ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s t : Finset α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → ∃ z ∈ t, x < z ∧ z < y
f : α → WithTop α := fun x => (filter (fun y => x < y) t).min
f_mono : StrictMonoOn f ↑s
⊢ s.card ≤ t.card + 1
α : Type u
Zero α
One α
⊢ 1 = !![1, 0; 0, 1]
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
CeilDiv α β
f : ι →₀ β
a : α
i : ι
⊢ (f ⌈/⌉ a) i = f i ⌈/⌉ a
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
⊢ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v (Metric.ball (t₀ - dt) ε)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : VectorPrebundle.IsSmooth IB a
e e' : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
he : e ∈ a.pretrivializationAtlas
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
⊢ (b, (VectorPrebundle.smoothCoordChange IB a he he' b) v) = ↑e' { proj := b, snd := e.symm b v }
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
k : ℕ
x : R
⊢ stdBasisMatrix i j 1 ⊗ₜ[R] (monomial k) x = ↑includeLeft (stdBasisMatrix i j x) * 1 ⊗ₜ[R] (X ^ k)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f g : β → α
TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun b => max (f b) (g b)
α : Type u_1
DecidableEq (Option α)
s : Finset α
⊢ Finset.eraseNone (Finset.image some s) = s
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
h : DifferentiableAt ℝ abs 0
h₁ : deriv abs 0 = 1
h₂ : deriv abs 0 = -1
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : CategoryTheory.Presheaf.FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J F
i : I
⊢ ↑(hx.section_ hY hF) (Opposite.op (Y i)) = x i
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
⊢ basisDivisor x x = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
⊢ IsLocalizedModule S f ↔
  (∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M')) ↑x)) ∧
    (∀ (y : M'), ∃ x, x.2 • y = f x.1) ∧ ∀ {x₁ x₂ : M}, f x₁ = f x₂ → ∃ c, c • x₁ = c • x₂
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
L'.Structure M
ft : (n : ℕ) → L.Term (α ⊕ Fin n) → L'.Term (β ⊕ Fin n)
fr : (n : ℕ) → L.Relations n → L'.Relations n
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
v' : β → M
xs : Fin n → M
h1 :
  ∀ (n : ℕ) (t : L.Term (α ⊕ Fin n)) (xs : Fin n → M),
    FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim v' xs) (ft n t) = FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim v xs) t
h2 :
  ∀ (n : ℕ) (R : L.Relations n) (x : Fin n → M),
    FirstOrder.Language.Structure.RelMap (fr n R) x = FirstOrder.Language.Structure.RelMap R x
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.mapTermRel ft fr (fun x => id) φ).Realize v' xs ↔ φ.Realize v xs
α : Type u_1
LE α
s : LowerSet α
⊢ ↑s.compl = (↑s)ᶜ
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
s : Finset σ
a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
hd : (algebraMap R (MvPolynomial σ R)) r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'
this : (algebraMap R (MvPolynomial { x // x ∈ s } R)) r ∣ a' * b'
⊢ C r ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ C r ∣ (rename Subtype.val) b'
ι✝ : Type u_1
κ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f g : α✝ → β
ι : Type u_6
α : Type u_7
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid α
s : Finset ι
p : Sym2 ι → α
⊢ ∑ i ∈ filter (fun x => ¬x.IsDiag) s.sym2, p i = ∑ x ∈ Finset.subtype (fun i => i.1 ≤ i.2) s.offDiag, p s((↑x).1, (↑x).2)
z w : ℍ
r R : ℝ
h : z.re = w.re
h₀ : 0 < z.im / w.im
⊢ dist z w = dist (log z.im) (log w.im)
n d : ℕ
x₁ x₂ : Fin n.succ → ℕ
hx₁ : ∀ (i : Fin n.succ), x₁ i < d
hx₂ : ∀ (i : Fin n.succ), x₂ i < d
⊢ (Behrend.map d) x₁ = (Behrend.map d) x₂ ↔
  x₁ 0 = x₂ 0 ∧ (Behrend.map d) (x₁ ∘ Fin.succ) = (Behrend.map d) (x₂ ∘ Fin.succ)
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : MeasureTheory.Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => ProbabilityTheory.IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), ProbabilityTheory.IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω),
  (fun n =>
      ∑ i ∈ Finset.range ⌊c ^ n⌋₊, ProbabilityTheory.truncation (X i) (↑i) ω -
        ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ Finset.range ⌊c ^ n⌋₊, ProbabilityTheory.truncation (X i) ↑i) a) =o[Filter.atTop]
    fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
E : Type u_1
p : ℝ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hp : 0 < p
hE : Subsingleton E
