ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
μ : R
hμp : Disjoint (f.eigenspace μ) p
⊢ eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ = ⊥
x : ℝ≥0
⊢ ↑↑x < ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts D
F : C ⥤ D
A B : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.prodComparisonNatTrans F A).app B = CategoryTheory.Limits.prodComparison F A B
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
⊢ image (fun x => x % a) (Ico n (n + a)) = Ico 0 a
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : RankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
this✝ : Nontrivial R
this : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
t : WSeq α
t' : α × WSeq α
td : some a ∈ t'.2.destruct
ht' : some t' ∈ s.destruct
ht2 : Option.rec nil Prod.snd (some t') = t
⊢ ∃ a', some a' ∈ s.destruct
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
hcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
m₁ m₂ : ℕ
h : (m₁ + m₂) * n = m₁ * n + m₂ * n
⊢ repeat (m₁ + m₂) a = append (repeat m₁ a) (repeat m₂ a) ∘ cast h
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : TruncatedWittVector p n R
i : Fin n
⊢ (if h : ↑i < n then coeff ⟨↑i, h⟩ x else 0) = coeff i x
h : IsField ℤ
a : ℤ
⊢ 2 * a = 1 → 1 = a + a
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
h : pred^[n] i0 < i0
⊢ -↑n ≤ toZ i0 (pred^[n] i0)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ : ℕ
β : Type u_3
f : α → β
n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
⊢ map ((fun p => f x ::ₛ p) ∘ Sym.map f) (List.sym n (x :: xs)) = map (Sym.map f ∘ fun p => x ::ₛ p) (List.sym n (x :: xs))
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
inst✝ : One M
s t : Set α
f g : α → M
a : α
l : Filter α
hf : f =ᶠ[l ⊓ 𝓟 s] g
hs : s =ᶠ[l] t
x : α
hst : x ∈ s ↔ x ∈ t
hfg : x ∈ s → f x = g x
hxs : x ∉ s
⊢ s.mulIndicator f x = t.mulIndicator g x
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : OplaxFunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ F.mapComp f (g ≫ h) ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h = F.map₂ (α_ f g h).inv ≫ F.mapComp (f ≫ g) h ≫ F.mapComp f g ▷ F.map h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
⊢ Function.Injective AffineEquiv.toEquiv
x : ℝ
⊢ sin (arctan x) = x / √(1 + x ^ 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
QuasiSober β
⊢ QuasiSober α
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Nonempty F.M
bisim : IsBisimulation R
inhabited_h : Inhabited F.M
s₁ s₂ : F.M
Hr : R s₁ s₂
⊢ s₁ = s₂
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
⊢ f.toFun = ⇑f
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
heI₀ : e ∉ I₀
heI₀i : Indep (insert e I₀)
heJ : e ∉ J
hJfin : J.Finite
hcard : I₀.ncard < J.ncard
⊢ False
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
a : α
⊢ (∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, u x ∈ ball a ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (u n) a < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ e.invFun = ↑e.symm
a b : Prop
h : Xor' a b
⊢ a ∨ b
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
m : ℕ
hpm : ¬p ∣ m
⊢ 1 ≤ f ↑m
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
P : Type u_8
Zero M
Zero N
Zero P
D : DecidableEq α
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
g₁ : α →₀ M
g₂ : α →₀ N
⊢ (Finsupp.zipWith f hf g₁ g₂).support ⊆ g₁.support ∪ g₂.support
α : Type u_1
t : α
ts : List α
r L : List (List α)
⊢ (List.foldr (fun y r => (List.permutationsAux2 t ts r y id).2) r L).length = Nat.sum (List.map List.length L) + r.length
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
⊢ ↑(BoolAlg.of α) = α
q : ℚ
K : Type u_5
LinearOrderedField K
⊢ ↑q < 0 ↔ q < 0
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
m : Type u_9
n : Type u_10
Zero α
Zero β
Zero γ
One α
One β
One γ
DecidableEq m
DecidableEq n
f : α → β → γ
hf₁ : ∀ (b : β), f 0 b = 0
hf₂ : ∀ (a : α), f a 0 = 0
hf₃ : f 1 1 = 1
⊢ Matrix.kroneckerMap f 1 1 = 1
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set α
hf : Set.EqOn f 1 s
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, f ^ n • val z ∈ ⇑(algebraMap A (at Submonoid.powers f)) '' ↑(𝒜 (n • m))
