ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Set C
c d : C
f : c ⟶ d
⊢ f ∈ (CategoryTheory.Subgroupoid.full D).arrows c d ↔ c ∈ D ∧ d ∈ D
p n k : ℕ
hp : Prime p
hk : k ≠ 0
hkp✝ : k ≠ p ^ n
hkp : p ^ n < k
⊢ p ∣ (p ^ n).choose k
m : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ZMod m
this : NeZero m
h : ∀ (n : ℕ), {n | ↑n = k - 1}.indicator (fun n => 1 / ↑(n + 1)) n = if ↑n = k - 1 then 1 / (↑n + 1) else 0
⊢ ¬Summable fun n => {n | ↑n = k - 1}.indicator (fun n => 1 / ↑(n + 1)) n
x : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ x ≤ Real.sin x
n : Nat
⊢ ¬n + 1 ≤ 0
p : Type u_2
q : Type u_3
R : Type u₂
DecidableEq p
DecidableEq q
CommRing R
Fintype p
Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
⊢ (LieAlgebra.Orthogonal.Pso p q R i).transpose * LieAlgebra.Orthogonal.indefiniteDiagonal p q R *
    LieAlgebra.Orthogonal.Pso p q R i =
  1
α : Type u_2
M : Type u_4
Preorder M
Zero M
s : Set α
f : α → M
a : α
h : a ∈ s → 0 ≤ f a
⊢ 0 ≤ s.indicator f a
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
AddMonoid ι
Semiring M
f g : AddMonoidAlgebra M ι
⊢ (f * g).toDirectSum = f.toDirectSum * g.toDirectSum
M : Type u
AddLeftCancelMonoid M
a b : M
⊢ a + b = a ↔ b = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.op.X₃ = Opposite.op sq.X₃
α : Type u
CommGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
⊢ a / d ≤ b / c
α : Type u_1
PartialOrder α
s t u : Finset α
a : α
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
htu : { ofColex := t } ≤ { ofColex := u }
has : a ∈ s
hat : a ∉ t
⊢ ∃ b ∈ u, b ∉ s ∧ a ≤ b
α : Type u
l : Filter α
s : Set α
⊢ (∃ᶠ (x : α) in l, x ∈ s) ↔ (l ⊓ 𝓟 s).NeBot
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜
⊢ ∑ s ∈ 𝒜, (↑((card α).choose s.card))⁻¹ ≤ infSum 𝒜
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
x : L
m : M
a : ℤ
⊢ ⁅x, a • m⁆ = a • ⁅x, m⁆
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v w : V
hvw : G.Adj v w
hv : u ≠ v
hw : u ≠ w
x✝ : V
⊢ x✝ ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).neighborSet u ↔ x✝ ∈ ∅
𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : SeparableSpace 𝕜
f : 𝕜 → F
⊢ IsSeparable (range (derivWithin f univ))
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
hs : TotallyBounded s
hf : UniformContinuous f
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
this : {p | (f p.1, f p.2) ∈ t} ∈ 𝓤 α
c : Set α
hfc : c.Finite
hct : s ⊆ ⋃ y ∈ c, {x | (x, y) ∈ {p | (f p.1, f p.2) ∈ t}}
⊢ f '' s ⊆ ⋃ y ∈ f '' c, {x | (x, y) ∈ t}
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
⊢ homologyMap' φ₁ h₁ h₂ = homologyMap' φ₂ h₁ h₂
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
DecidableEq o
Zero α
M : o → Matrix m n α
⊢ (Matrix.blockDiagonal' M).submatrix (Prod.toSigma ∘ Prod.swap) (Prod.toSigma ∘ Prod.swap) = Matrix.blockDiagonal M
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
j k : S →+* P
h : j.comp (algebraMap R S) = k.comp (algebraMap R S)
⊢ j = k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
e : α ≃ β
⊢ ⇑e '' univ = univ
α : Sort u_4
β : Type u_5
f : α → β
p : α → Prop
⊢ Subtype.restrict p f = f ∘ fun a => ↑a
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
X✝ Y✝ : CostructuredArrow (const J) F
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J
e_1✝ : (((fun c => { pt := c.left, π := c.hom }) X✝).pt ⟶ F.obj j) = (((const J).obj X✝.left).obj j ⟶ ((fromPUnit F).obj Y✝.right).obj j)
e_6✝ : F = (fromPUnit F).obj Y✝.right
⊢ ((fun c => { pt := c.left, π := c.hom }) X✝).π = X✝.hom ≫ (fromPUnit F).map f.right
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
⊢ minimals r s ⊆ s
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
NeZero μ
⊢ ⨍⁻ (_x : α), 1 ∂μ = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M N : Bimod A B
f g : M ⟶ N
h : f.hom = g.hom
⊢ f = g
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ (G.singletonSubgraph v).neighborSet w = ∅
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
F' : Type u_3 := UniformSpace.Completion F
e : F →L[𝕜] F' := UniformSpace.Completion.toComplL
this : AnalyticOn 𝕜 (⇑e ∘ f) U
A : EqOn (⇑e ∘ f) 0 U
⊢ EqOn f 0 U
a b : ℝ
h : 0 < b
⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (-b * x)) (Ioi a) volume
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ G.edist v v = 0
