ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
c : List ℕ
hc : c.sum ≤ Fintype.card α
klift : (n : ℕ) → n < Fintype.card α → Fin (Fintype.card α) := fun n hn => ⟨n, hn⟩
klift' : (l : List ℕ) → (∀ a ∈ l, a < Fintype.card α) → List (Fin (Fintype.card α)) := fun l hl => pmap klift l hl
hc'_lt : ∀ l ∈ c.ranges, ∀ n ∈ l, n < Fintype.card α
l : List (List (Fin (Fintype.card α))) := pmap klift' c.ranges hc'_lt
⊢ ∃ o, map length o = c ∧ (∀ s ∈ o, s.Nodup) ∧ Pairwise Disjoint o
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
F : LaxBraidedFunctor C D
G : LaxBraidedFunctor D E
X Y : C
⊢ G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ G.map (F.μ Y X) = (β_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y))).hom ≫ G.μ (F.obj Y) (F.obj X) ≫ G.map (F.μ Y X)
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Finite M
G : Type u_2
inst✝ : Group G
⊢ ↑(Nat.card (ConjClasses G)) * ↑(Nat.card G) / (↑(Nat.card G) * ↑(Nat.card G)) = ↑(Nat.card (ConjClasses G)) / ↑(Nat.card G)
α : Type u
HasSSubset α
IsIrrefl α fun x x_1 => x ⊂ x_1
a b : α
⊢ a ⊂ b → b ≠ a
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
x✝ : x ∈ univ
this : 0 < 1 + ‖x‖ ^ 2
⊢ ‖x‖ ^ 2 < 1 + ‖x‖ ^ 2
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p q : Multiset (Associates α)
hp : ∀ a ∈ p, Irreducible a
hq : ∀ a ∈ q, Irreducible a
c : Associates α
eqc : q.prod = p.prod * c
x : Associates α
hx : x ∈ p + factors c
⊢ Irreducible x
X Y Z W : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ W
cond : f ≫ g = 0
cond2 : g ≫ h = 0
⊢ g ≫ h = explicitCokernelπ f ≫ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
y : E
hy : y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
ha : ‖0‖ ≤ 1
⊢ (fun x => 0 • x) y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → Option β
⊢ (some a).bind f = f a
α : Type u_1
m m' : Multiset α
h : m ≤ m'
⊢ m.sym2 ≤ m'.sym2
M : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : UniformSpace α
inst✝⁴ : AddGroup α
inst✝³ : UniformAddGroup α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : UniformAddGroup β
x : Completion α
⊢ ∀ (a : α), (completion 0 ⋯) (↑α a) = 0 (↑α a)
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a b : R
⊢ RingQuot.add r { toQuot := Quot.mk (Rel r) a } { toQuot := Quot.mk (Rel r) b } = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a + b) }
K : Type uK
V : Type uV
Field K
AddCommGroup V
Module K V
⊢ Nonempty (V ≃ₗ[K] Module.Dual K V) ↔ FiniteDimensional K V
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (f.hom ▷ (N.X ⊗ P.X) ≫ M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ≫ coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
⊢ ‖f' x - A‖₊ ≤ δ
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
⊢ (p ^ 0).smeval x = p.smeval x ^ 0
α : Type u_1
inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddBelow t
⊢ sSup (s / t) = sSup s / sInf t
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
⊢ 0 < index (↑K₀) U
a : Int
b : Int
h : 0 < b
⊢ a < a + b
x : Int
xs : List Int
⊢ ↑(Lean.Omega.IntList.gcd (x :: xs)) ∣ ↑(Lean.Omega.IntList.gcd xs)
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : StarSubalgebra R A
h : S = ⊤
x : A
⊢ x ∈ ⊤
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ (ofFn f).length = n
n : ℤ
d : ℕ
⊢ mkRat n d = ↑n / ↑d
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z (dist w z)) z
e : F →L[ℂ] F̂ := UniformSpace.Completion.toComplL
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
x y : ℕ
⊢ x.xgcd y = (x.gcdA y, x.gcdB y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ M
⊢ mapRange ⇑f.symm ⋯ (mapRange ⇑f ⋯ x) = x
α : Type u_1
Preorder α
t₁ t₂ : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
H : Ordnode.Valid' o₁ t₁ ↑x
h : t₂.Bounded (↑x) o₂
⊢ Ordnode.Valid' o₁ t₁ o₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝⁴ : μ.IsOpenPosMeasure
s U✝ F : Set X
x : X
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : BorelSpace Z
f : X → Z
hf : Continuous f
hf_surj : Surjective f
U : Set Z
hUo : IsOpen U
hUne : U.Nonempty
⊢ (map f μ) U ≠ 0
