ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h₁ : Continuous f
h₂ : Injective f
h₃ : IsClosedMap f
⊢ ClosedEmbedding f
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C✝ K r✝ : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
s : Set X
C : X → ℝ≥0
t : X → Set X
htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x
hC : ∀ x ∈ s, HolderOnWith (C x) r f (t x)
u : Set X
hus : u ⊆ s
huc : u.Countable
huU : s ∩ ⋃ x ∈ u, t x = s
⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s / ↑r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_6
𝔸' : Type u_8
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
g : ι → E → 𝔸'
DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => g i x) s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun x => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) u).prod) s x =
  (Multiset.map (fun i => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) (u.erase i)).prod • fderivWithin 𝕜 (g i) s x) u).sum
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1)|↑𝒢 i] ≤ᶠ[ae μ] f i
i : ℕ
⊢ (-f) i ≤ᶠ[ae μ] -μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero M'
inst✝ : CommMonoid N
f : α →₀ M
a : α
g : α → M → N
h₀ : ∀ (b : α), f b ≠ 0 → b ≠ a → g b (f b) = 1
h₁ : f a = 0 → g a 0 = 1
b : α
hb₁ : b ∈ f.support
hb₂ : b ≠ a
⊢ g b (f b) = 1
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)
f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }
t : Set G := f ⁻¹' {1}
⊢ μ' s ≤ ν s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
ys : ℕ → α
h : Tendsto ys atTop atTop
xs : ℕ → α := fun n => (Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ ys
h_mono : Monotone xs
n : ℕ
⊢ n ∈ Finset.range (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k✝ N : ℕ
x : Fin n → ℕ
k n✝¹ n✝ : ℕ
⊢ Set.InjOn ⇑(map (2 * (n✝ + 1) - 1)) ↑(sphere (n✝¹ + 1) (n✝ + 1) k)
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
NonUnitalNonAssocSemiring α
v : m → α
⊢ v ⬝ᵥ 0 = 0
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ MeasureTheory.condexpIndSMul hm hs hμs (x + y) =
  MeasureTheory.condexpIndSMul hm hs hμs x + MeasureTheory.condexpIndSMul hm hs hμs y
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
h : S ≤ T
s : ↥S
⊢ ↑((NonUnitalStarSubalgebra.inclusion h) s) = ↑s
R : Type u_1
CommRing R
a : R[X]
⊢ a.wronskian a = 0
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂
inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A
f : 𝕜₂ → 𝕜₁
a : A
h : SpectrumRestricts a f
this : ∀ (x : 𝕜₁), ‖(algebraMap 𝕜₁ 𝕜₂) x‖₊ = ‖x‖₊
x : 𝕜₁
hx : x ∈ spectrum 𝕜₁ a
⊢ ↑‖x‖₊ ≤ ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₂ a, ↑‖k‖₊
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s : Finmap β
x : (i : α) × β i
⊢ (x ∈ s.keys.sigma fun i => (lookup i s).toFinset) ↔ x ∈ { val := s.entries, nodup := ⋯ }
R : Type u_1
M : Type u_2
Monoid M
CommSemiring R
S : Set M
hS : Submonoid.closure S = ⊤
⊢ Function.Surjective ⇑((FreeAlgebra.lift R) fun s => (MonoidAlgebra.of R M) ↑s)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
u : ℝ
⊢ -↑s.im * ↑u = ↑(-2 * π * (u * (s.im / (2 * π))))
V : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
One α
A : Matrix V V α
self : A.IsAdjMatrix
i : V
⊢ A i i = 0
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
x : ↑↑U
⊢ LiftPropAt Q id (inclusion hUV x)
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
x y : ℕ → α
n : ℕ
ih : (∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m) → res x n = res y n
h : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n + 1 → x m = y m
m : ℕ
hm : m < n
⊢ x m = y m
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
⊢ ∀ (i : ι), (e.toBasis.adjustToOrientation x) i = e i ∨ (e.toBasis.adjustToOrientation x) i = -e i
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)
x✝ : α
b✝ : Bool
eq : L₁✝ = [] ∧ (x✝ = x1 ∧ b✝ = !b1) ∧ (x✝ = x2 ∧ (!b✝) = b2) ∧ L₂✝ = []
⊢ False
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
CompleteSpace E
f f' : ℝ → ℝ
g g' : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]
hgg' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min (f a) (f b)) (max (f a) (f b)), HasDerivWithinAt g (g' x) (Set.Ioi x) x
hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g' ∘ f) x = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a
