ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
m : Set (Measure α)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
μ : Measure α
hμ : μ ∈ m
u : Set α
htu : t ⊆ u
_hu : MeasurableSet u
hm : ∀ {s t : Set α}, s ⊆ t → OuterMeasure.sInfGen (toOuterMeasure '' m) s ≤ μ t
⊢ (⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t ∩ s)) + ⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t \ s) ≤ μ (u ∩ s) + μ (u \ s)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s : ι → M
indep : Set ι → Prop := fun I => LinearIndependent (ι := ↑I) R (s ∘ Subtype.val)
X : Type u' := { I // indep I }
r : X → X → Prop := fun I J => ↑I ⊆ ↑J
key : ∀ (c : Set X), IsChain r c → indep (⋃ I ∈ c, ↑I)
trans : Transitive r
I : Set ι
hli : indep I
hmax : ∀ (a : X), r ⟨I, hli⟩ a → r a ⟨I, hli⟩
⊢ ∃ I, (LinearIndependent R fun (x : ↑I) => s ↑x) ∧ ∀ (J : Set ι), I ⊆ J → (LinearIndependent R fun (x : ↑J) => s ↑x) → I = J
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
s : SignedMeasure α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA₁ : MeasurableSet A
hB₁ : MeasurableSet B
hA₂ : 0 ≤ ↑s A
hB₂ : 0 ≤ ↑s B
hAB : ↑s A + ↑s B = 0
⊢ ↑s A = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p => (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
hf : ContinuousOn (fun p => ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) sp
hsp : ∀ p ∈ sp, ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ 0 ∧ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ ↑π
hp₃ : (p₁, p₃, p₂) ∈ sp
⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₁ p₃ p₂).sign
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
dtop : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
⊢ f' v ∈ tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
⊢ coroot k = (preReflection α' (p.toLin α)) β'
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ZetaAsymptotics.term n 1 = Real.log (↑n + 1) - Real.log ↑n - 1 / (↑n + 1)
R : Type u
S : Type u'
M✝ : Type v
N : Type w
K : Type u_1
M : Type u_2
L : Type v
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Ring M
inst✝⁵ : Algebra K M
inst✝⁴ : Module.Free K M
inst✝³ : Module.Finite K M
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
⊢ #(M →ₐ[K] L) ≤ lift.{v, u_2} (Module.rank K M)
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
⊢ HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.prod φ HNNExtension.NormalWord.empty.toReducedWord = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
f✝ : α → α
s✝ : Set α
μ✝ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : α → α
μ : Measure α
h : Conservative f μ
this : ∀ s ∈ countableBasis α, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
x : α
hx : ∀ i ∈ countableBasis α, x ∈ i → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ i
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 x
o : Set α
hoS : o ∈ countableBasis α
hxo : x ∈ o
hos : o ⊆ s
⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
H : G.Subgraph
H' : G'.Subgraph
⊢ SimpleGraph.Subgraph.map f H ≤ H' ↔ H ≤ SimpleGraph.Subgraph.comap f H'
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
h : Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))
n : ℕ+
h_char_zero : CharZero (R ⧸ Ideal.span {↑↑n})
⊢ False
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : Summable fun x => ‖term f s x‖
H : ∀ (C : ℝ), ∃ n, n ≠ 0 ∧ C * ↑n ^ s.re < ‖f n‖
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
hn : (∑' (n : ℕ), ‖term f s n‖) * ↑n ^ s.re < ‖f n‖
this : ‖f n‖ ≤ (∑' (i : ℕ), ‖term f s i‖) * ↑n ^ s.re
⊢ False
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Icc a b))] g
H : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ioc a b), f x ≤ g x := Eventually.filter_mono (ae_mono (Measure.restrict_mono Ioc_subset_Icc_self (le_refl μ))) h
⊢ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I * J ≤ 1
⊢ J ≤ dual A K I
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
x : A
A_alg : IsAlgebraic R x
p : R[X]
hp₁ : p ≠ 0
hp₂ : (aeval x) p = 0
⊢ map (algebraMap R S) p ≠ 0
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
Div M
a b : M
⊢ ↑(a / b) = ↑a / ↑b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
R₁ R₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (CategoryTheory.ComposableArrows.mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (CategoryTheory.ComposableArrows.mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 0 ⋯)
h₁ : CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 1 ⋯)
h₃ : CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 3 ⋯)
⊢ CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 2 ⋯)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S : CategoryTheory.ComposableArrows C n
