ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Fintype R
R' : Type v
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : IsDomain R'
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
F' : Type u_2
inst✝¹ : Field F'
inst✝ : Fintype F'
χ : MulChar F F'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
hch₁✝ : ringChar F' ≠ ringChar F
hch₂ : ringChar F' ≠ 2
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
n' : ℕ+
hp' : Nat.Prime (ringChar F')
hc' : Fintype.card F' = ringChar F' ^ ↑n'
ψ : PrimitiveAddChar F F' := FiniteField.primitiveChar F F' hch₁✝
FF' : Type u_2 := CyclotomicField ψ.n F'
hch₁ : IsUnit ↑(ringChar FF')
hchar : ringChar F' = ringChar FF'
this✝ : Fact (Nat.Prime (ringChar F'))
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF'))
⊢ ((χ.ringHomComp (algebraMap F' FF')) (-1) * ↑(Fintype.card F)) ^ (ringChar FF' ^ ↑n' / 2) = (χ.ringHomComp (algebraMap F' FF')) (↑(ringChar FF') ^ ↑n')
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p q : Multiset (Associates α)
hp : ∀ a ∈ p, Irreducible a
hq : ∀ a ∈ q, Irreducible a
⊢ p.prod ≤ q.prod → p ≤ q
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x✝ : M
hx : x✝ ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
x y : M
i : ι
hi : x ∈ S i
j : ι
hj : y ∈ S j
k : ι
hki : S i ≤ S k
hkj : S j ≤ S k
⊢ ∃ i, x * y ∈ S i
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
hr : IsUnit r
⊢ (p.scaleRoots r).scaleRoots ↑hr.unit⁻¹ ∣ (q.scaleRoots r).scaleRoots ↑hr.unit⁻¹ → p ∣ q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
m : β → γ
hh : Monotone h
⊢ f.lift (map m ∘ 𝓟 ∘ h) = f.lift' (image m ∘ h)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ (o.areaForm (φ x)) (φ y) = (o.areaForm x) y
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
⊢ (p * X).smeval x = p.smeval x * x
G : Type u_1
Group G
a b : G
⊢ a * b * b⁻¹ = a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ 4⁻¹ * (𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖) = 4⁻¹ * -(𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hN : N ≠ 0
hχ : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s
hs' : (abscissaOfAbsConv fun n => χ ↑n) < ↑s.re
hΛ : LSeriesSummable ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s
⊢ L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
b : β
l l' : List α
⊢ List.foldr f b (l ++ l') = List.foldr f (List.foldr f b l') l
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 ≤ 1 + ε ↑n
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h✝ : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)
x : G ⧸ ↑P
hx : orderOf x = p
h : IsPGroup p ↥(zpowers x)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
g : γ → α
i : ↑(Function.support g) → β
hi : Function.Injective i
hf : Function.support f ⊆ Set.range i
hfg : ∀ (x : ↑(Function.support g)), f (i x) = g ↑x
⊢ HasSum f a ↔ HasSum g a
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
this✝² : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this✝¹ : 0 ≤ ε₂
this✝ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)
this : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝
Fl : X → X ⊕ Y := inl
Fr : Y → X ⊕ Y := inr
Il : Isometry Fl
Ir : Isometry Fr
⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f g : X → ℝ
s t : Set X
hf : IntegrableOn f s μ
hg : IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
⊢ f ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] g
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ Inducing ⇑DomMulAct.mk.symm
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
B : LinearMap.BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
⊢ IsCompl (Submodule.span K {x}) (B.orthogonal (Submodule.span K {x}))
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
