ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
l : List ℚ≥0
⊢ ↑l.prod = (List.map NNRat.cast l).prod
α : Type u_1
DecidableEq α
x : α
xs : List α
⊢ (x :: xs).formPerm ((x :: xs).nthLe xs.length ⋯) = x
b : ℂ
hb : b.re < 0
c d : ℂ
hb' : b ≠ 0
H : ¬Integrable (fun x => cexp (b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d)) volume
⊢ False
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
x : K
⊢ Polynomial.Splits i (Polynomial.X - Polynomial.C x)
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h''t : μ t ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
εpos : 0 < ε
h't : μ t ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (b : ℝ) in 𝓝[>] 0, μ (s ∩ ({x} + b • t)) / μ ({x} + b • t) < ε
K : Type u
DivisionRing K
s : Set (Set K)
⊢ Subfield.closure (⋃₀ s) = ⨆ t ∈ s, Subfield.closure t
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
rb sb : R
hb : sb * ↑s₁ = rb * ↑s₂
h : sb * ↑s₁ ∈ S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
⊢ ∃ u v, u • (sb • r₁ + rb • r₂) = v • (sa • r₁ + ra • r₂) ∧ ↑u * ↑⟨sb * ↑s₁, h⟩ = v * ↑(sa * s₁)
n : ℕ
p i : Fin n
h : p < i
⊢ p.succ.succAbove i = i.succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
t : Finset E
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ (Caratheodory.minCardFinsetOfMemConvexHull hx).card ≤ t.card
R : Type u_1
Semiring R
T : Type u_2
Semiring T
r : R → R → Prop
⊢ RingQuot.lift =
  { toFun := fun f => RingQuot.preLift ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (RingQuot.mkRingHom r), ⋯⟩, left_inv := ⋯,
    right_inv := ⋯ }
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 F
h : Submodule.comap f U ⟂ Submodule.comap f V
⊢ U ⟂ V
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
⊢ CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (f ∘ ⇑ε) b ≫ (CategoryTheory.Limits.Sigma.reindex ε f).hom =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f (ε b)
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h₃ : ∀ (z : ℂ), z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
z : ℂ
⊢ (f z).re = z.re
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ S.Exact ↔ (CategoryTheory.ShortComplex.mk (CategoryTheory.Abelian.image.ι S.f) S.g ⋯).Exact
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
a : α
hs : ∀ b ∈ s, a ≤ f b
⊢ a ≤ s.inf' H f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
this : IsFiniteKernel κ
S : Finset (Set γ)
hS_subset : ↑S ⊆ countablePartition γ n
hA : MeasurableSet (⋃₀ ↑S)
h_disj : Pairwise (Disjoint on fun i => ↑i)
⊢ ∀ (i : ↑↑S), MeasurableSet ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
⊢ (s.product t).SupIndep f → (s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')) ∧ t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : OrderedRing α
inst✝⁵ : OrderedRing β
inst✝⁴ : LocallyFiniteOrder α
inst✝³ : LocallyFiniteOrder β
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
n : ℕ
⊢ (Icc (-↑n.succ).1 (↑n.succ).1).card * (Icc (-↑n.succ).2 (↑n.succ).2).card - (Icc (-↑n).1 (↑n).1).card * (Icc (-↑n).2 (↑n).2).card = (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ).card * (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ).card - (Icc (-↑n) ↑n).card * (Icc (-↑n) ↑n).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace α
π : α → β
s : Set β
a : α
hs : s ∈ 𝓝 (π a)
this : TopologicalSpace β := TopologicalSpace.coinduced π inst✝
⊢ π ⁻¹' s ∈ 𝓝 a
α : Type u
SemilatticeSup α
a b c : α
ha : a ≤ b ⊔ c
hb : b ≤ a ⊔ c
⊢ a ⊔ c = b ⊔ c
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ t : Finset ι
i j : ι
v✝ r r' : ι → F
s : Finset ι
v f g : ι → F
⊢ ∑ i ∈ s, C ((f + g) i) * Lagrange.basis s v i = ∑ x ∈ s, (C (f x) * Lagrange.basis s v x + C (g x) * Lagrange.basis s v x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
Z : C
π : Y ⟶ Z
q : CategoryTheory.IsSplitCoequalizer f g π
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (q.map F).rightSection = F.map q.rightSection
