ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
k n : ℕ
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
z : G
⊢ 0 ≤ ‖f‖ * ‖z‖ ^ (n - k)
α : Type u_1
x : α
⊢ MulOpposite.unop (MulOpposite.op x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g (μ.restrict sᶜ)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (s.piecewise f g) μ
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{?u.66927, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{?u.66931, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.66935, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{?u.66939, u_4} C₄
inst✝² : Category.{?u.66943, u_5} C₁₂
inst✝¹ : Category.{?u.66947, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ : GradedObject I₁ C₁
inst✝ : ∀ (X₂ : GradedObject I₂ C₂) (X₃ : GradedObject I₃ C₃), ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
j : J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ { app := fun X₃ => mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) (𝟙 X₃), naturality := ⋯ }.app X₃ j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (𝟙 { obj := fun X₃ => mapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃, map := fun {X₃ Y₃} φ => mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) φ, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).app X₃ j
s : Finset ℕ
n : ℕ
h₀ : (List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) n.primeFactorsList).prod ≠ 0
p : ℕ
hp : p ∈ (List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) n.primeFactorsList).prod.primeFactorsList
H₁ : Prime p
H₂ : p ∣ (List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) n.primeFactorsList).prod
⊢ p ∈ s
ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
inst✝ : RCLike 𝕜
r : 𝕜
f : ℝ → 𝕜
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x / r ∂μ = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) / r
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α
⊢ (∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i) ∧ U = ⋂ i, V i) ↔ ∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ι), V i ∈ s i) ∧ (∀ i ∉ I, V i = univ) ∧ U = ⋂ x, V ↑x ∧ U = ⋂ i, V i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
j : ι
K.HasHomology j
L.HasHomology j
CategoryTheory.Mono (φ.f j)
hj : ∀ (i : ι), ¬c.Rel i j
⊢ CategoryTheory.Mono (HomologicalComplex.homologyMap φ j)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Fintype m
Fintype n
AddCommMonoid α
Mul α
e : m ≃ n
M : Matrix m n α
⊢ M.submatrix id ⇑e * Mᵀ.submatrix (⇑e) id = M * Mᵀ
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n✝ : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
X Y : Finset α
n : ℕ
hXY : n + n < X.card + (Y \ X).card
h₁ : (X ∩ (Y \ X)).card = 0
h₂ : (X ∪ Y).card = X.card + (Y \ X).card
⊢ ∃ C, n < C.card ∧ (C ⊆ X ∨ C ⊆ Y)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a b : X
γ : Path a b
⊢ Set.range ⇑γ.symm = Set.range ⇑γ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : CategoryTheory.GlueData C
i j : D.J
⊢ D.t' i i j = (CategoryTheory.Limits.pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s : Set X
H : s ∈ irreducibleComponents X
⊢ s = closure s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : C
inst✝ : HasTerminal C
X : MonoOver (⊤_ C)
Z : C
f g : Z ⟶ X.obj.left
⊢ f = g
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this✝ : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
b' : Basis { x // x ∈ s } K L := (traceForm K L).dualBasis ⋯ b
this : IsNoetherian A ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := isNoetherian_span_of_finite A (Set.finite_range ⇑b')
f : C →ₗ[A] ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := Submodule.inclusion ⋯ ∘ₗ (↑A (Algebra.linearMap C L)).rangeRestrict
⊢ LinearMap.ker f = ⊥
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
⊢ 0 ×ˢ 0 = 0
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b c d : α
⊢ a - b + (c - d) = a + c - (b + d)
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : ⌊(triangleRemovalBound (ε / 9) * 27)⁻¹⌋₊ < Fintype.card G
A : Finset (G × G)
hAε : ε * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ ↑A.card
hA : IsCornerFree ↑A
hε₁ : ε ≤ 1
this : NoAccidental (Corners.triangleIndices A)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊔ g) a✝ = ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝
⊢ ↑f a✝ ≤ ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : ContinuousSMul M X
N : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : Monoid N
f : N →* M
hf : Continuous ⇑f
x✝ : MulAction N X := compHom X f
⊢ ContinuousSMul N X
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
x' : F.obj j'
w : colimit.ι F j x = colimit.ι F j' x'
⊢ Quot.mk (Quot.Rel F) ⟨j, x⟩ = Quot.mk (Quot.Rel F) ⟨j', x'⟩
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
NormedSpace ℝ X
c : ℝ
h : c ≠ 0
