ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
I.Boundaryless
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
c : M
hd : ∀ᶠ (z : M) in 𝓝 c, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
⊢ ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 c, ‖f y‖ = ‖f c‖
α : Type u_1
Sub α
Bot α
a b : WithTop α
⊢ a - b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∧ b ≠ ⊤
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
⊢ Nat.card ↥s ∣ Nat.card α
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a✝ : A
u✝ : Aˣ
a : A
u : Aˣ
μ : R
hμ : IsUnit ((algebraMap R A) μ - a)
⊢ IsUnit ((algebraMap R A) μ - ↑u * a * ↑u⁻¹)
α : Sort u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ f ∘ ⇑(Equiv.ofInjective f hf).symm = Subtype.val
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0
⊢ X - C ((starRingEnd ℂ) z) ∣ map (algebraMap ℝ ℂ) p
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
p₁ p₂ : ι → P
hp : ∀ i ∈ s, p₁ i = p₂ i
b : P
⊢ (s.weightedVSubOfPoint p₁ b) w₁ = (s.weightedVSubOfPoint p₂ b) w₂
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ a % b ≤ a
n : ℕ
h : ↑n < ω
⊢ ↑n + ω = ω
x' x : SetTheory.PGame
h : x'.IsOption x
hx : x.Numeric
⊢ x'.Numeric
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a))) < 2 ^ n * 2
⊢ ↑a ≤ ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a))
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
k n : ℕ
μ : R
n' : ℕ
hn : k < n' + 1
hμ : IsPrimitiveRoot μ (n' + 1)
⊢ ∃ z ∈ adjoin ℤ {μ}, ↑(n' + 1) = z * (μ - 1) ^ k
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : AddSubgroup G
g : ι → G
⊢ ⋃ i ∈ s, g i +ᵥ ↑H = Set.univ ↔ Set.SurjOn (fun x => ↑(g x)) (↑s) Set.univ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish q φ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish (q + 1)
  (φ ≫ (𝟙 (AlgebraicTopology.AlternatingFaceMapComplex.obj X) + AlgebraicTopology.DoldKan.Hσ q).f (n + 1))
xl xr yl yr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
yL : yl → SetTheory.PGame
yR : yr → SetTheory.PGame
i : xl
⊢ (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR + SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR).moveLeft (Sum.inl i) =
  (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR).moveLeft i + SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR
α : Type u_1
dec : DecidableEq α
a : α
x : List α
⊢ (RegularExpression.char a).rmatch x = true ↔ x = [a]
α : Type u_2
Mul α
s t : Set α
⊢ Set.image2 (fun x x_1 => x * x_1) s t = s * t
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ₁ φ₂ : W.LeftFraction X Y
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_5, u_3} E
L₁ : C ⥤ D
L₂ : C ⥤ E
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W
inst✝ : L₂.IsLocalization W
h : φ₁.map L₁ ⋯ = φ₂.map L₁ ⋯
⊢ (Localization.uniq L₂ L₁ W).functor.map (φ₁.map L₂ ⋯) = (Localization.uniq L₂ L₁ W).functor.map (φ₂.map L₂ ⋯)
M : Type u_1
Add M
S : Set M
⊢ S.addCentralizer.addCentralizer.addCentralizer = S.addCentralizer
α : Type u
LinearOrder α
x : α
hx : IsTop x
⊢ Filter.atTop = pure x
𝕜 : Type u
ι : Type v
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_1
NormedCommRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
Nonempty ι
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ ≤ 1
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
h₁ : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h₂ : Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)
x : S
hx : x ∈ quasispectrum S a
⊢ (algebraMap R S) (f x) = x
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
xs : List (Sigma β)
⊢ xs.toAList.entries = xs.dedupKeys
G : Type u_10
AddGroup G
a : G
⊢ Equiv.subRight a = Equiv.addRight (-a)
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
⊢ LiftPropWithinAt P g' s x
w : Nat
x : BitVec w
⊢ ↑x.toFin = x.toNat
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
S : AddSubmonoid M
⊢ ↑(AddSubmonoid.map f S) = ⇑f '' ↑S
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ (fun t => inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun t => ‖t‖
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Option α → β
h_some : Injective fun x => f (some x)
h_none : ∀ (x : α), ¬f (some x) = f none
b : α
hab : f none = f (some b)
⊢ none = some b
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
w : Word G
hw : Reduced φ w
h : ofCoprodI w.prod ∈ (base φ).range
⊢ w = Word.empty
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝ : IsDomain R
p : R := Classical.choose hR
spec : Irreducible (Classical.choose hR) ∧ ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (Classical.choose hR ^ n) x := Classical.choose_spec hR
