ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x y : R
⊢ ∀ (x_1 : R), f (x * y * x_1) / f x_1 ≤ seminormFromBounded' f x * seminormFromBounded' f y
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
⊢ Measurable fun x => Filter.liminf (fun x_1 => f x_1 x) v
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
⊢ ∃ n f', toLaurent f' = f * T ↑n
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
InvolutiveNeg α
MeasurableNeg α
⊢ MeasurableEmbedding Neg.neg
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ ((evaluation C D).obj X).map (cokernel.π α) ≫ 𝟙 (((evaluation C D).obj X).obj (cokernel α)) = (Iso.refl (((evaluation C D).obj X).obj G)).hom ≫ cokernel.π (α.app X) ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).inv
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd C 0 a).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).hom.app X)) (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
α : Type u
β : Type v
f : α →. β
l : Filter α
s : Set β
⊢ s ∈ Filter.pmap f l ↔ f.core s ∈ l
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
s t : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
h : ∀ (a : α), s a = t a
⊢ s = t
R : Type u
CommSemiring R
S : Type v
Semiring S
Algebra R S
p : S[X]
r : R
hp : p ∈ Polynomial.lifts (algebraMap R S)
⊢ r • p ∈ Polynomial.lifts (algebraMap R S)
M : Type u_1
N : Type u_2
Zero M
Zero N
f : ZeroHom M N
⊢ ⇑f.withBotMap = WithBot.map ⇑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x x' : M
h : x' ∈ (extChartAt I x).source
ht : t ∈ 𝓝[s] x'
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x'
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsPurelyInseparable F E
L : Type w
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsReduced L
f g : E →+* L
x : E
q : ℕ := ringExpChar F
n : ℕ
y : F
h : (algebraMap F E) y = x ^ q ^ n
heq : f x ^ q ^ n = g x ^ q ^ n
a✝ : Nontrivial L
⊢ f x = g x
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y
inst✝⁹ : TopologicalSpace Y
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : OrderTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hmono : Monotone f
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝 x) μ
A : Type v
Ring A
M : Type w
AddCommGroup M
Module A M
a : A
m : M
⊢ ⁅a, m⁆ = a • m
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
z : HomogeneousLocalization.AtPrime 𝒜 x.asHomogeneousIdeal.toIdeal
⊢ (AlgebraicGeometry.stalkToFiberRingHom 𝒜 x) (AlgebraicGeometry.homogeneousLocalizationToStalk 𝒜 x z) = z
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
ideal_gc : GaloisConnection Ideal.span SetLike.coe
⊢ GaloisConnection (fun s => zeroLocus 𝒜 s) fun t => ↑(vanishingIdeal t)
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ χ.FactorsThrough 1 ↔ χ = 1
n : Nat
⊢ Fin.list (n + 1) = List.map Fin.castSucc (Fin.list n) ++ [Fin.last n]
B : Type u_1
i i' : B
m : ℕ
⊢ CoxeterSystem.alternatingWord i i' (m + 1) = (if Even m then i' else i) :: CoxeterSystem.alternatingWord i i' m
M : Type u_4
N : Type u_5
Monoid M
Monoid N
f : M →* N
a : M
n : ℕ
⊢ f (a ^ n) = f a ^ n
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ExistsMulOfLE α
a c : α
h : a < a * c
⊢ ∃ c_1, 1 < c_1 ∧ a * c_1 = a * c
G : Type u_1
inst✝ : AddMonoid G
a : G
x✝² x✝¹ : Multiplicative G
x✝ : G
⊢ ({ toFun := fun c => Multiplicative.toAdd c +ᵥ AddConstMap.id, map_one' := ⋯ }.toFun (x✝² * x✝¹)) x✝ = ({ toFun := fun c => Multiplicative.toAdd c +ᵥ AddConstMap.id, map_one' := ⋯ }.toFun x✝² * { toFun := fun c => Multiplicative.toAdd c +ᵥ AddConstMap.id, map_one' := ⋯ }.toFun x✝¹) x✝
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
⊢ h.finpartition.parts.card ≤ r
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
s : Set (CofiniteTopology X)
⊢ IsClosed s ↔ s = univ ∨ s.Finite
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
⊢ (GenContFract.of v).s.get? 0 = (GenContFract.IntFractPair.stream v 1).bind (some ∘ fun p => { a := 1, b := ↑p.b })
R : Type u_1
n✝ x p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
y : ℕ
hxy : p ∣ x + (y + 1)
⊢ 0 < x ^ n + (y + 1) ^ n
α : Type u
β : Type v
ι : Type w
f : ι → Filter α
m : α → β
p : ι → Prop