hS : S.Exact
i j k : ℕ
hij : i + 1 = j := by omega
hjk : j + 1 = k := by omega
hk : k ≤ n := by omega
⊢ (S.sc' ⋯ i j k ⋯ ⋯ ⋯).Exact
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
s : Set E
⊢ EMetric.diam (⇑f '' s) = EMetric.diam s
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup Fₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜 Fₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →SL[σ₁₂] F
CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ⇑e
h_e : UniformInducing ⇑e
x : E
⊢ (f.extend e h_dense h_e) (e x) = f x
o : Ordinal.{u_1}
⊢ 0 < Cardinal.aleph o
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
AddGroup α
AddCommSemigroup β
LE β
SubadditiveHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f a ≤ f b + f (a - b)
a b c : ℕ
h : a < b
⊢ insert a (Ico a.succ b) = Ico a b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) + μ.singularPart ν = μ
α : Type u
β : Type u_1
n✝ : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x + 1 < 0
hx0 : x < 0
n : ℕ
hmn✝ : 2 ≤ n
ihn : if Even n then ∑ i ∈ range n, x ^ i < 0 else 1 < ∑ i ∈ range n, x ^ i
⊢ if Even (n + 1) then ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i < 0 else 1 < ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
f : α → β
h₁ : Set.SurjOn f s₁ t₁
h₂ : Set.SurjOn f s₂ t₂
h : Set.InjOn f (s₁ ∪ s₂)
⊢ Set.SurjOn f (s₁ ∩ s₂) (t₁ ∩ t₂)
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
a : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
⊢ Q.parts.card ≤ P.parts.card
α : Type u_1
TopologicalSpace α
z : α
s : Set α
p : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in 𝓝[s] z, p x) ↔ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝 z, p x ∧ x ∈ s
α : Type u_1
DecidableEq α
Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.mulETransformLeft e x).2 = x.2 ∪ e⁻¹ • x.2
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
m n k : α
H : k ∣ m * n
⊢ k ∣ m * gcd k n
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s₁ s₂ : Finset α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ Finset.image f s₁ ⊆ Finset.image f s₂
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0
hfi : MeasureTheory.Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
b : ℝ≥0
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≤ ↑b ↔ ∫ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≤ ↑b
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
IsEmpty ι
m : N
⊢ ⇑(AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι m) = Function.const (ι → M) m
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f₂
small_k : IsKernelPair f₁ a b
⊢ IsLimit (PullbackCone.mk a b ⋯)
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
𝒜 : Finset (Finset α)
h𝒜₁ : 𝒜.Nonempty
h𝒜₂ : univ ∉ 𝒜
h𝒜₃ : 𝒜.Nontrivial
n✝ : ℕ
hm : n✝ + 1 = 𝒜.card
ih : ∀ (𝒜 : Finset (Finset α)), 𝒜.card < n✝ + 1 → 𝒜.Nonempty → univ ∉ 𝒜 → supSum 𝒜 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
⊢ supSum 𝒜 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
⊢ p.toDualRight.symm.dualMap (p.toDualLeft x) = (Module.Dual.eval R M) x
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
φ : MvPowerSeries σ R
u : Rˣ
h : (constantCoeff σ R) φ = ↑u
n : σ →₀ ℕ
this : DecidableEq (σ →₀ ℕ) := Classical.decEq (σ →₀ ℕ)
H : n = 0
⊢ (coeff R 0) (φ * φ.invOfUnit u) = (coeff R 0) 1
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p : Submodule R E
f : { f // IsIdempotentElem f ∧ LinearMap.range f = p }
⊢ ↑(p.isIdempotentElemEquiv f) = LinearMap.codRestrict p ↑f ⋯
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : MulSemiringAction M S
m : M
f : S[X]
x r : S
⊢ eval (m • x) (m • C r) = m • eval x (C r)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
⊢ h.powerBasis.dim = f.natDegree
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝² : (i : ι) → Sub (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderedSub (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
a b : α i
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
h : i ≠ j
⊢ (single i (a - b)) j = (single i a - single i b) j
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α
h : TendstoLocallyUniformly F f p
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
U : α → Set α
t : Finset ↑univ
ht : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x
hU : ∀ᶠ (x : ι) in p, ∀ (i : { x // x ∈ t }), ∀ y ∈ U ↑↑i, (f y, F x y) ∈ V
i : ι
hi : ∀ (i_1 : { x // x ∈ t }), ∀ y ∈ U ↑↑i_1, (f y, F i y) ∈ V
x : α
⊢ (f x, F i x) ∈ V
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
⊢ #↑s = #E
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set β
hs : IsPreconnected s
f : α → β
hinj : Injective f
hf : IsClosedMap f
hsf : s ⊆ range f
