ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
⊢ ↑(f default) default = f default
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
huv : u ~[l] v
hwv : w =o[l] v
⊢ u - w ~[l] v
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
t : List α
IH : ∀ {s : List α}, s ∈ t.sublists' ↔ s <+ t
s : List α
⊢ (s <+ t ∨ ∃ a_1, a_1 <+ t ∧ a :: a_1 = s) ↔ s <+ a :: t
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P✝ : Ideal S
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsNoetherian R S
inst✝ : p.IsMaximal
P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }
⊢ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ ↑P) ≠ 0
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
F : Type u_2
Group F
MulAction F G
MulAction.QuotientAction F H
f : F
T : ↑(Subgroup.leftTransversals ↑H)
g : G
⊢ f • ↑(Subgroup.MemLeftTransversals.toFun ⋯ g) = ↑(Subgroup.MemLeftTransversals.toFun ⋯ (f • g))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernelZeroIsoTarget.hom = CategoryTheory.Limits.cokernel.desc 0 (𝟙 Y) ⋯
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
⊢ LieAlgebra.rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥ ↔
  n ∈ Finset.Icc (-↑(LieModule.chainBotCoeff (⇑α) β)) ↑(LieModule.chainTopCoeff (⇑α) β)
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : Set α
⊢ (MeasureTheory.inducedOuterMeasure m P0 m0) s = ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : s ⊆ t), m t ht
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
c : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
s t : Set ℝ
intervalIntegral.FTCFilter b (𝓝[s] b) (𝓝[t] b)
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝[t] b) MeasureTheory.volume
hb : Filter.Tendsto f (𝓝[t] b ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 c)
hs : UniqueDiffWithinAt ℝ s b := by uniqueDiffWithinAt_Ici_Iic_univ
⊢ derivWithin (fun u => ∫ (x : ℝ) in a..u, f x) s b = c
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
s t : Multiset α
h : s < t
⊢ map f s < map f t
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
X : C
s : yoneda.obj X ⟶ A
p : OverArrows (yonedaCollectionPresheafToA F) s
⊢ YonedaCollection.fst p.val = s
α : Type u_1
⊢ Sym2.fromRel ⋯ = {z | ¬z.IsDiag}
α : Type u_1
n m : Nat
l : List α
⊢ List.take n (List.take m l) = List.take (min n m) l
w x y z : SetTheory.PGame
h₁ : w ≈ x
h₂ : y ≈ z
⊢ w + y ≈ x + z
R : Type u
Ring R
⊢ CategoryTheory.EnoughInjectives (ModuleCat R)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝¹ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
J : Type u_4
inst✝ : Fintype J
i : J ≃ I
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents (e ∘ ⇑i) ↔ CompleteOrthogonalIdempotents e
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
⊢ ∀ {x : G}, x ∈ H₁ → x ∈ H₂ → x = 1
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
a b c : K
h : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c
⊢ b * b - 4 * a * c ≤ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
V : Type u_5
W : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace 𝕜 W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : V → F →L[ℝ] E
a : F
w : W
he : Continuous ⇑e
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ (VectorFourier.fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ f w) a =
  VectorFourier.fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ (fun x => (f x) a) w
n a b : ℕ
c : ℕ
h : a + c ≡ b + c [MOD n]
⊢ a ≡ b [MOD n]
R : Type u_1
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R E₂
e : E ≃ₗᵢ[R] E₂
c : R
x : E
⊢ e (c • x) = c • e x
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a : α
s : Set α
hs : s.Infinite
⊢ 0 ≤ s.ncard + 1
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : x ⊔ y \ x = z ⊔ y \ x
⊢ x ≤ z
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
β : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice β
f : α ≃o β
⊢ ∀ (x : α), ⨅ (_ : ?e x ∈ {H | IsCoatom H}), ?e x = ⨅ (_ : x ∈ {H | IsCoatom H}), f x
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : A →₀ A
⊢ ∀ (a : B), 0 • (D S B) a = 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖ ≤ |∫ (x : ℝ) in a..b, ‖f x‖ ∂μ|
⊢ deriv Real.arccos = fun x => -(1 / √(1 - x ^ 2))
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ : G
⊢ ∀ (a : G), x✝ * a * x✝⁻¹ * a⁻¹ ∈ H ↔ ↑a * (mk' H) x✝ = (mk' H) x✝ * ↑a
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
Module.Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
⊢ Module.rank R ↥(M ⊓ N) ≤ 1
