ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
u : Set ι
hyp : ∀ n ∈ u, ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' (s n) s' μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' (⋃ n ∈ u, s n) s' μ
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x : P
⊢ s.SSameSide x x ↔ (↑s).Nonempty ∧ x ∉ s
C₁ : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.MonoidalCategory C₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.MonoidalCategory C₂
⊢ 𝟙_ (C₁ × C₂) = (𝟙_ C₁, 𝟙_ C₂)
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t : Set α
a b c : α
inst✝ : Subsingleton α
s : Set α
⊢ s.Intersecting ↔ s = ∅
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
Ring R
Ring S
AddCommGroup M
Module R M
Module S M
SMulCommClass R S M
p : Submodule (R ⊗[ℤ] S) M
⊢ ↑(Subbimodule.toSubbimoduleNat R S M p) = ↑p
α : Sort u_1
x y : α
z : α
h : x ≠ y
⊢ x ≠ z ∨ y ≠ z
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X
p : X → Prop
⊢ IsOpen fun x => f.sets {x | (fun x => ¬(fun x => p x) x) x}
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
d : σ →₀ ℕ
n : N
e : σ →₀ ℕ
⊢ coeff e (rTensorAlgHom ((monomial d) 1 ⊗ₜ[R] n)) = coeff e (↑rTensor ((monomial d) 1 ⊗ₜ[R] n))
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ
x : α
h : x ∈ Function.support fun i => (coeff.addMonoidHom g) (f i)
⊢ ¬f x = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
Nonempty β
f : β → α
hf : Continuous f
hlim : Filter.Tendsto f (Filter.cocompact β) Filter.atTop
⊢ ∃ x, ∀ (y : β), f x ≤ f y
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra R B
f : R →+* S
g✝ : S →+* T
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A B
I : Ideal S
g : R →+* R ⧸ Ideal.comap f I := Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap f I)
this : (Ideal.quotientMap I f ⋯).comp g = (Ideal.Quotient.mk I).comp f
h : (Ideal.quotientMap I f ⋯).IsIntegral
⊢ g.IsIntegral
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ (((fun i j k => t' 𝒰 f g i j k) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j k) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j i)) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)) ≫ pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g = ((pullback.fst ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i j) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i k) ≫ (fun i j => t 𝒰 f g i j) i j) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)) ≫ pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
n : ℕ
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Tor C n).map f =
    CategoryTheory.NatTrans.leftDerived ((CategoryTheory.MonoidalCategory.tensoringLeft C).map f) n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
hn : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
⊢ ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → Pairwise (Disjoint on f) → μ (⋃ i, f i) = ∑' (i : ℕ), μ (f i)
α : Type u_3
AddGroup α
a : α
⊢ (↑(AddSubgroup.zmultiples a)).Infinite ↔ ¬IsOfFinAddOrder a
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Z → X
z : Z
e : Trivialization F proj
he : proj z ∈ e.baseSet
hf : ContinuousAt (f ∘ ↑e.symm) (↑e z)
hez : z ∈ e.symm.target
⊢ ContinuousAt f z
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
this✝ : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
this : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
⊢ (succNthDefiningPoly p n a₁ a₂ bs).degree = ↑p
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hbot : S ≠ ⊥
H : ¬∃ a, IsLeast {g | g ∈ S ∧ 0 < g} a
⊢ Dense ↑S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.εIso.inv.app X) ((𝟙_ (CategoryTheory.Functor C C)).map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.εIso.inv.app X) f
α : Type u_1
β : Type v
s : Multiset α
t : Multiset β
⊢ s.Nodup → t.Nodup → (s ×ˢ t).Nodup
R : Type u_1
Semiring R
DecidableEq R
a : R
⊢ (LaurentPolynomial.C a).degree = if a = 0 then ⊥ else 0
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
⊢ ‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ‖ ≤ C * (μ s).toReal
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ s : Set α
x : α
H : ∀ y ∈ s, ∃ t ⊆ s, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hs : s ⊆ u ∪ v
z : α
zs : z ∈ s
zu : z ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : y ∈ v
