ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.castSucc) (Ei (Fin.last n) →L[𝕜] G)
⊢ ‖f.uncurryRight‖ = ‖f‖
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a : E
f' : E →L[ℝ] ℝ
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => Real.arsinh (f x)) ((√(1 + f a ^ 2))⁻¹ • f') s a
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
⊢ AddCommute a (-b) ↔ AddCommute a b
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set β
⊢ ↑e.symm '' (e.target ∩ s) = e.source ∩ ↑e ⁻¹' (e.target ∩ s)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
c : ℝ
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
⊢ BoxIntegral.integralSum (c • f) vol π = c • BoxIntegral.integralSum f vol π
A : Type u_1
K : Type u_2
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (Polynomial.aeval r) p = 0
⊢ IsFractionRing.num A r ∣ p.coeff 0
K : Type u_1
NormedLinearOrderedField K
HasSolidNorm K
FloorRing K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
FiniteDimensional K E
ProperSpace E
L : AddSubgroup E
DiscreteTopology ↥L
hs : IsZlattice K L
⊢ FiniteDimensional.finrank ℤ ↥L = FiniteDimensional.finrank K E
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ Z₁ Z₂ : C
f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂
f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁
f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁₁ : Y₁ ⟶ Z₁
g₁₂ : Y₁ ⟶ Z₂
g₂₁ : Y₂ ⟶ Z₁
g₂₂ : Y₂ ⟶ Z₂
⊢ CategoryTheory.Biprod.ofComponents f₁₁ f₁₂ f₂₁ f₂₂ ≫ CategoryTheory.Biprod.ofComponents g₁₁ g₁₂ g₂₁ g₂₂ =
  CategoryTheory.Biprod.ofComponents (f₁₁ ≫ g₁₁ + f₁₂ ≫ g₂₁) (f₁₁ ≫ g₁₂ + f₁₂ ≫ g₂₂) (f₂₁ ≫ g₁₁ + f₂₂ ≫ g₂₁)
    (f₂₁ ≫ g₁₂ + f₂₂ ≫ g₂₂)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).mop = CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor { unmop := X }
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), μ.restrict (s i) = ν.restrict (s i)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
D : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun t => ⋃ i ∈ t, s i
⊢ (μ.restrict (⋃ i, s i)) t = (ν.restrict (⋃ i, s i)) t
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R S
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
Z : Set (PrimeSpectrum S)
⊢ IsClosed Z ↔ IsClosed Z
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ ({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ } + { toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.toFinsupp + { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp
α : Type u_1
ι : Type u_4
Nonempty ι
s : Set α
f : α → ι
r : ι → ι → Prop
IsEquiv ι r
⊢ s.Pairwise (r on f) ↔ ∃ z, ∀ x ∈ s, r (f x) z
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Antivary f g
⊢ ∑ i : ι, f i • g i < ∑ i : ι, f (σ i) • g i ↔ ¬Antivary (f ∘ ⇑σ) g
n : ℕ
⊢ n.smoothNumbers = Nat.factoredNumbers (Finset.range n)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : IsConj σ τ
⊢ σ.support.card = τ.support.card
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ Set.Iio b ∪ Set.Ioi a = Set.univ
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
IsScalarTower R A P
f : M →ₗ[A] N →ₗ[R] P
a : TensorProduct R M N
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.lift f) a = (TensorProduct.lift (↑R f)) a
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
P : Sylow (Nat.card ↥N).minFac ↥N
this : Fact (Nat.Prime (Nat.card ↥N).minFac)
⊢ (Nat.card ↥N).minFac ∣ Nat.card ↥N
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
inst✝¹ : f.IsCountablyGenerated
inst✝ : f.NeBot
⊢ ∃ x, Tendsto x atTop f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape J T.toFunctor
D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra
CategoryTheory.Limits.HasColimit (D.comp T.forget)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit D
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
f : Filter α
F : f.Realizer
⊢ (∃ x, F.F.f x = ∅) ↔ ∀ (b : Realizer.bot.σ), ∃ a, F.F.f a ≤ Realizer.bot.F.f b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
hv : ∃ p1 ∈ s, ∃ p2 ∈ s, v = p1 -ᵥ p2
p : P
hp : p ∈ s
⊢ v +ᵥ p ∈ s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hq0 : 0 ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = 0 ∧ 0 < 1 / q ∨ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = ⊤ ∧ 1 / q < 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
n₁ : ℕ
h₁ : ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₁) ≤ F'.N n
