ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : InjOn f s
x✝¹ x✝ : ↑s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
h' : imageFactorization f s ⟨x, hx⟩ = imageFactorization f s ⟨y, hy⟩
⊢ ⟨x, hx⟩ = ⟨y, hy⟩
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
enc₀ : enc default = Vector.replicate n false
x✝ : Cfg₁
v : σ
L R : ListBlank Γ
l₁ : Λ
⊢ ∀ (q : Stmt₁) (R : ListBlank Γ), Reaches (step (tr enc dec M)) (stepAux (trNormal dec q) v (trTape' enc0 L R)) (trCfg enc enc0 (stepAux q v (Tape.mk' L R)))
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0
⊢ s.indicator f =ᶠ[ae μ] f
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
U V : Set α
this : Setoid α := orbitRel G α
f : α → Quotient (orbitRel G α) := Quotient.mk'
⊢ Disjoint (f '' U) (f '' V) ↔ ∀ x ∈ U, ∀ (g : G), g • x ∉ V
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
f : α → Multiset β
g : β → Multiset γ
⊢ (s.bind f).bind g = s.bind fun a => (f a).bind g
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
h : Pell.IsFundamental a
n n' : ℤ
⊢ a ^ n ≠ -a ^ n'
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
s : ℝ
⊢ (-a).re < 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Relation.ReflTransGen (Relation.ReflTransGen r) = Relation.ReflTransGen r
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
hb : b ≠ ⊥
hab : Disjoint a b
hc : a ⊔ b = c
⊢ (insert b ↑P.parts).PairwiseDisjoint id
α : Type u
β : α → Type v
a : α
b : β a
⊢ (AList.singleton a b).keys = [a]
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
⊢ F.map₂ η.inv ≫ F.map₂ η.hom = 𝟙 (F.map g)
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : BinomialRing R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s
⊢ ∑ ij ∈ antidiagonal k, ↑(k.choose ij.1) * ((descPochhammer ℤ ij.1).smeval r * (descPochhammer ℤ ij.2).smeval s) = ∑ x ∈ antidiagonal k, k.factorial • (choose r x.1 * choose s x.2)
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ max a b = b
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
⊢ I / 1 = I
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
h : lift.{v, u} (succ a) > succ (lift.{v, u} a)
⊢ False
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
⊢ Function.Injective IsometryEquiv.toEquiv
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
⊢ (foldl (fun t h => h :: t) [] l).reverse = l
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
f : ℝ → ℝ
hf : MeasurableEmbedding f
f' : ℝ → ℝ
h_deriv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.comap f (ProbabilityTheory.gaussianReal μ v)) s =
  ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v (f x))
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 < 0
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1 - rexp (log p.1 * p.2) * sin (p.2 * π) * π) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁸ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁷ : AddGroup ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : MeasurableSingletonClass ι
inst✝¹ : SecondCountableTopology ι
inst✝ : MeasurableSub₂ ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j}
⊢ Measurable fun x => min (π x) j
a b c d m✝ n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
hₘ : ∃ m, p (m + n)
hₙ : ∃ n, p n
hn : n ≤ Nat.find hₙ
m : ℕ
hm : m < Nat.find hₘ + n
hpm : p m
⊢ Nat.find hₘ + n ≤ m
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c - d) = c • ∫ (x : ℝ) in a / c - d..b / c - d, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
f : α → β
l : List α
a m : α
⊢ a ∈ l → m ∈ List.argmax f l → ¬f m < f a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf
⊢ sheafify J G ≤ G
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
B : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} B
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F : CategoryTheory.Functor A B
J.HasSheafCompose F
G : CategoryTheory.Sheaf J A
⊢ ((CategoryTheory.sheafCompose J F).obj G).val = G.val.comp F
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ha : AddLECancellable a
h : a + c < b
⊢ c < b - a
α : Type u_2
s : Set α
f : α → ℝ≥0
a : α
⊢ ↑(s.indicator f a) = s.indicator (fun x => ↑(f x)) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
⊢ s.toList.Nodup
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊
hk : -↑k ≤ s
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
⊢ x ^ (-↑k) ≤ x ^ s
