ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
h : IsAssociatedPrime I M
⊢ I.IsPrime
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
⊢ (X - C x).degree ≤ p.degree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
x : α
⊢ ∀ i' ∈ 𝓤 β, ∃ i ∈ 𝓤 β, UniformFun.gen α β i ⊆ (fun x_1 => ((Function.eval x ∘ ⇑toFun) x_1.1, (Function.eval x ∘ ⇑toFun) x_1.2)) ⁻¹' id i'
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab : b₂ ∈ eval f₂ a₂
⊢ ∃ b₁, tr b₁ b₂ ∧ b₁ ∈ eval f₁ a₁
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.Cone (TopCat.Presheaf.SheafConditionEqualizerProducts.diagram F U)),
  ((TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquivCounitIso F U).inv.app X_1).hom = 𝟙 X_1.pt
s : ℂ
n : ℕ
⊢ LSeries.term LSeries.delta s n = if n = 1 then 1 else 0
A : Type u_2
Field A
CharZero A
N : ℕ
⊢ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |NumberField.discr ↥↑K| ≤ ↑N}.Finite
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a - b + c = c - b + a
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
n : ℕ
f : V →ₗ[K] V'
⊢ (∃ s, (∃ t, ↑t = s ∧ t.card = n) ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑s) => f ↑x) ↔ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑↑s) => f ↑x
M : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : Monoid M
inst✝⁷ : MulAction M α✝
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul M α✝
N : Type u_4
inst✝⁵ : Monoid N
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : MulAction M α
inst✝³ : MulAction N β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : ContinuousConstSMul N β
σ : M → N
⊢ IsClosed (⋂ i, ⋂ i_1, {x | x (i • i_1) = σ i • x i_1})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : AddCommMonoid β
f : ι →₀ α
i : ι
a : α
g : ι → α → β
hg : ∀ (i : ι), g i 0 = 0
hgg : ∀ (j : ι) (a₁ a₂ : α), g j (a₁ + a₂) = g j a₁ + g j a₂
⊢ (single i a).sum g + g i (f i) = (single i (f i)).sum g + g i a
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
FloorRing K
Fintype ι
m : E
h : m ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑b)
⊢ ↑(Zspan.ceil b m) = m
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Decidable (IsField A)
⊢ ⊤ ≤ (algebraMap A K).range ↔ restrictScalars A ⊤ ≤ 1
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
inst✝² : HasLimit F
inst✝¹ : HasLimit (E ⋙ F)
inst✝ : HasLimit (F ⋙ G)
h : HasLimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
this : HasLimit (E ⋙ F ⋙ G)
j✝ : K
⊢ (G.map (pre F E) ≫ post (E ⋙ F) G) ≫ π ((E ⋙ F) ⋙ G) j✝ = (post F G ≫ pre (F ⋙ G) E) ≫ π ((E ⋙ F) ⋙ G) j✝
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
⊢ Fin.cast ⋯ (↑(p.length + ↑i) + 1) = Fin.natAdd (p.length + 1) i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
t : Set β
⊢ (⋃ i, s i) ×ˢ t = ⋃ i, s i ×ˢ t
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Preadditive E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
G.Additive
(F.comp G).Additive
G.Faithful
⊢ F.Additive
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
h0 : 0 < r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ ∃ δ > 0, ∀ {a : X}, a ∈ s → ∀ {b : X}, b ∈ s → edist a b < δ → edist (f a) (f b) < ε
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
s : Set ↑(X.presheaf.obj (op U))
⊢ ∀ i ∈ s, IsClosed (↑(X.basicOpen i))ᶜ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
ε₁ ε₂ : ℝ
h : (Metric.closedBall x ε₁ ∩ Metric.ball y ε₂).Nonempty
⊢ dist x y < ε₁ + ε₂
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' Set.Ioi b = Set.Ioi (b - a)
α : Type u_1
f : Filter α
m : α → ℝ≥0
a : ℝ≥0
⊢ Filter.Tendsto (fun a => ↑(m a)) f (𝓝 ↑a) ↔ Filter.Tendsto m f (𝓝 a)
α : Type u_2
Preorder α
⊢ ∅.IsPWO
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
A B : E →WOT[𝕜]F
h : ∀ (x : E) (y : F), ⟪y, A x⟫_𝕜 = ⟪y, B x⟫_𝕜
⊢ A = B
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C
h : F.map P.p ≫ φ.app P.X = φ.app P.X ≫ G.map P.p
⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f ≫ (φ'.app P.X).f
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
n : ℕ
hn : (↑n)⁻¹ < a
⊢ ∃ n, 2⁻¹ ^ n < a
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (T : C), Function.Bijective fun x => f ≫ x
g : Y ⟶ X
hg : f ≫ g = 𝟙 X
⊢ IsIso f
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
s : Set (Submodule R M)
