ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : DifferentiableOn ℝ f s
⊢ (derivWithin f s '' s).OrdConnected
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
p : Submodule R M₂
h : ∀ (v : (i : ι) → M₁ i), f v ∈ p
⊢ p.subtype.compMultilinearMap (f.codRestrict p h) = f
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
H : ¬(s ∩ ⋂ x, Iic ↑x).Nonempty
⊢ False
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
s : Set E
hs : IsOpen s
C : ℝ
Cpos : C > 0
hC : ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
y : F
x : E
xs : x ∈ s
fxy : f x = y
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ s
z : F
hz : z ∈ ball y (ε / C)
w : E
wim : f w = z - y
wnorm : ‖w‖ ≤ C * ‖z - y‖
⊢ z ∈ ⇑f '' s
x y z : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
A B : AddGrp
f : A ⟶ B
⊢ Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor P ⊤
α β : Type u
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i ≤ g i
i : ι
this : f i ≤ g i
⊢ Nonempty (Quotient.out (f i) ↪ Quotient.out (g ((Embedding.refl ι) i)))
K : Type u_1
RCLike K
α : Type u_3
M : Type u_4
Zero M
f : α →₀ M
g : α → M → ℝ
⊢ ↑(f.sum fun a b => g a b) = f.sum fun a b => ↑(g a b)
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
⊢ (spectrum K f).Finite
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommRing R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
⊢ cfcₙ (fun x => -f x) a = -cfcₙ f a
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
h₁ : IsClosed s
h₂ : IsOpen t
⊢ IsClosed (s \ t)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ : HomologicalComplex V c
f : C₁.Hom C₂
i : ι
⊢ (f.sqFrom i).right = f.next i
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! - (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) * I / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)
⊢ HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / I) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)
c : ℂ
⊢ CliffordAlgebraComplex.toComplex (CliffordAlgebraComplex.ofComplex c) = c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : M
hxf : x ∈ f.source
⊢ ↑(f.extend I).symm (↑(f.extend I) x) = x
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
A : NonUnitalSubring R
⊢ A = ⊤ ↔ ∀ (x : R), x ∈ A
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ι), aeSeq hf p i a = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ a
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : S.LocalizationMap P
x : N
⊢ (f.addEquivOfLocalizations k) x = (f.lift ⋯) x
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ (p + q) x = p x + q x
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
c : Set (Lifts F E K)
hc✝ : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
t : ↑(insert ⊥ c) → IntermediateField F E := fun i => (↑i).carrier
t' : ↑(insert ⊥ c) → Subalgebra F E := fun i => (t i).toSubalgebra
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (insert ⊥ c)
⊢ ∃ ub, ∀ a ∈ c, a ≤ ub
R : Type u_1
K : Type u_2
Semiring R
CommSemiring K
i : R →+* K
b : R
bi : K
N : ℕ
a : R
bu : bi * i b = 1
⊢ DenomsClearable a b N 0 i
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
U : Submodule R M
⊢ U.dualAnnihilator.dualCoannihilator.dualAnnihilator = U.dualAnnihilator
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ
⊢ x = f x
a : outParam ℝ
outer : Filter ℝ
inner : outParam (Filter ℝ)
self : intervalIntegral.FTCFilter a outer inner
⊢ inner ≤ 𝓝 a
α : Type u_1
as : List α
i : Nat
⊢ as = [] → List.take i as = []
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
s : Set V
t : Set P
hs : IsClosed s
ht : IsCompact t
u : ℕ → P
p : P
husv : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s +ᵥ t
hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)
⊢ p ∈ s +ᵥ t
M : Type u_5
CancelCommMonoidWithZero M
Unique Mˣ
p q : M
pp : Prime p
qp : Prime q
⊢ p ∣ q ↔ p = q
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
⊢ (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖∫ (y : β), ↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y) ∂ν‖₊ ∂μ) ≤ ?m.114467
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.N₁Γ₀.app K =
  (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.symm ≪≫
