ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
h : ∀ (x : α), (connectedComponent x).Subsingleton
s : Set α
s_sub : s ⊆ univ
hs : IsPreconnected s
x : α
x_in : x ∈ s
⊢ s.Subsingleton
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → GeneralizedHeytingAlgebra (π i)
a b : (i : ι) → π i
i : ι
⊢ (a ⇔ b) i = a i ⇔ b i
α : Type
ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
Semigroup α
x : Holor α ds₁
y : Holor α ds₂
z : Holor α ds₃
⊢ HEq ((x.mul y).mul z) (x.mul (y.mul z))
α : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
f✝ f : α → β
g : pkg.space → pkg'.space
hg : UniformContinuous g
h : ∀ (a : α), pkg'.coe (f a) = g (pkg.coe a)
a : α
⊢ pkg.extend (fun x => (g ∘ pkg.coe) x) (pkg.coe a) = (g ∘ pkg.coe) a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
H : IsJacobson R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
p : Ideal S
hp : p.IsPrime
⊢ p = sInf (map f '' {J | comap f p ≤ J ∧ J.IsMaximal})
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
β : Type u_3
TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
μ : MeasureTheory.Measure β
f : β → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsClosed s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
⊢ f =ᵐ[μ] 0
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hx' : x < 1
⊢ x < 1
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
x : R
⊢ v.intValuationDef x ≤ 1
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
One β
f : α → β
R1Space α
⊢ (∃ K, IsCompact K ∧ ∀ x ∉ K, f x = 1) ↔ HasCompactMulSupport f
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
a : α
Fintype α
DecidablePred fun x => a ≤ x
⊢ Finset.filter (fun x => a ≤ x) Finset.univ = Finset.Ici a
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
⊢ ∑' (n : ℕ), ↑(↑(MeasureTheory.SimpleFunc.eapproxDiff f n) a) = f a
α : Type u_3
PseudoMetricSpace α
r : ℝ
hpos : 0 < r
hr : Pairwise fun x x_1 => r ≤ dist x x_1
⊢ DiscreteTopology α
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : IntermediateField F K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F ↥S
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
⊢ sepDegree E ↥(adjoin E ↑S) = sepDegree F ↥S
M : Type u_4
A : Type u_5
Monoid M
SetLike A M
SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
n : ℕ
⊢ x ^ n ∈ S
a n : ℕ
⊢ a % n ≡ a [MOD n]
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
h : a ≤ b
⊢ 1 / b ≤ 1 / a
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ Tendsto (fun x => 1 / log x / 1) atTop (𝓝 0)
J : Type
inst✝⁴ : Finite J
K : Type
inst✝³ : Finite K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : J → C
g : K → C
m : (j : J) → (k : K) → f j ⟶ g k
x✝¹ : J
x✝ : K
⊢ components (matrix m) x✝¹ x✝ = m x✝¹ x✝
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
⊢ ∀ (q : K[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) q = 0 → (X ^ orderOf σ - C 1).degree ≤ q.degree
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Fix F α)
⊢ ((TypeVec.id ::: mk) ⊚ (TypeVec.id ::: dest)) <$$> x = x
p n k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : k ≠ 0
hkp : k ≠ p ^ n
⊢ p ∣ (p ^ n).choose k
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
f : F[X]
IsAlgClosed E
⊢ f.natSepDegree = (f.aroots E).toFinset.card
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
f : G →* N
s : Set N
x : G
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
⊢ x ∈ ↑(comap f (closure s))
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h' : ∀ (x : Cofix F), r x x
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
x✝ : Cofix F
x : (P F).M
y✝ : Cofix F
y : (P F).M
rxy : r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)
r' : (P F).M → (P F).M → Prop := fun x y => r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)
⊢ Mcongr x y
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ log (1 + z * I) + -log (1 - z * I) = log ((1 + z * I) / (1 - z * I))
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
x g : G
hx : x ∈ centralizer ↑P
hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P
h1 : ↑P ≤ centralizer ↑(zpowers x)
h2 : ↑(g • P) ≤ centralizer ↑(zpowers x)
h : ↥(centralizer ↑(zpowers x))
hh : ((↑h * g) • P).subtype ⋯ = P.subtype h1
⊢ ∃ n ∈ (↑P).normalizer, g⁻¹ * x * g = n⁻¹ * x * n
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
s t : Set X
hs : IsGδ s
ht : IsGδ t
hsc : Dense s
htc : Dense t
⊢ Dense (s ∩ t)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hpi : angle x y ≠ π
h : ⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) = ⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)
⊢ ‖x‖ = ‖y‖
d : Nat
nz : d ≠ 0
⊢ Rat.normalize 0 d nz = 0
R : Type u_1
One R
Neg R
⊢ Cardinal.mk ℍ[R] = Cardinal.mk R ^ 4
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ν'
h1 : μ ≪ μ'
h2 : ν ≪ ν'
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ'.prod ν') s = 0
⊢ (μ.prod ν) s = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
q : P
⊢ ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) q) = q
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : ¬MeasurableSet s
x : G
⊢ condexpIndL1 hm μ s x = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
P : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprod.rightUnitor P).inv = CategoryTheory.Limits.coprod.inl
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hb : AddLECancellable b
hca : c ≤ a
h : a - b < a - c
⊢ c < b
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
⊢ NumberField.discr K = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)
α : Type u
DecidableEq α
⊢ FreeGroup.toWord 1 = []
α : Type u_2
CompleteLattice α
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
ι : Type u_3
t : ι → α
ht : CompleteLattice.Independent t
h_ne_bot : ∀ (i : ι), t i ≠ ⊥
⊢ Finite ι
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
K : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ 0 ≤ MeasureTheory.Measure.haar.addCHaar K₀ K
L : Type u
CommRing L
IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
⊢ ∃ m, ∀ t ∈ rootsOfUnity n L, g ↑t = ↑(t ^ m)
A : FintypeCat
⊢ DiscreteTopology ↑A
α : Type u
β : Type v
l : List α
n : ℕ
f : ℕ → α → β
⊢ List.map (Function.uncurry f) (List.enumFrom n l) = List.zipWith (fun i => f (i + n)) (List.range l.length) l
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ count p 0 = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
SetLike S R
hSR : NonUnitalSubringClass S R
s : S
⊢ (NonUnitalSubring.unitization s).range = subalgebraOfSubring (Subring.closure ↑s)
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ χ' : MulChar R R'
h : ∀ (a : R), χ a = χ' a
⊢ χ = χ'
G : Type u_2
Group G
H : Subgroup G
g : G
h : ↥H.op
s : Set G
⊢ (fun y => h • y) '' ((fun x => g * x) ⁻¹' s) = (fun x => g * x) ⁻¹' ((fun y => h • y) '' s)
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
I : Ideal R
Submodule.IsPrincipal I
x : R
hx : x ∈ I
⊢ x ∣ Submodule.IsPrincipal.generator I ↔ I = Ideal.span {x}
R : Type u_1
Semiring R
m : Type u_3
Fintype m
DecidableEq m
⊢ Matrix.toLinearMapRight' 1 = LinearMap.id
ctx : Nat.Linear.Context
p : Nat.Linear.Poly
⊢ Nat.Linear.Poly.denote ctx (List.reverse p) = Nat.Linear.Poly.denote ctx p
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Disjoint a bᶜ
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
w : ↑(G.neighborSet v)
⊢ (G.dartOfNeighborSet v w).toProd = (v, ↑w)
X : Type u_1
R : Type u_2
TopologicalSpace X
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
T2Space R
s : Set X
⊢ IsClosed ↑(ContinuousMap.idealOfSet R s)
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
x : A
⊢ realPart ↑(imaginaryPart x) = imaginaryPart x
β : Type u_3
Finite β
f : Equiv.Perm β
hf : f.IsCycle
n : ℕ
⊢ f ^ n = 1 ↔ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ n) x = x
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
IsDedekindDomain R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ SubmodulesRingBasis fun r => Submodule.span (DedekindDomain.FiniteIntegralAdeles R K) {↑↑r}
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hfi : Integrable f μ
⊢ (μ.withDensityᵥ f).trim hm ≪ᵥ (μ.trim hm).toENNRealVectorMeasure
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (⨅ i, ↑(f i)).toNat = ⨅ i, f i
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝²⁹ : CommRing A
inst✝²⁸ : CommRing B
inst✝²⁷ : Algebra A B
inst✝²⁶ : Field K
inst✝²⁵ : Field L
inst✝²⁴ : Algebra A K
inst✝²³ : IsFractionRing A K
inst✝²² : Algebra B L
inst✝²¹ : Algebra K L
inst✝²⁰ : Algebra A L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.262054
Bₘ : Type ?u.262057
inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ
inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Aₘ
inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed B
inst✝¹ : Module.Finite A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
