ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ o.oangle y x = ↑π - (o.oangle (y - x) y + o.oangle (y - x) y)
x✝ y z x : ℝ
⊢ 0 ^ x ≤ 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
⊢ ∃ c, Tendsto u f (𝓝 c)
α : Type u_1
m n : ℕ
a : α
v : Vector3 α m
w : Vector3 α n
⊢ (Vector3.cons a v).append w = Vector3.cons a (v.append w)
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
φ : PowerSeries R
a : R
⊢ (PowerSeries.coeff R n) (φ * (PowerSeries.C R) a) = (PowerSeries.coeff R n) φ * a
X : Type u
TopologicalSpace X
p : X → Prop
x : X
hx : p x
h : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x
⊢ Filter.map Subtype.val (𝓝 ⟨x, hx⟩) = 𝓝 x
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ₁ φ₂ : A →ₐ[R] B
s : Set A
h : Set.EqOn (⇑φ₁) (⇑φ₂) s
⊢ Algebra.adjoin R s ≤ AlgHom.equalizer φ₁ φ₂
R : Type w
Ring R
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
F : J ⥤ ModuleCat R
CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)
j : J
⊢ (ModuleCat.HasColimit.colimitCocone F).ι.app j =
  ModuleCat.homMk (CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F ⋙ CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j) ⋯
α : Type u_1
β : α → Type u_4
p : (a : α) × β a → Prop
⊢ (∀ (x : (a : α) × β a), p x) ↔ ∀ (a : α) (b : β a), p ⟨a, b⟩
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f ≈ g
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
⊢ f.norm = g.norm
α : Type u_1
Preorder α
NoMaxOrder α
SuccOrder α
a : α
⊢ Order.succ ↑a = ↑(Order.succ a)
α : Type u_1
f : α → α
x : α
m n : ℕ
hm : Function.IsPeriodicPt f m x
hn : Function.IsPeriodicPt f n x
⊢ Function.IsPeriodicPt f (m.gcd n) x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ (α_ X.X M₁.X N.X).inv ≫ (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ▷ N.X ≫ (α_ X.X M₂.X N.X).inv ≫ M₂.actLeft ▷ N.X ≫ coequalizer.π (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
Fintype ι
DecidableEq M
i : ι
⊢ b.reindexFinsetRange.repr (b i) = Finsupp.single ⟨b i, ⋯⟩ 1
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hI : autoParam (I ⊆ M.E) _auto✝
⊢ M✶.Indep I ↔ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
A : (e.trans e.symm).source = e.source
x : α
hx : x ∈ (e.trans e.symm).source
⊢ ↑(e.trans e.symm) x = ↑(ofSet e.source) x
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
⊢ W.add P Q =
  W.dblZ P •
    ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2)
        (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),
      W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
        (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),
      1]
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ star a * a = ↑(star a * a).re
G₀ : Type u_3
TopologicalSpace G₀
GroupWithZero G₀
ContinuousMul G₀
a : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ Filter.comap (fun x => x * a⁻¹) (𝓝 1) = 𝓝 a
k : Type u_1
DivisionRing k
ι : Type u_4
s : Finset ι
⊢ Finset.centroidWeightsIndicator k s = (↑s).indicator (Finset.centroidWeights k s)
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
hb0 : b ≠ 0
pa : Prime a
pb : Prime b
hab : ¬a = b
⊢ b * a ∣ b
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.obj X = X.toSheafedSpace
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c c' : CategoryTheory.Limits.Cocone F
φ : c.pt ≅ c'.pt
w : ∀ (j : J), c.ι.app j ≫ φ.hom = c'.ι.app j := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.ext φ w).hom.hom = φ.hom
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x : M
r : R
hx : (ι R) x = (Algebra.linearMap R (TensorAlgebra R M)) r
⊢ (Algebra.linearMap R (TensorAlgebra R M)) r = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
k : E → 𝕜 := fun z => f z - f i₀ / g i₀ * g z
hk : k i₀ = 0
ksum : ∑ e ∈ t.erase i₀, k e = 1
⊢ ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
𝔭 : Ideal A
𝔭.IsPrime
f : HomogeneousLocalization.AtPrime 𝒜 𝔭
⊢ IsUnit (HomogeneousLocalization.val f) ↔ IsUnit f
α : Type u
l : List α
k : Nat
⊢ (l.eraseIdx k).Sublist l
R : Type u_1
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
⊢ n.primeFactorsList.dedup.length = Ω n ↔ n.primeFactorsList.Nodup
f : ℕ → ℂ
n : ℕ
s : ℂ
hn : n ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun z => f n * ↑n ^ (-z)) (f n * (-log ↑n * ↑n ^ (-s))) s
G : Type u_2
MeasurableSpace G
AddSemigroup G
MeasurableAdd G
μ : MeasureTheory.Measure G
α : Type u_4
VAdd α G
VAddCommClass α G G
MeasurableSpace α
MeasurableVAdd α G
