ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M✝
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M✝
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
a b : R
x y : M✝
M : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
li : LinearIndependent R v
c d : R
i j : ι
hc✝ : c ≠ 0
h : c • v i = d • v j
l : ι →₀ R := Finsupp.single i c - Finsupp.single j d
h_total : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
h_single_eq : Finsupp.single i c = Finsupp.single j d
hc : c = 0
right✝ : d = 0
⊢ i = j
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
LinearOrderedField 𝕜
LinearOrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
f : 𝕜 → β
x y z : 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Icc x y) f
hz : z ∈ Set.Icc x y
⊢ f z ≤ max (f x) (f y)
a b : Nat
⊢ ↑(a * b) = ↑a * ↑b
R : Type u_2
Ring R
S : Subring R
b : { b // (fun x => x ∈ S.op) b }
⊢ ↑(S.addEquivOp.symm b) = MulOpposite.unop ↑b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
γ : Type u_6
MeasurableSpace γ
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.prodMkLeft γ κ).swapLeft = ProbabilityTheory.Kernel.prodMkRight γ κ
α : Sort u
a a' : α
h : HEq a a'
⊢ Eq a a'
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (PartialHomeomorph.unitBallBall c r hr).source = Metric.ball 0 1
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
X Y : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ s.pt
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.extendComp s f g).inv.hom = 𝟙 X
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : F ⟶ L.comp F'
F'.IsLeftKanExtension α
F'' : CategoryTheory.Functor D H
α' : F ⟶ L.comp F''
F''.IsLeftKanExtension α'
⊢ (F'.leftKanExtensionUnique α F'' α').hom = F'.descOfIsLeftKanExtension α F'' α'
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
n : ℕ
e : Fin (n + 1) → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin (n + 1)), e i ∈ f.range
e' : Fin (n + 1) → R
h₁ : OrthogonalIdempotents e'
h₂ : ⇑f ∘ e' = e
i : Fin (n + 1)
this : ∀ (i : Fin (n + 1)), f (e' i) = e i
⊢ (⇑f ∘ (fun x => x.elim (1 - ∑ i : Fin n, (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n)) i) (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n))) ∘ ⇑(finSuccEquiv n)) i = e i
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hc : (↑k).Coprime ↑(torsionOrder K)
ζ : (𝓞 K)ˣ
h : ζ ^ ↑k = 1
⊢ orderOf ζ ∣ ↑k
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (s.sigma t).Nonempty → ∃ i ∈ s, (t i).Nonempty
a : Ordinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b ≤ Ordinal.lift.{v, u} a
⊢ ∃ a', Ordinal.lift.{v, u} a' = b
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
Field R
StarRing R
MetricSpace R
CompleteSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
Ring A
StarRing A
TopologicalSpace A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
⊢ ClosedEmbedding ⇑(cfcₙHom_of_cfcHom R ha)
ι : Sort u_1
M : Type u_2
Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
⊢ C x₁ hx₁
ι : Type u_5
X : ι → Type u_6
Y : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (X i)
(i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
f : (i : ι) → X i → Y i
h : ∀ (i : ι), IsProperMap (f i)
⊢ IsProperMap fun x i => f i (x i)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f μ
hN : μ N = 0
⊢ ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C} (f : X ⟶ Y), (F.mapTriangle.map f).hom₂ = F.map f.hom₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
k : ℕ := (minCardFinsetOfMemConvexHull hx).card - 1
hk : (minCardFinsetOfMemConvexHull hx).card = k + 1
⊢ AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
G : Type u_7
AddGroup G
self : AddGroupSeminorm G
r s : G
⊢ self.toFun (r + s) ≤ self.toFun r + self.toFun s
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
h : a ∉ l₁.keys
⊢ List.dlookup a (l₁.kunion l₂) = List.dlookup a l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
g : t ↪r u
⊢ ∀ (a : α ⊕ γ), (f.sumLexMap g) a = Sum.map (⇑f) (⇑g) a
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ b - toIocDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ioc (a + c) (a + c + p)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
f : X → Y
