ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < a.cof.ord → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence a.cof.ord f
⊢ a.cof.ord.cof = a.cof
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℚ
l : Filter α
⊢ Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atTop ↔ Tendsto f l atTop
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
⊢ (A₁.fromRows A₂).transpose = A₁.transpose.fromColumns A₂.transpose
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α →o β
⊢ ⇑f.withBotMap = WithBot.map ⇑f
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
hc : ∀ (x : Compacts G), K.carrier ⊆ interior x.carrier → ↑(μ.toFun K) + ↑ε < ↑(μ.toFun x)
lower_bound_iInf : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε ≤ ⨅ K', ⨅ (_ : ↑K ⊆ interior ↑K'), (fun s => ↑(μ.toFun s)) K'
⊢ False
A : Type u_8
B : Type u_9
C : Type u_10
CommRing A
CommRing B
Ring C
Algebra A C
Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
⊢ e ((Algebra.norm A) x) = (Algebra.norm B) x
a b : Ordinal.{u_1}
h : a < ω ^ b
⊢ a + ω ^ b ≤ ω ^ b
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
h3 : K ≠ ⊤
h4 : (comap K.subtype N).index = N.index
⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hx : ↑‖x‖₊ < p.radius
⊢ Summable fun n => ‖(p n) fun x_1 => x‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
W X X' Y : D
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (e.counitInv.app Y)) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g' (e.counitInv.app Y)) ↔
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' g'
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S T : Subalgebra R A
⊢ (S ⊓ T).toSubsemiring = S.toSubsemiring ⊓ T.toSubsemiring
m : ℤ
x : ℝ
⊢ Irrational (x - ↑m) ↔ Irrational x
α : Type u_1
Mul α
s t : Set α
a : α
x : α × α
⊢ x ∈ s.mulAntidiagonal t a ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t ∧ x.1 * x.2 = a
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
a : (i : ι) → π i
⊢ 𝓝 a = Filter.pi fun i => 𝓝 (a i)
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x y : E
⊢ {x} * Metric.closedBall y δ = Metric.closedBall (x * y) δ
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk v w
he : s(t, u) ∈ p.edges
⊢ t ∈ p.support
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
hc : DifferentiableAt ℂ f x
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun x => Complex.sinh (f x)) x
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A
⊢ ‖x‖ ≤ ↑2 * ‖(addEquiv 𝕜 A) x‖
A : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
Ring A
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module A M
Module A M₂
TopologicalSpace M
TopologicalSpace M₂
R : Type u_4
Ring R
Module R M
Module R M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R A
f : M →L[A] M₂
⊢ ⇑(ContinuousLinearMap.restrictScalars R f) = ⇑f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.RightHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).ι = h.ι
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ c • (setToL1 hT) ↑f = (setToL1SCLM α E μ hT') f
x u : PSet
h : x ∈ u
⊢ u.Nonempty
α : Type u
s t : Set α
⊢ (s ∩ t)ᶜ = sᶜ ∪ tᶜ
α : Type u_1
F : Type u_4
𝕜 : Type u_15
Norm F
NormedDivisionRing 𝕜
g : α → F
l : Filter α
f : α → 𝕜
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ (fun x => c * f x) =o[l] g ↔ f =o[l] g
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Computable₂ List.get?
