ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
h : ⊤.FG
s : Finset A
hs : span R ↑s = ⊤
⊢ toSubmodule (Algebra.adjoin R ↑s) = toSubmodule ⊤
a b : Ordinal.{u_1}
b1 : 0 < b
a1 : a > 1
⊢ a ^ 1 ≤ a ^ b
β : Type u_1
α : Type u_2
self : Besicovitch.BallPackage β α
b : β
⊢ self.r b ≤ self.r_bound
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0
⊢ ‖y‖ / Real.sin (InnerProductGeometry.angle x (x - y)) = ‖x - y‖
α : Type u
f : α → α
m n : ℕ
⊢ f^[n]^[m] = f^[m]^[n]
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Mono i
⊢ Function.Bijective (Hom.toOrderHom i).toFun
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
r : w ○ w ○ w ⊆ t
⊢ closure w ⊆ t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
self : Cᴹᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.unmopFunctor C).obj self = self.unmop
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hx : ¬↑p ∣ y
k : R
hk : x - y = ↑p * k
⊢ ¬↑p ^ (1 + 1) ∣ ∑ i ∈ range p, x ^ i * y ^ (p - ↑1 - i)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L
x : ↥K
⊢ (LieAlgebra.ad R L) ↑x ∘ₗ ↑K.incl = ↑K.incl ∘ₗ (LieAlgebra.ad R ↥K) x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
S : Sieve X
f : Y ⟶ X
⊢ ⊥.Covers S f ↔ S.arrows f
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x = sin b - sin a
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : J × K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
j : J
k : K
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι ((CategoryTheory.curry.obj G).obj j) k ≫
    CategoryTheory.Limits.colimit.ι (CategoryTheory.curry.obj G ⋙ CategoryTheory.Limits.colim) j ≫
      (CategoryTheory.Limits.colimitCurrySwapCompColimIsoColimitCurryCompColim G).inv =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι ((CategoryTheory.curry.obj (CategoryTheory.Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫
    CategoryTheory.Limits.colimit.ι
      (CategoryTheory.curry.obj (CategoryTheory.Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ CategoryTheory.Limits.colim) k
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
x y : α
hxy : x ≠ y
⊢ (Equiv.swap x y).support.card = 2
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S₁ S₂ : Subsemiring Rᵐᵒᵖ
⊢ (S₁ ⊓ S₂).unop = S₁.unop ⊓ S₂.unop
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c✝ d : α
h : a < b
c : α
hc : b = a * c
⊢ c ≠ 1
M : Type u_1
Mul M
M' : Type u_2
Mul M'
⊢ commProb (M × M') = commProb M * commProb M'
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h1'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + S'.b)
h1 : (multiplicity λ (S'.a + S'.b)).get h1'✝ < 2
h2'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η * S'.b)
h2 : (multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)).get h2'✝ < 2
h3'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)
h3 : (multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)).get h3'✝ < 2
h1' : ↑((multiplicity λ (S'.a + S'.b)).get h1'✝) = multiplicity λ (S'.a + S'.b)
h2' : ↑((multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)).get h2'✝) = multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)
h3' : ↑((multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)).get h3'✝) = multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)
this : (λ ^ 2) ^ 3 ∣ ↑S'.u * S'.c ^ 3
⊢ False
R : Type u
Semiring R
⊢ (Polynomial.monomial 1) 1 = Polynomial.X
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : PreirreducibleSpace X
⊢ IsOpen s → IsOpen t → s.Nonempty → t.Nonempty → (s ∩ t).Nonempty
a n : ℕ
⊢ n.floorRoot a ^ n ∣ a
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
i : n
⊢ A.transpose.cramer (A i) = Pi.single i A.det
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i : ℕ
⊢ ⇑(LinearEquiv.refl R (⨂[R]^i M)) = _root_.cast ⋯
R : Type u_1
Semiring R
x : Rˣ
⊢ ∀ (a : R), (AddAut.mulLeft x) a = x • a
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)
⊢ ⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U) = ⇑(D.f j i) '' (⇑(D.t j i ≫ D.f i j) ⁻¹' U)
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
k : ℕ
hg : (filter (fun v => Odd (G.degree v)) univ).card = k + k
hk : 0 < k
hc : (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) = fun w => Odd (G.degree w) ∧ w ≠ v
⊢ Odd ((filter (fun w => Odd (G.degree w)) univ).card - 1)
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
φ : PowerSeries R
⊢ (PowerSeries.coeff R (n + 1)) (φ * PowerSeries.X) = (PowerSeries.coeff R n) φ
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
