ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
f : M → M'
hf : ContMDiff I I' n (e' ∘ f)
⊢ ContMDiff I I' n f
R✝ : Type u
inst✝³ : CommRing R✝
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
d : ℕ
hd : d ∣ N
u : ZMod N
hu : IsUnit u
hb_ne : u * ↑d ≠ 0
hb : e.mulShift (u * ↑d) = 1
⊢ e.mulShift ↑d = 1
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
⊢ (⨆ i, f i) / a = ⨆ i, f i / a
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
⊢ Function.support (deriv f) ⊆ tsupport f
R : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ ∀ (a : ↥(LinearMap.range ↑f)), f.quotKerEquivRange.invFun a = (↑f).quotKerEquivRange.invFun a
ι : Type u_6
α : Type u_8
Fintype ι
CommSemiring α
f : ι → α
n : ℕ
⊢ (∑ a : ι, f a) ^ n = ∑ p : Fin n → ι, ∏ i : Fin n, f (p i)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ
Inhabited Γ'
l : List Γ
f : Γ → List Γ'
hf : ∃ n, f default = List.replicate n default
⊢ (Turing.ListBlank.mk l).bind f hf = Turing.ListBlank.mk (l.bind f)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.1400, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ coequalizer.π f 0 ≫ cokernel.desc f (kernel.ι f.op).unop ⋯ ≫ (kernel.lift f.op (cokernel.π f).op ⋯).unop = coequalizer.π f 0 ≫ 𝟙 (cokernel f)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F
hc : IsLimit c
s : Cocone F.leftOp
j : Jᵒᵖ
⊢ ((coconeLeftOpOfCone c).ι.app j ≫ (fun s => (hc.lift (coneOfCoconeLeftOp s)).unop) s).op = (s.ι.app j).op
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
h : Bornology.IsBounded s
c : α
⊢ ∃ r, s ⊆ Metric.ball c r
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ ψ.op.φH = ψ.φH.op
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
t : Finset β
x : β
⊢ x ∈ s.biUnion f ∩ t ↔ x ∈ s.biUnion fun x => f x ∩ t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁.HomotopyEquiv S₂
e' : S₂.HomotopyEquiv S₃
⊢ (e.trans e').homotopyHomInvId =
  (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofEq ⋯).trans
    (((e'.homotopyHomInvId.compRight e.inv).compLeft e.hom).trans
      ((CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofEq ⋯).trans e.homotopyHomInvId))
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
f : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
h_m : m ∈ f.support
⊢ m i ≤ f.support.sup fun m => m i
α : Type u
a : α
s t : Set α
p : Set α → Prop
hs : s.Subsingleton
he : p ∅
h₁ : ∀ (x : α), p {x}
⊢ p s
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hl : l.NeBot
this : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
u : ℕ → Set ι
hu : l.HasAntitoneBasis u
⊢ MeasurableSet {x | ∃ c, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 c)}
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
CommRing R₃
AddCommGroup M₃
Module R₃ M₃
ι : Type u_12
DecidableEq ι
Fintype ι
M : Matrix ι ι R₃
b : Basis ι R₃ M₃
⊢ ((Matrix.toBilin b) M).Nondegenerate ↔ M.Nondegenerate
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).get? 0 = some a
G : Type u_1
AddGroup G
a : G
n : ℤ
⊢ AddCommute (n • a) a
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
p p' : NonUnitalSubsemiring R
⊢ ↑(p ⊓ p') = ↑p ∩ ↑p'
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf : Inducing ⇑f
hg : Inducing ⇑g
⊢ induced (⇑prod.fst) W.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str = induced (⇑prod.fst) (induced (⇑f) X.str) ⊓ induced (⇑prod.snd) (induced (⇑g) Z.str)
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ f.toMap x * ↑((IsUnit.liftRight (f.toMap.restrict S) ⋯) y)⁻¹ * f.toMap ↑y = f.toMap x
M : Type u_1
TopologicalSpace M
AddMonoid M
⊢ Continuous ⇑(AddUnits.embedProduct M)
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
p : α → Prop
step : ∀ (a : α), p a → a ≤ OrderHom.lfp f → p (f a)
hSup : ∀ (s : Set α), (∀ a ∈ s, p a) → p (sSup s)
⊢ p (OrderHom.lfp f)
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ (WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 3)) = 2 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 2) + WeierstrassCurve.expDegree (m + 3) + WeierstrassCurve.expDegree (m + 5) ∧ WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 3)) = WeierstrassCurve.expDegree (m + 1) + WeierstrassCurve.expDegree (m + 3) + 2 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 4)) ∧ (WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 2) + 1) = WeierstrassCurve.expDegree (m + 4) + 3 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 2) + if Even m then 2 * 3 else 0) ∧ WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 2) + 1) = WeierstrassCurve.expDegree (m + 1) + 3 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 3) + if Even m then 0 else 2 * 3
