ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
⊢ ↑s.card ≤ G.chromaticNumber
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
CommSemiring A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
I : Ideal B
f₁ f₂ : A →ₐ[R] B
e : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
x : A
⊢ ↑((diffToIdealOfQuotientCompEq I f₁ f₂ e) x) = f₁ x - f₂ x
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e₁ e₂ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
⊢ Continuous (e₁.coordChange e₂ b)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v
w : Set X
hw : IsClopen w
hy : y ∈ w
hx : x ∉ ↑⟨w, ⋯⟩
⊢ False
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1
⊢ 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - I * 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖) - -I * (𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖) + 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0
⊢ angle x (x - y) < π / 2
w k i : Nat
x : BitVec w
h : k ≤ i
⊢ (BitVec.zeroExtend (w + k) x).getMsb i = x.getMsb (i - k)
R : Type u
A : Type w
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
x : A
r : R
n : ℕ
⊢ x * (x - (algebraMap R A) r) ^ n = (x - (algebraMap R A) r) ^ n * x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
fg : ((Y : C) × { f // R f }) × (Z : C) × { g // R g }
a✝ : P.obj (op X)
this : HasPullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd
⊢ P.map (pullback.snd ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd ≫ ↑fg.2.snd).op a✝ = (P.map (↑fg.2.snd).op ≫ P.map (pullback.snd ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) a✝
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ Function.Surjective fun y => y ^ x
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ ∃ i, n.testBit i = true ∧ ∀ (j : ℕ), i < j → n.testBit j = false
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_2
Semiring k
Zero G
NonAssocSemiring R
g_hom : Type u_3
FunLike g_hom (Multiplicative G) R
OneHomClass g_hom (Multiplicative G) R
f : k →+* R
g : g_hom
⊢ (AddMonoidAlgebra.liftNC ↑f ⇑g) 1 = 1
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p : A
q : ↥p → Prop
⊢ (∃ x, q x) ↔ ∃ x, ∃ (h : x ∈ p), q ⟨x, h⟩
α : Type ua
U V : Set (α × α)
hU : SymmetricRel U
hV : SymmetricRel V
⊢ SymmetricRel (U ∩ V)
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝² : HasProducts A
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
Y : C
f : Y ⟶ U
hf : R f
Z : C
g : Z ⟶ U
hg : R g
⊢ (forkMap R P ≫ firstMap R P) ≫ limit.π (Discrete.functor fun fg => P.obj (op (Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd))) { as := (⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩, ⟨Z, ⟨g, hg⟩⟩) } = (forkMap R P ≫ secondMap R P) ≫ limit.π (Discrete.functor fun fg => P.obj (op (Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd))) { as := (⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩, ⟨Z, ⟨g, hg⟩⟩) }
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
N : Type u_3
SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
g : NormedAddGroupHom (M ⧸ S) N
h : g.comp S.normedMk = f
⊢ g = NormedAddGroupHom.lift S f hf
α : Sort u_1
a b c : α
h₁ : a ≠ b
h₂ : b = c
⊢ a ≠ c
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
p : α × β → Prop
hp : ∀ᶠ (x : α × β) in atTop, p x
⊢ ∀ᶠ (k : α) in atTop, ∀ᶠ (l : β) in atTop, p (k, l)
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
⊢ ⇑f.toBoundedLatticeHom = ⇑f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish (n + 1)
  (((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).cofan (Opposite.op [n + 1])).inj
    (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [n + 1])))
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
GroupWithZero α
MulDistribMulAction α G
a : α
ha : a ≠ 0
S : Subgroup G
x : G
⊢ a • x ∈ a • S ↔ x ∈ S
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this : (f'' (z + t v • v)) (z + t w • w) = (f'' (z + t w • w)) (z + t v • v)
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
H : 1 < sumInv {p, q, r}
h3 : 0 < 3
⊢ p < 3
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
⊢ x.2 * x.1 = n ∧ ¬n = 0 ↔ x ∈ n.divisorsAntidiagonal
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
m : M
n : N
p : P
⊢ (TensorProduct.assoc R M N P).symm (m ⊗ₜ[R] n ⊗ₜ[R] p) = (m ⊗ₜ[R] n) ⊗ₜ[R] p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
