ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f : X → Y
hgf : IsLocalHomeomorph (g ∘ f)
hg : IsLocalHomeomorph g
cont : Continuous f
⊢ IsLocalHomeomorph f
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hcf : ContinuousOn f (Ico a b)
hcg : ContinuousOn g (Ico a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : f a = 0
hga : g a = 0
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
⊢ Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_8
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
StarAddMonoid R
ContinuousStar R
T2Space R
f : X → Matrix m n R
⊢ (∑' (x : X), f x)ᴴ = ∑' (x : X), (f x)ᴴ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : Preregular C
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
inst✝ : PreservesFiniteProducts G
U✝ : C
y : (forget (Type w)).obj (G.obj (op U✝))
α : Type
w✝ : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ U✝
h : EffectiveEpiFamily Z π
h' : ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f y).arrows (π a)
x : (a : α) → F.obj (op (Z a)) := fun a => Exists.choose ⋯
x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α
i' : ((a : α) → F.obj (op (Z a))) ≅ F.obj (op (∐ Z)) := (Types.productIso fun a => F.obj (op (Z a))).symm ≪≫ (PreservesProduct.iso F fun a => op (Z a)).symm ≪≫ F.mapIso (opCoproductIsoProduct Z).symm
this : PreservesLimitsOfShape (Discrete α)ᵒᵖ G
⊢ (f.app (op (∐ Z))) (i'.hom x) = (G.map (Sigma.desc π).op) y
α : Type u_1
Preorder α
self : LocallyFiniteOrder α
a b x : α
⊢ x ∈ LocallyFiniteOrder.finsetIco a b ↔ a ≤ x ∧ x < b
M : Type u_1
Mul M
s : Set M
p : M → M → Prop
x y : M
hx : x ∈ Subsemigroup.closure s
hy : y ∈ Subsemigroup.closure s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Hmul_left : ∀ (x y z : M), p x z → p y z → p (x * y) z
Hmul_right : ∀ (x y z : M), p z x → p z y → p z (x * y)
⊢ p x y
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
⊢ ⇑μ.toWeakDualBCNN = μ.toFiniteMeasure.testAgainstNN
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
Preorder α
⊢ Monotone Finsupp.toFun
s : ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => rexp x / x ^ s) Filter.atTop Filter.atTop
G : Type u_3
CommGroup G
a b c : G
⊢ a / b = c ↔ a = b * c
κ μ : Cardinal.{u}
H1✝ : ℵ₀ ≤ κ
H2 : μ < ℵ₀
n : ℕ
H3 : μ = ↑n
α : Type u
H1 : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
⊢ 1 < ℵ₀
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.28063, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ z₃' : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
h₃' : z₂.f ≫ z₃'.s = z₁.s ≫ z₃'.f
z₄ : W.LeftFraction z₃.Y' z₃'.Y'
fac : z₃'.s ≫ z₄.s = z₃.s ≫ z₄.f
eq : z₁.s ≫ z₃.f ≫ z₄.f = z₁.s ≫ z₃'.f ≫ z₄.s
⊢ LeftFractionRel (z₁.comp₀ z₂ z₃) (z₁.comp₀ z₂ z₃')
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
x : (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
hst : Disjoint s t
y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i
z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i
e : { x // x ∈ s } ⊕ { x // x ∈ t } ≃ { x // x ∈ s ∪ t } := Finset.union s t hst
i : ι
his : i ∈ s
hit : i ∉ t
⊢ y ⟨i, ⋯⟩ = (piFinsetUnion π hst) (y, z) ⟨i, ⋯⟩
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
i j : n
⊢ A.adjugate i j = (A.updateRow j (Pi.single i 1)).det
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : CategoryTheory.Functor A B
G : CategoryTheory.Functor B C
H : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ (x : A), (F.associator G H).hom.app x = CategoryTheory.CategoryStruct.id (((F.comp G).comp H).obj x)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TotallyDisconnectedSpace β
f✝ : α → β
S : Set α
hS : IsPreconnected S
T : Set β
inst✝ : DiscreteTopology ↑T
f : α → β
hc : ContinuousOn f S
hTm : MapsTo f S T
hne : T.Nonempty
⊢ ∃ y ∈ T, EqOn f (const α y) S
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
NormalSpace X
h : X ≃ₜ Y
⊢ NormalSpace Y
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
x : Fin n → R
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
q : MvPolynomial (Fin n) R
⊢ eval₂ (RingHom.id R) (fun s => (eval x) (Polynomial.eval q (Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) s))) f = (eval fun i => Fin.cases ((eval x) q) x i) f
R : Type u
σ : Type u_1
a : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
CommSemiring R
⊢ (MvPolynomial.monomial s) a ^ e = (MvPolynomial.monomial (e • s)) (a ^ e)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
⊢ 0 < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
f : C.X 0 ⟶ X
hf : C.d 1 0 ≫ f = 0
⊢ ((C.toSingle₀Equiv X).symm ⟨f, hf⟩).f 0 = f
