ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
h : AEMeasurable f μ
s : Set β
hfs : ∀ (x : α), f x ∈ s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
g : α → β
g_meas : Measurable g
hg : range g ⊆ s
fg : f =ᶠ[ae μ] g
x : α
hx : f x = g x
⊢ codRestrict f s hfs x = codRestrict g s ⋯ x
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
γ : (a : α) → β a → Sort u_3
f g : (a : α) → (b : β a) → γ a b
h : f = g
a : α
b : β a
⊢ f a b = g a b
M : Type u_2
AddMonoid M
m : Mᵃᵒᵖ
h : IsAddUnit m
⊢ IsAddUnit (AddOpposite.unop m)
α : Type u_1
DecidableEq α
β : α → Type u_2
s : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (β a)
⊢ s.Nodup → (∀ a ∈ s, (t a).Nodup) → (s.pi t).Nodup
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ (a : Quotient (CategoryTheory.isIsomorphicSetoid C)), (CategoryTheory.fromSkeleton C).obj a = a.out
G : Type u_1
M : Type u_3
Group G
Monoid M
MulAction G M
SMulCommClass G M M
IsScalarTower G M M
g : G
m : Mˣ
⊢ (g • m)⁻¹ = g⁻¹ • m⁻¹
M : Type u_5
N : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
M' : Type u_8
N' : Type u_9
AddZeroClass M'
AddZeroClass N'
mnmn : (M × N) × M' × N'
⊢ (AddEquiv.prodProdProdComm M N M' N') mnmn = ((mnmn.1.1, mnmn.2.1), mnmn.1.2, mnmn.2.2)
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
SubNegMonoid G
SubNegMonoid H
AddMonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
a : G
n : ℤ
⊢ f (n • a) = n • f a
R : Type u_1
Semifield R
StarRing R
x y : R
hx : IsSelfAdjoint x
hy : IsSelfAdjoint y
⊢ IsSelfAdjoint (x / y)
p : ℕ
hp : Nat.blt 1 p = true
h : Nat.ble 1 (sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2)) = true
⊢ ¬LucasLehmerTest p
α : Type u
s : Set α
x : α
⊢ x ∉ sᶜ ↔ x ∈ s
n i : ℕ
h : i ≤ n
l₁ : ↑i + 1 ≠ 0
l₂ : ↑n - ↑i + 1 ≠ 0
h₁ : ↑(i + 1).centralBinom = (↑i + 1) * ↑(i + 1).centralBinom / (↑i + 1)
h₂ : ↑(n - i + 1).centralBinom = (↑n - ↑i + 1) * ↑(n - i + 1).centralBinom / (↑n - ↑i + 1)
h₃ : (↑i + 1) * ↑(i + 1).centralBinom = 2 * (2 * ↑i + 1) * ↑i.centralBinom
h₄ : (↑n - ↑i + 1) * ↑(n - i + 1).centralBinom = 2 * (2 * (↑n - ↑i) + 1) * ↑(n - i).centralBinom
⊢ gosperCatalan (n + 1) (i + 1) - gosperCatalan (n + 1) i = ↑i.centralBinom / (↑i + 1) * ↑(n - i).centralBinom / (↑n - ↑i + 1)
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
sq : f ⟶ g
CategoryTheory.IsIso sq
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp sq.left (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g.hom (CategoryTheory.inv sq.right)) =
  f.hom
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
⊢ Collinear k s ↔ FiniteDimensional.finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 1
⊢ ↑ModularGroup.T⁻¹ = !![1, -1; 0, 1]
E : Type u_4
AddGroup E
p : AddGroupSeminorm E
⊢ p.toFun = ⇑p
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : ∀ (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t)) = jacobiTheta₂_term n (↑a) (I * ↑t)
⊢ HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) (jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑t))
R : Type u_2
DivisionRing R
a b c d : R
⊢ b⁻¹ = c → a * c = d → a / b = d
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε)).Nonempty
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - (f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
⊢ ‖(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
⊢ (map f H).index = (H ⊔ f.ker).index * f.range.index
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
Module.Flat R ↥N
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : LinearIndependent R m
hn : LinearIndependent R n
⊢ LinearIndependent R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G
⊢ (K ⊓ H).subgroupOf K = H.subgroupOf K
F : Type u_2
E : Type u_3
CommRing F
Ring E
Algebra F E
S : Subalgebra F E
