ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)
hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Mul α
i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
inst✝ : PartialOrder α
a : α
ha : MulLECancellable a
b c : α
h : (fun x => x * a) b = (fun x => x * a) c
⊢ a * b = a * c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
z : CochainComplex.HomComplex.Cocycle F G 0
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cocycle.equivHom F G).symm z = z.homOf
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.iCondIndepSet m' hm' s μ ↔
  ProbabilityTheory.iCondIndep m' hm' (fun i => MeasurableSpace.generateFrom {s i}) μ
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
S : Subsemigroup N
f : M →ₙ* N
⊢ Subsemigroup.comap f (Subsemigroup.map f (Subsemigroup.comap f S)) = Subsemigroup.comap f S
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ
x✝ : s.Finite ∧ ∃ n₀, s.encard = ↑n₀ ∧ n₀ ≤ k
left✝ : s.Finite
n₀ : ℕ
hs : s.encard = ↑n₀
hle : n₀ ≤ k
⊢ s.encard ≤ ↑k
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset P
⊢ (affineCombination k univ Subtype.val) (centroidWeights k univ) = (affineCombination k s.attach Subtype.val) (centroidWeights k s ∘ Subtype.val)
α : Type u
β : Type v
PartialOrder α
Preorder β
f : α → β
⊢ Monotone f ↔ ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → f a ≤ f b
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
f : α → E
g : E → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
NeZero μ
hg : ConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
hgi : MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ
⊢ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (a : α), f a ∈ closure (f '' s) → a ∈ s
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace X'
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Y'
eX eX' : PartialHomeomorph X X'
eY eY' : PartialHomeomorph Y Y'
h : (eX.prod eY).source.Nonempty
⊢ eX.prod eY = eX'.prod eY' ↔ eX = eX' ∧ eY = eY'
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
L M : Ideal R
hL : L ∣ I
hM : M ∣ I
⊢ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨L, hL⟩) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨M, hM⟩) ↔ L ∣ M
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
f : (i : ι) → β i
⊢ ‖(WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)).symm f‖₊ = ‖f‖₊
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup N✝
N : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
fb : f.NormNoninc
x : M ⧸ S
⊢ ‖(lift S f hf) x‖ ≤ ‖x‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y : E
⊢ openSegment 𝕜 x y = (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Set.Ioo 0 1
o : Ordinal.{u_3}
⊢ 0 < o.card ↔ 0 < o
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
a b c : R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : NoZeroDivisors R
ha✝ : a ≠ 0
x : R
h : b ^ 2 - 4 * a * c = (2 * a * x + b) ^ 2
ha : 2 * 2 * a ≠ 0
⊢ 2 * 2 * a * (a * x * x + b * x + c) = 2 * 2 * a * 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
s : Set (β × α)
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun y => (κ y) ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a b ≤ toIocDiv hp a b + 1
α : Type u_3
Group α
a : α
⊢ Nat.card ↥(Subgroup.zpowers a) = orderOf a
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Bijective ⇑(ofTensorProduct I M)
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a < b
h₂ : a < c
h : b ≤ c
⊢ a < min b c
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
Algebra R S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.aeval fun x => 0) p = (algebraMap R S₁) (MvPolynomial.constantCoeff p)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
t : Set X
hst : t ⊆ s
ht : IsCompact t
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
⊢ p.mirror.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
Z : C → Prop
X Y : CategoryTheory.FullSubcategory Z
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.fullSubcategoryInclusion Z).map f = f
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
⊢ 0 = 0 -ₒ 0
a b : ℕ
⊢ a < b ↔ ↑a < ↑b
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X X' : SimplicialObject C
n : ℕ
Z Z' : C
f : MorphComponents X n Z
g : X' ⟶ X
h : Z ⟶ Z'
⊢ (id X n).φ = 𝟙 (X _[n + 1])
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
M : Submonoid R
IsLocalization M S
