ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : μ.withDensityᵥ f = μ.withDensityᵥ g
⊢ f =ᶠ[ae μ] g
ι : Type u
α : Option ι → Type v
DecidableEq ι
(i : Option ι) → Zero (α i)
i : ι
x : α (some i)
⊢ DFinsupp.extendWith 0 (DFinsupp.single i x) = DFinsupp.single (some i) x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ S.HasRightHomology ↔ S.op.HasLeftHomology
z : ℂ
h1 : cexp (z * I) + cexp (-(z * I)) = cexp (-(z * I)) * (cexp (2 * I * z) + 1)
⊢ (cexp (z * I) + cexp (-(z * I))) / ((cexp (-(z * I)) - cexp (z * I)) * I) = (cexp (2 * I * z) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * I * z)))
a b n : ℕ
⊢ a ^ b % n = (a % n) ^ b % n
α : Type u
σ : Type v
M : εNFA α σ
Fintype σ
x : List α
hx : x ∈ M.accepts
hlen : Fintype.card (Set σ) ≤ x.length
⊢ ∃ a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card (Set σ) ∧ b ≠ [] ∧ {a} * {b}∗ * {c} ≤ M.accepts
R : Type u_1
NonAssocRing R
Pow R ℕ
BinomialRing R
NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ
⊢ (descPochhammer ℤ n).smeval r = n.factorial • Ring.choose r n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : HeytingAlgebra α
b c : α
inst✝ : Nontrivial α
h : ⊥ = ⊥ᶜ
⊢ False
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
DecidablePred fun x => b ≤ x
⊢ Finset.filter (fun x => b ≤ x) (Finset.Ico a b) = ∅
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndep m hm s μ
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
t : Set ι
ht : p t
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m (⨆ n ∈ t, s n) (Filter.limsup s f) hm μ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
β : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ⟂ₘ ν
⊢ map f μ ⟂ₘ map f ν
α : Type u_2
β : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsUpper α
TopologicalSpace β
f : β → α
h : ∀ (a : α), IsClosed (f ⁻¹' Set.Iic a)
⊢ Continuous f
α : Type u_3
⊢ Filter.atTop = ⨅ x, 𝓟 (Set.Ici {x})
X : PartialFun
⊢ partialFunToPointed.obj X = { X := Option X, point := none }
α : Type u_1
UniformSpace α
β : Type u_2
UniformSpace β
γ : Type u_3
UniformSpace γ
CompleteSpace γ
T0Space γ
f : β → γ
g : α → β
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
⊢ UniformSpace.Completion.extension f ∘ UniformSpace.Completion.map g = UniformSpace.Completion.extension (f ∘ g)
a : Ordinal.{u_1}
⊢ 0 ≤ a.toPGame
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a✝ : α
b✝ : β
p : α → Prop
q : β → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
a : α
b : β
⊢ (a, b) ∈ filter (fun x => p x.1 ∧ q x.2) (s ×ˢ t) ↔ (a, b) ∈ filter p s ×ˢ filter q t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a * b < b ↔ a * b < 1 * b
n k : Nat
h : n ≠ 0
⊢ n.log2 < k ↔ n < 2 ^ k
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : 0 < r
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
ε : ℝ≥0∞
left✝ : 0 < ε
εr : ε < r
⊢ (mkMetric'.pre m ε) (s ∪ t) = (mkMetric'.pre m ε) s + (mkMetric'.pre m ε) t
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedGroup (π i)
inst✝ : SeminormedGroup E
f x : (i : ι) → π i
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ‖x‖ ≤ r ↔ ∀ (i : ι), ‖x i‖ ≤ r
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoid α
t : List ι
f : ι → Set α
g : ι → α
hg : ∀ i ∈ t, g i ∈ f i
⊢ (List.map g t).sum ∈ (List.map f t).sum
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b ∆ (c ∆ d) = a ∆ c ∆ (b ∆ d)
f : ℂ → ℂ
x : ℂ
s : Set ℂ
hf : DifferentiableWithinAt ℂ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℂ s x
⊢ derivWithin (fun x => Complex.sinh (f x)) s x = Complex.cosh (f x) * derivWithin f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
m : MeasureTheory.Measure α
⊢ (m.bind fun x => 0) = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
p : (x : P) → x ∈ affineSpan k s → Prop
mem : ∀ (y : P) (hys : y ∈ s), p y ⋯
smul_vsub_vadd :
  ∀ (c : k) (u : P) (hu : u ∈ affineSpan k s) (v : P) (hv : v ∈ affineSpan k s) (w : P) (hw : w ∈ affineSpan k s),
    p u hu → p v hv → p w hw → p (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w) ⋯
x : P
h : x ∈ affineSpan k s
⊢ p x h
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.SymmetricCategory C
X Y : C
⊢ (β_ Y X).hom = (β_ X Y).inv
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
x y : X
x✝ : x ≠ y
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) x y ↔ (fun x y => Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)) x y