M₀ : Type u_2
MulZeroOneClass M₀
⊢ 0 ≠ 1 ∨ ∀ (a : M₀), a = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f
⊢ inv f ≫ f = 𝟙 Y
R : Type u
Ring R
a : R
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a).Monic
x : ℝ
h : 1 < x
⊢ arctan ((x + x) / (1 - x * x)) + π = arctan (2 * x / (1 - x ^ 2)) + π
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
r : ℝ
hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r
h : (∀ p_1 ∈ Set.range s.points, p_1 ∈ { center := p, radius := r }) → p = s.circumsphere.center ∧ r = s.circumsphere.radius
⊢ r = s.circumradius
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
x : ℤ
r : R
hr : 0 < r
⊢ ↑b ^ x < r ↔ x < Int.clog b r
α : Type u_1
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup α
OpensMeasurableSpace α
⊢ Measurable norm
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
w z : P.ker.Cotangent
⊢ Algebra.Generators.Cotangent.of (w + z) = Algebra.Generators.Cotangent.of w + Algebra.Generators.Cotangent.of z
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
Field F
Field K
φ : F →+* K
x y z : K
DecidableEq K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (Cubic.map φ P).roots = {x, y, z}
hd : P.disc ≠ 0
⊢ (Cubic.map φ P).roots.toFinset.card = 3
V : Type u
G : SimpleGraph V
d : G.Dart
v w : V
h : d.toProd.2 = v
p : G.Walk v w
⊢ List.Chain G.DartAdj d p.darts
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Star α
⊢ Mᴴ.updateColumn i (star b) = (M.updateRow i b)ᴴ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ span_s
hd₁ : dist p₁ s.circumcenter * dist p₁ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
hd₂ : dist p₂ s.circumcenter * dist p₂ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
U : X → Set X
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
t : Finset ↑s
ht : ⋃ x ∈ t, U ↑x ∈ 𝓝ˢ s
⊢ ⋃ x ∈ Finset.image Subtype.val t, U x ∈ 𝓝ˢ s
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
a : α
f : ↑(Set.Ici a) → β
x : α
⊢ Set.IciExtend f x = f ⟨max a x, ⋯⟩
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) ≤ g
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, v (f i) ≤ g) → v (∑ i ∈ s, f i) ≤ g
hf : v (f a) ≤ g ∧ ∀ x ∈ s, v (f x) ≤ g
⊢ v (f a + ∑ x ∈ s, f x) ≤ g
a : ℝ
b : ℝ
h : 0 < b
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => rexp (-b * x)) (Set.Ioi a) MeasureTheory.volume
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
J : LieIdeal R L
k l : ℕ
D₁ : LieIdeal R L →o LieIdeal R L := { toFun := fun I => ⁅I, I⁆, monotone' := ⋯ }
h₁ : ∀ (n₁ n₂ : ℕ) (a₁ a₂ : LieIdeal R L), (⇑D₁)^[n₁ + n₂] (a₁ ⊔ a₂) ≤ (⇑D₁)^[n₁] a₁ ⊔ (⇑D₁)^[n₂] a₂
⊢ D (k + l) (I + J) ≤ D k I + D l J
α : Type u_1
TopologicalSpace α
NormalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
SecondCountableTopologyEither α E
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
𝕜 : Type u_3
NormedField 𝕜
NormedAlgebra ℝ 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
CompactSpace α
μ.WeaklyRegular
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ DenseRange ⇑(ContinuousMap.toLp p μ 𝕜)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x < y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
⊢ f x ≤ leftLim f y
α : Type u
Bot α
⊢ ⊥.down = ⊥
n : ℕ
⊢ (n + 1)! = (n + 1)‼ * n‼
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : A
h : IsUnit x
hxS : x ∈ S
hx : IsUnit (star x * x)
⊢ ↑hx.unit⁻¹ ∈ elementalStarAlgebra ℂ (star x * x)
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
h : ∃ r, r ≠ 0 ∧ ∀ (x y : α), edist (f x) (f y) = ↑r * edist x y
⊢ ⇑{ toFun := f, edist_eq' := h } = f
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
s t : Set G
⊢ interior s - t ⊆ interior (s - t)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : List α
⊢ s ∈ t.sublists ↔ s <+ t
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
sb : Bornology.IsBounded s
hu : Bornology.IsBounded (Set.range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s
⊢ μ s = 0
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
S : AddSubgroup G
hS : Filter.Tendsto (⇑S.subtype) Filter.cofinite (Filter.cocompact G)
⊢ ProperlyDiscontinuousVAdd (↥S.op) G
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
p : (a : α) ×' β a → Prop
⊢ (∀ (x : (a : α) ×' β a), p x) ↔ ∀ (a : α) (b : β a), p ⟨a, b⟩
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
