ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
hn : n ≤ finrank R M
h : ¬finrank R M = 0
⊢ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent R Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
p : β → Prop
⊢ (∀ y ∈ f '' s, p y) ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → p (f x)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
ab e : α ≃ β
⊢ (ab.equivCongr (Equiv.refl β)) e = ab.symm.trans e
xl xr : Type u_1
y : SetTheory.PGame
j : xr
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
⊢ xR j ≤ y → (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR).LF y
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
M' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O
⊢ ϕ.submoduleImage N = range (ϕ ∘ₗ Submodule.inclusion hNO)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulStrictMono α β
hb : b₁ < b₂
ha : a < 0
⊢ a • b₂ < a • b₁
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
h0 : p 0 = 0
⊢ p.comp (p.rightInv i) = FormalMultilinearSeries.id 𝕜 F
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
⊢ (∀ {x y : X}, (𝓝 x ⊓ 𝓝 y).NeBot → x = y) ↔ ∀ {x y : X} (f : Ultrafilter X), ↑f ≤ 𝓝 x → ↑f ≤ 𝓝 y → x = y
P : Type u_1
inst✝¹ : BooleanAlgebra P
x✝ : P
I : Ideal P
inst✝ : I.IsProper
h : ∀ {x : P}, x ∈ I ∨ xᶜ ∈ I
x y : P
hxy : x ⊓ y ∈ I
hxI : x ∉ I
hxcI : xᶜ ∈ I
ass : x ⊓ y ⊔ y ⊓ xᶜ ∈ I
⊢ y ∈ I
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTrans α r
hts : t ⊆ s
h : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, r y x
a : α
x✝ : a ∈ minimals r t
hat : a ∈ t
hmin : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ t → r b a → r a b
b : α
hbs : b ∈ s
hba : r b a
b' : α
hb't : b' ∈ t
hb'b : r b' b
⊢ r a b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
ι : Type u_5
Fintype ι
g : G →L[𝕜] E
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun f => f.compContinuousLinearMap fun x => g
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.const α 0 = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
Fintype ι
l : (i : ι) → G i
i : ι
v : G i
⊢ ⟪(V i) v, ∑ j : ι, (V j) (l j)⟫_𝕜 = ⟪v, l i⟫_𝕜
α : Type u
β : Type v
SemilatticeSup β
l : Filter α
f g h : α → β
hf : h ≤ᶠ[l] f
⊢ h ≤ᶠ[l] f ⊔ g
A : Type u_1
A' : Type u_2
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} B'
eA : A ≌ A'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
X : A
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.υ hF).inv.app X =
  e'.inverse.map (hF.inv.app X) ≫ e'.unitIso.inv.app (eA.functor.obj X)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
⊢ (CategoryTheory.Functor.Final.coconesEquiv F G).inverse = CategoryTheory.Limits.Cocones.whiskering F
α : Type u_1
DecidableEq α
xs : List α
w : xs.Nodup
i : ℕ
h : i < xs.length
⊢ xs.formPerm xs[i] = xs[(i + 1) % xs.length]
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
⊢ ∏ p ∈ (a * b).primeFactors, p ∣ a * b
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
PerfectRing R p
S : Type u₂
CommSemiring S
CharP S p
P : Type u₃
CommSemiring P
CharP P p
PerfectRing P p
π : P →+* S
m : PerfectionMap p π
f g : R →+* P
hfg : ∀ (x : R), π (f x) = π (g x)
⊢ f = g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
x : ↥U
V : TopologicalSpace.Opens ↑Y
hV : U ≤ (TopologicalSpace.Opens.map f).obj V
⊢ ((TopCat.Presheaf.pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (Opposite.op V) ≫
    ((TopCat.Presheaf.pullback C f).obj F).map (CategoryTheory.homOfLE hV).op ≫
      TopCat.Presheaf.germToPullbackStalk C f F U x =
  F.germ ⟨f ↑x, ⋯⟩
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ
hia : i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n
hi : i < n % a
⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f g : ArithmeticFunction R
h : ArithmeticFunction M
n : ℕ
⊢ ((f * g) • h) n = (f • g • h) n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax)
⊢ dist t v.t₀ ≤ v.tDist
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
x✝¹ : M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
i j : n
x✝ : i ≠ j
r : α
hr : (scalar n) r = M
⊢ r • stdBasisMatrix i j 1 = MulOpposite.op r • stdBasisMatrix i j 1
l : List Bool
hl : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool
⊢ List.count (!b) l ≤ List.count b l + 1
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M
