ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : 0 < i), ⨅ i_1, ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (i_1 i) ^ d
α : Type u_1
PartialOrder α
f : α → α
hf : ∀ (x : α), x ≤ f x
hmin : ∀ ⦃x y : α⦄, x ≤ f y → f x ≤ f y
x : α
⊢ (ClosureOperator.mk₂ f hf hmin).IsClosed x = (f x = x)
α : Type u
β : Type v
⊢ Cardinal.mk (α ⊕ β) = Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk α) + Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk β)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝² : Fintype ι'
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
ν : (i : ι) → Measure (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)
hf : ∀ (i : ι), MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)
this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (β i)
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ MeasurableSet (univ.pi s)
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
C : α → Sort u_2
NoMaxOrder α
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (Order.succ a)
hl : (a : α) → Order.IsSuccLimit a → C a
b : α
⊢ Order.isSuccLimitRecOn (Order.succ b) hs hl = hs b ⋯
M : Type u_1
Add M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set M
⊢ lowerBounds s + lowerBounds t ⊆ lowerBounds (s + t)
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f g : Equiv.Perm α
h : f.Disjoint g
x : α
hx : x ∈ f.support
⊢ x ∉ g.support
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : Path.Homotopy (GenLoop.toLoop i p) (GenLoop.toLoop i q)
⊢ ∀ (a : ↑I × (N → ↑I)),
  (GenLoop.homotopyFrom i H) a =
    Function.uncurry (fun x_1 y => Function.uncurry (fun x_2 y => ↑(H (x_1, x_2)) y) y)
      (Prod.map id (⇑(Cube.splitAt i).toContinuousMap) a)
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
n : ℤ
⊢ a ^ n = a ^ 0 ↔ n = 0
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ dist x y = (edist x y).toReal
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (J ⥤ C)
f : P ⟶ Q
X : J
⊢ P.p.app X ≫ f.f.app X = f.f.app X
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Semiring α
StarRing α
M : Matrix n n α
⊢ Mᴴ = 1 ↔ M = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
Preorder β
⊢ Monotone ⇑toLex
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : ∀ i ∈ s, f i x ≠ 0
hd : ∀ i ∈ s, DifferentiableAt 𝕜 (f i) x
⊢ logDeriv (fun x => ∏ i ∈ s, f i x) x = ∑ i ∈ s, logDeriv (f i) x
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
⊢ LinearMap.ker (LinearMap.id - p.subtype ∘ₗ f) = p
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace F
CompleteSpace G
f : F → G
g : E → F
s : Set F
t : Set E
hf : AnalyticWithinOn 𝕜 f s
hg : AnalyticWithinOn 𝕜 g t
h : Set.MapsTo g t s
⊢ AnalyticWithinOn 𝕜 (f ∘ g) t
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
k : S
x : A
hx : x ∈ span R t
⊢ k • x ∈ span R (s • t)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
⊢ limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limit.π (F ⋙ evaluation R Y) j ≫ restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Ici a \ Set.Ioi b = Set.Icc a b
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0
⊢ map (algebraMap ℝ ℂ) (X ^ 2 - C (2 * z.re) * X + C (‖z‖ ^ 2)) ∣ map (algebraMap ℝ ℂ) p
ι : Type u_1
η : Type v
R : Type w
s : ι → η
MulOneClass R
f : ι → R
⊢ ∀ (a : η), (Function.ExtendByOne.hom R s) f a = Function.extend s f 1 a
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, f x = 0
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
ι : Type u_5
fi : Filter ι
Fact (1 ≤ p)
f : ι → α → E
f_ℒp : ∀ (n : ι), MeasureTheory.Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : MeasureTheory.Memℒp f_lim p μ
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.Memℒp.toLp (f n) ⋯) fi (𝓝 (MeasureTheory.Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) ↔
  Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
Φ : C ⥤ D
Φ.Additive
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.map 0 Φ = 0
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
⊢ a - c - (b - c) = a - b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a : α
inst✝ : NoMaxOrder α
⊢ a ⋖ succ a
F : Type u_1
E : Type u_2
Field F
Field E
Algebra F E
Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = K
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h : ∀ (s : Set X), IsClosed s → s.Nonempty → IsClosed (f '' s)
s : Set X
hs : IsClosed s
h2s : s = ∅
⊢ IsClosed (f '' s)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[Set.univ] 0) (𝓝 0)
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