M : Type u_1
Mul M
x : M
⊢ x ∈ ⊤
α : Type u_1
PartialOrder α
s t : Finset α
DecidableEq α
⊢ { ofColex := s \ t } < { ofColex := t \ s } ↔ { ofColex := s } < { ofColex := t }
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ ∀ (a : Aᵐᵒᵖ), (AlgHom.op f) a = MulOpposite.op (f (MulOpposite.unop a))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α
⊢ a ∈ ⋂ i, ↑(f i) ↔ ∀ (i : ι), a ∈ f i
l : List ℕ
x : Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ x ∈ Turing.PartrecToTM2.trList l → x ≠ Turing.PartrecToTM2.Γ'.consₗ
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
g : G
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.mulLeft g) = fun x => g * x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
j : J
k : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitObjIsoLimitCompEvaluation F k).inv ≫ (CategoryTheory.Limits.limit.π F j).app k =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (F ⋙ (CategoryTheory.evaluation K C).obj k) j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ RCLike.re ⟪0, x⟫_𝕜 = 0
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
self : T.ModelType
⊢ Nonempty ↑self
E : Type u_3
SeminormedGroup E
⊢ (Bornology.cobounded E)⁻¹ = Bornology.cobounded E
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌊a⌋ = 0 ↔ a ∈ Ico 0 1
n m : ℕ
⊢ (List.Ico n m).length = m - n
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 0
⊢ (n ^ 2 - m ^ 2).natAbs.gcd (n ^ 2 + m ^ 2).natAbs = 1
x y : ℝ
⊢ ↑(min x y) = min ↑x ↑y
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))
hf_mem_ℒp : Memℒp (↑↑f) p μ := memℒp_of_memℒp_trim hm (Lp.memℒp f)
⊢ Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ ∈ lpMeasSubgroup F m p μ
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf x ≠ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ _root_.fderivWithin 𝕜 f s x = h.toContinuousLinearMap
α : Type u_1
s t : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
H : s ∩ t ⊆ ∅
a : ↑s
⊢ (Equiv.Set.union H).symm (Sum.inl a) = ⟨↑a, ⋯⟩
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)
⊢ F.Nonempty ∧ ∀ x ∈ F, ∀ y ∈ F, JoinedIn F x y
α : Sort u_1
β : Sort u_2
e : α ≃ β
⊢ e.symm.toEmbedding.trans e.toEmbedding = Function.Embedding.refl β
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E 2 μ)
c : E
h_mem_Lp : Memℒp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) 2 μ
h_eq : ↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) h_mem_Lp) =ᶠ[ae μ] fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜
⊢ ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) (Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜) ⋯)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) h_mem_Lp)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
s : Set α
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
k : ℕ
ih : f^[k] ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
⊢ f ⁻¹' (f^[k] ⁻¹' s) =ᵐ[μ] s
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
i : Set ι
s : (a : ι) → Set (π a)
hi : i.Finite
hs : ∀ a ∈ i, IsOpen (s a)
⊢ IsOpen (i.pi s)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ Function.Injective ⇑H.subtype
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
f : Arrow C
inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
S : SplitEpi f.hom
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ (if x : i.succ = 0 then (WidePullback.base fun x => f.hom) ≫ S.section_ else WidePullback.π (fun x => f.hom) (i.succ.pred x)) = WidePullback.π (fun x => f.hom) i
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ (LinearEquiv.refl R M) x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
ι' : ι → Sort u_6
f : (i : ι) → ι' i → α → ℝ≥0∞
⊢ ⨆ i, ⨆ j, ∫⁻ (a : α), f i j a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ⨆ i, ⨆ j, f i j a ∂μ
a b c : Nat
⊢ min (max a b) c = max (min a c) (min b c)
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
G : StructureGroupoid H
inst✝³ : ChartedSpace H M'
inst✝² : ChartedSpace H M''
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
hs : Nonempty ↑e.source
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }
t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }
c' : PartialHomeomorph (↥t) H
hc'✝ : c' ∈ atlas H ↥t
this : Nonempty ↥t
x : ↥t
hc' : c' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr this
