ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X₁ : Type u₁
inst✝⁹ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : NormalSpace X
s✝ : Set X
hs✝ : IsClosed s✝
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y✝ : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y✝
inst✝⁵ : TietzeExtension Y✝
Y : Type v
Z : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TietzeExtension Z
ι : C(Y, Z)
r : C(Z, Y)
h : r.comp ι = ContinuousMap.id Y
X✝ : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : NormalSpace X✝
s : Set X✝
hs : IsClosed s
f : C(↑s, Y)
g : C(X✝, Z)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ι.comp f
⊢ ContinuousMap.restrict s (r.comp g) = f
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
a₁ a₂ : α
h_anti : Antitone f
h_fa : f a₁ = f a₂
i : α
h₁ : a₁ ≤ i
h₂ : i ≤ a₂
⊢ f i = f a₁
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : P →ₗ[R] M
⊢ (trace R P) (g ∘ₗ f ∘ₗ h) = (trace R N) (f ∘ₗ h ∘ₗ g)
α : Type u_1
o : Part α
⊢ o = Part.none ↔ ¬o.Dom
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
CategoryTheory.HasShift E A
F.CommShift A
G.CommShift A
a : A
X : C
⊢ ((F.comp G).commShiftIso a).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((G.commShiftIso a).inv.app (F.obj X)) (G.map ((F.commShiftIso a).inv.app X))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
⊢ ∀ a ∈ 𝓤 β, (∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (f x, F n x) ∈ a) ↔ ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ 𝓟 s, (f n.2, F n.1 n.2) ∈ a
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
⊢ Polynomial.rootMultiplicity 0 p = p.natTrailingDegree
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
w : Word M
⊢ of ((equivPair i) w).head • ((equivPair i) w).tail = w
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝³ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : Algebra K F
x : L
hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
injKxL : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥K⟮x⟯) L)
hx : IsIntegral K x
⊢ Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖k₁ x‖ ≤ c * ‖k₂ x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≤ c' * ‖g' x‖
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖k₁ x • f' x‖ ≤ c * c' * ‖k₂ x • g' x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β
⊢ (∃ b_1 ∈ t, inr b_1 = inr b) ↔ b ∈ t
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
⊢ a - b = c ↔ a = c + b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : CategoryTheory.SplitEpi f
CategoryTheory.Epi hf.section_
⊢ CategoryTheory.IsIso f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
ha : a ∈ lowerBounds s
hb : b ∈ lowerBounds t
⊢ f a b ∈ lowerBounds (Set.image2 f s t)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a,
  HasStrictFDerivAt.implicitFunctionOfComplemented f f' hf hf' hker (f x)
      (↑(HasStrictFDerivAt.implicitToPartialHomeomorphOfComplemented f f' hf hf' hker) x).2 =
    x
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
X : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ e ∈ M.closure X ↔ ∀ (F : Set α), M.Flat F → X ⊆ F → e ∈ F
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hs : Splits i f
hf0 : (map i f).natDegree ≠ 0
x : L
hx : eval₂ i x f = 0
h : (map i f).roots = 0
⊢ False
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
k : Set β := closure (image2 ϕ v s)
hk : IsCompact (k \ n)
j : Set τ → Set β := fun u => (closure (image2 ϕ (u ∩ v) s))ᶜ
hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen (j u)
hj₂ : k \ n ⊆ ⋃ u ∈ f, j u
g : Set (Set τ)
hg₁ : ∀ u ∈ g, u ∈ f
hg₂ : g.Finite
hg₃ : k \ n ⊆ ⋃ i ∈ g, j i
w : Set τ := (⋂ u ∈ g, u) ∩ v
hw₂ : w ∈ f
hw₃ : k \ n ⊆ (closure (image2 ϕ w s))ᶜ
⊢ ∃ u ∈ f, closure (image2 ϕ u s) ⊆ n
n : ℕ
⊢ (List.iota n).Nodup
α : Type u_2
_m0 : MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ (MeasureTheory.Measure.restrictₗ s) μ = μ.restrict s
G : Type u
self : SubNegMonoid G
n : ℕ
a : G
⊢ SubNegMonoid.zsmul (Int.ofNat n.succ) a = SubNegMonoid.zsmul (Int.ofNat n) a + a
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace 𝕜 W
n : ℕ∞
f : V →ᴬ[𝕜] W
⊢ ContDiff 𝕜 n ⇑f
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
a b : A
f g : End R M
