ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Computable G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Computable₂ G
a : α
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4)))
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ M.Basis (B ∩ X) X ↔ M✶.Basis (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) (M.E \ X)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
S : Type u_5
Monoid S
DistribMulAction S M
SMulCommClass R S M
SMulCommClass S A M
r : S
D : Derivation R A M
⊢ ↑(r • D) = r • ↑D
θ : Angle
⊢ -θ = θ ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s κ μ
i : ι
⊢ Indep (generateFrom {s i}) (generateFrom {t | ∃ j < i, s j = t}) κ μ
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F P : Sheaf J A
⊢ toSheafify J (P.val ⋙ U) ≫ (((presheafToSheaf J B).map (whiskerRight (toSheafify J P.val) U) ≫ (sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj ((presheafToSheaf J A).obj P.val))) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app P)).val = toSheafify J (P.val ⋙ U) ≫ ((sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj P)).val
ι : Type u_1
Fintype ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
b : ι → M
DecidableEq ι
A : Matrix ι ι R
w : ι → R
⊢ ((PiToModule.fromMatrix R b) A) w = ((Fintype.total R R) b) (A *ᵥ w)
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
(i : ι) → Module R (M₁ i)
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
ι' : Type u_1
M' : ι' → Type u_2
(i : ι') → AddCommMonoid (M' i)
(i : ι') → TopologicalSpace (M' i)
(i : ι') → Module R (M' i)
f : (i : ι') → ContinuousMultilinearMap R M₁ (M' i)
⊢ ContinuousMultilinearMap.piEquiv f = ContinuousMultilinearMap.pi f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
v : ι → E
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'
⊢ Orthonormal 𝕜 (⇑f ∘ v) ↔ Orthonormal 𝕜 v
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
⊢ ⨅ n, u n ≤ Filter.liminf u f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ + ∡ p₃ p₂ p₁ = 0
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
hK : 0 < K
x✝ : ℝ
a✝ : α
⊢ x✝ = K⁻¹ * (K * x✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
fa : α → α
fb : β → β
g : α → β
h : Function.Semiconj g fa fb
n : ℕ
⊢ Set.MapsTo g (Function.ptsOfPeriod fa n) (Function.ptsOfPeriod fb n)
G : Type u_1
AddGroup G
S : Set (AddSubgroup G)
x : G
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F G : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
iso : (a : A) → F.functor a ≅ G.functor a
comm :
  ∀ (n a a' : A) (ha' : n + a = a'),
    (F.shiftIso n a a' ha').hom ≫ (iso a).hom =
      CategoryTheory.whiskerRight (iso a').hom (CategoryTheory.shiftFunctor D n) ≫ (G.shiftIso n a a' ha').hom
a : A
⊢ (CategoryTheory.SingleFunctors.isoMk iso comm).inv.hom a = (iso a).inv
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsAntisymm α r
hs : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, r a b
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ a = b
X : Type u_1
⊢ (Set.range OnePoint.some)ᶜ = {OnePoint.infty}
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
⊢ tensorHom (𝟙 (of R R)) f ≫ (leftUnitor N).hom = (leftUnitor M).hom ≫ f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
hq : q.Monic
h : p.degree < q.degree
⊢ p %ₘ q = p
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
β : Type u_5
CompleteLattice β
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i → β
⊢ ⨅ i ∈ s, ⨅ j ∈ t i, f i j = ⨅ ij ∈ s.sigma t, f ij.fst ij.snd
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.9007, u_1} C
J : Type u_2
inst✝² : Countable J
inst✝¹ : Preorder J
inst✝ : IsCofiltered J
j : J
⊢ ∃ n, sequentialFunctor_obj J n ≤ j
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h' : Finite R N
this✝¹ : IsNoetherian R ↥(torsion R N)
this✝ : Finite R (N ⧸ torsion R N)
I : Type u
fI : Fintype I
p : I → R
hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)
e : I → ℕ
h : ↥(torsion R N) ≃ₗ[R] ⨁ (i : I), R ⧸ span R {p i ^ e i}