p : Submodule R M := { toAddSubmonoid := sSup (toAddSubmonoid '' s), smul_mem' := ⋯ }
⊢ sSup s ≤ p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → β → Prop
p : β → γ → Prop
q : γ → δ → Prop
⊢ flip (r ∘r p) = flip p ∘r flip r
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
p a b : ℕ
hp : Nat.Prime p
ha : a < p
hab : b - a < p
h : p ≤ b
⊢ p ∣ b.choose a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
⊢ ∃ M' N', Module.Finite R ↥M' ∧ Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeSup α
SemilatticeSup γ
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
g : α → γ
g_sup : ∀ (x y : α), g (x ⊔ y) = g x ⊔ g y
⊢ g (s.sup' H f) = s.sup' H (g ∘ f)
m n : Nat
⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t✝ : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t✝.Finite
t : Finset α
⊢ hs.toFinset ⊂ t ↔ s ⊂ ↑t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ⟪-x, -y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂ (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
w₃ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 3 4 ⋯ ⋯) app₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₃ (g.map' 3 4 ⋯ ⋯)
w₄ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 4 5 ⋯ ⋯) app₅ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₄ (g.map' 4 5 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₅ app₀ app₁ app₂ app₃ app₄ app₅ w₀ w₁ w₂ w₃ w₄).app ⟨3, ⋯⟩ = app₃
s : Set ℕ
Infinite ↑s
DecidablePred fun x => x ∈ s
n : ℕ
⊢ Nat.Subtype.toFunAux (Nat.Subtype.ofNat s n) = n
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
H : p < i.succ
⊢ p.succAbove i < p ↔ i.castSucc < p
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n₁ n₂ d₁ d₂ : ℤ
hn₁ : n₁ ≠ 0
hn₂ : n₂ ≠ 0
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0
⊢ padicValRat p (n₁ /. d₁) ≤ padicValRat p (n₂ /. d₂) ↔ ∀ (n : ℕ), ↑p ^ n ∣ n₁ * d₂ → ↑p ^ n ∣ n₂ * d₁
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝ : Inhabited Λ
M : Machine₀
S : Set Λ
ss : Supports M S
q : Λ
T : Tape Γ
h₂ : { q := q, Tape := T }.q ∈ S
q' : Λ
a : Stmt₀
h : M q T.head = some (q', a)
h₁ : (match (q', a) with | (q', a) => { q := q', Tape := match a with | Stmt.move d => Tape.move d T | Stmt.write a => Tape.write a T }) ∈ step M { q := q, Tape := T }
⊢ (match (q', a) with | (q', a) => { q := q', Tape := match a with | Stmt.move d => Tape.move d T | Stmt.write a => Tape.write a T }).q ∈ S
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
e : α ≃ᵐ β
f : β → γ
⊢ AEMeasurable f (MeasureTheory.Measure.map (⇑e) μ) ↔ AEMeasurable (f ∘ ⇑e) μ
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
⊢ ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).π ≫ (Iso.refl ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).pt).hom = ((𝟭 (Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap)).obj K).π
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f g : ((i : ι) → φ i) →ₗ[R] M
h : ∀ (i : ι), f ∘ₗ single i = g ∘ₗ single i
i : ι
x : φ i
⊢ f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
ht : t ≤ v.t₀
⊢ |↑t - ↑v.t₀| ≤ v.tDist
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ ((ι Q) 0 + (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 1) * ((ι Q) m - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 0) = (ι Q) m
α : Type u_1
m n : ZNum
⊢ ¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ ∃ S₁, S₁.isMinimal
R : Type u_1
b c d : R
Semiring R
⊢ { a := 1, b := b, c := c, d := d }.toPoly.Monic
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
s : Finset α
t : Finset β
a a' : α
b b' : β
inst✝¹ : DecidablePred (r a)
inst✝ : (a : α) → Decidable (r a b)
m n : ℕ
hs : ∀ a ∈ s, ∃ b ∈ t, r a b
ht : ∀ b ∈ t, {a | a ∈ s ∧ r a b}.Subsingleton
⊢ s.card ≤ t.card
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y✝ : R
I : Ideal R
H : IsDomain (R ⧸ I)
x y : R
h : x * y ∈ I
⊢ x ∈ I ∨ y ∈ I
α : Type u_1
FinEnum α
β : α → Type u_2
(a : α) → FinEnum (β a)
xs : List α
f : (a : α) → a ∈ xs → β a
⊢ f ∈ xs.pi fun x => FinEnum.toList (β x)
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
i j : ℕ
e : l₁ ++ List.replicate i default = l₂ ++ List.replicate j default
h : l₁.length ≤ l₂.length
⊢ l₁ ++ List.replicate i default = l₁ ++ List.replicate (i - j) default ++ List.replicate j default
n : ℕ+
⊢ (↑n).toPNat' = n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
