ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m n m' : M
f : m ⟶ m'
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.obj n).map ((F.map f).app X)) ((F.μ m' n).app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ m n).app X)
    ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f n)).app X)
M : Type u_1
Add M
s t : Set M
h : s ⊆ t
⊢ AddSubsemigroup.closure s ≤ AddSubsemigroup.closure t
α : Type u_1
p : α → Prop
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.All p t.reverse ↔ Batteries.RBNode.All p t
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
s : Set E
h₁ : DifferentiableOn ℂ f s
h₂ : ∀ x ∈ s, f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun t => Complex.log (f t)) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C E
H : CategoryTheory.Functor D E
G : C ≌ D
i : G.functor.comp H ≅ F
X : D
⊢ i.isoInverseComp.inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (i.inv.app (G.inverse.obj X)) (H.map (G.counitIso.hom.app X))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
⊢ ⨆ i, N i = ⊤ ↔ ⨆ i, ↑(N i) = ⊤
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
S' : Sieve X
H' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y
Y : D
Z : C
g : Z ⟶ X
i : Y ⟶ G.obj Z
hg : S.arrows g
⊢ Sieve.pullback (G.map g) (Sieve.functorPushforward G S') ∈ K.sieves (G.obj Z)
R : Type u
CommSemiring R
s : Set (Set R)
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus (⋃ s' ∈ s, s') = ⋂ s' ∈ s, PrimeSpectrum.zeroLocus s'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
a : α
c : γ
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).Adj (Sum3.in₂ c) (Sum3.in₀ a) ↔ ∃ b, (a, b, c) ∈ t
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ (Finset.Icc a b).Nonempty ↔ a ≤ b
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
x : 𝕜
hx : 0 < x
⊢ (fun x => x ^ p / x ^ q) x = (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) x
α : Type u_1
p q : α → Prop
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.All (fun a => p a ∧ q a) t ↔ Batteries.RBNode.All p t ∧ Batteries.RBNode.All q t
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
p q : Submodule R M
⊢ Submodule.map f (p ⊓ q) ≤ Submodule.map f p ⊓ Submodule.map f q
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
⊢ ∀ (p q : MvPolynomial σ R), D (p * q) = p • D q + q • D p
x : UInt64
n : Nat
⊢ (x.modn n).toNat = x.toNat % n
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : LinearOrder α✝
inst✝³ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b✝ x : α✝
α : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s t : Set α
this✝¹ : MeasurableSpace α := borel α
this✝ : BorelSpace α
a b : α
⊢ MeasurableSet (Ico a b)
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ (Composition.single n h).length = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
h_spec : σₙ R a ⊆ {0}
ha : p a := by cfc_tac
⊢ a = 0
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S T : StarSubalgebra R A
x y : A
hx : x ∈ S
hy : y ∈ T
⊢ x * y ∈ S ⊔ T
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x (x - y) = Real.arccos (‖x‖ / ‖x - y‖)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
i j : ι
hij : v i = v j
l : ι →₀ R := Finsupp.single i 1 - Finsupp.single j 1
h_total : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
h_single_eq : Finsupp.single i 1 = Finsupp.single j 1
⊢ i = j
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t : Set β
a✝ a : α
s : Set α
⊢ (a • s)⁻¹ = op a⁻¹ • s⁻¹
R : Type u_1
AddMonoid R
Mul R
One R
Neg R
self : isSemireal R
⊢ 0 ≠ 1
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
⊢ MonoidHom.mker f.mrangeRestrict = MonoidHom.mker f
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ θ : L.BoundedFormula α n
h1 : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
h2 : T.SemanticallyEquivalent ψ θ
⊢ T.SemanticallyEquivalent φ θ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
n : ℕ
t : Finset (Fin n)
⊢ let s := FormalMultilinearSeries.changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, t⟩;
(((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y) =
  (p n) (t.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f g : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : IsNormal f
hg : IsNormal g
x✝ : f 0 = g 0 ∧ ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)
h₁ : f 0 = g 0
h₂ : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)
o✝ : Ordinal.{u}
ho : o✝.IsLimit
