ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAntiOn f s
hg : StrictAntiOn g s
⊢ StrictAntiOn (fun x => f x * g x) s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_4
Finite ι
⊢ (Filter.coprodᵢ fun i => Filter.cofinite) = Filter.cofinite
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
x : Subtype p
f : α → β
h : ∀ (a : α), p a → q (f a)
g : β → γ
l : ∀ (a : β), q a → r (g a)
⊢ Subtype.map g l (Subtype.map f h x) = Subtype.map (g ∘ f) ⋯ x
α : Type u_2
M : Matroid α
ι : Sort u_3
I : Set α
hι : Nonempty ι
Js : ι → Set α
hI : M.Indep I
hJs : ∀ (i : ι), Js i ⊆ I
⊢ M.closure (⋂ i, Js i) = ⋂ i, M.closure (Js i)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
⊢ χ.IsNontrivial ↔ χ ≠ 1
α : Type u_1
DecidableEq α
Mul α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ 0 < s.mulEnergy t
α : Type u
a b : Set α
h₁ : a ⊆ b
h₂ : b ⊆ a
⊢ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s t : Set β
h : s ⊆ t
⊢ r.preimage s ⊆ r.preimage t
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceMap (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceMap g)
    (AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceMap f)
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f 1 (μ + ν) = MeasureTheory.eLpNorm f 1 μ + MeasureTheory.eLpNorm f 1 ν
α : Type u_2
f : Filter α
a : α
⊢ a ∈ f.ker ↔ ∀ s ∈ f, a ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
⊢ Nonempty (X ≅ Y) ↔ Nonempty (Y ≅ X)
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a : α
ZeroLEOneClass α
PosMulMono α
MulPosMono α
ha₀ : 0 ≤ a
ha₁ : a ≤ 1
m n : ℕ
⊢ m ≤ n → a ^ n ≤ a ^ m
α : Type u_1
r : Rel α α
p : RelSeries r
i : Fin (p.length - 1 + 1)
⊢ p.eraseLast.toFun i = p.toFun ⟨↑i, ⋯⟩
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
r s ε : ℝ
⊢ MeasurableSet (RightDerivMeasurableAux.B f K r s ε)
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
c : ZMod (Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L))
hc : ∀ (t : ↥(rootsOfUnity n L)), g ↑↑t = ↑(↑t ^ c.val)
ζ : ↥(rootsOfUnity n L)
⊢ ζ ^ c.val = ζ ^ (χ₀ n g).val
Fq : Type
Field Fq
DecidableEq (RatFunc Fq)
x : RatFunc Fq
hx : x ≠ 0
⊢ FunctionField.inftyValuationDef Fq x = ↑(Multiplicative.ofAdd x.intDegree)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : G ⊣ F
F.Full
F.Faithful
⊢ (CategoryTheory.Localization.LeftBousfield.W fun x => x ∈ Set.range F.obj) =
  (CategoryTheory.MorphismProperty.isomorphisms C).inverseImage G
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
⊢ comap some (𝓝 ∞) = coclosedCompact X
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x : F
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => ‖x‖ ^ 2) (2 • (innerSL ℝ) x) x
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp a (p + b) = toIcoMod hp a b
G : Type u_2
AddGroup G
s : Set G
N : AddSubgroup G
hN : N.Normal
⊢ s + ↑N = ↑N + s
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ SameRay R x x
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : x + 1 ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0
h : x + 1 < 0
⊢ ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), x ^ i ≠ 0
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV' : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
⊢ |↑(G.edgeDensity ((SzemerediRegularity.star hP G ε hU V).biUnion id)
          ((SzemerediRegularity.star hP G ε hV U).biUnion id)) -
      ↑(G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε U V) (G.nonuniformWitness ε V U))| ≤
  ε / 5
a b c : Ordinal.{u_4}
a0 : 0 < a
⊢ a * b = a * c ↔ b = c
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ ‖I • y‖ * ‖I • y‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M' G'
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
⊢ LiftPropWithinAt P g s x ↔ ContinuousWithinAt g s x ∧ LiftPropWithinAt P (↑f ∘ g) s x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
a : α
h2 : ∀ (g : G), ∃ h, h • g • a = a
h : ↥H
h' : ↑↑H
g : G
hg : g • a = a
hh : h • (↑(h', ⟨g, hg⟩).1 * ↑(h', ⟨g, hg⟩).2) • a = a
hh' : (↑h * (↑(h', ⟨g, hg⟩).1 * ↑(h', ⟨g, hg⟩).2)) • a = a
h1 : h * h' = 1
⊢ ↑(h', ⟨g, hg⟩).2 = ↑(h⁻¹, ⟨↑h * (↑(h', ⟨g, hg⟩).1 * ↑(h', ⟨g, hg⟩).2), hh'⟩).2
G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G
⊢ μ = map (⇑(MeasurableEquiv.mulLeft g)) μ
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'
this✝⁴ : IsCompact s
this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance
