ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
Monoid G
a : G
b : k
⊢ MonoidAlgebra.single a b = (algebraMap k (MonoidAlgebra k G)) b * (MonoidAlgebra.of k G) a
α : Type u_1
a b c d : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
MulPosMono α
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d
c0 : 0 ≤ c
b0 : 0 ≤ b
⊢ a * c ≤ b * d
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
⊢ s • (t₁ ∪ t₂) = s • t₁ ∪ s • t₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.PreservesEffectiveEpis
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.EffectiveEpi f
⊢ CategoryTheory.EffectiveEpi (F.map f)
a b c : ℕ
ha : 0 < a
⊢ a * b ∣ a * c ↔ b ∣ c
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
F : (α →₀ M) →+ N
x : α
⊢ Finsupp.liftAddHom.symm F x = F.comp (Finsupp.singleAddHom x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ComposableArrows Cᵒᵖ n} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ComposableArrows.opEquivalence C n).inverse.map f =
    (CategoryTheory.whiskerLeft (⋯.functor.comp (CategoryTheory.orderDualEquivalence (Fin (n + 1))).functor)
        (CategoryTheory.NatTrans.leftOp f)).op
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ W.ψ (2 * (↑m + 2) + 1) = W.ψ (↑m + 4) * W.ψ (↑m + 2) ^ 3 - W.ψ (↑m + 1) * W.ψ (↑m + 3) ^ 3
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : 0 < 1 / x
⊢ |log x * x| < 1
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ Neg.neg '' Set.Ici a = Set.Iic (-a)
a : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a 1 → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a.minFac 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.Limits.kernel.ι f = 0
n m b : ℕ
⊢ m < (b + 1 + 1) ^ ((b + 1 + 1).digits m).length
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
⊢ closure (⋃₀ S) = ⋃ s ∈ S, closure s
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y z : P
x : V
⊢ midpoint R (-x) x = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
r : α → α → Prop
hr : ∀ (a : α), 1 < count a l → r a a
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b
a b : α
hab : [a, b] <+ l
⊢ r a b
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b c : α
H : b ∈ Set.Ico a c
⊢ Set.Icc a c ∈ 𝓝[≥] b
f : ℂ → ℂ
c z : ℂ
R R₁ R₂ : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball 0 R)
h_maps : MapsTo f (ball 0 R) (ball 0 R)
h₀ : f 0 = 0
hz : z ∈ ball 0 R
⊢ abs (f z) ≤ abs z
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁹ : Monoid A
inst✝¹⁸ : Monoid B
inst✝¹⁷ : Monoid C
inst✝¹⁶ : Monoid D
inst✝¹⁵ : CommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group X
inst✝⁶ : TopologicalGroup X
inst✝⁵ : UniformSpace Y
inst✝⁴ : CommGroup Y
inst✝³ : UniformGroup Y
inst✝² : T0Space Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : LocallyCompactSpace X
V : ℕ → Set Y
hV : ∀ {n : ℕ} {x : Y}, x ∈ V n → x * x ∈ V n → x ∈ V (n + 1)
hVo : (nhds 1).HasBasis (fun x => True) V
U0 : Set X
hU0c : IsCompact U0
hU0o : U0 ∈ nhds 1
U_aux : ℕ → ↑{S | S ∈ nhds 1} := fun t => Nat.rec ⟨U0, hU0o⟩ (fun x S => let h := ⋯; ⟨Classical.choose h, ⋯⟩) t
U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)
hU1 : ∀ (n : ℕ), U n ∈ nhds 1
hU2 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) * U (n + 1) ⊆ U n
hU3 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) ⊆ U n
hU4 : ∀ (f : X →* Y), Set.MapsTo (⇑f) (U 0) (V 0) → ∀ (n : ℕ), Set.MapsTo (⇑f) (U n) (V n)
n : ℕ
x✝¹ : True
x : X
hx : x ∈ U n
x✝ : ↑{f | Set.MapsTo (⇑f) (U 0) (V 0)}
f : X →* Y
hf : f ∈ {f | Set.MapsTo (⇑f) (U 0) (V 0)}
⊢ (↑⟨f, hf⟩ 1, ↑⟨f, hf⟩ x) ∈ {x | x.2 / x.1 ∈ V n}
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
⊢ x ∈ ⊥ ↔ x = 0
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
hs : (s ∩ Function.support f).Infinite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = 0
x y : Nat
p : x ≠ y
⊢ ∃ i, x.testBit i ≠ y.testBit i
R : Type u
CommSemiring R
t : Set (PrimeSpectrum R)
s : Set R