⊢ μ (Metric.ball 0 1) = ENNReal.ofReal ((∫ (x : E), Real.exp (-‖x‖ ^ p) ∂μ) / Real.Gamma (↑(finrank ℝ E) / p + 1))
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
H : μ.restrict s = ν.restrict s
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : MeasurableSet t
⊢ μ t = ν t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s.toFinset ⊆ t.toFinset ↔ s ⊆ t
Γ : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
α : Type u_3
R : Type u_4
Ring R
s t : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
⊢ (s - t).hsum = s.hsum - t.hsum
M : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
SMul M X
ContinuousSMul M X
a b : M
x y : X
h₁ : a ⤳ b
h₂ : x ⤳ y
⊢ (a • x) ⤳ (b • y)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
⊢ (∃ x, ⊤ = span (ResidueField R) {(maximalIdeal R).toCotangent x}) ↔ ∃ a, maximalIdeal R = span R {a}
α : Type u_1
s t : Multiset α
⊢ Multiset.Rel (fun a b => b = a) s t ↔ s = t
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.96057, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
⊢ homMk f = f.map (Q W) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a x : α
⊢ insert x {x}ᶜ = univ
n : ℕ
⊢ Nat.digits 2 n = List.map (fun b => bif b then 1 else 0) n.bits
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌈1⌉ = 1
α : Type u_1
l₁ l₂ l₃ : List α
⊢ l₁ <+: l₃ → l₂ <+: l₃ → l₁.length ≤ l₂.length → l₁ <+: l₂
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set α
⊢ μ.toFiniteAux s =
  ∑' (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (MeasureTheory.sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (MeasureTheory.sFiniteSeq μ n) s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
i : ι
⊢ e.r (e.f i) = some i
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : (i : ι) → AddMonoid (β i)
inst✝ : (i : ι) → DistribMulAction γ (β i)
s : Finset ι
c : γ
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
⊢ (mk s (c • x)) i = (c • mk s x) i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : FinMeasAdditive μ T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s = ⊤
⊢ c ≠ 0 ∧ μ s = ⊤ ∨ c = ⊤ ∧ μ s ≠ 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
g : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Abelian.epiWithInjectiveKernel g ↔
  ∃ I,
    ∃ (_ : CategoryTheory.Injective I),
      ∃ f, ∃ (w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = 0), Nonempty (CategoryTheory.ShortComplex.mk f g w).Splitting
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
hdiv : p ∣ q
hdeg : q.natDegree ≤ p.natDegree
⊢ p = C q.leadingCoeff * p
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝² : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ ↥L
b₀ : Basis ι ℝ E
⊢ covolume L μ = |b₀.det (Subtype.val ∘ ⇑b)| * (μ (Zspan.fundamentalDomain b₀)).toReal
l m r : List Char
s : Substring
n : Nat
h : ValidFor l (List.take n m ++ List.drop n m) r s
this : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }
⊢ ValidFor l (List.take n m) (List.drop n m ++ r) { str := { data := l ++ (m ++ r) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) } }
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.EssSurj
Y : D
⊢ Y ∈ F.essImage
α : Type u_1
x : α
xs : List α
y : α
BEq α
⊢ List.indexesOf y (x :: xs) =
  bif x == y then 0 :: List.map (fun x => x + 1) (List.indexesOf y xs)
  else List.map (fun x => x + 1) (List.indexesOf y xs)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
le_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x ≤ C
x✝ : ℝ
hx✝ : x✝ ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x✝ ≤ y
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
⊢ -C ≤ deriv (fun y => -f y) x
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
One β
⊢ 1 = e.symm 1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → Lattice (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
a b : (i : ι) → α i
⊢ Finset.uIcc a b = Fintype.piFinset fun i => Finset.uIcc (a i) (b i)
α : Type u
e : Equiv.Perm α
⊢ Equiv.trans e⁻¹ e = 1
α : Type u_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α
⊢ (equivShrink α) (x - y) = (equivShrink α) x - (equivShrink α) y
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
motive : HNNExtension G A B φ → Prop
x : HNNExtension G A B φ
of : ∀ (g : G), motive (HNNExtension.of g)
t : motive HNNExtension.t
mul : ∀ (x y : HNNExtension G A B φ), motive x → motive y → motive (x * y)
inv : ∀ (x : HNNExtension G A B φ), motive x → motive x⁻¹
⊢ motive x
α : Type u_2
Preorder α
a b c : α
⊢ b = c → a ≤ b → a ≤ c
