ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ (1 + 1 / ↑m) ^ 2 ≤ 1 + ε ^ 5 / 49
α : Type u_6
AddMonoid α
f : AddMonoid.End α
a : α
⊢ f • a = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s : Multiset β
f : β → α
⊢ p ∣ (Multiset.map f s).prod → ∃ a ∈ s, p ∣ f a
m n : ℕ
⊢ ↑(-[m+1].gcd -[n+1]) = (↑m + 1) * m.succ.gcdA -[n+1].natAbs + (↑n + 1) * -[m+1].natAbs.gcdB n.succ
α : Type u_1
ι : Type u_3
p : ι → Prop
s : ι → Set α
l : Filter α
hl : l.HasBasis p s
Ixx : α → α → Set α
H : ∀ (i : ι), p i → ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s i, Ixx x y ⊆ s i
⊢ Filter.TendstoIxxClass Ixx l l
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' α
⊢ (f (a :: s).head :: map f (a :: s).tail).head :: (f (a :: s).head :: map f (a :: s).tail).tail = f a :: map f s
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
⊢ (f^[m] ∘ f^[n]) ∘ f = f^[m] ∘ f^[n] ∘ f
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
I : Ideal S
Algebra R S
IsDomain S
x : S
x_ne_zero : x ≠ 0
x_mem : x ∈ I
hx : IsAlgebraic R x
⊢ Ideal.comap (algebraMap R S) I ≠ ⊥
G : Type u
Monoid G
⊢ Monoid.ExponentExists G ↔ Monoid.exponent G ≠ 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ 0 < ⌊a⌋ ↔ 1 ≤ a
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_4
Fintype m
Fintype n
PartialOrder R
NonUnitalRing R
StarRing R
StarOrderedRing R
NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : n → R
⊢ (A.conjTranspose * A).mulVec v = 0 ↔ A.mulVec v = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
x : ℝ
⊢ Measurable fun a => ↑(ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f hf a) x
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set R
N : Submodule R M
⊢ Ideal.span s • N = s • N
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L₂ : Type w
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ ↑f.range = Set.range ⇑f
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddGroup A
CategoryTheory.HasShift C A
i j : A
h : i + j = 0
⊢ (CategoryTheory.shiftEquiv' C i j h).counitIso = CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C j i ⋯
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
x : S.X₃ ⟶ A
hx : k = S.g ≫ x
⊢ h.descQ k ⋯ = h.g' ≫ x
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
r : ℤ
f : BoundedContinuousFunction α β
v : α
⊢ (r • f) v = r • f v
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite
this✝ : Finite ↑(f '' s)
this : Infinite ↑s
h : InjOn f s
⊢ Injective (codRestrict (s.restrict f) (f '' s) ⋯)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape J ⥤ C
X : C
f : F.obj none ⟶ X
ι : (j : J) → F.obj (some j) ⟶ X
w : ∀ (j : J), F.map (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape.Hom.init j) ≫ ι j = f
j : CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape J
⊢ (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape.mkCocone f ι w).ι.app j =
  match j with
  | none => f
  | some j => ι j
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
a : α
ha : a ∈ s
⊢ 𝓟 {a} ≤ 𝓝[s] a
α : Type u_1
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
MeasurableSpace α
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
g : α → (a : δ) → π a
⊢ Measurable g ↔ ∀ (a : δ), Measurable fun x => g x a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
m : M
hm : m ∈ ↑↑N
⊢ ((toEnd R L M) x) m ∈ ↑N
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ φ, (∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x) ∧ ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type u_4
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜' (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜' (E i)
c : 𝕜
hp : ⊤ ≠ 0
f : ↥(lp E ⊤)
⊢ ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hX : MeasureTheory.Memℒp X 2 μ
⊢ ENNReal.ofReal (ProbabilityTheory.variance X μ) = ProbabilityTheory.evariance X μ
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
c : ↑(Set.Icc a b)
⊢ Subtype.val '' Set.Iio c = Set.Ico a ↑c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
Y : C
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.preadditiveYonedaObj Y).obj X = ModuleCat.of (CategoryTheory.End Y) (Opposite.unop X ⟶ Y)
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
H : Type u_2
AddGroup H
TopologicalSpace H
U : OpenAddSubgroup G
V : OpenAddSubgroup H
⊢ ↑(U.sum V) = (↑U).prod ↑V
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
g : M' → M''
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
y : M'
hg : MDifferentiableAt I' I'' g y
hf : MDifferentiableAt I I' f x
hy : f x = y
⊢ mfderiv I I'' (g ∘ f) x = (mfderiv I' I'' g (f x)).comp (mfderiv I I' f x)
