ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
pf : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 1 r
y : E
⊢ y ∈ EMetric.ball x r → f y = f x
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ gaugeRescale s s x = x
n : ℕ
⊢ Fin.succAbove 1 0 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (Mon_.forgetMonoidal C).ε = 𝟙 (𝟙_ C)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iic x)
⊢ ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ioi x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
s : Set α
(x : α) → Decidable (x ∈ s)
⊢ sᶜ.restrict (s.piecewise f g) = sᶜ.restrict g
X : AddGrp
⊢ AddGrp.uliftFunctor.obj X = AddGrp.of (ULift.{v, u} ↑X)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i k‖
IRec : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → S n ≤ (I + 1) * a
a' : NNReal := ⟨a, ⋯⟩
⊢ 0 < (p.rightInv i).radius
α : Type u_1
a : α
h : [a] ≠ []
⊢ [a].getLast h = a
α : Type u_3
SemilatticeSup α
⊢ (SupHom.id α).withTop = SupHom.id (WithTop α)
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
b : B
y : F
⊢ (b, y) ∈ e'.target ↔ b ∈ e'.baseSet
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S : B
l : List ↥S
⊢ ↑l.prod ∈ S
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
g : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ.tilted f = ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * g x ∂μ
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I : ι → Ideal R
⊢ ker (Pi.ringHom fun i => Quotient.mk (I i)) = ⨅ i, I i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
c : Set (Set α)
⊢ ⋂₀ c = ∅ ↔ ∀ (a : α), ∃ b ∈ c, a ∉ b
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace X'
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Y'
eX : PartialHomeomorph X X'
eY : PartialHomeomorph Y Y'
⊢ (eX.prod eY).source = eX.source ×ˢ eY.source
n : ℕ
a : { i // i < n }
⊢ (RelIso.symm Fin.orderIsoSubtype) a = ⟨↑a, ⋯⟩
α : Type u
Monoid α
a b : α
Invertible a
hac : b * a = 1
⊢ ⅟a = b
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Function.LeftInverse ⇑TensorAlgebra.algebraMapInv ⇑(algebraMap R (TensorAlgebra R M))
H✝ : Type u
H'✝ : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
H : Type u_5
H' : Type u_6
α : Type u_7
f : H → α
⊢ (range fun p => (f p.1, p.2)) = range f ×ˢ univ
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen hζ → FermatLastTheoremFor 3
ι : Type u_5
F : Filter ι
F.NeBot
b : ℝ≥0∞
b_ne_top : b ≠ ⊤
xs : ι → ℝ≥0∞
le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b
⊢ Filter.liminf (fun i => (xs i).toReal) F = (Filter.liminf xs F).toReal
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
h : IsUnit (map φ f)
⊢ IsUnit f
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PartialOrder ι✝
τ✝ : Ω → ι✝
f✝ : Filtration ι✝ m
ι : Type u_4
inst✝ : LinearOrder ι
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω < i}ᶜ
⊢ MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i✝ : Fin n.succ
x✝ : i✝ ∈ univ
i : Fin n
this : (-1) ^ ↑i = ↑↑(sign i.cycleRange)
⊢ ∑ y : Perm (Fin n), sign (decomposeFin.symm (i.succ, y)) • ∏ x : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (i.succ, y)) x) x = (-1) ^ ↑i.succ * A i.succ 0 * (of fun i_1 j => A (i.succ.succAbove i_1) j.succ).det
α : Type u
Group α
DecidableEq α
Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (Finset.filter (fun a => a ^ n = 1) Finset.univ).card ≤ n
d : ℕ
⊢ d ∣ Fintype.card α →
  0 < (Finset.filter (fun a => orderOf a = d) Finset.univ).card →
    (Finset.filter (fun a => orderOf a = d) Finset.univ).card = d.totient
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ i₁' : I₁
