ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
ι : Sort u_2
hι : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
U : NonUnitalSubsemiring R := NonUnitalSubsemiring.mk' (⋃ i, ↑(S i)) (⨆ i, (S i).toSubsemigroup) ⋯ (⨆ i, (S i).toAddSubmonoid) ⋯
⊢ x ∈ ⨆ i, S i → ∃ i, x ∈ S i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f g : C(α, β)
ι : Type u_5
S : ι → Set α
φ : (i : ι) → C(↑(S i), β)
hφ : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), (φ i) ⟨x, hxi⟩ = (φ j) ⟨x, hxj⟩
hS : ∀ (x : α), ∃ i, S i ∈ 𝓝 x
i : ι
a✝ : ↑(S i)
⊢ (restrict (S i) (liftCover S φ hφ hS)) a✝ = (φ i) a✝
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
K : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : LipschitzOnWith K f s
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
⊢ J.plusMap (J.toPlus P) = J.toPlus (J.plusObj P)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s t : Set E
y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
⊢ star (a * star (b * c)) = star (a * (star c * star b))
M : Type u_4
N : Type u_5
Zero M
Zero N
f : ZeroHom M N
h1 : f 0 = 0
⊢ { toFun := ⇑f, map_zero' := h1 } = f
R : Type u_1
M M₁ : Type u
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module R M
Module R M₁
HasRankNullity.{u, u_1} R
f : M →ₗ[R] M₁
⊢ Module.rank R ↥(LinearMap.range f) + Module.rank R ↥(LinearMap.ker f) = Module.rank R M
α : Type u
β : Type v
K : Type u
inst✝ : DivisionSemiring K
I : Ideal K
h1 : 1 ∉ I
⊢ I = ⊥
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : (closedBall y ε₂ ∩ ball x ε₁).Nonempty
⊢ dist x y < ε₁ + ε₂
α : Type u_1
Preorder α
⊢ GaloisConnection lowerClosure SetLike.coe
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
z z' : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
Φ : C ⥤ D
Φ.Additive
⊢ (z - z').map Φ = z.map Φ - z'.map Φ
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : Tᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Under.mapFunctor T).obj X = CategoryTheory.Cat.of (CategoryTheory.Under (Opposite.unop X))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this : FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ (∀ᵐ (x : E) ∂μ, L x ∈ s) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Adhesive C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Mono f
H : CategoryTheory.IsPushout f g h i
⊢ H.IsVanKampen
p b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : b ∣ 0
⊢ padicValNat p (0 / b) = padicValNat p 0 - padicValNat p b
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB : ∃ c < π / (b - a), ∃ B, f =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * |z.im|))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
⊢ a ≤ (z * I).im
α : Type v
Preorder α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ Disjoint (Set.Iic a) (Set.Ioc b c)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : OrderTop β
f : α ≃o β
⊢ IsCoatomic α ↔ IsCoatomic β
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
f : LatticeHom β γ
g : LatticeHom α β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.QuasiCompact f ↔ IsSpectralMap ⇑f.val.base
b : Bool
l : List Bool
⊢ List.Chain (fun x x_1 => x ≠ x_1) b l → List.count (!b) l = List.count b l + l.length % 2
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
h : 0 ≤ n
x : Step k 0
⊢ AlgebraicClosure.toStepOfLE' k 0 (n + 1) ⋯ x = (toStepSucc k n) (AlgebraicClosure.toStepOfLE' k 0 n h x)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : δ → γ
hf : MeasurableEmbedding f
a : α
t : Set (β × δ)
ht : MeasurableSet t
b : β
⊢ MeasurableSet {c | (b, c) ∈ t}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ↪o β
he : (range ⇑e).OrdConnected
x y : α
⊢ ⇑e '' Ico x y = Ico (e x) (e y)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsPath
⊢ p.reverse.IsPath
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → List α
hf1 : IsBadSeq (List.SublistForall₂ r) {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} f
hf2 : ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq (List.SublistForall₂ r) List.length {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} n f
hnil : ∀ (n : ℕ), f n ≠ []
this : ∀ (n : ℕ), (f n).headI ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → r (f (g m)).headI (f (g n)).headI
