ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
x y : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ
⊢ ((GradedTensorProduct.mulHom 𝒜 ℬ) x) y =
  (GradedTensorProduct.auxEquiv R 𝒜 ℬ).symm
    (((TensorProduct.gradedMul R (fun x => ↥(𝒜 x)) fun x => ↥(ℬ x)) ((GradedTensorProduct.auxEquiv R 𝒜 ℬ) x))
      ((GradedTensorProduct.auxEquiv R 𝒜 ℬ) y))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X Y : C
πX : X ⟶ S
πY : Y ⟶ S
φ : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX)) C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πY)) C
hφ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ πY = πX
i : I
t : A i ⟶ X
b : B i ⟶ S
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp t πX = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f i) b
t' : A i ⟶ Y
fac : CategoryTheory.CategoryStruct.comp t φ = t'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTgtFamily f πX)
      { i := i, t := t, b := b, w := w })
    (CategoryTheory.SmallObject.functorMapTgt f πX πY φ hφ) =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTgtFamily f πY)
    { i := i, t := t', b := b, w := ⋯ }
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : CategoryTheory.GradedObject I C
X.HasTensor Y
⊢ CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X Y)
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
⊢ ↑X = (single 1) 1
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
P : Sort v
p q : K[X]
f : K[X] → K[X] → P
f0 : ∀ (p : K[X]), f p 0 = f 0 1
H' : ∀ {p q p' q' : K[X]}, q ≠ 0 → q' ≠ 0 → q' * p = q * p' → f p q = f p' q'
H : ∀ {p q p' q' : K[X]}, q ∈ K[X]⁰ → q' ∈ K[X]⁰ → q' * p = q * p' → f p q = f p' q' := ⋯
⊢ (RatFunc.mk p q).liftOn f H = f p q
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
Zero 𝕜
Zero β
SMulWithZero 𝕜 β
ContinuousConstSMul 𝕜 β
l : Filter α
f : α → β
c : 𝕜
hf : l.ZeroAtFilter f
⊢ l.ZeroAtFilter (c • f)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : F ≃ₗᵢ[𝕜] G
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
this : iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x = (↑{ toLinearEquiv := g.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
x✝ : R
a✝ : x✝ ∈ fx
⊢ Associates.mk x✝ = Associates.mk ϖ
α : Type u_1
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
a : α
⊢ (PMF.ofMultiset s hs) a = ↑(Multiset.count a s) / ↑(Multiset.card s)
k : ℤ
⊢ (k + k).negOnePow = 1
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => u ⌊c k ^ n⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 l)
a : ℝ
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : c k < a
H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c k ^ n⌋₊
A : Tendsto (fun n => ↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ / c k ^ (n + 1) * c k / (↑⌊c k ^ n⌋₊ / c k ^ n)) atTop (𝓝 (1 * c k / 1))
B : Tendsto (fun n => ↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (c k))
n : ℕ
hn : ↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊ < a
⊢ ↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ ≤ a * ↑⌊c k ^ n⌋₊
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : CompleteSpace E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
s : Set α
μ : Measure α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ.trim hm) s ≠ ⊤
c : F
⊢ ↑↑↑(lpTrimToLpMeas F ℝ p μ hm (indicatorConstLp p hs hμs c)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c)
ι : Sort u_1
M : Type u_2
AddZeroClass M
S : ι → AddSubmonoid M
⊢ (iSup S).op = ⨆ i, (S i).op
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : IsArtinian R M
r : R
rs : List R
h : IsRegular M (r :: rs)
⊢ r :: rs = []
n : ℕ
b : Fin n
⊢ (Finset.Iio b).card = ↑b
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y : α
h : y ∈ s
⊢ Metric.infDist x (s ∩ Metric.closedBall x (dist y x)) = Metric.infDist x s
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
l l' : Filter α
h : Asymptotics.IsBigOWith c l' f g
hl : l ≤ l'
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l f g
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
h : K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
x : E
⊢ x ∈ Algebra.adjoin F S → x⁻¹ ∈ Algebra.adjoin F S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
V W X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
f : V ⟶ W
g : W ⟶ X