h : ¬p ∣ n
⊢ n.factorization p = 0
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
x : α
⊢ |x| * ↑(SignType.sign x) = x
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
g : Γ₀
hx : g < v x
hy : g < v y
⊢ g < v (x + y)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
h : f.degree = ⊥
⊢ f = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M
x : E
hx : x ∈ ((f'.extend I).symm ≫ f.extend I).source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(f.extend I) ∘ ↑(f'.extend I).symm) (range ↑I) x
M : Type u_4
Monoid M
a : M
⊢ a ∈ IsUnit.submonoid M ↔ IsUnit a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
f : α → E
hf : Integrable f (Measure.sum fun a => μ {a} • Measure.dirac a)
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∑' (a : α), (μ {a}).toReal • f a
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
⊢ ⨆ i, p i = Submodule.span R (⋃ i, ↑(p i))
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 + -(z * I)).arg ≠ π ∧ 1 + -(z * I) ≠ 0
⊢ log (1 + z * I) + -log (1 - z * I) = log ((1 + z * I) / (1 - z * I))
a b m✝ n✝ p : ℕ
β : Type u_1
inst✝ : CommMonoid β
m n : ℕ
f : ℕ → β
hm₀ : m ≠ 0
hn₀ : n ≠ 0
⊢ (m.gcd n).primeFactors.prod f * (m * n).primeFactors.prod f = m.primeFactors.prod f * n.primeFactors.prod f
a b c : Int
⊢ a - b - c = a - (b + c)
α : Type u_2
Bornology α
⊢ Bornology.cobounded α = ⊥ ↔ BoundedSpace α
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Option α → β → γ
bs : List β
⊢ List.map₂Right f [] bs = List.map (f none) bs
s : ℂ
⊢ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) = fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
y : E
a b : 𝕜
a✝¹ : 0 ≤ a
a✝ : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • y + b • y ∈ {y}
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range (n + 1), edist (f (w (j + 1))) (f (w j))
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
⊢ 1 ≠ 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
p p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
hp : p = v +ᵥ p1
hp1s1 : p1 ∈ ↑s1
hs : ∀ ⦃x : V⦄, x ∈ vectorSpan k s → x ∈ s1.direction
⊢ v ∈ s1.direction
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
One α
⊢ (Matrix.diagonal fun x => 1) = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hf' : ∃ C, ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ C * ‖f' z‖
A : (fun z => z - x) =O[𝓝[s] x] fun z => f' (z - x)
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 x ⊓ 𝓟 s, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 ≠ f x
α : Type u_1
M : Type u_2
Zero M
DecidableEq α
f : α →₀ M
⊢ f.toAList.keys.toFinset = f.support
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
μ : Measure G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K₀ : PositiveCompacts G
⊢ μ = μ ↑K₀ • haarMeasure K₀
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
f : α → ℝ≥0∞
⊢ Disjoint s {a}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.monoFactorisationZero X Y).I = 0
α : Type u_1
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : 0 < a
⊢ ∃ t, (∀ y ∈ t, 1 = SignType.sign y) ∧ IsOpen t ∧ a ∈ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
⊢ A = LinearMap.adjoint B ↔ ∀ (x : E) (y : F), ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
p p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
hp : p = v +ᵥ p1
hp1s1 : p1 ∈ ↑s1
hs : vectorSpan k s ≤ s1.direction
⊢ v ∈ s1.direction
a b : Nat
h₀ : 0 < a
h₁ : a ≤ b
⊢ b - a < b
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
Finite ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ ∃ π', π'.iUnion = ↑I \ π.iUnion
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ : CategoryTheory.Center C
f : X₁ ⟶ X₂
Y : CategoryTheory.Center C
⊢ (f ▷ Y).f = f.f ▷ Y.fst
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
CommSemiring S
Algebra S R
Module S N
IsScalarTower S R N
Invertible 2
Q : QuadraticMap R M N
⊢ ((QuadraticMap.associatedHom S) Q).toQuadraticMap = Q
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
l : Finset α
hp : ∃! a, a ∈ l ∧ p a
⊢ p (Finset.choose p l hp)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
h : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R S)
x : S
⊢ (Algebra.norm R) x = 1
n : ℕ
x : PartENat
⊢ (∀ (hy : x.Dom), (↑n).get ⋯ ≤ x.get hy) ↔ ∀ (h : x.Dom), n ≤ x.get h
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
n : ℕ
⊢ ∑ j ∈ range n, op y ^ (n - 1 - (n - 1 - j)) * op x ^ (n - 1 - j) = ∑ i ∈ range n, op y ^ i * op x ^ (n - 1 - i)
R : Type u