G : Type w
TopologicalSpace G
InvolutiveNeg G
ContinuousNeg G
s : Set G
⊢ -closure s = closure (-s)
α : Type u_1
s : Set α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t
⊢ s ∈ minimals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {t | P t} ↔ P s ∧ ∀ x ∈ s, ¬P (s \ {x})
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
ε : ℝ≥0∞
⊢ ε * μ {x | ε ≤ f x} ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h₀ : x ≠ 0
⊢ ⟪x, y⟫_𝕜 = ↑‖x‖ * ↑‖y‖ ↔ ↑‖y‖ • x = ↑‖x‖ • y
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable β
s : β → Set α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α) in ⋃ i, s i, f a ∂μ ≤ ∑' (i : β), ∫⁻ (a : α) in s i, f a ∂μ
r : ℝ≥0
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (ProbabilityTheory.poissonPMFReal r)
α : Type u_1
c : Set (Set α)
⊢ ⋂₀ c = ∅ ↔ ∀ (a : α), ∃ b ∈ c, a ∉ b
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range (n + 1), ∑ x_1 ∈ range (n + 1 - x), (monomial x) (↑((n + 1).choose (x + x_1)) * ↑((x + x_1).choose x) * _root_.bernoulli x_1) = (monomial n) ↑n + (monomial n) 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt f f' s x ↔ Filter.Tendsto (slope f x) (𝓝[s \ {x}] x) (𝓝 f')
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cocone.equivStructuredArrow F).functor.obj c).hom = c.ι
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
IsNoetherianRing R₁
I : Ideal R₁
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑↑I
α : Type u_1
a : α
⊢ ofLex (toLex a) = a
R : Type u
Ring R
p : R[X]
a : R
h0 : p ≠ 0
⊢ multiplicity.Finite (Polynomial.X - Polynomial.C a) p
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x : E
a b : 𝕜
⊢ (∀ᶠ (c : 𝕜) in Bornology.cobounded 𝕜, MapsTo (fun x => c⁻¹ • x) t s) ↔ ∀ᶠ (c : 𝕜) in (Bornology.cobounded 𝕜)⁻¹, MapsTo (fun x => c • x) t s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s✝ t : Set E
x : E
s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : y ∈ balancedCore 𝕜 s
⊢ (fun x => a • x) y ∈ balancedCore 𝕜 s
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
f g : MvPolynomial σ R →+* A
hC : ∀ (r : R), f (MvPolynomial.C r) = g (MvPolynomial.C r)
hX : ∀ (i : σ), f (MvPolynomial.X i) = g (MvPolynomial.X i)
⊢ f = g
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Continuous (g ∘ f) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Z⦄, Tendsto (g ∘ f) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, (g ∘ f) x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
𝒰 : Ultrafilter X
y : Y
h : Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)
⊢ ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
s : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ s.Intersecting ↔ s ≠ {⊥}
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
ι : Type u_5
s : Finset α
f : α → ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i j : ι), ∃ k, ∀ (a : α), f a i ≤ f a k ∧ f a j ≤ f a k
⊢ ∑ a ∈ s, ⨆ i, f a i = ⨆ i, ∑ a ∈ s, f a i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
hy : x < y
⊢ ∃ u, StrictAnti u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo x y) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x)
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ g ≫ h ⊗ 𝟙 W = (g ⊗ 𝟙 W) ≫ (h ⊗ 𝟙 W)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] P
M' : Submodule R M
N : ℕ →o Submodule R M
H : iSup ⇑N = M'
S : Finset M
hS : span R ↑S = M'
f : { x // x ∈ S } → ℕ
hf : ∀ (s : { x // x ∈ S }), ↑s ∈ N (f s)
⊢ M' = N (S.attach.sup f)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
⊢ (List.map (fun a => GradedMonoid.mk 1 ((PiTensorProduct.tprod R) fun x_1 => x a)) (List.finRange n)).prod =
  GradedMonoid.mk n ((PiTensorProduct.tprod R) x)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
F.PreservesRightHomologyOf S₁
F.PreservesRightHomologyOf S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap (F.mapShortComplex.map φ))
    (S₂.mapOpcyclesIso F).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S₁.mapOpcyclesIso F).hom (F.map (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap φ))
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
M N K : Action V G
p : M.Hom N
q : N.Hom K
⊢ (p.comp q).hom = p.hom ≫ q.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α
hba : x < b
⊢ x ∈ Iio b ∪ Ioo c d ↔ x ∈ Iio (max b d)
α : Type u_1
MonoidWithZero α
a : Associates α
⊢ a ≠ 0 → ∃ a0, a0 ≠ 0 ∧ Associates.mk a0 = a
