ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : MapsTo f s s
n : ℕ
this : HasFDerivWithinAt f^[n] (smulRight 1 f' ^ n) s x
⊢ HasDerivWithinAt f^[n] (f' ^ n) s x
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : E
h : SameRay ℝ x y
⊢ ‖x - y‖ = |‖x‖ - ‖y‖|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ici x)
⊢ Measurable f
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
⊢ toIocMod hp a (b - c) = toIocMod hp (a + c) b - c
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜₂ F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : T2Space F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
⊢ T2Space (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
x : E
hf'gx : Integrable (fun y => (B (f' (x, y))) (g (x, y))) volume
hfg'x : Integrable (fun y => (B (f (x, y))) (g' (x, y))) volume
hfgx : Integrable (fun y => (B (f (x, y))) (g (x, y))) volume
⊢ ∀ (x_1 : ℝ), HasDerivAt (fun x_2 => f (x, x_2)) (f' (x, x_1)) x_1
κ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis κ R M
i : κ
⊢ (TensorAlgebra.equivFreeAlgebra b) ((TensorAlgebra.ι R) (b i)) = FreeAlgebra.ι R i
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' : Cycle α
s : List α
h : Subsingleton (Quot.mk Setoid.r s)
⊢ s.formPerm = 1
X : Type u
α : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
l₁ l₂ : Filter X
inst✝¹ : l₁.NeBot
inst✝ : l₂.NeBot
hl₁ : l₁ ≤ 𝓟 s
hl₂ : l₂ ≤ 𝓟 s
f g : X → α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
he₁ : f ≤ᶠ[l₁] g
he₂ : g ≤ᶠ[l₂] f
⊢ ∃ x ∈ s, f x = g x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.StructuredArrow S T
⊢ ∃ Y g, f = CategoryTheory.StructuredArrow.mk g
n : ℕ
f : Vector ℕ (n + 1) → ℕ
hf : Partrec' ↑f
v : Vector ℕ n
b a : ℕ
⊢ (a ∈ Nat.rfind fun n_1 => Part.some (decide (1 ≤ f (n_1 ::ᵥ v)))) = (a ∈ Nat.rfind fun n_1 => ↑(some (ofNat (Option ℕ) (f (n_1 ::ᵥ v))).isSome))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
⊢ (↑s).toSeq = s
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
gp_b_eq_b_n : gp.b = b
⊢ ∃ z, b = ↑z
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
⊢ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v) = do let v ← f.fix.eval v eval step (Cfg.ret k v)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K
h : ∃ n, x ^ p ^ n = 0
⊢ ∃ n, i x ^ p ^ n = 0
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄ μ
hi : Integrable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)
t : G
⊢ ∫ (x : G), (L₃ (f t)) ((L₄ (g (x - t))) (k (x₀ - t - (x - t)))) ∂μ = ∫ (t_1 : G), (L₃ (f t)) ((L₄ (g (t_1 - t))) (k (x₀ - t_1))) ∂μ
α : Sort u_1
s : Setoid α
⊢ Quotient.mk'' = Quotient.mk s
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
hf : ∀ (x : α), f x ∈ 𝓝 x
s : Set α
hsc : s.Countable
hsU : ⋃ i ∈ s, interior (f i) = ⋃ i, interior (f i)
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ ⋃ x ∈ s, f x = univ
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : ↥(Ideal R)⁰
⊢ (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K).range) ((Units.mapEquiv ↑(canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K)) ((FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) I)) = (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K).range) ((FractionalIdeal.mk0 K) I)
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
ha : ¬a = 0
⊢ p.count a.factors = 0 ∨ p.count a.factors = p.count (a * b).factors
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
ι : Sort u_5
f : M →ₙ* N
s : ι → Subsemigroup N
⊢ Subsemigroup.comap f (iInf s) = ⨅ i, Subsemigroup.comap f (s i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X : C
P : CategoryTheory.StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q → Prop
hP₀ : P (CategoryTheory.StructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.id (W.Q.obj X)))
hP₁ :
  ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₁),
    P (CategoryTheory.StructuredArrow.mk φ) →
      P (CategoryTheory.StructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ (W.Q.map f)))
