ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι ι' : Type u
r : ι → ι → Prop
r' : ι' → ι' → Prop
IsWellOrder ι r
IsWellOrder ι' r'
o : Ordinal.{u}
ho : Ordinal.type r = o
ho' : Ordinal.type r' = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.lsub (Ordinal.familyOfBFamily' r ho f) = Ordinal.lsub (Ordinal.familyOfBFamily' r' ho' f)
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x y : WithLp 2 (α × β)
⊢ dist x y = √(dist x.1 y.1 ^ 2 + dist x.2 y.2 ^ 2)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
c : List ℕ
hc : c.sum ≤ Fintype.card α
klift : (n : ℕ) → n < Fintype.card α → Fin (Fintype.card α) := fun n hn => ⟨n, hn⟩
klift' : (l : List ℕ) → (∀ a ∈ l, a < Fintype.card α) → List (Fin (Fintype.card α)) := fun l hl => pmap klift l hl
⊢ ∃ o, map length o = c ∧ (∀ s ∈ o, s.Nodup) ∧ Pairwise Disjoint o
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : b₁ < b₂
⊢ Set.Ioc a b₁ ⊆ Set.Ioo a b₂
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c.sizeUpTo 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
⊢ Integrable f✝ ((κ ⊗ₖ η) a) → ∫ (z : β × γ), f✝ z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f✝ (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
α : Type u_1
Denumerable α
a : α
⊢ Denumerable.ofNat α (Encodable.encode a) = a
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α, (∀ (a b : α), (a, b) ∈ t → (b, a) ∈ t) ∧ t ⊆ s
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
m n k : ℕ
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
⊢ ∀ x ∈ Ioc m n, x ∈ Ioc n k → False
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
s t : Set α
y : β
Zero β
hs : IsClosed s
hy : y ≤ 0
⊢ LowerSemicontinuousOn (s.indicator fun _x => y) t
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗ[σ₁₂] E₂
he : ∀ (x : E), ‖e x‖ = ‖x‖
⊢ ⇑{ toLinearEquiv := e, norm_map' := he } = ⇑e
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Sup α
inst✝² : Sup β
inst✝¹ : Sup γ
inst✝ : Sup δ
g : SupHom β γ
f₁ f₂ : SupHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
k : ZMod N
⊢ 𝓕 Φ k = ∑ j : ZMod N, toCircle (-(j * k)) • Φ j
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J✝ B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
heEI : e ∈ M.E \ I
J : Set α
hJI : M.Basis J (insert e I)
heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J
⊢ False
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
x y : E
hx : IsSeparable F x
hy : IsSeparable F y
⊢ Algebra.IsSeparable F ↥F⟮x, y⟯
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.withDensity (f + g)) s = (μ.withDensity f + μ.withDensity g) s
F : Type u_1
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
x : ℂ
A : SL(2, ℤ)
⊢ IsBoundedAtImInfty (⇑(SlashInvariantForm.const x) ∣[0] A)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
SemilatticeSup β
Nonempty β
x : α
⊢ CauchySeq fun x_1 => x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Equiv M N
⊢ f.toHom.comp f.symm.toHom = FirstOrder.Language.Hom.id L N
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
r : R
⊢ ((X + C r) ^ n).natDegree = n
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
x : K
⊢ x ∈ A.nonunits ↔ A.valuation x < 1
α : Sort u
β : α → Sort v
DecidableEq α
a : α
v : β a
f : (a : α) → β a
⊢ Function.update f a v a = v
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
X Y : T
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Arrow.mk f).hom = f
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
Preorder β
ψ : α → β
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
n : α
hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (Order.succ m)
⊢ StrictMonoOn ψ (Set.Iic n)
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap (f ≫ g) x)
⊢ Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
m p : ℕ
hp0 : 0 < p
h : m < m + p
⊢ (fun x => x ^ m * x ^ p) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m * 1 ^ p
M : Type u_1
S : Set M
Group M
a b : M
ha : a ∈ S.centralizer
hb : b ∈ S.centralizer
⊢ a / b ∈ S.centralizer
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : _root_.Disjoint f.support g.support
x : Perm α
hf : ∀ (a : α), x a ≠ a → x a = f a
a : α
ha : x a ≠ a
hg : ∀ (a : α), x a ≠ a → x a = g a
⊢ False
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
q₂ : ℚ
hx₂ : max x 0 < ↑q₂
hy₂ : ↑q₂ < y
q₁ : ℚ
hx₁ : max x 0 < ↑q₁
hq₁₂ : q₁ < q₂
this : 0 < q₂
q : ℚ
hq : 0 < q
hq₁ : q₁ < q ^ n
hq₂ : q ^ n < q₂
⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
