ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n b f : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ) (c : Char) (tl : List Char), (b.toDigitsCore f n (c :: tl)).length = (b.toDigitsCore f n tl).length + 1
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
s : Set α
a : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
ha : a ∈ s
⊢ f a ≠ a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
k : ℕ
⊢ LieSubmodule.ucs (k + 1) N = (LieSubmodule.ucs k N).normalizer
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
ht : t.Infinite
hst : s ⊆ t
hs : s.Finite
k : ℕ
hsk : s.ncard ≤ k
⊢ ∃ s', s ⊆ s' ∧ s' ⊆ t ∧ s'.ncard = k
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
hc : Fintype.card α < n
h : ¬G.CliqueFree n
⊢ n ≤ Fintype.card α
m a b : ℕ
h1 : a ≡ b [MOD m]
h2 : a < b + m
⊢ a ≤ b
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
⊢ (tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat) (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat)).unop ∘ₗ map Coalgebra.comul ((tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op (ModuleCat.mk N), Opposite.op (ModuleCat.mk P)) (Opposite.op (ModuleCat.mk N), Opposite.op (ModuleCat.mk P))).unop ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) = ↑(tensorTensorTensorComm R M M (N ⊗[R] P) (N ⊗[R] P)) ∘ₗ map Coalgebra.comul (↑(tensorTensorTensorComm R N N P P) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul)
M : Type u
Mul M
PseudoEMetricSpace M
IsometricSMul M M
a b c : M
⊢ edist (a * b) (a * c) = edist b c
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ha : a < 0
h : 1 < b
⊢ a * b < a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
R S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ R.arrows = S.arrows → R = S
α : Type u_2
s : Set α
⊢ 𝓝 (𝓟 s) = 𝓟 (Set.Iic (𝓟 s))
R : Type u_2
E : Type u_4
AddGroup E
SMul R ℝ
SMul R ℝ≥0
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p : NonarchAddGroupSeminorm E
⊢ ⇑(r • p) = r • ⇑p
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : Fork f g
⊢ t.ι ≫ f = t.ι ≫ g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
X₀ : C
f : X.obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0)) ⟶ X₀
w : ∀ (i : SimplexCategory) (g₁ g₂ : SimplexCategory.mk 0 ⟶ i), X.map g₁.op ≫ f = X.map g₂.op ≫ f
⊢ (X.augment X₀ f w).hom.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0)) = f
δ : Type u_1
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
∀ (i : δ), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq δ
s t : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hst : s ⊆ t
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
⊢ ∫⋯∫⁻_t, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_t, g ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
⊢ Filter.Tendsto (fun m => κ.densityProcess ν n a x (seq m)) Filter.atTop (𝓝 (κ.densityProcess ν n a x ∅))
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
⊢ LipschitzOnWith K f ∅
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Semiring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0
x✝ : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal p
⊢ x ^ m ∣ p.choose (i, j).1 • (x ^ (i, j).1 * y ^ (i, j).2)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → γ
l₁ : List α
l₂ : List β
z : γ
i : ℕ
⊢ (List.zipWith f l₁ l₂).get? i = some z ↔ ∃ x y, l₁.get? i = some x ∧ l₂.get? i = some y ∧ f x y = z
α : Type u_1
NonAssocSemiring α
n : ℕ
x : α
⊢ ↑n * x = x * ↑n
R : CommRingCat
M : Submonoid ↑R
x : PrimeSpectrum (Localization M)
⊢ CategoryTheory.IsIso
  (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap
    (AlgebraicGeometry.Spec.toPresheafedSpace.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op) x)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
DecidableEq ι
Module.Free R M
Module.Finite R M
b : Basis ι R L
A : Type u_8
CommRing A
Algebra R A
⊢ (LinearMap.tensorProduct R A M M ∘ₗ LinearMap.baseChange A φ).polyCharpoly (Algebra.TensorProduct.basis A b) =
  Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (φ.polyCharpoly b)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
s : Finset α
f : α → Filter β
t : Set β
⊢ t ∈ ⨅ x, f ↑x ↔ ∃ p, (∀ a ∈ s, p a ∈ f a) ∧ t = ⋂ x, p ↑x
α : Type u_6
β : Type u_7
ConditionallyCompleteLattice β
f g : Filter α
h : f ≤ g
u : α → β
hf : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
hg : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) g u := by isBoundedDefault
⊢ Filter.limsup u f ≤ Filter.limsup u g
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
