ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimit (constPUnitFunctor C)
x✝ : Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})
h : colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1}
this : Nonempty C
c d : C
⊢ EqvGen (Quot.Rel (constPUnitFunctor C)) ⟨c, PUnit.unit⟩ ⟨d, PUnit.unit⟩
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
A : Type u_2
CommSemiring A
Algebra A ℝ
c : A
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ ProbabilityTheory.variance (c • X) μ = c ^ 2 • ProbabilityTheory.variance X μ
x y : ℂ
hre : |x.re| ≤ |y.re|
him : |x.im| ≤ |y.im|
⊢ |x.re| * |x.re| + |x.im| * |x.im| ≤ |y.re| * |y.re| + |y.im| * |y.im|
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s
⊢ PartialHomeomorph.ofSet s hs ∈ { property := fun f s => AnalyticOn 𝕜 (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ∧ ↑I ∘ f ∘ ↑I.symm '' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ⊆ interior (range ↑I), comp := ⋯, id_mem := ⋯, locality := ⋯, congr := ⋯ }.groupoid.members
G : Type u_1
Group G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
BorelSpace G
PolishSpace G
ν : MeasureTheory.Measure G
Γ : Subgroup G
T2Space (G ⧸ Γ)
SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : MeasureTheory.Measure (G ⧸ Γ)
MeasureTheory.QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
ν.IsMulLeftInvariant
hasFun : MeasureTheory.HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
⊢ MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G (G ⧸ Γ) μ
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c
cpos : 0 < c
A : 0 < c⁻¹ ^ 2
B : c ^ 2 * (1 - c⁻¹ ^ 2)⁻¹ ≤ c ^ 3 * (c - 1)⁻¹
⊢ ∑ i ∈ filter (fun x => j < c ^ x) (range N), 1 / (c ^ i) ^ 2 ≤ c ^ 3 * (c - 1)⁻¹ / j ^ 2
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
a : R
n : ℕ
⊢ (DiscreteValuationRing.addVal R) (a ^ n) = n • (DiscreteValuationRing.addVal R) a
G : Type w
TopologicalSpace G
Inv G
ContinuousInv G
s : Set G
⊢ ContinuousOn Inv.inv s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball x r
⊢ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1) = _root_.fderiv 𝕜 f z
β : Type u_1
α : Type u_2
b : β
l : List α
f : α → List β
a : α
al : a ∈ l
h : b ∈ f a
⊢ b ∈ l.bind f
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
f : G →* N✝
H N : Subgroup G
h : H.normalizer ≤ N
⊢ H.normalizer.subgroupOf N = (H.subgroupOf N).normalizer
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
i₁ i₂ i₃ : ι
h₁ : i₁ ∈ s
h₂ : i₂ ∈ s
h₃ : i₃ ∈ s
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
c : k
hc0 : 0 < c
hc1 : c < 1
hs : (affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k {p i₁, (AffineMap.lineMap (p i₂) (p i₃)) c}
⊢ SignType.sign (w i₂) = SignType.sign (w i₃)
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
i : Fin r ⊕ Unit
⊢ ((Matrix.Pivot.listTransvecCol M).prod * M) (Sum.inr ()) i = M (Sum.inr ()) i
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s
x y : SetTheory.PGame
⊢ (-x).IsOption (-y) ↔ x.IsOption y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
⊢ (hf.stieltjesFunction a).measure univ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α
⊢ (Associates.mk p ≠ 0 ∧ ¬IsUnit (Associates.mk p) ∧ ∀ (a : α) (b : Associates α), Associates.mk p ∣ Associates.mk a * b → Associates.mk p ∣ Associates.mk a ∨ Associates.mk p ∣ b) ↔ p ≠ 0 ∧ ¬IsUnit p ∧ ∀ (a b : α), p ∣ a * b → p ∣ a ∨ p ∣ b
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ nndist ((AffineMap.lineMap p₁ p₂) c) p₂ = ‖1 - c‖₊ * nndist p₁ p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedLinearOrderedField β
u v : α → β
l : Filter α
OrderTopology β
huv : u ~[l] v
⊢ Filter.Tendsto u l Filter.atBot ↔ Filter.Tendsto v l Filter.atBot
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ (W.map f).Ψ n = Polynomial.map (mapRingHom f) (W.Ψ n)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ count K v I = I
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2)
  (HurwitzZeta.completedHurwitzZetaOdd (↑a) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : α → E
⊢ Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) ↔ Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(AEMeasurable.mk f hf x))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cofan fun i => f i.succ
c₂ : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan (f 0) c₁.pt
⊢ (CategoryTheory.extendCofan c₁ c₂).pt = c₂.pt
α : Type u_1
MulOneClass α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 ≤ b