⊢ Module.rank F ↥(Subalgebra.toSubmodule S) = Module.rank F ↥S
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
s : Set α
h : (f '' s).Finite
hs : s.Nonempty
a : α
ha : a ∈ s
hmax : ∀ a' ∈ f '' s, id (f a) ≤ id a' → id (f a) = id a'
⊢ ∃ a ∈ s, ∀ a' ∈ s, f a ≤ f a' → f a = f a'
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
x y : 𝕎 k
this : ↑p = 0
sum_zero_pow_mul_pow_p : ∀ (y : 𝕎 k), ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), 0 ^ x * y.coeff x ^ p ^ (n + 1 - x) = y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)
⊢ (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * ∑ x_1 ∈ range (n + 1 + 1), 0 ^ x_1 * x.coeff x_1 ^ p ^ (n + 1 - x_1) - x.coeff (n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), 0 ^ x * y.coeff x ^ p ^ (n + 1 - x) = (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)
a b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
an : ℤ
ad b : ℕ
inv✝ : Invertible ↑ad
this : Invertible ↑(ad ^ b)
⊢ (↑an * ⅟↑ad) ^ b = ↑(an ^ b) * ⅟↑(ad ^ b)
n : ℕ
⊢ Polynomial.hermite (n + 1) = Polynomial.X * Polynomial.hermite n - Polynomial.derivative (Polynomial.hermite n)
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
⊢ limsup (u + v) f ≤ limsup u f + limsup v f
a x z✝ z : ℂ
hz : z.im < 0
h₀ : z ≠ 0
⊢ 0 ≤ -z.arg
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
⊢ QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
p : MvPolynomial σ R
⊢ p.degrees = p.support.sup fun s => Finsupp.toMultiset s
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ NonUnitalStarSubalgebra.map (NonUnitalStarAlgHom.id R A) S = S
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν ν' : MeasureTheory.Measure α
h : μ ≤ ν
⊢ μ ≤ ν + ν'
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ha : G.Adj s t
inc : G.incidenceFinset t ⊆ G.edgeFinset
⊢ G.edgeFinset.card + (image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)).card = G.edgeFinset.card + G.degree s
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f g : α → β
h : Filter.EventuallyConst f l
hg : f =ᶠ[l] g
⊢ Filter.EventuallyConst g l
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
h : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
this : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose
⊢ ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ (↑h.choose).val = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
x✝ : p ∣ a
b : α
hb : a = p * b
hb0 : b ≠ 0
⊢ p * b ~ᵤ (p ::ₘ factors b).prod
V : Type u
Quiver V
a b : V
p : Quiver.Path a b
⊢ p.comp Quiver.Path.nil = p
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
H : g x < f x
⊢ f^[n] x < g^[n] x ↔ f x < g x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0
m : ℕ
h : n + (m + ((σ.cycleType.erase n).erase m).sum) = 3
hm : m ∈ σ.cycleType.erase n
⊢ σ.IsThreeCycle
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
i j : ℕ
hj : 0 < j
this : j * (j - 1) < j ^ 2
⊢ (j * (i / j).succ) ^ 2 ≤ (i + j) ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : α → β
s : ι → Set α
⊢ f '' ⋃ i, s i = ⋃ i, f '' s i
X : TopCat
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
F : Presheaf CommRingCat X
G : F.SubmonoidPresheaf
S : (x : ↑X) → Submonoid ↑(F.stalk x)
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
s : (forget CommRingCat).obj (F.obj U)
hs : ∀ (i : ↥(unop U)), (F.germ i) s ∈ S ↑i
x : ↥(unop V)
⊢ (F.germ ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) s ∈ S ↑x
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e : α' ≃ β'
p : Equiv.Perm α'
x : β'
⊢ (e.permCongr p) x = e (p (e.symm x))
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
⊢ angle x y = π ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, y = r • x
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : M
