ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingParallelPairOp.obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero =
  Opposite.op CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J✝ J' : Ideal S
I : Ideal R
J : Ideal S
⊢ 1 ∉ I ∧ 1 ∉ J → 1 ∉ I.prod J → ∃ x x_1, ∃ (_ : x * x_1 ∈ I.prod J), x ∉ I.prod J ∧ x_1 ∉ I.prod J
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
BiheytingAlgebra α
BiheytingAlgebra β
BiheytingAlgebra γ
f : BiheytingHom α β
g₁ g₂ : BiheytingHom β γ
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
⊢ Bijective ⇑↑(e ≪≫ₗ e.flip.symm.dualMap)
α : Type u_3
CommMonoid α
s : Multiset α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
hs : s ≠ ∅
p_s : ∀ a ∈ s, p a
⊢ p s.prod
x : ℝ
x_pos : 0 < x
hx : ∀ (n : ℕ), x ≤ stirlingSeq (n + 1)
hx' : x ∈ lowerBounds (Set.range (stirlingSeq ∘ succ))
⊢ Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 (sInf (Set.range (stirlingSeq ∘ succ))))
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
h : ClosedEmbedding ⇑(f.val.base ≫ g.val.base)
⊢ IsClosedMap ⇑f.val.base
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
hX : CategoryTheory.Limits.IsZero X
f g : Y ⟶ X
⊢ f = g
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
⊢ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α) ≤ comap (fun p => (F p.1, F p.2)) (𝓤 (X → α))
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : AEMeasurable f (μ.restrict s)
⊢ f =ᶠ[MeasureTheory.ae μ ⊓ 𝓟 s] AEMeasurable.mk f h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
f : α →₀ M
⊢ (if a' = a then 0 else f a') = if a' = a then 0 else f a'
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ ↑(μ.testAgainstNN f) = ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
a : α
AddCommMonoid β
DecidableEq α
ha : a ∉ s
f : Finset α → β
⊢ ∑ t ∈ (insert a s).powerset, f t = ∑ t ∈ s.powerset, f t + ∑ t ∈ s.powerset, f (insert a t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Nontrivial E
⊢ ‖innerSL 𝕜‖ = 1
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
f : E → F
K : ℝ≥0
h : AntilipschitzWith K f
hf : f 1 = 1
x : E
⊢ ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
G : Type u_1
G' : Type u_2
P : Type u_3
P' : Type u_4
AddGroup G
AddGroup G'
AddTorsor G P
AddTorsor G' P'
p₁ p₂ : P × P'
⊢ (p₁ -ᵥ p₂).1 = p₁.1 -ᵥ p₂.1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ {a}), f i = f a
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
a : M
S : Submonoid M
inst✝ : Fintype ↥S
h : card ↥S ≤ 1
x : M
hx : x ∈ S
⊢ x = 1
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
⊢ ⇑f.withTop = WithTop.map ⇑f
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
a : ↥G
ha : a ≠ 1
a_mul_emb : ↥G ↪ ↥G := mulLeftEmbedding a
h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ
h_sum_map : ∑ x : ↥G, ↑↑x = ↑↑a * ∑ x : ↥G, ↑↑x
hzero : ↑↑a - 1 = 0 ∨ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0
⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0
k m n : Nat
H1 : k.Coprime m
H2 : k ∣ m * n
⊢ k ∣ n
α : Type u_1
DivisionRing α
m e nm ne n : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat m nm →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsNat e ne →
    n = nm.mul (10 ^ ne) → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (OfScientific.ofScientific m false e) n
a x✝ z x : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : x.im < 0
⊢ x.arg = Real.arcsin ((-x).im / abs x) - π
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F.unop
hc : IsColimit c
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (coneOfCoconeUnop c).pt
w : ∀ (j : Jᵒᵖ), m ≫ (coneOfCoconeUnop c).π.app j = s.π.app j
⊢ m = (fun s => (hc.desc (coconeUnopOfCone s)).op) s
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f g
x : B
h : c ⟶ x
CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith f g h
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith.lanCompIso f g h).inv =
  (CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith.isKan f g h).desc
    (CategoryTheory.Bicategory.lanLeftExtension f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h))
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f ↔ ↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
hWo : IsOpen W
hdVW : Disjoint V W
⊢ U ⊆ V
α : Type u
SDiff α
a b : α