this✝² : CompactSpace (Subtype s)
this✝¹ : Nonempty (Subtype s)
ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'
ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'
this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
F : Subtype s → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤) := kuratowskiEmbedding (Subtype s)
this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
A : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤) := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := ⋯, nonempty' := ⋯ }
B : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤) := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := ⋯, nonempty' := ⋯ }
AX : ⟦A⟧ = toGHSpace X
BY : ⟦B⟧ = toGHSpace Y
⊢ hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') ∈ (fun p => hausdorffDist ↑p.1 ↑p.2) '' {a | ⟦a⟧ = toGHSpace X} ×ˢ {b | ⟦b⟧ = toGHSpace Y}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
r : β
x : E
hx : x ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
y : E
hy : y ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h : a • x + b • y ∈ {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 ≤ max (f x) (f y)}
⊢ a • x + b • y ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ I * J = ⟨↑I * ↑J, ⋯⟩
x y : ℝ≥0∞
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
z : ℝ
⊢ (x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z
α : Type u_1
s : Set α
h : s.Infinite
⊢ s.encard = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ∫ (x : γ) in A, κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
a : α
b₁ b₂ : β
PosSMulStrictMono α β
h : a < 0
⊢ a⁻¹ • b₁ < b₂ ↔ a • b₂ < b₁
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
l : Filter α
CountableInterFilter l
s : Set α
hs : s ∈ l
⊢ EventuallyMeasurableSet m l s
α : Type u_1
a : α
o : Option α
⊢ a ∈ ↑o ↔ a ∈ o
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
x : E
s t : Set E
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hs : Set.EqOn f₁ f t
hx : f₁ x = f x
hxt : UniqueDiffWithinAt 𝕜 t x
h₁ : t ⊆ s
⊢ fderivWithin 𝕜 f₁ t x = fderivWithin 𝕜 f s x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LocallyLipschitz f
n : ℕ
⊢ LocallyLipschitz f^[n + 1]
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
inst✝¹ : Fintype α
s : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
b : α
H : ∃! a_1, a_1 ∈ image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ ∧ a ∈ a_1
this : (∃ a_1, filter (Setoid.r a_1) univ = choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H) ∧ a ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H
⊢ b ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H ↔ Setoid.r a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
DecidableEq α
DecidableEq β
DecidableEq γ
SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.NoAccidental t
⊢ Set.SurjOn (⇑SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.toTriangle) (↑t)
  ((SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).cliqueSet 3)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s₁ s₂ : Finset ι
S₁ : Set ((i : { x // x ∈ s₁ }) → α ↑i)
S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s₂ }) → α ↑i)
DecidableEq ι
⊢ MeasureTheory.cylinder s₁ S₁ ∩ MeasureTheory.cylinder s₂ S₂ =
  MeasureTheory.cylinder (s₁ ∪ s₂) ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₁ ∩ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₂)
β : Type u_2
TopologicalSpace β
ι : Type u_3
U : ι → TopologicalSpace.Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
⊢ IsLocallyClosed s ↔ ∀ (i : ι), IsLocallyClosed (Subtype.val ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
b : α
f : ↑(Set.Iic b) → β
⊢ Set.IicExtend f b = f ⟨b, ⋯⟩
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
⊢ Set.range ⇑(D R S) ⊆ ↑⊥
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : F (α ::: Cofix F α)
h : mk x = mk y
⊢ x = y
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} C₃
W : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
F : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
G : CategoryTheory.Functor C₂ C₃
G.ReflectsIsomorphisms
⊢ W.IsInvertedBy (F.comp G) ↔ W.IsInvertedBy F
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A₁ A₂ A₃ B₁ B₂ B₃ : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct A₁ B₁
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct A₂ B₂