h : DirectedOn (f ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) {x | p x}
ne : ∃ i, p i
⊢ Filter.map m (⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i) = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), Filter.map m (f i)
n : Nat
i j : Fin n
⊢ i ≠ j ↔ i < j ∨ i > j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ di : DenseInducing i
s : Set α
⊢ Dense (i '' s) ↔ Dense s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsEmpty ι
inst✝ : InfSet α
f : ι → WithTop α
⊢ ⨅ i, f i = ⊤
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
u v : Rˣ
m n : ℕ
h : ↑u * p ^ m = ↑v * q ^ n
⊢ m = n
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : ε ≤ 0
⊢ triangleRemovalBound ε ≤ 0
K : Type v
Field K
f : K[X]
hf1 : ¬IsUnit f
⊢ f.factor ∣ f
A : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing A
IsJordan A
a : A
⊢ Commute (L a) (R (a * a))
a b : Nat
p : (a = b) = False
⊢ (a != b) = true
p : ℝ[X]
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x
R : Type u_3
CommRing R
I : Ideal R
hI : IsNilpotent I
x : R
⊢ IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) x) ↔ IsUnit x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
ε : 𝕜
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : ExplicitDisjoint t
x✝ : Finset (α ⊕ β ⊕ γ)
⊢ ∀ (x : α) (x_1 : β) (x_2 : γ), (x, x_1, x_2) ∈ t → toTriangle (x, x_1, x_2) = x✝ → ∀ ⦃y : Finset (α ⊕ β ⊕ γ)⦄ (x : α) (x_3 : β) (x_4 : γ), (x, x_3, x_4) ∈ t → toTriangle (x, x_3, x_4) = y → ¬x✝ = y → (↑x✝ ∩ ↑y).Subsingleton
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
I : Ideal S
hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P
⊢ ∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
x : α
hx : ¬IsUnit x
n : ℕ
d : α
h : x ^ n * (x * d) ≠ 0
hm : ∀ x_1 ∈ {a | ∃ n_1, x ^ n_1 * a = x ^ n * (x * d)}, ¬DvdNotUnit x_1 (x * d)
⊢ False
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
Algebra.EssFiniteType R S
⊢ Algebra.adjoin R {x | ↑x ∈ Algebra.EssFiniteType.finset R S} = ⊤
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
TopologicalSpace M
CommMonoid M
ContinuousMul M
f : ι → α → M
x : Filter α
a : ι → M
s : Finset ι
⊢ (∀ i ∈ s, Filter.Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))) → Filter.Tendsto (fun b => ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a c))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
⊢ ↑s.direction = ↑s -ᵥ ↑s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ X.leftUnitor.inv.F = CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
Zero R
⊢ Continuous TrivSqZeroExt.inr
α : Type u_3
LT α
self : NoMinOrder α
a : α
⊢ ∃ b, b < a
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
f : { x // x ∈ ↑σ.support } ≃ { x // x ∈ ↑τ.support }
hf : ∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑(f ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑(f ⟨x, hx⟩)
⊢ IsConj σ τ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R
⊢ W.Equation ![X, Y, 1] ∧ (W.a₁ * ![X, Y, 1] 1 * ![X, Y, 1] 2 ≠ 3 * ![X, Y, 1] 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * ![X, Y, 1] 0 * ![X, Y, 1] 2 + W.a₄ * ![X, Y, 1] 2 ^ 2 ∨ ![X, Y, 1] 1 * ![X, Y, 1] 2 ≠ -![X, Y, 1] 1 * ![X, Y, 1] 2 - W.a₁ * ![X, Y, 1] 0 * ![X, Y, 1] 2 - W.a₃ * ![X, Y, 1] 2 ^ 2 ∨ ![X, Y, 1] 1 ^ 2 + W.a₁ * ![X, Y, 1] 0 * ![X, Y, 1] 1 + 2 * W.a₃ * ![X, Y, 1] 1 * ![X, Y, 1] 2 ≠ W.a₂ * ![X, Y, 1] 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * ![X, Y, 1] 0 * ![X, Y, 1] 2 + 3 * W.a₆ * ![X, Y, 1] 2 ^ 2) ↔ W.toAffine.Nonsingular X Y
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁
γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂
δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂
vcomp : (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.vcomp (leftAdjointSquare.hcomp α β) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ)) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₃.comp adj₄)) (leftAdjointSquare.hcomp α β)) ((mateEquiv (adj₃.comp adj₄) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ))
hcomp1 : (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₃.comp adj₄)) (leftAdjointSquare.hcomp α β) = rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β)