n : ℕ
g : (N ⧸ torsion R N) ≃ₗ[R] Fin n →₀ R
this : Projective R (N ⧸ torsion R N)
f : N ⧸ torsion R N →ₗ[R] N
hf : (torsion R N).mkQ ∘ₗ f = LinearMap.id
⊢ LinearMap.range (torsion R N).subtype = LinearMap.ker (torsion R N).mkQ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Finite α
x : α
m : M
⊢ equivFunOnFinite.symm (Pi.single x m) = single x m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.OrdConnected
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≤ y
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b ≤ a - c + (b + c)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
⊢ 𝓝ˢ (s ∩ t) = 𝓝ˢ s ⊓ 𝓝ˢ t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g)
⊢ f = g
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
a : α
⊢ a ∈ orbit G (g • a)
x : ℂ
hx : ¬x = 0
⊢ 0 < (normSq x)⁻¹
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
DecidableEq m
NonUnitalNonAssocSemiring α
v w : m → α
i : m
⊢ v ⬝ᵥ Matrix.diagonal w i = v i * w i
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝¹ : Encodable ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (map (TProd.elim' ⋯) (Measure.tprod (sortedUniv ι) μ)) (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : ↥(simpleFunc E p μ)
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑↑↑(f - g) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ → ↑↑(↑f - ↑g) a✝ = (↑↑↑f - ↑↑↑g) a✝ → ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = (↑(toSimpleFunc f) - ↑(toSimpleFunc g)) a✝
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝¹ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b c a : α
⊢ a * a⁻¹ ≤ a * mabs a
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)
x : X
hx : x ∈ F
y : X
hy : y ∈ F
γ : Path (f x) (f y)
γ' : ↑I → X
hγ' : ∀ (t : ↑I), γ' t ∈ F
hγγ' : ∀ (t : ↑I), f (γ' t) = γ t
⊢ JoinedIn F x y
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
R : Type u_3
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
DistribMulAction R A
IsScalarTower R 𝕜 A
a : WithLp 1 (Unitization 𝕜 A)
⊢ (WithLp.unitizationAlgEquiv R).symm a = a
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
h : Function.LeftInverse ⇑g ⇑f
x : ↥(LinearMap.range f)
⊢ (LinearEquiv.ofLeftInverse h).symm x = g ↑x
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : LinearOrder N
f : M → N
h0 : f 0 ≤ 0
hadd : ∀ (x y : M), f (x + y) ≤ max (f x) (f y)
hd : M
tl : List M
IH : f tl.sum ≤ foldr max 0 (map f tl)
⊢ f (hd :: tl).sum ≤ foldr max 0 (map f (hd :: tl))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ ↑x ⤳ ↑y ↔ x ⤳ y
R : Type u
CommRing R
hdomain : IsDomain R
r : R
p q : Polynomial R
⊢ (RatFunc.laurent r) ((algebraMap (Polynomial R) (RatFunc R)) p / (algebraMap (Polynomial R) (RatFunc R)) q) =
  (algebraMap (Polynomial R) (RatFunc R)) ((Polynomial.taylor r) p) /
    (algebraMap (Polynomial R) (RatFunc R)) ((Polynomial.taylor r) q)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : stabilizer G a ≤ H
g : G
h₁ h₂ : ↥H
h : (fun x => g • x) ((fun m => m • a) h₁) = (fun m => m • a) h₂
⊢ ↑h₂⁻¹ * g * ↑h₁ ∈ stabilizer G a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ VectorMeasure.restrict s v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
hwuv : ↑s ((w ∩ u) ∆ (w ∩ v)) = 0
⊢ ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hpq : ¬q.Monic
⊢ ¬(p * q).Monic
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
c : R
f : Π₀ (i : ι), M i
⊢ (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) (c • f) = c • (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) f
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
k : ℕ
a : R
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ Polynomial.map f (Polynomial.dickson k a n) = Polynomial.dickson k (f a) n
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X →. Y
hf : ∀ {x : X} {y : Y}, y ∈ f x → PTendsto' f (𝓝 x) (𝓝 y)
s : Set Y
os : IsOpen s
x : X
y : Y
ys : y ∈ s
fxy : y ∈ f x
t : Set X
h : f.preimage s ⊆ t
h' : ∀ s ∈ 𝓝 y, f.preimage s ∈ 𝓝 x
⊢ s ∈ 𝓝 y
