ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
L : D
R : CategoryTheory.Functor C D
L' : B
R' : CategoryTheory.Functor A B
F : CategoryTheory.Functor C A
G : CategoryTheory.Functor D B
α : L' ⟶ G.obj L
β : R.comp G ⟶ F.comp R'
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit L) R
⊢ ((CategoryTheory.StructuredArrow.map₂ α β).obj X).right = F.obj X.right
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y : C
n : ℕ
HasDerivedCategory C
α β : CategoryTheory.Abelian.Ext X Y n
⊢ (α + β).hom = α.hom + β.hom
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
n : ℕ
⊢ A ^ (-↑n) = (A ^ n)⁻¹
ι : Type u_1
R : Type u_2
N : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid N
Module R N
DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N
x : N
⊢ x ∈ iSup p ↔ ∃ f, ((DFinsupp.lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) f = x
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
hy : y ∉ s
t : R
ht : 0 < t
⊢ s.SSameSide ((AffineMap.lineMap x y) t) y
c a b : Prop
Decidable c
h : ¬c → (a ↔ b)
⊢ a ∨ c ↔ b ∨ c
a b✝ c d m n : ℤ
ha : a ≠ 0
b : ℤ
hb : a * n = a * m * b
⊢ m ∣ n
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
M : Ideal A
hM : P < M
P'_ne : ↑P ≠ 0
M'_ne : ↑M ≠ 0
le_one : (↑M)⁻¹ * ↑P ≤ 1
y : A
_hy : y ∈ ⊤
hx : (algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ (fun a => ↑a) ((↑M)⁻¹ * ↑P)
z : A
hzM : z ∈ M
hzp : z ∉ P
zy_mem : (algebraMap A (FractionRing A)) (z * y) ∈ ↑P
zy : A
hzy : z * y ∈ P
zy_eq : (algebraMap A (FractionRing A)) zy = (algebraMap A (FractionRing A)) (z * y)
⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ (fun a => ↑a) ↑P
ι : Type u_1
α : Type u_2
π : ι → Type u_4
OrderedAddCommMonoid α
(i : ι) → OrderedAddCommMonoid (π i)
(i : ι) → SMulZeroClass α (π i)
(i : ι) → CeilDiv α (π i)
f : (i : ι) → π i
a : α
i : ι
⊢ (f ⌈/⌉ a) i = f i ⌈/⌉ a
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
β : LieModule.Weight R L M
⊢ LieModule.chainBot 0 β = β
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
x y : Fin 1
⊢ ¬x = y → (∏ x_1 ∈ finPairsLT 1, if (if x_1.fst = x then y else if x_1.fst = y then x else x_1.fst) ≤ if x_1.snd = x then y else if x_1.snd = y then x else x_1.snd then -1 else 1) = -1
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
CommRing R
CommRing S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
⊢ (Ideal.mapHom f) I = Ideal.map f I
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p a ≠ multiplicity p b
⊢ multiplicity p (a + b) = min (multiplicity p a) (multiplicity p b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
f : X ⟶ Y
g : CategoryTheory.MonoOver Y
⊢ ((CategoryTheory.MonoOver.pullback f).obj g).arrow =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd ((CategoryTheory.MonoOver.forget Y).obj g).hom f
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ ∃ φ, f = φ.map L ⋯
x : ℂ
⊢ HasStrictFDerivAt Complex.exp (Complex.exp x • 1) x
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
NormedAddCommGroup F'
InnerProductSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < FiniteDimensional.finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E))⁻¹
⊢ MeasureTheory.eLpNorm u (↑p') μ ≤
  ↑(MeasureTheory.eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * MeasureTheory.eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
α : Type u_1
SupSet α
s : Set α
⊢ { down := sSup s } = sSup (ULift.down ⁻¹' s)
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
DecidableEq n
v : n → α
⊢ ‖Matrix.diagonal v‖₊ = ‖v‖₊
n b : ℕ
h : n.FermatPsp b
h₁ : 1 ≤ b
⊢ n.Coprime b
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ f.den • f.val = (algebraMap A (at x)) f.num
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
a b c : α
ha : AddLECancellable a
⊢ a + b = a + c ↔ b = c
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
h : M.Basis I X
⊢ (M.restrict X).Base I
b : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
d : ω ^ b ∣ (e.oadd n a).repr
this : ¬(e.oadd n a).repr = repr 0
L : b ≤ e.repr
⊢ b ≤ e.repr ∧ ω ^ b ∣ a.repr
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ posFittingComp R L M₂ ≤ LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (posFittingComp R L M)
ξ : ℝ
q : ℚ
h : |ξ - ↑q| < 1 / (2 * ↑q.den ^ 2)
⊢ ∃ n, q = ξ.convergent n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
f : α →ₛ ℝ
hf : Integrable (↑f) μ
h_pos : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑f
this : ↑f =ᶠ[ae μ] ↑(map (ENNReal.toReal ∘ ENNReal.ofReal) f)
