ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
p p' : Submodule R P
q q' : Submodule R Q
hp : p ≤ p'
hq : q ≤ q'
⊢ range (mapIncl p q) ≤ range (mapIncl p' q')
α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
S : Set ι
i : ι
his : i ∈ S
h_ss : {i} ⊆ S
⊢ π i ⊆ piiUnionInter π S
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
e : α ≃ β
f : β → γ
⊢ Function.Surjective (f ∘ ⇑e) ↔ Function.Surjective f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
A✝ B✝ : C
f✝ g✝ : A✝ ⟶ B✝
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : HasCoreflexiveEqualizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
r : B ⟶ A
fr : f ≫ r = 𝟙 A
gr : g ≫ r = 𝟙 A
⊢ HasEqualizer f g
R : Type u
Ring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (-p).coeff n = -p.coeff n
α : Type u_1
ι : Type u_4
p : ι → Prop
s : ι → Set α
⊢ Filter.blimsup s Filter.cofinite p = {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
S : LightProfinite
x : X.val.obj (Opposite.op S)
⊢ Continuous fun a => f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (LightProfinite.const S a).op x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hg : Inducing g
hf : Inducing f
⊢ Inducing (g ∘ f)
M : Type u_1
inst✝¹⁵ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝¹⁴ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝¹³ : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝¹² : AddMonoid A
inst✝¹¹ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddMonoid B
inst✝⁹ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝⁸ : AddMonoid B₁
inst✝⁷ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝⁶ : AddMonoid C
inst✝⁵ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝⁴ : AddGroup A'
inst✝³ : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝² : AddGroup B'
inst✝¹ : DistribMulAction N B'
F : Type u_10
inst✝ : FunLike F A B
f : A →ₑ+[φ] B
x : A
⊢ (f.comp (DistribMulActionHom.id M)) x = f x
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
f : Function.End α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hf : f ^ p ^ n = 1
⊢ Fintype.card α ≡ Fintype.card ↑(Function.fixedPoints f) [MOD p]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
K : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
⊢ K.vertices ⊆ K.space
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
inst✝² : LieRingModule L M✝
inst✝¹ : LieModule R L M✝
inst✝ : Subsingleton L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
_h : ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
⊢ LieModule.IsNilpotent R L M
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
MeasurableSpace Y
OpensMeasurableSpace Y
μ : MeasureTheory.Measure Y
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedSpace 𝕜 E
L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E
f : X → Y → G
s : Set X
k : Set Y
g : Y → F
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (Function.uncurry f) (s ×ˢ Set.univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
hg : MeasureTheory.IntegrableOn g k μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ) s
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℕ
⊢ a⁻¹ ^ (n + 1) = (a ^ (n + 1))⁻¹
α : Type u_1
f : α → ℝ
⊢ ProbabilityTheory.truncation f 0 = 0
α : Type u_1
t : Ordnode α
hl : t.Sized
C : Ordnode α → Prop
H0 : C Ordnode.nil
H1 : ∀ (l : Ordnode α) (x : α) (r : Ordnode α), C l → C r → C (l.node' x r)
⊢ C t
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a < b
h' : c < d
⊢ Set.Ioc a d ∈ 𝓝ˢ (Set.Icc b c)
m n✝ k n : ℕ
h✝ : k = n + 1
x : ZMod (namedPattern k (n + 1) h✝)
⊢ ↑x.valMinAbs = x
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
⊢ f ∈ Submodule.span ℤ (Set.range (spanFinBasis C s))
α : Type u_1
DecidableEq (Finset α)
s : Finset α
⊢ s.powerset = (Finset.range (s.card + 1)).biUnion fun i => Finset.powersetCard i s
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
