ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
⊢ map (RingHom.id R) p = p
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
DecidableEq α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
LocallyFiniteOrderTop α
a b : α
⊢ Finset.Ici a * Finset.Ioi b ⊆ Finset.Ioi (a * b)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Sub α
SemilatticeInf β
OrderTop β
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (s - t).inf f = s.inf fun x => t.inf fun x_1 => f (x - x_1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
∀ (i : ι), InvariantBasisNumber (CategoryTheory.End (s i))
o : CategoryTheory.HomOrthogonal s
α β : Type
Finite α
Finite β
f : α → ι
g : β → ι
i : (⨁ fun a => s (f a)) ≅ ⨁ fun b => s (g b)
⊢ ∃ e, ∀ (a : α), g (e a) = f a
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
Hle : π₁ ≤ π₂
J₁ : Box ι
hJ₁ : J₁ ∈ π₁.boxes
hne : ↑J ⊓ ↑J₁ ≠ ⊥
J₂ : Box ι
hJ₂ : J₂ ∈ π₂
hle : J₁ ≤ J₂
⊢ ∃ J' ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₂.boxes, ↑J ⊓ ↑J₁ ≤ J'
R : Type u
CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
M₃ : Type u_1
AddCommGroup M₃
Module R M₃
f : M₁ ≃ₗ[R] M₂
g : M₂ ≃ₗ[R] M₃
⊢ g.dualMap ≪≫ₗ f.dualMap = (f ≪≫ₗ g).dualMap
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
⊢ ∃ S, S.Finite ∧ (closure L).toFun S = s
Ω : Type u_1
m₁ m₂ m₃ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
h_indep : ProbabilityTheory.Indep m₁ m₂ μ
h32 : m₃ ≤ m₂
⊢ ProbabilityTheory.Indep m₁ m₃ μ
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K K' : LieSubalgebra R L
⊢ ↑(K ⊓ K') = ↑K ∩ ↑K'
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
adj3 : F'' ⊣ G
x : C
⊢ (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app x ≫ (adj2.leftAdjointUniq adj3).hom.app x = (adj1.leftAdjointUniq adj3).hom.app x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι'✝ : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t✝ : ι✝ → α
ht✝ : Independent t✝
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
t : ι → α
f : ι' → ι
ht : Independent (t ∘ f)
hf : Surjective f
i' : ι'
⊢ Disjoint (t (f i')) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ f i'), t j)
n : ℕ
⊢ Real.sin (Real.pi / 2 ^ (n + 2)) ^ 2 = 1 / 2 - Real.sqrtTwoAddSeries 0 n / 4
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ J₁.close (CategoryTheory.Sieve.pullback f S) = CategoryTheory.Sieve.pullback f (J₁.close S)
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
s : Set α
a : α
ha : a ∉ s
⊢ G.IsClique (insert a s) ↔ G.IsClique s ∧ ∀ b ∈ s, G.Adj a b
G : Type v
X : Type w
PseudoMetricSpace X
Group G
MulAction G X
IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ
⊢ c • Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (c • x) r
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
⊢ ((AlternatingFaceMapComplex.obj (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj P)).d (n + 1) n).f = P.p.app (op [n + 1]) ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj P.X).d (n + 1) n
α : Type u_1
Mul α
IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
Zero α
Preorder α
⊢ PosMulReflectLT α ↔ MulPosReflectLT α
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
abv : AbsoluteValue R S
x : ℤˣ
y : R
⊢ abv (x • y) = abv y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set α
c : β
⊢ ContinuousOn (fun x => c) s
a b : ℤ
⊢ a.gcd b = 1 ↔ IsCoprime a b
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_12
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
⊢ Submodule.comap f ⊥ = LinearMap.ker f
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ mkLinearMap S M = g
m : M
s : ↥S
⊢ ∃ u, u • s • m = u • 1 • ↑s • m
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
f g : R[X]
⊢ derivative (f * g) = derivative f * g + f * derivative g
n : ℕ
a b : Fin n
hab : a = b
⊢ b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
p : β → Prop
⊢ (∀ y ∈ e.target, p y) ↔ ∀ x ∈ e.source, p (↑e x)
α : Type u_1
m n : ZNum
h : m = n
⊢ ↑m < ↑n ↔ Ordering.eq = Ordering.lt
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ (finSuccEquiv' i).symm none = i
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
c : P
hc : c ∈ s
r : ℝ
hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r