i₂ i₂' : I₂
⊢ (F.map (K₁.d i₁ i₁')).app (K₂.X i₂) ≫ (F.obj (K₁.X i₁')).map (K₂.d i₂ i₂') = (F.obj (K₁.X i₁)).map (K₂.d i₂ i₂') ≫ (F.map (K₁.d i₁ i₁')).app (K₂.X i₂')
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
r : k
⊢ ((C σ k) r)⁻¹ = (C σ k) r⁻¹
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
x y : M × ↥S
⊢ (AddLocalization.r S) x y ↔ Setoid.r x y
n : ℤ
⊢ Odd n ↔ ¬Even n
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ 2 * cos x ^ 2 = (b - a) / 8 - (sin (4 * b) - sin (4 * a)) / 32
R : Type u_2
V : Type u_3
AddCommGroup V
Semiring R
Module R V
k : ℕ
f : LaurentSeries V
⊢ (LaurentSeries.hasseDeriv R k) f = HahnSeries.ofSuppBddBelow (fun n => Ring.choose (n + ↑k) k • f.coeff (n + ↑k)) ⋯
a : Prop
h : (¬a) = False
⊢ a = True
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
a : R
hp0 : 0 < p.degree
⊢ ↑(Multiset.card (p - Polynomial.C a).roots) ≤ p.degree
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ LipschitzWith μ.mass fun f => μ.testAgainstNN f
x y : ℝ
⊢ ↑(cos x + cos y) = ↑(2 * cos ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2))
a b : ℕ
h : a < b
⊢ 1 ≤ b
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
⊢ Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ Inducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : a ≠ 0
⊢ (Multiset.map (⇑normalize) (Classical.choose ⋯)).prod ~ᵤ a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b n : ℤ
this : IsIso (((shiftFunctorAdd (CochainComplex C ℤ) a b).inv.app K).f n)
⊢ 𝟙 (((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) (a + b)).obj K).X n) = (XIsoOfEq K ⋯).hom ≫ (XIsoOfEq K ⋯).hom
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ fderivWithin ℝ (fun x => Real.arctan (f x)) s x = (1 / (1 + f x ^ 2)) • fderivWithin ℝ f s x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
hs : s ⊆ f.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) '' s) (↑(f.extend I) x) ↔ ContinuousWithinAt g s x
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
m : ↥M
⊢ HSMul.hSMul m = HMul.hMul ((algebraMap R S) ↑m)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j₁ j₂ : J
f : j₂ ⟶ j₁
⊢ CategoryTheory.Zag j₁ j₂
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b : B
i j : ι
⊢ Z.toFiberBundleCore.coordChange i j b = ⇑(Z.coordChange i j b)
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x
Nontrivial R
i : ι
⊢ x i ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s₁ s₂ : UpperSet α
t₁ t₂ : UpperSet β
⊢ s₁ ≤ s₂ → t₁ ≤ t₂ → s₁ ×ˢ t₁ ≤ s₂ ×ˢ t₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
v : ι → E
i j : ι
hij : i < j
b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v
⊢ ∀ x ∈ Iio i, ⟪b x, v i⟫_𝕜 / ↑‖b x‖ ^ 2 * ⟪b j, b x⟫_𝕜 = 0
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
x y : α
xy : IsCompl x y
⊢ y = ⊥ → x = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i j : Set α
s : SignedMeasure α
f : ℕ → ℝ
left✝ : Antitone f
hf₂ : Tendsto f atTop (nhds (sInf s.measureOfNegatives))
B : ℕ → Set α
hB : ∀ (n : ℕ), B n ∈ {B | MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B} ∧ ↑s (B n) = f n
hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)
hB₂ : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)
A : Set α := ⋃ n, B n
hA : A = ⋃ n, B n
hA₁ : MeasurableSet A
hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A
hA₃ : ↑s A = sInf s.measureOfNegatives
C : Set α
a✝ : MeasurableSet C
hC₁ : C ⊆ Aᶜ
hC₂ : ↑s C < ↑0 C
D : Set α
hD₁ : MeasurableSet D
hD : D ⊆ C
hD₂ : restrict s D ≤ restrict 0 D
hD₃ : ↑s D < 0
⊢ False
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Countable ι'