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
hsuv : f ⁻¹' s ⊆ u ∪ v
hsu : (f ⁻¹' s ∩ u).Nonempty
hsv : (f ⁻¹' s ∩ v).Nonempty
⊢ (f ⁻¹' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
M : Type w
N : Type w'
f : M ≃ N
⊢ f.empty.toEquiv = f
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ ((MvPolynomial.monomial s) a).degrees ≤ Finsupp.toMultiset s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
X Y Z : SheafOfModules R
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g).val = f.val ≫ g.val
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
h : Tendsto (fun x => eval x P) atTop atTop
this : 0 < P.degree ∧ 0 < P.leadingCoeff
⊢ 0 < P.degree ∧ 0 ≤ P.leadingCoeff
x : ℕ
self : Zsqrtd.Nonsquare x
n : ℕ
⊢ x ≠ n * n
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B X✝ X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : Closed A
inst✝ : Closed B
f : B ⟶ A
X : C
⊢ uncurry ((pre f).app X) = f ▷ (ihom A).obj X ≫ (ihom.ev A).app X
G : Type u_1
inst✝⁷ : CommGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : CompactSpace G
inst✝ : RootableBy G ℤ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
f : G →* G := zpowGroupHom n
hf : Continuous ⇑f
this : (map (⇑f) μ).IsHaarMeasure
⊢ map (fun g => g ^ n) μ = μ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
st : s ⊆ f ⁻¹' t
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set F
u_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
left✝ : u ⊆ insert (f x) t
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u
v : Set E
v_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x
vs : v ⊆ insert x s
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v
xmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v
this✝ : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x
Z : ∃ u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1
this : 𝓝[f ⁻¹' u ∩ v] x = 𝓝[insert x s] x
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e e' : PartialHomeomorph X Y
h : e ≈ e'
⊢ Set.EqOn (↑e.symm) (↑e'.symm) e.target
R : Type u_1
CommSemiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
StarRing R
ContinuousStar R
s : Set R
⊢ (polynomialFunctions s).starClosure = StarAlgebra.adjoin R {(Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom s) Polynomial.X}
n✝ : ℕ
c : Composition n✝
n i : ℕ
⊢ (ones n).sizeUpTo i = min i n
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
hci : μ (s ∩ t) ≠ 0
⊢ 0 < (μ s)⁻¹ * μ (s ∩ t)
R : Type u_1
CommSemiring R
p : ℕ
x : R
⊢ x ∈ pNilradical R p ↔ ∃ n, x ^ p ^ n = 0
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α ↪ β
⊢ f.toFun = ⇑f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Mul G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
⊢ ContinuousMul G
α : Type u_1
AddGroup α
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ SignType.sign (-a) = -SignType.sign a
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x y : A
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
⊢ x * y ∈ S
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Function.Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g MeasureTheory.volume t₁ t₂
hT : 0 < T
t : ℝ
⊢ sInf ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Set.Icc 0 T) + ⌊t / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x ≤ ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
Zero β
⊢ 0 = MeasureTheory.AEEqFun.mk (fun x => 0) ⋯
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
h : LiftRel R ca cb
a : α
b : β
ma : a ∈ ca
mb : b ∈ cb
⊢ R a b
α : Type u_1
s : Finset α
p : α → Prop
h : DecidablePred p
DecidablePred p
⊢ Finset.filter p s = Finset.filter p s
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsBounded s
ht : IsBounded t
Rs : ℝ
hRs : ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ Rs
Rt : ℝ
hRt : ∀ x ∈ t, ‖x‖ ≤ Rt
⊢ IsBounded (s * t)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
hc : DifferentiableAt ℂ f x
⊢ fderiv ℂ (fun x => Complex.sin (f x)) x = Complex.cos (f x) • fderiv ℂ f x
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ LieSubmodule.map f (weightSpace M χ) ≤ weightSpace M₂ χ
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
a : α
⊢ h a = h.toEquiv a
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hst : f =ᵐ[μ.restrict s] g
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ
⊢ (∀ x ∈ m.support, m x • w x = 0) ↔ ∀ (x : σ), m x = 0
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
AddCommGroup N
Module R M₁
Module R M₂
Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
f₁ : Q₁ →qᵢ Qₙ
f₂ : Q₂ →qᵢ Qₙ
hf : ∀ (x : M₁) (y : M₂), QuadraticMap.IsOrtho Qₙ (f₁ x) (f₂ y)
m₁ : CliffordAlgebra Q₁
m₂ : CliffordAlgebra Q₂
i₁ i₂ : ZMod 2
