ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
p : Sort u_4
f : M → ↥S → M → ↥S → p
H :
  ∀ {a a' : M} {b b' : ↥S} {c c' : M} {d d' : ↥S},
    (Localization.r S) (a, b) (a', b') → (Localization.r S) (c, d) (c', d') → f a b c d = f a' b' c' d'
a c : M
b d : ↥S
⊢ ((Localization.monoidOf S).mk' a b).liftOn₂ ((Localization.monoidOf S).mk' c d) f H = f a b c d
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M
⊢ 3 • a = a + a + a
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f' n x
hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), F x ∂μ))
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
s : Set P
⊢ Metric.diam (⇑f '' s) = Metric.diam s
X : Type u_1
s : Set X
⊢ OnePoint.infty ∉ OnePoint.some '' s
α : Type u
Monoid α
a b : α
Invertible a
hac : a * b = 1
⊢ ⅟a = b
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) μ
I2 : Integrable (fun a => (L (f a)) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ
⊢ HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
⊢ ContDiff ℝ n ↑univUnitBall
α : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
f : LocallyConstant X α
⊢ ⇑f.lift ∘ f.discreteQuotient.proj = ⇑f
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ (P.X ⊗ Q.X) L.X U.X).hom ≫ (((α_ P.X Q.X (L.X ⊗ U.X)).hom ≫ P.X ◁ Q.X ◁ L.actRight) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = (α_ P.X Q.X L.X).hom ▷ U.X ≫ (P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ▷ U.X ≫ (α_ P.X (Q.tensorBimod L).X U.X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
⊢ WithSeminorms p ↔ t = ⨅ i, UniformSpace.toTopologicalSpace
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_7
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α → β
hf : Monotone f
s : (i : ι) → κ i → α
⊢ f (⨅ i, ⨅ j, s i j) ≤ ⨅ i, ⨅ j, f (s i j)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Mul G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
x : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffAt I' I n f x
hg : ContMDiffAt I' I n g x
⊢ ContMDiffAt I' I n (f * g) x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
⊢ (∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x) ↔ ∃ y z, ↑y + ↑z = x
α : Type u
β : Type v
Ring α
Ring β
f : α → β
x y : α
hf : IsRingHom f
⊢ f (x - y) = f x - f y
R : Type u_1
x : R
Zero R
Pow R ℕ
hx : 0 < nilpotencyClass x
⊢ IsNilpotent x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
e : C ≌ D
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPushforward e.functor S =
  CategoryTheory.Sieve.functorPullback e.inverse (CategoryTheory.Sieve.pullback (e.unitInv.app X) S)
α : Type u
β : Type v
s : Set α
t : Set β
hst : ↑s ≃ ↑t
⊢ s.Finite ↔ t.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
⊢ (s.Nonempty → ∃ x, s = {x}) ↔ ∀ (a b : α), a ∈ s → b ∈ s → a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
f✝ : Filter α
b : α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
inst✝¹ : Countable (Subtype p)
inst✝ : Nonempty (Subtype p)
hv : v.HasBasis p s
f : ι → α
hs : ∀ (j : Subtype p), (s ↑j).Nonempty
j0 : Subtype p
hj0 : BddBelow (range fun i => f ↑i)
m : Set (Subtype p) := {j | BddBelow (range fun i => f ↑i)}
this : ∀ (j : Subtype p), Nonempty ↑(s ↑j)
A : ⋃ j, ⋂ i, Iic (f ↑i) = ⋃ j, ⋂ i, Iic (f ↑i)
B : ∀ (j : Subtype p), ⋂ i, Iic (f ↑i) = Iic (⨅ i, f ↑i)
⊢ liminf f v = ⨆ j, ⨅ i, f ↑i
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
⊢ False
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
A : Tendsto (fun i => ∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
n i : ℕ
x✝ : i ∈ range n
⊢ Integrable (truncation (X i) ↑i) ℙ
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
r : R
f : R → R
h₁ : ContinuousOn f (spectrum R ((algebraMap R A) r))
⊢ (cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R ((algebraMap R A) r)).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } = (cfcHom ⋯) ((algebraMap R C(↑(spectrum R ((algebraMap R A) r)), R)) (f r))
G : Type u_11
P : Type u_12
AddMonoid G
self : AddAction G P
