ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : Ideal R
hX : X ∣ I
Y : Ideal R
hY : Y ∣ I
h : X ≤ Y
⊢ map (Ideal.Quotient.mk I) X ≤ map (Ideal.Quotient.mk I) Y
n : ℕ
f : Vector ℕ n →. ℕ
hf : Partrec' f
v : Vector ℕ n.succ
⊢ f (ofFn fun i => v.get i.succ) = f (ofFn v.tail.get)
R : Type u_3
n : Type w
Fintype n
DecidableEq n
CommRing R
Invertible 2
a : R
Q : QuadraticMap R (n → R) R
⊢ (a • Q).toMatrix' = a • Q.toMatrix'
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : n < finrank R M
⊢ ↑n < ℵ₀
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsAntisymm α r
hs : Chain r s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ a = b
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
f : C(α, β)
⊢ Filter.Tendsto F p (𝓝 f) ↔ ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
h : μ s ≠ 0
d : AddCircle T
I : ι → Set (AddCircle T) := fun j => closedBall d (T / (2 * ↑(n j)))
hd : Tendsto (fun j => μ (s ∩ I j) / μ (I j)) l (𝓝 1)
j : ι
hj : 0 < n j
this : addOrderOf (u j) = n j
huj : IsOfFinAddOrder (u j)
huj' : 1 ≤ ↑(n j)
hI₀ : μ (I j) ≠ 0
hI₁ : μ (I j) ≠ ⊤
⊢ μ (s ∩ I j) / μ (I j) = μ s / ENNReal.ofReal T
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R₁
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
f : M₂ → M₃
hf : IsCompactOperator f
g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
this : Tendsto (⇑g) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ IsCompactOperator (f ∘ ⇑g)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsClosed (Set.range f)
K : Set Y
hK : IsCompact K
⊢ IsCompact (f ⁻¹' K)
α : Type u
s : Set α
⊢ s ∉ {∅} ↔ s.Nonempty
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMul ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
⊢ ConvexOn ℝ univ ⇑p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
ih : ∀ {f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β}, 0 ≤ f₁ → 0 ≤ f₂ → 0 ≤ f₃ → 0 ≤ f₄ → (∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)) → ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, 𝒜 ⊆ u.powerset → ℬ ⊆ u.powerset → (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_6
LinearOrder ι
f : Filter α
g : Filter β
s : ι → Set α
t : ι → Set β
hf : f.HasAntitoneBasis s
hg : g.HasAntitoneBasis t
⊢ (f ×ˢ g).HasAntitoneBasis fun n => s n ×ˢ t n
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C✝ C' C'' C : VariableChange R
⊢ id.comp C = C
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module R S
inst✝¹ : IsScalarTower R S S
inst✝ : SMulCommClass R S S
x y : S
hc : Commute x y
⊢ Commute (p.smeval x) (q.smeval y)
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
hT : ∀ t ∈ T, R1Space X
⊢ R1Space X
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S₁ : Subalgebra R A
S₂ : Subalgebra R Aᵐᵒᵖ
⊢ S₁.op ≤ S₂ ↔ S₁ ≤ S₂.unop
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
⊢ Irreducible p ↔ Irreducible (map (algebraMap R K) p)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x : P
⊢ affineSegment R x x = {x}
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s : Finset α
t : Finset β
⊢ 0 ≤ Rel.edgeDensity r s t
b x : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hx' : x < 1
⊢ 0 < Real.logb b x
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s₁ s₂ : Stream' α
⊢ (s₁ ⋈ s₂).get (2 * n).succ.succ = s₁.get n.succ
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
H : Subgroup G
inst✝³ : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝² : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
⊢ ∀ (c : ℕ), Group.nilpotencyClass ((i : η) → Gs i) ≤ c ↔ (Finset.univ.sup fun i => Group.nilpotencyClass (Gs i)) ≤ c
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
c : C
⊢ G.map (adj₁.unit.app c) ≫ ((mateEquiv adj₁ adj₂).toFun ((mateEquiv adj₁ adj₂).invFun α)).app (L₁.obj c) = adj₂.unit.app (G.obj ((𝟭 C).obj c)) ≫ R₂.map (((mateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app ((𝟭 C).obj c))
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ f.fpowerSeries x 0 = ContinuousMultilinearMap.curry0 𝕜 E (f x)
x✝ y x : ℝ
