ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m
d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|
ε : ℝ
hε : μ (closedBall 0 ε + ⇑A '' closedBall 0 1) < ↑m * μ (closedBall 0 1)
εpos : 0 < ε
this : Iio ⟨ε, ⋯⟩ ∈ 𝓝 0
⊢ {x | (fun δ => ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → μ (f '' s) ≤ ↑m * μ s) x} ∈ 𝓝 0
M : Type u_6
AddMonoid M
u : AddUnits M
⊢ Equiv.symm u.addLeft = (-u).addLeft
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ a
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a a)
hx : x ∈ Icc a a
hC : ∀ y ∈ Icc a a, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a a) y‖ ≤ C
⊢ ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a a) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.Hom.id S).f₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.L₃
α : Type u_5
TopologicalSpace α
s t : Setoid α
h : s ≤ t
⊢ Continuous (Setoid.map_of_le h)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
J : Type u_1
obj : J → AlgebraicGeometry.Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj (e₁ i)
⊢ ∀ (e₂_1 : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map (e₁ i)) (a : J), (𝒰.copy J obj map e₁ e₂ e₂_1).obj a = obj a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
hs : (s ∩ mulSupport f).Infinite
⊢ (mulSupport (s.mulIndicator f)).Infinite
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : ℕ → Set α
M : Type u_4
TopologicalSpace M
OrderedAddCommMonoid M
OrderClosedTopology M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
hf₃ : ∀ (i : ℕ), ↑v (f i) ≤ 0
⊢ ↑v (⋃ i, f i) ≤ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
r : HomRel C
A : Type w
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
r.IsCompatibleWithShift A
F.CommShift A
hF : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
a : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.Quotient.LiftCommShift.iso F r hF a).hom.app ((CategoryTheory.Quotient.functor r).obj X) =
  (CategoryTheory.Quotient.lift r F hF).map (((CategoryTheory.Quotient.functor r).commShiftIso a).inv.app X) ≫
    (F.commShiftIso a).hom.app X
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.withDensity 1) s = μ s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
F : Set X
x_in : x ∈ F
y_in : y ∈ F
⊢ JoinedIn F x y ↔ Joined ⟨x, x_in⟩ ⟨y, y_in⟩
α : Type u
f : Stream' (Option α)
hf : f.IsSeq
⊢ Stream'.Seq.get? ⟨f, hf⟩ = f
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ AddMonoid.Coprod.fst.comp AddMonoid.Coprod.inl = AddMonoidHom.id M
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
⊢ (u + v) ⬝ᵥ w = u ⬝ᵥ w + v ⬝ᵥ w
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
ha : a ≠ 0
x : α
⊢ (DilationEquiv.mulRight a ha) x = x * a
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary
this : Nontrivial (R ⧸ I)
a : Ideal R
ha : a ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I)
⊢ I.radical ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
f : α' → α
a✝ : α'
⊢ (Finsupp.total α' M R (v ∘ f) ∘ₗ lsingle a✝) 1 = ((Finsupp.total α M R v ∘ₗ lmapDomain R R f) ∘ₗ lsingle a✝) 1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, f x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α
inst✝¹ : Subsingleton α
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
⊢ l = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
k : Set α
h : mulSupport f ⊆ k
⊢ range f ≤ insert 1 (f '' k)
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
Monoid α
DistribMulAction α A
m : A
a : α
S : AddSubmonoid A
⊢ m ∈ a • S ↔ ∃ s ∈ S, a • s = m
α : Type u_2
Sub α
f g : Filter α
⊢ Filter.map₂ (fun x x_1 => x - x_1) f g = f - g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hf : MeromorphicOn f U
hg : MeromorphicOn g U
⊢ MeromorphicOn (f - g) U
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.prod.leftInverseUnitor C).map f = (𝟙 ((fun X => ({ as := PUnit.unit }, X)) X).1, f)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ ∏ x ∈ s₁.disjUnion s₂ h, f x = (∏ x ∈ s₁, f x) * ∏ x ∈ s₂, f x
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ico a b ∩ Set.Iio c = Set.Ico a (min b c)
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.birthday = k
⊢ o.toPGame.birthday = o
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]
n : ℕ
⊢ normSq ↑n = ↑n ^ 2
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
a : A
b : B
k : ℕ
⊢ a ⊗ₜ[R] b ^ k = (a ^ k) ⊗ₜ[R] (b ^ k)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
