ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R✝ : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹⁵ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁴ : Semiring A₁
inst✝¹³ : Semiring A₂
inst✝¹² : Semiring A₃
inst✝¹¹ : Semiring A₁'
inst✝¹⁰ : Semiring A₂'
inst✝⁹ : Semiring A₃'
inst✝⁸ : Algebra R✝ A₁
inst✝⁷ : Algebra R✝ A₂
inst✝⁶ : Algebra R✝ A₃
inst✝⁵ : Algebra R✝ A₁'
inst✝⁴ : Algebra R✝ A₂'
inst✝³ : Algebra R✝ A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R✝] A₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
f : (S →ₐ[R] S)ˣ
x : S
⊢ ↑(f * f⁻¹) x = x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
x y : R
⊢ (∀ (i : Fin (Nat.succ 0).succ), IsIdempotentElem (![x, y] i)) ∧ (∀ (i j : Fin (Nat.succ 0).succ), i ≠ j → ![x, y] i * ![x, y] j = 0) ∧ ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![x, y] i = 1 ↔ IsIdempotentElem x ∧ y = 1 - x
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f g : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
⊢ ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ (⇑f + ⇑g) ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary = (↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal fun i => ↑(f ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) + ↑(g ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩)) * star ↑hA.eigenvectorUnitary
R : Type u_1
NonUnitalCommRing R
⊢ NonUnitalSubring.center R = ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
R : Type u_5
inst✝ : One R
U : Set X
f : LocallyConstant X R
hU : IsClopen U
s : Set R
⊢ IsOpen (⇑f ⁻¹' s ∩ U ∪ 1 ⁻¹' s ∩ Uᶜ)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
𝕜₄ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
AddCommGroup E
AddCommGroup F
AddCommGroup G
AddCommGroup H
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NontriviallyNormedField 𝕜₄
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ F
Module 𝕜₃ G
Module 𝕜₄ H
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalSpace G
TopologicalSpace H
TopologicalAddGroup G
TopologicalAddGroup H
ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
RingHomIsometric σ₁₂
RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
L : E →SL[σ₁₄] H
⊢ (e₁₂.arrowCongrSL e₄₃) L = (↑e₄₃).comp (L.comp ↑e₁₂.symm)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω
h : ↑ε * (μ {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}).toReal ≤ ∫ (x : Ω) in {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) x ∂μ
⊢ ε • (μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}).toReal ≤ ∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
m n : α
hm : IsPrimal m
hn : IsPrimal n
⊢ IsPrimal (m * n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I.Boundaryless
x : M
hx : x ∈ f.source
⊢ Filter.map (↑(f.extend I)) (𝓝 x) = 𝓝 (↑(f.extend I) x)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
SeminormedAddCommGroup E₃
Module R E
Module R₂ E₂
Module R₃ E₃
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
e' : E₂ ≃ₛₗᵢ[σ₂₃] E₃
⊢ (e.trans e').toLinearEquiv = e.trans e'.toLinearEquiv
α : Type u
a b : α
⊢ {a} ⊆ {b} ↔ a = b
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N = I • N
hIjac : I ≤ N.annihilator.jacobson
⊢ N = ⊥
m : Type u_1 → Type u_2
β : Type u_1
α : Type u_3
Monad m
f : β → α → m β
b : β
a : α
l : List α
⊢ List.foldlM f b (a :: l) = do
  let init ← f b a
  List.foldlM f init l
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
hι : Nonempty ι
K : ι → Subgroup G
hK : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
⊢ x ∈ closure (⋃ i, ↑(K i)) → ∃ i, x ∈ K i
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : Limits.IsInitial X
M : PresheafOfModules R
c : Cᵒᵖ
x✝ : ↑({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.obj c)
⊢ { toFun := fun x => (𝟙 (M.presheaf.obj c)) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x✝ = (𝟙 ((ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c))) x✝
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
⊢ 𝓝[s] a = 𝓝 a ↔ s ∈ 𝓝 a
a b c : EReal
h₁ : c ≠ ⊥
h₂ : c ≠ ⊤
h₃ : c ≠ 0
⊢ a * c / (b * c) = a / b
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
TopologicalSpace.SeparableSpace α
⊢ SecondCountableTopology α
x y : SetTheory.PGame
⊢ x ≤ y ∨ y.LF x
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
CharZero R
⊢ ringChar R = 0
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : q.degree < p.degree
⊢ p.coeff p.natDegree ≠ 0
b : ℂ
hb : 0 < b.re
⊢ ∫ (r : ℝ) in Ioi 0, ↑r * cexp (-b * ↑r ^ 2) = (2 * b)⁻¹
b c n : ℕ
hc : 1 < c
hb : c ≤ b
⊢ Nat.clog b n ≤ Nat.clog c n
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