⊢ a * b = 1 ↔ a = 1 ∧ b = 1
V : Type u_1
α : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq V
A : Matrix V V α
Zero α
One α
h : A.IsAdjMatrix
⊢ A.compl.IsAdjMatrix
K : Type u
Field K
V : FGModuleCat K
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (FGModuleCat.FGModuleCatDual K V)
      (FGModuleCat.FGModuleCatCoevaluation K V) ≫
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (FGModuleCat.FGModuleCatDual K V) V
          (FGModuleCat.FGModuleCatDual K V)).inv ≫
      CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (FGModuleCat.FGModuleCatEvaluation K V)
        (FGModuleCat.FGModuleCatDual K V) =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (FGModuleCat.FGModuleCatDual K V)).hom ≫
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (FGModuleCat.FGModuleCatDual K V)).inv
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : HasUpperLowerClosure α
s : Set α
h : s.OrdConnected
⊢ (interior s).OrdConnected
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
eq₁ : (H.hom ≫ H.inv).c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) = (𝟙 X).c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)
eq₂ : Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ H.hom.c.app (op ((Opens.map ((forget C).map (𝟙 Y))).obj U)) = H.hom.c.app (op ((Opens.map ((forget C).map (H.inv ≫ H.hom))).obj U)) ≫ ((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).map (eqToHom ⋯).op
⊢ H.inv.c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ eqToHom ⋯ ≫ H.hom.c.app (op U) = 𝟙 (((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).obj (op U))
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
Fintype α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
hts : t ⊆ s
⊢ (Finset.filter (fun u => u ⊆ t ∧ u.Nonempty) (Finpartition.atomise s F).parts).biUnion id = t
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v a : V
ha✝ : a ∈ (G.singletonSubgraph v).verts
b : V
hb✝ : b ∈ (G.singletonSubgraph v).verts
ha : a = v
hb : b = v
⊢ (G.singletonSubgraph v).coe.Reachable ⟨a, ha✝⟩ ⟨b, hb✝⟩
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a
hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ
hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal (f' n x)) atTop (𝓝 (ENNReal.ofReal ((F - f 0) x)))
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
⊢ (List.map f l).sublists = List.map (List.map f) l.sublists
ζ : ℂˣ
n : ℕ+
hζ : ζ ∈ rootsOfUnity n ℂ
⊢ ↑(ζ ^ ↑n) = 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ MeasureTheory.Measure.LebesgueDecomposition.measurableLE μ ν
n : ℕ
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k ∈ MeasureTheory.Measure.LebesgueDecomposition.measurableLE μ ν
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
x y : Fin (n + 1)
h : x ≠ y
hxy : x < y
⊢ ∃ z, y.succAbove z = x
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b d : G₀
m n : ℕ
hb : b ≠ 0
h : a * 0⁻¹ = b
⊢ False
G : Type u
Group G
X : FintypeCat
MulAction G ↑X
MulAction.IsPretransitive G ↑X
h : Nonempty ↑X
⊢ CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected (Action.FintypeCat.ofMulAction G X)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
ih : p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m
h : ¬x - ↑(x.appr (m + k)) = 0
⊢ p ^ m ∣ x.appr (m + k) + p ^ (m + k) * (toZMod (↑(unitCoeff h) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr (m + k))).valuation - ↑(m + k)).natAbs)).val - x.appr m
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Equiv M N
⊢ f.toHom.range = ⊤
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
⊢ cyclotomic 2 R = X + 1
s : Multiset ℕ
h0 : s.prod ≠ 0
⊢ ArithmeticFunction.cardFactors s.prod = (Multiset.map (⇑ArithmeticFunction.cardFactors) s).sum
α : Type u_1
Preorder α
OrderTop α
a : α
⊢ ↑⊤ = ⊤
α : Type u_2
ι : Type u_5
κ : Type u_6
DistribLattice α
OrderTop α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
⊢ s.inf f ⊔ t.inf g = (s ×ˢ t).inf fun i => f i.1 ⊔ g i.2
ι : Type u_1
M : Type u_4
LinearOrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
Hle : ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i
⊢ ∃ i ∈ s, f i ≤ g i
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hy : y ≤ x
h : x \ y = z
⊢ x \ z = y
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
⊢ ↑(p / 2)! ≠ 0
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
⊢ (Function.support fun x => 0) = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hs : s ⟂ₘ ν