s : Set X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ C, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith C f t
this : ∀ x ∈ s, ∃ C, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, HolderOnWith C 1 f t
⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x₀ : α 0
⊢ Function.Injective (Fin.cons x₀)
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
TopologicalSpace ι
TopologicalSpace.MetrizableSpace ι
MeasurableSpace ι
SecondCountableTopology ι
OpensMeasurableSpace ι
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (u i)
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (Function.uncurry u)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
f g : α →ᵇ E
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
h : (toLp p μ 𝕜) f = (toLp p μ 𝕜) g
⊢ ⇑f =ᶠ[ae μ] ⇑g
α : Type u_1
m : Multiset α
⊢ Multiset.card m.sym2 = (Multiset.card m + 1).choose 2
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Ring R
Ring R₂
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ (LinearMap.ker f).toAddSubgroup = f.toAddMonoidHom.ker
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝔸 : Type u_7
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
n : ℕ
x : Fin n → 𝔸
⊢ HasFDerivAt (fun x => (List.map x (List.finRange n)).prod)
  (∑ i : Fin n,
    (List.map x (List.take (↑i) (List.finRange n))).prod •
      (ContinuousLinearMap.proj i).smulRight (List.map x (List.drop (↑i).succ (List.finRange n))).prod)
  x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
hf : Continuous ⇑f
x : E
hx : ‖x‖ = 0
⊢ ‖f x‖ = 0
η : Type u_12
Ms : η → Type u_13
Ns : η → Type u_14
Ps : η → Type u_15
(j : η) → Add (Ms j)
(j : η) → Add (Ns j)
(j : η) → Add (Ps j)
es : (j : η) → Ms j ≃+ Ns j
fs : (j : η) → Ns j ≃+ Ps j
⊢ (AddEquiv.piCongrRight es).trans (AddEquiv.piCongrRight fs) = AddEquiv.piCongrRight fun i => (es i).trans (fs i)
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.283606, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.283613, u_2} D
X Y : C
inst✝ : HasInitial C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c
⊢ IsColimit (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
⊢ AlgebraicGeometry.SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.obj self = self.toPresheafedSpace
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
N : Type u
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
x : ↑(TopCat.of M)
U : (TopologicalSpace.OpenNhds x)ᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Limits.colimit.ι ((TopologicalSpace.OpenNhds.inclusion x).op.comp (smoothSheaf IM I M N).val) U)
    (smoothSheaf.evalHom IM I N x) =
  smoothSheaf.evalAt IM I N x (Opposite.unop U)
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
v : AddValuation K Γ₀
x : K
⊢ v x⁻¹ = -v x
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ c * b ≤ a * b⁻¹ * b ↔ c * b ≤ a
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : LightProfinite
a : Z ⟶ X
b : Z ⟶ Y
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp a f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp b g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (LightProfinite.pullback.lift f g a b w) (LightProfinite.pullback.snd f g) = b
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
⊢ x ∈ L
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 s2 : WSeq α
t1 t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1 t1
h2 : LiftRel R s2 t2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s✝ t✝
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s.destruct t.destruct
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Inhabited α
l✝ : List α
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).dedup.tail = if (a :: l).headI ∈ (a :: l).tail then (a :: l).tail.dedup.tail else (a :: l).tail.dedup
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b d : α
x y : WithBot α
⊢ unbot' d x = unbot' d y ↔ x = y ∨ x = ↑d ∧ y = ⊥ ∨ x = ⊥ ∧ y = ↑d
G : Type u_3
InvolutiveNeg G
⊢ Function.LeftInverse (fun a => -a) fun a => -a
f : StieltjesFunction
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), HasDerivAt (↑f) (f.measure.rnDeriv volume x).toReal x
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
g : G
P : Sylow p G
