ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
p : α → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
h₀ : x = abs ⟨a, f⟩
h₁ : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
⊢ Liftp p x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
a : α
l : List α
h : f a = none
⊢ lookmap f (a :: l) = a :: lookmap f l
α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n✝ n : ℕ
⊢ (box (n + 1)).disjUnion (Icc (-↑n) ↑n) ⋯ = Icc (-↑n.succ) ↑n.succ
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
f g : (i : ι) → α i
⊢ (g ∈ univ.pi fun i => {f i}) ↔ g ∈ {f}
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
f : R →+* S
t : Subsemiring S
h : t ≤ f.rangeS
⊢ map f (comap f t) = t
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ca : α × γ
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.prodMkRight γ κ) ca = κ ca.1
P : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : P.IsLocal
X Y UX UY : Scheme
inst✝¹ : IsAffine UY
f : X ⟶ Y
iY : UY ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion iY
iX : UX ⟶ X
f' : UX ⟶ UY
h : IsPullback iX f' f iY
hf : targetAffineLocally P f
⊢ P (pullback.snd f iY)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : Field R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : CompleteSpace R
inst✝⁷ : TopologicalRing R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
a : A
ha : p a
h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)
⊢ Continuous ⇑(cfcₙHom_of_cfcHom R ha)
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ f ∘ ⇑(σ * sort (f ∘ ⇑σ)) = f ∘ ⇑(sort f)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ (α.hom.app (unop x✝)).op ≫ (α.inv.app (unop x✝)).op = 𝟙 (op (G.obj (unop x✝)))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : H
hx : x ∈ e.target
⊢ MDifferentiableAt I I (↑e.symm) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι'✝ : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
f : ι → α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasBasis p s
⊢ sSup {a | ∃ i, p i ∧ ∀ ⦃x : ι⦄, x ∈ s i → a ≤ f x} = sSup (⋃ j, ⋂ i, Iic (f ↑i))
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ a b : α
l : List α
⊢ Chain' R (a :: b :: l).reverse ↔ Chain' (flip R) (a :: b :: l)
Ω : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : Ω → β
g : Ω → β'
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
_mβ : MeasurableSpace β
_mβ' : MeasurableSpace β'
_mγ : MeasurableSpace γ
_mγ' : MeasurableSpace γ'
φ : β → γ
ψ : β' → γ'
hfg : ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' f g μ
hφ : Measurable φ
hψ : Measurable ψ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (φ ∘ f) (ψ ∘ g) μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
x y : E
⊢ ∀ x ∈ {x | CPolynomialAt 𝕜 f x}, {x | CPolynomialAt 𝕜 f x} ∈ 𝓝 x
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
g : Matrix.SpecialLinearGroup n ℤ
⊢ ↑((Matrix.SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom R)) g) = (↑g).map ⇑(Int.castRingHom R)
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
X : (a : α✝) → Part (β a)
hX : f X ≤ X
⊢ ∀ (i : ℕ), (approxChain f) i ≤ X
R : Type u_2
S : Type u_1
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
hx : IsIntegral R x
⊢ (minpolyDiv R x).Monic
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι : Type u_4
𝕜 : Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup 𝔸
inst✝¹ : Module 𝕜 𝔸
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 𝔸
l : Filter ι
ε : ι → 𝕜
f : ι → 𝔸
hε : ε =o[l] fun _x => 1
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
⊢ (ε • f) =o[l] fun _x => 1
x : ℝ
h : x ∈ Ioo (-1) 1
⊢ arcsin x = arctan (x / √(1 - x ^ 2))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
R : Type u_6
inst✝² : NormedDivisionRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
s : Set R
x : R
hx : x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderiv 𝕜 Inv.inv x = -((mulLeftRight 𝕜 R) x⁻¹) x⁻¹
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
Preorder E
CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Supermartingale (-f) ℱ μ
α : Type u_1
LT α
a : α
b : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.toDual a < b ↔ OrderDual.ofDual b < a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
