ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
f : ((a : ι) → A a) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
this : Nontrivial ι
⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ (1 / (↑#ι - 1)) ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ p
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
⊢ inverse ↑u * ↑u = 1
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →L[𝕜] E
hf : f.det ≠ 0
x : E
⊢ (f.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hf) x = f x
r : ℝ
⊢ HasSum (fun n => (-1) ^ n * r ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) (Real.cos r)
x₁ y₁ x₂ y₂ : SetTheory.PGame
hx : x₁ ≈ x₂
hy : y₁ ≈ y₂
⊢ x₁.Fuzzy y₁ → x₂.Fuzzy y₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
T : CategoryTheory.Comonad C
D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra
j : J
⊢ CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesLimits'.γ.app j = (D.obj j).a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 5
h₀ : f.obj' 0 ⋯ = g.obj' 0 ⋯
h₁ : f.obj' 1 ⋯ = g.obj' 1 ⋯
h₂ : f.obj' 2 ⋯ = g.obj' 2 ⋯
h₃ : f.obj' 3 ⋯ = g.obj' 3 ⋯
h₄ : f.obj' 4 ⋯ = g.obj' 4 ⋯
h₅ : f.obj' 5 ⋯ = g.obj' 5 ⋯
w₀ :
  f.map' 0 1 ⋯ ⋯ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom h₀)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (g.map' 0 1 ⋯ ⋯) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
w₁ :
  f.map' 1 2 ⋯ ⋯ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom h₁)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (g.map' 1 2 ⋯ ⋯) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
w₂ :
  f.map' 2 3 ⋯ ⋯ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom h₂)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (g.map' 2 3 ⋯ ⋯) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
w₃ :
  f.map' 3 4 ⋯ ⋯ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom h₃)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (g.map' 3 4 ⋯ ⋯) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
w₄ :
  f.map' 4 5 ⋯ ⋯ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom h₄)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (g.map' 4 5 ⋯ ⋯) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
⊢ f = g
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k'[X]
hmp : p.Monic
hp : Irreducible p
⊢ ∃ x, eval x p = 0
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
⊢ ∀ (a : ℕ), a > 0 → a ∈ s → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f a ↔ a > 0 → a ∈ s → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f a
α : Type u
β : Type v
Group α
Group β
f : α → β
hf : ∀ (x y : α), f (x * y) = f x * f y
⊢ IsGroupHom f
α : Type u_1
MetricSpace α
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : VitaliFamily μ
x : α
s : Set α
⊢ s ∈ self.setsAt x → (interior s).Nonempty
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ aᶜ ∆ bᶜ = a ∆ b
β : Type u_1
α : Type u_2
p : α → Bool
f : β → α
l : List β
⊢ List.eraseP p (List.map f l) = List.map f (List.eraseP (p ∘ f) l)
K : Type u_1
L : Type ?u.614660
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
hpq : Associated p q
⊢ (algEquivOfAssociated hp hpq) (root p) = root q
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
x : M₂ ⊗[R] N₁
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₂) x) = 0
this : (LinearMap.rTensor N₂ f₂) ((LinearMap.lTensor M₂ g₁) x) = 0
y : M₁ ⊗[R] N₂
hy : (LinearMap.rTensor N₂ f₁) y = (LinearMap.lTensor M₂ g₁) x
⊢ (LinearMap.rTensor N₁ f₂) x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M
hf : ∀ (j : Fin b), f (natAdd a j) = 1
⊢ ∏ i : Fin (a + b), f i = ∏ i : Fin a, f (castLE ⋯ i)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (Metric.ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (Metric.ball z r) z
⊢ Set.EqOn (norm ∘ f) (Function.const E ‖f z‖) (Metric.closedBall z r)
x : ℝ
h : 0 < x
h' : 1 < x
⊢ sin x < x
n : ℕ
NeZero n
a : ZMod n
⊢ a.val < n
X : Type u_4
Y : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
x : X
s : Set X
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt (𝓝 ∘ f) s x
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
t : A
n : ℕ
hnp1 : IsUnit ↑(n + 1)!
