ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J α
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
CategoryTheory.HasWeakSheafify J AddCommGrp
X : PresheafOfModules R₀
Y : SheafOfModules R
⊢ ∀ (a : PresheafOfModules.sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) ⟶ Y),
  ((PresheafOfModules.sheafificationAdjunction α).homEquiv X Y) a =
    (PresheafOfModules.sheafifyHomEquiv' α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) ⋯)
      ((SheafOfModules.fullyFaithfulForget R).homEquiv a)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν✝ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
μ ν : Measure α
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂(μ + ν) = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ + ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν
α : Type u_1
β : Type u_3
f : α → β
n : ℕ
xs : List α
⊢ List.sym n (List.map f xs) = List.map (Sym.map f) (List.sym n xs)
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDomain R
P : ClassGroup R → Prop
h : ∀ (I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ), P (ClassGroup.mk I)
x : ClassGroup R
⊢ P x
α : Type u_1
inst✝¹ : Inv α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : Shrink.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm x⁻¹ = ((equivShrink α).symm x)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup
hl' : l.Nodup
hln' : (permsOfList l).Nodup
hmeml : ∀ {f : Equiv.Perm α}, f ∈ permsOfList l → f a = a
⊢ (permsOfList (a :: l)).Nodup
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
hf : SmoothOn IM IB f s
hg : SmoothOn IM 𝓘(𝕜, F) g s
he : Set.MapsTo f s e.baseSet
he' : Set.MapsTo f s e'.baseSet
⊢ SmoothOn IM 𝓘(𝕜, F) (fun y => e.coordChange e' (f y) (g y)) s
M : Type u_1
S : Set M
Monoid M
⊢ (Submonoid.centralizer S).toSubsemigroup = Subsemigroup.centralizer S
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
⊢ IsNoetherian K V ↔ Module.Finite K V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
h : c.Rel i j
⊢ c.next i = j
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
⊢ CategoryTheory.Localization.Lifting.iso' W = L.rightUnitor
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
R₂ : Type u_3
Semiring R₂
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module S N
Module R₂ P
Module S₂ P
SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
f : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
p : Submodule R M
q : Submodule S N
x : ↥p
y : ↥q
⊢ ((f.domRestrict₁₂ p q) x) y = (f ↑x) ↑y
α : Type u_1
f : α → α
x : α
⊢ 0 < Function.minimalPeriod f x ↔ x ∈ Function.periodicPts f
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s : Set β
⊢ ContinuousWithinAt f s b ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in 𝓝[s] b, dist (f x) (f b) < ε
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hx : x ∈ rootSpace H χ₁
hm : m ∈ weightSpace M χ₂
⊢ ∀ (i : ↥H), ⁅x, m⁆ ∈ weightSpaceOf M ((χ₁ + χ₂) i) i
a x✝ z x : ℂ
⊢ ↑(abs x) * cexp (↑x.arg * I) = x
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
S : AddSubsemigroup M
T : AddSubsemigroup N
f : AddHom M N
⊢ S ≤ AddSubsemigroup.comap f T → AddSubsemigroup.map f S ≤ T
α β : Sort u
Lean.Meta.FastSubsingleton α
h₂ : α = β
a : α
b : β
⊢ HEq a b
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : ¬α.IsZero
x' : L := ⋯.choose
h : x' ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β) ∧ x' ≠ 0
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
⊢ ∀ i ∈ {H_1 | IsCoatom H_1}, ⨅ a ∈ {H | IsCoatom H}, a ≤ comap φ i
α : Sort u_1
f : α → α
h : Function.Involutive f
⊢ ⇑(Function.Involutive.toPerm f h) = f
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
AddCommMonoid γ
A : Set α
B : Set β
C : Set γ
f : α → β
g : β → γ
n : ℕ
hg : IsAddFreimanHom n B C g
hf : IsAddFreimanHom n A B f
⊢ IsAddFreimanHom n A C (g ∘ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
r : Set β
hf : BijOn f s t
hrt : r ⊆ t
y : α
hy : y ∈ s
hx : f y ∈ r
⊢ f y ∈ f '' (s ∩ f ⁻¹' r)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
ι : Type u_11
b : Basis ι R E
f₁ f₂ : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
h : ∀ (i : ι), f₁ (b i) = f₂ (b i)
⊢ f₁ = f₂
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
f_sur : Surjective f
⊢ IsOpen (closure U)
x✝ : ℕ
hk : x✝ ≤ 0
⊢ choose 0 x✝ * x✝! * (0 - x✝)! = 0!