    (CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).mapIso (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀NondegComplexIso K)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] b) l
hdnf : ∀ x ∈ -Ioo a b, HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ -Ioo a b, HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] b) l
α : Type u_1
LinearOrder α
AddGroup α
a : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a⁻ = if a ≤ 0 then -a else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
⊢ Tendsto (fun a => ↑(↑a)⁻¹) atTop (𝓝 ↑0)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
x : ι → 𝕜
i : ι
y : 𝕜
⊢ deriv (Function.update x i) y = Pi.single i 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Subobject.underlyingIso f).inv
    (CategoryTheory.Subobject.mk f).arrow =
  f
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
this : I₁ = fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T
⊢ Tendsto I₁ atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
⊢ Disjoint (range (inl R M M₂)) (range (inr R M M₂))
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
F : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
⊢ (FreeAlgebra.lift R).symm F = ⇑F ∘ FreeAlgebra.ι R
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hn : cornersTheoremBound (ε / 9) ≤ n
A : Finset (ℕ × ℕ)
hAn : ↑A ⊆ ↑(range n) ×ˢ ↑(range n)
hAε : ε * ↑n ^ 2 ≤ ↑A.card
hA : IsCornerFree ↑A
⊢ False
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Module R (Additive ℤˣ)
u : ℤˣ
n : ℕ
⊢ Additive.toMul (↑n • Additive.ofMul u) = u ^ n
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' t x v
hst : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ContinuousWithinAt (fun t => x + t • v) ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s) 0
α : Type u_1
Group α
n : ℕ
hn : (Nat.card α).Coprime n
a : α
⊢ (a ^ n) ^ (↑n)⁻¹.val = a
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
ι₁ : Sort u_9
ι₂ : Sort u_10
κ₁ : ι₁ → Sort u_11
κ₂ : ι₂ → Sort u_12
f : (i₁ : ι₁) → κ₁ i₁ → (i₂ : ι₂) → κ₂ i₂ → α
⊢ ⨅ i₁, ⨅ j₁, ⨅ i₂, ⨅ j₂, f i₁ j₁ i₂ j₂ = ⨅ i₂, ⨅ j₂, ⨅ i₁, ⨅ j₁, f i₁ j₁ i₂ j₂
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
Mul α
Mul β
LE β
FunLike F α β
self : SubmultiplicativeHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (a * b) ≤ f a * f b
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSingletonClass (MeasureTheory.NullMeasurableSpace α μ)
s : Finset α
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (↑s) μ
a b : ℤ
⊢ a < b ↔ ↑a < ↑b
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Submodule.span A (Set.range fun x => (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Finsupp.single x.1 1) + (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Finsupp.single x.2 1) - (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Finsupp.single (x.1 + x.2) 1)) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Finsupp.single x.2 x.1) + (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Finsupp.single x.1 x.2) - (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Finsupp.single (x.1 * x.2) 1)) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1)) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1) = Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single x.1 1 + Finsupp.single x.2 1 - Finsupp.single (x.1 + x.2) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single x.2 x.1 + Finsupp.single x.1 x.2 - Finsupp.single (x.1 * x.2) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1)
α : Type u
AddGroup α
⊢ IsCyclic (Multiplicative α) ↔ IsAddCyclic α
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : Preregular C
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
inst✝ : PreservesFiniteProducts G
U✝ : C
y : (forget (Type w)).obj (G.obj (op U✝))
α : Type
w✝ : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ U✝
h : EffectiveEpiFamily Z π
h' : ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f y).arrows (π a)
x : (a : α) → F.obj (op (Z a)) := fun a => Exists.choose ⋯
x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α
