ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
x : (leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 }).V
⊢ (({ hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2), comm := ⋯ } ≫ { hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2), comm := ⋯ }).hom x).2 = ((𝟙 (leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 })).hom x).2
α : Type u_1
t : Finset α
h : Disjoint ∅ t := ⋯
⊢ ∅.disjUnion t h = t
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F F' : CategoryTheory.Functor A B
G G' : CategoryTheory.Functor C D
e₁ : F ≅ F'
e₂ : G ≅ G'
⊢ (CategoryTheory.NatIso.prod e₁ e₂).hom = CategoryTheory.NatTrans.prod e₁.hom e₂.hom
α : Type u_1
F : Type u_3
𝕜 : Type u_6
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_7
NormedAddCommGroup E
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T (c • f) = c • MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n✝ n : ℕ
a✝ : Pair K
⊢ a✝ ∈ (Stream'.Seq.map (Pair.map Rat.cast) (of q).s).get? n ↔ a✝ ∈ Option.map (Pair.map Rat.cast) ((of q).s.get? n)
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
a b : ℝ≥0
h : ↑a < ↑b
q : ℚ
haq : ↑a < ↑q
hqb : ↑q < ↑b
this : 0 ≤ ↑q
⊢ a < (↑q).toNNReal ∧ (↑q).toNNReal < b
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
DecidableEq α
a : α
b : M
⊢ ⇑(Finsupp.single a b) = Function.update 0 a b
x✝ y x : ℝ
⊢ rexp (arsinh x) = x + √(1 + x ^ 2)
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
f : c.pt → lc.pt
⊢ f = descFun hc lc → ∀ (j : J), f ∘ c.ι.app j = lc.ι.app j ∘ ULift.up
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
hf : CircleIntegrable f c R
hg : CircleIntegrable g c R
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z - g z) = (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) - ∮ (z : ℂ) in C(c, R), g z
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO : f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)
g : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => cexp (↑ε * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε ∈ Iio 0
⊢ ‖g ε z • f z‖ ≤ C
ι : Type uι
inst✝⁷ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
this : Nonempty { a // a ∈ x.lifts } := nonempty_subtype.mpr (nonempty_lifts x)
⊢ ∀ (x_1 : ↑x.lifts), ‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ (List.sum ∘ List.map fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ↑x_1 * ‖f‖
a : UnitAddCircle
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) 1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
x : E
⊢ ‖x‖ ≤ 1 → ‖f x‖ ≤ ‖f‖
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
x : β
f : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : FirstCountableTopology β
inst✝ : OrderTopology β
hf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) (ae μ) f) _auto✝
⊢ μ {y | f y < essInf f μ} = 0
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⊤.annihilator = Module.annihilator R M
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this : ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card
⊢ 2 * ↑(G.edgeDensity U V) * (ε ^ 5 / 50) ≤ ε ^ 5 / 25
P : Type u_1
SemilatticeSup P
x y : P
s : Order.Ideal P
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ x ⊔ y ∈ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
S₁.HasLeftHomology
⊢ S₂.HasLeftHomology
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
⊢ ∃ C > 0, ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
α : Type u_1
DecidableEq α
t : Finset α
a : α
s : Finset α
h : a ∈ t
⊢ a ∈ s ∪ t
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedCommMonoid N
f : ι → N
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i
a : ι
h : a ∈ s
⊢ f a ≤ ∏ x ∈ s, f x
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
r : ℝ
T : (R * r) • t' = r • t
⊢ ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) r = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b t : ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hx : a < b
ht : t ∈ Set.Icc a b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Set.Icc a b)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Set.Icc a b)) (Set.Icc a b)
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => taylorWithinEval f n (Set.Icc a b) y x)
