ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
n : ℕ
⊢ ⌈a + ↑n⌉ = ⌈a⌉ + ↑n
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
h : f.coeff (f.natDegree - 1) = 0
⊢ f.eraseLead.coeff (f.natDegree - 1) = 0
G : Type u_3
Group G
a : G
⊢ a / a = 1
X : Type u
TopologicalSpace X
p : X → Prop
⊢ Continuous Subtype.val
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s✝ : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
f : (i : ι) → Filter (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
i : ι
s : Set (α i)
hs : s ∈ map (eval i) (pi f)
⊢ s ∈ f i
α : Type u
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
⊢ {s | IsOpen s} = {s | IsOpen s} ∩ {s | IsOpen s}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C)
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.KaroubiKaroubi.inverse C).obj P).X = P.X.X
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ Disjoint (Ioc a₁ a₂) (Ioc b₁ b₂) ↔ min a₂ b₂ ≤ max a₁ b₁
X Y : LightProfinite
f : X ⟶ Y
h : EffectiveEpi f
⊢ Epi f
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Set.Ioi a ≤ Set.Ici a
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
ht : BddAbove t
hs : s.Nonempty
h : s ⊆ t
⊢ sSup s ≤ sSup t
n : ℕ
⊢ descPochhammer ℤ n = (ascPochhammer ℤ n).comp (Polynomial.X - ↑n + 1)
n m : Nat
h : LE.le n m
⊢ Eq (n.ble m) true
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hf : Summable fun x => ‖term (logMul 1) s x‖
n : ℕ
hΛ : ‖(fun n => ↑(Λ n)) n‖ ≤ ‖Complex.log ↑n‖
⊢ ‖↑(Λ n)‖ ≤ ‖logMul 1 n‖
p : Char → Bool
s : Substring
⊢ s.Valid → (s.dropWhile p).toString.data = List.dropWhile p s.toString.data
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : Countable ι
U : ι → Set α
hU : ⋃ i, U i = univ
H : ∀ (i : ι), μ (U i) ≤ 0
⊢ μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : β → α
hf : Antitone f
hg : StrictAnti g
⊢ StrictAnti fun x => f x + g x
c : Code
h : c.Ok
v : List ℕ
⊢ (do let v ← c.eval v Turing.eval step (Cfg.ret Cont.halt v)) = do let a ← c.eval v pure (Cfg.halt a)
G : Type u_3
Mul G
IsRightCancelMul G
a : G
b c : G
⊢ b * a = c * a ↔ b = c
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
hIJ : I ≤ J
r : S
p : R[X]
p_ne_zero : Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p ≠ 0
hpI : eval₂ f r p ∈ I
hrJ : r ∈ ↑J
hrI : r ∉ ↑I
rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0
rbar_mem_J : (Quotient.mk I) r ∈ map (Quotient.mk I) J
quotient_f : ∀ x ∈ comap f I, ((Quotient.mk I).comp f) x = 0
rbar_root : eval₂ (Quotient.lift (comap f I) ((Quotient.mk I).comp f) quotient_f) ((Quotient.mk I) r) (Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p) = 0
⊢ ∃ i, p.coeff i ∈ ↑(comap f J) \ ↑(comap f I)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ {a}.toFinset = {a}
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
u : α → β
hu : UniformInducing u
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ EquicontinuousWithinAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) S x₀
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (f.restrict s).lintegral μ = f.lintegral (μ.restrict s)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
X : CategoryTheory.Comma L₂ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).inverse.obj X).left = X.left
G : Type w
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
x b : G
⊢ (Homeomorph.subRight x).symm b = b + x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s✝ t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
s : Set α
f g : α → M
x✝ : α
h✝ : x✝ ∉ s
⊢ 1 = 1 * 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ logDeriv (fun x => x) x = 1 / x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
h : ↑r' < r
a C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
r'0 : 0 < ↑r'