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S₁ S₂ : Subalgebra R A
⊢ (S₁ ⊔ S₂).op = S₁.op ⊔ S₂.op
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
C : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ C
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≤ C
α : Type u_1
⊢ { val := 0, nodup := ⋯ } = ∅
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
h : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
l : Filter E
⊢ f =O[l] fun x => x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
TopologicalSpace γ
T2Space γ
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ (b : β), ∃ c, Filter.Tendsto f (Filter.comap i (𝓝 b)) (𝓝 c)
a : α
⊢ di.extend f (i a) = f a
⊢ ∀ {R S : Type u_1} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (e : R ≃+* S), e.toRingHom.Finite
R : Type u
CommRing R
IsBezout R
x y : R
h : Irreducible x
⊢ x ∣ y ∨ IsCoprime x y
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Bool}, List.eraseP p [] = []
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MonoidWithZero α
⊢ Quot.out 0 = 0
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid N✝
N : Submonoid M
⊢ FG ↥N ↔ (Submonoid.map N.subtype ⊤).FG
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
ha : 0 < a
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume
hf_top : f =O[Filter.atTop] fun t => rexp (-a * t)
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
⊢ DifferentiableAt ℂ (mellin f) s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ T1Space X ↔ Continuous ⇑CofiniteTopology.of
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
CommMonoidWithZero M₀
f : ι → M₀
s : Finset ι
Nontrivial M₀
NoZeroDivisors M₀
⊢ ∏ x ∈ s, f x = 0 ↔ ∃ a ∈ s, f a = 0
R S : Type u
M : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'✝
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
M' : Submodule R M
⊢ Module.rank R (M ⧸ M') + Module.rank R ↥M' ≤ Module.rank R M
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] ι →₀ R
⊢ ↑b.repr = f ↔ ∀ (i : ι), f (b i) = Finsupp.single i 1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, edist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, edist x y ≤ r
⊢ EMetric.hausdorffEdist s t ≤ r
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : y ∈ s
⊢ infDist x (s ∩ closedBall x (dist y x)) = infDist x s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Mon_ (C ⥤ C)
X : C
⊢ (MonoidalCategory.leftUnitor M.X).hom.app X = 𝟙 (M.X.obj ((𝟭 C).obj X))
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
hf : Integrable f volume
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (fun a => cexp (-↑n⁻¹ * ↑‖a‖ ^ 2) • f a) volume
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y < ((z - y) / (z - x)) • f x + ((y - x) / (z - x)) • f z
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F₁ : A ⥤ C
U₁ : C ⥤ A
F₂ : B ⥤ D
U₂ : D ⥤ B
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : F₁ ⊣ U₁
adj₄ : F₂ ⊣ U₂
α : F₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ F₂
d : D
⊢ ({ toFun := fun α => whiskerLeft (U₂ ⋙ R₁) adj₃.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft U₂ α) U₁ ≫ whiskerRight adj₄.counit (R₂ ⋙ U₁), invFun := fun β => whiskerRight adj₄.unit (R₁ ⋙ F₁) ≫ whiskerRight (whiskerLeft F₂ β) F₁ ≫ whiskerLeft (F₂ ⋙ R₂) adj₃.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ F₁) adj₂.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₂ ≫ whiskerRight adj₁.counit (F₂ ⋙ R₂), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit (F₁ ⋙ L₂) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₂ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ F₂) adj₂.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } α)).app d = ((Trans.trans (Trans.trans ((F₁ ⋙ L₂).leftUnitor.homCongr (L₁ ⋙ F₂).rightUnitor).symm { toFun := fun α => whiskerLeft ((U₂ ⋙ R₁) ⋙ 𝟭 A) { homEquiv := fun X Z => (adj₂.homEquiv (F₁.obj X) Z).trans (adj₃.homEquiv X (R₂.obj Z)), unit := adj₃.unit ≫ whiskerLeft F₁ (whiskerRight adj₂.unit U₁) ≫ (F₁.associator (L₂ ⋙ R₂) U₁).inv, counit := (R₂.associator U₁ (F₁ ⋙ L₂)).hom ≫ whiskerLeft R₂ (whiskerRight adj₃.counit L₂) ≫ adj₂.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft (U₂ ⋙ R₁) α) (R₂ ⋙ U₁) ≫ whiskerRight { homEquiv := fun X Z => (adj₄.homEquiv (L₁.obj X) Z).trans (adj₁.homEquiv X (U₂.obj Z)), unit := adj₁.unit ≫ whiskerLeft L₁ (whiskerRight adj₄.unit R₁) ≫ (L₁.associator (F₂ ⋙ U₂) R₁).inv, counit := (U₂.associator R₁ (L₁ ⋙ F₂)).hom ≫ whiskerLeft U₂ (whiskerRight adj₁.counit F₂) ≫ adj₄.