ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ ((M.X ⊗ N.X) ◁ f.hom ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X) ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = ((M.X ⊗ N.X) ◁ f.hom ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X) ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft)
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ a ∈ l → ∃ s t, l = s ++ a :: t
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
n : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ ↑((MvPolynomial.monomial n) a) = (MvPowerSeries.monomial R n) a
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
⊢ M ⊨ L.infiniteTheory ↔ Infinite M
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedCosZeta a s = HurwitzZeta.completedCosZeta₀ a s - 1 / s - (if a = 0 then 1 else 0) / (1 - s)
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
hbc : b < c
ha : a < 0
⊢ b + a < c
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsAlgClosed K
h : ∀ a ∈ S, NeZero ↑↑a
a : ℕ+
ha : a ∈ S
⊢ ∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑a
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ℕ → E
g : ℕ → ℝ
hg✝ : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ range n, g i
hf : ∀ (i : ℕ), ‖f i‖ ≤ g i
ε : ℝ
hε : ε > 0
N : ℕ
hg : ∀ n ≥ N, dist (∑ i ∈ range n, g i) (∑ i ∈ range N, g i) < ε
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ dist (∑ i ∈ range n, f i) (∑ i ∈ range N, f i) < ε
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
n : ℕ
hc : G.Colorable n
⊢ n = card (Fin n)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p₁ p₂ : MvPolynomial σ R
⊢ ∃ s q₁ q₂, p₁ = (rename Subtype.val) q₁ ∧ p₂ = (rename Subtype.val) q₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F Z)
(b : M) → TopologicalSpace (Z b)
(b : M) → AddCommMonoid (Z b)
(b : M) → Module 𝕜 (Z b)
FiberBundle F Z
VectorBundle 𝕜 F Z
SmoothVectorBundle F Z I
p : Bundle.TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s) p
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
Preorder β
f g : α → β
⊢ ↑f < ↑g ↔ ∀ᶠ (x : α) in ↑φ, f x < g x
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s : Set α
a : α
⊢ IsLUB (supClosure s) a ↔ IsLUB s a
x : ℕ
x.AtLeastTwo
h : (OfNat.ofNat x).Dom
⊢ (OfNat.ofNat x).get h = OfNat.ofNat x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
S : Finset ι
p : ι → Ideal R
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)
⊢ ⨆ t ∈ ↑S, torsionBySet R M ↑(p t) = ⊤
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
w : ι → k
hw : ∑ i : ι, w i = 1
hq : (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w ∈ affineSpan k (range ⇑b)
⊢ ∑ i : ι, (b.coord i) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w) = 1
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
Q : Type u_2
L.Structure Q
f : L.Embedding M N
g : L.Embedding N P
h : L.Embedding P Q
⊢ (h.comp g).comp f = h.comp (g.comp f)
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
r : R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0
J : Ideal R
hJ : J.IsMaximal
⊢ Submodule.map (Algebra.linearMap R (Localization.AtPrime J)) (Ideal.span {r}) = ⊥
α : Type u_3
β : Type u_4
AddMonoid β
s : Finset α
a : α
f : α → β
ha : a ∉ s
comm : (↑(Finset.cons a s ha)).Pairwise fun a b => AddCommute (f a) (f b)
⊢ (Finset.cons a s ha).noncommSum f comm = s.noncommSum f ⋯ + f a
b x : Bool
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (x :: l)
⊢ count (!b) (x :: l) ≤ count b (x :: l) + 1
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ m : OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)
h0 : ∑' (k : ℕ), m (s (k + 1) \ s k) ≠ ⊤
n : ℕ
h' : Monotone s
x : α
this : ∃ i, x ∈ s i
j : ℕ
hj : x ∈ s j
hlt : ∀ m < j, x ∉ s m
hnj : n < j
⊢ x ∈ s n ∪ ⋃ i, s (i + n + 1) \ s (i + n)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L
⊢ (algebraMap K E) ((Algebra.trace K L) x) = ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
⊢ IsInitSeg (initSeg s) s.card
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
m n : ZNum
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i j : ι
xi : β i
xj : β j
