ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℂ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
g : ι → PGame
hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric
x : PGame := PGame.mk PEmpty.{u + 1} ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (g ((equivShrink ι).symm i)).RightMoves) PEmpty.elim fun x => (g ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveRight x.snd
⊢ BddBelow (Set.range fun i => mk (g i) ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
⊢ a ∈ sᶜ ↔ a ∉ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
hf : LipschitzOnWith K f s
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
h'u : range u ⊆ s
b : ℕ → ℝ
b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) ≤ b N
blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
⊢ CauchySeq (f ∘ u)
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ range (p ^ (n + 1)), (p ^ (n + 1)).Coprime x ↔ x ∉ image (fun x => x * p) (range (p ^ n))
ι : Type u_1
μ : Type u_2
DecidableEq ι
AddCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ
⊢ f ∈ s.finsuppAntidiag n ↔ (f.sum fun x x => x) = n ∧ f.support ⊆ s
α : Type u_1
DivisionSemiring α
a b : α
h : b ≠ 0
⊢ (a + b) / b = a / b + 1
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_7
β : Type u_8
VAdd M α
VAdd β α
VAddCommClass M β α
g : N → M
⊢ VAddCommClass N β α
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
Semiring C
Algebra R C
Semiring D
Algebra R D
f : A →ₐ[S] B
g : C →ₐ[R] D
a : A
c : C
⊢ (Algebra.TensorProduct.map f g) (a ⊗ₜ[R] c) = f a ⊗ₜ[R] g c
n : ℕ
⊢ Squarefree n ∧ IsPrimePow n ↔ Nat.Prime n
n : ℕ
K : Type u_1
CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
IsDomain K
CharZero K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
⊢ Polynomial.map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ) ∣ Polynomial.map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ (μ ^ p))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
x y : M
hsrc : x ∈ (chartAt H y).source
⊢ mfderiv I I (↑(chartAt H y)) x = tangentCoordChange I x y x
C : Type u_3
D : Type ?u.25151
inst✝¹ : Category.{u_2, u_3} C
inst✝ : Category.{?u.25159, ?u.25151} D
X : C
S T : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ R, IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f
hS : IsSeparatedFor P S ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C
i : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → Z ⟶ W a
e : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → W a ⟶ X
h1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), T (e a)
h2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), i a ≫ e a = g
x : FamilyOfElements P T
hx : x.Compatible
y : FamilyOfElements P S := fun Y g hg => P.map (i hg).op (x (e hg) ⋯)
hy : y.Compatible
⊢ ∃ t, x.IsAmalgamation t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
n : ℕ∞
ι : Type u_21
Fintype ι
Fi : ι → Type u_22
(i : ι) → NormedAddCommGroup (Fi i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fi i)
φ : M → (i : ι) → Fi i
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, (i : ι) → Fi i) n φ x ↔ ∀ (i : ι), ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, Fi i) n (fun x => φ x i) x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
HasOuterApproxClosed Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
μs : ι → MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
μs_lim : Filter.Tendsto μs L (𝓝 μ)
E : Set Ω
E_nullbdry : μ (frontier E) = 0
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
z w : ℂ
⊢ dist z w = √((z.re - w.re) ^ 2 + (z.im - w.im) ^ 2)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
⊢ (o.kahler ((o.rotation θ) x)) y = (starRingEnd ℂ) ↑θ.expMapCircle * (o.kahler x) y
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
Monad m
a : α
f : α → m (ForInStep α)
⊢ (ForInStep.yield a).bind f = f a
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
⊢ n + (n - m + k) ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
x : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ HomogeneousLocalization.mk z ∈ ((toSpec 𝒜 f) (FromSpec.toFun f_deg hm x)).asIdeal ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ x.asIdeal
x : ℝ
h : Irrational x
q : ℚ
hq : q ≠ 0
⊢ Irrational (↑q * x)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq β
c : α
⊢ c ≤ (s₁ ∪ s₂).inf f ↔ c ≤ s₁.inf f ⊓ s₂.inf f
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
BorelSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
hcg : Filter.Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd
y : ↥f.domain
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).1
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).2
⊢ ↑y = (fst✝, z • snd✝).1 ∧ ↑(z • f) y = (fst✝, z • snd✝).2
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
x : X
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Nonempty N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
⊢ (⟦p⟧)⁻¹ = ⟦fromLoop (Classical.arbitrary N) (Path.symm (toLoop (Classical.arbitrary N) p))⟧
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂
inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄
inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.138915 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄
inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.144366 ⟶ X₂) true ≫ f₂)
inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ (pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).hom ≫ pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.fst f₃ f₄ = pullback.lift (pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.snd f₁ f₂) (pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄) ⋯ ≫ pullback.fst f₃ f₄
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ LSeriesHasSum (fun x => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑x))) s (HurwitzZeta.sinZeta (↑a) s)
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ (s₁ ∩ s₂).val = s₁.val.ndinter s₂.val
m : Type u_2
α : Type v
NonAssocSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
x : ℕ
v : m → α
⊢ ↑x *ᵥ v = ↑x • v
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
s : Set (M × N)
⊢ ContMDiffOn (I.prod J) I n Prod.fst s
G₀ : Type u_3
TopologicalSpace G₀
GroupWithZero G₀
ContinuousMul G₀
a : G₀
ha : a ≠ 0
b : G₀
⊢ Filter.map (fun x => a * x) (𝓝 b) = 𝓝 (a * b)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat (r + s) - (nthHomSeq f_compat r + nthHomSeq f_compat s)) j) < ε
a : EuclideanSpace ℝ (Fin 4)
⊢ Quaternion.linearIsometryEquivTuple.symm a = { re := a 0, imI := a 1, imJ := a 2, imK := a 3 }
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t u : Finset α
⊢ s ⊻ t ⊻ u = s ⊻ (t ⊻ u)
P : TopCat → Prop
X Y B : CompHausLike P
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
CompHausLike.HasExplicitPullback f g
Z : CompHausLike P
a b : Z ⟶ CompHausLike.pullback f g
hfst :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp a (CompHausLike.pullback.fst f g) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp b (CompHausLike.pullback.fst f g)
hsnd :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp a (CompHausLike.pullback.snd f g) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp b (CompHausLike.pullback.snd f g)
⊢ a = b
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ h₁.homologyIso.inv ≫ homologyMap φ = rightHomologyMap' φ h₁ h₂ ≫ h₂.homologyIso.inv
p q : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
Fact (Nat.Prime q)
hp1 : p % 4 = 1
hq1 : q ≠ 2
⊢ IsSquare ↑q ↔ IsSquare ↑p
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : SupClosed s
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s
⊢ t.inf' ht id ⊔ u.inf' hu id ∈ infClosure s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : MulActionWithZero α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
ha' : 0 < a
x : E
⊢ gauge (a • s) x = (a⁻¹ • gauge s) x
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a ≤ b
c : α
⊢ c - b ≤ c - a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
ht : IsSigmaCompact t
hs : IsClosed s
h : s ⊆ t
⊢ IsSigmaCompact s
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
x : Perm (Fin 5) := { toFun := ![1, 2, 0, 3, 4], invFun := ![2, 0, 1, 3, 4], left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
y : Perm (Fin 5) := { toFun := ![3, 4, 2, 0, 1], invFun := ![3, 4, 2, 0, 1], left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
z : Perm (Fin 5) := { toFun := ![0, 3, 2, 1, 4], invFun := ![0, 3, 2, 1, 4], left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
key : x = z * ⁅x, y * x * y⁻¹⁆ * z⁻¹
⊢ ¬IsSolvable (Perm (Fin 5))
α : Sort u
β : Sort v
f : α → β
hf : Function.Bijective f
⊢ ∀ (a : α), (Equiv.ofBijective f hf) a = f a
G : Type u_1
AddGroup G
Finite G
x y : G
⊢ y ∈ AddSubmonoid.multiples x ↔ y ∈ AddSubgroup.zmultiples x
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
hyz : y ≠ z
hsz : sy ∈ cs
