ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
f : α ≃o β
⊢ upperClosure (⇑f '' s) = (UpperSet.map f.symm).symm (upperClosure s)
R : Type u_4
AddMonoidWithOne R
⊢ 1 = AddSubmonoid.closure 1
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i : Set α
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n ⊆ i
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
X : Scheme
⊢ IsTopologicalBasis {x | ∃ a, x = Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map a).val.base}
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy' : P y * Q z ^ 3 = W.negY Q * P z ^ 3
⊢ W.addMap ⟦P⟧ ⟦Q⟧ = ⟦![1, 1, 0]⟧
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ x * ∑' (i : ℕ), x ^ i = ∑' (i : ℕ), x ^ (i + 1)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃
x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂
x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁
h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃
h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂
this✝ : PreservesFiniteLimits (forget₂ C Ab)
this : PreservesFiniteLimits (forget C)
eq : (forget C).map D.δ x₃ = (forget C).map D.v₂₃.τ₁ ((forget C).map D.φ₁ (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂))
eq₁ : (forget C).map (pullback.fst D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₂
eq₂ : (forget C).map (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₃
⊢ (forget C).map (pullback.fst D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ ≫ D.v₁₂.τ₂) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = (forget C).map D.L₂.f x₁
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (restrictScalars f).obj Y ⟶ X
y : ↑Y
s1 s2 : S
⊢ g (s1 • y + s2 • y) = g (s1 • y) + g (s2 • y)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hmn : ↑m ≤ n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ContinuousOn (iteratedDerivWithin m f s) s
α : Type u
s : Set α
a : α
h : ∀ b ∈ s, b = a
⊢ s.Subsingleton
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddZeroClass α
AddZeroClass β
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
m : α
f : F
⊢ Even m → Even (f m)
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ Disjoint (Finset.Ioi a) (Finset.Iio a)
n : Nat
k : Fin (n + 1)
⊢ Fin.last n ≤ k ↔ k = Fin.last n
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).hom ≫ prod.fst = prod.fst ≫ prod.fst
α : Type u_1
x : α
⊢ FreeAddMonoid.ofList [x] = FreeAddMonoid.of x
h : Part.Dom 0
⊢ Part.get 0 h = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
hs : s ⊆ t ∪ u
ht : t ⊆ s ∪ u
⊢ s ∪ u = t ∪ u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSet (range Sum.inr)
α : Type u_1
c : Batteries.RBColor
n : Nat
p : Prop
l : Batteries.RBNode α
v : α
r : Batteries.RBNode α
hl : l.Balanced c n
hr : Batteries.RBNode.RedRed p r n
⊢ ∃ c, (l.balance2 v r).Balanced c (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
Primcodable σ
f : β → γ →. σ
g : α → β
h : α → γ
hf : Partrec₂ f
hg : Computable g
hh : Computable h
⊢ Partrec fun a => f (g a) (h a)
c : Cardinal.{u_3}
⊢ c.ord.card = c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι : Type u_5
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
b : ℝ≥0∞
b_ne_top : b ≠ ⊤
xs : ι → ℝ≥0∞
le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b
⊢ liminf (fun i => (xs i).toReal) F = (liminf xs F).toReal
G : Type u
Group G
Finite G
N : Subgroup G
N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'],
    Nat.card G' < Nat.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
⊢ IsPGroup (Nat.card ↥N).minFac ↥N
G : Type u_3
Group G
a b c : G
⊢ a = b⁻¹ * c ↔ b * a = c
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
t : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ t.lift c = 𝟙 c.pt
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
⊢ mulRothNumber A ≤ mulRothNumber B
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ LinearMap.ker p.subtype = ⊥
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x : CauSeq.Completion.Cauchy abv
⊢ x ≠ 0 → x * x⁻¹ = 1
n : Nat
α : Type u_1
⊢ (List.replicate n []).join = []
V : Type u_1
TopologicalSpace V
AddCommGroup V
Module ℝ V
ContinuousSMul ℝ V
ContinuousAdd V
c : ℝ≥0
K : ConvexBody V
⊢ ↑(c • K) = c • ↑K
a b : EReal
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a + b
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ n k : ℕ
⊢ Fintype.card (Sym (Fin (n + 2)) (k + 1)) = Fintype.card (Sym (Fin (n + 2)) k ⊕ Sym (Fin (n + 1)) (k + 1))
α : Type u_1
