ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X✝ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : TopologicalSpace Y
s t : Set X✝
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : Infinite X
⊢ ∃ z, (𝓝[≠] z).NeBot
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
⊢ HomologicalComplex.cyclesMap φ i ≫ L.iCycles i = K.iCycles i ≫ φ.f i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
x : α
g : β → β
y : β
⊢ Function.minimalPeriod f x = Function.minimalPeriod g y ↔
  ∀ (n : ℕ), Function.IsPeriodicPt f n x ↔ Function.IsPeriodicPt g n y
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀
⊢ c ^< ℵ₀ ≤ max c ℵ₀
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
S : Submonoid R
inst✝ : OreSet S
r₁ r₂ : R
s₁ s₂ : ↥S
⊢ r₁ /ₒ s₁ * (r₂ /ₒ s₂) = r₁ * r₂ /ₒ (s₁ * s₂)
α β γ : Cardinal.{u_1}
γ₀ : γ < ℵ₀
⊢ α + γ ≤ β + γ ↔ α ≤ β
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.1 / p.2‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
w : ℂ
h₂ : 0 < (0, w).2.re
⊢ ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) (0, w)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Group G
f₁ f₂ : G →* α ≃o α
h : α → α
H : ∀ (x : α), IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') x)) (h x)
g : G
y : α
⊢ IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') ((f₂ g) y))) ((f₁ g) (h y))
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : Y ≅ 0
Z : C
g h : Y ⟶ Z
x✝ : f ≫ g = f ≫ h
⊢ g = h
m : Type u_1
R : Type u_3
Fintype m
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
A B : Matrix m m R
hA : A.PosSemidef
hB : B.PosSemidef
⊢ (A + B).PosSemidef
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v univ
a : ℝ
⊢ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) univ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
⊢ h₁.f' ≫ h₂.liftH (h₁.i ≫ h₂.p) ⋯ = 0
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
i : ι
x : M
h : ↑(fs.toFun i) x = 1
⊢ x ∈ (chartAt H (fs.c i)).source
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
a : A
⊢ a ∈ NonUnitalStarSubalgebra.center R A ↔ ∀ (b : A), b * a = a * b
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ y : X
hy : {i | y ∈ closure (support ⇑(ρ i))} ⊆ {i | x₀ ∈ closure (support ⇑(ρ i))}
z : ι
hz : z ∈ ρ.fintsupport y
⊢ z ∈ ρ.fintsupport x₀
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
m n : ℤ
k l : ℕ
hpm : ↑(p ^ k) ∣ m
hpn : ↑(p ^ l) ∣ n
hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n
⊢ ↑(p ^ (k + 1)) ∣ m ∨ ↑(p ^ (l + 1)) ∣ n
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
B : C
⊢ (initialIsInitial.uniqueUpToIso HasZeroObject.zeroIsInitial).hom ≫ 0 = initial.to B
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ f '' s ⊆ t ↔ s ⊆ f ⁻¹' t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ 1 / a ≤ 1 / b ↔ b ≤ a
a b c : Cardinal.{u_1}
hc : ℵ₀ ≤ c
h1 : a < c
h2 : b < c
⊢ a * b < c
α : Type u_1
⊢ Cycle.nil.reverse = Cycle.nil
α : Type u
n : ℕ
m' : Type uₘ
A : Matrix m' (Fin n.succ) α
⊢ Matrix.vecTail (Matrix.of.symm A.transpose) = Matrix.transpose (Matrix.vecTail ∘ A)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f : ι → Ω → ℝ
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ μ[f j|↑ℱ i] ≤ᶠ[ae μ] f i
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
I J : Ideal R
h : I ≤ J
⊢ IsLocalization.coeSubmodule S I ≤ IsLocalization.coeSubmodule S J
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β
⊢ ↑(a • s) ⊆ ↑t ↔ ↑s ⊆ ↑(a⁻¹ • t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B : C
⊢ ⊤ = CategoryTheory.Subobject.mk (𝟙 B)
x : Nat
y : Nat
⊢ y > 0 → x % y < y
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
c₁ c₂ : ℝ
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h₁ : Asymptotics.IsBigOWith c₁ l f₁ g
h₂ : Asymptotics.IsBigOWith c₂ l f₂ g
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (c₁ + c₂) l (fun x => f₁ x - f₂ x) g
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
e : α ≃ᵢ β
⊢ CompleteSpace α ↔ CompleteSpace β
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
⊢ (F ⊔ F').N = F.N ⊔ F'.N
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
T2Space α
⊢ ∑' (x : β), MulOpposite.op (f x) = MulOpposite.op (∑' (x : β), f x)
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this✝ : Nontrivial S
this : Nontrivial R
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ b, a * b = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (DerivedCategory C)
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ : ℤ
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk ((DerivedCategory.homologyFunctor C n₀).map T.mor₁)