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 0, ‖f (x + x_1) - p.partialSum n x_1‖ ≤ C * (a / ↑r') ^ n * ‖‖x_1‖ ^ n‖
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α✝
inst✝² : FloorRing α✝
z : ℤ
a✝ : α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing α
inst✝ : FloorRing α
a b : α
h : ⌊a⌋ = ⌊b⌋
this✝¹ : a < ↑⌊a⌋ + 1
this✝ : b < ↑⌊b⌋ + 1
this : ↑⌊a⌋ = ↑⌊b⌋
⊢ |a - b| < 1
X : LightProfinite
⊢ lightProfiniteToLightDiagram.obj X = X.toLightDiagram
w x y z : SetTheory.PGame
h₁ : w ≈ x
h₂ : y ≈ z
⊢ w - y ≈ x - z
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Finite β
f : Perm α
e : α ≃ β
t : List β
s : List α
hs : ∀ (x : α), x ∈ ⟦s⟧
ht : ∀ (x : β), x ∈ ⟦t⟧
n : ℕ
e' : β ≃ Fin n
⊢ signAux ((e'.symm.trans ((e.symm.trans f).trans e)).trans e') = signAux (((e.trans e').symm.trans f).trans (e.trans e'))
α : Type u_1
ι : Type u_2
LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
Nontrivial α
DenselyOrdered α
ExistsAddOfLE α
Finite ι
x y : ι → α
h : ∀ (i : ι), x i < y i
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∀ (i : ι), x i + ε < y i
G : Type u_3
CommSemigroup G
a b c : G
⊢ a * (b * c) = b * (c * a)
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * (↑sa * r₂) = rb * ↑s₁
hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S
ha' : ↑(sb * sa * s₂) = ↑sb * ra * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * (↑sb * ra * r₃) = rc * ↑s₁
hc' : ((↑sb * ra) • r₃ /ₒ (sb * sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rc • r₁ /ₒ (sc * (sb * sa * s₂))
⊢ ((↑sc * rb + rc) * ↑s₁ /ₒ (sc * sb * (sa * s₂))) • (r₁ /ₒ s₁) = (↑sc • rb • r₁ + rc • r₁) /ₒ (sc * (sb * (sa * s₂)))
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Submodule.torsion R (M ⧸ Submodule.torsion R M) = ⊥
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f g : α → β
comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)
⊢ s.noncommProd (f * g) ⋯ = s.noncommProd f comm_ff * s.noncommProd g comm_gg
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
V : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : V → E
CompleteSpace E
hf : MeasureTheory.Integrable f MeasureTheory.volume
h'f : MeasureTheory.Integrable (𝓕 f) MeasureTheory.volume
v : V
hv : ContinuousAt f v
⊢ 𝓕 (𝓕⁻ f) v = f v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e : β → α
h_e : UniformInducing e
h_dense : DenseRange e
f : β → γ
h_f : UniformContinuous f
inst✝ : CompleteSpace γ
d : Set (γ × γ)
hd : d ∈ 𝓤 γ
s : Set (γ × γ)
hs : s ∈ 𝓤 γ
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
h_pnt : ∀ {a : α} {m : Set α}, m ∈ 𝓝 a → ∃ c ∈ f '' (e ⁻¹' m), (c, ⋯.extend f a) ∈ s ∧ (⋯.extend f a, c) ∈ s
this✝ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β
this : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ comap (Prod.map e e) (𝓤 α)
t : Set (α × α)
ht : t ∈ 𝓤 α
ts : Prod.map e e ⁻¹' t ⊆ Prod.map f f ⁻¹' s
x✝ : α × α
x₁ x₂ : α
hx_t : (x₁, x₂) ∈ interior t
⊢ (x₁, x₂) ∈ Prod.map (⋯.extend f) (⋯.extend f) ⁻¹' d
R : Type u
M : Type v
r : R
m : M
⊢ TrivSqZeroExt.snd (r, m) = m
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Iic a) a
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Iic a)
x : ℝ
hx : x ∈ Iic a
⊢ ∫ (x : ℝ) in id x..a, f' x = f a - f x
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
⊢ False
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih' : ∀ (a : Args), TransGen (CutExpand IsOption) (match a with | Args.P1 x y => {y} + {x} | Args.P24 x₁ x₂ y => {x₁} + ({y} + {x₂})) ({x₁} + ({y} + {x₂})) → P124 a
⊢ {x₁} + ({y} + {x₂}) = {x₂} + ({y} + {x₁})
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t α
⊢ map f <$> traverse g x = traverse (map f ∘ g) x
c : Char
l r : List Char
h : ValidFor (c :: l) r { s := { data := (c :: l).reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len (c :: l).reverse } }
this : { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l.reverse + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l.reverse }
⊢ ValidFor l (c :: r) { s := { data := (c :: l).reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len (c :: l).reverse } }.prev
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (𝟙 A).hom₂ = 𝟙 A.obj₂
F : Type u_1
E : Type u_2
Field F
Ring E
Algebra F E
S : Subalgebra F E
⊢ FiniteDimensional F ↥(Subalgebra.toSubmodule S) ↔ FiniteDimensional F ↥S
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
h : 0 ≠ 1
p : R[X]
hp : p.Monic
⊢ p ≠ 0
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α
⊢ List.map ofList (List.map pure l) <+~ List.map ofList l.sublists
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
i : X ⟶ Y
f : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso i
S : CategoryTheory.Sieve Z
⊢ S.arrows (CategoryTheory.CategoryStruct.comp i f) ↔ S.arrows f
M : Type u_7
α : Sort u_8
CommMonoid M
f : α → M
⊢ finprod f = if h : (Function.mulSupport (f ∘ PLift.down)).Finite then ∏ i ∈ h.toFinset, f i.down else 1
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
⊢ (∃ g, S = {g}) → IsComplement univ S
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
m : ↥N
⊢ ↑(-m) = -↑m
x : ℝ
⊢ Real.arcsin x < 0 ↔ x < 0
R : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
⊢ ⊥ * S = ⊥
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
g : γ → δ
f' : β' → α' → δ
g₁ : β → β'
g₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)
⊢ g '' image2 (fun a b => f b a) t s = image2 f' (g₁ '' t) (g₂ '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : r ≃r s
g : s ≺i t
a : α
⊢ (PrincipalSeg.equivLT f g).toRelEmbedding a = g.toRelEmbedding (f a)
α : Type u
β : Type v
a : α
as : List α
f : α → Option β
⊢ List.findSome? f (a :: as) =
  match f a with
  | some b => some b
  | none => List.findSome? f as
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
M✝ : ModuleCat R
M M' : ModuleCat R
g : M ⟶ M'
s : S
h : ↑(obj' f M)
t : S
⊢ g ((s • h) t) = (s • g ∘ₗ h) t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
n : M
X : C
⊢ (F.obj n).map (F.εIso.inv.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ (𝟙_ M) n).app X)
    ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor n).hom).app X)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map hU.fromSpec.val.base).obj (X.basicOpen f) =
  (AlgebraicGeometry.Spec (X.presheaf.obj (Opposite.op U))).basicOpen
    ((AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso (X.presheaf.obj (Opposite.op U))).inv f)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ν.restrict s, μ.rnDeriv ν x < ⊤
α✝ : Type u
β✝ : Type v
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddCommGroup β
f g : α → β
hf : IsAddGroupHom f
hg : IsAddGroupHom g
⊢ IsAddGroupHom fun a => f a - g a
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup
m : Fin 2 →₀ ↥M := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩
hm : (M.mulRightMap n) m = 0
⊢ False
n : ℕ
a : Fin (n + 2)
b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ Fin.last (n + 1)
hb : b ≠ Fin.last n
⊢ a.succAbove b ≠ Fin.last (n + 1)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.12795, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12799, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : h.IsPreservedBy F
this✝ : PreservesLimit (parallelPair S.g 0) F
this : PreservesColimit (parallelPair h.f' 0) F
wi : F.map h.i ≫ F.map S.g = 0
hi : IsLimit ((KernelFork.ofι h.i ⋯).map F)
f' : F.obj S.X₁ ⟶ F.obj h.K := hi.lift (KernelFork.ofι (S.map F).f ⋯)
hf' : f' = F.map h.f'
wπ : f' ≫ F.map h.π = 0
⊢ (S.map F).LeftHomologyData
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
