ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
f : ℕ →. ℕ
hf : Partrec f
⊢ Partrec (unpaired fun a b => Nat.rfind fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$> f (Nat.pair a (n + b)))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x✝ x : E
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ (r = 0 ∨ ‖x‖ = 0)} = 0 x
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
ha : a ∉ s
f : α → ℕ
⊢ Nat.multinomial (Finset.cons a s ha) f = (f a + ∑ i ∈ s, f i).choose (f a) * Nat.multinomial s f
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
a : G
b : H
LinearOrderedAddCommGroup G
Archimedean G
OrderedAddCommGroup H
AddConstMapClass F G H a b
f : F
ha : 0 < a
l : G
⊢ StrictAnti ⇑f ↔ StrictAntiOn (⇑f) (Set.Icc l (l + a))
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n
⊢ (B (v i)) (vi j • v j) = 0
n : ℕ
i j : Fin n
⊢ i.succ.succAbove (i.cycleRange j) = (Equiv.swap 0 i.succ) j.succ
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
m : (i : Fin n) → Ei i.castSucc
x : Ei (last n)
⊢ ‖f‖ * ((∏ i : Fin n, ‖snoc m x i.castSucc‖) * ‖snoc m x (last n)‖) = (‖f‖ * ∏ i : Fin n, ‖m i‖) * ‖x‖
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
⊢ Set.range ⇑(pullback.snd f g).val.base = (g ⁻¹ᵁ Scheme.Hom.opensRange f).carrier
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
cb : Computation β
x✝ : ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
b : β
mb : b ∈ cb
ab : R a b
b' : β
mb' : b' ∈ cb
⊢ R a b
α : Type u_1
f : α → α
s : Set α
h : Set.InjOn f s
hf : Set.MapsTo f s s
n : ℕ
⊢ Set.InjOn f^[n] s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommMonoid α
a : α
⊢ a * a < 1 ↔ a < 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x < y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] y = ⊥
⊢ f x ≤ leftLim f y
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, u * (↑y ^ (u - 1) * (1 - ↑y) ^ v) - v * (↑y ^ u * (1 - ↑y) ^ (v - 1)) = 0
hF0 : F 0 = 0
hF1 : F 1 = 0
⊢ IntervalIntegrable (fun y => u * (↑y ^ (u - 1) * (1 - ↑y) ^ v)) volume 0 1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommSemiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommSemiring T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hinj : LinearMap.ker f = ⊥
hsurj : LinearMap.range f = ⊤
⊢ ⇑(ContinuousLinearEquiv.ofBijective f hinj hsurj) = ⇑f
α : Type u_1
Primcodable α
p q : α → Prop
hp : ComputablePred p
H : ∀ (a : α), p a ↔ q a
⊢ ComputablePred q
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace β
SecondCountableTopology β
f : α → β
⊢ SecondCountableTopology α
n : Type u_2
R : Type u_4
Semiring R
Fintype n
v w : n → R
h : ∀ (u : n → R), Matrix.dotProduct v u = Matrix.dotProduct w u
⊢ v = w
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
⊢ BddAbove (Set.range fun y => f (x * y) / f y)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
m n : ℤ
a : α
ha : 0 < a
⊢ m • a ≤ n • a ↔ m ≤ n
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
φ : X → E
φ_int : Integrable φ μ
⊢ ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
n : ℕ
hpos : 0 < n
⊢ Irreducible (Polynomial.cyclotomic n ℤ)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → LT (α i)
i : ι
a b : α i
⊢ ⟨i, a⟩ < ⟨i, b⟩ ↔ a < b
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
a : α
k r : ℕ
t : Finset α
x✝ : t ∈ 𝒜
hst : t✝ ⊆ t
⊢ (t \ t✝).card = k ↔ t.card = t✝.card + k
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X
⊢ ∀ (a : X), ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1) 1) a = ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1) 1) a
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsOpen s) fun x => x
t : ℝ
ht' : t ≤ ↑0
⊢ (1 - t / ↑0) ^ 0 ≤ rexp (-t)
M : Type u_1
AddMonoid M
P : AddSubmonoid M
⊢ P.FG ↔ ∃ S, AddSubmonoid.closure S = P ∧ S.Finite
𝕜 : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
E : Type u_2
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
SMul 𝕜 E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
K L : ConvexCone 𝕜 E
⊢ K.closure = L ↔ closure ↑K = ↑L
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