⊢ ⨅ a, ‖x + y + ↑a‖ ≤ (⨅ a, ‖x + ↑a‖) + ⨅ a, ‖y + ↑a‖
m₁ m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l r : List Char
h : ValidFor l (m₁ ++ m₂) r x✝
⊢ ∀ (n : Nat), x✝.nextn n { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + utf8Len (List.take n m₂) }
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ (∃ C, ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ‖x‖ ≤ C) → ∃ C, ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ‖x‖ ≤ C
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
s : Set A
⊢ s ⊆ ↑(NonUnitalAlgebra.adjoin R s)
K : Type u_1
Field K
φ : K →+* ℂ
⊢ NumberField.ComplexEmbedding.IsReal φ ↔ NumberField.ComplexEmbedding.conjugate φ = φ
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
φ : K →+* ℂ
hx : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))
⊢ (starRingEnd ℂ) (x φ) = x (ComplexEmbedding.conjugate φ)
α : Type u
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
⊢ m (⋃ i, s i) = ∑' (i : ℕ), m (s i)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
this : IsIso ((Q W).map f.s)
⊢ F₂.map ((Q W).map f.s) ≫ eqToHom ⋯ ≫ F₁.map (Qinv f.s ⋯) = eqToHom ⋯
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
ha : 1 - a ≠ 0
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) + (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v = ↑x
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
key : UniformInducing ⇑(addEquiv 𝕜 A)
⊢ 𝓤 (Unitization 𝕜 A) = 𝓤 (Unitization 𝕜 A)
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c✝ : E
f✝ : ContDiffBump c✝
x✝ : E
n : ℕ∞
c g : X → E
s : Set X
f : (x : X) → ContDiffBump (c x)
x : X
hc : ContDiffWithinAt ℝ n c s x
hr : ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => (f x).rIn) s x
hR : ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => (f x).rOut) s x
hg : ContDiffWithinAt ℝ n g s x
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (uncurry (someContDiffBumpBase E).toFun ∘ fun x => ((f x).rOut / (f x).rIn, (f x).rIn⁻¹ • (g x - c x))) s x
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
⊢ ((interpolate s v) r).degree ≤ ↑(s.card - 1)
α : Type u
DivisionMonoid α
a : α
h : IsUnit a
⊢ a / a = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
s✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScottHausdorff α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ ∀ ⦃d : Set α⦄, d.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d → ∀ ⦃a : α⦄, IsLUB d a → a ∈ s → ∃ b ∈ d, Ici b ∩ d ⊆ s
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁵ : ConcreteCategory D
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
⊢ IsIso (S.toMultiequalizer (J.plusObj P))
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'
⊢ 1 ≤ l.size → 1 ≤ r.size → r.size ≤ delta * l.size
α : Type u_2
Semiring α
a b : α
⊢ Odd a → Odd b → Odd (a * b)
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
φ : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ
h :
  ∀ (n : ℕ),
    (MvPolynomial.bind₁ φ) (W_ ℤ n) = (MvPolynomial.bind₁ fun i => (MvPolynomial.rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ
⊢ φ = wittStructureInt p Φ
X : AddCommGrp
⊢ ⇑(𝟙 X) = id
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Turing.Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₁ : σ₁
ab : Turing.Reaches f₁ a₁ b₁
⊢ ∃ b₂, tr b₁ b₂ ∧ Turing.Reaches f₂ a₂ b₂
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
AddCommGroup M
Module R M
a : A ⊗[R] Module.End R M
⊢ (LinearMap.tensorProductEnd R A M) a =
  (TensorProduct.liftAux (↑R { toFun := fun a => a • LinearMap.baseChangeHom R A M M, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }))
    a
α : Fin 2 → Type u_8
(i : Fin 2) → MeasurableSpace (α i)
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.piFinTwo α).symm = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
NoZeroDivisors A
x : A
hx : x ≠ 0
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.mulLeft R x)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
inst✝ : PreservesFiniteProducts G
X : C
x : G.obj (op X)
α : Type
w✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π))
h' : ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f x).arrows (π a)
y : (a : α) → F.obj (op (Y a)) := fun a => Exists.choose ⋯
