ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x y : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 y t
⊢ StarConvex 𝕜 (x + y) (s + t)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Top α
Top β
Top γ
g : TopHom β γ
f₁ f₂ : TopHom α β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
h : φ₁ = φ₂
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHomotopy (Homotopy.ofEq h) = 0
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
a b : R
f g : R[X]
h_add_left : f.coeff n = a
h_add_right : g.coeff n = b
⊢ (f + g).coeff n = a + b
this : ∀ (a : ℤ) (n : ℕ), |a / ↑n| ≤ |a|
a b : ℤ
n : ℕ
⊢ |a / -↑n| ≤ |a|
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ≥0
c : ℝ
hc : ∀ (a : ℝ), c ≤ a → ↑b ≤ a ^ y
⊢ ∀ (a : ℝ≥0), c.toNNReal ≤ a → b ≤ a ^ y
α : Type u_1
LinearOrder α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hr : Reflexive r
h1 : ∀ i ∈ Set.Ico n m, r i (Order.succ i)
h2 : ∀ i ∈ Set.Ico m n, r (Order.succ i) i
⊢ Relation.TransGen r n m
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ b✝ : F ⟶ G
⊢ (a✝ + b✝).f = (b✝ + a✝).f
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.X.Monic
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ addOrderOf u = n ↔ ∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n * p) = u
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
i : ι
m : M
⊢ (TensorProduct.finsuppScalarRight R M ι).symm (Finsupp.single i m) = m ⊗ₜ[R] Finsupp.single i 1
l : ℝ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, (-1) ^ i / (2 * ↑i + 1)) atTop (𝓝 l)
abel : Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), (-1) ^ n / (2 * ↑n + 1) * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
⊢ Tendsto (fun k => ∑ i ∈ range k, (-1) ^ i / (2 * ↑i + 1)) atTop (𝓝 (π / 4))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
m₁ : α → β
m₂ : α → γ
h₁ : Filter.Tendsto m₁ f g
h₂ : Filter.Tendsto m₂ f h
⊢ Filter.Tendsto (fun x => (m₁ x, m₂ x)) f (g ×ˢ h)
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
p' : Filter α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
q : Filter ι'
q' : Filter α'
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
h' : TendstoUniformlyOnFilter F' f' q q'
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ q) (p' ×ˢ q')
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ eval₂ f x p = eval x (map f p)
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ : X
p₀ p₁ : Path x₀ x₁
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
hs : p ∉ s
hn : n ∈ factoredNumbers s
⊢ p ∉ n.primeFactorsList
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ Polynomial.C W.Ψ₂Sq = W.ψ₂ ^ 2 - 4 * W.toAffine.polynomial
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ
this : HasStrictFDerivAt f^[n] (smulRight 1 f' ^ n) x
⊢ HasStrictDerivAt f^[n] (f' ^ n) x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ.withDensity (s.indicator 1) = μ.restrict s
α : Type u
σ' : Type v
M : DFA α σ'
⊢ M.toNFA.accept = M.accept
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
l8 : log 8 = ↑3 * log 2
⊢ log 2 ≤ ↑12 / (↑3 * (69 / 50)) ^ 2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : G ≃ₗᵢ[𝕜] E
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : G
hx : g x ∈ s
i : ℕ
this : iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f ∘ ⇑g) (⇑g ⁻¹' s) x = (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s (g x)).compContinuousLinearMap fun x => ↑{ toLinearEquiv := g.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f ∘ ⇑g) (⇑g ⁻¹' s) x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s (g x)‖
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f g : (ℕ → ℕ) → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : Disjoint (range f) (range g)
hfg : ¬MeasurablySeparable (range f) (range g)
I : ∀ (n : ℕ) (x y : ℕ → ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n) → ∃ x' y', x' ∈ cylinder x n ∧ y' ∈ cylinder y n ∧ ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x' (n + 1)) (g '' cylinder y' (n + 1))
A : Type := { p // ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder p.2.1 p.1) (g '' cylinder p.2.2 p.1) }
F : A → A
hFn : ∀ (p : A), (↑(F p)).1 = (↑p).1 + 1
hFx : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.1 ∈ cylinder (↑p).2.1 (↑p).1
hFy : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.2 ∈ cylinder (↑p).2.2 (↑p).1
p0 : A := ⟨(0, fun x => 0, fun x => 0), ⋯⟩
p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0
prec : ∀ (n : ℕ), p (n + 1) = F (p n)
pn_fst : ∀ (n : ℕ), (↑(p n)).1 = n
