ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
ι : Sort u_3
s : ι → Set X
P : X → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (⋃ i, s i), P x) ↔ ∀ (i : ι), ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (s i), P x
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ : ℕ
T : L.Theory
n : ℕ
⊢ (∃ xs, (List.foldr (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ (List.map (fun ij => ∼((var ∘ Sum.inr) ij.1 =' (var ∘ Sum.inr) ij.2)) (List.filter (fun ij => decide (ij.1 ≠ ij.2)) (List.finRange n ×ˢ List.finRange n)))).Realize default xs) ↔ Nonempty (Fin n ↪ M)
α : Type u_1
p : Multiset α → Sort u_3
s : Multiset α
n : ℕ
H : (t₁ : Multiset α) → ({t₂ : Multiset α} → Multiset.card t₂ ≤ n → t₁ < t₂ → p t₂) → Multiset.card t₁ ≤ n → p t₁
⊢ (fun a => s.strongDownwardInductionOn H a) = H s fun {t} ht _h => t.strongDownwardInductionOn H ht
X : TopCat
T : Type u
⊢ (X.presheafToType T).IsSheaf
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
w : Set ℝ≥0∞
w_count : w.Countable
w_dense : Dense w
left✝ : 0 ∉ w
w_top : ⊤ ∉ w
I : ∀ x ∈ w, x ≠ ⊤
A : ∀ c ∈ w, ∀ d ∈ w, c < d → ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬((∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a / μ a < c) ∧ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, d < ρ a / μ a)
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ c ∈ w, ∀ d ∈ w, c < d → ¬((∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a / μ a < c) ∧ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, d < ρ a / μ a)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
⊢ f.coprod 0 = f ∘ₗ LinearMap.fst R M M₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
x : R
n : ℕ
hx : (x - x ^ 2) ^ n = 0
P : Polynomial ℤ := 1 - (1 - Polynomial.X ^ n) ^ n
this : (Polynomial.X - Polynomial.X ^ 2) ^ n ∣ P - P ^ 2
⊢ IsIdempotentElem (1 - (1 - x ^ n) ^ n)
𝕜 : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
E : Type u_2
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
K : ProperCone 𝕜 E
⊢ IsClosed ↑K
n : Type u_3
R : Type u_6
Fintype n
ι : Type u_8
Unique ι
NonUnitalNonAssocSemiring R
a b : n → R
⊢ (Matrix.col ι a * Matrix.row ι b).trace = a ⬝ᵥ b
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
h : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p /ₘ q).leadingCoeff = p.leadingCoeff
x : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (↑m / x)
⊢ Irrational x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → F
x v : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ lineDeriv 𝕜 f x v = (fderiv 𝕜 f x) v
⊢ Disjoint (residual ℝ) (MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume)
w : Nat
x : BitVec w
i : Nat
⊢ (x.shiftLeftZeroExtend i).msb = x.msb
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
f : α → ℝ
K : ℝ≥0
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x ≤ f y + ↑K * dist x y
⊢ LipschitzOnWith K f s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Ioo a b)
⊢ Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝[>] a) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[>] a)
α : Type u
p : α → Prop
⊢ (∀ (x : (CategoryTheory.forget (Type u)).obj α), p x) ↔ ∀ (x : α), p x
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
a : α
s : Multiset α
h : a ∈ s
⊢ f a ∈ Multiset.map f s
α : Type u
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : Set.MapsTo f s s
⊢ Set.SurjOn f s s ↔ Set.BijOn f s s
M : Type u_1
CommMonoid M
ζ : M
n a b : ℕ
hn : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
hprod : n = a * b
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ a) b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l✝ : List α
a✝ m a : α
l : List α
⊢ [a].maximum = max ↑a [].maximum
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M
⊢ (e.map f).orientation = -e.orientation ↔ LinearMap.det ↑f < 0