x : X
⊢ ConformalAt (fun x' => c • x') x
r p : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ r.toNNReal < p.toNNReal ↔ r < p
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ V
this : ball x w ×ˢ ball x w ∈ 𝓝 (x, x)
⊢ ball x w ×ˢ ball x w ⊆ V
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
⊢ Polynomial.map f 0 = 0
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Z.Opens
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (f ≫ g) U =
  AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app g U ≫
    AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f ((TopologicalSpace.Opens.map g.val.base).obj U)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
⊢ ¬G.Adj t u
α : Type u_1
p q : Perm α
x : α
⊢ x ∈ {x | p⁻¹ x ≠ x} ↔ x ∈ {x | p x ≠ x}
a : UnitAddCircle
⊢ Tendsto (fun s => (s - 1) * hurwitzZetaEven a s + (s - 1) * hurwitzZetaOdd a s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (1 + (1 - 1) * hurwitzZetaOdd a 1))
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
H : B.IsSymm
x y : M
⊢ B.IsOrtho x y ↔ B.IsOrtho y x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
i : α
⊢ ↑(Icc (∑ j : β, ↑B * -(A i j)⁻) (∑ j : β, ↑B * (A i j)⁺)).card = P i - N i + 1
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
⊢ G.edgeSet = ∅ ↔ G = ⊥
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
L : E →L[𝕜] F
r : ℝ
ε δ : ℝ
h : ε ≤ δ
⊢ FDerivMeasurableAux.A f L r ε ⊆ FDerivMeasurableAux.A f L r δ
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
s : Set α
hf : f.IsCycleOn s
⊢ s ×ˢ s = ⋃ n, (fun a => (a, (f ^ n) a)) '' s
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
⊢ Nat.card (Sylow p G) = (↑P).normalizer.index
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : r ≤ 0
⊢ Int.clog b r = 0
ι : Type u_1
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ (l.toFilteriUnion I ⊤).HasBasis (fun r => ∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) fun r =>
  {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π ∧ π.IsPartition}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}
⊢ o.blsub f = 0 ↔ o = 0
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{vC, uC} C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{vD, uD} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsLocallyFaithful K
ℱ : CategoryTheory.SheafOfTypes K
X Y : C
i₁ i₂ : X ⟶ Y
e : G.map i₁ = G.map i₂
s t : ℱ.val.obj (Opposite.op (G.obj X))
h :
  ∀ ⦃Z : C⦄ (j : Z ⟶ X),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp j i₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp j i₂ →
      ℱ.val.map (G.map j).op s = ℱ.val.map (G.map j).op t
⊢ s = t
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ Filter.comap (fun x => x * a) (Bornology.cobounded α) = Bornology.cobounded α
M : Type u_3
Monoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
m n : ℕ
ha : 1 < a
⊢ a ^ m ≤ a ^ n ↔ m ≤ n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
A : C
h f g : CategoryTheory.Subobject A
⊢ h ≤ f → h ≤ g → h ≤ (CategoryTheory.Subobject.inf.obj f).obj g
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : ∀ {ι : Type u} (U : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : CountableInterFilter f
⊢ f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ClusterPt x f
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
LinearOrder ι
hf : Antitone f
hg : Antitone g
⊢ Monovary f g
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsClopen s
ht : IsClopen t
⊢ IsClopen (s ⇨ t)
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
inst✝¹ : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))
⊢ IsLocalization ?M ((forget CommRingCat).obj (((Scheme.Γ.rightOp ⋙ Scheme.Spec).obj X).presheaf.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f))))
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
⊢ 𝟙 X = 0 ↔ f = 0
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∈ (exponent G).factorization.support
he : 0 < exponent G
g : G
hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1
k : ℕ
hk : exponent G = p ^ (exponent G).factorization p * k
⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0
lead_unit : IsUnit ↑((Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 (C k - p).leadingCoeff lead_ne))
p_a_eq : (aeval a) (C k - p) = ↑ₐ k - (aeval a) p
⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
⊢ a / b ≤ 1 ↔ 0 < b ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b ≤ a
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A B : C
⊢ F.map ((exp.coev A).app B) ≫ (expComparison F A).app (A ⨯ B) = (exp.coev (F.obj A)).app (F.obj B) ≫ (exp (F.obj A)).map (inv (prodComparison F A B))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
hs : 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Balanced 𝕜 s ∧ Convex ℝ s
⊢ ∃ i' ∈ (gaugeSeminormFamily 𝕜 E).basisSets, id i' ⊆ id s
