ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
RCLike 𝕜
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
r : 𝕜
⊢ ⟪r • f, g⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) r * ⟪f, g⟫_𝕜
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => -f x) (-f') s x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f : α → β
g : β → α
b : β
s : Set α
h₁ : LeftInverse g f
h₂ : Function.RightInverse g f
⊢ b ∈ g ⁻¹' s ↔ g b ∈ s
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f g : M → N
x y : M
⊢ f (x + y) + g (x + y) - (f x + g x) - (f y + g y) = f (x + y) - f x - f y + (g (x + y) - g x - g y)
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
n : ℕ
s : Multiset R
⊢ s.sum ^ p ^ n = (Multiset.map (fun x => x ^ p ^ n) s).sum
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
e : L
he₀ : e ≠ 0
he : ∀ (x : ↥H), ⁅x, e⁆ = α x • e
⊢ (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α) ∈ corootSpace ⇑α
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
f : ℂ → E
h : DifferentiableAt ℂ f z
hf' : deriv f z ≠ 0
⊢ fderiv ℂ f z ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
hs : s ⊆ f.source
⊢ MapsTo (↑(f.extend I)) s (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S R : CategoryTheory.Sieve X
⊢ CategoryTheory.Sieve.pullback f (S ⊓ R) = CategoryTheory.Sieve.pullback f S ⊓ CategoryTheory.Sieve.pullback f R
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier + -V) (K₂.carrier + -V)
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addIndex (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V =
  MeasureTheory.Measure.haar.addIndex K₁.carrier V + MeasureTheory.Measure.haar.addIndex K₂.carrier V
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
h : ae μ ≤ ae ν
s : Set α
⊢ ν s = 0 → μ s = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
A : Set β
a : α
x : β
⊢ x ∈ a • A ↔ a⁻¹ • x ∈ A
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
NonUnitalSemiring B
StarRing B
Module R B
IsScalarTower R B B
SMulCommClass R B B
StarModule R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
f : F
s : Set A
⊢ NonUnitalStarSubalgebra.map f (NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s) = NonUnitalStarAlgebra.adjoin R (⇑f '' s)
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : HasContDiffBump G
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
φ✝ : ContDiffBump 0
x₀✝ : G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
ι : Type u_1
φ : ι → ContDiffBump 0
l : Filter ι
K : ℝ
hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)
h'φ : ∀ᶠ (i : ι) in l, (φ i).rOut ≤ K * (φ i).rIn
hg : LocallyIntegrable g μ
this : μ.IsAddHaarMeasure
x₀ : G
h₀ : Tendsto (fun a => ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x₀) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ((φ i).normed μ ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x₀) l (𝓝 (g x₀))
p : ℝ[X]
⊢ ∑ x ∈ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + (∑ x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + 1) = Multiset.card (derivative p).roots + 1
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ a + b - a ≤ b
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
hP : Presheaf.IsSheaf J (J.plusObj P ⋙ F)
⊢ (J.plusCompIso F P).inv = J.plusLift (whiskerRight (J.toPlus P) F) hP
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ lowerBounds (Set.Ici a) = Set.Iic a
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
IsGalois k K
w w' : NumberField.InfinitePlace K
h : w.comap (algebraMap k K) = w'.comap (algebraMap k K)
⊢ ∃ σ, σ • w = w'
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι
⊢ b i * ∑ i : ι, b.equivFun z i • b i = b i * z
S : Finset Λ'
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q
p✝ : Γ' → Bool
k✝ : K'
q : Λ'
q_ih : Λ'.Supports S q → trStmts₁ q ⊆ S → Supports (trStmts₁ q) S
H₁ : Λ'.Supports S (Λ'.clear p✝ k✝ q)
HS₁ : insert (Λ'.clear p✝ k✝ q) (trStmts₁ q) ⊆ S
⊢ Supports (insert (Λ'.clear p✝ k✝ q) (trStmts₁ q)) S
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β →o γ
f : α →o β
⊢ ⇑(g.comp f) = ⇑g ∘ ⇑f
G : Type u
AddGroup G
h : AddMonoid.exponent G = 2
x y : G
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x ≠ y
⊢ x + y ∉ {x, y, 0}
α : Type u_1
GroupWithZero α
Fintype α
DecidableEq α
⊢ Fintype.card α = Fintype.card αˣ + 1
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosDef
inst✝ : Invertible A
⊢ ((D - Bᴴ * A⁻¹ * B).IsHermitian ∧ ∀ (x : m ⊕ n → 𝕜), 0 ≤ star x ⬝ᵥ fromBlocks A B Bᴴ D *ᵥ x) ↔ (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).PosSemidef
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : IsFiniteMeasure κ
dμκ_finite : levyProkhorovEDist μ κ ≠ ⊤
dμν_finite : levyProkhorovEDist μ ν ≠ ⊤
⊢ levyProkhorovDist μ κ ≤ levyProkhorovDist μ ν + levyProkhorovDist ν κ
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α
⊢ μ ((fun x => c +ᵥ x) ⁻¹' s) = μ s
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
⊢ ∃ A, 0 < A ∧ ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), 1 ≤ (↑b + 1) ^ f.natDegree * (|α - ↑a / (↑b + 1)| * A)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : OrderBot α
n : α
φ : α → α
k : α
ih : StrictMonoOn φ (Iic k) → ∀ m ≤ k, m ≤ φ m
hφ : StrictMonoOn φ (Iic (succ k))
m : α
hm : m ≤ succ k
hk : ¬IsMax k
h : m ≤ k
