ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ ((toLinearMap₂ b₁ b₁) J).IsAdjointPair ((toLinearMap₂ b₂ b₂) J') ((toLin b₁ b₂) A) ((toLin b₂ b₁) A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'
K : Type u_2
Field K
NumberField K
⊢ ∑ w : NumberField.InfinitePlace K, w.mult = FiniteDimensional.finrank ℚ K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n m : ℕ
hmn : m ≤ n
h : Irreducible (cyclotomic (p ^ n) R)
⊢ Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K : Set G
h1K : IsCompact K
h2K : (interior K).Nonempty
⊢ 0 < index (↑{ carrier := K, isCompact' := h1K }) U
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ (Function.mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a✝ b✝ : α
inst✝ : LE α
a : α
b : WithBot α
h : b ≠ ⊥
⊢ a ≤ b.unbot h ↔ ↑a ≤ b
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
m : Multiset (Polynomial R)
⊢ 0 ∉ m → m.prod.roots = m.bind Polynomial.roots
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
b : α
i : ℕ
isLt : i < n + (m + 1)
⊢ (if h : i < n then as ⟨i, ⋯⟩ else if h_1 : i - n < m then bs ⟨i - n, ⋯⟩ else b) = if h : i < n + m then if h_1 : i < n then as ⟨i, ⋯⟩ else bs ⟨i - n, ⋯⟩ else b
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
A : P → α
B : ¬P → α
⊢ (∃ h, dite P A B = A h) ∨ ∃ h, dite P A B = B h
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Module.Free R M
h : ∀ (s : Set M), Basis (↑s) R M → ¬s.Finite
h✝ : Nontrivial R
w✝ : Set M
b : Basis (↑w✝) R M
this : Infinite ↑w✝
⊢ finrank R M = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
InvolutiveNeg α
s t : Finset α
⊢ -(s ∩ t) = -s ∩ -t
f : Bool → Bool → Bool
n m : ℕ
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0
⊢ (if n = 0 then if f false true = true then m else 0 else if m = 0 then if f true false = true then n else 0 else let n' := n / 2; let m' := m / 2; let b₁ := n % 2 = 1; let b₂ := m % 2 = 1; let r := bitwise f n' m'; if f (decide b₁) (decide b₂) = true then r + r + 1 else r + r) = bit (f n.bodd m.bodd) (bitwise f (n / 2) (m / 2))
α : Type u_3
DivisionSemiring α
q : ℚ≥0
a : α
⊢ ↑q * a = a * ↑q
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ < π / 2
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ derivedSeries R L 1
⊢ χ x = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
χ : DirichletCharacter R 1
⊢ χ = 1
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
r : R
h : ∀ (k : ℕ), eval r ((hasseDeriv k) f) = 0
⊢ (taylor r) f = 0
ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
inst✝ : RCLike 𝕜
r : 𝕜
f : ℝ → 𝕜
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x * r ∂μ = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) * r
α : Type u
β : Type v
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk ↑(Set.range f)) = Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk α)
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
L.NeBot
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → MeasureTheory.Measure Ω
∀ (i : ι), MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Filter.Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
⊢ μ G ≤ Filter.liminf (fun i => (μs i) G) L
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥M
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : LinearIndependent R m
hn : LinearIndependent R n
⊢ LinearIndependent R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B₁ B₂ : Set α
M : Matroid α
inst✝ : M.InfiniteRk
h : M.FiniteRk
B : Set α
hB : M.Base B
⊢ False
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g : α → E
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ i ∈ s, Memℒp (f i) p μ
⊢ ∑ i ∈ s, f i = fun a => ∑ i ∈ s, f i a
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (σₙ R a)
sp_eq : σₙ R ((cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := hf0 }) = f '' σₙ R a
⊢ ∀ (x : ↑(σₙ R a)), { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } x = ↑(?f' x)
w v : Nat
h : w = v
x : BitVec w
⊢ (BitVec.cast h x).msb = x.msb
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x ↔
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)
      (↑(extChartAt I x) x)
p : ℕ → Prop
n : ℕ
h : ∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card
⊢ n ≤ Nat.nth p n
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : 0 < x
hy : 0 < y
k : arctan x⁻¹ + arctan y⁻¹ = arctan ((x⁻¹ + y⁻¹) / (1 - x⁻¹ * y⁻¹))
⊢ arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y)) + π
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : ι → Set E
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ PartENat.card ι
h_convex : ∀ (i : ι), Convex 𝕜 (F i)
h_compact : ∀ (i : ι), IsCompact (F i)
h_inter : ∀ (I : Finset ι), I.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
I : Finset ι
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Finset ι
hJ_ss : I ⊆ J
hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1
⊢ (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ o.oangle x (-y) = o.oangle x y + ↑π
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι
⊢ i ∈ dom ∧ t ∈ l i → ∃ b, ((i, b).1 ∈ dom ∧ p (i, b).1 (i, b).2) ∧ s (i, b).1 (i, b).2 ⊆ t
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
f : β → α
s t : Set β
z : β
ht : IsCompact t
hst : s ⊆ t
hf : ContinuousOn f t
hz : z ∈ t
hfz : ∀ z' ∈ t \ s, f z < f z'
hs : IsOpen s
⊢ ∃ x ∈ s, IsLocalMin f x
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
L : Filter F
hL : L ≤ 𝓝 x
h : HasGradientAtFilter f f' x L
⊢ Filter.Tendsto f L (𝓝 (f x))
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
I J : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑(I * J) = ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑I ∪ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑J
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ν.restrict (spanningSets μ n), μ.rnDeriv ν x < ⊤
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ
⊢ (preNormEDS' (b ^ 4) c d (2 * (m + 2) + 1) * if Even (2 * (m + 2) + 1) then b else 1) = (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 4) * if Even (m + 4) then b else 1) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 2) * if Even (m + 2) then b else 1) ^ 3 - (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 1) * if Even (m + 1) then b else 1) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * if Even (m + 3) then b else 1) ^ 3
α : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : StarRing α
z : ↥(NonUnitalStarSubsemiring.center α)
a : α
⊢ ↑(star (centerToCentroidCenter z)) a = ↑(centerToCentroidCenter (star z)) a
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α →ₘ[μ] E
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑f x‖ ≤ C
⊢ f ∈ MeasureTheory.Lp E p μ
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
ℱ : Presheaf C X
x : ↑X
U✝ : Opens ↑X
hxU✝ : (𝟙 X) x ∈ U✝
⊢ ℱ.map ((NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (𝟙 X) x).inv).app (op { obj := U✝, property := ⋯ })) ≫ colimit.ι ((OpenNhds.map (𝟙 X) x).op ⋙ ((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj ℱ) (op { obj := U✝, property := ⋯ }) ≫ colimit.pre (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj ℱ) (OpenNhds.map (𝟙 X) x).op = colimit.ι ((OpenNhds.inclusion ((𝟙 X) x)).op ⋙ (pushforward C (𝟙 X)).obj ℱ) (op { obj := U✝, property := ⋯ }) ≫ (stalkFunctor C x).map (Pushforward.id ℱ).hom
f g₁ g₂ : CircleDeg1Lift
h : Function.Semiconj ⇑f ⇑g₁ ⇑g₂
⊢ dist (g₁ 0) (g₂ 0) < 2
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
X A : C
inst✝¹ : IsConnected A
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
inst✝ : Mono u
a : ↑(F.obj A)
h : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
x : ↑(F.obj X)
⊢ F.map (CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProdProj u x) a = x
M : Type u_1
α : Type u_2
Group M
MulAction M α
s : Set α
m : M
⊢ m ∈ fixingSubgroup M s ↔ ∀ y ∈ s, m • y = y
α β : Sort u
h : α = β
a : α
⊢ HEq (cast h a) a
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
v w p x y : List (Symbol T N)
hxy : v = x ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ y ∧ w = x ++ r.output ++ y
⊢ v ++ p = x ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ (y ++ p) ∧ w ++ p = x ++ r.output ++ (y ++ p)
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ Q (x + x) = 4 • Q x
l r : ℕ
