ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
f : X ⟶ Y
U V : CategoryTheory.Over X
g : U ⟶ V
⊢ ((CategoryTheory.Over.map f).map g).left = g.left
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F.leftOp
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfCoconeLeftOp c).pt = Opposite.op c.pt
m : Type u_1 → Type u_2
α β : Type u_1
p : α → Prop
x✝ : m α
q : β → Prop
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → m β
hx : SatisfiesM p x✝
hf : ∀ (a : α), p a → SatisfiesM q (f a)
x : m { a // p a }
g : (a : α) → p a → { x // Subtype.val <$> x = f a }
a : α
h : p a
⊢ (do let a ← (g ⟨a, h⟩.val ⋯).val pure a.val) = f ⟨a, h⟩.val
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
⊢ Submodule.map (LinearMap.snd R E F) f.graph = LinearMap.range f.toFun
α : Type u
Monoid α
a : αˣ
⊢ a.inv = ↑a⁻¹
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn f [[a, b]]
hderiv : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
⊢ ∃ n, ↑x ∈ Ioc (↑y ^ n) (↑y ^ (n + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
⊢ IntegrableAtFilter f (l ⊓ ae μ) μ ↔ IntegrableAtFilter f l μ
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s ∪ t ∩ u = (s ∪ t) ∩ (s ∪ u)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0
hw' : ∀ i ∈ t, w i • f (p i) ≠ 0 → w i ≠ 0
⊢ f (∑ i ∈ t, w i • p i) = ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ↔ ∀ j ∈ t, w j ≠ 0 → p j = ∑ i ∈ t, w i • p i
α : Type u_1
G : Type u_9
H : Type u_10
NegZeroClass G
NegZeroClass H
f : G → H
hf : f 0 = 0
hf' : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
v : α →₀ G
⊢ Finsupp.mapRange f hf (-v) = -Finsupp.mapRange f hf v
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ z ∈ closedBall z₀ ρ, z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
hr : 0 < r
h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (s ∩ {b | b ≤ a}) ↔ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) s
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ g b - g a ≤ (∫ (y : ℝ) in a..b, φ y) + ε
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ Multiset.card (nthRoots n 1) = n
C : Type v
CommMonoid C
n : ℕ
NeZero n
ζ : C
hζ : ζ ^ n = 1
a : ℕ
⊢ (AddChar.zmodChar n hζ) ↑a = ζ ^ a
α : Type u_1
u : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ ⋂ i, ⋂ (_ : i ≥ n), u i = ⋂ i, u (i + n)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : C
⊢ { X := X, p := CategoryTheory.CategoryStruct.id X, idem := ⋯ }.p = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
V : Type u_1
s : Set V
G : SimpleGraph ↑s
⊢ SimpleGraph.induce s G.spanningCoe = G
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
Fintype α
DecidablePred fun j => a ≤ j ∧ j ≤ b
⊢ Finset.filter (fun j => a ≤ j ∧ j ≤ b) Finset.univ = Finset.Icc a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : DecidableEq ι
l : ⨁ (i : ι), G i
i : ι
v : G i
⊢ (DFinsupp.sum l fun j w => if i = j then ⟪(V i) v, (V j) w⟫_𝕜 else 0) = ⟪v, l i⟫_𝕜
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
b c : M
⊢ z₁ * (z₂ * b) * c = z₁ * z₂ * b * c
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : Nat.Prime (orderOf σ)
⊢ ∃ n, σ.cycleType = Multiset.replicate (n + 1) (orderOf σ)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : (y : β) × { x // f x = y }
⊢ (Equiv.sigmaFiberEquiv f) x = ↑x.snd
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddAction α β
Fintype α
Fintype β
Fintype (Quotient (AddAction.orbitRel α β))
(b : β) → Fintype ↥(AddAction.stabilizer α b)
⊢ Fintype.card β = ∑ ω : Quotient (AddAction.orbitRel α β), Fintype.card α / Fintype.card ↥(AddAction.stabilizer α ω.out')
R : Type u
Ring R
⊢ Monotone Subring.toAddSubgroup
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
TopologicalSpace α
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p Set.univ ↔ TendstoLocallyUniformly F f p
α : Type u_1
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
h : sign a = -1
⊢ a < 0
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh : ∀ (I : S.Arrow), (x.pullback I.f).refine (h1 I) = (y.pullback I.f).refine (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
