ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
s : Set β
f : ↑s → α
θ : Cardinal.{u}
hθ : θ ≤ #↑s
h₁ : ℵ₀ ≤ θ
h₂ : #α < θ.ord.cof
a : α
ha : θ ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
⊢ ∃ a t, ∃ (h : t ⊆ s), θ ≤ #↑t ∧ ∀ ⦃x : β⦄ (hx : x ∈ t), f ⟨x, ⋯⟩ = a
G : Type u_1
AddGroup G
IsAddKleinFour G
Fintype G
DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x ≠ y
⊢ {x + y, x, y, 0} = Finset.univ
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS✝ : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
hS : S ≤ A⁰
a s : A
hs : s ∈ S
⊢ IsLocalization.mk' K a ⟨s, ⋯⟩ ∈ (mapToFractionRing K S B hS).range
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b c : Ordinal.{u}
h_init : x ≤ f x
h_ab : a < b
h_ac : a ≤ c
h_fab : OrdinalApprox.lfpApprox f x a = OrdinalApprox.lfpApprox f x b
⊢ OrdinalApprox.lfpApprox f x c ∈ Function.fixedPoints ⇑f
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc) ≫ X.map (SimplexCategory.σ i) = 𝟙 (X.obj [n])
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
h : Commute a b
m : ℤ
⊢ Commute (a ^ m) b
x y : UInt16
⊢ (x % y).toNat = x.toNat % y.toNat
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : (a : α) → β a → Type u_3
(x : α) → (y : β x) → OmegaCompletePartialOrder (γ x y)
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous (Pi.monotoneUncurry α β γ)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
⊢ e.symm.toPartialEquiv = e.toPartialEquiv.symm
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : Countable G
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ
h_measure_univ_le : μ univ ≤ ∑' (g : G), μ (g • s)
aedisjoint : Pairwise (AEDisjoint μ on fun g => g • s)
h_meas : ∀ (g : G), NullMeasurableSet (g • s) μ
h_meas' : NullMeasurableSet {a | ∃ g, g • a ∈ s} μ
⊢ μ (⋃ g, g • s) = μ univ
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
T' : L.Theory
h : ∀ φ ∈ T', T ⊨ᵇ φ
φ : L.Formula α
hφ : T' ⊨ᵇ φ
⊢ T ⊨ᵇ φ
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
F : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace F
f : E → F
C : ℝ≥0
t : Set E
h : LipschitzOnWith C f t
g : α → E
s : Set α
hg : MapsTo g s t
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist ((f ∘ g) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) ((f ∘ g) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i)) ≤ ↑C * eVariationOn g s
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
V : (TopologicalSpace.Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
s t : ↑((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).val.obj V)
x : ↥(Opposite.unop V)
⊢ ↑(s * t) x = ↑s x * ↑t x
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Antitone Set.Ioi
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ
aux : ∀ (n : ℤ), 0 < ↑p ^ n
hx0 : ¬x = 0
h1p : 1 < ↑p
H : StrictMono fun x => ↑p ^ x
⊢ ↑p ^ (-x.valuation) ≤ ↑p ^ n ↔ ↑p ^ (-x.valuation) < ↑p ^ (n + 1)
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
mem1 : ↑x ∈ ↑(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
⊢ ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset
ζ : ℝ
z0 : ζ > 0
U : closedBall α ζ ∩ ↑fR.roots.toFinset = {α}
xm : ℝ
hM : IsMaxOn (fun x => |eval x (derivative fR)|) (Icc (α - ζ) (α + ζ)) xm
⊢ ∀ (a : ℕ), 1 ≤ (↑a + 1) ^ f.natDegree
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
n : ℕ
⊢ (↑n + a) ^ 0 * rexp (-π * (↑n + a ^ 2) * t) = rexp (-π * a ^ 2 * t) * rexp (-π * t) ^ n
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx0 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r ≠ 0
s : O
hy0 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s ≠ 0
hxy0 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r * s) ≠ 0
⊢ preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r * s)) = preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r) * preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s)
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq✝ : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hq0_lt : 0 < q
hpq_eq : ¬p = q
hpq : p < q
g : α → ℝ≥0∞ := fun x => 1
h_rw : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ = ∫⁻ (a : α), (↑‖f a‖₊ * g a) ^ p ∂μ
⊢ eLpNorm' f p μ ≤ eLpNorm' f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q)