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
hj : j = 0
⊢ False
M : Type u_1
CommMonoid M
k : ℕ
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ k
⊢ k = orderOf ζ
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpaηb : p ∣ 1 * S.a + ↑η * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b
this : p ∣ ↑η ^ 2 - ↑η
⊢ (↑η ^ 2 - ↑η) * ↑η * ↑η = λ
G✝ : PGame
inst✝¹ : G✝.Impartial
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
⊢ G ⧏ 0 ↔ 0 ⧏ G
α : Type u_1
TopologicalSpace α
CompactSpace α
T2Space α
s t : TopologicalSpace.CompactOpens α
⊢ ↑(s ⇨ t) = ↑s ⇨ ↑t
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hay : 0 ≤ a.y
ax : ℕ
hax' : ↑ax = a.x
hax : 0 < ↑ax
⊢ ∃ n, a = a₁ ^ n
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
h : f x ≤ x
a : Ordinal.{u}
⊢ OrdinalApprox.gfpApprox f x (a + 1) = f (OrdinalApprox.gfpApprox f x a)
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
H : J ≤ Ideal.comap f I
x : R
⊢ (Ideal.quotientMap I f H) ((Ideal.Quotient.mk J) x) = (Ideal.Quotient.mk I) (f x)
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ p ^ n ∣ a ↔ a = 0 ∨ n ≤ padicValNat p a
x✝ y✝ x y : ℕ
h : 0 < x
IH : ∀ (s t s' t' : ℤ), ((y % x).xgcdAux s t x s' t').1 = (y % x).gcd x
s t s' t' : ℤ
⊢ (y % x).gcd x = x.gcd y
n : ℕ
n.AtLeastTwo
p : ℝ
⊢ OfNat.ofNat n ≤ ENNReal.ofReal p ↔ OfNat.ofNat n ≤ p
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
Finite ι
Preorder ι'
Nonempty ι'
IsDirected ι' (Function.swap fun x x_1 => x ≤ x_1)
Order.Frame α
f : ι → ι' → α
hf : ∀ (i : ι), Antitone (f i)
⊢ ⨆ j, ⨅ i, f i j = ⨅ i, ⨆ j, f i j
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
g : α → Filter β
l : Filter β
h : ∀ᶠ (x : α) in f, g x ≤ l
⊢ f.bind g ≤ l
F : PFunctor.{u}
x : ↑F F.M
⊢ (PFunctor.M.mk x).head = x.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
a : α
⊢ ‖‖a‖‖₊ = ‖a‖₊
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
inst✝⁵ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor D C
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
X✝ Y✝ Z✝ : D
⊢ F.map (X✝ ◁ 0) = F.map 0
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
v : G
p₁ p₂ : P
⊢ v +ᵥ p₁ -ᵥ (v +ᵥ p₂) = p₁ -ᵥ p₂
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
i j : ℕ
h : i ≤ j
⊢ ↑p ^ i ∣ PadicInt.nthHom f r j - PadicInt.nthHom f r i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
n : ℕ∞
f g : E → F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ContDiffAt 𝕜 n g x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x + g x) x
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ RCLike.im z * RCLike.im z ≤ RCLike.normSq z
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
T2Space M
i : ι
x : M
⊢ ∃ t,
  ⇑(fs.toSmoothPartitionOfUnity i) =ᶠ[𝓝 x]
    ↑(fs.toFun i) * ∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t, (1 - ↑(fs.toFun j))
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
hne : L.NeBot
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
a✝ : ↑μ F < ⊤
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq
key₁ : Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂↑μ) atTop (𝓝 (↑μ F))
room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2
M : ℕ
hM : ∀ b ≥ M, ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs b) ω) ∂↑μ < ↑μ F + ↑ε / 2
key₂ : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑(μs i)) L (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑μ))
room₂ : ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ < ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2
ev_near : ∀ᶠ (x : ι) in L, ∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑(μs x) ≤ ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2
⊢ limsup (fun i => ↑(μs i) F) L ≤ ↑μ F + ↑ε
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ e.symm.symm = e
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
⊢ s.Pairwise fun x y => openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Matrix n n α → Matrix n n α[X] := fun M => M.map ⇑C + X • 1
f' : Matrix n n α[X] →+* Matrix n n α := (evalRingHom 0).mapMatrix
f'_inv : ∀ (M : Matrix n n α), f' (g M) = M
