ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
u v : Finset α
ε : 𝕜
⊢ (u, v) ∈ P.sparsePairs G ε ↔ u ∈ P.parts ∧ v ∈ P.parts ∧ u ≠ v ∧ ↑(G.edgeDensity u v) < ε
α : Sort u_2
β : Sort u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (a : α) → P a
b : β
x : P (e.symm b)
⊢ (Equiv.piCongrLeft' P e) (Function.update f (e.symm b) x) = Function.update ((Equiv.piCongrLeft' P e) f) b x
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
x : α
s : Set (Set α)
hs : s ∈ (Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ a ∈ (Besicovitch.vitaliFamily μ).setsAt x, a ⊆ closedBall x ε → a ∈ s
this : Ioc 0 ε ∈ 𝓝[>] 0
⊢ (fun r => closedBall x r) ⁻¹' s ∈ 𝓝[>] 0
f : ℂ → ℂ
f' x c : ℂ
hf : HasDerivAt f f' x
h0 : c ≠ 0 ∨ f x ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun x => c ^ f x) (c ^ f x * Complex.log c * f') x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
β' : Type u_4
f : β ↪ γ
g : α ↪ β
f' : α ↪ β'
g' : β' ↪ γ
h_comm : ∀ (a : α), f (g a) = g' (f' a)
⊢ map f (map g s) = map g' (map f' s)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ ¬x ⤳ y ↔ ∃ S, IsOpen S ∧ y ∈ S ∧ x ∉ S
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
hP : P.IsEquipartition
hε : 0 ≤ ε
⊢ ↑((P.sparsePairs G ε).biUnion fun x =>
        match x with
        | (U, V) => G.interedges U V).card ≤
  4 * ε * ↑A.card ^ 2
ι : Type u_4
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
s : Finset ι
f a : ι → E
d : ι → ℝ
h : ∀ b ∈ s, dist (f b) (a b) ≤ d b
⊢ dist (∑ b ∈ s, f b) (∑ b ∈ s, a b) ≤ ∑ b ∈ s, d b
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
⊢ ↑MF ⊨ φ
K : Type u_2
L : Type u_3
Field K
Field L
Algebra K L
E : Type u_1
Field E
Algebra K E
IsAlgClosed E
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
x : L
hxL : Algebra.adjoin K {x} = ⊤
r : ℕ
hr : r < FiniteDimensional.finrank K L
⊢ ∑ σ : L →ₐ[K] E,
    Polynomial.map (↑σ) ((x ^ r / (Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative (minpoly K x))) • minpolyDiv K x) =
  Polynomial.X ^ r
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ a < ↑⌊a⌋ + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν
h_sing : μ.singularPart ν ⟂ₘ ν
⊢ (μ.singularPart ν) h_sing.nullSet + (μ.singularPart ν) h_sing.nullSetᶜ = 0
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsDomain R
IsDomain S
IsDedekindDomain R
IsDedekindDomain S
Module.Finite R S
Module.Free R S
⊢ (Ideal.relNorm R) ⊥ = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.HasForget₂ C Ab
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).PreservesZeroMorphisms
S : CategoryTheory.ShortComplex C
x : ↑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).obj S.X₁)
⊢ ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map S.g) (((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map S.f) x) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(Set.range ⇑f)ᶜ)
⊢ ∃ g, ∀ (x : ↑s), g ↑x = f x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
r : R
j : ℕ
m : M
⊢ (monomial i) r • (single R j) m = (single R (i + j)) (r • m)
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
h_anti : StrictAntiOn (deriv f) (interior D)
⊢ StrictMonoOn (deriv (-f)) (interior D)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
AddZeroClass α
AddZeroClass β
f : α →+o β
⊢ f.comp (OrderAddMonoidHom.id α) = f
α : Type u
β : Type u_1
a b n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range n, a / b ^ (i + 1) * b + a * b - (∑ i ∈ range n, a / b ^ i + a / b ^ n) ≤ ∑ i ∈ range n, a / b ^ i + a * b - (∑ i ∈ range n, a / b ^ i + a / b ^ n)
α : Type u_1
LinearOrder α
⊢ IsPiSystem (Set.range Set.Iio)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hf : liminf (fun i => ↑(Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤
hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => |x i|
⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
L : Type u_4
Field L
C : Type u_5
CommRing C
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
Algebra C L
IsIntegralClosure C A L
Algebra A C
IsScalarTower A C L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
IsIntegrallyClosed A
⊢ LinearMap.range (↑A (Algebra.linearMap C L)) ≤ Submodule.span A (Set.range ⇑((Algebra.traceForm K L).dualBasis ⋯ b))