ex : B ⟶ Sx := homOfLE ⋯
ey : B ⟶ Sy := homOfLE ⋯
⊢ ∃ h1 h2, x.refine h1 = y.refine h2
K : Type u
V : Type v
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Ring E
inst✝ : Algebra F E
hr : finrank F E = 2
i : Nontrivial E := nontrivial_of_finrank_pos (LT.lt.trans_eq zero_lt_two (Eq.symm hr))
S : Subalgebra F E
this : FiniteDimensional F E
⊢ S = ⊥ ∨ S = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ IsCoprime (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
R : ℝ
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hy' : ‖y‖ ≠ 0
⊢ ((R * R * ‖x‖ * (R * R * ‖x‖) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖x‖)) - ‖x‖ * ‖x‖ * (‖x‖ * ‖x‖) * (2 * (R * R * (R * R * ⟪x, y⟫_ℝ)))) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖y‖ * ‖y‖)) + R * R * ‖y‖ * (R * R * ‖y‖) * (‖x‖ * ‖x‖ * (‖x‖ * ‖x‖) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖x‖)))) * (‖x‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖y‖)) = R * R * (R * R) * (‖x‖ * ‖x‖ - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖) * (‖x‖ * ‖x‖ * (‖x‖ * ‖x‖) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖x‖)) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖y‖ * ‖y‖)))
X Y : UniformSpaceCat
f : ↑X → ↑Y
hf : UniformContinuous f
⊢ ↑⟨f, hf⟩ = f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
a b : α
⊢ (a, b) ∈ s ×ˢ s ↔ (a, b) ∈ (range s.card).disjiUnion (fun k => map { toFun := fun i => (i, (f ^ k) i), inj' := ⋯ } s) ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
⊢ IsOpen {p | p.2 ∈ FDerivMeasurableAux.A (f p.1) L r s}
x : ℂ
hx : Complex.abs x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ Complex.abs (Complex.exp x - ∑ m ∈ Finset.range n, x ^ m / ↑m.factorial) ≤
  Complex.abs x ^ n * (↑n.succ * (↑n.factorial * ↑n)⁻¹)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Monoid β
p✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsTotal α r
f : α → α → β
p : α → Prop
hswap : ∀ {a b : α}, p a → p b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a → p b → p c → f a c = f a b * f b c
a b c : α
pa : p a
pb : p b
pc : p c
⊢ ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a ∧ p b → p b ∧ p c → p a ∧ p c → f a c = f a b * f b c
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
h✝ : I ≤ ⊥.jacobson
a : R
h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)
y : R
h2 : ∀ (y_1 : R), IsUnit ((y * a - 1) * y_1 + 1)
h1 : IsUnit ((a * y - 1) * 1 + 1)
⊢ IsUnit a
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ nodal (s.erase i) v = nodal s v / (X - C (v i))
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
x : E
⊢ Filter.Tendsto (fun a => ‖a - x‖) (𝓝 x) (𝓝 0)
G : Type u_2
Group G
H : Subgroup G
x : G
⊢ toUnits x ∈ H.units ↔ x ∈ H
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : LinearOrder E
f : X → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h_union : {x | f x ≤ 0} = {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}
B : NullMeasurableSet {x | f x = 0} μ
⊢ ∫ (x : X) in {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}, f x ∂μ = ∫ (x : X) in {x | f x < 0}, f x ∂μ
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
⊢ ∏ x ∈ s.support, X x ^ s x = (monomial s) 1
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
h✝ : Nonempty β
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x => f x k) ⊥ (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in ⊥, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
⊢ Tendsto (fun x => ∑' (k : β), f x k) ⊥ (𝓝 (∑' (k : β), g k))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f f₁ : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[insert x s] x] f
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f₁ s x
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
⊢ 1 < order P L
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : IsAlgebraic F α
this : finSepDegree F ↥F⟮α⟯ = Nat.card { x // x ∈ (minpoly F α).aroots (AlgebraicClosure ↥F⟮α⟯) }