h : W ⟶ Y
⊢ f ≫ CategoryTheory.Limits.prod.lift g h = CategoryTheory.Limits.prod.lift (f ≫ g) (f ≫ h)
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
f : (x : 𝒰.J) → (𝒰.obj x).OpenCover
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
y : ↑↑(𝒰.obj (𝒰.f x)).toPresheafedSpace := Exists.choose ⋯
hy : (𝒰.map (𝒰.f x)).val.base y = x
z : ↑↑((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)).toPresheafedSpace
hz : ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).val.base z = y
⊢ x ∈ Set.range ⇑((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y) ≫ 𝒰.map (𝒰.f x)).val.base
a b c d a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
hb : b' < b
hc : c' < c
⊢ b ⨳ c ⨳ a' ♯ b' ⨳ c ⨳ a ♯ b ⨳ c' ⨳ a ♯ b' ⨳ c' ⨳ a' < b ⨳ c ⨳ a ♯ b' ⨳ c ⨳ a' ♯ b ⨳ c' ⨳ a' ♯ b' ⨳ c' ⨳ a
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk u v
h : p.reverse.IsPath
⊢ p = p.reverse.reverse
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
m : M
hm : m ∈ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspace (χ x)
⊢ m ∈ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspaceIndex (χ x))
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
L : Type u_8
RCLike L
f : α → L
g : β → L
s : Set α
t : Set β
⊢ ∫ (z : α × β) in s ×ˢ t, f z.1 * g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α) in s, f x ∂μ) * ∫ (y : β) in t, g y ∂ν
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.237519}
α : Type u_1
h : 3 ≤ #α
x y : α
this : ↑3 ≤ #α
⊢ ∃ z, z ≠ x ∧ z ≠ y
a : UnitAddCircle
h1 : Tendsto (fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (-if a = 0 then 1 else 0))
⊢ Tendsto (fun s => s * completedHurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (if a = 0 then -1 else 0))
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs✝ : s.IsPWO
ht✝ : t.IsPWO
a✝ : P
u : Set G
hu : u.IsPWO
v : Set P
hv : v.IsPWO
x : G × P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
x✝ : a ∈ {a | (SMulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}
b : G × P
hb : b.1 ∈ s ∧ b.2 ∈ t ∧ b.1 • b.2 = a
⊢ a ∈ s • t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite
⊢ (fun i => ∏ᶠ (_ : i ∈ s ∩ t ∩ mulSupport f), f i) = fun i => ∏ᶠ (_ : i ∈ s ∩ mulSupport f ∩ (t ∩ mulSupport f)), f i
G : Type u_1
P : Type u_2
LinearOrder G
LinearOrder P
VAdd G P
IsOrderedCancelVAdd G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
⊢ (s +ᵥ t).IsWF
α : Type u_1
R : Type u_2
Add R
Mul R
Neg R
One R
Zero R
FirstOrder.Ring.CompatibleRing R
x : FirstOrder.Language.ring.Term α
v : α → R
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize v (-x) = -FirstOrder.Language.Term.realize v x
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ (Finset.Ico s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, (Multiset.count i t + 1 - Multiset.count i s) - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter β
f : α → Set β
⊢ Filter.comap f l.smallSets = l.lift' (Set.preimage f ∘ Set.powerset)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Icc a b = {c} ↔ a = c ∧ b = c
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
f : (n : ℕ) → M →ₗ[R] N ⧸ I ^ n • ⊤
h : ∀ {m n : ℕ} (hle : m ≤ n), AdicCompletion.transitionMap I N hle ∘ₗ f n = f m
n : ℕ
x : M
⊢ ↑((AdicCompletion.lift I f ⋯) x) n = (f n) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
W : C
fst : W ⟶ X
snd : W ⟶ Y
eq : fst ≫ f = snd ≫ g
⊢ (CategoryTheory.Limits.PullbackCone.mk fst snd eq).snd = snd
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
a : αᵒᵈ
⊢ Finset.Ioi (OrderDual.ofDual a) = Finset.map OrderDual.ofDual.toEmbedding (Finset.Iio a)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
s : Set A
hs : s ⊆ ↑S
⊢ NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s ≤ S
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
⊢ Injective ⇑(fderiv ℝ (Subtype.val ∘ ↑(ChartedSpace.chartAt v).symm) (↑(ChartedSpace.chartAt v) v))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace G
self : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ HasStrictFDerivAt self.rightFun self.rightDeriv self.pt
α : Type u
β : Type v
s : Set α
t : Set β
⊢ s ×ˢ t = Prod.fst ⁻¹' s ∩ Prod.snd ⁻¹' t
x✝ y x : ℝ
⊢ arcsin (-x) = -arcsin x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
PartialOrder α
a : α
⊢ Set.Ioi a =ᵐ[μ] Set.Ici a