α : Type u_1
E' : Type u_6
𝕜 : Type u_15
SeminormedAddCommGroup E'
NormedDivisionRing 𝕜
Module 𝕜 E'
BoundedSMul 𝕜 E'
f : α → E'
g : α → 𝕜
l : Filter α
h : f =o[l] g
⊢ Filter.Tendsto (fun x => (g x)⁻¹ • f x) l (𝓝 0)
K : Type u_2
Field K
F : Type u_3
Field F
Algebra K F
Algebra.IsSeparable K F
FiniteDimensional K F
CharZero K
x : 𝓞 F
⊢ IsUnit ((RingOfIntegers.norm K) x) ↔ IsUnit x
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : LiftPropAt P g x
⊢ LiftPropWithinAt P g s x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
⊢ Icc a b ⊆ Iic b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x z : E
hz : z ∈ s
hxz : dist x z < ε + δ
⊢ ∃ z, (∃ z_1 ∈ s, dist z z_1 < δ) ∧ dist x z < ε
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
c : F
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y + c) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsBezout R
a b c : R
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
h : Associated (c ^ k) (a * b)
⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : (∡ p₁ p₂ p₃).sign ≠ 0
⊢ p₁ ≠ p₃
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
s : Stream' α
x✝ : a ∈ s.odd
n : ℕ
h : (fun b => a = b) (s.odd.get n)
⊢ (fun b => a = b) (s.get (2 * n + 1))
α : Type u
LT α
WellFoundedGT α
C : α → Prop
a : α
⊢ (∀ (x : α), (∀ (y : α), x < y → C y) → C x) → C a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
⊢ Tendsto (fun x => g x + f x) l atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk✝ : Nat.Partrec k
H : ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ k a, (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨ x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧ ((k a).Dom ↔ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom
hk : (k (encode a)).Dom
⊢ (↑(decode ((k (encode a)).get hk))).Dom
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ (PartialEquiv.refl α).prod (PartialEquiv.refl β) = PartialEquiv.refl (α × β)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H = ⊥ ↔ Nat.card ↥H = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
a : α
⊢ stieltjesOfMeasurableRat (fun p => f p.2) ⋯ ((), a) = stieltjesOfMeasurableRat f hf a
p : ENNReal
h : p ≤ 1
n : ℕ
⊢ (PMF.binomial p h n) 0 = (1 - p) ^ n
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ ∑ i ∈ s, w i * z i ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p) ^ (1 / p)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
hI : RingHom.ker f ≤ I
⊢ Function.Injective ⇑(Ideal.Quotient.lift I f H)
α✝ β : Type u
α : Type (max u v)
inst✝ : Small.{v, max u v} α
⊢ lift.{u, v} #(Shrink.{v, max u v} α) = #α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)) (η (a, x))) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a) ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) (η (a, x))) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsMarkovKernel η
x : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β), (η (x, b)) {c | b ∈ s} ∂κ x = (κ x) s
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
TopologicalSpace β
a b : α
f : α → β
h : a < b
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Ioo a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Set.Ioi a) a
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < b → b < a → c ≠ 0
⊢ (a - b) * c⁻¹ = a * c⁻¹ - b * c⁻¹
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n
⊢ minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
e : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ Equiv.Perm.sign (Equiv.Perm.decomposeFin.symm (p, e)) = (if p = 0 then 1 else -1) * Equiv.Perm.sign e
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
hε : 0 ≤ ε
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
⊢ ↑(G.interedges (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t).card ≤ (↑(G.edgeDensity s t) - ε) * (↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card * ↑t.card)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
MeasurableSpace E
BorelSpace E
f f' : E → F
μ : MeasureTheory.Measure E
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hf' : MeasureTheory.LocallyIntegrable f' μ
