ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
Preorder α
s : Set α
a : α
hs : s.IsWF
hn : s.Nonempty
ha : a ∈ s
⊢ ¬a < hs.min hn
J : Type u
inst✝⁵ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝⁴ : IsCofilteredOrEmpty J
inst✝³ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
inst✝² : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
inst✝¹ : Nonempty J
inst✝ : Finite ↑F.sections
this✝ : (j : J) → Fintype (F.obj j)
this : Fintype ↑F.sections
card_le : ∀ (j : J), Fintype.card (F.obj j) ≤ Fintype.card ↑F.sections
fn : J → ℕ := fun j => Fintype.card ↑F.sections - Fintype.card (F.obj j)
⊢ ∃ j, ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p t
u : Set E
huo : IsOpen u
hxu : x ∈ u
hut : insert x s ∩ u ⊆ t
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑m) f (insert x s ∩ u)
x : ℝ
h0x : 0 < x
hxp : x < Real.pi
⊢ 0 < Real.sin x
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
h : f ⁻¹' e.source = univ
⊢ ContinuousOn f univ ↔ ContinuousOn (↑e ∘ f) univ
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
κ : Type u_6
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : DecidableEq M
x✝ : M →ₗ[A] M
⊢ LinearMap.det x✝ = (if H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A M) then detAux (Trunc.mk ⋯.some) else 1) x✝
a : ℝ
ha : a ∈ Set.Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => (1 / (↑n + ↑a) ^ s - 1 / (↑n + 1 - ↑a) ^ s) / 2) (HurwitzZeta.hurwitzZetaOdd (↑a) s)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : IsInitial X
f : Y ⟶ X
this : IsSplitEpi f
⊢ Epi f
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
z : ℍ
⊢ Complex.abs (eisensteinSeries a k z) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), Complex.abs (eisSummand k x z)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.toKaroubiCompN₂IsoN₁.inv.app X).f = AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0
⊢ Real.tan (angle x (x - y)) * ‖x‖ = ‖y‖
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
⊢ A = B
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x₁ x₂ : Filter α
y : Filter β
h : Filter.Tendsto f x₂ y
⊢ Filter.Tendsto f (x₁ ⊓ x₂) y
V₁ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
V₂ : Type u_6
NormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ IsClosed ↑f.ker
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
H : Subgroup G
f : G →* G'
hf1 : Function.Surjective ⇑f
hf2 : f.ker ≤ H
⊢ (Subgroup.map f H).index = H.index
μ ν : YoungDiagram
⊢ (μ ⊓ ν).cells = μ.cells ∩ ν.cells
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
K : Type (max v u)
inst✝⁴ : SmallCategory K
inst✝³ : FinCategory K
inst✝² : HasLimitsOfShape K D
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)
inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))
k : K
⊢ (limit.lift (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X)) S ≫ (HasLimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun k => colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k) ⋯).symm).hom ≫ (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D X)).inv ≫ (HasColimit.isoOfNatIso ((isLimitOfPreserves (J.diagramFunctor D X) (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (F ⋙ J.diagramFunctor D X)))).inv) ≫ (J.plusMap (limit.π F k)).app (op X) = S.π.app k
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
⊢ ∏ x ∈ s.attach, f ↑x = ∏ x ∈ s, f x
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
this : boundOfDiscBdd N - 1 < boundOfDiscBdd N
⊢ minkowskiBound K 1 < ↑(boundOfDiscBdd N)
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
M : Matroid α
⊢ ∀ I ⊆ (M ↾ M.E).E, (M ↾ M.E).Indep I ↔ M.Indep I
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
this✝ : I.IsMaximal := hI
this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I
ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C
hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ
φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k
hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ
x : σ → k := fun s => φ ((Ideal.Quotient.mk I) (X s))
hx : ∀ (s : σ), ϕ (x s) = (Ideal.Quotient.mk I) (X s)
p : MvPolynomial σ k
hp : p ∈ vanishingIdeal {x}
⊢ p ∈ I
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂
⊢ W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.negY (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) = ((y₂ - W.negY x₂ y₂) * (x₁ - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) - (y₁ - W.negY x₁ y₁) * (x₂ - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) / (x₂ - x₁)
α : Type u_2
M : Matroid α
X : Set α
⊢ ∃ I, M.Basis I (X ∩ M.E) ∧ M.Basis I (M.closure X)
