ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ S.moduleCatLeftHomologyData.i = (LinearMap.ker S.g).subtype
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
CommRing R
p : MvPolynomial σ R
CommRing S
f : R →+* S
g : σ → S
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g (-p) = -MvPolynomial.eval₂ f g p
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
x y : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ x.order + y.order ≤ (x * y).order
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ 0
hr_ne_top : r ≠ ⊤
this : r.toNNReal⁻¹ • ν.rnDeriv μ = r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
h : ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
⊢ ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
hF₁ : F.PreservesMonomorphisms
hF₂ : F.ReflectsMonomorphisms
⊢ CategoryTheory.Mono (F.map f) ↔ CategoryTheory.Mono f
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
a b : FactorSet α
h : a.prod ≤ b.prod
this : a.prod.factors ≤ b.prod.factors
⊢ a ≤ b
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
s : Set X
hs : IsOpen s
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsOpen t → t = s
⊢ s.Subsingleton
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Epi g
⊢ CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
hφ : ∀ (i : ι), HasFDerivAt (fun x => Φ x i) ((ContinuousLinearMap.proj i).comp Φ') x
⊢ HasFDerivAt Φ Φ' x
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
i j : ℕ
hi : i < k
hj : j < k
H : ζ ^ i = ζ ^ j
hij : i ≤ j
⊢ i = j
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : DecidableEq p
inst✝⁵ : DecidableEq q
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : Fintype q
inst✝ : Fintype l
⊢ indefiniteDiagonal (Unit ⊕ l) l R = (reindexLieEquiv (Equiv.sumAssoc Unit l l).symm) (fromBlocks 1 0 0 (indefiniteDiagonal l l R))
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t : Set α
⊢ G.IsClique s ↔ induce s G = ⊤
p : NNReal
h : 1 < p
⊢ p.IsConjExponent p.conjExponent
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
d : 𝔸'
⊢ d • c' = c'.smulRight d
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
⊢ (X - C t) ^ n ∣ p ↔ X ^ n ∣ p.comp (X + C t)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
hf' : Memℒp f' p μ
f'meas : Measurable f'
this : SeparableSpace ↑(Set.range f' ∪ {0})
n : ℕ
hn : eLpNorm (f' - ↑(approxOn f' f'meas (Set.range f' ∪ {0}) 0 ⋯ n)) p μ < ε
⊢ ∃ g, eLpNorm (f' - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s : Set E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
⊢ ∀ (i : Set E), i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i ∧ Convex ℝ i → ∃ i', (0 ∈ i' ∧ IsOpen i' ∧ Balanced 𝕜 i' ∧ Convex ℝ i') ∧ id i' ⊆ id i
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hf : AEMeasurable f μ
⊢ 0 < μ {x | f x ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ}
α : Sort u_1
β : α → Sort u_4
x : α
f : (x : α) → β x
⊢ Function.eval x f = f x
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ Set.Ici a \ Set.Ioi a = {a}
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
self : WeakFEPair E
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn self.g (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume
w v : Nat
x : BitVec w
y : BitVec v
⊢ x.append y = x ++ y
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal
f : ↥(lp E p)
g : ↥(lp E q)
hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖
hg₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑g i‖
hf₂ : HasSum (fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)
⊢ (Summable fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) ∧ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s : Set X
hs : s.Finite
f : X → Y
⊢ Continuous (s.restrict f)
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁷ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace T
inst✝⁵ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero G₀
inst✝³ : AddMonoid α
inst✝² : DistribMulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
s : Set α
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ c • s ∈ 𝓝 0 ↔ c • s ∈ 𝓝 (c • 0)
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
I : Ideal S
I.IsPrime
J : Ideal R
H : J ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) I
hI : (Ideal.comap (algebraMap R S) I).IsMaximal
⊢ Function.Surjective ⇑(Ideal.quotientMap I (algebraMap R S) H)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ ⇑(κ + η) = ⇑κ + ⇑η
m : ℕ
⊢ m.psub 0 = some m
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : C(AddCircle T, ℂ)
h : Summable (fourierCoeff ⇑f)
sum_L2 : HasSum (fun i => fourierCoeff (⇑f) i • fourierLp 2 i) ((toLp 2 haarAddCircle ℂ) f)
⊢ HasSum (fun i => fourierCoeff (⇑f) i • fourier i) f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cofan fun i => f i.succ