this : f y ∈ Submodule.span R (⇑f '' ↑T)
H : Submodule.span R (⇑f '' ↑T) ≤ Submodule.restrictScalars R (Submodule.span Rₚ (⇑f '' ↑T))
⊢ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T) = Submodule.span Rₚ (⇑f '' ↑T)
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' G'' : G.Subgraph
v w : ↑G'.verts
⊢ (SimpleGraph.Subgraph.restrict G'').Adj v w ↔ G'.Adj ↑v ↑w ∧ G''.Adj ↑v ↑w
R : Type u_1
S : Type u_2
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
⊢ IsMonoidHom ⇑f
x : ℝ≥0∞
⊢ ¬x < ⊤ ↔ x = ⊤
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
self : M.LinearDisjoint N
⊢ Function.Injective ⇑(M.mulMap N)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (Mon_.forgetMonoidal C).toFunctor = Mon_.forget C
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
m : M
⊢ (LieSubmodule.Quotient.mk' N) m = 0 ↔ m ∈ N
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
x : Module.Dual R M ⊗[R] M
⊢ (trace R M) ((dualTensorHom R M M) x) = (contractLeft R M) x
m : Type u_2
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
v w : m → α
x : m
⊢ (v ᵥ* Matrix.diagonal w) x = v x * w x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P 2 = 0
hQz : Q 2 = 0
hP : 0 = P 0 ^ 3 ∧ (¬3 = 0 ∧ ¬P 0 = 0 ∨ ¬P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 = W.a₂ * P 0 ^ 2)
hQ : 0 = Q 0 ^ 3 ∧ (¬3 = 0 ∧ ¬Q 0 = 0 ∨ ¬Q 1 ^ 2 + W.a₁ * Q 0 * Q 1 = W.a₂ * Q 0 ^ 2)
⊢ ![P 0, P 1, 0] ≈ ![Q 0, Q 1, 0]
α : Type u_1
N : Type u_2
Zero N
r : α → α → Prop
s : N → N → Prop
hbot : ∀ ⦃n : N⦄, ¬s n 0
hs : WellFounded s
x : α →₀ N
h : ∀ a ∈ x.support, Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) a
⊢ Acc (Finsupp.Lex r s) x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
⊢ mellin f s = ∫ (u : ℝ), cexp (-s * ↑u) • f (rexp (-u))
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
K : Type
w✝¹ : Field K
w✝ : CharP K p
H : Infinite K
⊢ {x | ∃ y, x = y + y⁻¹ ∧ y ≠ 0}.Infinite
K : Type u_3
L : Type u_4
Field K
Field L
Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
Algebra.IsAlgebraic K ↥E1
⊢ (E1 ⊔ E2).toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e e' : Pretrivialization F proj
h₁ : ∀ (x : Z), ↑e x = ↑e' x
h₂ : ∀ (x : B × F), ↑e.symm x = ↑e'.symm x
h₃ : e.baseSet = e'.baseSet
⊢ e = e'
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
x : M ∗ N
⊢ (toProd x).1 = ((MonoidHom.fst M N).comp toProd) x
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
i : ι
t : Finset ι
z : ι → E
hi : i ∈ t
⊢ t.centerMass (fun j => if i = j then 1 else 0) z = z i
α : Type u_1
CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ⨅ k, ⨅ (_ : k < n + 1), u k = u 0 ⊓ ⨅ k, ⨅ (_ : k < n), u (k + 1)
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G₀ : Type u_4
GroupWithZero G₀
MeasurableSpace G₀
MeasurableInv G₀
f : α → G₀
⊢ AEMeasurable (fun x => (f x)⁻¹) μ ↔ AEMeasurable f μ
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n.succ → α
i : Fin (n.succ - 1)
⊢ f ⟨↑i + 1, ⋯⟩ = f i.succ
α : Type u_1
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_7
CompleteLattice α
a : α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ a ≤ ⨅ i, ⨅ j, f i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), a ≤ f i j
μ : ℝ
v : ℝ≥0
y : ℝ
⊢ Measure.map (fun x => y + x) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (μ + y) v
𝕜 : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
E : Type u_2
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
K : ProperCone 𝕜 E
⊢ (↑K).Nonempty
n : ℕ
α : Type u_1
x : α
xs : Fin n → α
⊢ Fin.cons x xs = Fin.append (Fin.cons x Fin.elim0) xs ∘ Fin.cast ⋯
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ‖a / b‖ < r
⊢ ↑n * ‖a / b‖ < n • r
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p : ℕ
a b : R
