ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
f : C(ℝ, ℂ)
hf : ∀ (K : Compacts ℝ), Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
m : ℤ
e : C(ℝ, ℂ) := (fourier (-m)).comp { toFun := QuotientAddGroup.mk, continuous_toFun := ⋯ }
⊢ fourierCoeff ⋯.lift m = 𝓕 ⇑f ↑m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
i j : K
f : i ⟶ j
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimit F).map f ≫ (CategoryTheory.Limits.colimitObjIsoColimitCompEvaluation F j).hom =
  (CategoryTheory.Limits.colimitObjIsoColimitCompEvaluation F i).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.colimMap (CategoryTheory.whiskerLeft F ((CategoryTheory.evaluation K C).map f))
c : Cardinal.{u_1}
h : c < Cardinal.aleph0
⊢ Cardinal.toPartENat c = ↑(Cardinal.toNat c)
G : Type u_1
Group G
hG : Group.IsNilpotent G
⊢ Nat.find ⋯ = Group.nilpotencyClass G
G : Type u_3
CommGroup G
a b : G
⊢ a * (b / a) = b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ⇔ b ⇔ (c ⇔ d) = a ⇔ c ⇔ (b ⇔ d)
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a : α
m n : ℤ
⊢ a ^ (m * n) = (a ^ m) ^ n
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (range fun i => bK i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
⊢ False
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V
h : G.chromaticNumber = 0
h' : G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
⊢ IsEmpty V
α : Type u_1
C : FreeAddMonoid α → Sort u_6
x : α
xs : FreeAddMonoid α
h0 : C 0
ih : (x : α) → (xs : FreeAddMonoid α) → C xs → C (FreeAddMonoid.of x + xs)
⊢ (FreeAddMonoid.of x + xs).recOn h0 ih = ih x xs (xs.recOn h0 ih)
R : Type u
σ : Type u_1
a : R
CommRing R
⊢ MvPolynomial.C (-a) = -MvPolynomial.C a
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝⁵ : GroupWithZero G₀
inst✝⁴ : TopologicalSpace G₀
inst✝³ : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝² : ContinuousMul G₀
f g : α → G₀
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
a : α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h₀ : ∀ (x : α), g x ≠ 0
⊢ Continuous (f / g)
B : Type u₁
Quiver B
C : Type u₂
CategoryTheory.CategoryStruct.{v₂, u₂} C
F : B ⥤q C
a : CategoryTheory.FreeBicategory B
⊢ CategoryTheory.FreeBicategory.liftHom F (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj a)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α
b : ℕ
hb : ∀ a ∈ ↑s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1
x : α
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : f x ≠ b + 1
⊢ ∑ i ∈ s, (b + 1) ≤ (b + 1) * s.card
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
StarRing A
TopologicalSemiring A
ContinuousStar A
Algebra R A
StarModule R A
x : A
⊢ x ∈ elementalStarAlgebra R x
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
hf : Function.Surjective ⇑f
S : Subsemigroup N
⊢ Subsemigroup.map f (Subsemigroup.comap f S) = S
α : Type u_1
LT α
a : WithBot αᵒᵈ
b : WithTop α
⊢ WithBot.ofDual a < b ↔ WithTop.toDual b < a
⊢ TopCat.adj₂.counit = { app := fun X => id, naturality := TopCat.adj₂.proof_3 }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β
g : β → α
h : IsOrderRightAdjoint f g
e : β ≃o γ
y : γ
⊢ IsLUB {x | (⇑e ∘ f) x ≤ y} ((g ∘ ⇑e.symm) y)
x y : SetTheory.PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : Surreal.Multiplication.IH1 x y
ihyx : Surreal.Multiplication.IH1 y x
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
⊢ ⟦x.mulOption y i k⟧ < -⟦x.mulOption (-y) j l⟧
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
this : (s.piecewise f fun x => f default) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
t : Set β
ht : IsOpen t
