ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
f f' : PartialHomeomorph X Y
openness₁ : IsOpen (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)
set_identity : f.symm.source ∩ (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s) = f.symm.source ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s
openness₂ : IsOpen ↑s
⊢ f.symm.trans ((s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).symm.trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs)) ≈ f.symm.trans (ofSet (↑s) openness₂)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofZeros S hf hg).ι = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₂
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ G.LF 0 ↔ SetTheory.PGame.LF 0 G
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
f : E → ℝ
a : E
h : IsLocalMax f a
⊢ lineDeriv ℝ f a = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
X : Type u_2
C : FreeAlgebra R X → Prop
h_grade0 : ∀ (r : R), C ((algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r)
h_grade1 : ∀ (x : X), C (ι R x)
h_mul : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a * b)
h_add : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a + b)
a : FreeAlgebra R X
s : Subalgebra R (FreeAlgebra R X) := { carrier := C, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := h_grade0 }
of : X → ↥s := Subtype.coind (ι R) h_grade1
of_id : AlgHom.id R (FreeAlgebra R X) = s.val.comp ((lift R) of)
⊢ a = ↑(((lift R) of) a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
J : Type u_1
T : J → CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₁
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₂
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₃
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.productTriangle T).mor₃ =
  (CategoryTheory.Limits.Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫
    CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.piComparison (CategoryTheory.shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
p : Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : ∀ (c : M), f c ∈ p
x : M
⊢ ↑((LinearMap.codRestrict p f h) x) = f x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
c : 𝕜
hc : IsUnit c
f : α → 𝕜
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => f x * c) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
p q : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f a b : R[X]
ha : map (frobenius R p) ((expand R p) a) = a ^ p
hb : map (frobenius R p) ((expand R p) b) = b ^ p
⊢ map (frobenius R p) ((expand R p) (a + b)) = (a + b) ^ p
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
⊢ Filter.bliminf u f q ≤ Filter.bliminf u f fun x => p x ∧ q x
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x : E
⊢ gauge (Metric.ball 0 1) x = ‖x‖
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : CentroidHom α
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
i : ⊤.Arrow
⊢ (P.map i.f.op) x = ↑(Meq.mk ⊤ x) i
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ 𝒢
f : ℕ → Ω → E
hfmgle : MeasureTheory.Martingale f 𝒢 μ
hfadp : MeasureTheory.Adapted 𝒢 fun n => f (n + 1)
n : ℕ
⊢ f n =ᵐ[μ] f 0
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a b : A
⊢ ∀ (x y : A), σ (x * y) \ {0} ⊆ σ (y * x) \ {0}
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hvx : 1 < v x
hpx : v (x ^ p.natDegree) = v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i))
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range p.natDegree
⊢ v (eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i)) < v x ^ p.natDegree
G : Type u_1
CommGroup G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
⊢ IsNormalSubgroup s
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
SMul M X
ContinuousSMul M X
f : Y → M
g : Y → X
b : Y
hf : ContinuousAt f b
hg : ContinuousAt g b
⊢ ContinuousAt (fun x => f x • g x) b
R : Type u
CommSemiring R
StarRing R
S : Type u_1
NonAssocSemiring S
f : S →+* R
s : S
⊢ (star f) s = star (f s)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
hg : ∀ (y : ↥S), IsAddUnit (g ↑y)
z : N
⊢ (f.lift hg) z + g ↑(f.sec z).2 = g (f.sec z).1
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.convs' m = g.convs' n
α : Type u
β : Type v
MulOneClass α
MulOneClass β
f : α → β
hf : IsMonoidHom f
x y : α
⊢ f (x * y) = f x * f y
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
f : ι →₀ μ
⊢ f a + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ f.support ⊆ insert a s ↔ ∃ a_1 b, a_1 + b = n ∧ ∃ g, f = g.update a a_1 ∧ s.sum ⇑g = b ∧ g.support ⊆ s
