ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
x✝ : M
f✝ : Dual R M
y : M
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0
Φ : Set M
hΦ₁ : _root_.Finite ↑Φ
hx'✝ : x ∈ span R Φ
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
Φ' : Set ↥(span R Φ) := range (inclusion ⋯)
hΦ'₁ : Φ'.Finite
hΦ'₂ : span R Φ' = ⊤
x' : ↥(span R Φ) := ⟨x, hx'✝⟩
hx' : x' ≠ 0
⊢ (span R Φ).subtype.dualMap f = (span R Φ).subtype.dualMap g
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool
⊢ 2 * count b l ≤ l.length + 1
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h : Fintype.card R ≤ 3
⊢ univ.card ≤ {0, 1, -1}.card
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : t < 0
⊢ s.SOppSide (t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂) x
a b : ℕ
⊢ Nat.cast '' Set.Ioo a b = Set.Ioo ↑a ↑b
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : ∀ (x : L ≃ₐ[K] L), x ∈ Subgroup.zpowers σ
hσ' : orderOf σ = Fintype.card (L ≃ₐ[K] L)
this : (minpoly K σ.toLinearMap).IsRoot ζ
⊢ ∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
x : E
⊢ 0 ≤ RCLike.re ⟪x, T x⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ a \ Filter.liminf u f = Filter.limsup (fun b => a \ u b) f
m n a b c d : ℤ
⊢ a ≡ b [ZMOD 0] ↔ a = b
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M₄
inst✝¹¹ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M₃
inst✝⁶ : Module R M₄
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁' i)
inst✝² : TopologicalSpace M₂
inst✝¹ : TopologicalSpace M₃
inst✝ : TopologicalSpace M₄
f✝ f'✝ f f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
⊢ f = f' ↔ ∀ (x : (i : ι) → M₁ i), f x = f' x
α : Sort u_1
p : α → Prop
q : (x : α) → p x → Prop
⊢ (∀ (x : α) (h : p x), q x h) ↔ ∀ (x : { a // p a }), q ↑x ⋯
α : Type u_10
β : Type u_11
TopologicalSpace α
AddGroup β
Lattice β
CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : α → β
hf : HasCompactSupport f
⊢ HasCompactSupport |f|
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts D
F : C ⥤ D
F.Additive
X : CategoryTheory.Mat_ C
⊢ (CategoryTheory.Mat_.lift F).obj X = ⨁ fun i => F.obj (X.X i)
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
n : ℕ
ExistsAddOfLE R
hn : Even n
a : R
⊢ 0 ≤ a ^ n
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
F : CategoryTheory.Functor C A
F.IsHomological
F.ShiftSequence ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ : ℤ
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.shift n₀).map T.mor₁) ((F.shift n₀).map T.mor₂) = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
h : p a
⊢ Multiset.count a (Multiset.filter p s) = Multiset.count a s
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : Limits.IsInitial X
M : PresheafOfModules R
c₁ c₂ c₃ : Cᵒᵖ
f : c₁ ⟶ c₂
g : c₂ ⟶ c₃
x : ↑({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.obj c₁)
⊢ { toFun := fun x => (M.presheaf.map f ≫ M.presheaf.map g) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x = ({ toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ≫ { toFun := fun x => (M.presheaf.map g) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) x
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y a b c : E
⊢ convexJoin 𝕜 (segment 𝕜 a b) {c} = (convexHull 𝕜) {a, b, c}
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : Tendsto (fun n x => (f n) x) atTop (𝓝 ⇑g)
hf : CauchySeq f
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 g)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
⊢ MeasureTheory.FiniteMeasure.mass 0 = 0
a b : SimplexCategory
⊢ a.len = b.len → a = b
R : Type u_1
S : Type v₃
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
CommSemiring R'
CommSemiring S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R' S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
self : Algebra.IsPushout R S R' S'
⊢ IsBaseChange S (IsScalarTower.toAlgHom R R' S').toLinearMap
n n' : Nat
m : Nat
i : Fin n'
h : n' = n
⊢ Fin.castAdd m (Fin.cast h i) = Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd m i)
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
t' : TopologicalSpace β
f : α → β
h : Continuous f
⊢ t ≤ TopologicalSpace.induced f t'
G : Type u_1
CommMagma G
a b : G
⊢ a * b = b * a
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hX : Memℒp X 2 μ
hXint : ∫ (x : Ω), X x ∂μ = 0
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun ω => X ω ^ 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
