ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ f =O[l] g ↔ ∃ c, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
G' : Type u_1
inst✝¹⁰ : AddGroup G'
inst✝⁹ : MeasurableSpace G'
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
inst✝⁷ : TopologicalAddGroup G'
inst✝⁶ : BorelSpace G'
μ' : Measure G'
Γ' : AddSubgroup G'
inst✝⁵ : Countable ↥Γ'
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G' ⧸ Γ')
inst✝³ : BorelSpace (G' ⧸ Γ')
𝓕' : Set G'
K : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : NormedSpace ℝ K
inst✝ : μ'.IsAddRightInvariant
f : G' → K
f_ℒ_1 : Integrable f μ'
g : G' ⧸ Γ' → K
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕'))
g_ℒ_infinity : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) (Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕')) ≠ ⊤
F_ae_measurable : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕'))
h𝓕 : IsAddFundamentalDomain (↥Γ'.op) 𝓕' μ'
π : G' → G' ⧸ Γ' := mk
meas_π : Measurable π
H₀ : automorphize (g ∘ π * f) = g * automorphize f
⊢ ∫ (x : G'), g (π x) * f x ∂μ' = ∫ (x : G' ⧸ Γ'), automorphize (g ∘ π * f) x ∂Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕')
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
x : Mˣ
h : x ∈ S.units
⊢ ⟨(Units.coeHom M) x⁻¹, ⋯⟩ * ⟨(Units.coeHom M) x, ⋯⟩ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Bornology α
Bornology β
s : Set (α × β)
⊢ Bornology.IsBounded (Prod.fst '' s) ∧ Bornology.IsBounded (Prod.snd '' s) ↔ Bornology.IsBounded s
α : Type u_6
β : Type u_7
Preorder α
Preorder β
self : α →o β
⊢ Monotone self.toFun
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : PartialHomeomorph E F
n : ℕ
⊢ (PartialHomeomorph.restrContDiff 𝕜 f n).target =
  f.target ∩ {y | ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f.symm) y ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f) (↑f.symm y)}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
h : CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P S.arrows
t₁ t₂ : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ P
ht :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.functorInclusion t₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.functorInclusion t₂
⊢ t₁ = t₂
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
⊢ (⨅ i, ↑(f i)).toNat = ⨅ i, f i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G.LocallyCoverDense K
G.IsLocallyFull K
G.IsLocallyFaithful K
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ (G.inducedTopology K).sieves X S = K.sieves (G.obj X) (CategoryTheory.Sieve.functorPushforward G S)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (-f) s
α : Type u_2
l₁ l₂ : Filter α
⊢ 𝓝 (l₁ ⊓ l₂) = 𝓝 l₁ ⊓ 𝓝 l₂
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β
⊢ ⇑e.symm.symm '' s ⊆ t ↔ ⇑e '' s ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f✝ g✝ : ι → α
f : ι → ι'
hf : Surjective f
g : ι' → α
⊢ (range fun x => g (f x)) = range fun y => g y
α : Type u_1
σ : Type u_3
f : σ → Set α
T : α → σ
h₁ : ∀ (x : α), x ∈ f (T x)
I : (a b : σ) → (x : α) → x ∈ f a ∩ f b → σ
h₂ : ∀ (a b : σ) (x : α) (h : x ∈ f a ∩ f b), x ∈ f (I a b x h)
h₃ : ∀ (a b : σ) (x : α) (h : x ∈ f a ∩ f b), f (I a b x h) ⊆ f a ∩ f b
a : σ
⊢ { f := f, top := T, top_mem := h₁, inter := I, inter_mem := h₂, inter_sub := h₃ }.f a = f a
x y d m : ℕ
hd : x.gcd y = d
d0 : d.beq 0 = false
dm : x * y = d * m
⊢ d * x.lcm y = d * m
x y : Int
h₁ : y ≤ x
h₂ : x < y
⊢ False
α : Type u
r : α → α → Prop
IsStrictTotalOrder α r
⊢ IsStrictTotalOrder α (Function.swap r)
ι : Type u_1
M : Type u_2
CommMonoid M
c : Con M
s : Finset ι
f g : ι → M
h : ∀ i ∈ s, c (f i) (g i)
⊢ c (s.prod f) (s.prod g)
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
n : ℤ
⊢ ‖cexp (↑π * Complex.I * ↑n ^ 2 * τ)‖ ≤ rexp (-π * τ.im) ^ n.natAbs
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H
aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N
⊢ N.toSubmodule ≤ (engel R x).toSubmodule ⊔ H.toSubmodule
M : Type u_4
CommMonoid M
ι : Type u_5
Subsingleton ι
s : Finset ι
f : ι → M
b : M
h : ∏ i ∈ s, f i = b
i : ι
⊢ i ∈ s → f i = b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (-z).v p q hpq = -z.v p q hpq
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
h : A = B
⊢ (CategoryTheory.eqToHom h).hom₁ = CategoryTheory.eqToHom ⋯
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : Preadditive D
X : C
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ
i : ((unop x✝).index Q).L
