ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : _root_.Embedding g
this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ
this✝³ : MeasurableSpace β := borel β
this✝² : BorelSpace β
this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ
this✝ : BorelSpace γ
H : StronglyMeasurable fun x => g (f x)
⊢ IsSeparable (range f)
X Y : Type u
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductIso X Y).inv ≫ CategoryTheory.Limits.prod.fst = Prod.fst
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f g : (a : α) → β a
a : α
b : β a
⊢ f = update f a b ↔ f a = b
a b c d m k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m / 0 = (m - m % 0) / 0
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j.castSucc
⊢ δ (i.castLT ⋯) ≫ δ j.succ = δ j ≫ δ i
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
⊢ ∃ f, (∀ (x : ↑s), f ↑x = x) ∧ Surjective f ∧ Continuous f
x y : ℝ
⊢ Real.sinh x ≤ Real.sinh y ↔ x ≤ y
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y z x✝ : R
⊢ (∃ a b, a * (x + y * z) + b * y = x✝) ↔ ∃ a b, a * x + b * y = x✝
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ : Type u_5
inst✝¹ : Group H✝
H : Type u_6
inst✝ : Group H
f : G ≃* H
sg : Subgroup G
⊢ Subgroup.map (↑f.symm) (Subgroup.map (↑f) sg) = sg
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
LieRing L
LieAlgebra R L
x : A ⊗[R] L
⊢ ⁅x, x⁆ = 0
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
One β
f : α → β
TopologicalSpace β
h : HasCompactMulSupport f
hf : Continuous f
⊢ IsCompact (Set.range f)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
IsNoetherian R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Module.Finite R M
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
⊢ o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y = o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (-(y - x)) + o.oangle (y - x) (- -y)
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
x : R
h : I ≤ J
⊢ (DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLE h).symm ((Ideal.Quotient.mk J) x) = (DoubleQuot.quotQuotMk I J) x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
n : ℕ
x✝ : 𝒜.Nonempty
t : Finset α
ht : t ⊆ ∅
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜
⊢ ∅ ∩ s = t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
SMulZeroClass 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E
⊢ EMetric.diam (c • s) ≤ ‖c‖₊ • EMetric.diam s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ 𝓝[(extChartAt I x).target] ↑(extChartAt I x) x = 𝓝[Set.range ↑I] ↑(extChartAt I x) x
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
x y : R
x✝ : A
⊢ x✝ ∈ (x * y) • (M * N) ↔ x✝ ∈ x • M * y • N
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a ≠ 0 → ∀ (n : ℕ), a ^ n ≠ 0
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
H : ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1 = 1
⊢ 0 - ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli (1, n).1 = 1 - ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
⊢ UniformSpace.toTopologicalSpace ≤ WeakDual.instTopologicalSpace
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.InnerRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ A
⊢ ∃ K ⊆ A, IsCompact K ∧ r < μ K
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → G →L[𝕜] H
u : E → G
hc : DifferentiableOn 𝕜 c s
hu : DifferentiableOn 𝕜 u s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => (c y) (u y)) s
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
i : X ≅ Y
j : Y ≅ Z
⊢ (F.mapIso (i ≪≫ j)).hom = (F.mapIso i ≪≫ F.mapIso j).hom
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
n : ℕ
⊢ (l.rotate n).formPerm = l.formPerm
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : s.Finite
⊢ s.encard = ↑s.toFinset.card
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ × ℝ → E
B : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ := fun p => LinearMap.toContinuousLinearMap ((Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ)) !![cos p.2, -p.1 * sin p.2; sin p.2, p.1 * cos p.2])
⊢ ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
y' : S
z' : ↥S⁰
hx : (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})
y : S
z : R
hz0 : z ≠ 0
yz_eq : z • y' = ↑z' * y
injRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hz0' : (algebraMap R S) z ∈ S⁰
mk_yz_eq : mk' L y' z' = mk' L y ⟨(algebraMap R S) z, hz0'⟩