m n : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 n f
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiff 𝕜 m (fderiv 𝕜 f)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
x : FreeAbelianGroup α
⊢ ((map g).comp (map f)) x = (map g) ((map f) x)
x y z : ℤ
h✝ : PythagoreanTriple x y z
k : ℤ
hk : k ≠ 0
h : k * x * (k * x) + k * y * (k * y) = k * z * (k * z)
⊢ (x * x + y * y) * (k * k) = z * z * (k * k)
α : Type u_1
Lattice α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.uIcc a b = Set.Icc a b
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I✝ I J : TwoSidedIdeal R
⊢ ↑I ⊆ ↑J ∧ I ≠ J ↔ ↑I ⊆ ↑J ∧ ↑I ≠ ↑J
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f✝ : Dual K V₁
hf : f✝ ≠ 0
f g : Dual K V₁
x : V₁
h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g
h' : f x = g x
hx : f x ≠ 0
p : Submodule K V₁ := Submodule.span K {x}
hp : p ≠ ⊥
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
⊢ f = g
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ ⊤ ≤ map (LinearMap.snd R M M₂) (snd R M M₂)
α : Type u_1
σ : Type u_2
self : Ctop α σ
a b : σ
x : α
h : x ∈ self.f a ∩ self.f b
⊢ x ∈ self.f (self.inter a b x h)
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
hsur : Function.Surjective ⇑(algebraMap R A)
X : Set M
m✝ : M
hm✝ : m✝ ∈ restrictScalars R (span A X)
m : M
hm : m ∈ span R X
r : R
⊢ (algebraMap R A) r • m ∈ span R X
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.ShortExact
⊢ Function.Surjective ⇑S.g
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y Z✝ X Z : C
⊢ eqToHom ⋯ ▷ Z = eqToHom ⋯
P : ℤ → Prop
Hbdd : ∃ b, ∀ (z : ℤ), P z → z ≤ b
Hinh : ∃ z, P z
⊢ ∃ ub, P ub ∧ ∀ (z : ℤ), P z → z ≤ ub
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
⊢ -arcsin x ∈ Icc (-(π / 2)) (π / 2)
α : Sort u
p : α → Prop
hex : ∃ y, p y
⊢ p (Classical.epsilon p)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)
V₀ : Set G := ⋂ V ∈ t, V.carrier
h1V₀ : IsOpen V₀
⊢ (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ i ∈ t, clPrehaar (↑K₀) i).Nonempty
z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂' z τ = -2 * ↑π / (-Complex.I * τ) ^ (3 / 2) * HurwitzZeta.jacobiTheta₂'' z (-1 / τ)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁷ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁵ : Preadditive C
inst✝¹⁴ : HasZeroObject C
inst✝¹³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹² : Pretriangulated C
inst✝¹¹ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁰ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁹ : L.IsLocalization W
inst✝⁸ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁷ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : HasZeroObject D
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : L.Additive
inst✝² : Pretriangulated D
inst✝¹ : L.IsTriangulated
inst✝ : IsTriangulated C
⊢ IsTriangulated D
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
i : ι
⊢ (HomologicalComplex.homotopyCofiber φ).X i = HomologicalComplex.homotopyCofiber.X φ i
α : Type u
β : Type v
OrderedAddCommGroup β
f : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsMaxOn f s a
⊢ IsMinOn (fun x => -f x) s a
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' (fun a => ‖f a‖) q μ = MeasureTheory.eLpNorm' f q μ
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
a b c : ℝ
hne : a ≠ b
hc : c ∈ [[a, b]]
h_deriv : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[[[a, b]] \ {c}] c, DifferentiableAt ℝ f x
h_infty : Filter.Tendsto (fun x => ‖f x‖) (𝓝[[[a, b]] \ {c}] c) Filter.atTop
hg : deriv f =O[𝓝[[[a, b]] \ {c}] c] g
⊢ ¬IntervalIntegrable g MeasureTheory.volume a b
R : Type u
a : R
Semiring R
n : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ n).trailingDegree = ↑n
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : BoundedLatticeHom α β
⊢ ⇑f.toBoundedOrderHom = ⇑f
p : ℂ × ℂ
h₁ : 0 ≤ p.1.re ∨ p.1.im ≠ 0
h₂ : 0 < p.2.re
⊢ ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) p
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset γ
⊢ Finset.image₂ f s t ⊆ u ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, f x y ∈ u
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
a : 𝕜
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) l (𝓝 0)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hD : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
