ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
x : R
hroot : f.IsRoot x
hmo : f.Monic
i : ℕ
⊢ f.natDegree ≤ i → x ^ i ∈ 𝓟
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
DecidableEq ι
AddMonoid ι
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toIdeal ≤ I
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β
H : Multiset.card { val := (Multiset.map f s.val).dedup, nodup := ⋯ }.val = Multiset.card s.val
⊢ Set.InjOn f ↑s
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
⊢ p.content = gcd p.leadingCoeff p.eraseLead.content
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
h : FiniteType R R[M]
S : Finset M
hS : adjoin R (of' R M '' ↑S) = ⊤
⊢ AddMonoid.FG M
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
p q : TangentBundle I M
⊢ (↑(chartAt (ModelProd H E) q) p).1 = ↑(chartAt H q.proj) p.proj
α : Type u_1
β : Type v
s t : Multiset α
f : α → Multiset β
⊢ (s + t).bind f = s.bind f + t.bind f
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
⊢ AntivaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → (f j - f i) * (g j - g i) ≤ 0
n : ℕ
⊢ Even (n * (n + 1))
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ c + c ≤ c
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ⟂ₘ μ
A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a
u : ℕ → ℝ≥0
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a
x : α
hx : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
z : ℝ≥0∞
hz : z > 0
w : ℝ≥0
w_pos : 0 < ↑w
w_lt : ↑w < z
n : ℕ
hn : u n < w
a : Set α
ha : ρ a < ↑(u n) * μ a
μa_pos : 0 < μ a
μa_lt_top : μ a < ⊤
⊢ ρ a < z * μ a
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
g : Ultrafilter α
gx : ↑g ≤ 𝓝 x
this : ↑(Ultrafilter.map pure g) ≤ 𝓝 g
⊢ Tendsto preStoneCechUnit (↑g) (𝓝 (preStoneCechUnit x))
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
f : MultilinearMap R M₁ M₂
x y : (i : ι) → M₁ i
⊢ (∑ i : ι, f.toLinearMap x i ∘ₗ LinearMap.proj i) y = ∑ i : ι, f (update x i (y i))
M : Type u
N : Type v
AddMonoid M
AddMonoid N
f : M →+ N
g : M → AddUnits N
h : ∀ (x : M), ↑(g x) = f x
x : M
⊢ f x + ↑(-(AddUnits.liftRight f g h) x) = 0
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : H) in 𝓝[↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s] ↑(chartAt H x) x, ↑(chartAt H' (g' x)) (g' (↑(chartAt H x).symm x_1)) = ↑(chartAt H' (g x)) (g (↑(chartAt H x).symm x_1))
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
K : ℚ
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(x - f) j
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j) ∧ K ≤ ↑(x - f) j ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
⊢ K / 2 ≤ ↑(x - const abs ↑(↑f i)) j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ (M.tensorBimod N).actRight = Bimod.TensorBimod.actRight M N
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ {x} + Metric.closedBall 0 δ = Metric.closedBall x δ
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : ι →₀ α
t : ι → Finset α
⊢ f ∈ s.finsupp t ↔ f.support ⊆ s ∧ ∀ i ∈ s, f i ∈ t i
α : Type u
TopologicalSpace α
AddGroup α
ContinuousConstVAdd αᵃᵒᵖ α
s t : Set α
⊢ interior s + interior t ⊆ interior (s + t)
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, g' x ≠ 0
hftop : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
hgtop : Filter.Tendsto g Filter.atTop (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => f' x / g' x) Filter.atTop l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) Filter.atTop l
α : Type u_2
AddGroup α
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ ((fun b => Finset.image (fun a => a + b) s) '' ↑t).PairwiseDisjoint id → s.card ∣ (s + t).card
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (x : ↑X), IsIso ((stalkFunctor C x).map f.val)
⊢ ∀ (U : (Opens ↑X)ᵒᵖ), IsIso (f.val.app U)
X : Type u
TopologicalSpace X
CompactSpace X
⊢ IsCompact (Set.diagonal X)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.SimplicialCategory C
K : Cᵒᵖ
L : C
⊢ ((CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomFunctor C).obj K).obj L =
  CategoryTheory.SimplicialCategory.sHom (Opposite.unop K) L
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : ι
H : IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
l : List ι
⊢ List.foldr f a l ≤ sup (f i ∘ List.foldr f a)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K K' : LieSubalgebra R L
⊢ K + K' = K ⊔ K'
M : Type u_1
AddMonoid M
s : Set M
a : M
hs : IsAddSubmonoid s
h : a ∈ s
⊢ multiples a ⊆ s
ι : Type u_6
p : ι → Prop
