ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_3
DivisionCommMonoid G
ζ : G
n : ℕ
hn : 0 < n
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ IsPrimitiveRoot ⋯.unit' n
M : Type u_2
N : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
⊢ ∀ (a : Mᵃᵒᵖ), (AddMonoidHom.op f) a = (AddOpposite.op ∘ ⇑f ∘ AddOpposite.unop) a
ι : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
hl : l ≠ []
f g : ι → M
hlt : ∀ i ∈ l, f i < g i
⊢ (List.map f l).prod < (List.map g l).prod
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun ω => ((ProbabilityTheory.condexpKernel μ m) ω) s
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
this : List.map (fun x => x⁻¹) (cs.rightInvSeq ω.reverse) = cs.rightInvSeq ω.reverse
⊢ (cs.rightInvSeq ω.reverse).prod = cs.wordProd ω
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
P : Finpartition ⊥
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
⊢ ↑(P.parts.biUnion offDiag).card ≤ ε / 2 * ↑⊥.card ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
inst✝ : One β
l : Filter α
f : α → β
hf : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ 1
s t : Set α
h : s.mulIndicator f =ᶠ[l] t.mulIndicator f
⊢ s =ᶠ[l] t
α : Type u_1
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : 0 < a
⊢ (fun x => 1) =ᶠ[nhds a] ⇑SignType.sign
R : Type u_1
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R M₂
e : M ≃ₗ[R] M₂
rs : List R
⊢ RingTheory.Sequence.IsRegular M rs ↔ RingTheory.Sequence.IsRegular M₂ rs
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
e₁ : M₂ ≃SL[σ₂₁] M₁
e₂ : M₃ ≃SL[σ₃₂] M₂
c : M₁
⊢ (e₂.trans e₁).symm c = e₂.symm (e₁.symm c)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ (D.f i i).c.app (op U) ≫ (D.t i i).c.app (op ((Opens.map (D.f i i).base).obj U)) ≫ invApp (D.f i i) ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 ((Opens.map (D.f i i).base).obj U)) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op = (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯)
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : F
⊢ { proj := b, snd := e.symm b y } = ↑e.symm (b, y)
⊢ Filter.Tendsto ENNReal.ofReal Filter.atTop (𝓝 ⊤)
S : ShortComplex Ab
⊢ S.Exact ↔ AddMonoidHom.range S.f = AddMonoidHom.ker S.g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasPullback f f
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f f = 𝟙 X
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n : ℕ
h : a * b ∈ I ^ n
⊢ a ∈ I ^ n ∨ b ∈ I
n : Nat
k : Fin (n + 1)
⊢ 0 * k = 0
b✝ x y a b : ℝ
h₁ : a ≠ 0
h₂ : b ≠ 0
c : ℝ
⊢ (logb (a * b) c)⁻¹ = (logb a c)⁻¹ + (logb b c)⁻¹
χ : DirichletCharacter ℂ 0
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : n ≠ 1
this : ¬IsUnit ↑n
⊢ χ ↑n = δ n
X : Bipointed
⊢ (Bipointed.swapEquiv.functor.obj X).X = X.X
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
⊢ Nontrivial R
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬Irreducible W.polynomial
f g : R[X]
h0 : W.polynomial.coeff 0 = f * g
h1 : W.polynomial.coeff 1 = f + g
⊢ False
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ
⊢ Option.map (Pair.map Rat.cast) (Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (Stream'.Seq.get? ⟨IntFractPair.stream q, ⋯⟩ (n + 1))) = Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (Stream'.Seq.get? ⟨IntFractPair.stream v, ⋯⟩ (n + 1))
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
C : Type u_5
Semiring C
Algebra R C
φ ψ : Unitization R A →ₐ[R] C
h : (↑φ).comp (Unitization.inrNonUnitalAlgHom R A) = (↑ψ).comp (Unitization.inrNonUnitalAlgHom R A)
⊢ φ = ψ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K
⊢ cyclotomic n ℚ = minpoly ℚ μ
α : Type u_1
p : α × α
b : Bool
⊢ (Equiv.boolArrowEquivProd α).symm p b = Bool.casesOn b p.1 p.2
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z✝ : TopCat
Z : C
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
U : Opens ↑X
φ ψ : ((pullback C f).obj F).obj (op U) ⟶ Z
h : ∀ (V : Opens ↑Y) (hV : unop (op U) ≤ (Opens.map f).obj V), ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ φ = ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ ψ
V : Opens ↑Y
as✝ : PUnit.{1}
b : unop ((Functor.fromPUnit (op U)).obj { as := as✝ }) ⟶ unop ((Opens.map f).op.obj (op V))
