ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
L : Type u_2
CommSemiring K
CommSemiring L
i : K →+* L
p : ℕ
IsPRadical i p
⊢ RingHom.ker i ≤ pNilradical K p
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
⊢ (p.takeUntil u h).support ⊆ p.support
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)
(x : M) → TopologicalSpace (V x)
FiberBundle F V
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
α : Type u_1
p : WithTop α → Prop
⊢ (∀ (x : WithTop α), p x) ↔ p ⊤ ∧ ∀ (x : α), p ↑x
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞
⊢ ↑m = lift.{u, v} x ↔ ↑m = x
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
r : R
⊢ (gradedMul R 𝒜 ℬ).flip ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1) = DistribMulAction.toLinearMap R (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) r
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l✝ : List ι
f✝ : (i : ι) → α i
i : ι
l : List ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
h : TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ i ∈ l, f i ∈ t i
⊢ f i ∈ t i ∧ TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ (i_1 : ι), i_1 = i ∨ i_1 ∈ l → f i_1 ∈ t i_1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝¹ : CommMonoid M
a : M
l✝ l₁ l₂ : List M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → M
l : List α
⊢ (map f (filter (fun b => decide (p b)) l)).prod * (map f (filter (fun x => decide ¬p x) l)).prod = (map f l).prod
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
h : CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.Limits.initial.to (⊤_ C))
⊢ CategoryTheory.Limits.InitialMonoClass C
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.degree ≠ ⊥ ↔ p ≠ 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMinOrder α
DenselyOrdered α
a : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝[<] a ↔ ∃ l ∈ Set.Iio a, Set.Ico l a ⊆ s
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
ι' : Sort u_5
f : ι → α
g : ι' → α
hg : BddAbove (Set.range g)
h : ∀ (i : ι), ∃ i', f i ≤ g i'
⊢ iSup f ≤ iSup g
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
a b c : E
⊢ dist (a - b) c = dist a (c + b)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace ℝ G
K : ProperCone ℝ E
⊢ ↑(map (ContinuousLinearMap.id ℝ E) K) = ↑K
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
f g : R → R
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
hg : ContinuousOn g (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
⊢ cfc (fun x => f x + g x) a = cfc f a + cfc g a
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly✝ : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
hq_poly : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b' * x) x, (fun x => ‖deriv q x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖deriv q x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖deriv q x‖) x)
h_tendsto : Tendsto (fun x => b' * x) atTop atTop
n : ℕ
hn : ∀ u ∈ Set.Icc (b' * ↑n) ↑n, ‖deriv q u‖ ∈ Set.Icc (c₁ * ‖deriv q ↑n‖) (c₂ * ‖deriv q ↑n‖)
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
h_ge_n₀ : R.n₀ ≤ n
h_n_pos : 0 < n
h_bn : 1 < b' * ↑n
z : ℝ
hz : z ∈ Set.Icc (b' * ↑n) ↑n
⊢ DifferentiableAt ℝ q z
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝ : NoMinOrder α
hs : IsLUB s a
a' : α
ha' : a' < a
h : s = ∅
⊢ a' ∈ upperBounds s
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
s : Set α
x : α
hbdd : BddAbove s
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)
⊢ sSup s ∈ s
a b : ℕ
⊢ Nat.multinomial Finset.univ ![a, b] = (a + b)! / (a ! * b !)
