ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝¹ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝ : v \ u = v
this : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∉ (s ∪ v) \ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
⊢ False
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a - x) '' Set.Ico b c = Set.Ioc (a - c) (a - b)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
h : affineSpan k s = ⊤
⊢ s.Nonempty
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).sublists' ~ l.sublists ++ map (cons a) l.sublists
n : ℕ
α : Type u
σ : Perm (Fin n)
f : Fin n → α
⊢ map f (map (⇑σ) (finRange n)) ~ map f (finRange n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
φ : α →ₛ ℝ≥0∞
hφ : ↑φ ≤ fun a => f a
⊢ φ.lintegral μ ≤ ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : 1 < a
hb : 1 < b
⊢ 1 < a * b
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
DecidableEq α
Fintype α
DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
⊢ G.edgeFinset.card = 3 * (G.cliqueFinset 3).card
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
p q : T[X]
hpq : p * q ≠ 0
⊢ map (algebraMap T S) p * map (algebraMap T S) q ≠ 0
F : Type u_1
R : Type u_4
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Bijective ⇑f
⊢ ⇑(RingEquiv.ofBijective f hf) = ⇑f
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Projectivization.Independent f ↔ ¬Projectivization.Dependent f
x : ↑unitInterval
⊢ 1 - ↑x ≤ 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y P : C
ι₁ : X ⟶ P
ι₂ : Y ⟶ P
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryCofan.mk ι₁ ι₂).inr = ι₂
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }
⊢ ⊤ ≤ Submodule.span ℝ ↑(unitLattice K)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Pretriangulated.invRotate C).map f).hom₂ = f.hom₁
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ Quaternion.normSq a = (a * star a).re
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
UniformSpace δ
f : α → γ
g : β → δ
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
⊢ UniformContinuous (Prod.map f g)
M : Type u_4
N : Type u_5
⊢ ∀ {x : AddZeroClass M} {x_1 : AddZeroClass N} (f : M →+ N) (f' : M → N) (h : f' = ⇑f), f.copy f' h = f
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : c ≤ b
⊢ a < b - c ↔ a + c < b
x✝ y x : ℝ
⊢ ↑(cosh x ^ 2 - sinh x ^ 2) = ↑1
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : 1 < triangleRemovalBound (ε / 9) * 27 * ↑(Fintype.card G)
A : Finset (G × G)
hAε : ε * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ ↑A.card
hA : IsCornerFree ↑A
hε₁ : ε ≤ 1
this : NoAccidental (Corners.triangleIndices A)
⊢ False
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y Z : C
f : J → C
g h : X ⟶ Y ⊗ Z ⊗ ⨁ f
w : ∀ (j : J), g ≫ Y ◁ Z ◁ biproduct.π f j = h ≫ Y ◁ Z ◁ biproduct.π f j
⊢ g = h
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r
k : ℕ
⊢ ¬Acc r (f k)
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ x.arg = y.arg ↔ ↑(abs y) / ↑(abs x) * x = y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ SeparatedNhds s t ↔ SeparatedNhds t s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f
hg : S.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofHasCokernel S hg).i = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₂
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
β : Type u_5
SeminormedAddCommGroup β
hp : p ≠ ⊤
b : β
⊢ ‖(WithLp.equiv p (ι → β)).symm (Function.const ι b)‖ = ↑↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖b‖
M : Type u_2
AddCommGroup M
A : Type u_5
CommRing A
Module A M
DecidableEq M
⊢ ⇑LinearMap.det = ⇑(if H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A M) then LinearMap.detAux (Trunc.mk ⋯.some) else 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g f.inv)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom h f.hom) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g (CategoryTheory.CategoryStruct.id W))
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom h (CategoryTheory.CategoryStruct.id W))
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ deriv^[2] (fun x => x * Real.log x) x = x⁻¹
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
h : ContMDiffOn I I' ⊤ f s
⊢ SmoothOn I I' f s
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
F : C ⥤ Type u_1
j : C
x✝¹ x✝ : (i : C) ×' (i ⟶ j)
i : C
ij : i ⟶ j
k : C
kj : k ⟶ j
l : C
li : l ⟶ i
lk : l ⟶ k
e : li ≫ ij = lk ≫ kj
