ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module A M
f : R
⊢ Module.support R M ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {f} ↔ Module.support R M ≤ PrimeSpectrum.zeroLocus {f}
a : Ordinal.{u_1}
⊢ (succ a.card).ord.card.ord = (succ a.card).ord
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 1 ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ)
p_roots2 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 3
n : ℕ := ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
hn : 2 ∣ n
key : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 2
p : Nat.Primes
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ 2 ^ (-s).re ≤ 2 ^ (-1)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
⊢ 0 ≤ v.tDist
R : Type u_2
Add R
Mul R
c d : RingCon R
H : ∀ (x y : R), c x y ↔ d x y
⊢ c = d
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}
⊢ a < Ordinal.nfp f b ↔ ∃ n, a < f^[n] b
ι : Type u_5
α : ι → Type u_6
β : ι → Type u_7
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → VAdd (α i) (β i)
s : (i : ι) → Finset (α i)
t : (i : ι) → Finset (β i)
⊢ (Fintype.piFinset fun i => s i +ᵥ t i) = Fintype.piFinset s +ᵥ Fintype.piFinset t
G : Type u_3
AddGroup G
a b : G
⊢ a - b + b = a
G : Type u_3
AddGroup G
a : G
n : ℤ
⊢ (n + 1) • a = n • a + a
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
R : Type u_17
CommSemiring R
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
Fintype n'
DecidableEq n'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
f : (n' → R) →ₗ[R] n → R
⊢ (LinearMap.toMatrix₂' R) (B ∘ₗ f) = (LinearMap.toMatrix' f)ᵀ * (LinearMap.toMatrix₂' R) B
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
t : Set R
Mₚ : ↑t → Type u_1
inst✝⁵ : (g : ↑t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↑t → Type u
inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)
h₁ : ∀ (g : ↑t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝¹ : (g : ↑t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝ : ∀ (g : ↑t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g
h₂ : ∀ (g : ↑t), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
t' : Finset R
hc : ↑t' ⊆ t
ht' : Ideal.span ↑t' = ⊤
⊢ Finite R M
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
⊢ (∀ x ∈ s, DifferentiableWithinAt 𝕜 (⇑iso ∘ f) s x) ↔ ∀ x ∈ s, DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
CommMonoid N
DecidableEq α
f : α →₀ M
a : α
b : α → M → N
⊢ (f.prod fun x v => if a = x then b x v else 1) = if a ∈ f.support then b a (f a) else 1
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ (∡ p₁ p₂ p₃).sign = 0 ↔ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
σ : Type u_1
R : Type u
CommSemiring R
s t : Set σ
st : s ⊆ t
⊢ MvPolynomial.supported R s ≤ MvPolynomial.supported R t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x₀ : E
m : ℕ∞
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (Function.uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x₀ s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)
hmn : m + 1 ≤ n
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ Polynomial.cyclotomic n ℤ = ⋯.choose
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
M✝ : Type w'
inst✝² : L.Structure M✝
inst✝¹ : Nonempty M✝
inst✝ : M✝ ⊨ T
p : T.CompleteType α
M : ModelType ↑p
⊢ ∃ M, p ∈ T.realizedTypes (↑M) α
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ↑⟨r, hr⟩ = ↑‖r‖₊
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
e : K ≅ L
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
L.HasTotal c₁₂
⊢ (HomologicalComplex₂.total.mapIso e c₁₂).inv = HomologicalComplex₂.total.map e.inv c₁₂
n : ℕ
a b c : Fin (n + 1)
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
⊢ ⇑(SimplexCategory.Hom.toOrderHom (SSet.standardSimplex.triangle a b c hab hbc).down) = ![a, b, c]
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
⊢ ker f ≤ I ↔ ker f = I
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ A⁻¹ᵀ = Aᵀ⁻¹
F✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f✝ g : ι → α
inst✝² : CommMonoid β
s : Multiset α
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
l : List α
⊢ (map ⇑f ⟦l⟧).prod = f (prod ⟦l⟧)
R : Type u_1
n : Type u_3
CommRing R
Fintype n
DecidableEq n
⊢ (Matrix.charpoly.univ R n).Monic
