ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
⊢ f ∈ vanishingIdeal t ↔ ∀ x ∈ t, f ∈ x.asHomogeneousIdeal
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ ∑ j ∈ s, Lagrange.basis s v j = 1
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι'✝ : Type w'
inst✝² : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R M
ι' : Type u_2
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → M
hv : LinearIndependent R v
this : Nontrivial R := nontrivial_of_invariantBasisNumber R
⊢ Fintype.card ι' ≤ Fintype.card ι
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
n a a' : ℤ
ha' : n + a = a'
K : CochainComplex C ℤ
⊢ (CochainComplex.ShiftSequence.shiftIso C n a a' ha').hom.app K =
  CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap ((CochainComplex.shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').hom.app K)
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
e_1✝ : ↑Γ(Spec Γ(X, U), PrimeSpectrum.basicOpen f) = ↑((structureSheaf ↑Γ(X, U)).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
he✝ : CommRing.toCommSemiring = CommRing.toCommSemiring
⊢ CommRingCat.ofHom (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ≫ CommRingCat.ofHom (hU.basicOpenSectionsToAffine f) = StructureSheaf.toOpen (↑Γ(X, U)) (unop (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
R : Type u
CommRing R
hdomain : IsDomain R
r : R
p : Polynomial R
⊢ (RatFunc.laurentAux r) ((algebraMap (Polynomial R) (RatFunc R)) p) =
  (algebraMap (Polynomial R) (RatFunc R)) ((Polynomial.taylor r) p)
b : Bool
n : ℕ
⊢ Nat.bit b n = 2 * n + bif b then 1 else 0
R : Type u
A : Type v
CommRing R
NonUnitalNonAssocRing A
Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ ↑S.toNonUnitalSubring = ↑S
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroup α
a b : α
⊢ mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
U : Set G
hU : IsOpen U
h'U : (interior U).Nonempty
h : μ U ≠ ⊤
K : Set G
hK : IsCompact K
t : Finset G
hKt : K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' U
⊢ μ K < ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasInjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F G : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : CategoryTheory.InjectiveResolution X
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.rightDerivedToHomotopyCategory α).app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map
        ((CategoryTheory.NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex))
      (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv)
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
n : Type w
a : A
m : Matrix n n R
⊢ ((MatrixEquivTensor.toFunBilinear R A n) a) m = a • m.map ⇑(algebraMap R A)
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ Continuous AddOpposite.unop
ι : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
β₁ : ι → Type u_7
β₂ : ι → Type u_8
(i : ι) → AddCommMonoid (β₁ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (β₂ i)
(i : ι) → Module R (β₁ i)
(i : ι) → Module R (β₂ i)
e : (i : ι) → β₁ i ≃ₗ[R] β₂ i
⊢ (DFinsupp.mapRange.linearEquiv e).symm = DFinsupp.mapRange.linearEquiv fun i => (e i).symm
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ : 𝕜
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp : Pair K
predB : K
succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp
succ_nth_den_eq : g.dens (n + 1) = predB
ppredConts : Pair K
nth_conts_eq : g.conts n = ppredConts
nth_den_eq : g.dens n = ppredConts.b
⊢ g.dens (n + 2) = gp.b * predB + gp.a * ppredConts.b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).f' = S.f
α : Type u_4
OrderedSemiring α
self : FloorSemiring α
⊢ GaloisConnection FloorSemiring.ceil Nat.cast
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R
⊢ x ∈ skewAdjoint R ↔ star x = -x
a b : ℝ
hab : a < b
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atTop
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atTop
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atTop
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hl : ∀ b ≥ l, b ∈ s
hl' : Ioi l ⊆ s
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l✝
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
f : α → m β
⊢ Array.mapM f #[] = pure #[]
K : Type u_1
CommRing K
IsDomain K
⊢ ∀ (x : RatFunc K),
