ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_3
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
hf : Summable f
⊢ ∑' (i : ι), f i = 0 ↔ ∀ (x : ι), f x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Sub γ
f : α → β
g₁ g₂ : α → γ
e₁ e₂ : β → γ
⊢ Function.extend f (g₁ - g₂) (e₁ - e₂) = Function.extend f g₁ e₁ - Function.extend f g₂ e₂
α : Type u_1
Subsingleton α
e : Equiv.Perm α
⊢ ⇑e = id
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.42589, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.42593, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
ψ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h₁.IsPreservedBy F
inst✝ : h₂.IsPreservedBy F
⊢ F.map ψ.φH ≫ (h₂.map F).ι = (h₁.map F).ι ≫ F.map ψ.φQ
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X
x : X
⊢ limsup dimH (𝓝[s] x).smallSets ≤ dimH s
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ : AList β
⊢ ∀ (x : α) (y : β x), y ∈ dlookup x (s₁ ∪ s₂ ∪ s₃).entries ↔ y ∈ dlookup x (s₁ ∪ (s₂ ∪ s₃)).entries
G : Type u_10
AddGroup G
x : G
⊢ ↑(toAddUnits x) = x
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x c : ℂ
h : x ∈ slitPlane
⊢ HasStrictDerivAt (fun z => z ^ c) (c * x ^ (c - 1)) x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀
L : ℝ≥0
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hlip : LipschitzOnWith L v s
⊢ ∃ ε > 0, ∃ L R C, IsPicardLindelof (fun x => v) (t₀ - ε) t₀ (t₀ + ε) x₀ L R C
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
f : M → M' × N'
s : Set M
x : M
⊢ ContMDiffWithinAt I (I'.prod J') n f s x ↔
  ContMDiffWithinAt I I' n (Prod.fst ∘ f) s x ∧ ContMDiffWithinAt I J' n (Prod.snd ∘ f) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b✝ : α
f : β → α
a b : β
⊢ ⨅ x ∈ {a, b}, f x = f a ⊓ f b
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
⊢ f (x, z) + f (z, t) + f (t, y) - f (z, t) = f (x, z) + f (t, y)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
f₁ : P₁' →ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P
⊢ nndist (f x) (f y) = nndist x y
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ≥0∞
⊢ ⇑h '' EMetric.ball x r = EMetric.ball (h x) r
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
j : ℕ
this : (ComplexShape.down ℕ).prev j = j + 1
⊢ f j ((ComplexShape.down ℕ).prev j) ≫ Q.d ((ComplexShape.down ℕ).prev j) j = f j (j + 1) ≫ Q.d (j + 1) j
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ♯ b = a ♯ c → b = c
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n
A : 0 < μ (u ∩ s)
B : u ∩ μ.everywherePosSubset s =ᶠ[ae μ] u ∩ s
⊢ 0 < μ n
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M A : Comon_ C
⊢ (ρ_ A.X).inv.op = (ρ_ (op A.X)).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
⊢ (∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ 𝓟 t, t₁ ×ˢ t₂ ⊆ s) ↔ ∃ t_1 ∈ f, t_1 ⊆ {a | ∀ b ∈ t, (a, b) ∈ s}
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
x : M
⊢ (tensorQuotEquivQuotSMul M I).symm (Submodule.Quotient.mk x) = x ⊗ₜ[R] 1
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ
h : y ∈ Metric.sphere x ε
hε : ε ≠ 0
⊢ y ≠ x
R : Type u_5
Ring R
x y r : R
hr : r ∈ R⁰
⊢ x * r = y * r ↔ x = y
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Monoid M
c : Con M
p : c.Quotientˣ → Prop
H : ∀ (x y : M) (hxy : c (x * y) 1) (hyx : c (y * x) 1), p { val := ↑x, inv := ↑y, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }
val✝ inv✝ : c.Quotient
x y : M
h₁ : Quot.mk r x * Quot.mk r y = 1
h₂ : Quot.mk r y * Quot.mk r x = 1
⊢ p { val := Quot.mk r x, inv := Quot.mk r y, val_inv := h₁, inv_val := h₂ }
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
l₁ l₂ : List α
lcomm : LeftCommutative f
p : l₁.Perm l₂
b : β
⊢ List.foldr f b l₁ = List.foldr f b l₂
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
hY : IsZero Y
⊢ biprod.fst ≫ biprod.inl = 𝟙 (X ⊞ Y)
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ min a b ≤ b
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v w : Fin 3 → R
⊢ v ⬝ᵥ (crossProduct v) w = 0
k : Type u_1
Ring k
E : Type u_10
F : Type u_11
AddCommGroup E
Module k E
TopologicalSpace E
AddCommGroup F
Module k F
TopologicalSpace F
e : E ≃L[k] F
⊢ ⇑e.toContinuousAffineEquiv = ⇑e
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
L M : Sublattice α
f : LatticeHom α β
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Sublattice.map f (L ⊓ M) = Sublattice.map f L ⊓ Sublattice.map f M
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ x₂ : X
p₀ q₀ : Path x₀ x₁
p₁ q₁ : Path x₁ x₂
F : p₀.Homotopy q₀
G : p₁.Homotopy q₁
x : ↑I × ↑I