  (((↑n !)⁻¹ * (x - t) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Set.Icc a b) t) (Set.Icc a b) t
α : Type u_2
Add α
f g : Filter α
⊢ (f + g).NeBot ↔ f.NeBot ∧ g.NeBot
x y : UInt32
⊢ (x - y).toNat = (UInt32.size - y.toNat + x.toNat) % UInt32.size
p q : Prop
⊢ p ⇔ q ↔ (p ↔ q)
R : Type u
CommRing R
f : R
⊢ Function.Injective ⇑(AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toBasicOpen R f)
α : Type u_1
AddCommGroup α
a b : α
⊢ a ≡ b [PMOD b - a]
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
e : M ≃ₗ[ℕ] M₂
⊢ (↑e).toNatLinearEquiv = e
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Grp
I : Type w'
U : I → C
self : CategoryTheory.PresheafOfGroups.OneCocycle G U
i j k : I
T : C
a : T ⟶ U i
b : T ⟶ U j
c : T ⟶ U k
⊢ self.ev i j a b * self.ev j k b c = self.ev i k a c
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
hs : IsPreconnected s
hinj : Injective f
hf : IsOpenMap f
hsf : s ⊆ range f
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hsuv : f ⁻¹' s ⊆ u ∪ v
hsu : (f ⁻¹' s ∩ u).Nonempty
hsv : (f ⁻¹' s ∩ v).Nonempty
⊢ (f ⁻¹' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c w✝ : α
h : s(b, c) = s(a, w✝)
⊢ a = b ∨ a = c
a b : Prop
h : a = True
⊢ (a → b) = b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T : Set (Set X)
T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t
T_count : T.Countable
T_int : t = ⋂₀ T
T_nonempty : T.Nonempty
g : ℕ → ↑T
g_surj : Surjective g
g' : ℕ → Set X
g'_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (g' n)
clt_sub_g' : ∀ (n : ℕ), t ⊆ g' n
clg'_sub_g : ∀ (n : ℕ), closure (g' n) ⊆ ↑(g n)
clg'_int : t = ⋂ i, closure (g' i)
⊢ HasSeparatingCover s t
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → AddGroup (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a
⊢ (-f).neLocus (-g) = f.neLocus g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
DivInvMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
x : M
n : ℕ∞
c : G
hf : ContMDiffAt I' I n f x
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x => f x / c) x
θ : Real.Angle
⊢ θ.sin = 0 ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s
A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)
⊢ HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) s x
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
CompleteSpace F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ AEMeasurable (fun x => derivWithin f (Set.Ici x) x) μ
α : Type u_1
𝒜 : Finset (Finset α)
A₁ A₂ : Finset α
r₁ r₂ : ℕ
h₁ : A₁ ∈ 𝒜 # r₁
h₂ : A₂ ∈ 𝒜 # r₂
⊢ r₁ ≠ r₂ → A₁ ≠ A₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
f : E → F
hf : IsLinearMap 𝕜 f
⊢ Convex 𝕜 (f '' s)
α : Type u
Semiring α
x y : α
⊢ x ∈ Ideal.span {y} ↔ ∃ a, a * y = x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
A : C
a : ↑(F.obj A)
h1 : IsGalois A
h2 : Function.Bijective fun f => F.map f a
⊢ ∃ A f a, IsGalois A ∧ F.map f a = x
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ W.negY P / P z ^ 3 = W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
MetricSpace X
MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X ⊕ Y
⊢ Metric.glueDist Φ Ψ ε x x = 0
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : ModP K v O hv p
hvx : preVal K v O hv p x = 0
hx0 : v ↑p < 0
⊢ False
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
hX : IsTerminal X
⊢ IsZero X
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A
⊢ lift.{u, v} #{ x // IsAlgebraic R x } ≤ lift.{v, u} #R[X] * ℵ₀
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
MulOneClass M
CommMonoid N
MulOneClass P
g₁ g₂ : M →* N
f : P →* M
⊢ (g₁ * g₂).comp f = g₁.comp f * g₂.comp f
α : Type u_1
DecidableEq α
β : Type u_2
CommMonoid β
m : Multiset α
f : α → ℕ → β
⊢ ∏ x ∈ m.toEnumFinset, f x.1 x.2 = ∏ x : m.ToType, f x.fst ↑x.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u v : α → β
l : Filter α
huv : u ~[l] v
⊢ (fun x => -u x) ~[l] fun x => -v x
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace Y
inst✝ : (𝓤 Y).IsCountablyGenerated
f : X → Y
U : ℕ → Set (Y × Y)
left✝ : ∀ (i : ℕ), U i ∈ 𝓤 Y ∧ IsOpen (U i) ∧ SymmetricRel (U i)
hU : (𝓤 Y).HasAntitoneBasis fun i => id (U i)
⊢ IsGδ (⋂ i, {x | ∃ ia, (x ∈ ia ∧ IsOpen ia) ∧ ∀ x ∈ ia ×ˢ ia, (f x.1, f x.2) ∈ U i})
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N M' : Matroid α
