ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : h ∈ Ioi 0
⊢ ‖f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * h ^ 2‖
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
a b c : CategoryTheory.Under X
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).right = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.right g.right
α : Type u_1
m n : Num
h : m = n
⊢ ↑m < ↑n ↔ Ordering.eq = Ordering.lt
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
h2 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
h3 : AEMeasurable (X * Y) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
⊢ (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧
  (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n)
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ)
⊢ MeasureTheory.Memℒp (↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f)) p μ
α : Type u_1
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
SemilatticeSup ι
Ω : Type u_4
m : ι → MeasurableSpace Ω
m' m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
h_indep : ∀ (i : ι), ProbabilityTheory.Kernel.Indep (m i) m' κ μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0
h_le' : m' ≤ m0
hm : Monotone m
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep (⨆ i, m i) m' κ μ
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
t : A
n : ℕ
hnp1 : IsUnit ↑(n + 1)!
⊢ ∑ i ∈ range (n + 1), (algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * ((PowerSeries.coeff A i) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - i)) (exp A - 1)) = ∑ x ∈ range (n + 1), (aeval t) (↑((n + 1).choose x) • bernoulli x)
𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : Ei 0 →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.succ) G
m : (i : Fin n.succ) → Ei i
⊢ ‖(f (m 0)) (Fin.tail m)‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : Fin n.succ, ‖m i‖
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : Set R
sm : Subsemigroup R
hm : ↑sm = s
sa : AddSubgroup R
ha : ↑sa = s
⊢ ↑(NonUnitalSubring.mk' s sm sa hm ha) = s
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : PositiveCompacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ ∃ n, n ∈ Finset.card '' {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
c : R
x : L₁
⊢ f (c • x) = c • f x
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderTop α
DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁ ∪ s₂).inf = s₁.inf ⊓ s₂.inf
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
m₁ m₂ : MeasurableSpace α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0
⊢ (μ.trim hm₂).trim hm₁₂ = μ.trim ⋯
P : ℕ → Sort u_1
h0 : P 0
h_even : (i : ℕ) → P i → P (2 * i)
h_odd : (i : ℕ) → P i → P (2 * i + 1)
H : h_even 0 h0 = h0
n : ℕ
⊢ (match false, 0, h0 with | false, i, hi => h_even i hi | true, i, hi => h_odd i hi) = h0 ∨ (n = 0 → false = true)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t
h : ∀ (i : { i // t i ≠ ⊥ }), Disjoint (t ↑i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t ↑j)
i : ι
hi : t i ≠ ⊥
this : ∀ (j : ι), ⨆ (_ : t j = ⊥), t j = ⊥
⊢ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j = ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ ⟨i, hi⟩), t ↑j
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
c : E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → γ
g : β → γ
e : (c : γ) → ↑(f ⁻¹' {c}) ≃ ↑(g ⁻¹' {c})
a : α
⊢ g ((Equiv.ofPreimageEquiv e) a) = f a
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ whiskerRightIso (F.mapId a) (F.map f) = (F.mapComp (𝟙 a) f).symm ≪≫ F.map₂Iso (λ_ f) ≪≫ (λ_ (F.map f)).symm
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
⊢ ∀ (X_1 : C), ((CategoryTheory.Over.star X).obj X_1).left = (X ⨯ X_1)
R : Type u
CommSemiring R
t : Multiset R[X]
h : ∀ f ∈ t, f.Monic
⊢ t.prod.natDegree = (Multiset.map Polynomial.natDegree t).sum
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
P : Type uP
Q : Type uQ
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
IsScalarTower R A P
AddCommMonoid Q
Module R Q
m : M
p : P
q : Q
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.leftComm R A M P Q).symm (p ⊗ₜ[A] m ⊗ₜ[R] q) = m ⊗ₜ[A] p ⊗ₜ[R] q
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
⊢ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s ↔ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s
a b : ℝ
⊢ (Real.logb a b)⁻¹ = Real.logb b a
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : β → α
s : Set β
H : BddBelow (f '' s)
