ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq E
s : Set E
⊢ Orthonormal 𝕜 Subtype.val ↔ ∀ v ∈ s, ∀ w ∈ s, ⟪v, w⟫_𝕜 = if v = w then 1 else 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ (r • j).negPart = (-r).toNNReal • j.posPart
R : Type u_1
S : Type v₃
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
CommSemiring R'
CommSemiring S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R' S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
H : Algebra.IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
Semiring A
Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
⊢ ∀ (H_1 : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x) (x : R'),
  (Algebra.pushoutDesc S' f g H_1) ((algebraMap R' S') x) = g x
α : Type u_1
β : Type u_2
n d✝ k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
d : ℕ
x y : Fin n → ℕ
h : x ≤ y
⊢ ∑ i : Fin n, x i * d ^ ↑i ≤ ∑ i : Fin n, y i * d ^ ↑i
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
self : Module.Baer.ExtensionOf i f
⊢ LinearMap.range i ≤ self.domain
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hg : UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε2 : 0 < ε / 2
δ₁ : ℝ
hδ₁_pos : 0 < δ₁
hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
δ₂ : ℝ
hδ₂_pos : 0 < δ₂
hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
hε_halves : ENNReal.ofReal ε = ENNReal.ofReal (ε / 2) + ENNReal.ofReal (ε / 2)
⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ + eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) + ENNReal.ofReal (ε / 2)
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
x : B × F
⊢ x ∈ e.target ↔ x.1 ∈ e.baseSet
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
p : ℕ
ExpChar M p
IsPRadical i p
PerfectRing M p
⊢ Function.Injective fun f => f.comp i
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp η (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor g).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).inv
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η (CategoryTheory.CategoryStruct.id b))
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
⊢ ∃ B, (fun x => invInterpStrip f x ε • f x) =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo 0 1)] fun z => Real.exp (B * Real.exp (0 * |z.im|))
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
i' : Δ'' ⟶ Δ'
i : Δ' ⟶ Δ
inst✝¹ : Mono i'
inst✝ : Mono i
h₁ : ¬Δ = Δ'
h₂ : ¬Δ' = Δ''
k : ℕ
hk : Δ.len = Δ'.len + k + 1
k' : ℕ
hk' : Δ'.len = Δ''.len + k' + 1
eq : Δ.len = Δ''.len + (k + k' + 2)
⊢ Δ ≠ Δ''
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : C(AddCircle T, ℂ)
h : Summable (fourierCoeff ⇑f)
sum_L2 : HasSum (fun i => fourierCoeff (⇑f) i • fourierLp 2 i) ((toLp 2 haarAddCircle ℂ) f)
⊢ Summable fun a => ‖fourierCoeff (⇑f) a‖
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
hf : IsNilpotent f
⊢ X.toRingedSpace.basicOpen f = ⊥
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0
⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
h : e.source = Set.univ
h' : e.target = Set.univ
⊢ ⇑(e.toHomeomorphOfSourceEqUnivTargetEqUniv h h').symm = ↑e.symm
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} (π : ι → Set (Set Ω)) (μ : MeasureTheory.Measure Ω),
  ProbabilityTheory.iIndepSets π μ ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → μ (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, μ (f i)
α : Type u
β : Type v
R : α → α → Prop
f : β → α
l : List β
⊢ List.Chain' R (List.map f l) ↔ List.Chain' (fun a b => R (f a) (f b)) l
P : TopCat → Prop
X Y : CompHausLike P
f : X ≅ Y
a : ↑X.toTop
⊢ (CompHausLike.homeoOfIso f) a = f.hom a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
LieModule.LinearWeights R L M
χ : L → R
x : L
⊢ (LieModule.toEnd R L ↥↑(LieModule.shiftedWeightSpace R L M χ)) x =
  (LieModule.shiftedWeightSpace.shift R L M χ).conj
    ((LieModule.toEnd R L ↥↑(LieModule.weightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id)
R : Type u
Semiring R
ι : Type u_1
l : List ι
f : ι → R[X]
n : ℕ
⊢ (List.map f l).sum.coeff n = (List.map (fun a => (f a).coeff n) l).sum
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
⊢ M.Dep (insert e I) ↔ e ∈ M.closure I \ I
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t✝ u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s t : Set H
x : H
f : H → H'
hu : s =ᶠ[𝓝 x] t
o : Set H
host : o ⊆ {x | (fun x => x ∈ s ↔ x ∈ t) x}
ho : IsOpen o
hxo : x ∈ o
⊢ P f s x ↔ P f t x
α : Sort u_1
a b : Erased α
h : a.out = b.out
⊢ a = b
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1
h₃ : ↑k + ↑m < ↑j
h₄ : ↑j < ↑k + ↑m + ↑1
⊢ False
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e e' : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
h : ∀ (x : P₁), e x = e' x
⊢ e = e'
m n✝ n : ℕ
⊢ -last n = 1
G : Type u_1
M : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Fintype G
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : DecidableEq M
inst✝¹ : FunLike F G M
inst✝ : MonoidHomClass F G M
f : F
