ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B
inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
hη : τ₀ = τ₁ hF hG η
Y : B
⊢ hF.inv.app (G.obj Y) ≫ e'.functor.map (eA.functor.map (eA.unitIso.hom.app (G.obj Y))) ≫ e'.functor.map (eA.functor.map (eA.inverse.map (hG.inv.app Y))) ≫ e'.functor.map (eA.counitIso.hom.app (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y))) ≫ e'.functor.map (hG.hom.app Y) ≫ hF.hom.app (G.obj Y) ≫ η.hom.app Y = η.hom.app Y
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
x : ℕ
ha : 1 ≤ x ∧ n ≠ 0
y : ℕ
hb : 1 ≤ y ∧ m ≠ 0
h : n * x * m + m * y * n = m * n
⊢ (x + y) * (m * n) = m * n
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₃)
h : y = p₂
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E E
⊢ q.comp p 0 = q 0
K : Type u_3
DivisionRing K
a : K
h : a ≠ 0
⊢ -a / a = -1
x y : Nat
⊢ x.le y = (x ≤ y)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
hab : a ≤ b
⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Ioo a b) μ
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
P : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
⊢ P ^ (i + 1) < P ^ i
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
z : ℤ
⊢ ⌈a - ↑z⌉ = ⌈a⌉ - z
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : LinearOrderedRing S
hR : ∀ (r : R), 0 ≤ r → ∃ s, s ^ 2 = r
f : R →+* S
s : R
h : 0 ≤ s ^ 2
⊢ 0 ≤ f (s ^ 2)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
f : X → 𝕜
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun a => I • ↑(im (f a))) μ
α : Type u_2
AddZeroClass α
s : Set α
t : Set α
hs : 0 ∈ s
⊢ t ⊆ s + t
α : Type u
b : Ultrafilter α
s : Set α
hs : s ∈ ↑b
⊢ ⨅ i ∈ {s | b ∈ s ∧ s ∈ ultrafilterBasis α}, 𝓟 (pure ⁻¹' i) ≤ 𝓟 s
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Inf α
Top α
Inf β
Top β
Inf γ
Top γ
g : SupBotHom βᵒᵈ γᵒᵈ
f : SupBotHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ InfTopHom.dual.symm (g.comp f) = (InfTopHom.dual.symm g).comp (InfTopHom.dual.symm f)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => (L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
hK' : IsCompact K'
⊢ G → ℝ
M : Type u_1
A : Type u_4
Zero A
SMulZeroClass M A
x : M
⊢ ∀ (x_1 : A), (SMulZeroClass.toZeroHom A x) x_1 = x • x_1
A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a✝ b✝ : A
ha✝ : autoParam (0 ≤ a✝) _auto✝
hab✝ : a✝ ≤ b✝
a b : Unitization ℂ A
ha : 0 ≤ a
hab : a ≤ b
hb_nonneg : 0 ≤ b
this : 0 ≤ a
h₂ : cfc id a ≤ cfc (fun x => ‖b‖) a
⊢ ‖a‖ ≤ ‖b‖
a b : Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.deriv (fun x => a + x) b = a * Ordinal.omega + b
α : Type u_1
c : Batteries.RBColor
n : Nat
v : α
path : Batteries.RBNode.Path α
H : Batteries.RBNode.Path.Balanced c n path Batteries.RBColor.black 0
⊢ ∃ n, (path.insertNew v).Balanced Batteries.RBColor.black n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
di : DenseInducing i
b : β
s : Set β
hs : s ∈ 𝓝 b
a : α
ha : i a ∈ s
⊢ ∃ a, i a ∈ s
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.119255, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'.val
X : Dᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj (ℱ.obj X)).obj U
⊢ (pushforwardFamily (homOver (whiskerLeft G.op α) (unop U)) a✝).IsAmalgamation (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
C : CochainComplex V ℕ
X : V
f : X ⟶ C.X 0
hf : f ≫ C.d 0 1 = 0
⊢ ((C.fromSingle₀Equiv X).symm ⟨f, hf⟩).f 0 = f
V : Type u
inst✝ : Quiver V
a✝¹ b c d a x✝ b✝ : V
p : Path a b✝
a✝ : b✝ ⟶ x✝
⊢ nil.comp (p.cons a✝) = p.cons a✝
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ
⊢ (n + k + 1).factorial • multichoose (-↑n) (n + k + 1) = (n + k + 1).factorial • 0
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι✝ → M
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
this : DecidableEq M
⊢ ∃ n, Nonempty (Basis (Fin n) R ↥N)
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
⊢ ‖f z‖ ≤ C
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g)
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd X₂ Y₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd X₁ Y₁) g
n : ℕ
hn : 0 < n
a b : ℕ
⊢ (a ^ n).Coprime b ↔ a.Coprime b
p b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b
⊢ ∫ (x : ℂ), rexp (-b * ‖x‖ ^ p) = π * b ^ (-2 / p) * Real.Gamma (2 / p + 1)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
