ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
F : CategoryTheory.Functor C A
self : F.IsHomological
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.shortComplexOfDistTriangle T hT).map F).Exact
α : Type u_2
f g : Equiv.Perm α
DecidableEq α
Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : f.support ⊆ g.support
h' : ∀ x ∈ f.support, f x = g x
⊢ f = g
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
N : Submodule R M
b : B.IsRefl
⊢ N ≤ B.orthogonal (B.orthogonal N)
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
this : -a ≤ (algebraMap ℝ A) ‖a‖
⊢ -(algebraMap ℝ A) ‖a‖ ≤ a
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} C₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₃)
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
X : CategoryTheory.GradedObject I C₁
Y : CategoryTheory.GradedObject J C₂
A : C₃
k : K
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p
f g : CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj F p X Y k ⟶ A
h :
  ∀ (i : I) (j : J) (hij : p (i, j) = k),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij) f =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij) g
⊢ f = g
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
⊢ LinearMap.mulRight R 0 = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤
⊢ (↑s1 ∩ ↑s2).Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
E : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} D
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
X : CategoryTheory.WithTerminal C
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.mapComp F G).inv.app X =
  (match X with
    | CategoryTheory.WithTerminal.of x => CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.WithTerminal.of (G.obj (F.obj x)))
    | CategoryTheory.WithTerminal.star => CategoryTheory.Iso.refl CategoryTheory.WithTerminal.star).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h : ¬μ ⟂ₘ ν
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)
hf₂ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict 0 (f n) ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) (f n)
hf₃ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) (f n)ᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 (f n)ᶜ
A : Set α := ⋂ n, (f n)ᶜ
hAmeas : MeasurableSet A
hA₂ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) A ≤ VectorMeasure.restrict 0 A
hA₃ : ∀ (n : ℕ), μ A ≤ ↑(1 / (↑n + 1)) * ν A
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∃ E, MeasurableSet E ∧ 0 < ν E ∧ VectorMeasure.restrict 0 E ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - (ε • ν).toSignedMeasure) E
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : 0 < x + 1
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0
⊢ 0 < ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), x ^ i
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t
t : ℝ
Ht : t ∈ Ioo 0 1
hMVT' : (f' (g t)) (y - x) = (f (g 1) - f (g 0)) / (1 - 0)
⊢ ∃ x_1 ∈ Icc 0 1, f y - f x = (f' ((AffineMap.lineMap x y) x_1)) (y - x)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : Countable G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
⊢ μ (fundamentalFrontier G s) = 0
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedSemiring A
h : NormNum.IsNat e n
w : Nat.ble 1 n = true
⊢ 0 < n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ ConvexCone.positive 𝕜 E ↔ 0 ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ≥0∞
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y
x : α
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
δ : ℝ≥0
δ0 : δ > 0
hδ : C * ↑δ < ε
y : α
hy : y ∈ EMetric.closedBall x ↑δ
⊢ edist y x ≤ ↑δ
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ
h : s.encard ≤ ↑k
⊢ s.Finite
α : Type u
β : Type v
rα : Semiring α
rβ : Semiring β
f : α →+* β
⊢ IsSemiringHom ⇑f
n : ℕ
⊢ AddMonoid.exponent (ZMod n) = n
α : Type u_1
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => y * ↑x) fun x x_1 => x < x_1
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : b * ↑a < c * ↑a
⊢ b < c
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_ind : ∀ J ≤ I, (∀ J' ∈ splitCenter J, p J') → p J
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : Box ι
hle : J ≤ I
hs : ∀ (s : Set ι), p (J.splitCenterBox s)
J' : Box ι
h' : J' ∈ splitCenter J
⊢ p J'