⊢ a / b = c ↔ a = c * b
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
⊢ (∃ p k, Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = ↑a) ↔ ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
⊢ UnivLE.{u, v} ↔ Cardinal.univ.{u, v + 1} ≤ Cardinal.univ.{v, u + 1}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
CategoryTheory.Limits.HasKernel g
h : f = g
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelIsoOfEq h).hom ≫ CategoryTheory.Limits.kernel.ι g = CategoryTheory.Limits.kernel.ι f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
𝕜' : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : ContDiffOn 𝕜' n f s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.RightHomologyData
⊢ (S.rightHomologyIso.symm ≪≫ h.rightHomologyIso).hom ≫ h.ι = (S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι) ≫ h.opcyclesIso.hom
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
⊢ ∑ a_1 : Perm.ModSumCongr ιa ιb, (domCoprod.summand a b a_1) v = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
U : Set X
hxU : x ∈ U
U_op : IsOpen U
this : U ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ v ∈ fun U => IsClosed U ∧ IsOpen U, x ∈ v ∧ v ⊆ U
α : Type u
β : Type v
f : Filter β
m : α → β
hf : f.NeBot
s : Set α
hs : m '' s ∈ f
⊢ (Filter.comap m f).NeBot
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ M, ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Stream'.WSeq α
⊢ Stream'.WSeq.map f s.think = (Stream'.WSeq.map f s).think
A : Type u_1
Monoid A
a b : A
⊢ a * b = a * b
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
⊢ (algebraMap (↥F⟮α⟯) E) (IntermediateField.AdjoinSimple.gen F α) = α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
l : ι →₀ 𝕜
v : ι → E
x : E
⊢ ⟪x, l.sum fun i a => a • v i⟫_𝕜 = l.sum fun i a => a • ⟪x, v i⟫_𝕜
L : outParam FirstOrder.Language
F : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
FunLike F M N
FirstOrder.Language.Structure L M
FirstOrder.Language.Structure L N
self : FirstOrder.Language.HomClass L F M N
φ : F
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ φ (FirstOrder.Language.Structure.funMap f x) = FirstOrder.Language.Structure.funMap f (⇑φ ∘ x)
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
⊢ ∀ {a b : Submodule R M}, { toFun := restrictScalars S, inj' := ⋯ } a ≤ { toFun := restrictScalars S, inj' := ⋯ } b ↔ a ≤ b
𝕜 : Type u
E : Type v
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n : ℕ
z : 𝕜
⊢ ((p n) fun x => z) = z ^ n • p.coeff n
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
s : Perm α →* ℤˣ
hs : Surjective ⇑s
f : Perm α
x✝ : f.IsSwap
x y : α
hxy : x ≠ y
hxy' : f = swap x y
h : ¬s (swap x y) = -1
this✝¹ : ∀ (f : Perm α), f.IsSwap → s f = 1
g : Perm α
hg : s g = -1
l : List (Perm α)
hl : l.prod = g ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap
this✝ : ∀ a ∈ List.map (⇑s) l, a = 1
this : -1 = 1
⊢ False
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0
⊢ Real.tan (angle x (x - y)) * ‖x‖ = ‖y‖
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
IsSimpleModule R M
m : M
hm : m ≠ 0
⊢ Ideal.IsMaximal (LinearMap.ker (LinearMap.toSpanSingleton R M m))
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
k x : ℕ
kpos : 0 < k
⊢ (f.ppow k) x = f x ^ k
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o : Ordinal.{u}
h : isGood C l
hsC : contained C o
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬ord I i < o
⊢ eval C l ∈ Submodule.span ℤ (eval C '' {m | m < l})
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
⊢ (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).card = s.card % P.parts.card
α : Type u_1
ms : Set (MeasureTheory.OuterMeasure α)
s : Set α
⊢ (sSup ms) s = ⨆ m ∈ ms, m s
α : Type u_2
β : Type u_3
One α
a : Filter β
f : β → α
⊢ Filter.Tendsto f a 1 ↔ ∀ᶠ (x : β) in a, f x = 1
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
ι : Type u_3
Preorder ι
u v : ι → α
hu : CauchySeq u
hv : CauchySeq v
⊢ CauchySeq (u * v)
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
h✝ : Nontrivial R
⊢ (∀ (I : Ideal R), ⊥ < I → ¬I < ⊤) ↔ IsSimpleOrder (Ideal R)
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h0 : ↑0 ≠ 0 ∨ c ≠ 0
ht : ↑0 ≠ ⊤ ∨ c ≠ ⊤
⊢ a ≤ c / ↑0 ↔ a * ↑0 ≤ c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU' : U ∈ p.basisSets
⊢ ∃ V ∈ p.basisSets, V ⊆ (fun x => -x) ⁻¹' U
M : Type u
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module ℤ M
inst✝ : Finite ℤ M
hM : IsTorsion ℤ M
ι : Type
w✝ : Fintype ι
p : ι → ℤ
h : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
e : ι → ℕ