c₂ : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : CategoryTheory.IsUniversalColimit c₁
t₂ : CategoryTheory.IsUniversalColimit c₂
∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), CategoryTheory.Limits.HasPullback c₂.inr i
⊢ CategoryTheory.IsUniversalColimit (CategoryTheory.extendCofan c₁ c₂)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.OplaxFunctor B C} (η : CategoryTheory.OplaxNatTrans X Y)
  (θ : CategoryTheory.OplaxNatTrans Y Z), CategoryTheory.CategoryStruct.comp η θ = η.vcomp θ
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
h : m % 4 = 3
⊢ J(χ₄ ↑m | n) = χ₄ ↑m ^ (n / 2)
G : Type u_3
AddGroup G
a b : G
⊢ a + b + -a = 0 ↔ b = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
Fintype β
a b : α
⊢ (nndist (fun x => a) fun x => b) ≤ nndist a b
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q✝ : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
q : ℚ
⊢ addOrderOf ↑(↑q * p) = q.den
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f g : α → E
h : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ MeasureTheory.Memℒp (f + g) p μ ↔ MeasureTheory.Memℒp f p μ ∧ MeasureTheory.Memℒp g p μ
α : Type u_2
ι : Type u_5
LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α
⊢ a ≤ s.sup' H f ↔ ∃ b ∈ s, a ≤ f b
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / (o.oangle (x + y) y).cos = ‖x + y‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor D E
⊢ (F ⊗⋙ G).toFunctor = F.toFunctor ⋙ G.toFunctor
k : ℕ
IH : multichoose 2 k = k + 1
⊢ multichoose 1 (k + 1) + (k + 1) = k + 1 + 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P 2 = 0
hQz : Q 2 = 0
hP : ¬P 1 = 0
hQ : ¬Q 1 = 0
⊢ ![0, P 1, 0] ≈ ![0, Q 1, 0]
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ∫ (x : α), truncation f A x ^ n ∂μ = ∫ (y : ℝ) in -A..A, y ^ n ∂Measure.map f μ
α : Type u_1
Add α
a b : α
⊢ SymAlg.sym (a + b) = SymAlg.sym a + SymAlg.sym b
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' (-f) q μ = MeasureTheory.eLpNorm' f q μ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝² : Pretriangulated C
inst✝¹ : HasShift D ℤ
inst✝ : L.CommShift ℤ
H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
T₁ T₂ : Triangle D
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
T₁' : Triangle C
e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'
hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles
T₂' : Triangle C
e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'
hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles
comm₁ : L.map T₁'.mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁
comm₁' : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ L.map T₂'.mor₁
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ = e₁.hom.hom₂ ≫ L.map T₁'.mor₂
comm₂' : T₂.mor₂ ≫ e₂.hom.hom₃ = e₂.hom.hom₂ ≫ L.map T₂'.mor₂
comm₃' : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₂.hom.hom₁ = e₂.hom.hom₃ ≫ L.map T₂'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₂'.obj₁
comm₃ : L.map T₁'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₁'.obj₁ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₁.inv.hom₁ = e₁.inv.hom₃ ≫ T₁.mor₃
φ : L.mapTriangle.obj T₁' ⟶ L.mapTriangle.obj T₂'
hφ₁ : φ.hom₁ = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
hφ₂ : φ.hom₂ = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
h₂ : L.map T₁'.mor₂ ≫ φ.hom₃ = φ.hom₂ ≫ L.map T₂'.mor₂
h₃ : (L.map T₁'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₁'.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map φ.hom₁ = φ.hom₃ ≫ L.map T₂'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₂'.obj₁
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z✝ : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ≥0∞
z : α × β
⊢ z ∈ closedBall x r ×ˢ closedBall y r ↔ z ∈ closedBall (x, y) r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace γ} {f : α × β → γ}, Measurable (f ∘ Prod.swap) ↔ Measurable f
γ : Type w
MetricSpace γ
x y : γ
⊢ nndist x y = 0 ↔ x = y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : CategoryTheory.SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
n : ℕ
⊢ ((AlgebraicTopology.alternatingFaceMapComplex C).map f).f n = f.app (Opposite.op [n])
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝ˢ K
⊢ U ∈ (𝓝ˢ K).lift' closure
a : Prop
⊢ (a ↔ False) ↔ ¬a
K : Type w
Field K
f : K[X]
Fact (Irreducible f)
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C (AdjoinRoot.root f)) *
    (Polynomial.map (AdjoinRoot.of f) f / (Polynomial.X - Polynomial.C (AdjoinRoot.root f))) =
  Polynomial.map (AdjoinRoot.of f) f
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
⊢ ‖f x - g x‖ ≤ ‖f - g‖
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
BEq β
l m : Batteries.AssocList α β
