ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)
⊢ IsUpperSet ↑(s.biUnion f')
α : Type v
β : Type w
Small.{u, v} α
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Small.{u, w} β
α : Type u_1
ι : Type u_3
Lattice α
OrderBot α
i : ι
f : ι → α
⊢ {i}.SupIndep f
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
htu : Disjoint t u
⊢ MeasurableSet (s ∩ u)
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addIndex (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V ≤
  MeasureTheory.Measure.haar.addIndex K₁.carrier V + MeasureTheory.Measure.haar.addIndex K₂.carrier V
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
J : Type
CategoryTheory.Limits.HasProductsOfShape J C
hW : W.IsStableUnderProductsOfShape J
⊢ (W.functorCategory (CategoryTheory.Discrete J)).IsInvertedBy (CategoryTheory.Limits.lim.comp L)
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
a : P.mp.A
f : P.mp.B a ⟹ α
⊢ dest P ⟨a, g ⊚ f⟩ = (g ::: fun x => g <$$> x) <$$> dest P ⟨a, f⟩
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
ι : Type w
b : ι → M
h : LinearIndependent R b
⊢ #ι ≤ ↑(FiniteDimensional.finrank R M)
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → Zero (β i)
Zero α
(i : ι) → SMulWithZero α (β i)
k : α
x : (i : ι) → β i
⊢ hammingNorm (k • x) ≤ hammingNorm x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X✝ : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace X✝
X : TopCat
Z B : CompHaus
π : Z ⟶ B
he : EffectiveEpi π
⊢ QuotientMap ⇑(compHausToTop.map π)
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsOpenMap ⇑OrderDual.toDual
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x : ι → ℝ
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)
h₁ : π₁.IsHenstock
h₂ : π₂.IsHenstock
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
J : Box ι
hJ✝ : J ∈ π₁.disjUnion π₂ h
hJ : J ∈ π₁.boxes
⊢ (π₁.disjUnion π₂ h).tag J ∈ Box.Icc J
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Semiring B
hB : IsField B
e : A ≃* B
a✝ : A
h : a✝ ≠ 0
a' : B
he : e a✝ * a' = 1
⊢ ∃ b, a✝ * b = 1
a : Int
H : 0 ≤ a
H' : a ∣ 1
⊢ a = 1
R : Type uR
M₂ : Type v₂
M' : Type v'
CommSemiring R
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M₂
Module R M'
Module R M₂
k l n : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : MultilinearMap R (fun x => M') (MultilinearMap R (fun x => M') M₂)
x : M'
⊢ (((MultilinearMap.curryFinFinset R M₂ M' hk hl).symm f) fun x_1 => x) = (f fun x_1 => x) fun x_1 => x
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set β
b : β
h : IsGLB s b
⊢ IsGLB (u '' s) (u b)
α : Type u_1
β : Type u_3
f : α → β
m : MeasureTheory.OuterMeasure β
s : Set α
⊢ ((MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) m) s = m (f '' s)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : Preorder ι
E : Type u_4
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
ℱ : Filtration ι m
f : ι → Ω → E
μ : Measure Ω
h : ¬∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω))
⊢ StronglyMeasurable 0
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s t : Finset α
⊢ (s.disjSups t).Nonempty → s.Nonempty
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X : C
S : Sieve X
⊢ S ∈ (topologyOfClosureOperator J₁.closureOperator ⋯).sieves X ↔ S ∈ J₁.sieves X
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hp₁ : p₁ ∉ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
⊢ AffineIndependent k ![p₁, p₂, p₃]
R : Type u
Ring R
Γ₀ : Type v
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
F : Filter R
⊢ Cauchy F ↔ F.NeBot ∧ ∀ (γ : Γ₀ˣ), ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, Valued.v (y - x) < ↑γ
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L ≃ᴸ L'
⊢ ∀ (a : L.BoundedFormula α n), φ.onBoundedFormula a = φ.toLHom.onBoundedFormula a
α : Type u_1
BooleanRing α
a : α
⊢ a * (1 + a) = 0
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_4
CommRing S
Algebra R S
n : ℕ
x : S
