ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α✝
t✝ t₁ t₂ : Set β✝
a : α✝
b : β✝
α : Type u_5
β : Type u_6
s : Set α
t : Set β
p : α × β
⊢ p ∈ (s ×ˢ t)ᶜ ↔ p ∈ sᶜ ×ˢ univ ∪ univ ×ˢ tᶜ
α : Type u
Preorder α
s : Set α
OrderBot α
⊢ IsLeast s ⊥ ↔ ⊥ ∈ s
X : Type u_3
TopologicalSpace X
⊢ IrreducibleSpace X ↔ IsIrreducible ⊤
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s
⊢ ∀ b ∈ Finset.range (card s + 1), b ≠ card s - k → (if k = card s - b then s.esymm b else 0) = 0
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter α
l.IsMeasurablyGenerated
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
⊢ MeasureTheory.IntegrableAtFilter f l μ
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s.dedup.sup = s.sup
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
AddCommMonoid M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
AddCommMonoid N
Module R N
b : Basis ι S M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
⊢ (b.tensorProduct c) (i, j) = b i ⊗ₜ[R] c j
x : PSet
y : PSet
IsEmpty x.Type
IsEmpty y.Type
⊢ x.Equiv y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ 𝓝[I.pi s] x = ⊥ ↔ ∃ i ∈ I, 𝓝[s i] x i = ⊥
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
inst✝² : ∀ (i : ι), InvariantBasisNumber (End (s i))
o : HomOrthogonal s
α β : Type
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
f : α → ι
g : β → ι
i : (⨁ fun a => s (f a)) ≅ ⨁ fun b => s (g b)
c : ι
⊢ Cardinal.mk ↑(f ⁻¹' {c}) = Cardinal.mk ↑(g ⁻¹' {c})
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t s : Set α
⊢ sᶜ ∈ ae μ ↔ μ s = 0
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
i : A
⊢ (ContinuousMonoidHom.inl A B) i =
  ((ContinuousMonoidHom.id A).toMonoidHom i, (ContinuousMonoidHom.one A B).toMonoidHom i)
G : Type u_1
X : Type u_2
Group G
MulAction G X
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
T2Space X
DiscreteTopology G
ContinuousConstSMul G X
compactlyGenerated : ∀ (s : Set (X × X)), IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set (X × X)⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
⊢ ProperlyDiscontinuousSMul G X ↔ ProperSMul G X
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
x : M
hx : (f ^ m) x ∈ ↑(ker (f ^ n))
⊢ (f ^ n) x = 0
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k
d : ℤ
hd : a = d ^ k ∨ a = (-d) ^ k
⊢ ∃ d, a = d ^ k
α : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α
inst✝³ : UniformSpace β✝
inst✝² : UniformSpace γ
inst✝¹ : UniformSpace δ
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
β : ι' → Type u_6
inst✝ : (j : ι') → UniformSpace (β j)
e : ι ≃ ι'
i : ι
⊢ UniformContinuous fun x => (Equiv.piCongrLeft β e).toFun x (e i)
α : Type u
s t : Stream'.WSeq α
⊢ s ~ʷ t → Computation.LiftRel (Stream'.WSeq.BisimO fun x x_1 => x ~ʷ x_1) s.destruct t.destruct
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
⊢ MeasurableSet s
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
y : R
x : A₁
⊢ (algebraMap R A₂) y = e x ↔ (algebraMap R A₁) y = x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
e : α ↪ γ
f : γ → β
⊢ (Multiset.map ((fun x => f x) ∘ ⇑e) s.val).prod = ∏ x ∈ s, f (e x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
a : CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement P
⊢ CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply (f ≫ g) a =
  CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply g (CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f a)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
⊢ card ↑(derangements (Fin (n + 2))) = (n + 1) * card ↑(derangements (Fin n)) + (n + 1) * card ↑(derangements (Fin (n + 1)))
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i j : n
