ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
n : ℤ
⊢ WithTop.map (fun x => ↑x) ⋯.order - ↑(Exists.choose hf) = ↑n ↔ ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g x ∧ g x ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = (z - x) ^ n • g z
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : AEMeasurable X μ
hs : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable (fun a => ((condDistrib Y X μ) (X a)) s) μ
t : ↑unitInterval
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ 0 < x + ↑t
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
Ring R
Ring S
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
StrongRankCondition R
StrongRankCondition S
Module R S
SMulCommClass R S S
⊢ FiniteDimensional.finrank S (M →ₗ[R] S) = FiniteDimensional.finrank R M
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x✝ : E
⊢ (reflection Kᗮ) x✝ = ((reflection K).trans (LinearIsometryEquiv.neg 𝕜)) x✝
α : Type u_1
ι : Type u_3
CompleteLattice α
t : ι → α
ht : CompleteLattice.Independent t
⊢ Pairwise (Disjoint on t)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : (x : α) → x ∈ s → Set β
⊢ ⋃ x, ⋃ (h : x ∈ s), t x h = ⋃ x, t ↑x ⋯
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}
x : α
hx : B' \ B = {x}
⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Antitone f
x : α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Iio x) x ↔ Function.leftLim f x = f x
α : Type u_1
β : Type u_7
N : Type u_10
P : Type u_11
Zero β
Monoid N
CommMonoid P
f : α →₀ β
g : α → β → N →* P
x : N
⊢ (f.prod g) x = f.prod fun i fi => (g i fi) x
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
s_meas : MeasurableSet s
μs : μ s ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
⊢ ∃ K ⊆ s, (fun s => IsCompact s ∧ IsClosed s) K ∧ r < μ K
α : Type u
r : α → α → Prop
IsIrrefl α r
l : List α
h : List.Sorted r l
⊢ l.Nodup
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
B : C
α : Type u_2
α' : Type u_3
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
e : α' ≃ α
h : CategoryTheory.EffectiveEpiFamily (fun a => X (e a)) fun a => π (e a)
⊢ CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ (D ^ finrank ℝ E * ∫ (x : E), u x ∂μ)⁻¹ • D ^ finrank ℝ E • ∫ (x : E), u x ∂μ = 1
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Free R M
ι : Type v
⊢ Module.rank R (ι →₀ M) = #ι * Module.rank R M
m n : ℕ
⊢ n ≤ m ∧ m ≤ n + 1 ↔ m = n ∨ m = n + 1
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
⊢ ∀ (x : α), nnnormHom x = ‖x‖₊
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : Convex ℝ s
h0 : μ (toMeasurable μ t) ≠ 0
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
ht : ⨍ (x : α) in toMeasurable μ t, f x ∂μ ∈ interior s
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
l : Filter α
hl : l.NeBot
⊢ Cauchy l ↔ l ×ˢ l ≤ 𝓤 α
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
third_ε_pos : 0 < ε / 3
third_ε_pos' : 0 < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Es : ℕ → Set Ω
Es_mble : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Es n)
Es_bdd : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (Es n)
Es_diam : ∀ (n : ℕ), diam (Es n) ≤ ε / 3
Es_cover : ⋃ n, Es n = univ
Es_disjoint : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
N : ℕ
hN : ↑P (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite
Gs : Set (Set Ω) := (fun J => thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j)) '' {J | J ⊆ Iio N}
Gs_open : ∀ (J : Set ℕ), IsOpen (thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j))
mem_nhds_P : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → {Q | ↑P G < ↑Q G + ENNReal.ofReal (ε / 3)} ∈ 𝓝 P
Q : ProbabilityMeasure Ω
hQ : ∀ i ⊆ Iio N, ↑P (⋃ i_2 ∈ i, thickening (ε / 3) (Es i_2)) < ↑Q (⋃ i_2 ∈ i, thickening (ε / 3) (Es i_2)) + ENNReal.ofReal (ε / 3)
δ : ℝ
B : Set Ω
δ_gt : 2 * (ε / 3) < δ
x✝ : MeasurableSet B
⊢ ↑P.toLevyProkhorov B ≤ ↑Q.toLevyProkhorov (thickening δ B) + ENNReal.ofReal δ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
h : s.Finite
⊢ FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
x y : ℕ
h : x % y = 0