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
h : (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } = (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }
this : { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } = { toFun := (σₙ R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }
⊢ Set.EqOn f g (σₙ R a)
n m : ℕ
⊢ hyperoperation (n + 2) m 1 = m
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, rexp (-x ^ p) = Real.Gamma (1 / p + 1)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
w : G.Walk u v
⊢ w.getVert w.length = v
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
t : Set β
f : α → β
g : ι → α
⊢ Set.MapsTo f (Set.range g) t ↔ ∀ (i : ι), f (g i) ∈ t
M : Type u_2
CommMonoid M
f : False → M
⊢ ∏ᶠ (i : False), f i = 1
R : Type u
Ring R
P : Type v
AddCommGroup P
Module R P
⊢ Module.Projective R P ↔ ∃ M x x_1, ∃ (_ : Module.Free R M), ∃ i s, s ∘ₗ i = LinearMap.id
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
f : β → E
⊢ ∫ (z : α × β), f z.2 ∂μ.prod ν = (μ Set.univ).toReal • ∫ (y : β), f y ∂ν
x : ℝ
⊢ Real.sin x ^ 2 + Real.cos x ^ 2 = 1
𝒪 : Type u
K : Type v
Γ : Type w
CommRing 𝒪
IsDomain 𝒪
Field K
Algebra 𝒪 K
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
v : Valuation K Γ
hh : v.Integers 𝒪
⊢ ValuationRing 𝒪
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.209062, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 2
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
⊢ g.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.inv = app₀.inv ≫ f.map' 0 1 ⋯ ⋯
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℤ
n : ℤ
hf : ∀ i ∈ s, n ∣ f i
hn : n ≠ 0
⊢ (∑ i ∈ s, f i) / n = ∑ i ∈ s, f i / n
l₁ l₂ : List Nat
⊢ Nat.sum (l₁ ++ l₂) = Nat.sum l₁ + Nat.sum l₂
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
self : S.LocalizationMap N
x y : M
⊢ (↑self.toMonoidHom).toFun x = (↑self.toMonoidHom).toFun y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
R : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ¬Squarefree 0
a c b : Ordinal.{u}
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hca : c ≤ a ^ ω
⊢ a ^ ω * succ b ≤ nfp (fun x => a * x) (a ^ ω * b + c)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α
⊢ (∃ V ∈ 𝓤 α, ball x V ⊆ s) ↔ ∃ V ∈ 𝓤 α, SymmetricRel V ∧ ball x V ⊆ s
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β✝
inst✝² : UniformSpace γ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α ≃ β
h₁ : UniformContinuous ⇑f
h₂ : UniformContinuous ⇑f.symm
⊢ comap (Prod.map ⇑f ⇑f) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
x : ℤ
⊢ (∃ a_1, ((a ≤ a_1 ∧ a_1 < b) ∧ a_1 ≡ v [MOD r]) ∧ ↑a_1 = x) ↔ (↑a ≤ x ∧ x < ↑b) ∧ x ≡ ↑v [ZMOD ↑r]
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_4
m₂ : β → δ
⊢ Set.univ ×ˢ Set.range m₂ = Set.range fun p => (p.1, m₂ p.2)
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
a : α
P : α → Prop
h1 : P a
h2 : P (-a)
⊢ P |a|
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
X : Subobject B
h₁ : mk f ≤ mk g
h₂ : mk g ≤ X
⊢ ofMkLEMk f g h₁ ≫ ofMkLE g X h₂ = ofMkLE f X ⋯
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
β γ : Type v
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : OmegaCompletePartialOrder.Continuous' f
hg : OmegaCompletePartialOrder.Continuous' g
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous' fun x => Seq.seq (f x) fun x_1 => g x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
hc_lt_one : c < 1
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑x‖
n : ℕ
hn' : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
hn : ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ↑n
⊢ ↑(r i n) ≤ c * ↑n
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h0 : n ≠ 0
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
f : ℕ → α
⊢ (Multiset.map (f ∘ fun x => x.val.prod) (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val).sum = (Multiset.map (fun i => f i.val.prod) (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val).sum
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ ⊤.subgroupOf H = ⊤
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ orthogonalProjectionFn s p ∈ mk' p s.directionᗮ
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
a : α
self : Finpartition a
⊢ self.parts.sup id = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
⊢ f ⁻¹' (range f ∩ s) = f ⁻¹' s
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m
d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|
ε : ℝ
hε : μ (closedBall 0 ε + ⇑A '' closedBall 0 1) < ↑m * μ (closedBall 0 1)
εpos : 0 < ε
⊢ {x | (fun δ => ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → μ (f '' s) ≤ ↑m * μ s) x} ∈ 𝓝 0
i j : ℕ
⊢ i ! * (i + j - i)! ∣ (i + j)!
