ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J TopCat
∀ (X : TopCat), CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (TopCat.Presheaf C X)
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
U V : (TopologicalSpace.Opens ↑↑s.pt)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ s.pt.presheaf.map i ≫ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.ColimitCoconeIsColimit.descCApp F s V =
  AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.ColimitCoconeIsColimit.descCApp F s U ≫
    ((TopCat.Presheaf.pushforward C
              (CategoryTheory.Limits.colimit.desc (F ⋙ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.forget C)
                ((AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.forget C).mapCocone s))).obj
          (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.colimitCocone F).pt.presheaf).map
      i
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x
⊢ Irreducible (minpoly A x)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C
⊢ (((λ_ (𝟙_ C)).inv ⊗ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ ((M.one ⊗ N.one) ⊗ P.one)) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = M.one ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (N.one ⊗ P.one)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b • p + toIocMod hp a b = b
M : Type w
α : Type u'
β : Type v'
n m : ℕ
g : α → β ⊕ Fin n
v : β → M
xs : Fin (n + m) → M
⊢ Sum.elim v xs ∘ FirstOrder.Language.BoundedFormula.relabelAux g m =
  Sum.elim (Sum.elim v (xs ∘ Fin.castAdd m) ∘ g) (xs ∘ Fin.natAdd n)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
f : R[X]
inst✝² : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
inst✝ : Algebra R T
hx' : (aeval x) f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
⊢ (liftHom x hx' h) h.root = x
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
NonLindelofSpace X
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
⊢ NonLindelofSpace Y
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y Z : Scheme
e : X ≅ Y
f : Y ⟶ Z
hf : stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ P (Scheme.Hom.stalkMap f (e.hom.val.base x) ≫ Scheme.Hom.stalkMap e.hom x)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
DenselyOrdered α
s : Set α
hs : Dense s
x : α
⊢ Set.Iio x = ⋃ y ∈ s ∩ Set.Iio x, Set.Iio y
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc α ℝ := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun x_1 => ↑(fs x_1) x) atTop (𝓝 (f x))
hμ : ¬μ = 0
this✝ : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (x : α), ‖↑(fs n) x‖ ≤ c
this : μ[f * μ[g|m]|m] = f * μ[g|m]
⊢ μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : Tendsto (fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) (Filter.map ofReal' (𝓝[<] 1)) (𝓝 ↑l)
⊢ Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
⊢ X.Separable
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : (algebraMap R S) p.content * (aeval s) p.primPart = 0
⊢ (aeval s) p.primPart = 0
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.toFinsupp 1 = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ p ≠ 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜' E
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' E
c : 𝕜
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ eLpNorm (c • ↑↑f) p μ < ⊤
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R →₀ ℤ
⊢ ∑ i ∈ exps.support, count K v (↑i.asIdeal ^ exps i) = exps v
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
DecidableEq ι
Module.Free R M
Module.Finite R M
b : Basis ι R L
Nontrivial R
⊢ (φ.polyCharpoly b).natDegree = FiniteDimensional.finrank R M
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
x y : G
⊢ (QuotientAddGroup.mk' N) x = (QuotientAddGroup.mk' N) y ↔ ∃ z ∈ N, x + z = y
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
⊢ ∀ {X Y : (HomologicalComplex V c)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y) (i : ι),
