ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
⊢ F.comp (CategoryTheory.BasedFunctor.id 𝒴) = F
V : Type u_1
TopologicalSpace V
AddCommGroup V
Module ℝ V
K : ConvexBody V
⊢ Convex ℝ ↑K
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π
left✝ : p2 -ᵥ p3 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p4 -ᵥ p3 = r • (p2 -ᵥ p3)
⊢ InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p4 -ᵥ p2)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
k : ℕ
⊢ (if j = i then 1 else 0) = ↑(if j = i then 1 else 0) k
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
x : α
⊢ x ∈ thickening ε (cthickening δ s) → x ∈ thickening (ε + δ) s
σ : Type u_1
A : Type u_3
CommRing A
IsDomain A
a : A
ha : a ≠ 0
φ : MvPolynomial σ A
⊢ (MvPolynomial.C a * φ).vars = φ.vars
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
⊢ ∃ s, (∀ (i : Fin N), (s i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧ range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
α : Type u_1
DecidableEq (Option α)
s : Finset (Option α)
⊢ Finset.map Function.Embedding.some (Finset.eraseNone s) = s.erase none
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
h : hζ.toInteger = ↑↑p * x + ↑n
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : 1 < pB.dim
⊢ False
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
hn : n ≠ 1
h : ∃ p, Nat.Prime p ∧ n / p ^ n.factorization p = 1
⊢ IsPrimePow n
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : F
⊢ Submodule.map f ⊤ = LinearMap.range f
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : ContDiffAt 𝕜 (↑n) f x
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, ContDiffAt 𝕜 (↑n) f y
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
ι : Type u_5
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F × ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ ‖p.1.prod p.2‖ ≤ 1 * ‖p‖
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
⊢ Nonempty (T.CompleteType α) ↔ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T).IsSatisfiable
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A : Type u_2
inst✝² : AddGroup A
η : Type u_3
f : η → Type u_4
inst✝¹ : (i : η) → Group (f i)
inst✝ : DecidableEq η
I : Finset η
H : Subgroup ((i : η) → f i)
x : (i : η) → f i
h1 : ∀ i ∉ I, x i = 1
h2 : ∀ i ∈ I, Pi.mulSingle i (x i) ∈ H
⊢ x ∈ H
R : Type u
CommSemiring R
x : R
I J : Ideal R
⊢ Ideal.span {x} * I ≤ J ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
⊢ x ∈ ((map f) p).support → x ∈ p.support
J : Type v
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u
inst✝² : Category.{v, u} D
G : D ⥤ C
inst✝¹ : HasLimits D
inst✝ : PreservesLimits G
hG : SolutionSetCondition G
⊢ ∀ (A : C), HasInitial (StructuredArrow A G)
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
⊢ ¬IsUnit p
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ
⊢ (Int.bit a m).lor (Int.bit b n) = Int.bit (a || b) (m.lor n)
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsConnected J
B : C
F : J ⥤ CategoryTheory.Over B
c : CategoryTheory.Limits.Cone (F ⋙ CategoryTheory.Over.forget B)
j : J
⊢ (CategoryTheory.Over.CreatesConnected.raiseCone c).π.app j = CategoryTheory.Over.homMk (c.π.app j) ⋯
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
A B : ↥(Matrix.unitaryGroup n α)
⊢ A = B ↔ ∀ (i j : n), ↑A i j = ↑B i j
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I J : Ideal S
⊢ spanNorm R I * spanNorm R J ≤ spanNorm R (I * J)
𝕜 : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
Field 𝕜
CharZero 𝕜
Ring R
AddCommGroup M
Algebra 𝕜 R
Module 𝕜 M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
IsScalarTower 𝕜 R M
IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
TopologicalRing R
TopologicalAddGroup M
ContinuousSMul R M
ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : MulOpposite.op x.fst • x.snd = x.fst • x.snd
e : R
h : HasSum (fun n => (NormedSpace.expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst) e
⊢ HasSum (fun n => (NormedSpace.expSeries 𝕜 (tsze R M) n) fun x_1 => x)
  (TrivSqZeroExt.inl e + TrivSqZeroExt.inr (e • x.snd))