xs : x ∈ s
⊢ (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
α✝ : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y : α
h : ¬gcd x y = 0
x' : α
ex : x = gcd x y * x'
⊢ ∃ x' y', x = gcd x y * x' ∧ y = gcd x y * y' ∧ IsUnit (gcd x' y')
a b c : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a
⊢ a - b < c ↔ a < b + c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b : AsBoolAlg α
⊢ ofBoolAlg ((a ⊔ b) \ (a ⊓ b)) = ofBoolAlg a + ofBoolAlg b
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
f : ℕ → L
hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n
hintsum : IsIntegral R (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
r : R
hr : (algebraMap R K) r = (Algebra.norm K) (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
⊢ (algebraMap R K) (Q.coeff 0) ^ n.succ * ((-1) ^ (n.succ * n) * (algebraMap R K) ((minpoly R B.gen).coeff 0) ^ n) = (Algebra.norm K) (Q.coeff 0 • B.gen ^ n)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
f : M₂' →ₗ[R] M₂
⊢ ((toMatrix b₁ b₁) id)ᵀ * (toMatrix₂ b₁ b₂) B * (toMatrix b₂' b₂) f = (toMatrix₂ b₁ b₂) (B ∘ₗ id) * (toMatrix b₂' b₂) f
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
C : Set (Set P)
hidl : ∀ I ∈ C, IsIdeal I
hD : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) C
hNe : C.Nonempty
I : Set P
hI : I ∈ C
⊢ ∃ s ∈ C, s.Nonempty
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntegrableOn g (f '' [[a, b]]) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]] volume
hG : CompleteSpace G
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K₁ L₁ K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
⊢ CochainComplex.mappingCone.map φ₁ φ₂ a b comm = CochainComplex.mappingCone.mapOfHomotopy (Homotopy.ofEq comm)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
a : ι
S : Finset ι
hp_ind : iIndepSets π κ μ
haS : a ∉ S
t1 t2 : Set Ω
s : Finset ι
hs_mem : ↑s ⊆ ↑S
ft1 : ι → Set Ω
hft1_mem : ∀ x ∈ s, ft1 x ∈ π x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ s, ft1 x
ht2_mem_pia : t2 ∈ π a
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
(i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
i : Fin (n + 1)
x : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
q : (j : Fin (n + 1)) → α j
⊢ i.insertNth x p ≤ q ↔ x ≤ q i ∧ p ≤ fun j => q (i.succAbove j)
⊢ IsClosedMap ⇑natUnionInftyEmbedding
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
h : StarConvex 𝕜 x s
y : E
hy : y ∈ s
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ s
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
J✝ B : Set α
f✝ x y : α
Js : Set (Set α)
hne : Js.Nonempty
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
J : Set α
heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J
f : α
hI : M.Indep (insert f (J \ {e}))
hIs : ∀ J_1 ∈ Js, J_1 ⊆ insert f (J \ {e})
hiX : ⋂₀ Js ⊆ insert f (J \ {e})
heEI : e ∈ M.E \ insert f (J \ {e})
hJI : M.Basis J (insert e (insert f (J \ {e})))
hIb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e (insert f (J \ {e})))
hfIJ : f ∈ insert f (J \ {e}) \ J
hfb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e (insert f (J \ {e})))
X : Set α
hX' : X ∈ Js
hfX : f ∉ X
heX : e ∈ X
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset
⊢ ∏ y ∈ s, ∏ x ∈ ⋯.toFinset, f x y = ∏ b ∈ s, ∏ᶠ (a : α), f a b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
p q r✝ : R[X]
r : R
⊢ (C ((algebraMap R A) r)).toFinsupp = (algebraMap R (AddMonoidAlgebra A ℕ)) r
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
h_exists : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 l)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.WellPowered Cᵒᵖ
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
𝒢 : Set C
Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : CategoryTheory.IsSeparating 𝒢
⊢ CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x : (i : Fin n) → α i.castSucc
xₙ : α (Fin.last n)
s : (i : Fin n) → Finset (α i.castSucc)
sₙ : Finset (α (Fin.last n))
⊢ Fin.snoc x xₙ ∈ Fintype.piFinset (Fin.snoc s sₙ) ↔ x ∈ Fintype.piFinset s ∧ xₙ ∈ sₙ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
g : β → γ
f : α → β
hg : QuasiMeasurePreserving g μb μc
hf : QuasiMeasurePreserving f μa μb
⊢ map g (map f μa) ≪ μc
α : Type u