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
hg : MeasureTheory.Integrable g MeasureTheory.volume
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => g (R * x)) MeasureTheory.volume
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
j : CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape J
⊢ (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape.wideCospan B objs arrows).obj j = Option.casesOn j B objs
a b c : Int
H : b ≠ 0
H' : b ∣ a
⊢ a.div b = c ↔ a = c * b
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
s : Set (α → Prop)
a : α
⊢ ⨆ f, ↑f a ↔ ∃ r ∈ s, r a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : HasShift D ℤ
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : HasZeroObject D
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : Preadditive D
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : F.IsTriangulated
inst✝¹ : (F.mapComposableArrows 2).EssSurj
inst✝ : IsTriangulated C
Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D
u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂
u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃
u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
α : ComposableArrows C 2
e : (F.mapComposableArrows 2).obj α ≅ ComposableArrows.mk₂ u₁₂ u₂₃
⊢ Nonempty (Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃)
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ Filter.Tendsto (fun p => (p.1.2, p.2.2)) (𝓤 (α × β)) (𝓤 β)
G : Type u
Monoid G
hG : Monoid.exponent G = 2
x : G
⊢ orderOf x = 2 ↔ x ≠ 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ μ' : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
hμ : μ ≪ μ'
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
f' : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ')
h : ↑↑↑f =ᵐ[μ] ↑↑↑f'
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f = MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f'
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ = -Polynomial.evalEval x₁ y₁ W.polynomialX / Polynomial.evalEval x₁ y₁ W.polynomialY
X₁ X₂ Y : TopCat
f : C(↑X₁, ↑Y)
g : C(↑X₂, ↑Y)
x₀ x₁ : ↑X₁
x₂ x₃ : ↑X₂
p : Path x₀ x₁
q : Path x₂ x₃
hfg : ∀ (t : ↑I), f (p t) = g (q t)
⊢ (π.map f).map ⟦p⟧ = hcast ⋯ ≫ (π.map g).map ⟦q⟧ ≫ hcast ⋯
α : Type u_1
Monoid α
p q : α
pp : Irreducible p
qp : Irreducible q
⊢ p ∣ q ↔ p ~ᵤ q
n : ℕ
e : Equiv.Perm (Fin (n + 1))
p : Fin (n + 2)
⊢ (Equiv.Perm.decomposeFin.symm (p, e)) 1 = (Equiv.swap 0 p) (e 0).succ
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
OrderedCommMonoid β
f : α → β
h_one : f 1 = 1
h_mul : ∀ (a b : α), f (a * b) ≤ f a * f b
s : Multiset α
⊢ f s.prod ≤ (Multiset.map f s).prod
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f g : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : f x ≠ 0
hg : g x ≠ 0
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hdg : DifferentiableAt 𝕜 g x
⊢ logDeriv (fun z => f z * g z) x = logDeriv f x + logDeriv g x
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{?u.61156, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : HasShift E M
X Y Z T : C
a b c : M
f : ShiftedHom X Y a
g : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
F : C ⥤ D
inst✝ : F.CommShift M
⊢ F.map f ≫ F.map ((shiftFunctor C a).map g) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd' C b a c h).inv.app Z) ≫ (F.commShiftIso c).hom.app Z = F.map f ≫ (shiftFunctor C a ⋙ F).map g ≫ (F.commShiftIso a).hom.app ((shiftFunctor C b).obj Z) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (F.obj Z)
G : Type u_1
Group G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
⊢ BddAbove s⁻¹ ↔ BddBelow s
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
n : ℕ
x : α
⊢ dist (birkhoffAverage 𝕜 f g n (f x)) (birkhoffAverage 𝕜 f g n x) = dist (g (f^[n] x)) (g x) / ↑n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