i' : ((a : α) → F.obj (op (Z a))) ≅ F.obj (op (∐ Z)) := (Types.productIso fun a => F.obj (op (Z a))).symm ≪≫ (PreservesProduct.iso F fun a => op (Z a)).symm ≪≫ F.mapIso (opCoproductIsoProduct Z).symm
this✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete α)ᵒᵖ G
a : α
this : f.app (op (Z a)) (x a) = G.map (π a).op y
⊢ (f.app (op (Z a))) ((F.map (Sigma.ι Z a).op) (F.map (opCoproductIsoProduct Z).inv ((PreservesProduct.iso F fun a => op (Z a)).inv ((Types.productIso fun a => F.obj (op (Z a))).inv x)))) = (G.map (Sigma.ι Z a).op) ((G.map (Sigma.desc π).op) y)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
⊢ (∃ x, span R {(Submodule.subtype (maximalIdeal R)) x} = maximalIdeal R) ↔ ∃ a, span R {a} = maximalIdeal R
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
Field F
Field E
Field K
Algebra F E
Algebra F K
x : IntermediateField.Lifts F E K
s : E
h1 : IsIntegral (↥x.carrier) s
h2 : Polynomial.Splits x.emb.toRingHom (minpoly (↥x.carrier) s)
⊢ ∃ y, x ≤ y ∧ s ∈ y.carrier
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this : ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ∫ (s : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 s ∂μ = ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F p.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)
a b : Ordinal.{u}
hb : 0 < b
hba : b ≤ a ^ ω
ha : 0 < a
⊢ nfp (fun x => a * x) b ≤ a ^ ω
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α
φ : α → β
hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)
h : u =ᶠ[l] φ * v
⊢ ∃ φ, ∃ (_ : Tendsto φ l (𝓝 1⁻¹)), (fun x => (u x)⁻¹) =ᶠ[l] φ * fun x => (v x)⁻¹
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ Set.range ⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.fst g f ≫ g).val.base = Set.range ⇑g.val.base ∩ Set.range ⇑f.val.base
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
this : φ (f + g).toNNReal + φ (-f).toNNReal + φ (-g).toNNReal = φ (-(f + g)).toNNReal + φ f.toNNReal + φ g.toNNReal
⊢ φ (f + g).toNNReal - φ (-(f + g)).toNNReal = φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal + (φ g.toNNReal - φ (-g).toNNReal)
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
a b : ℤ√d
this : (↑a.re + ↑a.im * ↑r) * (↑b.re + ↑b.im * ↑r) = ↑a.re * ↑b.re + (↑a.re * ↑b.im + ↑a.im * ↑b.re) * ↑r + ↑a.im * ↑b.im * (↑r * ↑r)
⊢ ↑a.re * ↑b.re + ↑d * ↑a.im * ↑b.im + (↑a.re * ↑b.im + ↑a.im * ↑b.re) * ↑r = ↑a.re * ↑b.re + (↑a.re * ↑b.im + ↑a.im * ↑b.re) * ↑r + ↑a.im * ↑b.im * ↑d
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
⊢ Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s) = Sigma.map f g ⁻¹' (Sigma.mk (f i) '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
f : ι → Filter α
g : Set α → Set β
hg : ∀ {s t : Set α}, g (s ∩ t) = g s ∩ g t
hg' : g univ = univ
s t : Set α
⊢ (𝓟 ∘ g) (s ∩ t) = (𝓟 ∘ g) s ⊓ (𝓟 ∘ g) t
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
h : IsClosed s
⊢ x ∈ s ↔ infEdist x s = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ frontier (Metric.closedBall x r) = Metric.sphere x r
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
γ : c ⟶ c
⊢ (CategoryTheory.Groupoid.vertexGroupIsomOfMap f) γ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Groupoid.inv f) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp γ f)
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
⊢ DirectSum.Decomposition.decompose' = fun φ =>
  (DirectSum.mk (fun i => ↥(MvPolynomial.homogeneousSubmodule σ R i)) (Finset.image Finsupp.degree φ.support)) fun m =>
    ⟨(MvPolynomial.homogeneousComponent ↑m) φ, ⋯⟩
n : ℤ
hn : n.natAbs ≠ 1
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
pd : p ∣ n.natAbs
⊢ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ n
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g✝ : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
g : D ⟶ E
n : ι
⊢ (C.dFrom n ≫ hom (c.next n) n + hom n (c.prev n) ≫ D.dTo n) ≫ g.f n = C.dFrom n ≫ hom (c.next n) n ≫ g.f n + (hom n (c.prev n) ≫ g.f (c.prev n)) ≫ E.dTo n
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Inducing f
x : X
⊢ 𝓝 x = Filter.comap f (𝓝 (f x))
M : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid M
ExistsAddOfLE M
a b c : M