F✝ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝⁴ : FunLike F✝ α✝ β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α
r : ℝ≥0
hxy : nndist x y ≠ 0
hr : nndist (f x) (f y) = r * nndist x y
⊢ edist x y ≠ 0
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.119316, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology
⊢ rightHomologyMap e.hom ≫ rightHomologyMap e.inv = 𝟙 S₁.rightHomology
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ μ.withDensityᵥ f =
  (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)).toSignedMeasure -
    (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).toSignedMeasure
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z
⊢ (x * y) ^ z = if (x = 0 ∧ y = ⊤ ∨ x = ⊤ ∧ y = 0) ∧ z < 0 then ⊤ else x ^ z * y ^ z
K : Type u_1
Ring K
NoZeroDivisors K
Nontrivial K
G : Subgroup Kˣ
Fintype ↥G
⊢ ↑(Fintype.card ↥G) ≠ 0
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s : Set α
this : (fun s => ⨆ (_ : s.Nonempty), m s) = m
⊢ (boundedBy m) s = (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
Ps : Set (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v))
h : P ∈ Ps
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf (CategoryTheory.Sheaf.finestTopology Ps) P
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
Apos : 0 ≤ A
⊢ ‖NumberField.house.asiegel K a‖ ≤ NumberField.house.c₂ K * A
α : Sort u_1
a : α
h : ∃ a_1, (fun b => a_1 = b) = (mk a).fst := (mk a).snd
⊢ Classical.choose h = a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMapIso' e h₁ h₂).inv = CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' e.inv h₂ h₁
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) < ⊤
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommGroup β
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N
ω : Ω
⊢ Finset.Ico (τ ω) (π ω) = Finset.filter (fun i => ω ∈ {ω | τ ω ≤ i ∧ i < π ω}) (Finset.range (N + 1))
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Monoid S
AddCommMonoid M
Module R M
DistribMulAction S M
N : Submodule R M
SMulCommClass R S M
r : S
x : M
⊢ x ∈ {r} • N ↔ ∃ m ∈ N, x = r • m
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f₁ f₂ : Filter β
a : α
hf : f₁ ≤ f₂
⊢ a +ᵥ f₁ ≤ a +ᵥ f₂
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
x : R
⊢ Polynomial.eval x p = ∑ i ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), p.coeff i * x ^ i
α : Type u_1
TopologicalSpace α
NonUnitalNonAssocRing α
TopologicalRing α
x : α
⊢ Continuous ⇑(AddMonoidHom.mulRight x)
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
⊢ (s.sdiff t).sdiff t = s.sdiff t
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring A
Semiring B
Module A M
Module B M
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R B M
a : A
b : B
m : M
⊢ (TensorProduct.Algebra.moduleAux (a ⊗ₜ[R] b)) m = a • b • m
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f₁ f₂ g₁ g₂ : R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hu₁ : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl
hu₂ : ∀ x ∈ U, g₂ ∈ x.asIdeal.primeCompl
h : f₁ * g₂ = f₂ * g₁
x : ↥(unop (op U))
⊢ ↑⟨g₁, ⋯⟩ * f₂ = ↑⟨g₂, ⋯⟩ * f₁
R : Type u
Semiring R
S : Type v
Semiring S
f : R →+* S
⊢ Polynomial.X ∈ Polynomial.lifts f
α β : Type u
f : α → FreeAbelianGroup β
x y : FreeAbelianGroup α
⊢ x - y >>= f = (x >>= f) - (y >>= f)
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : M
r' : X
s : ↥S
⊢ (r /ₒ 1) • (r' /ₒ s) = r • (r' /ₒ s)
q : ℚ
x y : ℝ
⊢ x * y ∉ Set.range Rat.cast → x ∉ Set.range Rat.cast ∨ y ∉ Set.range Rat.cast
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N N₁ N₂ P P₁ P₂ : Submodule R M
I : Ideal R
⊢ ∀ (x : R), (∀ p ∈ ⊤, x * p ∈ I) ↔ x ∈ I
X : AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ ⨆ i, ↑i = ⊤
K : Type u_2
CommRing K
IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ Polynomial.cyclotomic' n K = (Polynomial.X ^ n - 1) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, Polynomial.cyclotomic' i K
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.relindex ⊥ = 1
ι : Type u_1
G : Type u_3
Group G
b : FreeGroupBasis ι G
i : ι
⊢ b.repr (b i) = FreeGroup.of i
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
n : ℕ
x : 𝕎 R
⊢ WittVector.mapFun (⇑f) (n • x) = n • WittVector.mapFun (⇑f) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
m y : E
⊢ (sesqFormOfInner m) y = ⟪y, m⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
Countable α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
