ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
c : E''
c' : F''
l : Filter α
l.NeBot
⊢ ((fun _x => c) =O[l] fun _x => c') ↔ c' = 0 → c = 0
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↑M
⊢ (𝟙 (of R R)) (1, x).1 • f (1, x).2 = f (1 • x)
x : SetTheory.PGame
IsEmpty x.LeftMoves
IsEmpty x.RightMoves
⊢ x.Numeric
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
Nontrivial E
⊢ ¬Bornology.IsBounded Set.univ
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
AddCommGroup N
Module R M₁
Module R M₂
Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
f₁ : Q₁ →qᵢ Qₙ
f₂ : Q₂ →qᵢ Qₙ
hf : ∀ (x : M₁) (y : M₂), QuadraticMap.IsOrtho Qₙ (f₁ x) (f₂ y)
m₁ : CliffordAlgebra Q₁
m₂ : CliffordAlgebra Q₂
i₂ : ZMod 2
hm₁ : m₁ ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q₁ 0
hm₂ : m₂ ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q₂ i₂
⊢ Commute ((CliffordAlgebra.map f₁) m₁) ((CliffordAlgebra.map f₂) m₂)
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
o : Ordinal.{u_1}
h : G ≈ nim o
⊢ nim G.grundyValue ≈ nim o
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0
this : IsTrans X fun x y => d x y = 0
x y : X
l : List X
ihn : ∀ m < l.length, ∀ (x y : X) (l : List X), l.length = m → d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum
L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y])
hL_len : L.length = l.length + 1
hd₀ : d x y ≠ 0
s : Set ℕ := {m | 2 * (take m L).sum ≤ L.sum}
hs₀ : 0 ∈ s
hsne : s.Nonempty
M : ℕ
hMl : M ≤ l.length
hMs : IsGreatest s M
⊢ ∃ z z', d x z ≤ L.sum ∧ d z z' ≤ L.sum ∧ d z' y ≤ L.sum
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
v : V
left✝ : v ∈ univ
ht : (image (fun v => G.degree v) univ).min = ↑(G.degree v)
⊢ ∃ v, G.minDegree = G.degree v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.isoRestrict f).inv ≫ f = Y.ofRestrict ⋯
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hn : Even n
⊢ multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑n
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K✝ : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
hne : φ.NeBot
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hK : IsCompact K
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hK4 : cthickening δ K ⊆ U
h : TendstoUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
⊢ TendstoUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (_root_.deriv f) φ K
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
s t : SummableFamily Γ R α
g : Γ
⊢ ∑ᶠ (i : α), ((s i).coeff g + (t i).coeff g) = ∑ᶠ (i : α), (s i).coeff g + ∑ᶠ (i : α), (t i).coeff g
α β : Type u
⊢ #↑{f | Function.Surjective f} = 0 ↔ #α < #β ∨ #α ≠ 0 ∧ #β = 0
a b c : ℚ
⊢ a * (b + c) = a * b + a * c
R : Type u_1
CommRing R
Fintype R
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ p ∣ ringChar R ↔ p ∣ Fintype.card R
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : s =ᵐ[μ] ∅
⊢ s ∪ t =ᵐ[μ] t
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
⊢ (lift R) ((lift R).symm g) = g
α : Type u_1
LE α
s : Flag α
⊢ { carrier := ↑s, Chain' := ⋯, max_chain' := ⋯ } = s
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s✝ : (a : α) → Finset (γ a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (δ a)
s : (i : α) → Finset (δ i)
i : α
t : Finset (δ i)
hts : t ⊆ s i
f : (a : α) → δ a
⊢ (∀ (a : α), f a ∈ update s i t a) ↔ (∀ (a : α), f a ∈ s a) ∧ f i ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
f : β → α
hf : MeasurableEmbedding f
hf' : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∈ Set.range f
⊢ MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (MeasureTheory.Measure.comap f μ)
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P✝ P : R[X]
N : ℕ
hN : P.natDegree ≤ N
