ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
Fintype ι
g : (i : ι) → α i → M₁ i
A : (i : ι) → Finset (α i)
DecidableEq ι
⊢ (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ Fintype.piFinset A, f fun i => g i (r i)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f g : ↥(Lp E' p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f) s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑g) s μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑g x ∂μ
hf_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
hg_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ
⊢ ↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑g
α : Type u_1
β β' : Type v
m : Multiset α
f : α → Multiset β
f' : α → Multiset β'
h : β = β'
hf : ∀ a ∈ m, HEq (f a) (f' a)
⊢ HEq (m.bind f) (m.bind f')
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
s : Set α
xs : x ∈ s
hs : IsOpen s
v : Set α
xv : x ∈ v
hv : IsOpen v
μv : μ v < ⊤
⊢ μ (v ∩ s) ≤ μ v
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => ‖f ↑x‖
him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hz : 0 ≤ z.re
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
g : ℂ → E := fun z => cexp (↑ε * z) • f z
hd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}
⊢ ‖g z‖ ≤ C
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
⊢ Irreducible p ↔ p.roots = 0
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
r : K[X]
hr : map (algebraMap R K) q = map (algebraMap R K) p * r
s : R
s0 : s ∈ R⁰
hs : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ r) = C ((algebraMap R K) s) * r
h : p ∣ q * C s
⊢ q * C s ≠ 0
p i : ℕ
⊢ sZMod p i = ↑(sMod p i)
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ inv (((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f g).hom ▷ F.map h) ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) (f ≫ g) h).inv ≫ F.map₂ (α_ f g h).hom = (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h ≫ F.mapComp f (g ≫ h)
α : Type u
AddCommGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ b < c - a ↔ a + b < c
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
⊢ CategoryTheory.Epi (CommRingCat.ofHom (algebraMap R S))
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
f_inj : InjOn f s
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ s.ncard ≤ t.ncard
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
⊢ (A * B).FermatPsp b
xl xr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
⊢ (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR).LeftMoves = xl
α : Type u_4
DecidableEq α
n : ℕ
b x : α
f : Equiv.Perm α
⊢ (Equiv.swap x (f x) * f) b ≠ b → (f ^ n) (f x) = b → ∃ i, ((Equiv.swap x (f x) * f) ^ i) (f x) = b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop
⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ r < 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hxyne : x ≠ y
hxzne : x ≠ z
r : ℝ
hx : ‖x‖ = r
hy : ‖y‖ = r
hz : ‖z‖ = r
⊢ o.oangle y z = 2 • o.oangle (y - x) (z - x)
X : Type u
s : Set X
p : Set X → Prop
h₁ : p Set.univ
h₂ : ∀ (s t : Set X), p s → p t → p (s ∩ t)
h₃ : ∀ (s : Set (Set X)), (∀ t ∈ s, p t) → p (⋃₀ s)
⊢ IsOpen s ↔ p s
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x✝ : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e₁ e₂ e₃ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
x : F
⊢ ↑e₁.symm (b, x) ∈ e₂.source
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.51945, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasHomology
inst✝ : HasKernel S.g
⊢ S.Exact ↔ Epi (kernel.lift S.g S.f ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
m n : ℤ
⊢ a ^ (m + n) = a ^ m * a ^ n
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↥(ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 f)
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.toSpec 𝒜 f) x =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.specStalkEquiv 𝒜 f x f_deg hm).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv
      ((AlgebraicGeometry.Proj.toLocallyRingedSpace 𝒜).restrictStalkIso ⋯ x).inv)
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
⊢ A.cramer b = (of fun i => Aᵀᵀ.cramer (Pi.single i 1))ᵀ *ᵥ b
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G
⊢ Subgroup.map f H ≤ Subgroup.map f K ↔ H ≤ K ⊔ f.ker
e : ℝ
n : ℕ
h : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat e n
⊢ 0 ≤ Real.log e
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h✝¹ : ¬a < b
h✝ : a = b
⊢ True ↔ a = b
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), R)
h : ⇑f = (spectrum R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g)