⊢ DFinsupp.single i xi = DFinsupp.single j xj ↔ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
⊢ cfc 0 a = 0
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set Mᵐᵒᵖ
a : Submonoid M
⊢ a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.unop ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {S | MulOpposite.op ⁻¹' s ⊆ ↑S}
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G
a : α
⊢ (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y)) a = (fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y) x_1) a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
s : Set α
x : α
⊢ (∃ x_1 ∈ s, fract x_1 = x) ↔ ∃ i, (∃ x_1 ∈ s, x_1 - ↑i = x) ∧ x ∈ Ico 0 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : MeasureTheory.Measure E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
⊢ (μ (Metric.closedBall c f.rOut)).toReal / K ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E ≤ ∫ (x : E), ↑f x ∂μ
b : Bool
n m : ℕ
⊢ Nat.bit b (n + m) = Nat.bit b n + Nat.bit false m
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ eLpNormEssSup f μ < ⊤
X : Type u_1
TopologicalSpace X
f : X →ᵇ ℝ≥0
x : X
⊢ f x ≤ nndist 0 f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a m : ℤ
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n m (γ.shift a) = a.negOnePow • (CochainComplex.HomComplex.δ n m γ).shift a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
MonoidWithZero β
ContinuousMul β
hf : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable (f * g) μ
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ z / RCLike.I = -(z * RCLike.I)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
h : S ≤ R⁰
I J : Ideal R
⊢ ↑I = ↑J ↔ I = J
α : Type u
β : Type v
Preorder α
PartialOrder β
OrderBot β
OrderBot α
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
⊢ l ⊥ = ⊥
R : Type u
X : Type v
Semiring R
A : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
F : FreeNonUnitalNonAssocAlgebra R X →ₙₐ[R] A
⊢ (FreeNonUnitalNonAssocAlgebra.lift R).symm F = ⇑F ∘ FreeNonUnitalNonAssocAlgebra.of R
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
s : Set α
⊢ Summable (s.indicator f)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.kahler x) y = (starRingEnd ℂ) ((o.kahler y) x)
A : Class
hA : A.powerset ⊆ A
hnA : ∃ x, ¬A x
⊢ False
R : Type u_2
Add R
Mul R
c : RingCon R
w x y z : R
⊢ c w x → c y z → c (w * y) (x * z)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R✝ S✝ : Set G
inst✝ : H.FiniteIndex
S : Finset G
hS : closure ↑S = ⊤
this✝¹ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
this✝ : DecidableEq G
R₀ : Set G
hR : R₀ ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R₀
this : Fintype ↑R₀
R : Finset G := R₀.toFinset
⊢ ∃ T, T.card ≤ H.index * S.card ∧ closure ↑T = ⊤
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
x : R
hp✝ : ¬1 < p
x✝ : ∃ n, x ^ p ^ n = 0
n : ℕ
h : x ^ p ^ n = 0
hp : p = 0
⊢ x = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
φ : α → β
θ : α → γ
ψ : β → δ
ρ : γ → δ
H : ψ ∘ φ = ρ ∘ θ
G : Filter δ
⊢ Filter.comap φ (Filter.comap ψ G) = Filter.comap θ (Filter.comap ρ G)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₂ p₃ : ι
h : p₂ = p₃
p₁ : ι
⊢ K.d p₁ p₂ ≫ (K.XIsoOfEq h).hom = K.d p₁ p₃
R : Type u_2
S : Type u_3
Ring R
Ring S
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_5
AddCommGroup N
Module S N
σ : R →+* S
RingHomSurjective σ
l : M →ₛₗ[σ] N
hl : Function.Bijective ⇑l
⊢ IsSimpleModule R M ↔ IsSimpleModule S N
G : Type u
AddGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
⊢ B.N 0 = AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
SecondCountableTopology Y
⊢ SecondCountableTopology ↑e.source
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
Zero α
DecidableEq o
⊢ Function.Injective Matrix.blockDiagonal'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
h : IsSFiniteKernel η
⊢ κ ⊗ₖ η = Kernel.sum fun n => κ.seq n ⊗ₖ η
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
NatCast M
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.degree = 1
⊢ C (p.coeff 1) * X + C (p.coeff 0) = C p.leadingCoeff * X + C (p.coeff 0)
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε δ : ℝ
