ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
xs✝ ys : List α
ls : List (List α)
f : List α → List α
x : α
xs : List α
⊢ (if p x = true then [].reverse :: splitOnP.go p xs [] else splitOnP.go p xs [x]) = if p x = true then [] :: splitOnP p xs else modifyHead (cons x) (splitOnP p xs)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
H : D ⥤ E
hobj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X
hmap : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), HEq (F.map f) (G.map f)
⊢ HEq ((F ⋙ H).map f) ((G ⋙ H).map f)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂
wi : i ≫ S₂.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₂.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₂.f ⋯)
⊢ S₂.LeftHomologyData
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
⊢ (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q) =ᶠ[ae (ν a)] fun b => f (a, b) q
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
⊢ orderOf 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t✝ : Set α
a b x y : α
hs₁ : IsChain r s
hs₂ : IsChain r s → ∃ x, IsChain r x ∧ s ⊆ x ∧ ¬s = x
t : Set α
ht : IsChain r t
hst : s ⊆ t ∧ ¬s = t
⊢ SuperChain r s (SuccChain r s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
c : F
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => f y - c) s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ 0 < s.ncard ↔ s.Nonempty
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Add M
Add N
AddSemigroup P
f : AddHom M P
g : AddHom N P
Q : Type u_4
AddSemigroup Q
h : AddHom P Q
comm : ∀ (m : M) (n : N), AddCommute (f m) (g n)
⊢ h.comp (f.noncommCoprod g comm) = (h.comp f).noncommCoprod (h.comp g) ⋯
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
⊢ finrank ℤ ↥(unitLattice K) = rank K
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T (-f) = -MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.Iic a)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ↥(Lp E p μ)
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ C
hμ : ¬μ = 0
⊢ ‖f‖₊ ≤ measureUnivNNReal μ ^ p.toReal⁻¹ * C
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
h : ∀ (X : C), CategoryTheory.EssentiallySmall.{v, v, max u₁ v} (CategoryTheory.MonoOver X)
⊢ CategoryTheory.WellPowered C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
fs : ℕ → α →ₛ β
hT_lt_top : ∀ (n : ℕ), μ (support ↑(fs n)) < ⊤
h_approx : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(fs n) x) atTop (𝓝 (f x))
T : ℕ → Set α := fun n => support ↑(fs n)
hT_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (T n)
t : Set α := ⋃ n, T n
⊢ ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
f : α ≃o β
x y : α
⊢ f.symm (f.toOrderEmbedding x ⊓ f.toOrderEmbedding y) ≤ f.symm (f.toOrderEmbedding (x ⊓ y))
l₁ l₂ : Lean.Omega.LinearCombo
⊢ (l₁ + l₂).coeffs = l₁.coeffs + l₂.coeffs
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 2 ≠ 0
⊢ W.preΨ₄.leadingCoeff = 2
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
Subsingleton α
⊢ AEMeasurable f μ
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ RegularSpace X ↔ ∀ {s : Set X} {a : X}, IsClosed s → a ∉ s → Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝 a)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bf * Complex.abs z ^ cf)
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bg * Complex.abs z ^ cg)
⊢ cf ≤ max cf cg
F : PFunctor.{u}
n m : ℕ
x : F.M
⊢ PFunctor.Approx.head' (x.approx n.succ) = PFunctor.Approx.head' (x.approx m.succ)
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f g : X → ℝ
s : Set X
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hg : MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
h : f ≤ᵐ[μ] g
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : X) in s, g x ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{t, w} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
X : C
s : ↑(F ⋙ CategoryTheory.yoneda.obj X).sections
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfSectionCompYoneda F X s).pt = Opposite.op X
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hf : Integrable f volume
⊢ Integrable (fun v => 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + (1 / (2 * ‖w‖ ^ 2)) • w)) volume
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
⊢ (fun t => Ring.inverse (1 - t)) =O[𝓝 0] fun _t => 1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ eval₂ f x (C a) = f a
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction m m_empty) (s ∪ t) =
  (MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s + (MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction m m_empty) t
