ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_ℝ = 0
this : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
Fintype σ
n : ℕ
DecidableEq σ
Nontrivial R
⊢ (MvPolynomial.esymm σ R n).support =
  Finset.image (fun t => ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) (Finset.powersetCard n Finset.univ)
⊢ Function.Periodic Complex.sin (2 * ↑Real.pi)
n : ℕ
hn0 : ¬n = 0
⊢ ↑(harmonic n) ≤ 1 + Real.log ↑n
q : ℚ
⊢ (↑q).re = ↑q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
h : f = f
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelIsoOfEq h = CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Limits.kernel f)
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
h : Pell.IsFundamental a
⊢ StrictMono fun n => (a ^ n).y
α : Type u
UniformSpace α
T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
⊢ IsClosed s
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_C : ∀ (a : R), M (C a)
h_add : ∀ {p q : R[T;T⁻¹]}, M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T ↑n) → M (C a * T (↑n + 1))
h_C_mul_T_Z : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T (-↑n)) → M (C a * T (-↑n - 1))
A : ∀ {n : ℤ} {a : R}, M (C a * T n)
B : ∀ (s : Finset ℤ), M (∑ n ∈ s, C (p.toFun n) * T n)
a : ℤ
⊢ p a = ∑ k ∈ p.support, (Finsupp.single k (p.toFun k)) a
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
r : R
x : A₁
⊢ e (r • x) = r • e x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((fun X => { X := A.X.obj X, one := A.one.app X, mul := A.mul.app X, one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }) X✝).one ≫ A.X.map f = ((fun X => { X := A.X.obj X, one := A.one.app X, mul := A.mul.app X, one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }) Y✝).one
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
L : ℝ≥0∞
g₀ : α →ₛ ℝ≥0
hg₀ : ∀ (x : α), ↑(↑g₀ x) ≤ ↑(f x)
g₀L : L < (SimpleFunc.map ofNNReal g₀).lintegral μ
h'L : L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g₀ x) ∂μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ f x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
τ : Ω → ℕ
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ℕ
⊢ IsStoppingTime f fun ω => τ ω + i
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v : V
e : Sym2 V
p : G.Path v v
⊢ e ∉ (↑p).edges
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → E
hf : Differentiable 𝕜 f
n : ℕ
⊢ Differentiable 𝕜 f^[n]
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this✝¹ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
hL'U : ↑L' ⊆ U
hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'
this✝ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'
this : Nonempty { M // ↑M ⊆ ↑U' \ closure ↑L }
⊢ ∀ (i : { i // ↑i ⊆ ↑U' \ ↑L' }), ↑(μ.toFun L') + ↑(μ.toFun ↑i) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
β : Ext 0 Y n := 0
hβ : β.hom = 0
⊢ hom 0 = 0
M : Type u_4
Monoid M
l : List M
y : M
h : ∀ x ∈ l, Commute x y
⊢ Commute l.prod y
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α✝
x✝ y✝ : α✝
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hfx : f x ≠ x
hffx : f (f x) = x
y z : α
hz : f z ≠ z ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle z y
i : ℤ
hi : (f ^ i) z = x
hyx : ¬y = x
hfyx : ¬y = f x
⊢ f y = (swap x (f x)) y
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s : Set α
⊢ s ⊻ s = s ↔ SupClosed s
G : Type u_2
CommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
T2Space G
f : ℕ → G
k : ℕ
h : Multipliable f
⊢ (∏ i ∈ Finset.range k, f i) * ∏' (i : ℕ), f (i + k) = ∏' (i : ℕ), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid β
f : α → β
a b : α
⊢ ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, f (![a, b] i) = f a + f b
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)
hQx : IsUnit (Q x)
⊢ P ≈ Q
α : Type u
r : α → α → Prop
h : Reflexive r
a b : α
hab : r a b
⊢ DirectedOn r {a, b}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : α ≃ β
e' : β ≃ γ
f'' : PartialEquiv γ δ
⊢ (e.trans e').transPartialEquiv f'' = e.transPartialEquiv (e'.transPartialEquiv f'')
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' g : ℝ → E
fdiff : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)
gdiff : DifferentiableOn ℝ g (Icc a b)
hderiv : EqOn (derivWithin f (Icc a b)) (derivWithin g (Icc a b)) (Ico a b)
hi : f a = g a