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
AddCommGroup M₃
AddCommGroup M₄
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
x : M₁ ⊗[R] M₃
⊢ (f.tmul g) x = (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap) x
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
⊢ μH[d₂] s ≤ ↑c * μH[d₁] s
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
hfi_zero : ∀ {i : ℕ}, f (i ^ 0) = 1
⊢ (∏ x_1 ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x_1 ^ (x.lcm y).factorization x_1)) * ∏ x_1 ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x_1 ^ (x.gcd y).factorization x_1) = (∏ x_1 ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x_1 ^ x.factorization x_1)) * ∏ x ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x ^ y.factorization x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hg : DifferentiableAt ℝ g x
hne : f x ≠ g x
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun y => ‖f y - g y‖) x
α : Type u_1
β : Type u_4
PartialOrder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
x : α
⊢ gc.closureOperator.IsClosed x = (u (l x) = x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
f : X ⟶ Y
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ
⊢ (s.cofan Δ).inj A ≫ f.app Δ = s.φ f (Opposite.unop A.fst).len ≫ Y.map A.e.op
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e_3✝ : MeasureSpace.toMeasurableSpace = inst✝¹
⊢ volume = ((EuclideanSpace.basisFun ι ℝ).toBasis.map b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv.toLinearEquiv).addHaar
R : Type u_1
CommRing R
IsNoetherianRing R
LocalRing R
I : Ideal R
⊢ IsIdempotentElem I ↔ I = ⊥ ∨ I = ⊤
i : (SetTheory.PGame.nim 1).LeftMoves
⊢ SetTheory.PGame.toLeftMovesNim.symm i = ⟨0, ⋯⟩
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m✝ m' m : AddContent C
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ m (s \ t) + m (s ∩ t) - m t ≤ m (s \ t)
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
g : N → M
h : Function.LeftInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : ↥f.srange), (MulEquiv.ofLeftInverse f h).symm a = g ↑a
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n
δseq_lim : Filter.Tendsto δseq Filter.atTop (𝓝 0)
E : Set α
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ⇑(thickenedIndicator ⋯ E)) Filter.atTop (𝓝 ((closure E).indicator fun x => 1))
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ I • N
p : (x : M) → x ∈ I • N → Prop
smul : ∀ (r : R) (hr : r ∈ I) (n : M) (hn : n ∈ N), p (r • n) ⋯
add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ I • N) (y : M) (hy : y ∈ I • N), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
⊢ p x hx
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
E : Type u_4
Zero E
TopologicalSpace E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
f : ι → Ω → E
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (MeasureTheory.Filtration.limitProcess f ℱ μ)
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
AddGroup α
LinearOrderedAddCommGroup β
AddGroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α
⊢ |f x - f y| ≤ f (x - y)
ι ι' : Type u
r : ι → ι → Prop
r' : ι' → ι' → Prop
IsWellOrder ι r
IsWellOrder ι' r'
o : Ordinal.{u}
ho : Ordinal.type r = o
ho' : Ordinal.type r' = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.sup (Ordinal.familyOfBFamily' r ho f) = Ordinal.sup (Ordinal.familyOfBFamily' r' ho' f)
α : Type u
x y : Filter α
⊢ Filter.Tendsto id x y ↔ x ≤ y
M : Type u_1
AddZeroClass M
x : ↥⊤
⊢ AddSubmonoid.topEquiv x = ↑x
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
⊢ S.toSubalgebra = ⊤ ↔ S = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
self : CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
P Q : C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct P Q
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Epi S.toCycles
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
n : ℕ∞
h : ContDiff ℂ n f
⊢ ContDiff ℂ n fun x => Complex.sin (f x)
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
a b : ℤ
hb : 1 < b
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m
⊢ False
