ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
⊢ ∀ (j : Discrete I.R), colimit.ι (Discrete.functor I.right) j ≫ ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).π ≫ (Iso.refl ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).pt).hom = colimit.ι (Discrete.functor I.right) j ≫ ((𝟭 (Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap)).obj K).π
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.commMonFunctorCategoryEquivalence C D).unitIso =
  CategoryTheory.Monoidal.CommMonFunctorCategoryEquivalence.unitIso
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M
⊢ Module.rank R ↥(s ⊔ t) ≤ Module.rank R ↥(s ⊔ t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
self : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor C D
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (self.obj X)).inv =
  self.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv ≫
    self.δ (𝟙_ C) X ≫ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight self.η (self.obj X)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : AlgebraicGeometry.SheafedSpace.GlueData C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
x : ↑↑D.glued.toPresheafedSpace
⊢ ∃ i y, (D.ι i).base y = x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : (AlgebraicGeometry.SheafedSpace C)ᵒᵖ
⊢ AlgebraicGeometry.SheafedSpace.Γ.obj X = (Opposite.unop X).presheaf.obj (Opposite.op ⊤)
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
Semiring R₁
Semiring R₂
Norm R₁
Norm R₂
σ : R₁ →+* R₂
self : RingHomIsometric σ
x : R₁
⊢ ‖σ x‖ = ‖x‖
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
s : Set α
hs : Dense s
⊢ inst✝³ = generateFrom (Ioi '' s ∪ Iio '' s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
pf : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f pf x n
⊢ HasFiniteFPowerSeriesAt (-f) (-pf) x n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k : ℕ
h : ↑‖x‖₊ < p.radius
⊢ ‖p.changeOrigin x k‖₊ ≤ ∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ 0 ≤ z ↔ 0 ≤ RCLike.re z ∧ RCLike.im z = 0
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h2s : MeasurableSet (univ.pi s)
x : ι → ℝ
⊢ ∫⁻ (xᵢ : ℝ), (univ.pi s).indicator 1 ((toLin' t.toMatrix) (Function.update x t.i xᵢ)) = ∫⁻ (xᵢ : ℝ), (univ.pi s).indicator 1 (Function.update x t.i xᵢ)
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ 2 ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ G
X Y : C
h : X = Y
⊢ α.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (CategoryTheory.eqToHom h))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α.app Y) (G.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
f : ι → α
a : α
⊢ a ∈ (type r).brange (bfamilyOfFamily' r f) → a ∈ range f
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
p : α → Sort u_3
hdiff : ⦃t : α⦄ → ⦃i : ℕ⦄ → p t → p (t \ f i)
h₀ : p (f 0)
⊢ disjointedRec hdiff h₀ = h₀
t : Set GromovHausdorff.GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, Metric.diam Set.univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ Set.univ ⊆ ⋃ x ∈ s, Metric.ball x (u n)
⊢ TotallyBounded t
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsArtinian R M
h_wf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → lowerCentralSeries R L M n = lowerCentralSeries R L M m
l : ℕ
hl : l ≥ n
m : ℕ
h : l ≤ m
⊢ lowerCentralSeries R L M l ≤ lowerCentralSeries R L M m
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
p : ℕ
hp : 1 < p
⊢ Summable fun n => f (p ^ n)
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset (Fin 1)
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ ∃ i', 0 < i' ∧ (normSeminorm 𝕜 E).ball 0 i' ⊆ id U
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
f g : (n → R) →ₗ[R] n → R
⊢ LinearMap.toMatrixAlgEquiv' (f ∘ₗ g) = LinearMap.toMatrixAlgEquiv' f * LinearMap.toMatrixAlgEquiv' g
a : SignType
⊢ a < 1 ↔ a ≤ 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
u : Filter ι
u.NeBot
u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Filter.Tendsto f u (𝓝 g)
⊢ Measurable g
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
⊢ ↑(f ⊔ g) = ↑f ⊔ ↑g
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L (k + 1) I ≤ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k I
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Flat R M