α : Type u_1
l : Filter α
p : Set α → Prop
⊢ (∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, p s) ↔ ∃ s ∈ l, ∀ t ⊆ s, p t
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
⊢ (refl X ≪≫ α).hom = α.hom
a b c d m n : ℤ
hmn : m ∣ n
hm : m ≠ 0
⊢ n / m ∣ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : α → γ
g' : β → γ
⊢ Set.range (Function.extend f g g') ⊆ Set.range g ∪ g' '' (Set.range f)ᶜ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' : F
s : Set E
x v : E
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
hs : Set.EqOn f₁ f s
hx : f₁ x = f x
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f₁ f' s x v
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
⊢ sSup {a | CompleteLattice.IsCompactElement a} = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
Fₗ : Type u_7
Gₗ : Type u_9
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup Eₗ
SeminormedAddCommGroup Fₗ
SeminormedAddCommGroup Gₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Eₗ
NormedSpace 𝕜 Fₗ
NormedSpace 𝕜 Gₗ
L : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
⊢ ‖ContinuousLinearMap.precompL Eₗ L‖ ≤ ‖L‖
α : Type u
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
a b c : α
⊢ min (a + b) c = min (min a c + min b c) c
α : Type u_1
Preorder α
s : LowerSet α
⊢ lowerClosure ↑s = s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Quiver.IsThin C
⊢ CategoryTheory.IsCoseparating ∅
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ (starRingEnd K) z = ↑(RCLike.re z) - ↑(RCLike.im z) * RCLike.I
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
f : P ⟶ Q
x : FamilyOfElements P R
h : x.Compatible
Z₁ Z₂ W : C
g₁ : W ⟶ Z₁
g₂ : W ⟶ Z₂
f₁ : Z₁ ⟶ X
f₂ : Z₂ ⟶ X
h₁ : R f₁
h₂ : R f₂
eq : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ Q.map g₁.op (f.app (op Z₁) (x f₁ h₁)) = Q.map g₂.op (f.app (op Z₂) (x f₂ h₂))
α : Type u
β : Type v
Sup α
Sup β
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
⊢ (a₁, b₁) ⊔ (a₂, b₂) = (a₁ ⊔ a₂, b₁ ⊔ b₂)
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
⊢ limsup s f ≤ m0
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ✝.IsMulLeftInvariant
s : Set G
μ : Measure G
⊢ μ (s * closure {1}) ≤ μ s
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
m : M
⊢ (RingQuot.mkAlgHom R (Rel Q)).toLinearMap ((TensorAlgebra.ι R) m) * (RingQuot.mkAlgHom R (Rel Q)).toLinearMap ((TensorAlgebra.ι R) m) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) (Q m)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hx : F.obj X = G.obj X
hy : F.obj Y = G.obj Y
hz : F.obj Z = G.obj Z
hf : HEq (F.map f) (G.map f)
hg : HEq (F.map g) (G.map g)
⊢ HEq (F.map (f ≫ g)) (G.map (f ≫ g))
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
p : Fin (n + 1)
a : α p
f : (i : Fin n) → α (p.succAbove i)
g : (j : Fin (n + 1)) → α j
⊢ g = p.insertNth a f ↔ g p = a ∧ p.removeNth g = f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ : C
⊢ CategoryTheory.Pretriangulated.binaryProductTriangle X₁ X₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔ IsLieAbelian ↥↑(derivedSeriesOfIdeal R L k I) ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ wittZero p n = 0
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, u * (↑y ^ (u - 1) * (1 - ↑y) ^ v) - v * (↑y ^ u * (1 - ↑y) ^ (v - 1)) = F 1 - F 0
hF0 : F 0 = 0
⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : G → E
f'✝ g'✝ : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
f g : ℝ → E
f' g' : E
x : ℝ
⊢ HasDerivAt f f' x → HasDerivAt g g' x → HasDerivAt (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) (⟪f x, g'⟫_𝕜 + ⟪f', g x⟫_𝕜) x
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
⊢ ∀ p ∈ Finset.univ, ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g p) p).natDegree ≤ 1
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H : (∃ l', Raised l.size l' ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r' r.size ∧ BalancedSz l.size r'
⊢ Valid' o₂ (r.dual.balanceL x l.dual) o₁
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∩ t)ᶜ = sᶜ ∪ tᶜ
J : Type u₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
F : J → C
⊢ (CategoryTheory.piEquivalenceFunctorDiscrete J C).functor.obj F = CategoryTheory.Discrete.functor F
α : Type u_1
a : Array α
n : Nat
⊢ a.size - (a.size - n) = min a.size n