⊢ (tensorProduct R A M M) ((a * b) ⊗ₜ[R] (f * g)) = (tensorProduct R A M M) (a ⊗ₜ[R] f) * (tensorProduct R A M M) (b ⊗ₜ[R] g)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
h1 : Nat.Prime (orderOf σ)
h2 : σ.support.card < 2 * orderOf σ
⊢ σ.IsCycle
α : Type v
Preorder α
⊢ ⋃ a, Set.Ici a = Set.univ
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
⊢ f =O[Filter.atTop] fun n => ↑n ^ s.re
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Nonempty α
f : ↥(lp E ⊤)
C : ℝ
hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C
⊢ C ∈ upperBounds (Set.range fun i => ‖↑f i‖)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + ((x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI) • c₁ • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (x.imI * y.imK) • c₁ • q.j) + ((x.imJ * y.re) • q.j + (x.imJ * y.imI) • -q.k + (x.imJ * y.imJ) • c₂ • 1 + (x.imJ * y.imK) • -c₂ • q.i) + ((x.imK * y.re) • q.k + (x.imK * y.imI) • -c₁ • q.j + (x.imK * y.imJ) • c₂ • q.i + (x.imK * y.imK) • -((c₁ * c₂) • 1))
α : Type u
DecidableEq α
⊢ Function.Injective FreeAddGroup.toWord
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a u' : α
s : Set α
hu' : a < u'
⊢ s ∈ 𝓝[>] a ↔ ∃ u ∈ Set.Ioc a u', Set.Ioo a u ⊆ s
f : Bool → Bool → Bool
m n : ℕ
⊢ bitwise (swap f) m n = swap (bitwise f) m n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : 𝕎 (ZMod p)
⊢ ((fromPadicInt p).comp (toPadicInt p)) x = (RingHom.id (𝕎 (ZMod p))) x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : Basis κ R ↥M
n : Basis ι R ↥N
H : LinearIndependent R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
⊢ M.LinearDisjoint N
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x y z : 𝕜⦄, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α
⊢ Monovary f g ↔ ∀ (i j : ι), 0 ≤ (f j - f i) * (g j - g i)
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty α
s : Set α
f : α → β
a : α
h : a ∈ s
⊢ Function.invFunOn f s (f a) ∈ s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommMonoid β
i : FunLike F α β
f : F
iamhc : AddMonoidHomClass F α β
CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
⊢ StrictAnti ⇑f ↔ ∀ (a : α), 0 < a → f a < 0
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
h : LieAlgebra.center R L = ⊥
⊢ Function.Injective ⇑(LieDerivation.ad R L)
X : Type u
TopologicalSpace X
p : Prop
⊢ IsOpen {_x | p}
α : Type u_1
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
s : Multiset α
⊢ (∀ x ∈ s, p x ↔ q x) → Multiset.filter p s = Multiset.filter q s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Quiver.SingleObj α ⥤q Quiver.SingleObj β
g : Quiver.SingleObj β ⥤q Quiver.SingleObj γ
⊢ Quiver.SingleObj.toPrefunctor.symm (f ⋙q g) =
  Quiver.SingleObj.toPrefunctor.symm g ∘ Quiver.SingleObj.toPrefunctor.symm f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
C' : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C'
D' : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D'
iC : CategoryTheory.Functor C C'
iD : CategoryTheory.Functor D D'
L' : CategoryTheory.Functor C' D'
R' : CategoryTheory.Functor D' C'
adj : L' ⊣ R'
hiC : iC.FullyFaithful
hiD : iD.FullyFaithful
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
comm1 : iC.comp L' ≅ L.comp iD
comm2 : iD.comp R' ≅ R.comp iC
X : D
⊢ iD.map ((adj.restrictFullyFaithful hiC hiD comm1 comm2).counit.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (comm1.inv.app (R.obj X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L'.map (comm2.inv.app X)) (adj.counit.app (iD.obj X)))
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M✝
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M✝
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
a b : R
x y : M✝
M : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
li : LinearIndependent R v
c d : R
i j : ι
hc : c ≠ 0
h : c • v i = d • v j
l : ι →₀ R := Finsupp.single i c - Finsupp.single j d
⊢ i = j
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
a : R
H : ‖↑⋯.unit‖ = 1
⊢ (starRingEnd ℂ) (φ a) = (φ a)⁻¹
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
⊢ thickening δ (closure s) = thickening δ s
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
p : ℕ
