ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
t : Set α
⊢ μ t = ∑' (g : G), μ (t ∩ (g +ᵥ s))
H : Type u_1
H' : Type u_3
TopologicalSpace H
TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : f =ᶠ[𝓝 x] g
⊢ P f s x ↔ P g s x
c : Cardinal.{u_3}
n : ℕ
⊢ Cardinal.toPartENat c = ↑n ↔ c = ↑n
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
c : ℂ
R : ℝ
h0 : 0 < R
f : ℂ → E
y : E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (Metric.closedBall c R \ {c})
hd : ∀ z ∈ (Metric.ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hy : Filter.Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * Complex.I) • y
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
v : n → α
i : n
x : α
⊢ (diagonal v).updateRow i (Pi.single i x) = diagonal (Function.update v i x)
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : ∀ (u : ℝ), 0 ≤ f u
⊢ 0 ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
U U' : Y.Opens
V : X.Opens
e : V ≤ (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U
i : U' = U
⊢ Y.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom i).op ≫ f.appLE U' V ⋯ = f.appLE U V e
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'
x y : E
⊢ ⟪f x, f y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹² : MeasurableSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β
inst✝⁹ : MeasurableSpace β'
inst✝⁸ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : SFinite ν
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
𝕜 : Type u_8
inst✝¹ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hE : CompleteSpace E
h : ¬Integrable (fun z => f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)
H : ¬Integrable f μ ∨ ¬Integrable g ν
⊢ ∫ (z : α × β), f z.1 • g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α), f x ∂μ) • ∫ (y : β), g y ∂ν
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : M
ha : a < 1
k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ a ^ k < 1
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k n : ℕ
C : ℝ
hC : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f.toFun x‖ ≤ C
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ C
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
hG : G.IsUniform ε s t
hε : ε ≤ 0
⊢ ↑s.card * ε ≤ ↑∅.card
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
s : Set M
κ : Cardinal.{w'}
h3 : lift.{w', max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w'} κ
h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M
s' : Set (ULift.{w', w} M)
h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ #↑s'
h1 : ℵ₀ ≤ #↑s'
hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ
h : lift.{w', w} #↑(⇑Equiv.ulift '' s') = #↑s'
⊢ lift.{w', w} #↥((closure (L.sum L.skolem₁)).toFun (s ∪ ⇑Equiv.ulift '' s')).elementarySkolem₁Reduct = #↑s'
G : Type u_1
Monoid G
x y : G
h : Commute x y
⊢ orderOf y ∣ (orderOf x).lcm (orderOf (x * y))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ HasFTaylorSeriesUpTo 0 f p ↔ Continuous f ∧ ∀ (x : E), (p x 0).uncurry0 = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
h : ∀ (b : ι), MeasurableSet (f b)
⊢ MeasurableSet (⋃ b, f b)
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
a b : α
⊢ ↑a = ↑b ↔ a⁻¹ * b ∈ s
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
f : S ⊗[R] T
J : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
hJ : f ∉ J.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g J.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * f = a ⊗ₜ[R] t
⊢ tensorProductTo R S T ⁻¹' (basicOpen a).carrier ×ˢ (basicOpen t).carrier ⊆ ↑(basicOpen f)
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
k : Set X
hk : IsCompact k
k_mem : k ∈ 𝓝 x
f : C(X, ℝ)
fk : EqOn (⇑f) 1 k
f_comp : HasCompactSupport ⇑f
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
this : f x = 1 x
⊢ f x ≠ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
s t : 𝕜 → 𝕜
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
ht : MeromorphicOn t U
⊢ MeromorphicOn (s / t) U
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Invertible 2
a : α
⊢ sym (a * a) = sym a * sym a
α : Type u
f g : α → α
x : α
hf : Function.IsFixedPt f x
h : Function.LeftInverse g f
⊢ Function.IsFixedPt g x
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
s t : Set E
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (s - t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 t
R : Type u_1
x : R
Zero R
Pow R ℕ
IsReduced R
h : IsNilpotent x
⊢ x = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} C'
D : CategoryTheory.GlueData C
F : CategoryTheory.Functor C C'
H : (i j k : D.J) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
CategoryTheory.Limits.HasMulticoequalizer D.diagram
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit D.diagram.multispan F
