ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝⁴ : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝³ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this✝² : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))
this✝¹ : ∀ (X : C), IsIso (Gl.map (adj.unit.app X))
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
hc'' : ∀ (j : J), α.app j ≫ Gl.map (c.ι.app j) = c'.ι.app j ≫ f
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
c'' : Cocone (F' ⋙ Gr) := { pt := pullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt), ι := { app := fun j => pullback.lift (Gr.map (c'.ι.app j)) (Gr.map (α'.app j) ≫ c.ι.app j) ⋯, naturality := ⋯ } }
cf : (Cocones.precompose β.hom).obj c' ⟶ Gl.mapCocone c'' := { hom := pullback.lift (inv (adj.counit.app c'.pt)) f ⋯ ≫ (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).inv, w := ⋯ }
this✝ : cf.hom ≫ (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).hom ≫ pullback.fst (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt)) ≫ adj.counit.app c'.pt = 𝟙 ((Cocones.precompose β.hom).obj c').pt
this : IsIso cf
⊢ ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) ((whiskerRight α' Gr).app j) (pullback.snd (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) (c.ι.app j)
M : Type u_1
Monoid M
a : M
n : ℕ
⊢ IsUnit a → IsUnit (a ^ n)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct X Y
⊢ coprod.inl ≫ (pushoutZeroZeroIso X Y).inv = pushout.inl 0 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (uncurry f)
F : ℕ → SimpleFunc (α × β) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (uncurry f)
h : ∀ (a : α) (b : β), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b
⊢ Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), f a b ∂κ a
m : ℤ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑m / x) ↔ m ≠ 0 ∧ Irrational x
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
⊢ W.polynomialZ =
  MvPolynomial.X 1 ^ 2 + MvPolynomial.C W.a₁ * MvPolynomial.X 0 * MvPolynomial.X 1 +
      MvPolynomial.C (2 * W.a₃) * MvPolynomial.X 1 * MvPolynomial.X 2 -
    (MvPolynomial.C W.a₂ * MvPolynomial.X 0 ^ 2 + MvPolynomial.C (2 * W.a₄) * MvPolynomial.X 0 * MvPolynomial.X 2 +
      MvPolynomial.C (3 * W.a₆) * MvPolynomial.X 2 ^ 2)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
ι : Type u_5
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S : ι → AddSubmonoid M
⊢ AddSubmonoid.comap f (⨆ i, AddSubmonoid.map f (S i)) = iSup S
a b : ℕ
h₁ : Ordnode.delta * a < b
h₂ : Ordnode.delta * b < a
⊢ False
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
s : Set X
hs : Dense s
x : X
(𝓝[≠] x).NeBot
⊢ Dense (s \ {x})
β : Type u_4
γ : Type u_5
Preorder β
Preorder γ
e : β → γ
hm : ∀ (b₁ b₂ : β), e b₁ ≤ e b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
hu : ∀ (c : γ), ∃ b, c ≤ e b
⊢ Filter.comap e Filter.atTop = Filter.atTop
p x : ℝ
m : ℤ
⊢ LiouvilleWith p (↑m - x) ↔ LiouvilleWith p x
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
g : G
⊢ UniformSpace.Completion.map (⇑f) (↑G g) = ↑H (f g)
α✝ : Type u
m n o✝ : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
α : Type u_4
o : ℕ
ho : o = m + n
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin o
hi : ¬↑(Fin.cast ho i) < m
⊢ ⋯ ▸ v (Fin.subNat m (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ho i)) ⋯) = v ⟨↑i - m, ⋯⟩
G₁ : Type u_7
G₂ : Type u_8
Group G₁
Group G₂
K : Subgroup G₂
f : G₁ →* G₂
h : f.range ≤ K
⊢ f.range.subgroupOf K = (f.codRestrict K ⋯).range
R : Type u_1
CommSemiring R
h : ∃! I, I.IsMaximal
⊢ LocalRing R
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n✝ : ℕ+
g : L ≃+* L
n : ℕ+
t : ↥(rootsOfUnity n L)
⊢ g ↑↑t = ↑(↑t ^ (χ₀ n g).val)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ re ⟪0, x⟫_𝕜 = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : MeasureTheory.Measure E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
μ.IsOpenPosMeasure
μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
