ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
n : ℕ
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
m : Fin n.succ → A
⊢ (List.map norm (List.map m (List.finRange n.succ))).prod = (List.map (fun i => ‖m i‖) (List.finRange n.succ)).prod
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
a : G
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ a ∈ AddAction.stabilizer G s ↔ a +ᵥ s ⊆ s
x y : ℝ*
hx : x.InfinitePos
hy₁ : ¬y.Infinitesimal
hy₂ : 0 < y
r : ℝ
hy₁' : ∃ x, ¬(0 < x → -↑x < y ∧ y < ↑x)
⊢ ↑r < x * y
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
⊢ (LinearMap.inl 𝕜 E F) v ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
⊢ ⇑p ⁻¹' Metric.ball 0 r = {x | p x < r}
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.45088, u_3} D₁
inst✝² : Category.{?u.45092, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
W : MorphismProperty C₁ := (MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G
hG : W.IsInvertedBy G
this : ∀ (X : C₁), IsIso ((whiskerRight adj.unit W.Q).app X)
⊢ G.IsLocalization ((MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ IsBigOWith c ⊤ f g ↔ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ b ∈ Metric.sphere a r ↔ ‖b - a‖ = r
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
⊢ ⇑(QuotientGroup.mk' N) = QuotientGroup.mk
R : Type u_1
CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
y : R
⊢ seminormFromConst' hf1 hc hpm (x * y) = seminormFromConst' hf1 hc hpm x * seminormFromConst' hf1 hc hpm y
β : Type u_5
Monoid β
a b u : β
hu : IsUnit u
⊢ a ~ᵤ b * u ↔ a ~ᵤ b
M : Type u
Add M
PseudoEMetricSpace M
IsometricVAdd Mᵃᵒᵖ M
a b c : M
⊢ edist (a + c) (b + c) = edist a b
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
hS : ∀ s ∈ S, IsClosed s
⊢ IsClosed (⋃₀ S)
x y : ℝ
hp : 0 < y
hx : x ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (x, y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
A : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
h : CategoryTheory.Limits.IsInitial A
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp A.str (CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.Initial.strInv h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj A.a)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ c.op.pt = Opposite.op c.pt
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Preadditive C
P Q R : C
f f' : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
⊢ (f + f') ≫ g = f ≫ g + f' ≫ g
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b₁ b₂ : α
h : b₁ ≤ b₂
⊢ Finset.Ioo a b₁ ⊆ Finset.Ioo a b₂
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
hab : a ≤ b
hb : b ≠ 0
hcd : c < d
hd : d ≠ 0
ha : a = 0
⊢ b * d ≠ 0
α : Type u_1
a : α → ℝ≥0∞
tsum_ne_top : ∑' (i : α), a i ≠ ⊤
j : α
⊢ a j < ⊤
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α 0
p : (j : Fin n) → α (succAbove 0 j)
⊢ p = removeNth 0 (cons x fun j => _root_.cast ⋯ (p j))
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ [[a, b]], DifferentiableAt ℝ (fun x => -cos x) x
α : Type u_1
f : Filter α
ConditionallyCompleteLinearOrder α
a : α
hf : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) f := by isBoundedDefault
h : a < f.limsSup
⊢ ∃ᶠ (n : α) in f, a < n
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : M →* N
g : α → M
h : (mulSupport (g ∘ PLift.down)).Finite
⊢ mulSupport ((fun x => f (g x)) ∘ PLift.down) ⊆ mulSupport (g ∘ PLift.down)
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
⊢ ¬c * z * z > d * w * w
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
n : ℕ
⊢ (X ^ n).aroots S = n • {0}
x y : ℝ≥0∞
⊢ (x * y) ^ 0 = if (x = 0 ∧ y = ⊤ ∨ x = ⊤ ∧ y = 0) ∧ 0 < 0 then ⊤ else x ^ 0 * y ^ 0
α : Type u
Finite α
C : Set α → Prop
S0 : Set α
H0 : C S0
H1 : ∀ (S : Set α), S ≠ Set.univ → C S → ∃ a ∉ S, C (insert a S)
⊢ C Set.univ
μ : YoungDiagram
a b : ℕ
⊢ b < μ.rowLen a ↔ b < μ.rowLen a
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsPath
⊢ p.IsTrail
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n✝ : ℕ
z z₀ : 𝕜
m n : ℕ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ ↑m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ ↑n • g z
⊢ m = n
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i j : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → Group (f i)
g : (i : I) → f i
x : f i
⊢ Function.update g i x i = (g / mulSingle i (g i) * mulSingle i x) i
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
a : α
t : Set α
f : α → E
hft : ContinuousOn f t
ht : MeasurableSet t
ha : a ∈ t
⊢ MeasureTheory.IntegrableAtFilter f (𝓝[t] a) μ
