ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this✝ : Nontrivial (End X)
this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)
⊢ ∃ c, c • 𝟙 X = f
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
D : ℕ
P : D ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime D
hxr : ↑({ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } ^ n) = ↑m
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } = ↑y
⊢ False
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).getLast? = some (l.getLastD a)
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x
hy : a.y = 0
⊢ False
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
⊢ c ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
self : CategoryTheory.EnoughInjectives C
X : C
⊢ Nonempty (CategoryTheory.InjectivePresentation X)
ι : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ᶠ (i : ι) in Filter.cofinite, ‖f i‖ ≤ g i
⊢ CauchySeq fun s => ∑ i ∈ s, f i
G : Type u_4
E : Type u_5
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
AddGroup G
MeasurableAdd G
MeasurableNeg G
f : G → E
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsNegInvariant
μ.IsAddLeftInvariant
x' : G
⊢ ∫ (x : G), f (x' - x) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
ι : Type u
s✝ s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0
hp : 1 < p
⊢ ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
a : A
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) (fun n => ContinuousMultilinearMap.mkPiRing 𝕜 (Fin n) (a ^ n))
  0 (↑‖a‖₊)⁻¹
α : Type u_2
SemilatticeInf α
S : Set (Set α)
hS : ∀ s ∈ S, InfClosed s
⊢ InfClosed (⋂₀ S)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
χ : LieAlgebra.LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ LieAlgebra.derivedSeries R L 1
⊢ χ x = 0
α : Type u_2
TopologicalSpace α
a : { x // IsIrreducible x ∧ IsClosed x }
⊢ TopologicalSpace.IrreducibleCloseds.equivSubtype.symm a = { carrier := ↑a, is_irreducible' := ⋯, is_closed' := ⋯ }
α β : Type u_5
a : α
f : α → β
⊢ (Seq.seq (some f) fun x => some a) = some (f a)
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
x y : G
⊢ x⁻¹ * y ∈ N ↔ ∃ z ∈ N, x * z = y
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : ∀ (b : Pseudoelement S.X₂), pseudoApply S.g b = 0 → ∃ a, pseudoApply S.f a = b
this : pseudoApply S.g (Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))) = 0
a' : Pseudoelement S.X₁
a : Over S.X₁
ha : pseudoApply S.f ⟦a⟧ = Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))
ha' : ⟦a⟧ = a'
Z : C
r : Z ⟶ ((fun g => app S.f g) a).left
q : Z ⟶ (Over.mk (kernel.ι S.g)).left
w✝ : Epi r
eq : Epi q
comm : r ≫ ((fun g => app S.f g) a).hom = q ≫ (Over.mk (kernel.ι S.g)).hom
z : Z ⟶ pullback (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g)
left✝ : z ≫ pullback.fst (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) = r ≫ a.hom ≫ Abelian.factorThruImage S.f
hz₂ : z ≫ pullback.snd (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) = q
j : pullback (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) ⟶ kernel S.g := pullback.snd (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g)
pe : Epi j
⊢ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
⊢ s₁ = s₂ ↔ ↑s₁ = ↑s₂
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
n : Fin 2
⊢ (CoordinateRing.basis W) n = (AdjoinRoot.powerBasis' ⋯).gen ^ ↑n
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
κ : ι → Type
x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
w : (i : ι) → κ i → 𝕜
f : (i : ι) → κ i → E i
hw₀ : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), 0 ≤ w i i_1
hw₁ : ∀ (i : ι), ∑ i_1 : κ i, w i i_1 = 1
hft : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f i i_1 ∈ t i
