ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
h2 : ∀ (t : G), ‖(L (f t)) (g (x₀ - t)) - (L (f t)) z₀‖ ≤ ‖L (f t)‖ * ε
⊢ Integrable (fun t => (L (f t)) z₀) μ
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
⊢ ‖z‖ ≤ 1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t✝ t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a✝ a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → β → β
a : α
h : ∀ (b : β), f a b = b
t : Set β
⊢ image2 f {a} t = t
ι✝ : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι✝ → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
ι : Type u_8
s : Set ι
f : ι → M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => f ↑x
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(f '' s)) => ↑x
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring S₁
R : Type u_2
SMulZeroClass R S₁
a : R
f : MvPolynomial σ S₁
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (a • f) = a • MvPolynomial.constantCoeff f
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
n : ℕ
⊢ (MeasureTheory.sFiniteSeq μ n).AbsolutelyContinuous μ.toFinite
α : Type u
β : Type v
Group β
f : α → β
s : Subgroup β
H : Set.range f ⊆ ↑s
⊢ (FreeGroup.lift f).range ≤ s
r : ℝ
h : |r| < 1
⊢ ∑' (n : ℕ), r ^ n = (1 - r)⁻¹
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
s : Finset ι
⊢ ∀ (x : { f // f.support = s }) (i : { x // x ∈ s }), ↑((DFinsupp.subtypeSupportEqEquiv s) x i) = ↑x ↑i
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b : α
inst✝ : IsSymm α r
a : α
l : List α
ih : l.Nodup → ({a | a ∈ l}.Pairwise r ↔ Pairwise r l)
hl : a ∉ l ∧ l.Nodup
this : ∀ b ∈ l, ¬a = b → r a b ↔ r a b
⊢ {a_1 | a_1 ∈ a :: l}.Pairwise r ↔ Pairwise r (a :: l)
ι : Type u_1
α : Type u_2
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
f g : ι →₀ α
⊢ Disjoint f g ↔ Disjoint f.support g.support
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : C ⥤ D ⥤ D
X : C
e : F.obj X ≅ 𝟭 D
inst✝² : (Y : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y Y' : GradedObject J D
φ : Y ⟶ Y'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap p
j : J
⊢ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y 0 j j ⋯ ≫ (CofanMapObjFun.iso (mapBifunctorLeftUnitorCofanIsColimit F X e p hp Y j)).inv = (F.map (singleObjApplyIso 0 X).hom).app (Y j) ≫ e.hom.app (Y j)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasImage f
W : C
g h : image f ⟶ W
inst✝ : HasLimit (parallelPair g h)
w : factorThruImage f ≫ g = factorThruImage f ≫ h
q : equalizer g h ⟶ image f := equalizer.ι g h
e' : X ⟶ equalizer g h := equalizer.lift (factorThruImage f) w
F' : MonoFactorisation f := MonoFactorisation.mk (equalizer g h) (q ≫ ι f) e' ⋯
v : image f ⟶ F'.I := lift F'
t₀ : v ≫ q ≫ ι f = ι f
⊢ g = h
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
i : ι
j : { j // j ≠ i }
⊢ (b.basisOf i) j = b ↑j -ᵥ b i
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
fs gs : ℕ → α → F'
f g : α → F'
hfs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
hgs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (gs n) μ
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n x) atTop (𝓝 (f x))
hgs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => gs n x) atTop (𝓝 (g x))
bound_fs : α → ℝ
h_int_bound_fs : Integrable bound_fs μ
bound_gs : α → ℝ
h_int_bound_gs : Integrable bound_gs μ
hfs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖fs n x‖ ≤ bound_fs x
hgs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖gs n x‖ ≤ bound_gs x
hfg : ∀ (n : ℕ), μ[fs n|m] =ᶠ[ae μ] μ[gs n|m]
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ condexpL1 hm μ g = condexpL1 hm μ f
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
x : M
⊢ (FirstOrder.Language.Hom.id L M) x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ∫ (x : α) in i, f x + g x ∂μ = ∫ (x : α) in i, f x ∂μ + ∫ (x : α) in i, g x ∂μ
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
⊢ Group.rank ↥(Subgroup.closure (commutatorSet G)) ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G)
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p : Associates α
hp : Irreducible p
a0 : α
nza : a0 ≠ 0
