ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : ℕ
⊢ ↑n = Rat.divInt (↑n) 1
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → β → α
⊢ (∀ (y : ι), ∀ x ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x_2 : β × β) in 𝓤 β, (F y x_2.1, F y x_2.2) ∈ x) ↔ ∀ (i : ι), UniformContinuous (F i)
α : Sort u_3
self : Infinite α
⊢ ¬Finite α
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
r : R
x : TensorProduct R M N
⊢ (TensorProduct.liftAux f) (r • x) = r • (TensorProduct.liftAux f) x
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝³ : Category.{max v u, w} D
inst✝² : ConcreteCategory D
inst✝¹ : PreservesLimits (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
inst✝ : HasMultiequalizer (S.index P)
x : Meq P S
I : S.Arrow
⊢ (Multiequalizer.ι (S.index P) I) ((equiv P S).symm x) = ↑x I
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
⊢ False
β : Type u_4
AddCommMonoid β
f : ℕ → β
n m : ℕ
⊢ ∑ x ∈ Finset.range (n + m), f x = ∑ x ∈ Finset.range n, f x + ∑ x ∈ Finset.range m, f (n + x)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
α : Type u_1
f : α → (ι → ℝ) → E
g : α → F
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ihs : (∀ i ∈ s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)) → HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) vol (∑ i ∈ s, g i)
h : ∀ i ∈ insert a s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)
⊢ HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ insert a s, f i x) vol (∑ i ∈ insert a s, g i)
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
⊢ ¬Q.Anisotropic ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ Q x = 0
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
k n : ℕ
hn : k < n
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
⊢ ∃ z ∈ Algebra.adjoin ℤ {μ}, ↑n = z * (μ - 1) ^ k
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
d : ℝ
hd : ↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E) < d
⊢ μH[d] = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α
n : ℕ
s : Set α
hs : s ∈ MeasurableSpace.countablePartition α n
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
⊢ 𝓝[insert a s] a = pure a ⊔ 𝓝[s] a
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∉ s
h₁ : f a = 1
⊢ (∑ i ∈ insert a s, f i)! / ∏ i ∈ insert a s, (f i)! = (s.sum f).succ * ((∑ i ∈ s, f i)! / ∏ i ∈ s, (f i)!)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
hv : v ∈ s.direction
p : P
⊢ v +ᵥ p ∈ s ↔ p ∈ s
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.toSubgraph.Connected
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
CoalgebraStruct R A
⊢ ↑(BialgEquiv.refl R A) = BialgHom.id R A
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M'
g : α → N
hf : Injective f
x : α
hx : x ∈ mulSupport g
⊢ f x ∈ mulSupport (extend f g 1)
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p n d : ℕ
h : n.minSqFac = some d
m : ℕ
m2 : 2 ≤ m
md : m * m ∣ n
this : n.MinSqFacProp (some d)
fd : m.minFac ∣ m
⊢ d ≤ m
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
a t : ℝ
ht : t ∈ {t | t * a ∈ s}
⊢ HasFDerivAt (fun x => x * a) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 a) t
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
ih : ∀ m < n, m ∈ (xInTermsOfW p ℚ m).vars ∧ (xInTermsOfW p ℚ m).vars ⊆ range (m + 1)
⊢ n ∈ (xInTermsOfW p ℚ n).vars ∧ (xInTermsOfW p ℚ n).vars ⊆ range (n + 1)
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
n d : R
hd : d ∈ nonZeroDivisors R
hk : k * (algebraMap R K) ↑(n, ⟨d, hd⟩).2 = (algebraMap R K) (n, ⟨d, hd⟩).1
⊢ {v | 1 < v.valuation k}.Finite
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b => ν (Prod.mk b ⁻¹' s)
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
b : B
a v : F
h : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j, Z.coordChange i j x v = v
x : B
A : Z.baseSet (Z.indexAt x) ∈ 𝓝 x
⊢ ContinuousAt (↑(Z.localTrivAt x).toPartialHomeomorph ∘ let_fun this := fun x => { proj := x, snd := v }; this) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
h : a ∈ l
w : 0 < l.length
⊢ ↑a ≤ l.maximum
m n k : Int
⊢ (m + n % k) % k = (m + n) % k
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : CategoryTheory.WithInitial C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.WithInitial.map F).map f =
  match X, Y, f with
  | CategoryTheory.WithInitial.of x, CategoryTheory.WithInitial.of y, f => F.map (CategoryTheory.WithInitial.down f)
  | CategoryTheory.WithInitial.star, CategoryTheory.WithInitial.of a, x => PUnit.unit