h : ∀ (i : ℕ), IsNilpotent ((reflect N P).coeff i)
i : ℕ
hi : N < i
⊢ IsNilpotent (P.coeff i)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m✝ : ℕ
h✝ : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
h1 : ¬orderOf x = 1
m : ℕ
h : n * m % orderOf x = 1
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x
ι : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ F
b : Basis ι ℝ E
e : E ≃ₗ[ℝ] F
⊢ (b.map e).parallelepiped = TopologicalSpace.PositiveCompacts.map ⇑e ⋯ ⋯ b.parallelepiped
G : Type u_1
Group G
H K L : Subgroup G
hH : H ≤ L
hK : K ≤ L
⊢ H.subgroupOf L ⊔ K.subgroupOf L = (H ⊔ K).subgroupOf L
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
⊢ Kᗮ = ⊤ → K = ⊥
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k m : ℕ
h : k ≠ m
x y : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m).support.card = 2
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
n : ℤ
⊢ ((coeHom K).comp (map ↑(algebraMap (𝓞 K) K))) (x ^ n) = (algebraMap (𝓞 K) K) ↑x ^ n
α : Type u
a : α
s : Stream'.WSeq α
⊢ (Stream'.WSeq.cons a s).toList = (List.cons a <$> s.toList).think
α : Type u
β : Type v
ConditionallyCompleteLinearOrder α
f : β → α
s : Set β
x₀ : β
hx₀ : x₀ ∈ s
h : IsMinOn f s x₀
⊢ ⨅ x, f ↑x = f x₀
G : Type u
AddMonoid G
⊢ AddMonoid.exponent ↥⊤ = AddMonoid.exponent G
n : Type u_12
m : Type u_13
m' : Type u_15
R : Type u_17
CommSemiring R
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
Fintype m'
DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
f : (m' → R) →ₗ[R] m → R
⊢ (LinearMap.toMatrix₂' R) (B.compl₂ f) = (LinearMap.toMatrix₂' R) B * LinearMap.toMatrix' f
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l l₁ l₂ : List α}, l.Disjoint (l₁ ++ l₂) ↔ l.Disjoint l₁ ∧ l.Disjoint l₂
x y : ℝ*
r s : ℝ
hxr : x.IsSt r
hys : y.IsSt s
⊢ (x - y).IsSt (r - s)
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s : Finset α
⊢ s ⊼ ∅ = ∅
α : Type u_2
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
a b c : α
⊢ Finset.image (fun x => c + x) (Finset.Icc a b) = Finset.Icc (c + a) (c + b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
⊢ μ (s ∪ t) < ⊤ ↔ μ s < ⊤ ∧ μ t < ⊤
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
h : IsClosed t
⊢ interior (s ∪ t) ⊆ interior s ∪ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ⟪x, y⟫_𝕜 = (↑‖x + y‖ ^ 2 - ↑‖x - y‖ ^ 2 + (↑‖x - I • y‖ ^ 2 - ↑‖x + I • y‖ ^ 2) * I) / 4
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.432420, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
X : HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)
h : IsZero ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj (CochainComplex.mappingCone (𝟙 X)))
⊢ contractibleTriangle { as := X } ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh (𝟙 X)
z : ℂ
⊢ abs z ^ 2 - z.im ^ 2 = z.re ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : CompleteSpace α
⊢ Multipliable f ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set β), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ ↑p ^ (n + 1) * WittVector.wittMul p (n + 1) =
  -(↑p ^ (n + 1) * MvPolynomial.X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * MvPolynomial.X (1, n + 1)) +
        ↑p ^ (n + 1) * MvPolynomial.X (0, n + 1) * (MvPolynomial.rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) +
      ↑p ^ (n + 1) * MvPolynomial.X (1, n + 1) * (MvPolynomial.rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) +
    (WittVector.remainder p n - WittVector.wittPolyProdRemainder p (n + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
f g : α → β
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m g μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (f - g) μ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → MeasureTheory.Integrable (fun x => x ^ n • f x) MeasureTheory.volume