μ.IsAddLeftInvariant
a : α
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (fun x => a +ᵥ x) μ).IsAddLeftInvariant
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype V
inst✝³ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Field R
inst✝ : CharZero R
x : V → R
⊢ (∑ x_1 : V, ∑ x_2 : V, if G.Adj x_1 x_2 then x x_1 * x x_1 - x x_1 * x x_2 else 0) = (∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then (x i - x j) ^ 2 else 0) / 2
m₂ m₁ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁.reverse ++ m₂
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
⊢ ∀ (n : Nat), x✝.prevn n { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len (List.drop n m₁) }
K : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p : K[X]
⊢ (liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) 0) = φ p / φ 0
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Polynomial.Splits i p
⊢ p.natDegree = Multiset.card (Polynomial.map i p).roots
R : Type u
DivisionRing R
p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hp : ¬IsUnit p
⊢ 0 < p.degree
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h₁ : Continuous f
h₂ : Injective f
h₃ : IsClosedMap f
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ f ⁻¹' (f '' sᶜ)ᶜ = s
α : Fin 2 → Type u
m : (i : Fin 2) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin 2) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : Fin 2), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piFinTwo α)) (MeasureTheory.Measure.pi μ) ((μ 0).prod (μ 1))
R : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
α : Type u_4
γ : Type u_5
Group G
AddGroup α
Monoid γ
MulAction γ α
SMul R γ
SMul R α
IsScalarTower R γ α
SlashAction β G α γ
k : β
g : G
a : α
r : R
⊢ (r • a) ∣[k;γ] g = r • a ∣[k;γ] g
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
K : Set α
hK : IsCompact K
⊢ μ K < ⊤
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t✝ : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t✝ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t✝ i)
inst✝ : Subsingleton ι
i₀ : ι
t : M
⊢ { toFun := ⇑(lift ((ofSubsingleton R M M i₀) LinearMap.id)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun m => (tprod R) fun x => m) t) = t
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f f' : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
h : ∀ (a : α) (b : β), f a b = f' a b
⊢ Finset.image₂ f s t = Finset.image₂ f' s t
P : Type u_1
LE P
I : Order.Ideal P
⊢ I.IsMaximal ↔ I.IsProper ∧ ∀ ⦃J : Order.Ideal P⦄, I < J → ↑J = Set.univ
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
W : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory W
CategoryTheory.MonoidalCategory V
CategoryTheory.MonoidalCategory W
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor V W
G : MonCat
⊢ (CategoryTheory.MonoidalFunctor.mapActionLax F G).ε.hom = F.ε
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
Fintype m
DecidableEq m
CommRing α
A : Matrix m n α
B : Matrix n m α
h : A * B = 1
⊢ Function.Injective fun x => x * A
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : SMul R L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : MulActionHomClass F R L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
t : R
x : L
contra : ¬μ (t • x) = t • μ x
g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
⊢ ⇑(LinearMap.inr 𝕜 E F) '' tangentConeAt 𝕜 t y ⊆ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
α : Type u_1
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.fold op b s = Multiset.foldl op ⋯ b s
n p : ℕ
h : n ≤ p
⊢ ∀ x ∈ range n, ↑(p - 1 - x) = -1 * ↑(x + 1)
α : Type u
R : α → α → Prop
l₁ l₂ : List α
IsTrans α R
hl : List.Chain' R l₂
h : l₁.Sublist l₂
⊢ List.Chain' R l₁
ι : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
UniformSpace α
F : ι → X → α
CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
ℱ : Filter ι
f : X → α
⊢ Filter.Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ F) ℱ (𝓝 (UniformFun.ofFun f)) ↔ Filter.Tendsto F ℱ (𝓝 f)
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
b : β a
s : AList β
⊢ a' ∈ replace a b s ↔ a' ∈ s
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ Continuous ⇑DomAddAct.mk
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
⊢ ↑q = ↑r ↔ q = r
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
κs : ι → Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)
val✝¹ : Infinite ι
val✝ : Denumerable ι
⊢ IsSFiniteKernel (Kernel.sum κs)
