ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
⊢ (List.enumFrom n l).length = l.length
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
⊢ (List.modifyNth f n l).length = l.length
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a : α
⊢ |1 / a| = 1 / |a|
ι : Type u_1
N : Type u_5
DecidableEq ι
AddCommGroup N
p : ι → AddSubgroup N
⊢ CompleteLattice.Independent p ↔ Function.Injective ⇑(DFinsupp.sumAddHom fun i => (p i).subtype)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p ⊤
g : γ → α
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p ⊤
x : ℝ
n : ℕ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hxr : x ^ n = ↑m
hv : (multiplicity (↑p) m).get ⋯ % n ≠ 0
hnpos : n > 0
⊢ Irrational x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁵ : Semifield K
inst✝⁴ : Semifield K₂
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
a : K
⊢ range (a • f) = ⨆ (_ : a ≠ 0), range f
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
h : ofFn f ≠ []
hn : optParam (n - 1 < n) ⋯
⊢ (ofFn f).getLast h = f ⟨n - 1, hn⟩
V : Type u_1
SeminormedAddCommGroup V
s : AddSubgroup V
self : ↥s
⊢ (NormedAddGroupHom.incl s) self = ↑self
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : Nonempty ι
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν
h_sing : μ.singularPart ν ⟂ₘ ν
⊢ (μ.singularPart ν) h_sing.nullSetᶜ = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
s : Finset α
hs1 : s ∈ 𝒜
hs2 : a ∈ s
⊢ s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s.erase a
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
hmt : MeasurableSet t
⊢ μ[|s] t = (μ s)⁻¹ * μ[|t] s * μ t
α : Type u_2
I : Type u_1
CommMonoid α
DecompositionMonoid α
x : α
s : I → α
t : Finset I
⊢ (∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) x) → IsRelPrime (∏ i ∈ t, s i) x
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
⊢ intrinsicFrontier 𝕜 ∅ = ∅
n k : ℕ
this✝ : n + (k + 1) < n + 1 + (k + 1)
this : n + 1 + k < n + 1 + (k + 1)
⊢ (n + 1).multichoose (k + 1) = (n + 1 + (k + 1) - 1).choose (k + 1)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
Nonempty α
f : α → β
b : β
h : ¬∃ a, f a = b
⊢ Function.invFun f b = Classical.choice inst✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor.obj sq).hom.right = sq.f₃₄
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ <+~ l₂ ↔ ∀ (x : α), x ∈ l₁ → count x l₁ ≤ count x l₂
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝¹ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
inst✝ : Finite ι
h_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i j : ι
⊢ IsClosed (s j \ s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
e : r ≃r s
⊢ e.symm.trans e = RelIso.refl s
α : Type u_1
E : Type u_3
F'' : Type u_10
Norm E
NormedAddCommGroup F''
f : α → E
g'' : α → F''
h : f =O[Filter.cofinite] g''
⊢ ∃ C > 0, ∀ ⦃x : α⦄, g'' x ≠ 0 → ‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖
α β : Type u
⊢ #(α ≃ β) = 0 ↔ #α ≠ #β
n : ℕ
hn : NeZero n
⊢ ¬orderOf (a 1) < 2 * n
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
a : α
h : IsLocalExtr f a
s : Set α
⊢ IsLocalExtrOn f s a
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
M₁' : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
(i : ι) → Module R (M₁' i)
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
⊢ MultilinearMap.compLinearMap 0 f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → ℝ≥0∞
g : β → ℝ≥0∞
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : β), g x ∂ν
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → Zero (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a
⊢ (f.neLocus g).Nonempty ↔ f ≠ g
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Group S
DistribMulAction S M
SMulCommClass S R M
s : S
