ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : ℕ
hpos : 0 < n
⊢ Irreducible (Polynomial.cyclotomic n ℚ)
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄✝ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
H1 : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
H2 : Red ((x1, b1) :: L₁) ((x2, b2) :: L₂)
this : Red ((x1, b1) :: L₁) ([(x2, b2)] ++ L₂)
L₄ : List (α × Bool)
eq : (x1, b1) :: L₁ = [] ++ L₄
h₁ : Red [] [(x2, b2)]
h₂ : Red L₄ L₂
⊢ Red L₁ ((x1, !b1) :: (x2, b2) :: L₂)
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
i : Fin g.natDegree
⊢ (powerBasisAux' hg) i = root g ^ ↑i
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)
X : Dᵒᵖ
a b : (forget A).obj (F.obj X)
h : (f.app X) a = (f.app X) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ map = g
⊢ Sieve.pullback g (equalizerSieve a b) ∈ K.sieves Y
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
inst✝ : SFinite μ
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.prod volume) (regionBetween f g s) = ∫⁻ (y : α) in s, ofReal ((g - f) y) ∂μ
n✝ n : ℕ
n1 : n ≠ 1
n0 : ¬n = 0
⊢ Nat.minFacProp n n.minFac
n : Nat
a b : Fin n
h : a ≤ b
⊢ ↑a ≤ ↑b
M₁ : Type u_5
MulOneClass M₁
⊢ ↑1 = 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw✝ : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
w : ι' → ↑S.X₃
hw : LinearIndependent R w
⊢ LinearIndependent R (⇑S.g ∘ Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w) ∘ Sum.inr)
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β✝
inst✝ : UniformSpace γ✝
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
ua1 ua2 : UniformSpace α
ub1 ub2 : UniformSpace β
uc1 : UniformSpace γ
h : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
ha : UniformContinuous id
hb : UniformContinuous id
h_unif_cont_id : UniformContinuous (Prod.map id id)
⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
a : α
ha : OrderHom.gfp f ≤ a
⊢ OrderHom.gfp f ≤ f a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hp : 0 < p.toReal
hμ : ¬μ = 0
hc : ¬c = 0
hμ_top : ¬μ Set.univ = ⊤
⊢ ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal) < ⊤ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk v w
he✝ : s(t, u) ∈ p.edges
d : G.Dart
hd : d ∈ p.darts
he : d.toProd.1 = t ∧ d.toProd.2 = u ∨ d.toProd.1 = u ∧ d.toProd.2 = t
⊢ t ∈ p.support
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : Fin 3 → P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
⊢ AffineIndependent k p ↔ ¬Collinear k {p i₁, p i₂, p i₃}
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
e : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
p : Submodule R₂ M₂
⊢ (Submodule.orderIsoMapComap e).symm p = Submodule.map e.symm p
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
G : CategoryTheory.Functor C D
hG : W.IsInvertedBy G
⊢ W.Q.comp (CategoryTheory.Localization.Construction.lift G hG) = G
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
f : ∑ k ∈ range n.succ.succ, ↑(n.succ.succ.choose k) * bernoulli' k = ↑n.succ.succ
⊢ ∑ i ∈ range n, ↑((n + 2).choose (i + 2)) * bernoulli (i + 2) = ↑n / 2
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P Q
⊢ P = AlgebraicGeometry.targetAffineLocally Q
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
hs : DirSupInacc s
ht : DirSupInacc t
⊢ DirSupInacc (s ∪ t)
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
b : ℝ
hb : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.map (fun x => |(g x).im|) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x b
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.map (fun x => |(f x).arg * (g x).im|) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (π * b)
F : Type u
Field F
f : F[X]
h : f.Separable
⊢ f.natSepDegree = f.natDegree
α : Type u
t : TopologicalSpace α
ι : Sort u_2
U : ι → Set α
Uo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
Uc : ⋃ i, U i = Set.univ
b : (i : ι) → Set (Set ↑(U i))
hb : ∀ (i : ι), TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (b i)
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (⋃ i, Set.image Subtype.val '' b i)
k : ℕ
⊢ Nat.multichoose 2 k = k + 1
β : Type u_1
ι : Type u_2
t : ι → TopologicalSpace β
T : ι → Set (Set β)
h_basis : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (T i)
x✝ : TopologicalSpace β := ⨅ i, t i
⊢ IsTopologicalBasis {S | ∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ T i) ∧ S = ⋂ i ∈ F, U i}
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
hap : a ≠ 0
⊢ Multiset.map (fun x => (a * ↑x).valMinAbs.natAbs) (Finset.Ico 1 (p / 2).succ).val =
  Multiset.map (fun a => a) (Finset.Ico 1 (p / 2).succ).val
