ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h : ¬ε = ⊤
hεpow : ε ^ p.toReal ≠ 0
⊢ μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊} ≤ ε⁻¹ ^ p.toReal * eLpNorm f p μ ^ p.toReal
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X
⊢ IsAffineOpen ⊤
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁸ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁴ : G.IsContinuous J K
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify K A
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A
adj₁ : (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op ⊣ G.op.ran := G.op.ranAdjunction A
adj₂ : presheafToSheaf J A ⊣ sheafToPresheaf J A := sheafificationAdjunction J A
adj₃ : presheafToSheaf K A ⊣ sheafToPresheaf K A := sheafificationAdjunction K A
adj₄ : G.sheafPushforwardContinuous A J K ⊣ G.sheafPushforwardCocontinuous A J K := G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K
⊢ adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F) ≫ (sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F) = ((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
t : Set β
hs : s.PartiallyWellOrderedOn r
ht : t.PartiallyWellOrderedOn r'
f : ℕ → α × β
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ×ˢ t
g₁ : ℕ ↪o ℕ
h₁ : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → r ((Prod.fst ∘ f) (g₁ m)) ((Prod.fst ∘ f) (g₁ n))
m n : ℕ
hlt : m < n
hle : r' ((Prod.snd ∘ f ∘ ⇑g₁) m) ((Prod.snd ∘ f ∘ ⇑g₁) n)
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x y => r x.1 y.1 ∧ r' x.2 y.2) (f m) (f n)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.pellZd a1 (n + 2) + Pell.pellZd a1 n = ↑(2 * a) * Pell.pellZd a1 (n + 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
⊢ Continuous e ∧ ∀ (x : M) (y : H), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ e ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source))
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Sort u_4
s : ι → Set G
hs : ∀ (y : ι), IsAddSubgroup (s y)
⊢ IsAddSubgroup (Set.iInter s)
X : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : SeparableSpace X
inst✝¹ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
h : 𝔠 ≤ #↑s
t : Set X
htc : t.Countable
htd : Dense t
⊢ False
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : List α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s
x : α
x✝ : x ∈ s
hx : x ∉ m.toFinset
⊢ x ^ count x m = 1
a : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length
k✝ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1
n✝ : Primrec Prod.snd
k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).1
n : Primrec fun a => a.1.2
k' : Primrec Prod.snd
c : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).2
⊢ Primrec fun a => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1) a.1.1.2 let y ← Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.2.1) a.1.1.2 some (Nat.pair x y)
R : Type u
a : R
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.monomial n) a).comp p = Polynomial.C a * p ^ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.leftHomologyIso.hom (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap φ) S₂.leftHomologyIso.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
e : α ↪o β
he : IsUpperSet (range ⇑e)
a : α
⊢ ⇑e '' Ici a = Ici (e a)
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p q : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : ¬q = 0
⊢ p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
s : AddSubgroup E
x : ↥s
⊢ ‖x‖ = ‖↑x‖
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
PartialOrder α
a b : α
hb : μ {b} = 0
⊢ Set.Ico a b =ᵐ[μ] Set.Icc a b
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g κ μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᶠ[ae (κ a)] g'
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B
a : α
hf' : f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg' : g =ᶠ[ae (κ a)] g'
hfg' : (κ a) (f ⁻¹' A ∩ g ⁻¹' B) = (κ a) (f ⁻¹' A) * (κ a) (g ⁻¹' B)
h1 : f ⁻¹' A =ᶠ[ae (κ a)] f' ⁻¹' A
⊢ (κ a) (f' ⁻¹' A ∩ g' ⁻¹' B) = (κ a) (f' ⁻¹' A) * (κ a) (g' ⁻¹' B)
α : Type u
m : ℕ
a : α
⊢ (List.replicate (m + 1) a).getLast ⋯ = a
α : Type u
SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ a ⊔ b ⊔ c = a ⊔ c ⊔ b
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
⊢ mabs a⁻¹ = mabs a
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
this : MetricSpace ℍ := metricSpaceAux