⊢ ∀ (a : M), (DistribMulAction.toLinearEquiv R M s) a = s • a
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
a : A
⊢ 0 ∈ spectrum R a ↔ ¬IsUnit a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s
hab : a ≠ b
⊢ { ofColex := cons a s ha } ≤ { ofColex := cons b s hb } ↔ a ≤ b
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
h : ⊥.jacobson = ⊥
⊢ ⊥.jacobson = ⊥
R : Type u_1
Semiring R
s : Set R
z : R
⊢ z ∈ Subsemiring.centralizer s ↔ ∀ g ∈ s, g * z = z * g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
NormedAddCommGroup γ
BorelSpace γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ ↔ MeasureTheory.Integrable g ν
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : IsEmpty α
⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
α : Type u_1
G : Type u_6
AddGroup G
s : Set α
f : α → G
⊢ s.indicator (-f) = -s.indicator f
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring R
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
AddMonoid ι
SetLike.GradedMonoid A
(i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
⊢ ↑((r * r') n) = DFinsupp.sum r fun i ri => DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
e : ((i : Subtype p) → α ↑i) × ((i : { i // ¬p i }) → α ↑i) ≃ᵐ ((i : ι) → α i) := (MeasurableEquiv.piEquivPiSubtypeProd α p).symm
s : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
this : ⇑e ⁻¹' univ.pi s = (univ.pi fun i => s ↑i) ×ˢ univ.pi fun i => s ↑i
⊢ (∏ i : Subtype p, (μ ↑i) (s ↑i)) * ∏ i : { i // ¬p i }, (μ ↑i) (s ↑i) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
l : Filter γ
q : β → β → Prop
u : γ → α
v : α → β
hv : ∀ (a₀ a₁ : α), r a₀ a₁ → q (v a₀) (v a₁)
⊢ Filter.IsBoundedUnder r l u → Filter.IsBoundedUnder q l (v ∘ u)
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : MulSemiringAction M S
m : M
f : S[X]
x : S
n : ℕ
r : S
x✝ : eval (m • x) (m • (C r * X ^ n)) = m • eval x (C r * X ^ n)
⊢ eval (m • x) (m • (C r * X ^ (n + 1))) = m • eval x (C r * X ^ (n + 1))
m n✝ a n : ℕ
⊢ (pred ∘ pred^[n]) a = (a - n).pred
R : Type u_1
StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
Finite ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
⊢ (Orientation.map ι f) x = (LinearEquiv.det f)⁻¹ • x
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
h : (multiplicity p (n + 1)).Dom
hpn : ¬p ^ ((multiplicity p (n + 1)).get h + 1) ∣ n + 1
k : ℕ
hk : n + 1 = p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h * k
⊢ multiplicity (↑p) ((x ^ p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h) ^ k - (y ^ p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h) ^ k) = multiplicity (↑p) (x - y) + multiplicity p (n + 1)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
i : IsLimit c
Z : C
g : Y ⟶ Z
hg : Mono g
h : X ⟶ Z
hh : h = f ≫ g
s : KernelFork h
⊢ Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0
α : Type u_1
Preorder α
a : α
One α
⊢ 1 ≤ ↑a ↔ 1 ≤ a
α : Type u_3
β : Type u_4
Nonempty α
SemilatticeSup α
Preorder β
NoMinOrder β
f : α → β
h : Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atBot
⊢ ¬BddBelow (Set.range f)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝³ : MeasurableSpace β✝
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α✝
s t : Set α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
g : α → β
g_mble : NullMeasurable g μ
level_sets_disjoint : Pairwise (Disjoint on fun t => {a | g a = t})
⊢ {t | 0 < μ {a | g a = t}}.Countable
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Zero X
f : ContinuousMapZero X ℝ
x : X
⊢ f.toNNReal x = (f x).toNNReal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
f : α → β
⊢ f '' ⋂₀ S ⊆ ⋂ s ∈ S, f '' s
R : CommRingCat
f : ↑R
x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace
⊢ x ∈ ↑((Spec R).basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso R).inv f)) ↔ x ∈ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f)
α : Type u
Lattice α
a b : α
⊢ a ⊓ (a ⊔ b) = a
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
x : (M →ₗ[R] P) ⊗[R] Q
⊢ (rTensorHomEquivHomRTensor R M P Q) x = (rTensorHomToHomRTensor R M P Q) x
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F TotalSpace.proj
this : ∀ z ∈ e.baseSet ×ˢ univ, { proj := z.1, snd := e.symm z.1 z.2 } = ↑e.symm z
⊢ ContinuousOn (↑e.symm) e.target
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
e : r ≃r s
⊢ Set.range ⇑e = Set.univ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
⊢ (trivializationAt E (TangentSpace I) x).source = Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' (chartAt H x).source
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ Finset.Ioi (OrderDual.toDual a) = Finset.map OrderDual.toDual.toEmbedding (Finset.Iio a)
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
AddCommGroup V₁
Module K V₁
W : Subspace K V₁
⊢ (Submodule.dualCopairing W).Nondegenerate
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.withDensity 0 = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ B' I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
⊢ I ⊆ M.E
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M✝ M N : Mon_ C
f : M.X ≅ N.X
one_f : autoParam (M.one ≫ f.hom = N.one) _auto✝
mul_f : autoParam (M.mul ≫ f.hom = (f.hom ⊗ f.hom) ≫ N.mul) _auto✝
⊢ (N.mul ≫ f.inv) ≫ f.hom = (f.inv ⊗ f.inv) ≫ (f.hom ⊗ f.hom) ≫ N.mul
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
h : Convex 𝕜 s
x : E
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : 1 ≤ t
⊢ x ∈ t • s
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set β
f : α → β
hf : (f ⁻¹' s).Nonempty
⊢ s.Nonempty
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
LinearOrder α
a b : α
P : α → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ Ι a b → P x) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ Set.Ioc a b → P x) ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ Set.Ioc b a → P x
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
y : α → α
s : Set α
h : s.PairwiseDisjoint fun x => Set.Ioo x (y x)
h' : ∀ x ∈ s, x < y x
⊢ s.Countable
x : ℝ*
⊢ x.InfiniteNeg → x < 0
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y
⊢ 2 / (1 - rexp (-π * τ.im)) * rexp (-π * τ.im) ≤ 2 / (1 - rexp (-π)) * rexp (-π * τ.im)
α : Type u
IsEmpty α
r : α → α → Prop
s : Set α
⊢ Set.Unbounded r s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc
⊢ X.σ j.succ ≫ X.δ i.castSucc = X.δ i ≫ X.σ j
α : Type u
Preorder α
s : Set α
⊢ BddAbove s ↔ ∃ x, ∀ y ∈ s, y ≤ x
α : Type u
PseudoMetricSpace α
Preorder α
CompactIccSpace α
s : Set α
h₁ : BddAbove s
h₂ : BddBelow s
⊢ Bornology.IsBounded s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Option α → β
⊢ (fun x => x.elim (f none) (f ∘ some)) = f
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
i j : ι
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
⊢ (HomologicalComplex.HomologySequence.composableArrows₃Functor C i j).map φ =
  CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₃ (HomologicalComplex.homologyMap φ i) (HomologicalComplex.opcyclesMap φ i)
    (HomologicalComplex.cyclesMap φ j) (HomologicalComplex.homologyMap φ j) ⋯ ⋯ ⋯
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
NoZeroSMulDivisors R M
⊢ 0 < Module.rank R M ↔ ∃ x, x ≠ 0
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ ⊤.boxes = {I}
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
R : Type u_10
Semiring R
MulSemiringAction M R
S : Type u_12
Semiring S
MulSemiringAction N S
f : R →ₑ+*[φ] S
x y : R
⊢ f (x + y) = f x + f y
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
