ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Nontrivial S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain S
inst✝³ : Module.Free ℤ S
inst✝² : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
E : Type u_2
inst✝¹ : EquivLike E S ↥I
inst✝ : AddEquivClass E S ↥I
e : E
hI : ¬I = ⊥
ι : Type u_1 := Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S
h✝ : Nonempty ι
this✝ : Fintype (S ⧸ I) := I.fintypeQuotientOfFreeOfNeBot hI
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S → ℤ := smithCoeffs b I hI
b' : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := ringBasis b I hI
ab : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ ↥I := selfBasis b I hI
ab_eq : ∀ (i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S), ↑((selfBasis b I hI) i) = smithCoeffs b I hI i • (ringBasis b I hI) i
e' : S ≃ₗ[ℤ] ↥I := b'.equiv ab (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S))
f : S →ₗ[ℤ] S := ↑ℤ (Submodule.subtype I) ∘ₗ ↑e'
f_apply : ∀ (x : S), f x = ↑((b'.equiv ab (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S))) x) := fun x => rfl
ha : ∀ (i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S), f (b' i) = a i • b' i
⊢ (LinearMap.det f).natAbs = absNorm I
V : Type u
G : SimpleGraph V
self : G.Partition
⊢ Setoid.IsPartition self.parts
α : Type u_1
Add α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h : a < b + c
hle : c ≤ d
⊢ a < b + d
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
ha : a ≠ 0
hn' : 0 < n
ζ : Rˣ
hζ₁ : ζ ∈ rootsOfUnity ⟨n, ⋯⟩ R
hζ₂ : ↑ζ = χ a
⊢ ∃ k < n, χ a = μ ^ k
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
this : (a : Prop) → Decidable a
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (↑(∏ j ∈ s.erase i, (sec M (f j)).2) * ↑(sec M (f i)).2) • f i = ↑(∏ i ∈ s, (sec M (f i)).2) • f i
α : Type u_2
β : Type u_3
CommRing α
IsDomain α
CommRing β
f : β →+ α
h : ∀ (x : β), f (x * x) = f x * f x
h_two : 2 ≠ 0
h_one : f 1 = 1
⊢ ↑(f.mkRingHomOfMulSelfOfTwoNeZero h h_two h_one) = f
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
IsPredArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
h : ∀ i ∈ Set.Ioc m n, r i (Order.pred i)
hnm : m ≤ n
⊢ Relation.ReflTransGen r n m
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ All P (l.node4R x m y r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P m ∧ P y ∧ All P r
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
⊢ Function.Injective P.σ
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G →g G'
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ (SimpleGraph.Walk.map f p).darts = List.map f.mapDart p.darts
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid β
f : ℕ →+ β
n : ℕ
⊢ f n = n • f 1
g✝ : SL(2, ℤ)
z✝ z : ℍ
g₀ : SL(2, ℤ)
hg₀ : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), (g' • z).im ≤ (g₀ • z).im
g : SL(2, ℤ)
hg : ↑g 1 = ↑g₀ 1
hg' : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), ↑g 1 = ↑g' 1 → |(g • z).re| ≤ |(g' • z).re|
hg₀' : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), (g' • z).im ≤ (g • z).im
⊢ g • z ∈ 𝒟
α : Type u_1
β : Type u_2
L L' : List (List α)
join_eq : L.join = L'.join
length_eq : map length L = map length L'
⊢ L.length = L'.length
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
i j : σ
⊢ X i ∣ X j ↔ i = j
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
⊢ Module.rank R ↥(span R s) = #↑s
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.nthLe k hk ∈ l
lpos : 0 < l.length
key : l.length - 1 - k < l.length
⊢ l.reverse.prev (l.nthLe k hk) ⋯ = l.next (l.nthLe k hk) hx
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a \ b ∆ c ⊔ b ∆ c \ a = a \ (b ⊔ c) ⊔ a ⊓ b ⊓ c ⊔ (b \ (c ⊔ a) ⊔ c \ (b ⊔ a))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
B : C
⊢ ⊥.arrow = 0
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K
l : Filter Y
⊢ 𝓝ˢ K ×ˢ l = ⨆ x ∈ K, 𝓝 x ×ˢ l
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Set.Icc (f p.1) (g p.1)} (μ.prod MeasureTheory.volume)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
⊢ Tendsto defaultRatCDF atTop (𝓝 1)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
ι : Type u_3
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
ContinuousAdd γ
f : ι → α → γ
a : Finset ι
ha : ∀ i ∈ a, LowerSemicontinuousAt (f i) x
⊢ LowerSemicontinuousAt (fun z => ∑ i ∈ a, f i z) x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
g : E → F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
B : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] F →L[𝕜] G := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G).flip
