ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M'✝
inst✝⁵ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : FiniteDimensional K V
ι : Type u_10
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι K V
x : V
i : ι
⊢ ((B.dualBasis hB b).repr x) i = (B x) (b i)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i j : Discrete ι
h : i ≠ j
U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj j)
y : ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
hy : y ∈ ↑U
eq : ((preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) ((colimit.ι F i).base y) = ((preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) ((colimit.ι (F ⋙ forgetToPresheafedSpace) j ≫ (preservesColimitIso forgetToPresheafedSpace F).inv).base x)
⊢ False
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.27894, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
X Y : C
a : X ⟶ S.X₂
ha : a ≫ S.g = 0
b : S.X₂ ⟶ Y
hb : S.f ≫ b = 0
⊢ a ≫ b = 0
o : Ordinal.{u_3}
x x' : (Quotient.out o).α
⊢ Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) x ≤ Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) x' ↔ x ≤ x'
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x t : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
ht : 0 < t
this : |log (x ^ t) * x ^ t| < 1
⊢ |log x * x ^ t| * t < 1
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : SlashInvariantForm Γ k
⊢ ⇑(-f) = -⇑f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
⊢ MDifferentiableOn I I' f Set.univ ↔ MDifferentiable I I' f
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ χ.IsPrimitive ↔ χ.conductor = n
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E
e : α
heI : e ∉ I
heB'' : e ∉ B''
heE : e ∈ M.E
⊢ Disjoint (insert e I) B''
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁺ - a⁻ = a
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (α × β)
p : α × β
H : IsLUB (Prod.fst '' s) p.1 ∧ IsLUB (Prod.snd '' s) p.2
⊢ p ∈ lowerBounds (upperBounds s)
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
f : C(α, β)
h : HasCompactSupport ⇑f
⊢ ⇑{ toContinuousMap := f, hasCompactSupport' := h } = ⇑f
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c.toCompositionAsSet.length = c.length
k : ℕ
m : ℕ := 2 ^ k.primesBelow.card
N₀ : ℕ := 2 * m ^ 2
hN₀ : N₀ = 2 * m ^ 2
S : ℝ := ∑ p ∈ (2 * N₀).succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p
⊢ ↑((2 * N₀).roughNumbersUpTo k).card ≤ 2 * ↑N₀ * S
α : Type u_1
a b a' b' : α
ha : a = a'
hb : b = b'
h : a' = b'
⊢ a = b
ι : Type u_1
s : Finset ι
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
π : ι → Type u_3
f g f' g' : (i : ι) → π i
(i : ι) → Preorder (π i)
hf : f ≤ f'
hg : g ≤ g'
⊢ s.piecewise f g ≤ s.piecewise f' g'
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime (x + z * y) y
σ : Type u_1
R : Type u_2
Ring R
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ IsUnit φ ↔ IsUnit ((MvPowerSeries.constantCoeff σ R) φ)
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
⊢ IsPreconnected {x}
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
e : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
h₁ : l₁.length < (a :: b :: l).length
h₂ : l₂.length < (a :: b :: l).length
⊢ mergeSort r (a :: b :: l) ~ a :: b :: l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
ht : t.Finite
hsub : s ⊂ t
this : Fintype ↑t
⊢ Nat.card ↑s < Nat.card ↑t
n : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ n
⊢ (fun n_1 => χ ↑n_1) ⍟ ((fun n_1 => χ ↑n_1) * fun n => ↑(ArithmeticFunction.moebius n)) = δ
β : Type u_1
α : Type u_2
self : Besicovitch.BallPackage β α
b : β
⊢ 0 < self.r b
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t).card ≤ s.card + t.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
s s' t : Set α
hs : IsOpen s
hs' : IsOpen s'
ht : ∀ x ∈ frontier t, x ∈ s ↔ x ∈ s'
⊢ IsOpen (t.ite s s')
α : Type u_1
Zero α
p : Prop
Decidable p
a b : α
Preorder α
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ if p then a else b
p n k : ℕ
hp : Prime p
hk : k ≠ 0
hkp✝ : k ≠ p ^ n
hkp : k < p ^ n
h : multiplicity p ((p ^ n).choose k) = 0
H : multiplicity p ((p ^ n).choose k) + multiplicity p k = ↑n
⊢ p ^ n ∣ k
a b✝ c d m n : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
zb : ℕ
hz : b ≤ b + ↑zb
hzb : ↑zb = b + ↑zb - b
⊢ HEq (match ↑zb + 1 with | ofNat n => inductionOn'.pos b H0 Hs n | -[n+1] => inductionOn'.neg b H0 Hp n) (Hs (b + ↑zb) hz ((b + ↑zb).inductionOn' b H0 Hs Hp))