⊢ 0 < x + √(1 + x ^ 2)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : Products I
⊢ Products.isGood C l ↔ Products.isGood (π C fun x => ord I x < o) l ∨ Products.isGood C l ∧ term I ho ∈ ↑l
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c = Composition.ones n ↔ n ≤ c.length
α : Type u
l : List α
n : ℕ
hn : n < l.reverse.length
hn' : l.length - 1 - n < l.length
⊢ l.reverse.nthLe n hn = l.nthLe (l.length - 1 - n) hn'
α : Type u
l l' : List α
⊢ l.reverse ~r l' ↔ l ~r l'.reverse
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α →ₘ[μ] β
h : ↑f =ᵐ[μ] ↑g
⊢ f = g
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm α
hd : c.Disjoint g'
hc : c.IsCycle
hn2 : Fintype.card α < c.support.card + 2
hng : c.support.card ∈ (c * g').cycleType
⊢ g' = 1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a : α
h : 0 < a
b c d : α
⊢ (fun x => x + b) '' ((fun x => a * x) '' Icc c d) = Icc (a * c + b) (a * d + b)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))
⊢ discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ (φ (↑p ^ (k + 1)) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
F : CategoryTheory.SingleObj ↑G ⥤ V
⊢ (Action.FunctorCategoryEquivalence.inverse.obj F).V = F.obj PUnit.unit
a : ℝ≥0∞
⊢ a⁻¹.toReal = a.toReal⁻¹
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G : A ⥤ D
H : B ⥤ E
K : C ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : D ⥤ E
R₂ : E ⥤ D
L₃ : B ⥤ C
R₃ : C ⥤ B
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : H ⋙ L₄ ⟶ L₃ ⋙ K
c : C
⊢ adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (L₁.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (L₃.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c))) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ ((R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (H.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c)))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (R₃.obj c)))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c)))
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
NonnegSpectrumClass R A
a : A
ha : p a
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
⊢ 0 ≤ (cfcₙHom ha) f ↔ 0 ≤ f
C : Type v₁
CategoryTheory.SmallCategory C
D : Type v₁
CategoryTheory.SmallCategory D
G : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
CategoryTheory.ConcreteCategory A
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget A)
CategoryTheory.Limits.HasColimits A
CategoryTheory.Limits.HasLimits A
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget A)
(CategoryTheory.forget A).ReflectsIsomorphisms
X : CategoryTheory.Sheaf J A
⊢ (G.sheafPullback A J K).obj X = (CategoryTheory.presheafToSheaf K A).obj (G.op.lan.obj X.val)
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝⁴ : GroupWithZero G₀
inst✝³ : TopologicalSpace G₀
inst✝² : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝¹ : ContinuousMul G₀
f✝ g✝ : α → G₀
inst✝ : T1Space G₀
f g : α → G₀
l : Filter α
x y : G₀
hg : Tendsto g l (𝓝 y)
hy : y ≠ 0
⊢ Tendsto (fun n => f n * g n) l (𝓝 (x * y)) ↔ Tendsto f l (𝓝 x)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
⊢ closedBall x ε \ ball x ε = sphere x ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
s : Set E
hf : DiffContOnCl 𝕜 f s
hg : DiffContOnCl 𝕜 g s
⊢ DiffContOnCl 𝕜 (f - g) s
α : Type u_1
CompleteLattice α
a : α
⊢ UpperSet.icisSupHom a = UpperSet.Ici a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I I' : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
hI' : I' ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
a : R
J : Ideal R
ha : a ≠ 0
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
ha_ne_zero : Associates.mk (Ideal.span {a}) ≠ 0
hJ_ne_zero : Associates.mk J ≠ 0
a' : R
J' : Ideal R
ha' : a' ≠ 0
haJ' : I' = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a')⁻¹ * ↑J'
ha'_ne_zero : Associates.mk (Ideal.span {a'}) ≠ 0
hJ'_ne_zero : Associates.mk J' ≠ 0
h_prod : I * I' = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) (a * a'))⁻¹ * ↑(J * J')
