ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
SemilatticeInf α
a b : α
⊢ a ⊓ b ⊓ b = a ⊓ b
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → β
Zero β
t : Set β
ht : 0 ∉ t
⊢ t ∈ Filter.map (s.indicator f) (MeasureTheory.ae μ) ↔ μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∪ sᶜ) = 0
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ ⨆ k, LieSubmodule.ucs k ⊥ ≤ weightSpace M 0
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ
Inhabited Γ'
f : Turing.PointedMap Γ Γ'
l : List Γ
⊢ (List.map f.f l).headI = f.f l.headI
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
ν : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝
μ : MeasureTheory.Measure (Quotient (AddAction.orbitRel G α))
self : MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
t : Set α
⊢ MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G t ν →
  μ = MeasureTheory.Measure.map (Quotient.mk (AddAction.orbitRel G α)) (MeasureTheory.Measure.restrict ν t)
α : Type u
β : Type v
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : β →o α
g : α →o β
⊢ f (OrderHom.lfp (g.comp f)) = OrderHom.lfp (f.comp g)
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
h2 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
h3 : AEMeasurable (X * Y) μ
h4 : 0 ≤ᶠ[ae μ] X * Y
⊢ ∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (X a) * ENNReal.ofReal (Y a) ∂μ = (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (X a) ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (Y a) ∂μ
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s₁ s₂ t : Set α
⊢ (s₁ ∩ s₂) ⊻ t ⊆ s₁ ⊻ t ∩ s₂ ⊻ t
α : Type u_2
x : α
f : Equiv.Perm α
DecidableRel f.SameCycle
hx : f x ≠ x
⊢ (f.cycleOf x).IsCycle
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : Function.Injective f
h2 : s ⊆ Set.range f
⊢ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk ↑(f ⁻¹' s)) = Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk ↑s)
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}
⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h < o.bsup f) → (o.bsup f).cof ≤ o.card
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k'[X]
hmp : p.Monic
hp : Irreducible p
hpe : (map e.symm.toRingHom p).degree ≠ 0
x : k
hx : eval x (map (↑e.symm) p) = 0
⊢ eval (e x) p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv γ δ
⊢ (e.prod e').target = e.target ×ˢ e'.target
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b ≤ 1
⊢ a ≤ a / b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
hf : Surjective f
hf' : Continuous f
⊢ PathConnectedSpace Y
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ b < a → b.toPGame ⧏ a.toPGame
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)) ↑(p ^ k)
x : CyclotomicField (p ^ k) ℚ
h : IsIntegral ℤ x
⊢ x ∈ adjoin ℤ {b | b ^ ↑(p ^ k) = 1}
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
y : M
hy : y ∈ W
b₁ : (B x) y = 0
⊢ B.IsOrtho y x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x✝ : α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x
⊢ (f.toCycle hf).Nontrivial
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f g : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
hg : Memℒp g 1 μ
⊢ Memℒp (f ⊔ g) 1 μ
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n
⊢ (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ n) = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
p : Submodule R A
h_one : 1 ∈ p
h_mul : ∀ (x y : A), x ∈ p → y ∈ p → x * y ∈ p
⊢ Subalgebra.toSubmodule (p.toSubalgebra h_one h_mul) = p
y : ℝ
this : Tendsto (fun x => 1 + y / x) atTop (𝓝 (1 + 0))
⊢ Tendsto (fun x => log (x + y) - log x) atTop (𝓝 0)
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℤ
⊢ ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2 = (s + 1).Gammaℝ * ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2 / (s + 1).Gammaℝ
K L M : SSet
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