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ (∀ b ∈ Multiset.replicate (Classical.choose ⋯) p, Prime b) ∧ Associated (Multiset.replicate (Classical.choose ⋯) p).prod x
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset α
f : α → β
⊢ (s.biUnion fun a => {f a}) = Finset.image f s
R : Type u
CommRing R
b c d : R
⊢ preNormEDS' b c d 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
⊢ s.diag ∪ s.offDiag = s ×ˢ s
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction X Y
hβ : f'' = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.s ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f
⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ n.Perfect ↔ ∑ i ∈ n.divisors, i = 2 * n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x r
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
ι : Sort u_4
p : ι → Submonoid M
m : M
⊢ m ∈ ⨆ i, p i ↔ ∀ (N : Submonoid M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n).coeff n = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
⊢ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → (map f μ).toOuterMeasure s = ((OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure) s
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S
H : f.toMap (↑y₂ * x₁) = f.toMap (↑y₁ * x₂)
⊢ f.mk' x₁ y₁ = f.mk' x₂ y₂
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
H : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f' : E → E →L[𝕜] F
hff' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
o : Set E
o_open : IsOpen o
xo : x ∈ o
ho : s ∩ o ⊆ u
this✝ : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' s x
this : s ∩ o ∈ 𝓝[s] x
y : E
hy : y ∈ s ∩ o
A : fderivWithin 𝕜 f (s ∩ o) y = f' y
⊢ fderivWithin 𝕜 f s y = f' y
R : Type u
σ : Type v
CommRing R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ R
⊢ f ∈ Ideal.map MvPolynomial.C I ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), MvPolynomial.coeff m f ∈ I
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ closure (Metric.closedBall x ε) = Metric.closedBall x ε
f : ZFSet → ZFSet
H : Definable 1 f
x z : ZFSet
zx : z ∈ x
y : ZFSet
yx : (fun w => z.pair w ∈ map f x) y
w : ZFSet
left✝ : w ∈ x
we : w.pair (f w) = z.pair y
wz : w = z
fy : f w = y
⊢ y = f z
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M
V : Submodule K M := φ.maxGenEigenspace 0
hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)
W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)
hVW : IsCompl V W
hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V
hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W
F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV
G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW
ψ : ↥V × ↥W →ₗ[K] ↥V × ↥W := F.prodMap G
e : (↥V × ↥W) ≃ₗ[K] M := V.prodEquivOfIsCompl W hVW
bV : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V) K ↥V := chooseBasis K ↥V
bW : Basis (ChooseBasisIndex K ↥W) K ↥W := chooseBasis K ↥W
b : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V ⊕ ChooseBasisIndex K ↥W) K (↥V × ↥W) := bV.prod bW
hψ : ψ = e.symm.conj φ
hG : G.charpoly.natTrailingDegree = 0
⊢ finrank K ↥V = F.charpoly.natTrailingDegree + G.charpoly.natTrailingDegree
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
f : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf Mg mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
hMg : Mg ≤ mΩ
h_ind : Indep Mf Mg μ
h_meas_f : Measurable f
h_measM_f : Measurable f
⊢ ∀ ⦃f_1 g : Ω → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (Function.support f_1) (Function.support g) → Measurable f_1 → Measurable g → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * f_1 ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), f_1 ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * g ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * (f_1 + g) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), (f_1 + g) ω ∂μ
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
δ : ℝ
⊢ closedBall x δ ⊆ cthickening δ {x}
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
hs : Bornology.IsBounded s
hy : y ∈ s
⊢ dist x y ≤ infDist x s + diam s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
inst✝⁶ : ContinuousStar A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : Algebra R B
x y✝ : A
hy✝ : y✝ ∈ elementalStarAlgebra R x
P : (u : A) → u ∈ elementalStarAlgebra R x → Prop
self : P x ⋯
star_self : P (star x) ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (u : A) (hu : u ∈ elementalStarAlgebra R x) (v : A) (hv : v ∈ elementalStarAlgebra R x), P u hu → P v hv → P (u + v) ⋯
mul : ∀ (u : A) (hu : u ∈ elementalStarAlgebra R x) (v : A) (hv : v ∈ elementalStarAlgebra R x), P u hu → P v hv → P (u * v) ⋯