    ((DerivedCategory.homologyFunctor C n₀).map T.mor₂) ⋯).Exact
y : ℝ
hy : 1 ≤ y
⊢ ↑(harmonic ⌊y⌋₊) ≤ 1 + Real.log y
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : Nat.Prime (orderOf σ)
⊢ card σ.cycleType = card σ.cycleType - 1 + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Finite β
f : α → β
inj : Function.Injective f
hc : Nat.card β ≤ Nat.card α
⊢ Function.Bijective f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a b : α
z : ℤ
hz : a - b = ↑z
⊢ fract a = fract b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
E : J.OneHypercover X
F : CategoryTheory.Functor C D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
E.IsPreservedBy F K
⊢ (E.map F K).toPreOneHypercover = E.map F
a b m n✝ p d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hn : n ≠ 0
⊢ (∀ (p : ℕ), Prime p → d.factorization p ≤ n.factorization p) ↔ d ∣ n
α₁ : Type u_3
β₁ : Type u_1
β₂ : Type u_2
e : β₁ ≃ β₂
⊢ (Equiv.refl α₁).prodCongr e = Equiv.prodCongrRight fun x => e
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a : α
⊢ Function.Involutive fun x => a ∆ x
M : Type u_1
AddZeroClass M
⊢ AddSubmonoid.closure Set.univ = ⊤
r : ℝ
⊢ ↑(NormedSpace.exp ℝ r) = NormedSpace.exp ℂ ↑r
⊢ CategoryTheory.Limits.WalkingPair.swap.symm CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right =
  CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
a b : ℕ
h : Nat.count p a < Nat.count p b
⊢ a < b
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
x y : M
⊢ f (x + y) = f x + f y
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulMono α β
s : Set β
a : α
ha : a ≤ 0
hs : BddBelow s
⊢ BddAbove (a • s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' φ h₁ h₂) h₂.i =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.i φ.τ₂
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
e : K ≃ₐ[F] E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F K
x✝ : E
⊢ (minpoly F (e.symm x✝)).Separable
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ ((ρ_ P.X).inv ≫ P.X ◁ S.one ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = 𝟙 P.X
b : EReal
h : b < 0
h' : b ≠ ⊥
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
⊢ a' / b ≠ a / b
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
P : α → Prop
a : α
h0 : P 0
h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → P x → P y → P (x * y)
this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α
P_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y
ha0 : ¬a = 0
this✝ : Nontrivial α
this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid
⊢ ∀ p ∈ normalizedFactors a, Prime p
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Ι a b = Ι b a
a b c d m n : ℤ
ha : 0 < a
hab : a ∣ c - b
⊢ a + b ≤ c ↔ b < c
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑t
hx : ↑x ∉ s
⊢ (Equiv.Set.sumDiffSubset h).symm x = Sum.inr ⟨↑x, ⋯⟩
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a✝ b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ b
a : α
⊢ a + b - c = a + (b - c)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
M N : CategoryTheory.Monad C
h : M ≅ N
⊢ (CategoryTheory.MonadIso.toNatIso h).hom = h.hom.toNatTrans
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
l.NeBot
h : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / r) l Filter.atTop ↔ r < 0
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x y : E
⊢ Metric.ball x δ - {y} = Metric.ball (x - y) δ
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq α
Fintype β
f : β → α
hf : Function.Surjective f
⊢ Finset.image f Finset.univ = Finset.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s : Set β
hs : Function.mulSupport f ⊆ s
⊢ ∏' (x : ↑s), f ↑x = ∏' (x : β), f x
α : Type u_1
m✝ : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
m : MeasurableSpace ↑(memPartition t n)
s : Set α
hs : s ∈ memPartition t n
⊢ MeasurableSet {x | memPartitionSet t n x = s}
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
hfi_zero : ∀ {i : ℕ}, f (i ^ 0) = 1
⊢ x.factorization.support ⊆ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
S : Set K
Algebra.IsAlgebraic F ↥(IntermediateField.adjoin F S)
IsPurelyInseparable F E
⊢ Field.sepDegree E ↥(IntermediateField.adjoin E S) = Field.sepDegree F ↥(IntermediateField.adjoin F S)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : β →o α
g : α →o β
h : α →o α →o α
a : α := lfp (lfp.comp h)
ha : (⇑lfp ∘ ⇑h) a = a
⊢ h.onDiag (lfp (lfp.comp h)) = lfp (lfp.comp h)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
p : α → Prop