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s ∪ sᶜ = Finset.univ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h✝ e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h✝ e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
hn : μ = ↑n
h : ¬((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m = 0
this : t.HasPrimitiveVectorWith (((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m) (↑n - 2 * (↑n + 1))
⊢ False
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hp : p ≠ 0
m : ℕ := rootMultiplicity t p
g : R[X] := p /ₘ (X - C t) ^ m
mul_eq : (X - C t) ^ m * g = p
⊢ eval t g = (p.comp (X + C t)).trailingCoeff
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f✝ : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y✝ z✝ : E
f : 𝕜 → β
x y z : 𝕜
hf : ConcaveOn 𝕜 [x-[𝕜]y] f
hz : z ∈ [x-[𝕜]y]
⊢ min (f x) (f y) ≤ f z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : β → γ
g : α → β
⊢ Finsupp.mapDomain.addMonoidHom (f ∘ g) = (Finsupp.mapDomain.addMonoidHom f).comp (Finsupp.mapDomain.addMonoidHom g)
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R
⊢ Commute φ PowerSeries.X
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f : M → N
x y : M
⊢ polar f x y = polar f y x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ↑↑(MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf) =ᵐ[μ] f
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ b ∣ a ↔ a % b = 0
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
⊢ IsLeast {C | ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖₊ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖₊} ‖f‖₊
R : Type u
ι : Type v
inst✝³ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
x y : L j
i : ι
⊢ ({ toFun := ⇑(of L j), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⁅x, y⁆) i = ⁅{ toFun := ⇑(of L j), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x, { toFun := ⇑(of L j), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun y⁆ i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
H₁ : X ≅ Y
ℱ : TopCat.Presheaf C X
𝒢 : TopCat.Presheaf C Y
H₂ : (TopCat.Presheaf.pushforward C H₁.hom).obj ℱ ⟶ 𝒢
U : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (TopCat.Presheaf.toPushforwardOfIso H₁ H₂).app U =
  ℱ.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯) ≫ H₂.app (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map H₁.inv).obj (Opposite.unop U)))
α : Sort u_3
p : α → Prop
b : Prop
ha : Nonempty α
⊢ (∀ (x : α), p x) → b ↔ ∃ x, p x → b
m n : ℕ
H : ∀ (k : ℕ), Nat.Prime k → k ∣ m → k ∣ n → k ∣ 1
⊢ m.Coprime n
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Finset E
hs : s.Nonempty
⊢ Finset.centroid R s id ∈ (convexHull R) ↑s
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∃ m, x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧ |x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
α : Type u_1
E : Type u_3
TopologicalSpace α
CompactSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α →ᵇ E
⊢ ‖f.toContinuousMap‖ = ‖f‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
x y : E
⊢ ⟪T x, y⟫_𝕜 =
  (⟪T (x + y), x + y⟫_𝕜 - ⟪T (x - y), x - y⟫_𝕜 - RCLike.I * ⟪T (x + RCLike.I • y), x + RCLike.I • y⟫_𝕜 +
      RCLike.I * ⟪T (x - RCLike.I • y), x - RCLike.I • y⟫_𝕜) /
    4
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
⊢ (w.comap (algebraMap k K)).mult ≤ w.mult
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ≤ ‖x‖ * ‖y‖
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α
⊢ SurjOn (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), SurjOn (⇑(f ^ n)) s s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ n f s
⊢ ContDiffOn ℝ n (fun x => Real.cosh (f x)) s
R : Type u
CommRing R
P A : Type u
CommRing A
Algebra R A
CommRing P
Algebra R P
f : P →ₐ[R] A
hf : Function.Surjective ⇑f
Algebra.FormallySmooth R P
⊢ Algebra.FormallySmooth R A ↔ ∃ g, f.kerSquareLift.comp g = AlgHom.id R A
P : Type u_1
LE P
IsDirected P fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty P
I : Order.Ideal P
⊢ I.IsProper ↔ I ≠ ⊤
β : Type u_2
f : β → ℝ≥0∞
b : β
⊢ ∑' (x : β), f x = f b + ∑' (x : β), if x = b then 0 else f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
⊢ False
x : ℝ*
hx : ¬x.Infinite
⊢ x.IsSt x.st
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
⊢ x ∈ extremePoints 𝕜 A → IsExtreme 𝕜 A {x}
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
⊢ [DiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime, Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1, ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Module (MvPolynomial σ R) A