⊢ Set.range ⇑(PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) = {p | Disjoint ↑M ↑p.asIdeal}
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : N ≃+ P
j : P ≃+ Q
⊢ (f.ofAddEquivOfLocalizations (k.trans j)).toMap = j.toAddMonoidHom.comp (f.ofAddEquivOfLocalizations k).toMap
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB : ∃ c < π / (b - a), ∃ B, f =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * |z.im|))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
⊢ (z * I).im ≤ b
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
φ ψ : F
⊢ equalizer φ ψ = ⊤ ↔ φ = ψ
m n : ℕ
⊢ Multiset.range m ⊆ Multiset.range n ↔ m ≤ n
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
z : R
f : (i : ι) → s i
this : z = z • 1
⊢ tprodCoeff R z f = z • (tprod R) f
α : Type u_1
β : Type u_2
R S : α → β → Prop
H : ∀ (a : α) (b : β), R a b → S a b
l₁ : List α
l₂ : List β
h : List.Forall₂ R l₁ l₂
⊢ List.Forall₂ S l₁ l₂
a : ENNRealᵒᵈ
⊢ OrderIso.invENNReal.symm a = (OrderDual.ofDual a)⁻¹
M : Type u_2
R : Type u_3
Ring R
Monoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : R →* M
⊢ f (-1) = 1
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
R : Type u_1
F : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
FunLike F K[X] R[X]
MonoidWithZeroHomClass F K[X] R[X]
φ : F
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰
p q : K[X]
⊢ (RatFunc.map φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) =
  (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ p) / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ q)
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct g
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproduct.whiskerEquiv e w).inv =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.lift fun j => CategoryTheory.Limits.biproduct.π g (e j) ≫ (w j).hom
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
h : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x ε)
R : ℝ
Rpos : R ∈ Ioi 0
hR : Ioc 0 R ⊆ {x | (fun ε => ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x ε)) x}
x : α
t r : ℝ
ht : t ∈ Ioc 0 K
hr : r ≤ R
rpos : 0 < r
⊢ μ (closedBall x (t * r)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K) * μ (closedBall x r)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospanCompIso F f g).hom.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.one =
  𝟙 ((CategoryTheory.Limits.cospan f g ⋙ F).obj CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.one)
M : Type u_4
Monoid M
L : List M
⊢ (∀ m ∈ L, IsUnit m) → IsUnit L.prod
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ eLpNorm (fun x => c) p μ < ⊤
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h2 : p ≠ 0 ∧ q ≠ 0
⊢ p.natDegree ≤ (p * q).natDegree
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
a : α
c : ι
⊢ f c ≤ a → iInf f ≤ a
M : Type u_5
N : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ ⇑(AddMonoidHom.snd M N) = Prod.snd
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
S T : Set (Set α)
h_gen : m0 = generateFrom S
hc : T.Countable
h_inter : IsPiSystem S
hU : ⋃₀ T = univ
htop : ∀ t ∈ T, μ t ≠ ⊤
ST_eq : ∀ t ∈ T, ∀ s ∈ S, μ (s ∩ t) = ν (s ∩ t)
T_eq : ∀ t ∈ T, μ t = ν t
t : Set α
ht : t ∈ T
u : Set α
hu : MeasurableSet u
⊢ ∀ (f : ℕ → Set α), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), μ (f i ∩ t) = ν (f i ∩ t)) → μ ((⋃ i, f i) ∩ t) = ν ((⋃ i, f i) ∩ t)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {β : ι → Type u_6} (m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)) (f : (x : ι) → Ω → β x)
  (μ : MeasureTheory.Measure Ω),
  ProbabilityTheory.iIndepFun m f μ ↔ ProbabilityTheory.iIndep (fun x => MeasurableSpace.comap (f x) (m x)) μ
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : IsCoatomic α
a : α
h : a ⊔ radical α = ⊤
w : ∃ a_1, IsCoatom a_1 ∧ a ≤ a_1
⊢ a = ⊤
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
ι : Type u_9
f : ι → A
hf : AlgebraicIndependent R f
t : Set A
ht : Set.range f = t
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
e : α ≃o β
⊢ Continuous ⇑e
ι : Type u_2
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ √(∑ i ∈ s, f i ^ 2) * √(∑ i ∈ s, g i ^ 2)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : RCLike 𝕜
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α →ᵇ 𝕜