h : ↑p ∣ a - b
k : ℕ
ih : ↑p ^ (k + 1) ∣ a ^ p ^ k - b ^ p ^ k
⊢ ↑p ^ (k + 1 + 1) ∣ a ^ p ^ (k + 1) - b ^ p ^ (k + 1)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f^[n] x < g^[n] x ↔ f x < g x
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x : HahnSeries Γ R
⊢ x.support = ∅ ↔ x = 0
α : Type u_1
ι : Sort u_6
m : ι → MeasurableSpace α
⊢ ⨆ n, m n = MeasurableSpace.generateFrom {s | ∃ n, MeasurableSet s}
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.EssSurj
X : C
eX : L.obj X ≅ f.left
Y : C
eY : L.obj Y ≅ f.right
⊢ f ∈ L.mapArrow.essImage
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Φ : Submodule R (Module.Dual R M)
⊢ Submodule.comap (Module.Dual.eval R M) Φ.dualAnnihilator = Φ.dualCoannihilator
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : ContractibleSpace X
inst✝ : ContractibleSpace Y
h : X ≃ₕ Unit
h' : Y ≃ₕ Unit
⊢ Nonempty (X ≃ₕ Y)
α : Type u_3
n : ℕ
β : Type u_4
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
γ : Type u_1
ζ : Type u_2
f₁ : γ → ζ
f₂ : α → β → γ
⊢ Mathlib.Vector.map f₁ (Mathlib.Vector.map₂ f₂ xs ys) = Mathlib.Vector.map₂ (fun x y => f₁ (f₂ x y)) xs ys
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
x : ℝ≥0∞
⊢ ∑ r ∈ f.range, x * r * μ (↑f ⁻¹' {r}) = x * ∑ r ∈ f.range, r * μ (↑f ⁻¹' {r})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
e : α ≃ᵐ β
e' : β ≃ᵐ γ
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
μc : MeasureTheory.Measure γ
h : MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑e) μa μb
h' : MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑e') μb μc
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(e.trans e')) μa μc
R : Type u_1
LinearOrderedField R
a : ℍ[R]
⊢ a⁻¹ = (Quaternion.normSq a)⁻¹ • star a
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Algebra R A
inst✝⁹ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module A M'
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
Q : Type (max u_3 u_4 u_2)
x✝³ : AddCommMonoid Q
x✝² : Module R Q
x✝¹ : Module A Q
x✝ : IsScalarTower R A Q
ℓ : M' →ₗ[R] Q
h₂ : ∀ (y : M' →ₗ[R] Q), (fun l => l ∘ₗ f = ℓ ∘ₗ f) y → y = ℓ
⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = ℓ ∘ₗ f
α : Type u_1
β : Type u_2
Sub β
f g : α → β
⊢ UniformFun.ofFun (f - g) = UniformFun.ofFun f - UniformFun.ofFun g
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha₀ : 0 < a
ha₁✝ : a ≠ 1
ha₁ : a < 1
⊢ Injective fun x => a ^ x
R : Type u
CommRing R
b c d : R
⊢ preNormEDS b c d 2 = 1
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x : α
⊢ Metric.ball x (Metric.infDist x s) ⊆ sᶜ
R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
CommRing R
Nontrivial R
AddCommGroup M₁
Module R M₁
Module.Finite R M₁
Module.Free R M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₂
Module.Finite R M₂
Module.Free R M₂
e : M₁ ≃ₗ[R] M₂
φ : Module.End R M₁
⊢ LinearMap.charpoly (e.conj φ) = LinearMap.charpoly φ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
f f' : ℕ → α → β
g g' : α → β
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] f' n
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hff'' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i x = f' i x
x : α
hff'x : ∀ (i : ℕ), f i x = f' i x
hgg'x : g x = g' x
hfgx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ Tendsto (fun x_1 => f x_1 x) atTop (𝓝 (g' x))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
X : Type u_7
TopologicalSpace X
FirstCountableTopology X
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : X → α → E
bound : α → ℝ
s : Set X
hfs_meas : ∀ x ∈ s, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fs x) μ
h_bound : ∀ x ∈ s, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : MeasureTheory.Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s