α : Type u_1
Fintype α
⊢ Fintype.card (Finset α) = 2 ^ Fintype.card α
α : Type u
β : Type v
Add α
Add β
e : α ≃+ β
a : WithZero α
⊢ e.withZeroCongr a = (WithZero.map e.toAddHom) a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
f : α → β
⊢ f '' ⋂ i, s i ⊆ ⋂ i, f '' s i
α : Type u_3
β : Type u_4
AddGroup α
a : α
AddAction α β
b : β
n : ZMod (Function.minimalPeriod (fun x => a +ᵥ x) b)
⊢ (AddAction.zmultiplesQuotientStabilizerEquiv a b).symm n = n.cast • ↑⟨a, ⋯⟩
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.index = 1 ↔ H = ⊤
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
b c d : P
hb : b ≠ c
⊢ dist c c * dist b d ≤ dist c b * dist c d + dist b c * dist c d
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f₁ : F ⟶ F'
f₂ : F' ⟶ F''
⊢ CategoryTheory.GrothendieckTopology.imagePresheaf (f₁ ≫ f₂) ≤ CategoryTheory.GrothendieckTopology.imagePresheaf f₂
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
WeaklyLocallyCompactSpace G
⊢ ∃ K, IsCompact K ∧ IsClosed K ∧ K ∈ 𝓝 1
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (↑r * 0).arg = arg 0
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : Countable G
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ
h_measure_univ_le : μ univ ≤ ∑' (g : G), μ (g • s)
aedisjoint : Pairwise (AEDisjoint μ on fun g => g • s)
h_meas : ∀ (g : G), NullMeasurableSet (g • s) μ
h_meas' : NullMeasurableSet {a | ∃ g, g • a ∈ s} μ
⊢ μ univ ≤ μ (⋃ g, g • s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
n : ℕ
i : ℝ≥0∞
x✝ : i ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range
⊢ Measurable fun μ => μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {i})
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f g : α → β
a : α
hle : g ≤ᶠ[𝓝 a] f
hfga : f a = g a
h : IsLocalMax f a
⊢ IsLocalMax g a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ IsCompl s.direction (mk' p s.directionᗮ).direction
M : Type u_4
N : Type u_5
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
⊢ f.comp (MulHom.id M) = f
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (ProbabilityTheory.expMeasure r)
n : ℕ
s : ℕ := n.sqrt
sm : s * s + (n - s * s) = n
⊢ pair (if n - n.sqrt * n.sqrt < n.sqrt then (n - n.sqrt * n.sqrt, n.sqrt) else (n.sqrt, n - n.sqrt * n.sqrt - n.sqrt)).1 (if n - n.sqrt * n.sqrt < n.sqrt then (n - n.sqrt * n.sqrt, n.sqrt) else (n.sqrt, n - n.sqrt * n.sqrt - n.sqrt)).2 = n
R : Type u_2
Ring R
s : Set Rᵐᵒᵖ
⊢ (Subring.closure s).unop = Subring.closure (MulOpposite.op ⁻¹' s)
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h
nhds_zero : Tendsto (fun n => 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n) atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖bernsteinApproximation x f - f‖ < ε
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
N : Submodule R M
r : R
f : M →ₗ[R] M'
g : M' →ₗ[R] M''
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : LinearMap.range f = LinearMap.ker g
h1 : IsSMulRegular M r
h2 : IsSMulRegular M'' r
⊢ IsSMulRegular M' r
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
k : κ
x : β (h k)
i : κ
hik : i ≠ k
⊢ (single (h k) x) (h i) = (single k x) i
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M
n : ℕ
⊢ AddCommute (n • a) a
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
m' : MeasurableSpace Ω
hm' : m' ≤ m
i : ι
⊢ ↑(MeasureTheory.Filtration.const ι m' hm') i = m'
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
Δ₁ Δ₂ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ₁
p : Δ₁ ⟶ Δ₂
inst✝ : Epi p.unop
⊢ s.ι (unop A.fst).len ≫ X.map (A.e.op ≫ p) = s.ι (unop A.fst).len ≫ X.map (A.epiComp p).e.op
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ Filter.Tendsto (fun p => (p.1.1, p.2.1)) (𝓤 (α × β)) (𝓤 α)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
Fact (1 ≤ p)
L : E →L[𝕜] F
⊢ ‖ContinuousLinearMap.compLpL p μ L‖ ≤ ‖L‖
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : DecidableEq F
⊢ ringChar ℂ ≠ ringChar F
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
H : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsAffine Y] (𝒰 : X.OpenCover), Q f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), Q (𝒰.map i ≫ f)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : X.OpenCover
⊢ (∀ (i : ↑Y.affineOpens), P (f ∣_ ↑i)) ↔ ∀ (b : ↑Y.affineOpens) (a : 𝒰.J), P ((𝒰.map a ≫ f) ∣_ ↑b)
α : Type u_1
a b : α
⊢ a ∈ pure b ↔ a = b
α : Type u_2
SemilatticeInf α
⊢ InfClosed ∅