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₀ ⟶ X₁
d₁ : X₁ ⟶ X₂
s : d₀ ≫ d₁ = 0
succ : (S : CategoryTheory.ShortComplex V) → (X₄ : V) ×' (d₂ : S.X₃ ⟶ X₄) ×' S.g ≫ d₂ = 0
⊢ (CochainComplex.mk X₀ X₁ X₂ d₀ d₁ s succ).d 0 1 = d₀
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ G.chromaticNumber = ⨅ n, ↑↑n
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
IsEmpty ι
F : ι → X → α
⊢ Equicontinuous F
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ (μ.restrict s) Set.univ = μ s
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
c' : 𝕜
n✝ n : ℕ
x : 𝕜
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => x ^ (n + 1 + 1)) (↑(n + 1 + 1) * x ^ (n + 1 + 1 - 1)) x
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
c₂ : α
c₂F : c₂ ∈ ↑F
c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂
b₁ : α
b₁J : b₁ ∈ J
cba₁ : c₁ ≤ b₁ ⊔ a₁
⊢ a₁ ⊓ a₂ ∉ J
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
a : α
⊢ a • ⊥ = ⊥
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z : ℝ≥0∞
h1 : x ≠ 0
h2 : x ≠ ⊤
⊢ x⁻¹ * y ≤ z ↔ y ≤ x * z
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
(i : ι) → UniformSpace (β i)
⊢ Continuous ⇑(WithLp.equiv p ((i : ι) → β i))
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
ha0 : a ≠ 0
ha1 : ¬IsUnit a
this✝¹ : DecidableEq R := Classical.decEq R
i j : ℕ
hij : (fun x => a ^ x) i = (fun x => a ^ x) j
this✝ : Nontrivial R := { exists_pair_ne := Exists.intro a (Exists.intro 0 ha0) }
this : NormalizationMonoid R := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid
p' : R
hp' : Irreducible p'
dvd' : p' ∣ a
p : R
mem : p ∈ normalizedFactors a
right✝ : p' ~ᵤ p
⊢ i = j
A : Type u_1
AddCommMonoid A
Finset.HasAntidiagonal A
n : A
xy : A × A
⊢ xy.swap ∈ Finset.antidiagonal n ↔ xy ∈ Finset.antidiagonal n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ CategoryTheory.IsPushout b.inl 0 b.snd 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
ho : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hpi : Function.Injective p
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
left✝² : i₁ ≠ i₂
left✝¹ : i₁ ≠ i₃
left✝ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : p i₁ = t.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t.points j₂ = p i₂
h₃ : t.points j₃ = p i₃
⊢ ∃ c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points), ∀ p₁ ∈ Set.range p, dist p₁ c = Simplex.circumradius t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Semigroup α
inst✝² : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : MulEquivClass F α β
f✝ : F
a b : α
f : α ≃* β := ↑f✝
h : f✝ a ∣ f✝ b
⊢ a ∣ b
x w : ℂ
w₀ : w ≠ 0
hw : 1 * w * w + -2 * x * w + 1 = 0
⊢ ∃ a, cos a = x
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n ∣ b ↔ a ∣ n.floorRoot b
α : Type u_1
x : α
BEq α
⊢ List.indexesOf x [] = []
R : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
StarRing R
S : NonUnitalStarSubsemiring R
s : Set R
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
p : R[X]
⊢ (algebraMap R A) (p.coeff 0) = (aeval 0) p
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a₁ a₂ : α
T2Space α
⊢ HasSum f a₁ → HasSum f a₂ → a₁ = a₂
α : Type u_1
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (α × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
ρCond : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
ρ.IsCondKernel ρCond
MeasurableSingletonClass α
a : α
ha : ρ.fst {a} ≠ 0
⊢ MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (ρCond a)
α : Type u_1
⊢ 0 = Set.up ∅
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
p : A → Prop
x : A
h : x ∈ Algebra.adjoin R s
