ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
hl_im : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |(g x).im|
hl : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → (g x).re = 0 → g x = 0
⊢ (let_fun this := fun x => abs (f x) ^ (g x).re / 1; this) =ᶠ[l] let_fun this := fun x => abs (f x) ^ (g x).re; this
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
⊢ (1 / (↑n + ↑a) ^ s + 1 / (↑n + 1 - ↑a) ^ s) / 2 = (1 / ↑|↑n + a| ^ s + 1 / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
h : fract v = 0
⊢ (of v).convs' (n + 1) = ↑⌊v⌋ + 1 / (of (fract v)⁻¹).convs' n
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
⊢ (∃ s, G.IsNClique 3 s) ↔ ∃ u w, w.IsCycle ∧ w.length = 3
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hz : ¬0 < z
h' : PythagoreanTriple x y (-z)
⊢ 0 ≤ -z
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
h₁ : ∀ (n : ℤ), IsZero ((F.shift n).obj Z) ↔ (F.shift n).map g = 0 ∧ F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯ = 0
h₂ : ∀ (n : ℤ), Mono ((F.shift (n + 1)).map f) ↔ F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯ = 0
h₃ : ∀ (n : ℤ), Epi ((F.shift n).map f) ↔ (F.shift n).map g = 0
⊢ F.homologicalKernel.P Z ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s.toFinset.val = s.dedup
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
f : (a : Ordinal.{u}) → a < Ordinal.type r → Ordinal.{max u v}
⊢ (Ordinal.type r).blsub f = Ordinal.lsub fun a => f (Ordinal.typein r a) ⋯
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w✝ : V
ι : Type u_2
f : ι → G.Subgraph
hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching
hd : Pairwise fun i j => Disjoint (f i).support (f j).support
v : V
hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts
i : ι
hi : v ∈ (f i).verts
w : V
hw : (fun w => (f i).Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (f i).Adj v w) y → y = w
⊢ (fun w => (⨆ i, f i).Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (⨆ i, f i).Adj v w) y → y = w
X₁ : Type u₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y✝ : Type v
inst✝² : TopologicalSpace Y✝
inst✝¹ : TietzeExtension Y✝
Y : Type v
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : C(X₁, Y)
t : Set Y
hf : ∀ (x : X₁), f x ∈ t
ht : TietzeExtension ↑t
⊢ ∃ g, (∀ (x : X), g x ∈ t) ∧ g.comp { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ } = f
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m : ℕ
hcop : m.Coprime n
⊢ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).IsRoot (μ ^ m)
B : Type u_1
TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ Bundle.TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ Bundle.TotalSpace.proj
⊢ ContinuousOn (Trivialization.Prod.toFun' e₁ e₂) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet))
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
hS : IsClosed ↑S
m : M
h : ‖(mk' S) m‖ = 0
⊢ m ∈ S
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
Fintype ι
DecidableEq M
x : M
i : ι
h : b i ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ := ⋯
⊢ (b.reindexFinsetRange.repr x) ⟨b i, h⟩ = (b.repr x) i
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
⊢ o.rotation 0 = LinearIsometryEquiv.refl ℝ V
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
Neg β
ContinuousNeg β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (-f) μ
α : Type u_3
n : ℕ
β : Type u_4
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
γ : Type u_1
ζ : Type u_2
f₁ : α → γ → ζ
f₂ : β → γ
⊢ Mathlib.Vector.map₂ f₁ xs (Mathlib.Vector.map f₂ ys) = Mathlib.Vector.map₂ (fun x y => f₁ x (f₂ y)) xs ys
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
a : α
h : l ≠ []
⊢ List.count a l.tail = List.count a l - if a = l.head h then 1 else 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
x : ℂ
f' : E
h : HasDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt f (Complex.reCLM.smulRight f' + Complex.I • Complex.imCLM.smulRight f') x
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
a : ℕ
⊢ a ∈ p.support → a ≤ p.natDegree
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty Cᵒᵖ
⊢ P.unop.op = P
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
⊢ Function.Surjective ⇑Algebra.Generators.Cotangent.mk
α : Type u