x : ZFSet
h : x ≠ ∅
⊢ ∃ y ∈ x, x ∩ y = ∅
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroObject C
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
hT : ∀ (j : J), T j ∈ distinguishedTriangles
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
f₁ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁) ⟶ ∏ᶜ fun j => (T j).obj₂ := Pi.map fun j => (T j).mor₁
Z : C
f₂ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₂) ⟶ Z
f₃ : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁)
T' : Triangle C := Triangle.mk f₁ f₂ f₃
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : (j : J) → T' ⟶ T j := fun j => completeDistinguishedTriangleMorphism T' (T j) hT' ⋯ (Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j) (Pi.π (fun j => (T j).obj₂) j) ⋯
φ' : T' ⟶ productTriangle T := productTriangle.lift T φ
h₁ : φ'.hom₁ = 𝟙 T'.obj₁
h₂ : φ'.hom₂ = 𝟙 T'.obj₂
this✝ : IsIso φ'.hom₁
this : IsIso φ'.hom₂
⊢ productTriangle T ∈ distinguishedTriangles
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
Algebra S C
IsScalarTower R S C
f : A →ₐ[S] C
g : B →ₐ[R] C
hfg : ∀ (x : A) (y : B), Commute (f x) (g y)
⊢ (Algebra.TensorProduct.lift f g hfg).comp Algebra.TensorProduct.includeLeft = f
⊢ Primrec Nat.Partrec.Code.rfind'
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
⊢ nonMemberSubfamily a (image (insert a) 𝒜) = ∅
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
⊢ (g ⊗ 𝟙 W) ≫ (𝟙 Z ⊗ f) = g ⊗ f
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
⊢ HasIntegral I l (fun x => 0) vol 0
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
⊢ {y | s.SOppSide x y} = Set.image2 (fun t q => t • (x -ᵥ p) +ᵥ q) (Set.Iio 0) ↑s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => c + f y) x = fderiv 𝕜 f x
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
⊢ intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 s
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
r : R
x : M
⊢ (quotTensorEquivQuotSMul M I) ((Ideal.Quotient.mk I) r ⊗ₜ[R] x) = Submodule.Quotient.mk (r • x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)
⊢ ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₃ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
hl : la.HasBasis pa sa
i j : ι
hi : pa i
hj : pa j
⊢ ∃ k, pa k ∧ sa k ⊆ sa i ∧ sa k ⊆ sa j
R : Type u_1
CommGroupWithZero R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
f g : ℕ → R
hf : ∀ n > 0, f n ≠ 0
hg : ∀ n > 0, g n ≠ 0
⊢ (∀ n > 0, n ∈ s → ∏ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔
  ∀ n > 0, n ∈ s → ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, g x.2 ^ ArithmeticFunction.moebius x.1 = f n
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
i j : n
⊢ Matrix.transvection i j 0 = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝² : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
inst✝¹ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝ : DecidableEq (Ideal A)
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
hI : I ≠ ⊥
l : Ideal R
hl : l ∣ I
l' : Ideal R
hl' : l' ∣ I
⊢ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv ⟨l, hl⟩) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv ⟨l', hl'⟩) ↔ ↑⟨l, hl⟩ ∣ ↑⟨l', hl'⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
b : ℝ≥0
x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (⊤, ↑b)) (𝓝 (⊤ - ↑b))
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
⊢ C p.leadingCoeff ∣ C p.leadingCoeff * (X ^ p.natDegree * q) - C p.leadingCoeff * (C q.leadingCoeff * X ^ (p * q).natDegree)
α : Type u
s : Stream'.Seq α
⊢ s.head = Prod.fst <$> s.destruct
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ha : a ≠ 0
⊢ ((monomial n) a).trailingDegree = ↑n
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
inst✝ : LindelofSpace X
hf : Continuous f
hsur : Function.Surjective f
⊢ IsLindelof univ
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂ρ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Subsingleton ι
p : ι → E
⊢ ConvexIndependent 𝕜 p
r : ℚ
p' : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime (0 + p' + 1))
x : ℤ_[0 + p' + 1]
⊢ ↑(↑x.zmodRepr).val = ↑x.zmodRepr
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a⁻¹.IsConjExponent b⁻¹