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0
hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
this : (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =ᶠ[atTop] fun t => (F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) + F_nat 0 (1 - a) t
⊢ min p q ≤ p
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ IsClosed {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖}
R : Type u_4
S : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
I J : Ideal S
⊢ Submodule.restrictScalars R (I * J) = Submodule.restrictScalars R I * Submodule.restrictScalars R J
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
f' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
c : ℂ
hf : HasFDerivAt f f' x
h0 : c ≠ 0 ∨ f x ≠ 0
⊢ HasFDerivAt (fun x => c ^ f x) ((c ^ f x * Complex.log c) • f') x
H : Type x
TopologicalSpace H
OrderedAddCommGroup H
ContinuousNeg H
a : H
⊢ Filter.Tendsto Neg.neg (𝓝[≤] a) (𝓝[≥] (-a))
α : Type u
Group α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
h : a ≤ 1
⊢ a ≤ a⁻¹
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝¹ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ : α
p : Finset (Finset α) → Prop
𝒜✝ : Finset (Finset α)
empty : p ∅
singleton_empty : p {∅}
image_insert : ∀ (a : α) ⦃𝒜 : Finset (Finset α)⦄, (∀ s ∈ 𝒜, a ∉ s) → p 𝒜 → p (image (insert a) 𝒜)
subfamily : ∀ (a : α) ⦃𝒜 : Finset (Finset α)⦄, p (filter (fun x => a ∉ x) 𝒜) → p (filter (fun x => a ∈ x) 𝒜) → p 𝒜
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
h𝒜₀ : p (nonMemberSubfamily a 𝒜)
h𝒜₁ : p (memberSubfamily a 𝒜)
⊢ p (filter (fun x => a ∈ x) 𝒜)
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
this : IsGreatest ((fun g_1 => ∑ i ∈ s, (f + g) i * g_1 i) '' {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}) ((∑ i ∈ s, (f + g) i ^ p) ^ (1 / p))
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
α : Type u_1
Encodable α
a : α
⊢ (ULower.down a).up = a
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ p.update n 0 = Polynomial.erase n p
m x y : Bool
⊢ (x && m) = (y && m) ∧ (x || m) = (y || m) ↔ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : Finset ι
t : ι → Set α
h : ∀ i ∈ s, NullMeasurableSet (t i) μ
H : (↑s).Pairwise (AEDisjoint μ on t)
⊢ ∑ i ∈ s, μ (t i) ≤ μ univ
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
h : (M.Indep I ∧ I ⊆ X ∧ ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J) ∧ X ⊆ M.E
⊢ ∀ (I_1 : Set α), M.Indep I_1 → I_1 ⊆ X → I ⊆ I_1 → I = I_1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
f : ℝ → X
hf : ContinuousOn f I
h₀ : f 0 = x
h₁ : f 1 = y
t : ↑I
⊢ (Path.ofLine hf h₀ h₁) t ∈ f '' I
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∩ t).card = s.card + t.card - (s ∪ t).card
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ LieAlgebra.derivedLength R ↥↑I = LieAlgebra.derivedLengthOfIdeal R L I
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ |a| ≤ 0 ↔ a = 0
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hse : s ⊆ (extChartAt I c).source
hsf : ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
⊢ ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_3} A
L : C ⥤ D
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddMonoid M
inst✝⁵ : HasShift C M
inst✝⁴ : HasShift D M
inst✝³ : L.CommShift M
inst✝² : G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
n a a' : M
ha' : n + a = a'
X : C
⊢ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app (L.obj X) = (F.shift a).map ((L.commShiftIso n).inv.app X) ≫ (e' a).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X) ≫ (G.shiftIso n a a' ha').hom.app X ≫ (e' a').inv.app X
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - (aeval a) p = (aeval a) q
hcomm : Commute ((aeval a) (C k - X)) ((aeval a) (-(q / (X - C k))))
⊢ ¬IsUnit ((aeval a) (C k - X) * (aeval a) (-(q / (X - C k))))
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ
⊢ i ∈ image (fun x => x % a) (Ico n (n + a)) ↔ i ∈ range a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctorZero C).hom.app X).hom₃ =
  (CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).hom.app X.obj₃
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : μ s ≠ ⊤
f : α → E
⊢ ∫ (x : α) in s, f x - ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ ∂μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μ).singularPart (MeasureTheory.Measure.map f ν) =
  MeasureTheory.Measure.map f (μ.singularPart ν)
r : ℝ≥0
p : ℝ
hr : 0 < r
⊢ r ≤ p.toNNReal ↔ ↑r ≤ p