hP₂ :
  ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₂),
    P (CategoryTheory.StructuredArrow.mk φ) →
      P
        (CategoryTheory.StructuredArrow.mk
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ (CategoryTheory.Localization.isoOfHom W.Q W w hw).inv))
g : CategoryTheory.StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q
⊢ P g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
b b' x : F
⊢ (tangentBundleCore 𝓘(𝕜, F) F).coordChange (achart F b) (achart F b') x = 1
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
s : Set G
hs : s = ↑K
⊢ ↑(K.copy s hs) = s
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : M →ₗ[R] M
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ (PolynomialModule.eval r) ((PolynomialModule.map R f) q) = f ((PolynomialModule.eval r) q)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
MetricSpace X
MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : Y
y : X
⊢ ε ≤ Metric.glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl y)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J✝ : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J✝
T : Comonad C
D : J✝ ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
s : Cocone D
m : (liftedCocone D c t).pt ⟶ s.pt
J : ∀ (j : J✝), (liftedCocone D c t).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
⊢ ∀ (j : J✝), c.ι.app j ≫ m.f = c.ι.app j ≫ ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
⊢ a + b ∈ carrier f_deg q
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s✝ t✝ : Set α
f✝ g✝ : α → G
a : α
g : G → β
hg : ∀ (x : G), g x⁻¹ = g x
s t : Set α
f : α → G
x : α
⊢ g ((s ∆ t).mulIndicator f x) = g (s.mulIndicator f x / t.mulIndicator f x)
α : Type u_1
a b a' : α
LinearOrder α
h : a < b
eq : a = a'
⊢ ¬b ≤ a'
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl
b : A
s : ↥𝔭.primeCompl
eq1 : IsLocalization.mk' (at 𝔭.primeCompl) b s * (mk f).val = 1
c : ↥𝔭.primeCompl
hc : ↑c * (↑f.num * b) = ↑c * (↑f.den * ↑s)
this : ↑f.num ∉ 𝔭
⊢ IsUnit (mk f)
ι✝ : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype p
ι : Type u_8
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
a b : n → R
⊢ (col ι a * row ι b).trace = a ⬝ᵥ b
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ X₂' : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
g' : R.obj X₂' ⟶ B.obj X₃
γ : X₂' ⟶ X₂
hγ : R.map γ ≫ g = g'
A A' : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : A ⟶ A'
⊢ (γ ≫ A.left.hom) ≫ T.map φ.left.right = γ ≫ A'.left.hom
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : M →* N
hf : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y z : ↥S
h : ((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) y)⁻¹ = ((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) z)⁻¹
⊢ f ↑y = f ↑z
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
S : Set ℕ := {n | ∃ s, Fermat42 s.1 s.2.1 s.2.2 ∧ n = s.2.2.natAbs}
S_nonempty : S.Nonempty
⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set Cᵒᵖ
⊢ IsCodetecting 𝒢.unop ↔ IsDetecting 𝒢
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E
⊢ (∑ x ∈ (Finset.Ico 0 N).sigma fun n => Fintype.piFinset fun i => Finset.Ico 1 N, (q x.fst) fun i => (p (x.snd i)) fun _j => z) = ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 N N, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => z
a : Nat
xs : List Nat
⊢ xs.minimum? = some a ↔ a ∈ xs ∧ ∀ (b : Nat), b ∈ xs → a ≤ b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hg : UniformConvexOn s ψ g
⊢ UniformConcaveOn s (φ + ψ) (f - g)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
fst✝⁴ : C
snd✝⁴ : C ⥤ D
fst✝³ : C
snd✝³ : C ⥤ D
fst✝² : (fst✝³, snd✝³).1 ⟶ (fst✝⁴, snd✝⁴).1
snd✝² : (fst✝³, snd✝³).2 ⟶ (fst✝⁴, snd✝⁴).2
fst✝¹ : C
snd✝¹ : C ⥤ D
fst✝ : (fst✝¹, snd✝¹).1 ⟶ (fst✝³, snd✝³).1
snd✝ : (fst✝¹, snd✝¹).2 ⟶ (fst✝³, snd✝³).2