⊢ ‖f z‖ ∈ norm ∘ f '' (re ⁻¹' {z.re})
α : Type u
Group α
⊢ Equiv.mulLeft 1 = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
c : F
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => c - f y) x = -fderiv 𝕜 f x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ -(1 - r) / r < 0 ∧ p₃ -ᵥ p₂ = (-(1 - r) / r) • (p₁ -ᵥ p₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this : HasSum (fun i => (1 - x) * x ^ i) ((1 - x) * ∑' (b : ℕ), x ^ b)
⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (1 - x) * x ^ i) atTop (𝓝 1)
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : E
⊢ gauge (Metric.closedBall 0 r) x = ‖x‖ / r
⊢ Filter.Tendsto (fun s => 1 / (s - 1) - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i : n
⊢ A.cramer b i = (A.updateColumn i b).det
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
T₁ T₂ : Triangle D
hT₁ : T₁ ∈ L.essImageDistTriang
hT₂ : T₂ ∈ L.essImageDistTriang
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
⊢ ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' : F → F
h : ∀ (x : F), HasGradientAt f (f' x) x
⊢ ∇ f = f'
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
⊢ Surreal.Multiplication.P2 x₁ x₂ y ↔ Surreal.Multiplication.P2 x₁ x₂ (-y)
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
One β
TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
⊢ Filter.Tendsto (fun δ => (Metric.thickening δ E).mulIndicator f) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f))
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k
⊢ slope f a b = slope f b a
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X : T
A B : Under X
f : A ⟶ B
this : (Functor.fromPUnit X).map f.left ≫ B.hom = A.hom ≫ (𝟭 T).map f.right
⊢ A.hom ≫ f.right = B.hom
M : Type u_5
F : Type u_6
AddGroup M
FunLike F M M
AddMonoidHomClass F M M
f : F
n : ℕ
x : M
⊢ (⇑f)^[n] (-x) = -(⇑f)^[n] x
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
t✝ : Multiset α
b : α
t : Multiset α
IH : ∀ (s : Multiset α), count a (s - t) = count a s - count a t
s : Multiset α
ab : a ≠ b
⊢ count a (s.erase b) - count a t = count a s - count a (b ::ₘ t)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)
⊢ (Multiset.map (f ∘ fun i => g i) s.val).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hz : z ∈ [x-[𝕜]y]
⊢ f z ≤ max (f x) (f y)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)
⊢ P (g ^ 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
⊢ (⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y) ⊓ s.einfsep ≤ (insert x s).einfsep
α : Type u_1
f : α → α
a : α
n i : ℕ
⊢ i < n → (List.iterate f a n)[i]? = some (f^[i] a)
R : Type u_1
S : Type u_2
EuclideanDomain R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
DecidableEq ι
Fintype ι
bS : Basis ι R S
⊢ 0 < ClassGroup.normBound abv bS
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
DecidableEq ι
TopologicalSpace F
⊢ Set.range ContinuousMultilinearMap.toUniformOnFun =
  {f |
    Continuous ((UniformOnFun.toFun {s | Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s}) f) ∧
      (∀ (m : (i : ι) → E i) (i : ι) (x y : E i),
          (UniformOnFun.toFun {s | Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s}) f (Function.update m i (x + y)) =
            (UniformOnFun.toFun {s | Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s}) f (Function.update m i x) +
              (UniformOnFun.toFun {s | Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s}) f (Function.update m i y)) ∧
        ∀ (m : (i : ι) → E i) (i : ι) (c : 𝕜) (x : E i),
          (UniformOnFun.toFun {s | Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s}) f (Function.update m i (c • x)) =
            c • (UniformOnFun.toFun {s | Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s}) f (Function.update m i x)}
f : ℕ → ℂ
s a : ℂ
h : LSeriesHasSum f s a
⊢ LSeries f s = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ⟪-x, y⟫_𝕜 = -⟪x, y⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : t.card ≤ s.card
b : β
⊢ b ∈ t → ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), b = f a ha
x : ℝ≥0∞
hx_top : ¬x = ⊤
hx_zero : ¬x = 0
⊢ x.log.exp = x
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
x : ↥(f.domain ⊓ g.domain)
⊢ ↑(f + g) x = ↑f ⟨↑x, ⋯⟩ + ↑g ⟨↑x, ⋯⟩