ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Functor K TypeMax)
k : K
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
x : t.pt.obj k
⊢ ∃ j y, x = (t.ι.app j).app k y
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (f + g)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) + ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g)
α : Type u_2
Add α
s t : Set α
⊢ s + t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
R : Type u_1
Semiring R
s : Set R
⊢ Subsemiring.center R ≤ Subsemiring.centralizer s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hP : Presieve.IsSheaf J P
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
⊢ Presieve.IsSheafFor P S.arrows
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C} (f : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₀.map f = f.f₀
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a : P
VAdd G P
IsCancelVAdd G P
x y : ↑(s.vaddAntidiagonal t a)
h : (↑x).1 = (↑y).1
⊢ x = y
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
this : MetricSpace ℍ := metricSpaceAux
hr₀ : 0 ≤ r
hr₀' : 0 ≤ w.im * Real.sinh r
hzw₀ : 0 < 2 * z.im * w.im
⊢ cmp (Real.cosh (dist z w)) (Real.cosh r) = cmp (2 * z.im * w.im * (Real.cosh (dist z w) - Real.cosh r) + (w.im * Real.sinh r) ^ 2) ((w.im * Real.sinh r) ^ 2)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g : G
hg : g ∈ N
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
c : G
hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N
hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)
h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N
⊢ normalClosure {⟨c * g * c⁻¹, hg'⟩} = ⊤
F : Type u_1
AddCommGroup F
Module ℝ F
TopologicalSpace F
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
s : Set E
h : AmpleSet s
L : E ≃ᵃL[ℝ] F
⊢ AmpleSet (⇑L '' s)
α : Type v
Preorder α
a b c : α
⊢ Disjoint (Set.Ioc a b) (Set.Ioc b c)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ⇑f
h✝ : IsEmpty ι
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)
this✝ : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f
x : ℕ → { i // p i } := fun n => Nat.recOn n (hs.index (x' 0) ⋯) fun n xn => hs.index (x' (n + 1) ∩ s ↑xn) ⋯
x_anti : Antitone fun i => s ↑(x i)
x_subset : ∀ (i : ℕ), s ↑(x i) ⊆ x' i
this : (⨅ i, 𝓟 (s ↑(x i))).HasAntitoneBasis fun i => s ↑(x i)
⊢ f = ⨅ i, 𝓟 (s ↑(x i))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
Countable ι
w : ι → ℝ≥0∞
hw : ∀ (i : ι), w i ≠ ⊤
⊢ ∃ δ, (∀ (i : ι), 0 < δ i) ∧ ∑' (i : ι), w i * ↑(δ i) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
o : α → Option β
f : α → σ
g : α → β → σ
ho : Primrec o
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
⊢ Primrec fun a => Option.casesOn (o a) (f a) (g a)
r : ℝ≥0
⊢ ↑r ≠ 1 ↔ r ≠ 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
N : Type u
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
U : (TopologicalSpace.Opens ↑(TopCat.of M))ᵒᵖ
⊢ (smoothSheaf IM I M N).presheaf.obj U = ContMDiffMap IM I (↥(Opposite.unop U)) N ⊤
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
s : Set ℕ := {k | lowerCentralSeries R L M k = ⊥}
hs : s.Nonempty
⊢ sInf s = 0 ↔ Subsingleton M
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
h : Acc r a
⊢ ⋯.rank = sup fun b => succ ⋯.rank
K : Type u_1
Field K
NumberField K
DecidableEq (K →+* ℂ)
α : NumberField.RingOfIntegers K
i : K →+* ℂ
⊢ Complex.abs ↑((((NumberField.integralBasis K).reindex (NumberField.equivReindex K).symm).repr ↑α) i) ≤
  NumberField.house.c K * NumberField.house ((algebraMap (NumberField.RingOfIntegers K) K) α)
a : ℝ
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun n => if n = 0 then 0 else cexp (2 * ↑π * Complex.I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t)))
  (↑(HurwitzZeta.cosKernel (↑a) t) - 1)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
S T : Set (Set α)
h_gen : m0 = generateFrom S
hc : T.Countable
h_inter : IsPiSystem S
hU : ⋃₀ T = univ
htop : ∀ t ∈ T, μ t ≠ ⊤
ST_eq : ∀ t ∈ T, ∀ s ∈ S, μ (s ∩ t) = ν (s ∩ t)
T_eq : ∀ t ∈ T, μ t = ν t
t : Set α
ht : t ∈ T
u : Set α
hu : MeasurableSet u
⊢ μ (∅ ∩ t) = ν (∅ ∩ t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₂, v₁} I
F : CategoryTheory.Functor I C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
i : I
