ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
⊢ CategoryTheory.WithTerminal.down (CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.WithTerminal.of X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → γ → δ'
g' : δ' → β → ε
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f' a c) b
⊢ image2 f (image2 g s t) u = image2 g' (image2 f' s u) t
G : Type u_1
A : Type u_2
Monoid G
AddCommGroup A
MulAction G A
f : G → A
hf : groupCohomology.IsOneCocycle f
⊢ f 1 = 0
x y z : ℝ
hx : 1 < x
⊢ x ^ y ≤ x ^ z ↔ y ≤ z
⊢ CategoryTheory.WithTerminal.pseudofunctor.toPrelaxFunctor = CategoryTheory.WithTerminal.prelaxfunctor
n : ℕ
i j : Fin n
⊢ i.rev ≤ j ↔ j.rev ≤ i
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedGT α
H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (pred a)
H_lim : (a : α) → IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a
ha : ¬IsMin a
h : ¬IsPredLimit (pred a)
this : ∀ {b c : α} {hb : ¬IsMin b} {hc : ¬IsMin c} {x : (a : α) → C a} (h : b = c), ⋯ ▸ H_pred b hb (x b) = H_pred c hc (x c)
x : { x // ¬IsMin x ∧ pred x = pred a } := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = pred a) ⋯
⊢ (let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = pred a) ⋯; ⋯ ▸ H_pred ↑x ⋯ ((fun y x => ⋯.fix (fun a IH => if h : IsPredLimit a then H_lim a h IH else let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = a) ⋯; ⋯ ▸ H_pred ↑x ⋯ (IH ↑x ⋯)) y) ↑x ⋯)) = H_pred a ha (PredOrder.limitRecOn a H_pred H_lim)
α : Type u_5
β : Type u_6
MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Subsingleton α
f : α → β
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable f
α : Type u
s t : Set α
h : s ⊆ t
u : Set α
⊢ s ⊆ t ∪ u
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
⊢ range (Weight.toLinear K (↥H) L) ⊆ insert 0 (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero})
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f g : G → E
x : G
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hg : DifferentiableAt ℝ g x
hne : f x ≠ g x
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun y => dist (f y) (g y)) x
N k m : ℕ
⊢ (∃ x, m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ ¬m < x ∧ Prime x ∧ x ∣ m ∧ ¬x < k) ↔ ∃ a, ((a < N.succ ∧ Prime a) ∧ (a < k → ¬Prime a)) ∧ m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ a ∣ m
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.101505
inst✝ : MulAction R X
r : R
s t : ↥S
⊢ 1 /ₒ t * (r /ₒ s) = r /ₒ (s * t)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
⊢ seminormFromConst' hf1 hc hpm x ≤ f x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)
h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0
h₂ : χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)
⊢ ((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_10
Semiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
SMulCommClass R R A
IsScalarTower R A A
b : Basis ι R A
z : A
⊢ z ∈ Set.center A ↔
  (∀ (i : ι), Commute (b i) z) ∧
    ∀ (i j : ι), z * (b i * b j) = z * b i * b j ∧ b i * z * b j = b i * (z * b j) ∧ b i * b j * z = b i * (b j * z)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
a b : Π₀ (i : ι), α i
h : a ≤ b
⊢ toLex a ≤ toLex b
R : Type u_10
Semiring R
x : R × R
⊢ ⇑((Basis.finTwoProd R).repr x) = ![x.1, x.2]
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
T0Space E
a : E
⊢ ‖a‖ ≤ 0 ↔ a = 0
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ (homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal = I
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
VAdd α β
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β
⊢ (⋃ i, ⋃ j, s i j) +ᵥ t = ⋃ i, ⋃ j, s i j +ᵥ t
l : List Bool
b : Bool
⊢ List.count b l + List.count (!b) l = l.length
M : Type u_2
MulOneClass M
s : Set Mᵐᵒᵖ
⊢ (Submonoid.closure s).unop = Submonoid.closure (MulOpposite.op ⁻¹' s)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
h : finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i))) + finrank ℝ ↥((vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)))ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)) = finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ (Set.range s.points))
hc : (univ.erase i).card = n + 1
⊢ finrank ℝ ↥((vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)))ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)) = 1
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
m : Fin (n + 1) → E
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x) m = ((iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => fderiv 𝕜 f y) x) (init m)) (m (last n))