⊢ Gammaℂ 1 = 1 / ↑π
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
this : NormedSpace ℝ G := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 G
g : ℝ → E := ⇑(AffineMap.lineMap x y)
segm : MapsTo g (Icc 0 1) s
⊢ ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
TopologicalSpace β
f g : β → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun b => nndist (f b) (g b)
z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
⊢ Tendsto log (𝓝[{z | z.im < 0}] z) (𝓝 (↑(Real.log (abs z)) - ↑π * I))
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
a b : α
ha : IsLeast s a
hb : IsLeast t b
hst : s ⊆ t
⊢ b ≤ a
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G
⊢ Subgroup.map f H = Subgroup.map f K ↔ H ⊔ f.ker = K ⊔ f.ker
n : ℕ
NeZero n
⊢ ↑(Fin.rev 0) = n.pred
R : Type u
S : Type v
Ring R
p q : R[X]
Ring S
f : R →+* S
hq : q.Monic
⊢ Polynomial.map f (p /ₘ q) = Polynomial.map f p /ₘ Polynomial.map f q ∧
  Polynomial.map f (p %ₘ q) = Polynomial.map f p %ₘ Polynomial.map f q
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞
h : Tendsto (fun n => r ^ n) atTop (𝓝 0)
⊢ r < 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ logDeriv (fun x => x⁻¹) x = -1 / x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ μ.withDensity f = 0 ↔ f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
h : ∀ (i : (Quotient.out o).α), o.familyOfBFamily f i ≤ a
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
⊢ o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯) ≤ a
m : Type u_1
DecidableEq m
Fintype m
R : Type v
CommRing R
M N P : Matrix m m R
⊢ (M * N * P).det = (M * P * N).det
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
⊢ ((∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)) ∧ ∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.map t = s' ≫ F.map t) → ∀ (d : D), IsFiltered (StructuredArrow d F)
z : ↥circle
⊢ ↑z⁻¹ = (↑z)⁻¹
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ ¬hζ.toInteger - 1 ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} H
F₁ : CategoryTheory.Functor B C
F₂ : CategoryTheory.Functor D E
G : CategoryTheory.Functor (C × E) H
⊢ CategoryTheory.uncurry.obj (F₁.comp (F₂.comp (CategoryTheory.curry.obj G).flip).flip) = (F₁.prod F₂).comp G
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
α : Type u_5
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
Us : Set (Opens α)
hUs : IsBasis Us
⊢ t₁ ≤ t₂ ↔ ∀ U ∈ Us, IsOpen ↑U
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
h : IsAddSubgroup s
n : IsNormalAddSubgroup s
⊢ (AddSubgroup.of h).Normal
f : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
hab : a < b
hfa : Filter.Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 l)
hfb : Filter.Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 l)
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo a b, deriv f c = 0
R : Type u
NonUnitalRing R
z : R
⊢ z ∈ NonUnitalSubring.center R ↔ ∀ (g : R), g * z = z * g
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
t : OrderClosedTopology α
TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β
hs : IsClosed s
hf : ContinuousOn f s
⊢ IsClosed {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ≤ f p.1}
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.Clopens α
⊢ IsClopen ↑s
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
X : ℕ → Ω → E
hℒp : Memℒp (X 0) p ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hmeas : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (X i) ℙ
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (fun ω => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ range n, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a) p ℙ) atTop (𝓝 0)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : F ⟶ G
⊢ ∀ (x x_1 : G ⟶ H) (Γ : x ⟶ x_1) (a : B),
  (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft η Γ).app a = CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (η.app a) (Γ.app a)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ Collinear k {p₁, p₂, p₃} ↔ ¬AffineIndependent k ![p₁, p₂, p₃]
