ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂
hu : {i₁, i₂} ⊆ univ
⊢ -(∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (∑ x_1 : Fin (0 + 2 + 1), ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x_1 = i₁ ∨ x_1 = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1)) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1))) + ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex))) + (∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex)))) / 2 = circumradius t * circumradius t
E : Type u_2
F : Type u_3
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
x : E × F
⊢ ‖x‖₊ = max ‖x.1‖₊ ‖x.2‖₊
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
⊢ cs.lengthParity w = Multiplicative.ofAdd ↑(cs.length w)
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
f : M →* N
⊢ MonoidHom.comp 1 f = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
⊢ ((PrimeSpectrum.comap (mapId 𝒜 ⋯)).comp (PrimeSpectrum.comap ((Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).inv))) (closedPoint ↑((Proj.restrict ⋯).presheaf.stalk x)) = (PrimeSpectrum.comap (mapId 𝒜 ⋯)) (closedPoint (AtPrime 𝒜 (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal))
α : Type u
minAx : Order.Frame.MinimalAxioms α
s : Set α
a : α
⊢ a ⊓ sSup s = ⨆ b ∈ s, a ⊓ b
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
⊢ ∃ g, ‖↑g - f‖ < ε
R : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring R
M N : AddSubmonoid R
m n : R
hm : m ∈ M
hn : n ∈ N
⊢ m * n ∈ M * N
R : Type u_1
inst✝¹ : GroupWithZero R
inst✝ : StarMul R
U₁ U₂ : ↥(unitary R)
⊢ ↑(U₁ / U₂) = ↑U₁ / ↑U₂
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF
this✝ : a₁.NF
this : a₂.NF
⊢ (e₁.oadd n₁ a₁ - e₂.oadd n₂ a₂).repr = (e₁.oadd n₁ a₁).repr - (e₂.oadd n₂ a₂).repr
m n a b : ℕ
cop : m.Coprime n
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a * m + b * n ≠ m * n
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : μ ⟂ₘ ν
⊢ μ h.nullSet = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), ε / ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖f‖ ≤ C
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
app : (X : C) → F.obj X ≅ G.obj X
naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), F.map f ≫ (app Y).hom = (app X).hom ≫ G.map f
unit : F.ε ≫ (app (𝟙_ C)).hom = G.ε
tensor :
  ∀ (X Y : C),
    F.μ X Y ≫ (app (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)).hom =
      CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (app X).hom (app Y).hom ≫ G.μ X Y
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalNatIso.ofComponents app naturality unit tensor).inv.app X = (app X).inv
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
a : R
⊢ (MvPowerSeries.coeff R m) (φ * (MvPowerSeries.monomial R n) a) =
  if n ≤ m then (MvPowerSeries.coeff R (m - n)) φ * a else 0
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x + y ≠ 0
⊢ min (⋯.min ⋯) (⋯.min ⋯) ≤ ⋯.min ⋯
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
a b : E
L : Filter 𝕜
s : Set 𝕜
x : 𝕜
⊢ HasStrictDerivAt (⇑(lineMap a b)) (b - a) x
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : StandardBorelSpace α
inst✝¹ : Infinite α
inst✝ : Countable α
this : PolishSpace ↑(range Nat.cast)
⊢ ℕ ≃ ↑(range Nat.cast)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : MeasureTheory.Measure E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (f.normed μ) μ
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
a k : ℕ
a.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat a * p).coeff k = OfNat.ofNat a * p.coeff k
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f g : SchwartzMap E F
h : ∀ (x : E), f x = g x
⊢ f = g
R : Type u
CommRing R
M N P : Type u
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
Coalgebra R M
Coalgebra R N
Coalgebra R P
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (CoalgebraCat.of R M) (CoalgebraCat.of R N)
          (CoalgebraCat.of R P)).hom.toCoalgHom.toLinearMap =
  ↑(TensorProduct.assoc R M N P)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
AddCommGroup V'
Module R V'
AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P ≃ᵃ[R] P'
⊢ (AffineSubspace.map (↑f) s).WSameSide (f x) (f y) ↔ s.WSameSide x y
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
Fintype n
Fintype m
LinearOrderedField R
A : Matrix m n R
⊢ Aᵀ.rank = A.rank
α : Type u_1
CompleteLattice α
p q : Prop
s : p → q → α
⊢ ⨆ (h₁ : p), ⨆ (h₂ : q), s h₁ h₂ = ⨆ (h : p ∧ q), s ⋯ ⋯
