ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
M₀ : PresheafOfModules R₀
⊢ (toPresheaf R.val).map ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map (𝟙 M₀)).val = (toPresheaf R.val).map (𝟙 ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.obj M₀)).val
K : Type w
Field K
f : K[X]
hf : f.Monic
hf' : f ≠ 0 := ⋯
⊢ minpoly K (AdjoinRoot.powerBasis hf').gen = f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : CategoryTheory.Center C
⊢ (ρ_ X).hom.f = (ρ_ X.fst).hom
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set (Set R)
⊢ zeroLocus (⋃ s' ∈ s, s') = ⋂ s' ∈ s, zeroLocus s'
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : ¬AEMeasurable f μ
⊢ μ.tilted f = 0
R : Type uR
n : ℕ
CommSemiring R
A : Type u_1
Semiring A
Algebra R A
a : A
⊢ ((MultilinearMap.mkPiAlgebraFin R n A) fun x => a) = a ^ n
x : UInt16
n : Nat
⊢ (x.modn n).toNat = x.toNat % n
α : Type u_1
s✝ t : Finset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
⊢ s ⩿ insert a s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ∞
c : E → F →L[𝕜] G
hc : ContDiff 𝕜 n c
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
x : E
u : F
m : Fin i → E
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun y => (c y) u) univ x) m = ((iteratedFDerivWithin 𝕜 i c univ x) m) u
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : SeparatingDual R V
inst✝ : T1Space R
x y : V
hxy : x ≠ y
f : V →L[R] R
hf : f x ≠ f y
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ Submodule.map CliffordAlgebra.involute.toLinearMap (LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q)) =
  LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q)
ι : Type u_1
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
x : X
⊢ {b | x ∈ f b}.Finite
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ ‖NormedSpace.inclusionInDoubleDual 𝕜 E‖ ≤ 1
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ (1 + x ^ 2)⁻¹
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
P : K[X]
hmo : P.Monic
hP : Splits (RingHom.id K) P
⊢ (Multiset.map (HMul.hMul (-1)) P.roots).prod = (-1) ^ P.natDegree * P.roots.prod
R : Type u_2
A : Type u_3
M : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
a : A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
p : Submodule R M
hp : p ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) p
q q₁ q₂ : Submodule R[X] (AEval R M a)
hq : (comapSubmodule R M a) q₁ = (comapSubmodule R M a) q₂
⊢ q₁ = q₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
f : α → β
f' : β → α
hf : Set.LeftInvOn f' f s
⊢ f '' (s₁ ∩ s) = f' ⁻¹' (s₁ ∩ s) ∩ f '' s
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g ≅ h
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η.hom)
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η.inv) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
hd : P.d = 0
⊢ P.toPoly.degree = ⊥
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ HasSum (fun n => - -(z ^ n / ↑n)) (-log (1 - z))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
h : K₁ ≤ K₂
inst✝ : HasOrthogonalProjection K₁
x : E
⊢ (∃ y ∈ K₁, ∃ z ∈ K₁ᗮ ⊓ K₂, y + z = x) ↔ x ∈ K₂
α : Sort u_1
b : α
P : Prop
Decidable P
A : P → α
⊢ (dite P A fun x => b) = b ↔ ∀ (h : P), A h = b
step a s n : Nat
h : a ≤ s
⊢ ((fun x => x - a) ∘ fun x => a + x) = id
K : Type u
Field K
⊢ Function.Injective ValuationSubring.principalUnitGroup
a b : Int
⊢ (a < b) = (a + 1 ≤ b)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ b ∈ Ioc a b ↔ a < b
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField R
a b : ℍ[R]
q : ℚ
⊢ ↑(normSq ↑q) = ↑q ^ 2
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
g : γ → α
t₂ : TopologicalSpace β
t₁ : TopologicalSpace γ
⊢ Continuous g ↔ Continuous (f ∘ g)