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J
s : Set J
inst✝ : Small.{v, u} ↑s
hs : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (i ⟶ j)
⊢ (fullSubcategoryInclusion fun x => x ∈ s).Final
z : ℂ
h₀ : ¬z.re = (↑π / 2).re ∨ ¬z.im = (↑π / 2).im
h₁ : -(π / 2) < z.re
h₂ : z.re ≤ π / 2
k : ℤ
⊢ ¬z.re = ((2 * ↑k + 1) * ↑π / 2).re ∨ ¬z.im = ((2 * ↑k + 1) * ↑π / 2).im
K : Type u_1
RCLike K
x : ℝ
⊢ 0 < ↑x ↔ 0 < x
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
NormOneClass A
φ : A →ₐ[𝕜] 𝕜
⊢ ‖φ.toContinuousLinearMap‖ = 1
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
f : Filter α
inst✝⁴ : f.NeBot
R : Type u_7
inst✝³ : Preorder R
inst✝² : Add R
inst✝¹ : CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass R R (fun a b => b + a) fun x x_1 => x ≤ x_1
u v : α → R
U : R
hU : ∀ᶠ (x : R) in map u f, (fun x x_1 => x ≥ x_1) x U
V : R
hV : ∀ᶠ (x : R) in map v f, (fun x x_1 => x ≥ x_1) x V
⊢ ∀ᶠ (x : R) in map (u + v) f, (fun x x_1 => x ≥ x_1) x (U + V)
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
h : ∀ a ∈ s, star a ∈ s
ha : a ∈ s.centralizer
y : R
hy : y ∈ s
⊢ y * star a = star a * y
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ xn a1 (2 * n + (2 * n + j)) + xn a1 (2 * n + j) ≡ 0 [MOD xn a1 n]
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → α → α
hassoc : Associative f
a b c : α
l : List α
⊢ f (f a c) (foldr f b l) = f a (f c (foldr f b l))
α : Type u_1
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Multiset.Ico a b - Multiset.Ico a c = Multiset.Ico (max a c) b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
hs : s ⊆ f.source
⊢ Set.MapsTo (↑(f.extend I)) s (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommSemiring L
inst✝¹ : Nontrivial L
inst✝ : Algebra K L
⊢ CharP L (ringChar L)
f : ℝ → ℝ
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => |f x|
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)
this : ⇑(D.f j i) ⁻¹' (⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U)) = ⇑(D.t j i ≫ D.f i j) ⁻¹' U
⊢ ⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U) = ⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U) ∩ Set.range ⇑(D.f j i)
α : Type u_1
ε : Type u_2
Preorder α
a : Thunk α
p : α → Bool
Estimator a ε
WellFoundedGT ↑(Set.range (EstimatorData.bound a))
e : ε
r : Bool
⊢ match Estimator.improveUntilAux a p e r with
| Except.error a_1 => ¬p a.get = true
| Except.ok e' => p (EstimatorData.bound a e') = true
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s
⊢ ℕ
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
coe_mono : Monotone toIdeal
⊢ {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ J ≤ I} = toIdeal '' {a | a.toIdeal ≤ I}
R : Type u
Semiring R
f : Polynomial R
⊢ f.support.card ≤ 1 ↔ ∃ n a, f = (Polynomial.monomial n) a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
t : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
X : C
n : ℤ
t.IsGE X n
⊢ t.GE n X
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
ZeroLEOneClass α
NeZero 1
MulPosStrictMono α
PosMulStrictMono α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a2 : 2 ≤ a
b2 : 2 ≤ b
⊢ a + b ≤ a * b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ (∀ (a : CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement P), CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f a = 0 → a = 0) →
  CategoryTheory.Mono f
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a ⨳ b = NatOrdinal.toOrdinal (Ordinal.toNatOrdinal a * Ordinal.toNatOrdinal b)
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a \ (b ⊓ c) = a \ b ⊔ a \ c
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hx : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z ∈ f.domain
y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), y z ∈ g.domain
hxy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z + y z = ↑z
fg : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → F := fun z => ↑f ⟨x z, ⋯⟩ + ↑g ⟨y z, ⋯⟩
fg_eq : ∀ (x' : ↥f.domain) (y' : ↥g.domain) (z' : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'
⊢ ∃ fg, ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain) (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x + ↑y = ↑z → fg z = ↑f x + ↑g y
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u_3
Field K
Algebra F K
f : E →ₐ[F] K
⊢ f.fieldRange = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
ι : Type u_1
N : Type u_4
TopologicalSpace N
Monoid N
ContinuousMul N
T2Space N
f : ι → Nˣ
r₁ r₂ : N
l : Filter ι
l.NeBot
h₁ : Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 r₁)