hn : ↑n ≤ N
⊢ iteratedDeriv n (𝓕 f) = 𝓕 fun x => (-2 * ↑π * Complex.I * ↑x) ^ n • f x
ι : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
I₀ : WithTop (BoxIntegral.Box ι)
⊢ ⇑0 = 0
α : Type u
a✝ : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
IH : ∀ m < d, m ∣ Fintype.card α → 0 < (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card → (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card = φ m
hd : d ∣ Fintype.card α
hpos : 0 < (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card
hd0 : d ≠ 0
a : α
ha' : a ∈ filter (fun a => orderOf a = d) univ
ha : orderOf a = d
⊢ (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card = φ d
R : Type u_1
Semiring R
⊢ (PowerSeries.constantCoeff R).comp (PowerSeries.C R) = RingHom.id R
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ sInf {a | ∀ᵐ (n : α) ∂μ.trim hm, f n ≤ a} = sInf {a | ∀ᵐ (n : α) ∂μ, f n ≤ a}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
⊢ κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η = κ
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E✝ : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E✝
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
D_comp : CompactSpace ↑D
π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val
π₁_cont : Continuous π₁
π₁_surj : Surjective π₁
E : Set ↑D
left✝ : CompactSpace ↑E
E_onto : π₁ '' E = univ
E_min : ∀ (E₀ : Set ↑E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → E.restrict π₁ '' E₀ ≠ univ
ρ : ↑E → A := E.restrict π₁
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Surjective ρ
ρ' : ↑E ≃ₜ A := ExtremallyDisconnected.homeoCompactToT2 ρ_cont ρ_surj E_min
π₂ : ↑D → B := Prod.snd ∘ Subtype.val
π₂_cont : Continuous π₂
⊢ f ∘ E.restrict π₂ = φ ∘ ⇑ρ'
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
h : W ⊓ W' = ⊥ ∧ W ⊔ W' = ⊤
⊢ dualAnnihilator W ⊓ dualAnnihilator W' = ⊥ ∧ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W' = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
eq : ∀ (a : α), ↑(toSimpleFunc f).posPart a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0
ae_eq : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑(toSimpleFunc (posPart f)) a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0
⊢ ↑(toSimpleFunc (posPart f)) =ᶠ[ae μ] ↑(toSimpleFunc f).posPart
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ 1 / a < b ↔ 1 / b < a
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
k : ℤ
⊢ ↑(eval k (descPochhammer ℤ n)) = eval (↑k) (descPochhammer R n)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ P, IsAssociatedPrime P M ∧ (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
s₁ s₂ : Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)
⊢ span (Subtype.val '' s₁) ⊔ span (Subtype.val '' s₂) = span (Subtype.val '' s₁ ∪ Subtype.val '' s₂)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
hy : y ∈ s
⊢ s.WOppSide x z
v i : Nat
x : BitVec v
⊢ (~~~x).getLsb i = (decide (i < v) && !x.getLsb i)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
⊢ (Fin.tail fun k => q k) = fun k => q k.succ
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hgf : f =o[l] g
⊢ Asymptotics.IsBigOWith 1 l f g
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
φ : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ
h : ∀ (n : ℕ), (bind₁ φ) (W_ ℤ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ
k : ℕ
⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) (φ k) = (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ k)
ι : Type u_1
s : Finset ι
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
π : ι → Type u_3
f g f' g' : (i : ι) → π i
(i : ι) → Preorder (π i)