hf : ∀ (i : ι), ∑ i_1 : κ i, w i i_1 • f i i_1 = x i
⊢ ∑ i : (i : ι) → κ i, (fun k => ∏ i : ι, w i (k i)) i = 1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : C), IsSplitEpi (h.unit.app X)
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ ∃ a, L.map a = f
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpaηb : p ∣ 1 * S.a + ↑η * S.b
hpaηsqb : p ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b
⊢ p ∣ λ
M : Type u_1
MulOneClass M
c : Con M
⊢ Con.ker c.mk' = c
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hb : b ≠ 0
⊢ a * b⁻¹ = c ↔ a = c * b
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
inst✝ : Subsingleton E
⊢ ‖f‖ ≤ 0
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f f' : α → E
s : Set α
h : EqOn f f' s
x : α
xs : x ∈ s
⊢ edist (f x) (f' x) = 0
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Stream'.Seq α
⊢ Stream'.Seq.map f s.tail = (Stream'.Seq.map f s).tail
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ
hv : v ≠ 0
hn : ‖v‖ ≠ 0
⊢ μH[1] ((fun r => r • v) '' s) = ‖v‖₊ • μH[1] s
R : Type u_3
CommRing R
x : R
⊢ (↑x).imJ = 0
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ n.div2 < n
n : ℕ
i a b : Fin (n + 1)
hab : a ≤ b
H : 3 ≤ n
⊢ (↑(SSet.horn.edge₃ n i a b hab H)).down = SimplexCategory.Hom.mk { toFun := ![a, b], monotone' := ⋯ }
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
hx : x ∈ Icc a b
hC : ∀ y ∈ Icc a b, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ C
h : a < b
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Icc a b)
⊢ ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i j : ι
h_le : i ≤ j
hi_max : ¬IsMax i
hj_min : ¬IsMin j
hi : i0 ≤ i
hj : i0 ≤ j
⊢ toZ i0 i ≤ toZ i0 j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
⊢ WithSeminorms (schwartzSeminormFamily 𝕜 E F)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
h : a < b
⊢ frontier (Ioo a b) = {a, b}
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₁.sup f ≤ s₂.sup f
M : Type u_1
A : Type u_4
Monoid M
AddMonoid A
DistribMulAction M A
x : M
⊢ (DistribMulAction.toAddMonoidEnd M A) x = DistribMulAction.toAddMonoidHom A x
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
⊢ ¬a < b ∧ ¬c < d
α : Type u_1
r : Rel α α
a : α
⊢ (RelSeries.singleton r a).length = 0
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y)
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
I : C(X, ℝ) →ₗ[ℝ] C(X, 𝕜) := ContinuousLinearMap.compLeftContinuous ℝ X ofRealCLM
key : LinearMap.range I ≤ (Submodule.restrictScalars ℝ (Subalgebra.toSubmodule A.toSubalgebra)).topologicalClosure
f : C(X, 𝕜)
f_re : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑re, continuous_toFun := ⋯ }.comp f
f_im : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑im, continuous_toFun := ⋯ }.comp f
h_f_re : I f_re ∈ A.topologicalClosure
h_f_im : I f_im ∈ A.topologicalClosure
this : I f_re + RCLike.I • I f_im ∈ A.topologicalClosure
a✝ : X
⊢ (I f_re + RCLike.I • I f_im) a✝ = f a✝
a : NNReal
ha₀ : a ≠ 0
ha₁ : a < 1
⊢ (1 - a)⁻¹.IsConjExponent a⁻¹
x : ℝ
⊢ Real.arsinh (Real.sinh x) = x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ setToFun μ T hT ↑↑f = (setToL1 hT) f
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
x : M ∗ N
⊢ (toProd x).1 = fst x
E : Type u_6
SeminormedGroup E
T0Space E
a : E
⊢ ‖a‖ = 0 ↔ a = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t t' : Finset β
ht : t ⊆ t'
⊢ s ×ˢ t ⊆ s ×ˢ t'
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ (C a * X ^ n).degree = ↑n
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
i : ℕ
⊢ #((L.sum L').Relations i) = Cardinal.lift.{v', v} #(L.Relations i) + Cardinal.lift.{v, v'} #(L'.Relations i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ (a ⇨ b)ᶜᶜ = aᶜᶜ ⇨ bᶜᶜ
