ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq β
t₁ t₂ : Finset β
hf : Injective (f a)
⊢ image₂ f {a} (t₁ ∩ t₂) = image₂ f {a} t₁ ∩ image₂ f {a} t₂
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
b : β i
j✝ j : ι
⊢ (update i f 0) j = (erase i f) j
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝² : G.IsCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
W : C
i : G.obj W ⟶ X
V₁ : C
iVW : V₁ ⟶ W
iV₁Y₁ : V₁ ⟶ Y₁
e₁ : G.map iV₁Y₁ = G.map iVW ≫ i ≫ f₁
V₂ : C
iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁
iV₂Y₂ : V₂ ⟶ Y₂
e₂ : G.map iV₂Y₂ = G.map iV₂V₁ ≫ G.map iVW ≫ i ≫ f₂
⊢ ∀ ⦃Z_1 : C⦄ (j : Z_1 ⟶ V₂), j ≫ iV₂V₁ ≫ iV₁Y₁ ≫ g₁ = j ≫ iV₂Y₂ ≫ g₂ → ℱ.val.map (G.map j).op (ℱ.val.map (G.map iV₂V₁).op (ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁))))) = ℱ.val.map (G.map j).op (ℱ.val.map (G.map iV₂V₁).op (ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)))))
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
ht : 0 ∈ Set.Icc 0 1
hyx : (lineMap x z) 0 ≠ x
hyz : (lineMap x z) 0 ≠ z
⊢ (lineMap x z) 0 ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
Preorder α
TopologicalSpace α
BoundedGENhdsClass α
f : Filter ι
u : ι → α
a : α
h : Filter.Tendsto u f (𝓝 a)
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ (μ.withDensityᵥ fun x => f x + g x) = μ.withDensityᵥ f + μ.withDensityᵥ g
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedSpace ℝ E
OpensMeasurableSpace X
T2Space X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
g : X → ℝ
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => g x • f x) μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
⊢ (CategoryTheory.comonadToFunctor C).obj G = G.toFunctor
q : ℚ≥0
⊢ q.num.Coprime q.den
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy (φ₁ - φ₂) 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.equivSubZero φ₁ φ₂).symm h =
  ((CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofEq ⋯).trans (h.add (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.refl φ₂))).trans
    (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofEq ⋯)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
Y Y' : C
f : Y ⟶ Y'
Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z))
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y' Z).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f) Z)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
RingHomIsometric σ₂₁
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ AntilipschitzWith ‖↑e.symm‖₊ ⇑e
α : Type u_1
s : Set α
LE α
OrderBot α
h : IsMaxChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ ⊥ ∈ s
n : ℕ
⊢ (Composition.ones n).length = n
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
d : Dir
q : Stmt Bool Λ' σ
v : σ
i : ℕ
IH : ∀ (T : Tape Bool), stepAux ((Stmt.move d)^[i] q) v T = stepAux q v ((Tape.move d)^[i] T)
T : Tape Bool
⊢ stepAux ((Stmt.move d)^[i + 1] q) v T = stepAux q v ((Tape.move d)^[i + 1] T)
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
e : Equiv.Perm α
f : α ↪ β
b : β
h : b ∉ Set.range ⇑f
⊢ (e.viaFintypeEmbedding f) b = b
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
lv : All (fun x => cmpLT cmp x v) l
vr : All (fun x => cmpLT cmp v x) r
hl : Ordered cmp l
hr : Ordered cmp r
⊢ Ordered cmp (l.balRight v r)
α : Type u_1
X : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace X
TopologicalSpace.MetrizableSpace X
Nonempty X
f : α → α
h : Ergodic f μ
g : α →ₘ[μ] X
hg_eq : g.compMeasurePreserving f ⋯ = g
⊢ ∃ c, g = MeasureTheory.AEEqFun.const α c
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ W'.dblX (u • P) = (u ^ 4) ^ 2 * W'.dblX P
X : Type u_1
TopologicalSpace X
BaireSpace X
s t : Set X
hs : IsGδ s
ht : IsGδ t
hsc : Dense s
htc : Dense t
⊢ Dense (s ∩ t)
N : ℕ
k n : ℤ
f : SlashInvariantForm (Gamma N) k
z : ℍ
Hn : ModularGroup.T ^ (↑N * n) ∈ Gamma N
⊢ f z = (↑(↑↑↑⟨ModularGroup.T ^ (↑N * n), Hn⟩ 1 0) * ↑z + ↑(↑↑↑⟨ModularGroup.T ^ (↑N * n), Hn⟩ 1 1)) ^ k * f z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
M : Type w'
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
W.IsCompatibleWithShift M
X Y Z T : C
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a : M
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M X T
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y T
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z T