⊢ ∀ (b : ℝ), ENNReal.ofReal b ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x : M × M'
⊢ mfderiv (I.prod I') I Prod.fst x = ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)
α : Type u
TopologicalSpace α
LocallyConnectedSpace α
U : Set α
hU : IsOpen U
⊢ LocallyConnectedSpace ↑U
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
ι : Sort u_3
K : ι → Ideal S
⊢ Ideal.comap f (iInf K) = ⨅ i, Ideal.comap f (K i)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
hd : HasFDerivWithinAt d d' s x
⊢ d x • c' = c'.smulRight (d x)
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
f g : M₁ →ₗ[R] M₁
⊢ (LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁) (f * g) = (LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁) f * (LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁) g
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_3
Finite ι
f : ι → Subgroup G
hf : ∀ (i : ι), (f i).index ≠ 0
⊢ (⨅ i, f i).index ≠ 0
M : Type u_1
MulOneClass M
A : Type u_4
SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
⊢ ⇑(SubmonoidClass.subtype S') = Subtype.val
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
⊢ descPochhammer ℤ n = (ascPochhammer ℤ n).comp (X - ↑n + 1)
α : Type u_1
p✝ : α → Bool
b : α
l✝ : List α
p : α → Bool
l : List α
n : Nat
⊢ findIdx.go p l (n + 1) = findIdx.go p l n + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
s : Set α
⊢ MeasurableSet {x | f x ≤ g x}
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
p : β → β → Prop
⊢ (∀ (y₁ y₂ : β), p y₁ y₂) ↔ ∀ (x₁ x₂ : α), p (f x₁) (f x₂)
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : α
n : Set α
ns : n ∈ 𝓝[s] x
hx : μ n = 0
⊢ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0} ∈ 𝓝 x
P : Nat → Sort u_1
state : (i : Nat) → P i
n : Nat
f : (i : Fin n) → P ↑i → P (↑i + 1)
s : P 0
init : s = state 0
step : ∀ (i : Fin n), f i (state ↑i) = state (↑i + 1)
⊢ Fin.hIterate P s f = state n
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
r : R
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ TensorProduct.map f (r • g) = r • TensorProduct.map f g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
i✝ j✝ : ι
hi : p i✝
hj : p j✝
⊢ ∃ k, p k ∧ s k ⊆ s i✝ ∩ s j✝
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p✝ : R
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed R
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
Q : A[X]
p : A
x z : B
hp : p ≠ 0
hz : ∑ i : Fin (Q.natDegree + 1), Q.coeff ↑i • x ^ ↑i = p • z
f : ℕ → A
hf : ∀ i ∈ range (Q.natDegree + 1), Q.coeff i = p * f i
⊢ z ∈ adjoin A {x}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
Z Z' : C
f : AlgebraicTopology.DoldKan.MorphComponents X n Z
h : Z ⟶ Z'
i : Fin (n + 1)
⊢ (f.postComp h).b i = f.b i ≫ h
α : Type u_1
Nonempty α
⊢ (Set.diagonal α).Nonempty
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
a b : Complementeds α
⊢ IsCompl ↑a ↑b ↔ IsCompl a b
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Option α ≃ Option β
⊢ e.symm none = none ↔ e none = none
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
φ : ℕ → Set α
hφ : AECover μ atTop φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
⊢ Tendsto (fun x => ∫⁻ (x : α) in φ x, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
⊢ t ∈ ∂⁺ 𝒜 ↔ ∃ a ∈ t, t.erase a ∈ 𝒜
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f
⊢ f ζ ^ k = 1
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ a.im.imI = a.imI
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
q : Doset.Quotient ↑H ↑K
⊢ Doset.mk H K (Quotient.out' q) = q
f : PSet → PSet
H : ∀ (x y : PSet), x.Equiv y → (f x).Equiv (f y)
x y : PSet
⊢ y ∈ PSet.image f x ↔ ∃ z ∈ x, y.Equiv (f z)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
m : Multiset α
f f' : α → β
hf : ∀ a ∈ m, f a = f' a
⊢ HEq (map f m) (map f' m)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
s : A ⥤ B
inst✝ : PreservesLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, v₂, v₃, u₂, u₃} s
h : ∀ ⦃X : C⦄, ∀ S ∈ J.sieves X, Nonempty (IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op))
⊢ ∀ ⦃X : C⦄, ∀ S ∈ J.sieves X, Nonempty (IsLimit ((P ⋙ s).mapCone S.arrows.cocone.op))
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
⊢ z < 0 ↔ ∃ x < 0, ↑x = z
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
this : TopologicalAddGroup E
x : E
hx : x ≠ 0
i : ι
pi_nonzero : (p i) x ≠ 0
⊢ ∃ s, ∃ r > 0, (s.sup p).ball x r ⊆ {0}ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
Nonempty α
⊢ Set.InjOn f s ↔ Function.invFunOn f s '' (f '' s) = s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
