ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hst : Disjoint s t
x : (i : δ) → π i
e : ((i : { x // x ∈ s }) → π ↑i) × ((i : { x // x ∈ t }) → π ↑i) ≃ᵐ ((i : { x // x ∈ s ∪ t }) → π ↑i) := MeasurableEquiv.piFinsetUnion π hst
⊢ (∫⋯∫⁻_s ∪ t, f ∂μ) x = (∫⋯∫⁻_s, ∫⋯∫⁻_t, f ∂μ ∂μ) x
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
Fintype n
X Y : Matrix n n R
⊢ ⁅X, Y⁆.trace = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
w : f ≫ h = g ≫ k
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.desc h k w = h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
hs : DirSupInacc s
ht : DirSupInacc t
⊢ DirSupClosed (sᶜ ∩ tᶜ)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁴ : Module R N₂
inst✝¹³ : Semiring R₁
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹⁰ : Semiring S₁
inst✝⁹ : Semiring S₂
inst✝⁸ : Module S₁ N₂
inst✝⁷ : Module S₂ N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix n m N₂
x : n → R₁
y : m → R₂
⊢ (((toLinearMapₛₗ₂' R σ₁ σ₂) M) x) y = ∑ i : n, ∑ j : m, σ₁ (x i) •> σ₂ (y j) •> M i j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, 1 ≤ f x
⊢ μ s ≤ μ {x | 1 ≤ f x}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
⊢ LipschitzWith 1 Real.toNNReal
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
hfin : Finite a b
c k : α
hc : b = a ^ ((multiplicity a b).get hfin + 1) * k
hk : c = a * k
⊢ False
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
I : FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R)
hI : I ≠ 0
⊢ I.num ∈ (Ideal R)⁰
M : Type u_2
X : Type u_5
SMul M X
Y₁ : Type u_8
SMul M Y₁
f : X →ₑ[id] Y₁
g : Y₁ → X
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : Y₁), (f.inverse g h₁ h₂) a = g a
M : Type u_1
MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → M
Inf M
MeasurableInf M
hf : AEMeasurable f μ
c : M
⊢ AEMeasurable (fun x => c ⊓ f x) μ
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x : R
⊢ x ∈ a⁻¹ • S ↔ a • x ∈ S
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a b : ℕ
⊢ count p (a + b) = count p a + count (fun k => p (a + k)) b
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ (l.rotate' (n % l.length)).rotate' ((l.rotate' (n % l.length)).length * (n / l.length)) = l.rotate' n
a b c : ℝ≥0∞
hb : b ≠ ⊤
hab : b ≤ a
⊢ a - b < c ↔ a < c + b
A B : TopCat
x₀ : ↑(π.obj A)
x₁ : ↑(π.obj B)
y₀ : ↑(π.obj A)
y₁ : ↑(π.obj B)
f₀ : (x₀, x₁).1 ⟶ (y₀, y₁).1
f₁ : (x₀, x₁).2 ⟶ (y₀, y₁).2
this : Path.Homotopic.projLeft ((prodToProdTop A B).map (f₀, f₁)) = f₀ ∧ Path.Homotopic.projRight ((prodToProdTop A B).map (f₀, f₁)) = f₁
⊢ HEq ((prodToProdTop A B ⋙ (projLeft A B).prod' (projRight A B)).map (f₀, f₁)) ((𝟭 (↑(π.obj A) × ↑(π.obj B))).map (f₀, f₁))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ f
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ 0 < ∫ (x : α), f x ∂μ ↔ 0 < μ (Function.support f)
x y : ℝ
hxy : x < y
⊢ Icc x y ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt x
R : Type u
Semiring R
M : Fin 2 → Type v
(i : Fin 2) → AddCommMonoid (M i)
(i : Fin 2) → Module R (M i)
⊢ ⇑(LinearEquiv.piFinTwo R M) = fun f => (f 0, f 1)
α : Type u
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
⊢ BddAbove (s ∪ t) ↔ BddAbove s ∧ BddAbove t
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Set R
x : R
⊢ x ∈ Subsemiring.closure s ↔ x ∈ AddSubmonoid.closure ↑(Submonoid.closure s)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
Nontrivial G
Finite G
⊢ ⊥ < Subgroup.center G
α : Type u_1
TopologicalSpace α
F : Ctop.Realizer α
a : α
s : (F.nhds a).σ
⊢ (F.nhds a).F.f s = F.F.f ↑s
x x' y y' : ZFSet
H : x.pair y = x'.pair y'
ae : ∀ (z : ZFSet), z = {x} ∨ z = {x, y} ↔ z = {x'} ∨ z = {x', y'}
⊢ x = x' ∧ y = y'
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ A₁ ∈ selfAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSelfAdjoint A₁
α : Type u_1
ι : Type u_2
E✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
p : ℝ≥0∞
f✝ : ι → α → E✝
