ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
DecidableEq ι
i : ι
x : ℝ
h : x ∈ Set.Ioo (I.lower i) (I.upper i)
h' : ∀ (j : ι), Function.update I.lower i x j < I.upper j := ⋯
⊢ I.splitUpper i x = ↑{ lower := Function.update I.lower i x, upper := I.upper, lower_lt_upper := h' }
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this : ∀ (M : Type ?u.10523) (N : Type ?u.10522) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ Iio a * Iic b ⊆ Iio (a * b)
R : Type u₁
S : Type u₂
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
⊢ ∀ (x : ModuleCat R), (ModuleCat.ExtendRestrictScalarsAdj.unit f).app x = ModuleCat.ExtendRestrictScalarsAdj.Unit.map f
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α →ᵈ β
x y : α
h : x = y
⊢ f x = f y
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
⊢ (descPochhammer ℤ (n + 1)).comp (X - 1) = X * (descPochhammer ℤ n).comp (X - 1) - (↑n + 1) * (descPochhammer ℤ n).comp (X - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
x : α
hiff : M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊ ↔ M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊
⊢ ↑({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ^ p.toReal) = ↑({x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun a => ‖‖f a‖ ^ p.toReal‖₊) x)
α : Type u_1
Group α
H K : Subgroup α
hHK : H ≤ K
⊢ Nat.card ↥H ∣ Nat.card ↥K
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
⊢ f =ᵐ[μ] g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hι : Nonempty ι
C : ℝ
hC₁ : 0 < C
hC₂ : eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
this : {x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊} = {x | C ≤ ‖f i x‖}
⊢ eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f i x‖}.indicator (fun a => ‖f i a‖) x) p μ = eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f j x‖}.indicator (fun a => ‖f j a‖) x) p μ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
n : ℕ
h : ∀ (i : η), Group.nilpotencyClass (Gs i) ≤ n
⊢ (pi Set.univ fun i => lowerCentralSeries (Gs i) n) ≤ ⊥
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : 1 ≤ a
hbc : b ≤ c
⊢ b ≤ a * c
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
Λ₀ : ℝ
Λ : ι → ℝ
h0 : ((LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ).symm Λ, Λ₀) ≠ 0
hsum : ∀ (x : E), ((LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ).symm Λ) ((ContinuousLinearMap.pi f') x) + Λ₀ • φ' x = 0
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
α β : Type u
f : β → α → β
xs : FreeMonoid α
a : β
⊢ MulOpposite.unop ((Monoid.Foldl.ofFreeMonoid f) xs) a = List.foldl f a (FreeMonoid.toList xs)
G : Type u
Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf
    (x ^ (orderOf x / (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)) *
      y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))) =
  (orderOf x).lcm (orderOf y)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ Polynomial.X ^ n - 1 = ∏ ζ ∈ Polynomial.nthRootsFinset n R, (Polynomial.X - Polynomial.C ζ)
a b : ℝ
h : 0 < b
this : Tendsto (fun x => -rexp (-b * x) / b) atTop (𝓝 (-0 / b))
x : ℝ
x✝ : x ∈ Ici a
⊢ HasDerivAt (fun x => -rexp (-b * x) / b) (rexp (-b * x)) x
n : Nat
⊢ LE.le n.succ 0 → False
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
h : ClosedEmbedding ⇑(f.val.base ≫ g.val.base)
⊢ ClosedEmbedding ⇑f.val.base
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
ContinuousAdd E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E
⊢ StrictConvex 𝕜 ((fun x => x + z) '' s)
M N : SemiNormedGrp
f : M ≅ N
i : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.hom
i' : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.inv
⊢ ↑(mkHom f.inv i' ≫ mkHom f.hom i) = ↑(𝟙 (of ↑N))
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
a : α
⊢ a • Set.univ = Set.univ
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
⊢ term (f ⍟ g) s n = ∑ p ∈ n.divisorsAntidiagonal, term f s p.1 * term g s p.2
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
b : β i
j✝ j : ι
hi : i ≠ j
⊢ (update i f 0) j = (erase i f) j
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
r : ℕ
⊢ padicValRat p (↑p ^ r)⁻¹ = -↑r
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ e.symm.unitIso = e.counitIso.symm