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (y ⊓ (x ⊓ x) ⊔ x ⊓ y \ x) ⊓ x \ y = (y ⊓ x ⊔ x ⊓ y \ x) ⊓ x \ y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : CorePresheafOfModules R
X : Cᵒᵖ
⊢ M.presheaf.obj X = AddCommGrp.of (M.obj X)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
hs : ∃ i r, 0 < r ∧ s = (i.sup (gaugeSeminormFamily 𝕜 E)).ball 0 r
⊢ 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Balanced 𝕜 s ∧ Convex ℝ s
s : ℝ
⊢ (fun x => rexp (-x) * x ^ s) =o[Filter.atTop] fun x => rexp (-(1 / 2) * x)
α β : Type u
ι : Sort u_1
f : ι → Cardinal.{u_2}
⊢ ⨅ i, f i = 0 ↔ IsEmpty ι ∨ ∃ i, f i = 0
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
x : X
⊢ ‖(P * Q) • x‖ + ‖(1 - P * Q) • x‖ ≤ ‖x‖
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℝ
ht : t ≠ -1
this : ∀ (x s : ℝ), ↑((1 + x ^ 2) ^ s) = (1 + ↑x ^ 2) ^ ↑s
⊢ ↑t ≠ -1
l✝ : List ℕ
a✝ m n a : ℕ
l : List ℕ
hl' : (a :: l).IsZeckendorfRep
hl : ((∀ x ∈ l, x + 2 ≤ a) ∧ 2 ≤ a) ∧ Chain' (fun a b => b + 2 ≤ a) (l ++ [0])
ha : 0 < a
⊢ a ≤ (map fib l).sum + (fib a + 1) ∧ ∀ ⦃n : ℕ⦄, a < n → n ≤ (map fib l).sum + (fib a + 1) → (map fib l).sum + fib a < fib n
α : Type u
β : Type v
x : α ⊕ β
⊢ x.getLeft?.isSome = true ↔ x.isLeft = true
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
⊢ s.length = Computation.map List.length s.toList
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n✝ : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n✝
inst✝⁵ : DecidableEq n✝
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedCommRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
A : Matrix m m 𝔸
n : ℕ
⊢ exp 𝕂 (-↑n • A) = exp 𝕂 A ^ (-↑n)
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
⊢ 0 < z * z
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
n : ℕ
hn : ∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card
⊢ Nat.count p (Nat.nth p n) = n
α : Type u_1
CommRing α
x : α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * x ^ (n - 1 - i) = ↑n * x ^ (n - 1)
x y a b : ℝ
n : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ (fun x => x ^ n / (a * rexp x + b)) ∘ log =ᶠ[atTop] fun x => log x ^ n / (a * x + b)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
init tail : List α
⊢ (init, tail) ∈ ([], []) :: [].zip [] ↔ init ++ tail = []
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LE α
s t : ClopenUpperSet α
⊢ ↑(s ⊓ t) = ↑s ∩ ↑t
α : Type u_7
β : Type u_8
Sup α
Sup β
Bot α
Bot β
self : SupBotHom α β
⊢ self.toFun ⊥ = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
this✝ : CompleteSpace E
this : CompleteSpace F
⊢ ⟪(adjoint A) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, A x⟫_𝕜
p n k b : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
hnb : log p n < b
this : n - k + k = n
⊢ multiplicity p (n.choose k) = ↑(filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i) (Ico 1 b)).card
a b c : ℕ
⊢ range (a + b) = range a ∪ map (addLeftEmbedding a) (range b)
α : Fin 2 → Type u
⊢ ⇑(piFinTwoEquiv α) = fun f => (f 0, f 1)
α : Type u
Zero α
a : α
LE α
⊢ 0 ≤ ↑a ↔ 0 ≤ a
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A B : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : FormallyUnramified R A
e : A ≃ₐ[R] B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[R] C
e' : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
⊢ (f₁.comp ↑e).comp ↑e.symm = (f₂.comp ↑e).comp ↑e.symm
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ : L → R
m : M
⊢ m ∈ LieModule.weightSpace M χ ↔ ∀ (x : L), ∃ k, (((LieModule.toEnd R L M) x - χ x • 1) ^ k) m = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M'
inst✝ : FG M
f : M →* M'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ FG M'
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
⊢ map f (affineSpan k ∅) = affineSpan k (⇑f '' ∅)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
⊢ (Algebra.trace K L) x = finrank (↥K⟮x⟯) L • (Algebra.trace K ↥K⟮x⟯) (AdjoinSimple.gen K x)
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup n R
⊢ ↑A.transpose = (↑A).transpose
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
X₁ X₂ S : C
f₁ : X₁ ⟶ S
f₂ : X₂ ⟶ S
inst✝¹ : HasPullback f₁ f₂
inst✝ : PreservesLimit (cospan f₁ f₂) (forget C)
x₁ : (forget C).obj X₁
x₂ : (forget C).obj X₂
h : f₁ (x₁, x₂).1 = f₂ (x₁, x₂).2
⊢ ∃ x₁_1 x₂_1, ∃ (h_1 : f₁ x₁_1 = f₂ x₂_1), (pullbackEquiv f₁ f₂).symm ⟨(x₁, x₂), h⟩ = pullbackMk f₁ f₂ x₁_1 x₂_1 h_1
