ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Y : Type u_5
α : Type u_7
β : Type u_9
tY : TopologicalSpace Y
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
A : Set Y
u : Y → β → α
S : Set β
hA : UniformEquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) S
hu : Continuous (S.restrict ∘ u)
⊢ UniformEquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) S
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
ha : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Iic a) μ
hb : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Iic b) μ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Iic b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in Set.Iic a, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : α → β
s : α →₀ M
h : β → M →+ N
⊢ ((Finsupp.mapDomain f s).sum fun b m => (h b) m) = s.sum fun a m => (h (f a)) m
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int : Integrable f ρ
hf_ae : AEStronglyMeasurable f ρ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Integrable (fun ω => f (a, ω)) (ρ.condKernel a)
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
TopologicalSpace M₂
T2Space M₂
One M₁
One M₂
⊢ IsClosed {f | f 1 = 1}
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), MeasureTheory.NullMeasurableSet (f i) μ
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (disjointed f n) μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : α → F
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊
⊢ eLpNorm' f q μ = eLpNorm' g q μ
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ ∑' (x : ↑s), 1 ≤ MeasureTheory.Measure.count s
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a + -b < 0 ↔ a < b
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : Summable fun i => ‖u (f (i + 1)) - u (f i)‖
v : ℕ → E := fun n => u (f (n + 1)) - u (f n)
hv_sum : (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) = fun n => u (f n) - u (f 0)
⊢ ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
h : I ≤ J
⊢ ⁅I, N⁆ ≤ ⁅J, N⁆
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hPα' : stepBound P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPpos : 0 < stepBound P.parts.card
⊢ (filter (fun x => (↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).card * (4 ^ P.parts.card - (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card) + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) + (filter (fun x => ¬(↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).card * (4 ^ P.parts.card - (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card + 1) + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card + 1)) = stepBound P.parts.card
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.tail.length = l.length - 1
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ T.rayleighQuotient '' {0}ᶜ = T.rayleighQuotient '' Metric.sphere 0 r
ι : Type u_1
M : Type u_4
CanonicallyOrderedCommMonoid M
f : ι → M
⊢ Monotone fun s => ∏ x ∈ s, f x
α : Type u
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ a ⊔ b = b ⊔ a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m n α
i : l
r : o → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n
i' : l
j : o
⊢ (A.submatrix ⇑e ⇑f).updateRow i r i' j = (A.updateRow (e i) fun j => r (f.symm j)).submatrix (⇑e) (⇑f) i' j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr₀ : r > 0
hr : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • u
c : ℝ
hc₀ : 0 < c
hcr : c < r⁻¹
y : E
hy : y ∈ s
hx : gauge s ((fun x => c • x) y) < r⁻¹
⊢ (fun x => c • x) y ∈ u
K : Type u₁
Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
CommRing O
Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
x : O
hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x ≠ 0
⊢ ModP.preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x) = v ((algebraMap O K) x)
x : ℂ
n : ℕ
⊢ Complex.exp (↑n * x) = Complex.exp x ^ n
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
Fintype α
⊢ Ordinal.type r = ↑(Fintype.card α)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
s : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
𝒰 : X.OpenCover
h : ∀ (i : 𝒰.J), (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) s = 0
⊢ s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Monoid α
Zero β
MulAction α β
Preorder α
Preorder β
SMulPosStrictMono α β
SMulPosReflectLT α β
hb : 0 < b
⊢ b < a • b ↔ 1 < a
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
⊢ Prime hζ.subOneIntegralPowerBasis'.gen
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
β : Type v'
n : ℕ
g : α → β ⊕ Fin n
k : ℕ
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.relabel g ⊥ = ⊥
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
o : StAct k
q : Stmt₂
v : σ
S : List (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse
n : ℕ
IH : n ≤ S.length → Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
H : n + 1 ≤ S.length
⊢ { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) } ∈ TM1.step (tr M) { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ⨍ (x : α), 0 ∂μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ
T_ne : T.Nonempty
f : ℕ → Set α
hf : T = range f
⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
x : R
hx : ∀ (y : R), ∃ z, z * y * x + z - 1 ∈ I
M : Ideal R
x✝ : M ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}
him : I ≤ M
hm : M.IsMaximal
hxm : x ∉ M
y i : R
hi : i ∈ M
df : y * x + i = 1
z : R
hz : z * -y * x + z - 1 ∈ I
⊢ z * -y * x + z ∈ M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformInducing f