i : D.J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (D.ι i)) (D.gluedIso F).hom = (D.mapGlueData F).ι i
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hsm : NullMeasurableSet s μ
hs₀ : μ s ≠ 0
t : Set α
hsub : t ⊆ s
htm : MeasurableSet t
hts : t =ᶠ[ae μ] s
x : α
hxt : x ∈ t
m : ℕ
hm₀ : m ≠ 0
hmt : f^[m] x ∈ t
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[m] x ∈ s
R : Type u
n : ℕ
CommRing R
IsDomain R
hn : 0 < n
⊢ 1 ∈ Polynomial.nthRootsFinset n R
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
y : Y
⊢ 𝓝 (Sum.inr y) = Filter.map Sum.inr (𝓝 y)
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ s.re
n : ℕ
hn : n ≥ 1
⊢ ‖↑n ^ s.re‖ = ↑n ^ s.re
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
hf : Smooth I I' f
⊢ MDifferentiable I I' f
a b c : ℝ≥0∞
⊢ a ≠ ⊤ → b < c → b + a < c + a
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), r i n < n
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ (baseChange W B).toAffine.polynomialY = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) (baseChange W A).toAffine.polynomialY
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
Group α
MulDistribMulAction α G
a : α
S T : Subgroup G
⊢ a • S ≤ T ↔ S ≤ a⁻¹ • T
α : Type u_7
TopologicalSpace α
s : Set α
a : α
p : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 a, p x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[s] a, p x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
s : Set E
f₂ : E → F × G
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f₂ s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun x => (f₂ x).2) s x = (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 F G).comp (fderivWithin 𝕜 f₂ s x)
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p q : R[X]
hpq : p ∣ q
h₁ : q.natDegree ≤ p.natDegree
h₂ : q.leadingCoeff ∣ p.leadingCoeff
⊢ Associated p q
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
g h : G
X : LeftInvariantDerivation I G
⊢ (LeftInvariantDerivation.evalAt (g * h)) X = (𝒅ₕ ⋯) ((LeftInvariantDerivation.evalAt h) X)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
⊢ α.symm.symm = α
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommMonoid α
a : α
⊢ a + a < 0 ↔ a < 0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfcₙ id a = a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
DiscreteTopology α
f : α → β
⊢ ∀ (a : α), ((ContinuousMap.equivFnOfDiscrete α β).symm f) a = f a
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x r y : ℝ
⊢ y ∈ closedBall x r ↔ y ∈ Icc (x - r) (x + r)
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a : α
⊢ Function.Surjective fun x => x ⇔ a
l : Filter ℂ
hre : Filter.Tendsto Complex.re l Filter.atTop
him_le : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l Complex.im
him_ge : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l Complex.im
⊢ Complex.IsExpCmpFilter l
R : Type u_1
AddCommGroup R
f g : ℕ → R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
hs₀ : 0 ∉ s
⊢ (∀ n ∈ s, ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔
  ∀ n ∈ s, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ArithmeticFunction.moebius x.1 • g x.2 = f n
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N N₂ : LieSubmodule R L M
⊢ LieSubmodule.map f (N ⊔ N₂) = LieSubmodule.map f N ⊔ LieSubmodule.map f N₂
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
a : P.mp.A
f : P.mp.B a ⟹ α
⊢ dest P ⟨a, g ⊚ f⟩ = ⟨(PFunctor.M.dest ⟨a, f⟩.fst).fst, splitFun (g ⊚ pathDestLeft P ⋯ ⟨a, f⟩.snd) ((fun x => g <$$> x) ∘ fun x => ⟨(PFunctor.M.dest ⟨a, f⟩.fst).snd x, pathDestRight P ⋯ ⟨a, f⟩.snd x⟩)⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Option α → β
h_some : Injective fun x => f (some x)
h_none : ∀ (x : α), ¬f (some x) = f none
hab : f none = f none
⊢ none = none
m : ℤ
n : ℕ
⊢ m.pow n = m ^ n
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ≠ p
hp₂ : p₂ ≠ p
⊢ ∡ p₁ p p₂ = 0 ↔ ∠ p₁ p p₂ = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
f : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter f
hf : ∀ x ∈ s, sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f
⊢ sᶜ ∈ f
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ E
InnerProductSpace ℝ F
f : E → F
x : E
f' : E →L[ℝ] F
h : HasFDerivAt f f' x
H : ConformalAt f x
u v : E
⊢ ⟪f' u, f' v⟫_ℝ = conformalFactorAt H * ⟪u, v⟫_ℝ
R : Type u_1
CommRing R
Invertible 2
n : ℕ
⊢ Polynomial.Chebyshev.T R ↑n = Polynomial.C ⅟2 * (Polynomial.dickson 1 1 n).comp (2 * Polynomial.X)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
x : ℝ
⊢ Real.sin (x - 2 * Real.pi) = Real.sin x
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
S : Set G