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ (B (l ((stdBasis R (fun x => R) i) 1))) (r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1)) = ∑ x : m, ∑ i_1 : n, of (fun i j => l ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) i_1 i * (B ((stdBasis R (fun x => R) i_1) 1)) ((stdBasis R (fun x => R) x) 1) * of (fun i j => r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
h : ComplexEmbedding.IsReal φ
⊢ (mk φ).embedding = φ
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
⊢ (Polynomial.map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p = 0
ι : Type u_5
σ : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
i : ι
⊢ IsClosed (Set.range (Sigma.mk i))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : α → G'
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T hT g
R : Type u_4
k : ℕ
CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
⊢ h.zmodEquivZPowers.symm (Additive.ofMul ⟨ζ ^ i, ⋯⟩) = ↑i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
K : CategoryTheory.Pretopology C
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.Pretopology.toGrothendieck C K) P ↔
  ∀ ⦃X : C⦄,
    ∀ R ∈ K.coverings X,
      Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit (P.mapCone (CategoryTheory.Sieve.generate R).arrows.cocone.op))
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
⊢ ENNReal.ofReal (∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ENNReal.ofReal (f i)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
Field k
CharP k p
IsAlgClosed k
n : ℕ
a₁ a₂ : WittVector p k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
⊢ ∃ b, (WittVector.RecursionMain.succNthDefiningPoly p n a₁ a₂ bs).IsRoot b
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13153, u_1} D
P : MorphismProperty C
inst✝ : P.RespectsIso
f g : Arrow C
e : f ≅ g
⊢ P f.hom ↔ P g.hom
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
⊢ W'.dblY P = (P x ^ 2) ^ 3
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
β : Y ≅ Z
⊢ (α ≪≫ β).inv = CategoryTheory.CategoryStruct.comp β.inv α.inv
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.prod ν) s = ∫⁻ (x : α), ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂μ
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
l : List α
⊢ List.count a (b :: l) = List.count a l
α : Type u
ι : Type v
a : Cardinal.{u}
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
ht : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a
⊢ #↑Set.univ ≤ a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ init n (-x) = init n (-init n x)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a : α
q : ℚ≥0
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ ↑q * a
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
b : ↥B
⊢ HNNExtension.t⁻¹ * HNNExtension.of ↑b = HNNExtension.of ↑(φ.symm b) * HNNExtension.t⁻¹
x : ℝ
m : ℕ
h : Irrational (↑m - x)
⊢ Irrational x
x : ℝ
hx : x ∈ interior (Icc 0 π)
⊢ deriv^[2] sin x < 0
α : Type u
Zero α
⊢ ULift.down 0 = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
𝓕 : Type u_10
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
FunLike 𝓕 E F
RingHomIsometric σ₁₂
SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), ε / ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
n : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ n).smeval (-↑n) = (-1) ^ n * ↑n.factorial
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
x : R
⊢ (frobeniusEquiv R p).symm x ^ p = x
R : Type u_1
ι : Type u_2
n : ℕ
M : Fin n → Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : (i : Fin n) → Module R (M i)
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Finite ι
f g : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
ι₁ : Type u_6
e : Basis ι₁ R M₂
h : ∀ (v : ι → ι₁), (f fun i => e (v i)) = g fun i => e (v i)
val✝ : Fintype ι
⊢ f = g
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)
⊢ 2 ^ Fintype.card α * (2 ^ Fintype.card α + (s.biUnion f').card) ≤ 2 ^ Fintype.card α * (2 * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card)))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i0 : ι
⊢ vectorSpan k (range p) = Submodule.span k (range fun i => p i0 -ᵥ p i)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a₁ a₂ a₃ a₄ b₁ b₂ b₃ b₄ : R
