ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
x y : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ √x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
R : Type ?u.47046
S : Type ?u.47049
M : Type ?u.47052
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
x : ↥(B.dualSubmodule N)
r : R
m : ↥N
⊢ (algebraMap R S) ({ toFun := B.dualSubmoduleParing x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • m)) = (algebraMap R S) ((RingHom.id R) r • { toFun := B.dualSubmoduleParing x, map_add' := ⋯ }.toFun m)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
f : LocallyConstant ↑C ℤ
J : (Finset I)ᵒᵖ
g : LocallyConstant ↑((spanFunctor ⋯).obj J).toTop ℤ
h : f = LocallyConstant.comap ((spanCone ⋯).π.app J) g
⊢ ∃ s g, f = LocallyConstant.comap { toFun := ProjRestrict C fun x => x ∈ s, continuous_toFun := ⋯ } g
n : Nat
⊢ n ≠ 0 ↔ 0 < n
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u✝ : Finset α
P : Finpartition s
a✝ : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
hts : t ⊆ s
a : α
ha : a ∈ t
u : Finset α
hu : u ∈ (atomise s F).parts
hau : a ∈ u
b : α
hb : b ∈ u
⊢ b ∈ t
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ pseudoApply f 0 = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ComposableArrows C 2
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map' 0 1 ⋯ ⋯) (S.map' 1 2 ⋯ ⋯) = 0
⊢ S.IsComplex
G : Type u
CategoryTheory.Groupoid G
IsFreeGroupoid G
T : WideSubquiver (Quiver.Symmetrify (IsFreeGroupoid.Generators G))
Quiver.Arborescence (WideSubquiver.toType (Quiver.Symmetrify (IsFreeGroupoid.Generators G)) T)
⊢ IsFreeGroupoid.SpanningTree.treeHom T (IsFreeGroupoid.SpanningTree.root' T) = 𝟙 (IsFreeGroupoid.SpanningTree.root' T)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
obj : C → D
e : (X : C) → F.obj X ≅ obj X
X : C
⊢ (F.isoCopyObj obj e).hom.app X = (e X).hom
l : ℕ
⊢ Ordnode.BalancedSz l 0 ↔ l ≤ 1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
n✝ : ℕ
a✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ n✝ • a✝.f + a✝.f = ({ f := n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
v : ℝ → E → E
tMin t₀ tMax : ℝ
x₀ : E
C R : ℝ
L : ℝ≥0
hpl : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C
⊢ ∃ f, f t₀ = x₀ ∧ ∀ t ∈ Set.Icc tMin tMax, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Set.Icc tMin tMax) t
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : PseudoEpimorphism α β
⊢ f.toFun = ⇑f
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
n m : ℕ
neq : q ≠ p
⊢ padicValNat q (q ^ m * p ^ n) = m
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Nonempty Γ
⊢ BddBelow (Function.support 0)
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C
⊢ (bijection i A B ((reflector i).obj (A ⨯ B))) (𝟙 ((reflector i).obj (A ⨯ B))) ≫ prodComparison (reflector i) A B = 𝟙 ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)
n : ℕ
⊢ 0 < ↑n.succ
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
r : R
h : f r ∈ Set.range ⇑f
⊢ C (f r) ∈ lifts f
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 2 = 1
⊢ p % 8 ≠ 3 ∧ p % 8 ≠ 5 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 7
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a : α
⊢ a ^ 2 ≤ 1 ↔ |a| ≤ 1
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
ι : Type u_4
Fintype ι
DecidableEq ι
x : TensorProduct R N (ι → R)
⊢ (TensorProduct.piScalarRight R S N ι) x = (TensorProduct.piScalarRightHom R S N ι) x
m n a b c d : ℕ
⊢ a + n ≡ a [MOD n]
α : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Nonempty X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
s : Set X
inst✝ : MeasurableSpace.CountablySeparated ↑s
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ s
hgm : NullMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g
⊢ ∃ c, g =ᶠ[ae μ] const α c
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
h : b ⟶ c
⊢ η.hom ▷ h ≫ η.inv ▷ h = 𝟙 (f ≫ h)
q r : ℚ
⊢ (q + r).num * ↑q.den * ↑r.den = (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) * ↑(q + r).den
n : Nat
m : Nat
i : Fin n
⊢ m ≤ ↑(Fin.natAdd m i)
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
⊢ Function.RightInverse (MeasureTheory.lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm) (MeasureTheory.lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
h₁ : StrictMonoOn f (Iic a)
h₂ : StrictMonoOn f (Ici a)
⊢ StrictMono f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A
t : C
ht : CategoryTheory.Limits.IsTerminal t
B : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J B