x : (Opens ↑↑X)ᵒᵖ
⊢ ((pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).fst).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) s.pt.presheaf).app x = s.fst.c.app x
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖{ toFun := fun m => { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } m‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
G' : ℕ → Type w
inst✝ : (i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m k : ℕ
h : m ≤ m + k
⊢ ⇑(natLERec f' m (m + k) h) = fun a => Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) a
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
X Y : Type u
x₀ : X
f : X → Y
g : Y → F (α ::: X)
⊢ Cofix.corec (g ∘ f) x₀ = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x₀)
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
v : Set τ
hv : v ∈ f
⊢ ⋂ u ∈ f, closure (image2 ϕ (u ∩ v) s) = ⋂ u, closure (image2 ϕ (↑u ∩ v) s)
A B : Grp
f : A ⟶ B
b b' : ↑B
x : X'
y : ↑(Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f))
⊢ fromCoset ⟨(b * b') • ↑y, ⋯⟩ = fromCoset ⟨b • ↑⟨b' • ↑y, ⋯⟩, ⋯⟩
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
⊢ univ.Infinite ↔ Infinite α
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
i : Fin n
val✝ : List α
property✝ : val✝.length = n
⊢ (map f ⟨val✝, property✝⟩).get i = f (get ⟨val✝, property✝⟩ i)
α : Type u_1
Inv α
a : Part α
⊢ a⁻¹ = Part.map (fun x => x⁻¹) a
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e : A ≃ₗc[R] B
⊢ e.invFun = ⇑e.symm
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsCompact (⇑h.symm '' s) ↔ IsCompact s
α : Type u
Inhabited α
l : List α
⊢ l.getLastI = l.getLast?.iget
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℂ n Complex.cosh
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : ι → Set E
s : Finset ι
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ s.card
h_convex : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (F i)
h_inter : ∀ I ⊆ s, I.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
⊢ ∀ I ⊆ s, I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
x : X
⊢ IsPreirreducible s → irreducibleComponent x ⊆ s → s = irreducibleComponent x
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
hf : LipschitzOnWith C f s
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, DifferentiableWithinAt ℝ f s x
R : Type u_1
Semiring R
N : ℕ
⊢ Polynomial.reflect N 0 = 0
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_6
NormedAddCommGroup V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedAddCommGroup W
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
f g : P →ᴬ[R] W
⊢ (f + g).contLinear = f.contLinear + g.contLinear
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : TopologicalSpace.Opens X
hs : Nonempty ↥s
⊢ ↑(s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs) = Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝³ : Countable ι✝
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_6
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, StronglyMeasurable (f i)
⊢ StronglyMeasurable fun a => ∏ i ∈ s, f i a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
⊢ padicNorm p (↑(f + g) (max (stationaryPoint hfg) (max ?v2 ?v3))) ≤ max (padicNorm p (↑f (max ?v1 (max (stationaryPoint hf) ?v3)))) (padicNorm p (↑g (max ?v1 (max ?v2 (stationaryPoint hg)))))
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
l : Filter α
f : α → E
g₁ g₂ : α → F
h : f =Θ[l] g₁
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ f =Θ[l] g₂
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s t : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 s t = convexJoin 𝕜 t s
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y
x : X.A
g : Ultrafilter X.A
h : ↑g ≤ 𝓝 x
⊢ Y.str (Ultrafilter.map f.f g) = f.f x
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : (ZMod p)[X]
h : (expand (ZMod p) (Fintype.card (ZMod p))) f = f ^ Fintype.card (ZMod p)
⊢ (expand (ZMod p) p) f = f ^ p
α : Type u_5
AddMonoid α
a : α
h : IsAddUnit a
⊢ -h.addUnit +ᵥ a = 0
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
v : α → M
xs : Fin l → M
⊢ (φ.iff ψ).Realize v xs ↔ (φ.Realize v xs ↔ ψ.Realize v xs)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ ↑p ^ n * wittMul p n + wittPolyProdRemainder p n = wittPolyProd p n
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Mathlib.Vector α n