⊢ x.gcd y = y
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ a ^ n = ⊤ ↔ a = ⊤ ∧ n ≠ 0
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t u : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ gaugeRescale t u (gaugeRescale s t x) = gaugeRescale s u x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c₁ c₂ : α
AddGroup α
InvolutiveNeg β
h1 : Function.Antiperiodic f c₁
h2 : Function.Antiperiodic f c₂
⊢ Function.Periodic f (c₁ + c₂)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ⟪x - y, x - y⟫_𝕜 = ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a = a) ↔ ∃ b, o.derivBFamily f b = a
V : Type u
G : SimpleGraph V
h : G.Colorable 0
⊢ IsEmpty V
α : Type u
MetricSpace α
TopologicalSpace.SeparableSpace α
⊢ ∃ f, Isometry f
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FiniteType
R : Type u
Semiring R
M : CategoryTheory.Mat R
⊢ 𝟙 M = fun i j => if i = j then 1 else 0
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ ⨆ k, LieSubmodule.ucs k ⊥ ≤ LieModule.weightSpace M 0
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
Monoid α
DistribMulAction α A
a : α
⊢ a • ⊥ = ⊥
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i✝ j✝ : n
⊢ toMatrix' id i✝ j✝ = 1 i✝ j✝
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x y : E
⊢ {x} / Metric.closedBall y δ = Metric.closedBall (x / y) δ
p q : ℚ≥0
⊢ 0 < q.num ↔ 0 < q
α : Type u
PartialOrder α
OrderTop α
a b : α
h : a ≤ b
h₂ : a = ⊤
⊢ b = ⊤
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
i : ℕ
s : Stream' α
n✝ : ℕ
⊢ (drop i s).tail.get n✝ = (drop (i + 1) s).get n✝
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ Submodule.span ℝ ↑(NumberField.Units.unitLattice K) = ⊤
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
i j k : ι
hijk : (Algebra.leftMulMatrix bS) (bS i) j k ≠ 0
⊢ 0 < (Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ).max' ⋯
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : T2Space A
inst✝⁴ : NonUnitalRing A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h✝ : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(quasispectrum 𝕜 a)
s : Set 𝕜
hs : CompactSpace ↑s
_inst : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
φ ψ : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜 →⋆ₙₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 } = ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 }
f : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜
hf : f ∈ ↑(adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id h0})
⊢ φ f = ψ f
n i : ℕ
h : n < 2 ^ i
⊢ n.testBit i = false
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
⊢ w.GuitartExact ↔ ∀ {X₂ : C₂} {X₃ : C₃} (g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃), IsConnected (w.CostructuredArrowDownwards g)
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
x y : WithLp 2 (α × β)
⊢ dist x y = √(dist x.1 y.1 ^ 2 + dist x.2 y.2 ^ 2)
α : Type u_1
Lattice α
IsModularLattice α
a b : α
x : ↑(Set.Icc b (a ⊔ b))
⊢ ↑((RelIso.symm (infIccOrderIsoIccSup a b)) x) = a ⊓ ↑x
α : Type u_1
LinearOrder α
k l : ℕ
s : Finset α
i : Fin k
j : Fin l
h : s.card = k
h' : s.card = l
⊢ (s.orderEmbOfFin h) i = (s.orderEmbOfFin h') j ↔ ↑i = ↑j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCoproducts C
α : Type u
x₁ x₂ z₁ z₂ : List α
a₁ a₂ : α
notin_x : ¬a₂ ∈ x₁
notin_z : ¬a₂ ∈ z₁
⊢ x₁ ++ a₁ :: z₁ = x₂ ++ a₂ :: z₂ ↔ x₁ = x₂ ∧ a₁ = a₂ ∧ z₁ = z₂
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a x✝ c : G
⊢ a + c = a + x✝ ↔ c = x✝
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s
⊢ { ofColex := Finset.cons a s ha } < { ofColex := Finset.cons b s hb } ↔ a < b
α : Type u
m : ℕ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n'
v : n' → α
A : Fin m → n' → α
B : Matrix n' o' α
⊢ Matrix.of (Matrix.vecCons v A) * B = Matrix.of (Matrix.vecCons (Matrix.vecMul v B) (Matrix.of.symm (Matrix.of A * B)))
α : Type u
s : Stream'.Seq α
aₙ : α
n m : ℕ
m_le_n : m ≤ n
s_nth_eq_some : s.get? n = some aₙ
⊢ ∃ aₘ, s.get? m = some aₘ
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
f : G ≃ₜ G
h :
  ∀ ⦃K : TopologicalSpace.Compacts G⦄,
