ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
ι : Sort u_1
S : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i j k : Fin 2
hjk : 0 ≤ k
hij : 0 ≤ 0
⊢ map f 0 k ⋯ = map f 0 0 hij ≫ map f 0 k hjk
a b : ℕ+
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype fun n => 0 < n) (Finset.Ico a b) = Finset.Ico ↑a ↑b
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
⊢ x ∈ ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
exists_seq : ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
⊢ ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
N✝ : Type w
inst✝⁸ : AddCommGroup N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : Small.{v, u} R
flat : Flat R M
N N' N'' : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup N''
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R N''
f : N →ₗ[R] N'
g : N' →ₗ[R] N''
exact : Function.Exact ⇑f ⇑g
π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ
ι : N' ⧸ range f →ₗ[R] N'' := (range g).subtype ∘ₗ ↑g.quotKerEquivRange ∘ₗ ↑((range f).quotEquivOfEq (ker g) ⋯)
⊢ Function.Exact ⇑(lTensor M f) ⇑(lTensor M g)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
⊢ b ∈ Ι a c → c ∈ Ι a b → b = c
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
r : R
⊢ TensorPower.algebraMap₀ r = r • GradedMonoid.GOne.one
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsColimit t.toCocone
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), t.toCocone.ι.app j ≫ t.fst = (BinaryCofan.mk (𝟙 X) 0).ι.app j
α : Type u
Add α
a b c : WithBot α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ha : a ≠ ⊥
h : b < c
⊢ b + a < c + a
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, (κ.condKernel (a, b)) t ∂κ.fst a = (κ a) (s ×ˢ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
⊢ Subtype.val ⁻¹' (f '' s) = (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' sᶜ)ᶜ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
t : Set α
a b : α
s : Finset α
⊢ (infClosure ↑s).Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ f '' (f ⁻¹' t ∩ s) = t ∩ f '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
⊢ count a s ≤ fold max 0 (map (fun a => count a s) s) * count a s.dedup
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
y : Fin n → 𝕜
⊢ (p n) y = (∏ i : Fin n, y i) • p.coeff n
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
⊢ ¬LSeriesSummable f s → LSeries f s = 0
m : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ZMod m
this : NeZero m
⊢ ¬Summable ({n | ↑n = k}.indicator fun n => 1 / ↑n)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
f : α ≃ β
⊢ (M.mapEquiv f).E = ⇑f '' M.E
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z
⊢ Set.Ici k ⊆ {x | (fun n => f ^ n • val z ∈ ⇑(algebraMap A (at Submonoid.powers f)) '' ↑(𝒜 (n • m))) x}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
Inv γ
ContinuousInv γ
f : C(β, γ)
g : C(α, β)
⊢ f⁻¹.comp g = (f.comp g)⁻¹
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
n : ℕ
this✝ : (L.op.mapComposableArrows n).EssSurj
this : (L.mapComposableArrows n ⋙ (opEquivalence D n).functor.rightOp).EssSurj
⊢ (L.mapComposableArrows n).EssSurj
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
n : ℕ
⊢ ⌈a + ↑n⌉ = ⌈a⌉ + ↑n
α : Type u
p : Prop
Decidable p
t : p → Set α
x : α
⊢ (x ∈ if h : p then t h else ∅) ↔ ∃ (h : p), x ∈ t h
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ (PMF.uniformOfFinset s hs).support = ↑s
α : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Multiset.map (fun x => c + x) (Multiset.Ioo a b) = Multiset.Ioo (c + a) (c + b)
α : Type u
OrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ 0 < a → -a < 0
α : Type u
l : List α
⊢ ∀ (a : Fin l.length), (List.equivSigmaTuple l).snd a = l.get a
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
m : M
s : Set ι
⊢ m ∈ Submodule.span R (⇑b '' s) ↔ ↑(b.repr m).support ⊆ s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 (↑A) (↑B) f
hf' : Set.BijOn f ↑A ↑B
s : Finset β
hsB : s ⊆ B
hcard : s.card = mulRothNumber B
hs : ThreeGPFree ↑s
hsA : invFunOn f ↑A '' ↑s ⊆ ↑A
⊢ mulRothNumber B ≤ mulRothNumber A
M : Type u_1
S : Set M
AddGroup M
a b : M
ha : a ∈ S.addCentralizer
hb : b ∈ S.addCentralizer
⊢ a - b ∈ S.addCentralizer
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddMonoid M
S : Set (AddMonoidAlgebra R M)
hS : Algebra.adjoin R S = ⊤