h : M ≤r M'
h' : M' ≤r M
⊢ M = M'
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
a : ℝ≥0
ha : a < x
hx : x ≠ 0
hx' : x⁻¹ ≠ 0
this : a * x⁻¹ < 1
⊢ a ≤ y
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ p.restriction.natDegree = p.natDegree
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
n a a' : ℤ
ha' : n + a = a'
K : CochainComplex C ℤ
⊢ ((𝟙 (homology K a') ≫ ShortComplex.homologyMap ((shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').inv.app K)) ≫ 𝟙 ((shortComplexFunctor C (up ℤ) a).obj ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).obj K)).homology) ≫ 𝟙 (((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).obj K).homology a) = ShortComplex.homologyMap ((shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').inv.app K)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
⊢ ⇑(LatticeHom.id α).withBot.toSupHom = id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ ↑(x.toNNReal * ‖y‖₊) = ↑‖x * y‖₊
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
h : IsLeast s a
⊢ BddBelow s
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
H : (⇑S.subtype ⁻¹' ((fun p => p.1 / p.2) '' L ×ˢ K)).Finite
x : ↥S
⊢ x ∈ {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅} ↔ x ∈ ⇑S.subtype ⁻¹' ((fun p => p.1 / p.2) '' L ×ˢ K)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
C C' : VariableChange R
⊢ { u := (Units.map ↑φ) (C.u * C'.u), r := φ (C.r * ↑C'.u ^ 2 + C'.r), s := φ (↑C'.u * C.s + C'.s), t := φ (C.t * ↑C'.u ^ 3 + C.r * C'.s * ↑C'.u ^ 2 + C'.t) } = { u := (Units.map ↑φ) C.u * (Units.map ↑φ) C'.u, r := φ C.r * ↑((Units.map ↑φ) C'.u) ^ 2 + φ C'.r, s := ↑((Units.map ↑φ) C'.u) * φ C.s + φ C'.s, t := φ C.t * ↑((Units.map ↑φ) C'.u) ^ 3 + φ C.r * φ C'.s * ↑((Units.map ↑φ) C'.u) ^ 2 + φ C'.t }
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat Zero.zero 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + c ≤ b + (a - b) + c
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ W (fun x => x ∈ Set.range F.obj) (f ≫ adj.unit.app Y) ↔ IsIso (G.map f)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h1 : a < 0
h2 : -1 < a
this : 1 / a < 1 / -1
⊢ 1 / a < -1
a b p q : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hpq : p.IsConjExponent q
⊢ a * b ≤ a ^ p / p + b ^ q / q
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x / c) = ∫ (x : ℝ) in d + a / c..d + b / c, f x
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
hq1 : Nat.Prime q
hq2 : q ∣ Nat.card G
this : Fact (Nat.Prime q)
g : G
hg : orderOf g = q
k : ℕ
hk : orderOf g = p ^ k
⊢ q = p
n m : Lake.Name
⊢ ¬n.hasMacroScopes = true → ¬m.hasMacroScopes = true → n.isPrefixOf (n ++ m) = true
⊢ MeasureTheory.volume = MeasureTheory.Measure.comap Subtype.val MeasureTheory.volume
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0 \ Ioc 0 M
htM : M < t
obs : μ {a | M < f a} = 0
⊢ (μ {a | t ≤ f a}).toReal = 0
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
hgmeas : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (μ[g|↑ℱ n] - g) 1 μ) Filter.atTop (𝓝 0)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι'
m : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
i : ι'
this : DecidableEq ι := σ.decidableEq
⊢ ∀ (x y : M₁ (σ.symm i)), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m i (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m i x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m i y)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A : C
X : CategoryTheory.Subobject B
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
h : X ≤ CategoryTheory.Subobject.mk f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.ofLEMk f h) f = X.arrow
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
b : α
h : Monotone f
⊢ Set.MapsTo f (Set.Iic b) (Set.Iic (f b))
M₀ : Type u_1
CancelMonoidWithZero M₀
x : M₀
hx : x ^ 2 = x
⊢ x = 0 ∨ x = 1
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
⊢ toLaurent (Polynomial.C r) = C r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U V : Submodule 𝕜 E
h : U ⟂ V
⊢ U ≤ Vᗮ
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCones F
Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)
c : Cone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
