ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s : Set α
t : ι → Set α
hst : ∀ (i : ι), s ⊆ t i
ht : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
hμt : ∀ (i : ι), (μ i) (t i) = (μ i).trim s
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ ∀ (i : ι), (μ i) t = (μ i).trim s
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p p' : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
⊢ range p.subtype = p
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ toIocMod hp a (a + p) = a + p
ι : Sort u_1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
f : ι → Set α
⊢ Metric.thickening δ (⋃ i, f i) = ⋃ i, Metric.thickening δ (f i)
R' : Type u
M : Type v
CommSemiring R'
AddCommMonoid M
Module R' M
Module R'ᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R' M
⊢ ⇑(algebraMap R' (tsze R' M)) = TrivSqZeroExt.inl
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
ι : Type u_4
Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ i, V i ⊆ U
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁵ : ConcreteCategory D
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf J D
f : F ⟶ G
m : Mono f.val
⊢ Mono f
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
φ✝ : R✝⟦X⟧
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
⊢ (coeff R n) (φ * (1 - ψ)) = (coeff R n) φ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 id s x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 E
G : Type u_10
Group G
x : G
⊢ ↑(toUnits x) = x
N k : ℕ
⊢ (N.smoothNumbersUpTo k).card + (N.roughNumbersUpTo k).card = N
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
GroupWithZero G₀
Bornology G₀
MulAction G₀ α
s t : Set α
⊢ Absorbs G₀ s t ↔ ∀ᶠ (c : G₀) in Bornology.cobounded G₀, Set.MapsTo (fun x => c⁻¹ • x) t s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f g : α → β
p : α → Prop
inst✝ : (x : α) → Decidable (p x)
h₀ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | p x} → x ∈ f ⁻¹' s} ∈ l₁
h₁ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | ¬p x} → x ∈ g ⁻¹' s} ∈ l₁
⊢ ∀ s ∈ l₂, (fun x => if p x then f x else g x) ⁻¹' s ∈ l₁
J : Type v
F : J → TypeMax
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Types.productIso F).hom ≫ fun f => f j) = CategoryTheory.Limits.Pi.π F j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
⊢ ∃ A f a, CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois A ∧ F.map f a = x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
⊢ X.rightOpLeftOpIso.inv.right = 𝟙 X.right
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → NormedAddCommGroup (π i)
i : ι
y : π i
⊢ ‖Pi.single i y‖₊ = ‖y‖₊
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
hH : H ≤ K
⊢ K.subtype.comp (Subgroup.inclusion hH) = H.subtype
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β}, (α →+* β) → ∀ [h : Subsingleton α], Subsingleton β
α : Type u
R : Type u_1
Monoid α
Ring R
f : α →* R
⊢ ⇑(FreeAbelianGroup.liftMonoid f) = ⇑(FreeAbelianGroup.lift ⇑f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelBiprodSndIso.hom =
  (CategoryTheory.Limits.biprod.isKernelSndKernelFork X Y).lift
    (CategoryTheory.Limits.limit.cone (CategoryTheory.Limits.parallelPair CategoryTheory.Limits.biprod.snd 0))
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝ : Algebra (ZMod p✝) K
f : K[X]
p : ℕ
hp✝ : CharP K p
this✝ : CharP K p := hp✝
n : ℕ
npos : 0 < n
hp : Nat.Prime p
hn : q = p ^ n
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (expand K q) f = f ^ q
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : CompleteLattice β
s : Finset α
f : α → β
⊢ s.sup f = sSup (f '' ↑s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x ↔ Filter.Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) (𝓝[s] x) (𝓝 0)
M : Type u
X : Type w
PseudoMetricSpace X
SMul M X
IsometricSMul M X
c : M
x y : X
⊢ nndist (c • x) (c • y) = nndist x y
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
CategoryTheory.HasShift E A
F.CommShift A
G.CommShift A
a : A
X : C
⊢ ((F.comp G).commShiftIso a).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map ((F.commShiftIso a).hom.app X)) ((G.commShiftIso a).hom.app (F.obj X))
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
c1 c2 : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ ↑(c1 + c2).num = ↑c1.den * ↑c2.num + ↑c2.den * ↑c1.num
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
s : Set α
a : α
di : DenseInducing i
hs : s ∈ 𝓝 a
⊢ closure (i '' s) ∈ 𝓝 (i a)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f p μ
this : ∀ (x : α), ‖RCLike.im (f x)‖ ≤ 1 * ‖f x‖