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct A₃ B₃
f : A₁ ⟶ A₂
g : B₁ ⟶ B₂
h : A₂ ⟶ A₃
k : B₂ ⟶ B₃
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.map f g ≫ CategoryTheory.Limits.prod.map h k = CategoryTheory.Limits.prod.map (f ≫ h) (g ≫ k)
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
x : R
p : R[X]
h : p.IsRoot x
⊢ (Polynomial.map f p).IsRoot (f x)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i✝ n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, x ∈ {ω | τ ω = i} → stoppedValue f τ x = f i x
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Sort u_1
β : Sort u_2
e : α ≃ β
x : β
y : α
H : e.symm x = y
⊢ x = e y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'
⊢ Orthonormal 𝕜 (⇑f ∘ v)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.flip.X₃ = sq.X₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : BorelSpace γ
p : ℝ≥0∞
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : Memℒp f p μ
⊢ eLpNorm g p ν < ⊤
X Y : Type u
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.inr ≫ (CategoryTheory.Limits.Types.binaryCoproductIso X Y).hom = Sum.inr
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
AddGroup G
TopologicalSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x t : G
s : Set G
hx : x ∈ s
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ (-tsupport g + s).indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖) t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hs : IsOpen s
⊢ s = Subtype.val '' Set.univ
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
⊢ Stream'.WSeq.flatten (Computation.pure s) = s
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
NoMinOrder β
f : α → β
l : Filter α
l.NeBot
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
⊢ ¬Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l f
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞
⊢ (∀ (n : ℕ), ↑n ≤ s.encard → ∃ t ⊆ s, t.encard = ↑n) → s.Infinite → ∃ t ⊆ s, t.Infinite
R : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
Module.Free R M
Module.Finite R M
f g : Module.End R M
h_comm : Commute f g
hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
hg : ∀ (μ : R), (LinearMap.trace R ↥(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) (LinearMap.restrict g ⋯) = 0
⊢ (LinearMap.trace R M) (g ∘ₗ f) = 0
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : IsEmpty ι
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
⊢ (map ι f) x = x
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Finset.Ico a b \ Finset.Ico c b = Finset.Ico a (min b c)
p n r b : ℕ
hp : Prime p
hbn : log p n < b
⊢ p ^ r ∣ n ! ↔ r ≤ ∑ i ∈ Ico 1 b, n / p ^ i
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
SeminormedAddCommGroup H
f g : NormedAddGroupHom G H
⊢ (f - g).completion = f.completion - g.completion
x : ℝ
⊢ DifferentiableAt ℝ Real.arccos x ↔ x ≠ -1 ∧ x ≠ 1
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : StarModule R A
s : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R ↑s).toSubalgebra = span R {1} ⊔ s.toSubmodule
α : Type u_1
G : Type u_2
ι : Type u_3
AddGroup G
UniformSpace G
UniformAddGroup G
p : ι → Prop
b : ι → Set G
h : (𝓝 0).HasBasis p b
⊢ (𝓝 0).HasBasis p fun i => {f | ∀ (x : α), UniformFun.toFun f x ∈ b i}
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s +ᵥ t).Nonempty → t.Nonempty
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hfI : f a = f b
ne : (Icc a b).Nonempty
c : X
cmem : c ∈ Icc a b
cle : ∀ x ∈ Icc a b, f c ≤ f x
⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, IsExtrOn f (Icc a b) c
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
carrier : Set R
zero_mem : 0 ∈ carrier
add_mem : ∀ {x y : R}, x ∈ carrier → y ∈ carrier → x + y ∈ carrier
neg_mem : ∀ {x : R}, x ∈ carrier → -x ∈ carrier
mul_mem_left : ∀ {x y : R}, y ∈ carrier → x * y ∈ carrier
mul_mem_right : ∀ {x y : R}, x ∈ carrier → x * y ∈ carrier
x : R
⊢ x ∈ mk' carrier zero_mem ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ↔ x ∈ carrier
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
X : C
⊢ F.δ (𝟙_ C) X ≫ F.η ▷ F.obj X ≫ (λ_ (F.obj X)).hom = F.map (λ_ X).hom
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℝ
⊢ logDeriv sin x✝ = x✝.cot
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i : ι
xi : β i
⊢ DFinsupp.single i xi = 0 ↔ xi = 0
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M'
i : ι
