ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
S : Set X
F : f₀.HomotopyRel f₁ S
x : X
hx : x ∈ S
⊢ f₀ x = f₁ x
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ico a (a + p)
this : (equivIco p a) ↑x = ⟨x, hx⟩
⊢ (Ico a (a + p)).restrict f ⟨x, hx⟩ = f x
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : MeasureTheory.Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => ProbabilityTheory.IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), ProbabilityTheory.IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω),
  (fun n =>
      ∑ i ∈ Finset.range ⌊c ^ n⌋₊, ProbabilityTheory.truncation (X i) (↑i) ω -
        ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[Filter.atTop]
    fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
val✝ : Fintype ι
x✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
⊢ Continuous fun p => p.1 p.2
p : ℕ
⊢ Nat.rec 0 (fun y IH => (unpair p).1 + IH) (unpair p).2 = (unpair p).1 * (unpair p).2
b : ℝ
hb : 0 < b
x : ℝ
⊢ ↑(rexp (-b * x ^ 2)) = cexp (-↑b * ↑x ^ 2)
α : Type u_1
a : Array α
i : Fin a.size
v : α
j : Nat
eq : ↑i = j
p : j < (a.set i v).size
⊢ (a.set i v)[j] = v
⊢ (deriv fun x => 1 + AkraBazziRecurrence.smoothingFn x) =ᶠ[Filter.atTop] fun x => -x⁻¹ / Real.log x ^ 2
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
⊢ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊓ LinearMap.ker ((aeval f) q) ≤ ⊥
α : Sort u
t : True → α
e : ¬True → α
⊢ dite True t e = t True.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
s' : Set X
hs' : IsClosed s'
ht : IsClosed (Subtype.val ⁻¹' s')
⊢ IsClosed (Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' s'))
x y : SetTheory.PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
⊢ Surreal.mk x hx < Surreal.mk y hy ↔ x < y
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
Semiring S
n : ℕ
n.AtLeastTwo
f : R →+* S
a : S
⊢ Polynomial.eval₂ f a (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
m n : ℕ∞
hm : m ≠ ⊤
⊢ m + 1 ≤ n ↔ m < n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P Q : PresheafOfModules R
f g : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
⊢ PresheafOfModules.Hom.app (f - g) X = PresheafOfModules.Hom.app f X - PresheafOfModules.Hom.app g X
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s✝ : UpperSet α
a : α
s t : UpperSet α
hst : s ⊓ t = Ici a
this : a ∈ s ⊓ t
⊢ s = Ici a ∨ t = Ici a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ (eval P) W.polynomialX / P z ^ 4 = Polynomial.evalEval (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3) W.toAffine.polynomialX
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ (↑(n + 1) / ↑n)⁻¹ ≠ 1
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
ι : Type u_8
s : Set ι
a : ι
f : ι → V
has : a ∉ s
⊢ (LinearIndependent K fun (x : ↑(insert a s)) => f ↑x) ↔
  (LinearIndependent K fun (x : ↑s) => f ↑x) ∧ f a ∉ Submodule.span K (f '' s)
C : Type u_3
D : Type ?u.25151
inst✝¹ : Category.{u_2, u_3} C
inst✝ : Category.{?u.25159, ?u.25151} D
X : C
S T : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ R, IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f
hS : IsSeparatedFor P S ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C
i : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → Z ⟶ W a
e : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → W a ⟶ X
h1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), T (e a)
h2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), i a ≫ e a = g
x : FamilyOfElements P T
hx : x.Compatible
y : FamilyOfElements P S := fun Y g hg => P.map (i hg).op (x (e hg) ⋯)
hy : y.Compatible
left✝ : IsSeparatedFor P S
h2' : ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
z : P.obj (Opposite.op X)
hz : y.IsAmalgamation z
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : T g
R : Presieve Y
hR1 : IsSeparatedFor P R
WW : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → R g → C
ii : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (a : R g) → Z ⟶ WW a
ee : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (a : R g) → WW a ⟶ X
hh1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (a : R g), S (ee a)
hh2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g_1 : Z ⟶ Y⦄ (a : R g_1), ii a ≫ ee a = g_1 ≫ g
Q : C
t : Q ⟶ Y
ht : R t
⊢ P.map t.op (P.map g.op z) = P.map t.op (x g hg)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f✝ : ↥(Lp F p μ)
hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ
f g : α → F
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
h_disj : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hPf : P (Memℒp.toLp f hf)