hx : IsFixedPt f x
hy : IsFixedPt f y
h : ¬edist x y = ⊤
⊢ edist x y ≤ 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f μ
hN : μ N = 0
⊢ ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
z : ℤ
⊢ ContinuousOn (fun x => f x ^ z) s
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
⊢ e.toPartialEquiv.source = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f✝ g✝ : (i : α) → δ i
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
⊢ (InjOn f s ∧ InjOn g sᶜ ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ sᶜ, s.piecewise f g x ≠ s.piecewise f g y) ↔ InjOn f s ∧ InjOn g sᶜ ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∉ s, f x ≠ g y
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
⊢ ↑((Ideal.associatesEquivIsPrincipal R) 0) = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : PseudoEpimorphism β γ
f : PseudoEpimorphism α β
a : α
⊢ (g.comp f) a = g (f a)
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ : Finset α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
⊢ ∑ a ∈ s * t, (filter (fun x => match x with | (x, y) => x * y = a) (s ×ˢ t)).card ^ 2 = ∑ a : α, (filter (fun x => match x with | (x, y) => x * y = a) (s ×ˢ t)).card ^ 2
α : Type u_1
s : α → α → Bool
l r t : List α
⊢ List.merge.loop s l r t = t.reverseAux (List.merge s l r)
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
m : MeasureTheory.AddContent C
hC : MeasureTheory.IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ m s - m t ≤ m (s \ t)
R : Type u_1
Semiring R
p q : Polynomial R
S : Type u_2
NonAssocSemiring S
Module R S
IsScalarTower R S S
SMulCommClass R S S
Pow S ℕ
NatPowAssoc S
x : S
⊢ (p * q).smeval x = p.smeval x * q.smeval x
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
h : ∀ (b : β), ∃ a, b ≤ f a
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hg : Measurable g
i : β → ℝ≥0∞
hi : Measurable i
h'i : i ≤ f
⊢ ∫⁻ (a : β), i a ∂Measure.map g μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ fun a => f (g a)), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
h_anti : AntitoneOn (deriv f) (interior D)
⊢ MonotoneOn (deriv (-f)) (interior D)
R✝ : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹⁵ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁴ : Semiring A₁
inst✝¹³ : Semiring A₂
inst✝¹² : Semiring A₃
inst✝¹¹ : Semiring A₁'
inst✝¹⁰ : Semiring A₂'
inst✝⁹ : Semiring A₃'
inst✝⁸ : Algebra R✝ A₁
inst✝⁷ : Algebra R✝ A₂
inst✝⁶ : Algebra R✝ A₃
inst✝⁵ : Algebra R✝ A₁'
inst✝⁴ : Algebra R✝ A₂'
inst✝³ : Algebra R✝ A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R✝] A₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
f : (S →ₐ[R] S)ˣ
x : S
⊢ ↑(f⁻¹ * f) x = x
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : FreeGroup α
L : List (α × Bool)
⊢ reduce (toWord (Quot.mk Red.Step L)) = toWord (Quot.mk Red.Step L)
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, t ^ (a - 1) * rexp (-(r * t)) = (1 / r) ^ a * Gamma a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : γ), ENNReal.ofReal (κ.density ν a x s) ∂ν a = (κ a) (Set.univ ×ˢ s)
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdim : finrank K ↥s + finrank K ↥t = finrank K V
hdisjoint : Disjoint s t
h_finrank_inf : finrank K ↥(s ⊓ t) = 0
⊢ s ⊔ t = ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
y : γ ⊕ δ
a : α
h : Sum.LiftRel r s (Sum.inl a) y
⊢ y.isLeft = true
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A A' B B' : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct A B
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct A' B'
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')
f : A ⟶ A'
g : B ⟶ B'
⊢ CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A B ≫ F.map (CategoryTheory.Limits.coprod.map f g) =
