ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
m : (i : Fin n) → Ei i.castSucc
x : Ei (last n)
⊢ ‖f‖ * ∏ i : Fin (n + 1), ‖snoc m x i‖ = (‖f‖ * ∏ i : Fin n, ‖m i‖) * ‖x‖
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
k✝ : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
k : ℕ
ih : k ≤ Fintype.card α → ∑ r ∈ range (k + 1), ↑(𝒜 # (Fintype.card α - r)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - r)) ≤ ↑(falling (Fintype.card α - k) 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - k))
hk : k + 1 ≤ Fintype.card α
⊢ ∑ r ∈ range (k + 1 + 1), ↑(𝒜 # (Fintype.card α - r)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - r)) ≤ ↑(falling (Fintype.card α - (k + 1)) 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - (k + 1)))
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n
⊢ C ⅟↑p ^ n - (∑ x ∈ Finset.range n, C ↑p ^ x * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x)) * C ⅟↑p ^ n = 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
NormedAddCommGroup E
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ≥0
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
htendsto : Filter.Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 ↑I)
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
ι : Sort u_8
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : ι → AffineSubspace k P₂
⊢ AffineSubspace.comap f (iInf s) = ⨅ i, AffineSubspace.comap f (s i)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_14, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_13, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_12, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_11, u_4} C₄
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄))
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
Y : C₄
j : J
((((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
φ φ' : CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ j ⟶ Y
h :
  ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (i₃ : I₃) (h : p (i₁, i₂, i₃) = j),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h) φ =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h)
        φ'
⊢ φ = φ'
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hg : ∀ (b : δ), IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
⊢ Measurable g
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} D₁
CategoryTheory.Category.{u_11, u_5} D₂
CategoryTheory.Category.{u_12, u_6} D₃
H₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
R₁ : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
H₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
w : CategoryTheory.TwoSquare H₁ L₁ R₁ H₂
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ C₃
R₂ : CategoryTheory.Functor D₂ D₃
H₃ : CategoryTheory.Functor C₃ D₃
w' : CategoryTheory.TwoSquare H₂ L₂ R₂ H₃
X : C₁
⊢ (w.vComp w').app X = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (R₂.map (w.app X)) (w'.app (L₁.obj X))
α : Type u
β : Set α
γ : Set ↑β
a : α
ha :
  a ∈ do
    let a ← γ
    pure ↑a
⊢ ⟨a, ⋯⟩ ∈ γ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
f₂ : E → F × G
f₂' : E →L[𝕜] F × G
h : HasFDerivAt f₂ f₂' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => (f₂ x).2) ((ContinuousLinearMap.snd 𝕜 F G).comp f₂') x
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ
ha' : [[a, x]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ
hb' : [[b, x]] ⊆ (t.ordSeparatingSet s).ordConnectedSectionᶜ
⊢ x ∈ ⊥
G : Type u_2
AddGroup G
s : Set Gᵃᵒᵖ
⊢ (AddSubgroup.closure s).unop = AddSubgroup.closure (AddOpposite.op ⁻¹' s)
b✝ x y : ℝ
b : ℕ
r : ℝ
hb : 1 < b
hr✝ : 0 ≤ r
hr : 0 < r
hb1' : 1 < ↑b
⊢ ⌈logb (↑b) r⌉ = Int.clog b r
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimit (constPUnitFunctor C)
x✝ : Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})
h : colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1}
this : Nonempty C
⊢ IsConnected C
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ a - b ≤ 0 ↔ a ≤ b
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
h3 : K ≠ ⊤
h4 : (comap K.subtype N).index = N.index
h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G
h6 : (Nat.card ↥(comap K.subtype N)).Coprime (comap K.subtype N).index
H : Subgroup ↥K
hH : Nat.card ↥(map K.subtype H) = N.index
h7 : Nat.card ↥N * Nat.card ↥(map K.subtype H) = Nat.card G