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
hf : Integrable f volume
⊢ Tendsto (fun c => ∫ (v : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖v‖ ^ 2) • f v) atTop (𝓝 (∫ (v : V), f v))
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : LocallyConstant X Y
⊢ f.toFun = ⇑f
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
hf' : ∀ (i : ι) (x y : β₁ i), f i (x + y) = f i x + f i y
g₁ g₂ : Π₀ (i : ι), β₁ i
i✝ : ι
⊢ (mapRange f hf (g₁ + g₂)) i✝ = (mapRange f hf g₁ + mapRange f hf g₂) i✝
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
x✝ : N
⊢ x✝ ∈ map f H.normalizer → x✝ ∈ (map f H).normalizer
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
RCLike 𝕂
NormedCommRing 𝕊
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝕊
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
Algebra 𝕊 𝔸
ContinuousSMul 𝕊 𝔸
IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
⊢ HasStrictFDerivAt (fun u => NormedSpace.exp 𝕂 (u • x))
  ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (NormedSpace.exp 𝕂 (t • x))) t
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven 0 s = completedRiemannZeta s
G : Type u_1
AddMonoid G
H : Type u_6
AddMonoid H
f : G →+ H
hf : Function.Injective ⇑f
x : G
⊢ addOrderOf (f x) = addOrderOf x
R : Type (max u v)
CommRing R
D : Type v
CategoryTheory.SmallCategory D
I : D ⥤ Ideal R
i : ℕ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit (localCohomology.diagram I i)
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
simple : ∀ (i : B), p (cs.simple i)
one : p 1
mul : ∀ (w w' : W), p w → p w' → p (w * w')
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
⊢ p w
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ (Q₁.tensorComm Q₂).toLinearEquiv = TensorProduct.comm R M₁ M₂
G : Type w
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
a : G
⊢ IsClosedMap fun x => a / x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
α : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
Zero M
Zero N
s : Set α
f : α → M
g : M → N
hg : g 0 = 0
⊢ s.indicator (g ∘ f) = g ∘ s.indicator f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ iteratedDerivWithin n f s x = (fun g => derivWithin g s)^[n] f x
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
r : R
IsLocalization.Away r S
⊢ (Algebra.Generators.localizationAway r).vars = Unit
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
⊢ (a ::ₘ s).Nodup ↔ a ∉ s ∧ s.Nodup
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S x
⊢ f' < slope f x y
A : Type u_1
B : Type u_2
Add A
Add B
Mul A
Mul B
Star A
Star B
e : A ≃⋆+* B
⊢ Function.LeftInverse ⇑e.symm ⇑e
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Flat R M
K N : Type u
AddCommGroup K
Module R K
Module.Finite R K
AddCommGroup N
Module R N
Module.Free R N
Module.Finite R N
f : K →ₗ[R] N
x : N →ₗ[R] M
h : x ∘ₗ f = 0
⊢ ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ a ∘ₗ f = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
l : Filter α
a : α
hf : IsExtrFilter f l a
g : β → γ
hg : Antitone g
⊢ IsExtrFilter (g ∘ f) l a
α : Sort u_4
β : Sort u_5
f : α → β
p : β → Prop
h : ∀ (a : α), p (f a)
⊢ ∀ (a : α), ↑(Subtype.coind f h a) = f a
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝¹ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b c a : α
⊢ 1 ≤ a * mabs a
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
E₁ : A ≌ B
E₂ : C ≌ D
⊢ (E₁.prod E₂).unitIso = CategoryTheory.NatIso.prod E₁.unitIso E₂.unitIso
R : Type u_2
CommSemiring R
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : HahnSeries ℕ A
⊢ (HahnSeries.toPowerSeriesAlg R) f = PowerSeries.mk f.coeff
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
Preorder β
ψ : α → β
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
n : α
hψ : ∀ m < n, ψ (Order.succ m) < ψ m
⊢ StrictAntiOn ψ (Set.Iic n)
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
⊢ 0 ≤ Gamma s
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
hf : ¬BddAbove (Set.range f)
⊢ ⨆ i, f i = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : MulZeroClass α
s t : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ 0 ⊆ 0 * s