x : α
H : ∃ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ y ∈ ball x R, p y
y : α
⊢ p y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' : C
iX : X ≅ X'
iY : Y ≅ Y'
iZ : Z ≅ Z'
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
f' : X' ⟶ Y'
g' : X' ⟶ Z'
wf : iX.hom ≫ f' = f ≫ iY.hom
wg : iX.hom ≫ g' = g ≫ iZ.hom
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanExt iX iY iZ wf wg).app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.zero = iX
F : Type u_1
M : Type u_12
N : Type u_13
MulOneClass M
MulOneClass N
EquivLike F M N
MulEquivClass F M N
h : F
x : M
⊢ h x ≠ 1 ↔ x ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
OrderBot α
OrderBot β
x y : α × β
⊢ Disjoint x y ↔ Disjoint x.1 y.1 ∧ Disjoint x.2 y.2
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
f✝ f : R[X]
I : Ideal R
x : R
this : (algebraMap R (AdjoinRoot f ⧸ Ideal.map (of f) I)) x = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) ((mk f) (C x))
⊢ (Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (C ((Ideal.Quotient.mk I) x)) = (algebraMap R ((R ⧸ I)[X] ⧸ span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) x
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
γ : Type u_2
TopologicalSpace γ
h : α ≃ᵢ β
f : γ → α
⊢ Continuous (⇑h ∘ f) ↔ Continuous f
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
D D1 D2 : LieDerivation R L M
a b : L
s : Set L
h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s
z : L
hz : z ∈ ↑(LieSubalgebra.lieSpan R L s)
zero : D1 0 = D2 0
x✝¹ : R
x✝ : L
hx : D1 x✝ = D2 x✝
⊢ D1 (x✝¹ • x✝) = D2 (x✝¹ • x✝)
R : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing A
f : R →+* A
hf : ∀ (a : R), f a = 0 ↔ a = 0
p : R[X]
hp : p.Monic
x y : R
z : A
h : eval₂ f z p = 0
hz : f x * z = f y
⊢ (p.scaleRoots x).IsRoot y
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
S : Subsemigroup M
y : N
⊢ y ∈ Subsemigroup.map f S ↔ ∃ x ∈ S, f x = y
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
f : α →₀ M
y : α
g : α → M → N
hg : ∀ (i : α), g i 0 = 0
⊢ g y (f y) + (Finsupp.erase y f).sum g = f.sum g
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
⊢ (StarAlgHom.fst R A B).prod (StarAlgHom.snd R A B) = 1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : { f // ∀ (m : M), f m * f m = (algebraMap R A) (Q m) }
x : M
⊢ ↑((fun F => ⟨F.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩) ((fun f => (RingQuot.liftAlgHom R) ⟨(TensorAlgebra.lift R) ↑f, ⋯⟩) f)) x = ↑f x
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ_[p]
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ r, ‖q - ↑r‖ < ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (CategoryTheory.SimplicialObject C)
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂N₂.natTrans.app P =
  (AlgebraicTopology.DoldKan.N₂ ⋙ AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂).map P.decompId_i ≫
    (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂N₁.natTrans).app P.X ≫ P.decompId_p
R : Type u_17
S : Type u_18
Semiring R
Semiring S
g : R ≃+* S
a : R
⊢ (Module.compHom.toLinearEquiv g) a = g a
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ ⋃ n, Metric.ball x ↑n = Set.univ
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
⊢ False
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
⊢ Function.Surjective QuotientAddGroup.mk
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
NormedAlgebra ℝ A
ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
⊢ CFC.log 1 = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
m : Matrix n n R[X]
k : ℕ
i j : n
⊢ (matPolyEquiv m).coeff k i j = (m i j).coeff k
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : X.Opens
s : Set ↑Γ(X, U)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
⊢ ∀ i ∈ ⇑U.topIso.inv '' s, IsAffineOpen ((↑U).basicOpen i)
α : Type u_1
Mul α
a b : α
⊢ ↑(a * b) = ↑a * ↑b
K : Type u_1
Field K
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
h_eq : p = q
⊢ (AdjoinRoot.algEquivOfEq hp h_eq) (AdjoinRoot.root p) = AdjoinRoot.root q
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r✝ : X
s✝ : ↥S
⊢ (0 + r✝) /ₒ s✝ = r✝ /ₒ s✝
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
⊢ ContinuousAt (fun p => jacobiTheta₂' p.1 p.2) (z, τ)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ (-1) ^ (k + 1) * 2 ^ (2 * k - 1) * ↑π ^ (2 * k) * ↑(bernoulli (2 * k)) / ↑(2 * k)! = ↑((-1) ^ (k + 1) * 2 ^ (2 * k - 1) * π ^ (2 * k) * ↑(bernoulli (2 * k)) / ↑(2 * k)!)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → α
hf : Function.Involutive f
hf' : Measurable f