⊢ (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.comp α β γ δ) = rightAdjointSquare.comp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β) ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)
a n : Nat
h : 1 < a
⊢ a ^ n < a ^ (n + 1)
y : ℝ
hy : 0 < y
x c : ℝ≥0
left✝ : True
hc : ∀ x_1 ∈ Set.Ioi c, x_1 ^ y ∈ Set.Ioi x
hc' : Set.Ioi ↑c ∈ 𝓝 ⊤
⊢ ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞) in 𝓝 ⊤, ↑x < a ^ y
a : Int
h : a < 0
⊢ a.sign = -1
F✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Field F✝
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
p : ι → K[X]
s : Finset ι
h0 : ∏ i ∈ s, p i ≠ 0
F : IntermediateField K L := ⨆ i ∈ s, t i
hF : ∀ i ∈ s, t i ≤ F
h : ∀ i ∈ s, Splits (algebraMap K ↥(t i)) (p i) ∧ t i = adjoin K ((p i).rootSet L)
⊢ Splits (algebraMap K ↥(⨆ i ∈ s, t i)) (∏ i ∈ s, p i) ∧ ⨆ i ∈ s, t i = adjoin K ((∏ i ∈ s, p i).rootSet L)
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup H
f : G → H
x : G
⊢ x ∈ IsAddGroupHom.ker f ↔ f x = 0
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : ↥(solvableByRad F E)
⊢ IsSolvable (minpoly F α).Gal
α : Type u_1
Preorder α
b : α
⊢ b ∉ Set.Iio b
n : ℕ
hn : Odd n
a : ZMod n
ha : a ≠ 0
⊢ a ≠ -a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ' : Kernel α (γ × β)
hκκ' : κ ≤ κ'
hκ'ν : κ'.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h_le : (κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
⊢ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬p = 0
⊢ p = C p.content * p.primPart
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
x : M
⊢ Localization.mk x 1 = (Localization.monoidOf S).toMap x
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
⊢ Cardinal.mk (L.Term α) ≤ max Cardinal.aleph0 (Cardinal.mk (α ⊕ (i : ℕ) × L.Functions i))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
⊢ IsRelPrime (Associates.mk a) (Associates.mk b) ↔ IsRelPrime a b
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.toSubgraph.Connected
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R
⊢ star x < 1 ↔ x < 1
n : ℕ+
T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
⊢ IsCyclotomicExtension ∅ A B ↔ IsCyclotomicExtension {1} A B
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k✝ : D ⟶ E
i✝ : ι
e f g : C ⟶ D
h : Homotopy e f
k : Homotopy f g
i j : ι
w : ¬c.Rel j i
⊢ (h.hom + k.hom) i j = 0
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ z \ (x \ y ⊔ y \ x) = z ⊓ x ⊓ y ⊔ z \ x ⊓ z \ y
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : {n | f^[n] x ∈ s}.Infinite
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[n + 1]^[m] x ∈ s
x y : SetTheory.PGame
⊢ x * y ≈ y * x
α : Type u
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : FinCategory J
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
x y : α
⊢ colimit (pair x y) = Finset.univ.sup (pair x y).obj
R : Type u
CommRing R
IsBezout R
p a : R
m : ℕ
hp : Irreducible p
h : ¬p ∣ a
⊢ IsCoprime a (p ^ m)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
NoZeroSMulDivisors A B
x : B
hx : Algebra.adjoin K {(algebraMap B L) x} = ⊤
⊢ conductor A x * differentIdeal A B = Ideal.span {(Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative (minpoly A x))}
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
Fintype ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
CommMonoid γ
v : Π₀ (i : ι), β i
f : (i : ι) → β i → γ
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 1
⊢ v.prod f = ∏ i : ι, f i (DFinsupp.equivFunOnFintype v i)
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
hfg : ¬f + g = 0
⊢ valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (valAux K v O hv p f) (valAux K v O hv p g)
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
l : List α
⊢ (l ++ [a]).maximum = max l.maximum ↑a
r : ℝ
j : ℤ
h : r > 0
⊢ j ∈ {x | ∃ k, beattySeq' r k = x} ∨ ∃ k, ↑k ≤ ↑j / r ∧ (↑j + 1) / r < ↑k + 1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - 1 ≠ 0
⊢ ∀ (a b : (X ^ n - 1).Gal), a * b = b * a
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (E i)
s : ι → Set ((i : ι) × E i) := fun i => Sigma.fst ⁻¹' {i}
U : Set (((k : ι) × E k) × (k : ι) × E k) := {p | dist p.1 p.2 < 1}
hc : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
