ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : ¬a = 0
y : α
hy : y ∈ Classical.choose ⋯
hx : normalize y ∈ Multiset.map (fun x => normalize x) (Classical.choose ⋯)
⊢ Prime (normalize y)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ H ≤ zeroRootSubalgebra R L H
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Set.Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Set.Ioo a b ⊆ s
⊢ Filter.map Subtype.val Filter.atTop = 𝓝[<] b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
F : J ⥤ K ⥤ C
c : (k : K) → CategoryTheory.Limits.LimitCone (F.flip.obj k)
j : J
k : K
⊢ ((CategoryTheory.Limits.combineCones F c).π.app j).app k = (c k).cone.π.app j
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥N
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
m : Fin 2 → ↥M := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hm : LinearIndependent R m
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥N) := Finsupp.instAddCommGroup
n : Fin 2 →₀ ↥N := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩
hn : n = 0
⊢ False
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Function.Surjective ⇑(WittVector.truncate n)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ X (𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ X).hom = (ρ_ X).hom
n k : ℕ
hnk : Even (n + k)
⊢ (Polynomial.hermite n).coeff k = (-1) ^ ((n - k) / 2) * ↑(n - k - 1).doubleFactorial * ↑(n.choose k)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X
⊢ (mkMetric' m) s = (⨆ n, pre m (↑n)⁻¹) s
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C
⊢ (h.F n).obj X = (h.F (n + 0)).obj X
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
h : e.IsImage s t
⊢ e.IsImage (frontier s) (frontier t)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
ψl : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂
(F.mapShortComplex.obj S₁).HasHomology
(F.mapShortComplex.obj S₂).HasHomology
hl₁.IsPreservedBy F
hl₂.IsPreservedBy F
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso (F.mapShortComplex.map φ) ↔ CategoryTheory.IsIso (F.map ψl.φH)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
X : Derivation 𝕜 C^⊤⟮I, M; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯ C^⊤⟮I, M; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
x : M
⊢ ((Derivation.evalAt x) X) f = (X f) x
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
v : E
i : Fin n
⊢ ∀ (w : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)), T ((hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm w) = (hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm fun i => ↑(hT.eigenvalues hn i) * w i
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : AddGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
m n : ℤ
⊢ ↑n = 1 ↔ n = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯
this : ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ gauge s x
⊢ ∃ f, f x₀ = 1 ∧ ∀ x ∈ s, f x < 1
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
f : β → α
⊢ s.sup f = (Multiset.map f s.val).sup
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι
⊢ ∀ {x y : Set α}, x ∈ ⋃ i, (f i).sets → x ⊆ y → y ∈ ⋃ i, (f i).sets
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
c : Cardinal.{u_3}
⊢ #(Quotient.out c.ord).α = c
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ Continuous fun f => setToFun μ T hT ↑↑f
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
⊢ term (f ⍟ g) s n = ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {n})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2
m n✝ n : ℕ
⊢ n % 2 = bif n.bodd then 1 else 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun μ (weightedSMul μ) ⋯ f + setToFun ν (weightedSMul ν) ⋯ f
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
n : ℕ
hl : ∀ p ∈ t, p.natDegree ≤ n
⊢ t.prod.coeff (Multiset.card t * n) = (Multiset.map (fun p => p.coeff n) t).prod
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeInf α
s : Finset γ
f : γ ↪ β
g : β → α
hs : (Finset.map f s).Nonempty
⊢ (Finset.map f s).inf' hs g = s.inf' ⋯ (g ∘ ⇑f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackConeOfRightIso f g).pt = X
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f : α → F
c : 𝕜
hq_pos : 0 < q
hc : c ≠ 0
this : eLpNorm' (c⁻¹ • c • f) q μ ≤ ‖c⁻¹‖₊ • eLpNorm' (c • f) q μ
