ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
self : P1 →ᵃ[k] P2
p : P1
v : V1
⊢ self.toFun (v +ᵥ p) = self.linear v +ᵥ self.toFun p
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] b) l
hdf : ∀ x ∈ Ioo a b, DifferentiableAt ℝ f x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] b) l
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
s : R
hs : s * r - 1 ∈ J
⊢ n ∈ J • N
n m : ℕ
h : n + 1 ≤ m
⊢ Fin.castLE h ∘ Fin.castSucc = Fin.castLE ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.PushoutCocone.isoMk t).hom.hom = 𝟙 t.pt
α : Sort u_1
f : α → α
⊢ (Symmetric fun x x_1 => f x = x_1) ↔ Function.Involutive f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
hF : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J F
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSeparated J F
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₂ : ι → P
p₁ : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ -ᵥ p₂ i) = p₁ -ᵥ (affineCombination k s p₂) w
R L : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
x y : L
h : ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => ¬x_1 = 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯) = ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬x = 0 ∧ (Polynomial.aeval y) x = 0) ⋯) ∧ HEq ⟨x, ⋯⟩ ⟨y, ⋯⟩
⊢ ∀ (x_1 : L), x_1 ∈ (↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_2 => ¬x_2 = 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_2 = 0) ⋯)).aroots L ↔ x_1 ∈ (↑(Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬x = 0 ∧ (Polynomial.aeval y) x = 0) ⋯)).aroots L
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a✝ b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
a : ℕ
h_ind : multiplicity (↑p) (x ^ p ^ a - y ^ p ^ a) = multiplicity (↑p) (x - y) + ↑a
⊢ multiplicity (↑p) ((x ^ p ^ a) ^ p - (y ^ p ^ a) ^ p) = multiplicity (↑p) (x ^ p ^ a - y ^ p ^ a) + 1
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝¹ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b c a : α
⊢ (mabs a)⁻¹ ≤ a⁻¹
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x z : M
F' : Type u_11
inst✝¹ : NormedRing F'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') p s z p'
hq : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') q s z q'
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I 𝓘(𝕜, F') z (p * q)) (p z • q' + p'.smulRight (q z)) (↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I z) z)
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
dg : (-q).natDegree < n
⊢ (p - q).coeff n = p.coeff n
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ 0 ⊗ₘ κ = 0
a : ℝ≥0∞
⊢ ⋃ n, Set.Ioc a ↑n = Set.Ioi a \ {⊤}
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s
α : Type u
TopologicalSpace α
AddGroup α
ContinuousConstVAdd α α
s : Set α
a : α
b : α
h : s ∈ 𝓝 b
⊢ {a} + s ∈ 𝓝 (a + b)
n : Type u_2
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix n n ℝ
hM : M.PosDef
⊢ M.toQuadraticMap'.PosDef
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X
⊢ CategoryTheory.inv (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp f U) =
  f.c.app (Opposite.op ((AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor f).obj U)) ≫
    X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ (List.enumFrom n l).unzip = (List.range' n l.length, l)
K : Type u_1
Field K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
w : NumberField.InfinitePlace K
hw : w.IsReal
⊢ ((NumberField.mixedEmbedding.commMap K) x).1 ⟨w, hw⟩ = (x w.embedding).re
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
γ' : RightHomologyMapData φ' h₁ h₂
⊢ opcyclesMap' (φ + φ') h₁ h₂ = opcyclesMap' φ h₁ h₂ + opcyclesMap' φ' h₁ h₂
n m k : Nat
⊢ n < m → m ≤ k → n < k
s : ℝ
h : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Ioi 0) volume
hs : s ≤ -1
⊢ False
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t : Set β
hs : s.Finite
ht : t.Finite
⊢ (s -ᵥ t).Finite
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
⊢ setToSimpleFunc T (piecewise s hs (const α x) (const α 0)) = (T s) x
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x : HahnSeries Γ R
⊢ x.support.IsPWO
R : Type u_1
Semiring R
⊢ (PowerSeries.coeff R 0) 1 = 1
α : Type u_1
a : Topology.WithLower α
⊢ Topology.WithLower.toLower (Topology.WithLower.ofLower a) = a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
u : R
hu : u * ↑p = 1
hr₁ : u * (↑p * r) = u * 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
⊢ IsOpenMap f
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
hm : n ∣ m
a₁✝ a₂✝ : DirichletCharacter R n
h : (changeLevel hm) a₁✝ = (changeLevel hm) a₂✝
y : (ZMod n)ˣ
⊢ a₁✝ ↑y = a₂✝ ↑y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
M : CategoryTheory.Mat_ C
⊢ M.isoBiproductEmbedding.inv =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then CategoryTheory.eqToHom ⋯ else 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((Norm.norm ∘ g) a) C
ε : ℝ
ε₀ : ε > 0