n : Nat
h✝ : a = b
⊢ count a (replicate n b) = n
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
n : ℕ
f : α → β
⊢ ∏ x ∈ s, f x ^ n = (∏ x ∈ s, f x) ^ n
α : Type u_1
sel : Set α → Option α
s : Set α
n₁ n₂ : ℕ
⊢ Set.enumerate sel s n₁ = none → n₁ ≤ n₂ → Set.enumerate sel s n₂ = none
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ closure sᶜ = (interior s)ᶜ
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ inst✝ : IsLocalization M S
J : Ideal S
x : S
r : R
s : ↥M
hJ : mk' S r s ∈ J
hx : mk' S r s = x
⊢ mk' S r s ∈ Ideal.map (algebraMap R S) (Ideal.comap (algebraMap R S) J)
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
hf : ∀ (x : X), f x ∈ 𝓝[univ] x
s : Set X
hsc : s.Countable
hsU : univ ⊆ ⋃ x ∈ s, f x
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ ⋃ x ∈ s, f x = univ
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
s : Set (β → M)
h : A.Definable L s
f : α ≃ β
⊢ Function.LeftInverse (fun g => g ∘ ⇑f.symm) fun g => g ∘ ⇑f
α : Type u_1
MulZeroOneClass α
HasDistribNeg α
⊢ ∀ (a : SignType), SignType.castHom a = ↑a
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Preorder ι
G : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
m : M
g : G i
⊢ (TensorProduct.directLimitRight f M).symm
    ((Module.DirectLimit.of R ι (fun x => M ⊗[R] G x) (fun i j h => LinearMap.lTensor M (f i j h)) i) (m ⊗ₜ[R] g)) =
  m ⊗ₜ[R] (Module.DirectLimit.of R ι G f i) g
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ S.Solution'_descent.multiplicity < S.multiplicity
α : Type u_2
β : Type u_3
Bot α
Bot β
f : BotHom α β
⊢ f.comp (BotHom.id α) = f
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ p.support.Nonempty ↔ p ≠ 0
f : ℕ → ℂ
n : ℕ
⊢ (f * δ) n = (f 1 • δ) n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝¹ : Finset α
t✝ : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β
s✝ : Finset α
t : β → Finset γ
this : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
x✝ : a ∉ s
ih : (image f s).biUnion t = s.biUnion fun a => t (f a)
⊢ (image f (insert a s)).biUnion t = (insert a s).biUnion fun a => t (f a)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : GroupWithZero α
s✝ t s : Finset α
⊢ s / 0 ⊆ 0
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A : Matrix m n R
B₁ : Matrix n n₁ R
B₂ : Matrix n n₂ R
⊢ A * B₁.fromColumns B₂ = (A * B₁).fromColumns (A * B₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
hs : Disjoint e.source e'.source
ht : Disjoint e.target e'.target
(x : α) → Decidable (x ∈ e.source)
(y : β) → Decidable (y ∈ e.target)
⊢ (e.disjointUnion e' hs ht).target = e.target ∪ e'.target
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
DecidableEq α
DecidableEq β
DecidableEq γ
Fintype α
Fintype β
Fintype γ
SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.ExplicitDisjoint t
ε : 𝕜
ht : ε * ↑((Fintype.card α + Fintype.card β + Fintype.card γ) ^ 2) ≤ ↑t.card
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).FarFromTriangleFree ε
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a x : G
⊢ (∃ i, x * ((↑i)⁻¹ * a⁻¹) ∈ H) ↔ ∃ x_1 ∈ H, ∃ y ∈ K, x = x_1 * a * y
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
⊢ (box (n + 1)).card = 8 * (n + 1)
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Finite F
hF : ringChar F ≠ 2
⊢ ∃ a, ¬IsSquare a
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
ι : Type u_5
CommRing R
Nontrivial R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Finite R M
Module.Free R M
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R L
⊢ ((↑(LieModule.toEnd R L M)).polyCharpoly b).coeff (LieModule.rank R L M) ≠ 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X Y : C
α : F ⟶ G
f : X ⟶ Y
x✝ : IsIso (α.app Y)
⊢ α.app X ≫ G.map f ≫ inv (α.app Y) = F.map f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α
⊢ ¬IsEmpty ↑s ↔ ¬s = ∅
x : UInt32
