ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
f : ι → E
hf : Summable fun a => ‖f a‖₊
⊢ Summable f
G : Type u_1
Group G
⊢ Antitone (lowerCentralSeries G)
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F✝
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝ : SecondCountableTopology F✝
f : E → F✝
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F✝
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F✝) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F✝), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : ⋃ x ∈ T, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x)) = ⋃ x, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x))
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → ↑T → Set E := fun n z => {x | x ∈ s ∧ ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n), ‖f y - f x - (f' ↑↑z) (y - x)‖ ≤ ↑(r (f' ↑↑z)) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z
closure_M_subset : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T), s ∩ closure (M n z) ⊆ M n z
d : ℕ → E
hd : DenseRange d
K : ℕ → ↑T → ℕ → Set E := fun n z p => closure (M n z) ∩ closedBall (d p) (u n / 3)
K_approx : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T) (p : ℕ), ApproximatesLinearOn f (f' ↑↑z) (s ∩ K n z p) (r (f' ↑↑z))
K_closed : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T) (p : ℕ), IsClosed (K n z p)
F : ℕ → ℕ × ↑T × ℕ
hF : Function.Surjective F
x : E
xs : x ∈ s
n : ℕ
z : ↑T
hnz : x ∈ M n z
p : ℕ
hp : x ∈ closedBall (d p) (u n / 3)
q : ℕ
hq : F q = (n, z, p)
⊢ x ∈ K (F q).1 (F q).2.1 (F q).2.2
α : Type u_1
β : Type u_7
p : α → β → Prop
x₀ x₁ : (a : α) × Subtype (p a)
⊢ x₀.fst = x₁.fst → x₀.snd.val = x₁.snd.val → x₀ = x₁
s t : Lean.Omega.Constraint
x y : Lean.Omega.Coeffs
ws : s.sat' x y = true
wt : t.sat' x y = true
⊢ (s.combine t).sat' x y = true
k : ℕ
⊢ mersenne k + 1 = 2 ^ k
α : Type u_1
⊢ Topology.WithLawson.toLawson.symm = Topology.WithLawson.ofLawson
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁵ : Linear 𝕜 C
inst✝⁴ : HasKernels C
X Y : C
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ Y)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
⊢ finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 0 ↔ IsEmpty (X ≅ Y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.flip.X₂ = sq.X₃
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X : C
p : Subobject X → Subobject X → Prop
h : ∀ ⦃A B : C⦄ (f : A ⟶ X) (g : B ⟶ X) [inst : Mono f] [inst_1 : Mono g], p (mk f) (mk g)
P Q : Subobject X
⊢ ∀ (a₁ a₂ : MonoOver X), p (Quotient.mk'' a₁) (Quotient.mk'' a₂)
α : Type u_4
BooleanRing α
⊢ ∀ (a : α), (RingEquiv.asBoolRingAsBoolAlg α).symm a = toBoolRing (toBoolAlg a)
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
hs : MeasurableSet s
t : Set G
ht : MeasurableSet t
⊢ μ' s * ν' t = ν' s * μ' t
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁹ : Ring R✝
inst✝⁸ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R✝ M
m : Submodule R✝ M
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R✝ N
inst✝³ : IsSemisimpleModule R✝ M
R : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
⊢ (⨅ i, (↑i).annihilator).IsRadical
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
DivisionRing k
Module k V
⊢ ∃ s b, ⇑b = Subtype.val
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
u : αˣ
⊢ ↑u * a ∣ b ↔ a ∣ b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : Mon_ C
⊢ (X ⊗ Y).one ≫ (β_ X.X Y.X).hom = (Y ⊗ X).one
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ OrderDual.toDual b ⩿ OrderDual.toDual a ↔ a ⩿ b
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
⊢ ∫ (x : E), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E), (B (f' x)) (g x) ∂μ
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ t ∈ 𝓝 x, ∃ y, ↑y ∈ t
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : H.IsComplement' K
⊢ Nat.card ↥H * Nat.card ↥K = Nat.card G
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x < y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z < y
A : Type u_1
SeminormedAddCommGroup A
a : A
n : ℕ
δ : ℝ
han : (addOrderOf a).Coprime n
⊢ a +ᵥ approxAddOrderOf A n δ ⊆ approxAddOrderOf A (addOrderOf a * n) δ
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (f + g)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f + lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g)
