ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤
h : ¬(↑s1 ∩ ↑s2).Nonempty
⊢ False
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : DecidableEq L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : IsDomain R
K' : Type u_4
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R K'
inst✝ : IsFractionRing R K'
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
⊢ (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)).range) ((Units.map ↑(canonicalEquiv R⁰ K (FractionRing R))) I) = mk I
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsNat e n
w : Nat.blt 1 n = true
⊢ 1 < ↑n
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
m : Type u_8
n : Type u_9
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix m n 𝕜
v : n → 𝕜
⊢ (Matrix.toEuclideanLin M) ((WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)).symm v) = (WithLp.equiv 2 (m → 𝕜)).symm (M.mulVec v)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
⊢ Submodule.map f p ≤ q ↔ p ≤ Submodule.comap f q
r x : ℝ
⊢ r * rexp (-(r * x)) = -1 * (rexp (-r * id x) * (-r * 1))
m n : ℕ
⊢ m * m < n * n ↔ m < n
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
s : Submodule R M
⊢ FiniteDimensional.finrank R (M ⧸ s) ≤ FiniteDimensional.finrank R M
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
K : ℕ∞
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun i => W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun i => W) ℝ) := (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight
I₁ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m ⇑T fun x => L v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x => L)) v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x => L)) v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A : ContDiff ℝ K fun y => T fun x => L y
⊢ ‖(-(2 * ↑π * I)) ^ n‖ * ‖iteratedFDeriv ℝ k (fun x => ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) (T fun x_1 => L x, f x).1) (T fun x_1 => L x, f x).2) v‖ ≤ (2 * π) ^ n * (2 * ↑n + 2) ^ k * ‖L‖ ^ n * C
α : Type u_1
NormedLatticeAddCommGroup α
⊢ Continuous posPart
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B✝ : Type u
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : Algebra R B✝
I✝ : Ideal B✝
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : FormallyUnramified R A
I : Ideal B
hI : IsNilpotent I
⊢ ∀ [_RB : Algebra R B], Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n m : ℕ
hc : G.Colorable n
hm : n < m
h : ∃ x, G.IsClique ↑x ∧ x.card = m
⊢ False
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A : Set α
s : ι → Set α
⊢ Subtype.val ⁻¹' ⋂ i, s i = ⋂ i, Subtype.val ⁻¹' s i
a✝ b✝ c✝ p q a b c : ℚ
⊢ c + a ≤ c + b ↔ a ≤ b
s b p : ℝ
hp : 1 < p
hb : 0 < b
⊢ (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ p)) =o[atTop] fun x => rexp (-(1 / 2) * x)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
h : e.toBasis.orientation = f.toBasis.orientation
this : 0 < e.toBasis.det ⇑f
⊢ ¬e.toBasis.det ⇑f = -1
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α : L → R
β : LieModule.Weight R L M
⊢ ⇑(LieModule.chainTop α β) = ↑(LieModule.chainTopCoeff α β) • α + ⇑β
α : Type u_1
l : List α
p : α → Bool
q : Bool
⊢ (l.any p && q) = l.any fun a => p a && q
m n val✝ : ℕ
s : m.psub n = some val✝
⊢ n ≤ m
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b c : α
H : b ∈ Set.Ioo a c
⊢ Set.Ioc a c ∈ 𝓝[≥] b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ η : Kernel α β
μ : Measure β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ map (Prod.snd ∘ Prod.mk ()) μ = μ
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0
a : Π₀ (i : ι), ↥(p i) := (mapRange.linearMap fun i => LinearMap.toSpanSingleton R ↥(p i) ⟨v i, ⋯⟩) l.toDFinsupp
ha : a = 0
⊢ l = 0
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
a b : α
⊢ s ∪ 0 = s
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝¹ : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat db) ≤ num✝.mul (Int.ofNat da)) = true
h✝ : ↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) ≤ ↑(num✝.mul (Int.ofNat da))
ha : 0 ≤ ⅟↑da
hb : 0 ≤ ⅟↑db
h : ↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) * ⅟↑db * ⅟↑da ≤ ⅟↑db * (↑(num✝.mul (Int.ofNat da)) * ⅟↑da)
⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da ≤ ↑num✝ * ⅟↑db