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α
⊢ l.inits.length = l.length + 1
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
i : ι
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
h : g i • v i = -∑ x ∈ s.erase i, g x • v x
⊢ f (update v i (g i • v i)) = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
𝕜₄ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
inst✝³¹ : AddCommGroup E
inst✝³⁰ : AddCommGroup F
inst✝²⁹ : AddCommGroup G
inst✝²⁸ : AddCommGroup H
inst✝²⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₄
inst✝²³ : Module 𝕜 E
inst✝²² : Module 𝕜₂ F
inst✝²¹ : Module 𝕜₃ G
inst✝²⁰ : Module 𝕜₄ H
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
inst✝¹⁵ : TopologicalAddGroup G
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup H
inst✝¹³ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝¹² : ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹⁰ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
f g : E →SL[σ₁₄] H
⊢ (fun L => (↑e₄₃).comp (L.comp ↑e₁₂.symm)) (f + g) = (fun L => (↑e₄₃).comp (L.comp ↑e₁₂.symm)) f + (fun L => (↑e₄₃).comp (L.comp ↑e₁₂.symm)) g
α : Type u_1
s t : Finset α
h : Disjoint s t
⊢ ↑(s.disjUnion t h) = ↑s ∪ ↑t
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : MeasureTheory.Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), MeasureTheory.Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), f i ≤ᵐ[μ] μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]
⊢ MeasureTheory.Submartingale f 𝒢 μ
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₂ : List β
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : l₂.Nodup
a₁ a₂ : α
n : a₁ ≠ a₂
b₁ : β
left✝ : b₁ ∈ l₂
h₁ : (a₁, b₁) ∈ map (Prod.mk a₁) l₂
h₂ : (a₁, b₁) ∈ map (Prod.mk a₂) l₂
⊢ False
α : Type u
l : List α
n k : ℕ
h : k < (l.rotate n).length
⊢ k < l.length
α : Type u_1
Fintype α
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ Fintype.card { x // p x } ≤ Fintype.card α
Ω : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
μ : FiniteMeasure Ω
fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0
c : ℝ≥0
fs_le_const : ∀ᶠ (i : ι) in L, ∀ᵐ (ω : Ω) ∂↑μ, (fs i) ω ≤ c
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
fs_lim : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂↑μ, Tendsto (fun i => (fs i) ω) L (𝓝 (f ω))
⊢ Tendsto (fun i => μ.testAgainstNN (fs i)) L (𝓝 (μ.testAgainstNN f))
X : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsAffine X
f : ↑(AlgebraicGeometry.Scheme.Γ.obj (Opposite.op X))
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map X.isoSpec.hom.val.base).obj (PrimeSpectrum.basicOpen f) = X.basicOpen f
n' : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n'
inst✝² : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StarRing R
A : M
n : ℕ
⊢ (A ^ ↑n)ᴴ = Aᴴ ^ ↑n
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
x1 x2 : Matrix m n₁ R
y1 y2 : Matrix m n₂ R
⊢ x1.fromColumns y1 = x2.fromColumns y2 → x1 = x2 ∧ y1 = y2
F : Type u
Field F
f : RatFunc F
⊢ ↑f = (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ F) ↑f.num / (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ F) ↑f.denom
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
b : ℕ → Set E
h : ¬∀ (ib : Set F), ib ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜' ib → ∃ ia, ia ≠ 0 ∧ ∀ x ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia, f x ∈ _root_.id ib
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n
⊢ False
y : ℝ
h : 0 < y
x : ℝ≥0
⊢ ContinuousAt ((fun a => a ^ y) ∘ ofNNReal) x
R : Type u
Ring R
s : Subring R
x : ↥s
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Set α → Set β
h : Set β → Set γ
hg : Monotone g
hh : Monotone h
⊢ (f.lift' g).lift' h = f.lift' fun s => h (g s)
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
⊢ P (e₁.toCommRingCatIso.hom ≫ CommRingCat.ofHom (IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯)) ↔ P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
x y : E
h : ∃ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + t • y ∈ s
⊢ y ∈ posTangentConeAt s x
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_4
Fintype n
CommSemiring R
⊢ Matrix.toMvPolynomial 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f✝ : β → γ
g : γ → α
μ : Measure α
f : α → β
hf : Measurable f
x : γ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (((const γ μ).map f hf) x) s = ((const γ (Measure.map f μ)) x) s
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s
this : ContDiffOn 𝕜 n id univ
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
τ : Type u_1
α : Type u_2
CanonicallyOrderedAddCommMonoid τ
ϕ : τ → α → α