hn : -m + n ∈ S
hn' : ‖n‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε
⊢ ‖m + (-m + n)‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).sublists.Perm (l.sublists ++ List.map (List.cons a) l.sublists)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ (ENNReal.ofReal p).toReal) ^ (1 / (ENNReal.ofReal p).toReal)
⊢ volume {x | ∑ i : ι, |x i| ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
hA : CantorScheme.Disjoint A
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
⊢ res ((fun a => ↑a) ⟨x, hx⟩) = res ((fun a => ↑a) ⟨y, hy⟩)
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.IsCommutative
inst✝¹ : H.FiniteIndex
α✝¹ β : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.Normal
hH : (Nat.card ↥H).Coprime H.index
α✝ : H.QuotientDiff
h : ↥H
α : ↑(leftTransversals ↑H)
hα : h • Quotient.mk'' α = Quotient.mk'' α
⊢ h ^ H.index = diff (MonoidHom.id ↥H) (op ↑h⁻¹ • α) α
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
ε_pos : 0 < ε
D₀ D₁ : Set α
perf0 : Perfect D₀
non0 : D₀.Nonempty
sub0 : D₀ ⊆ C
hdisj : Disjoint D₀ D₁
perf1 : Perfect D₁
non1 : D₁.Nonempty
sub1 : D₁ ⊆ C
⊢ ∃ C₀ C₁, (Perfect C₀ ∧ C₀.Nonempty ∧ C₀ ⊆ C ∧ EMetric.diam C₀ ≤ ε) ∧ (Perfect C₁ ∧ C₁.Nonempty ∧ C₁ ⊆ C ∧ EMetric.diam C₁ ≤ ε) ∧ Disjoint C₀ C₁
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
⊢ (FreeAddMonoid.lift fun p => p.1 • φ p.2) (FreeAddMonoid.of (1, f)) = φ f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), CategoryTheory.Square.evaluation₄.map φ = φ.τ₄
α : Type u_1
l : List α
i : Nat
⊢ i < l.length → (l.eraseIdx i).length = l.length - 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Unique ι
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
⊢ ⇑(ContinuousLinearEquiv.funUnique ι R M) = Function.eval default
α : Type u
s : Set α
hs : s.Finite
t : Set α
⊢ (s ∩ t).Finite
R : Type u_1
A : Type u_2
K✝ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K✝
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), J ≤ P → K ≤ P → ¬P.IsPrime
hJ : I ≤ J
hK : I ≤ K
⊢ I ≤ J * K
z y x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (fun x => cexp x - ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i / ↑i !) =O[𝓝 0] fun x => x ^ n
⊢ ∀ (a : ℝ × ℝ), (Complex.equivRealProdCLM.symm a).im = a.2
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
self : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
⊢ A₀ * B₀ = B₀ * A₀
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure ≠ univ
⊢ ‖S.normedMk‖ = 1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
⊢ ↑(e₁₂.trans e₂₃) = (↑e₂₃).comp ↑e₁₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
⊢ (𝓟 s).coprod (𝓟 t) = 𝓟 (sᶜ ×ˢ tᶜ)ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : PseudoMetricSpace β
b : ℝ → ℝ
b_lim : Tendsto b (𝓝 0) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ (x y : β) (i : ι), dist (F i x) (F i y) ≤ b (dist x y)
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
⊢ ∃ δ > 0, ∀ (x y : β), dist x y < δ → ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i y) < ε
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : z ∈ 𝒟ᵒ
this✝ : 1 < z.re * z.re + z.im * z.im
this : |z.re| < 1 / 2
⊢ 3 < 4 * z.im ^ 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y).rel =
  (CategoryTheory.Subobject.pullback
          (CategoryTheory.Limits.prod.map CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.fst)).obj
      X.rel ⊓
    (CategoryTheory.Subobject.pullback
          (CategoryTheory.Limits.prod.map CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd)).obj
      Y.rel
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set α
h : ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i ≠ 1
⊢ ∃ x ∈ s, f x ≠ 1