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) (g y)) s x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
v : α → M
xs : Fin l → M
⊢ (φ ⊓ ψ).Realize v xs ↔ φ.Realize v xs ∧ ψ.Realize v xs
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
h : MeasurableSpace.CountablyGenerated α
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (MeasurableSpace.countableGeneratingSet α) = m
m n k : ℕ
⊢ m.psub n = some k ↔ k + n = m
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
⊢ v (x + y) ≤ v x ∨ v (x + y) ≤ v y
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
φ : MvPowerSeries σ R
u : Rˣ
h : (constantCoeff σ R) φ = ↑u
⊢ (constantCoeff σ R) (φ.invOfUnit u) ∈ nonZeroDivisors R
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
t : Affine.Triangle ℝ P
i₁ : Fin 3
⊢ t.orthocenter ∈ Affine.Simplex.altitude t i₁
α : Type u
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
a : α
⊢ min a 0 = 0
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)
ψ₈ : PrimitiveAddChar (ZMod ↑8) F := primitiveZModChar 8 F ⋯
ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char
τ : FF := ψ₈char 1
τ_spec : τ ^ 4 = -1
χ : MulChar (ZMod 8) FF := χ₈.ringHomComp (Int.castRingHom FF)
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
x y : ℂ
⊢ cexp x = cexp ↑x.re * (cos ↑x.im + sin ↑x.im * I)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
⊢ (B (P.root i)) (P.root j) = P.pairing i j * (B (P.root j)) (P.root j) - (B (P.root i)) (P.root j)
ι : Type u
α : Type v
DecidableEq α
t : ι → Finset α
⊢ (∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card) ↔ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hv : LinearIndependent R v
l : ι →₀ R
x : ↥(Submodule.span R (Set.range v))
eq : (Finsupp.total ι M R v) l = ↑x
⊢ hv.repr x = l
α : Type u_2
LinearOrderedField α
Module α ℝ
OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0
s : Set ℝ
⊢ sInf (a • s) = a • sSup s
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b a : α
⊢ ￢￢a ⊔ ∂ a = a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
CategoryTheory.Limits.HasImage f
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasImage g
sq : CategoryTheory.Arrow.mk f ⟶ CategoryTheory.Arrow.mk g
CategoryTheory.Limits.HasImageMap sq
⊢ CategoryTheory.Limits.image.map sq ≫ (CategoryTheory.Limits.imageSubobjectIso (CategoryTheory.Arrow.mk g).hom).inv =
  (CategoryTheory.Limits.imageSubobjectIso f).inv ≫ CategoryTheory.Limits.imageSubobjectMap sq
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
AddMonoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : Multiplicative G →* A
f : MonoidAlgebra k G
⊢ ((AddMonoidAlgebra.lift k G A) F) f = Finsupp.sum f fun a b => (algebraMap k A) b * F (Multiplicative.ofAdd a)
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
⊢ Symmetric Codisjoint
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
Fintype n
Mul R
AddCommMonoid R
ContinuousAdd R
ContinuousMul R
A : X → Matrix m n R
B : X → Matrix n p R
hA : Continuous A
hB : Continuous B
⊢ Continuous fun x => A x * B x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)
(CategoryTheory.forget D).ReflectsIsomorphisms
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J (J.plusObj (J.plusObj P))
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s✝ : Rel β β
s : RelSeries r
x : α
irrefl : Irreflexive r
h : s.length ≠ 0
rid : s.toFun 0 = s.toFun 1
⊢ 1 = ⟨0, ⋯⟩.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedSemiring β
a : α
f : α → β
⊢ {a}.EquitableOn f
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
AddGroup N
f g : α →₀ N
⊢ f.neLocus (f + g) = g.support
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
γ : (a : α) → β a → Sort u_3
f g : (a : α) → (b : β a) → γ a b
h : ∀ (a : α) (b : β a), f a b = g a b
⊢ f = g
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
g : R[X]
⊢ h.repr (h.map g) %ₘ f = g %ₘ f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P
⊢ (affineCombination k (s \ s₂) p) w -ᵥ (affineCombination k s₂ p) (-w) = (s.weightedVSub p) w
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
a b : α
⊢ mabs a = mabs b ↔ a = b ∨ a = b⁻¹
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ n
⊢ xn a1 (2 * n - j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
X : I₁ ⊕ I₂ → C
c : CategoryTheory.Limits.Cofan X
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cofan (X ∘ Sum.inl)
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cofan (X ∘ Sum.inr)
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁
hc₂ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₂
