ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
t : Set H
f : H → H'
hts : s ∈ 𝓝[t] x
h : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
⊢ ↑I.symm ⁻¹' s ∈ 𝓝[↑I.symm ⁻¹' t ∩ range ↑I] ↑I x
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
x y : α
h : ‖x ⊔ y - 0 ⊔ 0‖ ≤ ‖x - 0‖ + ‖y - 0‖
⊢ ‖x ⊔ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : 1 < finrank ℚ K
x : 𝓞 K
h_nz : x ≠ 0
h_nm : 1 ≤ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x|
h_bd : ↑(finrank ℚ K) ^ (finrank ℚ K * 2) / ((4 / π) ^ (NrComplexPlaces K * 2) * ↑(finrank ℚ K).factorial ^ 2) ≤ ↑|discr K|
⊢ 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K ≤ ↑(finrank ℚ K) ^ (finrank ℚ K * 2) / ((4 / π) ^ (NrComplexPlaces K * 2) * ↑(finrank ℚ K).factorial ^ 2)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
Q : AffineSubspace k P
⊢ Q = ⊥ ∨ (↑Q).Nonempty
X : TopCat
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
Y : TopologicalSpace.Opens ↑X
hY : Y = iSup U
V : TopCat.Presheaf.SheafCondition.OpensLeCover U
⊢ ((TopCat.Presheaf.generateEquivalenceOpensLe_inverse' U hY).obj V).obj.hom = CategoryTheory.homOfLE ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NegZeroClass β
h : Antiperiodic f c
hi : f 0 = 0
⊢ f (↑0 * c) = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ₁ χ₂ : MulChar R R'
a : Rˣ
⊢ ↑((equivToUnitHom (χ₁ * χ₂)) a) = ↑((equivToUnitHom χ₁) a) * ↑((equivToUnitHom χ₂) a)
R : Type u_3
StrictOrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
⊢ a ^ m < a ^ n ↔ n < m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
h : ∀ (b : ι), MeasurableSet (f b)
⊢ MeasurableSet (⋂ b, f b)ᶜ
F✝¹ : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p : K[X]
F✝ : IntermediateField K L
x : L
int : IsIntegral K x
F : IntermediateField K L
h : Splits (algebraMap K ↥F) (minpoly K x)
⊢ x ∈ F
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl K
c d : V
x✝ : c ∈ C
dnK : d ∉ K
cd : G.Adj c d
cnK : c ∉ K
h : G.componentComplMk cnK = C
⊢ (induce Kᶜ G).Reachable ⟨d, dnK⟩ ⟨c, cnK⟩
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι R M
Q : QuadraticMap R M N
w : ι → R
⊢ (Q.basisRepr v) w = Q (v.equivFun.symm w)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
c : F
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => c - f x) (-f') x
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
s : l₁ <+ l₂
⊢ filterMap f l₁ <+ filterMap f l₂
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
⊢ limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : s > 0
⊢ log (1 + s) * p < log (1 + p * s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
g : MeasureTheory.SimpleFunc α γ
b : β
c : γ
⊢ ↑(f.pair g) ⁻¹' {(b, c)} = ↑f ⁻¹' {b} ∩ ↑g ⁻¹' {c}
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : { p // p ∣ I }
⊢ ↑((idealFactorsFunOfQuotHom hf) X) =
  Ideal.comap (Ideal.Quotient.mk J) (Ideal.map f (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X))
α : Type u_4
β : Type u_5
_F : Fintype α
_G : Fintype β
⊢ Fintype.card α = Fintype.card β ↔ Nonempty (α ≃ β)
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ (filter p univ).card = (if p 0 then 1 else 0) + (filter (p ∘ succ) univ).card
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∑ x : α, 0 = 0
i : α
x✝ : i ∈ univ
this : 0 < b i
⊢ -1 < b i
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
⊢ Sbtw R x y z ↔ Sbtw R z y x
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
⊢ ↑?m.44242 ≤ ↑b.natDegree + log ε / log ↑(Fintype.card Fq)
M : Type u_1
Add M
r : M → M → Prop
⊢ addConGen r = sInf {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y}
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E
h : f₁ =O[l] g
hf : ∀ (x : α), f₁ x = f₂ x
⊢ f₂ =O[l] g
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
⊢ Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = minpoly E x
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hp : Fact (1 ≤ p)