closure : ∀ (s : Set A) (hs : s ⊆ ↑(elementalStarAlgebra R x)), (∀ (u : A) (hu : u ∈ s), P u ⋯) → ∀ (v : A) (hv : v ∈ _root_.closure s), P v ⋯
y : A
hy : y ∈ ↑(adjoin R {x})
⊢ P y ⋯
G : Type u_1
H : Type u_2
AddMonoid G
AddMonoid H
f : G →+ H
x : G
h : IsOfFinAddOrder x
⊢ IsOfFinAddOrder (f x)
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
l : ℕ
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : ι → ι → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s t : Finset ι
x : 𝕜
hst : s ⊆ t
f : ι → 𝕜
d : 𝕜
hx : 0 ≤ x
hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|
ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
hscard : 0 < ↑s.card
htcard : 0 < ↑t.card
h₁ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
h₂ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, (f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card)) / ↑s.card) ^ 2
h₃ : ↑s.card * x ^ 2 ≤ ∑ i ∈ t, (fun i => f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card) i ^ 2
⊢ (∑ i ∈ t, f i) ^ 2 * ↑t.card + ((∑ i ∈ t, f i ^ 2) * ↑t.card ^ 2 - 2 * ((∑ i ∈ t, f i) * ↑t.card) * ∑ i ∈ t, f i + ↑t.card * (∑ i ∈ t, f i) ^ 2) ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) * ↑t.card ^ 2
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
hpq : p.degree < q.degree
this : Nontrivial R
⊢ (p /ₘ q).degree < p.degree
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
Functor t
LawfulFunctor t
α β γ : Type u
g : α → β
h : β → γ
x : t' α
⊢ Equiv.map eqv (h ∘ g) x = Equiv.map eqv h (Equiv.map eqv g x)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
s t : Multiset α
hs : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t, Irreducible a
ht : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a
eq : (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t).prod = (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod
⊢ ∀ x ∈ t, Irreducible x
R✝ : Type u_1
p✝ m n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : ExpChar R✝ p✝
inst✝⁴ : PerfectRing R✝ p✝
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : PerfectRing R p
f : R[X]
⊢ ¬Irreducible ((expand R p) f)
X Y : Type u
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductLimitCone X Y).cone = CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductCone X Y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.snd = 𝟙 (X ⨯ Y)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ a + b + -↑⌊a + b⌋ + (↑⌊a⌋ + -a) + (↑⌊b⌋ + -b) = ↑⌊a⌋ + ↑⌊b⌋ + -↑⌊a + b⌋
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
Y : C
X : D
S : CategoryTheory.Sieve X
e : C ≌ D
f : Y ⟶ e.inverse.obj X
⊢ (CategoryTheory.Sieve.functorPushforward e.inverse S).arrows f ↔
  S.arrows (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.functor.map f) (e.counit.app X))
x : PartENat
⊢ x ≠ ⊤ ↔ ∃ n, x = ↑n
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B / C).card
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
⊢ WittVector.coeff 1 0 = 1
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
m : (i : ι) → E i
x : G
⊢ ‖{ toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < ↑δ
t : Set α
left✝ : MeasurableSet t
ht : μ t ≤ ↑δ
hunif : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f n x) < ε
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ tᶜ ⊆ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)}ᶜ
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
r : R
⊢ Submodule.span R (r • s) ≤ Submodule.span R s
K : Type u_1
inst✝ : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
S : Finset Λ
q₁ q₂ : Stmt₂
h : q₁ ∈ stmts₁ q₂
hs : SupportsStmt S q₂
⊢ SupportsStmt S q₁
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.HomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIso e h).right.H = h.right.H
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
f : α → β
f' : β → α
h : Set.RightInvOn f' f t
y : β
hy : y ∈ t
⊢ f (f' y) = y
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k
⊢ b * a = ?m.13357 ^ k
b : ℂ
hb : 0 < b.re
full_integral : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume + ∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume = (↑π / b) ^ (1 / 2)
this : MeasurableSet (Ioi 0)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2) / 2
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
r : R
m : Fin n →₀ ℕ
i : ℕ
⊢ coeff m (if i = (cons i m) 0 then ∏ x : Fin n, X x ^ (cons i m) x.succ else 0) = if cons i m = cons i m then 1 else 0
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
K m n : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
w : m → K
v : n → K
a✝ : Nontrivial K