CompleteSpace E
f : E ≃ₜ F
f₀' : E → E ≃L[𝕜] F
hf₀' : ∀ (a : E), HasFDerivAt (⇑f) (↑(f₀' a)) a
hf : ContDiff 𝕜 n ⇑f
⊢ ContDiff 𝕜 n ⇑f.symm
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
this : Nontrivial K
x✝ : ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
v₀ : V
h : v₀ ≠ 0
hv : ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
⊢ 1 ≤ Module.rank K V
p q : NNReal
h : p.IsConjExponent q
⊢ p * q = p + q
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s ∩ sᶜ = ∅
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalRing A
Module R A
Nontrivial R
a : A
⊢ ↑0 = 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y => -f y) s x = -derivWithin f s x
α : Type u_1
ι✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t : Set α
ι : Type u_4
μ : F
s : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
h0 : Tendsto (fun k => μ ((⋃ n, s n) \ s k)) l (𝓝 0)
⊢ μ (⋃ n, s n) = ⨆ n, μ (s n)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
⊢ Set.Icc a₁ a₂ ×ˢ Set.Icc b₁ b₂ = Set.Icc (a₁, b₁) (a₂, b₂)
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), ‖-x‖ = ‖x‖
nm_add : ∀ (x y : ι → ℝ), ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t✝ : Finset β
a : α
b c : β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ t
a✝ : β
⊢ a✝ ∈ filter (fun y => y ∈ image f s) t ↔ a✝ ∈ image f s
R : Type u
CommRing R
x : ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.stalkToFiberRingHom R x ≫ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.localizationToStalk R x =
  𝟙 ((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).presheaf.stalk x)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : AddZeroClass α
M N : o → Matrix m n α
i✝ : m × o
j✝ : n × o
⊢ blockDiagonal (M + N) i✝ j✝ = (blockDiagonal M + blockDiagonal N) i✝ j✝
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 : (extendIdealTo i f h y) r = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)
⊢ ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap (fst i x) + (extendIdealTo i f h y) (snd i x) = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a + (r • y - snd i x • y), ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
⊢ ↑0 = 0
ι : Sort u_1
G : Type u_2
AddGroup G
S : ι → AddSubgroup G
⊢ (iInf S).op = ⨅ i, (S i).op
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ a ::ₘ ↑l = ↑(a :: l)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
tf : α → L.Term β
v : β → M
xs : Fin n → M
⊢ (φ.subst tf).Realize v xs ↔ φ.Realize (fun a => FirstOrder.Language.Term.realize v (tf a)) xs
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
s : Set N
⊢ Subsemigroup.closure (⇑f ⁻¹' s) ≤ Subsemigroup.comap f (Subsemigroup.closure s)
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ b ≤ a⁻¹ * c ↔ a * b ≤ c
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.Measure Ω
c : ℝ≥0∞
h : MeasureTheory.levyProkhorovEDist μ ν < c
B : Set Ω
B_mble : MeasurableSet B
⊢ μ B ≤ ν (Metric.thickening c.toReal B) + c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
F : TopCat.Sheaf C X
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
s :
  CategoryTheory.Limits.PullbackCone (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op)
    (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op)
⊢ F.interUnionPullbackConeLift U V s ≫ F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op = s.fst
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℕ
hn : 1 < n
⊢ Ergodic (fun y => n • y) MeasureTheory.volume
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X ⊕ Y → Z
⊢ Continuous f ↔ Continuous (f ∘ Sum.inl) ∧ Continuous (f ∘ Sum.inr)
a b c d : Ordinal.{u}
⊢ a ⨳ b ⨳ c ≤ d ↔ ∀ a' < a, ∀ b' < b, ∀ c' < c, a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c' < d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c'
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
Fintype α
h𝒜 : IsUpperSet ↑𝒜
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
⊢ 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ Fintype.card α * (𝒜 ∩ ℬ).card
