ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t a b : Set α
f : α → β
h : a ⊆ b
⊢ ∀ (x : β), (∃ x_1 ∈ a, f x_1 = x) → ∃ x_1 ∈ b, f x_1 = x
a' : ℝ
⊢ ContinuousOn (evenKernel ↑a') (Ioi 0)
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
Nontrivial S
f : F
⊢ 1 ∉ RingHom.ker f
a b : Int
⊢ a < b ↔ a + 1 ≤ b
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Multiset α
⊢ s.Disjoint (Multiset.ndinsert a t) ↔ a ∉ s ∧ s.Disjoint t
α : Type u_1
Preorder α
x : α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
h₁ : Ordnode.nil.Bounded o₁ ↑x
h₂ : Ordnode.nil.Bounded (↑x) o₂
⊢ Ordnode.Valid' o₁ {x} o₂
α : Type u
DecidableEq α
i j : α
⊢ Function.Involutive fun x => Equiv.swap i j * x
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑H = Set.univ
hind : H.index = s.card
this : Fintype (G ⧸ H)
⊢ (Function.Surjective fun x => ↑(g ↑x)) ∧ Fintype.card { x // x ∈ s } = Fintype.card (G ⧸ H)
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
this : fixedPoints (↥↑P) (Sylow p G) = {P}
⊢ Nat.card (Sylow p G) ≡ 1 [MOD p]
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
⊢ ‖0‖ = 0
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.ψ 2 = W.ψ₂
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁷ : EMetricSpace X
inst✝⁶ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ≥0
hd : ↑(finrank ℝ E) < ↑d
⊢ μH[↑d] univ = 0
R : Type u_3
OrderedSemiring R
a b : R
ha : 0 ≤ a
hab : a ≤ b
n : ℕ
⊢ a ^ n ≤ b ^ n
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
hfg : f * g = 1
ginj : Injective ⇑g
i : V →ₗ[K] V
hi : g ∘ₗ i = id
this : i = f
⊢ g * f = 1
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
s : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥s
this : Nontrivial K
⊢ Module.rank K ↥s ≤ 1 ↔ ∃ v₀, s ≤ span K {v₀}
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
h : ∃ᶠ (n : ι) in l, p n
⊢ ∃ ns, Tendsto ns atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (ns n)
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
DecidableEq β
s : Set α
t : Set β
Fintype ↑s
Fintype ↑t
Fintype ↑(s +ᵥ t)
⊢ (s +ᵥ t).toFinset = s.toFinset +ᵥ t.toFinset
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
g : G
key : ∀ (k : ℕ) (g₀ : G), g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ ∈ H → g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ = g ^ k
⊢ g ^ H.index ∈ H
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
Semiring C
Algebra R C
Star C
f : B →⋆ₐ[R] C
g : A →⋆ₐ[R] B
a : A
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
⊢ Primrec f → Primrec g → Primrec₂ h → Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)
A : Type u_4
AddZeroClass A
S : Set (Multiplicative A)
⊢ Submonoid.toAddSubmonoid' (Submonoid.closure S) = AddSubmonoid.closure (⇑Additive.ofMul ⁻¹' S)
α : Type u
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.FinCategory J
SemilatticeInf α
OrderTop α
F : J ⥤ α
⊢ CategoryTheory.Limits.limit F = Finset.univ.inf F.obj
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ i ≤ last n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).inv.app K).f n = (HomologicalComplex.XIsoOfEq K ⋯).hom
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
s : Set Y
⊢ ⇑h ⁻¹' frontier s = frontier (⇑h ⁻¹' s)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x y : ↥H
hx : x ∈ Weight.ker
hy : y ∈ span K {coroot α}
⊢ ((traceForm K (↥H) L) x) y = 0
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∃ k₁, k₁ ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
hcpd : ∃ k₂, k₂ ≠ 1 ∧ d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)
q : P
r : ℝ
h' : ∀ p ∈ {a, b, c, d}, dist p q = r
⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
Y' : C
g : Y ⟶ Y'
CategoryTheory.Mono g
⊢ (F.compMono g).I = F.I
α : Type u_1
CommGroup α
s : Set α
⊢ ¬MulDissociated s ↔ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ ∃ u, ↑u ⊆ s ∧ t ≠ u ∧ ∏ x ∈ t, x = ∏ x ∈ u, x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x : α
k : ℤ
⊢ (f.cycleOf x) ((f ^ k) x) = (f ^ (k + 1)) x
α : Type u_1
PartialOrder α
s : LowerSet α
Finite α
⊢ SupIrred s ↔ ∃ a, LowerSet.Iic a = s
R : Type u_1
CommMonoid R
x y : R
hdvd : x ∣ y
hsq : Squarefree y
⊢ Squarefree x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C✝ C'✝ C''✝ C C' C'' : VariableChange R
⊢ (C.comp C').comp C'' = C.comp (C'.comp C'')
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
⊢ ¬G.Adj t u
T : ℝ
x : AddCircle T
