ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] N₂
i✝ : n
j✝ : m
⊢ (toMatrix₂ (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m)) B i✝ j✝ = (toMatrix₂' R) B i✝ j✝
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ Tendsto (logGammaSeq x) atTop (𝓝 (log (Gamma x)))
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ 0 < InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂))
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ X.OpenCover
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n
⊢ j ∉ Finset.univ → biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j ≫ (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
⊢ s.SOppSide x y ↔ ∃ a < 0, ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y
α : Type u_2
Group α
s : Set α
⊢ IsUnit s ↔ ∃ a, s = {a}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
h : f.IsUniversal
c : C
η : c ⟶ f.left
⊢ η = h.lift (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map η) f.hom))
x : ℝ
⊢ ↑(Real.cos x) = Complex.cos ↑x
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_3, u_1} C
B B' : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
i : B ⟶ B'
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ ≫ i = g₂ ≫ π a₂ ≫ i → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
a₁ a₂ : α
g₁ : Z ⟶ X a₁
g₂ : Z ⟶ X a₂
hg : g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂
⊢ g₁ ≫ π a₁ ≫ i = g₂ ≫ π a₂ ≫ i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMinOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ frontier (Ico a b) = {a, b}
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h_eq_inner : ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ⟪indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1, ↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f)⟫_𝕜
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ⟪indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1, f⟫_𝕜
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
⊢ ∃ i ∈ s, (H i).FiniteIndex ∧ (H i).index ≤ s.card
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
AddGroup G
LieAddGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
hf : Smooth I' I f
⊢ Smooth I' I fun x => -f x
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : IsUnit p.leadingCoeff
⊢ (h.unit⁻¹ • p).Monic
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
hm : n ∣ m
a₁✝ a₂✝ : DirichletCharacter R n
h : ∀ (a : (ZMod m)ˣ), ((changeLevel hm) a₁✝) ↑a = ((changeLevel hm) a₂✝) ↑a
z : (ZMod m)ˣ
⊢ a₁✝ ↑((ZMod.unitsMap hm) z) = a₂✝ ↑((ZMod.unitsMap hm) z)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
⊢ Module.rank (↥⊥) E = Module.rank F E
ι : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
Fintype ι
x : ι → R
⊢ (PiTensorProduct.constantBaseRingEquiv ι R) ((PiTensorProduct.tprod R) x) = ∏ i : ι, x i
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
⊢ 1 ≤ a / b ↔ b ≤ a
R : Type u_2
AddMonoid R
Γ : Type u_3
LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
⊢ (x + y).leadingCoeff = x.leadingCoeff
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
S : Type u_4
R : Type u_5
N : Type u_6
M : Type u_7
SetLike S R
SetLike N M
VAdd ιA ιB
SMul R M
A : ιA → S
B : ιB → N
SetLike.GradedSMul A B
a : R
b : M
⊢ SetLike.Homogeneous A a → SetLike.Homogeneous B b → SetLike.Homogeneous B (a • b)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Finset (Set X)
x✝ : ∀ u ∈ t, IsOpen u
⊢ (∀ u ∈ t, (s ∩ u).Nonempty) → (s ∩ ⋂₀ ↑t).Nonempty ↔ (¬∃ a ∈ t, s ⊆ aᶜ) → ¬s ⊆ ⋃ x ∈ ↑t, xᶜ
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x : X
hx : x ≠ RelSeries.last s
hxs : x ∈ s
⊢ x ∈ RelSeries.eraseLast s
M✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Monoid M✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace M✝
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : MeasurableMul₂ M
μ ν : Measure M
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite ν
