ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : FunLike 𝓕 E F
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
𝕜' : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' F
c : 𝕜'
f : E →SL[σ₁₂] F
x✝ : E
⊢ ‖c‖ * ‖f x✝‖ ≤ ‖c‖ * (‖f‖ * ‖x✝‖)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.support = u :: p.support.tail
a : UnitAddCircle
s : ℂ
h : a ≠ 0 ∨ s ≠ 0
⊢ Function.update (fun s => completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ) 0 (if a = 0 then -1 / 2 else 0) s = completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
b₃ : B.Nondegenerate
h : W = ⊤
⊢ B.orthogonal ⊤ ≤ ⊥
α : Sort u_1
f : α → ℝ
hf : ¬BddAbove (Set.range f)
⊢ ⨆ i, f i = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g : ℝ → E
a b : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Set.Ioc a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Set.Iic t) t
hfs : ∀ t ∈ Set.Ioc a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Set.Ioc a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Set.Iic t) t
hgs : ∀ t ∈ Set.Ioc a b, g t ∈ s t
hb : f b = g b
⊢ Set.EqOn f g (Set.Icc a b)
X : Type u_1
Y : Sort u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
inj : Function.Injective f
⊢ IsSeparatedMap f
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : AddCommMonoid N'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : TopologicalSpace N'
n : ℕ
f✝ g✝ f g : M [⋀^ι]→L[R] N
h : f.toAlternatingMap = g.toAlternatingMap
⊢ ⇑f = ⇑g
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_10
One M
One N
One P
One Q
f : OneHom M N
g : OneHom N P
h : OneHom P Q
⊢ (h.comp g).comp f = h.comp (g.comp f)
⊢ RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => f.IsIntegral
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
⊢ padicNorm p (q * r) = padicNorm p q * padicNorm p r
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
h : x ≠ y
⊢ Sbtw R x (midpoint R x y) y
R : Type u
Ring R
S : Subsemiring R
h : ∀ {x : R}, x ∈ S.carrier → -x ∈ S.carrier
⊢ ↑{ toSubsemiring := S, neg_mem' := h } = ↑S
G : Type u_3
DivInvMonoid G
a b : G
⊢ a / b = a * (1 / b)
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
⊢ I = P ^ i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F
⊢ ∑ x ∈ f.range, (⇑(T (↑f ⁻¹' {x})) + ⇑(T' (↑f ⁻¹' {x}))) x = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x + ∑ x ∈ f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
help : ∀ m < 4, m % 2 = 1 → (if m = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ (m / 2)
⊢ (if n % 4 = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ (n % 4 / 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
h : a ∈ s
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ ↑(s \ {a}).ncard + 1 = ↑s.ncard
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
F.Final
⊢ G.Final ↔ (F.comp G).Final
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
hne : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
⊢ ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / (↑p + 1)
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
f' : M₁ → M₂
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
a b : R
ha : IsSMulRegular M a
hb : IsSMulRegular (QuotSMulTop a M) b
h2 : IsSMulRegular M b
⊢ IsSMulRegular M b ∧ IsSMulRegular (QuotSMulTop b M) a
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Injective ⇑(rTensor N (span R (Set.range m)).subtype)
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
mem_M' : ∀ (i : ι), m i ∈ span R (Set.range m)
m' : ι → ↥(span R (Set.range m)) := Subtype.coind m mem_M'
m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'
hm' : span R (Set.range m') = ⊤
hm'n : ∑ i : ι, m' i ⊗ₜ[R] n i = 0
this : ∃ κ x a y, (∀ (i : ι), n i = ∑ j : κ, a i j • y j) ∧ ∀ (j : κ), ∑ i : ι, a i j • m' i = 0
κ : Type u
x✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
j : κ
⊢ ∑ i : ι, a i j • m i = 0 ↔ ∑ i : ι, a i j • m' i = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ y ∈ s, f y = g y
hx : f x = g x
hf : DifferentiableWithinAtProp I I' f s x
⊢ ∀ x ∈ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I, (↑I' ∘ g ∘ ↑I.symm) x = (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) x
m n : ℕ+
⊢ (↑m).gcd ↑n = (↑n).gcd ↑m
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hrank : rank K = 0
x : ↥(torsion K)
e : Fin (rank K) → ℤ
hxu : u = ↑x
n : ℕ
hnpos : 0 < n
hn : (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u ^ ↑⟨n, hnpos⟩ = 1
r : ℕ
hr3 : r < ↑3
hru : (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u = ζ ^ r ∨ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u = -ζ ^ r
⊢ u ∈ [1, -1, η, -η, η ^ 2, -η ^ 2]
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : C ⥤ D ⥤ D
X : C
e : F.obj X ≅ 𝟭 D
inst✝² : (Y : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y Y' : GradedObject J D
φ : Y ⟶ Y'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap p
j : J
