ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ ¬M.StrictRestriction M
K : Type u_1
R : Type u_2
x n : ℕ
h : x.Coprime n
x' : (ZMod n)ˣ := unitOfCoprime x h
this : ↑(x' ^ φ n) = ↑1
⊢ ↑(x ^ φ n) = ↑1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ ↑↑N = ↑N
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ n₂ : ℕ
hn : ∃ c, n₂ = n₁ + c
hf0 : f ≠ 0
g₁ : F[X]
hg₁ : g₁.Separable
hgf₁ : (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
hgf₂ : (expand F (p ^ n₂)) g₂ = f
⊢ n₁ = n₂ ∧ g₁ = g₂
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
ht : t i = ∅
⊢ Set.univ.pi t = ∅
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
h : e.IsImage s t
⊢ e.symm.IsImage t s
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
n : ℕ∞
s : Set E
f : SmoothPartitionOfUnity ι 𝓘(ℝ, E) E s
x₀ : E
g : ι → E → F
hφ : ∀ (i : ι), x₀ ∈ tsupport ⇑(f i) → ContDiffAt ℝ n (g i) x₀
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x) x₀
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ ↑r⁻¹ = (↑r)⁻¹
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
s : Multiset L
hs : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
hf0 : ¬f = 0
p : L[X]
hp : Prime p
hdp : p ∣ C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).toList.prod
⊢ p.degree = 1
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F₁
E₁ : B → Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₂
E₂ : B → Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)
inst✝⁴ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁
inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁'
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂
inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂'
b : B
hb : b ∈ (e₁.prod e₂).baseSet ∩ (e₁'.prod e₂').baseSet
v₁ : F₁
v₂ : F₂
⊢ b ∈ e₁.baseSet ∩ e₁'.baseSet
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
i : LocallyConnectedSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ LocallyConnectedSpace X
α : Type u
β : Type v
Add α
AddZeroClass β
f : WithZero α →+ β
⊢ f = WithZero.lift ((↑f).comp WithZero.coeAddHom)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.68862, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
A : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} A
inst✝ : Abelian A
X : SimplicialObject A
n : ℕ
⊢ (id (ChainComplex.ofHom (fun n => underlying.obj (NormalizedMooreComplex.objX X n)) (NormalizedMooreComplex.objD X) ⋯ (fun n => X _[n]) (AlternatingFaceMapComplex.objD X) ⋯ (fun n => (NormalizedMooreComplex.objX X n).arrow) ⋯)).f n = (NormalizedMooreComplex.objX X n).arrow
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
hf : IsOpen (Function.pullbackDiagonal f)
g : A → X
cont : Continuous g
hg : Function.Injective g
⊢ IsOpen (Function.mapPullback g id g ⋯ ⋯ ⁻¹' Function.pullbackDiagonal f)
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤
iso : ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] E := { toFun := fun e => ↑e, invFun := fun e => ⟨e, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
H : IsIntegral F α
⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E
α : Type u
l : List α
a : α
n : ℕ
⊢ l.Sublist (List.replicate n a) ↔ ∃ k, k ≤ n ∧ l = List.replicate k a
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ InnerProductGeometry.angle (r • x) y = InnerProductGeometry.angle (-x) y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
w : MeasureTheory.VectorMeasure α N
h : v ⟂ᵥ w
⊢ w ⟂ᵥ v
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b a : ℝ≥0
ha : ↑a ≠ 0 ∨ ↑b ≠ ⊤
hb : ↑a ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ 0
h'a : ¬a = 0
h'b : ¬b = 0
⊢ a * b ≠ 0
R : Type u
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₂
f : R →+* S₂
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom f fun x => 0) p = f (MvPolynomial.constantCoeff p)
α : Type u_2
ι : Type u_3
Nontrivial α
⊢ Function.Injective fun x x_1 i => (x.idxFun i).getD x_1
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ DomMulAct.mkHomeomorph.toEquiv = DomMulAct.mk
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α ↪ β
a a' : α
b : β
(a' : α) → Decidable (a' = a)
(a' : α) → Decidable (f a' = b)
⊢ (f.setValue a b) a' = b ↔ a' = a
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
ι : Type u_2
α : Type u_3
TopologicalSpace α
F : ι → α → G
f : α → G
p : Filter ι
s : Set α
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ u ∈ 𝓝 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ a ∈ t, F i a - f a ∈ u
