ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
⊢ (((S.map F).homologyData.iso.hom ≫ (rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } (S.map F).rightHomologyData (S.map F).homologyData.right).inv) ≫ (rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } (S.map F).rightHomologyData (S.homologyData.right.map F)).hom) ≫ F.map ((rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.rightHomologyData S.homologyData.right).inv ≫ (rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.rightHomologyData S.homologyData.right).hom ≫ S.homologyData.iso.inv) = ((leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } (S.map F).leftHomologyData (S.map F).homologyData.left).inv ≫ (leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } (S.map F).leftHomologyData (S.homologyData.left.map F)).hom) ≫ F.map ((leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.leftHomologyData S.homologyData.left).inv ≫ (leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.leftHomologyData S.homologyData.left).hom)
G : Type u
F : Type v
Group G
Field F
Finite G
MulSemiringAction G F
FaithfulSMul G F
⊢ Function.Bijective (MulSemiringAction.toAlgHom (↥(FixedPoints.subfield G F)) F)
a b c : ℝ≥0
a0 : 0 < a
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
⊢ a / b ≤ a / c ↔ c ≤ b
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
⊢ φ.IsQF → φ.IsPrenex
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
⊢ orderOf (x * y) = orderOf y
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
a : ℂ
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ (fun x => a.re * Real.log (abs x)) =o[l] fun x => b * x.re
α : Type u_1
s : α → α → Bool
l r : List α
⊢ List.merge s l r ~ l ++ r
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ f (s.max' h) = (Finset.image f s).max' ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f g : M → E'
hf : MDifferentiable I 𝓘(𝕜, E') f
hg : MDifferentiable I 𝓘(𝕜, E') g
⊢ MDifferentiable I 𝓘(𝕜, E') (f + g)
V : Type u
Quiver V
a b c d : V
p : Quiver.Path a b
q : Quiver.Path b c
e : c ⟶ d
⊢ p.comp (q.cons e) = (p.comp q).cons e
α : Type u
β : Type v
DecidableEq α
DecidableEq β
a : α
b : β
⊢ (PEquiv.single a b).symm = PEquiv.single b a
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x = y
⊢ x = y
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
f : Filter α
hf : f.NeBot
⊢ 0 ≤ f • 0
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p.natDegree ≠ 0
h2 : p ≠ 0
h3 : p.degree ≠ ↑0
⊢ map f p = 0 → p.degree = 0 → ¬f p.leadingCoeff = 0
X : AlgebraicGeometry.RingedSpace
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ IsUnit ((X.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op) f)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
a : G
ha : ∀ (n : G), n ∈ s ↔ a * n * a⁻¹ ∈ s
n : G
⊢ n ∈ s ↔ a * (a⁻¹ * n * a⁻¹⁻¹) * a⁻¹ ∈ s
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t
hg : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : ∀ y ∈ ball t₀ ε, (HasDerivAt f (v y (f y)) y ∧ f y ∈ s y) ∧ HasDerivAt g (v y (g y)) y ∧ g y ∈ s y
⊢ f =ᶠ[𝓝 t₀] g
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
f : M → M₂
self : IsLinearMap R f
c : R
x : M
⊢ f (c • x) = c • f x
Γ₀ : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
h : Nontrivial Γ₀ˣ
f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0
hf : StrictMono ⇑f
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
g : Γ₀ˣ
hg1 : g ≠ 1
u : Γ₀ˣ := if g < 1 then g else g⁻¹
hu : u = if g < 1 then g else g⁻¹
hfu : f ↑u < 1
n : ℕ
hn : f ↑u ^ n < r
⊢ ∃ d, f ↑d < r
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
Unique αˣ
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
⊢ ∃ d, a = d ^ k
α : Type u_1
s t : Multiset α
⊢ s.Disjoint t ↔ ∀ {a : α}, a ∈ t → a ∉ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y X₁ Y₁ : C
α : X ≅ X₁
β : Y ≅ Y₁
f : X ≅ Y
⊢ F.mapIso ((α.isoCongr β) f) = ((F.mapIso α).isoCongr (F.mapIso β)) (F.mapIso f)
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
DecidableEq α
u : α
s : Finset α
⊢ UV.IsCompressed u u s
α : Type u
t : TopologicalSpace α
β : Type u_2
TopologicalSpace β
B : Set (Set β)
hB : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B
f : α → β
⊢ Continuous f ↔ ∀ s ∈ B, IsOpen (f ⁻¹' s)
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : CommMonoid P
g₁ g₂ : N →* P
f : M →* N