G : Type u_1
Group G
IsFreeGroup G
H : Type u_2
Group H
f : IsFreeGroup.Generators G → H
a : IsFreeGroup.Generators G
⊢ (IsFreeGroup.lift f) (IsFreeGroup.of a) = f a
R : Type u
A : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
r : R
⊢ ((algebraMap R (ULift.{u_2, w} A)) r).down = (algebraMap R A) r
G : Type u_3
Group G
a b c : G
⊢ a / c / (b / c) = a / b
α : Type u_1
LE α
a : αᵒᵈ
⊢ IsMax (OrderDual.ofDual a) ↔ IsMin a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.Mono T.mor₃
⊢ T.mor₂ = 0
α : Type u_1
R : α → α → Prop
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
l : List α
⊢ Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ Option.guard (fun x => decide (p x) = true) a → ∀ (b' : α), b' ∈ Option.guard (fun x => decide (p x) = true) a' → R b b') l ↔ Pairwise (fun x y => p x → p y → R x y) l
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
⊢ AffineIndependent k (p ∘ ⇑e) ↔ AffineIndependent k p
F : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
Star R
Star S
FunLike F R S
StarHomClass F R S
TrivialStar R
f : F
x : R
⊢ IsSelfAdjoint (f x)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : (i : ι) → C₁.X i ≅ C₂.X i
hf : autoParam (∀ (i j : ι), c.Rel i j → (f i).hom ≫ C₂.d i j = C₁.d i j ≫ (f j).hom) _auto✝
i : ι
⊢ ({ f := fun i => (f i).inv, comm' := ⋯ } ≫ { f := fun i => (f i).hom, comm' := hf }).f i = (𝟙 C₂).f i
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.haarMeasure K₀) s =
  (MeasureTheory.Measure.haar.haarContent K₀).outerMeasure s / (MeasureTheory.Measure.haar.haarContent K₀).measure ↑K₀
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
X : CategoryTheory.Functor A B × CategoryTheory.Functor A C
⊢ (CategoryTheory.functorProdFunctorEquivUnitIso A B C).hom.app X =
  ((X.1.prod'CompFst X.2).inv, (X.1.prod'CompSnd X.2).inv)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : 𝕜
x y : E
⊢ ↑(re r) * inner_ 𝕜 x y + ↑(im r) * (-I * inner_ 𝕜 x y) = (↑(re r) + ↑(im r) * -I) * inner_ 𝕜 x y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0
h : b < a
⊢ a / c < b / c
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
hb : LinearIndependent ℝ b
hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction
hv : ∀ v ∈ s.direction, ∃ t₁ t₂, v = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
t₁ t₂ : ℝ
hop : t₁ = 0
hps : t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ ∈ s
hpc₁ : t₂ = 0 ∨ t₂ = 1
hpc₂ : dist (t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁) c₂ = r₂
hp' : p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0
hp₂ : 1 = -2 * ⟪p₂ -ᵥ p₁, p₁ -ᵥ c₁⟫_ℝ / ⟪p₂ -ᵥ p₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ
⊢ t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ = p₁ ∨ t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ = p₂
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
s : Set E
x : E
h₁ : DifferentiableWithinAt ℂ f s x
h₂ : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ (fun t => Complex.log (f t)) s x
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h₁ : HasStrictDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ slitPlane
⊢ HasStrictDerivAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Array.map f #[] = #[]
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
v : ℕ → Set α
hv : s ⊆ ⋃ n, v n
h'v : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤
⊢ μ.restrict (MeasureTheory.toMeasurable μ s) = μ.restrict s
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
h : ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
a : α
s : Set β
⊢ (κ a) s ≤ ProbabilityTheory.IsFiniteKernel.bound κ
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
⊢ RingHom.ker f.rangeSRestrict = RingHom.ker f
n : Nat
a : Fin n
⊢ ↑a < n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ y ∈ tl, y ∈ s ∨ y = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s
HP : tl.prod = -L.prod
hhd : hd ∈ s
⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝¹ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b c a : α
h : a ≤ 1
⊢ (mabs a)⁻¹ ≤ a
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
m : M
⊢ BddBelow ((fun m_1 => ‖m + m_1‖) '' ↑f.ker)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f✝ g : α✝ → β
α : Type u_5
E : Type u_6
m m₂ : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Zero E
s : Set α
f : α → E
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t)
hf : StronglyMeasurable f
hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0
hs_m₂ : MeasurableSet s
⊢ StronglyMeasurable f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
self : LocallyConvexSpace 𝕜 E
x : E
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ Convex 𝕜 s) id
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
x y : M
⊢ Submodule.Quotient.mk x = Submodule.Quotient.mk y ↔ x - y ∈ p
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq A
inst✝ : One B
a : A
b : B
h : b ≠ 1
x : A
hx : x = a
⊢ x ∈ mulSupport (mulSingle a b)
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
hA : CantorScheme.Disjoint A
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
n : ℕ
ih : res x n = res y n
⊢ res x (n + 1) = res y (n + 1)
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] N₂
⊢ (LinearMap.toMatrix₂Aux R ⇑b₁ ⇑b₂) B = (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂) B
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h_dec : μ = ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
h : μ.singularPart ν = 0
⊢ ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) ≪ ν
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
h : a ≤ b
hb : 0 ≤ b
⊢ a * b⁻¹ ≤ 1
f : ℝ → ℝ
f' a : ℝ
h : IsLocalMin f a
hf : HasDerivAt f f' a
⊢ f' = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
⊢ Function.Injective MeasurableEquiv.toEquiv
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
Coalgebra R A
Coalgebra R B
⊢ Coalgebra.comul ∘ₗ LinearMap.inr R A B =
  TensorProduct.map (LinearMap.inr R A B) (LinearMap.inr R A B) ∘ₗ Coalgebra.comul
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
⊢ c.sizeUpTo i ≤ (take i c.blocks).sum + (drop i c.blocks).sum
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
x a : α
ha : a ∈ {x_1 | f x < f x_1}
⊢ ⨅ i ∈ {x_1 | f x < x_1}, 𝓟 (f ⁻¹' {x | x < i}) ≤ 𝓟 {x | f x < f a}
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
s₁ s' : Set (Set Ω)
s₂ : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
h₁ : ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets s₁ s' κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets (s₁ ∩ s₂) s' κ μ
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace δ
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
SecondCountableTopology α
f g : δ → α
μ : MeasureTheory.Measure δ
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (fun a => max (f a) (g a)) μ
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
A : ↑c ≠ 0
B : AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (a : Ω), X a) ℙ
⊢ evariance X ℙ / ↑c ^ 2 = (↑c)⁻¹ ^ ENNReal.toReal 2 * eLpNorm (X - fun x => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ ^ ENNReal.toReal 2
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atTop
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atTop
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atTop
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : ∃ a, ∀ b ≥ a, b ∈ s
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K'
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : Algebra R K'
inst✝¹ : IsFractionRing R K'
I J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ (algebraMap R K) x ∈ I
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs✝ : IsLindelof s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
r : Set ↑s
hr : r.Countable
hs : s ⊆ ⋃ i ∈ r, (fun x => interior (U ↑x ⋯)) i
i : ↑s
hi : i ∈ r
⊢ U ↑i ⋯ ⊆ ⋃ x ∈ r, U ↑x ⋯
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : Set.InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
⊢ CompleteLattice.Independent f ↔ ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
R : Type u
Ring R
a : WithBot ℕ
p : R[X]
hp : p.degree ≤ a
⊢ (-p).degree ≤ a
F : Type u_1
Field F
p : F[X]
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
Fact (Polynomial.Splits (algebraMap F E) p)
ϕ : E ≃ₐ[F] E
x : ↑(p.rootSet E)
⊢ ↑(((Polynomial.Gal.galActionHom p E) ((Polynomial.Gal.restrict p E) ϕ)) x) = ϕ ↑x
n : ℕ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hv : (multiplicity (↑p) m).get ⋯ % n ≠ 0
hnpos : n > 0
y : ℤ
hxr : ↑y ^ n = ↑m
⊢ False
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
i : E ≃ₐ[F] K
⊢ finInsepDegree F E = finInsepDegree F K
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
M' : Type u_5
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
hv : LinearIndependent R v
f : M →ₗ[R] M'
hf_inj : Disjoint (Submodule.span R (Set.range v)) (LinearMap.ker f)