⊢ ‖c‖₊ • eLpNorm' f q μ ≤ eLpNorm' (c • f) q μ
l m r : List Char
s : Substring
h : ValidFor l m r s
n : Nat
this : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }
⊢ ValidFor l (List.take n m) (List.drop n m ++ r) { str := { data := l ++ (m ++ r) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) } }
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
s : Set M
x : M
f : M → E'
g : M → F'
hf : SmoothWithinAt I 𝓘(𝕜, E') f s x
hg : SmoothWithinAt I 𝓘(𝕜, F') g s x
⊢ SmoothWithinAt I 𝓘(𝕜, E' × F') (fun x => (f x, g x)) s x
G : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
F : Filter G
this✝ : UniformSpace G := B.uniformSpace
this : UniformAddGroup G
⊢ F ×ˢ F ≤ uniformity G ↔ ∀ U ∈ B, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U
f : ℕ → ℂ
hf : IsCauSeq (⇑Complex.abs) f
⊢ IsCauSeq abs (⇑Complex.abs ∘ f)
m : ℕ
⊢ ↑(m + 1).toPNat' = if 0 < m + 1 then m + 1 else 1
n i : ℕ
⊢ n.testBit i = n.bits.getI i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)
(CategoryTheory.forget D).ReflectsIsomorphisms
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J (J.sheafify P)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ≤ t ↔ ∀ (a : α), Multiset.count a s ≤ Multiset.count a t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs' : s.Nonempty
s_mble : MeasurableSet s
⊢ ¬s = ∅
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
β : Option ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : Option ι) → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : Option ι) → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : Option ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : Option ι) → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : Option ι), MeasurableSet (s i)
e_meas : ((i : ι) → β (some i)) × β none ≃ᵐ ((i : Option ι) → β i) := (MeasurableEquiv.piOptionEquivProd β).symm
⊢ (map (⇑(MeasurableEquiv.piOptionEquivProd β).symm) ((Measure.pi fun i => μ (some i)).prod (μ none))) (univ.pi s) = ∏ i : Option ι, (μ i) (s i)
α : Type u_1
s : Set α
G : SimpleGraph α
hs : s.Subsingleton
⊢ G.IsClique s
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ M
hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0
n : ℕ
s : σ
h : n • w s = 0
⊢ n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : α → β
⊢ Function.Bijective f ↔ Multiset.map f Finset.univ.val = Finset.univ.val
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (1 + x ^ 2)⁻¹ = Real.arctan b - Real.arctan a
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ succ a ⨳ b = a ⨳ b ♯ b
α : Sort u_1
a b : α
p : Prop
⊢ p ∧ a = b ↔ p ∧ b = a
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : FunLike F α β
y : α
a✝ : List α
comm : {x | x ∈ ⟦a✝⟧}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ ⟦a✝⟧, Commute y x
⊢ Commute y (noncommProd ⟦a✝⟧ comm)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
z : { z // ofHom φ₁ = δ (-1) 0 z + ofHom φ₂ }
p : ℤ
h₁ : (ComplexShape.up ℤ).Rel (p - 1) p
h₂ : (ComplexShape.up ℤ).Rel p (p + 1)
eq : φ₁.f p = F.d p (p + 1) ≫ (↑z).v (p + 1) p ⋯ + (↑z).v p (p - 1) ⋯ ≫ G.d (p - 1) p + φ₂.f p
⊢ φ₁.f p = (((dNext p) fun i j => if hij : i + -1 = j then (↑z).v i j hij else 0) + (prevD p) fun i j => if hij : i + -1 = j then (↑z).v i j hij else 0) + φ₂.f p
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
f : α → β
CompleteSpace β
⊢ Continuous (pkg.extend f)
R : Type u_1
Semiring R
f f' g g' : ℕ → R
hf : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = f' n
hg : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → g n = g' n
⊢ f ⍟ g = f' ⍟ g'
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx' : IsIntegral R x
this : IsDomain (AdjoinRoot (minpoly R x))
⊢ minpoly R x = minpoly R (powerBasis' hx').gen
α : Type u_1
β : Type u_2
p : PMF α
f : α → PMF β
⊢ (p.bindOnSupport fun a x => f a) = p.bind f
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
⊢ ∀ (i : ι), QuasiIsoAt φ.τ₃ i
R : Type u_6
NonAssocRing R
p : R
h : IsIdempotentElem p
⊢ IsIdempotentElem (1 - p)
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
hp : NeZero p
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
this : ∀ (i : ℕ), ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)).vars = {i}
⊢ Pairwise (Disjoint on fun i => ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)).vars)
x : ℝ≥0∞