i : ℕ
hi : i ∈ range (n + 1)
⊢ (algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * ((PowerSeries.coeff A i) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - i)) (exp A - 1)) = (aeval t) (↑((n + 1).choose i) • bernoulli i)
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : LinearIndependent S v
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
⊢ LinearIndependent R fun i => (sec (v i)).1
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
h : Finsupp.single i 1 = 0
⊢ False
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
m1 m2 m : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h1 : m1 ≤ m
h2 : m2 ≤ m
hp1 : IsPiSystem p1
hp2 : IsPiSystem p2
hpm1 : m1 = MeasurableSpace.generateFrom p1
hpm2 : m2 = MeasurableSpace.generateFrom p2
hyp : ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets p1 p2 κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep m1 m2 κ μ
α : Type u_2
β : Type u_3
t : TopologicalSpace α
Ring β
f : α → β
⊢ Continuous f
ι : Type u
f : ι → Scheme
i : ι
U : (∐ f).Opens
hU : U ≤ Scheme.Hom.opensRange (Sigma.ι f i)
x : ↑↑(f i).toPresheafedSpace
hx : (Sigma.ι f i).val.base x ∈ ↑U
h : i ≠ i
hU' : U ≤ Scheme.Hom.opensRange (Sigma.ι f i)
hy : (Sigma.ι f i).val.base x = (Sigma.ι f i).val.base x
⊢ (Sigma.ι f i).val.base x ∈ ↑⊥
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ (μ.withDensity f) univ < ⊤
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
⊢ M✶.Coindep X ↔ M.Indep X
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
x : F
hx : ¬x = 0
⊢ IsSolvable (X ^ n - 1).Gal
x : ℝ
h : x ≠ 1
⊢ HasDerivWithinAt Real.arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) (Set.Iic x) x
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x - y‖ = |‖x‖ - ‖y‖|
⊢ angle x y = 0
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec (Encodable.decode₂ α)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
R : Type u_1
Ring R
x : R
S : Subring R
⊢ x ∈ subalgebraOfSubring S ↔ x ∈ S
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
⊢ Function.Surjective ⇑Monoid.Coprod.fst
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b
⊢ multinomial {a, b} (Function.update (Function.update f a (f a).succ) b (f b).succ) = multinomial {a, b} (Function.update f a (f a).succ) + multinomial {a, b} (Function.update f b (f b).succ)
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
x✝ : ↥(X.ρ.linHom Y.ρ).invariants
⊢ (fun f => ⟨f.hom, ⋯⟩) ({ toFun := fun f => { hom := ↑f, comm := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x✝) = x✝
α : Type u
x y : FreeAddSemigroup α
⊢ (x + y).head = x.head
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
r : ℝ≥0∞
y : α
hy : infEdist y s ≤ ENNReal.ofReal δ
hxy : edist x y < r - ENNReal.ofReal δ
⊢ infEdist x s < r
θ : Real.Angle
⊢ (θ - ↑(π / 2)).sin = -θ.cos
X : AddCommMonCat
⊢ ⇑(𝟙 X) = id
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
hy₂ : y₂ = eval x₂ (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))
⊢ span {(mk W) (C (X - C x₂)), (mk W) (Y - C (C (eval x₂ (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁))) + C (X - C x₂) * C (C (-W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} = span {(mk W) (C (X - C x₂)), (mk W) (Y - C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁))}
a b : UInt32
⊢ a ≤ b ↔ a.val ≤ b.val
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
ε_pos : 0 < ε
D₀ D₁ : Set α
perf0 : Perfect D₀
sub0 : D₀ ⊆ C
hdisj : Disjoint D₀ D₁
perf1 : Perfect D₁
sub1 : D₁ ⊆ C
x₀ : α
hx₀ : x₀ ∈ D₀
x₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ D₁
perf0' : Perfect (closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀))
non0' : (closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀)).Nonempty
sub0' : closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀) ⊆ D₀
diam0 : EMetric.diam (closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀)) ≤ ε
perf1' : Perfect (closure (EMetric.ball x₁ (ε / 2) ∩ D₁))
non1' : (closure (EMetric.ball x₁ (ε / 2) ∩ D₁)).Nonempty
sub1' : closure (EMetric.ball x₁ (ε / 2) ∩ D₁) ⊆ D₁
diam1 : EMetric.diam (closure (EMetric.ball x₁ (ε / 2) ∩ D₁)) ≤ ε
⊢ Disjoint (closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀)) (closure (EMetric.ball x₁ (ε / 2) ∩ D₁))
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
⊢ X ⊆ M.E → ((∃ B, M.Base B ∧ Disjoint X B) ↔ ∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E ∧ Disjoint B X)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : DecidableEq α
l : AList fun _x => M
a : α
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ l.lookupFinsupp a = x ↔ x ∈ lookup a l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β