x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α
ht : IsLimit (Types.productLimitCone fun a => F.obj (op (Y a))).cone := (Types.productLimitCone fun a => F.obj (op (Y a))).isLimit
ht' : IsLimit (Cone.whisker (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π))) := (Functor.Initial.isLimitWhiskerEquiv (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π))).symm h.some.op
i : ((a : α) → F.obj (op (Y a))) ≅ F.obj (op X) := ht.conePointsIsoOfNatIso (isLimitOfPreserves F ht') (Discrete.natIso fun x => Iso.refl (F.obj (op (Y x.as))))
a : α
⊢ ((G.mapCone (Cone.whisker (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π)))).π.app { as := a }) (f.app (op X) (i.hom y)) = ((G.mapCone (Cone.whisker (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π)))).π.app { as := a }) x
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
x : α
⊢ e.symm (e x) = x
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
g : B → A
f : A →ₐ[R] B
h : Function.LeftInverse g ⇑f
x : ↥f.range
⊢ (AlgEquiv.ofLeftInverse h).symm x = g ↑x
q : ℚ
x : ℝ
h : Irrational x
⊢ Irrational (↑q - x)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
this : ‖c‖ / R < 1
x : E
xF : x ∉ F
hx : ∀ y ∈ F, ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖
x0 : x ≠ 0
d : 𝕜
d0 : d ≠ 0
dxlt : ‖d • x‖ < R
ledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖
y : E
hy : y ∈ F
y' : E := d⁻¹ • y
⊢ 1 ≤ ‖d • x - y‖
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
K : Set (Subgroup G)
Kne : K.Nonempty
hK : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
this : Nonempty ↑K
⊢ x ∈ sSup K ↔ ∃ s ∈ K, x ∈ s
ι : Type u_5
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
TopologicalSpace M
TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
f : ι → M
e : M ≃SL[σ] M₂
⊢ (Summable fun b => e (f b)) ↔ Summable f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι'
Fintype ι
DecidableEq ι
DecidableEq ι'
b : Basis ι R M
v : ι' → M
e : ι ≃ ι'
⊢ (b.reindex e).toMatrix v = (Matrix.reindexAlgEquiv R R e) (b.toMatrix (v ∘ ⇑e))
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
⊢ ∃ r, (eval r) ((rename f) F) ≠ 0
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧ ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
s_eq : s = ⋃ n, s ∩ t n
⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
⊢ ((CategoryTheory.Limits.idZeroEquivIsoZero X) h).hom = 0
α : Type u_1
n : ℕ
a a' : α
s : Sym α n
⊢ a ::ₛ s = a' ::ₛ s ↔ a = a'
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0
this : 1 ≤ ↑(Fintype.card Fq)
⊢ ↑(Fintype.card Fq) ^ (x - z).natDegree ≤ max (↑(Fintype.card Fq) ^ (x - y).natDegree) (↑(Fintype.card Fq) ^ (y - z).natDegree)
X Y : CompleteLat
a : CompleteLatticeHom ↑X ↑Y
⊢ CompleteLat.dual.map a = CompleteLatticeHom.dual a
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
⊢ (LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁).symm = Matrix.toLinAlgEquiv v₁
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.4816, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.4820, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ (F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯).hom.app X = (shiftFunctorAdd D m n).hom.app ((F.functor a'').obj X) ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app X
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set ↑(Set.range f)
x : ↑s
⊢ ↑((Equiv.Set.rangeSplittingImageEquiv f s).symm x) = Set.rangeSplitting f ↑x
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝¹ : Reflective i
A : C
inst✝ : IsSplitMono ((reflectorAdjunction i).unit.app A)
η : 𝟭 C ⟶ reflector i ⋙ i := (reflectorAdjunction i).unit
this : IsIso (η.app (i.obj ((reflector i).obj A)))
⊢ A ∈ i.essImage
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
a b : α
as : List α
h : filter p (a :: b :: as) ≠ []
h' : p ((b :: as).getLast ⋯) = true
⊢ (filter p (a :: b :: as)).getLast h = (b :: as).getLast ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ essSup g (Measure.map f μ) = essSup (g ∘ f) μ
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.IsComplete ↔ ∀ (s : Set α), μ s = 0 → MeasurableSet s
m : ℕ∞
⊢ Cardinal.lift.{u, v} ↑m = ↑m
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
this : ∀ x ∈ t, ∃ z < x, Ioc z x ⊆ a
⊢ {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}.Countable
