ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : ℕ
⊢ Multiset.Nat.antidiagonal (n + 1) = (n + 1, 0) ::ₘ Multiset.map (Prod.map id Nat.succ) (Multiset.Nat.antidiagonal n)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
⊢ sepDegree F ↥⊥ = 1
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
⊢ ℵ₀ ≤ o.cof ↔ o.IsLimit
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
I : Ideal S
hI : comap (algebraMap R S) I ≤ P
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
Iₚ : Ideal Sₚ := map (algebraMap S Sₚ) I
⊢ ∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q ≤ P
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.shortComplexOfDistTriangle T hT).X₃ = T.obj₃
V : Type u_1
Quiver V
W : Type u_2
σ : V → W
W' : Type u_3
Quiver W'
φ : V ⥤q W'
τ : W → W'
h : ∀ (x : V), φ.obj x = τ (σ x)
⊢ (Quiver.Push.lift σ φ τ h).obj = τ
V : Type u_1
SeminormedAddCommGroup V
V' : AddSubgroup V
x : ↥V'
⊢ ‖(NormedAddGroupHom.incl V') x‖ = ‖x‖
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ l ~ [a] ↔ l = [a]
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ Metric.diam {x} = 0
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
⊢ f.range = Subring.map f ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α
inst✝¹³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹² : TopologicalSpace β
inst✝¹¹ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : MeasurableSpace γ
inst✝⁷ : BorelSpace γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ₂
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁴ : BorelSpace γ₂
inst✝³ : MeasurableSpace δ
α' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace α'
inst✝¹ : MeasurableSpace α'
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g sᶜ
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable (s.piecewise f g)
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
f g : A₁ ≃ₐ[R] A₂
h : f = g
x : A₁
⊢ f x = g x
x y : ℝ
⊢ Real.exp x < Real.exp y ↔ x < y
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
⊢ AddMonoid.Closure s ⊆ AddGroup.closure s
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n => disjointed (spanningSets μ) n
⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s)
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
u : α
p : G.Walk u u
hOdd : Odd p.length
⊢ 3 ≤ G.chromaticNumber
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
g : ℕ → ℝ≥0∞
h✝ : Monotone g
hg₂ : Filter.Tendsto g Filter.atTop (nhds (sSup (measurableLEEval ν μ)))
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ∈ measurableLE ν μ
hf₂ : ∀ (n : ℕ), (fun f => ∫⁻ (x : α), f x ∂ν) (f n) = g n
ξ : α → ℝ≥0∞ := ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k
hξ : ξ = ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k
hξ₁ : sSup (measurableLEEval ν μ) = ∫⁻ (a : α), ξ a ∂ν
hξm : Measurable ξ
μ₁ : Measure α := μ - ν.withDensity ξ
hμ₁ : μ₁ = μ - ν.withDensity ξ
⊢ ∃ p, Measurable p.2 ∧ p.1 ⟂ₘ ν ∧ μ = p.1 + ν.withDensity p.2
α : Type u_1
f : Char → α → α
s : String
a : α
⊢ String.foldr f a s = List.foldr f a s.data
α : Type u
m : ℕ
x : α
u : Fin m → α
i : Fin m
⊢ Matrix.vecCons x u i.succ = u i
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x
⊢ StrictMonoOn (deriv f) S
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
⊢ M.E ⊆ M.closure X ↔ M.closure X = M.E
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₁
Module R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
⊢ (B.domRestrict₁₂ W W).Nondegenerate
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : M' → M
hm : m ≤ n
s : Set M'
x : M'
⊢ ContMDiffWithinAt I' J m (⇑h ∘ f) s x ↔ ContMDiffWithinAt I' I m f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
h : Monotone f
s : Set β
hs : ∀ (x : α), f x ∈ s