x✝¹ x✝ : α × β
⊢ x✝ ∈ (PFun.id α).prodMap (PFun.id β) x✝¹ ↔ x✝ ∈ PFun.id (α × β) x✝¹
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f.base
CategoryTheory.IsIso f.c
⊢ CategoryTheory.IsIso f
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
⊢ I.minimalPrimes = Ideal.comap (Ideal.Quotient.mk I) '' minimalPrimes (R ⧸ I)
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
AddCommMonoid X
DistribMulAction R X
x y : OreLocalization S X
⊢ x + y = y + x
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (o.oangle x (r • y)).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
hF : F.Final
hFG : (F ⋙ G).Final
s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv
s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv
s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv
_i : s₁.inverse ⋙ (F ⋙ G) ⋙ s₃.functor ≅ (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor := isoWhiskerLeft (s₁.inverse ⋙ F) (isoWhiskerRight s₂.unitIso (G ⋙ s₃.functor))
⊢ G.Final
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ 0 < AkraBazziRecurrence.asympBound g a b n
M : Type u_4
N : Type u_5
⊢ ∀ {x : MulOneClass M} {x_1 : MulOneClass N} (f : M →* N) (f' : M → N) (h : f' = ⇑f), ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScott α
s : Set α
⊢ ↑(lowerClosure s) ⊆ closure s
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o
⊢ μ s ≤ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
⊢ Function.Injective ⇑(dualPairing 𝕜 E)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁.ndunion s₂).lcm = lcm s₁.lcm s₂.lcm
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
⊢ l ∈ L → l <:+: L.join
b x : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
⊢ 0 ≤ Real.logb b x ↔ 1 ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p✝ : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
l : Filter β
b : ι → Set β
q : ι → Prop
hl : l.HasBasis q b
u : β → Set α
p : β → Prop
x : α
g : (i : Set β) → i ∈ l → β
hg : ∀ (i : Set β) (i_1 : i ∈ l), p (g i i_1) ∧ g i i_1 ∈ i
hg' : ∀ (i : Set β) (i_1 : i ∈ l), x ∈ u (g i i_1)
⊢ ∃ f, ∀ (i : ↑{i | q i}), x ∈ u (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ b ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ Measurable (g a)
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v : V
huv : G.Adj u v
⊢ (induce {u, v} G).Connected
n : Nat
k : Fin n
⊢ k.castSucc.rev = k.rev.succ
α : Type u
s : Set α
hs : s.Nontrivial
⊢ s.Nonempty
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b • p - b = -toIocMod hp a b
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
x : ↥I
m : ↥N
⊢ ⁅↑x, ↑m⁆ ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
⊢ ∀ (x : Perm α), x ∉ fiber none
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x₀ x₁ : α
hx : (x₀, x₁) ∈ ↑s.diag
x₂✝ : α × α
a✝ : x₂✝ ∈ ↑s.diag
h : s(x₀, x₁) = Sym2.mk x₂✝
⊢ (x₀, x₁) = x₂✝
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
SMul α β
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ s • ⋂ i, ⋂ j, t i j ⊆ ⋂ i, ⋂ j, s • t i j
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
⊢ ∀ (w : W) (i : B), (∃ a, cs.wordProd a = w) → ∃ a, cs.wordProd a = cs.simple i * w
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y
⊢ slope f x y ≤ f'
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
⊢ Tendsto (fun s => s • P.Λ₀ s - s • (1 / s) • P.f₀ - s • (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (0 • P.Λ₀ 0 - P.f₀ - 0))
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
⊢ nim o₁ + nim o₂ ‖ 0 ↔ o₁ ≠ o₂
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (Padic.mk f - ↑(↑f i)) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
CompleteSpace α
T2Space α
f : β → α
hf : Multipliable f
s : Finset β
⊢ (∏ x ∈ s, f x) * ∏' (x : { x // x ∉ s }), f ↑x = ∏' (x : β), f x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
M : Type u_5
Monoid M
MulAction M β
ContinuousConstSMul M β
c : M
hc : IsUnit c
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => c • f x) μ ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
n m l : ℕ
hml : m ≤ l
k : ℕ
hk : k ∈ Ico n m
⊢ decide (k < l) = true
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w : ReducedWord G A B
g : G
hg : of g = ReducedWord.prod φ w
⊢ w.toList = []
α : Type u
β : Type v
p : β → Prop
DecidablePred p
e : Equiv.Perm α
f : α ≃ Subtype p
⊢ e.extendDomain f = 1 ↔ e = 1
α : Type u_5
ι : Type u_6
SemilatticeInf α
OrderBot α
DecidableEq ι
l : List ι
f : ι → α
hn : l.Nodup
⊢ (↑l.toFinset).PairwiseDisjoint f ↔ List.Pairwise (Disjoint on f) l
R : Type u
EuclideanDomain R
a : R
⊢ a % a = 0
α : Type u_2
m : Type u_9
n : Type u_10
MulZeroOneClass α
DecidableEq m
DecidableEq n