⊢ (algebraMap S L) (a * y) ∈ ↑(Submodule.map (↑R (Algebra.linearMap S L)) (Submodule.span R b))
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
y : Y
⊢ Continuous fun x => y
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
C : ℝ
f✝ g : α →C₀ β
f : α →ᵇ β
hf : ClusterPt f (𝓟 (range toBCF))
⊢ f ∈ range toBCF
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x y : L
D : LieDerivation R L M
⊢ ⁅x, D⁆ y = ⁅y, D x⁆
α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : PartialFun
f : X✝ ⟶ Y✝
a : (𝟭 PartialFun).obj X✝
b : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj Y✝
⊢ (b ∈ (f a).bind fun x => Part.some ⟨some x, ⋯⟩) ↔ b ∈ (Part.some ⟨some a, ⋯⟩).bind (PFun.toSubtype (fun x => ¬x = none) (Option.elim' none fun a => (f a).toOption) ∘ Subtype.val)
z : ℂ
⊢ Complex.normSq z = 0 ↔ z = 0
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
x : G
hx₁ : x ∈ H₁
hx₂ : x ∈ H₂
n₁ : ℕ
hn₁✝ : orderOf x = p₁ ^ n₁
n₂ : ℕ
hn₂ : orderOf x = p₂ ^ n₂
this : p₁ ^ n₁ = p₂ ^ n₂
hn₁ : n₁ > 0
⊢ x = 1
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : DecidableEq α
l : AList fun _x => M
a : α
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ (lookup a l).getD 0 = x ↔ x ∈ lookup a l
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
i : Fin n
hl : i.castSucc < a
hu : b < i.succ
⊢ b < a
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
T2Space M
ContinuousAdd M
f : ℕ → M
k : ℕ
h : Summable fun n => f (n + k)
⊢ ∑ i ∈ Finset.range k, f i + ∑' (i : ℕ), f (i + k) = ∑' (i : ℕ), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
inst✝ : Subsingleton α
this : Fintype α := Fintype.ofSubsingleton a
⊢ Nat.card α = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p q : α
hcontra : p = q
hp : p ≠ 0
x : α
hx' : ¬IsUnit 1
hx'' : p * 1 = p * x
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ CliffordAlgebra.EquivEven.e0 Q * CliffordAlgebra.EquivEven.e0 Q = -1
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ T =O[Filter.atTop] AkraBazziRecurrence.asympBound g a b
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
⊢ ((latticeBasis K).repr ((mixedEmbedding K) x)) i = ↑(((integralBasis K).repr x) i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
hg₁ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ g₁ i
hg₂ : ∀ i ∈ s, 0 < g₂ i
h₁ : MonovaryOn f g₁ s
h₂ : AntivaryOn f g₂ s
⊢ MonovaryOn f (g₁ / g₂) s
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K
hf : X - C a ∣ f /ₘ (X - C a)
⊢ X - C a ∣ derivative f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
h : ∀ (p : MvPolynomial ι R), (aeval x) p ∈ (aeval Subtype.val).range
⊢ AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x)
α : Type u_1
n : ℕ
h : ↑n ≤ Cardinal.mk α
⊢ ∃ s, n ≤ s.card
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
w w' : InfinitePlace K
h : w.embedding.comp (algebraMap k K) = w'.embedding.comp (algebraMap k K) ∨ ComplexEmbedding.conjugate (w.embedding.comp (algebraMap k K)) = w'.embedding.comp (algebraMap k K)
⊢ ∃ σ, σ • w = w'
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
φ.IsExpansionOn M
n : ℕ
ψ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin n → M
⊢ (φ.onBoundedFormula ψ).Realize v xs ↔ ψ.Realize v xs
α : Type u
m n : ℕ
f : Fin (m * n) → α
i : Fin m
j : Fin n
⊢ ↑i * n + n = (↑i + 1) * n
α : Type u_1
Ring α
UniformSpace α
TopologicalRing α
UniformAddGroup α
⊢ Continuous ⇑UniformSpace.Completion.coeRingHom
α : Type u_2
CancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
⊢ ThreeGPFree (insert a s) ↔
  ThreeGPFree s ∧
    (∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b) ∧
      ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
d : (i : o) × m' i → α
k : o
i j : m' k
hij : i ≠ j
⊢ (diagonal d).blockDiag' k i j = diagonal (fun i => d ⟨k, i⟩) i j
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_4
Nonempty ι
s : ι → Set G
hs : ∀ (i : ι), IsSubgroup (s i)
directed : ∀ (i j : ι), ∃ k, s i ⊆ s k ∧ s j ⊆ s k
⊢ IsSubgroup (⋃ i, s i)
this : Set.univ = Set.Iio 0 ∪ Set.Ioi 0 ∪ {0}
⊢ Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (pure 0) (𝓝 0)
ι : Type u_1
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
Group G
DivisionMonoid H
MonoidHomClass F G H
f : F
g : ι → G
n : ℤ
⊢ ⇑f ∘ (g ^ n) = ⇑f ∘ g ^ n
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
X : (C × D)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.prodOpEquiv C).functor.obj X = (Opposite.op (Opposite.unop X).1, Opposite.op (Opposite.unop X).2)