hg : ContinuousOn (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) (spectrum R a)
⊢ (cfcHom ha) f = cfc (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ (l.balance' x r).dual = r.dual.balance' x l.dual
a : NatOrdinal
⊢ NatOrdinal.toOrdinal a = 0 ↔ a = 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
h : HasDerivWithinAt f f' t x
hst : s ⊆ t
⊢ HasDerivWithinAt f f' s x
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
s : Set (Ideal S)
⊢ Ideal.comap f (sInf s) = ⨅ I ∈ s, Ideal.comap f I
Γ₀ : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
h : Nontrivial Γ₀ˣ
f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0
hf : StrictMono ⇑f
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ≥0 := ⟨r, ⋯⟩
hs : 0 < s
⊢ ∃ d, ↑(f ↑d) < r
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
Nonempty ι
Nonempty ι'
ConditionallyCompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
g : ι → α
h : ι' → α
H : ∀ (i : ι) (j : ι'), g i + h j ≤ a
⊢ iSup g + iSup h ≤ a
α : Type u_1
s : Set α
t : Set (Set α)
u : Set α
h₁ : s ⊆ u
h₂ : u ∈ t
⊢ s ⊆ ⋃₀ t
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
q : ℝ≥0∞
f : (i : α) → E i
hfq : Memℓp f q
hq : 0 < q.toReal
hpq : q ≤ ⊤
⊢ Memℓp f ⊤
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Star (f i)
x : (i : I) → f i
⊢ star x = fun i => star (x i)
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Mul G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulRightInvariant
g : G
X : Type u_4
MeasurableSpace X
μ' : MeasureTheory.Measure X
f : X → G
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ' μ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun x => f x * g) μ' μ
T : Type w
CommRing T
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
⊢ Polynomial.rootSet 1 S = ∅
α : Type u
f : Filter α
β : Type u_1
p : Set α → β → Prop
⊢ (∀ a ∈ f, ∀ (b : β), p a b) ↔ ∀ (b : β), ∀ a ∈ f, p a b
R : Type u
S : Type v
K✝ : Type w
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : IsDomain K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f : L[X]
hf : Irreducible f
this : Fact (Irreducible f)
h : f ≠ 0
h2 : IsIntegral K (AdjoinRoot.root f)
h3 : f * C f.leadingCoeff⁻¹ ∣ Polynomial.map (algebraMap K L) (minpoly K (AdjoinRoot.root f))
⊢ ∃ g, g.Monic ∧ Irreducible g ∧ f ∣ Polynomial.map (algebraMap K L) g
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
⊢ σ 0 ⊆ {0}
K : Type u
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {5} ℚ K
⊢ IsPrincipalIdealRing (NumberField.RingOfIntegers K)
R : Type u
Semiring R
k m : ℕ
hkm : k ≠ m
x y : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (Polynomial.C x * Polynomial.X ^ k + Polynomial.C y * Polynomial.X ^ m).support = {k, m}
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
TopologicalSpace β
Field β
ContinuousMul β
c : β
hc0 : c ≠ 0
⊢ (Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k fun n => c * f n) ↔ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
k n m : Nat
H : k.Coprime n
⊢ ((k * m).gcd n).Coprime k
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
W : Submodule R (Module.Dual R M)
⊢ Function.Injective ⇑W.quotDualCoannihilatorToDual
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_5
β : Type u_6
f : α ⊕ β → M
a : α
⊢ ((LinearEquiv.sumArrowLequivProdArrow α β R M) f).1 a = f (Sum.inl a)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : G
x : α
hx : ↑↑(indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1) x = s.indicator (fun x => 1) x
⊢ (fun a => ↑↑(indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1) a • c) x = s.indicator (fun x => c) x
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
hz : p • z ∈ adjoin R {B.gen}
this✝ : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : NoZeroSMulDivisors R L
⊢ z ∈ adjoin R {B.gen}
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a : α
⊢ Function.Involutive fun x => x ∆ a
n : ℕ
P : Fin (n + 1) → Prop
⊢ (∀ (i : Fin (n + 1)), P i) ↔ (∀ (i : Fin n), P i.castSucc) ∧ P (Fin.last n)
V : Type u
G : SimpleGraph V
IsEmpty V
n : ℕ
⊢ G.Colorable n
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a ^ (1 + b) = a * a ^ b
M : Type u_3
Monoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 1 < x ^ n ↔ 1 < x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
p : CategoryTheory.BicartesianSq f g h i
⊢ CategoryTheory.BicartesianSq g f i h
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsOpenMap ⇑Additive.toMul
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ‖(PiTensorProduct.lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ ‖f‖ * PiTensorProduct.injectiveSeminorm x
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x y : E