⊢ ContinuousOn (fun x => MeasureTheory.setToFun μ T hT (fs x)) s
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ closure U
⊢ ‖f z‖ ≤ C
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
hbad : b • d ≤ a • d
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
TopologicalSpace β
CommSemiring β
ContinuousAdd β
ContinuousMul β
hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
p : Polynomial β
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k fun x => Polynomial.eval (k x) p * f x
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
TopologicalSpace α
f : α → E
s : Set α
h : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn (fun x => ‖f x‖) s
α : Type u_2
Preorder α
Zero α
⊢ NonemptyInterval.pure 0 = 0
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
u₁ u₂ : UniformSpace α
h : u₁ ≤ u₂
a : α
⊢ (𝓤 α).lift' (ball a) ≤ (𝓤 α).lift' (ball a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁸ : Category.{u_14, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_13, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_12, u_3} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄
inst✝⁴ : Category.{?u.275553, u_5} C₁₂
inst✝³ : Category.{u_15, u_6} C₂₃
F✝ F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄
G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝² : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q
H : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃
F₁₂ : ?m.277908
G : ?m.277911
ρ₁₂ : ?m.277914
inst✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₂₃ F G₂₃) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ιMapTrifunctorMapObj (bifunctorComp₂₃ F G₂₃) r X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (CofanMapObjFun.iso (isColimitCofan₃MapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ j)).inv = ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ b ∈ Ioo a b ↔ False
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Nontrivial R
x : X
r : R
h : ι R x = (algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r
f0 : FreeAlgebra R X →ₐ[R] R := (lift R) 0
f1 : FreeAlgebra R X →ₐ[R] R := (lift R) 1
hf0 : f0 (ι R x) = 0
hf1 : f1 (ι R x) = 1
⊢ False
α : Sort u_3
⊢ ¬Nonempty α ↔ α → False
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
⊢ IsIntegralCurveAt γ v t₀ ↔ ∃ s ∈ 𝓝 t₀, IsIntegralCurveOn γ v s
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : SubMulAction R M
r : R
x y : M
h : -x ∈ p
⊢ - -x ∈ p
α : Type u_1
β : Type u_2
u v : Fin 2
⊢ (pathGraph 2).Adj u v ↔ ⊤.Adj u v
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hf : ∀ x ∈ s, DifferentiableAt ℝ f x
⊢ Convex ℝ (deriv f '' s)
a b✝ c d m n : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
⊢ cast ?m.13083 H0 = match 0 with | ofNat n => inductionOn'.pos b H0 Hs n | -[n+1] => inductionOn'.neg b H0 Hp n
X : Type u
TopologicalSpace X
f : Filter X
⊢ Disjoint f (Filter.cocompact X) ↔ ∃ K ∈ f, IsCompact K
M : Type u_1
Monoid M
DecidableEq M
n : M
h : Function.Injective fun m => n ^ m
m : ↥(Submonoid.powers n)
⊢ (Submonoid.powLogEquiv h).symm m = Multiplicative.ofAdd (Submonoid.log m)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
h : MeasurableSet (f '' s)
⊢ MeasurableSet s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.GlueData C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
i j : D.J
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑(D.U i)
⊢ D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ D.ιInvApp U ≫ D.diagramOverOpenπ U j = D.diagramOverOpenπ U j
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff = 0
⊢ f.eraseLead.natDegree ≤ f.natDegree - 2
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ deriv ε =ᶠ[atTop] fun x => -x⁻¹ / log x ^ 2