hf : ∀ x ∈ s, f x ≤ f' x
hg : ∀ x ∉ s, g x ≤ g' x
⊢ s.piecewise f g ≤ s.piecewise f' g'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc E p μ)
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = ↑↑↑(-f) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑↑(-↑f) a✝ = (-↑↑↑f) a✝ → ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = (-↑(toSimpleFunc f)) a✝
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
⊢ a - b ≤ c ↔ a - c ≤ b
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi
this✝¹ : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra
this✝ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower F ↥M ↥L
⊢ sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a \ b ⊔ a = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
s : Set E
h₁ : ∀ ⦃c : 𝕜⦄, 0 < c → ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → c • x ∈ s
h₂ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x + y ∈ s
x : E
⊢ x ∈ { carrier := s, smul_mem' := h₁, add_mem' := h₂ } ↔ x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
as : Array α
motive : Nat → β → Prop
f : β → α → β
hf : ∀ (i : Fin as.size) (b : β), motive (↑i) b → motive (↑i + 1) (f b as[i])
i j : Nat
b : β
h₁ : j ≤ as.size
h₂ : as.size ≤ i + j
H : motive j b
⊢ motive as.size (Array.foldlM.loop f as as.size ⋯ i j b)
α : Type u_1
s : Set α
t : Set Bool
⊢ s.boolIndicator ⁻¹' t = Set.univ ∨ s.boolIndicator ⁻¹' t = s ∨ s.boolIndicator ⁻¹' t = sᶜ ∨ s.boolIndicator ⁻¹' t = ∅
α : Type u_1
Fintype α
⊢ Fintype.card α = 0 ↔ IsEmpty α
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : AdicCompletion I M → Prop
h : ∀ (f : AdicCauchySequence I M), p ((mk I M) f)
f : AdicCauchySequence I M
⊢ p ((mk I M) f)
z : ℂ
⊢ z.arg < π / 2 ↔ 0 < z.re ∨ z.im < 0 ∨ z = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
⊢ connectedComponentIn Set.univ x = connectedComponent x
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
x y : G
⊢ Inseparable ((Homeomorph.mulRight y⁻¹) x) ((Homeomorph.mulRight y⁻¹) y) ↔ Inseparable (x / y) 1
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α}, (ForInStep.done a).run = a
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
⊢ s ⊆ s
E : Type u_4
Group E
p q : GroupSeminorm E
x : E
⊢ (p + q) x = p x + q x
l : List ℕ
n : ℕ
⊢ (∃ s ∈ l.ranges, n ∈ s) ↔ n < l.sum
V : Type u
G : SimpleGraph V
hconn : G.Connected
u v : V
⊢ Set.univ.Nonempty
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →L[𝕜] E
hf : ‖f‖ ≤ 1
x : E
⊢ ∀ (x : ↥(LinearMap.eqLocus (↑f) 1)), (orthogonalProjection (LinearMap.eqLocus f 1)) ↑x = x
R : Type uR
Ring R
r : R → R → Prop
a b c : R
h : RingQuot.Rel r a b
⊢ RingQuot.Rel r (a - c) (b - c)
I : Type u
f : I → Type v₁
DecidableEq I
(i : I) → One (f i)
i i' : I
h : i ≠ i'
x : f i
⊢ Pi.mulSingle i x i' = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
F' : C ⥤ D
X : C
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.FunctorCategory.whiskerRight α F').app X = α.app X ▷ F'.obj X
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.HasLiftingProperty i p
f : A ⟶ X
g : B ⟶ Y
sq : CategoryTheory.CommSq f i p g
⊢ sq.HasLift
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
LinearOrder β
f : β → α
SecondCountableTopology α
⊢ {x | ∃ z < f x, ∀ (y : β), x < y → f y ≤ z}.Countable
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Zero M
l : List (ι →₀ M)
x : ι
⊢ x ∈ foldr (fun x x_1 => x.support ⊔ x_1) ∅ l ↔ ∃ f ∈ l, x ∈ f.support
m : Nat
⊢ Nat.lcm 0 m = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
A : C
⊢ ∀ (a g : CategoryTheory.Over A),
  a.coprodObj.obj g = CategoryTheory.Over.mk (CategoryTheory.Limits.coprod.desc a.hom g.hom)