⊢ x.toUInt64.toNat = x.toNat
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
RCLike 𝕜
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (fun x => ⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜) 1 μ < ⊤
a b c : Int
h : a + b < a + c
⊢ b < c
p✝ : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p✝)
inst✝² : Fintype ι
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
β : ι → Type u_5
hp : p ≠ ⊤
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
f : PiLp p β
⊢ ↑‖f‖₊ = ↑((∑ i : ι, ‖f i‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal))
α : Type u_1
R : α → α → Prop
β : Type u_2
inst✝ : DecidableRel R
f : β → α
x : β
xs : List β
⊢ pwFilter R (map f (x :: xs)) = map f (pwFilter (fun x y => R (f x) (f y)) (x :: xs))
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
y : R
hI : I.IsRadical
h : y ∉ I.toAddSubmonoid
⊢ ↑(Submonoid.powers y) ⊓ ↑I ≤ ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
CategoryTheory.Limits.PreservesBinaryBiproduct X Y F
W : C
f : X ⟶ W
g : Y ⟶ W
⊢ (F.mapBiprod X Y).hom ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.desc (F.map f) (F.map g) =
  F.map (CategoryTheory.Limits.biprod.desc f g)
a : ℕ
n : ℕ
h : a ≤ n + n
⊢ (n * n + a).sqrt = n
α : Type u_1
l₁ l₂ l₃ : List α
⊢ l₁ <:+: l₂ → l₂ <:+: l₃ → l₁ <:+: l₃
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
R : Type u_9
R₂ : Type u_10
Ring R
Ring R₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
Module R M
Module R₂ M₂
ι : Type u_11
s : Set ι
hs : s.Nonempty
p : ι → Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : LinearMap.range f = ⨆ i ∈ s, p i
⊢ ⨆ i ∈ s, Submodule.comap f (p i) = ⊤
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = n /. ↑d
d0 : ↑d ≠ 0
this : ↑(a * ↑d) = ↑(n * b)
⊢ ↑{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c } = ↑a / ↑b
M : Type u_1
TopologicalSpace M
x : Mᵐᵒᵖ
⊢ Filter.comap MulOpposite.op (𝓝 x) = 𝓝 (MulOpposite.unop x)
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f g : X → ℝ
s : Set X
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hg : MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
h : f ≤ᵐ[μ.restrict s] g
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : X) in s, g x ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type u_4)
⊢ CategoryTheory.regularTopology.EqualizerCondition P ↔
  ∀ (X B : C) (π : X ⟶ B) [inst : CategoryTheory.EffectiveEpi π] [inst : CategoryTheory.Limits.HasPullback π π],
    CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.equalizer.lift (P.map π.op) ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddMonoid β
p r : α → α → Prop
IsTotal α r
f : α → α → β
hsymm : Symmetric p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b + f b a = 0
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b + f b c
a b c : α
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
⊢ f a c = f a b + f b c
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace β
f : α → β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasurableSpace β]
  [inst_1 : TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β] [inst_2 : SecondCountableTopology β]
  [inst_3 : OpensMeasurableSpace β], Measurable f → MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A : CommMon_ C
⊢ ∀ (x x_1 : CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}),
  ((CommMon_.EquivLaxBraidedFunctorPUnit.commMonToLaxBraided C).obj A).μ x x_1 = A.mul
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Ring R
Ring S
FunLike F R S
RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Bijective ⇑f
I : Ideal R
K : Ideal S
⊢ Ideal.comap f K ≤ I ↔ K ≤ Ideal.map f I
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : α → E
⊢ MeasureTheory.setToFun μ (fun s => c • T s) ⋯ f = c • MeasureTheory.setToFun μ T hT f
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ico (-(π / 2)) (π / 2)
hx₁ : x ≤ -1
