ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList
H : q ∈ (p ^ e).primeFactorsList
⊢ q < p.succ
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
⊢ IsCompact s ↔ IsCompact (f '' s)
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : R
x y : L
m : M
hy : y ∈ 𝕎(L, χ₁, x)
hm : m ∈ 𝕎(M, χ₂, x)
⊢ ⁅y, m⁆ ∈ LinearMap.range (↑(toModuleHom R L M) ∘ₗ TensorProduct.mapIncl 𝕎(L, χ₁, x) 𝕎(M, χ₂, x))
f : StieltjesFunction
l u : ℝ
hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
hfu : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 u)
⊢ Tendsto (fun x => ofReal (↑f x - l)) atTop (𝓝 (ofReal (u - l)))
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
DecidableEq α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
LocallyFiniteOrderTop α
a b : α
⊢ Finset.Ioi a * Finset.Ici b ⊆ Finset.Ioi (a * b)
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
h : IsCoprime I J
⊢ ∃ i ∈ I, ∃ j ∈ J, i + j = 1
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
f₁ : P₁' →ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P
⊢ edist (f x) (f y) = edist x y
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (if j ∈ Finset.univ then 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord j else 0) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord j
K : Type u
DivisionRing K
S S' : Subring K
h : ∀ x ∈ S.carrier, x⁻¹ ∈ S.carrier
h' : ∀ x ∈ S'.carrier, x⁻¹ ∈ S'.carrier
⊢ { toSubring := S, inv_mem' := h } ≤ { toSubring := S', inv_mem' := h' } ↔ S ≤ S'
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
a₁ a₂ a₃ : ℤ
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : ℤ
h₁ : a₁ + b₁ = 0
h₂ : a₂ + b₂ = 0
h₃ : a₃ + b₃ = 0
⊢ (pullbackShiftIso (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1) a₃ b₃ ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd' (OppositeShift C ℤ) b₁ b₂ b₃ ⋯).hom.app X ≫ (pullbackShiftIso (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1) a₂ b₂ ⋯).inv.app ((shiftFunctor (OppositeShift C ℤ) b₁).obj X) ≫ (shiftFunctor (PullbackShift (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1)) a₂).map ((pullbackShiftIso (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1) a₁ b₁ ⋯).inv.app X) = (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).hom.app X ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).inv.app (Opposite.op ((shiftFunctor C b₁).toPrefunctor.1 (Opposite.unop X))) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ a₂).map ((shiftFunctorOpIso C a₁ b₁ h₁).inv.app X)
X : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace X
b : ι → Set X
hb : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
⊢ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, b i
a0 : Int
t : List Int
⊢ (Lean.Omega.LinearCombo.coordinate 0).eval (Lean.Omega.Coeffs.ofList (a0 :: t)) = a0
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0
φ : E →L[𝕜] 𝕜
hφ : φ v = 1
⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set β
⊢ f ⁻¹' symmDiff s t = symmDiff (f ⁻¹' s) (f ⁻¹' t)
G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : SigmaFinite ν
inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
K : PositiveCompacts G
K' : PositiveCompacts (G ⧸ Γ) := PositiveCompacts.map QuotientGroup.mk ⋯ ⋯ K
this : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
finiteCovol : ν s ≠ ⊤
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
⊢ (ν (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G) ⁻¹' ↑K' ∩ s) • haarMeasure K').IsHaarMeasure
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ W.neg P = P z • ![P x / P z ^ 2, W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3), 1]
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
s t : AffineSubspace k P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
⊢ AffineSubspace.comap f (s ⊓ t) = AffineSubspace.comap f s ⊓ AffineSubspace.comap f t
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
T2Space α
ContinuousMul α
s : Set β
hs : Multipliable (f ∘ Subtype.val)
hsc : Multipliable (f ∘ Subtype.val)
⊢ (∏' (x : ↑s), f ↑x) * ∏' (x : ↑sᶜ), f ↑x = ∏' (x : β), f x
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α n
i : Fin n
a : α
⊢ (v.set i a).get i = a
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
i : ℕ
⊢ ↑(f * g) i = ↑f i * ↑g i
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallyUnramified R S
this✝ : FormallyUnramified S Sₘ
this : FormallyUnramified R Sₘ
⊢ FormallyUnramified Rₘ Sₘ
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
⊢ ∃ t A, Pairwise (Disjoint on t) ∧ (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, t n ∧ (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))) ∧ (s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y)
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
i : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
hφ : IsIso (homologyMap φ i)
hφφ' : IsIso (homologyMap (φ ≫ φ') i)
⊢ IsIso (homologyMap φ' i)
B : Type u
inst✝ : Quiver B
a b c : B
f g : Hom b c
η' : Hom₂ f g
⊢ (fun p => normalizeAux p f) = fun p => normalizeAux p g
a b : Cardinal.{v}
⊢ Cardinal.lift.{u, v} a ≤ Cardinal.lift.{u, v} b ↔ a ≤ b
α : Type u
β : Type v
f : α → β
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ (Stream'.map f s).get n = f (s.get n)