l : List α
l' : List β
i : ℕ
h : i < (zipWith f l l').length
⊢ (zipWith f l l')[i] = f l[i] l'[i]
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (Ioc δ ε).Nonempty
α : Type u_3
Sup α
a : α
⊢ (SupHom.id α) a = a
G : Type u_2
MeasurableSpace G
InvolutiveInv G
MeasurableInv G
μ : MeasureTheory.Measure G
⊢ μ.inv.inv = μ
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
⊢ IsFractional R₁⁰ I → IsFractional R₁⁰ J → J ≠ 0 → IsFractional R₁⁰ (I / J)
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
G' : ι → Type v'
(i : ι) → CommRing (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j
g : (i : ι) → G i →+* G' i
hg : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g i)
i : ι
x : G i
⊢ (Ring.DirectLimit.map g hg) ((Ring.DirectLimit.of G (fun x x_1 h => ⇑(f x x_1 h)) i) x) =
  (Ring.DirectLimit.of G' (fun x x_1 h => ⇑(f' x x_1 h)) i) ((g i) x)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)
h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0
⊢ ((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
φ : ℕ → R
hx : x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree = -∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (algebraMap R S) p * ((algebraMap R S) (φ ↑i) * x ^ ↑i)
hφ : ∀ n < f.natDegree, f.coeff n = p * φ n
⊢ ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = (algebraMap R S) p * (-1 * ∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (algebraMap R S) (φ ↑i) * x ^ ↑i)
ι : Type u_1
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
x : X
⊢ ⋂ i, ⋂ (_ : x ∉ f i), (f i)ᶜ ∈ 𝓝 x
n : ℕ
⊢ Finset.univ = { val := ↑(List.finRange n), nodup := ⋯ }
α : Type u_1
l : Filter α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, p x
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
Add β
Add γ
f : α → β → γ
hf : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : β), f a (b₁ + b₂) = f a b₁ + f a b₂
A : Matrix l m α
B₁ B₂ : Matrix n p β
⊢ Matrix.kroneckerMap f A (B₁ + B₂) = Matrix.kroneckerMap f A B₁ + Matrix.kroneckerMap f A B₂
α : Type u_3
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
Fintype ↑(Set.Ioo a b)
⊢ (Set.Ioo a b).toFinset = Finset.Ioo a b
S : Set Ordinal.{u}
⊢ enumOrd (range id) = id
l₁ l₂ : BoxIntegral.IntegrationParams
ι : Type u_2
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
h : l₁ ≤ l₂
hr : l₂.RCond r
⊢ l₁.RCond r
K : Type u_1
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
c : ℝ
⊢ (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) (fun x => c, fun x => ↑c) = |c|
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
n d : ℕ
⊢ (trunc n f.derivativeFun).coeff d = (derivative (trunc (n + 1) f)).coeff d
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
ι : Type u_1
g : ι → R[X]
s : Finset ι
⊢ Polynomial.map f (∑ i ∈ s, g i) = ∑ i ∈ s, Polynomial.map f (g i)
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
b : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMin a → C (Order.pred a)
hl : (a : α) → Order.IsPredLimit a → C a
hb : Order.IsPredLimit b
⊢ Order.isPredLimitRecOn b hs hl = hl b hb
n e : ℕ
⊢ 0 < e → n < 10 ^ e → n.repr.length ≤ e
ι : Type u_6
π : ι → Type u_7
(i : ι) → Preorder (π i)
i : ι
⊢ ⇑(Pi.evalOrderHom i) = Function.eval i
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
p : Submodule R₂ M₂
h : ∀ (x : M₁), f x ∈ p
⊢ ↑(f.codRestrict p h) = LinearMap.codRestrict p (↑f) h
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0
a_mble : Measurable a
a_summable : Summable a
c : ℝ≥0
tsum_le_c : ∑' (i : α), a i ≤ c
ε : ℝ≥0
ε_ne_zero : ε ≠ 0
⊢ MeasureTheory.Measure.count {i | ε ≤ a i} ≤ ↑c / ↑ε
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
DecidableEq α
⊢ a ∈ s → (s.erase a).card = s.card - 1