⊢ ⋃ r, Iic ↑r = univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂count = ∑' (a : α), f a
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulMono α β
h : b₁ ≤ b₂
ha : a ≤ 0
⊢ a • b₂ ≤ a • b₁
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ (algebraMap K E) (discr K ⇑pb.basis) = ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, -(((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen))
a : Int
h : a < 0
⊢ 0 < -a
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
f : β → α
⊢ OrderDual.toDual (s.inf f) = s.sup (⇑OrderDual.toDual ∘ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
⊢ ∀ (i : α), UniformContinuous fun x => toFun x i
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
⊢ H.normalizer = H ↔ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule) = ⊥
α : Type u_1
s t : Set α
x : α × α
a : α
ha : a ∉ s
⊢ (insert a s).offDiag = s.offDiag ∪ {a} ×ˢ s ∪ s ×ˢ {a}
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
i : ι
l : List ι
f : (i_1 : ι) → i_1 ∈ i :: l → α i_1
⊢ ⟦fun j h => if h : j = i then cast ⋯ (f i ⋯) else f j ⋯⟧ = ⟦f⟧
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
S : Type u_10
CommRing R
Ring S
Nontrivial S
AddCommGroup M
Algebra R S
Module S M
Module R M
IsScalarTower R S M
NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
i : ι
⊢ ↑((Basis.restrictScalars R b) i) = b i
α : Sort u
β : Sort v
f : α → β
⊢ Function.Injective (PLift.map f) ↔ Function.Injective f
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ X * W.preΨ₄ ^ 2 * W.Ψ₂Sq - (W.preΨ₄ * 1 ^ 3 * W.Ψ₂Sq ^ 2 - 1 * W.Ψ₃ ^ 3 * 1) * W.Ψ₃ * 1 = X * W.preΨ₄ ^ 2 * W.Ψ₂Sq - W.Ψ₃ * (W.preΨ₄ * W.Ψ₂Sq ^ 2 - W.Ψ₃ ^ 3)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ self.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (self.mapComp f g).hom (self.map h))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.Bicategory.associator (self.map f) (self.map g) (self.map h)).hom
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (self.map f) (self.mapComp g h).inv)
          (self.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h)).inv)))
ι : Type u_1
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} W₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₂
c : ComplexShape ι
F G H : W₁ ⥤ W₂
F.PreservesZeroMorphisms
G.PreservesZeroMorphisms
H.PreservesZeroMorphisms
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
⊢ CategoryTheory.NatTrans.mapHomologicalComplex (α ≫ β) c =
  CategoryTheory.NatTrans.mapHomologicalComplex α c ≫ CategoryTheory.NatTrans.mapHomologicalComplex β c
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
⊢ AnalyticSet s
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v : V
huv : G.Adj u v
⊢ (G.subgraphOfAdj huv).Connected
num✝¹ : Int
den✝¹ : Nat
den_nz✝¹ : den✝¹ ≠ 0
reduced✝¹ : num✝¹.natAbs.Coprime den✝¹
g₁ : Nat
zg₁ : g₁ ≠ 0
z₁ : den✝¹ * g₁ ≠ 0
e₁ : normalize (num✝¹ * ↑g₁) (den✝¹ * g₁) z₁ = { num := num✝¹, den := den✝¹, den_nz := den_nz✝¹, reduced := reduced✝¹ }
num✝ : Int
den✝ : Nat
den_nz✝ : den✝ ≠ 0
reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝
g₂ : Nat
zg₂ : g₂ ≠ 0
z₂ : den✝ * g₂ ≠ 0
e₂ : normalize (num✝ * ↑g₂) (den✝ * g₂) z₂ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }
⊢ normalize (num✝¹ * num✝ * ↑(g₁ * g₂)) (den✝¹ * den✝ * (g₁ * g₂)) ⋯ = normalize (num✝¹ * ↑g₁ * (num✝ * ↑g₂)) (den✝¹ * g₁ * (den✝ * g₂)) ⋯
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
S : AddSubmonoid M
e : M ≃+ N
⊢ S.equivMapOfInjective ↑e ⋯ = e.addSubmonoidMap S
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this : l.NeBot
hfg' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓝 x)
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) ((↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.1 n.2 - f n.1.1 x) - (↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.2 n.2 - f n.1.2 x)) < ε
A : 0 < 3 / 2
this : Gamma (3 / 2) ≤ rexp (1 / 2 * log 2 - log (3 / 2))
⊢ log 2 * 1 - 2 * log (3 / 2) < 0
ψ : Angle
x✝ : ℝ
h : (↑x✝).toReal = ψ.toReal
⊢ ↑x✝ = ψ
B : Type u
Quiver B
a b : CategoryTheory.FreeBicategory B
f : a ⟶ b
⊢ Quot.mk CategoryTheory.FreeBicategory.Rel (CategoryTheory.FreeBicategory.Hom₂.right_unitor f) =
  (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).hom
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ
⊢ (Int.bit a m).xor (Int.bit b n) = Int.bit (xor a b) (m.xor n)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
inst✝ : Algebra R S
f : A ≃ₐ[R] S
y : S
⊢ (∃ x ∈ integralClosure R A, ↑f x = y) ↔ y ∈ integralClosure R S
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