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin 1 → ℂ) → E
c : Fin 1 → ℂ
R : Fin 1 → ℝ
H₁ : (⇑(MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ).symm ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π)
⊢ (∯ (x : Fin 1 → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (z : ℂ) in C(c 0, R 0), f fun x => z
R : Type u_1
Semigroup R
a b : R
ab : IsRightRegular (b * a)
⊢ IsRightRegular b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ⟪x, y⟫_𝕜 = 0 ↔ ⟪y, x⟫_𝕜 = 0
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
⊢ dist x y = dist y x
α : Type u
ι : Type v
a : Cardinal.{u}
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
ht : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a
⊢ #α ≤ a
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
q : S₂ → MvPolynomial σ R
p : MvPolynomial S₂ R
⊢ eval₂ f (fun t => eval₂ f g (q t)) p = (eval₂Hom f g) (eval₂ C q p)
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f : R →ₙ+* S
⊢ NonUnitalSubring.map f ⊥ = ⊥
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') s x
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
U : Submodule R M
x y : M
N : Type u_4
AddCommGroup N
Module R N
hxy : x ≡ y [SMOD U]
f : M →ₗ[R] N
⊢ f x ≡ f y [SMOD Submodule.map f U]
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S T : L.Substructure M
h : S ≤ T
⊢ ⇑(FirstOrder.Language.Substructure.inclusion h) = Set.inclusion h
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsum : Summable fun n => ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n ^ s.re
⊢ ‖term f s n‖ ≤ ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
Monoid K
(i : ι) → Monoid (G i)
Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
f : (i : ι) → G i →* K
k : H →* K
hf : ∀ (i : ι), (f i).comp (φ i) = k
i : ι
g : G i
⊢ (Monoid.PushoutI.lift f k hf) ((Monoid.PushoutI.of i) g) = (f i) g
R : Type u_2
StrictOrderedSemiring R
x y : { x // 0 < x }
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
⊢ y ∈ {y | s.WOppSide x y} ↔ y ∈ Set.image2 (fun t q => t • (x -ᵥ p) +ᵥ q) (Set.Iic 0) ↑s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y✝ x : α
hx : f x ≠ x
h : ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
y : α
hy : (g * f * g⁻¹) y ≠ y
⊢ (g * f * g⁻¹).SameCycle (g x) (g (g⁻¹ y))
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
g : α → EReal
g_lt_f : ∀ (x : α), ↑(-f x) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
g_integrable : Integrable (fun x => (g x).toReal) μ
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤
gint : ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), -f x ∂μ + ε
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x < ↑(f x)) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, ⊥ < g x) ∧ ∫ (x : α), f x ∂μ < ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ + ε
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
M N K : Action V G
f : M ⟶ N
g : N ⟶ K
⊢ (f ≫ g).hom = f.hom ≫ g.hom
G : Type v
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
Group G
MulAction G X
IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ≥0∞
⊢ (fun x => c • x) ⁻¹' EMetric.ball x r = EMetric.ball (c⁻¹ • x) r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
inst✝ : RegularSpace E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0 ∧ IsClosed s
⊢ IsClosed (balancedCore 𝕜 s) ∧ Balanced 𝕜 (balancedCore 𝕜 s)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
p : ℕ
f : σ → MvPolynomial τ R
⊢ (MvPolynomial.expand p).comp (MvPolynomial.bind₁ f) = MvPolynomial.bind₁ fun i => (MvPolynomial.expand p) (f i)
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius
this : Tendsto (fun h => h • x) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ (fun h => exp 𝕂 (t • x) * (exp 𝕂 ((0 + h) • x) - exp 𝕂 (0 • x) - (ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) h)) =ᶠ[𝓝 0] fun h => exp 𝕂 ((t + h) • x) - exp 𝕂 (t • x) - (exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) h
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
s : Set α
f g : α → β
a : α
heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g
hmem : a ∈ s
⊢ IsLocalMaxOn f s a ↔ IsLocalMaxOn g s a
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u✝ v✝ : α → 𝕜
u v φ : α → R
hφ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c
h : u =ᶠ[l] φ * v
x : α
hx : ‖φ x‖ ≤ c
⊢ ‖φ x‖ * ‖v x‖ ≤ c * ‖v x‖
R : Type u_3
CommRing R
⊢ ↑0 = 0
α : Type u_1
AddGroup α
N : AddSubgroup α
s : Set α
⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' (QuotientAddGroup.mk '' s) = ⋃ x, (fun x_1 => x_1 + ↑x) '' s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
⊢ ∀ (i : ι), MeasurableSpace.comap (fun b => b i) (inst✝ i) ≤ (OuterMeasure.pi fun i => (μ i).toOuterMeasure).caratheodory
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)
intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)
half_pi_pos : 0 < π / 2
cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y
sin_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ interior U → 0 < sin y
⊢ x < tan x
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
s✝ : Set M
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
f : M → N
hf : IsMonoidHom f
s : Set N
hs : IsSubmonoid s
⊢ f 1 ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
⊢ Filter.map₂ m f g = ⊥ ↔ f = ⊥ ∨ g = ⊥
R : Type u
CommRing R
S : Type u
CommRing S
f : R →+* S
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
V : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top S)
hUV : V.carrier ⊆ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) ⁻¹' U.carrier
s : (x : ↥U) → AlgebraicGeometry.StructureSheaf.Localizations R ↑x
hs : (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.isLocallyFraction R).pred s
⊢ (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.isLocallyFraction S).pred (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.comapFun f U V hUV s)
q : Λ'
c : List Γ'
x : Γ'
b : List Γ'
IH : ∀ (s : Option Γ') (a d : List Γ'), Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.copy, var := s, stk := elim a b c d } { l := some q, var := none, stk := elim (b.reverseAux a) [] c (b.reverseAux d) }
s : Option Γ'
a d : List Γ'
⊢ TransGen (fun a b => (match a with | { l := none, var := var, stk := stk } => none | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) = some b) { l := some q.copy, var := some x, stk := elim ((some x).iget :: a) b c ((some x).iget :: d) } { l := some q, var := none, stk := elim (b.reverseAux (x :: a)) [] c (b.reverseAux (x :: d)) }
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
c : ℝ
⊢ (if hw : w.IsReal then ‖(c • x).1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖(c • x).2 ⟨w, ⋯⟩‖) = |c| * if hw : w.IsReal then ‖x.1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖x.2 ⟨w, ⋯⟩‖
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
CommMonoidWithZero M₀
f : ι → M₀
s : Finset ι
Nontrivial M₀
NoZeroDivisors M₀
⊢ ∏ x ∈ s, f x ≠ 0 ↔ ∀ a ∈ s, f a ≠ 0
x : ℂ
⊢ Complex.cosh (x * Complex.I) = Complex.cos x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ eLpNorm (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) 1 (ν a) < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f✝ : α → ℝ≥0∞
hf✝ : Measurable f✝
s : ℕ → Finset ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ≥0∞), Measurable (f n r)
hm : Monotone fun n μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ
n : ℕ
⊢ ∀ b ∈ s n, Measurable fun a => b * f n b a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s✝ s : Set α
t : Set β
⊢ supClosure (infClosure (s ×ˢ t)) = supClosure (infClosure s) ×ˢ supClosure (infClosure t)
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a⁻¹ < 1 ↔ 1 < a
ι : Sort u_1
IsEmpty ι
f : ι → ℝ≥0
⊢ ⨆ i, f i = 0
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.133780, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
⊢ S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f + φ₂.τ₂ - (S₁.g ≫ h'.h₂ + h'.h₁ ≫ S₂.f + φ₄.τ₂) = S₁.g ≫ h.h₂ - S₁.g ≫ h'.h₂ + (h.h₁ ≫ S₂.f - h'.h₁ ≫ S₂.f) + (φ₂.τ₂ - φ₄.τ₂)
n m : ℕ
x : ℝ
e₁ : n + 1 = m
h : |x| ≤ 1
⊢ |x| ^ m / ↑m.factorial * ((↑m + 1) / ↑m) = |x| ^ m * (↑m.succ / (↑m.factorial * ↑m))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p q p' q' : Set α → Prop
H : μ.InnerRegularWRT p q
h : ∀ (s : Set α), q' s → q s
h' : ∀ (s : Set α), p s → p' s
⊢ μ.InnerRegularWRT p' q'
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
ι' : Type u_8
φ : ι' → ι
⊢ induced (fun f j => f (φ j)) topologicalSpace = ⨅ i', induced (eval (φ i')) (T (φ i'))
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f✝ : α
hB : M.Base B
hB' : M.Base B'
h : B \ B' = {e}
f : α
hf : f ∈ B' \ B
hb : M.Base (insert f B \ {e})
hne : f ≠ e
⊢ f ∈ B' ∪ {e}
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → X → α'
⊢ Equicontinuous F ↔ ∀ (k : κ), Equicontinuous F
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
ι : Sort u_4
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
d : ℝ≥0
hd : ⨆ i, dimH (s i) < ↑d
⊢ μH[↑d] (⋃ i, s i) ≠ ⊤
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x = cos a - cos b
M : Type u_1
α : Type u_2
Monoid M
MulAction M α
ι : Sort u_3
s : ι → Set α
⊢ fixingSubmonoid M (⋃ i, s i) = ⨅ i, fixingSubmonoid M (s i)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
DenselyOrdered α
⊢ Set.Ioo a b = ∅ ↔ ¬a < b
A : Type u_1
SeminormedAddCommGroup A
m : ℕ
δ : ℝ
n : ℕ
hm : 0 < m
⊢ (fun y => m • y) '' approxAddOrderOf A (n * m) δ ⊆ approxAddOrderOf A n (↑m * δ)
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
a : RBNode α
x : α
parent : Path α
b : RBNode α
hb : RBNode.Ordered cmp b
hp : Ordered cmp parent
ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a
xp : RootOrdered cmp parent x
ap : All (RootOrdered cmp parent) a
ha : RBNode.Ordered cmp a
H : All (RootOrdered cmp (right c✝ a x parent)) b
⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.del (a.balRight x b) c✝)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).π = h.π
n : ℕ
α : Type u
f : Fin n → α
r : α → α → Prop
⊢ Sorted r (ofFn f) ↔ ((fun x x_1 => x < x_1) ⇒ r) f f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
PseudoEMetricSpace α
TopologicalSpace β
PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
⊢ ContinuousOn f (s ×ˢ t)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
hc : ∀ (m : ↥M) (n : ↥N), Commute ↑m ↑n
n : ↥N
m : ↥M
⊢ ↑n * ↑m = ↑m * ↑n
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
q : Products I
hq : q < (↑l).Tail
this : Inhabited I
⊢ (∀ a' ∈ ↑q, a' < term I ho) ∧ List.Pairwise (fun x x_1 => x_1 < x) ↑q
q a b c : ℚ
⊢ 0 + a = a
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.reverse.next ⋯ x ⋯ ∈ s.reverse
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
⊢ a ^ 2 ≤ b ^ 2 ↔ |a| ≤ |b|
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
X : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi D)
⊢ ∀ (X_1 : C),
  (((CategoryTheory.Idempotents.functorExtension₁CompWhiskeringLeftToKaroubiIso C D).hom.app X).app X_1).f =
    (X.obj X_1).p
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ star a + a = 2 * ↑a.re