ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
h : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → f (x ⊓ y) = f x ⊓ f y
⊢ MonotoneOn f s
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
R : Type u_1
S : Type u_2
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
Monoid R
CommMonoid S
f : Π₀ (i : ι), β i
g : (i : ι) → β i → R →* S
r : R
⊢ (f.prod g) r = f.prod fun a b => (g a b) r
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ {x_1 | ∃ y, (forgetToTop.map f) x_1 = (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))) y}
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ ∈ alternatingGroup α
⊢ σ ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
n : σ →₀ ℕ
x✝ : n ∈ a.support
⊢ (C ((Ideal.Quotient.mk I) (coeff n a)) * n.prod fun n e => X n ^ e) = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
Fintype α
a : α
f : α → β
⊢ ∑ i : α, f i = f a + ∑ i ∈ {a}ᶜ, f i
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ (μ.withDensityᵥ fun x => f x - g x) = μ.withDensityᵥ f - μ.withDensityᵥ g
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i' : ZMod 2
x' : CliffordAlgebra Q
hx' : x' ∈ evenOdd Q i'
⊢ ((lift Q) ⟨GradedAlgebra.ι Q, ⋯⟩) ↑⟨x', hx'⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(evenOdd Q i)) i') ⟨x', hx'⟩
X : Type u_1
ι : Type u_3
TopologicalSpace X
I : Set ι
hI : I.Countable
f : ι → Set X
hf : ∀ i ∈ I, IsOpen (f i)
⊢ IsGδ (⋂ i ∈ I, f i)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
AddZeroClass α
AddZeroClass β
f : α →+o β
h : Monotone (↑↑f).toFun
⊢ { toAddMonoidHom := ↑f, monotone' := h } = f
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
⊢ (monomial (s + Finsupp.single n e)) a = (monomial s) a * X n ^ e
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
NonAssocSemiring R
e : Sym2 α
Fintype α
h : e ∉ G.edgeSet
⊢ ∑ a : α, SimpleGraph.incMatrix R G a e = 0
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
⊢ f (OrderHom.lfp f) = OrderHom.lfp f
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ+
inst✝ : CommMonoid R
ζ : ↥(rootsOfUnity k R)
m : ℕ
⊢ ↑↑(ζ ^ m) = ↑↑ζ ^ m
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.addX P (W'.neg P) = W'.dblZ P ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ
⊢ MeasurableSet (Ioi a)
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ b₁₁ b₁₂ b₂₁ b₂₂ : α
i j : Fin 2
⊢ (!![a₁₁, a₁₂; a₂₁, a₂₂] * !![b₁₁, b₁₂; b₂₁, b₂₂]) i j = !![a₁₁ * b₁₁ + a₁₂ * b₂₁, a₁₁ * b₁₂ + a₁₂ * b₂₂; a₂₁ * b₁₁ + a₂₂ * b₂₁, a₂₁ * b₁₂ + a₂₂ * b₂₂] i j
n k : ℕ
x✝ : 2 ≤ k + 2
h : k + 2 ≤ n
⊢ (n + 1 - (k + 2)) ^ (k + 2) < n.descFactorial (k + 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
hs : Disjoint s₁ s₂
t₁ t₂ : Set β
⊢ Disjoint (s₁ ×ˢ t₁) (s₂ ×ˢ t₂)
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z
hx0 : x ≠ 0
hxy : x ≤ 0
⊢ (x * 0) ^ z = if (x = 0 ∧ 0 = ⊤ ∨ x = ⊤ ∧ 0 = 0) ∧ z < 0 then ⊤ else x ^ z * 0 ^ z
α : Type u_1
NormedLatticeAddCommGroup α
⊢ LipschitzWith 1 negPart
R : Type u
CommRing R
M N U : QuadraticModuleCat R
f : M ⟶ N
g : N ⟶ U
⊢ (f ≫ g).toIsometry = g.toIsometry.comp f.toIsometry
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
f' : β ≃ γ
⊢ (e.transEquiv f').target = ⇑f'.symm ⁻¹' e.target
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ ρ (⋂ i, s ×ˢ Iic ↑↑i) = ρ (s ×ˢ Iic ↑t)
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K
key : (1 - derivative (C a)) * (f /ₘ (X - C a)) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f - derivative (C (eval a f))
⊢ f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α
⊢ (a \ b) \ c ≤ d ↔ a \ (b ⊔ c) ≤ d
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