sx : Simplex ℝ P n
hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps
⊢ sx.circumradius = r
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
hfg : f * g = 1
ginj : Injective ⇑g
⊢ g * f = 1
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w s : K
⊢ 0 ≤ re (star s * s) ∧ im (star s * s) = 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = i₁ ≫ f'
e₂ : g = i₂ ≫ g'
this✝ : P.RespectsIso
this : pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯ = ((pullbackSymmetry (Over.mk f).hom (Over.mk g).hom).hom ≫ ((Over.pullback (Over.mk f).hom).map (Over.homMk i₂ ⋯)).left) ≫ (pullbackSymmetry (Over.mk g').hom (Over.mk f).hom).hom ≫ ((Over.pullback g').map (Over.homMk i₁ ⋯)).left
⊢ P ((Over.pullback g').map (Over.homMk i₁ ⋯)).left
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hcont : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
⊢ ContinuousOn f s
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a
ts : t ⊆ s
t_diff : DifferentiableOn ℝ f t
t_conv : Convex ℝ t
⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → ℝ
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
a b : α
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s ∩ Icc a b
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i)) ≤ ENNReal.ofReal (f b - f a)
k : Type u_2
Field k
⊢ 0⁻¹ = 0
M : Type u_1
Mul M
S : Set M
⊢ Subsemigroup.toAddSubsemigroup (Subsemigroup.closure S) = AddSubsemigroup.closure (⇑Additive.toMul ⁻¹' S)
α : Type u
s : Computation α
n : ℕ
⊢ (s.thinkN n).Equiv s
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrder α
LinearOrder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ AntivaryOn f g s ↔ AntivaryOn g f s
n : ℕ
⊢ n.sqrt ^ 2 < n + 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
f g : X → Y
hU : IsOpen U
hf : ContinuousOn f U
hg : ContinuousOn g U
h : μ {a | a ∈ U ∧ ¬f a = g a} = 0
this : U ∩ {a | f a ≠ g a} ≤ ∅
⊢ EqOn f g U
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
h : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
this : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose
⊢ μ ^ (↑h.choose).val = f μ
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ SupIrred (LowerSet.Iic a)
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ
this : ∀ x ∈ Ioi b, HasDerivAt f (deriv f x) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi b, deriv f x = -f b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
⊢ fiber none = ∅
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ a ∉ s → Multiset.ndinsert a s = a ::ₘ s
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Set.RightInvOn id id s
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hne : ∀ (i : ι), (f i).Nonempty
this : ∀ (n : ℕ), {i | (f i ∩ compactCovering X n).Nonempty}.Finite
⊢ univ.Countable
α : Type u_1
DecidableEq α
Add α
s t₁ t₂ : Finset α
ht : t₁ ⊆ t₂
⊢ s.addEnergy t₁ ≤ s.addEnergy t₂
α : Type u_1
n : Num
⊢ n.natSize = (↑n).size
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
(i : ι) → VAdd K (R i)
r : K
t : (i : ι) → Set (R i)
⊢ r +ᵥ Set.univ.pi t = Set.univ.pi (r +ᵥ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
h : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ HasFiniteIntegral f μ ↔ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ < ⊤
α : Sort u_3
β : Sort u_4
f : α → β
g : β → α
⊢ Nonempty α ↔ Nonempty β
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ a ⩿ b ↔ a ⋖ b ∨ a ≤ b ∧ b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
s t✝ : Set β
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β → E
a : α
hs : MeasurableSet s
t : Set β
⊢ ∫ (x : β) in t, f x ∂(κ.restrict hs) a = ∫ (x : β) in t ∩ s, f x ∂κ a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
P : Ideal R
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < f.degree → f.coeff n ∈ P
n : ℕ
hf0 : ¬f = 0
h : f.degree < ↑n
⊢ (map (mk P) f).coeff n = (C ((mk P) f.leadingCoeff) * X ^ f.natDegree).coeff n
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
s : Finset β
f : β → α
h : s.Nonempty
⊢ ∃ x ∈ s, ∀ x' ∈ s, f x' ≤ f x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
s t✝ : Set α
a b : α
s₁ s₂ : Set α
hs : s₁ ≤ s₂
h₂ : InfClosed s₂
