ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
⊢ 0 < finrank R M ↔ Nontrivial M
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
g✝ : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) ((f i j hij) x) = (g✝ i) x
G' : ι → Type v'
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+ G' j
G'' : ι → Type v''
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+ G'' j
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → G i ≃+ G' i
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (e j).toAddMonoidHom.comp (f i j h) = (f' i j h).comp ↑(e i)
i : ι
g : G' i
⊢ (congr e he).symm ((of G' f' i) g) = (of G f i) ((e i).symm g)
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → V
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
A : V ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ V) → ℝ := (Basis.ofVectorSpace ℝ V).equivFun.toContinuousLinearEquiv
⊢ LocallyBoundedVariationOn (⇑A ∘ f) s
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictMonoOn f s
hg : MonotoneOn g s
⊢ StrictMonoOn (fun x => f x + g x) s
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : RightOrdContinuous f
s : Set α
x : α
h : IsLeast s x
⊢ IsLeast (f '' s) (f x)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
x : E
hxK : x ∈ K
⊢ f x ∈ C
𝕜 : Type u
A : Type v
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
a : A
p : Polynomial 𝕜
⊢ (fun x => Polynomial.eval x p) '' spectrum 𝕜 a ⊆ spectrum 𝕜 ((Polynomial.aeval a) p)
R : Type u_5
S : Type u_6
Ring R
OrderedRing S
abv : AbsoluteValue R S
a b : R
⊢ abv a - abv b ≤ abv (a - b)
K : Type u_1
NontriviallyNormedField K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
s : Set E
CompleteSpace K
f g : E → K
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn K n f s
hg : ContDiffOn K n g s
h₀ : ∀ x ∈ s, g x ≠ 0
⊢ ContDiffOn K n (fun x => f x / g x) s
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
Nonempty β
SemilatticeSup β
u : β → α
⊢ CauchySeq u ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, edist (u n) (u N) < ε
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ b
⊢ a < b - c ↔ c + a < b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s₁ s₂ : Set P
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ affineSpan k s₁ ≤ affineSpan k s₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
CategoryTheory.MonoidalCoherence Y Z
⊢  ⊗𝟙 = X ◁ ⊗𝟙
M : Type u_2
MulOneClass M
S₁ : Submonoid Mᵐᵒᵖ
S₂ : Submonoid M
⊢ S₁ ≤ S₂.op ↔ S₁.unop ≤ S₂
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I
⊢ ⟨(Submodule.mkQ (I ^ 2)) x, ⋯⟩ = I.cotangentEquivIdeal (I.toCotangent ⟨x, hx⟩)
R : Type u
Ring R
X₁ X₂ : Type v
g₁ : AddCommGroup X₁
g₂ : AddCommGroup X₂
m₁ : Module R X₁
m₂ : Module R X₂
e : X₁ ≃ₗ[R] X₂
⊢ e.toModuleIso.inv = ↑e.symm
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
M : Matrix m m R
LT α
b : m → αᵒᵈ
⊢ Mᵀ.BlockTriangular b ↔ M.BlockTriangular (⇑OrderDual.ofDual ∘ b)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A P Q : StructuredArrow S T
f : P ⟶ A
g : Q ⟶ A
hf : Mono f
hg : Mono g
h : { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk f) ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk g)
⊢ ?h.refine_1 ≫ g = f
M : Type u_1
Monoid M
X : Type u
MulAction M X
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.SingleObj M} (x : X_1 ⟶ Y) (x_1 : X), (CategoryTheory.actionAsFunctor M X).map x x_1 = x • x_1
R : Type u
Ring R
I : Ideal R
⊢ I.jacobson.jacobson = I.jacobson
C : Type w
CategoryTheory.Category.{u, w} C
CategoryTheory.HasSheafify (CategoryTheory.coherentTopology LightProfinite) C
X : C
⊢ (LightCondensed.discrete C).obj X =
  (CategoryTheory.presheafToSheaf (CategoryTheory.coherentTopology LightProfinite) C).obj
    ((CategoryTheory.Functor.const LightProfiniteᵒᵖ).obj X)
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p = 0
⊢ ((expand R p) f).natDegree = f.natDegree * p
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F
⊢ eLpNorm (c • f) p μ = ↑‖c‖₊ * eLpNorm f p μ
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ u ∈ p.toSubgraph.verts
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellFounded α r
a : α
⊢ Acc r a
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s ∪ t = s ∪ u ↔ t ⊆ s ∪ u ∧ u ⊆ s ∪ t
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ s, w i
⊢ s.centerMass w f ≤ s.sup' ⋯ f