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => RCLike.im (f x)) μ
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
h : a ∈ s
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ s.erase a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ s.erase a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
⊢ (s.erase a).noncommProd comm' * a = s.noncommProd comm
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
UniformSpace β
CompleteSpace (α × β)
h : Nonempty β
⊢ CompleteSpace α
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p
hp' : p - 2 + 1 = p - 1
⊢ p - 1 ≤ Fintype.card (ZMod p)ˣ
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ s * (t₁ ∪ t₂) = s * t₁ ∪ s * t₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s s₁ s₂ : Finset α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ map f s₁ ⊆ map f s₂
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
v : ι → M
hv : Submodule.span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → Rˣ
⊢ Submodule.span R (Set.range (w • v)) = ⊤
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
Add M
f g : α → M
⊢ ↑(f + g) = ↑f + ↑g
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ s.OrdConnected ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≤ y → Set.Icc x y ⊆ s
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : MulZeroClass M₀
s : Set M₀
x✝¹ x✝ : M₀
⊢ x✝¹ * 0 * x✝ = x✝¹ * (0 * x✝)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
s : Stream' α
⊢ a ∈ s → f a ∈ Stream'.map f s
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ (μ.restrict s) t = μ s
I : Type u
β : Type u_2
f : I → Type v₁
(i : I) → VAdd β (f i)
b : β
x : (i : I) → f i
⊢ b +ᵥ x = fun i => b +ᵥ x i
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ μ.restrict s ≤ μ
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
n : ℕ
⊢ Monotone fun a => a ^ n
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ x ⤳ y ↔ pure x ≤ 𝓝 y
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
f : M →ₗ[R] M₂
x : M × M₂
⊢ x ∈ f.graph ↔ x.2 = f x.1
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set β)
f : α → β
h : ∀ a ∈ b, IsOpen (f ⁻¹' a)
⊢ t ≤ TopologicalSpace.induced f (TopologicalSpace.generateFrom b)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ ￢⊤ = ⊥
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X : Grothendieck F
⊢ { obj := fun X => { base := X.base, fiber := (α.app X.base).obj X.fiber }, map := fun {X Y} f => { base := f.base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Y.base).map f.fiber } }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := fun X => { base := X.base, fiber := (α.app X.base).obj X.fiber }, map := fun {X Y} f => { base := f.base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Y.base).map f.fiber } }.obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
x y z : Ordinal.{u_4}
hx : x ≠ 0
⊢ (x * y + z) % x = z % x
R : Type u_2
Rack R
x y z : R
⊢ x ◃ y ◃ z = (x ◃ y) ◃ z ↔ x ◃ z = z
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E''
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
⊢ ((fun _x => c) =O[l] fun _x => 0) ↔ 0 = 0 → c = 0
α : Type u_2
G : Type u_4
TopologicalSpace α
AddGroup G
AddAction G α
ContinuousConstVAdd G α
s : Set α
hs : IsOpen s
c : G
⊢ IsOpen (c +ᵥ s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
⊢ ∑ k ∈ Finset.Ico 1 (n + 1), a ^ k * ‖p.rightInv i k‖ ≤
  ‖↑i.symm‖ * a + ‖↑i.symm‖ * C * ∑ k ∈ Finset.Ico 2 (n + 1), (r * ∑ j ∈ Finset.Ico 1 n, a ^ j * ‖p.rightInv i j‖) ^ k
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
m : ℤ
hm : -m < 0
⊢ Tendsto (fun x => ‖x ^ (-m)‖) (𝓝[≠] 0) atTop
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ b ≥ e, ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c) volume
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
T : CategoryTheory.Comonad C
D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesColimits'.liftedCocone D c t).ι.app j).f = c.ι.app j
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
H K L : Subgroup G
inst✝¹ : Finite ↑(commutatorSet G)
inst✝ : Group.FG G
⊢ (center G).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ Group.rank G
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
⊢ S₂.homologyData.iso.inv.op ≫ homologyMap' (opMap φ) S₂.homologyData.op S₁.homologyData.op ≫ S₁.homologyData.iso.hom.op = (S₂.op.leftHomologyIso.symm ≪≫ S₂.leftHomologyOpIso ≪≫ S₂.rightHomologyIso.symm.op).inv ≫ homologyMap' (opMap φ) S₂.op.homologyData S₁.op.homologyData ≫ (S₁.op.leftHomologyIso.symm ≪≫ S₁.leftHomologyOpIso ≪≫ S₁.rightHomologyIso.symm.op).hom
