ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η θ : F ⟶ G
app : (a : B) → η.app a ≅ θ.app a
naturality :
  ∀ {a b : B} (f : a ⟶ b),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (app b).hom) (θ.naturality f) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (η.naturality f)
        (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (app a).hom (G.map f))
a : B
⊢ (CategoryTheory.OplaxNatTrans.ModificationIso.ofComponents app naturality).inv.app a = (app a).inv
M : Type u_1
AddMonoid M
a : Mᵈᵃᵃ
n : ℕ
⊢ DomAddAct.mk.symm (n • a) = n • DomAddAct.mk.symm a
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
s : Setoid M
ps : L.Prestructure s
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ (FirstOrder.Language.Structure.funMap f fun i => ⟦x i⟧) = ⟦FirstOrder.Language.Structure.funMap f x⟧
α : Type u
Lattice α
a b : α
⊢ a ⊓ b ≤ a ⊔ b
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
DecidableEq n
Zero α
One α
Zero β
One β
f : α → β
h₀ : f 0 = 0
h₁ : f 1 = 1
⊢ Matrix.map 1 f = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
⊢ ∀ s ∈ Set.range fun r => ↑(sbo r), IsOpen (ToSpec.toFun f ⁻¹' s)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
a : α
Nonempty ι
f : ι → α
H : IsGLB (Set.range f) a
⊢ ⨅ i, f i = a
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_6
CommMonoid M
CommMonoid N
s : Set α
f : α → M
g : M →* N
h₀ : (s ∩ Function.mulSupport f).Finite
⊢ g (∏ᶠ (j : α) (_ : j ∈ s), f j) = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g (f i)
⊢ ↑π ^ 2 / 6 = ↑(π ^ 2 / 6)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
f : R ≃+* S
K : NonUnitalSubsemiring R
x : S
⊢ x ∈ map (↑f) K ↔ f.symm x ∈ K
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)
p_odd : Odd p
AB_not_prime : ¬Prime (A * B)
AB_id : A * B = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
⊢ (A * B).ProbablePrime b
R : Type u
CommSemiring R
S : Type u_1
Semiring S
Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
DecidableEq ι₁
DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₂ : ι₂ → Type w₂
(i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
(i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
(i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
(i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
(i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
i₁ : ι₁
m₁ : M₁ i₁
i₂ : ι₂
m₂ : M₂ i₂
⊢ (TensorProduct.directSum R S M₁ M₂).symm
    ((DirectSum.lof S (ι₁ × ι₂) (fun i => TensorProduct R (M₁ i.1) (M₂ i.2)) (i₁, i₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) =
  (DirectSum.lof S ι₁ M₁ i₁) m₁ ⊗ₜ[R] (DirectSum.lof R ι₂ M₂ i₂) m₂
R : Type u
CommSemiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
⊢ 0 < p.degree ↔ p ≠ 1
a : ℕ
⊢ √↑a < ↑a.sqrt + 1
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
Nonempty ι
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
g : ι → α
hg : BddAbove (Set.range g)
⊢ f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
x : ℝ*
⊢ (-x).st = -x.st
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
⊢ 𝓤 α ≤ comap Prod.swap (𝓤 α)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
hA' : MeasurableSet A
⊢ ∀ (f : ℕ → Set γ), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) (f i)) → (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) (⋃ i, f i)
α : Type u_1
l : List α
inst✝ : DecidableEq α
a x✝¹ : { x // x ∈ l }
x✝ : x✝¹ ∈ l.attach
⊢ (x✝¹ == a) = true ↔ (↑x✝¹ == ↑a) = true
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
ι : Sort u_2
U : ι → Set α
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hcover : K ⊆ ⋃ i, U i
this : ∀ x ∈ K, ∃ i, ∃ V ∈ 𝓤 α, ball x (V ○ V) ⊆ U i
⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, ∀ x ∈ K, ∃ i, ball x V ⊆ U i
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
c : Chain α
f : α →o Part β
g : α →o β → Part γ
x : Part γ
⊢ ωSup (c.map (f.partBind g)) ≤ x ↔ ωSup (c.map f) >>= ωSup (c.map g) ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
r : ℝ≥0∞
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
A : ℕ → Set α
hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)
hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n
hAd : Pairwise (Disjoint on A)
hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)
hr : r > μ (⋃ n, A n)
HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0∞
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
hδε : ∑' (i : ℕ), δ i < r - μ (⋃ n, A n)
⊢ ∃ U ⊇ ⋃ n, A n, IsOpen U ∧ μ U < r
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
b : α
hb : b ≠ 0
a : WithBot α
⊢ a * ↑b = Option.bind a fun a => some (a * b)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
hP : (↑P).relindex (↑P).normalizer ≠ 0
⊢ ¬p ∣ (↑P).index
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
FloorSemiring α
m n : ℕ
⊢ ⌊↑m / ↑n⌋₊ = m / n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
m : α × β → γ
f : Filter α
g : Filter β
⊢ map m (f ×ˢ g) = (map (fun a b => m (a, b)) f).seq g
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
r : ℝ
⊢ ρ.IicSnd r ≪ ρ.fst
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
e : σ ≃ τ
⊢ ((MvPolynomial.rename ⇑e) φ).IsSymmetric ↔ φ.IsSymmetric
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
I : Finset ι
κ : ι → ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ ⇑(∑ i ∈ I, κ i) = ∑ i ∈ I, ⇑(κ i)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s t : CategoryTheory.Limits.Cone F
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
j : J
⊢ (P.conePointUniqueUpToIso Q).hom ≫ t.π.app j = s.π.app j
I : Type u
inst✝⁵ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : GradedObject I C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
inst✝² : X₁.HasTensor Y₁
inst✝¹ : X₂.HasTensor Y₂
inst✝ : X₂.HasTensor Y₁
⊢ tensorHom f g = whiskerRight f Y₁ ≫ whiskerLeft X₂ g
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count ↑sa = p.count ↑sb
h_sb : b.factors = ↑sb
⊢ ↑sa = ↑sb
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square Cᵒᵖ
⊢ sq.unop.X₃ = Opposite.unop sq.X₃
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
r' : NNReal
hr' : ↑r' < r
hr'₀ : 0 < ↑r'
hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'
hz' : z - c ∈ EMetric.ball 0 ↑r'
H : HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (iteratedFDeriv ℂ n f c) fun x => z - c) (f (c + (z - c)))
⊢ HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
e : E
f : E → F
g : E → G
s : Set E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s e
hg : AnalyticWithinAt 𝕜 g s e
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 (fun x => (f x, g x)) s e
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
inst✝ : Infinite α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
A : Tendsto (fun n => ↑n * c) atTop (𝓝 (⊤ * c))
⊢ ∑' (x : α), c = ⊤
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
r : (i : ι) → α i → Finset (α i) → Prop
H_ex : ∀ (i : ι) (s : Finset (α i)), s.Nonempty → ∃ x ∈ s, r i x (s.erase x)
p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop
h0 : p fun x => ∅
step : ∀ (g : (i : ι) → Finset (α i)) (i : ι) (x : α i), r i x (g i) → p g → p (update g i (insert x (g i)))
val✝ : Fintype ι
f : (i : ι) → Finset (α i)
ihs : ∀ t ⊂ univ.sigma f, ∀ (f : (i : ι) → Finset (α i)), univ.sigma f = t → p f
he : univ.sigma f = ∅
⊢ p f
α : Type u_1
f : α → α
⊢ Function.Commute id f
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bf * Complex.abs z ^ cf)
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bg * Complex.abs z ^ cg)
⊢ ∃ c < a, ∃ B, (f - g) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
n : ℕ
⊢ ∫ (x : α), ‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖ ∂μ = (ENNReal.toReal ∘ fun n => ∫⁻ (x : α), ↑‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖₊ ∂μ) n
ι : Type u_1
α : Type u_3
LinearOrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
f : ι → α
i : α
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
hf : IsLUB (Set.range fun s => ∏ i ∈ s, f i) i
⊢ HasProd f i
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
s t : Set σ
p : MvPolynomial σ R
⊢ p ∈ supported R ↑p.vars
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ ∀ s_1 ∈ {s}, s_1 ⊆ t
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (W ∩ closedBall (w j) (r₁ (f j))) / μ (closedBall (w j) (r₁ (f j))) ≤ ↑(1 - C⁻¹)
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF✝ : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hF : F.IsHomogeneous n