⊢ Algebra.adjoin R (⋃ f ∈ S, AddMonoidAlgebra.of' R M '' ↑f.support) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
κ : Kernel α β
a✝ : α
s✝ : Set β
hs : MeasurableSet s✝
⊢ (κ a✝) (id '' s✝) = (κ a✝) s✝
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
⊢ μ.rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] fun x => 1
α : Type u
SemilatticeSup α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ (fun x x_1 => x ⊔ x_1) = maxDefault
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LE α
inst✝¹ : MulOneClass α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : MulLECancellable a
⊢ a ≤ a * b ↔ a * 1 ≤ a * b
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R B
inst✝ : Module R C
S T : NonUnitalSubalgebra R A
h : S.toSubmodule = T.toSubmodule
x : A
⊢ x ∈ S ↔ x ∈ T
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_4
S : Type u_5
Fintype n
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
M : Matrix m n R
i : m
⊢ (M.map ⇑f).toMvPolynomial i = (MvPolynomial.map f) (M.toMvPolynomial i)
α : Type u
⊢ Cardinal.mk (ULift.{v, u} α) = Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk α)
α : Type u_2
Zero α
a : α
⊢ a ∈ 0 ↔ a = 0
K : Type u_1
inst✝ : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
M : Λ → Stmt₂
S : Finset Λ
q₁ q₂ : Stmt₂
h₁ : q₁ ∈ stmts₁ q₂
⊢ ∀ x ∈ S, q₂ ∈ stmts₁ (M x) → ∃ a ∈ S, q₁ ∈ stmts₁ (M a)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ Polynomial.derivative (bernsteinPolynomial R n 0) = -↑n * bernsteinPolynomial R (n - 1) 0
x : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : x.im < 0
⊢ x.arg = Real.arcsin ((-x).im / Complex.abs x) - π
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c : E
l l' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v : ι → ℝ
l'.IsMeasurablyGenerated
Filter.TendstoIxxClass Set.Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Filter.Tendsto f (l' ⊓ MeasureTheory.ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Filter.Tendsto u lt l
hv : Filter.Tendsto v lt l
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hd : Disjoint x z
hz : z ≤ y
hs : y ≤ x ⊔ z
⊢ y ⊓ x ⊓ z = ⊥
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p : P
⊢ ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 p).symm = fun p' => p' -ᵥ p
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
⊢ Summable fun n => rexp (-↑n)
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
m n : ℕ
⊢ A ^ (↑m * -[n+1]) = (A ^ ↑m) ^ -[n+1]
α : Type u_1
LE α
AddZeroClass α
i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x + x_1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : AddLECancellable a
⊢ a ≤ b + a ↔ 0 ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : (μ + ν) t ≠ ⊤
⊢ ν (toMeasurable (μ + ν) t ∩ s) = ν (t ∩ s)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ
a : Γ
⊢ cons (map f (cons a l)).head (map f (cons a l)).tail = cons (f.f a) (map f l)
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
f : α → m β
arr : Array α
i : Nat
r : Array β
⊢ Array.mapM.map f arr i r = List.foldlM (fun bs a => bs.push <$> f a) r (List.drop i arr.data)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
W₁.IsMultiplicative
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} D
L : CategoryTheory.Functor C₂ D
L.IsLocalization W₂
X₂ : C₂
X₃ : D
y : L.obj X₂ ⟶ X₃
R : Φ.RightResolution X₂
⊢ (CategoryTheory.LocalizerMorphism.IsRightDerivabilityStructure.Constructor.fromRightResolution Φ L y).obj R =
  CategoryTheory.CostructuredArrow.mk
    (CategoryTheory.StructuredArrow.homMk
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Localization.isoOfHom L W₂ R.w ⋯).inv y) ⋯)
N : ℕ
A : SL(2, ℤ)
⊢ A ∈ CongruenceSubgroup.Gamma0 N ↔ ↑(↑A 1 0) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ Monotone f
α : Type u_1
DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'
⊢ HEq (Multiset.Pi.cons (a' ::ₘ m) a b (Multiset.Pi.cons m a' b' f))
  (Multiset.Pi.cons (a ::ₘ m) a' b' (Multiset.Pi.cons m a b f))
R : Type u_1
CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
I : Ideal R
⊢ I = ⨅ f ∈ S, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away f)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away f)) I)
α : Type u_1
Primcodable α
n : ℕ
⊢ Computable Mathlib.Vector.length
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Set α
hs : IsLowerSet s
ht : IsLowerSet t
⊢ s ⊆ t ∨ t ⊆ s
R : Type u
CommRing R