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂
wi : i ≫ S₂.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₂.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₂.f ⋯)
hf' : φ.τ₁ ≫ f' = h.f'
wπ : f' ≫ h.π = 0
⊢ S₂.LeftHomologyData
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
x : M
⊢ ((lift R) f) ((ι R) x) = (((lift R) f).toLinearMap ∘ₗ ι R) x
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => (Multiset.map (fun f => f x) s).prod
α : Type u
LinearOrder α
OrderBot α
a b : α
⊢ max a b = ⊥ ↔ a = ⊥ ∧ b = ⊥
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
⊢ hatg ∈ closure ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
this : ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ (fun r => ↑r) a
⊢ ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
⊢ (insert a s).powerset = s.powerset ∪ Finset.image (insert a) s.powerset
α : Type u
s₁ s₂ : Stream'.WSeq α
a : α
⊢ a ∈ s₁.append s₂ → a ∈ s₁ ∨ a ∈ s₂
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁹ : Ring R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M'
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : Module R M'
inst✝¹² : Module R M₁
inst✝¹¹ : StrongRankCondition R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition S
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module.Free S M
inst✝⁷ : Module S M'
inst✝⁶ : Module.Free S M'
inst✝⁵ : Module S M₁
inst✝⁴ : Module.Free S M₁
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : Module.Free R M
⊢ Module.rank R (M ⊗[S] M') = Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) * Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S M')
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
ContinuousAdd N
f g : M [⋀^ι]→L[R] N
⊢ (f + g).toContinuousMultilinearMap = f.toContinuousMultilinearMap + g.toContinuousMultilinearMap
N✝ N : ℕ
A : ↥(Gamma0 N)
⊢ ↑(↑↑A).det = 1
R : Type u_1
M : Type u_4
S : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
Semiring S
SMul R S
Module S M
IsScalarTower R S M
⊢ Submodule.span S ↑(Submodule.span R s) = Submodule.span S s
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
⊢ (LinearEquiv.refl R M).trans e = e
K✝ : Type uK
inst✝⁷ : Field K✝
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁶ : AddCommGroup V₁
inst✝⁵ : Module K✝ V₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module K✝ V₂
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Submodule K (Dual K V)
x✝ : FiniteDimensional K ↥W
⊢ FiniteDimensional K (V ⧸ W.dualCoannihilator)
a : ℤ
b₁ b₂ : ℕ
hb₁ : b₁ ≠ 0
hb₂ : b₂ ≠ 0
⊢ ∀ a ∈ b₁.primeFactorsList ++ b₂.primeFactorsList, Nat.Prime a
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
IsEmpty ι
r : R
⊢ (PiTensorProduct.isEmptyEquiv ι).symm r = r • (PiTensorProduct.tprod R) isEmptyElim
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I : Ideal S
f : R ≃+* S
⊢ Ideal.map f.symm I = Ideal.comap f I
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f✝ : β → α
s t : Set α
x y : α
f : (fun a b => r ↑a ↑b) ↪r fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s
⊢ s.WellFoundedOn r ↔ WellFounded fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ (μ.restrict s) s = μ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ
⊢ Surjective f ↔ ∀ (i : ι), Surjective ((U i).restrictPreimage f)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝⁵ : atTop.IsCountablyGenerated
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
⊢ μ[f|hτ.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] μ[f|↑ℱ i]
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ
PartialOrder Γ'
VAdd Γ Γ'
IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
AddCommMonoid V
Zero R
DistribSMul R V
x : HahnSeries Γ R
y z : HahnModule Γ' R V
⊢ x • (y + z) = x • y + x • z
A : 0 < 3 / 2
this : Gamma (3 / 2) ≤ rexp (1 / 2 * log 2 - log (3 / 2))
⊢ (log 2 * 1 - 2 * log (3 / 2)) / 2 < 0
G : Type u_3
AddGroup G
g h : G
⊢ (Additive.toMul (AddAut.conj g))⁻¹ h = -g + h + g
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
IsDomain A
Algebra R A
⊢ NoZeroSMulDivisors R A ↔ Function.Injective ⇑(algebraMap R A)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : DivisionSemiring β