l : M ≃ₗ[ℤ] ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}
this✝¹ : ∀ (i : ι), NeZero (p i ^ e i).natAbs
this✝ : ∀ (i : ι), _root_.Finite (ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i})
this : _root_.Finite (⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i})
⊢ _root_.Finite M
xl xr : Type u
⊢ ∃ j, ∀ (i : (star.moveRight j).LeftMoves), (star.moveRight j).moveLeft i ⧏ 0
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : yn a1 m ∣ yn a1 n
hp : n % m > 0
co : (yn a1 m).Coprime (xn a1 (m * (n / m)))
m0 : 0 < m
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
f : α →. β
h : Partrec f
n : α
x✝ : Unit
⊢ x✝ ∈ Part.map (fun b => ()) (f n) ↔ x✝ ∈ Part.assert ((fun a => (f a).Dom) n) fun x => Part.some ()
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
Inf L
ContinuousInf L
f g : X → L
s : Set X
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
⊢ ContinuousOn (fun a => f a ⊓ g a) s
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a b : R
H : (C R) a = (C R) b
⊢ a = b
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
CompactSpace X
Nonempty X
MetricSpace Y
CompactSpace Y
Nonempty Y
⊢ GromovHausdorff.HD (GromovHausdorff.candidatesBDist X Y) ≤ Metric.diam Set.univ + 1 + Metric.diam Set.univ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsPreorder α r
p : Antisymmetrization α r → Prop
a : Antisymmetrization α r
h : ∀ (a : α), p (toAntisymmetrization r a)
⊢ p a
R : Type u_1
CommRing R
a b : R
p : ℕ
hp : Odd p
⊢ ↑p ^ 2 ∣ ∑ i ∈ Finset.range p, (a + ↑p * b) ^ i * a ^ (p - 1 - i) - ↑p * a ^ (p - 1)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
S : Set C(X, α)
hS1 : IsCompact (ContinuousMap.toFun '' S)
hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
⊢ Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun ?m.51400) ∘ Subtype.val ∘ ⇑(Equiv.Set.image DFunLike.coe S ⋯))
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℚ≥0
⊢ ↑(∑ a ∈ s, f a) = ∑ a ∈ s, ↑(f a)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherian R M
f : ℕ → Submodule R M
h : ∀ (n : ℕ), Disjoint ((partialSups f) n) (f (n + 1))
⊢ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f m = ⊥
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : Submodule R P
n : ℕ
⊢ IsFractional S I → IsFractional S (n • I)
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
f g : M ≃+ N
h : f = g
x : M
⊢ f x = g x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
B : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
⊢ (𝟙 B).hom = 𝟙 B.pt
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Inv G
Zero G
SmoothInv₀ I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
n : ℕ∞
f : M → G
s : Set M
a : M
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s a
ha : f a ≠ 0
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => (f x)⁻¹) s a
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P.f_modif (1 / x) = (P.ε * ↑(x ^ P.k)) • P.g_modif x
G : Type u_4
E : Type u_5
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
Group G
MeasurableMul G
MeasurableInv G
f : G → E
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsInvInvariant
μ.IsMulLeftInvariant
x' : G
⊢ ∫ (x : G), f (x' / x) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
self : CategoryTheory.ProjectivePresentation X
⊢ CategoryTheory.Epi self.f
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
⊢ IsUnit p ↔ ∃ r, IsUnit r ∧ Polynomial.C r = p
b : ℂ
c T : ℝ
⊢ ‖cexp (-b * (↑T + ↑c * Complex.I) ^ 2)‖ = rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * b.im * c * T - b.re * c ^ 2))
x : ℂ
n : ℤ
y : ℂ
⊢ x ^ (↑n * y) = (x ^ y) ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Monotone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : α), F x ∂μ = ∫⁻ (a : α), ⨆ n, f n a ∂μ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
g : τ → α
p : MvPolynomial σ R
⊢ eval₂ ((eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) fun x => X (g x)).comp C) (fun x => X (g (f x))) p = (eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) fun x => X (g (f x))) p
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
inst✝ : Module.Finite R M
v : ι → M
h : LinearIndependent R v
⊢ ?b < lift.{?u.168006, w} ℵ₀
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : Cᵒᵖ
s : CategoryTheory.Limits.Cocone (CategoryTheory.coyoneda.obj X)
⊢ ∀ (x : (CategoryTheory.Coyoneda.colimitCocone X).pt),
  (CategoryTheory.Coyoneda.colimitCoconeIsColimit X).desc s x = s.ι.app (Opposite.unop X) (𝟙 (Opposite.unop X))
n k : ℕ
h : k ≤ n
⊢ n.descFactorial k = n ! / (n - k)!
