ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanCompIso F f g).inv.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.right =
  𝟙 ((CategoryTheory.Limits.span (F.map f) (F.map g)).obj CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.right)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
x y : α
hx✝ : x ∈ A
hy✝ : y ∈ A
h : G.Adj x y
h' : ∀ x_1 ∈ P.parts, ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
hx : x ∈ U
V : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hy : y ∈ V
⊢ (∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨ (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨ ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y
α : Type u_2
DecidableEq α
InvolutiveNeg α
s : Finset α
⊢ (-s).card = s.card
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Ring B
inst✝⁶ : CommRing S✝
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra R B
f : R →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0
S : Subalgebra R A := adjoin R ↑p.coeffs
this✝ : Module.Finite R ↥S
p' : (↥S)[X] := p.toSubring S.toSubring ⋯
hSx : IsIntegral (↥S) x
Sx : Submodule (↥S) B := Subalgebra.toSubmodule (adjoin ↥S {x})
MSx : Module ↥S ↥Sx := SMulMemClass.toModule Sx
this : Module.Finite ↥S ↥Sx
⊢ (Subalgebra.toSubmodule (Subalgebra.restrictScalars R (adjoin ↥S {x}))).FG
S : Type u_1
AddMonoidWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
X Y : CategoryTheory.DifferentialObject S C
h : X = Y
⊢ (CategoryTheory.eqToHom h).f = CategoryTheory.eqToHom ⋯
X : Type u_1
x : OnePoint X
⊢ x ≠ OnePoint.infty ↔ ∃ y, ↑y = x
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
x y : L
hx : IsAlgebraic K x
h_ev : (Polynomial.aeval y) (minpoly K x) = 0
⊢ minpoly K y = minpoly K x
a b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
an : ℤ
ad b : ℕ
inv✝ : Invertible ↑ad
this : Invertible ↑(ad ^ b)
⊢ IsRat ((↑an * ⅟↑ad) ^ b) (an ^ b) (ad ^ b)
n : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field K
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {n} K L
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑n) K)
⊢ FiniteDimensional.finrank K L = φ ↑n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.adjToMonadIso T).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (T.obj X)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f g : ↥(Lp E' p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f) s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑g) s μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑g x ∂μ
hf_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
hg_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ
hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑(f - g) x ∂μ = 0
hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑(f - g)) s μ
hfg_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(f - g)) μ
⊢ ↑↑(f - g) =ᶠ[ae μ] 0
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, (process s (i + 1) - process s i - μ[process s (i + 1) - process s i|↑ℱ i]) = ∑ k ∈ Finset.range n, ((s (k + 1)).indicator 1 - μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k])
α β : Type u
g : α → β
f : α → α → α
f' : β → β → β
a : α
l : List α
h : ∀ (x y : α), f' (g x) (g y) = g (f x y)
⊢ List.foldl f' (g a) (List.map g l) = g (List.foldl f a l)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
Nontrivial R
m n : σ
⊢ MvPolynomial.X m = MvPolynomial.X n ↔ m = n
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle x (x + y)).cos = ‖x‖ / ‖x + y‖
M : Type u_4
AddMonoid M
l : List M
p : M → Prop
hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a + b)
unit : p 0
base : ∀ x ∈ l, p x
⊢ p l.sum
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
CompleteSpace E
c : E
⊢ ∫ (x : X) in s, c ∂μ = (μ s).toReal • c
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
R' : Type u_11
Ring R'
MulSemiringAction M R'
S' : Type u_13
Ring S'
MulSemiringAction N S'
f : R' →ₑ+*[φ] S'
x : R'
⊢ f (-x) = -f x
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
⊢ (Walk.map f p).edges = List.map (Sym2.map ⇑f) p.edges
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hg : Memℒp g p μ
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g
⊢ UnifIntegrable ((fun x => g) + fun n => f n - g) p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
⊢ AntilipschitzWith K f ↔ ∀ (x y : α), nndist x y ≤ K * nndist (f x) (f y)
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
this : ∑ i ∈ d.support, d i * n ≤ m * n
⊢ ∑ i ∈ d.support, ((fun n e => f n ^ e) i (d i)).natDegree ≤ m * n