hPg : P (Memℒp.toLp g hg)
s_f : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hs_f : MeasurableSet s_f
hs_f_eq : s_f =ᶠ[ae μ] Function.support f
s_g : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
hs_g : MeasurableSet s_g
hs_g_eq : s_g =ᶠ[ae μ] Function.support g
h_inter_empty : s_f ∩ s_g =ᶠ[ae μ] ∅
f' : α → F := (s_f \ s_g).indicator (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf'_Lp : Memℒp f' p μ
g' : α → F := (s_g \ s_f).indicator (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
⊢ P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
⊢ ∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c),
  (CategoryTheory.OplaxFunctor.id B).mapComp f g =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
ba : b ≤ a
⊢ variationOnFromTo f s a b = 0 ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s ∩ uIcc a b → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ uIcc a b → edist (f x) (f y) = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
P : α → Prop
Ptop : P ⊤
Pinf : ∀ ⦃x y : α⦄, P x → P y → P (x ⊓ y)
t : Finset β
f : β → { x // P x }
⊢ ↑(t.inf f) = t.inf fun x => ↑(f x)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
s : Set R
h : Module.IsTorsionBySet R M s
⊢ Module.IsTorsionBySet R (M ⧸ N) s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
hf : HasCompactSupport f
v : E
⊢ HasCompactSupport fun x => (fderiv 𝕜 f x) v
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
⊢ mixedEmbedding.norm ((mixedEmbedding K) x) = ↑|(Algebra.norm ℚ) x|
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ a ⊓ sSup s = ⨆ b ∈ s, a ⊓ b
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : X ≃ Y
f : Y ≃ Z
he : ∀ (s : Set Y), IsOpen (⇑e ⁻¹' s) ↔ IsOpen s
hf : ∀ (s : Set Z), IsOpen (⇑f ⁻¹' s) ↔ IsOpen s
⊢ (e.trans f).toHomeomorph ⋯ = (e.toHomeomorph he).trans (f.toHomeomorph hf)
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(Profinite.NobelingProof.π C fun x => x ∈ s)
h : y = x
⊢ (Profinite.NobelingProof.factors C s x).prod y = 1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
⊢ Pi.topologicalSpace = Pi.topologicalSpace
β : Type u_2
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
mβ : MeasurableSpace β
Ω : Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {X : Ω → β} {μ : MeasureTheory.Measure Ω},
  Measurable X →
    ∀ {f : Ω → F},
      MeasureTheory.Integrable (fun x => f x.2) (MeasureTheory.Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ) ↔
        MeasureTheory.Integrable f μ
α : Type u_2
s : Set α
⊢ IsOpen {l | s ∈ l}
q : ℚ
q_pos : 0 < q
q_num_pos : 0 < q.num
q_num_abs_eq_q_num : ↑q.num.natAbs = q.num
q_inv : ℚ := ↑q.den / ↑q.num
q_inv_def : q_inv = ↑q.den / ↑q.num
q_inv_eq : q⁻¹ = q_inv
q_inv_num_denom_ineq : q⁻¹.num - ⌊q⁻¹⌋ * ↑q⁻¹.den < ↑q⁻¹.den
this : q_inv.num = ↑q.den ∧ q_inv.den = q.num.natAbs
⊢ ↑q.den - q.num * ⌊q_inv⌋ < q.num
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ V ∈ 𝓤 α, ball x V ⊆ s
R : Type u_1
CommMonoid R
m n : R
h : Squarefree (m * n)
⊢ IsRelPrime m n
α : Type u_1
DivisionSemiring α
a : α
b : ℤ
nb ne : ℕ
pb : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b nb
pe' : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a ^ nb) ne
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a ^ b) ne
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
⊢ 0 ≤ ProbabilityTheory.mgf X μ t
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
H : Embedding ⇑f
g : Y ⟶ S
⊢ Embedding ⇑(pullback.snd f g)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
P : C
f : P ⟶ S.X₂
CategoryTheory.Projective P
hf : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f S.g = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (hS.liftFromProjective f hf) S.f = f
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₁₂ : Type u_3
C₂₃ : Type u_4
C₃ : Type u_5
C₄ : Type u_6
inst✝⁹ : Category.{u_13, u_1} C₁
inst✝⁸ : Category.{u_15, u_2} C₂
inst✝⁷ : Category.{u_14, u_5} C₃
inst✝⁶ : Category.{u_11, u_6} C₄
inst✝⁵ : Category.{u_17, u_3} C₁₂
inst✝⁴ : Category.{u_12, u_4} C₂₃
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄
G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃
associator : bifunctorComp₁₂ F₁₂ G ≅ bifunctorComp₂₃ F G₂₃
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r
ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝³ : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
inst✝² : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q
inst✝¹ : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
inst✝ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q
H₁₂ : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃
H₂₃ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (mapBifunctorAssociator associator ρ₁₂ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃).inv j = ((associator.inv.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
⊢ ⇑S.subtype = Subtype.val
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i✝ : ι
j : ι'
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
v : Basis ι' R M
i : ι'
⊢ ((toLin v e) (e.toMatrix ⇑v)) (v i) = LinearMap.id (v i)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.HasShift D ℤ
L.CommShift ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Preadditive D
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor D n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated D
L.mapArrow.EssSurj
L.IsTriangulated
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle D
⊢ T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles ↔ T ∈ L.essImageDistTriang
G : Type uG
x : G
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg' : MeasureTheory.ConvolutionExistsAt f g' x (ContinuousLinearMap.lsmul ℝ ℝ) μ
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
hg' : ∀ (x : G), 0 ≤ g' x
⊢ MeasureTheory.convolution f g (ContinuousLinearMap.lsmul ℝ ℝ) μ x ≤
  MeasureTheory.convolution f g' (ContinuousLinearMap.lsmul ℝ ℝ) μ x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
E' : IntermediateField F E := adjoin F (Set.range v)
⊢ LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
⊢ AkraBazziRecurrence.smoothingFn =o[Filter.atTop] fun x => 1
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
⊢ IsRat (↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db) nc dc
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Zero β
m0 : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
⊢ SigmaFinite (μ.restrict univ)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype o
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Field R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
A : Matrix m n R
x : n → R
⊢ x ∈ LinearMap.ker (Aᴴ * A).mulVecLin ↔ x ∈ LinearMap.ker A.mulVecLin
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
n : ℕ
⊢ Chebyshev.T R ↑n = C ⅟2 * (↑2 * (Chebyshev.T R ↑n).comp (C ⅟2 * (2 * X)))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.drop.map f).app (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0)) ≫
    Y.hom.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0)) =
  X.hom.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0)) ≫ CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.point.map f
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ 0 ∪ s = s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν κ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite κ
hμν : μ ≪ ν
⊢ AEMeasurable (μ.rnDeriv ν) κ
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z✝ : C
f : Y ⟶ X
inst✝ : HasPullbacks C
ι : Type u_1
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
⊢ (ofArrows (fun i => pullback (g i) f) fun i => pullback.snd (g i) f) = pullbackArrows f (ofArrows Z g)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
h : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ HasMFDerivAt I I' f x (mfderiv I I' f x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} E
F : CategoryTheory.Functor C E
hF : W.IsInvertedBy F
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W).comp
    (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget.lift F hF) =
  F
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ (R.mul ▷ (P.X ⊗ Q.X) ≫ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ actLeft P Q = (R.X ⊗ R.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (α_ R.X R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ R.X ◁ actLeft P Q ≫ actLeft P Q
α β : Type u
f : α → FreeAbelianGroup β
x y : FreeAbelianGroup α
⊢ x + y >>= f = (x >>= f) + (y >>= f)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : ∀ (b : Pseudoelement S.X₂), pseudoApply S.g b = 0 → ∃ a, pseudoApply S.f a = b
this : pseudoApply S.g (Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))) = 0
a' : Pseudoelement S.X₁
a : Over S.X₁
ha : pseudoApply S.f ⟦a⟧ = Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))
ha' : ⟦a⟧ = a'
Z : C
r : Z ⟶ ((fun g => app S.f g) a).left
q : Z ⟶ (Over.mk (kernel.ι S.g)).left
w✝ : Epi r
eq : Epi q
comm : r ≫ ((fun g => app S.f g) a).hom = q ≫ (Over.mk (kernel.ι S.g)).hom
z : Z ⟶ pullback (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g)
left✝ : z ≫ pullback.fst (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) = r ≫ a.hom ≫ Abelian.factorThruImage S.f
hz₂ : z ≫ pullback.snd (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) = q