⊢ e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ t.partialHomeomorphSubtypeCoe this ∈ maximalAtlas (↥s) G
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (((eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯) ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber)) ≫ (α.app Z.base).map g.fiber = (((eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map ((eqToHom ⋯).app X.fiber)) ≫ (G.map g.base).map ((α.app Y.base).map f.fiber)) ≫ (eqToHom ⋯).app Y.fiber) ≫ (α.app Z.base).map g.fiber
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a : α
DecidableEq α
ha : a ∈ s
⊢ UV.compress u v a ∈ UV.compression u v s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
T : C
hT : CategoryTheory.Limits.IsTerminal T
F : CategoryTheory.Sheaf J D
⊢ (CategoryTheory.constantSheafAdj J D hT).counit.app F =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.presheafToSheaf J D).map ((CategoryTheory.constantPresheafAdj D hT).counit.app F.val))
    ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J D).counit.app F)
α : Type u_1
l : List α
n : ℕ
ns : List ℕ
⊢ l.splitWrtCompositionAux (n :: ns) = List.take n l :: (List.drop n l).splitWrtCompositionAux ns
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : IsOpen s
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hspec : ∀ (x : X), f x ⤳ g x
⊢ Continuous (s.piecewise f g)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C
⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ (F.map (G.map (ε.inv.app (F.obj X))) ≫ ε.hom.app (F.obj (G.obj (F.obj X)))) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
ha : 0 ≤ a
x✝ : ℕ
⊢ x✝ ∈ Nat.cast ⁻¹' Ioo a b ↔ x✝ ∈ Ioo ⌊a⌋₊ ⌈b⌉₊
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
AddCommMonoid γ
Module R α
Module R β
Module R γ
A : Matrix l m α
B : Matrix n p β
C : Matrix q r γ
⊢ (Matrix.reindex (Equiv.prodAssoc l n q) (Equiv.prodAssoc m p r))
    ((Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) (Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) A B) C).map
      ⇑(TensorProduct.assoc R α β γ)) =
  Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) A (Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) B C)
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : α → β
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
⊢ List.pmap (fun a x => f a) l H = List.map f l
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : σ ≃ τ
⊢ (MvPolynomial.renameEquiv R f).symm = MvPolynomial.renameEquiv R f.symm
n : ℕ
⊢ Nat.log 0 n = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
q : ℝ
hq_pos : 0 < q
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
⊢ eLpNormEssSup f μ * μ Set.univ ^ (1 / q) = eLpNormEssSup f μ
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : MeasurableSpace F
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : BorelSpace F
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SigmaCompactSpace F
b : Basis ι ℝ E
f : E ≃L[ℝ] F
this : (Measure.map (⇑f) b.addHaar).IsAddHaarMeasure
⊢ Measure.map (⇑f) b.addHaar = (b.map f.toLinearEquiv).addHaar
V : Type u
G : SimpleGraph V
K : Set V
C : G.ComponentCompl K
c d : V
⊢ c ∈ C → d ∉ K → G.Adj c d → d ∈ C
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
h : s.Countable
inhabited_h : Inhabited α
⊢ ∃ f, s ⊆ range f
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : MeasureTheory.Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ Set.univ * ↑r
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
x : α
F : Set α
hs : IsPreconnected s
hxs : x ∈ s
hsF : s ⊆ F
⊢ s ⊆ connectedComponentIn F x
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
⊢ IsLUB (Set.range ⇑c) (OmegaCompletePartialOrder.ωSup c)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (σₙ R a)
⊢ cfcₙ (g ∘ f) a = cfcₙ g (cfcₙ f a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun _i => F) G
v : Fin n → E
i : Fin c.length
_hi : i ∈ Finset.univ
⊢ ‖p.applyComposition c v i‖ ≤ ‖p (c.blocksFun i)‖ * ∏ j : Fin (c.blocksFun i), ‖(v ∘ ⇑(c.embedding i)) j‖
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero γ
inst✝ : DecidableEq l
f : α → β → γ
hf : ∀ (b : β), f 0 b = 0
a : l → α
B : Matrix m n β
i₁ : l
i₂ : m
j₁ : l
j₂ : n
