ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
⊢ IsOpen f.source
α : Type u_1
inst✝⁴ : Mul α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : One α
inst✝¹ : OfNat α 2
inst✝ : Invertible 2
a b : αˢʸᵐ
⊢ a * b = b * a
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
inst✝ : HasLimit (e.functor ⋙ F)
this : HasLimit (e.inverse ⋙ e.functor ⋙ F)
⊢ HasLimit F
P : ℤ → Prop
DecidablePred P
b b' : ℤ
Hb : ∀ (z : ℤ), P z → z ≤ b
Hb' : ∀ (z : ℤ), P z → z ≤ b'
Hinh : ∃ z, P z
⊢ ↑(b.greatestOfBdd Hb Hinh) = ↑(b'.greatestOfBdd Hb' Hinh)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hd : HasDerivWithinAt d d' univ x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') univ x
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
Nontrivial R
NoZeroDivisors R
x : R
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
⊢ Polynomial.eval x (Lagrange.nodal s v) ≠ 0
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
⊢ (minpoly F x).natSepDegree = 1 ↔ ∃ n, Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = (X - C x) ^ q ^ n
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice
⊢ ⨅ g, ⨆ i, f i (g i) ≤ ⨆ i, ⨅ j, f i j
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
i : Fin k
⊢ ↑i < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length
M : Type u_4
N : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ Function.Injective MonoidHom.toMulHom
K : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p : ℕ
inst✝¹ : NeZero p
inst✝ : CharP R p
x : ℤ
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∃ a b, ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 = ↑x
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
i : Fin (rank K)
⊢ Additive.toMul ((basisModTorsion K) i) = Additive.ofMul.symm ((basisModTorsion K) i)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
r : ℝ
⊢ MeasureTheory.Submartingale (fun i => MeasureTheory.stoppedValue f (MeasureTheory.leastGE f r i)) ℱ μ
f : ℝ → ℝ
c : ℝ
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => c * f x
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : n < finrank R M
⊢ Module.rank R M < ℵ₀
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
NoMaxOrder α
hs : IsGLB s a
⊢ s.Nonempty
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
Nonempty V
k : ℕ
h : ∀ (v : V), k ≤ G.degree v
⊢ k ≤ G.minDegree
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsClosedMap ⇑Additive.toMul
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
D_comp : CompactSpace ↑D
π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val
π₁_cont : Continuous π₁
⊢ ∃ h, Continuous h ∧ f ∘ h = φ
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Set α → Set β
hf : Function.Injective f
h2 : f ∅ = ∅
s : Set α
⊢ (f s).Nonempty ↔ s.Nonempty
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i
h₁ : blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
⊢ blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ 𝓟 idRel ≤ 𝓤 α
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
p : ℝ≥0
hp : p ≠ 0
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f (↑p) μ ^ ↑p = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ↑p ∂μ
α : Type u_2
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h₁ : a₁ ∈ [[a₂, b₂]]
h₂ : b₁ ∈ [[a₂, b₂]]
⊢ [[a₁, b₁]] ⊆ [[a₂, b₂]]
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ∑' (n : ι), (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a) μ
a : ℝ≥0∞
⊢ (a * ⊤).toNNReal = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
⊢ c.C ⊆ c.right.C
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F✝
F F' : Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ F'
⊢ Presheaf.IsSheaf J F'.val
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S
⊢ p.smeval x = p.sum (smul_pow x)
G : Type u_2
Group G
S : Subgroup Gᵐᵒᵖ
⊢ S.unop.op = S
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℂ
⊢ (x * ↑r).arg = x.arg
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : Antitone f
⊢ Set.MapsTo f (Set.Icc a b) (Set.Icc (f b) (f a))
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