h : Function.Surjective ⇑f
H : Subgroup N
⊢ Subgroup.map f (Subgroup.comap f H) = H
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ (Subalgebra.toSubmodule S).FG → S.FG
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
a : 𝕜
x : E
hx : x ∈ s
⊢ egauge 𝕜 s ((fun x => (a * c) • x) x) ≤ ↑‖a * c‖₊
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
PartialOrder ι
τ : Ω → ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
Countable ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = i}
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
B : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (𝟙 B).hom = 𝟙 B.pt
X : Type u_3
Y : Type u_4
MeasurableSpace X
StandardBorelSpace X
TopologicalSpace Y
MeasurableSpace Y
OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y
SecondCountableTopology ↑(Set.range f)
s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : Measurable f
⊢ MeasureTheory.AnalyticSet (f '' s)
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
R : P.M → P.M → Prop
h : ∀ (x y : P.M), R x y → ∃ a f f', x.dest = ⟨a, f⟩ ∧ y.dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), R (f i) (f' i)
x y : P.M
h' : R x y
this : Inhabited P.A
⊢ x = y
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
p : Ideal R
IsDedekindDomain S
Algebra R S
p.IsMaximal
P : { x // x ∈ (UniqueFactorizationMonoid.factors (Ideal.map (algebraMap R S) p)).toFinset }
⊢ FiniteDimensional.finrank (R ⧸ p) (S ⧸ ↑P ^ Ideal.ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑P) =
  Ideal.ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑P * Ideal.inertiaDeg (algebraMap R S) p ↑P
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
r : R
x : ⨂[R] (i : ι), s i
⊢ ∀ (r_1 : R) (f : (i : ι) → s i), (liftAux φ) (r • tprodCoeff R r_1 f) = r • (liftAux φ) (tprodCoeff R r_1 f)
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ 2 ≤ S'.multiplicity
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
N : LieSubmodule R L M
x : L
y : M
⊢ y ∈ __spread✝⁻⁰.carrier → ⁅x, y⁆ ∈ __spread✝⁻⁰.carrier
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
d : D
X✝ Y✝ : (StructuredArrow d F)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (F.map f.unop.right).op ≫ (unop Y✝).hom.op = (unop X✝).hom.op
z : ℂ
⊢ |z.re| < abs z ↔ z.im ≠ 0
M : Type u_1
Add M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set M
hs : BddBelow s
ht : BddBelow t
⊢ BddBelow (s + t)
M : Type u_1
R : Type u_2
GroupWithZero M
Ring R
MulSemiringAction M R
a : M
ha : a ≠ 0
S : Subring R
x : R
⊢ x ∈ a⁻¹ • S ↔ a • x ∈ S
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : PartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
A : (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I x) ∈ ↑I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I'
this : ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑I'.symm) (↑I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I') ((↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I x))
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ (↑e' ∘ f) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R✝
M✝ : Submonoid R✝
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R✝ S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing Rₘ
M : Submonoid R
hR : IsField R
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
this : Field R := hR.toField
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
r m : R
hm : m ∈ M
⊢ ∃ a, (algebraMap R Rₘ) a = mk' Rₘ r ⟨m, hm⟩
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
DecidableEq n
DecidableEq p
CommRing R
t : Matrix.TransvectionStruct n R
⊢ (Matrix.TransvectionStruct.sumInl p t).toMatrix = Matrix.fromBlocks t.toMatrix 0 0 1
α : Type u_1
s t u : Multiset α
h : t ≤ u
⊢ s.Disjoint u → s.Disjoint t
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
M.HasHomology i
hφ : QuasiIsoAt φ i
⊢ QuasiIsoAt (φ ≫ φ') i ↔ QuasiIsoAt φ' i
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
k : Set β
f : β → α
hk : IsCompact k
hf : ∀ x ∈ k, ContinuousWithinAt f univ x
⊢ ∃ t, k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ IsBounded (f '' t)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
r : ℝ
ha : r ≤ 0
f : ι → ℝ
⊢ (⨅ i, f i) * r = ⨆ i, f i * r
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Y → Z
x : Y
h : x ∈ e.target
⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (f ∘ ↑e) (↑e.symm x)
ι : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
f g : ι → E
h : f ~[Filter.cofinite] g
⊢ Summable f ↔ Summable g
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