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹³ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁰ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : IsSmooth IB a
e✝ e'✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
this✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this✝ : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
this : VectorBundle 𝕜 F E := toVectorBundle a
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
⊢ SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') b)) ((a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he).baseSet ∩ (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he').baseSet)
R : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
SMul R ℝ
SMul R ℝ≥0
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p q : Seminorm 𝕜 E
⊢ r • (p ⊔ q) = r • p ⊔ r • q
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hy : 0 < y
⊢ x < Real.logb b y ↔ y < b ^ x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddGroup α
h : Function.Periodic f c
x : α
⊢ f (x - c) = f x
I : Type u
f : I → Type v₁
DecidableEq I
(i : I) → Zero (f i)
i i' : I
h : i ≠ i'
x : f i
⊢ Pi.single i x i' = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
m0 : MeasurableSpace α
μ' : MeasureTheory.Measure α
f : α → H
hm : m ≤ m0
hf_int : MeasureTheory.Integrable f μ'
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.Integrable f (μ'.trim hm)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval
⊢ clPrehaar ↑K₀ ⊤ ⊆ eval ⁻¹' Ici 0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : (C (f.coeff 0)).IsPrimitive
h : IsUnit (map φ f)
u : Sˣ
hu : C ↑u = map φ f
hdeg : f.degree = 0
⊢ IsUnit (C (f.coeff 0))
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.177771, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁✝ S₂✝ S₃ : ShortComplex C
φ₁✝ φ₂✝ φ₃ φ₄ : S₁✝ ⟶ S₂✝
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃ = h.h₂ ≫ S₂.g + h.h₃ + φ₂.τ₃
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
Ring A
Algebra R A
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ LinearMap.baseChange A (-f) = -LinearMap.baseChange A f
α : Type u_1
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
h : a ∣ b - c
⊢ gcd b a = gcd c a
s : Finset ℕ
⊢ s ⊆ Finset.range (s.sup id).succ
S : Type u_5
G : Type u_6
InvolutiveNeg G
⊢ ∀ {x : SetLike S G} [inst : NegMemClass S G] {H : S} {x_1 : G}, -x_1 ∈ H ↔ x_1 ∈ H
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z = 0
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.Point.toAffine W P = 0
L : FirstOrder.Language
K : Set (CategoryTheory.Bundled L.Structure)
self : FirstOrder.Language.IsFraisse K
⊢ (Quotient.mk' '' K).Countable
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
h : p.coeff n ≠ 0
⊢ p.trailingDegree ≤ ↑n
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
z : ℤ
x : 𝕎 R
⊢ WittVector.mapFun (⇑f) (z • x) = z • WittVector.mapFun (⇑f) x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
h : Set.InjOn f s
⊢ Function.Injective (Set.imageFactorization f s)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E → F
v : E
inst✝ : SecondCountableTopologyEither E F
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜
this✝ : BorelSpace 𝕜
g : E → 𝕜 → F := fun x t => f (x + t • v)
hg : Continuous (Function.uncurry g)
⊢ StronglyMeasurable fun x => lineDeriv 𝕜 f x v
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ
⊢ NullMeasurableSet (fun p => f p.1 ≤ p.2) (μ.prod volume)
K : Type u
DivisionSemiring K
I : Ideal K
⊢ I = ⊥ ∨ I = ⊤
n : ℤ
⊢ ¬n % 2 = 1 ↔ n % 2 = 0
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : SemilatticeSup δ
g : γ → δ
h : (image₂ f s t).Nonempty
⊢ (image₂ f s t).sup' h g = t.sup' ⋯ fun y => s.sup' ⋯ fun x => g (f x y)
c : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.lift.{u + 1, u} c < Cardinal.univ.{u, u + 1}
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
⊢ y ∈ closedBall x ε ↔ edist x y ≤ ε
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I J : Ideal R
h : I ≤ J
⊢ I ≤ J
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
comm : (↑f.cycleFactorsFinset).Pairwise Commute := ⋯
⊢ f.cycleFactorsFinset.noncommProd id comm = f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f ↔
  CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J (CategoryTheory.whiskerRight f (CategoryTheory.forget A))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b i : α
n : ℕ
hn : ¬IsMax (succ^[n - 1] i) → pred^[n] (succ^[n] i) = i
hin : ¬IsMax (succ^[n] i)
⊢ pred^[n + 1] (succ^[n + 1] i) = i
Γ : Type u_1
T : Type u_2