h : 𝓝 0 = AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter
⊢ 𝓝 0 = AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter
α : Sort u_4
r : α → α → Prop
hwf : WellFounded r
a bot : α
C : α → Prop
ih : ∀ (b : α), b ≠ bot → C b → ∃ c, r c b ∧ C c
⊢ C a → C bot
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hfg : IsBigOWith c l f g
hc : 0 < c
hgk : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l g k
c' : ℝ
c'pos : 0 < c'
this : 0 < c' / c
⊢ IsBigOWith c' l f k
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
x : L
⊢ x ∈ FractionalIdeal.dual A K I ↔ ∀ a ∈ I, ((Algebra.traceForm K L) x) a ∈ (algebraMap A K).range
x : ℝ≥0
⊢ 0 < NNReal.sqrt x ↔ 0 < x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)
s' : (i : ι) → Set (β (e i)) := fun i => s (e i)
⊢ (Measure.pi fun i => μ (e i)) (⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s) = ∏ i : ι', (μ i) (s i)
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
s : ι → Set α
hic : #ι < c
⊢ (∀ s_1 ∈ range s, s_1 ∈ l) ↔ ∀ (i : ι), s i ∈ l
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx
hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ
hsxy : ∀ (n : ℕ), (⇑sxy)^[n] y = y + (2 * ↑n) • (x - y)
f' : ℕ → ↑Φ := fun n => ⟨(⇑sxy)^[n] y, ⋯⟩
⊢ x = y
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ OpenEmbedding ⇑DomMulAct.mk
α : Type u_1
OrderedSemiring α
t : ↑(Set.Icc 0 1)
⊢ 0 ≤ t
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
h : x ≠ 0
⊢ (minpoly A x).coeff 0 ≠ 0
A B : NonemptyFinLinOrd
f : A ⟶ B
⊢ Mono f → Function.Injective ⇑f
α : Type u_4
Finite α
⊢ Nonempty (Fintype α)
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
i : Fin g.natDegree
⊢ i ∉ Finset.univ → (monomial ↑i) (Function.update 0 i 1 i) = 0
m : ℕ
n : ℕ
⊢ Nat.shiftLeft' false m n = m <<< n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' : C
g : X' ⟶ X
CategoryTheory.IsIso g
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation (g ≫ f)
⊢ (CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation.ofIsoComp g F).m = F.m
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Inv G
inst✝⁶ : ContinuousInv G
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
ι : Type u_1
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace G₂
inst✝³ : T2Space G₂
inst✝² : Inv G₁
inst✝¹ : Inv G₂
inst✝ : ContinuousInv G₂
⊢ IsClosed {f | ∀ (x : G₁), f x⁻¹ = (f x)⁻¹}
y : ℝ
h : 0 < y
x : ℝ≥0
⊢ (fun a => a ^ y) ∘ ofNNReal = ofNNReal ∘ fun z => z ^ y
α : Type u
β : Type u_1
l : List (α × β)
⊢ l.unzip.2 = List.map Prod.snd l
a b : Int
⊢ (a * b).sign = a.sign * b.sign
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
DecidableEq ι
i : ι
⊢ Continuous fun f => Function.update f.1 i f.2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h : -(CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map T.mor₁ = 0 ↔ Epi T.mor₃
⊢ T.mor₁ = 0 ↔ Epi T.mor₃
α : Type u_7
β : Type u_8
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
self : BoundedLatticeHom α β
⊢ self.toFun ⊥ = ⊥
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
h : a' ^ n ∣ b' ^ n
this : a' ^ succ 0 ∣ a' ^ n
⊢ a' * g ∣ b' * g
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
y : Fin n → 𝕜
⊢ p.coeff n = 0 ↔ p n = 0
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α [d]
⊢ CPRankMax 0 (x ⊗ 0)
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
self : HNNExtension.NormalWord d
u : ℤˣ
g : G
⊢ (u, g) ∈ self.toList → g ∈ d.set u
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
SMul 𝕜 𝕜'
a : 𝕜≥0
x : 𝕜'
⊢ ↑a • x = a • x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
N : Matroid β
E B : Set α
⊢ (N.comapOn E f).Base B ↔ N.Basis' (f '' B) (f '' E) ∧ Set.InjOn f B ∧ B ⊆ E
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
X : Cᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.cones J C).obj F).obj X = ((CategoryTheory.Functor.const J).obj (Opposite.unop X) ⟶ F)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : ContinuousMul α
x : α
l : List α
ih : Tendsto prod (𝓝 l) (𝓝 l.prod)
this : ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (x, l.prod)