⊢ (b.map f) i = f (b i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
⊢ eLpNorm ({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
self : LieRingModule L M
x y : L
m : M
⊢ ⁅x + y, m⁆ = ⁅x, m⁆ + ⁅y, m⁆
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G
a : Fin (n + 1)
⊢ (f fun i => (Fin.partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc))⁻¹ * (Fin.partialProd g (a.succAbove i).castSucc * g (a.succAbove i))) = f (a.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
⊢ (hf.stieltjesFunction a).measure univ = ENNReal.ofReal (1 - 0)
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hc : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ deriv (fun x => Real.sinh (f x)) x = Real.cosh (f x) * deriv f x
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
leftSide : ∫⁻ (x : ℝ) in Iio 0, gammaPDF a r x = 0
⊢ ∫⁻ (x : ℝ), gammaPDF a r x = 1
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
t : Set ↑s
hs : NullMeasurableSet s μ
ht : MeasurableSet t
⊢ (fun t => NullMeasurableSet (Subtype.val '' t) μ) ∅
ι : Type u_1
α : Type u_2
Bornology α
s : Set ι
f : ι → Set α
hs : s.Finite
⊢ Bornology.IsBounded (⋃ i ∈ s, f i) ↔ ∀ i ∈ s, Bornology.IsBounded (f i)
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
γ : Type u₁
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
ψ : (⨁ (i : ι), β i) →+ γ
f : ⨁ (i : ι), β i
⊢ ∀ (x : ι), ψ.comp (DFinsupp.singleAddHom (fun i => β i) x) = (toAddMonoid fun i => ψ.comp (of β i)).comp (DFinsupp.singleAddHom (fun i => β i) x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
⊢ SpecializingMap f ↔ ∀ (x : X), StableUnderSpecialization (f '' closure {x})
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ⊤
⊢ BddAbove (Set.range fun i => ‖f i‖)
α✝ : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α✝
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
α : Type u_5
f : α → β →𝒄 γ
c✝ : Chain β
x : α
⊢ (f x) (ωSup c✝) = ωSup (c✝.map { toFun := fun x y => (f y) x, monotone' := ⋯ }) x
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
E' : Type u_2
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
f' : E' →L[𝕂] F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasFDerivAt f f' x
hn : 1 ≤ n
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedLatticeAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
hfg : f ≤ᵐ[μ] g
⊢ μ[f|m] ≤ᵐ[μ] μ[g|m]
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Monoid (G i)
Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
i : ι
⊢ (Monoid.PushoutI.of i).comp (φ i) = Monoid.PushoutI.base φ
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
G : D ⥤ C
h : F.toFunctor ⊣ G
X Y : D
eq : F.map (G.map (F.μ (G.obj X) (G.obj Y))) ≫ h.counit.app (F.obj (G.obj X ⊗ G.obj Y)) ≫ inv (F.μ (G.obj X) (G.obj Y)) = h.counit.app (F.obj (G.obj X) ⊗ F.obj (G.obj Y))
⊢ (F.μ (G.obj X) (G.obj Y) ≫ F.map ((h.homEquiv (G.obj X ⊗ G.obj Y) (X ⊗ Y)) (inv (F.μ (G.obj X) (G.obj Y)) ≫ (h.counit.app X ⊗ h.counit.app Y)))) ≫ h.counit.app (X ⊗ Y) = (h.counit.app X ⊗ h.counit.app Y) ≫ 𝟙 (X ⊗ Y)
a : ℤ
h : 1 < a.natAbs
⊢ Function.Injective fun x => a ^ x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
this : ↑I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u) (↑I x) ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
f : β → Finset α
h : Monotone f
h' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n
⊢ ∀ (i : α), ∀ᶠ (a : β) in atTop, f a ∈ Ici {i}
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, (f + g) a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f a + g a ∂μ
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
i : Fin q.length
⊢ ↑(Fin.natAdd p.length i).castSucc - p.length = ↑i
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u v : U
g : Lex (Γ' × Γ)
⊢ ((of R).symm ((fun u => (of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate) (u + v))).coeff g = ((of R).symm ((fun u => (of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate) u + (fun u => (of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate) v)).coeff g
x : ℝ≥0∞
y z : ℝ
hx1 : x ≤ 1
hyz : z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ LinearMap.ker (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x) ≤ ⊥
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a : α
OrderBot α
⊢ a ≤ Order.succ ⊥ ↔ a = ⊥ ∨ a = Order.succ ⊥
G : Type u_3
AddGroup G
a : G
m n : ℤ
⊢ (m - n) • a = m • a + -(n • a)