j : pullback (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) ⟶ kernel S.g := pullback.snd (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g)
⊢ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : ∃ᵐ (a : α) ∂μ.restrict s, a ∈ s
p : α → Prop
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x
⊢ ∃ x ∈ s, p x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
⊢ image (fun x => x + c) (Icc a b) = Icc (a + c) (b + c)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p * q).coeff (p * q).natDegree = p.coeff p.natDegree * q.coeff q.natDegree
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i i' : ι
b : β i
⊢ (single i b) i' = if h : i = i' then Eq.recOn h b else 0
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
s : Set E
hs : IsOpen s
C : ℝ
Cpos : C > 0
hC : ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
y : F
yfs : y ∈ ⇑f '' s
⊢ ∃ ε > 0, ball y ε ⊆ ⇑f '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → γ
g : β → γ
⊢ Set.range f ⊆ Set.range g ↔ ∃ h, f = g ∘ h
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
⊢ m + (n - m + k) ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
X : CategoryTheory.OppositeShift C A
a b c : A
h : a + b = c
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CategoryTheory.OppositeShift C A) a b c h).hom.app X =
  ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b c h).inv.app (Opposite.unop X)).op
α : Type u_1
γ : Type u_2
β : Type u_3
f : α → γ
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ (List.map f l₁).zip l₂ = List.map (Prod.map f id) (l₁.zip l₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddGroup α
h : Function.Periodic f c
⊢ Function.Periodic f (-c)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
b₁ b₂ : β
l : List α
h : b₁ ∈ replicate l.length b₂
⊢ b₁ = b₂
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
a : { x // x ∈ s }
t : Set { x // x ∈ s }
⊢ 𝓝[t] a = Filter.comap Subtype.val (𝓝[Subtype.val '' t] ↑a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a : α
ha : Irreducible a
⊢ ¬IsSquare a
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
f : Perm α
hf : f.IsThreeCycle
hi : Function.Injective ⇑(alternatingGroup α).subtype
⊢ map (alternatingGroup α).subtype ⊤ ≤ map (alternatingGroup α).subtype (normalClosure {⟨f, ⋯⟩})
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ AddMonoid.Coprod.snd.comp AddMonoid.Coprod.inl = 0
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
x : (i : ι) → β i
⊢ Hamming.ofHamming (Hamming.toHamming x) = x
α : Type u
Preorder α
s : Set α
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
m : α
hm : m ∈ s
hmax : ∀ a ∈ s, m ≤ a → a ≤ m
a : α
⊢ a ∈ s → a ≤ m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
s s' t : Set α
ht : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t
⊢ s' ∩ frontier tᶜ = s ∩ frontier tᶜ
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
⊢ Function.Surjective ⇑SemidirectProduct.rightHom
X : Fin 2 → Type u
(i : Fin 2) → TopologicalSpace (X i)
⊢ ⇑(Homeomorph.piFinTwo X).symm = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
α : Type u
t : TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
f : α → Set α
hf : ∀ (x : α), f x ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ ⋃ x ∈ s, f x = Set.univ
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
H : ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T), Q (g.comp f) → Q g
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
Y : Scheme
g : Y ⟶ Z
hY✝ : IsAffine Y
X : Scheme
f : X ⟶ Y
h : Q (Scheme.Hom.app (f ≫ g) ⊤)
hY : IsAffine X
⊢ Q (Scheme.Hom.app f ⊤)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ t.eta.hom.hom = 𝟙 t.pt
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
x : K
h : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B
i : ℕ
⊢ ‖(minpoly ℚ x).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0
hc : 1 < ‖c‖
h₀ : r ≠ 0 ∨ x ≠ 0
hr : 0 < r
⊢ egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) x ≤ ↑‖c‖₊ * ↑‖x‖₊ / ↑r
x y : SetTheory.PGame
h : y ≤ x
⊢ ¬x.Fuzzy y
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : b ≤ a
⊢ m ∈ f' '' s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : TopCat.Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
∀ (x : ↥U), CategoryTheory.IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C ↑x).map f.val)
⊢ CategoryTheory.IsIso (f.val.app (Opposite.op U))
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
⊢ (AffineMap.id k P1).linear = LinearMap.id
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
l : List α
pa : p a = true
⊢ List.countP p (a :: l) = List.countP p l + 1