⊢ m ≤ φ m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a c : α
d : αˣ
⊢ a * c ~ᵤ a * ↑d * c
α : Type u_1
C : {n : ℕ} → Vector3 α n → Sort u_2
H0 : C []
Hs : {n : ℕ} → (a : α) → (w : Vector3 α n) → C w → C (Vector3.cons a w)
n : ℕ
a : α
v : Vector3 α n
⊢ (Vector3.cons a v).recOn H0 Hs = Hs a v (v.recOn H0 Hs)
xl xr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
⊢ -SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR = SetTheory.PGame.mk xr xl (fun j => -xR j) fun i => -xL i
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.limit.coneMorphism c).hom = CategoryTheory.Limits.limit.lift F c
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, (fun x' => A i x' - A i x - (A' i) (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x
⊢ (fun x' => ∑ i ∈ u, A i x' - ∑ i ∈ u, A i x - (∑ i ∈ u, A' i) (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
f : J → C
X Y Z : C
g h : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (⨁ f) X) Y ⟶ Z
w :
  ∀ (j : J),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight
          (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j) X) Y)
        g =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight
          (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j) X) Y)
        h
⊢ g = h
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
⊢ P.toPoly.degree ≤ 0
α : Type u_1
LinearOrder α
b c d : α
h : min c d ≤ b
⊢ Set.Iio b ∪ Set.Ico c d = Set.Iio (max b d)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R
⊢ ¬(X - C a) ^ (rootMultiplicity a p + 1) ∣ p
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a ≤ 1 / b ↔ b ≤ 1 / a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤
h : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
hlt : ⊤ < (s1 ⊔ s2).direction
⊢ False
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
LieAlgebra.IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α : LieModule.Weight K (↥H) L
⊢ ⇑(-α) = -⇑α
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : Semiring R
s : Set R
n : ℕ
⊢ closure s ^ (n + 1) = closure (s ^ (n + 1))
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x : N
hx : x ∈ closure s
⊢ ∀ (x y : N), (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) x → (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) y → (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) (x * y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
S : J.Cover X
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
I : S.Arrow
⊢ (S.index P).left I = P.obj (Opposite.op I.Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Set α
hs : s₁ ⊆ s₂
hsμ : μ s₂ ≤ μ s₁
ht : t₁ ⊆ t₂
htμ : μ t₂ ≤ μ t₁
⊢ μ (s₁ ∪ t₁) = μ (s₂ ∪ t₂)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : Set α
ht : IsLowerSet t
⊢ IsLowerSet (s + t)
M : Type u_1
Monoid M
⊢ ⇑(Monoid.MulEquiv.punitCoprod M).symm = ⇑Monoid.Coprod.inr
α : Type u_1
M : Matroid α
self : M.RkPos
⊢ ¬M.Base ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivInvMonoid G
a✝ b✝ c✝ a b c : G
⊢ a * b / c = a * (b / c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : SeparableSpace α
inst✝ : Nontrivial α
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ Dense s ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∉ s) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∉ s
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b ≤ 1
⊢ Antitone fun x => b ^ x
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Monoid M
Monoid N
Monoid P
x : M
⊢ (Monoid.MulEquiv.coprodAssoc M N P).symm (Monoid.Coprod.inl x) = Monoid.Coprod.inl (Monoid.Coprod.inl x)
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
hn : ∀ m < n, p.coeff m = 0
⊢ n ≤ p.natTrailingDegree
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
⊢ ∀ (i : ι), x ∈ K i → ∀ᶠ (p : ℝ≥0∞ × X) in 𝓝 0 ×ˢ 𝓝 x, closedBall p.2 p.1 ⊆ U i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (-x) = ∑ x ∈ f.range, -(T (↑f ⁻¹' {x})) x
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : f =ᶠ[cofinite] g
hf : LSeriesSummable f s
⊢ LSeriesSummable g s
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.85209
inst✝ : MulAction R X
r : R
hr : r ∈ S
⊢ r /ₒ ⟨r, hr⟩ = 1
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
a b : α
⊢ a ∈ s → b ∈ t → a + b ∈ s + t
α : Type u_1
Primcodable α
p : α → Prop
⊢ ManyOneEquiv p p
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : NoBotOrder α
a : α
⊢ ∃ b, b < a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Finite J
f : J → C
inst✝ : HasCoproduct f
⊢ HasBiproduct f
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
⊢ ⇑(Pretrivialization.linearEquivAt R e b hb).symm = e.symm b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
⊢ ↑0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s✝ t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
s : Set α
f g : α → M
⊢ (s.mulIndicator fun a => f a * g a) = fun a => s.mulIndicator f a * s.mulIndicator g a
R : Type u
A : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : PartialOrder R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : StarOrderedRing R
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : PartialOrder A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : StarModule R A
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
c : R
hab : 0 < b - a
hc : 0 < c