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
φ : K →+* ℂ
hφ : IsReal φ
x : K
⊢ (↑(hφ.embedding x)).re = (φ x).re
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
inst✝ : Zero β
s t : Set α
ht : MeasurableSet t
hst : s =ᶠ[ae μ] t
⊢ AEMeasurable (s.indicator f) μ ↔ AEMeasurable f (μ.restrict s)
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
LinearOrder α
f : ι → α
g : ι' → α
⊢ IsPiSystem {S | ∃ i j, f i ≤ g j ∧ Set.Icc (f i) (g j) = S}
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s t : Set G
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (s / t)
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
h : Filter.liminf u f = ⊤
h' : Filter.liminf v f ≠ ⊥
⊢ Filter.liminf (u + v) f = ⊤
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
⊢ 0 ≤ PiTensorProduct.projectiveSeminormAux p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
h✝ : ¬f.LimZero
K : α
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j| ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K
h : 0 ≤ ↑f i
j : ℕ
ij : j ≥ i
this : K ≤ |↑f j|
h₁ : K ≤ |↑f i|
h₂ : ∀ k ≥ i, |↑f k - ↑f i| < K
⊢ K ≤ ↑f j
s : ℝ
hs : 0 < s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ ↑(s - 1) = ↑(rexp (-x) * x ^ (s - 1))
⊢ Turing.PartrecToTM2.trNat default = []
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
x : ↑(Set.range ⇑b)
⊢ b.reindexRange x = ↑x
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
x : α
hx : f x ≤ g x
n : ℕ
⊢ ∀ (k : ℕ), k < n → f^[k + 1] x ≤ f (f^[k] x)
E : Type u_2
Field E
S : Set E
F : Subfield E
⊢ ↑F ⊆ ↑(IntermediateField.adjoin (↥F) S)
f✝ g : CircleDeg1Lift
f : CircleDeg1Liftˣ
x : ℝ
⊢ ↑f⁻¹ (↑f x) = x
G : Type u_1
inst✝⁵ : Group G
H : Subgroup G
inst✝⁴ : H.Normal
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
inst✝³ : Group G₁
inst✝² : Group G₂
inst✝¹ : Group.IsNilpotent G₁
inst✝ : Group.IsNilpotent G₂
k : ℕ
⊢ Group.nilpotencyClass (G₁ × G₂) ≤ k ↔ max (Group.nilpotencyClass G₁) (Group.nilpotencyClass G₂) ≤ k
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
⊢ StrictConcaveOn NNReal Set.univ fun x => x ^ p
R : Type u_6
R₂ : Type u_8
M : Type u_14
M₂ : Type u_17
ι : Type u_22
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
Module R M
Module R₂ M₂
γ : ι → Type u_25
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (γ i)
(i : ι) → (x : γ i) → Decidable (x ≠ 0)
t : Π₀ (i : ι), γ i
g : (i : ι) → γ i → M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑(t.sum g) = ⇑(t.sum fun i d => g i d)
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ a + (b - a) = max a b
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ s₄ : AList β
p₁₂ : s₁.entries ~ s₂.entries
p₃₄ : s₃.entries ~ s₄.entries
⊢ (s₁ ∪ s₃).entries ~ (s₂ ∪ s₄).entries
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Ring R
MulSemiringAction M R
m : M
S : Subring R
⊢ (m • S).toSubsemiring = m • S.toSubsemiring
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ x ∈ rootSpace H 0 ↔ ∀ (y : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Mon_ (C ⥤ C)
X : C
⊢ M.X.map (M.one.app X) ≫ M.mul.app X = 𝟙 (M.X.obj ((𝟭 C).obj X))
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
a : ↥(closure s)
x✝ : a ∈ ⊤
⊢ ↑a ∈ map (closure s).subtype (Subfield.rangeOfWType s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u v : Set α
h : AEDisjoint μ s t
x : α
hx : x ∈ s \ toMeasurable μ (s ∩ t)
⊢ x ∈ ?m.11803 ∧ x ∉ t
n : ℕ
⊢ finSuccEquivLast.symm none = Fin.last n
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s
⊢ (descPochhammer ℤ k).smeval (r + s) = ∑ ij ∈ antidiagonal k, ↑(k.choose ij.1) * ((descPochhammer ℤ ij.1).smeval r * (descPochhammer ℤ ij.2).smeval s)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ V
⊢ V ∈ 𝓝 (x, x)
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictMono f
c : α
⊢ StrictMono fun x => f x * c
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
A : Tendsto (fun i => ∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
n : ℕ
⊢ (∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range n, truncation (X i) ↑i) a) - ↑n * ∫ (a : Ω), X 0 a = ∑ i ∈ range n, ((∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) - ∫ (a : Ω), X 0 a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
⊢ e.congrRight.functor = (CategoryTheory.whiskeringRight E C D).obj e.functor