h₂ : Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)⁻¹) l (𝓝 r₂)
⊢ ↑(h₁.units h₂)⁻¹ = r₂
x y y' : ZFSet
H : x.pair y = x.pair y'
ae : ∀ (z : ZFSet), z = {x} ∨ z = {x, y} ↔ z = {x} ∨ z = {x, y'}
he : x = y → y = y'
xyy' : {x, y} = {x, y'}
⊢ x = x ∧ y = y'
L : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
F : Type u_3
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Algebra K F
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K F
inst✝⁵ : FiniteDimensional K F
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : Algebra F L
inst✝² : Algebra.IsSeparable F L
inst✝¹ : FiniteDimensional F L
inst✝ : IsScalarTower K F L
x : 𝓞 L
⊢ (norm K) ((norm F) x) = (norm K) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : Cᴹᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.MonoidalOpposite.unmopEquiv C).unitIso.hom.app X).unmop = 𝟙 X.unmop
α : Type u_1
s : Multiset α
a : α
⊢ {a} ⊆ s ↔ a ∈ s
R A B : Type u
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ (CommRingCat.pushoutCocone R A B).inl = Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ (a \ b) ∆ b = a ⊔ b
p : ℕ+
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hodd : p ≠ 2
⊢ Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Set ↑Z
p : IsOpen U
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map (f ≫ g)).obj { carrier := U, is_open' := p } =
  (TopologicalSpace.Opens.map f).obj ((TopologicalSpace.Opens.map g).obj { carrier := U, is_open' := p })
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
nc : ¬IsCyclic α
⊢ Nontrivial α
p : ℝ
⊢ ‖↑(p / 2)‖ = |p| / 2
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
NoZeroSMulDivisors R M
⊢ CompleteLattice.Independent fun χ => LieModule.weightSpace M ⇑χ
A : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing A
IsJordan A
a : A
⊢ Commute (L a) (R a)
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ J > M, (fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) J
h_prM : ¬M.IsPrime
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}
⊢ (fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) M
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
I : Set β
⊢ (∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ I = ⇑f '' I₀) → M.Indep (⇑f ⁻¹' I) ∧ I ⊆ range ⇑f
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : Set (UniformSpace α)
u₂ : UniformSpace β
u : UniformSpace α
h₁ : u ∈ u₁
hf : UniformContinuous f
⊢ Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (⨅ i, 𝓤 α) (𝓤 β)
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
x : ↑X
⊢ ∀ (t : ↑I), (H.evalAt x) t = ((fun q => q.map ⋯) (unitInterval.upath01.prod (Path.refl (fromTop x).as))) t
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ (MeasureTheory.Measure.mapₗ f) μ = MeasureTheory.Measure.map f μ
R : Type u
CommSemiring R
x : R
⊢ IsCoprime x 1
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)₀
this : φ (f + g).toNNReal + φ (-f).toNNReal + φ (-g).toNNReal = φ (-(f + g)).toNNReal + φ f.toNNReal + φ g.toNNReal
⊢ φ (f + g).toNNReal - φ (-(f + g)).toNNReal = φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal + (φ g.toNNReal - φ (-g).toNNReal)
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v w : V
h : G.Adj v w
⊢ P.partOfVertex v ≠ P.partOfVertex w
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
inst✝ : IsOpenImmersion g
e : Set.range ⇑f.base = Set.range ⇑g.base
⊢ lift f g ⋯ ≫ lift g f ⋯ = 𝟙 Y
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Relation.ReflGen (Relation.TransGen r) = Relation.ReflTransGen r
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n.succ, m (t ∩ s i) = m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n.succ), s i)
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ Function.Injective ⇑e
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement {g} S
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
⊢ x ∈ S
α β γ : Type u
f : β → γ
g : γ → Option β
inv : ∀ (x : β), g (f x) = some x
p : Poly (α ⊕ β)
v : α → ℕ
⊢ (∃ t, p (v ⊗ t) = 0) ↔ ∃ t, (Poly.map (Sum.inl ⊗ Sum.inr ∘ f) p) (v ⊗ t) = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
s : CategoryTheory.Functor A B
CategoryTheory.Preregular C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
∀ (X : C), CategoryTheory.Projective X
CategoryTheory.Limits.ReflectsFiniteProducts s
hF : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) (F.comp s)
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) F