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ
⊢ IsZero (HomologicalComplex.sc ((ProjectiveResolution.self X).complex.linearYonedaObj R Y) (n + 1)).X₂
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
L R : C ⥤ C
adj : L ⊣ R
α : 𝟭 C ⟶ L
c : C
⊢ 𝟙 (R.obj c) ≫ (𝟙 (R.obj c) ≫ (𝟙 (R.obj c) ≫ α.app (R.obj c) ≫ 𝟙 (L.obj (R.obj c))) ≫ adj.counit.app c) ≫ 𝟙 c = α.app (R.obj c) ≫ adj.counit.app c
α : Type u
s : Set α
hs : s.Finite
t : Finset α
⊢ hs.toFinset ⊂ t ↔ s ⊂ ↑t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Sieve.generate (CategoryTheory.Presieve.ofArrows X π) = CategoryTheory.Sieve.generateFamily X π
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a₁ : α
b₂ : β
⊢ Finset.Ico (Sum.inl a₁) (Sum.inr b₂) = ∅
n x : ℕ
ih : ∀ (hx : x < n + 2), ↑((finRotate (n + 2) ^ ↑⟨x, hx⟩) 0) = ↑⟨x, hx⟩
hx : x + 1 < n + 2
⊢ (finRotate (n + 2) ^ x) 0 ≠ Fin.last (n + 1)
x y : SetTheory.PGame
r : x.Relabelling y
⊢ x ≈ y
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) + (2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆) = 2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
f : α → E
hf : ∀ (c : NormedSpace.Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᵐ[μ] 0
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
⊢ f =ᵐ[μ] 0
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
⊢ swap i j • σ = σ → (summand a b σ) v = 0
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
⊢ Localization.r S = Localization.r' S
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
U : Set α
hu : U.Nontrivial
h : IsPreconnected U
x : α
hx : x ∈ U
⊢ AccPt x (𝓟 U)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
a : α
l' : List α
⊢ l.dedup = a :: l' ↔ a ∈ l ∧ a ∉ l' ∧ l.dedup.tail = l'
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
⊢ ∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
α β : Type u_2
f : α → List β
l : List α
⊢ l >>= f = l.bind f
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
inst✝ : Fintype V
h : M.IsPerfectMatching
⊢ Even (Fintype.card V)
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
Nonempty ι
G' : ι → Type w'
(i : ι) → L.Structure (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i ↪[L] G' j
g : (i : ι) → G i ≃[L] G' i
H_commuting : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (f' i j hij) ((g i) x)
DirectedSystem G' fun i j h => ⇑(f' i j h)
i : ι
x : G i
⊢ (FirstOrder.Language.DirectLimit.equiv_lift L ι G f G' f' g H_commuting)
    ((FirstOrder.Language.DirectLimit.of L ι G f i) x) =
  (FirstOrder.Language.DirectLimit.of L ι G' f' i) ((g i) x)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
t : Finset β
⊢ edgeDensity r ∅ t = 0
M : Type u
PseudoMetricSpace M
Add M
IsometricVAdd M M
a b c : M
⊢ dist (a + b) (a + c) = dist b c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ
⊢ f (x + ↑n * c) = ↑↑n.negOnePow * f x
α : Type u_1
Fintype α
s : Set α
Fintype ↑s
DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ Finset.filter (fun x => x ∈ s) Finset.univ = s.toFinset
R : Type u
CommSemiring R
IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ Function.Injective fun I => I * Ideal.span {x}
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V
W : ℕ → Set (X × X)
hW : ∀ (n : ℕ), W n ∈ 𝓤 X
hWV : ∀ (n : ℕ), W n ○ W n ⊆ V n
hWV' : ∀ (n : ℕ), W n ⊆ V n
t : ℕ → Set X
ht_anti : Antitone t
htl : ∀ (n : ℕ), t n ∈ l
htW : ∀ (n : ℕ), t n ×ˢ t n ⊆ W n
hts : ∀ (n : ℕ), t n ⊆ s
⊢ ∃ x ∈ s, l ≤ 𝓝 x
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e : A ≃ₗc[R] B
⊢ ↑↑e = ↑↑e
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
p : Submodule R A
h_one : 1 ∈ p
h_mul : ∀ (x y : A), x ∈ p → y ∈ p → x * y ∈ p
x : A
⊢ x ∈ p.toSubalgebra h_one h_mul ↔ x ∈ p
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ ↑(s.min' hs) = s.min
α : Type u
β : Type v
S : WSeq (Computation α)
h : S.head ~> none
x✝ : (parallel S).Terminates
a : α
m : a ∈ parallel S
c : Computation α
cs : c ∈ S
right✝ : a ∈ c
n : ℕ
nm : some c ∈ S.get? n
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ μ.rnDeriv (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)) =ᶠ[ae (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ))] μ.rnDeriv (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ) + ν.singularPart μ)