  x.inv =
    match x with
    | { toFractionRing := p } => { toFractionRing := p⁻¹ }
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.41028, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.v₁₂.τ₃ ≫ S.v₂₃.τ₃ = 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b • p ≤ toIcoDiv hp a b • p
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ prod.fst ≫ prod.snd = prod.snd ≫ prod.fst
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
a b : R
h : a * x + b * y = 1
⊢ x * y ∣ z * (a * x)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c
⊢ span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * (mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * (mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {XClass W x₁ * (mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * XClass W x₂ * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E 0)
h : ‖f‖ = 0
⊢ f = 0
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
f : M ↪ₑ[L] N
⊢ ⇑f.toEmbedding = ⇑f
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
AddCommMonoid X₁
AddCommMonoid X₂
AddCommMonoid X₃
AddCommMonoid Y₁
AddCommMonoid Y₂
AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Function.Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃
⊢ Function.Exact ⇑g₁₂ ⇑g₂₃
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀ : WithTop (Box ι)
I J : Box ι
i : ι
inst✝ : Finite ι
f : ι →ᵇᵃ[I₀] M
hI : ↑I ≤ I₀
π₁ π₂ : Prepartition I
h : π₁.iUnion = π₂.iUnion
⊢ ∑ J ∈ π₁.boxes, f J = ∑ J ∈ π₂.boxes, f J
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
R : Type u_6
NormedDivisionRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ fderiv 𝕜 Inv.inv x = -((ContinuousLinearMap.mulLeftRight 𝕜 R) x⁻¹) x⁻¹
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a : Γ
⊢ ((HahnSeries.single 0) r * x).coeff a = r * x.coeff a
n b : ℕ
l : List ℕ
x✝¹ x✝ : ℕ
⊢ x✝ * (b ^ x✝¹ * b) = b * (x✝ * b ^ x✝¹)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
⊢ ∑ x ∈ g.range, x * μ (↑g ⁻¹' {x}) = ∑ y ∈ g.range, y * μ (↑g ⁻¹' {y} ∩ s)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ Set.range ⇑e = Set.univ
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set Y
⊢ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (↑e ⁻¹' s) = e.target ∩ s
R : Type u
Semiring R
a b : R[ℕ]
⊢ { toFinsupp := a } = { toFinsupp := b } ↔ a = b
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedCommMonoid M
f : ι → M
hf : f ≤ 1
⊢ ∏ i : ι, f i = 1 ↔ f = 1
G : Type u_1
Group G
g : G
s : Set G
⊢ g ∈ Subgroup.centralizer s ↔ ∀ h ∈ s, h * g * h⁻¹ * g⁻¹ = 1
α : Type u
f : α → Option α
a b : α
l : List α
h : f a = some b
⊢ List.lookmap f (a :: l) = b :: l
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ b✝ c d : α
inst✝⁴ : IsRightCancelAdd α
inst✝³ : ZeroLEOneClass α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
ha : a ≤ 0
b : α
hab : 0 = a + b
⊢ (fun x => x + a * b) (b ^ 2) = (fun x => x + a * b) (a ^ 2)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : Set.InjOn f s
⊢ MeasureTheory.Measure.map (s.restrict f)
    (MeasureTheory.Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) =
  μ.restrict (f '' s)
f : ℕ → ℂ
s : ℝ
hs : abscissaOfAbsConv (logMul f) < ↑s
⊢ LSeriesSummable f ↑s
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))
n : ℕ
S : Set (Vector3 ℕ n.succ)
d : Dioph S
⊢ Dioph {v | ∃ x, Vector3.cons x v ∈ S}
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
⊢ χ = 1 ↔ χ.conductor = 1
α : Type u
Ring α
a b : α
u : αˣ
⊢ a /ₚ u + b = (a + b * ↑u) /ₚ u
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
R₄ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₄
inst✝² : IsDomain R₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : Module R₄ M₄
G : BilinForm R₄ M₄
x y : M₄
a : R₄
ha : a ≠ 0
⊢ (G x) (a • y) = 0 ↔ (G x) y = 0
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal
⊢ Memℓp f p
α : Type u_1
s : Set α
⊢ (fun x => x) ⁻¹' s = s
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ X₄ : CategoryTheory.GradedObject I C
X₁.HasTensor X₂
X₂.HasTensor X₃
X₃.HasTensor X₄
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
X₁.HasTensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃)
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃).HasTensor X₄
X₂.HasTensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₃ X₄)
