ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
a : R × R × R × R
⊢ ((QuaternionAlgebra.equivProd c₁ c₂).symm a).imK = a.2.2.2
k : Type u_1
V : Type u_2
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
ι : Type u_5
p : ι → V
⊢ AffineIndependent k p ↔ ∀ (s : Finset ι) (w : ι → k), s.sum w = 0 → ∑ e ∈ s, w e • p e = 0 → ∀ e ∈ s, w e = 0
a : Ordinal.{u_1}
ha : ¬Ordinal.Principal (fun x x_1 => x + x_1) a
⊢ ∃ b c, b < a ∧ c < a ∧ b + c = a
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this✝ : Nontrivial (End X)
this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)
c : 𝕜
nu : c ∈ spectrum 𝕜 (End.of f)
⊢ c • 𝟙 X = f
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List (Symbol T g.NT)
⊢ g.Derives w w
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s μ
H : (μ.restrict s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
this : Fact (μ s < ⊤)
⊢ 0 < μ ((support fun x => f x - ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ) ∩ s)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s
⊢ ∃! t, t ∈ P.parts ∧ a ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set β
⊢ e.source ∩ ↑e ⁻¹' (e.target ∩ s) = e.source ∩ ↑e ⁻¹' s
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
h₁ : t ⊆ s
h₂ : IsOpen t
⊢ t ⊆ interior s
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t : Set α
h : 𝒜.Countable
ℬ : Set (Set α) := {s | s ∈ 𝒜} ∪ {s | sᶜ ∈ 𝒜}
count_ℬ : ℬ.Countable
f : Set (Set (Set α)) → Set α := fun A => ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
𝒞 : Set (Set (Set α)) := {a | a.Finite ∧ a ⊆ ℬ}
count_𝒞 : 𝒞.Countable
𝒟 : Set (Set (Set (Set α))) := {A | A.Finite ∧ A ⊆ 𝒞}
count_𝒟 : 𝒟.Countable
this : generateSetAlgebra 𝒜 ⊆ f '' 𝒟
⊢ (generateSetAlgebra 𝒜).Countable
x✝¹ x✝ : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x✝
x : ℝ
hx : x ∈ interior (Ici 0)
⊢ 0 ≤ -sin x + ↑2 * x ^ (2 - 1) / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u
f : ι → α
g : α → β
⊢ (fun i hi => g (Ordinal.bfamilyOfFamily f i hi)) = Ordinal.bfamilyOfFamily (g ∘ f)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
this✝ : (f - 0).LimZero
this : f + g ≈ g
h1 : (f + g).norm = g.norm
h2 : f.norm = 0
⊢ (f + g).norm = max f.norm g.norm
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ 1
⊢ eLpNorm f_lim p μ < ⊤
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
⊢ s.pointsWithCircumcenter circumcenterIndex = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (circumcenterWeightsWithCircumcenter n)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
IsDomain R
Algebra R S
IsDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
⊢ (Algebra.adjoin.powerBasis' hx).dim = (minpoly R x).natDegree
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
s : σ
a : α
⊢ M.evalFrom s [a] = M.step s a
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
ha : Continuous id
hb : Continuous id
⊢ Continuous fun p => f p.1 p.2
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Add A
Add B
Mul A
Mul B
SMul R A
SMul R B
Star A
Star B
e : A ≃+* B
h₁ : ∀ (a : A), e.toFun (star a) = star (e.toFun a)
h₂ : ∀ (r : R) (a : A), e.toFun (r • a) = r • e.toFun a
⊢ ⇑{ toRingEquiv := e, map_star' := h₁, map_smul' := h₂ } = ⇑e
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U ≤ μ A + ε
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
S : Set G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
hG : 0 < Fintype.card G
a : G
ha : a ∈ S
key : ∀ (a : G) (s t : Set G) [inst : Fintype ↑s] [inst_1 : Fintype ↑t], (∀ b ∈ s, b * a ∈ t) → Fintype.card ↑s ≤ Fintype.card ↑t
⊢ ∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(S ^ k) = Fintype.card ↑(S ^ Fintype.card G)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A B : Comon_ C
⊢ (A ⊗ B).comul = (A.comul ⊗ B.comul) ≫ CategoryTheory.tensor_μ C (A.X, A.X) (B.X, B.X)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
⊢ Function.Involutive ⇑(EuclideanGeometry.reflection s)
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : ↑(‖z‖ ^ 2) - (starRingEnd ℂ) (f z) - (f z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1) = ↑(‖z‖ ^ 2) - (starRingEnd ℂ) z - (z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1)
⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
F : J ⥤ AddCommGrp
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)
⊢ (AddCommGrp.Colimits.coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (AddCommGrp.Colimits.coconeMorphism F j) x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ i, (p i) x ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a b : K
⊢ -1 * -1 = 1