⊢ (comap C P).IsMaximal
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S✝ : B
s S : Submonoid M
ι : Type u_4
t : Finset ι
f : ι → M
comm : (↑t).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S
⊢ ∀ x ∈ Multiset.map f t.val, x ∈ S
α : Type u
AddMonoid α
a b : AddUnits α
⊢ a = b ↔ ↑a = ↑b
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
a : α
⊢ ↑{a} = {a}
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
x : α
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt f Set.univ x ↔ LowerSemicontinuousAt f x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
f : Arrow C
inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
S : SplitEpi f.hom
n : ℕ
⊢ WidePullback.lift (WidePullback.base fun x => f.hom) (fun i => if x : i = 0 then (WidePullback.base fun x => f.hom) ≫ S.section_ else WidePullback.π (fun x => f.hom) (i.pred x)) ⋯ ≫ WidePullback.π (fun x => f.hom) 0 = (WidePullback.base fun x => f.hom) ≫ S.section_
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
⊢ ∃ f, f x₀ = 1 ∧ ∀ x ∈ s, f x < 1
x : ℝ
hx : x ≤ 0
a' : ℝ
⊢ cosKernel (↑a') x = 0
G : Type u_3
AddGroup G
a b : G
⊢ a + b - b = a
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
r : R
f : R → R
h₁ : ContinuousOn f (spectrum R ((algebraMap R A) r))
⊢ cfc f ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R A) (f r)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
MetricSpace X
MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y : Y
⊢ ε ≤ Metric.glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inr y)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∈ s
f : α → β
⊢ ∏ x ∈ s, f x = (∏ x ∈ s \ {i}, f x) * f i
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
Preorder α
a : α
Preorder β
f : β → α
ExistsAddOfLE α
MulPosMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Monotone f
ha : a ≤ 0
⊢ Antitone fun x => f x * a
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
motive : HNNExtension G A B φ → Prop
x : HNNExtension G A B φ
of : ∀ (g : G), motive (HNNExtension.of g)
t : motive HNNExtension.t
mul : ∀ (x y : HNNExtension G A B φ), motive x → motive y → motive (x * y)
inv : ∀ (x : HNNExtension G A B φ), motive x → motive x⁻¹
S : Subgroup (HNNExtension G A B φ) := { carrier := setOf motive, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, inv_mem' := ⋯ }
f : HNNExtension G A B φ →* ↥S := lift (HNNExtension.of.codRestrict S of) ⟨HNNExtension.t, t⟩ ⋯
hf : S.subtype.comp f = MonoidHom.id (HNNExtension G A B φ)
⊢ motive ((S.subtype.comp f) x)
k : ℕ
⊢ 1 ≤ 2 ^ k
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
a : α
x : ℝ
⊢ (ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f hf a).measure (Set.Iic x) =
  ENNReal.ofReal (↑(ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f hf a) x)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
E : K ⥤ J
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cone F} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Limits.Cones.whiskering E).map f).hom = f.hom
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
⊢ t ∈ 𝒜.upShadow ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ (t \ s).card = 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : p ≠ 0
f : R[X]
n✝ n : ℕ
ih : Irreducible ((expand R (p ^ n)) f) → Irreducible f
hf : Irreducible ((expand R (p ^ n.succ)) f)
⊢ Irreducible ((expand R p) ((expand R (p ^ n)) f))
R : Type u_1
NormedCommRing R
CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
⊢ ∏' (p : Nat.Primes), ∑' (e : ℕ), f (↑p ^ e) = ∑' (n : ℕ), f n
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T
