ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
a : M
b : ↥S
a' : M
b' : ↥S
eq1 : ↑⋯.unit⁻¹ (f a) = ↑⋯.unit⁻¹ (f a')
⊢ LocalizedModule.mk a b = LocalizedModule.mk a' b'
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
c : Chain (Part α)
a b : α
i : ℕ
ha : a ∈ c i
j : ℕ
hb : b ∈ c j
⊢ a = b
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Group G
MulAction G α
MulAction G β
SMul α β
IsScalarTower G α β
a : α
b : β
⊢ MulAction.stabilizer G a ≤ MulAction.stabilizer G (a • b)
α : Type u_1
f : α → α
a : α
n : ℕ
i : Fin (List.iterate f a n).length
⊢ (List.iterate f a n).get i = f^[↑i] a
m : ℝ
n : ℕ
⊢ LiouvilleNumber.partialSum m (n + 1) = LiouvilleNumber.partialSum m n + 1 / m ^ (n + 1)!
α : Type u
l : Batteries.DList α
⊢ Batteries.DList.ofList l.toList = l
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X : C
⊢ (λ_ (F.obj X)).inv ≫ F.ε ▷ F.obj X ≫ F.μ (𝟙_ C) X = F.map (λ_ X).inv
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : DecidableEq F
⊢ (primitiveChar_to_Complex F).IsPrimitive
n : ℕ
NeZero n
⊢ 0 < 1
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TotallyDisconnectedSpace β
f : α → β
h : Continuous f
a b : α
hab : connectedComponent a = connectedComponent b
⊢ f a = f b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingSpanᵒᵖ),
  (CategoryTheory.Limits.opSpan f g).hom.app X_1 =
    (Option.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op X))
        (fun val =>
          CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Y))
            (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Z)) val)
        (Opposite.unop X_1)).inv
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
i : ι
⊢ HomologicalComplex.homotopyCofiber.inrX φ i ≫ (HomologicalComplex.homotopyCofiber.desc φ α hα).f i = α.f i
R : Type u_1
B : Type u_3
CommRing R
Ring B
Algebra R B
⊢ IsIntegral R 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ Multiset.count a {a} = 1
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
n : ℤ
⊢ ↑(n ^ 0) = ↑n ^ 0
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
VAdd M X
ContinuousVAdd M X
g : Y → X
N : Type u_5
VAdd N Y
TopologicalSpace N
f : N → M
hg : Inducing g
hf : Continuous f
hsmul : ∀ {c : N} {x : Y}, g (c +ᵥ x) = f c +ᵥ g x
⊢ ContinuousVAdd N Y
α : Type u_1
RatCast α
n : ℚ
⊢ ofLex ↑n = ↑n
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
⊢ (Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
hb : 0 ≤ b
⊢ |a| = b ↔ a = b ∨ a = -b
m n l : Nat
h : m - n = l.succ
⊢ n < m
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
h : N ≤ Subgroup.comap (MonoidHom.id G) N := ⋯
x : G ⧸ N
⊢ (QuotientGroup.map N N (MonoidHom.id G) h) x = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
i j : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.NormalizedMooreComplex.obj X).d i j =
  if h : i = j + 1 then
    CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫
      match j with
      | 0 =>
        (Finset.univ.inf fun k => CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (X.δ k.succ)).arrow ≫
          X.δ 0 ≫ CategoryTheory.inv ⊤.arrow
      | n.succ =>
        (Finset.univ.inf fun k => CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (X.δ k.succ)).factorThru
          ((Finset.univ.inf fun k => CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (X.δ k.succ)).arrow ≫ X.δ 0) ⋯
  else 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
hf : CPolynomialAt 𝕜 f x
⊢ CPolynomialAt 𝕜 (-f) x
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), (eval x) F = if x ∈ S then 1 else 0
key : ∑ x : σ → K, (eval x) F = ↑(Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 })
⊢ p ∣ Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 }
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
⊢ Smooth ((I.prod I').prod J) (I.prod (I'.prod J)) fun x => (x.1.1, x.1.2, x.2)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
hφ : ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => Φ x i) s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 Φ s x
α : Type u_1
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ a ::ₘ Multiset.Ioo a b = Multiset.Ico a b
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
f : Module.End R M
i : ι
⊢ ((fromEnd R b) f) (Pi.single i 1) = f (b i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
