ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }
this : SigmaCompactSpace ↥U
g : ↥U → ℝ
g_smth : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g
g_supp : HasCompactSupport g
h : ∫ (x : M), Function.extend Subtype.val g 0 x • f x ∂μ = 0
x : M
hx : x ∉ ↑U
⊢ Function.extend Subtype.val g 0 x • f x = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t
o : Option α
ho : o ∈ s.head
ds : Option (α × WSeq α)
dsm : ds ∈ s.destruct
dse : Prod.fst <$> ds = o
l : ∀ {a : Option (α × WSeq α)}, a ∈ s.destruct → ∃ b, b ∈ t.destruct ∧ BisimO (fun x x_1 => x ~ʷ x_1) a b
r : ∀ {b : Option (α × WSeq α)}, b ∈ t.destruct → ∃ a, a ∈ s.destruct ∧ BisimO (fun x x_1 => x ~ʷ x_1) a b
⊢ Prod.fst <$> ds ∈ t.head
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
m₁ : M₁
m₂ : M₂
⊢ (((GradedTensorProduct.includeLeft (evenOdd Q₁) (evenOdd Q₂)).toLinearMap ∘ₗ (evenOdd Q₁ 1).subtype ∘ₗ LinearMap.codRestrict (evenOdd Q₁ 1) (ι Q₁) ⋯).coprod ((GradedTensorProduct.includeRight (evenOdd Q₁) (evenOdd Q₂)).toLinearMap ∘ₗ (evenOdd Q₂ 1).subtype ∘ₗ LinearMap.codRestrict (evenOdd Q₂ 1) (ι Q₂) ⋯)) (m₁, m₂) = (ι Q₁) m₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1 + 1 ᵍ⊗ₜ[R] (ι Q₂) m₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
h : ∀ (a : ↑s), ↑a • x = 0
⊢ ∀ p ∈ torsionBy R M '' s, x ∈ p
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd₁ : l₁.NodupKeys
nd₂ : l₂.NodupKeys
p : l₁.Perm l₂
⊢ List.lookupAll a l₁ = List.lookupAll a l₂
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x x' y : M
⊢ polar (⇑Q) (x - x') y = polar (⇑Q) x y - polar (⇑Q) x' y
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝² : MeasurableSpace ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : ContinuousMul β
U : γ → ι → Ω → β
s : Finset γ
h : ∀ c ∈ s, ProgMeasurable f (U c)
⊢ ProgMeasurable f fun i a => ∏ c ∈ s, U c i a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
hA' : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
U : Set α
hAU : U ⊇ A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < μ A + ε
⊢ μ (U \ A) < ε
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
a : α
m n : ℕ
inst✝ : Subsingleton αˣ
c d : α
hcd : a = a * c * d
⊢ a = a * c
α : Type u
f : α → α
Hinj : Function.Injective f
n : ℕ
⊢ Function.Injective f^[n]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
self : CategoryTheory.Congruence r
X Y : C
⊢ Equivalence r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
n : ℕ∞
h : SmoothAt I I' f x
⊢ ContMDiffAt I I' n f x
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
⊢ UniformContinuous f ↔ ∀ r ∈ 𝓤 β, {x | (f x.1, f x.2) ∈ r} ∈ 𝓤 α
α : Type u_2
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
m : Multiset α
⊢ m.sum = 0 ↔ ∀ x ∈ m, x = 0
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h_two : p ≠ 2
⊢ Odd p
ι : Type u
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)
⊢ ∃ C ≤ A + B, HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
x : SetTheory.PGame
⊢ x ≤ 0 ↔ ∀ (i : x.LeftMoves), ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ 0
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
b : Basis ι R M
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : _root_.Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
bM : Basis m R M
bN : Basis n R N
j : m
i i' : n
j' : m
⊢ (toMatrix bM bN) ((dualTensorHom R M N) (bM.coord j ⊗ₜ[R] bN i)) i' j' = stdBasisMatrix i j 1 i' j'
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2) / ↑(x.1 * 2 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
⊢ HasSum (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)) z.arctan
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h₁ : I ⊓ I₁ = I₁
h₂ : I ⊓ I₂ = I₂
⊢ comap I.incl ⁅I ⊓ I₁, I ⊓ I₂⁆ = comap I.incl ⁅I₁, I₂⁆
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ⋖ b
⊢ a ≠ b
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ Function.Surjective ⇑Monoid.Coprod.mk
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
⊢ eval 1 (cyclotomic n R) = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
SemilatticeInf β
hf : QuasiconcaveOn 𝕜 s f