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational (1 / x)
⊢ Irrational (↑1 / x)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f ⊥
⊢ chaar K₀ ⊥ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : AntitoneOn f (Set.Icc a b)
⊢ f '' Set.Icc a b ⊆ Set.Icc (f b) (f a)
β : Type u_2
G : Type u_5
TopologicalSpace G
AddCommGroup G
TopologicalAddGroup G
Infinite β
T2Space G
a : G
⊢ (Summable fun x => a) ↔ a = 0
m k : Nat
h : k ≤ m
n : Nat
⊢ n + m - k = n + (m - k)
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℕ
h : x + ↑m ≤ f x
⊢ ↑m ≤ f.translationNumber
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
hx : f x < g x
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f^[n] x < g^[n] x
M : Type u_2
N : Type u_3
φ : M → N
X : Type u_5
SMul M X
Y : Type u_6
SMul N Y
φ' : M → N
h : φ = φ'
f : X →ₑ[φ] Y
⊢ (MulActionHom.ofEq h f).toFun = f.toFun
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i : ι
hi : i < i0
⊢ pred^[(-toZ i0 i).toNat] i0 = i
α : Type u_2
n : ℕ
xs : Mathlib.Vector α n
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {f : α → α_1} {x : α}, Mathlib.Vector.map f (xs.snoc x) = (Mathlib.Vector.map f xs).snoc (f x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
s : Set X
⊢ IsClosed (⇑h '' s) ↔ IsClosed s
R : Type u_1
CommRing R
r : R
⊢ CliffordAlgebraDualNumber.equiv ((CliffordAlgebra.ι 0) r) = r • DualNumber.eps
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
i : ℕ
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
x : S
⊢ quotientToQuotientRangePowQuotSuccAux f p P a_mem (Submodule.Quotient.mk x) = Submodule.Quotient.mk ⟨(Quotient.mk (P ^ e)) (a * x), ⋯⟩
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
hc : l.formPerm.IsCycle
hs : l.formPerm.support = l.toFinset
⊢ l.formPerm.toList (l.get ⟨0, ⋯⟩) = l
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
N : Subgroup G
⊢ IsOpenMap QuotientGroup.mk
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
d : G.Dart
u v : V
⊢ d.edge = s(u, v) ↔ d.toProd.1 = u ∧ d.toProd.2 = v ∨ d.toProd.1 = v ∧ d.toProd.2 = u
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : α → ℕ → Prop
(x : α) → DecidablePred (p x)
hp : ∀ (x : α), ∃ N, p x N
hm : ∀ (k : ℕ), MeasurableSet {x | p x k}
⊢ Measurable fun x => Nat.find ⋯
α : Type u
β : Type v
m : α → β
f : Filter α
s : Set β
⊢ s ∈ Filter.kernMap m f ↔ ∃ t, tᶜ ∈ f ∧ m '' t = sᶜ
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a b : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (a + b).imK = a.imK + b.imK
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1
⊢ ∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arctan (dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂))
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
e : A ≅ B
⊢ e.inv.hom₂ ≫ e.hom.hom₂ = 𝟙 B.obj₂
n : ℕ
i j : Fin n
⊢ i ≤ j.rev ↔ j ≤ i.rev
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
H : ↑f (stationaryPoint hf) = 0
ε : ℚ
hε : ε > 0
⊢ ∀ j ≥ stationaryPoint hf, padicNorm p (↑f j) < ε
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0
hg₂' : ↑g₂ ≠ 0
hfc : f * c %ₘ g₂ + g₂ * (f * c /ₘ g₂) = f * c
⊢ ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂
α : Type u
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.takeWhile p l = [] ↔ ∀ (hl : 0 < l.length), ¬p (l.nthLe 0 hl) = true
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y : C
⊢ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X 𝒯.cone.pt Y).hom ≫ (ℬ X Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X (ℬ 𝒯.cone.pt Y).cone.pt).cone ≫ 𝟙 X) (BinaryFan.snd (ℬ X (ℬ 𝒯.cone.pt Y).cone.pt).cone ≫ BinaryFan.snd (ℬ 𝒯.cone.pt Y).cone)) = (ℬ X Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X 𝒯.cone.pt).cone.pt Y).cone ≫ BinaryFan.fst (ℬ X 𝒯.cone.pt).cone) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X 𝒯.cone.pt).cone.pt Y).cone ≫ 𝟙 Y))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
h : OnePoint.infty ∉ s
⊢ IsOpen s ↔ IsOpen (OnePoint.some ⁻¹' s)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
⊢ Function.LeftInverse (List.map f) (List.map g) ↔ Function.LeftInverse f g
α : Type u
β : Type v
m : α → β
a : α
⊢ Ultrafilter.map m (pure a) = pure (m a)
M : Type u_2
α : Sort u_4
AddCommMonoid M
f : α → M
hf : (Function.support (f ∘ PLift.down)).Finite
s : Finset (PLift α)
hs : hf.toFinset ⊆ s
⊢ ∑ᶠ (i : α), f i = ∑ i ∈ s, f i.down
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F
f : V₀ ⟶ V₁
g : V₁ ⟶ V₂
h : V₀.V ≅ V₁.V
w : autoParam (V₀.str ≫ F.map h.hom = h.hom ≫ V₁.str) _auto✝
⊢ V₁.str ≫ F.map h.inv = h.inv ≫ V₀.str