h8 : (Nat.card ↥N).Coprime (Nat.card ↥(map K.subtype H))
⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
θ : Angle
⊢ θ.sin ≠ 0 ↔ θ ≠ 0 ∧ θ ≠ ↑π
Ω✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace E✝
m✝ : MeasurableSpace Ω✝
ℙ✝ : Measure Ω✝
μ✝ : Measure E✝
F✝ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace F✝
ν✝ : Measure F✝
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
hX : AEMeasurable X ℙ
g : E → F
hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν
hmap : (map g (map X ℙ)).HaveLebesgueDecomposition ν
hmX : Measurable X
⊢ map g (map X ℙ) ≪ ν
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
Fintype σ
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.esymm σ R n = ∑ t : { s // s.card = n }, ∏ i ∈ ↑t, MvPolynomial.X i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (CategoryTheory.inv f).op = CategoryTheory.inv f.op
R : Type u_1
η : Type u_2
Semiring R
Finite η
x : η → R
i : η
⊢ ((Pi.basisFun R η).repr x) i = x i
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
hπ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.iCondIndepSets m' hm' (fun i => {s i}) μ ↔
  ∀ (S : Finset ι), μ[(⋂ i ∈ S, s i).indicator fun ω => 1|m'] =ᵐ[μ] ∏ i ∈ S, μ[(s i).indicator fun ω => 1|m']
G : Type u_2
AddGroup G
H : AddSubgroup G
b : { b // (fun x => x ∈ H.op) b }
⊢ ↑(H.equivOp.symm b) = AddOpposite.unop ↑b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
G.Full
G.Faithful
(F.comp G).Initial
⊢ G.Initial
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
p : Submodule R M
⊢ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(Submodule.map f p)) ≤ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R ↥p)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
h : a₂ ≠ 0
⊢ HasSum (fun i => f i / a₂) (a₁ / a₂) ↔ HasSum f a₁
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
GroupWithZero α
MulDistribMulAction α M
a : α
ha : a ≠ 0
S T : Submonoid M
⊢ a • S ≤ T ↔ S ≤ a⁻¹ • T
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
P : K[X]
k✝ : ℕ
sep : P.Separable
nil : minpoly K f ∣ P ^ k✝
ff : ↥(adjoin K {f}) := ⟨f, ⋯⟩
P' : K[X] := derivative P
nil' : IsNilpotent ((aeval ff) P)
sep' : IsUnit ((aeval ff) P')
s : End K V
mem : s ∈ adjoin K {f}
hss : (aeval ⟨s, mem⟩) P = 0
k : ℕ
hk : (ff - ⟨s, mem⟩) ^ k = 0
⊢ s.IsSemisimple
α : Type u_1
SemilatticeInf α
a b c : α
hca : c ⩿ a
hcb : c ⩿ b
hab : a ≠ b
⊢ a ⊓ b = c
α : Type u_1
l : Filter α
u v : α → ℝ
⊢ ((fun x => |u x|) =O[l] fun x => |v x|) ↔ u =O[l] v
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ ⌊1⌋₊ = 1
α : Type u_1
inst✝ : Encodable α
a : α
⊢ (down a).up = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
⊢ span 𝕜 (Set.range (gramSchmidtNormed 𝕜 f)) = span 𝕜 (Set.range (gramSchmidt 𝕜 f))
α : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
f : Filter α
g : Filter β
m : α → β' → γ
n : β → β'
m' : α → β → δ
n' : δ → γ
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β), m a (n b) = n' (m' a b)
⊢ Filter.map₂ m f (Filter.map n g) = Filter.map n' (Filter.map₂ m' f g)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
f : α ↪ β
t : Finset β
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique ↑t ↔ t.card ≤ 1 ∨ ∃ s, G.IsClique ↑s ∧ Finset.map f s = t
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ (C (W.preΨ' (2 * (m + 2) + 1)) * if Even (2 * (m + 2) + 1) then W.ψ₂ else 1) = (C (W.preΨ' (m + 4)) * if Even (m + 4) then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 2)) * if Even (m + 2) then W.ψ₂ else 1) ^ 3 - (C (W.preΨ' (m + 1)) * if Even (m + 1) then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 3)) * if Even (m + 3) then W.ψ₂ else 1) ^ 3 + W.toAffine.polynomial * (16 * W.toAffine.polynomial - 8 * W.ψ₂ ^ 2) * C (if Even m then W.preΨ' (m + 4) * W.preΨ' (m + 2) ^ 3 else -W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) ^ 3)
α : Type u_2
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Interval α
⊢ s - ⊥ = ⊥
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ
h : x ∈ Metric.ball y ε
⊢ ∃ ε' < ε, x ∈ Metric.ball y ε'
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
h : X ≃ₜ Y
f : Z → X
⊢ Continuous (⇑h ∘ f) ↔ Continuous f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = 0 ↔ ∡ p₃ p₂ p₁ = 0
X : Type u
TopologicalSpace X
b : Set (Set X)