hy : y ∈ p.ball 0 r
hx : (fun x => a • x) y = x
⊢ x ∈ p.ball 0 r
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
⊢ Irreducible (trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
a : A
⊢ (DirectSum.decomposeAlgEquiv 𝒜) a = (DirectSum.decompose 𝒜) a
R : Type u_1
Semiring R
x : LaurentSeries R
⊢ (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) x.powerSeriesPart = (HahnSeries.single (-HahnSeries.order x)) 1 * x
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
⊢ ((splitting K).cofan Δ).inj A ≫ (obj K).map θ = Termwise.mapMono K (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ ((splitting K).cofan Δ').inj (A.pull θ)
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
r : R
a : A
⊢ Unitization.inl r * ↑a = ↑(r • a)
n : ℕ
⊢ (finRotate (n + 2)).IsCycle
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ (ρ_ P.X).inv ≫ P.X ◁ S.one ≫ P.actRight = 𝟙 P.X
α : Type u
β : Type v
Preorder α
ta : TopologicalSpace β
Preorder β
OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
H₁ : ∀ {a : α} {x : β}, x < f a → ∃ b < a, x ≤ f b
H₂ : ∀ {a : α} {x : β}, f a < x → ∃ b > a, f b ≤ x
⊢ OrderTopology α
m : Type u_2
α : Type v
Semiring α
StarRing α
Fintype m
DecidableEq m
l : List (Matrix m m α)
⊢ l.prodᴴ = (List.map Matrix.conjTranspose l).reverse.prod
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : k ∈ S f ε h n x
⊢ dist k/ₙ x < f.modulus (ε / 2) ⋯
ι : Type u_1
X : Type u_4
TopologicalSpace X
s : ι → Set X
hs : LocallyFinite s
hs' : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
x : X
⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, {i | y ∈ s i} ⊆ {i | x ∈ s i}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
⊢ s.bind pure = s
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R
n : ℕ
⊢ (WittVector.frobenius x).coeff n = (MvPolynomial.aeval x.coeff) (WittVector.frobeniusPoly p n)
α : Type u_4
β : Type u_5
VAdd α β
TopologicalSpace β
ContinuousConstVAdd α β
a : α
s : Set β
hs : IsCompact s
⊢ IsCompact (a +ᵥ s)
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
⊢ ((2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ) * ‖v‖ ^ n = ‖v‖ ^ n * (2 * π * ‖L‖) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers C
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : f = 0
CategoryTheory.Limits.HasImage f
⊢ CategoryTheory.Limits.image.ι f = 0
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
U : X.Opens
⊢ ∀ (x : 𝒰.J), (𝒰.restrict U).map x = 𝒰.map x ∣_ U
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
K.HasHomology j
(K.sc' i j k).HasHomology
⊢ (K.homologyIsoSc' i j k hi hk).hom ≫ (K.sc' i j k).homologyι = K.homologyι j ≫ (K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).hom
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
⊢ (List.map f l).Nodup → l.Nodup
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
n : ℕ
⊢ n.binCast = ↑n
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
β : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : l.NeBot
f : α → β
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
hfm : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ.restrict (φ i))
u : ℕ → ι
hu : Tendsto u atTop l
this : AEMeasurable f (μ.restrict (⋃ i, φ (u i)))
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ ⋃ i, φ (u i)
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
C : ExteriorAlgebra R M → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C ((algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) r)
ι : ∀ (x : M), C ((ExteriorAlgebra.ι R) x)
mul : ∀ (a b : ExteriorAlgebra R M), C a → C b → C (a * b)
add : ∀ (a b : ExteriorAlgebra R M), C a → C b → C (a + b)
a : ExteriorAlgebra R M
⊢ C a
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
P : Type u_4
AddCommGroup P
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
⊢ AdicCompletion.map I g ∘ₗ AdicCompletion.map I f = AdicCompletion.map I (g ∘ₗ f)
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
s : Set E
a : E
⊢ a ∈ closure s ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ s, ‖a - b‖ < ε
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f a : ι → E
d : ι → ℝ
h : ∀ b ∈ s, dist (f b) (a b) ≤ d b
⊢ dist (∏ b ∈ s, f b) (∏ b ∈ s, a b) ≤ ∑ b ∈ s, d b
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ RCLike.re z⁻¹ = RCLike.re z / RCLike.normSq z
x y z : Ordinal.{u_4}
⊢ (x * y + z) % x = z % x
α : Type u
s : Set α
l : Filter α
⊢ s =ᶠ[l] Set.univ ↔ s ∈ l
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.202, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.206, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.210, u_3} D'