α : Type u_2
s : Set α
⊢ Equiv.Perm.IsCycleOn 1 s ↔ s.Subsingleton
β : Type u_2
Group β
γ : Type u_3
Group γ
UniformSpace γ
UniformGroup γ
UniformSpace β
F : Type u_4
FunLike F β γ
MonoidHomClass F β γ
f : F
hf : UniformInducing ⇑f
⊢ UniformGroup β
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J α
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
CategoryTheory.HasWeakSheafify J AddCommGrp
P : PresheafOfModules R₀
F : SheafOfModules R
f : (PresheafOfModules.sheafification α).obj P ⟶ F
⊢ ((PresheafOfModules.sheafificationHomEquiv α) f).hom =
  ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj F))
    ((SheafOfModules.toSheaf R).map f)
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : LaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ (λ_ (F.map f)).hom = F.mapId a ▷ F.map f ≫ F.mapComp (𝟙 a) f ≫ F.map₂ (λ_ f).hom
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : i.Coprime n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ -Real.pi < (↑i - ↑n) * (2 * Real.pi) / ↑n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I J : Ideal S
⊢ span (⇑(Algebra.norm R) '' (↑I * ↑J)) ≤ span (⇑(Algebra.norm R) '' ↑(I * J))
R : Type u
inst✝¹⁷ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁶ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra S L
inst✝⁷ : IsFractionRing S L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsNoetherian R S
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : p.IsMaximal
hp0 : p ≠ ⊥
e : Ideal S → ℕ := ramificationIdx (algebraMap R S) p
f : Ideal S → [inst : p.IsMaximal] → ℕ := inertiaDeg (algebraMap R S) p
inj_RL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
⊢ ∑ P ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset, e P * f P = finrank K L
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
i : ι
x : M
⊢ (f i) x ≤ 1
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ 2 < s.card ↔ ∃ a b c, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ c ∈ s ∧ a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ↑s i < 0
hi₁ : MeasurableSet i
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
A : Set α := i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
hA : A = i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
bdd : ℕ → ℕ := fun n => MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)
hn' : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₁ : ↑s i = ↑s A + ∑' (l : ℕ), ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₂ : ↑s A ≤ ↑s i
h₃' : Summable fun n => 1 / (↑(bdd n) + 1)
h₃ : Tendsto (fun n => ↑(bdd n) + 1) atTop atTop
⊢ ∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ restrict s j ≤ restrict 0 j ∧ ↑s j < 0
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F✝ F : Sheaf J A
⊢ (presheafToSheaf J B).map ((constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)) ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app F) = (presheafToSheaf J B).map ((compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafCompose J U).map ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app F)
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsLowerModularLattice α
IsCoatomistic α
⊢ IsStronglyCoatomic α
α : Type u_2
G : Type u_4
TopologicalSpace α
AddGroup G
AddAction G α
ContinuousConstVAdd G α
c : G
s : Set α
hs : Dense s
⊢ Dense (c +ᵥ s)
K : Type u_1
RCLike K
⊢ ‖2‖ = 2
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
⊢ f =O[l] g → ∃ c, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β : Type u_1
X Y : CategoryTheory.GradedObject β C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (x : β), f x = g x
⊢ f = g
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n
j : Fin n
h : i = j.castSucc
⊢ i.castPred hi = j
a b : Nat
ne : a ≠ b
⊢ a < b ∨ a > b
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : M
s : Set M
⊢ m ∈ Submodule.span R s ↔ ∃ n f g, ∑ i : Fin n, f i • ↑(g i) = m
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq0 : q ≠ 0
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)
hqn : ‖q‖ ≠ 0