H : ∀ o' < o✝, f o' = g o'
⊢ f o✝ = g o✝
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
⊢ (shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃).hom.app X ≫ (shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd C a₁ a₂).hom.app X) = (shiftFunctorAdd' C a₁ (a₂ + a₃) (a₁ + a₂ + a₃) ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd C a₂ a₃).hom.app ((shiftFunctor C a₁).obj X)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
ε : ℝ≥0∞
⊢ μ sᶜ ≤ μ tᶜ + ε ↔ μ t ≤ μ s + ε
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : C(X, ℝ)
x : X
⊢ ↑(((f + g).toNNReal + (-f).toNNReal + (-g).toNNReal) x) = ↑(((-(f + g)).toNNReal + f.toNNReal + g.toNNReal) x)
R S : CommRingCat
p : PrimeSpectrum ↑R
Algebra ↑R ↑S
y :
  ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (AlgebraicGeometry.Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj
          (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf ↑S).val).stalk
      p)
⊢ ∃ x, x.2 • y = (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toPushforwardStalkAlgHom R S p) x.1
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
Finite α
Finite κ
Finite η
⊢ ∃ n, ∀ (C : (Fin n → α) → κ), ∃ l, Combinatorics.Subspace.IsMono C l
α : Type u
a b : α
⊢ [a] = [b] ↔ a = b
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
Fintype ι
Fintype κ
AddCommMonoid α
e : ι → κ
he : Function.Bijective e
f : ι → α
g : κ → α
h : ∀ (x : ι), f x = g (e x)
⊢ ∑ x : ι, f x = ∑ x : κ, g x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = f a * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
f : ℝ → 𝕜
NormedField 𝕜
h : IntervalIntegrable f μ a b
c : 𝕜
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x / c) μ a b
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
a : I
as : List I
ha : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: as)
c : Products I →₀ ℤ
hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}
⊢ ∀ (c_1 : Products I), c c_1 ≠ 0 → e (π C fun x => x ∈ s) a * c c_1 • Products.eval (π C fun x => x ∈ s) c_1 ∈ Submodule.span ℤ (Products.eval (π C fun x => x ∈ s) '' {m | ↑m ≤ a :: as})
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
⊢ ∏' (x : ↑Set.univ), f ↑x = ∏' (x : β), f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
A₁ A₂ A₃ : C
CategoryTheory.Exponentiable A₁
CategoryTheory.Exponentiable A₂
CategoryTheory.Exponentiable A₃
f : A₁ ⟶ A₂
g : A₂ ⟶ A₃
⊢ CategoryTheory.pre (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.pre g) (CategoryTheory.pre f)
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K : Ideal S
x : R
⊢ x ∈ Ideal.comap f K ↔ f x ∈ K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct (X ⨯ Y) (X ⨯ Y)
⊢ CategoryTheory.Limits.diag (X ⨯ Y) ≫
    CategoryTheory.Limits.prod.map CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.snd =
  𝟙 (X ⨯ Y)
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R →+* R'
j : S →+* S'
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (algebraMap R' S').comp i = j.comp (algebraMap R S)
r : R
x✝ : S
⊢ ↑j (r • x✝) = ↑i r • ↑j x✝
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
this : (a : Prop) → Decidable a
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ↑(∏ j ∈ s.erase i, (sec M (f j)).2) * ↑(sec M (f i)).2 = ↑(∏ i ∈ s, (sec M (f i)).2)
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
p : R[X]
hr : (aeval x) p ∈ (aeval x).range
k : ℕ
hkq : k ∈ (p %ₘ f).support
⊢ eval₂ (algebraMap R A) x (C ((p %ₘ f).coeff k) * X ^ k) ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
⊢ Chebyshev.T ℚ ↑n = (C ⅟2 * X).comp (2 * Chebyshev.T ℚ ↑n)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q ≠ 0
⊢ ↑p ^ (-padicValRat p q) ≠ 0
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_5
TopologicalSpace α
Zero β
Zero γ
g : β → γ
f : α → β
hf : HasCompactSupport f
hg : g 0 = 0
⊢ HasCompactSupport (g ∘ f)
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F✝ X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
F : Set α := {x | M.Basis I (insert x I)}
hIF : M.Basis I F
⊢ M.closure I = F
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
⊢ (μ.prod ν).map Prod.swap = ν.prod μ
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
a : B
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id F).app a = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj a)
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
m : MeasureTheory.AddContent C