⊢ Function.Injective (@NonUnitalNonAssocCommSemiring.toNonUnitalNonAssocSemiring R)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
⊢ WithSeminorms p ↔ 𝓝 0 = ⨅ i, comap (⇑(p i)) (𝓝 0)
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
⊢ (fun h =>
    f (x + h • (2 • v + 2 • w)) + f (x + h • (v + w)) - f (x + h • (2 • v + w)) - f (x + h • (v + 2 • w)) -
      h ^ 2 • (f'' v) w) =o[𝓝[>] 0]
  fun h => h ^ 2
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
⊢ ∀ (i : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }), lift.{v, v'} #↑↑i ≤ lift.{v', v} (⨆ ι, #↑↑ι)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
⊢ False
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n M N : ℕ
⊢ addRothNumber (range (M + N)) ≤ addRothNumber (range M) + addRothNumber (range N)
K : Type u_1
Field K
k : Type u_2
Field k
Algebra k K
φ : K →+* ℂ
σ₁ σ₂ : K ≃ₐ[k] K
h₁ : NumberField.ComplexEmbedding.IsConj φ σ₁
h₂ : NumberField.ComplexEmbedding.IsConj φ σ₂
⊢ σ₁ = σ₂
n : ℤ
⊢ ↑(n / n) = ↑n / ↑n
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W.negY Q * P z ^ 3
⊢ W.dblXYZ P = W.dblU P • ![1, 1, 0]
t : Int
⊢ Lean.Omega.Constraint.trivial.sat t = true
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.prod ν) s = 0 ↔ (fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᵐ[μ] 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
c : F
⊢ deriv (fun x => c) x = 0
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
a : R
⊢ (h.smul a).h₁ = a • h.h₁
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
x✝ : DecidablePred p
h : ∀ i ∈ s, ¬p i
f : (i : α) → p i → β
g : (i : α) → ¬p i → β
⊢ (∏ i ∈ s, if hi : p i then f i hi else g i hi) = ∏ i : { x // x ∈ s }, g ↑i ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
hs : s.Infinite
⊢ (s \ {a}).ncard = 0
n : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
Field K
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑n) K)
⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = ↑(Polynomial.eval 1 (Polynomial.cyclotomic ↑n ℤ))
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
CharP R 0
⊢ CharZero R
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
Field F
Field E
Field K
Algebra F E
Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Polynomial.Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hS : IntermediateField.adjoin F S = ⊤
⊢ ∃ φ, φ.comp L.val = f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ h₁ h₂
γ' : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ' h₁ h₂
⊢ (γ.add γ').right = γ.right.add γ'.right
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalCommSemiring α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α
B : Matrix m o α
x : n → α
⊢ (A *ᵥ x) ᵥ* B = x ᵥ* (Aᵀ * B)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
h₀ : 0 ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : edist 0 (↑(approxOn f hf s 0 h₀ n) x) ≤ edist 0 (f x) + edist 0 (f x)
⊢ ‖↑(approxOn f hf s 0 h₀ n) x‖ ≤ ‖f x‖ + ‖f x‖
x y : ℂ
⊢ tan ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (tan x)
x y : SetTheory.PGame
L : y.LeftMoves ≃ x.LeftMoves
R : y.RightMoves ≃ x.RightMoves
hL : (i : y.LeftMoves) → (x.moveLeft (L i)).Relabelling (y.moveLeft i)
hR : (j : y.RightMoves) → (x.moveRight (R j)).Relabelling (y.moveRight j)
⊢ (SetTheory.PGame.Relabelling.mk' L R hL hR).leftMovesEquiv = L.symm
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
h : F × G → H
f : E → F
g : E → G
x : E
ha : AnalyticAt 𝕜 h (f x, g x)
fa : AnalyticAt 𝕜 f x
ga : AnalyticAt 𝕜 g x
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => h (f x, g x)) x
ι : Type u
f : ι → AlgebraicGeometry.Scheme
b : ι
⊢ (AlgebraicGeometry.sigmaOpenCover f).map b = CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f b
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
m : ↥M
n : ↥N
⊢ ↑((M.mulMap' N) (m ⊗ₜ[R] n)) = ↑m * ↑n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0
⊢ a ≤ b / c ↔ b ≤ c * a
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p q : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
⊢ Polynomial.map f (p + q) = Polynomial.map f p + Polynomial.map f q
P : Type u_1
SemilatticeSup P
IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
x : P
I J : Order.Ideal P
⊢ x ∈ I ⊓ J ↔ x ∈ I ∧ x ∈ J
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
u : α → γ
hu : UniformInducing u
this : UniformInducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun)