f g h : Perm α
x : α
hffx : f (f x) = x
n : ℕ
⊢ (f ^ (n + 1 + 1)) x = x ∨ (f ^ (n + 1 + 1)) x = f x
M : Type u_1
MulOneClass M
s t : Set M
⊢ Submonoid.closure (s ∪ t) = Submonoid.closure s ⊔ Submonoid.closure t
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁸ : AddGroup M
inst✝⁷ : AddGroup N
inst✝⁶ : AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂
inst✝³ : AddCommMonoid X₃
inst✝² : AddCommMonoid Y₁
inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂
inst✝ : AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Exact ⇑g₁₂ ⇑g₂₃
⊢ f₁₂.comp ↑e₁.symm = (↑e₂.symm).comp g₁₂
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
ι : Sort u_1
s : ι → ℝ≥0
⊢ ↑(⨅ i, s i) = ⨅ i, ↑(s i)
η : Type u_12
Ms : η → Type u_13
Ns : η → Type u_14
(j : η) → Add (Ms j)
(j : η) → Add (Ns j)
es : (j : η) → Ms j ≃+ Ns j
⊢ (AddEquiv.piCongrRight es).symm = AddEquiv.piCongrRight fun i => (es i).symm
x y : ℤ[i]
hy : y ≠ 0
⊢ ↑(norm (x % y)).natAbs < ↑(norm y).natAbs
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
b c : K
h : ∀ (x : K), 0 ≤ 0 * x * x + b * x + c
⊢ b * b - 4 * 0 * c ≤ 0
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
ε δ : ℝ
s : Set α
⊢ thickening ε (thickening δ s) ⊆ thickening (ε + δ) s
G : Type u_1
Group G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
i : ι
x : G
⊢ x ∈ S i → x ∈ iSup S
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f' : Y → X
h : Continuous f'
l_inv : LeftInverse f f'
r_inv : Function.RightInverse f f'
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (f '' s)
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
⊢ LSeries.term (-f) s n = -LSeries.term f s n
n : ℕ
⊢ Complex.tan (↑n * ↑Real.pi) = 0
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hl : l.HasBasis p s
⊢ (l ⊓ l').NeBot ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, p i → ∀ ⦃s' : Set α⦄, s' ∈ l' → (s i ∩ s').Nonempty
α : Type u
a b : α
s : Stream'.Seq α
⊢ a ∈ Stream'.Seq.cons b s ↔ a = b ∨ a ∈ s
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
j : ι
a : β j
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → toLex (update x j a) j_1 = toLex x j_1
h : update x j a j < x j
⊢ a < x j
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁰ : Semiring R₁
inst✝¹⁹ : Semiring R₂
inst✝¹⁸ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M'₁
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝² : Module R₁ M₂
inst✝¹ : TopologicalSpace R₁
inst✝ : ContinuousSMul R₁ M₂
c : R₁ →L[R₁] M₂
⊢ (smulRight 1 (c 1)) 1 = c 1
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hy : y ≠ 0
hxy : x + y ≠ 0
hx : ¬x = 0
⊢ (x.num * y.denom + x.denom * y.num).natDegree ≤ max (x.num * y.denom).natDegree (x.denom * y.num).natDegree
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
x : ↑R
x' : ↥(unop (op ⊤))
⊢ ↑((f ≫ toSpecΓ S) x) x' = ↑((toSpecΓ R ≫ Γ.map (Spec.toLocallyRingedSpace.map f.op).op) x) x'
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e e' : PartialHomeomorph X Y
h : e ≈ e'
⊢ e.source = e'.source
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
s : Set β
⊢ l (sInf (u '' s)) = sInf s
α β : Type u
ι : Type u_1
f : ι → Cardinal.{max u_1 u_2}
i : ι
⊢ ⟦Quotient.out (f i)⟧ ≤ sum f
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
s t : Set ℝ
intervalIntegral.FTCFilter a (𝓝[s] a) (𝓝[t] a)
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝[t] a) MeasureTheory.volume
ha : ContinuousWithinAt f t a
hs : UniqueDiffWithinAt ℝ s a := by uniqueDiffWithinAt_Ici_Iic_univ
⊢ derivWithin (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) s a = -f a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : b₂ < b₁
⊢ Ioo a₁ b₁ ∩ Ioc a₂ b₂ = Ioc (max a₁ a₂) b₂
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α
a b c d : α
⊢ a ⊓ b < a ⊔ b ↔ a ≠ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
m : OuterMeasure α
⊢ m ≤ μ.toOuterMeasure ↔ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → m s ≤ μ s
q : ℚ
⊢ ↑q.num < ↑q.num + (1 - fract q) * ↑q.den
V : Type u_1
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
K L : ConvexBody V
⊢ Metric.hausdorffDist ↑K ↑L = dist K L
s : ℂ
hs : s ≠ 0
hs' : s ≠ 1
⊢ DifferentiableAt ℂ completedRiemannZeta s
R : Type u_6
M : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Module.Finite R M
f : Module.End R M
⊢ IsNilpotent f ↔ ∀ (m : M), ∃ n, (f ^ n) m = 0
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
⊢ t * t = 1