Ix : ∀ (m n : ℕ), m + 1 ≤ n → (↑(p n)).2.1 m = (↑(p (m + 1))).2.1 m
Iy : ∀ (m n : ℕ), m + 1 ≤ n → (↑(p n)).2.2 m = (↑(p (m + 1))).2.2 m
x : ℕ → ℕ := fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n
hx : x = fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n
y : ℕ → ℕ := fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n
hy : y = fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n
M : ∀ (n : ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n)
u v : Set α
u_open : IsOpen u
v_open : IsOpen v
xu : f x ∈ u
yv : g y ∈ v
huv : Disjoint u v
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
εx : ℝ
εxpos : εx > 0
hεx : ball x εx ⊆ f ⁻¹' u
εy : ℝ
εypos : εy > 0
hεy : ball y εy ⊆ g ⁻¹' v
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < min εx εy
⊢ False
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
hr' : 0 ≤ r
z : ℂ
cts : ContinuousOn (⇑abs ∘ circleTransformBoundingFunction R z) (closedBall z r ×ˢ univ)
comp : IsCompact (closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])
none : (closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]]).Nonempty
this : ∃ x ∈ closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]], IsMaxOn (⇑abs ∘ circleTransformBoundingFunction R z) (closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]]) x
⊢ ∃ x, ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑x)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x : P
I : FractionalIdeal S P
⊢ FractionalIdeal.spanSingleton S x ≤ I ↔ x ∈ I
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x : M
f : M × M' → M''
p : M × M'
hf : MDifferentiableAt (I.prod I') I'' f p
⊢ mfderiv (I.prod I') I'' f p = mfderiv (I.prod I') I'' (fun z => f (z.1, p.2)) p + mfderiv (I.prod I') I'' (fun z => f (p.1, z.2)) p
m : ℕ+
v : PrimeMultiset
h : m.factorMultiset ≤ v ↔ m ∣ v.prod
⊢ m.factorMultiset ≤ v ↔ m ∣ v.prod
α : Type u_1
β : α → Type u_4
⊢ Function.Surjective Sigma.fst ↔ ∀ (a : α), Nonempty (β a)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
U : Opens ↑X
x : ↥U
V : Opens ↑Y
hV : U ≤ (Opens.map f).obj V
⊢ ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ germToPullbackStalk C f F U x = F.germ ⟨f ↑x, ⋯⟩
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
⊢ inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g = (range (lTensor Q f)).mkQ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
⊢ multiplicity (↑p) (x ^ n - y ^ n) = multiplicity (↑p) (x - y) + multiplicity p n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
g : β → γ
c : γ
⊢ ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.map g f) ⁻¹' {c} = ↑f ⁻¹' ↑(Finset.filter (fun b => g b = c) f.range)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : Convex 𝕜 {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ≤ f p.1}
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f
K : Type u
DivisionRing K
⊢ Subfield.closure ∅ = ⊥
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hs_mem : t ∈ hC.diffFinset hs ht
⊢ t ⊆ s \ t
w x✝ y z p : ℝ
x : ℝ≥0
hx_pos : 0 < x
⊢ 0 < x ^ p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
H₁ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, b < f a → ¬b < f x → ∃ y < a, b ≤ f y
H₂ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, f a < b → ¬f x < b → ∃ y, a < y ∧ f y ≤ b
x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
a : α
⊢ (⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b)) ⊓ ⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b) ≤ (⨅ i ∈ Iio (f a), 𝓟 (f ⁻¹' Ioi i)) ⊓ ⨅ i ∈ Ioi (f a), 𝓟 (f ⁻¹' Iio i)
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : HasUpperLowerClosure α
s : Set α
h : IsUpperSet s
⊢ IsUpperSet (interior s)
α : Type u
One α
⊢ ULift.down 1 = 1
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : ↑w = ↑z ∧ ↑u = ↑x ∨ ↑w = ↑x ∧ ↑u = ↑z
⊢ q = p ∨ q = p.mirror
α : Type u_5
ι : Type u_6
κ : Type u_7
C : (ι → Option α) → κ
self : Combinatorics.Line.ColorFocused C
p : Combinatorics.Line.AlmostMono C
⊢ p ∈ self.lines → (fun x i => (p.line.idxFun i).getD x) none = self.focus
cf cg : Code
this : Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode ≤ 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode)
⊢ cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧ cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
⊢ Function.Injective ContinuousLinearEquiv.toLinearEquiv
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ
hR : IsJacobson R
⊢ IsJacobson R[X]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofAbelian S).K = CategoryTheory.Limits.kernel S.g