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
C : ℝ
f g : α →C₀ β
⊢ Isometry toBCF
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
ha : a ≤ c
⊢ a ∆ b = c ↔ c \ a = b
γ : Type w
EMetricSpace γ
x y : γ
⊢ edist x y ≤ 0 ↔ x = y
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => √x) (1 / (2 * √x)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
this : s.card + s.offDiag.card = s.card * s.card
⊢ s.offDiag.card = s.card * s.card - s.card
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in b..c, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in c..a, f x ∂μ = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} ℰ
A : CategoryTheory.Functor C ℰ
X : ℰ
⊢ ∀ (X_1 : Cᵒᵖ), ((CategoryTheory.Presheaf.restrictedYoneda A).obj X).obj X_1 = (A.obj (Opposite.unop X_1) ⟶ X)
α : Type
d✝ : ℕ
ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
d : ℕ
ds : List ℕ
x : Holor α (d :: ds)
h_summands : ∀ (i : { x // x ∈ Finset.range d }), CPRankMax ds.prod (unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
⊢ CPRankMax (d :: ds).prod x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
⊢ coeff m p ≠ 0 → (weight w) m = 0 ↔ coeff m p ≠ 0 → ∀ (x : σ), m x = 0
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x ^ n = (b ^ (n + 1) - a ^ (n + 1)) / (↑n + 1)
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : Field k
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : DecidableEq k
f : R →+* k
x : R[X]
⊢ EuclideanDomain.gcd (map f 0) (map f x) = map f (EuclideanDomain.gcd 0 x)
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
SetLike S R
NonUnitalSubsemiringClass S R
s : S
⊢ ⇑(NonUnitalSubsemiringClass.subtype s) = Subtype.val
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
A : ∫⁻ (y : α), AEMeasurable.mk f hf y ∂μ ≠ ⊤
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, AEMeasurable.mk f hf y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (AEMeasurable.mk f hf x))
h'x : f x = AEMeasurable.mk f hf x
a : Set α
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict a)] AEMeasurable.mk f hf
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeSup α
a : α
f : β → ↑(Set.Ioi a)
l : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l Filter.atTop
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
⊢ Convex 𝕜 s ↔ s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
n : ℕ∞
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
t : Finset ι
f : ι → E → 𝔸'
h : ∀ i ∈ t, ContDiffOn 𝕜 n (f i) s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun y => ∏ i ∈ t, f i y) s
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ a b c : α
l : List α
ih : (permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)
this : ∀ (a b : α), (map (cons c) (permutations'Aux a l)).bind (permutations'Aux b) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b))
⊢ map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux a l)).bind (permutations'Aux b) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux b l)).bind (permutations'Aux a)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
a : α
m : α → Filter β
⊢ (pure a).bind m = m a
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
CommSemiring R
A : Type u_5
Semiring A
Algebra R A
r : R
⊢ (algebraMap R (HahnSeries Γ A)) r = HahnSeries.C ((algebraMap R A) r)
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
x : R
hx : x ∈ ↑v.integer
⊢ ∃ γ, {y | v (y - x) < ↑γ} ⊆ ↑v.integer
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
TopologicalSpace M₂
f : M₁ → M₂
⊢ IsCompactOperator f ↔ ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ K, IsCompact K ∧ f '' V ⊆ K
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
A : Type u_3
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
a : A
ha : a ≠ 0
φ : MvPolynomial σ A
i : σ
d : σ →₀ ℕ
⊢ coeff d (C a * φ) ≠ 0 ↔ coeff d φ ≠ 0
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : Karoubi (Karoubi C)
f : P ⟶ Q
⊢ P.p.f ≫ f.f.f = f.f.f ≫ Q.p.f
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh : ∀ (I : S.Arrow), (x.pullback I.f).refine (h1 I) = (y.pullback I.f).refine (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
⊢ ∃ h1 h2, x.refine h1 = y.refine h2
n : ℕ
n2 : 2 < n
p : ℕ
hp : Prime p
hdvd : p ∣ n
hodd : Odd p
⊢ 4 ∣ n ∨ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ n ∧ Odd p
R : Type u
CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
LieModule R L N
AddCommGroup P
Module R P
LieRingModule L P
LieModule R L P
AddCommGroup Q