⊢ t ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus s ↔ s ⊆ ↑(PrimeSpectrum.vanishingIdeal t)
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x✝ x₁ x₂ y✝ y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
I : Ideal A
x y : A
n : ℕ
hxy : x ≡ y [SMOD I]
⊢ x ^ n ≡ y ^ n [SMOD I]
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
⊢ a ∈ LocalRing.maximalIdeal ↥A ↔ A.valuation ↑a < 1
M : Type u_2
N : Type u_3
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
hf : ∀ (x y : M), Commute (f x) (f y)
⊢ ⇑(f.fromOpposite hf) = ⇑f ∘ MulOpposite.unop
ι : Type u_2
γ : Type u_5
AddMonoid γ
M : ι → Type u_6
(i : ι) → AddMonoid (M i)
Finite ι
DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → M i) →+ γ
h : ∀ (i : ι) (x : M i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
⊢ f = g
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : C ⥤ Type v₁
t : F.obj X
⊢ coyonedaEquiv.symm (F.map f t) = coyoneda.map f.op ≫ coyonedaEquiv.symm t
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t : Set α
⊢ Set.image2 (fun x x_1 => x ⊓ x_1) s t = s ⊼ t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
⊢ iteratedDerivWithin n f s x = (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) fun x => 1
α : Type u₁
β : Type u₂
MulZeroClass β
a : α
b₁ b₂ : β
⊢ Finsupp.single a (b₁ * b₂) = Finsupp.single a b₁ * Finsupp.single a b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
p : β → Prop
f : α → β
a : α
⊢ PFun.toSubtype p f a = { Dom := p (f a), get := Subtype.mk (f a) }
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
⊢ X.δ i ≫ X.σ j = X.σ (j.castLT ⋯) ≫ X.δ (i.pred ⋯)
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
⊢ {i | ¬∃ b, p.c b ∉ p.iUnionUpTo i ∧ p.R i ≤ p.τ * p.r b}.Nonempty
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p
⊢ 2 * a < p
x : ℝ
⊢ Real.sinh x < x ↔ x < 0
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
x : α
f : ℕ → α → α
⊢ (range fun n => rec x f n) = {x} ∪ range fun n => rec (f 0 x) (f ∘ succ) n
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S.leftInv
h : ∃ u, ↑u = ↑((↑S.fromCommLeftInv).toFun x)
⊢ (Classical.choose h).inv = ↑x
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : G ≈ 0
⊢ G ≈ 0 ∨ G ‖ 0
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
f : Fin n → α
⊢ Fin.snoc f a ∘ Fin.rev = Fin.cons a (f ∘ Fin.rev)
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
⊢ ⊥.IsQF
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
A.IsTrivial
f : Additive G →+ CoeSort.coe A
⊢ ⇑f ∘ ⇑Additive.ofMul ∈ groupCohomology.oneCocycles A
G : Type u_2
AddGroup G
H : AddSubgroup G
g : G
h : ↥H.op
s : Set G
⊢ (fun y => h +ᵥ y) '' ((fun x => g + x) ⁻¹' s) = (fun x => g + x) ⁻¹' ((fun y => h +ᵥ y) '' s)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
F : ExteriorAlgebra R M →ₗ[R] N
i : ℕ
⊢ ExteriorAlgebra.liftAlternatingEquiv.symm F i = F.compAlternatingMap (ExteriorAlgebra.ιMulti R i)
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
α β : Type v
f : α → β
x : Functor.Comp F G α
⊢ (Seq.seq (pure f) fun x_1 => x) = f <$> x
θ₂ : Angle
x✝ : ℝ
⊢ (↑x✝ + θ₂).sin = (↑x✝).sin * θ₂.cos + (↑x✝).cos * θ₂.sin
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n m : ℕ
i : [m] ⟶ [n]
hi : Mono i
h₁ : [m].len ≠ n
h₂ : ¬Isδ₀ i
k : ℕ
hk : n = m + k + 1
⊢ PInfty.f n ≫ X.map i.op = 0
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
i : ι → ι
h : Injective i
σ : Equiv.Perm ι := Equiv.ofBijective i ⋯
⊢ (f fun i_1 => e (i i_1)) = (f ⇑e • e.det) fun i_1 => e (i i_1)
α : Type u_1
DecidableEq α
AddCommGroup α
Fintype α
t : Finset α
⊢ Finset.univ.addEnergy t = Fintype.card α * t.card ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
C : EReal
h : C ≠ ⊥
h' : C ≠ ⊤
this : (fun n => C / ↑n) = fun n => ↑(C.toReal / ↑n)
⊢ Tendsto (fun n => C.toReal / ↑n) atTop (𝓝 0)
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0
inj : Function.Injective ⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)
