ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
e : Perm α
⊢ Perm.sign (optionCongr e) = Perm.sign e
x : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ x ≤ sin x
S : Type v
T : Type w
CommRing T
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
NoZeroSMulDivisors T S
a : T
ha : a ≠ 0
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.monomial n) a).aroots S = n • {0}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.GlueData C
i j : self.J
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion (self.f i j)
R : Type u
Ring R
X : ModuleCat R
⊢ ModuleCat.of R ↑X = X
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
⊢ G.IsNClique n ∅ ↔ n = 0
G : Type u_1
Group G
H K L : Subgroup G
hHK : H ≤ K
hKL : K ≤ L
⊢ H.relindex K * K.relindex L = H.relindex L
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
hab : a ≤ b
hb : b ≠ 0
hcd : c < d
hd : d ≠ 0
ha : ¬a = 0
hc : c = 0
⊢ b * d ≠ 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
⊢ LiftRel R s t.think ↔ LiftRel R s t
x : ℝ≥0∞
⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ 0) x
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
h : f a = f (a + p)
⊢ AddCircle.liftIco p a f = Quot.lift ((Set.Icc a (a + p)).restrict f) ⋯ ∘ ⇑(AddCircle.equivIccQuot p a)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → NNReal
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑((f * g) a) ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), ↑(f a) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑(g a) ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
V : Type u
inst✝² : Quiver V
V' : Type u'
inst✝¹ : Quiver V'
V'' : Type u''
inst✝ : Quiver V''
φ : V ⥤q V'
φ' : V' ⥤q V''
⊢ of V ⋙q (lift (φ ⋙q of V') ⋙ lift (φ' ⋙q of V'')).toPrefunctor = φ ⋙q φ' ⋙q of V''
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
fg : ((Y : C) × { f // R f }) × (Z : C) × { g // R g }
a✝ : P.obj (op X)
⊢ (((Pi.lift fun f => P.map (↑f.snd).op) ≫ Pi.lift fun fg => Pi.π (fun f => P.obj (op f.fst)) fg.1 ≫ P.map (pullback.fst ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) ≫ Pi.π (fun fg => P.obj (op (Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd))) fg) a✝ = (((Pi.lift fun f => P.map (↑f.snd).op) ≫ Pi.lift fun fg => Pi.π (fun f => P.obj (op f.fst)) fg.2 ≫ P.map (pullback.snd ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) ≫ Pi.π (fun fg => P.obj (op (Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd))) fg) a✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
hIJ : I ≤ J
r : S
p : R[X]
p_ne_zero : Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p ≠ 0
hpI : eval₂ f r p ∈ I
hrJ : r ∈ ↑J
hrI : r ∉ ↑I
rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0
⊢ ∃ i, p.coeff i ∈ ↑(comap f J) \ ↑(comap f I)
R : Type u
CommRing R
X Y : QuadraticModuleCat R
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (QuadraticModuleCat R) (ModuleCat R)).map f = f.toIsometry.toLinearMap
α : Type u_1
a : Lists α
l₁ l₂ : Lists' α true
⊢ Lists'.cons a l₁ ⊆ l₂ ↔ a ∈ l₂ ∧ l₁ ⊆ l₂
α : Type u_1
c₀ : Batteries.RBColor
n₀ : Nat
c : Batteries.RBColor
n : Nat
path : Batteries.RBNode.Path α
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.Path.Balanced c₀ n₀ path c n → t.Balanced c n → (path.fill t).Balanced c₀ n₀
R : Type u_1
n : Type u_5
Fintype n
DecidableEq n
CommRing R
p : n → Prop
DecidablePred p
A₁ : Matrix n { i // p i } R
A₂ : Matrix n { i // ¬p i } R
B₁ : Matrix { i // p i } n R
B₂ : Matrix { i // ¬p i } n R
⊢ A₁.fromColumns A₂ * B₁.fromRows B₂ = 1 ↔ B₁.fromRows B₂ * A₁.fromColumns A₂ = 1
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
DecidablePred fun x => c ≤ x
