ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1107598
N' : Type ?u.1107601
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
x : LocalizedModule S M₀
m : M₀
s : ↥S
⊢ ((algebraMap R (Module.End R M₁')) ↑s) (((map S f₀ f₁) g ∘ₗ ↑(iso S f₀)) (LocalizedModule.mk m s)) = ((algebraMap R (Module.End R M₁')) ↑s) ((↑(iso S f₁) ∘ₗ (map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m s))
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
⊢ s ~ʷ s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : IsDomain R
h✝ : ¬Irreducible W.polynomial
f g : R[X]
h0 : 3 = f.degree + g.degree
h1 : { a := 0, b := 0, c := W.a₁, d := W.a₃ }.toPoly.degree = (f + g).degree
h : f.degree = 3 ∧ g.degree = 0
⊢ 1 < (f + g).degree
a : ℝ
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun n => 2 * ↑n * Real.sin (2 * π * a * ↑n) * rexp (-π * ↑n ^ 2 * t)) (HurwitzZeta.sinKernel (↑a) t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
k : ℕ
s t : Set ℝ
ht : UniqueDiffWithinAt ℝ t y
hs : s ∈ 𝓝[t] y
hf : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
⊢ HasDerivWithinAt (fun z => (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - z) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s z) ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 2) f s y - ((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) t y
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
hint : IsIntegral ℤ B.gen
this : FiniteDimensional ℚ K := finiteDimensional {p ^ k} ℚ K
u : ℤˣ
n : ℕ
hun : Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n
H : (algebraMap ℚ K) ↑↑p ^ n * x ∈ adjoin ℤ {B.gen}
⊢ x ∈ adjoin ℤ {ζ}
ι : Sort u_1
α : Type u_2
M : Type u_4
CompleteLattice M
Zero M
h1 : ⊥ = 0
s : ι → Set α
f : α → M
x : α
⊢ (⋃ i, s i).indicator f x = ⨆ i, (s i).indicator f x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
⊢ ∀ (k : ℕ), Commute ((C.comp f) (q.coeff k)) X
α : Type u_1
m' : α → Type u_6
R : Type v
CommRing R
Preorder α
DecidableEq α
d : (i : α) → Matrix (m' i) (m' i) R
⊢ (Matrix.blockDiagonal' d).BlockTriangular Sigma.fst
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l l₁ l₂ : List α}, l <+ l₁ → l <+ l₁ ++ l₂
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
hsC : contained C o
l : Products I
h : isGood (π C fun x => ord I x < o) l
ha : ⊥ < o
⊢ ((↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) < o ∧ isGood (π C fun x => ord I x < (↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) l
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
h_injOn : ∀ (i : ι), InjOn (f i) (s i)
h_disjoint : univ.PairwiseDisjoint fun i => f i '' s i
x y : α
h : hs.piecewise f x = hs.piecewise f y
⊢ hs.index x = hs.index y
x y : ZFSet
⊢ ↑(insert x y) = insert x ↑y
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
x y : L
m : M
⊢ ⁅x + y, m⁆ = ⁅x, m⁆ + ⁅y, m⁆
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : ∀ (x : X), (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : Dense s
t : Finset X
⊢ Dense (s \ ↑t)
d : ℤ
h₀ : 0 < d
a : Solution₁ d
⊢ ∃ b, 0 < b.x ∧ 0 ≤ b.y ∧ a ∈ {b, b⁻¹, -b, -b⁻¹}
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
s : Set S
⊢ Subring.closure (⇑f ⁻¹' s) ≤ Subring.comap f (Subring.closure s)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
IsDedekindDomain R
⊢ Function.Surjective ⇑ClassGroup.mk0
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
⊢ (↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues) * ↑(star hA.eigenvectorUnitary)).rank = (diagonal hA.eigenvalues).rank
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x : 𝕎 R
⊢ x ∈ RingHom.ker (WittVector.truncate n) ↔ ∀ i < n, x.coeff i = 0
R : Type u
S : Type v
A' : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring A'
CommSemiring S
Algebra S R
Algebra S A'
g : R →ₐ[S] A'
y : A'
⊢ (↑(Polynomial.aevalTower g y)).comp (algebraMap R R[X]) = ↑g
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ ↑((orthogonalProjection s) ↑((orthogonalProjection s) p)) = ↑((orthogonalProjection s) p)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
⊢ dist a c * dist b d ≤ dist a b * dist c d + dist b c * dist a d
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : P.Ring