⊢ ∀ (X Y : C) (n : ℤ), Small.{w, w} ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).obj X ⟶ (shiftFunctor (DerivedCategory C) n).obj ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).obj Y))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ ↑(toDual (s.max' hs)) = ↑((image (⇑toDual) s).min' ⋯)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
a : G
b : k
⊢ 1 = single 0 1
l m r : List Char
s : Substring
h : ValidFor l m r s
n : Nat
this : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }
⊢ ValidFor (l ++ List.take n m) (List.drop n m) r { str := { data := l ++ (m ++ r) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
t : Set β
x✝ : α
y : β
h : e.IsImage s t
x : α
hx : x ∈ e.source
⊢ ↑e.symm (↑e x) ∈ s ↔ ↑e x ∈ t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.MorphComponents.id X n).a = AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
hs : s ∈ f
ht : t ∈ g
⊢ s ×ˢ t ∈ f ×ˢ g
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
MeasurableSingletonClass Ω
s : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
⊢ (ProbabilityTheory.condCount s) Set.univ = 1
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
⊢ v (x - y) ≤ max (v x) (v y)
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
U : Set ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace
hU : _root_.IsOpen U
⊢ _root_.IsOpen (⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U)
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ (s₁ ∪ s₂) \ t = s₁ \ t ∪ s₂ \ t
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x y : X
f : X → Y
h : x ~ᵢ y
hf : Continuous f
⊢ f x ~ᵢ f y
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ Disjoint s t ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ≠ b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hn : IsNilpotent f
hs : f.IsSemisimple
n : ℕ
h0 : f ^ n = 0
⊢ (aeval f) X = 0
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F
⊢ ∫ (x : E) in s, |(f' x).det|.toNNReal • (g ∘ f) x ∂μ = ∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • (g ∘ f) x ∂μ
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b p : ℤ
⊢ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) a b).hom.app K).f p = (XIsoOfEq K ⋯).hom
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
ω' : List B
hw : cs.wordProd (i :: ω') ≠ 1
h : (i :: ω').length = cs.length (cs.wordProd (i :: ω'))
h₁ : i :: ω' ≠ []
⊢ cs.IsLeftDescent (cs.wordProd (i :: ω')) i
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ (s \ t).erase a = s.erase a \ t.erase a
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
h : fract v ≠ 0
⊢ (of v).s.get? 0 = some { a := 1, b := ↑⌊(fract v)⁻¹⌋ }
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
⊢ IsPreconnected (⋂ Z, ↑Z)
α : Type u_1
Preorder α
NoBotOrder α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x > x_1) Set.univ
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
⊢ lowerClosure 1 = 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
Preorder ι
OrderBot ι
InfSet ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n : ℕ
ω : Ω
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω =
  MeasureTheory.hitting f (Set.Ici b)
    (MeasureTheory.lowerCrossingTimeAux a f (MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω) N ω) N ω
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
l : List ↥H
⊢ ↑l.prod = (List.map Subtype.val l).prod
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
α β : X.Hom Y
w : α.base = β.base
h : α.c ≫ CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.eqToHom ⋯) X.presheaf = β.c
⊢ α = β
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
Module R M₃
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
TopologicalSpace M₃
g : M₂ →L[R] M₃
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
⊢ ⇑(g.compContinuousMultilinearMap f) = ⇑g ∘ ⇑f
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
x : R₁
hx : x ≠ 0
⊢ ↑(Ideal.span {x}) / ↑(Ideal.span {x}) = 1
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
g : R[X]
pb : PowerBasis R S
h₁ : (Polynomial.aeval (AdjoinRoot.root g)) (minpoly R pb.gen) = 0
h₂ : (Polynomial.aeval pb.gen) g = 0
⊢ ⇑(AdjoinRoot.equiv' g pb h₁ h₂).symm = ⇑(pb.lift (AdjoinRoot.root g) h₁)
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit x
h1 : inverse x * y = z
⊢ y = x * z
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
s : Finset α
hp' : p ≠ 0
hp'' : 0 < p.toReal
G : ((a : α) → E a) → ℝ := fun f => ∑ a ∈ s, ‖f a‖ ^ p.toReal
hG : Continuous G
k : ι
hCFk : ‖F k‖ ≤ C