P : Type u
AddCommGroup P
Module R P
Module.FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
⊢ ∃ κ x h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂
α : Type u
β : α → Type v
s : AList β
⊢ ⟦s⟧.entries = ↑s.entries
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
Nontrivial α
s : Set α
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → ∃ c ∈ s, a < c ∧ c < b
⊢ Dense s
𝕜 : Type u_1
inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : ChartedSpace H M
inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²² : TopologicalSpace M'
inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
f✝ f₁ : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x → ContinuousWithinAt f s x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
c : CategoryTheory.Limits.Fork I.fstPiMap I.sndPiMap
⊢ I.ofPiForkFunctor.obj c = CategoryTheory.Limits.Multifork.ofPiFork I c
a b c d m✝ n : ℤ
m : ℕ
⊢ m < n.toNat ↔ ↑m < n
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace X
inst✝³ : T2Space X
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → E
g : X → 𝕜
s : Set X
hs : IsOpen s
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
hg : ContinuousOn g s
⊢ LocallyIntegrableOn (fun x => g x • f x) s μ
α : Type u
r : α → α → Prop
IsAntisymm α r
⊢ IsAntisymm α (Function.swap r)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : (2 ≤ k ∧ k < n + 1) ∧ 1 < c.length
⊢ ⟨k, c⟩ ∈ compPartialSumTarget 2 (n + 1) n
α : Type u
β✝ : α → Type v
β : α → Type u
κ : Cardinal.{u}
hκ : (sum fun a => κ ^ #(β a)) ≤ κ
⊢ (sum fun a => κ ^ #(β a)) ≤ κ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.22043, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ : W.LeftFraction X Y
Z : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
⊢ LeftFractionRel z₂ z₁
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂(Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel x) (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a \ b ⊓ c = (a ⊓ c) \ (b ⊓ c)
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
⊢ lift.{max u w, w} #↑(range (Term.realize Subtype.val)) ≤ #(L.Term ↑s)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
φ : G ≃g G'
v : V
v' : V'
C : G.ConnectedComponent
⊢ G.connectedComponentMk (φ.symm v') = C ↔ G'.connectedComponentMk v' = map (RelIso.toRelEmbedding φ).toRelHom C
B : Type u_1
B' : Type u_2
M : CoxeterMatrix B
e : B ≃ B'
M' : CoxeterMatrix B' := CoxeterMatrix.reindex e M
⊢ Set.range (⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) ∘ uncurry M.relation) = ⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) '' M.relationsSet
x y : ℝ
a✝ : (x, y) ∈ {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}
A : √(x ^ 2 + y ^ 2) = Complex.abs (↑x + ↑y * Complex.I)
Z : ↑(Complex.abs (↑x + ↑y * Complex.I) * cos (↑x + ↑y * Complex.I).arg) + ↑(Complex.abs (↑x + ↑y * Complex.I) * sin (↑x + ↑y * Complex.I).arg) * Complex.I = ↑x + ↑y * Complex.I
⊢ (fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2)) ((fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg)) (x, y)) = (x, y)
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → t₁ ⊆ t₂ → s₁ ⊻ t₁ ⊆ s₂ ⊻ t₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ ∀ {X Y : C × D} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Prod.swap C D).map f = (f.2, f.1)
k : Nat
m n : Nat
⊢ k ∣ m.gcd n ↔ k ∣ m ∧ k ∣ n
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
One β
f : α → β
TopologicalSpace β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : Function.mulSupport f ⊆ k
⊢ IsCompact (Set.range f)
⊢ NormedSpace.exp ℝ = NormedSpace.exp ℂ
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
a : K
nth_partNum_eq : (of v).partNums.get? n = some a
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
gp_a_eq_a_n : gp.a = a
⊢ a = 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
⊢ ContinuousOn (Function.uncurry v.toFun) (Set.Icc v.tMin v.tMax ×ˢ Metric.closedBall v.x₀ ↑v.R)
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
⊢ G.IsNClique 0 s ↔ s = ∅
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.MorphComponents.id X n).φ = 𝟙 (X _[n + 1])
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
⊢ (∑ x ∈ φ.support, (monomial (mapDomain f x)) (coeff x φ)).IsHomogeneous n
G : Type u_1