g₁ g₂ : G
p : P
⊢ g₁ + g₂ +ᵥ p = g₁ +ᵥ (g₂ +ᵥ p)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsMarkovKernel η
x : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((κ ⊗ₖ η).fst x) s = (κ x) s
M' : Type u_1
X : Type u_5
SMul M' X
Y : Type u_6
SMul M' Y
f : X →ₑ[id] Y
m : M'
x : X
⊢ f (m • x) = m • f x
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : Integrable f μ
I : Integrable (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ y - AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : f x = AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x
a : Set α
y : α
hy : f y = AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ y
⊢ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ y - AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊ = ↑‖f y - f x‖₊
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
h : IsPrimitiveRoot μ 0
⊢ minpoly ℤ μ ∣ X ^ 0 - 1
Δ Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ image φ
inst✝¹ : Epi e
i : image φ ⟶ Δ''
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = φ
⊢ image.ι φ = i
x : ℝ
hx_pos : 0 < x
hx : x ≠ 1
⊢ Real.log x ≠ 0
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a * b < b⁻¹ * b ↔ a * b < 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
e : α ≃ᵐ β
hfe : Measurable (f ∘ ⇑e)
this : Measurable (f ∘ ⇑(e.symm.trans e).toEquiv)
⊢ Measurable f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
h : HasDerivAt f f' x
⊢ ContinuousAt f x
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) ⊥ = 0
R S : CommRingCat
f✝ : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑R
inst✝ : Algebra ↑R ↑S
y : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk p)
r : ↑R
hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r
s' : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen r)))
e : (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y
s : ↑S
n : ℕ
hsn : s' * (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) ((algebraMap ↑R ↑S) (r ^ n)) = (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) s
f : ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen r)) ⟶ ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk ↑⟨p, hpr⟩ := ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩
⊢ f (s' * (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op) ((toOpen ↑S ⊤) ((algebraMap ↑R ↑S) ↑(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2))) = f ((((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op) ((toOpen ↑S ⊤) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1))
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : EnoughInjectives C
Z : C
n : ℕ
⊢ (ShortComplex.mk ((CochainComplex.of (fun n => (CochainComplex.mkAux (under Z) (syzygies (Injective.ι Z)) (syzygies (d (Injective.ι Z))) (d (Injective.ι Z)) (d (d (Injective.ι Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.g, ⟨d S.g, ⋯⟩⟩) n).X₁) (fun n => (CochainComplex.mkAux (under Z) (syzygies (Injective.ι Z)) (syzygies (d (Injective.ι Z))) (d (Injective.ι Z)) (d (d (Injective.ι Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.g, ⟨d S.g, ⋯⟩⟩) n).f) ⋯).d n (n + 1)) ((CochainComplex.of (fun n => (CochainComplex.mkAux (under Z) (syzygies (Injective.ι Z)) (syzygies (d (Injective.ι Z))) (d (Injective.ι Z)) (d (d (Injective.ι Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.g, ⟨d S.g, ⋯⟩⟩) n).X₁) (fun n => (CochainComplex.mkAux (under Z) (syzygies (Injective.ι Z)) (syzygies (d (Injective.ι Z))) (d (Injective.ι Z)) (d (d (Injective.ι Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.g, ⟨d S.g, ⋯⟩⟩) n).f) ⋯).d (n + 1) (n + 1 + 1)) ⋯).Exact
θ : Angle
⊢ (2 • θ).sign = θ.sign ↔ θ = ↑π ∨ |θ.toReal| < π / 2
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedSemiring α✝
inst✝² : FloorSemiring α✝
a✝ : α✝
n : ℕ
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorSemiring α
z : ℤ
a : ℕ
⊢ ↑z ≤ ↑a ↔ z ≤ ↑a
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
⊢ (X ^ 0 * p).smeval x = x ^ 0 * p.smeval x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