r : Fin k → R
hr : (eval r) F ≠ 0
⊢ ∃ r, (eval r) ((rename f) F) ≠ 0
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
S : Set X
⊢ Equivalence fun f g => f.HomotopicRel g S
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
n : Type u_3
α : Type v
Semiring α
DecidableEq n
Fintype n
Nonempty n
r s : α
⊢ (Matrix.scalar n) r = (Matrix.scalar n) s ↔ r = s
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
⊢ min x.orderTop y.orderTop ≤ (x - y).orderTop
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X Y : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
hY : Memℒp Y 2 ℙ
h : IndepFun X Y ℙ
⊢ ∫ (a : Ω), (X * Y) a = (∫ (a : Ω), X a) * ∫ (a : Ω), Y a
α : Type u_1
N : Type u_2
Zero N
r : α → α → Prop
s : N → N → Prop
hbot : ∀ ⦃n : N⦄, ¬s n 0
hs : WellFounded s
IsTrichotomous α r
hr : WellFounded (Function.swap r)
⊢ WellFounded (Finsupp.Lex r s)
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
hJ : J.IsPrime
⊢ I.radical ≤ J ↔ I ≤ J
R : Type u_1
n m : ℕ
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0
hnm : n.Coprime m
⊢ μ (n * m) = μ n * μ m
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x => 0) s x = 0
α : Type u_1
G : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
g h : G
comm : AddCommute g h
⊢ AddAction.fixedBy α g ∈ AddAction.fixedBy (Set α) h
α : Type u_1
CircularPreorder α
a b c : α
⊢ btw a b c ↔ btw c a b
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
inst✝⁴ : Field A
inst✝³ : Ring B✝
inst✝² : Algebra A B✝
x✝ : B✝
B : Type u_3
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
a : A
q : A[X]
qmo : q.Monic
hq : (Polynomial.aeval (x + (algebraMap A B) a)) q = 0
⊢ ((minpoly A x).comp (X - C a)).degree ≤ q.degree
α : Type u
t : TopologicalSpace α
g : Set (Set α)
h : ∀ s ∈ g, IsOpen s
⊢ t ≤ TopologicalSpace.generateFrom g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : H
hx : x ∈ (f.symm ≫ₕ f').source
⊢ (f.symm ≫ₕ f').source ∈ 𝓝 x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_1
F : α → ℚ
t : ℚ
s : Finset α
⊢ s.Nonempty → (∀ i ∈ s, padicNorm p (F i) ≤ t) → padicNorm p (∑ i ∈ s, F i) ≤ t
α : Type u_1
a✝ : PosNum
n : ℕ
IH : ↑(a✝ <<< n) = ↑a✝ <<< n
⊢ ↑(a✝ <<< (n + 1)) = ↑a✝ <<< (n + 1)
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
⊢ 0 ≤ f' y
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
⊢ Nat.Prime p
c : Cardinal.{u}
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Cardinal.toNat c = n ↔ c = ↑n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : G.Elements
⊢ ((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCat G).inverse.obj X).base = X.fst
α : Type u_1
Inhabited α
as : Array α
h : as.size ≠ 0
⊢ as = as.pop.push as.back
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
r : k
x : G × G → CoeSort.coe A
g : G × G × G
⊢ (A.ρ g.1) (r • x (g.2.1, g.2.2)) - r • x (g.1 * g.2.1, g.2.2) + r • x (g.1, g.2.1 * g.2.2) - r • x (g.1, g.2.1) = r • ((A.ρ g.1) (x (g.2.1, g.2.2)) - x (g.1 * g.2.1, g.2.2) + x (g.1, g.2.1 * g.2.2) - x (g.1, g.2.1))
x₁ x₂ : SetTheory.PGame
⊢ x₁ ≈ x₂ ↔ ∀ (y₁ : SetTheory.PGame), x₁ ≈ y₁ ↔ x₂ ≈ y₁
R : Type w₁
A : Type w₂
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
I : Ideal A
h : I.FG
Algebra.FinitePresentation R A
⊢ Algebra.FinitePresentation R (A ⧸ I)
M : Type u_1
Add M
c : AddCon M
w x y z : M
⊢ c w x → c y z → c (w + y) (x + z)
x y : ℝ
h : x ≤ y
⊢ Real.exp x ≤ Real.exp y
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
⊢ Ring.inverse = Inv.inv
α : Type u
SubtractionMonoid α
a : α
h : IsAddUnit a
⊢ ↑h.addUnit' = a
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
⊢ BijOn (fun x => x + d) (Ici a ∩ Iio b) (Ici (a + d) ∩ Iio (b + d))
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
DecompositionMonoid α
H : IsRelPrime x y
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
⊢ x * y ∣ z
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
hp : ¬p = 0
h0 : ¬C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p) = 0
⊢ (C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p)).natDegree ≠ q.natDegree
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
⊢ x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