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ dist (lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) (lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g) = dist f g
n : ℕ
⊢ Squarefree ↑n ↔ Squarefree n
p x : ℝ
m : ℤ
h : LiouvilleWith p x
hm : m ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (↑m * x)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X
⊢ Disjoint (cocompact X) f ↔ ∃ K ∈ f, IsCompact K
F : Type u_1
AddCommGroup F
Module ℝ F
TopologicalSpace F
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
s : Set F
h : AmpleSet s
L : E ≃ᵃL[ℝ] F
⊢ AmpleSet (⇑L ⁻¹' s)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ Tendsto (fun A => ∫ (x : α), truncation f A x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f μ
hμt : μ univ = ⊤
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
f : R[X]
⊢ Polynomial.derivative ((Polynomial.expand R p) f) =
  (Polynomial.expand R p) (Polynomial.derivative f) * (↑p * Polynomial.X ^ (p - 1))
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : Set (Set E)
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X
h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : ↑I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Set (Set E)
left✝ : ↑I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.encard = ↑(finrank 𝕜 E) + 1
hJ_fin : Fintype ↑J
J' : Finset (Set E) := J.toFinset
⊢ (⋂₀ ↑J.toFinset).Nonempty
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
⊢ y ∈ f '' closedBall b ε
α : Type u_1
a y : α
l : List α
h₁ : a ≠ y
h₂ : a ∈ y :: l
⊢ a ∈ l
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
a : R
n : ℕ
⊢ derivative (C a * X ^ n) = C (a * ↑n) * X ^ (n - 1)
α : Type u
L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
⊢ L₁ ++ (x1, b1) :: (x1, !b1) :: L₂ = L₃ ++ (x2, b2) :: (x2, !b2) :: L₄ →
  L₁ ++ L₂ = L₃ ++ L₄ ∨ ∃ L₅, FreeAddGroup.Red.Step (L₁ ++ L₂) L₅ ∧ FreeAddGroup.Red.Step (L₃ ++ L₄) L₅
M : Type u
AddMonoid M
N : Type u'
AddMonoid N
F : M →+ N
X : CategoryTheory.Discrete M
⊢ ((CategoryTheory.Discrete.addMonoidalFunctor F).obj X).as = F X.as
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
⊢ (a == a) = true
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
A B : C
inst✝ : MonoCoprod C
c : BinaryCofan A B
hc : IsColimit c
⊢ Mono c.inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
e : ι₂ ↪ ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P
⊢ ((map e s₂).weightedVSubOfPoint p b) w = (s₂.weightedVSubOfPoint (p ∘ ⇑e) b) (w ∘ ⇑e)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
hg : ContinuousOn g (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
⊢ cfc (fun x => f x * g x) a = cfc f a * cfc g a
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
CoalgebraStruct R A
a : A
⊢ (BialgHom.id R A) a = a
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 4 = 1
hb : b % 2 = 1
hr : jacobiSymNat b a = r
⊢ jacobiSymNat a b = r
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
CompactSpace α
⊢ Filter.Tendsto F p (𝓝 f) ↔ TendstoUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p
a : Int
h : 0 < a
⊢ a.sign = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h.IsPreservedBy F
(S.map F).HasHomology
⊢ (S.map F).Exact ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero (F.obj h.H)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h3 : (Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹).IsThreeCycle
h : ⟨finRotate 5, ⋯⟩ ∈ normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩}
⊢ ⟨Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹, ⋯⟩ ∈ normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩}
ι : Type u_1
I J✝ J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J
πi' : Box ι → (J : Box ι) → Prepartition J
J : Box ι
⊢ (∃ J' ∈ π, ∃ J'_1 ∈ πi J', J ∈ πi' J' J'_1) ↔ ∃ J', (∃ J'_1 ∈ π, J' ∈ πi J'_1) ∧ J ∈ πi' (π.biUnionIndex πi J') J'
R : Type u
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type ?u.116938