⊢ cmp (dist z w) r = cmp (dist ↑z ↑(w.center r)) (w.im * Real.sinh r)
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : M → Prop
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
mem : ∀ (i : ι), ∀ x₂ ∈ S i, C x₂
mul : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x * y)
⊢ C x₁
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : Field K
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
inst✝² : CommRing Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
h : IsField Aₘ
this : Field Aₘ := h.toField
⊢ False
α : Type u
β : Type v
Ring α
Ring β
f : α → β
hf : IsRingHom f
⊢ IsSemiringHom f
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
Semiring S
f g : Polynomial R →+* S
h₁ : f.comp Polynomial.C = g.comp Polynomial.C
h₂ : f Polynomial.X = g Polynomial.X
⊢ f = g
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
i : ι
⊢ (e.unitsSMul (Function.update 1 i (-1))).orientation = -e.orientation
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →+* β), (RingHom.id β).comp f = f
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
self : CategoryTheory.Bicategory.Adjunction f g
⊢ CategoryTheory.Bicategory.rightZigzag self.unit self.counit =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor g).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor g).inv
K : Type u
CommRing K
P : Sort v
f : K[X] → K[X] → P
H : ∀ {p q a : K[X]}, q ≠ 0 → a ≠ 0 → f (a * p) (a * q) = f p q
p q p' q' : K[X]
hq : q ≠ 0
hq' : q' ≠ 0
h : q' * p = q * p'
⊢ f p q = f p' q'
α : Type u_1
σ : Type u_2
PartialOrder α
self : CFilter α σ
a b : σ
⊢ self.f (self.inf a b) ≤ self.f a
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
h : a ≠ 0
⊢ (Associates.mk a).factors = ↑(factors' a)
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nat
a : α
b : β
⊢ (List.replicate n (a, b)).unzip = (List.replicate n a, List.replicate n b)
α : Type u_2
OrderedCommMonoid α
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → ⊥ ^ n = ⊥
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => u ⌊c k ^ n⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 l)
a : ℝ
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : c k < a
H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c k ^ n⌋₊
A : Tendsto (fun n => ↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ / c k ^ (n + 1) * c k / (↑⌊c k ^ n⌋₊ / c k ^ n)) atTop (𝓝 (1 * c k / 1))
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑((fun n => ⌊c k ^ n⌋₊) (n + 1)) ≤ a * ↑((fun n => ⌊c k ^ n⌋₊) n)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : eval (W.addX x₁ x₂ L) (derivative (W.addPolynomial x₁ y₁ L)) ≠ 0
⊢ W.Nonsingular (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
t : R[T;T⁻¹] := T 1
t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)
p : R[T;T⁻¹] := ((scalar n) t - M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
q : R[T;T⁻¹] := (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
⊢ M.charpoly.reverse = M.charpolyRev
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p q : Multiset (Associates α)
hp : ∀ a ∈ p, Irreducible a
hq : ∀ a ∈ q, Irreducible a
⊢ p.prod ≤ q.prod ↔ p ≤ q
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
S : Set G
inst✝ : Finite ↑S
x : G
h : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype ↑S
⊢ x ∈ setNormalizer S
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ ArithmeticFunction.moebius p = -1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
X : T.Algebra
⊢ (CategoryTheory.Monad.beckCofork X).pt = X.A
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
h : Equicontinuous F
u : κ → ι
⊢ Equicontinuous (F ∘ u)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s t : Seq α
⊢ (match match (cons a s).destruct with | none => match t.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', t) with | none => none | some (a, b) => some (a, corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) b)) = some (a, corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (s, t))
α : Type u
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Finset ι
f g : ι → Set α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] g i
⊢ ⋃ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] ⋃ i ∈ s, g i
E : Type u_4
AddGroup E
p q : NonarchAddGroupNorm E
⊢ p < q ↔ ⇑p < ⇑q
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι' : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype ι'