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s₁
⊢ t.inf' ht id ∈ s₂
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f g : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ f.toLinearIsometry = g.toLinearIsometry ↔ f = g
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_4
F : Type u_5
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ι : Type u_7
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun Si => Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ Si.1 ∧ p Si.2) fun Si => {f | ∀ x ∈ Si.1, f x ∈ b Si.2}
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
i : ι
i' : ι'
hi : e.f i = i'
h : ∃ i, e.f i = i'
this : h.choose = i
⊢ e.r i' = some i
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ variationOnFromTo f s a b = 0 ↔
  ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s ∩ Set.uIcc a b → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ Set.uIcc a b → edist (f x) (f y) = 0
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : Set ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ Opens.IsBasis (Set.range fun U => ↑U)
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
⊢ ↑⊥ = {0}
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsClopen s
ht : IsClopen t
⊢ IsClopen (s \ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
f : ↑(Set.Icc a b) → β
x : ↑(Set.Icc a b)
⊢ Set.IccExtend h f ↑x = f x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered Cᵒᵖ
inst✝¹ : HasColimits C
𝒢 : Set C
inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : IsSeparating 𝒢
⊢ HasTerminal C
R : Type u
Ring R
p p' : Subring R
x : R
⊢ x ∈ p ⊓ p' ↔ x ∈ p ∧ x ∈ p'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor C (Type w)
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
Small.{w, u₁} I
F : CategoryTheory.Functor I A.Elements
i : I
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.π ((F.comp (CategoryTheory.CategoryOfElements.π A)).comp A) i
    (CategoryTheory.CategoryOfElements.CreatesLimitsAux.liftedConeElement' F) =
  (F.obj i).snd
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯
dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯
hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯
H_add_d : df + dg = dfg
this : f * g = X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)
H : X ^ (X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)).order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order ⋯ = X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)
⊢ X ^ dfg * divided_by_X_pow_order ⋯ = X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasZeroObject D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
⊢ 0 ≫ 0 = 𝟙 0
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Monoid G
AddCommMonoid V
Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
x : V
⊢ ρ.asModuleEquiv.symm ((ρ g) x) = (MonoidAlgebra.of k G) g • ρ.asModuleEquiv.symm x
⊢ IsPiSystem (⋃ a, {Set.Ici ↑a})
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
r : ℝ
⊢ ⟪r • x, y⟫_ℝ = r * ⟪x, y⟫_ℝ
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
x : X
y : Y
⊢ s ×ˢ t ∈ 𝓝 (x, y) ↔ s ∈ 𝓝 x ∧ t ∈ 𝓝 y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)} (φ : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor'.map φ).τ₃ = φ.right.left
G : Type uG
E' : Type uE'
NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ E'
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
HasContDiffBump G
CompleteSpace E'
φ : ContDiffBump 0
BorelSpace G
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
μ.IsOpenPosMeasure
FiniteDimensional ℝ G
x₀ : G
hg : ∀ x ∈ Metric.ball x₀ φ.rOut, g x = g x₀
⊢ (φ.normed μ ⋆[ContinuousLinearMap.lsmul ℝ ℝ, μ] g) x₀ = g x₀
α : Type u_1
f : SignType → α
⊢ ↑(Finset.image f {0, -1, 1}) = {f zero, f neg, f pos}
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
n d : ℤ
hqz : q ≠ 0
qdf : q = n /. d
hd : d ≠ 0
c : ℤ
hc1 : n = c * q.num
hc2 : d = c * ↑q.den
⊢ ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity p q.den).get ⋯) = ↑((multiplicity (↑p) c).get ⋯) + ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - (↑((multiplicity (↑p) c).get ⋯) + ↑((multiplicity p q.den).get ⋯))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor C (Type w)