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂) X₃).HasTensor
    X₄
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃)).HasTensor
    X₄
X₁.HasTensor
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃) X₄)
X₁.HasTensor
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₃ X₄))
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂).HasTensor
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₃ X₄)
X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃
X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃) X₄
X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃) X₄
X₂.HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄
X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄
X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₃ X₄)
X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₃ X₄)
X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.associator X₁ X₂ X₃).hom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₄))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.associator X₁ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃) X₄).hom
      (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₁)
        (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.associator X₂ X₃ X₄).hom)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.associator (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂) X₃ X₄).hom
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.associator X₁ X₂ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₃ X₄)).hom
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f
⊢ S.opcyclesIsoCokernel.inv = CategoryTheory.Limits.cokernel.desc S.f S.pOpcycles ⋯
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
c : ℝ
x : α
hfx : ‖f x‖ ≤ c
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))
hfx0 : ¬‖f x‖ = 0
this : min 1 (c / ‖f x‖) = 1
⊢ Tendsto (fun n => c / ‖↑(hf.approx n) x‖) atTop (𝓝 (c / ‖f x‖))
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
α : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → LinearOrder (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsWellOrder (α i) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Finite ι
s : Set ((i : ι) → α i)
val✝ : Fintype ι
⊢ ∀ (s : Finset ι) (f : ℕ → (s : ι) → α s), ∃ g, ∀ ⦃a b : ℕ⦄, a ≤ b → ∀ x ∈ s, (f ∘ ⇑g) a x ≤ (f ∘ ⇑g) b x
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : ∀ d ∈ 𝓤 α, ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ d}
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε
s : Set ℤ
DecidablePred fun x => x ∈ s
b : ℤ
Hb : ∀ z ∈ s, b ≤ z
Hinh : ∃ z, z ∈ s
⊢ sInf s = ↑(b.leastOfBdd Hb Hinh)
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
i : Fin (n + 1)
e : ℝ × (Fin n → ℝ) ≃ᵐ (Fin (n + 1) → ℝ) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove (fun x => ℝ) i).symm
⊢ (∯ (x : Fin (n + 1) → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (x : ℂ) in C(c i, R i), ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ i.succAbove, R ∘ i.succAbove), f (i.insertNth x y)
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
PartialOrder α
a : α
Preorder β
f : β → α
ExistsAddOfLE α
PosMulStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictMono f
ha : a < 0
⊢ StrictAnti fun x => a * f x
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set α
hs : (s ∩ Function.mulSupport f).Infinite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : A ⟶ B
CategoryTheory.IsIso η
⊢ CategoryTheory.Limits.IsIndObject A → CategoryTheory.Limits.IsIndObject B
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
⊢ Measurable fun a => ((Kernel.sum κ.seq) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsMonomorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Mono (G.map f)
⊢ Mono f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ Set.InjOn (fun a => insert a s) (↑s)ᶜ
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
N : Type w'
g : M ≃ N
⊢ ↑(Equiv.bundledInduced L g) = N
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
U : Opens X
hU : Nonempty ↥U
y : Y
hy : y ∈ (e.subtypeRestr hU).target
⊢ (Subtype.val ∘ ↑(e.subtypeRestr hU).symm) y ∈ e.source
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * (↑sa * r₂) = rb * ↑s₁
hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S