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.limitOpIsoOpColimit F).inv
    (CategoryTheory.Limits.limit.π F.op (Opposite.op i)) =
  (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F i).op
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
s : Set E
x : E
h : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
n : ℕ∞
g : E → F
fx : f x = g x
fg : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hg : AnalyticAt 𝕜 g x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p ≤ r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hw : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
x : W.CoordinateRing
⊢ ((Algebra.norm R[X]) x).degree ≠ 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
x₀ : M
f : ι → M → G
lf : LocallyFinite fun i => Function.support (f i)
h : ∀ (i : ι), SmoothAt I' I (f i) x₀
⊢ SmoothAt I' I (fun x => ∑ᶠ (i : ι), f i x) x₀
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : IsBigOWith c₁ l f₁ g
h₂ : f₂ =o[l] g
hc : c₁ < c₂
⊢ IsBigOWith c₂ l (fun x => f₁ x - f₂ x) g
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂
inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A
f : 𝕜₂ → 𝕜₁
a : A
h : SpectrumRestricts a f
this : ∀ (x : 𝕜₁), ‖(algebraMap 𝕜₁ 𝕜₂) x‖₊ = ‖x‖₊
x : 𝕜₂
hx : x ∈ spectrum 𝕜₂ a
⊢ ↑‖x‖₊ ≤ ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₁ a, ↑‖k‖₊
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
⊢ ↑((n + 1).choose (ν + 1)) * X ^ (ν + 1) * (↑(n - ν) * (1 - X) ^ (n - ν - 1)) = ↑(n + 1) * (↑(n.choose (ν + 1)) * X ^ (ν + 1) * (1 - X) ^ (n - (ν + 1)))
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Multiset (Tropical R)
⊢ untrop s.sum = (map untrop s).inf
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹
⊢ τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
U : B ⥤ C
inst✝² : MonadicRightAdjoint U
R : A ⥤ B
inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A
inst✝ : (R ⋙ U).IsRightAdjoint
R' : A ⥤ (monadicAdjunction U).toMonad.Algebra := R ⋙ Monad.comparison (monadicAdjunction U)
⊢ R'.IsRightAdjoint
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
self : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
⊢ y ∈ EMetric.ball 0 r → HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (x + y))
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
x : ℚ≥0
⊢ x = ↑(x.num * x.den ^ (n - 1)) * (↑x.den)⁻¹ ^ n
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.variableChange WeierstrassCurve.VariableChange.id = W
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
B : ι → Submodule R A
self : SubmodulesRingBasis B
i j : ι
⊢ ∃ k, B k ≤ B i ⊓ B j
α : Type u_1
ι : Sort u_5
InfSet α
f g : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i = g i
⊢ ⨅ i, f i = ⨅ i, g i
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : lift.{v, u} o.card < c
⊢ lift.{v, u} o.card < c.ord.cof
α : Type u_1
β : Type u_2
NonAssocSemiring β
a : β
⊢ ∀ (a_1 : α), (Pi.constRingHom α β) a a_1 = Function.const α a a_1
R : Type u_1
K : Type v
CommRing R
Field K
Algebra R K
f : K[X]
hs : Polynomial.Splits (RingHom.id K) f
hm : f.Monic
hr : ∀ a ∈ f.roots, a ∈ (algebraMap R K).range
⊢ f ∈ Polynomial.lifts (algebraMap R K)
α : Type u_1
g : GenContFract α
n : ℕ
⊢ g.TerminatedAt n ↔ g.s.TerminatedAt n
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
o : Option α
f : α → β
⊢ ⨅ x ∈ o.toFinset, f x = ⨅ x ∈ o, f x
s : Set Surreal
inst✝ : Small.{u, u + 1} ↑s
⊢ BddAbove s
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X✝ : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : TopologicalSpace M✝
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : ContinuousMul M✝
X : Type u_6
M : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
s : Finset ι
l : Filter X
f g : ι → X → M
hs : ∀ᶠ (x : X) in l, ∀ i ∈ s, f i x = g i x
x : X
hx : ∀ i ∈ s, f i x = g i x
⊢ (∏ i ∈ s, f i) x = (∏ i ∈ s, g i) x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0
h_diff : DifferentiableAt ℝ f z
⊢ (∃ map, restrictScalars ℝ map = fderiv ℝ f z) ↔ DifferentiableAt ℂ f z
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
⊢ toZMod x = 0 ↔ x ∈ maximalIdeal ℤ_[p]
ι : Type u_2
Fintype ι
p : ℝ≥0∞
Fact (1 ≤ p)
β : ι → Type u_5
(i : ι) → PseudoMetricSpace (β i)
hp : p ≠ ⊤
x y : PiLp p β
⊢ nndist x y = (∑ i : ι, nndist (x i) (y i) ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
