ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
ConditionallyCompleteLattice β
f : α → β
h_mono : Monotone f
s : Set α
c : α
hcs : c ∈ s
h_bdd : BddAbove s
⊢ f c ≤ sSup (f '' s)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ (D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ D.ιInvApp U ≫ D.diagramOverOpenπ U j) ≫ (componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).map (Quiver.Hom.op (WalkingMultispan.Hom.snd (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j)))) = D.diagramOverOpenπ U j ≫ (componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).map (Quiver.Hom.op (WalkingMultispan.Hom.snd (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j))))
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
hg : LSeriesSummable g s
⊢ LSeriesSummable (f - g) s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
ι' : Type u_9
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
v' : Basis ι' 𝕜 E'
hv' : Orthonormal 𝕜 ⇑v'
e : ι ≃ ι'
i : ι
⊢ (hv.equiv hv' e) (v i) = v' (e i)
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Semiring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
hb : b.natDegree ≤ d
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff ↑j
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ A i₁ = A i₀
α : Type u_2
Lattice α
s : Set αᵒᵈ
⊢ IsSublattice (⇑OrderDual.toDual ⁻¹' s) ↔ IsSublattice s
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ
ψ' : K →ₐ[k] ℂ := { toRingHom := ψ, commutes' := ⋯ }
⊢ ∃ σ, φ.comp ↑σ.symm = ψ
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
f : ι → MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s (MeasureTheory.Measure.sum f)
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum f) s = ∑' (i : ι), (f i) s
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
s : Finset α
as : a ∈ s
⊢ ↑a ≤ s.max
⊢ Function.Injective Computability.inclusionBoolΓ'
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : MapsTo f s s
h : SurjOn f s s
⊢ InjOn f s
ι : Type u_7
α : ι → Type u_8
(i : ι) → Lattice (α i)
i : ι
f : (i : ι) → α i
⊢ (Pi.evalLatticeHom i) f = f i
α : Type u_1
f : List α → List α
H : f [] = []
n : Nat
l : List α
⊢ List.modifyNthTail f n l = List.take n l ++ f (List.drop n l)
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
l : Batteries.RBNode α
v : α
r : Batteries.RBNode α
lv : Batteries.RBNode.All (fun x => Batteries.RBNode.cmpLT cmp x v) l
vr : Batteries.RBNode.All (fun x => Batteries.RBNode.cmpLT cmp v x) r
hl : Batteries.RBNode.Ordered cmp l
hr : Batteries.RBNode.Ordered cmp r
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmp (l.balRight v r)
α : Type u_2
DecidableEq α
AddGroup α
s t : Finset α
⊢ 0 ∉ s - t ↔ Disjoint s t
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
y : H
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt 𝕜 n f y ↔ ∀ (i : ι), ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x i) y
M : Type u_1
AddMonoid M
n : ℕ
a : M
ha : n • a = 0
hn : n ≠ 0
⊢ n • AddUnits.ofNSMulEqZero a n ha hn = 0
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
TopologicalSpace α
f : α → E
a : α
h : ContinuousAt f a
⊢ ContinuousAt (fun x => ‖f x‖₊) a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
Y Z : C
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution Y
Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution Z
f : P.complex ⟶ Q.complex
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f Q.π = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ProjectiveResolution.liftHomotopyZeroOne f comm) (Q.complex.d 2 1) =
  f.f 1 -
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.complex.d 1 0)
      (CategoryTheory.ProjectiveResolution.liftHomotopyZeroZero f comm)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
H : μ univ < ∑' (i : ι), μ (s i)
⊢ ∃ i j, i ≠ j ∧ (s i ∩ s j).Nonempty
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
x y : AddMonoid.Coprod M N
⊢ (AddMonoid.Coprod.swap M N) x = (AddMonoid.Coprod.swap M N) y ↔ x = y
α : Type u_1
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
OrderTopology α
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom (Set.range Set.Iio)
α : Type u_1
n : Type u_4
Semiring α
Fintype n
AddGroup n
v w : n → α
⊢ Matrix.circulant v * Matrix.circulant w = Matrix.circulant ((Matrix.circulant v).mulVec w)
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
i : Fin r ⊕ Unit
A : (listTransvecRow M).length = r
⊢ (M * (List.take r (listTransvecRow M)).prod) i (inr ()) = M i (inr ())
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
p q : F.Elements
f : p ⟶ q
⊢ F.map (↑f) p.snd = q.snd