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → -x ∈ s
a : ℝ
ha : ‖a‖ ≤ 1
x : E
hx : x ∈ s
⊢ a • x ∈ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
P₁ P₂ : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
f : P₁ ⟶ P₂
⊢ J.W f ↔ CategoryTheory.IsIso ((CategoryTheory.presheafToSheaf J A).map f)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α : L → R
β : LieModule.Weight R L M
n : ℕ
hn : n ≤ LieModule.chainBotCoeff α β
⊢ LieModule.weightSpace M (-↑n • α + ⇑β) ≠ ⊥
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
⊢ Set.range ⇑PicardLindelof.FunSpace.toContinuousMap = {f | f v.t₀ = v.x₀ ∧ LipschitzWith v.C ⇑f}
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
Fact (Even (Fintype.card n))
g : Matrix.SpecialLinearGroup n ℤ
⊢ (Matrix.SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom R)) (-g) = -(Matrix.SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom R)) g
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ (Homeomorph.refl X).toHomotopyEquiv = ContinuousMap.HomotopyEquiv.refl X
N : ℕ
⊢ (CongruenceSubgroup.Gamma N).Normal
o₁ o₂ : Ordering
⊢ o₁.then o₂ = Ordering.eq ↔ o₁ = Ordering.eq ∧ o₂ = Ordering.eq
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i : Fin 2
hij hjk : 1 ≤ 1
⊢ map f 1 1 ⋯ = map f 1 1 hij ≫ map f 1 1 hjk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
π : α → β
s : Set β
t : Set α
a : α
h : a ∈ t
ht : IsOpen t
hs : s ∈ 𝓝 (π a)
⊢ π ⁻¹' s ∈ 𝓝 a
R : Type u_1
MulZeroClass R
IsCancelMulZero R
a : R
a0 : a ≠ 0
⊢ IsRegular a
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FiniteType
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
h₁ : Set.MapsTo f s₁ t
h₂ : Set.MapsTo f s₂ t
⊢ Set.MapsTo f (s₁ ∪ s₂) t
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
s t : Set β
hs : s ⊆ range ⇑m
ht : t ⊆ range ⇑m
a : α
ha : m a ∈ s
b : α
hb : m b ∈ t
⊢ (fun x x_1 => x / x_1) (m a) (m b) ∈ range ⇑m
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)
⊢ mk' K x y = 1 → x = ↑y
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
⊢ (QuadraticMap.Isometry.fst M₂ Q₁).comp (QuadraticMap.Isometry.inl Q₁ 0) = QuadraticMap.Isometry.id Q₁
α : Sort u_1
β : Sort u_2
e : α ≃ β
x : β
y : α
⊢ e.symm x = y ↔ x = e y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ
⊢ WithTop.map (⇑ofDual) s.min = (image (⇑ofDual) s).max
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (y ⊓ x ⊔ x \ z) ⊓ (x ⊓ y ⊔ y \ z) = x ⊓ y ⊔ x \ z ⊓ y \ z
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
l : ι →₀ R
i : ι
⊢ l i = 0 → (ε i) (0 • e i) = 0
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
ρ ν : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ ν a
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
x✝ : ν s < ⊤
U : Set α
sU : s ⊆ U
U_open : IsOpen U
νU : ν U ≤ ν s + ↑ε
f : α → Set (Set α) := fun x => {a | ρ a ≤ ν a ∧ a ⊆ U}
h : v.FineSubfamilyOn f s
this : Encodable ↑h.index
⊢ ρ s ≤ ν s + ↑ε
a : SignType
⊢ 1 ≤ a ↔ a = 1
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
x : F α
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
⊢ LiftP p x ↔ ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp x i, p i u
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
T1Space E
s : Set E
t : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : Bornology.IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ gauge t (gaugeRescale s t x) = gauge s x
n p : ℕ
pp : Prime p
m i : ℕ
⊢ i ∣ p ^ m ↔ ∃ k ≤ m, i = p ^ k
α : Type u_1
Preorder α
FiniteDimensionalOrder α
x : LTSeries α
⊢ x.length ≤ (LTSeries.longestOf α).length
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
h : n ≤ s.card
⊢ ∃ t ⊆ s, t.card = n
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
h : (fun a => (((condDistrib id id μ) a) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m ⊓ mΩ]
⊢ (fun ω => (((condexpKernel μ m) ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m ⊓ mΩ]
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : IsNoetherian R₁ ↥↑I
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ((-o).oangle y (x + y)).cos * ‖x + y‖ = ‖y‖
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
⊢ P'.jacobson ≤ P'
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
C : α → Sort u_2
NoMinOrder α
hs : (a : α) → ¬IsMin a → C (Order.pred a)
hl : (a : α) → Order.IsPredLimit a → C a
b : α
⊢ Order.isPredLimitRecOn (Order.pred b) hs hl = hs b ⋯
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R