⊢ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors + (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J').factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors + (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a'})).factors) = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors) + (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J').factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a'})).factors))
α : Type u_1
One α
⊢ toLex 1 = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
h : HasFDerivAtFilter f f' x L
⊢ (fun x' => f x' - f x) =O[L] fun x' => x' - x
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : IsEmpty ι
f : M ≃ₗ[R] M
g : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hg : g ≠ 0
i : ι → M
⊢ (fun i_1 => ↑f.symm (i i_1)) = i
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ μ {x | ε ≤ ↑‖↑↑f x‖₊} ≤ ε⁻¹ ^ p.toReal * ENNReal.ofReal ‖f‖ ^ p.toReal
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hG : IsPGroup p G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
ϕ : H →* G
hϕ : Function.Injective ⇑ϕ
⊢ ∀ (g : H), ∃ k, ϕ g ^ p ^ k = 1
α : Type u_1
CompleteLattice α
c : ClosureOperator α
S : Set α
H : ∀ x ∈ S, c.IsClosed x
⊢ c.IsClosed (sInf S)
ι : Type u_2
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
W : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} W
CategoryTheory.Preadditive W
c : ComplexShape ι
F G H : V ⥤ W
F.Additive
G.Additive
H.Additive
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
⊢ CategoryTheory.NatTrans.mapHomotopyCategory (α ≫ β) c =
  CategoryTheory.NatTrans.mapHomotopyCategory α c ≫ CategoryTheory.NatTrans.mapHomotopyCategory β c
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
hε' : 0 < ε / 3
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ = 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ = 1 → ε / 3 ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => x
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosedIn A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
y : A
⊢ IsIntegral R ((algebraMap A B) y)
f : ℕ → ℝ
hfa : Monotone f
hf0 : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
⊢ ((sheafifyComposeIso J U ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).symm ≪≫ (presheafToSheaf J B ⋙ sheafToPresheaf J B).mapIso (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U)).hom ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val = ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Sort x
γ : Type u_1
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β
g : β → γ
hf : BddBelow (range f)
hg : Monotone g
⊢ BddBelow (range (g ∘ f))
x y : Bool
⊢ x < y ↔ x ≤ y ∧ ¬y ≤ x
a b k✝ m n✝ p n k : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (n ^ (k + 1)).primeFactors = n.primeFactors
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
⊢ Function.Surjective ⇑(IsLocalization.toInvSubmonoid M S)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ (QInfty ≫ PInfty).f n = HomologicalComplex.Hom.f 0 n
D : GlueData
i : D.J
U : Opens ↑(D.U i)
⊢ ∀ (i_1 : D.J), IsOpen (⇑(D.ι i_1) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' ↑U))
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
x : M₁ ⊗[R] M₂
⊢ (Q₂.tmul Q₁) ((TensorProduct.comm R M₁ M₂) x) = (Q₁.tmul Q₂) x
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ G.Reachable u v ↔ G.Reachable v u
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc a b) x
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab' : a < b
g : ℝ → ℝ := fun x => f x - m * x
hg : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt g (f' x - m) (Icc a b) x
c : ℝ
cmem : c ∈ Icc a b
hc : IsMinOn g (Icc a b) c
cmem' : c ∈ Ioo a b
⊢ m ∈ f' '' Ioo a b
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
hn : ¬G.Adj s t
e : Sym2 V
⊢ e ∈ (G.replaceVertex s t).edgeSet ↔ e ∈ G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
ι : Type v
hι : Infinite ι
ιK : Type (max u v)
bK : Basis ιK K (ι → K)
e : ℕ ↪ ι
this : lift.{v, u} (Module.rank K (ℕ → K)) ≤ Module.rank K (ι → K)