hg : QuasiconcaveOn 𝕜 s g
⊢ QuasiconcaveOn 𝕜 s (f ⊓ g)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
hi : i.gcd ↑k = 1
h0 : ¬0 ≤ i
i' : ℕ
hi' : ↑i' = -i
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i') k
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
Group α
MulAction α β
s t : Finset β
a : α
⊢ a • (s ∩ t) = a • s ∩ a • t
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
h₁ : x ⤳ y
h₂ : y ⤳ x
⊢ x ~ᵢ y
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Finite α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ σ ∈ S, σ.IsSwap
inst✝ : IsPretransitive (↥(closure S)) α
⊢ closure S = ⊤
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
⊢ ↑z ≠ 0 ↔ z ≠ 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) < ⊤
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m x : (i : ι) → E i
⊢ ‖(f + g) x‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖ + ‖g‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
H : 1 = ↑p ^ (-s)
⊢ False
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
⊢ (LinearMap.inr 𝕜 E F) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ ¬({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ }).byteIdx = { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + (utf8Len m₂ + c.utf8Size)) }.byteIdx
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
S : Type u_2
NonAssocSemiring S
Module R S
SMulCommClass R S S
Pow S ℕ
NatPowAssoc S
x : S
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n * p).smeval x = x ^ n * p.smeval x
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.PrelaxFunctor B C
a b : B
f g h : a ⟶ b
η : f ⟶ g
θ : g ⟶ h
⊢ self.map₂ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η θ) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.map₂ η) (self.map₂ θ)
R : Type u_1
Ring R
f g : ArithmeticFunction ℤ
⊢ ↑(f * g) = ↑f * ↑g
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
h1 : 0 < (↑π * a).re
h2 : 0 < (↑π / a).re
f_bd : f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
Ff_bd : 𝓕 f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = ∑' (n : ℤ), f (0 + ↑n)
α : Type u_1
s : Set (Set α)
hs : {t | MeasurableSet t} = s
⊢ MeasurableSpace.mkOfClosure s hs = MeasurableSpace.generateFrom s
α : Type u
R : α → α → Prop
x y : α
l : List α
⊢ List.Chain' R (x :: y :: l) ↔ R x y ∧ List.Chain' R (y :: l)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => x * c) '' Set.Icc a b = Set.Icc (a * c) (b * c)
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ (μ (t ∩ s)).toReal • 1 = (μ (t ∩ s)).toReal
α : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring α
StarRing α
f : CentroidHom α
a : α
⊢ (star f) a = star (f (star a))
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
I : Ideal S
hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P
P' : Ideal S
hP : P' ≥ I
hP' : P'.IsPrime
hP'' : comap (algebraMap R S) P' ≤ P
⊢ ∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
a b : ℤ
⊢ CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (Triangle C) a b (a + b) ⋯ = shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯
R : Type u
CommRing R
Invertible 2
X Y : QuadraticModuleCat R
⊢ (QuadraticModuleCat.instMonoidalCategory.tensorObj X Y).form = X.form.tmul Y.form
z : ℂ
r : ℝ
⊢ (z * ↑r).im = z.im * r
α : Type u_2
InvolutiveNeg α
f g : Filter α
⊢ -f ≤ -g ↔ f ≤ g
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMapOn f s
⊢ IsLocalHomeomorphOn f (f ⁻¹' s)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ IsCompact (f '' univ)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set β → Prop
HasCountableSeparatingOn β p Set.univ
h : ∀ (U : Set β), p U → ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ U ↔ g x ∈ U
⊢ f =ᶠ[l] g
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set R
P : R
hP : P ∉ NonUnitalSubsemiring.closure s
⊢ P ∉ s
α : Type u_3
OrderedSemiring α
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x * x) Filter.atTop Filter.atTop
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
c : σ → K
⊢ ∀ (i : σ), Multiset.count i (∏ n : σ, (1 - (X n - C (c n)) ^ (Fintype.card K - 1))).degrees ≤ Fintype.card K - 1