⊢ Ordnode.BalancedSz l r → Ordnode.BalancedSz r l
X₁ : Type u₁
inst✝⁹ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : NormalSpace X
s✝ : Set X
hs✝ : IsClosed s✝
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y✝ : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y✝
inst✝⁵ : TietzeExtension Y✝
Y : Type v
Z : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TietzeExtension Z
ι : C(Y, Z)
r : C(Z, Y)
h : r.comp ι = ContinuousMap.id Y
X✝ : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : NormalSpace X✝
s : Set X✝
hs : IsClosed s
f : C(↑s, Y)
g : C(X✝, Z)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ι.comp f
x : ↑s
this : r.comp (ContinuousMap.restrict s g) = f
⊢ (ContinuousMap.restrict s (r.comp g)) x = f x
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s
A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)
this : ↑0 < n
⊢ (↑{ toLinearEquiv := (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) = (p x (Nat.succ 0)).curryLeft
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h'p : 1 < p
⊢ 2 ^ (p - 1) * (z₁ ^ p + z₂ ^ p) = 1 / 2 * (2 * z₁) ^ p + 1 / 2 * (2 * z₂) ^ p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : CategoryTheory.MorphismProperty C
Q.RespectsIso
⊢ P.isoClosure ≤ Q ↔ P ≤ Q
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
i : σ
f g : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.degreeOf i (f * g) ≤ MvPolynomial.degreeOf i f + MvPolynomial.degreeOf i g
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ a = n.sqrt ↔ a ^ 2 ≤ n ∧ n < (a + 1) ^ 2
a b c d : Int
h₁ : a = b
h₂ : c = d
⊢ a * c = b * d
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f✝ : β → α
inst✝ : DecidableEq β
s₁ s₂ : Finset β
h₁ : s₁.Nonempty
h₂ : s₂.Nonempty
f : β → α
a : α
⊢ (s₁ ∪ s₂).sup' ⋯ f ≤ a ↔ s₁.sup' h₁ f ⊔ s₂.sup' h₂ f ≤ a
α : Type u
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set α
a : α
⊢ BddAbove s → BddAbove (insert a s)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
⊢ AddMonoidAlgebra.single 0 a * AddMonoidAlgebra.single s a' = AddMonoidAlgebra.single s (a * a')
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
ϕ : L →ᴸ L'
L₁ : FirstOrder.Language
L₂ : FirstOrder.Language
ψ : L₁ →ᴸ L₂
⊢ (ϕ.sumMap ψ).comp FirstOrder.Language.LHom.sumInr = FirstOrder.Language.LHom.sumInr.comp ψ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0
Q : R[X]
hQ : P * Q = 0
l : ℕ
IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0
⊢ P.coeff l • Q = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
h₂ : ‖-x + y‖ = ‖x - y‖
⊢ 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖ = -(𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
a✝ : T1Space E
⊢ ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b c : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
⊢ min (a / b) (a / c) = a / max b c
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
⊢ ∀ (x : ↑((extendScalars f).obj X)), (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) x = g x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x✝ y✝ : α
h : f.IsCycleOn s
x : α
hx : x ∈ ⇑g⁻¹ ⁻¹' s
y : α
hy : y ∈ ⇑g⁻¹ ⁻¹' s
⊢ (g * f * g⁻¹).SameCycle x y
a : ENNReal
⊢ a⁻¹ ≠ ⊤ ↔ a ≠ 0
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}
hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}
this : ↑↑m = ↑↑n
⊢ ↑m = ↑n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖truncation f n a‖ ≤ (fun x => |f x|) a
c : Char
⊢ String.singleton c = { data := c :: List.nil }
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this✝² : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (range fun i => bK i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this✝¹ : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom K (RingHom.op L.subtype)
ιL : Type u
bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
t : Finset ℕ
g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ
i✝ : ℕ
hi✝ : i✝ ∈ t
hgi : g i✝ ≠ 0
s : Finset ιK
f : ℕ → { x // x ∈ s } → ↥L := fun i j => ⟨bK (↑j) i, ⋯⟩
this✝ : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
c : ιK →₀ K
rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e
i : ιK
hi : i ∈ s