Mul G
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0
a b : G
⊢ a ∈ A → b ∈ B → a ≠ a0 ∨ b ≠ b0 → a * b ≠ a0 * b0
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
⊢ a⁻¹ ≤ 1 ↔ a ≤ 0 ∨ 1 ≤ a
α✝ β α : Type u
h : Fintype α
⊢ ∀ (f : PEmpty.{u + 1} → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : PEmpty.{u + 1}, f i)
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
A : 0 < ↑m
⊢ m = m.pred + 1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
D : Cocone F
i j : J
x : (forget C).obj (F.obj i)
y : (forget C).obj (F.obj j)
E : Cocone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCocone D
k : J
f : i ⟶ k
g : j ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget C).map f x = (F.map g) y
h1 : (F ⋙ forget C).map f ≫ E.ι.app k = E.ι.app i := E.ι.naturality f
h2 : (F ⋙ forget C).map g ≫ E.ι.app k = E.ι.app j := E.ι.naturality g
⊢ (D.ι.app i) x = (D.ι.app j) y
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a : α
s : Set α
⊢ ({a} ∩ s).encard ≤ 1
η : Type u_7
f : η → Type u_8
(i : η) → Group (f i)
H : (i : η) → Subgroup (f i)
⊢ Subgroup.pi Set.univ H = ⊥ ↔ ∀ (i : η), H i = ⊥
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.110262}
x : ↑(Iio o)
⊢ ↑x < o
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
s : L.Substructure M
x : M
⊢ x ∈ ↑s ↔ x ∈ s
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∀ x ∈ K, ∃ t ∈ 𝓝[K] x, ∃ V ∈ 𝓝 1, t * V ⊆ U
n : ℕ
⊢ ∀ {x : Decidable (↑n).Dom}, (↑n).toWithTop = ↑n
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
⊢ AnalyticAt ℂ f c ↔ ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r p q : R[X]
n : ℕ
hp : p.natDegree ≤ n
hq : q.natDegree ≤ n
i : ℕ
h : i ≤ n → p.coeff i = q.coeff i
⊢ p.coeff i = q.coeff i
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
inst✝ : CompleteSpace E
⊢ ∃ N K, ContractingWith K FunSpace.next^[N]
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
this : f.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) = f.linear (q -ᵥ p) +ᵥ f.toFun q
⊢ f q = g q
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter γ
t✝ : Set α
t : Set γ
tsets : t ∈ l
ht : r.core (s.core t) ⊆ t✝
⊢ ∃ x, (∃ x_1 ∈ l, s.core x_1 ⊆ x) ∧ r.core x ⊆ t✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
NonUnitalRing A
Module R A
Module S A
Algebra R S
a : A
f : S → R
self : QuasispectrumRestricts a f
⊢ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (quasispectrum S a)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : Set (Set E)
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X
h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : ↑I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Set (Set E)
left✝ : ↑I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.encard = ↑(finrank 𝕜 E) + 1
hJ_fin : Fintype ↑J
⊢ (⋂₀ J).Nonempty
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
a b c✝ c : α
h : c * a = b
⊢ a * c = b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : Φ.Finite
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
⊢ x = y
X Y Z W : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ W
cond' : f ≫ g = 0
⊢ explicitCokernelDesc cond' ≫ h = explicitCokernelDesc ⋯
K : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : LieModule K L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
⊢ ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
f : α → β
f' : β → α
hf : Set.LeftInvOn f' f s
ht : s₁ ⊆ s
⊢ Set.LeftInvOn f' f s₁
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
z :
  { z //
    CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ₁ =
      CochainComplex.HomComplex.δ (-1) 0 z + CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ₂ }
i j : ℤ
⊢ ((CochainComplex.HomComplex.Cochain.equivHomotopy φ₁ φ₂).symm z).hom i j =
  if hij : i + -1 = j then (↑z).v i j hij else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
⊢ (List.Forall₂ R ⇒ List.Forall₂ R) List.reverse List.reverse
R : Type u_1
CommSemiring R
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
Fintype n
Fintype m
M : Matrix l m R
N : Matrix m n R
⊢ (M * N).mulVecLin = M.mulVecLin ∘ₗ N.mulVecLin
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C (ComplexShape.down α))
n : α
⊢ (((CategoryTheory.Idempotents.karoubiChainComplexEquivalence C α).functor.obj P).X n).X = P.X.X n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
