ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a b : ℕ
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioo a b) = b - a - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
A : Matrix α β ℤ
hn : Fintype.card α < Fintype.card β
hm : 0 < Fintype.card α
⊢ ∃ t,
  t ≠ 0 ∧
    A *ᵥ t = 0 ∧ ‖t‖ ≤ (↑(Fintype.card β) * max 1 ‖A‖) ^ (↑(Fintype.card α) / (↑(Fintype.card β) - ↑(Fintype.card α)))
K : Type u
Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ A = B ↔ A.principalUnitGroup = B.principalUnitGroup
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a < 1
⊢ 1 < a⁻ᵐ
R : Type u
Ring R
X₁ X₂ X₃ : Type v
AddCommGroup X₁
AddCommGroup X₂
AddCommGroup X₃
Module R X₁
Module R X₂
Module R X₃
f : X₁ →ₗ[R] X₂
g : X₂ →ₗ[R] X₃
hfg : g ∘ₗ f = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.moduleCatMk f g hfg).X₃ = ModuleCat.of R X₃
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝ : Epi π₁
f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x, π ≫ g₁ = x ≫ app' φ 1 ⋯
G : Type u_1
AddMonoid G
a : G
ha : IsOfFinAddOrder a
⊢ (↑(AddSubmonoid.multiples a)).Finite
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
f' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => Complex.cosh (f x)) (Complex.sinh (f x) • f') x
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ constantCoeff (wittNeg p n) = 0
ι : Type u_1
DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
l : List ι
fs : (i : ι) → List (α i)
⊢ ((↑l).pi fun x => ↑(fs x)) = ↑(l.pi fs)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasFDerivAt f L x
v : E
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) univ x v
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Group α
MulDistribMulAction α M
a : α
S : Submonoid M
x : M
⊢ x ∈ a⁻¹ • S ↔ a • x ∈ S
x y : ℝ
⊢ x ≤ y ↔ x < y ∨ x = y
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
⊢ (sum fun i => lift.{max u v, u} #(L.Functions i)) ≤ sum fun i => #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
x✝ : M
f✝ : Dual R M
y : M
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0
Φ : Set M
hΦ₁ : _root_.Finite ↑Φ
hx' : x ∈ span R Φ
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
Φ' : Set ↥(span R Φ) := range (inclusion ⋯)
hΦ'₁ : Φ'.Finite
⊢ (span R Φ).subtype.dualMap f = (span R Φ).subtype.dualMap g
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ : TopCat
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x✝ : ↑(pullback g₁ g₂)
x₁ : ↑W
hx₁ : i₁ x₁ = (pullback.fst g₁ g₂) x✝
x₂ : ↑X
hx₂ : i₂ x₂ = (pullback.snd g₁ g₂) x✝
this : f₁ x₁ = f₂ x₂
⊢ x✝ ∈ Set.range ⇑(pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂)
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
s : Set (β → M)
h : A.Definable L s
f : α ≃ β
⊢ A.Definable L ((fun g => g ∘ ⇑f) '' s)
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
hx : IsUnit (x + y * 0 + z * 0)
hy : IsUnit ((x * if m = k then 1 else 0) + y + z * if m = n then 1 else 0)
hz : IsUnit (((x * if n = k then 1 else 0) + y * if n = m then 1 else 0) + z)
⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
K : Type u
DivisionRing K
S : Set (Subfield K)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
f g : CircleDeg1Lift
⊢ ⌈f (g 0)⌉ ≤ ⌈f 0⌉ + ⌈g 0⌉
M : Type u_1
MulOneClass M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : Submonoid.closure s = ⊤
mem : ∀ x ∈ s, p x
one : p 1
mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
⊢ p x
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => ((s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + (s + 1).Gammaℝ * -I * -↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)) / ↑n ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s)
n : ℕ
⊢ (s + 1).Gammaℝ * ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s = ((s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + (s + 1).Gammaℝ * -I * -↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)) / ↑n ^ s / 2
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this✝ : u = n.factorMultiset
this : v = m.factorMultiset
⊢ (n.factorMultiset ⊔ v).prod = n.lcm m
x y : Char
⊢ x = y ↔ x ≤ y ∧ y ≤ x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
⊢ BddAbove ((fun a => ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖) '' verticalClosedStrip 0 1)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
this : ∃ n x, x ∈ interior (closure (⇑f '' ball 0 ↑n))
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
(i : Fin (n + 1)) → MeasureTheory.MeasureSpace (α i)
∀ (i : Fin (n + 1)), MeasureTheory.SigmaFinite MeasureTheory.volume
i : Fin (n + 1)
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i)) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsOpenMap ⇑h