f'_adj : ∀ (M : Matrix n n α), f' (g M).adjugate = M.adjugate
f'_g_mul : ∀ (M N : Matrix n n α), f' (g M * g N) = M * N
hu : ∀ (M : Matrix n n α), IsRegular (g M).det
⊢ (A * B).adjugate = B.adjugate * A.adjugate
n : ℕ
a : Fin n
b : Fin (n + 1)
⊢ a.castSucc.predAbove b.castSucc = (a.predAbove b).castSucc
s : String
n : Nat
⊢ (s.take n).data = List.take n s.data
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
f : Set α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → f s ≤ C
h_F_lim : ∀ (S : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)) → Monotone S → f (⋃ n, S n) ≤ ⨆ n, f (S n)
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)
⊢ f univ ≤ C
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β
⊢ zipWithLeft' f as bs = zipWithLeft'TR f as bs
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hx : x ∈ s
L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
u₀ : Set (β × β)
hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β
u₁ : Set (β × β)
h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β
u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀
u₂ : Set (β × β)
h₂ : u₂ ∈ 𝓤 β
hsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ u₂ → (b, a) ∈ u₂
u₂₁ : u₂ ○ u₂ ⊆ u₁
t : Set α
tx : t ∈ 𝓝[s] x
F : α → β
hFc : ContinuousWithinAt F s x
hF : ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u₂
A : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, (f y, F y) ∈ u₂
B : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, (F y, F x) ∈ u₂
C : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, (f y, F x) ∈ u₁
this : (F x, f x) ∈ u₁
⊢ u₀ ∈ map (fun x_1 => (f x_1, f x)) (𝓝[s] x)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑↑((AlgebraicGeometry.Proj.toLocallyRingedSpace 𝒜).restrict ⋯).toPresheafedSpace
⊢ ((AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.toSpec 𝒜 f) x).asIdeal =
  AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.carrier x
a b : ℝ
⊢ frontier {z | a ≤ z.re ∧ z.im ≤ b} = {z | a ≤ z.re ∧ z.im = b ∨ z.re = a ∧ z.im ≤ b}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f (𝟙_ C))
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor Y).hom)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
f' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => Complex.sin (f x)) (Complex.cos (f x) • f') s x
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
f : α → β
s : Set α
hf : StrictMonoOn f s
hf' : AntitoneOn f s
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C → D
CategoryTheory.Functorial F
self : CategoryTheory.LaxMonoidal F
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.map F f) (F X') ≫ CategoryTheory.LaxMonoidal.μ Y X' =
  CategoryTheory.LaxMonoidal.μ X X' ≫ CategoryTheory.map F (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f X')
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop Y) := Presheaf.imageSieve α ((R.val.map π) r) ⊓ Presheaf.imageSieve φ ((A.val.map π) m)
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop Y)
⊢ ∀ (Y_1 : C) (f : Y_1 ⟶ Opposite.unop Y), S.arrows f → (A.val.map f.op) ((A.val.map π) (smul α φ r m)) = (A.val.map f.op) (smul α φ ((R.val.map π) r) ((A.val.map π) m))
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν'✝ : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
ν' : Measure β
inst✝ : SFinite ν'
i : ℕ × ℕ
s : Set α
t : Set β
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : MeasurableSet t
⊢ ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2) + (sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν' i.2)) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq μ i.1) s * (sFiniteSeq ν i.2 + sFiniteSeq ν' i.2) t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
x : Option α
⊢ ((fun x => !x) ∘ isNone) x = x.isSome
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b : α
c : α
h : Disjoint a b
⊢ Disjoint (c ⊓ a) b
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
μ : K
n : ℕ
⊢ Submodule.map f (LinearMap.range ((f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ n)) = LinearMap.range (f * (f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ n)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : EuclideanGeometry.Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h : μ.toFiniteAux = 0