A : ∀ y ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (derivWithin f (Icc a b) y) (Ici y) y
⊢ ∀ y ∈ Icc a b, f y = g y
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hx : f x ≠ 0
⊢ deriv (fun x => √(f x)) x = deriv f x / (2 * √(f x))
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
c : 𝕜
f : ↥(lpMeas F 𝕜 m p μ)
⊢ ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm (c • f)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] ↑↑(c • lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
CommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
⊢ AEMeasurable (fun a => ∏ i ∈ s, f i a) μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap (-φ) = -CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t✝ s t : Set E
x y : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
hy : y ∈ (convexHull ℝ) t
x' : E
hx' : x' ∈ s
Hx' : dist x y ≤ dist x' y
⊢ ∃ x' ∈ s, ∃ y' ∈ t, dist x y ≤ dist x' y'
I : Type u
X : I → TopCat
⊢ ∀ {X_1 Y : (i : I) → ↑(π.obj (X i))} (p : X_1 ⟶ Y), (FundamentalGroupoidFunctor.piToPiTop X).map p = Path.Homotopic.pi p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hf : MeromorphicOn f U
V : Set 𝕜
hv : V ⊆ U
⊢ MeromorphicOn f V
x y : ℝ
h : 0 < x
⊢ log x < 0 ↔ x < 1
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ (HomologicalComplex.HomologySequence.snakeInput hS i j hij).v₀₁ =
  S.mapNatTrans (HomologicalComplex.natTransHomologyι C c i)
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Nonempty F.M
bisim : IsBisimulation R
inhabited_h : Inhabited F.M
s₁ s₂ : F.M
Hr : R s₁ s₂
⊢ ∀ (ps : Path F), iselect ps s₁ = iselect ps s₂
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
n : ℕ
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
this : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, x ≠ 0
⊢ log (a ^ n) = n • log a
n p b : ℕ
hb : n ≤ p ^ b
⊢ n.factorization p ≤ b
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
f : α → E
a : Filter α
⊢ Filter.Tendsto f a (𝓝 0) ↔ Filter.Tendsto (fun x => ‖f x‖) a (𝓝 0)
x✝ y✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
⊢ √(x / y) = √x / √y
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
E : K ⥤ J
inst✝ : HasLimit (E ⋙ F)
k : K
⊢ (Cone.whisker E (cone F)).π.app k = π F (E.obj k)
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
A : Fin n → Fq[X]
⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
R : Type u_3
CommRing R
a b : ℍ[R]
⊢ (a * b).imK = a.re * b.imK + a.imI * b.imJ - a.imJ * b.imI + a.imK * b.re
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ cs.wordProd (take j ω ++ ω[j]?.toList ++ drop (j + 1) ω) * ((cs.wordProd (drop (j + 1) ω))⁻¹ * (Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * cs.wordProd (drop (j + 1) ω)) = cs.wordProd (take j ω ++ drop (j + 1) ω)
ι : Type u_1
M : Type u_2
α : ι → Type u_4
(i : ι) → SMul M (α i)
∀ (i : ι), Nonempty (α i)
i : ι
FaithfulSMul M (α i)
⊢ FaithfulSMul M ((i : ι) → α i)
G : Type u_1
LeftCancelMonoid G
Finite G
x : G
⊢ IsOfFinOrder x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
⊢ AEEqFun.mk (fun x => ⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜) ⋯ ∈ Lp 𝕜 1 μ
𝕜 : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
NormedField 𝕜
NormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₁
NormedSpace 𝕜 V₂
MetricSpace P₁
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₁ P₁
NormedAddTorsor V₂ P₂
FiniteDimensional 𝕜 V₁
FiniteDimensional 𝕜 V₂
Inhabited P₁
li : P₁ →ᵃⁱ[𝕜] P₂
h : FiniteDimensional.finrank 𝕜 V₁ = FiniteDimensional.finrank 𝕜 V₂
x : P₁
⊢ (li.toAffineIsometryEquiv h) x = li x
α : Type u
β : Type v
f : α → β
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set β)
⊢ Continuous f ↔ ∀ s ∈ b, IsOpen (f ⁻¹' s)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
c : α
⊢ Filter.Tendsto (dist c) (Bornology.cobounded α) Filter.atTop
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsMaxOn f s a
t : Set α
⊢ IsMaxOn f (s ∩ t) a
R : Type u_1
CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
Fintype n
Fintype l
f₁ : m → k
e₂ : n ≃ l
M : Matrix k l R
⊢ (M.submatrix f₁ ⇑e₂).mulVecLin = LinearMap.funLeft R R f₁ ∘ₗ M.mulVecLin ∘ₗ LinearMap.funLeft R R ⇑e₂.symm
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
M' : AddSubsemigroup M
⊢ Function.Surjective ⇑(f.subsemigroupMap M')