  ((HomologicalComplex.opFunctor V c).map f).f i = (f.unop.f i).op
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
⊢ s.encard = 2 ↔ ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
φ₁ φ₂ : f ⟶ g
h : φ₁ = φ₂
⊢ φ₁.left = φ₂.left
G : Type w
TopologicalSpace G
Neg G
ContinuousNeg G
s : Set G
x : G
⊢ ContinuousWithinAt Neg.neg s x
κ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis κ R M
⊢ ∀ (a : TensorAlgebra R M),
  b.tensorAlgebra.repr a = (FreeAlgebra.basisFreeMonoid R κ).repr ((TensorAlgebra.equivFreeAlgebra b) a)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
inst✝² : Mul β
inst✝¹ : MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_indep : iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
this : IndepFun (fun ω => (f i ω, f j ω)) (f k) κ μ
⊢ IndepFun (f i * f j) (f k) κ μ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ 0 ≤ dist x y
X Y Z : RingCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
R : Type u_1
m : Type u_2
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
Star R
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
⊢ (A₁.fromColumns A₂).conjTranspose = A₁.conjTranspose.fromRows A₂.conjTranspose
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
h₁ : (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fx = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fy
Hdrop : dropFun fx = dropFun fy
⊢ ⟨ax, fx⟩ = ⟨ax, fx⟩ ∧ ⟨ax, fy⟩ = ⟨ax, fy⟩ ∧ ∀ (i : (P.B ax).last), R (lastFun fx i) (lastFun fy i)
F : Type u → Type u
q : QPF F
p : Fix F → Prop
h : ∀ (x : F (Fix F)), Liftp p x → p (mk x)
x✝ : Fix F
a : (P F).A
f : (P F).B a → WType (P F).B
ih : ∀ (a : (P F).B a), p (Quot.mk Setoid.r (f a))
⊢ p (mk (abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
X Y : C
f : J → C
g h : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X (⨁ f) ⟶ Y
w :
  ∀ (j : J),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j)) g =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j)) h
⊢ g = h
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ a ∈ Set.Icc a b ↔ a ≤ b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ a b : α
h : IsCompl a b
⊢ a ∆ b = ⊤
α : Type u_1
R : Type u_3
s t : Finset α
DecidableEq α
AddGroupWithOne R
⊢ ↑(s ∩ t).card = ↑s.card + ↑t.card - ↑(s ∪ t).card
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
Sub α
OrderedSub α
ExistsAddOfLE α
a : α
⊢ ⌊a - 1⌋₊ = ⌊a⌋₊ - 1
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : QPF.IsUniform
α : Type u
a : (QPF.P F).A
f : (QPF.P F).B a → α
⊢ Functor.supp (QPF.abs ⟨a, f⟩) = f '' Set.univ
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s t : Finset α
⊢ s.disjSups t = t.disjSups s
β : Type u_5
Monoid β
a u : β
hu : IsUnit u
⊢ a * u ~ᵤ a
n : ℕ
⊢ Complex.cos (↑n * (2 * ↑Real.pi) - ↑Real.pi) = -1
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
a : G
ha : a ∈ H
⊢ addOrderOf ⟨a, ha⟩ = addOrderOf a
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique t ↔ t.Subsingleton ∨ ∃ s, G.IsClique s ∧ ⇑f '' s = t
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
IsArtinian R M
⊢ WellFounded fun x x_1 => x < x_1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : Subsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
y : R
hy : y ∈ ↑(Submonoid.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))
⊢ y ∈ ↑H.toAddSubmonoid
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
f : CentroidHom α
f' : α → α
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a b : α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ Nat.cast ⁻¹' Set.Ioc a b = Set.Ioc ⌊a⌋₊ ⌊b⌋₊
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
enc₀ : enc default = Vector.replicate n false
x✝ : Cfg₁
l₁ : Option Λ
v : σ
T : Tape Γ
⊢ FRespects (step (tr enc dec M)) (trCfg enc enc₀) (trCfg enc enc₀ { l := l₁, var := v, Tape := T }) (step M { l := l₁, var := v, Tape := T })
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⨆ a, LinearMap.range (Finsupp.lsingle a) = ⊤