⊢ PolynomialModule.equivPolynomial ((PolynomialModule.single R n) x) = (Polynomial.monomial n) x
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
u : V →L[R] R
ux : u x = 1
uy : u y = 0
v : V →L[R] R
vy : v y = 1
vx : v x = 0
⊢ ∃ f, f x = 1 ∧ f y ≠ 0
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : S
⊢ h.map (h.modByMonicHom x) = x
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
p : P.Ring
hp : p ∈ P.ker
m : P.ker.Cotangent
⊢ p • m = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
sym : Symmetric r
z : α × α
⊢ Sym2.mk z ∈ Sym2.fromRel sym ↔ r z.1 z.2
S : Type u
inst✝ : State S
s t : S
m : t ∈ r s
h : turnBound s = 0
⊢ False
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
e : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
K : Submodule R M
⊢ Submodule.map (↑e) K = Submodule.comap (↑e.symm) K
G : Type u
Monoid G
g : G
hg : orderOf g = 0
⊢ Monoid.exponent G = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ a - b ≤ c ↔ a ≤ b + c
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
b : M
x : α
⊢ (Finsupp.single a b) x ∈ {0, b}
a b : Ordinal.{u_4}
h : a < b
⊢ a % b = a
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤
b : α
s : Set α
s_max : ∀ a ∈ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}, s ⊆ a → a = s
s_ind : CompleteLattice.SetIndependent s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a
a : α
ha : a ∈ {a | IsAtom a}
⊢ a ≤ b ⊔ sSup s
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
⊢ IsComplete s ↔ ∀ (l : Filter α), Cauchy l → l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ClusterPt x l
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
x y✝ : E × F
x✝ : y✝ ∈ EMetric.ball 0 ⊤
⊢ HasSum (fun n => (f.fpowerSeriesBilinear x (n + 3)) fun x => y✝) ((f (x + y✝).1) (x + y✝).2 - ∑ i ∈ Finset.range 3, (f.fpowerSeriesBilinear x i) fun x => y✝)
a b c : Ordinal.{u_1}
ba : b + a = a
l : c.IsLimit
IH : ∀ c' < c, (a + b) * succ c' = a * succ c' + b
c' : Ordinal.{u_1}
h : c' < c
⊢ b ≤ ?m.296861
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : a ≠ 0
x✝ : α
⊢ (Associates.mk ∘ ⇑normalize) x✝ = Associates.mk x✝
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a : α
n : ℕ
⊢ |a ^ n| = |a| ^ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' : C
g : X' ⟶ X
CategoryTheory.IsIso g
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation (g ≫ f)
⊢ (CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation.ofIsoComp g F).I = F.I
α : Type u_5
β : Type u_6
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.SFinite μ] [inst : MeasurableSpace β]
  [inst_1 : MeasurableSingletonClass β] {g : α → β}, Measurable g → {t | 0 < μ {a | g a = t}}.Countable
a b c d : Int
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
⊢ a - d ≤ b - c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
c : F
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => f y - c) s x
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s✝ : Set E
x✝ y✝ : E
a✝ b✝ : 𝕜
ι : Sort u_6
s : ι → Set E
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
hs : ∀ ⦃i : ι⦄, StrictConvex 𝕜 (s i)
x : E
hx : x ∈ ⋃ i, s i
y : E
hy : y ∈ ⋃ i, s i
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior (⋃ i, s i)
α : Type u
⊢ {_x | ⊤} = Set.univ
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
⊢ ramificationIdx f p P = Multiset.count P (normalizedFactors (map f p))
M : Type u_1
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass P
f : M →+ P
g : P → M
hf : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : P), (AddCon.quotientKerEquivOfRightInverse f g hf).symm a = (AddCon.toQuotient ∘ g) a
R : Type u
CommRing R
A : Mon_ (ModuleCat R)
r : R
⊢ (algebraMap R ↑A.X) r = A.one r
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} ⦃f g : α →+* β⦄, ⇑f = ⇑g → f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a : α
l : List α
m : ℕ
⊢ (enumFrom n (a :: l))[m + 1]? = Option.map (fun a => (n + (m + 1), a)) (a :: l)[m + 1]?