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.counit (𝟭 D ⋙ R₂ ⋙ U₁), invFun := fun β => whiskerRight { homEquiv := fun X Z => (adj₄.homEquiv (L₁.obj X) Z).trans (adj₁.homEquiv X (U₂.obj Z)), unit := adj₁.unit ≫ whiskerLeft L₁ (whiskerRight adj₄.unit R₁) ≫ (L₁.associator (F₂ ⋙ U₂) R₁).inv, counit := (U₂.associator R₁ (L₁ ⋙ F₂)).hom ≫ whiskerLeft U₂ (whiskerRight adj₁.counit F₂) ≫ adj₄.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.unit (𝟭 A ⋙ F₁ ⋙ L₂) ≫ whiskerRight (whiskerLeft (L₁ ⋙ F₂) β) (F₁ ⋙ L₂) ≫ whiskerLeft ((L₁ ⋙ F₂) ⋙ 𝟭 D) { homEquiv := fun X Z => (adj₂.homEquiv (F₁.obj X) Z).trans (adj₃.homEquiv X (R₂.obj Z)), unit := adj₃.unit ≫ whiskerLeft F₁ (whiskerRight adj₂.unit U₁) ≫ (F₁.associator (L₂ ⋙ R₂) U₁).inv, counit := (R₂.associator U₁ (F₁ ⋙ L₂)).hom ≫ whiskerLeft R₂ (whiskerRight adj₃.counit L₂) ≫ adj₂.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }) ((U₂ ⋙ R₁).rightUnitor.homCongr (R₂ ⋙ U₁).leftUnitor)) α).app d
α : Type u
s t : Set α
hs : s.Nontrivial
hst : s ⊆ t
⊢ t.Nontrivial
α : Type u_1
f : Equiv.Perm α
x : α
hfx : f x = x
n : ℤ
⊢ (f ^ n) x = x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G
H : HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f'.comp ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm (iso x))
A : f = (f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm
B : f' = (f'.comp ↑iso).comp ↑iso.symm
⊢ HasFDerivWithinAt ((f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm) ((f'.comp ↑iso).comp ↑iso.symm) s (iso x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
s : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Functor.empty C)
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
t : CategoryTheory.Limits.BinaryFan s.pt X
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.leftUnitor P Q).hom = t.snd
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ BddBelow ↑(upperClosure s) ↔ BddBelow s
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
x : R
⊢ (algebraMap R (FreeAlgebra R X)) x = 1 ↔ x = 1
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : Module (ZMod p) K := let __src := (ZMod.castHom ⋯ K).toModule; Module.mk ⋯ ⋯
n : ℕ
h : q = p ^ n
⊢ ¬n = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
⊢ ∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
u : α → γ
hu : UniformInducing u
⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔ UniformEquicontinuousOn ((fun x => u ∘ x) ∘ F) S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹⁰ : Countable ι
f g : α → β
M : Type u_5
G : Type u_6
G₀ : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : Monoid M
inst✝⁷ : MulAction M β
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul M β
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G β
inst✝³ : ContinuousConstSMul G β
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : MulAction G₀ β
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ β
m : MeasurableSpace α
c : G
h : StronglyMeasurable fun x => c • f x
⊢ StronglyMeasurable f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ ↑(toSimpleFunc (indicatorConst 1 hs ⋯ x)) =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α x) (SimpleFunc.const α 0))
H : Type u_5
TopologicalSpace H
M : Type u_6
self : ChartedSpaceCore H M
x : M
⊢ self.chartAt x ∈ self.atlas
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
⊢ ∫ (y : β), f y ∂Measure.map φ μ = ∫ (x : α), f (φ x) ∂μ
Ω✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace E✝
m✝ : MeasurableSpace Ω✝
ℙ✝ : Measure Ω✝
μ✝ : Measure E✝
F✝ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace F✝
ν✝ : Measure F✝
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
hX : AEMeasurable X ℙ
g : E → F
hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν
hmap : (map g (map X ℙ)).HaveLebesgueDecomposition ν
hmX : Measurable X
⊢ AEMeasurable (g ∘ X) ℙ ∧ (map g (map X ℙ)).HaveLebesgueDecomposition ν ∧ map g (map X ℙ) ≪ ν
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
x : DirectSum ι G
i j : ι
hij : i ≤ j
hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i
⊢ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) x = (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) x)
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
s : Set (Sym2 V)
p : G.Walk v v
h : p.IsCycle
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∉ s
⊢ (SimpleGraph.Walk.toDeleteEdges s p hp).IsCycle
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
LocalRing R
CommRing S
LocalRing S
f : R →+* S