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α} {n : Nat}, l.length = n + 1 → l ≠ []
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f g : α →o β
h : ⇑f = ⇑g
⊢ f = g
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.41001, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.41005, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.41009, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.41013, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
iso : (a : A) → F.functor a ≅ G.functor a
comm : ∀ (n a a' : A) (ha' : n + a = a'), (F.shiftIso n a a' ha').hom ≫ (iso a).hom = whiskerRight (iso a').hom (shiftFunctor D n) ≫ (G.shiftIso n a a' ha').hom
n a a' : A
ha' : n + a = a'
⊢ (G.shiftIso n a a' ha').hom ≫ (iso a).inv = whiskerRight (iso a').inv (shiftFunctor D n) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A : C
X : Subobject B
f : A ⟶ B
inst✝ : Mono f
Y : Subobject B
h₁ : X ≤ mk f
h₂ : mk f ≤ Y
⊢ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) = underlying.map ⋯.hom
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝ : CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
s : Set (E →L[𝕜] F)
hs : IsClosed s
this : (fun p => fderiv 𝕜 (f p.1) p.2) ⁻¹' s = {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ s} ∪ {p | ¬DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2} ∩ {_p | 0 ∈ s}
⊢ MeasurableSet ((fun p => fderiv 𝕜 (f p.1) p.2) ⁻¹' s)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) + I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) - I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) = ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
α✝ : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝³ : Primcodable α✝
inst✝² : Primcodable σ
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
n : ℕ
⊢ Nat.rec 0 (fun n_1 n_ih => Nat.rec 0 (fun n n_ih => n.succ) (encode (decode (Nat.unpair n).2))) (encode (decode (Nat.unpair n).1)) = encode (Option.map Prod.snd ((decode (Nat.unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (decode (Nat.unpair n).2)))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.SimplicialCategory C
K L M : C
f : K ⟶ L
g : L ⟶ M
⊢ (CategoryTheory.SimplicialCategory.homEquiv K M) (f ≫ g) =
  (λ_ (𝟙_ SSet)).inv ≫
    ((CategoryTheory.SimplicialCategory.homEquiv K L) f ⊗ (CategoryTheory.SimplicialCategory.homEquiv L M) g) ≫
      CategoryTheory.eComp SSet K L M
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
⊢ #{ s // #↑s < (#α).ord.cof } = #α
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
Algebra S C
IsScalarTower R S C
f : A →ₐ[S] C
g : B →ₐ[R] C
hfg : ∀ (x : A) (y : B), Commute (f x) (g y)
⊢ (AlgHom.restrictScalars R (Algebra.TensorProduct.lift f g hfg)).comp Algebra.TensorProduct.includeRight = g
a n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
hs : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) n.bitIndices
⊢ List.Pairwise (fun a b => a < b) n.bitIndices
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s μ
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
⊢ μ t = 0 ∨ μ t = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
⊢ Continuous fun r => inner_ 𝕜 (↑r • x) y
x✝ y✝ z✝ : ℤ
h✝ : PythagoreanTriple x✝ y✝ z✝
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h_coprime : x.gcd y = 1
h_parity : x % 2 = 1
h_pos : 0 < z
m n : ℤ
ht1 : x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : z = m ^ 2 + n ^ 2 ∨ z = -(m ^ 2 + n ^ 2)
ht3 : m.gcd n = 1
ht4 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
hm : 0 ≤ m
⊢ ∃ m n, x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∧ z = m ^ 2 + n ^ 2 ∧ m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0) ∧ 0 ≤ m
M : Type u_2
AddZeroClass M
S : Set (AddSubmonoid Mᵃᵒᵖ)
⊢ (sSup S).unop = sSup (AddSubmonoid.op ⁻¹' S)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
Module.Flat R ↥M
ι : Type u_1
n : ι → ↥N
hn : LinearIndependent R n
⊢ LinearMap.ker (M.mulRightMap n) = ⊥
x✝ y✝ z✝ : PGame
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
x : PGame := mk xl xr xL xR
y : PGame := mk yl yr yL yR
z : PGame := mk zl zr zL zR
⊢ (mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).LeftMoves ≃ (mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR)).LeftMoves
R : Type u
Semiring R
self : IsField R
⊢ ∃ x y, x ≠ y
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ s.ncard = (Set.Finite.toFinset hs).card
f g : ArithmeticFunction ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable (fun n => f n) s
hg : LSeriesSummable (fun n => g n) s