hadd : μ = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hsing : μ.singularPart ν ⟂ₘ ν
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
⊢ s = μ.singularPart ν
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
⊢ μ = ν
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c p₁ p₂ : P
⊢ c ∈ AffineSubspace.perpBisector p₁ ((Equiv.pointReflection p₂) p₁) ↔ ⟪c -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List (α × β)
⊢ (map Prod.swap l).unzip = l.unzip.swap
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support
⊢ (∀ (a : α), f a ∉ l.support) → ∀ (a : β), a ∉ l.support
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
⊢ IsLocalMaxOn f (closure s) a
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
X : D
⊢ ∀ (X_1 : C),
  ((CategoryTheory.flipIsoCurrySwapUncurry F).inv.app X).app X_1 = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.obj X_1).obj X)
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β → β
b : β
as : List α
start : ℕ
⊢ List.foldrIdx f b as start = List.foldrIdxSpec f b as start
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo 0 π
⊢ deriv^[2] sin x < 0
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝⁶ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝⁵ : DecidableRel c.Rel
inst✝⁴ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝³ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
φ₀ φ₁ : F ⟶ G
h : Homotopy φ₀ φ₁
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
inst✝² : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (F.X i) (F.X i)
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 F) (-𝟙 F))
D : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} D
H : HomologicalComplex C c ⥤ D
hH : (homotopyEquivalences C c).IsInvertedBy H
⊢ H.map φ₀ = H.map φ₁
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_15
Norm E
NormedDivisionRing 𝕜
f : α → E
l : Filter α
g : α → 𝕜
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
c' : ℝ
hc' : 0 ≤ c'
h : Asymptotics.IsBigOWith c' l f g
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (c' * ‖c‖⁻¹) l f fun x => c * g x
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I : Ideal R
J : Ideal S
⊢ Ideal.map (↑RingEquiv.prodComm) (I.prod J) = J.prod I
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P : R[X]
⊢ P = C (eval 0 P) + X * (P /ₘ X)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
LinearOrder β
Add β
CovariantClass β β (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
n : WithBot β
s : Finset α
⊢ Finset.fold max ⊥ (fun x => ↑(f x) + n) s = Finset.fold max ⊥ (WithBot.some ∘ f) s + n
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
x✝ : ↑s
⊢ ((∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) fun j => if x✝ = j then 1 else 0) = ↑x✝
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : NormedRing 𝔹
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
r : NNReal
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ↑r ^ n / ↑n ! * ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕂 n 𝔸‖ ≤ ↑r ^ n / ↑n !
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 50 / 19 ≤ x
⊢ x + 1 ≤ 1.38 * x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ ((μ.withDensity f).withDensity fun x => (f x)⁻¹) ≤ μ
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
i : Fin r ⊕ Unit
⊢ (M * (Matrix.Pivot.listTransvecRow M).prod) i (Sum.inr ()) = M i (Sum.inr ())
f : Bool → Bool → Bool
⊢ bitwise f 0 0 = 0
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin 0 → α
⊢ ∀ (i : Fin 1), vecCons x u i = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : ¬(s.sym n).Nonempty
⊢ ¬s.Nonempty
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯
this : FiniteDimensional F ↥F⟮x⟯
h : ¬n + 1 < finrank F ↥L'
h1 : L = L'
⊢ False
M : Type u_6
AddCommMonoid M
⊢ Module.Finite ℕ M ↔ AddMonoid.FG M
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
l r : Y → X
y : Y
l₁ : Filter ℝ
l₂ : Filter X
γ : (y : Y) → Path (l y) (r y)
hγ : Filter.Tendsto (↿γ) (𝓝 y ×ˢ Filter.map (Set.projIcc 0 1 ⋯) l₁) l₂
⊢ Filter.Tendsto (↿fun x => (γ x).extend) (𝓝 y ×ˢ l₁) l₂
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommGroup M
AddCommGroup N
f : M → N
x y : M
⊢ QuadraticMap.polar (-f) x y = -QuadraticMap.polar f x y
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
⊢ ∃ C' > 0, f.SurjectiveOnWith K C'
J : Type w
f : J → AddCommGrp
s : Cone (Discrete.functor f)
