ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : Z.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : 𝒰.J
⊢ pullback.map (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd g (𝒰.map i)) f g (pullback.fst f (𝒰.map i)) (pullback.fst g (𝒰.map i)) (𝒰.map i) ⋯ ⋯ = (Iso.refl ((fun i => pullback (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd g (𝒰.map i))) i)).hom ≫ (openCoverOfBase' 𝒰 f g).map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
⊢ (W.preΨ' n).coeff ((n ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2) = ↑(if Even n then n / 2 else n)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
⊢ IsClosed s
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
h : Function.Injective f
⊢ IsGroupHom.ker f = IsSubgroup.trivial G
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
z : ℤ
⊢ IsUnit (A ^ z).det ↔ IsUnit A.det ∨ z = 0
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
h : x ≠ 0
⊢ ∃ x_1 y, x_1 ≠ y
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsScalarTower R A B
inst✝³ : FormallyUnramified R A
inst✝² : FormallyUnramified A B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[R] C
e : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
e' : f₁.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B) = f₂.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)
this : Algebra A C := (f₁.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)).toAlgebra
F₁ : B →ₐ[A] C := { toRingHom := f₁.toRingHom, commutes' := ⋯ }
F₂ : B →ₐ[A] C := { toRingHom := f₂.toRingHom, commutes' := ⋯ }
⊢ f₁ = f₂
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
⊢ separableClosure F E ⊓ perfectClosure F E = ⊥
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → E
x y : k
⊢ slope (fun t => -f t) x y = -slope f x y
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ 1 < y ^ (1 / z) ↔ x ^ z < y
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ∩ t ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
G H✝ : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
inst✝² : DecidableRel H✝.Adj
inst✝¹ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
tris_big : ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑tris.card
H : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel H.Adj
hG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
⊢ ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑(G.edgeFinset.card - H.edgeFinset.card)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ℕ → R
g : ℕ → M
m n : ℕ
hmn : m < n
h₁ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range i, g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
h₂ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i
⊢ f m • g m + ∑ k ∈ Ico (m + 1) n, f k • g k = f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range m, g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
h : ∀ (x : ℝ), ∃ x_1 ∈ s.measureOfNegatives, x_1 < x
f : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s.measureOfNegatives ∧ f n < -↑n
hf' : ∀ (n : ℕ), ∃ B, MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B ∧ ↑s B < -↑n
⊢ False
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
inst✝³ : SecondCountableTopology G
μ ν : Measure G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsHaarMeasure
K : PositiveCompacts G
h : haarMeasure K = ↑((haarMeasure K).haarScalarFactor ν) • ν
⊢ μ ≪ ν
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hw : w ≠ 0
⊢ (trinomial k m n u v w).natDegree = n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s✝ t : Set E
x : E
s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∃ t, Balanced 𝕜 t ∧ t ⊆ s ∧ y ∈ t
⊢ (fun x => a • x) y ∈ balancedCore 𝕜 s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n x : ℕ
hx : x ∈ range n
⊢ (↑p ^ x).vars ∪ (wittMul p x ^ p ^ (n - x)).vars ⊆ univ ×ˢ range n
D : TopCat.GlueData
⊢ Function.Surjective ⇑D.π
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (regionBetween f g s)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : s ≤ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
h_fin : μ (f ⁻¹' s) ≠ ⊤
⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ] univ
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hq : q ≠ 0
r : R
hr : q = GCDMonoid.gcd p q * r
pq0 : GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
r0 : r ≠ 0
⊢ r ≠ 0
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b
⊢ a < a / b * b + b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : β → E
μ : MeasureTheory.Measure β
a : α
⊢ ∫ (x : β), f x ∂(ProbabilityTheory.Kernel.const α μ) a = ∫ (x : β), f x ∂μ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