⊢ κ.fst ⊗ₖ ProbabilityTheory.Kernel.condKernelCountable (fun a => (κ a).condKernel) ⋯ = κ
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
n : ℕ
⊢ (DirectSum.of A 0) ↑n = ↑n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α
⊢ MonovaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → f i * g j + f j * g i ≤ f i * g i + f j * g j
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β
AddCommMonoid β
s : Finset α
(x : α) → Decidable (f x ≠ 0)
⊢ ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => f x ≠ 0) s, f x = ∑ x ∈ s, f x
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f✝ : ι → α
R : Type u_1
inst✝ : CompleteLinearOrder R
f : ι → R
no_least_elem : ⨅ i, f i ∉ range f
⊢ ⋃ i, Ici (f i) = Ioi (⨅ i, f i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
T2Space E
TopologicalAddGroup E
Module 𝕜 E
ContinuousSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
TopologicalSpace F
T2Space F
TopologicalAddGroup F
Module 𝕜 F
ContinuousSMul 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : LinearMap.ker f = ⊥
⊢ ClosedEmbedding ⇑f
p : ℝ
⊢ ENNReal.ofReal p < 1 ↔ p < 1
G : Type u_1
AddGroup G
s : AddSubgroup Gᵃᵒᵖ
⊢ AddAction.stabilizer G ↑s = s.unop
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
this✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ IsAffine X
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Option α → β → γ
as : List α
bs : List β
h : bs.length ≤ as.length
⊢ List.map₂Right f as bs = List.zipWith (fun a b => f (some a) b) as bs
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0
g : α → ℝ≥0
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
⊢ Measurable g
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : IsOfFinOrder x
⊢ minimalPeriod (fun x_1 => x ^ n * x_1) 1 = minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1 / (minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1).gcd n
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : Continuous f
a : α
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝 a) μ
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖f‖ = (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
M : Matroid α
X : Set α
⊢ ∃ I, M.Basis I (X ∩ M.E) ∧ M.Basis I (M.closure X)
M N : SemiNormedGrp
f : M ≅ N
i : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.hom
i' : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.inv
⊢ ↑(mkHom f.hom i ≫ mkHom f.inv i') = ↑(𝟙 (of ↑M))
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Type u_4
β : Sort u_5
f : α → β
I : Injective f
a : α
b : β
h : none = some a
hpi : partialInv f b = if h : ∃ a, f a = b then some (Classical.choose h) else none
h' : ¬∃ a, f a = b
⊢ f a = b
α : Type u_1
c : Batteries.RBColor
n : Nat
t : Batteries.RBNode α
⊢ t.Balanced c n → t.reverse.Balanced c n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓝 (x, x)] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
α : Type u_2
M : Type u_7
R : Type u_9
TopologicalSpace α
Zero M
SMulZeroClass R M
f : α → R
f' : α → M
hf : HasCompactSupport f'
⊢ HasCompactSupport (f • f')
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : AddCircle T → E
n : ℤ
a : ℝ
⊢ fourierCoeff f n = (1 / T) • ∫ (x : ℝ) in a..a + T, (fourier (-n)) ↑x • f ↑x
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
⊢ HasSum (fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ μ.mass = 0 ↔ μ = 0
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
z : F
hz : z ∈ {y | SameRay ℝ x y}
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hy : r • x ∈ {y | SameRay ℝ x y}
h : ‖r • x‖ = ‖z‖
⊢ r • x = z
α : Type u_1
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
δ' : α → Sort u_7
h : (i : α) → δ i → δ' i
⊢ (s.piecewise (fun x => h x (f x)) fun x => h x (g x)) = fun x => h x (s.piecewise f g x)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
⊢ a.toBasis.toMatrix ⇑b ∈ Matrix.unitaryGroup ι 𝕜
x✝ y✝ x y : ℕ
h : 0 < x
IH : ∀ (s t s' t' : ℤ), ((y % x).xgcdAux s t x s' t').1 = (y % x).gcd x
s t s' t' : ℤ
⊢ (x.xgcdAux s t y s' t').1 = x.gcd y
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Monovary (⇑OrderDual.toDual ∘ f) g ↔ Antivary f g
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
a : α
ha : ↑(condCDF ρ a) ↑r = (preCDF ρ r a).toReal
ha_le_one : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1
⊢ ENNReal.ofReal (↑(condCDF ρ a) ↑r) = preCDF ρ r a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Option β
s t : Finset α
f_inj : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'