σ : Type
f : α → σ → σ × β
s : σ
h : ∀ (a : α) (s s' : σ), (f a s).2 = (f a s').2
⊢ (Mathlib.Vector.mapAccumr f xs s).2 = Mathlib.Vector.map (fun x => (f x s).2) xs
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
⊢ (Filter.bliminf u f fun x => False) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
n : ℕ
ih : ∀ {q : α}, q ∣ p ^ n ↔ ∃ i, i ≤ n ∧ q ~ᵤ p ^ i
q : α
h : q ∣ p * p ^ n
⊢ ∃ i, i ≤ n + 1 ∧ q ~ᵤ p ^ i
n : ℕ
⊢ 1 < n ↔ n ≠ 0 ∧ n ≠ 1
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq l
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
x : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ (∑ i : m, ∑ j : n, stdBasisMatrix i j (x i j)) i j = x i j
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
hfin : FiniteDimensional F ↥F⟮α⟯
⊢ FiniteDimensional F E
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
⊢ LinearMap.baseChange A (g ∘ₗ f) = LinearMap.baseChange A g ∘ₗ LinearMap.baseChange A f
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ∃ i, 0 < (f i) x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
x✝ : R
hx : x✝ ∈ Subsemiring.closure ↑M
s : R
sM : s ∈ ↑M
H1 : AddSubmonoid R
H2 : H1 ∈ {S | ↑M ⊆ ↑S}
⊢ s ∈ (fun h => ↑H1) H2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
p2 p : P
⊢ p ∈ affineSpan k (insert p2 ↑s) ↔ ∃ r, ∃ p0 ∈ s, p = r • (p2 -ᵥ p1) +ᵥ p0
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
⊢ ∀ (s : Multiset α), (∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a) → (∀ a ∈ q, Irreducible a) → (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod = q.prod → Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s = q
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
LinearOrder ι
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
i : ι
ω : Ω
h : i ≤ τ ω
⊢ MeasureTheory.stoppedProcess u τ i ω = u i ω
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f
mul_g : α ≃+ α := DistribMulAction.toAddEquiv α g
⊢ Continuous ⇑mul_g
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Finite
hs : ∀ i ∈ t, (s i).Finite
he : ∀ i ∉ t, s i = ∅
⊢ (⋃ i, s i).Finite
a b : Ordinal.{u_4}
h : a < b
⊢ a / b = 0
I : Type u
f : I → Type v
γ : Type w
Nonempty I
(i : I) → Add (f i)
Add γ
g : (i : I) → AddHom γ (f i)
hg : ∀ (i : I), Function.Injective ⇑(g i)
⊢ Function.Injective ⇑(Pi.addHom g)
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a / b * c = a / (b / c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
P Q R : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.prod.associator P Q R).inv =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift
    (CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.fst
      (CategoryTheory.Limits.prod.snd ≫ CategoryTheory.Limits.prod.fst))
    (CategoryTheory.Limits.prod.snd ≫ CategoryTheory.Limits.prod.snd)
step a s n : Nat
h : a ≤ s
⊢ map (fun x => x - a) (range' (a + (s - a)) n step) = range' (s - a) n step
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Sheaf J A
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget A)
F G : Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ G
⊢ IsIso (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)).ι ↔ IsIso { val := (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)).ι }
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ 0 < r.sign * r
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
⊢ (⋂₀ ↑F).Nonempty
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
⊢ {x | x ∈ s.carrier} = ↑s
α : Type u
DivisionMonoid α
a : α
⊢ IsUnit a → a⁻¹ * a = 1
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s t : Set α
⊢ c • s =ᵐ[μ] c • t ↔ s =ᵐ[μ] t
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ π : Ω → ι
TopologicalSpace ι
SecondCountableTopology ι
OrderTopology ι
MeasurableSpace ι
BorelSpace ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
hπ : MeasureTheory.IsStoppingTime f π
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω ≤ π ω}
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
t : Set α
a : α
Hf : AntitoneOn f t
⊢ IsLeast t a → IsGreatest (f '' t) (f a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommMonoid α
t : List ι
f : ι → Set α
g : ι → α
hg : ∀ i ∈ t, g i ∈ f i
⊢ (List.map g t).prod ∈ (List.map f t).prod
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal S P
