ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this : 0 < μ {x | x ∈ s ∧ (f x).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ}
⊢ 0 < (μ.restrict s) {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Type u_4
β : Sort u_5
f : α → β
I : Injective f
a : α
b : β
hpi : partialInv f b = if h : ∃ a, f a = b then some (Classical.choose h) else none
h' : ∃ a, f a = b
h : some (Classical.choose h') = some a
⊢ f a = b
M : Type u_3
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
L : List M
⊢ Monotone fun i => (List.take i L).sum
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h_meas_nonneg_g : MeasurableSet {x | 0 ≤ g x}
h_meas_nonneg_f : MeasurableSet {x | 0 ≤ f x}
h_meas_nonpos_g : MeasurableSet {x | g x ≤ 0}
h_meas_nonpos_f : MeasurableSet {x | f x ≤ 0}
⊢ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ g x}, g x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | g x ≤ 0}, g x ∂μ.restrict s ≤ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ.restrict s
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{?u.377006, u_1} C
inst✝¹² : Category.{?u.377010, u_2} D
inst✝¹¹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : HasZeroObject C
inst✝⁸ : HasZeroObject D
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : Pretriangulated C
inst✝² : Pretriangulated D
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
⊢ (F.map (Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃).mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app (Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃).obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (F.map (Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂).mor₁) = F.map h.m₃ ≫ F.map (Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃).mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app (Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃).obj₁
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h : μ t = μ u
htu : t ⊆ u
ht_ne_top : μ t ≠ ⊤
⊢ μ (t ∩ s) = μ (u ∩ s)
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G'' : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f ≤ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T' f
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ (x \ y)ᶜ = x ⇨ y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
⊢ l.sublists.length = 2 ^ l.length
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X * p).coeff (n + 1) = p.coeff n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst.restrict s, preCDF ρ r x < ⊤
𝕂 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n
⊢ ContDiffAt 𝕂 n (hf.localInverse hf' hn) (f a)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
n : ℕ
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
B X : Profinite
π : X ⟶ B
⊢ [CategoryTheory.EffectiveEpi π, CategoryTheory.Epi π, Function.Surjective ⇑π].TFAE
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 0
ha : a ∉ s → f a = 0
hb : b ∉ s → f b = 0
⊢ ∑ x ∈ s, f x = f a + f b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : δ → γ
hf : MeasurableEmbedding f
a : α
t : Set (β × δ)
ht : MeasurableSet t
b : β
x : γ
⊢ (∃ a b_1, (a, b_1) ∈ t ∧ a = b ∧ f b_1 = x) ↔ ∃ x_1, (b, x_1) ∈ t ∧ f x_1 = x
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
f f' g g' : (i : ι) → π i
hf : ∀ i ∈ s, f i = f' i
hg : ∀ i ∉ s, g i = g' i
⊢ s.piecewise f g = s.piecewise f' g'
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.fundamentalFrontier G s ⊆ s
α : Type u_1
Lattice α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (a ⊔ b) ^ 2 = a * b * mabs (b / a)
n : Nat
a : Fin (n + 1)
⊢ ¬a < 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors I
⊢ multiplicity (↑((normalizedFactorsEquivOfQuotEquiv f hI hJ) ⟨L, hL⟩)) J = multiplicity L I
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hD : D.PosDef
inst✝ : Invertible D
⊢ (fromBlocks D Bᴴ B A).PosSemidef ↔ (A - B * D⁻¹ * Bᴴ).PosSemidef
F : Type u → Type u
q : QPF F
x✝ : F (Fix F)
x : Fix F
⊢ (mk ∘ dest) x = id x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
⊢ (fun x => a - x) '' [[b, c]] = [[a - b, a - c]]
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
L : Sublattice α
f : LatticeHom α β
a : α
⊢ a ∈ L → f a ∈ Sublattice.map f L
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n
⊢ (MvPolynomial.eval₂ f g φ).IsHomogeneous (n * m)
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
⊢ Cardinal.mk ℍ[R,c₁,c₂] = Cardinal.mk R ^ 4