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)
⊢ ↑r.num - ↑(r.num * r.den.gcdA p % ↑p) * ↑r.den = 0
n k : ℕ
hnk : n < n + k + 1
⊢ (hermite n).coeff (n + k + 1) = 0
𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.castSucc) (Ei (Fin.last n) →L[𝕜] G)
v : (i : Fin n.succ) → Ei i
⊢ ((continuousMultilinearCurryRightEquiv 𝕜 Ei G) f) v = (f (Fin.init v)) (v (Fin.last n))
α : Type u_6
β : Type u_7
ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h₁ : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
h₂ : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
⊢ x ≤ Filter.limsup u f ↔ ∀ y < x, ∃ᶠ (a : α) in f, y < u a
n : ℕ
hn : Odd n
u : (ZMod n)ˣ := ZMod.unitOfCoprime 2 ⋯
hu : ∀ (a : ZMod n), a + a = 0 ↔ a = 0
i j : ZMod n
h✝ : Commute (sr i, sr j).1 (sr i, sr j).2
h : i = j
⊢ (fun x => match x with | Sum.inl i => ⟨(sr i, r 0), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inl j) => ⟨(r 0, sr j), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl k)) => ⟨(sr (↑u⁻¹ * k), sr (↑u⁻¹ * k)), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j))) => ⟨(r i, r j), ⋯⟩) ((fun x => match x with | ⟨(sr i, r a), property⟩ => Sum.inl i | ⟨(r a, sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inl j) | ⟨(sr i, sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl (i + j))) | ⟨(r i, r j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j)))) ⟨(sr i, sr j), h✝⟩) = ⟨(sr i, sr j), h✝⟩
G : Type u_4
F : Type u_6
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup F
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
MeasurableMul G
f : G → F
μ.IsMulLeftInvariant
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
g : G
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun t => f (g * t)) μ
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ OrderEmbedding.infIrredUpperSet a = ⟨UpperSet.Ici a, ⋯⟩
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
⊢ finRotate (2 * n + 1) ∈ alternatingGroup (Fin (2 * n + 1))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S T : J.Cover X
I : S.Arrow
f : S ⟶ T
⊢ (I.map f).f = I.f
M : Type u_4
N : Type u_5
One M
One N
f : M → N
h1 : f 1 = 1
⊢ ⇑{ toFun := f, map_one' := h1 } = f
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ Submodule R (M ⧸ m) ≃o ↑(Set.Ici m)
a b : Int
⊢ a ∣ ↑b.natAbs ↔ a ∣ b
K : Type u_1
Field K
NumberField K
w : { w // w.IsComplex }
⊢ (NumberField.mixedEmbedding.indexEquiv K) (Sum.inr (w, 1)) = NumberField.ComplexEmbedding.conjugate (↑w).embedding
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup G
AddAction G β
AddGroup α
AddAction α β
VAddCommClass G α β
a : α
b : β
⊢ AddAction.stabilizer G (a +ᵥ b) = AddAction.stabilizer G b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t✝ s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝¹ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : t.HaveLebesgueDecomposition μ
hst : (s + -t).HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ (s + -t).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ + -t.rnDeriv μ
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Finset.Ioc (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b) = Finset.map OrderDual.toDual.toEmbedding (Finset.Ico b a)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {r₁ r₂ : α → α_1 → Prop} {β : Type u_3} {β_1 : Type u_4} {s : β → β_1 → Prop}
  {x : α ⊕ β} {y : α_1 ⊕ β_1}, (∀ (a : α) (b : α_1), r₁ a b → r₂ a b) → Sum.LiftRel r₁ s x y → Sum.LiftRel r₂ s x y
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : i < c.length
⊢ (take (i + 1) c.blocks).sum = (take i c.blocks).sum + c.blocks[i]
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
e : M' ≃ₗ[R] M''
hf : IsLocalizedModule S f
s : ↥S
⊢ Function.Bijective ⇑((algebraMap R (Module.End R M')) ↑s)
