ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
V : Opens ↑Y.toTopCat
x : ↥((Opens.map f.val.base).obj V)
a : (forget CommRingCat).obj (Y.presheaf.obj (op V))
⊢ (LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f ↑x)) ((LocalRing.residue ↑(Y.presheaf.stalk (f.val.base ↑x))) ((Y.presheaf.germ ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩) a)) = (X.presheaf.germ x ≫ LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)) ((f.val.c.app (op V)) a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackConeOfLeftIso f g).π.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.right =
  𝟙
    (((CategoryTheory.Functor.const CategoryTheory.Limits.WalkingCospan).obj
          (CategoryTheory.Limits.pullbackConeOfLeftIso f g).pt).obj
      CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.right)
α : Type u_1
DecidableEq α
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
h : ¬p a
⊢ Multiset.count a (Multiset.filter p s) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter β
f : α → β
⊢ (Filter.comap f l).smallSets = l.lift' (Set.powerset ∘ Set.preimage f)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι✝ : Sort x
κ : ι✝ → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
ι : Sort x
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → β
⊢ l (⨅ i, ⨅ (hi : p i), u (f i hi)) = ⨅ i, ⨅ (hi : p i), f i hi
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
f : E → ℝ
m : ℝ
hf : StrongConvexOn s m f
hm : 0 < m
⊢ StrictConvexOn ℝ s f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
ha : a ∉ s
hf : 0 ≤ f
hts : t = insert a s
ht : t ∈ 𝒜
⊢ f t ≤ collapse 𝒜 a f s
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E 2 μ)
c : E
h_mem_Lp : Memℒp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) 2 μ
h_eq : ↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) h_mem_Lp) =ᶠ[ae μ] fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜
⊢ ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) (Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜) ⋯)) =ᶠ[ae μ] fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set X
f : BumpCovering ι X s✝
x : X
s : Finset ι := ⋯.toFinset
hs : ↑s = {i | (f i) x ≠ 0}
A : (support fun i => f.toPOUFun i x) ⊆ ↑s
B : (mulSupport fun i => 1 - (f i) x) ⊆ ↑s
this : LinearOrder ι := linearOrderOfSTO WellOrderingRel
i : ι
x✝ : i ∈ s
⊢ f.toPOUFun i x = (f i) x * ∏ j ∈ Finset.filter (fun x => x < i) s, (1 - (f j) x)
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s = ∅ ∨ s.Nonempty
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.52509, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : IsSheaf (coherentTopology C) F
⊢ IsSheaf (coherentTopology C) (F ⋙ s)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hf : S.f = 0
inst✝ : S.HasHomology
⊢ IsIso S.homologyπ
α : Type u_1
CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
s : Set α
hs : s = ↑L
⊢ L.copy s hs = L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
s : ι → Finset α
hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i
⊢ ⨆ s, ∑ a ∈ s, f a = ⨆ i, ∑ a ∈ s i, f a
M : Type u_2
AddMonoid M
n : ℕ
x : M
⊢ AddMonoid.nsmul n x = n • x
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
⊢ (lift R) (⇑g ∘ ι R) = g
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
f : m ≃. n
i✝ : n
j✝ : m
⊢ f.symm.toMatrix i✝ j✝ = f.toMatrixᵀ i✝ j✝
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScott α
s : Set α
⊢ IsClosed s ↔ IsLowerSet s ∧ DirSupClosed s
β : Type u_1
α : Type u_2
R : α → α → Prop
f : β → Option α
l : List β
_S : β → β → Prop := fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ f a → ∀ (b' : α), b' ∈ f a' → R b b'
⊢ Pairwise R (filterMap f l) ↔ Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), f a = some b → ∀ (b' : α), f a' = some b' → R b b') l
α β : FinBddDistLat
e : ↑α.toBddDistLat.toDistLat ≃o ↑β.toBddDistLat.toDistLat
x✝ : (forget FinBddDistLat).obj β
⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s✝ t : Set α
a b : α
f : β → α
s : Set β
H : BddAbove (f '' s)