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ ((foldr Q (changeFormAux Q' B) ⋯) (((foldr Q (changeFormAux Q' B) ⋯) 1) x)) ((ι Q) m) = (ι Q') m * (changeForm h) x - (contractLeft (B m)) ((changeForm h) x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
f : X ⟶ Y
Z : CategoryTheory.Dial C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Dial.tensorHom f (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z))
    (Y.braiding Z).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.braiding Z).hom
    (CategoryTheory.Dial.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z) f)
α : Type u_3
Ring α
a : α
n : ℤ
⊢ Commute (↑n * a) a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
⊢ ∃ c < Real.pi / (1 - 0), ∃ B, (fun x => invInterpStrip f x ε • f x) =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo 0 1)] fun z => Real.exp (B * Real.exp (c * |z.im|))
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : TopologicalSpace β] {p : α → Prop} {x_1 : DecidablePred p},
  MeasurableSet {a | p a} →
    MeasureTheory.StronglyMeasurable f →
      MeasureTheory.StronglyMeasurable g → MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => if p x then f x else g x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
a : α
⊢ (Associates.mk a).out = normalize a
⊢ ⇑(RelIso.symm Real.sinhOrderIso) = Real.arsinh
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
f g : Π₀ (i : ι), β i
i✝ : κ
⊢ (comapDomain' h hh' (f + g)) i✝ = (comapDomain' h hh' f + comapDomain' h hh' g) i✝
l : BoxIntegral.IntegrationParams
⊢ BoxIntegral.IntegrationParams.GP ≤ l
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i
⊢ (affineCombination k (filter pred s) p) w = (affineCombination k s p) w
n : ℕ
x : ℝ≥0∞
⊢ ↑(n • x) = n • ↑x
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : ι → Ω → ℝ
⊢ MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ ↔
  MeasureTheory.Adapted ℱ f ∧
    (∀ (i : ι), MeasureTheory.Integrable (f i) μ) ∧ ∀ (i j : ι), i ≤ j → 0 ≤ᵐ[μ] μ[f j - f i|↑ℱ i]
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
ρ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x₀ : M
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℝ A
φ : ι → M → A
⊢ ∑ i ∈ ρ.finsupport x₀, (ρ i) x₀ • φ i x₀ = ∑ᶠ (i : ι), (ρ i) x₀ • φ i x₀
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : W ⟶ X
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback f' (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
CategoryTheory.Limits.HasPullback (f' ≫ f) g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackRightPullbackFstIso f g f').hom ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst (f' ≫ f) g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst f' (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ xs ys : List α
⊢ List.filter p l₁ <:+: List.filter p (xs ++ l₁ ++ ys)
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ ∀ (x : ℝ≥0), ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞) in 𝓝 ⊤, ↑x < a ^ y
a b : SimplexCategory
f g : a.Hom b
⊢ f.toOrderHom = g.toOrderHom → f = g
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
h : i.castSucc < p
⊢ p.succAbove i = i.castSucc
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
x : ι → α
f : Filter α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
hxy : ∀ (ns : ℕ → ι), Tendsto ns atTop l → ∃ ms, Tendsto (fun n => x (ns (ms n))) atTop f
⊢ Tendsto x l f
s : Finset ℕ
⊢ Finset.equivBitIndices.symm s = ∑ i ∈ s, 2 ^ i
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁✝ c₂✝ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
c₁ c₂ : ℝ
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x * f₂ x‖ ≤ c₁ * c₂ * ‖g₁ x * g₂ x‖
α : Type u
Semiring α
P : Ideal α
hmax : ∀ (m : Ideal α), P < m → ¬m.IsMaximal
J : Ideal α
hPJ : P < J
⊢ J = ⊤