ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
M : Type u_4
AddMonoid M
N : Type u_5
AddMonoid N
g : M →+ N
f : α → M
⊢ g.comp (FreeAddMonoid.lift f) = FreeAddMonoid.lift (⇑g ∘ f)
α β : Type u
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
f : α → β → m α
⊢ ⇑(Monoid.foldlM.ofFreeMonoid f) ∘ FreeMonoid.of = Monoid.foldlM.mk ∘ flip f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : α → β → γ
s : ι → Set α
t : Set β
⊢ Set.image2 f (⋃ i, s i) t = ⋃ i, Set.image2 f (s i) t
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
x : ↑M
z : ↑N
y : R
⊢ x ⊗ₜ[R] (leftUnitor N).hom (y ⊗ₜ[R] z) = (rightUnitor M).hom (x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => r * f x) l Filter.atBot
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ (W.baseChange B).Ψ₃ = Polynomial.map (↑f) (W.baseChange A).Ψ₃
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ m.sqrt ≤ n.sqrt
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a b : α
⊢ 1 / (a / b) = b / a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
A B : PointedGaloisObject F
f : A ⟶ B
φ : Aut B.obj
ψ : Aut A.obj
hψ : autMap f.val ψ = φ
⊢ (autMapHom f.val) ψ = φ
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
⊢ Function.Injective ⇑(of f)
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
s : R
⊢ EuclideanDomain.gcdA 0 s = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
h : CategoryTheory.Limits.IsZero (CategoryTheory.Limits.kernel f)
⊢ CategoryTheory.Mono f
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
h : M ≤ nonZeroDivisors R
⊢ Function.Injective (IsLocalization.coeSubmodule S)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R A A
inst✝⁵ : SMulCommClass R A A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R B B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
S : NonUnitalSubalgebra R A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(K i)
h : K i ≤ iSup K
⊢ ↑(K i) ⊆ ↑(iSup K)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
⊢ e.congrLeft.counitIso = CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun F => e.invFunIdAssoc F) ⋯
α : Type u
AddMonoid α
a : AddUnits α
b c : α
⊢ ↑(-a) + b = c ↔ b = ↑a + c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
hs : s.Countable
this : Countable ↑s
⊢ {t | t.Finite ∧ t ⊆ s}.Countable
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B
⊢ ∀ (g g' : H), g • ⇑j '' B = g' • ⇑j '' B ∨ Disjoint (g • ⇑j '' B) (g' • ⇑j '' B)
ι : Type u_1
X : Type u_2
EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
⊢ ∃ δ, (∀ (x : X), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, EMetric.closedBall x (ENNReal.ofReal (δ x)) ⊆ U i
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
n : ℕ
s : Multiset α
⊢ Multiset.count a (n • s) = n * Multiset.count a s
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m d : ℕ
hm : n ∣ m
hd : m ∣ d
⊢ (DirichletCharacter.changeLevel ⋯) χ = (DirichletCharacter.changeLevel hd) ((DirichletCharacter.changeLevel hm) χ)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp : ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a => (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
y : α
hy : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) y = s.indicator (fun x => 1) y
⊢ s.indicator (fun x_1 => x) y = (fun a => (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)) y
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
hp : p.degree ≤ ↑n
hq : q.degree ≤ ↑n
⊢ p = q ↔ ∀ i ≤ n, p.coeff i = q.coeff i
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
⊢ sInf {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a} ≤ o.card
A : Type u_1
ι : Type u_2
Ring A
Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
i : ι
⊢ ↑(B i) ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
x : R
⊢ rootMultiplicity x p = 0 ↔ p.IsRoot x → p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
⊢ ¬(M.map f hf).Indep (insert (f e) (f '' I))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
K.HasHomology k
⊢ K.d i j ≫ K.toCycles j k = 0
θ : ℝ
hθ : θ ∈ Set.Ioc (-π) π
⊢ (Complex.cos ↑θ + Complex.sin ↑θ * Complex.I).arg = θ
G : Type u_1
Add G
A B : Finset G
a0 b0 : G
⊢ UniqueAdd (Finset.map { toFun := AddOpposite.op, inj' := ⋯ } B) (Finset.map { toFun := AddOpposite.op, inj' := ⋯ } A)
    (AddOpposite.op b0) (AddOpposite.op a0) ↔
  UniqueAdd A B a0 b0
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
this : (fun p => p.1 ^ p.2) = toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)
⊢ ContinuousAt (fun p => (↑p.1, p.2)) (x, y)
R : Type u_1
Ring R
I : Type u_3
e : I → R
Fintype I
J : Type u_4
Fintype J