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α (n + 1)
⊢ ↑⟨↑0, ⋯⟩ < v.toList.length
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s✝ : LowerSet α
a : α
s t : LowerSet α
hst : s ⊔ t = Iic a
this : a ∈ s ⊔ t
⊢ s = Iic a ∨ t = Iic a
α : Type u_1
f g : α → α
h : Function.Commute f g
⊢ Function.Commute (Set.image f) (Set.image g)
α : Sort u_1
p : α → Prop
f : α → α
h : ∀ (a : α), p a → p (f a)
hf : Function.Involutive f
⊢ Function.Involutive (Subtype.map f h)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
⊢ ↑I = ⊥ ↔ I = 0
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
Fintype ιM
DecidableEq ι
DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
Module.Finite R M
Module.Free R M
x : ι → R
⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.eval x) (φ.polyCharpolyAux b bₘ) =
  LinearMap.charpoly (φ (b.repr.symm (Finsupp.equivFunOnFinite.symm x)))
R : Type u
inst✝ : CommRing R
⊢ toOpen R ⊤ = (toBasicOpen R 1).comp (algebraMap R (Localization.Away 1)) ≫ (structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
this : cs.wordProd (alternatingWord i i' (M.M i i')) = cs.wordProd (alternatingWord i' i (M.M i i'))
⊢ cs.wordProd (braidWord M i i') = cs.wordProd (braidWord M i' i)
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D✝ D E : Set C
h : D ≤ E
⊢ full D ≤ full E
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
a : α
b : β
⊢ Prod.Lex s r (b, a) (enum (Prod.Lex s r) c l)
m n✝ : ℕ
k : Fin (n✝ + 1 + 1)
⊢ ↑k ≤ ↑(k - 1) ↔ k = 0
α : Type u
p : α → Bool
a : α
l : List α
h₁ : a ∈ l
h₂ : p a = true
⊢ a ∈ List.filter p l
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ ∀ (a : ↥S.toSubsemiring), ↑(S.linearEquivOp a) = MulOpposite.op ↑a
R : Type u
Semiring R
a : R
ha : a ≠ 0
i j : ℕ
⊢ (Polynomial.monomial i) a = (Polynomial.monomial j) a ↔ i = j
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
S : Set α
T : Set α
h : μ S = 0
⊢ μ (S ∩ T) = 0
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
a b : Heyting.Regular α
⊢ ↑(a ⇨ b) = ↑a ⇨ ↑b
ι : Type u_2
R : Type u_3
CommMonoid R
s : Finset ι
f : ι → R
h : ∀ i ∈ s, IsRegular (f i)
⊢ IsRegular (∏ i ∈ s, f i)
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
CommSemiring E
Semiring K
SMul F E
Algebra E K
CommSemiring F
Algebra F K
IsScalarTower F E K
L : Subalgebra F K
S : Set K
h : Subalgebra.toSubmodule L = Submodule.span F S
⊢ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin E ↑L) = Submodule.span E S
A : Type u_2
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
a : A
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) Filter.atTop (nhds (spectralRadius ℂ a))
α : Type u
β : Type v
PartialOrder β
l : Filter α
f g : α → β
h : f ≤ᶠ[l] g
⊢ g ≤ᶠ[l] f ↔ g =ᶠ[l] f
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
hP : AlgebraicGeometry.IsLocalAtTarget P
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Sort u_1
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
⊢ P f ↔ ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
CompleteSpace 𝕜
f g : E → 𝕜
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hg : ContDiffOn 𝕜 n g s
h₀ : ∀ x ∈ s, g x ≠ 0
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (f / g) s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
PseudoEMetricSpace α
OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.nearestPt e 0 = MeasureTheory.SimpleFunc.const α (e 0)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n : ℕ
C : ℝ
inst✝ : MetricSpace α
x : ℕ → α
a✝ b✝ : α
H : DenseRange x
a b : α
e : ℝ
epos : 0 < e
⊢ dist a b ≤ dist (embeddingOfSubset x a) (embeddingOfSubset x b) + e
α : Type u_2
β : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
f : α → β
h₁ : ∀ (x y : α), f (x * y) = f x * f y
h₂ : { toFun := f, map_mul' := h₁ }.toFun 0 = 0