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
⊢ Fintype.card (Fin n → α) = Fintype.card α ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
m n : ℕ
⊢ a ^ (↑m * ↑n) = a ^ ↑(m * n)
I : Type u
inst✝³ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : GradedObject I C
inst✝ : X.HasTensor Y
⊢ (mapMap (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map (𝟙 X)).app Y ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X).map (𝟙 Y)) fun x => x.1 + x.2) = 𝟙 (tensorObj X Y)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
⊢ SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g g' : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]
hgg' : ∀ x ∈ Ioo (min (f a) (f b)) (max (f a) (f b)), HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g' ∘ f) x = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : ReflectsLimit (cospan f f) F
inst✝ : Mono (F.map f)
this : IsLimit (PullbackCone.mk (F.map (𝟙 X)) (F.map (𝟙 X)) ⋯)
⊢ Mono f
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring Rᵐᵒᵖ
⊢ (RelIso.symm Subsemiring.opEquiv) S = S.unop
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ⌈a⌉₊ = n ↔ ↑(n - 1) < a ∧ a ≤ ↑n
M : Type u
⊢ Function.Injective (@AddCommMonoid.toAddMonoid M)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
⊢ leftHomologyMap φ = leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData h₁ ≫ γ.φH ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.leftHomologyData
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ cosZeta (↑x) (2 * ↑k) = (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k) / (2 * ↑k).Gammaℂ * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ ⇑h.symm ∘ ⇑h = id
a✝ a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
h : c ≤ b
⊢ a ∣ b
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.NoetherianSpace α
f : α → β
hf : Continuous f
hf' : Function.Surjective f
⊢ TopologicalSpace.NoetherianSpace β
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Icc a b ⊆ Set.Iic b
α : Type u_2
β : Type u_3
InfSet α
InfSet β
f : sInfHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x
p : ↥(Algebra.adjoin R (Set.range x))
⊢ (MvPolynomial.aeval x) (hx.repr p) = ↑p
α : Sort u_1
β : Sort u_2
y : β
⊢ (fun x => y) = Function.const α y
M : Type u_1
AddZeroClass M
s t : Set M
h : s ⊆ t
⊢ AddSubmonoid.closure s ≤ AddSubmonoid.closure t
R : Type u_1
Zero R
f g : ArithmeticFunction R
⊢ f = g ↔ ∀ (x : ℕ), f x = g x
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ((-o).oangle y (x + y)).tan * ‖y‖ = ‖x‖
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ (s ∩ t).offDiag = s.offDiag ∩ t.offDiag
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
n : ℕ
hn : ¬Disjoint s (cylinder x n)
y : (n : ℕ) → E n
ys : y ∈ s
hy : y ∈ cylinder x n
⊢ n ≤ firstDiff x y
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {α_2 : Type u_3} {f : Option α → Option α_1 → α_2} {as : List α},
  List.zipWithAll f as List.nil = List.map (fun a => f (some a) none) as
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
f : α → α
t : Batteries.RBSet α cmp
H : ∀ {x : α}, Batteries.RBNode.find? cut t.val = some x → Batteries.RBNode.cmpEq cmp (f x) x
⊢ t.ModifyWF cut f
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
Fintype m
DecidableEq m
f g : (m → R) →ₗ[R] m → R
⊢ LinearMap.toMatrix' (f * g) = LinearMap.toMatrix' f * LinearMap.toMatrix' g
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Monoid G
⊢ ∀ (a : Gᵐᵒᵖ →₀ kᵐᵒᵖ),
  MonoidAlgebra.opRingEquiv.symm a =
    MulOpposite.op (Finsupp.mapRange MulOpposite.unop ⋯ (Finsupp.equivMapDomain MulOpposite.opEquiv.symm a))
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
N : ℕ
toFinsupp✝ : AddMonoidAlgebra R ℕ
a✝ : ℕ
⊢ a✝ ∈ (reflect N { toFinsupp := toFinsupp✝ }).support ↔ a✝ ∈ image ⇑(revAt N) { toFinsupp := toFinsupp✝ }.support
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : BoundedLatticeHom α β
⊢ ⇑f.toLatticeHom = ⇑f
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
OrderTop α
hs : IsUpperSet s
⊢ ⊤ ∈ s ↔ s.Nonempty
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
A B : Finset G
a0 b0 : G
f : G ↪ H
mul : ∀ (x y : G), f (x + y) = f x + f y
⊢ UniqueAdd (Finset.map f A) (Finset.map f B) (f a0) (f b0) ↔ UniqueAdd A B a0 b0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Set E
hf : ConcaveOn 𝕜 t f
hst : s ⊆ t
hs : Convex 𝕜 s
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j : N →* P
