ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
ι : Sort u_5
InfSet α
f : ι → α
⊢ { down := ⨅ i, f i } = ⨅ i, { down := f i }
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α✝
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α✝
α : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → Ioo x y ⊆ s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
hxy : x ≤ y
⊢ Icc x y ⊆ s
R : Type u
Field R
p : R[X]
hp1 : p.degree = 1
⊢ Irreducible p
α : Type u_1
b : Bool
a : Lists' α b
l : Lists' α true
⊢ 0 < sizeOf l
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
x : R
⊢ (DoubleQuot.quotQuotEquivComm I J) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J)) ((Ideal.Quotient.mk I) x)) =
  (algebraMap R ((R ⧸ J) ⧸ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) I)) x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R P
Module R Q
f : M →ₗ[R] P
q : Q
m : M
⊢ ((TensorProduct.rTensorHomToHomRTensor R M P Q) (f ⊗ₜ[R] q)) m = f m ⊗ₜ[R] q
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → Zero (β i)
x : (i : ι) → β i
⊢ hammingNorm x ≤ Fintype.card ι
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
z : ↑((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.stalk x)
⊢ homogeneousLocalizationToStalk 𝒜 x ((stalkToFiberRingHom 𝒜 x) z) = z
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : MeasureTheory.Integrable bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => fs n a) Filter.atTop (𝓝 (f a))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.setToFun μ T hT (fs n)) Filter.atTop (𝓝 (MeasureTheory.setToFun μ T hT f))
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
⊢ legendreSym p a = 0 ↔ ↑a = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
⊢ s(a, b) ∈ G.incidenceSet b ↔ G.Adj a b
x : ℝ
⊢ |Real.sin x| ≤ 1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E
⊢ (↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑j).extend I).symm) ∘ ↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm =ᶠ[𝓝[range ↑I] ↑((↑i).extend I) x] ↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_6
CommRing S
Algebra S R
f : PolynomialModule S S
x : R
⊢ (Polynomial.aeval x) (PolynomialModule.equivPolynomial f) =
  (PolynomialModule.eval x) ((PolynomialModule.map R (Algebra.linearMap S R)) f)
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex (Type u)
self : I.sections
r : I.R
⊢ I.fst r (self.val (I.fstTo r)) = I.snd r (self.val (I.sndTo r))
a : UnitAddCircle
⊢ ContinuousOn (oddKernel a) (Ioi 0)
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
i : Fin c.length
⊢ ↑i < c.boundaries.card
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g : widePushout B objs arrows ⟶ X
j : J
⊢ arrows j ≫ (fun j => ι arrows j ≫ g) j = head arrows ≫ g
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f✝ : β → α
t : Finset γ
h : (s ×ˢ t).Nonempty
f : β × γ → α
⊢ (s ×ˢ t).sup' h f = t.sup' ⋯ fun i' => s.sup' ⋯ fun i => f (i, i')
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • 2 • (innerSL ℝ) x₀ + b • 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0
⊢ (InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) (a • x₀) + (InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) (b • T x₀) = 0
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
J : C
⊢ Injective J ↔ (yoneda.obj J).PreservesEpimorphisms
α : Type u
HasSubset α
HasSSubset α
IsNonstrictStrictOrder α (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun x x_1 => x ⊂ x_1
a b c : α
IsTrans α fun x x_1 => x ⊆ x_1
h₁ : a ⊆ b
h₂ : b ⊂ c
⊢ a ⊂ c
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s s' : Set V
⊢ G'.induce s ≤ G'.induce (s ∪ s')
R : Type u_1
Ring R
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
v.RankOne
⊢ StrictMono ⇑(Valuation.RankOne.hom v)
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
m : ℕ
hm : m ∈ {n | G.Colorable n}
⊢ Nat.succ 0 ≤ m
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
⊢ ∀ s ∈ univ, ↑((𝒜 ∪ ℬ).truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) + ↑((𝒜 ⊼ ℬ).truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(𝒜.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) + ↑(ℬ.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (J.diagramFunctor D X).obj P = J.diagram P X
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C
⊢ (h.F n).obj X = (h.F (0 + n)).obj X
α : Type u_5
E : Type u_6
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : AddGroup E] [inst_1 : TopologicalSpace E] [inst_2 : MeasurableSpace E]
  [inst_3 : BorelSpace E] [inst_4 : ContinuousAdd E] [inst_5 : TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace E] {g f : α → E},
  Measurable g → MeasureTheory.StronglyMeasurable f → Measurable (g + f)
M : Type u_1
Add M
ι : Sort u_4
p : ι → AddSubsemigroup M
m : M
⊢ m ∈ ⨆ i, p i ↔ ∀ (N : AddSubsemigroup M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
a c : M
b d : ↥S
⊢ (∃ u v, u • c = v • a ∧ ↑u * ↑d = v * ↑b) ↔ Setoid.r (a, b) (c, d)
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
⊢ (∀ (x : K), Splits (algebraMap F ↥(normalClosure F K L)) (minpoly F x)) ∧ normalClosure F K ↥(normalClosure F K L) = ⊤
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
⊢ ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
⊢ (μ.trim hm).toOuterMeasure = μ.trim
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s t : Set M
ChartedSpace H M
x : M
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ t) ∩ Set.range ↑I =
  ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : TopologicalSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace δ
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β
inst✝⁹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁸ : BorelSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : PseudoMetrizableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : SecondCountableTopologyEither β γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : PseudoMetrizableSpace δ
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace δ
inst✝ : SecondCountableTopology δ
g : β → γ → δ