x : ℂ
n : ℕ
⊢ Complex.tan (x - ↑n * ↑Real.pi) = Complex.tan x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
⊢ [s ∈ 𝓝[>] a, s ∈ 𝓝[Set.Ioc a b] a, s ∈ 𝓝[Set.Ioo a b] a, ∃ u ∈ Set.Ioc a b, Set.Ioo a u ⊆ s,
    ∃ u ∈ Set.Ioi a, Set.Ioo a u ⊆ s].TFAE
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0
⊢ (range n \ s).card ≤ (∑ x ∈ range n \ s, k x).degree
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hf : AEFinStronglyMeasurable f μ
hg : AEFinStronglyMeasurable g μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] g
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
a b : A
f g : End R M
x : A ⊗[R] M
⊢ ((tensorProduct R A M M) ((a * b) ⊗ₜ[R] (f * g))) x = ((tensorProduct R A M M) (a ⊗ₜ[R] f) * (tensorProduct R A M M) (b ⊗ₜ[R] g)) x
α : Type u
Group α
a b c : α
⊢ b * a * b⁻¹ * (b * c * b⁻¹) = b * (a * c) * b⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : DivisionRing γ
inst✝² : Module γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
⊢ ∑' (i : β), 0 • f i = 0 • ∑' (i : β), f i
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
⊢ absNorm I = 1 ↔ I = ⊤
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : PMF α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : s ∩ p.support ⊆ t
⊢ p.toMeasure s ≤ p.toMeasure t
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
h1 : 1 ∈ T
hg : g ∈ S
this : hST.equiv.symm (⟨g, hg⟩, ⟨1, h1⟩) = g
⊢ (hST.equiv g).1 = ⟨g, hg⟩
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
x y : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ
⊢ x * y = ((GradedTensorProduct.mulHom 𝒜 ℬ) x) y
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
⊢ (∃ x ∉ H, ∀ x_1 ∉ H, x_1⁻¹ * x ∈ H) ↔ ∃ a, ∀ (b : G), b * a ∈ H ↔ b ∉ H
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ∀ {X Y : J} (f : X ⟶ Y), c.toStructuredArrow.map f = CategoryTheory.StructuredArrow.homMk f ⋯
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)
hQx : IsUnit (Q x)
hQy : IsUnit (Q y)
hP : P y ^ 2 = P x ^ 3 ∧ (3 * P x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * P y ≠ 0 ∨ W.a₁ * P x * P y ≠ 0)
hQ : Q y ^ 2 = Q x ^ 3 ∧ (3 * Q x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * Q y ≠ 0 ∨ W.a₁ * Q x * Q y ≠ 0)
⊢ ![P y ^ 2 / P x ^ 2 * (Q x ^ 2 / Q y ^ 2) * Q x, P y ^ 3 / P x ^ 3 * (Q x ^ 3 / Q y ^ 3) * Q y, 0] = P
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteColimits C
⊢ CategoryTheory.IsFiltered C
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
m : ℕ
hmn : ↑m ≤ n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ p x m = iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x
α : Type u_1
l : List α
⊢ List.map ofList l.sublists ~ powersetAux' l
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : NormedRing A
inst✝¹¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹⁰ : CompleteSpace A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : CstarRing A
inst✝⁷ : NormedRing B
inst✝⁶ : NormedAlgebra ℂ B
inst✝⁵ : CompleteSpace B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : CstarRing B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F ℂ A B
inst✝ : StarAlgHomClass F ℂ A B
φ : F
a : A
⊢ ‖φ a‖₊ ≤ ‖a‖₊
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
f g : M ≃+ N
h : ∀ (x : M), f x = g x
⊢ f = g
Fq : Type u_1
Field Fq
Fintype Fq
⊢ Polynomial.cardPowDegree 0 = 0
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
h : BddAbove s
hs : s.Nonempty
⊢ a ≤ sSup s ↔ ∀ b ∈ upperBounds s, a ≤ b
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup n R
⊢ ↑(Matrix.SpecialLinearGroup.toGL A) = ↑(Matrix.SpecialLinearGroup.toLin' A)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ IsClosed {OnePoint.infty}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f₀ f₁ : α → β
g : α → ℝ
hf₁_m : AEStronglyMeasurable f₁ μ
hf₀_i : Integrable f₀ μ
hg_i : Integrable g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f₀ a - f₁ a‖ ≤ g a
a : α
ha : ‖f₀ a - f₁ a‖ ≤ g a
⊢ ‖f₁ a‖ ≤ ‖f₀ a‖ + g a
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
n : ℤ
⊢ Commute a (a ^ n)
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.coeff n ≠ 0
