ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
Nonempty ↥s
⊢ s.subtype.linear = s.direction.subtype
x : ℝ
h : x ≠ 0
⊢ 0 ^ x = 0
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝ : NormedRing R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
this : Summable fun n => ∑ kl ∈ antidiagonal n, ‖f kl.1‖ * ‖g kl.2‖
n : ℕ
⊢ ‖∑ kl ∈ antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2‖ ≤ ∑ kl ∈ antidiagonal n, ‖f kl.1‖ * ‖g kl.2‖
n : ℕ
⊢ n.divisors.sum φ = n
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
x : (i : ι) → s i
⊢ (PiTensorProduct.piTensorHomMap ((PiTensorProduct.tprod R) f)) ((PiTensorProduct.tprod R) x) =
  ⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (x i)
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
s : Set M
⊢ Submodule.span R (insert x s) = Submodule.span R {x} ⊔ Submodule.span R s
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
⊢ (Matrix.toLinAlgEquiv v₁).symm = LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
n : ℕ
s : Set X
⊢ m (diam (closure s)) = m (diam s)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
i' : Δ'' ⟶ Δ'
i : Δ' ⟶ Δ
inst✝¹ : Mono i'
inst✝ : Mono i
h₁ : ¬Δ = Δ'
h₂ : ¬Δ' = Δ''
k : ℕ
hk : Δ.len = Δ'.len + k + 1
k' : ℕ
hk' : Δ'.len = Δ''.len + k' + 1
eq : Δ.len = Δ''.len + (k + k' + 2)
⊢ ¬Isδ₀ (i' ≫ i)
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Sub G
self : ContinuousSub G
⊢ Continuous fun p => p.1 - p.2
α : Type u_1
M M' : Matroid α
⊢ { toMatroid := M } ≤ { toMatroid := M' } ↔ M.Restriction M'
α : Type u
CommMonoid α
Subsingleton αˣ
a b : α
h : a * b = 1
⊢ a = 1
α : Type u_1
s : Finset α
a b : α
h : a ∉ s
⊢ b ∈ Finset.cons a s h ↔ b = a ∨ b ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ
x : α
⊢ f (x + (2 * n + 1) • c) = -f x
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < ↑2
h2 : multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b) < ↑2
h3 : multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b) < ↑2
h1' : multiplicity.Finite λ (S'.a + S'.b)
h2' : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η * S'.b)
⊢ False
a b c : Char
⊢ a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
K : Type u_1
RCLike K
α : Type u_3
s : Finset α
f : α → ℝ
⊢ ↑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ↑(f i)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ : OuterMeasure α
ι : Type u_2
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
⊢ (sum fun i => (m i).trim) s ≤ (sum m).trim s
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
⊢ (⨆ i, μ i.down).trim = ⨆ i, (μ i.down).trim
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
⊢ ∑ i : ι, ⟪b i, x⟫_𝕜 • b i = x
x y z : ENNReal
h1 : y ≠ 0
h2 : y ≠ ⊤
⊢ x / y ≤ z ↔ x ≤ z * y
x✝ y z x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
p : ℝ
hx : 0 < x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
a b : { x // p x }
⊢ Subtype.val '' Set.Ioo a b ⊆ Set.Ioo ↑a ↑b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
hf : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (Set.range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
x y z : SetTheory.PGame
h₁ : x.LF y
h₂ : y ≤ z
⊢ x.LF z
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : IsUnit p.leadingCoeff
⊢ (h.unit⁻¹ • p).Monic
x : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : 0 < x.im
⊢ Complex.arg =ᶠ[𝓝 x] fun x => Real.arcsin ((-x).im / Complex.abs x) + π
⊢ 1 - 2⁻¹ = 2⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l : List α
⊢ (l ++ l.reverse).Palindrome
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y U : Scheme
f : Y ⟶ U
g : U ⟶ X
h : IsOpenImmersion g
V : U.Opens
⊢ f ⁻¹ᵁ V = (f ≫ g) ⁻¹ᵁ g ''ᵁ V
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hco : (orderOf x).Coprime (orderOf y)
⊢ orderOf (x * y) = orderOf x * orderOf y
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
m : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin (n + 1)) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : Fin (n + 1)), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
i : Fin (n + 1)
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i)) (MeasureTheory.Measure.pi μ)
  ((μ i).prod (MeasureTheory.Measure.pi fun j => μ (i.succAbove j)))
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
t : ℝ
ht : t ∈ I
x : X