x : ℝ
⊢ Real.arcsin x ≤ -(π / 2) ↔ x ≤ -1
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
r : R
⊢ ((gradedMul R 𝒜 ℬ) x) ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1) = r • x
L : FirstOrder.Language
K : Set (CategoryTheory.Bundled L.Structure)
self : FirstOrder.Language.IsFraisse K
M : CategoryTheory.Bundled L.Structure
⊢ M ∈ K → FirstOrder.Language.Structure.FG L ↑M
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x : α
h : x ∈ l
⊢ l.formPerm x ∈ l
α : Type u_3
DivisionSemiring α
⊢ ↑1 = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
p : R[X]
i : ℕ
m : M
⊢ (PolynomialModule.comp p) ((PolynomialModule.single R i) m) = p ^ i • (PolynomialModule.single R 0) m
α : Type u_2
TopologicalSpace α
T1Space α
s : TopologicalSpace.Opens α
⊢ IsCoatom s ↔ ∃ x, s = (TopologicalSpace.Closeds.singleton x).compl
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
B : ℝ → ℝ := fun x => C * (x - a)
⊢ ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑|A i₁ % b - A i₀ % b| < |b| • ε
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
H : Function.Surjective ⇑f
s : R
hs : s ∈ ↑M
y : R
⊢ ∃ a, (IsLocalization.map S' f ⋯) a = IsLocalization.mk' S' (f y) ⟨f s, ⋯⟩
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
Finite α
f : PiLp p E
⊢ ↑(AddEquiv.lpPiLp.symm f) = f
α : Type u_1
a : α
⊢ some a = ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
MetricSpace β
n : ℕ
j : ι
f : ι → α → β
g : α → β
Preorder ι
x : α
⊢ x ∈ MeasureTheory.Egorov.notConvergentSeq f g n j ↔ ∃ k ≥ j, 1 / (↑n + 1) < dist (f k x) (g x)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.associator g h i).inv)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.associator f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h) i).inv
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).inv i)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f g (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h i)).inv
    (CategoryTheory.Bicategory.associator (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h i).inv
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in b..c, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..c, f x ∂μ
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hβ : β.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
h : ⇑β = 0 • ⇑α
⊢ β = -α ∨ β = α
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
x : ↑S.X₁
⊢ ((ModuleCat.kernelIsLimit S.g).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)) x ∈ LinearMap.range S.moduleCatToCycles
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ Ioo (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inl (Ioo a₁ a₂))
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp.toLp (f + g) ⋯ = MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf + MeasureTheory.Memℒp.toLp g hg
α : Type u
s : Set (Set α)
hs : {u | TopologicalSpace.GenerateOpen s u} = s
⊢ TopologicalSpace.mkOfClosure s hs = TopologicalSpace.generateFrom s
⊢ ∀ (a : ℝ × ℝ), (Complex.equivRealProdLm.symm a).im = a.2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
a x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NormedAddCommGroup 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
hh : DifferentiableAt 𝕜 h (a + x)
⊢ deriv (fun x => h (a + x)) x = deriv h (a + x)
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁹ : Semiring R₁
inst✝¹⁸ : Semiring R₂
inst✝¹⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M'₁
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝¹ : ContinuousAdd M₁
inst✝ : ContinuousAdd M'₁
⊢ (inl R₁ M₁ M'₁).coprod (inr R₁ M₁ M'₁) = id R₁ (M₁ × M'₁)
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
e : R ≃+* S
x y : R
⊢ e (x * y) = e x * e y
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set (α ⊕ β)
⊢ MeasurableSet s ↔ MeasurableSet (Sum.inl ⁻¹' s) ∧ MeasurableSet (Sum.inr ⁻¹' s)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s t : { s // MeasurableSet s }
⊢ s ⊓ t = s ∩ t