hg : Measurable (uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ
⊢ ↑(mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) ⋯) =ᶠ[ae μ] fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)
n : ℕ
m : ℕ
⊢ (Fin.castAddOrderEmb m).toEmbedding = { toFun := Fin.castAdd m, inj' := ⋯ }
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
s : S
x : M
⊢ (s • 1) ⊗ₜ[R] x = s ⊗ₜ[R] x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ : S₁ ⟶ S₂
φ₂ : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
h₃ : S₃.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁ φ₂) h₁ h₃ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' φ₁ h₁ h₂)
    (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' φ₂ h₂ h₃)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
this : Tendsto (fun r => μ (toMeasurable μ s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
r : ℝ
⊢ MeasurableSet ({x} + r • t)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : IntegrableOn f U μ
⊢ IntegrableAtFilter (s.indicator f) (𝓝 x) μ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
h : IsAntichain r s
⊢ minimals r s = s
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set α
h : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ s, f x = f y → x = y
⊢ f '' (s ∩ t) = f '' s ∩ f '' t
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n : ℕ
⊢ p.fslope.coeff n = p.coeff (n + 1)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
n : ℕ
⊢ (p ^ n).natDegree = n * p.natDegree
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : 0 ≤ a
hbc : b < c
⊢ b < a + c
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (o.oangle y (y - x)).sign = (o.oangle x y).sign
α : Type u
t : TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
S : Set (Set α)
H : ∀ s ∈ S, IsOpen s
⊢ ∃ T, T.Countable ∧ T ⊆ S ∧ ⋃₀ T = ⋃₀ S
n : ℕ
h : ↑(n - 1)! = -1
h1 : n ≠ 1
⊢ Prime n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
K : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
s : Finset E
x : E
hx : x ∈ K.vertices
hs : s ∈ K.faces
⊢ x ∈ (convexHull 𝕜) ↑s ↔ x ∈ s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
ha : 1 - a ≠ 0
h₁ : (2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ * 4 * (2 / (1 - a)) = 1
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) + (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v = ↑x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
hP : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
W : C
h : X ⟶ W
k : Y ⟶ W
w : f ≫ h = g ≫ k
⊢ inl ≫ hP.desc h k w = h
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
self : CategoryTheory.Limits.DiagramOfCocones F
j₁ j₂ j₃ : J
f : j₁ ⟶ j₂
g : j₂ ⟶ j₃
⊢ (self.map (f ≫ g)).hom = (self.map f).hom ≫ (self.map g).hom
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
xD : x ∈ D
hf : oscillationWithin f D x = 0
ε : ℝ≥0∞
S : Set F
hS : S ∈ Filter.map f (𝓝[D] x)
Sε : diam S < ε
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[D] x, edist (f x_1) (f x) < ε
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x : α
ε : ℝ≥0
⊢ EMetric.diam (cthickening (↑ε) s) ≤ EMetric.diam s + 2 * ↑ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
a x b c : E
⊢ a + x ∈ openSegment 𝕜 (a + b) (a + c) ↔ x ∈ openSegment 𝕜 b c
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ Set.Iio b ∈ 𝓝 a
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝¹ : T2Space M
a b : ℝ
inst✝ : BoundarylessManifold I M
hγ : IsIntegralCurve γ v
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
⊢ (∃ T > 0, Periodic γ T) ↔ ¬Injective γ
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
h : f ∈ S.arrows c d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id d ∈ S.arrows d d
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝¹² : MeasurableSpace G
inst✝¹¹ : MeasurableSpace H✝
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
μ : Measure G
inst✝⁸ : μ.IsHaarMeasure
inst✝⁷ : BorelSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
H : Type u_4
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : BorelSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TopologicalGroup H
f : G →* H
hf : Continuous ⇑f
h_surj : Surjective ⇑f
h_prop : Tendsto (⇑f) (cocompact G) (cocompact H)
K : Set H
hK : IsCompact K
⊢ (map (⇑f) μ) K < ⊤
a c b d : Nat
hac : a ≤ c
hbd : b < d
hc : 0 < c
⊢ a * b < c * d
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
𝕜' : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
f : F
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => c y • f) x
n : ℕ
a : Fin (n + 2)
b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ Fin.last (n + 1)
hb : b ≠ Fin.last n
hk : a.succAbove b ≠ Fin.last (n + 1) := ⋯
⊢ (a.castPred ha).succAbove (b.castPred hb) = (a.succAbove b).castPred hk
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
c : ↑(Set.Ioo a b)
⊢ Subtype.val '' Set.Iic c = Set.Ioc a ↑c
α : Type u_2
Div α
s t : Set α
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s / t).Nonempty
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f * g = 0
⊢ ((f.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset ∪ (g.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset).card ≤ (f.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card + (g.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card
V : Type u
x y : SimpleGraph V
v w : V
⊢ (x ⊓ y).Adj v w ↔ x.Adj v w ∧ y.Adj v w
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E 𝕜
z : G
⊢ ‖f.smulRight z‖₊ = ‖f‖₊ * ‖z‖₊
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₃ : ManyOneDegree
p✝¹ p✝ : Set ℕ
⊢ of p✝¹ + of p✝ ≤ d₃ ↔ of p✝¹ ≤ d₃ ∧ of p✝ ≤ d₃
α : Type u
L L₁ L₂ L₃✝ L₄✝ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
H1 : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
H2 : Red ((x1, b1) :: L₁) ((x2, b2) :: L₂)
this : Red ((x1, b1) :: L₁) ([(x2, b2)] ++ L₂)
p : α × Bool
L₃ L₄ : List (α × Bool)
eq : (x1, b1) :: L₁ = p :: L₃ ++ L₄
h₁ : Red (p :: L₃) [(x2, b2)]
h₂ : Red L₄ L₂
⊢ Red L₁ ((x1, !b1) :: (x2, b2) :: L₂)
α : Type u_1
a : Array α
i : Nat
⊢ a.get? i = a[i]?