x : E
⊢ f.normed μ x ≤ K ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E / (μ (Metric.closedBall c f.rOut)).toReal
α : Type u
s : Stream' α
n : ℕ
⊢ s.enum.get n = (n, s.get n)
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : G × G → CoeSort.coe A
⊢ f ∈ groupCohomology.twoCocycles A ↔ ∀ (g h j : G), f (g * h, j) + f (g, h) = (A.ρ g) (f (h, j)) + f (g, h * j)
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
s : Stream'.Seq (Pair K)
terminatedAt_n : s.get? n = none
⊢ convs'Aux s (n + 1) = convs'Aux s n
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : BorelSpace E
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : TendstoInMeasure μ f u g
⊢ AEMeasurable g μ
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
c : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
s t : Set ℝ
intervalIntegral.FTCFilter a (𝓝[s] a) (𝓝[t] a)
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝[t] a) MeasureTheory.volume
ha : Filter.Tendsto f (𝓝[t] a ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 c)
hs : UniqueDiffWithinAt ℝ s a := by uniqueDiffWithinAt_Ici_Iic_univ
⊢ derivWithin (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) s a = -c
R : Type u_1
AddMonoid R
StarAddMonoid R
⊢ IsSelfAdjoint 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → β → γ
Kα Kβ : ℝ≥0
hα : ∀ (b : β), LipschitzWith Kα fun a => f a b
hβ : ∀ (a : α), LipschitzWith Kβ (f a)
a₁ : α
b₁ : β
a₂ : α
b₂ : β
⊢ edist (f a₁ b₁) (f a₂ b₂) ≤ ↑Kα * edist (a₁, b₁) (a₂, b₂) + ↑Kβ * edist (a₁, b₁) (a₂, b₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioc (f a) b
ha : a ∈ Ici a
has : a ∈ s
b : β
hb : b < f a
⊢ ∀ᶠ (b_1 : α) in 𝓝[≥] a, b < f b_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
⊢ ∀ (x : Sym2 α), x ∈ filter IsDiag (image Sym2.mk (univ ×ˢ univ)) ↔ x.IsDiag
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B' ∪ J
hI' : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B'
B₁ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∪ B' \ X
this : B₁ = B'
⊢ J ⊆ X \ B'
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ k > n, k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
ein : i = n
⊢ xn a1 (n - 1) + xn a1 i % xn a1 n < xn a1 n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : ¬p = 1
a b : R[X]
ha : a.Monic
hb : b.Monic
⊢ a * b = p → a = 1 ∨ b = 1 ↔ a * b = p → a.natDegree = 0 ∨ b.natDegree = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
⊢ (∃ u ∈ 𝓝 x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u) → ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
AddCommMonoid S
f : ℕ → R → S
⊢ Polynomial.sum 0 f = 0
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ map (f.coprod g) (p.prod q) = map f p ⊔ map g q
α : Type u_1
inst✝² : Bornology α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Nonempty α
h : IsOrderBornology α
s : Set α
⊢ s ∈ cobounded α ↔ s ∈ cobounded α
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₃' : P
h : Sbtw ℝ p₃ p₂ p₃'
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁ p₂ p₃' + ↑π
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : LT α
s : Finset ι
f : ι → WithBot α
⊢ ⊥ < ∑ i ∈ s, f i ↔ ∀ i ∈ s, ⊥ < f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
T2Space α
f : β → α
g : γ → α
h : ∀ {a : α}, HasProd f a ↔ HasProd g a
⊢ ∏' (b : β), f b = ∏' (c : γ), g c
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u4
AddCommGroup N
Module R N
n : ℕ
f : M →ₗ[R] N
⊢ (ExteriorAlgebra.map f).toLinearMap.compAlternatingMap (ExteriorAlgebra.ιMulti R n) =
  (ExteriorAlgebra.ιMulti R n).compLinearMap f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝³ : Ring α
a b : α
F : Type u_1
inst✝² : Ring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
f : F
⊢ (map ↑f) (-1) = -1
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
s : Set α
x : α
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction H α
inst✝ : SMulCommClass H G α
g : H
⊢ fundamentalFrontier G (g • s) = g • fundamentalFrontier G s