⊢ map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod ν) = map (fun x => x.1 * x.2) (ν.prod μ)
s : ℂ
hs : s ≠ 0
⊢ (s + 1).Gammaℂ = s.Gammaℂ * s / 2 / ↑π
α : Type u
Primcodable α
Inhabited α
p : Set α
⊢ toNat p ≤₀ p
α : Type u
s t : Stream'.WSeq α
⊢ s ~ʷ t ↔ Computation.LiftRel (Stream'.WSeq.BisimO fun x x_1 => x ~ʷ x_1) s.destruct t.destruct
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
⊢ sᶜ ∈ μ.cofinite ↔ μ s < ⊤
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ IsGLB (Set.Icc a b) a
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = -1
⊢ x ≠ 0
a : ENNReal
⊢ a⁻¹ * a ≠ ⊤
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
n : ℕ
⊢ ‖newton_seq_gen hnorm (n + 1) - newton_seq_gen hnorm n‖ ≤
  ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
x : α
y : β
⊢ FreeMonoid.of x • y = f x y
R : Type x
NonUnitalNonAssocRing R
a b : R
h : Commute a b
⊢ a * a - b * b = (a - b) * (a + b)
G : Type u_1
H : Type u_2
LinearOrderedAddCommGroup G
OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : StrictAntiOn f (Set.Ici 0)
⊢ StrictAnti f
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x
⊢ P (↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
motive : (m : ℕ) → m ≤ n + 1 → Sort u_1
of_succ : (k : ℕ) → (h : k < n + 1) → motive (k + 1) h → motive k ⋯
self : motive (n + 1) ⋯
mn : m ≤ n
msn : m ≤ n + 1
⊢ leRec (motive := fun {n} mn => {motive : (m : ℕ) → m ≤ n → Sort u_1} → ((k : ℕ) → (h : k < n) → motive (k + 1) h → motive k ⋯) → motive n ⋯ → motive m mn) (fun {motive} of_succ self => self) (fun ⦃k⦄ h ih {motive} of_succ self => ih (fun i hi => of_succ i ⋯) (of_succ k ⋯ self)) msn of_succ self = leRec (motive := fun {n} mn => {motive : (m : ℕ) → m ≤ n → Sort u_1} → ((k : ℕ) → (h : k < n) → motive (k + 1) h → motive k ⋯) → motive n ⋯ → motive m mn) (fun {motive} of_succ self => self) (fun ⦃k⦄ h ih {motive} of_succ self => ih (fun i hi => of_succ i ⋯) (of_succ k ⋯ self)) mn (fun i hi => of_succ i ⋯) (of_succ n ⋯ self)
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, f i < 1
hs : s.Nonempty
⊢ ∏ i ∈ s, f i < 1
α : Type u_1
a b : α
Inv α
p : a = b
⊢ a⁻¹ = b⁻¹
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
this : (a : Prop) → Decidable a
hp : ¬p = 0
⊢ p.leadingCoeff ≠ 0
α : Type u
⊢ Additive.toMul.symm = Additive.ofMul
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
k : ℕ
_h : 0 < k + 2
⊢ Polynomial.eval a F ≠ 0
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (γ : G) (x : α), f (γ • x) = f x
⊢ essSup f (μ.restrict s) = essSup f μ
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R[X]
p : R[X]
hs : s.Nonempty
hp : p ∈ Submodule.span R s
⊢ ∃ p' ∈ s, p.degree ≤ p'.degree
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
⊢ ∅ᶜ = Finset.univ
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x : E
a b : 𝕜
⊢ Absorbs 𝕜 s t ↔ ∀ᶠ (c : 𝕜) in 𝓝[≠] 0, MapsTo (fun x => c • x) t s
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : CharZero 𝕜
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝³ : UniformSpace R
inst✝² : TopologicalRing R
inst✝¹ : CompleteSpace R
inst✝ : T2Space R
r : R
⊢ exp 𝕜 (r • ε) = 1 + r • ε
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
(k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
f₁ : ι → κ
f₂ : (i : ι) → σ i → τ (f₁ i)
⊢ Continuous (Sigma.map f₁ f₂) ↔ ∀ (i : ι), Continuous (f₂ i)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
⊢ ∃ u ⊆ t, u.Countable ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ μ (s \ ⋃ a ∈ u, B a) = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α
⊢ image compl (s ⊼ t) = image compl s ⊻ image compl t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : 𝕜 → 𝕜
f : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
hf : MeromorphicOn f U
⊢ MeromorphicOn (s • f) U
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
⊢ ((fun x x_1 => x ⊆ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ⊆ x_1) r.image r.image