c : MeasureTheory.ComplexMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : c.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ (MeasureTheory.ComplexMeasure.im c).HaveLebesgueDecomposition μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ‖(innerSL 𝕜) x‖ = ‖x‖
α : Type u_1
Fintype α
s : Set α
Fintype ↑s
⊢ s.toFinset ⊂ Finset.univ ↔ s ⊂ Set.univ
K : Type u
Field K
G : Type u_1
Group G
MulSemiringAction G K
g : G
x : K
S : ValuationSubring K
⊢ x ∈ S → g • x ∈ g • S
X : Type u_1
TopologicalSpace X
SigmaCompactSpace X
n : ℕ
⊢ IsCompact (compactCovering X n)
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : ∀ (p : ℕ), n.factorization p ≤ 1
a : ℕ
⊢ n.factorization a ≤ 1
α : Type u
HasSubset α
HasSSubset α
IsNonstrictStrictOrder α (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun x x_1 => x ⊂ x_1
a b : α
IsAntisymm α fun x x_1 => x ⊆ x_1
hab : a ⊆ b
hba : ¬a ⊂ b
⊢ b = a
α : Type u_1
M : Type u_5
R : Type u_11
Semiring R
AddCommMonoid M
g : α →₀ R
b : R
h : α → R → M
h0 : ∀ (i : α), h i 0 = 0
⊢ (b • g).sum h = g.sum fun i a => h i (b * a)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (star a).imI = -a.imI
α : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
CompactIccSpace α
⊢ Filter.cocompact α ≤ Filter.atBot ⊔ Filter.atTop
p : ℕ
Fintype (ZMod p)ˣ
⊢ Nat.Prime p ↔ Fintype.card (ZMod p)ˣ = p - 1
X : LightCondSet
S : LightProfiniteᵒᵖ
x : X.val.obj S
⊢ X.topCatAdjunctionUnit.val.app S x =
  { toFun := fun s => X.val.map (LightProfinite.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
n : Num
⊢ ↑↑n = ↑n
R : Type u_1
x y : R
Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : x ∈ nonZeroDivisorsRight R
⊢ IsNilpotent (x * y) ↔ IsNilpotent y
c : Lean.Omega.Constraint
x y : Lean.Omega.Coeffs
h : x.gcd ≠ 0
w : c.sat (x.dot y) = true
⊢ (c.div x.gcd).sat' (x.sdiv ↑x.gcd) y = true
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G.LocallyCoverDense K
G.Full
G.Faithful
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ K.sieves (G.obj X) (CategoryTheory.Sieve.functorPushforward G S) ↔ ∃ T, CategoryTheory.Sieve.functorPullback G ↑T = S
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
g : γ → α
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
pa : ι × ι → Prop
hpa : ∀ᶠ (x : ι × ι) in p ×ˢ p, pa x
pb : α → Prop
hpb : ∀ᶠ (y : α) in p', pb y
hpapb : ∀ {x : ι × ι}, pa x → ∀ {y : α}, pb y → (F (x, y).1.1 (x, y).2, F (x, y).1.2 (x, y).2) ∈ u
⊢ ∀ᶠ (y : γ) in comap g p', (pb ∘ g) y
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy₁ : x₁ ≡ y₁ [SMOD U]
hxy₂ : x₂ ≡ y₂ [SMOD U]
⊢ x₁ - x₂ ≡ y₁ - y₂ [SMOD U]
α : Type u
a : α
as : List α
eqv : α → α → Bool
⊢ (a :: as).isEqv List.nil eqv = false
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
f : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)
n : ℕ
⊢ ↑((sum I M) ((sumInv I M) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) f))) n = Submodule.Quotient.mk (↑f n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
hZ : CategoryTheory.Limits.IsTerminal Z
X : C
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.inclLiftToTerminal F hZ).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
⊢ p.divisors = {1, p}
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q ≠ 0
⊢ p ∣ q.primPart ↔ p ∣ q
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.flip.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
⊢ B.flip.SeparatingLeft
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
⊢ ∃ t, f.toPOUFun i =ᶠ[𝓝 x] ⇑(f i) * ⇑(∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t, (1 - f j))
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
f : ↥(lp E p)
hp₀ : 0 < p
hp' : 0 < p.toReal
this : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : Finset α) in Filter.atTop, dist (∑ b ∈ x, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
s : Finset α
hs : |‖∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i) - f‖ ^ p.toReal| < ε ^ p.toReal
H : ‖∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i) - f‖ ^ p.toReal = ‖f‖ ^ p.toReal - ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal
⊢ ‖∑ b ∈ s, lp.single p b (↑f b) - f‖ ^ p.toReal < ε ^ p.toReal
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
⊢ arcsin (-x) = -arcsin x
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
⊢ Function.Injective AffineIsometry.toAffineMap
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
⊢ χ 0 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} C'
D : CategoryTheory.GlueData C
F : CategoryTheory.Functor C C'
H : (i j k : D.J) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i : D.J