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ b - a + a = b
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
t : Set Y
h1 : ∀ (x : X), f x ∈ t
x : X
⊢ ContinuousAt (Set.codRestrict f t h1) x ↔ ContinuousAt f x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
a b : ↥L
⊢ Disjoint a b ↔ Disjoint ↑a ↑b
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
⊢ toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.map (eqToHom ⋯).op ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ⊤) = 𝟙 (Γ.obj (op X))
K : Type u_1
Field K
x : (𝓞 K)ˣ
NumberField K
⊢ x ∈ NumberField.Units.torsion K ↔ ∀ (w : NumberField.InfinitePlace K), w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : CategoryTheory.Sieve X
R : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → S.arrows f → CategoryTheory.Sieve Y
hS : S ∈ J.sieves X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (H : S.arrows f), R H ∈ J.sieves Y
⊢ CategoryTheory.Sieve.bind S.arrows R ∈ J.sieves X
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
n : Type u_4
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
f : R →+* S
⊢ (M.map ⇑f).charmatrix = M.charmatrix.map (Polynomial.map f)
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
inst✝ : ∀ (x : ↥U), IsIso ((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
x : ↥U
⊢ Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤
f : ((g : { x // x ∈ S }) → ↥(zpowers ↑g)) →* G := noncommPiCoprod ⋯
⊢ Nat.card G ∣ ∏ _x : { x // x ∈ S }, Monoid.exponent G
n q : ℕ
hn' : 1 < n
hq : q ≠ 1
⊢ (q - 1) ^ φ n < (eval (↑q) (cyclotomic n ℤ)).natAbs
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ' μ ν : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : ν.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
hG : LocallyCompactSpace G
⊢ μ'.haarScalarFactor ν = μ'.haarScalarFactor μ * μ.haarScalarFactor ν
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set β
h : s ⊆ t
⊢ f ⁻¹' s ⊆ f ⁻¹' t
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q :
  ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj
          (CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f))).toPresheafedSpace
⊢ f ∉ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier.asIdeal f_deg hm q
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
a : R
b : S
hb : IsLocalization.IsInteger R b
⊢ IsLocalization.IsInteger R (a • b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : α ≃ₜ β
b : β
f : β → E
g : β → F
⊢ f =o[𝓝 b] g ↔ (f ∘ ⇑e) =o[𝓝 (e.symm b)] (g ∘ ⇑e)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
a : X
LinearOrder X
CompactIccSpace X
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ici a) μ ↔
  MeasureTheory.IntegrableAtFilter f Filter.atTop μ ∧ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f (Set.Ici a) μ
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
⊢ Set.range (⇑(map f) ∘ ⇑(tprod R)) = {t_1 | ∃ m, (⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)) = t_1}
α : Type u_1
a : α
m : Multiset α
⊢ (a ::ₘ m).attach = ⟨a, ⋯⟩ ::ₘ Multiset.map (fun p => ⟨↑p, ⋯⟩) m.attach
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
B : Set ↑M.E
⊢ (M.restrictSubtype M.E).Base B ↔ M.Base ↑B
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set (Submodule R M)
z : M
hs : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ z ∈ sSup s ↔ ∃ y ∈ s, z ∈ y
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
m : ℕ
x : K
n : ℕ
y : K
z : ℕ
H : (⇑(frobenius K p))^[n + z] x = (⇑(frobenius K p))^[m + z] y
⊢ mk K p (m, x) = mk K p (n, y)
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter α
⊢ MeasureTheory.IntegrableAtFilter f (l ⊓ MeasureTheory.ae μ) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableAtFilter f l μ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
i : ι
s : Set (α i)
hs : MeasurableSet s
t : Set ((a : ι) → α a)
⊢ ∏ x : ι, (μ x).toOuterMeasure (eval x '' (t ∩ (fun b => b i) ⁻¹' s)) + ∏ x : ι, (μ x).toOuterMeasure (eval x '' (t \ (fun b => b i) ⁻¹' s)) ≤ ∏ x : ι, (μ x).toOuterMeasure (eval x '' t)
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0
⊢ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ((ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure ∘ fun i => (μs i).normalize) i).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a
g : F → E