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
⊢ (↑(KaehlerDifferential.quotKerTotalEquiv R S).symm).compDer (KaehlerDifferential.D R S) =
  KaehlerDifferential.derivationQuotKerTotal R S
α : Type u_1
p : PosNum
⊢ castNum <$> ofZNum' (ZNum.pos p) = (↑p).toNat'
m : Type u_1 → Type u_2
α ρ : Type u_1
p : α → Prop
x : StateT ρ m α
Monad m
LawfulMonad m
⊢ SatisfiesM p x ↔ ∀ (s : ρ), SatisfiesM (fun x => p x.fst) (x s)
α : Type u
f : α → α
s : Set α
h : Function.IsFixedPt (Set.preimage f) s
n : ℕ
⊢ Function.IsFixedPt (Set.preimage f^[n]) s
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
⊢ a.natAbs < b.natAbs ↔ ↑a.natAbs < ↑b.natAbs
R : Type u_3
CommRing R
a b : ℍ[R]
⊢ (a * b).re = a.re * b.re - a.imI * b.imI - a.imJ * b.imJ - a.imK * b.imK
R : Type u_1
L : Type u_2
Field R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
LieAlgebra.IsKilling R L
⊢ (LieDerivation.ad R L).range = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖MeasureTheory.L1.setToL1 hT‖ ≤ C
α : Type u
β : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
x : α
n : ℕ
f : α →+* β
⊢ f (∑ i ∈ range n, x ^ i) = ∑ i ∈ range n, f x ^ i
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac
hprime : Fact (Prime p)
hroot : (cyclotomic k (ZMod p)).IsRoot ((castRingHom (ZMod p)) b)
hpb : ¬p ∣ b
⊢ p ≡ 1 [MOD k]
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝³ : Traversable t
inst✝² : LawfulTraversable t
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m α
x : β
⊢ (⇑(foldlM.ofFreeMonoid f) ∘ FreeMonoid.of) x = (foldlM.mk ∘ flip f) x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
⊢ vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)) ⟂ (s.altitude i).direction
K : Type u_2
Add K
Mul K
Neg K
Zero K
One K
FirstOrder.Ring.CompatibleRing K
K ⊨ FirstOrder.Language.Theory.field
ax : FirstOrder.Field.FieldAxiom
⊢ FirstOrder.Field.FieldAxiom.toProp K ax
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ico a b \ Set.Iio c = Set.Ico (max a c) b
p a b : ℕ
hpb : p ∈ b.primeFactorsList
ha : a ≠ 0
⊢ p ∈ (a * b).primeFactorsList
m n : ℕ
h : m ∣ n
⊢ Nat.fib m ∣ Nat.fib n
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
S : Set (LieSubmodule R L M)
⊢ ↑(sSup S) = ⨆ N ∈ S, ↑N
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
⊢ l ≤ cofinite ↔ ∀ (x : α), {x}ᶜ ∈ l
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional K V
b : ι → V
lin_ind : LinearIndependent K b
card_eq : finrank K ↥(span K (Set.range b)) = finrank K V
ne_top : ¬span K (Set.range b) = ⊤
⊢ False
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x ∂volume = ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, (fourier (-n)) ↑x • f x ∂volume
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
v₁ v₂ : V
⊢ midpoint R v₁ v₂ - v₁ = ⅟2 • (v₂ - v₁)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Ring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsAlgClosed E
x : L
⊢ (algebraMap K E) ((norm K) x) = ∏ σ : L →ₐ[K] E, σ x
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ (Set.sumCompl s).symm ↑⟨x, hx⟩ = Sum.inl ⟨x, hx⟩
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f✝ g✝ : ι → α
inst✝ : CommMonoid β
s : Multiset ι
r : α → β → Prop
f : ι → α
g : ι → β
h₁ : r 1 1
h₂ : ∀ ⦃a : ι⦄ ⦃b : α⦄ ⦃c : β⦄, r b c → r (f a * b) (g a * c)
l : List ι
⊢ r (map f ⟦l⟧).prod (map g ⟦l⟧).prod
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
h : IsUnramified k w
⊢ ∀ (a : K ≃ₐ[k] K), ComplexEmbedding.IsConj w.embedding a → a = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
t : Set E
hts : t ⊆ s
ht : IsOpen t
xt : x ∈ t
⊢ f '' s ∈ 𝓝 (f x)
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i✝ : ι
a✝ : β i✝
a b : (i : ι) → β i
h : a < b
i : ι
hi : i ∈ {i | a i ≠ b i}
hl : ∀ x ∈ {i | a i ≠ b i}, ¬x < i
j : ι
hj : (fun x x_1 => x < x_1) j i
⊢ toLex a j = toLex b j
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
⊢ F.a ≫ U.map 0 = 0 ≫ G.a
M : Type u_3
X : Type u_4
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
AddOreLocalization.AddOreSet S
AddAction M X
r : M
x : AddOreLocalization S X
⊢ r -ₒ 0 +ᵥ x = r +ᵥ x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hκ : IsSFiniteKernel κ
⊢ (Kernel.sum fun n => Kernel.sum fun m => κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) = Kernel.sum fun n => Kernel.sum fun n_1 => κ.seq n_1 ⊗ₖ η.seq n
xl xr yl yr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
yL : yl → SetTheory.PGame
yR : yr → SetTheory.PGame
i : xl
j : yl
⊢ (-(SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR * SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR)).moveRight (Sum.inl (i, j)) =
  -(xL i * SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR + SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR * yL j - xL i * yL j)