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
Nonempty ι
H : ∀ (i : ι), Ordinal.IsNormal (f i)
a b : Ordinal.{max u v}
⊢ (∃ i, Ordinal.nfpFamily f a ≤ f i b) ↔ Ordinal.nfpFamily f a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
⊢ G.edgeFinset.card = 3 * (G.cliqueFinset 3).card
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
p : Submodule R₁ M₁
⊢ ⇑p.subtypeL = ⇑p.subtype
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
⊢ MeasurableSpace.DynkinSystem.GenerateHas C sᶜ ↔ MeasurableSpace.DynkinSystem.GenerateHas C s
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
hf : Multipliable f
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
⊢ ∏' (i : ι), f i ≤ a₂
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
a : α
⊢ a ∈ NonUnitalSubsemiring.center α ↔
  AddMonoid.End.mulRight a = AddMonoid.End.mulLeft a ∧ AddMonoid.End.mulLeft a ∈ (CentroidHom.toEndRingHom α).rangeS
R : Type u
M : Type v
Monoid R
AddMonoid M
DistribMulAction R M
DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd
⊢ (x ^ n).snd = n •> (x.snd <• x.fst ^ n.pred)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
H : ∀ (a : α), ↑f a = ↑g a
⊢ f = g
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
⊢ ⇑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotSupₐ R I J) = ⇑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotSup I J)
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
inst✝¹ : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))
⊢ RingHom.comp ((ΓSpec.adjunction.unit.app X).val.c.app (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) (algebraMap ?R ((forget CommRingCat).obj (((Scheme.Γ.rightOp ⋙ Scheme.Spec).obj X).presheaf.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f))))) = algebraMap ?R ((forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))))
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Module S N
inst✝⁹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝⁸ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁷ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
M' : Submodule R M
P : Type w
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
Q : Type w'
inst✝⁴ : AddCommGroup Q
inst✝³ : Module R Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
x : N
⊢ x ∈ Submodule.localized' S p f (ker g) ↔ x ∈ ker (extendScalarsOfIsLocalization p S ((IsLocalizedModule.map p f f') g))
w x✝ y✝ z : ℝ
x : ℝ≥0
y : ℝ
⊢ ↑x ^ y = ↑0 ↔ ↑x = 0 ∧ y ≠ 0
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cone F.leftOp
⊢ (CategoryTheory.Limits.coconeOfConeLeftOp c).pt = Opposite.op c.pt
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝ : SeparableSpace ↑s
this : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k => Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i => ↑(φ k) ∘ X i
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
R✝ : Type u
inst✝² : Semiring R✝
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : CharZero R
⊢ ringExpChar R = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
⊢ ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ m)
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ s ≠ 0 → ∃ a, a ∈ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
f : J → C
X : C
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j) X)
    (CategoryTheory.rightDistributor f X).hom =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.ι (fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (f j) X) j
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E ≃ₗ[ℝ] E
s : Set E
⊢ μ (⇑f ⁻¹' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det ↑f.symm| * μ s
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
this : rexp (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)
⊢ 0 ≤ 2.7182818286 ^ (107 / 60)
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
∀ (i : ι), K.HasHomology i
∀ (i : ι), L.HasHomology i
∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')
⊢ QuasiIso φ'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
⊢ s ⊆ ↑(Convex.toCone s hs)
z : ℂ
hz : z.im < 0
⊢ Complex.arg =ᶠ[𝓝 z] fun x => -Real.arccos (x.re / Complex.abs x)
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
a' : ℝ
ha' : ↑f a' - ↑f a < ↑δ
aa' : a < a'
g : ℕ → ℝ × ℝ
hg : ∀ (i : ℕ), s i ⊆ Ioo (g i).1 (g i).2 ∧ ofReal (↑f (g i).2 - ↑f (g i).1) < f.length (s i) + ↑(ε' i)
I_subset : Icc a' b ⊆ ⋃ i, Ioo (g i).1 (g i).2
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
b : β
s : Multiset α