mem : ∀ x ∈ s, p x
algebraMap : ∀ (r : R), p ((algebraMap R A) r)
add : ∀ (x y : A), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : A), p x → p y → p (x * y)
⊢ p x
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonAssocSemiring R
r s : R
rs : ∀ (a : Γ), (C r).coeff a = (C s).coeff a
⊢ r = s
R : Type u_4
S : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
SMul R M
SMul S M'
e : M ≃ M'
r : R
s : S
h : ∀ (x : M), e (r • x) = s • e x
⊢ IsSMulRegular M r ↔ IsSMulRegular M' s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y z : X
γ : Path x y
γ' : Path y z
⊢ (γ.trans γ').symm = γ'.symm.trans γ.symm
K : Type u_1
L : Type u_2
CommSemiring K
CommSemiring L
Algebra K L
E1 E2 : Subalgebra K L
Module.Finite K ↥E1
Module.Finite K ↥E2
⊢ Module.Finite K ↥(E1 ⊔ E2)
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ QuotientMap ConnectedComponents.mk
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
s t : CategoryTheory.Bicategory.RightExtension f g
η : s ⟶ t
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η.left) t.counit = s.counit
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
u : Set E
u_sep : IsSeparable u
hu : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, f x ∈ u
c : Dual ℝ E
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (fun x => c (f x)) s μ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
K : Set α
⊢ IsCompact K → μ K < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < b
h₂ : b < a
⊢ False
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
hT : 0 < T
⊢ Tendsto (fun x => ⌊x / T⌋) atTop atTop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
⊢ f i hi ≠ o.bmex f
ι : Type u_4
x : ι → ℝ≥0∞
l : Filter ι
⊢ (Filter.limsup x l)⁻¹ = Filter.liminf (fun i => (x i)⁻¹) l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
⊢ ∀ {X Y : C ⥤ D} (τ : X ⟶ Y) (F : SimplexCategory ⥤ C) (c : SimplexCategory),
  (((CategoryTheory.CosimplicialObject.whiskering C D).map τ).app F).app c = τ.app (F.obj c)
a b : ℕ
h : a = b
x : ZMod a
⊢ ((ZMod.ringEquivCongr h) x).val = x.val
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
h_meas : NullMeasurableSet s μ
h_exists : ∀ (x : α), ∃! g, g • x ∈ s
a b : G
hab : a ≠ b
x : α
hxa : a⁻¹ • x ∈ s
hxb : b⁻¹ • x ∈ s
⊢ False
α : Type u
l : List α
f g : α → α
⊢ List.modifyHead g (List.modifyHead f l) = List.modifyHead (g ∘ f) l
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P') ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N P') ⋯
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x : K
⊢ ↑((algebraMap K ↥S) x) = (algebraMap K L) x
α : Type u
SemilatticeInf α
a b c : α
⊢ a ⊓ c = b ⊓ c ↔ b ⊓ c ≤ a ∧ a ⊓ c ≤ b
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
Field F
Field E
Field K
Algebra F E
Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Polynomial.Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hL : L ≤ IntermediateField.adjoin F S
⊢ ∃ φ, φ.comp (IntermediateField.inclusion hL) = f
r : ℝ
hr : 2 < r
B : ℤ → ℕ → Set ℝ := fun a b => ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ r)
hB : ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), volume (B a b) = ↑(2 / ↑b ^ r)
this : ∀ (b : ℕ), volume (⋃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, B a b) ≤ ↑(2 * (↑b ^ (1 - r) + ↑b ^ (-r)))
⊢ Summable fun a => 2 * (↑a ^ (1 - r) + ↑a ^ (-r))
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
this✝ : Complex.abs ↑x ≤ 1
this : |rexp x - 1 - x| ≤ |x| ^ 2
⊢ |rexp x - 1 - x| ≤ |x| ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis (fun x => True) s
⊢ l = ⨅ i, 𝓟 (s i)