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R
⊢ ∀ (m : M) (x fx : CliffordAlgebra Q), ((contractLeftAux Q d) m) ((ι Q) m * x, ((contractLeftAux Q d) m) (x, fx)) = Q m • fx
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
a : α
⊢ List.count a l.dedup = if a ∈ l then 1 else 0
α : Type u_1
⊢ Function.Surjective ⇑SymAlg.sym
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
a : α
b₁ b₂ : β
⊢ (a, b₁) ⋖ (a, b₂) ↔ b₁ ⋖ b₂
ι : Type u_1
S : Type u_3
R : Type u_4
CommSemiring S
Semiring R
Algebra S R
A : ι → Submodule S R
s : S
r : R
hr : SetLike.Homogeneous A r
⊢ SetLike.Homogeneous A (s • r)
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hfg : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l f g
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι
m : M
hm : (∃ a, a • v i = m) ∧ m ∈ ⨆ x, span R {v ↑x}
⊢ m ∈ ⊥
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
v : V
e : ↑(G.incidenceSet v)
⊢ ↑((G.incidenceSetEquivNeighborSet v) e) = G.otherVertexOfIncident ⋯
α : Type u
i✝ : Nat
a b : Array α
i j : Nat
h : j ≤ a.size
⊢ (a ++ b).extract i j = a.extract i j
α : Type u_1
TopologicalSpace α
QuasiSober α
S : Set α
hS : IsIrreducible S
⊢ closure {hS.genericPoint} = closure S
α : Type u_2
Bornology α
S : Set (Set α)
hs : S.Finite
⊢ Bornology.IsCobounded (⋂₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, Bornology.IsCobounded s
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : CharZero α
m n d : ℕ
hn : d ∣ n
hm : d ∣ m
hd : d ≠ 0
⊢ ↑(m / d) / ↑(n / d) = ↑m / ↑n
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
NormedSpace ℝ E
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫ (x : α) in g • s, f x ∂μ
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
⊢ (f x - f a) / (x - a) < (f y - f a) / (y - a)
p n : ℕ
hpp : Prime p
hp : p ∣ n
hs : IsSquare (-1)
⊢ p % 4 ≠ 3
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
H : (Set.Ioi a).Nonempty
⊢ (𝓝[>] a).NeBot
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
k : ℕ
h : ∀ a ∈ s, k ∣ count a s
h₂ : ∑ x ∈ s.toFinset, k • (count x s / k) • {x} = ∑ x ∈ s.toFinset, count x s • {x}
⊢ s = k • ∑ a ∈ s.toFinset, (count a s / k) • {a}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : αᵒᵈ → βᵒᵈ
a : WithBot αᵒᵈ
⊢ WithBot.ofDual (WithBot.map f a) = WithBot.map (⇑OrderDual.ofDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.toDual) (WithBot.ofDual a)
n : Nat
x : Fin n
y : Nat
lt : 0 < n
⊢ x + Fin.ofNat' y lt = Fin.ofNat' (↑x + y) lt
R : Type u_1
CommRing R
a b : R[X]
⊢ ((Polynomial.wronskianBilin R) a) b = a.wronskian b
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f (insert x s) x
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁
y : F.obj j₃
hy : y ∈ F.eventualRange j₃
h₃ : F.map (f₃ ≫ f₂) y = F.map f₂ x
g₂ : j₃ ⟶ i
⊢ y ∈ F.map g₂ ⁻¹' s
d : ℤ
h_nonsquare : ∀ (n : ℤ), d ≠ n * n
a : ℤ√d
⊢ a.norm = 0 ↔ a = 0
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f✝ : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁ K₂ : Subgroup G
f : G →* G'
⊢ (∀ g₁ ∈ H₁, ∀ g₂ ∈ H₂, ⁅f g₁, f g₂⁆ ∈ ⁅map f H₁, map f H₂⁆) ∧ ∀ g₁ ∈ map f H₁, ∀ g₂ ∈ map f H₂, ⁅g₁, g₂⁆ ∈ map f ⁅H₁, H₂⁆
l : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq l
CommRing R
Fintype l
⊢ IsUnit (Matrix.J l R).det
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
MeasurableSpace ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
SecondCountableTopology ι
BorelSpace ι
TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
h : MeasureTheory.ProgMeasurable f u
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
n : ι
hτ_le : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ n
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (MeasureTheory.stoppedValue u τ)