DivisionSemiring α
h : Function.Periodic f c
a : α
⊢ Function.Periodic (fun x => f (x / a)) (c * a)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
g : α → ℝ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ ≤ g a
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p μ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ (i : ι), ContMDiff I' I n (f i)
hfin : LocallyFinite fun i => Function.support (f i)
⊢ ContMDiff I' I n fun x => ∑ᶠ (i : ι), f i x
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
a : α
⊢ (OrderIso.sumLexDualAntidistrib α β) (OrderDual.toDual (Sum.inl a)) = Sum.inr (OrderDual.toDual a)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NoZeroDivisors α
s : Set α
a : α
ha : a ≠ 0
hs : ThreeGPFree (a • s)
b : α
hb : b ∈ s
c : α
hc : c ∈ s
d : α
hd : d ∈ s
h : b * d = c * c
⊢ a • b * a • d = a * c * (a * c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ
⊢ f (n • c - x) = ↑n.negOnePow • f (-x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
n✝ : ℕ
s t : Finset α
n : ℕ
m : Sym α n
⊢ m ∈ (s ∩ t).sym n ↔ m ∈ s.sym n ∩ t.sym n
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
CommRing Rₘ
CommRing Sₘ
Algebra R Rₘ
IsLocalization M Rₘ
Algebra S Sₘ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
x : S
p : R[X]
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hM : p.leadingCoeff ∈ M
⊢ (IsLocalization.map Sₘ (algebraMap R S) ⋯).IsIntegralElem ((algebraMap S Sₘ) x)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f univ x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
NumberField k
NumberField K
⊢ Fintype.card (NumberField.InfinitePlace k) ≤ Fintype.card (NumberField.InfinitePlace K)
a b : ℕ
ha : a % 4 = 3
hb : b % 4 = 3
⊢ J(↑a | b) = -J(↑b | a)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
J : Type u_4
i : J ↪ I
⊢ OrthogonalIdempotents (e ∘ ⇑i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
hn : 0 < k.succ
⊢ (∏ k_1 ∈ Finset.range k, ↑(k_1 + 1 + 1) * (↑k + 1)⁻¹) * (↑(0 + 1) * (↑k + 1)⁻¹) ≤ (↑k + 1)⁻¹
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
H : IsPreconnected s
⊢ IsPreconnected (closure s)
a b : Nat
h : a < b
⊢ ¬b < a
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ ⊥.relindex H = Nat.card ↥H
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.EnoughInjectives C
Z : C
⊢ (CategoryTheory.InjectiveResolution.ofCocomplex Z).d 0 1 = CategoryTheory.Injective.d (CategoryTheory.Injective.ι Z)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R✝ : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
R : Type u_7
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
s : ℕ → Set α
⊢ limsup s atTop = {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop}
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ G.edgeSet.Nonempty ↔ G ≠ ⊥
α : Type u_1
M : Type u_4
MulOneClass M
f : α → M
s t : Set α
a : α
⊢ (s ∪ t).mulIndicator f a * (s ∩ t).mulIndicator f a = s.mulIndicator f a * t.mulIndicator f a
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
Zero β
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
hf : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
⊢ Measurable f
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Submartingale f ℱ μ
⊢ Supermartingale (-f) ℱ μ
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
hba : b ≤ a
⊢ a - b < c ↔ a < c + b
G : Type u_3
CommSemigroup G
a b c : G
⊢ a * (b * c) = b * (a * c)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Finsupp.supported M R Set.univ = ⊤
X Y : CommRingCat
i : X ≅ Y
⊢ i.commRingCatIsoToRingEquiv.toRingHom = i.hom
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ IsBot a ↔ a = ⊥
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
this✝ : IsIso (pullback.snd f g)
this : (PreservesPullback.iso (forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat) f g).hom ≫ pullback.fst ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map f) ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map g) = (pullback.fst f g).val.base