this : q * r = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0
hr' : r.num /. ↑r.den ≠ 0
hp' : _root_.Prime ↑p
⊢ padicValRat p (q * r) = padicValRat p q + padicValRat p r
R : Type u_1
MonoidWithZero R
Nontrivial R
⊢ nilpotencyClass 0 = 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace α
S : Set ι
⊢ generateFrom (piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) S) ≤ ⨆ i ∈ S, m i
V : Type u
⊢ SimpleGraph.fromEdgeSet ∅ = ⊥
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
K : ℝ≥0
hf : LipschitzWith K ⇑f
⊢ ‖f‖₊ ≤ K
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α n
⊢ v.reverse.toList = v.toList.reverse
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
MulZeroOneClass α
Nontrivial α
⊢ ⋯.toGraph = G
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : f.Disjoint g
⊢ (f * g).cycleFactorsFinset = f.cycleFactorsFinset ∪ g.cycleFactorsFinset
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : ℝ
f : ℕ → ℕ
hm : 1 < m
fi : ∀ (i : ℕ), i ≤ f i
⊢ Summable fun i => 1 / m ^ f i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
⊢ (TransGen fun x x_1 => x ⩿ x_1) = ReflTransGen fun x x_1 => x ⋖ x_1
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : P →ᴬ[R] Q
h₁ : f.contLinear = 0 ↔ f.linear = 0
h₂ : ∀ (q : Q), f = const R P q ↔ f.toAffineMap = AffineMap.const R P q
⊢ f.linear = 0 ↔ ∃ q, f.toAffineMap = AffineMap.const R P q
α : Sort u_1
hα : Nonempty α
o : Ordinal.{u_2}
f : α → Ordinal.{u_2}
H : ∀ ⦃a : Ordinal.{u_2}⦄, a < o → ∃ i, a < f i
b a : Ordinal.{u_2}
h : a < b + o
⊢ ∃ i, a < b + f i
R : Type u_5
Ring R
Finite R
a : R
⊢ IsUnit a ↔ a ∈ R⁰
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ
h : (closedBall x r ∩ closedBall y r).Nonempty
⊢ closedBall x r = closedBall y r
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
k : ℕ
hk : a ^ k ∣ b
hsucc : ¬a ^ (k + 1) ∣ b
⊢ ↑k = multiplicity a b
α : Type u_5
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
PseudoEMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → E
⊢ LipschitzWith K (-f) ↔ LipschitzWith K f
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
surj : Function.Surjective ⇑f
⊢ QuotientMap ⇑f
num : Int
den : Nat
⊢ num /. ↑den = mkRat num den
R : Type x
NonUnitalNonAssocRing R
a x y x' y' : R
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'
⊢ SemiconjBy a (x - x') (y - y')
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝ : CommMonoid α
S : Multiset (Multiset α)
⊢ S.join.prod = (map prod S).prod
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
⊢ Epi (imageToKernel S.f S.g ⋯) ↔ IsIso (imageToKernel S.f S.g ⋯)
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
f : R ≃+* S
x x' : R
⊢ x = x' → f x = f x'
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
p : β → Prop
hp : MeasurableSet {x | p x}
⊢ (∀ᵐ (y : β) ∂MeasureTheory.Measure.map f μ, p y) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
n : ℕ
⊢ a ≡ b [PMOD p] → n • a ≡ n • b [PMOD n • p]
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
⊢ W'.Equation P ↔ P y ^ 2 = P x ^ 3
m n : Nat
motive : Fin (m + n) → Sort u_1
left : (i : Fin m) → motive (Fin.castAdd n i)
right : (i : Fin n) → motive (Fin.natAdd m i)
i : Fin m
⊢ Fin.addCases left right (Fin.castAdd n i) = left i
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset (Option α)
⊢ Finset.eraseNone s = s.biUnion Option.toFinset
a : Ordinal.{u_1}
⊢ a ⨳ 0 = 0
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
f g : α → G₀
TopologicalSpace α
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
h₀ : ∀ x ∈ s, g x ≠ 0
⊢ ContinuousOn (f / g) s
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → Subgroup G
hs : ∀ i ∈ s, (f i).FiniteIndex
⊢ (⨅ i ∈ s, f i).FiniteIndex