hac : a ≤ c
⊢ Finset.filter (fun x => c ≤ x) (Finset.Ico a b) = Finset.Ico c b
M : Type u_2
Mul M
Pow M ℕ+
self : PNatPowAssoc M
x : M
⊢ x ^ 1 = x
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝⁵ : SMul R M
inst✝⁴ : SMul R S
inst✝³ : SMul S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : IsScalarTower R R M
ab : IsSMulRegular M (a • b)
⊢ IsSMulRegular M b
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ ∃ W ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, Metric.ball 0 √r • W ⊆ U
f : ℕ → ℝ
c : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
⊢ ∑' (n : ℕ), f n ≤ c
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_9
AddCommMonoid N
Module R N
Fintype ι'
Finite κ
Fintype ι
DecidableEq ι
DecidableEq ι'
b₁ : Basis ι R M
b₂ : Basis ι' R M
b₃ : Basis κ R N
A : Matrix κ ι R
⊢ A * b₁.toMatrix ⇑b₂ = (LinearMap.toMatrix b₂ b₃) ((Matrix.toLin b₁ b₃) A)
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTotal α r
IsTrans α r
IsAntisymm α r
l : List α
⊢ List.Sorted r l → List.mergeSort r l = l
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ Metric.closedBall 0 (1 - D)
⊢ ExistsContDiffBumpBase.y D x = 1
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
WfDvdMonoid α
⊢ WellFounded fun x x_1 => x < x_1
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b
X : Type u := FreeGroup (WeaklyConnectedComponent (Generators G))
f : G → X := fun g => FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk g)
F : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X := differenceFunctor f
a✝ b✝ : Generators G
e✝ : a✝ ⟶ b✝
⊢ f b✝ = f (let_fun this := a✝; this)
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝ : DecidableEq M₁
f : M₁ →ₗ[R] M₁
k i : n
⊢ (toMatrixAlgEquiv v₁.reindexRange) f ⟨v₁ k, ⋯⟩ ⟨v₁ i, ⋯⟩ = (toMatrixAlgEquiv v₁) f k i
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set R
p : R[X]
⊢ ↑(toContinuousMapOnAlgHom s) p ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f_lim p μ ≤ Filter.liminf (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n) p μ) Filter.atTop
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R
⊢ Nat.factorial 0 • multichoose r 0 = Nat.factorial 0 • r ^ 0
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
m s : σ →₀ ℕ
r : R
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.coeff (m + s) (p * (MvPolynomial.monomial s) r) = MvPolynomial.coeff m p * r
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
S : Finset Λ
q₁ q₂ : Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
h : q₁ ∈ Turing.TM2.stmts₁ q₂
hs : Turing.TM2.SupportsStmt S q₂
⊢ Turing.TM2.SupportsStmt S q₁
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
T : Set α
hT' : T = Set.iUnion S
u : ↑T → ↑T
ui : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i)
hui : ∀ (i : ι) (x : ↑(S i)), u (Set.inclusion ⋯ x) = Set.inclusion ⋯ (ui i x)
uβ : β → β
h : ∀ (i : ι) (x : ↑(S i)), f i (ui i x) = uβ (f i x)
x : ↑T
⊢ Set.iUnionLift S f hf T ⋯ (u x) = uβ (Set.iUnionLift S f hf T ⋯ x)
R : Type u_1
SeminormedAddCommGroup R
⊢ LipschitzWith 2 fun p => p.1 - p.2
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
InnerProductSpaceable E
r : ℕ
⊢ InnerProductSpaceable.innerProp' E ↑r
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : Submodule 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 ↥p
⊢ p.ClosedComplemented
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
S : PointedCone ℝ E
y : E
⊢ y ∈ S.dual ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ S → 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
⊢ 𝒜 ⊆ MeasureTheory.generateSetAlgebra 𝒜