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X✝ I✝ : Set α
M : Matroid α
Y : Set α
I X : Set ↑Y
⊢ (M ↾ Y).Basis ↑I ↑X → I ⊆ X
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Opens ↑↑Z.toPresheafedSpace
⊢ (((pullbackRestrictIsoRestrict (f ≫ g) U).inv ≫ (pullbackRightPullbackFstIso g (Scheme.Opens.ι U) f).inv) ≫ pullback.snd f (pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U))) ≫ pullback.snd g (Scheme.Opens.ι U) = (((pullbackRestrictIsoRestrict f (g ⁻¹ᵁ U)).inv ≫ pullback.snd f (g ⁻¹ᵁ U).ι) ≫ (pullbackRestrictIsoRestrict g U).inv) ≫ pullback.snd g (Scheme.Opens.ι U)
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ s
⊢ compress u v a ∈ s ∧ compress u v (compress u v a) ∈ s ∨ compress u v a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = compress u v a
A : Type v
Ring A
α : Type u_1
f g : α → A
a : α
⊢ ⁅f, g⁆ a = ⁅f a, g a⁆
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s : Set α
⊢ sᶜ ∈ MeasureTheory.ae μ ↔ μ s = 0
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x y : α → Σˣ f
xy : x ≈ y
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range (Sum.elim (fun a => (x a).fst) fun a => (y a).fst))
⊢ ∃ i, ∃ (hx : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))) (hy : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ y))), unify f x i hx = unify f y i hy
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
R : ℝ
A : ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
B : Tendsto (fun ε => ↑ε * μ (closedBall 0 R)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
⊢ ∀ a ∈ Ioi 0, μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ ↑a * μ (closedBall 0 R)
ι : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : OrderedCommMonoid α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderClosedTopology α
f✝ g : ι → α
a a₁ a₂ : α
κ : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommGroup γ
inst✝³ : UniformSpace γ
inst✝² : UniformGroup γ
inst✝¹ : OrderClosedTopology γ
inst✝ : CompleteSpace γ
f : κ → γ
β : Set κ
h : ∀ (a : κ), 1 ≤ f a
hf : Multipliable f
⊢ Multipliable fun a => f a
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Type u
τ : Type u
t : τ
⊢ Function.FromTypes.const p t = fun x => Function.FromTypes.const (Matrix.vecTail p) t
a b c : ℕ
hab : b ≤ a
hcb : c ≤ b
⊢ a - b + (b - c) = a - c
self : CompactlyGenerated
⊢ UCompactlyGeneratedSpace ↑self.toTop
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
⊢ h.isoPullback.inv ≫ fst = CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
l : Filter α
a : α
hf : IsMaxFilter f l a
g : β → γ
hg : Antitone g
⊢ IsMinFilter (g ∘ f) l a
α : Type u_2
AddCommGroup α
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).alternatingSum = a + -l.alternatingSum
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
SemilatticeInf β
f : α → β
⊢ Finset.inf' 0 ⋯ f = f 0
m n : ZNum
⊢ ↑n % ↑m = 0 ↔ ↑n % ↑m = ↑0
R✝ : Type u
inst✝³ : CommRing R✝
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
b : ZMod N
hb_ne : b ≠ 0
hb : e.mulShift b = 1
⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ d < N ∧ e.mulShift ↑d = 1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ p.basisSets) id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f g : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α
⊢ ∀ (x : β), q x → p x ∨ q x
N : ℕ
a u v : Fin 2 → ZMod N
huv : ¬(Disjoint on gammaSet N) u v
f : Fin 2 → ℤ
hf : f ∈ gammaSet N u ∧ f ∈ gammaSet N v
⊢ u = v
α : Type u
β : Type v
Preorder α
⊢ Monotone (Function.const β)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
⊢ ∡ p₁ s.center p₂ = ↑π - 2 • ∡ p₂ p₁ s.center
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
B₂ F₂ : LinearMap.BilinForm R M
e : M' ≃ₗ[R] M
f : Module.End R M
⊢ B₂.IsPairSelfAdjoint F₂ f ↔ (B₂.comp ↑e ↑e).IsPairSelfAdjoint (F₂.comp ↑e ↑e) (e.symm.conj f)
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace β
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
⊢ IsCompact A
α : Type u_1
Mul α
a b : Part α
hab : (a * b).Dom
⊢ a.Dom
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
c : ↑(Set.Ico a b)
⊢ Subtype.val '' Set.Ici c = Set.Ico (↑c) b
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid β
s : Finset γ
t : Finset α
f : γ → α → β
⊢ ∑ x ∈ s, ∑ y ∈ t, f x y = ∑ y ∈ t, ∑ x ∈ s, f x y
α : Type u_1
a b : α
n m : Nat
l : List α
⊢ n ≠ m → (l.set n a).set m b = (l.set m b).set n a
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
m : ℕ
hpm : ¬p ∣ m
hm : f ↑m < 1
M : ℝ := f ↑p ⊔ f ↑m
hM : M = f ↑p ⊔ f ↑m
k : ℕ := ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1
