ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₁ : δ
Nx : Filter α := 𝓝 x₀
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
lim1 : Tendsto (fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (comap (⇑e) Nx ×ˢ comap (⇑e) Nx) (𝓝 (0, y₁))
lim2 : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, y₁)) (𝓝 0)
⊢ ∃ U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W'
⊢ UnivLE.{u, v} ↔ univ.{u, v + 1} ≤ univ.{v, u + 1}
a : UnitAddCircle
⊢ Tendsto (hurwitzZetaOdd a) (𝓝 1) (𝓝 (hurwitzZetaOdd a 1))
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
⊢ ∃ f, AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, dist (f x) (f' x) ≤ ε
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : MeasurableSpace D
inst✝² : BorelSpace D
inst✝¹ : SecondCountableTopology D
inst✝ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
h : μ.HasTemperateGrowth
⊢ Integrable (fun x => (1 + ‖x‖) ^ (-↑μ.integrablePower)) μ
α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type v
CommRing R
Preorder α
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
D : Matrix n n R
a b : α
hab : a < b
⊢ (Matrix.fromBlocks A B 0 D).BlockTriangular (Sum.elim (fun x => a) fun x => b)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
f g : α → β
x : α
s : Finset α
hnmem : x ∉ s
ih : ∀ (comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)) (comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)) (comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)), s.noncommProd (f * g) ⋯ = s.noncommProd f comm_ff * s.noncommProd g comm_gg
comm_ff : (↑(cons x s hnmem)).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑(cons x s hnmem)).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑(cons x s hnmem)).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)
y : α
hy : y ∈ s
⊢ Commute (g x) (f y)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t c : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
⊢ mgf (fun x => c) μ t = rexp (t * c)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a : α
b : β
ha : IsBot a
hb : IsBot b
⊢ IsBot (a, b)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : R
u : n → R
⊢ s * (Mᵀ.updateRow j u).det = s * (M.updateColumn j u).det
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
Nontrivial α
s : Multiset α
⊢ s.lcm = 0 ↔ 0 ∈ s
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R B
α : Type u_2
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : MulDistribMulAction α A
inst✝ : SMulCommClass α R A
a : α
r : R
⊢ a • (algebraMap R A) r = (algebraMap R A) r
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
Preorder β
x y : β
⊢ ↑x < ↑y ↔ x < y
R : Type u_1
CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
Fintype n
Fintype l
e₁ : k ≃ m
e₂ : l ≃ n
M : Matrix k l R
⊢ ((Matrix.reindex e₁ e₂) M).mulVecLin =
  ↑(LinearEquiv.funCongrLeft R R e₁.symm) ∘ₗ M.mulVecLin ∘ₗ ↑(LinearEquiv.funCongrLeft R R e₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → List β
b : β
l : List α
⊢ b ∈ l.bind f ↔ ∃ a, a ∈ l ∧ b ∈ f a
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝² : FloorRing K
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Unique ι
k : K
x✝ : ?m.166713
⊢ (?m.166719.repr ↑(floor (Basis.singleton ι K) k)) x✝ = (?m.166719.repr ↑⌊k⌋) x✝
A : Type v
inst✝ : Ring A
h₁ : (Std.Commutative fun x x_1 => x * x_1) ↔ ∀ (a b : A), a * b = b * a
⊢ (Std.Commutative fun x x_1 => x * x_1) ↔ IsLieAbelian A
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
n : ℕ
a : α
x : γ
⊢ κ.densityProcess ν n a x ∅ = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x = ⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
h : IsOpen s
⊢ interior s = s
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
self : PicardLindelof E
⊢ IsPicardLindelof self.toFun self.tMin (↑self.t₀) self.tMax self.x₀ self.L ↑self.R ↑self.C
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hg : g ≠ 0
hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) < g
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, v (f i) < g) → v (∑ i ∈ s, f i) < g
hf : v (f a) < g ∧ ∀ x ∈ s, v (f x) < g
⊢ v (∑ i ∈ insert a s, f i) < g
M : Type u_1
Monoid M
α : Type u_4
f : α → M
⊢ MonoidHom.mrange (FreeMonoid.lift f) = Submonoid.closure (Set.range f)
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∀ (x_1 : ℕ), (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → 1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < max C 1 / ↑x_1 ^ p
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
⊢ range ⇑(b.reindex e) = range ⇑b
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
f : α → β
M : Matrix m n α
⊢ Mᵀ.map f = (M.map f)ᵀ
α : Type u_1
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
i j : α
h : i ≠ j
(i : α) → Decidable (i ∈ insert j s)
⊢ (insert j s).piecewise f g i = s.piecewise f g i