⊢ ∃ z, (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ((fun f => Set.range (F.map f.snd)) ⟨i, ij⟩) ((fun f => Set.range (F.map f.snd)) z) ∧ (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ((fun f => Set.range (F.map f.snd)) ⟨k, kj⟩) ((fun f => Set.range (F.map f.snd)) z)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
LinearOrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
h : ConcaveOn 𝕜 s f
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ t, w i
hp : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
⊢ ∃ i ∈ t, f (p i) ≤ f (t.centerMass w p)
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
k : K
q : TM1.Stmt Γ' Λ' σ
v : σ
S : (k : K) → List (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
⊢ ∃ L', (∀ (k_1 : K), ListBlank.map (proj k_1) L' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite v (S k) o) k_1)).reverse) ∧ TM1.stepAux (trStAct q o) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) = TM1.stepAux q (stVar v (S k) o) ((Tape.move Dir.right)^[(stWrite v (S k) o).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom L')))
m n : Num
⊢ ↑(m ^^^ n) = ↑m ^^^ ↑n
α : Type u_1
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : m s₁ = 0
h₂ : m s₂ = 0
⊢ m (s₁ ∪ s₂) = 0
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
S : Set (Subfield K)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : MeasureTheory.Measure.map X MeasureTheory.volume = ProbabilityTheory.gaussianReal μ v
y : ℝ
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun ω => y + X ω) MeasureTheory.volume = ProbabilityTheory.gaussianReal (μ + y) v
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
I : S.Arrow
e : (J.pullback I.f).obj (unop (op S)) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
⊢ ((J.diagram P I.Y).map e.op ≫ colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ((J.pullback I.f).obj (unop (op S))))) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯) (↑x I)) = (colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ((J.pullback I.f).obj S))) (((J.diagramPullback P I.f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x))
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Set.InvOn id id s s
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : Type u_3
(a : α) → AddCommMonoid (β a)
s : Finset γ
g : γ → (a : α) → β a
⊢ ∑ c ∈ s, g c = fun a => ∑ c ∈ s, g c a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Monoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
n : ℕ
⊢ Smooth I I fun a => a ^ n
G : Type u_1
Group G
a b : G
h : Commute a b
⊢ a * b * a⁻¹ = b
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
⊢ sepDegree F K = sepDegree F ↥(separableClosure E K)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
ChartedSpace H M
x y : M
hy : y ∈ (extChartAt I x).source
⊢ Filter.map (↑(extChartAt I x)) (𝓝[s] y) = 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I] ↑(extChartAt I x) y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
x : F
⊢ (μ ∅).toReal • x = 0 x
α : Type u_2
TopologicalSpace α
Preorder α
⊢ ⇑(ContinuousOrderHom.id α) = id
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
⊢ ↑↑(pos p) = ↑(pos p)
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
x : L
m : M
⊢ ⁅x, -m⁆ = -⁅x, m⁆
α : Type u_3
TopologicalSpace α
self : QuasiSeparatedSpace α
U V : Set α
⊢ IsOpen U → IsCompact U → IsOpen V → IsCompact V → IsCompact (U ∩ V)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
⊢ Computation.map f (Computation.pure a) = Computation.pure (f a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
F : TopCat.Sheaf C X
G : TopCat.Presheaf C X
f : F.val ⟶ G
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
h : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C ↑x).map f)
⊢ Function.Injective ⇑(f.app (Opposite.op U))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
h : ∫ (x : α), f x ∂μ = 1
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
α : Type u_1
ι : Type u_4
Preorder ι
l : Filter α
s : ι → Set α
hs : l.HasAntitoneBasis s
t : Set α
⊢ t ∈ l ↔ ∃ i, s i ⊆ t
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s
⊢ IntegrableOn ((fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) ∘ Neg.neg) (Neg.neg ⁻¹' Iio 0) volume
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α
⊢ ∀ (a_1 : α), Relation.ReflTransGen r a a_1 ↔ a_1 = a ∨ ∃ b, Relation.ReflTransGen r a b ∧ r b a_1