h : ∀ (g : E → ℝ), ContDiff ℝ ⊤ g → HasCompactSupport g → ∫ (x : E), g x • f x ∂μ = ∫ (x : E), g x • f' x ∂μ
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, f x = f' x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Mon_ (CategoryTheory.Functor C C)
⊢ (CategoryTheory.Monad.monToMonad C).obj M = CategoryTheory.Monad.ofMon M
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.xz a1 (n + 2) = ↑(2 * a) * Pell.xz a1 (n + 1) - Pell.xz a1 n
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ (↑0 ^ (n + 1))⁻¹ = (↑0)⁻¹ ^ (n + 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
self : CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.Hom.id S).f₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.L₁
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
hn : 0 < k.succ
⊢ (∏ x ∈ Finset.range k, (↑x + 1 + 1) * (↑k + 1)⁻¹) * (↑k + 1)⁻¹ ≤ (↑k + 1)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
s : Finset α
p : β → Prop
DecidablePred p
⊢ Finset.filter p (Finset.map f s) = Finset.map f (Finset.filter (p ∘ ⇑f) s)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} D₁
CategoryTheory.Category.{u_11, u_5} D₂
CategoryTheory.Category.{u_12, u_6} D₃
H₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
R₁ : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
H₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
w : CategoryTheory.TwoSquare H₁ L₁ R₁ H₂
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ C₃
R₂ : CategoryTheory.Functor D₂ D₃
H₃ : CategoryTheory.Functor C₃ D₃
w' : CategoryTheory.TwoSquare H₂ L₂ R₂ H₃
L₁₂ : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R₁₂ : CategoryTheory.Functor D₁ D₃
eL : L₁.comp L₂ ≅ L₁₂
eR : R₁.comp R₂ ≅ R₁₂
X : C₁
⊢ (w.vComp' w' eL eR).app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (eR.inv.app (H₁.obj X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (R₂.map (w.app X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (w'.app (L₁.obj X)) (H₃.map (eL.hom.app X))))
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G → H
hf : IsAddGroupHom f
a b : G
⊢ f a = f b ↔ f (-a + b) = 0
α : Type u_1
LinearOrder α
Add α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₁ + b₁ ≤ a₂ + b₂ → a₁ ≤ a₂ ∨ b₁ < b₂
α : Type u
β : Type v
f : α ↪ β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ Finset.map f s ⊆ t ↔ s ⊆ t.preimage ⇑f ⋯
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e e' : Trivialization F proj
⊢ (e.symm.trans e'.toPartialEquiv).target = (e.baseSet ∩ e'.baseSet) ×ˢ Set.univ
α : Type u_1
Finite α
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : ¬p x
⊢ ¬q (e.extendSubtype x)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this : (t v * t w) • (f'' v) w = (t v * t w) • (f'' w) v
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
n : Type u_3
R : Type u_6
Fintype n
AddCommMonoid R
l : List (Matrix n n R)
⊢ l.sum.trace = (List.map Matrix.trace l).sum
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l m : Language α
a b x✝ : List α
l₁ l₂ m₁ m₂ : Language α
h₁ : l₁ ≤ m₁
h₂ : l₂ ≤ m₂
x : List α
hx : x ∈ l₁ * l₂
⊢ x ∈ m₁ * m₂
α : Type u_1
xs : List α
p : α → Bool
w : List.findIdx? p xs = none
i : Nat
⊢ match xs.get? i with
| some a => ¬p a = true
| none => true = true
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
f : Y ⟶ X
x : FamilyOfElements P S.arrows
h : x.Compatible
⊢ (FamilyOfElements.pullback f x).Compatible
num✝¹ : Int
den✝¹ : Nat
den_nz✝¹ : den✝¹ ≠ 0
reduced✝¹ : num✝¹.natAbs.Coprime den✝¹
g₁ : Nat
zg₁ : g₁ ≠ 0
z₁ : den✝¹ * g₁ ≠ 0
e₁ : normalize (num✝¹ * ↑g₁) (den✝¹ * g₁) z₁ = { num := num✝¹, den := den✝¹, den_nz := den_nz✝¹, reduced := reduced✝¹ }
num✝ : Int
den✝ : Nat
den_nz✝ : den✝ ≠ 0
reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝
g₂ : Nat
zg₂ : g₂ ≠ 0
z₂ : den✝ * g₂ ≠ 0
e₂ : normalize (num✝ * ↑g₂) (den✝ * g₂) z₂ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }
⊢ normalize (num✝¹ * ↑den✝ + num✝ * ↑den✝¹) (den✝¹ * den✝) ⋯ = normalize (num✝¹ * ↑g₁ * ↑(den✝ * g₂) + num✝ * ↑g₂ * ↑(den✝¹ * g₁)) (den✝¹ * g₁ * (den✝ * g₂)) ⋯
α β : Type u
m : Type u → Type u
Applicative m
F : α → m β
⊢ Function.comp (traverse F) ∘ HAdd.hAdd = fun x y =>
  Seq.seq ((fun x x_1 => x + x_1) <$> traverse F x) fun x => traverse F y
