ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
CommRing S
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
StrongRankCondition R
StrongRankCondition S
Module S M
Module S M'
Module.Free S M'
Algebra S R
Module R M
IsScalarTower S R M
Module.Free R M
⊢ Module.rank R (TensorProduct S M M') =
  Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) * Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S M')
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
A : C
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ ∃ X Y, ∃ (_ : t.LE n₀ X) (_ : t.GE n₁ Y), ∃ f g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
f : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f
⊢ X ◁ inv f ≫ X ◁ f = 𝟙 (X ⊗ Z)
a b c : ℕ
⊢ Multiplicative.ofAdd (-↑c) ≤ max (Multiplicative.ofAdd (-↑a)) (Multiplicative.ofAdd (-↑b)) ↔ min a b ≤ c
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℤ
n : ℤ
hf : ∀ i ∈ s, n ∣ f i
hn : n ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ s, f i = ∑ i ∈ s, f i / n * n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : MonovaryOn f g s
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f • g)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
l : List ι
t : Set X
x : X
hx : x ∈ t
i : ι
hi : i ∈ l
h : ContinuousWithinAt (f i) t x
⊢ Tendsto (fun b => f i ↑b) (𝓝 ⟨x, hx⟩) (𝓝 (f i ↑⟨x, hx⟩))
R : Type u
CommRing R
X Y : Type v
AddCommGroup X
Module R X
AddCommGroup Y
Module R Y
Q₁ : QuadraticForm R X
Q₂ : QuadraticForm R Y
e : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
⊢ (QuadraticModuleCat.ofIso e).hom.toIsometry = e.toIsometry
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R L
inst✝³ : Module.Finite R L
I : LieIdeal R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsLieAbelian ↥↑I
x : L
hx : x ∈ I
⊢ ∀ (y : L), ((killingForm R L) y) x = 0
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
eq : cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w
length_mod_two : cs.length (w * cs.simple i) % 2 = (cs.length w + cs.length (cs.simple i)) % 2
⊢ False
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
Q : Type u_4
CommMonoid Q
k : S.LocalizationMap Q
A : Type u_5
CommMonoid A
l : M →* A
hl : ∀ (w : ↥S), IsUnit (l ↑w)
⊢ (k.lift hl).comp (f.lift ⋯) = f.lift hl
α : Type u
β : Type v
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
⊢ (a :: as).zipRight' (b :: bs) =
  let r := as.zipRight' bs;
  ((some a, b) :: r.1, r.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t : Set α
a b : α
f : α ↪ β
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique (⇑f '' s) ↔ G.IsClique s
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k : α → β
f : α → β
TopologicalSpace β
LinearOrderedField β
OrderTopology β
hk : Filter.Tendsto k l Filter.atTop
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k (f * k) ↔ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
n : ℕ
⊢ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors n = ↑n.primeFactorsList
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hf : ∀ z ∈ Metric.sphere c |R|, ‖f z‖ ≤ C
⊢ ‖∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z‖ ≤ 2 * π * |R| * C
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_3
inst✝¹ : FunLike g_hom G R
inst✝ : MulHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : MonoidAlgebra k G
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.support → Commute (f (b x)) (g y)
⊢ (sum a fun a b_1 => sum b fun a_1 b => ↑f (b_1 * b) * g (a * a_1)) = sum a fun a c => sum b fun a_1 c_1 => ↑f c * g a * (↑f c_1 * g a_1)
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
⊢ Setoid.r = fun x y => y * x⁻¹ ∈ s
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
x y : α
h : swap x y = Equiv.refl α
⊢ (Equiv.refl α) x = (Equiv.refl α) y
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm' f q.toReal μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hq_top : ¬q = ⊤
hq0 : q ≠ 0
hpq_real : p.toReal ≤ q.toReal
⊢ eLpNorm' f p.toReal μ < ⊤
S : Type u_1
CommRing S
d : ℕ
⊢ PowerSeries.invOneSubPow d = (Units.mkOfMulEqOne (1 - PowerSeries.X) (PowerSeries.mk 1) ⋯)⁻¹ ^ (d + 1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasKernel S.g
hf : S.f = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofHasKernel S hf).H = CategoryTheory.Limits.kernel S.g
R : Type u_1
CommMonoid R
x : R
h : Irreducible x
⊢ Squarefree x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