⊢ (fun x => a + x) '' Set.Ico b c = Set.Ico (a + b) (a + c)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : LinearOrderedField R
A : Matrix m n R
x : n → R
⊢ x ∈ LinearMap.ker (Aᵀ * A).mulVecLin ↔ x ∈ LinearMap.ker A.mulVecLin
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
MulZeroOneClass γ
f : β →*₀o γ
g : α →*₀o β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
hκη : κ ≤ η
a : α
⊢ κ.rnDerivAux η a ≤ᶠ[ae (η a)] 1
G : Type u_2
CommGroup G
⊢ Subgroup.center G = ⊤
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure = univ
x : M
hker : x ∈ S.normedMk.ker.topologicalClosure
⊢ ‖S.normedMk x‖ ≤ 0 * ‖x‖
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
⊢ card (α ⊕ β) = card α + card β
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
⊢ ∃ g, Disjoint K (g +ᵥ L)
a x z : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : 0 < x.im
⊢ ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 x, y.re < 0 ∧ 0 < y.im
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
⊢ Monotone fun s => FiniteDimensional.finrank K ↥s
α : Type u_1
M M' : Matroid α
X : Set α
⊢ M.restrict X = M'.restrict X ↔ ∀ I ⊆ X, M.Indep I ↔ M'.Indep I
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring C
DistribMulAction R C
Star C
f : B →⋆ₙₐ[R] C
g : A →⋆ₙₐ[R] B
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
self : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
⊢ (⋃ a, (self.toFun a).support).IsPWO
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderClosedTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
ι : Sort u_4
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iInf g)
Mf : Monotone f
bdd : autoParam (BddBelow (range g)) _auto✝
⊢ sInf (range (f ∘ g)) = sInf (range fun i => f (g i))
this : ¬Summable fun n => (↑n ^ 1)⁻¹
⊢ ¬Summable fun n => (↑n)⁻¹
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ -g • z = g • z
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
h : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ ↑s.card * ε ≤ ↑(G.nonuniformWitnesses ε s t).1.card
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
∀ (X : C), CategoryTheory.IsIso (adj.unit.app X)
∀ (Y : D), CategoryTheory.IsIso (adj.counit.app Y)
X : D
⊢ adj.toEquivalence.counitIso.hom.app X = adj.counit.app X
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m✝ : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ {s | MeasurableSet s}) → μ (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, μ (f i)) ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (f i)) → μ (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, μ (f i)
s : ℂ
hs : s ≠ 0
⊢ (s + 2).Gammaℝ = s.Gammaℝ * s / 2 / ↑π
α : Type u_1
β : Type u_2
g : β → Set (Set α)
s : Set β
h_pi : ∀ b ∈ s, IsPiSystem (g b)
t : Set α
h_t : t ∈ generatePiSystem (⋃ b ∈ s, g b)
⊢ ∃ T f, ↑T ⊆ s ∧ t = ⋂ b ∈ T, f b ∧ ∀ b ∈ T, f b ∈ g b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
⊢ ∑ x ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i x - ∑ x ∈ s, affineCombinationSingleWeights k j x = 0
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b
⊢ Finset.card b - 1 - 1 + 2 = Finset.card b
A : Type u_1
inst✝⁸ : Ring A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Algebra ℝ A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
⊢ IsSelfAdjoint a ∧ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal → 0 ≤ a
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
⊢ (SzemerediRegularity.star hP G ε hU V).biUnion id ⊆ G.nonuniformWitness ε U V
X : TopCat
x : ↑X
U : Set ↑X
p : IsOpen U
q : (𝟙 X) x ∈ { carrier := U, is_open' := p }
⊢ (TopologicalSpace.OpenNhds.map (𝟙 X) x).obj { obj := { carrier := U, is_open' := p }, property := q } =
  { obj := { carrier := U, is_open' := p }, property := q }
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsReal}
this : 1 ≤ convexBodyLTFactor ↥K
⊢ minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLTFactor ↥K) * ↑B
n : ℕ
⊢ map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding n.divisorsAntidiagonal = n.divisorsAntidiagonal
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : D
⊢ (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app (G.obj x) ≫ adj2.counit.app x = adj1.counit.app x