⊢ (algebraMap A K) ((intTrace A B) x) = (trace K L) ((algebraMap B L) x)
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas
hg_meas : StronglyMeasurable g
hg_eq : g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_eq_restrict : g =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_nnnorm_eq : (fun x => ↑‖g x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊
⊢ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, ↑↑f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ a + c - (b + c) = a - b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
x v : E
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f (lineDeriv 𝕜 f x v) x v
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)
⊢ IsLocalization.mk' K x y = 1 ↔ x = ↑y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ J₁.IsClosed S ↔ J₁.close S = S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
adj : F ⊣ G
V₁ V₂ : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra G
f : V₁ ⟶ V₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f.f) ((adj.homEquiv V₂.V V₂.V).symm V₂.str) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((adj.homEquiv V₁.V V₁.V).symm V₁.str) f.f
n m l a : ℕ
⊢ a ∉ Ico n m ∩ Ico m l
b : EReal
h : b ≤ 0
a a' : EReal
h' : a ≤ a'
⊢ a * (-b)⁻¹ ≤ a' * (-b)⁻¹
β : Type u_1
α : Type u_2
IsEmpty β
a : α
⊢ (Equiv.sumEmpty α β) (Sum.inl a) = a
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ p.restriction.support = p.support
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')
hq'' : (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q' ≠ 0
⊢ φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r') ⟨↑p ^ n * q', hq⟩ = ↑p ^ ↑m / ↑p ^ ↑n * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
Pow γ ℕ
MeasurablePow γ ℕ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
n : ℕ
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib (fun x => f x ^ n) (fun x => g x ^ n) μ ν
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ (x ~ᵢ y) ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
hJ : CategoryTheory.Sheaf.Subcanonical J
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
P.Representable
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J P
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hsm : MeasurableSet s
hfs : ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in sᶜ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ - ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ
M : Type u_1
R : Type u_2
Group M
CommRing R
MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x : R
⊢ x ∈ a • S ↔ a⁻¹ • x ∈ S
⊢ Complex.liftAux (-Complex.I) ⋯ = ↑Complex.conjAe
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
b : α
h : 0 < l.length
⊢ b ≤ List.maximum_of_length_pos h ↔ ↑b ≤ l.maximum
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → α → E
f_ℒp : ∀ (n : ι), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) p μ) fi (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
α : Type u_2
Div α
g : Filter α
a : α
⊢ pure a / g = Filter.map (fun x => a / x) g
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f
⊢ Injective ⇑f
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
h : closure ↑I ⊆ nonunits R
⊢ I.closure ≠ ⊤
α : Type u_1
Preorder α
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
Topology.IsUpperSet α
Topology.IsUpper α
⊢ t₁ ≤ t₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s s' : Set α
t t' : α → Set β
hs : s' ⊆ s
h : ∀ x ∈ s, t x ⊆ t' x
⊢ ⋃ x ∈ s', t x ⊆ ⋃ x ∈ s, t' x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
f : ↥(lp G 2)
⊢ Summable fun i => (V i) (↑f i)
M : Type u_2
AddZeroClass M
S₁ S₂ : AddSubmonoid Mᵃᵒᵖ
⊢ (S₁ ⊔ S₂).unop = S₁.unop ⊔ S₂.unop
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : 0 < z
⊢ x ≤ y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z ≤ y
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S T : CategoryTheory.Subgroupoid C
h : S ≤ T
⊢ S.objs ⊆ T.objs
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
G : Type u_6
SMul M G
n : M
a : G
⊢ ↑(n • a) = n • ↑a
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.functorialityEquivalence F e).functor =
  CategoryTheory.Limits.Cones.functoriality F e.functor
G : Type u_1
Monoid G
H : Type u_6
Monoid H
e : G ≃* H
x : G
⊢ orderOf (e x) = orderOf x
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
lim_mass : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