t : Type u → Type u
Traversable t
self : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β : Type u
f : α → F β
x : t α
⊢ (fun {α} => η.app α) (traverse f x) = traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Multiset α
⊢ (toFinsupp m).multinomial = (card m).choose (count a m) * (toFinsupp (filter (fun x => a ≠ x) m)).multinomial
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) (choose ⋯))⁻¹ * ↑(choose ⋯)
w : HeightOneSpectrum R
⊢ count K w I = ↑((Associates.mk w.asIdeal).count (Associates.mk (choose ⋯)).factors) - ↑((Associates.mk w.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors)
α : Type u_1
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
f : α → γ
hf : ClosedEmbedding f
⊢ Measurable f
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : ¬p = 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ p.mirror.natDegree = p.natDegree
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
s : Y ⟶ X
hs : W s
L : CategoryTheory.Functor C D
hL : W.IsInvertedBy L
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L.map s) ((CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.ofInv s hs).map L hL) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.obj Y)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
ncs : CauSeq ℤ_[p] norm
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
ncs_der_val :
  ∀ (n : ℕ), ‖Polynomial.eval (↑ncs n) (Polynomial.derivative F)‖ = ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
⊢ ‖Polynomial.eval ncs.lim (Polynomial.derivative F)‖ = ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
w₀ : { w // w.IsComplex }
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ convexBodyLT' K f w₀
⊢ -x ∈ convexBodyLT' K f w₀
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
u : V
hu : u ≠ 0
v : V
hv : v ≠ 0
h : ∃ z, z • u = v
⊢ mk K u hu = mk K v hv
R : Type u
CommRing R
X : Type v
AddCommGroup X
Module R X
Coalgebra R X
⊢ (CoalgebraCat.of R X).isModule = inst✝
α : Type u
NonAssocRing α
a b : α
⊢ (1 - a) * b = b - a * b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
CategoryTheory.Limits.HasImage f.hom
CategoryTheory.Limits.HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
self : CategoryTheory.Limits.HasImageMap sq
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.ImageMap sq)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m✝ n✝ : ℤ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
mn : m < n
⊢ 1 / a ^ n < 1 / a ^ m
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ n) =
  wittStructureRat p ((MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s t : Set E
x y✝ : E
r : ℝ≥0
c : 𝕜
y : E
hy : ‖y‖₊ ≤ r
⊢ ↑‖c‖₊ * ↑‖y‖₊ ≤ ↑‖c‖₊ * ↑r
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
f : G →* R
hf : Injective ⇑f
⊢ IsCyclic G
M : Type u_1
Mul M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : Subsemigroup.closure s = ⊤
mem : ∀ x ∈ s, p x
mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
⊢ p x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
U : TopologicalSpace.Opens M
f : M → M'
x : ↥U
⊢ ContMDiffAt I I' n (fun x => f ↑x) x ↔ ContMDiffAt I I' n f ↑x
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
toFun : M → N
toFun_smul : ∀ (a : R) (x : M), toFun (a • x) = (a * a) • toFun x
polar_add_left : ∀ (x x' y : M), polar toFun (x + x') y = polar toFun x y + polar toFun x' y
polar_smul_left : ∀ (a : R) (x y : M), polar toFun (a • x) y = a • polar toFun x y
x✝¹ x✝ : M
⊢ toFun (x✝¹ + x✝) = toFun x✝¹ + toFun x✝ + polar toFun x✝¹ x✝
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ LipschitzWith ‖↑e‖₊ ⇑e
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g✝ : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hle : ∀ x ∈ Ioc a b, f x ≤ g x
hlt : (volume.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} = 0
h_eq : f =ᶠ[ae (volume.restrict (Icc a b))] g
⊢ ∀ c ∈ Icc a b, g c ≤ f c
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ : MeasureTheory.Measure α
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ₁ s = μ₂ s
⊢ μ₁ = μ₂
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
⊢ Memℓp (fun i => 0) p
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
⊢ Continuous ⇑e