this : 𝟙 c.pt ≫ c.π.app (j', k) = c.π.app (j, k) ≫ (F.map f).app k ≫ (F.obj j').map (𝟙 k)
⊢ c.π.app (j', k) = c.π.app (j, k) ≫ (F.map f).app k
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
G.Full
G.Faithful
(F.comp G).Final
⊢ G.Final
α : Type u_1
CompleteLattice α
S : Set α
hS : IsCompactlyGenerated.BooleanGenerators S
T : Set α
hTS : T ⊆ S
⊢ IsCompactlyGenerated.BooleanGenerators T
α : Type u
a : α
inst✝³ : Group α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsCyclic α
n : ℕ
hn0 : 0 < n
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g
m : ℕ
hm : Fintype.card α = n.gcd (Fintype.card α) * m
hm0 : 0 < m
⊢ Fintype.card α / (n.gcd (Fintype.card α) * m).gcd (n.gcd (Fintype.card α) * m / n.gcd (Fintype.card α)) ≤ n
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hK : (K ⊓ L).relindex L ≠ 0
hH : (H ⊓ (K ⊓ L)).relindex (K ⊓ L) ≠ 0
⊢ (H ⊓ (K ⊓ L)).relindex L ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
this : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n - g) p μ = eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
h_main : (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
n : ℕ
hn : q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
h₁ : q (b i * ↑n) + b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n) = b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
⊢ q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
⊢ ¬∃ f, IsBadSeq (List.SublistForall₂ r) {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} f ∧ ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq (List.SublistForall₂ r) List.length {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} n f
α : Type u_1
ι : Type u_4
M : Type u_5
AddCommMonoid M
p : α → Prop
s : Finset ι
h : ι → α →₀ M
⊢ Finsupp.subtypeDomain p (∑ c ∈ s, h c) = ∑ c ∈ s, Finsupp.subtypeDomain p (h c)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
l : Filter β
b : ι → Set β
hl : l.HasBasis (fun x => True) b
u : β → Set α
p : β → Prop
x : α
hx : x ∈ Filter.blimsup u l p
⊢ ∃ f, ∀ (i : ι), x ∈ u (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ b i
F✝ : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F✝ α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F✝ α β
C : ℝ
f✝ g : α →C₀ β
ι : Type u_2
F : ι → α →C₀ β
f : α →C₀ β
l : Filter ι
⊢ Tendsto F l (𝓝 f) ↔ TendstoUniformly (fun i => ⇑(F i)) (⇑f) l
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : H.IsComplement' K
ϕ : ↥H × ↥K ≃ ↥K × ↥H := { toFun := fun x => (x.2⁻¹, x.1⁻¹), invFun := fun x => (x.2⁻¹, x.1⁻¹), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
ψ : G ≃ G := { toFun := fun g => g⁻¹, invFun := fun g => g⁻¹, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
⊢ (⇑ψ ∘ fun x => ↑x.1 * ↑x.2) = (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) ∘ ⇑ϕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
o : Option α
⊢ (∀ (x : α), some x ≠ o) ↔ o = none
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : Center C
⊢ (α_ X.fst Y.fst Z.fst).hom ≫ (α_ X Y Z).inv.f = 𝟙 ((X ⊗ Y) ⊗ Z).fst
n a b c d : ℤ
h₁ : a ≡ b [ZMOD n]
h₂ : c ≡ d [ZMOD n]
⊢ a + c ≡ b + d [ZMOD n]
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
CommMonoid α
CommMonoid β
DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
⊢ mulRothNumber A = mulRothNumber B
X : Type u_2
EMetricSpace X
m : Set X → ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric' m = ⨆ n, MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric'.pre m (↑n)⁻¹
ctx : Nat.Linear.Context
k : Nat
m : Nat.SOM.Mon
p acc : Nat.SOM.Poly
⊢ Nat.SOM.Poly.denote ctx (Nat.SOM.Poly.mulMon.go k m p acc) =
  Nat.SOM.Poly.denote ctx acc + Nat.SOM.Poly.denote ctx p * k * Nat.SOM.Mon.denote ctx m
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
h_ne : ¬A = B
v : n → 𝕜
t : ℝ
ht : t ≠ 0
hv : v ≠ 0
hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v
h_sum : star v ⬝ᵥ A *ᵥ v + star v ⬝ᵥ B *ᵥ v = 0
h_van : star v ⬝ᵥ A *ᵥ v = 0 ∧ star v ⬝ᵥ B *ᵥ v = 0
⊢ False
α : Type u_1
r : α → α → Prop
x : α
hx : r x x
n : Nat
⊢ List.Pairwise r (List.replicate n x)
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
⊢ AffineSubspace.comap f ⊤ = ⊤
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x
⊢ centroid k s p = centroid k univ fun x => ↑x