⊢ Monotone (Set.codRestrict f s hs)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
h : IsOpen s
⊢ IsGδ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s b
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (dslope f a) s b
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ StrictMono (Submodule.map f)
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : S
b' : R
hb : (algebraMap R S) b' = b
⊢ IsInteger R (a • b)
α : Type u_3
DecidableEq α
l : List α
M : Type u_6
CommMonoid M
f : α → M
⊢ (List.map f l).prod = ∏ m ∈ l.toFinset, f m ^ List.count m l
R : Type u
S : Type v
a✝ b✝ c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
a : WithBot ℕ
b : ℕ
hp : p.degree ≤ a
⊢ (p ^ b).degree ≤ ↑b * a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' : C
iX : X ≅ X'
iY : Y ≅ Y'
iZ : Z ≅ Z'
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
f' : X' ⟶ Y'
g' : X' ⟶ Z'
wf : iX.hom ≫ f' = f ≫ iY.hom
wg : iX.hom ≫ g' = g ≫ iZ.hom
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanExt iX iY iZ wf wg).app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left = iY
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ Ordnode.All P (l.rotateL x r) ↔ Ordnode.All P l ∧ P x ∧ Ordnode.All P r
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G₁ G₂ : StructureGroupoid H
⊢ HasGroupoid M (G₁ ⊓ G₂) ↔ HasGroupoid M G₁ ∧ HasGroupoid M G₂
T : ℝ
y : AddCircle T
z✝ : ℝ
⊢ (↑z✝ + y).toCircle = toCircle ↑z✝ * y.toCircle
α : Type u_1
CommGroupWithZero α
a b : α
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
⊢ a ^ m = b ^ n ↔ ∃ c, a = c ^ n ∧ b = c ^ m
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
C : Monoid.Coprod M N → Prop
m : Monoid.Coprod M N
inl : ∀ (m : M), C (Monoid.Coprod.inl m)
inr : ∀ (n : N), C (Monoid.Coprod.inr n)
mul : ∀ (x y : Monoid.Coprod M N), C x → C y → C (x * y)
⊢ C m
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x : L
⊢ x ∈ S → x⁻¹ ∈ S
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a ≤ b ♯ a
α : Sort u
p : PLift α → Prop
⊢ (∀ (x : PLift α), p x) ↔ ∀ (x : α), p { down := x }
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0
⊢ W'.addXYZ P Q = -(Q x * P z) • P
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (comap f μ)
⊢ NullMeasurableSet (f '' toMeasurable (comap f μ) s) μ
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
⊢ (↑n.primeFactorsList).Nodup ↔ n.primeFactorsList.Nodup
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
x : ↑X
⊢ ∀ (X_1 : TopologicalSpace.OpenNhds (f x)),
  (TopologicalSpace.OpenNhds.inclusionMapIso f x).hom.app X_1 =
    𝟙 ((TopologicalSpace.Opens.map f).obj ((TopologicalSpace.OpenNhds.inclusion (f x)).obj X_1))
z w : ℍ
r R : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ 0 ≤ z.im * w.im
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x₁ x₂ : α
⊢ edist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₁, 0)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₂, 0)) = edist x₁ x₂
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
hF : Presieve.IsSheaf J F
U : C
S : Sieve U
hS : S ∈ J.sieves U
x : Presieve.FamilyOfElements (sheafify J G).toPresheaf S.arrows
hx : x.Compatible
S' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)
W : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C
i₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi
i₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U
hi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)
h₁ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯) ∈ G.obj (op V)
h₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i
x'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows := fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯)
H : ∀ (s : (sheafify J G).toPresheaf.obj (op U)), x.IsAmalgamation s ↔ x''.IsAmalgamation ↑s
this : x''.Compatible
