ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_12
N : Type u_13
P : Type u_14
Q : Type u_15
Add P
Add Q
f : M ≃ N
g : P ≃+ Q
h : M → P
n : N
⊢ (AddEquiv.arrowCongr f g) h n = g (h (f.symm n))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset γ
t : γ → Finset α
f : α → β
⊢ ⨆ y ∈ s.biUnion t, f y = ⨆ x ∈ s, ⨆ y ∈ t x, f y
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
⊢ 1 = Nat.unaryCast 1
m n : ℤ
⊢ ¬Odd n ↔ n % 2 = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p) ∈ AffineSubspace.mk' p s.directionᗮ
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
this : yn a1 n ∣ k * xn a1 n ^ (k - 1)
⊢ yn a1 n ∣ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
h : TransGen r a c
⊢ ∃ b, ReflTransGen r a b ∧ r b c
α : Sort u_1
a : α
⊢ HEq a a ↔ True
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J✝ : Matrix n n R
u : Rˣ
J A : Matrix n n R
⊢ Aᵀ * u • J = u • J * -A ↔ Aᵀ * J = J * -A
α : Type u_5
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ μ.finiteSpanningSetsInOpen' =
  let_fun H := ⋯;
  H.some
n m : ℕ
⊢ Nonempty (Fin n ↪ Fin m) ↔ n ≤ m
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
⊢ HasStrictDerivAt log x⁻¹ x
N k : ℕ
⊢ (Finset.filter (fun x => x ∈ k.smoothNumbers ∨ x ≠ 0 ∧ x ∉ k.smoothNumbers) (Finset.range N.succ)).card = N
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ MDifferentiableOn 𝓘(𝕜, E) I (↑I.symm) (Set.range ↑I)
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝¹ : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat db) ≤ num✝.mul (Int.ofNat da)) = true
h✝ : ↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) ≤ ↑(num✝.mul (Int.ofNat da))
ha : 0 ≤ ⅟↑da
hb : 0 ≤ ⅟↑db
h : ⅟↑db * (↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) * ⅟↑da) ≤ ⅟↑db * (↑(num✝.mul (Int.ofNat da)) * ⅟↑da)
⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da ≤ ↑num✝ * ⅟↑db
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖⟨↑r, H⟩ - ↑↑n‖ < 1
⊢ ∃ n < p, ‖x - ↑n‖ < 1
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
Fintype α₁
Fintype α₂
AddCommMonoid γ
f : α₁ → α₂ → γ
⊢ ∑ x : α₁ × α₂, f x.1 x.2 = ∑ y : α₂, ∑ x : α₁, f x y
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y
inst✝⁹ : TopologicalSpace Y
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : OrderTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hs : IsCompact s
hmono : MonotoneOn f s
h : s.Nonempty
⊢ IntegrableOn f s μ
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
a₁ : R := choose ⋯
J₁ : Ideal R := choose ⋯
h_aJ : ↑(J₁ * Ideal.span {a}) = ↑(J * Ideal.span {a₁})
h_a₁J₁ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁)⁻¹ * ↑J₁
h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0
h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0
h_a_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
h_J_ne_zero : J ≠ 0
h_a₁' : spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁) ≠ 0
h_a' : spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
⊢ Associates.mk (Ideal.span {a}) ≠ 0
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : PartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
this : ↑f '' f.source = f.target
x : E
hx : x ∈ f.source
⊢ HasFDerivWithinAt (↑f) (f' x) f.source x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
x : X
⊢ ContinuousAt f x ↔ ∀ (g : Ultrafilter X), ↑g ≤ 𝓝 x → Filter.Tendsto f (↑g) (𝓝 (f x))
⊢ Filter.map Real.toNNReal Filter.atTop = Filter.atTop
R : Type u_2
E : Type u_4
AddGroup E
SMul R ℝ
SMul R ℝ≥0
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p : AddGroupSeminorm E
⊢ ⇑(r • p) = r • ⇑p
x x' : SetTheory.PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : x' ≤ x
⊢ (x.insertLeft x').Numeric
n m : ℕ
h : n ≤ m
i : { i // ↑i < n }
⊢ (RelIso.symm (Fin.castLEOrderIso h)) i = ⟨↑↑i, ⋯⟩
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k + 1) / 2 / ↑(2 * k + 1)! = (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k + 1) / (2 * ↑k + 1).Gammaℂ
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
⊢ (S.map F).X₂ = F.obj S.X₂
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
⊢ f.lintegral μ ⊔ g.lintegral μ ≤ (f ⊔ g).lintegral μ
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
⊢ (p.append q).IsPath → p.IsPath
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (s.sigma t).Nonempty → s.Nonempty
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : ∀ (s t : R), s • x + t • y = 0 → s = 0 ∧ t = 0
g : Fin (Nat.succ 0).succ → R
hg : ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, g i • ![x, y] i = 0