E : Type u_6
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq ι'
e : ι ≃ ι'
i : ι
v : E
x : ι'
⊢ (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e) ((WithLp.equiv p (ι → E)).symm (Pi.single i v)) x = (WithLp.equiv p (ι' → E)).symm (Pi.single (e i) v) x
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ c - a - (c - b) ≤ b - a
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ ⌊a⌋ = 0 ↔ a ∈ Set.Ico 0 1
F : Type w
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
s : NonUnitalSubring R
t : NonUnitalSubring S
⊢ NonUnitalSubring.map f s ≤ t ↔ s ≤ NonUnitalSubring.comap f t
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
CommRing S
Ring T
Algebra R S
Algebra S T
Algebra R T
IsScalarTower R S T
m : Type u_4
n : Type u_5
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
b : Basis m R S
c : Basis n S T
x : T
ik jk : m × n
⊢ (Algebra.leftMulMatrix (b.smulTower c)) x ik jk =
  (Algebra.leftMulMatrix b) ((Algebra.leftMulMatrix c) x ik.2 jk.2) ik.1 jk.1
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y : F
h : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y
⊢ Filter.Tendsto (BoxIntegral.integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I ⊤) (𝓝 y)
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.Nonempty → (∃ a, s = {a}) ∨ s.Nontrivial
V : Type u
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
⊢ (G₁ ⊔ G₂).verts = G₁.verts ∪ G₂.verts
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
h0K : K.Nonempty
hf : ContinuousOn f K
y : α
h : ∀ x ∈ K, f x < y
⊢ sSup (f '' K) < y
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
hn1 : ↑n + 1 ≠ 0
⊢ ↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 1) * (0 - 1) + 1 = -2 / ↑(n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Set α
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set α
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hs : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ t, s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
α : Sort u
lt : α → α → Prop
self : IsIncompTrans α lt
a b c : α
⊢ ¬lt a b ∧ ¬lt b a → ¬lt b c ∧ ¬lt c b → ¬lt a c ∧ ¬lt c a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : OrderedSemiring β
s : Set α
hs : s.Subsingleton
f : α → β
i j : α
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
⊢ f j ≤ f j + 1
α : Type u_1
Ω : Type u_2
β : Type u_4
β' : Type u_5
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun f g κ μ ↔
  ∀ (s : Set β) (t : Set β'),
    MeasurableSet s → MeasurableSet t → ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t) = (κ a) (f ⁻¹' s) * (κ a) (g ⁻¹' t)
⊢ RingHom.LocalizationPreserves @RingHom.FiniteType
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μa μb
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μa μb
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
π : ι ⊕ ι' → Type u_4
m : (i : ι ⊕ ι') → MeasurableSpace (π i)
μ : (i : ι ⊕ ι') → Measure (π i)
inst✝ : ∀ (i : ι ⊕ ι'), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι ⊕ ι') → Set (π i)
x✝ : ∀ (i : ι ⊕ ι'), MeasurableSet (s i)
⊢ (Measure.map (⇑(MeasurableEquiv.sumPiEquivProdPi π).symm) ((Measure.pi fun i => μ (Sum.inl i)).prod (Measure.pi fun i => μ (Sum.inr i)))) (univ.pi s) = ∏ i : ι ⊕ ι', (μ i) (s i)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
a : A
⊢ a ∈ NonUnitalSubalgebra.center R A ↔ ∀ (b : A), b * a = a * b
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ ContinuousAt (fun p => jacobiTheta₂' p.1 p.2) (z, τ)
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
hix : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
s : Set ((i : ι) × G i)
H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j
hxs : (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩).IsSupported s
hx : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩)) = 0
hixs : ⟨i, x⟩ ∈ s
⊢ ∃ j, ∃ (hij : i ≤ j), (f' i j hij) x = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
B X : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X
⊢ M.Basis B X
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
⊢ ((κ ⊗ₖ η) a) s = ∑' (n : ℕ) (n_1 : ℕ), ((κ.seq n ⊗ₖ η.seq n_1) a) s
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).sign = (∡ p₁ p₂ p₃).sign
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
⊢ Metric.diam ((convexHull ℝ) s) = Metric.diam s
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