⊢ Setoid.IsPartition (Set.range fun a => orbit G a)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
x₀ : X'
k : κ
hk : EquicontinuousWithinAt F univ x₀
⊢ EquicontinuousWithinAt F univ x₀
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X
⊢ (IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ IsSeparatedFor P (generate R).arrows ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P (generate R).arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r' r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓝 (x, x)] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
M : Type u_1
CommMonoid M
x y : M
⊢ IsUnit (x * y) ↔ IsUnit x ∧ IsUnit y
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G →* H
hf : Function.Surjective ⇑f
tG : Monoid.IsTorsion G
⊢ Monoid.IsTorsion H
α : Type u_1
e : Sym2 α
⊢ (Quot.out e).2 ∈ e
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x y : M
f✝ : M →* P
f g : c.Quotient →* P
h : ∀ (a : M), f ↑a = g ↑a
⊢ f = g
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
inst✝¹ : HasCokernels C
inst✝ : NormalEpiCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsLimit (KernelFork.ofι 0 ⋯)
Z✝ : C
u v : Z✝ ⟶ X
huv : u ≫ f = v ≫ f
W : C
w : W ⟶ X
hw : w ≫ coequalizer.π u v = 0
hl : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (coequalizer.π u v) hw)
m : coequalizer u v ⟶ Y
hm : coequalizer.π u v ≫ m = f
reassoced : ∀ {W_1 : C} (h : coequalizer u v ⟶ W_1), w ≫ coequalizer.π u v ≫ h = 0 ≫ h
hwf : w ≫ f = 0
⊢ u = v
θ : ↑I
⊢ 2 * ↑(0, θ).1 / (1 + ↑(0, θ).2) ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ mabs a / a = a⁻ᵐ ^ 2
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsArtinian R M
f : ℕ →o (Submodule R M)ᵒᵈ
⊢ Filter.EventuallyConst (⇑f) Filter.atTop
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
Finite ι
v : Basis ι 𝕜 E
⊢ ∃ C > 0, ∀ {u : E →L[𝕜] F} (M : ℝ≥0), (∀ (i : ι), ‖u (v i)‖₊ ≤ M) → ‖u‖₊ ≤ C * M
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : j ⟶ i
k : J
f' : k ⟶ i
l : J
g : l ⟶ j
g' : l ⟶ k
he : g ≫ f = g' ≫ f'
x : F.obj l
hx : ∀ ⦃i : J⦄ (f : i ⟶ j), F.map g x ∈ range (F.map f)
⊢ F.map f (F.map g x) ∈ range (F.map f')
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ ((toMatrix c c) ((f ∘ₗ id) ∘ₗ id)).trace = ((toMatrix c c) f).trace
R : Type u_1
d : R
Semiring R
hd : d ≠ 0
⊢ { a := 0, b := 0, c := 0, d := d }.toPoly.degree = 0
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S
⊢ inst✝¹ = (algebraMap R S).toAlgebra
n : ℕ
α : Type u_1
l l' : List α
c : Composition l.length
h : l' ∈ l.splitWrtComposition c
⊢ 0 < l'.length
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
⊢ π.iUnion ⊆ ↑I
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
f : E → β
hf : Antitone f
⊢ QuasiconvexOn 𝕜 Set.univ f
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IntegrableOn f (s ∪ t) μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0
hw' : w₁ + w₂ = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (w₁ * z₁ + w₂ * z₂) ^ p ≤ w₁ * z₁ ^ p + w₂ * z₂ ^ p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
s t : Set E
disj : Disjoint s t
hs₁ : Convex 𝕜 s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex 𝕜 t
ht₂ : IsClosed t
this✝¹ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
this✝ : UniformAddGroup E
this : (uniformity E).HasBasis (fun s => 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Convex 𝕜 s) fun i => (fun x => x.2 - x.1) ⁻¹' id i
V : Set E
hV : Disjoint (⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x ((fun x => x.2 - x.1) ⁻¹' id V)) (⋃ x ∈ t, UniformSpace.ball x ((fun x => x.2 - x.1) ⁻¹' id V))
hV0 : 0 ∈ V
hVopen : IsOpen V
hVconvex : Convex 𝕜 V
⊢ Disjoint (s + V) (t + V)
a : Ordinal.{u}
ha : 0 < a
⊢ deriv (fun x => a * x) 0 = a ^ ω * 0 ∧ ∀ (a_1 : Ordinal.{u}), deriv (fun x => a * x) a_1 = a ^ ω * a_1 → deriv (fun x => a * x) (succ a_1) = a ^ ω * succ a_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝ : s ⊆ insert a u
this : t ⊆ insert a u
⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : AddSubmonoid P
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
j : M ≃+ P
H : AddSubmonoid.map j.toAddMonoidHom S = T
x : M
⊢ (f.ofAddEquivOfLocalizations (f.addEquivOfAddEquiv k H)).toMap x = k.toMap (j x)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
p : AddMonoidAlgebra R ℕ
⊢ (Finsupp.erase n p).support ⊆ p.support