⊢ ({ toFun := fun g => { toFun := g.comp, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun (g₁ * g₂)) f = ({ toFun := fun g => { toFun := g.comp, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun g₁ * { toFun := fun g => { toFun := g.comp, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun g₂) f
c : Nat.Partrec.Code
n x : ℕ
⊢ x ∈ c.eval n ↔ ∃ k, x ∈ Nat.Partrec.Code.evaln k c n
ctx : Nat.Linear.Context
fuel : Nat
m₁ m₂ r₁ r₂ : Nat.Linear.Poly
h : Nat.Linear.Poly.denote_le ctx (List.reverse r₁ ++ m₁, List.reverse r₂ ++ m₂)
⊢ Nat.Linear.Poly.denote_le ctx (Nat.Linear.Poly.cancelAux fuel m₁ m₂ r₁ r₂)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝ : Fintype ι
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h's : Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
⊢ (↑Finset.univ).Pairwise (Disjoint on s)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
m : ℕ
v : Fin m → α
⊢ FinVec.map f v = f ∘ v
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hs' : μ s ≠ ⊤
ht' : μ t ≠ ⊤
hst : μ (s \ t) ≠ ⊤
hts : μ (t \ s) ≠ ⊤
⊢ |(μ s).toReal - (μ t).toReal| ≤ (μ (s ∆ t)).toReal
xl xr yl yr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
yL : yl → SetTheory.PGame
yR : yr → SetTheory.PGame
i : xr
⊢ (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR + SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR).moveRight (Sum.inl i) =
  (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR).moveRight i + SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)) (↑(extChartAt I x) x)
R : Type u_4
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
e : R ≃+* S
⊢ e.toRingHom.comp e.symm.toRingHom = RingHom.id S
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
⊢ MeromorphicAt f⁻¹ x
f : ℂ[X]
hf : 0 < f.degree
hf' : ∀ (z : ℂ), ¬f.IsRoot z
⊢ False
σ : Type u
R : Type v
CommSemiring R
⊢ #(MvPolynomial σ R) ≤ max (max (Cardinal.lift.{u, v} #R) (Cardinal.lift.{v, u} #σ)) ℵ₀
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Finset α
AddCommMonoid β
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → γ
k : γ → β
h : ∀ x ∈ s, ¬p x
⊢ ∑ x ∈ s, k (if p x then f x else g x) = ∑ x ∈ s, k (g x)
α : Type u_1
β : Type u_2
o : Part α
a : α
h : a ∈ o
f : α → Part β
⊢ o.bind f = f a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
⊢ ↑⟨p, hp⟩ -ᵥ p - v +ᵥ ↑⟨p, hp⟩ = -v +ᵥ p
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
x : R₁
hx : x ≠ 0
⊢ (↑(Ideal.span {x}))⁻¹ * ↑(Ideal.span {x}) = 1
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
Add β
a : α
⊢ e.addEquiv a = e a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ((↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x)))
this✝¹ : ↑I x = (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x))
this✝ : ↑I (↑e x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
this : ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
⊢ ↑I' ∘ (f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm = (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) ∘ ↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
a : α ≃ β
b : UniformContinuous a.toFun
c : UniformContinuous a.invFun
⊢ ⇑{ toEquiv := a, uniformContinuous_toFun := b, uniformContinuous_invFun := c } = ⇑a
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : Ring S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module.Free R M
inst✝⁷ : Module.Finite R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : SMulCommClass R S N
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : StrongRankCondition S
inst✝ : Module.Free S N
⊢ Module.rank S (M →ₗ[R] N) = lift.{w, v} (Module.rank R M) * lift.{v, w} (Module.rank S N)
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
⊢ (SemiNormedGrp.explicitCokernelIso f).hom ≫ CategoryTheory.Limits.cokernel.desc f g w =
  SemiNormedGrp.explicitCokernelDesc w
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ ⊤.IsComplement' H ↔ H = ⊥
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsAddFreimanHom n A B f
⊢ IsAddFreimanHom m A B f
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hs_mem : t ∈ hC.diffFinset hs ht
⊢ t ⊆ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset hs ht)
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
B : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ B
h : ∀ n > 0, n ∈ A ↔ n ∈ B
⊢ schnirelmannDensity A = schnirelmannDensity B
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocMod hp (a + p) b = toIocMod hp a b + p
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