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderBot β
⊢ ⊥ = (OrderHom.const α) ⊥
c : Code
h : c.Ok
v : List ℕ
⊢ Turing.eval step (stepNormal c Cont.halt v) = Cfg.halt <$> c.eval v
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ ¬IsMax a ↔ ∃ b, a < b
α : Type u_1
f : α → NNReal
⊢ ↑(∑' (a : α), f a) = ∑' (a : α), ↑(f a)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hm : φ.IsHomogeneous m
hn : φ.IsHomogeneous n
hφ : φ ≠ 0
⊢ m = n
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ {a} ⊆ s ↔ a ∈ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
⊢ (⨅ u, ⨅ (_ : a < u), 𝓟 (Iio u)) ⊓ 𝓟 (Ici a) ≤ ⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
PartialOrder Γ'
AddAction Γ Γ'
IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
AddCommMonoid V
Semiring R
Module R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
⊢ (x * y) • z = x • y • z
β : Type u_1
AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : CategoryTheory.DifferentialObject ℤ (CategoryTheory.GradedObjectWithShift b V)
x y : β
h : x = y
⊢ X.objEqToHom h ≫ X.d y = X.d x ≫ X.objEqToHom ⋯
α : Type u_2
Zero α
p : Prop
Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
LE α
ha : ∀ (h : p), 0 ≤ a h
hb : ∀ (h : ¬p), 0 ≤ b h
⊢ 0 ≤ dite p a b
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
⊢ (F.obj n).map (F.εIso.inv.app X ≫ F.ε.app X) = ((F.μ (𝟙_ M) n).app X ≫ (F.map (λ_ n).hom).app X) ≫ (F.obj n).map (F.ε.app X)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J) C
X : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J
⊢ (CategoryTheory.Limits.diagramIsoParallelFamily F).inv.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ (t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g) ≫ 𝒰.map i = (pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g) ≫ 𝒰.map i
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
Group α
MulDistribMulAction α G
a : α
S : Subgroup G
x : G
⊢ x ∈ a⁻¹ • S ↔ a • x ∈ S
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
n : ℕ
f : α → Fin n → σ
⊢ Primrec f ↔ Primrec₂ f
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : M
r : R
hx : x = 0 ∧ r = 0
⊢ (algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) r = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
g : β ≃. γ
a : α
⊢ (∀ (a_1 : γ), ¬∃ b ∈ f a, a_1 ∈ g b) ↔ ∀ (b : β) (c : γ), b ∈ f a → c ∉ g b
G : Type v
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
Group G
MulAction G X
IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ≥0∞
⊢ c • EMetric.ball x r = EMetric.ball (c • x) r
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)
⊢ ‖x - y‖ * ‖x + y‖ = |‖z + y‖ ^ 2 - ‖z - x‖ ^ 2|
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ
⊢ (∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i) ↔ 0 ≤ i ∧ i < a
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜
⊢ (List.map ((fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) p).sum = (List.map ((fun x => ‖a‖ • x) ∘ fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum
a b : ℤ
⊢ ↑(EuclideanDomain.gcd a b).natAbs ∣ ↑(a.gcd b)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → β → α'
S : Set β
⊢ UniformContinuousOn (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S ↔ ∀ (k : κ), UniformContinuousOn (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
h1 : n ≠ 1
⊢ n / 4 + 1 < n
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
⊢ Tendsto f (cocompact E) (𝓝 0)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝² : HasInitial C
inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F
this : HasCoproduct X
hi : ∀ (b : ∏ᶜ fun b => F.obj (op (X b))), ∃! a, (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b
b : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X
a✝ : Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj b = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj b
t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
ht₁ : (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) t = b
ht₂ : ∀ (y : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))), (fun a => (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b) y → y = t