hk : k = ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1
a b : ℤ
bezout : a * ↑p ^ k + b * ↑m ^ k = 1
⊢ False
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
R' : Type u_3
Semiring R'
MulSemiringAction R' A
SMulCommClass R' R A
m : R'
S : Subalgebra R A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (m • S) = m • Subalgebra.toSubmodule S
x : ℝ
⊢ Real.sinh x ≤ x ↔ x ≤ 0
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
⊢ ∃ f, (∀ x ∈ s, f x = x) ∧ range f = s ∧ Continuous f
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
s : Set R[X]
hs : s.Finite
contra : Submodule.span R s = ⊤
n : ℕ
hn : Submodule.span R s ≤ degreeLE R ↑n
this : X ^ (n + 1) ∈ degreeLE R ↑n
⊢ False
G₀ : Type u_2
GroupWithZero G₀
⊢ Set.center G₀ˣ = Units.val ⁻¹' Set.center G₀
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
h : RingHomSurjective f
I : Ideal R
⊢ Ideal.map f I = Submodule.map f.toSemilinearMap I
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : α → β → β
b : β
hd : α
tl : List α
ih : (∀ (a : α), a ∈ tl → ∀ (b : β), f a b = g a b) → foldr f b tl = foldr g b tl
H : ∀ (a : α), a ∈ hd :: tl → ∀ (b : β), f a b = g a b
⊢ foldr f b (hd :: tl) = foldr g b (hd :: tl)
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE
h1 : ↑a = 1
hI : (rotation a) I = (starRingEnd ℂ) I
⊢ False
α : Type u_1
s : Finset α
x : ↑↑s
⊢ ↑x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.const α (μ.bind ⇑κ) = κ ∘ₖ ProbabilityTheory.Kernel.const α μ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : (weight 1) d ≠ n
⊢ coeff d φ = 0
R : Type u
AddMonoid R
StarAddMonoid R
x : R
⊢ star x = 0 ↔ x = 0
c : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.lift.{v, u} c < Cardinal.continuum ↔ c < Cardinal.continuum
G : Type u_7
Group G
l : List G
⊢ l.prod = 1 → ∀ (n : ℕ), (l.rotate n).prod = 1
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ LeftOrdContinuous f → RightOrdContinuous (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : A →ₐ[S] B
h : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y
toQuot✝¹ : Quot (Rel s)
x : A
toQuot✝ : Quot (Rel s)
y : A
⊢ (↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun ({ toQuot := Quot.mk (Rel s) x } + { toQuot := Quot.mk (Rel s) y }) = (↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun { toQuot := Quot.mk (Rel s) x } + (↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun { toQuot := Quot.mk (Rel s) y }
θ : Angle
⊢ (-θ).expMapCircle = θ.expMapCircle⁻¹
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
⊢ ↑((NumberField.Units.logEmbeddingEquiv K) ⟦x⟧) = (NumberField.Units.logEmbedding K) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s t u : Finset α
a b : α
⊢ _root_.Disjoint s t ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ≠ b
α : Type u_2
Add α
LinearOrder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
m n : α
⊢ (OrderEmbedding.addRight m) n = n + m
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
β : Type u_4
u : ι ⊕ β → ↑S.X₂
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))
m : ↑S.X₂
a✝ : m ∈ ⊤
cm : β →₀ R
hm : (cm.sum fun i a => a • (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr) i) = S.g m
m' : ↑S.X₂ := cm.sum fun j a => a • u (Sum.inr j)
n : ↑S.X₁
cn : ι →₀ R
hnm : (cn.sum fun a b => S.f (b • v a)) = m - m'
hn : (cn.sum fun i a => a • v i) = n
⊢ m ∈ span R (range u)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
⊢ (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = ((F.map x✝¹.p).f ≫ (φ.app x✝¹.X).f) ≫ (G.map f.f).f
i j : ℤ
⊢ (lcm i j).natAbs = i.lcm j
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
⊢ (v.onQuot ⋯).supp = 0
α : Sort u
⊢ ⇑Opposite.equivToOpposite = Opposite.op
l m r : List Char
⊢ { data := l ++ m ++ r }.extract { byteIdx := String.utf8Len l } { byteIdx := String.utf8Len l + String.utf8Len m } =
  { data := m }
n k : ℕ
⊢ n * n ^ k ≤ n * n.succ.ascFactorial k
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
⊢ γ.truncate 1 1 = (refl b).cast ⋯ ⋯
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
i : n
⊢ ((toLin v₁ v₂) M) (v₁ i) = ∑ j : m, M j i • v₂ j
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₁) (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X₁ X₂)
α : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 ≤ 4
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : C ≤ A
x✝ : G
⊢ x✝ ∈ ↑(A ⊓ B) * ↑C ↔ x✝ ∈ ↑A ∩ (↑B * ↑C)
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
ε : ℝ
hε : 0 < ε
m : M
⊢ ∃ m_1, f m_1 = f m ∧ ‖m_1‖ < ‖f m‖ + ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