RCLike 𝕜
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
⊢ ⟪(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f, (ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g⟫_𝕜 = ∫ (x : α), (starRingEnd 𝕜) (f x) * g x ∂μ
n : ℕ
⊢ Num.ofNat' (n + 1) = Num.ofNat' n + 1
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type u_3
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : φ.IsCovering
hφψ : (φ ⋙q ψ).IsCovering
φsur : Surjective φ.obj
u : U
⊢ Bijective (ψ.star (φ.obj u))
H : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id Set.univ y
U V : TopologicalSpace.Opens M
hUV : U ≤ V
⊢ ChartedSpace.LiftProp Q (Set.inclusion hUV)
R : Type u_1
S : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder R
Fintype S
f : S → WithTop R
⊢ Tropical.trop (⨅ i, f i) = ∑ i : S, Tropical.trop (f i)
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w✝ : ι✝ → R
z✝ : ι✝ → E
ι : Sort u_8
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
h₁ : ∑ᶠ (i : ι), w i = 1
hz : ∀ (i : ι), w i ≠ 0 → z i ∈ s
⊢ ∑ᶠ (i : ι), w i • z i ∈ s
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : HasContDiffBump G
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
φ✝ : ContDiffBump 0
x₀✝ : G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
ι : Type u_1
φ : ι → ContDiffBump 0
l : Filter ι
K : ℝ
hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)
h'φ : ∀ᶠ (i : ι) in l, (φ i).rOut ≤ K * (φ i).rIn
hg : LocallyIntegrable g μ
this✝ : μ.IsAddHaarMeasure
x₀ : G
h₀ : Tendsto (fun a => ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x₀) (𝓝 0)
hφ' : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝[>] 0)
this : Tendsto (fun x => ⨍ (y : G) in closedBall x₀ (φ x).rOut, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (t : G), (φ i).normed μ (x₀ - t) • g t ∂μ) l (𝓝 (g x₀))
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
CharP R n
I : Ideal R
⊢ CharP (R ⧸ I) n ↔ Ideal.comap (Nat.castRingHom R) I ≤ RingHom.ker (Nat.castRingHom R)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
m : ℕ
n : Fin m → ℕ
f : (i : Fin m) → Fin (n i)
⊢ ↑(finPiFinEquiv f) = ∑ i : Fin m, ↑(f i) * ∏ j : Fin ↑i, n (Fin.castLE ⋯ j)
x✝ y✝ z✝ : ℤ
h✝ : PythagoreanTriple x✝ y✝ z✝
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h_coprime : x.gcd y = 1
h_parity : x % 2 = 1
h_pos : 0 < z
m n : ℤ
ht1 : x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : z = m ^ 2 + n ^ 2 ∨ z = -(m ^ 2 + n ^ 2)
ht3 : m.gcd n = 1
ht4 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
⊢ ∃ m n, x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∧ z = m ^ 2 + n ^ 2 ∧ m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0) ∧ 0 ≤ m
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
f : G →* G'
K : Subgroup G
⊢ f.ker.relindex K = Nat.card ↑(⇑f '' ↑K)
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
CommRing R
CommRing S
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
rs : List R
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs ↔ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M₂ (List.map (⇑σ) rs)
x y : SetTheory.PGame
i : y.LeftMoves
h : x ≤ y.moveLeft i
⊢ x.LF y
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ (fun n => 1 / log n) =o[atTop] fun x => 1
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
I J : Ideal S
Algebra R S
hI : I.IsPrime
hIJ : I ≤ J
x : S
mem : x ∈ ↑J \ ↑I
integral : IsIntegral R x
⊢ Ideal.comap (algebraMap R S) I < Ideal.comap (algebraMap R S) J
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero α
Zero β
SMul α β
self : BoundedSMul α β
x₁ x₂ : α
y : β
⊢ dist (x₁ • y) (x₂ • y) ≤ dist x₁ x₂ * dist y 0
α : Type u
Preorder α
p q : α → Prop
m_p : Monotone p
m_q : Monotone q
⊢ Monotone fun x => p x ∧ q x
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
hε : 0 < ε
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ {b}
ht : ε ≤ ↑t'.card
hs' : {a} ⊆ {a}
hs : ε ≤ ↑{a}.card
⊢ |↑(G.edgeDensity {a} t') - ↑(G.edgeDensity {a} {b})| < ε
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
⊢ sInf s = k + 1 ↔ k + 1 ∈ s ∧ k ∉ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
r : ℝ≥0
⊢ Tendsto (fun n => ↑(∑ a ∈ Finset.range n, f a)) atTop (𝓝 ↑r) ↔ Tendsto (fun n => ∑ a ∈ Finset.range n, f a) atTop (𝓝 r)
R : Type u₁
S : Type u₂