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
γ : Type u₁
AddCommMonoid γ
⊢ Function.Injective DirectSum.toAddMonoid
m n : ℕ
⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddMonoid α
StarAddMonoid α
⊢ 0ᴴ = 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ < ν ↔ μ ≤ ν ∧ ∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ν s
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
AddCommMonoid S
p : R[X]
b : R
f : ℕ → R → S
hf : ∀ (i : ℕ), f i 0 = 0
⊢ (b • p).sum f = p.sum fun n a => f n (b * a)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s✝ s : Set α
t : Set β
⊢ latticeClosure (s ×ˢ t) = latticeClosure s ×ˢ latticeClosure t
α : Type u
a✝ : α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
a b : ZMod (Fintype.card G)
h : ↑a.val = ↑b.val
⊢ a = b
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
n i : ℕ
x✝ : i ∈ range (n + 1)
⊢ (map f) ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)) = (monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.Hom.id S).τ₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₃
G : Type u_1
Group G
Finite G
x y : G
⊢ y ∈ Submonoid.powers x ↔ y ∈ Subgroup.zpowers x
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
a : R
x y : M
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
⊢ polar (⇑Q) (a • x) y = a • polar (⇑Q) x y
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
x : E
h : AnalyticAt 𝕜 f x
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
Field k
AddCommGroup E
Module k E
AddTorsor E PE
f : k → PE
a b c : k
⊢ ((b - a) / (c - a)) • slope f a b + ((c - b) / (c - a)) • slope f b c = slope f a c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
h : b ≠ a
⊢ dslope (fun x => (x - a) • f x) a b = f b
α : Type u
x : α
⊢ pure ⁻¹' {u | {x} ∈ u} = {x}
b : ℕ
hb : 1 < b
x : ℕ
⊢ x < b ^ (Nat.log b x).succ
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a \ b ≤ b ↔ a ≤ b
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
P₁ : AdjoinRoot (minpoly R x)
hP₁ : (Minpoly.toAdjoin R x) P₁ = 0
⊢ P₁ = 0
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : AEStronglyMeasurable' (MeasurableSpace.comap id (m ⊓ mΩ)) (fun a => ∫ (y : Ω), f (id a, y).2 ∂(condDistrib id id μ) (id a)) μ
⊢ AEStronglyMeasurable' m (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω) μ
a b : UnitAddCircle
⊢ Differentiable ℂ (hurwitzZetaOdd b)
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
⊢ star a = a ∨ a = 0 ↔ star a = a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x : L
m : M
⊢ m ∈ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspace 0 ↔ m ∈ ⊤
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M✝
inst✝⁹ : Module R M✝
M'✝ : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M✝
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
m : Type u_6
n : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n m A
N M' : Matrix m n A
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
a✝ : Nontrivial A
e : n ≃ m := indexEquivOfInv hMM' hM'M
⊢ (M * N).det = (N * M).det
α : Type v
G : Type u
Group G
MulAction G α
j : ℤ
g : G
a : α
⊢ g ^ j • a = a ↔ ↑(MulAction.period g a) ∣ j
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Subsingleton R
f : R[X]
⊢ f.Separable
α : Type u_1
CommMonoid α
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
⊢ (List.take i (List.ofFn f)).prod = ∏ j ∈ Finset.filter (fun j => ↑j < i) Finset.univ, f j
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
this : listTransvecCol M = listTransvecCol (M * (listTransvecRow M).prod)
⊢ ((listTransvecCol (M * (listTransvecRow M).prod)).prod * (M * (listTransvecRow M).prod)) (inl i) (inr ()) = 0
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ ball x δ * s = x • thickening δ s
R : Type u
CommRing R
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj (CommRingCat.of R)).sheaf = AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S.ShortExact
⊢ CategoryTheory.Epi S.g
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R
⊢ ∀ (a : ℕ), a > 0 → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f a ↔ a > 0 → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f a
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Ψ 4 = Polynomial.C W.preΨ₄ * W.ψ₂
X Y : CompactlyGenerated
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
⊢ CompactlyGenerated.isoEquivHomeo.symm f = CompactlyGenerated.isoOfHomeo f
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocRing α
f g : CentroidHom α
a : α
⊢ (f - g) a = f a - g a
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module ℝ W
L : V →ₗ[ℝ] W →ₗ[ℝ] ℝ