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f
V : (TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ (X.ofRestrict h).c.app V = X.presheaf.map (⋯.adjunction.counit.app (Opposite.unop V)).op
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : (Ideal.span {r}).IsPrime
this : r ≠ 0
⊢ (Ideal.span {C r}).IsPrime
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
s : Set E
hf : CPolynomialOn 𝕜 f s
hg : f =ᶠ[𝓝ˢ s] g
⊢ CPolynomialOn 𝕜 g s
α : Type
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
dg : Dioph.DiophFn g
⊢ Dioph.DiophFn fun v => f v / g v
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : LipschitzWith D g
h'g : HasCompactSupport g
v : E
A : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))
⊢ ∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ = ∫ (x : E), lineDeriv ℝ g x (-v) * f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x = ⊥
⊢ ContinuousWithinAt f (Iio x) x ↔ leftLim f x = f x
α : Type u_2
Mul α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
⊢ (s₁ ∪ s₂) * (t₁ ∩ t₂) ⊆ s₁ * t₁ ∪ s₂ * t₂
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
b : OrthonormalBasis { x // x ∈ Classical.choose ⋯ } 𝕜 E := Classical.choose ⋯
⊢ OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 E)) 𝕜 E
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (⇑iso ∘ f) univ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f univ
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
⊢ (contract 1 f).coeff n = f.coeff n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
⊢ Surjective f ↔ SurjOn f univ univ
α : Type u_1
CommSemigroup α
a b c d : α
⊢ a ∣ b → c ∣ d → a * c ∣ b * d
f : ℝ → ℝ
f' : ℝ
s : Set ℝ
a b : ℝ
⊢ 1 ∈ posTangentConeAt s a ↔ ∃ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, x ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
⊢ (CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.whiskering C D).obj F =
  CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.whiskeringObj C D F
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ (a :: l).dedup = l.dedup
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : GroupWithZero α
s✝ t s : Set α
⊢ 0 / s ⊆ 0
G : AddGrp
Subsingleton ↑G
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero G
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ
h : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)
hB : 0 ≤ B
h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹
h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
a : K
ha : a ∈ ↑↑I
hx : (mixedEmbedding K) a ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
h_nz : ⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ≠ 0
h_mem : ↑⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ∈ convexBodySum K B
⊢ ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
⊢ f ≤ g
m n : ℕ
⊢ (List.replicate m n).sum = m * n
R : Type u_1
a : R
Monoid R
n : ℕ
n0 : 0 < n
⊢ IsRightRegular (a ^ n) ↔ IsRightRegular a
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : IsPurelyInseparable (↥L) E
y : ↥L
hx : (algebraMap (↥L) E) y ∈ separableClosure F E
⊢ (algebraMap (↥L) E) y ∈ L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p : α → ℕ → Prop
inst✝ : (x : α) → DecidablePred (p x)
hp : ∀ (x : α), ∃ N, p x N
hm : ∀ (k : ℕ), MeasurableSet {x | p x k}
x : α
⊢ MeasurableSet (disjointed (fun k => {x | p x k}) (Nat.find ⋯))
α : Type u_1
as bs : Array α
⊢ (as ++ bs).size = as.size + bs.size
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f g : r →r s
h : ∀ (x : α), f x = g x
⊢ f = g
p : ℕ → Prop
k a : ℕ
h : a < Nat.nth p (k + 1)
ha : p a
⊢ a ≤ Nat.nth p k
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
l : List α
f : α → Option β
w : List.findSome? f l = some b
⊢ ∃ a, a ∈ l ∧ f a = some b
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₀.toCompacts
this : Continuous eval
⊢ closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' {1}
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
⊢ fourierCoeffOn hab f n = (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x