ha : Associates.mk a0 ≠ 0
b0 : α
nzb : b0 ≠ 0
hb : Associates.mk b0 ≠ 0
⊢ p.count (Associates.mk a0 * Associates.mk b0).factors = p.count (Associates.mk a0).factors + p.count (Associates.mk b0).factors
m n : ℕ
⊢ ↑↑(m / n) ≤ ↑↑m / ↑↑n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
DecidableEq ι
⊢ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 ((i : ι) → E i) F) (f.toFormalMultilinearSeries.changeOrigin x 1) = f.linearDeriv x
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ dist a b = ‖b - a‖
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
f : α → ℕ
g : α → β
h : α → β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
⊢ Primrec fun a => (h a)^[f a] (g a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
hs₁ : StarConvex ℝ 0 s
hs₂ : Absorbs ℝ s {x}
hx : x ∉ s
⊢ x ∉ 1 • s
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b✝ : Basis ι R M
c : Basis κ R M
s : Finset M
b : Basis { x // x ∈ s } R M
f : M →ₗ[R] M
this : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R M)
⊢ traceAux R ⋯.some = traceAux R b
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra K L
inst✝¹ : Module.Finite K L
inst✝ : Infinite K
⊢ ↑(finrank K L) ≤ #K
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (map f H).index ∣ H.index
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.148403, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.Exact
inst✝³ : Mono S₁.f
inst✝² : Mono S₂.f
inst✝¹ : Mono φ.τ₁
inst✝ : Mono φ.τ₃
A : C
x₂ : A ⟶ S₁.X₂
hx₂ : x₂ ≫ φ.τ₂ = 0
x₁ : A ⟶ S₁.X₁
hx₁ : x₁ ≫ S₁.f = x₂
⊢ x₁ = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
VAdd α β
a : α
t : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ a +ᵥ ⋂ i, ⋂ j, t i j ⊆ ⋂ i, ⋂ j, a +ᵥ t i j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_5
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
hx : f x ≠ x
⊢ (f.cycleOf x) x ≠ x
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
b : Con (M × ↥S)
H : b ∈ {c | ∀ (y : ↥S), c 1 (↑y, y)}
x✝² x✝¹ : M × ↥S
p : M
q : ↥S
x : M
y : ↥S
x✝ : (r' S) (p, q) (x, y)
t : ↥S
ht : ↑t * (↑(x, y).2 * (p, q).1) = ↑t * (↑(p, q).2 * (x, y).1)
⊢ b (p, q) (x, y)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
q : ℕ
ExpChar F q
IsPurelyInseparable F E
x : E
⊢ ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
α : Type u_3
β : Type u_4
AddMonoid β
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => AddCommute (f a) (f b)
p : β → Prop
hom : ∀ (a b : β), p a → p b → p (a + b)
unit : p 0
base : ∀ x ∈ s, p (f x)
⊢ p (s.noncommSum f comm)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
a : EReal
⊢ ↑(SignType.sign a) * ↑a.abs⁻¹ = a⁻¹
S : Type u_3
Add S
a b : S
h : AddCommute a b
⊢ AddCommute b a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsIso h
⊢ inv (f ≫ h) = inv h ≫ inv f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Primcodable β
inst✝³ : Primcodable γ
inst✝² : Primcodable δ
inst✝¹ : Primcodable σ
inst✝ : DecidableEq α
a : ℕ × ℕ
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) a.1 a.2 ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) a.2 a.1 ↔ (fun a b => a = b) a.1 a.2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.ShortExact
CategoryTheory.Balanced C
⊢ CategoryTheory.IsIso S.f ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero S.X₃
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)
⊢ ↑n / ↑m ≤ ↑(filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)).card
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
n : ℕ
heq : Nat.card ↥↑P = p ^ n
⊢ Nat.card ↥↑P ∣ p ^ (Nat.card G).factorization p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.flip.X₁ = sq.X₁
T : ℝ
n : ℤ
z✝ : ℝ
⊢ (fourier (-n)) ↑z✝ = (starRingEnd ℂ) ((fourier n) ↑z✝)
α : Type u
Inhabited α
n : ℕ
l : List α
⊢ n ≤ l.length → List.takeI n l = List.take n l
K : Type u
DivisionSemiring K
⊢ ⊥.IsMaximal
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0
⊢ Associated (num A x) ↑(den A x⁻¹)
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
S : Type u_5
S₂ : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Rₗ : Type u_10
Mₗ : Type u_11
Nₗ : Type u_12
Pₗ : Type u_13