Y : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
DecidablePred p
f : ((i : { x // p x }) → Y ↑i) × ((i : { x // ¬p x }) → Y ↑i)
x : ι
⊢ (Homeomorph.piEquivPiSubtypeProd p Y).symm f x = if h : p x then f.1 ⟨x, h⟩ else f.2 ⟨x, h⟩
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
⊢ ∀ (a : Multiset α) (a_1 : Multiset β),
  Multiset.Rel r a a_1 ↔
    a = 0 ∧ a_1 = 0 ∨ ∃ a_2 b as bs, r a_2 b ∧ Multiset.Rel r as bs ∧ a = a_2 ::ₘ as ∧ a_1 = b ::ₘ bs
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
⊢ mk' K (num A x) (den A x) = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
X : C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
⊢ F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f) =
  CategoryTheory.inv (F.μ X Y) ≫ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X) (F.map f) ≫ F.μ X Z
G : Type u_2
AddCommGroup G
UniformSpace G
UniformAddGroup G
CompleteSpace G
f : ℤ → G
⊢ Summable f ↔ (Summable fun n => f ↑n) ∧ Summable fun n => f (-(↑n + 1))
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₁ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₁
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
⊢ (Homotopy.nullHomotopicMap hom).f k₁ = C.d k₁ k₀ ≫ hom k₀ k₁
M : Type u
Monoid M
X Y : CategoryTheory.Discrete M
⊢ (X ⊗ Y).as = X.as * Y.as
α : Type u_1
p : PMF α
⊢ p.toOuterMeasure.caratheodory = ⊤
w : Nat
⊢ -1#w = BitVec.allOnes w
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a b c : X
γ₁ : Path a b
γ₂ : Path b c
⊢ range ⇑γ₁ ∪ range ⇑γ₂ ⊆ range ⇑{ toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then γ₁.extend (2 * t) else γ₂.extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ }
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
h : L.ElementarilyEquivalent M N
⊢ L.ElementarilyEquivalent N M
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.equiv F).hom c).fst = Opposite.op c.pt
a b : EReal
⊢ a < b → ∃ x, a < ↑↑x ∧ ↑↑x < b
M : Type u_2
AddZeroClass M
x : AddSubmonoid Mᵃᵒᵖ
⊢ ↑x.unop = AddOpposite.op ⁻¹' ↑x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.withDensity f, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict {x | f x ≠ 0}, p x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Multiset α
hst : Multiset.Rel r s t
⊢ Multiset.map (Quot.mk r) s = Multiset.map (Quot.mk r) t
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
N : Type u_2
AddGroup N
TopologicalSpace N
P : Type u_3
AddGroup P
TopologicalSpace P
K : OpenAddSubgroup P
f₂ : N →+ P
hf₂ : Continuous ⇑f₂
f₁ : G →+ N
hf₁ : Continuous ⇑f₁
⊢ OpenAddSubgroup.comap f₁ hf₁ (OpenAddSubgroup.comap f₂ hf₂ K) = OpenAddSubgroup.comap (f₂.comp f₁) ⋯ K
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Comonad.id C).ε.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
β : Sort u_1
α : Sort u_2
P : β → Sort w
e : α ≃ β
f : (a : α) → P (e a)
b : β
⊢ (Equiv.piCongrLeft P e) f b = ⋯ ▸ f (e.symm b)
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
J : Ideal S
f : R ≃+* S
hIJ : J = map (↑f) I
x✝ : S ⧸ J
s : S
⊢ (↑↑__src✝).toFun ((quotientMap I ↑f.symm ⋯) (Quot.mk Setoid.r s)) = Quot.mk Setoid.r s
α : Type u
x : α
e : Equiv.Perm α
h : Function.IsFixedPt (⇑e) x
n : ℕ
⊢ Function.IsFixedPt (⇑(e ^ n)) x
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : LightProfinite
a : Z ⟶ X
b : Z ⟶ Y
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp a f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp b g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (LightProfinite.pullback.lift f g a b w) (LightProfinite.pullback.fst f g) = a
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : S.LocalizationMap P
x : M
⊢ (f.ofAddEquivOfLocalizations (f.addEquivOfLocalizations k)).toMap x = k.toMap x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
⊢ AntivaryOn f⁻¹ g s ↔ MonovaryOn f g s
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
⊢ h.repr 0 ∈ Ideal.span {f}
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) R M
⊢ (trace R M) 1 = ↑(finrank R M)
M : Type u_1
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass P
f : M →+ P
⊢ Function.Injective ⇑(AddCon.kerLift f)
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
a b : { x // p x }
⊢ Subtype.val '' Set.Ioc a b ⊆ Set.Ioc ↑a ↑b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
f : β → γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
⊢ ∫⁻ (bc : β × γ), f bc.1 bc.2 ∂(κ.compProd η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), f b c ∂η (a, b) ∂κ a
A : Type u'
inst✝¹² : Category.{v', u'} A
