ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x : α
s : Set G
hs : s ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v / w ∈ s
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J
⊢ (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j) ≫ (limit.π X j ⊗ 𝟙 ((Y ⊗ Z).obj j))
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₄
D₂ : Type u₅
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D₁
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} D₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₁.IsLocalization W₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₂.IsLocalization W₂
G : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
CategoryTheory.CatCommSq Φ.functor L₁ L₂ G
D₁' : Type u₄'
D₂' : Type u₅'
CategoryTheory.Category.{v₄', u₄'} D₁'
CategoryTheory.Category.{v₅', u₅'} D₂'
L₁' : CategoryTheory.Functor C₁ D₁'
L₂' : CategoryTheory.Functor C₂ D₂'
L₁'.IsLocalization W₁
L₂'.IsLocalization W₂
G' : CategoryTheory.Functor D₁' D₂'
CategoryTheory.CatCommSq Φ.functor L₁' L₂' G'
⊢ G.IsEquivalence ↔ G'.IsEquivalence
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hμν : levyProkhorovEDist μ ν < ENNReal.ofReal ε
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] ⇑f
key : (fun t => (μ {a | t ≤ f a}).toReal) ≤ fun t => (ν (thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal + ε
intble₁ : IntegrableOn (fun t => (μ {a | t ≤ f a}).toReal) (Ioc 0 ‖f‖) volume
intble₂ : IntegrableOn (fun t => (ν (thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal) (Ioc 0 ‖f‖) volume
⊢ IntegrableOn (fun t => (μ {a | t ≤ f a}).toReal) (Ioc 0 ‖f‖) volume
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α × β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry (Function.curry f))
⊢ StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f (x, y) ∂κ x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
⊢ (P.tensorBimod (Bimod.regular S)).actRight ≫ Bimod.RightUnitorBimod.hom P =
  Bimod.RightUnitorBimod.hom P ▷ S.X ≫ P.actRight
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a₁ a₂ b₁ b₂ : X
γ : Path a₂ b₂
ha : a₁ = a₂
hb : b₁ = b₂
⊢ (γ.cast ha hb).symm = γ.symm.cast hb ha
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
g f✝ : Perm α
⊢ fun {g} => ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}
x y : ℝ
a b : CauSeq ℚ abs
⊢ { cauchy := ⟦a ⊓ b⟧ } = Real.inf { cauchy := ⟦a⟧ } { cauchy := ⟦b⟧ }
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
k : ℕ
a₁ a₂ : A
p₁ p₂ : R[X]
⊢ a₁ * a₂ * (algebraMap R A) ((p₁ * p₂).coeff k) =
  ∑ x ∈ Finset.antidiagonal k, a₁ * (algebraMap R A) (p₁.coeff x.1) * (a₂ * (algebraMap R A) (p₂.coeff x.2))
E : Type u_1
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
T2Space E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
⊢ IsCompact (Euclidean.closedBall x r)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LocallyConnectedSpace α
TopologicalSpace β
f : β → α
h : OpenEmbedding f
⊢ LocallyConnectedSpace β
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SigmaFinite μ
C : ℝ≥0∞
hC : C < ⊤
f : α → E
hf_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ C
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q f g : R[X]
hg : g.Monic
a✝ : Nontrivial R
hfg : ¬f /ₘ g = 0
hgf : ¬f.degree < g.degree
⊢ (f /ₘ g).natDegree = f.natDegree - g.natDegree
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
StarMemClass S A
s : S
⊢ (NonUnitalStarSubalgebra.unitization s).range = StarAlgebra.adjoin R ↑s
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
⊢ ∀ (a : Module.Dual R (M × N) × M × N),
  QuadraticForm.dualProdProdIsometry a = ((a.1 ∘ₗ LinearMap.inl R M N, a.2.1), a.1 ∘ₗ LinearMap.inr R M N, a.2.2)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
d : CategoryTheory.Limits.BinaryBiproductData P Q
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct P Q
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s t : LeftLift f g
x : B
h : x ⟶ c
X✝ Y✝ : LeftLift f g
η : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (h ◁ X✝.unit ≫ (α_ h X✝.lift f).inv) ≫ (h ◁ η.right) ▷ f = h ◁ (X✝.unit ≫ η.right ▷ f) ≫ (α_ h Y✝.lift f).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
i : Set α
hs : s.totalVariation i = 0
⊢ ↑s i = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