⊢ arcsin x ≤ y ↔ x ≤ sin y
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ CondIndepFun m' hm' f g μ ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → CondIndepSet m' hm' (f ⁻¹' s) (g ⁻¹' t) μ
a b : Int
h : a ≤ b
⊢ ∃ n, b - a = ↑n
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.127674, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.127678, u_3} E
X : C
inst✝¹ : Projective X
F : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : EffectiveEpi f
inst✝ : (ofArrows (fun x => Y) fun x => f).regular
⊢ ∀ (x : Unit → F.obj (op Y)), Arrows.Compatible F (fun x => f) x → ∃! t, ∀ (i : Unit), F.map f.op t = x i
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ
a b : ZMod p
hx : a ^ 2 + b ^ 2 = ↑x
⊢ ↑a.valMinAbs.natAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs.natAbs ^ 2 ≡ x [ZMOD ↑p]
α : Type u_1
M : Matroid α
I J X : Set α
hI : M.Basis I X
hJI : J ⊂ I
⊢ ¬M.Basis J X
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve α r' ⊓ Presheaf.imageSieve φ m
⊢ smul α φ (r + r') m = smul α φ r m + smul α φ r' m
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
s : Set M
⊢ Submonoid.map f (Submonoid.closure s) = Submonoid.closure (⇑f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SFinite ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ {x | (fun x => 0 < ν.rnDeriv μ x) x} ∈ ae (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ))
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
S A B : DiscreteQuotient X
h : A ≤ B
a : X
⊢ setOf (A.Rel a) ⊆ setOf (B.Rel a)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ IsPullback (0 ≫ 0) 0 0 (b.inr ≫ b.snd)
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b
s : Set α
⊢ (∀ (x : α), ∀ o ∈ b, x ∈ o → (o ∩ s).Nonempty) ↔ ∀ o ∈ b, o.Nonempty → (o ∩ s).Nonempty
α : Type u
a : Set α
⊢ a ∪ a = a
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I J : Ideal R
h : I ≤ J
⊢ map (Quotient.mk J) I = ⊥
θ : Angle
h : 0 < θ.toReal
⊢ 0 ≤ θ.toReal ↔ 0 ≤ θ.sign
α : Type u
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j ≤ i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
⊢ i < List.findIdx p xs
X : Type u
TopologicalSpace X
p : X → Prop
x : { a // p a }
s : Set { a // p a }
⊢ x ∈ closure s ↔ ↑x ∈ closure (Subtype.val '' s)
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
Hdrop : dropFun fx = dropFun fy
i : (P.B ax).last
h₁ : Quot.mk R (fx Fin2.fz i) = Quot.mk R (fy Fin2.fz i)
⊢ R (lastFun fx i) (lastFun fy i)
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a b : α
⊢ mabs (a / b) = mabs (b / a)
R : Type u_2
K : Type ?u.21569
L : Type ?u.21572
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
⊢ eval x (minpolyDiv R x) = eval x (derivative (minpolyDiv R x * (X - C x)))
β : Type u_2
E : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace E
NormedAddCommGroup E
BorelSpace E
f : β → E
μ : MeasureTheory.Measure β
fmeas : Measurable f
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯ n)) μ
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.45088, u_3} D₁
inst✝² : Category.{?u.45092, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
W : MorphismProperty C₁ := (MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G
hG : W.IsInvertedBy G
⊢ G.IsLocalization ((MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G)
R : Type u
ι : Type y
Semiring R
s : Finset ι
f : ι → R[X]
⊢ Polynomial.derivative (∑ b ∈ s, f b) = ∑ b ∈ s, Polynomial.derivative (f b)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
m : α → β
m' : β → γ
⊢ Filter.map m' ∘ Filter.map m = Filter.map (m' ∘ m)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x < y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] y ≠ ⊥
⊢ ∀ a < y, f a ≤ f y
α : Type u_1
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Multiset.filter (fun x => c ≤ x) (Multiset.Ico a b) = Multiset.Ico (max a c) b
