ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubgroup (AddUnits M)
x : M
h₁ : IsAddUnit x
h₂ : h₁.addUnit ∈ S
⊢ x ∈ S.ofAddUnits
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : SchwartzMap E F
ProperSpace E
s : ℝ
⊢ ⇑f =O[Filter.cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ s
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
p : ℝ≥0∞
hμs : p ≤ μ s
s_mble : MeasurableSet s
⊢ μ sᶜ ≤ 1 - p
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : LinearOrder ι
inst✝⁸ : MeasurableSpace ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : OrderTopology ι
inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
inst✝² : MetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
hf_prog : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ
h_str_meas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (stoppedValue u fun ω => min (τ ω) i)
t : Set β
ht : MeasurableSet t
i : ι
ω : Ω
h : τ ω ≤ i
⊢ u (τ ω) ω ∈ t ↔ u (min (τ ω) i) ω ∈ t
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : ContinuousStar R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : Algebra R A
s : Set R
φ ψ : C(↑s, R) →⋆ₐ[R] A
h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)
⊢ (polynomialFunctions s).starClosure ≤ StarAlgHom.equalizer φ ψ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf ⊥ P
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
a : ℤ
⊢ ↑{x | x ^ 2 = ↑a}.toFinset.card = legendreSym p a + 1
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ
⊢ x ∈ Metric.ball y ε ↔ y ∈ Metric.ball x ε
K L : Type
Field K
Field L
IsAlgClosed K
IsAlgClosed L
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
⊢ Nonempty (K ≃+* L)
x y : SetTheory.Game
⊢ ¬x ≤ y ↔ y.LF x
α : Type u_1
s : Finset α
p : α → Prop
DecidablePred p
Fintype { a // p a }
⊢ Finset.subtype p s = Finset.univ ↔ ∀ ⦃a : α⦄, p a → a ∈ s
α : Type u_1
⊢ MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy ⊤ = ⊤
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.σ i ≫ PInfty.f (n + 1) = 0
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
⊢ ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, F.N n = I ^ (n - n₀) • F.N n₀
p : ℕ
z : ℤ
hp : p ≠ 1
hz : z ≠ 0
⊢ (multiplicity p z.natAbs).get ⋯ = (multiplicity (↑p) z).get ⋯
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
q : Submodule R N
m : M
hm : m = 0
n : N
hn : n ∈ q
⊢ (f m) n = 0
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ -|a| ≤ a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
n : ℕ
a : α
l : Mathlib.Vector α n
⊢ Filter.Tendsto (fun p => p.1 ::ᵥ p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (a ::ᵥ l))
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
x : ↑(X ⨯ Y)
⊢ (X.prodIsoProd Y).hom x = (prod.fst x, prod.snd x)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
e : Basis ι R M
v : ι' → M
G : Type u_9
Group G
DistribMulAction G M
SMulCommClass G R M
g : G
⊢ (g • e).toMatrix v = e.toMatrix (g⁻¹ • v)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
p : Submodule R A
h_mul : ∀ (x y : A), x ∈ p → y ∈ p → x * y ∈ p
x : A
⊢ x ∈ p.toNonUnitalSubalgebra h_mul ↔ x ∈ p
α : Type u_1
M : Type u_2
PartialOrder α
AddCommMonoid M
f : α → M
a b : α
LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ Finset.Ico a b, f x + f b = ∑ x ∈ Finset.Icc a b, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
b : β
⊢ s ×ˢ insert b t = (fun a => (a, b)) '' s ∪ s ×ˢ t
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
x : σ → k
p : MvPolynomial σ k
⊢ p ∈ MvPolynomial.vanishingIdeal {x} ↔ (MvPolynomial.eval x) p = 0
x y : ℝ
⊢ ↑(cosh x ^ 2) = ↑(sinh x ^ 2 + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq α
d : α → Matrix m m R
i : m
i' : α
j : m
j' : α
h : (j, j').2 < (i, i').2
⊢ blockDiagonal d (i, i') (j, j') = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
e : X ≃ᵢ Y
⊢ ratio e.toDilationEquiv = 1
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Function.Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
⊢ LieAlgebra.IsEngelian R L₂
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : AEFinStronglyMeasurable f μ
t : Set α := hf.sigmaFiniteSet
this : SigmaFinite (μ.restrict t)
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
S✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring S✝
r n✝ : ℕ
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
⊢ eval 1 (ascPochhammer S n) = ↑n !