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (map f) ((expand p) φ) = (expand p) ((map f) φ)
X : Type u
TopologicalSpace X
x : Additive X
⊢ 𝓝 (Additive.toMul x) = Filter.map (⇑Additive.toMul) (𝓝 x)
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
⊢ s.max' H ≤ x ↔ ∀ y ∈ s, y ≤ x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor (CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}) C
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}),
  ((Mon_.EquivLaxMonoidalFunctorPUnit.unitIso C).inv.app X).app X_1 =
    𝟙 (X.obj (𝟙_ (CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1})))
R : Type u_1
Semiring R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
AddCommMonoid X
Module R X
y z : OreLocalization S R
x : OreLocalization S X
⊢ (y + z) • x = y • x + z • x
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
⊢ Nat.card { p // Commute p.1 p.2 } ≤ Nat.card { p // Commute p.1 p.2 }
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
⊢ ContinuousSMul 𝕜 E
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b : α
h : a ⋖ b
⊢ 𝓝[>] a = ⊥
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : Dial C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
⊢ (Subobject.pullback π(π₁, π(prod.map π₁ π₁ ≫ f.F, prod.map π₂ π₂ ≫ g.F))).obj ((Subobject.pullback (prod.map π₁ π₁)).obj X₁.rel) ⊓ (Subobject.pullback π(π₁, π(prod.map π₁ π₁ ≫ f.F, prod.map π₂ π₂ ≫ g.F))).obj ((Subobject.pullback (prod.map π₂ π₂)).obj Y₁.rel) ≤ (Subobject.pullback (prod.map (prod.map f.f g.f) (𝟙 (X₂.tgt ⨯ Y₂.tgt)))).obj ((Subobject.pullback (prod.map π₁ π₁)).obj X₂.rel) ⊓ (Subobject.pullback (prod.map (prod.map f.f g.f) (𝟙 (X₂.tgt ⨯ Y₂.tgt)))).obj ((Subobject.pullback (prod.map π₂ π₂)).obj Y₂.rel)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsExtrOn f s a
hs : s ∈ 𝓝 a
⊢ IsLocalExtr f a
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
MeasurableSingletonClass Ω
s t : Set Ω
hs : s.Finite
⊢ (ProbabilityTheory.condCount s) (s ∩ t) = (ProbabilityTheory.condCount s) t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : SchwartzMap E F
n : ℕ
x₀ : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 n) f
α : Type u_1
m : Set (MeasureTheory.OuterMeasure α)
s : Set α
h : m.Nonempty
⊢ (sInf m) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ Set.iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ μ ∈ m, μ (t n)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂ν, x ∈ spanningSets μ n → μ.rnDeriv ν x < ⊤
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ max x 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
hmain : ∀ (m : ℕ) (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-↑m - 1) * x₀) (2 ^ (-↑m) * x₀) → f z = 0
⊢ 2 ^ (-↑⌊-logb 2 (x / x₀)⌋₊ - 1) * x₀ ≤ x
V : Type u_1
α : Type u_2
MulZeroOneClass α
Nontrivial α
A : Matrix V V α
h : A.IsAdjMatrix
DecidableEq α
⊢ SimpleGraph.adjMatrix α h.toGraph = A
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
⊢ adjoin K {α} = ⊤
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p✝ : R
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed R
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
Q : A[X]
p : A
x z : B
hp : p ≠ 0
f : ℕ → A
hz : ∑ i : Fin (Q.natDegree + 1), p • f ↑i • x ^ ↑i = p • z
hf : ∀ i ∈ range (Q.natDegree + 1), Q.coeff i = p * f i
⊢ z ∈ adjoin A {x}
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Finite ι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : ι → M
⊢ LinearMap.range ((Module.piEquiv ι R M) v) = Submodule.span R (Set.range v)
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
⊢ sᶜ =ᵐ[μ] tᶜ ↔ s =ᵐ[μ] t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ⊓ b ∆ c = (a ⊓ b) ∆ (a ⊓ c)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
hj : ¬c.Rel j (c.next j)
⊢ HomologicalComplex.homotopyCofiber.inlX φ j i hij ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.d φ i j =
  φ.f j ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.inrX φ j
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y Z : C
f : J → C
g h : X ⟶ Y ⊗ Z ⊗ ⨁ f
w : ∀ (j : J), g ≫ Y ◁ Z ◁ biproduct.π f j = h ≫ Y ◁ Z ◁ biproduct.π f j
⊢ g ≫ (α_ Y Z (⨁ f)).inv = h ≫ (α_ Y Z (⨁ f)).inv
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