⊢ (p.rootSet ℂ).toFinset.card = (Finset.image (⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)) (p.rootSet ℝ).toFinset).card + (Finset.image (fun a => ↑a) ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support).card
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : SemilatticeInf α
a b c : α
⊢ Ioc a b ∩ Iic c = Ioc a (b ⊓ c)
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
t : Set G
⊢ μ' t = ((μ' s / ν' s) • ν') t
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod n)ˣ
this : ↑u * (↑u)⁻¹ = 1
u' : (ZMod n)ˣ := { val := ↑u, inv := (↑u)⁻¹, val_inv := this, inv_val := ⋯ }
h : u = u'
⊢ (↑u)⁻¹ = ↑u⁻¹
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
b : ℝ
hb✝ : 0 ≤ b
hb : 0 = ↑n + b
⊢ ↑(SignType.sign (↑n + b)) / ↑(↑n + b) ^ s = 1 / ↑(↑n + b) ^ s
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
x : Kˣ
⊢ x ∈ A.principalUnitGroup ↔ A.valuation (↑x - 1) < 1
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
x✝ : i ∈ univ
⊢ ∑ y : Perm (Fin n), sign (decomposeFin.symm (0, y)) • ∏ x : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (0, y)) x) x = (-1) ^ ↑0 * A 0 0 * (of fun i j => A (Fin.succAbove 0 i) j.succ).det
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
S T : Set (Projectivization K V)
⊢ Projectivization.Subspace.span S = Projectivization.Subspace.span T ↔
  S ⊆ ↑(Projectivization.Subspace.span T) ∧ T ⊆ ↑(Projectivization.Subspace.span S)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
h_aJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
a₁ : R := choose ⋯
J₁ : Ideal R := choose ⋯
h_a₁J₁ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁)⁻¹ * ↑J₁
h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0
h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0
h_a_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
h_J_ne_zero : J ≠ 0
h_a₁' : spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁) ≠ 0
h_a' : spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a) ≠ 0
⊢ count K v I = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsColimit t.toCocone
⊢ t.snd = ht.desc (BinaryCofan.mk 0 (𝟙 Y))
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e✝ : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
e : σ ≃ Fin n
φ : MvPolynomial (Option σ) R
⊢ (finSuccEquiv R n) ((rename ⇑(e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv n).symm)) φ) = Polynomial.map (rename ⇑e).toRingHom ((optionEquivLeft R σ) φ)
α : Type u_1
p q : α → Prop
f : Filter α
hq : ∀ (x : α), p x ↔ q x
⊢ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in f, q x
α : Type u_1
G : Type u_5
SeminormedAddCommGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
SecondCountableTopology G
f : α → G
_m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
hf : Measurable f
⊢ MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
⊢ a < a⁻¹ ↔ a < 1
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
adj : G ⊣ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ E
f : P ⟶ Q
hf : J.W f
this : F.IsRightAdjoint
R : Cᵒᵖ ⥤ D
hR : Presheaf.IsSheaf J R
e_1✝ : (Q ⋙ G ⟶ R) = (((whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G).obj Q ⟶ R)
e_2✝ : (P ⟶ ((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj R) = (P ⟶ R ⋙ F)
⊢ (⇑((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv P R) ∘ fun g => whiskerRight f G ≫ g) = ⇑(((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv Q R).trans (Localization.LeftBousfield.W.homEquiv hf (R ⋙ F) ⋯))
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f : E →ₛₗ[σ₁₃] F →ₛₗ[σ₂₃] G
C : ℝ
h : ∀ (x : E) (y : F), ‖(f x) y‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
x : E
⊢ max (C * ‖x‖) 0 = max C 0 * ‖x‖
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ (α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq m
DecidableEq n
Semiring α
i : m
j : n
c : α
⊢ Matrix.stdBasisMatrix i j c i j = c
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
H : SimpleGraph V
q : G.Walk u u
qc : q.IsCycle
hq : ∀ e ∈ q.edges, e ∈ H.edgeSet
⊢ (q.transfer H hq).IsCycle