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
⊢ p.linearProjOfIsCompl q h ∘ₗ p.subtype = LinearMap.id
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₂ : Set α
f : α → β
Preorder α
Preorder β
h : StrictAntiOn f s
h' : s₂ ⊆ s
⊢ StrictAntiOn f s₂
G : Type u_1
AddGroup G
a : G
n : ℤ
⊢ (n % ↑(Nat.card G)) • a = n • a
α : Type u_1
Ring α
LinearOrder α
a : α
⊢ a ∣ |a|
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
⊢ Injective ⇑(Quotient.lift I f H) ↔ ker f = I
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape Jᵒᵖ Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
Preorder β
K : Set α
h₁ : IsComplete K
u : β → α
h₂ : ∀ (n : β), u n ∈ K
h₃ : CauchySeq u
⊢ ∃ v ∈ K, Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 v)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i : ι
h : ¬c.Rel i (c.next i)
⊢ C.dFrom i ≫ (C.xNextIsoSelf h).hom = 0
m : ℕ
hm : m ≠ 1
⊢ {n | n ≡ 1 [MOD m]} = {n | n % m = 1}
a b : Int
h : a < b
c : Int
⊢ a + c < b + c
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)
m : ℕ
r' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hr0 : ↑p ^ m * r' ≠ 0
n : ℕ
q' : 𝕎 k
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
hq0 : ↑p ^ n * q' ≠ 0
hrq : Localization.mk (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).1 (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).2 ≠ 0
⊢ ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m_1, φ b * Localization.mk (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).1 (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).2 = ↑p ^ m_1 * b
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
𝓕 : Set α
h𝓕 : IsFundamentalDomain G 𝓕 ν
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
this : HasFundamentalDomain G α ν
⊢ Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict 𝓕) = μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
f : γ → ↑(Set.Icc a b) → β
la : Filter α
lb : Filter β
lc : Filter γ
hf : Filter.Tendsto (↿f) (lc ×ˢ Filter.map (Set.projIcc a b h) la) lb
⊢ Filter.Tendsto (↿(Set.IccExtend h ∘ f)) (lc ×ˢ la) lb
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ a ^ (Fintype.card F / 2) = 1 ∨ a ^ (Fintype.card F / 2) = -1
m n : ℕ+
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
eq : (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))
this : (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i) ≫ D.t i j ≫ inv (pullback.snd (D.f j i) (D.f j i))) ≫ (pullback.snd (D.f j i) (D.f j i) ≫ D.t j i ≫ inv (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j))) ≫ pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) = 𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} D
F : C → D
⊢ ∀ (a : C), (CategoryTheory.inducedFunctor F).obj a = F a
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ) μ
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
hg' : ∀ (x : G), 0 ≤ g' x
H : ¬ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ) μ
⊢ (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x ≤ (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g') x
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0
⊢ (∑ x ∈ range n \ s, k x).degree = ∑ x ∈ range n \ s, (k x).degree
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace γ
x : α
U : Set α
V : Set β
F : α → β → γ
hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)
hU : x ∈ U
φ : α × β → (α × β) × α × β := fun q => ((x, q.2), q)
⊢ Tendsto (fun x_1 => ((x, x_1.1), x_1.2, x_1.2)) (comap (fun x_1 => (x, x_1.1)) (𝓤 α)) (𝓤 α ×ˢ 𝓤 β)
ι : Type u
inst✝ : Infinite ι
c : ι → Cardinal.{v}
h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i
h₂ : ∀ (i : ι), lift.{u, v} (c i) ≤ lift.{v, u} #ι
⊢ (prod fun i => lift.{u, v} (c i)) = lift.{v, u} (2 ^ #ι)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
hx✝ : x ∈ sphere 0 1
hx : ‖x‖ = 1
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
⊢ (fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩)) ((fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩) (⟨x, hx✝⟩, ⟨r, hr⟩)) = (⟨x, hx✝⟩, ⟨r, hr⟩)
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hs : s ≠ univ
⊢ supSum {s} = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
PartialOrder α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
b : α
hb : μ {b} ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Iic b) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Iio b) μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