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = ((𝟙_ C ◁ (ρ_ X₁).inv ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom) ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫ ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
a : α
hs : s.IsWF
hsn : s.Nonempty
ht : t.IsWF
htn : t.Nonempty
⊢ hs.min hsn ≤ ⋯.min ⋯ ∨ ht.min htn ≤ ⋯.min ⋯
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ
hs₀ : 0 < (μ s).toReal
ht₀ : 0 < (μ t).toReal
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ)
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIciTopology α
s : Set α
⊢ lowerBounds (closure s) = lowerBounds s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
s : Set M
x : M
One M'
⊢ SmoothWithinAt I I' 1 s x
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
⊢ l₁.length = l₂.length
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
⊢ comap f (map f p) = p ⊔ LinearMap.ker f
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
h₁ : x⁻¹ ≠ 1
h₂ : x⁻¹ - 1 ≠ 0
h₃ : x - 1 ≠ 0
h₄ : x * (x ^ n)⁻¹ = (x ^ n)⁻¹ * x
⊢ (x ^ n)⁻¹ * x + -x + (-(x ^ n)⁻¹ + 1) = -x + ((x ^ n)⁻¹ * x + -(x ^ n)⁻¹ + 1)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LocalRing R
q : ℕ
char_R_q : CharP R q
q_pos : ¬q = 0
K : Type u_1 := LocalRing.ResidueField R
RM_char : CharP K (ringChar K)
r : ℕ := ringChar K
n : ℕ := q.factorization r
⊢ IsPrimePow q
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
⊢ ∃! p, CharP R p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preregular C
CategoryTheory.FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts F
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts G
h : CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective (CategoryTheory.coherentTopology C) f
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective (CategoryTheory.regularTopology C) f
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x ^ (1 / x)) Filter.atTop (𝓝 1)
R : Type u
ι : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝² : DecidableEq ι
L' : Type w₁
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'
hf : Pairwise fun i j => ∀ (x : L i) (y : L j), ⁅(f i) x, (f j) y⁆ = 0
x y : ⨁ (i : ι), L i
f' : (i : ι) → L i →ₗ[R] L' := fun i => ↑(f i)
⊢ ∀ (i j : ι) (y : L i) (x : L j), (toModule R ι L' f') ⁅(of L j) x, (of L i) y⁆ = ⁅(toModule R ι L' f') ((of L j) x), (toModule R ι L' f') ((of L i) y)⁆
M : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁸ : UniformSpace α
inst✝⁷ : AddGroup α
inst✝⁶ : UniformAddGroup α
inst✝⁵ : UniformSpace β
inst✝⁴ : AddGroup β
inst✝³ : UniformAddGroup β
γ : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup γ
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : UniformAddGroup γ
f g : α →+ γ
hf : Continuous ⇑f
hg : Continuous ⇑g
hfg : Continuous fun x => f x + g x
x : Completion α
⊢ ∀ (a : α), ((f + g).completion ⋯) (↑α a) = (f.completion hf + g.completion hg) (↑α a)
x : ℝ≥0
⊢ ↑(⊤ * ↑x) = ⊤ * ↑↑x
n : ℕ
⊢ (List.map Nat.fib n.zeckendorf).sum = n
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a✝ : A
ha✝ : p a✝
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
a : A
ha : p a
ψ : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀ →⋆ₙₐ[𝕜] A := (↑(inrRangeEquiv 𝕜 A).symm).comp (codRestrict (cfcₙAux ⋯ a ha) (NonUnitalStarAlgHom.range (inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)) ⋯)