Hne : s.Nonempty
⊢ IsGLB (f '' s) (⨅ i, f ↑i)
α : Type u
f g : Filter α
h : ∀ (s : Set α), s ∈ f ↔ s ∈ g
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G → E
g : G
⊢ ∫ (x : G), f (g * x) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
i j : ℕ
h : i ≥ j
⊢ i.dist j = max i j - min i j
α : Type u_1
s : Multiset α
p : { a // a ∈ s } → Prop
DecidableEq α
DecidablePred p
⊢ Multiset.filter p s.attach =
  Multiset.map (Subtype.map id ⋯) (Multiset.filter (fun x => ∃ (h : x ∈ s), p ⟨x, h⟩) s).attach
α : Type u_1
β : Type u_2
a : Array α
f : Fin a.size → α → β
⊢ (a.mapIdx f).size = a.size
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
x : ℤ
r : R
hr : 0 < r
⊢ r ≤ ↑b ^ x ↔ Int.clog b r ≤ x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : μ.WeaklyRegular
⊢ μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
t : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
⊢ (CategoryTheory.Limits.HasZeroObject.zeroIsoIsInitial t).hom = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : {n | f^[n] x ∈ s}.Infinite
k : ℕ
hk : k ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
l : ℕ
hl : l ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
hkl : k < l
hn : k ≡ l [MOD n.succ]
m : ℕ := (l - k) / (n + 1)
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[n + 1]^[m] x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
a : α
c : γ
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).Adj (Sum3.in₀ a) (Sum3.in₂ c) ↔ ∃ b, (a, b, c) ∈ t
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq l
d : m → α
e : l → m
he : Function.Injective e
i j : l
⊢ diagonal d (e i) (e j) = diagonal (d ∘ e) i j
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
DivisionRing R
AddCommGroup α
StarAddMonoid α
Module R α
c : ℤ
M : Matrix m n α
⊢ ((↑c)⁻¹ • M)ᴴ = (↑c)⁻¹ • Mᴴ
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
this : n.MinSqFacProp n.minSqFac
⊢ Squarefree n ↔ n.minSqFac = none
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
C : Set (Set α)
hA : m0 = MeasurableSpace.generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h : μ.FiniteSpanningSetsIn C
h_eq : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
⊢ μ = ν
E : Type u_6
NormedGroup E
⊢ Filter.Tendsto norm (𝓝[≠] 1) (𝓝[>] 0)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors R
x : R
n : ℕ
_hn : 0 < n
hx : x ^ n = 0
⊢ ¬Prime 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ↪o β
he : (range ⇑e).OrdConnected
x y : α
⊢ ⇑e '' Ioo x y = Ioo (e x) (e y)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p₁ q₁ p₂ q₂ : F[X]
hq₁ : q₁ ≠ 0
hq₂ : q₂ ≠ 0
h₁ : Splits (algebraMap F q₁.SplittingField) p₁
h₂ : Splits (algebraMap F q₂.SplittingField) p₂
⊢ Splits (algebraMap F (q₁ * q₂).SplittingField) (p₁ * p₂)
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
H H' : Set (β → α)
h : H.UniformEquicontinuous
hH : H' ⊆ H
⊢ H'.UniformEquicontinuous
α : Type u_1
BEq α
a b : α
l : List α
h : a ∈ l.erase b
⊢ a ∈ l
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
d : R
hd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
⊢ x + star d = x + d
α : Type u
l : List α
⊢ ((List.range (l.length + 1)).bind fun n => List.sublistsLen n l).Perm l.sublists'
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
φ : a ⟶ b
h : p.map φ = eqToHom ⋯ ≫ p.map φ ≫ eqToHom ⋯
⊢ p.IsHomLift (p.map φ) φ
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
Nonempty ι
Nonempty ι'
ConditionallyCompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
g : ι → α
h : ι' → α
H : ∀ (i : ι) (j : ι'), a ≤ g i + h j
⊢ a ≤ iInf g + iInf h
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
i' : ι
j' : κ
⊢ ∑ x : ι, ∑ x_1 : κ, (Finsupp.single x_1 1) j * (Finsupp.single x 1) i * ((Finsupp.single i' 1) x * (Finsupp.single j' 1) x_1) = (Finsupp.single j' 1) j * (Finsupp.single i' 1) i
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
self : α × β
⊢ OrderHom.fst self = self.1
F : Type u_1
inst✝ : CommSemiring F
q : ℕ
g : F[X]
m : ℕ
hf✝ : HasSeparableContraction q ((expand F (q ^ m)) g)
hf : IsSeparableContraction q ((expand F (q ^ m)) g) g
⊢ g.natDegree * q ^ m = ((expand F (q ^ m)) g).natDegree
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
s : Finset R
⊢ ∏ x ∈ s, x ∈ I ↔ ∃ p ∈ s, p ∈ I
c : ℂ
R : ℝ
⊢ circleMap c R '' Set.Ioc 0 (2 * π) = Metric.sphere c |R|
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J✝ J' : Ideal S
I : Ideal R
J : Ideal S
⊢ (I.prod J).IsPrime → I = ⊤ ∨ J = ⊤
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