⊢ Multiequalizer.lift ((unop x✝).index Q) (multiequalizer ((unop x✝).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i ≫ 0) ⋯ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index Q) i = 0 ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index Q) i
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : 0 ≤ x
n : ℕ
⊢ 0 ≤ n • x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ Measurable fun x => ∑' (i : ι), f i x
N✝ N : ℕ
γ : SL(2, ℤ)
⊢ (SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ = 1 ↔ ↑(↑γ 0 0) = 1 ∧ ↑(↑γ 0 1) = 0 ∧ ↑(↑γ 1 0) = 0 ∧ ↑(↑γ 1 1) = 1
R : Type u
CommRing R
IsNoetherianRing R
n : ℕ
⊢ IsNoetherianRing (MvPolynomial (Fin n) R)
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
f : E → F
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
hf : f 0 = 0
x : E
⊢ ‖f x‖ ≤ ↑K * ‖x‖
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Monoid G
AddCommMonoid V
Module k V
ρ : Representation k G V
self : ρ.IsTrivial
g : G
x : V
⊢ (ρ g) x = x
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F✝
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝ : SecondCountableTopology F✝
f : E → F✝
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F✝
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F✝) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F✝), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : ⋃ x ∈ T, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x)) = ⋃ x, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x))
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → ↑T → Set E := fun n z => {x | x ∈ s ∧ ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n), ‖f y - f x - (f' ↑↑z) (y - x)‖ ≤ ↑(r (f' ↑↑z)) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z
closure_M_subset : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T), s ∩ closure (M n z) ⊆ M n z
d : ℕ → E
hd : DenseRange d
K : ℕ → ↑T → ℕ → Set E := fun n z p => closure (M n z) ∩ closedBall (d p) (u n / 3)
K_approx : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T) (p : ℕ), ApproximatesLinearOn f (f' ↑↑z) (s ∩ K n z p) (r (f' ↑↑z))
K_closed : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T) (p : ℕ), IsClosed (K n z p)
F : ℕ → ℕ × ↑T × ℕ
hF : Function.Surjective F
x : E
xs : x ∈ s
⊢ x ∈ ⋃ n, (fun q => K (F q).1 (F q).2.1 (F q).2.2) n
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i✝ : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
i : Fin (n + 1)
⊢ HasIntegral I GP (fun x => (f' x) (Pi.single i 1)) BoxAdditiveMap.volume (integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x)) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x)) BoxAdditiveMap.volume)
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
d : D
⊢ L₂.map (α.app d) ≫ adj₂.counit.app (H.obj d) = ((mateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app (R₁.obj d) ≫ H.map (adj₁.counit.app d)
α : Type u_1
l₁ l₂ l : List α
⊢ l₁ ++ l ~ l₂ ++ l ↔ l₁ ~ l₂
ι : Type u_1
Countable ι
a : ι → ℂ
q : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hq : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < q i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Set.Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-π * q i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / q i ^ s.re
⊢ HasSum (fun i => ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(q i) ^ s) (mellin F s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X Y : C
f : X ≅ Y
x : F.obj X
⊢ F.map f.inv (F.map f.hom x) = x
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
i j : n
⊢ (toMatrix v₁ v₁) id i j = 1 i j
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Option α → β
o : Option α
⊢ o.casesOn' (f none) (f ∘ fun a => some a) = f o
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↥(pbo f)
z : (forget CommRingCat).obj (CommRingCat.of (A⁰_ f))
⊢ (awayToSection 𝒜 f ≫ (structureSheaf 𝒜).presheaf.germ x) z = (HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv) z
ctx : Nat.Linear.Context
c : Nat.Linear.ExprCnstr
h : c.toNormPoly.isValid = true
⊢ Nat.Linear.ExprCnstr.denote ctx c = True
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}
⊢ ∫⁻ (x : α), max (f x) (g x) ∂μ = ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {x | g x < f x}, f x ∂μ
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Zero α
i : m
j : n
⊢ 0 i j = 0
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
a1 : 1 ≤ a
⊢ Antitone fun n => 1 / a ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f₀ f₁ : α → β