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys
⊢ lookupAll a l = (lookupAll a l).head?.toList
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), ⊤.FG
⊢ ⊤.FG
P Q R : Prop
Decidable P
⊢ (if P then Q else R) ↔ (P → Q) ∧ (¬P → R)
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hab : AddLECancellable (a - b)
h : b ≤ a
⊢ a - c - (a - b) = b - c
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X✝¹ : C
R✝ : Presieve X✝¹
S✝ : Sieve X✝¹
inst✝¹ : R✝.hasPullbacks
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
R : Presieve X✝
S : Sieve X✝
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
z₁ z₂ : FirstObj P X
h : ∀ (i : I), Pi.π (fun i => P.obj (op (X i))) i z₁ = Pi.π (fun i => P.obj (op (X i))) i z₂
⊢ z₁ = z₂
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₁
Module R M
Module R M₁
f : M →ₗ[R] M₁
p : Submodule R M
x : ↥p
⊢ ↑((f.submoduleMap p) x) = f ↑x
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
⊢ (W.map f).Ψ₂Sq = Polynomial.map f W.Ψ₂Sq
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : 0 < n
⊢ log p n = padicValNat p n ↔ n < p ^ (padicValNat p n + 1)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
∀ (i : ι), Nonempty (α i)
⊢ Filter.coprodᵢ f = ⊥ ↔ f = ⊥
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Set.BijOn id s s
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
r : α → α → Prop
l : List α
hl : (↑l.toFinset).Pairwise r
hn : l.Nodup
⊢ Pairwise r l
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{?u.88315, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
a : R
⊢ a • φ₁.τ₁ = S₁.f ≫ (a • h.h₁) + a • h.h₀ + a • φ₂.τ₁
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
n : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ n f
⊢ ContDiff ℝ n fun x => Real.exp (f x)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
r : ℝ
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
⊢ r • j = if 0 ≤ r then r.toNNReal • j else -((-r).toNNReal • j)
x : ℂ
⊢ (Complex.exp x).re = Real.exp x.re * Real.cos x.im
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁✝ ν₂✝ : Measure α
s t : Set α
μ ν₁ ν₂ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
⊢ ν₁ + μ = ν₂ + μ ↔ ν₁ = ν₂
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ y₁ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
⊢ { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (some h₁ + zero) = { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (some h₁) + { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun zero
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ |a ⊔ c - b ⊔ c| + |a ⊓ c - b ⊓ c| = |a - b|
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
⊢ Injective ⇑(castHom ⋯ R)
J K : Type v
inst✝⁶ : SmallCategory J
inst✝⁵ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
inst✝³ : HasColimitsOfShape J C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape (J × K) C
inst✝ : HasColimitsOfShape (K × J) C
k : K
j : J
⊢ colimit.ι (F.obj j) k ≫ colimit.ι (F ⋙ colim) j ≫ (((colimitUncurryIsoColimitCompColim F).inv ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (NatIso.ofComponents (fun x => Iso.refl ((F.obj x.2).obj x.1)) ⋯)).inv) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (uncurryObjFlip F)).inv) ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F.flip).hom = colimit.ι (F.flip.obj k) j ≫ colimit.ι (F.flip ⋙ colim) k
R : Type u
CommSemiring R
S : Type v
CommSemiring S
Algebra R S
r : R
IsLocalization.Away r S
⊢ OpenEmbedding ⇑(PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S))
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys
⊢ (lookupAll a l).Nodup
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
v : V
⊢ v +ᵥ p₁ ∈ affineSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₂ -ᵥ p₁) = v
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
d₁0 : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
d₂0 : d₂ ≠ 0
c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h : ↑{ num := n₁, den := d₁, den_nz := d₁0, reduced := c₁ } = ↑{ num := n₂, den := d₂, den_nz := d₂0, reduced := c₂ }
d₁a : ↑d₁ ≠ 0
⊢ { num := n₁, den := d₁, den_nz := d₁0, reduced := c₁ } = { num := n₂, den := d₂, den_nz := d₂0, reduced := c₂ }
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B
inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
hη : τ₀ = τ₁ hF hG η
Y : B
⊢ eB.inverse.map (F.map (eA.unitIso.hom.app (G.obj Y))) ≫ eB.inverse.map (F.map (eA.inverse.map (hG.inv.app Y))) ≫ eB.inverse.map (hF.inv.app (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y)))) ≫ eB.inverse.map (e'.functor.map (eA.counitIso.hom.app (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y)))) ≫ eB.inverse.map (e'.counitIso.hom.app (eB.functor.obj Y)) ≫ eB.unitIso.inv.app Y = eB.inverse.map (η.hom.app Y) ≫ eB.unitIso.inv.app Y
