ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁹ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁸ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝⁴ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
⊢ (J.sheafifyCompIso F P).inv = J.sheafifyLift (whiskerRight (J.toSheafify P) F) ⋯
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
g : a ⟶ b
h : b ⟶ c
⊢ f ◁ θ.naturality (g ≫ h) ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.mapComp g h = f ◁ G.mapComp g h ▷ θ.app c ≫ f ◁ (α_ (G.map g) (G.map h) (θ.app c)).hom ≫ f ◁ G.map g ◁ θ.naturality h ≫ f ◁ (α_ (G.map g) (θ.app b) (H.map h)).inv ≫ f ◁ θ.naturality g ▷ H.map h ≫ f ◁ (α_ (θ.app a) (H.map g) (H.map h)).hom
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
⊢ IsPreconnected (Set.Iio a)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
⊢ (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ (↑(suffixLevenshtein C a ys)).minimum
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
A : C
f : CategoryTheory.MonoOver A
⊢ CategoryTheory.MonoOver.inf.obj f = CategoryTheory.MonoOver.pullback f.arrow ⋙ CategoryTheory.MonoOver.map f.arrow
n : ℤ
d : ℕ
R : Type u_2
DivisionRing R
a : R
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a n d → a = Rat.rawCast n d + 0
n : ℕ
α : Type u
p : Fin n → Type u
τ : Type u
f : ((i : Fin (n + 1)) → Matrix.vecCons α p i) → τ
a : α
⊢ Function.FromTypes.curry f a = Function.FromTypes.curry ((fun {x} => f) ∘' Fin.cons a)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p q r : R[X]
n : ℕ
⊢ (p * (X - ↑n)).comp q = p.comp q * (q - ↑n)
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ C
⊢ ∀ (j : J), { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map (𝟙 F) ≫ limit.π F j = 𝟙 ({ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.obj F) ≫ limit.π F j
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ a ≤ s.inf f ↔ ∀ b ∈ s, a ≤ f b
α : Type u_1
LinearOrderedCommMonoid α
a : α
⊢ a * a ≤ 1 ↔ a ≤ 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 3 ≠ 0
⊢ W.Ψ₃.leadingCoeff = 3
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
n : ℕ
j j✝ : Fin (n + 1)
⊢ circulant (fun i => if ↑i = 0 then 1 else 0) j j✝ = circulant (Pi.single 0 1) j j✝
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq σ
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
⊢ (∏ i ∈ s, f i).vars ⊆ s.biUnion fun i => (f i).vars
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparating {G, H}
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : G ⨿ H ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
Z : C
hZ : Z ∈ {G, H}
g : Z ⟶ X
⊢ g ≫ u = g ≫ v
ι : Type u
R : ι → CommRingCat
⊢ (CommRingCat.piFan R).pt = CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
h : t ∈ 𝓝ˢ s
⊢ s ⊆ t
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ 1 ≤ a * b
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
⊢ S = ⊥
ι : Type u_1
M : Type u_2
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
s : Finset (ι →₀ M)
⊢ (s.sum id).support ⊆ s.sup Finsupp.support
G : Type u_1
Group G
hH : Group.IsNilpotent G
⊢ Group.nilpotencyClass (G ⧸ Subgroup.center G) = Group.nilpotencyClass G - 1
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ : Finmap β
s₁ : AList β
⊢ ⟦∅⟧ ∪ ⟦s₁⟧ = ⟦s₁⟧
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
⊢ ↑(↑η ^ 2 + ↑η + 1) = ↑0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
hf : HasCompactSupport f
n : ℕ
⊢ HasCompactSupport (iteratedFDeriv 𝕜 n f)
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Set.Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Set.Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Set.Icc a b ∩ t
⊢ (Set.Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
TopologicalSpace M₂
T2Space M₂
f : M₁ → M₂
⊢ IsCompactOperator f ↔ ∃ V ∈ 𝓝 0, IsCompact (closure (f '' V))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace α
⊢ toMeasure 0 ⋯ = 0
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F E
x : Bundle.TotalSpace F E
⊢ (extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) x).target =
  ((extChartAt IB x.proj).target ∩ ↑(extChartAt IB x.proj).symm ⁻¹' (trivializationAt F E x.proj).baseSet) ×ˢ Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
⊢ IsPeriodicPt f m x → IsPeriodicPt f n x → IsPeriodicPt f (m.gcd n) x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
f✝ g✝ : Π₀ (i : ι), α i
s : Finset ι
f g : Π₀ (i : ι), α i
h : f ≤ g
a : ι
ha : 0 < f a
⊢ 0 < g a