β : Type u_4
u : ι ⊕ β → ↑S.X₂
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))
m : ↑S.X₂
a✝ : m ∈ ⊤
cm : β →₀ R
hm : (cm.sum fun i a => a • (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr) i) = S.g m
m' : ↑S.X₂ := cm.sum fun j a => a • u (Sum.inr j)
n : ↑S.X₁
hnm : S.f n = m - m'
hn : n ∈ span R (range v)
⊢ m ∈ span R (range u)
X Y : Type u
f : X ≅ Y
y : Y
⊢ f.hom (f.inv y) = y
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
v₁ v₂ : M
h : SameRay R v₁ v₂
⊢ ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ v₁ = a • (v₁ + v₂) ∧ v₂ = b • (v₁ + v₂)
E : Type u_2
NonUnitalNormedRing E
StarRing E
CstarRing E
x : E
⊢ x * x⋆ ≠ 0 ↔ x ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X₁ X₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.binaryBiproductTriangle X₁ X₂).obj₂ = (X₁ ⊞ X₂)
α : Type u
a : α
Group α
h : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers a
⊢ orderOf a = Nat.card α
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ a ⊔ b \ a = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I.Boundaryless
x : M
hx : x ∈ f.source
s : Set M
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ ↑(f.extend I) '' s ∈ 𝓝 (↑(f.extend I) x)
α : Type u
s : Set α
⊢ 𝓟 s = ⊥ ↔ s = ∅
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
Semiring R
SemilatticeSup B
OrderBot B
D : A → B
s : AddMonoidAlgebra R A
hs : s.support.Nonempty
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree (WithBot.some ∘ D) s = ↑(AddMonoidAlgebra.supDegree D s)
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
⊢ SimplexCategory.δ i ≫ SimplexCategory.σ j = SimplexCategory.σ (j.castLT ⋯) ≫ SimplexCategory.δ (i.pred ⋯)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c : ℝ
⊢ integral I l (fun x => c • f x) vol = c • integral I l f vol
f : Char → Char
s : String
⊢ String.map f s = { data := List.map f s.data }
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
hX : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
I : Type u_1
Y : I → C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
⊢ CategoryTheory.Sieve.ofArrows Y f = CategoryTheory.Sieve.ofObjects Y X
M : Type u_1
Add M
x : M
⊢ x ∈ ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedField R
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace R M
inst✝⁴ : NormedSpace R N
inst✝³ : NormedSpace R G
inst✝² : NormedAddCommGroup M'
inst✝¹ : NormedSpace R M'
f : M →L[R] N
g : N →L[R] G
c : R
inst✝ : Nontrivial M'
hf' : IsConformalMap 0
⊢ False
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
⊢ FractionalIdeal.dual A K 0 = 0
α : Type u_1
a : α
n : ℕ
⊢ Sym.replicate n.succ a = a ::ₛ Sym.replicate n a
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
hκη : κ ≤ η
a : α
x : γ
⊢ 0 ≤ κ.rnDerivAux η a x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
a : α
b : β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ s ×ˢ t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ AddMonoid.Coprod.fst.comp (AddMonoid.Coprod.swap M N) = AddMonoid.Coprod.snd
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ I.splitLower i x = ↑I ↔ I.upper i ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}
⊢ ↑n < toPartENat c ↔ ↑n < c
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hf : ¬Integrable f μ
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f|m] = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a b : α
⊢ (∃ n, succ^[n] a = b) ↔ a ≤ b
α : Type u_1
i : Nat
as : Array α
start stop : Nat
h : i < (as.extract start stop).size
⊢ (as.extract start stop)[i] = as[start + i]
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : Fintype M
inst✝¹ : DecidableEq M
R : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R
ζ : Rˣ
hζ : ζ ∈ rootsOfUnity (Monoid.orderUnits M) R
g : Mˣ
hg : ∀ (x : Mˣ), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ (ofRootOfUnity hζ hg) ↑g = ↑ζ
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ
⊢ a ∈ (p ^ k).properDivisors ↔ a ∈ map { toFun := fun x => p ^ x, inj' := ⋯ } (range k)
R : Type uR
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₂
Module R M₃
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
σ : ι₁ ≃ ι₂
m : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