⊢ L (fun n => (f * g) n) s = L (fun n => f n) s * L (fun n => g n) s
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
hJ_ne_zero : J ≠ 0
hJ : ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) = ↑J
ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) = I
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
⊢ ∀ (a : α), a ∈ l → true = true
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
g h : M
Hg : g ∈ Set.center M
u : Mˣ
hu : SemiconjBy (↑u) g h
⊢ g = h
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
hs : MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 Set.univ ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s Set.univ
⊢ (s.toMeasureOfZeroLE Set.univ ⋯ hs).toSignedMeasure = s
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
⊢ ↑H.toLieSubmodule.normalizer = H.normalizer.toSubmodule
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : ⇑κ =ᶠ[ae μ] ⇑η
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ ⊗ₘ κ) s = (μ ⊗ₘ η) s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ (((Orientation.map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).kahler x) y = (o.kahler (φ.symm x)) (φ.symm y)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, 0 < μ.rnDeriv ν x
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm) ≤ ⨆ i, mrange (ϕ i)
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
hsg : t = generateFrom s
hsi : FiniteInter s
⊢ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s} ≤ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
CategoryTheory.MonoidalCoherence W (X ⊗ Y ⊗ Z)
⊢  ⊗𝟙 = ⊗𝟙 ≫ (α_ X Y Z).inv
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
μ : MeasureTheory.Measure δ
s : Set ι
f : ι → δ → α
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
⊢ AEMeasurable (fun b => ⨅ i ∈ s, f i b) μ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
x : ↥U
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : ↑x ∈ V.carrier
iVU : V ⟶ U
f g : R
hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
s_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
h : R
hxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h
hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V
n : ℕ
c : R
hc : c * g = h ^ (n + 1)
basic_opens_eq : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen h
i_basic_open : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) ⟶ V
⊢ const R (f * c) (h ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map iVU.op ≫ (structureSheaf R).val.map i_basic_open.op) s
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
⊢ ↑g 1 0 = 0
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
r : ℝ
⊢ Adapted ℱ fun i => stoppedValue f (leastGE f r i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
f g h : C
η η' : f ⟶ g
θ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f h ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj g h
pf_η : η = η'
pf_θ : CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight η' h = θ
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight η h = θ
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
l : List α✝
S : α✝ → α✝ → Prop
hR : Pairwise R l
hS : Pairwise S l
⊢ Pairwise (fun a b => R a b ∧ S a b) l
δ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : δ → α → β → δ
init : δ
l : AssocList α β
⊢ foldl f init l = List.foldl (fun d x => match x with | (a, b) => f d a b) init l.toList
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
g : Γ₀
hx : v x ≤ g
hy : v y ≤ g
⊢ v (x - y) ≤ g
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
n : ℕ
Nonempty M
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin n → M
⊢ φ.toPrenex.Realize v xs ↔ φ.Realize v xs
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x✝ : (i : ι) → s i
⊢ ((↑(reindex R s (Equiv.refl ι))).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((↑(LinearEquiv.refl R (⨂[R] (i : ι), s i))).compMultilinearMap (tprod R)) x✝
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a < b
⊢ 𝓝ˢ (Ico a b) = 𝓝 a ⊔ 𝓟 (Ioo a b)
α : Type u_2
M : Matroid α
X Y : Set α
⊢ M.closure (M.closure X ∪ Y) = M.closure (X ∪ Y)
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a
⊢ (f - g).neLocus f = g.support
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
n : ℕ
hn : (↑n)⁻¹ < a
⊢ ↑n < 2 ^ n
α : Type u
s t : Set α
ht : s ⊂ t
⊢ t.Nonempty
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
M : T.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M
⊢ (φ ⇔ ∀'liftAt 1 n φ).Realize v xs
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
E : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} E