R : Type u
CommSemiring R
P : R[X]
⊢ P ∉ nonZeroDivisors R[X] ↔ ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • P = 0
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
⊢ (Filter.comap Prod.fst f).NeBot ↔ f.NeBot ∧ Nonempty β
q : ℚ
n d : ℤ
hd : d ≠ 0
qdf : q = n /. d
hn : n ≠ 0
⊢ ∃ c, n = c * q.num ∧ d = c * ↑q.den
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x✝ : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
k : ℕ
hk : ↑k ≤ N
x : E
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 k (fun y => ∑' (n : α), f n y) x = ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
⊢ HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg.deg 0 = 0
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
g₁ g₂ : PreStoneCech α → β
h₁ : Continuous g₁
h₂ : Continuous g₂
h : g₁ ∘ preStoneCechUnit = g₂ ∘ preStoneCechUnit
⊢ g₁ = g₂
α : Type u_1
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ConditionallyCompleteLinearOrder α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
Countable (Subtype p)
Nonempty (Subtype p)
hv : v.HasBasis p s
f : ι → α
hs : ∀ (j : Subtype p), (s ↑j).Nonempty
H : ∃ j, BddAbove (Set.range fun i => f ↑i)
⊢ Filter.limsup f v = ⨅ j, ⨆ i, f ↑i
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
hn : ↑n ≤ Module.rank R M
⊢ ∃ f, LinearIndependent R f
z : ℂ
⊢ Complex.orthonormalBasisOneI.repr z = ![z.re, z.im]
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ GaloisConnection (fun N => ⁅⊤, N⁆) LieSubmodule.normalizer
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X Y : C
x : ↑(F.obj X)
y : ↑(F.obj Y)
⊢ F.map CategoryTheory.Limits.prod.fst ((CategoryTheory.PreGaloisCategory.fiberBinaryProductEquiv F X Y).symm (x, y)) = x
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
hf : ↑↑f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ = 0
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
s : Finset V
h : s = Finset.filter (fun v => Odd (G.degree v)) Finset.univ
⊢ s.card = 0 ∨ s.card = 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
hx_w : α
hx_h_left : ¬s hx_w = 0
⊢ ¬(mapDomain f s) (f hx_w) = 0
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ ⟨0, h⟩.cycleRange = 1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
X : Type u_5
TopologicalSpace X
FirstCountableTopology X
F : X → ℝ → E
x₀ : X
bound : ℝ → ℝ
a b : ℝ
s : Set X
hF_meas : ∀ᶠ (x : X) in nhdsWithin x₀ s, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in nhdsWithin x₀ s, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ContinuousWithinAt (fun x => F x t) s x₀
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) s x₀
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
f : E →L[𝕜] F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(range f)
⊢ (ker f).ClosedComplemented
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ |⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)| = 1 ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r, r ≠ 0 ∧ y = r • x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
L : D
R : CategoryTheory.Functor C D
L' : B
R' : CategoryTheory.Functor A B
F : CategoryTheory.Functor C A
G : CategoryTheory.Functor D B
α : L' ⟶ G.obj L
β : R.comp G ⟶ F.comp R'
X Y : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit L) R
φ : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.StructuredArrow.map₂ α β).map φ).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
K : Subfield ℂ
ψ : ↥K →+* ℂ
hc : UniformContinuous ⇑ψ
this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk
this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring
ι : ↥K → ↥K.topologicalClosure := ⇑(Subfield.inclusion ⋯)
ui : UniformInducing ι
⊢ DenseRange ι
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
e : Matrix n n R ≃ₗ[R] Matrix (Fin (Fintype.card n)) (Fin (Fintype.card n)) R := reindexLinearEquiv R R (Fintype.equivFin n) (Fintype.equivFin n)
⊢ eval 0 (derivative (1 + X • M.map ⇑C).det) = M.trace
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
⊢ ⇑h.symm ∘ ⇑h = id
α : Type u_3
AddCommMonoid α
s : Multiset α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a + b)
hs : s ≠ ∅
p_s : ∀ a ∈ s, p a
⊢ p s.sum
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
a b : α
h : a ≠ b
