ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
h : f' =Θ[l] g'
⊢ Tendsto (norm ∘ f') l atTop ↔ Tendsto (norm ∘ g') l atTop
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ IntegrableOn (fun a_1 => ‖↑a_1 ^ a‖) (Ioi c) volume
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
DecidableEq G
hx : IsOfFinAddOrder x
⊢ ↑(AddSubmonoid.multiples x) = ↑(Finset.image (fun x_1 => x_1 • x) (Finset.range (addOrderOf x)))
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ Real.log x = Real.expOrderIso.symm ⟨x, hx⟩
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁
⊢ (h.compLeft ψ).h₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ψ.τ₃ h.h₂
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < b → b < a → c ≠ ⊤
hab : b < a
⊢ (a - b) * c = a * c - b * c
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μa : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝
μb : autoParam (MeasureTheory.Measure β) _auto✝¹
self : MeasureTheory.MeasurePreserving f μa μb
⊢ MeasureTheory.Measure.map f μa = μb
α : Sort u_1
β : Sort u_2
e : α ≃ β
⊢ Infinite α ↔ Infinite β
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ Iic (⨅ i, ⨅ j, f i j) = ⨅ i, ⨅ j, Iic (f i j)
α : Type u
s t : Set α
u : Set α
H : s ⊆ t
⊢ u ∩ s ⊆ u ∩ t
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
x : TensorProduct R (Module.Dual R M) M
⊢ (LinearMap.trace R M) ((dualTensorHom R M M) x) = (contractLeft R M) x
R : Type u_1
Ring R
StarRing R
x : R
hx : x ∈ skewAdjoint R
z : R
⊢ z * x * star z ∈ skewAdjoint R
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
t : Finset α
⊢ ∅.disjSups t = ∅
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f
this : IsNoetherian R N
⊢ Injective ⇑f
α : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → E
l : Filter α
c : α
h : IsMaxFilter (norm ∘ f) l c
⊢ IsMaxFilter (fun x => ‖f x + f c‖) l c
x✝ : ℝ
⊢ toIocMod two_pi_pos (-π) (toIocMod two_pi_pos (-π) x✝) = toIocMod two_pi_pos (-π) x✝
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
⊢ (∃ p k, Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = ↑a) → ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
h : ¬Collinear k {p₁, p₂, p₂}
⊢ False
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
Semiring C
Algebra R C
Star C
f : A →⋆ₐ[R] B
g : A →⋆ₐ[R] C
⊢ (StarAlgHom.fst R B C).comp (f.prod g) = f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X : C
f g : 0 ⟶ X
⊢ f = g
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
a b : α
P : Finpartition a
h : a = b
⊢ (P.copy h).parts = P.parts
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
v : Vector α n
⊢ (map id v).toList = v.toList
α : Type u_1
Add α
s : Set α
⊢ Equivalence (RightAddCosetEquivalence s)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n✝ : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n✝
n : ℕ
S : ComposableArrows C (n + 2)
h₁ : S.δlast.Exact
h₂ : (mk₂ (S.map' n (n + 1) ⋯ ⋯) (S.map' (n + 1) (n + 2) ⋯ ⋯)).Exact
⊢ S.δlast.Exact ∧ (mk₂ (S.map' n (n + 1) ⋯ ⋯) (S.map' (n + 1) (n + 2) ⋯ ⋯)).Exact
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u
v : Finset β
hvt : v ⊆ t
hvcard : v.card = mulRothNumber t
hv : ThreeGPFree ↑v
⊢ ThreeGPFree ↑(u ×ˢ v)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
I : FractionalIdeal S P
g : P ≃ₐ[R] P'
⊢ FractionalIdeal.map (↑g.symm) (FractionalIdeal.map (↑g) I) = I
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.ReflectsColimit (CategoryTheory.Limits.span f g) F
F.Faithful
H : CategoryTheory.IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ CategoryTheory.IsPushout f g h i
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
u : AddUnits M
⊢ AddCommute a ↑(-u) ↔ AddCommute a ↑u
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
⊢ ∀ (x : A), (ContinuousMonoidHom.one A B) x = 1
a : ℕ
⊢ ↑a ≠ ⊤
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
v : α
t : RBNode α
⊢ (match t.isRed with | red => (ins cmp v t).setBlack | black => ins cmp v t).setBlack = (ins cmp v t).setBlack
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
⊢ JoinedIn sᶜ a b
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
M : Matrix ι ι ℝ
hM : M.det ≠ 0
⊢ ∀ (A B : Matrix ι ι ℝ), A.det ≠ 0 → B.det ≠ 0 → Measure.map (⇑(toLin' A)) volume = ofReal |A.det⁻¹| • volume → Measure.map (⇑(toLin' B)) volume = ofReal |B.det⁻¹| • volume → Measure.map (⇑(toLin' (A * B))) volume = ofReal |(A * B).det⁻¹| • volume