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M T T
α : CategoryTheory.Localization.SmallShiftedHom W X Y a₁
β : CategoryTheory.Localization.SmallShiftedHom W Y Z a₂
γ : CategoryTheory.Localization.SmallShiftedHom W Z T a₃
h₁₂ : a₂ + a₁ = a₁₂
h₂₃ : a₃ + a₂ = a₂₃
h : a₃ + a₂ + a₁ = a
⊢ (α.comp β h₁₂).comp γ ⋯ = α.comp (β.comp γ h₂₃) ⋯
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
m : ι → MeasurableSpace Ω
hm : ∀ (i : ι), m i ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.iCondIndep m' hm' m μ ↔
  ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
    (∀ i ∈ s, MeasurableSet (f i)) →
      μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᵐ[μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s✝ : Finset α
f : α ↪ β
s : Finset α
⊢ ∀ (x : β), x ∈ ↑(map f s) ↔ x ∈ ⇑f '' ↑s
α β : Type u
S : Set ℕ
h' : #↑S < #ℕ
h : lift.{u_1, 0} #↑S < ℵ₀
⊢ ∃ n, lift.{u_1, 0} #↑S = ↑n
R : Type u_3
A : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid A
Module R A
a : A
⊢ (Unitization.inrHom R A) a = ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝ : PosSMulMono α β
h : a < 0
⊢ b₁ ≤ a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ ≤ a • b₁
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
hα' : weightSpace M α ≠ ⊥
e : (chainTop α β).IsZero
⊢ weightSpace M α = ⊥
f : Bool → Bool → Bool
a b : Bool
m n : ℕ
⊢ (bif f true false then -[Nat.bitwise (fun x y => !f (!x) y) (Nat.bit (!a) m) (Nat.bit b n)+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f (!x) y) (Nat.bit (!a) m) (Nat.bit b n))) = bit (f a b) (bif f true false then -[Nat.bitwise (fun x y => !f (!x) y) m n+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f (!x) y) m n))
β : Type u_5
NormedRing β
Nontrivial β
⊢ 1 ≤ ‖1‖₊
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
h : ∀ J ∈ π, l.MemBaseSet J c r (πi J)
hp : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition
hc : l.bDistortion = true → π.compl.distortion ≤ c
⊢ l.MemBaseSet I c r (π.biUnionTagged πi)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d e : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F K d
he : 1 + d = e
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inl φ).comp ((↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).comp γ he) ⋯ = γ
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U = ⨆ i, ↑↑i
h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U
n : ↑s → ℕ
hn : ∀ (i : ↑s), (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n i * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x = 0
this : Finite ↑s
val✝ : Fintype ↑s
⊢ f ^ Finset.univ.sup n * x = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
α : Type u_10
s : Finset α
m : α → M
n : N
⊢ (∑ a ∈ s, m a) ⊗ₜ[R] n = ∑ a ∈ s, m a ⊗ₜ[R] n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t✝ : Set ι'
f : ι → Set α
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s
h_ne : i ≠ j
t : Set α
hfi : t ≤ f i
hfj : t ≤ f j
ht : ¬t ≤ ⊥
⊢ ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i ≠ j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Cᵒᵖ
⊢ ∀ (S T : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ) (f : S ⟶ T), IsIso ((J.diagram P (unop X)).map f)
n : ℤ
⊢ Odd n → n / 2 * 2 + 1 = n
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
hf_int : MeasureTheory.Integrable (fun a => f (X a, Y a)) μ
⊢ μ[fun a => f (X a, Y a)|MeasurableSpace.comap X mβ] =ᵐ[μ] fun a =>
  ∫ (y : Ω), f (X a, y) ∂(ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) (X a)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
⊢ EMetric.ball x 0 = ∅
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
⊢ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hfg : g ≤ f
f' : E →ₗ.[R] F
hf : f.graph.topologicalClosure = f'.graph
this : g.graph.topologicalClosure ≤ f'.graph
⊢ ∀ x ∈ g.graph.topologicalClosure, x.1 = 0 → x.2 = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
⊢ ‖↑p ^ n‖ = ↑p ^ (-n)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioi 1
⊢ x ∈ Set.Ioi 0
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ b ∈ Multiset.Icc a b ↔ a ≤ b
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
u : ↑s → Set X
u_open : ∀ (x : ↑s), IsOpen (u x)
xu : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ u x
hu : ∀ (x : ↑s), IntegrableOn f (u x ∩ s) μ