n : ℕ
⊢ (bif -[n+1].bodd then 1 else 0) + 2 * -[n+1].div2 = -[(bif n.bodd then 1 else 0) + 2 * n.div2+1]
α : Type u
r : α → α → Prop
IsPartialOrder α r
⊢ ∃ s, IsLinearOrder α s ∧ r ≤ s
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (fun x => ↑(gm x)) μ
gmint : ∫ (x : α), ↑(fm x) ∂μ - (fun a => ↑a) δ ≤ ∫ (x : α), ↑(gm x) ∂μ
g : α → EReal := fun x => ↑(gp x) - ↑↑(gm x)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x)).toReal - (↑↑(gm x)).toReal
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ s ⊆ seqClosure s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
a : α
hh : Monotone h
⊢ (pure a).lift' h = 𝓟 (h {a})
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Finset E
x : E
⊢ x ∈ (convexHull R) ↑s ↔ ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ s, w y • y = x
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α 0
p : (i : Fin n) → α i.succ
i : Fin n
⊢ Fin.cons x p i.succ = p i
α : Type u
Nonempty α
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
⊢ ∃ M, ∀ i ∈ s, i ≤ M
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
x₃ : A ⟶ S.X₃.homology i
x₂ : A ⟶ S.X₂.opcycles i
x₁ : A ⟶ S.X₁.cycles j
h₂ : x₂ ≫ HomologicalComplex.opcyclesMap S.g i = x₃ ≫ S.X₃.homologyι i
h₁ : x₁ ≫ HomologicalComplex.cyclesMap S.f j = x₂ ≫ S.X₂.opcyclesToCycles i j
⊢ x₃ ≫ hS.δ i j hij = x₁ ≫ S.X₁.homologyπ j
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
Nonempty ι
⊢ f 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k : α → β
f : α → β
TopologicalSpace β
LinearOrderedField β
OrderTopology β
hk : Filter.Tendsto k l Filter.atTop
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k (k * f) ↔ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝⁶ : Category.{v', u'} A
inst✝⁵ : ConcreteCategory A
inst✝⁴ : HasWeakSheafify J A
inst✝³ : (forget A).ReflectsIsomorphisms
inst✝² : J.HasSheafCompose (forget A)
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ A), Presheaf.IsLocallyInjective J (CategoryTheory.toSheafify J P)
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ A), Presheaf.IsLocallySurjective J (CategoryTheory.toSheafify J P)
P Q : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P ⟶ Q
⊢ J.W f ↔ Presheaf.IsLocallyInjective J f ∧ Presheaf.IsLocallySurjective J f
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
a : α
⊢ a ∈ MulAction.fixedPoints M α ↔ ∀ a' ∈ MulAction.orbit M a, a' = a
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
LinearOrderedField β
Archimedean α
a b : α
⊢ LinearOrderedField.cutMap β (a + b) = LinearOrderedField.cutMap β a + LinearOrderedField.cutMap β b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
⊢ CategoryTheory.Dial.tensorUnit.rel = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
h : a < 0
⊢ a⁻¹ • b₁ < b₂ ↔ a • b₂ < b₁
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : TopologicalSpace.Opens ↑Z
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map (f ≫ g)).obj U = (TopologicalSpace.Opens.map f).obj ((TopologicalSpace.Opens.map g).obj U)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ
h : evariance X μ < ⊤
this : Memℒp (fun ω => X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) 2 μ
⊢ False
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
i : ι
hi : i ∈ I
b : φ i
j : ι
hj : j ∈ J
⊢ (proj j ∘ₗ stdBasis R φ i) b = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
h : ∀ {X : C}, ∀ S ∈ J.sieves X, CategoryTheory.Presieve.YonedaSheafCondition P S
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J P
α : Type u_1
x y : α
ys : Thunk (LazyList α)
⊢ x ∈ LazyList.cons y ys ↔ x = y ∨ x ∈ ys.get
α : Type u_6
β : Type u_7
ι : Type u_8
a : α
b : β
i : ι
⊢ Filter.map (Prod.map (fun x => b) id) ((𝓟 {a}).coprod (𝓟 {i})) = 𝓟 ({b} ×ˢ Set.univ)
K : Type u_1
n : ℕ
DivisionRing K
s : Stream'.Seq (GenContFract.Pair K)
terminatedAt_n : s.TerminatedAt n
⊢ GenContFract.convs'Aux s (n + 1) = GenContFract.convs'Aux s n