h : ε ≤ δ
x r' : ℝ
r'r : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
y : ℝ
hy : y ∈ Icc x (x + r')
z : ℝ
hz : z ∈ Icc x (x + r')
⊢ 0 ≤ r
α : Type u_1
N : Type u_2
Zero N
r : α → α → Prop
s : N → N → Prop
IsStrictTotalOrder α r
Finite α
hs : WellFounded s
⊢ WellFounded (Finsupp.Lex r s)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n✝ : ℕ
hs : s ∈ f
n : ℕ
⊢ s ^ (n + 1) ∈ f ^ (n + 1)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h : (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a + (κ.singularPart η) a ⟂ₘ η a
⊢ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ comap m (g₁ ⊔ g₂) = comap m g₁ ⊔ comap m g₂
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
⊢ (-p).support.min = p.support.min
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
ι : Type u_3
F : ι → α → E
p : Filter ι
f : α → E
s : Set α
Ffs : ∀ x ∈ s, Filter.Tendsto (fun i => F i x) p (𝓝 (f x))
v : ℝ≥0∞
hv : v < eVariationOn f s
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, v < eVariationOn (F n) s
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
κ : Type u_10
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι'
inst✝² : UniformSpace E
inst✝¹ : UniformAddGroup E
u : UniformSpace F
hu : UniformAddGroup F
hq : WithSeminorms q
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
f : κ → E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ [∀ (k : ι'), EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0, ∀ (k : ι'), Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), ∀ (k : ι'), UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), ∀ (i : ι'), ∃ p, Continuous ⇑p ∧ ∀ (k : κ), (q i).comp (f k) ≤ p, ∀ (i : ι'), BddAbove (Set.range fun k => (q i).comp (f k)) ∧ Continuous (⨆ k, ⇑((q i).comp (f k)))].TFAE
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X : Type u
⊢ { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.obj X)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h : ¬IsTrivial L M
⊢ (match nilpotencyLength R L M with | 0 => ⊥ | k.succ => lowerCentralSeries R L M k) ≤ lowerCentralSeries R L M 1
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : Set α
⊢ s + ↑(upperClosure t) = ↑(upperClosure (s + t))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
f : E → F
hf : ContDiff 𝕜 n f
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => -f x
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
DecidableEq α
⊢ s.gcd f = (Finset.image f s).gcd id
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (imageUnopOp g).hom ≫ image.ι g = (factorThruImage g.unop).op
F : Type u_1
Field F
Fintype F
⊢ IsSquare (-2) ↔ Fintype.card F % 8 ≠ 5 ∧ Fintype.card F % 8 ≠ 7
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
⊢ e.IsImage s t ↔ e.source ∩ ↑e ⁻¹' t = e.source ∩ s
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
f g : R[X]
⊢ (f - g).coeff n = f.coeff n - g.coeff n
α : Sort u_4
β : Sort u_5
Infinite α
Finite β
f : α → β
⊢ ¬Function.Injective f
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
H : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range
hp : p = X ^ q ^ n - C y
⊢ ∃ m n y, m ≠ 0 ∧ (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m
a : Int
b : Int
H : a ≠ 0
⊢ (a * b).div a = b
F : Type u_2
α : outParam (Type u_3)
β : outParam (Type u_4)
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
FunLike F α β
self : BoundedContinuousMapClass F α β
f : F
⊢ ∃ C, ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ C
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ e.unit.app (e.inverse.obj Y) ≫ (((e.unit.app (e.inverse.toPrefunctor.1 (e.functor.obj (e.inverse.obj Y))) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.inverse.toPrefunctor.2 (e.counitInv.app (e.functor.obj (e.inverse.obj Y))))) ≫ e.unitIso.inv.app (e.inverse.toPrefunctor.1 (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)
a b c : Prop
⊢ (a ∧ b) ∧ c ↔ (a ∧ c) ∧ b ∧ c
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hq1 : 1 ≤ q
a : α
⊢ ↑‖(f + g) a‖₊ ≤ ((fun a => ↑‖f a‖₊) + fun a => ↑‖g a‖₊) a
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