t : F.obj (op U)
ht : x''.IsAmalgamation t
ht' : ∀ (y : F.obj (op U)), (fun t => x''.IsAmalgamation t) y → y = t
⊢ t ∈ (sheafify J G).obj (op U)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a : α
⊢ IsPrimal (Associates.mk a) ↔ IsPrimal a
E : Type u_1
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
mE : MeasurableSpace E
tE : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
g : E → ℝ
h1 : g 0 = 0
h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x
h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y
h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0
h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x
inst✝ : Nontrivial E
r : ℝ
F : Type u_1 := E
this✝⁴ : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯
this✝³ : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.mk ⋯
this✝² : TopologicalSpace F := UniformSpace.toTopologicalSpace
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
φ : E ≃L[ℝ] F := (LinearEquiv.refl ℝ E).toContinuousLinearEquiv
ν : Measure F := map (⇑φ) μ
this : ν.IsAddHaarMeasure
⊢ μ {x | g x ≤ r} = ν (Metric.closedBall 0 r)
p m : ℕ+
pp : p.Prime
⊢ ↑m = 1 ∨ ↑m = ↑p ↔ m = 1 ∨ m = p
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ✝.IsMulLeftInvariant
s : Set G
μ : Measure G
⊢ μ (s * closure {1}) = μ s
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedGT α
H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (pred a)
H_lim : (a : α) → IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a
ha : IsPredLimit a
⊢ PredOrder.limitRecOn a H_pred H_lim = H_lim a ha fun x x_1 => PredOrder.limitRecOn x H_pred H_lim
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocRing α
Fintype m
v : m → α
A : Matrix m n α
⊢ -v ᵥ* A = -(v ᵥ* A)
n : ℕ
⊢ finSuccEquiv' 0 = finSuccEquiv n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) c
n : ι
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.Inverse.obj K).p.f n = (K.X n).p
X : Type u
TopologicalSpace X
a : X
⊢ ↑(ContinuousMap.HomotopyEquiv.refl X) a = a
V : Type u_1
Quiver V
⊢ ∀ {X Y : V} (f : X ⟶ Y), (𝟭q V).map f = f
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
⊢ Measurable (uncurry u)
p : ℝ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => x ^ p) x
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsAffine Y
ι : Type u_1
U : ι → ↑X.affineOpens
hU : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤
H : ∀ (i : ι), Q (Scheme.Hom.appLE f ⊤ ↑(U i) ⋯)
⊢ P f
p : Turing.PartrecToTM2.Γ' → Bool
k₁ k₂ : Turing.PartrecToTM2.K'
q : Turing.PartrecToTM2.Λ'
s : Option Turing.PartrecToTM2.Γ'
L₁ : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
o : Option Turing.PartrecToTM2.Γ'
L₂ : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
S : Turing.PartrecToTM2.K' → List Turing.PartrecToTM2.Γ'
h₁ : k₁ ≠ Turing.PartrecToTM2.K'.rev ∧ k₂ ≠ Turing.PartrecToTM2.K'.rev ∧ k₁ ≠ k₂
h₂ : S Turing.PartrecToTM2.K'.rev = []
e : Turing.PartrecToTM2.splitAtPred p (S k₁) = (L₁, o, L₂)
⊢ Turing.Reaches₁ (Turing.TM2.step Turing.PartrecToTM2.tr)
  { l := some (Turing.PartrecToTM2.move₂ p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }
  { l := some q, var := none, stk := Function.update (Function.update S k₁ (o.elim id List.cons L₂)) k₂ (L₁ ++ S k₂) }
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
φ : (n : ℕ) × L.BoundedFormula α n
h : listDecode φ.snd.listEncode = [φ]
⊢ (fun l => (listDecode l)[0]?) ((fun φ => φ.snd.listEncode) φ) = some φ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Primcodable β
inst✝³ : Primcodable γ
inst✝² : Primcodable δ
inst✝¹ : Primcodable σ
c : α → Prop
inst✝ : DecidablePred c
f g : α → σ
hc : PrimrecPred c
hf : Primrec f
hg : Primrec g
⊢ Primrec fun a => if c a then f a else g a
θ ψ : Real.Angle
h : 2 • θ = 2 • ψ
⊢ |θ.cos| = |ψ.cos|
