ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Nontrivial S
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a✝ : Nontrivial R
⊢ (norm R) 0 = 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
⊢ f.eraseLead.natDegree = f.natDegree - 1
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
e : I ^ 2 = ⊥
f : Rₘ →ₐ[R] Q ⧸ I
this✝ : ∀ (x : ↥M), IsUnit ((algebraMap R Q) ↑x)
this : Rₘ →ₐ[R] Q := let __src := IsLocalization.lift this✝; { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }
⊢ (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp this = f
G : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Group G
MulSemiringAction G A
SMulCommClass G R A
g : G
⊢ ∀ (a : A), (MulSemiringAction.toAlgEquiv R A g).symm a = g⁻¹ • a
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
hP : P.IsEquipartition
hu : u ∈ P.parts
hucard : ¬u.card = m * 4 ^ P.parts.card + a
this : m * 4 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α / P.parts.card
⊢ (4 ^ P.parts.card - (a + 1)) * m + (a + 1) * (m + 1) = u.card
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
y : β
⊢ μ.prod (MeasureTheory.Measure.dirac y) = MeasureTheory.Measure.map (fun x => (x, y)) μ
m n i h : ℕ
a✝ : Nat.le 1 h
⊢ i + h.succ ! ≤ (i + h.succ)!
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
Fintype ιM
DecidableEq ι
DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
x : L
i : ℕ
⊢ (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) ((φ.polyCharpolyAux b bₘ).coeff i) = ((LinearMap.toMatrix bₘ bₘ) (φ x)).charpoly.coeff i
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
h : p ≠ ⊥
⊢ ∃ b ∈ p, b ≠ 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
x y : E
⊢ HasSum (fun i => ⟪x, (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i⟫_𝕜 * ⟪(fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i, y⟫_𝕜) ⟪x, y⟫_𝕜
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t u : Multiset α
⊢ ndunion 0 t ≤ u ↔ 0 ⊆ u ∧ t ≤ u
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.invRotCompRot.inv.app X).hom₂ = 𝟙 X.obj₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
lbot : ¬IsBot l
l' : R
hl' : l' < l
⊢ IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F
α : Sort u_1
s : Setoid α
x : α
y : Quotient s
⊢ ⟦x⟧ = y ↔ x ≈ y.out
R A : Type u
CommRing R
CommRing A
IsDomain A
Algebra R A
NoZeroSMulDivisors R A
⊢ #{ x // IsAlgebraic R x } ≤ max #R ℵ₀
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)
⊢ ∀ x ∈ Ico a b, ∃ y, Tendsto f (𝓝[Ioo a b] x) (𝓝 y)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
⊢ iteratedDerivWithin 0 f s = f
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t F : Set G
hF : IsClosed F
⊢ F * closure {1} = F
k : ℕ
x✝ : k + 2 ≠ 0
m : ℕ := (k + 2).minFac
this : (k + 2) / m < k + 2
h₁ : (k + 2) / m ≠ 0
⊢ (k + 2).primeFactorsList.prod = k + 2
α : Type u
f : Filter α
s t : Set α
hs : s ∈ f
ht : tᶜ ∈ f
⊢ s \ t ∈ f
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : R[X]
hn : f.natDegree < n
m : ℕ
h✝ : ¬m < n
⊢ 0 = (coeff R m) ↑f
α : Type u
TopologicalSpace α
Y : Type u_3
TopologicalSpace Y
DiscreteTopology Y
hp : PreconnectedSpace α
f : α → Y
hf : Continuous f
x y : α
⊢ f x = f y
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = 0
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁸ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
S : Type u_9
inst✝³ : Monoid S
inst✝² : SMul S R
inst✝¹ : MulAction S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
r : S
x : M
⊢ span R {r • x} ≤ span R {x}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Multiset β
b : β
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
⊢ count b (s.sup f) = s.sup fun a => count b (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
p : β → β → Prop
a b : α
f : α → β
h : ∀ (a b : α), r a b → p (f a) (f b)
hab : Relation.TransGen r a b
⊢ Relation.TransGen p (f a) (f b)
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
⊢ Function.Injective (Nat.nth p)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ ∑ k ∈ Ico 1 (n + 1), a ^ k * ‖p.rightInv i k‖ = a * I + ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * ‖p.rightInv i k‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