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
δ : ℝ
hδ : δ < 0
⊢ closedBall x δ ⊆ cthickening δ {x}
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
g'inv : G →L[𝕜] E
this : HasStrictFDerivAt (HasStrictFDerivAt.localInverse φ.prodFun (φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯) φ.pt ⋯) ↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯).symm (φ.leftFun φ.pt, φ.rightFun φ.pt)
hg'inv : ∀ (x : G), φ.rightDeriv (g'inv x) = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G) x
hg'invf : ∀ (x : G), φ.leftDeriv (g'inv x) = 0 x
x : G
⊢ (φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯) (g'inv x) = (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G)) x
α : Type u_7
β : Type u_8
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
self : BoundedLatticeHom α β
⊢ self.toFun ⊤ = ⊤
⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, 1 / (↑i + 1)) atTop atTop
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : ℕ → Ordinal.{u}
hg : ∀ k < N, g k < i ∧ (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧ k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun n => if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
⊢ False
β : Type u_1
γ : Type u_2
α : Type u_3
h : β → γ
g : α → β
x : Option α
⊢ Option.map h (Option.map g x) = Option.map (h ∘ g) x
v : Multiset ℕ
h : ∀ p ∈ v, Nat.Prime p
⊢ Multiset.map Coe.coe (Multiset.pmap (fun p hp => ⟨p, hp⟩) v h) = v
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ ∀ p ∈ a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList, Prime p
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
⊢ IsPrimePow n ↔ n.primeFactors.card = 1
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
⊢ ‖a / b‖ = 0 ↔ a = b
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑((AlgebraicGeometry.Proj.toLocallyRingedSpace 𝒜).restrict ⋯).toTopCat
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ HomogeneousLocalization.mk z ∈ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.carrier x ↔
  ↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal
α : Type u_1
PartialOrder α
s : NonemptyInterval α
x : α
⊢ x ∈ ↑s ↔ x ∈ s
α : Type u_2
Bornology α
⊢ ⇑(LocallyBoundedMap.id α) = id
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
Mul M
Mul N
a x y : M
FunLike F M N
MulHomClass F M N
h : SemiconjBy a x y
f : F
⊢ SemiconjBy (f a) (f x) (f y)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
ha : Differentiable 𝕜 a
n : ℕ
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => a x ^ n
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
x y z : P
⊢ dist (x -ᵥ y) (x -ᵥ z) = dist y z
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
⊢ BoxIntegral.Box.Ioo I =ᵐ[MeasureTheory.volume] BoxIntegral.Box.Icc I
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
⊢ X = normalize X
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
n : ℕ
hn1 : n ≠ 0
hn2 : f ↑n ≠ 1
P : Set ℕ := {m | 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1}
hP : P.Nonempty
⊢ ∃ p, (0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1) ∧ ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
hab : a < b
hcd : c < d
⊢ a * c < b * d
R : Type u_1
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p q r : Submodule R M
h₁ : IsCompl q r
h₂ : q ≤ p
⊢ IsCompl (Submodule.comap p.subtype q) (Submodule.comap p.subtype r)
x : ℝ≥0∞
NeZero x
⊢ (𝓝[<] x).NeBot
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
⊢ ∃ s,
  MeasurableSet s ∧
    (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
α : Type u_1
s : Set (Set α)
⊢ (Filter.generate s).HasBasis (fun t => t.Finite ∧ t ⊆ s) fun t => ⋂₀ t
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f : α → β
CommGroup β
DecidableEq α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ ∏ x ∈ s₂ \ s₁, f x = (∏ x ∈ s₂, f x) / ∏ x ∈ s₁, f x
x : ℝ
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Ici x) x ↔ x ≠ -1
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
⊢ ⨆ (_ : ↑t ⊆ s \ {a}), a ⊓ t.sup id = ⊥
C : Type u_1
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
X Y : CategoryTheory.GradedObject J C
e : X ≅ Y
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.hom j) (e.inv j) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (X j)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Fintype ι
κ : ι → ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.sum κ = ∑ i : ι, κ i
α : Type u
β : Type v
DecidableEq α
DecidableEq β
a : α
b : β
⊢ b ∈ (PEquiv.single a b) a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.133780, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