⊢ Tendsto (fun i => (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : a < 1
⊢ 1 < mabs a ↔ a ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
f g : α →ᵇ β
⊢ dist f.toContinuousMap g.toContinuousMap = dist f g
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
x : ZMod m
hψ : ψ (-1) = -1
⊢ ψ (-x) = -ψ x
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsMulLeftInvariant
μ.Regular
μ'.Regular
⊢ μ' = μ'.haarScalarFactor μ • μ
R : Type u
Γ₀ : Type v
CommRing R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
CommRing O
Algebra O R
self : v.Integers O
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap O R)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 s) id
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial R
V : ι → Submodule R M
hV : Independent V
I : Type w := { i // V i ≠ ⊥ }
v : I → M
hvV : ∀ (i : I), v i ∈ V ↑i
hv : ∀ (i : I), v i ≠ 0
this : LinearIndependent R v
⊢ lift.{v, w} #I ≤ lift.{w, v} (Module.rank R M)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (x * c)) volume (a / c) (b / c)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
v : α →₀ M
c : R
h : α → M →ₗ[R] M₂
⊢ ((c • v).sum fun a => ⇑(h a)) = c • v.sum fun a => ⇑(h a)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
F : Arrow C
X : Augmented C
G : F ⟶ Augmented.toArrow.obj X
x : SimplexCategory
j : Fin (x.len + 1)
t : ((const C).obj X.left).map ((SimplexCategory.mk 0).const x j) ≫ X.hom.app x = X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) ≫ ((𝟭 (CosimplicialObject C)).obj X.right).map ((SimplexCategory.mk 0).const x j)
⊢ G.left ≫ (Augmented.toArrow.obj X).hom ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j) = G.left ≫ X.hom.app x
R : Type u
inst✝⁶ : Ring R
J : Type v
inst✝⁵ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : DecidableEq ι
x✝¹ x✝ : ι
hij : x✝¹ ⟶ x✝
⊢ ∀ (x : ↑((directLimitDiagram G f).obj x✝¹)), ((directLimitDiagram G f).map hij ≫ DirectLimit.of R ι G f x✝) x = (DirectLimit.of R ι G f x✝¹ ≫ ((Functor.const ι).obj (of R (DirectLimit G f))).map hij) x
p✝ q : ℚ
p : ℚ≥0
hq : 0 ≤ q
⊢ q.toNNRat < p ↔ q < ↑p
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ (Finset.cons a s h).erase a = s
b : ℕ
hb2 : b % 2 = 1
a : ℤ
ha4 : 4 * a % 4 = 0
this : (↑2).gcd ↑b = 1
⊢ J(4 * a / 4 | b) = J(4 * a | b)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R
⊢ (((pullbackSymmetry s.fst (𝒰.map b)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map b) s.fst (𝒰.map b ≫ f) g (𝟙 (𝒰.obj b)) s.snd f ⋯ ⋯) ≫ (gluing 𝒰 f g).ι b) ≫ p1 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ s.fst
α : Type u
a : α
l : Filter α
⊢ pure a ≤ l ↔ ∀ s ∈ l, a ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f✝ f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
hc : ContinuousWithinAt f s x
⊢ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈ 𝓝[s] x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)
⊢ Ico a b ⊆ closure (Ioo a b)
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ b = (a ⊔ b) ⊓ (aᶜ ⊔ bᶜ)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedRing α✝
α : Type u_5
inst✝ : NormedCommRing α
f : ι → α
val✝ : Multiset ι
l : List ι
hl : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)
hs : { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }.Nonempty
this : List.map f l ≠ []
⊢ ‖∏ i ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }, f i‖ ≤ ∏ i ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }, ‖f i‖
α : Type u_2
β : Type u_3
f : α → β
⊢ Filter.comap f Filter.cofinite ≤ Filter.cofinite
b : ℕ
d : ℕ := gcd 0 b
⊢ φ 0 * φ b ≤ φ (0 * b)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
a b : R
⊢ (DiscreteValuationRing.addVal R) (a * b) = (DiscreteValuationRing.addVal R) a + (DiscreteValuationRing.addVal R) b
α : Type u_1
n : Nat
a' : α
l : List α
h : n < l.length
⊢ ∃ l₁ l₂, l = l₁ ++ l[n] :: l₂ ∧ l₁.length = n ∧ l.set n a' = l₁ ++ a' :: l₂
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ x * y = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * y.num) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
⊢ LSeries.term f s n = if n = 0 then 0 else f n / ↑n ^ s
R : Type u
a : R
Semiring R
p : R[X]
ai : R
au : a * ai = 1
⊢ (p * Polynomial.C a).natDegree = p.natDegree
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.9744, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
⊢ IsIso S.f ↔ IsZero S.X₃
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ a ≤ a ∆ b ⊔ b