ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle R F E
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
⊢ ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL R e e' b)) (e.baseSet ∩ e'.baseSet)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ (α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
p : MvPolynomial σ S
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ coeff d ((mapAlgHom Algebra.TensorProduct.includeLeft) p * ((IsScalarTower.toAlgHom R (S ⊗[R] N) (MvPolynomial σ (S ⊗[R] N))).comp Algebra.TensorProduct.includeRight) n) = coeff d p ⊗ₜ[R] n
α : Type u_1
L : List α
i : ℕ
hi : i < L.length
⊢ List.drop i (List.take (i + 1) L) = [L.nthLe i hi]
α : Type u
f g : Filter α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in f ⊓ g, p x) ↔ ∃ s ∈ f, ∃ t ∈ g, ∀ x ∈ s ∩ t, p x
α : Type u_1
AddCommGroup α
x : α
⊢ x = Mathlib.Tactic.Abel.termg 1 x 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
cg : KernelFork S.g
hg : IsLimit cg
cf : CokernelCofork S.f
hf : IsColimit cf
⊢ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0 ↔ Fork.ι cg ≫ Cofork.π cf = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
v : V
⊢ v ∈ vectorSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₁ -ᵥ p₂) = v
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
i i' : ι
w : c.Rel i i'
⊢ (dNext i) f = C.d i i' ≫ f i' i
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α
⊢ (⨅ i, ⨅ j, f i j).compl = ⨅ i, ⨅ j, (f i j).compl
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
TopologicalSpace M₄
AddCommMonoid M₄
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
Module R₁ M₃
Module R₁ M₄
e : M₁ ≃L[R₁] M₂
e' : M₃ ≃L[R₁] M₄
x : M₁ × M₃
⊢ (e.prod e') x = (e x.1, e' x.2)
S : Type u_2
R : Type u
M : Type v
SMul S R
SMul S M
s : S
x : tsze R M
⊢ (s •> x).fst = s •> x.fst
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ (Finset.Ioc a b).card = (Finset.Icc a b).card - 1
α : Type u
DecidableEq α
a : α
n : ℕ
⊢ Finset.antidiagonal (Finsupp.single a n) =
  Finset.map ({ toFun := Finsupp.single a, inj' := ⋯ }.prodMap { toFun := Finsupp.single a, inj' := ⋯ })
    (Finset.antidiagonal n)
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.comp a \ Booleanisation.comp b = Booleanisation.lift (b \ a)
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J X
hIJ : I \ J = {e}
⊢ ∃ f ∈ J \ I, J = insert f I \ {e}
n : Nat
⊢ Nat.Coprime 1 n = True
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b c : α
⊢ a ∈ [b, c] ↔ a = b ∨ a = c
z : ℂ
n✝ n : ℕ
⊢ (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
a b : R
⊢ EuclideanDomain.gcd a b = a * EuclideanDomain.gcdA a b + b * EuclideanDomain.gcdB a b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.equiv F).hom c).snd = c.π
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
Z : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
⊢ IsClosed Z ↔ ∃ s, Z = ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 s
x : Int
m : Nat
⊢ x.bmod m % ↑m = x % ↑m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
a : CategoryTheory.Quotient (CategoryTheory.pathsHomRel C)
⊢ (CategoryTheory.quotientPathsTo C).obj a = a.as
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
PseudoMetricSpace β
F : ι → β → α
x₀ : β
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (x : β), dist x x₀ < δ → ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) < ε
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x
f' : E → F
fx : f x = f' x
ef : f =ᶠ[𝓝[s] x] f'
hf' : AnalyticAt 𝕜 f' x
⊢ ContinuousWithinAt g s x ∧ ∃ g_1, g =ᶠ[𝓝[s] x] g_1 ∧ AnalyticAt 𝕜 g_1 x
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
z : DirectLimit G f
ind : ι
x✝¹ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
s : Multiplicative (Multiset ((i : ι) × G i))
x✝ : ∃ i x, (of G f i) x = Quotient.mk'' (FreeAbelianGroup.of s)
i : ι
x : G i
ih : (of G f i) x = Quotient.mk'' (FreeAbelianGroup.of s)
⊢ (of G f i) (-x) = Quotient.mk'' (-FreeAbelianGroup.of s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
g : γ → α
hi : Std.IdempotentOp op
⊢ fold op b f (image g ∅) = fold op b (f ∘ g) ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β
s : Set β
⊢ ⇑e '' (⇑e ⁻¹' s) = s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B✝ I : Set α
h : BijOn f E N.E
B : Set α
hB : B ⊆ (N.comapOn E f)✶.E
⊢ (N.comapOn E f)✶.Base B ↔ (N✶.comapOn E f).Base B
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (Set.Iio a)