⊢ Tendsto (fun p => p.1 * p.2.prod) (𝓝 x ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (x * l.prod))
x y : SetTheory.PGame
⊢ x.LF y ↔ SetTheory.PGame.LF 0 (y - x)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddGroup R
x : HahnSeries Γ R
⊢ (-x).orderTop = x.orderTop
ι : Type u_5
α : ι → Type u_6
(i : ι) → SemilatticeInf (α i)
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
ht : ∀ i ∈ s, InfClosed (t i)
⊢ InfClosed (s.pi t)
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
⊢ normSq a = 0 ↔ a = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x + y, x - y⟫_ℝ = 0 ↔ ‖x‖ = ‖y‖
α : Type u_1
n : Type u_4
AddMonoid α
StarAddMonoid α
A B : Matrix n n α
hA : A.IsHermitian
hB : B.IsHermitian
⊢ (A + B).IsHermitian
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hω : cs.IsReduced ω
j : ℕ
⊢ cs.IsReduced (List.take j ω)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : IntegrableOn g K μ
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
⊢ IntegrableOn (fun x => f x • g x) K μ
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s : Multiset F[X]
hs : ∀ p ∈ s, IsSolvable p.Gal
⊢ ∀ {a : F[X]} {s_1 : Multiset F[X]}, a ∈ s → s_1 ⊆ s → IsSolvable s_1.prod.Gal → IsSolvable (insert a s_1).prod.Gal
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Add α
inst✝¹ : Semigroup α
inst✝ : LeftDistribClass α
a b c : α
h₁ : a ∣ b
h₂ : a ∣ c
d : α
hd : b = a * d
e : α
he : c = a * e
⊢ a * (d + e) = b + c
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α
n : ℕ
this : (∑ i ∈ range n, (x + 1) ^ i) * x + 1 = (x + 1) ^ n
⊢ (∑ i ∈ range n, (x + 1) ^ i) * x + 1 = (x + 1) ^ n
p q : Prop
α : Sort u_1
s✝ : α → Prop
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
s : Set β
⊢ (∅ ≠ s) = s.Nonempty
ε : Type u_1
p : ε → Prop
DecidablePred p
ep : Equiv.Perm { a // p a }
en : Equiv.Perm { a // ¬p a }
a : ε
h : ¬p a
⊢ (ep.subtypeCongr en) a = ↑(en ⟨a, h⟩)
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : ↥(rootsOfUnity n L)
⊢ ζ ^ ((χ₀ n h).val * (χ₀ n g).val) = ζ ^ (χ₀ n h * χ₀ n g).val
R : Type u_3
CommRing R
n : ℕ
⊢ Quaternion.normSq ↑n = ↑n ^ 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y z : E
h : SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)
⊢ x ∈ [y-[𝕜]z]
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
⊢ w.GuitartExact ↔ ∀ (X₂ : C₂), (w.structuredArrowDownwards X₂).Initial
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X × Y
s : Set X
hs : s ∈ map Prod.fst (𝓝[Prod.snd ⁻¹' {x.2}] x)
⊢ s ∈ 𝓝 x.1
α : Type u_1
Monoid α
p : α
self : Irreducible p
a b : α
⊢ p = a * b → IsUnit a ∨ IsUnit b
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ≤ -b ↔ a + b ≤ 0
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : ⨁ (i : ι), A i
⊢ (DFinsupp.sum a fun x => ⇑(toAddMonoid fun x_1 => ((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip).flip) a' = DFinsupp.sum a fun i ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
as : Multiset α
bs₀ bs₁ : Multiset β
⊢ Multiset.Rel r as (bs₀ + bs₁) ↔ ∃ as₀ as₁, Multiset.Rel r as₀ bs₀ ∧ Multiset.Rel r as₁ bs₁ ∧ as = as₀ + as₁
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
hb : 1 ≤ b
a : ℤ
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n.succ)
⊢ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
⊢ s ⊆ ↑(Algebra.adjoin R s)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
c : CategoryTheory.Limits.Cocone G
⊢ CategoryTheory.Limits.colimMap α ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.desc G c =
  CategoryTheory.Limits.colimit.desc F ((CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose α).obj c)
d : ℤ
h₀ : 0 ≤ d
a : Solution₁ d
hx : a.x = 0
⊢ False
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
Invertible 2
p₁ p₂ : P
⊢ nndist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) p₁ = ‖2‖₊⁻¹ * nndist p₁ p₂
α : Type u_1
r : α → α → Prop
H : Symmetric r
x y : α
⊢ r x y ↔ r y x
m n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i✝ j✝ : Fin n
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
e : Fin n ≃o Fin m
i : ℕ
h : ∀ m_1 < i, ∀ (hi : m_1 < n), ↑(e ⟨m_1, hi⟩) = m_1
