ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
TopologicalSpace R
AddCommGroup M
Module R M
self : ModuleFilterBasis R M
x₀ : R
U : Set M
⊢ U ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets → ∃ V ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V ⊆ (fun x => x₀ • x) ⁻¹' U
J : Type u
inst✝¹ : Category.{?u.24358, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
i : J
⊢ (fun x => ⟨𝟙 (F.obj i) ↑x, ⋯⟩) = 𝟙 ↑(F.eventualRange i)
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
p : P₁
⊢ e.symm (e p) = p
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
c : ℝ≥0∞
⊢ a ≤ ⨅ i, f i + c ↔ ⨆ i, a - f i ≤ c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
x : E
ε : ℝ
h : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, ‖c • (y - x)‖ < ε
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (x : X) (u : Ultrafilter X), ↑u ≤ 𝓝 x → s ∈ u → x ∈ s
a b c : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => (x - c)⁻¹) MeasureTheory.volume a b ↔ a = b ∨ c ∉ [[a, b]]
α : Type u_3
SemilatticeInf α
⊢ (InfHom.id α).withTop = InfTopHom.id (WithTop α)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
f : Quotient (QuotientAddGroup.rightRel H) → G
hf : ∀ (q : Quotient (QuotientAddGroup.rightRel H)), Quotient.mk'' (f q) = q
⊢ Set.range f ∈ AddSubgroup.rightTransversals ↑H
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ ((p + q).sum fun e a => f a * x ^ e) = (p.sum fun e a => f a * x ^ e) + q.sum fun e a => f a * x ^ e
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.23741, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.23745, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
ψ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h₁.IsPreservedBy F
inst✝ : h₂.IsPreservedBy F
⊢ F.map ψ.φK ≫ (h₂.map F).i = (h₁.map F).i ≫ (F.mapShortComplex.map φ).τ₂
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
WfDvdMonoid R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
⊢ ∃ g, Irreducible g ∧ g ∣ f
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
p1 p2 : P
⊢ e.linearIsometryEquiv (p1 -ᵥ p2) = e p1 -ᵥ e p2
α : Type u_1
SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ Set.Ico a b ∩ Set.Ici c = Set.Ico (a ⊔ c) b
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSingletonClass β
hY : Measurable Y
x : β
hX : (MeasureTheory.Measure.map X μ) {x} ≠ 0
s : Set Ω
⊢ ((ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) x) s =
  ((MeasureTheory.Measure.map X μ) {x})⁻¹ * (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ) ({x} ×ˢ s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
n : ℕ∞
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ ContMDiffAt I I' n f₁ x ↔ ContMDiffAt I I' n f x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m✝ m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (OuterMeasure.pi m) (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (m i) (s i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
f : E → 𝕜
g : E → F
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => f x • g x
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k
h's : IntegrableOn f s μ
⊢ ∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α
⊢ List.replicate (n - l.length) a <+: List.leftpad n a l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι₁ : Type u_4
s₁ : Finset ι₁
w₁ : ι₁ → ℝ
v₁ : ι₁ → F
h₁ : ∑ i ∈ s₁, w₁ i = 0
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₂ : ι₂ → ℝ
v₂ : ι₂ → F
h₂ : ∑ i ∈ s₂, w₂ i = 0
⊢ ⟪∑ i₁ ∈ s₁, w₁ i₁ • v₁ i₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₂ i₂ • v₂ i₂⟫_ℝ = (-∑ i₁ ∈ s₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₁ i₁ * w₂ i₂ * (‖v₁ i₁ - v₂ i₂‖ * ‖v₁ i₁ - v₂ i₂‖)) / 2
n✝ b m n : ℕ
⊢ ofDigits b (b.digits n ++ b.digits m) = n + b ^ (b.digits n).length * m
X✝ : Scheme
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
h : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this : IsAffine ↑U
e_1✝ : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U) = ↑↑(Spec (X.presheaf.obj (op U))).toPresheafedSpace
⊢ ⟨genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace, ⋯⟩ = genericPoint ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