x y : G
⊢ (filter ((fun g => f g = f x) ∘ ⇑(Equiv.toEmbedding (Equiv.mulRight y⁻¹))) univ).card = (filter (fun g => f g = f ((fun x_1 => x * x_1) y)) univ).card
α : Type u
Add α
Preorder α
a b : WithZero (Multiplicative α)
⊢ WithZero.toMulBot a ≤ WithZero.toMulBot b ↔ a ≤ b
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤) n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 : map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠ 0
this : Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin (↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor))) = Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor)))
⊢ Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor))) = ⊤
α : Type u_1
IdemSemiring α
a b : α
⊢ a + b = a ⊔ b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ mfderiv I I'' (g ∘ f) x = (mfderiv I' I'' g (f x)).comp (mfderiv I I' f x)
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : V
e : EuclideanSpace ℝ (Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ V)) ≃ₗᵢ[ℝ] V := (stdOrthonormalBasis ℝ V).repr.symm
v : EuclideanSpace ℝ (Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ V))
⊢ ((fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ)) ∘ ⇑e) v = cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪e.symm w, v⟫_ℝ)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
b c d : α
n : ℤ
b0 : 0 ≤ b
a0 : 0 ≤ -b
⊢ -b = b
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁵ : Ring k
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1
inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1
inst✝¹² : AddCommGroup V2
inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3
inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁸ : Module k V1
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
⊢ f = g
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h : ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q] [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = g
g : N →ₗ[S] ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M)
hg : ↑R g ∘ₗ f = ↑ULift.moduleEquiv.symm ∘ₗ (mk R S M) 1
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N := TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))).toLinearMap.flip f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N := { toAddHom := f'.toAddHom, map_smul' := ⋯ }
⊢ Function.Bijective ⇑f'
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
x : R
⊢ toMatrix' ((algebraMap R (Module.End R (n → R))) x) = (scalar n) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C (Type w)
τ₁ : F₁ ⟶ F
τ₂ : F₂ ⟶ F
a : C
x : (CategoryTheory.FunctorToTypes.coprod F₁ F₂).obj a
⊢ (CategoryTheory.FunctorToTypes.coprod.desc τ₁ τ₂).app a x =
  Sum.casesOn (motive := fun t => x = t → F.obj a) x (fun x_1 h => τ₁.app a x_1) (fun x_1 h => τ₂.app a x_1) ⋯
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ mabs a = 1 ↔ a = 1
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
h : G.CliqueFree n
v w : α
⊢ (G ⊔ SimpleGraph.edge v w).CliqueFree (n + 1)
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
⊢ Irreducible ↑p
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
s : Set M
⊢ LieSubmodule.lieSpan R L s = ⊥ ↔ ∀ m ∈ s, m = 0
α : Type u_1
γ : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → γ
g : β → γ
x : β
⊢ Sum.elim f g (Sum.inr x) = g x
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℝ
⊢ rexp (log (x ^ y)) = rexp (y * log x)
α : Type u_1
s : Multiset α
a✝ a : α
⊢ s ⋖ a ::ₘ s
α : Type u_1
β : Type u_2
G H✝ : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
H : SimpleGraph β
f : H ↪g G
h : G.CliqueFree n
⊢ H.CliqueFree n
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
r : R
i j : ℕ
h : i ≤ j
f_compat : (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ i))).comp (f j) = f i
⊢ ↑(nthHom f r j) - ↑(nthHom f r i) = 0
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
h1 : (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ Group.rank ↥(closureCommutatorRepresentatives G)
h2 : Nat.card ↥(_root_.commutator ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) ∣ (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ^ ((center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index * Nat.card ↑(commutatorSet G) + 1)
⊢ Nat.card ↥(_root_.commutator G) ≤ cardCommutatorBound (Nat.card ↑(commutatorSet G))
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a : α
hs : s.Pairwise r
hr : Symmetric r
ha : a ∉ s
h : ∀ b ∈ s, r a b
⊢ (insert a s).Pairwise r
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝ : Algebra R F
pb : PowerBasis R S
hf : Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)
⊢ (algebraMap R F) ((norm R) pb.gen) = ((minpoly R pb.gen).aroots F).prod
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ maximalAtlas M G
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source
f : PartialHomeomorph M H := chartAt H (↑e.symm x)
s : Set H := e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' f.source