⊢ ((Functor.LeftExtension.mk ((Opens.map f).op.lan.obj F) ((Opens.map f).op.lanUnit.app F)).coconeAt (op U)).ι.app { left := op V, right := { as := as✝ }, hom := op b } ≫ φ = ((Functor.LeftExtension.mk ((Opens.map f).op.lan.obj F) ((Opens.map f).op.lanUnit.app F)).coconeAt (op U)).ι.app { left := op V, right := { as := as✝ }, hom := op b } ≫ ψ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯
φ' : W.LeftFraction X Y
hφ' : f' = φ'.map L ⋯
⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w✝ w₁✝ w₂✝ : ι → k
p✝ : ι → V
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
⊢ (s.weightedVSub p) w ∈ vectorSpan k {(affineCombination k s p) w₁, (affineCombination k s p) w₂} ↔ ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₁ i - w₂ i)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : Nonempty α
p : α × α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α × α) in atBot, p x) ↔ ∃ a, ∀ k ≤ a, ∀ l ≤ a, p (k, l)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ CategoryTheory.yoneda.obj Y
⊢ CategoryTheory.Yoneda.fullyFaithful.preimage f = f.app (Opposite.op X) (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
e : α
hB : M.Base B
heB : M.Indep (insert e B)
⊢ e ∈ B
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasureTheory.MeasureSpace (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite MeasureTheory.volume
(i : ι) → MetricSpace (α i)
x : (i : ι) → α i
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ MeasureTheory.volume (Metric.ball x r) = ∏ i : ι, MeasureTheory.volume (Metric.ball (x i) r)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ (b : β), ∃ c, Tendsto f (comap i (𝓝 b)) (𝓝 c)
a : α
b : γ
hb : Tendsto f (comap i (𝓝 (i a))) (𝓝 b)
⊢ di.extend f (i a) = f a
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hmt : MeasurableSet t
hcs : μ s ≠ ⊤
u : Set Ω
a✝ : MeasurableSet u
⊢ ((μ s)⁻¹ * μ (s ∩ t))⁻¹ * ((μ s)⁻¹ * μ (s ∩ (t ∩ u))) = (μ (s ∩ t))⁻¹ * μ (s ∩ t ∩ u)
x y y' : ZFSet
H : x.pair y = x.pair y'
ae : ∀ (z : ZFSet), z = {x} ∨ z = {x, y} ↔ z = {x} ∨ z = {x, y'}
he : x = y → y = y'
⊢ x = x ∧ y = y'
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ (wittPolyProdRemainder p (n + 1)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
E : Type u_2
NNNorm E
x : E
⊢ ‖Multiplicative.ofAdd x‖₊ = ‖x‖₊
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ xs : List α
⊢ List.filter p l₁ <:+ List.filter p xs ++ List.filter p l₁
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
G : Type u_6
SMul M G
f : α → G
n : M
⊢ ↑(n • f) = n • ↑f
α : Type u_1
NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ b
⊢ a ∣ b + c ↔ a ∣ c
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : IsNormal f
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ f b < nfpFamily (fun x => f) a ↔ Unit → f b < nfpFamily (fun x => f) a
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
x✝ : R
h : x✝ ∈ closure s
x y : R
hx : x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
q₁ q₂ : R
ihq₁ : x * q₁ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
ihq₂ : x * q₂ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
⊢ x * q₁ + x * q₂ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsSeparatedMap f
g : A → X
cont : Continuous g
inj : Function.Injective g
⊢ IsSeparatedMap (f ∘ g)
M : Type u_1
Monoid M
N : Submonoid M
⊢ Monoid.FG ↥N ↔ N.FG
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
R : ℝ≥0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ BddBelow (Set.range fun n => f n ω)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
LinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
h : ∃ i ∈ s, Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f (F i)
⊢ Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f fun a => s.inf' hs fun i => F i a
R : Type u
Ring R
M : Type v
AddCommGroup M
Module R M
inj : Module.Injective R (ULift.{v', v} M)
⊢ Module.Injective R M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (thickening R s) ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun r => μ (thickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closure s)))
a b : Int
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ a + b < 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f ≈ g
gh : g < h
⊢ f < h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
y : F
hy : y ∈ f '' s
A : PartialEquiv E F := hf.toPartialEquiv hc
Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z