⊢ (D.diagramIso F).hom.app (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.right i) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((D.diagram.multispan.comp F).obj (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.right i))
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
d : n → α
M : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ (M * diagonal d) i j = M i j * d j
ι : Sort u
α : Type v
LinearOrder α
a : α
f : ι → α
h : IsGLB (Set.range f) a
⊢ ⋃ x, Set.Ioi (f x) = Set.Ioi a
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
Subsingleton α
⊢ s.Nonempty → s = Finset.univ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
t : Set E
s : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
⊢ fderivWithin 𝕜 f t x ∈ s ↔
  DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x ∧ fderivWithin 𝕜 f t x ∈ s ∨ ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x ∧ 0 ∈ s
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
g : SpecialLinearGroup n R
⊢ (f.mapMatrix ↑g).det = 1
F : Type u_13
𝕜 : outParam (Type u_14)
E : outParam (Type u_15)
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
FunLike F E ℝ
self : SeminormClass F 𝕜 E
f : F
a : 𝕜
x : E
⊢ f (a • x) = ‖a‖ * f x
α : Type u
⊢ Function.Bijective FreeAddGroup.negRev
G : Type u_11
P : Type u_12
VAdd G P
self : FaithfulVAdd G P
g₁ g₂ : G
⊢ (∀ (p : P), g₁ +ᵥ p = g₂ +ᵥ p) → g₁ = g₂
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} D₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D₂
T : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
R : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
B : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
L' : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
R' : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
α : L ≅ L'
β : R ≅ R'
⊢ (w.whiskerVertical α.hom β.inv).GuitartExact ↔ w.GuitartExact
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
m : (directLimitCocone G f).pt ⟶ s.pt
h : ∀ (j : ι), (directLimitCocone G f).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
this : s.ι.app = fun i => m ∘ₗ DirectLimit.of R ι (fun i => G i) (fun i j H => f i j H) i
⊢ ∀ (x : ↑(directLimitCocone G f).pt), m x = ((fun s => DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) s) x
c : Cardinal.{u + 1}
⊢ c < Cardinal.univ.{u, u + 1} ↔ ∃ c', c = Cardinal.lift.{u + 1, u} c'
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasRightDual X
inst✝ : HasRightDual Y
f : X ⟶ Y
g : Xᘁ ⟶ Z
⊢ ((ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom) ≫ g = 𝟙 Yᘁ ⊗≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ⊗≫ (ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ 𝟙_ C ◁ g) ⊗≫ 𝟙 Z
α : Type u_1
Semiring α
m n : Num
⊢ ↑(m + n) = ↑m + ↑n
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
y✝ : β
h : ∀ x ∈ s, Commute y✝ (f x)
y : β
⊢ y ∈ Multiset.map f s.val → Commute y✝ y
β : Type u_3
Finite β
f : Equiv.Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
⊢ f ^ a = f ^ b ↔ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ a) x = (f ^ b) x
F : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module ℝ F
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup E✝
inst✝³ : Module ℝ E✝
inst✝² : TopologicalSpace E✝
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)
x : F
hx : x ∈ (↑E)ᶜ
⊢ ∀ (x : F), x ∈ (convexHull ℝ) (↑E)ᶜ
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i✝¹ i✝ : n
⊢ ‖U i✝¹ i✝‖ ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n✝
inst✝ : Fintype n✝
n : ℕ
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree ≤ ↑i
x✝ j : Fin n
h : id j < id x✝
⊢ of (fun i j => (p j).coeff ↑i) x✝ j = 0
R : Type u_1
CommRing R
f : R[X]
P : Ideal R
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < f.degree → f.coeff n ∈ P
⊢ Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk P) f =
  Polynomial.C ((Ideal.Quotient.mk P) f.leadingCoeff) * Polynomial.X ^ f.natDegree
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
CommRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
AddCommGroup G
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module 𝕜 G
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
TopologicalAddGroup G
ContinuousConstSMul 𝕜 G
n : ℕ
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
v : Fin n → E
⊢ (q.compAlongComposition p c) v = (q c.length) (p.applyComposition c v)
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
hax : a ≤ x
hxb : x ≤ b
h' : x ∈ s.ordSeparatingSet t
⊢ x ∈ ⊥
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
this : 0 < l.getLast hl
⊢ (b + 2) ^ (l.length - 1) ≤ (b + 2) ^ (l.length - 1) * l.getLast hl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝¹ : α
p : Filter ι