hf' : (∀ (n : ℕ), (if n < g 0 then f n else (f (g (n - g 0))).tail) ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}) → ∃ m n, m < n ∧ List.SublistForall₂ r (if m < g 0 then f m else (f (g (m - g 0))).tail) (if n < g 0 then f n else (f (g (n - g 0))).tail)
⊢ False
a b : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.lift.{v, u} a = Cardinal.lift.{v, u} b ↔ a = b
M : Type u_10
N : Type u_11
Add M
Add N
self : AddHom M N
x y : M
⊢ self.toFun (x + y) = self.toFun x + self.toFun y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
s : Finset X
⊢ IsGδ (↑s)ᶜ
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
⊢ ∀ (a : (n : ℕ) → E n) (u : Set ((n : ℕ) → E n)), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ {s | ∃ x n, s = cylinder x n}, a ∈ v ∧ v ⊆ u
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
motive : M ⊗[R] N → Prop
z : M ⊗[R] N
zero : motive 0
tmul : ∀ (x : M) (y : N), motive (x ⊗ₜ[R] y)
add : ∀ (x y : M ⊗[R] N), motive x → motive y → motive (x + y)
x : FreeAddMonoid (M × N)
x✝ : M × N
y : FreeAddMonoid (M × N)
ih : motive ↑y
m : M
n : N
⊢ motive (↑(FreeAddMonoid.of (m, n)) + ↑y)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism
⊢ LieIdeal.map f ⁅LieIdeal.comap f J₁, LieIdeal.comap f J₂⁆ = ⁅f.idealRange ⊓ J₁, f.idealRange ⊓ J₂⁆
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a : α
⊢ (s ∩ {a}).Subsingleton
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), Set.BijOn (f i) (s i) (t i)
⊢ Function.Bijective (hs.piecewise f)
α : Type u
β : Type v
M : Type w
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
b : M
LinearOrderedCommSemiring M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.Nonempty
hb : t.card • b ≤ ↑s.card
⊢ ∃ y ∈ t, b ≤ ↑(Finset.filter (fun x => f x = y) s).card
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝¹ : F.Initial
inst✝ : (F ⋙ G).Initial
⊢ G.Initial
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
hs : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
ht : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G t μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in t, f x ∂μ
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
⊢ ⇑f.symm ⁻¹' s = ⇑f '' s
k : ℕ
a : ℝ
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ Summable (HurwitzKernelBounds.f_int k a t)
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
⊢ Irreducible (f.comp g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
⊢ a - a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Memℒp f 1 μ
hmeas : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ M, 0 ≤ M ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
⊢ pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄) ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).inv = pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
h : optParam (1 ≠ 0) ⋯
⊢ pred 1 h = 0
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
c : F
hμ : μ ≠ 0
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup (fun x => c) μ = ↑‖c‖₊
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ⇑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
x : E
⊢ ‖(f.extend e h_dense ⋯) (e x)‖ ≤ ↑N * ‖f‖ * ‖e x‖
α : Sort u_1
n m : Nat
f : α → Fin (n + 1) → α
x : α
h : m < n + 1
⊢ Fin.foldl.loop (n + 1) f x m = Fin.foldl.loop n (fun x i => f x i.succ) (f x ⟨m, h⟩) m
p : Ordinal.{u} → Prop
i : Ordinal.{u}
h : ∀ (j : Ordinal.{u}), (∀ k < j, p k) → p j
⊢ p i
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
exps : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R →₀ ℤ
⊢ FractionalIdeal.count K v (exps.prod fun x x_1 => ↑x.asIdeal ^ x_1) = exps v
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
IsNoetherian R A
S : Subalgebra R A
⊢ S.FG
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
r : ℝ
hf' : UniformCauchySeqOn f' l (Metric.ball x r)
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
this✝ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
this : l.NeBot
hr : r ≤ 0
⊢ UniformCauchySeqOn f l (Metric.ball x r)
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
⊢ ∃ g, orderOf g = exponent G
α : Type u_1
AddCommMonoid α
c n : ℕ
x a : α
n' : ℕ
a' : α
h₁ : c * n = n'
h₂ : Mathlib.Tactic.Abel.smul c a = a'