xt : x ≠ ⊤
⊢ 𝓝 x = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 (Set.Icc (x - ε) (x + ε))
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompactSpace Y
W : Clopens (X × Y)
a : X × Y
h : a ∈ W
hp : Continuous fun y => (a.1, y)
V : Set Y := {y | (a.1, y) ∈ W}
hV : IsCompact V
⊢ ∃ U, a.1 ∈ U ∧ ∃ V, a.2 ∈ V ∧ U ×ˢ V ≤ W
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
ht : t₀ ∈ Ioo a b
hf : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t
hg : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
t' : ℝ
ht' : t' ∈ Ioo a b
⊢ f t' = g t'
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ Neg.neg '' Set.Ioc a b = Set.Ico (-b) (-a)
α : Type u_1
G : Type u_2
p : ℝ≥0∞
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup G
f : α → G
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hf_meas : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
α : Type u_2
β : Type u_3
Add α
Add β
f : α ≃+ β
⊢ ∀ (a : αᵃᵒᵖ), (AddEquiv.op f) a = (AddOpposite.op ∘ ⇑f ∘ AddOpposite.unop) a
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : beattySeq' s m = j
⊢ False
X : Type u_1
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
OpensMeasurableSpace X
T0Space X
x : X
μ : ↑(Set.range MeasureTheory.diracProba)
h : ↑μ = MeasureTheory.diracProba x
⊢ MeasureTheory.diracProbaInverse μ = x
G : Type u_1
AddMonoid G
x y : G
h : AddCommute x y
⊢ addOrderOf (x + y) ∣ addOrderOf x * addOrderOf y
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
ht : autoParam t.Finite _auto✝
hs : s.Finite
⊢ s.ncard ≤ (s \ t).ncard + t.ncard
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
⊢ cylinder s S = ∅ ↔ S = ∅
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q r : R[X]
⊢ (X - C a).IsRoot b ↔ a = b
α : Type u_3
R : Type u_5
CommSemiring R
s : Finset α
⊢ ↑s.card = ∑ a ∈ s, 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ : AffineSubspace k P
v : V
⊢ s₁ = map (↑(constVAdd k P (-v))) (map (↑(constVAdd k P v)) s₁)
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
z : ℤ
⊢ z ≠ 0 → 0 ^ z = 0
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : M
hx : x ∈ S
⊢ x ∈ S.leftInv.leftInv
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X : C
h : ¬CategoryTheory.Limits.IsZero X
⊢ Nontrivial (CategoryTheory.Subobject X)
m n k : Nat
⊢ (m + n % k) % k = (m + n) % k
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a b : α
hab : a ≠ b
ha : a ∉ s
⊢ insert a s \ insert b s = {a}
M : Type u_1
AddZeroClass M
S T : AddSubmonoid M
x : M
⊢ x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
α : Type u_12
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → Set α
t : Set α
⊢ ⋂ i ∈ s, t ∩ f i = ⋂ i ∈ s, f i ∩ t
α : Type u
l : List α
⊢ List.map Subtype.val l.attach = l
B : Type u
F : Type v
E : B → Type w₁
B' : Type w₂
TopologicalSpace B'
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
f : B' → B
⊢ Inducing (Bundle.pullbackTotalSpaceEmbedding f)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p q : Polynomial R
hp : p.IsPrimitive
hq : q ≠ 0
⊢ p ∣ q.primPart ↔ p ∣ q
ι : Type u
a : Cardinal.{u}
⊢ (Cardinal.sum fun x => a) = Cardinal.mk ι * a
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
⊢ p x fun n => AEMeasurable.mk (f n) ⋯ x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → LinearOrder (α i)
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : m ∈ Set.Icc (x i₀) (y i₀)
⊢ ((Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (x i) (Function.update y i₀ m i)) ∪
    Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (Function.update x i₀ m i) (y i)) =
  Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (x i) (y i)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
hscomp : IsCompact s
hAconv : Convex ℝ s
hs : ¬s ⊆ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
x : E
hxA : x ∈ s
hxt : x ∉ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
l : E →L[ℝ] ℝ
r : ℝ
hlr : ∀ a ∈ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s)), l a < r
hrx : r < l x
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ ↑(toSimpleFunc (k • f)) =ᶠ[ae μ] k • ↑(toSimpleFunc f)
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
hn : ∑ x ∈ antidiagonal n, p.coeff x.1 * q.coeff x.2 ≠ 0
⊢ p.trailingDegree + q.trailingDegree ≤ ↑n
R : Type u
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