⊢ (toLin' (col (Fin 1) w) ∘ₗ toLin' (row (Fin 1) v)).rank ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : WithTop α → β
⊢ StrictMono f ↔ (StrictMono fun a => f ↑a) ∧ ∀ (x : α), f ↑x < f ⊤
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : IsKilling R L
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Module.Free R L
inst✝² : IsNoetherian R L
inst✝¹ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
⊢ LinearMap.ker ((killingForm R L).restrict H.toSubmodule) = ⊥
R : Type u_2
M : Type u_3
MonoidWithZero R
Zero M
MulAction R M
x : R
⊢ x ∈ nonZeroSMulDivisors R M ↔ ∀ (m : M), x • m = 0 → m = 0
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
⊢ ↑(ringChar R) = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : LipschitzWith D g
h'g : HasCompactSupport g
v : E
⊢ ∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ = ∫ (x : E), lineDeriv ℝ g x (-v) * f x ∂μ
E : Type u_6
NormedGroup E
a : E
⊢ ‖a‖ ≠ 0 ↔ a ≠ 1
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
h : ∀ e ∈ X \ I, M.Dep (insert e I)
⊢ X ⊆ M.E
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
f : α → β
A : Set α
Cf : ContinuousAt f (sInf A)
Mf : Monotone f
A_nonemp : A.Nonempty
A_bdd : BddBelow A := by bddDefault
⊢ f (sInf A) = sInf (f '' A)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ↪o β
x : α
⊢ ⇑e ⁻¹' Set.Ici (e x) = Set.Ici x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
F : Type u_8
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
s : Set M₂
⊢ Submodule.span R (⇑f ⁻¹' s) ≤ Submodule.comap f (Submodule.span R₂ s)
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
⊢ p ∈ RingHom.ker (Polynomial.aeval x) ↔ p ∈ Submodule.span A[X] {minpoly A x}
α : Type u_1
AddZeroClass α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : 0 ≤ b
⊢ a ≤ a + b
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
SubNegZeroMonoid α
d₁ d₂ : n → α
⊢ Matrix.diagonal d₁ - Matrix.diagonal d₂ = Matrix.diagonal fun i => d₁ i - d₂ i
a c b d : Prop
h₁ : a ↔ c
h₂ : b ↔ d
⊢ a ∨ b ↔ c ∨ d
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ WithBot.some ⁻¹' Set.Ioo ↑a ↑b = Set.Ioo a b
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hf_zero_rpow : ¬(∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = 0
hf_top_rpow : (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ ⊤
⊢ (∫⁻ (a : α), (g a ^ (p - 1)) ^ q ∂μ) ^ (1 / q) = (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / q)
R : Type u
CommRing R
X Y : Type v
Ring X
Ring Y
HopfAlgebra R X
HopfAlgebra R Y
e : X ≃ₐc[R] Y
⊢ e.symm.toHopfAlgebraCatIso = e.toHopfAlgebraCatIso.symm
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : α → α
a : α
⊢ Stream'.corec f g a = Stream'.map f (Stream'.iterate g a)
α : Type u
CompleteBooleanAlgebra α
s : Set α
⊢ (sInf s)ᶜ = ⨆ i ∈ s, iᶜ
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
this : ↑(2 * k)! = 2 * ↑k * Complex.Gamma (2 * ↑k)
⊢ (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! = (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k) / (2 * ↑k).Gammaℂ
α : Type u
s : Set α
Fintype ↑s
h : s.Finite
⊢ h.toFinset = s.toFinset
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h1 : 0 < a
h2 : a ≤ 1
⊢ 1 ≤ 1 / a
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G.op ⊣ F.op
X : C
Y Y' : D
f : F.obj X ⟶ Y
g : Y ⟶ Y'
⊢ (G.op.map (g.op ≫ f.op) ≫ h.counit.app (Opposite.op X)).unop = (G.op.map f.op ≫ h.counit.app (Opposite.op X)).unop ≫ G.map g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Pretriangulated.contractibleTriangleFunctor C).map f).hom₃ = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
⊢ BddBelow s → BddAbove t → BddAbove (Set.image2 f s t)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
⊢ Pell.yn a1 n ∣ Pell.yn a1 (n * k)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U
⊢ ∃ i, V i ⊆ W
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : α ≃ β
f : β ≃ γ
⊢ (FreeAddGroup.freeAddGroupCongr e).trans (FreeAddGroup.freeAddGroupCongr f) = FreeAddGroup.freeAddGroupCongr (e.trans f)
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
x y : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (x * y).order = x.order + y.order
M : Type u_8
AddCommMonoid M
⊢ (AddEquiv.refl M).toNatLinearEquiv = LinearEquiv.refl ℕ M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ CategoryTheory.Square.evaluation₁.obj sq = sq.X₁
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
hf : StrictMono f
⊢ StrictMono fun s => { ofColex := Finset.image f s.ofColex }
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
CompleteSpace α
T0Space α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
ha : Multipliable f
⊢ ∏' (p : (b : β) × γ b), f p = ∏' (b : β) (c : γ b), f ⟨b, c⟩