⊢ (F.extend t) x = F (⟨t, ht⟩, x)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_9
CommSemiring α
Module α R
SMulCommClass R α R
NoZeroSMulDivisors α R
a : α
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : B.IsRefl
⊢ (a • B).IsRefl
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
n k : ℕ
hk : k ∈ range (n + 1)
⊢ C (↑p ^ k) * X k ^ p ^ (n + 1 - k) = (algebraMap (ZMod (p ^ (n + 1))) (MvPolynomial ℕ (ZMod (p ^ (n + 1))))) (↑p ^ k) * X k ^ p ^ (n - k + 1)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hx : x₁ = x₂
⊢ y₁ = y₂ ∨ y₁ = W.negY x₂ y₂
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
⊢ { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (zero + zero) = { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun zero + { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun zero
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
r : ℤ → ℝ := fun n => ↑n + a
c : ℤ → ℂ := fun n => 1 / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => c n * ↑(r n) * ↑(rexp (-π * r n ^ 2 * t))) (↑(oddKernel (↑a) t) / 2)
⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (completedHurwitzZetaOdd (↑a) s)
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝² : Fintype (Sym2 α)
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
a b : α
e : Sym2 α
inst✝ : Fintype α
⊢ e ∈ G.edgeSet → ∑ a : α, incMatrix R G a e = 2
x y : UInt64
⊢ (x - y).toNat = (UInt64.size - y.toNat + x.toNat) % UInt64.size
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hYdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (Y i) (Y j)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
⊢ Pairwise fun i j => Disjoint (X' i) (X' j)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : RCLike 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
hf_ae : ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᶠ[ae μ] ⇑f
hg_ae : ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) =ᶠ[ae μ] ⇑g
⊢ (fun a => ⟪↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a, ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a⟫_𝕜) =ᶠ[ae μ] fun a => (starRingEnd 𝕜) (f a) * g a
α : Type u
Group α
Fintype α
x : α
hx : orderOf x = Fintype.card α
⊢ IsCyclic α
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * sa • r₂ = rb * ↑s₁
hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S
ha' : ↑(sb * sa * s₂) = ↑sb * ra * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * (↑sb * ra) • r₃ = rc * ↑s₁
hc' : ((↑sb * ra) • r₃ /ₒ (sb * sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rc • r₁ /ₒ (sc * (sb * sa * s₂))
⊢ ((sc * sb) • (sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sc * sb * (sa * s₂))) • (r₁ /ₒ s₁) = (sc • rb • r₁ + 1 • rc • r₁) /ₒ (sc * (sb * (sa * s₂)))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.9744, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
this✝ : HasZeroObject C
this : Mono S.f
⊢ IsIso S.f ↔ IsZero S.X₃
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : BorelSpace E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace E
inst✝ : LocallyCompactSpace F
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
this✝ : ProperSpace E
this : ProperSpace F
M : F × E →ₗ[𝕜] F := LinearMap.id.coprod L
M_cont : Continuous ⇑M
hM : Function.Surjective ⇑M
A : ∀ (x : F × E), M x ∈ s ↔ x ∈ ⇑M ⁻¹' s
⊢ MeasurableSet (⇑M ⁻¹' s)
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
⊢ OrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e)
A : Type u_1
B : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Star B
self : A →⋆ₙ+* B
a : A
⊢ self.toFun (star a) = star (self.toFun a)
α : Type u_2
Preorder α
One α
⊢ ⊥ ≠ 1
E : Type u_3
SeminormedGroup E
⊢ LipschitzWith 1 norm
x : ℝ
⊢ (Complex.cosh ↑x).im = 0
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
f : Polynomial ↥(subfield G F)
hf : Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x f = 0
this : (subfield G F).subtype = (subfield G F).subtype
h : Polynomial.map (IsInvariantSubring.subtypeHom G (subfield G F).toSubring).toRingHom f = Polynomial.map (↑(IsInvariantSubring.subtypeHom G (subfield G F).toSubring)) f
⊢ minpoly G F x ∣ f
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ min a b = a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : p2 ∉ s1
⊢ s1.direction < s2.direction
α : Type u
r : α → α → Prop
s : α → α → Prop
IsDirected α r