⊢ { down := a \ b } = { down := a } \ { down := b }
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f g : SlashInvariantForm Γ k
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
R : Type u_1
M : Type u_2
N✝ : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N✝
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N✝
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N✝
g : N✝ →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
N : Submodule R M
⊢ ker (lTensor Q N.mkQ) = range (lTensor Q N.subtype)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContMDiffWithinAt I I' ⊤ f s x
⊢ SmoothWithinAt I I' f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
B : FilterBasis α
⊢ generate B.sets ≤ B.filter
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : α → Computation β
⊢ IsBisimulation fun c₁ c₂ => c₁ = (pure a).bind f ∧ c₂ = f a ∨ c₁ = corec (Bind.f f) (Sum.inr c₂)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f p μ
this : ∀ (x : α), ‖RCLike.re (f x)‖ ≤ 1 * ‖f x‖
⊢ Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) p μ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁹ : Field A
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : Algebra A B
x : B
F : Type u_3
E : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Ring E
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : IsDomain K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F E
f g : E →ₐ[F] K
h : rootsOfMinPolyPiType F E K f = rootsOfMinPolyPiType F E K g
⊢ (↑f).toLinearMap = (↑g).toLinearMap
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X \ B' ∩ M.E ⊆ J
⊢ J ⊆ X \ B' ∧ J ⊆ M.E
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup P
inst✝² : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : μ.IsNegInvariant
L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => (g q.1 ⋆[L, μ] f) q.2) (s ×ˢ univ)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : y ∈ H
⊢ x = y
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
toFun : M → N
toFun_smul : ∀ (a : R) (x : M), toFun (a • x) = (a * a) • toFun x
polar_add_left : ∀ (x x' y : M), polar toFun (x + x') y = polar toFun x y + polar toFun x' y
polar_smul_left : ∀ (a : R) (x y : M), polar toFun (a • x) y = a • polar toFun x y
x✝¹ x✝ : M
⊢ toFun (x✝¹ + x✝) = toFun x✝¹ + toFun x✝ + ((LinearMap.mk₂ R (polar toFun) polar_add_left polar_smul_left ⋯ ⋯) x✝¹) x✝
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
a : I
as : List I
ha : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: as)
c : Products I →₀ ℤ
hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}
m : Products I
hm : c m ≠ 0
hsm : ∀ (c : ℤ) (x : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ), e (π C fun x => x ∈ s) a * c • x = c • (e (π C fun x => x ∈ s) a * x)
hmas : ↑m ≤ as
⊢ e (π C fun x => x ∈ s) a * Products.eval (π C fun x => x ∈ s) m ∈ Products.eval (π C fun x => x ∈ s) '' {m | ↑m ≤ a :: as}
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
H : t.IsKan
k : b ⟶ c
τ τ' : t.extension ⟶ k
w :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp t.unit (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f τ) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp t.unit (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f τ')
⊢ τ = τ'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
i : X ≅ Y
⊢ CategoryTheory.Simple X ↔ CategoryTheory.Simple Y
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
M₂'' : Type u_12
N'' : Type u_13
CommSemiring R'
AddCommMonoid M''
AddCommMonoid M₂''
AddCommMonoid N''
Module R' M''
Module R' M₂''
Module R' N''
n : ℕ
g : M₂'' →ₗ[R'] M''
f : M'' [⋀^Fin n.succ]→ₗ[R'] N''
m : M₂''
⊢ (f.compLinearMap g).curryLeft m = (f.curryLeft (g m)).compLinearMap g
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
h₁ : s ⊆ t
h₂ : IsOpen t
⊢ ⋂₀ {t | IsOpen t ∧ s ⊆ t} ⊆ t
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((CliffordAlgebra.ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (CliffordAlgebra.foldr' Q f hf n) ((CliffordAlgebra.ι Q) m * x) = (f m) (x, (CliffordAlgebra.foldr' Q f hf n) x)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.coeff n ≠ 0
⊢ n ≤ p.natDegree
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
d₁ d₂ d₃ : Factorisation f✝
f : d₁.Hom d₂
g : d₂.Hom d₃