⊢ LinearIndependent R (⇑f ∘ v)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
h : ∀ (A : C) (f : A ⟶ ⊥_ C), CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.Limits.HasStrictInitialObjects C
ι : Sort u_2
f : ι → ℝ≥0
⊢ ⨅ i, ↑(f i) < ⊤ ↔ Nonempty ι
α : Type u_5
self : ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
⊢ s.Nonempty → a ∈ upperBounds s → sSup s ≤ a
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
⊢ index K₁.carrier V + index K₂.carrier V ≤ index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s t✝ t : Finset α
hts : t ⊆ s
hcard : t.card = mulRothNumber s
ht : ThreeGPFree ↑t
u : Finset α
hut : u ⊆ t
h : ∀ t ∈ powersetCard u.card s, ¬ThreeGPFree ↑t
hn : u.card ≤ t.card
⊢ False
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L ↥↑N
⊢ LieSubmodule.map N.incl N' < N ↔ N' < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f g : α → List β
⊢ (l.bind f ++ l.bind g).Perm (l.bind fun x => f x ++ g x)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R
ha : a ∈ I
⊢ ((Quotient.mk (map C I)).comp C) a = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
i : K
hi : i ∈ I
⊢ Submodule.map (Algebra.linearMap R₁ K) I.num ≤ 1
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x : F
⊢ RCLike.re ⟪x, x⟫_𝕜 = ‖x‖ * ‖x‖
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle y (y - x) = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖y - x‖))
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
AddZeroClass δ
Min δ
C : Levenshtein.Cost α β δ
xs : List α
y : β
ys : List β
⊢ suffixLevenshtein C xs (y :: ys) = Levenshtein.impl C xs y (suffixLevenshtein C xs ys)
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
f' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => ENNReal.ofReal (f n a - f 0 a)
F' : α → ℝ≥0∞ := fun a => ENNReal.ofReal (F a - f 0 a)
hf'_int_eq : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), f i a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
hF'_int_eq : ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), F a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
h_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F' a ∂μ))
h_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f' i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f' i a ≤ F' a
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f' i a) atTop (𝓝 (F' a))
a : α
ha : Tendsto (fun i => f' i a) atTop (𝓝 (F' a))
ha_mono : Monotone fun i => f i a
ha_bound : ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h1 : (fun i => f i a) = fun i => (f' i a).toReal + f 0 a
h2 : F a = (F' a).toReal + f 0 a
⊢ Tendsto (fun i => (f' i a).toReal) atTop (𝓝 (F' a).toReal)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
⊢ HasFDerivWithinAt (⇑e) e s x
L : Language
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
n : ℕ
F : L.Functions n
x : Fin n → Σˣ f
i j : ι
hi : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))
hj : j ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))
k : ι
ik : i ≤ k
jk : j ≤ k
⊢ (f i k ik) (funMap F (unify f x i hi)) = (f j k jk) (funMap F (unify f x j hj))
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
γ σ₁ φ σ₂ : Type
s₂ : σ₂
s₁ : σ₁
f₁ : α → γ → σ₁ → σ₁ × φ
f₂ : α → β → σ₂ → σ₂ × γ
⊢ Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f₁ xs (Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f₂ xs ys s₂).2 s₁ =
  let m :=
    Mathlib.Vector.mapAccumr₂
      (fun x y x_1 =>
        match x_1 with
        | (s₁, s₂) =>
          let r₂ := f₂ x y s₂;
          let r₁ := f₁ x r₂.2 s₁;
          ((r₁.1, r₂.1), r₁.2))
      xs ys (s₁, s₂);
  (m.1.1, m.2)
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
Unique ι
F : ι → X → α
S : Set X
⊢ EquicontinuousOn F S ↔ ContinuousOn (F default) S
α : Type u_1
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
⊢ μ (⋃ i, s i) = ⨆ i, μ (s i)
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : NormedSpace.Dual ℝ V ≃ₗᵢ⋆[ℝ] V := (InnerProductSpace.toDual ℝ V).symm
this : (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v) = (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) ∘ ⇑A
⊢ Tendsto ((fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) ∘ ⇑A) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ ↑((CliffordAlgebra.toEven Q) (CliffordAlgebra.reverse (CliffordAlgebra.involute x))) =
  CliffordAlgebra.reverse ↑((CliffordAlgebra.toEven Q) x)