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace X
CompactSpace X
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup β
NormedSpace 𝕜 β
NormedAddCommGroup γ
NormedSpace 𝕜 γ
g : β →L[𝕜] γ
f : C(X, β)
x : X
⊢ ((ContinuousLinearMap.compLeftContinuousCompact X g) f) x = g (f x)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g : G
hg : g ∈ N
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
c : G
hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N
hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)
h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N
hs : Surjective ⇑(((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h)
⊢ ⟨c * g * c⁻¹, ⋯⟩ ∈ normalClosure {⟨c * g * c⁻¹, hg'⟩}
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
Sup β
a b : β
⊢ ↑(a ⊔ b) = ↑a ⊔ ↑b
z : ℂ
⊢ |z.im| < Complex.abs z ↔ z.re ≠ 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : Integrable f μ
h'f : StronglyMeasurable f
A : μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K} := μ.finiteSpanningSetsInOpen'
t : Set E
t_count : t.Countable
ht : range f ⊆ closure t
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
α : Type u_2
DivisionMonoid α
f g : Filter α
⊢ f * g = 1 ↔ ∃ a b, f = pure a ∧ g = pure b ∧ a * b = 1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
p : X × Y → Prop
x : X
y : Y
h : ∀ᶠ (x : X × Y) in 𝓝 x ×ˢ 𝓝 y, p x
⊢ ∀ᶠ (x' : X) in 𝓝 x, ∀ᶠ (y' : Y) in 𝓝 y, p (x', y')
α : Type u_1
l : List α
⊢ List.drop l.length l = []
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y) + multiplicity p n
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
⊢ (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).toProperty.RespectsIso
α : Type u_1
t : α
ts : List α
r L : List (List α)
⊢ List.foldr (fun y r => (List.permutationsAux2 t ts r y id).2) r L =
  (L.bind fun y => (List.permutationsAux2 t ts [] y id).2) ++ r
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
h : LipschitzWith K f
hK : K ≠ 0
x : α
r : ℝ≥0∞
⊢ Set.MapsTo f (EMetric.ball x r) (EMetric.ball (f x) (↑K * r))
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
⊢ xᶜ ⊔ x = ⊤
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 4 = 1
hr : jacobiSymNat b a = r
⊢ jacobiSymNat a b = r
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace β
AddGroup α
AddAction α β
ContinuousConstVAdd α β
t : Set β
a : α
x : β
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ a +ᵥ t ∈ 𝓝 (a +ᵥ x)
G : Type u_1
H : Type u_2
AddZeroClass G
MulOneClass H
f : Multiplicative G ≃* H
a : G
⊢ (AddEquiv.toMultiplicative''.symm f) a = (AddMonoidHom.toMultiplicative''.symm f.toMonoidHom) a
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.prod ν).fst s = μ s
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp : Pair K
ppredB predB : K
succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp
nth_den_eq : g.dens n = ppredB
succ_nth_den_eq : g.dens (n + 1) = predB
⊢ g.dens (n + 2) = gp.b * predB + gp.a * ppredB
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone (CategoryTheory.Discrete.functor f)
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
⊢ (CategoryTheory.Limits.Bicone.ofColimitCocone ht).pt = t.pt
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
f g : M₁ →ₗ[R] M₁
⊢ (LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁) (f ∘ₗ g) = (LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁) f * (LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁) g
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
hb : LinearIndependent ℝ b
hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction
hv : ∀ v ∈ s.direction, ∃ t₁ t₂, v = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
t₁ t₂ : ℝ
hpt : p -ᵥ p₁ = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
⊢ p = p₁ ∨ p = p₂
α : Type u
CompleteLattice α
J : Type u
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ α
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit F = iSup F.obj
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ ∀ (x : ZMod n ⊕ ZMod n ⊕ ZMod n ⊕ ZMod n × ZMod n),
  (DihedralGroup.OddCommuteEquiv hn).symm x =
    match x with
    | Sum.inl i => ⟨(DihedralGroup.sr i, DihedralGroup.r 0), ⋯⟩
    | Sum.inr (Sum.inl j) => ⟨(DihedralGroup.r 0, DihedralGroup.sr j), ⋯⟩
    | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl k)) =>