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 < (z - y) / (z - x)
hb : 0 < (y - x) / (z - x)
⊢ (z - y) / (z - x) * f x + (y - x) / (z - x) * f z = ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : AEMeasurable f μ
⊢ (μ.tilted f).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
α : Type u_4
x✝³ : α → α → Prop
x✝² : IsWellOrder α x✝³
β : Type u_4
x✝¹ : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β x✝¹
⊢ IsEmpty (β × α) ↔ IsEmpty β ∨ IsEmpty α
k k₂ : ℕ
c : Code
n x : ℕ
hl : k + 1 ≤ k₂ + 1
hl' : k ≤ k₂
this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂
h : evaln (k + 1) c n = some x
⊢ evaln (k₂ + 1) c n = some x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝² : UniformSpace β
δ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → UniformSpace (δ i)
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵤ β
u : Filter (α →ᵤ β)
x✝ : u.NeBot
hu : u ≤ 𝓟 {f | Continuous (toFun f)}
huf : TendstoUniformly (⇑toFun ∘ id) (toFun f) u
⊢ f ∈ {f | Continuous (toFun f)}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ≤ a ∆ b ↔ Disjoint a b
α β : Type u
n : ℕ
⊢ ↑n + 1 = succ ↑n
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {as : List α} {α_1 : Type u_2} {b : α_1} {bs : List α_1},
  (a :: as).zip (b :: bs) = { fst := a, snd := b } :: as.zip bs
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_ind : Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
F_cl : IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
F_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ (i : ι), F i x ∈ Q
this : Inducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)
⊢ CompactSpace ι
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H : Type u_2
Group H
f : H →* G
hf : IsPGroup p ↥f.ker
Finite (Sylow p G)
⊢ Finite (Sylow p H)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
a : α
⊢ a ∈ f ⁻¹' s ↔ f a ∈ s
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ (freeOn E)✶ = loopyOn E
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
H : ↑f (stationaryPoint hf) = 0
⊢ LimZero f
x y : SetTheory.PGame
h : x ≈ y
⊢ x ≤ y
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
P : C(X, Y) → Prop
F : f₀.HomotopyWith f₁ P
x : X
⊢ F (0, x) = f₀ x
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂Measure.map X μ, Integrable (fun ω => f (b, ω)) ((condDistrib Y X μ) b)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E 0)
⊢ ‖-f‖ = ‖f‖
α : Type u
β : Type v
Preorder α
PartialOrder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
x : α
z : β
⊢ l x = z ↔ ∀ (y : β), z ≤ y ↔ x ≤ u y
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ {x} / ball y δ = ball (x / y) δ
z : Complex.UnitDisc
⊢ 1 + ↑z ≠ 0
K : Type u_1
Field K
NumberField K
α : K
⊢ (NumberField.canonicalEmbedding K) α =
  (NumberField.basisMatrix K).transpose.mulVec fun i =>
    ↑((((NumberField.integralBasis K).reindex (NumberField.equivReindex K).symm).repr α) i)
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ jacobiTheta τ = 1 + 2 * ∑' (n : ℕ), cexp (↑π * Complex.I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
F G : f₀.Homotopy f₁
h : F = G
x : ↑I × X
⊢ F x = G x
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : ι → ℕ
x : ℕ
⊢ (∏ i : ι, s i).Coprime x ↔ ∀ (i : ι), (s i).Coprime x
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootSystem ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
⊢ (P₁.toLin.flip (P₁.coroot i)) (P₁.root i) = 2
n : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field K
Field L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {n} K L
hn : n ≠ 2
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑n) K)
⊢ (Algebra.norm K) (IsCyclotomicExtension.zeta n K L) = 1
⊢ Turing.Respects Turing.ToPartrec.step (Turing.TM2.step Turing.PartrecToTM2.tr) Turing.PartrecToTM2.TrCfg
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set V
G' G'' : G.Subgraph
h : G' ≤ G''
⊢ G'.deleteVerts s ≤ G''.deleteVerts s
T : ℝ
⊢ Subalgebra.toSubmodule fourierSubalgebra.toSubalgebra = span ℂ (range fourier)
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddGroup A
CategoryTheory.HasShift C A
n : A
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map (CategoryTheory.shiftShiftNeg X n).inv)
    (CategoryTheory.shiftNegShift ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj X) n).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj X)