α : Type u_1
CommGroupWithZero α
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
a : α
⊢ (a ^ m ∈ Set.range fun x => x ^ n) ↔ a ∈ Set.range fun x => x ^ n
α : Type u_6
β : Type u_7
BiheytingAlgebra α
BiheytingAlgebra β
self : BiheytingHom α β
a b : α
⊢ self.toFun (a ⇨ b) = self.toFun a ⇨ self.toFun b
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
Monoid M
ψ : AddChar B M
hψ : Function.Injective ⇑ψ
⊢ Function.Injective fun f => ψ.compAddMonoidHom f
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
LieAlgebra.IsNilpotent R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ LieAlgebra.IsNilpotent R ↥f.range
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n k : ℕ
⊢ (⇑derivative)^[k] (X ^ n) = C ↑(n.descFactorial k) * X ^ (n - k)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
l✝ : Multiset (α → M)
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ Quot.mk Setoid.r l, AEStronglyMeasurable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable (Multiset.prod (Quot.mk Setoid.r l)) μ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
P : α → Prop
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ν s < ⊤ → ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, P x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, P x
⊢ (∃ x y, 0 = x ^ 2 + y ^ 2) ↔ ∀ {q : ℕ}, Prime q → q % 4 = 3 → Even (padicValNat q 0)
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : MulPosMono α
ha : a ≤ 0
hb : 0 ≤ b
⊢ a / b ≤ 0
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ (range Real.toEReal).OrdConnected
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
p q : Z
⊢ dist x z ≤ dist (Φ q) z + dist y (Ψ q) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} A
inst✝ : Abelian A
X : SimplicialObject A
n : ℕ
j : Fin (n + 1)
x✝ : n + 1 ≤ ↑j + (n + 1)
⊢ (Finset.univ.inf fun k => kernelSubobject (X.δ k.succ)).arrow ≫ X.δ j.succ = 0
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd₁ : l₁.NodupKeys
nd₂ : l₂.NodupKeys
p : l₁ ~ l₂
b : β a
⊢ b ∈ dlookup a l₁ ↔ b ∈ dlookup a l₂
α : Type u_1
Mul α
LT α
i : CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
b c : α
bc : b < c
a : α
⊢ b * a < c * a
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f : CategoryTheory.Over X
⊢ f.iteratedSliceEquiv.counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun g =>
      CategoryTheory.Over.isoMk
        (CategoryTheory.Iso.refl ((f.iteratedSliceBackward.comp f.iteratedSliceForward).obj g).left) ⋯)
    ⋯
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
ConditionallyCompleteLinearOrder B
OrderTopology B
FiberBundle F E
a b : B
⊢ ∃ e, Set.Icc a b ⊆ e.baseSet
ι : Type u
f : ι → AlgebraicGeometry.Scheme
x : ↑↑(∐ f).toPresheafedSpace
⊢ ∃ i y, (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f i).val.base y = x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X : C
inst✝ : IsGalois X
x y : ↑(F.obj X)
φ : Aut X
h : φ • x = y
a : AutGalois F
ha : (AutGalois.π F { obj := X, pt := x, isGalois := ⋯ }) a = φ
⊢ (autMulEquivAutGalois F).symm { unop' := a } • x = y
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
⊢ SubmodulesRingBasis fun n => I ^ n • ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ
h : s.encard ≤ ↑k
⊢ s.encard < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : α ≃ β
e' : β ≃ γ
⊢ (e.trans e').toPartialEquiv.source = (e.toPartialEquiv.trans e'.toPartialEquiv).source
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f'✝ : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A : Continuous fun t => x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + x • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖x - 0‖
n : ℕ
i : Fin n.succ
⊢ ↑((finRotate n.succ) i) = if i = Fin.last n then 0 else ↑i + 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Mul Y
f g : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
hg : IsLocallyConstant g
⊢ IsLocallyConstant (f * g)
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x y z : E
h : y ∈ [x-[ℝ]z]
⊢ dist x y + dist y z = dist x z
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K
h : (minpoly K f).IsRoot μ
p : K[X]
hp : minpoly K f = (X - C μ) * p
con : LinearMap.ker (f - (algebraMap K (End K V)) μ) = ⊥
u : (V →ₗ[K] V)ˣ
hu : ↑u = f - (algebraMap K (End K V)) μ
p_ne_0 : p ≠ 0
this : (aeval f) p = 0
h_deg : (minpoly K f).degree ≤ p.degree
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