R : Type u
TopologicalSpace R
ChartedSpace H R
CommRing R
SmoothRing I R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(TopCat.of M)
x : ↥U
f : ↑((smoothSheafCommRing IM I M R).presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ (smoothSheafCommRing.evalHom IM I M R ↑x) (((smoothSheafCommRing IM I M R).presheaf.germ x) f) = ↑f x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ
m : Fin (n + 1) → E
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x) m = ((iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => fderiv 𝕜 f y) x) (Fin.init m)) (m (Fin.last n))
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
⊢ (fun N => ↑(rothNumberNat N)) =o[atTop] fun N => ↑N
a b : ℤ
⊢ (Finset.Ioo a b).card = (b - a - 1).toNat
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ ⇑NonemptyInterval.coeHom = SetLike.coe
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ (HomologicalComplex.HomologySequence.snakeInput hS i j hij).L₃ =
  (HomologicalComplex.homologyFunctor C c j).mapShortComplex.obj S
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddMonoid G
⊢ ∀ (a : k), AddMonoidAlgebra.singleZeroRingHom a = (↑(Finsupp.singleAddHom 0)).toFun a
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
K : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ LocallyCompactSpace G
X Y : CategoryTheory.RelCat
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (a : X) (b : Y), f a b ↔ g a b
⊢ f = g
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ a ∉ Multiset.Ioc a b
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
f : 𝓕
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : Tendsto (⇑f) (cocompact E) (𝓝 0)
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : B ⊆ M.E
⊢ (M.map f hf).Base (f '' B) ↔ M.Base B
n : ℕ
h : ↑(T ^ (-↑n)) = !![1, -↑n; 0, 1]
⊢ ↑(T ^ (-↑n - 1)) = !![1, -↑n - 1; 0, 1]
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
a : ↥S
⊢ AddLocalization.mk (↑a) a = 0
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Zero M
s : Multiset (ι →₀ M)
x : ι
x✝ : List (ι →₀ M)
⊢ x ∈ (map Finsupp.support (Quot.mk Setoid.r x✝)).sup ↔ ∃ f ∈ Quot.mk Setoid.r x✝, x ∈ f.support
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
Mul γ
ContinuousMul γ
f₁ f₂ : C(β, γ)
g : C(α, β)
⊢ (f₁ * f₂).comp g = f₁.comp g * f₂.comp g
ι : Type u
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ q
⊢ Summable fun i => f i * g i
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : CompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : FirstCountableTopology α
inst✝¹ : OrderTopology α
f : Filter β
inst✝ : CountableInterFilter f
u : β → α
h : u =ᶠ[f] ⊥
⊢ limsup u f = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
x : α
hx : f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x
⊢ f x ∈ range (AEStronglyMeasurable.mk f hf)
n : Nat
a b : Fin n
h : a < b
⊢ ¬b < a
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ S.FG ↔ ∃ t, t.Finite ∧ Algebra.adjoin R t = S
n m : ℕ
⊢ n ||| m = m ||| n
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
i : N →ₗ[R] M
r : M →ₗ[R] N
h : r ∘ₗ i = LinearMap.id
I : Ideal R
hI : I.FG
h₁ : Function.Injective ⇑(lTensor R i)
⊢ Function.Injective ⇑(lTensor (↥I) i)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime x (y + x * z)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
n✝ : ℕ
⊢ (coeff R n✝) (↑f).derivativeFun = (coeff R n✝) ↑(derivative f)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
SeminormedAddCommGroup E₃
Module R E
Module R₂ E₂
Module R₃ E₃
e₁ : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
e₂ : E₂ ≃ₛₗᵢ[σ₂₃] E₃
⊢ ⇑(e₁.trans e₂).symm = ⇑e₁.symm ∘ ⇑e₂.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f : β → E
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a : α
g : α → β → ℝ≥0
hg : Measurable (Function.uncurry g)
⊢ Measurable (g a)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : Epi f
inst✝ : HasCokernel g
⊢ g ≫ cokernel.π (f ≫ g) = 0
α : Type u_1
OrderedRing α
a b : α
ha : a ≤ 0
hb : 0 < b
⊢ b * a ≤ 0
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X : C
⊢ prod.map (𝟙 (F.obj X)) (terminalComparison F) ≫ prod.fst = prod.map (𝟙 (F.obj X)) (terminalComparison F) ≫ prod.map (𝟙 (F.obj X)) (CategoryTheory.inv (terminalComparison F)) ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F X (⊤_ C)) ≫ F.map prod.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