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 < y
⊢ x ^ y < 1 ↔ x < 1
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Fact (1 ≤ p)
NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → F) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α → F⦄,
    Disjoint (Function.support f) (Function.support g) →
      MeasureTheory.Memℒp f p μ →
        MeasureTheory.Memℒp g p μ →
          MeasureTheory.StronglyMeasurable f → MeasureTheory.StronglyMeasurable g → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → F⦄, f =ᵐ[μ] g → MeasureTheory.Memℒp f p μ → P f → P g
f : α → F
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p μ → MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ → P f
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Add α
f g : m → n → α
⊢ Matrix.of f + Matrix.of g = Matrix.of (f + g)
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation K Γ₀
x : K
⊢ v x ≤ 1 ∨ v x⁻¹ ≤ 1
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ x.mul y = x * y
R : Type u_1
CommRing R
a b c : R[X]
⊢ (a + b).wronskian c = a.wronskian c + b.wronskian c
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → β
x : α →₀ M
a : β
h : a ∉ Set.range f
⊢ (Finsupp.mapDomain f x) a = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y✝ : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CharZero 𝕜
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
n : ℕ
⊢ ((↑n !)⁻¹ • (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun x => y) = (p n) fun x => y
α : Type u
β : Type v
Inf α
Inf β
p q : α × β
⊢ (p ⊓ q).2 = p.2 ⊓ q.2
M : Type u_4
AddCommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal (n + 1), (n + 1).choose ij.1 • f ij.1 ij.2 =
  ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal n, n.choose ij.1 • f ij.1 (ij.2 + 1) +
    ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal n, n.choose ij.2 • f (ij.1 + 1) ij.2
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
⊢ Mono f ↔ Function.Injective ⇑f
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : ∀ (p : ℕ), ↑p = 0 → p = 0
x : ℕ
⊢ ↑x = 0 ↔ x = 0
M : Type u_1
AddZeroClass M
s : AddSubmonoid M
x : M
⊢ x ∈ s.toAddSubsemigroup ↔ x ∈ s
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : RightOrdContinuous f
⊢ Monotone f
q a b c : ℚ
⊢ a * (b + c) = a * b + a * c
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
self : Module.Baer.ExtensionOf i f
m : M
⊢ f m = ↑self.toLinearPMap ⟨i m, ⋯⟩
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
n d : R
hd : d ∈ nonZeroDivisors R
hk : k * (algebraMap R K) ↑(n, ⟨d, hd⟩).2 = (algebraMap R K) (n, ⟨d, hd⟩).1
hd' : d ≠ 0
⊢ {v | v.valuation ((algebraMap R K) d) < 1}.Finite
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
s s' : Sym α n
⊢ a ::ₛ s = a ::ₛ s' ↔ s = s'
R : Type u_6
AddCommMonoid R
A : Matrix (Fin 0) (Fin 0) R
⊢ A.trace = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
s : Set α
x : α
⊢ (∃ i, x - ↑i ∈ s ∧ x - ↑i ∈ Ico 0 1) → fract x ∈ s
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
j : Fin (n + 1)
a✝ : n + 1 ≤ ↑j + (n + 1)
eq : ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ (Γ₀.obj K).map (SimplexCategory.δ j.succ).op = 0
⊢ ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ (Γ₀.obj K).δ j.succ = 0
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
⊢ IsRelPrime (p ^ i p) (∏ p' ∈ s, p' ^ i p')
k n : Nat
m : Nat
H : k ∣ n
⊢ m * n / k = m * (n / k)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
Module.Flat R ↥M
⊢ Module.rank R ↥(M ⊓ N) ≤ 1
α : Type v
G : Type u
AddGroup G
AddAction G α
i : ℤ
g : G
a : α
⊢ (i + ↑(AddAction.period g a)) • g +ᵥ a = i • g +ᵥ a
G : Type u
Group G
self : GroupFilterBasis G
x₀ : G
U : Set G
⊢ U ∈ GroupFilterBasis.toFilterBasis.sets → ∃ V ∈ GroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V ⊆ (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) ⁻¹' U
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : Preorder G
inst✝ : CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : G
H : 1 ≤ x
n : ℕ
⊢ 1 ≤ x ^ ↑n
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hε : 0 < ε
⊢ ∃ n, 1 / (↑n + 1) < ε
α : Type u_1
l : Lists' α true
⊢ l ⊆ Lists'.nil → l = Lists'.nil
s : Set Ordinal.{u}
a o : Ordinal.{u}
ho : o ∈ s
⊢ s ∈ 𝓝 o ↔ o.IsLimit → ∃ a < o, Set.Ioo a o ⊆ s
σ : Type u
R : Type v
CommSemiring R
m : ℕ
⊢ MvPolynomial.restrictTotalDegree σ R m ≤ MvPolynomial.restrictDegree σ R m
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