⊢ ∀ (i : Fin (Nat.succ 0).succ), g i = 0
α : Type u
AddMonoid α
a : α
b : AddUnits α
⊢ a + ↑(-b) + ↑b = a
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : M
n : ℕ
y : L
hy : f y = x ^ p ^ n
⊢ ∃ n y, (f.comp i) y = x ^ p ^ n
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a b : α
h : normalize b = b
⊢ lcm a b = b ↔ a ∣ b
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
this : MetricSpace ℍ := metricSpaceAux
hr₀ : r < 0
⊢ cmp (dist z w) r = cmp (dist ↑z ↑(w.center r)) (w.im * Real.sinh r)
x : ℂ
n : ℕ
⊢ Complex.exp (n • x) = Complex.exp x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)
this✝ : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))
this : SigmaFinite (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)))
h_add : (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] fun x => ((map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)) (f x)
⊢ (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
⊢ ∃ k,
  ↑(LieModule.weightSpace M χ) ≤ LinearMap.ker (((LieModule.toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ k)
α : Type u_6
β : Type u_7
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
self : CoheytingHom α β
a b : α
⊢ self.toFun (a \ b) = self.toFun a \ self.toFun b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).cos * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
⊢ root (X ^ n - C a) ^ n = (of (X ^ n - C a)) a
β : Type u_5
ConditionallyCompleteLattice β
s : Set (WithTop β)
hs : BddBelow s
⊢ IsGLB s (sInf s)
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Set α
⊢ s.PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ (f : ℕ → α), ¬Set.PartiallyWellOrderedOn.IsBadSeq r s f
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
⊢ PartialHomeomorph.univUnitBall.target = Metric.ball 0 1
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set α
f : C(α, β)
⊢ ⇑(ContinuousMap.restrict s f) = ⇑f ∘ Subtype.val
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∀ (s : Set α), ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
i : m
j : n
this : ∑ i' : m, (if i = i' then 1 else 0) * M i' j = M i j
x✝ : m
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
h : ¬i = x✝
⊢ Function.update 0 i 1 x✝ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
⊢ Computable Prod.fst
R : Type u_1
MonoidWithZero R
x : R
m : ℕ
h : IsNilpotent (x ^ m)
⊢ IsNilpotent x
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
r : R
⊢ (MvPolynomial.C r).IsHomogeneous 0
G : Type u_1
Group G
φ : G →* G
Finite G
hφ : MonoidHom.FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
g : G
⊢ Odd (orderOf g)
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
M : Submonoid R
IsLocalization M S
⊢ Function.Injective ⇑(PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S))
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
h : M.IsPerfectMatching
c : G.ConnectedComponent
⊢ (M.induce c.supp).IsMatching
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
inst✝² : ∀ (i : ι), InvariantBasisNumber (End (s i))
o : HomOrthogonal s
α β : Type
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
f : α → ι
g : β → ι
i : (⨁ fun a => s (f a)) ≅ ⨁ fun b => s (g b)
c : ι
val✝ : Fintype α
⊢ Cardinal.mk ↑(f ⁻¹' {c}) = Cardinal.mk ↑(g ⁻¹' {c})
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ b a : α
l : List α
p : Chain R a l
⊢ Chain (fun x y => x ∈ a :: l ∧ y ∈ l ∧ R x y) a l
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SigmaFinite ν
μν : MeasureTheory.Measure (α × β)
h : ∀ (s : Set α) (t : Set β), MeasurableSet s → MeasurableSet t → μν (s ×ˢ t) = μ s * ν t
⊢ μ.prod ν = μν
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
I : Ideal R
h : ∀ (i j : n), M i j ∈ I
k : ℕ
c : Equiv.Perm n
this : ∑ x : n, 1 = Fintype.card n
⊢ ∀ i ∈ univ, ∀ (k : ℕ), (M.charmatrix (c i) i).coeff k ∈ I ^ (1 - k)
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
c : ℕ
fc : f.support.card = c + 1
⊢ f.eraseLead.support.card = c
A : Type u_2
B : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
⊢ ∀ (x : A), (ContinuousAddMonoidHom.zero A B) x = 0
V : Type u_3
Infinite V
⊢ ⊤.chromaticNumber = ⊤
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
b : HasDerivAt (fun y => Complex.cos (y * (2 * z))) (-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x
c : HasDerivAt (fun x => -Complex.cos (↑x * (2 * z)) / (2 * z)) (Complex.sin (↑x * (2 * z))) x
⊢ HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p q : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p x → q x) ↔ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) → ∃ᶠ (x : α) in f, q x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLinearOrder β