⊢ MeasurableSet ((s.piecewise f fun x => f default) ⁻¹' t)
x : SetTheory.PGame
y : SetTheory.PGame
i : y.LeftMoves
⊢ (x + y).moveLeft (SetTheory.PGame.toLeftMovesAdd (Sum.inr i)) = x + y.moveLeft i
α : Type u_1
l : Filter α
ι : Type u_6
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ l.HasBasis (fun x => x ∈ s '' {i | p i}) id
f : ZFSet → ZFSet
H : PSet.Definable 1 f
x : ZFSet
⊢ (ZFSet.image f x).toSet = f '' x.toSet
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s✝ : Finset α
h : m ≤ n
hG : G.CliqueFree m
s : Finset α
hs : G.IsNClique n s
t : Finset α
hts : t ⊆ s
ht : t.card = m
⊢ False
α : Type u_1
m n : ℕ
a : α
v : Vector3 α n
⊢ insert a v fz = a :: v
x y : ℕ
r r' : ℕ
s t s' t' : ℤ
⊢ Nat.P x y (r, s, t) → Nat.P x y (r', s', t') → Nat.P x y (r.xgcdAux s t r' s' t')
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
⊢ IsCoprime I J ↔ gcd I J = 1
a b : Prop
⊢ a → b ↔ ¬a ∨ b
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
SigmaCompactSpace M
T2Space M
t : M → Set F
ht : ∀ (x : M), Convex ℝ (t x)
Hloc : ∀ (x : M), ∃ U ∈ 𝓝 x, ∃ g, SmoothOn I 𝓘(ℝ, F) g U ∧ ∀ y ∈ U, g y ∈ t y
⊢ ∃ g, ∀ (x : M), g x ∈ t x
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ G.IsTree ↔ G.Connected ∧ G.IsAcyclic
α : Type u
TopologicalSpace α
AddGroup α
ContinuousConstVAdd α α
s t : Set α
⊢ interior s + interior t ⊆ interior (s + t)
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_5
NormedDivisionRing 𝕜
Module 𝕜 F
BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup (c • f) μ = ↑‖c‖₊ * MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ
α : Type u_1
ι : Type u_2
MetricSpace α
t : Set ι
x : ι → α
r : ι → ℝ
R : ℝ
hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R
τ : ℝ
hτ : 3 < τ
⊢ ∃ u ⊆ t,
  (u.PairwiseDisjoint fun a => Metric.closedBall (x a) (r a)) ∧
    ∀ a ∈ t, ∃ b ∈ u, Metric.closedBall (x a) (r a) ⊆ Metric.closedBall (x b) (τ * r b)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
⊢ a * b ≤ a * c → b ≤ c
α : Type u
β : Type v
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
f : α → β
h : ∀ (x y : α), f (x ⊔ y) = f x ⊔ f y
⊢ Monotone f
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, J i ⊔ I = ⊤
⊢ (∏ i ∈ s, J i) ⊔ I = ⊤
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I J : TwoSidedIdeal R
x : R
h : x ∈ J
⊢ x ∈ I ⊔ J
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
⊢ (DoubleQuot.quotQuotEquivCommₐ R I J).symm = DoubleQuot.quotQuotEquivCommₐ R J I
α : Type u
m : ℕ
x : α
u : Fin m.succ.succ.succ.succ → α
⊢ Matrix.vecCons x u 4 = Matrix.vecHead (Matrix.vecTail (Matrix.vecTail (Matrix.vecTail u)))
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
Trivialization.IsLinear R e'
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
⊢ (Trivialization.coordChangeL R e e' b).toLinearEquiv =
  (Trivialization.linearEquivAt R e b ⋯).symm ≪≫ₗ Trivialization.linearEquivAt R e' b ⋯
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
hs : s ≠ ∅
⊢ (Finpartition.indiscrete hs).IsEquipartition
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
g : ι' → Cardinal.{v}
⊢ (⨆ i, f i) * ⨆ j, g j = ⨆ i, ⨆ j, f i * g j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iio x)
⊢ ∀ t ∈ ?convert_2, MeasurableSet (f ⁻¹' t)
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤
f : ((g : { x // x ∈ S }) → ↥(zpowers ↑g)) →* G := noncommPiCoprod ⋯
hf : Nat.card G ∣ ∏ a : { x // x ∈ S }, Nat.card ↥(zpowers ↑a)
g : { x // x ∈ S }
x✝ : g ∈ Finset.univ
⊢ Nat.card ↥(zpowers ↑g) ∣ Monoid.exponent G
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
e : R ≃+* S
s : Set R
⊢ ⇑e '' s = ⇑e.symm ⁻¹' s
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
