ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ = ‖⟪y, x⟫_𝕜‖
x : ℝ
⊢ cos (π / 2 - π / 3) ^ 2 = cos (π / 6) ^ 2
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles C
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles C
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
CommMonoid P
f : M →* P
g : N →* P
⊢ (f.coprod g).comp (MonoidHom.inl M N) = f
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
⊢ ∫ (v : V), cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2) = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : F ⟶ G
θ ι : G ⟶ H
Γ : θ ⟶ ι
a : B
⊢ (CategoryTheory.OplaxNatTrans.whiskerLeft η Γ).app a = CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (η.app a) (Γ.app a)
R : Type u_1
Semiring R
x y : R
⊢ Polynomial.evalEval x y Y = y
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε x r' : ℝ
rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
s : ℝ
s_gt : r / 2 < s
s_lt : s < r'
⊢ ∃ u ∈ Ioi x, Ioo x u ⊆ A f L r ε
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
⊢ S ∈ rightTransversals T ↔ ∀ (g : G), ∃! s, g * (↑s)⁻¹ ∈ T
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : 1 < x
⊢ P.f_modif (1 / x) = (P.ε * ↑(x ^ P.k)) • P.g_modif x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
TopologicalSpace α
TopologicalSpace γ
h : TendstoLocallyUniformly F f p
g : γ → α
cg : Continuous g
⊢ TendstoLocallyUniformly (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p
a m n : Nat
⊢ a ^ (m * n) = (a ^ m) ^ n
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hca : c ∣ a
h : ¬c = 0
⊢ a % c + b % c < c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
F G H : TopCat.Sheaf C X
f : F ⟶ G
g : G ⟶ H
t : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (f ≫ g).val.app t = f.val.app t ≫ g.val.app t
M : Type u_5
N : Type u_6
Zero M
Zero N
⊢ Prod.swap 0 = 0
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n : ℤ
x : R
hx : |x| ≤ 1
hnx : 0 < 0 → 0 ≤ x + ↑0
hnx' : 0 < 0 → x + ↑0 ≤ 0
⊢ 0 ≤ ↑0 ∧ 0 ≤ x + ↑0 ∨ ↑0 ≤ 0 ∧ x + ↑0 ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
f✝ : Filter α
b : α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
inst✝¹ : Countable (Subtype p)
inst✝ : Nonempty (Subtype p)
hv : v.HasBasis p s
f : ι → α
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
⊢ liminf f v = if ∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i) then sSup ∅ else ⨆ j, ⨅ i, f ↑i
P : PFunctor.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : ↑P α
a : P.A
f₀ f₁ : P.B a → α
xeq : x = ⟨a, f₀⟩
yeq : y = ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : P.B a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ Liftr r x y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
h : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ mfderiv I I' f x = fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (Set.range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
⊢ (↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0 = 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b))
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : Set α
hs : IsLowerSet s
f : α ≃o β
⊢ IsLowerSet (⇑f '' s)
α : Type u
SemilatticeInf α
OrderTop α
ι : Type u
Fintype ι
f : ι → α
⊢ ∏ᶜ f = Fintype.elems.inf f
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (restrictScalars f).obj Y ⟶ X
y : ↑Y
s1 s2 : S
⊢ (fun s => g (s • y)) (s1 + s2) = (fun s => g (s • y)) s1 + (fun s => g (s • y)) s2
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
⊢ ∀ m ∈ I, ∀ n ∈ 1 / I, m * n ∈ 1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → β → γ
n : γ → δ
⊢ map n (map₂ m f g) = map₂ (fun a b => n (m a b)) f g
α : Type u_1
AddCancelCommMonoid α
s t : Set α
a : α
x y : ↑(s.addAntidiagonal t a)
h : (↑x).1 = (↑y).1
⊢ x = y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : ι → Function.End α
K : ι → ℝ≥0
h : ∀ (i : ι), LipschitzWith (K i) (f i)
i : ι
l : List ι
⊢ LipschitzWith (List.map K (i :: l)).prod (List.map f (i :: l)).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Mul β
ContinuousMul β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (f * g)
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f : α → β
hf : ScottContinuous f
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous' f
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
CompleteSpace α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