g✝ : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ✝ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)
δ : ι → Type u_6
φ : (i : ι) → δ i → α
I : Set ι
I_finite : I.Finite
I_cover : ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ
U : Set (β × β)
hU : U ∈ 𝓤 β
x✝ : (α →ᵤ β) × (α →ᵤ β)
x : α
f g : α →ᵤ β
hfg : (f, g) ∈ ⋂ i, Prod.map (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ ↑i) ∘ ⇑toFun) (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ ↑i) ∘ ⇑toFun) ⁻¹' UniformFun.gen (δ ↑i) β (⟨I, fun x => U⟩.snd i)
⊢ (toFun (f, g).1 x, toFun (f, g).2 x) ∈ U
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ θ + ↑((o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg + θ
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : IsPiSystem C
hD : IsPiSystem D
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ C
t₁ : Set β
ht₁ : t₁ ∈ D
s₂ : Set α
hs₂ : s₂ ∈ C
t₂ : Set β
ht₂ : t₂ ∈ D
hst : ((fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s₁ t₁ ∩ (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s₂ t₂).Nonempty
⊢ (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s₁ t₁ ∩ (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s₂ t₂ ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : Y → Z
x : X × Y
hf : ContinuousAt f x.2
⊢ ContinuousAt (fun x => f x.2) x
a b c d m n : ℤ
hmn : m.natAbs ∣ n.natAbs
hnm : n.natAbs < m.natAbs
⊢ n = 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
n m : ℕ
β : Ext Y Z m
p : ℕ
h : n + m = p
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
⊢ (comp 0 β h).hom = hom 0
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Set.Ioc 0 ε).Nonempty
⊢ closure E = ⋂ δ ∈ s, Metric.cthickening δ E
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center < s.radius
⊢ Sbtw ℝ p p' (s.secondInter p (p' -ᵥ p))
R : Type u
Semiring R
x : R
⊢ x ∈ ⊥ ↔ x = 0
G : Type u_1
Add G
IsLeftCancelAdd G
a b c : G
⊢ a + b = a + c → b = c
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hi : i ∈ t
⊢ ∑ i_1 ∈ t, (if i = i_1 then 1 else 0) • z i_1 = z i
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (Sum.inr ()) (Sum.inr ()) ≠ 0
i : Fin r
⊢ ((Matrix.Pivot.listTransvecCol M).prod * M * (Matrix.Pivot.listTransvecRow M).prod) (Sum.inr ()) (Sum.inl i) = 0
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_lt_m : n < m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.contsAux m = g.contsAux (n + 1)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
r : ℝ
hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r
h : (∀ p_1 ∈ Set.range s.points, p_1 ∈ { center := p, radius := r }) → p = s.circumsphere.center ∧ r = s.circumsphere.radius
⊢ p = s.circumcenter
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
g : G
hg : g ∈ connectedComponent 0
⊢ -g ∈ connectedComponent 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
hmeas✝ : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
htendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun M => {x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x) atTop (𝓝 0)
hmeas : ∀ (M : ℕ), AEStronglyMeasurable ({x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ
⊢ ∃ M, ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderBot β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h✝ : f.NeBot
s_nemp : s.Nonempty
⊢ limsup (fun a => s.sup fun i => F i a) f = limsup (fun a => s.sup' s_nemp fun i => F i a) f
ι : Type u_3
α : Type u_4
Preorder ι
TopologicalSpace α
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
f : ι → α
h_mono : Monotone f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atTop ∨ ∃ l, Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 l)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
g : γ → β
f : β → α
s : Set γ
hg : Set.InjOn g s
⊢ ∑' (x : ↑(g '' s)), f ↑x = ∑' (x : ↑s), f (g ↑x)
⊢ @Batteries.AssocList.toList = @Batteries.AssocList.toListTR
M : Type u_1
Monoid M
x z : M
⊢ x ∈ Submonoid.powers z ↔ ∃ n, z ^ n = x
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
hf : MeasureTheory.Adapted ℱ f
⊢ MeasureTheory.Adapted ℱ (MeasureTheory.martingalePart f ℱ μ)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a✝ b : R
inst✝ : Nontrivial R
hx : IsTranscendenceBasis R x
a : A
⊢ _root_.IsAlgebraic (↥(adjoin R (range x))) a
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
⊢ affineSpan 𝕜 (intrinsicClosure 𝕜 s) = affineSpan 𝕜 s
z : ↥circle
⊢ Complex.abs ↑z = 1
G H : AddCommGrp
s : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Limits.pair G H)
⊢ (G.binaryProductLimitCone H).isLimit.lift s =
  AddMonoidHom.prod (s.π.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left })
    (s.π.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right })