⊢ (F.hcomp G) x = if h : ↑x.2 ≤ 1 / 2 then (F.eval x.1) ⟨2 * ↑x.2, ⋯⟩ else (G.eval x.1) ⟨2 * ↑x.2 - 1, ⋯⟩
R : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
x✝ : L ⧸ f.ker
x : L
y✝ : L ⧸ f.ker
y : L
⊢ ↑({ toFun := ⇑(↑f).quotKerEquivRange, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⁅Quot.mk Setoid.r x, Quot.mk Setoid.r y⁆) = ⁅↑({ toFun := ⇑(↑f).quotKerEquivRange, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (Quot.mk Setoid.r x)), ↑({ toFun := ⇑(↑f).quotKerEquivRange, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (Quot.mk Setoid.r y))⁆
α : Type u
self : LinearOrder α
a b : α
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
R : Type u
Ring R
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r : R
x : (j : J) × ↑(F.obj j)
⊢ r • ModuleCat.FilteredColimits.M.mk F x = ModuleCat.FilteredColimits.M.mk F ⟨x.fst, r • x.snd⟩
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (i : Fin2 n) (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' ⟹ α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f i '' univ ⊆ f' i '' univ
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
h' : ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp x i, p i u
j : Fin2 n
y : (P F).B a j
⊢ ∀ (a : (P F).A) (f_1 : (P F).B a ⟹ α), abs ⟨a, f_1⟩ = x → f j y ∈ f_1 j '' univ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
l : List α
⊢ (Filter.map (fun a b => (a, b).1 :: (a, b).2) (𝓝 a)).seq (𝓝 l) ≤ Seq.seq (cons <$> 𝓝 a) fun x => 𝓝 l
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x y : R
x✝ : ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
c : ↥M
h : (algebraMap R S) (↑c * x) = (algebraMap R S) (↑c * y)
⊢ (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
h_unit : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.map (iVU x).op) f)
hcover : U ≤ iSup V
g : (x : ↥U) → ↑(X.presheaf.obj (op (V x)))
hg : ∀ (x : ↥U), (X.presheaf.map (iVU x).op) f * g x = 1
ic : IsCompatible (sheaf X).val V g
gl : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj ((sheaf X).val.obj (op U))
gl_spec : ∀ (i : ↥U), ((sheaf X).val.map (iVU i).op) gl = g i
⊢ f * gl = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
a b : WithTop α
mono_iff : ∀ {a b : α}, f a ≤ f b ↔ a ≤ b
⊢ WithTop.map f a ≤ WithTop.map f b ↔ a ≤ b
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f g : PiLp 0 β
⊢ edist f g = edist g f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ
hf : Summable f
⊢ Summable fun n => (f n).toNNReal
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
ht : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s₁ s₂ : Simplex k P n
h : Set.range s₁.points = Set.range s₂.points
⊢ centroid k univ s₁.points = centroid k univ s₂.points
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : NormOneClass A
a : A
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
⊢ ↑‖k‖₊ ≤ ↑‖a‖₊
⊢ pointedToTwoPFst ⋙ CategoryTheory.forget₂ TwoP Bipointed = pointedToBipointedFst
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, g x ∂μ
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
k : ℕ
⊢ (fun x => (k + 1).factorial • x) (choose (r + 1) (k + 1)) = (fun x => (k + 1).factorial • x) (choose r k + choose r (k + 1))
n m l : ℕ
⊢ (List.Ico n m).bagInter (List.Ico m l) = []
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
h : y + z ≠ 0
⊢ x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
Norm E
Norm F
Norm G
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
l : Filter α
hfg : Asymptotics.IsBigOWith c l f g
hgk : g =o[l] k
hc : 0 < c
⊢ f =o[l] k
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ s ⊆ ↑(lowerClosure s)
M : Type u_1
AddGroup M
c : AddCon M
w x y z : M
⊢ c w x → c y z → c (w - y) (x - z)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
p : ℝ
hf : Continuous f
h : ∀ (x : α), f x ≠ 0 ∨ 0 ≤ p
⊢ Continuous fun x => f x ^ p
α : Type u_1
a : Option α
⊢ (!a.isSome) = a.isNone
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
WeaklyLocallyCompactSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ Filter.Tendsto Subtype.val Filter.cofinite (Filter.cocompact X) ↔ DiscreteTopology ↑s
n m : ℕ
h : n = m
⊢ finCongr h = Equiv.cast ⋯
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ G.commonNeighbors v w ⊆ G.neighborSet w
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f✝ : ℕ → Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
val✝ : Encodable β
g : ℕ → Set α := fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg : g = fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (g i)
hg₂ : Pairwise (Disjoint on g)