α : Type u_2
m : Type u_9
n : Type u_10
Fintype m
Fintype n
Semiring α
A : Matrix m m α
B : Matrix n n α
⊢ (Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B).trace = A.trace * B.trace
z w : ℂ
h : z.im = w.im
⊢ dist z w = dist z.re w.re
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
p_ne_zero : p ≠ 0
hsplit : Splits i p
⊢ p.degree = ↑(Multiset.card (map i p).roots)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ J ≤ I * J / I
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
a : WithBot α
⊢ WithBot.map₂ f a ⊥ = ⊥
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
a b : (i : ι) × α i
⊢ Sigma.Lex (Function.swap r) s a b ↔ Sigma.Lex r (fun i => Function.swap (s i)) b a
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
i : (x : α) → f x ≠ x → β
h : ∀ (x : α) (hx : f x ≠ x) (hx' : f (f x) ≠ f x), i (f x) hx' = g (i x hx)
hi : ∀ (x₁ x₂ : α) (hx₁ : f x₁ ≠ x₁) (hx₂ : f x₂ ≠ x₂), i x₁ hx₁ = i x₂ hx₂ → x₁ = x₂
hg : ∀ (y : β), g y ≠ y → ∃ x, ∃ (hx : f x ≠ x), i x hx = y
x : { x // f x ≠ x }
this : f (f ↑x) ≠ f ↑x
⊢ g (i ↑x ⋯) ≠ i ↑x ⋯
A : Type u_2
B : Type u_3
E : Type u_6
AddMonoid A
AddMonoid B
AddCommGroup E
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
f : ContinuousAddMonoidHom A E
g : ContinuousAddMonoidHom B E
⊢ ∀ (a : A × B), (f.coprod g) a = (ContinuousAddMonoidHom.add E).toAddMonoidHom ((f.sum_map g).toAddMonoidHom a)
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
U : Subring R := Subring.mk' (⋃ i, ↑(S i)) (⨆ i, (S i).toSubmonoid) (⨆ i, (S i).toAddSubgroup) ⋯ ⋯
⊢ ⨆ i, S i ≤ U
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Set.Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + Real.log y
hn : 2 ≤ n
hx : 0 < x
⊢ f ↑n + x * Real.log (↑n - 1) ≤ f (↑n + x)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : IntermediateField F E
⊢ IntermediateField.lift ⊤ = K
α : Type u_1
l : List α
⊢ powersetCardAux 0 l = [0]
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
b : Basis ι R M
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : _root_.Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
bM : Basis m R M
bN : Basis n R N
j : m
i i' : n
j' : m
hij : ¬(i = i' ∧ j = j')
⊢ Pi.single i (Pi.single j' 1 j) i' = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f' g'
⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ c \ a ∆ b = c ⊓ a ⊓ b ⊔ c \ (a ⊔ b)
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S : StarSubalgebra ℂ A
⊢ spectrum ℂ (star a * a) ⊆ Set.Icc 0 ↑‖star a * a‖
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝ : RingHomSurjective τ₂₁
p : Submodule R M
f : M₂ →ₛₗ[τ₂₁] M
hf : ∀ (c : M₂), f c ∈ p
⊢ range (codRestrict p f hf) = comap p.subtype (range f)
α : Type u_1
a : α
Subsingleton α
⊢ Fintype.card α = 1
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ : P
g : G
⊢ p₁ -ᵥ (g +ᵥ p₂) = p₁ -ᵥ p₂ - g
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Module.Free R M
h : ∀ (s : Set M), Basis (↑s) R M → ¬s.Finite
h✝ : Subsingleton R
⊢ finrank R M = 0
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℝ
⊢ 0 < ε → ∃ N, ∀ n ≥ N, ‖PadicInt.limNthHom f_compat r - ↑(PadicInt.nthHom f r n)‖ < ε
ι : Type u_1
M : Type u_3
AddGroup M
f : ι →₀ M
⊢ (-f).toDFinsupp = -f.toDFinsupp
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
t : Set F
hg : HasFDerivWithinAt g g' t (f x)
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hst : Filter.Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝[t] f x)
⊢ HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (g'.comp f') s x
α : Type u_1
a b : Topology.WithLawson α
⊢ Topology.WithLawson.ofLawson a = Topology.WithLawson.ofLawson b ↔ a = b
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ Ioo a b), p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict s, p x
J : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat
inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)
inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)
j : J