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsAlgClosure F E
H : IsPurelyInseparable F E
⊢ IsSepClosed F
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_6
TopologicalSpace H
G : Type u_8
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
⊢ (I.prod J).toPartialEquiv = I.prod J.toPartialEquiv
α β : Type u
f : α → β
s : Set β
h : s ⊆ Set.range f
⊢ Cardinal.mk ↑s ≤ Cardinal.mk ↑(f ⁻¹' s)
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set α
f : α → Set X
hs : s.Finite
h : ∀ i ∈ s, IsClosed (f i)
⊢ IsClosed (⋃ i ∈ s, f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : α × β → γ
f : Filter α
g : Filter β
⊢ Filter.map m (f ×ˢ g) = (Filter.map (fun a b => m (a, b)) f).seq g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
b : β
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f + fun x => b)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
⊢ (IsLocalizedModule.iso S f) (LocalizedModule.mk m s) = ↑⋯.unit⁻¹ (f m)
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : LinearOrderedField R
x : V → R
⊢ (((toLinearMap₂' R) (lapMatrix R G)) x) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Adj i j → x i = x j
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
⊢ a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
⊢ UniformContinuous fun p => p.1 - p.2
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
C : Computation α → Computation β → Prop
a : α
b : β
⊢ Computation.LiftRelAux R C (Sum.inl a) (Sum.inl b) = R a b
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : ShrinkingLemma.PartialRefinement u s
i : ι
⊢ v.toFun i ⊆ u i
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
this : Cardinal.lift.{u, v} (insepDegree F ↥⊥) = Cardinal.lift.{v, u} (insepDegree F F)
⊢ insepDegree F ↥⊥ = 1
a b : Cardinal.{u_1}
⊢ a.alephIdx < b.alephIdx ↔ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Set α → Filter β
hm : Monotone g
⊢ (f.lift g).NeBot ↔ ∀ s ∈ f, (g s).NeBot
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P
⊢ x = midpoint R x y ↔ x = y
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf✝ : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hf : f * g ≈ 0
⊢ (f * g).norm = f.norm * g.norm
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯)
Z✝ : C
u v : Y ⟶ Z✝
huv : f ≫ u = f ≫ v
W : C
w : Y ⟶ W
hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0
hl : IsLimit (KernelFork.ofι (equalizer.ι u v) hw)
m : X ⟶ equalizer u v
hm : m ≫ equalizer.ι u v = f
hwf : f ≫ w = 0
n : (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯).pt ⟶ W
hn : 0 = w
this : IsIso (equalizer.ι u v)
⊢ u = v
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H : Type u_2
Group H
P : Sylow p H
f : H →* G
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ ∃ Q, Subgroup.comap f ↑Q = ↑P
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
self : L.ElementarySubstructure M
⊢ (↑self).IsElementary
R : Type u_3
CommRing R
⊢ Quaternion.im 1 = 0
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : MeasurableSMul M α
c : M
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure M α μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (Measure.map (fun x => c • x) μ) s = μ s
p : ℕ → Prop
x : ℕ
h : p x
⊢ ∃ n, (∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card) ∧ nth p n = x
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u
S : Type v
r : R✝
e : ℕ
n m : σ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
s t : Set σ
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
F : MvPolynomial σ ℤ
hF : ∃ x, (rename Subtype.val) x = F
⊢ ∃ f, ∀ (x : σ → R), f (x ∘ Subtype.val) = (aeval x) F
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g✝ : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g : Filter β
⊢ (f₁ ⊔ f₂).prod g = f₁.prod g ⊔ f₂.prod g
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, (ρ.condKernel b) t ∂ρ.fst = ρ (s ×ˢ t)
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
C : Type z
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
CommRing C
Algebra A C
b : κ → B
i : κ
σ : B →ₐ[A] C
⊢ Algebra.embeddingsMatrix A C b i σ = σ (b i)
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
this✝ : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε
this : ε ≤ ↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u))
⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u)).card