hf : S.f = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.cyclesIsoLeftHomology hf).inv S.leftHomologyπ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id S.leftHomology
R : Type u_5
CommRing R
IsDomain R
N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hnR : ↑n ≤ Cardinal.mk R
⊢ ∃ r, (MvPolynomial.eval r) F ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m n m' n' : M
f : m ⟶ m'
g : n ⟶ n'
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map g).app ((F.obj m).obj X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.obj n').map ((F.map f).app X)) ((F.μ m' n').app X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ m n).app X) ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g)).app X)
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s t : Set E
x : E
h : AnalyticWithinAt 𝕜 f t x
hs : s ⊆ t
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
Primcodable σ
f : γ → σ
g : α → β → γ
hf : Computable f
hg : Computable₂ g
⊢ Computable₂ fun a b => f (g a b)
x y : ℝ
⊢ sinh (x + y) = sinh x * cosh y + cosh x * sinh y
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
n : ℕ+
IsDomain B
h : IsCyclotomicExtension {n} A B
ζ : B
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ Algebra.adjoin A {ζ} = ⊤
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n
A : 0 < μ (u ∩ s)
B : u ∩ μ.everywherePosSubset s =ᶠ[ae μ] u ∩ s
⊢ 0 < μ n
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y a b c : E
⊢ convexJoin 𝕜 {a} (segment 𝕜 b c) = (convexHull 𝕜) {a, b, c}
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖ ≤ ∑ x ∈ Ico 2 (n + 1), r ^ x * (∑ j ∈ Ico 1 n, a ^ j * ‖p.rightInv i j‖) ^ x
f g : 𝓢(ℝ, ℂ)
hfg : 𝓕 ⇑f = ⇑g
x : ℝ
⊢ ∑' (n : ℤ), f (x + ↑n) = ∑' (n : ℤ), g ↑n * (fourier n) ↑x
F : Type u_1
Field F
q : ℕ
hq : NeZero q
CharP F q
g g' : Polynomial F
m m' : ℕ
h_expand : (Polynomial.expand F (q ^ m)) g = (Polynomial.expand F (q ^ m')) g'
hg : g.Separable
hg' : g'.Separable
⊢ g.natDegree = g'.natDegree
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c₁ c₂ : ℝ
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
h : Asymptotics.IsBigOWith c₁ l f₁ g₁
hc : c₁ = c₂
hf : ∀ (x : α), f₁ x = f₂ x
hg : ∀ (x : α), g₁ x = g₂ x
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c₂ l f₂ g₂
α β : Type u
f : FreeAbelianGroup (α → β)
x y : FreeAbelianGroup α
⊢ (Seq.seq f fun x_1 => x + y) = (Seq.seq f fun x_1 => x) + Seq.seq f fun x => y
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ AddMonoidHom.mrange AddMonoid.Coprod.mk = ⊤
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
b : α
h₁ : ∀ a ∈ s, a ≤ b
h₂ : ∀ w < b, ∃ a ∈ s, w < a
⊢ sSup s = b
α : Type u
⊢ Nonempty α ↔ Set.univ.Nonempty
J K : Type v
inst✝⁶ : SmallCategory J
inst✝⁵ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
inst✝³ : HasColimitsOfShape J C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape (J × K) C
inst✝ : HasColimitsOfShape (K × J) C
j : J
k : K
⊢ (((colimit.ι (F.flip.obj k) j ≫ colimit.ι (F.flip ⋙ colim) k ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F.flip).inv) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (uncurryObjFlip F)).hom) ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (NatIso.ofComponents (fun x => Iso.refl ((F.obj x.2).obj x.1)) ⋯)).hom) ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F).hom = colimit.ι (F.obj j) k ≫ colimit.ι (F ⋙ colim) j
R : Type u
Semiring R
NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
hp : 0 < p.natDegree
⊢ (Polynomial.derivative p).degree = ↑(p.natDegree - 1)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
Preorder α
CompactIccSpace α
a b : α
⊢ Bornology.IsBounded (Set.Ico a b)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + x • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖x - 0‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
this : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁
⊢ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤
h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x_1 ≤ x x_2
r : ℝ≥0
⊢ ∀ᶠ (a : ι) in l, r ≤ Real.nnabs (x a)
f : Type u₀ → Type u₁
g : Type (max u₀ v₀) → Type v₁
ULiftable f g
α : Type u₀
x : g (ULift.{v₀, u₀} α)
⊢ ULiftable.up (ULiftable.down x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ
⊢ s.Finite → ((∃ n₀, s.encard = ↑n₀ ∧ n₀ ≤ k) ↔ s.ncard ≤ k)