W : MorphismProperty C
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L'.IsLocalization W
X : C
f : StructuredArrow (L'.obj X) L'
⊢ (fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L L') f.hom)) ((fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L' L) f.hom)) f) = f
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
p : ℕ
CharP R p
a : ℤ
⊢ ↑a = 0 ↔ ↑p ∣ a
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a✝ b✝ c d a b : α
h : b ≤ a
⊢ a - b = a - min a b
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ ↑(Interval.pure a) = {a}
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
H : sup f = lsub f
⊢ (lsub f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #ι
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s
p' : ℕ → X := fun k => if h : k < n + 1 then p ⟨k, h⟩ else p ⟨0, ⋯⟩
γ : Path (p' 0) (p' n)
hγ : (∀ i ≤ n, p' i ∈ range ⇑γ) ∧ range ⇑γ ⊆ s
hpp' : ∀ k < n + 1, p ↑k = p' k
⊢ range ⇑(γ.cast ⋯ ⋯) ⊆ s ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑(γ.cast ⋯ ⋯)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieRing L'
inst✝² : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝¹ : IsSolvable R L
inst✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : derivedSeries R L n = ⊥
⊢ derivedSeries R L 1 ≠ ⊤
R : Type u_1
M : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ Function.Injective ⇑((LinearMap.lsmul R M) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
b : β
l : List β
u : List α
⊢ List.Forall₂ R u (b :: l) ↔ ∃ a u', R a b ∧ List.Forall₂ R u' l ∧ u = a :: u'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
⊢ (m ∈ l ∧ (∀ (a : α), a ∈ l → id a ≤ id m) ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → id m ≤ id a → indexOf m l ≤ indexOf a l) ↔ m ∈ l ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → a ≤ m
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ a = b ∨ a < b
ι : Type u_1
N : Type u_5
DecidableEq ι
AddCommGroup N
p : ι → AddSubgroup N
h : CompleteLattice.Independent p
⊢ Function.Injective ⇑(DFinsupp.sumAddHom fun i => (p i).subtype)
ι : Type u_1
R : Type u_2
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid N
Module R N
a : (i : ι) × η i →₀ N
⊢ (sigmaFinsuppLequivDFinsupp R) a = sigmaFinsuppEquivDFinsupp a
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃ[𝕜] P₂
he : ∀ (x : V), ‖e.linear x‖ = ‖x‖
⊢ ⇑{ toAffineEquiv := e, norm_map := he } = ⇑e
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
x x' : ↑↑X.toPresheafedSpace
h : x ⤳ x'
y : ↑(Y.presheaf.stalk (f.val.base x'))
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f x) ((Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯) y) =
  (X.presheaf.stalkSpecializes h) ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f x') y)
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
Monoid A
Monoid B
Monoid C
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
TopologicalSpace C
f : ContinuousMonoidHom A B
⊢ Continuous fun g => g.comp f
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
x y : α
xy : IsCompl x y
⊢ x = ⊤ ∨ ∃ a, IsCoatom a ∧ x ≤ a
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
⊢ Set.Ioo (Order.pred a) b = Set.Ico a b
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
r : P.Ring
x : P.Cotangent
⊢ (r • x).val = r • x.val
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (c : β) ∂ν a, ∀ (q : ℚ), f (a, c) q ≤ 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g✝ : Perm α
x y : α
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
hy : f y ≠ y
g : α
hg : f g ≠ g ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle g y
a : ℤ
ha : (f ^ a) g = x
b : ℤ
hb : (f ^ b) g = y
⊢ (f ^ (b - a)) x = y
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderBot α
⊢ Multiset.sup 0 = ⊥
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp_pos : 0 < p
⊢ (a + b) ^ p ≤ a ^ p + b ^ p
α : Type u_1
LinearOrderedSemiring α
a : α
Invertible a
⊢ ⅟a < 0 ↔ a < 0
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
this : Tendsto (fun x => (Neg.neg ∘ f) x * g x) l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
α : Type u_1
NormedLatticeAddCommGroup α
x y z : α
⊢ ‖x ⊔ z - y ⊔ z‖ ≤ ‖x - y‖
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}
hVo : IsOpen V
hVmem : (z, τ) ∈ V
hVp : IsPreconnected V
f : ℤ → ℂ × ℂ → ℂ := fun n p => jacobiTheta₂_term n p.1 p.2
f' : ℤ → ℂ × ℂ → ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ := fun n p => jacobiTheta₂_term_fderiv n p.1 p.2
hf : ∀ (n : ℤ), ∀ p ∈ V, HasFDerivAt (f n) (f' n p) p
⊢ HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂ p.1 p.2) (jacobiTheta₂_fderiv z τ) (z, τ)