f g : R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hu₁ : ∀ x ∈ U, g ∈ x.asIdeal.primeCompl
hu₂ : ∀ x ∈ U, f ∈ x.asIdeal.primeCompl
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f g U hu₁ * AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R g f U hu₂ = 1
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat e n d → decide (↑n / ↑d < -1) = true → 0 < Real.log e
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} V
inst✝⁸ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.62271, u_2} W
inst✝⁶ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{?u.62296, u_3} W₁
inst✝⁴ : Category.{?u.62300, u_4} W₂
inst✝³ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝² : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c✝
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
F G : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
α : F ≅ G
c : ComplexShape ι
⊢ NatTrans.mapHomologicalComplex α.hom c ≫ NatTrans.mapHomologicalComplex α.inv c = 𝟙 (F.mapHomologicalComplex c)
X : Type u_1
ι : Type u_3
TopologicalSpace X
hι : Countable ι
s : ι → Set X
hcomp : ∀ (i : ι), IsCompact (s i)
⊢ IsSigmaCompact (⋃ i, s i)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g : β → E
hg : MeasureTheory.Memℒp g p (MeasureTheory.Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (g ∘ f) p μ
M : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid M
ExistsAddOfLE M
a b d : M
⊢ Set.BijOn (fun x => x + d) (Set.Ioo a b) (Set.Ioo (a + d) (b + d))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => Real.sin (f x)) (Real.cos (f x) • f') s x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
g : γ → β
hg : Function.Injective g
f : β → α
hf : Function.support f ⊆ Set.range g
⊢ ∑' (c : γ), f (g c) = ∑' (b : β), f b
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
⊢ Function.Injective ⇑(frobenius R p)
α : Sort u_1
WellFoundedRelation α
a b : α
⊢ WellFoundedRelation.rel a b → ¬WellFoundedRelation.rel b a
R : Type u
Ring R
⊢ Polynomial.restriction 0 = 0
n : ℕ
⊢ Ring.multichoose (-↑n) n = (-1) ^ n
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
i : σ
⊢ (MvPolynomial.X i).IsHomogeneous 1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : k ≠ 0
⊢ k • p.ball 0 r = p.ball 0 (‖k‖ * r)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
x : α
t : Finset α
f : α → β
s : β
hx : x ∉ t
i : α
hi : i ∈ t
⊢ i ≠ x
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
a : α
s : Set β
f : β → α
H : IsLUB (f '' s) a
Hne : s.Nonempty
⊢ ⨆ i, f ↑i = a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
l : Filter β
f : α → β
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) Filter.atBot l ↔ Filter.Tendsto f (𝓝[>] a) l
α : Type u
Preorder α
s : Set α
⊢ BddAbove s ↔ ∃ a, s ⊆ Set.Iic a
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
hb : 1 ≤ b
⊢ a ≤ a ^ b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ a ∆ (￢a) = ⊤
n a b : ℕ
han : a ≤ n
hbn : b ≤ n
⊢ ↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
hδ : 0 ≤ δ
⊢ cthickening δ ∅ = ⋃ x ∈ closure ∅, closedBall x δ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
F : CategoryTheory.Limits.StrongEpiMonoFactorisation f
⊢ CategoryTheory.StrongEpi (CategoryTheory.Limits.factorThruImage f)
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hs_mem : t ∈ hC.diffFinset hs ht
⊢ False
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
g : M' → M''
x : M
hf : ContMDiffAt I I' n f x
hg : ContMDiffAt I' I'' n g (f x)
⊢ ContMDiffAt I I'' n (g ∘ f) x
F : PFunctor.{u}
xs : PFunctor.Approx.Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
⊢ PFunctor.M.IsPath (⟨a, i⟩ :: xs) (PFunctor.M.mk ⟨a, f⟩) → PFunctor.M.IsPath xs (f i)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
CategoryTheory.Limits.HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g : CategoryTheory.Limits.widePushout B objs arrows ⟶ X
⊢ (∀ (j : J), CategoryTheory.Limits.WidePushout.ι arrows j ≫ g = fs j) →
  CategoryTheory.Limits.WidePushout.head arrows ≫ g = f → g = CategoryTheory.Limits.WidePushout.desc f fs w
α : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
uc : UniformContinuous (pkg.compare pkg')
uc' : UniformContinuous (pkg'.compare pkg)
⊢ ∀ (a : α), (pkg.compare pkg' ∘ pkg'.compare pkg) (pkg'.coe a) = id (pkg'.coe a)
α : Type u_1
Preorder α
OrderBot α
LocallyFiniteOrder α
⊢ Finset.Iic = Finset.Icc ⊥
n : ℕ
ι : Type u_1
e : Fin (n + 1) ↪ ι