F G : CategoryTheory.Functor E ((i : I) → C i)
τ : (i : I) → F.comp (CategoryTheory.Pi.eval C i) ⟶ G.comp (CategoryTheory.Pi.eval C i)
X : E
i : I
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.pi' τ).app X i = (τ i).app X
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
X : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace X
hX : Pairwise fun x y => ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
S : Set X
hS : IsPreconnected S
h_contra : ∃ x ∈ S, ∃ y ∈ S, x ≠ y
⊢ False
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
f : α ≃o β
⊢ IsAtomic α ↔ IsAtomic β
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
p : α
hp : Irreducible p
q' : α
hq : Irreducible (p * q')
⊢ p * q' ∣ p
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ 0 ≤ -a ↔ a ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
f : Filter β
u : β → α
⊢ BddAbove (Set.range u) → Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Multiset α
a : α
t : Multiset α
IH : ∀ (s : Multiset α), filter p (s - t) = filter p s - filter p t
s : Multiset α
⊢ filter p (s - a ::ₘ t) = filter p s - filter p (a ::ₘ t)
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCones F
Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)
c : Cone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'
this : 𝟙 c.pt ≫ c.π.app (j, k') = c.π.app (j, k) ≫ (F.map (𝟙 j)).app k ≫ (F.obj j).map f
⊢ c.π.app (j, k') = c.π.app (j, k) ≫ (F.obj j).map f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
G : Type u_10
One G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H' G
⊢ ⇑1 = 1
M : Type u_4
AddMonoid M
L : List M
n : ℕ
a : M
⊢ (L.set n a).sum = ((List.take n L).sum + if n < L.length then a else 0) + (List.drop (n + 1) L).sum
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
p : α → Prop
⊢ (∀ c ∈ s.diffs t, p c) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, p (a \ b)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ (PartialHomeomorph.ofSet s hs).source = s
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_4
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
CommSemiring R
Semiring α
Semiring β
Algebra R α
Algebra R β
Fintype m
Fintype m'
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
A' : Matrix l' m' β
B' : Matrix m' n' β
⊢ Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) (A * B) (A' * B') =
  Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) A A' * Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) B B'
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
TopologicalSpace 𝕜
AddMonoid β
Monoid 𝕜
DistribMulAction 𝕜 β
ContinuousSMul 𝕜 β
hf : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
c : 𝕜
⊢ MeasureTheory.FinStronglyMeasurable (c • f) μ
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ χ' : MulChar R R'
a : R
⊢ (χ * χ') a = χ a * χ' a
P : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
P.IsLocal
X Y UX UY : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsAffine UY
f : X ⟶ Y
iY : UY ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion iY
iX : UX ⟶ X
f' : UX ⟶ UY
h : CategoryTheory.IsPullback iX f' f iY
hf : AlgebraicGeometry.targetAffineLocally P f
⊢ P f'
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a✝ a : α
h : a ∈ s
this : ∀ (t : Set α), a ∈ t → t.indicator 1 a = 1
⊢ (dirac a) s = 1
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.op.δ.unop = S.δ.op.unop
α : Type u_1
CompleteLattice α
a b : α
hab : a ≠ b
⊢ CompleteLattice.SetIndependent {a, b} ↔ Disjoint a b
X : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
TopologicalSpace X
f : X → α
⊢ tsupport f = ∅ ↔ f = 0
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
⊢ μ (symmDiff s t) = 0 ↔ s =ᵐ[μ] t
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
T : L.Theory
M ⊨ T
φ : L.Sentence
h : φ ∈ T
⊢ M ⊨ φ
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
p : Submodule R A
h_mul : ∀ (x y : A), x ∈ p → y ∈ p → x * y ∈ p
⊢ (p.toNonUnitalSubalgebra h_mul).toSubmodule = p
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : (of R M) m ∈ span R (⇑(of R M) '' S)
⊢ m ∈ S
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
x : ℝ
⊢ abs ↑(Real.exp x) = Real.exp x
α : Type u_1
l : Ordnode α
x₁ x₂ : α
r₁ r₂ : Ordnode α
H : Raised r₁.size r₂.size
⊢ Raised (l.node' x₁ r₁).size (l.node' x₂ r₂).size
α : Type u_1
a : Array α
⊢ a.reverse.size = a.size
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)
h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1
h : a ^ p / (a + b) ^ p + b ^ p / (a + b) ^ p ≤ 1
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p