h : s ⊆ t
⊢ Finset.filterMap f s f_inj ⊆ Finset.filterMap f t f_inj
α : Type u_2
OrderedAddCommGroup α
s t : NonemptyInterval α
⊢ s + t = 0 ↔ ∃ a b, s = NonemptyInterval.pure a ∧ t = NonemptyInterval.pure b ∧ a + b = 0
X : Type u_1
ι : Sort u_3
TopologicalSpace X
BaireSpace X
Countable ι
f : ι → Set X
ho : ∀ (s : ι), IsGδ (f s)
hd : ∀ (s : ι), Dense (f s)
⊢ Dense (⋂ s, f s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
p : ι → Prop
s : (i : ι) → p i → Set α
hp : ∃ i, p i
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, ⋃ (hi : p i), s i hi)
⊢ f '' ⨅ x, s ↑x ⋯ = ⨅ x, f '' s ↑x ⋯
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.filterMap some s = s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a b : α
⊢ (a ≠ 0 ∧ ∃ x, ¬IsUnit x ∧ a * x ~ᵤ b) ↔ a ≠ 0 ∧ ∃ x, ¬IsUnit x ∧ b = a * x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc ℝ 1 μ)
⊢ ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.posPart f)) =ᵐ[μ]
  ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f).posPart
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
⊢ Filter.Tendsto (fun r => r⁻¹) Filter.atTop (𝓝 0)
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p → eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (p * X n))) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (p * X n)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ (⇑f.symm '' A)
U : Set α
hAU : U ⊇ ⇑f.symm '' A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < r
this : IsOpen (⇑f.symm ⁻¹' U)
⊢ (map (⇑f) μ) (⇑f.symm ⁻¹' U) < r
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Subsingleton R
⊢ p.natDegree = 0
α : Type u_2
OrderedRing α
Nontrivial α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
n : ℤ
⊢ SignType.sign ↑n = SignType.sign n
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → ProbabilityMeasure Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
⊢ (∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑((toFiniteMeasure ∘ μs) i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ.toFiniteMeasure))) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (ω : Ω), f ω ∂↑μ))
R : Type u_2
S : Type u_1
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
IsDomain S
y : S
hxy : y ≠ x
hy : (Polynomial.aeval y) (minpoly R x) = 0
⊢ Polynomial.eval y (minpolyDiv R x) = 0
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Pow M ℕ+
inst✝ : PNatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ+
⊢ x ^ (m * n) = (x ^ n) ^ m
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e : PartialHomeomorph M H
⊢ e ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M G ↔ ∀ e' ∈ atlas H M, e.symm ≫ₕ e' ∈ G ∧ e'.symm ≫ₕ e ∈ G
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ f ∘ Set.rangeSplitting f = Subtype.val
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C
⊢ ((α_ W X (Y ⊗ Z)).inv ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom ≫ W ◁ (α_ X Y Z).inv ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).inv) ≫ (α_ W X Y).inv ▷ Z = ((α_ W X (Y ⊗ Z)).inv ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).inv ≫ (α_ W X Y).hom ▷ Z) ≫ (α_ W X Y).inv ▷ Z
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
hf : LowerSemicontinuous f
y : β
⊢ IsOpen (f ⁻¹' Set.Ioi y)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
S : Set L
h₁ : ∀ {a b : L}, a ∈ S → b ∈ S → a + b ∈ S
h₂ : S 0
h₃ :
  ∀ (c : R) {x : L},
    x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂ }.carrier →
      c • x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂ }.carrier
h₄ :
  ∀ {x y : L},
    x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier →
      y ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier →
        ⁅x, y⁆ ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier
x : L
⊢ x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃, lie_mem' := h₄ } ↔ x ∈ S
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
⊢ IsField R
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a : α
s : List α
comm : {x | x ∈ a ::ₘ ⟦s⟧}.Pairwise Commute
⊢ (a ::ₘ ⟦s⟧).noncommProd comm = noncommProd ⟦s⟧ ⋯ * a
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : (CategoryTheory.Limits.Types.pullbackCone f g).pt
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g ((CategoryTheory.Limits.Types.pullbackIsoPullback f g).inv x) =
  (fun p => (↑p).2) x
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
a₀ a₁ b₀ b₁ : α
⊢ ![a₀, a₁] ⬝ᵥ ![b₀, b₁] = a₀ * b₀ + a₁ * b₁