ha : Multipliable f
b : β
⊢ Multipliable fun c => f ⟨b, c⟩
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
AddGroup α
LinearOrderedAddCommMonoid β
AddGroupNormClass F α β
f : F
x : α
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < f x
ι : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
ContinuousAdd M
f : ι → X → M
s : Finset ι
t : Set X
⊢ (∀ i ∈ s, ContinuousOn (f i) t) → ContinuousOn (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) t
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (μ.restrict s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
this : ∀ᵐ (t : G) ∂μ.restrict s, ‖(L (f t)) (g (x₀ - t))‖ ≤ s.indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g ↑i‖) t
⊢ Integrable (s.indicator fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g ↑i‖) (μ.restrict s)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
inst✝ : EnoughProjectives C
Z : C
n : ℕ
⊢ (ShortComplex.mk (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) (n + 1)).g (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).g ⋯).Exact
n : ℕ
n_big : 4 ≤ n
⊢ 4 ^ n < n * n.centralBinom
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
x : A
⊢ ⇑Multiplicative.ofAdd.symm '' ↑(Subgroup.zpowers (Multiplicative.ofAdd x)) = ↑(AddSubgroup.zmultiples x)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
x : α
s : Set α
h : UpperSemicontinuousOn f s
hx : x ∈ s
⊢ UpperSemicontinuousWithinAt f s x
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hz : 0 ≤ z
⊢ 1 ^ z ≤ x ^ z
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle (-x) x = π
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
⊢ map₂ m f (pure b) = map (fun x => m x b) f
α : Type u_2
𝕜 : Type u_6
Preorder 𝕜
Zero 𝕜
Mul 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousMul 𝕜
l : Filter α
f : α → 𝕜
b c : 𝕜
hb : 0 < b
PosMulStrictMono 𝕜
PosMulReflectLT 𝕜
h : Filter.Tendsto f l (𝓝[>] c)
⊢ Filter.Tendsto (fun a => b * f a) l (𝓝[>] (b * c))
x y z : Bool
⊢ xor x z = xor y z ↔ x = y
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ o.bsup f = o.blsub f ↔ ∀ a < o.blsub f, Order.succ a < o.blsub f
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSingletonClass (MeasureTheory.NullMeasurableSpace α μ)
a : α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (insert a s) μ ↔ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
a : Ordinal.{u_4}
b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0
⊢ a < b * Order.succ (a / b)
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
x : ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))
i : ι
⊢ ∃ y, ↑y = ↑x i
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
m n : ℤ
x : ℝ≥0
hx : x ≠ 0
⊢ ↑x ^ (m + n) = ↑x ^ m * ↑x ^ n
α : Type u
SemilatticeInf α
a b : α
⊢ a ⊓ b < b ↔ ¬b ≤ a
δ : Type u_4
u : Set δ
MeasureTheory.MeasureSpace δ
hu : MeasureTheory.NullMeasurableSet u MeasureTheory.volume
t : Set ↑u
⊢ MeasureTheory.volume (Subtype.val '' t) ≤ MeasureTheory.volume t
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
Ring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
h : ⇑f ⁻¹' {0} ⊆ ↑S
⊢ Subalgebra.comap f (Subalgebra.map f S) = S
P : TopCat → Prop
X : CompHausLike P
⊢ 𝟙 ((CategoryTheory.forget (CompHausLike P)).obj X) = id
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm✝ : f.Monic
x✝ : ∃ m n y, m ≠ 0 ∧ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m
m n : ℕ
y : F
hm : m ≠ 0
h : f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m
⊢ f.natSepDegree = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys : List α
⊢ (xs ++ ys).enum = xs.enum ++ enumFrom xs.length ys
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulStrictMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hba : b₂ < b₁
hdc : d < a
⊢ b₁ • d + b₂ • a < b₁ • a + b₂ • d
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s μ
H : (μ.restrict s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
⊢ False
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1) = ‖f‖₊
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f✝ : ↑Γ(X, U)
V : X.Opens
hV : IsAffineOpen V
f : op U ⟶ op V
this✝ : IsAffine (X.restrictFunctor.obj U).left
this : IsAffine ↑V
⊢ Spec.map (X.presheaf.map f) ≫ hU.fromSpec = Spec.map (X.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (eqToHom ⋯).op)) ≫ (X.restrictFunctor.obj (unop (op U))).left.isoSpec.inv ≫ (unop (op U)).ι