g : α → ℝ
hf₁_m : AEStronglyMeasurable f₁ μ
hf₀_i : Integrable f₀ μ
hg_i : Integrable g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f₀ a - f₁ a‖ ≤ g a
⊢ ∀ (x : α), ‖f₀ x - f₁ x‖ ≤ g x → ‖f₁ x‖ ≤ ‖f₀ x‖ + g x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
X : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
⊢ (CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.functorOfNatTransId.inv.app X).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.a
α : Type u_1
Primcodable α
p : α → Prop
hp : ComputablePred p
⊢ ComputablePred fun a => ¬p a
M : Type u_1
Add M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
α : Type u_2
f g : α → M
hf : BddAbove (Set.range f)
hg : BddAbove (Set.range g)
⊢ BddAbove (Set.range fun x => f x + g x)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddCommMonoid α
StarAddMonoid α
s : Multiset (Matrix m n α)
⊢ s.sumᴴ = (Multiset.map Matrix.conjTranspose s).sum
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝¹ : α
ε : ℝ≥0
x y : α
hy : infEdist y s ≤ ↑ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < δ
x✝ : EMetric.diam s + 2 * ↑ε < ⊤
hε : ↑ε < ↑ε + ↑δ
hx : infEdist x s < ↑ε + ↑δ
x' : α
hx' : x' ∈ s
hxx' : edist x x' < ↑ε + ↑δ
⊢ edist x y ≤ EMetric.diam s + 2 * ↑ε + ↑δ
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
M.HasHomology i
hφ : QuasiIsoAt φ i
hφφ' : QuasiIsoAt (φ ≫ φ') i
⊢ QuasiIsoAt φ' i
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Mul α
SemilatticeInf β
OrderTop β
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (s * t).inf f = s.inf fun x => t.inf fun x_1 => f (x * x_1)
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
VAdd M α
ContinuousConstVAdd M α
TopologicalSpace β
g : β → α
hg : Continuous g
c : M
⊢ Continuous fun x => c +ᵥ g x
α : Type u_3
SemilatticeSup α
Nonempty α
p : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in Filter.atTop, p x
⊢ ∃ a, ∀ b ≥ a, p b
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : IsOpen s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 f y) s
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
⊢ N.toSubmodule ≤ (engel R x).toSubmodule ⊔ H.toSubmodule
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x (n - 1) r
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x₀ : α 0
x : (i : Fin n) → α i.succ
s₀ : Finset (α 0)
s : (i : Fin n) → Finset (α i.succ)
⊢ cons x₀ x ∈ piFinset (cons s₀ s) ↔ x₀ ∈ s₀ ∧ x ∈ piFinset s
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term α
⊢ Term.realize v (![t₁, t₂] 0) = ![Term.realize v t₁, Term.realize v t₂] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T3Space β
ι : Type u_5
s : ι → Set α
p : ι → Prop
x : α
h : (𝓝 x).HasBasis p s
f : α → β
hf : DenseInducing f
⊢ (𝓝 (f x)).HasBasis p fun i => closure (f '' s i)
α : Type u_1
s : Cycle α
h : s.Subsingleton
⊢ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → x = y
α : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
Sub α
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ s - ⋃ i, ⋃ j, t i j = ⋃ i, ⋃ j, s - t i j
α : Type u
t s : Set α
⊢ t.ite s s = s
n : Nat
motive : Fin (n + 1) → Sort u_1
zero : motive 0
succ : (i : Fin n) → motive i.castSucc → motive i.succ
i : Fin n
⊢ Fin.induction zero succ i.succ = succ i (Fin.induction zero succ i.castSucc)
α : Type u_1
ι : Type u_3
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
Finite ι
t : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on t)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite
⊢ ∑ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃ i, t i), f a = ∑ᶠ (i : ι) (a : α) (_ : a ∈ t i), f a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s ×ˢ t).val = s.val ×ˢ t.val
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
ι : Type v
hs : IsCompact s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : ∀ (u : Finset ι), (s ∩ ⋂ i ∈ u, t i).Nonempty
⊢ (s ∩ ⋂ i, t i).Nonempty
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
x : α
t : Finset α
f : α → β
s : β
hx : x ∉ t
i : α
hi : i ∈ t
⊢ update f x s i = f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
x✝ : ∃ f, Injective f
f : ↑s → β
hf : Injective f
⊢ ∃ f, InjOn f s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
m : ℤ
f : E → 𝕜
t : Set E
hf : DifferentiableOn 𝕜 f t
h : (∀ x ∈ t, f x ≠ 0) ∨ 0 ≤ m
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => f x ^ m) t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
