ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
a✝ : Ω
hle : (μ[f j|↑ℱ i]) a✝ ≤ f i a✝
⊢ c • (μ[f j|↑ℱ i]) a✝ ≤ c • f i a✝
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → MeasureTheory.Measure α
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → Measurable fun b => (f b) s
⊢ Measurable f
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
⊢ x.1 * x.2 = n → ((1 ≤ x.1 ∧ x.1 < n + 1) ∧ 1 ≤ x.2 ∧ x.2 < n + 1 ↔ ¬n = 0)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
K : CompactExhaustion X
x : X
n : ℕ
⊢ x ∈ K n ↔ K.find x ≤ n
α : Type u
a : α
inst✝³ : Group α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsCyclic α
n : ℕ
hn0 : 0 < n
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g
x : α
hx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ
m : ℕ
hm : g ^ m = x
⊢ (fun x => (g ^ (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α))) ^ x) ↑(m / (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α))) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b < a
hcd : c ≤ d
h₁ : b < d
h₂ : c < a
⊢ Icc a b ∪ Icc c d = Icc (min a c) (max b d)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
⊢ ∀ (x : ↑{0}ᶜ), ‖↑x‖ ≠ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
x : α
Zero β
⊢ 0 x = 0
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r✝ : α → α → Prop
a b : α
l : List α
r : α → α → Prop
hl : l.Nodup
h : ∀ a ∈ l, ∀ b ∈ l, a ≠ b → r a b
⊢ ∀ {a b : α}, [a, b] <+ l → r a b
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
homeo : ↑(pullback f g) ≃ₜ ↑(of { p // f p.1 = g p.2 }) := homeoOfIso (pullbackIsoProdSubtype f g)
⊢ induced (⇑homeo) (induced Subtype.val (induced Prod.fst X.str ⊓ induced Prod.snd Y.str)) = induced (⇑(pullback.fst f g)) X.str ⊓ induced (⇑(pullback.snd f g)) Y.str
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
M : Matroid α
X : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ X ⊆ M.closure X
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L✝ : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hK : K.ExactAt i
L : HomologicalComplex C c
e : K ≅ L
⊢ L.ExactAt i
α : Type u
PartialOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ IsTop a ↔ a = ⊤
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto ENNReal.toNNReal (𝓝 a) (𝓝 a.toNNReal)
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
a : E
r : ℝ
⊢ Convex ℝ (ball a r)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x✝ y z : V
x : ↑(ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (extend ⋯) x = ↑x
o : Ordinal.{u_1}
⊢ -SetTheory.PGame.nim o = SetTheory.PGame.nim o
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ 0
hr_ne_top : r ≠ ⊤
h : ν.rnDeriv (r.toNNReal • μ) =ᶠ[ae μ] r.toNNReal⁻¹ • ν.rnDeriv μ
this : r.toNNReal⁻¹ • ν.rnDeriv μ = r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
⊢ ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
a : ℚ
⊢ 0 ≤ a ∨ 0 ≤ -a
R : Type u_1
CommSemiring R
s : Multiset R
⊢ (Multiset.map (fun r => Polynomial.X + Polynomial.C r) s).prod =
  ∑ j ∈ Finset.range (Multiset.card s + 1), Polynomial.C (s.esymm j) * Polynomial.X ^ (Multiset.card s - j)
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
⊢ x < y ↔ (∃ i, x ≤ y.moveLeft i) ∨ ∃ j, x.moveRight j ≤ y
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
n_pos : 0 < n
n2_pos : 1 ≤ 2 * n
S : Finset ℕ := Finset.filter Nat.Prime (Finset.range (2 * n / 3 + 1))
f : ℕ → ℕ := fun x => x ^ n.centralBinom.factorization x
this : ∏ x ∈ S, f x = ∏ x ∈ Finset.range (2 * n / 3 + 1), f x
⊢ (∏ x ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ (2 * n).sqrt) S, f x) * ∏ x ∈ Finset.filter (fun x => ¬x ≤ (2 * n).sqrt) S, f x ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)
α : Type u_1
β : Type u_2
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ f.fix a
fa : Sum.inl b ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
⊢ PFun.fixInduction' h hbase hind = hbase a fa
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
⊢ Function.Injective ⇑SemidirectProduct.inr
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedSemiring α
OrderedSemiring β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
hfg : MonovaryOn f g s
n : ℕ
⊢ MonovaryOn (f ^ n) g s
n : ℕ
s : Function.OfArity ZFSet ZFSet n
H : PSet.Definable n s
⊢ PSet.Resp.eval n (PSet.Definable.Resp s) = s
α : Type u_3
AddMonoid α
l : List α
comm : {x | x ∈ ↑l}.Pairwise AddCommute
⊢ (↑l).noncommSum comm = l.sum
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
⊢ x ∈ LinearMap.ker (dZero A) ↔ x ∈ A.ρ.invariants