⊢ (l == m) = (l.toList == m.toList)
G : Type u
Group G
Finite G
p : ℕ
n m : ℕ
_hp : Fact (Nat.Prime p)
_hdvd : p ^ m ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
_hH : Nat.card ↥H = p ^ n
_hnm : n ≤ m
⊢ ∃ K, Nat.card ↥K = p ^ m ∧ H ≤ K
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
f : G →* G'
⊢ (MonoidHom.toAdditive f).ker = Subgroup.toAddSubgroup f.ker
K : Type u_1
inst✝ : Field K
s : SimpContFract K
n : ℕ
hyp : n = 0 ∨ ¬(↑s).TerminatedAt (n - 1)
⊢ ((↑s).contsAux n).a * ((↑s).contsAux (n + 1)).b - ((↑s).contsAux n).b * ((↑s).contsAux (n + 1)).a = (-1) ^ n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
F : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
⊢ CategoryTheory.Grothendieck.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id F) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.Cat.of (CategoryTheory.Grothendieck F))
a b c : Int
h : -b + a ≤ c
⊢ a ≤ b + c
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ Function.Surjective ⇑(LinearMap.fst R M M₂)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ ↑p.toAddSubmonoid = ↑p
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
⊢ x ∈ H.normalizer ↔ ∀ y ∈ H, ⁅y, x⁆ ∈ H
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
Subsingleton β
⊢ Subsingleton α
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
s : List α
a : α
t : List α
⊢ s ∈ (a :: t).tails ↔ s <:+ a :: t
R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
DecidableEq n
Fintype n
CommRing R
Nontrivial R
AddCommGroup M
Module R M
d : n → R
μ : R
NoZeroSMulDivisors R M
b : Basis n R M
⊢ Module.End.HasEigenvalue ((Matrix.toLin b b) (Matrix.diagonal d)) μ ↔ ∃ i, d i = μ
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
l' : List β
lp : List (α × β)
hl : map Prod.fst lp = l
hr : map Prod.snd lp = l'
⊢ lp = l.zip l'
A : Type u
AddGroup A
self : AddGroupFilterBasis A
U : Set A
⊢ U ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets → ∃ V ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V + V ⊆ U
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j₁ j₂ j₃ : J
f₂₁ : j₂ ⟶ j₁
f₃₂ : j₃ ⟶ j₂
⊢ CategoryTheory.Zigzag j₁ j₃
α : Type u_1
n : Type u_4
DecidableEq n
Zero α
One α
⊢ Matrix.IsDiag 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν' : μ ⟂ₘ ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
h_ac : ν ≪ ν + ν'
h₁ : (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae (ν + ν')] (μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν')
⊢ (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => ((s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + (s + 1).Gammaℝ * -I * -↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)) / ↑n ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s)
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ (s + 1).Gammaℝ * ((cexp (-↑(2 * π * a * ↑n) * I) - cexp (↑(2 * π * a * ↑n) * I)) * I / 2) / ↑n ^ s = ((s + 1).Gammaℝ * -I * 1 * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + (s + 1).Gammaℝ * -I * -1 * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)) / 2 / ↑n ^ s
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ ∃ c, ↑c * (↑(f.sec (f.mk' x y)).2 * x) = ↑c * (↑y * (f.sec (f.mk' x y)).1)
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : FunLike F A R
inst✝¹ : AlgHomClass F R A R
inst✝ : Nontrivial R
φ : F
a : A
⊢ φ a ∈ σ a
b : ℤ
k : ℕ
L : List ℕ
⊢ Nat.ofDigits b L ≡ Nat.ofDigits (b % ↑k) L [ZMOD ↑k]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{v}
⊢ lift.{u, v} a + 1 = succ (lift.{u, v} a)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ X✝ Y✝ : C
f✝ : A✝ ⟶ X✝
i✝ : A✝ ⟶ B✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : B✝ ⟶ Y✝
sq✝ : CommSq f✝ i✝ p✝ g✝
A B X Y : Cᵒᵖ
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g
⊢ Nonempty sq.LiftStruct ↔ Nonempty ⋯.LiftStruct
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : CommRing T
inst✝¹⁴ : Algebra R S
inst✝¹³ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra L F
inst✝⁵ : Algebra R F
inst✝⁴ : IsScalarTower R L F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra K E
pb : PowerBasis K L
hE : Splits (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)
hfx : IsSeparable K pb.gen
this✝ : DecidableEq E := Classical.decEq E
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
⊢ (algebraMap K E) ((Algebra.trace K L) pb.gen) = ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module R M
n : ℤ
b : M
⊢ (((smulAddHom R M).flip b).comp (castAddHom R)) 1 = ((smulAddHom ℤ M).flip b) 1
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x✝ y : E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r
⊢ ball 0 x r = univ
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
m : N
n : M