R : Type u_2
CommSemiring R
f : PowerSeries R
n a : ℕ
⊢ PowerSeries.trunc n (↑(PowerSeries.trunc n f) ^ a) = PowerSeries.trunc n (f ^ a)
α : Type u
Inv α
x : Additive α
⊢ Additive.toMul (-x) = (Additive.toMul x)⁻¹
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
⊢ ↑(A * C).card * ↑B.card ≤ ↑(A * B).card * ↑(B * C).card
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SOppSide x y
p : P
hp : p ∈ s
hw : Wbtw R x p y
⊢ ∃ p ∈ s, Sbtw R x p y
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ⇑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
⊢ ‖f.extend e h_dense ⋯‖ ≤ ↑N * ‖f‖
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : 0 < p.degree
hmp : p.Monic
hq : q ≠ 0
zn0 : 0 ≠ 1
x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q
r : R[X]
hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r
hp0 : p ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
hpn1 : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) = 1
hpn0' : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) ≠ 0
⊢ False
α : Type u_2
NonAssocRing α
Nontrivial α
a : α
⊢ a - 1 ≠ a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N : LieSubmodule R L M
M'' : Type u_1
AddCommGroup M''
Module R M''
LieRingModule L M''
g : M' →ₗ⁅R,L⁆ M''
⊢ LieSubmodule.map (g.comp f) N = LieSubmodule.map g (LieSubmodule.map f N)
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddGroup β
f : α → β
hf : IsAddGroupHom f
⊢ IsAddMonoidHom f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
h₁ : AntivaryOn f₁ g s
h₂ : AntivaryOn f₂ g s
⊢ AntivaryOn (f₁ + f₂) g s
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : Type u_2
L.Structure N
h : FirstOrder.Language.Structure.FG L M
f : M →[L] N
⊢ f.range.FG
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
s : ↥S
⊢ IsUnit (OreLocalization.numeratorHom ↑s)
m n : ℕ
hmn : m ∣ n
hm : FermatLastTheoremFor m
⊢ FermatLastTheoremFor n
α : Type u_1
⊢ (fun x => !x) ∘ Option.isSome = Option.isNone
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
⊢ _root_.Disjoint (insert a s) (t.erase a) ↔ _root_.Disjoint s t
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ha : Irreducible a
⊢ normalizedFactors a = {normalize a}
R : Type u
Ring R
s : Set R
⊢ IsSubring (Ring.closure s)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2)
⊢ ((↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 2 - 1)) • (centroidWeightsWithCircumcenter univ - circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2)) + circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2)) i = mongePointWeightsWithCircumcenter n i
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : ∃ u ∈ Ioi a, Ioo a u ⊆ s
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : ℕ
x y : E
⊢ inner_ 𝕜 (↑r • x) y = ↑r * inner_ 𝕜 x y
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
p : TangentBundle I M
q : TangentBundle I H
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).target
⊢ { proj := ↑(chartAt H p.proj).symm q.proj, snd := (mfderiv I I (↑(chartAt H p.proj).symm) q.proj) q.snd } = ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm ((TotalSpace.toProd H E) q)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
n : ℕ∞
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
f : E → 𝔸
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
m : ℕ
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun y => f y ^ m) x
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : ¬gcd x y = 0
r : R
hr : x = gcd x y * r
s : R
hs : y = gcd x y * s
⊢ x * y ∣ z * (x * gcdA x y)
I : Type u
DecidableEq I
R : Type v
CommSemiring R
A : I → Type w
(i : I) → Semiring (A i)
(i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
Semiring B
Algebra R B
π : LinearAlgebra.FreeProduct R A →ₐ[R] B
i : I
⊢ (LinearAlgebra.FreeProduct.lift R A).symm π = π.comp (LinearAlgebra.FreeProduct.ι R A i)
α : Type u
β : Type v
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : Set.MapsTo f s t
hf' : Set.InjOn f s
ht : t.Countable
⊢ s.Countable
ctx : Nat.Linear.Context
e : Nat.Linear.Expr
⊢ Nat.Linear.Poly.denote ctx e.toPoly = Nat.Linear.Expr.denote ctx e
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
⊢ μ.restrict (s ∪ t) = ν.restrict (s ∪ t) ↔ μ.restrict s = ν.restrict s ∧ μ.restrict t = ν.restrict t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b = ⊤ ↔ IsCompl a b