inst✝¹³ : Semiring S
inst✝¹² : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁴ : Module R M₁'
inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
i : ι₁
x : M₁ i
y : M₂'
⊢ (((mk R (M₁ i) M₂').compr₂ (lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i)) x) y = (lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i) (x ⊗ₜ[R] y)
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
f : E → F
K : ℝ≥0
h : AntilipschitzWith K f
hf : f 0 = 0
x : E
⊢ ‖x‖₊ ≤ K * ‖f x‖₊
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
self : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans F G
a : B
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.naturality (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (self.app a) (G.mapId a)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapId a) (self.app a))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (self.app a)).hom
      (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (self.app a)).inv)
α : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace A₂
inst✝² : Semiring A₂
inst✝¹ : Algebra R A₂
inst✝ : TopologicalSemiring A₂
k : R
a : α
⊢ ((algebraMap R C(α, A)) k) a = k • 1
α : Type u
β : Type v
g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
⊢ Filter.comap m (g₁ ⊔ g₂) = Filter.comap m g₁ ⊔ Filter.comap m g₂
X : Type u
Y : Type v
Preorder X
Preorder Y
e : X ≃o Y
⊢ e.equivalence.inverse = ⋯.functor
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ
t : ℕ → Set ℝ
ht : s ⊆ ⋃ i, t i
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), f.outer t ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (t i) + ↑ε
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = |a|⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s / ↑a - 1) • f t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r✝ p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
inst✝¹ : Nonempty ι
f : α → ι
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsEquiv ι r
⊢ ∅.Pairwise (r on f) ↔ ∃ z, ∀ x ∈ ∅, r (f x) z
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
ϕ : p.Gal
hϕ : (galActionHom p E) ϕ = 1
x : p.SplittingField
hx : x ∈ p.rootSet p.SplittingField
key : (rootsEquivRoots p E) (ϕ • (rootsEquivRoots p E).symm ((rootsEquivRoots p E) ⟨x, hx⟩)) = (rootsEquivRoots p E) ⟨x, hx⟩
⊢ ϕ x = 1 x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ⊔ b ⇨ a ⇔ b = a ⇔ b
a : SetTheory.PGame
⊢ (1 + a).birthday = Order.succ a.birthday
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : TensorProduct R M N →ₗ[R] P
⊢ TensorProduct.lift ((TensorProduct.mk R M N).compr₂ f) = f
K : Type u_1
Field K
x y : K
hx : x ∈ integralClosure ℤ K
hy : y ∈ integralClosure ℤ K
⊢ ⟨x, hx⟩ * ⟨y, hy⟩ = ⟨x * y, ⋯⟩
α : Type u_1
CompleteBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
⊢ ⨆ n, disjointed f n = ⨆ n, f n
a b m n✝ p n d : ℕ
hn : n ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ d ∣ n ↔ ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
h : n.minFac ^ n.factorization n.minFac = n
hn : n ≠ 1
⊢ IsPrimePow n
α : Type u_1
LinearOrderedCommMonoid α
a : α
⊢ a * a < 1 ↔ a < 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Subsingleton α
f : α → β
s : Set α
⊢ Set.InjOn f s
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : 0 < z
⊢ x ^ z⁻¹ ≤ y ↔ x ≤ y ^ z
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₀ ⟶ X₁
d₁ : X₁ ⟶ X₂
s : d₀ ≫ d₁ = 0
succ : (S : CategoryTheory.ShortComplex V) → (X₄ : V) ×' (d₂ : S.X₃ ⟶ X₄) ×' S.g ≫ d₂ = 0
⊢ (CochainComplex.mk X₀ X₁ X₂ d₀ d₁ s succ).d 1 2 = d₁
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → AddGroup (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.filter p (-f) = -DFinsupp.filter p f
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
b : M
⊢ (Finsupp.single a b) a = b
α : Type u_1
inst✝⁴ : DistribLattice α
inst✝³ : OrderBot α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidablePred SupIrred