⊢ Fintype.card { x // x ∈ (minpoly F α).aroots (AlgebraicClosure ↥F⟮α⟯) } = Fintype.card { x // x ∈ ((minpoly F α).aroots (AlgebraicClosure ↥F⟮α⟯)).toFinset }
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Sub α
SemilatticeSup β
OrderBot β
s t : Finset α
f : α → β
a : β
⊢ (s - t).sup f ≤ a ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, f (x - y) ≤ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪x, b i⟫_𝕜 = ⟪y, b i⟫_𝕜
i : ι
⊢ ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
⊢ o.volumeForm.measure = volume
x : ℕ
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ closedBall x r = Icc ⌈↑x - r⌉₊ ⌊↑x + r⌋₊
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁✝ c₂✝ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
c₁ c₂ : ℝ
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖
a✝ : α
hx₁ : ‖f₁ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₁ a✝‖
hx₂ : ‖f₂ a✝‖ ≤ c₂ * ‖g₂ a✝‖
⊢ c₁ * c₂ * ‖g₁ a✝ * g₂ a✝‖ = c₁ * ‖g₁ a✝‖ * (c₂ * ‖g₂ a✝‖)
α : Type u_4
TopologicalSpace α
NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : ℕ → α
T3Space α
TopologicalSemiring α
h : Summable fun x => f x.1 * g x.2
⊢ Summable fun n => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), f k * g (n - k)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X E Y YE : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X E
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
f : X ⟶ Y
iY : Y ⟶ YE
fE : c.pt ⟶ YE
H : CategoryTheory.CommSq f c.inl iY fE
⊢ Nonempty
    (CategoryTheory.Limits.IsColimit
      (CategoryTheory.Limits.BinaryCofan.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp c.inr fE) iY)) ↔
  CategoryTheory.IsPushout f c.inl iY fE
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
F G : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
α : F ⟶ G
X : CategoryTheory.Grothendieck F
⊢ ((CategoryTheory.Grothendieck.map α).obj X).base = X.base
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Multiset α
a : α
h : a ∈ s
⊢ a ∣ s.lcm
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (D.comp T.forget)
⊢ (CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesColimits.newCocone c).ι =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesColimits.γ c.ι
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
hRA : Algebra.FiniteType R A
e : A ≃ₐ[R] B
⊢ Algebra.FiniteType R B
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_4
DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j
c : k
⊢ Finset.affineCombinationLineMapWeights i j c j = c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this : (a : Prop) → Decidable a
ε : α
ε0 : ε > 0
nk : ∀ (x : α), 0 < x → ∀ (x_1 : ℕ), ∃ x_2, ∃ (_ : x_1 ≤ x_2), abv (↑f x_2) < x
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε
⊢ ¬BddBelow (Set.range fun x => ↑x)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval
V : Set G := V₁ ∩ V₂
⊢ chaar K₀ ∈ eval ⁻¹' {0}
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂
⊢ 0 < ∠ p₂ p₃ p₁
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ≥0
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ↑I
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ↑I
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
NormedField R
SeminormedAddCommGroup M
SeminormedAddCommGroup N
NormedSpace R M
NormedSpace R N
f : M →L[R] N
hf : IsConformalMap f
c : R
hc : c ≠ 0
⊢ IsConformalMap (c • f)
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
h : 𝔖.Nonempty
h' : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
𝓑 : FilterBasis (β × β)
⊢ Filter.IsBasis (fun SV => SV.1 ∈ 𝔖 ∧ SV.2 ∈ 𝓑) fun SV => UniformOnFun.gen 𝔖 SV.1 SV.2
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
pprime : Nat.Prime p
⊢ ∃ t, 0 < t ∧ f ↑p = ↑p ^ (-t)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹
hτ' : ∀ (k : Fin N.succ), τ⁻¹ ≤ a.r k
⊢ τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
X Y Z : AddGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoDiv hp a (m • p + b) = m + toIcoDiv hp a b
