ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing R₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : AddCommGroup V
inst✝¹² : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M''
inst✝⁹ : Module R M'✝
inst✝⁸ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : FiniteDimensional K V
ι✝ : Type u_10
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Finite ι✝
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB' : B.IsSymm
ι : Type u_11
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : FiniteDimensional K V
b : Basis ι K V
⊢ B = B.flip
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hS : RestrictGenTopology S
⊢ Continuous f ↔ ∀ s ∈ S, ContinuousOn f s
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
h : 1 ≤ τ
H : i < last N
⊢ a.r (last N) ≤ τ * a.r i
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
n✝ : ℕ
a✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (Int.negSucc n✝) a✝).f = (-(fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (↑n✝.succ) a✝).f
α : Type u_1
G : Type u_4
s : Set α
SubtractionCommMonoid G
f g : α → G
hs : s.Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), (f i - g i) = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i - ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g i
α : Type u
s : Set α
⊢ Subsingleton ↑s ↔ s.Subsingleton
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Polynomial.Chebyshev.T R 0 = 1
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
i : ι
_hi : i ∈ s
L : (E →L[ℝ] ℝ) → ℝ := fun f => f (v i)
⊢ HasCompactSupport fun x => (L ∘ fderiv ℝ g) x * f x
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
⊢ Fintype.card (DihedralGroup n) = 2 * n
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 2 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 ≤ ‖↑q - ζ'‖
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 < ‖↑q - ζ'‖
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0
⊢ Units.mk0 (q - 1).toNNReal ⋯ ^ φ n < Units.mk0 ‖eval (↑q) (cyclotomic n ℂ)‖₊ ⋯
c d a b n : ℕ
z : ℝ
hz : (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries n ≤ z
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : (2 * b + a) * d ^ 2 ≤ c ^ 2 * b
⊢ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries (n + 1) ≤ (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MeasurableSpace M
inst✝¹ : MeasurableMul₂ M
μ : Measure M
inst✝ : SFinite μ
⊢ map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod (dirac 1)) = μ
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
⊢ CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi (J ⥤ C) ⋙ CategoryTheory.Idempotents.karoubiFunctorCategoryEmbedding J C =
  (CategoryTheory.whiskeringRight J C (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C)).obj
    (CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi C)
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => |(μ[f|m]) x|
M : Type v
X : Type x
Y : Type y
UniformSpace X
UniformSpace Y
VAdd M X
UniformContinuousConstVAdd M X
f : Y → X
hf : UniformContinuous f
c : M
⊢ UniformContinuous (c +ᵥ f)
α : Type u_1
b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q c : ℝ≥0
cb : ↑c < b
a : ℝ≥0
hab : ↑a < b
ac : a < c
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ↑a + ↑r < b
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝ : Mono f
⊢ ofMkLEMk f f ⋯ ≫ f = 𝟙 A₁ ≫ f
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
⊢ 1 ∈ 1
X : Type u_2
EMetricSpace X
m : Set X → ℝ≥0∞
⊢ Monotone fun k => MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric'.pre m (↑k)⁻¹
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set α
Fintype ↑s
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ i ∈ s.toFinset, f i
α : Type u_2
OrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ (NonemptyInterval.pure a).length = 0
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
IsPredArchimedean α
OrderTop α
n : α
φ : α → α
hφ : StrictMonoOn φ (Set.Ici n)
m : α
⊢ n ≤ m → φ m ≤ m
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
i : σ
c : R
⊢ p.degrees = p.degrees + (C c).degrees
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α, t ○ t ⊆ s
ι : Type u_1
α : Type u_4
DivisionSemiring α
TopologicalSpace α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
a₁ a₂ : α
h : a₂ ≠ 0
⊢ HasSum (fun i => f i * a₂) (a₁ * a₂) ↔ HasSum f a₁
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ
⊢ ‖fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s x‖
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
⊢ ∀ ⦃a : E⦄, -(c ^ m • x) + a ∈ s → -(c ^ n • x) + a ∉ s
Q : Type u_1
inst✝¹ : Quandle Q
G : Type u_2
inst✝ : Group G
x y : Conj G
⊢ x * y * x⁻¹ = y → y * x * y⁻¹ = x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
⊢ P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3 + (P y * Q z ^ 3 - W'.negY Q * P z ^ 3) = (P y - W'.negY P) * Q z ^ 3
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ ∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) ((Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1
R : Type u
inst✝¹⁰ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁶ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝² : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x✝¹ : DirectSum ι G
H : Submodule.Quotient.mk x✝¹ = 0
ind : ι
a : R
x : DirectSum ι G
x✝ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) x = 0
i : ι
hi : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i
hxi : (DirectSum.toModule R ι (G i) fun i_1 => totalize G f i_1 i) x = 0
⊢ (DirectSum.toModule R ι (G i) fun i_1 => totalize G f i_1 i) (a • x) = 0
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
⊢ DFinsupp.support 0 = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f✝ : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel α β
f : β → γ
g : β → δ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
x : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ ((κ.map (fun x => (f x, g x)) ⋯).fst x) s = ((κ.map f hf) x) s
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
inst✝ : Fintype ι
h : Basis ι R M
⊢ Module.rank R M = ↑(Fintype.card ι)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
L.HasTotal c₁₂
⊢ (HomologicalComplex.forget C c₁₂).map (HomologicalComplex₂.total.map φ c₁₂) =
  CategoryTheory.GradedObject.mapMap (HomologicalComplex₂.toGradedObjectMap φ) (c₁.π c₂ c₁₂)
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
a : ℤ
b : ℕ
hb : 1 < b
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m
⊢ False
x y : ℝ
hx : 0 < x
⊢ log 1 < log x ↔ 1 < x
M : Type u_1
Monoid M
a : M
h : IsUnit a
⊢ ∃ b, b * a = 1
G : Type u_1
SubtractionMonoid G
a x y : G
⊢ AddSemiconjBy (-a) (-x) (-y) ↔ AddSemiconjBy a y x
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
LinearOrder ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
(i : ι) → PartialOrder (β i)
⊢ StrictMono ⇑toLex
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
u : ↥K
v : E
⊢ ⟪(orthogonalProjection K) v, u⟫_𝕜 = ⟪v, ↑u⟫_𝕜
a : UnitAddCircle
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => HurwitzZeta.evenKernel a x - if a = 0 then 1 else 0) =O[Filter.atTop] fun x => rexp (-p * x)
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
h : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0
⊢ f v = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s✝ : Finset β
H✝ : s✝.Nonempty
f✝ : β → α
inst✝ : SemilatticeSup γ
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
g : α → γ
g_sup : ∀ (x y : α), g (x ⊔ y) = g x ⊔ g y
⊢ g (s.sup' H f) = s.sup' H (g ∘ f)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g
hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)
hhmgle : Martingale h ℱ μ
⊢ f n - martingalePart (f + g) ℱ μ n =ᶠ[ae μ] 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
ha : IsAntichain r s
hp : s.PartiallyWellOrderedOn r
hi : s.Infinite
⊢ False
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
P : C(X, Y) → Prop
F : f₀.HomotopyWith f₁ P
⊢ ⇑F.toContinuousMap = ⇑F
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
c : E
hp_zero : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤
⊢ ‖(MeasureTheory.Lp.const p μ) c‖ = ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(cos y) ^ n) (-↑n * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)) x
⊢ (fun x => Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) = fun x => ↑(cos x) ^ n * Complex.cos (2 * z * ↑x)
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l : Combinatorics.Line α ι
C : (ι → α) → κ
⊢ Combinatorics.Subspace.IsMono C l.toSubspaceUnit ↔ Combinatorics.Line.IsMono C l
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{max v u, w} D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ
i : ((unop x✝).index P).L