⊢ LinearMap.ker ((Polynomial.aeval f) p) ⊔ LinearMap.ker ((Polynomial.aeval f) q) =
  LinearMap.ker ((Polynomial.aeval f) (p * q))
R : Type u_3
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
⊢ ⇑RingEquiv.prodComm = Prod.swap
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
f' : α → E'
g' : α → F'
l l' : Filter α
⊢ f' =Θ[l ⊔ l'] g' ↔ f' =Θ[l] g' ∧ f' =Θ[l'] g'
α : Type u_1
Encodable α
n : ℕ
a₁ a₂ : α
h₁ : a₁ ∈ Encodable.decode₂ α n
h₂ : a₂ ∈ Encodable.decode₂ α n
⊢ a₁ = a₂
α : Type u_1
Preorder α
DenselyOrdered α
a b : α
h : a < b
⊢ Infinite ↑(Set.Ioc a b)
K : Type u_1
RCLike K
z w : K
⊢ RCLike.normSq (z * w) = RCLike.normSq z * RCLike.normSq w
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
η : Type u_8
s : η → Set M
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (i : η), LinearIndependent R fun (x : ↑(s i)) => ↑x
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(⋃ i, s i)) => ↑x
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
f : ι → α✝
α : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
k : α
hk : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → k ≤ SupSet.sSup s → ∃ x ∈ s, k ≤ x
s : Set α
hemp : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hbelow : ∀ x ∈ s, x < k
h : ¬SupSet.sSup s < k
sSup' : SupSet.sSup s ≤ k
sSup : SupSet.sSup s = k
x : α
hxs : x ∈ s
hkx : k ≤ x
⊢ False
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N' : Type u_6
AddCommGroup N'
Module R N'
ι : Type u_7
Fintype ι
DecidableEq ι
m : MultilinearMap R (fun x => M) N'
v : ι → M
i j : ι
i_ne_j : i ≠ j
hv : v i = v j
⊢ (∑ σ : Equiv.Perm ι, Equiv.Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ m) v = 0
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset
⊢ ∃ A, 0 < A ∧ ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), 1 ≤ (↑b + 1) ^ f.natDegree * (|α - ↑a / (↑b + 1)| * A)
c : CliffordAlgebra Q
this : toComplex (involute ((ι Q) 1)) = (starRingEnd ℂ) (toComplex ((ι Q) 1))
⊢ toComplex.comp involute = (↑Complex.conjAe).comp toComplex
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ⟪-x, y⟫_𝕜 = -⟪x, y⟫_𝕜
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝³ : Mono S₁.f
this✝² : Mono S₂.f
this✝¹ : Epi S₁.g
this✝ : Epi S₂.g
this : Mono φ.τ₂
⊢ IsIso φ.τ₂
α : Type u_1
β : Type u_2
Group α
MulAction α β
a : α
⊢ (MulAction.toPermHom α β) a = MulAction.toPerm a
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
p : MvPolynomial σ S ⊗[R] N
⊢ ↑rTensor p = rTensor p
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ eval₂ f g (p ^ 0) = eval₂ f g p ^ 0
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω
h : ↑ε * (μ {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}).toReal ≤ ∫ (x : Ω) in {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) x ∂μ
⊢ 0 ≤ ∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : LieModule.Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ LieAlgebra.IsKilling.chainLength α β' = LieAlgebra.IsKilling.chainLength α β
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
S : Type u_4
S₃ : Type u_5
inst✝²⁹ : Semiring R
inst✝²⁸ : Semiring R₂
inst✝²⁷ : Semiring R₃
inst✝²⁶ : Semiring S
inst✝²⁵ : Semiring S₃
M : Type u_6
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
M₂ : Type u_7
inst✝²¹ : TopologicalSpace M₂
inst✝²⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁹ : Module R₂ M₂
M₃ : Type u_8
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁶ : Module R₃ M₃
N₂ : Type u_9
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace N₂
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹³ : Module R N₂
N₃ : Type u_10
inst✝¹² : TopologicalSpace N₃
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₃
inst✝¹⁰ : Module R N₃
inst✝⁹ : Module S₃ M₃
inst✝⁸ : SMulCommClass R₃ S₃ M₃
inst✝⁷ : ContinuousConstSMul S₃ M₃
inst✝⁶ : Module S N₂
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul S N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass R S N₂
inst✝³ : Module S N₃
inst✝² : SMulCommClass R S N₃
inst✝¹ : ContinuousConstSMul S N₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
c : S
h : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
f✝ g✝ : M →SL[σ₁₂] M₂
x y z : M
f g : M × N₂ →L[R] N₃
⊢ f = g ↔ f.comp (inl R M N₂) = g.comp (inl R M N₂) ∧ f.comp (inr R M N₂) = g.comp (inr R M N₂)