R : Type u
EuclideanDomain R
a : R
b : R
h : a ≠ 0
⊢ ¬EuclideanDomain.r (a * b) b
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
m : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h𝒜₁ : 𝒜.Nonempty
h𝒜₂ : univ ∉ 𝒜
hm : m = 𝒜.card
ih : ∀ (𝒜 : Finset (Finset α)), 𝒜.card < m → 𝒜.Nonempty → univ ∉ 𝒜 → supSum 𝒜 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
h𝒜₃ : 𝒜.Nontrivial
⊢ supSum 𝒜 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
⊢ star a * a ≤ (algebraMap ℝ A) (‖a‖ ^ 2)
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
⊢ s₁ ∩ s₂ * (t₁ ∪ t₂) ⊆ s₁ * t₁ ∪ s₂ * t₂
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
⊢ hitting u s n m ω = m ↔ (∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s) → sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) = m
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
n : ℕ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ ⇑(n • κ) = n • ⇑κ
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z w : K
⊢ re (z / w) = re z * re w / normSq w + im z * im w / normSq w
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ dist f g = ‖f - g‖
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
Archimedean 𝕜
⊢ ⇑(AddCircle.equivIccQuot p a) ∘ Quotient.mk'' = fun x => Quot.mk (AddCircle.EndpointIdent p a) ⟨toIocMod ⋯ a x, ⋯⟩
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p₁ p₂ p₃ : P
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
h₃ : p₃ ∈ s
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
h₁₃ : p₁ ≠ p₃
h₂₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ Set.range ![p₁, p₂, p₃] ⊆ s
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
inst✝ : IsDomain R
w : Module.Free.ChooseBasisIndex (FractionRing R) (LocalizedModule R⁰ M) → M
hw : LinearIndependent R w
⊢ ∃ s, #↑s = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
⊢ Cardinal.lift.{w, max v u} (Cardinal.sum f) = Cardinal.sum fun i => Cardinal.lift.{w, v} (f i)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
i : ℕ
a✝¹ : i ∈ ↑(Finset.range N)
j : ℕ
a✝ : j ∈ ↑(Finset.range N)
hij : i ≠ j
hij' : i > j
⊢ min (upperCrossingTime a b f N (i + 1) ω) (upperCrossingTime a b f N (j + 1) ω) ≤ max (lowerCrossingTime a b f N i ω) (lowerCrossingTime a b f N j ω)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
⊢ leftLim f x ≤ f y
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
⊢ f.range = AddSubgroup.map f ⊤
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₂ - f K₁
this : Continuous eval
⊢ prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' Ici 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
⊢ self.e ≫ self.m = f
α : Type u_1
β : Type u_2
x : β
⊢ (Sum.inr x).isLeft = false
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
⊢ edist (MulOpposite.op x) (MulOpposite.op y) = edist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
⊢ ∀ (a : α × β), (G.boxProdComm H) a = a.swap
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.36964, u_1} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ monomorphisms C f ↔ Mono f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
one : p 1 ⋯
add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
neg : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s), p x hx → p (-x) ⋯
mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
a : R
ha : a ∈ closure s
⊢ ∃ (x : a ∈ closure s), p a x
Fq F : Type
Field Fq
Field F
Algebra Fq[X] F
Algebra (RatFunc Fq) F
IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] F)
a b : Nat
⊢ b ≤ a ∧ ↑(a - b) = ↑a - ↑b ∨ a < b ∧ ↑(a - b) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵈ Y
⊢ e.toHomeomorph.symm = e.symm.toHomeomorph
A : Type u_2
B : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
i : A
⊢ (ContinuousAddMonoidHom.inl A B) i =
  ((ContinuousAddMonoidHom.id A).toAddMonoidHom i, (ContinuousAddMonoidHom.zero A B).toAddMonoidHom i)
o : Ordinal.{u_3}
⊢ ¬o < 0
α : Type u
β : Type v
m : α → β
⊢ GaloisConnection (Filter.comap m) (Filter.kernMap m)
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
S : Type u_1
CommRing S
f : R →+* S
g : Matrix.SpecialLinearGroup n R
⊢ ↑((Matrix.SpecialLinearGroup.map f) g) = f.mapMatrix ↑g
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
x✝ : IsCoprime 0 x
a b : R