⊢ f.symm (a • x + b • y) ≤ a • f.symm x + b • f.symm y
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
⊢ torsionBySet R M s = torsionBySet R M ↑(Ideal.span s)
a b : SimplexCategory
f : a.Hom b
⊢ SimplexCategory.Hom.mk f.toOrderHom = f
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Sym2 α → β
a₁ a₂ : α
⊢ ↑(Sym2.lift.symm F) a₁ a₂ = F s(a₁, a₂)
X : Type u_1
Y : Type u_2
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
TopologicalSpace X
CompactSpace X
T2Space X
TopologicalSpace Y
CompactSpace Y
T2Space Y
f : C(X, Y)
⊢ (WeakDual.CharacterSpace.homeoEval Y 𝕜).toContinuousMap.comp f =
  (WeakDual.CharacterSpace.compContinuousMap (ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 𝕜 f)).comp
    (WeakDual.CharacterSpace.homeoEval X 𝕜).toContinuousMap
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprod.functor.obj X).obj Y = (X ⨿ Y)
x y : ℝ
⊢ cos (3 * x) = 4 * cos x ^ 3 - 3 * cos x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun μ => μ s
α : Type u_1
β : Type u_2
BooleanAlgebra α
BooleanAlgebra β
f : BoundedLatticeHom α β
⊢ ∀ (a : AsBoolRing α), f.asBoolRing a = (⇑toBoolRing ∘ ⇑f ∘ ⇑ofBoolRing) a
R : Type u_1
OrderedRing R
NoZeroDivisors R
x y r : R
⊢ Wbtw R x (r * (y - x) + x) y ↔ x = y ∨ r ∈ Set.Icc 0 1
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ sin (angle x y) = 1 ↔ angle x y = π / 2
a b : ℝ
⊢ EMetric.diam (Set.Ioo a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
⊢ Injective ⇑(fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0)
f : StieltjesFunction
x : ℝ
hx : Tendsto (fun a => f.measure a / volume a) ((vitaliFamily volume 1).filterAt x) (𝓝 (f.measure.rnDeriv volume x))
h'x : f.measure.rnDeriv volume x < ⊤
h''x : ¬leftLim (↑f) x ≠ ↑f x
L1 : Tendsto (fun y => (↑f y - ↑f x) / (y - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (f.measure.rnDeriv volume x).toReal)
L2 : Tendsto (fun y => (leftLim (↑f) y - ↑f x) / (y - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (f.measure.rnDeriv volume x).toReal)
L3 : Tendsto (fun y => (leftLim (↑f) (y + 1 * (y - x) ^ 2) - ↑f x) / (y - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (f.measure.rnDeriv volume x).toReal)
L4 : Tendsto (fun y => (↑f y - ↑f x) / (y - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (f.measure.rnDeriv volume x).toReal)
⊢ HasDerivAt (↑f) (f.measure.rnDeriv volume x).toReal x
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictMonoOn f s
c : α
⊢ StrictMonoOn (fun x => f x + c) s
Cont : Type u_1
Elem : Type u_2
Dom : Cont → Nat → Prop
n : Nat
GetElem? Cont Nat Elem Dom
a : Cont
i : Fin n
Decidable (Dom a ↑i)
Inhabited Elem
⊢ getElem! a i = getElem! a ↑i
m n : Nat
ge : m ≥ n
x : BitVec n
i : Nat
⊢ (BitVec.zeroExtend' ge x).getMsb i = (decide (i ≥ m - n) && x.getMsb (i - (m - n)))
n : ℕ
i : ZMod n
⊢ orderOf (sr i) = 2
α : Type u
β : Type v
Ring α
Ring β
f : α → β
H : IsSemiringHom f
⊢ IsRingHom f
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsCofiltered D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
⊢ Nonempty C
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n = 2 * a * xn a1 (n + 1) ∧ yn a1 (n + 2) + yn a1 n = 2 * a * yn a1 (n + 1)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x : α} {p : α → Bool} {as : List α}, x ∈ List.filter p as ↔ x ∈ as ∧ p x = true
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
hf : f =O[⊤] g
hg : Integrable g μ
⊢ Integrable f μ
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
s : Set ↑(Set.Ici a)
hs : s.OrdConnected
⊢ {x | Set.IciExtend (fun x => x ∈ s) x}.OrdConnected
s : Finset ℕ
⊢ (∑ i ∈ s, 2 ^ i).bitIndices.toFinset = s
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this✝¹ : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (range fun i => bK i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this✝ : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom K (RingHom.op L.subtype)
ιL : Type u
bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
t : Finset ℕ
g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ
i✝ : ℕ
hi✝ : i✝ ∈ t
hgi : g i✝ ≠ 0
s : Finset ιK
f : ℕ → { x // x ∈ s } → ↥L := fun i j => ⟨bK (↑j) i, ⋯⟩
this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
c : ιK →₀ K
rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e
i : ιK
hi : i ∈ s
eq0 : L.subtype ((∑ i ∈ t, g i • f i) ⟨i, hi⟩) = L.subtype (0 ⟨i, hi⟩)