⊢ ↑(g • P) = MulAut.conj g • ↑P
α : Type u
s : Set α
⊢ Cardinal.mk ↑(𝒫 s) = 2 ^ Cardinal.mk ↑s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
x : E
g : F → G
hg : DifferentiableAt 𝕜 g (f x)
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (g ∘ f) x
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(MeasureTheory.Lp F p (μ.trim hm))
⊢ MeasureTheory.Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ ∈ MeasureTheory.lpMeasSubgroup F m p μ
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X
⊢ dimH s ≤ ⨆ x, limsup dimH (𝓝[s] x).smallSets
β : Type u_1
γ : Type u_2
⊢ ∀ {α : Type u_3} {p : γ → Option α} (f : β → γ) (l : List β), List.findSome? p (List.map f l) = List.findSome? (p ∘ f) l
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
n : ℕ
h : n ∈ σ.cycleType
⊢ 2 ≤ n
B : Type u₁
Quiver B
(a b : B) → Quiver (a ⟶ b)
C : Type u₂
Quiver C
(a b : C) → Quiver (a ⟶ b)
F : B → C
F' : (a b : B) → (a ⟶ b) ⥤q (F a ⟶ F b)
⊢ ∀ (a : B), (CategoryTheory.PrelaxFunctorStruct.mkOfHomPrefunctors F F').obj a = F a
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
⊢ stoppedValue u τ y = (∑ i ∈ s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)) y
G : Type u_2
AddGroup G
S : Set G
⊢ -S ⊆ ↑(AddSubgroup.closure S)
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
DecidableEq ι
m : Monoid.CoprodI M
w : Monoid.CoprodI.Word M
⊢ (m • w).prod = m * w.prod
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x y : Associates R
⊢ ↑((associatesEquivIsPrincipal R) (Associates.mk (Quot.out x) * Associates.mk (Quot.out y))) = ↑((associatesEquivIsPrincipal R) (Associates.mk (Quot.out x))) * ↑((associatesEquivIsPrincipal R) (Associates.mk (Quot.out y)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
s : Finset ι
⊢ ∑ a ∈ s, μ (As a) ≤ μ (⋃ i, As i)
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
Field F
Field K
Field L
Algebra F K
Algebra F L
⊢ normalClosure F K L = ⨆ f, f.fieldRange
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
b : M
⊢ Finsupp.erase a (Finsupp.single a b) = 0
M : Type u_1
Monoid M
x : M
⊢ 1 ∈ powers x
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
x y : L
hx : x ∈ H.normalizer
hy : y ∈ H
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ H
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
f : α → ℝ
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), MeasureTheory.IntegrableOn f (φ i) μ
hnng : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, 0 ≤ f x
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in φ i, f x ∂μ ≤ I
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l₁ l₂ l₃ : List Γ
⊢ Turing.BlankExtends l₁ l₂ → Turing.BlankExtends l₂ l₃ → Turing.BlankExtends l₁ l₃
X : Type u_3
Y : Type u_5
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
uα : UniformSpace α
A : Set Y
u : Y → X → α
hA : Equicontinuous (u ∘ Subtype.val)
hu : Continuous u
⊢ Equicontinuous (u ∘ Subtype.val)
n : ℤ
a : ℤ
⊢ a ≡ a [ZMOD n]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X X' : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
Z : C
f : AlgebraicTopology.DoldKan.MorphComponents X n Z
g : X' ⟶ X
⊢ (f.preComp g).φ = g.app (Opposite.op [n + 1]) ≫ f.φ
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
z : S
⊢ ∃ x, z * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) x.1
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ (a == a) = true
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
x : X
hx : x ∈ A
y : X
hy : P y ↑f ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 y, g x = f x
⊢ ↑g = ↑f
R : Type u_1
S : Type u_4
T : Type u_5
CommRing R
CommRing S
CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
hg : Function.Injective ⇑g
hfg : (g.comp f).IsIntegral
⊢ f.IsIntegral
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_8
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
a : M
⊢ (QuadraticMap.Isometry.id Q) a = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → β
t : Set α
h : InjOn f s
hst : t ⊆ s
⊢ f '' (s \ t) = f '' s \ f '' t
G : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : R1Space G
inst✝ : BorelSpace G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G
⊢ μ.measure ↑K = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