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : IsOpenMap f
x : X
⊢ 𝓝 (f x) ≤ Filter.map f (𝓝 x)
S : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasShift C S
inst✝ : (shiftFunctor C 1).PreservesZeroMorphisms
X Y : DifferentialObject S C
f : X.obj ≅ Y.obj
hf : X.d ≫ (shiftFunctor C 1).map f.hom = f.hom ≫ Y.d
⊢ autoParam (f.hom ≫ f.inv = 𝟙 X.obj) _auto✝
M : Type u_1
Mul M
m : M
p : Subsemigroup M
⊢ Subsemigroup.closure {m} ≤ p ↔ m ∈ p
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : AddSubmonoid M
h : ∀ (c : R) {x : M}, x ∈ S.carrier → c • x ∈ S.carrier
⊢ ↑{ toAddSubmonoid := S, smul_mem' := h } = ↑S
α : Type u
β : Type v
f : α → β
b : β
s : Stream'.Seq α
⊢ b ∈ Stream'.Seq.map f s → ∃ a, a ∈ s ∧ f a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : Unique α
f g : α →₀ M
h : f default = g default
a : α
⊢ f a = g a
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : ¬IsUnit A.det
h✝ : IsEmpty n
⊢ A⁻¹.det = Ring.inverse A.det
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Functor.mapTriangleIdIso C).hom.app X).hom₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.obj₃
g : Matrix.SpecialLinearGroup (Fin 2) ℤ
⊢ ↑(ModularGroup.T⁻¹ * g) 1 = ↑g 1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ (coprod.braiding (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = X ◁ (coprod.braiding Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (coprod.braiding X Z).hom ▷ Y
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b : α
c : α
h : Codisjoint a b
⊢ Codisjoint (a ⊔ c) b
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
AddCommGroup M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
AddCommGroup N'
Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
IsLocalizedModule S g
Module.FinitePresentation R M
⊢ IsLocalizedModule S (IsLocalizedModule.map S f g)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : K
k : ℕ
hk : 2 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
⊢ NumberField.InfinitePlace.NrRealPlaces K = 0
R : Type u_3
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
⊢ ⇑RingEquiv.prodComm.symm = Prod.swap
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / s) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
⊢ (H ⊓ K).relindex K = H.relindex K
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
⊢ iterateFrobenius R p 0 = RingHom.id R
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : CategoryTheory.Adjunction.CoreHomEquiv F G
X : C
Y : D
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.mkOfHomEquiv adj).homEquiv X Y = adj.homEquiv X Y
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
NonarchimedeanGroup G
K : Type u_3
Group K
TopologicalSpace K
NonarchimedeanGroup K
U : Set (G × K)
hU : U ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ V W, ↑V ×ˢ ↑W ⊆ U
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.fst) =
  CategoryTheory.Limits.prod.fst
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
c : R
⊢ 0 ≤ star c * a * c
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
h : Isometry f
⊢ AntilipschitzWith 1 f
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (changeForm ⋯) ((changeForm h) x) = x
α : Type u_1
LE α
s t : Set α
hs : IsLowerSet s
ht : IsUpperSet t
⊢ IsLowerSet (s \ t)
σ K : Type u
Fintype K
Field K
Finite σ
⊢ LinearMap.range (MvPolynomial.evalᵢ σ K) = ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
x : α
MulZeroClass β
ContinuousMul β
f g : α →C_c β
⊢ (f * g) x = f x * g x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.Epi T.mor₃
⊢ T.mor₁ = 0
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
M : MvPolynomial σ R → Prop
p : MvPolynomial σ R
h_C : ∀ (a : R), M (MvPolynomial.C a)
h_add_weak :
  ∀ (a : σ →₀ ℕ) (b : R) (f : (σ →₀ ℕ) →₀ R),
    a ∉ f.support →
      b ≠ 0 →
        M f →
          M
            ((let_fun this := (MvPolynomial.monomial a) b;
              this) +
              f)
⊢ M p
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ o.oangle (-x) y = o.oangle x y + ↑π
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t u : Set α
⊢ s ⊼ t ⊼ u = s ⊼ u ⊼ t
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.12154
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : ∀ (u : U), Injective (φ.star u)
u v₁ x₁ y₁ : U
p₁ : Path u x₁
e₁ : x₁ ⟶ y₁
ih : ∀ ⦃a₂ : PathStar u⦄, (fun p => ⟨φ.obj p.fst, φ.mapPath p.snd⟩) ⟨x₁, p₁⟩ = (fun p => ⟨φ.obj p.fst, φ.mapPath p.snd⟩) a₂ → ⟨x₁, p₁⟩ = a₂
y₂ x₂ : U
p₂ : Path u x₂
e₂ : x₂ ⟶ y₂
h : φ.obj y₁ = φ.obj y₂ ∧ HEq ((φ.mapPath p₁).cons (φ.map e₁)) ((φ.mapPath p₂).cons (φ.map e₂))