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
e : R ≃+* S
⊢ Function.Bijective ⇑e
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S : WSeq (WSeq α)
⊢ S.join.destruct = S.destruct.bind destruct_join.aux
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
⊢ filter (fun x => i ≠ x) f = filter (fun x => x ≠ i) f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
h : x ∈ s
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (extChartAt I x).source
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' → (ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) (↑(extChartAt I x) x'))
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
hx : x ∈ M
⊢ IsLocalization.mk' S x ⟨x, hx⟩ = 1
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
C : G.ConnectedComponent
⊢ ∀ (v : V), map Hom.id (G.connectedComponentMk v) = G.connectedComponentMk v
c : Cardinal.{u_1}
⊢ ↑(Cardinal.toENat c) = Cardinal.toPartENat c
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallySurjective J (whiskerLeft H.op f)
X : D
a : (forget A).obj (G.obj (Opposite.op X))
Y : D
g : Y ⟶ X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ X
fac : lift ≫ map = g
hh : Sieve.functorPushforward H (imageSieve (whiskerLeft H.op f) ((forget A).map (G.map map.op) a)) ∈ K.sieves (H.obj (Opposite.unop (Opposite.op Z)))
⊢ Sieve.functorPushforward H (Sieve.functorPullback H (Sieve.pullback map (imageSieve f a))) ∈ K.sieves (H.obj Z)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n > 0
⊢ a / ↑n < ↑(⌊a⌋₊ / n) + 1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
P A : Matrix n n R
h : Invertible P
⊢ (P.lieConj h) A = P * A * P⁻¹
A : Type u_5
a b : ℝ
NormedRing A
NormedAlgebra ℝ A
CompleteSpace A
u v u' v' : ℝ → A
hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt v (v' x) x
hu' : IntervalIntegrable u' MeasureTheory.volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' MeasureTheory.volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x + u x * v' x = u b * v b - u a * v a
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : ProjectiveResolution X
n : ℕ
⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex) n ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).inv.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv
s : ℂ
h1 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) univ
h2 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π) univ
h3 : Tendsto ofReal' (𝓝[≠] 1) (𝓝[≠] 1)
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ (Gamma ↑t)⁻¹ * (Gamma (↑t + 1 / 2))⁻¹ = (Gamma (2 * ↑t))⁻¹ * 2 ^ (2 * ↑t - 1) / ↑√π
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝ : μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι → μ
⊢ f ∈ Trunc.lift (fun e => map { toFun := fun f i => if hi : i ∈ s then f (e ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal s.card n)) ⋯ (Fintype.truncEquivFinOfCardEq ⋯) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Set.Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Set.Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurveOn γ v (Set.Ioo a b)
hγ' : IsIntegralCurveOn γ' v (Set.Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
⊢ Set.EqOn γ γ' (Set.Ioo a b)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
S : Set (RingCon R)
x✝¹ x✝ : R
⊢ (sInf S) x✝¹ x✝ ↔ ∀ i ∈ S, i x✝¹ x✝
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : SetLike S R
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid ι
A : ι → S
inst✝ : GradedMonoid A
n : ℕ
r : R
i : ι
h : r ∈ A i
⊢ r ^ n ∈ A (n • i)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet ({a | a.1 ∈ s} ∩ {a | a.2 ∈ {a_1 | f a.1 ≤ a_1} ∩ {a_1 | a_1 < g a.1}})
α : Type u_5
MeasurableSpace α
IsEmpty α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ = 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ
⊢ (algebraMap R S) ((integerNormalization M p).coeff i) = ↑(Classical.choose ⋯) • p.coeff i
n p : ℕ
⊢ Prime p ↔ 2 ≤ p ∧ ∀ (m : ℕ), m ∣ p → m = 1 ∨ m = p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
⊢ ↑s = ∅ ↔ s = ⊥
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List (α × β)
⊢ (map (Prod.fst ∘ Prod.swap) l, map (Prod.snd ∘ Prod.swap) l) = (map Prod.fst l, map Prod.snd l).swap
B : Type u_1
F : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalSpace Z
e : Z ≃ₜ B × F
h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F (Prod.fst ∘ ⇑e)
⊢ Continuous (Prod.fst ∘ ⇑e)