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : α
⊢ ‖(WithLp.equiv p (α × β)).symm (x, 0)‖₊ = ‖x‖₊
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
hB : ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ B
⊢ ∀ y ∈ (fun a => ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖) '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B
R : Type u
CommRing R
r : R
⊢ (ModuleCat.Free.ε R) r = Finsupp.single PUnit.unit r
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
Infinite R
⊢ Cardinal.mk ↑Set.univ = Cardinal.mk R
α : Type u_7
β : Type u_8
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : IsCountablySpanning C
hD : IsCountablySpanning D
⊢ Prod.instMeasurableSpace = MeasurableSpace.generateFrom (Set.image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D)
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
⊢ generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ d
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → One (α i)
i : ι
a b : α i
⊢ Pi.mulSingle i '' Set.Ioc a b = Set.Ioc (Pi.mulSingle i a) (Pi.mulSingle i b)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.range fun r => ↑(basicOpen r))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
f : Filter β
u v : β → α
bu : α
hu : ∀ᶠ (x : β) in f, u x ≤ bu
bv : α
hv : ∀ᶠ (x : β) in f, v x ≤ bv
⊢ ∀ᶠ (x : β) in f, u x ⊔ v x ≤ bu ⊔ bv
s : ℝ
⊢ Tendsto (fun x => rexp (-x) * x ^ s / rexp (-(1 / 2) * x)) atTop (𝓝 0)
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
f : E → F
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
hf : f 1 = 1
x : E
⊢ ‖f x‖ ≤ ↑K * ‖x‖
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Finsupp.single 0 1 = 1
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
⊢ SameRay R ((lineMap x z) t -ᵥ x) (z -ᵥ (lineMap x z) t)
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
h : Module.Baer R Q
⊢ Module.Injective R Q
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
⊢ 3 / 4 * ε ≤
  |(∑ ab ∈ (SzemerediRegularity.star hP G ε hU V).product (SzemerediRegularity.star hP G ε hV U),
          ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
        (↑(SzemerediRegularity.star hP G ε hU V).card * ↑(SzemerediRegularity.star hP G ε hV U).card) -
      (∑ ab ∈ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts.product (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hV).parts,
          ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
        16 ^ P.parts.card|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
h : S ⊆ {∅, univ}
s : Set α
hs : s ∈ S
hne : ¬s = ∅
⊢ ⋃₀ S = univ
M✝ : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Monoid M✝
inst✝² : TopologicalSpace X
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
f : M → M
hc : ContinuousOn f {x | IsUnit x}
hf : ∀ (u : Mˣ), f ↑u = ↑u⁻¹
⊢ instTopologicalSpaceUnits = TopologicalSpace.induced val inst✝
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
⊢ (DiscreteValuationRing.addVal R) 0 = ⊤
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type ?u.6722
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
⊢ IsSeparatedMap f ↔ ∀ (x₁ x₂ : X), f x₁ = f x₂ → x₁ ≠ x₂ → ∃ s₁ ∈ 𝓝 x₁, ∃ s₂ ∈ 𝓝 x₂, Disjoint s₁ s₂
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ (∃ u, u • s₂ • m₁ = u • s₁ • m₂) ↔ ∃ s, s • s₁ • m₂ = s • s₂ • m₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ 0 ≤ RCLike.re ⟪x, x⟫_𝕜
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
q : Stmt₁
⊢ q ∈ stmts₁ q
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).hom ≫ snd X (Y ⊗ Z) ≫ fst Y Z = fst (X ⊗ Y) Z ≫ snd X Y
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : S
i : Fin f.natDegree
⊢ (h.basis.repr x) i = (h.modByMonicHom x).coeff ↑i
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : CharP R n
inst✝ : Fintype R
h : Fintype.card R = n
this : NeZero n
⊢ Injective ⇑(castHom ⋯ R)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
x : E
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T (MeasureTheory.Lp.simpleFunc.indicatorConst 1 ⋯ ⋯ x) = (T Set.univ) x
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
hy : y ≠ ⊤
⊢ x.toNNReal = y.toNNReal ↔ x = y
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f✝ f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)
g' : TangentSpace I' (f✝ x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f✝ x✝))
f : M → M'
s : Set M
x : M
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
⊢ -1 < s.re
K : Type u_1
NontriviallyNormedField K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
s : Set E
⊢ DifferentiableOn K (fun x => x) s
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
⊢ (logEmbedding K) x = 0 ↔ x ∈ torsion K
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μa μa' : MeasureTheory.Measure α
μb μb' : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
ha : μa'.AbsolutelyContinuous μa
hb : μb.AbsolutelyContinuous μb'
h : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μa μb
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μa' μb'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
T2Space E
TopologicalAddGroup E
Module 𝕜 E
ContinuousSMul 𝕜 E
c : E
⊢ IsClosedMap fun x => x • c