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius
h : 0 < ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ
⊢ 0 ≤ ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0
this : Nontrivial R
⊢ p.degree < (p * X).degree
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
TopologicalSpace β
Group β
TopologicalGroup β
Lattice β
TopologicalLattice β
f : C(α, β)
⊢ ⇑(mabs f) = mabs ⇑f
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Ioi x) x
⊢ derivWithin f (Set.Ioi x) x < slope f x y
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).InnerRegularWRT p MeasurableSet
hs : univ ⊆ ⋃ n, s n
hmono : Monotone s
F : Set α
hF : MeasurableSet F
r : ℝ≥0∞
hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ s n)
hBU : ⋃ n, F ∩ s n = F
this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ s n)
n : ℕ
hn : r < μ (F ∩ s n)
⊢ ∃ K ⊆ F, p K ∧ r < μ K
α : Type u_1
m₁ m₂ : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
⊢ (m₁ + m₂) s = m₁ s + m₂ s
G : Type u_3
α : Type u_7
AddGroup G
AddAction G α
g : G
a : α
⊢ -g +ᵥ (g +ᵥ a) = a
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
i : Fin n
j : Fin n.succ
hik : ¬i = k
⊢ N i.succ j + c i * M i.castSucc j = N i.succ j + c i * M.updateRow k.succ (N k.succ) i.castSucc j
M : Type u
⊢ Function.Injective (@CommMonoid.toMonoid M)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K : Multicofork I
a : I.L
⊢ I.fst a ≫ K.π (I.fstFrom a) = I.snd a ≫ K.π (I.sndFrom a)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
SetLike S R
Mul R
Add ι
A : ι → S
SetLike.GradedMul A
i j : ι
x : ↥(A i)
y : ↥(A j)
⊢ ↑(GradedMonoid.GMul.mul x y) = ↑x * ↑y
a0 a1 : Int
t : List Int
⊢ (Lean.Omega.LinearCombo.coordinate 1).eval (Lean.Omega.Coeffs.ofList (a0 :: a1 :: t)) = a1
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
i✝ : κ
⊢ (comapDomain' h hh' 0) i✝ = 0 i✝
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g h : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hh : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable h μ
⊢ ∫⁻ (a : α), edist (f a) (g a) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), edist (f a) (h a) ∂μ + ∫⁻ (a : α), edist (g a) (h a) ∂μ
R : Type u
M : Type v
Ring R
N : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Function.Injective ⇑f
n : ℕ
⊢ f.tailings i (n + 1) = f.tailings i n ⊔ f.tailing i (n + 1)
R : Type u_3
Semiring R
r : R
⊢ Polynomial.leval r = Polynomial.smeval.linearMap R r
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : s.Countable
B : Basis ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E) ℝ E
I1 : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∀ v ∈ s, lineDeriv ℝ f x (∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • B i) = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • lineDeriv ℝ f x (B i)
I2 : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∀ v ∈ s, LineDifferentiableAt ℝ f x v
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∃ L, ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
l : List α
pa : ¬p a = true
⊢ List.countP p (a :: l) = List.countP p l
op : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
o a b : Ordinal.{u}
ha : ∃ n, a < (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[n] o
hb : ∃ n, b < (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[n] o
⊢ ∃ n, op a b < (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[n] o
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
Semiring A
Algebra R A
a : R
s : ↥S
⊢ (algebraMap (Localization S) (LocalizedModule S A)) (Localization.mk a s) = LocalizedModule.mk ((algebraMap R A) a) s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : AddMonoid M
S : Finset R[M]
hS : adjoin R ↑S = ⊤
this✝ : DecidableEq M := Classical.decEq M
this : ↑(S.biUnion fun f => f.support) = ⋃ f ∈ S, ↑f.support
⊢ adjoin R (of' R M '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support) = ⊤
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b : α
ha : IsSquare a
hb : IsSquare b
⊢ IsSquare (a / b)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
G.IsLocallyFaithful K
Hp : CategoryTheory.CoverPreserving J K G
⊢ G.IsContinuous J K
𝒪 : Type u
K : Type v
Γ : Type w
inst✝⁴ : CommRing 𝒪
inst✝³ : IsDomain 𝒪
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra 𝒪 K
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
v : Valuation K Γ
hh : v.Integers 𝒪
a b : 𝒪
h : v ((algebraMap 𝒪 K) a) ≤ v ((algebraMap 𝒪 K) b)
⊢ ∃ c, a * c = b ∨ b * c = a
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
⊢ μ (frontier s) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
