ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
this : HasSum (fun n => C * r ^ n) (C / (1 - r))
⊢ r ^ n * (C / (1 - r)) = ∑' (m : ℕ), r ^ n * (C * r ^ m)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha' : 0 < a'
fact1 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, x ≠ 0
fact2 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, a < x⁻¹
hdnf : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, HasDerivAt (f ∘ Inv.inv) (f' x⁻¹ * -(x ^ 2)⁻¹) x
hdng : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, HasDerivAt (g ∘ Inv.inv) (g' x⁻¹ * -(x ^ 2)⁻¹) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Module R M
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
Q : Type u_3
AddCommMonoid Q
Module S Q
Module R Q
IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
x : M
⊢ (h.lift g) (f x) = g x
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
φ : C ⟶ (ChainComplex.single₀ V).obj X
⊢ ↑((C.toSingle₀Equiv X) φ) = φ.f 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hfi : Integrable f μ
⊢ AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (f a)) μ
α : Type u
DecidableEq α
x : FreeGroup α
⊢ x.toWord = [] ↔ x = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
ContinuousAdd E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
x : E
⊢ StrictConvex 𝕜 (x +ᵥ s)
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
Nontrivial α
⊢ ¬IsRelPrime 0 0
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
I.IsPrime
⊢ I.minimalPrimes = {I}
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
q : Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hV : (s.sup p).ball 0 ε ∈ p.basisSets
hε : id ((s.sup p).ball 0 ε) ⊆ q.ball 0 1
x✝¹ : SeminormedAddCommGroup E := (s.sup p).toSeminormedAddCommGroup
x✝ : NormedSpace 𝕜 E := NormedSpace.mk ⋯
⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ q ≤ C • s.sup p
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s✝ : Rel β β
s : RelSeries r
x : α
irrefl : Irreflexive r
h : s.length ≠ 0
rid : s.toFun 0 = s.toFun 1
⊢ ↑1 = ↑⟨0, ⋯⟩.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
p : PMF α
s : Set β
⊢ (PMF.map f p).toOuterMeasure s = p.toOuterMeasure (f ⁻¹' s)
n : Nat
k : Fin n
m : Nat
⊢ (k.addNat m).rev = Fin.castAdd m k.rev
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
n : ℕ
⊢ (X ^ n - 1).Separable → ↑n ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Factorisation.initial.mid = X
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u
inst✝² : Category.{v, u} D
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : Linear R D
F : C ⥤ D
X Y Z : Free R C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ∀ (f g_1 : (X ⟶ Y) →₀ R), { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map f ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g → { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (g_1 ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g_1 ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g → { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map ((f + g_1) ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (f + g_1) ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Polynomial.reflect 1 Polynomial.X = 1
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑(t ^ (a - 1) * rexp (-(r * t))) = ↑t ^ ↑(a - 1) * ↑(rexp (-(r * t)))
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁✝ : Tendsto (fun p => a (max_bi b) * b (max_bi b) ^ p) atBot atTop
p : ℝ
i : α
x✝ : i ∈ univ
h₁ : 0 < a i
⊢ 0 ≤ (fun i => a i * b i ^ p) i
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p q : Submodule R M
h : p = q
⊢ (LinearEquiv.ofEq p q h).symm = LinearEquiv.ofEq q p ⋯
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : y ≠ 0
⊢ x ^ y ≠ 0 ↔ x ≠ 0
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
s : Set ι
x : ι
h : x ∉ s
h' : v x ∈ span R (v '' {x})
w : v x ∈ span R (v '' s)
⊢ False
R : Type u_1
Ring R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
⊢ Function.Injective ⇑OreLocalization.numeratorHom
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Mul M
Mul N
Mul P
e₁ : M ≃* N
e₂ : N ≃* P
m : M
⊢ (e₁.trans e₂) m = e₂ (e₁ m)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
s : Set X
⊢ (∃ S, (∀ s ∈ S, IsClosed s) ∧ ⋃₀ S = sᶜ) → ∃ S, (∀ s ∈ S, IsOpen s) ∧ ⋂₀ S = s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n : ℕ
⊢ ↑p ^ n ∣ x ↔ ↑n ≤ x.valuation
I : Type u
β : Type u_2
α : Type u_1
VAdd β α
b : β
a : α