g✝ : α → E✝
E : Type u_4
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ι → α → E
g : α → E
l : Filter ι
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfg : ∀ᶠ (x : ι) in l, essSup (fun x_1 => ↑‖(f x - g) x_1‖₊) μ ≤ ENNReal.ofReal δ / 2
n : ι
hn : essSup (fun x => ↑‖(f n - g) x‖₊) μ ≤ ENNReal.ofReal δ / 2
⊢ μ {x | δ ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ε
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
⊢ a⁻ᵐ = 1 ↔ a⁻¹ ≤ 1
n m : Nat
h : n + 1 ≤ m
⊢ n < m
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
A : C
B : D
e : MonoOver A ≌ MonoOver B
⊢ 𝟭 (Subobject A) = lower e.functor ⋙ lower e.inverse
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
hg : ContMDiff I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n g
hf : ContMDiff I 𝓘(𝕜, F₁) n f
⊢ ContMDiff I 𝓘(𝕜, F₂) n fun x => (g x) (f x)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Finite ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}) = MeasurableSpace.pi
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
v : n → α
⊢ (diagonal v)ᴴ = diagonal (star v)
G : Type u
Group G
H : Subgroup G
g : G
q : MulAction.orbitRel.Quotient (↥(Subgroup.zpowers g)) (G ⧸ H)
k : ZMod (Function.minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q))
⊢ ↑((Subgroup.MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) (g ^ k.cast • Quotient.out' q)) =
  g ^ k.cast * Quotient.out' (Quotient.out' q)
m n : Int
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
⊢ m.lcm n ≠ 0
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x : A
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n✝ : ℕ
a✝ : Nontrivial A
n : ℕ
hn : ∀ m ≤ n, (fun n => (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)) → ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)) m
⊢ (fun n => (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)) → ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)) n.succ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m : ℤ
n : ℕ
⊢ T m ^ n = T (↑n * m)
x y : ℝ
⊢ Complex.normSq { re := x, im := y } = x * x + y * y
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
⊢ Setoid.r = fun x y => -x + y ∈ s
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Function.Surjective (List.map f) ↔ Function.Surjective f
l r₁ r₂ : ℕ
h₁ : r₁ ≤ r₂
h₂ : l + r₂ ≤ 1 ∨ l ≤ Ordnode.delta * r₁
H : Ordnode.BalancedSz l r₂
⊢ Ordnode.BalancedSz l r₁
c : Cardinal.{u_1}
⊢ c < 1 ↔ c = 0
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
self : P1 →ᵃ[k] P1
⊢ AffineMap.linearHom self = self.linear
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j₁ j₂ : JordanDecomposition α
hj : j₁.toSignedMeasure = j₂.toSignedMeasure
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure S ≤ VectorMeasure.restrict 0 S
hS₃ : VectorMeasure.restrict 0 Sᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure Sᶜ
hS₄ : j₁.posPart S = 0
hS₅ : j₁.negPart Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure T ≤ VectorMeasure.restrict 0 T
hT₃ : VectorMeasure.restrict 0 Tᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure Tᶜ
hT₄ : j₂.posPart T = 0
hT₅ : j₂.negPart Tᶜ = 0
⊢ j₁ = j₂
z w : ℂ
⊢ dist ((starRingEnd ℂ) z) w = dist z ((starRingEnd ℂ) w)
ι : Type u_1
Fintype ι
x : ℕ
s : ι → ℕ
⊢ x.Coprime (∏ i : ι, s i) ↔ ∀ (i : ι), x.Coprime (s i)
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
a : R
⊢ (X + C a).degree = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
⊢ eqToHom ⋯ ≫ (Q W ⋙ F₂).map f.f ≫ eqToHom ⋯ ≫ F₁.map (Qinv f.s ⋯) = eqToHom ⋯ ≫ F₂.map ((Q W).map f.f) ≫ F₂.map (Qinv f.s ⋯) ≫ eqToHom ⋯
m n : ℕ
⊢ gcd m n = m.gcd n
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ
⊢ (integerNormalization M p).coeff i = coeffIntegerNormalization M p i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
l : List α
b : β
⊢ FreeAddMonoid.ofList l +ᵥ b = List.foldr f b l
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
x y : E
hy : p y ≤ r