e : m = m₁ ++ c :: m₂
⊢ x✝.get { byteIdx := utf8Len m₁ } = c
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p
hm' : p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer)
x : ↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer
hx : orderOf x = p
hequiv : ↥H ≃ ↥(H.subgroupOf H.normalizer)
⊢ Nat.card ↑↑(comap (mk' (H.subgroupOf H.normalizer)) (zpowers x)) = Nat.card (↥(H.subgroupOf H.normalizer) × ↥(zpowers x))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ (cons a s h).erase a = s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
n : ℕ
⊢ IsNilpotent (P.newtonMap^[n] x - x)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
⊢ ¬p.natDegree = 0 → p.coeff (p.natDegree - 1) = 0 ↔ ¬p.natDegree = 0 → ¬p.natDegree = 0 ∧ p.coeff (p.natDegree - 1) = 0
M₀ : Type u_1
MulZeroClass M₀
NoZeroDivisors M₀
a : M₀
⊢ a * a = 0 ↔ a = 0
a b c d : Ordinal.{u_1}
⊢ a ≤ b → c ≤ d → a ♯ c ≤ b ♯ d
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra R S
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ (C a * X ^ n).rootSet S = {0}
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ discr K ⇑pb.basis = (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * (norm K) ((aeval pb.gen) (derivative (minpoly K pb.gen)))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ S ∈ J.sieves X ↔ J.Covers S (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
α : Type u_1
inst1 inst2 : BEq α
LawfulBEq α
LawfulBEq α
⊢ inst1 = inst2
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
⊢ (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f g
s : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.lanIsKan f g).desc s = CategoryTheory.Bicategory.lanDesc s
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
LieAlgebra.IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α : LieModule.Weight K (↥H) L
h : α.IsNonZero
⊢ (-α).IsNonZero
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n
⊢ i.castPred hi < j ↔ i < j.castSucc
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
s : Set α
h : s.Countable
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ μ.restrict sᶜ = μ
α : Type u_1
a : α
⊢ a ∉ 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
c : F
⊢ deriv (fun y => f y + c) x = deriv f x
R : Type u
Ring R
IsDomain R
q : ℕ
h : ringExpChar R = q
⊢ ExpChar R q
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : closure s ⊆ s
⊢ IsClosed (closure s)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↑M
⊢ (((TensorProduct.mk R ↑M ↑(of R R)).compr₂ (tensorHom f (𝟙 (of R R)) ≫ (rightUnitor N).hom)) x) 1 = (((TensorProduct.mk R ↑M ↑(of R R)).compr₂ ((rightUnitor M).hom ≫ f)) x) 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
hs : s ⊆ f.source
hmaps : Set.MapsTo g s f'.source
⊢ ContinuousOn (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) '' s) ↔ ContinuousOn g s
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x
hr : ‖f'‖ < r
⊢ ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, (z - x)⁻¹ * (‖f z‖ - ‖f x‖) < r
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
i : ι
x : (i : ι) → π i
⊢ ContinuousAt (fun p => p i) x
α : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
k : α
h : ∀ (x : α), k * x = 0 → x = 0
⊢ IsLeftRegular k
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n k : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n + k ≤ m → p m = 0
x✝ : ℕ
hm : n ≤ x✝
⊢ n + k ≤ k + x✝
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
MeasurableSpace M
BorelSpace M
SigmaCompactSpace M
T2Space M
f : M → F
μ : MeasureTheory.Measure M
U : Set M
hU : IsOpen U
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f U μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, x ∈ U → f x = 0
R : Type u
CommRing R
W : ModuleCat R
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat R
Z : ModuleCat R
⊢ ModuleCat.MonoidalCategory.whiskerRight (ModuleCat.MonoidalCategory.associator W X Y).hom Z ≫
    (ModuleCat.MonoidalCategory.associator W (ModuleCat.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z).hom ≫
      ModuleCat.MonoidalCategory.whiskerLeft W (ModuleCat.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom =
  (ModuleCat.MonoidalCategory.associator (ModuleCat.MonoidalCategory.tensorObj W X) Y Z).hom ≫
    (ModuleCat.MonoidalCategory.associator W X (ModuleCat.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)).hom