TopologicalSpace T
SMul Γ T
self : ContinuousConstSMul Γ T
γ : Γ
⊢ Continuous fun x => γ • x
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : SMul M X
inst✝ : ContinuousSMul M X
f : Y → M
g : Y → X
b : Y
s : Set Y
k : Set M
u : Set X
hk : IsCompact k
hu : IsCompact u
⊢ IsCompact (k • u)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : PartialHomeomorph E F
n : ℕ
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑f.symm) (PartialHomeomorph.restrContDiff 𝕜 f n).target
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b✝ : α
s : Set α
b c : α
H₁ : (Iio c).Nonempty
H₂ : b ≤ c
⊢ b ∈ closure (Iio c)
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
N : Type u_3
SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
c : ℝ≥0
fb : ‖f‖ ≤ ↑c
⊢ ‖NormedAddGroupHom.lift S f hf‖ ≤ ↑c
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B : Type u
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
inst✝¹ : FormallyUnramified R A
C : Type u
inst✝ : CommRing C
f : B →+* C
hf : IsNilpotent (RingHom.ker f)
g₁ g₂ : A →ₐ[R] B
h : f.comp ↑g₁ = f.comp ↑g₂
x : A
⊢ ((Ideal.Quotient.mkₐ R (RingHom.ker f)).comp g₁) x = ((Ideal.Quotient.mkₐ R (RingHom.ker f)).comp g₂) x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
h : l₁ ~ l₂
hc : Pairwise Commute l₁
⊢ Pairwise (fun x y => ∀ (z : M), z * x * y = z * y * x) l₁
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
⊢ Tendsto ?m.114467 (𝓝 g) (𝓝 0)
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddAction α β
b : β
a : α
⊢ ↑((AddAction.orbitEquivQuotientStabilizer α b).symm ↑a) = a +ᵥ b
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n m : ℕ
ω : Ω
⊢ upperCrossingTime a b f N n ω ≤ lowerCrossingTime a b f N n ω
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
h₂ : ↑nc * ↑da * ↑db * ⅟↑db * ⅟↑da * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc
⊢ ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
⊢ preCantorSet 0 = Set.Icc 0 1
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
⊢ skewAdjointPart R ∘ₗ (selfAdjoint.submodule R A).subtype = 0
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.mk L₁ * FreeGroup.mk L₂ = FreeGroup.mk (L₁ ++ L₂)
x : ℝ
hx : x < 0
⊢ Real.exp (Real.log x) = -x
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
u : ι → Set X
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
us : s ⊆ ⋃ i, u i
uc : ⋃ i, Option.elim' sᶜ u i = univ
v : Option ι → Set X
vo : ∀ (a : Option ι), IsOpen (v a)
vc : ⋃ i, v i = univ
vf : LocallyFinite v
vu : ∀ (a : Option ι), v a ⊆ Option.elim' sᶜ u a
⊢ s ⊆ ⋃ i, (v ∘ some) i
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j✝ j : ι
⊢ (P.reflection i) (P.root j) ∈ range ⇑P.root
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
x : E
r : ℝ
y : E
⊢ c⁻¹ • y ∈ sphere (c⁻¹ • c • x) r ↔ y ∈ sphere (c • x) (‖c‖ * r)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a (a + T), (fourier (-n)) ↑x • liftIco T a f ↑x ∂volume = ∫ (x : ℝ) in Ioc a (a + T), (fourier (-n)) ↑x • f x ∂volume
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
⊢ ∀ (f_1 : Ultrafilter X), ↑f_1 ≤ 𝓟 (f ⁻¹' K) → ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑f_1 ≤ 𝓝 x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : Integrable g μ
hgmeas : StronglyMeasurable g
hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0
hunif : UniformIntegrable (fun n => μ[g|↑ℱ n]) 1 μ
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 (g x))
R : Type u
σ : Type u_1
τ : Type u_2
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
f : τ → σ
hfi : Function.Injective f
hf : ↑p.vars ⊆ Set.range f
⊢ ∃ q, (MvPolynomial.rename f) q = p
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ -Set.Ioi a = Set.Iio (-a)
α : Type u
ι : Sort u_1
f : ι → α
i : ι
⊢ f i ∈ Set.range f
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → Zero (β i)
f g : Π₀ (i : ι), β i
⊢ f ≠ g ↔ ∃ i, f i ≠ g i
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
h : a ∣ b
⊢ a ^ 0 ∣ b ^ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
m₁ : α → γ
m₂ : β → δ
⊢ ∀ (x : γ × δ), x ∈ (m₁ '' s) ×ˢ (m₂ '' t) ↔ x ∈ (fun p => (m₁ p.1, m₂ p.2)) '' s ×ˢ t
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
FloorRing K
Fintype ι
Unique ι
k : K
⊢ Zspan.fract (Basis.singleton ι K) k = Int.fract k
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α
⊢ a ∈ ⨆ i, ⨆ j, f i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), a ∈ f i j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} D
K : Type z
CategoryTheory.Category.{z', z} K