⊢ (f.sub g) (1 ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) x) = Cotangent.mk ((f.subToKer g) x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap 0 = 0
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.1 + p.2}
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
r : (α.prod α).Arrow (TypeVec.repeat n Prop)
⊢ TypeVec.comp (TypeVec.toSubtype' r) (TypeVec.ofSubtype' r) = TypeVec.id
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∉ s
ha : AffineIndependent k fun x => ![p₁, p₂, p₃] ↑x
h : ![p₁, p₂, p₃] 2 ∈ affineSpan k (![p₁, p₂, p₃] '' {x | x ≠ 2})
⊢ ∀ x ∈ {x | x ≠ 2}, ![p₁, p₂, p₃] x ∈ ↑s
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38879, u_1} C
P : Karoubi C
⊢ P.p = { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ }.p ≫ P.p ≫ P.p
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set E
x y : E
a b : 𝕜
S : Set (Set E)
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
hS : ∀ s ∈ S, StrictConvex 𝕜 s
⊢ StrictConvex 𝕜 (⋃₀ S)
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
x : (forget Stonean).obj X
h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i
y : (forget Stonean).obj Y
hy : i y = f x
⊢ f ({ toFun := Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ } ⟨x, h⟩) = i ({ toFun := ⇑(Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯).symm ∘ Set.MapsTo.restrict (⇑f) (⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i) (Set.range ⇑i) ⋯, continuous_toFun := ⋯ } ⟨x, h⟩)
m n : ℤ
P : ℤ → Sort u_1
lt : (n : ℤ) → n < m → P n
ge : (n : ℤ) → n ≥ m → ((k : ℤ) → k < n → P k) → P n
hn : n < m
⊢ Int.strongRec lt ge n = lt n hn
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c w : ℂ
R : ℝ
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • (z - w) • f z) = ∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z
R : Type u_1
CommSemiring R
Module R (Additive ℤˣ)
u : Additive ℤˣ
r : R
⊢ Additive.toMul (r • u) = Additive.toMul u ^ r
α : Sort u_1
s₁ : Setoid α
a b : α
⊢ Quotient.mk'' a = Quotient.mk'' b ↔ Setoid.r a b
R : Type u_1
S : Type u_4
Semiring R
Semiring S
M : Type u_6
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
N₃ : Type u_10
TopologicalSpace N₃
AddCommMonoid N₃
Module R N₃
Module S N₃
SMulCommClass R S N₃
ContinuousConstSMul S N₃
ContinuousAdd N₃
self : M →L[R] N₃
⊢ (ContinuousLinearMap.coeLM S) self = ↑self
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ X.basicOpen f ≤ U
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
⊢ P ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)
R : Type u
A : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A
r : R
y : A
⊢ x * ((algebraMap R A) r * y) = (algebraMap R A) r * (x * y)
x y : ℝ*
r s : ℝ
hxr : x.IsSt r
hys : y.IsSt s
⊢ (x * y).IsSt (r * s)
R : Type u_1
S : Type u_2
L : Type u_4
EuclideanDomain R
CommRing S
IsDomain S
Field L
algRL : Algebra R L
Algebra R S
Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
DecidableEq ι
Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
Infinite R
DecidableEq R
IsDedekindDomain S
Algebra.IsAlgebraic R L
⊢ Function.Surjective (ClassGroup.mkMMem bS adm)
α : Type u_1
s : Set α
⊢ ⊥.IsClique s ↔ s.Subsingleton
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
⊢ (PrimeSpectrum.comap (awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x)) (closedPoint ↑((Proj.restrict ⋯).presheaf.stalk x)) = (PrimeSpectrum.comap (mapId 𝒜 ⋯)) (closedPoint (AtPrime 𝒜 (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal))
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Nontrivial B
h : minpoly A x = 1
⊢ 1 = 0
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
U : OpenSubgroup G
⊢ ↑↑U = ↑U
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : ι → α
f' : α → γ
g : ι → β
s : Set ι
h : AntivaryOn f g s
hf : Monotone f'
⊢ AntivaryOn (f' ∘ f) g s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
⊢ Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x
α : Type u
s t : Set α
ht : s ⊂ t
⊢ (t \ s).Nonempty
R : Type u_1
LinearOrderedRing R
a b : ℤ
⊢ ↑(min a b) = min ↑a ↑b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
h : Convex 𝕜 s
x y : E
p q : 𝕜
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
⊢ ∃ z ∈ s, (p + q) • z = p • x + q • y
n : ℕ