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hx : ∀ (i : Fin n), x i < d
this : ∀ (i : Fin n), x i ^ 2 ≤ (d - 1) ^ 2
⊢ ∑ i : Fin n, x i ^ 2 ≤ n * (d - 1) ^ 2
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
x : (PreQuasiregular A)ˣ
⊢ ↑↑((Unitization.unitsFstOne_mulEquiv_quasiregular R).symm x) = 1 + ↑(PreQuasiregular.equiv.symm ↑x)
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ∀ x ∈ Set.uIcc a b, HasDerivAt f (f' x) x
hf' : IntervalIntegrable f' MeasureTheory.volume a b
⊢ fourierCoeffOn hab f n =
  1 / (-2 * ↑π * Complex.I * ↑n) * ((fourier (-n)) ↑a * (f b - f a) - (↑b - ↑a) * fourierCoeffOn hab f' n)
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Continuous f
c : Set α
c_count : c.Countable
hc : s ⊆ closure c
⊢ f '' s ⊆ closure (f '' c)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
⊢ (eLpNorm (↑↑0) p μ).toNNReal = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u ≤ f b
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
G : SimpleGraph W
e : V ≃ W
⊢ SimpleGraph.map e.symm.toEmbedding G = SimpleGraph.comap (⇑e.toEmbedding) G
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F
⊢ (∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (x : α) in l, ↑n * ‖1‖ ≤ ‖f x‖) ↔ ∀ (n : ℕ), True → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ∈ Ici ↑n
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
X : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology Profinite) A
⊢ CategoryTheory.regularTopology.EqualizerCondition X.val
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
⊢ (f.subtypePerm ⋯).IsCycleOn _root_.Set.univ
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι' : Type u_9
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
NontriviallyNormedField 𝕜₂
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
Nonempty ι'
κ : Type u_10
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι'
UniformSpace E
UniformAddGroup E
u : UniformSpace F
hu : UniformAddGroup F
hq : WithSeminorms q
ContinuousSMul 𝕜 E
f : κ → E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ [EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f),
    ∀ (i : ι'), ∃ p, Continuous ⇑p ∧ ∀ (k : κ), (q i).comp (f k) ≤ p,
    ∀ (i : ι'), BddAbove (Set.range fun k => (q i).comp (f k)) ∧ Continuous (⨆ k, ⇑((q i).comp (f k)))].TFAE
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x - 1 < ↑q ∧ ↑q < x
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atTop atTop
⊢ Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atTop (𝓝 1)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
⊢ T =O[atTop] fun n => (1 - ε ↑n) * asympBound g a b n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
n : ℕ
hp : Prime p
hpow : p ^ n.succ ∣ a ^ n.succ * b ^ n
hb : ¬p ^ 2 ∣ b
hbdiv : p ∣ b ^ n
⊢ p ∣ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Functor.closedSieves J₁).obj X = { S // J₁.IsClosed S }
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
⊢ parallelepiped ⇑b = Icc 0 1 ∨ parallelepiped ⇑b = Icc (-1) 0
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
LE E
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ f i ≤ᵐ[μ] μ[f j|↑ℱ i]
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
y : L
x : K
hxy : (algebraMap K L) x = y
⊢ (algebraMap K L) x ∈ ↑⊥
δ : Type u_4
π : δ → Type u_5
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
l : List δ
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
∀ (i : δ), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
s : (i : δ) → Set (π i)
⊢ (MeasureTheory.Measure.tprod l μ) (Set.tprod l s) = (List.map (fun i => (μ i) (s i)) l).prod
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X : C
⊢ diag X ≫ σ = 0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S T : Subalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α (n + 1)
⊢ v.reverse.head = v.last
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
⊢ e.linear.symm = e.symm.linear
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
xy : SqLe (x + 1) 1 (y + 1) d
yx : SqLe (y + 1) d x.succ 1
⊢ { re := -[x+1], im := ↑(y + 1) } = 0
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)
p_odd : Odd p
AB_not_prime : ¬Prime (A * B)
AB_id : A * B = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