a b : α
⊢ ⇑e '' Set.Icc a b = Set.Icc (e a) (e b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
⊢ (fun s => Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s) ∅
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Game
x : PGame
hx : x ∈ upperBounds (Set.range (Quotient.out ∘ f))
i : ι
⊢ f i ≤ ⟦x⟧
a b c : Int
h : b ≤ a
hc : c ≤ 0
⊢ a * c ≤ b * c
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
F : Set α
x : α
hF : IsOpen F
y : α
hy : y ∈ connectedComponentIn F x
⊢ connectedComponentIn F x ∈ 𝓝 y
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
⊢ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
IsLocalization S P
α : Sort u_3
f : α → Ideal R
hS : S ≤ R⁰
⊢ ↑(∏ᶠ (a : α), f a) = ∏ᶠ (a : α), ↑(f a)
α : Type u_8
ι : Type u_9
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
Preorder ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α
⊢ μ (⋃ i, f i) = ⨆ i, μ (Set.Accumulate f i)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0
h_spanx : spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≠ 0
⊢ ∀ J ≤ spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I, (↑J).FG
α : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ a + (b - a) = b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
DecidableEq α
f : α → β
s₁ s₂ : Finset α
⊢ Finset.image f (s₁ ∪ s₂) = Finset.image f s₁ ∪ Finset.image f s₂
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
a : α
ha : a ∈ s ∪ t
b : α
hb : b ∈ s ∪ t
h'a : a ∈ t
h'b : b ∈ t
⊢ edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype m
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix m n 𝕜
⊢ ‖A‖₊ = ‖(Matrix.toEuclideanLin ≪≫ₗ LinearMap.toContinuousLinearMap) A‖₊
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
ht : t.Finite := by toFinite_tac
⊢ (t \ s).ncard + s.ncard = t.ncard
x y : Class
h : Set.Nonempty x
H : ∀ z ∈ x, y ∈ z
⊢ ∃ x_1, ↑x_1 = y ∧ ∀ (z : ZFSet), x z → x_1 ∈ z
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℝ
ht : t ≠ -1
this : ∀ (x s : ℝ), ↑((1 + x ^ 2) ^ s) = (1 + ↑x ^ 2) ^ ↑s
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x * (1 + x ^ 2) ^ t = (1 + b ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1)) - (1 + a ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1))
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
SemilatticeSup β
f : α → β
⊢ Finset.sup' 0 ⋯ f = f 0
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter α
g : Filter β
f.NeBot
g.NeBot
⊢ (f +ᵥ g).NeBot
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
s : TopologicalSpace.Opens M
hs : Nonempty ↥s
G : StructureGroupoid H
HasGroupoid M G
ClosedUnderRestriction G
⊢ e.subtypeRestr hs ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas (↥s) G
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ioc a b ⊆ Set.Icc a b
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x✝ : E
a b : 𝕜
h₀ : 0 ∈ s
x : E
a✝ : x ∈ t
⊢ (fun x => 0 • x) x ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
W X Y Z : CategoryTheory.Dial C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Dial.tensorHom (W.associator X Y).hom (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (W.associator (X.tensorObj Y) Z).hom
      (CategoryTheory.Dial.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id W) (X.associator Y Z).hom)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((W.tensorObj X).associator Y Z).hom (W.associator X (Y.tensorObj Z)).hom
K : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
inst✝³ : Fintype ι₁
inst✝² : Fintype ι₂
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
B₁ : Basis ι₁ K V₁
B₂ : Basis ι₂ K V₂
u : V₁ →ₗ[K] V₂
i : ι₁
j : ι₂
⊢ (toMatrix B₂.dualBasis B₁.dualBasis) (Module.Dual.transpose u) i j = ((toMatrix B₁ B₂) u)ᵀ i j
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G →g G'
u v : V
p : G.Walk u v
hinj : Function.Injective ⇑f
⊢ (SimpleGraph.Walk.map f p).IsTrail ↔ p.IsTrail
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Surreal
⊢ BddBelow (Set.range f)
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ ⊤ / a = if a = ⊤ then 0 else ⊤
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
i : ℕ
⊢ Part.Fix.approx (⇑f) i ≤ Part.fix ⇑f
a b : Int
h : a ≤ -b
⊢ b ≤ -a
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
val✝ : Fintype { p // p ∈ l₂ }
⊢ 1 < order P L
α β : PartOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget PartOrd).obj α
⊢ (↑e ≫ ↑e.symm) x = (𝟙 α) x
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