⊢ φ j ≫ e.inv.app (Y' j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y' j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯ = e.inv.app (Y j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y j) ≫ (F.map (𝟙 ((single₀ I).obj X) 0)).app (Y j) ≫ (F.obj ((single₀ I).obj X 0)).map (φ j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯
R : Type u_1
Add R
Mul R
c : RingCon Rᵐᵒᵖ
x y : R
⊢ c.unop x y ↔ c (MulOpposite.op y) (MulOpposite.op x)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
self : IsDirected α r
a b : α
⊢ ∃ c, r a c ∧ r b c
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
⊢ x ≡ y [SMOD ⊥] ↔ x = y
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.24237
inst✝ : MulAction R X
r r' r₁ r₂ : R
s t : ↥S
h : ↑t * r = ↑t * r'
r₁' : R
t' : ↥S
hr₁ : ↑t' * r₁ = r₁' * ↑t
⊢ r₁ * r * r₂ /ₒ s = r₁ * r' * r₂ /ₒ s
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x : M
⊢ Associates.mk (generator (torsionOf R M x)) = Associates.mk p ^ Nat.find ⋯
E : Type u
F : Type v
PseudoEMetricSpace F
TopologicalSpace E
f : E → F
x : E
hf : ContinuousAt f x
⊢ oscillation f x = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
n : ℕ
⊢ (s.cofan (Opposite.op [n])).inj (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [n])) = s.ι n
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
S : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S
x y : S
I : Ideal S
⊢ (∃ y_1 ∈ span {y}, ∃ z ∈ I, y_1 + z = x) ↔ ∃ a, ∃ b ∈ I, a * y + b = x
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
⊢ 0 < (filter (fun a => orderOf a = Fintype.card α) univ).card
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
r : 𝕜
h₁ : 0 ≤ r
h₂ : r < 1
hr : 0 = r
⊢ Tendsto (fun n => r ^ (n + 1)) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set β
⊢ ↑e.symm '' (e.target ∩ s) = e.source ∩ ↑e ⁻¹' s
R : Type u
AddGroupWithOne R
m n : ℕ
⊢ ↑(Int.subNatNat m n) = ↑m - ↑n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
⊢ ⨆ n, ↑(partitionFiltration ht) n = ⨆ i, generateFrom (memPartition t i)
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
⊢ (Matrix.toLin v₁ v₁) 1 = LinearMap.id
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
H : ∀ (x : G), x ≠ 1 → ∃ U ∈ 𝓝 1, x ∉ U
⊢ T2Space G
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
ae_eq₁ : ↑(toSimpleFunc f).posPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))
ae_eq₂ : ↑(toSimpleFunc f).negPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (toSimpleFunc f) = MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)) - SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))
R : Type u_1
S : Type u_4
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
x y z : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y
hz : z ∈ Subring.closure {x, y}
⊢ f.IsIntegralElem z
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
⊢ s1.direction ⊔ s2.direction ≤ (s1 ⊔ s2).direction
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
this : η.withDensity (κ.rnDeriv η) = ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal).withDensity (κ.rnDeriv η)
⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) s = (κ a) s
C : Type w
inst✝ : Category.{v, w} C
X Y : Condensed C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (S : CompHausᵒᵖ), f.val.app S = g.val.app S
⊢ f = g
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
x : α
⊢ span {x} = ⊤ ↔ IsUnit x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMinOrder (α ⊕ β)
a : α
⊢ ∃ b, b < a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
CategoryTheory.HasRightDual X
f : Y ⟶ Xᘁ
⊢ (CategoryTheory.tensorRightHomEquiv Y X Xᘁ (𝟙_ C)) (f ▷ X ≫ ε_ X Xᘁ) = f ≫ (λ_ Xᘁ).inv
F : Type u_1
Field F
E : Type u_6
Field E
Algebra F E
h : Normal F E
x y : E
⊢ minpoly F x = minpoly F y ↔ x ∈ MulAction.orbit (E ≃ₐ[F] E) y
x y : ℂ
⊢ Complex.exp x = Complex.exp y ↔ Complex.exp (x - y) = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
s : Finset ι
t : ι → Finset α
⊢ (s.finsupp t).card = ∏ i ∈ s, (t i).card
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ ≤ D ^ i
Ngu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ ≤ C
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
G : Type w
Group G
TopologicalSpace G
ContinuousInv G
⊢ Embedding Units.val
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Set M
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure s) }
x : M
hx : x ∈ ↑(closure s)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
g₁ : M
g₂ : g₁ ∈ closure s
hg₁ : M
hg₂ : hg₁ ∈ closure s
⊢ (fun y hy => ⟨y, hy⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)) g₁ g₂ → (fun y hy => ⟨y, hy⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)) hg₁ hg₂ → (fun y hy => ⟨y, hy⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)) (g₁ * hg₁) ⋯
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c : PushoutCocone f g
hc : IsColimit c
h₁ : Function.Injective f
x₁ : X₁