ha₁ : (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1) = b * (b ^ (p - 1) - 1) * (b ^ p + b)
ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b
ha₃ : p ∣ b ^ (p - 1) - 1
ha₄ : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (p - 1) - 1
ha₅ : 2 * p * (b ^ 2 - 1) ∣ (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1)
ha₆ : 2 * p ∣ A * B - 1
⊢ (A * B).ProbablePrime b
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
w : ι → Rˣ
⊢ LinearIndependent R (w • v)
b n : ℕ
⊢ Nat.ofDigits b [n] = n
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
w : InfinitePlace K
σ : K ≃ₐ[k] K
⊢ mk (w.embedding.comp (algebraMap k K)) = mk ((w.embedding.comp ↑σ.symm).comp (algebraMap k K))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
this : Countable (Subtype p)
hp : Nonempty (Subtype p)
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
⊢ Measurable fun x => if ∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f (↑i) x) then sSup ∅ else ⨆ j, ⨅ i, f (↑i) x
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
P : Type u_3
AddCommMonoid P
Module R P
sb : Submodule R M
sc : Submodule R P
hsb : sb.FG
hsc : sc.FG
⊢ (sb.prod sc).FG
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
rs : List R
h : RingTheory.Sequence.IsRegular M rs
⊢ Nontrivial M
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ Nat.findGreatest P m ≤ Nat.findGreatest P n
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Finset.Icc ↑a ↑b = Finset.map Function.Embedding.some (Finset.Icc a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set β
hs : s.Countable
f : α → β
hf : ∀ y ∈ s, MeasurableSet (f ⁻¹' {y})
⊢ ∑' (b : ↑s), μ (f ⁻¹' {↑b}) = μ (f ⁻¹' s)
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
⊢ b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
⊢ dual A K J / dual A K I = I / J
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
S : Set X
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.HomotopyRel f₁ S
g : C(Y, Z)
x : ↑I × X
⊢ (F.compContinuousMap g) x = g (F x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
a : α
b : WithTop β
⊢ WithTop.map₂ f (↑a) b = WithTop.map (fun b => f a b) b
α : Type u_1
n : ℕ
DecidableEq α
s : Sym (Option α) n ⊕ Sym α n.succ
⊢ SymOptionSuccEquiv.encode (SymOptionSuccEquiv.decode s) = s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
y : Y
f : X → Y
h : Continuous f
h' : EqOn f (fun x => y) s
⊢ Tendsto f (𝓝ˢ s) (𝓝ˢ {y})
α : Type u_1
s t u : Finset α
h : s ⊆ u
d : Disjoint u t
⊢ Disjoint s t
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < 1 → Ordinal.{max u_4 u_5}
⊢ Ordinal.blsub 1 f = Order.succ (f 0 ⋯)
J : Type u₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete J) C} (f : X ⟶ Y) (j : J),
  (CategoryTheory.piEquivalenceFunctorDiscrete J C).inverse.map f j = f.app { as := j }
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
v : V
⊢ v ∈ ρ.invariants ↔ ∀ (g : G), (ρ g) v = v
X : Type u_3
toTwoPointing : TwoPointing X
⊢ (TwoP.of toTwoPointing).X = X
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : WfDvdMonoid R
x : R
hx₀ : x ≠ 0
h : ∀ (p : R), Irreducible p → ¬p * p ∣ x
d : R
hd : d * d ∣ x
hdu : ¬IsUnit d
hd₀ : d ≠ 0
⊢ False
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : StarMul R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
n : ℕ
⊢ IsSelfAdjoint (x ^ n)
R : Type u
CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime x (z * x + y)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C c)
f : P ⟶ Q
n : ι
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.p.f n) (f.f.f n) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.f.f n) (Q.p.f n)
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
m : M
t : ↥S
⊢ ((algebraMap R (Module.End R (LocalizedModule S M))) ↑s) ((divBy s) (mk m t)) = mk m t
α : Type u
AddMonoid α
a b : AddUnits α
⊢ ↑a = ↑b ↔ a = b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
h : sq.IsPushout
⊢ sq.op.IsPullback
M₀ : Type u_1
MonoidWithZero M₀
NoZeroDivisors M₀
Nontrivial M₀
⊢ ↑(nonZeroDivisorsLeft M₀) = {x | x ≠ 0}
α : Sort u_1
β : Sort u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
hf : Function.Injective f
x y z : α
⊢ f ((Equiv.swap x y) z) = (Equiv.swap (f x) (f y)) (f z)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n k : ℕ
hnk : n ≤ k
hex : ∃ m, k = n + m
w✝ : ℕ
hex' : k = n + w✝
⊢ ‖newton_seq (n + w✝) - newton_seq n‖ ≤ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n
E : Type u_1
SeminormedGroup E
s : Set E
⊢ Bornology.IsBounded s → Bornology.IsBounded s⁻¹
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
T1Space X
⊢ IsGδ {x}ᶜ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q f : R[X]
hfR : ↑f.natDegree < #R
hf : ∀ (r : R), eval r f = 0
⊢ f = 0
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁.Disjoint l₂ ↔ ∀ (a : α), a ∈ l₁ → ∀ (b : α), b ∈ l₂ → a ≠ b
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
⊢ ∃ J, mk0 I = mk0 J ∧ (algebraMap R S) M ∈ ↑J
β : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
Preorder β
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
f : β → M
hf : StrictMono f
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → StrictMono fun x => f x ^ n
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
⊢ ((traceForm R L M) x) y = (0 x) y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s✝ : Set α
inst✝¹ : Bornology α
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α
⊢ IsBounded (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), IsBounded (s i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ Ioc a b ⊆ Icc a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
LE α
LE β
LE γ
b : β
⊢ (OrderIso.sumAssoc α β γ) (Sum.inl (Sum.inr b)) = Sum.inr (Sum.inl b)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
Nonempty α
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Function.RightInverse (Function.invFun f) f
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
Semiring R
⊢ Matrix.fromRows 0 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α × β → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α × β) in map (fun p => (p.2, p.1)) (g ×ˢ f), p x) ↔ ∀ᶠ (y : β × α) in g ×ˢ f, p y.swap
α : Type u_1
PartialOrder α
BoundedOrder α
x y : α
h : IsCompl x y
⊢ IsCompl y x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
Nontrivial M
⊢ LieModule.nilpotencyLength R L M = 1 ↔ LieModule.IsTrivial L M
α : Type u_2
Mul α
s t : Set α
a : α
⊢ a ∈ s * t ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x * y = a
α : Type u
DistribLattice α
a b c : α
⊢ a ⊔ b ⊓ c = (a ⊔ b) ⊓ (a ⊔ c)
R : Type u_1
S : Type u_2
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
ϕ : R →+* S
hϕ : Function.Injective ⇑ϕ
⊢ CharZero R ↔ CharZero S
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m₁ m₂ : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ m₁.trim ≤ m₂.trim ↔ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → m₁ s ≤ m₂ s
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
x y : Fin (n + 2)
hxy : x ≠ y
h2n : 2 ≤ n + 2
⊢ IsConj (swap x y).signAux (swap ⟨0, ⋯⟩ ⟨1, ⋯⟩).signAux
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set G.Subgraph
v : V
⊢ (sInf s).neighborSet v = (⋂ G' ∈ s, G'.neighborSet v) ∩ G.neighborSet v
N : ℕ
⊢ N.smoothNumbersᶜ \ {0} ⊆ {n | N ≤ n}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y✝ : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
hx : f x ≠ x
this : (f.cycleOf x) x ≠ x
y : α
h : y ≠ y
hxy : ¬f.SameCycle x y
⊢ (f.cycleOf x).SameCycle x y
m✝ n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x : α✝ (last n✝)
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.castSucc
i : Fin n✝
y : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n✝)
n m : ℕ
α : Type u_1
f : Fin (n + m) → α
a : α
⊢ ∀ (x : Fin n), snoc f a (castAdd (m + 1) x) = f (castAdd m x)
p : ℝ[X]
⊢ Continuous fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ (∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r) ↔ ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
F : ι → X → α
f : X → α
s : Set X
x : X
z : α
hF : EquicontinuousAt F x
hf : ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, f x ∈ {y | (y, z) ∈ id i}
hs : ∀ y ∈ s, Tendsto (fun x => F x y) l (𝓝 (f y))
hx : x ∈ closure s
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, F x_1 x ∈ {y | (y, z) ∈ id U}
α : Type u_2
β : Type u_3
HeytingAlgebra α
HeytingAlgebra β
f : HeytingHom α β
⊢ f.toFun = ⇑f
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor D C
adj : G ⊣ F
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.HasLiftingProperty (G.map i) p ↔ CategoryTheory.HasLiftingProperty i (F.map p)