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
⊢ OrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e)
M₀ : Type u_2
CommMonoidWithZero M₀
a : M₀
⊢ Associates.mk a ∈ (Associates M₀)⁰ ↔ a ∈ M₀⁰
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
⊢ comap f (map f S) ≤ S ⊔ adjoin R (⇑f ⁻¹' {0})
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S.a + ↑η * S.b
⊢ False
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a✝ : Nontrivial α
⊢ Multiset.Rel ?m.115710 (factors 1) 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
A : Comon_ C
⊢ (iso_cartesianComon_ A).hom.hom = 𝟙 A.X
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
g : G
a : α
⊢ AddAction.orbit G (g +ᵥ a) = AddAction.orbit G a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.N₁Γ₀.inv.app K).f.f n =
  (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.hom.f.f n
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
Nontrivial R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p ^ n).degree = n • p.degree
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
t : Set 𝕜
s : Set F
x : 𝕜
⊢ derivWithin f t x ∈ s ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x ∧ derivWithin f t x ∈ s ∨ ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x ∧ 0 ∈ s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder β
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
⊢ essInf f μ = sSup {a | μ {x | f x < a} = 0}
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace W
TopologicalAddGroup W
f g : P →ᴬ[R] W
x : P
⊢ (f + g) x = f x + g x
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
⊢ Monotone (Finset.image f)
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ
⊢ (toLin' (lapMatrix ℝ G)) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Reachable i j → x i = x j
x : ℝ
⊢ Real.sinh x = 0 ↔ x = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
Encodable ι
⊢ MeasureTheory.Measure.pi' μ = MeasureTheory.Measure.pi μ
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
self : Coalgebra R A
⊢ ↑(TensorProduct.assoc R A A A) ∘ₗ LinearMap.rTensor A Coalgebra.comul ∘ₗ Coalgebra.comul =
  LinearMap.lTensor A Coalgebra.comul ∘ₗ Coalgebra.comul
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
CompactIccSpace α
Filter.atBot.IsMeasurablyGenerated
OrderTop α
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[Filter.atBot] g
hg : MeasureTheory.IntegrableAtFilter g Filter.atBot μ
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α ⊕ β → Prop
⊢ (∀ (x : α ⊕ β), p x) ↔ (∀ (a : α), p (Sum.inl a)) ∧ ∀ (b : β), p (Sum.inr b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hg : ∀ (b : δ), IsLUB (range fun i => f i b) (g b)
⊢ Measurable g
a : ℝ
hane : a ≠ 0
ha : Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun n => stirlingSeq n ^ 4 / stirlingSeq (2 * n) ^ 2 * (↑n / (2 * ↑n + 1))) atTop (𝓝 (a ^ 2 / 2))
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
⊢ c.blocks.length = c.length
R : Type u
ι : Type v
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₂
Module R M₃
TopologicalSpace M₂
TopologicalSpace M₃
ι' : Type u_1
e : ι ≃ ι'
f : ContinuousMultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
⊢ (ContinuousMultilinearMap.domDomCongrEquiv e) f = ContinuousMultilinearMap.domDomCongr e f
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hx : (aeval x) f = 0
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
i : ℕ
hi : (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ≤ i
k : ℕ
hk : i = (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree + k
⊢ ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ i
n : Nat
⊢ Fin.castAdd 0 = Fin.cast ⋯
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
⊢ 0 ≤ ifp_n.fr ∧ ifp_n.fr < 1
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a + -b ≤ 0 ↔ a ≤ b
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
CategoryTheory.EssentiallySmall.{w, v, u} J
⊢ CategoryTheory.FinallySmall J
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
a : α
⊢ {a}.offDiag = ∅
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
c₁ c₂ : ℝ≥0
r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
l : BoxIntegral.IntegrationParams
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ r₁ π₁
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ r₂ π₂
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
⊢ ∃ π, π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₁) ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₂)