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
x : R
hxJ : x ∉ J
hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}
hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J ⊔ Ideal.span {x}
hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}
this✝¹ : J ⊔ Jac • Ideal.span {x} ≤ J ⊔ Ideal.span {x}
this✝ : Jac * Ideal.span {x} ≤ J
this : Ideal.span {x} * Jac ^ (n + 1) ≤ ⊥
y : R
hy : y ∈ Jac ^ n
⊢ y ∈ Jac ^ (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
x : β
⊢ MeasurableSet (↑f ⁻¹' {x})
K : Type u_3
DivisionRing K
a b : K
h : b ≠ 0
⊢ a / b - 1 = (a - b) / b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ f.mop.unmop = f
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
⊢ 3 / 4 * ε ≤ |(∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card) - (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card)|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
SemilatticeSup β
OrderBot β
Zero β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
MeasurableSpace β
OpensMeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
i : ℕ → β
f : γ → β
g : α → γ
n : ℕ
a : α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approx i (f ∘ g) n) a = ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approx i f n) (g a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ a + ?a ≤ a + c - (b + c) + b + ?a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
NormedAddCommGroup γ
NormedSpace ℝ γ
BorelSpace γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : β), g x ∂ν
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
⊢ (f y - f a) / (y - a) < (f x - f a) / (x - a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
⊢ Continuous p.sum
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
f g : ι → R
s t : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ ∅, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ ∅, f i ≤ g i
⊢ ∏ i ∈ ∅, f i ≤ ∏ i ∈ ∅, g i
A : Type u
CommRing A
Nontrivial A
a b : ℕ
h : a.Coprime b
⊢ ↑a ≠ 0 ∨ ↑b ≠ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
f : X → Y
a : X
b : Y
h : ∀ (u : ℕ → X), Tendsto u atTop (𝓝 a) → Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 b)
s : Set Y
hbs : b ∉ s
hsc : IsClosed s
⊢ a ∈ closure (f ⁻¹' s) → b ∈ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.opMap φ).τ₂ = φ.τ₂.op
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : ChainComplex V ℕ
i : ℕ
⊢ C.augmentTruncate.inv.f (i + 1) = 𝟙 (C.X (i + 1))
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet sᶜ μ ↔ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
X Y : J
f : X ⟶ Y
⊢ 𝟙 c.pt ≫ c.π.app Y = c.π.app X ≫ (D.map f).f
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
h : ¬{i | ¬∃ b, p.c b ∉ p.iUnionUpTo i ∧ p.R i ≤ p.τ * p.r b}.Nonempty
⊢ False
n : ℕ
i j : Fin (n + 1)
hi : i ≠ Fin.last n
hj : j ≠ Fin.last n
⊢ i.castPred hi = j.castPred hj ↔ i = j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace E
CompleteSpace (F × G)
f : E →L[𝕜] F
g : E →L[𝕜] G
hf : LinearMap.range f = ⊤
hg : LinearMap.range g = ⊤
hfg : IsCompl (LinearMap.ker f) (LinearMap.ker g)
x : E
⊢ (f.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl g hf hg hfg) x = (f x, g x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β
abv : β → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv
G : Type u_3
inst✝¹ : SMul G β
inst✝ : IsScalarTower G β β
f1 f2 : CauSeq β abv
c : G
hf : f1 ≈ f2
⊢ c • f1 ≈ c • f2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
⊢ ↑s = univ ↔ s = ⊤
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
Nonempty X
MetricSpace Y
Nonempty Y
⊢ Continuous GromovHausdorff.HD
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_4
s : Finset ι
DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
⊢ ∑ t ∈ s, Finset.weightedVSubVSubWeights k i j t = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Complex.im ⁻¹' Set.Ioo a b)
hB :
  ∃ c < π / (b - a),
    ∃ B,
      f =O[Filter.comap (abs ∘ Complex.re) Filter.atTop ⊓ 𝓟 (Complex.im ⁻¹' Set.Ioo a b)] fun z =>
        expR (B * expR (c * |z.re|))
ha : ∀ (z : ℂ), z.im = a → f z = 0
hb : ∀ (z : ℂ), z.im = b → f z = 0
⊢ Set.EqOn f 0 (Complex.im ⁻¹' Set.Icc a b)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i : ℕ
h : i < l.length
⊢ l[i] = l[i]?.get ⋯
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
f' : α → E'
l : Filter α
⊢ (fun x => ‖f' x‖) =O[l] g ↔ f' =O[l] g
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
hx : x ≤ a
⊢ Set.projIcc a b h x = ⟨a, ⋯⟩
α : Type u_1
ι : Type u_4
PartialOrder α
OrderBot α
s : Set ι
f : ι → α
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ (insert i s).PairwiseDisjoint f ↔ s.PairwiseDisjoint f ∧ ∀ j ∈ s, Disjoint (f i) (f j)
n : ℕ
⊢ properDivisors 1 = ∅
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : LocalizedModule S M
m : M
s : ↥S
⊢ 0 + mk m s = mk m s
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
v : ι → M
⊢ span R (range v) = ⨆ i, span R {v i}