⊢ ∃ n₀, ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + n₀) ≤ F.N n
L : Type u_1
SemilatticeSup L
TopologicalSpace L
ContinuousSup L
α : Type u_2
l : Filter α
f : ℕ → α → L
g : ℕ → L
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Filter.Tendsto (f k) l (𝓝 (g k))
⊢ Filter.Tendsto ((partialSups f) n) l (𝓝 ((partialSups g) n))
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (α_ R.X P.X S.X).inv ≫ (α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight ≫ P.actLeft = R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ≫ P.actLeft
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
IsPurelyInseparable F E
Algebra.IsSeparable F E
⊢ Function.Bijective ⇑(algebraMap F E)
α : Type u_1
as bs : List α
⊢ (as.reverseAux bs).reverseAux [] = bs.reverseAux as
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f : Finset α → β
DecidableEq α
⊢ StrictAnti f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄, a ∉ s → f (insert a s) < f s
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite β
f : α → β
hf : Injective f
⊢ Nat.card α ≤ Nat.card β
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N n : ℕ
ih : ∀ ⦃x₁ : Fin n → ℕ⦄, x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → ∀ ⦃x₂ : Fin n → ℕ⦄, x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → (map d) x₁ = (map d) x₂ → x₁ = x₂
x✝ x₁ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₁ : x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
x₂ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₂ : x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
h : (map d) x₁ = (map d) x₂
i : Fin (n + 1)
x : x₁ 0 = x₂ 0 ∧ (map d) (x₁ ∘ Fin.succ) = (map d) (x₂ ∘ Fin.succ)
⊢ x₁ i = x₂ i
a b : ℝ
f f' g : ℝ → ℝ
h : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt f (f' x) x
h' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : Continuous g
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (x : ℝ) in f a..f b, g x
R✝ : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ Function.Bijective ⇑(ofTensorProduct I M)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLinearOrder α
f : ι → α
⊢ iSup f = ⊤ ↔ ∀ b < ⊤, ∃ i, b < f i
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
X✝ Y✝ Z✝ : T
h₁ : X✝ ⟶ Y✝
h₂ : Y✝ ⟶ Z✝
i : ι
⊢ (C.X i).map (h₁ ≫ h₂) = (C.X i).map h₁ ≫ (C.X i).map h₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : CorePresheafOfModules R
X : Cᵒᵖ
⊢ M.toPresheafOfModules.obj X = ModuleCat.of (↑(R.obj X)) (M.obj X)
α : Type u_1
s t : Set α
h : (s ∩ t).Finite
⊢ s.encard < t.encard ↔ (s \ t).encard < (t \ s).encard
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → F) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Memℒp f p μ → Memℒp g p μ → StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → F⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f p μ → P f → P g
f : α → F
hf : Memℒp f p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
f_Lp : ↥(Lp F p μ) := toLp f hf
hfm_Lp : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f_Lp) μ
⊢ P f
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : ↑((inhomogeneousCochains A).X 0)
y : G
⊢ (A.ρ y) (x default) + -x default = (A.ρ ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y 0)) (x fun i => (Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y i.succ) + -x (Fin.contractNth 0 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
h : e.target = e'.source
⊢ ∀ (a : γ), ↑(e.trans' e' h).symm a = (↑e.symm ∘ ↑e'.symm) a
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x : K
hx : x ∈ s
n : ℤ
⊢ x ^ n ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.IsPullback ↔ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit sq.pullbackCone)
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hab : a < b
⊢ ∃ p, a.factorization p < b.factorization p
n k : ℕ
⊢ k ≤ n → (n - k).factorial * n.descFactorial k = n.factorial
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
s : Subring R
e : R ≃+* S
y : ↑(⇑↑e.toAddEquiv '' ↑s.toAddSubmonoid)
⊢ ↑(e.subringMap.symm y) = (↑e).symm ↑y
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hE : IsClosed E
hδ : 0 ≤ δ
⊢ cthickening δ E = ⋃ x ∈ E, closedBall x δ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
x : R
this : DecidableEq ι
⊢ x ^ Fintype.card ι = ∏ i : ι, x
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
hv : ↑v.asIdeal ≠ 0