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Continuous (ContinuousMap.coev X Y)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : ι → UniformSpace α
u₂ : UniformSpace β
i : ι
hf : UniformContinuous f
⊢ Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (⨅ i, 𝓤 α) (𝓤 β)
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ a / b ≤ 1 ↔ a ≤ b
α : Type u_1
PartialOrder α
DecidableRel LE.le
m : ℕ
f : Fin m → α
a : α
h_sorted : Antitone f
j : Fin m
⊢ ↑j < Fintype.card { i // a ≤ f i } ↔ a ≤ f j
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategory} (θ : X ⟶ Y), (SSet.Augmented.standardSimplex.map θ).left = SSet.standardSimplex.map θ
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Submonoid α
a : α
ha : a • ↑s = ↑s
⊢ a ∈ s
Ω : Type u_1
m' : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
β : Type u_3
γ : Type u_4
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : Ω → β
g : Ω → γ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' f g μ ↔
  ∀ (t1 t2 : Set Ω),
    MeasurableSet t1 →
      MeasurableSet t2 →
        μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᵐ[μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']
num✝¹ : Int
den✝¹ : Nat
den_nz✝¹ : den✝¹ ≠ 0
reduced✝¹ : num✝¹.natAbs.Coprime den✝¹
g₁ : Nat
zg₁ : g₁ ≠ 0
z₁ : den✝¹ * g₁ ≠ 0
e₁ : normalize (num✝¹ * ↑g₁) (den✝¹ * g₁) z₁ = { num := num✝¹, den := den✝¹, den_nz := den_nz✝¹, reduced := reduced✝¹ }
num✝ : Int
den✝ : Nat
den_nz✝ : den✝ ≠ 0
reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝
g₂ : Nat
zg₂ : g₂ ≠ 0
z₂ : den✝ * g₂ ≠ 0
e₂ : normalize (num✝ * ↑g₂) (den✝ * g₂) z₂ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }
⊢ normalize (num✝¹ * num✝) (den✝¹ * den✝) ⋯ = normalize (num✝¹ * ↑g₁ * (num✝ * ↑g₂)) (den✝¹ * g₁ * (den✝ * g₂)) ⋯
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym α (n + 1)
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∃ t, s = a ::ₛ t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : Mon_ C
⊢ (λ_ X).hom.hom = (λ_ X.X).hom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
⊢ QuasilinearOn 𝕜 s f ↔ Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ∈ uIcc (f x) (f y)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
a b : P
⊢ (lineMap a b) (1 / 2) = midpoint R a b
α : Type u_6
Subsingleton α
Preorder α
⊢ Filter.atBot = ⊤
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddMonoid α
StarAddMonoid α
c : ℕ
M : Matrix m n α
⊢ (c • M)ᴴ = c • Mᴴ
α : Type u
l : List α
i : ℕ
h1 : l.length - 1 - i < l.reverse.length
h2 : i < l.length
⊢ l.reverse.get ⟨l.length - 1 - i, h1⟩ = l.get ⟨i, h2⟩
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C
⊢ prodComparison (reflector i) A B ≫ (bijection i A B ((reflector i).obj (A ⨯ B))) (𝟙 ((reflector i).obj (A ⨯ B))) = 𝟙 ((reflector i).obj (A ⨯ B))
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : lift.{v, u} #ι < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord
a : Ordinal.{max u v}
ha : a < c.ord
⊢ ℵ₀ < c
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
T2Space α
ContinuousAdd α
s t : Set β
hd : Disjoint s t
hs : Summable (f ∘ Subtype.val)
ht : Summable (f ∘ Subtype.val)
⊢ ∑' (x : ↑(s ∪ t)), f ↑x = ∑' (x : ↑s), f ↑x + ∑' (x : ↑t), f ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulZeroClass α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a
⊢ a • b < 0 ↔ b < 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
⊢ IsLocalization.mk' S (↑y * x) y = (algebraMap R S) x
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddBelow t
⊢ sSup (s / t) = sSup s / sInf t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ 1 * f 0 = f 0 * 1
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
R₁ R₂ : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c R₁)
h_maps : Set.MapsTo f (Metric.ball c R₁) (Metric.ball (f c) R₂)
h₀ : 0 < R₁
⊢ Complex.abs (deriv f c) ≤ R₂ / R₁
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
MeasureTheory.SFinite μ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (x : α × β), f x ∂μ ⊗ₘ κ = ∫⁻ (a : α), ∫⁻ (b : β), f (a, b) ∂κ a ∂μ
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
hn : ¬IsMax (succ^[n] i0)
m : ℕ := (toZ i0 (succ^[n] i0)).toNat
⊢ toZ i0 (succ^[n] i0) = ↑n
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∀ (L : IntermediateField F E), FiniteDimensional F ↥L → IsPurelyInseparable F ↥L
x : E
⊢ IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
i : σ
c : R