⊢ count a (b :: l) = count a l + if a = b then 1 else 0
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume
hf_top : f =O[Filter.atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ Int.fract (a - 1) = Int.fract a
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Finset.Ioo a b ⊆ Finset.Ioc a b
R : Type u_2
Semiring R
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
φ : PowerSeries R
⊢ φ.order = multiplicity PowerSeries.X φ
p : ZFSet → Prop
x : ZFSet
⊢ ZFSet.Hereditarily p x → p ∅
n m k : Nat
⊢ k ≤ m → n - k ≤ m - k → n ≤ m
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ ((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))).pt ≅ H.cone.pt
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hfp : MeasureTheory.eLpNorm f p μ < ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ < ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X₁ X₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.binaryProductTriangle X₁ X₂).obj₃ = X₂
a b c : Int
h : c - a < c - b
⊢ b < a
α : Type u
LE α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
a b : α
⊢ ∃ c ≤ a, c ≤ b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : E × F
⊢ HasStrictFDerivAt Prod.fst (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 E F) p
α : Type u
l : List α
⊢ l.reverse.Nodup ↔ l.Nodup
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
y : L₂
hy : y ∈ f.range
⊢ ∃ a, f.rangeRestrict a = ⟨y, hy⟩
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : ↥N
h : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ∃ z ∈ ⁅J, N⁆, ⁅↑⟨x₁, hx₁⟩, ↑n⁆ + z = m
α : Type u_1
F : Type u_3
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
NormedSpace ℝ F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
⊢ (MeasureTheory.condexpInd F hm μ s) (c • x) = c • (MeasureTheory.condexpInd F hm μ s) x
x : ℂ
⊢ Complex.sin x = -1 ↔ ∃ k, -(↑Real.pi / 2) + ↑k * (2 * ↑Real.pi) = x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℤ
this : ‖↑k‖ < 1 ↔ ↑p ∣ k
⊢ ‖↑k‖ < 1 ↔ ↑p ∣ k
⊢ ∀ ⦃R S T : Type u_1⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], (algebraMap R T).FinitePresentation → Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom.FinitePresentation
α : Type u_2
DecidableEq α
BooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ (s ∩ t).compls = s.compls ∩ t.compls
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
f' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => ENNReal.ofReal (f n a - f 0 a)
F' : α → ℝ≥0∞ := fun a => ENNReal.ofReal (F a - f 0 a)
hf'_int_eq : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), f i a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
hF'_int_eq : ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), F a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
h_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F' a ∂μ))
h_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f' i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f' i a ≤ F' a
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f' i a) atTop (𝓝 (F' a))
a : α
ha : Tendsto (fun i => f' i a) atTop (𝓝 (F' a))
ha_mono : Monotone fun i => f i a
ha_bound : ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h1 : (fun i => f i a) = fun i => (f' i a).toReal + f 0 a
h2 : F a = (F' a).toReal + f 0 a
⊢ Tendsto (fun i => (f' i a).toReal + f 0 a) atTop (𝓝 ((F' a).toReal + f 0 a))
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)
hxp : orderOf f ∣ ∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)
⊢ f = 1
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hb : Acc r b
h : r a b
⊢ succ ⋯.rank ≤ succ ⋯.rank
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
this✝ : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable ↑b
A : Type u_3 := { p // Disjoint ↑p.1 ↑p.2 }
q : A → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' ↑(↑p).1 ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' ↑(↑p).2) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : ↑b → Set β := fun s => closure (f '' ↑s) ∩ ⋂ t, ⋂ (ht : Disjoint ↑s ↑t), q ⟨(s, t), ht⟩ \ q ⟨(t, s), ⋯⟩
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β := fun n => ⋃ s, ⋃ (_ : Bornology.IsBounded ↑s ∧ diam ↑s ≤ u n), E s
⊢ range f ⊆ ⋂ n, F n