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Bool} {l : List α}, List.filter p l = l ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → p a = true
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Icc b c = Icc (b + a) (c + a)
R : Type u
CommRing R
X : Type u
Ring X
Algebra R X
⊢ ↑(AlgebraCat.of R X) = X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x y : E
⊢ insert x (insert y (openSegment 𝕜 x y)) = [x-[𝕜]y]
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β✝
μ ν : Measure α
β : Type u_7
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
x : α
g : α → β
g_meas : ∀ t > x, AEMeasurable g (μ.restrict (Ioc x t))
this : Nonempty α
u : ℕ → α
hu_tendsto : Tendsto u atTop atTop
Ioi_eq_iUnion : Ioi x = ⋃ n, Ioc x (u n)
⊢ AEMeasurable g (μ.restrict (Ioi x))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ α
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
x : α
hx : 0 ≤ x
⊢ ⟨x, hx⟩⁻¹ = ⟨x⁻¹, ⋯⟩
α : Type u_1
a : α
MeasurableSpace α
Countable α
h : MeasurableSingletonClass α
⊢ (MeasureTheory.Measure.dirac a).toPMF = PMF.pure a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
a : α
l : Filter β
f : β → α
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝[Set.range f] a) ↔ Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
α : Type u
f : α → α
x : α
hf : Function.IsFixedPt f x
n : ℕ
⊢ Function.IsFixedPt f^[n] x
a b c : Ordinal.{u}
⊢ succ a ♯ b = succ (a ♯ b)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a₂ : α
b₁ : β
⊢ Finset.Icc (Sum.inr b₁) (Sum.inl a₂) = ∅
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
MulZeroClass β
f f' : α → β
hf : HasCompactSupport f
⊢ HasCompactSupport (f * f')
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ (((↑{c}).Pairwise G.Adj ∧ ∀ b_1 ∈ ↑{c}, b ≠ b_1 → G.Adj b b_1) ∧ ∀ b_1 ∈ insert b ↑{c}, a ≠ b_1 → G.Adj a b_1) ∧ {a, b, c}.card = 3 ↔ G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
⊢ EqOn (norm ∘ f) (const M ‖f c‖) U
m n : Nat
⊢ m <<< (n + 1) = 2 * m <<< n
R : Type u_7
S : Type u_8
F : Type u_9
G : Type u_10
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
FunLike F R S
FunLike G S R
NonUnitalRingHomClass F R S
NonUnitalRingHomClass G S R
hom : F
inv : G
hom_inv_id : (↑inv).comp ↑hom = NonUnitalRingHom.id R
inv_hom_id : (↑hom).comp ↑inv = NonUnitalRingHom.id S
a : S
⊢ (RingEquiv.ofHomInv' hom inv hom_inv_id inv_hom_id).symm a = inv a
L : outParam FirstOrder.Language
F : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
FunLike F M N
FirstOrder.Language.Structure L M
FirstOrder.Language.Structure L N
self : FirstOrder.Language.StrongHomClass L F M N
φ : F
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ φ (FirstOrder.Language.Structure.funMap f x) = FirstOrder.Language.Structure.funMap f (⇑φ ∘ x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
⊢ (γ.trans γ').symm t = (γ'.symm.trans γ.symm) t
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
ι : Type u_2
φ : ι → ContDiffBump c
l : Filter ι
hφ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, (φ x).rOut < ε
⊢ ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∀ᶠ (x : ι) in l, (support fun x_1 => (φ x).normed μ x_1) ∈ 𝒫 ball c i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
⊢ HomologicalComplex.homotopyCofiber.sndX φ i ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.inrX φ i =
  𝟙 (HomologicalComplex.homotopyCofiber.X φ i)
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
i : Fin (n + 1)
x✝ : α
p : Fin n → α
x : Fin (n + 1)
⊢ (i.insertNth x✝ p ∘ rev) x = i.rev.insertNth x✝ (p ∘ rev) x
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
i : ι × κ
r : R
⊢ (finsuppTensorFinsupp' R ι κ).symm (Finsupp.single i r) = Finsupp.single i.1 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 r
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M
hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite
m : ℤ
hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite
hm₀ : m ≠ 0
⊢ ∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
p q : ι → Prop