v : V
⊢ v +ᵥ p₁ ∈ affineSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₂ -ᵥ p₁) = v
a i j : Nat
⊢ a - i ≤ a + j - i
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n k : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
hb : b ^ n ∈ I
hk : m + n ≤ k + 1
c : ℕ
a✝ : c ∈ Finset.range (k + 1)
⊢ a ^ c * b ^ (k - c) * ↑(k.choose c) ∈ I
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
m : M
⊢ Submodule.map₂ f (Submodule.span R {m}) = Submodule.map (f m)
ι : Type u
α : ι → Type v
l : List ι
DecidableEq ι
hnd : l.Nodup
h : ∀ (i : ι), i ∈ l
v : List.TProd α l
⊢ List.TProd.mk l (List.TProd.elim' h v) = v
α : Sort u_1
β : Trunc α → Prop
q : Trunc α
h : ∀ (a : α), β (Trunc.mk a)
⊢ β q
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
⊢ φ ≫ (Hσ q).f (n + 1) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 1 n = ↑((fun x => ArithmeticFunction.zeta x) n)
a b : Prop
⊢ a ∨ b ↔ ¬b → a
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Set.Iio y) y
⊢ f' ≤ slope f x y
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T1Space X
inst✝¹ : DecidableEq X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
H : ∀ (b : X), b ≠ x → b ∈ s → ContinuousWithinAt (update f x y) s b
z : X
hz : z ∈ s \ {x}
⊢ ContinuousWithinAt f (s \ {x}) z
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.82998, u_1} D
F G : C ⥤ D
η : F ⟶ G
X Y : WithTerminal C
f : X ⟶ Y
⊢ (map F).map f ≫ (fun X => match X with | of x => η.app x | star => 𝟙 star) Y = (fun X => match X with | of x => η.app x | star => 𝟙 star) X ≫ (map G).map f
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Semigroup α
x : Holor α ds₁
y : Holor α ds₂
z : Holor α ds₃
t : HolorIndex (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)
⊢ ds₁ ++ (ds₂ ++ ds₃) = ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t t₁ : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (s.pi fun i => t i ∩ t₁ i) = s.pi t ∩ s.pi t₁
b : ℝ
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => evenKernel (↑b) x - if ↑b = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R K
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g.Monic
hd : g ∣ map (algebraMap R K) f
this : map (algebraMap K g.SplittingField) g ∈ lifts (algebraMap (↥(integralClosure R g.SplittingField)) g.SplittingField)
⊢ g ∈ lifts (algebraMap (↥(integralClosure R K)) K)
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Set.Icc 0 π) Real.sin
I : Type u_5
A : Type u_6
X : I → Type u_7
TopologicalSpace A
(i : I) → TopologicalSpace (X i)
f : (i : I) → C(X i, A)
⊢ (ContinuousMap.sigmaEquiv A X) f = ContinuousMap.sigma f
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
⊢ (HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.empty G A B).head = 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
m : ℕ
⊢ truncateFun n (x ^ m) = truncateFun n x ^ m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
H : CategoryTheory.Functor C E
ℋ : H.Faithful
h : F.comp G = H
⊢ F.Faithful
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ -(z ^ n / ↑n) = (-1) ^ (n + 1) * (-z) ^ n / ↑n
X : Type u_3
TopologicalSpace X
SigmaCompactSpace X
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
⊢ μ.InnerRegularWRT IsCompact IsClosed
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' x c : ℂ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
h0 : c ≠ 0 ∨ f x ≠ 0
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => c ^ f x) (c ^ f x * Complex.log c * f') s x
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : C ⥤ Type v₁
u : coyoneda.obj (op X) ⟶ F
⊢ coyonedaEquiv.symm (F.map f (coyonedaEquiv u)) = coyoneda.map f.op ≫ coyonedaEquiv.symm (coyonedaEquiv u)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
AddRightCancelSemigroup α
One α
DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X n ⟶ X (n + 1)
sq : ∀ (n : α), d n ≫ d (n + 1) = 0
n : α
⊢ (CochainComplex.of X d sq).X n = X n
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
i : ι
j : κ i
h : s ⊆ t i j
⊢ s ⊆ ⋃ i, ⋃ j, t i j
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι
⊢ ∑ x : ι, b i * b.equivFun z x • b x = z * b i
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : List α
IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s
⊢ f a * ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s = ∏ x ∈ insert a s.toFinset, f x ^ count x (a :: s)
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Zero M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
f : Π₀ (x : ι), M
⊢ f.toFinsupp.support = f.support