      ⟨(DihedralGroup.sr (↑(ZMod.unitOfCoprime 2 ⋯)⁻¹ * k), DihedralGroup.sr (↑(ZMod.unitOfCoprime 2 ⋯)⁻¹ * k)), ⋯⟩
    | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j))) => ⟨(DihedralGroup.r i, DihedralGroup.r j), ⋯⟩
x : ℝ
hx₁ : -(Real.pi / 2) < x
hx₂ : x < Real.pi / 2
⊢ Real.arctan (Real.tan x) = x
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
n : ℕ
m : M
a : α
⊢ (n + AddAction.period m a) • m +ᵥ a = n • m +ᵥ a
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : Multiset α
⊢ l.Nodup → (l.erase a).Nodup
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ -x ≤ 0 ↔ 0 ≤ x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
NoZeroSMulDivisors R A
Nontrivial A
⊢ integralClosure R A = ⊥
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : s.Finite
⊢ IsCompact (⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) '' stdSimplex ℝ ↑s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
x : ℚ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => (preCDF ρ x a).toReal) ρ.fst
α : Type u
r : α → α → Prop
s : Set α
⊢ ¬Set.Unbounded r s ↔ Set.Bounded r s
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
h : List.ofFn f ≠ []
hn : n - 1 < n := ⋯
⊢ (List.ofFn f).getLast h = f ⟨n - 1, hn⟩
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal} ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
C : α ⧸ s → Prop
x : α ⧸ s
H : ∀ (z : α), C ↑z
⊢ C x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
c_ne_zero : c ≠ 0
⊢ ∀ (x : ℝ≥0∞), ContinuousAt (fun x => x * c⁻¹) x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (β i)
x : (i : ι) → β i
i : ι
inst✝ : ∀ (i : ι), T1Space (β i)
⊢ ClosedEmbedding (update x i)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
s : Set ι
e : α ≃ ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : (i : ι) → E₁ i
⊢ ‖f‖ * ∏ _i : { a // a ∉ s }, ‖x‖ = ‖f‖ * ‖x‖ ^ Fintype.card { a // a ∉ s }
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
A : ↥(Matrix.unitaryGroup n α)
⊢ ↑A⁻¹ = star ↑A
p n✝ k n : ℕ
hn : n < p → n !.factorization p = 0
h : n + 1 < p
⊢ (n + 1)!.factorization p = 0
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set E
x✝ y✝ : E
a✝⁶ b✝ : 𝕜
x : E
a✝⁵ : x ∈ univ
y : E
a✝⁴ : y ∈ univ
a✝³ : x ≠ y
a b : 𝕜
a✝² : 0 < a
a✝¹ : 0 < b
a✝ : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ univ
A : Type u_1
B : Type u_3
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsDomain A
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
NoZeroSMulDivisors A B
Algebra.IsIntegral A B
Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
⊢ IsLocalization.coeSubmodule (FractionRing B) (differentIdeal A B) = 1 / Submodule.traceDual A (FractionRing A) 1
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α (n + 1)
⊢ ¬φ.ex.IsAtomic
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖x + y - z‖ * ‖x + y - z‖ = (‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2 - ‖x + z‖ * ‖x + z‖
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0
hr₀ : 0 ≤ ↑r
hrc : ↑r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
⊢ ↑r ^ d₂ ≤ (↑c • fun r => r ^ d₁) ↑r
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasPullbacks C
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
G : ModuleCat R
x y : Over G
P : ModuleCat R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
⊢ LinearMap.range x.hom = LinearMap.range y.hom
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
⊢ ExteriorAlgebra.map LinearMap.id = AlgHom.id R (ExteriorAlgebra R M)
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
⊢ NoMinOrder (α ⊕ β) ↔ NoMinOrder α ∧ NoMinOrder β
self : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
i j : self.J
⊢ AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion (self.f i j)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
⊢ ∀ {X_1 Y : PresheafOfModules R} (f : X_1 ⟶ Y), (PresheafOfModules.evaluation R X).map f = PresheafOfModules.Hom.app f X
R : Type u_2
NonAssocRing R
Pow R ℕ
NatPowAssoc R
BinomialRing R
n : ℕ
⊢ Ring.choose 0 (n + 1) = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] g i
this : Finite ↑s
⊢ ⋂ x, f ↑x ≤ᶠ[l] ⋂ x, g ↑x
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K
h : ↑↑p ∣ 2
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
t : Finset α
ht : ∑' (a : { x // x ∉ t }), u ↑a < ε
x : β
hx : x ∈ s
A : Summable fun n => ‖f n x‖