⊢ (MeasurableEquiv.ofInvolutive f hf hf').symm = MeasurableEquiv.ofInvolutive f hf hf'
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
A : C
f₁ f₂ : S.opcycles ⟶ A
h : S.pOpcycles ≫ f₁ = S.pOpcycles ≫ f₂
⊢ f₁ = f₂
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X Y : C
S : Sieve X
f : Y ⟶ X
hS : (c X) S = ⊤
⊢ Sieve.pullback f S ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯
dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯
hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯
H_add_d : df + dg = dfg
H : X ^ (f * g).order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order ⋯ = f * g
this : f * g = X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)
⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Nontrivial R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Module R M'
v✝ : ι → M
s t : Set M
x y z : M
v : ι → M
inst✝ : Unique ι
⊢ (∀ (l : ι →₀ R), l default = 0 ∨ v default = 0 → l = 0) ↔ v default ≠ 0
α : Type u_2
SemilatticeSup α
ι : Sort u_4
f : ι → Set α
hf : ∀ (i : ι), SupClosed (f i)
⊢ SupClosed (⋂ i, f i)
a b : ℕ+
left✝² : a.gcdW b * a.gcdZ b = (a.gcdX b * a.gcdY b).succPNat
h₁ : a = a.gcdA' b * a.gcdD b
h₂ : b = a.gcdB' b * a.gcdD b
left✝¹ : a.gcdZ b * a.gcdA' b = (a.gcdX b * ↑(a.gcdB' b)).succPNat
left✝ : a.gcdW b * a.gcdB' b = (a.gcdY b * ↑(a.gcdA' b)).succPNat
h₅ : ↑(a.gcdZ b) * ↑a = a.gcdX b * ↑b + ↑(a.gcdD b)
right✝ : ↑(a.gcdW b) * ↑b = a.gcdY b * ↑a + ↑(a.gcdD b)
⊢ a.gcd b ∣ a.gcdD b
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
h_mono : StrictMono f
h_surj : Function.Surjective f
⊢ ⇑(StrictMono.orderIsoOfSurjective f h_mono h_surj) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
i : (a : α) → a ∈ s → β
j : (a : β) → a ∈ t → α
hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
hj : ∀ (a : β) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s
left_inv : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a
right_inv : ∀ (a : β) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a
⊢ s.card = t.card
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
⊢ GaloisConnection (⇑OrderDual.toDual ∘ intentClosure r) (extentClosure r ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_8
Q : ι → QuadraticMap R M N
s : Finset ι
⊢ ⇑(∑ i ∈ s, Q i) = ∑ i ∈ s, ⇑(Q i)
a x✝ z x : ℂ
⊢ |x⁻¹.arg| = |x.arg|
G₀ : Type u_2
GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀
ha : a ∈ s.centralizer
hb : b ∈ s.centralizer
⊢ a / b ∈ s.centralizer
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α
⊢ a ⇨ ⊥ = aᶜ
α : Type u_2
⊢ Matroid.loopyOn ∅ = Matroid.emptyOn α
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α β : Type u
s : Set α
t : (a : α) → a ∈ s → Set β
c : Cardinal.{u}
h : #↑(⋃ x, t ↑x ⋯) < c
a : α
ha : a ∈ s
⊢ #↑(t a ha) < c
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
⊢ intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' ∅) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 ∅
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
B : C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts (CategoryTheory.Over B)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
l : Filter α
⊢ (∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, dist (f x) 1 < ε) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
i✝ : ℕ
⊢ (N₂.map (isoΓ₀.hom.app X)).f.f i✝ = PInfty.f i✝
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
⊢ IsPreconnected {y | s.WSameSide x y}
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ : OuterMeasure α
ι : Type u_2
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
⊢ ∀ (i : Set α), s ⊆ i → MeasurableSet i → ∑' (i : ι), ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), (m i) t ≤ ∑' (i_3 : ι), (m i_3) i
α : Type u_1
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => y * ↑x) fun x x_1 => x < x_1
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : b * ↑a < c * ↑a
ha : 0 = ↑a
⊢ b < c
a b : ℕ
h : a / 2 < a - b
⊢ b ≤ a / 2
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
⊢ index ((fun h => g * h) '' K) V ≤ index K V
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ mellinInv σ f x = ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
x✝ : M
⊢ (f.coprod g ∘ₗ inl R M M₂) x✝ = f x✝
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
⊢ 1 / a ≤ b ↔ 1 ≤ b * a
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : 1 / ε < ↑n
⊢ 1 / (↑n + 1) < ε
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ Finset.image (Function.uncurry f) (s ×ˢ t) = Finset.image₂ f s t
n a : ℤ
⊢ a ≡ a [ZMOD n]