⊢ (MultilinearMap.domDomCongrEquiv σ) m = MultilinearMap.domDomCongr σ m
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
n : ℕ∞
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
t : Finset ι
f : ι → E → 𝔸'
h : ∀ i ∈ t, ContDiffOn 𝕜 n (f i) s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (∏ i ∈ t, f i) s
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
H : p.length = 0
⊢ p.toFun 0 = p.last
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_5
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
P : Type u_6
Q : Type u_7
MetricSpace P
NormedAddTorsor E P
MetricSpace Q
NormedAddTorsor F Q
f : P →ᵃ[𝕜] Q
hf : Continuous ⇑f
surj : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsOpenMap ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
p : α → Prop
q : β → Prop
f : α → β
h : ∀ (x : α), p x → q (f x)
x : β
hx : q x
⊢ (∃ a, ∃ (h_1 : p a), ⟨f a, ⋯⟩ = ⟨x, hx⟩) ↔ ∃ x_1 ∈ {x | p x}, f x_1 = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α
⊢ s.sdiff {a} = s ↔ a ∉ s
K : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
Field K
LieAlgebra K L
Module K M
LieModule K L M
LieAlgebra.IsNilpotent K L
FiniteDimensional K M
LieModule.IsTriangularizable K L M
⊢ ⨆ χ, LieModule.weightSpace M χ = ⊤
R : Type u_1
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : QuaternionAlgebra R c₁ c₂
⊢ CliffordAlgebraQuaternion.equiv.symm a = CliffordAlgebraQuaternion.ofQuaternion a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
⊢ (↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ H.map 0 ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + ((↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ H.map 0 ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) = 𝟙 ((mappingCone ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).X n)
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω
⊢ Integrable 1 (volume.restrict A)
k : Type u_2
Field k
⊢ LocalRing.maximalIdeal (PowerSeries k) = Ideal.span {PowerSeries.X}
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'
this✝⁴ : IsCompact s
this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance
this✝² : CompactSpace (Subtype s)
this✝¹ : Nonempty (Subtype s)
ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'
ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'
this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
F : Subtype s → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤) := kuratowskiEmbedding (Subtype s)
this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t
hg : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : ∀ y ∈ Ioo (t₀ - ε) (t₀ + ε), (HasDerivAt f (v y (f y)) y ∧ f y ∈ s y) ∧ HasDerivAt g (v y (g y)) y ∧ g y ∈ s y
⊢ EqOn f g (Ioo (t₀ - ε) (t₀ + ε))
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n : ℕ
hn : 0 < n
this : (X ^ n - C x).degree ≠ 0
z : k
hz : z ^ n - x = 0
⊢ z ^ n = x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : Surjective ⇑(f' ^ n)
⊢ Surjective ⇑f'
n : ℕ
β : Type u_1
CommMonoid β
f : ℕ → β
⊢ ∏ p ∈ n.primeFactors, f p = n.factorization.prod fun p x => f p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasFiniteWidePullbacks C
J : Type
Finite J
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape J) C
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝² : NonAssocSemiring α
x✝¹ : NonAssocSemiring β
f : α →+* β
x✝ y : α
h : f 1 = 0
x : α
⊢ f x = 0
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
Nonempty ι
f : ι → α
H : BddBelow (Set.range f)
⊢ IsGLB (Set.range f) (⨅ i, f i)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Zero γ
LE γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
hg : 0 ≤ g
he : 0 ≤ e
⊢ 0 ≤ Function.extend f g e
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : 1 ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s) x
α : Type u
Subsingleton α
l : Filter α
l.NeBot
⊢ l = ⊤
x n y : Nat
f : Bool → Bool → Bool
left : x < 2 ^ n
right : y < 2 ^ n
⊢ Nat.bitwise f x y < 2 ^ n
R : Type u_2
K : Type ?u.69654
L : Type ?u.69657
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x✝ : S
hx : IsIntegral R x✝
x : S
i : ℕ
⊢ (minpolyDiv R x).coeff i ∈ Algebra.adjoin R {x}
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ (s + t).dedup = s.ndunion t.dedup
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