  CategoryTheory.Limits.coprod.map (F.map f) (F.map g) ≫ CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A' B'
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ 0 ≤ 1 - fract x ∧ 1 - fract x < 1 ∧ ∃ z, -x - (1 - fract x) = ↑z
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s
t : Set (α × α)
t_in : t ∈ 𝓤 α
t_symm : SymmetricRel t
t_sub : t ○ t ⊆ w
⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α, SymmetricRel t ∧ t ○ t ○ t ⊆ s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
a b : ℕ
⊢ Finset.Icc a b = { val := ↑(List.range' a (b + 1 - a)), nodup := ⋯ }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
r : ℝ≥0∞
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x = r} → f x = r
⊢ MeasurableSet {x | f x = r}
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a s : ℂ
hs : 0 < s.re + a.re
this : MellinConvergent ((Ioc 0 1).indicator fun a_1 => ↑a_1 ^ a) s ∧ mellin ((Ioc 0 1).indicator fun a_1 => ↑a_1 ^ a) s = 1 / (s + a)
⊢ HasMellin ((Ioc 0 1).indicator fun t => ↑t ^ a) s (1 / (s + a))
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m m α
U : Matrix m n α
V : Matrix n m α
hA : IsUnit A.det
⊢ (A + U * V).det = A.det * (1 + V * A⁻¹ * U).det
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type u_1
F : I → C
c : CategoryTheory.Limits.Fan F
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
A : C
f g : A ⟶ c.pt
h : ∀ (i : I), f ≫ c.proj i = g ≫ c.proj i
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
f₀ f₁ : F → 𝕜
f₀' f₁' x₀ x₁ : F
s₀ s₁ t : Set F
L₀ L₁ : Filter F
h : HasGradientAtFilter f f' x L
hL : f₁ =ᶠ[L] f
hx : f₁ x = f x
⊢ HasGradientAtFilter f₁ f' x L
a b c : ℕ
⊢ Ico 0 (a + b) = Ico 0 a ∪ image (⇑(addLeftEmbedding a)) (Ico 0 b)
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
π : δ → Type u_6
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
f : δ' ≃ δ
⊢ Measurable ⇑(Equiv.piCongrLeft π f)
R : Type u
CommSemiring R
x y : R
n : ℕ
H : IsCoprime x y
⊢ IsCoprime x (y ^ n)
n k : ℕ
x✝ : 2 ≤ k + 2
⊢ (n + 1).ascFactorial (k + 2) < (n + (k + 2)) ^ (k + 2)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a✝ : M
inst✝ : DecidableEq M
a : M
h : ∀ (a' : M), a' ≠ a → a' ∈ l → a' = 1
⊢ l.prod = (map id l).prod
α : Type u
p : α → Prop
⊢ {x | x ∈ ∅ ∧ p x} = ∅
α : Type u
l₁ l₂ : List α
⊢ List.Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂ → l₁ ≠ l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : δ → γ
hf : MeasurableEmbedding f
a : α
t : Set (β × δ)
ht : MeasurableSet t
b : β
⊢ (η (a, b)) {c | ∃ a b_1, (a, b_1) ∈ t ∧ a = b ∧ f b_1 = c} = ((η.comapRight hf) (a, b)) {c | (b, c) ∈ t}
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
p : K[X]
μ : K
x : V
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ ∀ (n : ℕ) (a : K), ((aeval f) (C a * X ^ n)) x = eval μ (C a * X ^ n) • x → ((aeval f) (C a * X ^ (n + 1))) x = eval μ (C a * X ^ (n + 1)) • x
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsUpper α
s : Set α
h : IsOpen s
⊢ IsUpperSet s
σ K : Type u
Fintype K
Field K
Fintype σ
⊢ FiniteDimensional.finrank K (MvPolynomial.R σ K) = Fintype.card (σ → K)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
SmoothManifoldWithCorners I M
SmoothManifoldWithCorners J N
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
hn : 1 ≤ n
s : Set M
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ UniqueMDiffOn J (⇑h '' s)
n : ℤ
hn : Even n
⊢ n.negOnePow = 1
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
v w : V
⊢ G.Adj v w ↔ v ≠ w ∧ ∃ e ∈ G.edgeSet, v ∈ e ∧ w ∈ e
C : ℕ → Sort u_1
h0 : C 0
h : (n : ℕ) → C n → C (n + 1)
⊢ Nat.rec h0 h 0 = h0
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (y : Cardinal.{u}), a ∣ y
ha : a ≠ 0
t : Cardinal.{u}
ht : 1 = a * t
⊢ a = 1
a b : Prop
ha : ¬a
hb : b
⊢ a ≠ b