x' : E
x's : x' ∈ s
hx : f x' ∈ f '' s
⊢ ‖↑A.symm (f x') - ↑A.symm y - ↑f'.symm (f x' - y)‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖f x' - y‖
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x y : P.Elements
f : x ⟶ y
eq₁ : yoneda.map (↑f).unop ≫ yonedaEquiv.symm x.snd = yonedaEquiv.symm y.snd
eq₂ : ((G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.1))).map (F.map (↑f).unop).op ≫ (G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst)))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst)))))) = ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) ≫ (G.obj P).map (F.map (↑f).unop).op) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))))))
⊢ yoneda.map (↑f).unop ≫ coconeApp φ x = coconeApp φ y
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace Q
AddTorsor W Q
f g : P →ᴬ[R] Q
h : f.toAffineMap = g.toAffineMap
⊢ f = g
⊢ (SetTheory.PGame.powHalf 1).birthday = 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' : C
iX : X ≅ X'
iY : Y ≅ Y'
iZ : Z ≅ Z'
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
f' : X' ⟶ Y'
g' : X' ⟶ Z'
wf : iX.hom ≫ f' = f ≫ iY.hom
wg : iX.hom ≫ g' = g ≫ iZ.hom
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanExt iX iY iZ wf wg).inv.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left = iY.inv
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : CategoryTheory.Over A
⊢ (CategoryTheory.OverPresheafAux.unitAux η).hom =
  { left := (CategoryTheory.OverPresheafAux.unitAuxAux η.hom).hom,
    right := CategoryTheory.CategoryStruct.id { as := PUnit.unit }, w := ⋯ }
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
p p' : NonUnitalSubring R
x : R
⊢ x ∈ p ⊓ p' ↔ x ∈ p ∧ x ∈ p'
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
f' : F
⊢ HasDerivAt f f' x ↔ HasFDerivAt f (ContinuousLinearMap.smulRight 1 f') x
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ
⊢ (if 0 < b + 1 ∧ b + 1 ≤ a + 1 + 1 then (a + 1 + 1 - (b + 1)) / (b + 1) + 1 else 0) = (a + 1) / (b + 1) + if b + 1 ∣ a + 1 + 1 then 1 else 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.Splitting
⊢ h.op.r = h.s.op
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p.coeff 0 = 0
⊢ p.nextCoeffUp = p.coeff (p.natTrailingDegree + 1)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
⊢ insert a s ∈ 𝓝 a ↔ s ∈ 𝓝[≠] a
G : Type v
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
Group G
MulAction G X
IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ≥0∞
⊢ (fun x => c • x) ⁻¹' EMetric.closedBall x r = EMetric.closedBall (c⁻¹ • x) r
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedRing α
H₁ H₂ : FloorRing α
⊢ H₁ = H₂
M : Type u
RightCancelMonoid M
a b : M
⊢ b ≠ a * b ↔ a ≠ 1
α : Type u
L₁ : List (α × Bool)
x : α × Bool
⊢ FreeAddGroup.Red [x] L₁ ↔ L₁ = [x]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : Module.End R R
⊢ f (f 1) = f 1 ↔ ∀ (x : R), f (f x) = f x
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
H : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.comap f (AddSubgroup.map f H) = H ⊔ f.ker
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
β : Type u_2
Countable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
hm : ∀ (i : β), P (f i)
⊢ MeasureTheory.extend m (⋃ i, f i) = ∑' (i : β), MeasureTheory.extend m (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
m' : MeasurableSpace α
left✝¹ : CountablyGenerated α
left✝ : SeparatesPoints α
m'le : m' ≤ inst✝¹
⊢ Measurable (mapNatBool α)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h₁ : a₁ ≤ a₂
h₂ : b₁ < b₂
⊢ (a₁, b₁) < (a₂, b₂)
b : Ordinal.{u_1}
⊢ 0 ^ succ b = 0 ^ b * 0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
f3val : f3 z = 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain K F m
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G n
h : n + 1 = m
p₁ p₂ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂
⊢ (CochainComplex.mappingCone.liftCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v p₂ p₂ ⋯ =
  β.v p₁ p₂ h₁₂
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
⊢ 2 ^ Fintype.card α * (ℬ ∩ 𝒜).card ≤ ℬ.card * 𝒜.card
x y : ℕ
s t s' t' : ℤ
⊢ (x.xgcdAux s t y s' t').1 = x.gcd y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β
g : γ → δ
x : α ⊕ γ
⊢ (Sum.map f g x).getLeft? = Option.map f x.getLeft?