s : ι' → Set X
T : ι' → Set (Set X)
hTo : ∀ (i : ι'), ∀ t ∈ T i, IsOpen t
hTc : ∀ (i : ι'), (T i).Countable
hTs : ∀ (i : ι'), s i = ⋂₀ T i
⊢ IsGδ (⋂ i, s i)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
⊢ (-o).rightAngleRotation = o.rightAngleRotation.trans (LinearIsometryEquiv.neg ℝ)
n : ℕ
⊢ Multiset.Nat.antidiagonalTuple 2 n = Multiset.map (fun i => ![i.1, i.2]) (Multiset.Nat.antidiagonal n)
x y b : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hb : ¬1 < b
⊢ log b x + log b y ≤ log b (x * y)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
t : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
⊢ ⨅ r, (ρ.IicSnd ↑↑r) s = (ρ.IicSnd ↑t) s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc✝ gc : GaloisConnection l u
s : Set α
⊢ l (sSup s) = ⨆ a ∈ s, l a
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hg✝ : GrowsPolynomially g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => |f x|) x) (c₂ * (fun x => |f x|) x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
hc₄_mem : c₄ > 0
hg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |g x|) u ∈ Set.Icc (c₃ * (fun x => |g x|) x) (c₄ * (fun x => |g x|) x)
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x| * |g x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * c₃ * (fun x => |f x| * |g x|) x) (c₂ * c₄ * (fun x => |f x| * |g x|) x)
α : Type u_1
inst✝ : Mul α
a x y : α
⊢ SemiconjBy (op a) (op y) (op x) ↔ SemiconjBy a x y
G : Type u_2
AddGroup G
x : Gᵃᵒᵖ
S : AddSubgroup G
⊢ x ∈ S.op ↔ AddOpposite.unop x ∈ S
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
x : WithLp p (α × β)
⊢ ((WithLp.equiv p (α × β)) x).2 = x.2
G : Type u_2
CommGroup G
UniformSpace G
UniformGroup G
CompleteSpace G
f : ℤ → G
⊢ Multipliable f ↔ (Multipliable fun n => f ↑n) ∧ Multipliable fun n => f (-↑n)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
hP : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
W : C
k l : P ⟶ W
h₀ : inl ≫ k = inl ≫ l
h₁ : inr ≫ k = inr ≫ l
⊢ k = l
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
s : Set X
⊢ (e.restr s).trans e' = (e.trans e').restr s
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c d : R
hac : c ∣ a
hbd : d ∣ b
⊢ a * b / (c * d) = a / c * (b / d)
K : Type u
inst✝³ : Field K
Γ : Type u_1
Γ₁ : Type u_2
Γ₂ : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₁
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₂
v : Valuation K Γ
v₁ : Valuation K Γ₁
v₂ : Valuation K Γ₂
x : K
⊢ v x ≤ 1 ↔ x ∈ v.valuationSubring
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K
h : minpoly K f ≠ 0
⊢ f.HasEigenvalue = (minpoly K f).rootSet K
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
a : α
f : α → β
h₁ : StrictMonoOn f (Set.Iic a)
h₂ : StrictMonoOn f (Set.Ici a)
⊢ StrictMono f
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
inst✝⁴ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝³ : Fintype ↑G₁.edgeSet
inst✝² : Fintype ↑G₂.edgeSet
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
⊢ ⊤.edgeFinset.card = (Fintype.card V).choose 2
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ ~ l₂ ↔ ∀ (a : α), List.count a l₁ = List.count a l₂
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
a : G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
ha : a ^ k = 1
⊢ card ↥(zpowers a) ≤ k
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₁₂ : p₁ = p₂
h₃₂ : p₃ = p₂
⊢ (K.XIsoOfEq h₁₂).hom ≫ (K.XIsoOfEq h₃₂).inv = (K.XIsoOfEq ⋯).hom
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
m : ι → MeasurableSpace Ω
s : ι → Set (Set Ω)
hms : ∀ (n : ι), m n = MeasurableSpace.generateFrom (s n)