⊢ p.coeff n ∈ p.coeffs
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
t : Set ↑s
ht : t.Nonempty
h_bdd : BddAbove t
⊢ sSup (Subtype.val '' t) ∈ s
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_3
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : X →ᵇ E
⊢ Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
a b c : ℤ
h : Fermat42.Minimal a b c
⊢ IsCoprime a b
n : ℤ
⊢ ZMod.χ₈ ↑n = ZMod.χ₈ ↑(n % 8)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ
⊢ lcs k N₁ ≤ N₂ ↔ N₁ ≤ ucs k N₂
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
⊢ (AffineMap.lineMap p₁ p₃) (1 / (1 - r)) = p₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
self : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.Epi self.L₁.g
α : Type
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
dg : Dioph.DiophFn g
⊢ Dioph {v | f v ≤ g v}
α : Sort u_1
p q : α → Prop
h : ∀ (a : α), p a → q a
⊢ (∃ a, p a) → ∃ a, q a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑∅ ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
⊢ ∅.card ≤ t.card
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u = convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s u) t
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
a : α
b : β
⊢ pure a • pure b = pure (a • b)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
φ : L.BoundedFormula α (n + 1)
con : (∀'φ).IsAtomic
⊢ False
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
this : cos (arcsin x) = √(1 - sin (arcsin x) ^ 2)
⊢ cos (arcsin x) = √(1 - x ^ 2)
X : Type u
TopologicalSpace X
self : CompletelyNormalSpace X
s t : Set X
⊢ Disjoint (closure s) t → Disjoint s (closure t) → Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝ˢ t)
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f g : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
⊢ (↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (f + g) = (↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun f + (↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun g
α : Type u_1
DecidableEq α
xs : List α
x d : α
h : xs.nextOr x d ≠ d
⊢ x ∈ xs
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategoryStruct D
F : D ⥤ C
self : CategoryTheory.Monoidal.InducingFunctorData F
X : D
Y₁ Y₂ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
⊢ F.map (X ◁ f) = (self.μIso X Y₁).inv ≫ F.obj X ◁ F.map f ≫ (self.μIso X Y₂).hom
x : ℂ
⊢ HasStrictDerivAt Complex.exp (Complex.exp x) x
p p' : Prop
q q' : p → Prop
hq : ∀ (h : p), q h ↔ q' h
hp : p ↔ p'
⊢ Exists q ↔ ∃ h, q' ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
x : M
⊢ ↑(extChartAt (I.transDiffeomorph e) x).symm = ↑(extChartAt I x).symm ∘ ⇑e.symm
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type ?u.29
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
x : X
⊢ Filter.comap (Prod.fst ∘ Subtype.val ∘ toPullbackDiag f) (𝓝 x) ⊓ Filter.comap (Prod.snd ∘ Subtype.val ∘ toPullbackDiag f) (𝓝 x) = 𝓝 x
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{vC, uC} C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{vD, uD} D
G : CategoryTheory.Functor C D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G.IsLocallyFaithful K
U V : C
f₁ f₂ : U ⟶ V
e : G.map f₁ = G.map f₂
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPushforward G (CategoryTheory.Sieve.equalizer f₁ f₂) ∈ K.sieves (G.obj U)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ
⊢ (setToFun μ T hT fun a => ∑ i ∈ s, f i a) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
⊢ IsLocallyConstant f ↔ ∀ (x : X), ∃ U, IsOpen U ∧ x ∈ U ∧ ∀ x' ∈ U, f x' = f x
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
inst✝¹ : Fintype α
s : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
b : α
H : ∃! a_1, a_1 ∈ image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ ∧ a ∈ a_1
this : choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H ∈ image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ ∧ a ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H
⊢ b ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H ↔ Setoid.r a b