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) 1 1 = 1
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
j : ι
hj : ∀ (i : ι), ¬c.Rel i j
⊢ c.prev j = j
α : Type u_1
s : Multiset (Multiset α)
⊢ Multiset.card s.Sections = (Multiset.map (⇑Multiset.card) s).prod
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
DecidableEq ι
c : ι → R
m : ι → M
s : Finset ι
⊢ f (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ s, c i) • f m
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C
⊢ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ (tensor_μ C (M.X ⊗ M.X, N.X ⊗ N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ▷ M.X ⊗ N.mul ▷ N.X)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)
n : Nat
α✝ : Type u_1
a : α✝
p : α✝ → Bool
⊢ findIdx? p (replicate n a) = if 0 < n ∧ p a = true then some 0 else none
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R
⊢ star x < 0 ↔ x < 0
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : ↑(TopCat.of { p // f p.1 = g p.2 })
⊢ (TopCat.pullbackFst f g) x = (↑x).1
α : Type u
AddGroup α
Fintype α
g : α
hx : ∀ (x : α), x ∈ AddSubgroup.zmultiples g
⊢ addOrderOf g = Fintype.card α
x y : ℝ
h : Real.tan x = y
hx : x ∈ Set.Ioo (-(Real.pi / 2)) (Real.pi / 2)
⊢ Real.arctan y = x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
ι : Type u_2
𝔸' : Type u_3
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hd : ∀ i ∈ u, DifferentiableAt 𝕜 (f i) x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => ∏ i ∈ u, f i x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α × β → StieltjesFunction
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν
x : ℝ
⊢ Measurable fun p => ↑(f p) x
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
F₁ F₁' F₂ F₂' : CategoryTheory.Functor J C
f : F₁ ⟶ F₁'
g : F₂ ⟶ F₂'
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g).app j)
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst (F₁'.obj j) (F₂'.obj j)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst (F₁.obj j) (F₂.obj j)) (f.app j)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
b : β
⊢ ‖BoundedContinuousFunction.const α b‖₊ ≤ ‖b‖₊
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a⁻¹ < b ↔ b⁻¹ < a
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : α → β
hf : Function.Bijective f
⊢ Fintype.card α = Fintype.card β
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
⊢ max ℵ₀ #K ≤ Module.rank K (ℕ → K)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
n : ℕ
kl : ℕ × ℕ
hkl : kl ∈ Finset.antidiagonal n
⊢ ((↑n !)⁻¹ * (↑n ! / (↑kl.1! * ↑kl.2!))) • (x ^ kl.1 * y ^ kl.2) = ((↑kl.1!)⁻¹ * (↑kl.2!)⁻¹) • (x ^ kl.1 * y ^ kl.2)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K
⊢ (lift i j p) (i x) = j x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ eLpNorm (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) 1 (ν a) ≤ (ν a) univ
R : Type u
Ring R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).map f = LinearMap.toAddMonoidHom f
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
m n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Icc m n)
us : ∀ i ∈ Icc m n, u i ∈ s
hmn : m ≤ n
π : ℕ → ↑(Icc m n) := projIcc m n hmn
v : ℕ → α := fun i => u ↑(π i)
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ (f a, 0) ∈ (implicitToPartialHomeomorphOfComplemented f f' hf hf' hker).target
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} V
inst✝⁷ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.23606, u_2} W
inst✝⁵ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Category.{?u.23631, u_3} W₁
inst✝³ : Category.{?u.23635, u_4} W₂
inst✝² : HasZeroMorphisms W₁
inst✝¹ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c✝
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
X✝ Y✝ : HomologicalComplex W₁ c
f : X✝ ⟶ Y✝
i j : ι
x✝ : c.Rel i j
⊢ F.map (f.f i) ≫ F.map (Y✝.d i j) = F.map (X✝.d i j) ≫ F.map (f.f j)
α : Type u_1
β : Type u_2
Lattice α
Lattice β
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
⊢ Set.uIcc a₁ a₂ ×ˢ Set.uIcc b₁ b₂ = Set.uIcc (a₁, b₁) (a₂, b₂)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s₁ s₂ : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
h : s₁ = s₂
h' : ∀ i ∈ s₁, t₁ i = t₂ i
⊢ s₁.pi t₁ = s₂.pi t₂
m : Type u_1 → Type u_2
ρ α β : Type u_1
Monad m
x : ReaderT ρ m α
y : ReaderT ρ m β
ctx : ρ
⊢ (SeqLeft.seqLeft x fun x => y).run ctx = SeqLeft.seqLeft (x.run ctx) fun x => y.run ctx
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ AEMeasurable (ν.rnDeriv (r • μ)) (r • μ)
α : Type u_2
DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
x y : α
⊢ Equiv.swap x y ∈ Subgroup.closure S ↔ x ∈ MulAction.orbit (↥(Subgroup.closure S)) y