J.PreservesSheafification U
J.HasSheafCompose U
F : CategoryTheory.Sheaf J A
⊢ ((CategoryTheory.Sheaf.constantCommuteCompose J U).app (F.val.obj (Opposite.op t))).hom ≫
    (CategoryTheory.constantSheafAdj J B ht).counit.app ((CategoryTheory.sheafCompose J U).obj F) =
  (CategoryTheory.sheafCompose J U).map ((CategoryTheory.constantSheafAdj J A ht).counit.app F)
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
pn : p.natDegree ≤ n
⊢ (p - q).natDegree ≤ n ↔ q.natDegree ≤ n
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
r : R
⊢ Polynomial.toLaurent ((Polynomial.monomial n) r) = LaurentPolynomial.C r * LaurentPolynomial.T ↑n
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing K
inst✝¹⁰ : CommRing L
inst✝⁹ : CommRing M
inst✝⁸ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁷ : ExpChar K p
inst✝⁶ : ExpChar L p
inst✝⁵ : ExpChar M p
inst✝⁴ : ExpChar N p
inst✝³ : PerfectRing L p
inst✝² : IsPerfectClosure i p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPerfectClosure j p
x : M
n : ℕ
y : K
h : j y = x ^ p ^ n
⊢ (equiv i j p).symm x = (iterateFrobeniusEquiv L p n).symm (i y)
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
a : M
hs : IsSubmonoid s
h : a ∈ s
n : ℕ
⊢ a ^ n ∈ s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hr : ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), (fun x => dist x p = r) (s.points i)
⊢ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p) = s.circumcenter
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
inst✝² : CommSemiring S₂
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : Algebra R S₂
f : S₁ →ₐ[R] S₂
r : R
h₁ : (algebraMap R (MvPolynomial σ S₁)) r = C ((algebraMap R S₁) r)
h₂ : (algebraMap R (MvPolynomial σ S₂)) r = C ((algebraMap R S₂) r)
⊢ (↑↑__src✝).toFun ((algebraMap R (MvPolynomial σ S₁)) r) = (algebraMap R (MvPolynomial σ S₂)) r
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
e : ↑G'.edgeSet
⊢ f.mapEdgeSet.symm e = SimpleGraph.Hom.mapEdgeSet (RelIso.toRelEmbedding f.symm).toRelHom e
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing R
a b : R
⊢ (a - b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2 * a * b
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y ⟶ Z
⊢ (η_ Y Y' ≫ f ▷ Y') ▷ Y ≫ (α_ Z Y' Y).hom ≫ Z ◁ ε_ Y Y' ≫ (ρ_ Z).hom = η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ (f ▷ (Y' ⊗ Y) ≫ Z ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ 𝟙 Z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
u : UniformSpace E
UniformAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
⊢ WithSeminorms p ↔ u = ⨅ i, PseudoMetricSpace.toUniformSpace
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n a b : ℕ
h : a ≤ b
⊢ Ico a b = image (⇑(addLeftEmbedding a)) (Ico 0 (b - a))
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ
hx' : IsUnit (X ^ n.succ).det
hy' : IsUnit (Y ^ n.succ).det
⊢ SemiconjBy A (X ^ -[n+1]) (Y ^ -[n+1])
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
X : T.Algebra
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Monad.FreeCoequalizer.topMap X)
    (CategoryTheory.Monad.FreeCoequalizer.π X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Monad.FreeCoequalizer.bottomMap X)
    (CategoryTheory.Monad.FreeCoequalizer.π X)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
⊢ MeasurableSet (κ.mutuallySingularSet η)
α : Type u_2
M : Type u_4
Preorder M
One M
s : Set α
f : α → M
a : α
h : a ∈ s → 1 ≤ f a
⊢ 1 ≤ s.mulIndicator f a
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
i : Fin (n + 1)
e : ℝ × (Fin n → ℝ) ≃ᵐ (Fin (n + 1) → ℝ) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove (fun x => ℝ) i).symm
hem : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
heπ : (⇑e ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π) ×ˢ Icc 0 fun x => 2 * π
⊢ (∯ (x : Fin (n + 1) → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (x : ℂ) in C(c i, R i), ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ i.succAbove, R ∘ i.succAbove), f (i.insertNth x y)
a b : ℕ
⊢ (Finset.Ico a b).card = b - a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
⊢ atTop ×ˢ atTop = atTop
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
Invertible 2
p₁ p₂ : P
⊢ dist p₂ (midpoint 𝕜 p₁ p₂) = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
h : Integrable (f + g) μ
⊢ g = f + g + -f
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
s : Set Y
⊢ dimH (⇑e ⁻¹' s) = dimH s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