⊢ kroneckerMap f (diagonal a) B (i₁, i₂) (j₁, j₂) = (reindex (Equiv.prodComm m l) (Equiv.prodComm n l)) (blockDiagonal fun i => B.map fun b => f (a i) b) (i₁, i₂) (j₁, j₂)
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H K : Subgroup N
f : G →* N
⊢ Subgroup.comap f H ⊔ Subgroup.comap f K ≤ Subgroup.comap f (H ⊔ K)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
Ring R₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ LinearMap.ker f
⊢ LinearMap.ker (p.liftQ f h) = Submodule.map p.mkQ (LinearMap.ker f)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
a : Pseudoelement P
a' : Over P
⊢ ⟦Over.mk (a'.hom ≫ 0)⟧ = ⟦Over.mk 0⟧
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) ≤ μ
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : C
⊢ e.counit.app (e.functor.obj X) = e.functor.map (e.unitInv.app X)
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.getLast? = l.get? (l.length - 1)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
s t : Submodule R M
h : s ≤ t
⊢ Module.rank R ↥s ≤ Module.rank R ↥t
α : Type u_1
le : α → α → Bool
a✝ : α
n✝ : Nat
s✝ : HeapNode α
h✝ : WF le a✝ s✝ n✝
res : Heap α
a : α
c s : HeapNode α
n : Nat
left✝ : ∀ [inst : TotalBLE le], le a✝ a = true
h : WF le a c n
h' : WF le a✝ s n
hr : Heap.WF le (node a c s).rank res
⊢ WF le a c ((node a c s).rank - 1)
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
h_opens : μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
aux : ↑(liminf (fun i => (μs i) G) atTop) = liminf (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) atTop
obs : ↑(μ G) ≤ ↑(liminf (fun i => (μs i) G) atTop)
⊢ ↑μ G ≤ liminf (fun i => ↑(μs i) G) atTop
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
h : HasFPowerSeriesAt f p x
⊢ HasStrictFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p 1)) x
α : Type u_1
ι : Sort u_2
p : ι → Set (Set α)
hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)
hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p
t1 : Set α
ht1 : ∃ i, t1 ∈ p i
t2 : Set α
ht2 : ∃ i, t2 ∈ p i
h : (t1 ∩ t2).Nonempty
⊢ ∃ i, t1 ∩ t2 ∈ p i
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → t₁ ⊆ t₂ → s₁ ⊻ t₁ ⊆ s₂ ⊻ t₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : ℕ∞
⊢ ContMDiffOn I I' n f Set.univ ↔ ContMDiff I I' n f
p : ℕ
w : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
⊢ LucasLehmerTest p → Nat.Prime (mersenne p)
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued
hs : ∀ (i : (ofOpenSubsets U).J), IsOpen (⇑((ofOpenSubsets U).ι i) ⁻¹' s)
⊢ IsOpen (⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s)
α : Type u_1
l : List α
⊢ List.foldr List.cons [] l = l
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : M ⊗[R] N
⊢ (lTensor M id) x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s ≤ s.dedup ↔ s.Nodup
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffAt ℝ n f x
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => Real.arctan (f x)) x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf : MeasurableEmbedding f
g : E → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : MeasureTheory.IntegrableOn g (f '' s) μ
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ (MeasureTheory.Measure.comap f (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (g x))) s =
  ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| * g (f x) ∂μ)
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
AddMonoid ιA
VAdd ιA ιB
(i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
(i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
DecidableEq ιA
DecidableEq ιB
GradedMonoid.GMonoid A
DirectSum.Gmodule A M
i : ιA
j : ιB
x : A i
y : M j
⊢ ((DirectSum.Gmodule.smulAddMonoidHom A M) ((DirectSum.of A i) x)) ((DirectSum.of M j) y) =
  (DirectSum.of M (i +ᵥ j)) (GradedMonoid.GSMul.smul x y)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
hA : A.Nonempty
this : ↑A.card + ↑P.parts.card ≤ 2 * ↑A.card
⊢ ↑A.card * (2 * ↑A.card) ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2 * ↑P.parts.card
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
hf : Injective2 f
⊢ image2 f s (t ∩ t') = image2 f s t ∩ image2 f s t'
α : Type u
s t : Set α
h : s ∩ t ⊆ ∅
⊢ (s ∪ t) \ s = t
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ Metric.cthickening δ E = (fun x => EMetric.infEdist x E) ⁻¹' Set.Iic (ENNReal.ofReal δ)