⊢ 0 ≠ c • (b - a)
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x : (i : ι) → φ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ ⨆ i, map (single i) (p i) = pi Set.univ p
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : MulOneClass G
f : MonoidAlgebra k G
⊢ f ∈ Submodule.span k (⇑(of k G) '' ↑f.support)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : ι → Set β
hι : Nonempty ι
x : α × β
⊢ x ∈ s ×ˢ ⋂ i, t i ↔ x ∈ ⋂ i, s ×ˢ t i
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
ι : Type u_5
p : Filter ι
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
a : ι → UniformConvergenceCLM σ F 𝔖
a₀ : UniformConvergenceCLM σ F 𝔖
⊢ (∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖) ∘ (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) ∘ a) ((UniformOnFun.toFun 𝔖) ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) a₀)) p s) ↔ ∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (fun x x_1 => (a x) x_1) (⇑a₀) p s
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝² : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x✝¹ : E
L'' : Filter E
hh₂ : HasDerivAtFilter h₂ h₂' (f x✝¹) L'
hf : HasFDerivAtFilter f f' x✝¹ L''
hL : Tendsto f L'' L'
x : E →L[𝕜] 𝕜'
x✝ : E
⊢ (h₂' • x) x✝ = ((ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 (smulRight 1 h₂')).comp x) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
inst✝ : f.NeBot
a : α
s : Set β
hs : s ∈ f
⊢ a = ⨆ x ∈ s, a
z w : ℂ
⊢ (z / w).re = z.re * w.re / Complex.normSq w + z.im * w.im / Complex.normSq w
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
s : ↥S
⊢ mk' f 0 s = 0
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih : ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V}, IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
this : Nontrivial V
hB₁ : B ≠ 0
x : V
hd : finrank K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) + 1 = d + 1
hx : ¬IsOrtho B x x
⊢ ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasLeftDual X
inst✝¹ : HasLeftDual Y
inst✝ : HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ((λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁZ) ≫ (ᘁX ◁ f ≫ ᘁX ◁ g) ▷ ᘁZ = ((λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁY) Y ▷ ᘁZ) ≫ ((((((λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY) ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ ᘁY) ≫ (α_ (ᘁX) Y ᘁY).hom) ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y) ≫ (ρ_ ᘁX).hom ⊗ g) ▷ ᘁZ
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A * C⁻¹).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C⁻¹).card
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ ¬2 * n % 2 = (2 * m + 1) % 2
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
B W : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpiFamily X π
m₁ m₂ : B ⟶ W
h : ∀ (a : α), π a ≫ m₁ = π a ≫ m₂
this : m₂ = desc X π (fun a => π a ≫ m₂) ⋯
⊢ m₁ = m₂
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
CommSemiring k
Monoid G
AddCommMonoid V
Module k V
AddCommMonoid W
Module k W
ρV : Representation k G V
ρW : Representation k G W
g : G
⊢ (ρV.tprod ρW) g = TensorProduct.map (ρV g) (ρW g)
α : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq β'
DecidableEq γ
DecidableEq δ
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β' → γ
g : β → β'
f' : β → α → δ
g' : δ → γ
h_right_anticomm : ∀ (a : α) (b : β), f a (g b) = g' (f' b a)
⊢ Finset.image₂ f s (Finset.image g t) = Finset.image g' (Finset.image₂ f' t s)
F : Type u
Field F
f : F[X]
q : ℕ
ExpChar F q
hm : f.Monic
hi : Irreducible f
⊢ f.natSepDegree = 1 ↔ ∃ n y, f = (Polynomial.expand F (q ^ n)) (Polynomial.X - Polynomial.C y)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β x y : κ
⊢ P y α * (trace A B) (b y * P x β • b x) = P y α * traceMatrix A b y x * P x β
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
inst✝¹ : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))
⊢ CommSemiring ?R
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t : Triangle ℝ P
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
t₂ : Triangle ℝ P
ht₂ : Set.range t₂.points ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
ht₂s : Set.range t₂.points ⊆ s
c : P
hc : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
h : ∀ (i : Fin 3), dist (t₂.points i) c = Simplex.circumradius t
⊢ Simplex.circumradius t₂ = Simplex.circumradius t
⊢ DifferentiableOn ℝ Real.arcsin {-1, 1}ᶜ
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace R
⊢ Continuous Matrix.diag
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ interior s
hy : y ∈ closure s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior s
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
a : I
as : List I
ha : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: as)
c : Products I →₀ ℤ
hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}
m : Products I
hm : c m ≠ 0
hsm : ∀ (c : ℤ) (x : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ), e (π C fun x => x ∈ s) a * c • x = c • (e (π C fun x => x ∈ s) a * x)
⊢ c m • (e (π C fun x => x ∈ s) a * Products.eval (π C fun x => x ∈ s) m) ∈ Submodule.span ℤ (Products.eval (π C fun x => x ∈ s) '' {m | ↑m ≤ a :: as})
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfcₙ f a = (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := hf0 }