⊢ b +ᵥ Function.const I a = Function.const I (b +ᵥ a)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
m n : α
h : Associated m n
k : α
⊢ gcd m k = gcd n k
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset
⊢ ∀ (a : α), card (filter (fun a_1 => a = a_1.1) s.val) ≤ count a m
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto f l ⊤
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₃ l₂ : List α}, l₁ <:+ l₃ → l₂ <:+ l₃ → l₁.length ≤ l₂.length → l₁ <:+ l₂
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α ℝ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, κ x = ρ.condKernel x
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X).obj Y = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y
F : Type u → Type u
q : QPF F
p : QPF.Fix F → Prop
h : ∀ (x : F (QPF.Fix F)), Functor.Liftp p x → p (QPF.Fix.mk x)
x : QPF.Fix F
⊢ p x
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ
ha : a > 0
⊢ a / c * b / a ≤ b / c
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
inst✝ : Fintype α
⊢ 𝒜.shatterer.card ≤ ∑ x ∈ Iic 𝒜.vcDim, (powersetCard x univ).card
α : Type u_1
LinearOrderedField α
FloorRing α
x : ℚ
⊢ ↑(Int.fract x) = Int.fract ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la lb : β
hab : a ≠ b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)
⊢ ∀ x ∈ Icc a b, ∃ y, Tendsto f (𝓝[Ioo a b] x) (𝓝 y)
α : Type u
l : List α
a : α
⊢ a ∈ l.head? → a :: l.tail = l
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
Preorder α
PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a * b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g).base = f.base ≫ g.base
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hCg : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖Exists.choose ⋯ x‖₊}.indicator (Exists.choose ⋯)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x✝ : M
R₁ : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R₁
σ : R →+* R₁
σ' : R₁ →+* R
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomInvPair σ' σ
M₁ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
f : M → ι → R
hadd : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
hsmul : ∀ (c : R) (x : M), f (c • x) = c • f x
f_eq : ∀ (i : ι), f (b i) = ⇑(Finsupp.single i 1)
x : M
i : ι
f_i : M →ₗ[R] R := { toFun := fun x => f x i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
⊢ (b.repr x) i = f x i
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
V : OpenNhdsOf 1
⊢ chaar K₀ ∈ clPrehaar (↑K₀) V
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
f g : α → β
DecidablePred fun x => x ∈ s
DecidablePred fun x => x ∈ t
hst : s =ᵐ[μ] t
⊢ s.piecewise f g =ᵐ[μ] t.piecewise f g
z0 : ℤ
k : ℕ
x0 y0 : ℤ
k0 : 0 < k
h2 : x0.gcd y0 = 1
h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0
h : PythagoreanTriple (x0 * ↑k) (y0 * ↑k) (↑k * z0)
hk : ↑k ≠ 0
⊢ PythagoreanTriple (x0 * ↑k / ↑k) (y0 * ↑k / ↑k) (↑k * z0 / ↑k)
α : Type u_1
a b : α
⊢ Topology.WithUpper.toUpper a = Topology.WithUpper.toUpper b ↔ a = b
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
f : α → α
a : α
⊢ (iterate f a).get n.succ = (iterate f (f a)).get n
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : LinearOrder α
f : α → β
h : ∀ (x y : α), x < y → f x ≠ f y
x y : α
hf : f x = f y
hxy : x < y
⊢ x = y
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank K V = n.succ
⊢ FiniteDimensional K V
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun V => V ∈ 𝓤 α) closure
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
f : Fin k → α
hfs : ∀ (x : Fin k), f x ∈ s
hmono : StrictMono f
x : α
hx : x ∈ image f univ
⊢ x ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.EssentiallySmall.{w, v, u} C ↔
  Small.{w, u} (CategoryTheory.Skeleton C) ∧ CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
Invertible A.det
⊢ A.invertibleEquivDetInvertible.symm inst✝ = A.invertibleOfDetInvertible
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 ≤ RCLike.re ⟪x, T x⟫_𝕜
v : E
hv : HasEigenvector T (↑μ) v
⊢ 0 ≤ μ
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
j : C ⥤ D
inst✝¹ : Coreflective j
A : D
inst✝ : IsSplitEpi ((coreflectorAdjunction j).counit.app A)
ε : coreflector j ⋙ j ⟶ 𝟭 D := (coreflectorAdjunction j).counit
⊢ A ∈ j.essImage
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
h : ∀ {x : L} {m : M}, (↑f).toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, (↑f).toFun m⁆
⊢ { toLinearMap := ↑f, map_lie' := h } = f
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α : Type v