⊢ d₁.ι ≫ f.h ≫ g.h = d₃.ι
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
⊢ ↑((μ.prod ν).map Prod.swap) = ↑(ν.prod μ)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B : C
c₁✝ c₂✝ : BinaryCofan A B
hc₁✝ : IsColimit c₁✝
hc₂✝ : IsColimit c₂✝
c₁ c₂ : BinaryCofan A B
hc₁ : IsColimit c₁
hc₂ : IsColimit c₂
x✝ : Mono c₁.inl
⊢ Mono c₂.inl
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
⊢ A.cramer b = Aᵀᵀ.adjugate *ᵥ b
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
⊢ (Finset.erase b m).card - 1 + 2 = Finset.card b
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : p.castSucc < a
hb : ¬p.castSucc < b
⊢ a.pred ⋯ ≤ b.castPred ⋯
G : Type u
Monoid G
n : ℕ
⊢ Monoid.exponent G ∣ n ↔ ∀ (g : G), orderOf g ∣ n
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
x : LocalizedModule S M
⊢ n.succ • x = n • x + x
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ
⊢ ∃ j, ↑(I ^ j) * ↑(I ^ j) ⊆ ↑(I ^ n)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
n : ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((F.mapTriangleCommShiftIso n).hom.app X).hom₂ = (F.commShiftIso n).hom.app X.obj₂
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LE α
s t : ClopenUpperSet α
⊢ ↑(s ⊔ t) = ↑s ∪ ↑t
l : List Bool
hl : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
h2 : Even l.length
⊢ List.count false l = List.count true l
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
InfSet α
InfSet β
InfSet γ
g₁ g₂ : sInfHom β γ
f : sInfHom α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ χ' : MulChar R R'
h : ∀ (a : Rˣ), χ ↑a = χ' ↑a
⊢ χ = χ'
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
hp_odd : p % 2 = 1
f : (ZMod p)[X] := X ^ 2
g : (ZMod p)[X] := X ^ 2 - C x
a b : ZMod p
hab : eval a f + eval b g = 0
⊢ a ^ 2 + b ^ 2 - x = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
a : α
inst✝ : Invertible a
⊢ 0 < a * ⅟a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
⊢ finrank ℝ ↥((vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)))ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
k : β
b : α → β
⊢ image (fun i => b ↑i) univ ⊆ (image b univ).erase k
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
Monoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : G →* A
x : G
⊢ ((MonoidAlgebra.lift k G A) F) ((MonoidAlgebra.of k G) x) = F x
α : Type u_1
⊢ FreeMonoid.ofList.symm = FreeMonoid.toList
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → ℝ
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K
this : (K.indicator fun x => g x • f x) = fun x => g x • f x
⊢ Memℒp g ⊤ μ
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
⊢ Function.Surjective (Set.rangeFactorization f)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
CompactSpace α
f : C(α, β)
a : α
⊢ (BoundedContinuousFunction.mkOfCompact f) a = f a
α : Type u_1
DistribLattice α
Fintype α
DecidablePred SupIrred
DecidableEq α
a b : α
⊢ OrderEmbedding.birkhoffFinset (a ⊓ b) = OrderEmbedding.birkhoffFinset a ∩ OrderEmbedding.birkhoffFinset b
xl xr : Type u
y z : PGame
h : y ⧏ z
x : PGame
⊢ x + y ⧏ x + z
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝¹ : Group N✝
f✝ : G →* N✝
N : Type u_6
inst✝ : Group N
H : Subgroup G
f : N →* G
hf : Injective ⇑f
h : H.normalizer ≤ f.range
⊢ H.normalizer ≤ map f (comap f H).normalizer
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t✝ : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set α
t : Set β
⊢ 𝓟 s ×ˢ 𝓟 t = 𝓟 (s ×ˢ t)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w ((MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w n) φ) n
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
ι : Type u_9
f : ι → A
hf : Function.Injective f
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val ↔ AlgebraicIndependent R f
X : Type u_2
TopologicalSpace X
S : DiscreteQuotient X
x y : X
⊢ S.Rel x y → S.Rel y x
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
hdeg : ↑n ≤ p.degree
⊢ p ≠ 0
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
hs : IsOpen s
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ x ∈ s
m n : ℕ
⊢ ((m + n).succ + 1).bodd = (m + 1 + (n + 1)).bodd
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s : Set (Set α)
hs : s.Countable
h : ∀ t ∈ s, MeasurableSet t
⊢ MeasurableSet (⋂₀ s)
M : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
VAdd M X
ContinuousVAdd M X
k : Set M
u : Set X
hk : IsCompact k
hu : IsCompact u
⊢ IsCompact (k +ᵥ u)
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C'
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
G : CategoryTheory.Functor C' C
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F) ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D H).obj L)
⊢ ((CategoryTheory.Functor.LeftExtension.precomp L F G).obj X).left = X.left
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
B : C
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.shortComplexOfDistTriangle T hT).op.map (CategoryTheory.preadditiveYoneda.obj B)).Exact
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h.IsPreservedBy F
⊢ (h.map F).i = F.map h.i
α : Type u_5
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
PseudoEMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
⊢ LipschitzOnWith K (-f) s ↔ LipschitzOnWith K f s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
a : α
l : List α
⊢ Tendsto (fun p => (p.1 :: p.2).eraseIdx (n + 1)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 ((a :: l).eraseIdx (n + 1)))
a b : Ordinal.{u_1}
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1
h₂ : succ 1 = 2
⊢ 1 = 1 * 1
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : 2 ≤ z.im
n : ℤ
hn : ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z ∈ verticalStrip (↑↑N) z.im
⊢ Complex.abs ((eisensteinSeries a k ∣[k] A) z) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
⊢ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x) = 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
⊢ Function.Injective OrthonormalBasis.repr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
Module ℝ E
IsScalarTower ℝ 𝕜 E
ContinuousSMul ℝ E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
SMulCommClass ℝ 𝕜 E
LocallyConvexSpace ℝ E
⊢ WithSeminorms (gaugeSeminormFamily 𝕜 E)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : CompleteSpace E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : NoAtoms ν
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
hf : Integrable ((Ioi 0).indicator f) ν
hg : Integrable ((Ioi 0).indicator g) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, (L (f t)) (g (x - t)) ∂ν ∂μ = (L (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x ∂ν)) (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, g x ∂μ)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, (p * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = ∫ (y : ℝ) in Set.Ioi 0, g y
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : MeasureTheory.Measure β
s : Set β
⊢ (MeasureTheory.Measure.comap f μ) (f ⁻¹' s) = μ (s ∩ Set.range f)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
x : α
⊢ (f * fun x => (f x)⁻¹) x ≤ 1 x
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x y : A
⊢ ↑((fun x => ⟨⅟2 • (x + star x), ⋯⟩) (x + y)) = ↑((fun x => ⟨⅟2 • (x + star x), ⋯⟩) x + (fun x => ⟨⅟2 • (x + star x), ⋯⟩) y)
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
i j : n
k : ℕ
x : R
⊢ matPolyEquiv (Matrix.stdBasisMatrix i j ((Polynomial.monomial k) x)) =
  (Polynomial.monomial k) (Matrix.stdBasisMatrix i j x)
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
R₁ : Type u_10
Semiring R₁
σ : R →+* R₁
σ' : R₁ →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
M₁ : Type u_11
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
f₁ f₂ : M ≃ₛₗ[σ] M₁
h : ∀ (i : ι), f₁ (b i) = f₂ (b i)
⊢ f₁ = f₂
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
⊢ ∃ fg, ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain) (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x + ↑y = ↑z → fg z = ↑f x + ↑g y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) nil.destruct nil.destruct
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
h : ComplexEmbedding.IsReal φ
this : (mk φ).embedding = φ ∨ (mk φ).embedding = ComplexEmbedding.conjugate φ
⊢ (mk φ).embedding = φ
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
L' : Filter 𝕜
h : HasDerivAt g g' u
⊢ HasGradientAt g ((starRingEnd 𝕜) g') u
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
⊢ 0 < eval (-1) (cyclotomic n ℝ)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p ^ n).degree ≤ n • p.degree