X : C
S : (J.Cover X)ᵒᵖ
⊢ (J.diagram P X).obj S = CategoryTheory.Limits.multiequalizer ((Opposite.unop S).index P)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
x' : M
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
hx'' : f x' = f (S.subtype y • x)
a : ↥S
ha : a • x' = a • S.subtype y • x
⊢ (a * y) • x = ↑a • x'
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
i : ↑(atlas H M)
⊢ (tangentBundleCore I M).baseSet i = (↑i).source
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s
x : α
⊢ ∃ y ∈ s, x ≤ y
α : Type u_2
One α
a : α
⊢ Finset.singletonOneHom a = {a}
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y z : X
s : Set X
f g : X → Y
hf : Continuous f
h : SpecializingMap f
x : X
⊢ IsClosed (closure {f x})
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
v : ι → M
hv : Submodule.span R (Set.range v) = ⊤
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ LinearMap.range (finsuppTotal ι M I v) ↔ x✝ ∈ I • Submodule.span R (Set.range v)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommRing R
CommRing A
CommRing B
CommRing C
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
f : A →ₐ[R] B
g : B →ₐ[R] C
hf : f.FinitePresentation
hg : Function.Surjective ⇑g
hker : (RingHom.ker g.toRingHom).FG
⊢ (g.comp f).FinitePresentation
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ iCondIndepSet m' hm' s μ ↔ ∀ (S : Finset ι), μ[(⋂ i ∈ S, s i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ S, μ[(s i).indicator fun ω => 1|m']
p : ZFSet → Prop
x y✝ y : ZFSet
IH : ∀ y_1 ∈ y, Hereditarily p y_1 → p ∅
h : Hereditarily p y
⊢ p ∅
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
⊢ p.toMeasure.restrict p.support = p.toMeasure
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = a * b
ha : a ∈ maximalIdeal R
hb : b ∈ maximalIdeal R
⊢ False
A B : Grp
f : A ⟶ B
⊢ ↑(MonoidHom.range f) = {x | h x = g x}
A : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra ℂ A
inst✝¹ : StarModule ℂ A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A
⊢ IsSelfAdjoint a ↔ IsStarNormal a ∧ SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
DecidableEq α
⊢ AddAction.stabilizer G ∅ = ⊤
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ a < a + p ∧ ∃ z, a = a + z • p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ i)
δ₁ : Type u_6
δ₂ : Type u_7
φ₁ : δ₁ → α
φ₂ : δ₂ → α
h_cover : range φ₁ ∪ range φ₂ = univ
⊢ 𝓤 (α →ᵤ β) = 𝓤 (α →ᵤ β)
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H : Subgroup N
h : H ≤ f.range
⊢ Subgroup.map f (Subgroup.comap f H) = H
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
φ : L.Sentence
⊢ M ⊨ {φ} ↔ M ⊨ φ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
i : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso i
S : CategoryTheory.Sieve Y
⊢ CategoryTheory.Sieve.pullback i S ∈ J.sieves X ↔ S ∈ J.sieves Y
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ (lieIdealSubalgebra R L (LieIdeal.killingCompl R L ⊤)).toSubmodule = LinearMap.ker (killingForm R L)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
x : β
hx : ∃ a, ¬s a = 0 ∧ f a = x
⊢ x ∈ (mapDomain f s).support
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
i : ι
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
⊢ (b.equiv b' e) (b i) = b' (e i)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
Archimedean 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
⊢ ContinuousWithinAt (toIocMod hp a) (Set.Iic x) x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
n : ℕ
hn : n < l.length
hx : l.nthLe n hn ∈ l
⊢ l.prev (l.next (l.nthLe n hn) hx) ⋯ = l.nthLe n hn
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
i : ι
a : α i
b : β i
x : γ i
⊢ ⟨i, x⟩ ∈ Finset.sigmaLift f ⟨i, a⟩ ⟨i, b⟩ ↔ x ∈ f a b
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), ε / ‖c‖ ≤ p x → p x < ε → q x ≤ C * p x
x : E
hx : p x ≠ 0
⊢ q x ≤ C * p x
R : Type u_1
Semiring R
N n : ℕ
c : R
⊢ Polynomial.reflect N (Polynomial.C c * Polynomial.X ^ n) = Polynomial.C c * Polynomial.X ^ (Polynomial.revAt N) n
R : Type u_1
Semiring R
ι : Type u_4