x : (K ⊗ L ⊗ M).obj Δ
⊢ (α_ K L M).inv.app Δ x = ((x.1, x.2.1), x.2.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ k < n, u (k + 1) < c * u k
⊢ ∀ k < n, c * (c ^ k * u 0) ≤ c ^ (k + 1) * u 0
α : Type u_1
p : PosNum
⊢ (↑p).pred = (↑(pos p)).pred
α : Type u_1
n : ℕ
x : Fin n → α
x₀ : Fin 1 → α
⊢ Fin.append x x₀ = Fin.snoc x (x₀ 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ha : Absorbent ℝ s
ε : ℝ
hε₀ : 0 < ε
this : ε • s ∩ -(ε • s) ∈ 𝓝 0
y : E
hy : y ∈ ε • s ∩ -(ε • s)
⊢ gauge s (x + y) ∈ Icc (gauge s x - ε) (gauge s x + ε)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f Set.univ x f' ↔ HasMFDerivAt I I' f x f'
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
h : 0 < (minimalPeriod f x).gcd n
⊢ minimalPeriod f^[n] x = minimalPeriod f x / (minimalPeriod f x).gcd n
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
h : P.parts.card > 0
⊢ s.card % P.parts.card ≤ P.parts.card
X Y : RingCat
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : ↑X), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
LT α
LE α
DecidableRel LT.lt
DecidableEq α
lt_irrefl : ∀ (x : α), ¬x < x
lt_trans : ∀ {x y z : α}, x < y → y < z → x < z
not_lt : ∀ {x y : α}, ¬x < y → y ≤ x
le_antisymm : ∀ {x y : α}, x ≤ y → y ≤ x → x = y
⊢ Batteries.TransCmp fun x x_1 => compareOfLessAndEq x x_1
n : ℕ
h1 : Nat.ble 2 n = true
h2 : 1 = n % 2
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.MinFacHelper n 3
m n✝ : ℕ
inst✝ : NeZero (n✝ + 1 + 1)
k : Fin (n✝ + 1 + 1)
⊢ k * 1 = k
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
n G : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α β : Type v
inst✝² : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
K : Type u_1
k : ℕ
inst✝ : Field K
M : Matrix n n K
m : ℕ
i j : n
⊢ (matPolyEquiv ((↑(expand K k)).mapMatrix (M ^ k).charmatrix)).coeff m i j = (X ^ k - C (M ^ k)).coeff m i j
R : Type u
Semiring R
a : R
⊢ (Polynomial.C a).leadingCoeff = a
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v w : V
hvw : G.Adj v w
u : V
⊢ w = u ↔ u = w
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 ≠ 0
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun p => p.1 ^ p.2) p
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Relation.Fibration (Prod.GameAdd (Relation.CutExpand r) (Relation.CutExpand r)) (Relation.CutExpand r) fun s =>
  s.1 + s.2
V : Type u_2
Quiver V
Quiver.HasReverse V
a b c : V
p : Quiver.Path a b
q : Quiver.Path b c
⊢ (p.comp q).reverse = q.reverse.comp p.reverse
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulOneClass M
f : M → G
map_mul : ∀ (a b : M), f (a * b) = f a * f b
⊢ f 1 = 1
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s✝ : Set α
x✝ y z : α
s : ℕ → Set α
h0 : IsComplete (s 0)
hs : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
h's : ∀ (n : ℕ), IsBounded (s n)
h : ∀ (N : ℕ), (⋂ n, ⋂ (_ : n ≤ N), s n).Nonempty
h' : Tendsto (fun n => diam (s n)) atTop (𝓝 0)
u : ℕ → α := fun N => ⋯.some
I : ∀ (n N : ℕ), n ≤ N → u N ∈ s n
this : CauchySeq u
x : α
xlim : Tendsto (fun n => u n) atTop (𝓝 x)
n : ℕ
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, u x ∈ s n
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.precomposing a b c).obj f = CategoryTheory.Bicategory.precomp c f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
U : CategoryTheory.Comonad C
U.Additive
F G : U.Coalgebra
n : ℕ
α : F ⟶ G
⊢ (n • α).f = n • α.f
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Zero M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
f : Π₀ (x : ι), M
⊢ f.toFinsupp.toDFinsupp = f
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : AddAction Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Module R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
b : Γ'
⊢ ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ b, (x * y).coeff ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2 = ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ b, x.coeff ij.1 • ((of R).symm (y • z)).coeff ij.2