⊢ w ∈ g.reverse.language ↔ w.reverse ∈ g.language
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
hd : DifferentiableOn ℂ f (Metric.closedBall c R)
hw : w ∈ Metric.ball c R
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * Complex.I) • f w
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F
_x : α
⊢ 0 ≤ ‖1‖
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
m y : M
⊢ (Q.polarBilin m) y = QuadraticMap.polar (⇑Q) m y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
h : ContDiff 𝕜 (↑n) f
c : 𝕜
⊢ (iteratedDeriv n fun x => f (c * x)) = fun x => c ^ n • iteratedDeriv n f (c * x)
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 < b
⊢ 1 < a * b
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1
⊢ ‖x‖ / (o.oangle y (y - x)).sin = ‖y - x‖
α : Type u_2
M : Matroid α
Is : Set (Set α)
hIs : Is.Nonempty
h : M.Indep (⋃₀ Is)
⊢ M.closure (⋂₀ Is) = ⋂ I ∈ Is, M.closure I
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => Real.sinh (f x)) (Real.cosh (f x) * f') x
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
v : V
n : ℕ
⊢ ‖fourierPowSMulRight L f v n‖ ≤ (2 * π * ‖L‖) ^ n * ‖v‖ ^ n * ‖f v‖
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
⊢ (n • s).dedup = s.dedup
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
β : TypeVec.{u_2} n
p : α ⟹ repeat n Prop
f : β ⟹ Subtype_ p
⊢ toSubtype p ⊚ ofSubtype p ⊚ f = f
α : Type u
a : α
t : Set α
p : Set α → Prop
he : p ∅
h₁ : ∀ (x : α), p {x}
hs : ∅.Subsingleton
⊢ p ∅
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderTop α
OrderTopology α
⊢ 𝓝 ⊤ = ⨅ l, ⨅ (_ : l < ⊤), 𝓟 (Set.Ioi l)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
o : Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.derivFamily f (Order.succ o) = Ordinal.nfpFamily f (Order.succ (Ordinal.derivFamily f o))
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
f : ι →₀ α
i : ι
⊢ f.rangeSingleton i = {f i}
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max (sqrt (1 + B ^ 2)) 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₁ : {w | w.IsComplex}.Nonempty
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
⊢ ∃ x, (∃ i, ∃ (_ : i.natDegree ≤ D ∧ ∀ (i_1 : ℕ), i.coeff i_1 ∈ Set.Icc (-↑C) ↑C), x ∈ ↑(Polynomial.map (algebraMap ℤ A) i).roots.toFinset) ∧ K = ℚ⟮x⟯
R : Type u_1
A : Type u_2
B✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Ring B✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R A
inst✝¹⁰ : Algebra R B✝
f✝ : R →+* S
B : Type u_5
C : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁹ : Ring B
inst✝⁸ : Ring C
inst✝⁷ : Algebra R B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : Algebra R C
inst✝⁴ : IsScalarTower R A B
inst✝³ : Algebra A C
inst✝² : IsScalarTower R A C
b : B
inst✝¹ : FunLike F B C
inst✝ : AlgHomClass F A B C
f : F
P : R[X]
hP : P.Monic ∧ eval₂ (algebraMap R B) b P = 0
⊢ eval₂ (algebraMap R C) (f b) P = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
DiscreteTopology β
f : α × β → γ
x : α × β
⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (fun x_1 => f (x_1, x.2)) x.1
G : Type u_2
AddGroup G
H : AddSubgroup G
x : AddUnits G
⊢ x ∈ H.addUnits ↔ ↑x ∈ H
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : β → α
hf : Function.Surjective f
⊢ f ⁻¹' s = f ⁻¹' t ↔ s = t
a b c : Int
H : 0 < c
H' : a < b * c
⊢ a / c < b
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝³ : MonoidWithZero R
inst✝² : MonoidWithZero S
r : R
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F R S
hr : IsNilpotent r
f : F
⊢ IsNilpotent (f r)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
⊢ Bornology.IsBounded s
l₁ l₂ : Lean.Omega.LinearCombo