inst✝¹¹ : ConcreteCategory A
inst✝¹⁰ : HasFunctorialSurjectiveInjectiveFactorization A
inst✝⁹ : (coherentTopology CompHaus).WEqualsLocallyBijective A
inst✝⁸ : HasSheafify (coherentTopology CompHaus) A
inst✝⁷ : (coherentTopology CompHaus).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝⁶ : Balanced (Sheaf (coherentTopology CompHaus) A)
inst✝⁵ : PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget A)
inst✝⁴ : ∀ (X : CompHausᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X Stonean.toCompHaus.op) A
X Y : Condensed A
f : X ⟶ Y
inst✝³ : (extensiveTopology Stonean).WEqualsLocallyBijective A
inst✝² : HasSheafify (extensiveTopology Stonean) A
inst✝¹ : (extensiveTopology Stonean).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝ : Balanced (Sheaf (extensiveTopology Stonean) A)
⊢ Epi f ↔ ∀ (S : Stonean), Function.Surjective ⇑(f.val.app (op S.compHaus))
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
i : σ
⊢ (x * MvPolynomial.X i).divMonomial (Finsupp.single i 1) = x
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M✝ : Sublattice α
f : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
M : Sublattice β
e : β ≃o α
⊢ map { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } L = M ↔ L = map { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } M
a : Int
b : Int
h : 0 < b
⊢ a - b < a
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Ψ₂Sq.coeff 3 = 4
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
R : Type u_3
Field R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
c : R
⊢ deriv (fun y => c • f y) x = c • deriv f x
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ a / c ≤ b ↔ a ≤ b * c
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t : Set P
x : P
s : Set P
ht : affineSpan 𝕜 s = affineSpan 𝕜 (intrinsicClosure 𝕜 s)
⊢ IsClosed (Subtype.val ⁻¹' intrinsicClosure 𝕜 s)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
F.PreservesRightHomologyOf S₁
F.PreservesRightHomologyOf S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap (F.mapShortComplex.map φ))
    (S₂.mapRightHomologyIso F).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S₁.mapRightHomologyIso F).hom
    (F.map (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ))
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ (s ∪ t).erase a = s.erase a ∪ t.erase a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
⊢ seminormFromConst' hf1 hc hpm (c * x) = seminormFromConst' hf1 hc hpm c * seminormFromConst' hf1 hc hpm x
ι : Type u_1
LinearOrder ι
j i : ι
hij : j < LinearLocallyFiniteOrder.succFn i
⊢ j ≤ i
α : Sort u
Nonempty α
⊢ Countable α ↔ ∃ f, Function.Surjective f
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
p q r : P
h : x < y
⊢ ltTrichotomy x y p q r = p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
n : ℕ
x : α
⊢ ↑(eapprox (f ∘ g) n) x = ↑((eapprox f n).comp g hg) x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Filter.IsCobounded r ⊤ ↔ Nonempty α
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} (x_1 : α), (RingHom.id α) x_1 = x_1
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.LeftExtension F
Y : D
⊢ (E.coconeAt Y).pt = E.right.obj Y
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ 0 ≤ p.degree ↔ p ≠ 0
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
s : Set (X × Y)
⊢ (∃ i, ((x ∈ i.1 ∧ IsOpen i.1) ∧ y ∈ i.2 ∧ IsOpen i.2) ∧ i.1 ×ˢ i.2 ⊆ s) ↔ ∃ u v, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ IsOpen v ∧ y ∈ v ∧ u ×ˢ v ⊆ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
ha : IsGreatest s a
hb : IsGreatest t b
⊢ IsLeast (Set.image2 f s t) (f a b)
a : UnitAddCircle
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => hurwitzZetaEven a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) 1
k G : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Group G
A✝ A : Rep k G
inst✝ : A.IsTrivial
⊢ LinearMap.range (LinearMap.codRestrict (oneCocycles A) 0 ⋯) = ⊥
P Q R : Prop
Decidable P
⊢ (if P then Q else R) ↔ P ∧ Q ∨ ¬P ∧ R
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
𝕜' : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
hc : DifferentiableOn 𝕜 c s
f : F
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => c y • f) s
α : Type u
β : Type u_1
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
this : TopologicalSpace α := generateFrom s
⊢ ∀ s_1 ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, IsOpen s_1
R : Type u_1
CommRing R
P : Prop
LocalRing R
h_pos : ∀ (p : ℕ), IsPrimePow p → CharP R p → P