⊢ ⟨y₁, p₁.cons e₁⟩ = ⟨y₂, p₂.cons e₂⟩
a c : Nat
b d : Nat
h : b ≥ d
⊢ (a + b = c + d) = (a + (b - d) = c)
α : Type u_1
hd : α
tl : List α
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl.get? ix = l'.get? (f ix)) → tl <+ l'
l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl).get? ix = l'.get? (f ix)
this : some hd = l'.get? (f 0)
⊢ hd :: tl <+ l'
α : Type u
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
TopologicalSpace α
ConnectedSpace α
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : α → (i : ι) × π i
hf : Continuous f
⊢ ∃ i g, Continuous g ∧ f = Sigma.mk i ∘ g
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
h : ↑e '' (e.source ∩ s) = e.target ∩ t
⊢ e.IsImage s t
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
⊢ IsVanKampenColimit c
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
s : Set α
n : ℕ
hG : G.CliqueFree n
⊢ G.CliqueFreeOn s n
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K
⊢ -a / -b = a / b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
Zero β
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (s.indicator f) μ
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
hfp : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ < ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
s : Set E
x : E
⊢ egauge 𝕜 (c • s) x * ↑‖c‖₊ ≤ egauge 𝕜 s x
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set G
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
⊢ μ (-s) = 0 ↔ μ s = 0
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
s : Set ℝ≥0∞
hs : ∀ r ∈ s, r ≠ ⊤
hf : ∀ (i : { x // x ∈ s }), ↑i ≠ ⊤
⊢ (sSup s).toNNReal = sSup (ENNReal.toNNReal '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
Nonempty ι
t : ι → Set α
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (β × β)
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i
hb : (𝓤 β).HasBasis p V
⊢ (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis (fun i => p i.2) fun i => UniformOnFun.gen 𝔖 (t i.1) (V i.2)
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
h₁ : a < b
h₂ : b < c
⊢ ¬a ⋖ c
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
OpensMeasurableSpace α
T2Space α
μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ K ⊆ A, IsCompact K ∧ μ (A \ K) < ε
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27982, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : Karoubi (HomologicalComplex C c)
n : ι
⊢ P.p.f n = P.p.f n ≫ P.p.f n ≫ P.p.f n
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε)).Nonempty
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - (f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
⊢ ‖(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
n : ℤ
hn : 0 < n
⊢ StrictMono fun x => n • x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ Type w
a : C
x : F.obj a
y : G.obj a
⊢ Limits.prod.snd.app a (prodMk x y) = y
α : Type u_7
M : Type u_11
N : Type u_12
VAdd M N
VAdd N α
VAdd M α
VAddAssocClass M N α
x : M
y : N
z : α
⊢ x +ᵥ y +ᵥ z = x +ᵥ (y +ᵥ z)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsLocallyFull K
ℱ : CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ (Type v)
ℱ' : CategoryTheory.SheafOfTypes K
α : G.op.comp ℱ ⟶ G.op.comp ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (Opposite.op X)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
⊢ CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.pushforwardFamily α x f ⋯ = α.app (Opposite.op Y) (ℱ.map f.op x)
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
⊢ ⇑e.toOrderEmbedding = ⇑e
α : Type u_1
LE α
s t : Set α
hs : IsLowerSet s
ht : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, c ≤ b → b ∈ t
⊢ IsLowerSet (s \ t)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
NormedSpace 𝕜 V
NormedSpace 𝕜 W
MetricSpace P
PseudoMetricSpace Q
NormedAddTorsor V P
NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
⊢ intrinsicFrontier 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicFrontier 𝕜 s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i j k : ι
K : HomologicalComplex C c
⊢ ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor' C c i j k).obj K).X₂ = K.X j
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₀ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g h₃ = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofNullHomotopic S₁ S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃).h₀ = h₀
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : Field F✝
inst✝⁷ : Field E✝
inst✝⁶ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E
⊢ F⟮α⟯ = ⊤ ↔ (minpoly F α).natDegree = finrank F E
