ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
P : Type u_1
inst✝¹ : Preorder P
p : P
ι : Type u_2
inst✝ : Encodable ι
𝒟 : ι → Cofinal P
⊢ ∀ (n : ℕ), sequenceOfCofinals p 𝒟 n ≤ sequenceOfCofinals p 𝒟 (n + 1)
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
PseudoMetricSpace α
hA : CantorScheme.VanishingDiam A
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
⊢ ∃ n, ∀ y ∈ A (PiNat.res x n), ∀ z ∈ A (PiNat.res x n), dist y z < ε
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
⊢ Set.preimage ⇑h.symm = Set.image ⇑h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (a : β), f a ∂Measure.map g μ ≤ ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ₁ φ₂ : W.LeftFraction X Y
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_5, u_3} E
L₁ : C ⥤ D
L₂ : C ⥤ E
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W
inst✝ : L₂.IsLocalization W
h : φ₁.map L₁ ⋯ = φ₂.map L₁ ⋯
⊢ φ₁.map L₂ ⋯ = φ₂.map L₂ ⋯
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
⊢ Continuous f.vComp
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c✝ : G
s : Set G
inst✝ : Group G
t : Set G
ht : IsNormalSubgroup t
a : G
h : a ∈ t
x : G
hc : x ∈ conjugatesOf a
c : G
w : c * a * c⁻¹ = x
H : c * a * c⁻¹ ∈ t
⊢ x ∈ t
G : Type u_2
AddGroup G
⊢ ∀ (a : AddSubmonoid G), ↑(AddSubmonoid.negOrderIso a) = -↑a
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞
⊢ Cardinal.lift.{u, v} x = ↑m ↔ x = ↑m
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CharP R p
⊢ Function.Commute ⇑WittVector.verschiebung ⇑WittVector.frobenius
A : Type u_2
B : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
i : B
⊢ (ContinuousAddMonoidHom.inr A B) i =
  ((ContinuousAddMonoidHom.zero B A).toAddMonoidHom i, (ContinuousAddMonoidHom.id B).toAddMonoidHom i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α✝ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
α : Type u_5
β : Type u_6
f : X → α
g : α → β
h : IsLocallyConstant (g ∘ f)
inj : Function.Injective g
s : Set α
⊢ IsOpen ((fun x => g (f x)) ⁻¹' (g '' s))
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
L : Turing.ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
k : K
S : List (Γ k)
n : ℕ
hL : Turing.ListBlank.map (Turing.proj k) L = Turing.ListBlank.mk (List.map some S).reverse
⊢ L.nth n k = S.reverse.get? n
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
f g : α → G₀
TopologicalSpace α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h₀ : ∀ (x : α), g x ≠ 0
⊢ Continuous fun x => f x / g x
α : Type u
⊢ ∀ (x : Type u) (f : x ⟶ α), (CategoryTheory.discreteSieve α).arrows f = ∃ x_1, ∀ (y : x), f y = x_1
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
h : ∀ (A B : C), ∃ c x, Mono c.inl
A B : C
c' : BinaryCofan A B
hc' : IsColimit c'
c : BinaryCofan A B
hc₁ : IsColimit c
hc₂ : Mono c.inl
⊢ Mono c'.inl
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
inst✝ : Infinite R
⊢ #ℍ[R,c₁,c₂] = #R
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NonAssocRing R✝
inst✝⁴ : Pow R✝ ℕ
inst✝³ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
k : ℕ
⊢ (X * (descPochhammer ℤ k).comp (X - 1)).smeval (r + 1) = (k + 1) • (descPochhammer ℤ k).smeval r + (descPochhammer ℤ (k + 1)).smeval r
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
h✝ : ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
x : α
n : ℤ
h : x < ↑n
⊢ ↑n ≤ ↑n.toNat
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : Fin 3 → R
u✝ : R
hu✝ : IsUnit u✝
u : R
hu : IsUnit u
P : Fin 3 → R
hP✝ : W'.Nonsingular (u • P)
hP : W'.Equation (u • P)
hP' : W'.a₁ * (u • P) y * (u • P) z - (3 * (u • P) x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * (u • P) x * (u • P) z ^ 2 + W'.a₄ * (u • P) z ^ 4) ≠ 0 ∨ 2 * (u • P) y + W'.a₁ * (u • P) x * (u • P) z + W'.a₃ * (u • P) z ^ 3 ≠ 0 ∨ W'.a₁ * (u • P) x * (u • P) y + 3 * W'.a₃ * (u • P) y * (u • P) z ^ 2 - (2 * W'.a₂ * (u • P) x ^ 2 * (u • P) z + 4 * W'.a₄ * (u • P) x * (u • P) z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * (u • P) z ^ 5) ≠ 0
⊢ W'.Nonsingular P
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ (p * q).coeff 0 = p.coeff 0 * q.coeff 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
b : CategoryTheory.Limits.Bicone f
hb : b.IsBilimit
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproduct.uniqueUpToIso f hb).inv = CategoryTheory.Limits.biproduct.desc b.ι
α : Type u
s t u : Stream'.WSeq α
⊢ s ~ʷ t → t ~ʷ u → s ~ʷ u
m n : ℕ
H : m = n.succ
⊢ m.pred = n
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C