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x : α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
⊢ ContinuousAt f x ↔ Function.leftLim f x = Function.rightLim f x
x : ℝ
⊢ ↑(Real.tan x) = Complex.tan ↑x
x y : SetTheory.PGame
⊢ (x * y).RightMoves = (x.LeftMoves × y.RightMoves ⊕ x.RightMoves × y.LeftMoves)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
n : γ → δ
m' : β' → α' → δ
n₁ : β → β'
n₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), n (m a b) = m' (n₁ b) (n₂ a)
⊢ map n (map₂ (fun a b => m b a) g f) = map₂ m' (map n₁ g) (map n₂ f)
a b : ℕ
h : a < b
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → a ^ n < b ^ n
n k : ℕ
h : ¬n < k * k
⊢ n.sqrt - k < n.sqrt + 2 - k
x y : ℝ
⊢ (x * y).negMulLog = y * x.negMulLog + x * y.negMulLog
A : Type u_1
Ring A
Algebra ℝ A
F : ℂ →ₐ[ℝ] A
⊢ ↑(Complex.lift.symm F) = F Complex.I
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₃ : M₃
⊢ (TensorProduct.prodRight R M₁ M₂ M₃).symm (m₁ ⊗ₜ[R] m₂, m₁ ⊗ₜ[R] m₃) = m₁ ⊗ₜ[R] (m₂, m₃)
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RespectsIso P
h₂ : ∀ ⦃R S T : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], P (algebraMap R T) → P Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom
R S R' S' : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : CommRing R'
inst✝⁷ : CommRing S'
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R' S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
h : Algebra.IsPushout R S R' S'
H : P (algebraMap R S)
e : TensorProduct R R' S ≃ₛₗ[id R'] S' := ⋯.equiv
f' : TensorProduct R R' S →ₐ[R] S' := Algebra.TensorProduct.productMap (IsScalarTower.toAlgHom R R' S') (IsScalarTower.toAlgHom R S S')
this : ∀ (x : TensorProduct R R' S), e x = f' x
⊢ algebraMap R' S' = ?m.49455.toRingHom.comp Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t✝ : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Infinite α
t : Set β
f : α → β
hf : MapsTo f univ t
ht : t.Finite
a b : α
h : a < b ∧ f a = f b
⊢ ∃ a b, a < b ∧ f a = f b
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
l : List α
h : ¬a ∈ l
⊢ (List.insert a l).length = l.length + 1
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
LinearOrder γ
OrderClosedTopology γ
Zero γ
f : α →ₘ[μ] γ
⊢ ↑f.posPart =ᵐ[μ] fun a => max (↑f a) 0
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r u
⊢ IsUnit (u + r)
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : KleisliCat m
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
t : { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.obj X✝
⊢ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map (f ≫ g) t = ({ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map f ≫ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map g) t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
S T U V W : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct U W
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct T V
f : U ⟶ S
g : W ⟶ S
h : T ⟶ U
k : V ⟶ W
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.map h k ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.desc f g =
  CategoryTheory.Limits.coprod.desc (h ≫ f) (k ≫ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b : α
u : ℕ → α
⊢ u 0 ⊔ ⨆ i, u (i + 1) = ⨆ x ∈ {0} ∪ range Nat.succ, u x
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
g₁ g₂ : G
u : ℤˣ
w : HNNExtension.NormalWord d
h1 : w.head ∈ d.set u
h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ HNNExtension.toSubgroup A B u → u = u'
⊢ g₁ • HNNExtension.NormalWord.cons g₂ u w h1 h2 = HNNExtension.NormalWord.cons (g₁ * g₂) u w h1 h2
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
ha : a < 0
hb : b < c
⊢ a + b < c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
l✝ : Multiset (α → M)
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ Quot.mk Setoid.r l, StronglyMeasurable f
⊢ StronglyMeasurable (Multiset.prod (Quot.mk Setoid.r l))
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)
⊢ U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f ↔ Ideal.span s = ⊤
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M
this : DecidableEq M
⊢ ((toMatrix b b) f).det = LinearMap.det f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' : QuadraticForm R M
h : Q' = -Q
h' : Q = -Q'
m₁ m₂ : M
⊢ (evenToNeg Q' Q h') ((evenToNeg Q Q' h) (((even.ι Q).bilin m₁) m₂)) = ((even.ι Q).bilin m₁) m₂