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
h : ∀ (c : R) {x : M}, x ∈ p.carrier → c • x ∈ p.carrier
⊢ { toAddSubmonoid := p.toAddSubmonoid, smul_mem' := h } = p
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
⊢ p ≤ Ideal.comap f (P ^ Ideal.ramificationIdx f p P)
R : Type u
CommRing R
IsDedekindDomain R
S : Set (IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R)
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ (S.integer K).toSubring = ⨅ v, ⨅ (_ : v ∉ S), v.valuation.valuationSubring.toSubring
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
S : Type u_1
CommRing S
f : R →+* S
P : Fin 3 → R
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.dblZ (WeierstrassCurve.map W' f) (⇑f ∘ P) = f (W'.dblZ P)
α : Type u_1
M : Matroid α
I X J : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJX : M.Basis J X
he : e ∈ I \ J
⊢ ∃ f ∈ J \ I, M.Basis (insert f (I \ {e})) X
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : Set α
t : Set ↑s
h : MeasurableSet (Subtype.val '' t)
⊢ MeasurableSet t
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
⊢ (fun x => ↑(-x) ^ (u - 1) * (1 - ↑(-x)) ^ (v - 1)) = fun x => ↑(x + 1) ^ (v - 1) * (1 - ↑(x + 1)) ^ (u - 1)
α : Type u_1
o₁ o₂ : Option α
⊢ o₁.toList.Perm o₂.toList ↔ o₁ = o₂
α : Type u_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
Add α
p₁ : a₁ = b₁
p₂ : a₂ = b₂
⊢ a₁ + a₂ = b₁ + b₂
α : Type u
β : Set α
γ : Set ↑β
⊢ ↑γ ⊆ β
R : Type u_1
L : Type u_3
ι : Type u_5
CommRing R
Nontrivial R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
Fintype ι
b : Basis ι R L
⊢ LieAlgebra.rank R L ≤ Fintype.card ι
I : Type u
inst✝⁶ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C
inst✝³ : X₃.HasTensor X₄
inst✝² : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)
inst✝¹ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))
j : I
A : C
f g : tensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) j ⟶ A
inst✝ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄
H : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄
h : ∀ (i₁ i₂ i₃ i₄ : I) (h : i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = j), ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ f = ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ g
i₁ i₂₃₄ : I
h' : i₁ + i₂₃₄ = j
i₂ i₃ i₄ : I
h'' : i₂ + i₃ + i₄ = i₂₃₄
⊢ X₁ i₁ ◁ ιTensorObj₃ X₂ X₃ X₄ i₂ i₃ i₄ i₂₃₄ h'' ≫ ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂₃₄ j h' ≫ f = X₁ i₁ ◁ ιTensorObj₃ X₂ X₃ X₄ i₂ i₃ i₄ i₂₃₄ h'' ≫ ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂₃₄ j h' ≫ g
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s t : Finset α
⊢ s - t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
x x' : SetTheory.PGame
h : x'.LF x
⊢ x.insertLeft x' ≈ x
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
P' : Type uP'
Q' : Type uQ'
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : Semiring A
inst✝²⁹ : Semiring B
inst✝²⁸ : Algebra R A
inst✝²⁷ : Algebra R B
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : Module R M
inst✝²⁴ : Module A M
inst✝²³ : Module B M
inst✝²² : IsScalarTower R A M
inst✝²¹ : IsScalarTower R B M
inst✝²⁰ : SMulCommClass A B M
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁸ : Module R N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : Module R P
inst✝¹⁵ : Module A P
inst✝¹⁴ : Module B P
inst✝¹³ : IsScalarTower R A P
inst✝¹² : IsScalarTower R B P
inst✝¹¹ : SMulCommClass A B P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R Q
inst✝⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝⁷ : Module R P'
inst✝⁶ : Module A P'
inst✝⁵ : Module B P'
inst✝⁴ : IsScalarTower R A P'
inst✝³ : IsScalarTower R B P'
inst✝² : SMulCommClass A B P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
f₁ f₂ : M →ₗ[A] P
g : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N
⊢ ((curry (map (f₁ + f₂) g)) x✝¹) x✝ = ((curry (map f₁ g + map f₂ g)) x✝¹) x✝
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MulZeroClass (α i)
DecidableEq ι
i j : ι
a : α i
f : (i : ι) → α i
⊢ Pi.single i (a * f i) j = Pi.single i a j * f j
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
Monad m
f : α → β → m PUnit
l : Batteries.AssocList α β
⊢ Batteries.AssocList.forM f l =
  l.toList.forM fun x =>
    match x with
    | (a, b) => f a b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
st : s ⊆ f ⁻¹' t
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set F
u_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
left✝ : u ⊆ insert (f x) t
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u
v : Set E
v_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x
vs : v ⊆ insert x s
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v
xmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v
this : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a✝ b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