D₁ D₂ : Derivation R (MvPolynomial σ R) A
f : MvPolynomial σ R
h : ∀ i ∈ f.vars, D₁ (MvPolynomial.X i) = D₂ (MvPolynomial.X i)
⊢ D₁ f = D₂ f
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∀ ⦃s t : Set G⦄, (∃ V ∈ 𝓝 1, s * V ⊆ U) → (∃ V ∈ 𝓝 1, t * V ⊆ U) → ∃ V ∈ 𝓝 1, (s ∪ t) * V ⊆ U
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ 0 = 2 • (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆)
a x : ℝ
⊢ ↑(⋯.lift ↑a) = jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑x)
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
F_der_I : ∀ x ∈ Ioo 0 X, HasDerivAt (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) (-(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) x
cont : Continuous fun x => (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) x * ↑x ^ s
der_ible : IntervalIntegrable (fun x => -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) volume 0 X
int_eval : (∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + -∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1)) = -((ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s)
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)
⊢ (∫ (x : ℝ) in 0 ..X, s * ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) + (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s = (s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g✝ : β → α
g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hfg : EqOn f g s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ g (a • x + b • y) ≤ a • g x + b • g y
α : Type u_1
LE α
s : NonemptyInterval α
⊢ (NonemptyInterval.dual s).toProd.1 = OrderDual.toDual s.toProd.2
K : Type u
V : Type v
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Ring E
inst✝ : Algebra F E
hr : finrank F E = 2
i : Nontrivial E := nontrivial_of_finrank_pos (LT.lt.trans_eq zero_lt_two (Eq.symm hr))
h : ⊥ = ⊤
⊢ False
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
FiniteDimensional F E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E) (x : E), P K → P (IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
K : IntermediateField F E
⊢ P K
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
g_intble' : ∀ (t : ℝ), 0 ≤ t → IntervalIntegrable g volume 0 t
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
n : ℕ
⊢ ‖VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n‖ ≤ (2 * π * ‖L‖) ^ n * ‖v‖ ^ n * ‖f v‖
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ i.castSucc < p ∨ p ≤ i.castSucc
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}
this : ∀ (i : ι), f i + c ≤ (⨆ i, f i) + c
bdd : BddAbove (range fun x => f x + c)
hs : ⨆ i, f i < ℵ₀
⊢ (⨆ i, f i) + c ≤ ⨆ i, f i + c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
s t : Set β
hs : IsCompl s t
ha : HasProd (f ∘ Subtype.val) a
hb : HasProd (f ∘ Subtype.val) b
⊢ HasProd f (a * b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
hJ : CategoryTheory.Sheaf.Subcanonical J
X : C
⊢ (hJ.yoneda.obj X).val = CategoryTheory.yoneda.obj X
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
n : ↥N
hn : n • MulAut.conjNormal g • P = P
⊢ g ∈ (map N.subtype ↑P).normalizer ⊔ N
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ ∃ a, s.min = ↑a
α : Type u
PartialOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ ¬IsTop a ↔ a ≠ ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
ι : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommGroup N
Module R N
TopologicalSpace N
TopologicalAddGroup N
Fintype ι
DecidableEq ι
f : ContinuousMultilinearMap R (fun x => M) N
⊢ (ContinuousMultilinearMap.alternatization f).toContinuousMultilinearMap =
  ∑ σ : Equiv.Perm ι, Equiv.Perm.sign σ • ContinuousMultilinearMap.domDomCongr σ f
α : Type u
β : Type v
𝕜 : Type u_2
SMul 𝕜 β
l : Filter α
f f' : α → 𝕜
g g' : α → β
hf : f =ᶠ[l] f'
hg : g =ᶠ[l] g'
⊢ (fun x => f x • g x) =ᶠ[l] fun x => f' x • g' x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
h : p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ
⊢ ⟨p, hp⟩ -ᵥ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p) = 0
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.4583, u_3} D
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_4} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_5} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G : C₁ ⥤ D₂
G' : D₁ ⥤ D₂
inst✝¹ : Lifting L₁ W₁ G G'
F : C₂ ⥤ D₁