s : Set α
h : IsFwInvariant ϕ s
⊢ IsInvariant ϕ s
n : ℕ
⊢ n.properDivisors = ∅ ↔ n ≤ 1
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
x : A
⊢ IsIntegral R x → ∃ y, (algebraMap R A) y = x
X : Type u_3
Y : Type u_5
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
uα : UniformSpace α
A : Set Y
u : Y → X → α
x₀ : X
hA : EquicontinuousAt (u ∘ Subtype.val) x₀
hu : Continuous u
⊢ EquicontinuousAt (u ∘ Subtype.val) x₀
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t✝ u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
connected_fibers : ∀ (t : β), IsConnected (f ⁻¹' {t})
hcl : ∀ (T : Set β), IsClosed T ↔ IsClosed (f ⁻¹' T)
t : β
hf : Surjective f
hT : IsClosed (f ⁻¹' connectedComponent t)
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
huv : f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∪ v
uv_disj : Disjoint u v
T₁ : Set β := {t' | t' ∈ connectedComponent t ∧ f ⁻¹' {t'} ⊆ u}
T₂ : Set β := {t' | t' ∈ connectedComponent t ∧ f ⁻¹' {t'} ⊆ v}
fiber_decomp : ∀ t' ∈ connectedComponent t, f ⁻¹' {t'} ⊆ u ∨ f ⁻¹' {t'} ⊆ v
T₁_u : f ⁻¹' T₁ = f ⁻¹' connectedComponent t ∩ u
T₂_v : f ⁻¹' T₂ = f ⁻¹' connectedComponent t ∩ v
hT₁ : IsClosed T₁
hT₂ : IsClosed T₂
T_decomp : connectedComponent t ⊆ T₁ ∪ T₂
T_disjoint : Disjoint T₁ T₂
⊢ f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∨ f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ v
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
i : ι
⊢ Continuous fun p => p i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap (CategoryTheory.CategoryStruct.id S) = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.cycles
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : MulOneClass N
f g : Multiplicative (α →₀ M) →* N
H : ∀ (x : α) (y : M), f (Multiplicative.ofAdd (single x y)) = g (Multiplicative.ofAdd (single x y))
this : MonoidHom.toAdditive'' f = MonoidHom.toAdditive'' g
⊢ f = g
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → HNot (π i)
a : (i : ι) → π i
i : ι
⊢ (￢a) i = ￢a i
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
hpq : q < p
⊢ 0 < ↑p - ↑q
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 < x
hz : 0 < z
⊢ 1 < x ^ z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E
b : E
hb : b ∈ Metric.closedBall 0 1
⊢ BddAbove ((fun x_1 => ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd) x_1‖) '' Metric.closedBall 0 1)
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a⁻¹ < b ↔ b⁻¹ < a
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
hg : HasDerivAtFilter g₁ g₁' (h x) L'
hh : HasDerivAtFilter h h' x L
hL : Filter.Tendsto h L L'
⊢ HasDerivAtFilter (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x L
α : Type u_1
a : Array α
i : Nat
⊢ a[i]? = a.data.get? i
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
a : E
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
⊢ ∃ v,
  Filter.Tendsto (fun n => ∏ i ∈ Finset.range (n + 1), v i) Filter.atTop (𝓝 a) ∧
    (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n ≠ 0 ↔ a ≠ 0
α : Type u_1
AddCommMonoid α
n : ℕ
x : α
⊢ ∑ _i : Fin n, x = n • x
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
⊢ (List.Forall₂ (List.Forall₂ R) ⇒ List.Forall₂ R) List.join List.join
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ n ≤ Pell.yn a1 n
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
x : X
s : Set X
h : x ∈ closure s
⊢ limUnder (𝓝[s] x) id = x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set ℝ
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) ∅ ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ ∅)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
⊢ 𝓝[≥] a = (⨅ u, ⨅ (_ : a < u), 𝓟 (Iio u)) ⊓ 𝓟 (Ici a)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.91408, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
n₁ n₂ : ℤ
⊢ (inr φ).f n₁ ≫ (mappingCone φ).d n₁ n₂ = G.d n₁ n₂ ≫ (inr φ).f n₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
b : β
⊢ b ∈ filter p (s.biUnion f) ↔ b ∈ s.biUnion fun a => filter p (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree = 0
⊢ p.natDegree ≤ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
f : ↑I → ↑I
hfcont : Continuous f
hf₀ : f 0 = 0
hf₁ : f 1 = 1
this : range f = univ
⊢ range (⇑γ ∘ f) = range ⇑γ
𝒪 : Type u
K : Type v
Γ : Type w
inst✝⁵ : CommRing 𝒪
inst✝⁴ : IsDomain 𝒪
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra 𝒪 K
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
v : Valuation K Γ
hh : v.Integers 𝒪
inst✝ : ValuationRing 𝒪
h : IsFractionRing 𝒪 K
x : K
⊢ ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : 𝓤 γ = 𝓤 γ