⊢ Multiequalizer.lift ((unop x✝).index P) (multiequalizer ((unop x✝).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i ≫ 𝟙 (P.obj (op i.Y))) ⋯ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i = 𝟙 (multiequalizer ((unop x✝).index P)) ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A[X]
⊢ ∀ (p q : A[X]), (toFunAlgHom R A) (invFun R A p) = p → (toFunAlgHom R A) (invFun R A q) = q → (toFunAlgHom R A) (invFun R A (p + q)) = p + q
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
⊢ 0 < o / 0 ^ log 0 o
α : Type u_1
s : Set α
a : αᵒᵖ
⊢ a ∈ s.op ↔ Opposite.unop a ∈ s
M : Type u_2
α : Type u_3
VAdd M α
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
self : MeasurableVAdd M α
x : α
⊢ Measurable fun x_1 => x_1 +ᵥ x
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : BorelSpace α✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : MeasurableSpace δ
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : δ → α
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun b => ⨆ (_ : p), f b
L : Type u_1
SemilatticeSup L
TopologicalSpace L
ContinuousSup L
X : Type u_2
TopologicalSpace X
f : ℕ → X → L
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Continuous (f k)
⊢ Continuous fun a => (partialSups fun x => f x a) n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
l1 : α → β
u1 : β → α
l2 : β → γ
u2 : γ → β
gc1 : GaloisConnection l1 u1
gc2 : GaloisConnection l2 u2
⊢ GaloisConnection (l2 ∘ l1) (u1 ∘ u2)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a : α
⊢ Associated (gcd a 0) a
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
AddCommGroup β
TopologicalAddGroup β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (f + g) ↔ MeasureTheory.StronglyMeasurable g
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S : StarSubalgebra ℂ A
h : IsUnit a
a✝ : Nontrivial A
a' : ↥(elementalStarAlgebra ℂ a) := ⟨a, ⋯⟩
⊢ IsUnit (star a' * a')
a : Ordinal.{u_1}
⊢ a.IsLimit ↔ a ≠ 0 ∧ ω ∣ a
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul G G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
c : G
⊢ (IsometryEquiv.divLeft c).toEquiv = Equiv.divLeft c
α : Type u
ι : Sort x
f : ι → Filter α
l : Filter α
h : ∀ {s : Set α}, s ∈ l ↔ ∃ i, s ∈ f i
⊢ l = iInf f
α : Type u_1
l : List α
i : Nat
⊢ l.get? i = l[i]?
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommMonoid M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
x : M'
⊢ ∃ a, IsLocalizedModule.IsInteger f (↑a • x)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : AddGroup ι
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : CovariantClass ι ι (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
hi : 0 ≤ i
j : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω ≤ j - i}
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁ : IsBlock G B₁
h₂ : IsBlock G B₂
⊢ IsBlock G (B₁ ∩ B₂)
α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
NonUnitalSemiring α
StarRing α
Fintype m
A : Matrix m n α
⊢ (A.conjTranspose * A).IsHermitian
α : Type u_2
NonAssocSemiring α
Preorder α
⊢ ↑(OrderRingHom.id α) = OrderMonoidWithZeroHom.id α
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ StrictMono (FirstOrder.Language.Substructure.map f)
α : Type u_3
SemilatticeSup α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ Filter.map Subtype.val Filter.atTop = Filter.atTop
P : TopCat → Prop
α : Type w
Finite α
X : α → CompHausLike P
CompHausLike.HasExplicitFiniteCoproduct X
a : α
⊢ Function.Injective ⇑(CompHausLike.finiteCoproduct.ι X a)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : α → β
s : α →₀ M
h : β → M → N
hf : Function.Injective f
⊢ (Finsupp.mapDomain f s).sum h = s.sum fun a b => h (f a) b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d b a c : α
⊢ b - a - c ≤ b - (a + c)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → β
hf : Function.Injective f
l : β →₀ M
hl : ↑l.support ⊆ Set.range f
⊢ Finsupp.mapDomain f (Finsupp.comapDomain f l ⋯) = l
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
⊢ s₁ ⊆ s₂ → t₁ ⊆ t₂ → s₁ +ᵥ t₁ ⊆ s₂ +ᵥ t₂
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
m : M
f' : Dual R M
m' : M
⊢ ((Dual.transpose ((dualTensorHom R M M) (f ⊗ₜ[R] m))) f') m' = (((dualTensorHom R (Dual R M) (Dual R M)) ((Dual.eval R M) m ⊗ₜ[R] f)) f') m'
α : Type u_1
Mul α
a x y : αᵐᵒᵖ
h : SemiconjBy a x y
⊢ SemiconjBy (MulOpposite.unop a) (MulOpposite.unop y) (MulOpposite.unop x)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