Hne : s.Nonempty
⊢ IsLUB (f '' s) (sSup (f '' s))
R : Type u
Ring R
s : Set R
⊢ (Subring.centralizer s).toSubsemiring = Subsemiring.centralizer s
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
WfDvdMonoid α
a₀ x : α
h : a₀ ≠ 0
hx : Irreducible x
⊢ ∃ n a, ¬x ∣ a ∧ a₀ = x ^ n * a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Y : C
P : CategoryTheory.Subobject Y
CategoryTheory.IsIso P.arrow
⊢ P = ⊤
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝⁴ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝³ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : Nontrivial L
⊢ coroot 0 = 0
a b : UInt64
⊢ a - b = { val := a.val - b.val }
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun h => g / h) μ μ
f : ℕ → ℝ
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
h_mono : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
⊢ (Summable fun k => 2 ^ k * f (2 ^ k)) ↔ Summable f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
⊢ ⊥.faces = ∅
K : Type u_3
V : Type u_6
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
x : V
p : Submodule K V
h : x ∉ p
⊢ p ⋖ Submodule.span K {x} ⊔ p
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ (e.restr s).toPartialEquiv = e.restr s
a b : Int
⊢ ↑(a * b) = ↑a * ↑b
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
⊢ GaloisConnection (AffineSubspace.map f) (AffineSubspace.comap f)
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
h : a ≤ c
h2 : b ≤ c - a
⊢ a + b ≤ c
R : Type u_4
k : ℕ
CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℕ
⊢ h.zmodEquivZPowers.symm ⟨ζ ^ i, ⋯⟩ = ↑i
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
⊢ C ⅟2 * 2 = 1
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Subsingleton R
⊢ p.degree = ⊥
α : Type u
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Function.Injective (List.replicate n)
R : Type u
X : Type v
CommRing R
L : Type w
LieRing L
LieAlgebra R L
F : FreeLieAlgebra R X →ₗ⁅R⁆ L
⊢ (FreeLieAlgebra.lift R) (⇑F ∘ FreeLieAlgebra.of R) = F
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
a : R
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap (a • φ) = a • CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap φ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
o : CategoryTheory.HomOrthogonal s
α : Type
Finite α
f : α → ι
i : ι
⊢ o.matrixDecomposition (CategoryTheory.CategoryStruct.id (⨁ fun a => s (f a))) i = 1
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsNormalSubgroup s
⊢ ∀ n ∈ f ⁻¹' s, ∀ (g : G), g * n * g⁻¹ ∈ f ⁻¹' s
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (F.mapTriangleInvRotateIso.inv.app X).hom₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X.obj₁)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
⊢ HasSum (fun n => (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - (c + w))⁻¹ • f z)
x : ℝ≥0∞
n : ℤ
z : ℝ
⊢ x ^ (↑n * z) = (x ^ n) ^ z
M : Type u_1
Semigroup M
a : Stream' M
i : ℕ
⊢ a.get i ∈ Hindman.FP a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
hf : CPolynomialOn 𝕜 f s
⊢ AnalyticOn 𝕜 f s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring α
n : ℕ
a : α
⊢ n • a = ↑n * a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ : S₁ ⟶ S₂
φ₂ : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
h₃ : S₃.RightHomologyData
γ₁ : RightHomologyMapData φ₁ h₁ h₂ := rightHomologyMapData φ₁ h₁ h₂
γ₂ : RightHomologyMapData φ₂ h₂ h₃ := rightHomologyMapData φ₂ h₂ h₃
⊢ opcyclesMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = opcyclesMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ opcyclesMap' φ₂ h₂ h₃
α : Type u
Group α
g : FreeGroup α →* α
hg : ∀ (x : α), g (FreeGroup.of x) = x
x : FreeGroup α
⊢ g x = FreeGroup.prod x
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
LinearOrderedCommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
P.IsRootPositive B
i j : ι
⊢ P.pairing i j = 0 ↔ P.pairing j i = 0
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
⊢ MulAction.orbit (↥s) 1 = ↑s
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