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ o.nfpBFamily f a ∈ ⋂ i, ⋂ (hi : i < o), fixedPoints (f i hi)
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ (p * q).coeff n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, p.coeff x.1 * q.coeff x.2
l r₁ r₂ : ℕ
h₁ : r₁ ≤ r₂
h₂ : l + r₂ ≤ 1 ∨ r₂ ≤ Ordnode.delta * l
H : Ordnode.BalancedSz l r₁
⊢ Ordnode.BalancedSz l r₂
n : ℕ
nz : NeZero n
a : ZMod n
na : NeZero a
⊢ (-a).val = n - a.val
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
s : Multiset R
⊢ 0 ∉ Multiset.map (fun a => X - C a) s
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
LinearOrder β
DenselyOrdered β
NoMinOrder β
NoMaxOrder β
Nonempty β
f : Order.PartialIso α β
a : α
⊢ ∃ b, ∀ p ∈ ↑f, cmp p.1 a = cmp p.2 b
α : Type u
ι : Sort x
l : Filter α
Finite ι
s t : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), s i =ᶠ[l] t i
⊢ ⋃ i, s i =ᶠ[l] ⋃ i, t i
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsCartesian f φ
⊢ IsCartesian.map p f φ φ = 𝟙 a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
⊢ Bimod.TensorBimod.actLeft P Q ▷ T.X ≫ Bimod.TensorBimod.actRight P Q =
  (α_ R.X (Bimod.TensorBimod.X P Q) T.X).hom ≫ R.X ◁ Bimod.TensorBimod.actRight P Q ≫ Bimod.TensorBimod.actLeft P Q
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i ≤ n
hpi : i ≠ n
⊢ ↑p ^ i ≠ 0
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ (N₁Γ₀.inv.app K).f.f n = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.hom.f.f n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
x✝ : R
a✝ : x✝ ∈ fx
⊢ Irreducible x✝
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : ((fun b => image (fun a => f a b) s) '' ↑t).PairwiseDisjoint id
⊢ s.card ∣ (image₂ (fun b a => f a b) t s).card
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : Set.MapsTo φ t s
⊢ eVariationOn (f ∘ φ) t ≤ eVariationOn f s
Ω : Type u_1
TopologicalSpace Ω
MeasurableSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
c : ℝ≥0
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0
fs_bdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), (fs n) ω ≤ c
fs_lim : Filter.Tendsto (fun n ω => (fs n) ω) Filter.atTop (𝓝 (E.indicator fun x => 1))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (μ E))
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h : ∀ ⦃z : PGame⦄, (z.IsOption x₁ → P24 z x₂ y) ∧ (z.IsOption x₂ → P24 x₁ z y) ∧ (z.IsOption y → P24 x₁ x₂ z)
z : PGame
⊢ z.IsOption y → P24 (-x₂) (-x₁) z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f g) G
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback (G.map f) (G.map g)
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesPullback.iso G f g).hom ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd (G.map f) (G.map g) =
  G.map (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α × β → ℚ → ℝ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
q r : ℚ
_hqr : q ≤ r
⊢ ∀ᵐ (c : β) ∂ν a, f (a, c) q ≤ f (a, c) r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
S : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover S
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
j : E.I₁'
⊢ (E.multicospanIndex F).fstTo j = j.fst.1
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
β : Type u_5
f : α → β
⊢ AlexandrovDiscrete β
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor'.obj sq).left.right = sq.X₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ s ×ˢ t ∩ s' ×ˢ t' ↔ (x, y) ∈ (s ∩ s') ×ˢ (t ∩ t')
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
⊢ Monotone f ↔ ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a ≤ f b
α : Type u
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ (Stream'.drop n s).tail = Stream'.drop n s.tail
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : gcd x y = 0
⊢ y ∣ lcm x y
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing K
inst✝¹² : CommRing L
inst✝¹¹ : CommRing M
inst✝¹⁰ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁹ : ExpChar K p
inst✝⁸ : ExpChar L p
inst✝⁷ : ExpChar M p
inst✝⁶ : ExpChar N p
inst✝⁵ : PerfectRing L p
inst✝⁴ : IsPerfectClosure i p
inst✝³ : PerfectRing M p
inst✝² : IsPerfectClosure j p
inst✝¹ : PerfectRing N p
inst✝ : IsPerfectClosure k p
x : L
⊢ (equiv j i p) ((equiv i j p) x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
f✝ : Filter α
b : α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
inst✝¹ : Countable (Subtype p)
inst✝ : Nonempty (Subtype p)
hv : v.HasBasis p s
f : ι → α
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