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {a b : α}, HEq a b ↔ a = b
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord
a : Ordinal.{u}
⊢ lift.{u, u} #ι < c
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ ¬(x ~ᵢ y) ↔ ∃ s, IsOpen s ∧ Xor' (x ∈ s) (y ∈ s)
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}
ht : IsClosed t
htI : Disjoint t (setOfIdeal I)ᶜ
g' : C(X, ℝ≥0)
hI' : (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g' ∈ I
hgt' : ∀ x ∈ t, 0 < g' x
c : ℝ≥0
hc : c > 0
hgc' : ∀ y ∈ t, c ≤ g' y
g : C(X, ℝ≥0)
hg : ∀ (x : X), (g * g') x ≤ 1
hgc : Set.EqOn (⇑(g * g')) 1 {x | c ≤ g' x}
a✝ : X
⊢ ((↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp (g * g')) a✝ = ((↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g * (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g') a✝
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
x : R
h : a = ↑x
⊢ a = ↑a.re
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌈a⌉ = z ↔ ↑z - 1 < a ∧ a ≤ ↑z
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑R
inst✝ : Algebra ↑R ↑S
y : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk p)
U : TopologicalSpace.Opens ↑(Spec.topObj R)
hp : p ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op U))
r : ↑R
hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r
hrU : PrimeSpectrum.basicOpen r ≤ U
e : (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) ((((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE hrU).op) s) = y
⊢ ∃ x, x.2 • y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) x.1
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝² : Monoid N✝
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : (i : ι) → G i →* N
⊢ (lift f).range = ⨆ i, (f i).range
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝
inst✝ : NonAssocSemiring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ ⨆ i, S i → ∃ i, x ∈ S i
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Field α
⊢ IsPrimePow ‖α‖
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α n
i : Fin n
⊢ v.get i = v.toList.get (Fin.cast ⋯ i)
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
f : ℕ → E
g : ℕ → F
hg : Summable g
h : f =O[Filter.atTop] g
⊢ Summable f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℂ f s x
hg : DifferentiableWithinAt ℂ g s x
h0 : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ (fun x => f x ^ g x) s x
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
DecidableEq α
h : a ∈ s
⊢ (insert a s).card = s.card
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β : Type u_3
LE β
One β
v₁ : α₁ → β
v₂ : α₂ → β
⊢ 1 ≤ Sum.elim v₁ v₂ ↔ 1 ≤ v₁ ∧ 1 ≤ v₂
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this : Inhabited I
m : Products I →₀ ℤ
hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}
hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
hse : LinearMap.range (πs C o) = LinearMap.ker (Linear_CC' C hsC ho)
n : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ
w : { l // Products.isGood (π C fun x => ord I x < o) l } →₀ ℤ
hn : ((w.sum fun a b => (πs C o) (b • eval (π C fun x => ord I x < o) a)) + m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod) = Products.eval C ↑l
hc : (w.sum fun i a => a • eval (π C fun x => ord I x < o) i) = n
⊢ False
ι : Type u
DecidableEq ι
β : ι → Type v
(i : ι) → AddGroup (β i)
i : ι
x y : β i
⊢ DFinsupp.single i (x - y) = DFinsupp.single i x - DFinsupp.single i y
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝¹ : DistribMulAction R S
inst✝ : SMulCommClass R S S
M : Matrix m n S
b : R
v : n → S
i : m
⊢ (M *ᵥ b • v) i = (b • M *ᵥ v) i
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
n : ℕ
hR : R ≠ 0
⊢ (2 * π)⁻¹ * (|R|⁻¹ ^ n * (|R| * (|R|⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c R x)‖))) ≤ ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c R θ)‖) * |R|⁻¹ ^ n
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : TopologicalSpace K
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
a✝ : α
f : α → β
a : α
h1 : IsLocalMin f a
h2 : ∀ᶠ (z : α) in 𝓝 a, 0 < f z
⊢ IsLocalMax f⁻¹ a
α : Type u_1
Monoid α
R : Type u_4
M : Type u_5
Ring R
AddCommGroup M
DistribMulAction α M
Module R M
SMulCommClass α R M
a : α
S : Submodule R M
⊢ (a • S).toAddSubgroup = a • S.toAddSubgroup
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s
to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s
d_split : ∀ (s t : Set α), MeasurableSet t → d s = d (s \ t) + d (s ∩ t)
d_Union : ∀ (s : ℕ → Set α), Monotone s → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋃ n, s n)))