h₃ :
  ∀ (x y : α),
    { toFun := f, map_mul' := h₁ }.toFun (x + y) =
      { toFun := f, map_mul' := h₁ }.toFun x + { toFun := f, map_mul' := h₁ }.toFun y
⊢ ↑{ toFun := f, map_mul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ } = { toFun := f, map_mul' := h₁ }
n : ℕ
α : Type u_1
LinearOrder α
f : Fin n → α
⊢ Tuple.graph.proj ∘ ⇑(Tuple.graphEquiv₁ f) = f
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Option α}, List.replaceF p [] = []
α : Type u
TopologicalSpace α
s u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hs : IsPreconnected s
⊢ s ⊆ u ∨ s ⊆ v
f : ℝ → ℝ
hf : Continuous f
hf'' : ∀ (x : ℝ), 0 < deriv^[2] f x
⊢ StrictConvexOn ℝ Set.univ f
K : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionRing K
inst✝⁶ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
y : α
hy : y ∈ S
hy' : f y = g y
x : α
hx : x ∈ S
⊢ f x = g x
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f : N ≃ₗ[R] P
m : M
n : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M
⊢ (lTensor M (refl R N)) x = x
α : Type u
Group α
H : Subgroup α
a : α
q : α ⧸ H
⊢ (Quotient.out' q)⁻¹ * a ^ Function.minimalPeriod (fun x => a • x) q * Quotient.out' q ∈ H
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ measurableLE μ ν
n : ℕ
x✝ : α
⊢ (⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k) x✝ = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k x✝
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ μ.mass ≠ 0 ↔ μ ≠ 0
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hA : A.Nonempty
hAB : A ⊆ B
h : ∀ A' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(A * C).card / ↑A.card ≤ ↑(A' * C).card / ↑A'.card
A' : Finset α
hAA' : A' ⊆ A
hA' : A'.Nonempty
⊢ (A * C).card * A'.card ≤ (A' * C).card * A.card
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ x ^ y = 0 ↔ x = 0 ∧ y ≠ 0
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ x = y ↔ ‖x‖ = ‖y‖ ∧ o.oangle x y = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
f : α →ᵤ[𝔖] β
hs : s ∈ 𝔖
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
⊢ {g | ∀ x ∈ s, ((toFun 𝔖) f x, (toFun 𝔖) g x) ∈ V} ∈ 𝓝 f
R : Type u_1
EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
self : abv.IsAdmissible
n : ℕ
ε : ℝ
⊢ 0 < ε →
  ∀ {b : R}, b ≠ 0 → ∀ (A : Fin n → R), ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑(abv (A i₁ % b - A i₀ % b)) < abv b • ε
a b : ℝ≥0
⊢ a ≤ b + nndist a b
α : Type u_2
Zero α
⊢ ⇑Finset.singletonZeroHom = singleton
D : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
U : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace
⊢ IsOpen U ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(D.ι i).val.base ⁻¹' U)
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 2 = 0
hc : b / 2 = c
hr : Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat a c = r
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat a b = r
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSets s κ μ
hST : Disjoint S T
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets (piiUnionInter s S) (piiUnionInter s T) κ μ
α : Type u_1
⊢ ∅.offDiag = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
inst✝ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ ∫⁻ (x : α), s.toJordanDecomposition.negPart.rnDeriv μ x ∂μ ≠ ⊤
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝⁴ : CommMonoid β
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ℕ → α
h : Monotone f
n : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ), f (n + 1) - f 0 = f n - f 0 + (f (n + 1) - f n)
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a b : R
n : ℕ
ExistsAddOfLE R
hn : Even n
⊢ (a + b) ^ n ≤ 2 ^ (n - 1) * (a ^ n + b ^ n)
a b c : ℕ
⊢ a % c * b % c = a * b % c
α : Type u_1
CompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