⊢ ∀ x ∈ univ, ↑↑(sign x) * ∏ i_1 : n, A.updateRow i (Pi.single j 1) (x i_1) i_1 = ↑↑(sign x) * ∏ i_1 : n, A.updateColumn j (Pi.single i 1) (x i_1) i_1
ι α : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
CardinalInterFilter l c
s t : ι → Set α
hic : #ι < c
h : ∀ (i : ι), s i ≤ᶠ[l] t i
⊢ ⋃ i, s i ≤ᶠ[l] ⋃ i, t i
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSpace.CountablySeparated α ↔ HasCountableSeparatingOn α MeasurableSet Set.univ
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s
to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s
d_split : ∀ (s t : Set α), MeasurableSet t → d s = d (s \ t) + d (s ∩ t)
d_Union : ∀ (s : ℕ → Set α), Monotone s → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋃ n, s n)))
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
R : Type u_1
S : Type u_4
Semiring R
Semiring S
M : Type u_6
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
N₂ : Type u_9
TopologicalSpace N₂
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
N₃ : Type u_10
TopologicalSpace N₃
AddCommMonoid N₃
Module R N₃
Module S N₂
ContinuousConstSMul S N₂
SMulCommClass R S N₂
Module S N₃
SMulCommClass R S N₃
ContinuousConstSMul S N₃
ContinuousAdd N₂
ContinuousAdd N₃
⊢ ∀ (a : (M →L[R] N₂) × (M →L[R] N₃)), (ContinuousLinearMap.prodₗ S) a = ContinuousLinearMap.prodEquiv.toFun a
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ F.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.id b) =
  F.map₂Iso (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f) ≪≫
    (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (F.map f)).symm ≪≫
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeftIso (F.map f) (F.mapId b)).symm
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s : Set α
ι : Type u_4
t : Finset ι
ht : t.Nonempty
f : ι → α
hf : ∀ i ∈ t, f i ∈ s
⊢ t.sup' ht f ∈ supClosure s
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian f φ
R' : 𝒮
a' : 𝒳
g : R' ⟶ R
f' : R' ⟶ S
hf' : f' = g ≫ f
φ' : a' ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f' φ'
⊢ ∃! χ, p.IsHomLift g χ ∧ χ ≫ φ = φ'
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
ι : Sort u_5
f : AddHom M N
s : ι → AddSubsemigroup N
⊢ AddSubsemigroup.comap f (iInf s) = ⨅ i, AddSubsemigroup.comap f (s i)
R : Type u_1
Semiring R
x : R
k n : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R n) ((PowerSeries.C R) x * PowerSeries.X ^ k) = if n = k then x else 0
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
Nontrivial R
⊢ (Lagrange.nodal s v).natDegree = s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha hb : 1 ≤ 1
⊢ 1 * 1 = 1
α : Type u
β : Type v
⊢ Function.Injective Sum.inl
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y
⊢ ↑(WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal' h) =
  ↑(WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal W x (Polynomial.C y))
a : ℤ
ha0 : 0 < a
⊢ (↑a)⁻¹.num = 1
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : (i : o) → Fintype (n' i)
inst✝ : Fintype o
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
N : (i : o) → Matrix (n' i) (p' i) α
k : o
i : m' k
k' : o
j : p' k'
⊢ (if h : k = k' then ∑ j_1 : n' k, M k i j_1 * N k j_1 (cast ⋯ j) else 0) = ∑ x : o, ∑ x_1 : n' x, (if h : k = x then M k i (cast ⋯ x_1) else 0) * if h : x = k' then N x x_1 (cast ⋯ j) else 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x - g x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
φ : L.Equiv M N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ φ (FirstOrder.Language.Structure.funMap f x) = FirstOrder.Language.Structure.funMap f (⇑φ ∘ x)
a : ℝ≥0∞
n : ℕ
⊢ (a ^ n).toNNReal = a.toNNReal ^ n
α : Type u_3
Inf α
Top α
a : α
⊢ (InfTopHom.id α) a = a