n : ℕ
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
x : R
hx : 1 < x
⊢ 0 < Polynomial.eval x (Polynomial.cyclotomic n R)
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
l : List (Matrix n n α)
⊢ l.prod⁻¹ = (List.map Inv.inv l.reverse).prod
p : ℕ+ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
m : ℕ+
⊢ PNat.find h = m ↔ p m ∧ ∀ n < m, ¬p n
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
Ring A
Algebra R A
f : CliffordAlgebra.EvenHom Q A
m₁ m₂ m₃ : M
x : A × ↥(CliffordAlgebra.even.lift.S f)
⊢ ↑(((CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) m₁) (((CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) m₂) x)).2 m₃ =
  (f.bilin m₃) m₁ * ↑x.2 m₂
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.24237
inst✝ : MulAction R X
r r' r₁ r₂ : R
s t : ↥S
h : ↑t * r = ↑t * r'
r₁' : R
t' : ↥S
hr₁ : ↑t' * r₁ = r₁' * ↑t
⊢ t' • (r₁ * r * r₂) /ₒ (t' * s) = t' • (r₁ * r' * r₂) /ₒ (t' * s)
ξ : ℝ
u : ℤ
v : ℕ
h' : Real.ContfracLegendre.Ass ξ u ↑v
⊢ ∃ n, ↑u / ↑v = ξ.convergent n
ι : Type u
α : ι → Type v
(i : ι) → Preorder (α i)
i : ι
⊢ Monotone (Function.eval i)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
x : Set α
y : Set β
⊢ x ∩ ⇑f ⁻¹' maximals s (⇑f '' x ∩ y) = maximals r (x ∩ ⇑f ⁻¹' y)
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
k : ℕ
⊢ 2 ≤ k → n.descFactorial k < n ^ k
R : Type u_1
CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
a : R
⊢ (starRingEnd ℂ) (φ a) = φ⁻¹ a
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
⊢ e.IsImage s t ↔ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s = e.target ∩ t
f : CircleDeg1Lift
τ' : ℝ
h : Filter.Tendsto (fun n => (⇑f)^[n] 0 / ↑n) Filter.atTop (𝓝 τ')
⊢ f.translationNumber = τ'
n m a b : ℕ
han : a ≤ n
hbn : b ≤ n
⊢ ↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b
p : Fin 2 → ℤ
g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ
⊢ (ModularGroup.lcRow0 p) g = ↑(p 0) * g 0 0 + ↑(p 1) * g 0 1
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : ℵ₀ ≤ #α
a : α
ha : #α < #↑(f ⁻¹' {a})
⊢ ∃ a, ℵ₀ ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : CompleteSpace α
hdiam : VanishingDiam A
hanti : ClosureAntitone A
hnonempty : ∀ (l : List β), (A l).Nonempty
x : ℕ → β
u : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n)
umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n)
this : CauchySeq u
y : α
hy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
n : ℕ
⊢ y ∈ closure (A (x n :: res x n))
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
I J : HasZeroMorphisms C
X Y : C
this : Zero.zero ≫ Zero.zero = Zero.zero
that : Zero.zero ≫ Zero.zero = Zero.zero
⊢ Zero.zero = Zero.zero
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
x r : R
⊢ r ∈ Submodule.colon I (Ideal.span {x}) ↔ r * x ∈ I
R : Type u_1
A : Type u_2
Star R
Star A
x : Unitization R A
⊢ (star x).snd = star x.snd
κ μ : Cardinal.{u}
H1 : ℵ₀ ≤ κ
H2 : 1 ≤ μ
H3 : μ < ℵ₀
⊢ κ ^ μ = κ
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : M
hab : a ≤ b
i : ℕ
⊢ a ^ i ≤ b ^ i
C : Type u₁
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝¹⁰ : AddMonoid M
inst✝⁹ : HasShift C M
inst✝⁸ : HasShift D M
inst✝⁷ : W.IsCompatibleWithShift M
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : HasShift D M
inst✝⁴ : L.CommShift M
X Y Z T : C
inst✝³ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝² : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z
a b c : M
f : SmallShiftedHom W X Y a
g : SmallShiftedHom W Y Z b
h : b + a = c
⊢ ((SmallHom.equiv W L) f ≫ (SmallHom.equiv W L) (g.shift a c h)) ≫ ((L.commShiftIso c).app Z).hom = ((SmallHom.equiv W L) f ≫ ((L.commShiftIso a).app Y).hom) ≫ (shiftFunctor D a).map ((SmallHom.equiv W L) g ≫ ((L.commShiftIso b).app Z).hom) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z)
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
S : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid S
inst✝² : Pow S ℕ
inst✝¹ : Module R✝ S
x : S
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
r : R
a✝ : R[X]
⊢ (leval r) a✝ = a✝.smeval r
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Ico 1 (log p n).succ, n / p ^ i ≤ n / (p - 1)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
j : ι
hj : e.f j = j'
hj' : ¬c.Rel (c.prev j) j
hi' : e.r i' = none
⊢ (K.extend e).d i' j' = 0
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ
⊢ dist ↑a ↑b * dist (↑b) ((starRingEnd ℂ) ↑c) / (2 * √(a.im * b.im) * (2 * √(b.im * c.im))) + dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b) * dist ↑b ↑c / (2 * √(a.im * b.im) * (2 * √(b.im * c.im))) = (dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist ↑b ↑c * dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b)) / (2 * √(a.im * c.im) * dist (↑b) ((starRingEnd ℂ) ↑b))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
⊢ ((affineCombination k (Finset.subtype pred s) fun i => p ↑i) fun i => w ↑i) = (affineCombination k (filter pred s) p) w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → α
h : EqOn f id s
⊢ f '' s = s
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w : V
inst✝ : Fintype V
u v : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
⊢ p.length < Fintype.card V
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
⊢ AntilipschitzWith K f ↔ ∀ (x y : α), dist x y ≤ ↑K * dist (f x) (f y)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a : α
q : ℚ≥0
⊢ 0 ≤ ↑q.num / ↑q.den
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hppos : p > 0
hy : IsPrimitiveRoot y 0
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm 0) K)
⊢ φ (p.lcm 0) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hom₁ : A.obj₁ ⟶ B.obj₁
hom₂ : A.obj₂ ⟶ B.obj₂
hom₃ : A.obj₃ ⟶ B.obj₃
comm₁ : A.mor₁ ≫ hom₂ = hom₁ ≫ B.mor₁ := by aesop_cat
comm₂ : A.mor₂ ≫ hom₃ = hom₂ ≫ B.mor₂ := by aesop_cat
comm₃ : A.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map hom₁ = hom₃ ≫ B.mor₃ := by aesop_cat
⊢ (A.homMk B hom₁ hom₂ hom₃ comm₁ comm₂ comm₃).hom₁ = hom₁
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective (FirstOrder.Language.Substructure.map f)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
S : Set ↑↑(D.V (i, j))
eq₁ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base
eq₂ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base
⊢ ⇑((forget C).map (D.f i k)) ⁻¹' (⇑((forget C).map (D.f i j)) '' S) = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base '' S)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{max (u + 1) v}
h : c < univ.{u, v}
a : Cardinal.{u + 1}
e : lift.{v, u + 1} a = c
h' : a < univ.{u, u + 1}
⊢ ∃ c', c = lift.{max (u + 1) v, u} c'
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : b ≤ a
⊢ a - b = c ↔ a = c + b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
f : Filter α
s : Set β
⊢ sᶜ ∈ kernMap m f ↔ ∃ t, tᶜ ∈ f ∧ m '' t = s
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
g : G
k : ℕ
hk : orderOf g = p ^ k
⊢ g ^ p ^ k = 1
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
⊢ hausdorffEdist s t = 0 ↔ s = t
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
a : α
x : γ
⊢ κ.rnDeriv η a x = ⊤ ↔ (a, x) ∈ κ.mutuallySingularSet η
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.range (Set.projIci a) = Set.univ
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ✝ ψ : L.Formula α
v✝ : α → M
φ : L.Formula α
g : α → β
v : β → M
⊢ (relabel g φ).Realize v ↔ φ.Realize (v ∘ g)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ContinuousConstSMul R M
s : Submodule R M
c : R
⊢ c • closure ↑s ⊆ closure ↑s
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
h₁ : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h₂ : Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)
hx : 0 ∈ quasispectrum S a