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
β : Type v
inst✝ : CommRing β
A : Matrix n n β
hA : star A * A = 1
⊢ A * star A = 1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ
⊢ ⟪↑(stereoInvFun hv w), v⟫_ℝ < 1
f✝ f g : StieltjesFunction
a b : ℝ
h : a < b
⊢ (f + g).measure (Ioc a b) = (f.measure + g.measure) (Ioc a b)
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
Semigroup α
A : Matrix l m α
B : Matrix n p α
C : Matrix q r α
⊢ (Matrix.reindex (Equiv.prodAssoc l n q) (Equiv.prodAssoc m p r))
    (Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) (Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B) C) =
  Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A (Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) B C)
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : z ≠ 0
⊢ 0 ≤ x ^ z⁻¹
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ (p * q).support ⊆ p.support + q.support
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
AddCommMonoid C
Module R A
Module R B
Module R C
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
e₁₂ : A ≃ₗc[R] B
e₂₃ : B ≃ₗc[R] C
⊢ ∀ (a : C), (e₁₂.trans e₂₃).invFun a = (↑e₁₂).symm ((↑e₂₃).symm a)
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
t : TopologicalSpace 𝕜
h₁ : TopologicalAddGroup 𝕜
h₂ : ContinuousSMul 𝕜 𝕜
h₃ : T2Space 𝕜
⊢ t = UniformSpace.toTopologicalSpace
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q n : ℕ
hqn : n ≤ q
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Q (q + 1)).f n = (AlgebraicTopology.DoldKan.Q q).f n
x y : ℝ
⊢ Continuous fun x => log ↑x
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
H : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c) ^ (-↑n - 1)) = 0
⊢ HasSum (fun n => ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ n * (z - c)⁻¹) (2 * ↑π * I)
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (x / ↑n) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x
b : ℝ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (-b * x ^ 2)) MeasureTheory.volume ↔ 0 < b
𝕜 : Type u_15
NormedDivisionRing 𝕜
m n : ℕ
h : m < n
⊢ (fun x => x ^ n) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m
α : Sort u_1
P Q : Prop
Decidable P
Decidable Q
a b : α
⊢ (if P ∧ Q then a else b) = if P then if Q then a else b else b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ filter (fun a => p a ∧ q a) s ↔ x✝ ∈ filter p s ∩ filter q s
y : ℝ
hy : 0 < y
x c : ℝ≥0
left✝ : True
hc' : Set.Ioi ↑c ∈ 𝓝 ⊤
a : ℝ≥0
ha : c < a
hc : ∀ (x_1 : ℝ≥0), c < x_1 → x < x_1 ^ y
⊢ ↑x < ↑(a ^ y)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝ : Semigroup G
a b c : G
h : SemiconjBy a b c
j : G
⊢ a * (b * j) = c * (a * j)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
⊢ ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1)) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Set.Ico a b = Set.Ioc (b / c) (a / c)
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Inv G✝
inst✝⁴ : ContinuousInv G✝
G : Type u_1
inst✝³ : DivInvMonoid G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : ContinuousMul G
inst✝ : ContinuousInv G
x y : G
h : x ⤳ y
n : ℕ
⊢ (x ^ Int.ofNat n) ⤳ (y ^ Int.ofNat n)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ mixedEmbedding.norm x ≠ 0 ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), (normAtPlace w) x ≠ 0
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1
hy : y ≠ 0
⊢ 1 < (mk |x| |y| ⋯).x
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M
V : Submodule K M := φ.maxGenEigenspace 0
hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)
W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)
hVW : IsCompl V W
hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V
hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W
F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV
G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW
ψ : ↥V × ↥W →ₗ[K] ↥V × ↥W := F.prodMap G
e : (↥V × ↥W) ≃ₗ[K] M := V.prodEquivOfIsCompl W hVW
bV : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V) K ↥V := chooseBasis K ↥V
bW : Basis (ChooseBasisIndex K ↥W) K ↥W := chooseBasis K ↥W
b : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V ⊕ ChooseBasisIndex K ↥W) K (↥V × ↥W) := bV.prod bW
hψ : ψ = e.symm.conj φ
⊢ finrank K ↥V = F.charpoly.natTrailingDegree + G.charpoly.natTrailingDegree
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Ico a b = Ioc (b / c) (a / c)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : Basis ι ℝ E