⊢ (tensor_μ C (𝟙_ C, M.X) (𝟙_ C, M.X) ≫ ((λ_ (𝟙_ C)).hom ⊗ M.mul)) ≫ (λ_ M.X).hom = ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ M.X).hom) ≫ M.mul
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
hf : Injective f
h : f a ∈ image f s
y : α
hy : y ∈ s
heq : f y = f a
⊢ a ∈ s
x y : ℝ
⊢ Tendsto (fun x => log (rexp x)) atTop atTop
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
a : ↥(skewAdjoint A)
⊢ Complex.I • ↑(skewAdjoint.negISMul a) = ↑a
ι : Type u_5
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
⊢ Pi.topologicalSpace = TopologicalSpace.generateFrom {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}
α : Type u_2
β : Type u_3
l : List α
f : α → List β
⊢ (l.bind f).length = (List.map (List.length ∘ f) l).sum
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
t : Set L
ht : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
⊢ Nonempty (K ≃+* L)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrn : r.num ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0
hqreq : q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
hqrd : q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num ≠ 0
⊢ padicValRat p q ≤ padicValRat p (q + r)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi
this✝² : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra
this✝¹ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul
this✝ : IsScalarTower F ↥M ↥L
this : IsPurelyInseparable ↥M ↥L
h : Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree E ↥L) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F ↥L)
⊢ sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomotopyEquiv.refl S).homotopyHomInvId = CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofEq ⋯
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))
h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j
h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j
h₃ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, Disjoint (b j) (W ∩ B j)
h₄ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
j : ℕ
hB : ↑C⁻¹ * μ (B j) ≠ ⊤
hj₁ : Disjoint (b j) (W ∩ B j)
hj₂ : μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
⊢ μ (W ∩ B j) ≤ μ (B j) - ↑C⁻¹ * μ (B j)
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => Complex.sin (f x)) (Complex.cos (f x) * f') x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
⊢ Multiset.card (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a).roots ≤ n
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ Set.Ici a \ {a} = Set.Ioi a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
i j : ι
ha : LinearIndependent k fun i => p ↑i -ᵥ p j
hij : p i = p j
⊢ i = j
α : Type u_1
⊢ Function.Injective MulOpposite.unop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
h : (s ×ˢ t).Nonempty
⊢ s ×ˢ t ⊆ s₁ ×ˢ t₁ ↔ s ⊆ s₁ ∧ t ⊆ t₁ ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ContractibleSpace X
⊢ (ContinuousMap.id X).Nullhomotopic
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
s : Set A
x : A
f : A →ₗ[R] B
hf : ∀ (a₁ a₂ : A), f (a₁ * a₂) = f a₁ * f a₂
h : x ∈ Algebra.adjoin R s
⊢ f x ∈ Algebra.adjoin R (⇑f '' (s ∪ {1}))
α : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
⊢ ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), s i h ≤ᶠ[l] ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), t i h
w x✝ y z✝ : ℝ
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : x ≤ 1
h_one_le : 1 ≤ z
⊢ x ^ z ≤ x
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
x y : M × ↥S
⊢ (r' S) x y ↔ ∃ c, ↑c * (↑y.2 * x.1) = ↑c * (↑x.2 * y.1)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
ι' : Sort u_9
f : ι' → α
g : ι → ι'
⊢ ⨅ y, f y ≤ ⨅ x, f (g x)
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
Small.{u, max u v} (CategoryTheory.Limits.Types.Quot F)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.colimitCocone F).pt = Shrink.{u, max u v} (CategoryTheory.Limits.Types.Quot F)
x y : ℕ
⊢ ↑x = ↑y ↔ x = y
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
H : (p + q).natDegree = 0
⊢ p.natDegree = q.natDegree
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c • μ s = ⊤ → μ s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
hcμs : c * μ s ≠ ⊤
⊢ ‖T s‖ ≤ c.toReal * C * (μ s).toReal
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ico (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ico (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b
⊢ m = n
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
g : S →+* T
u : Set S
x : S
hx : ∀ (S_1 : Subring S), u ⊆ ↑S_1 → x ∈ S_1