hb : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis b
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
⊢ ∃ s, U = ⋃₀ (Subtype.val '' ↑s)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
h : ∑' (x : α), s.indicator (⇑p) x = 1
a : α
hap : a ∈ p.support
⊢ a ∈ s
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'_mono : MonotoneOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
M : Type u_1
MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → M
Inf M
MeasurableInf₂ M
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (f ⊓ g) μ
α : Type u_1
CancelMonoidWithZero α
PartialOrder α
PosMulReflectLT α
⊢ PosMulReflectLE α
H : AddSubgroup ℤ
⊢ ∃ a, H = AddSubgroup.closure {a}
G : Type u_1
Monoid G
x : G
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
h : n < orderOf x
⊢ x ^ n ≠ 1
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
t : Set δ
g : δ → α
b : δ
hf : IsMaxOn f s a
hg : Set.MapsTo g t s
ha : g b = a
⊢ IsMaxOn (f ∘ g) t b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x✝ : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
x y z : α ⊕ β ⊕ γ
⊢ (graph t).Adj x y → (graph t).Adj x z → (graph t).Adj y z → ∃ a b c, {in₀ a, in₁ b, in₂ c} = {x, y, z} ∧ (graph t).Adj (in₀ a) (in₁ b) ∧ (graph t).Adj (in₀ a) (in₂ c) ∧ (graph t).Adj (in₁ b) (in₂ c)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
⊢ Function.Surjective fun g => a * g
X : Type u
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ Path.delayReflLeft 0 γ = (Path.refl x).trans γ
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ Subsingleton (AddSubgroup G) ↔ Subsingleton G
α : Type u_2
Add α
s₁ s₂ t : Set α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ + t ⊆ s₂ + t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a : Option α
b : Option β
f : α → β → γ
g : γ → δ
⊢ Option.map g (Option.map₂ f a b) = Option.map₂ (fun a b => g (f a b)) a b
x n : Nat
h₂ : x < 2 ^ n
i : Nat
⊢ (2 ^ n - (x + 1)).testBit i = (decide (i < n) && !x.testBit i)
p x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
⊢ LiouvilleWith p (↑r - x)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
CommRing R
m : ℤ
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ WittVector.init n (m • x) = WittVector.init n (m • WittVector.init n x)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ fract a + fract b ≤ fract (a + b) + 1
α✝ : Type u
β✝ : Type v
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set β)
f : α → β
h : ∀ a ∈ b, IsOpen (f ⁻¹' a)
⊢ t ≤ generateFrom (preimage f '' b)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
⊢ (f ⊔ g).LimZero
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
y : ℤ
h : x = ↑y ∧ y * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n
⊢ ↑n ∣ x.valMinAbs - y
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : SuccOrder α
h : IsSuccLimit (succ a)
⊢ IsMax a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x
hp_sup : p s.prod
⊢ f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice β
S : Set (Set α)
f : α → β
⊢ ⨅ x ∈ ⋃₀ S, f x = ⨅ s ∈ S, ⨅ x ∈ s, f x
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
s : Set ι
t : ι → Set α
hc : s.Countable
this : Encodable ↑s
⊢ μ.restrict (⋃ i ∈ s, t i) = ν.restrict (⋃ i ∈ s, t i) ↔ ∀ i ∈ s, μ.restrict (t i) = ν.restrict (t i)
T : Type w
CommRing T
p : Polynomial T
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
⊢ (-p).rootSet S = p.rootSet S
G : Type w
TopologicalSpace G
Inv G
Mul G
ContinuousMul G
ContinuousInv G
h : G
⊢ Continuous fun g => g * h * g⁻¹
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
Fintype ι
Nonempty ι
p : ι → P
⊢ FiniteDimensional.finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) + 1 ≤ Fintype.card ι
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a b : X
γ : Path a b
⊢ γ.truncate 0 1 = γ.cast ⋯ ⋯
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
a b : ℤ
⊢ shiftFunctorAdd (Triangle C) a b = shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
y : ↑(Icc (x + R) (x + S))
A : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ |x| ^ (-b)
⊢ c * ‖|↑y| ^ (-b)‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
⊢ AffineMap.fst.linear = LinearMap.fst k V1 V2
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
⊢ (p.scaleRoots s).Monic ↔ p.Monic
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : Finite G