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : s ⊆ ⋃ i ∈ T, u i
⊢ ∃ T, T.Countable ∧ (∀ u ∈ T, IsOpen u) ∧ s ⊆ ⋃ u ∈ T, u ∧ ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Set α
IsRefl α r
hs : s.Subsingleton
⊢ s.PartiallyWellOrderedOn r
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x : L
χ : L → R
⊢ LieModule.weightSpace M χ ≤ LieModule.weightSpaceOf M (χ x) x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ha : Irreducible a
⊢ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors a = {normalize a}
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℤ
f : α → ℤ
⊢ (Multiset.map ((fun x => x % n) ∘ fun i => f i) s.val).sum % n = (Multiset.map (fun i => f i % n) s.val).sum % n
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup N✝
N : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
fb : f.NormNoninc
x : M ⧸ S
fb' : ‖f‖ ≤ ↑1
⊢ ‖(lift S f hf) x‖ ≤ ‖x‖
a : Int
xs : Lean.Omega.IntList
b : Int
ys : Lean.Omega.IntList
⊢ Lean.Omega.IntList.combo a xs b ys = a * xs + b * ys
M : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace M
Add M
m : MeasurableSpace α
f : α → M
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableAdd M
hf : AEMeasurable f μ
c : M
⊢ AEMeasurable (fun x => f x + c) μ
f : ℕ → ℝ
r : ℝ
hf : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 r)
⊢ (Hyperreal.ofSeq f).IsSt r
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
f' : E' →L[𝕂] F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasFDerivAt f f' x
hn : 1 ≤ n
u : Set E'
p : E' → FormalMultilinearSeries 𝕂 E' F'
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
H : u ∈ 𝓝 x
this : HasStrictFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕂 E' F') (p x 1)) x
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
M : Type u_1
L.Structure M
S : ι →o L.Substructure M
i : ι
x : ↥(S i)
⊢ (FirstOrder.Language.DirectLimit.Equiv_iSup S).symm ((FirstOrder.Language.Substructure.inclusion ⋯) x) =
  (FirstOrder.Language.DirectLimit.of L ι (fun x => ↥(S x))
      (fun x x_1 h => FirstOrder.Language.Substructure.inclusion ⋯) i)
    x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsLocalMinOn f s a
g : β → γ
hg : Antitone g
⊢ IsLocalMaxOn (g ∘ f) s a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
H₁ : S₁.HomologyData
H₂ : S₂.HomologyData
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₀ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g h₃ = 0
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃) H₁ H₂ = 0
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
⊢ (span ℂ (range fourier)).topologicalClosure = ⊤
γ : Type w
SemilatticeInf γ
DenselyOrdered γ
a b : γ
hab : a < b
⊢ upperBounds (Set.Ioo a b) = Set.Ici b
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
n : ℕ
h : n.Coprime (orderOf σ)
⊢ (σ ^ n).support = σ.support
C : ℕ → Sort u
H₁ H₂ : (b : Bool) → (n : ℕ) → C (Nat.bit b n)
⊢ ((fun n => n.bitCasesOn H₁) = fun n => n.bitCasesOn H₂) ↔ H₁ = H₂
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
q : S[X]
h : p.degree = q.degree
⊢ p.natDegree = q.natDegree
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : ¬p.castSucc < a
hb : p.castSucc < b
⊢ ↑(a.castPred ⋯) ≤ ↑b - 1
X : Type u_1
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ
⊢ ∫⁻ (x : X), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ < ⊤
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
⊢ MeasureTheory.predictablePart f ℱ μ 0 = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
Nontrivial E
c : ℝ
⊢ ∃ x, c < ‖x‖
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
TopologicalSpace R
AddCommGroup M
Module R M
self : ModuleFilterBasis R M
U : Set M
⊢ U ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets → ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ W ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V • W ⊆ U
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
⊢ imaginaryPart ∘ₗ (selfAdjoint.submodule ℝ A).subtype = 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
α β : A₁ ⟶ A₂
⊢ A₁.str ≫ F.map (α.f - β.f) = (α.f - β.f) ≫ A₂.str
M : Type u_2
Mul M
e₁ e₂ : MulAut M
⊢ e₁ * e₂ = MulEquiv.trans e₂ e₁
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
⊢ (emptyOn β).comap f = emptyOn α
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → G