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
f : α → β
s : Finset α
h : ∀ x ∈ s, f x = 1
⊢ ∏ x ∈ s, f x = 1
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
r : AdicCompletion.AdicCauchySequence I R
⊢ (Ideal.Quotient.mk (I ^ m)) (↑r n) = (Ideal.Quotient.mk (I ^ m)) (↑r m)
α : Type u_1
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Multiset.filter (fun x => x < c) (Multiset.Ico a b) = Multiset.Ico a (min b c)
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑k * ↑nc * ⅟↑db * ⅟↑da
h₂ : ↑nc * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑db * ⅟↑da * ⅟↑dc
⊢ ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
G : Type u_1
CommGroup G
a b : G
⊢ a⁻¹ * (b * a) = b
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
hp : Fact (1 ≤ ⊤)
x y : WithLp ⊤ (α × β)
⊢ edist ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) x) ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) y) ≤ ↑1 * edist x y
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
ih : ∀ m < n, m ∈ (xInTermsOfW p ℚ m).vars ∧ (xInTermsOfW p ℚ m).vars ⊆ range (m + 1)
⊢ Disjoint (X n).vars (∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)).vars
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
⊢ ((map f) p).vars ⊆ p.vars
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
i : ι
⊢ (Basis.baseChange S b) i = 1 ⊗ₜ[R] b i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
a b : 𝕜
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hfx : f x ≤ f (a • x + b • y)
⊢ f (a • x + b • y) ≤ f y
c d b : ℕ
a : ℤ
h : ∀ (x : ℕ), a = -↑x → Zsqrtd.SqLe x d b c
⊢ Zsqrtd.Nonnegg c d a ↑b
α : Type u_1
M : Type u_5
R : Type u_11
Zero M
MonoidWithZero R
MulActionWithZero R M
a b : α
f : α → M
r : R
⊢ (Finsupp.single a r) b • f a = (Finsupp.single a (r • f b)) b
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
CategoryTheory.HasShift E ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
G : CategoryTheory.Functor D E
G.CommShift ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((F.mapTriangleCompIso G).hom.app X).hom₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.obj (F.obj X.obj₁))
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
h1s : support f ⊆ s
h : IntegrableOn f s μ
⊢ Integrable f μ
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ AddMonoid.Coprod.toSum.comp AddMonoid.Coprod.inl = AddMonoidHom.inl M N
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMaxOrder α
a b x : α
⊢ Ioc a b ∈ 𝓝 x ↔ x ∈ Ioo a b
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b x y : α
hy : IsUnit y
h : y * x ∈ I
y' : α
hy' : y' * y = 1
⊢ x ∈ I
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ s ⊆ (convexHull 𝕜) s
α : Type u_1
⊢ WithTop.some ⁻¹' {⊤} = ∅
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x : L
χ : Weight K L M
x✝ : χ ∈ Finset.univ
⊢ ↑(finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ)) • χ x • Weight.toLinear K L M χ ∈ span K (range (Weight.toLinear K L M))
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ ∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
c : E → F →L[𝕜] G
hc : ContDiff 𝕜 n c
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
x : E
u : F
m : Fin i → E
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 i (fun y => (c y) u) x) m = ((iteratedFDeriv 𝕜 i c x) m) u
α : Type u_1
β : Type u_2
Inv β
f : α →ᵤ β
⊢ UniformFun.toFun f⁻¹ = (UniformFun.toFun f)⁻¹
α : Type u
β : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s t : Set α
hB : IsTopologicalBasis B
hs : IsOpen s
ht : IsOpen t
h : ∀ U ∈ B, U ⊆ s ↔ U ⊆ t
⊢ s = t
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
F s : Set E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
Nontrivial E
μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
Countable ↥L
DiscreteTopology ↥L
fund : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h_cpt : IsCompact s
h : μ F * 2 ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E ≤ μ s
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
W : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
X✝ Y✝ Z✝ : Action V G