⊢ (↑(2 * n + 1)!)⁻¹ • q ^ (2 * n + 1) = ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / ‖q‖) • q
S : Type u_1
CommRing S
d : ℕ
⊢ ↑(PowerSeries.invOneSubPow d) = PowerSeries.mk fun n => ↑((d + n).choose d)
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
DecidableEq H
f : AddHom G H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huH : UniqueAdd (Finset.image (⇑f) A) (Finset.image (⇑f) B) aH bH
huG : UniqueAdd (Finset.filter (fun x => f x = aH) A) (Finset.filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
⊢ UniqueAdd A B aG bG
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
⊢ μ s ≤ (μ.trim hm) s
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
⊢ Algebra.adjoin R ↑(NonUnitalAlgebra.adjoin R s) = Algebra.adjoin R s
X : Fin 2 → Type u
(i : Fin 2) → TopologicalSpace (X i)
⊢ ⇑(Homeomorph.piFinTwo X) = fun f => (f 0, f 1)
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
Unique ι
F : ι → β → α
⊢ UniformEquicontinuous F ↔ UniformContinuous (F default)
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Fintype R
f g : R[X]
hf2 : f.degree = 2
hg2 : g.degree = 2
hR : Fintype.card R % 2 = 1
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
this : ¬∀ ⦃a : R⦄, (∃ a_1 ∈ univ, eval a_1 f = a) → ¬∃ a_2 ∈ univ, eval a_2 (-g) = a
⊢ ∃ a b, eval a f + eval b g = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
LinearOrderedAddCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
hfg : Antivary f g
n : ℕ
⊢ Antivary f (n • g)
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
⊢ (fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ R n)) = fun i => (map (Int.castRingHom R)) ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n))
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
⊢ t ⊆ interior s ↔ ∃ U, IsOpen U ∧ t ⊆ U ∧ U ⊆ s
x : ℝ≥0∞
⊢ ⊥ < ↑x
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → SemilatticeSup (π i)
f : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i
⊢ Function.update f i (a ⊔ b) = Function.update f i a ⊔ Function.update f i b
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ x ∈ Submodule.span R {x}
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
n : ℕ
a : R
n✝ : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R n✝) ↑((monomial n) a) = (PowerSeries.coeff R n✝) ((PowerSeries.monomial R n) a)
R : Type u
σ : Type v
CommSemiring R
i : σ
f : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.pderiv i) (f ^ n) = ↑n * f ^ (n - 1) * (MvPolynomial.pderiv i) f
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : ι → Submodule R M
t : Submodule R N
⊢ map₂ f (⨆ i, s i) t = ⨆ i, map₂ f (s i) t
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W✝ : WeierstrassCurve R
C✝ C C' : VariableChange R
W : WeierstrassCurve R
⊢ (↑C.u⁻¹ * ↑C'.u⁻¹) ^ 6 * (W.a₆ + (C.r * ↑C'.u ^ 2 + C'.r) * W.a₄ + (C.r * ↑C'.u ^ 2 + C'.r) ^ 2 * W.a₂ + (C.r * ↑C'.u ^ 2 + C'.r) ^ 3 - (C.t * ↑C'.u ^ 3 + C.r * C'.s * ↑C'.u ^ 2 + C'.t) * W.a₃ - (C.t * ↑C'.u ^ 3 + C.r * C'.s * ↑C'.u ^ 2 + C'.t) ^ 2 - (C.r * ↑C'.u ^ 2 + C'.r) * (C.t * ↑C'.u ^ 3 + C.r * C'.s * ↑C'.u ^ 2 + C'.t) * W.a₁) = ↑C.u⁻¹ ^ 6 * (↑C'.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C'.r * W.a₄ + C'.r ^ 2 * W.a₂ + C'.r ^ 3 - C'.t * W.a₃ - C'.t ^ 2 - C'.r * C'.t * W.a₁) + C.r * (↑C'.u⁻¹ ^ 4 * (W.a₄ - C'.s * W.a₃ + 2 * C'.r * W.a₂ - (C'.t + C'.r * C'.s) * W.a₁ + 3 * C'.r ^ 2 - 2 * C'.s * C'.t)) + C.r ^ 2 * (↑C'.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C'.s * W.a₁ + 3 * C'.r - C'.s ^ 2)) + C.r ^ 3 - C.t * (↑C'.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C'.r * W.a₁ + 2 * C'.t)) - C.t ^ 2 - C.r * C.t * (↑C'.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C'.s)))
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
S : Set ↑↑(D.V (i, j))
eq₁ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base
⊢ ⇑(pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base '' (⇑(pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base ⁻¹' S) = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base '' S)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
x : ℝ
⊢ Summable fun n => x ^ n / ↑n !