⊢ ∃ φ, ClosedEmbedding ⇑φ ∧ φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ 𝕜 a) (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := ⋯ } = a ∧ (∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), σₙ 𝕜 (φ f) = Set.range ⇑f) ∧ ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), p (φ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
m : α × β → γ
f : Filter α
g : Filter β
⊢ ∀ (s : Set γ), (∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ g, t₁ ×ˢ t₂ ⊆ m ⁻¹' s) ↔ ∃ t ∈ g, ∃ x ∈ f, ∀ x_1 ∈ x, ∀ y ∈ t, m (x_1, y) ∈ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W.HasRightCalculusOfFractions
X Y Y' : C
f₁ f₂ : X ⟶ Y
s : Y ⟶ Y'
⊢ W s →
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₁ s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₂ s →
    ∃ X' t, ∃ (_ : W t), CategoryTheory.CategoryStruct.comp t f₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp t f₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
α : Type u
a : α
s : Stream'.Seq α
n : ℕ
⊢ (Stream'.Seq.cons a s).get? (n + 1) = s.get? n
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
⊢ Set.BijOn (⇑e.symm) (⇑e '' s) s
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : (setOf p).Finite
n : ℕ
⊢ (filter p (range n)).card ≤ hp.toFinset.card
α : Type u
a : α
⊢ [a].getLast ⋯ = a
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : p a := by cfc_tac
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
hg : ContinuousOn g (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
⊢ cfc f a = cfc g a ↔ Set.EqOn f g (spectrum R a)
L : Language
ι✝ : Type v
inst✝¹³ : Preorder ι✝
G✝ : ι✝ → Type w
inst✝¹² : (i : ι✝) → L.Structure (G✝ i)
f✝ : (i j : ι✝) → i ≤ j → G✝ i ↪[L] G✝ j
inst✝¹¹ : IsDirected ι✝ fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹⁰ : DirectedSystem G✝ fun i j h => ⇑(f✝ i j h)
inst✝⁹ : Nonempty ι✝
P : Type u₁
inst✝⁸ : L.Structure P
g✝ : (i : ι✝) → G✝ i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι✝) (hij : i ≤ j) (x : G✝ i), (g✝ j) ((f✝ i j hij) x) = (g✝ i) x
G' : ι✝ → Type w'
inst✝⁷ : (i : ι✝) → L.Structure (G' i)
f' : (i j : ι✝) → i ≤ j → G' i ↪[L] G' j
g : (i : ι✝) → G✝ i ≃[L] G' i
H_commuting : ∀ (i j : ι✝) (hij : i ≤ j) (x : G✝ i), (g j) ((f✝ i j hij) x) = (f' i j hij) ((g i) x)
inst✝⁶ : DirectedSystem G' fun i j h => ⇑(f' i j h)
ι : Type u_1
inst✝⁵ : Countable ι
inst✝⁴ : Preorder ι
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : Nonempty ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
h : ∀ (i : ι), CG L (G i)
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
⊢ CG L (DirectLimit G f)
α : Sort u_1
a : α
motive : (a' : α) → a = a' → Sort u_2
x : motive a ⋯
β : Sort u_2
y : β
⊢ HEq y (⋯ ▸ x) ↔ HEq y x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Denumerable ι
κs : ι → Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)
e : ℕ ≃ ι × ℕ := (Denumerable.eqv (ι × ℕ)).symm
hκ_eq : Kernel.sum κs = Kernel.sum fun n => Kernel.sum (κs n).seq
⊢ Kernel.sum κs = Kernel.sum fun n => (κs (e n).1).seq (e n).2
α : Type u_1
E : Type u_3
F'' : Type u_10
Norm E
NormedAddCommGroup F''
f : α → E
l : Filter α
h : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
c : F''
hc : c ≠ 0
⊢ f =O[l] fun _x => c
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
p : α → ι → Prop
hic : #ι < c