⊢ S ∈ AddSubgroup.leftTransversals ↑H ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientAddGroup.leftRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
β : α → Type u_3
inst✝ : Fintype α
⊢ Nat.card ((a : α) → β a) = ∏ a : α, Nat.card (β a)
σ : Type u_1
Fintype σ
DecidableEq σ
R : Type u_2
CommRing R
k : ℕ
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R
⊢ ∑ t ∈ Finset.filter (fun t => t.1.card = k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k), f t =
  ∑ A ∈ Finset.powersetCard k Finset.univ, ∑ j ∈ A, f (A, j)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hfg : range f = range g
b : β
H : ∀ a < b, f a = g a
c : β
hc : f c = g b
⊢ f b ≤ g b
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
fa : AnalyticAt ℂ f x
ga : AnalyticAt ℂ g x
m : f x ∈ slitPlane
e : (fun z => f z ^ g z) =ᶠ[𝓝 x] fun z => cexp (log (f z) * g z)
⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => cexp (log (f z) * g z)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ (s₁ ∩ s₂) ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ s₁ ×ˢ t ∩ s₂ ×ˢ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
⊢ Memℒp f 1 μ ↔ Integrable f μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ ∀ {X Y : ChainComplex C ℕ} (f : X ⟶ Y) (Δ : SimplexCategoryᵒᵖ),
  (CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.Γ.map f).app Δ =
    (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting X).desc Δ fun A =>
      f.f (Opposite.unop A.fst).len ≫ ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting Y).cofan Δ).inj A
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
m n : ℤ
⊢ a ^ (m - n) = a ^ m * (a ^ n)⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
y : ↥T†.domain
⊢ (if hT : Dense ↑T.domain then adjointAux hT else 0) y = (adjointAux hT) y
m : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
Fintype m
DecidableEq m
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
A : Matrix m m S
⊢ (MvPolynomial.aeval fun p => A p.1 p.2).mapMatrix (Matrix.mvPolynomialX m m R) = A
M : Type u_3
AddMonoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : M
h : a + b ≤ 2 • c
⊢ min a b ≤ c
I : Type u
inst✝⁶ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C
inst✝³ : X₃.HasTensor X₄
inst✝² : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)
inst✝¹ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))
j : I
A : C
f g : tensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) j ⟶ A
inst✝ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄
H : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄
h : ∀ (i₁ i₂ i₃ i₄ : I) (h : i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = j), ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ f = ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ g
⊢ ∀ (i₁ i₂ : I) (hi : i₁ + i₂ = j), ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂ j hi ≫ f = ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂ j hi ≫ g
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
⊢ UpperSet.Ici a = UpperSet.Ici b ↔ a = b
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m < n ↔ m + 1 ≤ n
I : Type u_1
J : Type u_2
R : Type u_5
K : Type u_6
CommSemiring K
Semiring R
Fintype I
Fintype J
Algebra K R
DecidableEq I
DecidableEq J
n : Matrix (I × J) (I × J) R
i j : I
k l : J
⊢ (Matrix.compAlgEquiv I J R K).symm n i j k l = n (i, k) (j, l)
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : DivisionRing K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : AddCommGroup V'
inst✝⁶ : Module K V'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
db : V₂ →ₗ[K] V
eb : V₃ →ₗ[K] V
cd : V₁ →ₗ[K] V₂
ce : V₁ →ₗ[K] V₃
hde : ⊤ ≤ LinearMap.range db ⊔ LinearMap.range eb
hgd : ker cd = ⊥
eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce
eq₂ : ∀ (d : V₂) (e : V₃), db d = eb e → ∃ c, cd c = d ∧ ce c = e
hf : Surjective ⇑(db.coprod eb)
⊢ Module.rank K V + Module.rank K V₁ = Module.rank K V + Module.rank K ↥(ker (db.coprod eb))
R : Type u
Ring R
n : ℕ
⊢ (descPochhammer R (n + 1)).comp (Polynomial.X - 1) =
  descPochhammer R (n + 1) - (↑n + 1) • (descPochhammer R n).comp (Polynomial.X - 1)
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ groupCohomology.dOne A ∘ₗ ↑(groupCohomology.oneCochainsLequiv A) =
  ↑(groupCohomology.twoCochainsLequiv A) ∘ₗ (groupCohomology.inhomogeneousCochains A).d 1 2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → Preorder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ f < g ↔ f ≤ g ∧ ∃ i, f i < g i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
⊢ Ico a b ⊆ closure (interior (Ico a b))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), g a ≤ᶠ[ae (κ a)] f a
⊢ (κ.withDensity fun a x => f a x - g a x) + κ.withDensity g = κ.withDensity f
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.card = 0 ↔ s = ∅