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ∀ x ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc 0 1) x
bound : ∀ x ∈ Ico 0 1, ‖f' x‖ ≤ C
⊢ ‖f 1 - f 0‖ ≤ C
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hg : 0 < g
hf : ∀ i ∈ s, v (f i) < g
⊢ v (∑ i ∈ s, f i) < g
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x y : E
h : SameRay ℝ x y
⊢ ‖x‖ • y = ‖y‖ • x
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
c : Con M
d : Con N
C : c.Quotient → d.Quotient → Prop
p : c.Quotient
q : d.Quotient
H : ∀ (x : M) (y : N), C ↑x ↑y
⊢ C p q
x y : EReal
h : x < y
z : ℝ
⊢ ↑z + x < ↑z + y
R : Type u_1
CommRing R
m : Type u_3
n : Type u_4
DecidableEq m
DecidableEq n
Fintype m
Fintype n
e : n ≃ m
M : Matrix n n R
⊢ ((Matrix.reindex e e) M).charpoly = M.charpoly
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
CompleteSpace α
f : β → α
⊢ Summable f ↔ CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
μ ν : Measure Ω
h_le : ε₁ ≤ ε₂
B : Set Ω
hε₁ : μ B ≤ ν (thickening ε₁.toReal B) + ε₁
ε_top : ¬ε₂ = ⊤
⊢ ν (thickening ε₁.toReal B) ≤ ν (thickening ε₂.toReal B)
α : Type u
β : Type v
⊢ ∀ {l : List (Computation α)} {S : WSeq (Computation α)} {c : Computation α}, c ∈ l → c.Terminates → (corec parallel.aux1 (l, S)).Terminates
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
⊢ ∃ ns, StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
a b : ZNum
⊢ a ≤ b → ∀ (c : ZNum), c + a ≤ c + b
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
f : α → γ
g : β → δ
⊢ Function.Bijective (Sum.map f g) ↔ Function.Bijective f ∧ Function.Bijective g
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : ¬a = ⊤
hb : b = ⊤
⊢ (a + b).toReal ≤ a.toReal + b.toReal
b x : Bool
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (x :: l)
h2 : l.length % 2 = 1
⊢ count (!x) (x :: l) = count x (x :: l)
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
i : K →+* L
f : K[X]
⊢ Polynomial.Splits (RingHom.id K) f → Polynomial.Splits i f
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
h : ⋯.order = ⊤
⊢ WithTop.map (fun x => ↑x) ⋯.order - ↑(Exists.choose hf) = ⊤ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = 0
α : Type u
Inf α
a b : ULift.{u_1, u} α
⊢ (a ⊓ b).down = a.down ⊓ b.down
ι : Type u_1
G : Type u_3
H : Type u_4
Group G
Group H
b : FreeGroupBasis ι G
f g : G →* H
h : ∀ (i : ι), f (b i) = g (b i)
⊢ f = g
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
⊢ ∀ (p : Submodule R M), p ≤ Submodule.comap (f - (algebraMap R (End R M)) μ) p ↔ p ≤ Submodule.comap f p
a b : ℝ
⊢ EMetric.diam (Set.Icc a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
⊢ ⇑⊥ = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ G
∀ (X : C), CategoryTheory.Mono (α.app X)
⊢ CategoryTheory.Mono α
p : ℝ
⊢ (deriv fun z => z ^ p * (1 + AkraBazziRecurrence.smoothingFn z)) =ᶠ[Filter.atTop] fun z =>
  p * z ^ (p - 1) * (1 + AkraBazziRecurrence.smoothingFn z) - z ^ (p - 1) / Real.log z ^ 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
y : F
x : E
hg : AnalyticAt 𝕜 g (f x)
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
hy : f x = y
⊢ AnalyticAt 𝕜 (g ∘ f) x
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K✝ : Type u
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K✝ L
inst✝ : FiniteDimensional F E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
K : IntermediateField F E
g : E[X] := Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)
K' : IntermediateField F E := adjoin F ↑g.coeffs
hsub : K' ≤ K
dvd_g : minpoly (↥K') α ∣ g.toSubring K'.toSubring ⋯
finrank_eq : ∀ (K : IntermediateField F E), finrank (↥K) E = (minpoly (↥K) α).natDegree
⊢ K' = K
α : Type u
P : Prop
Decidable P
a b : α
⊢ P ∧ (if P then a else b) = a ∨ ¬P ∧ (if P then a else b) = b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C E
F.Faithful
G : CategoryTheory.Functor D E