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
⊢ IsNormal (f i ?H.hi)
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
c : ℕ := Fintype.card α
hc0 : 0 < c
h0 : filter (fun a => orderOf a = d) univ = ∅
⊢ False
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
CommRing R
CommRing S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
⊢ Ideal.map f I.radical ≤ (Ideal.map f I).radical
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ -φ W.b₂ ^ 3 + 36 * φ W.b₂ * φ W.b₄ - 216 * φ W.b₆ = φ (-W.b₂ ^ 3 + 36 * W.b₂ * W.b₄ - 216 * W.b₆)
G : Type u_1
Group G
s : Set G
x c : G
⊢ x ∈ Group.conjugatesOfSet s → c * x * c⁻¹ ∈ Group.conjugatesOfSet s
α : Type u_1
MulOneClass α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a * b ≤ b ↔ a ≤ 1
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x s + hausdorffEdist s t < ⊤
ε0 : ↑ε / 2 ≠ 0
this : infEdist x s < infEdist x s + ↑ε / 2
⊢ infEdist x t ≤ infEdist x s + hausdorffEdist s t + ↑ε
α : Type u
β : Type v
Monoid α
AddMonoid β
DistribMulAction α β
u : α
hu : IsUnit u
x : β
⊢ u • x = 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ca : γ × α
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.prodMkLeft γ κ) ca = κ ca.2
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesFilteredColimits (forget C)
F G : Presheaf C X
f : F ⟶ G
h : ∀ (U : Opens ↑X), Function.Injective ⇑(f.app (op U))
x : ↑X
U₁ : Opens ↑X
hxU₁ : x ∈ U₁
s : (forget C).obj (F.obj (op U₁))
U₂ : Opens ↑X
hxU₂ : x ∈ U₂
t : (forget C).obj (F.obj (op U₂))
hst : ((stalkFunctor C x).map f) ((F.germ ⟨x, hxU₁⟩) s) = ((stalkFunctor C x).map f) ((F.germ ⟨x, hxU₂⟩) t)
⊢ (F.germ ⟨x, hxU₁⟩) s = (F.germ ⟨x, hxU₂⟩) t
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ f * g
A : (fun x => (f x)⁻¹ * i x) ≤ g
x : α
h'x : f x < ⊤
hx : f x = 0
⊢ i x ≤ (f * fun a => (f a)⁻¹ * i a) x
X : Type u
TopologicalSpace X
p : X → Prop
⊢ Embedding Subtype.val
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
⊢ Quiver.Hom.op 0 = 0
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
Ω : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {X : Ω → E} {s : Set E},
  μ s ≠ 0 → μ s ≠ ⊤ → MeasureTheory.pdf.IsUniform X s ℙ μ → AEMeasurable X ℙ
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 64 ≤ N
this : 2 ^ ↑6 ≤ ↑N
⊢ 0 < ↑6
R : Type u_2
M : Type u_4
M' : Type u_5
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
s : Set M
f : M →ₗ[R] M'
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
hf_inj : Disjoint (Submodule.span R s) (LinearMap.ker f)
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(⇑f '' s)) => ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
MulActionWithZero 𝕜 β
BoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
hc : IsUnit c
f : α → β
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral (c • f) μ ↔ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
x : ℝ
h : x < 0
this : arctan (-x)⁻¹ = π / 2 - arctan (-x)
⊢ arctan x⁻¹ = -(π / 2) - arctan x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X✝ Y : C
α : F ⟶ G
x✝ : IsIso α
X : C
⊢ α.app X ≫ (inv α).app X = 𝟙 (F.obj X)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p2 -ᵥ p3)
hpi : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p1 -ᵥ p3) ≠ π
⊢ ‖p1 -ᵥ p2‖ = ‖p1 -ᵥ p3‖
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V ⟶ X
f' : V ⟶ U
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
⊢ Q.diagonal (pullback.snd f g)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
⊢ Valued.v ↑r = v.valuation ↑r
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_4
Nonempty ι
s : ι → Set G
hs : ∀ (i : ι), IsAddSubgroup (s i)
directed : ∀ (i j : ι), ∃ k, s i ⊆ s k ∧ s j ⊆ s k
⊢ IsAddSubgroup (⋃ i, s i)
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
⊢ u ⬝ᵥ (v + w) = u ⬝ᵥ v + u ⬝ᵥ w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β
⊢ x.swap.isRight = x.isLeft