i : J ≃ I
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents (e ∘ ⇑i) ↔ CompleteOrthogonalIdempotents e
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
E₀ E E₁ : Set Ω
E₀_subset : E₀ ⊆ E
subset_E₁ : E ⊆ E₁
nulldiff : μ (E₁ \ E₀) = 0
h_E₀ : μ E₀ ≤ liminf (fun i => (μs i) E₀) L
h_E₁ : limsup (fun i => (μs i) E₁) L ≤ μ E₁
⊢ limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
s : Finset α
i j : α → ℕ
is_prime : ∀ p ∈ s, Prime p
is_coprime : ∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p ∣ q → p = q
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
⊢ f (∏ p ∈ s, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ s, p ^ i p) * f (∏ p ∈ s, p ^ j p)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B
⊢ A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = (A.mul ≫ f.hom) ▷ M.X ≫ M.act
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s✝ : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ fold (fun x x_1 => x ∪ x_1) ∅ singleton s = s
n : ℕ
⊢ (2 * n)‼ = 2 ^ n * n !
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
h : f.coeff (f.natDegree - 1) = 0
⊢ f.nextCoeff = 0
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq n
Semiring α
i j : n
c : α
Fintype n
a : n
M : Matrix n n α
⊢ (M * Matrix.stdBasisMatrix i j c) a j = M a i * c
z : ℤ
a : UInt32
⊢ z • a = { val := z • a.val }
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0 ↔ (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᶠ[ae (κ a)] 0
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
⊢ f' < slope f x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
⊢ ∫⁻ (a : α), liminf (fun n => f n a) atTop ∂μ = ∫⁻ (a : α), ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f i a ∂μ
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ExistsMulOfLE α
a b : α
h : a < b
⊢ ∃ c, 1 < c ∧ a * c = b
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, g x ∂μ
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasFDerivAt (exp 𝕂) (exp 𝕂 x • 1) x
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : V
inst✝¹ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)
inst✝ : Fintype ↑(G.neighborSet v)
⊢ G'.degree v ≤ G.degree v
n : ℕ
⊢ n.sqrt * n.sqrt < n + 1
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
⊢ (ProbabilityTheory.condCount s) u * (ProbabilityTheory.condCount (s ∪ t)) s +
    (ProbabilityTheory.condCount t) u * (ProbabilityTheory.condCount (s ∪ t)) t =
  (ProbabilityTheory.condCount (s ∪ t)) u
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
s : Set E
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (↑f) s x
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
hg : x.orderTop = ↑g
h : x.orderTop ≠ ⊤
hx : x ≠ 0
⊢ x.coeff g ≠ 0
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
aux : ↑|0| ^ s = 0
hint : HasSum (fun n => s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) / ↑|↑n| ^ s / 2 + s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) / ↑|(-↑n)| ^ s / 2) (completedCosZeta (↑a) s + s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) / ↑|0| ^ s / 2)
⊢ HasSum (fun n => if n = 0 then 0 else s.Gammaℝ * ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (completedCosZeta (↑a) s)
n d : ℕ
a : Fin (n + 1) → ℕ
⊢ (Behrend.map d) a = a 0 + (∑ x : Fin n, a x.succ * d ^ ↑x) * d
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
⊢ Function.Injective OrderMonoidWithZeroHom.toOrderMonoidHom
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.contractibleTriangleFunctor C).obj X =
  CategoryTheory.Pretriangulated.contractibleTriangle X
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ I • span R s ↔ x ∈ span R (⋃ a ∈ I, ⋃ b ∈ s, {a • b})
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
c : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
n : ℕ
⊢ ↑(c ^ n).den = ↑c.den ^ n
a : Int
⊢ a ∣ ↑a.natAbs
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'
e : α ≃ β'
e₁ : lift.{max u v, u} #(α ≃ α) = #(α ≃ β')
e₂ : lift.{max u v, u} #(α → α) = #(α → β')
⊢ #(α ≃ β') = #(α → β')
G : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : AddSubgroup H
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : f.SurjectiveOnWith K C
h : H
h_in : h ∈ K.topologicalClosure
hyp_h : ¬h = 0
b : ℕ → ℝ := fun i => (1 / 2) ^ i * (ε * ‖h‖ / 2) / C
b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i
⊢ ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ (C + ε) * ‖h‖
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0
m : Π₀ (i : ι), ↥(p i)
hm : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) m = 0
i : ι
⊢ -m i = 0
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