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndep m κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSets s κ μ
n : Nat
⊢ Fin.pred 1 ⋯ = 0
R : Type u
AddGroupWithOne R
n : ℕ
⊢ ↑(Int.negSucc n) = -↑(n + 1)
α : Type u_1
inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddBelow s
⊢ sSup s⁻¹ = (sInf s)⁻¹
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H :
  (∃ l', Ordnode.Raised l' l.size ∧ Ordnode.BalancedSz l' r.size) ∨
    ∃ r', Ordnode.Raised r.size r' ∧ Ordnode.BalancedSz l.size r'
⊢ Ordnode.All P (l.balanceL x r) ↔ Ordnode.All P l ∧ P x ∧ Ordnode.All P r
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
f : L ≃ₐ[K] L
⊢ (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯ = f
s : String
⊢ (0 + s).byteIdx = s.utf8ByteSize
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
SMul R α
SMul R γ
f : α → β → γ
r : R
hf : ∀ (a : α) (b : β), f (r • a) b = r • f a b
A : Matrix l m α
B : Matrix n p β
⊢ Matrix.kroneckerMap f (r • A) B = r • Matrix.kroneckerMap f A B
α : Type u_1
q : Semiquot α
⊢ q.s.Nonempty
α : Type u_1
DecidableEq α
N : Type u_16
AddCommMonoid N
f : α →₀ N
a : α
⊢ (f.sum fun x v => if a = x then v else 0) = f a
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCommMonoid G
i₁ : G
r₁ : k
i₂ : G
r₂ : k
⊢ Finsupp.single (i₂ + i₁) (op (r₂ * r₁)) = Finsupp.single i₁ (op r₁) * Finsupp.single i₂ (op r₂)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
self : CauSeq.IsComplete β abv
s : CauSeq β abv
⊢ ∃ b, s ≈ CauSeq.const abv b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
f' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => Complex.sinh (f x)) (Complex.cosh (f x) • f') s x
α : Type u_1
InfSet α
f : ℝ≥0∞ → α
⊢ ⨅ x, f ↑x = ⨅ x, f ↑x
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
A : DiscreteQuotient X
B : DiscreteQuotient Y
cond : DiscreteQuotient.LEComap f A B
⊢ DiscreteQuotient.map f cond ∘ A.proj = B.proj ∘ ⇑f
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x y : HahnSeries Γ R
xy : ∀ (a : Γ'), (embDomain f x).coeff a = (embDomain f y).coeff a
g : Γ
xyg : (embDomain f x).coeff (f g) = (embDomain f y).coeff (f g)
⊢ x.coeff g = y.coeff g
a : ℤ
h : a = -↑a.natAbs
⊢ ∃ u, ∃ (_ : IsUnit u), ↑a.natAbs = u * a
n : ℕ
ζ : ℂ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n ≠ 0
⊢ ζ.arg = 0 ↔ ζ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Lattice β
e : α ↪o β
x y : α
⊢ ⇑e ⁻¹' Set.uIcc (e x) (e y) = Set.uIcc x y
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
p : ℕ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
hp : p ≠ 0
⊢ ProbabilityTheory.moment 0 p μ = 0
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
hx : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k)
⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
M : Matrix m m R
b : m → α
DecidableEq m
Fintype m
LinearOrder α
Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
⊢ ((M⁻¹.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) * M.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) = 1
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hp : p ≠ 0
hpq : p.degree < q.degree
⊢ p.natDegree < q.natDegree
⊢ ∀ {α : Type u_1} {R S T : α → α → Prop} {l : List α},
  (∀ (a b : α), R a b → S a b → T a b) → List.Pairwise R l → List.Pairwise S l → List.Pairwise T l
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
UniformSpace β
CompleteSpace (α × β)
h : Nonempty α
⊢ CompleteSpace β
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a : α
t : Multiset α
ha : a ∈ a ::ₘ t
⊢ a ≤ a * t.prod
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
S : Set α