φ : ι → Type u_5
(i : ι) → TopologicalSpace (φ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
⊢ ⨅ i, LinearMap.ker (ContinuousLinearMap.proj i) = ⊥
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M.RkPos ↔ ¬M.Base ∅
α : Type u_1
M : Type u_2
Zero M
DecidableEq α
l : AList fun _x => M
a : α
⊢ l.lookupFinsupp a = 0 ↔ a ∉ l ∨ 0 ∈ AList.lookup a l
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ factorThruImage f ≫ (coimageIsoImage' f).inv = cokernel.π (kernel.ι f)
α : Type u
m : Type u → Type v
Monad m
n : Type u → Type u_1
MonadLiftT n m
x : n α
⊢ (monadLift x).run = do
  let a ← monadLift x
  pure (some a)
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
f g : α × β → E
F : E → ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν)
hg : MeasureTheory.Integrable g (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) - g (x, y) ∂ν) ∂μ =
  ∫⁻ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν) ∂μ
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
R : L.Relations 1
t : L.Term α
x✝ : Fin 1
⊢ Term.realize v (![t] x✝) = ![Term.realize v t] x✝
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R✝ : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : Integrable g μ
hgmeas : StronglyMeasurable g
hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0
hunif : UniformIntegrable (fun n => μ[g|↑ℱ n]) 1 μ
R : ℝ≥0
hR : ∀ (i : ℕ), eLpNorm ((fun n => μ[g|↑ℱ n]) i) 1 μ ≤ ↑R
hlimint : Integrable (limitProcess (fun n => μ[g|↑ℱ n]) ℱ μ) μ
this : ∀ (n : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (x : Ω) in s, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ
⊢ g =ᶠ[ae μ] limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ
α : Type u_2
Div α
s t : Set α
⊢ s / t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
⊢ ∀ {α : Type u_1} {b : α} {α_1 : Type u_2} {x : Option α_1} {f : α_1 → α},
  Option.map f x = some b ↔ ∃ a, x = some a ∧ f a = b
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ maximals (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.Icc a b) = {b}
α : Sort u_2
β : Sort u_3
P : Sort u_1
e : α ≃ β
⊢ (Equiv.piCongrLeft' (fun x => P) e).symm = Equiv.piCongrLeft' (fun a => P) e.symm
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated
inst✝ : atTop.NeBot
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
⊢ MeasurableSet s
μ ν : Measure ℝ
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
h : cdf μ = cdf ν
⊢ μ = ν
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsUpperModularLattice α
IsAtomistic α
⊢ IsStronglyAtomic α
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
ι : Type u_3
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
s : Set β
h1s : IsClosed s
h2s : s.Nonempty
h3s : s ≠ Set.univ
⊢ MeasurableSet (g ⁻¹' s)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
a : A
⊢ ‖↑a‖ = ‖a‖
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P
⊢ p₁ ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ p₁ = p₂
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 G
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' G'
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
x x' : M
y : F
⊢ (f (x + x')) y = (f x) y + (f x') y
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r : ℝ
f : β → α
hf : Tendsto (Prod.map f f) (Filter.cofinite ×ˢ Filter.cofinite) (𝓤 α)
s : Set β
hsf : s.Finite
hs1 : ∀ x ∈ sᶜ ×ˢ sᶜ, Prod.map f f x ∈ {p | dist p.1 p.2 < 1}
⊢ IsBounded (f '' ?m.14806 ∪ f '' ?m.14806ᶜ)
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
v : ι →₀ R
⊢ b.repr ((Finsupp.total ι M R ⇑b) v) = v
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G.IsCocontinuous J K
∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
⊢ (G.sheafPushforwardCocontinuousCompSheafToPresheafIso A J K).hom =
  𝟙 (G.sheafPushforwardCocontinuous A J K ⋙ CategoryTheory.sheafToPresheaf K A)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
x : α
hx : ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty
y : α
hy : y ∈ ball x V₁
hy' : y ∈ s
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
a✝ : SymmetricRel V
⊢ (x, y) ∈ V
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