  | CategoryTheory.WithInitial.star, CategoryTheory.WithInitial.star, x => PUnit.unit
F : Type u_1
R : outParam (Type u_2)
A : outParam (Type u_3)
B : outParam (Type u_4)
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
FunLike F A B
self : AlgHomClass F R A B
f : F
r : R
⊢ f ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R B) r
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
n : ℕ
hn : n ≤ p.natDegree
⊢ ((hasseDeriv n) p).natDegree = p.natDegree - n
α : Type u_1
LT α
NoMinOrder α
a : α
⊢ ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
R : Type u_6
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
c : R
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => c • f x) (c • f') s x
n : Nat
m : Nat
⊢ n.pred ≤ m → n ≤ m.succ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
n : ℕ
f : M [⋀^Fin (n + 1)]→L[R] N
m : Fin n → M
c : R
x : M
⊢ f (Matrix.vecCons (c • x) m) = c • f (Matrix.vecCons x m)
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
⊢ CategoryTheory.InitiallySmall J ↔ ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : F
⊢ ↑e { proj := b, snd := e.symm b y } = (b, y)
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
n k : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ k).smeval ↑n = ↑((ascPochhammer ℕ k).smeval n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
⊢ gramSchmidt 𝕜 f n = f n - ∑ i ∈ Iio n, ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f i})) (f n))
R : Type u_6
NonAssocRing R
p : { p // IsIdempotentElem p }
⊢ ↑pᶜ = 1 - ↑p
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f₁ : α → β
f₂ : α → γ
h₁ : UniformContinuous f₁
h₂ : UniformContinuous f₂
⊢ Tendsto (fun x => ((f₁ x.1, f₂ x.1), f₁ x.2, f₂ x.2)) (𝓤 α) (comap (fun p => (p.1.1, p.2.1)) (𝓤 β) ⊓ comap (fun p => (p.1.2, p.2.2)) (𝓤 γ))
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
g : G
⊢ (MeasurableEquiv.mulRight g).symm = MeasurableEquiv.mulRight g⁻¹
a' a : Surreal.Multiplication.Args
⊢ Surreal.Multiplication.ArgsRel a' a → a.Numeric → a'.Numeric
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
I I' : FractionalIdeal R⁰ K
⊢ FractionalIdeal.count K v (I * I') =
  if I ≠ 0 ∧ I' ≠ 0 then FractionalIdeal.count K v I + FractionalIdeal.count K v I' else 0
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
⊢ IsBounded s ↔ ∃ C, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → dist x y ≤ C
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : AsBoolAlg α
⊢ ofBoolAlg (a ∆ b) = ofBoolAlg a + ofBoolAlg b
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).b₄ = ↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.b₄ + C.r * W.b₂ + 6 * C.r ^ 2)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : IsAtomic α
inst✝ : OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
a : α
hla : IsAtom (l a)
a' : α
ha' : IsAtom a'
hab' : a' ≤ u (l a)
this : l a' = l a
haa' : a = a'
⊢ IsAtom a
a b c d m n✝ : ℤ
P : ℤ → Sort u_1
lt : (n : ℤ) → n < m → P n
ge : (n : ℤ) → n ≥ m → ((k : ℤ) → k < n → P k) → P n
n : ℤ
x✝ : n ≥ m
ih : ∀ (k : ℤ), k < n → ∀ (hn : m ≤ k), Int.strongRec lt ge k = ge k hn fun k_1 x => Int.strongRec lt ge k_1
hn : m ≤ n
⊢ Int.strongRec lt ge n = ge n hn fun k x => Int.strongRec lt ge k
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
⊢ intentClosure r ∅ = Set.univ
E : Type u_3
SeminormedGroup E
a b c : E
⊢ dist a (b / c) = dist (a * c) b
α : Type u
Top α
⊢ { down := ⊤ } = ⊤
R : Type u
M : Type v
Semiring R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ContinuousConstSMul R M
ContinuousAdd M
s : Submodule R M
⊢ ↑s.topologicalClosure = closure ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g✝ : α → β
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : T2Space β
g : α → β
hg : FinStronglyMeasurable g μ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hgt_zero : ∀ x ∈ tᶜ, g x = 0
htμ : SigmaFinite (μ.restrict t)
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
x : ⨂[R] (i : ι), t i
⊢ x ∈ Set.range (⇑(map f) ∘ ⇑(tprod R)) ↔ x ∈ {t_1 | ∃ m, (⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)) = t_1}
α : Type u
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (ultrafilterBasis α)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : Preorder α
x : α
⊢ ⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), Accumulate s y = ⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), s y