⊢ μ = 0
E : Type u_2
NormedRing E
StarRing E
CstarRing E
x : E
hx : IsSelfAdjoint x
n : ℕ
⊢ ‖x ^ 2 ^ n‖₊ = ‖x‖₊ ^ 2 ^ n
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
f : R[X]
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : AddMonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
p : R[X]
k : ℕ
fu : ℕ → ℕ
fu0 : ∀ {n : ℕ}, n ≤ k → fu n = 0
fc : ∀ {n m : ℕ}, k ≤ n → n < m → fu n < fu m
φ_k : ∀ {f : R[X]}, f.natDegree < k → φ f = 0
φ_mon_nat : ∀ (n : ℕ) (c : R), c ≠ 0 → (φ ((monomial n) c)).natDegree = fu n
⊢ ∀ (f g : R[X]), f.natDegree < g.natDegree → g.natDegree ≤ p.natDegree → (fun p => (φ p).natDegree = fu p.natDegree) f → (fun p => (φ p).natDegree = fu p.natDegree) g → (fun p => (φ p).natDegree = fu p.natDegree) (f + g)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F
⊢ (f' =o[l] fun _x => 1) ↔ Tendsto f' l (𝓝 0)
M : Type u_1
Monoid M
r : M
⊢ (Submonoid.powers r).FG
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
⊢ f ''ᵁ f ⁻¹ᵁ U = f.opensRange ⊓ U
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
hx : f x ∈ Submodule.span R ↑s
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → F
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ Integrable (fun t => f (g / t)) μ ↔ Integrable f μ
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C
⊢ ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ M.X).hom) ≫ M.mul = ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul
R : Type u_3
CommRing R
⊢ Quaternion.imJ 1 = 0
α : Type u_1
G : Type u_2
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
CommGroup G
MeasurableMul₂ G
MeasurableInv G
f g : α → G
hf : Measurable f
⊢ Measurable (f * g) ↔ Measurable g
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ℕ), Measurable (f i)
lim : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 g)
⊢ Measurable g
y : PartENat
n x : ℕ
h : ↑x + y = ↑n
⊢ ↑x = ↑(n - y.get ⋯)
R : Type u_1
Mul R
a : R
ca : ∀ (b : R), Commute a b
⊢ IsRightRegular a ↔ IsLeftRegular a
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)
re_diag_eq_norm_sum : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
mul_eq_one : U * Uᴴ = 1
diag_eq_one : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = 1
⊢ ‖U i j‖ ≤ 1
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
p q d : A[X]
h : p * q = minpoly A x * d
⊢ minpoly A x ∣ p ∨ minpoly A x ∣ q
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Denumerable ι
κs : ι → ProbabilityTheory.Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel (κs n)
⊢ ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel (ProbabilityTheory.Kernel.sum κs)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
a✝ : α
Hf : MonotoneOn f t
Hst : s ⊆ t
a : α
ha : a ∈ upperBounds s ∩ t
⊢ f a ∈ upperBounds (f '' s)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : F
⊢ (Trivialization.continuousLinearMapAt R e b) ((Trivialization.symmL R e b) y) = y
α : Type u_1
M : Type u_4
AddMonoid M
N : Type u_5
AddMonoid N
g : M →+ N
f : α → M
x : FreeAddMonoid α
⊢ g ((FreeAddMonoid.lift f) x) = (FreeAddMonoid.lift (⇑g ∘ f)) x
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Field K
Field L
Algebra A K
IsFractionRing A K
Algebra B L
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A B L
IsScalarTower A K L
IsIntegralClosure B A L
FiniteDimensional K L
IsIntegrallyClosed A
x : B
⊢ (algebraMap A K) ((Algebra.intTraceAux A K L B) x) = (Algebra.trace K L) ((algebraMap B L) x)
C' : Type u_1
X : CategoryTheory.ShrinkHoms.{u_1} C'
⊢ CategoryTheory.ShrinkHoms.toShrinkHoms X.fromShrinkHoms = X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α → β
g : α → γ
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
x : α
⊢ Tendsto (fun n => ↑((fun n => (hf.approx n).pair (hg.approx n)) n) x) atTop (𝓝 (f x) ×ˢ 𝓝 (g x))
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
y : E
hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s
hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s
⊢ False