⊢ { re := a₁, imI := a₂, imJ := a₃, imK := a₄ } - { re := b₁, imI := b₂, imJ := b₃, imK := b₄ } =
  { re := a₁ - b₁, imI := a₂ - b₂, imJ := a₃ - b₃, imK := a₄ - b₄ }
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b lb ub : α
hal : lb ≤ a
hau : a ≤ ub
hbl : lb ≤ b
hbu : b ≤ ub
⊢ |a - b| ≤ ub - lb
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ b = a ⊓ bᶜ ⊔ b ⊓ aᶜ
S : Type u_4
M : Type u_5
Zero M
SetLike S M
self : ZeroMemClass S M
s : S
⊢ 0 ∈ s
α : Type u_9
β : Type u_10
AddCommMonoid β
IsEmpty α
Fintype α
f : α → β
⊢ ∑ x : α, f x = 0
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Int.fract (a - OfNat.ofNat n) = Int.fract a
α : Type u_2
Preorder α
One α
⊢ Interval.pure 1 = 1
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
hw : w ≠ 1
⊢ ∃ i, cs.IsLeftDescent w⁻¹ i
X : Type u_1
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
OpensMeasurableSpace X
Z : Type u_3
TopologicalSpace Z
MeasurableSpace Z
BorelSpace Z
f : X → Z
hf : Continuous f
hf_surj : Function.Surjective f
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μ).IsOpenPosMeasure
G : Type u_1
AddGroup G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
x : ↥H
n : ℤ
⊢ ↑(n • x) = n • ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set β
⊢ ⇑e.symm ⁻¹' (⇑e ⁻¹' s) = s
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖
a✝ : Nontrivial A
hk : k ≠ 0
ku : Aˣ := (Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 k hk)
⊢ IsUnit (k • 1 - a)
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
C : ℝ
f : ℕ → α
hu₂ : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 / 2 ^ n
a : α
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
⊢ dist (f 0) a ≤ C
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
f : Filter α
⊢ Filter.comap (⇑e.symm) f = Filter.map (⇑e) f
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
Distrib α
A₁ A₂ : Matrix l m α
B : Matrix n p α
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) (A₁ + A₂) B =
  Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A₁ B + Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A₂ B
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
R : CategoryTheory.Sieve X
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPushforward (F.comp G) R =
  CategoryTheory.Sieve.functorPushforward G (CategoryTheory.Sieve.functorPushforward F R)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ
hT₁ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₂ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
c : Opposite.unop T₂.obj₃ ⟶ Opposite.unop T₁.obj₃
hc₁ : T₂.mor₂.unop ≫ b.unop = c ≫ T₁.mor₂.unop
hc₂ : (shiftFunctor C 1).map T₂.mor₃.unop ≫ (shiftFunctor C 1).map c = ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.hom.app T₂.obj₁).unop ≫ a.unop ≫ ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₁.obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map T₁.mor₃.unop
⊢ (T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a).unop = (c.op ≫ T₂.mor₃).unop
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
h : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
⊢ κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel = κ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
NormOneClass 𝕜
s : Set E
⊢ s ⊆ balancedHull 𝕜 s
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ x ∈ ↑(ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 f) ↔ f ∉ x.asHomogeneousIdeal
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g✝ : ι → Set X
g : ι' → ι
hf : LocallyFinite f
hg : InjOn g {i | (f (g i)).Nonempty}
x : X
t : Set X
htx : t ∈ 𝓝 x
htf : {i | (f i ∩ t).Nonempty}.Finite
⊢ InjOn g (g ⁻¹' {i | (f i ∩ t).Nonempty})
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
c : ℝ
x : α
hfx : ‖f x‖ ≤ c
⊢ Tendsto (fun n => ↑(hf.approxBounded c n) x) atTop (𝓝 (f x))
n : ℕ
α : Type u_1
Preorder α
f g : Fin n → α
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
h : Set.range f = Set.range g
⊢ f = g
x : ℝ*
⊢ x.Infinite ↔ ∀ (r : ℝ), |↑r| < |x|
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
⊢ (∃ a a_1, (MvPolynomial.aeval Subtype.val) a / (MvPolynomial.aeval Subtype.val) a_1 = x) ↔ ∃ r s, x = (MvPolynomial.aeval Subtype.val) r / (MvPolynomial.aeval Subtype.val) s