ha' : ↑(sb * sa * s₂) = ↑sb * ra * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * (↑sb * ra * r₃) = rc * ↑s₁
hc' : ((↑sb * ra) • r₃ /ₒ (sb * sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rc • r₁ /ₒ (sc * (sb * sa * s₂))
⊢ (↑sc * rb + rc) • r₁ /ₒ (sc * sb * (sa * s₂)) = (↑sc • rb • r₁ + rc • r₁) /ₒ (sc * (sb * (sa * s₂)))
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
⊢ IsClosed ↑(range (continuousLinearMapOfBilin B))
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
⊢ a ⋖ b ↔ a < b ∧ ∀ (c : α), a ≤ c → c ≤ b → c = a ∨ c = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : γ × β → E
hf : StronglyMeasurable f
⊢ StronglyMeasurable ((fun y => ∫ (x : γ), (fun u => f (u.1, u.2.2)) (x, y) ∂η y) ∘ fun x => (a, x))
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
f : AddHom G H
hf : Function.Injective ⇑f
a0 b0 : G
A B : Finset H
u : UniqueAdd A B (f a0) (f b0)
⊢ UniqueAdd (A.preimage ⇑f ⋯) (B.preimage ⇑f ⋯) a0 b0
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Continuous' f
hg : Continuous' g
⊢ Continuous' fun x => Seq.seq (f x) fun x_1 => g x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : lift.{v, u} o.card < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c.ord, f i hi b < c.ord
a : Ordinal.{max u v}
⊢ lift.{v, u} #(Quotient.out o).α < c
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ yn a1 (n + 2) + yn a1 n ≡ n + 2 + n [MOD a - 1]
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
a : ℕ
⊢ a ∈ p.support → p.natTrailingDegree ≤ a
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
F : CategoryTheory.Functor J (Type w)
⊢ (CategoryTheory.Functor.sectionsFunctor J).obj F = ↑F.sections
α : Type u_1
n : ℕ
p : α → Prop
x : α
v : Vector3 α n
⊢ VectorAllP p (Vector3.cons x v) ↔ p x ∧ VectorAllP p v
x : PartENat
h : x < ⊤ + 1
⊢ x ≤ ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
hx : x ∈ Icc a b
hC : ∀ y ∈ Icc a b, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ C
h : a < b
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Icc a b)
h' : ∀ y ∈ Ico a x, ‖((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C
⊢ ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !
R : Type u
CommRing R
X Y Z : BialgebraCat R
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g).toBialgHom = g.toBialgHom.comp f.toBialgHom
α : Type u_1
MulZeroOneClass α
HasDistribNeg α
a b : SignType
⊢ ↑(a * b) = ↑a * ↑b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
CategoryTheory.Equivalence.TransportsGrothendieckTopology J K e
F : CategoryTheory.Sheaf J A
⊢ ∀ {X Y : Dᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Equivalence.sheafCongr.functor J K e A).obj F).val.map f = F.val.map (e.inverse.map f.unop).op
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
x : A
⊢ ‖(WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)).symm ↑x‖₊ = ‖x‖₊
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
t : Measure α := μ.withDensity (ρ.rnDeriv μ)
eq_add : ρ = ρ.singularPart μ + t
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (ρ.singularPart μ) a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, t.rnDeriv μ x = ρ.rnDeriv μ x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
X : Type u
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
DecidableEq ι
x : X
hf : ContinuousAt f x
i : ι
g : X → π i
hg : ContinuousAt g x
⊢ ContinuousAt (fun a => Function.update (f a) i (g a)) x
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ : MvPowerSeries σ k
h : (constantCoeff σ k) φ ≠ 0
⊢ φ⁻¹ * φ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
hs : s₁ ⊂ s₂
ht : t₁ ⊆ t₂
⊢ s₁.disjSum t₁ ⊂ s₂.disjSum t₂
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
i : n
A B : ↥(center (SpecialLinearGroup n R))
⊢ ↑↑(rootsOfUnity.mkOfPowEq ((↑↑A * ↑↑B) i i) ⋯) = ↑↑(rootsOfUnity.mkOfPowEq (↑↑A i i) ⋯ * rootsOfUnity.mkOfPowEq (↑↑B i i) ⋯)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
s : Finset S
f : S → Tropical (WithTop R)
⊢ untrop (∑ i ∈ s, f i) = sInf (untrop ∘ f '' ↑s)
α : Type u_3
β : Type u_4
x : List α
f : List α → β
h : ∀ (a b : List α), a ≈ b → f a = f b
⊢ Quotient.lift f h ↑x = f x
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a a' : α
b : M
Decidable (a = a')
⊢ (Finsupp.single a b) a' = if a = a' then b else 0