⊢ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace α β 𝔖) = UniformSpace.comap (fun x => f ∘ x) (uniformSpace α β 𝔖)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x : ↥p
⊢ ↑x ∈ p
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
j : ℕ
hj : j ≥ 1
this : Fact (1 < p ^ j)
⊢ ZMod.cast 1 = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedRing 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
hx₀ : x ≠ 0
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
⊢ t • x ∈ interior s
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset
⊢ map Prod.fst s.val ≤ m
R : Type u
CommRing R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
x : ↥U
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen R U ≫ (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).presheaf.germ x =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toStalk R ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
e : α → β
de : DenseEmbedding e
s : Set α
⊢ Dense (e '' s) ↔ Dense s
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
⊢ (∀ (x : FamilyOfElements P S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (b : { x // x.Compatible }), ∃! g, (↑(natTransEquivCompatibleFamily (natTransEquivCompatibleFamily.symm b))).IsAmalgamation (yonedaEquiv g)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : CocompactMap α β
⊢ (CocompactMap.id β).comp f = f
α : Type u_1
Mul α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d e f : α
h₁ : a ≤ d
h₂ : b ≤ e
h₃ : c ≤ f
⊢ a * b * c ≤ d * e * f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
Z : C
f : M.X ⟶ Z
⊢ M.comul ≫ (M.counit ⊗ f) = f ≫ (λ_ Z).inv
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesFilteredColimits (forget C)
F : Presheaf C X
x : ↑X
t : (forget C).obj (F.stalk x)
⊢ ∃ U, ∃ (m : x ∈ U), ∃ s, (F.germ ⟨x, m⟩) s = t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
W X Y Z : C
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.biprod.map f g)
⊢ CategoryTheory.IsIso f
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
⊢ WithTop.map (⇑OrderDual.toDual) s.min = (Finset.image (⇑OrderDual.toDual) s).max
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
m : ℕ
hm : m ∈ {n | G.Colorable n}
h' : m < Nat.succ 0
i : ℕ
hi : i < m
h₁ : i < 0
⊢ False
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : ↥p
⊢ (p.prodEquivOfIsCompl q h).symm ↑x = (x, 0)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x : α
h : x ∈ p.support
⊢ 0 < (p.toList x).length
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : ¬p₁ = p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
⊢ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ↔ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
u : ZFSet
⊢ u.toSet.Nonempty ↔ u.Nonempty
α : Type u_1
Preorder α
h : ∀ (c : Set α), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → BddAbove c
⊢ ∃ m, ∀ (a : α), m ≤ a → a ≤ m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : OrderBot β
f : γ → α →ₛ β
s✝ : Finset γ
a✝¹ : α
a : γ
s : Finset γ
a✝ : a ∉ s
ih : ↑(s.sup f) a✝¹ = s.sup fun c => ↑(f c) a✝¹
⊢ ↑((insert a s).sup f) a✝¹ = (insert a s).sup fun c => ↑(f c) a✝¹
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
IsDomain R
IsDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
IsIntegrallyClosed R
h : IsAdjoinRootMonic S f
hirr : Irreducible f
⊢ minpoly R h.root = f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
ha : a ≠ 0
⊢ (a • p).roots = p.roots
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : CategoryTheory.Functor C Dᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : C),
  ((CategoryTheory.Functor.leftOpRightOpEquiv C D).counitIso.inv.app X).app X_1 =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.obj X_1)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A ≃ₐc[R] B
⊢ f.toBialgHom = ↑f
m : Type u_1
A : Type u_3
Fintype m
CommRing A
IsDomain A
DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
v : m → A
hv : M.mulVec v = 0
⊢ v = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
f : T ⟶ T'
f' : T' ⟶ T''
h : CostructuredArrow S T
⊢ (map (f ≫ f')).obj h = (map f').obj ((map f).obj h)
X Y : Type u
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.inl ≫ (CategoryTheory.Limits.Types.binaryCoproductIso X Y).hom = Sum.inl
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
n : ℕ
⊢ (p * Polynomial.X ^ n).reverse = p.reverse
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
D : Matrix n n α
hAD : IsUnit A ↔ IsUnit D
⊢ (Matrix.fromBlocks A B 0 D)⁻¹ = Matrix.fromBlocks A⁻¹ (-(A⁻¹ * B * D⁻¹)) 0 D⁻¹
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
⊢ 0 ≤ a / b