b : H
AddGroupWithOne G
AddGroup H
AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ f (x - OfNat.ofNat n) = f x - OfNat.ofNat n • b
R : Type u_1
CommRing R
k : ℕ
a : R
n : ℕ
⊢ Polynomial.dickson k a (n + 2) =
  Polynomial.X * Polynomial.dickson k a (n + 1) - Polynomial.C a * Polynomial.dickson k a n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
⊢ Nonempty (α ↪o β)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μα : MeasureTheory.Measure α
t : Set Ω
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.IndepSet t t κ μα
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1 ∨ (κ a) t = ⊤
R : Type u
m : ℕ
Ring R
p : R[X]
hp : p.natDegree ≤ m
⊢ (-p).natDegree ≤ m
α : Type u_1
Inhabited α
n : Nat
⊢ [].get! n = default
α : Type u
a : α
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
g' : G'
hg' : orderOf g' ∣ orderOf g
⊢ g' ^ Classical.choose ⋯ = g'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e : A ≃ₐc[R] B
⊢ ↑↑e = ↑e
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).denom = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
U : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
⊢ IsOpen U ↔ ∃ s, Uᶜ = ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Monotone (Set.kernImage f)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
h : Nonempty ι
f : ι → α
⊢ (Set.range f).Nonempty
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n : ℕ
this : ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 - predictablePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 - ∑ x ∈ Finset.range n, μ[(s (x + 1)).indicator 1|↑ℱ x]
⊢ predictablePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
(i : ι) → MetricSpace (E i)
i j : ι
h : i ≠ j
x : E i
y : E j
⊢ 1 ≤ dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩
x y : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ x.arg = y.arg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
hG : G.Connected
hH : H.Connected
⊢ (G □ H).Connected
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
Subsingleton α
⊢ Measurable f
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
⊢ term (fun n => if n = 0 then 0 else 1) s n = 1 / ↑n ^ s
n k : ℕ
⊢ hyperoperation (n + 3) 1 k = 1
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
AddCommGroup Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
Module.Free R M
Module.Finite R M
Module.Free R N
Module.Finite R N
x : TensorProduct R (M →ₗ[R] P) (N →ₗ[R] Q)
⊢ (homTensorHomEquiv R M N P Q) x = (TensorProduct.homTensorHomMap R M N P Q) x
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
i : F
his : i ∈ s
g : G
⊢ g • l i = l i
x y z : Bool
⊢ (x && y || z) = ((x || z) && (y || z))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ HasSeparatingCover s ∅
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsLindelof s
⊢ s.Countable
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
hα : IsIntegral F α
⊢ (minpoly F α).natDegree = p.natDegree
K : Type u_1
RCLike K
n : ℕ
⊢ ‖↑n‖ = ↑n
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s : Set M
f g : F
⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(span R s) ↔ Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
α : Type u_2
β : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
s : Set β
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
⊢ ∃ x ∈ s, sInf (f '' s) = f x
z : ℂ
n : ℕ
⊢ Complex.sin (↑π * z) =
  ((↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) *
      ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(Real.cos x) ^ (2 * n)) /
    ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Real.cos x ^ (2 * n))
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithBot.some ⁻¹' Set.Ioi ↑a = Set.Ioi a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
n : ℕ
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
pow_mem : k ^ (n + 1) ∈ σ (a ^ (n + 1))
nnnorm_pow_le : ↑(‖k‖₊ ^ (n + 1)) ≤ ↑‖a ^ (n + 1)‖₊ * ↑‖1‖₊
hn : 0 < ↑(n + 1)
⊢ ↑‖a ^ (n + 1)‖₊ ^ (1 / (↑n + 1)) * ↑‖1‖₊ ^ (1 / (↑n + 1)) = (fun x => x ^ (1 / ↑(n + 1))) (↑‖a ^ (n + 1)‖₊ * ↑‖1‖₊)
α : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (μ : MeasureTheory.Measure α), Monotone (MeasureTheory.lintegral μ)
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
⊢ ∀ (a : R), C a ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0})
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
hpos : n > 0
⊢ exponent G ∣ n ↔ ∀ (g : G), g ^ n = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