this : ↑v (⋃ b, f b) = ∑' (i : ℕ), ↑v ((fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b) i)
⊢ HasSum (fun i => ↑v (f i)) (↑v (⋃ i, f i))
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₀.toCompacts
this : Continuous eval
⊢ chaar K₀ K₀.toCompacts = 1
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
h : 1 / a < 1 / b
⊢ b < a
R : Type u_1
Semiring R
P : Type u_2
AddCommMonoid P
Module R P
⊢ Module.Projective R P ↔ ∃ s, Function.LeftInverse ⇑(Finsupp.total P P R id) ⇑s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ -b - -(toIcoDiv hp (-a) b • p + 1 • p) = p - (b - toIcoDiv hp (-a) b • p)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
⊢ Coalgebra.counit = LinearMap.mul' R R ∘ₗ TensorProduct.map Coalgebra.counit Coalgebra.counit
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
V : X.Opens
hV : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen V
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ U ⊓ V
⊢ ∃ f g, X.basicOpen f = X.basicOpen g ∧ x ∈ X.basicOpen f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T T' : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f : T ⟶ T'
X : CategoryTheory.Comma S (CategoryTheory.Functor.fromPUnit T)
⊢ ((CategoryTheory.CostructuredArrow.map f).obj X).right = X.right
α : Type u_4
⊢ Finite α ↔ Nonempty (Fintype α)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝ : PartialOrder γ
j i : γ
hj : IsLUB (Iio i) j
hj_lt_i : j < i
⊢ j = i ∨ Iio i = Iic j
n : ℕ
i j : Fin n
⊢ i = j → ↑i = ↑j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
val✝ : Encodable β
h✝ : Nonempty β
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PartialOrder ι
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
this : {ω | τ ω < i} = {ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i}
⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i})
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
n : ℕ
⊢ 1 ≤ ↑n ↔ 1 ≤ n
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y = hammingNorm (x - y)
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
b : Bicone f
hb : b.IsBilimit
⊢ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (isLimit f)).inv = desc b.ι
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' I : Ideal S
h : (⊤.prod I).IsPrime
⊢ I.IsPrime
R : Type u
Semiring R
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ (Polynomial.C x * Polynomial.X ^ k + Polynomial.C y * Polynomial.X ^ m + Polynomial.C z * Polynomial.X ^ n).support =
  {k, m, n}
R : Type u_3
CommRing R
x y : R
⊢ ↑(x - y) = ↑x - ↑y
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ c = c ^ 1
x y : ℝ
⊢ ↑(sinh x ^ 2) = ↑(cosh x ^ 2 - 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y
this : (fun x => g x - g a - f'.symm (x - a)) =O[𝓝 a] fun x => f' (g x - g a) - (x - a)
⊢ HasFDerivAt g (↑f'.symm) a
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ht : t ∈ P.parts
hat : a ∈ t
⊢ P.part a = t
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.tan (InnerProductGeometry.angle x (x - y)) = ‖y‖ / ‖x‖
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y
⊢ localizationToStalk R y ≫ (structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h = CommRingCat.ofHom (PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h) ≫ localizationToStalk R x
M : Type u_2
AddMonoid M
m : M
h : IsAddUnit m
⊢ IsAddUnit (AddOpposite.op m)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
self : Bialgebra R A
⊢ (LinearMap.mul R A).compr₂ Coalgebra.comul = (LinearMap.mul R (A ⊗[R] A)).compl₁₂ Coalgebra.comul Coalgebra.comul
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : CompleteLattice ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ι m
ω : Ω
h_nmem_s : ∀ (x : ι), u x ω ∉ s
⊢ ∀ a ∈ {i | u i ω ∈ s}, a = ⊤
α : Type u_1
s : Set α
BooleanAlgebra α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (compl '' s)
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
x✝ : ℝ
⊢ -(↑(rexp (-x✝)) * ↑x✝ ^ s) = (-fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s + 1 - 1)) x✝
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁶ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : MulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
x : α
hc : c ≠ 0
U : Set α
hs' : U ⊆ s
hU : IsOpen U
hU' : x ∈ U
⊢ ∃ t ⊆ c • s, IsOpen t ∧ c • x ∈ t
M : Type u_1
AddMonoid M
a b : M
⊢ IsAddUnit a → IsAddUnit b → IsAddUnit (a + b)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
IsDomain R
Algebra R S
IsDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
IsIntegrallyClosed R
x : S
B : PowerBasis R S