⊢ W'.dblX P = (P x ^ 2) ^ 2
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
AddCommGroup Q
Module R Q
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : TensorProduct R Q N
⊢ (lTensor.inverse Q hfg hg) ((LinearMap.lTensor Q g) y) = Submodule.Quotient.mk y
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hσ : Finite σ
p : Polynomial (MvPolynomial σ R)
hp : ((optionEquivLeft R σ).symm p).IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
k : ℕ
e : σ ≃ Fin k
e' : Option σ ≃ Fin (k + 1) := e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv k).symm
F : MvPolynomial σ R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin k) R := renameEquiv R e
F' : MvPolynomial (Option σ) R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := renameEquiv R e'
φ : MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := F' ((optionEquivLeft R σ).symm p)
hφ : φ.IsHomogeneous n
⊢ (rename ⇑e) (p.coeff i) = ((finSuccEquiv R k) ((rename ⇑e') ((optionEquivLeft R σ).symm p))).coeff i
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
x : X
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Nonempty N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
⊢ (loopHomeo (Classical.arbitrary N)).symm (Path.symm ((loopHomeo (Classical.arbitrary N)).toEquiv p)) ≈ fromLoop (Classical.arbitrary N) (Path.symm (toLoop (Classical.arbitrary N) p))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a < b
hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)
hf_i : InjOn f (Ioo a b)
this : Inhabited ↑(Ioo a b)
⊢ StrictMonoOn f (Ioo a b) ∨ StrictAntiOn f (Ioo a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
f : α ≃o β
⊢ upperClosure (⇑f '' s) = (UpperSet.map f) (upperClosure s)
a b c : ℕ
H1 : b ∣ a
H2 : a / b = c
⊢ a = c * b
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜
x : 𝕜 × ((i : ι) → E i)
⊢ ((fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) x = ((fun x => ‖a‖ • x) ∘ fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U V₁ V₂ : Submodule 𝕜 E
⊢ U ⟂ V₁ ⊔ V₂ ↔ U ⟂ V₁ ∧ U ⟂ V₂
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
TopologicalSpace E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
RingHomSurjective σ
RingHomIsometric σ
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousSMul 𝕜₂ F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₃ : ∀ S ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ S
⊢ ContinuousSMul 𝕜₂ (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x : α
hx : f x ≠ x
⊢ f.IsCycle ↔ ∀ {y : α}, f.SameCycle x y ↔ f y ≠ y
R : Type u
Ring R
q n : ℕ
hR : ExpChar R q
⊢ (-1) ^ q ^ n = -1
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
x : α
⊢ ContinuousWithinAt f {x} x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.97646, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ φ₂.τ₁ = -S₁.f ≫ h.h₁ + -h.h₀ + (S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀ + φ₂.τ₁)
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0
⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
g : G
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : ∀ (g : G), g ^ n = 1
⊢ IsOfFinOrder g
ι : Sort u_1
M : Type u_2
Add M
S : ι → AddSubsemigroup M
C : M → Prop
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
mem : ∀ (i : ι), ∀ x₂ ∈ S i, C x₂
mul : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
⊢ C x₁
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0
⊢ b / c < a ↔ c * a < b
p n k b : ℕ
hp : Prime p
hnb : log p (n + k) < b
⊢ multiplicity p ((n + k).choose k) = ↑(filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + n % p ^ i) (Ico 1 b)).card
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
⊢ span R s = ⨆ x ∈ s, span R {x}
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hs : {i₂, i₃}ᶜ = {i₁}
he : univ.erase i₁ = {i₂, i₃}
⊢ altitude t i₁ = mongePlane t i₂ i₃
α : Type u_1
β : Type u_3
x : α
rels : Set (FreeGroup α)
e : α ≃ β
⊢ (PresentedGroup.equivPresentedGroup rels e) (PresentedGroup.of x) = PresentedGroup.of (e x)
x : ℝ
⊢ ↑(↑x).cot.re = (↑x).cot
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
⊢ B.compRight LinearMap.id = B
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
⊢ LinearMap.snd R M₂ M₃ ∘ₗ f.prod g = g
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
ι : Type u_1
p : ι → Prop
V : ι → Set (β × β)
K : CompactExhaustion α
hb : (𝓤 β).HasBasis p V
⊢ (𝓤 C(α, β)).HasBasis (fun i => p i.2) fun i => {fg | ∀ x ∈ K i.1, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ V i.2}