x₂ : X₂
⊢ c.inl x₁ = c.inr x₂ ↔ ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
c : ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ MeasureTheory.weightedSMul (c • μ) s = c.toReal • MeasureTheory.weightedSMul μ s
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a✝ b✝ c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ 0 < a * b
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : L ≃ₐ[K] L
x✝ : f ∈ ⊤
x : L
hx : x ∈ ⊥
⊢ f • ↑⟨x, hx⟩ = ↑⟨x, hx⟩
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : (∡ p₁ p₂ p₃).sign = -1
⊢ p₁ ≠ p₂
α : Type u_2
LE α
a : α
⊢ WithTop.toDualBotEquiv.symm (OrderDual.toDual ↑a) = ↑(OrderDual.toDual a)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝ : Infinite ↑s
x : ↑s
h : ¬∃ n, ↑x + n + 1 ∈ s
this : ∀ a ∈ s, a < ↑x + 1
⊢ ∀ (x_1 : { y // y ∈ s }), x_1 ∈ (Multiset.pmap (fun y hy => ⟨y, hy⟩) (Multiset.filter (fun x => x ∈ s) (Multiset.range (↑x).succ)) ⋯).toFinset
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : Set α
P : β → Prop
⊢ (∃ a, P ↑a) ↔ ∃ a, P (f ↑a)
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
y : β
⊢ h (h.symm y) = y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
S : WSeq (WSeq α)
⊢ ∃ s S_1, map f S.join = s.append (map f S_1.join) ∧ (map (map f) S).join = s.append (map (map f) S_1).join
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
f g h i j : C
α : f ⟶ g
η : g ⟶ h
ηs : h ⟶ i
θ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj h j ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj i j
pf_θ : CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight ηs j = θ
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η ηs)) j =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight α j)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight η j) θ)
R : Type u
ι : Type v
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₂
Module R M₃
TopologicalSpace M₂
TopologicalSpace M₃
ι' : Type u_1
e : ι ≃ ι'
f : ContinuousMultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
⊢ (ContinuousMultilinearMap.domDomCongr e f).toMultilinearMap = MultilinearMap.domDomCongr e f.toMultilinearMap
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
f : ℤ → M
hf : Multipliable f
⊢ Multipliable fun n => f ↑n * f (-↑n)
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}
hVo : IsOpen V
u : ℤ → ℝ := fun n => 2 * π * ↑|n| * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))
hu : Summable u
n : ℤ
⊢ ContinuousOn (fun p => jacobiTheta₂'_term n p.1 p.2) V
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
⊢ b ^ (p * 2) - b ^ 2 = (b ^ p) ^ 2 - b ^ 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
U : CategoryTheory.Comonad C
X : CategoryTheory.Cokleisli U
⊢ (CategoryTheory.Cokleisli.Adjunction.fromCokleisli U).obj X = U.obj X
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasDerivAt e e' ↑z
A : HasFDerivAt ofReal' ofRealCLM z
B : HasFDerivAt e (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM z)
C : HasFDerivAt re reCLM (e (ofRealCLM z))
⊢ e'.re = reCLM ((ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM 1))
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
A : ∑' (j : ℕ), ℙ {ω | X j ω ∈ Set.Ioi ↑j} < ⊤
B : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => truncation (X n) (↑n) ω - X n ω) atTop (𝓝 0)
ω : Ω
hω : Tendsto (fun n => truncation (X n) (↑n) ω - X n ω) atTop (𝓝 0)
⊢ (fun n => ∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω) =o[atTop] fun n => ↑n
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
h : ∅.Finite
⊢ ∃ a, ∀ b ∈ ∅, f a ≤ f b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_7
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → α
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : (s.inf fun i => (t i).sup (f i)) = (s.pi t).sup fun g => s.attach.inf fun i => f (↑i) (g ↑i ⋯)
⊢ ((insert i s).inf fun i => (t i).sup (f i)) = ((insert i s).pi t).sup fun g => (insert i s).attach.inf fun i_1 => f (↑i_1) (g ↑i_1 ⋯)
n : ℤ
d : ℕ
⊢ ⌊↑n / ↑d⌋ = n / ↑d
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
i : ι
hi : i ∈ ↑t
⊢ (∑ i ∈ t, b i * a i) * h i = a i * f ^ (n + 1)
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
⊢ ∀ (a : ℂ), (RCLike.complexLinearIsometryEquiv h).symm a = (RCLike.complexRingEquiv h).invFun a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set α
t : Set β
h : (s ×ˢ t).Nonempty
⊢ MeasurableSet (s ×ˢ t) ↔ MeasurableSet s ∧ MeasurableSet t
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s \ (s ∩ t) = s \ t
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
⊢ StronglyMeasurable (U n)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
n k : ℕ
c : R
⊢ (⇑derivative)^[k] ((X - C c) ^ n) = n.descFactorial k • (X - C c) ^ (n - k)
n : ℕ
hn : Squarefree n
⊢ Finset.filter Squarefree n.divisors = n.divisors
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).leftDeriv.comp (LinearMap.ker f').subtypeL = 0