inst✝ : RingHomClass F α β
f : F
q : ℚ≥0
⊢ f ↑q = ↑q
X Y : TopCat
f : ↑X ≃ₜ ↑Y
x✝ : (forget TopCat).obj Y
⊢ (f.symm.toContinuousMap ≫ f.toContinuousMap) x✝ = (𝟙 Y) x✝
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
CategoryTheory.Mono i
⊢ i = 𝟙 x
α : Type w
Finite α
X : α → LightProfinite
R : ↑(LightProfinite.finiteCoproduct X).toTop
⊢ ∃ a r, R = (LightProfinite.finiteCoproduct.ι X a) r
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Cᵒᵖ
S T : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : S ⟶ T
this : (unop S).toMultiequalizer P ≫ (J.diagram P (unop X)).map e = (unop T).toMultiequalizer P
⊢ IsIso ((J.diagram P (unop X)).map e)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
⊢ b ∈ f.fix a
α : Type u_1
CompleteLattice α
a : Set α
b : α
d : Disjoint (sSup a) b
i : α
hi : i ∈ a
⊢ Disjoint i b
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R
A✝ : Type v
inst✝⁸ : Semiring A✝
inst✝⁷ : Algebra R A✝
S T : Set A✝
M N P Q : Submodule R A✝
m n : A✝
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : Algebra B C
inst✝ : IsScalarTower A B C
I J : Submodule B C
⊢ restrictScalars A (I * J) ≤ restrictScalars A I * restrictScalars A J
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderTop α
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ (Multiset.ndinsert a s).inf = a ⊓ s.inf
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.isPerm l₂ = true ↔ l₁ ~ l₂
n : ℤ
z τ : ℂ
hns : ∀ (a : ℂ) (f : ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ), ‖a • f‖ = ‖a‖ * ‖f‖
⊢ ‖jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ‖ ≤ 3 * π * ↑|n| ^ 2 * ‖jacobiTheta₂_term n z τ‖
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ = ENNReal.ofReal ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ).toReal ^ p.toReal⁻¹)
s : Set ℝ
x : ℝ
⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ ε > 0, ∃ y ∈ s, |y - x| < ε
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
x : (leftRegular G ⊗ X).V
⊢ ({ hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2), comm := ⋯ } ≫ { hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2), comm := ⋯ }).hom x = (𝟙 (leftRegular G ⊗ X)).hom x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
inst✝ : LieModule.IsTrivial ↥↑I ↥↑N
hy' : ∀ m ∈ N, (φ x ∘ₗ φ y) m ∈ N := fun m x_1 => N.lie_mem ((mem_idealizer N).mp (h hy) m)
n : ↥↑N
⊢ ⁅y, ↑n⁆ = 0
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ s.inf' hs id = sInf ↑s
o : Ordinal.{u_1}
⊢ let_fun this := ⋯; HEq (mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).moveLeft fun i => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : SeparableSpace R
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : ContinuousSMul R M
s : Set M
hs : IsSeparable s
n : ℕ
⊢ Continuous fun f => ∑ i : Fin n, (f i).1 • (f i).2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CommSemigroup α
inst✝ : CommSemigroup β
f : α → β
a b : α
⊢ f (max a b) * f (min a b) = f a * f b
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
⊢ s.indicator f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h0' : (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0
⊢ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
f : 𝕜 → ℂ
x : 𝕜
hc : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ deriv (fun x => Complex.exp (f x)) x = Complex.exp (f x) * deriv f x
J : Type v
F : J → Type u
Small.{u, v} J
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Types.Small.productIso F).hom ≫ fun f => (equivShrink ((j : J) → F j)).symm f j) =
  CategoryTheory.Limits.Pi.π F j
α : Type u
β : Type v
m : α → β
⊢ Filter.comap m ⊤ = ⊤
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝¹ : IsIntegral Y
inst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U
⊢ IsDomain ↑Γ(X, U)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ k < n, u (k + 1) < c * u k
⊢ u 0 ≤ c ^ 0 * u 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s.dedup ≤ s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
xi yi : ℕ
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨xi, ⋯⟩)
y : CliffordAlgebra Q
hy : y ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨yi, ⋯⟩)
⊢ x * y ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨xi + yi, ⋯⟩)