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f g : α → F
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ = ‖g x‖
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f q μ = MeasureTheory.eLpNorm' g q μ
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
PG : Pregroupoid H
e e' : PartialHomeomorph H H
he' : e ≈ e'
he : PG.property (↑e) e.source
⊢ PG.property (↑e') e'.source
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : s ⊆ t
⊢ (t \ s).card = t.card - s.card
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
f g : M →* N
h : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑⊤
⊢ f = g
α : Type u
⊢ Function.Injective List.length ↔ Subsingleton α
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
Countable ι
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum μ) s = 0 ↔ ∀ (i : ι), (μ i) s = 0
α : Type u_1
Ω : Type u_2
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
ρ : MeasureTheory.Measure (α × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f ρ
⊢ (∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, MeasureTheory.Integrable (fun ω => f (a, ω)) (ρ.condKernel a)) ∧
    MeasureTheory.Integrable (fun a => ∫ (ω : Ω), ‖f (a, ω)‖ ∂ρ.condKernel a) ρ.fst ↔
  MeasureTheory.Integrable f ρ
α : Type u_1
LinearOrder α
Add α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ a₁ + b₁ < a₂ + b₂ ↔ a₁ < a₂ ∨ b₁ < b₂
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ 1 < y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z < y
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
k : ℕ
a : R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
h : 1 = (ZMod.castHom ⋯ R) 1
⊢ dickson 1 1 p = X ^ p
α : Type u_1
TopologicalSpace α
NormalSpace α
R1Space α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
NormedSpace ℝ E
WeaklyLocallyCompactSpace α
μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ MeasureTheory.eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ MeasureTheory.Memℒp g p μ
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
m : M
p : MvPolynomial σ R
⊢ p ∈ MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R w m ↔ MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w p m
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
⊢ edist x y ≤ edist x z + edist z y
α : Sort u_4
r : α → α → Prop
β : Quot r → Prop
q : Quot r
h : ∀ (a : α), β (Quot.mk r a)
⊢ β q
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : (RingHom.toMorphismProperty fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso
⊢ IsLocalAtTarget (stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P)
a : EReal
⊢ a.exp ≤ 1 ↔ a ≤ 0
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSingletonClass α
s : Finset α
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ.restrict ↑s)
⊢ ∫ (x : α) in ↑s, f x ∂μ = ∑ x ∈ s, (μ {x}).toReal • f x
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
V : Opens ↑Y.toTopCat
x : ↥((Opens.map f.val.base).obj V)
⊢ (Y.presheaf.germ ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩ ≫ LocalRing.residue ↑(Y.presheaf.stalk (f.val.base ↑x))) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f ↑x) = f.val.c.app (op V) ≫ X.presheaf.germ x ≫ LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d x : α
h✝ : ∀ (y : α), r y x → Acc r y
H : ∀ (y : α), r y x → Acc (Relation.TransGen r) y
y z : α
hyz : Relation.TransGen r y z
hzx : r z x
⊢ Acc (Relation.TransGen r) y
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ
x0 : ¬x = 0
h : {(1, x)} ⊆ x.divisorsAntidiagonal
y : ℕ × ℕ
ymem : y ∈ x.divisorsAntidiagonal
ynmem : y ∉ {(1, x)}
y1ne : y.1 ≠ 1
⊢ 1 y.1 • b y.2 = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
m : ι → MeasurableSpace Ω
hm : ∀ (i : ι), m i ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ {s | MeasurableSet s}) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (f i)) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
x : α
⊢ (v.filterAt x).HasBasis (fun x => 0 < x) fun x_1 => {a | a ∈ v.setsAt x ∧ a ⊆ Metric.closedBall x x_1}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp G)
⊢ (CategoryTheory.Functor.Final.extendCocone.obj c).pt = c.pt
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
⊢ y ∈ I.splitCenterBox s ↔ y ∈ I ∧ ∀ (i : ι), (I.lower i + I.upper i) / 2 < y i ↔ i ∈ s
R : Type u_1
Semiring R
p q : Polynomial R
S : Type u_2
AddCommMonoid S
Pow S ℕ
Module R S
x : S
⊢ (p + q).smeval x = p.smeval x + q.smeval x