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : E →L[𝕜] G
⊢ HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) f' (⇑iso ⁻¹' s) x ↔ HasFDerivWithinAt f (f'.comp ↑iso.symm) s (iso x)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₂ s.center < s.radius
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
⊢ Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
M : Type u
MulOneClass M
⊢ (fun x => x * 1) = id
n : ℕ
⊢ (SimplexCategory.mk n).len = n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
ha : a ≠ 0
⊢ (C a * p).roots = p.roots
⊢ comap cexp (𝓝[≠] 0) = comap re atBot
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, {p | p.1 = x → p.2 ∈ s} ∈ 𝓤 α
C : Type u_6
AddCommGroup C
x y z : C
⊢ z ∈ AddSubgroup.closure {x, y} ↔ ∃ m n, m • x + n • y = z
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
⊢ IsIso ((forget C).map f)
n : ℕ
⊢ ¬2 ∣ n ↔ n % 2 = 1
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
δ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology δ
f : α ↪ δ
h : δ →ᵇ β
g₁ g₂ : α →ᵇ β
⊢ dist (extend f g₁ h) (extend f g₂ h) = dist g₁ g₂
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : OpenEmbedding ⇑f
H₂ : OpenEmbedding ⇑g
⊢ OpenEmbedding
  ⇑(CategoryTheory.Limits.limit.π (CategoryTheory.Limits.cospan f g) CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.one)
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
Finite ι
b : Basis ι R M
N O : Submodule R M
N_le_O : N ≤ O
⊢ ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f₁ : R →+* S
g₁ g₂ : σ → S
p₁ : MvPolynomial σ R
h : ∀ i ∈ p₁.vars, i ∈ p₁.vars → g₁ i = g₂ i
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ p₁.support
⊢ ∀ x ∈ d.support, g₁ x ^ d x = g₂ x ^ d x
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
hab : Turing.Reaches f a b
hac : Turing.Reaches f a c
⊢ Turing.Reaches f b c ∨ Turing.Reaches f c b
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
⊢ V ∈ 𝓝 (x, x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
I : Set α
N : Matroid β
⊢ (N.comap f).Indep I ↔ N.Indep (f '' I) ∧ Set.InjOn f I
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
⊢ ⇑(DoubleQuot.quotQuotEquivCommₐ R I J) = ⇑(DoubleQuot.quotQuotEquivComm I J)
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
P : α → Prop
⊢ (∀ i ∈ ofFn f, P i) ↔ ∀ (j : Fin n), P (f j)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
C : Set (Set α)
self : μ.FiniteSpanningSetsIn C
i : ℕ
⊢ μ (self.set i) < ⊤
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
Nonempty ↥s
n : ℕ
FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : EuclideanGeometry.Cospherical ps
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Affine.Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
⊢ x % 2 = 0 ∧ y % 2 = 1 ∨ x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ frontier {b | f b < g b} ⊆ {b | f b = g b}
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ (f x₁) x₂ = h.equiv (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
a : α
b : β
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).Adj (Sum3.in₁ b) (Sum3.in₀ a) ↔ ∃ x ∈ t, x.2.1 = b ∧ x.1 = a
p n k b : ℕ
hp : Prime p
hnb : log p (n + k) < b
h₁ : multiplicity p ((n + k).choose k) + multiplicity p (k ! * n !) = ↑(filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + n % p ^ i) (Ico 1 b)).card + multiplicity p (k ! * n !)
⊢ (multiplicity p (k ! * n !)).Dom
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℝ H
⊢ ∅.innerDualCone = ⊤
α : Type u_3
β : Type u_4
Nonempty α
SemilatticeSup α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atBot ↔ ∀ (b : β), ∃ a, f a ≤ b
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
H : Subgroup G
hH : IsCompact ↑H
⊢ IsClosedMap QuotientGroup.mk
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
μs : ℕ → Measure Ω
f : Ω → ℝ
f_cont : Continuous f
f_nn : 0 ≤ f
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
⊢ ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} ≤ liminf (fun i => ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, (μs i) {a | t < f a}) atTop
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MetricSpace E
u : Filter ι
u.NeBot
u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hfg : MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f u g
⊢ ∃ ns, MeasureTheory.TendstoInMeasure μ (fun n => f (ns n)) Filter.atTop g
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X
⊢ f ≤ 𝓝 x ↔ ∀ (s : Set X), x ∈ s → IsOpen s → s ∈ f