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
⊢ ⊤.prod ⊤ = ⊤
α : Type u_1
Primcodable α
f : Bool → α
⊢ Primrec f
K✝ : Type uK
inst✝⁸ : Field K✝
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K✝ V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K✝ V₂
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥W
e1 : ↥W ≃ₗ[K] Dual K V ⧸ dualAnnihilator W := (Free.chooseBasis K ↥W).toDualEquiv ≪≫ₗ W.quotAnnihilatorEquiv.symm
this✝ : FiniteDimensional K (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W)
e2 : (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W) ≃ₗ[K] ↥(dualAnnihilator W).dualAnnihilator := (Free.chooseBasis K (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W)).toDualEquiv ≪≫ₗ (dualAnnihilator W).dualQuotEquivDualAnnihilator
this : FiniteDimensional K ↥(dualAnnihilator W).dualAnnihilator
⊢ finrank K ↥(map (Dual.eval K V) W) = finrank K ↥(dualAnnihilator W).dualAnnihilator
K : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
Field K
AddCommGroup V₁
Module K V₁
AddCommGroup V₂
Module K V₂
Fintype ι₁
Fintype ι₂
DecidableEq ι₁
DecidableEq ι₂
B₁ : Basis ι₁ K V₁
B₂ : Basis ι₂ K V₂
u : V₁ →ₗ[K] V₂
⊢ (LinearMap.toMatrix B₂.dualBasis B₁.dualBasis) (Module.Dual.transpose u) = ((LinearMap.toMatrix B₁ B₂) u)ᵀ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.structuredArrowEquivalence F).unitIso.inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F).comp
          (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F)).leftUnitor.inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun X => CategoryTheory.Iso.refl X) ⋯).hom
        ((CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F).comp
          (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F)))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        ((CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F).associator
            (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F)
            ((CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F).comp
              (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F))).hom
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
          (CategoryTheory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F)
            ((CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F).associator
                (CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F)
                (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F)).inv)
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
            (CategoryTheory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F)
              (CategoryTheory.whiskerRight
                (CategoryTheory.NatIso.ofComponents
                    (fun X => CategoryTheory.StructuredArrow.isoMk (CategoryTheory.Iso.refl X.right) ⋯) ⋯).hom
                (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F)))
            (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
              (CategoryTheory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F)
                (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F).leftUnitor.hom)
              (CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun X => CategoryTheory.Iso.refl X) ⋯).inv)))))
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
k : ℕ
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ LieIdeal.map f (LieModule.lowerCentralSeries R L L k) ≤ LieModule.lowerCentralSeries R L' L' k
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q R : C
J : Type u_1
s : Finset J
f : J → (P ⟶ Q)
g : Q ⟶ R
⊢ (∑ j ∈ s, f j) ≫ g = ∑ j ∈ s, f j ≫ g
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
inhabited_h✝ : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
A : ∀ (p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤)), ⟦p⟧ = toGHSpace X → ⟦q⟧ = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q
B : ∀ (p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤)), ⟦p⟧ = toGHSpace X → ⟦q⟧ = toGHSpace Y → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q
⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ ghDist X Y
R : Type u_1
AddCommMonoid R
s : Multiset R
⊢ Tropical.trop s.sum = (Multiset.map Tropical.trop s).prod
α : Type u_1
n : Type u_2
m : Type u_3
Mul α
AddCommMonoid α
A : Matrix m n α
Fintype n
h : A.HasOrthogonalRows
⊢ A.transpose.HasOrthogonalCols