m : s.pt ⟶ { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.pt
w : ∀ (j : Discrete J), m ≫ { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.π.app j = s.π.app j
x : ↑s.pt
j : J
⊢ m x j = (lift f s) x j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
a : α
m : M
n : N
⊢ f ((single a m) a) ((single a n) a) = (single a (f m n)) a
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
P : Type u_3
CommRing P
h : R ≃+* P
⊢ IsFractionRing R S ↔ IsFractionRing P S
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ (f (f.ind x hx)) x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t₁ t₂ : Set β
ht : t₁ ⊆ t₂
⊢ s ×ˢ t₁ ⊆ s ×ˢ t₂
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
g : G
⊢ g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)
⊢ (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor.obj f).f₁₃ = f.left.hom
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
i : (Quotient.out o).α
⊢ typein (fun x x_1 => x < x_1) i < o
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this✝² : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
this✝¹ : Finite G
this✝ : Fintype G
this : Fintype ↥H
⊢ H = ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
DecidableEq α
DecidableEq β
DecidableEq γ
b₁ b₂ : β
h : b₁ ≠ b₂
a : α
c : γ
⊢ (PEquiv.single a b₁).trans (PEquiv.single b₂ c) = ⊥
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
h : ContDiff 𝕜 n f
hn : 1 ≤ n
⊢ Continuous fun p => (fderiv 𝕜 f p.1) p.2
n : Type u_1
Fintype n
DecidableEq n
R : Type v
CommSemiring R
w : n → R
⊢ Matrix.toLin' (Matrix.diagonal w) = LinearMap.pi fun i => w i • LinearMap.proj i
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.18537
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsNoetherianRing R
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
⊢ FinitePresentation R M
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x : E
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
⊢ (r • (p ⊓ q)) x✝ = (r • p ⊓ r • q) x✝
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
DecidableEq α
l : List α
f : α → β
comm : (↑l.toFinset).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
hl : l.Nodup
⊢ l.toFinset.noncommProd f comm = (List.map f l).prod
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N
⊢ (finsuppLeft R M N ι) (0 ⊗ₜ[R] n) = Finsupp.sum 0 fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
f : r →r s
i : Fin (p.length + 1)
⊢ (p.map f).toFun i = f (p.toFun i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
CategoryTheory.ExactPairing X Y
⊢ η_ X Y ▷ X ⊗≫ X ◁ ε_ X Y = ⊗𝟙
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
⊢ ((cons i s hi).biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
this : {x | ¬κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1} ⊆ {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0}
⊢ (κ.fst a) {a_1 | ¬κ.densityProcess κ.fst n a a_1 univ = 1} = 0
G : Type u_1
AddCommMonoid G
A : Set (G × G)
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
self : IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂
⊢ (x₁, y₂) ∈ A
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
MeasurableSingletonClass Ω
s t : Set Ω
h : (ProbabilityTheory.condCount s) t = 1
⊢ s ⊆ t
x y : PUnit.{u_1 + 1}
⊢ lcm x y = PUnit.unit
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hl : l.HasBasis p s
s' : Set α
⊢ (l ⊓ 𝓟 s').HasBasis p fun i => s i ∩ s'
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set X
f : BumpCovering ι X s✝
x : X
s : Finset ι := ⋯.toFinset
⊢ ∑ᶠ (i : ι), f.toPOUFun i x = 1 - ∏ᶠ (i : ι), (1 - (f i) x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ span_s
hd₁ : dist p₁ s.circumcenter * dist p₁ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ p - 1 ≠ 0
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
K : Type u_1
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : NumberField K
b : Basis ι ℚ K
b' : Basis ι' ℚ K
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), IsIntegral ℤ (b.toMatrix (⇑b') i j)
h' : ∀ (i j : ι'), IsIntegral ℤ (b'.toMatrix (⇑(b.reindex (b.indexEquiv b'))) i j)
⊢ discr ℚ ⇑b = discr ℚ ⇑b'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
P : C
ι : (a : I.L) → P ⟶ I.left a
w :
  ∀ (b : I.R),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (ι (I.fstTo b)) (I.fst b) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (ι (I.sndTo b)) (I.snd b)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multifork.ofι I P ι w).pt = P