hs : Convex 𝕜 s
z : E
⊢ Convex 𝕜 ({z} + s)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => c + f y) s x = fderivWithin 𝕜 f s x
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
⊢ ModularForm.slash k A (f + g) = ModularForm.slash k A f + ModularForm.slash k A g
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
⊢ Continuous f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f μ
⊢ 0 < μ {x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ}
p x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
m : ℤ
⊢ LiouvilleWith p (x + ↑m)
α : Type u_1
ga : α → α
⊢ Function.Semiconj id ga ga
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
i : ι
w : ι → R
z : ι → E
hw : w i ≠ 0
⊢ {i}.centerMass w z = z i
α : Type u_1
MonoidWithZero α
Preorder α
ZeroLEOneClass α
PosMulMono α
a : { x // 0 ≤ x }
n : ℕ
⊢ ↑(a ^ n) = ↑a ^ n
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < FiniteDimensional.finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E))⁻¹
⊢ MeasureTheory.eLpNorm u (↑p') μ ≤
  ↑(MeasureTheory.SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p) * MeasureTheory.eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
b c : B
a : B
f : b ⟶ c
⊢ ∀ (x : a ⟶ b), (CategoryTheory.Bicategory.postcomp a f).obj x = CategoryTheory.CategoryStruct.comp x f
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₂ : Set α
f : α → β
Preorder α
Preorder β
h : StrictMonoOn f s
h' : s₂ ⊆ s
⊢ StrictMonoOn f s₂
F : Type u_3
Field F
Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
⊢ Fintype.card F % 2 = 1
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ Metric.closedBall x ε \ Metric.sphere x ε = Metric.ball x ε
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b : α
ExistsAddOfLE α
PosMulMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≤ 0
h : 1 ≤ b
⊢ a * b ≤ a
η : Type u_7
f : η → Type u_8
(i : η) → AddGroup (f i)
I : Set η
H : (i : η) → AddSubgroup (f i)
p : (i : η) → f i
⊢ p ∈ AddSubgroup.pi I H ↔ ∀ i ∈ I, p i ∈ H i
m n : ℕ
x : ZMod n
⊢ (-x).cast = -x.cast % ↑n
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E → F
v : E
inst✝ : SecondCountableTopology E
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜
this✝ : BorelSpace 𝕜
g : E × E → 𝕜 → F := fun p t => f (p.1 + t • p.2)
⊢ StronglyMeasurable fun p => lineDeriv 𝕜 f p.1 p.2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s✝.destruct t✝.destruct
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct) s t
h : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
a : Option (α × WSeq α)
b : Option (β × WSeq β)
⊢ ∀ (s : WSeq α) (t : WSeq β), LiftRel R s t → LiftRel R s t ∨ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
α : Type u
x : α
l : List α
h : l ≠ []
⊢ (x :: l).dropLast = x :: l.dropLast
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
b : β
x : α
⊢ x ∈ ⇑e ⁻¹' Ici b ↔ x ∈ Ici (e.symm b)
k : ℕ
⊢ Filter.Tendsto (fun a => a - k) Filter.atTop Filter.atTop
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
SmoothManifoldWithCorners I M
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ LinearMap.range (mfderiv I I' (↑e) x) = ⊤
R : Type u_1
S : Type v₃
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
CommSemiring R'
CommSemiring S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R' S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
Algebra.IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
Semiring A
Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
⊢ (Algebra.pushoutDesc S' f g H).comp (IsScalarTower.toAlgHom R S S') = f
α : Type u
DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
i : ℕ
h : i < l.length
⊢ l.erase l[i] = l.eraseIdx i
k : Type u
inst✝⁵ : Field k
G : Grp
inst✝⁴ : IsAlgClosed k
inst✝³ : Fintype ↑G
inst✝² : Invertible ↑(Fintype.card ↑G)
V W : FDRep k ↑G
inst✝¹ : Simple V
inst✝ : Simple W
⊢ ↑(finrank k (W ⟶ V)) = if Nonempty (V ≅ W) then 1 else 0
α : Type u
OrderedAddCommGroup α
⊢ ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ
g : E →ₗ[ℝ] ℝ
g_eq : ∀ (x : ↥{ domain := p, toFun := ↑f }.domain), g ↑x = ↑{ domain := p, toFun := ↑f } x
g_le : ∀ (x : E), g x ≤ ‖f‖ * ‖x‖
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
c : ClosureOperator α
⊢ c ⊤ = ⊤
A : Type u_4
Ring A
PartialOrder A
Algebra ℝ A
NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
ha : 0 ≤ a
⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ 2 • o.oangle x (r • y) = 2 • o.oangle x y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s t : Finset α
⊢ ThreeGPFree ∅
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
hxy : ‖x + y‖ ^ 2 ≠ 0
⊢ angle x (x + y) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)
K : Type u
Field K
ζ : K
NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
⊢ Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq n
Semiring α
i j : n
c : α
Fintype n
k : n
d : α
⊢ Matrix.stdBasisMatrix i j c * Matrix.stdBasisMatrix j k d = Matrix.stdBasisMatrix i k (c * d)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M₀ : Type u_6
AddCommGroup M₀
Module R M₀
M₁ : Type u_7
AddCommGroup M₁
Module R M₁
M₂ : Type u_8
AddCommGroup M₂
Module R M₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
ex : Function.Exact ⇑g ⇑h
⊢ Function.Exact ⇑((IsLocalizedModule.map S (LocalizedModule.mkLinearMap S M₀) (LocalizedModule.mkLinearMap S M₁)) g)
  ⇑((IsLocalizedModule.map S (LocalizedModule.mkLinearMap S M₁) (LocalizedModule.mkLinearMap S M₂)) h)
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g : α → E
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → α → E
this : DecidableEq ι
⊢ (∀ i ∈ ∅, Memℒp (f i) p μ) → Memℒp (fun a => ∑ i ∈ ∅, f i a) p μ
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ ⇑Monoid.AddEquiv.coprodUnit = ⇑AddMonoid.Coprod.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
⊢ Measurable ⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯).symm
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
Preorder α
MulPosReflectLT α
h : 0 < a * b
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 < a
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s.toList.toFinset = s
𝕜 : Type v
RCLike 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
M : ℝ
hMp : 0 ≤ M
hM : ∀ (f : NormedSpace.Dual 𝕜 E), ‖f x‖ ≤ M * ‖f‖
⊢ ‖x‖ ≤ M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
h : φ₁ = φ₂
⊢ ↑((CochainComplex.HomComplex.Cochain.equivHomotopy φ₁ φ₂) (Homotopy.ofEq h)) = 0
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
E : LinearRecurrence α
u v : ℕ → α
hu : E.IsSolution u
hv : E.IsSolution v
h : Set.EqOn u v ↑(range E.order)
u' : ↥E.solSpace := ⟨u, hu⟩
v' : ↥E.solSpace := ⟨v, hv⟩
⊢ E.toInit u' = E.toInit v'
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
s : Set α
c : G
⊢ μ (c +ᵥ s) = 0 ↔ μ s = 0
ι : Type u
f : ι → AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ ∀ (a : ι), (AlgebraicGeometry.sigmaOpenCover f).obj a = f a
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x y : 𝕜
hx : x ∈ Ico a (a + p)
hy : y ∈ Ico a (a + p)
⊢ ↑x = ↑y ↔ x = y
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
l : List α
⊢ Multiset.powersetCardAux (n + 1) (a :: l) =
  Multiset.powersetCardAux (n + 1) l ++ List.map (Multiset.cons a) (Multiset.powersetCardAux n l)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x : L
hx : x ∈ S
n : ℤ
⊢ n • x ∈ S
X Y : Bipointed
self : X.Hom Y
⊢ self.toFun X.toProd.1 = Y.toProd.1
α : Type u_1
CommGroup α
s : Set α
⊢ MulDissociated s⁻¹ ↔ MulDissociated s
a : ℝ
⊢ closure {z | a < z.im} = {z | a ≤ z.im}
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
Nonempty α
h𝒜₁ : 𝒜.Nonempty
h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜
⊢ AhlswedeZhang.infSum 𝒜 = 1
G : Type u_2
CommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
f : ℕ → G
hf : Multipliable f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 1)
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * y
⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C
⊢ (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app P = F.map P.decompId_i ≫ τ.app P.X ≫ G.map P.decompId_p
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M✝ : Sublattice α
f : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
M : Sublattice β
e : β ≃o α
⊢ ↑(map { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } L) = ↑M ↔ ↑L = ↑(map { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } M)
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j : 𝒰.J
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluing 𝒰 f g).f i j =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
⊢ μ s ≤ μ (s ∩ t) + μ (s \ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Sort u_4
f : ι → Cardinal.{u_5}
hf : BddAbove (range f)
⊢ (sSup (range f)).ord = sSup (range fun i => (f i).ord)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t : Set E