w : Basis ι' ℝ F
x : E × F
t : ι → ℝ
ht1 : t ∈ Icc 0 1
ht2 : x.1 = ∑ i : ι, t i • v i
s : ι' → ℝ
hs1 : s ∈ Icc 0 1
hs2 : x.2 = ∑ i : ι', s i • w i
⊢ ∃ t ∈ Icc 0 1, x = ∑ i : ι ⊕ ι', t i • (v.prod w) i
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : DecidableEq l
A : Matrix m n 𝕜
B : Matrix n l 𝕜
⊢ ‖A * B‖ ≤ ‖A‖ * ‖B‖
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
comm : a ≫ f₁ = b ≫ f₁
big_k : IsKernelPair (f₁ ≫ f₂) a b
s : PullbackCone f₁ f₁
s' : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂) := PullbackCone.mk s.fst s.snd ⋯
m✝ : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt
m₁ : m✝ ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).fst = s.fst
m₂ : m✝ ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).snd = s.snd
⊢ m✝ ≫ (PullbackCone.mk a b ?refine_1).snd = (IsPullback.isLimit big_k).lift s' ≫ (PullbackCone.mk a b ?refine_1).snd
α : Type u
x : α
hx : ↑x ≠ 1
⊢ WithOne.unone hx = x
ι : Type u
α : ι → Type v
Fintype ι
IsEmpty ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.ofUniqueOfUnique ((i : ι) → α i) Unit)) (MeasureTheory.Measure.pi μ)
  (MeasureTheory.Measure.dirac ())
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ComplexMeasure α
inst✝ : c.HaveLebesgueDecomposition μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ (↑(c.singularPart μ) i + ↑(μ.withDensityᵥ (c.rnDeriv μ)) i).re = { re := ↑(re c) i, im := ↑(im c) i }.re
Δ' Δ : SimplexCategory
i : Δ' ⟶ Δ
hi : Mono i
hi' : Δ ≠ Δ'
⊢ Δ'.len < Δ.len
α : Type u_1
a y : α
l : List α
⊢ ¬a ∈ y :: l → a ≠ y ∧ ¬a ∈ l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p (t.preimage p ⋯))
𝕜 : Type u
E : Type v
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ = ‖p.coeff n‖
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : One M
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice M
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α → M
⊢ ∀ (x : α), (∀ (x_1 : ι), f x_1 x = 1) → ⨆ i, f i x = 1
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ (α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (α_ M.X (N.X ⊗ P.X) Q.X).hom ≫ (M.X ◁ (α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) WalkingParallelPair.one = (α_ (M.X ⊗ N.X) P.X Q.X).hom ≫ (((α_ M.X N.X (P.X ⊗ Q.X)).hom ≫ M.X ◁ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α✝ : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
⊢ ↑((aeval (AdjoinSimple.gen F α)) (minpoly F α)) = (aeval α) (minpoly F α)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
u : ℂ → ℝ
hBf : ∃ c < a, ∃ B, f =O[l] fun z => expR (B * expR (c * |u z|))
hBg : ∃ c < a, ∃ B, g =O[l] fun z => expR (B * expR (c * |u z|))
⊢ ∃ c < a, ∃ B, (f - g) =O[l] fun z => expR (B * expR (c * |u z|))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : D ⥤ C
e.IsEquivalence
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasTerminal D
m n : ℕ
⊢ ack (m + 1) (n + 1) = ack m (ack (m + 1) n)
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a
⊢ (f + g).neLocus f = g.support
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
h_inj : Function.Injective ⇑f
⊢ ⇑(LinearEquiv.ofInjectiveEndo f h_inj) = ⇑f
α : Type u_1
Inhabited α
⊢ none.get! = default
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → k
p : ι → P
⊢ (s.weightedVSub p) w₁ +ᵥ (Finset.affineCombination k s p) w₂ = (Finset.affineCombination k s p) (w₁ + w₂)
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
c : R
⊢ (C c * X).support ⊆ {1}
R : Type u
inst₁ inst₂ : Ring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h₁ : toSemiring = toSemiring
h₂ : toNonAssocRing = toNonAssocRing
⊢ inst₁ = inst₂
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
ZeroLEOneClass α
NeZero 1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
PosMulStrictMono α
b2 : 2 ≤ b
ba : b ≤ a
⊢ a + b ≤ a * b
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
NormedField 𝕜₃
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
RingHomCompTriple σ τ ρ
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
AddCommGroup G
Module 𝕜₃ G
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
RingHomSurjective σ
RingHomIsometric σ
L : E →SL[σ] F
f : F →SL[τ] G
⊢ (ContinuousLinearMap.precomp G L) f = f.comp L
X : Type u_1
f : X → ℝ
m m0 : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
hm : m ≤ m0
g : MeasureTheory.SimpleFunc X ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑g * f) μ
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <:+ l₂ → l₁.length = l₂.length → l₁ = l₂