hC : MeasureTheory.IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h_dis : Disjoint s t
⊢ m (s ∪ t) = m s + m t
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b x y : α
⊢ Chain' R [x, y] ↔ R x y
α : Type u_1
DivisionSemiring α
a b c : α
⊢ a / c + b / c = (a + b) / c
G : Type u_1
AddGroup G
s : AddSubgroup G
x : G
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ (f z - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (z - x)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet
ht : MeasurableSet t
this : μ.rnDeriv ν' =ᶠ[ae (ν.restrict t)] (μ.restrict t).rnDeriv ν'
⊢ (μ.restrict t).rnDeriv ν' =ᶠ[ae (ν.restrict t)] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset α
h : mulSupport f ⊆ ↑s
A : mulSupport (f ∘ PLift.down) = ⇑Equiv.plift.symm '' mulSupport f
this : mulSupport (f ∘ PLift.down) ⊆ ↑(Finset.map Equiv.plift.symm.toEmbedding s)
⊢ ∏ x ∈ s, f (Equiv.plift.symm x).down = ∏ i ∈ s, f i
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ Set.image2 f s t = Set.image2 (fun a b => f b a) t s
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
b : B
a : F
p : Z.TotalSpace
⊢ p.proj ∈ Z.baseSet (Z.indexAt p.proj)
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2
u : V
unC : u ∉ ↑C
p : G.Walk v u
x y : V
xy : G.Adj (x, y).1 (x, y).2
xC : { toProd := (x, y), adj := xy }.toProd.1 ∈ ↑C
ynC : { toProd := (x, y), adj := xy }.toProd.2 ∉ ↑C
⊢ False
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s - 1 / (s - 1) = 1 - s * ZetaAsymptotics.term_tsum s
⊢ Primrec₂ fun x x_1 => x / x_1
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
this✝ : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε
this : ε ≤ ↑(G.interedges (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)).card / (↑(filter (G.Adj x) t).card * ↑(filter (G.Adj x) u).card)
hε : 0 ≤ ε
⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u)).card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < p.radius
this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun s => ‖p (n - s.card + s.card)‖₊ * r ^ s.card * r' ^ (n - s.card)) (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)
⊢ Summable fun x => ∑' (y : Finset (Fin x)), ‖p (⟨x, y⟩.fst - ⟨x, y⟩.snd.card + ⟨x, y⟩.snd.card)‖₊ * r ^ ⟨x, y⟩.snd.card * r' ^ (⟨x, y⟩.fst - ⟨x, y⟩.snd.card)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
c : E
⊢ StrictConvex 𝕜 {c}
α : Type u_1
LinearOrder α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
⊢ (SimpleGraph.hasse α).Preconnected
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.f' h.π = 0
α : Type u_1
l : List α
a : α
⊢ l.Subperm [a] ↔ l = [] ∨ l = [a]
K : Type u
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : IsDomain K
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F K[X] R[X]
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F K[X] R[X]
φ : F
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰
p q : K[X]
⊢ (map φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ p) / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ q)
n : ℤ
⊢ n.negOnePow = (-1) ^ n
⊢ ∀ {X Y : Lat} (a : LatticeHom ↑X ↑Y), Lat.dual.map a = LatticeHom.dual a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
a : F
h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)
ha : ¬a = 0
ha' : (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) a ≠ 0
hn : ¬n = 0
⊢ IsSolvable (X ^ n - C a).Gal
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)
⊢ ↑r.num - ↑r.num * ↑(r.den.gcd p) = 0
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
n : ℕ
⊢ χ ^ (2 * n + 1) = χ
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β
hs : s.Nodup
ht : t.Nodup
⊢ (s.disjSum t).Nodup
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
NormOneClass A
a : A
⊢ spectrum 𝕜 a ⊆ Metric.closedBall 0 ‖a‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Grp
I : Type w'
U : I → C
i j : I
T : C
a : T ⟶ U i
b : T ⟶ U j
⊢ CategoryTheory.PresheafOfGroups.OneCochain.ev 1 i j a b = 1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
⊢ HasExt C
k : Type u
Field k
IsAlgClosed k
x : k
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ∃ z, z ^ n = x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
f_cont : Continuous f
f_inj : Function.Injective f
⊢ IsProperMap f ↔ IsClosedMap f
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : L
⊢ CompleteLattice.Independent fun i => ↑(weightSpaceOf M i x)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L₁ R} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).functor.map f).left = f.left