hzsz : z ∈ sy
⊢ r y z ∨ r z y
w : Nat
x : BitVec (w + 1)
⊢ x.getLsb w = decide (2 ^ w ≤ x.toNat)
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝¹ : SeparableSpace ↑s
this✝ : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k => Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i => ↑(φ k) ∘ X i
A : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (fun ω => ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) a))
ω : Ω
hω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
h'ω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) a‖))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ + δ + δ < ε
k : ℕ
hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ < δ
this : ‖(∫ (a : Ω), Y k 0 a) - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < δ
⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, ‖(↑b)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range b, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < ε
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x : P
y : P
hx : x ∈ s
⊢ s.WOppSide x y
α : Type u_1
s t : Multiset α
d : (s + t).Nodup
⊢ s.Disjoint t
R : Type u
σ : Type v
a : R
s : σ →₀ ℕ
CommSemiring R
i : σ
⊢ (MvPolynomial.pderiv i) ((MvPolynomial.monomial s) a) = (MvPolynomial.monomial (s - Finsupp.single i 1)) (a * ↑(s i))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (Comon_.trivial C).counit = 𝟙 (𝟙_ C)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
S : Type u_4
S₃ : Type u_5
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Monoid S
inst✝²⁹ : Monoid S₃
M : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : Module R M
M₂ : Type u_7
inst✝²⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝²³ : Module R₂ M₂
M₃ : Type u_8
inst✝²² : TopologicalSpace M₃
inst✝²¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝²⁰ : Module R₃ M₃
N₂ : Type u_9
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N₂
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁷ : Module R N₂
N₃ : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N₃
inst✝¹⁴ : Module R N₃
inst✝¹³ : DistribMulAction S₃ M₃
inst✝¹² : SMulCommClass R₃ S₃ M₃
inst✝¹¹ : ContinuousConstSMul S₃ M₃
inst✝¹⁰ : DistribMulAction S N₃
inst✝⁹ : SMulCommClass R S N₃
inst✝⁸ : ContinuousConstSMul S N₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : DistribMulAction S₃ M₂
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul S₃ M₂
inst✝⁴ : SMulCommClass R₂ S₃ M₂
inst✝³ : DistribMulAction S N₂
inst✝² : ContinuousConstSMul S N₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S N₂
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul N₂ N₃ S R
hₗ : N₂ →L[R] N₃
c : S
fₗ : M →L[R] N₂
x : M
⊢ (hₗ.comp (c • fₗ)) x = (c • hₗ.comp fₗ) x
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsSubgroup s
⊢ ∀ {a : G}, a ∈ f ⁻¹' s → a⁻¹ ∈ f ⁻¹' s
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (Polynomial.erase n p).support = p.support.erase n
n a : ℕ
a1 : a ≠ 1
left✝ : Prime a
hp : Prime (a * 1)
⊢ a * 1 = a
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
⊢ 1 * 1 + 0 * x = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a < b
⊢ insert b (Ioo a b) = Ioc a b
a b : ℤ
⊢ 0 ≤ a → 0 ≤ b → (a + b).natAbs = a.natAbs + b.natAbs
α : Type u_3
β : Type u_4
DecidableEq β
s : Finset α
t : α → Finset β
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → Disjoint (t x) (t y)
⊢ (s.biUnion t).card = ∑ u ∈ s, (t u).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ (e.trans e').source = e.source ∩ ↑e ⁻¹' (e.target ∩ e'.source)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
s : Set R
⊢ Module.IsTorsionBySet R (M ⧸ s • ⊤) s
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
x : α
h : Continuous f
⊢ ContinuousWithinAt f s x
α : Type u_1
PartialOrder α
s t : Finset α
⊢ { ofColex := s } < { ofColex := t } ↔ s ≠ t ∧ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ t → ∃ b ∈ t, b ∉ s ∧ a ≤ b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
⊢ h.desc t = 𝟙 t.pt
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hnpos : n > 0
this : NeZero n
⊢ (expand R p) (cyclotomic n R) = cyclotomic (n * p) R * cyclotomic n R
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
Field F
Field E
Field K
Algebra F E
Algebra F K
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Polynomial.Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
x : E
y : K
hy : (Polynomial.aeval y) (minpoly F x) = 0
⊢ ∃ φ, φ x = y