eq0 : ∑ x ∈ t, L.subtype ((g x • f x) ⟨i, hi⟩) = L.subtype (0 ⟨i, hi⟩)
this : SMulCommClass (↥L)ᵐᵒᵖ K K
⊢ ∑ x ∈ t, g x • c i • bK i x = 0
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
e : I ^ 2 = ⊥
f : Rₘ →ₐ[R] Q ⧸ I
this✝ : ∀ (x : ↥M), IsUnit ((algebraMap R Q) ↑x)
this : Rₘ →ₐ[R] Q := let __src := IsLocalization.lift this✝; { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }
⊢ ∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = f
i j k : Int
⊢ k + i = k + j ↔ i = j
M : Type u_1
Monoid M
s : Set (Subgroup Mˣ)
⊢ (sSup s).ofUnits = ⨆ S ∈ s, S.ofUnits
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
x : M
f : M → E'
g : M → E''
hf : MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') f x
hg : MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E'') g x
⊢ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E' × E'') (fun x => (f x, g x)) x
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_add : ∀ (p q : R[T;T⁻¹]), M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℤ) (a : R), M (C a * T n)
a : R
⊢ C a = C a * T 0
n : ℕ
⊢ Nat.IsSqrt n n.sqrt
M : Type u_1
AddCommSemigroup M
⊢ AddSubsemigroup.center M = ⊤
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0 : a ≠ 0
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M
hM' : 0 ∉ M'
this✝ : IsDomain (Localization M')
this : ⊥.IsMaximal
⊢ (comap (IsLocalization.map (Localization M') (quotientMap P C ⋯) ⋯) ⊥).IsMaximal
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ (convexHull 𝕜) s = ⋂ t, ⋂ (_ : s ⊆ t), ⋂ (_ : Convex 𝕜 t), t
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
⊢ IsOpen s ↔ ∀ (x : M), IsOpen (↑(chartAt H x) '' ((chartAt H x).source ∩ s))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
⊢ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[Filter.atTop] fun x => 1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
F : SimpleGraph W
inst✝ : Finite W
h : (G' : G.Subgraph) → G'.verts.Finite → G'.coe →g F
val✝ : Fintype W
this✝ : ∀ (G' : G.Finsubgraphᵒᵖ), Nonempty ((G.finsubgraphHomFunctor F).obj G')
this : (G' : G.Finsubgraphᵒᵖ) → Fintype ((G.finsubgraphHomFunctor F).obj G')
u : (j : G.Finsubgraphᵒᵖ) → (G.finsubgraphHomFunctor F).obj j
hu : u ∈ (G.finsubgraphHomFunctor F).sections
⊢ Nonempty (G →g F)
α : Type u_1
S : Set (Set α)
t : Set α
⊢ t ⊆ ⋂₀ S ↔ ∀ t' ∈ S, t ⊆ t'
α : Type u_1
B : FilterBasis α
⊢ Filter.generate B.sets = B.filter
α : Type u_1
l₂ : List (Lists α)
head✝ : Lists α
tail✝ : List (Lists α)
l₁_ih : tail✝ ⊆ l₂ → ofList tail✝ ⊆ ofList l₂
h : head✝ :: tail✝ ⊆ l₂
⊢ head✝ ∈ (ofList l₂).toList
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.ShortComplex C)} (φ : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.inverse J C).map φ).τ₃ =
    CategoryTheory.whiskerRight φ CategoryTheory.ShortComplex.π₃
G : Type u_1
AddGroup G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
x : ↥H
n : ℕ
⊢ ↑(n • x) = n • ↑x
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + (⁅L (a * a), L b⁆ + ⁅L (b * b), L a⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + (⁅L (a * a), L c⁆ + ⁅L (c * c), L a⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + (⁅L (b * b), L c⁆ + ⁅L (c * c), L b⁆)) = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
⊢ HasStrictFDerivAt (HasStrictFDerivAt.implicitFunction f f' hf hf' (f a)) (LinearMap.ker f').subtypeL 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
hb : μ {b} ≠ ⊤
⊢ IntegrableOn f (Ici b) μ ↔ IntegrableOn f (Ioi b) μ
α : Sort u_1
p✝ q r : Prop
inst✝¹ : Decidable p✝
inst✝ : Decidable q
a b c : α
f : Prop → Prop
x✝ : ∃ p, f p
p : Prop
h : f p
⊢ f True ∨ f False
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm (f + g) p μ ≤ eLpNorm f p μ + eLpNorm g p μ
G : Type u_10
Group G
a : G
⊢ Equiv.divRight a = Equiv.mulRight a⁻¹
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜' f s x ↔ ∃ g', ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 g' = fderivWithin 𝕜 f s x
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b c : α
h : Associated b c
⊢ multiplicity a b = multiplicity a c
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⨅ a, LinearMap.ker (Finsupp.lapply a) ≤ ⊥