p q : ℚ≥0
hn : p.num = q.num
hd : p.den = q.den
⊢ (↑p).num = (↑q).num
a b p q : ℝ≥0
h✝ h : p.IsConjExponent q
⊢ q = p / (p - 1)
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
B : LinearMap.BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
⊢ Submodule.span K {x} ⊔ B.orthogonal (Submodule.span K {x}) = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
⊢ p.radius ≤ (f.compFormalMultilinearSeries p).radius
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
H : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
x : ↥f.domain
y : ↥g.domain
z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)
hz : ↑x + ↑y = ↑z
⊢ ↑(f.sup g H) z = ↑f x + ↑g y
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ HasFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) x
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
k : ℕ
hk : 0 < k
hμ : f.HasEigenvalue μ
⊢ LinearMap.ker (f - (algebraMap R (End R M)) μ) ≠ ⊥
ε : Type u_1
p : ε → Prop
DecidablePred p
ep : Equiv.Perm { a // p a }
en : Equiv.Perm { a // ¬p a }
a : { a // p a }
⊢ (ep.subtypeCongr en) ↑a = ↑(ep a)
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ f.charpoly.Monic
X : Type u
α : Type v
TopologicalSpace X
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
a b : X
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
f g : X → α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
ha' : f a ≤ g a
hb' : g b ≤ f b
⊢ ∃ x ∈ s, f x = g x
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x y : α
hy : y ∈ p.toList x
⊢ (p.toList x).next y hy = p y
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(p i)) → Decidable (x ≠ 0)
x : N
⊢ (∃ f, ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) f = x) ↔ ∃ f, (f.sum fun i xi => ↑xi) = x
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
h : ¬p i
⊢ (filter p f) i = 0
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
f : Arrow (J ⥤ C)
X✝ Y✝ Z✝ : J
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ data.mapZ { left := f.left.map (x✝¹ ≫ x✝), right := f.right.map (x✝¹ ≫ x✝), w := ⋯ } = data.mapZ { left := f.left.map x✝¹, right := f.right.map x✝¹, w := ⋯ } ≫ data.mapZ { left := f.left.map x✝, right := f.right.map x✝, w := ⋯ }
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → G →L[𝕜] H
d : E → F →L[𝕜] G
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
hd : DifferentiableAt 𝕜 d x
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => (c y).comp (d y)) x =
  ((ContinuousLinearMap.compL 𝕜 F G H) (c x)).comp (fderiv 𝕜 d x) +
    ((ContinuousLinearMap.compL 𝕜 F G H).flip (d x)).comp (fderiv 𝕜 c x)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i1 : ι
⊢ AffineIndependent k p ↔ LinearIndependent k fun i => p ↑i -ᵥ p i1
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
pm : p.natDegree ≤ m
qn : q.natDegree ≤ n
⊢ (p * q).coeff (m + n) = p.coeff m * q.coeff n
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
hb : 0 ≤ 0
⊢ (↑a * ↑0) ^ r = ↑a ^ r * ↑0 ^ r
F : PFunctor.{u}
R : F.M → F.M → Prop
Inhabited F.M
bisim : PFunctor.M.IsBisimulation R
s₁ s₂ : F.M
ps : PFunctor.Approx.Path F
⊢ R s₁ s₂ →
  PFunctor.M.IsPath ps s₁ ∨ PFunctor.M.IsPath ps s₂ →
    PFunctor.M.iselect ps s₁ = PFunctor.M.iselect ps s₂ ∧
      ∃ a f f',
        PFunctor.M.isubtree ps s₁ = PFunctor.M.mk ⟨a, f⟩ ∧
          PFunctor.M.isubtree ps s₂ = PFunctor.M.mk ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : F.B a), R (f i) (f' i)
H : Type u_5
TopologicalSpace H
M : Type u_6
self : ChartedSpaceCore H M
e e' : PartialEquiv M H
⊢ e ∈ self.atlas → e' ∈ self.atlas → IsOpen (e.symm ≫ e').source
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : LinearOrder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : M