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₁ g₂
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₃ g₄
CategoryTheory.Limits.HasPushout (g₃ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inr g₁ g₂) g₄
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₁ (g₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₃ g₄)
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inr g₁ g₂ ≫
    CategoryTheory.Limits.pushout.inl (g₃ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inr g₁ g₂) g₄ ≫
      (CategoryTheory.Limits.pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).hom =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₃ g₄ ≫
    CategoryTheory.Limits.pushout.inr g₁ (g₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₃ g₄)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range
⊢ x ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
⊢ (CategoryTheory.Limits.coequalizer.cofork f g).ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one =
  CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g
α : Type u_1
β : Type u_2
x : β
⊢ (Sum.inr x).getLeft? = none
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.HomologyData
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero h.left.H
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
f_sur : Surjective f
this : CompactSpace ↑Z
g : X → ↑Z
hg : Continuous g
g_sec : f ∘ g = id
φ : X → X × Bool := Subtype.val ∘ g
hφ : Continuous φ
hφ₁ : ∀ (x : X), (φ x).1 = x
⊢ U ⊆ φ ⁻¹' Z₂
α : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero α
p u : α
h₁ : p * u ≠ 0
⊢ p ≠ 0
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℝ H
CompleteSpace H
K : ConvexCone ℝ H
ne : (↑K).Nonempty
hc : IsClosed ↑K
⊢ (↑(↑K).innerDualCone).innerDualCone = K
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
h_surj : Surjective ⇑f
x : M
hx : x ∈ s
y : ↑t
hy : f y = ⟨x, hx⟩
⊢ x = ↑y
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
R : D ⥤ C
inst✝¹ : Reflective R
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
F : J ⥤ D
c : Cocone ((F ⋙ R) ⋙ monadicLeftAdjoint R) := (monadicLeftAdjoint R).mapCocone (colimit.cocone (F ⋙ R))
this : PreservesColimitsOfShape J (monadicLeftAdjoint R) := PreservesColimitsOfSize.preservesColimitsOfShape
t : IsColimit c := isColimitOfPreserves (monadicLeftAdjoint R) (colimit.isColimit (F ⋙ R))
⊢ HasColimit F
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → Summable fun n => ‖f (p ^ n)‖
⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter Nat.Prime ∅, ∑' (n : ℕ), f (p ^ n))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
T : s.tail.head.Terminates
a : Option (α × WSeq α)
h : a ∈ s.tail.destruct
⊢ s.destruct.Terminates
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
i : Ordinal.{u}
hi : i < (mk xl xr xL xR).birthday
j : (mk xl xr xL xR).LeftMoves
hj : i ≤ ((mk xl xr xL xR).moveLeft j).birthday
⊢ i ♯ (mk yl yr yL yR).birthday < max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday)
R : Type u
AddGroupWithOne R
⊢ ↑3 = 3
R : Type u_2
M : Type u_5
Zero R
Zero M
SMul R M
NoZeroSMulDivisors R M
c : R
x : M
hc : c ≠ 0
hx : x ≠ 0
⊢ c • x ≠ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
L : Sublattice α
f : LatticeHom α β
a : α
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ f a ∈ Sublattice.map f L ↔ a ∈ L
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
s t : Set E
⊢ gaugeRescale s t 0 = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrderedAddCommGroup α
OrderTopology α
NoMaxOrder α
DenselyOrdered α
a : α
⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun x => 0 < x) fun ε => Set.Icc (a - ε) (a + ε)
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a : P
VAdd G P
IsCancelVAdd G P
x y : ↑(s.vaddAntidiagonal t a)
⊢ (↑x).1 = (↑y).1 ↔ (↑x).2 = (↑y).2
α : Type u_1
m n : Num
⊢ ↑(ofZNum (m.sub' n)) = ↑m - ↑n