⊢ (φ₁ - φ₃).τ₃ = h.h₃ - h'.h₃ + (h.h₂ - h'.h₂) ≫ S₂.g + (φ₂ - φ₄).τ₃
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
gp : GenContFract.Pair K
nth_s_eq : (GenContFract.of v).s.get? n = some gp
⊢ gp.a = 1 ∧ ∃ z, gp.b = ↑z
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : α → Prop
⊢ MeasurableSet {a | p a} ↔ Measurable p
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Rack R✝
R : Type u_2
inst✝ : Rack R
h : IsInvolutory R
x y : R
⊢ x ◃⁻¹ y = x ◃ y
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
self : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
m : ℕ
⊢ ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => p x m) s
⊢ RingHom.PropertyIsLocal @RingHom.FinitePresentation
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b c : α
ha : a ∈ normalizedFactors c
hb : b ∈ normalizedFactors c
h : a ~ᵤ b
⊢ a ∣ b ∧ b ∣ a
R : Type u
CommSemiring R
x : R
I J : Ideal R
⊢ I = Ideal.span {x} * J ↔ (∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zJ = zI) ∧ ∀ z ∈ J, x * z ∈ I
x y : ℂ
⊢ cos (x + y) = cos x * cos y - sin x * sin y
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ (μ.restrict t).restrict s = μ.restrict s
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
⊢ ⇑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotSupₐ R I J).symm = ⇑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotSup I J).symm
R S T : Type u
CommRing R
CommRing S
CommRing T
Algebra R S
Algebra R T
⊢ (AlgebraicGeometry.pullbackSpecIso R S T).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (AlgebraicGeometry.Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R S)))
      (AlgebraicGeometry.Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R T))) =
  AlgebraicGeometry.Spec.map (CommRingCat.ofHom ↑Algebra.TensorProduct.includeRight)
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
f g : C(X, ℝ)₀
this : SemilinearMapClass (C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] C(X, ℝ≥0)) (RingHom.id ℝ≥0) C(X, ℝ≥0)₀ C(X, ℝ≥0)
⊢ (f * g).toNNReal + (-f).toNNReal * g.toNNReal + f.toNNReal * (-g).toNNReal = (-(f * g)).toNNReal + f.toNNReal * g.toNNReal + (-f).toNNReal * (-g).toNNReal
ι : Type v
α : ι → TopCat
X : CategoryTheory.Discrete ι
⊢ (TopCat.piFan α).π.app X = TopCat.piπ α X.as
R : Type u_1
Semiring R
⊢ (PowerSeries.constantCoeff R) PowerSeries.X = 0
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
a : α
⊢ List.mergeSort r [a] = [a]
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
u : Rˣ
hu : ↑u < 0
v : Ray R M
⊢ 0 < ↑(-u)
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
NontriviallyNormedField α
NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖₊ = ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ }‖₊
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
⊢ ⇑(DoubleQuot.quotQuotToQuotSupₐ R I J) = ⇑(DoubleQuot.quotQuotToQuotSup I J)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : 1 < pB.dim
h : (pB.basis.repr hζ.toInteger) ⟨1, hdim⟩ = (pB.basis.repr (↑↑p * x + ↑n)) ⟨1, hdim⟩
this : pB.basis ⟨1, hdim⟩ = hζ.toInteger ^ ↑⟨1, hdim⟩
⊢ False
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ n.divisors, ↑(μ x) * Real.log ↑x = ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * -Real.log ↑x.2
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝² : Group N
P : Type u_6
inst✝¹ : Group P
η : Type u_7
f : η → Type u_8
inst✝ : (i : η) → Group (f i)
p : (i : η) → f i
hp : p ∈ pi univ fun i => ⊥
⊢ p = 1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ frontier (sphere x r) = sphere x r
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
ε : ℝ
⊢ ε > 0 → ∃ N, ∀ {n : ℕ}, n ≥ N → ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n < ε
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : b ≠ 0
ha : 2 ≤ a
h : a ^ n ∣ b
⊢ n < b
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U : X.Opens
⊢ (f.appIso U).hom = f.appLE (f.opensFunctor.obj U) U ⋯
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
x : α
r : ι → ℝ
hr : Tendsto r l atTop
⊢ ∀ᵐ (x_1 : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in l, x_1 ∈ Metric.ball x (r i)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
hdnf : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ -Iio a, HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
H : Type u
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
ClosedUnderRestriction G
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
s : Set H
hs : IsOpen s
⊢ e.restr s ∈ G
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
g : CauSeq β abv
hg : f.LimZero
⊢ (f * g).LimZero