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ map valEmbedding (Ioo a b) = Ioo ↑a ↑b
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
𝔖₁ 𝔖₂ : Set (Set E)
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
h : 𝔖₂ ⊆ 𝔖₁
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
⊢ UniformSpace.toTopologicalSpace ≤ UniformSpace.toTopologicalSpace
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
f : B ⟶ A
CategoryTheory.Exponentiable B
X : C
⊢ CategoryTheory.CartesianClosed.uncurry ((CategoryTheory.pre f).app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.prod.map f (CategoryTheory.CategoryStruct.id (A ⟹ X)))
    ((CategoryTheory.exp.ev A).app X)
x : SetTheory.PGame
⊢ x ≤ 0 ↔ ∀ (i : x.LeftMoves), (x.moveLeft i).LF 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace γ
x : α
U : Set α
V : Set β
F : α → β → γ
hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)
hU : x ∈ U
φ : α × β → (α × β) × α × β := fun q => ((x, q.2), q)
⊢ Tendsto (Prod.map (↿F) ↿F ∘ φ) (𝓝[U] x ×ˢ 𝓟 V) (𝓤 γ)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a - x) ⁻¹' [[b, c]] = [[a - b, a - c]]
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ Filter.comap (fun p => (AddOpposite.op p.1, AddOpposite.op p.2)) (𝓤 αᵃᵒᵖ) = 𝓤 α
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
⊢ Matrix.cramer 1 = 1
X : TopCat
p₀ : ↑X
(U : TopologicalSpace.Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
A : C
U : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (skyscraperPresheaf p₀ A).obj U = if p₀ ∈ Opposite.unop U then A else ⊤_ C
⊢ Set.range Real.toEReal = Set.Ioo ⊥ ⊤
K : Type u_1
inst✝ : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
q : Stmt₂
⊢ q ∈ stmts₁ q
self : CompactlyGenerated
⊢ CompactlyGenerated.compactlyGeneratedToTop.obj self = self.toTop
a : ↥circle
i j : Fin 2
⊢ ![(↑a).re * (![1, I] j).re - (↑a).im * (![1, I] j).im, (↑a).re * (![1, I] j).im + (↑a).im * (![1, I] j).re] i = Matrix.vecCons (![(↑a).re, -(↑a).im] j) (fun i => ![(↑a).im, (↑a).re] j) i
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
⊢ ∃ u n, discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℝ n Real.cosh
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor C D
X Y Z : C
⊢ F.δ X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z) ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X) (F.δ Y Z) ≫
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).inv =
  F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv ≫
    F.δ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z ≫
      CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (F.δ X Y) (F.obj Z)
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
DecidableEq β
DecidableEq γ
b : β
c : γ
f : δ ≃. β
h : f.symm b = none
⊢ f.trans (PEquiv.single b c) = ⊥
M : Type u_1
E : Type u_2
Bornology M
AddZeroClass E
DistribSMul M E
s₁ s₂ t : Set E
x : E
h₁ : Absorbent M s₁
h₂ : Absorbs M s₂ t
⊢ Absorbs M (s₁ + s₂) (x +ᵥ t)
n : ℕ
i : Fin n
⊢ (Fin.succFunctor n).obj i = i.succ
c d : Cardinal.{u}
hd : d < Cardinal.aleph0
hcd : c ≤ d
⊢ Cardinal.toNat c ≤ Cardinal.toNat d
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
h_comm : Commute x (-y)
hx : IsNilpotent x
hy : IsNilpotent (-y)
⊢ IsNilpotent (x - y)
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
b : ↥B
⊢ HNNExtension.of ↑(φ.symm b) = HNNExtension.t⁻¹ * HNNExtension.of ↑b * HNNExtension.t
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℚ
h : dist b✝ a✝ < ε
⊢ dist (-a✝) (-b✝) < ε
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
Algebra A B
x : B
Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0
hp3 : p.Monic
⊢ p = minpoly A x
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
c : ι → R
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ (f fun i => c i • m i) = (∏ i : ι, c i) • f m
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.p h.g' = S.g
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
f : α → β
u : Set β
hu : u ∈ lb
⊢ (∀ᶠ (x : Set α) in la.smallSets, f '' x ⊆ u) ↔ u ∈ map f la