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
x : M
⊢ ((fun F => F.toLinearMap ∘ₗ { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) ((⇑(RingQuot.liftAlgHom R) ∘ fun f => ⟨(FreeAlgebra.lift R) ⇑f, ⋯⟩) f)) x = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
t : Set β
x : α
⊢ x ∈ (PFun.res f s).core t ↔ x ∈ s → f x ∈ t
G : Type u_1
CommGroup G
Group.FG G
⊢ Nat.card G ∣ Monoid.exponent G ^ Group.rank G
m n : ℕ
⊢ m * m = n * n ↔ m = n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
⊢ (b.reindex e) i' = b (e.symm i')
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
a b : E
⊢ dist (a + b) a = ‖b‖
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n m : ℕ
hn : IsPrimePow n
hm : m ∣ n
hm₁ : m ≠ 1
⊢ IsPrimePow m
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b c a : α
⊢ a / b ≤ a / c ↔ c ≤ b
α : Type u_1
ι : Sort u_5
InfSet α
f : ι → ULift.{v, u_1} α
⊢ (⨅ i, f i).down = ⨅ i, (f i).down
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H
⊢ Filter.map (↑I.symm) (𝓝[Set.range ↑I] ↑I x) = 𝓝 x
α : Type u_1
LinearOrderedField α
⊢ Archimedean α ↔ ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
α : Type u_1
a : α
⊢ {a}.sym2 = {Sym2.diag a}
x y : ℤ
⊢ (GaussianInt.toComplex { re := x, im := y }).im = ↑y
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ
⊢ MeasureTheory.Martingale (fun i => μ[f|↑ℱ i]) ℱ μ
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF
⊢ (e₁.oadd n₁ a₁ - e₂.oadd n₂ a₂).repr = (e₁.oadd n₁ a₁).repr - (e₂.oadd n₂ a₂).repr
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
⊢ (N₂Γ₂.inv.app (N₂.obj P) ≫ N₂.map (Γ₂N₂.natTrans.app P)).f.f n = (𝟙 (N₂.obj P)).f.f n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hfδ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
n : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ s.indicator (g n) =ᶠ[ae μ] s.indicator (f n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
x y : E
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪T x, y⟫_𝕜 = ⟪T y, x⟫_𝕜
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
v w : V
⊢ s(v, w) ∈ G'.edgeSet ↔ G'.Adj v w
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
A : Set G
⊢ (Measure.map (fun h => g * h) μ) A = μ A
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
c : F
e y✝ : E
x✝ : y✝ ∈ EMetric.ball 0 ⊤
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ((constFormalMultilinearSeries 𝕜 E c n) fun x => y✝) = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
⊢ (p.dropUntil u h).edges ⊆ p.edges
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂
inst✝² : Category.{?u.51659, u_4} H
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
inst✝ : Φ.HasRightResolutions
X₂ : D₂
this : L₂.EssSurj
⊢ X₂ ∈ (Φ.functor ⋙ L₂).essImage
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s : Finset β
h : Fintype.card α ≤ Fintype.card { x // x ∈ s }
⊢ ∃ f, Set.range ⇑f ⊆ ↑s
ι : Type u_2
Fintype ι
y : ι → ℝ
⊢ AntitoneOn (fun x => dist x y) (Set.Iic y)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
h : IsUnit z
⊢ ‖z‖ = 1
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
Fintype n
M : Matrix n n R
hM : ∀ (t : Matrix.TransvectionStruct n R), Commute t.toMatrix M
⊢ M ∈ Set.range ⇑(Matrix.scalar n)
α : Type u_1
Subsingleton α
f : α → α
s : Set α
⊢ Set.BijOn f s s
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
Pow R ℕ
NatPowAssoc R
BinomialRing R
k : ℕ
⊢ Ring.multichoose 1 k = 1
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
h : n < ⌊a⌋₊
⊢ ↑n < a
M : Type u_1
MulOneClass M
ι : Sort u_4
Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(⨆ i, S i) = ⋃ i, ↑(S i)
R : Type u_2
A : Type u_3
Add A
Mul A