f : α → β
hf : ScottContinuous f
⊢ IsLUB (Set.range ⇑(c.map { toFun := f, monotone' := ⋯ })) (f (OmegaCompletePartialOrder.ωSup c))
β : Sort ?u.112935
α : Sort ?u.112940
P : β → Sort w
e✝ : α ≃ β
ι'' : Sort u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
π : ι'' → Type u_1
e : ι ⊕ ι' ≃ ι''
f : (i : ι) → π (e (inl i))
g : (i : ι') → π (e (inr i))
i : ι
⊢ (piCongrLeft π e) ((sumPiEquivProdPi fun x => π (e x)).symm (f, g)) (e (inl i)) = f i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g : β → E
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
⊢ Memℒp g p (Measure.map f μ) ↔ Memℒp (g ∘ f) p μ
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a < b
⊢ 𝓝ˢ (Ioc a b) = 𝓝 b ⊔ 𝓟 (Ioo a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a : α
ha : a ∉ s
r : β → β → Prop
f : α → β
⊢ _root_.Pairwise (r on fun a_1 => f ↑a_1) ↔ _root_.Pairwise (r on fun a => f ↑a) ∧ ∀ b ∈ s, r (f a) (f b) ∧ r (f b) (f a)
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
s : S.obj (op α)
β : Type u
f : β ⟶ α
hf : discretePresieve α f
⊢ S.map ((↾fun x => f (Classical.choose hf)).op ≫ (↾fun x => PUnit.unit).op) s = S.map f.op s
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_4
LinearOrder ι
τ : Ω → ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
α : Type u_1
f : Equiv.Perm α
⊢ Equiv.Perm.Disjoint 1 f
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a1 : ℤ
hpa : p ∣ (↑p * a1).natAbs
b1 : ℤ
hpb : p ∣ (↑p * b1).natAbs
hab : ¬(↑p * a1).gcd (↑p * b1) = 1
c1 : ℤ
h : Minimal (↑p * a1) (↑p * b1) (↑p ^ 2 * c1)
hf : Fermat42 a1 b1 c1
⊢ 0 < c1.natAbs
α : Type u_1
LinearOrder α
Group α
a : α
⊢ a⁺ᵐ = if 1 ≤ a then a else 1
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s : Sigma β
l₁ l₂ : List (Sigma β)
⊢ (s :: l₁).kunion l₂ = s :: l₁.kunion (List.kerase s.fst l₂)
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
H : Set ι
x : M
hmem : x ∈ Submodule.span R (e '' H)
i : ι
hi : (ε i) x ≠ 0
⊢ i ∈ H
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
n : ℕ
hn : Even n
⊢ χ ^ n = 1
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ ⇑H.subtype = Subtype.val
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R
⊢ f L * (f (W.addX x₁ x₂ L) - f x₁) + f y₁ = f (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁)
α : Type u
β : Type v
MulOneClass α
AddZeroClass β
f : α →* Multiplicative β
⊢ ⇑(MonoidHom.toAdditive' f) = ⇑Multiplicative.toAdd ∘ ⇑f ∘ ⇑Additive.toMul
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = 0 ↔ x = 0 ∨ ∃ r, r • (o.rotation ↑(π / 2)) x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t : ι → Set β
t_sep : ∀ (i : ι), IsSeparable (t i)
ht : ∀ (i : ι), f ⁻¹' t i ∈ ae (μ i)
i : ι
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ i, ∃ i, f x ∈ t i
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
⊢ ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct g
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproduct.whiskerEquiv e w).hom =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.lift fun k =>
    CategoryTheory.Limits.biproduct.π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
Primcodable α
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
⊢ Partrec fun a => Nat.rfind (p a)
α : Type u
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ a ≤ b → -b ≤ -a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ : G
⊢ x✝ ∈ upperCentralSeriesStep H ↔ ∀ (x : G), ↑x * (mk' H) x✝ = (mk' H) x✝ * ↑x
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
self : LieAlgebra.IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
⊢ IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → F'