P : Sylow (Nat.card ↥N).minFac ↥N
this : Fact (Nat.Prime (Nat.card ↥N).minFac)
⊢ ↑P ≠ ⊥
α : Type u_1
β : α → Type u_2
a b : α
ha : Nonempty (β a)
he : IsEmpty (β b)
hf : Finite (WType β)
⊢ False
X : Type u
Preorder X
a b c : X
hab : b ≤ a
hbc : Opposite.op b = Opposite.op c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.homOfLE hab).op (CategoryTheory.eqToHom hbc) =
  (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 F
h : Submodule.comap f U ⟂ Submodule.comap f V
hf : ∀ (p : Submodule 𝕜 F), Submodule.map f.toLinearIsometry (Submodule.comap f p) = p
⊢ U ⟂ V
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
f : P ⟶ Q
self : CategoryTheory.StrongEpi f
⊢ CategoryTheory.Epi f
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
s : AddSubmonoid M
t : AddSubmonoid N
p : M × N
⊢ p ∈ s.prod t ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
⊢ M.Indep I ↔ (I ⊆ M.E → M.Indep I) ∧ I ⊆ M.E
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ℕ → R
⊢ (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) 1 = 1 ∧ ∀ {m n : ℕ}, m ≠ 0 → n ≠ 0 → m.Coprime n → (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) (m * n) = (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) m * (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) n
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
m : M
s : Set M
⊢ m ∈ span R s ↔ ∃ c, ↑c.support ⊆ s ∧ (c.sum fun mi r => r • mi) = m
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
v w : List (Symbol T g.NT)
hvw : g.Produces v w
p : List (Symbol T g.NT)
⊢ g.Produces (p ++ v) (p ++ w)
R : Type u
Ring R
StrongRankCondition R
M η : Type u
Fintype η
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
⊢ Module.rank R (η → M) = ↑(Fintype.card η) * Module.rank R M
G : Type u_1
Mul G
IsLeftCancelMul G
a b c : G
⊢ a * b = a * c ↔ b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ filter (fun x => p x.1) (s ×ˢ t) = filter p s ×ˢ t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝¹ : ExistsAddOfLE β
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β
inst✝ : Fintype α
hμ₀ : 0 ≤ μ
hf₀ : 0 ≤ f
hg₀ : 0 ≤ g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
hμ : ∀ (a b : α), μ a * μ b ≤ μ (a ⊓ b) * μ (a ⊔ b)
a b : α
⊢ μ a * f a * (μ b * g b) ≤ μ (a ⊓ b) * (μ (a ⊔ b) * (f (a ⊔ b) * g (a ⊔ b)))
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'' : DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior D)
hf''_nonneg : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ deriv^[2] f x
⊢ ConvexOn ℝ D f
α : Type u
Monoid α
a b : α
c : α
Invertible c
⊢ c * a = c * b ↔ a = b
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hm : m ∈ weightSpace M χ₂
y : ↥H
hx : x ∈ weightSpaceOf L (χ₁ y) y
⊢ ⁅x, m⁆ ∈ weightSpaceOf M ((χ₁ + χ₂) y) y
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
h : BoundedVariationOn f s
t : Set α
ht : t ⊆ s
⊢ BoundedVariationOn f t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MonoidWithZero α
a : α
h✝ : a ~ᵤ 0
u : αˣ
h : 0 * ↑u = a
⊢ a = 0
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ 0 < p
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume) * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume
hst : 0 < (s + t).re
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = ∫ (a : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-a)) * ↑a ^ (s + t - 1) * s.betaIntegral t
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
hf : LipschitzOnWith K f s
⊢ UniformContinuousOn f s
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hsep : p.Separable
hq : 1 < multiplicity q p
h : { Dom := Part.Dom 1 ∧ Part.Dom 1, get := fun x => 2 } ≤ multiplicity q p
⊢ ↑2 ≤ multiplicity q p
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ N
⊢ ∀ (f g : ι →₀ N), ((finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] f) = f.sum fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) → ((finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] g) = g.sum fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) → (finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] (f + g)) = (f + g).sum fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
n : ℕ
hn : Squarefree n
⊢ ∏ p ∈ n.primeFactors, p = n