⊢ ⟪(BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f, (BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) g⟫_𝕜 = ∫ (x : α), (starRingEnd 𝕜) (f x) * g x ∂μ
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
g : C(X, E)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f
hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖
g' : X →ᵇ E := ofNormedAddCommGroup ⇑g ⋯ ‖f‖ hg_mem
⊢ ‖f‖ ≤ ‖g'‖
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a₁ a₂ : α
h : a₁ ≠ a₂
m₁ m₂ : M
⊢ (f.update a₁ m₁).update a₂ m₂ = (f.update a₂ m₂).update a₁ m₁
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ ↑(NonUnitalSubalgebra.center R A) = Set.center A
α : Type u_1
l : List α
p : α → Bool
⊢ (!l.all p) = l.any fun a => !p a
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
ma : Finset (↥(ker G) × N)
hkn : (rTensor N (ker G).subtype) (∑ kj ∈ ma, kj.1 ⊗ₜ[R] kj.2) = en
⊢ ∃ y, (∀ (i : ι), n i = ∑ j : { x // x ∈ ma }, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • y j) ∧ ∀ (j : { x // x ∈ ma }), ∑ i : ι, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • m i = 0
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
⊢ Field.finSepDegree F E ∣ FiniteDimensional.finrank F E
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L : Set V
C : G.ComponentCompl L
h : K ⊆ L
⊢ ↑C ⊆ ↑(SimpleGraph.ComponentCompl.hom h C)
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
inst✝¹¹ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K✝ L✝ M K' L' : HomologicalComplex C c
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} C₁
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_3} C₂
inst✝⁸ : Preadditive C₁
inst✝⁷ : Preadditive C₂
K L : HomologicalComplex C₁ c
φ : K ⟶ L
F : C₁ ⥤ C₂
inst✝⁶ : F.Additive
inst✝⁵ : F.PreservesHomology
i : ι
inst✝⁴ : K.HasHomology i
inst✝³ : L.HasHomology i
inst✝² : ((F.mapHomologicalComplex c).obj K).HasHomology i
inst✝¹ : ((F.mapHomologicalComplex c).obj L).HasHomology i
inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms
⊢ QuasiIsoAt ((F.mapHomologicalComplex c).map φ) i ↔ QuasiIsoAt φ i
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K V
FiniteDimensional K ↥W
⊢ (Submodule.dualAnnihilator W).dualAnnihilator = Submodule.map (Module.Dual.eval K V) W
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ 0 < ⌈a⌉₊ ↔ 0 < a
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q : α → Prop
inst✝ : DecidableEq α
a : α
p : α → Prop
⊢ (p a ∧ ∀ (b : α), b ≠ a → p b) ↔ ∀ (b : α), p b
K : Type u_3
L : Type u_4
Field K
Field L
Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
⊢ E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra ≤ (E1 ⊔ E2).toSubalgebra
s : Set ℤ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
b : ℤ
Hb : ∀ z ∈ s, z ≤ b
Hinh : ∃ z, z ∈ s
this : s.Nonempty ∧ BddAbove s
⊢ sSup s = ↑(b.greatestOfBdd Hb Hinh)
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ eval (v i) ((interpolate s v) r) = r i
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α
⊢ (Injective fun i => l[↑i]) ↔ Injective l.get
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.MonoOver.congr X e).functor = CategoryTheory.MonoOver.lift (CategoryTheory.Over.post e.functor) ⋯
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ≥0∞
⊢ (∃ i, x ∈ Iio ↑i) ↔ x ∈ {⊤}ᶜ
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f g : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h : f = g
x : L₁
⊢ f x = g x
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume) * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume
hst : 0 < (s + t).re
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
y : ℝ
⊢ cexp (-↑x) = cexp (-↑y) * cexp (-(↑x - ↑y))
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictMono f
c : α
⊢ StrictMono fun x => c + f x
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
h_deg_le : f.degree ≤ ↑s.card
h_deg_eq : f.degree = g.degree
hlc : f.leadingCoeff = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
hf : f ≠ 0
⊢ f = g
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
s : S.obj (op α)
β : Type u
f : β ⟶ α
hf : discretePresieve α f
x : β
⊢ ((↾fun x => PUnit.unit) ≫ ↾fun x => f (Classical.choose hf)) x = f x
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
M : Ideal A
hM : P < M
P'_ne : ↑P ≠ 0
M'_ne : ↑M ≠ 0
le_one : (↑M)⁻¹ * ↑P ≤ 1
y : A
_hy : y ∈ ⊤
hx : (algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ (fun a => ↑a) ((↑M)⁻¹ * ↑P)
z : A