⊢ { obj := fun p => p.2.obj p.1, map := fun {x y} f => x.2.map f.1 ≫ f.2.app y.1 }.map ((fst✝, snd✝) ≫ (fst✝², snd✝²)) = { obj := fun p => p.2.obj p.1, map := fun {x y} f => x.2.map f.1 ≫ f.2.app y.1 }.map (fst✝, snd✝) ≫ { obj := fun p => p.2.obj p.1, map := fun {x y} f => x.2.map f.1 ≫ f.2.app y.1 }.map (fst✝², snd✝²)
R : Type u_2
M : Type u_5
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
x : M
⊢ -r • x = -(r • x)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
⊢ (∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) t y) ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => f x i) t y
α : Type u_1
Zero α
LinearOrder α
a : α
⊢ 0 ≤ SignType.sign a ↔ 0 ≤ a
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
s : Set α
⊢ ⇑e ⁻¹' (⇑e '' s) = s
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
U V : OpenAddSubgroup G
x : G
⊢ x ∈ U ⊓ V ↔ x ∈ U ∧ x ∈ V
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ f : ℂ → E
z : ℂ
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
⊢ ‖f z‖ ≤ ‖interpStrip f z‖
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : BarrelledSpace 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
bdd : ∀ (x : E), BddAbove (range fun i => (p i) x)
⊢ LowerSemicontinuous (⨆ i, ⇑(p i))
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n
h : ∃ i < ↑n, zeta n K L ^ i = μ
pf✝¹ : h.choose.Coprime ↑n
hμ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑(ZMod.unitOfCoprime h.choose pf✝¹)).val) ↑n
pf✝ : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hμ).gen
⊢ zeta n K L ^ (↑(ZMod.unitOfCoprime h.choose pf✝¹)).val = μ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : σ → τ
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.rename f) p = Finsupp.mapDomain (Finsupp.mapDomain f) p
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hX : MeasureTheory.Memℒp X 2 μ
⊢ ProbabilityTheory.variance X μ = ∫ (x : Ω), ((X - fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2) x ∂μ
α : Type u_1
Fintype α
Subsingleton α
a : α
⊢ {a} = Finset.univ
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
s : ι → ι' → Set α
⊢ ⋃ i, ⋃ i', s i i' = ⋃ i', ⋃ i, s i i'
Ω : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {β : Type u_6} {γ : Type u_7} [mβ : MeasurableSpace β] [mγ : MeasurableSpace γ] (f : Ω → β)
  (g : Ω → γ) (μ : MeasureTheory.Measure Ω),
  ProbabilityTheory.IndepFun f g μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
⊢ s +ᵥ (t₁ ∪ t₂) = s +ᵥ t₁ ∪ (s +ᵥ t₂)
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
h : c ≤ b
h2 : a - c < b - c
⊢ a < b
R : Type u_1
Semiring R
m n : ℕ
f : R[X]
r : R
h : f.coeff m = r
natDeg_eq_coeff : m = n
⊢ f.coeff n = r
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ (-x).Equiv (-y) ↔ x.Equiv y
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this✝¹ : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E
adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤
P : IntermediateField F E → Prop := fun K => Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K
K : IntermediateField F E
x : E
hx : x ∈ (p.aroots E).toFinset
hK : Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K
this✝ : Module ↥K ↥(↥K)⟮x⟯ := (↥K)⟮x⟯.module
this : IsScalarTower F ↥K ↥(↥K)⟮x⟯ := IntermediateField.isScalarTower (↥K)⟮x⟯
⊢ Fintype.card (↥(IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯) →ₐ[F] E) = finrank F ↥(IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
R : Type u
S : Type u_1
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
Invertible x
⊢ IsAlgebraic R ⅟x ↔ IsAlgebraic R x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
⊢ CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.counitIso.hom = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.Results a n
⊢ s.Terminates
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Iio a)
⊢ Subtype.val '' Set.Ici b = Set.Ico (↑b) a
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r X : R
hr : r ≠ 0
hX₁ : normUnit X = 1
hX : Prime X
⊢ Multiset.count (span {X}) (normalizedFactors (span {r})) = Multiset.count X (normalizedFactors r)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