h✝ : Nontrivial R
⊢ span {r} ∈ (Ideal R)⁰ ↔ r ∈ R⁰
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Lattice β
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : BoundedOrder β
f✝ f : α ≃o β
a✝ : ComplementedLattice β
⊢ ComplementedLattice α
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ x * y = ↑(abs x * abs y) * (↑(↑x.arg + ↑y.arg).cos + ↑(↑x.arg + ↑y.arg).sin * I)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
f : α →o β
b : β
⊢ b ∈ c.map f ↔ ∃ a ∈ c, f a = b
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
s : Finset α
H : s.Nonempty
⊢ (insert a s).max' ⋯ = max (s.max' H) a
P : TopCat → Prop
inst✝ : HasExplicitFiniteCoproducts P
hP' : ∀ ⦃X Y B : CompHausLike P⦄ (f : X ⟶ B) (g : Y ⟶ B), OpenEmbedding ⇑f → HasExplicitPullback f g
X✝ Y✝ Z✝ : CompHausLike P
f : Z✝ ⟶ X✝ ⨿ Y✝
⊢ OpenEmbedding ⇑coprod.inl
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f₂ : E → F × G
h : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => (f₂ x).1) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
self : F.PreservesEpimorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
⊢ CategoryTheory.Epi (F.map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g✝ s t : ι → α
a b : α
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : (i : ι) → p i → α
g : (i : ι) → ¬p i → α
⊢ (⨆ i, if h : p i then f i h else g i h) = (⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h) ⊔ ⨆ i, ⨆ (h : ¬p i), g i h
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
U : Set G
hU : IsOpen U
⊢ U * closure {1} = U
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
s : Set α
f : α → M
a : α
⊢ ∏ᶠ (_ : a ∈ s), f a = s.mulIndicator f a
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
⊢ x ^ (y - 1) = x ^ y / x
a b : ℤ
⊢ (Rat.divInt a b)⁻¹ = Rat.divInt b a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
A : ℝ
x : α
h : |f x| < A
⊢ truncation f A x = f x
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
DecidablePred fun x => x < c
hbc : b ≤ c
⊢ Multiset.filter (fun x => x < c) (Multiset.Ico a b) = Multiset.Ico a b
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 = p
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → NonAssocSemiring (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
x : ⨂[R] (i : ι), A i
⊢ (PiTensorProduct.mul ((PiTensorProduct.tprod R) 1)) x = x
α : Type u_2
CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Set.Iic a)
⊢ ↑(sSup S) = sSup (Subtype.val '' S)
R : Type u_1
K : Type u_2
Semiring R
CommSemiring K
i : R →+* K
b : R
bi : K
N : ℕ
a : R
bu : bi * i b = 1
f : R[X]
⊢ f.natDegree ≤ N → DenomsClearable a b N f i
α : Type u_2
Preorder α
⊢ 𝓝 Filter.atTop = ⨅ x, 𝓟 (Set.Iic (𝓟 (Set.Ici x)))
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.HasPoints P L
Fintype P
Fintype L
⊢ Fintype.card L ≤ Fintype.card P
a' x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ ContinuousAt (fun x => jacobiTheta₂ (↑a') (I * ↑x)) x
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w x z
h₂ : Sbtw R x y z
⊢ Sbtw R w y z
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
b0 : f₂ b₂ = none
c₁ : σ₁
ac : Reaches f₁ a₁ c₁
bc : Reaches f₂ b₂ b₂
cc : tr c₁ b₂
⊢ ∃ b₁, tr b₁ b₂ ∧ b₁ ∈ eval f₁ a₁
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : ℕ × ℕ
k n : ℕ
hk : k ≤ m.1
hn : n ≤ m.2
f : 𝓢(E, F)
x : E
hk' : Finset.range (k + 1) ⊆ Finset.range (m.1 + 1)
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (k + 1), ‖x‖ ^ i * ↑(k.choose i) * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (m.1 + 1), ↑(m.1.choose i) * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a₁ a₂ b₁ b₂ : ℝ
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f ([[a₁, b₁]] ×ˢ [[a₂, b₂]])
Hcg : ContinuousOn g ([[a₁, b₁]] ×ˢ [[a₂, b₂]])
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a₁ b₁) (max a₁ b₁) ×ˢ Set.Ioo (min a₂ b₂) (max a₂ b₂) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a₁ b₁) (max a₁ b₁) ×ˢ Set.Ioo (min a₂ b₂) (max a₂ b₂) \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi :
  MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) ([[a₁, b₁]] ×ˢ [[a₂, b₂]]) MeasureTheory.volume
⊢ ∫ (x : ℝ) in a₁..b₁, ∫ (y : ℝ) in a₂..b₂, (f' (x, y)) (1, 0) + (g' (x, y)) (0, 1) =
  (((∫ (x : ℝ) in a₁..b₁, g (x, b₂)) - ∫ (x : ℝ) in a₁..b₁, g (x, a₂)) + ∫ (y : ℝ) in a₂..b₂, f (b₁, y)) -
    ∫ (y : ℝ) in a₂..b₂, f (a₁, y)
