ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => -f y) s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
I : Set.InjOn f (f ⁻¹' s)
h : s.Finite
⊢ (f ⁻¹' s).Finite
m n n✝ : ℕ
a : ZMod (n✝ + 1)
⊢ 2 * a = 0 ↔ a = 0 ∨ 2 * a.val = n✝ + 1
α : Type u_1
LE α
a : WithBot α
⊢ none ≤ a
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
LT α
hM : M.BlockTriangular b
hN : N.BlockTriangular b
⊢ (M + N).BlockTriangular b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ f i ∈ Submodule.span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' Set.Iic j)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SOppSide x y
⊢ ∃ p ∈ s, Sbtw R x p y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a✝ b✝ : α
p : α → Prop
hsucc : ∀ (a : α), p a ↔ p (succ a)
a b : α
h : a ≤ b
⊢ p a ↔ p b
K : Type u_1
NontriviallyNormedField K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
s : Set E
n : ℕ∞
⊢ ContDiffOn K n (fun x => x) s
α : Type u_1
Sub α
a b : α
⊢ OrderDual.toDual (a - b) = OrderDual.toDual a - OrderDual.toDual b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y'
h : X' ⟶ G.obj Y
k : Y ⟶ Y'
w : F.map f ≫ (adj.homEquiv X Y').symm g = (adj.homEquiv X' Y).symm h ≫ k
⊢ f ≫ g = h ≫ G.map k
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X✝ Y✝ : C
app : (X : C) → F.obj X ≅ G.obj X
naturality : autoParam (∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), F.map f ≫ (app Y).hom = (app X).hom ≫ G.map f) _auto✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ G.map f ≫ (fun X => (app X).inv) Y = (fun X => (app X).inv) X ≫ F.map f
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
⊢ Cardinal.aleph' o₁ ≤ Cardinal.aleph' o₂ ↔ o₁ ≤ o₂
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
ι : Type u_1
Finite ι
a' x' : ι → α
Nonempty ι
ha : ∀ (i : ι), x' i < a' i
⊢ Set.Iio a' ∈ 𝓝 x'
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
⊢ (CoordinateRing.basis W) ⟨1, ⋯⟩ = ![1, (mk W) Y] ⟨1, ⋯⟩
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ SimplyConnectedSpace X ↔ Nonempty X ∧ ∀ (x y : X), Nonempty (Unique (Path.Homotopic.Quotient x y))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : C
g : X ⟶ Y
f₂ : Subobject Y
f₁ : MonoOver Y
⊢ (map (pullback.snd f₁.arrow g)).obj ((pullback (pullback.snd f₁.arrow g ≫ g)).obj f₂) = (map ((MonoOver.pullback g).obj f₁).arrow).obj ((pullback (((MonoOver.pullback g).obj f₁).arrow ≫ g)).obj f₂)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : TopologicalSemiring A
inst✝⁵ : ContinuousStar A
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : T2Space B
S : StarSubalgebra R A
φ ψ : ↥S.topologicalClosure →⋆ₐ[R] B
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ.comp (inclusion ⋯) = ψ.comp (inclusion ⋯)
this : Dense (range ⇑(inclusion ⋯))
⊢ EqOn (⇑φ) (⇑ψ) (range ⇑(inclusion ⋯))
α : Type u
β : Type v
Group α
AddMonoid β
DistribMulAction α β
x : α
⊢ (DistribMulAction.toAddAut α β) x = DistribMulAction.toAddEquiv β x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
h : separableClosure F E = ⊥
x : E
hs : IsSeparable F x
⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
⊢ { a := 0, b := 0, c := 0, d := 1 }.toPoly.Monic
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
y : Y
h : ∀ (x : X), f x = y
⊢ LocallyConstant.comap f = fun g => LocallyConstant.const X (g y)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : StarRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : TopologicalSpace A
inst✝⁸ : Ring A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
S : Type u_3
inst✝⁴ : SMul S R
inst✝³ : ContinuousConstSMul S R
inst✝² : SMulZeroClass S A
inst✝¹ : IsScalarTower S R A
inst✝ : IsScalarTower S R (R → R)
s : S
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => s • x) a = s • a
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
n : ι
hn : ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ
⊢ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal) * μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal
K : Type u_1
Field K
NumberField K
B : ℝ
⊢ Bornology.IsBounded (NumberField.mixedEmbedding.convexBodySum K B)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
NeZero ν
f : α → γ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurable (f ∘ Prod.fst) (μ.prod ν) ↔ MeasureTheory.NullMeasurable f μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V → K
h : ∑ i ∈ {x}, μ i • i ∈ Submodule.span K ↑{x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K ↑{x})
⊢ x ∈ Submodule.span K ↑{x}
M : Type u_4
AddMonoid M
l₁ l₂ : List M
h : l₁ ~ l₂
hc : List.Pairwise AddCommute l₁
⊢ l₁.sum = l₂.sum
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
n : ℕ
ih : ∀ {q : α}, q ∣ p ^ n ↔ ∃ i, i ≤ n ∧ q ~ᵤ p ^ i
q : α
h : p * q ∣ p * p ^ n
⊢ ∃ i, i ≤ n + 1 ∧ p * q ~ᵤ p ^ i
α : Type u
f : Ultrafilter α
g : Filter α
⊢ (↑f ⊓ g).NeBot ↔ ↑f ≤ g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
g : β → γ
hg : g 0 = 0
f : α →ₛ β
s : Set α
x : α
hs : MeasurableSet s
⊢ ↑(map g (f.restrict s)) x = ↑((map g f).restrict s) x
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ Finset.Ici (OrderDual.toDual a) = Finset.map OrderDual.toDual.toEmbedding (Finset.Iic a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : a₁ < b₁
⊢ Ioc a₁ b₁ ⊆ Ioc a₂ b₂ ↔ b₁ ≤ b₂ ∧ a₂ ≤ a₁
m n : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ↑p ∣ m * n
⊢ ↑p ∣ m ∨ ↑p ∣ n
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
this : List.map (fun x => x⁻¹) (cs.rightInvSeq ω.reverse) = cs.rightInvSeq ω.reverse
⊢ (cs.rightInvSeq ω.reverse).prod = (cs.wordProd ω.reverse)⁻¹
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra S S'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
CommRing R''
CommRing S''
Algebra R'' S''
P'' : Algebra.Generators R'' S''
Algebra S S''
Algebra R' R''
Algebra S' S''
Algebra R' S''
IsScalarTower R' R'' S''
IsScalarTower R' S' S''
IsScalarTower S S' S''
f : P'.Hom P''
g : P.Hom P'
x : P.vars
⊢ (f.comp g).val x = (MvPolynomial.aeval f.val) (g.val x)
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
xs : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
hp : IsPath xs (f i)
h : M.mk ⟨a, f⟩ = M.mk ⟨a, f⟩
⊢ IsPath xs (f i)
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im < 0
⊢ (-x).arg = x.arg + π
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ F_int 1 ↑a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
n : ℕ
⊢ ((a + b) ^ 2) ^ n ≤ 2 ^ (2 * n - 1) * (a ^ (2 * n) + b ^ (2 * n))
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ x ∈ t
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
BC : ⇑f '' B ⊆ this.extend ⋯
hC : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V' := Basis.extend this
Vinh : Inhabited V
b : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ ((hC.constr ℕ) (C.restrict (invFun ⇑f)) ∘ₗ f) (hB b) = id (hB b)
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
X : Action V G
⊢ ((Action.resId V).hom.app X).hom = 𝟙 X.V
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hs : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤
hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ
p : Subspace k E
hp : p ∈ s
hfi : (Submodule.toAddSubgroup p).FiniteIndex
⊢ False
α : Type u
β : Type v
g : Filter β
m : α → β
t : Set β
ht : t ∈ g
⊢ m ⁻¹' t ∈ Filter.comap m g
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }
⊢ ∀ (b : { r' // x < ↑r' }), ∫⁻ (a_1 : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, a_1)) ↑↑b) ∂ν a ≠ ⊤
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ (n + 1) ≠ 0
h₁ : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
h₂ : (p ^ n).leadingCoeff * p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p ^ (n + 1)).degree = (n + 1) • p.degree
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