f : α → β
⊢ map (fun x => (x, f x)) l = l.zip (map f l)
M : Type v
X : Type x
UniformSpace X
VAdd M X
c : M
x : UniformSpace.Completion X
⊢ c +ᵥ x = UniformSpace.Completion.map (fun x => c +ᵥ x) x
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
⊢ [∀ (S : CategoryTheory.ShortComplex C), S.ShortExact → (S.map F).ShortExact,
    ∀ (S : CategoryTheory.ShortComplex C), S.Exact → (S.map F).Exact, Nonempty F.PreservesHomology,
    Nonempty (CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits F) ∧
      Nonempty (CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteColimits F)].TFAE
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
⊢ (p.sum fun n a => C a * X ^ n) = p
R : Type u_1
Ring R
r : R → R → Prop
⊢ ∀ (x x_1 : RingQuot r),
  RingQuot.sub r x x_1 =
    match x, x_1 with
    | { toQuot := a }, { toQuot := b } => { toQuot := Quot.map₂ Sub.sub ⋯ ⋯ a b }
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℝ A
u v u' v' : ℝ → A
hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x
huv' : MeasureTheory.Integrable (u * v') MeasureTheory.volume
hu'v : MeasureTheory.Integrable (u' * v) MeasureTheory.volume
huv : MeasureTheory.Integrable (u * v) MeasureTheory.volume
⊢ ∫ (x : ℝ), u x * v' x = -∫ (x : ℝ), u' x * v x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffOn I' I n (f i) s
⊢ ContMDiffOn I' I n (∑ i ∈ t, f i) s
R S : Type u_1
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R
IsLocalization.Away f S
⊢ AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion (AlgebraicGeometry.Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R S)))
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H : Type u_5
inst✝ : Group H
f : G ≃* H
sg : Subgroup H
⊢ Subgroup.comap (↑f.symm) (Subgroup.comap (↑f) sg) = sg
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace δ
NormedAddCommGroup β
f : α → δ
g : δ → β
hg : MeasureTheory.Integrable g (MeasureTheory.Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
s : Set ℝ
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hx : f x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ derivWithin (fun x => Real.log (f x)) s x = derivWithin f s x / f x
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
f : Ultrafilter X
⊢ ClusterPt x ↑f ↔ ↑f ≤ 𝓝 x
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
inst✝¹¹ : Category.{u_9, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_3} D
inst✝⁸ : Preadditive C₁
inst✝⁷ : Preadditive C₂
inst✝⁶ : Preadditive D
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
f₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁
h₁ : Homotopy f₁ f₁'
K₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
f₂ : K₂ ⟶ L₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
inst✝⁵ : F.Additive
inst✝⁴ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
c : ComplexShape J
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝¹ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F c
inst✝ : L₁.HasMapBifunctor L₂ F c
i₁ i₁' : I₁
hi₁ : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ i₂' : I₂
hi₂ : c₂.Rel i₂ i₂'
j : J
hj : c₁.π c₂ c (i₁', i₂) = j
hj' : c₁.π c₂ c (i₁, i₂') = j
⊢ c₁.ε₁ c₂ c (i₁, i₂) • (F.map (h₁.hom i₁' i₁)).app (K₂.X i₂) ≫ (F.obj (L₁.X i₁)).map (f₂.f i₂) ≫ (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj L₁).obj L₂).d₂ c i₁ i₂ j = -(((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).d₂ c i₁' i₂ (c.next j) ≫ hom₁ h₁ f₂ F c (c.next j) j
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2)
U : Set ↑C.pt.toTop := ⇑f ⁻¹' {0}
hU : IsClopen U
j : J
V : Set ↑(F.obj j).toTop
hV : IsClopen V
h : U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
⊢ f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) (LocallyConstant.ofIsClopen hV)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
s : ℕ → Set α
ω : α
⊢ ω ∈ limsup s atTop ↔ ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop}
x y : ℝ
h : x * y < 1
⊢ arctan (tan (arctan x + arctan y)) = arctan ((x + y) / (1 - x * y))
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A A' : C
f : A' ⟶ A
vcomp1 : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A'))) (whiskerLeft F (prod.functor.map (F.map f)) ≫ (prodComparisonNatIso F A).inv) = (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) (prodComparisonNatIso F A).inv ≫ whiskerLeft F ((conjugateEquiv (exp.adjunction (F.obj A)) (exp.adjunction (F.obj A'))) (prod.functor.map (F.map f)))