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
l : Filter α
f g : α → β
h : Set.EqOn f g s
hl : s ∈ l
⊢ f =ᶠ[l] g
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝² : S.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
⊢ homologyMap φ ≫ S₂.homologyι = S₁.homologyι ≫ opcyclesMap φ
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Add G
a₁ a₂ : G
b₁ b₂ : k
⊢ AddMonoidAlgebra.single a₁ b₁ * AddMonoidAlgebra.single a₂ b₂ = AddMonoidAlgebra.single (a₁ + a₂) (b₁ * b₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
x : β
e : α ≃ { y // y ≠ x }
⊢ ↑((Equiv.optionSubtype x).symm e) none = x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α →ₘ[μ] E
⊢ f ∈ MeasureTheory.Lp E p μ ↔ MeasureTheory.Memℒp (↑f) p μ
G : Type u
Monoid G
IsCancelMul G
h : ∀ (g : G), orderOf g ∣ 2
a b : G
⊢ Commute a b
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
Fintype n
RCLike 𝕜
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
x : n → 𝕜
⊢ Matrix.dotProduct (star x) (A.mulVec x) = 0 ↔ A.mulVec x = 0
α : Type u
e : Equiv.Perm α
⊢ Equiv.refl α * e = e
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
cne : c.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)
⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Neg α
A : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ (-A) i j = -A i j
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b✝ c : α
n : ℤ
b : α
⊢ toIcoMod hp 0 b ∈ Set.Ico 0 p
n m : ℕ+
⊢ n.gcd m * n.lcm m = n * m
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
⊢ ‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x‖ ≤ (μ s).toReal * ‖x‖
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
f4 : φ 4 = 4
f18 : φ 18 = 18
⊢ φ P.b ^ 2 * φ P.c ^ 2 - φ 4 * φ P.a * φ P.c ^ 3 - φ 4 * φ P.b ^ 3 * φ P.d - φ 27 * φ P.a ^ 2 * φ P.d ^ 2 + φ 18 * φ P.a * φ P.b * φ P.c * φ P.d = (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
α : Type u_3
k : ℕ
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype (Sym α k)
⊢ Fintype.card (Sym α k) = Fintype.card (Sym (Fin (Fintype.card α)) k)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
v : ℕ → ℝ
v_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < v n
v_lim : Tendsto v atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
a b c : Nat
h : a + b < c
⊢ a < c - b
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
u : R[X]ˣ
⊢ (↑u).coeff 0 ≠ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
s₁ s₂ : Set α
⊢ intentClosure r (s₁ ∪ s₂) = intentClosure r s₁ ∩ intentClosure r s₂
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ MeasurableSet (ULift.down ⁻¹' s) ↔ MeasurableSet s
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
n : ℕ
hp : 0 < p
hn : n ≠ 0
hf2 : derivative ((expand F (p ^ n)) f) = 0
r : F
hr : IsUnit r
hrf : C r = (expand F (p ^ n)) f
⊢ IsUnit f
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
⊢ (↑f.cycleFactorsFinset).Pairwise Equiv.Perm.Disjoint
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
hf : AEMeasurable f μ
⊢ map (g ∘ f) (ae μ) ≤ map g (ae (Measure.map f μ))
a b c : UInt32
⊢ a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
R : Type u_1
Ring R
n : ℤ
m : ℕ
⊢ ↑(n ^ m) = ↑n ^ m
R : Type u_2
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ 2 • x = 2 • x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f✝ : α → ℝ≥0∞
hf✝ : Measurable f✝
s : ℕ → Finset ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ≥0∞), Measurable (f n r)
hm : Monotone fun n μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ
n : ℕ
⊢ ∑ r ∈ s n, r * ∫⁻ (μ : Measure α), f n r μ ∂m = ∑ b ∈ s n, ∫⁻ (a : Measure α), b * f n b a ∂m
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝³ : Nontrivial α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : Finite ι
x y : ι → α
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∀ (i : ι), x i + ε < y i
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepSets m' hm' s μ
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' (s i) (s j) μ
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
x : L
hx : x ∈ H
hx' : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x)
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ LinearMap.ker (traceForm K (↥H) L)
⊢ Set.InjOn (rexp ∘ Neg.neg) Set.univ
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.48051, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.48055, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.48059, u_3} E
X Y : Karoubi C ⥤ Karoubi D
φ : X ⟶ Y
P : Karoubi C
⊢ ((X.map ((toKaroubi C).map P.p)).f ≫ (φ.app ((toKaroubi C).obj P.X)).f) ≫ (Y.map P.decompId_p).f = (X.map P.decompId_p).f ≫ (φ.app P).f
p n : ℕ
h : log 2 n < log 2 (n + 1)
⊢ log 2 (n + 1) ≤ padicValNat 2 (n + 1)
α : Type u_1
d : α
x : WithBot α
⊢ WithBot.unbot' d x = d ↔ x = ↑d ∨ x = ⊥
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp a (b + p) = toIcoMod hp a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s t : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
k : s.pt ⟶ t.pt
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.π k = t.π
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cofork.mkHom k w).hom = k
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.nfp f a ≤ b ↔ ∀ (n : ℕ), f^[n] a ≤ b