h_self : ↑v.asIdeal = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑v.asIdeal
hv_irred : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
⊢ count K v ↑v.asIdeal = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Function.Injective v
f : ι ≃ ↑(Set.range v) := Equiv.ofInjective v hv
⊢ Orthonormal 𝕜 Subtype.val ↔ Orthonormal 𝕜 v
y₁ : ℕ
m₁ m₂ : ℤ
c : ℕ
h : y₁ ≤ y₁ + c
h₂ : m₁ = m₂ * 2 ^ c ∨ 2 ^ y₁ = 0
⊢ ↑m₁ * powHalf (y₁ + c) = ↑m₂ * powHalf y₁
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F'
f : E → F
g : E' → F'
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g
⊢ ContDiff 𝕜 n (Prod.map f g)
f : CauSeq ℂ ⇑Complex.abs
⊢ (Complex.cauSeqIm f).lim = f.lim.im
F : Type u_1
Field F
p q : F[X]
Decidable (q = 0)
hpq : p ∣ q
⊢ Polynomial.Gal.restrictDvd hpq = if hq : q = 0 then 1 else Polynomial.Gal.restrict p q.SplittingField
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
a : CliffordAlgebra Q
⊢ CliffordAlgebra.reverse (CliffordAlgebra.involute a) = CliffordAlgebra.involute (CliffordAlgebra.reverse a)
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
m n k : ℕ
hx : x ^ m = 0
hy : y ^ n = 0
h : m + n ≤ k + 1
⊢ (x + y) ^ k = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : CategoryTheory.Center C
U : C
⊢ (X ⊗ Y).snd.β U =
  α_ X.fst Y.fst U ≪≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeftIso X.fst (Y.snd.β U) ≪≫
      (α_ X.fst U Y.fst).symm ≪≫ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRightIso (X.snd.β U) Y.fst ≪≫ α_ U X.fst Y.fst
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ (-s).re ≠ 0
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
c : E
⊢ a * c ∈ ball (b * c) r ↔ a ∈ ball b r
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
⊢ ⨆ i ∈ s, comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i) = ⊤
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
p q : ℚ≥0
⊢ NNRat.cast ⁻¹' Set.Ico ↑p ↑q = Set.Ico p q
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedCommMonoid N
s : Finset ι
f : ι → N
n : N
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ n
⊢ s.prod f ≤ n ^ s.card
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
⊢ IsTopologicalBasis (Set.range fun r => ↑(basicOpen 𝒜 r))
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f : ↥(Lp E p μ)
h0 : ↑↑0 =ᶠ[ae μ] 0
h : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f
a✝¹ : α
a✝ : 0 a✝¹ ≤ ↑↑f a✝¹
h2 : ↑↑0 a✝¹ = 0 a✝¹
⊢ ↑↑0 a✝¹ ≤ ↑↑f a✝¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Set α
s : Finset ↑t
a : α
ha : a ∈ ↑(map (Embedding.subtype fun x => x ∈ t) s)
⊢ a ∈ t
K : Type u
DivisionRing K
S : Subring K
h : ∀ x ∈ S.carrier, x⁻¹ ∈ S.carrier
⊢ ↑{ toSubring := S, inv_mem' := h } = ↑S
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
⊢ LinearIndependent E v
n : ℕ
c : Composition n
i : Fin c.length
⊢ c.blocksFun i ∈ c.blocks
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
⊢ UniformEquicontinuous F ↔ UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F)
α : Type u_1
s t : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
ht : t.Finite := by toFinite_tac
⊢ s.ncard ≤ t.ncard ↔ (s \ t).ncard ≤ (t \ s).ncard
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k✝ n : ℕ
h : IsPrimePow n
hn0 : n ≠ 0
p k : ℕ
hk0 : 0 < k
h1 : n.factorization = Finsupp.single p k
pp : Nat.Prime p
q : ℕ
⊢ (n / p ^ n.factorization p).factorization q = (Nat.factorization 1) q
α : Type u_1
s t : Multiset α
a : α
m : a ∉ s
⊢ s ≤ a ::ₘ t ↔ s ≤ t
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Set α
IsRefl α r
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
a : α
⊢ (insert a s).PartiallyWellOrderedOn r
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hcf : ContinuousOn f (Set.Ico a b)
hcg : ContinuousOn g (Set.Ico a b)
hg' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : f a = 0
hga : g a = 0
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
𝒢 : Set Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.IsCoseparating 𝒢.unop ↔ CategoryTheory.IsSeparating 𝒢
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s✝ : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
s : Set M
p : (x : M) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
one : p 1 ⋯
mul : ∀ (x : M) (hx : x ∈ closure s) (y : M) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
x : M
hx : x ∈ closure s
⊢ p x hx
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