s : Set α
hs : s.Finite
t : Set α
⊢ (s \ t).Finite
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
χ₁ χ₂ χ₃ : ↥H → R
hχ : χ₁ + χ₂ = χ₃
x : ↥(LieAlgebra.rootSpace H χ₁)
y : ↥(LieAlgebra.rootSpace H χ₂)
⊢ ↑((LieAlgebra.rootSpaceProduct R L H χ₁ χ₂ χ₃ hχ) (x ⊗ₜ[R] y)) = ⁅↑x, ↑y⁆
α : Type u_1
r : α → α → Prop
P : α → Prop
dc : ∀ {a b : α}, r a b → P b → P a
a b : α
h : Relation.TransGen r a b
⊢ P b → P a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) 0 a✝).f = Coalgebra.Hom.f 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
adj3 : F'' ⊣ G''
f : G ⟶ G'
g : G' ⟶ G''
⊢ (adj1.natTransEquiv adj3).symm ((adj2.natTransEquiv adj3) g ≫ (adj1.natTransEquiv adj2) f) = (adj1.natTransEquiv adj3).symm ((adj1.natTransEquiv adj3) (f ≫ g))
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p q : F[X]
hpq : Splits (algebraMap F q.SplittingField) p
hp : IsSolvable p.Gal
hq : IsSolvable (Polynomial.map (algebraMap F p.SplittingField) q).Gal
K : Type u_1 := p.SplittingField
L : Type u_1 := q.SplittingField
this✝¹ : Fact (Splits (algebraMap F L) p)
ϕ : (L ≃ₐ[K] L) ≃* (Polynomial.map (algebraMap F K) q).Gal := (IsSplittingField.algEquiv L (Polynomial.map (algebraMap F K) q)).autCongr
ϕ_inj : Function.Injective ⇑ϕ.toMonoidHom
this✝ : IsSolvable (K ≃ₐ[F] K)
this : IsSolvable (L ≃ₐ[K] L)
⊢ IsSolvable q.Gal
α : Type u
β : Type v
Finite α
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : Nonempty (α ≃ β)
⊢ ∃ g, ∀ (x : ↑s), g ↑x = f x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
this✝ : p.IsPrime
f' : R →+* S ⧸ I := (Quotient.mk I).comp f
e : RingHom.ker f' = comap f I
this : RingHom.ker (Quotient.mk (RingHom.ker f')) ≤ p
⊢ map (Quotient.mk (RingHom.ker f')) p ∈ minimalPrimes (R ⧸ RingHom.ker f')
d : Nat
n : Int
a : Nat
d0 : d ≠ 0
a0 : a ≠ 0
⊢ Rat.normalize (↑a * n) (a * d) ⋯ = Rat.normalize n d d0
a b : Prop
ha : ¬a
⊢ (b ↔ a) ↔ ¬b
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β x y : κ
⊢ P y α * (trace A B) (b y * (b x * (algebraMap A B) (P x β))) = P y α * traceMatrix A b y x * P x β
a b : ℤ
c : ℕ
⊢ ↑a = ↑b ↔ a % ↑c = b % ↑c
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x y : V₁
⊢ ‖f (x - y)‖ ≤ ↑⟨‖f‖, ⋯⟩ * ‖x - y‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 α
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g : β → α
hg : StrictConvexOn 𝕜 (f '' s) g
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
hg' : StrictAntiOn g (f '' s)
hf' : Set.InjOn f s
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s (g ∘ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
s✝ t : Finset α
a b : α
inst✝¹ : DecidableEq α
R : Type u_4
inst✝ : AddGroupWithOne R
s : Finset α
hs : a ∈ s
⊢ s.Nonempty
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : TopologicalSpace α
T : Set (TopologicalSpace β)
⊢ Continuous f ↔ ∀ t ∈ T, Continuous f
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
H : ¬c.sizeUpTo ↑(c.index j) ≤ ↑j
⊢ False
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
LinearOrderedRing A
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat e n d → decide (n = 0) = true → 0 ≤ e
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s : Set α
AlexandrovDiscrete α
⊢ exterior s ⊆ s ↔ IsOpen s
α : Type u
Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
⊢ ¬IsCyclic α ↔ Monoid.exponent α = p
α : Sort u
a a' : α
h : a = a'
⊢ HEq a a'
ι : Type u_2
α : Type u_3
CommMonoid α
m : Multiset ι
f : ι → α
DecidableEq ι
i : ι
hf : ∀ (i' : ι), i' ≠ i → i' ∈ m → f i' = 1
⊢ (Multiset.map f m).prod = f i ^ Multiset.count i m
α : Type u_1
Monoid α
a : α
⊢ Quot.mk Setoid.r a = Associates.mk a
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
x y : α
hy : IsUnit y
⊢ y * x ∈ I ↔ x ∈ I
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.EdgeDisjointTriangles
e : Sym2 α
he : e ∈ G.edgeFinset
⊢ (bipartiteBelow (fun s e => e ∈ s.sym2) (G.cliqueFinset 3) e).card ≤ 1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : LocalRing R
a b : R
u : Rˣ
hu : ↑u⁻¹ * a + ↑u⁻¹ * b = 1
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset ι
inst✝ : CommMonoid α
f : ι → α
h : ∀ c ∈ s, IsSquare (f c)
i : { x // x ∈ s }
⊢ f ↑i = ⋯.choose ^ 2
R S : Type u
CommRing R
CommRing S
S' : Type u
CommRing S'
Algebra S S'