⊢ IsBlock (↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)) (g • B)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r r' : ι → ι → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder ι r
inst✝ : IsWellOrder ι r'
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ (type r).blsub (bfamilyOfFamily' r f) = (type r').blsub (bfamilyOfFamily' r' f)
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
r : R
⊢ (Polynomial.expand R p) (Polynomial.C r) = Polynomial.C r
S : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ S
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds S
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
⊢ ∃ x, IsLUB S x
v : Nat
x y : BitVec v
⊢ (x ||| y).toFin = x.toFin ||| y.toFin
R : Type u_1
inst✝¹² : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedCommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : SMulPosMono S R
inst✝² : IsScalarTower S R M
a : S
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : LinearMapClass F R M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ SameRay R (f x) (f y) ↔ SameRay R x y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
⊢ ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) = if Even n then ↑n / 2 else ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsOpen s✝
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s✝ t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s✝
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
s : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ s✝, 0 < s
hf₂ : ∀ b ∈ t, s ≤ 0
hf : IsOpenMap ⇑0
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
self : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
⊢ F.map 0 = 0
α : Type u_1
n : Type u_4
CommSemigroup α
AddCommMonoid α
Fintype n
AddCommGroup n
v w : n → α
⊢ Matrix.circulant v * Matrix.circulant w = Matrix.circulant w * Matrix.circulant v
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
Fintype n
Fintype m
Field R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
A : Matrix m n R
⊢ Aᴴ.rank = A.rank
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => Real.sinh (f x)) (Real.cosh (f x) • f') x
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < δ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < δ
hφpos : ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
I : IntegrableOn (φ i) t μ
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ 2 * δ
C : ‖∫ (x : α) in s \ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ
⊢ ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f g : α → M
s : Set α
hf : (s ∩ Function.mulSupport f).Finite
hg : (s ∩ Function.mulSupport g).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i * g i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g i
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg : GrowsPolynomially g
hf : f =Θ[atTop] g
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
n : Nat
i : Nat
H : i < (List.range n).length
⊢ (List.range n).get ⟨i, H⟩ = i
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α ≃ₜ β
K : TopologicalSpace.Compacts α
⊢ (TopologicalSpace.Compacts.equiv f) K = TopologicalSpace.Compacts.map ⇑f ⋯ K
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
⊢ BddBelow {r | 0 < r ∧ x ∈ r • s}
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
⊢ ∃ b, a ≤ b ∧ Set.Icc a b ∈ 𝓝[≥] a ∧ Set.Icc a b ⊆ s
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
F : CategoryTheory.SingleObj ↑G ⥤ V
g : ↑G
⊢ (Action.FunctorCategoryEquivalence.inverse.obj F).ρ g = F.map g
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : E b
⊢ (Pretrivialization.symmₗ R e b) ((Pretrivialization.linearMapAt R e b) y) = y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : ℕ → ℝ
R : ℝ
⊢ [∃ a ∈ Set.Ioo (-R) R, f =o[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, f =o[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a ∈ Set.Ioo (-R) R, f =O[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, f =O[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a < R, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < R) ∧ ∀ (n : ℕ), |f n| ≤ C * a ^ n, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |f n| ≤ C * a ^ n, ∃ a < R, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |f n| ≤ a ^ n, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |f n| ≤ a ^ n].TFAE
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
⊢ insert a s ≠ s ↔ a ∉ s
E : Type u_4
AddGroup E
p : AddGroupNorm E
⊢ ⇑p.toAddGroupSeminorm = ⇑p