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
⊢ IsLinearMap R fun y => (↑e { proj := b, snd := y }).2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty Cᵒᵖ
W.unop.IsMultiplicative
⊢ W.IsMultiplicative
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
m : ℕ
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
ha0 : (⇑verschiebung)^[m] a ≠ 0
n : ℕ
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
hb0 : (⇑verschiebung)^[n] b ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[m] a * (⇑verschiebung)^[n] b
⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[m] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n] b)
α : Type u_1
OrderedRing α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
n : ℕ
⊢ (Finset.box (n + 1)).disjUnion (Finset.Icc (-↑n) ↑n) ⋯ = Finset.Icc (-↑n.succ) ↑n.succ
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : α
⊢ a * b + b * a = 0
d : ℤ
x y x' y' : ℤ
⊢ { re := x, im := y } + { re := x', im := y' } = { re := x + x', im := y + y' }
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝² : Pretriangulated C
inst✝¹ : HasShift D ℤ
inst✝ : L.CommShift ℤ
H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
T₁ T₂ : Triangle D
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
T₁' : Triangle C
e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'
hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles
T₂' : Triangle C
e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'
hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles
comm₁ : (L.mapTriangle.obj T₁').mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁
comm₁' : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₁
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ = e₁.hom.hom₂ ≫ (L.mapTriangle.obj T₁').mor₂
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
a b c b' c' : ℕ
h1 : a.pow b' = c'
hb : 2 * b' + 1 = b
hc : c' * (c' * a) = c
⊢ Int.ofNat a ^ b' * Int.ofNat a ^ b' * -Int.ofNat a = -Int.ofNat (a.pow b' * (a.pow b' * a))
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Continuous (Profinite.NobelingProof.CC'₀ C ho)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
φ φ₀ : W.LeftFraction X Y
hφ₀ : neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ₀.neg.map L ⋯
Y' : C
t₁ : φ₀.Y' ⟶ Y'
t₂ : φ.Y' ⟶ Y'
hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂
hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂
ht : W (φ₀.s ≫ t₁)
⊢ neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ.neg.map L ⋯
α : Type u_1
inst✝¹ : OrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
t : β
ht : 0 ≤ t ∧ t ≤ 1
⊢ 0 ≤ 1 - t ∧ 1 - t ≤ 1
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
self : Bialgebra R A
⊢ Coalgebra.comul 1 = 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
A : Continuous fun x => rexp (t * x)
⊢ mgf (X + Y) μ t = mgf X μ t * mgf Y μ t
m n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ n.factorial < m.factorial ↔ n < m
m n : ℕ
⊢ Nat.fib (m.gcd n) = (Nat.fib m).gcd (Nat.fib n)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
c : Cone F
i : I
h₁ : ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).hom ≫ limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i) (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd) = A.map (limit.π (F ⋙ π A) i) (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd)
⊢ limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd)) = limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (liftedConeElement F))
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ i : ι
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i
⊢ x✝ ∈ (insert i s).pi t ↔ x✝ ∈ eval i ⁻¹' t i ∩ s.pi t
b a : Prop
Decidable b
⊢ ¬(a ∧ b) ↔ ¬a ∨ ¬b
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s t : Set X
hf : IsLocalHomeomorphOn f t
hst : s ⊆ t
⊢ IsLocalHomeomorphOn f s
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν✝
inst✝ : SFinite μ
ν : Measure β
⊢ Measure.prod 0 ν = 0
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
h : Red ((x, b) :: L) []
h₁✝ : Red ((x, !b) :: (x, b) :: L) [(x, !b)]
h₂✝ : Red ((x, !b) :: (x, b) :: L) L
L' : List (α × Bool)
h₁ : Red [(x, !b)] L'
h₂ : Red L L'
⊢ Red L [(x, !b)]
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
this✝ : FreeGroup.of i * FreeGroup.of i ∈ M.relationsSet
this : ↑(FreeGroup.of i * FreeGroup.of i) = 1
⊢ cs.simple i * cs.simple i = 1