h : ∀ ⦃a b : α⦄, r a b → s a b
⊢ IsDirected α s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s1
hp2 : p2 ∈ s2
⊢ s1.direction ⊔ s2.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1} ≤ (s1 ⊔ s2).direction
x : ℝ
⊢ Real.cos |x| = Real.cos x
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this✝
this : (Measure.map (⇑e.symm) volume).IsAddHaarMeasure
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
h0p : 0 ≤ p
c : ℝ≥0 := μ.addHaarScalarFactor (Measure.map (⇑e.symm) volume)
hc : 0 < c
h2c : μ = c • Measure.map (⇑e.symm) volume
h3c : ↑c ≠ 0
h0C : C = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p * (c ^ p)⁻¹
hC : C * c ^ p = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p
⊢ ↑c * ∫⁻ (a : E), ↑‖u a‖₊ ^ p ∂Measure.map (⇑e.symm) volume ≤ ↑C * (↑c * ∫⁻ (a : E), ↑‖fderiv ℝ u a‖₊ ∂Measure.map (⇑e.symm) volume) ^ p
ι : Type u_1
S : Type u_3
R : Type u_4
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring S
Semiring R
Algebra S R
A : ι → Submodule S R
SetLike.GradedMonoid A
i : ι
x : ↥(A i)
⊢ (DirectSum.coeAlgHom A) ((DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) x) = ↑x
A : Type u_1
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra ℂ A
ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
u : A
IsStarNormal u
hu : spectrum ℂ u ⊆ ↑circle
⊢ u ∈ unitary A
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯
⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
ι : Type v
B : ι → C
hB : ∀ (A : C), ∃ i, Nonempty (B i ⟶ A)
⊢ ∃ T, ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
⊢ a • b ≤ 0 ↔ 0 ≤ a ∧ b ≤ 0 ∨ a ≤ 0 ∧ 0 ≤ b
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l : List α
n : ℕ
hl : (b :: l).Nodup
⊢ ∀ x ∈ l, elem x (take n l) = elem x (b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
hk : n ≤ k
⊢ (p.changeOriginSeries k).partialSum (n - k) x = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
K.HasHomology j
(K.sc' i j k).HasHomology
⊢ (K.cyclesIsoSc' i j k hi hk).inv ≫ K.iCycles j = (K.sc' i j k).iCycles
α : Type u_1
CommSemiring α
E : LinearRecurrence α
u : ℕ → α
⊢ E.IsSolution u ↔ u ∈ E.solSpace
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
j i k : ι
hk_lb : k ∈ lowerBounds (Set.Ioi i)
hk : j < k
⊢ j ≤ i
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
G : Type u_3
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f f' : ι → 𝕜 → G
x : 𝕜
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : Cauchy (Filter.map (fun n => f n x) l)
⊢ UniformCauchySeqOnFilter f l (𝓝 x)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
⊢ (Submodule.restrictScalars R (map includeRight I)).carrier = (LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
hl : l.reverse ≠ []
⊢ 0 < l.length
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝¹ : AddCommGroup P
g : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
injective : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(g i)
h✝ : IsEmpty ι
⊢ Function.Injective ⇑(lift G f P g Hg)
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
f : Γ → Γ
n : ℕ
IH : ∀ (L R : ListBlank Γ), write (f (R.nth n)) ((move Dir.right)^[n] (mk' L R)) = (move Dir.right)^[n] (mk' L (ListBlank.modifyNth f n R))
L R : ListBlank Γ
⊢ write (f (R.nth (n + 1))) ((move Dir.right)^[n + 1] (mk' L R)) = (move Dir.right)^[n + 1] (mk' L (ListBlank.modifyNth f (n + 1) R))
α✝ : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
α : Type u
a : Set α
h : a.Finite
⊢ {b | b ⊆ a} = ↑(Finset.map Finset.coeEmb.toEmbedding h.toFinset.powerset)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
x : R
⊢ ↑(-x) = -↑x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
ht : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
heq : ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ i]) a = (μ[g|↑ℱ i]) a
x : Ω
hxeq : ∀ (i : ℕ), (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ i]) x = (μ[g|↑ℱ i]) x
hxt : Tendsto (fun n => (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
⊢ Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.cgf X μ 0 = 0
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.117978, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
⊢ leftHomologyMap e.inv ≫ leftHomologyMap e.hom = 𝟙 S₂.leftHomology
n a b : ℕ
h : a ≤ b
⊢ a ≡ b [MOD n] ↔ n ∣ b - a