ExistsAddOfLE α
PosMulStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
h : c < 0
⊢ c * a < c * b ↔ b < a
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
self : IsHausdorff I M
x : M
⊢ (∀ (n : ℕ), x ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]) → x = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
⊢ Concyclic {p₁, p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
x : R
⊢ eval x (nodal s v) = ∏ i ∈ s, (x - v i)
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittOne p n) = (map (Int.castRingHom ℚ)) 0
M : Type u_1
α : Type u_3
Monoid M
TopologicalSpace α
MulAction M α
MulAction.IsMinimal M α
s : Set α
hs : IsClosed s
hsmul : ∀ (c : M), c • s ⊆ s
⊢ s = ∅ ∨ s = Set.univ
α : Type u
Monoid α
u : αˣ
Invertible ↑u
⊢ ⅟↑u = ↑u⁻¹
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ Complex.abs (Complex.sin ↑x - ↑(x - x ^ 3 / 6)) = Complex.abs (((cexp (-↑x * I) - cexp (↑x * I)) * I - ↑(2 * x - x ^ 3 / 3)) / 2)
α : Type u_2
Zero α
One α
NeZero 1
a : α
h : a = 1
⊢ a ≠ 0
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ Function.Surjective ⇑(M.mulMap' N)
m x✝ : ℕ
⊢ Nat.shiftLeft' false m x✝ = m * 2 ^ x✝
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
⊢ (quadraticChar F) 0 = 0
G : Type u_1
Monoid G
x : G
n : ℕ
h : n.Coprime (orderOf x)
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s
⊢ Continuous ⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x)
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
R : Type u_8
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
DecidableEq p
f : X → p → Matrix m n R
⊢ (Summable fun x => Matrix.blockDiagonal (f x)) ↔ Summable f
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : TopologicalSpace β] (f : MeasureTheory.SimpleFunc α β),
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (↑f) μ
n a p k : ℕ
pp : Prime p
h₁ : ¬a ∣ p ^ k
h₂ : a ∣ p ^ (k + 1)
⊢ a = p ^ (k + 1)
n : ℕ
h : 0 < n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
⊢ ∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i R = ∑ i ∈ range n, X ^ i
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
a : B
⊢ (CategoryTheory.Pseudofunctor.id B).mapId a = CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing K
CommRing L
CommRing M
CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
ExpChar N p
PerfectRing L p
IsPerfectClosure i p
PerfectRing M p
IsPerfectClosure j p
PerfectRing N p
IsPerfectClosure k p
x : L
⊢ (IsPerfectClosure.equiv j k p) ((IsPerfectClosure.equiv i j p) x) = (IsPerfectClosure.equiv i k p) x
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
y : 𝕜
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
⊢ derivWithin f s x = derivWithin f t x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
f : E →ₗ[𝕜] β
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x✝⁸ : E
x✝⁷ : x✝⁸ ∈ s
x✝⁶ : E
x✝⁵ : x✝⁶ ∈ s
x✝⁴ x✝³ : 𝕜
x✝² : 0 ≤ x✝⁴
x✝¹ : 0 ≤ x✝³
x✝ : x✝⁴ + x✝³ = 1
⊢ x✝⁴ • f x✝⁸ + x✝³ • f x✝⁶ ≤ f (x✝⁴ • x✝⁸ + x✝³ • x✝⁶)
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
N : s.Normal
g : α
⊢ g • ↑s = MulOpposite.op g • ↑s
A B : Type u
AddCommGroup A
AddCommGroup B
e : A ≃+ B
n : ℤ
⊢ (QuotientAddGroup.equivQuotientZSMulOfEquiv e n).symm = QuotientAddGroup.equivQuotientZSMulOfEquiv e.symm n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
w : α
hw : w < a
⊢ ∃ a_1 ∈ Iio a, w < a_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
f_cont : Continuous f
f_inj : Function.Injective f
f_closed : IsClosedMap f
⊢ IsProperMap f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
⊢ MeasureTheory.ConvolutionExists f g L μ
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
K : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ μ.outerMeasure ↑K
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ LinearIndependent R v ↔ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
⊢ ∀ (a b : α), Setoid.r a b ↔ a⁻¹ * b ∈ s
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : x ∈ skewAdjoint R
⊢ Commute (star x) x
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
R : ℝ
hF : CompleteSpace F
⊢ ∫ (x : E), f (R • x) ∂μ = |(R ^ finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E), f x ∂μ
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
⊢ d * a.y ^ 2 = a.x ^ 2 - 1