α : Type u
β : Type u
b : β
⊢ Function.OfArity.const α b 0 = b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0
⊢ ↑⌈a⌉ = ↑⌊a⌋ + 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a
⊢ ↑(HasStrictFDerivAt.toPartialHomeomorph f hf) = f
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ dickson 1 1 p = X ^ p
X : Compactum
A : Set X.A
F : Ultrafilter X.A
hF : F ∈ Compactum.basic (Compactum.cl A)
fsu : Type u_1 := Finset (Set (Ultrafilter X.A))
ssu : Type u_1 := Set (Set (Ultrafilter X.A))
ι : fsu → ssu := fun x => ↑x
C0 : ssu := {Z | ∃ B ∈ F, X.str ⁻¹' B = Z}
AA : Set (Ultrafilter X.A) := {G | A ∈ G}
C1 : ssu := insert AA C0
C2 : Set (Set (Ultrafilter X.A)) := finiteInterClosure C1
claim1 : ∀ B ∈ C0, ∀ C ∈ C0, B ∩ C ∈ C0
⊢ X.str F ∈ Compactum.cl A
n✝ n : ℕ
⊢ n = 1 ↔ ∀ (p : ℕ), Prime p → ¬p ∣ n
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
⊢ ↑(Subalgebra.centralizer R s) = s.centralizer
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α} {s : Set α}, Bornology.IsBounded s ↔ sᶜ ∈ Bornology.cobounded α
p : Prop
h : Decidable p
t : Bool
⊢ (if p then t else false) = (decide p && t)
α : Type u_3
AddMonoid α
h : {x | x ∈ 0}.Pairwise AddCommute
⊢ Multiset.noncommSum 0 h = 0
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ M.LinearDisjoint N ↔
  (Submodule.equivOpposite.symm (MulOpposite.op N)).LinearDisjoint (Submodule.equivOpposite.symm (MulOpposite.op M))
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : Ideal R → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : Ideal R → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : Ideal R → R
hu : ∀ M ∈ s, u M ∈ ⨅ M' ∈ s.erase M, M'
hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
h : ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') * Submodule.span R {v}) = ⊤
⊢ False
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ◁ T.one ≫ actRight P Q = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
α : Type u_1
s : Set α
t : Set ↑s
x : α
x✝ : x ∈ val '' t
y : { x // x ∈ s }
left✝ : y ∈ t
yvaleq : ↑y = x
⊢ ↑y ∈ s
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
MeasurableSpace ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
SecondCountableTopology ι
BorelSpace ι
τ : Ω → ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
TopologicalSpace.MetrizableSpace ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
⊢ MeasureTheory.ProgMeasurable f fun i ω => min i (τ ω)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C
X Y : C
⊢ Small.{w, v} (X ⟶ Y)
R : Type u
Γ₀ : Type v
CommRing R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
CommRing O
Algebra O R
hv : v.Integers O
⊢ integralClosure O R = ⊥
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_15
Norm E
NormedDivisionRing 𝕜
f : α → E
l : Filter α
g : α → 𝕜
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ (f =O[l] fun x => c * g x) ↔ f =O[l] g
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s} ∈ 𝓤 α
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
x : B
h : c ⟶ x
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g} (η : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension.whiskering h).map η =
    CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension.homMk (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η.right h) ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
f : Y → Z
g : LocallyConstant X Y
⊢ ⇑(LocallyConstant.map f g) = f ∘ ⇑g
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (nilradical R).IsPrime
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hm : f.Monic
R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R
ψ : R' →+* S := Ideal.Quotient.lift (nilradical R) φ ⋯
ι : R →+* R' := algebraMap R R'
hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)
a b : R[X]
h : f = a * b
hb : IsUnit (Polynomial.map ι b)
hn : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (b.coeff i)
hc : f.leadingCoeff = (a * b).coeff f.natDegree
⊢ IsUnit (-(a.coeff f.natDegree * b.coeff 0))
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X : C
j : J
⊢ (rightDistributor f X).hom ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j = biproduct.π f j ▷ X
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DenselyOrdered α
a b c : α
h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a / ε ≤ b
ε : α
ε1 : ε < 1
⊢ a * ε ≤ b
⊢ ¬{x | ∀ ⦃a : ℝ⦄, (a ∈ range fun x => ↑x) → x ≤ a}.Nonempty
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
IsNoetherian R M
IsArtinian R M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : Codisjoint N₁ N₂
⊢ LieSubmodule.map N₁.incl (LieModule.posFittingComp R L ↥↑N₁) ⊔
    LieSubmodule.map N₂.incl (LieModule.posFittingComp R L ↥↑N₂) =
  LieModule.posFittingComp R L M
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℤ
h : ↑p ∣ k ^ 2
⊢ p ∣ k.natAbs ^ 2
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
⊢ (∃ a_1, (a_1 ∈ 𝒜 ∧ a ∈ a_1) ∧ a_1.erase a = s) ↔ insert a s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s