φ : (L.withConstants α).Sentence
v : α → M
⊢ (FirstOrder.Language.Formula.equivSentence.symm φ).Realize v ↔ M ⊨ φ
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
SecondCountableTopology α
⊢ Measurable fun p => nndist p.1 p.2
a b : ℤ
⊢ a ≡ b [ZMOD 0] ↔ a = b
x : ℝ≥0
y : ℝ
⊢ ↑(x ^ y) = ↑x ^ y
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
x : ℂ
⊢ (ModularForm.const x).toSlashInvariantForm = SlashInvariantForm.const x
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖f‖ ≤ C ↔ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : Tendsto (fun x => f ↑x) atTop (𝓝 0)
him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hle : ∀ (C' : ℝ), (∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C') → ∀ (z : ℂ), 0 ≤ z.re → ‖f z‖ ≤ max C C'
x₀ : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x₀
hmax : ∀ (y : ℝ), 0 ≤ y → ‖f ↑y‖ ≤ ‖f ↑x₀‖
⊢ ∀ {z : ℂ}, 0 ≤ z.re → ‖f z‖ ≤ C
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
a' h' : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f) → R
iDh' : (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)) → PrimeSpectrum.basicOpen (h' x) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
hxDh' : ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)), ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)
s_eq' : ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)), const R (a' x) (h' x) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh' x).op) s
t : Finset ι
ht_cover' : PrimeSpectrum.basicOpen f ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)
⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
m : Type u
α : Type v
Fintype m
DecidableEq m
CommRing α
M : Matrix m m α
h : IsUnit M
N : Matrix m m α
⊢ (M * N * M⁻¹).det = N.det
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ
⊢ {i | i < k}.encard = (↑(Finset.range k)).encard
p' : ℕ
⊢ 1 < p' + 2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
m : P := midpoint ℝ p1 p2
h : ‖p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)‖ = ‖p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)‖
h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)
h2 : p3 -ᵥ p2 = p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)
⊢ ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
x : L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ __spread✝⁻⁰.carrier
this : (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule = (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule
⊢ ⁅x, D⁆ ∈ __spread✝⁻⁰.carrier
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
p : X = Y
⊢ F.map (CategoryTheory.eqToHom p) = CategoryTheory.eqToHom ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s : Set X
hxy : x ≠ y
t : Set X
ht : t ∈ 𝓝[s] x
o : Set X
ho : IsOpen o
hxo : x ∈ o
host : o ∩ s ⊆ t
⊢ o \ {y} ∩ insert y s ⊆ t
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
LE γ
f : Filter α
m : α → Filter β
g₁ g₂ : β → γ
⊢ g₁ ≤ᶠ[f.bind m] g₂ ↔ ∀ᶠ (x : α) in f, g₁ ≤ᶠ[m x] g₂
α : Type u_2
AddCommGroup α
l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁ ++ l₂).alternatingSum = l₁.alternatingSum + (-1) ^ l₁.length • l₂.alternatingSum
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
p : α × β → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α × β) in f ×ˢ g, p x) ↔ ∀ᶠ (y : β × α) in g ×ˢ f, p y.swap
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ b
⊢ a < b - c ↔ a + c < b
G : Type u_1
Group G
⊢ (MonoidHom.id G).ker = ⊥
l₁ l₂ : Lean.Omega.LinearCombo
⊢ (l₁ + l₂).const = l₁.const + l₂.const
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} A'
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} B'
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} T'
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
L' : CategoryTheory.Functor A' T'
R' : CategoryTheory.Functor B' T'
F₁ : CategoryTheory.Functor A A'
F₂ : CategoryTheory.Functor B B'
F : CategoryTheory.Functor T T'
α : F₁.comp L' ⟶ L.comp F
β : R.comp F ⟶ F₂.comp R'
X : CategoryTheory.Comma L R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.map α β).obj X).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α.app X.left) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map X.hom) (β.app X.right))
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
⊢ p ∈ lifts f ↔ ∀ (n : ℕ), p.coeff n ∈ Set.range ⇑f
a b : ℤ
b0 : ¬b = 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a * ↑d = n * b
⊢ ↑{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.den ∣ b
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
Nontrivial R
s : σ
⊢ MvPolynomial.X s ≠ 0