SMul R A
Star A
⊢ StarAlgEquiv.refl.symm = StarAlgEquiv.refl
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
f : Filter X
x : X
f.NeBot
h : f ≤ 𝓝 x
⊢ lim f = x
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
AddGroupWithOne G
AddGroupWithOne H
AddConstMapClass F G H 1 1
f : F
x : G
n : ℤ
⊢ f (x + ↑n) = f x + ↑n
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
hr' : 0 ≤ r
z : ℂ
cts : ContinuousOn (⇑abs ∘ circleTransformBoundingFunction R z) (closedBall z r ×ˢ univ)
comp : IsCompact (closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])
none : (closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]]).Nonempty
⊢ ∃ x, ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ b ⇔ a ⇔ a = b
⊢ ∀ {α : Type u_1} {t : Batteries.RBNode α} {c : Batteries.RBColor} {n : Nat},
  t.Balanced c n → ∃ n', t.setBlack.Balanced Batteries.RBColor.black n'
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
this : Fact (m ≤ m0)
h_mem : indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c ∈ lpMeas E 𝕜 m 2 μ
ind : ↥(lpMeas E 𝕜 m 2 μ) := ⟨indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c, h_mem⟩
h_coe_ind : ↑ind = indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c
h_orth_mem : (orthogonalProjection (lpMeas E 𝕜 m 2 μ)) ↑ind = ind
⊢ ↑((orthogonalProjection (lpMeas E 𝕜 m 2 μ)) (indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c)) = indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] g i
⊢ ⋃ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] ⋃ i ∈ s, g i
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
MetricSpace β
f : α → β
h : Embedding f
⊢ Isometry f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ ⦃x y : E⦄, ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ‖x + y‖ ≠ 2
x y : E
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hne : x ≠ y
⊢ ‖(1 / 2) • x + (1 / 2) • y‖ ≠ 1
n k : ℕ
⊢ n ≤ k → n ≠ k → n ≤ k
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
m : ι → M
i : ι
h : m i = 0
⊢ f m = 0
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
⊢ iterateFrobeniusEquiv R p 1 = frobeniusEquiv R p
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
⊢ MeasureTheory.Memℒp f 0 μ ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
toEmbedding✝¹ : M ↪ N
map_fun'✝¹ : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n) (x : Fin n → M), toEmbedding✝¹.toFun (funMap f x) = funMap f (toEmbedding✝¹.toFun ∘ x)
map_rel'✝¹ : ∀ {n : ℕ} (r : L.Relations n) (x : Fin n → M), RelMap r (toEmbedding✝¹.toFun ∘ x) ↔ RelMap r x
toEmbedding✝ : M ↪ N
map_fun'✝ : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n) (x : Fin n → M), toEmbedding✝.toFun (funMap f x) = funMap f (toEmbedding✝.toFun ∘ x)
map_rel'✝ : ∀ {n : ℕ} (r : L.Relations n) (x : Fin n → M), RelMap r (toEmbedding✝.toFun ∘ x) ↔ RelMap r x
h : ⇑{ toEmbedding := toEmbedding✝¹, map_fun' := map_fun'✝¹, map_rel' := map_rel'✝¹ } = ⇑{ toEmbedding := toEmbedding✝, map_fun' := map_fun'✝, map_rel' := map_rel'✝ }
x : M
⊢ toEmbedding✝¹ x = toEmbedding✝ x
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
a b : ℤ√d
this : (↑a.re + ↑a.im * ↑r) * (↑b.re + ↑b.im * ↑r) = ↑a.re * ↑b.re + (↑a.re * ↑b.im + ↑a.im * ↑b.re) * ↑r + ↑a.im * ↑b.im * (↑r * ↑r)
⊢ { toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯ }.toFun (a * b) = { toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯ }.toFun a * { toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯ }.toFun b
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
⊢ PadicInt.limNthHom f_compat (r + s) = PadicInt.limNthHom f_compat r + PadicInt.limNthHom f_compat s