CommSemiring A
Algebra R A
x : A
I J : Submodule R A
⊢ x ∈ I / J ↔ x • ↑J ⊆ ↑I
α : Type u_1
s : Set α
a : α
ha : a ∉ s
⊢ (insert a s).offDiag = s.offDiag ∪ {a} ×ˢ s ∪ s ×ˢ {a}
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
Preorder α
Preorder β
gi : GaloisCoinsertion l u
s : Set α
a : β
hs : IsGLB (l '' s) a
⊢ IsGLB s (u a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
A B : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
f : A ⟶ B
h : CategoryTheory.Mono f.left
⊢ CategoryTheory.Mono f
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
g : α → β
f : α → α
a : α
⊢ corec g f a = g a :: corec g f (f a)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ Absorbent 𝕜 (p.closedBall 0 r)
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
AddMonoid X
DistribMulAction R X
x y z : OreLocalization S X
⊢ x + y + z = x + (y + z)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.104963}
a : (Quotient.out (succ o)).α
⊢ o < succ o
R : Type u
CommSemiring R
⊢ Polynomial.aeval Polynomial.X = AlgHom.id R R[X]
R : Type u
CommRing R
X Y : HopfAlgebraCat R
f g : X ⟶ Y
h : f.toBialgHom = g.toBialgHom
⊢ f = g
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
⊢ s ⊆ exterior t ↔ ∀ (U : Set α), IsOpen U → t ⊆ U → s ⊆ U
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
X Y : Ω → E
hXY : X =ᶠ[ae ℙ] Y
⊢ pdf X ℙ μ = pdf Y ℙ μ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y
⊢ ∀ (x : F), f (g x) = x → (fun x => ↑f' (g x - g a) - (f (g x) - f (g a))) x = f' (g x - g a) - (x - a)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ IntermediateField.adjoin E ↑(separableClosure F K) = separableClosure E K
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
S : Type u_6
SetLike S N
AddSubmonoidClass S N
f : M →+ N
s : S
h : ∀ (x : M), f x ∈ s
n : M
⊢ (f.codRestrict s h) n = ⟨f n, ⋯⟩
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
C : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C
F : CategoryTheory.Functor C A
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma (F.comp L) R} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Comma.preLeft F L R).map f).left = F.map f.left
α : Type u_1
One α
a : α
⊢ MulOpposite.op a = 1 ↔ a = 1
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} J
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
∀ (n : ι), CategoryTheory.Limits.HasLimit (F ⋙ HomologicalComplex.eval C c n)
n m : ι
⊢ (HomologicalComplex.coneOfHasLimitEval F).pt.d n m =
  CategoryTheory.Limits.limMap { app := fun j => (F.obj j).d n m, naturality := ⋯ }
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ a ≤ |b| ↔ b ≤ -a ∨ a ≤ b
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a₁ a₂ : α
s : Stream' α
⊢ corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) (a₁ :: a₂ :: s) = a₁ :: corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
⊢ ∑ x ∈ s, f x = Finset.fold (fun x x_1 => x + x_1) 0 f s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
⊢ e.IsImage s t ↔ e.source ∩ ↑e ⁻¹' t = e.source ∩ s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : G
g : G →L[𝕜] E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s (g x)
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert (g x) s] g x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x (⇑g ⁻¹' s)] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (f ∘ ⇑g) p u
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C
h : (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f
h' : (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f
⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ (φ'.app P.X).f
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallySurjective J (whiskerLeft H.op f)
X : D
a : (forget A).obj (G.obj (Opposite.op X))
⊢ imageSieve f a ∈ K.sieves X
X : Type u_1
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
μ ν : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
h : μ ≤ ν
⊢ ν.IsOpenPosMeasure
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ T2Space X ↔ ∀ {x y : X} (f : Ultrafilter X), ↑f ≤ 𝓝 x → ↑f ≤ 𝓝 y → x = y
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.27949, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.27953, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
a : A
X : C
⊢ (isoWhiskerLeft (F.functor a) (shiftFunctorZero D A)).inv.app X = (shiftFunctorZero D A).inv.app ((F.functor a).toPrefunctor.1 X)