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
f : R →+* S
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)
hUV : V.carrier ⊆ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) ⁻¹' U.carrier
a b : R
hb : ∀ x ∈ U, b ∈ x.asIdeal.primeCompl
p : ↥(unop (op V))
⊢ (Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap f) ↑p).asIdeal (↑p).asIdeal f ⋯) (IsLocalization.mk' (Localizations R ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) ↑p, ⋯⟩) a ⟨b, ⋯⟩) = IsLocalization.mk' (Localizations S ↑p) (f a) ⟨f b, ⋯⟩
F : Type u_1
E : Type u_2
CommRing F
StrongRankCondition F
Ring E
Algebra F E
S : Subalgebra F E
Nontrivial E
Module.Free F ↥S
⊢ FiniteDimensional.finrank F ↥S = 1 ↔ S = ⊥
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Iic b ∪ Set.Ioi a = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = 2
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁴ : OrderedCommRing R
inst✝¹³ : StarRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ (∀ (a_1 : ↑(spectrum R a)), { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } a_1 ≤ { toFun := (spectrum R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯ } a_1) ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ g x
α : Type u
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
⊢ ∀ (a_1 : α), b = a * a_1 ∧ a ≠ b ↔ a_1 > 1 ∧ b = a * a_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x✝ r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[EMetric.ball 0 r] x, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ y ∈ t, ((fun y => f (x✝ + y)) y, (fun n y => p.partialSum n y) n y) ∈ u
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
this : (C a).degree < (X ^ n).degree
⊢ (X ^ n + C a).degree = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
B : Set ι
Bcbl : B.Countable
f : ι → α
i₀ : ι
h : f i₀ = ⊤
hB : B = ∅
⊢ ∃ x, ⨅ t ∈ B, f t = ⨅ i, f (x i)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ c.mapConeToUnder.hom.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id c.pt
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty C
F : C ⥤ D
⊢ P.isoClosure.map F = P.map F
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsAlgebraic F E
IsSepClosed F
⊢ IsSepClosed E
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f : Y → Set X
e : U = ⋃ i, f i
hf : ∀ (i : Y), f i ∈ range b
⊢ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, b i
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕂
inst✝² : NormedDivisionRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
n : ℕ
⊢ exp 𝕂 (-↑n • x) = exp 𝕂 x ^ (-↑n)
M : Type u_4
Mul M
c : Con M
x : M
⊢ Quot.mk (⇑c) x = ↑x
a b : ENNReal
⊢ a⁻¹ < b ↔ b⁻¹ < a
M : Type u_6
AddCommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ f n = f 0 + ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) - f i)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPushouts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x : Under X
y : Under Y
u : (pushout f).obj x ⟶ y
⊢ x.hom ≫ pushout.inl x.hom f ≫ u.right = f ≫ pushout.inr x.hom f ≫ u.right
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
x : G
s : Set G
⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ U ∈ 𝓝 1, ∃ y ∈ s, y / x ∈ U
M : Type u_1
S T : Set M
Mul M
h : S ⊆ T
⊢ T.centralizer ⊆ S.centralizer
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
hμm : MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ μ[f|m] =ᵐ[μ] f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
hL : Filter.Tendsto f L L
hx : f x = x
n : ℕ
⊢ HasDerivAtFilter f^[n] (f' ^ n) x L
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hy : Odd y
d : ℕ
hxy4 : 4 ∣ x ^ 2 - y ^ 2
⊢ multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑d + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + (multiplicity 2 ↑2 + multiplicity 2 ↑d)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x x = 0
⊢ PartENat.withTopEquiv.symm 1 = 1
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
⊢ Function.Surjective ⇑(mkAlgHom S s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A₁ A₂ : C
X : CategoryTheory.Subobject B
f : A₁ ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
g : A₂ ⟶ B
CategoryTheory.Mono g
h₁ : X ≤ CategoryTheory.Subobject.mk f
h₂ : CategoryTheory.Subobject.mk f ≤ CategoryTheory.Subobject.mk g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.ofLEMk f h₁) (CategoryTheory.Subobject.ofMkLEMk f g h₂) = X.ofLEMk g ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Semiring Y
