ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
a : X
ha : a ∈ B
g : G
hg : g ∈ stabilizer G a
⊢ a ∈ B
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E' p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f) s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = 0
hf_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
f_meas : ↥(lpMeas E' 𝕜 m p μ) := ⟨f, hf_meas⟩
hf_f_meas : ↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f_meas
⊢ ↑↑f =ᶠ[ae μ] 0
k n : ℕ
⊢ (List.Nat.antidiagonalTuple k n).Nodup
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞
⊢ lift.{u, v} x ≤ ↑m ↔ x ≤ ↑m
α : Type u_1
NonAssocRing α
m n : ℤ
⊢ ↑(m * n) = ↑m * ↑n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
v : MeasureTheory.VectorMeasure α ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.VectorMeasure.equivMeasure v = v.ennrealToMeasure
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : α → E
hf : ∀ (c : E), (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) =ᶠ[ae μ] 0
s : ℕ → E := denseSeq E
hs : DenseRange s
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ⟪s n, f x⟫_𝕜 = 0
x : α
hx : ∀ (n : ℕ), ⟪s n, f x⟫_𝕜 = 0
h_closed : IsClosed {c | ⟪c, f x⟫_𝕜 = 0}
⊢ ⟪f x, f x⟫_𝕜 = 0
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
A : Matrix m m 𝔸
this✝¹ : SeminormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpSemiNormedRing
this✝ : NormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedRing
this : NormedAlgebra 𝕂 (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedAlgebra
⊢ IsUnit (exp 𝕂 A)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
H : Infinite (α × β)
⊢ Infinite α ∧ Nonempty β ∨ Nonempty α ∧ Infinite β
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieAlgebra.IsKilling K L
x : L
hx : x ∈ H
hx' : IsNilpotent ((LieAlgebra.ad K L) x)
⊢ x = 0
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
X : Scheme
⊢ ∀ u ∈ {x | ∃ a, x = Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map a).val.base}, IsOpen u
k : ℕ
hk : k ≠ 0
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
this : HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ (2 * k) * ((fourier ↑n) ↑x + (fourier (-↑n)) ↑x)) ((-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / ↑(2 * k)! * ↑(bernoulliFun (2 * k) x))
ofReal_two : ↑2 = 2
⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ (2 * k) * Real.cos (2 * π * ↑n * x)) ((-1) ^ (k + 1) * (2 * π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * Polynomial.eval x (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℝ) (Polynomial.bernoulli (2 * k))))
x : ℤ[i]
⊢ 0 ≤ Zsqrtd.norm x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
x : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ I.parallelPairDiagram.obj x =
  match x with
  | CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero => ∏ᶜ I.left
  | CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one => ∏ᶜ I.right
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
M : Matrix n n R₂
x y : M₂
⊢ ∑ i : n, ∑ j : n, (b.repr x) i • (b.repr y) j • M i j = ∑ i : n, ∑ j : n, (b.repr x) i * M i j * (b.repr y) j
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.reverse.tails = (List.map List.reverse l.inits).reverse
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∈ (exponent G).factorization.support
he : 0 < exponent G
g : G
hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1
k : ℕ
hk : exponent G = p ^ (exponent G).factorization p * k
t : ℕ
ht : (exponent G).factorization p = t.succ
⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
⊢ ‖0‖ = 0
α : Type u
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < List.findIdx p xs
⊢ ¬p (xs.get ⟨i, ⋯⟩) = true
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
x : α
hx : x ∈ ⋃₀ 𝔖
s : Set α
hs : s ∈ 𝔖
hxs : x ∈ s
⊢ UniformContinuous fun x_1 => ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x_1 ⟨x, hx⟩
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
α : Type w'
ie : IsEmpty α
⊢ LHom.sumInl.sumElim (LHom.sumInl.comp (LHom.ofIsEmpty (constantsOn α) L)) = LHom.id (L[[α]])
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ x y : MvPolynomial σ R
h : Coe.coe x = Coe.coe y
m✝ : σ →₀ ℕ
⊢ coeff m✝ x = coeff m✝ y
α : Type u
One α