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ ({ obj := fun M => { V := F.obj M.V, ρ := { toFun := fun g => F.map (M.ρ g), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } }, map := fun {X Y} f => { hom := F.map f.hom, comm := ⋯ } }.map (f ≫ g)).hom = ({ obj := fun M => { V := F.obj M.V, ρ := { toFun := fun g => F.map (M.ρ g), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } }, map := fun {X Y} f => { hom := F.map f.hom, comm := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun M => { V := F.obj M.V, ρ := { toFun := fun g => F.map (M.ρ g), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } }, map := fun {X Y} f => { hom := F.map f.hom, comm := ⋯ } }.map g).hom
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I
⊢ IsCompl I (orthogonal Φ hΦ_inv I)
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k✝ : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x x_1 => x * x_1) (v i) (y i) = x
⊢ x ∈ k
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
hl_im : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |(g x).im|
hl : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → (g x).re = 0 → g x = 0
⊢ (fun x => f x ^ g x) =Θ[l] fun x => Complex.abs (f x) ^ (g x).re
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
⊢ List.filter p (l₁ ++ l₂) = List.filter p l₁ ++ List.filter p l₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
A B : Preorder α
le✝ A_lt : α → α → Prop
le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
A_iff : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
B_lt : α → α → Prop
le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
B_iff : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
⊢ mk le_refl✝¹ le_trans✝¹ A_iff = mk le_refl✝ le_trans✝ B_iff
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
M N : Submodule R A
hm : M.FG
hn : N.FG
⊢ (M * N).FG
α : Type u_1
Monoid α
s : Set α
⊢ 1 • s = s
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p : P
⊢ Function.Injective fun x => x -ᵥ p
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : IsSupClosedCompact α
a : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1
⊢ False
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
l : ℕ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin l)
⊢ (R.boundedFormula₂ t₁ t₂).Realize v xs ↔
  FirstOrder.Language.Structure.RelMap R
    ![FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim v xs) t₁, FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim v xs) t₂]
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
DecidableEq ι
AddMonoid ι
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : Ideal.IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toIdeal = I
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℕ
⊢ l.ranges.join = range l.sum
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : ℕ → C
f : (n : ℕ) → X n ⟶ X (n + 1)
⊢ ∀ (a : ℕ), (CategoryTheory.Functor.ofSequence f).obj a = X a
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → (μ.trim hm) s_1 < ⊤ → IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h) s_1 (μ.trim hm)
α : Type u_1
Preorder α
OrderBot α
⊢ LowerSet.Iio ⊥ = ⊥
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
h : m i = 0
⊢ f m = 0
K : Type u_1
Field K
NumberField K
A : Type u_2
NormedField A
IsAlgClosed A
NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
x : K
h : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B
i : ℕ
⊢ ‖(minpoly ℚ x).coeff i‖ ≤
  max B 1 ^ FiniteDimensional.finrank ℚ K *
    ↑((FiniteDimensional.finrank ℚ K).choose (FiniteDimensional.finrank ℚ K / 2))
m n a b c d✝ : ℤ
hm : 0 < m
h : m ∣ b * c - a * c
d : ℕ := m.gcd c
⊢ m / ↑(m.gcd c) ∣ b - a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
a : M
ha : a = 0
d : M
h : CategoryTheory.ShiftedHom Z T d
⊢ (CategoryTheory.ShiftedHom.mk₀ a ha f).comp ((CategoryTheory.ShiftedHom.mk₀ a ha g).comp h ⋯) ⋯ =
  (CategoryTheory.ShiftedHom.mk₀ a ha (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)).comp h ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
self : CategoryTheory.Limits.IsIndObject A
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation A)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