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackConeOfLeftIso f g).π.app none = g
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
r : ℝ
ha : 0 ≤ r
f : ι → ℝ
⊢ (⨆ i, f i) * r = ⨆ i, f i * r
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
hf : ¬f = 0
⊢ ((expand R p) f).natDegree = f.natDegree * p
α : Type u_1
s : Set α
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
⊢ MeasurableSet (closure s)
q₁ q₂ : ℚ
⊢ (q₁ * q₂).den ∣ q₁.den * q₂.den
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
hle : ‖x‖ ≤ ‖y‖
h : RCLike.re ⟪x, y⟫_𝕜 = ‖y‖ ^ 2
⊢ x = y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hab : a ≤ b
hc : 0 ≤ c
⊢ a * (1 / c) ≤ b * (1 / c)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a⁺ᵐ ≤ b⁺ᵐ ∧ b⁻ᵐ ≤ a⁻ᵐ
⊢ a⁺ᵐ / a⁻ᵐ ≤ b⁺ᵐ / b⁻ᵐ
α : Type u_3
Monoid α
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
y : α
h : ∀ x ∈ s, Commute y x
⊢ Commute y (s.noncommProd comm)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
h : ∠ b p c = π
⊢ dist a b ^ 2 * dist c p + dist a c ^ 2 * dist b p = dist b c * (dist a p ^ 2 + dist b p * dist c p)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : AddZeroClass δ
inst✝ : Min δ
C : Cost α β δ
y : β
ys : List β
⊢ (List.foldr (fun y d => ⟨[C.insert y + d.val.getLast ⋯], impl.proof_3⟩) ⟨[0], suffixLevenshtein.proof_2⟩ ys).val.getLast ⋯ = (List.foldr (fun y d => ⟨[C.insert y + d.val.getLast ⋯], impl.proof_3⟩) ⟨[0], suffixLevenshtein.proof_2⟩ ys).val[0]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
x✝ : CochainComplex C ℤ
i✝ : ℤ
⊢ ((shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).hom.app x✝).f i✝ = ((shiftFunctorZero' C 0 ⋯).hom.app x✝).f i✝
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
hf : IsOpenMap ⇑f
⊢ CategoryTheory.CoverPreserving (Opens.grothendieckTopology ↑X) (Opens.grothendieckTopology ↑Y) hf.functor
n m a : ℕ
h : n ≤ m
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1
⊢ False
α : Sort u_1
β : Sort u_2
a : Erased α
f : α → Erased β
⊢ a.bind f = f a.out
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀✝ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
x₀ : F
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g x₀
f : F → E := fun x => g (x₀ - x)
If : Integrable f μ
this : Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) • g (x₀ - x) ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
c : ℝ
⊢ ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • (x₀ - x))) • g x ∂μ = ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • (x₀ + -x))) • g (x₀ - (x₀ + -x)) ∂μ
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
n : ℕ
e : σ ≃ τ
⊢ ∑ x ∈ powersetCard n univ, ∏ i ∈ x, X (e i) = ∑ t ∈ powersetCard n (Finset.map e.toEmbedding univ), ∏ i ∈ t, X i
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h0 : n ≠ 0
⊢ ∀ (a : ℕ), a ∈ (filter Squarefree n.divisors).val ↔ a ∈ Multiset.map (fun x => x.val.prod) (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s ∩ t = s ∩ u ↔ s ∩ u ⊆ t ∧ s ∩ t ⊆ u
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
⊢ a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b
α : Type u_1
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
s : Multiset α
H : ∀ a ∈ s, p a
⊢ Multiset.pmap f s H = Multiset.map (fun x => f ↑x ⋯) s.attach
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
F.Full
F.Faithful
f : F.obj X ≅ F.obj Y
⊢ (F.preimageIso f).hom = F.preimage f.hom
α : Type u_1
S : Set (Set α)
t : Set α
h : ∀ t' ∈ S, t' ⊆ t
⊢ ⋃₀ S ⊆ t
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s : Set V
x : V
hs : LinearIndependent K fun (b : ↑s) => ↑b
hx : x ∉ Submodule.span K s
⊢ LinearIndependent K fun (b : ↑(insert x s)) => ↑b
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
Algebra.IsSeparable F E
⊢ Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank F E) * Cardinal.lift.{v, w} (Field.sepDegree E K) =
  Cardinal.lift.{v, w} (Field.sepDegree F K)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
n : ℕ
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
H : C ⥤ D
F : SimplexCategory.Truncated n ⥤ C
X : SimplexCategory.Truncated n
⊢ (((CategoryTheory.CosimplicialObject.Truncated.whiskering C D).obj H).obj F).obj X = H.obj (F.obj X)
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTotal α r
IsTrans α r
a : α
l : List α
⊢ List.Sorted r l → List.Sorted r (List.orderedInsert r a l)