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α}, l.enum.length = l.length
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : ℝ
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
⊢ f =O[l] g
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
t : OrderClosedTopology α
⊢ IsClosed {p | p.1 ≤ p.2}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hf : MonotoneOn f s
hs : Convex 𝕜 s
⊢ QuasiconcaveOn 𝕜 s f
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f : α → β
Neg β
h : Filter.EventuallyConst f l
⊢ Filter.EventuallyConst (-f) l
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
hpos₁ : 0 < ε₁
hpos₂ : 0 < ε₂
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ (h.convergenceR ε₁ c₁) π₁
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ (h.convergenceR ε₂ c₂) π₂
HU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
⊢ dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε₁ + ε₂
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
Module.Free R M
Module.Finite R M
Module.Free R N
Module.Finite R N
⊢ LinearMap.trace R (M × N) ∘ₗ LinearMap.prodMapLinear R M N M N R =
  LinearMap.id.coprod LinearMap.id ∘ₗ (LinearMap.trace R M).prodMap (LinearMap.trace R N)
α : Type u_2
Field α
TopologicalSpace α
TopologicalDivisionRing α
s : Subfield α
t : Subfield α
h : s ≤ t
ht : IsClosed ↑t
⊢ s.topologicalClosure ≤ t
a b : ZNum
⊢ (↑a.abs).gcd ↑b.abs = (↑a).gcd ↑b
α : Sort u
a : α
h : a ≠ a
⊢ False
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
κ : Type u_10
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι'
inst✝² : UniformSpace E
inst✝¹ : UniformAddGroup E
u : UniformSpace F
hu : UniformAddGroup F
hq : WithSeminorms q
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
f : κ → E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ [EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), ∀ (i : ι'), ∃ p, Continuous ⇑p ∧ ∀ (k : κ), (q i).comp (f k) ≤ p, ∀ (i : ι'), BddAbove (Set.range fun k => (q i).comp (f k)) ∧ Continuous (⨆ k, ⇑((q i).comp (f k)))].TFAE
F : Type u_1
Field F
p : F[X]
σ τ : p.Gal
h : ∀ x ∈ p.rootSet p.SplittingField, σ x = τ x
⊢ σ = τ
m : ℕ
hmn : m.Coprime 0
⊢ ↑m * ↑(↑m)⁻¹.val = 1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : G ≃g G'
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype W
⊢ Fintype.card V = Fintype.card W
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
⊢ X ⊆ R → (M.Basis' I (X ∩ R) ∧ I ⊆ R ↔ M.Basis' I X)
α : Type u_1
AddGroup α
DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
mul : (x.1 + x.2).card ≤ (y.1 + y.2).card
hadd : y.1.card + y.2.card ≤ x.1.card + x.2.card
hone : x.1.card < y.1.card
⊢ DevosAddRel x y
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l : Turing.ListBlank Γ
n : ℕ
⊢ l.nth (n + 1) = l.tail.nth n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v : Fin 0 → E
v' : Fin 0 → F
c : Composition 0 := Composition.ones 0
this : {c} = Finset.univ
⊢ (∑ c : Composition 0, q.compAlongComposition p c) v = (q 0) v'
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Ring R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
s : Set M₂
h₀ : s.Nonempty
h₁ : s ⊆ Set.range ⇑f
hk : span R (⇑f ⁻¹' s) = span R (⇑f ⁻¹' s) ⊔ ker f
⊢ comap f (span R₂ s) ≤ span R (⇑f ⁻¹' s)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : n ≤ chainLength α β
hα : ¬α.IsZero
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)
x_ne0 : x ≠ 0
⊢ rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) ≠ ⊥
α : Type u_1
Bornology α
s : Set α
⊢ BoundedSpace ↑s ↔ Bornology.IsBounded s
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
self : Module.Free R M
⊢ Nonempty ((I : Type v) × Basis I R M)
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K✝ : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
R : Type u_6
S : Type u_7
K : Type u_8
L : Type u_9
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : S
s : ↥S⁰
⊢ IsIntegral K ((algebraMap S L) x * mk' L 1 s)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
p : 𝕜
x : 𝕜
⊢ ↑x = 0 ↔ ∃ n, n • p = x
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
AddZeroClass ι
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
DirectSum.GNonUnitalNonAssocSemiring A
i : ι
a : A 0
b : A i
⊢ (DirectSum.of A i) (a • b) = (DirectSum.of A 0) a * (DirectSum.of A i) b
α : Type u_1
n : PosNum
⊢ ↑n.bit1.size = (↑n.bit1).size
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
⊢ 0 ≤ f' y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ filter p s = filter q s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → (p a ↔ q a)
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
ha : 0 < a
⊢ AntitoneOn (fun x => x⁻¹) (Set.Icc a b)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule.IsTrivial L M
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑⊥
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
H.Normal
x : G
⊢ x ∈ upperCentralSeriesStep H ↔ ∀ (y : G), x * y * x⁻¹ * y⁻¹ ∈ H
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ffmE : Fact (μ E < ⊤)
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
hind : X.str = ⊤
F : TopCat.Presheaf C X
⊢ F.IsSheaf ↔ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsTerminal (F.obj (Opposite.op ⊥)))
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
i j : ι
w : Monoid.CoprodI.NeWord M i j
⊢ w.toList.getLast? = some ⟨j, w.last⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : C(α, β)
C : ℝ
C0 : 0 < C
⊢ (∀ (x : α), dist ((mkOfCompact f) x) ((mkOfCompact g) x) < C) ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : b ≤ a * b
⊢ 1 * b ≤ a * b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
S₁.HasHomology
⊢ S₂.HasHomology
M : Type u_4
N : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
⊢ ⇑↑f = ⇑f
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ Subsingleton ↥⊥
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
C : ℝ≥0∞
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 ^ n
a : α
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
⊢ edist (f 0) a ≤ 2 * C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ M
⊢ mapRange id ⋯ x = x
α : Type u
a : α
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ Stream'.take (n + 1) (Stream'.cons a s) = a :: Stream'.take n s
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
CommMonoidWithZero M₀
p : ι → Prop
DecidablePred p
s : Finset ι
⊢ (∏ i ∈ s, if p i then 1 else 0) = if ∀ i ∈ s, p i then 1 else 0
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDedekindDomain R
inst✝⁴ : Module.Free ℤ R
inst✝³ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I₀ : Ideal R
⊢ absNorm ↑I₀ = ↑(Ideal.absNorm I₀)
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ Subgroup.center G
a b : G
⊢ a * b = b * a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
this : (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x) = LinearMap.restrict ((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ⋯
k : ℕ
hk : ↑(weightSpace M χ) ≤ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ k)
m : M
hm : m ∈ ↑(weightSpace M χ)
⊢ ↑((((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x)) ^ k) ⟨m, hm⟩) = ↑(0 ⟨m, hm⟩)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
⊢ infEdist x s ≤ infEdist y s + edist x y
R : Type u
a b : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X + Polynomial.C b).natDegree = 1
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g₁ g₂ : G
⊢ (hSK.equiv g₁).1 = (hSK.equiv g₂).1 ↔ LeftCosetEquivalence (↑K) g₁ g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : CommMonoid α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
inst✝³ : CommMonoid γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
hf : HasProd f a
G : Type u_5
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Continuous ⇑g
⊢ HasProd (⇑g ∘ f) (g a)
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G →g G'
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ (SimpleGraph.Walk.map f p).edges = List.map (Sym2.map ⇑f) p.edges
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
h : Set.InjOn f s
⊢ (f '' s).encard = s.encard
n : ℕ
b : Fin n
⊢ Fintype.card ↑(Set.Iio b) = ↑b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ Function.LeftInverse ↑I.symm ↑I
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a b c d : α
h : a * b ~ᵤ c * d
h₁ : a ~ᵤ c
ha : a ≠ 0
⊢ b ~ᵤ d
⊢ (Set.Iic 0)ᶜ = Complex.slitPlane
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
m : MeasureTheory.AddContent C
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ m s ≤ m t
α : Type u
Preorder α
OrderTop α
a b : α
h : a < b
⊢ a ≠ ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)
(CategoryTheory.forget D).ReflectsIsomorphisms
F G : CategoryTheory.Sheaf J D
f : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ CategoryTheory.Mono f.val
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ o.volumeForm.measure (parallelepiped ⇑b) = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β : Type w
f : β → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
P : C
p : (b : β) → P ⟶ f b
b : β
⊢ CategoryTheory.Limits.Pi.lift p ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.π f b = p b
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b t : ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hx : a < b
ht : t ∈ Set.Ioo a b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Set.Icc a b)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Set.Icc a b)) (Set.Ioo a b)
⊢ HasDerivAt (fun y => taylorWithinEval f n (Set.Icc a b) y x)
  (((↑n !)⁻¹ * (x - t) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Set.Icc a b) t) t