ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ AddOpposite.unop ({ toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x + y)) = AddOpposite.unop ({ toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y)
X : TopCat
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ ⋯.adjunction.counit.app U = CategoryTheory.eqToHom ⋯
K : Type u_1
g : GenContFract K
DivisionRing K
gp : GenContFract.Pair K
zeroth_s_eq : g.s.get? 0 = some gp
⊢ g.nums 1 = gp.b * g.h + gp.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
⊢ 1 < card α ↔ Nontrivial α
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
x : Π₀ (i : ι), β i
x✝ : x ∈ ⊤
⊢ x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, Set.range (single i))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedCommSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
c : 𝕜
⊢ StrictConvex 𝕜 ((fun z => c • z) ⁻¹' s)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ f =ᵐ[μ] Function.const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨
  ∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≠ 0 ∧ μ tᶜ ≠ 0 ∧ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a b : Solution₁ d
hbx : 0 < b.x
hby : 0 ≤ b.y
hb : a ∈ {b, b⁻¹, -b, -b⁻¹}
n : ℕ
hn : b = a₁ ^ n
⊢ ∃ n, a = a₁ ^ n ∨ a = -a₁ ^ n
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : ∀ x ∈ Set.Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Icc a b) x
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
⊢ m ∈ f' '' Set.Ioo a b
n d : ℕ
⊢ ↑(NNRat.divNat n d) = Rat.divInt ↑n ↑d
o a : ONote
⊢ o.FundamentalSequenceProp (Sum.inl (some a)) ↔ o.repr = Order.succ a.repr ∧ (o.NF → a.NF)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : SetLike S R
hSR : NonUnitalSubringClass S R
s : S
this : SMulMemClass S ℤ R
⊢ (unitization s).range = subalgebraOfSubring (Subring.closure ↑s)
α : Type u_1
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
⊢ tsum f ≤ tsum g
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
x : R
hx : 0 ≤ x
⊢ IsSelfAdjoint x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
BC : B ⊆ ⇑f ⁻¹' this.extend ⋯
hC : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V' := Basis.extend this
Vinh : Inhabited V
b : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
fb_eq : f ↑b = hC ⟨f ↑b, ⋯⟩
⊢ C.restrict (invFun ⇑f) ⟨f ↑b, ⋯⟩ = ↑b
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ ↑(LowerSet.Iic a) = Set.Iic a
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
f : σ → R
n : σ
⊢ (MvPolynomial.eval f) (MvPolynomial.X n) = f n
x✝ : ℝ
⊢ (↑(π / 2) - ↑x✝).cos = (↑x✝).sin
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p q : R[X]
⊢ ∀ (n : ℕ) (a : R), map f ((C a * X ^ n).comp q) = (map f (C a * X ^ n)).comp (map f q) → map f ((C a * X ^ (n + 1)).comp q) = (map f (C a * X ^ (n + 1))).comp (map f q)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α →. β
g : β → α →. γ
a : α
⊢ f.bind g a = (f a).bind fun b => g b a
R : Type u
Γ₀ : Type v
CommRing R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
⊢ v.Integers ↥v.integer
n : ℕ
⊢ n.factorization 1 = 0
α : Type u_3
n : ℕ
β : Type u_2
σ₁ : Type
γ : Type u_1
xs : Mathlib.Vector α n
f₁ : β → σ₁ → σ₁ × γ
s : σ₁
f₂ : α → β
⊢ Mathlib.Vector.mapAccumr f₁ (Mathlib.Vector.map f₂ xs) s = Mathlib.Vector.mapAccumr (fun x s => f₁ (f₂ x) s) xs s
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
⊢ (S.map F).f = F.map S.f
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
x : AddUnits M
h : x ∈ S.addUnits
⊢ ↑x ∈ S
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Ioo a b = Ioo (b / c) (a / c)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
f3val : f3 z = 0
f3an : AnalyticAt 𝕜 f3 z
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z
P : Type u_1
inst✝¹ : BooleanAlgebra P
x✝ : P
I : Ideal P
inst✝ : I.IsProper
h : ∀ {x : P}, x ∈ I ∨ xᶜ ∈ I
x y : P
hxy : x ⊓ y ∈ I
hxI : x ∉ I
⊢ y ∈ I
s : String
c : Char
⊢ s.revPosOf c = s.revFind fun x => x == c
R : Type uR
CommSemiring R
ι : Type u_1
Finite ι
⊢ Algebra.FiniteType R (FreeAlgebra R ι)
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α✝
a : α✝
g f✝ : α✝ → M
α : Type u_3
inst✝ : CommGroup α
f : ℕ → α
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
⊢ ∏ k ∈ Ico n m, f k = ∏ k ∈ filter (fun k => n ≤ k) (range m), f k
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
⊢ finrank K V = 1 ↔ ∃ v, v ≠ 0 ∧ ∀ (w : V), ∃ c, c • v = w
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β
⊢ (sum fun p => ((sFiniteSeq μ p.1).restrict s).prod ((sFiniteSeq ν p.2).restrict t)) = sum fun i => ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2)).restrict (s ×ˢ t)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hg : MeasureTheory.IntegrableOn g sᶜ μ
⊢ ∫ (x : X), s.piecewise f g x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ + ∫ (x : X) in sᶜ, g x ∂μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
x : M
he : e ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
he' : e' ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I' M'
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I)
      (↑(e.extend I) x)
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
N : Bundled L.Structure
hNκ : #↑N = κ
NM : Nonempty (↑N ↪ₑ[L] M)