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o
ρs : ρ s ≠ ⊤
⊢ μ s ≤ 0
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
a₁ : WithBot α
a₂ : WithTop α
h : Ordnode.Valid' a₁ t a₂
h_mem : x ∈ t
⊢ (Ordnode.erase x t).size = t.size - 1
α : Type u_1
Zero α
Monoid α
⊢ Associates.mk 0 = 0
x y : Int
h : ¬y > x
⊢ y ≤ x
α : Type u_1
β : Type v
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
s : Multiset α
hf : Set.InjOn f {x | x ∈ s}
x : α
H : x ∈ s
⊢ Multiset.count (f x) (Multiset.map f s) = Multiset.count x s
a b : Ordinal.{u_1}
b1 : 0 < b
a1 : a ≤ 1
⊢ a ^ 1 ≤ a ^ b
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) MeasureTheory.volume
hb : ContinuousAt f b
⊢ HasDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in a..u, f x) (f b) b
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
OrderTop α
OrderTop β
f : α ≃o β
a : α
⊢ IsCoatom (f a) ↔ IsCoatom a
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
⊢ (condCount s) (u ∩ t) = (condCount (s ∩ u)) t * (condCount s) u
p : ℕ+ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
m : ℕ+
⊢ m < PNat.find h → ¬p m
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
h : p ≠ 0
⊢ 1 ∈ nonZeroDivisors R
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := {I | IsAtom I}
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
⊢ ∃ t ⊆ s, I = t.sup id
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
X : TopCat
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : ConcreteCategory C
F : Presheaf C X
U V W : Opens ↑X
e₁ : U ≤ V
e₂ : V ≤ W
x : (forget C).obj (F.obj (op W))
⊢ (F.map (homOfLE e₁).op) ((F.map (homOfLE e₂).op) x) = (F.map (homOfLE ⋯).op) x
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
⊢ a ∉ f.support ↔ f a = 0
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
h : f =O[atTop] fun n => ↑n ^ (x - 1)
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ‖f x_1‖ ≤ C * ‖↑x_1 ^ (x - 1)‖
m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, ‖f b‖ ≤ C * ‖↑b ^ (x - 1)‖
C' : ℝ := max C ((insert 0 (image (fun n => ‖f n‖ / ↑n ^ (x - 1)) (range m))).max' ⋯)
hC'₀ : 0 ≤ C'
hCC' : C ≤ C'
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
hn : n < m
⊢ ‖f n‖ ≤ C' * ↑n ^ (x - 1)
n p : ℕ
pp : Prime p
k x : ℕ
⊢ (∃ x_1, (x_1 ≤ k ∧ x = p ^ x_1) ∧ x < p ^ k) ↔ ∃ j, ∃ (_ : j < k), x = p ^ j
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.34786, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.34793, u_2} D
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsVanKampenColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
j : J
this : IsPullback (α.app j ≫ c.ι.app j) (α.app j) (𝟙 (((Functor.const J).obj c.pt).obj j)) (c.ι.app j)
⊢ c'.ι.app j ≫ f = α'.app j ≫ α.app j ≫ c.ι.app j
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
b : WithBot α
⊢ ⊥ * b = if b = 0 then 0 else ⊥
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
⊢ p = q ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), MvPolynomial.coeff m p = MvPolynomial.coeff m q
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
⊢ p.rightInv i 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 F E).symm ↑i.symm
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
R1Space X
TopologicalSpace Y
f : Y → X
hc : Continuous f
hspec : ∀ (x y : Y), f x ⤳ f y → x ⤳ y
⊢ R1Space Y
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
⊢ (CategoryTheory.LaxFunctor.id B).toPrelaxFunctor = CategoryTheory.PrelaxFunctor.id B
a s b c : ℝ
h : Summable fun n => 1 / |↑n + b| ^ s
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 1 / |↑x + b| ^ s = 0 → 1 / |↑x + c| ^ s = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x y : L
h : x ∈ I
⊢ ⁅-y, x⁆ ∈ I
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ Finset.Ioc s t = Finset.filter (fun x => s ⊂ x) t.powerset
α : Sort u_1
p : α → Prop
⊢ (¬∀ (x : α), p x) ↔ ∃ x, ¬p x
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : NonUnitalSubsemiring R