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
⊢ ⌊fract a⌋ = 0
G : Type u_1
AddMonoid G
n : ℕ
x : G
⊢ Function.IsPeriodicPt (fun x_1 => x + x_1) n 0 ↔ n • x = 0
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
⊢ support ↑f = ↑(extChartAt I c).symm '' (ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)
R : Type u_5
Semiring R
η : Type u_7
Fintype η
M : Type u_9
ιs : η → Type u_10
AddCommMonoid M
Module R M
f : (j : η) → ιs j →₀ M
ji : (j : η) × ιs j
⊢ ((Finsupp.sigmaFinsuppLEquivPiFinsupp R).symm f) ji = (f ji.fst) ji.snd
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.SheafOfTypes J} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.sheafEquivSheafOfTypes J).inverse.map f).val = f.val
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n
⊢ ∀ (i_1 : n), (↑(hA.eigenvalues i) • EuclideanSpace.single i 1) i_1 = EuclideanSpace.single i (↑(hA.eigenvalues i)) i_1
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)
H : Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤
⊢ Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) ⊤ ≤ Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) M
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
⊢ Filter.pi f = ⊥ ↔ ∃ i, f i = ⊥
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
ψ θ : R ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z : ℤ
hz : z ≠ 0
⊢ z • ψ = z • θ ↔ ∃ k, ψ = θ + ↑(↑k • (p / ↑z))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'
⊢ Orthonormal 𝕜 (⇑f ∘ v)
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
⊢ f.length (Set.Ioc a b) = ENNReal.ofReal (↑f b - ↑f a)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ ((Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) = 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s t : Set α
h : Unique ι
x : α
⊢ x ∈ range f ↔ x ∈ {f default}
α : Type u_2
Inv α
⊢ ∅⁻¹ = ∅
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
n : ℕ
⊢ Subgroup.map H.subtype (lowerCentralSeries (↥H) n) ≤ lowerCentralSeries G n
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Inf α
Inf β
Inf γ
g : InfHom β γ
f₁ f₂ : InfHom α β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (TensorBimod.actRight (M.tensorBimod N) P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P ◁ Q.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight (M.tensorBimod N) P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P ◁ Q.actLeft) (TensorBimod.actRight M (N.tensorBimod P) ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X M (N.tensorBimod P)) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M (N.tensorBimod P) ◁ Q.actLeft) (coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ▷ Y.X ▷ Q.X) (coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ▷ Q.X) ⋯ ⋯) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M (N.tensorBimod P) Q) ⋯ ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight (M.tensorBimod N) P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux (M.tensorBimod N) P Q) ⋯ ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N (P.tensorBimod Q)) ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
f : M → M'
hf : ContMDiff I I' n f
⊢ ⇑⟨f, hf⟩ = f
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
RCLike 𝕜
NonUnitalNormedRing A
StarRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
⊢ (cfcₙAux ⋯ a ha) (ContinuousMapZero.id ⋯) = ↑a
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
H : ∀ {o : Ordinal.{u}}, o ≠ 0 → ∀ (f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}), (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ∈ s) → o.bsup f ∈ s
ι : Type u
hι : Nonempty ι
f : ι → Ordinal.{u}
hf : ∀ (i : ι), f i ∈ s
⊢ sup f ∈ s
α : Type u_2
Lattice α
L : Sublattice α
⊢ Sublattice.map (LatticeHom.id α) L = L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a : α
ha : a ∉ s
r : β → β → Prop
f : α → β
⊢ (↑s).Pairwise (r on f) → ((∀ b ∈ s, a ≠ b → (r on f) a b ∧ (r on f) b a) ↔ ∀ b ∈ s, r (f a) (f b) ∧ r (f b) (f a))
R : Type u
M : Type v
ι : Type w
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
NoZeroSMulDivisors R M
p : ι → Submodule R M
hp : CompleteLattice.Independent p
Fintype { i // p i ≠ ⊥ }
⊢ Fintype.card { i // p i ≠ ⊥ } ≤ FiniteDimensional.finrank R M
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
A : Matrix (m₁ ⊕ m₂) n R
i : m₁
j : n
⊢ A.toRows₁ i j = A (Sum.inl i) j
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
⊢ Cardinal.sum (f + g) = Cardinal.sum f + Cardinal.sum g
K : Type u_1
RCLike K