T₁ : Subring T
h₁ : ⇑g '' u ⊆ ↑T₁
⊢ g x ∈ T₁
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Reflexive R
s✝ s t : WSeq α
h : s = t
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R fun x x_1 => x = x_1) s.destruct s.destruct
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ : Finset α
u✝ v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
u : α
s : Finset α
⊢ filter (fun x => x ∉ s) (image (compress u u) s) = ∅
α : Type u_1
a b c : α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : IsModularLattice α
h : Disjoint a b
hsup : Disjoint (a ⊔ b) c
⊢ a ⊓ (c ⊔ b) ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
this : ∀ (r : ℚ), ∫⁻ (x : α) in s, preCDF ρ r x ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : α) in s, (preCDF ρ r * 1) x ∂ρ.fst
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, 1 x ∂ρ.fst.withDensity (preCDF ρ r) = (ρ.IicSnd ↑r) s
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p q : Submodule R M
⊢ Disjoint p q ↔ Submodule.comap p.subtype q = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : UpperSet α
⊢ s ×ˢ ⊤ = ⊤
m n : ℤ
⊢ Odd n.natAbs ↔ Odd n
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
h : hζ.toInteger - ↑n = ↑↑p * x
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : pB.dim = ↑p ^ k * (↑p - 1)
⊢ False
α : Type u_1
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
Norm G
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
h : f' =Θ[l] g'
⊢ k =Θ[l] f' ↔ k =Θ[l] g'
α : Type u_3
self : OrderedCancelCommMonoid α
a b c : α
⊢ a * b ≤ a * c → b ≤ c
R : Type u_1
CommSemiring R
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R N
Module R P
Module R Q
g : N →ₗ[R] P
⊢ ↑(TensorProduct.comm R Q P) ∘ₗ LinearMap.lTensor Q g ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R N Q) = LinearMap.rTensor Q g
n : ℕ
K : Type u_1
CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
IsDomain K
CharZero K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
⊢ (Polynomial.map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ)).Separable
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R
⊢ star x ≤ 1 ↔ x ≤ 1
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f
m : M
hm : m ∈ LieSubmodule.comap f (weightSpace M₂ χ)
⊢ m ∈ weightSpace M χ
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsOpen t
⊢ IsOpen (⋃ a ∈ s, a • t)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ p.natTrailingDegree ≠ n → p.trailingDegree ≠ ↑n
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
K : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} K
F : K ⥤ J
F.Final
CategoryTheory.FinallySmall K
⊢ CategoryTheory.FinallySmall J
α : Type u_1
m : Set (MeasureTheory.OuterMeasure α)
s : Set α
h : s.Nonempty
⊢ (sInf m) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ Set.iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ μ ∈ m, μ (t n)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
⊢ span {(Algebra.norm R) 1} = ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
X : CategoryTheory.GradedObject (I₁ × I₂) C
d₁ : (i₁ i₁' : I₁) → (i₂ : I₂) → X (i₁, i₂) ⟶ X (i₁', i₂)
d₂ : (i₁ : I₁) → (i₂ i₂' : I₂) → X (i₁, i₂) ⟶ X (i₁, i₂')
shape₁ : ∀ (i₁ i₁' : I₁), ¬c₁.Rel i₁ i₁' → ∀ (i₂ : I₂), d₁ i₁ i₁' i₂ = 0
shape₂ : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ i₂' : I₂), ¬c₂.Rel i₂ i₂' → d₂ i₁ i₂ i₂' = 0
d₁_comp_d₁ : ∀ (i₁ i₁' i₁'' : I₁) (i₂ : I₂), d₁ i₁ i₁' i₂ ≫ d₁ i₁' i₁'' i₂ = 0
d₂_comp_d₂ : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ i₂' i₂'' : I₂), d₂ i₁ i₂ i₂' ≫ d₂ i₁ i₂' i₂'' = 0
comm : ∀ (i₁ i₁' : I₁) (i₂ i₂' : I₂), d₁ i₁ i₁' i₂ ≫ d₂ i₁' i₂ i₂' = d₂ i₁ i₂ i₂' ≫ d₁ i₁ i₁' i₂'
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
⊢ ((HomologicalComplex₂.ofGradedObject c₁ c₂ X d₁ d₂ shape₁ shape₂ d₁_comp_d₁ d₂_comp_d₂ comm).X i₁).d i₂ i₂' =
  d₂ i₁ i₂ i₂'
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
a : T
⊢ (C a).aroots S = 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
a : SatelliteConfig E (multiplicity E) (goodτ E)
b : SatelliteConfig E (multiplicity E) (goodτ E) := a.centerAndRescale
c' : Fin (multiplicity E).succ → E
c'_le_two : ∀ (n : Fin (multiplicity E).succ), ‖c' n‖ ≤ 2
hc' : Pairwise fun i j => 1 - goodδ E ≤ ‖c' i - c' j‖
⊢ False
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f : β → α
l : Filter β
a : α
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => max (f i) a) l (𝓝 a)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.coconeUnopOfCone c).pt = Opposite.unop c.pt
a c : Nat
b d : Nat
h : b ≥ d