d_Inter : ∀ (s : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)) → (∀ (n m : ℕ), n ≤ m → s m ⊆ s n) → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋂ n, s n)))
bdd_c : BddAbove c
c_nonempty : c.Nonempty
d_le_γ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → d s ≤ γ
this : ∀ (n : ℕ), ∃ s, MeasurableSet s ∧ γ - (1 / 2) ^ n < d s
e : ℕ → Set α
he : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (e x) ∧ γ - (1 / 2) ^ x < d (e x)
he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)
he₂ : ∀ (n : ℕ), γ - (1 / 2) ^ n < d (e n)
f : ℕ → ℕ → Set α := fun n m => (Finset.Ico n (m + 1)).inf e
hf : ∀ (n m : ℕ), MeasurableSet (f n m)
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
g : G
⊢ ∃ h k, h ∈ H ∧ k ∈ K ∧ Quotient.out' (Doset.mk H K g) = h * g * k
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ‖(X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2‖₊ = ((X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2).toNNReal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.HasForget₂ C Ab
CategoryTheory.Abelian C
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).Additive
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
x₃ : (CategoryTheory.forget C).obj D.L₀.X₃
x₂ : (CategoryTheory.forget C).obj D.L₁.X₂
x₁ : (CategoryTheory.forget C).obj D.L₂.X₁
h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃
h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂
⊢ D.δ x₃ = D.v₂₃.τ₁ x₁
f g : CauSeq ℚ abs
⊢ Real.mk (f + g) = Real.mk f + Real.mk g
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι✝ → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
ι : Type u_9
f : ι → A
hf : AlgebraicIndependent R f
a✝ : Nontrivial R
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H : AddSubgroup G
K : AddSubgroup N
J : AddSubgroup (G × N)
⊢ H.prod K ≤ J ↔ AddSubgroup.map (AddMonoidHom.inl G N) H ≤ J ∧ AddSubgroup.map (AddMonoidHom.inr G N) K ≤ J
F : PFunctor.{u}
r : F.M → Sort u_2
x : ↑F F.M
f : (x : ↑F F.M) → r (PFunctor.M.mk x)
⊢ PFunctor.M.cases f (PFunctor.M.mk x) = f x
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
TopologicalSpace X
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace A
Semiring A
TopologicalSemiring A
Star A
ContinuousStar A
Algebra 𝕜 A
TopologicalSpace B
Semiring B
TopologicalSemiring B
Star B
ContinuousStar B
Algebra 𝕜 B
φ : A →⋆ₐ[𝕜] B
hφ : Continuous ⇑φ
f : C(X, A)
⊢ (ContinuousMap.compStarAlgHom X φ hφ) f = { toFun := ⇑φ, continuous_toFun := hφ }.comp f
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this : Computable G₁
⊢ Computable fun a => F a (c a)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
c' : Fin N.succ → E := fun i => if ‖a.c i‖ ≤ 2 then a.c i else (2 / ‖a.c i‖) • a.c i
norm_c'_le : ∀ (i : Fin N.succ), ‖c' i‖ ≤ 2
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
Hj : ‖a.c j‖ ≤ 2
⊢ 1 - δ ≤ ‖c' i - c' j‖
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ
⊢ y ∈ Metric.ball x ε ↔ dist y x < ε
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
x : α
y : β
⊢ e x = y ↔ x = e.symm y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Monotone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Monotone (aeSeq hf p)
⊢ ∫⁻ (a : α), (⨆ n, aeSeq hf p n) a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f < g
gh : g ≈ h
⊢ (h - f).Pos
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.degree = ⊥ ↔ p = 0
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
ι : Type u_1
f : ι → F
s : Finset ι
H : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y → x = y
⊢ (∏ x ∈ s.attach, (X - C (f ↑x))).Separable
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
⊢ ((extChartAt IB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F)).target ∩ ↑((extChartAt IB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F)).symm ⁻¹' (trivializationAt F E x.proj).baseSet ×ˢ univ = (extChartAt IB x.proj).target ×ˢ univ ∩ (↑(extChartAt IB x.proj).symm ⁻¹' (trivializationAt F E x.proj).baseSet) ×ˢ univ
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_3
CommRing A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
IsIntegrallyClosedIn (↥S) A
x : A
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n ∈ S
⊢ ∃ y, (algebraMap (↥S) A) y = x
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
⊢ a ≠ b → a ≤ b → a < b
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
h : (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (-LinearMap.id)) f.graph
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (-f).graph
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ ClosedEmbedding Subtype.val