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : A →₀ A
⊢ (x.sum fun i a => a • (map R S A B) ((D R A) i)) = 0 ↔ (x.sum fun a m => (Algebra.linearMap A B) m • (D S B) ((algebraMap A B) a)) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }
⊢ ∃ i, (κ a) (s ×ˢ Iic ↑↑i) ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : T2Space A
inst✝⁴ : NonUnitalRing A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h✝ : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(quasispectrum 𝕜 a)
s : Set 𝕜
hs : CompactSpace ↑s
_inst : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
φ ψ : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜 →⋆ₙₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 } = ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 }
f : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜
hf : f ∈ ↑(adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id h0})
⊢ f ∈ NonUnitalStarAlgHom.equalizer φ ψ
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
⊢ x ∈ map (LinearMap.fst R M M₂) (fst R M M₂)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
⊢ ∀ n ∈ I, (Φ n) ⁅↑x, ↑y⁆ = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
⊢ ∀ (f_1 g : PolynomialModule R M), (map R' f) (p • f_1) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) f_1 → (map R' f) (p • g) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) g → (map R' f) (p • (f_1 + g)) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) (f_1 + g)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
x : α
hf : Cauchy f
adhs : ClusterPt x f
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
t : Set α
t_mem : t ∈ f
ht : t ×ˢ t ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ f, t ×ˢ t ⊆ s ∧ ∃ y, (x, y) ∈ s ∧ y ∈ t
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b a : α
⊢ ∂ (￢￢a) = ∂ (￢a)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
s : Set α
hs : s.Countable
hf : Integrable f (μ.restrict s)
⊢ ∫ (a : α) in s, f a ∂μ = ∑' (a : ↑s), (μ {↑a}).toReal • f ↑a
⊢ HurwitzZeta.expZeta 0 = riemannZeta
α : Type u_1
CompleteLattice α
u : ℕ → α
⊢ Filter.limsup u Filter.atTop = ⨅ n, ⨆ i, u (i + n)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
x y : A
hx : x ∈ S
hy : y ∈ T
⊢ x * y ∈ S ⊔ T
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
f : M ≃[L] N
⊢ f.symm.toHom.comp f.toHom = Hom.id L M
α : Type u_1
a : α
s t : Multiset α
⊢ (a ::ₘ s).Disjoint t ↔ a ∉ t ∧ s.Disjoint t
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R
⊢ star x ≤ star y ↔ x ≤ y
b x y : ℕ
hy : y ≠ 0
h : x ≤ log b y
hb : b ≤ 1
⊢ b ^ x ≤ y
X : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝¹ : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
inst✝ : CompactSpace ↑s
⊢ Dense ↑(adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id h0})
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : IsPeriodicPt f (n + m) x
hm : IsPeriodicPt f n x
⊢ IsPeriodicPt f m x
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
a : A
⊢ ↑(realPart a) + Complex.I • ↑(imaginaryPart a) = a
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s✝ t : Set α
p q : α → Prop
is : Set β
s : β → Set α
his : is.Finite
⊢ ⋃ i ∈ is, s i ∈ f ↔ ∃ i ∈ is, s i ∈ f
α : Type u
β : α → Type v
κ : Cardinal.{max u v}
hκ : (sum fun a => κ ^ lift.{u, v} #(β a)) ≤ κ
⊢ #(WType β) ≤ κ
α : Type u_1
TopologicalSpace α
t : Set α
a : α
s : Set α
⊢ t ∈ 𝓝[s] a ↔ ∃ u ∈ 𝓝 a, u ∩ s ⊆ t
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.bagInter l₂ = [] ↔ l₁ ∩ l₂ = []
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
e : α ≃ᵐ β
μ₁ μ₂ : Measure α
hμ : Measure.map (⇑e.symm) (Measure.map (⇑e) μ₁) = Measure.map (⇑e.symm) (Measure.map (⇑e) μ₂)
⊢ μ₁ = μ₂
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
⊢ Fintype.card m.ToType = card m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C → D
I₁ : CategoryTheory.Functorial F
I₂ : CategoryTheory.LaxMonoidal F