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ {a, b}), f i = f a * f b
s t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) MeasureTheory.volume ↔ -1 < s
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α ≃ₜ β
⊢ f.opensCongr.symm = f.symm.opensCongr
x y : UInt16
⊢ (x + y).toNat = (x.toNat + y.toNat) % UInt16.size
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
u : ℕ → α
k : ℕ
⊢ (CauchySeq fun n => u (n + k)) ↔ CauchySeq u
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
A : Tendsto (fun r => ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)) (𝓝[<] 1) (𝓝 (μ (closedBall 0 1)))
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 1
⊢ μ (closedBall 0 r) ≤ μ (ball 0 1)
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsClosedMap ⇑OrderDual.toDual
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
⊢ c • Metric.closedBall 0 1 = Metric.closedBall 0 ‖c‖
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
p : (Step k n)[X]
hfm : p.Monic
hfi : Irreducible (map (ofStep k n) p)
⊢ ∃ x, eval x (map (ofStep k n) p) = 0
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
⊢ Disjoint (s ∩ u) (t ∩ u)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
Nontrivial A
r : R
⊢ spectrum R ((algebraMap R A) r) = {r}
x : ℂ
⊢ Complex.tan (x + ↑Real.pi) = Complex.tan x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
d : D
X : (CategoryTheory.StructuredArrow (Opposite.op d) F.op)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.StructuredArrow.toCostructuredArrow' F d).obj X =
  CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (Opposite.unop X).hom.unop
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i j : ι
x : β i
h : i ≠ j
⊢ erase j (single i x) = single i x
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
this : (vanishingIdeal (closure t)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal
⊢ (vanishingIdeal (closure t)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal
G : Type u
Group G
x y : G
hx : orderOf x = 2
hy : orderOf y = 2
hxy : x ≠ y
⊢ x * y ∉ {x, y, 1}
l : List ℕ
⊢ List.map List.length l.ranges = l
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ (Homeomorph.refl α).toContinuousMap = ContinuousMap.id α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : CompleteSpace α
hf : Multipliable f
h : ∀ (b : β), g b = 1 ∨ g b = f b
⊢ Multipliable g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
s : Finset ι
f : ι → α
hs : 0 < ↑s.card
⊢ ((∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 2) / ↑s.card
R : Type u
CommSemiring R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type w
DecidableEq ι
Fintype ι
κ : Type u_1
DecidableEq κ
Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
⊢ LinearMap.traceAux R b = LinearMap.traceAux R c
K : Type u_1
Field K
x : K
hx : x ∈ integralClosure ℤ K
⊢ ↑⟨x, hx⟩ = x
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsDomain B
ζ : B
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ Algebra.adjoin A ((Polynomial.cyclotomic (↑n) A).rootSet B) = Algebra.adjoin A {b | ∃ a ∈ {n}, b ^ ↑a = 1}
α : Type u_2
AddGroup α
f g : Filter α
⊢ ¬0 ≤ f - g ↔ Disjoint f g
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsEulerian
e : Sym2 V
⊢ e ∈ ⋯.edgesFinset ↔ e ∈ G.edgeFinset
⊢ SemilatSupCat.dual ⋙ CategoryTheory.forget₂ SemilatInfCat PartOrd =
  CategoryTheory.forget₂ SemilatSupCat PartOrd ⋙ PartOrd.dual
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
⊢ f u < f v
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
s t : Set α
hs : s ∈ 𝓝[t] x
t' : Set α
⊢ s \ t' ∈ 𝓝[t \ t'] x
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕂 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n
⊢ ↑(ContDiffAt.toPartialHomeomorph f hf hf' hn) = f
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
h : μ s = 0
c : G
⊢ μ (c • s) = 0
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ v ∈ f.ker ↔ f v = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α
hs : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s
ht : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ t
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (n : ℕ), f (g n) ∈ t
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
⊢ (re z ≤ re w ∧ im z = im w) ∧ z ≠ w ↔ (re z ≤ re w ∧ re z ≠ re w) ∧ im z = im w
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : Nonempty M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h3 : lift.{w', w} κ ≤ lift.{w, w'} #M