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ↑(Iic 1)
⊢ ↑((fun x => ⟨(x⁻¹ + 1)⁻¹, ⋯⟩) ((fun x => ((↑x)⁻¹ - 1)⁻¹) x)) = ↑x
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Inv G
inst✝⁵ : ContinuousInv G
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Group α
inst✝² : Group β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousInv β
f : F
_tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ
⊢ Continuous fun x => (f x)⁻¹
G : Type u_1
⊢ Function.Injective (@AddGroup.toSubNegMonoid G)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E → F
h : IsLinearMap 𝕜 f
hf : Continuous f
hfinj : Function.Injective f
⊢ StrictConvex 𝕜 (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ : Subgroup α
a b : α
N : Subgroup α
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ mk ⁻¹' (mk '' s) ↔ x ∈ ⋃ x, (fun x_1 => x_1 * ↑x) ⁻¹' s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
DecidablePred fun x => x ∈ s
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (Set.univ.pi fun i => if i ∈ s then t i else Set.univ) = s.pi t
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
M : Type w₁
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
AddCommGroup M
LieRingModule L₂ M
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
x : L₁
m : M
⊢ ⁅x, m⁆ = ⁅f x, m⁆
o : Ordinal.{u_3}
⊢ Order.succ o ≠ 0
α β : PartOrd
e : ↑α ≃o ↑β
⊢ (PartOrd.Iso.mk e).inv = ↑e.symm
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) ∣ orderOf x
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
b : β
hu : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h : b < limsup u f
⊢ ∃ᶠ (x : α) in f, b < u x
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ Monotone fun I => I.face i
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
ho : o ≠ 0
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), Ordinal.IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
b : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi b < o.nfpBFamily f a) ↔ b < o.nfpBFamily f a
R : Type u_1
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
i : ι × κ
r : R
⊢ (finsuppTensorFinsupp' R ι κ).symm (Finsupp.single i r) = Finsupp.single i.1 r ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
Zero E
TopologicalSpace E
s t : Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (s ∪ t) ↔ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ∧ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
W X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.lift f g ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd = g
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure ℝ
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
u : ℝ → E
a b : ℝ
hu : MonotoneOn u [[a, b]]
⊢ IntegrableOn u (Ι a b) μ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : ¬x = 0
⊢ 0 ≤ x.valuation
A : Type u_3
MulZeroOneClass A
f g : ℕ →*₀ A
⊢ (∀ {n : ℕ}, 0 < n → f n = g n) → f = g
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
i j : ι
p : B × F
⊢ p ∈ (Z.trivChange i j).source ↔ p.1 ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hi : Irreducible p
a b : K[X]
hab : map (algebraMap R K) p = a * b
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
T U : C
f : T ⟶ X
g : T ⟶ Y
h : X ⟶ U
i : Y ⟶ U
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.lift f g ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.desc h i = f ≫ h + g ≫ i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a✝ b : α
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
hts : { ofColex := t } ≤ { ofColex := s }
a : α
has : a ∈ s
⊢ a ∈ t
α : Type u_1
Add α
LE α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ AddLECancellable a
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedCommMonoid N
f : ι → N
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i
⊢ 1 ≤ ∏ i ∈ s, f i
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
S : Type v
NonAssocSemiring S
f g : R ⧸ I →+* S
h : f.comp (Ideal.Quotient.mk I) = g.comp (Ideal.Quotient.mk I)
