ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
f : ℝ → ℝ
f' x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' (Set.Ici x) x
hr : f' < r
⊢ ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
U : Set α
hu : U.Nontrivial
h : ∀ (t t' : Set α), IsClosed t → IsClosed t' → U ⊆ t ∪ t' → (U ∩ t).Nonempty → (U ∩ t').Nonempty → (U ∩ (t ∩ t')).Nonempty
x : α
hx : x ∈ U
⊢ (U ∩ closure (U \ {x})).Nonempty
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
c : B
f : a ⟶ b
⊢ ∀ {X Y : b ⟶ c} (x : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Bicategory.precomp c f).map x = CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f x
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
H : ∀ (i : 𝒰.J), CompactSpace ↑↑(𝒰.obj i).toPresheafedSpace
val✝ : Fintype 𝒰.J
i : 𝒰.J
⊢ IsCompact (Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base)
α : Type u
l✝ l' l : List α
h : 0 < l.cyclicPermutations.length
⊢ l.cyclicPermutations.head ⋯ = l
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
⊢ Integrable (fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal • f x) ν ↔ Integrable f μ
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
x : B
⊢ Embedding (Bundle.TotalSpace.mk x)
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}
ht : IsClosed t
htI : Disjoint t (setOfIdeal I)ᶜ
g' : C(X, ℝ≥0)
hI' : (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g' ∈ I
hgt' : ∀ x ∈ t, 0 < g' x
c : ℝ≥0
hc : c > 0
hgc' : ∀ y ∈ t, c ≤ g' y
g : C(X, ℝ≥0)
hg : ∀ (x : X), (g * g') x ≤ 1
hgc : Set.EqOn (⇑(g * g')) 1 {x | c ≤ g' x}
⊢ (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp (g * g') = (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g * (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g'
E' : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E'
x₀ : E'
m : ℕ
h : 1 < m
⊢ (fun x => ‖x - x₀‖ ^ m) =o[𝓝 x₀] fun x => x - x₀
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = ∠ p₄ p₅ p₆
hs : (∡ p₁ p₂ p₃).sign = (∡ p₄ p₅ p₆).sign
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₄ p₅ p₆
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
⊢ ↑e.toPartialHomeomorph.symm = ⇑e.symm
G : Type u
AddGroup G
⊢ AddMonoid.exponent ↥⊤ = AddMonoid.exponent G
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyCompactSpace H
⊢ LocallyCompactSpace M
𝕜 : Type u_1
NNNorm 𝕜
Nonempty 𝕜
E : Type u_2
Zero E
SMulZeroClass 𝕜 E
x : E
⊢ egauge 𝕜 0 x = ⊤ ↔ x ≠ 0
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
Hf : AntitoneOn f t
Hst : s ⊆ t
⊢ (upperBounds s ∩ t).Nonempty → BddBelow (f '' s)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ : ι → TopologicalSpace β
⊢ Continuous f ↔ ∀ (i : ι), Continuous f
α : Type u_1
m : Multiset α
a : α
r : α → α → Prop
n : ℕ
⊢ Multiset.Rel r m (Multiset.replicate n a) ↔ Multiset.card m = n ∧ ∀ x ∈ m, r x a
α : Type u
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.filter p l ⊆ l
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Subsingleton M
f : M →ₗ[R] M
⊢ LinearMap.det f = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩ x‖₊ ≤ ‖f‖₊
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
x y z : Finmap β
⊢ (x ∪ y).Disjoint z ↔ x.Disjoint z ∧ y.Disjoint z
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
SecondCountableTopology X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
⊢ ∃ T, T.Countable ∧ (∀ u ∈ T, IsOpen u) ∧ s ⊆ ⋃ u ∈ T, u ∧ ∀ u ∈ T, MeasureTheory.IntegrableOn f (u ∩ s) μ
x y : ℤ
x' y' d : ℕ
hx : x.natAbs = x'
hy : y.natAbs = y'
h : x'.gcd y' = d
⊢ x.gcd y = d
α : Type u_2
SemilatticeInf α
OrderTop α
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (s.erase ⊤).inf id = s.inf id
M : Type u
Monoid M
⊢ (𝟙_ (CategoryTheory.Discrete M)).as = 1
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ab : a ≤ b
c : ℤ√↑d
⊢ (c + b - (c + a)).Nonneg
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
m n k : α
⊢ gcd m n ∣ gcd (m * k) n
α : Type u_1
p q : PMF α
⊢ p = q ↔ ∀ (x : α), p x = q x
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
s : Set α
h : ∀ a ∈ s, f a = g a
⊢ f '' s = g '' s
α : Type u_1
inst✝² : Ring α
n₁ n₂ : ℤ
a₁ a₂ : α
inst✝¹ : Invertible a₁
inst✝ : Invertible a₂
⊢ ↑n₁ * ⅟a₁ = ↑n₂ * ⅟a₂ ↔ ↑n₁ * a₂ = ↑n₂ * a₁
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
f : α → β
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
hf' : StrictAntiOn f s
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
K : Type u_1
LinearOrderedField K
x : { x // 0 < x }
⊢ ↑x⁻¹ = (↑x)⁻¹
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
CommRing R
CommRing S
CommRing A
f : R →+* S
g : S →+* A
hf : (RingHom.ker f).FG
hg : (RingHom.ker g).FG
hsur : Function.Surjective ⇑f
⊢ (RingHom.ker (g.comp f)).FG