n m : ℕ
⊢ n ∈ m.divisors → n ≤ m
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : α → E
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
⊢ Memℒp f p μ ↔ Memℒp g p μ
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
⊢ I * (1 / I) ≤ 1
α : Type u_1
a : α
β : Type u_2
b : β
⊢ (Function.Embedding.sectr a β) b = (a, b)
i : ℤ
⊢ i.gcd i = i.natAbs
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ RingHom.ker ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp (toZModPow n)) = RingHom.ker (toZModPow m)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t : Set E
h : t ⊆ s
ht : Balanced 𝕜 t
⊢ t ⊆ balancedCoreAux 𝕜 s
P : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop
hP : ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α ≃ₜ β), P ⇑f
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.isomorphisms AlgebraicGeometry.Scheme ≤
  AlgebraicGeometry.topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P
a : Int
h : 0 ≤ a
⊢ ↑a.toNat = a
a : ℝ≥0∞
⊢ a * ⊤ = if a = 0 then 0 else ⊤
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
v : M
⊢ -v = v ↔ v = 0
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
h : b ≤ 1
⊢ a * b ≤ a
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ IntegrableOn (fun x => f (x * a)) (Ioi c) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi (c * a)) volume
R : Type u_1
CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
⊢ P = Ideal.span {x}
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (addRightEmbedding c) (Ioo a b) = Ioo (a + c) (b + c)
X : Type u_1
Y✝ : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X'
inst✝² : TopologicalSpace Y'
ι : Type u_6
p : ι → Prop
Y : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
inst✝ : DecidablePred p
j : ι
h✝ : p j
⊢ Continuous fun a => a.1 ⟨j, h✝⟩
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsRefl α r
a : α
⊢ AntisymmRel r a a
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
f : α → β
g : pkg.space → pkg'.space
hg : UniformContinuous g
h : ∀ (a : α), pkg'.coe (f a) = g (pkg.coe a)
⊢ pkg.map pkg' f = g
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q p₁ p₂ q₁ q₂ : R[X]
hp₁ : p₁ ≠ 0
hq₁ : q₁ ≠ 0
hp₂ : p₂ ≠ 0
hq₂ : q₂ ≠ 0
h_eq : p₁ * q₂ = p₂ * q₁
⊢ ↑p₁.natDegree + ↑q₂.natDegree = ↑p₂.natDegree + ↑q₁.natDegree
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
f : α → β
h : f 0 = 0
d : n → α
i✝ j✝ : n
⊢ f (if i✝ = j✝ then d i✝ else 0) = if i✝ = j✝ then f (d i✝) else 0
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
f f' : PartialHomeomorph X Y
openness₁ : IsOpen (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)
set_identity : f.symm.source ∩ (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s) = f.symm.source ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s
openness₂ : IsOpen ↑s
⊢ (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).symm.trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs) ≈ ofSet (↑s) openness₂
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α → Part β
g : α → β → Part γ
hf : Monotone f
hf' : Continuous { toFun := f, monotone' := hf }
hg : Monotone g
hg' : Continuous { toFun := g, monotone' := hg }
c : Chain α
⊢ ({ toFun := f, monotone' := hf }.partBind { toFun := g, monotone' := hg }) (ωSup c) = ωSup (c.map ({ toFun := f, monotone' := hf }.partBind { toFun := g, monotone' := hg }))
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖x‖ / (o.oangle x (x + y)).cos = ‖x + y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
TopologicalSpace α
OrderTopology α
x : α
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[>] x) (𝓝 (Function.rightLim f x))
R : Type u_2
DivisionRing R
a a' b : R
⊢ a = a' → a'⁻¹ = b → a⁻¹ = b
X Y Z : Type u
x : X ⊗ Y ⊗ Z
⊢ ((α_ X Y Z).inv x).1.2 = x.2.1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : NonAssocRing S
f : R ≃+* S
x✝ y x : R
⊢ f x = -1 ↔ x = -1
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTopology γ
inst✝ : ContinuousAdd γ
f : ι → α → γ
a : Finset ι
ha : ∀ i ∈ a, LowerSemicontinuousWithinAt (f i) univ x
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun z => ∑ i ∈ a, f i z) univ x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A : Set X
hA : Dense A
hf : ∀ (x : X), ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
⊢ Continuous (extendFrom A f)
α : Sort u_1
P Q : Prop
Decidable P
Decidable Q
A : P → α
B : Q → α
C : ¬P → ¬Q → α
h : P → ¬Q
⊢ (if p : P then A p else if q : Q then B q else C p q) = if q : Q then B q else if p : P then A p else C p q
M : Type u_2
AddZeroClass M
H : AddSubmonoid M