p : PMF α
s✝ t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : s ∩ p.support = t ∩ p.support
⊢ p.toMeasure s = p.toMeasure t
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ 0 < μ Set.univ ↔ μ ≠ 0
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hca : c ≤ a
⊢ filter (fun x => x < c) (Ico a b) = ∅
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : 𝕜 → F
f' g' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => f x - g x) (f' - g') s x
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
⊢ W.negY x (W.negY x y) = y
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
X : Jᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Limits.coconeLeftOpOfCone c).ι.app X = (c.π.app (Opposite.unop X)).unop
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
t : Set β
a : α
⊢ Set.image2 f {a} t = f a '' t
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f : (x : α) → p x → β
g : (x : α) → ¬p x → β
⊢ (∏ x ∈ s, if hx : p x then f x hx else g x hx) =
  (∏ x ∈ (Finset.filter p s).attach, f ↑x ⋯) * ∏ x ∈ (Finset.filter (fun x => ¬p x) s).attach, g ↑x ⋯
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
w z : P
t₁ : R
ht₁ : t₁ ∈ Set.Icc 0 1
t₂ : R
ht₂ : t₂ ∈ Set.Icc 0 1
⊢ Wbtw R w ((lineMap w ((lineMap w z) t₁)) t₂) z
α : Type u_2
AddGroup α
f : Filter α
h : f.NeBot
⊢ 0 ≤ f - f
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate
hΦ_inv✝ : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ✝
Φ : LinearMap.BilinForm R L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hL : ∀ (I : LieIdeal R L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
contra : I ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
x : ↥I
y : ↥I
z : L
⊢ (Φ ↑y) ⁅↑x, z⁆ = 0
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), x • y • z = y • x • z
⊢ SMulCommClass M N α
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : a ∈ s
⊢ f a * ∏ x ∈ s.erase a, f x = ∏ x ∈ s, f x
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
m k : R
⊢ m % k + k * (m / k) = m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
⊢ ∃ a, f a = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s✝ t : Set α
s : Set β
h : f ⁻¹' s = ∅
⊢ Disjoint s (range f)
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K✝
inst✝³¹ : Field L✝
inst✝³⁰ : Algebra A K✝
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝
inst✝²⁸ : Algebra B L✝
inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
this✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝⁵ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝⁴ : IsScalarTower A Aₘ K
this✝³ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this✝² : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
this✝¹ : IsScalarTower B Bₘ L
this✝ : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra
this : IsScalarTower Aₘ K L
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
b : ℕ
hb : 1 < b
x y : ℕ
⊢ x ≤ b ^ y ↔ Nat.clog b x ≤ y
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ range (n + 1), C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n + 1 - x) = (expand p) (C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n - x))
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N
⊢ 0 < ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹ / 2
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0
⊢ x = y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z = y
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
e : ι ≃ ι₂
x : PiTensorProduct R fun i => s (e.symm i)
⊢ (PiTensorProduct.map f) ((PiTensorProduct.reindex R s e).symm x) =
  (PiTensorProduct.reindex R t e).symm ((PiTensorProduct.map fun i => f (e.symm i)) x)
K : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_5
Field K
Field L
Ring A
Algebra K L
Algebra L A
Algebra K A
IsScalarTower K L A
Algebra.IsAlgebraic K A
⊢ Algebra.IsAlgebraic L A
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
hbc : b ≤ c
ha : a < 1
⊢ b * a < c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S₁ S₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C n
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.IsComplex