this : ∀ (r : ℚ), ∫⁻ (x : α) in s, preCDF ρ r x ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : α) in s, (preCDF ρ r * 1) x ∂ρ.fst
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, preCDF ρ r x ∂ρ.fst = (ρ.IicSnd ↑r) s
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f g : α →𝒄 β
h : ⇑f = ⇑g
⊢ f = g
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
a b c : ℝ
h_deriv : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] c, DifferentiableAt ℝ f x
h_infty : Filter.Tendsto (fun x => ‖f x‖) (𝓝[≠] c) Filter.atTop
hg : deriv f =O[𝓝[≠] c] g
hne : a ≠ b
hc : c ∈ [[a, b]]
⊢ ¬IntervalIntegrable g MeasureTheory.volume a b
α : Type u_1
a : αᵒᵈ
⊢ WithBot.ofDual ↑a = ↑(OrderDual.ofDual a)
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c : C
γ : c ⟶ c
hγ : γ ∈ S.arrows c c
⊢ 𝟙 c ∈ S.arrows c c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation.yoneda X).ℐ = CategoryTheory.discreteCategory PUnit.{v + 1}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
γ' : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ' h₁ h₂
⊢ (γ.add γ').φH = γ.φH + γ'.φH
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
CommMonoid β
p : α → Prop
⊢ ∀ {x : DecidablePred p} (h : ∀ i ∈ s, ¬p i) (f : (i : α) → p i → β) (g : (i : α) → ¬p i → β),
  (∏ i ∈ s, if hi : p i then f i hi else g i hi) = ∏ i : { x // x ∈ s }, g ↑i ⋯
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
r : N → N → Prop
CovariantClass M N μ r
m : M
a b : N
ab : r a b
⊢ r (μ m a) (μ m b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
f g h i : C
η : h ⟶ i
θ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj g h ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj g i
ι :
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj g h) ⟶
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj g i)
ι' :
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj g h) ⟶
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f g) i
ι'' :
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f g) h ⟶
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f g) i
pf_θ : CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft g η = θ
pf_ι : CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft f θ = ι
pf_ι' : CategoryTheory.CategoryStruct.comp ι (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator f g i).inv = ι'
pf_ι'' : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator f g h).hom ι' = ι''
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f g) η = ι''
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j j' : ι
rij : c.Rel i j
rij' : c.Rel i j'
⊢ C.d i j' ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯ = C.d i j
α : Type u
s : Set α
h : s.Finite
⊢ ∃ n f, Set.range ⇑f = s
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
P : Type u₁
CommRing P
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : Ring.DirectLimit G f →+* P
x : Ring.DirectLimit G f
⊢ F x = (Ring.DirectLimit.lift G f P (fun i => F.comp (Ring.DirectLimit.of G f i)) ⋯) x
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t K : Set X
hK : IsCompact K
l : Filter X
this : ∀ (f : Filter X), f ⊓ l = comap (fun x => (x, x)) (f ×ˢ l)
⊢ 𝓝ˢ K ⊓ l = ⨆ x ∈ K, 𝓝 x ⊓ l
a : ℤ
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ jacobiSym a p = -1 ↔ ¬IsSquare ↑a
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
P : Type u₁
inst✝² : CommRing P
g : (i : ι) → G i →+* P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) (f i j hij x) = (g i) x
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g i) a = 0 → a = 0
z : DirectLimit G f
hz : (lift G f P g Hg) z = 0
⊢ z = 0
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
hA : Algebra.FiniteType R A
⊢ Algebra.FiniteType S A
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ t₁ ⊆ t₂ → s / t₁ ⊆ s / t₂
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
⊢ (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ 𝓝 y
R : Type u_6
S : Type u_7
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
hf : Polynomial.eval₂ f x p = 0
M : Submonoid R
hM : p.leadingCoeff ∈ M
Rₘ : Type u_8
Sₘ : Type u_9
CommRing Rₘ
CommRing Sₘ
Algebra R Rₘ
IsLocalization M Rₘ
Algebra S Sₘ
IsLocalization (Submonoid.map f M) Sₘ
⊢ (IsLocalization.map Sₘ f ⋯).IsIntegralElem ((algebraMap S Sₘ) x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
f : K ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj L
a a' : ℤ
h : n + a = a'
⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) 0).shiftMap
    ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map f ≫
      ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso n).hom.app L)