⊢ _root_.bernoulli 0 * ↑(Nat.choose 3 0) * (1 / 4) ^ (3 - 0) + -1 / 2 * ↑(Nat.choose 3 1) * (1 / 4) ^ (3 - 1) + _root_.bernoulli 2 * ↑(Nat.choose 3 2) * (1 / 4) ^ (3 - 2) + _root_.bernoulli 3 * ↑(Nat.choose 3 3) * (1 / 4) ^ (3 - 3) = 3 / 64
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₂ p₃ p₁
a b q m a' : ℤ
b' r : ℕ
ha : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a a'
hb : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b b'
hm : q * ↑b' = m
h : ↑r + m = a'
h₂ : r.blt b' = true
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (a / b) q
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B : C
X Y : CategoryTheory.Subobject B
f : CategoryTheory.Subobject.underlying.obj X ≅ CategoryTheory.Subobject.underlying.obj Y
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom Y.arrow = X.arrow
⊢ X = Y
α : Type u_1
l : List α
⊢ [l].join = l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : ι → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) s
inst✝ : Nonempty ι
t : Set α
⊢ t ∈ ⨅ i, 𝓟 (s i) ↔ ∃ i, True ∧ s i ⊆ t
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ vectorSpan k {p₁, p₂} = Submodule.span k {p₁ -ᵥ p₂}
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : QuotientMap (g ∘ f)
⊢ coinduced g (coinduced f inst✝²) ≤ coinduced g inst✝¹
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
⊢ f = Finsupp.single a b ↔ f.support ⊆ {a} ∧ f a = b
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ : TopCat
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x✝ : ↑(pullback g₁ g₂)
x₁ : ↑W
hx₁ : i₁ x₁ = (pullback.fst g₁ g₂) x✝
x₂ : ↑X
hx₂ : i₂ x₂ = (pullback.snd g₁ g₂) x✝
this : f₁ x₁ = f₂ x₂
⊢ ((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ≫ pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂ ≫ limit.π (cospan g₁ g₂) (some WalkingPair.right)) ⟨(x₁, x₂), this⟩ = (limit.π (cospan g₁ g₂) (some WalkingPair.right)) x✝
K : Type u_2
Field K
NumberField K
x : NumberField.RingOfIntegers K
w : NumberField.InfinitePlace K
h₁ : x ≠ 0
h₂ : ∀ ⦃w' : NumberField.InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1
h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1
⊢ ℚ⟮↑x⟯ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : Nontrivial α
p r : α
u : αˣ
h' : r * ↑u ~ᵤ r
hp : p ≠ 0
x : α
hx : ¬IsUnit x ∧ r * ↑u = p * x
⊢ DvdNotUnit p r
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet sᶜ μ
R : Type u
Ring R
s : Set R
⊢ ↑(Subring.centralizer s) = s.centralizer
α : Type u_4
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
⊢ G.edgeDensity s t = G.edgeDensity t s
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t : Set α
h𝒜 : MeasureTheory.IsSetAlgebra 𝒜
s_mem : s ∈ 𝒜
t_mem : t ∈ 𝒜
⊢ s \ t ∈ 𝒜
R : Type u
CommRing R
M : Type w
AddCommMonoid M
Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
(g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
(g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
(g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
(g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
(g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Module.Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
⊢ Module.Finite R M
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
t : x.Compatible
⊢ x.SieveCompatible
α : Type u_1
Countable α
Infinite α
⊢ Cardinal.mk α = Cardinal.aleph0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m₁ m₂ : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ m₁ ≤ m₂.trim ↔ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → m₁ s ≤ m₂ s
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ
⊢ volume (Icc a b) = ∏ i : ι, ofReal (b i - a i)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Zero N
n : N
i : ι
a : η i
j : ι
b : η j
h : ¬i = j
H : ⟨i, a⟩ ≠ ⟨j, b⟩
⊢ (single ⟨i, a⟩ n) ⟨j, b⟩ = 0
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
K : ChainComplex C ℕ
X : C
φ : K.X 0 ⟶ X
inst✝ : HomologicalComplex.HasHomology K 0
hφ✝ : K.d 1 0 ≫ φ = 0
hφ : K.d ((ComplexShape.down ℕ).prev 0) 0 ≫ φ = 0
α : HomologicalComplex.sc K 0 ⟶ ShortComplex.mk 0 0 ⋯ := { τ₁ := 0, τ₂ := φ, τ₃ := 0, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
⊢ IsIso (HomologicalComplex.descOpcycles K φ ((ComplexShape.down ℕ).prev 0) ⋯ hφ) ↔ (ShortComplex.mk (K.d ((ComplexShape.down ℕ).prev 0) 0) φ hφ).Exact ∧ Epi φ
G : Type u_1
Monoid G
x : G
n : ℕ
hn : n ≠ 0
dvd : n ∣ orderOf x
⊢ orderOf (x ^ n) = orderOf x / n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a : α
⊢ SurjOn f (Ici a) (Ici (f a))
R : Type u_2
Add R
Mul R
c d : RingCon R
x y : R
⊢ (c ⊓ d) x y ↔ c x y ∧ d x y
m n : ℕ+
h : ↑m ∣ ↑n
⊢ m.gcd n = m
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : γ → β → δ
n : α → γ