y : F.obj (op c.pt)
hy : (fun x => Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = b) y
⊢ 𝟙 (∏ᶜ fun x => op (X x)) = (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommRing R
CommRing A
CommRing B
CommRing C
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
g : B →ₐ[R] C
f : A →ₐ[R] B
hg : g.Finite
hf : f.Finite
⊢ (g.comp f).Finite
R : Type u
n : ℕ
Ring R
p q : R[X]
pn : p.natDegree ≤ n
⊢ (p - q).natDegree ≤ n ↔ q.natDegree ≤ n
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
f : ι →₀ μ
⊢ f ∈ (insert a s).finsuppAntidiag n ↔ f ∈ (antidiagonal n).biUnion fun p => map { toFun := fun f => (↑f).update a p.1, inj' := ⋯ } (s.finsuppAntidiag p.2).attach
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
fsymm : f.NonlinearRightInverse
y : F
⊢ f (fsymm.toFun y) = y
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
x y : S
d : ℕ
hd : d ≠ 0
⊢ y ∈ Submodule.span R (Set.range fun i => x ^ ↑i) ↔ ∃ f, f.natDegree < d ∧ y = (Polynomial.aeval x) f
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b a : ℝ≥0
h : ↑a ≤ ↑b
⊢ (↑a).toReal ≤ ↑b
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I J : TwoSidedIdeal R
x : R
h : x ∈ I
⊢ x ∈ I ⊔ J
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf
hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.obj X)
y : ↑(M₂.presheaf.obj X)
⊢ ∀ (Y : C) (f_1 : Y ⟶ Opposite.unop X), (Presheaf.imageSieve f.hom y).arrows f_1 → (N.presheaf.map f_1.op) ((φ.app X) (r • y)) = (N.presheaf.map f_1.op) (r • (φ.app X) y)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ Continuous fun x => x ∈ s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
⊢ ↑a ^ (p / 2) * ↑(p / 2)! = ↑((-1) ^ (filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card) * ↑(p / 2)!
α : Type u_1
β : Type u_2
Finite β
f : α → β
⊢ Function.Bijective f ↔ Function.Injective f ∧ Nat.card α = Nat.card β
R : Type u_1
Rack R
x y : R
⊢ x ◃ x = y ◃ y ↔ x = y
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ (freeOn E).Basis I X ↔ I = X ∧ X ⊆ E
R : Type u
Semiring R
l : List R[X]
n : ℕ
⊢ l.sum.coeff n = (List.map (⇑(Polynomial.lcoeff R n)) l).sum
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : 0 ≤ r₂
⊢ Wbtw R (r₁ • v +ᵥ x) x (r₂ • v +ᵥ x)
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ[R] F
g : E →ₗ.[R] F
⊢ ↑(f +ᵥ g) = ⇑(f ∘ₗ g.domain.subtype) + ↑g
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
h : μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
z : α
⊢ ↑f z = x ∧ ↑g z = y → ¬↑f z = ↑g z
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
b : β a
s : Finmap β
⊢ a' ∈ Finmap.replace a b s ↔ a' ∈ s
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n : ℤ
⊢ IsIso (HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
vars : Type u_1
val : vars → S
h : Function.Surjective ⇑(MvPolynomial.aeval val)
⊢ (Algebra.Generators.ofSurjective val h).vars = vars
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ ((((α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ X (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).hom) ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ X (𝟙_ C)).inv) ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).inv) ≫ (λ_ X).hom ▷ 𝟙_ C = (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ X (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ X (𝟙_ C)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).inv ≫ (λ_ X).hom ▷ 𝟙_ C
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
map_unit : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
j k : M' →ₗ[R] M''
h : j ∘ₗ f = k ∘ₗ f
⊢ k ∘ₗ f = k ∘ₗ f
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
⊢ (↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s - ↑(SignType.sign (↑n + 1 - a)) / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2 = ↑(SignType.sign (↑↑n + a)) / ↑|↑↑n + a| ^ s / 2 + ↑(SignType.sign (↑(-(↑n + 1)) + a)) / ↑|↑(-(↑n + 1)) + a| ^ s / 2
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
t : Set E
hst : t ⊆ s
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f t x