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Mul (f i)
i : I
g : (i : I) → f i
⊢ (Pi.evalMulHom f i) g = g i
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p✝ p₀✝ p₁ p₂ p₀ p : P
⊢ ∠ p p₀ p₀ = π / 2
q : ℝ
hq' : 1 < q
n : ℕ
⊢ (q - 1) ^ n.totient ≤ Polynomial.eval q (Polynomial.cyclotomic n ℝ)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F.op
⊢ c.unop.ι = CategoryTheory.NatTrans.removeOp c.π
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hxz' : 0 < z - x
⊢ (f y - f x) * (z - x) < (f z - f x) * (y - x)
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l : Line α ι
i : ι
a x : α
h : l.idxFun i = some a
⊢ (fun x i => (l.idxFun i).getD x) x i = a
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ (CategoryTheory.TwoSquare.EquivalenceJ.functor w g).map φ =
  CategoryTheory.CostructuredArrow.homMk (CategoryTheory.StructuredArrow.homMk φ.right.left ⋯) ⋯
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
s : Finset σ
a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
hd : (algebraMap R (MvPolynomial σ R)) r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'
⊢ C r ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ C r ∣ (rename Subtype.val) b'
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
⊢ angle x (x + -y) ≤ π / 2
α : Type u_1
DecidableEq α
f g : α → α
h : Function.Commute f g
⊢ Function.Commute (Finset.image f) (Finset.image g)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 4 → β
⊢ ∏ i : Fin 4, f i = f 0 * f 1 * f 2 * f 3
n : ℕ
⊢ n + (n - 1) = 2 * n - 1
K : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₂
S : Finset Λ
q : Stmt₂
ss : Supports M S
⊢ some q ∈ stmts M S → SupportsStmt S q
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
Archimedean α
a : α
b : β
⊢ b < LinearOrderedField.inducedMap α β a ↔ ∃ q, b < ↑q ∧ ↑q < a
M : Type u
Monoid M
⊢ (CategoryTheory.SingleObj.mapHom M M) (MonoidHom.id M) = 𝟭 (CategoryTheory.SingleObj M)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
i j : ℕ
hi : i < k
hj : j < k
H : ζ ^ i = ζ ^ j
hij : i ≤ j
⊢ k ∣ j - i
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Group α
g : GroupTopology α
this✝ : TopologicalSpace α := g.toTopologicalSpace
this : TopologicalGroup α
⊢ Continuous Inv.inv
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β = chainLength α β
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = 0
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
⊢ hA.cfcAux (ContinuousMap.restrict (spectrum ℝ A) (ContinuousMap.id ℝ)) = A
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
CompleteLattice α
CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
ι : Sort x
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → β
⊢ l (⨅ i, ⨅ (hi : p i), u (f i hi)) = ⨅ i, ⨅ (hi : p i), f i hi
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
TopologicalSemiring A
ContinuousStar A
s : StarSubalgebra R A
⊢ s.topologicalClosure.toSubalgebra = s.topologicalClosure
α : Type u_1
xs : List α
⊢ (↑xs).sym2 = ↑xs.sym2
a b n : ℤ
⊢ a ≡ b [ZMOD n] ↔ ∃ t, b = a + n * t
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
⊢ (∀ (i : Cone (S.arrows.diagram.op ⋙ P)), Nonempty (Unique (i ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op))) ↔ ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
x : E
hx : x ∈ {x | gauge s x < 1}
⊢ x ∈ interior s
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
ι : Sort u_4
p : α → ι → Prop
hp : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ι), p a i
i : ι
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, p a i
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a b : E
f' : ℝ
h : IsMaxOn f s a
hd : HasLineDerivAt ℝ f f' a b
h' : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, a + t • b ∈ s
⊢ f' = 0