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
s : ℂ
⊢ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) T volume ↔ IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) T volume
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
e : K ≃ₐ[F] E
⊢ IsPurelyInseparable F K ↔ IsPurelyInseparable F E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), AEMeasurable (f b) μ
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
p : α → (β → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Directed LE.le f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_directed : Directed LE.le (aeSeq hf p)
⊢ ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), aeSeq hf p b a ∂?m.329415
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l = ⊥
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (f n y - f n x)) (fun y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (g y - g x)) l (𝓝 x)
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R M✝
M : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoidWithOne M
inst✝¹ : CharZero M
inst✝ : Module R M
⊢ CharZero R
η : Type u_6
Gs : η → Type u_7
(i : η) → Monoid (Gs i)
x : (i : η) → Gs i
h : IsOfFinOrder x
i : η
⊢ IsOfFinOrder (x i)
m n : ℕ
⊢ 0 < n → (m < n ↔ m ≤ n - 1)
n : ℕ
α : Type u_1
a : Fin n → α
m : ℕ
⊢ Fin.repeat m.succ a = Fin.append a (Fin.repeat m a) ∘ Fin.cast ⋯
α : Type u_1
DivisionRing α
n d : ℕ
a n' d' : α
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a (Int.negOfNat n) d → ↑n = n' → ↑d = d' → a = -(n' / d')
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
f : X → M
h : Continuous f
n : ℕ
⊢ Continuous fun b => f b ^ n
α : Type u_2
β : Type u_3
Ring α
AddCommGroup β
Module α β
a : α
t : Set β
⊢ -a • t = -(a • t)
R : Type u_2
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Invertible 2
x : M
⊢ ⅟2 • x + ⅟2 • x = x
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a✝ b a : α
h2 : IsUnit a
x : α
⊢ ∃ a_1, a_1 * (a * x) = x
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
⊢ X ⊆ M.E → Matroid.ExistsMaximalSubsetProperty M.Indep X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
CategoryTheory.Simple X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id X ≠ 0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ S.toSubmodule = ⊤ ↔ S = ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
h : a.factors ≤ b.factors
this : a.factors.prod ≤ b.factors.prod
⊢ a ≤ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBicone.ofLimitCone ht).fst = t.π.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left }
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
⊢ affineSpan k s = sInf {s' | s ⊆ ↑s'}
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
⊢ f.Pos → ¬f.LimZero
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
s : Finset M'
⊢ ⇑f '' ↑(Finset.image (fun t => integerMultiple S f s id t) s.attach) = commonDenomOfFinset S f s • ↑s
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p✝ : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p✝
a : α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ filter p {a} = if p a then {a} else ∅
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x
f g : A[X]
hf : f.Monic
hg : g.Monic
he : f * g = minpoly A x
⊢ f = 1 ∨ g = 1
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω → E
⊢ average (↑μ) f = ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑μ.normalize
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
h : Set α → Set β
s : Set β
⊢ f.lift' h ⊓ 𝓟 s = f.lift' fun t => h t ∩ s
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f : Module.Dual R M
g : Module.Dual R N
m : M
n : N
⊢ ((TensorProduct.dualDistrib R M N) (f ⊗ₜ[R] g)) (m ⊗ₜ[R] n) = f m * g n
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_5
AddCommMonoid M
Module R M
r : R
⊢ (LinearMap.lsmul R M) r = DistribMulAction.toLinearMap R M r
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
Infinite R
p : Polynomial R
h : ∀ (x : R), Polynomial.eval x p = 0
⊢ p = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A : CommMon_ C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}} (x : X ⟶ Y),
  ((CommMon_.EquivLaxBraidedFunctorPUnit.commMonToLaxBraided C).obj A).map x = 𝟙 ((fun x => A.X) X)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∩ range ↑I)
a b : Ordinal.{u_4}
n : ℕ
⊢ a + ↑n = b + ↑n ↔ a = b
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
g' : cokernel S.f ⟶ S.X₃ := cokernel.desc S.f S.g ⋯
hg' : g' = cokernel.π γ ≫ cokernel.desc γ g' ⋯
wι : kernel.ι (cokernel.π γ) ≫ g' = 0
⊢ S.RightHomologyData
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
⊢ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p) ≤ a + b
