u_1
Preorder α
f : α → α
h : id ≤ f
n : ℕ
⊢ id ≤ f^[n]
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
⊢ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i) ≤ ⨅ i ∈ J, ker (proj i)
α : Type u_1
s : List α
x : α
hx : x ∉ s
⊢ (List.permutations'Aux x s).Nodup
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
⊢ Wbtw R x y z ↔ Wbtw R z y x
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_4
Countable ι
F : ι → α → E
hF_int : ∀ (i : ι), MeasureTheory.Integrable (F i) μ
hF_sum : Summable fun i => ∫ (a : α), ‖F i a‖ ∂μ
⊢ HasSum (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), ∑' (i : ι), F i a ∂μ)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDedekindDomain R
inst✝⁷ : Module.Free ℤ R
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝¹ : Algebra ℚ K
inst✝ : Module.Finite ℚ K
x : K
⊢ absNorm (spanSingleton R⁰ x) = |(Algebra.norm ℚ) x|
S : Set Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
hf : StrictMono f
o a : Ordinal.{u_1}
H : ∀ k < a, enumOrd (range f) k = f k
Hfa : f a ∈ range f ∩ {b | ∀ c < a, enumOrd (range f) c < b}
⊢ ∀ b ∈ range f ∩ {b | ∀ c < a, enumOrd (range f) c < b}, f a ≤ b
G : Type u_3
InvolutiveInv G
a b : G
⊢ a⁻¹ = b⁻¹ ↔ a = b
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V₁ → K₁
h : J₁' (μ x) • (B x) x = 0
⊢ μ x = 0
a : EReal
⊢ ↑(SignType.sign a) * (↑a.abs)⁻¹ = a⁻¹
α : Type u_1
I : Type u_7
Finite I
l : I → Filter α
ι : I → Sort u_6
p : (i : I) → ι i → Prop
s : (i : I) → ι i → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on l)
h : ∀ (i : I), (l i).HasBasis (p i) (s i)
⊢ ∃ ind, (∀ (i : I), p i (ind i)) ∧ Pairwise (Disjoint on fun i => s i (ind i))
α : Type u
n : ℕ
l : List α
h : l.length < n
⊢ List.sublistsLen n l = []
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k : ℕ
h : ↑‖x‖₊ < p.radius
this : Summable fun s => ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst
l : ℕ
⊢ HasSum (fun c => ‖p (k + ⟨l, c⟩.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ ⟨l, c⟩.fst) (∑' (x_1 : { s // s.card = l }), ‖p (k + l)‖₊ * ‖x‖₊ ^ l)
X : Type u
G : Type u_2
Group G
MulAction G X
H : Type u_3
Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.ActionCategory G X), (CategoryTheory.ActionCategory.uncurry F sane).obj x = ()
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q f g : R[X]
hg : g.Monic
a✝ : Nontrivial R
hfg : ¬f /ₘ g = 0
hgf : g.degree ≤ f.degree
⊢ (f /ₘ g).natDegree = f.natDegree - g.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
⊢ Continuous f ↔ ∀ (b : β), Continuous fun x => f (x, b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
a : α
l : List α
⊢ Tendsto (fun x => x.eraseIdx (n + 1)) (𝓝 (a :: l)) (𝓝 ((a :: l).eraseIdx (n + 1)))
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
m' : MeasurableSpace α
left✝³ : CountablyGenerated α
left✝² : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
m'le : m' ≤ m
τ : TopologicalSpace α
left✝¹ : SecondCountableTopology α
left✝ : T4Space α
τm' : BorelSpace α
⊢ ∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ OpensMeasurableSpace α
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
aux : (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) = fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ) (Icc a b)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
A : Matrix m n α
⊢ A.submatrix id id = A
M : Type u
AddRightCancelMonoid M
a b : M
⊢ b = a + b ↔ a = 0
χ : DirichletCharacter ℂ 0
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : n ≠ 1
⊢ χ ↑n = δ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'
x y : E
⊢ ⟪f x, f y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
α : Type u
f : Filter α
f.NeBot
p : α → Prop
h : ∀ (x : α), p x
⊢ ∃ᶠ (x : α) in f, p x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
h1 : (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ (2 * Nat.card ↑(commutatorSet G))
h2 : Nat.card ↥(_root_.commutator G) ∣ (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ^ (Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ (2 * Nat.card ↑(commutatorSet G) + 1) + 1)
⊢ Nat.card ↥(_root_.commutator G) ≤ cardCommutatorBound (Nat.card ↑(commutatorSet G))
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
x : α
⊢ Filter.Tendsto Int.floor (𝓝[<] x) (pure (⌈x⌉ - 1))
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set ι
⊢ LinearIndependent (ι := ↑s) R (v ∘ Subtype.val) ↔
  Disjoint (Finsupp.supported R R s) (LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v))
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
⊢ ∀ (a_1 : δ), a_1 ∈ List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) a.tails → (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑a_1
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ
⊢ p.obj a = R
α : Type u_1
⊢ FreeMonoid.map id = MonoidHom.id (FreeMonoid α)
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
I : ↥(Ideal S)⁰
b : S
b_mem : b ∈ ↑I
b_ne_zero : b ≠ 0
min : ∀ (z : ℤ), (∃ b ∈ ↑I, b ≠ 0 ∧ abv ((Algebra.norm R) b) = z) → abv ((Algebra.norm R) b) ≤ z
⊢ ∃ b ∈ ↑I, b ≠ 0 ∧ ∀ c ∈ ↑I, abv ((Algebra.norm R) c) < abv ((Algebra.norm R) b) → c = 0
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
⊢ logb b x ≤ y ↔ x ≤ b ^ y
w : Nat
x : BitVec w
i : Fin w
⊢ x.getLsb ↑i.rev = x.getMsb ↑i
s x y : ℝ
hx₀ : 0 < x
hx₁ : x < 1 / (1 + s ^ 2)
hy : |y| < s * x
H : √((1 - x) ^ 2 + y ^ 2) ≤ 1 - x / 2
⊢ √(x ^ 2 + y ^ 2) < (2 * √(1 + s ^ 2) + 1) * (1 - √((1 - x) ^ 2 + y ^ 2))
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ p₁ -ᵥ p₂ + (p₃ -ᵥ p₁ - (p₃ -ᵥ p₂)) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
lbot : ¬IsBot l
l' : R
hl' : l' < l
u : R
hu : ∀ᶠ (x : R) in F, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x u
key : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x ∧ x ≤ u
w : R
l_le_w : l ≤ w
w_le_u : w ≤ u
⊢ l' ≤ u