a : α
ha : a ∈ s ∪ t
b : α
hb : b ∈ s ∪ t
h'a : a ∈ s
h'b : b ∈ s
⊢ edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
s : Set E
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hfi : Integrable f μ
hfm : Measurable f
hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
h₀i : Integrable (fun x => y₀) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(approxOn f hfm s y₀ h₀ n)) μ
⊢ Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (approxOn f hfm s y₀ h₀ n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
DecidableRel f.SameCycle
x : α
⊢ (f.cycleOf x) x = f x
α : Type u_1
M : Matroid α
M.Nonempty
⊢ M.E.Nonempty
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
⊢ l₁ <+~ l₂
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.withDensity f)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable g ((μ.restrict s).withDensity f)
H : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e : PartialHomeomorph M H
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
HasGroupoid M G
x : H
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id Set.univ y
he : e ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.target
⊢ ChartedSpace.LiftPropAt Q (↑e.symm) x
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
x : K
⊢ 1 / FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ x = FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ x⁻¹
R : Type u_1
Semiring R
f g : Polynomial R
fg : f.leadingCoeff * g.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (f * g).reverse = f.reverse * g.reverse
α : Type u
Group α
x : α
⊢ FreeGroup.prod (FreeGroup.of x) = x
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ 0 ≤ if hw : w.IsReal then ‖x.1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖x.2 ⟨w, ⋯⟩‖
a b : ENNReal
h₁ : b = ⊤ → a ≠ 0
h₂ : a = ⊤ → b ≠ 0
⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ 1 ≤ a * b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S : J.Cover X
I : (S.pullback f).Arrow
⊢ I.base.Y = I.Y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.OrdConnected
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ Convex 𝕜 s
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N
n : ℕ
hn : N ≤ n
⊢ ∀ (i : { f // f ∈ S }), Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (I N)) = Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (I n))
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t s : Set A
⊢ adjoin S s ≤ adjoin S ↑(adjoin R s)
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), Inseparable a b → f a = f b
⊢ UniformContinuous (SeparationQuotient.lift f h) ↔ UniformContinuous f
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c_pos : 0 < c
hX : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (X i) ℙ
A : ∀ (i : ℝ), StronglyMeasurable ((Set.Ioc (-i) i).indicator id)
Y : ℕ → Ω → ℝ := fun n => truncation (X n) ↑n
S : ℕ → Ω → ℝ := fun n => ∑ i ∈ range n, Y i
hS : S = fun n => ∑ i ∈ range n, Y i
u : ℕ → ℕ := fun n => ⌊c ^ n⌋₊
u_mono : Monotone u
I1 : ∀ (K : ℕ), ∑ j ∈ range K, (↑j ^ 2)⁻¹ * variance (Y j) ℙ ≤ 2 * ∫ (a : Ω), X 0 a
C : ℝ := c ^ 5 * (c - 1)⁻¹ ^ 3 * (2 * ∫ (a : Ω), X 0 a)
I2 : ∀ (N : ℕ), ∑ i ∈ range N, (↑(u i) ^ 2)⁻¹ * variance (S (u i)) ℙ ≤ C
I3 : ∀ (N : ℕ), ∑ i ∈ range N, ℙ {ω | ↑(u i) * ε ≤ |S (u i) ω - ∫ (a : Ω), S (u i) a|} ≤ ENNReal.ofReal (ε⁻¹ ^ 2 * C)
I4 : ∑' (i : ℕ), ℙ {ω | ↑(u i) * ε ≤ |S (u i) ω - ∫ (a : Ω), S (u i) a|} < ⊤
ω : Ω
hω : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ c ∈ range (u n), Y c ω - ∫ (a : Ω), ∑ c ∈ range (u n), Y c a| < ε * ↑(u n)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (range ⌊c ^ n⌋₊).sum Y a| < ε * ↑⌊c ^ n⌋₊
y : ℝ
hp : 0 < y
A : Tendsto (fun p => rexp (log p.1 * p.2)) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (0, y)
α : Type u_1
AddCommGroup α
p : α
⊢ p ≡ 0 [PMOD p]
α : Type u_4
Preorder α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬m < x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
K : ℝ
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ K * dist x y
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
⊢ K ≤ ↑K.toNNReal
R : Type u
A : Type v
CommRing R
CommRing A
IsDomain A
Algebra R A
NoZeroSMulDivisors R A
Infinite R
⊢ Cardinal.lift.{u, v} #{ x // IsAlgebraic R x } = Cardinal.lift.{v, u} #R
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
μ : Ordinal.{u}
⊢ Profinite.NobelingProof.P I μ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s✝ : Set M
m : M
s : Set (LieSubmodule R L M)
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hsup : m ∈ ↑(sSup s)
hne : Nonempty ↑s