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α
⊢ (Icc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card
α : Type u_1
DecidableEq α
m₁ m₂ : Multiset α
⊢ m₁.toEnumFinset ⊆ m₂.toEnumFinset ↔ m₁ ≤ m₂
α β : Type u
c : Cardinal.{u}
⊢ lift.{v, u} c ≤ ℵ₀ ↔ c ≤ ℵ₀
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
a : Ordinal.{u}
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
hf : lsub f = a
hι : #ι = a.cof
r : ι → ι → Prop
wo : IsWellOrder ι r
hr : (#ι).ord = type r
this✝ : IsWellOrder ι r
r' : ↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i} → ↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i} → Prop := Subrel r {i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}
hrr' : r' ↪r r := Subrel.relEmbedding r {i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}
this : IsWellOrder (↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}) r'
i j : Ordinal.{u}
x✝¹ : i < type r'
h : j < type r'
x✝ : i < j
⊢ r ↑(enum r' i x✝¹) ↑(enum r' j h)
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : R1Space X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : BorelSpace Y
inst✝² : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
l : Filter α
f : α → C(X, Y)
g : C(X, Y)
hfg : Tendsto f l (𝓝 g)
hf : ∀ᶠ (a : α) in l, MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν
this : ν.InnerRegularCompactLTTop
s : Set Y
hs : MeasurableSet s
hνs : ν s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hso : IsOpen s
hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤
K : Set X
hKg : MapsTo (⇑g) K s
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hKμ : μ (⇑g ⁻¹' s \ K) < ε / 2
hKm : MeasurableSet K
a : α
hfa : MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
ha : MapsTo (⇑(f a)) K s
hK' : μ K ≠ ⊤
⊢ μ (⇑g ⁻¹' s \ K) ≤ ε / 2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
SubNegMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
c : G
hf : Smooth I' I f
⊢ Smooth I' I fun x => f x - c
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
y : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ (-y).val = -y.val
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
⊢ (hf.stieltjesFunction a).measure (Iic x) = ENNReal.ofReal (↑(hf.stieltjesFunction a) x - 0)
a b : Int
H1 : 0 < a
H2 : 0 ≤ b
H3 : b ∣ a
⊢ 0 < a / b
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ
hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ
hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior s
H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
ε : ℕ → ℝ
hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n
hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)
⊢ False
R : Type u_1
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
p : Polynomial R
a : R
⊢ ContinuousAt (fun x => Polynomial.eval x p) a
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q R : { P // IsLprojection X P }
⊢ (↑P + ↑Pᶜ * ↑R) * (↑P + ↑Q * ↑R * ↑Pᶜ) = ↑P + ↑Q * ↑R * ↑Pᶜ
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
DecompositionMonoid R
x y : R
n : ℕ
hsq : Squarefree x
h0 : n ≠ 0
⊢ x ∣ y ^ n ↔ x ∣ y
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Sort u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
T : Set α
hT : T ⊆ Set.iUnion S
x : ↑T
i : ι
hx : ↑x ∈ S i
⊢ Set.iUnionLift S f hf T hT x = f i ⟨↑x, hx⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
PolishSpace β
f : α ≃ β
⊢ PolishSpace α
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
hf : UniformInducing f
⊢ UniformContinuous f
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
X Y Z : Action V G
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv.hom =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X.V Y.V Z.V).inv
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i : ι
⊢ (directLimitCocone G f).ι.app i ≫ (fun s => DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) s = s.ι.app i
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
hs : IsCompact s
t : Set Y
ht : IsCompact t
n : Set (X × Y)
hn : IsOpen n
hp : s ×ˢ t ⊆ n
⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ s ⊆ u ∧ t ⊆ v ∧ u ×ˢ v ⊆ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C
⊢ (HomologicalComplex.singleObjCyclesSelfIso c j A).inv ≫ ((HomologicalComplex.single C c j).obj A).iCycles j =
  (HomologicalComplex.singleObjXSelf c j A).inv
α : Type u_1
LinearOrderedField α
Archimedean α
x y : α
⊢ x ≤ y ↔ ∀ (q : ℚ), ↑q < x → ↑q ≤ y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
R : Type u
TopologicalSpace R
ChartedSpace H R
CommRing R
SmoothRing I R
U : TopologicalSpace.Opens M
x : ↥U
f : ↑((smoothSheafCommRing IM I M R).presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ (smoothSheafCommRing.eval IM I M R ↑x) (((smoothSheafCommRing IM I M R).presheaf.germ x) f) = ↑f x