hpq : ∀ (i : ι), p i → q i
⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : q i), f i
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p) ∈ s
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
⊢ S.disconnect.IsTotallyDisconnected
G : Type u_8
α : Type u_9
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
g : G
h_qmp : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun x => g⁻¹ • x) μ μ
h_ae_eq : s =ᵐ[μ] t
⊢ g • s =ᵐ[μ] g • t
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((CliffordAlgebra.ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
⊢ (CliffordAlgebra.foldr' Q f hf n) ((CliffordAlgebra.ι Q) m) = (f m) (1, n)
R✝ : Type u
a✝ b : R✝
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : Ring R
a : R[ℕ]
⊢ { toFinsupp := -a } = Polynomial.neg { toFinsupp := a }
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
a : α
⊢ a ∈ s.tail → a ∈ s
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
U : TopologicalSpace.Opens G
⊢ μ.outerMeasure ↑U = μ.innerContent U
V : Type u
K L : Set V
G : SimpleGraph V
v : V
vK : v ∉ K
h : L ⊆ K
⊢ v ∈ SimpleGraph.ComponentCompl.hom h (G.componentComplMk vK)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
⊢ W'.addX P Q * (P z * Q z) ^ 2 = (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) ^ 2
z : ℍ
g : SL(2, ℝ)
⊢ (↑↑(Matrix.SpecialLinearGroup.toGLPos g) 1 0 * z.im) ^ 2 ≤
  Complex.normSq (UpperHalfPlane.denom (Matrix.SpecialLinearGroup.toGLPos g) z)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ -(a • (-f) x + b • (-f) y - a * b * φ ‖x - y‖) ≤ -(-f) (a • x + b • y)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
⊢ 0 ∉ f.frange
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ IsZero T.obj₃ ↔ IsZero T.invRotate.obj₁
f✝ : Bool → Bool → Bool
C : ℕ → Sort u_1
z : C 0
f : (b : Bool) → (n : ℕ) → C n → C (bit b n)
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ (if n0 : n = 0 then ⋯.mpr z else ⋯.mpr (f n.bodd n.div2 (binaryRec z f n.div2))) = cast ⋯ (f n.bodd n.div2 (binaryRec z f n.div2))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedCommRing 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
⊢ 0 ∈ B.polar s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v✝ : ι → M
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing R₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M''
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
G : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G R
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → G
j : M
hj : ∀ (p : Submodule R M), Set.range v ⊆ ↑p → j ∈ p
p : Submodule R M
hp : Set.range (w • v) ⊆ ↑p
i : ι
this : ((w i)⁻¹ • 1) • w i • v i ∈ p
⊢ v i ∈ ↑p
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_6
Monoid R
Monoid S
MulAction R M
MulAction S N
G : Type u_8
FunLike G R S
MonoidHomClass G R S
σ : G
F : Type u_9
FunLike F M N
MulActionSemiHomClass F (⇑σ) M N
h : F
c : R
hc : IsUnit c
t : Set N
⊢ ⇑h ⁻¹' (σ c • t) = c • ⇑h ⁻¹' t
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
f : Γ → R
h : (Function.support f).IsPWO
⊢ { coeff := f, isPWO_support' := h } = 0 ↔ f = 0
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
hne : ¬padicNorm p (-↑f m) = padicNorm p (↑f n)
⊢ False
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).ReflectsIsomorphisms
A✝ B✝ : C
f : A✝ ⟶ B✝
x✝ : IsIso (F.map f)
⊢ IsIso f
x : ℝ
n : ℤ
⊢ Real.cos (x + ↑n * (2 * Real.pi)) = Real.cos x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty C
⊢ CategoryTheory.IsPreconnected C
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
F : CategoryTheory.Functor D E
X : D
⊢ (e.invFunIdAssoc F).inv.app X = F.map (e.counitInv.app X)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₂ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h : ∀ y > x, ∀ᶠ (a : α) in f, u a < y
⊢ limsup u f ≤ x
a b : Int
H : b % a = 0
⊢ a ∣ b
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
t : Set α
t_meas : MeasurableSet t
t_lt_top : μ t < ⊤
s : Set α
s_meas : MeasurableSet s
a✝ : μ (s ∩ t) < ⊤
⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