⊢ map ((fun p => m p.1 p.2) ∘ fun p => (n p.1, id p.2)) (f ×ˢ g) = map (fun p => m (n p.1) p.2) (f ×ˢ g)
V : Type u_2
P : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
⊢ IsPreconnected {y | s.WSameSide x y}
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
⊢ wittStructureRat p Φ n * MvPolynomial.C (↑p ^ n) =
  (MvPolynomial.bind₁ fun b => (MvPolynomial.rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ -
    ∑ i ∈ Finset.range n, MvPolynomial.C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)
α : Type u_1
G : Type u_4
s : Set α
DivisionCommMonoid G
f g : α → G
hs : s.Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i / g i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) / ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g i
α : Type u
s t u : Set α
⊢ (s ∪ t) \ u = s \ u ∪ t \ u
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ (o.kahler x) y ≠ 0
α : Type u_1
r : Setoid α
x : α
⊢ r.Rel x x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
⊢ LinearIndependent R (u ∘ Sum.inl)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
l : CategoryTheory.Limits.image f ⟶ F'.I
w : l ≫ F'.m = CategoryTheory.Limits.image.ι f
⊢ l = CategoryTheory.Limits.image.lift F'
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
T2Space α
⊢ ∑' (b : β), -f b = -∑' (b : β), f b
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
f : ℂ → E
h : DifferentiableAt ℂ f z
hf' : deriv f z ≠ 0
⊢ ConformalAt f z
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Add Y
f g : LocallyConstant X Y
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle Cᵒᵖ
⊢ T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.distinguishedTriangles C ↔
  Opposite.unop ((CategoryTheory.Pretriangulated.triangleOpEquivalence C).inverse.obj T) ∈
    CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ : α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
s : Finset α
x✝ : s ∈ 𝒜 ∧ a ∈ s
hs : s ∈ 𝒜
ha : a ∈ s
⊢ insert a (s.erase a) ∈ 𝒜
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.divX = 0 ↔ p = Polynomial.C (p.coeff 0)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
hna : IsNonarchimedean f
⊢ IsNonarchimedean (seminormFromBounded' f)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (Metric.sphere 0 ‖x₀‖) x₀
⊢ Module.End.HasEigenvector (↑T) (↑(⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x)) x₀
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S S' : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f : S ⟶ S'
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S') T} (f_1 : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.StructuredArrow.map f).map f_1).right = f_1.right
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : α
⊢ (FreeAddMonoid.map f) (FreeAddMonoid.of x) = FreeAddMonoid.of (f x)
pqr : List ℕ+
⊢ List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) pqr → pqr.length = 3 → 1 < ADEInequality.sumInv ↑pqr → ADEInequality.Admissible ↑pqr
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
⊢ IsClosed {p | p.1 ≤ p.2}
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
n : ℕ
⊢ ¬2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ = ⊤
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y✝ : (i : δ) → π i
i✝ i : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hi : i ∉ s
x : (i : δ) → π i
y : π i
⊢ (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) (update x i y) = (∫⋯∫⁻_s, f ∘ fun x => update x i y ∂μ) x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
h : σ.Disjoint τ
⊢ σ.cycleFactorsFinset.val.Disjoint τ.cycleFactorsFinset.val
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
j : τ
g : σ → MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.rename (Prod.mk j)) (MvPolynomial.eval₂ MvPolynomial.C g p) =
  MvPolynomial.eval₂ MvPolynomial.C (fun x => (MvPolynomial.rename (Prod.mk j)) (g x)) p
R : Type u_1
B : Type u_3
CommRing R
Ring B
Algebra R B
x : B
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : IsIntegral R (x ^ n)
⊢ IsIntegral R x
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
t : Set α
a : α
Hf : AntitoneOn f t
⊢ IsGreatest t a → IsLeast (f '' t) (f a)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
r : R
N : ℕ
⊢ reflect N (C r) = C r * X ^ N
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
⊢ a ∈ Ι b c ↔ b < a ∧ a ≤ c ∨ c < a ∧ a ≤ b
α : Type u
s t : Set α
h : s ∩ t ⊆ ∅
⊢ (s ∪ t) \ t = s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
x y : E
⊢ ⟪(↑ℝ T) x, y⟫_ℝ = ⟪x, (↑ℝ T) y⟫_ℝ
α : Type u_1
r : Setoid α
a : α
⊢ ∃! b, b ∈ r.classes ∧ a ∈ b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
self : CategoryTheory.Adjunction.CoreUnitCounit F G