Preorder β
f : α → β
s : Set α
g : δ → α
b : δ
hf : IsMaxOn f s (g b)
⊢ IsMaxOn (f ∘ g) (g ⁻¹' s) b
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f g : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hg : Submartingale g ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ f i ≤ᶠ[ae μ] μ[(f ⊔ g) j|↑ℱ i]
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : MeasureTheory.Measure α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ (μ + ν).bind ⇑κ = μ.bind ⇑κ + ν.bind ⇑κ
x✝ y✝ x y : ℝ
hx : x ∈ Ioc (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ x ≤ arcsin y ↔ sin x ≤ y
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
a : L
x✝ : a ∈ Set.range fun ψ => ψ x
ψ : K →ₐ[F] L
hψ : (fun ψ => ψ x) ψ = a
⊢ (aeval a) (minpoly F x) = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set R
⊢ Module.IsTorsionBySet R (↥(Submodule.torsionBySet R M s)) s
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_ind : Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
F_cl : IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
F_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ (i : ι), F i x ∈ Q
⊢ CompactSpace ι
σ : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
Fintype σ
Algebra R S
f : σ → S
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.aeval f) (MvPolynomial.esymm σ R n) = (Multiset.map f Finset.univ.val).esymm n
ι : Type u_1
Fintype ι
c₁ c₂ : ℝ≥0
r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
l₁ l₂ : BoxIntegral.IntegrationParams
I : BoxIntegral.Box ι
h : l₁ ≤ l₂
hc : c₁ ≤ c₂
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
hr : ∀ J ∈ π, r₁ (π.tag J) ≤ r₂ (π.tag J)
hπ : l₁.MemBaseSet I c₁ r₁ π
⊢ l₂.MemBaseSet I c₂ r₂ π
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
I X : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f M.E
hI : I ⊆ M.E
hX : X ⊆ M.E
⊢ (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X) ↔ M.Basis I X
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f
⊢ sᶜ ∈ f
α : Type u_1
a : α
⊢ ↑[a] = {a}
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => ‖f x‖) p μ ↔ MeasureTheory.Memℒp f p μ
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
a : α
⊢ (s.sup fun x => a) ≤ a
α : Type u_1
s : Set α
SemilatticeInf α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x > x_1) (s ∩ {b | ¬a < b}) ↔ Set.Bounded (fun x x_1 => x > x_1) s
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
X₃ : C₃
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.CostructuredArrow L X₃} (f : X ⟶ Y),
  (w.costructuredArrowRightwards X₃).map f =
    (CategoryTheory.CostructuredArrow.pre T R (B.obj X₃)).map
      ((CategoryTheory.Comma.mapLeft (CategoryTheory.Functor.fromPUnit (B.obj X₃)) w).map
        (CategoryTheory.CostructuredArrow.homMk f.left ⋯))
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d : α
n p : ℤ
hp : Even p
a : α
⊢ |a| ^ p = a ^ p
α : Sort u_1
p : α → Prop
h : ∀ (a : α), p a → p (id a)
⊢ Subtype.map id h = id
n : ℕ
NeZero n
⊢ Fin.succ 1 = 2
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
⊢ ((algebraMap K (K_hat R K)) k).IsFiniteAdele
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
f' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => ENNReal.ofReal (f n a - f 0 a)
F' : α → ℝ≥0∞ := fun a => ENNReal.ofReal (F a - f 0 a)
hf'_int_eq : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), f i a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
hF'_int_eq : ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), F a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
h_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F' a ∂μ))
h_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f' i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f' i a ≤ F' a
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f' i a) atTop (𝓝 (F' a))
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
hγ : IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (t₀ / a)
⊢ γ = (γ ∘ fun x => x * a) ∘ fun x => x * a⁻¹
a b : Ordinal.{u}
hb₁ : b ≠ 1
hb : Principal (fun x x_1 => x + x_1) b
⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) (a * b)