X : C
⊢ CategoryTheory.EssentiallySmall.{v, v, max u₁ v} (CategoryTheory.MonoOver X) ↔
  Small.{v, max u₁ v} (CategoryTheory.Subobject X)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
⊢ R.mul ▷ Bimod.TensorBimod.X P Q ≫ Bimod.TensorBimod.actLeft P Q =
  (α_ R.X R.X (Bimod.TensorBimod.X P Q)).hom ≫ R.X ◁ Bimod.TensorBimod.actLeft P Q ≫ Bimod.TensorBimod.actLeft P Q
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i : ι
m : M i
w : Word M
hmw : w.fstIdx ≠ some i
h1 : m ≠ 1
⊢ ∀ (l : (i : ι) × M i), l = ⟨i, m⟩ ∨ l ∈ w.toList → l.snd ≠ 1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
ps : Set P
hnps : ps.Nonempty
p : P
hps : ps ⊆ ↑s
hp : p ∉ s
hu : ∃! cs, cs.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
⊢ ∃! cs₂, cs₂.center ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s) ∧ insert p ps ⊆ Metric.sphere cs₂.center cs₂.radius
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), f a ≤ 1
h'f : ∀ a ∈ sᶜ, f a = 0
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ μ s
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
Unique αˣ
x : α
⊢ normUnit x = 1
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
x : M
y : ↥S
⊢ mk (x * ↑y) (1 * y) = mk (x * 1) (1 * 1)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
SMulZeroClass S R
r : S
p : R[X]
⊢ (r • p).support ⊆ p.support
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
⊢ toOpen ↑(Γ.obj (op X)) ⊤ ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ⊤) = 𝟙 (Γ.obj (op X))
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsAffine Y
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty.diagonal (fun X x x_1 x => CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace) f ↔
  QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
xs ys : Lean.Omega.IntList
d : Int
h : d ∣ ↑xs.gcd
⊢ (xs.sdiv d).dot ys = xs.dot ys / d
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : Set α
hs : P s
⊢ (MeasureTheory.inducedOuterMeasure m P0 m0) s = m s hs
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k✝ : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
k : Set α
hk : k ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s
h'k : IsCompact k
⊢ μ k = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g✝ : Filter α
s t : Set α
f g : Filter α
⊢ Disjoint f g ↔ ∃ s ∈ f, ∃ t ∈ g, Disjoint s t
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
X : Cᵒᵖ
j : Jᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Functor.const.opObjUnop X).hom.app j =
  𝟙 (((CategoryTheory.Functor.const Jᵒᵖ).obj (Opposite.unop X)).obj j)
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp 2 β
⊢ dist x y = √(∑ x_1 : ι, dist (x x_1) (y x_1) ^ 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
hf : Summable fun b => -f b
⊢ Summable f
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
n : ℕ
x y : R
⊢ (x - y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n - y ^ p ^ n
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R
⊢ (WittVector.ghostComponent 0) x.verschiebungFun = 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
as✝¹ : ι
U : Opens ↑↑(F.obj { as := as✝¹ }).toPresheafedSpace
y : ↑↑(F.obj { as := as✝¹ }).toPresheafedSpace
hy : y ∈ ↑U
as✝ : ι
x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj { as := as✝ })
h : { as := as✝¹ } ≠ { as := as✝ }
eq : ((forget C).map (colimit.ι F { as := as✝¹ }) ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) y = ((forget C).map (colimit.ι F { as := as✝ }) ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) x
⊢ False
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ (∃! p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ^ k) ↔ ∃! p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : IntegrableOn g K μ
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => f x • g x) (μ.restrict K)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
⊢ (∃ s ∈ map e l, IntegrableOn (f ∘ e) (e ⁻¹' s) μ) ↔ ∃ s ∈ l, IntegrableOn (f ∘ e) s μ
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s s' : Finset α
t : Finset β
DecidableEq α
hf : Function.Injective2 f
⊢ Finset.image₂ f (s ∩ s') t = Finset.image₂ f s t ∩ Finset.image₂ f s' t
n : ℕ
h : 2 ≤ n
hc : (pathGraph n).Colorable (Fintype.card Bool)
⊢ (pathGraph n).chromaticNumber ≤ 2
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0
⊢ f * g =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F
x : F
x✝ : x ∈ f.range
hx0 : x = 0
⊢ (T (↑f ⁻¹' {x})) x = 0