Algebra R S
Algebra R S'
IsScalarTower R S S'
M : Submonoid S
IsLocalization M S'
x : S
s : Finset S'
A : Subalgebra R S
hA₁ : ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple M s) ⊆ ↑A
hA₂ : M ≤ A.toSubmonoid
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
⊢ ∃ m, m • x ∈ A
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h : T.rotate.mor₃ = 0 ↔ Epi T.rotate.mor₂
⊢ T.mor₁ = 0 ↔ Epi T.mor₃
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b : α
⊢ a - b < a ↔ 0 < b
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y : α
hy : (if f y = x then f x else if y = x then x else f y) ≠ y
⊢ f y ≠ y ∧ y ≠ x
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
Semiring β
Add α
Add α₂
F : Type u_6
FunLike F α α₂
AddHomClass F α α₂
f : F
x y : AddMonoidAlgebra β α
⊢ AddMonoidAlgebra.mapDomain (⇑f) (x * y) = AddMonoidAlgebra.mapDomain (⇑f) x * AddMonoidAlgebra.mapDomain (⇑f) y
α : Type u_1
a b : α
⊢ s(a, b) = s(b, a)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
r : ℝ
T : (R * r) • t' = r • t
U : (R * r) • u' = r • u
⊢ ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) r = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
α : Type u
motive : List α → Sort u_2
nil : motive []
singleton : (a : α) → motive [a]
cons_append : (a : α) → (l : List α) → (b : α) → motive l → motive (a :: (l ++ [b]))
a : α
l : List α
b : α
⊢ List.bidirectionalRec nil singleton cons_append (a :: (l ++ [b])) =
  cons_append a l b (List.bidirectionalRec nil singleton cons_append l)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝³ : HasCoproduct X
inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)
inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b
hg : g₁ ≫ Sigma.desc π = g₂ ≫ Sigma.desc π
a b : α
⊢ Sigma.ι (fun a_1 => pullback (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) b ≫ (fun x => (Sigma.desc fun a_1 => pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) ≫ x) (pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ e a) = Sigma.ι (fun a_1 => pullback (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) b ≫ (fun x => (Sigma.desc fun a_1 => pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) ≫ x) (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc e)
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys
h1 : (lookupAll a l).length ≤ 1
⊢ lookupAll a l = (lookupAll a l).head?.toList
G : Type u_10
InvolutiveInv G
⊢ ⇑(Equiv.inv G) = Inv.inv
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivWithinAt g₁ g₁' s' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
hs : ∀ (x : 𝕜), h x ∈ s'
hy : y = h x
⊢ HasDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
DecidableEq m
Fintype m
M : Matrix m m R
p : m → Prop
DecidablePred p
h : ∀ (i : m), p i → ∀ (j : m), ¬p j → M i j = 0
⊢ M.det = (M.toSquareBlockProp p).det * (M.toSquareBlockProp fun i => ¬p i).det
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
x y z : R
⊢ EuclideanDomain.lcm x y ∣ z ↔ x ∣ z ∧ y ∣ z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Center.ofBraided C).map f).f = f
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : LinearOrder α✝
inst✝³ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s t : Set α
⊢ MeasurableSpace.generateFrom {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ t, l < u ∧ Ico l u = S} ≤ borel α
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
hx : x ∈ e.source
⊢ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p (↑e.symm (↑e x))) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x
G : Type u
self : SubNegMonoid G
a b : G
⊢ a - b = a + -b
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
r : R
⊢ (expand R p) ((monomial q) r) = (monomial (q * p)) r
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : Embedding f
s : Set α
⊢ IsTotallyDisconnected (f '' s) ↔ IsTotallyDisconnected s
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
B : D • ball 0 1 = ball 0 D
C : D ^ finrank ℝ E ≠ 0
⊢ support (w D) = ball 0 D
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
s : Set Y
⊢ map (↑e) (𝓝[↑e ⁻¹' s] x) = 𝓝[s] ↑e x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
Nontrivial α
Unique αˣ
m : Multiset α
h : ∀ p ∈ m, Prime p