α : Type u
a : α
l : List α
h : l ≠ []
⊢ (l ++ [a]).tail = l.tail ++ [a]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc
⊢ X.δ i.castSucc ≫ X.σ j.succ = X.σ j ≫ X.δ i
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
a b : α
⊢ {a} / {b} = {a / b}
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set X
h : X ≃ₜ Y
x : X
hx : x ∈ s
⊢ connectedComponentIn (⇑h '' s) (h x) ⊆ ⇑h '' connectedComponentIn s x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℤ
a : α
n0 : n ≤ 0
⊢ mabs (a ^ n) = mabs a ^ |n|
f : StieltjesFunction
x : ℝ
⊢ ⨅ r, ↑f ↑r = ↑f x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
⊢ (succ (aleph o)).IsRegular
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ ∈ alternatingGroup α
n : ℕ
ih : ∀ (l : List (Perm α)), (∀ g ∈ l, g.IsSwap) → l.length = 2 * n → l.prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
l : List (Perm α)
hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap
hn : l.length = 2 * n + 2
⊢ l.prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
⊢ x ^ n = f 1 * x ^ n
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
h₁ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k F
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K F
w : InfinitePlace F
⊢ InfinitePlace.IsUnramified k ((fun x => x.comap (algebraMap K F)) w)
G : Type u_2
CommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
T2Space G
f : ℤ → G
hf₁ : Multipliable fun n => f ↑n
hf₂ : Multipliable fun n => f (-↑n)
⊢ ∏' (n : ℤ), f n = ((∏' (n : ℕ), f ↑n) * ∏' (n : ℕ), f (-↑n)) / f 0
α : Type u
t : TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
⊢ (TopologicalSpace.countableBasis α).Countable
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic
⊢ (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).degree ≠ ⊥
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
X : ℚ
⊢ ((fun r => inner_ 𝕜 (↑r • x) y) ∘ Rat.cast) X = ((fun r => (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y) ∘ Rat.cast) X
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
hs : μ s = 0
ht : μ t = 0
⊢ μ (s ∪ t) = 0
α β : Type u
f : α → β
h : Function.Injective f
⊢ Cardinal.mk ↑(Set.range f) = Cardinal.mk α
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
hfi' : Integrable f μ
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), f a ∂ν
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ insert a s ⊆ t ↔ a ∈ t ∧ s ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLinearOrder α
f : ι → α
⊢ iInf f = ⊥ ↔ ∀ b > ⊥, ∃ i, f i < b
a b c : Nat
⊢ max (a - b) (a - c) = a - min b c
m : Type u_1 → Type u_2
σ α β : Type u_1
Monad m
x : StateT σ m α
y : StateT σ m β
s : σ
⊢ (SeqRight.seqRight x fun x => y).run s = do
  let p ← x.run s
  y.run p.snd
X₁ : Type u₁
TopologicalSpace X₁
X : Type u
TopologicalSpace X
NormalSpace X
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y : Type v
TopologicalSpace Y
TietzeExtension Y
f : C(X₁, Y)
⊢ ∃ g, ⇑g ∘ e = ⇑f
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s t : Set α
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
fin : EMetric.hausdorffEdist s t ≠ ⊤
⊢ Metric.hausdorffDist s t = 0 ↔ s = t
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : VectorPrebundle.IsSmooth IB a
e e' : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
he : e ∈ a.pretrivializationAtlas
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
⊢ (VectorPrebundle.smoothCoordChange IB a he he' b) v = (↑e' { proj := b, snd := e.symm b v }).2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
hI : I.Finite
⊢ I.pi s ∈ Filter.pi f ↔ ∀ i ∈ I, s i ∈ f i
α : Type u
β : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
a b d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : a < b
this : MulPosStrictMono α
hcd : 0 < d
⊢ a * 0 < b * d
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
h : γ₀ ≠ 0
hγ₀ : extension ⁻¹' {γ₀} ∈ 𝓝 x
⊢ x ∈ closure (↑K '' {x | v x < ↑γ}) ↔ γ₀ < ↑γ
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = h ≫ g
inst✝² : HasEqualizer f g
inst✝¹ : HasEqualizer (G.map f) (G.map g)
inst✝ : PreservesLimit (parallelPair f g) G
⊢ (iso G f g).inv ≫ G.map (equalizer.ι f g) = equalizer.ι (G.map f) (G.map g)
X : SemiRingCat
⊢ ⇑(𝟙 X) = id
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F
f : F
hf : f ≠ 0
this : ‖f‖ ≤ ‖snd 𝕜 E F‖ * ‖f‖
⊢ 1 ≤ ‖snd 𝕜 E F‖
α : Type u
a : α
⊢ ¬a ∈ Stream'.WSeq.nil
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
⊢ Submodule.span R ↑(invSubmonoid M S) = ⊤
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α}, l.length = 0 → l = []