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ ‖x‖ = univ.sup' ⋯ fun w => (normAtPlace w) x
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero β
l : Filter α
f : α → β
s : Set α
hf : f =ᶠ[l] 0
⊢ s.indicator f =ᶠ[l] 0
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ∀ (i : α), r i n < n
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
⊢ IsMax x ↔ IsMax x.1 ∧ IsMax x.2
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : i.EssImageSubcategory
⊢ inv ((reflectorAdjunction i).unit.app X.obj) = inv ((reflectorAdjunction i).unit.app X.obj)
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
x✝ : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true ∧ ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
h1 : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true
h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
⊢ findIdx p xs = i
X : Type u_2
TopologicalSpace X
DiscreteTopology X
⊢ Function.Injective ⊥.proj
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hf : Isometry f
hd : 0 ≤ d ∨ Surjective f
s : Set Y
⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) = μH[d] (s ∩ range f)
α : Type u_1
l : List α
p : α → Bool
⊢ l.all p = true ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → p a = true
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ Y₁ X₂ Y₂ : CategoryTheory.Center C
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂
⊢ (f ⊗ g).f = f.f ⊗ g.f
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hy : Odd y
d : ℕ
hxy4 : 4 ∣ x ^ 2 - y ^ 2
⊢ multiplicity 2 ((x ^ 2) ^ d - (y ^ 2) ^ d) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(2 * d)
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable β
Primcodable σ
f : β → σ
m : β → ℕ
l : β → List β
g : β → List σ → Option σ
hm : Primrec m
hl : Primrec l
hg : Primrec₂ g
Ord : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b
H : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)
⊢ Primrec f
α : Sort u_1
s₁ : Setoid α
a : α
⊢ Setoid.r (Quotient.mk'' a).out' a
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
s : R
⊢ (p.scaleRoots s).natDegree = p.natDegree
R : Type u
CommRing R
X Y Z : BialgebraCat R
e : X ≅ Y
f : Y ≅ Z
⊢ (e ≪≫ f).toBialgEquiv = e.toBialgEquiv.trans f.toBialgEquiv
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
hx : x ∈ ⨅ i, RingHom.ker (WittVector.truncate i)
n✝ : ℕ
⊢ x.coeff n✝ = WittVector.coeff 0 n✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
i j : ℕ
hij : i ≤ j
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ AEStronglyMeasurable' (↑(countableFiltration γ) i) (fun x => κ.densityProcess ν i a x s) (ν a)
α : Type u_2
Monoid α
n : ℕ
a : α
s : Fin n → Set α
⊢ a ∈ (List.ofFn s).prod ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
P : Type u₁
inst✝² : CommRing P
g : (i : ι) → G i →+* P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) (f i j hij x) = (g i) x
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g i) a = 0 → a = 0
⊢ ∀ (a : DirectLimit G f), (lift G f P g Hg) a = 0 → a = 0
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i j k : Fin 2
hjk : j ≤ k
hij : 1 ≤ j
⊢ map f 1 k ⋯ = map f 1 j hij ≫ map f j k hjk
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
K : α
K0 : K > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, K ≤ abv (↑f j)
j : ℕ
ij : j ≥ i
⊢ abv (↑(f * f.inv hf - 1) j) < ε
X₁ : Type u₁
TopologicalSpace X₁
X : Type u
TopologicalSpace X
NormalSpace X
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y : Type v
TopologicalSpace Y
TietzeExtension Y
f : C(X₁, Y)
⊢ ∃ g, g.comp { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ } = f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
h : (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₂)
⊢ fs₁ = fs₂
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
P' : Type uP'
Q' : Type uQ'
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
IsScalarTower R A P
AddCommMonoid Q
Module R Q
AddCommMonoid P'
Module R P'
Module A P'
IsScalarTower R A P'
AddCommMonoid Q'
Module R Q'
f₁ : M ≃ₗ[A] P
f₂ : P ≃ₗ[A] P'
g₁ : N ≃ₗ[R] Q
g₂ : Q ≃ₗ[R] Q'
⊢ TensorProduct.AlgebraTensorModule.congr (f₁ ≪≫ₗ f₂) (g₁ ≪≫ₗ g₂) =
  TensorProduct.AlgebraTensorModule.congr f₁ g₁ ≪≫ₗ TensorProduct.AlgebraTensorModule.congr f₂ g₂
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
hT : Dense ↑T.domain
CompleteSpace E
y : ↥T.adjoint.domain
x₀ : E
hx₀ : ∀ (x : ↥T.domain), ⟪x₀, ↑x⟫_𝕜 = ⟪↑y, ↑T x⟫_𝕜
⊢ ↑T.adjoint y = x₀