hs : IsOpen s
xs : x ∈ s
A : e.symm ≫ₕ f ∈ G
B : f.symm ≫ₕ e' ∈ G
⊢ (e.symm ≫ₕ e').restr s ∈ G
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc α ℝ := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun x_1 => ↑(fs x_1) x) atTop (𝓝 (f x))
hμ : ¬μ = 0
⊢ μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : β → α
hf : Surjective f
eq : f ⁻¹' s = f ⁻¹' t
⊢ s = t
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
φ : M ↪ₑ[L] N
⊢ Function.Injective ⇑φ
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ y₁ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
x₂ y₂ : F
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂
⊢ (match some h₁ + some h₂ with | zero => 0 | some h => Additive.ofMul (ClassGroup.mk (CoordinateRing.XYIdeal' h))) = Additive.ofMul (ClassGroup.mk (CoordinateRing.XYIdeal' h₁)) + Additive.ofMul (ClassGroup.mk (CoordinateRing.XYIdeal' h₂))
d : ℤ
b c : ℤ√d
hb : Pell.IsPell b
hc : Pell.IsPell c
⊢ Pell.IsPell (b * c)
M : Type u_1
Monoid M
ι : Sort u_2
f : ι → Subgroup Mˣ
⊢ (iSup f).ofUnits = ⨆ i, (f i).ofUnits
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x✝ : G
⊢ (0 ⋆[L, μ] g) x✝ = 0 x✝
F : Type u
Field F
DecidableEq F
h2 : NeZero 2
⊢ EllipticCurve.ofJ 1728 = EllipticCurve.ofJ1728 F
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
AddGroup β
ContinuousNeg β
l : Filter α
f : α → β
hf : l.ZeroAtFilter f
⊢ l.ZeroAtFilter (-f)
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : UniformSpace K
inst✝² : TopologicalDivisionRing K
inst✝¹ : CompletableTopField K
inst✝ : UniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this : T1Space (hat K)
f : hat K → hat K := fun x => x * x.hatInv
c : K → hat K := fun x => ↑K x
⊢ f x = 1
α : Type u
β : Type v
AddSemigroup β
f : α → β
x : α
⊢ (FreeAddSemigroup.lift f) (FreeAddSemigroup.of x) = f x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
f✝ : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither α F
f : α → 𝕜 → F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
hF : SecondCountableTopology F
⊢ StronglyMeasurable fun p => deriv (f p.1) p.2
R : Type u_1
CommSemiring R
p q : Polynomial R
r : R
NoZeroDivisors R
⊢ (p * q).scaleRoots r = p.scaleRoots r * q.scaleRoots r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β
g : γ → δ
x : α × γ
⊢ (Prod.map f g x).fst = f x.fst
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (p₂ -ᵥ y) (z -ᵥ p₃)
⊢ s.WSameSide x z
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ cs.wordProd (take j ω) * (Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * (cs.wordProd (take j ω))⁻¹ * cs.wordProd (take (j + 1) ω ++ drop (j + 1) ω) = cs.wordProd (take j ω ++ drop (j + 1) ω)
α : Sort u_1
p : α → Prop
a1 a2 : { x // p x }
⊢ a1 = a2 ↔ ↑a1 = ↑a2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
w : CategoryTheory.CommSq f g inl inr
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit w.cocone
⊢ CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ List.SublistForall₂ R l₁ l₂ ↔ ∃ l, List.Forall₂ R l₁ l ∧ l.Sublist l₂
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
p : k[G] → Prop
f : k[G]
hM : ∀ (g : G), p ((of k G) (Multiplicative.ofAdd g))
hadd : ∀ (f g : k[G]), p f → p g → p (f + g)
hsmul : ∀ (r : k) (f : k[G]), p f → p (r • f)
⊢ p 0
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
h : μ s ≠ 0
d : AddCircle T
I : ι → Set (AddCircle T) := fun j => closedBall d (T / (2 * ↑(n j)))
hd : Tendsto (fun j => μ (s ∩ I j) / μ (I j)) l (𝓝 1)
j : ι
hj : 0 < n j
this : addOrderOf (u j) = n j
huj : IsOfFinAddOrder (u j)
⊢ μ (s ∩ I j) / μ (I j) = μ s / ENNReal.ofReal T
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x z
H2 : x ∣ y * z
a b : R
H : a * x + b * z = 1
⊢ x ∣ y * a * x + b * (y * z)
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
hsep : IsSeparable k x
h : (minpoly k x).degree = 1
⊢ (algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
⊢ Polynomial.cyclotomic n R ∣ Polynomial.X ^ n - 1
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ ((α_ R.X R.X P.X).inv ≫ R.mul ▷ P.X) ≫ P.actLeft = R.X ◁ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ≫ P.actLeft
F : Type u → Type u
self : QPF F
α : Type u
x : F α
⊢ QPF.abs (QPF.repr x) = x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
f' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => Complex.sinh (f x)) (Complex.cosh (f x) • f') x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x y : V
⊢ (∀ (n : V), (∃ a, a • x = n) → B.IsOrtho n y) ↔ (B.toLinHomAux₁ x) y = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ (a : S) (x : Ω[S⁄R]), f x = f' x → f (a • x) = f' (a • x)
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
⊢ ∃ ω, ω.length = cs.length w ∧ w = cs.wordProd ω
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
hs : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
ht : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G t μ
⊢ μ s = μ t
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsTrail
⊢ p.reverse.IsTrail