⊢ ⇑RCLike.conjCLE = ⇑(starRingEnd K)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)
f g : (i : ι) → α i
⊢ (univ.pi fun i => Ico (f i) (g i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] univ.pi fun i => Icc (f i) (g i)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : f ≤ 𝓟 s
U : ↑s → Set X
hU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f
t : Finset ↑s
ht : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
⊢ sᶜ ∈ f
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
m n : ℕ
⊢ A⁻¹ ^ m * A ^ n = A ^ n * A⁻¹ ^ m
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ MonoidHom.mrange (MonoidHom.inr M N) = ⊥.prod ⊤
R : Type u_1
S : Type u_2
k : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : LinearOrderedField k
f : R →+* S
abv : S → k
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
p : R[X]
hd : 0 < p.degree
l : Filter α
z : α → S
hz : Tendsto (abv ∘ z) l atTop
⊢ f p.leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x => abv (eval₂ f (z x) p)) l atTop
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
Nontrivial M₀
Fintype M₀
⊢ Fintype.card M₀ˣ < Fintype.card M₀
G : Type u_3
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
AddGroup.FG ↥H
AddGroup.FG ↥K
h : H = K
⊢ AddGroup.rank ↥H = AddGroup.rank ↥K
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝³ : Epi π₁
f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝² : Epi π₂
f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1
h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₄ : (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₃ : C
π₃ : A₃ ⟶ A₂
w✝¹ : Epi π₃
g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0
h₅ : π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1 = g₀ ≫ R₂.map (homOfLE ⋯)
A₄ : C
π₄ : A₄ ⟶ A₃
w✝ : Epi π₄
f₀ : A₄ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯
h₆ : π₄ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯
⊢ π₄ ≫ π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ = π₄ ≫ π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1 + (π₄ ≫ π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₄ ≫ π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1)
x✝ : Unit
p n : ℕ
⊢ n ∈ List.range (unpair p).1 → Nat.rec Option.none (fun n_1 n_ih => rec (some 0) (some n.succ) (some (unpair n).1) (some (unpair n).2) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) n let y ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cg) n some (Nat.pair x y)) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cg) n Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) x) (fun cf cg x x => Nat.rec (Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) (unpair n).1) (fun n_2 n_ih => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) (n_1, ofNat Code (unpair p).2) (Nat.pair (unpair n).1 n_2) Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cg) (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_2 i))) (unpair n).2) (fun cf x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) n Nat.rec (some (unpair n).2) (fun n_2 n_ih => Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) (n_1, ofNat Code (unpair p).2) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) x) (ofNat Code (unpair p).2)) (unpair p).1 = evaln (unpair p).1 (ofNat Code (unpair p).2) n
α β : FinBoolAlg
e : ↑α.toBoolAlg ≃o ↑β.toBoolAlg
a : ↑β.toBoolAlg
⊢ (FinBoolAlg.Iso.mk e).inv.toSupHom a = e.symm a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
X : C
self : CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois X
⊢ Nonempty
  (CategoryTheory.Limits.IsTerminal
    (CategoryTheory.Limits.colimit (CategoryTheory.SingleObj.functor (CategoryTheory.Aut.toEnd X))))
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
hb : b ≠ ⊥
hab : Disjoint a b
hc : a ⊔ b = c
⊢ (insert b P.parts).SupIndep id
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x : R
⊢ x ∈ I ↔ I.ringCon x 0
M : Type u_1
MulOneClass M
S T : Submonoid M
x : M
⊢ x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
a b ab : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 4 = 1
hab : b % a = ab
hr : Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat ab a = r
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat a b = r
α : Type u
m n : ℕ
⊢ Function.Commute (fun f => f^[m]) fun f => f^[n]
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ ‖x‖⁻¹ • x = ‖y‖⁻¹ • y
α : Type u
β : Type v
g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
⊢ Filter.comap m (g₁ ⊓ g₂) = Filter.comap m g₁ ⊓ Filter.comap m g₂