⊢ Mathlib.Tactic.Abel.smul c (Mathlib.Tactic.Abel.term n x a) = Mathlib.Tactic.Abel.term n' x a'
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha✝ : Std.Associative op
ι : Type u_3
t : ι → Multiset α
b : ι → α
b₀ : α
a : ι
ha : Multiset ι
ih : fold op (fold op b₀ (map b ha)) (ha.bind t) = fold op b₀ (map (fun i => fold op (b i) (t i)) ha)
⊢ fold op (fold op b₀ (map b (a ::ₘ ha))) ((a ::ₘ ha).bind t) = fold op b₀ (map (fun i => fold op (b i) (t i)) (a ::ₘ ha))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a✝ : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : CommSemiring α
f g : ι → α
a : ι
s : Finset ι
ha : ∀ x ∈ s, x < a
ihs : ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∏ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j
⊢ ∏ i ∈ insert a s, (f i + g i) = ∏ i ∈ insert a s, f i + ∑ i ∈ insert a s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) (insert a s), (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) (insert a s), f j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
t : CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor P R
⊢ (∀ (x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) →
  CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P R
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
DecidableEq σ
m n : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ (MvPowerSeries.coeff R m) ((MvPowerSeries.monomial R n) a) = if m = n then a else 0
α : Type u_2
CompleteLattice α
k : α
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement k ↔
  ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → k ≤ sSup s → ∃ x ∈ s, k ≤ x
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
TopologicalSpace γ
Preorder γ
g : EsakiaHom β γ
f : EsakiaHom α β
⊢ ⇑(g.comp f) = ⇑g ∘ ⇑f
α : Type u_1
is ts : List α
⊢ (is ++ ts).permutations = List.map (fun x => x ++ ts) is.permutations ++ ts.permutationsAux is.reverse
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
f : CauSeq K norm
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, ‖↑f j - ↑f i‖ < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i
⊢ |(fun n => im (↑f n)) j - (fun n => im (↑f n)) i| ≤ ‖↑f j - ↑f i‖
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
hpq : p ≠ q
hp₁ : p % 2 = 1
hq₁ : q % 2 = 1
hq₂ : ringChar (ZMod q) ≠ 2
h : (quadraticChar (ZMod p)) ↑q = (quadraticChar (ZMod q)) (↑(χ₄ ↑(Fintype.card (ZMod p))) * ↑(Fintype.card (ZMod p)))
⊢ legendreSym q ↑p * legendreSym p ↑q = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2))
α : Type u_1
G : Type u_5
TopologicalSpace G
AddCommGroup G
TopologicalAddGroup G
f : α → G
hf : Summable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∑ k ∈ t, f k ∈ e
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f : CategoryTheory.Over X
⊢ f.iteratedSliceEquiv.inverse = f.iteratedSliceBackward
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
⊢ IsIdempotentElem (maximalIdeal R) ↔ IsField R
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ContinuousOn cos [[a, b]]
b o : Ordinal.{u_1}
hbo : o < b
⊢ Ordinal.log b o = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
⊢ Monotone (AddSubsemigroup.comap f)
k : ℤ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => |Real.tan x|) (nhdsWithin ((2 * ↑k + 1) * Real.pi / 2) {(2 * ↑k + 1) * Real.pi / 2}ᶜ)
  Filter.atTop
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
x : K
hsep : IsSeparable E x
f : E[X] := minpoly E x
hf : f = minpoly E x
E' : IntermediateField F E := adjoin F ↑f.coeffs
this : FiniteDimensional F ↥E'
g : (↥E')[X] := f.toSubring E'.toSubring ⋯
h : Polynomial.map (algebraMap (↥E') E) g = f
⊢ IsSeparable F x
α : Type u_1
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
I : Finset ι
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ (∑ i ∈ I, μ i) s = ∑ i ∈ I, (μ i) s
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
h₁ : Set.BijOn f₁ s₁ t₁
h₂ : Set.BijOn f₂ s₂ t₂
⊢ Set.BijOn (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) (s₁ ×ˢ s₂) (t₁ ×ˢ t₂)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
SMulWithZero 𝕜 E
s : Set E
⊢ StarConvex 𝕜 0 s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : 𝕜⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