⊢ (fourier 1) x = ↑x.toCircle
b : Ordinal.{u_1}
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
⊢ 0 < o / b ^ Ordinal.log b o
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
s : ι → Set α
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0
hsν : ∀ (i : ι), ν (s i)ᶜ = 0
⊢ sum μ ⟂ₘ ν
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
hk : 0 < k
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
hl' : 0 < l
hl : l < orderOf ζ
⊢ ζ ^ l ≠ 1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n m' n' : M
f : m ⟶ m'
g : n ⟶ n'
X : C
this : ((F.map f ⊗ F.map g) ≫ F.μ m' n').app X = (F.μ m n ≫ F.map (f ⊗ g)).app X
⊢ (F.map g).app ((F.obj m).obj X) ≫ (F.obj n').map ((F.map f).app X) ≫ (F.μ m' n').app X = (F.μ m n).app X ≫ (F.map (f ⊗ g)).app X
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
hG : G.Colorable n
⊢ G.chromaticNumber = ↑n ↔ ∀ (C : G.Coloring (Fin n)), Surjective ⇑C
R : Type u
Ring R
x : R
⊢ Polynomial.rootMultiplicity x 0 = 0
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : CommSemiring S
f : R →+* S
inst✝ : DecidableEq σ
i : σ
⊢ i ∈ p.vars ↔ i ∈ p.support.biUnion Finsupp.support
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
e : E
f : E → F
g : E → G
s : Set E
r t : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s e r
hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q s e t
y : E
m : e + y ∈ s
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r t)
⊢ y ∈ EMetric.ball 0 r
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
f : X → ℝ
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K
this : (K.indicator fun x => f x • g x) = fun x => f x • g x
⊢ Memℒp g ⊤ μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
⊢ ∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨x, hx⟩)
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f ↔
  OpenEmbedding ⇑f.val.base ∧
    ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), CategoryTheory.IsIso (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f x)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
⊢ ↑(v + w) i = ↑v i + ↑w i
α : Type u_2
TopologicalSpace α
ι : Sort u_4
s : ι → TopologicalSpace.Closeds α
⊢ ⨅ i, s i = { carrier := ⋂ i, ↑(s i), closed' := ⋯ }
γ : Type w
SemilatticeInf γ
DenselyOrdered γ
a b : γ
hab : a < b
⊢ IsLUB (Set.Ioo a b) b
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ
⊢ ‖x‖ ≤ ↑p ^ n ↔ ‖x‖ < ↑p ^ (n + 1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
R : ℝ
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hy' : ‖y‖ ≠ 0
⊢ √((R ^ 2 / (‖x‖ * ‖y‖)) ^ 2 * ‖x - y‖ ^ 2) = R ^ 2 / (‖x‖ * ‖y‖) * dist x y
α : Type u_2
Lattice α
L M : Sublattice α
⊢ ↑(L ⊓ M) = ↑L ∩ ↑M
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
hind : X.str = ⊤
F : Presheaf C X
it : IsTerminal (F.obj (op ⊥))
c : C
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
s : Sieve U
hs : s ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U
hne : U ≠ ⊥
⊢ Presieve.IsSheafFor (F ⋙ coyoneda.obj (op c)) s.arrows
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
h_ninj : ∃ a b, (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) a = (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) b ∧ a ≠ b
a b : ↑(Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord)
h_fab : (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) a = (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) b
h_nab : a ≠ b
⊢ ↑a ≠ ↑b ∧ lfpApprox f x ↑a = lfpApprox f x ↑b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : P
s : Set P
⊢ p ∈ s → p ∈ spanPoints k s
R : Type u_2
M : Type u_5
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
n : ℤ
b : M
⊢ n • b = ↑n • b
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 2 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
⊢ (q - 1) ^ φ n < eval q (cyclotomic n ℝ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ‖x‖ * ‖x‖ * (‖y‖ * ‖y‖) = ‖x‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖y‖)
E : Type u_2
NNNorm E
x : ULift.{u_5, u_2} E
⊢ ‖x‖₊ = ‖x.down‖₊
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]
⊢ a.im ^ 2 = -↑(normSq a.im)
n : ℕ
⊢ ∀ (x : ℕ), ∃ y ∈ {p | Prime p}, x < y
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
h : Profinite.NobelingProof.contained C o
⊢ C = Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
⊢ ∃ r ⊆ s, Set.BijOn P.part ↑r ↑P.parts
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
