ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj.unit.app X) (G.map (F.map f)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (adj.unit.app Y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
ChartedSpace H M
I.Boundaryless
x : M
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ ↑(extChartAt I x) '' s ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hc : c ≠ 0
⊢ c • closedBall x r = closedBall (c • x) (‖c‖ * r)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : Type u_10
m : MeasurableSpace β
Sub β
MeasurableSub₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (f i - f j) (f k - f l) μ
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Set (Subsemiring R)
⊢ (sInf S).op = sInf (Subsemiring.unop ⁻¹' S)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Relation.TransGen (Relation.TransGen r) = Relation.TransGen r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
h : re ⟪x, x⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖x‖
⊢ ⟪x, x⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a
⊢ p.IsHamiltonianCycle ↔ p.IsCycle ∧ ∀ (a_1 : α), List.count a_1 p.support.tail = 1
α : Type u_1
x : α
⊢ FreeMonoid.toList (FreeMonoid.of x) = [x]
G : Type u
Group G
⊢ commutator G = ⁅⊤, ⊤⁆
A B : TopCat
x₀ : ↑(π.obj A)
x₁ : ↑(π.obj B)
⊢ { obj := fun g => { as := (g.1.as, g.2.as) }, map := fun {x y} p => match x, y, p with | (x₀, x₁), (y₀, y₁), (p₀, p₁) => Path.Homotopic.prod p₀ p₁ }.map (𝟙 (x₀, x₁)) = 𝟙 ({ obj := fun g => { as := (g.1.as, g.2.as) }, map := fun {x y} p => match x, y, p with | (x₀, x₁), (y₀, y₁), (p₀, p₁) => Path.Homotopic.prod p₀ p₁ }.obj (x₀, x₁))
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
n : ℕ
f : M [⋀^Fin (n + 1)]→L[R] N
m : Fin n → M
x y : M
⊢ f (Fin.cons (x + y) m) = f (Fin.cons x m) + f (Fin.cons y m)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ (MulOpposite.opLinearEquiv R).symm.toAddEquiv = MulOpposite.opAddEquiv.symm
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ μ (↑f ⁻¹' {x}) < ⊤
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
SemilatticeInf β
b : β
⊢ ⇑(InfHom.const α b) = Function.const α b
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Zero β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ↑(f.restrict s) = s.indicator ↑f
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ Metric.ball 1 δ * {x} = Metric.ball x δ
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ s ≤ Multiset.ndinsert a s
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h ≤ a) → o.bsup f ≤ a
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α
⊢ g • x ∈ s ↔ x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
h_eq_sum : κ.withDensity f = Kernel.sum fun i => (κ.seq i).withDensity f
⊢ IsSFiniteKernel (κ.withDensity f)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μα : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
⊢ ∀ {α_1 : Type u_4} {p : Set ι → Prop} {f : Filter ι} {ns : α_1 → Set ι},
  (∀ (n : ι), s n ≤ m0) →
    ProbabilityTheory.Kernel.iIndep s κ μα →
      (∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f) →
        Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns →
          (∀ (a : α_1), p (ns a)) →
            (∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a) → ProbabilityTheory.Kernel.Indep (⨆ n, s n) (Filter.limsup s f) κ μα
α : Type u_2
t t' : Bornology α
⊢ t = t' ↔ ∀ (s : Set α), Bornology.IsBounded s ↔ Bornology.IsBounded s
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
P : (α → ℝ≥0∞) → Prop
h_ind : ∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support f) (support g) → Measurable f → Measurable g → P f → P g → P (f + g)
h_iSup : ∀ ⦃f : ℕ → α → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), P (f n)) → P fun x => ⨆ n, f n x
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ f = fun x => ⨆ n, ↑(eapprox f n) x
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
I X : Set (ι × α)
⊢ (∀ (i : ι), (M i).Basis (Sigma.mk i ⁻¹' ((fun a => ⟨a.1, a.2⟩) '' I)) (Sigma.mk i ⁻¹' ((fun a => ⟨a.1, a.2⟩) '' X))) ↔ ∀ (i : ι), (M i).Basis (Prod.mk i ⁻¹' I) (Prod.mk i ⁻¹' X)