G.Faithful
obj : C → D
h_obj : ∀ (X : C), G.obj (obj X) = F.obj X
map : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)
h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq (G.map (map f)) (F.map f)
⊢ (CategoryTheory.Functor.Faithful.div F G obj h_obj map h_map).Faithful
α : Type u_1
l l₁ l₂ : List α
h : (l₁, l₂) ∈ l.sublists'.revzip
⊢ (↑l₁, ↑l₂).1 + (↑l₁, ↑l₂).2 = ↑l
G : Type u
Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g : (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (Action.leftRegular G) { V := X.V, ρ := 1 }).V
⊢ (Action.leftRegularTensorIso G X).inv.hom g = (g.1, X.ρ g.1 g.2)
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Finite ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
⊢ (fun i => ((toMatrix b₁ b₁) id).toMvPolynomial i) = X
X : TopCat
⊢ EqualizerCondition (yonedaPresheaf LightProfinite.toTopCat ↑X)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
x y : M
hsrc : x ∈ (chartAt H y).source
this : MDifferentiableAt I I (↑(ChartedSpace.chartAt y)) x
⊢ mfderiv I I (↑(chartAt H y)) x = tangentCoordChange I x y x
n✝ n b e : ℕ
h_b_pos : 0 < b
⊢ n < b ^ e * b → n / b < b ^ e
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α : TypeVec.{u} m
x : ↑P fun i => ↑(Q i) α
⊢ MvPFunctor.comp.get (MvPFunctor.comp.mk x) = x
α : Type u_1
f : Filter α
s : Set α
⊢ s ∉ f ↔ (f ⊓ 𝓟 sᶜ).NeBot
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
⊢ J ∈ ⊤ ↔ J = I
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
g : β → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (y : β), g y ≤ ∑' (x : α), g (f x)
p q : ℚ≥0
⊢ p < q ↔ p.num * q.den < q.num * p.den
α : Type u
l l' : List α
d : α
n : ℕ
h : l.length ≤ n
⊢ (l ++ l').getD n d = l'.getD (n - l.length) d
A : Type u_1
A' : Type u_2
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} B'
eA : A ≌ A'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
X : B'
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₁CounitIso hF).hom.app X =
  hF.inv.app (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj X)) ≫
    e'.functor.map (eA.counitIso.hom.app (e'.inverse.obj X)) ≫ e'.counitIso.hom.app X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₀ : T.mor₃ = 0
inr : T.obj₃ ⟶ T.obj₂
inr_snd : inr ≫ T.mor₂ = 𝟙 T.obj₃
fst : T.obj₂ ⟶ T.obj₁
total : fst ≫ T.mor₁ + T.mor₂ ≫ inr = 𝟙 T.obj₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.binaryBiproductData T hT hT₀ inr inr_snd fst total).bicone.inr = inr
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s₁ s₂ : Stream' α
⊢ s₂.tail.get n = s₂.get n.succ
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
A s : Set M
h : A ⊆ ↑S
⊢ (closure (L[[↑A]])).toFun s = ((closure L).toFun (A ∪ s)).withConstants ⋯
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ a / c * (c / b) = a / b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
A : C
f g : HomologicalComplex.homotopyCofiber.X φ i ⟶ A
h : HomologicalComplex.homotopyCofiber.inrX φ i ≫ f = HomologicalComplex.homotopyCofiber.inrX φ i ≫ g
⊢ f = g
d : ℤ
⊢ Zsqrtd.sqrtd * Zsqrtd.sqrtd = ↑d
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ IsIso f ↔ Function.Bijective ((forget C).map f)
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
⊢ (LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x) ↔ ∀ l ∈ Finsupp.supported R R s, (Finsupp.total M M R id) l = 0 → l = 0
α : Type u_1
Ω : Type u_2
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
ρ : MeasureTheory.Measure (α × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int : MeasureTheory.Integrable f ρ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂ρ.condKernel x) ρ.fst
X Y : RingCat
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget RingCat).map f = ⇑f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
⊢ HomologicalComplex.homologyMap 0 i = 0