V : Set (α × α)
x_in : x ∈ S
V_in : V ∈ 𝓤 α ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)
⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), Prod.mk x ⁻¹' t ⊆ ball x V
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalSemiring R
u : (PreQuasiregular R)ˣ
⊢ (↑u).val + (↑u⁻¹).val + (↑u⁻¹).val * (↑u).val = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]
⊢ p ∈ RingHom.ker (Polynomial.aeval s).toRingHom ↔ p ∈ Ideal.span {minpoly R s}
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
a : α
⊢ AddAction.period 0 a = 1
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (p : ℕ), a.factorization p = b.factorization p
⊢ a.primeFactorsList ~ b.primeFactorsList
α : Type u
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ = l₂ ↔ l₁.length = l₂.length ∧ ∀ (n : ℕ) (h₁ : n < l₁.length) (h₂ : n < l₂.length), l₁.get ⟨n, h₁⟩ = l₂.get ⟨n, h₂⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ List.filterMap (some ∘ f) = List.map f
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
di : DenseInducing i
⊢ closure (Set.range i) = Set.univ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.88317, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.88321, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
hp : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
⊢ S.RightHomologyData
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ ↑(μ + ν) = ↑μ + ↑ν
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w x z
h₂ : Wbtw R x y z
h : w ≠ x
⊢ w ≠ y
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
a b : E
r : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : a ∈ Metric.ball b r
⊢ n • a ∈ Metric.ball (n • b) (n • r)
a : Prop
h : a
⊢ ¬a ↔ False
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ GaloisConnection AddSubgroup.ofAddUnits AddSubmonoid.addUnits
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
⊢ μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s
x : ℂ
⊢ Complex.sin (↑Real.pi - x) = Complex.sin x
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
⊢ ∀ (x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i), ‖(mapL f) x‖ ≤ (∏ i : ι, ‖f i‖) * ‖x‖
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f : (x : α) → p x → β
g : (x : α) → ¬p x → β
x : { x // x ∈ filter (fun x => ¬p x) s }
⊢ ¬p ↑x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
h : torsionBySet R M s = ⊤
x : M
⊢ x ∈ ⊤
p x ε y : ℝ
⊢ y ∈ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε ↔ y ∈ closedBall x ε
d x y z w : ℕ
xy : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
zw : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg
this : { re := subNatNat x z, im := subNatNat w y }.Nonneg
⊢ { re := ↑x + -↑z, im := ↑w - ↑y }.Nonneg
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
hxy : dist x x = 0
⊢ x = x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m₁✝ m₂✝ : M × R
m₁ : M
r₁ : R
m₂ : M
r₂ : R
h1 : e0 Q * (v Q) m₁ * (e0 Q * (v Q) m₂) = (v Q) m₁ * (v Q) m₂
h2 : -(r₂ • e0 Q * (v Q) m₁) = (v Q) m₁ * r₂ • e0 Q
⊢ e0 Q * (v Q) m₁ * (e0 Q * (v Q) m₂) + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ - r₂ • e0 Q * (v Q) m₁ - (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) (r₁ * r₂) = (v Q) m₁ * (v Q) m₂ + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ + (v Q) m₁ * r₂ • e0 Q + r₁ • e0 Q * r₂ • e0 Q
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum fun g => μ.restrict (g • s)) = μ
α : Type u_1
UniformSpace α
⊢ UniformContinuous ⇑(UniformSpace.Completion.completionSeparationQuotientEquiv α)
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
⊢ a ≡ b [PMOD 0] ↔ a = b