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
⊢ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet a ∪ birkhoffSet b) = Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet a) ∪ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet b)
β : Type u_4
AddCommMonoid β
n : ℕ
f : ℕ → β
⊢ ∑ r ∈ Finset.range (n + 1), f (n - r) = ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), f k
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
X : C
f : J → C
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι (fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X (f j)) j)
    (CategoryTheory.leftDistributor X f).inv =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b i : α
n : ℕ
hn : ¬IsMax (succ^[n - 1] i) → pred^[n] (succ^[n] i) = i
hin : ¬IsMax (succ^[n] i)
h_not_max : ¬IsMax (succ^[n - 1] i)
⊢ pred^[n] (pred (succ (succ^[n] i))) = i
α : Type u_1
a b : Topology.WithUpper α
⊢ Topology.WithUpper.ofUpper a = Topology.WithUpper.ofUpper b ↔ a = b
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (s ∩ t) μ
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
f : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f
⊢ X ◁ f ≫ X ◁ inv f = 𝟙 (X ⊗ Y)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ EMetric.ball x (ENNReal.ofReal ε) = Metric.ball x ε
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Module.Flat R M ↔
  ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(TensorProduct.lift (LinearMap.lsmul R M ∘ₗ Submodule.subtype I))
D : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
i₁ i₂ : D.J
⊢ ∀ (x : PUnit.{u + 1}), D.oneHypercover.p₁ x = D.f i₁ i₂
M : Type u_1
AddMonoid M
α : Type u_4
f : α → M
⊢ AddMonoidHom.mrange (FreeAddMonoid.lift f) = AddSubmonoid.closure (Set.range f)
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc : c ≤ a % c + b % c
⊢ (a + b) % c + c = a % c + b % c
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
⊢ ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂μ ≤ ↑C * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂μ) ^ p
X : Type u_1
x : X
a : FreeAbelianGroup X
⊢ x ∈ a.support ↔ (FreeAbelianGroup.coeff x) a ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
f : α → β
hf : Function.Injective f
Nonempty α
⊢ (Set.range f).restrict (Function.invFun f) = hf.invOfMemRange
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
x : α
h : IsGLB s x
⊢ IsGLB (id '' s) (id x)
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
L₁' : LieSubalgebra R L₁
L₂' : LieSubalgebra R L₂
e : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
h : LieSubalgebra.map e.toLieHom L₁' = L₂'
x : ↥L₂'
⊢ ↑((LieEquiv.ofSubalgebras L₁' L₂' e h).symm x) = e.symm ↑x
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
F : ι → β → α
S : Set β
h : UniformEquicontinuousOn F S
i : ι
⊢ UniformContinuousOn (F i) S
α : Type u_1
t : Ordnode α
⊢ Ordnode.nil.merge t = t
F : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
FunLike F M N
FunLike G N M
AddMonoid M
AddMonoid N
AddMonoidHomClass F M N
AddMonoidHomClass G N M
f : F
x : M
g : G
hfg : Function.LeftInverse ⇑g ⇑f
⊢ IsAddUnit (f x) ↔ IsAddUnit x
l m r : List Char
n : Nat
⊢ { data := l ++ m ++ r }.offsetOfPosAux { byteIdx := String.utf8Len l + String.utf8Len m }
    { byteIdx := String.utf8Len l } n =
  n + m.length
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ ↑((CliffordAlgebra.toEven Q) ((CliffordAlgebra.ι Q) m)) =
  CliffordAlgebra.EquivEven.e0 Q * (CliffordAlgebra.EquivEven.v Q) m
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
g : ℕ → A⁰_ f := fun j => (m + m).choose j • if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
⊢ ∑ i_1 ∈ range (m + m + 1), Localization.mk ((m + m).choose i_1 • ((proj 𝒜 i) a ^ i_1 * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - i_1))) ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = ∑ x ∈ range (m + m + 1), (algebraMap (A⁰_ f) (Localization.Away f)) (g x)