H' : ¬∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i)
⊢ liminf f v = if ∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i) then sSup ∅ else ⨆ j, ⨅ i, f ↑i
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i
hs : 0 < s.re
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
hs' : s ≠ 0
a' : ι → ℂ := fun i => if p i = 0 then 0 else a i
hp' : ∀ (i : ι), a' i = 0 ∨ 0 < p i
this : ∀ (i : ι) (t : ℝ), (if p i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * p i * t))) = a' i * ↑(rexp (-π * p i * t))
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a' i * ↑(rexp (-π * p i * t))) (F t)
⊢ HasSum (fun i => ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s) (mellin F s)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → AddSubgroup N
h : Function.Injective ⇑(sumAddHom fun i => (p i).subtype)
⊢ Independent (⇑AddSubgroup.toIntSubmodule ∘ p)
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
r : ℕ
hr : 0 < r
⊢ ∃ H x, H.IsTuranMaximal r
α : Type u_1
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b : α
l : List α
⊢ Multiset.fold op b ↑l = List.foldl op b l
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
AddGroup α
OrderedAddCommMonoid β
AddGroupNormClass F α β
f : F
x : α
⊢ f x = 0 ↔ x = 0
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieAlgebra.IsKilling K L
⊢ LieAlgebra.corootSpace 0 = ⊥
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
y p q : R[X]
⊢ (p • 1 + q • (mk W) Y) * (mk W) (C y) = (p * y) • 1 + (q * y) • (mk W) Y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
a : α
⊢ a ≤ s.sup' H fun x => a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
H : ∀ (f : ℕ → α → E), (∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ) → ∀ (B : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), B i < ⊤ → (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N) → ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n
hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
f : ℕ → ↥(Lp E p μ)
hf : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) < B N
M : ℝ
hB : HasSum B M
B1 : ℕ → ℝ≥0∞ := fun n => ENNReal.ofReal (B n)
hB1_has : HasSum B1 (ENNReal.ofReal M)
hB1 : ∑' (i : ℕ), B1 i < ⊤
⊢ ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
α : Type u_2
β : Type u_3
NonAssocSemiring α
NonAssocSemiring β
f : αᵐᵒᵖ →+* βᵐᵒᵖ
⊢ ∀ (a : α), (RingHom.op.symm f) a = MulOpposite.unop (f (MulOpposite.op a))
α : Type u_1
s t : Multiset α
⊢ Multiset.card (s + t) = Multiset.card s + Multiset.card t
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K
⊢ ∃ c, ‖c‖ = 1 ∧ c * ↑‖x‖ = x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
hne : L.NeBot
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
a✝ : ↑μ F < ⊤
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq
key₁ : Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂↑μ) atTop (𝓝 (↑μ F))
⊢ limsup (fun i => ↑(μs i) F) L ≤ ↑μ F + ↑ε
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.aeval x.coeff) (WittVector.verschiebungPoly n) = (WittVector.verschiebung x).coeff n
α : Type u_1
xs : List α
a b : α
⊢ s(a, b) ∈ xs.sym2 ↔ a ∈ xs ∧ b ∈ xs
n a : ℤ
h : n ∣ a
⊢ 0 ≡ a [ZMOD n]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
n : ℕ
⊢ a + ↑n = b + ↑n ↔ a = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g pg x r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (f + g) (pf + pg) x r
α : Type u_2
MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : MeasureTheory.Conservative f μ
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ s ∩ {x | ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, f^[n] x ∈ s} =ᵐ[μ] s
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x y : FreeCommRing α
s✝ t : Set α
i✝ : ℤ
s : Set α
i : ℕ
hi : (↑(-↑i)).IsSupported s
⊢ (↑(-↑i) - 1).IsSupported s
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
Nontrivial R
Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
⊢ ¬LinearIndependent R ![a, b]
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hx : f x ≠ 0
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => Real.log (f y)) (f' / f x) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
n : ℕ
IH : Continuous fun a => a ^ n
⊢ Continuous fun a => a ^ (n + 1)
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
a : R
f : R[X]
hf : f.degree ≤ ↑n
⊢ (a • f).degree ≤ ↑n
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : 1 ≤ n
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
m k n : ℕ+
⊢ m ∣ k → k.Coprime n → m.Coprime n