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (ModuleCat.extendScalars f).obj X ⟶ Y
x : ↑X
⊢ (ModuleCat.ExtendRestrictScalarsAdj.HomEquiv.toRestrictScalars f g) x = g (1 ⊗ₜ[R] x)
α : Type u_1
β : Type u_2
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ Finset.fold op b f (Finset.cons a s h) = op (f a) (Finset.fold op b f s)
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Semiring R
MulSemiringAction M R
a : M
⊢ a • ⊥ = ⊥
α : Type u_3
TopologicalSpace α
QuasiSeparatedSpace α
⊢ IsQuasiSeparated Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
f✝ f : α → β
s : Set α
this : TopologicalSpace α := induced f t
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (a : α), f a ∈ closure (f '' s) → a ∈ s
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
⊢ ∑ x ∈ a.support, eval₂ (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X ((monomial x) (coeff x a)) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ
i : ι
⊢ MeasureTheory.Memℒp (f i) p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : IsBigOWith c l f g
h₀✝ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0
x : α
h₀ : f x = 0 → g x = 0
hle : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
⊢ ‖(g x)⁻¹‖ ≤ c * ‖(f x)⁻¹‖
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x => f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝ : Nonempty β
⊢ Tendsto (fun x => ∑' (k : β), f x k) 𝓕 (𝓝 (∑' (k : β), g k))
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -(2 * ↑n + 1)
⊢ s.Gammaℝ / (1 - s).Gammaℝ = s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2)
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
W : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid W
inst✝⁶ : AddCommMonoid X
inst✝⁵ : AddCommMonoid Y
inst✝⁴ : AddCommMonoid Z
inst✝³ : Module R W
inst✝² : Module R X
inst✝¹ : Module R Y
inst✝ : Module R Z
⊢ ∀ (w : W) (x : X) (y : Y) (z : Z), ((LinearMap.lTensor W ↑(assoc R X Y Z) ∘ₗ ↑(assoc R W (X ⊗[R] Y) Z)) ∘ₗ LinearMap.rTensor Z ↑(assoc R W X Y)) (((w ⊗ₜ[R] x) ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) = (↑(assoc R W X (Y ⊗[R] Z)) ∘ₗ ↑(assoc R (W ⊗[R] X) Y Z)) (((w ⊗ₜ[R] x) ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255346}
a : Cardinal.{u_1}
h : a ≠ 0
⊢ 1 ≤ 0 ^< a
x : ℂ
⊢ Complex.cosh (-x) = Complex.cosh x
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hIY : I ⊂ Y
hYX : Y ⊆ X
this : X ⊆ M.E
⊢ ¬M.Indep Y
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F : C ⥤ D
inst✝² : HasBinaryProducts C
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
⊢ F.Additive
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ ⊤.toSubmodule = ⊤
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂
inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄
inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.103896 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄
inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.109347 ⟶ X₂) true ≫ f₂)
inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ (pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).inv ≫ pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.fst f₁ f₂ = pullback.fst f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
R : Type u
InvolutiveStar R
r s : R
⊢ star r = s ↔ star s = r
M : Type u_4
AddCommMonoid M
ι : Type u_5
Subsingleton ι
s : Finset ι
f : ι → M
b : M
h : ∑ i ∈ s, f i = b
i : ι
⊢ i ∈ s → f i = b
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
acc : Array α
xs : List α
⊢ l = acc.data ++ xs → List.erasePTR.go p l xs acc = acc.data ++ List.eraseP p xs
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
h : ∀ (x : E), FiniteDimensional.finrank F ↥F⟮x⟯ = 1
⊢ Subsingleton (IntermediateField F E)
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul β
f g : α → β
⊢ UniformFun.ofFun (f * g) = UniformFun.ofFun f * UniformFun.ofFun g
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝² : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
u : α → Set α
hxu : ∀ x ∈ s, u x ∈ 𝓝[s] x
hu₀ : ∀ x ∈ s, μ (u x) = 0
t : Set α
ts : t ⊆ s
t_count : t.Countable
ht : s ⊆ ⋃ x ∈ t, u x
⊢ μ s = 0
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
f : M →ₙ* N × P
x : M
⊢ (((fst N P).comp f).prod ((snd N P).comp f)) x = f x
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
⊢ i ≤ findIdx p xs