hm₁ : m₁ ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q₁ i₁
hm₂ : m₂ ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q₂ i₂
⊢ (CliffordAlgebra.map f₁) m₁ * (CliffordAlgebra.map f₂) m₂ =
  (-1) ^ (i₂ * i₁) • ((CliffordAlgebra.map f₂) m₂ * (CliffordAlgebra.map f₁) m₁)
I : Type u
β : Type u_2
α : Type u_1
SMul β α
b : β
a : α
⊢ b • Function.const I a = Function.const I (b • a)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ UniformContinuous fun x => Metric.infNndist x s
M : Type u_1
α : Type u_5
β : Type u_6
VAdd M α
VAdd M β
a : M
x : α × β
⊢ a +ᵥ x = (a +ᵥ x.1, a +ᵥ x.2)
G : Type u_1
s : Set G
Group G
⊢ s ⊆ Group.normalClosure s
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
v : V
⊢ G'.neighborSet v ⊆ G'.verts
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
⊢ ∑ i ∈ DFinsupp.support r ×ˢ DFinsupp.support r', ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (i.1 + i.2)) (GradedMonoid.GMul.mul (r i.1) (r' i.2))) n) = ∑ ij ∈ Finset.filter (fun ij => ij.1 + ij.2 = n) (DFinsupp.support r ×ˢ DFinsupp.support r'), ↑(r ij.1) * ↑(r' ij.2)
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
hK : 0 < K
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), μ (closedBall x r) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K⁻¹) * μ (closedBall x (K * r))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P : PresheafOfModules R
X : Cᵒᵖ
⊢ P.map (𝟙 X) = LinearMap.id'
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
M : Ideal A
hM : P < M
P'_ne : ↑P ≠ 0
M'_ne : ↑M ≠ 0
le_one : (↑M)⁻¹ * ↑P ≤ 1
y : A
_hy : y ∈ ⊤
hx : (algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ (fun a => ↑a) ((↑M)⁻¹ * ↑P)
z : A
hzM : z ∈ M
hzp : z ∉ P
zy_mem : (algebraMap A (FractionRing A)) (z * y) ∈ ↑P
⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ (fun a => ↑a) ↑P
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
s : Set α
⊢ (c • OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s = (OuterMeasure.ofFunction (c • m) ⋯) s
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a
⊢ (f₁ - g).neLocus (f₂ - g) = f₁.neLocus f₂
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f : M → N
x y : M
⊢ polar (-f) x y = -polar f x y
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
x : α
⊢ x ∈ {x | f x ≠ 0} ∩ {a | ¬p a} ↔ x ∈ {a | ¬(f a ≠ 0 → p a)}
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
h : FreeGroup.Red.Step L₁ L₂
⊢ FreeGroup.Red.Step (FreeGroup.invRev L₁) (FreeGroup.invRev L₂)
α : Type u_1
x : α
⊢ FreeMonoid.ofList [x] = FreeMonoid.of x
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α → Part β
g : α → β → Part γ
hf : Monotone f
hf' : Continuous { toFun := f, monotone' := hf }
hg : Monotone g
hg' : Continuous { toFun := g, monotone' := hg }
c : Chain α
⊢ ({ toFun := f, monotone' := hf }.partBind { toFun := g, monotone' := hg }) (ωSup c) = { toFun := f, monotone' := hf } (ωSup c) >>= { toFun := g, monotone' := hg } (ωSup c)
z : ℤ
⊢ z ⋖ z + 1
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
M : T.ModelType
T' : L.Theory
h : T' ⊆ T
⊢ (M.subtheoryModel h).struc = M.struc
I : Type u
inst✝⁵ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
f₁ : X₁ ⟶ X₂
f₂ : X₂ ⟶ X₃
g₁ : Y₁ ⟶ Y₂
g₂ : Y₂ ⟶ Y₃
inst✝² : X₁.HasTensor Y₁
inst✝¹ : X₂.HasTensor Y₂
inst✝ : X₃.HasTensor Y₃
⊢ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map (f₁ ≫ f₂)).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₃).map (g₁ ≫ g₂) = (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map f₁).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₂).map g₁) ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map f₂).app Y₂ ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₃).map g₂
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_7
AddCommMonoid M'
Module R M'
e : M ≃ₗ[R] M'
B : LinearMap.BilinForm R M
x y : M'
⊢ (((LinearMap.BilinForm.congr e) B) x) y = (B (e.symm x)) (e.symm y)
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
FloorRing K
Finite ι
x : E
⊢ ∃! v, v +ᵥ x ∈ Zspan.fundamentalDomain b
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
a : n → α
⊢ (Matrix.diagonal a).diag = a
α : Type u
s t : Set α
⊢ (s ∪ t).Countable ↔ s.Countable ∧ t.Countable
R : Type u
σ : Type u_1
a : R
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.C a = (MvPolynomial.monomial 0) a
X : TopCat
x : ↑X
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
p : x ∈ U
⊢ (TopologicalSpace.OpenNhds.inclusion x).obj { obj := U, property := p } = U
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I I' : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
hI' : I' ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
⊢ count K v (I * I') = count K v I + count K v I'