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I✝ X R✝ J I E R : Set α
⊢ uniqueBaseOn I E ↾ R = uniqueBaseOn (I ∩ R ∩ E) R
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s₁ s₂ s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
h₁ : IndepSets s₁ s' κ μ
h₂ : IndepSets s₂ s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ s₁ ∪ s₂
ht2 : t2 ∈ s'
ht1₁ : t1 ∈ s₁
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
he : ¬e.IsPrimitive
hχ : gaussSum χ e ≠ 0
d : ℕ
hd₁ : d ∣ N
hd₂ : d < N
hed : e.mulShift ↑d = 1
this : χ.conductor ≤ d
⊢ ¬χ.IsPrimitive
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
⊢ cos (arccos x) = x
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in residual ℝ, x ∈ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
⊢ W.Nonsingular x y ↔ (WeierstrassCurve.variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.Nonsingular 0 0
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
self : StarRing R
r s : R
⊢ star (r + s) = star r + star s
R : Type u_2
M₁ : Type u_4
N : Type u_8
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid N
Module R M₁
Module R N
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M₁ N
h : Q₁ = Q₂
a : M₁
⊢ (QuadraticMap.Isometry.ofEq h) a = a
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
x : G
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddCommGroup G
μ.IsAddLeftInvariant
μ.IsNegInvariant
MeasurableNeg G
MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
⊢ MeasureTheory.convolution f g L μ (-x) = MeasureTheory.convolution f g L μ x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
ha : ⊥ ∈ s
⊢ id ⊥ ≤ (s.erase ⊥).sup id
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a⁻¹
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Sub G
x : G
h : MeasureTheory.ConvolutionExistsAt f g x L μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun t => (L (f t)) (g (x - t))) μ
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.IsConnected J
j₁ j₂ : J
⊢ ∃ l, List.Chain CategoryTheory.Zag j₁ l ∧ (j₁ :: l).getLast ⋯ = j₂
X Y : MonCat
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget MonCat).map f = ⇑f
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b
⊢ a / b < (a / b).succ
G : Type u_1
Add G
IsRightCancelAdd G
a b c : G
⊢ a + b = c + b → a = c
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ Function.Injective NonUnitalSubring.toAddSubgroup
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ S₁.rightHomologyIso.hom ≫ homologyMap φ = rightHomologyMap φ ≫ S₂.rightHomologyIso.hom
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
x : ℕ
⊢ x ≤ ⌈↑x⌉₊
α : Type u_1
⊢ ↑Sym.nil = 0
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : Continuous f
x t : G
s : Set G
hx : x ∈ s
⊢ ‖(L (f (x - t))) (g t)‖ ≤ (-tsupport f + s).indicator (fun t => (‖L‖ * ⨆ i, ‖f i‖) * ‖g t‖) t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
g : γ → α
h_eq : ∀ (u : Finset γ), ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∑ x ∈ u', g x = ∑ b ∈ v', f b
hf : HasSum g a
⊢ HasSum f a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : ↥(Lp G' 1 μ)
hfg : 0 ≤ g - f
⊢ 0 ≤ (setToL1 hT) (g - f)
T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
x : ℝ
this : Bijective (codRestrict (fun n => n • T) ↑(zmultiples T) ⋯)
⊢ ∃! g, g +ᵥ x ∈ Ioc t (t + T)
α : Type u_2
DecidableEq α
x y : α
⊢ (MulAction.fixedBy α (Equiv.swap x y))ᶜ.Finite
α : Type u
DivisionMonoid α
a b : α
h : IsUnit b
⊢ b / (a * b) = 1 / a
ι : Type u_6
α : Type u_8
Fintype ι
AddCommMonoid α
p : ι → Prop
DecidablePred p
h : ∀ (i j : ι), p i → p j → i = j
a : α
⊢ (∑ i : ι, if p i then a else 0) = if ∃ i, p i then a else 0