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
Small.{w, u₁} I
F : CategoryTheory.Functor I A.Elements
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape I C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape I A
i : I
⊢ ↑((CategoryTheory.CategoryOfElements.CreatesLimitsAux.liftedCone F).π.app i) =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (F.comp (CategoryTheory.CategoryOfElements.π A)) i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p : ℤ
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inr φ).f p ≫ (CochainComplex.mappingCone.triangle φ).mor₃.f p = 0
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
⊢ comap rexp atTop = atTop
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
ht : t ∈ (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).cliqueFinset 3
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
hk : 0 < k
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
ξ : Rˣ
hξ : ξ ∈ rootsOfUnity ⟨k, hk⟩ R
hζ' : IsPrimitiveRoot ⋯.unit ↑⟨k, hk⟩
i : ℕ
hi₁ : i < ↑⟨k, hk⟩
hi₂ : ⋯.unit ^ i = ξ
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ↑ξ
θ : Real.Angle
⊢ (θ + ↑π).sign = -θ.sign
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m] [inst_2 : Invertible M], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M⁻¹.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
this✝ : Inhabited m
k : α := (image b univ).max' ⋯
b' : { a // b a < k } → α := fun i => b ↑i
A : Matrix { a // b a < k } { a // b a < k } R := M.toBlock (fun i => b i < k) fun j => b j < k
hi : b i < (image b univ).max' ⋯
this : Invertible A
⊢ M⁻¹ i j = 0
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
φ : R⟦X⟧
⊢ (coeff R 1) (φ ^ 0) = ↑0 * (coeff R 1) φ * (constantCoeff R) φ ^ (0 - 1)
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
x : M ∗ N
⊢ (fst x, snd x) = toProd x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ‖↑↑p‖ = (↑↑p)⁻¹
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Monotone f
hf0 : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
hgb : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ Finset.range n, z i‖ ≤ b
⊢ CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i • z i
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
s : Set α
t : Set β
hs : InfClosed s
ht : InfClosed t
⊢ InfClosed (s ×ˢ t)
H : Type u_1
TopologicalSpace H
H' : Type u_2
TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
M : Type u
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
hG : G.LocalInvariantProp G' P
U : (TopologicalSpace.Opens ↑(TopCat.of M))ᵒᵖ
f : (StructureGroupoid.LocalInvariantProp.sheaf M M' hG).val.obj U
⊢ ChartedSpace.LiftProp P ↑f
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (chartAt H x).source
hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔ ContinuousWithinAt f s x' ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) (↑(extChartAt I x) x')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
η : Type u_5
s : η → Set E
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (i : η), Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x
⊢ Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N N₂ : LieSubmodule R L M
⊢ LieSubmodule.map f (N ⊓ N₂) ≤ LieSubmodule.map f N ⊓ LieSubmodule.map f N₂
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
a : α
⊢ [a].reverse ++ l.reverse = a :: l.reverse
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
δ : Sort u_4
f : α → β
g : γ → δ
hf : Function.Injective f
hg : Function.Injective g
⊢ Function.Injective fun x => ⟨f x.fst, g x.snd⟩
M : Type u_1
MulOneClass M
ι : Sort u_4
p : ι → Submonoid M
⊢ ⨆ i, p i = Submonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
⊢ (associatedHom R) (comp (Q₁.tmul (Q₂.tmul Q₃)) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃)) = (associatedHom R) ((Q₁.tmul Q₂).tmul Q₃)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
hu : IsUnit u
this : ∀ {u : R}, IsUnit u → ∀ {P : Fin 3 → R}, W'.Nonsingular (u • P) → W'.Nonsingular P
h : W'.Nonsingular P
⊢ W'.Nonsingular (↑hu.unit⁻¹ • u • P)
n : ℕ
P : ℤ[X]
h : map (Int.castRingHom ℂ) P = cyclotomic' n ℂ
⊢ map (Int.castRingHom ℂ) P = map (Int.castRingHom ℂ) (cyclotomic n ℤ)