self : CategoryTheory.ProjectiveResolution Z
n : ℕ
⊢ CategoryTheory.Projective (self.complex.X n)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
⊢ 1 ≤ (succ o).cof
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ Bornology.IsBounded s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' s)
R : Type u_1
Semiring R
f : Polynomial R
⊢ f.reverse.leadingCoeff = f.trailingCoeff
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
B : C
⊢ ⊥ = CategoryTheory.Subobject.mk 0
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CommSemiring L
Nontrivial L
Algebra K L
⊢ ringChar K = ringChar L
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j₁ j₂ : JordanDecomposition α
hj : j₁.toSignedMeasure = j₂.toSignedMeasure
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure S ≤ VectorMeasure.restrict 0 S
hS₃ : VectorMeasure.restrict 0 Sᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure Sᶜ
hS₄ : j₁.posPart S = 0
hS₅ : j₁.negPart Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : VectorMeasure.restrict j₂.toSignedMeasure T ≤ VectorMeasure.restrict 0 T
hT₃ : VectorMeasure.restrict 0 Tᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j₂.toSignedMeasure Tᶜ
hT₄ : j₂.posPart T = 0
hT₅ : j₂.negPart Tᶜ = 0
⊢ j₁ = j₂
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : StrongRankCondition R
pb : PowerBasis R S
⊢ FiniteDimensional.finrank R S = pb.dim
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
f_inv : β → α
hf : Function.LeftInverse f_inv f
⊢ Equiv.ofLeftInverse' f f_inv hf = Equiv.ofInjective f ⋯
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁
b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂
fac✝ : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁
α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁
hα : a = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂
hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f
γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'
hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯
this✝ : IsIso (L.map β.s)
this : IsIso (L.map γ.s)
Z₂ : C
σ : γ.Y' ⟶ Z₂
hσ : W σ
fac : α.f ≫ β.f ≫ γ.s ≫ σ = T₁.mor₁ ≫ γ.f ≫ σ
Y₃ : C
g : Z₂ ⟶ Y₃
h : Y₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj α.Y'
T₃ : Triangle C := Triangle.mk (β.f ≫ γ.s ≫ σ) g h
hT₃ : T₃ ∈ distinguishedTriangles
hβγσ : W (β.s ≫ γ.s ≫ σ)
ψ₃ : T₂.obj₃ ⟶ T₃.obj₃
hψ₃ : W ψ₃
hψ₁ : T₂.mor₂ ≫ ψ₃ = (β.s ≫ γ.s ≫ σ) ≫ T₃.mor₂
hψ₂ : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map α.s = ψ₃ ≫ T₃.mor₃
⊢ ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (β_ X (Y ⊗ Z)).inv = (α_ Y Z X).hom ≫ Y ◁ (β_ X Z).inv ≫ (α_ Y X Z).inv ≫ (β_ X Y).inv ▷ Z ≫ (α_ X Y Z).hom
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : ProbabilityTheory.iIndepSets s μ
hST : Disjoint S T
⊢ ProbabilityTheory.IndepSets (piiUnionInter s S) (piiUnionInter s T) μ
a b✝ c n : ℕ
hn : n ≠ 0
b : ℕ
⊢ b < n ↔ b ≤ n - 1
x : ℂ
⊢ Complex.sinh (2 * x) = 2 * Complex.sinh x * Complex.cosh x
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
⊢ logb b x ≤ 0 ↔ x ≤ 1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
g : γ → δ
f' : β → α' → δ
g' : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' b (g' a)
⊢ g '' image2 f ↑s ↑t = image2 f' (↑t) (g' '' ↑s)
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
i j : ι
x : ↥(A i)
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) i) x) j) = ↑(if i = j then x else 0)
α β : Type u
e : α ≃ β
⊢ Cardinal.mk α = Cardinal.mk β
F : Type u
Field F
q : ℕ
ExpChar F q
n : ℕ
y : F
⊢ (Polynomial.X ^ q ^ n - Polynomial.C y).natSepDegree = 1
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
i : ℕ
⊢ (p.toSubring T hp).coeff i = 0 ↔ p.coeff i = 0
G₀ : Type u_3
MulZeroClass G₀
a : G₀
⊢ Commute 0 a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
hk : n ≤ k
⊢ ∀ x_1 ∈ Finset.range (n - k), ((p.changeOriginSeries k x_1) fun x_2 => x) = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β : Type u_1
X Y : CategoryTheory.GradedObject β C
e : (i : β) → X i ≅ Y i
i : β
⊢ (X.isoMk Y e).inv i = (e i).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
s : Set α
hs : (f '' s).Subsingleton
⊢ s.Subsingleton
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
⊢ QuasiconvexOn 𝕜 s f
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B✝ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : IsDomain B✝
inst✝¹ : Algebra A B✝
K : Type u_6
inst✝ : Field K
B : PowerBasis R S
⊢ adjoin R {B.gen} = ⊤