⊢ f^[minimalPeriod f x] x = x
α : Type u_2
Div α
f g h : Filter α
⊢ h ≤ f / g ↔ ∀ ⦃s : Set α⦄, s ∈ f → ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ g → s / t ∈ h
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
i : ι
A : I.lower i - I.upper i < 0
⊢ dist I.lower I.upper ≤ ↑I.distortion * (I.upper i - I.lower i)
α : Sort u
s : Setoid α
q : Quotient s
⊢ Quotient.rel q q
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfgne✝¹ : padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
hfgne✝ : padicNorm p (↑f (max ?v1 (max (stationaryPoint hf) ?v3))) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
hfgne : padicNorm p (↑f (max ?v1 (max (stationaryPoint hf) ?v3))) ≠ padicNorm p (↑g (max ?v1 (max ?v2 (stationaryPoint hg))))
⊢ padicNorm p (↑(f + g) (stationaryPoint hfg)) = max (padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))) (padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
hn : Nonempty α
hd : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
hb : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
h✝ : Nonempty ι
⊢ (iInf f).NeBot
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ (1 - Polynomial.X ^ 2) * Polynomial.derivative (Polynomial.Chebyshev.T R (n + 1)) =
  (↑n + 1) * (Polynomial.Chebyshev.T R n - Polynomial.X * Polynomial.Chebyshev.T R (n + 1))
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
hs : s.Nonempty
⊢ sInf s = Function.argminOn id ⋯ s hs
F : Type u_1
NormedField F
CompleteSpace F
f : ℕ →* F
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1
N : ℕ
⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ N.primesBelow, (1 - f p)⁻¹)
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
r : R
⊢ (WittVector.map f) (WittVector.teichmullerFun p r) = WittVector.teichmullerFun p (f r)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I ⊔ J, N⁆ = ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ c * b < a * b⁻¹ * b ↔ c * b < a
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
C : ClassGroup (𝓞 K)
J : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hJ : ClassGroup.mk0 J = C⁻¹
a : 𝓞 K
ha : a ∈ ↑↑J
h_nz : (Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a)| ≤ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑((FractionalIdeal.mk0 K) J)) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
I₀ : Ideal (𝓞 K)
hI : Ideal.span {a} = ↑J * I₀
this : I₀ ≠ 0
I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ := ⟨I₀, ⋯⟩
⊢ ∃ I, ClassGroup.mk0 I = C ∧ ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
⊢ AEMeasurable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) ↔ AEMeasurable (fun x => ↑(f x) * g x) μ
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
h : ∀ (t : Finset α), (↑t).Intersecting → s ⊆ t → s = t
⊢ IsUpperSet ↑s
N : ℕ
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ ∑ x ∈ Finset.range N, 1 / (s - 1) * (1 / ↑(x + 1) ^ (s - 1) - 1 / (↑(x + 1) + 1) ^ (s - 1)) - ∑ x ∈ Finset.range N, ↑(x + 1) / s * (1 / ↑(x + 1) ^ s - 1 / (↑(x + 1) + 1) ^ s) = 1 / (s - 1) * (1 - 1 / (↑N + 1) ^ (s - 1)) - 1 / s * (∑ n ∈ Finset.range N, 1 / (↑n + 1) ^ s - ↑N / (↑N + 1) ^ s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup Fₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
𝕜' : Type u_11
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜' 𝕜
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜' 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' Fₗ
IsScalarTower 𝕜' 𝕜 Fₗ
𝕜'' : Type u_12
Ring 𝕜''
Module 𝕜'' Fₗ
ContinuousConstSMul 𝕜'' Fₗ
SMulCommClass 𝕜 𝕜'' Fₗ
SMulCommClass 𝕜' 𝕜'' Fₗ
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.restrictScalarsL 𝕜 E Fₗ 𝕜' 𝕜'') = ContinuousLinearMap.restrictScalarsₗ 𝕜 E Fₗ 𝕜' 𝕜''
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t α
this : traverse pure x = pure (traverse pure x)
⊢ traverse pure x = pure x
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range (n + 1), ↑((n + 1).choose k) • bernoulli k = (monomial n) (↑n + 1)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : s.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ s.toJordanDecomposition.posPart.HaveLebesgueDecomposition μ