a : { a // (fun x => x ∈ H) a }
⊢ ↑(H.equivOp a) = AddOpposite.op ↑a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
x✝ : X ∣ f
g : R[X]
hfg : f = X * g
⊢ f.coeff 0 = 0
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
(i : ι) → KleeneAlgebra (π i)
a : (i : ι) → π i
⊢ a∗ = fun i => (a i)∗
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
hs : ThreeGPFree s
ha : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b
ha' : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a
b : α
hb : b ∈ insert a s
c : α
hc : c ∈ insert a s
d : α
hd : d ∈ insert a s
h : b * d = c * c
⊢ b = c
k : Type u_2
Field k
⊢ PowerSeries.X⁻¹ = 0
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ (Finset.uIcc a b).card = (↑↑b - ↑↑a).natAbs + 1
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ s ∩ t ∈ C
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : Rˣ
x : R
x_eq : x = r • r⁻¹ • x
⊢ r⁻¹ • x ∈ σ a ↔ x ∈ r • σ a
α : Type u
β : Type v
OrderedAddCommMonoid β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsMinOn f s a
hg : IsMinOn g s a
⊢ IsMinOn (fun x => f x + g x) s a
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : JordanHolderLattice.IsMaximal (RelSeries.eraseLast s).last (RelSeries.last s)
⊢ (RelSeries.eraseLast s).snoc (RelSeries.last s) h = s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
φ : F₁ ⟶ F₂
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
X : Cᵒᵖ
x y : (CategoryTheory.forget D).obj (F₁.obj X)
h : (φ.app X) x = (φ.app X) y
⊢ CategoryTheory.Presheaf.equalizerSieve x y ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : Set.univ ⊆ ⋃ n, s n
⊢ μ.OuterRegular
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
𝒰 : X.OpenCover
h : ∀ (i : 𝒰.J), (Hom.app (𝒰.map i) U) s = 0
i : 𝒰.J
⊢ (Hom.app (𝒰.map i) U) s = (Hom.app (𝒰.map i) U) 0
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
hf : Function.Bijective f
p : β → Prop
⊢ (∃! y, p y) ↔ ∃! x, p (f x)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ instTopologicalSpaceProd = TopologicalSpace.generateFrom {g | ∃ s t, IsOpen s ∧ IsOpen t ∧ g = s ×ˢ t}
I : Type u_1
DecidableEq I
Z : I → Type u_2
(i : I) → CommMonoid (Z i)
Finite I
M : Type u_3
CommMonoid M
g h : ((i : I) → Z i) →* M
H : ∀ (i : I), g.comp (MonoidHom.mulSingle Z i) = h.comp (MonoidHom.mulSingle Z i)
⊢ g = h
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.toTransported e).toFunctor = e.functor
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α
⊢ (filter (fun x => x.1.1 * x.1.2 = x.2.1 * x.2.2) ((s ×ˢ t) ×ˢ s ×ˢ t)).card = ∑ x ∈ s * t, (filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t) ×ˢ filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t)).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMinOrder α
a b x : α
⊢ Ico a b ∈ 𝓝 x ↔ x ∈ Ioo a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁✝ v₂✝ : α →₀ M
f : α → β
hf : Injective f
v₁ v₂ : α →₀ M
eq : mapDomain f v₁ = mapDomain f v₂
a : α
this : (mapDomain f v₁) (f a) = (mapDomain f v₂) (f a)
⊢ v₁ a = v₂ a
α : Type u_1
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
SemilatticeInf ι
Ω : Type u_4
m : ι → MeasurableSpace Ω
m' m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
h_indep : ∀ (i : ι), ProbabilityTheory.Kernel.Indep (m i) m' κ μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0
h_le' : m' ≤ m0
hm : Antitone m
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep (⨆ i, m i) m' κ μ
x y : ℝ≥0
⊢ ↑(↑x * ↑y) = ↑↑x * ↑↑y
α : Type u_1
f : α → ENNReal
s : Finset α
h : ∑ a ∈ s, f a = 1
h' : ∀ a ∉ s, f a = 0
a : α
⊢ a ∈ (PMF.ofFinset f s h h').support ↔ a ∈ s ∧ f a ≠ 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ ∑ n_1 ∈ p.support, ((C.comp f) (p.coeff n_1) * X ^ n_1).coeff n = ∑ x ∈ p.support, f ((C (p.coeff x) * X ^ x).coeff n)
α' : Sort u_1
α : Sort u_2
β : Sort u_3
DecidableEq α'
DecidableEq α
f : α → β
g : α' ≃ α
a : α
v : β
a' : α'
⊢ Function.update f a v (g a') = Function.update (f ∘ ⇑g) (g.symm a) v a'
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s✝ : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
q : P
hp : (range ⇑b).Subsingleton
this : Subsingleton P
s : Finset ι := {i}
hi : i ∈ s
hw : s.sum (Function.const ι 1) = 1
hq : q = (Finset.affineCombination k s ⇑b) (Function.const ι 1)
⊢ (b.coord i) q = 1 q
α : Type u_1
I B✝ X : Set α
M : IndepMatroid α
B B' : Set α
hB : B ∈ {I | M.Indep I}
hBmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B
hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}
hB'max : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B' b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B'