f g : α →o β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous (f ⊓ g)
α : Type u_2
Preorder α
OrderTop α
a : α
⊢ IsAtom (OrderDual.toDual a) ↔ IsCoatom a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
⊢ (∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0) ↔ T1Space E
a b : ℝ≥0∞
⊢ a ≠ ⊤ → b ≠ ⊤ → a * b < ⊤
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂
h₁ : r₁ ≤ 1
h₂ : 1 ≤ r₂
⊢ log b r₁ ≤ log b r₂
C : Type u
X : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
⊢ ⟦CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.Hom.id X⟧ = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u_1
β : Type v
s : Multiset α
b : β
⊢ Multiset.map (Function.const α b) s = Multiset.replicate (Multiset.card s) b
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
u v : U
e : u ⟶ v
⊢ φ.star u (Quiver.Star.mk e) = Quiver.Star.mk (φ.map e)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
hn : p₂ ≠ p₃
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
⊢ o.oangle (p₃ -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ p₁) = o.oangle (p₁ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₂)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : φ ∈ E.fixingSubgroup
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f f₁ : α → β
s : Set α
x : α
h : ContinuousWithinAt f s x
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ ContinuousWithinAt f₁ s x
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s ∪ 0 = s
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3
⊢ W'.dblX P = W'.dblU P ^ 2
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
x y : V → α
⊢ x ⬝ᵥ adjMatrix α G *ᵥ y = ∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then x i * y j else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, κ.density κ.fst a x univ = 1
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
b c : α
a : α
⊢ a - b < a - c ↔ c < b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair),
  (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductCocone F G).ι.app x =
    match x.as with
    | CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left => CategoryTheory.FunctorToTypes.coprod.inl
    | CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right => CategoryTheory.FunctorToTypes.coprod.inr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
h : ∀ p > 0, ¬MixedCharZero R p
I : Ideal R
hI_ne_top : I ≠ ⊤
⊢ CharZero (R ⧸ I)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
g : CauSeq β abv
h : ∀ ε > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (f j - ↑g j) < ε
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abv (f j - ↑g j) < ε / 2 / 2 ∧ ∀ k ≥ j, abv (↑g k - ↑g j) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
h₁ : abv (↑g i - f i) < ε / 2 / 2
h₂ : ∀ k ≥ i, abv (↑g k - ↑g i) < ε / 2
this : abv (f j - ↑g j + (↑g i - f i)) < ε / 2 / 2 + ε / 2 / 2
⊢ abv (f j - f i) < ε
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.51683, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.51687, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.51691, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E✝ E'✝ : L.RightExtension F
Y : D
E E' : L.RightExtension F
φ : E ⟶ E'
G : StructuredArrow Y L
⊢ φ.left.app Y ≫ E'.left.map G.hom ≫ E'.hom.app G.right = E.left.map G.hom ≫ E.hom.app G.right
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : ℕ → Submodule R M
h : ∀ (n : ℕ), Disjoint ((partialSups (⇑OrderDual.toDual ∘ f)) n) (OrderDual.toDual (f (n + 1)))
⊢ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → OrderDual.toDual f (m + 1) = ⊤
α : Type u
Preorder α
l : List α
h : List.Sorted (fun x x_1 => x > x_1) l
⊢ List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
hf : ¬ContinuousOn f (spectrum R a)
⊢ cfc f a = 0
F : Type v
Field F
P Q : Fin 3 → F
hQz : Q z = 0
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.addU P Q = 0
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Set.Ioi ⊥ = Set.univ
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ
this : ↑(u * u⁻¹) = 1
⊢ (↑u).val * (↑u⁻¹).val ≡ 1 [MOD n + 1]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
h : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
⊢ CategoryTheory.IsCofiltered C
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0
hg₂' : ↑g₂ ≠ 0
hfc : f * c %ₘ g₂ + g₂ * (f * c /ₘ g₂) = f * c
hfd : f * d %ₘ g₁ + g₁ * (f * d /ₘ g₁) = f * d