h : (fun x => k • x) y = x
⊢ ‖k‖ * p y ≤ ‖k‖ * r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
⊢ A = adjoint B ↔ ∀ (x : E) (y : F), ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜
α : Type u_1
r : α → α → Prop
trans : Transitive r
⊢ Relation.TransGen r = r
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α} {s : Set α}, Bornology.IsBounded sᶜ ↔ Bornology.IsCobounded s
α✝ : Type u
m n o✝ : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
α : Type u_4
o : ℕ
ho : o = m + n
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin o
⊢ (if hi : ↑(Fin.cast ho i) < m then ⋯ ▸ u ((Fin.cast ho i).castLT hi) else ⋯ ▸ v (Fin.subNat m (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ho i)) ⋯)) = if h : ↑i < m then u ⟨↑i, h⟩ else v ⟨↑i - m, ⋯⟩
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
G : W.FunctorsInverting D
a : CategoryTheory.Quotient (CategoryTheory.Localization.Construction.relations W)
⊢ ((CategoryTheory.Localization.Construction.WhiskeringLeftEquivalence.inverse W D).obj G).obj a = G.obj.obj a.as.obj
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
v : E
hv : v ∈ K
⊢ (reflection Kᗮ) v = -v
a b c x : ℕ
⊢ (∃ a_1 < b, a + a_1 = x) ↔ a ≤ x ∧ x < a + b
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
s : Set G
a : G
this : ↑a • QuotientGroup.mk '' s = QuotientGroup.mk '' (a • s)
⊢ ↑a • QuotientGroup.mk '' s = QuotientGroup.mk '' s ↔ a • s = s
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p q : P
⊢ dist ((Equiv.pointReflection p) q) p = dist p q
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Semiring α
StarRing α
d : ℕ
d.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat d)ᴴ = OfNat.ofNat d
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K₁.carrier V
t : Finset G
h1t : K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index K₂.carrier V
⊢ index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V ≤ s.card + t.card
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
this : Disjoint ↑⊥ ↑⊥ → IsClosed ↑⊥ → IsClosed ↑⊥ → μ.toFun (⊥ ⊔ ⊥) = μ.toFun ⊥ + μ.toFun ⊥
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) ⊥ = 0
n m : ℕ
⊢ n ≤ m + n.dist m
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hm : m ≠ 0
hunion : (equitabilise h).parts = filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts ∪ filter (fun u => u.card = m + 1) (equitabilise h).parts
⊢ (filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts).card * m + b * (m + 1) = ∑ i ∈ (equitabilise h).parts, i.card
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ chainTopCoeff α β + 1 = Nat.find ⋯
α : Type u_2
CommMonoid α
A₁ A₂ : Set α
n : ℕ
hA : A₁ ⊆ A₂
⊢ IsMulFreimanHom n A₁ A₂ id
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution' hζ
⊢ S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3 = (S'.a + S'.b) * (S'.a + ↑⋯.unit * S'.b) * (S'.a + ↑⋯.unit ^ 2 * S'.b)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.82739, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0
eq : F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X) ≫ (shiftFunctorZero D A).inv.app (F.obj X) = F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).hom.app X) ≫ (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D a b 0 h).inv.app (F.obj X)
⊢ F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).inv.app X ≫ (shiftFunctorZero C A).hom.app X) = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D a b 0 h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s₁ s₂ : Seq α
a : α
h : a ∈ s₁
⊢ a ∈ s₁.append s₂
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M
⊢ Function.Injective ⇑(quotientInfToSupQuotient p p')
x : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (↑r * x).arg = x.arg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LeftOrdContinuous f
n : ℕ
⊢ LeftOrdContinuous f^[n]
n : ℕ
h : ↑(n - 1)! = -1
h0 : n ≠ 0
h1 : 1 < n
h2 : ¬Prime n
m : ℕ
hm1 : m ∣ n
hm2 : 1 < m
hm3 : m < n
hm : m ∣ (n - 1)!