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : ⨁ (i : ι), A i
⊢ (fun a b => ((toAddMonoid fun x => ((compHom (of A (a + x))).comp (gMulHom A)).flip).flip b) a') = fun i ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h₂ : CategoryTheory.Limits.IsZero T.obj₂
h₃ : CategoryTheory.Limits.IsZero T.obj₃
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero T.obj₁
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < a * b
ha : a < 0
⊢ 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonUnitalNonAssocSemiring R
⊢ inst₁ = inst₂ ↔ HAdd.hAdd = HAdd.hAdd ∧ HMul.hMul = HMul.hMul
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M : Mat_ C
i : M.ι
⊢ F.map ((biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ (biproduct.bicone fun i => (embedding C).obj (M.X i)).π i) = F.map fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : (i : ι) → E i
i : ι
y : E i
l : E i →L[𝕜] (i : ι) → E i := ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)))
update_eq : Function.update x i = (fun x_1 => x) + ⇑l ∘ fun x_1 => x_1 - x i
⊢ HasFDerivAt ((fun x_1 => x) + ⇑l ∘ fun x_1 => x_1 - x i) l y
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
f : β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), f b ∂κ a
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure α
⊢ ∀ (a : Set α), μ a ≤ m a ↔ a.Nonempty → μ a ≤ m a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
UniformSpace β
δ : ι → Type u_6
φ : (i : ι) → δ i → α
h_cover : ∃ I, I.Finite ∧ ⋃ i ∈ I, Set.range (φ i) = Set.univ
⊢ UniformFun.uniformSpace α β =
  ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑UniformFun.toFun) (UniformFun.uniformSpace (δ i) β)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
R : ℝ
h0 : 0 ≤ R
f : ℂ → E
c : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (Metric.closedBall c R)
hd : ∀ z ∈ Metric.ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f z
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) = 0
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ↑a < ℵ₀
⊢ Prime ↑a ↔ ℵ₀ ≤ ↑a ∨ ∃ p, ↑a = ↑p ∧ Nat.Prime p
α : Type u
f : List α → List α
H : ∀ (l : List α), (f l).length = l.length
n : ℕ
l : List α
⊢ (List.modifyNthTail f n l).length = l.length
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_7
MonoidWithZero M
MonoidWithZero M'
FunLike F M M'
Nontrivial M
NoZeroDivisors M'
ZeroHomClass F M M'
g : F
hg : Function.Injective ⇑g
x : M
h : x ∈ M⁰
⊢ g x ∈ M'⁰
X Y : Scheme
inst✝¹ : IsAffine X
inst✝ : IsAffine Y
f : X ⟶ Y
⊢ Spec.map (Hom.app f ⊤) ≫ Y.isoSpec.inv = X.isoSpec.inv ≫ f
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty
y' : ℤ := (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
y'_def : y' = (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
hy' : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y'
this : ↑y' < y
y'_nonneg : 0 ≤ y'
⊢ ↑(normBound abv bS * y' ^ Fintype.card ι) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s
hst : s ⊆ t
hs' : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
⊢ μ (t \ s) ≤ ε ↔ μ t ≤ μ s + ε
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)
m : Cardinal.{max u v} := max (lift.{v, u} #α) ℵ₀
a : α
⊢ Cardinal.{max u v}
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ ∀ x ∈ Set.range (⇑(Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) ∘ fun x => Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1), x = 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
n : ℕ
hn : lowerCentralSeries H n = ⊥
⊢ ∃ n, lowerCentralSeries G n = ⊥
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α
hb : a ⊓ b ≤ c
hc : a ⊓ c ≤ b
⊢ a ≤ b ⇔ c
G : Type u_1
Group G
⊢ IsDescendingCentralSeries (lowerCentralSeries G)
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ x + ↑n * ↑m < (⇑f)^[n] x ↔ x + ↑m < f x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
⊢ p / 2 < p
a b c : ℕ
h1 : a.pow b = c
⊢ a.pow (2 * b + 1) = c.mul (c.mul a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
n : ℕ := card α
hn : n = card α
ha : 1 = card α
_h : card α ≤ 1
a b : α
⊢ a = b
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a x y : G
⊢ SemiconjBy a⁻¹ y x ↔ SemiconjBy a x y