α : Type u_1
⊢ GaloisConnection (fun L => L.bind 𝓟) Filter.smallSets
n : ℕ
self : n.Partition
i : ℕ
⊢ i ∈ self.parts → 0 < i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Sheaf J D
φ : F₁ ⟶ F₂
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget D)
CategoryTheory.Sheaf.IsLocallyInjective φ
⊢ CategoryTheory.Mono φ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
s : CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A
x : F.obj (Opposite.op s)
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.fst (CategoryTheory.OverPresheafAux.counitForward F s x).val = s.hom
α β : Sort u
a a' : α
b : β
h₁ : a = a'
h₂ : HEq a' b
⊢ HEq a b
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R (Dual R N)
⊢ (map e.flip.symm p).dualAnnihilator = map e p.dualCoannihilator
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddMonoid α
StarAddMonoid α
l : List (Matrix m n α)
⊢ l.sumᴴ = (List.map Matrix.conjTranspose l).sum
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}
⊢ borel α ≤ MeasurableSpace.generateFrom S
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
⊢ HasFDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ) ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' x₀ t ∂μ) x₀
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ min p.radius q.radius ≤ (p + q).radius
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
x✝ : R
h : x✝ ∈ closure s
x y : R
hx : x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
⊢ 0 ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
i : Fin n
j : Fin n.succ
⊢ M' i.succ j = N i.succ j + (if i = k then 0 else c i) * M' i.castSucc j
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
L' : Filter 𝕜
h : HasGradientAtFilter g g' u L'
⊢ HasDerivAtFilter g ((starRingEnd 𝕜) g') u L'
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P
⊢ (pointReflection (midpoint R x y)) x = y
R : Type u
ι : Type v
M : Type u_1
Fintype ι
CommRing R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
ContinuousMul R
ContinuousSMul R M
z : M
m : ι → R
⊢ (ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z) m = (∏ i : ι, m i) • z
n : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
⊢ (a.pred ha).castSucc < a
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
TopologicalSpace α
AddGroup G
AddAction G α
ContinuousConstVAdd G α
TopologicalSpace β
f : β → α
c : G
⊢ (Continuous fun x => c +ᵥ f x) ↔ Continuous f
α : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
c : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hc : 0 < c
⊢ Filter.Tendsto (fun x => c * x ^ n) Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u_1
l r : ℕ
⊢ r + l ≤ 1 → r + l ≤ 1
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
NoZeroSMulDivisors R M
⊢ 0 < FiniteDimensional.finrank R M ↔ Nontrivial M
L : Type u_1
SemilatticeSup L
TopologicalSpace L
ContinuousSup L
X : Type u_2
TopologicalSpace X
f : ℕ → X → L
n : ℕ
s : Set X
hf : ∀ k ≤ n, ContinuousOn (f k) s
⊢ ContinuousOn (fun a => (partialSups fun x => f x a) n) s
X : Type u_1
Y : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder X
DenselyOrdered X
TopologicalSpace X
OrderTopology X
LinearOrder Y
TopologicalSpace Y
OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hfI : f a = f b
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo a b, IsExtrOn f (Set.Icc a b) c
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
LinearOrderedAddCommGroup α
Archimedean α
h : Function.Periodic f c
hc : 0 < c
a : α
⊢ f '' Set.Icc a (a + c) = Set.range f
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
s : Set α
⊢ (f '' s)ᶜ = f '' sᶜ ∪ (Set.range f)ᶜ
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocDiv hp (a + p) b = toIocDiv hp a b - 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
x : X
y : Y
h : f =ᶠ[𝓝 x] fun x => y
⊢ ContinuousAt f x
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ I.lower ≤ I.upper
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s
he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r
⊢ IsUnit t
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
V W : C
i : V ⟶ unop U
hi : (fun V f => F.map f.op s ∈ G.obj (op V)) V i
j : W ⟶ V
⊢ (fun V f => F.map f.op s ∈ G.obj (op V)) W (j ≫ i)