α : Type u
AddMonoid α
a b : α
h₁ : a + b = 0
h₂ : b + a = 0
⊢ ↑{ val := a, neg := b, val_neg := h₁, neg_val := h₂ } = a
F : Type u_1
Field F
s t : Set F
H : s ⊆ t
⊢ Field.closure s ⊆ Field.closure t
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
t : Finset α
h : a ∈ s
⊢ a ∈ s ∪ t
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H✝ : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H✝
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
k : ℕ
hk : rootSpace H 0 ≤ LieSubmodule.ucs k ⊥
⊢ rootSpace H 0 ≤ H.toLieSubmodule
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
hg : x.orderTop = ↑g
⊢ x.coeff g ≠ 0
K : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring K
q : ℚ≥0
hq : ↑q.num ≠ 0
n : ℕ
⊢ ↑(q ^ ↑n) = ↑q ^ ↑n
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} F
G : CategoryTheory.Functor C E
H : CategoryTheory.Functor D F
L₁ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ : CategoryTheory.Functor D C
L₂ : CategoryTheory.Functor E F
R₂ : CategoryTheory.Functor F E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G.comp L₂ ⟶ L₁.comp H
⊢ (CategoryTheory.mateEquiv adj₁ adj₂) α =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft (R₁.comp G) adj₂.unit)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.whiskerLeft R₁ α) R₂)
      (CategoryTheory.whiskerRight adj₁.counit (H.comp R₂)))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ ∀ (x_1 : TopologicalSpace.Opens X), (Locale.localePointOfSpacePoint X x) x_1 = (x ∈ x_1)
b : ℕ
hb : Odd b
⊢ jacobiSym 2 b = ZMod.χ₈ ↑b
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t✝ u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
connected_fibers : ∀ (t : β), IsConnected (f ⁻¹' {t})
hcl : ∀ (T : Set β), IsClosed T ↔ IsClosed (f ⁻¹' T)
t : β
hf : Surjective f
hT : IsClosed (f ⁻¹' connectedComponent t)
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
huv : f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∪ v
uv_disj : Disjoint u v
T₁ : Set β := {t' | t' ∈ connectedComponent t ∧ f ⁻¹' {t'} ⊆ u}
T₂ : Set β := {t' | t' ∈ connectedComponent t ∧ f ⁻¹' {t'} ⊆ v}
fiber_decomp : ∀ t' ∈ connectedComponent t, f ⁻¹' {t'} ⊆ u ∨ f ⁻¹' {t'} ⊆ v
T₁_u : f ⁻¹' T₁ = f ⁻¹' connectedComponent t ∩ u
T₂_v : f ⁻¹' T₂ = f ⁻¹' connectedComponent t ∩ v
hT₁ : IsClosed T₁
hT₂ : IsClosed T₂
T_decomp : connectedComponent t ⊆ T₁ ∪ T₂
⊢ f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∨ f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ v
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0
⊢ x = y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z = y
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval
V : Set G := V₁ ∩ V₂
⊢ prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑{ carrier := V⁻¹, is_open' := ⋯, mem' := ⋯ }.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' {0}
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ M.Indep M.E ↔ M = freeOn M.E
α : Type u_1
r : Rel α α
r.FiniteDimensional
x : RelSeries r
⊢ x.length ≤ (RelSeries.longestOf r).length
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
h₁ : π₁.IsPartition
h₂ : π₂.IsPartition
⊢ BoxIntegral.integralSum f vol π₁ - BoxIntegral.integralSum f vol π₂ =
  ∑ J ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes,
    ((vol J) (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J)) -
      (vol J) (f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J)))
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ (x : ℝ), f' x < 0
⊢ StrictAnti f
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | τ ω < i} = {ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i}
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : lift.{v, u} #ι < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord
a : Ordinal.{max u v}
ha : a < c.ord
⊢ nfpFamily f a < c.ord
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : C → Prop
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms P
⊢ P ≤ isoClosure P
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
this : log (Gamma x) = (log ∘ Gamma) x - (log ∘ Gamma) 1
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ (log ∘ Gamma) (y + 1) = (log ∘ Gamma) y + log y
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
x : B × F
hx : x ∈ e.target
⊢ proj (↑e.symm x) = x.1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t ∩ mulSupport f), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ mulSupport f ∩ (t ∩ mulSupport f)), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
f : α → β
hla : la.HasBasis pa sa
⊢ Filter.Tendsto f la lb ↔ ∀ t ∈ lb, ∃ i, pa i ∧ Set.MapsTo f (sa i) t