⊢ ‖∫ (a : α), f a ∂μ‖ ≤ ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → X → α
⊢ Equicontinuous F ↔ ∀ (i : ι), Continuous (F i)
x : ℕ
⊢ ArithmeticFunction.id x = x
G : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsHaarMeasure
hG : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
⊢ μ.haarScalarFactor μ = 1
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : ¬x = 0 ∨ ¬y = 0
⊢ 0 < ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
⊢ (s.biUnion t).Nonempty ↔ ∃ x ∈ s, (t x).Nonempty
R₁ : Type u_2
ι : Type u_16
CommRing R₁
DecidableEq ι
Fintype ι
M : Matrix ι ι R₁
h : M.Nondegenerate
⊢ ((Matrix.toLinearMap₂' R₁) M).SeparatingLeft
X Y : LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑(coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace
s : ↑((coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (op U))
⊢ IsOpen (⇑((SheafedSpace.forget CommRingCat).map (coequalizer.π f.val g.val)) ⁻¹' (⇑(coequalizer.π f.val g.val).base '' (imageBasicOpen f g U s).carrier))
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h₁ : ∀ (x y : L₁), f (x + y) = f x + f y
h₂ :
  ∀ (m : R) (x : L₁),
    { toFun := ⇑f, map_add' := h₁ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := ⇑f, map_add' := h₁ }.toFun x
h₃ :
  ∀ {x y : L₁},
    { toFun := ⇑f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }.toFun ⁅x, y⁆ =
      ⁅{ toFun := ⇑f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }.toFun x,
        { toFun := ⇑f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }.toFun y⁆
⊢ { toFun := ⇑f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂, map_lie' := h₃ } = f
R : Type u_1
Ring R
R₂ : Type u_2
Ring R₂
M : Type u_4
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
TopologicalAddGroup M₂
f : M →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ↑(-f) = -↑f
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
inst✝² : ∀ (i : ι), InvariantBasisNumber (End (s i))
o : HomOrthogonal s
α β : Type
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
f : α → ι
g : β → ι
i : (⨁ fun a => s (f a)) ≅ ⨁ fun b => s (g b)
c : ι
val✝¹ : Fintype α
val✝ : Fintype β
⊢ Fintype.card ↑(f ⁻¹' {c}) = Fintype.card ↑(g ⁻¹' {c})
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < p ^ (n - i)
⊢ C (↑p ^ (j + 1) * (↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * (↑p ^ i * ⅟↑p ^ n))) = C ((Int.castRingHom ℚ) ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩)) * ↑p)
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
h : LiftRel r s x y
⊢ x.isLeft = true ↔ y.isLeft = true
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
g : M →* N
h₀ : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ g (∏ᶠ (j : α) (_ : j ∈ s), f j) = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
hmE : MeasurableSet (Ef ∪ Eg)
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Fintype Ω
s : Set Ω
⊢ Measure.count Set.univ = ↑(Fintype.card Ω)
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
h : p / q = 0
⊢ p.degree < q.degree
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
a' : ℝ
ha' : ↑f a' - ↑f a < ↑δ
aa' : a < a'
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε
α : Type u_3
β : Type u_4
MulOneClass β
a : β
⊢ ∀ (a_1 : α), (Pi.constMonoidHom α β) a a_1 = Function.const α a a_1
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
⊢ a / (b * c) = a / c / b
C : Type u
motive : {X Y : F C} → (X ⟶ Y) → Prop
X Y : F C
t : X ⟶ Y
id : ∀ (X : F C), motive (𝟙 X)
α_hom : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).hom
α_inv : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).inv
l_hom : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).hom
l_inv : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).inv
ρ_hom : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).hom
ρ_inv : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).inv
comp : ∀ {X Y Z : F C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), motive f → motive g → motive (f ≫ g)
whiskerLeft : ∀ (X : F C) {Y Z : F C} (f : Y ⟶ Z), motive f → motive (X ◁ f)
whiskerRight : ∀ {X Y : F C} (f : X ⟶ Y) (Z : F C), motive f → motive (f ▷ Z)
f : X ⟶ᵐ Y
⊢ motive ⟦f⟧
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
⊢ ∀ {X Y : J} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Limits.limit.toStructuredArrow F).map f = CategoryTheory.StructuredArrow.homMk f ⋯