Module R Q
LieRingModule L Q
LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ P
g : N →ₗ⁅R,L⁆ Q
m : M
n : N
⊢ (TensorProduct.LieModule.map f g) (m ⊗ₜ[R] n) = f m ⊗ₜ[R] g n
G : Type w
ι' : Sort u_1
Neg G
ts' : ι' → TopologicalSpace G
h' : ∀ (i : ι'), ContinuousNeg G
⊢ ContinuousNeg G
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 R
m : ℕ∞
⊢ ContMDiff 𝓘(𝕜, R) 𝓘(𝕜, R) m Units.val
ι : Type u
E : Type v
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
l : BoxIntegral.IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : BoxIntegral.Box ι
y : E
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y)
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
⊢ Finset.filter IsPrimePow (a * b).divisors = Finset.filter IsPrimePow (a.divisors ∪ b.divisors)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
⊢ (∃ x, ¬(∼θ).Realize v (snoc xs x)) ↔ ∃ a, θ.Realize v (snoc xs a)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
f : k →+* R
g : G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G
a : G
b : k
⊢ ↑f (c * b) * g a = f c * (↑f b * g a)
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
s : Set α
r : α → R
m : M
a : α
⊢ s.indicator (fun x => r x • m) a = s.indicator r a • m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h : ∀ (v : E), ⟪v, x⟫_𝕜 = ⟪v, y⟫_𝕜
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Tendsto ceil (𝓝[>] ↑n) (pure (n + 1))
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
⊢ (ENNReal.toReal 2).IsConjExponent (ENNReal.toReal 2)
α : Type u_1
β : Type u_7
SeminormedAddCommGroup β
C : ℝ
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hC : 0 ≤ C
⊢ MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
i : ι
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
t : Set Ω
⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} ∩ t) ↔ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} ∩ t)
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module k V₁
inst✝² : Module k V₂
inst✝¹ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝ : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F
⊢ (AffineSubspace.map φ E).direction ≤ F.direction
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ (t \ s).encard + s.encard = t.encard
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
P : LieSubmodule R L M → Prop := fun N => IsCompl (weightSpace (↥↑N) 0) (posFittingComp R L ↥↑N)
⊢ P ⊤
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : K
k : ℕ
hk : 2 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
x✝ : { w // w.IsReal }
w : NumberField.InfinitePlace K
hwreal : NumberField.ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
f : K →+* ℂ := w.embedding
⊢ False
b : ℕ
hb : (b / 2).beq 0 = false
⊢ 1 < b
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq α
M : α → Type u_3
P : α → Type u_4
inst✝⁴ : (a : α) → Zero (N a)
inst✝³ : (a : α) → Zero (M a)
inst✝² : (a : α) → Zero (P a)
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (M a)
f g : Π₀ (a : α), N a
F : (a : α) → N a → M a
F0 : ∀ (a : α), F a 0 = 0
hF : ∀ (a : α), Function.Injective (F a)
a : α
⊢ a ∈ (mapRange F F0 f).neLocus (mapRange F F0 g) ↔ a ∈ f.neLocus g
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma L R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightId L R).inv.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝¹ : AddCommGroup P
g✝ : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) ((f i j hij) x) = (g✝ i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
h✝ : Nonempty ι
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g✝ i) a = 0 → a = 0
i✝ : ι
g : G i✝
hz : (lift G f P g✝ Hg) ((of G f i✝) g) = 0
⊢ (of G f i✝) g = 0
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
z : ℤ
⊢ (↑z).im = 0
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
reformulation : ∀ (x' : X) (k : ℕ), ε * ϕ x ≤ ε / 2 ^ k * ϕ x' ↔ 2 ^ k * ϕ x ≤ ϕ x'
H : ∀ (k : ℕ) (x' : X), d x' x ≤ 2 * ε ∧ 2 ^ k * ϕ x ≤ ϕ x' → ∃ y, d x' y ≤ ε / 2 ^ k ∧ 2 * ϕ x' < ϕ y
⊢ False
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
hfm : AEMeasurable f μ
s : Set α
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict s)
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
SMul M α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure M α μ
MeasurableSMul M α
c : M
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ DomMulAct.mk c • MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf = MeasureTheory.Memℒp.toLp (fun x => f (c • x)) ⋯