x : E
ht : Balanced 𝕜 t
h : s ⊆ t
r : 𝕜
hr : ‖r‖ ≤ 1
y : E
hy : y ∈ s
hx : (fun x => r • x) y ∈ balancedHull 𝕜 s
⊢ (fun x => r • x) y ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f₁ f₂ : α → β
Preorder α
Preorder β
h : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ AntitoneOn f₁ s ↔ AntitoneOn f₂ s
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ IsClosedImmersion f ↔ ((topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => ClosedEmbedding) ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Surjective ⇑f) f
α : Type u
β : Type v
a : α
as : List α
⊢ (a :: as).zipLeft [] = (a, none) :: List.map (fun a => (a, none)) as
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this✝¹ : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
this✝ : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L
this : IsGalois K L := isGalois n K L
⊢ ∏ x : L →ₐ[K] E, -1 * (1 - x ζ) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
a : G
⊢ ⋃ h, (↑h * a) • ↑K = Doset.doset a ↑H ↑K
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
p q : ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : MeasureTheory.eLpNorm' f q μ < ⊤
hp_nonneg : 0 ≤ p
hpq : p ≤ q
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f p μ < ⊤
n : ℕ
⊢ Polynomial.eval 0 (Polynomial.bernoulli n) = bernoulli n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
hg : UnifTight g p μ
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
⊢ UnifTight (f - g) p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
h : e.IsImage s t
⊢ h.restr.source = e.source ∩ s
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ] {g : G}
  {s : Set α}, g ∈ AddAction.aestabilizer G μ s ↔ g +ᵥ s =ᵐ[μ] s
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
⊢ ∃ k, ‖u‖ = p * (↑k / ↑(addOrderOf u))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B X Y : C
f : A ⟶ B
g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) C
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.map (𝟙 X) f ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.map g (𝟙 B) =
  CategoryTheory.Limits.coprod.map g (𝟙 A) ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.map (𝟙 Y) f
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.card = 1 ↔ ∃ a, s = {a}
a b m n✝ p d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hn : n ≠ 0
⊢ (∀ (p : ℕ), Prime p → d.factorization p ≤ n.factorization p) ↔ d.factorization ≤ n.factorization
α : Type u_1
a : α
⊢ ¬{a}.Nontrivial
α : Type u_1
β : Type u_2
R S✝ T : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
hl : Pairwise R l
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
h : ∀ (x : α), x ∈ l → p x
S : β → β → Prop
hS : ∀ ⦃x : α⦄ (hx : p x) ⦃y : α⦄ (hy : p y), R x y → S (f x hx) (f y hy)
⊢ ∀ {a b : α}, a ∈ l → b ∈ l → R a b → ∀ (h₁ : p a) (h₂ : p b), S (f a h₁) (f b h₂)
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
x₀ : X
S T : Set X
H : EquicontinuousWithinAt F T x₀
hST : S ⊆ T
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x => z) (f (x + y + z - y))
α : Sort u
h : α = α
a : α
⊢ cast h a = a
x y : ℝ
a b : Cauchy abs
⊢ { cauchy := a - b } = { cauchy := a } - { cauchy := b }
a b c p q : ℚ
⊢ p.num /. ↑p.den ≤ q.num /. ↑q.den ↔ (p.num /. ↑p.den).num * ↑(q.num /. ↑q.den).den ≤ (q.num /. ↑q.den).num * ↑(p.num /. ↑p.den).den
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
g : ι → β
a : α
⊢ Antivary (Function.const ι a) g
a b : Prop
⊢ a ∧ b ↔ ¬(¬a ∨ ¬b)
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n✝ : ℕ
s : Finset α
n : ℕ
f : ⊤ ↪g G
v' : Fin n
hv : f.toEmbedding v' ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)
w' : Fin n
hw : f.toEmbedding w' ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)
⊢ ⊤.Adj v' w' ↔ ¬v' = w'
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
g : β → γ
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ : TopologicalSpace γ
⊢ Continuous g ↔ Continuous (g ∘ f)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
Subsingleton β
f : α → β
⊢ Antitone f
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
⊢ ⇑0 = 0
E : Type u_1
X : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup X
NormedSpace ℝ X
HasContDiffBump E
n : ℕ∞
c g : X → E
f : (x : X) → ContDiffBump (c x)
hc : ContDiff ℝ n c
hr : ContDiff ℝ n fun x => (f x).rIn
hR : ContDiff ℝ n fun x => (f x).rOut
hg : ContDiff ℝ n g
⊢ ContDiff ℝ n fun x => ↑(f x) (g x)