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z : ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
t : Finset ι
g : ι → Rₛ
hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0
i : ι
hi : i ∈ t
a : ↥S
g' : ι → R
hg' : ∀ i ∈ t, (algebraMap R Rₛ) (g' i) = ↑a • g i
h0 : f (∑ i ∈ t, g' i • v i) = 0
s : ↥S
hs : ∑ x ∈ t, (↑s * g' x) • v x = 0
⊢ g i = 0
F : Type u
Field F
f : F[X]
hf : f ≠ 0
⊢ ↑f ≠ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
S : Type u_3
SMul S R
ContinuousConstSMul S R
SMulZeroClass S A
IsScalarTower S R A
IsScalarTower S R (R → R)
s : S
f : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
⊢ cfc (fun x => s • f x) a = s • cfc f a
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℤ
f : α → ℤ
⊢ (Multiset.map (fun x => x % n) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).prod % n = (∏ i ∈ s, f i % n) % n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬μ univ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * ↑C)) ^ p.toReal)
⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g g₁ g₂ : σ → S₁
h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i
C : σ →₀ ℕ
hc : C ∈ p.support
⊢ (C.prod fun n e => g₁ n ^ e) = C.prod fun n e => g₂ n ^ e
G : Type u_1
Monoid G
x : G
DecidableEq G
hx : IsOfFinOrder x
⊢ ↑(Submonoid.powers x) = ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range (orderOf x)))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
U : Set 𝕜
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
h₀ : z₀ ∈ U
hfw : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = 0
⊢ Set.EqOn f 0 U
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ
g : α → E
⊢ ∫ (x : α), g x ∂μ.tilted f = ∫ (x : α), (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) • g x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
NormedAddCommGroup β
Norm β₂
l : Filter α
f : α → β₂
g₁ g₂ : α → β
h : f =o[l] g₁
h₂ : g₁ ~[l] g₂
⊢ f =o[l] g₂
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
ι : Sort u_2
hι : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ ⨆ i, S i → ∃ i, x ∈ S i
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
f : α → β → m (ForInStep β)
s : ForInStep β
a : α
l : List α
⊢ ForInStep.bindList f (a :: l) s = do
  let x ← s.bind (f a)
  ForInStep.bindList f l x
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
cg : Code
hg : Partrec cg.eval
this✝ : Partrec fun n => rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n
n : ℕ
this : ∀ x ∈ rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun _x => Code.evaln k cg n, x ∈ cf.eval n ∨ x ∈ cg.eval n
⊢ (cf.eval n).Dom ∨ (cg.eval n).Dom → (rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n).Dom
H : Type u
H' : Type u_1
TopologicalSpace H
TopologicalSpace H'
⊢ prodChartedSpace H H H' H' = chartedSpaceSelf (H × H')
R✝ : Type u_1
R₂✝ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹³ : Semiring R✝
inst✝¹² : Semiring R₂✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R₂✝ M₂
τ₁₂✝ : R✝ →+* R₂✝
inst✝⁷ : RingHomSurjective τ₁₂✝
F : Type u_8
inst✝⁶ : FunLike F M M₂
inst✝⁵ : SemilinearMapClass F τ₁₂✝ M M₂
R : Type u_9
R₂ : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring R₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R₂ M₂
ι : Type u_11
s : Set ι
hs : s.Nonempty
p : ι → Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : LinearMap.range f = ⨆ i ∈ s, p i
⊢ ⨆ i ∈ s, comap (LinearMap.range f).subtype (p i) = ⊤
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
⊢ IntegrableOn g' (Ioo a b) volume
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Semiring T
inst✝² : FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
inst✝¹ : FunLike G T S
rcg : RingHomClass G T S
f✝ : F
g : G
inst✝ : Nontrivial S
f : F
⊢ ¬1 = 0
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
n : ℤ
⊢ a ^ (n - 1) = a ^ (n - 1) * a * a⁻¹
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
self : φ.IsCovering
u : U
⊢ Function.Bijective (φ.star u)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
n : ℕ
⊢ s.sym n ∪ t.sym n ⊆ (s ∪ t).sym n
x : SetTheory.PGame
o : x.Numeric
i : x.LeftMoves
j : x.RightMoves
⊢ x.moveLeft i < x.moveRight j
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
f u v : R⟦X⟧
hu : u * v = 1
hv : v * u = 1
hf : ↑{ val := u, inv := v, val_inv := hu, inv_val := hv } = f
⊢ f.order = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R
⊢ basicOpen f ≤ basicOpen g ↔ f ∈ (Ideal.span {g}).radical