⊢ ∑ x ∈ t, g x • c i • bK i x = 0
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
g : G
K : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ (fun s => ↑((MeasureTheory.Measure.haar.haarContent K₀).toFun s)) (TopologicalSpace.Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) =
  (fun s => ↑((MeasureTheory.Measure.haar.haarContent K₀).toFun s)) K
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (s₁ • m) (s₁ * s₂)) = (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s₂)
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h) μ μ
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ (l.rotate n).reverse = l.reverse.rotate (l.length - n % l.length)
α : Type u_1
Preorder α
⊢ WithTop.some ⁻¹' Set.Iio ⊤ = Set.univ
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
i j : ι
AddRightCancelMonoid ι
GradedRing 𝒜
a : A
b : ↥(𝒜 j)
⊢ ((DirectSum.decompose 𝒜) (a * ↑b)) (i + j) = GradedMonoid.GMul.mul (((DirectSum.decompose 𝒜) a) i) b
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha' : 0 < a'
fact1 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, x ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : QuotientMap (g ∘ f)
⊢ inst✝ ≤ coinduced g inst✝¹
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
l : List (Perm α)
h0 : l.prod = σ
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
hl : l.Nodup
⊢ Multiset.map (Finset.card ∘ support) l.toFinset.val = ↑(List.map (Finset.card ∘ support) l)
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
l : List α
i : Fin (enumFrom n l).length
h : (enumFrom n l).get i ∈ enumFrom n l
⊢ ((enumFrom n l).get i).1 < n + l.length
ι : Type u_1
α : Type u_3
LinearOrderedCommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
CompleteSpace α
f : ι → α
⊢ (Multipliable fun x => mabs (f x)) ↔ Multipliable f
n : ℕ
p : Fin n → Prop
DecidablePred p
i : Fin n
⊢ Fin.find p = some i ↔ p i ∧ ∀ (j : Fin n), p j → i ≤ j
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero P
p : Type u_4
f : M → ↥S → p
H : ∀ {a c : M} {b d : ↥S}, (r S) (a, b) (c, d) → f a b = f c d
⊢ liftOn 0 f H = f 0 1
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
h : ↑ε < μ.innerContent U
h₂ : ∃ i, ∃ (_ : ↑i ⊆ ↑U), μ.innerContent U - ↑ε < ↑(μ.toFun i)
⊢ ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝² : Field K
S' : Type u_7
inst✝¹ : Semiring S'
inst✝ : Algebra R S'
pb : PowerBasis R S
f g : S →ₐ[R] S'
h : f pb.gen = g pb.gen
x : S
⊢ f x = g x
α : Type u_1
p : PosNum
⊢ castNum <$> (pos p).ppred = (↑(pos p)).ppred
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v v' w : U
p : Path u v
p' : Path u v'
e : v ⟶ w
e' : v' ⟶ w
h : p.cons e = p'.cons e'
⊢ Path.cast ⋯ ⋯ p = p'
α : Type u_1
inst✝ : Infinite α
s t : Set α
hs : #↑s < #α
ht : #↑t < #α
⊢ #↑sᶜ = #↑tᶜ
ι : Type u_6
R : Type u_7
F : Filter ι
CompleteLattice R
a : ι → R
⊢ Filter.liminf a F = sSup ((fun I => sInf (a '' I)) '' F.sets)
M : Type u_2
α : Type u_4
SMul M α
SMul Mᵐᵒᵖ α
IsCentralScalar M α
r : Mᵐᵒᵖ
a : αᵐᵒᵖ
⊢ MulOpposite.unop (r • a) = MulOpposite.unop r • MulOpposite.unop a
n : ℕ
a₁ b₁ : ℝ
m : ℕ
en : n + 1 = m
h : |rexp 1 - expNear m 1 ((a₁ - 1) * ↑m)| ≤ |1| ^ m / ↑m.factorial * (b₁ * ↑m)
⊢ |1 + 1 / ↑m * ((a₁ - 1) * ↑m) - a₁| ≤ b₁ - |1| / ↑m * (b₁ * ↑m)
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
hcomp✝ : ∀ (i : ι), IsSigmaCompact (s i)
K : ι → ℕ → Set X
hcomp : ∀ (i : ι) (n : ℕ), IsCompact (K i n)
hcov : ∀ (i : ι), ⋃ n, K i n = s i
⊢ IsSigmaCompact (⋃ i, s i)
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
w : List (α × Bool)
⊢ Red (invRev (reduce (invRev w))) (reduce w)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U
y : 𝕜
hy₀ : y ≠ 0
hyr : ‖y‖ < r
this : y • V ∈ 𝓝 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
⊢ a • y • V ⊆ U
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.TrailingMonic ↔ p.trailingCoeff = 1
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
⊢ 0 < ⌊a⌋₊ ↔ 1 ≤ a
n m : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a.succ ≠ last (n + 1)
⊢ a < a.succ.castPred ha
α : Type u_1
x : α
Max α
xs : List α
⊢ (x :: xs).maximum? = some (List.foldl max x xs)
α : Type u
Group α
Fintype α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card α = p
⊢ IsCyclic α
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
⊢ (-f).graph = Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (-LinearMap.id)) f.graph