x y : SetTheory.PGame
h : x ≤ y
⊢ x < y ∨ x ≈ y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
x : (b : β) → π b
r : ℝ
h : 0 < r ∨ Nonempty β
hr : 0 < r
⊢ sphere x r = (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) r) ∩ closedBall x r
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
r a : R
⊢ ↑2 ≤ multiplicity a r ↔ 1 < multiplicity a r
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
⊢ (∀ o' < o, Profinite.NobelingProof.P I o') → Profinite.NobelingProof.P I o
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} D
CategoryTheory.Preadditive C₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₂
CategoryTheory.Preadditive D
K₁ : CochainComplex C₁ ℤ
K₂ : CochainComplex C₂ ℤ
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
F.Additive
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
x i : ℤ
⊢ ∀ (x_1 : ℤ),
  ((K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso K₂ F x).hom.f i).f x_1 = 𝟙 ((F.obj (K₁.X (i + x))).obj (K₂.X x_1))
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ ⇑(QuaternionAlgebra.linearEquivTuple c₁ c₂).symm = ⇑(QuaternionAlgebra.equivTuple c₁ c₂).symm
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
f : ∑ k ∈ range n, ↑(n.succ.succ.choose (k + 1 + 1)) * bernoulli' (k + 1 + 1) = ↑n + 1 + 1 - ↑(n.succ.succ.choose 0) * bernoulli' 0 - ↑(n.succ.succ.choose (0 + 1)) * bernoulli' (0 + 1)
⊢ ∑ i ∈ range n, ↑((n + 2).choose (i + 2)) * bernoulli (i + 2) = ↑n / 2
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
H : IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B
s : ℕ+
hs : s ∈ S
⊢ ∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.StructuredArrow S T
⊢ (CategoryTheory.StructuredArrow.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id S)).obj f = f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a : α
⊢ IsStrongAntichain r (insert a s) ↔ IsStrongAntichain r s ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a ≠ b → ∀ (c : α), ¬r a c ∨ ¬r b c
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ : R₁ →+* R₂
self : RingHomSurjective σ
⊢ Function.Surjective ⇑σ
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
E : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : UniformSpace E
f : α → β → E
s : Set α
k : Set β
q : α
u : Set (E × E)
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (Function.uncurry f) (s ×ˢ k)
hq : q ∈ s
hu : u ∈ 𝓤 E
⊢ ∀ x ∈ k, ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ t, (f p x, f q x) ∈ u
α : Type u_1
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
NormedField 𝕜
NormedField 𝕜'
l : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
⊢ ((fun x => (f x)⁻¹) =Θ[l] fun x => (g x)⁻¹) ↔ f =Θ[l] g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
T : CategoryTheory.Monad C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Kleisli.Adjunction.toKleisli T).map f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (T.η.app Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
AddCommGroup α
AddGroup β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℕ
⊢ f (n • c - x) = (-1) ^ n • f (-x)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
p : ℝ
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℝ n f s x
h : f x ≠ 0
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => f x ^ p) s x
α : Type u_1
t : Ordnode α
ht : t.Sized
⊢ t.size = 0 ↔ t = Ordnode.nil
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
this : ‖c‖ / R < 1
⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x₀ - y‖
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ |RCLike.re z| ≤ ‖z‖
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
f : R⟦X⟧
inst✝ : Invertible f
⊢ (d⁄dX R) ⅟f = -⅟f ^ 2 * (d⁄dX R) f
b : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
⊢ StrictAntiOn (Real.logb b) (Set.Ioi 0)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
H : t.IsKan
s : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp t.unit (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (H.desc s) f) = s.unit
x✝¹ : Substring
h✝ : x✝¹.Valid
x✝ : Nat
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝¹
⊢ (x✝¹.drop x✝).toString.data = List.drop x✝ x✝¹.toString.data
x : ℝ*
r : ℝ
hxr : x.IsSt r
⊢ x.IsSt x.st
α : Type u_1
Preorder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
hI : a₂ ≤ b₂
ha : a₂ < a₁
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ Set.Icc a₁ b₁ ⊂ Set.Icc a₂ b₂
α β : CompleteLat
e : ↑α ≃o ↑β
a : ↑β
⊢ (CompleteLat.Iso.mk e).inv.toFun a = e.symm a