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p a : Associates α
hp : Irreducible p
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
a✝ : Nontrivial α
⊢ a = p ^ p.count a.factors
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f p s ↔ ContinuousOn f s ∧ ∀ x ∈ s, (p x 0).uncurry0 = f x
α : Type u_6
β : Type u_7
PartialOrder α
PartialOrder β
e : (fun x x_1 => x < x_1) ≃r fun x x_1 => x < x_1
⊢ (OrderIso.ofRelIsoLT e).symm = OrderIso.ofRelIsoLT e.symm
m : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
v : m → A
i : m
hv : v ⬝ᵥ M *ᵥ M.cramer (Pi.single i 1) = 0
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → v b * (M.det * Pi.single i 1 b) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → β × γ
hf₁ : Measurable fun a => (f a).1
hf₂ : Measurable fun a => (f a).2
⊢ MeasurableSpace.comap Prod.snd mγ ≤ MeasurableSpace.map f m
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
⊢ f z - v = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
PerfectRing R p
S : Type u₂
CommSemiring S
CharP S p
f : R →+* S
r : R
n : ℕ
⊢ ↑(((Perfection.lift p R S) f) r) n = f ((⇑↑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] r)
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Add G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddRightInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => x + g) μ = μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
Preorder α
s : Finset ι
f : ι → Set α
⊢ (⋃ i ∈ s, f i).IsPWO ↔ ∀ i ∈ s, (f i).IsPWO
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
CompleteLinearOrder δ
f : ι → α → δ
h : ∀ (i : ι), UpperSemicontinuousOn (f i) s
⊢ UpperSemicontinuousOn (fun x' => ⨅ i, f i x') s
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
⊢ span R (insert 0 s) ≤ span R s
a b c d n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ 0 ≤ n.succ → pred 0 ≤ n
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F K
x : E
h : (minpoly F ((algebraMap E K) x)).Separable
⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
R : Type u
Ring R
I : Ideal R
H : I.IsMaximal
⊢ I.jacobson = I
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree ≤ ↑i
i j : Fin n
this : (p j).support ⊆ range n
⊢ ∑ i_1 : Fin n, (RingHom.id R) ((p j).coeff ↑i_1) * v i ^ ↑i_1 = ∑ x : Fin n, v i ^ ↑x * of (fun i j => (p j).coeff ↑i) x j
α : Type u_1
AddCommMonoid α
n : ℕ
⊢ ∀ (x : α), (nsmulAddMonoidHom n) x = n • x
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ ∀ x_1 ∈ Finset.range (n + 1), ↑p ^ (x_1 + 1) * x.verschiebungFun.coeff (x_1 + 1) ^ p ^ (n + 1 - (x_1 + 1)) = ↑p * (↑p ^ x_1 * x.coeff x_1 ^ p ^ (n - x_1))
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
NonUnitalSemiring B
StarRing B
Module R B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
S₁ : NonUnitalStarSubalgebra R B
⊢ (S.prod S₁).toNonUnitalSubalgebra = S.prod S₁.toNonUnitalSubalgebra
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : c ∣ b
⊢ a % b % c = (b * (a / b) + a % b) % c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
⊢ ((Bimod.regular R).tensorBimod P).actLeft ≫ Bimod.LeftUnitorBimod.hom P = R.X ◁ Bimod.LeftUnitorBimod.hom P ≫ P.actLeft
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ Icc a b = ∅ ↔ ¬a ≤ b
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ
x : AdicCompletion.AdicCauchySequence I R
⊢ (AdicCompletion.evalₐ I n) ((AdicCompletion.mkₐ I) x) = (Ideal.Quotient.mk (I ^ n)) (↑x n)
n : Type u_1
R : Type u₂
CommRing R
t : Matrix.TransvectionStruct n R
⊢ t.inv.i = t.i
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
pn : p.natDegree < n
⊢ (p + q).coeff n = q.coeff n
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
⊢ μ ↑s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
f : α → β
h : OpenEmbedding f
⊢ MeasurableEmbedding f
⊢ DistLat.dualEquiv.functor = DistLat.dual
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
inst✝ : Subsingleton α
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s = univ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ h.triangleMorphism₂.hom₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.id X₃