x : EReal
h : 0 < x
⊢ ⊥ * x = ⊥
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
a : A
⊢ Bornology.IsBounded (spectrum 𝕜 a)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n✝ m n : ℕ
⊢ (∃ n, 0 < n ∧ a ^ n = 1) → ∃ n_1, 0 < n_1 ∧ (a ^ n) ^ n_1 = 1
b : ℕ
l : List ℕ
⊢ Nat.ofDigits b l % b = l.head! % b
α : Type u_1
Ring α
f : α → α → α
a b : α
a' b' c : ℤ
⊢ f = HAdd.hAdd →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a a' →
    Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b b' → a'.add b' = c → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (f a b) c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
h : f = f
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernelIsoOfEq h = CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Limits.cokernel f)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring R
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
AddMonoid ι
SetLike.GradedMonoid A
(i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
⊢ ↑((r * r') n) =
  ∑ ij ∈ Finset.filter (fun ij => ij.1 + ij.2 = n) (DFinsupp.support r ×ˢ DFinsupp.support r'), ↑(r ij.1) * ↑(r' ij.2)
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
f' : Y ≃ₜ Z
⊢ (e.transHomeomorph f').target = ⇑f'.symm ⁻¹' e.target
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
⊢ ∀ (a : Y), ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a
X Y : MonCat
x : ↑X
⊢ 1 x = 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : 1 < ↑p
⊢ (↑p).valuation = 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
x : ↥U
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : ↑x ∈ V.carrier
iVU : V ⟶ U
f g : R
hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
s_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
h : R
hxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h
hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V
n : ℕ
hn : h ^ n ∈ Ideal.span {g}
⊢ ∃ f g i, ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen g ∧ const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map i.op) s
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s \ (t ∩ u) = s \ t ∪ s \ u
K : Type u_1
Field K
x y : K
hx : x ∈ integralClosure ℤ K
hy : y ∈ integralClosure ℤ K
⊢ ⟨x, hx⟩ = ⟨y, hy⟩ ↔ x = y
α : Type u
l : List α
⊢ l.rotate' 0 = l
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝ : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this : IsScalarTower R (Localization.AtPrime p) Sₚ
⊢ P ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)
M : Type u_2
MulOneClass M
S : Submonoid Mᵐᵒᵖ
⊢ S.unop.op = S
α : Type u_1
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ConditionallyCompleteLinearOrder α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
Countable (Subtype p)
Nonempty (Subtype p)
hv : v.HasBasis p s
f : ι → α
hs : ∀ (j : Subtype p), (s ↑j).Nonempty
H : ∃ j, BddBelow (Set.range fun i => f ↑i)
⊢ Filter.liminf f v = ⨆ j, ⨅ i, f ↑i
M : Type u_4
N : Type u_5
Mul M
Mul N
f g : M →ₙ* N
h : ∀ (x : M), f x = g x
⊢ f = g
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
h : (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) p).sum = x
a : R
⊢ (List.map ((fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) p).sum = (List.map ((fun x => a • x) ∘ fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) p).sum
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α
hs : s.WellFoundedOn r
ht : t.WellFoundedOn r
⊢ (s ∪ t).WellFoundedOn r
α : Type u_1
Min α
a b : α
⊢ min (some a) (some b) = some (min a b)
α : Type u_2
Fintype α
s t : Finset α
h : Disjoint s t
⊢ (s.disjUnion t h).dens = s.dens + t.dens
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
h : x ≠ y
z : α
hx : ¬z = x
⊢ z ∈ (swap x y).support ↔ z ∈ {x, y}