a b : ℚ
⊢ TotallyBounded (Set.Icc a b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x : E
n : ℕ∞
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
f : E → 𝔸
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
m : ℕ
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun y => f y ^ m) s x
n : ℕ
b : Bool
hn : n = 0 → b = true
⊢ (Nat.bit b n).bits = b :: n.bits
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k✝ : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x x_1 => x * x_1) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n
B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0
C : μ (k \ (z * x⁻¹) • k) = 0
H : ¬x ∈ k
this : k ∩ ((z * x⁻¹) • k)ᶜ ∈ 𝓝[k] z
⊢ False
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
⊢ Function.Injective fun I => ↑I
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
E' : ?m.37693
h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
Y : D
⊢ f₁.right.app Y = f₂.right.app Y
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
s : l₁ <+ l₂
⊢ List.filterMap f l₁ <+ List.filterMap f l₂
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α
⊢ a ⊓ aᶜ = ⊥
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
Fintype α
hc : Fintype.card α < n
⊢ G.CliqueFree n
R : Type u
M : Type v
ι : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x : ι → ↥p
s : Finset ι
⊢ ↑(∑ i ∈ s, x i) = ∑ i ∈ s, ↑(x i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ e.op.unitIso = (CategoryTheory.NatIso.op e.unitIso).symm
x✝ y x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ sinh (log x) = (x - x⁻¹) / 2
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.IsCommutative
inst✝¹ : H.FiniteIndex
α✝¹ β✝¹ : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.Normal
hH : (Nat.card ↥H).Coprime H.index
α✝ β✝ : H.QuotientDiff
β α : ↑(leftTransversals ↑H)
⊢ diff (MonoidHom.id ↥H) β α * ((powCoprime hH).symm (diff (MonoidHom.id ↥H) β α))⁻¹ ^ H.index = 1
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
R : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
h : ∀ x ∈ s, ∏ a ∈ filter (fun y => y ≈ x) s, f a = 1
⊢ ∏ x ∈ s, f x = 1
α : Type u
β : Type v
s : Set β
f : Filter α
m : α → Filter β
⊢ s ∈ f.bind m ↔ ∃ t ∈ f, ∀ x ∈ t, s ∈ m x
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
x y : ↑(Metric.sphere 0 1)
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
⊢ ({a | IsTop a} ∪ {a | ∃ b, a ⋖ b}).Countable
a b c : Nat
⊢ max a (min b c) = min (max a b) (max a c)
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
s t : Subring R
f : R →+* S
⊢ Subring.map f (s ⊔ t) = Subring.map f s ⊔ Subring.map f t
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : LinearWeights R L M
χ✝ : L → R
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
⊢ ((r + 1) ^ 1 + (↑k).smeval (r + 1)) * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = k.succ • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r ^ 1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r ^ 1 + smeval 1 r)
α : Type u
LinearOrder α
a b c d : α
⊢ max (max a b) (max c d) = max (max a c) (max b d)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
⊢ IsUnit f ↔ IsUnit (map φ f)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∃ f, AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, dist (f x) (f' x) ≤ ε
C✝ : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C✝
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F : D ⥤ E
hF : F.FullyFaithful
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.29894, u_1} C
X✝ Y✝ : C ⥤ D
f : ((CategoryTheory.whiskeringRight C D E).obj F).obj X✝ ⟶ ((CategoryTheory.whiskeringRight C D E).obj F).obj Y✝
x✝¹ x✝ : C
g : x✝¹ ⟶ x✝
⊢ F.map (X✝.map g ≫ hF.preimage (f.app x✝)) = F.map (hF.preimage (f.app x✝¹) ≫ Y✝.map g)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s₁ s₂ s₃ : Set α
h12 : s₁ ⊆ s₂
h23 : s₂ ⊆ s₃
h_nulldiff : μ (s₃ \ s₁) = 0
⊢ μ s₁ = μ s₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
self : CategoryTheory.Limits.MonoCoprod C
A B : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan A B
⊢ CategoryTheory.Limits.IsColimit c → CategoryTheory.Mono c.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
⊢ ¬IsUnit b → ((∀ (a_2 b_1 : α), b * ↑a = a_2 * b_1 → IsUnit a_2 ∨ IsUnit b_1) ↔ ∀ (a b_1 : α), b = a * b_1 → IsUnit a ∨ IsUnit b_1)
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCancelCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
n a b : μ
hab : (a, b) ∈ ↑(antidiagonal n)
c d : μ
hcd : (c, d) ∈ ↑(antidiagonal n)