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < i
⊢ j < ↑(e ⟨i, hi⟩)
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x
⊢ y * x * inverse x = y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
z : M
F' : Type u_11
NormedRing F'
NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') p s z p'
hq : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') q s z q'
⊢ HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') (p * q) s z (p z • q' + p'.smulRight (q z))
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ (ndinsert a s).gcd = GCDMonoid.gcd a s.gcd
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ a⁻¹ < b ↔ b⁻¹ < a
C✝ : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C✝
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C✝
X✝ Y✝ : C✝
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasCokernel f✝
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : f ≫ g = 0
inst✝ : HasCokernel f
⊢ colimit.ι (parallelPair f 0) zero ≫ cokernel.desc f g h = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n a b : ℕ
⊢ addRothNumber (Ico a b) = rothNumberNat (b - a)
α : Type u_1
Semiring α
a x y : α
h : SemiconjBy a x y
n : ℕ
⊢ SemiconjBy a (↑n * x) (↑n * y)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hy : y ≠ 0
hxy : (x ^ 2 - ↑a * y ^ 2) * y⁻¹ ^ 2 = 0 * y⁻¹ ^ 2
⊢ legendreSym p a = 1
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ J ∈ BoxIntegral.Prepartition.split I i x ↔ ↑J = I.splitLower i x ∨ ↑J = I.splitUpper i x
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
x : α
h : Bornology.IsBounded (range fun x_1 => g (f^[x_1] x))
C : ℝ
hC : ∀ (x_1 y : ℕ), dist (g (f^[x_1] x)) (g (f^[y] x)) ≤ C
this : Tendsto (fun n => C / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ dist (g (f^[n] x)) (g x) / ↑n ≤ C / ↑n
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Inf α
Top α
Inf β
Top β
Inf γ
Top γ
f : InfTopHom β γ
g : InfTopHom α β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : ℕ∞
h : Smooth I I' f
⊢ ContMDiff I I' n f
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ min a b = a ↔ a ≤ b
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
s : Multiset α
h : a ∈ s
⊢ a ∈ Multiset.ndinsert b s
a : ℤ
b : ℕ
⊢ ↑a = 0 ↔ ↑b ∣ a
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
n : ℤ
⊢ round ↑n = n
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
⊢ (M.disjointSum N h).E = M.E ∪ N.E
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ μ.everywherePosSubset s ⊆ s
H : Type x
TopologicalSpace H
OrderedCommGroup H
ContinuousInv H
a : H
⊢ Filter.Tendsto Inv.inv (𝓝[≥] a) (𝓝[≤] a⁻¹)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
S : Type u_4
Monoid S
DistribMulAction S M
SMulCommClass R S M
LieDerivation.SMulBracketCommClass S L M
r : S
D : LieDerivation R L M
⊢ ⇑(r • D) = r • ⇑D
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] E
h : IsProj p f
⊢ IsCompl p (ker ?m.418830.codRestrict)
α : Type u_1
Primcodable α
p : α → Prop
DecidablePred p
hp : PrimrecPred p
⊢ Primrec Subtype.val
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C
j : C
h : CofilteredClosure f j
⊢ ∃ a, CategoryTheory.IsCofiltered.CofilteredClosureSmall.abstractCofilteredClosureRealization f a = { obj := j, property := h }.obj
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
inst✝ : Subsingleton ↥S
⊢ ∀ x ∈ S, x = 1
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
CommSemiring S
Algebra S R
Invertible 2
Q : QuadraticMap R M R
⊢ LinearMap.IsSymm ((QuadraticMap.associatedHom S) Q)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ⟪x, x⟫_𝕜 ≠ 0 ↔ x ≠ 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
r : R
⊢ Module.IsTorsionBy R (M ⧸ N) r ↔ ∀ (x : M), r • x ∈ N
α : Type u
Preorder α
a b : α
⊢ a = b → a ≤ b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
⊢ inl ≫ h.isoPushout.hom = CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω ω' : List B
⊢ cs.wordProd (ω ++ ω') = cs.wordProd ω * cs.wordProd ω'
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (o.oangle (x - y) x).sign = (o.oangle x y).sign