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∡ p₃ p₂ p₁ = -∡ p₁ p₂ p₃
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
⊢ TransGen r a c ↔ ∃ b, ReflTransGen r a b ∧ r b c
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
StarAddMonoid A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
StarAddMonoid B
x : B
⊢ (NonUnitalStarAlgHom.inr R A B) x = (0, x)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
⊢ (fun t => x + t • v) ⁻¹' s =ᶠ[𝓝 0] (fun t => x + t • v) ⁻¹' t
c : Char
cs : List Char
⊢ extract.go₁ (c :: cs) 0 0 { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size } = c :: cs
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
T : E' →L[ℝ] E''
f : ↥(Lp E' 2 μ)
⊢ ↑↑↑((condexpL2 E'' 𝕜' hm) (T.compLp f)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(T.compLp ↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f))
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
⊢ (a + b) ^ 2 ≤ 2 * (a ^ 2 + b ^ 2)
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat
⊢ (X.toToΓSpecMapBasicOpen 1 ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩) ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = X.presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩
α : Type u
s : Computation α
⊢ s.think.Terminates → s.Terminates
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hlt₂ : 0 < b
this : 0 > 0
⊢ a = 0 ∨ b = 0
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Add α
M : Matrix m n α
⊢ (Matrix.transposeAddEquiv m n α) M = Mᵀ
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
TopologicalSpace M₂
T2Space M₂
AddZeroClass M₁
AddZeroClass M₂
ContinuousAdd M₂
F : Type u_8
FunLike F M₁ M₂
AddMonoidHomClass F M₁ M₂
f : M₁ → M₂
hf : f ∈ closure (Set.range fun f x => f x)
⊢ ⇑(addMonoidHomOfMemClosureRangeCoe f hf) = f
α : Type u_1
⊢ FreeAddMonoid.map id = AddMonoidHom.id (FreeAddMonoid α)
α : Type u_2
β : α → Type u_1
⊢ (Equiv.sigmaCongrRight fun a => Equiv.refl (β a)) = Equiv.refl ((a : α) × β a)
b a : Nat
h : b < a
⊢ a ≠ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β x : κ
⊢ ∑ x_1 : κ, ((traceForm A B) (b x_1 * P.map (⇑(algebraMap A B)) x_1 α)) (b x * P.map (⇑(algebraMap A B)) x β) = ∑ i : κ, Pᵀ α i * traceMatrix A b i x * P x β
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
hn : u ≠ v
⊢ Finset.filter (fun v_1 => ¬u = v ∧ (¬v_1 = u → v_1 = v)) Finset.univ = ∅ ∨ (Finset.filter (fun v_1 => ¬u = v ∧ (¬v_1 = u → v_1 = v)) Finset.univ).card = 2
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
x : K[X]
y : ↥K[X]⁰
⊢ { toFractionRing := IsLocalization.mk' (FractionRing K[X]) x y } = IsLocalization.mk' (RatFunc K) x y
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
z✝ : ZFSet
⊢ z✝ = x ∨ z✝ = y → z✝.IsTransitive
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
c : α
⊢ c - a ≡ c - b [PMOD p] → a ≡ b [PMOD p]
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
a : R
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap (a • φ) = a • CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose
⊢ ↑↑(hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose) = ↑↑(hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose)
α : Type u_2
Neg α
f g : Filter α
hf : f ≤ g
⊢ -f ≤ -g
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
Monoid β
ContinuousMul β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f ^ n) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
z : ℝ≥0
⊢ nndist 0 z = z
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
⊢ IsSeparator (op G) ↔ IsCoseparator G
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
Hle : π₁ ≤ π₂
J₁ : WithBot (Box ι)
hJ₁ : ∃ a ∈ π₁.boxes, ↑J ⊓ ↑a = J₁
hne : J₁ ≠ ⊥
⊢ ∃ J' ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₂.boxes, J₁ ≤ J'
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C
⊢ tensor_μ C (M.X, 𝟙_ C) (M.X, 𝟙_ C) ≫ (M.X ⊗ M.X) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (ρ_ (M.X ⊗ M.X)).hom ≫ M.mul = ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K
⊢ (limitIsoLimitCurryCompLim G).inv ≫ limit.π G ((Prod.braiding K J).functor.obj (k, j)) ≫ (𝟙 ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G)).app (k, j) = limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : stabilizer G a ≤ H
g : G
h₁ h₂ : ↥H
h : (fun x => g • x) ((fun m => m • a) h₁) = (fun m => m • a) h₂
⊢ g • orbit (↥H) a = orbit (↥H) a