⊢ ¬b = d → ∀ ⦃a_2 : ι → μ⦄ (x : ι → μ), s.sum x = b → (∀ (i : ι), ¬x i = 0 → i ∈ s) → (x + fun j => if j = i then a else 0) = a_2 → ∀ (x : ι → μ), s.sum x = d → (∀ (i : ι), ¬x i = 0 → i ∈ s) → ¬(x + fun j => if j = i then c else 0) = a_2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ h.triangleMorphism₁.hom₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id X₁
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => (P.ε / (↑P.k - y)) • P.g₀) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ pure (IntCast.intCast (n - 1)) ≤ 𝓝[≤] (↑n - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f : β → α
T2Space α
⊢ ∏' (b : β), (f b)⁻¹ = (∏' (b : β), f b)⁻¹
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
⊢ ∀ {X Y : SheafOfModules R} (f : X ⟶ Y) (s : X.sections),
  (SheafOfModules.sectionsFunctor R).map f s = SheafOfModules.sectionsMap f s
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
x : m → 𝕜
y : n → 𝕜
inst✝ : Invertible A
hA : A.IsHermitian
⊢ star x ᵥ* A ⬝ᵥ x + star y ᵥ* Bᴴ ⬝ᵥ x + (star x ᵥ* B ⬝ᵥ y + star y ᵥ* D ⬝ᵥ y) = star x ᵥ* A ⬝ᵥ x + star y ᵥ* Bᴴ ⬝ᵥ x + (star x ᵥ* B ⬝ᵥ y + star y ᵥ* (Bᴴ * (A⁻¹ * B)) ⬝ᵥ y) + (star y ᵥ* D ⬝ᵥ y - star y ᵥ* (Bᴴ * (A⁻¹ * B)) ⬝ᵥ y)
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
h : 0 < r * (b - a)
⊢ (AffineMap.lineMap (f a) (f b)) r ≤ f ((AffineMap.lineMap a b) r) ↔ slope f a b ≤ slope f a ((AffineMap.lineMap a b) r)
s n step : Nat
⊢ range' s (n + 1) step = s :: range' (s + step) n step
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X✝
inst✝³ : R1Space X✝
x✝ y : X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : R1Space Y
f : X → Y
x : X
K : Set X
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
hKc : IsCompact K
hKx : K ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ K ∈ 𝓝 x, IsCompact K ∧ MapsTo f K s
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
n i : ℕ
h : i < (enumFrom n l).length
⊢ (enumFrom n l)[i] = (n + i, l[i])
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P
⊢ midpoint R x y = midpoint R y x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = c • SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Prop
inst✝ : LocalRing R
h_pos : ∀ (p : ℕ), IsPrimePow p → CharP R p → P
h_equal : Algebra ℚ R → P
h_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P
⊢ P
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
h : s ≤ t
⊢ s ∪ t = t
α : Type u
a : α
⊢ 0 ≠ ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(μ + ν).toENNRealVectorMeasure i = ↑(μ.toENNRealVectorMeasure + ν.toENNRealVectorMeasure) i
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
k : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ k).comp p = p ^ k
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
⊢ ↑(filter (fun x => x ≡ v [MOD r]) (Ioc a b)).card = max (⌊(↑b - ↑v) / ↑r⌋ - ⌊(↑a - ↑v) / ↑r⌋) 0
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s₁ s₂ : AList β
p : s₁.entries ~ s₂.entries
⊢ ⟨a, b⟩ :: kerase a s₁.entries ~ ⟨a, b⟩ :: kerase a s₂.entries
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
h : W ⟶ X
t : CategoryTheory.IsSplitEqualizer f g h
⊢ t.asFork.pt = W
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
h : p.degree = 1
⊢ p.IsRoot (-(p.coeff 0 / p.coeff 1))
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.index ((fun h => g * h) '' K) V = MeasureTheory.Measure.haar.index K V
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
c : ℝ≥0
l : BoxIntegral.IntegrationParams
π₀ : BoxIntegral.Prepartition I
hc₁ : π₀.distortion ≤ c
hc₂ : π₀.compl.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ ∃ π, l.MemBaseSet I c r π ∧ π.toPrepartition ≤ π₀ ∧ π.iUnion = π₀.iUnion
K : Type u
Field K
n : ℕ
hn : 0 < n
a : K
L : Type u_1
Field L
Algebra K L
Polynomial.IsSplittingField K L (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
⊢ rootOfSplitsXPowSubC hn a L ^ n = (algebraMap K L) a
R : Type u_1
Add R
Mul R
c : RingCon Rᵐᵒᵖ
⊢ (RelIso.symm RingCon.opOrderIso) c = c.unop
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
x y : M
⊢ x = y ↔ ∀ (i : ι), (b.repr x) i = (b.repr y) i
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid β
l : List α
f : α → β
⊢ ∏ i : Fin l.length, f l[↑i] = (List.map f l).prod
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
hl : f.lim ≠ 0
h₁ : ∀ (g f : CauSeq β abv) (hf : ¬f.LimZero), (g - f * f.inv hf * g).LimZero
⊢ (f.inv hf - const abv f.lim⁻¹ - (const abv f.lim - f) * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹)).LimZero