μ : Measure V
f : V → E
w : W
⊢ VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L f w = ∫ (v : V), Complex.exp (↑(-2 * π * (L v) w) * Complex.I) • f v ∂μ
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrderedAddCommGroup α
OrderTopology α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => Set.Ioo (a - ε) (a + ε)
α : Type u_1
b : ZNum
⊢ ↑(b * 0) = ↑b * ↑0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
n : ℕ
X₁ X₂ X₃ : Cᵒᵖ
f : X₁ ⟶ X₂
f' : X₂ ⟶ X₃
Y : C
α : ↑(({ obj := fun X => extFunctorObj (Opposite.unop X) n, map := fun {X₁ X₂} f => { app := fun Y => AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯), naturality := ⋯ } }.obj X₁).obj Y)
⊢ (Ext.mk₀ (f'.unop ≫ f.unop)).comp α ⋯ = (AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯) ≫ AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f'.unop).comp α ⋯) ⋯)) α
α : Sort u_1
p₁ : α → Prop
s₁ : Setoid α
s₂ : Setoid (Subtype p₁)
p₂ : Quotient s₁ → Prop
hp₂ : ∀ (a : α), p₁ a ↔ p₂ ⟦a⟧
h : ∀ (x y : Subtype p₁), Setoid.r x y ↔ ↑x ≈ ↑y
x : α
hx : p₂ ⟦x⟧
⊢ (Equiv.subtypeQuotientEquivQuotientSubtype p₁ p₂ hp₂ h) ⟨⟦x⟧, hx⟩ = ⟦⟨x, ⋯⟩⟧
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Bool} {x : α}, Option.all p (some x) = p x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
A : C
i₁₂ : I₁₂
f : (i₁ : I₁) → (i₂ : I₂) → c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂ → ((K.X i₁).X i₂ ⟶ A)
i₁ : I₁
i₂ : I₂
hi : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
⊢ K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ hi ≫ K.totalDesc f = f i₁ i₂ hi
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
x y1 y2 : ℕ × K
H : PerfectClosure.R K p y1 y2
⊢ PerfectClosure.mk K p (x.1 + y1.1, (⇑(frobenius K p))^[y1.1] x.2 + (⇑(frobenius K p))^[x.1] y1.2) =
  PerfectClosure.mk K p (x.1 + y2.1, (⇑(frobenius K p))^[y2.1] x.2 + (⇑(frobenius K p))^[x.1] y2.2)
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
CharZero R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hroot : ∀ m ≤ n, ((⇑Polynomial.derivative)^[m] p).IsRoot t
⊢ n < Polynomial.rootMultiplicity t p
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ (￢a) ∆ a = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace β
g : α → β
γ : Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace γ} {x_1 : MeasurableSpace α} {f : γ → α} {μ : MeasureTheory.Measure γ}
  {ν : MeasureTheory.Measure α},
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g ν →
    MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μ ν → MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (g ∘ f) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s₁ s₂ : LowerSet α
t : LowerSet β
⊢ (s₁ ⊔ s₂) ×ˢ t = s₁ ×ˢ t ⊔ s₂ ×ˢ t
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
x✝ : C
⊢ adj.unit.app x✝ = adj.unit.app x✝ ≫ G.map (𝟙 (F.obj x✝))
α : Type u
LinearOrder α
a : α
as m : List α
ha : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: as)
hm : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) m
hmas : m ≤ as
⊢ List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: m)
α✝ : Type u
inst✝⁵ : Group α✝
inst✝⁴ : LinearOrder α✝
inst✝³ : CovariantClass α✝ α✝ (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c : α✝
α : Type u_1
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a / b ≤ a⁻¹ * b ↔ a ≤ b
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
p : δ → Prop
DecidablePred p
⊢ Measurable ⇑(Equiv.piEquivPiSubtypeProd p π)
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
⊢ ↑u * inverse ↑u = 1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : C
f : X ⟶ Y
g h : Over Y
k : g ⟶ h
⊢ (pullback.fst g.hom f ≫ k.left) ≫ h.hom = pullback.snd g.hom f ≫ f
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R✝ : ℝ
c x : P
R : ℝ
⊢ dist c (inversion c R x) = R ^ 2 / dist c x
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.58544, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.58548, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ mn + a = a''
K : Type u_1
inst✝² : Field K
k : Type u_2
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Algebra k K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
h : IsConj φ σ
x : k
⊢ (star (φ.comp (algebraMap k K))) x = (φ.comp (algebraMap k K)) x
α : Type u
Add α
x : α
y : WithTop α
⊢ ↑x + y = ⊤ ↔ y = ⊤
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
x : ((i : ι) → Ms i) ⧸ pi Set.univ p
x' : (i : ι) → Ms i
⊢ (piQuotientLift p (pi Set.univ p) single ⋯) ((quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯) (Quotient.mk x')) = Quotient.mk x'