⊢ (l₁ - l₂).coeffs = l₁.coeffs - l₂.coeffs
p : ℝ[X]
⊢ ∀ x ∈ p.roots.toFinset ∪ (derivative p).roots.toFinset, x ∉ (derivative p).roots.toFinset → Multiset.count x (derivative p).roots = 0
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
h : Epi f
y : (forget Stonean).obj Y
hy : ∀ (a : (forget Stonean).obj X), f a ≠ y
C : Set ((forget Stonean).obj Y) := Set.range ⇑f
hC : IsClosed C
U : Set ((forget Stonean).obj Y) := Cᶜ
hUy : U ∈ 𝓝 y
V : Set ((forget Stonean).obj Y)
hV : V ∈ {s | IsClopen s}
hyV : y ∈ V
hVU : V ⊆ U
⊢ False
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Monoid G✝
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Monoid G
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Module k W
ρ : G →* V →ₗ[k] V
σ : G →* W →ₗ[k] W
f : V →ₗ[k] W
w : ∀ (g : G), f ∘ₗ ρ g = σ g ∘ₗ f
r : MonoidAlgebra k G
x : V
⊢ f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) r) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) r) (f x)
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
K : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ (fun s => ↑((MeasureTheory.Measure.haar.addHaarContent K₀).toFun s)) K =
  ↑(let_fun this := ⟨MeasureTheory.Measure.haar.addCHaar K₀ K, ⋯⟩;
    this)
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ Finset.Ico a₁ b₁ ⊆ Finset.Ico a₂ b₂
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
s : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ Submodule.span R ↑s = s.toSubmodule
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
⊢ (convexHull R) (↑t₁ ∩ ↑t₂) = (convexHull R) ↑t₁ ∩ (convexHull R) ↑t₂
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
⊢ (fun n => (∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range n, truncation (X i) ↑i) a) - ↑n * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] Nat.cast
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : α
⊢ (FreeRing.map f) (FreeRing.of x) = FreeRing.of (f x)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
φ : C(↑(σₙ R a), R)₀ →⋆ₙₐ[R] A
hφ₁ : Continuous ⇑φ
hφ₂ : φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = a
⊢ cfcₙHom ha = φ
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
cont : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
x : X
hx : x ∈ s
g : PartialHomeomorph Y Z
hxg : f x ∈ g.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (↑g ∘ f) s
hg : IsLocalHomeomorphOn (↑g) (f '' s)
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : ↑g ∘ f = ↑gf
y : X
hy : y ∈ ((gf.restr (f ⁻¹' g.source)).trans g.symm).source
⊢ f y = ↑((gf.restr (f ⁻¹' g.source)).trans g.symm) y
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsCartesian f φ
a' : 𝒳
φ' : a' ⟶ b
p.IsHomLift f φ'
⊢ CategoryTheory.Functor.IsCartesian.map p f φ φ' ≫ φ = φ'
x y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
n : ℤ
⊢ x ^ (y * ↑n) = (x ^ y) ^ n
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
g : ℕ → ℂ → E := fun n z => cexp z ^ n • f z
hg : ∀ (n : ℕ) (z : ℂ), ‖g n z‖ = expR z.re ^ n * ‖f z‖
z : ℂ
hz : 0 < z.re
⊢ f z = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hM : eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
x✝ x : α
hx : max M 1 ≤ ↑‖f x‖₊
⊢ x ∈ {x | M ≤ ↑‖f x‖₊}
α : Type u
c✝ d : Cardinal.{u}
c : ℕ
⊢ ↑(toNat ↑c) = ↑c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
hcd : d ≤ c
h₁ : b ≤ c
h₂ : d ≤ a
⊢ Ico a b ∪ Ico c d = Ico (min a c) (max b d)
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ : List α✝
x✝ : l₁.reverse <:+ l₂.reverse
r : List α✝
e : r ++ l₁.reverse = l₂.reverse
⊢ l₁ ++ r.reverse = l₂
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Multiset.Ioc a b = 0 ↔ ¬a < b