⊢ sInf (s * t) = sInf s * sInf t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : β → γ
hg : Continuous g
f : α →ₘ[μ] β
⊢ ↑(MeasureTheory.AEEqFun.comp g hg f) =ᵐ[μ] g ∘ ↑f
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω
ω : Ω
hω : ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (μ (s (n + 1))).toReal
htends : ∀ (x : NNReal), ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, ↑x < ∑ k ∈ Finset.range a, μ (s (k + 1))
⊢ ¬BddAbove (Set.range fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, (μ (s (x + 1))).toReal)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.337009, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
⊢ g.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.inv = app₂.inv ≫ f.map' 2 3 ⋯ ⋯
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
S : Set ℂ := {t | 1 - t.re < ↑n}
this : S ∈ 𝓝 s
⊢ EqOn Gamma (GammaAux n) S
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Finite
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
⊢ MeasurableSet (⋂ b ∈ s, f b)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
inst✝ : DecidableEq τ
h : Injective f
⊢ ((rename f) p).support = Finset.image (Finsupp.mapDomain f) p.support
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
ζ ξ : Rˣ
k : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
hξ : ↑ξ ^ ↑k = 1
⊢ ξ ∈ rootsOfUnity k R
R : Type u
Semiring R
a b : R[X]
⊢ a.toFinsupp = b.toFinsupp ↔ a = b
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
ι : Sort u_2
S : ι → NonUnitalSubalgebra R A
⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul G G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
⊢ Isometry Inv.inv
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
X : I₁ ⊕ I₂ → C
c : CategoryTheory.Limits.Cofan X
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cofan (X ∘ Sum.inl)
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cofan (X ∘ Sum.inr)
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁
hc₂ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₂
CategoryTheory.Limits.MonoCoprod C
inr : c₂.pt ⟶ c.pt
hinr : ∀ (i₂ : I₂), c₂.inj i₂ ≫ inr = c.inj (Sum.inr i₂)
⊢ CategoryTheory.Mono inr
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasTerminal C
X : C
f : ⊤_ C ⟶ X
⊢ f = default
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
⊢ ClosedEmbedding ⇑(cfcHom ha)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
hX : ¬MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ ProbabilityTheory.mgf X μ t = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P t → s ⊆ t → P s
⊢ s ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {t | P t} ↔ P s ∧ ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s)
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
⊢ (MeasureTheory.Measure.mkMetric m).toOuterMeasure = MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m
E : Type u_2
NormedRing E
StarRing E
CstarRing E
x : ↥(selfAdjoint E)
n : ℕ
⊢ ‖x ^ 2 ^ n‖₊ = ‖x‖₊ ^ 2 ^ n
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter α
f g : α → E
hf : MeasureTheory.IntegrableAtFilter f l μ
hg : MeasureTheory.IntegrableAtFilter g l μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableAtFilter (f + g) l μ
a b c d : Ordinal.{u}
⊢ ¬a ⨳ (b ⨳ c) ≤ d ↔ ¬∀ a' < a, ∀ b' < b, ∀ c' < c, a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c') < d ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c')
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
hf : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω)
ρ' : Measure (α × ℝ) := Measure.map (Prod.map id f) ρ
hρ'def : ρ' = Measure.map (Prod.map id f) ρ
hρ' : ρ'.fst = ρ.fst
hρ'' : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ.map f ⋯) x = ρ'.condKernel x