δ : ℝ
δ₀ : 0 < δ
hδ : A * C * δ < ε
i : α
hf : ‖f i‖ < δ
hg : (Norm.norm ∘ g) i ≤ C
hA : 0 ≤ A
⊢ A * ‖f i‖ * ‖g i‖ < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
a b : α
⊢ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ι a b)) ↔ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ioc a b)) ∧ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ioc b a))
G : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G
Div G
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableDiv G
hf : AEMeasurable f μ
c : G
⊢ AEMeasurable (fun x => f x / c) μ
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
⊢ Function.support ↑f ⊆ (chartAt H c).source
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
⊢ ↑⊤ = Set.univ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a : α
⊢ (insert a s).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ ∀ b ∈ s, a ≠ b → r a b ∧ r b a
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
terminatedAt_n : (of v).TerminatedAt n
⊢ ∃ a, ∀ b ≥ a, v = (of v).convs b
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hI' : ¬(M ↾ X).Base I
hJ : M.Basis J X
⊢ ∃ e ∈ J \ I, M.Indep (insert e I)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ HasDerivAt f (deriv f x) x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this : Nonempty { x // x ∈ s }
⊢ s.card < t.card
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
s t : Submodule R M
le : s ≤ t
lt : FiniteDimensional.finrank R ↥s < FiniteDimensional.finrank R ↥t
⊢ s < t
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
e : C ≌ D
B : C
α : Type u_3
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
W : D
ε : (a : α) → e.functor.obj (X a) ⟶ W
h : ∀ {Z : D} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₁)) (g₂ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₂)), g₁ ≫ e.functor.map (π a₁) = g₂ ≫ e.functor.map (π a₂) → g₁ ≫ ε a₁ = g₂ ≫ ε a₂
Z : C
a₁ a₂ : α
g₁ : Z ⟶ X a₁
g₂ : Z ⟶ X a₂
hg : g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂
this : e.functor.map g₁ ≫ e.functor.map (π a₁) = e.functor.map g₂ ≫ e.functor.map (π a₂) → e.functor.map g₁ ≫ ε a₁ = e.functor.map g₂ ≫ ε a₂
⊢ g₁ ≫ (fun a => e.unit.app (X a) ≫ e.inverse.map (ε a)) a₁ = g₂ ≫ (fun a => e.unit.app (X a) ≫ e.inverse.map (ε a)) a₂
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
⊢ a - b < a ↔ 0 < a ∧ 0 < b
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
⊢ Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ insert 0 (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero})
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
n e1 t1 k l : α
e2 : ℕ
h1 : n * e1 = t1
h2 : l * n ^ e2 = k
⊢ k * e1 ^ e2 = l * t1 ^ e2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : TangentBundle I H
⊢ ↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv.symm = ⇑(TotalSpace.toProd H E).symm
A : Type u_3
Semiring A
Algebra ℝ A
f g : ℂ →ₐ[ℝ] A
h : f Complex.I = g Complex.I
⊢ f = g
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Subsingleton S
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.natDegree = p.natDegree ∧ q.Monic
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
DecidableEq ι
i : ι
b₁ b₂ : β i
⊢ edist ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₁))
    ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₂)) =
  edist b₁ b₂
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B D : LinearMap.BilinForm R M
h : B = D
x y : M
⊢ (B x) y = (D x) y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
ε : 𝕜
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : ExplicitDisjoint t
x✝ : Finset (α ⊕ β ⊕ γ)
⊢ x✝ ∈ ↑(map toTriangle t) → ∀ ⦃y : Finset (α ⊕ β ⊕ γ)⦄, y ∈ ↑(map toTriangle t) → x✝ ≠ y → (fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton) x✝ y
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
f : { f // ∀ (a : α), ¬p a → f a = a }
⊢ (Equiv.Perm.subtypeEquivSubtypePerm p).symm f = (↑f).subtypePerm ⋯
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
β : Y ≅ X
⊢ α.hom = β.inv ↔ β.hom = α.inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iic x)
⊢ ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iic x)
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t u v : Set α
h : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
hu : u ⊆ s
hv : v ⊆ t
⊢ MeasureTheory.AEDisjoint μ u v
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j : ι
hij : i < j
h : (∀ x ∈ Set.Ioi i, succFn i ≤ x) ∧ succFn i ∈ upperBounds (lowerBounds (Set.Ioi i))
⊢ succFn i ≤ j
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ [a ≡ b [PMOD p], ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p), toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b, toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b].TFAE
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ ENNReal.ofReal x⁻¹ = (ENNReal.ofReal x)⁻¹
R : Type u
CommSemiring R
I J P : Ideal R
hp : P.IsPrime
⊢ I ⊓ J ≤ P ↔ I ≤ P ∨ J ≤ P