⊢ WithBot.unbot 1 ⋯ = 1
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : IsSuccArchimedean α
b : α
hb : b ≤ a
c : α
x✝ : b ≤ c
H : IsSuccLimit c → c ≤ b
hc : IsSuccLimit (succ c)
this : succ c = c
⊢ succ c ≤ b
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝¹ b✝ a b c a✝ : α
⊢ a✝ ∈ filter (fun x => x < c) (Ioo a b) ↔ a✝ ∈ Ioo a (min b c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : α → β
hf : Injective f
eq : f '' s = f '' t
⊢ s = t
R : Type u
Ring R
p : R[X]
a : R
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C a) ^ Polynomial.rootMultiplicity a p *
    (p /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C a) ^ Polynomial.rootMultiplicity a p) =
  p
M : Type u_2
N : Type u_3
φ : M → N
X : Type u_5
SMul M X
Y : Type u_6
SMul N Y
f g : X →ₑ[φ] Y
⊢ (∀ (x : X), f x = g x) → f = g
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
⊢ interior t ⊆ ⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb) '' interior s
α : Type u_1
LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h : b₂ < b₁
⊢ Set.Ioo a₁ b₁ ∩ Set.Ioc a₂ b₂ = Set.Ioc (max a₁ a₂) b₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
R : Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace R
ChartedSpace H R
self : SmoothRing I R
⊢ Smooth (I.prod I) I fun p => p.1 * p.2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
⊢ ∑' (i : ι), ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2 ≤ ‖x‖ ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
h : Bornology.IsBounded ∅
⊢ EMetric.diam ∅ = ENNReal.ofReal (sSup ∅ - sInf ∅)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x✝ : M
hs : UniqueMDiffOn I s
x : M
⊢ UniqueMDiffOn 𝓘(𝕜, E) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ ¬hζ.toInteger - 1 ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M
⊢ (detAux (Trunc.mk b)) f = ((toMatrix b b) f).det
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
⊢ CategoryTheory.IsPreconnected C
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
p : ι → Prop
DecidablePred p
f g : ι → α
⊢ (⨆ i, if p i then f i else g i) = (⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : ¬p i), g i
B : Type u_1
self : CoxeterMatrix B
i i' : B
⊢ i ≠ i' → self.M i i' ≠ 1
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
s : Submonoid R
a : R
ha : a ≠ 0
hfac : ∀ b ∈ factors a, b ∈ s
hunit : ∀ (c : Rˣ), ↑c ∈ s
⊢ a ∈ s
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ : L → R
x : L
n : Module.End R ↥↑(weightSpace M χ) := (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id
h₁ : (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x = n + χ x • LinearMap.id
h₂ : (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpace M χ)) n = 0
⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpace M χ) ∘ₗ ↑(toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ))) x = (finrank R ↥↑(weightSpace M χ) • χ) x
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hu₀ : 0 < u - ⌊ξ⌋ * v
huv : u - ⌊ξ⌋ * v < v
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v)| < ((↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) * (2 * (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) - 1))⁻¹
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
s : Cocone D
j : J
⊢ T.map (c.ι.app j) ≫ T.map (t.desc (T.forget.mapCocone s)) ≫ s.pt.a = T.map (c.ι.app j) ≫ lambda c t ≫ t.desc (T.forget.mapCocone s)
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t✝ : Finset ι✝
w✝² : ι✝ → R
z : ι✝ → E
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i : ι, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i : ι, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i : κ, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i : κ, v i • g i = y
h_sum : ∑ i : ι × κ, w i.1 * v i.2 = 1
⊢ ∃ ι x_1 w z, (∀ (i : ι), 0 ≤ w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ (∀ (i : ι), z i ∈ s ×ˢ t) ∧ ∑ i : ι, w i • z i = (x, y)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
a✝ : V
⊢ a✝ ∈ filter (fun x => ¬G.Adj s x) univ ↔ a✝ ∈ h.finpartition.part s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct X Y
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
⊢ CategoryTheory.IsPushout (CategoryTheory.Limits.initial.to X) (CategoryTheory.Limits.initial.to Y)