⊢ (G ∘ id fun i => ↑(F i)) k ≤ C ^ p.toReal
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
d : ℝ
d_pos : 0 < d
hd : Euclidean.closedBall x d ⊆ s
c : ContDiffBump (toEuclidean x) := { rIn := d / 2, rOut := d, rIn_pos := ⋯, rIn_lt_rOut := ⋯ }
f : E → ℝ := ↑c ∘ ⇑toEuclidean
f_supp : support f ⊆ Euclidean.ball x d
f_tsupp : tsupport f ⊆ Euclidean.closedBall x d
⊢ ∃ f, tsupport f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ f x = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
hs : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
W : C
k : Y ⟶ W
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g k
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.π (CategoryTheory.Limits.Cofork.IsColimit.desc hs k h) = k
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ : List M
x : M
xs : List M
y : M
ys : List M
⊢ x * xs.prod * (y * ys.prod) = x * y * (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
s : Finset α
⊢ (Finset.map f s).val = Multiset.map (⇑f) s.val
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V × V
hx1 : x.1 ≠ 0
hx2 : x.2 ≠ 0
⊢ (o.kahler x.1) x.2 ≠ 0
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hvx : 1 < v x
hpx : v (x ^ p.natDegree) = v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i))
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range p.natDegree
hvpi : v ((algebraMap O R) (p.coeff i)) = 1
⊢ v ((algebraMap O R) (p.coeff i)) * v x ^ i < 1 * v x ^ p.natDegree
α : Type u
m : ℕ
x : α
u : Fin m → α
⊢ Matrix.vecTail (Matrix.vecCons x u) = u
α : Type u_1
a b : Topology.WithScott α
⊢ Topology.WithScott.ofScott a = Topology.WithScott.ofScott b ↔ a = b
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α
h0 : 0 < Fintype.card α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
n : ℕ
hn : n ∣ Fintype.card α
⊢ Subgroup.zpowers (g ^ n) = ⊤ → n = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F F' : 𝕜 → ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
⊢ IntegrableOn (F' x₀) (Ι a b) μ ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
⊢ LinearMap.ker (p.linearProjOfIsCompl q h) = q
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
⊢ 𝓝 x = (𝓤 α).lift' fun s => {y | (y, x) ∈ s}
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
⊢ Continuous (stereoInvFun hv)
F : Type u_1
K₁ : Type u_3
Field F
Field K₁
Algebra F K₁
E : Type u_6
Field E
Algebra F E
Algebra K₁ E
IsScalarTower F K₁ E
Normal F K₁
h1 : IsSolvable (K₁ ≃ₐ[F] K₁)
h2 : IsSolvable (E ≃ₐ[K₁] E)
⊢ IsSolvable (E ≃ₐ[F] E)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n m : ℕ
hpos : 0 < n
hdiff : m ≠ n
hm : m ∈ n.properDivisors
⊢ X ^ m - 1 ∣ (∏ x ∈ n.properDivisors \ m.divisors, cyclotomic x R) * (X ^ m - 1)
α : Type u
AddCommGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ a - d < b - c → a < b ∨ c < d
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : G < 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
v : α →₀ M
c : R
h : α → M →ₗ[R] M₂
⊢ ∀ (i : α), (h i) 0 = 0
Ω : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝ : TopologicalSpace Ω
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f = μ.mass⁻¹ * μ.testAgainstNN f
n : ℕ
⊢ List.Pairwise (fun x x_1 => x ≤ x_1) (List.finRange n)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
H : p ≠ 0
⊢ p.coeff p.natDegree ≠ 0
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pb : PowerBasis R S
I : Ideal R
x : R
⊢ Ideal.map (of (minpoly R pb.gen)) I = Ideal.map (↑(equiv' (minpoly R pb.gen) pb ⋯ ⋯).symm.toRingEquiv) (Ideal.map (algebraMap R S) I)
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if p i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * p i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
hs' : s ≠ 0
a' : ι → ℂ := fun i => if p i = 0 then 0 else a i
⊢ HasSum (fun i => ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s) (mellin F s)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
⊢ Sieve.pullback f (J₁.close S) ≤ J₁.close (Sieve.pullback f S)
α : Type u_1
G : Type u_6
AddGroup G
s t : Set α
h : s ⊆ t
f : α → G
⊢ (t \ s).indicator f = t.indicator f - s.indicator f
α : Type u_1
Ixx : α → α → Set α
l₁ : Filter α
l₂ : outParam (Filter α)
self : Filter.TendstoIxxClass Ixx l₁ l₂
⊢ Filter.Tendsto (fun p => Ixx p.1 p.2) (l₁ ×ˢ l₁) (Filter.smallSets l₂)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r
⊢ Seminorm.closedBall 0 x r = Set.univ
a b : EReal
h : ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (a, b)
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (a, -b)