α : Type u_7
t : Finset α
g : α → M
w : M
⊢ (B (∑ i ∈ t, g i)) w = ∑ i ∈ t, (B (g i)) w
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F U W : Set X
hWU : W ⊆ U
x : X
x_in : x ∈ W
hx : ∀ {y : X}, y ∈ W → JoinedIn W x y
y : X
hyU : y ∈ U
hyW : ⟨y, hyU⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' W
⊢ JoinedIn (Subtype.val ⁻¹' W) ⟨x, ⋯⟩ ⟨y, hyU⟩
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
hf : IsLocallyInjective f
g : A → X
cont : Continuous g
hg : Function.Injective g
⊢ IsLocallyInjective (f ∘ g)
x : ℂ
⊢ ∃ a, sin a = x
n k p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
⊢ ↑(n.choose k) ≡
  ↑((n / p ^ a).choose (k / p ^ a)) * ↑(∏ i ∈ Finset.range a, (n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) [ZMOD ↑p]
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero α
inst✝³ : GroupWithZero β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : SMulCommClass α β β
inst✝ : IsScalarTower α β β
c : α
x : β
hc : c ≠ 0
hx : x ≠ 0
⊢ (c • x)⁻¹ = c⁻¹ • x⁻¹
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
⊢ n / 2 + n / 2 ≤ n
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
b : β
⊢ IsLUB {a | l a ≤ b} (u b)
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
⊢ ∀ (g : G.ConnectedComponent → ℝ), ∑ i : G.ConnectedComponent, g i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i = 0 → ∀ (i : G.ConnectedComponent), g i = 0
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ⟪y, x⟫_ℝ = 0
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
v : InfinitePlace K
hw : ¬IsUnramifiedIn K ((fun x => x.comap (algebraMap k K)) v)
⊢ Even (finrank k K)
R : Type u_1
OrderedRing R
x : R
⊢ Wbtw R 1 x 0 ↔ x ∈ Set.Icc 0 1
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
⊢ Submodule.span ℤ (eval {fun x => false} '' {nil}) = ⊤
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CharP R p
i : ℕ
⊢ (↑p).coeff i = if i = 1 then 1 else 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPushouts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x : Under X
y : Under Y
u : (pushout f).obj x ⟶ y
⊢ x.hom ≫ pushout.inl x.hom f ≫ u.right = ((map f).obj y).hom
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
s : Finset L
this : DecidableEq L
⊢ ∀ ⦃a : L⦄ {s : Finset L}, a ∉ s → (∃ y, y ≠ 0 ∧ ∀ x ∈ s, IsIntegral A (y • x)) → ∃ y, y ≠ 0 ∧ ∀ x ∈ insert a s, IsIntegral A (y • x)
R : Type u_1
p m : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
Ring R
CharP R p
hm : ¬p ∣ m
k : ℕ
⊢ 0 < k → Polynomial.cyclotomic (p ^ k * m) R = Polynomial.cyclotomic m R ^ (p ^ k - p ^ (k - 1))
α : Type u_3
Preorder α
self : PredOrder α
a : α
⊢ PredOrder.pred a ≤ a
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Ring R'
inst✝⁵ : AddZeroClass A
inst✝⁴ : SemilatticeSup B
inst✝³ : Add B
inst✝² : OrderBot B
D : A → B
p q : R[A]
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
inst✝¹ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hD : Function.Injective D
ap aq : A
hp : supDegree D p ≤ D ap
hq : supDegree D q ≤ D aq
⊢ ∀ b ∈ q.support, b ≠ aq → (if ap + b = ap + aq then p ap * q b else 0) = 0
R : Type u_1
CommRing R
Nontrivial R
n : ℕ
⊢ ¬IsUnit (Polynomial.X ^ n - 1)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
n : ℕ
⊢ Continuous fun p => List.insertNth n p.1 p.2
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : Type u_3
Fintype γ
(a : α) → CommMonoid (β a)
a : α
g : γ → (a : α) → β a
⊢ (∏ c : γ, g c) a = ∏ c : γ, g c a
x y : ℝ
⊢ sinh x + cosh x = rexp x
P Q : Prop
⊢ ¬Xor' P Q ↔ (P ↔ Q)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
α : E
halg : IsAlgebraic F α
⊢ Field.finSepDegree F ↥F⟮α⟯ = (minpoly F α).natSepDegree
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
p : Submodule R M
hp : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hf : ∀ p ≤ Submodule.comap f p, ∃ q ≤ Submodule.comap f q, IsCompl p q
q : Submodule R ↥p
hq : MapsTo ⇑f ↑(Submodule.map p.subtype q) ↑(Submodule.map p.subtype q)
r : Submodule R M
hr₁ : r ≤ Submodule.comap f r
hr₂ : IsCompl (Submodule.map p.subtype q) r
⊢ IsCompl (Submodule.comap p.subtype (Submodule.map p.subtype q)) (Submodule.comap p.subtype r)