vcomp2 : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A'))) ((prodComparisonNatIso F A').inv ≫ whiskerRight (prod.functor.map f) F) = whiskerRight ((conjugateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction A')) (prod.functor.map f)) F ≫ (mateEquiv (exp.adjunction A') (exp.adjunction (F.obj A'))) (prodComparisonNatIso F A').inv
B : C
⊢ (whiskerLeft F (prod.functor.map (F.map f)) ≫ (prodComparisonNatIso F A).inv).app B = ((prodComparisonNatIso F A').inv ≫ whiskerRight (prod.functor.map f) F).app B
α : Type u
β : Type v
PartialOrder α
OrderBot α
Preorder β
f : α → β
a : α
hf : StrictMono f
⊢ f a = f ⊥ ↔ a = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
hf : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
hg : Monotone g
s : Set β
⊢ s ∈ (iInf f).lift g → s ∈ ⨅ i, (f i).lift g
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ↥(MeasureTheory.Lp β 1 μ)
⊢ ENNReal.ofReal ‖f‖ = ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex C} (f : X ⟶ Y), CategoryTheory.ShortComplex.π₃.map f = f.τ₃
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a : α
IsSuccArchimedean α
⊢ Order.IsSuccLimit a ↔ IsMin a
α : Type u_1
OrderedSemiring α
⊢ ↑0 = 0
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
f : α → β
s : Set (α → M)
h : A.Definable L s
⊢ A.Definable L ((fun g => g ∘ f) ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
hf : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω)
ρ' : Measure (α × ℝ) := Measure.map (Prod.map id f) ρ
hρ'def : ρ' = Measure.map (Prod.map id f) ρ
hρ' : ρ'.fst = ρ.fst
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, κ x = ρ.condKernel x
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i j : n
⊢ Aᵀ.cramer (A i) j = Pi.single i A.det j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitMono f
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair),
  (CategoryTheory.Limits.coneOfIsSplitMono f).π.app X_1 =
    CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.rec (motive := fun t =>
      X_1 = t →
        (X ⟶
          (CategoryTheory.Limits.parallelPair (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)
                (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.retraction f) f)).obj
            X_1))
      (fun h => ⋯ ▸ f) (fun h => ⋯ ▸ f) X_1 ⋯
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : _root_.IsIntegral R x
J : Ideal S
hJ : J ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)
this : multiplicity J (Ideal.map (algebraMap R S) I) = multiplicity (↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩)) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
⊢ Irreducible J
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite ν₁
inst✝¹ : SigmaFinite ν₂
inst✝ : SigmaFinite μ
⊢ AEMeasurable (ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ) μ
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a : α
OrderBot α
ha : SupPrime a
⊢ a ≠ ⊥
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Module.Free A B
inst✝ : Module.Finite A B
a : A
x : B
⊢ ∃ r, (norm A) (1 + a • x) = 1 + (trace A B) x * a + r * a ^ 2
a : ONote
ha : a.NF
b : ONote
hb : b.NF
this : (a.cmp b).Compares a b
⊢ (a.cmp b).Compares ⟨a, ha⟩ ⟨b, hb⟩
α : Type u_1
a : α
s : Set α
⊢ ({a} ∩ s).ncard ≤ 1
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
H : Subsingleton R
this : Module.rank R (PUnit.{u + 1} ⧸ ⊥) + Module.rank R ↥⊥ = Module.rank R PUnit.{u + 1}
⊢ False
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ interior s
t : 𝕜
ht : t ∈ Set.Ioc 0 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ interior s
α : Type u_1
s : Set α
f : α → ℕ
⊢ s.EquitableOn f ↔ ∃ b, f '' s ⊆ Set.Icc b (b + 1)
ι : Type u_5
B : Type u_6
TopologicalSpace B
F : Type u_7
TopologicalSpace F
self : FiberBundleCore ι B F
i j : ι
⊢ ContinuousOn (fun p => self.coordChange i j p.1 p.2) ((self.baseSet i ∩ self.baseSet j) ×ˢ Set.univ)
ι : Type u
f : ι → Scheme
i : (disjointGlueData f).J
⊢ (disjointGlueData f).ι i ≫ (sigmaIsoGlued f).inv = Sigma.ι f i
α : Type u_1
SeminormedAddCommGroup α
C r : ℝ
hr : r < 1
u : ℕ → α
h : ∀ (n : ℕ), ‖u n - u (n + 1)‖ ≤ C * r ^ n
⊢ CauchySeq u
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
⊢ MeasurableSpace.generateFrom {s | IsClosed s} ≤ μ.caratheodory
X : Type u
TopologicalSpace X
CompactSpace X
T2Space X
h : CompactT2.Projective X
⊢ ExtremallyDisconnected X