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y : C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
F G : C ⥤ Dᵒᵖ
e : F ≅ G
X : C
⊢ (e.inv.app X).unop ≫ (e.hom.app X).unop = 𝟙 (Opposite.unop (F.obj X))
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : optParam (Set M) Set.univ
self : SmoothBumpCovering ι I M s
i : ι
⊢ self.c i ∈ s
R : Type u_1
GroupWithZero R
StarMul R
U : ↥(unitary R)
⊢ ↑U⁻¹ = (↑U)⁻¹
α : Type u
b : Ultrafilter α
⊢ comap pure (𝓝 b) ≤ ↑b
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
⊢ exterior s ⊆ exterior t → 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ t
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₕ Y
⊢ ⇑h.invFun = ↑h.symm
α : Type u_1
⊢ Function.Injective AddOpposite.unop
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
K : TopologicalSpace.Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addPrehaar (↑K₀) U K ≤ ↑(MeasureTheory.Measure.haar.addIndex ↑K ↑K₀)
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
hq0_ne : q ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' 0 q μ = 0
i n : Nat
c : Char
⊢ i ≠ i + (n + c.utf8Size)
k : ℕ
⊢ riemannZeta (-↑k) = (-1) ^ k * ↑(bernoulli (k + 1)) / (↑k + 1)
p : Prop
⊢ (p ↔ False) → ¬p
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
I : Ideal S
hI : I.IsMaximal
⊢ IsField (R ⧸ comap (algebraMap R S) I)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
NoZeroDivisors R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Nonsingular P
hPz : P z = 0
⊢ P x ≠ 0
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
⊢ x ∈ comap (single i) (pi Set.univ p)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
k r : ℕ
s : Finset α
⊢ s ∈ ∂ 𝒜ᶜˢ ↔ s ∈ (∂⁺ 𝒜)ᶜˢ
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2
⊢ False
α : Type u_1
MetricSpace α
β : Type u
Nonempty β
p : Besicovitch.TauPackage β α
⊢ Monotone p.iUnionUpTo
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A B C : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxB : x ∈ B
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x₁ ∈ B ∧ x₂ ∈ B
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂
⊢ ‖a‖ * p b < r₁ * r₂
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β → F
hf : ∀ (i : α), Continuous (f i)
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n
⊢ Continuous fun x => ∑' (n : α), f n x
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hI : M.Basis I X
⊢ I ⊆ X
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
x : N
⊢ Monoid.Coprod.fst (Monoid.Coprod.inr x) = 1
R✝ : Type u
S : Type v
a✝ b : R✝
n✝¹ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
n : ℕ
a : R
n✝ : ℕ
⊢ (p.update n a).coeff n✝ = (p + C (a - p.coeff n) * X ^ n).coeff n✝
X : Type u_1
TopologicalSpace X
K : CompactExhaustion X
s : Set X
hs : IsCompact s
⊢ ∃ n, s ⊆ K n
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ
h : s.encard ≤ ↑k
⊢ ∃ n₀, s.encard = ↑n₀ ∧ n₀ ≤ k
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra
c : CategoryTheory.Limits.Cone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
s : CategoryTheory.Limits.Cone D
⊢ ((CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesLimits.liftedConeIsLimit D c t).lift s).f = t.lift (T.forget.mapCone s)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
⊢ ∃ i,
  MeasurableSet i ∧
    MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s i ∧
      MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 iᶜ
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ ∀ (x₂ : ↑(ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).X₂), (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).g x₂ = 0 → ∃ x₁, (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).f x₁ = x₂
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring C
DistribMulAction R C
Star C
NonUnitalNonAssocSemiring D
DistribMulAction R D
Star D
f : C →⋆ₙₐ[R] D
g : B →⋆ₙₐ[R] C
h : A →⋆ₙₐ[R] B
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha_top : a ≠ ⊤
ha_zero : ¬a = 0
g : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun x => a * x
⊢ limsup (fun x => a * u x) f = a * limsup u f
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
e : ℕ
he : e ≠ 0
hle : Ideal.map f p ≤ P ^ e
hnle : ¬Ideal.map f p ≤ P ^ (e + 1)
⊢ Ideal.ramificationIdx f p P ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsSeparator G ↔ (CategoryTheory.preadditiveCoyoneda.obj (Opposite.op G)).Faithful