h : a * b < c ^ 2
⊢ min a b < c
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
h : i ≠ j
c d : R
⊢ transvection i j c * transvection i j d = transvection i j (c + d)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y
h : CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
⊢ CategoryTheory.IsPullback
  (CategoryTheory.Limits.initial.to
    ((CategoryTheory.Limits.pair X Y).obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left }))
  (CategoryTheory.Limits.initial.to
    ((CategoryTheory.Limits.pair X Y).obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right }))
  c.inl c.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫⁻ (x : γ) in A, ENNReal.ofReal (κ.density ν a x s) ∂ν a = (κ a) (A ×ˢ s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b✝ : α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi : P a s
⊢ P ({x} ∪ s) a
α : Type u_1
LE α
s : Set α
⊢ IsUpperSet (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s) ↔ IsLowerSet s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f✝ f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsLocallyClosed (range f)
t : Set Y
ht : IsLocallyClosed t
hs : IsLocallyClosed (f ⁻¹' t)
⊢ IsLocallyClosed (f '' (f ⁻¹' t))
x : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (x ^ (↑n)⁻¹) ^ n = x
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
hb : b ≠ 0
ha : a ≠ 0
⊢ Rel Associated (factors a) (factors b)
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : N ⊗[R] M
⊢ (⇑(rTensor M g) ∘ ⇑(rTensor M f)) x = (rTensor M g) ((rTensor M f) x)
α : Type u_1
g : GenContFract α
n : ℕ
⊢ g.TerminatedAt n ↔ g.partNums.get? n = none
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
ho : hf.order ≠ ⊤
⊢ ⋯.order = WithTop.map Nat.cast hf.order
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ OrderEmbedding.supIrredLowerSet a = ⟨LowerSet.Iic a, ⋯⟩
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
P : Ideal R
P.IsPrime
I : Ideal S
hI : Ideal.comap (algebraMap R S) I ≤ P
⊢ ∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ Ideal.comap (algebraMap R S) Q ≤ P
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝¹
a✝ : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : Subsingleton α
inst✝ : Fintype α
f : α → β
a : α
this : Unique α
⊢ ∏ x : α, f x = f a
α : Type u_1
a b c : α
LinearOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
⊢ a < b - c ↔ a + c < b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ : Set α
p q : ℝ≥0∞
f : α → E
hfq : Memℒp f q μ
s : Set α
hf : ∀ x ∉ s, f x = 0
hs : μ s ≠ ⊤
hpq : p ≤ q
this : (toMeasurable μ s).indicator f = f
⊢ Memℒp f p μ
α : Type u_1
a b : αˢʸᵐ
⊢ SymAlg.unsym a = SymAlg.unsym b ↔ a = b
T : ℝ
⊢ ∀ (x : ↥circle), ContinuousAt { toFun := Angle.expMapCircle, invFun := fun x => ↑(↑x).arg, left_inv := Angle.arg_expMapCircle, right_inv := expMapCircle_arg }.invFun x
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
F : ι → β → α
S T : Set β
H : UniformEquicontinuousOn F T
hST : S ⊆ T
⊢ UniformEquicontinuousOn F S
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
MulZeroOneClass γ
g₁ g₂ : β →*₀ γ
f : α →*₀ β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
p : β → Prop
u : β → α
⊢ blimsup u f p = ⨅ s ∈ f, ⨆ b, ⨆ (_ : p b ∧ b ∈ s), u b
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
⊢ Filter.Tendsto Inv.inv (𝓝[≠] 0) (Bornology.cobounded α)
b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-b * x ^ 2) = √(π / b) / 2
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : LaurentSeries K
h : ∀ n < 0, f.coeff n = 0
n x✝ : ℕ
⊢ ¬False
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ (b ⇨ c) ⊓ (a ⇨ b) ⊓ a ≤ c
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A L