w : MeasureTheory.VectorMeasure α N
MeasureTheory.MeasureSpace β
h : v ≪ᵥ w
f : α → β
⊢ v.map f ≪ᵥ w.map f
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
c : Ordinal.{max u v}
ho : Cardinal.lift.{v, u} o.card < c.cof
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi < c
⊢ o.blsub f < c
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : SubMulAction R M
x : M
⊢ -x ∈ p ↔ x ∈ p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
⊢ ConvexOn 𝕜 s f
R : Type u
σ : Type v
CommSemiring R
i : σ
f : MvPolynomial σ R
h : i ∉ f.vars
⊢ (MvPolynomial.pderiv i) f = 0
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
δ : Type u_7
s : δ → Set α
this : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ i, s i
⊢ LinearMap.range ((supported M R (⋃ i, s i)).subtype ∘ₗ restrictDom M R (⋃ i, s i)) ≤ ⨆ i, supported M R (s i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
A B : G.Coalgebra
h : A.A ≅ B.A
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp A.a (G.map h.hom) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.hom B.a := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Comonad.Coalgebra.isoMk h w).inv.f = h.inv
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E
m : ℕ
hm : m ∉ Finset.range (n - k)
⊢ ((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 => x) = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : T2Space α
f : α → α
x y : α
hy : Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 y)
hf : ContinuousAt f y
⊢ Tendsto (fun n => (f ∘ f^[n]) x) atTop (𝓝 (f y))
α : Type u_1
SDiff α
a b : Part α
hab : (a \ b).Dom
⊢ b.Dom
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
AddCommGroup V₃
Module k V₃
AffineSpace V₃ P₃
s : AffineSubspace k P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
g : P₂ →ᵃ[k] P₃
⊢ AffineSubspace.comap f (AffineSubspace.comap g s) = AffineSubspace.comap (g.comp f) s
r : ℝ
⊢ HasSum (fun n => r ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) (Real.cosh r)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.InducedCategory C CategoryTheory.FullSubcategory.obj} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.subterminalInclusion C).map f = f
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
L : IntermediateField F E
h : IsPurelyInseparable F ↥L
⊢ L ≤ perfectClosure F E
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoDiv hp (a - m • p) b = toIcoDiv hp a b + m
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ (setToL1 hT) ↑f + (setToL1 hT') ↑f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
f : P →ᵃ[R] P'
x y : P
⊢ (fun x_1 => f ((lineMap x y) x_1)) '' Set.Icc 0 1 = ⇑(f.comp (lineMap x y)) '' Set.Icc 0 1
R : Type u_1
c d : R
Semiring R
hc : c ≠ 0
⊢ { a := 0, b := 0, c := c, d := d }.toPoly.degree = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
UniformSpace β
CompleteSpace α
T0Space β
f : α → β
hf : UniformEmbedding f
⊢ ClosedEmbedding f
α : Type u_5
H : LinearOrder α
⊢ OrderDual.instLinearOrder αᵒᵈ = H
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} E
CategoryTheory.Category.{v₆, u₆} F
G₁ : CategoryTheory.Functor A C
G₂ : CategoryTheory.Functor C E
H₁ : CategoryTheory.Functor B D
H₂ : CategoryTheory.Functor D F
L₁ : CategoryTheory.Functor A B
R₁ : CategoryTheory.Functor B A
L₂ : CategoryTheory.Functor C D
R₂ : CategoryTheory.Functor D C
L₃ : CategoryTheory.Functor E F
R₃ : CategoryTheory.Functor F E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁.comp L₂ ⟶ L₁.comp H₁
β : G₂.comp L₃ ⟶ L₂.comp H₂
⊢ (CategoryTheory.mateEquiv adj₁ adj₃) (CategoryTheory.leftAdjointSquare.vcomp α β) =
  CategoryTheory.rightAdjointSquare.vcomp ((CategoryTheory.mateEquiv adj₁ adj₂) α)
    ((CategoryTheory.mateEquiv adj₂ adj₃) β)
K : Type uK
V : Type uV
CommRing K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
v : V
⊢ (Module.Dual.eval K V) v = 0 ↔ v = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
x : A
hAB : Function.Injective ⇑(algebraMap A B)
⊢ IsIntegral R ((algebraMap A B) x) ↔ IsIntegral R x