s : Finset ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s
⊢ s.card • ∑ i ∈ s, f i • g i ≤ (∑ i ∈ s, f i) • ∑ i ∈ s, g i
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
i : Fin p.length
⊢ (p.smash q h).toFun (Fin.castAdd q.length i).succ = p.toFun i.succ
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
this : Bᶜ ∈ 𝓝ˢ A
⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x V) (⋃ x ∈ B, ball x V)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
i : ι
s : Multiset ι
h : derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum
⊢ (Multiset.map f s).prod * derivative (f i) + f i * derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map f s).prod * derivative (f i) + (Multiset.map (fun i_1 => (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase i_1)).prod * derivative (f i_1)) s).sum
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
h : 0 ≤ x
h₂ : 0 ≤ z
h₁ : x ≤ x
⊢ x ^ z ≤ x ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
x : α
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousAt f x
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R' →+* R
j : S →+* S'
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (j.comp (algebraMap R S)).comp i = algebraMap R' S'
r : R'
x✝ : S
this : ((j.comp (algebraMap R S)).comp i) r = (algebraMap R' S') r
⊢ ↑j (i r • x✝) = r • ↑j x✝
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
d : l₁.Disjoint l₂
⊢ l₂.Disjoint l₁
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 0 < n
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F E
v : Fin n → F
A : univ = {c | 1 < c.length}.toFinset ∪ {Composition.single n hn}
B : Disjoint {c | 1 < c.length}.toFinset {Composition.single n hn}
⊢ (p.comp q n) v = ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, (p c.length) (q.applyComposition c v) + (p 1) fun x => (q n) v
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Finite R M
Module.Free R M
x : L
⊢ LieModule.IsRegular R M x ↔ (LinearMap.charpoly ((LieModule.toEnd R L M) x)).coeff (LieModule.rank R L M) ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
ι : Type w
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
Finite ι
X : C
j : ι
⊢ (CategoryTheory.CechNerveTerminalFrom.wideCospan.limitIsoPi ι X).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.WidePullback.π (fun x => CategoryTheory.Limits.terminal.from X) j =
  CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun x => X) j
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'
⊢ ∃ l' r', BalancedSz l' r' ∧ (l.size.dist l' ≤ 1 ∧ r.size = r' ∨ r.size.dist r' ≤ 1 ∧ l.size = l')
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
⊢ lift.{max v w, u} (type r) < lift.{max u w, v} (type s) ↔ Nonempty (r ≺i s)
S : SheafOfTypes typesGrothendieckTopology
⊢ ({ val := (equivYoneda S.val ⋯).hom } ≫ { val := (equivYoneda S.val ⋯).inv }).val = (𝟙 S).val
F : Type u_1
L : Type u_3
Field F
Field L
Algebra F L
Normal F L
K : IntermediateField F L
⊢ Normal F ↥K ↔ ∀ (σ : L ≃ₐ[F] L), IntermediateField.map (↑σ) K = K
R : Type u_1
Semiring R
n : ℤ
a : R
a0 : a ≠ 0
⊢ (LaurentPolynomial.C a * LaurentPolynomial.T n).degree = ↑n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : Set α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, c ∂μ < ⊤
K L : Type
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : IsAlgClosed L
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
this✝ : Algebra (ZMod p) K := ZMod.algebra K p
this : Algebra (ZMod p) L := ZMod.algebra L p
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis (ZMod p) Subtype.val
⊢ Nonempty (K ≃+* L)
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
AddMonoid ι
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
self : DirectSum.GSemiring A
⊢ DirectSum.GSemiring.natCast 0 = 0
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
⊢ Squarefree n ↔ n.minSqFac = none
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ p.prod q = Submodule.comap (LinearMap.fst R M M₂) p ⊓ Submodule.comap (LinearMap.snd R M M₂) q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α
ι : Type u_6
R : Type u_7
F : Filter ι
inst✝ : CompleteLattice R
a : ι → R
⊢ sInf ((fun I => sSup (a '' I)) '' F.sets) ≤ limsup a F