⊢ (((TensorProduct.mk R N M).compr₂ (rTensor M (g ∘ₗ f))) m) n = (((TensorProduct.mk R N M).compr₂ (rTensor M g ∘ₗ rTensor M f)) m) n
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S✝
inst✝² : Algebra R S✝
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
S : Type u_4
inst✝ : CommSemiring S
J : Ideal S
hJ : J.IsPrime
K : Ideal P
hK : K.IsPrime
f : R →+* S
hIJ : I = Ideal.comap f J
g : S →+* P
hJK : J = Ideal.comap g K
r : R
⊢ ((localRingHom J K g hJK).comp (localRingHom I J f hIJ)) ((algebraMap R (Localization.AtPrime I)) r) = (algebraMap P (Localization.AtPrime K)) ((g.comp f) r)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : LE α
inst✝ : PartialOrder β
f : α ≃o β
x : α
y : β
hx : ∀ (x' : α), x ≤ x'
hy : ∀ (y' : β), y ≤ y'
⊢ x ≤ f.symm y
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
P : R[X]
hmo : P.Monic
f : R →+* S
⊢ (Polynomial.map f P).natDegree = P.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
e : α ≃ᵐ β
⊢ MeasureTheory.Measure.map (⇑e) μ = ν ↔ MeasureTheory.Measure.map (⇑e.symm) ν = μ
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ a ∈ s₁ ∩ s₂ ↔ a ∈ s₁ ∧ a ∈ s₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h1 : Antiperiodic f c₁
h2 : Antiperiodic f c₂
⊢ Periodic f (c₁ + c₂)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)
x y x' y' a : (i : ι) → α i
hxa : x ≤ a
hay : a ≤ y
ha' : ∃ x, ¬(x' x < a x ∧ a x < y' x)
⊢ a ∈ (⋃ i, Icc x (update y i (x' i))) ∪ ⋃ i, Icc (update x i (y' i)) y
K : Type u
Field K
L : Type u
Field L
f : K →+* L
a : L
S : Type u_1
CommSemiring S
Algebra S (Polynomial K)
p : S
⊢ RatFunc.eval f a ((algebraMap S (RatFunc K)) p) = Polynomial.eval₂ f a ((algebraMap S (Polynomial K)) p)
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym α n
⊢ Multiset.card ↑s = n
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
h : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → f (x ⊔ y) = f x ⊔ f y
⊢ MonotoneOn f s
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h_left : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Iic b) μ
h_right : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioi b) μ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Iic b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
v : F
h : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j, Z.coordChange i j x v = v
⊢ Continuous
  (let_fun this := fun x => { proj := x, snd := v };
  this)
α : Type u
β : Type v
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ Filter.PTendsto' f l₁ l₂ → Filter.PTendsto f l₁ l₂
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n : ℕ
h : a * b ∈ I ^ n
⊢ a ∈ I ∨ b ∈ I ^ n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ ↑∅ = ∅
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p q : R[X]
h0 : q ≠ 0
hl : q.degree < p.degree
⊢ ¬p ∣ q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y : C
s : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X Y
h : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
⊢ ↑(CategoryTheory.Limits.BinaryFan.IsLimit.lift' h f g) = h.lift (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk f g)
n k m : Nat
H : n ≤ k
h : k < m + n
⊢ k - n < m
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
x : Bundle.TotalSpace F E
⊢ (↑(trivializationAt F E x.proj) x).1 = x.proj
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
⊢ (fun x => a - x) '' Ico b c = Ioc (a - c) (a - b)
α : Type u
σ : Type v
σ' : Type u_2
g : σ ≃ σ'
M : DFA α σ
s : σ'
a : α
⊢ ((DFA.reindex g) M).step s a = g (M.step (g.symm s) a)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
⊢ (algebraMap R S) ↑y * IsLocalization.mk' S x y = (algebraMap R S) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f g : ι → α → β
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
hfm : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hunif : UnifIntegrable f p μ
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
i : ι
⊢ eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
a : ℝ≥0
b : ℝ≥0∞
⊢ (a • b).toNNReal = a * b.toNNReal
α : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : CommRing β
⊢ (monomial { order := 2, coeffs := ![1, 1] }.order) 1 - ∑ i : Fin { order := 2, coeffs := ![1, 1] }.order, (monomial ↑i) ({ order := 2, coeffs := ![1, 1] }.coeffs i) = X ^ 2 - (X + 1)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift f g
x : B
h : x ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.LanLift.CommuteWith f g h
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.LanLift.CommuteWith.lanLiftCompIso f g h).hom =
  CategoryTheory.Bicategory.lanLiftDesc ((CategoryTheory.Bicategory.lanLiftLeftLift f g).whisker h)
G : Type u_1
Group G
S : Type u_6
H K : S
SetLike S G
SubgroupClass S G
h : H ≤ K
x : ↥K
hx : ↑x ∈ H
⊢ (SubgroupClass.inclusion h) ⟨↑x, hx⟩ = x