x : X
⊢ ∀ (a : LocallyConstant X Y), (LocallyConstant.evalRingHom x) a = a x
α : Type u
f : (n : ℕ) × (Fin n → α)
⊢ List.equivSigmaTuple.symm f = List.ofFn f.snd
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
x : Quaternion ℝ
⊢ ‖(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((Quaternion.equivTuple ℝ) x)‖ = ‖x‖
R : Type u
S : Type v
A' : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring A'
CommSemiring S
Algebra S R
Algebra S A'
g : R →ₐ[S] A'
y : A'
x : R
⊢ (Polynomial.aevalTower g y) ((IsScalarTower.toAlgHom S R R[X]) x) = g x
α : Type u_1
l : List (α → Prop)
H : ∀ (a : α), (List.map (fun p => p a) l).TFAE
⊢ (List.map (fun p => ∀ (a : α), p a) l).TFAE
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x✝ : List α
l : Language α
x : List α
⊢ x ∈ l∗ ↔ x ∈ {x | ∃ S, x = S.join ∧ ∀ y ∈ S, y ∈ l ∧ y ≠ []}
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
h : ¬Bornology.IsBounded s
⊢ Metric.diam s = 0
α : Type u_1
x✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
hf : Measurable fun x => rexp (f x)
this : f = fun x => log (rexp (f x))
⊢ Measurable f
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ ≤ M
⊢ ‖cderiv r f z‖ ≤ M / r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
LinearOrderedCommRing 𝕜
LinearOrderedCommRing E
LinearOrderedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module E F
IsScalarTower 𝕜 E F
SMulCommClass 𝕜 E F
OrderedSMul 𝕜 F
OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f • g)
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
Monoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : MonoidAlgebra k G →ₐ[k] A
f : MonoidAlgebra k G
⊢ F f = Finsupp.sum f fun a b => b • F (MonoidAlgebra.single a 1)
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
pb : PowerBasis A S
⊢ pb.minpolyGen.Monic
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
v✝ : Vector α n
v : Vector α 1
⊢ scanl f b v = b ::ᵥ f b v.head ::ᵥ nil
a b c : ℕ
hcb : c ≤ b
hc : 0 < c
⊢ a / b ≤ a / c
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Finite R
inst✝ : CharP R 0
this : CharZero R
⊢ False
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
⊢ leftHomologyMap φ = leftHomologyMap' φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
l : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hd : α
tl : List α
m a : α
ha : a ∈ hd :: tl
ham : f m ≤ f a
val✝ : α
hm : (if f hd < f val✝ then some val✝ else some hd) = some m
h : argmax f tl = some val✝
⊢ (if hd = m then 0 else indexOf m tl + 1) ≤ if hd = a then 0 else indexOf a tl + 1
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁴ : Algebra S Sₘ
i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝³ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝² : Algebra R Sₘ
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝ : IsScalarTower R S Sₘ
x : R
y : ↥M
⊢ (algebraMap Rₘ Sₘ) (mk' Rₘ x y) = mk' Sₘ ((algebraMap R S) x) ⟨(algebraMap R S) ↑y, ⋯⟩
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : R
s : ↥S
⊢ IsLocalization.mk' T a s • 1 = mk ((algebraMap R A) a) s
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
⊢ (ProbabilityTheory.condCount s) (t ∩ u) = (ProbabilityTheory.condCount (s ∩ t)) u * (ProbabilityTheory.condCount s) t
α : Type u_3
β : Type u_4
Denumerable α
e : β ≃ α
n : ℕ
⊢ Denumerable.ofNat β n = e.symm (Denumerable.ofNat α n)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ Differentiable ℂ fun y => (↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (y - 1)
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
Fintype m
DecidableEq m
Semiring α
f : m ≃ m
M : Matrix m n α
⊢ f.toPEquiv.toMatrix * M = M.submatrix (⇑f) id
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
⊢ ↑(s.sup' H f) = s.sup (WithBot.some ∘ f)
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p : α → Prop
q : β → Prop
⊢ of p = of q ↔ ManyOneEquiv p q
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
Ring R
Nontrivial R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
v : ι → M
Unique ι
⊢ LinearIndependent R v ↔ v default ≠ 0
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.dropWhile p l = l ↔ ∀ (hl : 0 < l.length), ¬p (l.get ⟨0, hl⟩) = true
R : Type u_1
CommRing R
TopologicalSpace R
TopologicalRing R
J : Ideal R
h : IsAdic J
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ IsAdic (J ^ n)
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v x < 1
⊢ v (1 - x) = 1