m : ℕ
hn : p ^ n ≤ p ^ m
hm : Nat.card G = p ^ m
⊢ p ^ n ∣ p ^ m
α : Type u_1
p : PMF α
⊢ ∑' (a : α), p a ≠ ⊤
a b : Prop
h : (a ∧ b) = True
⊢ a = True
α : Type u
f g : CategoryTheory.MonoOver α
t : f ⟶ g
⊢ (Types.monoOverEquivalenceSet α).functor.map t = CategoryTheory.homOfLE ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hμs : μ s = ⊤
x : G
⊢ condexpIndL1 hm μ s x = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
g✝ : C(X, Z)
h✝ : FactorsThrough ⇑g✝ ⇑f
g : C(Y, Z)
x✝¹ x✝ : X
h : f x✝¹ = f x✝
⊢ (g.comp f) x✝¹ = (g.comp f) x✝
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
S : Set (RingCon R)
⊢ sSup S = ringConGen fun x y => ∃ c ∈ S, c x y
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
⊢ (X.restrictFunctor.map i).left ≫ V.ι = U.ι
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c : Concept α β r
⊢ c.swap.toProd = c.swap
M : Type u_2
Mul M
S T : Subsemigroup M
x : M
⊢ x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
n : ℤ
⊢ Squarefree n.natAbs ↔ Squarefree n
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hzpos : 0 < z
⊢ h.IsPrimitiveClassified
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : Set α
h : f a = 1
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
h : ∀ x ∉ s, f x = 0
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : Group H
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MulAction H β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
h : IsFundamentalDomain G s μ
g g' : G
⊢ (fun g' => g * g' * g⁻¹) ((fun g' => g⁻¹ * g' * g) g') = g'
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ p ^ n ∣ 0 ↔ 0 = 0 ∨ n ≤ padicValNat p 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
U : C
s : (CategoryTheory.forget A).obj (G.obj (Opposite.op U))
V : C
i : V ⟶ U
⊢ (CategoryTheory.Presheaf.imageSieve f s).arrows i = ∃ t, (f.app (Opposite.op V)) t = (G.map i.op) s
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
x : ↥(unitary R)
⊢ ↑(unitary.toUnits x) = ↑x
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
MetricSpace X
MetricSpace Y
Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y z : Y
⊢ Metric.glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inr z) ≤
  Metric.glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inr y) + Metric.glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr y) (Sum.inr z)
i₁ i₂ : Nat
⊢ { byteIdx := i₁ } < { byteIdx := i₂ } ↔ i₁ < i₂
𝕂 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕂
inst✝ : CharZero 𝕂
x : 𝕂
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝕂).radius
⊢ HasStrictDerivAt (exp 𝕂) (exp 𝕂 x) x
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
x : idx × ℕ
hx : x ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars
⊢ x ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set X
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ closure K ⊆ U
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Monoid M
Monoid N
Monoid P
x : N
⊢ (Monoid.MulEquiv.coprodAssoc M N P).symm (Monoid.Coprod.inr (Monoid.Coprod.inl x)) =
  Monoid.Coprod.inl (Monoid.Coprod.inr x)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
ha : a ∉ s
⊢ insert a s \ s = {a}
α : Type u
self : SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ a ≤ c → b ≤ c → a ⊔ b ≤ c
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
ValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
⊢ Associated p q
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : Nontrivial n
i j j' : n
hj' : j' ≠ j
⊢ adjugate 0 i j = 0 i j
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ ⟂ₘ s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
Semiring B
StarRing B
Algebra R B
StarModule R B
f : A →⋆ₐ[R] B
⊢ GaloisConnection (StarSubalgebra.map f) (StarSubalgebra.comap f)
n r : ℕ
hr : 0 < r
⊢ (SimpleGraph.turanGraph n r).CliqueFree (r + 1)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
A : Icc a b ⊆ s
⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')
⊢ QuasiIso (φ ≫ φ')
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : FractionalIdeal S P
i j : P
hi : i ∈ I
hj : j ∈ J
⊢ i * j ∈ I * J
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
t : Set β
⊢ (s +ᵥ t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
⊢ IsConnected (connectedComponentIn F x) ↔ x ∈ F