⊢ UniformContinuousOn ((⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun) ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S ↔ UniformContinuousOn (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap ((fun x => u ∘ x) ∘ F)) S
α : Type u_1
X : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Nonempty X
MeasurableSpace X
MeasurableSpace.CountablySeparated X
f : α → α
g : α → X
h : Ergodic f μ
hgm : MeasureTheory.NullMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᵐ[μ] g
⊢ ∃ c, g =ᵐ[μ] Function.const α c
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w a✝ : V
⊢ a✝ ∉ (G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w}) ↔ a✝ ∉ ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v})
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
β : Type u_6
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : Sigma α → Set β
⊢ ⋂ ij ∈ s.sigma t, f ij = ⋂ i ∈ s, ⋂ j ∈ t i, f ⟨i, j⟩
α : Type u
Monoid α
a : α
u : αˣ
⊢ a /ₚ u⁻¹ = a * ↑u
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α
ht : t ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α
⊢ s ∪ t ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_2, u_4} C
r : HomRel C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} D
F : CategoryTheory.Functor C D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
X : C
⊢ (CategoryTheory.Quotient.lift r F H).obj ((CategoryTheory.Quotient.functor r).obj X) = F.obj X
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : Nontrivial S
pb : PowerBasis K S
⊢ (Algebra.trace K S) pb.gen = -(minpoly K pb.gen).nextCoeff
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ F.mapTriangle.obj T =
  CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk (F.map T.mor₁) (F.map T.mor₂)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map T.mor₃) ((F.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁))
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
a : α
⊢ 0 a = 0
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2
⊢ ¬(ringChar R = 1 ∨ ringChar R = 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
e : α
⊢ {e}.encard = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.WellPowered C
𝒢 : Set C
Small.{v, u} ↑𝒢
h𝒢 : CategoryTheory.IsCoseparating 𝒢
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimits C
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ ((TensorProduct.mapBilinear R M N P Q) f) g = TensorProduct.map f g
h : Tendsto (fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
⊢ Tendsto (fun s => 1 / (s - 1) - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
a✝ : ℕ
⊢ a✝ ∈ (p.scaleRoots s).support → a✝ ∈ p.support
α : Sort u
s : Setoid α
q : Quotient s
⊢ Exists fun a => Quotient.mk s a = q
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
⊢ ∃ x, ∀ (y : ClassGroup R), y = x
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
n : Type u_19
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₁
Module R M₁
NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
⊢ B.SeparatingLeft
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
Group H
M : Subgroup H
M.Normal
f : G →* H
h : N ≤ Subgroup.comap f M
x : G
⊢ (QuotientGroup.map N M f h) ↑x = ↑(f x)
i : ℕ
⊢ (ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1) = i
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Y' : C
f : Y ⟶ Y'
Z : C
⊢ (𝟙 X ⊗ f) ⊗ 𝟙 Z = (α_ X Y Z).hom ≫ (𝟙 X ⊗ f ⊗ 𝟙 Z) ≫ (α_ X Y' Z).inv
a b : Int
⊢ a ≤ b ↔ (b - a).NonNeg
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
C : TensorAlgebra R M → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C ((_root_.algebraMap R (TensorAlgebra R M)) r)
ι : ∀ (x : M), C ((TensorAlgebra.ι R) x)
mul : ∀ (a b : TensorAlgebra R M), C a → C b → C (a * b)
add : ∀ (a b : TensorAlgebra R M), C a → C b → C (a + b)
a : TensorAlgebra R M
s : Subalgebra R (TensorAlgebra R M) := { carrier := C, mul_mem' := mul, one_mem' := ⋯, add_mem' := add, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := algebraMap }
h : AddCommMonoid ↥s := inferInstanceAs (AddCommMonoid ↥(Subalgebra.toSubmodule s))
of : M →ₗ[R] ↥s := LinearMap.codRestrict (Subalgebra.toSubmodule s) (TensorAlgebra.ι R) ι
of_id : AlgHom.id R (TensorAlgebra R M) = s.val.comp ((lift R) of)
⊢ C a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs_m : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
⊢ s.indicator (μ.restrict s[f|m]) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator f|m]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
f g : ι → α
B : BddAbove (range g)
H : ∀ (x : ι), f x ≤ g x
⊢ iSup f ≤ iSup g