hg : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, g (f x) = x
⊢ ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 (f a), g y = HasStrictFDerivAt.localInverse f f' a hf y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε.toReal / 3
hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal
hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)
δ₁ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ₁
heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
δ₂ : ℝ
hδ₂ : 0 < δ₂
heLpNorm₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
t : Set α
htm : MeasurableSet t
ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
ht₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f n x) < ε.toReal / (3 * ↑(measureUnivNNReal μ) ^ (1 / p.toReal))
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S✝
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
e : R
he : IsIdempotentElem e
H : RingHom.ker (algebraMap R S) = Ideal.span {1 - e}
H' : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
r : ↥(Submonoid.powers e)
this : (algebraMap R S) e = 1
⊢ IsUnit ((algebraMap R S) ↑r)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Monotone (Set.image f)
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
s : Set ↑Γ(X, U)
⊢ X.zeroLocus s = ⊤ ↔ s ⊆ ↑(nilradical ↑Γ(X, U))
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
h : p ^ (k - s + 1) = 2
⊢ ℕ
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : R1Space X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : BorelSpace Y
inst✝² : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
l : Filter α
f : α → C(X, Y)
g : C(X, Y)
s : Set Y
hfg : Tendsto f l (𝓝 g)
hf : ∀ᶠ (a : α) in l, MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν
hs : MeasurableSet s
hνs : ν s ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun a => μ ((⇑(f a) ⁻¹' s) ∆ (⇑g ⁻¹' s))) l (𝓝 0)
C : Type u
X Y X' Y' : C
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
f : X ≅ Y
g : X' ≅ Y'
⊢ (f ⊗ g).hom = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f.hom g.hom
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
n : ℤ
hn : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = ↑n * π
h0 : 0 ≤ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)
h3lt : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) < π + π + π
hn0 : 0 ≤ n
hn3 : n < 3
⊢ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
⊢ 0 < z⁻¹ ↔ 0 < z
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : IsOpen s
⊢ μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
n : Nat
⊢ 0 < n → n.pred.succ = n
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
M : Type u_2
SMul M α
IsometricSMul M α
c : M
x : α
s : Set α
⊢ EMetric.infEdist (c • x) (c • s) = EMetric.infEdist x s
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ
a : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
b : ℬ 0
⊢ (TensorProduct.gradedComm R 𝒜 ℬ) (a ⊗ₜ[R] (DirectSum.lof R ι ℬ 0) b) = (DirectSum.lof R ι ℬ 0) b ⊗ₜ[R] a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Set α → Filter β
h : Set β → Filter γ
hg : Monotone g
⊢ (f.lift g).lift h = f.lift fun s => (g s).lift h
𝕜 : Type u
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
⊢ (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 G G') f = f 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
x : F
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => ‖x‖ ^ 2) (2 • (innerSL ℝ) x) x
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
AlgebraicGeometry.Surjective f
⊢ Function.Surjective ⇑f.val.base
p : ℕ
α : Type u_4
β : Type u_5
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Function.Surjective (WittVector.mapFun f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
hf : f ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
x : M
hxf : x ∈ f.source
hxf' : x ∈ f'.source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(f.extend I) ∘ ↑(f'.extend I).symm) (Set.range ↑I) (↑(f'.extend I) x)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
q : Submodule R₂ M₂
h : q ≤ range f
⊢ map f (comap f q) = q
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hc : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ deriv (fun x => Real.cos (f x)) x = -Real.sin (f x) * deriv f x
α : Type u_1
LE α
⊢ ↑⊥ = ∅
k m n : ℕ+
⊢ (↑k).Coprime ↑m → (↑k).Coprime ↑n → (↑k).Coprime ↑(m * n)