⊢ Multiset.count i (C c * p).degrees ≤ Multiset.count i p.degrees
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ W.negY P / P z ^ 3 = W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
φ : ℕ → R
hx : x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree = -∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (algebraMap R S) p * ((algebraMap R S) (φ ↑i) * x ^ ↑i)
hφ : ∀ n < f.natDegree, f.coeff n = p * φ n
⊢ -1 * ∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (algebraMap R S) (φ ↑i) * x ^ ↑i ∈ adjoin R {x}
I : Type u
DecidableEq I
M : Type u_3
CommMonoid M
k l m n : I
u v : M
hu : u ≠ 1
hv : v ≠ 1
⊢ Pi.mulSingle k u * Pi.mulSingle l v = Pi.mulSingle m u * Pi.mulSingle n v ↔
  k = m ∧ l = n ∨ u = v ∧ k = n ∧ l = m ∨ u * v = 1 ∧ k = l ∧ m = n
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
hv : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_ℝ = 0
this : FiniteDimensional ℝ E
hdim : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis hdim v
hb✝ : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), v i ≠ 0
i : Fin n.succ
hb : b i = ‖v i‖⁻¹ • v i
⊢ |‖v i‖⁻¹ * (‖v i‖ * ‖v i‖)| = ‖v i‖
α : Type u_1
ι : Type u_4
Countable ι
f : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : f.HasBasis p s
⊢ f.IsCountablyGenerated
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
Module S M
Module S M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S
f : M →ₗ[S] M₂
⊢ ⇑(↑R f) = ⇑f
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C
⊢ prod.map ((reflectorAdjunction i).unit.app A) ((reflectorAdjunction i).unit.app B) ≫ prod.fst = ((reflectorAdjunction i).unit.app (A ⨯ B) ≫ i.map (prodComparison (reflector i) A B) ≫ prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)) ≫ prod.fst
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
M : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
ι : Type u_6
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f i) μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.RightHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).φH =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).H
⊢ π ^ 2 / 6 = (-1) ^ (1 + 1) * 2 ^ (2 - 1) * π ^ 2 * ↑(bernoulli 2) / ↑2!
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
i : ι
⊢ biprod.inl.f i ≫ biprod.snd.f i = 0
α : Type u_1
Preorder α
⊢ lowerClosure ∅ = ⊥
a b m n p k : ℕ
ih : (0 ^ k).factorization = k • factorization 0
⊢ (0 ^ (k + 1)).factorization = (k + 1) • factorization 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
x y✝ y : (i : ι) → α i
⊢ (y ∈ univ.pi fun i => Icc (x i) (y✝ i)) ↔ y ∈ Icc x y✝
X : TopCat
x : ↑X
U : TopologicalSpace.OpenNhds x
⊢ OpenEmbedding ⇑U.obj.inclusion
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
⊢ (AlgHom.id R A).FiniteType
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
u v : List (Symbol T N)
hyp : r.Rewrites u v
⊢ ∃ p q, u = p ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ v = p ++ r.output ++ q
K : Type u_2
LinearOrderedField K
a r : K
hr : 0 < r
⊢ r • Set.Iic a = Set.Iic (r • a)
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : CategoryTheory.Functor J CategoryTheory.Cat
⊢ (CategoryTheory.Cat.HasLimits.limitCone F).pt = CategoryTheory.Cat.HasLimits.limitConeX F
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s s₁ s₂ : Set α
t : Finset α
a b : α
m n : ℕ
⊢ G.CliqueFreeOn {a} n ↔ 1 < n
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α
⊢ aᶜ ⇔ a = ⊥
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
s t : Finset α
⊢ (filter ((fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) ∘ ⇑(Equiv.prodComm (α × α) (α × α)).symm) (map (Equiv.prodComm (α × α) (α × α)).toEmbedding ((s ×ˢ s) ×ˢ t ×ˢ t))).card = Eₘ[t, s]
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : DivisionRing L
inst✝¹ : DivisionRing M
S : Type u_1
inst✝ : SetLike S K
h : SubfieldClass S K
x : K
s : S
q : ℚ≥0
hx : x ∈ s
⊢ q • x ∈ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor C D
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
F : CategoryTheory.Functor J C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit F G
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.preservesLimitIso G F).inv
    (G.map (CategoryTheory.Limits.limit.π F j)) =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (F.comp G) j
⊢ ∀ {α : Type u_1} {r : α → α → Prop} {a : α} {β : Type u_2} {s : β → β → Prop}, Acc r a → Acc (Sum.Lex r s) (Sum.inl a)
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝ : MonoidalCategory V
⊢ ((functorCategoryEquivalence V G).symm.unitIso.hom.app (𝟙_ (SingleObj ↑G ⥤ V))).app PUnit.unit = 𝟙 ((𝟙_ (SingleObj ↑G ⥤ V)).obj PUnit.unit)