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
⊢ MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (ProbabilityTheory.gammaMeasure a r)
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ Pell.xn a1 0 = 1
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
⊢ ∀ {x : AddZeroClass M} {x_1 : AddZeroClass N} {x_2 : AddCommMonoid P} (f : M →+ N →+ P) (n : N), (f 0) n = 0
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a✝ b✝ c : α
P✝ : Finpartition a✝
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a✝
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
a : α
ha : ∃ a_1 ∈ P.parts.attach, a ∈ (Q ↑a_1 ⋯).parts
b : α
hb : ∃ a ∈ P.parts.attach, b ∈ (Q ↑a ⋯).parts
h : a ≠ b
⊢ (Disjoint on id) a b
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β✝
inst✝³ : CommMonoid β✝
α : Type u_6
inst✝² : CommMonoid α
β : Type u_7
inst✝¹ : Fintype β
s : Set β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
f : β → α
g : ↑s → α
w : ∀ (x : β) (h : x ∈ s), f x = g ⟨x, h⟩
w' : ∀ x ∉ s, f x = 1
⊢ univ.prod f = univ.prod g
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
⊢ ∀ {x : AddZeroClass M} {x_1 : AddZeroClass N} {x_2 : AddCommMonoid P} (f : M →+ N →+ P), AddMonoidHom.flipHom f = f.flip
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H✝ H : B.IsRefl
h : ker B = ⊥
x✝ : M₁
hx : B.flip x✝ = 0
⊢ B x✝ = 0
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
h : I ≤ J
⊢ I • N ≤ J • N
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
i : ℕ
⊢ p.reverse.getVert i = p.getVert (p.length - i)
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
x✝ y : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ rayOfNeZero R x hx ≠ -rayOfNeZero R x hx
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
iso : E ≃L[𝕜] F
⊢ HasFDerivAt (⇑iso) (↑iso) x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S₁ S₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C n
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.IsComplex
h₂ : S₂.IsComplex
i : ℕ
hi : i + 2 ≤ n := by omega
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.scMapIso e h₁ h₂ i hi).hom = CategoryTheory.ComposableArrows.scMap e.hom h₁ h₂ i ⋯
x✝ y x : ℂ
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖1‖ = 1
⊢ ‖x - 1‖ ∈ Icc (2 / π * angle x 1) (angle x 1)
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)
i : Nat
x✝¹ : i + 1 ≤ as.size
x✝ : β
j : Nat
ij : j + (i + 1) = as.size
j_eq : j = as.size - 1 - i
this✝ : as.size - 1 - i < as.size
this : as[as.size - 1 - i] :: List.drop (j + 1) as.data = List.drop j as.data
⊢ (fun __do_lift => match __do_lift with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn.loop as f i ⋯ b) = fun x => match x with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn (List.drop (j + 1) as.data) b f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
⊢ StarConvex 𝕜 x s ↔ s.OrdConnected
x y : ℂ
⊢ Complex.exp (x + y) = Complex.exp x * Complex.exp y
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
V : Set (σ → k)
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
⊢ V ≤ MvPolynomial.zeroLocus I ↔ I ≤ MvPolynomial.vanishingIdeal V
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a * b⁻¹ < 1 ↔ a < b
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
One α
i j : n
⊢ 1 i j = Pi.single i 1 j
α : Type u
σ σ' : Type v
M : εNFA α σ
S : Set σ
x : List α
s : σ
a : α
⊢ s ∈ M.stepSet S a ↔ ∃ t ∈ S, s ∈ M.εClosure (M.step t (some a))
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
AddCommGroup Q
Module R Q
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ lTensor.inverse Q hfg hg ∘ₗ LinearMap.lTensor Q g = (LinearMap.range (LinearMap.lTensor Q f)).mkQ
x y : PSet
⊢ ZFSet.mk x ∈ ZFSet.mk y ↔ x ∈ y
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
⊢ 0 ≤ (List.map totalDegree []).sum
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : L.Substructure M
A : Set M
h : A ⊆ ↑S
⊢ (L.lhomWithConstants ↑A).substructureReduct (S.withConstants h) = S
⊢ schnirelmannDensity {n | n ≡ 1 [MOD 1]} = (↑1)⁻¹
l : List ℕ
a m n✝ n : ℕ
h : n + 1 - fib (n + 1).greatestFib > 0
⊢ (n + 1 - fib (n + 1).greatestFib).greatestFib + 2 ≤ (n + 1).greatestFib
m n : ℕ
⊢ Function.Injective (Fin.castAdd n)
R : Type u
CommSemiring R
I J K : Ideal R
⊢ I * J ≤ K ↔ ∀ r ∈ I, ∀ s ∈ J, r * s ∈ K
α : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
NoMaxOrder α
OrderBot α
ClosedIciTopology α
CompactIccSpace α
⊢ Filter.cocompact α = Filter.atTop