    (fun s => ↑(μ.toFun s)) (TopologicalSpace.Compacts.map ⇑f ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
A : Set G
⊢ μ.outerMeasure (⇑f ⁻¹' A) = μ.outerMeasure A
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
FunLike F α β
SupHomClass F α β
f : F
⊢ SupClosed (Set.range ⇑f)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : HasAntidiagonal A
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
h : Summable fun x => f x.1 * g x.2
⊢ Summable fun n => ∑ kl ∈ antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
j j' : J
⊢ (K.totalFlipIso c).hom.f j ≫ K.D₂ c j j' = K.flip.D₁ c j j' ≫ (K.totalFlipIso c).hom.f j'
α : Type u_5
β : Type u_6
Monoid α
MulAction αᵐᵒᵖ β
b : β
a₁ a₂ : α
⊢ MulOpposite.op (a₁ * a₂) • b = MulOpposite.op a₂ • MulOpposite.op a₁ • b
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
hX : s ∈ P.parts
h✝ : IsEmpty α
⊢ ↑(Fintype.card α) / (2 * ↑(bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊)) ≤ ↑s.card
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
⊢ Continuous fun x => x * a
p q : Prop
⊢ (¬(p ∧ q)) = (p → ¬q)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h0 : μ s ≠ 0
t : ℕ → Set α := fun n => s ∩ f^[n] ⁻¹' s
H : ¬∃ᶠ (m : ℕ) in atTop, μ (s ∩ f^[m] ⁻¹' s) ≠ 0
N : ℕ
hN : μ (t N) ≠ 0
hmax : ∀ n > N, μ (t n) = 0
htm : ∀ {n : ℕ}, NullMeasurableSet (t n) μ
⊢ False
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
⊢ p ⊔ span R s = span R (↑p ∪ s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospan f g).map CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.Hom.inl = f
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K
this : Continuous eval
⊢ IsClosed (eval ⁻¹' {0})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
g : β → γ
hg : Function.Injective g
⊢ Summable (Function.extend g f 0) ↔ Summable f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝³ : (i : ι) → Sub (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), OrderedSub (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
a b : α i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
⊢ (f - g).support ⊆ f.support
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
s : Set E
x y : E
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ s ↔ ∀ (a b : 𝕜), 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
G : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
AddAction G X
SigmaCompactSpace G
BaireSpace X
T2Space X
ContinuousVAdd G X
AddAction.IsPretransitive G X
x : X
⊢ IsOpenMap fun g => g +ᵥ x
R : Type u
CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
⊢ ((MvPolynomial.finSuccEquiv R n) f).natDegree = MvPolynomial.degreeOf 0 f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
x : G
hf : HasFDerivAt f f' x
hg : HasFDerivAt g g' x
⊢ HasFDerivAt (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) ((fderivInnerCLM 𝕜 (f x, g x)).comp (f'.prod g')) x
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b - c ≤ a - c + b
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
F.PreservesZeroMorphisms
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
⊢ (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).toGradedObject =
  ((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I₁ I₂).obj K₁.X).obj K₂.X
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : Preorder M
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : β → M
hf : Monotone f
n : ℕ
⊢ Monotone fun a => f a ^ (n + 1)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hu : HasDerivWithinAt u u' s x
this : HasDerivWithinAt (fun y => (c y) (u y)) (((c x).comp (smulRight 1 u') + (smulRight 1 c').flip (u x)) 1) s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => (c y) (u y)) (c' (u x) + (c x) u') s x
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
m n✝ : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
n : ℕ
ha : a ^ (n + 1) = 0
⊢ a = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeftLift f g s ≫
    (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeft f g).fst =
  s.fst
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : StronglyMeasurable f