α : Type u_2
Mul α
s t : Set α
a b : α
⊢ b ∈ Doset.doset a s t ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, b = x * a * y
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Computable List.reverse
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₁
CategoryTheory.Preadditive C₂
CategoryTheory.Preadditive D
K₁ : CochainComplex C₁ ℤ
K₂ : CochainComplex C₂ ℤ
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
y i : ℤ
⊢ ∀ (i_1 : ℤ),
  ((K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F y).inv.f i).f i_1 = 𝟙 ((F.obj (K₁.X i)).obj (K₂.X (i_1 + y)))
F : Type u_17
R : outParam (Type u_18)
S : outParam (Type u_19)
Semiring R
Semiring S
σ : outParam (R →+* S)
σ' : outParam (S →+* R)
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
M : outParam (Type u_20)
M₂ : outParam (Type u_21)
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module S M₂
EquivLike F M M₂
self : SemilinearEquivClass F σ M M₂
f : F
r : R
x : M
⊢ f (r • x) = σ r • f x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y
g : Y → Z
T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
⊢ IsProperMap f
f : ℍ → ℂ
⊢ (∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ im ⁻¹' Set.Ici ia, f x ∈ Metric.closedBall 0 ib) ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ A, ∀ (z : ℍ), A ≤ z.im → Complex.abs (f z) ≤ ε
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n✝ m✝ n : ℤ
f : F ⟶ G
z : Cochain G K n
m : ℤ
⊢ δ n m ((Cochain.ofHom f).comp z ⋯) = (Cochain.ofHom f).comp (δ n m z) ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
h : ContMDiffOn I I' n f s
h₁ : ∀ y ∈ s, f₁ y = f y
⊢ ContMDiffOn I I' n f₁ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y✝ : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x y : E
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F := fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
finsupp : (Function.support f).Finite
hfkl : ∀ (k l : ℕ), HasSum (fun x => f ⟨k, ⟨l, x⟩⟩) (((p.changeOriginSeries k l) fun x_1 => x) fun x => y)
hfk : ∀ (k : ℕ), HasSum (fun x => f ⟨k, x⟩) ((p.changeOrigin x k) fun x => y)
hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)
⊢ HasSum (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) (p.sum (x + y))
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
CompactSpace G
⊢ UniformGroup G
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α
⊢ lawson α ≤ scott α
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
⊢ (b - a) * ∫ (x : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f N x) ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (fun ω => (f N ω - a)⁺) x ∂μ
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
s : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ (LightProfinite.pullback.isLimit f g).lift s = LightProfinite.pullback.lift f g s.fst s.snd ⋯
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
s : Y ⟶ X
hs : W s
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.RightFraction.ofInv s hs).s = s
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
hI : I.IsPrime
r : α
n : ℕ
H : r ^ n ∈ I
⊢ r ∈ I
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
M : SheafOfModules R
⊢ (SheafOfModules.sectionsFunctor R).obj M = M.sections
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
x y : G
hy : y ∈ H
hy' : f y = f x
⊢ x ∈ H ⊔ f.ker
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
hd : CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, d x
⊢ ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → edist (f n) (f N) < ↑ε
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A
⊢ ‖x.fst‖ ≤ 2 * max ‖((addEquiv 𝕜 A) x).1‖ ‖((addEquiv 𝕜 A) x).2‖
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
hikl : k + l ≤ i
h1 : l ≤ i
h2 : k ≤ i - l
h3 : k ≤ k + l
⊢ ↑((i - l).choose k * i.choose l) = ↑((k + l).choose k * i.choose (k + l))
s : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (-1) ^ k / ↑k.factorial
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), (-1) ^ i * ↑((i + 1).ascFactorial (n - i)) / ↑n.factorial = s (n + 1)
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
f : Γ → Stmt Bool Λ' σ
v : σ
L : ListBlank Γ
a : Γ
R : ListBlank Γ
⊢ ∀ (f : Vector Bool n → Stmt Bool Λ' σ), stepAux (readAux n f) v (Tape.mk' (L.bind (fun x => (enc x).toList.reverse) ⋯) (ListBlank.append (enc a).toList (R.bind (fun x => (enc x).toList) ⋯))) = stepAux (f (enc a)) v (Tape.mk' (ListBlank.append (enc a).toList.reverse (L.bind (fun x => (enc x).toList.reverse) ⋯)) (R.bind (fun x => (enc x).toList) ⋯))