hj : ∀ (x : M), j (f.toMap x) = g x
x✝ : N
⊢ f.toMap (f.sec x✝).1 = f.toMap ↑(f.sec x✝).2 * x✝
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
⊢ (∀ (x m : L), m ∈ K.toSubmodule → ⁅x, m⁆ ∈ K.toSubmodule) ↔ ∀ (x y : L), y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
R₁ : Type u_2
M₁ : Type u_7
ι : Type u_16
CommRing R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
DecidableEq ι
Fintype ι
B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
h : B.SeparatingLeft
b : Basis ι R₁ M₁
⊢ ((LinearMap.toMatrix₂ b b) B).Nondegenerate
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
c s' s✝ : Computation α
h : (HOrElse.hOrElse (empty α) fun x => s✝) = s'
s : Computation α
⊢ (HOrElse.hOrElse (empty α).think fun x => s) = HOrElse.hOrElse (empty α) fun x => s
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ StrictMono (FirstOrder.Language.Substructure.comap f)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
h : n < m
f : ℕ → ℚ := fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
hf : f = fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
i : ℕ
h₁✝ : i < n + 1
h₁ : i ≤ n
h₂ : i < m
h₃ : i ≤ m
hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0
this✝¹ : ↑(m.choose (i + 1)) * (↑i + 1) = ↑(m.choose i) * ↑(m - i)
this✝ : ↑(n.choose (i + 1)) * (↑i + 1) = ↑(n.choose i) * ↑(n - i)
this : ↑m - ↑i ≠ 0
⊢ ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹ - ↑(n.choose i) * ↑(n - i) * (↑i + 1)⁻¹ * (↑(m.choose i) * ↑(m - i) * (↑i + 1)⁻¹)⁻¹ = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
hst : s.card ≤ t.card
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂
⊢ a₁ = a₂
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ J ≤ I * J / I
α : Type u_1
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : { toMatroid := N } < { toMatroid := N }
⊢ False
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
self : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
⊢ 0 < a i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
ContinuousMul α
RegularSpace α
f : β × γ → α
g : β → α
a : α
ha : HasProd f a
hf : ∀ (b : β), HasProd (fun c => f (b, c)) (g b)
⊢ HasProd g a
C : FloatCfg
this : 0 ≤ ↑(2 * emax) - ↑prec
⊢ 0 ≤ ↑emax - (emin + ↑prec - 1)
b : ℕ
hb : 1 < b
x : ℕ
hx : 1 < x
⊢ b ^ (Nat.clog b x).pred < x
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
ν : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
t : Set α
⊢ ν t = ∑' (g : G), ν (t ∩ (g +ᵥ s))
α : Sort u
β : α → Sort v
DecidableEq α
a a' : α
h : a ≠ a'
v : β a'
f : (a : α) → β a
⊢ Function.update f a' v a = f a
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
⊢ (∃ x ∈ H, x ≠ 1) ↔ ∃ a, a ≠ 1
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
P : Type u_6
AddGroup N
AddGroup P
g : N →+ P
f : G →+ N
⊢ AddSubgroup.comap f g.ker = (g.comp f).ker
α : Type u
s : Stream'.Seq α
n : ℕ
⊢ s.tail.drop n = s.drop (n + 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
F.IsEquivalence
⊢ G.Final ↔ (F.comp G).Final
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
hp : p ≠ 0
a : R
⊢ ∃ q, p = (X - C a) ^ rootMultiplicity a p * q ∧ ¬X - C a ∣ q
R : Type u_1
LinearOrderedField R
q : ℚ
⊢ (↑q).imK = 0
α β : PartialFun
e : α ≃ β
x : β
⊢ (PartialFun.Iso.mk e).inv x = ↑(some (e.symm x))
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ G.edist u v = 1 ↔ G.Adj u v
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
this : TopologicalAddGroup E
x : E
hx : x ≠ 0
i : ι
pi_nonzero : (p i) x ≠ 0
⊢ 0 ∉ ({i}.sup p).ball x ((p i) x)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β → γ
hf : Function.Injective2 f
b : β
⊢ Function.Injective fun a => f a b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : Preregular C
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
inst✝ : PreservesFiniteProducts G
U✝ : C
y : (forget (Type w)).obj (G.obj (op U✝))
α : Type
w✝ : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ U✝
h : EffectiveEpiFamily Z π
h' : ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f y).arrows (π a)
⊢ ∃ Y π, EffectiveEpi π ∧ (Presheaf.imageSieve f y).arrows π
α : Type u_1
A : Set (Finset α)
r : ℕ
Fintype α
hA : Set.Sized r A
⊢ Finset.univ ∈ A ↔ A = {Finset.univ}
K : Type u_1
v : K
inst✝² : LinearOrderedField K
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Archimedean K
ε : K
ε_pos : ε > 0
N' : ℕ
one_div_ε_lt_N' : 1 / ε < ↑N'
N : ℕ := max N' 5