⊢ CompleteSpace ((i : ι) × E i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
c : F
e : E
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fun x => c) (constFormalMultilinearSeries 𝕜 E c) e 1 ⊤
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
t : α → Finset β
h : (↑s).PairwiseDisjoint t
⊢ (s.disjiUnion t h).card = ∑ i ∈ s, (t i).card
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊
hk : -↑k ≤ s
⊢ (fun x => ‖x‖ ^ (-↑k)) =O[cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ s
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α n
⊢ (↑v).length = n
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ Continuous fun μ => μ.toFiniteMeasure.testAgainstNN f
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
s t : R
h' : s • x = t • y
⊢ s = 0 ∧ t = 0
M : Type u_1
Monoid M
a b : M
⊢ IsUnit a → IsUnit b → IsUnit (a * b)
α : Type u_1
C : WithTop α → Sort u_5
d : C ⊤
f : (a : α) → C ↑a
⊢ WithTop.recTopCoe d f ⊤ = d
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : IsPathConnected (f '' F)
⊢ IsPathConnected F
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional K V
b : ι → V
lin_ind : LinearIndependent K b
card_eq : Fintype.card ι = finrank K V
⊢ span K (Set.range b) = ⊤
α : Type u_3
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_5
(a : α) → (b : β a) → Neg (γ a b)
x : (a : α) → (b : β a) → γ a b
⊢ Sigma.uncurry (-x) = -Sigma.uncurry x
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
⊢ Disjoint (SimpleGraph.fromEdgeSet s) G ↔ Disjoint s G.edgeSet
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
hf : Bijective f
s : ι → Set α
h✝ : IsEmpty ι
⊢ f '' ⋂ i, s i = ⋂ i, f '' s i
M : Type u
α : Type v
Monoid M
AddGroup α
DistribMulAction M α
a : α
⊢ a ∈ α^+M ↔ ∀ (m : M), m • a = a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
ha : a ∈ upperBounds s
hb : b ∈ lowerBounds t
⊢ f a b ∈ upperBounds (Set.image2 f s t)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ⋯ = coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ univ ∈ residual X
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
⊢ ContMDiff I I n e
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℝ negMulLog x
α : Type u_1
⊢ ⇑AddOpposite.opEquiv = AddOpposite.op
R : Type u
S : Type v
NonUnitalRing R
NonUnitalRing S
g : S → R
f : R →ₙ+* S
h : Function.LeftInverse g ⇑f
x : R
⊢ ↑((RingEquiv.ofLeftInverse' h) x) = f x
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f g : α → β
DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
⊢ s.piecewise f g =ᵐ[μ.restrict s] f
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹¹ : Ring 𝕜
n : ℕ
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : TopologicalAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : DecidablePred fun n => p n ≠ 0
hp : ∃ n, p n ≠ 0
⊢ p.order = Nat.find hp
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (a : β), f a ∂MeasureTheory.Measure.map g μ = ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ
x : ℂ
⊢ ContinuousAt Complex.tan x ↔ Complex.cos x ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Function.Injective ⇑(Equiv.Perm.sumCongrHom α β)
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hc : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ deriv (fun x => Real.arctan (f x)) x = 1 / (1 + f x ^ 2) * deriv f x
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : IsIntegral A x
I : FractionalIdeal A⁰ K := adjoinIntegral A⁰ x hx
hI : IsUnit I
mul_self : I * I = I
⊢ I = 1
G : Type u_1
H : Type u_2
Mul G
Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
DecidableEq H
f : G →ₙ* H
hf : ∀ ⦃a b c d : G⦄, a * b = c * d → f a = f c ∧ f b = f d → a = c ∧ b = d
h : UniqueMul (Finset.image (⇑f) A) (Finset.image (⇑f) B) (f a0) (f b0)
⊢ UniqueMul A B a0 b0
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
Semigroup G₁
Semigroup G₂
x y : G₁ × G₂
⊢ x ∣ y ↔ x.1 ∣ y.1 ∧ x.2 ∣ y.2
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b c d : α
hc : c ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ (a * d - b * c) / (c * d) < 0 ↔ a / c < b / d
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : r ≠ 0
x : ↑(sphere 1 r)
⊢ ‖↑x‖ ≠ 0