  CategoryTheory.Limits.coprod.inl CategoryTheory.Limits.coprod.inr
α : Type u_5
TopologicalSpace α
S : Set (Setoid α)
s : Setoid α
h : s ∈ S
⊢ Continuous (Setoid.map_sInf h)
α : Type u
L : List (α × Bool)
DecidableEq α
⊢ FreeGroup.reduce (FreeGroup.reduce L) = FreeGroup.reduce L
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
v : V
⊢ (¬v = 0 → ∃ f, ¬f v = 0) ↔ (ContinuousLinearMap.coeLM R).flip v = 0 → v = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : MeasurableSpace D
inst✝³ : BorelSpace D
inst✝² : SecondCountableTopology D
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
inst✝ : μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
h''f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ Integrable (fun x => ‖x‖ ^ k * ‖f x‖) μ
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
l : Filter α
a : α
⊢ IsExtrFilter (⇑OrderDual.toDual ∘ f) l a ↔ IsExtrFilter f l a
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid N
P : Submonoid M
h : (toAddSubmonoid P).FG
T : Set (Additive M)
hT : AddSubmonoid.closure T = toAddSubmonoid P
hf : T.Finite
⊢ closure (⇑Multiplicative.ofAdd ⁻¹' T) = P
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ : Finset α
u✝ v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
u : α
s : Finset α
⊢ filter (fun x => compress u u x ∈ s) s = s
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r✝ x y z : R
a b c : ℍ[R]
r : R
q : ℍ[R]
⊢ normSq (r • q) = r ^ 2 * normSq q
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
F : Type u_2
inst✝ : Field F
f : F[X]
hu : ¬IsUnit f
hf : ¬f = 0
⊢ ∃ g, g.Monic ∧ Irreducible g ∧ g ∣ f
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f g : α → Multiset β
⊢ (s.bind fun x => 0) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ t.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' s) = Subtype.val ⁻¹' (f '' s)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ⟂ₘ μ
A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a
u : ℕ → ℝ≥0
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a
x : α
hx : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
⊢ Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
h_singleton_eq_inter : {a} = Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a)
⊢ IsOpen {a}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
s : Set M
n : ℕ∞
f : M → E'
g : M → F'
hf : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n f s
hg : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F') n g s
⊢ ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E' × F') n (fun x => (f x, g x)) s
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (⇑((zmultiplesHom ℝ) a)) Filter.cofinite (Filter.cocompact ℝ)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
ε : Type u_9
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m₁ : α → γ → α'
m₂ : β → γ → β'
n' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m₁ a c) (m₂ b c)
⊢ Filter.map₂ m (Filter.map₂ n f g) h ≤ Filter.map₂ n' (Filter.map₂ m₁ f h) (Filter.map₂ m₂ g h)
q : ℚ
hq : 0 ≤ q
⊢ ↑q.toNNRat = q
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
ε : ℝ
hs : ε • s ∈ 𝓝 0
hε : 0 < ε
x : E
hx : x ∈ ε • s
⊢ gauge s x ∈ Icc 0 ε
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
y : FractionRing B
hy : y ∈ I
⊢ (Algebra.trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((FractionRing.algEquiv B L).symm x * y) ∈ 1 ↔ (Algebra.trace K L) (x * (FractionRing.algEquiv B L) y) ∈ 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
x : E
h : x ≠ 0
⊢ ‖ContinuousLinearEquiv.coord 𝕜 x h‖ = ‖x‖⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
h : Set α → Set β
a : α
hh : Monotone h
⊢ (pure a).lift' h = 𝓟 (h {a})
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel ν
hf : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν
⊢ ν ⊗ₖ ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF.toKernel f hf = κ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
T : CategoryTheory.Comonad C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape J T.toFunctor
D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra
CategoryTheory.Limits.HasLimit (D.comp T.forget)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit D
m n : ℕ
⊢ ↑(Nat.bitwise (fun x y => xor (!x) !y) m n) = ↑(Nat.bitwise xor m n)