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
v : n → R
i : n
⊢ v ⬝ᵥ (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) 1 = v i
α : Type u_1
f g : Poly α
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f * ⇑g
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
c : AddCon M
d : AddCon N
C : c.Quotient → d.Quotient → Prop
p : c.Quotient
q : d.Quotient
H : ∀ (x : M) (y : N), C ↑x ↑y
⊢ C p q
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F : (Π₀ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
i : ι
⊢ { toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun F i => F ∘ₗ lsingle i) F) ∘ₗ lsingle i = F ∘ₗ lsingle i
Ω : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
hμ : MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
h_indep : ProbabilityTheory.CondIndepSet m hm t t μ
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i j : Set α
s : SignedMeasure α
f : ℕ → ℝ
left✝ : Antitone f
hf₂ : Tendsto f atTop (nhds (sInf s.measureOfNegatives))
B : ℕ → Set α
hB : ∀ (n : ℕ), B n ∈ {B | MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B} ∧ ↑s (B n) = f n
hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)
hB₂ : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)
A : Set α := ⋃ n, B n
hA : A = ⋃ n, B n
hA₁ : MeasurableSet A
hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A
hA₃ : ↑s A = sInf s.measureOfNegatives
⊢ restrict 0 Aᶜ ≤ restrict s Aᶜ
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ ∃ conts, (GenContFract.of v).conts n = GenContFract.Pair.map Rat.cast conts
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
⊢ MeasurableSet (⋃ b ∈ s, f b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a
hp : p.IsHamiltonianCycle
⊢ List.count a p.support = 2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
hc0 : ¬c = 0
⊢ c ^ (1 / p).toReal ≠ ⊤
X : Type u
⊢ CategoryTheory.uliftFunctor.{v, u}.obj X = ULift.{v, u} X
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
n : Type u_4
Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
⊢ ↑hA.eigenvectorUnitary = (EuclideanSpace.basisFun n 𝕜).toBasis.toMatrix ⇑hA.eigenvectorBasis.toBasis
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ (S'.a + S'.b) * (S'.a + ↑η * S'.b) * (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b) = S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
⊢ ListBlank.cons L.head (ListBlank.map { f := Prod.snd, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } L.tail)) = L
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
𝒢 : Set Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.IsCodetecting 𝒢.unop ↔ CategoryTheory.IsDetecting 𝒢
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
E' : IntermediateField F E := adjoin F (Set.range v)
this : Algebra.IsSeparable F ↥E'
⊢ LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
⊢ Filter.Tendsto Real.tan (𝓝[<] (Real.pi / 2)) Filter.atTop
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
LinearOrder ι
i j : ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : ProbabilityTheory.iIndepSet s μ
hij : i < j
⊢ μ[(s j).indicator fun x => 1|↑(MeasureTheory.filtrationOfSet hsm) i] =ᵐ[μ] fun x => (μ (s j)).toReal
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x y z : α
h : x ∈ y :: z :: l
hx : x = y
⊢ (y :: z :: l).next x h = z
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩
h5 : g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ = ⟨finRotate 5, ⋯⟩
⊢ normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩} ≤ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩}
F : Type u_1
Field F
q : ℕ
f : Polynomial F
hf : Polynomial.HasSeparableContraction q f
hF : ExpChar F q
g : Polynomial F
hg : Polynomial.IsSeparableContraction q f g
⊢ g.natDegree = hf.degree
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
X : Type u_6
TopologicalSpace X
FirstCountableTopology X
F : X → α → G
x₀ : X
bound : α → ℝ
s : Set X
hF_meas : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F x) μ
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : MeasureTheory.Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousWithinAt (fun x => F x a) s x₀
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) s x₀
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
B : E →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜
v f : E
is_lax_milgram : ∀ (w : E), ⟪f, w⟫_𝕜 = (B v) w
⊢ f = (InnerProductSpace.continuousLinearMapOfBilin B) v
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
IsNoetherianRing ↑Γ(X, U)
⊢ TopologicalSpace.NoetherianSpace ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ Sigma.mk i ⁻¹' s.sigma t = if i ∈ s then t i else ∅