a : α
⊢ (Computation.pure a).get = a
n m : Nat
⊢ n ≤ m.succ → n.pred ≤ m
F : Type u
Field F
S : Type u_1
CommRing S
Nontrivial S
f : F →+* S
p : F[X]
⊢ (Polynomial.map f p).Separable ↔ p.Separable
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
p q : R[X]
⊢ (p • 1 + q • (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) Y) * (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) Y =
  (q *
        (Polynomial.X ^ 3 + Polynomial.C W.a₂ * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C W.a₄ * Polynomial.X +
          Polynomial.C W.a₆)) •
      1 +
    (p - q * (Polynomial.C W.a₁ * Polynomial.X + Polynomial.C W.a₃)) • (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) Y
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t : Set β
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s -ᵥ t).Nonempty
x : ℝ
h₁ : x ≠ -1
h₂ : x ≠ 1
⊢ HasDerivAt Real.arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Reflexive (Relation.ReflGen r)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : α → Finset β
DecidableEq β
DecidableEq α
a : α
⊢ (insert a s).biUnion t = t a ∪ s.biUnion t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : β
⊢ ⇑e ⁻¹' Icc a b = Icc (e.symm a) (e.symm b)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesFilteredColimits (forget C)
F : Presheaf C X
U V : Opens ↑X
x : ↑X
mU : x ∈ U
mV : x ∈ V
s : (forget C).obj (F.obj (op U))
t : (forget C).obj (F.obj (op V))
h : (F.germ ⟨x, mU⟩) s = (F.germ ⟨x, mV⟩) t
⊢ ∃ W, ∃ (_ : x ∈ W), ∃ iU iV, (F.map iU.op) s = (F.map iV.op) t
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f g : X ⟶ Y
e : f = g
U : Y.Opens
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f U =
  AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app g U ≫ X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : Finmap β
⊢ (keysLookupEquiv.symm (keysLookupEquiv x✝)).keys = (↑(keysLookupEquiv x✝)).1
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ ContinuousAt Real.log x
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
f : ↑(Set.Icc a b) → β
hx : x ≤ a
⊢ Set.IccExtend h f x = f ⟨a, ⋯⟩
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : 0 < G.dist u v
⊢ Set.univ.Nonempty
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → List α
hf1 : IsBadSeq (List.SublistForall₂ r) {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} f
hf2 : ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq (List.SublistForall₂ r) List.length {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} n f
hnil : ∀ (n : ℕ), f n ≠ []
this : ∀ (n : ℕ), (f n).headI ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → r (f (g m)).headI (f (g n)).headI
⊢ ((fun n => if n < g 0 then f n else (f (g (n - g 0))).tail) (g 0)).length < (f (g 0)).length
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
α : Type w
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasFilteredColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
F : CategoryTheory.Discrete α ⥤ C
⊢ (CategoryTheory.Limits.CoproductsFromFiniteFiltered.liftToFinsetColimitCocone F).cocone.pt =
  CategoryTheory.Limits.colimit (CategoryTheory.Limits.CoproductsFromFiniteFiltered.liftToFinset F)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ l <:+ List.insert a l
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
Field K
Field K₁
AddCommGroup V₁
Module K₁ V₁
AddCommGroup V₂
Module K V₂
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
⊢ Submodule.span K₁ {x} ⊓ (Submodule.span K₁ {x}).orthogonalBilin B = ⊥
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n
this : x < ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n
⊢ |x - ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε
⊢ ∃ n, ∀ y ∈ A (res x n), ∀ z ∈ A (res x n), dist y z < ε
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
Nontrivial α
⊢ Associates.factors 1 = 0
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b C : ℝ
hf : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖derivWithin f (Icc a b) x‖ ≤ C
⊢ ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
α : Type u_1
C : Set (Set α)
m : MeasureTheory.AddContent C
ι : Type u_2
hC : MeasureTheory.IsSetRing C
s : ι → Set α
S : Finset ι
hs : ∀ n ∈ S, s n ∈ C
⊢ m (⋃ i ∈ S, s i) ≤ ∑ i ∈ S, m (s i)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