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : Semiring S
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring S₂
inst✝¹⁴ : CommSemiring Rₗ
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝⁹ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : Module R₂ P
inst✝⁴ : Module S₂ P
inst✝³ : Module Rₗ Mₗ
inst✝² : Module Rₗ Nₗ
inst✝¹ : Module Rₗ Pₗ
inst✝ : SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
b₁ : Basis ι₁ R M
b₂ : Basis ι₂ S N
b₁' : Basis ι₁ Rₗ Mₗ
b₂' : Basis ι₂ Rₗ Nₗ
B : Mₗ →ₗ[Rₗ] Nₗ →ₗ[Rₗ] Pₗ
x : Mₗ
y : Nₗ
⊢ ((b₁'.repr x).sum fun i xi => (b₂'.repr y).sum fun j yj => xi • yj • (B (b₁' i)) (b₂' j)) = (B x) y
M : Type u_1
AddZeroClass M
s : Set M
p : (x : M) → x ∈ AddSubmonoid.closure s → Prop
mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
one : p 0 ⋯
mul :
  ∀ (x : M) (hx : x ∈ AddSubmonoid.closure s) (y : M) (hy : y ∈ AddSubmonoid.closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
x : M
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure s
⊢ p x hx
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing E
StarRing E
NormedStarGroup E
NormedSpace 𝕜 E
IsScalarTower 𝕜 E E
SMulCommClass 𝕜 E E
RegularNormedAlgebra 𝕜 E
⊢ Isometry ⇑(ContinuousLinearMap.mul 𝕜 E).flip
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Zero β
x : β → γ
⊢ x ∘ 0 = Function.const α (x 0)
C : FloatCfg
this : 0 ≤ ↑(2 * FloatCfg.emax) - ↑prec
⊢ 0 ≤ 2 * ↑FloatCfg.emax - ↑prec
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
⊢ ↑(Submodule.map f p) = ⇑f '' ↑p
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
⊢ (B (v i)) (v i) = 0
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝² : DiscreteTopology ↥L
inst✝¹ : IsZlattice ℝ L
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝ : Measure.IsAddHaarMeasure μ
⊢ μ (Zspan.fundamentalDomain (Basis.ofZlatticeBasis ℝ L (Free.chooseBasis ℤ ↥L))) < ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
β : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice β
f : α ≃o β
⊢ f (⨅ a ∈ {H | IsCoatom H}, a) = ⨅ a ∈ {H | IsCoatom H}, a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x y : L
z : M
⊢ ((LieModule.toEnd R L M) x) ⁅y, z⁆ = ⁅((LieAlgebra.ad R L) x) y, z⁆ + ⁅y, ((LieModule.toEnd R L M) x) z⁆
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : ListBlank Γ
n : ℕ
⊢ l.nth (n + 1) = l.tail.nth n
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ a b : α
i j : Fin (n + 1)
h : i ≤ j
l : List α
hl : l.length = n
⊢ ↑i ≤ ↑j
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
c : R
x : M
⊢ c • x = 0 ↔ c = 0 ∨ x = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ MDifferentiableOn I I' f (s ∩ u)
⊢ MDifferentiableOn I I' f s
n : Nat
a b : Fin n.succ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a.pred ha ≤ b.pred hb ↔ a ≤ b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
MonoidWithZero β
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g.FinMeasSupp μ
⊢ (f * g).FinMeasSupp μ
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
SemilatticeInf β
Bot β
⊢ ⇑⊥ = ⊥
α : Type u_2
β : Type u_3
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
f : α →*₀ β
⊢ (↑↑f).toFun = ⇑f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, f ↑x = 0
him : ∀ x ≤ 0, f (↑x * Complex.I) = 0
⊢ Set.EqOn f 0 {z | z.re ≤ 0 ∧ z.im ≤ 0}
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
PosMulStrictMono α
h : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ a * b ^ n
⊢ a = 0 ∨ 0 < a ∧ 0 ≤ b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct X Y
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ CategoryTheory.IsPushout 0 0 CategoryTheory.Limits.coprod.inl CategoryTheory.Limits.coprod.inr
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ
hia : 0 ≤ i ∧ i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n
⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
M : Type u_2
N : Type u_3
Mul M
Mul N
f : Mᵐᵒᵖ →ₙ* Nᵐᵒᵖ
⊢ ∀ (a : M), (MulHom.op.symm f) a = (MulOpposite.unop ∘ ⇑f ∘ MulOpposite.op) a
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.64473, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Mono S.f