⊢ W.polynomial =
  { a := 0, b := 1, c := { a := 0, b := 0, c := W.a₁, d := W.a₃ }.toPoly,
      d := { a := -1, b := -W.a₂, c := -W.a₄, d := -W.a₆ }.toPoly }.toPoly
α : Type u_17
E : Type u_18
F : Type u_19
Norm E
Norm F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
⊢ f =o[l] g = ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → Asymptotics.IsBigOWith c l f g
R : Type u
Ring R
s : Subring R
x y : R
⊢ x ∈ s → y ∈ s → x + y ∈ s
P : Type u_1
Preorder P
IF : Order.Ideal.PrimePair P
⊢ Disjoint ↑IF.I ↑IF.F
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
inst✝ : LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ'₀
v : AddValuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
⊢ v x ≤ v (x + y) ∨ v y ≤ v (x + y)
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
e₁ e₂ : M ≃ₛₗ[σ] M₂
⊢ ↑e₁ = ↑e₂ ↔ e₁ = e₂
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
hconst : Tendsto (fun _n => ↑‖a‖₊) atTop (𝓝 ↑‖a‖₊)
⊢ Tendsto (fun _n => ↑‖a‖₊) atTop (𝓝 (spectralRadius ℂ a))
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
⊢ 1 + p * s ≤ (1 + s) ^ p
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
I : Set ι
h : ∀ i ∈ I, UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (I.pi s) x
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ -a ≤ 0 ↔ 0 ≤ a
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (i : ι) → CommSemiring (A i)
inst✝ : (i : ι) → Algebra R (A i)
x y : ⨂[R] (i : ι), A i
⊢ mul = mul.flip
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
⊢ T ∈ HomotopyCategory.Pretriangulated.distinguishedTriangles C ↔
  T.rotate ∈ HomotopyCategory.Pretriangulated.distinguishedTriangles C
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ (Multiset.ndinsert a s).attach = Multiset.ndinsert ⟨a, ⋯⟩ (Multiset.map (fun p => ⟨↑p, ⋯⟩) s.attach)
α : Type u_1
LT α
a b : α
h : a < b
⊢ ¬a ⋖ b ↔ ∃ c, a < c ∧ c < b
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t
hne : s.Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
h : IsMinOn (fun x => infEdist x ?m.37155) s x
this : 0 < infEdist x t
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
hr : ↑r < infEdist x t
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
g : β → γ
hg : Function.Bijective g
⊢ Function.Bijective fun x => g ∘ x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ SignType.sign (-1) * (o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)).sign = -(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)).sign
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
h : 1 ∈ s
⊢ zeroLocus s = ∅
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
Fintype n
A : Matrix n n R
⊢ A ∈ LieAlgebra.Orthogonal.so n R ↔ A.transpose = -A
s : Finset ℕ
m n✝ p n k : ℕ
pk : Prime k
dk : k ∣ n
dkk : ¬k * k ∣ n
o : Option ℕ
H : (n / k).MinSqFacProp o
⊢ n.MinSqFacProp o
I : Type u_1
J : Type u_2
K✝ : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Fintype I
inst✝³ : Fintype J
inst✝² : Algebra K R
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : DecidableEq J
c : K
i✝ j✝ : I × J
⊢ diagonal ((algebraMap K (I → Matrix J J R)) c) i✝.1 j✝.1 i✝.2 j✝.2 = diagonal ((algebraMap K (I × J → R)) c) i✝ j✝
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
⊢ ∃ Y' i' e', i' ≫ e' = 𝟙 Y' ∧ e' ≫ i' = p'
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f✝ : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
f : (i : ι) → s i ≃ₗ[R] t i
p : (i : ι) → t i
⊢ (congr f).symm ((tprod R) p) = ⨂ₜ[R] (i : ι), (f i).symm (p i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
⊢ {a}ᶜ = univ.erase a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
f : α → γ
h : ContinuousOn f s
⊢ UpperSemicontinuousOn f s
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
c : F
h0 : p ≠ 0
h_top : p ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal)
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
s : Set M₁
⊢ ⇑e.symm '' (⇑e '' s) = s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set V
hs : ∀ v ∈ s, v ≠ 0
p₁ : P
⊢ (LinearIndependent k fun (v : ↑s) => ↑v) ↔ LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p => p -ᵥ p₁) '' (({p₁} ∪ (fun v => v +ᵥ p₁) '' s) \ {p₁}))) => ↑v
α : Type w
Finite α
X : α → LightProfinite
B : LightProfinite
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (CategoryTheory.forget LightProfinite).obj (X a)
⊢ (LightProfinite.finiteCoproduct.desc X π) ((LightProfinite.finiteCoproduct.ι X a) x) = (π a) x