⊢ (coeff R n) (φ * 1) = (coeff R n) φ
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
s : Set α
⊢ s.Infinite → ¬BddBelow s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ : ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k = ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
H : IsGreatest s a
⊢ sSup s ∈ s
l✝ : List ℕ
a✝ m n✝ a : ℕ
l : List ℕ
hl' : (a :: l).IsZeckendorfRep
hl : ((∀ x ∈ l, x + 2 ≤ a) ∧ 2 ≤ a) ∧ Chain' (fun a b => b + 2 ≤ a) (l ++ [0])
ha : 0 < a
n : ℕ
hn : a < n
x✝ : n ≤ (map fib l).sum + (fib a + 1)
⊢ (map fib (a :: l)).sum < fib n
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S
⊢ ((map f) p).degrees ⊆ p.degrees
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : NormalSpace α
inst✝¹⁰ : R1Space α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : SecondCountableTopologyEither α E
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E
⊢ (BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜) f ∈ range ⇑(toLp p μ 𝕜)
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
this : DecidableEq L := Classical.decEq L
⊢ adjoin K ((cyclotomic (↑n) K).rootSet L) = adjoin K {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y✝ : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y✝
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
Y : C
f : Y ⟶ Opposite.unop X
r₀ : (forget RingCat).obj (R₀.obj (Opposite.op Y))
hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (R.val.map f.op) r
⊢ (A.val.map f.op) (smul α φ r 0) = (A.val.map f.op) 0
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : P →ₗ[R] M
⊢ (trace R P) ((g ∘ₗ f) ∘ₗ h) = (trace R M) ((h ∘ₗ g) ∘ₗ f)
⊢ Cardinal.lift.{u_1, u_2} Cardinal.aleph0 = Cardinal.aleph0
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
f : ℤ → M
hf₁ : Multipliable fun n => f (↑n + 1)
hf₂ : Multipliable fun n => f (-(↑n + 1))
⊢ Multipliable f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
hc' : c ≠ ℵ₀
a : Ordinal.{u}
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord
⊢ lift.{u, u} #ι < c
G : Type u_2
Neg G
MeasurableSpace G
MeasurableNeg G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (-s)
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
h : ∀ i ∈ Set.Ico n m, r i (Order.succ i)
hnm : n < m
⊢ Relation.TransGen r n m
n : ℤ
d : ℕ
⊢ mkRat n d = Rat.divInt n ↑d
ι : Type u_1
n : ℕ
s : Finset ι
a : ι → ℤ
hs : 2 * n - 1 ≤ s.card
⊢ ∃ t ⊆ s, t.card = n ∧ ↑n ∣ ∑ i ∈ t, a i
n : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a.castSucc ≠ 0
⊢ a.castSucc.pred ha < a
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
⊢ ⋂ x, s ↑x ⋯ ≤ᶠ[l] ⋂ x, t ↑x ⋯
x a' : ℝ
⊢ sinKernel (-↑a') x = -sinKernel (↑a') x
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
F₁ F₂ F₃ : CategoryTheory.Functor J C
j : J
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator F₁ F₂ F₃).hom.app j =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (F₁.obj j) (F₂.obj j) (F₃.obj j)).hom
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁.HomotopyEquiv S₂
e' : S₂.HomotopyEquiv S₃
⊢ (e.trans e').homotopyInvHomId =
  (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofEq ⋯).trans
    (((e.homotopyInvHomId.compRight e'.hom).compLeft e'.inv).trans
      ((CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofEq ⋯).trans e'.homotopyInvHomId))
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
CompactSpace X
h : IsClosed s
⊢ IsCompact s
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : Function.Injective (pseudoApply f)
a : Pseudoelement P
ha : pseudoApply f a = pseudoApply f 0
⊢ a = 0
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hns : μ s ≠ 0
hnt : μ s ≠ ⊤
hu : Measure.map X ℙ = (μ s)⁻¹ • μ.restrict s
⊢ AEMeasurable X ℙ
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
h : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
⊢ F.IsMittagLeffler
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