CategoryTheory.Limits.MonoCoprod C
inl : c₁.pt ⟶ c.pt
hinl : ∀ (i₁ : I₁), c₁.inj i₁ ≫ inl = c.inj (Sum.inl i₁)
⊢ CategoryTheory.Mono inl
f : ZFSet → ZFSet
H : PSet.Definable 1 f
x : ZFSet
y : ZFSet
⊢ y ∈ x → f y ∈ ZFSet.image f x
a : Cardinal.{u}
ha : Cardinal.aleph0 ≤ a
⊢ ¬Irreducible a
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ (W.map f).ΨSq n = Polynomial.map f (W.ΨSq n)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
⊢ Function.Injective DoubleCentralizer.toProdMulOpposite
n✝ n : ℕ
n2 : 2 ≤ n
x✝ : ℕ
k : ℕ := x✝
i : ℕ
e : x✝ = 2 * i + 3
a : ∀ (m : ℕ), 2 ≤ m → m ∣ n → x✝ ≤ m
h : ¬n < k * k
⊢ Nat.minFacProp n (if n < x✝ * x✝ then n else if x✝ ∣ n then x✝ else n.minFacAux (x✝ + 2))
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
d : (i : o) → m' i → α
i : o
k : m' i
j : o
k' : m' j
⊢ (if h : i = j then of (fun i_1 j => if i_1 = j then d i i_1 else 0) k (cast ⋯ k') else 0) = of (fun i j => if i = j then d i.fst i.snd else 0) ⟨i, k⟩ ⟨j, k'⟩
v : PrimeMultiset
⊢ Multiset.map (Subtype.val ∘ Coe.coe) v = Multiset.map Subtype.val v
I : Type w₀
J : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝² : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
D : I → Type u₂
inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₂, u₂} (D i)
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
f : (i : I) → A ⥤ C i
i : I
⊢ ∀ (X : A), (pi' f ⋙ Pi.eval C i).obj X = (f i).obj X
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : Semiring R
α : Type u_3
x : HahnSeries Γ R
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ
⊢ (x • s).hsum.coeff g = (x * s.hsum).coeff g
α : Type u_1
E : Type u_3
TopologicalSpace α
CompactSpace α
NormedAddCommGroup E
f : C(α, E)
x : α
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
r : R
⊢ (fun r => r • 1) r = x ↔ (algebraMap R A) r = x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
⊢ trivializationAt E (TangentSpace I) x = (tangentBundleCore I M).toFiberBundleCore.localTriv (achart H x)
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
⊢ (closure L).toFun (⇑f ⁻¹' ↑t) = s
n : ℕ
NeZero n
⊢ ↑0 = 0
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Add (f i)
DecidableEq I
f₁ f₂ : (i : I) → f i
i : I
x₁ x₂ : f i
⊢ Function.update (f₁ + f₂) i (x₁ + x₂) = Function.update f₁ i x₁ + Function.update f₂ i x₂
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
⊢ (fun x => (k + 1).factorial • x) (multichoose (r + 1) (k + 1)) = (fun x => (k + 1).factorial • x) (multichoose r (k + 1) + multichoose (r + 1) k)
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b
⊢ HasSum (fun n => ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {n})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2) (a * b)
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
⊢ (Polynomial.X * p).natDegree = p.natDegree + 1
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
⊢ p.degree ≤ 0 ↔ p = 1
n : ℕ
c : Char
s : List Char
⊢ (leftpad n c { data := s }).length = max n { data := s }.length
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
⊢ Epi (kernel.lift S.g S.f ⋯) ↔ Epi (imageToKernel' S.f S.g ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
I I' : Set β
h : I' ∈ R.rightFixedPoints
h₁ : I ≤ I'
⊢ I' ≤ I
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
⊢ f.removeFactor.natDegree = f.natDegree - 1
⊢ (¬∀ (α : Type u), Small.{v, u} α) ↔ ¬univ.{u, v + 1} ≤ univ.{v, u + 1}
n a : ℤ
h : 0 ≤ a
⊢ Finset.image (fun x => x % a) (Finset.Ico n (n + a)) = Finset.Ico 0 a
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Injective ⇑(rTensor N (span R (Set.range m)).subtype)
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
mem_M' : ∀ (i : ι), m i ∈ span R (Set.range m)
m' : ι → ↥(span R (Set.range m)) := Subtype.coind m mem_M'
m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'
hm' : span R (Set.range m') = ⊤
hm'n : ∑ i : ι, m' i ⊗ₜ[R] n i = 0
this : ∃ κ x a y, (∀ (i : ι), n i = ∑ j : κ, a i j • y j) ∧ ∀ (j : κ), ∑ i : ι, a i j • m' i = 0
κ : Type u
x✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
j : κ
⊢ ∑ i : ι, a i j • m i = (span R (Set.range m)).subtype (∑ i : ι, a i j • m' i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
f : J → C
X Y Z : C
g h : X ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (⨁ f) Y) Z
w :
  ∀ (j : J),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight
          (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j) Y) Z) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp h
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight
          (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j) Y) Z)
⊢ g = h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f t)) (g (x - t))) μ
⊢ HasFDerivAt (f ⋆[L, μ] g) ((f ⋆[L', μ] fderiv 𝕜 g) x₀) x₀
n k m : Nat
⊢ n ≤ k → k - m ≤ k - n → n ≤ m
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
s : Set X
hs : s.Subsingleton
C r : ℝ≥0
f : X → Y
⊢ HolderOnWith C r f s
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ
h : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)
hB : 0 ≤ B
h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹
h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
a : K
ha : a ∈ ↑↑I
hx : (mixedEmbedding K) a ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
h_nz : ⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ≠ 0
h_mem : ↑⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ∈ convexBodySum K B
⊢ 0 < ∑ i : InfinitePlace K, ↑i.mult
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
⊢ ∀ (i : n), (toEuclideanLin (star ↑hA.eigenvectorUnitary * A * ↑hA.eigenvectorUnitary)) ((EuclideanSpace.basisFun n 𝕜).toBasis i) = (toEuclideanLin (diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues))) ((EuclideanSpace.basisFun n 𝕜).toBasis i)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => (f x).toNNReal) μ
β : Type u_2
ι : Type u_6
f : ι → β
H : Function.Surjective f
⊢ f '' Set.univ = Set.univ
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : CompleteSpace E
e : E
s : Set X
s_meas : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : X), s.indicator (fun x => e) x ∂μ = (μ s).toReal • e
α : Type u
L₁ L₂ L₃ : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.Red L₁ L₂ → FreeGroup.Red L₂ L₃ → FreeGroup.Red L₁ L₃
α : Type u_1
a : PosNum
⊢ a.bit0.pred'.toZNumNeg = (neg a).bit1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
o : CategoryTheory.HomOrthogonal s
α β : Type
Finite α
Finite β
f : α → ι
g : β → ι
z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)
i : ι
j : ↑(g ⁻¹' {i})
k : ↑(f ⁻¹' {i})
⊢ o.matrixDecomposition z i j k =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.biproduct.components z ↑k ↑j) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocRing α
Fintype m
A B : Matrix m n α
x : m → α
⊢ x ᵥ* (A - B) = x ᵥ* A - x ᵥ* B
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ
ψ' : K →ₐ[k] ℂ := { toRingHom := ψ, commutes' := ⋯ }
⊢ φ.comp ↑(ψ'.restrictNormal' K).symm.symm = ψ
M : Type u_10
A : Type u_11
Monoid M
AddMonoid A
self : DistribMulAction M A
a : M
x y : A
⊢ a • (x + y) = a • x + a • y
R : Type u_1
S : Type ?u.132402
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.132867
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.134007
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type u_3
f : ι → M
b : Basis ι k (k ⊗[R] M)
hb : ∀ (i : ι), 1 ⊗ₜ[R] f i = b i
⊢ Submodule.span k (Set.range (⇑((mk R k M) 1) ∘ f)) = Submodule.span k (Set.range ⇑b)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
a : R
⊢ a • p = MvPolynomial.C a * p
p q : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
hpq : p ≠ q
⊢ legendreSym q ↑p * legendreSym p ↑q = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2))
R : Type u
Ring R
S₁ S₂ : Set R
hS₁ : IsSubring S₁
hS₂ : IsSubring S₂
⊢ IsSubring (S₁ ∩ S₂)
α : Sort u
Uncountable α
⊢ ¬Countable α
α : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
ε : Type u_9
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f₁ : α → β → β'
f₂ : α → γ → γ'
g' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' (f₁ a b) (f₂ a c)
⊢ Set.image2 f s (Set.image2 g t u) ⊆ Set.image2 g' (Set.image2 f₁ s t) (Set.image2 f₂ s u)
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hi : i ∈ t
⊢ t.centerMass (fun j => if i = j then 1 else 0) z = z i
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)
b : Ordinal.{u_1}
b1 : 1 < b
⊢ 0 < b
R : Type u
Semiring R
a : R
⊢ (Polynomial.C a).toFinsupp = AddMonoidAlgebra.single 0 a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
a : α
⊢ a ⊔ ⨆ s ∈ f, ⨅ a ∈ s, u a = ⨆ s ∈ f, ⨅ a_1 ∈ s, a ⊔ u a_1
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
AddGroup M
AddGroup N
AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
h1 : g.comp f = 0
h2 : g.ker ≤ f.range
⊢ Function.Exact ⇑f ⇑g
α : Type u
SubtractionMonoid α
a : α
⊢ IsAddUnit a → a + -a = 0
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
c : ℂ
R C : ℝ
f : ℂ → F
hR : 0 < R
hd : DiffContOnCl ℂ f (Metric.ball c R)
hC : ∀ z ∈ Metric.sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
⊢ ‖deriv f c‖ ≤ C / R