⊢ n.factorization 0 = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ✝ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
f : α → β
h : NeZero (Measure.map f μ)
⊢ AEMeasurable f μ
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
⊢ ⇑μ.toFiniteMeasure = ⇑μ
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
p : β → Prop
hf : Set.BijOn f s t
⊢ (∃ b ∈ t, p b) ↔ ∃ a ∈ s, p (f a)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
h : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => -f x) (-f') x
b n : ℕ
⊢ Nat.log b n = 0 ↔ n < b ∨ b ≤ 1
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
y : ↥f.inverse.domain
x : ↥f.domain
hxy : ↑f x = ↑y
this : ∃ (x_1 : ↑f x ∈ f.inverse.domain), ↑f.inverse ⟨↑f x, ⋯⟩ = ↑x
⊢ ↑f.inverse y = ↑x
α : Type u
a b : α
⊢ ↑a = ↑b ↔ a = b
α : Type u_1
l : List α
⊢ (↑l).lists = ↑l.cyclicPermutations
α : Type u
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ ∀ (ε : α), 1 < ε → a < b * ε
R : Type u_1
m : Type u_2
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
⊢ (A₁.fromColumns A₂).toColumns₂ = A₂
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
⊢ (W.baseChange B).Ψ n = Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).Ψ n)
α : Type u_2
Add α
s t : Set α
⊢ ⋃ a ∈ t, AddOpposite.op a +ᵥ s = s + t
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
G : W.FunctorsInverting D
a b : CategoryTheory.Quotient (CategoryTheory.Localization.Construction.relations W)
hf : a ⟶ b
⊢ ((CategoryTheory.Localization.Construction.WhiskeringLeftEquivalence.inverse W D).obj G).map hf =
  Quot.liftOn hf
    (fun f =>
      CategoryTheory.composePath
        ({ obj := fun X => G.obj.obj X.obj,
              map := fun {X Y} a =>
                Sum.rec (fun val => G.obj.map val) (fun val => CategoryTheory.inv (G.obj.map ↑val)) a }.mapPath
          f))
    ⋯
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K✝ L : Subgroup G
f : G' →* G
K : Subgroup G'
⊢ (comap f H).relindex K = H.relindex (map f K)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
ι : Sort u_1
S : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
⊢ ⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y)) + dist f g
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
f : Quotient (QuotientGroup.rightRel H) → G
hf : ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), Quotient.mk'' (f q) = q
q₁ q₂ : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)
h : (range f).restrict Quotient.mk'' ⟨f q₁, ⋯⟩ = (range f).restrict Quotient.mk'' ⟨f q₂, ⋯⟩
⊢ ⟨f q₁, ⋯⟩ = ⟨f q₂, ⋯⟩
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ (r • j).posPart = (-r).toNNReal • j.negPart
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
⊢ schnirelmannDensity A * ↑0 ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 0)).card
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : Nonempty ι
l : (i : ι) → Filter (α i)
hl : ∀ (i : ι), Cauchy (l i)
⊢ Cauchy (Filter.pi l)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ‖f'‖ ≤ C
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
x₀ : M
hv : ContMDiffAt I I.tangent 1 (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hx : I.IsInteriorPoint x₀
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsIntegralCurveAt γ v t₀
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ (⨆ i, p i).toAddSubmonoid → x ∈ ⨆ i, (p i).toAddSubmonoid
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l : Filter α
hfg : f'' =O[l] g''
hg : Filter.Tendsto g'' l (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto f'' l (𝓝 0)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : Quotient.mk'' f ≠ 0
⊢ ¬f ≈ 0
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeCommRing α
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hxs : x.IsSupported s
⊢ (map Subtype.val) ((restriction s) (-1)) = -1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E
⊢ x ∈ [x + y-[𝕜]x - y]
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
⊢ SigmaFinite (μ.withDensity f)
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
v : n → α
⊢ (Matrix.diagonal v)ᵀ = Matrix.diagonal v
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ maximals r ∅ = ∅
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
hne : a ≠ b