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (x * y) =
  UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors x + UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors y
α : Type u_1
a b : PosNum
⊢ Ordering.casesOn ((neg a).cmp (neg b)) (↑(neg a) < ↑(neg b)) (neg a = neg b) (↑(neg b) < ↑(neg a))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
q : ℚ
x : β
h : x ∈ cutMap β ↑q
⊢ x ≤ ↑q
m n : Num
⊢ Ordering.casesOn (m.cmp n) (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
hs : s.Nontrivial
⊢ (s.erase a).Nonempty
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
LieRing L
LieAlgebra K L
Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
⊢ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I} = I
n : ℕ+
h : n < 2
⊢ n ≤ 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
R : Type u_3
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
hS' : S.ShortExact
n p : ℕ
Module.Free R ↑S.X₁
Module.Free R ↑S.X₃
Module.Finite R ↑S.X₁
Module.Finite R ↑S.X₃
hN : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₁ = n
hP : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₃ = p
StrongRankCondition R
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₂ = n + p
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p q : K[X]
hq : q ∈ K[X]⁰
⊢ RatFunc.mk p q = { toFractionRing := IsLocalization.mk' (FractionRing K[X]) p ⟨q, hq⟩ }
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
⊢ Nontrivial ↥H ↔ ∃ x ∈ H, x ≠ 1
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ (P.X ⊗ Q.X) L.X U.X).hom ≫ (((α_ P.X Q.X (L.X ⊗ U.X)).hom ≫ P.X ◁ Q.X ◁ L.actRight) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = (α_ P.X Q.X L.X).hom ▷ U.X ≫ (((α_ P.X (Q.X ⊗ L.X) U.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ▷ U.X) ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ = l₂ → l₁ ~ l₂
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑θ = ↑ψ
⊢ ↑θ = ↑ψ
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
⊢ ↑(Z.localTrivAsPartialEquiv i) = ↑(Z.localTriv i)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j = 𝟙 (f j)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
i : m
j : n
i' : m
j' : n
⊢ (if i = i' ∧ j = j' then 1 else 0) = if j = j' then if i = i' then 1 else 0 else 0
α : Type u_1
PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x : α
⊢ c.IsClosed (c x)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass β
s : Set β
inst✝ : Decidable (g a ∈ s)
⊢ ∫⁻ (x : β) in s, f x ∂(deterministic g hg) a = if g a ∈ s then f (g a) else 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
MulActionWithZero 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
c : 𝕜
⊢ MeasureTheory.Memℒp (c • f) p μ
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ l.reverse.toFinset = l.toFinset
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set β
a : α
b : β
⊢ b ∈ s → a • b ∈ a • s
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x a : 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup 𝕜'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
hh : HasDerivAt h h' (x + a)
⊢ HasDerivAt (fun x => h (x + a)) h' x
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
⊢ Ordinal.type (ULift.down ⁻¹'o r) = Ordinal.lift.{v, u} (Ordinal.type r)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
μ : MeasureTheory.Measure V
μ.IsAddHaarMeasure
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : MeasureTheory.Integrable (fderiv ℝ f) μ
⊢ VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fderiv ℝ f) =
  VectorFourier.fourierSMulRight (-L.flip) (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)
R : Type u
CommSemiring R
I J P : Ideal R
hp : P.IsPrime
⊢ I * J ≤ P ↔ I ≤ P ∨ J ≤ P
n : ℕ
⊢ n.primesBelow.card = n.primeCounting'
α : Type u
l : List α
k : ℕ
hk : k < (l.rotate 1).length
⊢ (l.rotate 1).nthLe k hk = l.nthLe ((k + 1) % l.length) ⋯
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α β₀ β₁ β₂ : Type u
g : β₀ → F β₁
g' : β₁ → G β₂
x : t α β₀
⊢ bitraverse (Comp.mk ∘ map pure ∘ pure) (Comp.mk ∘ map g' ∘ g) x = tsnd (Comp.mk ∘ map g' ∘ g) x
α : Type u_1
E : Set α
hE : E.Finite
Base : Set α → Prop
exists_base : ∃ B, Base B
base_exchange : Matroid.ExchangeProperty Base
subset_ground : ∀ (B : Set α), Base B → B ⊆ E
⊢ (Matroid.ofBaseOfFinite hE Base exists_base base_exchange subset_ground).E = E
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset β
a : α
⊢ a +ᵥ s = ∅ ↔ s = ∅
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : Disjoint s t
⊢ s \ t = s
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ π₁ ≤ π₂ ↔ ∀ J ∈ π₁, ∃ J' ∈ π₂, J ≤ J'