⊢ ((limMap (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯).inv ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U))).inv) ≫ ((colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).hom.c.app (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U)) ≫ (Limits.colimit F).presheaf.map (𝟙 (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).hom.base).obj ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U))))) ≫ (Limits.colimit F).presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ (colimit.ι F j).c.app (op U) = limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j)
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.17548, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V c
x✝⁴ x✝³ x✝² : ι
x✝¹ : c.symm.Rel x✝⁴ x✝³
x✝ : c.symm.Rel x✝³ x✝²
⊢ (fun i j => (X.d j i).op) x✝⁴ x✝³ ≫ (fun i j => (X.d j i).op) x✝³ x✝² = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : (j : (Finset V)ᵒᵖ) → G.componentComplFunctor.obj j
sec : s ∈ G.end
K L : (Finset V)ᵒᵖ
h : L ⟶ K
v : V
vnL : v ∉ Opposite.unop L
hs : s L = G.componentComplMk vnL
⊢ s K = G.componentComplMk ⋯
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x : α} {xs : List α} {p : α → Bool} {i : Nat},
  List.findIdx? p (x :: xs) i = if p x = true then some i else List.findIdx? p xs (i + 1)
α : Type u_3
β : Type u_4
AddMonoid β
DecidableEq α
s t : Finset α
h : Disjoint s t
f : α → β
comm : {x | x ∈ s ∪ t}.Pairwise fun a b => AddCommute (f a) (f b)
⊢ (s ∪ t).noncommSum f comm = s.noncommSum f ⋯ + t.noncommSum f ⋯
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
hl : DifferentiableAt 𝕜 l (f x)
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hy : y = f x
⊢ deriv (l ∘ f) x = (fderiv 𝕜 l (f x)) (deriv f x)
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
⊢ ∑' (i : ℕ), m (s i) ≤ m (⋃ i, s i)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Nonsingular P
hPz : P z = 0
hPx : P x ≠ 0
hPy : P y = 0
⊢ False
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hq : q.leadingCoeff = -1
hpq : p.degree < q.degree
this : (-q).coeff (-q).natDegree = 1
⊢ (p + -q).Monic
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
s : Set α
f g : α → β
a : α
h : IsLocalMaxOn f s a
heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g
hmem : a ∈ s
⊢ IsLocalMaxOn g s a
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝³ : Nontrivial α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : Finite ι
x y : ι → α
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
h✝ : Nonempty ι
ε : ι → α
hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i
hxε : ∀ (i : ι), x i + ε i = y i
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∀ (i : ι), x i + ε < y i
β : Type u_1
α : Type u_2
R : α → α → Prop
f : β → Option α
l : List β
⊢ List.Pairwise R (List.filterMap f l) ↔ List.Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ f a → ∀ (b' : α), b' ∈ f a' → R b b') l
α : Type u_1
β : Type u_2
m m' : Multiset α
h✝ : m ≤ m'
xs ys : List α
h : ⟦xs⟧ ≤ ⟦ys⟧
⊢ xs <+~ ys
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
L : Sublattice β
f : LatticeHom α β
⊢ ↑(Sublattice.comap f L) = ⇑f ⁻¹' ↑L
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α →ᵤ β
V : Set (β × β)
⊢ (f, g) ∈ UniformFun.gen α β V ↔ ∀ (x : α), (UniformFun.toFun f x, UniformFun.toFun g x) ∈ V
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : WithBot ℕ
f : R[X]
⊢ f ∈ degreeLE R n ↔ f.degree ≤ n
G : Type u_1
LeftCancelMonoid G
Finite G
n : ℕ
x : G
⊢ orderOf (x ^ n) = orderOf x / (orderOf x).gcd n
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
p : K[X]
hp0 : ¬p = 0
⊢ Irreducible (p * C p.leadingCoeff⁻¹) ↔ Irreducible p
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some '' Iio a = Ioo ⊥ ↑a
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
f : l ≃. m
g : m ≃. n
i : l
j : n
⊢ (f.trans g).toMatrix i j = Option.casesOn (f i) 0 fun fi => g.toMatrix fi j
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
MeasurableSpace X
BorelSpace X
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : CategoryTheory.Over X
S : CategoryTheory.Sieve Z.left
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPushforward (CategoryTheory.Over.map f) ((CategoryTheory.Sieve.overEquiv Z).symm S) =