h_equal : Algebra ℚ R → P
h_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P
⊢ P
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
m : σ →₀ ℕ
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.coeffAddMonoidHom m) p = MvPolynomial.coeff m p
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ √x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
A₁ : Type u_1
A₂ : Type u_2
AddCommGroup A₁
AddCommGroup A₂
NoZeroSMulDivisors ℕ A₂
f : A₁ →+ A₂
⊢ f.ker.Saturated
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x✝ r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 r
r' : ℝ≥0
xr' : edist x 0 < ↑r'
hr' : ↑r' < r
this : EMetric.ball 0 ↑r' ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[EMetric.ball 0 r] x, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ y ∈ t, ((fun y => f (x✝ + y)) y, (fun n y => p.partialSum n y) n y) ∈ u
α : Type u_1
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ s = ∅ ∨ s = Set.univ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : Disjoint g₁ g₂
⊢ Disjoint (comap m g₁) (comap m g₂)
F : Type u_1
L : Type u_3
Field F
Field L
Algebra F L
Normal F L
K : IntermediateField F L
⊢ (IntermediateField.closureOperator F L) K = normalClosure F (↥K) L
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁.HomotopyEquiv S₂
e' : S₂.HomotopyEquiv S₃
⊢ (e.trans e').hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp e.hom e'.hom
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hm : m = rootMultiplicity t p
⊢ ∀ b ∈ range m.succ, b ≠ 0 → eval t (m.choose b • ((⇑derivative)^[m - b] ((X - C t) ^ m) * (⇑derivative)^[b] (p /ₘ (X - C t) ^ m))) = 0
n p : ℕ
⊢ n / p ^ n.factorization p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f g : ArithmeticFunction R
x✝ : ℕ
⊢ (f.pmul g) x✝ = (g.pmul f) x✝
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
Zero N
f : α →₀ N
⊢ f.neLocus 0 = f.support
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f f' : X ⟶ Y
g : Y ≅ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' g.hom ↔ f = f'
A : Type u_1
E : Type u_5
Monoid A
CommGroup E
TopologicalSpace A
TopologicalSpace E
TopologicalGroup E
f g : ContinuousMonoidHom A E
⊢ PontryaginDual.map (f * g) = PontryaginDual.map f * PontryaginDual.map g
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
hs : ThreeGPFree s
ha : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b
ha' : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a
b : α
hb : b = a ∨ b ∈ s
c : α
hc : c = a ∨ c ∈ s
d : α
hd : d = a ∨ d ∈ s
h : b * d = c * c
⊢ b = c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
hg : Antitone g
hf : Monotone f
⊢ Antitone (g ∘ f)
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_4
Countable ι
F : ι → α → E
hF_int : ∀ (i : ι), MeasureTheory.Integrable (F i) μ
hF_sum : Summable fun i => ∫ (a : α), ‖F i a‖ ∂μ
⊢ ∑' (i : ι), ∫ (a : α), F i a ∂μ = ∫ (a : α), ∑' (i : ι), F i a ∂μ
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
ν : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f ν
⊢ ∫ (x : α), f x ∂ν = ∑' (g : G), ∫ (x : α) in g +ᵥ s, f x ∂ν
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b x : α
h : x ≠ a ∧ x ≠ b
⊢ (swap a b) x = x
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ derivative (nodal ∅ v) = ∑ i ∈ ∅, nodal (∅.erase i) v
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasurableSingletonClass (MeasureTheory.NullMeasurableSpace α μ)
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
a : α
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (insert a s) μ
α : Type u_1
PartialOrder α
s t : Finset α
h : s ⊂ t
⊢ { ofColex := s } < { ofColex := t }
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (CategoryTheory.Center.forget C).ε = 𝟙 (𝟙_ C)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂
f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁
f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂
W X Y Z : C
f : W ⊞ X ⟶ Y ⊞ Z
inst✝ : IsIso f
⊢ 𝟙 W = 0 ∨ biprod.inl ≫ f ≫ biprod.fst ≠ 0 ∨ biprod.inl ≫ f ≫ biprod.snd ≠ 0
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ C a * (monomial n) b = (monomial n) (a * b)
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
this : Aᵀ.adjugate.map star = (Aᵀ.map star).adjugate
⊢ A.adjugateᵀ.map star = (Aᵀ.map star).adjugate
x : ℝ
⊢ HasStrictDerivAt Real.exp (Real.exp x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet sᶜ
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.piecewise sᶜ hs f g = MeasureTheory.SimpleFunc.piecewise s ⋯ g f