S : Set (Set α)
hK : IsCompact K
hopen : ∀ s ∈ S, IsOpen s
hcover : K ⊆ ⋃₀ S
⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, ∀ x ∈ K, ∃ s ∈ S, ball x V ⊆ s
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
s : Set (β → M)
h : A.Definable L s
f : α ≃ β
⊢ Function.RightInverse (fun g => g ∘ ⇑f.symm) fun g => g ∘ ⇑f
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian (p.map φ) φ
inst✝ : IsIso (p.map φ)
φ' : b ⟶ a := map p (p.map φ) φ ⋯ (𝟙 b)
inv_hom : φ' ≫ φ = 𝟙 b
⊢ φ ≫ φ' = 𝟙 a
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
U : CategoryTheory.Under X
⊢ (CategoryTheory.Under.forget X).obj U = U.right
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ j₃ k₁ k₂ l : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
f₂ : j₂ ⟶ k₁
f₃ : j₂ ⟶ k₂
f₄ : j₃ ⟶ k₂
g₁ : j₁ ⟶ l
g₂ : j₃ ⟶ l
l' : C
k₁l : k₁ ⟶ l'
k₂l : k₂ ⟶ l'
hl : f₂ ≫ k₁l = f₃ ≫ k₂l
s : C
ls : l ⟶ s
l's : l' ⟶ s
hs₁ : g₁ ≫ ls = (f₁ ≫ k₁l) ≫ l's
hs₂ : g₂ ≫ ls = (f₄ ≫ k₂l) ≫ l's
⊢ ∃ s α β γ, f₁ ≫ α = g₁ ≫ β ∧ f₂ ≫ α = f₃ ≫ γ ∧ f₄ ≫ γ = g₂ ≫ β
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s₁ s₂ : UpperSet α
t : UpperSet β
⊢ (s₁ ⊓ s₂) ×ˢ t = s₁ ×ˢ t ⊓ s₂ ×ˢ t
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
s : AddSubmonoid M
t : AddSubmonoid N
⊢ s.prod t = ⊥ ↔ s = ⊥ ∧ t = ⊥
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ interior s ∈ (𝓤 α).lift' interior
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
⊢ ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel (κ.withDensity f)
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
x : α
P : Set α → Prop
⊢ (∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, P a) ↔ ∀ ε > 0, ∃ a ∈ v.setsAt x, a ⊆ Metric.closedBall x ε ∧ P a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ (o.kahler x) x = ↑‖x‖ ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hμν : μ ≪ ν
⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) (ae μ) f
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
this : 0 < c.blocks.sum
⊢ ∃ i, j < c.sizeUpTo (i + 1) ∧ i < c.length
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
A : Set X
h : derivedSet A ⊆ A
a : X
ha : AccPt a (𝓟 A)
nh : a ∉ A
this : A = A \ {a}
⊢ False
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
hj : (i, j) ∉ μ.cells
⊢ ∃ j, (i, j) ∉ μ
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
u : ℕ → Set E := fun n => disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
S : DiscreteQuotient ↑C.pt.toTop := f.discreteQuotient
ff : Quotient S.toSetoid → α := ⇑f.lift
h✝ : IsEmpty (Quotient S.toSetoid)
⊢ ∃ j g, f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
α : Type u_2
G₀ : Type u_4
TopologicalSpace α
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
hc : c ≠ 0
s : Set α
⊢ closure (c • s) = c • closure s
x : ℂ
y : ℝ
⊢ (x ^ ↑y).re = Complex.abs x ^ y * Real.cos (x.arg * y)
α : Type u
l : List α
i : ℕ
h : i < l.tail.length
h' : i + 1 < l.length := ⋯
⊢ l.tail.nthLe i h = l.nthLe (i + 1) h'
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
v : Set α
hv' : IsOpen v
x : α
hxs : x ∈ s
y : α
hys : y ∈ s
hyv : y ∈ v
u : Set β
hu : IsOpen u
hu' : IsOpen (f ⁻¹' u)
huv : s ⊆ f ⁻¹' u ∪ v
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
⊢ (s ∩ (f ⁻¹' u ∩ v)).Nonempty
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
g : α → ℝ≥0∞ := fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
g : α →ₛ G
hp : AEEqFun.mk ↑g ⋯ ∈ Lp G p μ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑g
⊢ ∃ f', 0 ≤ f' ∧ ↑↑↑⟨⟨AEEqFun.mk ↑g ⋯, hp⟩, ⋯⟩ =ᶠ[ae μ] ↑f'
α : Type u_2
β : Type u_3
SupSet β
f : α → β
s : Finset α
⊢ ⨆ x ∈ ↑s, f x = ⨆ x ∈ s, f x
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
s : Set (β → M)
h : A.Definable L s
f : α ≃ β
⊢ A.Definable L ((fun g => g ∘ ⇑f) '' s)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
down : M
⊢ ULift.moduleEquiv.symm down = { down := down }
n✝ p : ℕ
pp : Prime p
m n : ℕ
hn : p = m * n
this : IsUnit m ∨ IsUnit n
⊢ m = 1 ∨ m = p
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nontrivial α
this : Perm α ⧸ sign.ker ≃ ℤˣ := (QuotientGroup.quotientKerEquivOfSurjective sign ⋯).toEquiv
⊢ Nat.card (Perm α ⧸ sign.ker) * Nat.card ↥(alternatingGroup α) = Nat.card (Perm α)