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
s : Set ↑(Metric.sphere 0 1)
hs : MeasurableSet s
⊢ μ.toSphere s = ↑(dim E) * μ (Set.Ioo 0 1 • Subtype.val '' s)
α : Type u_1
LinearOrder α
b c d : α
h : min c d < b
⊢ Set.Iic b ∪ Set.Ioc c d = Set.Iic (max b d)
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
x : ℚ≥0
⊢ 1 ≤ n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℚ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z2‖
hne : ¬‖z1‖ = ‖z2‖
⊢ ‖z1 + z2‖ ≥ ‖z2‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α
⊢ a ≤ x ∧ x < b ∨ c ≤ x ↔ a ≤ x ∨ c ≤ x
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
⊢ s ⊂ Finset.univ ↔ s ≠ Finset.univ
α : Type u
m : ℕ
n' : Type uₙ
v : n' → α
B : Fin m → n' → α
i : Fin m.succ
j : n'
⊢ Matrix.vecCons v B i j = Matrix.vecCons (v j) (fun i => B i j) i
α : Type u_1
Add α
LT α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
bc : a + b < a + c
⊢ b < c
R S Rₘ Sₘ : Type u
CommRing R
CommRing S
CommRing Rₘ
CommRing Sₘ
M : Submonoid R
Algebra R S
Algebra R Sₘ
Algebra S Sₘ
Algebra R Rₘ
Algebra Rₘ Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsScalarTower R S Sₘ
IsLocalization M Rₘ
IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Algebra.FormallyEtale R S
⊢ Algebra.FormallyEtale Rₘ Sₘ
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
M : Matrix n n A
⊢ M.Nondegenerate ↔ M.det ≠ 0
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
inst✝⁴ : Field A
inst✝³ : Ring B✝
inst✝² : Algebra A B✝
x✝ : B✝
B : Type u_3
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
a : A
⊢ (Polynomial.aeval (x + (algebraMap A B) a)) ((minpoly A x).comp (X - C a)) = 0
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
⊢ a⁻¹⁺ᵐ = a⁻ᵐ
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
⊢ levyProkhorovEDist μ ν ≤ max (μ univ) (ν univ)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
u : ℂ → ℝ
hBf : ∃ c < a, ∃ B, f =O[l] fun z => expR (B * expR (c * |u z|))
hBg : ∃ c < a, ∃ B, g =O[l] fun z => expR (B * expR (c * |u z|))
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → ∀ (z : ℂ), ‖expR (B₁ * expR (c₁ * |u z|))‖ ≤ ‖expR (B₂ * expR (c₂ * |u z|))‖
⊢ ∃ c < a, ∃ B, (f - g) =O[l] fun z => expR (B * expR (c * |u z|))
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 1
⊢ deriv^[2] (fun x => √x * log x) x < 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
⊢ s.circumcenter = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (circumcenterWeightsWithCircumcenter n)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y ∧ P y x
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
Q : ↑s → ↑s → Prop := fun a b => P ↑a ↑b
⊢ Q ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ Polynomial.Chebyshev.U R (n - 2) = 2 * Polynomial.X * Polynomial.Chebyshev.U R (n - 1) - Polynomial.Chebyshev.U R n
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
M : Ideal A
hM : P < M
P'_ne : ↑P ≠ 0
M'_ne : ↑M ≠ 0
le_one : (↑M)⁻¹ * ↑P ≤ 1
y : A
_hy : y ∈ ⊤
hx : (algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ (fun a => ↑a) ((↑M)⁻¹ * ↑P)
z : A
hzM : z ∈ M
hzp : z ∉ P
⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ (fun a => ↑a) ↑P
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
TopologicalSpace β₁
TopologicalSpace β₂
f : C(α, β₁)
g : C(α, β₂)
a : α
⊢ (f.prodMk g) a = (f a, g a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
DecidableEq α
s : Finset ι
f : ι → Finset α
hf : Function.Injective f
hs : (↑s).PairwiseDisjoint f
⊢ s.card ≤ (s.biUnion f).card + 1
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A * J l R * Aᵀ = J l R
huA : IsUnit A.det
huAT : IsUnit Aᵀ.det
⊢ Aᵀ * J l R * A = J l R
α : Sort u
r : α → α → Prop
a b : α
⊢ StrictWeakOrder.Equiv a b → ¬r b a
m : Type u
DecidableEq m
K : Type u_3
Field K
Fintype m
A : Matrix m m K
⊢ (LinearIndependent K fun i => A i) ↔ IsUnit A
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsAddLeftInvariant
⊢ ∃ c, ∀ (f : G → ℝ), Continuous f → HasCompactSupport f → ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂c • μ
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X : C
n : ℕ
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
α : ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n), map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj X✝)
⊢ (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯ = Ext.comp α ((Ext.mk₀ f).comp (Ext.mk₀ f') ⋯) ⋯
E : Type u_2
AddCommGroup E
F : Type u_3
AddCommGroup F
R₁ : Type u_7
CommRing R₁
Module R₁ E
Module R₁ F
p q : Submodule R₁ E
h : IsCompl p q
φ : (↥p →ₗ[R₁] F) × (↥q →ₗ[R₁] F)
⊢ (LinearMap.ofIsComplProd h) φ = LinearMap.ofIsCompl h φ.1 φ.2
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
inst✝ : g.NeBot
⊢ map₂ (fun x x_1 => x) f g = f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
SequentialSpace X
h : ∀ ⦃u : ℕ → X⦄ ⦃x : X⦄, Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x) → insert x (Set.range u) ∈ S
⊢ RestrictGenTopology S
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
⊢ ∀ (i : ℕ), μ (blimsup Y₁ atTop p \ Z i) = 0
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Finite m
inst✝⁵ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝ : DecidableEq M₁
f : M₁ →ₗ[R] M₂
k : m
i : n
⊢ (toMatrix v₁.reindexRange v₂.reindexRange) f ⟨v₂ k, ⋯⟩ ⟨v₁ i, ⋯⟩ = (toMatrix v₁ v₂) f k i
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
x : B
h : c ⟶ x
⊢ (t.whisker h).unit =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight t.unit h)
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f t.extension h).hom
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
ha : Absorbent ℝ s
h : gauge s x ≤ 1
⊢ x ∈ closure s
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H = ⊥ ↔ ∀ x ∈ H, x = 0
H : Type u_1
CommGroup H
a : H
⊢ Abelianization.equivOfComm a = Abelianization.of a
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
⊢ s ⊆ AddGroup.closure s
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
α : Type u_5
f : X → α → Z
s : Set α
t : Set Z
ht : IsClosed t
hf : ∀ a ∈ s, Continuous fun x => f x a
⊢ IsClosed {x | MapsTo (f x) s t}
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
t : Measure α := μ.withDensity (ρ.rnDeriv μ)
eq_add : ρ = ρ.singularPart μ + t
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖y‖₊ < ‖f y‖₊
hy' : ‖y‖₊ ≠ 0
⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖f x‖₊
L : FirstOrder.Language
M : Type w
Nonempty M
L.Structure M
s : Set M
κ : Cardinal.{w'}
h1 : Cardinal.aleph0 ≤ κ
h2 : Cardinal.lift.{w', w} (Cardinal.mk ↑s) ≤ Cardinal.lift.{w, w'} κ
h3 : Cardinal.lift.{w', max u v} L.card ≤ Cardinal.lift.{max u v, w'} κ
h4 : Cardinal.lift.{w, w'} κ ≤ Cardinal.lift.{w', w} (Cardinal.mk M)
⊢ ∃ S, s ⊆ ↑S ∧ Cardinal.lift.{w', w} (Cardinal.mk ↥S) = Cardinal.lift.{w, w'} κ
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
⊢ (AddMonoidHom.snd G G').ker = ⊤.prod ⊥
R : Type x
NonUnitalNonAssocRing R
x y : R
h : Commute x y
⊢ ⁅x, y⁆ = 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.cos (InnerProductGeometry.angle x (x + y)) * ‖x + y‖ = ‖x‖
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c
cpos : 0 < c
⊢ ∑ i ∈ filter (fun x => j < c ^ x) (range N), 1 / (c ^ i) ^ 2 ≤ c ^ 3 * (c - 1)⁻¹ / j ^ 2
α : Type u
n : ℕ
⊢ (range n).Nodup
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝ : HasKernels V
i j j' : ι
r : c.Rel i j
r' : c.Rel i j'
⊢ kernelSubobject (C.d i j' ≫ eqToHom ⋯) = kernelSubobject (C.d i j')
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
R : Type u_4
Semiring R
DistribMulAction R M
ContinuousConstSMul R M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
f : α → β
c : R
⊢ (c • v).map f = c • v.map f
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x y : α
hf : IsRingHom f
⊢ f (-x) = f (-x) + f x - f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
x : M
⊢ HasMFDerivWithinAt I I id s x (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x))
x y : SetTheory.PGame
hn : (x * y).Numeric
⊢ (Surreal.Multiplication.MulOptionsLTMul x y ∧ Surreal.Multiplication.MulOptionsLTMul (-x) (-y)) ∧
  Surreal.Multiplication.MulOptionsLTMul x (-y) ∧ Surreal.Multiplication.MulOptionsLTMul (-x) y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
i : ι
⊢ (Set.univ.sigma fun x => Set.univ) = Set.univ