M : Type u_3
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
⊢ (AddSubmonoid.toNatSubmodule S).toAddSubmonoid = S
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Z : D
W₁ W₂ : C
iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X
iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X
iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁
iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂
e : iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂
⊢ ℱ'.val.map iZW₁.op (α.app (op W₁) (ℱ.map iWX₁.op x)) = ℱ'.val.map iZW₂.op (α.app (op W₂) (ℱ.map iWX₂.op x))
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≼i s
⊢ ⇑f.toRelEmbedding = ⇑f
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
ι : Sort u_4
Countable ι
s : ι → Set α
⊢ μ (⋃ i, s i) = 0 ↔ ∀ (i : ι), μ (s i) = 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
T : Subalgebra R B
hS : S.FG
hT : T.FG
s : Set A
hs : s.Finite ∧ Algebra.adjoin R s = S
t : Set B
ht : t.Finite ∧ Algebra.adjoin R t = T
⊢ ((Algebra.adjoin R s).prod (Algebra.adjoin R t)).FG
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
M' : Submodule R M
w✝ : Submodule R N
hfin : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥w✝
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' w✝))
⊢ ∃ M', Module.Finite R ↥M' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor N M'.subtype))
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ (Measure.map (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume) (univ.pi s) = ∏ i : ι, volume (s i)
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Real.exp (f x)) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.592608
Bₘ : Type ?u.592611
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
⊢ (intNorm A B) 0 = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
f : α ↪o β
x y : α
⊢ f (x ⊓ y) ≤ f x ⊓ f y
a b : ℕ
⊢ (Finset.Ioo a b).card = b - a - 1
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ IsIntegralCurveAt γ v t₀ ↔ IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (t₀ / a)
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B✝ : Type u_2
a✝ b : R✝
n : ℕ
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : Semiring A✝
inst✝⁷ : Semiring B✝
inst✝⁶ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ B✝
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
p : R[X]
f : A →ₐ[R] B
a : A
⊢ f (∑ n ∈ p.support, (algebraMap R A) (p.coeff n) * a ^ n) = ∑ n ∈ p.support, (algebraMap R B) (p.coeff n) * f a ^ n
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
x : m → 𝕜
y : n → 𝕜
inst✝ : Invertible D
hD : D.IsHermitian
⊢ star (x ⊕ᵥ y) ᵥ* fromBlocks A B Bᴴ D ⬝ᵥ (x ⊕ᵥ y) = star ((D⁻¹ * Bᴴ) *ᵥ x + y) ᵥ* D ⬝ᵥ ((D⁻¹ * Bᴴ) *ᵥ x + y) + star x ᵥ* (A - B * D⁻¹ * Bᴴ) ⬝ᵥ x
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g
⊢ f - g = 0
α : Type u_1
n : Type u_4
AddGroup n
v : n → α
h : (Matrix.circulant v).IsSymm
i : n
⊢ v (-i) = v i
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : LinearOrder α
u : ι → α
h : Monotone u
H : ¬BddAbove (range u)
b : α
N : ι
hN : b < u N
⊢ ∃ a, b ≤ u a
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a a' : α
b : M
⊢ a ∈ (Finsupp.single a' b).support ↔ a = a' ∧ b ≠ 0
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0
⊢ (C a * X ^ 2 + C b * X + C c).leadingCoeff = a
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y : ℤ
h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }
hp : IsPell { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
h1l : 1 < { re := x, im := y }
⊢ False
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) / ∑ i ∈ s, w i = ∑ i ∈ s, (w i / ∑ i ∈ s, w i) * z i
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ AEMeasurable (r⁻¹ • ν.rnDeriv μ) (r • μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrder α
DenselyOrdered α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
T2Space β
f : α → β
a b : α
lb : β
hab : a < b
hb : Filter.Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)
⊢ extendFrom (Set.Ioo a b) f b = lb
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
LocalRing R
CommRing S
LocalRing S
f : R ≃+* S
a : LocalRing.ResidueField R
⊢ (LocalRing.ResidueField.mapEquiv f) a = (LocalRing.ResidueField.map ↑f) a
x : ℝ
⊢ Ioc ⊥ ↑↑x = Ioc ⊥ ↑x