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.Nodup ↔ ∀ (x : α), ¬List.Duplicate x l
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
n : ℕ
H : n < (List.map f l).length
⊢ (List.map f l).nthLe n H = f (l.nthLe n ⋯)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
S R : CategoryTheory.Sieve (F.obj X)
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPullback F (S ⊔ R) =
  CategoryTheory.Sieve.functorPullback F S ⊔ CategoryTheory.Sieve.functorPullback F R
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
⊢ s.min = ↑(s.min' H)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p μ
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) ⋯) =ᶠ[ae μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) ⋯
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
R : Type u_1
n : ℕ
h : Ω (n + 1) = 1
x : ℕ
hx : (n + 1).primeFactorsList = [x]
⊢ Nat.Prime (n + 1)
G : Type u_1
Group G
x : G
⊢ orderOf x⁻¹ = orderOf x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
a✝ : α
ha : ↑↑(f - g) a✝ = (↑↑f - ↑↑g) a✝
⊢ edist (↑↑(f - g) a✝) 0 = edist (↑↑f a✝ - ↑↑g a✝) 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : Option α × Perm α
x : Option α
σ : Perm α
⊢ (fun σ => (σ none, removeNone σ)) ((fun i => swap none i.1 * optionCongr i.2) (x, σ)) = (x, σ)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a✝ : α
f✝ g : ι → α
inst✝ : DivisionSemiring α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ (∑ i ∈ s, f i) / a = ∑ i ∈ s, f i / a
α : Type u
⊢ Batteries.DList.empty.toList = []
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
x₀ : X
U : Set X
U_cpct : IsCompact U
U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖uncurry f x‖) '' U ×ˢ s)
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (y : Y) in s, f x y ∂μ) x₀
n : ℤ
⊢ Complex.tan (↑n * ↑Real.pi) = 0
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
this✝ : Fintype α
this : Fintype ↑(fixedPoints G α)
⊢ card α ≡ card ↑(fixedPoints G α) [MOD p]
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ AddMonoid.FG M ↔ ∃ S, AddSubmonoid.closure S = ⊤ ∧ S.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f g : β → α
hfg : Multipliable fun b => f b / g b
⊢ Multipliable f ↔ Multipliable g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ (ENNReal.ofReal ε)⁻¹ ^ ENNReal.toReal 1 * eLpNorm f 1 μ ^ ENNReal.toReal 1 < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
g : Filter β
a : α
⊢ Filter.map₂ m (pure a) g = Filter.map (m a) g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivAt f f' x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
hZ : CategoryTheory.Limits.IsTerminal Z
X : C
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.inclLiftToTerminal F hZ).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    (match CategoryTheory.WithTerminal.incl.obj X with
    | CategoryTheory.WithTerminal.of x => F.obj x
    | CategoryTheory.WithTerminal.star => Z)
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c✝ c₁ c₂ : R
c k : ℕ
⊢ a ^ (c * k) = (a ^ c) ^ k
ι : Type u_1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
Unique ι
Fintype ι
x : α
i : ι
⊢ (IsometryEquiv.funUnique ι α).symm x i = x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy : y ∈ p.toList x
⊢ (p.toList x).next y hy = p y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
Primcodable δ
Primcodable σ
f : γ → δ →. σ
g : α → β → γ
h : α → β → δ
hf : Partrec₂ f
hg : Computable₂ g
hh : Computable₂ h
⊢ Partrec₂ fun a b => f (g a b) (h a b)
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≤ b / c
⊢ a * c ≤ b
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
B : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal
t : ι
⊢ ‖(μ (Ioc (v t) (u t))).toReal‖ ≤ ‖(μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • 1 - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • 1‖
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ e.toEquiv = ↑e
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
y : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U)
hy : hU.fromSpec.val.base y ∈ U
⊢ IsLocalization y.asIdeal.primeCompl ↑((Spec Γ(X, U)).presheaf.stalk y) = IsLocalization y.asIdeal.primeCompl ↑((structureSheaf ↑Γ(X, U)).presheaf.stalk y)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {X : Ω → E} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {μ : MeasureTheory.Measure E}
  [hX : MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ], MeasureTheory.Measure.map X ℙ ≪ μ