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V)) ((TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ((LinearMap.lTensor (Module.Dual K V) (coevaluation K V)) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] 1))) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₃ : M₃
⊢ (TensorProduct.prodLeft R M₁ M₂ M₃) ((m₁, m₂) ⊗ₜ[R] m₃) = (m₁ ⊗ₜ[R] m₃, m₂ ⊗ₜ[R] m₃)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
X Y Z X' Y' : C
e : X ≅ X'
e' : Y ≅ Y'
⊢ Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) ↔ Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X' ⟶ W.Q.obj Y')
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
w : ∀ {Z : C} (h : Y ⟶ Z), CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h
⊢ f = g
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 ≤ x
hx1 : x ≤ 1
hz : 0 ≤ z
hyz : z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : x ≤ x'
⊢ (x.insertRight x').Numeric
α : Type u_1
a : α
LE α
h : IsMin a
⊢ IsMin ↑a
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ a ∉ Finset.Ioo a b
i : ℤ
⊢ i.gcd 0 = i.natAbs
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f (CategoryTheory.CategoryStruct.id (𝟙_ C)) =
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g (CategoryTheory.CategoryStruct.id (𝟙_ C)) ↔
  f = g
α : Type u_1
CompleteLattice α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
a : ℕ →o α
⊢ iSup ⇑a = monotonicSequenceLimit a
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ i, S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), μ (S i ∩ s) < ⊤
h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
⊢ Metric.closedBall 0 δ + s = Metric.cthickening δ s
a : UnitAddCircle
n : ℕ
⊢ hurwitzZetaEven a (-2 * (↑n + 1)) = 0
α β : Type u
q : PMF (α → β)
p : PMF α
⊢ (Seq.seq q fun x => p) = q.seq p
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ
h : N₁ ≤ N₂
⊢ LieSubmodule.ucs k N₁ ≤ LieSubmodule.ucs k N₂
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
c : Ordinal.{max u v}
ho : Cardinal.lift.{v, u} o.card < c.cof
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi < c
⊢ o.bsup f < c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
this : ↑⌊x + 1 / 2⌋ ≤ x + 1 / 2
⊢ x - ↑⌊x + 1 / 2⌋ ≤ 1 / 2 ∧ ↑⌊x + 1 / 2⌋ - x ≤ 1 / 2
G : Type u_1
Group G
x : ↥⊤
⊢ Subgroup.topEquiv x = ↑x
n m : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
G : Fin2 n → TypeVec.{u} m → Type u
α β : TypeVec.{u} m
f : α.Arrow β
MvFunctor F
(i : Fin2 n) → MvFunctor (G i)
x : MvQPF.Comp F G α
⊢ (MvFunctor.map f x).get = MvFunctor.map (fun i x => MvFunctor.map f x) x.get
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x y : α
U V : Set (α × α)
U_in : U ∈ 𝓤 α
U_symm : SymmetricRel U
V_in : V ∈ 𝓤 α
V_symm : SymmetricRel V
⊢ ∃ k, (k ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel k) ∧ ball x k ⊆ ball x U ∧ ball y k ⊆ ball y V
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S
x y : S
e : P.σ x = P.σ y
⊢ x = y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set (E × F)
⊢ DifferentiableOn 𝕜 Prod.fst s
M : Type u_1
CommMonoid M
k l : ℕ
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < l
hl : l < k
⊢ ζ ^ l ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
h : u ~[l] v
x✝ : α
⊢ u x✝ = (u - v) x✝ + v x✝
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * Complex.I)‖ ≤ C
hz_re : z.re ≤ 0
hz_im : z.im ≤ 0
⊢ ‖f z‖ ≤ C
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d r : ℝ
h : -1 < r
this : ∀ (c : ℝ), 0 ≤ c → IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
⊢ IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
ν : Measure α
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) (μ + ν)
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμνs : μ s ≠ ⊤ ∧ ν s ≠ ⊤
⊢ weightedSMul (μ + ν) s = weightedSMul μ s + weightedSMul ν s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_5
NormedDivisionRing 𝕜
f : α → 𝕜
h : MeasureTheory.Integrable f μ
c : 𝕜
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => f x / c) μ
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
NonUnitalSemiring B
StarRing B
Module R B
IsScalarTower R B B
SMulCommClass R B B
StarModule R B
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
S₁ T₁ : NonUnitalStarSubalgebra R B
⊢ S.prod S₁ ⊓ T.prod T₁ = (S ⊓ T).prod (S₁ ⊓ T₁)
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵈ Y
⊢ Function.Bijective ⇑e
M : Type u_1
α : Type u_2
AddMonoid M
TopologicalSpace α
AddAction M α
self : AddAction.IsMinimal M α
x : α
⊢ Dense (AddAction.orbit M x)
P : Type u_1
Preorder P
IF : Order.Ideal.PrimePair P
⊢ IF.F.IsPrime
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
this : x₀ ∈ s
⊢ ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)