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
hM : ∀ (t : TransvectionStruct n R), Commute t.toMatrix M
⊢ M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable (Function.uncurry f)
a : α
s : Set β
⊢ ((κ.withDensity f) a) s = ∫⁻ (b : β) in s, f a b ∂κ a
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
⊢ P ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
a✝ : V
⊢ a✝ ∈ univ ∧ ¬G.Adj s a✝ ↔ a✝ ∈ h.finpartition.part s
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α
a b c d : α
⊢ a ⊓ b ≤ b ∧ b ≤ a ⊓ b ↔ b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
hG : Primrec₂ G
F : α → ℕ → σ × List β := fun a n => (G a)^[n] (g a, f a)
hF : Primrec fun a => (F a (encode (f a))).1
⊢ Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
L : E →L[𝕜] F
r ε : ℝ
⊢ IsOpen (FDerivMeasurableAux.A f L r ε)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.119255, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'.val
X : Dᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj (ℱ.obj X)).obj U
⊢ (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this) = ((sheafYonedaHom (whiskerLeft G.op α)).app X).app U a✝
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r L : List (List α)
n : ℕ
H : ∀ (l : List α), l ∈ L → l.length = n
⊢ (foldr (fun y r => (permutationsAux2 t ts r y id).2) r L).length = n * L.length + r.length
x✝ y x : ℝ
h : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ sin x ∈ Ioo (-1) 1
a b c : Int
⊢ (a + b * c) % c = a % c
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
x : E
s : Set E
⊢ EMetric.infEdist (-x) (-s) = EMetric.infEdist x s
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
Nonempty X
MetricSpace Y
Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
⊢ GromovHausdorff.HD f ≤ GromovHausdorff.HD g + dist f g
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) < r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_5
TopologicalSpace α
One β
One γ
g : β → γ
f : α → β
hg : ∀ {x : β}, g x = 1 ↔ x = 1
⊢ HasCompactMulSupport (g ∘ f) ↔ HasCompactMulSupport f
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
b✝ : B
a : F
b : B
⊢ b ∈ Z.baseSet (Z.indexAt b)
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1
s : Finset ℕ
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹)
ι : Type u_7
κ : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
OrderTop α
OrderTop β
s : Finset ι
t : Finset κ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f : ι → α
g : κ → β
⊢ (s ×ˢ t).inf (Prod.map f g) = (s.inf f, t.inf g)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
this : ↑I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u) (↑I x) ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ c.toCostructuredArrow.comp (CategoryTheory.CostructuredArrow.proj F c.pt) = CategoryTheory.Functor.id J
n : ℕ
α : Type u_1
i : Fin (n + 1)
x : α
p : Fin n → α
⊢ i.insertNth x p ∘ Fin.rev = i.rev.insertNth x (p ∘ Fin.rev)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : α
⊢ Associates.mk a = 1 ↔ IsUnit a
H : Type u
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℂ H
CompleteSpace H
S : VonNeumannAlgebra H
⊢ ↑S.commutant = (↑S).centralizer
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Embedding Sum.inl
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β✝
inst✝ : UniformSpace γ✝
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
uas : Set (UniformSpace α)
ubs : Set (UniformSpace β)
ua : UniformSpace α
ub : UniformSpace β
uc : UniformSpace γ
ha : ua ∈ uas
hb : ub ∈ ubs
hf : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
x✝ : UniformSpace (α × β) := instUniformSpaceProd
⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackZeroZeroIso X Y).inv ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd 0 0 =
  CategoryTheory.Limits.prod.snd
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⊤.dualAnnihilator = ⊥
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