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hf : IsUnit f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ ↑U
⊢ IsUnit ((X.presheaf.germ ⟨x, hx⟩) f)
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
t : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : PolishSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
tβ : TopologicalSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β
f : α → β
inst✝ : SecondCountableTopology ↑(range f)
hf : Measurable f
b : Set (Set ↑(range f))
b_count : b.Countable
hb : IsTopologicalBasis b
this : Countable ↑b
⊢ ∃ t' ≤ t, Continuous f ∧ PolishSpace α
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
hp : NeZero p
n : ℕ
⊢ (W_ R n).vars ⊆ Finset.range (n + 1)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SemilatticeSup β
f g : α → β
a : α
hf : IsLocalMax f a
hg : IsLocalMax g a
⊢ IsLocalMax (fun x => f x ⊔ g x) a
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J → C
A B : CategoryTheory.Limits.Bicone F
self : CategoryTheory.Limits.BiconeMorphism A B
j : J
⊢ A.ι j ≫ self.hom = B.ι j
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k l : ℕ
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) l
hp : ¬p = ⊥
⊢ False
V : Type u
Quiver V
r : V
self : Quiver.RootedConnected r
b : V
⊢ Nonempty (Quiver.Path r b)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x y : FreeCommRing α
s✝ t : Set α
i✝ : ℤ
s : Set α
i : ℕ
hi : (↑(-↑i)).IsSupported s
⊢ (↑(-↑i - 1)).IsSupported s
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc a b
⊢ x ∈ Ioc a (a + (b - a))
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ContDiff 𝕜 0 f ↔ Continuous f
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_2
AddCommGroup F
Module ℝ F
TopologicalSpace F
ContinuousSMul ℝ F
T2Space F
G : Type u_3
FunLike G E F
AddMonoidHomClass G E F
f : G
hf : Continuous ⇑f
c : ℝ
x : E
⊢ f (c • x) = c • f x
α : Type u_1
AddCommGroup α
s : Set α
⊢ ¬AddDissociated s ↔ ∃ t u, ↑t ⊆ s ∧ ↑u ⊆ s ∧ Disjoint t u ∧ t ≠ u ∧ ∑ a ∈ t, a = ∑ a ∈ u, a
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hfM : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ < M
hf : ContinuousOn f (sphere z r)
⊢ ‖cderiv r f z‖ < M / r
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
⊢ ∀ (i : ℕ), x ∈ ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ i)
f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
a : ↥circle := ⟨f 1, ⋯⟩
⊢ f = rotation a ∨ f = conjLIE.trans (rotation a)
s : Set ℝ≥0
⊢ ↑(sInf s) = sInf (NNReal.toReal '' s)
ξ q : ℚ
hq₀ : 0 < ↑q.den
h : |ξ * ↑q.den - ↑q.num| < 1 / ↑q.den
⊢ q.den ≤ ξ.den ∧ ⌈ξ * ↑q.den⌉ - 1 ≤ q.num ∧ q.num ≤ ⌊ξ * ↑q.den⌋ + 1
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ (Finset.Iio a).card = (Finset.Iic a).card - 1
⊢ SemilatSupCatEquivSemilatInfCat.inverse = SemilatInfCat.dual
p n : ℕ
R : Type u_2
Fintype R
⊢ Fintype.card (TruncatedWittVector p n R) = Fintype.card R ^ n
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
f : F
y : B
⊢ y ∈ NonUnitalStarSubalgebra.map f S ↔ ∃ x ∈ S, f x = y
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
n : ℕ
a : Rˣ
⊢ (χ ^ n) ↑a = χ ↑a ^ n
a b : Int
bpos : 0 < b
H : a ∣ b
⊢ a ≤ b
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeSup L
OrderBot L
ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousOn (f i) t
⊢ ContinuousOn (fun a => s.sup fun x => f x a) t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
a✝ : α
ha : ↑↑(f - g) a✝ = (↑↑f - ↑↑g) a✝
⊢ ↑‖↑↑(f - g) a✝‖₊ = ↑‖↑↑f a✝ - ↑↑g a✝‖₊
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
⊢ ∀ (i i_1 : n), ‖U i i_1‖ ≤ 1
G : Type u_1
Group G
S : Set (Subgroup G)
x : G
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
α : Type u
⊢ Cardinal.mk (Option α) = Cardinal.mk α + 1
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
G : SimpleGraph α
a : α
p : G.Walk a a
hp : p.IsHamiltonianCycle
⊢ p.length = Fintype.card α
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
f : α →ᵤ β
⊢ (𝓝 f).HasBasis (fun V => V ∈ 𝓤 β) fun V => {g | (f, g) ∈ UniformFun.gen α β V}
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c) = ∫ (x : ℝ) in a / c..b / c, f x
α : Sort u_1
p : α → Prop
⊢ (¬∃ x, p x) = ∀ (x : α), ¬p x
α : Type u_1
r : Rel α α
p : RelSeries r
⊢ p.eraseLast.length = p.length - 1
α : Type u_1
p q : α → Prop
f : Filter α
hq : ∀ (x : α), p x → q x
hp : ∃ᶠ (x : α) in f, p x
⊢ ∃ᶠ (x : α) in f, q x
s : ℂ
n : ℕ
hs : -s.re < ↑n
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => (Gamma s)⁻¹) s