⊢ (∀ i ∈ Js, M.closure (⋂₀ Js) ⊆ M.closure i) ∧ ⋂ J ∈ Js, M.closure J ⊆ M.closure (⋂₀ Js)
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
⊢ lowerBounds s ∪ lowerBounds t ⊆ lowerBounds (s ∩ t)
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
S : Set G
hSK : Subgroup.IsComplement S ↑K
g : G
⊢ LeftCosetEquivalence (↑K) g ↑(hSK.equiv g).1
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : (i : Fin (n + 1)) × Sym α (n - ↑i)
h : a ∉ m.snd
⊢ ∀ a_1 ∈ ↑m.snd, a ≠ a_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Unique ι
⊢ stdSimplex 𝕜 ι = {fun x => 1}
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
⊢ ∀ c ∈ univ.erase (Equiv.refl n), ↑↑(Equiv.Perm.sign c) * ∏ i : n, M.charmatrix (c i) i ∈ degreeLT R (Fintype.card n - 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ ≤ μ (s ∩ t)
n : Nat
⊢ (OfNat.ofNat n).toNat = n % UInt8.size
a b c p q✝ q : ℚ
hq : q ≤ 0
⊢ |q| = ↑q.num.natAbs /. ↑q.den
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : ⨁ (i : ι), A i
⊢ ((DFinsupp.sumAddHom fun x => (toAddMonoid fun x_1 => ((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip).flip) a) a' = DFinsupp.sum a fun i ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.80688, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
this : Epi S.g
⊢ s.s ≫ s.r = 0
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
inst✝ : Nonempty ι
u : ι → UniformSpace β
l : Filter β
⊢ l.NeBot ∧ l ×ˢ l ≤ 𝓤 β ↔ ∀ (i : ι), l.NeBot ∧ l ×ˢ l ≤ 𝓤 β
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E
y : V
⊢ 𝓕 f ((LinearIsometryEquiv.neg ℝ) y) = 𝓕 (f ∘ ⇑(LinearIsometryEquiv.neg ℝ)) y
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : ¬Irreducible ↑p
hpu : ¬IsUnit ↑p
hab : ∃ a b, ↑p = a * b ∧ ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b
a b : ℤ[i]
hpab : ↑p = a * b
hau : ¬IsUnit a
hbu : ¬IsUnit b
⊢ (norm a).natAbs * (norm b).natAbs = p ^ 2
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
⊢ (∀ m < 1, (coeff R m) φ = 0) ↔ (coeff R 0) φ = 0
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
x : γ
s : (i : ι) → κ i → Set γ
⊢ x ∈ ⋃ i, ⋃ j, s i j ↔ ∃ i j, x ∈ s i j
G : Type u
inst✝² : Group G
X : FintypeCat
inst✝¹ : MulAction G ↑X
inst✝ : MulAction.IsPretransitive G ↑X
h : Nonempty ↑X
Y : Action FintypeCat (MonCat.of G)
i : Y ⟶ Action.FintypeCat.ofMulAction G X
hm : Mono i
hni : IsInitial Y → False
y : ↑Y.V
⊢ IsIso i
x : ℝ
⊢ expNegInvGlue x = 0 ↔ x ≤ 0
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
⊢ Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - f p)⁻¹) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
n : ℤ
x : α
⊢ (f ^ n) x ∈ f.support ↔ x ∈ f.support
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
Monad m
LawfulMonad m
l₁ l₂ : List α
f : α → m PUnit
⊢ (l₁ ++ l₂).forM f = do
  l₁.forM f
  l₂.forM f
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℂ E
x : ℝ
y : E
⊢ ↑x • y = x • y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
Subsingleton ι
p : ι → P
⊢ AffineIndependent k p
V : Type u
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
α : Type u_1
Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
⊢ SimpleGraph.adjMatrix α G ^ 2 = k • 1 + ℓ • SimpleGraph.adjMatrix α G + μ • SimpleGraph.adjMatrix α Gᶜ
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
s : Submonoid M
a : M
ha : a ∈ ↑s
b : M
hb : b ∈ ↑s
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) a b ∈ ↑s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
f : V → E
hf_int : MeasureTheory.Integrable f MeasureTheory.volume
hvf_int : MeasureTheory.Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) MeasureTheory.volume
⊢ Differentiable ℝ (𝓕 f)
G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : SigmaFinite ν
inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
i : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
K : PositiveCompacts G
⊢ μ.IsHaarMeasure
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E' 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E'