⊢ ∀ (a : C), (CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor.of F).obj a = F a
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
x : α
⊢ TopologicalSpace.induced (fun x_1 => x) t = ⊤
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
h1 : 1 ∉ s
inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A
inst✝ : AlgHomClass F R (Unitization R ↥s) A
f : F
hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x
r : R
hr : r ≠ 0
hr' : r • 1 ∈ s
⊢ False
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ v i ≠ v j
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G✝ : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G✝
F G : W.Localization ⥤ D
τ₁ τ₂ : F ⟶ G
h : 𝟙 W.Q ◫ τ₁ = 𝟙 W.Q ◫ τ₂
X : W.Localization
⊢ τ₁.app X = τ₂.app X
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
⊢ RingHom.ker f.rangeRestrict = RingHom.ker f
⊢ ⇑ENat.toENNRealRingHom = ENat.toENNReal
α✝ : Type u_1
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
p q : Set α✝ → Prop
U✝ : Set α✝
ε : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
pa qa : Set α → Prop
H : μ.InnerRegularWRT pa qa
f : α ≃ᵐ β
pb qb : Set β → Prop
hAB : ∀ (U : Set β), qb U → qa (⇑f ⁻¹' U)
hAB' : ∀ (K : Set α), pa K → pb (⇑f '' K)
U : Set β
hU : qb U
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ (⇑f ⁻¹' U)
⊢ ∃ K ⊆ U, pb K ∧ r < (map (⇑f) μ) K
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
p : Cardinal.{u_1}
k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
hpk : p ^ k = ↑a
⊢ ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
s : CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A
⊢ ∀ (a : F.obj (Opposite.op s)),
  (CategoryTheory.OverPresheafAux.counitAuxAux F s).hom a = CategoryTheory.OverPresheafAux.counitForward F s a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf : _root_.Continuous f
⊢ Continuous' f
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α ↪ β
v : α →₀ M
a : β
h : a ∉ Set.range ⇑f
⊢ (Finsupp.embDomain f v) a = 0
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t : Set X
x : X
inst✝ : SequentialSpace X
h : ∀ ⦃u : ℕ → X⦄ ⦃x : X⦄, Tendsto u atTop (𝓝 x) → insert x (range u) ∈ S
⊢ RestrictGenTopology S
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → Preorder (α i)
∀ (i : ι), WellFoundedLT (α i)
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬a < 0
⊢ WellFoundedLT (Π₀ (i : ι), α i)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
NormedAddCommGroup W
InnerProductSpace ℝ W
MeasurableSpace W
BorelSpace W
FiniteDimensional ℝ W
A : W ≃ₗᵢ[ℝ] V
f : V → E
w : W
⊢ Real.fourierIntegralInv (f ∘ ⇑A) w = Real.fourierIntegralInv f (A w)
M : Type u_5
F : Type u_6
AddMonoid M
FunLike F M M
AddMonoidHomClass F M M
f : F
n : ℕ
x : M
k : ℕ
⊢ (⇑f)^[n] (k • x) = k • (⇑f)^[n] x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
a₂✝ : W.Point
hP : toClass zero = toClass a₂✝
⊢ zero = a₂✝
x : ↑I
⊢ 0 ≤ 1 - ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x - 1 < ↑q ∧ ↑q < x
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atTop atTop
⊢ f a ∘ qs ≤ ↑(hf.stieltjesFunction a)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R ↑s) = Submodule.span R {1} ⊔ s.toSubmodule
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
⊢ directionOfNonempty h ≤ s.direction
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p : R[X]
⊢ (aeval x) p = p.smeval x
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
q : (DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h))[X]
n : ℕ
z : DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h)
x✝ : ∃ i p, Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) p = C z * X ^ n
i : ι
x : G i
h : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = z
⊢ Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) (C x * X ^ (n + 1)) = C z * X ^ (n + 1)
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
⊢ J₁ ∈ π.restrict J ↔ ∃ J' ∈ π, ↑J₁ = ↑J ⊓ ↑J'
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
p : P₂
⊢ e (e.symm p) = p