hm : m ≤ m0
hμm : MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ ∫ (x : α), (μ[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type (max v u))
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
R.hasPullbacks
x : CategoryTheory.Equalizer.FirstObj P R
⊢ ((CategoryTheory.Equalizer.firstObjEqFamily P R).hom x).Compatible ↔
  CategoryTheory.Equalizer.Presieve.firstMap P R x = CategoryTheory.Equalizer.Presieve.secondMap P R x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
s : Set β
⊢ ⇑e.symm '' s = ⇑e ⁻¹' s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
i j : Fin s.card
⊢ (s.orderEmbOfFin ⋯) i = (s.orderEmbOfFin ⋯) j ↔ ↑i = ↑j
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : M ≃+ N
K : AddSubsemigroup M
x : N
⊢ x ∈ AddSubsemigroup.map (↑f) K ↔ f.symm x ∈ K
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
A : C
a : A ⟶ S.L₁.X₂
b : A ⟶ S.L₀.X₃
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp a S.L₁.g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp b S.v₀₁.τ₃
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.pullback.lift a b h) S.φ₂ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp a S.v₁₂.τ₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
c : F
⊢ HasFDerivAt (fun x => f x - c) f' x
p : Cardinal.{u_1} → Cardinal.{u_2} → Cardinal.{u_3} → Prop
c₁ : Cardinal.{u_1}
c₂ : Cardinal.{u_2}
c₃ : Cardinal.{u_3}
h : ∀ (α : Type u_1) (β : Type u_2) (γ : Type u_3), p (Cardinal.mk α) (Cardinal.mk β) (Cardinal.mk γ)
⊢ p c₁ c₂ c₃
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ r • x = y) ↔ SameRay R x y ∧ y ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CommSemigroup α
inst✝ : CommSemigroup β
f : α → β
a b : α
⊢ f (min a b) * f (max a b) = f a * f b
L : Type u_1
TopologicalSpace L
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
SemilatticeInf L
OrderTop L
ContinuousInf L
hs : ∀ i ∈ s, Filter.Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
⊢ Filter.Tendsto (fun a => s.inf fun x => f x a) l (𝓝 (s.inf g))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
⊢ AntitoneOn (fun x => x⁻¹) (Set.Icc a b)
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
IntCast α
m : ℤ
⊢ Matrix.diagonal ↑m = ↑m
G : Type u_3
Group G
Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
⊢ ∃ x, orderOf x = p
m n : ℕ
_h : 0 < n + 1
⊢ ack (m + 1) 0 < ack (m + 1) (n + 1)
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
H : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f' : E → E →L[𝕜] F
hff' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
o : Set E
o_open : IsOpen o
xo : x ∈ o
ho : o ∩ insert x s ⊆ u
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
X : Type u_8
inst✝ : TopologicalSpace X
g : M → X
s : Set M
x : M
⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(f.extend I) x) ↔ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑f.symm) (↑f.symm ⁻¹' s) (↑f x)
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
⊢ { toFun := map f, map_zero' := ⋯ }.toFun 1 = 1
R : Type u_1
S : Type u_4
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
x y : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y
⊢ f.IsIntegralElem (x + y)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ eLpNorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ eLpNorm f ⊤ μ * eLpNorm g p μ
α : Type u_1
o : Option α
⊢ o.toFinset.card = o.elim 0 1
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ μ.toFinite = 0 ↔ μ = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f = MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T' f