⊢ Function.Surjective ⇑((inv (pullback.snd f g)).val.base ≫ (PreservesPullback.iso (forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat) f g).hom)
G : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid G
IsFreeGroupoid G
X : Type v
Group X
f g : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X
h : ∀ (a b : IsFreeGroupoid.Generators G) (e : a ⟶ b), f.map (IsFreeGroupoid.of e) = g.map (IsFreeGroupoid.of e)
⊢ f = g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
X : C
⊢ CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk 0 (𝟙 X) 0 ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
a : A
⊢ (Algebra.TensorProduct.rid R S A).symm a = a ⊗ₜ[R] 1
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
H.Normal
⊢ H.normalCore = H
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < b → b < a → c ≠ ⊤
hab : b < a
hb : 0 < b
⊢ (a - b) * c = a * c - b * c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
H₁ : X ≅ Y
ℱ : TopCat.Presheaf C Y
𝒢 : TopCat.Presheaf C X
H₂ : ℱ ⟶ (TopCat.Presheaf.pushforward C H₁.hom).obj 𝒢
U : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (TopCat.Presheaf.pushforwardToOfIso H₁ H₂).app U =
  H₂.app (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map H₁.inv).obj (Opposite.unop U))) ≫ 𝒢.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
K : Type u_1
Field K
⊢ ⟨0, ⋯⟩ = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
DecidableEq ι
DecidableEq κ
Fintype ι
Fintype κ
Finite ι'
Finite κ'
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup M'
AddCommGroup N'
Module R M
Module R N
Module R M'
Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
f : M →ₗ[R] M'
g : N →ₗ[R] N'
⊢ (LinearMap.toMatrix (bM.tensorProduct bN) (bM'.tensorProduct bN')) (TensorProduct.map f g) =
  Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) ((LinearMap.toMatrix bM bM') f) ((LinearMap.toMatrix bN bN') g)
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
⊢ (K ⊓ H).addSubgroupOf K = H.addSubgroupOf K
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
r : ℝ
R : ℝ≥0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (MeasureTheory.stoppedValue f (MeasureTheory.leastGE f r i)) 1 μ ≤
  ↑(2 * μ Set.univ * ENNReal.ofReal (r + ↑R)).toNNReal
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₂ s.center < s.radius
h : ¬p₁ = p₂
⊢ 0 < ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s s' : Set R
⊢ zeroLocus s ∪ zeroLocus s' = zeroLocus ↑(Ideal.span s ⊓ Ideal.span s')
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
y : E
hy : y ∈ closedBall x r
⊢ y ∈ closure (ball x r)
p n : ℕ
⊢ WittVector.IsPoly p fun x x_1 => WittVector.init n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
T : Monad C
X Y Z : Kleisli T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ T.map f ≫ T.map (T.map g) ≫ T.map (T.μ.app Z) ≫ T.μ.app Z = T.map f ≫ T.μ.app Y ≫ T.map g ≫ T.μ.app Z
a b c : ℕ
P✝ : ℕ → Prop
h✝ : ∀ (n : ℕ), P✝ (n + 1) → P✝ n
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
k : ℕ
hk : 1 < k
P : M → Prop
hmul : ∀ (x y : M), P x → P (x * y) ∨ P (y * x)
hpow : ∀ (x : M), P (x ^ k) → P x
n : ℕ
ih : ∀ (x : M), P (x ^ (n + 1)) → P x
x : M
hx : P (x ^ n)
h : P (x ^ n * x)
⊢ P (x ^ (n + 1))
G : Type u
Monoid G
⊢ Monoid.exponent G ≠ 0 ↔ Monoid.ExponentExists G
Ω : Type u_1
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : Set Ω
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSet m' hm' s ∅ μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.coyoneda.map f)
⊢ CategoryTheory.IsIso f
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
this : 0 < f.natDegree
⊢ f.eraseLead.coeff (f.natDegree - 1) ≠ 0
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.225789}
α : Type u_1
P Q : Set α
⊢ #↑(P ∪ Q) ≤ ℵ₀ ↔ #↑P ≤ ℵ₀ ∧ #↑Q ≤ ℵ₀
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
S : L.Substructure M
T : L.Substructure N
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map f S ≤ T ↔ S ≤ FirstOrder.Language.Substructure.comap f T