s : Set (α × ℝ)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α), (ρ.condKernel a) (Prod.mk a ⁻¹' (Prod.map id (embeddingReal Ω) ⁻¹' s)) ∂ρ.fst = ∫⁻ (a : α), ((ρ.condKernel.map f ⋯) a) (Prod.mk a ⁻¹' s) ∂ρ.fst
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y z : E
⊢ ⟪x, y - z⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪x, z⟫_𝕜
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
n : ℕ
p : G.Walk v w
h : G.Adj u v
hn : n ≠ 0
i : ℕ
hi : i.succ = n
⊢ (cons h p).getVert i.succ = p.getVert (i.succ - 1)
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b c : α
⊢ a - b ≡ c [PMOD p] ↔ a ≡ c + b [PMOD p]
R : Type u_3
M : Type u_4
A : Type u_7
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
AddCommMonoid M
Module R M
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
f g h : M →ₗ[R] A
⊢ QuadraticMap.linMulLin (f + g) h = QuadraticMap.linMulLin f h + QuadraticMap.linMulLin g h
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝ : CommMonoid C
n : ℕ
ψ : AddChar (ZMod n) C
hψ : ∀ (a : ZMod n), ψ a = 1 → a = 0
a : ZMod n
ha : a ≠ 0
hf : ψ.mulShift a = 1
h : (ψ.mulShift a) 1 = 1 1
⊢ False
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
⊢ (CliffordAlgebra.lift Q) ⟨g.toLinearMap ∘ₗ CliffordAlgebra.ι Q, ⋯⟩ = g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddZeroClass M
p : (α →₀ M) → Prop
f✝ : α →₀ M
h0 : p 0
ha : ∀ (a : α) (b : M) (f : α →₀ M), a ∉ f.support → b ≠ 0 → p f → p (single a b + f)
s✝ : Finset α
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : ∀ (f : α →₀ M), f.support = s → p f
f : α →₀ M
hf : f.support = cons a s has
⊢ p f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
ι : Sort u_3
δ' : Type u_5
ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ x ∈ s, BddAbove (Set.range fun i => f i x)
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousOn (f i) s
⊢ LowerSemicontinuousOn (fun x' => ⨆ i, f i x') s
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (X : C), Epi (α.app X)
Z✝ : C ⥤ D
g h : G ⟶ Z✝
eq : α ≫ g = α ≫ h
X : C
⊢ g.app X = h.app X
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
⊢ ∀ (a : Finset σ × σ), a ∈ filter (fun a => (a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card < k) univ ∪ filter (fun a => (a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card = k) univ ↔ a ∈ univ ∧ a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ⇑(Equiv.sumComm α β) = Sum.swap
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hf : StrictMono f
⊢ { ofColex := image f s } ≤ { ofColex := image f t } ↔ { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
M : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
SMul M α
SMul M β
a : M
x : α ⊕ β
⊢ a • x = Sum.map (fun x => a • x) (fun x => a • x) x
R : Type u_3
A : Type u_4
AddGroup R
AddGroup A
m₁ m₂ : A
⊢ ↑(m₁ - m₂) = ↑m₁ - ↑m₂
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
s : Set A
⊢ star (Algebra.adjoin R s) = Algebra.adjoin R (star s)
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a * b⁻¹ < 1 ↔ a < b
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
⊢ (TensorProduct.directSum R R ℬ 𝒜).trans ((TensorProduct.directSum R R 𝒜 ℬ).trans (LinearEquiv.ofLinear (gradedCommAux R 𝒜 ℬ) (gradedCommAux R ℬ 𝒜) ⋯ ⋯)).symm = ((TensorProduct.directSum R R ℬ 𝒜).trans (LinearEquiv.ofLinear (gradedCommAux R ℬ 𝒜) (gradedCommAux R 𝒜 ℬ) ⋯ ⋯)).trans (TensorProduct.directSum R R 𝒜 ℬ).symm
α : Type u_1
p : PMF α
s : Set α
h : ∃ a ∈ s, a ∈ p.support
a : α
⊢ (p.filter s h) a = 0 ↔ a ∉ s ∨ a ∉ p.support
n : ℕ
⊢ decodeNat (encodeNat n) = ↑↑n
β : Type u_5
Monoid β
a b : β
u : βˣ
⊢ a ~ᵤ b * ↑u ↔ a ~ᵤ b
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
s : ℝ
⊢ (fun x => cexp (-a * ↑x ^ 2)) = fun x => cexp (-a * ↑x ^ 2 + 0 * ↑x)