this : Module.Free A C
⊢ FiniteDimensional.finrank A C = FiniteDimensional.finrank K L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
⊢ _root_.Disjoint s (t ∪ u) ↔ _root_.Disjoint s t ∧ _root_.Disjoint s u
α✝ β✝ : Type u
a✝ : Cardinal.{u_1}
α : Type u_1
b✝ : Cardinal.{u_1}
β : Type u_1
c✝ : Cardinal.{u_1}
γ : Type u_1
hα : Quot.mk Setoid.r α ≠ 0
e : β ↪ γ
a : α
⊢ Quot.mk Setoid.r α ^ Quot.mk Setoid.r β ≤ Quot.mk Setoid.r α ^ Quot.mk Setoid.r γ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a < b
hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)
hf_i : InjOn f (Ioo a b)
this✝ : Inhabited ↑(Ioo a b)
g : ↑(Ioo a b) → δ := (Ioo a b).restrict f
this : StrictMono g ∨ StrictAnti g
⊢ StrictMonoOn f (Ioo a b) ∨ StrictAntiOn f (Ioo a b)
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
f : V ↪ W
g : W ↪ X
⊢ SimpleGraph.map g (SimpleGraph.map f G) = SimpleGraph.map (f.trans g) G
a b : Rat
H1 : a.num.natAbs.gcd b.den ≠ 0
H2 : b.num.natAbs.gcd a.den ≠ 0
⊢ normalize (a.num.div ↑(a.num.natAbs.gcd b.den) * b.num.div ↑(b.num.natAbs.gcd a.den) * ↑(a.num.natAbs.gcd b.den * b.num.natAbs.gcd a.den)) (a.den / b.num.natAbs.gcd a.den * (b.den / a.num.natAbs.gcd b.den) * (a.num.natAbs.gcd b.den * b.num.natAbs.gcd a.den)) ⋯ = normalize (a.num * b.num) (a.den * b.den) ⋯
α : Type u_2
Preorder α
ι : Type u_6
π : ι → Type u_7
(i : ι) → Preorder (π i)
f : (i : ι) → α →o π i
⊢ (RelIso.symm OrderHom.piIso) f = OrderHom.pi f
x : SetTheory.PGame
⊢ x * 0 ≈ 0
α : Type u_1
M : Matroid α
R : Set α
hR : R.Finite
⊢ (M.restrict R).Finite
x y z : Bool
⊢ (x && y && z) = (x && z && y)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X] →+* MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R := eval₂RingHom C (X PUnit.unit)
g : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R →+* R[X] := eval₂Hom Polynomial.C fun x => Polynomial.X
⊢ ∀ (n : PUnit.{?u.2149 + 1}), (f.comp g) (X n) = X n
R : Type u_1
CommRing R
P : Prop
CharZero R
h_equal : Algebra ℚ R → P
h_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P
⊢ P
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E B I X R J : Set α
M : Matroid α
⊢ M ↾ ∅ = emptyOn α
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
f : E →ᴬ[ℝ] F
hs : IsCompact s
x : E
hx : x ∈ s
hw : f x ∈ extremePoints ℝ (⇑f '' s)
ht : IsCompact {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x}
ht₀ : {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x}.Nonempty
hyt : ∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x} → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x} → x ∈ openSegment ℝ x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
y : E
hy : y ∈ s
z : E
hz : z ∈ s
hxyz : x ∈ openSegment ℝ y z
this✝ : (fun a => f a) '' openSegment ℝ y z = openSegment ℝ (f y) (f z)
this : f y = f x ∧ f z = f x
⊢ y = x ∧ z = x
α : Type u_1
β : Type u_2
f₁ f₂ : α → β
a : α
⊢ Set.EqOn f₁ f₂ {a} ↔ f₁ a = f₂ a
δ : ℕ → ℝ
x : UnitAddCircle
⊢ x ∈ addWellApproximable UnitAddCircle δ ↔ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}.Infinite
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ♯ b ≤ a ♯ c → b ≤ c
X : Preord
⊢ preordToCat.obj X = CategoryTheory.Cat.of ↑X
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeSup α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
ss : toSup = toSup
⊢ A = B
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
s t : Set α
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict (s ∪ t)) ↔ AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ AEMeasurable f (μ.restrict t)
p q : ℚ≥0
⊢ p = q ↔ ↑p = ↑q
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
ha : Disjoint a b
hb : Disjoint a c
⊢ Disjoint a (b ∆ c)