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
A : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
η : Type u_3
f : η → Type u_4
inst✝² : (i : η) → Group (f i)
inst✝¹ : Finite η
inst✝ : DecidableEq η
H : Subgroup ((i : η) → f i)
x : (i : η) → f i
h : ∀ (i : η), Pi.mulSingle i (x i) ∈ H
val✝ : Fintype η
⊢ x ∈ H
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
SetLike S A
SubsemiringClass S A
hSR : SMulMemClass S R A
s : S
⊢ ⇑(SubalgebraClass.val s) = Subtype.val
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
x : α
⊢ normalize (normalize x) = normalize x
P : Type u_1
LE P
s : Order.Ideal P
⊢ s.carrier = ↑s
n : ZNum
⊢ -n.bit1 = (-n).bitm1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S : C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
∀ {X : C} (πX : X ⟶ S),
    CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX))
      C
π₁ π₂ : CategoryTheory.Over S
φ : π₁ ⟶ π₂
⊢ (CategoryTheory.SmallObject.functor f S).map φ =
  CategoryTheory.Over.homMk (CategoryTheory.SmallObject.functorMap f π₁.hom π₂.hom φ.left ⋯) ⋯
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s✝ t✝ : Multiset α
f✝ g✝ : α → Multiset β
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
f : α → Multiset γ
g : β → Multiset δ
h : (r ⇒ Rel p) f g
hst : Rel r s t
⊢ Rel (Rel p) (map f s) (map g t)
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
⊢ IsPreconnected (Set.Icc a b)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
n : P.vars
⊢ (Algebra.Generators.Hom.id P).val n = MvPolynomial.X n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
p : Filter ι
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
F : ι → α →ᵤ[𝔖] β
f : α →ᵤ[𝔖] β
⊢ Filter.Tendsto F p (𝓝 f) ↔ ∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖) ∘ F) ((UniformOnFun.toFun 𝔖) f) p s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
h₁ : SequentialSpace X
h₂ : SequentialSpace X
⊢ SequentialSpace X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
μc : MeasureTheory.Measure γ
g : α → β
e : β ≃ᵐ γ
h : MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑e) μb μc
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑e ∘ g) μa μc ↔ MeasureTheory.MeasurePreserving g μa μb
α : Type u_1
s : Set α
Fintype α
Fintype ↑s
⊢ s.toFinset = Finset.univ ↔ s = Set.univ
R : Type u
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : ℕ
hp : CharP R p
p_ne_zero : p ≠ 0
h : Nat.Prime p
⊢ Nat.Prime p
α : Type u_1
β : Type u_3
f : α → β → β
a : α
h : ∀ (b : β), f a b = b
l : Filter β
⊢ Filter.map₂ f (pure a) l = l
⊢ ⇑Complex.ofRealAm = Complex.ofReal'
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
f : M ≃ₗ[R] N
⊢ ↑(Finsupp.mapRange.linearEquiv f) = Finsupp.mapRange.linearMap ↑f
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
⊢ Projectivization.Subspace.span Set.univ = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : ExteriorAlgebra R M
⊢ x ∈ Submodule.span R (Set.range fun x => (ιMulti R x.fst) x.snd)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
b : M
⊢ Set.range ⇑(Finsupp.single a b) ⊆ {0, b}
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
hm : Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card ≠ 0
⊢ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts.card = 4 ^ P.parts.card