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ dist ((AffineMap.lineMap p₁ p₂) c) p₁ = ‖c‖ * dist p₁ p₂
R : Type u
CommRing R
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
r : R
IsLocalization.Away r A
⊢ Algebra.Etale R A
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
hm : m₁ ≤ m₂
⊢ MeasureTheory.hitting u s n m₁ ω ≤ MeasureTheory.hitting u s n m₂ ω
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
PerfectRing R p
S : Type u₂
CommSemiring S
CharP S p
f : R →+* Ring.Perfection S p
⊢ (Perfection.lift p R S).symm f = (Perfection.coeff S p 0).comp f
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
⊢ Metric.ball 1 δ * s = Metric.thickening δ s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i : Set α
hi₂ : ¬MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s i ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i
n : ℕ
hn :
  ¬MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s
        (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k) ≤
      MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0
        (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)
⊢ 0 < ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
h : HasDerivAtFilter f f' x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun x => -f x) (-f') x L
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G
H : HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f'.comp ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm (iso x))
A : f = (f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm
B : f' = (f'.comp ↑iso).comp ↑iso.symm
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s (iso x)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
⊢ IsNilpotent ⊥.jacobson
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ht : t ∈ P.parts
hat : a ∈ t
⊢ P.part a = t
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : τ → σ
hfi : Injective f
hf : ↑p.vars ⊆ range f
⊢ ((rename f).comp (aeval fun i => Option.elim' 0 X (partialInv f i)).toRingHom) p = (RingHom.id (MvPolynomial σ R)) p
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R
⊢ addZ (u • P) (v • Q) = (u * v) ^ 2 * addZ P Q
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
c : 𝕜
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 (c • f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.counitInv.app (e.functor.obj X)) (e.functor.map (e.unitInv.app X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (e.functor.obj X)
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ∈ interior s
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ‖x + y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
⊢ ⊤ ≤ Submodule.span ℤ {eval {fun x => false} nil}
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Set α
⊢ (∃ x, sᶜ = {x}) ↔ ∃ x, s = {x}ᶜ
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.TerminatedAt m
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
h₁ : IsAddSubgroup s
h₂ : ∀ n ∈ s, ∀ (g : Additive G), g + n + -g ∈ s
⊢ IsNormalSubgroup s
α : Type u_1
a : α
⊢ a ∈ pure a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f f' : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
φ : f ⟶ f'
⊢ ∃ ψ,
  ∃ (hψ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map ψ) f'.hom = f.hom), φ = CategoryTheory.CostructuredArrow.homMk ψ hψ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitMono f
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f
i : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.Limits.binaryBiconeOfIsSplitMonoOfCokernel i).inl = f
δ : Type u_1
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
DecidableEq δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
i : δ
⊢ ∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ = fun x => ∫⁻ (xᵢ : π i), f (Function.update x i xᵢ) ∂μ i
α : Type v
β : Type w
γ : Type v'
Small.{u, v} α
f : α → γ
g : β → γ
hg : Function.Injective g
h : ∀ (b : β), ∃ a, f a = g b
⊢ Small.{u, w} β
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
φ : M → N
ψ : N → P
χ : outParam (M → P)
self : CompTriple φ ψ χ
⊢ ψ ∘ φ = χ
a b c d a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' ≤ a
hb : b' ≤ b
hc : c' ≤ c
⊢ a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c') ≤ a ⨳ (b ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c')
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
hf : UpperSemicontinuous f
y : β
⊢ IsOpen (f ⁻¹' Set.Iio y)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List (Lists α)
h : l₁ ⊆ l₂
⊢ Lists'.ofList l₁ ⊆ Lists'.ofList l₂
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
d : ℝ
⊢ Measure.map ⇑e μH[d] = μH[d]
x✝ y x : ℝ≥0
⊢ sqrt (x * x) = x