⊢ ‖∑' (x_1 : { x // x ∉ t }), f (↑x_1) x‖ ≤ ∑' (a : { x // x ∉ t }), u ↑a
R : Type v
CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
j : Fin n.succ
⊢ A.det = ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ (↑i + ↑j) * A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Mul γ
x y : β → γ
z : α → β
⊢ (x * y) ∘ z = x ∘ z * y ∘ z
β : Type v
inst✝¹ : NormedRing β
hn : IsAbsoluteValue norm
f : CauSeq β norm
inst✝ : IsComplete β norm
s : Set β
os : IsOpen s
lfs : f.lim ∈ s
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : Metric.ball f.lim ε ⊆ s
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ‖↑(const norm f.lim - f) j‖ < ε
b : ℕ
hb : b ≥ N
⊢ ‖f.lim - ↑f b‖ < ε
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = f.hom ▷ Y.X ≫ (ρ_ (N.X ⊗ Y.X)).inv ≫ (N.X ⊗ Y.X) ◁ Y.one ≫ ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
⊢ ∃ b, ∀ a ∈ ↑(increment hP G ε).parts, a.card = b ∨ a.card = b + 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ : OneCocycle G U
i : I
T : C
a : T ⟶ U i
⊢ γ.ev i i a a = 1
Ω : Type u_1
_mΩ : MeasurableSpace Ω
s t : Set Ω
S T : Set (Set Ω)
hs : s ∈ S
ht : t ∈ T
hs_meas : MeasurableSet s
ht_meas : MeasurableSet t
μ : MeasureTheory.Measure Ω := by volume_tac
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
h_indep : ProbabilityTheory.IndepSets S T μ
⊢ ProbabilityTheory.IndepSet s t μ
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f f₁ : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f₁ s x
α : Type u
s : Set α
a : α
hs : s.Finite
⊢ a ∈ hs.toFinset ↔ a ∈ s
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G
⊢ ∀ (n : ℕ), (∃ H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤) → upperCentralSeries G n = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
f : α → β → γ
x : Mathlib.Vector α n
y : Mathlib.Vector β n
⊢ (Mathlib.Vector.zipWith f x y).toList = List.zipWith f x.toList y.toList
γ : Type w
SemilatticeInf γ
s : Set γ
x₀ : γ
⊢ BddBelow s ↔ ∃ x ≤ x₀, ∀ y ∈ s, x ≤ y
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ Set.InjOn (fun y => y ^ x) {y | 0 ≤ y}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hp : 0 < p.toReal
⊢ eLpNorm (fun x => c) p μ < ⊤ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ
P : Set X → Prop := IsCompact
c : Urysohns.CU P := { C := k, U := tᶜ, P_C := k_comp, closed_C := k_closed, open_U := ⋯, subset := kt, hP := ⋯ }
⊢ ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
a : α
⊢ 𝓝[≤] a ⊔ 𝓝[≥] a = 𝓝 a
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
a : α
prev_connect : r (p.toFun i.castSucc) a
connect_next : r a (p.toFun i.succ)
m : Fin (p.length + 1)
x : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.castSucc
y : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.succ
⊢ r x y
R✝ : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R✝
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R✝ → R✝ → Prop
R : Type uR
inst✝ : Ring R
r : R → R → Prop
a : R
⊢ (match { toQuot := Quot.mk (Rel r) a } with | { toQuot := a } => { toQuot := Quot.map (fun a => -a) ⋯ a }) = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (-a) }
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
i : ι
⊢ Z.baseSet i = (Z.localTriv i).baseSet
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
h'f : 0 ≤ f
A : ℝ
⊢ ∫ (x : α), truncation f A x ∂μ ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.Hom.id sq).τ₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.id sq.X₃
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.ε.app X) ((F.obj (𝟙_ M)).map f) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (F.ε.app Y)
M : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace α
Monoid M
MulAction M α
ContinuousConstSMul M α
c : M
s : Set α
⊢ c • closure s ⊆ closure (c • s)
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : #α = succ c
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit
S : Set α
H : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b
Se : #↑S = (type r).cof
⊢ c * c < #↑S * c
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
DivisionSemiring R
AddCommMonoid α
StarAddMonoid α
Module R α
c : ℕ
M : Matrix m n α
⊢ ((↑c)⁻¹ • M)ᴴ = (↑c)⁻¹ • Mᴴ
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
⊢ ↑(legendreSym p a) = ↑a ^ (p / 2)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm' f q μ * MeasureTheory.eLpNorm' g r μ