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x y : L
⊢ ((LieModule.traceForm R L M) x) y = (LinearMap.trace R M) (φ x ∘ₗ φ y)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
⊢ ⁅-h, f⁆ = 2 • f
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Mul A
inst✝ : SMulWithZero R A
a₁ a₂ : A
⊢ a₁ * a₂ = 0 • a₂ + 0 • a₁ + a₁ * a₂
M : Type u_2
α : Type u_4
CommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Multiset (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable l.prod μ
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
Nonempty α
r : Set β
hf : Set.SurjOn f s t
hrt : r ⊆ t
⊢ f '' (Function.invFunOn f s '' r) = r
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
t : Set β
ht : 0 ∈ t
hs : MeasurableSet s
⊢ t ∈ Filter.map (s.indicator f) (ae μ) ↔ t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s))
β : Type v
r : β → β → Prop
IsTrans β r
f : ℤ → β
h : ∀ (n : ℤ), r (f n) (f (n + 1))
a b : ℤ
hab : a < b
⊢ r (f a) (f b)
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cone F
h : IsLimit t
W : C
f f' : W ⟶ t.pt
w : ∀ (j : J), f ≫ t.π.app j = f' ≫ t.π.app j
⊢ h.lift { pt := W, π := { app := fun b => f ≫ t.π.app b, naturality := ⋯ } } = h.lift { pt := W, π := { app := fun b => f' ≫ t.π.app b, naturality := ⋯ } }
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
hc : t.ncard < s.ncard
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝
h' : ¬∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ f x = f y
⊢ False
α : Type u
Monoid α
a : α
⊢ IsConj a a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectIso f).hom ≫ CategoryTheory.Limits.kernel.ι f =
  (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject f).arrow
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
⊢ (∀ (h : G), h ∈ H ↔ f.symm x * h * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ ∀ (h : N), f.symm h ∈ H ↔ f.symm (x * h * x⁻¹) ∈ H
K : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
Semifield K
AddCommMonoid V
Module K V
AddCommMonoid V₂
Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
p : Submodule K V₂
a : K
⊢ Submodule.comap (a • f) p = ⨅ (_ : a ≠ 0), Submodule.comap f p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β × γ → α
hf : Multipliable f
⊢ Multipliable fun p => f p.swap
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
⊢ Subsemiring.comap f ⊤ = ⊤
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (shiftFunctor C (0 + a)).obj X = (shiftFunctor C a).obj X
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
hf : ∀ (y : β), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
⊢ μ (⋃ y ∈ filter (fun y => y ≠ 0) f.range, ↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : Filter (α → β)
a : α
⊢ f.seq (pure a) = map (fun g => g a) f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
B : E →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜
v f : E
is_lax_milgram : ∀ (w : E), ⟪f, w⟫_𝕜 = (B v) w
w : E
⊢ ⟪f, w⟫_𝕜 = (B v) w
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
hf : InjOn f (freeOn E).E
⊢ (freeOn E).map f hf = freeOn (f '' E)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁴ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace R F
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle R F E
this✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
⊢ ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL R (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') b)) ((a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he).baseSet ∩ (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he').baseSet)
k : Type u
Field k
K : Type v
Field K
Algebra k K
⊢ IsAlgClosure k K ↔ IsAlgClosed K ∧ Algebra.IsAlgebraic k K
μ : YoungDiagram
j : ℕ
c : ℕ × ℕ
⊢ c ∈ μ.col j ↔ c ∈ μ ∧ c.2 = j
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set X
⊢ IsOpen (⇑h '' s) ↔ IsOpen s
x : ℝ
⊢ Real.sinh (2 * x) = 2 * Real.sinh x * Real.cosh x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a✝ : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
a : ℝ
x✝ : E
⊢ gauge s x✝ < a ↔ ∃ i, 0 < i ∧ i < a ∧ x✝ ∈ i • s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
Ring α
Ring β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℤ
⊢ f (↑n * c - x) = ↑↑n.negOnePow * f (-x)