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.sup f ≤ a ↔ ∀ (i : ι), f i ≤ a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R[X]
hw : a.wronskian b ≠ 0
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ b.degree = ↑b.natDegree
n : ℕ
hn : 2 < n
this : Fact (1 < n)
⊢ Even (φ n)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : Fin 3 → P
⊢ AffineIndependent k p ↔ ¬Collinear k (Set.range p)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
a : α
⊢ Icc ⊥ a = Iic a
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ Icc a b = ∅ ↔ ¬a ≤ b
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
S : AddSubmonoid N
f : F
⊢ ↑(AddSubmonoid.comap f S) = ⇑f ⁻¹' ↑S
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
x : R
h : v x ≠ 0
⊢ {y | v (y - x) < v x} ⊆ {y | v y = v x}
o : Ordinal.{u_1}
ho : 0 < o
⊢ 0 < Cardinal.aleph' o
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b
⊢ ContinuousWithinAt f (Ico a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ Disjoint t (⋃₀ ↑(hC.diffFinset hs ht))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : SimplexCategory ⥤ Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.simplicialCosimplicialEquiv C).inverse.obj F = Opposite.op F.leftOp
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCompletion I M
a : AdicCauchySequence I M
hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0
n : ℕ
x✝ : n ≥ 42
⊢ f (↑a (n + k)) ∈ I ^ n • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
α : Sort u₁
β : Sort u₂
φ : Sort u₃
g : β → φ
f : α → β
hg : Function.Surjective g
hf : Function.Surjective f
⊢ Function.Surjective (g ∘ f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
A : G.Coalgebra
⊢ G.forget.obj A = A.A
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ
⊢ f^[n] a ≤ Ordinal.nfp f a
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
⊢ W'.addY P Q = (P x * Q z) ^ 3 * Q y
α : Type u
Monoid α
u : αˣ
⊢ 1 /ₚ u = ↑u⁻¹
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Rack R✝
R : Type u_2
inst✝ : Rack R
x y z : R
⊢ (act' (x ◃ y) * act' x) z = (act' x * act' y) z
K : Type u_1
σ : Type u_2
Fintype K
Fintype σ
CommRing K
c : σ → K
⊢ (MvPolynomial.indicator c).degrees ≤ ∑ s : σ, (Fintype.card K - 1) • {s}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
hf : StronglyMeasurable ↑f
hf_int_m : Integrable (↑f) (μ.trim hm)
⊢ ∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∫ (x : β), ↑f x ∂μ.trim hm
α β : NonemptyFinLinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
⊢ (NonemptyFinLinOrd.Iso.mk e).inv = ↑e.symm
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R
h : (op x ◃ op x) ◃⁻¹ op y = op x ◃⁻¹ op y
⊢ (x ◃⁻¹ x) ◃ y = x ◃ y
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.40895, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.40899, u_2} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : ShortComplex C
φ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ F.map φ.τ₂ ≫ F.map Y✝.g = F.map X✝.g ≫ F.map φ.τ₃
M : Type u
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module ℤ M
inst✝ : Finite ℤ M
hM : IsTorsion ℤ M
ι : Type
w✝ : Fintype ι
p : ι → ℤ
h : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
e : ι → ℕ
l : M ≃ₗ[ℤ] ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}
this✝ : ∀ (i : ι), NeZero (p i ^ e i).natAbs
this : ∀ (i : ι), _root_.Finite (ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i})
⊢ _root_.Finite M
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
hs : ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
H : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f m) (f n)
m n : ℕ
hmn : f m ≠ f n
h : m < n
⊢ rᶜ (f m) (f n)