⊢ a + b - (c + d) = a + (b - d) - c
α : Type u_1
Primcodable α
β : Type u_4
e : β ≃ α
⊢ Primrec ⇑e.symm
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : LieModule K L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
this : ⨆ x, weightSpace M ↑((Weight.equivSetOf K L M) x) = ⊤
⊢ ⨆ χ, weightSpace M ⇑χ = ⊤
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
f : NormedAddGroupHom V₂ V₃
x✝ : V₁
⊢ (f.comp 0) x✝ = 0 x✝
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
⊢ q * p ≠ 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
CompactSpace X
⊢ LocallyCompactSpace X
A : Type u_1
α : Type u_2
Monoid A
Pow A α
Zero α
self : RootableBy A α
n : α
a : A
⊢ n ≠ 0 → RootableBy.root a n ^ n = a
α : Type u_1
ns : List ℕ
l : List α
⊢ ns.sum = l.length → (l.splitWrtCompositionAux ns).join = l
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
⊢ (-j).toSignedMeasure = -j.toSignedMeasure
α : Type u_1
LinearOrder α
Group α
a : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a⁻ᵐ = if a ≤ 1 then a⁻¹ else 1
α : Type u_1
s : Set α
a : α
Preorder α
h : IsGreatest s a
⊢ a ∈ maximals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsCompact s
U : X → Set X
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t, (∀ x ∈ t, x ∈ s) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
⊢ φ.exs.Realize v ↔ ∃ xs, φ.Realize v xs
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E
h : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ MeasureTheory.Integrable (f + g) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ ∧ MeasureTheory.Integrable g μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
L : D
R : CategoryTheory.Functor C D
L' : B
R' : CategoryTheory.Functor A B
F : CategoryTheory.Functor C A
G : CategoryTheory.Functor D B
α : L' ⟶ G.obj L
β : R.comp G ⟶ F.comp R'
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit L) R
⊢ ((CategoryTheory.StructuredArrow.map₂ α β).obj X).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map X.hom) (β.app X.right))
α : Type u_5
β : Type u_6
GroupWithZero α
GroupWithZero β
MulActionWithZero α β
SMulCommClass α β β
IsScalarTower α β β
c : α
x : β
⊢ (c • x)⁻¹ = c⁻¹ • x⁻¹
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
h : IsClosed ↑A
f g : ↥A
⊢ IsClosed ↑A.toSubsemiring
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : F ≃ₗᵢ[𝕜] G
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
this : iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x = (↑{ toLinearEquiv := g.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)
⊢ ‖(↑{ toLinearEquiv := g.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n k : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ n.choose k • (descPochhammer ℤ n).smeval r = n.choose k • ((descPochhammer ℤ k).smeval r * (descPochhammer ℤ (n - k)).smeval (r - ↑k))
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
a : α
s : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b
⊢ s ∈ ⋃ i ∈ {s | a ∈ s ∧ s ∈ b}, (𝓟 i).sets ↔ ∃ t ∈ b, a ∈ t ∧ t ⊆ s
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
f : α → M
a : α
⊢ s.mulIndicator f a = 1 ↔ a ∈ s → f a = 1
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
⊢ Nat.card (Sylow p G) ≡ 1 [MOD p]
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
s : Set ℝ
⊢ sInf (a • s) = a • sInf s
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
C : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C
L : CategoryTheory.Functor A T
F : CategoryTheory.Functor C B
R : CategoryTheory.Functor B T
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L (F.comp R)} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Comma.preRight L F R).map f).right = F.map f.right
α : Type u_1
ι : Sort u_5
SupSet α
f : ι → α
⊢ ⨆ i, f i.down = ⨆ i, f i
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
a b : R
h2 : torsionBy R M b = a • torsionBy R M b → torsionBy R M b = ⊥
ha : IsSMulRegular M a
hb : IsSMulRegular (QuotSMulTop a M) b
⊢ IsSMulRegular M b ∧ IsSMulRegular (QuotSMulTop b M) a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
⊢ y ∈ f '' closedBall b ε
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : a ∉ s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ Ici x ⊆ Ioi a
α : Type u_2
β : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
f : α →ₙ+* β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u_1
M : Type u_2
PartialOrder α
AddCommMonoid M
f : α → M
LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ ∑ x ∈ Finset.Iio a, f x + f a = ∑ x ∈ Finset.Iic a, f x