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hω : cs.IsReduced ω
t : W
ht : t ∈ cs.leftInvSeq ω
⊢ cs.IsLeftInversion (cs.wordProd ω) t
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x₁ y₁ x₂ y₂ : α
⊢ dist x₁ y₁ ≤ dist x₁ x₂ + dist x₂ y₂ + dist y₂ y₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesFilteredColimits (forget C)
F : Presheaf C X
U V : Opens ↑X
x : ↑X
mU : x ∈ U
mV : x ∈ V
s : (forget C).obj (F.obj (op U))
t : (forget C).obj (F.obj (op V))
h : (F.germ ⟨x, mU⟩) s = (F.germ ⟨x, mV⟩) t
W : (OpenNhds x)ᵒᵖ
iU : op { obj := U, property := ⋯ } ⟶ W
iV : op { obj := V, property := ⋯ } ⟶ W
e : (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ F) ⋙ forget C).map iU s = (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ F) ⋙ forget C).map iV t
⊢ ∃ W, ∃ (_ : x ∈ W), ∃ iU iV, (F.map iU.op) s = (F.map iV.op) t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ h.unop.h₀ = h.h₃.unop
α : Type u_2
ι : Type u_5
LinearOrder α
OrderTop α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ s.inf f < a ↔ ∃ b ∈ s, f b < a
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DecidableEq ι
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
C : Module.DirectLimit G f → Prop
z : Module.DirectLimit G f
ih : ∀ (i : ι) (x : G i), C ((Module.DirectLimit.of R ι G f i) x)
⊢ C z
α : Type u_1
M : Type u_5
MulOneClass M
f g : α → M
⊢ (Function.mulSupport fun x => f x * g x) ⊆ Function.mulSupport f ∪ Function.mulSupport g
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
f : ι → α
a : α
⊢ ⋃ i, Ico (f i) a = Iio a ↔ ∀ x < a, ∃ i, f i ≤ x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
A : Type u_10
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
SmoothRing 𝓘(𝕜, A) A
⊢ ∀ (a : C^⊤⟮I, N; 𝓘(𝕜, A), A⟯) (a_1 : N), SmoothMap.coeFnAlgHom a a_1 = a a_1
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → β
b : β
a : α
l : List α
⊢ f a (foldr (fun a x => (f a x.1, x.1 :: x.2)) (b, []) l).1 = f a (foldr f b l)
α : Type u_1
a b : α
s : α → α → Bool
l r : List α
h : ¬s a b = true
⊢ List.merge s (a :: l) (b :: r) = b :: List.merge s (a :: l) r
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
x : α
hx_top : ¬f x = ⊤
hx_zero : ¬f x = 0
⊢ f x * (f x)⁻¹ ≤ 1
n : ℕ
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
⊢ n.factorization p = padicValNat p n
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
y : ↑(Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f))
⊢ ((Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.g f) x) (Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.fromCoset y) =
  Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.fromCoset ⟨x • ↑y, ⋯⟩
V W : SemiNormedGrp
x : ↑V
⊢ 0 x = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
⊢ (∃ u, u.card = k ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜) ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ (t \ s).card = k
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.43710, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.43714, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasColimit (F ⋙ eval C c n)
n m : ι
h : ¬c.Rel n m
j : J
⊢ colimit.ι (F ⋙ eval C c n) j ≫ (fun n m => colimMap { app := fun j => (F.obj j).d n m, naturality := ⋯ }) n m = colimit.ι (F ⋙ eval C c n) j ≫ 0
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
ε₁ ε₂ : ℝ
h : ε₁ + dist x y < ε₂
⊢ Metric.closedBall x ε₁ ⊆ Metric.ball y ε₂
α : Type u_1
p : α → Bool
y : α
xs : List α
w : xs.get? (findIdx p xs) = some y
⊢ p y = true
R : Type uR
ι : Type uι
CommSemiring R
A : Type u_1
CommSemiring A
Algebra R A
Fintype ι
m : ι → A
⊢ (MultilinearMap.mkPiAlgebra R ι A) m = ∏ i : ι, m i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
x : α × β
a' : α
b' : β
⊢ (a', b') ∈ (G □ H).neighborSet x ↔ (a', b') ∈ G.neighborSet x.1 ×ˢ {x.2} ∪ {x.1} ×ˢ H.neighborSet x.2
R : Type u_2
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
ht : LinearIndependent R fun (x : ↑t) => ↑x
hst : Disjoint (Submodule.span R s) (Submodule.span R t)
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(s ∪ t)) => ↑x
f g : CircleDeg1Lift
G : Type u_1
inst✝ : Group G
f₁ f₂ : G →* CircleDeg1Lift
h : ∀ (g : G), τ (f₁ g) = τ (f₂ g)
this : ∀ (x : ℝ), BddAbove (range fun g => (f₂ g⁻¹) ((f₁ g) x))
⊢ ∃ F, ∀ (g : G), Semiconj ⇑F ⇑(f₁ g) ⇑(f₂ g)
M : Type u_1
R : Type u_2
Group M
Semiring R
MulSemiringAction M R
a : M
S T : Subsemiring R
⊢ a • S ≤ a • T ↔ S ≤ T
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
x : E
⊢ LineDifferentiableAt 𝕜 f x 0
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module.Free R M₁
cnd : lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')
α : Type v
B : Basis α R M
⊢ Nonempty (M ≃ₗ[R] M')