    a a' h =
  (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors C (ComplexShape.up ℤ) a).hom.app K ≫
    (HomologicalComplex.homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) 0).shiftMap f a a' h ≫
      (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors C (ComplexShape.up ℤ) a').inv.app L
I : Type u_3
B : I → Type u_4
(i : I) → NormedRing (B i)
∀ (i : I), NormOneClass (B i)
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.mapRingHom (RingHom.id R) = RingHom.id R[X]
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
h : affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤
this : s = ⇑e.symm '' (⇑e '' s)
⊢ affineSpan k (⇑e.symm '' (⇑e '' s)) = ⊤
β : Type u_1
t₁ t₂ : TopologicalSpace β
B₁ B₂ : Set (Set β)
h₁ : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B₁
h₂ : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B₂
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.image2 (fun x x_1 => x ∩ x_1) B₁ B₂)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Add α
inst✝² : Add α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : AddHomClass F α α₂
f : F
x y : β[α]
⊢ (sum x fun a b => sum y fun a_1 b_1 => single (f a + f a_1) (b * b_1)) = sum (mapDomain (⇑f) x) fun a₁ b₁ => sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (a₁ + a₂) (b₁ * b₂)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
n : ℕ
s₁ s₂ : Affine.Simplex k P n
h : Set.range s₁.points = Set.range s₂.points
⊢ Finset.centroid k Finset.univ s₁.points = Finset.centroid k Finset.univ s₂.points
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3
⊢ W'.negDblY P = (-W'.dblU P) ^ 3
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
p : CategoryTheory.Limits.pullback f g
⊢ (↑((CategoryTheory.Limits.Types.pullbackIsoPullback f g).hom p)).2 = CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g p
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
hi : i ≠ f.natDegree
⊢ f.eraseLead.coeff i = f.coeff i
α : Type u_1
Zero α
LinearOrder α
a : α
⊢ SignType.sign a = 0 ↔ a = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
⊢ normalize (s.gcd f) = s.gcd f
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = xn a1 n * xn a1 n * xn a1 j
h2 : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1 = xn a1 n * xn a1 n
⊢ xn a1 n ∣ xn a1 n * (xn a1 n * xn a1 j)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
T2Space M
ContinuousAdd M
f : ℕ → M
hf : Summable fun n => f (n + 1)
⊢ ∑' (b : ℕ), f b = f 0 + ∑' (b : ℕ), f (b + 1)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List (List α)
h : l₁ ~ l₂
⊢ l₁.join ~ l₂.join
M : Type u_1
Monoid M
S : Subgroup Mˣ
x : M
h₁ : IsUnit x
h₂ : h₁.unit ∈ S
⊢ x ∈ S.ofUnits
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
self : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ φ₁.τ₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.f self.h₁ + self.h₀ + φ₂.τ₁
n : ℕ
⊢ Even n ↔ n % 2 = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : p.NeBot
hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
hF' : ∀ᶠ (x : α) in p', Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ t → (b, a) ∈ t
htmem : t ○ t ⊆ u
hmc : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p', Tendsto (fun n => F n x.2) p (𝓝 (f x.2))
this : ∀ᶠ (x : (α × ι) × ι) in (p' ×ˢ p) ×ˢ p, (F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.1 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2, F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.2 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) ∈ t ∧ Tendsto (fun n => F n ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) p (𝓝 (f ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2))
x : α
n : ι
hx : ∀ᶠ (x_1 : ι) in p, (F n x, F x_1 x) ∈ t
hm' : Tendsto (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) p (𝓤 β)
⊢ ∃ z, (f x, z) ∈ t ∧ (z, F n x) ∈ t
X W : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
⊢ (𝒰.pullbackCover' f).J = 𝒰.J
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ k > n, k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
⊢ ↑(xn a1 i % xn a1 n) < ↑(xn a1 (n + 1) % xn a1 n)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ μ s ^ (1 / p.toReal) ≠ ⊤
R : Type u
a : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a).trailingDegree = 0
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hfq : Memℓp f ⊤
hpq : ⊤ ≤ ⊤
⊢ Memℓp f ⊤
α : Type u_1
CommMonoid α
x y : α
H : IsRelPrime x y
d : x ∣ y
⊢ IsUnit x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y : E
r✝ : ℝ≥0∞
x : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ {x | AnalyticAt 𝕜 f x} ∈ 𝓝 x