a : ℕ
ha : n = orderOf x * a
h : ¬a = 1
a_min_fac_dvd_p_sub_one : a.minFac ∣ n
⊢ a.minFac ∣ a
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Iic b \ Set.Iic a = Set.Ioc a b
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
i : ι
j : κ i
⊢ s i j ⊆ ⋃ i', ⋃ j', s i' j'
⊢ Primrec₂ Nat.Partrec.Code.comp
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
SeminormedRing 𝕜
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
AddCommGroup E
AddCommGroup E₂
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ E₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
⊢ ⇑(p.comp f) = ⇑p ∘ ⇑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : Differentiable 𝕜 f
⊢ DiffContOnCl 𝕜 f s
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ AffineSubspace.map f ⊤ = ⊤
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G
⊢ (⇑((TensorProduct.uncurry k (CoeSort.coe (of (Representation.ofMulAction k G G))) (CoeSort.coe (of 1)) (CoeSort.coe A)) (((ihom (of 1)).obj A).leftRegularHom ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f)).hom) ∘ ⇑((diagonalSucc k G n).hom.hom ≫ ((Representation.ofMulAction k G G).repOfTprodIso 1).hom.hom)) (Finsupp.single x 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)
k : Type u
Field k
s : Finset (AlgebraicClosure.MonicIrreducible k)
f : AlgebraicClosure.MonicIrreducible k
hf : f ∈ s
⊢ (AlgebraicClosure.toSplittingField k s) (AlgebraicClosure.evalXSelf k f) = 0
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i : 𝒰.J
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.pullbackP1Iso 𝒰 f g i).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
h : pred a ≤ b
⊢ Icc (pred a) b = insert (pred a) (Icc a b)
α : Type u_1
s₁ s₂ s₃ : Finset α
hs₁s₂ : s₁ ⊆ s₂
hs₂s₃ : s₂ ⊂ s₃
⊢ s₁ ⊂ s₃
α₁ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_1
e : α₁ → β₁ ≃ β₂
b : β₁
a : α₁
⊢ (Equiv.prodCongrLeft e) (b, a) = ((e a) b, a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
𝒢 : Set C
⊢ CategoryTheory.IsCoseparating 𝒢.op ↔ CategoryTheory.IsSeparating 𝒢
c : Char
cs t : List Char
i : Nat
e : Pos
⊢ go₁ (c :: cs ++ t) { byteIdx := i } { byteIdx := utf8Len (c :: cs) + i } e = go₂ t { byteIdx := utf8Len (c :: cs) + i } e
X : Type u
Lattice X
self : JordanHolderLattice X
x y z : X
⊢ JordanHolderLattice.IsMaximal x z → JordanHolderLattice.IsMaximal y z → x ≠ y → x ⊔ y = z
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring E✝
inst✝¹⁶ : Semiring K
inst✝¹⁵ : SMul F✝ E✝
inst✝¹⁴ : Algebra E✝ K
inst✝¹³ : CommSemiring F✝
inst✝¹² : Algebra F✝ K
inst✝¹¹ : IsScalarTower F✝ E✝ K
L✝ : Subalgebra F✝ K
F : Type u_4
E : Type u_5
L : Type u_6
L' : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring F
inst✝⁹ : CommSemiring L
inst✝⁸ : CommSemiring L'
inst✝⁷ : Semiring E
inst✝⁶ : Algebra F L
inst✝⁵ : Algebra L E
inst✝⁴ : Algebra F L'
inst✝³ : Algebra L' E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
⊢ (Subalgebra.restrictScalars F (adjoin L S)).toSubsemiring = (Subalgebra.restrictScalars F (adjoin L' S)).toSubsemiring
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
⊢ (ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).f' = φ.τ₁ ≫ h.f'
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F : C ⥤ Type v₁
f : coyoneda.obj (op X) ⟶ F
g : X ⟶ Y
⊢ (f.app X ≫ F.map g) (𝟙 X) = f.app Y (g ≫ 𝟙 Y)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
S T : Subalgebra R A
⊢ Algebra.IsIntegral R ↥(S ⊔ T) ↔ Algebra.IsIntegral R ↥S ∧ Algebra.IsIntegral R ↥T
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ : CategoryTheory.Monad C
X : T₁.Algebra
⊢ (CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHomId.hom.app X).f =
  (CategoryTheory.Iso.refl
      ((CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id T₁)).obj X).A).hom
C : Type u
CategoryTheory.CategoryStruct.{v, u} C
a : C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id a).toLoc = CategoryTheory.CategoryStruct.id { as := a }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
⊢ Filter.Tendsto
  (fun n =>
    MeasureTheory.eLpNorm
      ((fun x => κ.densityProcess ν n a x s) -
        MeasureTheory.Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s)
          (ProbabilityTheory.countableFiltration γ) (ν a))
      1 ((ν a).restrict A))
  Filter.atTop (𝓝 0)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
⊢ s.pi t = ∅ ↔ ∃ i, IsEmpty (α i) ∨ i ∈ s ∧ t i = ∅
X : Type u
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ Path.delayReflRight 1 γ = γ
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∀ (s : Finset ι) ⦃a : ι⦄, a ∉ s → T μ p (∫⋯∫⁻_(insert a s)ᶜ, f ∂μ) (insert a s) ≤ T μ p (∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ) s
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r : R
⊢ IsSMulRegular (M ⧸ N) r → r • ⊤ ⊓ N ≤ r • N