hint : IsIntegral R x
hx : B.gen ∈ Algebra.adjoin R {x}
⊢ (B.ofGenMemAdjoin' hint hx).gen = x
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hg : p • x = 0
hg1 : x ≠ 0
⊢ addOrderOf x = p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
r : ℝ≥0∞
hr : μ K < r
V : Set α
hKV : V ⊇ K
hVo : IsOpen V
hμV : μ V < ⊤
this : Fact (μ V < ⊤)
U : Set α
hKU : K ⊆ U
hUo : IsOpen U
hμU : (μ.restrict V) U < r
⊢ ∃ U, K ⊆ U ∧ IsOpen U ∧ μ U < r
x k : Int
h : k ≠ 0
⊢ k * (x / k) ≤ x
G : Type v
X : Type w
PseudoMetricSpace X
Group G
MulAction G X
IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ
⊢ (fun x => c • x) ⁻¹' Metric.sphere x r = Metric.sphere (c⁻¹ • x) r
K : Type u_1
Field K
x y : K
hx : x ∈ integralClosure ℤ K
hy : y ∈ integralClosure ℤ K
⊢ ⟨x, hx⟩ + ⟨y, hy⟩ = ⟨x + y, ⋯⟩
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
⊢ ∀ {X Y : W.FunctorsInverting D} (τ : X ⟶ Y) (X_1 : W.Localization),
  ((CategoryTheory.Localization.Construction.WhiskeringLeftEquivalence.inverse W D).map τ).app X_1 =
    CategoryTheory.Localization.Construction.NatTransExtension.app
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp τ (CategoryTheory.eqToHom ⋯)))
      X_1
a b : ℕ
⊢ a.factorizationLCMRight b ∣ b
n a : ℕ
h : n ∣ a
⊢ 0 ≡ a [MOD n]
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : b ≤ a
⊢ a - b + c = a + c - b
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
P : α → Prop
a : α
h0 : P 0
h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → P x → P y → P (x * y)
this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α
P_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y
ha0 : ¬a = 0
this✝ : Nontrivial α
this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid
⊢ ∀ p ∈ normalizedFactors a, ∀ q ∈ normalizedFactors a, p ∣ q → p = q
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
s : Set A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ adjoin R s ≤ S ↔ s ≤ ↑S
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
x : ↥U
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : ↑x ∈ V.carrier
iVU : V ⟶ U
f g : R
hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
s_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
h : R
hxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h
hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V
n : ℕ
hn : ∃ a, a * g = h ^ (n + 1)
⊢ ∃ f g i, ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen g ∧ const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map i.op) s
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a₁ a₂ : α
s : Stream' α
⊢ (a₁ :: a₂ :: s).head :: corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) (a₁ :: a₂ :: s).tail.tail = a₁ :: corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s
F : Type u_1
Field F
Infinite F
E : Type u_2
Field E
α β : E
Algebra F E
Algebra.IsSeparable F E
⊢ ∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯
X₀ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X₀
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X₀ → X
hf : QuotientMap f
g : Y × X → Z
hg : Continuous fun p => g (p.1, f p.2)
⊢ Continuous g
n : ℕ
c : Composition n
i₁ i₂ : Fin c.length
h : i₁ ≠ i₂
⊢ Disjoint (Set.range ⇑(c.embedding i₁)) (Set.range ⇑(c.embedding i₂))
β : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
γ : Type u_4
Group G
AddGroup α
SMul γ α
SlashAction β G α γ
k : β
g : G
a : α
⊢ (-a) ∣[k;γ] g = -a ∣[k;γ] g
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
AddMonoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
φ₁ φ₂ : AddMonoidAlgebra k G →ₐ[k] A
⊢ (∀ (x : G), φ₁ (Finsupp.single x 1) = φ₂ (Finsupp.single x 1)) ↔ φ₁ = φ₂
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
⊢ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.num ∣ a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
hj : c.next i = j
h : K.d i j = 0
K.HasHomology i
⊢ (K.isoHomologyι i j hj h).hom = K.homologyι i
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d x✝ : M
h : x✝ ∈ Ici (a + d)
⊢ x✝ ∈ (fun x => x + d) '' Ici a
α : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M✝
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M✝
M : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
a b : ℕ
f : ℕ → ℕ → M
⊢ ∑ x ∈ (Ico a b).sigma fun i => Ico i b, f x.fst x.snd = ∑ x ∈ (Ico a b).sigma fun j => Ico a (j + 1), f x.snd x.fst
α : Type u_1
A : Set (Finset α)
hA : Set.Sized 0 A
⊢ A.Subsingleton
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
R.IsEquivalence
⊢ L.IsEquivalence
R : Type u
Ring R
T : Subring R
⊢ Polynomial.toSubring 1 T ⋯ = 1