⊢ f = g
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R ≃+* S
K : Subring R
⊢ Subring.map (↑f) K = Subring.comap (↑f.symm) K
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
A : Type u_1
Semiring A
SMul R A
(i : ι) → Module A (M₁ i)
Module A M₂
∀ (i : ι), IsScalarTower R A (M₁ i)
IsScalarTower R A M₂
f : MultilinearMap A M₁ M₂
⊢ ⇑(MultilinearMap.restrictScalars R f) = ⇑f
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
⊢ ↑s₂.card / ↑s₁.card ≤ 1
f : ℝ → ℝ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) (log ∘ f)
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = y * f y
hf_pos : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → 0 < f y
hf_one : f 1 = 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
e1 : Tendsto (BohrMollerup.logGammaSeq x) atTop (𝓝 ((log ∘ f) x - (log ∘ f) 1))
⊢ (log ∘ f) x = (log ∘ Gamma) x
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
ha : IsBot a
h : b ≤ a
⊢ IsBot b
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
z : ℤ
⊢ Continuous fun a => a ^ z
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
⊢ (ascPochhammer ℤ 0).smeval r = (ascPochhammer ℕ 0).smeval r
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB : M.Base B
h : B.Nonempty
⊢ ¬M.Base ∅
ι : Type u_1
α : Type u_2
PartialOrder α
Zero α
LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α
⊢ Finset.Icc f g = (f.support ∪ g.support).finsupp ⇑(f.rangeIcc g)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (o.kahler x) y ≠ 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.Measure.join 0 = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ↥(Lp E p μ)
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ C
hμ : ¬μ = 0
⊢ C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹ = ↑(measureUnivNNReal μ ^ p.toReal⁻¹ * C)
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
E : K ⥤ J
inst✝ : HasColimit (E ⋙ F)
k : K
⊢ ι (E ⋙ F) k ≫ pre F E = ι F (E.obj k)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
⊢ JoinedIn univ x y ↔ Joined x y
f : ℝ → ℝ
a f' : ℝ
hf : HasDerivAt f f' a
⊢ HasDerivAt (fun x => Real.arsinh (f x)) ((√(1 + f a ^ 2))⁻¹ • f') a
n : ℕ
h : n.sqrt = 1
⊢ n ≤ 3
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct W Y
inst✝ : HasBinaryProduct X Z
g : W ⟶ X
g' : Y ⟶ Z
⊢ lift (fst ≫ g) (snd ≫ g') = map g g'
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : ↑n ≤ multiplicity J I
hI : ¬I = ⊥
⊢ n ≤ count J (normalizedFactors I)
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
i : Fin g.natDegree
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → (monomial ↑b) (Function.update 0 i 1 b) = 0
n : ℕ
⊢ ∑ i : Affine.Simplex.PointsWithCircumcenterIndex n, Affine.Simplex.circumcenterWeightsWithCircumcenter n i = 1
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
s : Finset α
f : α → M
hf : ∀ (a : α), f a ≠ 0 → a ∈ s
⊢ (Finsupp.onFinset s f hf).support ⊆ s
E : Type u_1
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
mE : MeasurableSpace E
tE : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
g : E → ℝ
h1 : g 0 = 0
h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x
h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y
h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0
h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x
inst✝ : Nontrivial E
r : ℝ
F : Type u_1 := E
this✝³ : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯
this✝² : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.mk ⋯
this✝¹ : TopologicalSpace F := UniformSpace.toTopologicalSpace
this✝ : MeasurableSpace F := borel F
this : BorelSpace F
φ : E ≃L[ℝ] F := (LinearEquiv.refl ℝ E).toContinuousLinearEquiv
ν : Measure F := map (⇑φ) μ
⊢ μ {x | g x ≤ r} = μ {x | g x < r}
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
ht : UniqueDiffWithinAt 𝕜 t y
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
P : ι → α → Prop
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ ⋂ i, {x | P i x} ↔ x✝ ∈ {x | ∀ (i : ι), P i x}