⊢ ∃ N, (M ≅[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion g
e : Set.range ⇑f.base = Set.range ⇑g.base
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.isoOfRangeEq f g e).inv =
  AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.lift f g ⋯
M : Type u_1
AddZeroClass M
ι : Sort u_4
Nonempty ι
S : ι → AddSubmonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(⨆ i, S i) = ⋃ i, ↑(S i)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ ↑sᶜ = (↑s)ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
f f' : ℕ → α → β
g g' : α → β
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] f' n
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hff'' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i x = f' i x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f' n x) atTop (𝓝 (g' x))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : Fintype β
s : Finset α
hs : ¬↑s ⊆ 0
⊢ ↑s • Set.univ = Set.univ
α : Type u_2
Sub α
f g : Filter α
s t : Set α
⊢ s ∈ f → t ∈ g → s - t ∈ f - g
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ n : ℕ
⊢ f n - ∑ i ∈ Finset.range n, μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i] = f 0 + ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) - f i - μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i])
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p
hm' : p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer)
x : ↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer
hx : orderOf x = p
hequiv : ↥H ≃ ↥(H.subgroupOf H.normalizer)
y : G
hy : y ∈ H
⊢ x ^ 0 = ↑⟨y, ⋯⟩
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h SimpleGraph.Walk.nil).append p = SimpleGraph.Walk.cons h p
p : Prop
Decidable p
⊢ ¬¬p → p
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ Quaternion.imK 0 = 0
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
inst✝ : Nontrivial R
x : ↥(span R (range v))
⊢ Span.repr R (range v) x = Finsupp.equivMapDomain (Equiv.ofInjective v ⋯) (hv.repr x)
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i : n
this : Nonempty n
n' : ℕ
hn' : Fintype.card n = n'.succ
⊢ A.det = ∑ j : n, A i j * A.adjugate j i
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
h : f.IsCycle
⊢ f ≠ 1
b : ℂ
hb : b.re < 0
c d : ℂ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => cexp (b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d)) MeasureTheory.volume
s : List Char
i b e n : Nat
⊢ String.extract.go₁ s { byteIdx := i + n } { byteIdx := b + n } { byteIdx := e + n } =
  String.extract.go₁ s { byteIdx := i } { byteIdx := b } { byteIdx := e }
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R
⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) = 0
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
a : α
ha : ∀ b ∈ s, b < a
⊢ (insert a s).chainHeight = s.chainHeight + 1
α : Type u_1
a b : α
⊢ (bif true then a else b) = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
s : Set E
x y : E
a b : 𝕜
hs : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
h : a • x + b • y ∉ interior s
⊢ x = y
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle (-x) y + o.oangle (-y) x = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
a : α
ha : indexOf a l < l.length
b : α
hb : indexOf b l < l.length
⊢ (l.formPerm ^ (↑(indexOf b l) - ↑(indexOf a l))) (l.get ⟨indexOf a l, ha⟩) = l.get ⟨indexOf b l, hb⟩
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.Regular
inst✝ : μ'.Regular
A : ∀ (U : Set G), IsOpen U → μ' U = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) U
⊢ μ' = μ'.haarScalarFactor μ • μ
⊢ ⇑Complex.orthonormalBasisOneI = ![1, Complex.I]
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
H : i.castSucc < p
⊢ p < p.succAbove i ↔ p ≤ i.castSucc
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t s : Set E
⊢ EMetric.diam ((convexHull ℝ) s) = EMetric.diam s
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
⊢ ⟦a⟧ = ⟦b⟧ ↔ ⟦↑a⟧ = ⟦↑b⟧
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s s' : Set α
t : Set β
⊢ Set.image2 f (s ∩ s') t ⊆ Set.image2 f s t ∩ Set.image2 f s' t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
e : PartialEquiv α β
s : Set α
h : e.source ⊆ s
⊢ (e.restr s).source = e.source
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
StrictConvexSpace ℝ V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p : P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ dist p₂ p ≤ max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
i : ι
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
h : g i • v i = -∑ x ∈ s.erase i, g x • v x
⊢ ∑ a ∈ s.erase i, f (update v i (g a • v a)) = 0
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Ring R'
inst✝⁵ : AddZeroClass A
inst✝⁴ : SemilatticeSup B
inst✝³ : Add B
inst✝² : OrderBot B
D : A → B
p q : R[A]
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
inst✝¹ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hD : Function.Injective D
ap aq : A
hp : supDegree D p ≤ D ap
hq : supDegree D q ≤ D aq
⊢ ∀ b ∈ p.support, b ≠ ap → (∑ x ∈ q.support, if b + x = ap + aq then p b * q x else 0) = 0
R : Type u_1
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
x : M
h : x ≠ 0
⊢ LinearMap.ker (LinearMap.toSpanSingleton R M x) = ⊥
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s1 s2 : Set (Set Ω)
hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s
hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ (∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ s1 → t2 ∈ s2 → ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (t1 ∩ t2) = ((condexpKernel μ m') a) t1 * ((condexpKernel μ m') a) t2) ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ s1 → t2 ∈ s2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
NoMaxOrder α
⊢ closure (Set.Ioi a) = Set.Ici a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂ (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
w₃ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 3 4 ⋯ ⋯) app₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₃ (g.map' 3 4 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₄ app₀ app₁ app₂ app₃ app₄ w₀ w₁ w₂ w₃).app ⟨4, ⋯⟩ = app₄
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w
hne : v ≠ w
⊢ (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w)ᶜ.card - (1 + 1) = n - (2 * k - μ) - 2
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p q : α → Prop
hp : Measurable p
hq : Measurable q
⊢ Measurable fun a => p a → q a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
α : Type u_1
Z : α → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct Z
b : α
⊢ (CategoryTheory.Limits.opCoproductIsoProduct Z).inv ≫ (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι Z b).op =
  CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun x => Opposite.op (Z x)) b
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a ≤ b
h' : c < d
⊢ Set.Ioo a d ∈ 𝓝ˢ (Set.Ioc b c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Pretriangulated.invRotate C).map f).hom₁ = (CategoryTheory.shiftFunctor C (-1)).map f.hom₃
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
d : σ →₀ ℕ
⊢ d.degree = 0 ↔ d = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x₀ s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)
hmn : m + 1 ≤ n
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ F.opUnopIso.inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Embedding M N
⊢ ⇑f.toHom = ⇑f
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : 1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (b : Solution₁ d), ∃ n, b = a ^ n ∨ b = -a ^ n
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
⊢ IsFundamental a
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
⊢ (gammaMeasure a r) univ = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.ShortExact
⊢ S.unop.ShortExact
α : Type u_1
l : List α
i j : Nat
h : i ≠ j
a : α
⊢ (l.set i a)[j]? = l[j]?
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
i : ℕ
y : G
x✝ : y ∈ (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i).range
hy : ↑(approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) ∘ φ ⁻¹' {y} = ∅
⊢ (μ (↑(approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) ∘ φ ⁻¹' {y})).toReal • y = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β →. γ
g : α →. β
a : Part α
⊢ a.bind (f.comp g) = (a.bind g).bind f
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ₁ φ₂ : A →ₐ[R] B
H : φ₁ = φ₂
x : A
⊢ φ₁ x = φ₂ x
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
IsIrrefl β s
⊢ IsIrrefl α r
α : Type u_2
s : Set α
B : Set (Set α)
empty_mem : ∅ ∈ B
subset_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ⊆ s₁, s₂ ∈ B
union_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ∈ B, s₁ ∪ s₂ ∈ B
sUnion_univ : ∀ (x : α), {x} ∈ B
⊢ Bornology.IsCobounded s ↔ sᶜ ∈ B
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
h : Continuous f
⊢ ContinuousOn f s
F : Type u
Field F
P : F[X]
⊢ (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ F) ↑P = ↑↑P
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : Subgroup G
H.FiniteIndex
⊢ ∃ n, H.index = p ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
self : PosSMulReflectLE α β
a : α
ha : 0 < a
b₁ b₂ : β
hb : a • b₁ ≤ a • b₂
⊢ b₁ ≤ b₂
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
i : P ≅ P'
h : IsSheafFor P R
x : FamilyOfElements P' R
hx : x.Compatible
x' : FamilyOfElements P R := FamilyOfElements.compPresheafMap i.inv x
this : x'.Compatible
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
n : ℕ
ihn : ∀ {s : Set (α × α)}, s ∈ 𝓤 α → ∀ᶠ (t : Set (α × α)) in (𝓤 α).smallSets, t ⊆ s ∧ (fun x => t ○ x)^[n] t ⊆ s
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
t : Set (α × α)
htU : t ∈ 𝓤 α
hts : t ○ t ⊆ s
⊢ ∀ᶠ (t : Set (α × α)) in (𝓤 α).smallSets, t ⊆ s ∧ (fun x => t ○ x)^[n + 1] t ⊆ s
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
i : ℕ
m : M
n : ℕ
⊢ ((PolynomialModule.single R i) m) n = if i = n then m else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
p : α → Prop
f g : α → β
inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)
hp : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, f a = g a
hf : ContinuousOn f (closure {x | p x})
hg : ContinuousOn g (closure {x | ¬p x})
⊢ Continuous fun a => if p a then f a else g a
R₁ : Type u_2
ι : Type u_16
CommRing R₁
DecidableEq ι
Fintype ι
B : (ι → R₁) →ₗ[R₁] (ι → R₁) →ₗ[R₁] R₁
h : B.SeparatingLeft
⊢ ((LinearMap.toMatrix₂' R₁) B).Nondegenerate
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
⊢ sum f ≤ sum fun x => iSup f