c : E
hc : c ≠ 0
a✝ : AEStronglyMeasurable f μ
this : ∀ (x : ℝ≥0∞), x = 0 → x < ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ∧ ↑‖c‖₊ < ⊤ ∨ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ = 0 ∨ ↑‖c‖₊ = 0 ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
Bot α
LE β
OrderBot β
⊢ ⇑⊥ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
q : PMF β
f : (a : α) → a ∈ p.support → (b : β) → b ∈ q.support → PMF γ
⊢ (p.bindOnSupport fun a ha => q.bindOnSupport (f a ha)) =
  q.bindOnSupport fun b hb => p.bindOnSupport fun a ha => f a ha b hb
Ω : Type u_1
m₁ : MeasurableSpace Ω
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' m₁ ⊥ hm' μ
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
f : R[X]
⊢ (Polynomial.expand R p) f = f.comp (Polynomial.X ^ p)
b x : ℕ
hb : 1 < b
h : b ^ x ≤ 0
⊢ x ≤ log b 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : Nonempty X
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
l : List α
H : Pairwise R l
⊢ Pairwise (fun l₁ l₂ => Lex R l₁.reverse l₂.reverse) l.sublists
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h.IsPreservedBy F
⊢ (h.map F).Q = F.obj h.Q
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
C : Set (Set α)
B : ℕ → Set α
hA : m0 = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h1B : ⋃ i, B i = univ
h2B : ∀ (i : ℕ), B i ∈ C
hμB : ∀ (i : ℕ), μ (B i) ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
⊢ ∀ s ∈ range B, μ s ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set α
hf : Function.Injective f
⊢ Disjoint (f '' s) (f '' t) ↔ Disjoint s t
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
f : Filter α
inst✝² : f.NeBot
R : Type u_7
inst✝¹ : Preorder R
κ : Type u_8
inst✝ : AddCommMonoid R
r : R → R → Prop
hr : ∀ (v₁ v₂ : α → R), IsBoundedUnder r f v₁ → IsBoundedUnder r f v₂ → IsBoundedUnder r f (v₁ + v₂)
hr₀ : r 0 0
u : κ → α → R
h : ∀ k ∈ ∅, IsBoundedUnder r f (u k)
⊢ IsBoundedUnder r f (∑ k ∈ ∅, u k)
α : Sort u
β : α → Sort v
DecidableEq α
f : (a : α) → β a
a : α
b : β a
⊢ f = Function.update f a b ↔ f a = b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ↥(Lp ℝ 1 μ)
⊢ Continuous fun x => ‖Lp.posPart x‖ - ‖Lp.negPart x‖
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
m n : ℕ
H : m ≤ n
p : R[X]
hpI : p ∈ I
hpdeg : p.degree ≤ ↑m
⊢ p.degree + (X ^ (n - m)).degree ≤ ↑n
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
f : M ≃ₗ[R] M'
⊢ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) = Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R M')
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
u_count : u.Countable
x : α
x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a
v : Set ι := {a | a ∈ u ∧ (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty}
⊢ ∃ u_1 ∈ 𝓝[s \ ⋃ a ∈ u, B a] x, μ u_1 = 0
p q : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
⊢ legendreSym q ↑p = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2)) * legendreSym p ↑q
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.51124, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X✝ Y✝ : HomologicalComplex V c.symm
f : X✝ ⟶ Y✝
i j : ι
x✝ : c.Rel i j
⊢ (fun i => (f.f i).op) i ≫ X✝.opSymm.d i j = Y✝.opSymm.d i j ≫ (fun i => (f.f i).op) j
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
SemilatticeSup δ
OrderBot δ
g : γ → δ
⊢ (Finset.image₂ f s t).sup g = s.sup fun x => t.sup fun x_1 => g (f x x_1)
z : ℤ
⊢ ↑z = Rat.divInt z 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
self : W.LeftFraction₃ X Y
⊢ W self.s
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hq : q ≠ 0
hpq : p.trailingDegree ≤ q.trailingDegree
⊢ p.natTrailingDegree ≤ q.natTrailingDegree
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle (x + y) y).tan * ‖y‖ = ‖x‖
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
s : Set α
FunLike F β α
LatticeHomClass F β α
hs : IsSublattice s
f : F
⊢ IsSublattice (⇑f ⁻¹' s)