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_sub : w ○ w ⊆ s
⊢ symmetrizeRel w ○ symmetrizeRel w ⊆ s
A : Type u_1
AddMonoid A
Finset.HasAntidiagonal A
x : A × A
⊢ (Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd.symm x).fst = x.1 + x.2
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
h : IsAtomic α
b : αᵒᵈ
⊢ b = ⊤ ∨ ∃ a, IsCoatom a ∧ b ≤ a
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : N ≃+ P
⊢ (f.ofAddEquivOfLocalizations k).toMap = k.toAddMonoidHom.comp f.toMap
R : Type u_1
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
f : ι →₀ R
g : κ →₀ R
a : ι
b : κ
⊢ ((finsuppTensorFinsupp' R ι κ) (f ⊗ₜ[R] g)) (a, b) = f a * g b
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, a ≠ b) ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
SMul M α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure M α μ
MeasurableSMul M α
c : Mᵈᵐᵃ
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ↑↑(c • f) =ᵐ[μ] fun x => ↑↑f (DomMulAct.mk.symm c • x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
⊢ StarConvex 𝕜 (-x) (-s)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
⊢ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), f n x ∂μ - ∫ (x : Ω), f 0 x ∂μ
N : ℕ
NeZero N
χ : DirichletCharacter ℂ N
k : ZMod N
hχ : χ.IsPrimitive
⊢ 𝓕 (⇑χ) k = χ⁻¹ (-k) * gaussSum χ ZMod.stdAddChar
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ y ⊓ x ⊔ y \ x ⊔ x = y ⊔ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p'✝ : ι' → Prop
s'✝ : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
p' : ι → Prop
s' : ι → Set α
hp : ∀ (i : ι), p i ↔ p' i
hs : ∀ (i : ι), p i → s i = s' i
t : Set α
⊢ (∃ i, p i ∧ s i ⊆ t) ↔ ∃ i, p i ∧ s' i ⊆ t
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
T : Tape Γ
i : ℤ
⊢ (move Dir.right T).nth i = T.nth (i + 1)
α : Type u_7
β : Type u_8
Add β
VAdd α β
VAddCommClass α β β
s : α
x y : β
⊢ x + (s +ᵥ y) = s +ᵥ (x + y)
α : Type u
lt : α → α → Prop
DecidableRel lt
IsStrictOrder α lt
a b : α
⊢ cmpUsing lt a b = Ordering.gt ↔ lt b a
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
inst✝¹ : Bifunctor F
inst✝ : LawfulBifunctor F
α : Type u₀
β₀ β₁ β₂ : Type u₁
g : β₀ → β₁
g' : β₁ → β₂
x : F α β₀
⊢ snd g' (snd g x) = snd (g' ∘ g) x
α : Type u_1
le : α → α → Bool
n r : Nat
a : α
c : HeapNode α
s : Heap α
h : WF le n (cons r a c s)
⊢ WF le 0 (Heap.merge le (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).node.toHeap ((Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).before (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).next))
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
h✝ : I ≤ ⊥.jacobson
a : R
h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)
⊢ IsUnit a
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ log (↑(n + 1) / ↑n)⁻¹ < -↑(↑(n + 1))⁻¹
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
μ : MeasureTheory.Measure (Quotient (AddAction.orbitRel G α))
i : MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
t : Set α
fund_dom_t : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G t ν
U : Set (Quotient (AddAction.orbitRel G α))
meas_U : MeasurableSet U
⊢ μ U = ν (Quotient.mk (AddAction.orbitRel G α) ⁻¹' U ∩ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsRefl α r
x : α × β
⊢ Prod.Lex r s x x
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ 𝓤 αᵐᵒᵖ = Filter.comap (fun q => (MulOpposite.unop q.1, MulOpposite.unop q.2)) (𝓤 α)
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
Countable G
MeasurableSpace G
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α ν
MeasurableSMul G α
s : Set α
fund_dom_s : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s ν
⊢ MeasureTheory.QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν
  (MeasureTheory.Measure.map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel G α)) (ν.restrict s))
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
M₁' : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
(i : ι) → Module R (M₁' i)
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
g : MultilinearMap R M₁' M₂
⊢ (MultilinearMap.compLinearMapₗ f) g = g.compLinearMap f
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ (∏ i ∈ range (n + 1), f i (n + 1 - i) ^ n.choose i) * ∏ i ∈ range (n + 1), f (i + 1) (n - i) ^ n.choose i = (∏ x ∈ range n.succ, f x (n - x + 1) ^ n.choose x) * ∏ x ∈ range n.succ, f (x + 1) (n - x) ^ n.choose (n - x)
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0
⊢ ↑(Fintype.card Fq) ^ (x - z).natDegree ≤ max (↑(Fintype.card Fq) ^ (x - y).natDegree) (↑(Fintype.card Fq) ^ (y - z).natDegree)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s : Set (Set α)
hs : s.Countable
h : ∀ t ∈ s, MeasurableSet t
⊢ MeasurableSet (⋃₀ s)
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
⊢ M✶.Indep (M.E \ B ∩ (M.E \ X))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
s t : Set E
disj : Disjoint s t
hs₁ : Convex 𝕜 s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex 𝕜 t
ht₂ : IsClosed t
this✝¹ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
this✝ : UniformAddGroup E
this : (uniformity E).HasBasis (fun s => 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Convex 𝕜 s) fun i => (fun x => x.2 - x.1) ⁻¹' id i
V : Set E
hV0 : 0 ∈ V
hVopen : IsOpen V
hVconvex : Convex 𝕜 V
hV : Disjoint (⋃ x ∈ s, (fun x => -x.1 + x.2) ∘ Prod.mk x ⁻¹' id V) (⋃ x ∈ t, (fun x => -x.1 + x.2) ∘ Prod.mk x ⁻¹' id V)
⊢ Disjoint (⋃ a ∈ s, (fun x => -a + x) ⁻¹' V) (⋃ a ∈ t, (fun x => -a + x) ⁻¹' V)
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScott α
s : Set α
⊢ IsClosed s → IsLowerSet s
α : Type u_1
Finite α
⊢ StrictMono Set.encard
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
this : ∀ (t : Set β), IsClosed (s.restrict f ⁻¹' t) ↔ ∃ u, IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
⊢ (∀ (s_1 : Set β), IsClosed s_1 → IsClosed (s.restrict f ⁻¹' s_1)) ↔ ∀ (t : Set β), IsClosed t → ∃ u, IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
AddZeroClass α
d : n → α
⊢ (Matrix.diagonalAddMonoidHom n α) d = Matrix.diagonal d
R : Type u_2
S : Type u_1
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
IsDomain S
DecidableEq S
y : S
hy : (Polynomial.aeval y) (minpoly R x) = 0
⊢ Polynomial.eval y (minpolyDiv R x) = if x = y then (Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative (minpoly R x)) else 0
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x : N
hx : x ∈ closure s
⊢ ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ
⊢ x ∈ box (n + 1) ↔ max x.1.natAbs x.2.natAbs = n + 1
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M N : Submodule R A
⊢ Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R)) (M * N) =
  Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R)) N * Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R)) M
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype o
v : o → α
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
x✝ : m
⊢ ((M * N) *ᵥ v) x✝ = (M *ᵥ N *ᵥ v) x✝
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (T : C), Function.Bijective fun x => CategoryTheory.CategoryStruct.comp f x
⊢ CategoryTheory.IsIso f
n : ℕ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
hg : TorusIntegrable g c R
⊢ TorusIntegrable (f + g) c R
α : Type u
β : Type v
Preorder α
PartialOrder β
f : α → β
h₁ : Antitone f
h₂ : Function.Injective f
⊢ StrictAnti f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ThinSkeleton C} (a : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ThinSkeleton.map₂ F).map a = CategoryTheory.ThinSkeleton.map₂NatTrans F a