⊢ comap (fun x => ((⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.1, (⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.2)) (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)) = 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] γ)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
m' : MeasurableSpace α
left✝¹ : CountablyGenerated α
left✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
m'le : m' ≤ m
⊢ ∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ OpensMeasurableSpace α
α : Type u
s : Stream'.Seq α
⊢ (↑s).toSeq = s
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
i : ℕ
⊢ (if i = 0 then 1 else 0) = ↑(if i = 0 then 1 else 0)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 (f ^ n) = ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 f
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
x : E
⊢ x ∈ F⟮α⟯ ↔ ∃ r s, x = (Polynomial.aeval α) r / (Polynomial.aeval α) s
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x y : M
S : Type u_5
OrderedCommSemiring S
Algebra S R
Module S M
SMulPosMono S R
IsScalarTower S R M
a : S
h : SameRay R x y
ha : 0 ≤ a
⊢ SameRay R (a • x) y
α : Type u_1
p : PMF α
s t : Set α
h : s ∩ p.support = t ∩ p.support
⊢ p.toOuterMeasure s = p.toOuterMeasure t
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
⊢ (permutations'Aux x s).Nodup ↔ x ∉ s
x y : SetTheory.PGame
⊢ -x ≈ y ↔ x ≈ -y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s t : Set E
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f (s ∩ t) x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
φ₁ φ₂ : A →ₗc[R] B
⊢ φ₁ = φ₂ ↔ ∀ (x : A), φ₁ x = φ₂ x
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
⊢ LinearIndependent R v
α : Type u
Countable α
⊢ Cardinal.mk α ≤ Cardinal.aleph0
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
c : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => c) μ a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ < 1
x : E
hx : ‖x‖ = 1
y : E
hy : ‖y‖ = 1
hne : x ≠ y
a b : ℝ
hab : a + b = 1
hlt : ‖a • x + b • y‖ < 1
⊢ ∃ c, (AffineMap.lineMap x y) c ∈ interior (closedBall 0 1)
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
hne : L.NeBot
meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E
meas_i_Ec : ∀ (i : ι), (μs i) Eᶜ = 1 - (μs i) E
obs : liminf (fun i => 1 - (μs i) E) L = liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
this : 1 - limsup (fun i => (μs i) E) L = liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
⊢ 1 - μ E ≤ 1 - limsup (fun i => (μs i) E) L
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hX : ¬Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ cgf X μ t = 0
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : CategoryWithHomology C
inst✝ : (quasiIso C c).HasLocalization
i : ι
x✝² x✝¹ : HomologicalComplex C c
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
hf : QuasiIso x✝
⊢ IsIso ((homologyFunctor C c i).map x✝)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
⊢ ⇑1 = id
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
⊢ CategoryTheory.Limits.factorThruImage f ≫ CategoryTheory.Limits.image.lift F' = F'.e
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
FloorDiv α β
a : α
b : β
ha : 0 < a
⊢ a • (b ⌊/⌋ a) ≤ b
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some '' Ici a = Ico ↑a ⊤
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
⊢ Associates.factors 0 = ⊤
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
n : ℕ
Nontrivial M₀
⊢ 0 ^ n = 0 ↔ n ≠ 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
hRp : 0 ≤ R₁
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * R₁ i ≤ R₂ i
⊢ blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₁ i)) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₂ i)) (s i)) atTop p
a b : ℤ
H1 : 0 ≤ a
H2✝ : a < |b|
n : ℕ
H2 : a < ↑-[n+1].natAbs
⊢ -(a / -[n+1]) = -0
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).tails = (map reverse (a :: l).reverse.inits).reverse
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
⊢ J⁻¹ / I⁻¹ = I / J
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f✝ : M → B
g : M → F
x : M
f : M → TotalSpace F E
hp : ContMDiffWithinAt IM IB n (TotalSpace.proj ∘ f) s x
hf : ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => (↑e (f y)).2) s x
he : (f x).proj ∈ e.baseSet
he' : (f x).proj ∈ e'.baseSet
⊢ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => (↑e' (f y)).2) s x
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e e' : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
⊢ e = e' ↔ ∀ (x : P₁), e x = e' x
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
⊢ f.cycleFactorsFinset = {f} ↔ f.IsCycle
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t✝ : ι✝ → α
ht✝ : Independent t✝
ι : Sort u_5
a : α
t : ι → ↑(Iic a)
i : ι
x : ↑(Iic a)
ht : Disjoint ↑(t i) ↑(⨆ i_1, ⨆ (_ : i_1 ≠ i), t i_1)
⊢ x ≤ t i → x ≤ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j → x ≤ ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ r • ball 0 1 = ball 0 r
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x
f g : A[X]
hf : f.Monic
hg : g.Monic
he : f * g = minpoly A x
⊢ IsUnit f ∨ IsUnit g
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K✝ : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
h : TendstoLocallyUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p
K : Set α
hK : IsCompact K
⊢ TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K
M : Type u_1
Monoid M
P : Submonoid M
⊢ P.FG ↔ (Submonoid.toAddSubmonoid P).FG