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : PreservesBiproduct f F
W : C
g : (j : J) → W ⟶ f j
j : J
this : HasBiproduct fun j => F.obj (f j)
⊢ (F.map (lift g) ≫ (F.mapBiproduct f).hom) ≫ π (fun x => F.obj (f x)) j = (lift fun j => F.map (g j)) ≫ π (fun x => F.obj (f x)) j
a : ℝ≥0
b : ↑(Set.Iic a)
⊢ ↑((ENNReal.orderIsoIicCoe a).symm b) = ↑↑b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝ : Preadditive D
F G : C ⥤ D
ι : Type u_3
s : Finset ι
X : C
α : ι → (F ⟶ G)
⊢ (∑ i ∈ s, α i).app X = ∑ i ∈ s, (α i).app X
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
⊢ Computable Sum.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ normSq (⟪x, y⟫_𝕜 • x - ⟪x, x⟫_𝕜 • y) = normSq x * (normSq x * normSq y - ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
ι : Type v
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ #ι ≤ Module.rank R M
a : Cardinal.{u_1}
⊢ Cardinal.toENat a = ⊤ ↔ Cardinal.aleph0 ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Lattice β
f : α → β
s : Set α
a b : α
hf : AntitoneOn f [[a, b]]
⊢ MapsTo f [[a, b]] [[f a, f b]]
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
n : ℕ
hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a * (⇑verschiebung)^[n + 1] b
⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n + 1] b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ interior s
H₁ : Tendsto (fun r => r⁻¹ • x) (𝓝[<] 1) (𝓝 (1⁻¹ • x))
⊢ x ∈ {x | gauge s x < 1}
α : Type u_1
l l' : Filter α
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
p : ι → Prop
s : ι → Set α
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
⊢ (l ⊔ l').HasBasis (fun i => p i.1 ∧ p' i.2) fun i => s i.1 ∪ s' i.2
K : Type u
CommRing K
p : FractionRing K[X]
⊢ { toFractionRing := -p } = -{ toFractionRing := p }
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₂
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).inverse.obj X).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp X.hom (i.inv.app X.right)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y✝ : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y✝
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
Y : C
f : Y ⟶ Opposite.unop X
m₀ : (forget AddCommGrp).obj (M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m
⊢ (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (φ.app (Opposite.op Y)) m₀
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : p.last = q.head
i : Fin (p.length + q.length + 1)
H : ¬↑i < p.length
⊢ p.length ≤ ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ generateFrom (memPartition t n) ≤ generateFrom (⋃ n, memPartition t n)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : CategoryTheory.Center C
⊢ (α_ X Y Z).inv.f = (α_ X.fst Y.fst Z.fst).inv
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
Group G
DivisionMonoid H
MonoidHomClass F G H
f : F
a : G
⊢ f a⁻¹ = (f a)⁻¹
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
⊢ star a * star (star c * star b) = star (star c * star b * a)
α : Type u
SubtractionMonoid α
b : α
h : IsAddUnit b
a : α
⊢ b - (a + b) = -a
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝¹ : DecidablePred p
x✝ : ∃ i, p i
i : ℕ
hin : i < n + 1
hi : p ⟨i, hin⟩
h : (find fun i => p (i.castLT ⋯)) = none
⊢ (Option.rec (if p (last n) then some (last n) else none) (fun val => some (val.castLT ⋯)) none).isSome = true
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ht : Transitive r
h : ∀ (a b c : α), r a b → r a c → Relation.Join r b c
⊢ Transitive (Relation.Join r)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ (splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C ⋯ (isColimitCoforkOfCokernelCofork (isCokernelEpiComp i (retraction f) ⋯))).section_ ≫ retraction f = 0
f : StieltjesFunction
x : ℝ
⊢ ContinuousWithinAt (↑f) (Set.Ici x) x
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)
hxp : orderOf f ∣ ∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)
c : ℕ
hc : (∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)).gcd (Fintype.card (H i)) = orderOf f * c
⊢ orderOf f ∣ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ
this : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ (1 / 2) ^ i
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, (1 / 2) ^ i ≤ 2
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hn : ¬G.Adj s t
h : G.degree s ≠ G.degree t
⊢ G.CliqueFree (r + 1) → ∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card