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
⊢ (p.append q).toSubgraph = p.toSubgraph ⊔ q.toSubgraph
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ
Inhabited Γ'
f : Turing.PointedMap Γ Γ'
l : Turing.ListBlank Γ
n : ℕ
⊢ (Turing.ListBlank.map f l).nth n = f.f (l.nth n)
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M ⧸ S
⊢ ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Polynomial.eval (v i) (Polynomial.derivative (Lagrange.nodal s v)) =
  Polynomial.eval (v i) (Lagrange.nodal (s.erase i) v)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Zero X
f : ContinuousMapZero X ℝ
⊢ (ContinuousMapZero.toContinuousMapHom f).toNNReal = ContinuousMapZero.toContinuousMapHom f.toNNReal
a : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
⊢ Cardinal.toENat a = ↑n ↔ a = ↑n
α : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid R
AddCommMonoid M
f : α → R
a : R
h : HasSum f a
⊢ HasSum (fun x => TrivSqZeroExt.inl (f x)) (TrivSqZeroExt.inl a)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z₁ z₂ : Cochain F G 0
h : ∀ (p : ℤ), z₁.v p p ⋯ = z₂.v p p ⋯
q : ℤ
hpq : q + 0 = q
⊢ z₁.v q q hpq = z₂.v q q hpq
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : α → β
TopologicalSpace β
FirstCountableTopology β
OrderTopology β
hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) (MeasureTheory.ae μ) f := by isBoundedDefault
⊢ ∀ᵐ (y : α) ∂μ, essInf f μ ≤ f y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s✝ : Finset α
f : α ↪ β
g : β ↪ γ
s : Finset α
⊢ Multiset.map (⇑g ∘ ⇑f) s.val = Multiset.map (⇑(f.trans g)) s.val
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : μ s ≠ ⊤
f : α → ℝ≥0
hbdd : BddAbove (f '' s)
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑(f x) ∂μ < ⊤
K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
AddCommGroup V'
Module K V'
η : Type u_1
s : Finset η
f : η → V →ₗ[K] V'
⊢ (∑ d ∈ s, f d).rank ≤ ∑ d ∈ s, (f d).rank
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ
n : ℕ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a
⊢ (∑ x ∈ s, f x) ^ (n + 1) / ↑s.card ^ n ≤ ∑ x ∈ s, f x ^ (n + 1)
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
⊢ Subsingleton (OreLocalization S R) ↔ 0 ∈ S
z : ZFSet
⊢ z.IsTransitive ↔ ∀ {x y : ZFSet}, x ∈ y → y ∈ z → x ∈ z
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
R : Type u_1
S : Type u_2
AddZeroClass R
AddCommMonoid S
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
g : (i : ι) → β i →+ R →+ S
r : R
⊢ ((DFinsupp.sumAddHom g) f) r = (DFinsupp.sumAddHom fun i => (AddMonoidHom.eval r).comp (g i)) f
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
x y : X ⊕ Y
⊢ Metric.Sum.dist x y = Metric.Sum.dist y x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.35536, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
this : S.HasHomology
⊢ IsZero (CokernelCofork.ofπ h.π ⋯).pt
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
h : (map (⇑f) μ).InnerRegular
⊢ μ.InnerRegular
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
⊢ Tendsto (fun m => ∫ (x : γ), κ.density ν a x (seq m) ∂ν a) atTop (𝓝 ((κ a) univ).toReal)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ RCLike.re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x‖ * ‖x‖ - ‖y‖ * ‖y‖) / 2
α : Type ua
hα : UniformSpace α
h : 𝓤 α = 𝓟 idRel
⊢ DiscreteTopology α
n : ℕ
this : π < (√(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2 + 1 / (2 ^ n) ^ 3 / 4) * 2 ^ (n + 2)
⊢ 2 ^ (n * 3 + 2) ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : Set α
hs : IsLowerSet s
f : β → α
hf : Monotone f
⊢ IsLowerSet (f ⁻¹' s)