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : IsDomain R✝
n : ℕ
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ (∏ μ ∈ primitiveRoots n R, (X - C μ)).roots = (primitiveRoots n R).val
α : Type u_1
Preorder α
x : α
s : Set α
⊢ x ∈ maximals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s ↔ x ∈ s ∧ ∀ ⦃y : α⦄, x < y → y ∉ s
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁰ : Semifield R
inst✝¹⁹ : StarRing R
inst✝¹⁸ : MetricSpace R
inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁶ : ContinuousStar R
inst✝¹⁵ : Semifield S
inst✝¹⁴ : StarRing S
inst✝¹³ : MetricSpace S
inst✝¹² : TopologicalSemiring S
inst✝¹¹ : ContinuousStar S
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra S A
inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
a : A
φ : C(↑(spectrum S a), S) →⋆ₐ[S] A
f : C(S, R)
h : SpectrumRestricts a ⇑f
h_id : φ (ContinuousMap.restrict (spectrum S a) (ContinuousMap.id S)) = a
x : ↑(spectrum S a)
⊢ ({ toFun := ⇑(StarAlgHom.ofId R S), continuous_toFun := ⋯ }.comp ((ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)).comp { toFun := Subtype.map ⇑f ⋯, continuous_toFun := ⋯ })) x = (ContinuousMap.restrict (spectrum S a) (ContinuousMap.id S)) x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
s : Set α
x : α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddAbove s
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)
y : α
hy : y ⋖ sSup s
i : α
his : i ∈ s
hi : y < i
⊢ sSup s ∈ s
U : Type u_1
V : Type u_2
Quiver U
Quiver V
F : U ⥤q V
X Y : U
f g : X ⟶ Y
h : f = g
⊢ F.map f = F.map g
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
t t' : TopologicalSpace γ
ht : PolishSpace γ
ht' : PolishSpace γ
hle : t ≤ t'
⊢ borel γ ≤ borel γ
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
⊢ f.eraseLead.leadingCoeff = f.nextCoeff
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
inst✝ : IsDomain R
w : Module.Free.ChooseBasisIndex (FractionRing R) (LocalizedModule R⁰ M) → M
hw : LinearIndependent R w
⊢ lift.{max u v, v} #↑(Set.range w) = lift.{max u v, v} (Module.rank R M)
β : Type u_2
AddCommMonoid β
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → β
⊢ ∑ i : Fin (n + 1), f i = ∑ i : Fin n, f i.castSucc + f (Fin.last n)
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : a < 0
⊢ sign a ≤ 0 ↔ a ≤ 0
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ xs : List α
⊢ List.filter p l₁ <+: List.filter p l₁ ++ List.filter p xs
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this✝ : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
⊢ ‖f (a', x').1 z - f (a', x').1 y - (L z - L y)‖ < s * r
𝕜✝ : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E✝ : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜 : Type u_7
E : Type u_8
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
S : Set E
⊢ IsVonNBounded 𝕜 S ↔ ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, x • S ⊆ t
G₀ : Type u_4
GroupWithZero G₀
⊢ ConjAct.ofConjAct 0 = 0
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
n k : ℕ
hk : ∀ n_1 ≥ k, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n_1)‖ < ↑p ^ (-↑n)
this : ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r (max n k))‖ ≤ ↑p ^ (-↑n)
⊢ (lift f_compat) r - ↑((f n) r).val ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖X a‖₊ ∂μ = ⊤
J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ
A : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω * Y ω‖₊ ∂μ < ⊤
⊢ False
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxi : f ∈ Set.range ⇑(ϕ i)
hxp : f ∈ ↑(⨆ j, ⨆ (_ : ¬j = i), (ϕ j).range)
⊢ f ∈ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (thickening R s) ≠ ⊤
h's : IsClosed s
⊢ Tendsto (fun r => μ (thickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ s))
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
⊢ TensorProduct.AlgebraTensorModule.congr 1 1 = 1
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
t : Set α
r : ℝ
inst✝ : ProperSpace α
hc : IsClosed ∅
hb : IsBounded ∅
⊢ IsCompact ∅
M₀ : Type u_1
Mul M₀
Zero M₀
IsLeftCancelMulZero M₀
a b c : M₀
ha : a ≠ 0
h : a * b = a * c
⊢ b = c
n : Nat
h : ¬0 < n
⊢ n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝⁴ : s ⊆ insert a u
this✝³ : t ⊆ insert a u
this✝² : insert a s ⊆ insert a u
this✝¹ : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
hat : a ∉ t
this✝ : a ∉ s ∩ t
this : a ∉ s ∪ t
⊢ ((if s ∈ 𝒜 then f₁ s else 0) + if insert a s ∈ 𝒜 then f₁ (insert a s) else 0) * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
b₂ : B
⊢ a₁ = a₁ * ↑GradedMonoid.GOne.one
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ (s ∪ t).encard + (s ∩ t).encard = s.encard + t.encard
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hV).parts
⊢ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤
  ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : Module.End R M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ⨅ m, range (f ^ m) = range (f ^ n)