α : Type u_2
β : α → Type u_1
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (β a)
acc✝ : Array ((a : α) × β a)
a✝ : α
⊢ (foldl (fun acc b => acc.push ⟨a✝, b⟩) acc✝ (l₂ a✝)).data = acc✝.data ++ map (Sigma.mk a✝) (l₂ a✝)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A : CommMon_ C
⊢ (𝟙 A).hom = 𝟙 A.X
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubgroup (AddUnits M)
x : M
h : x ∈ S.ofAddUnits
⊢ ↑(S.addUnit_of_mem_ofAddUnits h) = x
k : ℕ
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h'r : r < 1
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑n ^ k * r ^ n) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α := {x | ¬∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a}
hs : s = {x | ∃ᶠ (x : Set α) in v.filterAt x, μ x = 0}
f : α → Set (Set α) := fun x => {a | μ a = 0}
h : v.FineSubfamilyOn f s
⊢ μ s = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
f g : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
h : ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f) =ᵐ[μ] ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc g)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f = MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T g
α : Type u
x : α
BooleanAlgebra α
Nontrivial α
⊢ xᶜ < x ↔ x = ⊤
X : Type u_7
Y : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
self : PartialHomeomorph X Y
⊢ ContinuousOn (↑self.toPartialEquiv) self.source
R : Type u
CommRing R
P Q : Fin 3 → R
h : P ≈ Q
⊢ P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ (F.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.id b)).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).hom)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (F.map f)).inv
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (F.mapId b).inv))
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : Module.End R M
⊢ IsUnit f ↔ Function.Bijective ⇑f
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
⊢ ↑a ^ (p / 2) * ↑(p / 2)! =
  (-1) ^ (Finset.filter (fun x => ¬(↑a * ↑x).val ≤ p / 2) (Finset.Ico 1 (p / 2).succ)).card * ↑(p / 2)!
a b c : EReal
⊢ a * (b * c⁻¹) = a * b * c⁻¹
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝕜' : Type u_6
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
c' : E →L[𝕜] 𝕜'
hc : HasFDerivAt c c' x
f : F
⊢ HasFDerivAt (fun y => c y • f) (c'.smulRight f) x
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R
⊢ Aᴴ * A * B = 0 ↔ A * B = 0
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h_nhds : ∀ (a : α), (𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ s ∧ a ∈ t) id
t₁ : Set α
ht₁ : t₁ ∈ s
t₂ : Set α
ht₂ : t₂ ∈ s
x : α
hx : x ∈ t₁ ∩ t₂
⊢ ∃ t₃ ∈ s, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C
⊢ (({ obj := FunctorExtension₁.obj, map := fun {X Y} => FunctorExtension₁.map }.map (φ ≫ φ')).app P).f = (({ obj := FunctorExtension₁.obj, map := fun {X Y} => FunctorExtension₁.map }.map φ ≫ { obj := FunctorExtension₁.obj, map := fun {X Y} => FunctorExtension₁.map }.map φ').app P).f
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 < RCLike.re ⟪x, T x⟫_𝕜
v : E
hv : HasEigenvector T (↑μ) v
hpos : 0 < ‖v‖ ^ 2
this : RCLike.re ⟪v, T v⟫_𝕜 = μ * ‖v‖ ^ 2
⊢ 0 < μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet {p | p.2 ∈ s}
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ Tendsto (fun i => (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
h : ∞ ∉ s
⊢ IsOpen s ↔ IsOpen (some ⁻¹' s)
C : Type u_1
D : Type u_5
H : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} H
F : CategoryTheory.Functor C H
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
F.HasRightDerivedFunctor W
⊢ L.HasLeftKanExtension F
A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ SpectrumRestricts (r • a) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
F : Type u_3
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
FunLike F A 𝕜
AlgHomClass F 𝕜 A 𝕜
f : F
a : A