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (i : ι), p x i) ↔ ∀ (i : ι), ∀ᶠ (x : α) in l, p x i
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
hu : IsUnit (b.toMatrix ⇑b₂)
⊢ b.coords x ᵥ* (b.toMatrix ⇑b₂)⁻¹ = b₂.coords x
p q : ℕ
⊢ mersenne p < mersenne q ↔ p < q
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter β
s : Set β
⊢ map Subtype.val (comap Subtype.val f) = f ⊓ 𝓟 s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
T : CategoryTheory.Comonad C
D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (D.comp T.forget)
X : J
⊢ (CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesColimits'.newCocone D c).ι.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (D.obj X).a (T.map (c.ι.app X))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
SemilatticeSup α
s : α → Set β
t : α → Set γ
hs : Monotone s
ht : Monotone t
⊢ ⋃ x, s x ×ˢ t x = (⋃ x, s x) ×ˢ ⋃ x, t x
G : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid G
CategoryTheory.IsPreconnected G
x y : G
⊢ Nonempty (x ⟶ y)
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(X, R)
h : ∀ (x : X), IsUnit (f x)
x : X
this : ContinuousAt Ring.inverse ↑⋯.unit
⊢ ContinuousAt (fun x => ↑((fun x => ⋯.unit) x)⁻¹) x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
⊢ IsEmpty (Besicovitch.SatelliteConfig E (Besicovitch.multiplicity E) (Besicovitch.goodτ E))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u
hw₁ : ↑s w = 0
hw₂ : w ⊆ u
hwt : v ⊆ w
this : ↑s w = 0 → w ⊆ u → v ⊆ w → ↑s v = 0
⊢ ↑s v = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
F.CommShift A
X Y : C
f : X ⟶ Y
a : A
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor D a).map (F.map f)) ((F.commShiftIso a).inv.app Y) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.commShiftIso a).inv.app X) (F.map ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).map f))
α : Type u_1
γ : Type u_3
u : γ → α
l : Filter γ
Preorder α
l.NeBot
h : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l u
⊢ Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l u
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg : ContinuousWithinAt g t (f x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
A : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x, f (↑e.symm y) ∈ t ∧ f (↑e.symm y) ∈ e'.source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
hx : ∀ (i : xl) (j : xr), xL i < xR j
_oxl : ∀ (i : xl), (xL i).Numeric
_oxr : ∀ (i : xr), (xR i).Numeric
IHxl : ∀ (i : xl), (fun x => ∀ (z : PGame), z.Numeric → x ⧏ z → ¬z ⧏ x) (xL i)
IHxr : ∀ (i : xr), (fun x => ∀ (z : PGame), z.Numeric → x ⧏ z → ¬z ⧏ x) (xR i)
⊢ (fun x => ∀ (z : PGame), z.Numeric → x ⧏ z → ¬z ⧏ x) (mk xl xr xL xR)
α : Type u
β : α → Type v
⊢ ∅.keys = []
σ : Type u_1
Fintype σ
DecidableEq σ
R : Type u_2
CommRing R
k : ℕ
⊢ ↑k * MvPolynomial.esymm σ R k =
  (-1) ^ k *
    ∑ t ∈ Finset.filter (fun t => t.1.card = k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k),
      MvPolynomial.NewtonIdentities.weight σ R k t
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hfI : f a = f b
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo a b, deriv f c = 0
α : Type u
i : Nat
⊢ List.enumFrom i List.nil = List.nil
F : Type u_1
NormedField F
CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
p : ℕ
hp : 1 < p
⊢ ‖f p‖ < 1
a : EReal
h : a < 0
h' : a ≠ ⊥
⊢ ⊥ / a = ⊤