x : ℝ
p : ℤ[X]
hx : Irrational x
p_nonzero : p ≠ 0
x_is_root : (aeval x) p = 0
⊢ 1 < p.natDegree
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K
this : Continuous eval
⊢ chaar K₀ (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = chaar K₀ K
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Cat} (F : X ⟶ Y) (Δ : SimplexCategoryᵒᵖ)
  (a : CategoryTheory.ComposableArrows (↑X) (Opposite.unop Δ).len),
  (CategoryTheory.nerveFunctor.map F).app Δ a =
    (CategoryTheory.Functor.mapComposableArrows F (Opposite.unop Δ).len).obj a
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
⊢ EMetric.hausdorffEdist (closure s) (closure t) = EMetric.hausdorffEdist s t
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
key : 16 ^ P.parts.card = ↑((chunk hP G ε hU).parts ×ˢ (chunk hP G ε hV).parts).card
⊢ ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / ↑((chunk hP G ε hU).parts ×ˢ (chunk hP G ε hV).parts).card) ^ 2 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) / ↑((chunk hP G ε hU).parts ×ˢ (chunk hP G ε hV).parts).card
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ W.Ψ (-n) = -W.Ψ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (x : γ) in A, κ.densityProcess ν m a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : IsIso a
l : X ⟶ (IsPullback.cone h).pt
h₁ : l = inv a
h₂ : (IsPullback.cone h).snd = a
Z : C
l' : Z ⟶ (IsPullback.cone h).pt
e : (l' ≫ (IsPullback.cone h).fst) ≫ f = (l' ≫ (IsPullback.cone h).snd) ≫ f
⊢ l' ≫ (IsPullback.cone h).fst = l' ≫ (IsPullback.cone h).snd
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
⊢ ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1
z w : ℂ
h : z = 0 → w.re = 0 → w = 0
⊢ Complex.abs (z ^ w) = Complex.abs z ^ w.re / rexp (z.arg * w.im)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
⊢ (fun a => ↑(stieltjesOfMeasurableRat (fun p r => (preCDF ρ r p.2).toReal) ⋯ ((), a)) ↑r) =ᶠ[ae ρ.fst] fun a => (preCDF ρ r a).toReal
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
⊢ trop (inf 0) = (map trop 0).sum
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
φ : F₁ ⟶ F₂
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ ↔
  ∀ ⦃X : Cᵒᵖ⦄ (x y : (CategoryTheory.forget D).obj (F₁.obj X)),
    CategoryTheory.Presheaf.equalizerSieve ((φ.app X) x) ((φ.app X) y) ∈ J.sieves (Opposite.unop X) →
      CategoryTheory.Presheaf.equalizerSieve x y ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
⊢ TorusIntegrable f c 0
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
y : N
⊢ y ∈ f.range ↔ ∃ x, f x = y
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : ↥q
⊢ (p.prodEquivOfIsCompl q h).symm ↑x = (0, x)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
⊢ (fun t => f₀ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f₁ (x + t • v)
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Set E
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hz : ∀ i ∈ t, z i ∈ s
⊢ ∑ i ∈ t, w i • z i ∈ s
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 0 μ)
⊢ ‖f‖ = 0
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
l : List α
H : ∀ (x : α), x ∉ Quot.mk Setoid.r l
⊢ Quot.mk Setoid.r [] = 0
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y v₁ v₂ : M
h : SameRay R x y
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ r, 0 ≤ r ∧ r • x = y
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
n : ℕ
a : α
i : Fin (n + 1)
m : Sym α (n - ↑i)
h : m ∈ s.sym (n - ↑i)
⊢ Sym.fill a i m ∈ (insert a s).sym n
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ (∃ x, (∀ t ∈ compl '' x, IsOpen t) ∧ (∀ t ∈ compl '' x, Dense t) ∧ (compl '' x).Countable ∧ ⋂₀ (compl '' x) ⊆ sᶜ) ↔ ∃ S, (∀ t ∈ S, IsNowhereDense t) ∧ S.Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ S
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ ((Γ₀.splitting K[X]).ι n ≫ (Γ₀.splitting K[X]).desc (op [n]) fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) = (Γ₀.splitting K[X]).ι n ≫ ((Γ₀.splitting K[X]).desc (op [n]) fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ ((Γ₀.splitting K[X]).cofan (op [n])).inj A) ≫ ((Γ₀.splitting K[X]).desc (op [n]) fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) ≫ 𝟙 (X _[n])
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ ↑↑(↑U).toPresheafedSpace = ↑↑U
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r
⊢ ↑(b / r) + ⌈(↑(b % r) - ↑(v % r)) / ↑r⌉ = ↑(b / r) + ↑(if v % r < b % r then 1 else 0)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
E : Set α
⊢ 0 < EMetric.infEdist x E ↔ x ∉ closure E
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ N.X ◁ f.hom ≫ (α_ M.X N.X P'.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft)
ι : Type u_1
α : Type u_3
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a : α
hf : HasSum f a
⊢ IsLUB (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, f i) a
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : Set α
ht : IsUpperSet t
⊢ IsUpperSet (s + t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x
⊢ mapRange (f ∘ fun x => c • x) ?h v = c • mapRange f hf v
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
h : some a ∈ Computation.map (fun x => Prod.fst <$> x) s.tail.destruct
⊢ ∃ a', some a' ∈ s.head
α : Type u_1
n : Nat
res : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α
s : Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode α
⊢ (Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode.toHeap.go s n res).realSize = s.realSize + res.realSize
C : Type u
X : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
⊢ ⟦CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.Hom.l_hom X⟧ = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom
α : Type u_1
Inv α
a : α
⊢ OrderDual.toDual a⁻¹ = (OrderDual.toDual a)⁻¹
α : Type u_1
LinearOrder α
x y : α
h : x = y
⊢ cmp y x = Ordering.eq
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
x : β
hx : x ∈ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
l : Filter α
x : α
⊢ ∀ᶠ (a : α) in cocardinal α hreg, a ≠ x
T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
x : ℝ
this : Bijective (codRestrict (fun n => n • T) ↑(zmultiples T) ⋯)
⊢ ∃! x_1, codRestrict (fun n => n • T) ↑(zmultiples T) ⋯ x_1 +ᵥ x ∈ Ioc t (t + T)
R : Type u
A : Type v
CommRing R
NonUnitalRing A
Module R A
Star A
⊢ Function.Injective NonUnitalStarSubalgebra.toNonUnitalSubring
S : ShortComplex Ab
x : ↑S.X₁
⊢ ∃ x_1, S.abToCycles x_1 = ((AddCommGrp.kernelIsLimit S.g).lift (Limits.KernelFork.ofι S.f ⋯)) x
σ : Type u_1
τ✝ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
τ : Type u_6
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), constantCoeff ((rename f) p) = constantCoeff p → constantCoeff ((rename f) (p * X n)) = constantCoeff (p * X n)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C D
e : F₁ ≅ F₂
F₁.CommShift ℤ
F₂.CommShift ℤ
CategoryTheory.NatTrans.CommShift e.hom ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Functor.mapTriangleIso e).inv.app X).hom₁ = e.inv.app X.obj₁
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalCommSemiring α
Fintype n
A : Matrix m n α
x : n → α
⊢ x ᵥ* Aᵀ = A *ᵥ x
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b : Ordinal.{u}
h : a ≤ b
⊢ ∀ a_1 < a, ∃ b_1 < b, f (lfpApprox f x b_1) = f (lfpApprox f x a_1)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : CategoryTheory.CategoryStruct.id a ≅ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
ε : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f ≅ CategoryTheory.CategoryStruct.id b
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.leftZigzagIso η ε).inv = CategoryTheory.Bicategory.rightZigzag ε.inv η.inv
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x : α
DecidableRel f.SameCycle
DecidableEq α
Fintype α
⊢ (f.cycleOf x).support = ∅ ↔ x ∉ f.support
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : 2 < ‖a.c i‖
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
A : a.r i ≤ ‖a.c i‖
⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / ‖a.c i‖) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
H : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y
⊢ ∃ k, Partrec k ∧ ∀ (a : α) (x : σ), x ∈ k a ↔ x ∈ f a ∨ x ∈ g a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
a₁ a₂ : α
⊢ (a₁, a₂).1 ∈ s ∧ (a₁, a₂).1 = (a₁, a₂).2 ↔ (a₁, a₂) ∈ image (fun a => (a, a)) s
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c a b : G
⊢ a * b⁻¹ * b = a
α : Type u
l₁ l₂ : List α
a : α
h : (a :: l₁).Sublist (a :: l₂)
⊢ l₁.Sublist l₂