x y : ↥s
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
Preorder β
u : β → α
hu : CauchySeq u
⊢ Nonempty β
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ d * (a.y * a₁.y) < a.x * a₁.x
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
Xs Ys : ι → Set α
A : Set ι
h : ∀ i ∈ A, M.closure (Xs i) = M.closure (Ys i)
⊢ M.closure (⋃ i ∈ A, Xs i) = M.closure (⋃ i ∈ A, Ys i)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
G : Comonad C
X : G.Coalgebra
Y : C
g : X ⟶ G.cofree.obj Y
⊢ X.a ≫ G.map (g.f ≫ G.ε.app Y) = g.f
M₀ : Type u_2
CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
⊢ a * c = b * c ↔ a = b ∨ c = 0
α : Type u
s : Set (Set α)
i j : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
h : i ≤ j
x : Set α
hx : x ∈ generateMeasurableRec s i
⊢ x ∈ generateMeasurableRec s j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ (f + g) ≫ h = f ≫ h + g ≫ h
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
f✝ f : α → β
a : α
s : Set α
this : TopologicalSpace α := induced f t
⊢ a ∈ closure s ↔ f a ∈ closure (f '' s)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ ⊥.normalizer = LieModule.maxTrivSubmodule R L M
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
p : MvPolynomial σ R
⊢ (algebraMap (MvPolynomial σ R) (MvPowerSeries σ A)) p = (MvPowerSeries.map σ (algebraMap R A)) ↑p
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : 1 ≤ ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
p_roots2 : ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card ≤ 3
n : ℕ := ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
hn : 2 ∣ n
key : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
⊢ ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card = 2
α : Type u_2
MulOneClass α
⊢ ⇑Filter.pureMonoidHom = pure
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
a : α
h : f a ≤ a
⊢ OrderHom.lfp f ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
F : ℕ → α → β
bound : α → ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
f : ↑(Set.Icc a b) → β
hx : x ∈ Set.Icc a b
⊢ Set.IccExtend h f x = f ⟨x, hx⟩
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
B W : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpiFamily X π
m₁ m₂ : B ⟶ W
h : ∀ (a : α), π a ≫ m₁ = π a ≫ m₂
⊢ m₁ = m₂
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
hl : l.Subsingleton
f : α → β
⊢ (Filter.map f l).Subsingleton
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
Z₁ Z₂ : C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
⊢ (Z₁ ⊗ Z₂) ◁ (f₁ ⊗ f₂) ≫ CategoryTheory.tensor_μ C (Z₁, Z₂) (Y₁, Y₂) =
  CategoryTheory.tensor_μ C (Z₁, Z₂) (X₁, X₂) ≫ (Z₁ ◁ f₁ ⊗ Z₂ ◁ f₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
⊢ ⇑f.optionMap = Option.map ⇑f
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
N'' : Type u_13
N₂'' : Type u_14
CommSemiring R'
AddCommMonoid M''
AddCommMonoid N''
AddCommMonoid N₂''
Module R' M''
Module R' N''
Module R' N₂''
n : ℕ
g : N'' →ₗ[R'] N₂''
f : M'' [⋀^Fin n.succ]→ₗ[R'] N''
m : M''
⊢ (g.compAlternatingMap f).curryLeft m = g.compAlternatingMap (f.curryLeft m)
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
AddGroup α
VAddAssocClass G α α
a b : α
⊢ AddAction.stabilizer G (a + b) = AddAction.stabilizer G a
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
supp : Set α
fin : supp.Finite
⊢ ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → (∀ {f : Equiv.Perm α}, (∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x) → (fixedBy α f)ᶜ ⊆ s → f ∈ closure S) → ∀ {f : Equiv.Perm α}, (∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x) → (fixedBy α f)ᶜ ⊆ insert a s → f ∈ closure S
a b : SetTheory.PGame
⊢ ⟦a - b⟧ = ⟦a⟧ - ⟦b⟧
R : Type u_1
S : Type u_2
EuclideanDomain R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
DecidableEq ι
Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
Infinite R
DecidableEq R
⊢ 0 ∉ ClassGroup.finsetApprox bS adm