⊢ κ.densityProcess ν n a x s ≤ 1
α : Type u_1
CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ⨅ k, ⨅ (_ : k < n + 1), u k = (⨅ k, ⨅ (_ : k < n), u k) ⊓ u n
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C
⊢ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv) ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one) = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv) ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one)
G : Type u
inst✝ : Monoid G
m : ℕ
hpos : 0 < m
hm : m < exponent G
⊢ ∃ g, g ^ m ≠ 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : c ≠ 0 ∧ μ s = ⊤ ∨ c = ⊤ ∧ μ s ≠ 0
⊢ μ s = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero β
self : SMulPosStrictMono α β
b : β
hb : 0 < b
a₁ a₂ : α
ha : a₁ < a₂
⊢ a₁ • b < a₂ • b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
this : 0 ∈ C
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u ≤ f b
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ht_cover : PrimeSpectrum.basicOpen f ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
Fintype n
DecidableEq n
NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Matrix m n R
j : n
x : R
⊢ M *ᵥ Pi.single j x = fun i => M i j * x
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Flat R S
inst✝ : Flat S M
I : Ideal R
⊢ Function.Injective (⇑(TensorProduct.rid R M) ∘ ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I)))
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ Set.Ioo a b ⊆ Set.Ioc a b
P : Nat → Sort u_1
Q : (i : Nat) → P i → Prop
n : Nat
f : (i : Fin n) → P ↑i → P (↑i + 1)
i : Nat
ubnd : i ≤ n
s : P i
init : Q i s
step : ∀ (k : Fin n) (s : P ↑k), Q (↑k) s → Q (↑k + 1) (f k s)
⊢ Q n (Fin.hIterateFrom P f i ubnd s)
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
Countable ι
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.ae (MeasureTheory.Measure.sum μ) = ⨆ i, MeasureTheory.ae (μ i)
R : Type u_4
TopologicalSpace R
LinearOrderedField R
OrderTopology R
FloorRing R
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ↑⌈x⌉₊ / x) Filter.atTop (𝓝 1)
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ
⊢ (if 0 < b + 1 ∧ b + 1 ≤ a + 1 + 1 then (a + 1 + 1 - (b + 1)) / (b + 1) + 1 else 0) = (if 0 < b + 1 ∧ b + 1 ≤ a + 1 then (a + 1 - (b + 1)) / (b + 1) + 1 else 0) + if b + 1 ∣ a + 1 + 1 then 1 else 0
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : ↥R⁰
m n : R_hat R K
⊢ Algebra.toRingHom m * Algebra.toRingHom n * Algebra.toRingHom ↑↑r * ↑↑r = Algebra.toRingHom m * ↑↑r * (Algebra.toRingHom n * ↑↑r)
α : Type u_1
Zero α
LinearOrder α
Sub α
x y : α
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
⊢ ⟨x, hx⟩ - ⟨y, hy⟩ = Nonneg.toNonneg (x - y)
a : ℝ
l : Filter ℝ
f g : ℝ → ℝ
hdf : DifferentiableOn ℝ f (Set.Ioi a)
hg' : ∀ x ∈ Set.Ioi a, deriv g x ≠ 0
hftop : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
hgtop : Filter.Tendsto g Filter.atTop (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) Filter.atTop l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) Filter.atTop l
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
x : α
hx : ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty
y : α
hy : y ∈ ball x V₁
hy' : y ∈ s
⊢ x = y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (W.ΨSq n).natDegree ≤ n.natAbs ^ 2 - 1
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
⊢ ∃ f, (∀ x ∈ s, f x = x) ∧ range f = s ∧ LipschitzWith 1 f
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f g : ModularForm Γ k
h : ∀ (x : ℍ), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hts : t.card < s.card
⊢ minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
s : Finset ℕ
m : ℕ
⊢ m ∈ Nat.factoredNumbers s ↔ m ≠ 0 ∧ m.primeFactors ⊆ s
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
G : SimpleGraph V
v w : V
vK : v ∉ K
wK : w ∉ K
a : G.Adj v w
⊢ G.componentComplMk vK = G.componentComplMk wK
b n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ clog b n ≤ clog b m
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Inf α
Inf β
Inf γ
g : InfHom β γ
f : InfHom α β
⊢ InfHom.dual (g.comp f) = (InfHom.dual g).comp (InfHom.dual f)
α : Type u_2
OrderedAddCommGroup α
s : NonemptyInterval α
⊢ (-s).toProd.2 = -s.toProd.1
xs ys : Lean.Omega.IntList
⊢ xs.dot ys % ↑xs.gcd = 0
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
c : R
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c • f y) (c • f') x