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝ : Lifting L₂ W₂ F F'
α : G ⋙ F' ≅ L₁
β : F ⋙ G' ≅ L₂
X : C₂
⊢ (Lifting.iso L₂ W₂ (F ⋙ G') (F' ⋙ G')).hom.app X ≫ β.hom.app X ≫ (Lifting.iso L₂ W₂ L₂ (𝟭 D₂)).inv.app X = (Lifting.iso L₂ W₂ (F ⋙ G') (F' ⋙ G')).hom.app X ≫ β.hom.app X
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
h : α → M → N
⊢ Finsupp.sum 0 h = 0
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
⊢ s - s ∩ t + s ∩ t = s - t + s ∩ t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ ↔ (CategoryTheory.ShortComplex.mk φ.τ₂ S₂.g ⋯).Exact ∧ CategoryTheory.Mono φ.τ₂
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
⊢ ∀ {a₁ b₁ a₂ b₂ : α}, Icc a₁ b₁ ∩ Icc a₂ b₂ = Icc (max a₁ a₂) (min b₁ b₂)
R : Type u_1
CommRing R
n ν : ℕ
h : n < ν
⊢ bernsteinPolynomial R n ν = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ (memberSubfamily a 𝒜).card + (nonMemberSubfamily a 𝒜).card = 𝒜.card
R : Type u
Ring R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↥(LinearMap.ker f)
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject f).arrow (ModuleCat.toKernelSubobject x) = ↑x
x : ℂ
hx : 0 ≤ x.re
⊢ x.arg = Real.arcsin (x.im / Complex.abs x)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
F : W → V → E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • f v
F' : W → V → W →L[ℝ] E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • fourierSMulRight L f v
B : V → ℝ := fun v => 2 * π * ‖L‖ * ‖v‖ * ‖f v‖
⊢ HasFDerivAt (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) w
a b k m n p a✝ : ℕ
⊢ a✝ ∈ primeFactors 1 ↔ a✝ ∈ ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set β
⊢ e.trans (PartialEquiv.ofSet s) = e.restr (↑e ⁻¹' s)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ Integrable ((Ioi c).indicator fun x => f (a * x)) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi (a * c)) volume
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L₂ M₂
LieModule R L₂ M₂
f : L ≃ₗ⁅R⁆ L₂
g : M ≃ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
⊢ LieModule.IsNilpotent R L M ↔ LieModule.IsNilpotent R L₂ M₂
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
⊢ Subsingleton (Quot r) ↔ EqvGen r = ⊤
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ 0 < p.natDegree ↔ 0 < p.degree
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : μ s = 0
ht : ν t = 0
hst : univ ⊆ s ∪ t
⊢ μ ⟂ₘ ν
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s✝ : Rel β β
s : RelSeries r
x : α
irrefl : Irreflexive r
h : s.length ≠ 0
rid : s.toFun 0 = s.toFun 1
⊢ r (s.toFun 0) (s.toFun 1)
α : Type u_2
A : Set α
S : Set (Set α)
⊢ Subtype.val ⁻¹' ⋂₀ S = ⋂₀ ((fun x => Subtype.val ⁻¹' x) '' S)
η : Type u_7
f : η → Type u_8
(i : η) → AddGroup (f i)
DecidableEq η
I : Set η
H : (i : η) → AddSubgroup (f i)
i : η
x : f i
⊢ Pi.single i x ∈ AddSubgroup.pi I H ↔ i ∈ I → x ∈ H i
α : Type u
self : PseudoMetricSpace α
x y z : α
⊢ dist x z ≤ dist x y + dist y z
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
_i : Fact (1 ≤ p)
⊢ UniformContinuous Subtype.val
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
Finite ι
i : ι
m : M
⊢ (b.dualBasis i) m = (b.repr m) i
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → G
g : α → ℝ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ g x
⊢ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ ≤ ∫ (x : α), g x ∂μ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
h : i ≠ j
⊢ (b.coord i) (b j) = 0
n : ℕ
⊢ ↑n + 1 = ↑n.succ
s : Set ℤ
h : ¬BddBelow s
⊢ sInf s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
⊢ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
f : G →* G'
⊢ f.ker.index = Nat.card ↑(Set.range ⇑f)
⊢ SetTheory.PGame.powHalf 1 + SetTheory.PGame.powHalf 1 ≈ 1
a b c d : ℕ
lr₂ : 3 * (b + c + 1 + d) ≤ 16 * a + 9
mr₁ : 2 * d ≤ b + c + 1
mm₂ : c ≤ 3 * b
⊢ c + d + 1 ≤ 3 * (a + b + 1)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1
⊢ ∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arccos (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃))
ι : Type u_1
μ : Type u_2
DecidableEq ι
AddCancelCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
i : ι
s : Finset ι
DecidableEq (ι → μ)
hi : i ∉ s
n : μ
⊢ (insert i s).piAntidiag n =
  (Finset.antidiagonal n).biUnion fun p => Finset.image (fun f j => f j + if j = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)
R : Type u_1
Ring R
s : Subring R
m : Multiset R
⊢ (∀ a ∈ m, a ∈ s) → m.sum ∈ s