⊢ f = ((f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) * g₁ + f * d %ₘ g₁) * g₂ + f * c %ₘ g₂ * g₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : β → γ → Prop
q : γ → δ → Prop
⊢ Relation.Comp (Relation.Comp r p) q = Relation.Comp r (Relation.Comp p q)
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
V : Opens ↑Y.toTopCat
x : ↥((Opens.map f.val.base).obj V)
⊢ Y.presheaf.germ ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩ ≫ LocalRing.residue ↑(Y.presheaf.stalk (f.val.base ↑x)) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f ↑x) = f.val.c.app (op V) ≫ X.presheaf.germ x ≫ LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)
α : Type u_2
BEq α
LawfulBEq α
n : Nat
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {b : α_1} {a : α}, List.lookup a (List.replicate n (a, b)) = if n = 0 then none else some b
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
CommSemiring A
Algebra R A
x : A
I J : Submodule R A
⊢ x ∈ I / J ↔ ∀ y ∈ J, x * y ∈ I
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ (((TensorProduct.mk R M N).compr₂ (lTensor M (g ∘ₗ f))) m) n = (((TensorProduct.mk R M N).compr₂ (lTensor M g ∘ₗ lTensor M f)) m) n
b p : ℕ
w : 0 < b
⊢ ↑(b ^ p - 1) = ↑b ^ p - 1
α : Type u_1
s₁ s₂ : Finset α
⊢ s₁ < s₂ ↔ s₁ ⊂ s₂
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
I : C(X, ℝ) →ₗ[ℝ] C(X, 𝕜) := ContinuousLinearMap.compLeftContinuous ℝ X ofRealCLM
key : LinearMap.range I ≤ (Submodule.restrictScalars ℝ (Subalgebra.toSubmodule A.toSubalgebra)).topologicalClosure
f : C(X, 𝕜)
f_re : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑re, continuous_toFun := ⋯ }.comp f
f_im : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑im, continuous_toFun := ⋯ }.comp f
h_f_re : I f_re ∈ A.topologicalClosure
h_f_im : I f_im ∈ A.topologicalClosure
⊢ f ∈ A.topologicalClosure
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a) ≤ p
⊢ toIcoMod hp 0 (a - b) + toIcoMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIcoMod hp 0 (b - a) ≤ p
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ |a - b| ≤ c ↔ a - b ≤ c ∧ b - a ≤ c
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ Fin.last n
⊢ ↑(i.castPred h) = ↑i
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝ : ConcreteCategory C
F : Presheaf C X
U V : Opens ↑X
x : ↑X
hxU : x ∈ U
hxV : x ∈ V
W : Opens ↑X
hxW : x ∈ W
iWU : W ⟶ U
iWV : W ⟶ V
sU : (forget C).obj (F.obj (op U))
sV : (forget C).obj (F.obj (op V))
ih : (F.map iWU.op) sU = (F.map iWV.op) sV
⊢ (F.germ ⟨x, hxU⟩) sU = (F.germ ⟨x, hxV⟩) sV
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
⊢ map (Function.uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 (a, b)) ≤ 𝓝 (a * b)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : AddZeroClass δ
inst✝ : Min δ
C : Cost α β δ
x : α
xs : List α
ys : List β
⊢ (suffixLevenshtein C (x :: xs) ys).val = levenshtein C (x :: xs) ys :: (suffixLevenshtein C xs ys).val
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f g) G
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback (G.map f) (G.map g)
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesPullback.iso G f g).hom = CategoryTheory.Limits.pullbackComparison G f g
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s t : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
hst : Disjoint s t
ht : MeasurableSet t
hfs : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hft : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
⊢ ∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ + ∫ (x : X) in t, f x ∂μ
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
h : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => -f x) (-f') x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n
S : ComposableArrows C (n + 2)
h : (mk₂ (S.map' 0 1 ⋯ ⋯) (S.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : S.δ₀.Exact
⊢ (mk₂ (S.map' 0 1 ⋯ ⋯) (S.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact ∧ S.δ₀.Exact
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
⊢ cthickening δ ∅ = ∅
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.rotCompInvRot.inv.app X).hom₃ = 𝟙 X.obj₃
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
aux : volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}) = volume (Ioo a b)
len_pos : 0 < volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))})
r : ℝ
r_in_Ioo : r ∈ Ioo a b
hr : r ∉ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}
⊢ ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hs₂ : IsOpen s
hx : x ∈ ε • s
this : ε⁻¹ • x ∈ s
⊢ gauge s x < ε