⊢ {a, b} \ {b} = {a}
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalSubalgebra R A
h : S = ⊤
x : A
⊢ x ∈ ⊤
α : Type u
f : Ultrafilter α
p q : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in ↑f, p x → q x) ↔ (∀ᶠ (x : α) in ↑f, p x) → ∀ᶠ (x : α) in ↑f, q x
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : Group H
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MulAction H β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
h : IsFundamentalDomain G s μ
g g' : G
⊢ (fun g' => g⁻¹ * g' * g) ((fun g' => g * g' * g⁻¹) g') = g'
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.attach.Nonempty ↔ s.Nonempty
z : ℂ
hz : Complex.abs (-z) < 1
⊢ Complex.UnitDisc.mk (-z) hz = -Complex.UnitDisc.mk z ⋯
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
b : ↥B
⊢ t⁻¹ * of ↑b = of ↑(φ.symm b) * t⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius
⊢ ∃ C r, ∃ (_ : 0 < C) (_ : 0 < r), ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ l.toFinset.Nonempty ↔ l ≠ []
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
v : Vector α (n + 1)
i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 2
⊢ (List.insertNth j a ↑v).eraseIdx ↑(if ⟨i, ⋯⟩ < ⟨j, hj⟩ then ⟨i, ⋯⟩ else ⟨i + 1, ⋯⟩) = List.insertNth (↑(if h : ⟨i, ⋯⟩ < ⟨j, hj⟩ then ⟨j, hj⟩.pred ⋯ else ⟨j, hj⟩.castPred ⋯)) a ↑(match v with | ⟨l, p⟩ => ⟨l.eraseIdx i, ⋯⟩)
i j : ℤ
⊢ ↑(i.lcm j) = lcm i j
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
b₁ : ∀ (y : ↥W), ((B.domRestrict₁₂ W W) ⟨x, hx⟩) y = 0
⊢ ⟨x, hx⟩ = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β
a : α
⊢ f (Function.invFun f (f a)) = f a
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
⊢ (∀ (f : ℕ →o Submodule R M), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m) ↔ IsNoetherian R M
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
t : β
o : ∀ (b : β), s b t ↔ ∃ a, f a = b
⊢ ⇑{ toRelEmbedding := f, top := t, down' := o }.toRelEmbedding = ⇑f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.JordanDecomposition.posPart 0 = 0
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f g : α → M
hf : (Function.support f).Finite
hg : (Function.support g).Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α), (f i + g i) = ∑ᶠ (i : α), f i + ∑ᶠ (i : α), g i
α : Type u
Group α
ι : Sort u_1
s : ι → GroupTopology α
⊢ (⨅ i, s i).toTopologicalSpace = ⨅ i, (s i).toTopologicalSpace
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Finite ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this : Fintype ↑w := Fintype.ofFinite ↑w
t : Finset ι
v' : ↑↑t → M := fun x => v ↑x
i' : LinearIndependent (ι := ↑↑t) R v'
⊢ t.card ≤ Fintype.card ↑w
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α
⊢ ∃ a, f ⁻¹' a = s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h : ¬μ ⟂ₘ ν
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)
hf₂ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict 0 (f n) ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) (f n)
hf₃ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) (f n)ᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 (f n)ᶜ
A : Set α := ⋂ n, (f n)ᶜ
hAmeas : MeasurableSet A
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∃ E, MeasurableSet E ∧ 0 < ν E ∧ VectorMeasure.restrict 0 E ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - (ε • ν).toSignedMeasure) E
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ↑⊥ = {0}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
s : Set α
ha : 0 ≤ a
hs : IsGLB s b
⊢ IsGLB ((fun b => b * a) '' s) (b * a)
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
hx : ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑g y = x.2
R : Type u_2
TopologicalSpace R
Star R
ContinuousStar R
s : Set R
⊢ ContinuousOn star s
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
h : (node size✝ l x r).Valid
⊢ (l.node' x r).eraseMin.Valid
α : Type u_1
DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
⊢ Multiset.toFinsupp.symm f = Finsupp.toMultiset f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β γ : Type w
f g h : β → γ
k : f = g
l : g = h
⊢ CategoryTheory.GradedObject.comapEq C ⋯ =
  CategoryTheory.GradedObject.comapEq C k ≪≫ CategoryTheory.GradedObject.comapEq C l