⊢ False
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 u ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s u
hw₁ : ↑s w = 0
hw₂ : w ⊆ u
hwt : v ⊆ w
⊢ ↑s v = 0
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
NonAssocSemiring R'
NonAssocSemiring S'
f : R →+* R'
g : S →+* S'
⊢ ⇑(f.prodMap g) = Prod.map ⇑f ⇑g
f : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
⊢ Summable f ↔ ¬Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop Filter.atTop
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
f : (m' → R) →ₗ[R] m → R
⊢ (toMatrix₂' R) (B.compl₁₂ id f) = (toMatrix₂' R) (B ∘ₗ id) * toMatrix' f
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ a + b ∈ Set.Ioo c d ↔ b ∈ Set.Ioo (c - a) (d - a)
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
M : Action V G
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.SingleObj ↑G), (Action.FunctorCategoryEquivalence.functor.obj M).obj x = M.V
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞
⊢ lift.{u, v} x < ↑m ↔ x < ↑m
α : Type u
R : α → α → Prop
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ Pairwise R (ofFn f) ↔ ∀ ⦃i j : Fin n⦄, i < j → R (f i) (f j)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ (⋯.choose, ⋯.choose).1 ⊆ s
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ l.rotate n = drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsRefl
p : Submodule R₁ M₁
⊢ (B.domRestrict₁₂ p p).IsRefl
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a⁻¹ < 1 ↔ 1 < a
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : R
hp : Irreducible p
a : R
hI : span R {p} < span R {a}
⊢ IsUnit a
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
t : Set E
hst : t ⊆ s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n f p t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
X : C
P Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.homotopyEquiv Q).inv P.π = Q.π
α : Type u
AddCommGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ -a ≤ b - c ↔ c ≤ a + b
α : Type u
β : Type v
DecidableEq α
Fintype β
f : β → α
h : (Set.range f).Finite
⊢ h.toFinset = Finset.image f Finset.univ
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x
f g : A[X]
hf : f.Monic
hg : g.Monic
he : f * g = minpoly A x
h : ¬IsUnit f ∧ ¬IsUnit g
heval : (Polynomial.aeval x) f = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) g = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : PredOrder α
⊢ pred ⊥ ≤ ⨆ b, ⨆ (_ : b < ⊥), b
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
δ : ℝ
hδs : δ ∈ s
δ_nonpos : δ ≤ 0
⊢ closure E ⊆ ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α : Type u
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
u : α
⊢ (∀ (a_1 : (P F).A) (f_1 : (P F).B a_1 → α), abs ⟨a_1, f_1⟩ = abs ⟨a, f⟩ → u ∈ f_1 '' univ) ↔ u ∈ f '' univ
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁸ : CommRing A
inst✝³⁷ : CommRing B
inst✝³⁶ : Algebra A B
inst✝³⁵ : Field K✝
inst✝³⁴ : Field L✝
inst✝³³ : Algebra A K✝
inst✝³² : IsFractionRing A K✝
inst✝³¹ : Algebra B L✝
inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁹ : Algebra A L✝
inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²⁴ : CommRing Aₘ
inst✝²³ : CommRing Bₘ
inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝²¹ : Algebra A Aₘ
inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹³ : IsDomain A
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹¹ : IsDomain B
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁹ : Module.Finite A B
inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝⁶ : IsDomain Aₘ
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝⁴ : IsDomain Bₘ
inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing Aₘ) (FractionRing Bₘ)
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝¹⁰ : IsIntegralClosure B A L
this✝⁹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝⁸ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝⁷ : IsScalarTower A Aₘ K
this✝⁶ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this✝⁵ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
this✝⁴ : IsScalarTower B Bₘ L
this✝³ : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra
this✝² : IsScalarTower Aₘ K L
this✝¹ : IsScalarTower Aₘ Bₘ L
this✝ : IsFractionRing Bₘ L := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ L
this : FiniteDimensional K L
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intNorm A B) x) = (intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
α : Type u_2
Div α
s t : Set α
a : α
⊢ a ∈ s / t ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x / y = a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet
ht : MeasurableSet t
⊢ μ.rnDeriv ν' =ᶠ[ae ν] 0
f : Bool → Bool → Bool
x y n : ℕ
hx : x < 2 ^ n
hy : y < 2 ^ n
⊢ bitwise f x y < 2 ^ n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Prop
s : Finset α
hP : ∀ ⦃s t : Finset α⦄, P s → s ⊆ t → P t
x✝ : P s
h : ∀ x ∈ s, ¬P (s.erase x)
t : Finset α
ht : P t
hst : t ⊆ s
x : α
hxs : x ∈ s
⊢ x ∈ t
x y : ℤ
⊢ GaussianInt.toComplex { re := x, im := y } = ↑x + ↑y * Complex.I
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
g : LocallyConstant Y Z
⊢ ⇑(LocallyConstant.comap f g) = ⇑g ∘ ⇑f
G : Type u_3
AddGroup G
H : AddSubgroup G
self : H.FiniteIndex
⊢ H.index ≠ 0
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
⊢ PartENat.find P = ⊤ ↔ ∀ (n : ℕ), ¬P n
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_4
s : Finset ι
DecidableEq ι
i : ι
h : i ∈ s
⊢ ∑ j ∈ s, Finset.affineCombinationSingleWeights k i j = 1
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
⊢ Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - χ ↑p * ↑p ^ (-s))⁻¹) atTop (𝓝 (L (fun n => χ ↑n) s))
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 2 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 ≤ ‖↑q - ζ'‖
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 < ‖↑q - ζ'‖
⊢ (q - 1) ^ φ n < eval q (cyclotomic n ℝ)
ι : Type u_1
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} W₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₂
F : W₁ ⥤ W₂
F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex W₁ c
i j : ι
⊢ ((F.mapHomologicalComplex c).obj C).d i j = F.map (C.d i j)
⊢ HasSum (fun n => (1 / 2) ^ n) 2