H : a * 0 + b * x = 1
⊢ x * b = 1
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioi a ⊆ Set.Ioo a b ∪ Set.Ici b
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup
m : Fin 2 →₀ ↥M := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩
hm : m = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t t' : Set β
⊢ Set.image2 f s (t ∪ t') = Set.image2 f s t ∪ Set.image2 f s t'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
h : K₁ ≤ K₂
⊢ K₂ᗮ ≤ K₁ᗮ
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : α) → StarAddMonoid (E i)
∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
⊢ Memℓp (star f) p ↔ Memℓp f p
α : Type u_1
f g h : Perm α
x : α
hfx : f x = x
n : ℕ
⊢ (f ^ Int.negSucc n) x = x
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJY : M.Basis J Y
h : M.Indep (I ∪ J)
⊢ M.Indep (⋃ i, bif i then I else J)
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ ball 0 (1 + D)
⊢ (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] φ) x = 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
a✝ : Nontrivial R
⊢ (trinomial k m n u v 1).Monic
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
⊢ p.natDegree ∣ finrank F p.SplittingField
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∑' (i : ℕ), (fun i => ↑(f i)) i ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), (fun i => ↑(f i)) (k + i)) atTop (𝓝 0)
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
⊢ G'.deleteEdges ∅ = G'
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : H
hx : x ∈ e.target
⊢ ContinuousAt (↑e.symm) x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e.symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
F : Type w
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
g : S✝ →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S✝
ι : Sort u_2
S : ι → NonUnitalSubring R
x : R
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
s : Set M
inst✝ : Fintype ↑s
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
this : Module.rank R ↥(span R s) = #↑s
⊢ Module.rank R ↥(span R s) = ↑s.toFinset.card
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
n : ℤ
⊢ ConvexOn 𝕜 (Set.Ioi 0) fun x => x ^ n
R : Type u_3
CommRing R
Invertible 2
⊢ QuadraticMap.associated QuadraticMap.sq = LinearMap.mul R R
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
f g : CategoryTheory.End F
⊢ (CategoryTheory.PreGaloisCategory.endEquivAutGalois F) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f) =
  (CategoryTheory.PreGaloisCategory.endEquivAutGalois F) g * (CategoryTheory.PreGaloisCategory.endEquivAutGalois F) f
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
Semiring R
Semiring A
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
Module A M
ι' : Type u_6
M' : ι' → Type u_7
(i : ι') → AddCommMonoid (M' i)
(i : ι') → TopologicalSpace (M' i)
∀ (i : ι'), ContinuousAdd (M' i)
(i : ι') → Module R (M' i)
(i : ι') → Module A (M' i)
∀ (i : ι'), SMulCommClass A R (M' i)
∀ (i : ι'), ContinuousConstSMul R (M' i)
⊢ ∀ (a : (i : ι') → M [⋀^ι]→L[A] M' i), ContinuousAlternatingMap.piLinearEquiv a = ContinuousAlternatingMap.pi a
α : Type u_1
E R : Set α
⊢ (Matroid.loopyOn E).restrict R = Matroid.loopyOn R
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ p : ℕ
hp : p ≠ 0
f : R →+* S
q : R[X]
n : ℕ
⊢ (map f (contract p q)).coeff n = (contract p (map f q)).coeff n
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝³ : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this✝² : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
this✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F K
this✝ : IsPurelyInseparable (↥S) K
this : IsPurelyInseparable (↥L) K
⊢ x ∈ L
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Ring R
Ring R₂
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
⊢ Function.Injective ⇑(f.domRestrict S) ↔ S ⊓ LinearMap.ker f = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Nonempty α
Preorder β
f : α → β
NoMaxOrder α
SuccOrder β
IsSuccArchimedean β
hf : StrictMono f
⊢ ¬BddAbove (Set.range f)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U
⊢ ↑(⋯.amalgamate (G.familyOfElementsOfSection s) ⋯) = s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddGroup n
v w : n → α
i j : n
⊢ ∑ x : n, v (i - x) * w (x - j) = ∑ x : n, v (i - j - x) * w x