SeqCompactSpace X
f_cont : SeqContinuous f
⊢ IsSeqCompact (Set.range f)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
hs : s ≠ Set.univ
⊢ ∃ y ∈ frontier s, Metric.infDist x sᶜ = dist x y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
⊢ FormalMultilinearSeries.radius 0 = ⊤
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
this : (∏ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, if (↑a * ↑x).val ≤ p / 2 then 1 else -1) = ∏ x ∈ filter (fun x => ¬(↑a * ↑x).val ≤ p / 2) (Ico 1 (p / 2).succ), -1
⊢ ∏ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (if (↑a * ↑x).val ≤ p / 2 then 1 else -1) * ↑(↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs = (-1) ^ (filter (fun x => ¬(↑a * ↑x).val ≤ p / 2) (Ico 1 (p / 2).succ)).card * ∏ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑(↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0
H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)
H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty
⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
h : 0 < μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}
x : α
hx : x ∈ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}
⊢ ⟨↑R, ⋯⟩ ≤ ‖(μ[f|m]) x‖₊
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
t : Set E
hst : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p t
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ = Real.arcsin (dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : PreservesColimits S
A : CostructuredArrow S T
P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
hf : Mono f
q : S.obj (unop (Subobject.underlying.obj (projectQuotient (Subobject.mk f)))) ⟶ (Functor.fromPUnit T).obj A.right
hq : S.map (projectQuotient (Subobject.mk f)).arrow.unop ≫ q = A.hom
⊢ op (mk q) ≅ P
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
L.IsLocalization W
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C E
F₁' F₂' : CategoryTheory.Functor D E
h₁ : CategoryTheory.Localization.Lifting L W F₁ F₁'
h₂ : CategoryTheory.Localization.Lifting L W F₂ F₂'
e : F₁ ≅ F₂
⊢ (CategoryTheory.Localization.liftNatIso L W F₁ F₂ F₁' F₂' e).inv =
  CategoryTheory.Localization.liftNatTrans L W F₂ F₁ F₂' F₁' e.inv
α : Type u_1
arr : Array α
l : List α
⊢ (arr ++ l).data = arr.data ++ l
α : Type u
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ a < b → -b < -a
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
self : LieAlgebra.IsKilling R L
⊢ LieIdeal.killingCompl R L ⊤ = ⊥
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L
⊢ ↑K.toLieSubmodule = K.toSubmodule
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
h : IsRelPrime y z
dvd : x ∣ y
⊢ IsRelPrime x z
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
a b : α → 𝕜
u v : α → E
l : Filter α
hab : a ~[l] b
huv : u ~[l] v
φ : α → 𝕜
hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)
habφ : a =ᶠ[l] φ * b
⊢ (fun x => a x • u x) ~[l] fun x => b x • v x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntervalIntegrable (fun x => f' x • (g ∘ f) x) volume a b
hG : CompleteSpace G
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
h_der : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
b : β
t : Set γ
f : β × γ → α
⊢ ∑' (x : ↑({b} ×ˢ t)), f ↑x = ∑' (c : ↑t), f (b, ↑c)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
x h k : G
h3 : h ∈ H
h4 : k ∈ K
h5 : Quotient.out' (mk H K x) = h * x * k
⊢ x = h⁻¹ * Quotient.out' (mk H K x) * k⁻¹
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X✝ Y✝ : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
⊢ (Action.forget (ModuleCat k) (MonCat.of G)).map ((linearization k G).μ X Y) ≫ ↑(finsuppTensorFinsupp' k X.V Y.V).symm = 𝟙 ((Action.forget (ModuleCat k) (MonCat.of G)).obj (MonoidalCategory.tensorObj ((linearization k G).obj X) ((linearization k G).obj Y)))
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r : R[X]
hp : p.Monic
u : R[X]ˣ
hq : (p * ↑u).Monic
⊢ p = p * ↑u
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (shiftFunctor C a).obj X = (shiftFunctor C (a + 0)).obj X
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this✝ : Finite ι
this : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
⊢ Fintype.card ι ≤ Fintype.card ↑w