this✝ : ∀ (x : α), ∀ᵐ (y : β) ∂ν, 0 ≤ ‖f (x, y)‖
this : ∀ {p q r : Prop}, (r → p) → ((r ↔ p ∧ q) ↔ p → (r ↔ q))
⊢ ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), ↑‖f (x, y)‖₊ ∂ν ∂μ < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∫⁻ (a : β), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂ν < ⊤) ∧ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (∫⁻ (a_1 : β), ↑‖f (a, a_1)‖₊ ∂ν).toReal ∂μ < ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty D
F.Full
F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
⊢ F.Final
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : p2 ∉ s1
⊢ s1.direction ≤ s2.direction ∧ ∃ x ∈ s2.direction, x ∉ s1.direction
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ mulETransformLeft e⁻¹ x = (mulETransformRight e x.swap).swap
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
UniformSpace β
f : α →ᵤ β
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis p s
⊢ (𝓝 f).HasBasis p fun i => {g | (f, g) ∈ UniformFun.gen α β (s i)}
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ (Equiv.refl α).trans e = e
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ ((γ.rightShift a n' hn').rightUnshift n hn').v p q hpq = γ.v p q hpq
α : Type u_1
a : α
s t : Multiset α
⊢ s + a ::ₘ t = a ::ₘ (s + t)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
f g : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ X.basicOpen (f * g) = X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen g
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
⊢ Monotone f ∨ Antitone f ↔ ∀ (a b c : α), c ∈ Set.uIcc a b → f c ∈ Set.uIcc (f a) (f b)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
a : R
p : Module.Dual R M × M
⊢ (a • p).1 (a • p).2 = (a * a) • p.1 p.2
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
a : ℝ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f vol π) y ≤ a * ε
⊢ HasIntegral I l f vol y
X : Type u_7
Y : Type u_8
TopologicalSpace X
AddGroup X
TopologicalAddGroup X
UniformSpace Y
AddCommGroup Y
UniformAddGroup Y
T0Space Y
CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 0
h : EquicontinuousAt (fun f => ⇑↑f) 0
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousAddMonoidHom X Y)
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
r : ℝ
hf'✝ : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓟 (Metric.ball x r))
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n y)) y
hf' : UniformCauchySeqOn (fun n z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)) l (Metric.ball x r)
⊢ UniformCauchySeqOn f l (Metric.ball x r)
R : Type u_2
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
I J : Ideal R
⊢ I * J = ⊥ ↔ I = ⊥ ∨ J = ⊥
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
ContinuousMul G
h : IsOpen {1}
⊢ DiscreteTopology G
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h : s - 1 ≠ 0
⊢ (2 - s).Gammaℝ⁻¹ = s.Gammaℂ * sin (↑π * s / 2) * (s + 1).Gammaℝ⁻¹
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
t₁ t₂ : TopologicalSpace E
h₁ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
h₂ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
b : Bool
⊢ LocallyConvexSpace 𝕜 E
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
x : α
C : Finset α
a✝ : x ∉ C
ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})
hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})
C' : Finset α := insert x C
hC' : C' = insert x C
⊢ (A * B * C').card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C').card
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
t_bound : t ⊆ closedBall 0 1
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closedBall x 1) / μ ({x} + u)))
C : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r) * (μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u))) (𝓝[>] 0) (𝓝 (0 * (μ (closedBall x 1) / μ ({x} + u))))
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : PreservesBiproduct f F
W : C
g : (j : J) → W ⟶ f j
j : J
⊢ (F.map (lift g) ≫ (F.mapBiproduct f).hom) ≫ π (fun x => F.obj (f x)) j = (lift fun j => F.map (g j)) ≫ π (fun x => F.obj (f x)) j