⊢ ↑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd = e 0
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ -a < b ↔ 0 < a + b
n b e : ℕ
h_b_pos : 0 < b
⊢ n < b ^ e.succ → n / b < b ^ e
R : Type u_1
CommRing R
x y z : R
⊢ IsRelPrime (x + z * y) y ↔ IsRelPrime x y
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
x y : X
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
d : ℝ≥0∞
hd : edist x y ≤ d
⊢ edist (f x) (f y) ≤ ↑C * d ^ ↑r
α : Type u_1
CompleteLattice α
β : Type u_2
CompleteLattice β
f : α ≃o β
⊢ f (Order.radical α) = Order.radical β
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
Z : C
f : Z ⟶ X
⊢ α.homToEquiv f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f α.hom
R : Type u
S : Type v
Ring R
Semiring S
F' : Type u_2
EquivLike F' R S
RingEquivClass F' R S
f : F'
⊢ RingHom.ker f = ⊥
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (↑n / ↑d < 0) = true
h₂ : decide (-1 < ↑n / ↑d) = true
⊢ Real.log e ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
y : E
hy : y ≠ x
hr : 0 ≤ r
this : ‖y - x‖ ≠ 0
⊢ |r| * (|‖y - x‖|⁻¹ * ‖y - x‖) = r
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n + ↑r
⊢ x + ↑r ≠ ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n) ∧ |x + ↑r - ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id n) ^ p
f g : MulRingNorm ℚ
⊢ (∃ c, 0 < c ∧ ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = g ↑n) ↔ f.equiv g
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3 = π
⊢ EuclideanGeometry.angle p2 p3 p1 = 0
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r✝
a : α
r : α → α → Prop
h : ∀ (b : α), ¬Acc r b → ¬r b a
b : α
hr : r b a
hb : ¬Acc r b
⊢ False
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
a b : ℂ
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 b)
ha : a ∈ Complex.slitPlane
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x ^ g x) l (𝓝 (a ^ b))
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
Nontrivial R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Finite R M
Module.Free R M
⊢ LieModule.rank R L M ≤ FiniteDimensional.finrank R M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
⊢ ∀ (x : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))), ContinuousAt (fun f => ∫ (x : β), ∫ (y : γ), ↑↑f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a) x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq γ
f : γ → β
g : α → γ
⊢ ∏ a ∈ s, f (g a) = ∏ b ∈ image g s, f b ^ (filter (fun a => g a = b) s).card
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Finite R M
Module.Free R M
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ p
hf' : ∀ x ∈ p, f x ∈ p := ⋯
⊢ (LinearMap.trace R ↥p) (f.restrict hf') = (LinearMap.trace R M) f
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G
⊢ ↑K ∩ H.toSubsemigroup.1 = ↑(H ⊓ K)
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
⊢ LiouvilleWith p (x - ↑m) ↔ LiouvilleWith p x
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Module (MvPolynomial σ R) A
f : σ → A
i : σ
⊢ (MvPolynomial.mkDerivationₗ R f) (MvPolynomial.X i) = f i
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
hpk₂ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 }
⊢ False
E : Type u_4
OrderedRing E
TopologicalSpace E
OrderClosedTopology E
l : E
f : ℕ → E
hfl : Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) Filter.atTop (𝓝 l)
hfm : Monotone f
k : ℕ
⊢ l ≤ ∑ i ∈ Finset.range (2 * k), (-1) ^ i * f i
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v) = ⊥
f : M →ₗ[R] M'
hf_inj : comap (Finsupp.total ι M R v) (LinearMap.ker f) = ⊥
⊢ LinearMap.ker (Finsupp.total ι M' R (⇑f ∘ v)) = ⊥
m : Type u_2
R : Type u_5
α : Type v
ι : Type u_6
SMul R α
x : R
v : m → α
⊢ Matrix.row ι (x • v) = x • Matrix.row ι v
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Absorbent 𝕜 s
⊢ 0 ∈ s
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)
re_diag_eq_norm_sum : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
⊢ ‖U i j‖ ≤ 1
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range n, exp A ^ k = mk fun p => ∑ k ∈ Finset.range n, ↑k ^ p * (algebraMap ℚ A) (↑p !)⁻¹
x y z : ℝ
⊢ StrictMono fun x => sinh x - x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.StructuredArrow S T
⊢ f = CategoryTheory.StructuredArrow.mk f.hom
R : Type u₁
S : Type u₂
Ring R
Ring S
f : R →+* S
M : ModuleCat S
r : R
m : ↑M
⊢ let m' := m;
r • m' = f r • m