e : α
he : e ∈ B \ B'
hnotmax : B \ {e} ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}
f : α
hfB : M.Indep (insert f (B \ {e}))
hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = e)
hfB' : f ∉ B
hnot : ¬(fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) (insert f (B \ {e}))
x : α
hxB : x ∈ B \ insert f (B \ {e})
hind : M.Indep (insert x (insert f (B \ {e})))
⊢ False
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
Fintype ι
Fintype κ
CommMonoid α
e : ι → κ
he : Function.Bijective e
g : κ → α
⊢ ∏ i : ι, g (e i) = ∏ i : κ, g i
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hu : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}, y - u ∈ U
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ ⇑u '' closedBall 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ t, y +ᵥ U
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
dim_pos : 0 < Fintype.card ι
ε : ℝ := ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
ε_eq : ε = ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
hε : 0 < ε
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - b • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b))
R S : Type u_3
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
I : Type u_2
DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R
ha : a = fun i => b.repr (b i * x)
⊢ (1 ⊗ₜ[R] x * f.sum fun i y => y ⊗ₜ[R] b i) =
  ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => (a i).support,
    (b.repr (f.sum fun i y => (a i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k
R L K : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
ι : Type u
v : ι → K
hv✝ : IsTranscendenceBasis R v
inst✝ : Nontrivial R
hv : IsTranscendenceBasis R v
hR : #R ≤ ℵ₀
hK : ℵ₀ < #K
this : ℵ₀ ≤ #ι
⊢ ℵ₀ ≤ max #R #ι
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
hn : ∃ a ∈ fp.parts, ∃ b ∈ fp.parts, b.card + 1 < a.card
⊢ False
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} K
F : J ⥤ K ⥤ C
c : (k : K) → ColimitCocone (F.flip.obj k)
j₁ j₂ : J
g : j₁ ⟶ j₂
k : K
⊢ (F.map g ≫ (fun j => { app := fun k => (c k).cocone.ι.app j, naturality := ⋯ }) j₂).app k = ((fun j => { app := fun k => (c k).cocone.ι.app j, naturality := ⋯ }) j₁ ≫ ((const J).obj { obj := fun k => (c k).cocone.pt, map := fun {k₁ k₂} f => (c k₁).isColimit.desc { pt := (c k₂).cocone.pt, ι := F.flip.map f ≫ (c k₂).cocone.ι }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).map g).app k
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b - d - c ≤ a - c + (b - d)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a => ∀ (n : ℤ), t.LE n ≤ t.LE (n + ↑a)
H_zero : H 0
H_one : H 1
H_add : ∀ (a b c : ℕ), a + b = c → H a → H b → H c
⊢ ∀ (a : ℕ), H a
n : ℕ
h : 2 ≤ n
⊢ ¬(harmonic n).isInt = true
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
hs : IsOpen s
hx : x ∈ s
⊢ mfderivWithin I I' f s x = mfderiv I I' f x
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b : α
H : a < b
⊢ Set.Ioc a b ∈ 𝓝[>] a
S : Type u
inst✝¹ : Semiring S
T : Type v
inst✝ : Semiring T
f : S →+* T
n : ℕ
t : T
⊢ eval t (map f (ascPochhammer S n)) = eval₂ f t (ascPochhammer S n)
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : OpenEmbedding ⇑f
H₂ : OpenEmbedding ⇑g
⊢ OpenEmbedding ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one)
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
S T : A
⊢ S ≤ T ↔ ∀ ⦃x : B⦄, x ∈ S → x ∈ T
p : ℕ
⊢ padicValInt p 1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
⊢ Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) 1 μ ∧ Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) 1 μ ↔ Memℒp f 1 μ
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y
e_4✝ : (𝟭 D).obj (F.obj X) = F.obj X
t : F.map (adj.unit.app X) ≫ adj.counit.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)
⊢ F.map (adj.unit.app X) ≫ adj.counit.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R
⊢ ∀ (a : ↥I ⊗[R] M), (rTensor M (Submodule.subtype I)) a = 0 → a = 0
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ (n + 1)).smeval (-↑n) = 0
α : Type u_1
ι : Type u_3
CompleteLattice α
t : ι → α
⊢ CompleteLattice.Independent t ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (t i) (sSup {a | ∃ j, j ≠ i ∧ t j = a})
n : Nat
x y : BitVec n
⊢ x + y = y + x
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
x : α
s : Set (Set α)
hs : s ∈ (Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x
⊢ s ∈ map (fun r => closedBall x r) (𝓝[>] 0)
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Fintype G
g : G
a✝ : g ∈ Finset.univ
⊢ orderOf g ∣ exponent G