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i
⊢ cyclesMap S.f i ≫ cyclesMap S.g i = 0
X Y : Type u
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.binaryCoproductCocone X Y).pt = (X ⊕ Y)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ CliffordAlgebra.involute ((CliffordAlgebra.EquivEven.v Q) m) = -(CliffordAlgebra.EquivEven.v Q) m
n x✝ y✝ p : ℕ
hp : Prime p
hx✝ : x✝ ≠ 1
hy✝ : y✝ ≠ 1
h✝ : x✝ * y✝ = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x✝ * y✝
x y : ℕ
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
a : ℕ
ha : x = p * a
this : a ∣ p
⊢ x = p ∧ y = p
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : Type u_10
m : MeasurableSpace β
Div β
MeasurableDiv₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (f i / f j) (f k / f l) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hfg : range f = range g
a : β
⊢ f a = g a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
s : Set E
has : s ∈ 𝓝 a
hs : s ×ˢ s ⊆ {x | ‖f x.1 - f x.2 - f' (x.1 - x.2)‖ ≤ (fun a => ↑a) c * ‖x.1 - x.2‖}
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 a, ApproximatesLinearOn f f' s c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ a⁺ᵐ ≤ b⁺ᵐ ∧ b⁻ᵐ ≤ a⁻ᵐ
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
b : α
⊢ ¬IsMax b ∧ succ b = a → b ⋖ a
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * (‖f z‖ - ‖f x‖) < r
α : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M✝
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M✝
M : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
a b : ℕ
f : ℕ → ℕ → M
⊢ ∑ i ∈ Ico a b, ∑ j ∈ Ico i b, f i j = ∑ j ∈ Ico a b, ∑ i ∈ Ico a (j + 1), f i j
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
c : ℝ≥0
⊢ ApproximatesLinearOn f f' ∅ c
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ S.a + S.b
hpaηb : p ∣ S.a + ↑η * S.b
⊢ p ∣ λ
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x' : Dual 𝕜 E
c : 𝕜
hc : ∀ z ∈ s, ‖x' z‖ ≤ ‖c‖
c_zero : ¬c = 0
eq : ∀ (z : E), ‖c⁻¹ • x' z‖ = ‖c⁻¹‖ * ‖x' z‖
le : ∀ z ∈ s, ‖c⁻¹ • x' z‖ ≤ ‖c⁻¹‖ * ‖c‖
⊢ c⁻¹ • x' ∈ polar 𝕜 s
x y : ℕ∞
⊢ ↑x < ↑y ↔ x < y
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
δ₁ : Type u_1
δ₂ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace δ₁
inst✝ : TopologicalSpace δ₂
φ₁ : C(δ₁, α)
φ₂ : C(δ₂, α)
h_proper₁ : IsProperMap ⇑φ₁
h_proper₂ : IsProperMap ⇑φ₂
h_cover : range ⇑φ₁ ∪ range ⇑φ₂ = univ
𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}
𝔗₁ : Set (Set δ₁) := {K | IsCompact K}
𝔗₂ : Set (Set δ₂) := {K | IsCompact K}
h_image₁ : MapsTo (fun x => ⇑φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖
h_image₂ : MapsTo (fun x => ⇑φ₂ '' x) 𝔗₂ 𝔖
h_preimage₁ : MapsTo (fun x => ⇑φ₁ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₁
h_preimage₂ : MapsTo (fun x => ⇑φ₂ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₂
⊢ inferInstanceAs (UniformSpace C(α, β)) = UniformSpace.comap (fun x => x.comp φ₁) inferInstance ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x.comp φ₂) inferInstance
α : Type u_2
n : ℕ
xs : Mathlib.Vector α n
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {f : α → α_1}, Mathlib.Vector.map f xs = (Mathlib.Vector.mapAccumr (fun x x_1 => ((), f x)) xs ()).2
α : Type u_1
a b : α
⊢ OrderDual.toDual a = OrderDual.toDual b ↔ a = b
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ Function.Injective (⇑(preservesColimitIso (forget C) D.diagram.multispan).inv ∘ ⇑(HasColimit.isoOfNatIso (D.diagramIso (forget C))).inv)
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c.toCompositionAsSet.blocks = c.blocks
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ (∀ (i : G.LeftMoves), (G.moveLeft i).Fuzzy 0) ↔ G ≈ 0
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
H : Subgroup N
h : H ≤ f.range
⊢ map f (comap f H) = H
m n : ℕ
i : Fin n.succ
h : i ≠ Fin.last n
this : ↑i < n
⊢ ↑(i + 1) = ↑i + 1
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
s : Subsemiring R
y : S
⊢ y ∈ Subsemiring.map f s ↔ ∃ x ∈ s, f x = y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
a : C
⊢ (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryProductCone F G).pt.obj a = (F.obj a × G.obj a)