R : ℝ
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hy' : ‖y‖ ≠ 0
⊢ dist ((R / ‖x‖) ^ 2 • x) ((R / ‖y‖) ^ 2 • y) = √(‖(R / ‖x‖) ^ 2 • x - (R / ‖y‖) ^ 2 • y‖ ^ 2)
R : Type x
NonAssocRing R
NoZeroDivisors R
a : R
⊢ a * a = 1 ↔ a = 1 ∨ a = -1
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
S : PointedCone ℝ E
⊢ ↑S.dual = (↑S).innerDualCone
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
h : ∀ (u : H), ∀ s ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (φ u '' s)
hφ : Inducing (⇑(ofFun 𝔖) ∘ ⇑φ)
⊢ ContinuousSMul 𝕜 H
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.ShrinkHoms.equivalence C).functor.map f = (equivShrink (X ⟶ Y)) f
z : 𝔻
⊢ normSq ↑z < 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x✝ : E
t : ConvexCone 𝕜 E
ht : t ∈ {t | s ⊆ ↑t}
x : E
hx : x ∈ toCone s hs
⊢ x ∈ t
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto f Filter.cofinite (𝓝 0)
R : Type u_1
CommRing R
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I : Ideal R
hI : IsUnit ↑I
⊢ Submodule.IsPrincipal I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
self : CategoryTheory.MonoidalCoherence X Y
⊢ CategoryTheory.IsIso ⊗𝟙
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ 𝓤 (Additive α) = Filter.map (Prod.map ⇑Additive.ofMul ⇑Additive.ofMul) (𝓤 α)
α : Type u_1
SemilatticeSup α
f : ℕ → α
⊢ f ≤ ⇑(partialSups f)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cochain F G (-1)
p : ℤ
⊢ z.v p (p - 1) ⋯ ≫ G.d (p - 1) p + F.d p (p + 1) ≫ z.v (p + 1) p ⋯ = (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij => z.v i j ⋯).f p
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1
h : ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f = 1 ∨ g = 1
f g : R[X]
hfg : p = f * g
⊢ (g * C f.leadingCoeff).Monic
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ : ι → ℝ
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
J₁' J₁ : Box ι
hJ₁ : J₁ ∈ π.boxes
hJ₁' : J₁' ∈ (πi J₁).boxes
J₂' J₂ : Box ι
hJ₂ : J₂ ∈ π.boxes
hJ₂' : J₂' ∈ (πi J₂).boxes
Hne : J₁' ≠ J₂'
x : ι → ℝ
hx₁ : x ∈ ↑J₁'
hx₂ : x ∈ ↑J₂'
⊢ J₁' = J₂'
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_3
Semiring k
MulOneClass G
Semiring R
f g : MonoidAlgebra k G →+* R
h₁ : ∀ (b : k), f (MonoidAlgebra.single 1 b) = g (MonoidAlgebra.single 1 b)
h_of : ∀ (a : G), f (MonoidAlgebra.single a 1) = g (MonoidAlgebra.single a 1)
⊢ f = g
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddZeroClass G
inst✝¹ : Add H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
⊢ f a = f 0 + b
n m : ℕ
z : ℂ
⊢ ↑m * (↑n).arg ≤ π
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
s : S.Splitting
⊢ S.ShortExact
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
DivisionMonoid β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
m : F
f₁ : Filter α
f₂ : Filter β
⊢ Filter.Tendsto (⇑m) f₁ f₂ → Filter.Tendsto (⇑m) f₁⁻¹ f₂⁻¹
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B.IsAdjointPair B' f' g'
x : M
y : M'
⊢ (B' ((f + f') x)) y = (B x) ((g + g') y)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n
⊢ False
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t✝ : Multiset R[X]
a : R[X]
t : Multiset R[X]
ih : (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0 → t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff t).prod
h : a.leadingCoeff * (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0
⊢ (a * t.prod).leadingCoeff = a.leadingCoeff * (Multiset.map leadingCoeff t).prod
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g f' g' : X ⟶ Y
hf : f = f'
hg : g = g'
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair),
  (CategoryTheory.Limits.parallelPair.eqOfHomEq hf hg).hom.app X_1 =
    (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.rec (CategoryTheory.Iso.refl X) (CategoryTheory.Iso.refl Y) X_1).hom
X : Type u_1
⊢ OnePoint.some ⁻¹' {OnePoint.infty} = ∅
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a.toPGame ≤ b.toPGame → a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
CompleteSpace α
T2Space α
f : β → α
hf : Summable f
s : Finset β
⊢ ∑ x ∈ s, f x + ∑' (x : { x // x ∉ s }), f ↑x = ∑' (x : β), f x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ π : Perm α
h : IsConj σ (π * σ * π⁻¹)
⊢ σ.cycleType = (π * σ * π⁻¹).cycleType
a b : ℕ+
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype fun n => 0 < n) (Finset.uIcc a b) = Finset.uIcc ↑a ↑b