t : Multiset β
l₁ : List α
l₂ : List β
d₁ : Nodup ⟦l₁⟧
d₂ : Nodup ⟦l₂⟧
⊢ (⟦l₁⟧ ×ˢ ⟦l₂⟧).Nodup
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x y : M
h : f.toMap x = f.toMap y
⊢ g x = g y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x✝ : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
x : M
i : ι
a✝ : Nontrivial R
⊢ ∀ (c : R) (x : M), (fun x i => (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩) (c • x) = c • (fun x i => (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩) x
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : Aᵒᵖ
f : X ⟶ Y
U : Dᵒᵖ
x : ((coyoneda ⋙ (whiskeringLeft Dᵒᵖ A (Type ?u.72492)).obj ℱ).obj X).obj U
⊢ (pushforwardFamily (homOver α (unop Y)) (f.unop ≫ x)).IsAmalgamation (f.unop ≫ appHom (homOver α (unop X)) (unop U) x)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
h : cfc f a = cfc g a
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
hg : ContinuousOn g (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ Set.EqOn f g (spectrum R a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ Balanced 𝕜 (balancedHull 𝕜 s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
x : α
hg : ContinuousWithinAt g t (f x)
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' t) x
n : ℕ
⊢ n.descFactorial n = n.factorial
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
CommRing R
Field K
Field L
Algebra K L
Algebra R L
Algebra R K
IsScalarTower R K L
Algebra.IsSeparable K L
IsDomain R
IsFractionRing R K
IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
hz : p • z ∈ Algebra.adjoin R {B.gen}
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
⊢ z ∈ Algebra.adjoin R {B.gen}
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
h1 : 1 ∉ s
inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A
inst✝ : AlgHomClass F R (Unitization R ↥s) A
f : F
hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x
⊢ Function.Injective ⇑f
α : Type u_1
c : Set (Set α)
hc : Setoid.IsPartition c
s : Set α
hs : s ∈ c
⊢ ∃ y, s = {x | (Setoid.mkClasses c ⋯).Rel x y}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a✝ b✝ : α
p✝ : G.Walk a✝ b✝
hG : G.IsHamiltonian
a b : α
hab : a ≠ b
this : Nontrivial α
w✝ : α
p : G.Walk w✝ w✝
hp : p.IsHamiltonianCycle
a_mem : a ∈ p.support
b_mem : b ∈ p.support
⊢ G.Reachable a b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄
eq : z₂.s ≫ u₂ ≫ v₅ = z₂.s ≫ t₂ ≫ v₄
Z₇ : C
w : Y'✝ ⟶ Z₇
hw : W w
fac' : u₂ ≫ v₅ ≫ w = t₂ ≫ v₄ ≫ w
⊢ LeftFractionRel z₁ z₃
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m < 1 + n ↔ m ≤ n
X Y Z : Type u
f g : X ⟶ Y
π : Y ⟶ Z
e : f ≫ π = g ≫ π
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit (CategoryTheory.Limits.Cofork.ofπ π e)
U : Set Y
H : f ⁻¹' U = g ⁻¹' U
⊢ π ⁻¹' (π '' U) = U
k n x : ℕ
left✝ : n ≤ k
h : (unpair n).2 = x
⊢ x = (unpair n).2
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSpace A
TopologicalSemiring A
p : Polynomial R
a : A
⊢ ContinuousAt (fun x => (Polynomial.aeval x) p) a
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_6
NormedAddCommGroup V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedAddCommGroup W
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
f g : P →ᴬ[R] W
⊢ (f - g).contLinear = f.contLinear - g.contLinear
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u v : α → β
l : Filter α
h : u ~[l] v
⊢ v =O[l] u
α : Type u_1
R : Type u_13
SeminormedRing R
c : ℝ
l : Filter α
u v : α → R
φ : α → R
hφ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c
h : u =ᶠ[l] φ * v
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l u v
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
⊢ ⁅x, -m⁆ = -⁅x, m⁆
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
hj : c.next i = j
h : K.d i j = 0
K.HasHomology i
⊢ K.iCycles i ≫ (K.iCyclesIso i j hj h).inv = 𝟙 (K.cycles i)
l m r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s → ∀ (n : Nat), Substring.ValidFor (l ++ List.take n m) (List.drop n m) r (s.drop n)
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≤ 1
hab : b ≤ a
⊢ a⁻¹ ≤ b⁻¹
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
t : A
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range (n + 1), (PowerSeries.coeff A (x, n + 1 - x).1) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (x, n + 1 - x).2) (exp A - 1) + (PowerSeries.coeff A (n + 1, n + 1 - (n + 1)).1) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1, n + 1 - (n + 1)).2) (exp A - 1) = t ^ n * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑n !)
S : Type u_1
AddMonoidWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
X Y : CategoryTheory.DifferentialObject S C
f : X.obj ≅ Y.obj
hf :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp X.d ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map f.hom) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom Y.d
⊢ (CategoryTheory.DifferentialObject.mkIso f hf).hom.f = f.hom
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
this : ((cartanEquivDual H) ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))) x = α x
⊢ ((traceForm K (↥H) L) (coroot α)) x = 2 • (α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)))⁻¹ • α x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
n : ℕ∞
h : E ≃ₘ^n⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
⊢ ContDiff 𝕜 n ⇑h
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ ¬a < b ↔ b ≤ a
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
p : K[X]
⊢ p.degree + (C p.leadingCoeff⁻¹).degree = p.degree
ι : Type uι
R : Type u_1
A : Type u_2
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ∀ (a : R), DirectSum.GAlgebra.toFun a = (↑↑(algebraMap R A)).toFun a
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s t : ↥S
⊢ (↑s /ₒ t) • (r /ₒ s) = r /ₒ t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
E : Type u_3
inst✝¹ : EquivLike E α β
inst✝ : OrderIsoClass E α β
e : E
⊢ (range ⇑e).OrdConnected
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X Y Z : C
⊢ (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom = F.μ X Y ▷ F.obj Z ≫ F.μ (X ⊗ Y) Z ≫ F.map (α_ X Y Z).hom ≫ inv (F.μ X (Y ⊗ Z)) ≫ F.obj X ◁ inv (F.μ Y Z)
M₀ : Type u_1
inst✝¹ inst✝ : MonoidWithZero M₀
a b : ↥M₀⁰
⊢ (∃ b_1, ↑a * ↑↑b_1 = ↑b) ↔ ∃ u, a * ↑u = b
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ ∑ i ∈ s, f (σ i) * g i
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
k : ℕ
hy : Squarefree y
hp : Prime p
h : p ^ (k + 1) ∣ y * x
⊢ p ^ k ∣ x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder γ
f : α → β → γ
hf : ∀ (b : β), Monotone fun a => f a b
⊢ Monotone f
X : Type u
⊢ typeToBoolAlgOp.obj X = Opposite.op (BoolAlg.of (Set X))
α : Type u_1
β : Type u_3
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
DecidableEq δ
DecidableEq δ'
DecidableEq ε
s : Finset α
t : Finset β
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f' : α → γ → δ'
g' : β → δ' → ε
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' b (f' a c)
⊢ Finset.image₂ f s (Finset.image₂ g t u) = Finset.image₂ g' t (Finset.image₂ f' s u)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G.op ⊣ F.op
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
⊢ ((h.homEquiv (Opposite.op Y) (Opposite.op X')) (g.op ≫ f.op)).unop = F.map f ≫ ((h.homEquiv (Opposite.op Y) (Opposite.op X)) g.op).unop
x y : ENNReal
hx : x ≠ 0
h'x : x ≠ ⊤
hy : 1 < y
h'y : y ≠ ⊤
⊢ ∃ n, x ∈ Set.Ico (y ^ n) (y ^ (n + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs_nonempty : s.Nonempty
hs_ne_univ : s ≠ univ
x y : β
⊢ (piecewise s hs (const α x) (const α y)).range = {x, y}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
f : E → β
hf : Antitone f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | f x ≤ r}
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
x : E
K_pos : 0 < K
this : ↑f x / ∫ (y : E), ↑f y ∂μ ≤ 1 / ∫ (y : E), ↑f y ∂μ
⊢ 0 < (μ (closedBall c f.rOut)).toReal
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
⊢ t.centerMass (-w) z = t.centerMass w z
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
CompactSpace ↑s
⊢ (polynomialFunctions s).starClosure.topologicalClosure = ⊤
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))
⊢ Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ ∈ lpMeasSubgroup F m p μ