⊢ ↑(sSup s) = ⋃ N ∈ s, ↑N
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ ∑ x ∈ s.erase i, r x * eval (v i) (Lagrange.basis s v x) = 0
C : ℕ
u : ℕ → ℕ
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu_strict : StrictMono u
hC_nonzero : C ≠ 0
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → (fun i => ↑(f i)) n ≤ (fun i => ↑(f i)) m
⊢ (Summable fun k => (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * (fun i => ↑(f i)) (u k)) ↔ Summable fun i => ↑(f i)
x : ℝ
⊢ Real.arccos x ≤ π / 2 ↔ 0 ≤ x
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α : Type u
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
u : α
⊢ u ∈ supp (abs ⟨a, f⟩) ↔ u ∈ f '' univ
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
⊢ ∑ x : R, ∑ i : R, χ i * ψ i * (χ x⁻¹ * ψ (-x)) = ↑(Fintype.card R)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
R : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid Y
Module R Y
x : X
⊢ ∀ (a : LocallyConstant X Y), (LocallyConstant.evalₗ R x) a = a x
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
⊢ SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (↑e.symm) e.target
E : Type u_6
SeminormedGroup E
S : Type u_9
SetLike S E
SubgroupClass S E
s : S
x : ↥s
⊢ ‖x‖ = ‖↑x‖
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
⊢ n + n + (n + n) = 4 * n
m✝ n✝ a✝ b✝ c d a b m n : ℤ
hmn : m.natAbs.Coprime n.natAbs
h : m ∣ b - a ∧ n ∣ b - a
⊢ a ≡ b [ZMOD m * n]
a b m n✝ p d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hdn : d ≤ n
hd_lt_n : d < n
h1 : n / d ≠ 0
h : (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization
h2 : ¬n ≤ n / d * d
⊢ False
α : Type u_1
CommSemiring α
E : LinearRecurrence α
u : ℕ → α
init : Fin E.order → α
h : E.IsSolution u
heq : ∀ (n : Fin E.order), u ↑n = init n
n : ℕ
⊢ u n = E.mkSol init n
ι : Type u_1
α : Type u_3
Preorder ι
DecidableEq ι
Preorder α
f : ι → α
i j : ι
h₁ : i ≤ j
h₂ : f j < f i
⊢ toLex (f ∘ ⇑(Equiv.swap i j)) < toLex f
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ LinearMap.range (M.mulMap N) = M * N
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
g : N → M
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : N), (f.inverse g h₁ h₂) a = g a
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
P : α → Prop
s : Set α
⊢ s ∩ setOf P = (fun a => ↑a) '' {x | ↑x ∈ s}
α : Type u_1
OrderedSemiring α
Nontrivial α
x : ↑(Set.Ico 0 1)
⊢ ↑x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
⊢ s * Metric.ball 1 δ = Metric.thickening δ s
p q y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hp : 1 < p
h : LiouvilleWith p ↑0
⊢ False
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
SMulCommClass R B B
IsScalarTower R B B
a₁ a₂ : A
b₁ b₂ : B
ha : Commute a₁ a₂
hb : Commute b₁ b₂
⊢ Commute (a₁ ⊗ₜ[R] b₁) (a₂ ⊗ₜ[R] b₂)
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
n : ℕ
hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0
hab : (↑p).coeff 1 = ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1 + (n + 1)] ((⇑frobenius)^[n + 1] a * (⇑frobenius)^[n✝ + 1] b)).coeff 1
⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n + 1] b)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
t : Finset β
a : α
DecidablePred (r a)
b : β
⊢ b ∈ Finset.bipartiteAbove r t a ↔ b ∈ t ∧ r a b
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f (Icc a b)
hc : c ∈ Icc a b
this : f c ∈ Icc (sInf (f '' Icc a b)) (sSup (f '' Icc a b))
⊢ f c ≤ sSup (f '' Icc a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
⊢ BddBelow s.measureOfNegatives
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : V
hx : x ∈ (p.takeUntil u h).support
⊢ x ∈ (p.takeUntil u h).support ∨ x ∈ (p.dropUntil u h).support
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
z : ℂ
⊢ v.repr.symm (orthonormalBasisOneI.repr z) = z.re • v 0 + z.im • v 1
α : Type u_1
DecidableEq α
AddCommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ Finset.addDysonETransform e (Finset.addDysonETransform e x) = Finset.addDysonETransform e x
γ : Type w
EMetricSpace γ
s : Set γ
⊢ 0 < EMetric.diam s ↔ s.Nontrivial
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f : α → α
hf : LocallyLipschitz f
n : ℕ
⊢ LocallyLipschitz f^[n]
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsAffine X
AlgebraicGeometry.IsAffine Y
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.map (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f ⊤) ≫ Y.isoSpec.inv = X.isoSpec.inv ≫ f
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
hb : 0 ≤ 1
⊢ CNF 0 o = [(0, o)]
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℤ
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ fract (↑m / ↑n) = ↑(m % ↑n) / ↑n
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcs' : μ s ≠ ⊤
t : Set Ω
⊢ μ[|s] t * μ s = μ (s ∩ t)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h✝ e f : L
m✝ : M
μ : R
t : IsSl2Triple h✝ e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m✝ μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
hn : μ = ↑n
h : ¬((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m✝ = 0
this : t.HasPrimitiveVectorWith (((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m✝) (↑n - 2 * (↑n + 1))
m : ℕ
hm : ↑n - 2 * (↑n + 1) = ↑m
⊢ False
S : Type u_1
inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasShift C S
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : HasShift D S
F : C ⥤ D
η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X : DifferentialObject S C
⊢ F.map X.d ≫ ((shiftFunctor C 1 ⋙ F).map X.d ≫ η.app ((shiftFunctor C 1).obj X.obj)) ≫ (shiftFunctor D 1).map (η.app X.obj) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
this : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced f t
⊢ IsClosed s ↔ ∃ t_1, IsClosed t_1 ∧ f ⁻¹' t_1 = s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
C : Set (Set α)
t : Set β
⊢ ⋃₀ C ×ˢ t = ⋃₀ ((fun s => s ×ˢ t) '' C)
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
CommSemiring R
Semiring A₁
Algebra R A₁
⊢ 1 = AlgEquiv.refl
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
s : Set ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ X.zeroLocus s ↔ ∀ f ∈ s, x ∉ X.basicOpen f
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
f : α → β
⊢ Set.SurjOn f ∅ t ↔ t = ∅
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a : α
n : ℕ
ha : 1 < a
⊢ a ^ n < a ^ n.succ
R : Type u_1
Semiring R
f : PowerSeries R
n : ℕ
⊢ PowerSeries.trunc n.succ f = PowerSeries.trunc n f + (Polynomial.monomial n) ((PowerSeries.coeff R n) f)
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id 𝒳 = CategoryTheory.BasedFunctor.id 𝒳
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f : R →ₙ+* S
⊢ f.eqLocus f = ⊤
F : Type u → Type v
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
G : Type u → Type w
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
η η' : ApplicativeTransformation F G
h : ∀ (α : Type u) (x : F α), (fun {α} => η.app α) x = (fun {α} => η'.app α) x
⊢ (fun {α} => η.app α) = fun {α} => η'.app α
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ
⊢ ((fun x => rexp (f x)) =O[l] fun x => 1) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f
α : Type u_1
Add α
P : Prop
Decidable P
a b c : α
⊢ (if P then a else b) + c = if P then a + c else b + c
F : Type u
E : Type v
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field E
inst✝⁹ : Algebra F E
K✝ : Type w
inst✝⁸ : Field K✝
inst✝⁷ : Algebra F K✝
inst✝⁶ : Algebra E K✝
inst✝⁵ : IsScalarTower F E K✝
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
⊢ Module.rank F E * sepDegree E K = sepDegree F K
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
x : ↥U
⊢ IsLocalization.AtPrime (↑(X.presheaf.stalk ↑x)) (hU.primeIdealOf x).asIdeal
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
x✝ : R
hx : x✝ ∈ M.subsemiringClosure
H1 : Subsemiring R
H2 : H1 ∈ {S | ↑M ⊆ ↑S}
⊢ x✝ ∈ (fun h => ↑H1) H2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
⊢ Continuous fun x y => x y
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
⊢ ((a ::ₘ s.val).pi fun a => (t a).val).dedup = ((t a).val.bind fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup).dedup
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W✝ : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
W : Subspace K (Module.Dual K V)
equiv : (Module.Dual K V ⧸ W) ≃ₗ[K] ↥(dualAnnihilator W) := W.quotEquivAnnihilator
eq : finrank K (Module.Dual K V ⧸ W) = finrank K ↥(dualAnnihilator W)
⊢ finrank K ↥W + finrank K ↥(dualAnnihilator W) = finrank K V
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
x : R
I : Ideal R
hx : x ∈ I
⊢ (algebraMap R P) x ∈ ↑I
⊢ CategoryTheory.RelCat.unopFunctor.comp CategoryTheory.RelCat.opFunctor =
  CategoryTheory.Functor.id CategoryTheory.RelCatᵒᵖ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
Fₗ : Type u_7
Gₗ : Type u_9
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup Eₗ
SeminormedAddCommGroup Fₗ
SeminormedAddCommGroup Gₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Eₗ
NormedSpace 𝕜 Fₗ
NormedSpace 𝕜 Gₗ
L : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
u : Eₗ →L[𝕜] E
f : Fₗ
g : Eₗ
⊢ (((ContinuousLinearMap.precompL Eₗ L) u) f) g = (L (u g)) f