S : L.ElementarySubstructure M
left✝ : ∅ ⊆ ↑S
hS : lift.{w, w'} #↥S = lift.{w', w} κ
this : Small.{w, w'} ↥S
⊢ lift.{w', w} #↑(Equiv.bundledInduced L (equivShrink ↥S)) = lift.{w, w'} #↥S
α : Type u
SubtractionMonoid α
a b c : α
h : IsAddUnit b
⊢ a + -b = c ↔ a = c + b
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
x✝ : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ ‖((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear) x✝‖ ≤ projectiveSeminorm x * ‖x✝‖
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
r : ℝ
hr : |r| < 1
h0 : ¬r = 0
⊢ Tendsto (fun n => ↑n ^ k * r ^ n) atTop (𝓝 0)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : C ⥤ D
M : (x : C) → Z ⟶ F.obj x
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), M x ≫ F.map f = M y
x : C
⊢ (lift F M hM).map (starInitial.to (incl.obj x)) = M x
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Function.Injective (Finsupp.mapDomain f)
V : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype ↑(G ⊔ edge s t).edgeSet
hn : ¬G.Adj s t
h : s ≠ t
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
⊢ (G ⊔ edge s t).edgeFinset = cons s(s, t) G.edgeFinset ⋯
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
x : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)
B : Nat.find A - 1 < Nat.find A
y : (n : ℕ) → E n
ys : y ∈ s
hy : cylinder x (Nat.find A - 1) = cylinder y (Nat.find A - 1)
⊢ cylinder y (Nat.find A - 1) = cylinder x (Nat.find A - 1)
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ 0 ≤ normSq z ∧ ¬normSq z = 0 ↔ z ≠ 0
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
x y : α
hy : y ∈ (Equiv.swap x (f x) * f).support
⊢ y ∈ f.support ∧ y ≠ x
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
⊢ ∑ a : R, χ a = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
⊢ [] ≤ l
α : Type u
β : Type v
Add β
f g : AddHom (FreeAddMagma α) β
h : ⇑f ∘ FreeAddMagma.of = ⇑g ∘ FreeAddMagma.of
⊢ f = g
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ insert a s ∪ t = s ∪ insert a t
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
h : Disjoint p.vars q.vars
x : σ
hx : x ∈ p.vars ∪ q.vars
⊢ x ∈ (p + q).vars
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
G : ι → α → β
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hg : ∀ (n : ι), EqOn (F n) (G n) s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
x : α
hx : x ∈ s
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝[s] x
h : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ s ∩ t, (f y, G n y) ∈ u
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
⊢ (-a).x = -a.x
V : Type u_1
W : Type u_2
f : V ↪ W
G : SimpleGraph V
⊢ SimpleGraph.comap (⇑f) (SimpleGraph.map f G) = G
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
j : Fin (n + 1)
a✝ : n + 1 ≤ ↑j + (n + 1)
eq : ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ (Γ₀.obj K).map (SimplexCategory.δ j.succ).op = Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K (SimplexCategory.δ j.succ) ≫ ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))
⊢ [n + 1] ≠ [n]
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f✝ f : R →+* S
x : R
p : R[X]
h : p.IsRoot x
⊢ (Polynomial.map f p).IsRoot (f x)
V : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝¹ : MonoidalCategory V
H : Grp
X : Action V ((forget₂ Grp MonCat).obj H)
inst✝ : RightRigidCategory V
h : ↑H
⊢ Xᘁ.ρ h = X.ρ (inv h)ᘁ
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
⊢ ↑(quotTensorEquivQuotSMul M I) ∘ₗ LinearMap.rTensor M (Submodule.mkQ I) = (I • ⊤).mkQ ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid R M)
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : ι → Set β
⊢ ⋂₀ Set.range f = ⋂ x, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
h : o.bsup f = o.blsub f
i : Ordinal.{u}
⊢ ∀ (hi : i < o), f i hi < o.blsub f
a b : UInt64
⊢ a % b = { val := a.val % b.val }
M : Type u_1
AddCommMonoid M
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → ℕ → M
⊢ ∑ p ∈ Finset.antidiagonal n, f p n = ∑ p ∈ Finset.antidiagonal n, f p (p.1 + p.2)
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')
⊢ QuasiIso φ'
ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : UniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ F) 1
⊢ Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ F)