fa : AnalyticAt ℂ f x
ga : AnalyticAt ℂ g x
m : f x ∈ slitPlane
e : (fun z => f z ^ g z) =ᶠ[𝓝 x] fun z => cexp (log (f z) * g z)
⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => f z ^ g z) x
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
⊢ Module.rank F ↥⊥ = 1
M : Type u_1
Monoid M
Pow M ℕ+
PNatPowAssoc M
x : M
n : ℕ+
⊢ x ^ n = x ^ ↑n
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖x‖ / (o.oangle x (x + y)).cos = ‖x + y‖
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
self : CategoryTheory.EffectiveEpiStruct f
W : C
e : Y ⟶ W
h :
  ∀ {Z : C} (g₁ g₂ : Z ⟶ Y),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ f →
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ e = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ e
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (self.desc e ⋯) = e
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : LocalRing R
J : Ideal R
hJ : J ≠ ⊤
M : Ideal R
hM1 : M.IsMaximal
hM2 : J ≤ M
⊢ J ≤ maximalIdeal R
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ f, f x = 1 ∧ f y ≠ 0
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
h : ∀ k < n, u (k + 1) ≤ c * u k
⊢ u n ≤ c ^ n * u 0
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c : α
h : b < c
⊢ Set.Iio c ∈ 𝓝ˢ (Set.Ioc a b)
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h₁ : b ≤ a
h₂ : c ≤ a
⊢ a - b < c ↔ a - c < b
α : Type u_1
MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
⊢ 0 < 1 - ↑K
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
hS : MeasurableSet S
⊢ MeasurableSet (MeasureTheory.cylinder s S)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : ↥(nonZeroDivisors R)
⊢ 0 < ↑(ofAdd (-↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑x})).factors)))
M : Type u_1
N : Type u_4
α : Type u_5
Monoid M
SMul N α
MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), x • y • z = y • x • z
⊢ SMulCommClass M N α
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A A' B B' : C
inst✝⁴ : HasBinaryCoproduct A B
inst✝³ : HasBinaryCoproduct A' B'
inst✝² : HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝ : IsIso (coprodComparison F A B)
⊢ F.map coprod.inr ≫ inv (coprodComparison F A B) = coprod.inr
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp₁ : p ≤ 1
⊢ ConcaveOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ p
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
h : (↑P).Normal
this : Unique (Sylow p G)
Φ : G ≃* G
⊢ Φ • P = P
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
f : α → Part β
g : α → β → Part γ
hf : Antitone f
hg : Antitone g
⊢ Antitone fun x => (f x).bind (g x)
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Interval.dual ⊥ = ⊥
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → Semiring (A i)
(i : ι) → Algebra R (A i)
S : Type u_5
Finite ι
DecidableEq ι
Semiring S
Algebra R S
f g : (⨂[R] (i : ι), A i) →ₐ[R] S
h : ∀ (i : ι), f.comp (PiTensorProduct.singleAlgHom i) = g.comp (PiTensorProduct.singleAlgHom i)
⊢ f = g
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
⊢ NonUnitalSubring.closure ↑s = s
α : Type u
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ a ⊔ b = a ↔ b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
a b : α ⊕ β
⊢ a < b ↔ Sum.LiftRel (fun x x_1 => x < x_1) (fun x x_1 => x < x_1) a b
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hn : MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω < MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N (n + 1) ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : MapsTo f s s
n : ℕ
⊢ Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝[s] x)
n : ℕ
S : Type u_3
MonoidWithZero S
x : S
hx : IsNilpotent x
hn : n ≠ 0
⊢ IsNilpotent (x ^ n)
α : Type u_1
IsEmpty α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (μ : MeasureTheory.Measure α) (s : Set α), μ s = 0
P : Type u_2
MetricSpace P
p : P
⊢ EuclideanGeometry.Cospherical {p}
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
u : Rˣ
hu : 0 < ↑u
v : Module.Ray R M
⊢ u • v = v
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
⊢ (pderiv 1) (X 1 ^ 2 * X 2 + C W.a₁ * X 0 * X 1 * X 2 + C W.a₃ * X 1 * X 2 ^ 2 - (X 0 ^ 3 + C W.a₂ * X 0 ^ 2 * X 2 + C W.a₄ * X 0 * X 2 ^ 2 + C W.a₆ * X 2 ^ 3)) = C 2 * X 1 * X 2 + C W.a₁ * X 0 * X 2 + C W.a₃ * X 2 ^ 2