s : Set ι
m : M
hm : m ∈ Submodule.span R (⇑b '' s)
⊢ ↑(b.repr m).support ⊆ s
α : Type u₁
β : Type u₂
γ : Type u₃
δ : Type u₄
ι : Type u₅
inst✝¹ : MulZeroClass β
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ β
a : α
h : a ∈ (g₁ * g₂).support
⊢ a ∈ g₁.support ∩ g₂.support
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Squarefree n ↔ ∀ (p : ℕ), n.factorization p ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : NeZero 1
n : ℕ
⊢ 0 < ↑n + 1
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
ma : Finset (↥(ker G) × N)
hkn : (rTensor N (ker G).subtype) (∑ kj ∈ ma, kj.1 ⊗ₜ[R] kj.2) = en
⊢ ∃ a y, (∀ (i : ι), n i = ∑ j : { x // x ∈ ma }, a i j • y j) ∧ ∀ (j : { x // x ∈ ma }), ∑ i : ι, a i j • m i = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p => (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₁ p₃ p₂).sign
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
c : C
⊢ adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ R₂.map (L₂.map (G.map (adj₁.unit.app c))) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj (L₁.obj c))) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app (L₁.obj c))) = adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ R₂.map (α.app c)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
b : I.R
⊢ K.π.app (WalkingMulticospan.right b) = K.ι (I.fstTo b) ≫ I.fst b
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : s.Nonempty
⊢ x ∈ closure s ↔ infDist x s = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
α : Type u_6
inst✝ : AddCommMonoid α
m M N : ℕ
f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α
g : (n : ℕ) × Composition n → α
h : ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource m M N), f e = g (compChangeOfVariables m M N e he)
⊢ ∀ b ∈ compPartialSumTarget m M N, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ compPartialSumSource m M N), compChangeOfVariables m M N a ha = b
c : Cardinal.{u_1}
h : Cardinal.aleph0 ≤ c
⊢ ↑(Cardinal.toNat c) = 0
x : PartENat
⊢ PartENat.withTopEquiv x = x.toWithTop
R : Type u
CommSemiring R
t : Set (PrimeSpectrum R)
f : R
⊢ f ∈ PrimeSpectrum.vanishingIdeal t ↔ ∀ x ∈ t, f ∈ x.asIdeal
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x✝ y : ℕ → α
β : Type u_2
g : β → β
h : β → α
hf : Monotone f
H : h ∘ g ≤ f ∘ h
n : ℕ
x : β
⊢ (h ∘ g^[n]) x ≤ (f^[n] ∘ h) x
x y y' : ZFSet
H : x.pair y = x.pair y'
ae : ∀ (z : ZFSet), z = {x} ∨ z = {x, y} ↔ z = {x} ∨ z = {x, y'}
he : x = y → y = y'
xyx : {x, y} = {x}
⊢ x = x ∧ y = y'
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A s : Set α
hs : P s
⊢ ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ ⇑f ⁻¹' s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = ⨅ (_ : A ⊆ s), m s hs
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
⊢ n ≤ 2 * n
x y : PSet
⊢ y ∈ x.powerset ↔ y ⊆ x
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f₁ f₂ : Module.End R M
μ₁ μ₂ : R
h : Commute f₁ f₂
⊢ (⨆ k, (f₁.genEigenspace μ₁) k) ⊓ ⨆ k, (f₂.genEigenspace μ₂) k ≤ ⨆ k, ((f₁ + f₂).genEigenspace (μ₁ + μ₂)) k
α : Type u_1
E' : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E'
c : ℝ
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f₁ f₂
hc : c < 1
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (1 / (1 - c)) l f₂ fun x => f₁ x + f₂ x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
⊢ ↑1 = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
ι : Type u_3
f : ι → R → R
a : A
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, ContinuousOn (f i) (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
⊢ cfc (∑ i ∈ s, f i) a = ∑ i ∈ s, cfc (f i) a
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
n : ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((F.mapTriangleCommShiftIso n).inv.app X).hom₃ = (F.commShiftIso n).inv.app X.obj₃
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => 1 / (↑n + ↑a) ^ s) (hurwitzZeta (↑a) s)