hzM : z ∈ M
hzp : z ∉ P
zy_mem : (algebraMap A (FractionRing A)) z * (algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ ↑M * ((↑M)⁻¹ * ↑P)
⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ (fun a => ↑a) ↑P
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
h2 : ∀ (t : G), ‖(L (f t)) (g (x₀ - t)) - (L (f t)) z₀‖ ≤ ‖L (f t)‖ * ε
h3 : ∀ (t : G), ‖L (f t)‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖
⊢ ∫ (a : G), ‖L‖ * ‖f a‖ ∂μ = ‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
⊢ Metric.diam (Set.range ⇑f) = ↑(Dilation.ratio f) * Metric.diam Set.univ
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
ha : a ≠ 0
x : α
⊢ (DilationEquiv.mulLeft a ha) x = a * x
k : ℕ
hk : k ≠ 1
⊢ bernoulliFun k 1 = bernoulliFun k 0
G : Type u_1
X : Type u_2
SMul G X
B : Set X
hB : B.Subsingleton
⊢ MulAction.IsBlock G B
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype m
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix m n 𝕜
⊢ ‖Aᴴ * A‖₊ = ‖A‖₊ * ‖A‖₊
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
x : α
⊢ infEdist x (cthickening δ s) ≤ ENNReal.ofReal ε → infEdist x s ≤ ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ
F : Type u
Field F
f : F[X]
q : ℕ
hF : ExpChar F q
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.expand F (q ^ n)) f).natSepDegree = f.natSepDegree
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
n : ℕ∞
h : ContDiffAt ℂ n e ↑z
A : ContDiffAt ℝ n ofReal' z
B : ContDiffAt ℝ n e ↑z
C : ContDiffAt ℝ n re (e ↑z)
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => (e ↑x).re) z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
x : ι → α
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
hy : ∀ (i : ι), f (x i) = y
⊢ y ∈ f '' ⋂ i, s i
α : Type u
β : Type v
f : α → β
la₁ la₂ : Filter α
lb₁ lb₂ : Filter β
h₁ : Filter.Tendsto f la₁ lb₁
hd : Disjoint lb₁ lb₂
h₂ : Filter.Tendsto f la₂ lb₂
⊢ Disjoint la₁ la₂
R : Type u_1
CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ (bernsteinPolynomial R n ν).comp (1 - Polynomial.X) = bernsteinPolynomial R n (n - ν)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i : ℕ
h : i < l.length
⊢ l[i]?.isSome = true
R : Type x
Monoid R
HasDistribNeg R
a : R
⊢ (-a) ^ 2 = a ^ 2
M : Type u_1
AddMonoid M
ι : Sort u_2
f : ι → AddSubmonoid M
⊢ (iInf f).addUnits = ⨅ i, (f i).addUnits
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
i₁ : ι
a₁ : 𝒜 i₁
j₁ : ι
b₁ : ℬ j₁
i₂ : ι
a₂ : 𝒜 i₂
j₂ : ι
b₂ : ℬ j₂
⊢ (gradedComm R 𝒜 ℬ) (((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₁) b₁)) ((lof R ι 𝒜 i₂) a₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₂) b₂)) = ((gradedMul R ℬ 𝒜) ((gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₁) b₁))) ((gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i₂) a₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₂) b₂))
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
c : E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => c) p μ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤
α : Type u_1
l : Multiset α
⊢ Multiset.Disjoint 0 l
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
PosMulStrictMono α
MulPosMono α
a b : α
h1 : 0 ≤ a
h2 : 0 ≤ b
⊢ a < b ↔ a * a < b * b
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), a ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), b ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
y : ↥(Va ⊓ Vb)
⊢ (fun x => (a + b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) y = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja + jb, num := ⟨sb * ra + sa * rb, ⋯⟩, den := ⟨sa * sb, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X X
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Y
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W Y X
f : Y ⟶ X
hf : W f
⊢ (CategoryTheory.Localization.SmallHom.mkInv f hf).comp (CategoryTheory.Localization.SmallHom.mk W f) =
  CategoryTheory.Localization.SmallHom.mk W (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasProd (f ∘ Subtype.val) a₁
⊢ HasProd (f ∘ Subtype.val) a₂ ↔ HasProd f (a₁ * a₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
hs : s.Infinite
this : Infinite ↑s
t' : Finset ↑s
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ t.ncard = t'.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
e'' : PartialEquiv γ δ
⊢ (e.trans e').trans e'' = e.trans (e'.trans e'')