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝³ : HasCoproduct X
inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)
inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b
a b : α
hg : Sigma.ι (fun a_1 => pullback (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) b ≫ (Sigma.desc fun a_1 => pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ π a = Sigma.ι (fun a_1 => pullback (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) b ≫ (Sigma.desc fun a_1 => pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) ≫ pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc π
⊢ (pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ π a = pullback.snd (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ π b
R : Type u_1
Semiring R
⊢ IsNoetherianRing R ↔ IsNoetherian R R
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : (↑v + (↑w + ↑u)) ^ 2 = (↑v + (↑z + ↑x)) ^ 2
⊢ q = p ∨ q = p.mirror
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l₁ l₂ : List M
h : List.Forall₂ (fun x x_1 => x ≤ x_1) l₁ l₂
⊢ l₁.prod ≤ l₂.prod
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a b c : R
h : Rel r b c
⊢ Rel r (a + b) (a + c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
H : ∀ a < lift.{u, v} o, succ a < lift.{u, v} o
a : Ordinal.{v}
h : a < o
⊢ lift.{u, v} (succ a) < lift.{u, v} o
X Y : SemiRingCat
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : ↑X), f x = g x
⊢ f = g
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s t : Set X
⊢ 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ t → s ⊆ t
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
Field F
Field E
Field K
Algebra F E
Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ Polynomial.Splits f.toRingHom (minpoly (↥L) s)
⊢ ∃ φ, φ.comp (IsScalarTower.toAlgHom F ↥L ↥(IntermediateField.adjoin (↥L) S)) = f
α : Type u
s t : Set α
b : s ⟶ t
⊢ (Types.monoOverEquivalenceSet α).inverse.map b = CategoryTheory.MonoOver.homMk (fun w => ⟨↑w, ⋯⟩) ⋯
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z) * (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ≠ 0 ↔ x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
Nontrivial R
i j : σ
⊢ MvPolynomial.X i ∣ MvPolynomial.X j ↔ i = j
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
self : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.p self.p = self.p
α : Type u_1
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup α
G : Type u_2
inst✝² : OrderedAddCommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousSub G
h : IsClosed {x | 0 ≤ x}
this : {p | p.1 ≤ p.2} = (fun p => p.2 - p.1) ⁻¹' {x | 0 ≤ x}
⊢ IsClosed {p | p.1 ≤ p.2}
X : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
g : Polynomial ℝ
⊢ (g.toContinuousMapOn (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).comp (↑f).attachBound ∈ A
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in b..c, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in c..a, f x ∂μ = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
U :
  (TopologicalSpace.Opens
      ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj
              (CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f))).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f) (Opposite.unop U))
    ((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.toSpec 𝒜 f).val.c.app U) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.awayToΓ 𝒜 f)
    (((AlgebraicGeometry.Proj.toLocallyRingedSpace 𝒜).restrict ⋯).presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op)
⊢ Tendsto (fun s => ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s - 1 / (s - 1)) (𝓝[>] 1) (𝓝 γ)
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
this✝ : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε
this : ε ≤ ↑(G.interedges (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)).card / (↑(filter (G.Adj x) t).card * ↑(filter (G.Adj x) u).card)
hε : 0 ≤ ε
⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card = ε * (↑t.card * ε * (↑u.card * ε))
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
γ : Type u_6
MeasurableSpace γ
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.prodMkRight γ κ).swapLeft = ProbabilityTheory.Kernel.prodMkLeft γ κ
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
self : OpenSubgroup G
⊢ IsOpen (↑self).carrier
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ ⇑(Homeomorph.punitProd X) = Prod.snd