J : Type w₁
C' : Option J → Type u₁
(i : Option J) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C' i)
⊢ (CategoryTheory.Pi.optionEquivalence C').counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl
    ((CategoryTheory.Functor.pi' fun i =>
          match i with
          | none => CategoryTheory.Prod.fst (C' none) ((j : J) → C' (some j))
          | some i =>
            (CategoryTheory.Prod.snd (C' none) ((j : J) → C' (some j))).comp
              (CategoryTheory.Pi.eval (fun j => C' (some j)) i)).comp
      ((CategoryTheory.Pi.eval C' none).prod' (CategoryTheory.Functor.pi' fun i => CategoryTheory.Pi.eval C' (some i))))
R✝ : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ✝ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n m : σ✝
s : σ✝ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ✝ R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : IsEmpty σ
⊢ Surjective ⇑C
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
⊢ (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hz : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
ho : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_𝕜 = 0
⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → 𝕜), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
⊢ (e.restr s).toPartialEquiv = e.restr (interior s)
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
s : Set M
hsc : IsClosed s
hs : s ⊆ Function.support ↑f
⊢ ∃ r ∈ Set.Ioo 0 f.rOut, s ⊆ (chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' Metric.ball (↑(extChartAt I c) c) r
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
g : P →ₐ[R] P'
I : Ideal R
⊢ FractionalIdeal.map g ↑I = ↑I
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a✝ b a : α
f : ι → α
⊢ a ⊓ ⨆ i, f i = ⨆ i, a ⊓ f i
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
⊢ G.Reachable u u
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
hμν : μ ≪ ν.singularPart μ + μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hνs : (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)) s = 0
⊢ μ s = 0
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.3840, u_2} T
X✝ Y✝ : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
f : X✝ ⟶ Y✝
t t' : T
g : t ⟶ t'
i : ι
⊢ (((fun C => C.asFunctor) X✝).map g ≫ (fun t => { f := fun i => (f.f i).app t, comm' := ⋯ }) t').f i = ((fun t => { f := fun i => (f.f i).app t, comm' := ⋯ }) t ≫ ((fun C => C.asFunctor) Y✝).map g).f i
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
h : ∀ (g : α), g +ᵥ ↑s = AddOpposite.op g +ᵥ ↑s
⊢ s.Normal
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ (if { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l } then { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } else { byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx - utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len m₁ }
G : Type u_3
H : Type u_4
Neg G
Neg H
p : G × H
⊢ (-p).1 = -p.1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b
⊢ ContinuousWithinAt f (Icc a b) b ↔ ContinuousWithinAt f (Iic b) b
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
hl : isGood (π C fun x => ord I x < o₁) l
hl' : eval (π C fun x => ord I x < o₂) l ∈ Submodule.span ℤ (eval (π C fun x => ord I x < o₂) '' {m | m < l})
⊢ eval (π C fun x => ord I x < o₁) l ∈ Submodule.span ℤ (eval (π C fun x => ord I x < o₁) '' {m | m < l})
α : Type u_1
Preorder α
o : Ordering
a b : α
h : o.Compares a b
⊢ o = Ordering.gt ↔ b < a
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (y + x * z)
⊢ IsCoprime x y
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a (b + p) = toIocDiv hp a b + 1
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b b' : β a
s : AList β
⊢ AList.insert a b' (AList.insert a b s) = AList.insert a b' s
α : Type u
l l' : List α
⊢ ↑(l ++ l') = (↑l).append ↑l'
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid M
f g : ι → M
s : Finset ι
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
hlt : ∃ i ∈ s, f i < g i
⊢ ∑ i ∈ s, f i < ∑ i ∈ s, g i
a b c : Prop
h : a → (b ↔ c)
⊢ a ∧ b ↔ a ∧ c
m n k : ℕ
h : k < m
hk : k < m + n := ⋯
hnk : n + k < n + m := ⋯
⊢ finAddFlip ⟨k, hk⟩ = ⟨n + k, hnk⟩
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
⊢ orderOf (LucasLehmer.ωUnit (p' + 2)) = 2 ^ (p' + 2)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
h : A ⊆ B
⊢ ∀ (a : α) (b : a ∈ A), ⟨a, b⟩ ∈ A ↓∩ B