h₂ : S₂.IsComplex
i j k : ℕ
hij : i + 1 = j := by omega
hjk : j + 1 = k := by omega
hk : k ≤ n := by omega
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.sc'Map φ h₁ h₂ i j k hij hjk hk).τ₃ = φ.app ⟨k, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
b✝⁵ b✝⁴ b✝³ : ℕ
b✝² : b✝³ ≥ b✝⁴
b✝¹ : ℕ
b✝ : b✝¹ ≥ b✝⁴
⊢ MeasurableSet (B f K ((1 / 2) ^ b✝³) ((1 / 2) ^ b✝¹) ((1 / 2) ^ b✝⁵))
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
A : C
inst✝ : IsConnected A
a : ↑(F.obj A)
⊢ Function.Injective ?intro.f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
f' : F
s : Set E
x v : E
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
hs : ∀ᶠ (t : 𝕜) in 𝓝 0, x + t • v ∈ s
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
hn : ∑ x ∈ antidiagonal n, p.coeff x.1 * q.coeff x.2 ≠ 0
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ antidiagonal n
hpq : p.coeff (i, j).1 * q.coeff (i, j).2 ≠ 0
⊢ p.trailingDegree + q.trailingDegree ≤ ↑n
α : Type u_1
p q : Perm α
x : α
⊢ ¬p⁻¹ x = x ↔ ¬p x = x
x : ℂ
⊢ (cexp (x * I) + cexp (-x * I)) * 2⁻¹ = (cexp (-x * I) * (-1 * I) - cexp (x * I) * (1 * I)) * I * 2⁻¹
α : Type u
β : Type u_1
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
this : TopologicalSpace α := generateFrom s
t : Set α
ht : t ∈ s
⊢ t ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
σ : α → Perm β
⊢ sign (prodCongrRight σ) = ∏ k : α, sign (σ k)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s μ
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Set.InjOn s.erase ↑s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s t : Set E
h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
⊢ tangentConeAt 𝕜 s x ⊆ tangentConeAt 𝕜 t x
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
p : Submodule R M
⊢ Submodule.span R s ≤ p ↔ s ⊆ ↑p
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ ¬a ⩿ b ↔ ∃ c, a < c ∧ c < b
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace β
e : α → β
p : β → β → Prop
he : DenseRange e
hp : IsClosed {q | p q.1 q.2}
h : ∀ (a₁ a₂ : α), p (e a₁) (e a₂)
b₁ b₂ : β
⊢ p b₁ b₂
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
⊢ BilinForm.toMatrix (Pi.basisFun R₂ n) = LinearMap.BilinForm.toMatrix'
c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ
h : n * a < n * b.succ
⊢ n * a ≤ n * b
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
⊢ (C 0).totalDegree = 0
α : Type u_1
r s : α → α → Prop
h : ∀ (x y : α), r x y → s x y
⊢ EqvGen.Setoid r ≤ EqvGen.Setoid s
R : Type u
M : Type v
Zero R
Zero M
⊢ TrivSqZeroExt.snd 0 = 0
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
x y : α ⊕ β
h₁ : x.isRight = true
h₂ : x.getRight?.isSome = true
⊢ x.getRight h₁ = x.getRight?.get h₂
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝ : atTop.IsMeasurablyGenerated
hf : LocallyIntegrableOn f (Ici a) μ
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ
⊢ IntegrableOn f (Ici a) μ
R : Type u_1
One R
Neg R
a : Fin 4 → R
⊢ (Quaternion.equivTuple R).symm a = { re := a 0, imI := a 1, imJ := a 2, imK := a 3 }
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s a : ℂ
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑t ^ (s - 1) • (fun t => ↑t ^ a • f t) t = ↑t ^ (s + a - 1) • f t
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
⊢ e.symm.IsImage t s ↔ e.IsImage s t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : BorelSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : BorelSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
ι : Type u_6
π : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (π i)
inst✝ : ∀ (i : ι), BorelSpace (π i)
⊢ MeasurableSpace.pi ≤ borel ((i : ι) → π i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ₁ = CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
f : Filter α
hp : ∃ᶠ (x : α) in f, p x
H : ¬∃ x, p x
⊢ False
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I I' : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis' I R
hI' : M.Basis' I' R
⊢ ∃ x ∈ I' \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
ham : bit a m ≠ 0
hbn : bit b n ≠ 0
⊢ (if f a b = true then bitwise f m n + bitwise f m n + 1 else bitwise f m n + bitwise f m n) = (if f a b = true then fun x => x + x + 1 else fun x => x + x) (bitwise f m n)