  (CategoryTheory.Sieve.overEquiv ((CategoryTheory.Over.map f).obj Z)).symm S
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.29676, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.29683, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
d : M
h : ShiftedHom Z T d
⊢ d + 0 + 0 = d
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Surjective (preimage f)
x x' : α
hx : f x = f x'
⊢ x = x'
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ ∃ z, b = a + z • p
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : p₁ ∈ affineSpan k {p₂, p₃}
⊢ affineSpan k {p₂, p₁} ≤ affineSpan k {p₂, p₃}
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ffmE : Fact (μ E < ⊤)
hInner : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε
N : ℕ
hfngε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε / 3
n : ℕ
hn : n ≥ N
hmfngE : AEStronglyMeasurable (E.indicator (f n - g)) μ
⊢ eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
⊢ IsEmpty (α ⊕ β) ↔ IsEmpty α ∧ IsEmpty β
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
h₀ : ¬R = 0
h : IntegrableOn (fun θ => (circleMap 0 R θ * I) • f (circleMap c R θ)) (Ι 0 (2 * π)) volume
⊢ AEStronglyMeasurable (fun θ => f (circleMap c R θ)) (volume.restrict (Ι 0 (2 * π)))
X : Type u_2
TopologicalSpace X
S : DiscreteQuotient X
⊢ DiscreteQuotient.comap (ContinuousMap.id X) S = S
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i : 𝒰.J
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluing 𝒰 f g).U i = CategoryTheory.Limits.pullback (𝒰.map i ≫ f) g
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
⊢ Wbtw R x y z
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
m : α → β
s : Set α
hf : Function.Injective m
⊢ m '' s ∈ Filter.map m f ↔ s ∈ f
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ a ∈ s → Multiset.ndinsert a s = s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
p : R
z : S
hp : p ∈ comap (algebraMap R S) (conductor R x)
l : R →₀ S
H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I
H' : (l.sum fun i a => a • (algebraMap R S) i) = z
⊢ (l.sum fun a c => c • (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) p) ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Finset.map Fin.valEmbedding (Finset.Ioc a b) = Finset.Ioc ↑a ↑b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
a n' : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn : n + a = n'
m m' : ℤ
hm' : m + a = m'
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n m (γ.leftUnshift n hn) =
  a.negOnePow • (CochainComplex.HomComplex.δ n' m' γ).leftUnshift m hm'
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
obs : ∀ (i : γ), (μs i).testAgainstNN f ≤ nndist f 0 * (μs i).mass
⊢ Tendsto (fun b => dist ((μs b).testAgainstNN f) 0) F (𝓝 0)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : PreservesLimit (cospan h i) F
s : IsPullback f g h i
⊢ ((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone s.cone)).pt ≅ ⋯.cone.pt
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : ℕ → R
a : R
n✝ : ℕ
⊢ (coeff R n✝) ((rescale a) (mk f)) = (coeff R n✝) (mk fun n => a ^ n * f n)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
s t : Set L
h : s ⊆ t
⊢ LieSubalgebra.lieSpan R L s ≤ LieSubalgebra.lieSpan R L t
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
x : E
i : ι
hi : i ∈ s
hix : (s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩) = ⟨(p i) x, ⋯⟩
⊢ ∃ i ∈ s, ↑(s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩) = (p i) x
M : Type u_2
MeasurableSpace M
Mul M
self : MeasurableMul₂ M
⊢ Measurable fun p => p.1 * p.2
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hx : x ≠ 0
hi : i ∈ x.support
⊢ ¬↑i < x.orderTop
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
h : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
this : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose
⊢ h.choose % orderOf μ ≡ h.choose [MOD orderOf ↑↑hμ.toRootsOfUnity]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
F : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor C D
A : CommMon_ C
⊢ (F.mapCommMon.obj A).X = F.obj A.X