i j k : ℤ
hij : i + 1 = j
hjk : j + 1 = k
⊢ (CochainComplex.mappingCone φ).d i j ≫ (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v j k hjk =
  -(↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v i j hij ≫ F.d j k
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
c : F
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => c) x
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
MulAction R X
p : R
r : X
s : ↥S
⊢ (p /ₒ s) • (r /ₒ 1) = p • r /ₒ s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
hm : f.FinMeasSupp μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑f a ≠ ⊤
⊢ f.lintegral μ < ⊤
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝⁴ : DecidableRel G.Adj
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : NonAssocSemiring α
i j : V
⊢ (1 + adjMatrix α G + fun i j => if i = j then 0 else if adjMatrix α G i j = 0 then 1 else 0) i j = of (fun x x => 1) i j
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
R : Type u_4
Semiring R
Module R M
ContinuousConstSMul R M
ContinuousAdd M
i : Set α
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ (MeasureTheory.VectorMeasure.restrictₗ i) v = v.restrict i
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle (x + y) y = ↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖x + y‖))
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
n✝ : Type u_3
o : Type u_4
p✝ : Type u_5
q✝ : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : CommRing R
m : Type u_14
n : Type u_15
k✝ : Type u_16
inst✝ : Fintype n
p : m → Prop
q : k✝ → Prop
A : Matrix m n R
B : Matrix n k✝ R
i : { a // p a }
k : { a // q a }
⊢ ∑ j : n, A (↑i) j * B j ↑k = ∑ x : { a // ⊤ a }, A ↑i ↑x * B ↑x ↑k
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), (f ≫ g).hom = f.hom ≫ g.hom
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_10, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_11, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_12, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_13, u_4} C₄
F F' : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄))
α : F ⟶ F'
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
i : I₁ × I₂ × I₃
⊢ (((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorMapNatTrans α I₁ I₂ I₃).app X₁).app X₂).app X₃ i =
  ((α.app (X₁ i.1)).app (X₂ i.2.1)).app (X₃ i.2.2)
n : ℕ
⊢ n ∉ n.bitIndices
α : Type u_3
DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q + r) = ↑q + ↑r
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
TopologicalSpace α
ContinuousConstVAdd G α
AddAction.IsMinimal G α
U : Set α
μ.Regular
hμ : μ ≠ 0
hU : IsOpen U
⊢ μ U = 0 ↔ U = ∅
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char
⊢ (if p c = true then Substring.takeWhileAux { data := l ++ c :: (m ++ r) } { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } p { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } else { byteIdx := utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match p c with | true => c :: List.takeWhile p m | false => []) }
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set (IntermediateField F E)
⊢ (sInf S).toSubfield = sInf (IntermediateField.toSubfield '' S)
α : Type u
β : Type v
Mul α
Mul β
f : α → β
hf : IsMulHom f
⊢ IsAddHom f
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
g : γ → α
hg : Measurable g
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.comap 0 g hg = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
LinearOrder ι'
Nonempty ι'
Finite ι
α : ι → Type u_3
s : (i : ι) → ι' → Set (α i)
hs : ∀ (i : ι), Monotone (s i)
⊢ (⋃ j, Set.univ.pi fun i => s i j) = Set.univ.pi fun i => ⋃ j, s i j
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Filter.Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
⊢ ContinuousOn (extendFrom A f) B
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1089083
N' : Type ?u.1089086
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type ?u.1091157
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type ?u.1093228
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
m : M₀
s : ↥S
⊢ ((map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m s) = LocalizedModule.mk (g m) s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
hf : Continuous f
n : ℕ
⊢ Continuous fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : WithBot α
⊢ WithBot.toDual (WithBot.map f a) = WithBot.map (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) (WithBot.toDual a)
n : ℕ
⊢ Xor' (Even n) (Odd n)
D : TopCat.GlueData
x : ↑D.glued
⊢ ∃ i y, (D.ι i) y = x