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape K D
F : CategoryTheory.Functor K (CategoryTheory.Sheaf J D)
E : CategoryTheory.Limits.Cone (F.comp (CategoryTheory.sheafToPresheaf J D))
hE : CategoryTheory.Limits.IsLimit E
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J E.pt
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : TopologicalSpace V
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁷ : T2Space V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : Module ℝ V
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
V' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ V))
A : V ≃L[ℝ] V'
this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'
this✝ : BorelSpace V'
Aₘ : V ≃ᵐ V' := A.toHomeomorph.toMeasurableEquiv
Adualₗ : (V →L[ℝ] ℝ) ≃ₗ[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toFun := fun t => t.comp ↑A.symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun t => t.comp ↑A, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
Adual : (V →L[ℝ] ℝ) ≃L[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toLinearEquiv := Adualₗ, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
this : (Measure.map (⇑Aₘ) μ).IsAddHaarMeasure
w : V →L[ℝ] ℝ
⊢ ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ = ((fun w => ∫ (v : V'), 𝐞 (-w v) • (f ∘ ⇑A.symm) v ∂Measure.map (⇑Aₘ) μ) ∘ Adual.toHomeomorph.toCocompactMap.toFun) w
X : Type u
TopologicalSpace X
n : ℕ
π : Fin (n + 1) → Type u_8
(i : Fin (n + 1)) → TopologicalSpace (π i)
i : Fin (n + 1)
f : X → π i
hf : Continuous f
g : X → (j : Fin n) → π (i.succAbove j)
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun a => i.insertNth (f a) (g a)
α β : Type u
f : α → β
⊢ Cardinal.mk ↑(Set.range f) ≤ Cardinal.mk α
α : Type u
p : α → Prop
f g : Filter α
h : ∃ᶠ (x : α) in f, p x
hle : f ≤ g
⊢ ∃ᶠ (x : α) in g, p x
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ I * ⊥ = ⊥
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
n : ℕ
⊢ (p * X ^ n).natTrailingDegree ≤ p.natTrailingDegree + n
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ log x < log y ↔ x < y
n : ℕ
⊢ (2 * n + 1).choose n ≤ 4 ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s✝ : Set E
s : Set F
f : E →ₗ[𝕜] F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' s
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsSigmaCompact (⇑h.symm '' s) ↔ IsSigmaCompact s
p a b : ℕ
hpb : p ∈ b.primeFactorsList
ha : a ≠ 0
⊢ p ∈ (b * a).primeFactorsList
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
Y Z : C
I : CategoryTheory.InjectiveResolution Y
J : CategoryTheory.InjectiveResolution Z
f : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι ≫ f = 0
⊢ I.cocomplex.d 1 2 ≫ CategoryTheory.InjectiveResolution.descHomotopyZeroOne f comm =
  f.f 1 - CategoryTheory.InjectiveResolution.descHomotopyZeroZero f comm ≫ J.cocomplex.d 0 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderTop α
OrderBot β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
b₁ b₂ : β
⊢ Finset.Ico (Sum.inrₗ b₁) (Sum.inrₗ b₂) = Finset.map (Function.Embedding.inr.trans toLex.toEmbedding) (Finset.Ico b₁ b₂)
n : ℕ
⊢ (Polynomial.hermite n).leadingCoeff = 1
p : ℕ
R S : Type u
CommRing R
CommRing S
Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → WittVector p R → WittVector p R
hf : WittVector.IsPoly p f
g : R →+* S
x : WittVector p R
⊢ (WittVector.map g) (f x) = f ((WittVector.map g) x)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0
g : α → ℝ≥0
hf : ∀ (i : ℕ), Measurable (f i)
lim : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 g)
⊢ Measurable g
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ IsPushout b.inl 0 b.snd 0
R : Type u_1
CommSemiring R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ (p ^ n).comp q = p.comp q ^ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
f : E → F × G
hf : ContDiff 𝕜 n f
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => (f x).2
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
Zero β
⊢ AEMeasurable (fun x => 0) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
⊢ MeasurableEmbedding ⇑e
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
Y : C
j✝ : J
⊢ ∑ x : J, ((𝟙 X ⊗ biproduct.π f x) ⊗ 𝟙 Y) ≫ (biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) x ⊗ 𝟙 Y) ≫ (biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j✝ ⊗ 𝟙 Y) = ∑ x : J, (α_ X (⨁ f) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ (biproduct.π f x ⊗ 𝟙 Y) ≫ biproduct.ι (fun j => f j ⊗ Y) x) ≫ (𝟙 X ⊗ biproduct.π (fun j => f j ⊗ Y) j✝) ≫ (α_ X (f j✝) Y).inv