n : ℕ
n_ge_N : n ≥ N
g : GenContFract K := of v
not_terminatedAt_n : ¬g.TerminatedAt n
⊢ |v - (of v).convs n| < ε
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : StrongFEPair E
⊢ P.symm.Λ = mellin P.g
L : FirstOrder.Language
self : L.IsRelational
n : ℕ
⊢ IsEmpty (L.Functions n)
α : Type u
TopologicalSpace α
x y : α
⊢ connectedComponent x = connectedComponent y ↔ x ∈ connectedComponent y
α : Type u
β : Type v
f : α → β
ga : α → α
gb : β → β
h : Function.Semiconj f ga gb
⊢ Function.Semiconj (Filter.map f) (Filter.map ga) (Filter.map gb)
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
f : M ≃+ N
⊢ f.toAddHom = ↑f
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
⊢ x.coeff x.order ≠ 0
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
⊢ |2| = 2
α : Sort u_1
p q : α → Prop
h : ∀ (a : α), p a → q a
⊢ (∀ (a : α), p a) → ∀ (a : α), q a
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
h : Codisjoint a b
⊢ a ⇨ b = b
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
Algebra.IsIntegral R B
⊢ Algebra.IsIntegral R A
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
NormedAddCommGroup γ
f : α → β
g : α → γ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ = ‖g a‖
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ ↔ MeasureTheory.HasFiniteIntegral g μ
⊢ Bornology.cobounded ℝ = Filter.atBot ⊔ Filter.atTop
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
a x y : G
h : SemiconjBy a x y
⊢ ∀ (n : ℕ), x ^ n = 1 ↔ y ^ n = 1
n : Nat
k : Fin (n + 1)
⊢ k * 0 = 0
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝³ : Nonempty Z
inst✝² : MetricSpace Z
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hΦ : Isometry Φ
hΨ : Isometry Ψ
i : PseudoMetricSpace (X ⊕ Y) := gluePremetric hΦ hΨ
x✝¹ : TopologicalSpace (X ⊕ Y) := UniformSpace.toTopologicalSpace
x✝ : Z
⊢ dist (Sum.inl (Φ x✝)) (Sum.inr (Ψ x✝)) = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
n : ℕ
⊢ CategoryTheory.NatTrans.leftDerived (CategoryTheory.CategoryStruct.id F) n =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.leftDerived n)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
U : Over X
S : Sieve U
hS : S ∈ (J.over X).sieves U
⊢ Sieve.functorPushforward (Over.map f) S ∈ (J.over Y).sieves ((Over.map f).obj U)
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F : C ⥤ D ⥤ E
X✝ Y✝ Z✝ : C × D
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ (F.map f.1).app X✝.2 ≫ (F.map g.1).app X✝.2 ≫ (F.obj Z✝.1).map f.2 ≫ (F.obj Z✝.1).map g.2 = (F.map f.1).app X✝.2 ≫ (F.obj Y✝.1).map f.2 ≫ (F.map g.1).app Y✝.2 ≫ (F.obj Z✝.1).map g.2
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
hₘ : ∃ m, p (m + n)
hₙ : ∃ n, p n
hn : n ≤ Nat.find hₙ
⊢ Nat.find hₙ ≤ Nat.find hₘ + n
⊢ StrictAntiOn Int.natAbs (Set.Iic 0)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
H0 : C ∅
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → C s → C (insert a s)
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hs : C ↑s
⊢ C ↑(Finset.cons a s ha)
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I
h' : ↑n ≠ 0
this : ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (n • Polynomial.X - ↑ν) ^ 2 * bernsteinPolynomial ℝ n ν = n • Polynomial.X * (1 - Polynomial.X)
⊢ ∑ i : Fin (n + 1), (↑x - ↑↑i / ↑n) ^ 2 * (bernstein n ↑i) x * ↑n * ↑n = ↑x * (1 - ↑x) * ↑n
I : Type u
LinearOrder I
⊢ Profinite.NobelingProof.Products.isGood {fun x => false} Profinite.NobelingProof.Products.nil
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y x : E
⊢ ↑‖x‖₊ ≤ egauge 𝕜 (ball 0 1) x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
u v : L
hu : (fun x => (trace R M) (φ x) = 0) u
hv : (fun x => (trace R M) (φ x) = 0) v
⊢ (fun x => (trace R M) (φ x) = 0) (u + v)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : Algebra R k
inst✝ : AddMonoid G
r : R
x✝ : G
⊢ ((↑↑__src✝).toFun ((algebraMap R k) r)) x✝ = ((algebraMap R k[G]) r) x✝
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₃ : Type u_3
J : Type u_4
Zero I₂
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
τ : CategoryTheory.GradedObject.TriangleIndexData r π
i₁ : I₁
i₃ : I₃
⊢ r (i₁, 0, i₃) = π (i₁, i₃)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iic x)
⊢ Measurable f
α : Type u
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a \ b ⊓ c = (a ⊓ c) \ (b ⊓ c)
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
⊢ X.toΓSpec.val.base = X.toΓSpecBase