⊢ ‖f a‖ ≤ ‖a‖ * ‖1‖
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
a : R
⊢ (X - C a).degree = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
X Y : C
e : X ≅ Y
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
Z : D
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map e.inv).app Z) ((F.map e.hom).app Z) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.obj Y).obj Z)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A L
this✝¹ : Module.Free A C
this✝ : IsNoetherian A C
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid C A⁰) L
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex A C) K L := Basis.localizationLocalization K A⁰ L (Module.Free.chooseBasis A C)
⊢ FiniteDimensional.finrank A C = FiniteDimensional.finrank K L
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ a * b = a ↔ b = 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g hg x))
R : Type u
M : Type v
SMul R M
self : SubMulAction R M
c : R
x : M
⊢ x ∈ self.carrier → c • x ∈ self.carrier
R : Type u_3
CommRing R
r : R
⊢ (MvPolynomial.counit R) (MvPolynomial.X r) = r
α : Type u
a : α
s : Stream'.WSeq α
⊢ Stream'.Seq.destruct (Stream'.WSeq.cons a s) = some (some a, s)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Multiset α
d : s.Nodup
⊢ a ∈ s - t ↔ a ∈ s ∧ a ∉ t
R : Type u_2
LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
⊢ a ^ n = b ^ n ↔ n = 0 ∨ a = b ∨ a = -b ∧ Even n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
F.ReflectsMonomorphisms
α : F ≅ G
⊢ G.ReflectsMonomorphisms
K : Type u_1
CommRing K
FirstOrder.Ring.CompatibleRing K
n : ℕ
v : Empty → K
⊢ FirstOrder.Language.Formula.Realize (FirstOrder.Field.eqZero n) v ↔ ↑n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
n : ℕ
⊢ SuperpolynomialDecay l k (f * k ^ n) ↔ SuperpolynomialDecay l k f
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B
⊢ adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = G₂.map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ G₂.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ G₂.map (R₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) ≫ adj₃.unit.app (G₂.obj (R₂.obj (H₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj (H₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj b)))
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Monoid (G i)
Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
i : ι
x : H
⊢ (Monoid.PushoutI.of i) ((φ i) x) = (Monoid.PushoutI.base φ) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
a : C
x : F.obj a
⊢ (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductIso F G).inv.app a (Sum.inl x) = CategoryTheory.Limits.coprod.inl.app a x
α : Sort u_2
β : Sort u_1
f : α → β
p : β → Prop
⊢ (∀ (b : β) (a : α), b = f a → p b) ↔ ∀ (a : α), p (f a)
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f g : A →A[R] B
⊢ f = g ↔ ∀ (x : A), f x = g x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
⊢ s ∈ memberSubfamily a 𝒜 ↔ insert a s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
AddGroup G
LieAddGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
n : ℕ∞
f : M → G
hf : ContMDiff I' I n f
⊢ ContMDiff I' I n fun x => -f x
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
a b : M
h : QuadraticMap.IsOrtho Q a b
⊢ (CliffordAlgebra.ι Q) a * ((CliffordAlgebra.ι Q) b * x) = -((CliffordAlgebra.ι Q) b * ((CliffordAlgebra.ι Q) a * x))
R✝ : Type u
M : Type v
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R✝ M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝⁷ : StrongRankCondition R✝
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : IsDomain S
inst✝² : Algebra R S
n : Type u_3
m : Type u_4
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
b : Basis n R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
c : Basis m R ↥I
⊢ Fintype.card m = Fintype.card n
α : Type u_2
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ a ∈ [[a, b]]