⊢ Module.rank K (ι → K) = #(ι → K)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ re ⟪x + y, x + y⟫_𝕜 = re ⟪x, x⟫_𝕜 + 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + re ⟪y, y⟫_𝕜
ι : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
UniformSpace α
F : ι → X → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
ℱ : Filter ι
f : X → α
⊢ Filter.Tendsto (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ℱ (𝓝 ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f)) ↔
  Filter.Tendsto ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F) ℱ (𝓝 ((⋃₀ 𝔖).restrict f))
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
h : a ≤ b
δ : α
hδ : 0 ≤ δ
t : ↑(Set.Icc a b)
n : ℕ
ht : t ∈ Set.Icc (Set.Icc.addNSMul h δ n) (Set.Icc.addNSMul h δ (n + 1))
⊢ |↑t - ↑(Set.Icc.addNSMul h δ n)| ≤ δ
G : Type u_1
DivisionMonoid G
a b : G
h : Commute a b
n : ℤ
⊢ (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)
hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x
this : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, v k < v l
N : ℕ → ℕ
hN : ∀ (k : ℕ), k < N k
hvN : ∀ (k : ℕ), v k < v (N k)
x✝ : ℕ
⊢ N^[x✝] 0 < N^[x✝ + 1] 0
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : i ⟶ j
h : ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))
j' : J
f' : j' ⟶ j
k : J
g : k ⟶ i
g' : k ⟶ j'
he : g ≫ f = g' ≫ f'
⊢ range (F.map g' ≫ F.map f') ⊆ range (F.map f')
ι : Type uι
inst✝¹⁰ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
u v : E i →L[𝕜] E' i
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ (mapL (update f i (u + v))) x = (mapL (update f i u) + mapL (update f i v)) x
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
⊢ ↑(DirectSum.toSemiring f hone hmul) = DirectSum.toAddMonoid f
F : Type u → Type v
Applicative F
G : Type u → Type w
Applicative G
η η' : ApplicativeTransformation F G
h : ∀ (α : Type u) (x : F α), (fun {α} => η.app α) x = (fun {α} => η'.app α) x
⊢ η = η'
α : Type u_2
OrderedCommMonoid α
s t : Multiset α
h : Multiset.Rel (fun x x_1 => x ≤ x_1) s t
⊢ s.prod ≤ t.prod
E : Type u_6
NormedAddGroup E
⊢ Filter.Tendsto norm (𝓝[≠] 0) (𝓝[>] 0)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
⊢ Function.Surjective ⇑((forget₂ C Ab).map S.g)
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : (μ.trim hm) s = 0
⊢ μ (MeasureTheory.toMeasurable (μ.trim hm) s) = 0
α : Type u_1
t : Ordnode α
⊢ t.eraseMax.dual = t.dual.eraseMin
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : G →L[𝕜] E
f : E → F
hf : ContDiff 𝕜 n f
x : G
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f ∘ ⇑g) univ x = (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ (g x)).compContinuousLinearMap fun x => g
β : Type u_3
l : List (Equiv.Perm β)
h1 : ∀ f ∈ l, f.IsCycle
h2 : List.Pairwise Equiv.Perm.Disjoint l
⊢ l.Nodup
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ (fun x => rexp (-b * x ^ 2)) =o[Filter.atTop] fun x => rexp (-x)
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Type u_3
Φ : MvPolynomial idx ℤ
f : idx → σ
n : ℕ
⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p ((rename f) Φ) n) = (map (Int.castRingHom ℚ)) ((rename (Prod.map f id)) (wittStructureInt p Φ n))
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ
⊢ ⨅ i, ↑(f i) = 0 ↔ ∃ i, f i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
b : β
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 b, ∃ c, Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 c)
φ : β → γ := di.extend f
this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot
⊢ ContinuousAt φ b
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : (Matrix m m R)ˣ
N : Matrix m m R
⊢ (↑M * N * ↑M⁻¹).det = N.det
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν✝
inst✝ : SFinite μ
ν : Measure β
⊢ (bind 0 fun x => map (Prod.mk x) ν) = 0
n : ℕ
⊢ (antidiagonal (n + 1)).val = (cons (n + 1, 0) (map ((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) (antidiagonal n)) ⋯).val
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₀ f₁ : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
⊢ HasDerivAt f₀ f' x ↔ HasDerivAt f₁ f' x
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))