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft G self.unit)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.associator F G).inv (CategoryTheory.whiskerRight self.counit G)) =
  CategoryTheory.NatTrans.id (G.comp (CategoryTheory.Functor.id C))
J : Type u₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete J) C
j : J
⊢ (CategoryTheory.piEquivalenceFunctorDiscrete J C).inverse.obj F j = F.obj { as := j }
m n k : Nat
⊢ m <<< n <<< k = m <<< (n + k)
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
ψ : AddChar A M
⊢ ⇑(AddChar.toMonoidHomEquiv ψ) = ⇑ψ ∘ ⇑Multiplicative.toAdd
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv.mop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor { unmop := X }).inv
⊢ RingHom.LocalizationPreserves @RingHom.Finite
α✝ : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α✝
α : Type u
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : CompleteSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
x✝ : f ≤ 𝓟 univ
⊢ ∃ x ∈ univ, f ≤ 𝓝 x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : α → Prop
t : Finset α
h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)
s : Set α := {x | p x}
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : p i), f i = ∏ i ∈ t, f i
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
hu : ¬-liminf u f = ⊤
hv : ¬-liminf v f = ⊤
h' : limsup (-(u + v)) f = limsup (-u + -v) f
⊢ -liminf (u + v) f ≤ -liminf u f + -liminf v f
α : Type u_1
SemilatticeInf α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
a : α
⊢ a ∈ upperClosure ↑s → (Finset.filter (fun x => x ≤ a) s).Nonempty
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
s : Finset β
f : β → L.BoundedFormula α n
v : α → M
v' : Fin n → M
⊢ (iInf s f).Realize v v' ↔ ∀ b ∈ s, (f b).Realize v v'
α : Type u_1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ minOrder (ZMod p) = ↑p
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
ι : Sort u_1
U : ι → Y.Opens
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj (iSup U) = ⨆ i, (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj (U i)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
M' : Submodule R M
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
f : ι₁ → ↥M'
hf : LinearIndependent R f
g : ι₂ → M
hg : LinearIndependent R (Submodule.Quotient.mk ∘ g)
⊢ LinearIndependent R (Sum.elim (fun x => ↑(f x)) g)
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t K : Set G
hK : IsCompact K
⊢ closure K ⊆ K * closure {1}
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsRefl β s
f : r ≃r s
⊢ Cardinal.lift.{max u v, u} (Order.cof r) ≤ Cardinal.lift.{max u v, v} (Order.cof s)
α : Type u_1
β : Type u_4
SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
s : Set β
S : α
h₁ : s ⊆ ↑S
h₂ : S ≤ l.toFun s
⊢ l.toFun s = S
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
K : Set Y
x✝ : IsCompact K
⊢ (∀ᶠ (x : X) in cofinite, f x ∈ Kᶜ) ↔ (f ⁻¹' K).Finite
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : n → R
⊢ (toLin' M') ((toLin' M) x) = x
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β
NonAssocSemiring γ
Preorder γ
f : β →+*o γ
g : α →+*o β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
⊢ (swap 0 1).signAux = ∏ x ∈ {⟨1, 0⟩}, if (swap 0 1) x.fst ≤ (swap 0 1) x.snd then -1 else 1
f : ℕ → NNReal
k : ℕ
a : NNReal
⊢ HasSum (fun n => f (n + k)) a ↔ HasSum f (a + ∑ i ∈ Finset.range k, f i)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.432420, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
X : HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)
⊢ contractibleTriangle { as := X } ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh (𝟙 X)
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₁
S : Finset Λ
ss : Supports M S
l₁ : Λ
v : σ
T : Tape Γ
c' : Cfg₁
h₁ : c' ∈ step M { l := some l₁, var := v, Tape := T }
h₂ : { l := some l₁, var := v, Tape := T }.l ∈ Finset.insertNone S
⊢ c'.l ∈ Finset.insertNone S
y : ℝ
h : y < 0
⊢ (if 0 = 0 ∧ y < 0 then ⊤ else ↑(NNReal.rpow 0 y)) = ⊤
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
⊢ ‖a‖₊ ≤ ‖b‖₊ + ‖a / b‖₊
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = g n
⊢ LSeries f s = LSeries g s
R : Type u
CommRing R
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
f : Module.End R (n → R)
⊢ lieEquivMatrix' f = LinearMap.toMatrix' f
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : s ⊆ t
⊢ (t \ s).dens + s.dens = t.dens
c t : Bool
⊢ (bif c then t else false) = (c && t)
F : Type u
Field F
f : F[X]
⊢ f.natSepDegree ≤ f.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t
⊢ (iInf f).lift g = ⨅ i, (f i).lift g