IsLocalRingHom f
r : R
⊢ (LocalRing.ResidueField.map f) ((LocalRing.residue R) r) = (LocalRing.residue S) (f r)
G : Type u_2
Group G
H : Subgroup Gˣ
x : G
⊢ x ∈ H.ofUnits ↔ toUnits x ∈ H
R : Type u
Ring R
Γ₀ : outParam (Type v)
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
self : Valued R Γ₀
s : Set R
⊢ s ∈ 𝓝 0 ↔ ∃ γ, {x | Valued.v x < ↑γ} ⊆ s
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∈ (exponent G).factorization.support
he : 0 < exponent G
g : G
hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1
k : ℕ
hk : exponent G = p ^ (exponent G).factorization p * k
t : ℕ
ht : (exponent G).factorization p = t.succ
⊢ orderOf (g ^ k) = p ^ t.succ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
s : CategoryTheory.Functor A B
CategoryTheory.Preregular C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : CategoryTheory.EffectiveEpi f], CategoryTheory.Limits.HasPullback f f
CategoryTheory.Limits.ReflectsFiniteLimits s
hF : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) (F.comp s)
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) F
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : K
k : ℕ
hk : 2 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
x✝ : { w // w.IsReal }
w : NumberField.InfinitePlace K
hwreal : NumberField.ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
f : K →+* ℂ := w.embedding
hζ' : IsPrimitiveRoot (f ζ) k
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
s t : Set E
disj : Disjoint s t
hs₁ : Convex 𝕜 s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex 𝕜 t
ht₂ : IsClosed t
this✝¹ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
this✝ : UniformAddGroup E
this : (uniformity E).HasBasis (fun s => 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Convex 𝕜 s) fun i => (fun x => x.2 - x.1) ⁻¹' id i
⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ Convex 𝕜 u ∧ Convex 𝕜 v ∧ s ⊆ u ∧ t ⊆ v ∧ Disjoint u v
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
⊢ MeasurableSet (Set.univ ∩ {ω | τ ω = i})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Iio a)
⊢ Tendsto f l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[<] a)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), H ≤ Subgroup.map ϕ.toMonoidHom H
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ d✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
g✝ : b✝ ⟶ c✝
h✝ : c✝ ⟶ d✝
⊢ (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.associator f✝ g✝ h✝).hom).app = (((fun {a b c} => mapComp) (f✝ ≫ g✝) h✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight ((fun {a b c} => mapComp) f✝ g✝).hom (prelaxfunctor.map h✝) ≫ (Bicategory.associator (prelaxfunctor.map f✝) (prelaxfunctor.map g✝) (prelaxfunctor.map h✝)).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) ((fun {a b c} => mapComp) g✝ h✝).inv ≫ ((fun {a b c} => mapComp) f✝ (g✝ ≫ h✝)).inv).app
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ ⇑H.subtype = Subtype.val
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε x r' : ℝ
rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
s : ℝ
s_gt : r / 2 < s
s_lt : s < r'
this : s ∈ Ioc (r / 2) r
x' : ℝ
hx' : x' ∈ Ioo x (x + r' - s)
A : Icc x' (x' + s) ⊆ Icc x (x + r')
⊢ ∀ y ∈ Icc x' (x' + s), ∀ z ∈ Icc x' (x' + s), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
⊢ (κ.fst a) {a_1 | ¬κ.densityProcess κ.fst n a a_1 univ = 1} = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ : S₁ ⟶ S₂
φ₂ : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
h₃ : S₃.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁ φ₂) h₁ h₃ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ₁ h₁ h₂)
    (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ₂ h₂ h₃)
n : ℕ
h : 0 + 2 ≤ n
⊢ (n - (0 + 1)) ^ (0 + 2) < n.descFactorial (0 + 2)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
⊢ (trace R M) (φ x) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA : MeasurableSet A
hB : MeasurableSet B
⊢ Pairwise (Disjoint on fun b => bif b then A else B)
x y : ℝ*
⊢ x.InfinitePos → ¬y.Infinitesimal → 0 < y → (x * y).InfinitePos
X : Type u
ι : Sort w
TopologicalSpace X
f : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (f i)
⊢ IsOpen (⋃ i, f i)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) δ
right✝ : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
⊢ ∃ f, AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, dist (f x) (f' x) ≤ ε
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H
⊢ x ∈ I.source
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
⊢ ↑a ≤ max ↑b ↑c ↔ a ≤ max b c