⊢ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors m.prod = m
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
Fintype n
RCLike 𝕜
A : Matrix n n 𝕜
⊢ A.PosSemidef ↔ ∃ B, A = B.conjTranspose * B
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
e : m ≃ n
h : (M.submatrix ⇑e ⇑e).PosSemidef
⊢ M.PosSemidef
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
α : Type u_4
r : α → α → Prop
x✝¹ : IsWellOrder α r
β : Type u_4
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
⊢ IsEmpty (α ⊕ β) ↔ IsEmpty α ∧ IsEmpty β
F✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Field F✝
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
p : ι → K[X]
s : Finset ι
h0 : ∏ i ∈ s, p i ≠ 0
h : ∀ i ∈ s, IsSplittingField K (↥(t i)) (p i)
F : IntermediateField K L := ⨆ i ∈ s, t i
⊢ IsSplittingField K (↥(⨆ i ∈ s, t i)) (∏ i ∈ s, p i)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₁ : ι → Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M₁ i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M₁ i)
⊢ Module.Free R (MultilinearMap R M₁ M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R M₁ M₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α × β → StieltjesFunction
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun b => ↑(f (a, b)) x) (ν a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
r : β → γ → Prop
f : α → β
g : α → γ
⊢ Filter.Germ.LiftRel r ↑f ↑g ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, r (f x) (g x)
α : Type u_1
i : Nat
a : α
as : List α
h : i + 1 < (a :: as).length
⊢ (a :: as).get ⟨i + 1, h⟩ = as.get ⟨i, ⋯⟩
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)
sp_eq : spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }) = f '' spectrum R a
⊢ (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict (g ∘ f), continuous_toFun := ⋯ } = (cfcHom ⋯) ({ toFun := (spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ })).restrict g, continuous_toFun := ⋯ }.comp ?f')
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ AnalyticAt 𝕂 (NormedSpace.exp 𝕂) x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s₁ s₂ : Simplex ℝ P n
h : Set.range s₁.points = Set.range s₂.points
hs : s₁.circumcenter ∈ affineSpan ℝ (Set.range s₂.points)
⊢ s₁.circumcenter = s₂.circumcenter
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
d : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (changeForm h) ((contractLeft d) x) = (contractLeft d) ((changeForm h) x)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p✝ q✝ : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K
p q : ℚ
⊢ p < q → ↑p < ↑q
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : CompactIccSpace α
inst✝² : atTop.IsMeasurablyGenerated
inst✝¹ : MeasurableNeg α
inst✝ : μ.IsNegInvariant
hf : LocallyIntegrable f μ
hsymm : norm ∘ f =ᶠ[ae μ] norm ∘ f ∘ Neg.neg
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ
h_int : IntegrableOn f (Ici 0) μ
h_map_neg : Measure.map Neg.neg (μ.restrict (Ici 0)) = μ.restrict (Iic 0)
⊢ AEStronglyMeasurable (f ∘ Neg.neg) (μ.restrict (Ici 0))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
φ : ℕ → Set α
hφ : AECover μ atTop φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
lim₁ : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in ⋂ k ∈ Ici i, φ k, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
lim₂ : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in ⋃ k ∈ Iic i, φ k, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
n : ℕ
⊢ ∫⁻ (x : α) in ⋂ k ∈ Ici n, φ k, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in φ n, f x ∂μ
⊢ LipschitzWith 1 ⇑Complex.equivRealProd
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} E
G : CategoryTheory.Functor C E
hG : W.IsInvertedBy G
⊢ (CategoryTheory.Localization.strictUniversalPropertyFixedTargetQ W E).lift G hG =
  CategoryTheory.Localization.Construction.lift G hG
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
a b : ℕ
hab : a ≤ b
f : ℕ → M
⊢ ∏ k ∈ Ioc a (b + 1), f k = (∏ k ∈ Ioc a b, f k) * f (b + 1)
X Y : AddCommMonCat
f : X ⟶ Y
⊢ AddCommMonCat.uliftFunctor.map f =
  AddCommMonCat.ofHom (AddEquiv.ulift.symm.toAddMonoidHom.comp (AddMonoidHom.comp f AddEquiv.ulift.toAddMonoidHom))
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε