ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
f : α ↪ α'
l : α →₀ R
⊢ (Finsupp.total α' M' R v') (embDomain f l) = (Finsupp.total α M' R (v' ∘ ⇑f)) l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
q : ι → Prop
hq : ∀ (i : ι), p i → ∃ j, p j ∧ q j ∧ s j ⊆ s i
t : Set α
ht : t ∈ l
i : ι
hpi : p i
hti : s i ⊆ t
⊢ ∃ i, (p i ∧ q i) ∧ s i ⊆ t
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
f g : X → R
s : Set X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
hg : ContinuousOn g s
hs : IsOpen s
⊢ LocallyIntegrableOn (fun x => g x * f x) s μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Mul α
Mul β
Mul γ
f : α →ₙ* β
g : β →ₙ* γ
x : WithOne α
⊢ (WithOne.map g) ((WithOne.map f) x) = (WithOne.map (g.comp f)) x
α : Type u_1
r s : Setoid α
⊢ r ⊔ s = EqvGen.Setoid fun x y => r.Rel x y ∨ s.Rel x y
Ω : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : Set Ω
h_indep : ProbabilityTheory.IndepSet t t μ
⊢ μ t = 0 ∨ μ t = 1 ∨ μ t = ⊤
n : ℕ
⊢ ∑ m ∈ filter (fun x => x ∣ n) (range n.succ), φ m = n
o : Ordinal.{v}
⊢ (Ordinal.lift.{u, v} o).IsLimit ↔ o.IsLimit
s n : Nat
⊢ [s + n].reverse ++ (range' s n).reverse = (s + n - 0) :: map ((fun x => s + n - x) ∘ succ) (range n)
α : Type u_2
X : Set α
e : α
M : Matroid α
heX : e ∈ X
h : e ∈ M.E := by aesop_mat
⊢ e ∈ M.closure X
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
a c : K
p : ℕ
pn : p > n
pp : Nat.Prime p
h : ⌈|a|⌉.natAbs * ⌈|c|⌉.natAbs ^ p < (p - 1)!
⊢ ∃ p > n, Nat.Prime p ∧ a * c ^ p < ↑(p - 1)!
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
LinearOrderedAddCommMonoid M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
hi : ¬v.restrict i ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i
⊢ ∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ 0 < ↑v j
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
α : ι → Type u_7
Fintype ι
DecidableEq ι
g' : (i : ι) → α i → M
A : (i : ι) → Finset (α i)
⊢ (f fun i => ∑ j ∈ A i, g' i j) = ∑ r ∈ Fintype.piFinset A, f fun i => g' i (r i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
r : ℝ
hr : |r| < 1
h0 : ¬r = 0
hr' : 1 < |r|⁻¹
⊢ Tendsto (fun x => ‖↑x ^ k * r ^ x‖) atTop (𝓝 0)
n : Nat
⊢ Int.negOfNat n = Int.subNatNat 0 n
R : Type u_4
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
⊢ (↑f).toEquiv = (↑f).toEquiv
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
Finite R
⊢ IsUnit ↑p ↔ ¬p ∣ ringChar R
α : Type u
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ s.tail.get n = s.get (n + 1)
p : Prop
q : p → Prop
h : p
⊢ (∃ h', q h') ↔ q h
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ G.edist u v = G.edist v u
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
Fintype ι
E' : ι → Type u_2
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
φ : 𝕜 → (i : ι) → E' i
φ' : (i : ι) → E' i
⊢ HasDerivWithinAt φ φ' s x ↔ ∀ (i : ι), HasDerivWithinAt (fun x => φ x i) (φ' i) s x
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
a : ℝ≥0
ha : a < x
⊢ a ≤ y
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype K
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Fintype σ
inst✝³ : DecidableEq σ
inst✝² : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : Fintype ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i : ι, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
⊢ p ∣ Fintype.card { x // ∀ (i : ι), (eval x) (f i) = 0 }
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
⊢ (e.oadd n a).NF → e.NF
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : Odd n
⊢ 1 + n / 2 * 2 = n
R S : Type u
M✝ : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η✝ : Type u₁'
φ : η✝ → Type u_1
inst✝¹⁷ : Ring R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R M✝
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : Module.Free R M✝
inst✝⁷ : (i : η✝) → AddCommGroup (φ i)
inst✝⁶ : (i : η✝) → Module R (φ i)
inst✝⁵ : ∀ (i : η✝), Module.Free R (φ i)
inst✝⁴ : Fintype η✝
M η : Type u
inst✝³ : Fintype η
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Free R M
⊢ Module.rank R (η → M) = ↑(Fintype.card η) * Module.rank R M
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.op.LeftFraction (Opposite.op Y) (Opposite.op X)
eq : f.op = φ.map L.op ⋯
⊢ φ.map L.op ⋯ = φ.unop.op.map L.op ⋯
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
x : R
⊢ x ∈ I.leadingCoeff ↔ ∃ p ∈ I, p.leadingCoeff = x
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
a b : E
⊢ edist a b = ↑‖a / b‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalCommRing α
a✝ b✝ c k a b x y : α
hab : k ∣ a - b
hxy : k ∣ x - y
⊢ a * x - b * y = a * (x - y) + (a - b) * y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b✝ : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
v : V
b : AffineBasis ι k P
p : P
⊢ (b.basisOf i).repr (p -ᵥ (v +ᵥ b i)) = (b.basisOf i).repr (-v +ᵥ p -ᵥ b i)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
s : List A
⊢ φ s.prod = (List.map (⇑φ) s).prod
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq : ∀ (i j : ι), IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n
⊢ ∃ a' h' iDh', U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧ (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧ ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s = const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯
a b c : Int
h : a ≤ b + c
⊢ -c + a ≤ b
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
hs : t = TopologicalSpace.generateFrom s
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s})
T : ℝ
x : C(AddCircle T, ℂ)
hx : x ∈ ↑(Submonoid.closure (range fourier))
⊢ x ∈ range fourier
m n✝ n : ℕ
a : ℤ
inst✝ : NeZero n
⊢ ↑(↑a).val = a % ↑n
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
b c : α
⊢ gcd (0 * b) (0 * c) = normalize 0 * gcd b c
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s u : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ
hu : IsOpen u
hx : x ∈ u
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f (s ∩ u) x = iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hfg : Function.LeftInverse g f
⊢ Function.RightInverse (Filter.comap g) (Filter.comap f)
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
DecidableEq α
⊢ ({a} ∩ s).card ≤ 1
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
m : Fin n
h : i ≤ m.castSucc
⊢ (finSuccEquiv' i).symm (some m) = m.succ
n : ℤ
c w : ℂ
R : ℝ
hn : n < 0
hw : w ∈ Metric.sphere c |R|
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w) ^ n) = 0
α : Type u
f : α → α
x : α
hf : Function.IsFixedPt f x
⊢ f x = x
α : Type u_7
β : Type u_8
Add α
Mul α
Add β
Mul β
f : α ≃+* β
⊢ ∀ (a : αᵐᵒᵖ), (RingEquiv.op f) a = MulOpposite.op (f (MulOpposite.unop a))
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
α : Sort u_2
⊢ ⨅ x, 0 = 0
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : ↥(⨆ i ∈ s, p i)
x : M
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, p i
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ p i ≤ ⨆ i ∈ s, p i
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Set.Ioc a (a + p)
⊢ AddCircle.liftIoc p a f ↑x = f x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
ε : C ≌ D
h : IsIdempotentComplete C
X' : D
p : X' ⟶ X'
hp : p ≫ p = p
φ : (𝟭 D).obj X' ≅ (ε.inverse ⋙ ε.functor).obj X' := ε.counitIso.symm.app X'
Y : C
i : Y ⟶ ε.inverse.obj X'
e : ε.inverse.obj X' ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = ε.inverse.map p
⊢ ε.functor.map i ≫ ε.functor.map e = 𝟙 (ε.functor.obj Y) ∧ ε.functor.map e ≫ ε.functor.map i = φ.inv ≫ p ≫ φ.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
AddGroup α
h : Function.Periodic f c
n : ℕ
⊢ f (x - n • c) = f x
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
x : X
F : Filter ι
u : ι → X
⊢ (∀ {p : X → Prop}, (∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x) → ∃ᶠ (a : ι) in F, p (u a)) ↔ ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ᶠ (a : ι) in F, u a ∈ s
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (⇑f)^[n] x = x + ↑n * ↑m ↔ f x = x + ↑m
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℂ n f x
⊢ ContDiffAt ℂ n (fun x => Complex.cosh (f x)) x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
A B : LinearOrder α
A_le A_lt : α → α → Prop
le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝¹ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b
A_min A_max : α → α → α
A_compare : α → α → Ordering
le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a
A_decidableLE : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
A_decidableEq : DecidableEq α
A_decidableLT : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
A_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b
A_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a
A_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b
B_min B_max : α → α → α
B_compare : α → α → Ordering
le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b
le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a
B_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b
B_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a
B_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b
this : A_min = B_min
⊢ mk le_total✝¹ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT A_min_def A_max_def A_compare_canonical = mk le_total✝ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT B_min_def B_max_def B_compare_canonical
α : Type u
s t : Set α
⊢ (s ∪ t) ∩ s = s
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
F : Type u_5
FunLike F α β
RelHomClass F r s
f : F
IsIrrefl β s
⊢ IsIrrefl α r
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
IsSemisimpleModule R M
⊢ Module.End.IsSemisimple LinearMap.id
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i
⊢ Function.update f i '' Set.Icc a (f i) = Set.Icc (Function.update f i a) f
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : Nonempty (α ≃ β)
g : α ≃ β
⊢ Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ)
a b : UInt16
⊢ (a % b).toNat = a.toNat % b.toNat
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
Semiring B
StarRing B
Algebra R B
StarModule R B
S : StarSubalgebra R A
f : A →⋆ₐ[R] B
⊢ (StarSubalgebra.map f S).toSubalgebra = Subalgebra.map f.toAlgHom S.toSubalgebra
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
L : List R[X]
hd : R[X]
tl : List R[X]
ih : 0 ∉ tl → tl.prod.roots = (↑tl).bind roots
H : ¬0 = hd ∧ 0 ∉ tl
⊢ (hd :: tl).prod.roots = (↑(hd :: tl)).bind roots
R : Type v
NonAssocSemiring R
StarRing R
S : StarSubsemiring R
s : Set R
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
⊢ volume (convexBodySum K B) = ↑(convexBodySumFactor K) * ENNReal.ofReal B ^ finrank ℚ K
n a b : ℕ
c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ c + a ≡ c + b [MOD n]
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
m : β → α
hm : UniformInducing m
dense : DenseRange m
h : ∀ (f : Filter β), Cauchy f → ∃ x, Filter.map m f ≤ 𝓝 x
⊢ CompleteSpace α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
f : α → β
a : α
b : β
h : ¬∃ a ∈ s, f a = b
⊢ invFunOn f s b = Classical.choice inst✝
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
TopologicalSpace β
LinearOrderedCommRing β
OrderTopology β
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f ↔ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l (fun a => |k a|) fun a => |f a|
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
q : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
q_zero : q ≠ 0
q_top : q ≠ ⊤
h : Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ
⊢ Memℒp (fun x => ‖f x‖) p μ
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
h : ¬gcd x y = 0
r : R
hr : x = gcd x y * r
s : R
hs : y = gcd x y * s
⊢ gcd x y * (x * y / gcd x y) = x * y
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
a b : ℕ+
⊢ ↑(a.gcdA' b) = ↑(a.gcdW b) + a.gcdX b
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s✝ t✝ : Set X
x y : X
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Finite
s : Set X
t : ι → Set X
⊢ IsMetricSeparated s (⋃ i ∈ I, t i) ↔ ∀ i ∈ I, IsMetricSeparated s (t i)
R : Type u
Ring R
B : RingFilterBasis R
x₀ : R
U : Set R
hU : U ∈ B
⊢ ∃ V ∈ B, V ⊆ (fun x => x * x₀) ⁻¹' U
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n m : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hm : n ∣ m
NeZero m
⊢ (DirichletCharacter.changeLevel hm) χ = 1 ↔ χ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ Set.SurjOn f s ∅
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ x +ᵥ Metric.ball 0 δ = Metric.ball x δ
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
g' : Z ⟶ W
inst✝² : HasPushout f g
inst✝¹ : HasPushout (pushout.inr f g) g'
inst✝ : HasPushout f (g ≫ g')
⊢ pushout.inr f g ≫ pushout.inl (pushout.inr f g) g' ≫ (pushoutLeftPushoutInrIso f g g').hom = g' ≫ pushout.inr f (g ≫ g')
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (shiftFunctorZero C A).hom.app X ≫ f ≫ (shiftFunctorZero C A).inv.app Y = (shiftFunctor C 0).map f
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0
⊢ ↑(p.num * q.num) / ↑(p.den * q.den) = ↑p.num * ↑q.num / (↑p.den * ↑q.den)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
V : (TopologicalSpace.Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
s t : ↑((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).val.obj V)
x : ↥(Opposite.unop V)
⊢ ↑(s - t) x = ↑s x - ↑t x
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (sFiniteSeq 0 n) s = 0 s
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
⊢ (unop ((Foldl.ofFreeMonoid (flip cons)) (foldMap FreeMonoid.of xs)) []).reverse = toList xs
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x : L
⊢ ⁅x, LieModule.traceForm R L M⁆ = 0
⊢ RingHom.HoldsForLocalizationAway @RingHom.FiniteType
X : Type u
Y : Type v
PartialOrder X
PartialOrder Y
e : X ≌ Y
x : X
⊢ e.toOrderIso x = e.functor.obj x
m n k : ℕ
h : m % k = n % k
⊢ (m - n) % k = 0
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : SFinite ν
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
t : G
⊢ ‖∫ (x : G), ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ∂μ‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ∫ (x : G), ‖g (x - t)‖ ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
g : β → ℝ≥0∞
t : Set β
⊢ (∫⁻ (b : β) in t, g b ∂if a ∈ s then κ a else η a) = if a ∈ s then ∫⁻ (b : β) in t, g b ∂κ a else ∫⁻ (b : β) in t, g b ∂η a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 s2 : WSeq α
t1 t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1 t1
h2 : LiftRel R s2 t2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s✝ t✝
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t
a : Option (α × WSeq α)
b : Option (β × WSeq β)
⊢ LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) a b
α : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α
n : ℕ
⊢ ⋃₀ MeasurableSpace.countablePartition α n = Set.univ
G : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G
Sub G
m : MeasurableSpace α
f g : α → G
MeasurableSub₂ G
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable (f - g)
x✝¹ x✝ : ℝ
k : ℤ
h : 2 * (x✝¹ + x✝) - π = 2 * π * ↑k
⊢ (↑x✝).tan = (↑x✝¹).tan⁻¹
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
p : α → Prop
Applicative m
LawfulApplicative m
x : m α
h : ∀ (a : α), p a
⊢ SatisfiesM p x
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
X : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Functor B C) {X_2 Y : CategoryTheory.Functor B D} (g : X_2 ⟶ Y) (X_3 : B),
  ((((CategoryTheory.whiskeringRight₂ B C D E).obj X).obj X_1).map g).app X_3 = (X.obj (X_1.obj X_3)).map (g.app X_3)
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
x : X
g : G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 g
this : (fun x_1 => x_1 • x) = (fun x_1 => x_1 • g • x) ∘ fun x => x * g⁻¹
⊢ (fun x => x * g⁻¹) '' U • {g • x} ∈ 𝓝 (g • x)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → β
⊢ (List.map f l).enum = List.map (Prod.map id f) l.enum
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ ↑f.opensRange = Set.range ⇑f.val.base
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
hk : 0 ∉ A
⊢ schnirelmannDensity A ≤ 1 - (↑0)⁻¹
T a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
⊢ fourierCoeffOn hab f n = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((fourier (-n)) ↑a * (f b - f a) - ↑(b - a) * fourierCoeffOn hab f' n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
K : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
hs : s ∈ K.faces
ht : t ∈ K.faces
⊢ Disjoint ((convexHull 𝕜) ↑s) ((convexHull 𝕜) ↑t) ∨
  ∃ u ∈ K.faces, (convexHull 𝕜) ↑s ∩ (convexHull 𝕜) ↑t = (convexHull 𝕜) ↑u
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C (Type w)
τ₁ : F₁ ⟶ F
τ₂ : F₂ ⟶ F
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.FunctorToTypes.coprod.inl
    (CategoryTheory.FunctorToTypes.coprod.desc τ₁ τ₂) =
  τ₁
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P x = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P y
x y : P.M α
r : R x y
⊢ x = y
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : o ≠ 0
hbo : b ≤ o
⊢ Ordinal.log b (o % b ^ Ordinal.log b o) < Ordinal.log b o
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
hI : IsSolvable R ↥↑I
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
⊢ sInf s = 0 ↔ I = ⊥
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
f : G →* N
s : Set N
x : G
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
⊢ f x ∈ closure s
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a✝ : Nontrivial α
⊢ factors 1 = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ (∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g⁻¹ • (g • s ∩ t)))) ↔ ∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g • s ∩ t))
a b : ℝ
nb ne : ℕ
pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : IsInt (a ^ Int.negOfNat nb) (Int.negOfNat ne)
⊢ IsInt (a ^ b) (Int.negOfNat ne)
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddAction α β
x : β
g : α
g' : α ⧸ AddAction.stabilizer α x
⊢ AddAction.ofQuotientStabilizer α x (g +ᵥ g') = g +ᵥ AddAction.ofQuotientStabilizer α x g'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
p : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P R
φ : P ⟶ Q
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R f
⊢ p.map φ f hf = φ.app (Opposite.op Y) (p f hf)