n : ℕ
⊢ ↑n.toPNat' = if 0 < n then n else 1
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Coalgebra R A
⊢ ↑(TensorProduct.assoc R A A A).symm ∘ₗ LinearMap.lTensor A Coalgebra.comul ∘ₗ Coalgebra.comul =
  LinearMap.rTensor A Coalgebra.comul ∘ₗ Coalgebra.comul
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.factorial * ↑n.succ ^ m)⁻¹ = (↑n.factorial)⁻¹ * ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.succ)⁻¹ ^ m
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
ι : Type w
b : Basis ι R M
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
b' : ι
w : ∀ (x : κ), (b.repr (v x)) b' = 0
v' : Option κ → M := fun o => o.elim (b b') v
r : range v ⊆ range v'
r' : b b' ∉ range v
r'' : range v ≠ range v'
⊢ False
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j k : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
⊢ ShortComplex.opcyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ ≫ ψ)) = ShortComplex.opcyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ) ≫ ShortComplex.opcyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map ψ)
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ disjointed ≤ id
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
⊢ W.addY P Q / WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q ^ 3 =
  W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
    (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))
R : Type u_1
Ring R
R₂ : Type u_2
Ring R₂
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
Module R M
M₂ : Type u_4
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e : M ≃SL[σ₁₂] M₂
x y : M
⊢ e (x - y) = e x - e y
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
third_ε_pos : 0 < ε / 3
third_ε_pos' : 0 < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Es : ℕ → Set Ω
Es_mble : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Es n)
Es_bdd : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (Es n)
Es_diam : ∀ (n : ℕ), diam (Es n) ≤ ε / 3
Es_cover : ⋃ n, Es n = univ
Es_disjoint : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
⊢ ∀ᶠ (x : ProbabilityMeasure Ω) in 𝓝 P, dist x.toLevyProkhorov P.toLevyProkhorov < ε
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScott α
⊢ Topology.scottHausdorff α ≤ inst✝
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ F.map (λ_ X).hom = inv (F.μ (𝟙_ C) X) ≫ inv F.ε ▷ F.obj X ≫ F.ε ▷ F.obj X ≫ F.μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom
α : Type u_1
n m : ℕ
H : Raised n m
H1 : n ≤ m
H2 : m ≤ n + 1
⊢ n.dist m ≤ 1
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
a : α
x : γ
⊢ x ∉ κ.mutuallySingularSetSlice η a ↔ κ.rnDerivAux (κ + η) a x < 1
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
obs : ∀ (i : γ), (μs i).testAgainstNN f ≤ nndist f 0 * (μs i).mass
lim_pair : Tendsto (fun i => (↑(nndist f 0), ↑(μs i).mass)) F (𝓝 (↑(nndist f 0), 0))
⊢ Tendsto (fun t => (fun a => ↑a) (nndist f 0 * (μs t).mass)) F (𝓝 0)
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
s : Computation α
t : Computation β
⊢ Computation.LiftRel R s t → (s.Terminates ↔ t.Terminates)
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
⊢ rootSet 1 S = ∅
R : Type u_4
k : ℕ+
CommRing R
IsDomain R
x : ↥(rootsOfUnity k R)
⊢ ↑((rootsOfUnityEquivNthRoots R k) x) = ↑↑x
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ f.mk' x y * f.toMap ↑y = f.toMap x
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
g h : G
a : α
⊢ g +ᵥ a ∈ AddAction.orbit G (h +ᵥ a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
⊢ 0 =o[l] u
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero β
SMulPosStrictMono α β
SMulPosReflectLT α β
hb : 0 < b
⊢ a₁ • b < a₂ • b ↔ a₁ < a₂
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ IsConnected s ↔ ConnectedSpace ↑s
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
hx : 0 ≠ 0
⊢ ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ 0 ∧ 0 ∣ y ^ n
n : Nat
a : Nat
is_pos : n > 0
⊢ ↑(Fin.ofNat' a is_pos) = a % n
α : Type u_2
TopologicalSpace α
p : TopologicalSpace.Opens α → Prop
⊢ (∀ (U : TopologicalSpace.Opens α), p U) ↔ ∀ (U : Set α) (hU : IsOpen U), p { carrier := U, is_open' := hU }
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
⊢ ∃ a, f a = i