R : Type u_1
p m n : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
⊢ iterateFrobeniusEquiv R p (m + n) = (iterateFrobeniusEquiv R p n).trans (iterateFrobeniusEquiv R p m)
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ
⊢ taylorWithinEval f n s x₀ x = ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ((↑k !)⁻¹ * (x - x₀) ^ k) • iteratedDerivWithin k f s x₀
d : ℕ
a : Fin 0 → ℕ
⊢ (Behrend.map d) a = 0
R : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing A
f : R →+* A
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
hp : p.Monic
x y : R
z : A
h : eval₂ f z p = 0
hz : f x * z = f y
⊢ x ∣ y ^ p.natDegree
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n i : ℕ
a✝ : i ∈ range (n + 1)
⊢ (if single i (p ^ (n - i)) = 0 then ↑p ^ i else 0) = 0
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f (𝟙_ C) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor Y).inv)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
this : IntegrableOn (fun x => (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (a * x)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Ioi 0) volume
h1 : EqOn (fun t => ↑(a * t) ^ (s - 1) • f (a * t)) (↑a ^ (s - 1) • fun t => ↑t ^ (s - 1) • f (a * t)) (Ioi 0)
⊢ MellinConvergent (fun t => f (a * t)) s ↔ MellinConvergent f s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
n₂ : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G 0
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n₂
m₂ : ℤ
h₂ : n₂ + 1 = m₂
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n₂ m₂ (z₁.comp z₂ ⋯) =
  z₁.comp (CochainComplex.HomComplex.δ n₂ m₂ z₂) ⋯ + n₂.negOnePow • (CochainComplex.HomComplex.δ 0 1 z₁).comp z₂ ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : β → γ
f : α → β
o : Part α
⊢ map g (map f o) = map (g ∘ f) o
F : Type u_1
Field F
S : Set F
⊢ S ⊆ Field.closure S
α : Type u_1
self : CircularPreorder α
a b c : α
⊢ sbtw a b c ↔ btw a b c ∧ ¬btw c b a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing α
a b : α
u₁ u₂ : αˣ
⊢ a /ₚ u₁ - b /ₚ u₂ = (a * ↑u₂ - ↑u₁ * b) /ₚ (u₁ * u₂)
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ‖x - y‖ = √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖) ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
m : Nat
n n' : Fin m
h : compare n n' = Ordering.eq
⊢ n = n'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
v' : Basis ι' 𝕜 E'
hv' : Orthonormal 𝕜 ⇑v'
e : ι ≃ ι'
⊢ (hv.equiv hv' e).symm = hv'.equiv hv e.symm
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝ : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this : IsScalarTower R (Localization.AtPrime p) Sₚ
pid : IsPrincipalIdealRing (Localization.AtPrime p)
p' : Ideal (Localization.AtPrime p)
hpu : ∀ (y : Ideal (Localization.AtPrime p)), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = p'
hp'0 : p' ≠ ⊥
hp'p : p'.IsPrime
⊢ P ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)
R : Type u_1
AddCommGroupWithOne R
PartialOrder R
CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass R
NeZero 1
⊢ StrictMono fun x => ↑x
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ F⟮0⟯ = ⊥
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
⊢ Tendsto (fun x => rexp x / x ^ n) atTop atTop
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
hs : x ∈ (chartAt H c).source
hd : dist (↑(extChartAt I c) x) (↑(extChartAt I c) c) < f.rIn
⊢ ↑f =ᶠ[𝓝 x] 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : interior s ∈ 𝓝 y
⊢ tangentConeAt ℝ s x ∈ 𝓝 (y - x)
a b✝ c d m n : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
hz : b ≤ z
⊢ HEq (match z + 1 - b with | ofNat n => inductionOn'.pos b H0 Hs n | -[n+1] => inductionOn'.neg b H0 Hp n) (Hs z hz (z.inductionOn' b H0 Hs Hp))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length
⊢ s.Nonempty
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
a✝ : α
ha : IsWellOrderLimitElement a✝
inst✝¹ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderBot α
a : α
h₁ : ¬a = ⊥
h₂ : ¬∃ b, a = wellOrderSucc b ∧ b < a
b : α
hb : b < a
⊢ ∃ c, b < c ∧ c < a
α : Type u_1
d : α
x y : WithBot α
⊢ WithBot.unbot' d x = WithBot.unbot' d y ↔ x = y ∨ x = ↑d ∧ y = ⊥ ∨ x = ⊥ ∧ y = ↑d
M : Type u_6
Monoid M
a : Mˣ
⊢ Function.Bijective fun x => ↑a * x