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
CommMonoid N
f : α →₀ M
s : Finset α
hs : f.support ⊆ s
g : α → M → N
h : ∀ i ∈ s, g i 0 = 1
⊢ f.prod g = ∏ x ∈ s, g x (f x)
M : Type u_1
α : Type u_7
VAdd M α
Add α
VAddCommClass M α α
VAddAssocClass M α α
a b : α
h : AddCommute a b
r : M
⊢ AddCommute a (r +ᵥ b)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | τ ω = i} = {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≥ i}
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = i}
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0
a : Π₀ (i : ι), ↥(p i) := (mapRange.linearMap fun i => LinearMap.toSpanSingleton R ↥(p i) ⟨v i, ⋯⟩) l.toDFinsupp
ha : a = 0
i : ι
this : l i • v i = ↑(a i)
⊢ (fun c => c • v i) (l i) = (fun c => c • v i) (0 i)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α × β
r : ℝ
⊢ sphere x r = sphere x.1 r ×ˢ closedBall x.2 r ∪ closedBall x.1 r ×ˢ sphere x.2 r
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
s : ↥S
m : M
⊢ LocalizedModule.mk m s = IsLocalizedModule.mk' (LocalizedModule.mkLinearMap S M) m s
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
b : β
⊢ b ∈ f.range ↔ b ∈ Set.range ↑f
α : Type u_1
s t : Set α
x✝ : α × α
a : α
x : α × α
⊢ (x.1 ∈ s ∧ x.1 ∈ t) ∧ (x.2 ∈ s ∧ x.2 ∈ t) ∧ x.1 ≠ x.2 ↔ (x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ s ∧ x.1 ≠ x.2) ∧ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ t ∧ x.1 ≠ x.2
𝕜 : Type v
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
T2Space E
FiniteDimensional 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
TietzeExtension 𝕜
⊢ TietzeExtension E
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
SubtractionMonoid β
f : α →+ β
g h : α
⊢ f (g + -h) = f g + -f h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
γ : Type u_7
f : α × β × γ → M
h : (mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (a : α) (b : β × γ), f (a, b) = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (c : γ), f (a, b, c)
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
⊢ finrank R M = 0 ↔ Subsingleton M
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set β
⊢ ⋃ i, s i = Set.range fun a => ↑a.snd
G : Type u_7
AddCommGroup G
n : ℕ
f : ℕ → G
⊢ (List.map (fun k => f (k + 1) - f k) (List.range n)).sum = f n - f 0
n m : Nat
h : n * m ≠ 0
⊢ m ≠ 0
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ
Inhabited Γ'
f : Turing.PointedMap Γ Γ'
L R : List Γ
⊢ Turing.Tape.map f (Turing.Tape.mk₂ L R) = Turing.Tape.mk₂ (List.map f.f L) (List.map f.f R)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
⊢ ∃ n y, (y |_ X.basicOpen f) ⋯ = (f |_ X.basicOpen f) ⋯ ^ n * x
R : Type u
Semiring R
⊢ IsPrincipalIdealRing R ↔ ∀ (S : Ideal R), Submodule.IsPrincipal S
α : Type u
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ s ∪ t = t
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
hs : Disjoint e.source e'.source
ht : Disjoint e.target e'.target
⊢ e.IsImage e'.source e'.target
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a : α
PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
⊢ Monotone fun x => a * x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
h : doset a ↑H ↑K = doset b ↑H ↑K
⊢ mk H K a = mk H K b
p : Prop
⊢ ∀ {α : Type u_1} {t : Batteries.RBNode α} {n : Nat},
  Batteries.RBNode.RedRed p t n → Batteries.RBNode.RedRed p t.reverse n
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
r : Set (α × α)
s : Set β
f g : β → α
hf : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
hg : ∀ x ∈ s, ContinuousAt g x
hfg : EqOn f g s
hr : r ∈ 𝓤 α
t : β → Set β
t_open : ∀ x ∈ s, IsOpen (t x)
xt : ∀ x ∈ s, x ∈ t x
ht : ∀ x ∈ s, ∀ z ∈ t x, (f z, g z) ∈ r
⊢ ∃ t, IsOpen t ∧ s ⊆ t ∧ ∀ x ∈ t, (f x, g x) ∈ r
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map' 0 1 ⋯ ⋯) (CategoryTheory.ComposableArrows.app' β.hom 0 ⋯) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp α.hom (G.map' 0 1 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.isoMkSucc α β w).inv = CategoryTheory.ComposableArrows.homMkSucc α.inv β.inv ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow C
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategoryᵒᵖ} (g : X ⟶ Y),
  f.cechNerve.map g =
    CategoryTheory.Limits.WidePullback.lift (CategoryTheory.Limits.WidePullback.base fun x => f.hom)