⊢ (algebraMap R S) (f 0) = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
⊢ weightedTotalDegree w p = 0 ↔ ∀ m ∈ p.support, ∀ (x : σ), m x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ga ga' : α → α
gb gb' : β → β
h : Function.Semiconj f ga gb
ha : Function.RightInverse ga' ga
hb : Function.LeftInverse gb' gb
⊢ Function.Semiconj f ga' gb'
x✝ y x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ arccos (cos (arcsin x)) = arcsin x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
𝓕 : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
FunLike 𝓕 E E₂
SemilinearIsometryClass 𝓕 σ₁₂ E E₂
f : 𝓕
⊢ Continuous ⇑f
α : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
NoMinOrder α
ClosedIicTopology α
⊢ Filter.atBot ≤ Filter.cocompact α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedDivisionRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set E
x : E
⊢ EMetric.infEdist (c • x) (c • s) = ‖c‖₊ • EMetric.infEdist x s
α : Type u_2
A : Set α
D : Set ↑A
⊢ A ∪ Subtype.val '' D = A
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
e : f ≅ g
⊢ g.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp e.inv.left (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom e.hom.right)
x y b : ℝ
a : CauSeq ℚ abs
⊢ 0 < mk a → 0 < b → 0 < mk a * b
α : Type u
UniformSpace α
⊢ Monotone CauchyFilter.gen
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y'
h : F.obj X' ⟶ Y
k : Y ⟶ Y'
w : f ≫ (adj.homEquiv X Y') g = (adj.homEquiv X' Y) h ≫ G.map k
⊢ F.map f ≫ g = h ≫ k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
s✝ t : Finset α
x : α × α
a : α
ι : Type u_4
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableRel LE.le
inst✝ : DecidableRel LT.lt
s : Finset ι
⊢ filter (fun i => i.1 < i.2) s.offDiag = filter (fun i => i.1 ≤ i.2) s.offDiag
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
f : ℤ → ℤ := fun m => ⌊fract (ξ * ↑m) * (↑n + 1)⌋
⊢ ∃ j k, 0 < k ∧ k ≤ ↑n ∧ |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ LieModule.IsTrivial L ↥↑N ↔ N ≤ LieModule.maxTrivSubmodule R L M
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ ((a ⊔ b) ⊓ b ⇨ a) ⊓ ((a ⊔ b) ⊓ a ⇨ b) = a ⇔ b
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
ϖ : R
⊢ Irreducible ϖ ↔ LocalRing.maximalIdeal R = Ideal.span {ϖ}
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.range = ⊤
⊢ ↑⊤ = ⊤
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
hz : 0 < k
⊢ (s.orderEmbOfFin h) ⟨k - 1, ⋯⟩ = s.max' ⋯
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
⊢ IsLeast {a | f a ≤ a} (OrderHom.lfp f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
φ : α → 𝕜
hφ : Memℒp φ 1 μ
hf : Memℒp f ⊤ μ
⊢ Memℒp (φ • f) 1 μ
R : Type u_1
Semiring R
r : R → R → Prop
⊢ ∀ (x x_1 : RingQuot r),
  RingQuot.mul r x x_1 =
    match x, x_1 with
    | { toQuot := a }, { toQuot := b } => { toQuot := Quot.map₂ (fun x x_2 => x * x_2) ⋯ ⋯ a b }
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable' m (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω) μ
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
n : ℕ
p : G.Walk v w
h : G.Adj u v
hn : n ≠ 0
i : ℕ
hi : i.succ = n
⊢ (cons h p).getVert n = p.getVert (n - 1)
K : Subfield ℂ
ψ : ↥K →+* ℂ
hc : UniformContinuous ⇑ψ
this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk
this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring
ι : ↥K → ↥K.topologicalClosure := ⇑(Subfield.inclusion ⋯)
ui : UniformInducing ι
di : DenseInducing ι := UniformInducing.denseInducing ui ?refine_1
⊢ (↑↑ψ).toFun = ⇑K.subtype ∨ (↑↑ψ).toFun = ⇑(starRingEnd ℂ) ∘ ⇑K.subtype
α : Type u
s t : Stream'.WSeq α
⊢ s ~ʷ t → t ~ʷ s
R : Type uR
CommRing R
A : Type uA
AddCommGroup A
A' : Type u_1
AddCommGroup A'
B : Type uB
AddCommGroup B
Module R A
Module R A'
Module R B
f : A →ₗ[R] A'
⊢ ↑CharacterModule.homEquiv.symm ∘ₗ CharacterModule.dual (LinearMap.rTensor B f) ∘ₗ ↑CharacterModule.homEquiv =
  LinearMap.lcomp R (CharacterModule B) f