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop (𝓝 l)
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ Filter.Tendsto (fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n) (𝓝[Complex.stolzCone s] 1) (𝓝 l)
I : Type u
DecidableEq I
R : Type v
CommSemiring R
A : I → Type w
(i : I) → Semiring (A i)
(i : I) → Algebra R (A i)
x : ⨁ (i : I), A i
⊢ { toQuot := Quot.mk (RingQuot.Rel (LinearAlgebra.FreeProduct.rel R A)) ((TensorAlgebra.ι R) x) } =
  (LinearAlgebra.FreeProduct.ι' R A) x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
init : β
arr : Array α
⊢ Array.foldr f init arr arr.size = List.foldr f init arr.data
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β✝
inst✝ : UniformSpace γ✝
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
ua1 ua2 : UniformSpace α
ub1 ub2 : UniformSpace β
uc1 : UniformSpace γ
h : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
a : P.A
f' : P.drop.B a ⟹ α
f : P.last.B a → P.W α
this✝ : MvFunctor.map g ∘ f = fun i => ⟨(f i).fst, g ⊚ (f i).snd⟩
this : f = fun i => ⟨(f i).fst, (f i).snd⟩
⊢ (g <$$> P.wMk a f' fun i => ⟨(f i).fst, (f i).snd⟩) = P.wMk a (g ⊚ f') fun i => ⟨(f i).fst, g ⊚ (f i).snd⟩
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
⊢ ⋃ i, Iio (f i) = univ ↔ ¬BddAbove (range f)
R : Type u_1
Mul R
a : R
⊢ IsRightRegular a ↔ IsSMulRegular R (MulOpposite.op a)
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
n : ℕ
hn : (↑n)⁻¹ < a
⊢ 2⁻¹ ^ n < (↑n)⁻¹
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
⊢ (if 2 = 1 + 1 then 𝟙 X₂ ≫ d₁ else 0) = d₁
X : Type u
m₁ m₂ : X → X → X
e₁ e₂ : X
h₁ : EckmannHilton.IsUnital m₁ e₁
h₂ : EckmannHilton.IsUnital m₂ e₂
distrib : ∀ (a b c d : X), m₁ (m₂ a b) (m₂ c d) = m₂ (m₁ a c) (m₁ b d)
⊢ m₁ = m₂
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
CompleteSpace A
S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
z : ℂ
⊢ z ∈ spectrum ℂ x ↔ z ∈ spectrum ℂ ↑x
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : ℕ
f : σ → MvPolynomial τ R
⊢ (expand p).comp (bind₁ f) = bind₁ fun i => (expand p) (f i)
α✝ : Sort u
β✝ : α✝ → Sort v
α' : Sort w
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α✝) → β✝ a
a✝ : α✝
b✝ : β✝ a✝
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Sort u_1
a : α
v w : β a
f : (a : α) → β a
b : α
⊢ update (update f a v) a w b = update f a w b
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
TopologicalGroup G
LocallyCompactSpace G
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (g : G) in 𝓝 1, μ (g • k \ k) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
a : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ ((κ.map id ⋯) a) s✝ = (κ a) s✝
α : Type u_1
S : Set (Set α)
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (insert Set.univ S) = MeasurableSpace.generateFrom S
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Generators R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
s : S
⊢ s * IsLocalization.mk' S (r ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 * 1) (1 * ⟨r, ⋯⟩ ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2) = s
I : Type u
inst✝⁵ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.157279, u_1} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C
inst✝² : X₃.HasTensor X₄
inst✝¹ : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)
inst✝ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))
i₁ i₂ i₃ i₄ j : I
h : i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = j
i₂₃₄ : I
hi : i₂ + i₃ + i₄ = i₂₃₄
⊢ i₁ + i₂₃₄ = j
X : FinBddDistLat
⊢ FinBddDistLat.dual.obj X = FinBddDistLat.of (↑X.toBddDistLat.toDistLat)ᵒᵈ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n k : ℕ
c : R
⊢ (⇑derivative)^[k] ((X + C c) ^ n) = n.descFactorial k • (X + C c) ^ (n - k)
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f : ℝ → ℝ
hA' : IsSelfAdjoint A
this : cfcHom hA' = hA.cfcAux
⊢ hA.cfcAux { toFun := (spectrum ℝ A).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } = hA.cfc f
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
f : β → α
b : β
h : b ∉ s
⊢ (Finset.cons b s h).inf f = f b ⊓ s.inf f
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
p : α → Prop
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → p x
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huH : UniqueMul (image (⇑f) A) (image (⇑f) B) aH bH
huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = aG * bG
⊢ a = aG ∧ b = bG
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
⊢ EckmannHilton.IsUnital Mul.mul ⟦GenLoop.const⟧
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
a : R
p q : Polynomial R
h : Polynomial.C a ∣ p - q
⊢ gcd a p.content = gcd a q.content