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
Functor m
LawfulFunctor m
x : m α
⊢ (fun a => a) <$> x = x
α : Type u
f g : Filter α
s : Set α
h : s ∈ g
⊢ s ∈ f ⊓ g
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp y x = cmp y' x'
⊢ cmp x y = cmp x' y'
x : PUnit.{u_5 + 1}
⊢ ‖x‖ = 0
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
v : ι → E
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
⊢ (affineCombination R s v) w ∈ (convexHull R) (Set.range v)
M : Type u_4
N : Type u_5
⊢ ∀ {x : Zero M} {x_1 : Zero N} (f : ZeroHom M N) (f' : M → N) (h : f' = ⇑f), ⇑(f.copy f' h) = f'
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
AB_dvd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
⊢ p < b ^ (2 * p - 2)
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type s
CommRing S
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
hf : Function.Injective ⇑f
x y : A
⊢ (WeierstrassCurve.baseChange W B).toAffine.Equation (f x) (f y) ↔
  (WeierstrassCurve.baseChange W A).toAffine.Equation x y
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
T1Space B
x : B
⊢ ClosedEmbedding (Bundle.TotalSpace.mk x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atTop
a✝ : Nontrivial α
⊢ Tendsto (fun x => f x + g x) l atTop
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
h : IsMin a
⊢ Set.Iic a = {a}
α : Type u_1
x : Option α
⊢ [x].reduceOption = x.toList
R : Type u
η : Type u₁'
Ring R
StrongRankCondition R
Fintype η
⊢ FiniteDimensional.finrank R (η → R) = Fintype.card η
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝² : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
u : α → Set α
hxu : ∀ x ∈ s, u x ∈ 𝓝[s] x
hu₀ : ∀ x ∈ s, μ (u x) = 0
t : Set α
ts : t ⊆ s
t_count : t.Countable
ht : s ⊆ ⋃ x ∈ t, u x
⊢ μ (⋃ x ∈ t, u x) = 0
i : (Ordinal.toPGame 1).LeftMoves
⊢ Ordinal.toLeftMovesToPGame.symm i = ⟨0, ⋯⟩
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : CommMonoid γ
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : β → α
g : β → γ
a : α
b : γ
hf : HasProd f a
hg : HasProd g b
⊢ HasProd (fun x => (f x, g x)) (a, b)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
hX : AlgebraicGeometry.IsReduced X
U : X.Opens
s : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
hs : X.basicOpen s = ⊥
⊢ s = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G'' : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
CompleteSpace G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α → E
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT f ≤ MeasureTheory.setToFun μ T' hT' f
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
⊢ IsPrecomplete I M ↔
  ∀ (f : ℕ → M), (∀ {m n : ℕ}, m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]) → ∃ L, ∀ (n : ℕ), f n ≡ L [SMOD I ^ n • ⊤]
x : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
⊢ x.toENatAux ≤ ↑n ↔ x ≤ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set β
hs : NullMeasurableSet s ((liftLinear (OuterMeasure.map (AEMeasurable.mk f hf)) ⋯) μ)
⊢ ((OuterMeasure.map (AEMeasurable.mk f hf)) μ.toOuterMeasure) s = μ (AEMeasurable.mk f hf ⁻¹' s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
hF : F.FullyFaithful
⊢ F.ReflectsIsomorphisms
Ω : Type u_1
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : Type u_10
m : MeasurableSpace β
CommMonoid β
MeasurableMul₂ β
f : ℕ → Ω → β
hf_Indep : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ℕ), Measurable (f i)
n : ℕ
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (∏ j ∈ Finset.range n, f j) (f n) μ
g : ℝ → ℝ
u : ℝ
⊢ ∇ g u = deriv g u
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
⊢ (Multiset.map totalDegree (Multiset.map f s.val)).sum ≤ ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : R
i : ℕ
⊢ h.coeff ((algebraMap R S) x) i = Pi.single 0 x i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤
A : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closure s)))
B : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[≤] 0) (𝓝 (μ (closure s)))
⊢ Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝 0) (𝓝 (μ (closure s)))
i j k : ℤ
⊢ (↑(i.lcm j)).lcm k = i.lcm ↑(j.lcm k)
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
e : X ≃ᵈ X
n : ℕ
⊢ ⇑(e ^ n) = (⇑e)^[n]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
φ : M₂ ⟶ N
⊢ (PresheafOfModules.homEquivOfIsLocallyBijective f hN) φ = f ≫ φ