      (fun i => CategoryTheory.Limits.WidePullback.π (fun x => f.hom) ((SimplexCategory.Hom.toOrderHom g.unop) i)) ⋯
X : Profinite
hX : ExtremallyDisconnected ↑X.toTop
⊢ CategoryTheory.Projective X
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
i : ℕ
m : M
p✝ q✝ : R[X]
e₁ : (map R' f) (p✝ • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') p✝ • (map R' f) ((single R i) m)
e₂ : (map R' f) (q✝ • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') q✝ • (map R' f) ((single R i) m)
⊢ (map R' f) ((p✝ + q✝) • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') (p✝ + q✝) • (map R' f) ((single R i) m)
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a b : α
⊢ (a / b)⁻¹ = b / a
ι : Sort u_1
G : Type u_2
Group G
S : ι → Subgroup G
⊢ (iSup S).op = ⨆ i, (S i).op
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Disjoint s.diag s.offDiag
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y
⊢ EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
X : C
j : Jᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Functor.const.opObjOp X).hom.app j = 𝟙 (((CategoryTheory.Functor.const Jᵒᵖ).obj (Opposite.op X)).obj j)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
x✝⁴ x✝³ x✝² : ℕ
x✝¹ : x✝² ≥ x✝³
x✝ : ℕ
⊢ MeasurableSet (⋂ (_ : x✝ ≥ x✝³), {x | x.2 ∈ B (f x.1) K ((1 / 2) ^ x✝²) ((1 / 2) ^ x✝) ((1 / 2) ^ x✝⁴)})
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
⊢ IsGreatest univ a ↔ IsTop a
α : Type u_1
n : ℕ
p : α → Prop
v : Vector3 α n
⊢ VectorAllP p v ↔ ∀ (i : Fin2 n), p (v i)
m n : ℕ
⊢ Nat.bitwise (fun x y => !(x || !y)) m n = Nat.bitwise (fun a b => a && !b) n m
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : x ≤ x'
⊢ (-(-x).insertLeft (-x')).Numeric
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : (∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly + M.charpoly).leadingCoeff = 1
⊢ M.charpoly.leadingCoeff = 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
Preorder ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : ProbabilityTheory.iCondIndepSet m' hm' s μ
i : ι
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' (MeasurableSpace.generateFrom {s i})
  (MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ j < i, s j = t}) hm' μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.Monad C) (x_1 : C),
  ((CategoryTheory.Monad.monadMonEquiv C).unitIso.inv.app x).app x_1 =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id
      ((((CategoryTheory.Monad.monadToMon C).comp (CategoryTheory.Monad.monToMonad C)).obj x).obj x_1)
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
hs : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hx₁ : abscissaOfAbsConv f < ↑x
hx₂ : ↑x < ↑s.re
⊢ ∃ x < s.re, LSeriesSummable f ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderTop β
⊢ ⊤ = (OrderHom.const α) ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
x : ℝ≥0
right✝ : ↑x < ε
h0r : 0 < ↑x
hrε : ↑x < ε
ε' : ι → ℝ≥0
hp : ∀ (i : ι), 0 < ε' i
c : ℝ≥0
hc : HasSum ε' c
hcr : c < x
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∑' (i : ι), ↑(ε' i) < ε
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
δ : Type u_3
x y : { r // 0 < r.length }
w₀ : x.val[0] = y.val[0]
w : x.val.tail = y.val.tail
⊢ x = y
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
⊢ ((Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.h f) x) Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.infinity =
  Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.infinity
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ τ : Equiv.Perm α
h : σ.cycleType = τ.cycleType
⊢ IsConj σ τ
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
μ : K
hμ : Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) μ
h✝ : IsEmpty n
⊢ ∃ k, μ ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
hf : IsLocalHomeomorphOn f s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ContinuousAt f x
G : Type u_1
Group G
s : Set G
x : G
⊢ x ∈ Group.conjugatesOfSet s ↔ ∃ a ∈ s, IsConj a x
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (t : Set β), IsOpen t → ∃ u, IsOpen u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] L
b : L
⊢ ∃ a, f a = b
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M✝ N : Submodule R A
m n a : A
M : Submodule R A
⊢ span R ((fun x => a * x) '' ↑M) = map (LinearMap.mulLeft R a) M