⊢ ∫ (x : α) in s, ⟪c, (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) - ↑↑f) x⟫_𝕜 ∂μ = 0
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₂
TopologicalSpace R₁
ContinuousSMul R₁ M₂
f f' : M₂
⊢ ContinuousLinearMap.smulRight 1 f = ContinuousLinearMap.smulRight 1 f' ↔ f = f'
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
n : ℕ
hn : x ^ n = 0
⊢ IsNilpotent (-x)
R : Type u_1
M : Type u_2
x : M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ Submodule.Quotient.mk (-x) = -Submodule.Quotient.mk x
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ f₁ =ᶠ[𝓝[univ] x] f
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ f '' (f ⁻¹' s) ⊆ s
a b c d m k : ℕ
p q : ℕ → Prop
t : ℕ
hl : m * m < t * t
hr : t * t < (m + 1) * (m + 1)
h1 : m < t
h2 : t < m + 1
⊢ False
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_6
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝¹ : (fun y => f y - f x - f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this✝ : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
this : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (d n)) =o[l] d
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (f' v))
R : Type u
M : Type v
Sub R
Sub M
x₁ x₂ : tsze R M
⊢ (x₁ - x₂).fst = x₁.fst - x₂.fst
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : CompleteSpace E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
hf_mk_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.trim hm) s < ⊤ → IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm) s (μ.trim hm)
⊢ AEStronglyMeasurable'.mk f hfm =ᶠ[ae (μ.trim hm)] AEStronglyMeasurable'.mk g hgm
α : Type u
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a ⊓ b \ c = (a ⊓ b) \ (a ⊓ c)
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]
⊢ Quot.lift (fun l => List.foldr (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ l) ⋯ (Multiset.map degt l.prod.support.val) ≤ List.foldl (fun x x_1 => x + x_1) 0 (List.map (fun f => f.support.inf degt) l)
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
T : Set (Set X)
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
hc : T.Countable
hc' : ∀ t ∈ T, IsClosed t
hU : s ⊆ ⋃₀ T
⊢ s ⊆ ⋃ i ∈ T, i
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
IsSymm α r
hs : IsStrongAntichain r s
⊢ IsStrongAntichain (flip r) s
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
third_ε_pos : 0 < ε / 3
third_ε_pos' : 0 < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Es : ℕ → Set Ω
Es_mble : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Es n)
Es_bdd : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (Es n)
Es_diam : ∀ (n : ℕ), diam (Es n) ≤ ε / 3
Es_cover : ⋃ n, Es n = univ
Es_disjoint : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
N : ℕ
hN : ↑P (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite
Gs : Set (Set Ω) := (fun J => thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j)) '' {J | J ⊆ Iio N}
Gs_open : ∀ (J : Set ℕ), IsOpen (thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j))
⊢ ∀ᶠ (x : ProbabilityMeasure Ω) in 𝓝 P, dist x.toLevyProkhorov P.toLevyProkhorov < ε
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
P : Subgroup G
hP : IsPGroup p ↥P
c : Set (Subgroup G)
hc1 : c ⊆ {Q | IsPGroup p ↥Q}
hc2 : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
Q : Subgroup G
hQ : Q ∈ c
x✝ : ↥{ carrier := ⋃ R, ↑↑R, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, inv_mem' := ⋯ }
g : G
S : ↑c
hg : g ∈ (fun R => ↑↑R) S
k : ℕ
hk : ⟨g, hg⟩ ^ p ^ k = 1
⊢ ⟨g, ⋯⟩ ^ p ^ k = 1
p : ℕ
hp : 1 < p
h : sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2) = 0
⊢ ↑0 = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f pf x n
hg : HasFiniteFPowerSeriesAt g pg x m
⊢ HasFiniteFPowerSeriesAt (f - g) (pf - pg) x (max n m)
K : Type u_4
L₁ : Type u_5
L₂ : Type u_6
L₃ : Type u_7
Field K
Field L₁
Algebra K L₁
Field L₂
Algebra K L₂
Field L₃
Algebra K L₃
E : IntermediateField K L₁
f : L₁ →ₐ[K] L₂
g : L₂ →ₐ[K] L₃
⊢ IntermediateField.map g (IntermediateField.map f E) = IntermediateField.map (g.comp f) E