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
f : α → M
a : α
⊢ s.mulIndicator f a = 1 ∨ s.mulIndicator f a = f a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : E
this : (fun x_1 => x) = Set.univ.indicator fun x_1 => x
⊢ setToFun μ T hT (Set.univ.indicator fun x_1 => x) = (T Set.univ) x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n i j k i' j' k' : ℤ
hi : n + i = i'
hj : n + j = j'
hk : n + k = k'
X : CochainComplex C ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftShortComplexFunctor' C n i j k i' j' k' hi hj hk).inv.app X).τ₂ =
  (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).inv
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommSemiring N
inst✝² : Algebra R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
p : MvPolynomial σ R
⊢ (Algebra.ofId A (MvPolynomial σ A)) a * eval₂ (C.comp ↑(Algebra.ofId R A)) X p = C a * (map (algebraMap R A)) p
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (β_ (X ⊗ Y) Z).hom = (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
ψ θ : R ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
n : ℕ
hz : n ≠ 0
⊢ (∃ k, ψ = θ + ↑(↑k • (p / ↑n))) ↔ ∃ k, ψ = θ + ↑k • ↑(p / ↑n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMaxOrder α
a b : α
⊢ interior (Ioc a b) = Ioo a b
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β
⊢ dist f g = ⨆ x, dist (f x) (g x)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hef : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
h : ↥H
ht : IsSl2Triple (↑h) e f
key : α h = 2
⊢ h = coroot α
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
⊢ Prime (minpoly A x)
n : ℕ
⊢ Nat.fib n.greatestFib ≤ n
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a b c d : α
ExistsAddOfLE α
MulPosMono α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
⊢ a * d + b * c ≤ a * c + b * d
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Y → Z
s : Set Y
h : s ⊆ e.target
⊢ ContinuousOn f s ↔ ContinuousOn (f ∘ ↑e) (e.source ∩ ↑e ⁻¹' s)
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : Flat R S
I : Ideal R
⊢ ↑R (Module.Flat.auxLTensor R S M I) = ↑(TensorProduct.rid R M) ∘ₗ lTensor M (Submodule.subtype I)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : I → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : I), e i ∈ f.range
⊢ ∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support
⊢ Finsupp.comapDomain f l ⋯ = 0 → l = 0
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
⊢ Classical.choose ⋯ • y = c • y
a : ENNReal
n : ℕ
⊢ (a ^ n)⁻¹ = a⁻¹ ^ n
G : Type u_1
AddGroup G
S : Set G
g : G
⊢ AddSubgroup.IsComplement {g} S ↔ S = Set.univ
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.RightExtension F
h : E.IsPointwiseRightKanExtension
L.Full
L.Faithful
⊢ CategoryTheory.IsIso E.hom
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
⊢ ⌈a⌉ ≤ ⌊a⌋ + 1
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A ↔ IsUnit B
⊢ A⁻¹ - B⁻¹ = A⁻¹ * (B - A) * B⁻¹
α : Type u_1
LT α
a b : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual a ⋖ OrderDual.ofDual b ↔ b ⋖ a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
K : J ⥤ C
F : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasLimit (K ⋙ F)
CategoryTheory.CreatesLimit K F
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit K
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f₁ f₂ : End R M
μ₁ μ₂ : R
h : Commute f₁ f₂
m : M
hm : (∃ k, ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k) m = 0) ∧ ∃ k, ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k) m = 0
⊢ ∃ k, ((f₁ + f₂ - (μ₁ + μ₂) • 1) ^ k) m = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommGroup β
l : Filter α
f g : α → β
C : β
hf : ∀ (x : α), C ≤ f x
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
DiscreteTopology β
f : α × β → γ
⊢ IsOpenMap f ↔ ∀ (b : β), IsOpenMap fun x => f (x, b)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : r₂ ≤ 0
h : r₂ ≤ r₁
⊢ Wbtw R x (r₁ • v +ᵥ x) (r₂ • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R x (r₂ • v +ᵥ x) (r₁ • v +ᵥ x)
g g' : ℝ → ℝ
a l : ℝ
hcont : ContinuousWithinAt g (Set.Ici a) a
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
g'neg : ∀ x ∈ Set.Ioi a, g' x ≤ 0
hg : Filter.Tendsto g Filter.atTop (𝓝 l)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi a, g' x = l - g a
α : Type ?u.1065
β : Type ?u.1066
x✝¹ : (f : α ↪ β) × ↑(range ⇑f)ᶜ
f : α ↪ β
y : β
hy : y ∈ (range ⇑f)ᶜ
x✝ : α
⊢ (f.optionElim y ⋯) ↑x✝ = f x✝