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f✝ : F
I✝ J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
ι : Sort u_3
I : Ideal R
f : R ≃+* S
⊢ map (↑f.symm) (map (↑f) I) = I
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E ≃L[𝕜] E'
s : Set E
⊢ MDifferentiableOn 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') (⇑f) s
a b r : ℤ
hr : 0 < r
⊢ ↑(filter (fun x => r ∣ x) (Ioc a b)).card = max (⌊↑b / ↑r⌋ - ⌊↑a / ↑r⌋) 0
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
E : Set α
x : α
h : x ∉ closure E
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ) in 𝓝 0, x ∉ thickening δ E
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
ι : Type u_4
Fintype ι
f : ι → ↥S
⊢ ↑(∑ i : ι, f i) = ∑ i : ι, ↑(f i)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ factorThruImage g ≫ (imageUnopOp g).inv = (image.ι g.unop).op
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
f g : D ⟶ E
h : Homotopy f g
e : C ⟶ D
i j : ι
w : ¬c.Rel j i
⊢ e.f i ≫ h.hom i j = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
f : α × α → β
⊢ ∏ i ∈ s.diag, f i = ∏ i ∈ s, f (i, i)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
x y : ↥H
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T T' : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
e : T ≅ T'
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.shortComplexOfDistTriangleIsoOfIso e hT).hom.τ₂ = e.hom.hom₂
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α✝
s t : Set α✝
a : α✝
m n✝ : ℕ
α : Type u_5
inst✝ : AddMonoid α
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
⊢ (n + 2) • univ = univ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ Submodule.span k (s -ᵥ s) ≤ Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' s)
α : Type u_8
AddCommMonoid α
L : List α
⊢ IsAddUnit L.sum ↔ ∀ m ∈ L, IsAddUnit m
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ f • g = ⊥ ↔ f = ⊥ ∨ g = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι → 𝕜
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ⟪∑ i ∈ s, l i • v i, v i⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) (l i)
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
c : ℕ := Fintype.card α
⊢ (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card = φ d
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : β
h : x ∈ ⊥.image s
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
a : R
x y : M
⊢ (B (a • x)) y = a * (B x) y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
⊢ 𝓝[≤] a ⊔ 𝓝[>] a = 𝓝 a
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_Indep : iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ IndepFun (∏ j ∈ s, f j) (f i) κ μ
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
⊢ IndexSet.id (op [i]) ∉ Finset.univ → ((s.πSummand (IndexSet.id (op [i])) ≫ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i]))) ≫ K[X].d i j) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = 0
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
⊢ (s.sup fun b => ((interpolate (insert b (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v b).degree) < ↑t.card
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocRing α
f : CentroidHom α
⊢ ⇑(-f) = -⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b✝ c : β
a b : ℕ
⊢ range (a + b) = range a ∪ map (addLeftEmbedding a) (range b)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
⊢ ↑(N ⊓ N') = ↑N ⊓ ↑N'
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ x ∈ u
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑(sa * s₁) = ra * ↑s₂
⊢ (r₃ /ₒ s₃) • ((sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁)) = (r₃ /ₒ s₃) • (sa • r₁ /ₒ (sa * s₁)) + (r₃ /ₒ s₃) • (r₂ /ₒ s₂)
α β : Lat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget Lat).obj α
⊢ ({ toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
BoundedOrder α
Lattice β
BoundedOrder β
f : BoundedLatticeHom α β
⊢ (BoundedLatticeHom.dual f).toLatticeHom = LatticeHom.dual f.toLatticeHom
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 < r.re
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) μ a b
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
F.EffectivelyEnough
CategoryTheory.Precoherent D
F.Full
F.Faithful
⊢ CategoryTheory.Precoherent C