this : PrimrecRel fun a b => a.2 = 0 ∧ b = 0 ∨ 0 < a.2 ∧ b * a.2 ≤ a.1 ∧ a.1 < (b + 1) * a.2
⊢ PrimrecRel fun a b => (fun x x_1 => x / x_1) a.1 a.2 = b
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : Monotone f
a b : Ordinal.{u_1}
ab : a ≤ b
h : f b ≤ b
⊢ Ordinal.nfp f a ≤ b
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
a : R
⊢ (MvPowerSeries.coeff R m) ((MvPowerSeries.monomial R n) a * φ) =
  if n ≤ m then a * (MvPowerSeries.coeff R (m - n)) φ else 0
n : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ Fin.last n
ha' : a.succ ≠ Fin.last (n + 1) := ⋯
⊢ (a.castPred ha).succ = a.succ.castPred ha'
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Computable G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Computable₂ G
a : α
n : ℕ
⊢ Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))), n_4, n_4.div2.div2)) n_3) n_2) n_1) (List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))).length = some (F a (ofNat Code (n + 1 + 1 + 1 + 1)))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (b : R) in atTop, ↑⌈a * b⌉₊ / b ≤ a + b⁻¹
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ EuclideanGeometry.orthogonalProjectionFn s p -ᵥ p ∈ s.directionᗮ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ (map f p).support = p.support
f : ZFSet → ZFSet
H : PSet.Definable 1 f
x y : ZFSet
⊢ y ∈ ZFSet.image f x ↔ ∃ z ∈ x, f z = y
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a b : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (a * b).imJ = a.re * b.imJ + c₁ * a.imI * b.imK + a.imJ * b.re - c₁ * a.imK * b.imI
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
Zero E
TopologicalSpace E
s₁ s₂ : Set E
h : s₁ ⊆ s₂
hs₂ : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s₂
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s₁
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max v u}
⊢ Ordinal.lsub f ≤ a ↔ ∀ (i : ι), f i < a
α : Sort u_3
h : Nonempty α
p : Prop
f : Inhabited α → p
⊢ p
α : Type u_1
Ring α
a b : α
⊢ a ∣ a - b ↔ a ∣ b
R : Type u_3
S : Type u_4
Semiring R
Semiring S
I : Ideal R
h : I.FG
f : R →+* S
⊢ (Ideal.map f I).FG
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x₀ : M
y₀ : M'
⊢ mfderiv I (I.prod I') (fun x => (x, y₀)) x₀ = ContinuousLinearMap.inl 𝕜 (TangentSpace I x₀) (TangentSpace I' y₀)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α → γ
b : β → γ
Inv γ
⊢ Sum.elim a⁻¹ b⁻¹ = (Sum.elim a b)⁻¹
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x : R
I : Ideal R
h : S ≤ R⁰
⊢ (∃ x' ∈ I, (algebraMap R P) x' = (algebraMap R P) x) ↔ x ∈ I
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
B : Set M
s : Set (α → M)
hAs : A.Definable L s
hAB : A ⊆ B
⊢ B.Definable L s
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
x : 𝕜
hx : 0 < x
⊢ comap (fun x_1 => x * x_1) (𝓝 0) ⊓ 𝓟 (Ioi 0) = 𝓝 0 ⊓ 𝓟 (Ioi 0)
k : Type u
inst✝ : Field k
f : (AlgebraicClosureAux k)[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f
this : ∃ n p, map (ofStep k n) p = f
⊢ ∃ x, eval x f = 0
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f✝ : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
f : F
s : Set R
⊢ map f (span s) = span (⇑f '' s)
α : Type u
MulOneClass α
HasDistribNeg α
a : α
⊢ a * -1 = -a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
x✝ : R
⊢ x✝ ∈ M.nonUnitalSubsemiringClosure ↔ x✝ ∈ NonUnitalSubsemiring.closure ↑M
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
hf : Function.Bijective f
b : β
⊢ ∃! a, f a = b
m n : Num
⊢ ↑(m + n) = ↑m + ↑n
n : Type u_1
Fintype n
K : Type u_4
DecidableEq n
Field K
M : Matrix n n K
⊢ (∃ v, v ≠ 0 ∧ M.mulVec v = 0) ↔ M.det = 0
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K✝
inst✝¹¹ : Algebra F K✝
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Field K₁
inst✝⁸ : Field K₂
inst✝⁷ : Field K₃
inst✝⁶ : Algebra F K₁
inst✝⁵ : Algebra F K₂
inst✝⁴ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
K : Type u_6
L : Type u_7
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
hy : IsAlgebraic K y
h_ev : (Polynomial.aeval x) (minpoly K y) = 0
⊢ ∃ σ, σ y = x
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
a x : α
⊢ x ∈ Finset.Ici a ↔ a ≤ x
x : ℂ
⊢ deriv Complex.cos x = -Complex.sin x
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_in_E : x ∈ E
⊢ (thickenedIndicator δ_pos E) x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x✝ : α × β
⊢ x✝ ∈ univ ×ˢ univ ↔ x✝ ∈ univ
α : Type u
TopologicalSpace α
LocallyConnectedSpace α
F : Set α
x : α
h : F ∈ 𝓝 x
⊢ connectedComponentIn F x ∈ 𝓝 x