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
⊢ (const abv f.lim - f).LimZero
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j k : N →* P
h : ∀ (a : M), (j.comp f.toMap) a = (k.comp f.toMap) a
⊢ j = k
α : Type u_1
l : Language α
⊢ (Language.map id) l = l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback f.op g.op
⊢ (CategoryTheory.Limits.pushoutIsoUnopPullback f g).inv.op ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f.op g.op =
  (CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g).op
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
U : CategoryTheory.Over X
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id U).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id U.left
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
t : Set α
ht_meas : MeasurableSet t
htf_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ : SigmaFinite ((μ.trim hm).restrict t)
this : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm)
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
Finite ↥H
⊢ Nat.card ↥H ≤ 1 ↔ H = ⊥
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
A : Tendsto (fun r => ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)) (𝓝[<] 1) (𝓝 (μ (closedBall 0 1)))
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 1
⊢ ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1) ≤ μ (ball 0 1)
β : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace F
f : ℕ → β → F
u : ℕ → ℝ
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : ℕ) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n
⊢ TendstoUniformly (fun N x => ∑ n ∈ Finset.range N, f n x) (fun x => ∑' (n : ℕ), f n x) Filter.atTop
α : Type u
DecidableEq α
i j : α
⊢ Function.Involutive fun x => x * Equiv.swap i j
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖f x‖ = a * ‖x‖
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ‖f‖ = a
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
x : α
n : ℕ
⊢ dist (f^[n] x) (fixedPoint f hf) ≤ dist (f^[n] x) (f^[n + 1] x) / (1 - ↑K)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ ProbabilityTheory.evariance X μ = ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal ((X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2) ∂μ
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
MeasurableSpace α
MeasurableNeg α
MeasurableSup₂ α
⊢ Measurable abs
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
ι : Type u_5
fi : Filter ι
Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : MeasureTheory.Memℒp f_lim p μ
⊢ Filter.Tendsto f fi (𝓝 (MeasureTheory.Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) ↔
  Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
s : Set γ
x✝ : α
⊢ (∃ y x, y ∈ s ∧ x ∈ g x✝ ∧ y ∈ f x) ↔ ∃ y x, (x ∈ s ∧ x ∈ f y) ∧ y ∈ g x✝
α : Type u
Mul α
HasDistribNeg α
a b : α
⊢ a * -b = -(a * b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
⊢ ∃ g, eLpNorm (f - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p μ
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set (σ →₀ ℕ)
⊢ x ∈ Ideal.span ((fun s => (MvPolynomial.monomial s) 1) '' s) ↔
  ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ s, (MvPolynomial.monomial si) 1 ∣ (MvPolynomial.monomial xi) (MvPolynomial.coeff xi x)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
inst✝¹ : HasPushouts C
inst✝ : P.RespectsIso
hP₂ : ∀ (A B A' : C) (f : A ⟶ A') (g : A ⟶ B), P f → P (pushout.inr f g)
A A' B B' : C
f : A ⟶ A'
g : A ⟶ B
f' : B ⟶ B'
g' : A' ⟶ B'
sq : IsPushout g f f' g'
hf : P f
e : B' ≅ pushout f g := ⋯.isoPushout
⊢ P (pushout.inr f g)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ s
hfφ : HasConstantSpeedOnWith (f ∘ φ) s 1
hf : HasConstantSpeedOnWith f (φ '' s) 1
x : ℝ
xs : x ∈ s
x✝ : ℝ
⊢ x✝ - x = ↑1 / ↑1 * (x✝ - x)
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : Module.End K V
⊢ ∃ k ≤ FiniteDimensional.finrank K V, LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ Ioo a b ∪ {a, b} = Icc a b
Λ : ℂ → ℂ
hf : ∀ (s : ℂ), s ≠ 0 → s ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ Λ s
L : ℂ
h_lim : Tendsto (fun s => s * Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 L)
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
⊢ DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) 0 (L / 2)) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ Bimod.whiskerRight (𝟙 M) N = 𝟙 (M.tensorBimod N)
x y : ℝ
hx₁ : -(π / 2) ≤ x
hy₂ : y ≤ π / 2
hxy : x < y
⊢ 0 < 2 * sin ((y - x) / 2) * cos ((y + x) / 2)
C₁ : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.MonoidalCategory C₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.MonoidalCategory C₂
X : C₁ × C₂
⊢ ∀ (x x_1 : C₁ × C₂) (f : x ⟶ x_1),
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f =
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X.1 f.1, CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X.2 f.2)
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
h_unit : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.map (iVU x).op) f)
hcover : U ≤ iSup V
g : (x : ↥U) → ↑(X.presheaf.obj (op (V x)))
hg : ∀ (x : ↥U), (X.presheaf.map (iVU x).op) f * g x = 1
ic : IsCompatible (sheaf X).val V g
⊢ IsUnit f
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
x : ↥U
⊢ toOpen R ⊤ ≫ germ (structureSheaf R).val ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x) = toStalk R ↑x
s : Set Prop
⊢ sSup s = ∃ p ∈ s, p
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ Multiset.countP (fun a => p ↑a) s.attach = Multiset.countP p s