x✝ : P
⊢ (∃ y ∈ ↑↑I, (algebraMap R P) ↑I.den • y = x✝) ↔ ∃ y ∈ ↑↑I, S.subtype I.den • y = x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f μ
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
⊢ Integrable f (c • μ)
𝕜 : Type u
n : ℕ
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
k l : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) (ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G')
x : G
⊢ (((ContinuousMultilinearMap.curryFinFinset 𝕜 G G' hk hl).symm f) fun x_1 => x) = (f fun x_1 => x) fun x_1 => x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalSeminormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
RegularNormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜'
⊢ ‖(ContinuousLinearMap.mul 𝕜 𝕜') x‖ = ‖x‖
p : ℝ[X]
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x)
  (Polynomial.eval x⁻¹ (Polynomial.X ^ 2 * (p - Polynomial.derivative p)) * expNegInvGlue x) x
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
n : A
⊢ 𝟙 ((shiftFunctor C n).obj X) = (shiftFunctor C n).map (𝟙 X)
G : Type u
Add G
h : UniqueSums Gᵃᵒᵖ
⊢ UniqueSums G
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set V
hs : ∀ v ∈ s, v ≠ 0
p₁ : P
⊢ (LinearIndependent k fun (v : ↑s) => ↑v) ↔ AffineIndependent k fun p => ↑p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Precoherent C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} A
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) F ↔
  CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology D) (e.inverse.op.comp F)
α : Type u_1
P : Set α → Prop
hP : ∃ n, ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n
X : Set α
⊢ Matroid.ExistsMaximalSubsetProperty P X
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
x : m.ToType
⊢ (m.coeEmbedding x).2 < count (m.coeEmbedding x).1 m
b x : ℝ
⊢ Real.logb b x = 0 ↔ b = 0 ∨ b = 1 ∨ b = -1 ∨ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = -1
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ ↑s.toList = s.val
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommGroup β
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N
ω : Ω
i : ℕ
⊢ τ ω ≤ i ∧ i < π ω ↔ i < N + 1 ∧ τ ω ≤ i ∧ i < π ω
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }
⊢ map (Embedding.subtype p) univ = filter p univ
α : Type u_1
β : Type u_2
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β
⊢ (p.bindOnSupport f) b = 0 ↔ ∀ (a : α) (ha : p a ≠ 0), (f a ha) b = 0
R : Type u_4
Semiring R
s : AddSubmonoid R
n : ℕ
⊢ s ^ n = AddSubmonoid.closure (↑s ^ n)
R : Type u
Ring R
s : Set (Subring R)
⊢ (sInf s).toSubmonoid = ⨅ t ∈ s, t.toSubmonoid
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
m₁ m₂ : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
h0 : c ≠ 0
hle : m₁ ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] c • m₂
⊢ MeasureTheory.Measure.mkMetric m₁ ≤ c • MeasureTheory.Measure.mkMetric m₂
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : α → β
a : α
s : Finset α
ha : a ∈ s
⊢ f a ∣ ∏ i ∈ s, f i
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ pullback.snd f g = ((pullback.isLimit f g).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (cospan f g))).hom ≫ Limits.pullback.snd f g
x z : Nat
y : Nat
H : 0 < y
⊢ (x + y * z) / y = x / y + z
α : Type u_1
Zero α
One α
Add α
Neg α
⊢ ↑ZNum.zero = 0
G : Type u_3
AddGroup G
a b : G
⊢ a - (b + a) = -b
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
κ : Type u_1
Monoid γ
(i : ι) → AddMonoid (β i)
(i : ι) → DistribMulAction γ (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
r : γ
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.comapDomain h hh (r • f) = r • DFinsupp.comapDomain h hh f
R : Type u
CommSemiring R
s : Set R
h : 1 ∈ s
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus s = ∅
n : ℕ
⊢ decodeNat (encodeNat n) = n
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
H✝ : SimpleGraph V
s s₁ s₂ : Set (Sym2 V)
H : SimpleGraph V
h : H ≤ G
⊢ G.deleteEdges (G.edgeSet \ H.edgeSet) = H
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : C ⥤ D
hG : CategoryTheory.CompatiblePreserving K G
ℱ : CategoryTheory.SheafOfTypes K
Z : C
T : CategoryTheory.Presieve Z
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
⊢ (CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.functorPushforward G x).Compatible