⊢ ↑((c.embedding (c.index j)) (c.invEmbedding j)) = ↑j
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : PreservesColimit (span f g) F
s : IsPushout f g h i
⊢ ((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone s.cocone)).pt ≅ ⋯.cocone.pt
G : Type u_1
H : Type u_2
K : Type u_3
Add G
AddZeroClass H
a : G
b : H
DistribSMul K H
c : K
f : AddConstMap G H a b
⊢ ⇑(AddConstMap.smul c f) = c • ⇑f
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : SetLike S G
inst✝¹ : DivisionMonoid G
inst✝ : SubgroupClass S G
H : S
⊢ ↑H / ↑H = ↑H
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
h : a ⋖ b
⊢ Order.succ a = b
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
⊢ IsInitial X → False ↔ ¬IsEmpty ↑(F.obj X)
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), σ pb.gen ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E
⊢ ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen) = (algebraMap K E) ((norm K) ((aeval pb.gen) (derivative (minpoly K pb.gen))))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
ι : Type u_5
E : ι → Type u_6
Fintype ι
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
⊢ IsBoundedBilinearMap 𝕜 fun p => p.1.compContinuousMultilinearMap p.2
x : ℝ
hx : 50 / 19 ≤ x
⊢ ↑⌈x⌉₊ < 1.38 * x
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hb : AddLECancellable b
h : a = b + c
⊢ a - b = c
M : Type u_11
α : Type u_12
SMul M α
SMul Mᵐᵒᵖ α
self : IsCentralScalar M α
m : M
a : α
⊢ MulOpposite.op m • a = m • a
n : ℕ
c : Composition n
d : CompositionAsSet n := c.toCompositionAsSet
length_eq : d.blocks.length = c.blocks.length
i : ℕ
hi : i ≤ d.blocks.length
i_lt : i < d.boundaries.card
i_lt' : i < c.boundaries.card
⊢ (take i d.blocks).sum = (take i c.blocks).sum
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
hvw : G.Adj v w
⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).neighborSet u ⊆ {v, w}
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q ∣ p
a✝ : Nontrivial R
r : R[X]
hr : p = q * r
⊢ p %ₘ q = 0
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
I J : Ideal S
coprime : IsCoprime I J
⊢ cardQuot (I * J) = cardQuot I * cardQuot J
ι : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
Monoid M
Monoid N
l : List ι
r : M → N → Prop
f : ι → M
g : ι → N
h₁ : r 1 1
h₂ : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : M⦄ ⦃b : N⦄, r a b → r (f i * a) (g i * b)
⊢ r (List.map f l).prod (List.map g l).prod
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
i : n
a : ↥(rootsOfUnity (Fintype.card n).toPNat' R)
⊢ ↑↑((Matrix.SpecialLinearGroup.center_equiv_rootsOfUnity' i).symm a) = a • 1
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁸ : Ring K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommGroup V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''
⊢ (f ∘ₗ g).rank ≤ f.rank
a b c m : ℕ
hc : c ≠ 0
⊢ a * c ≡ b * c [MOD m * c] ↔ a ≡ b [MOD m]
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ✝ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
x : L
χ : L → R
⊢ LieSubmodule.map (weightSpaceOf M (χ x) x).incl (weightSpace (↥↑(weightSpaceOf M (χ x) x)) χ) = weightSpace M χ
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
r : ℝ
x✝ : EReal × EReal
h : x✝.1 < ↑0 ∧ x✝.2 < ↑r
⊢ x✝.1 + x✝.2 < ↑r
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
X₁ X₂ Y : C
g : X₁ ⟶ Y
h : Y ⟶ X₂
mem : Triangle.mk g h 0 ∈ distinguishedTriangles
e : (Triangle.mk g h 0).obj₂ ≅ (Triangle.mk g h 0).obj₁ ⊞ (Triangle.mk g h 0).obj₃
he₁ : (Triangle.mk g h 0).mor₁ ≫ e.hom = biprod.inl
he₂ : (Triangle.mk g h 0).mor₂ = e.hom ≫ biprod.snd
⊢ binaryBiproductTriangle X₁ X₂ ∈ distinguishedTriangles
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ (op a • s)⁻¹ = a⁻¹ • s⁻¹
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
Field F
Field K
Field E
Algebra F K
Algebra F E
Algebra K E
IsScalarTower F K E
Algebra.IsSeparable F E
⊢ Algebra.IsSeparable K E
α : Type u_1
l : Language α
⊢ l∗ * l = l * l∗
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g ∣ map (algebraMap R K) f
g_ne_0 : g ≠ 0
g_mul_dvd : g * C g.leadingCoeff⁻¹ ∣ map (algebraMap R K) f
⊢ ∃ g', map (algebraMap R K) g' = g * C g.leadingCoeff⁻¹
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝
s s₁ s₂ t : Set α✝
α : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α
hm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
hf : ∃ i, μ (f i) ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun i => μ (⋂ j ∈ {j | j ≤ i}, f j)) atTop (𝓝 (μ (⋂ i, f i)))
β : Type u_4
CommMonoid β
f : ℕ → β
⊢ ∏ k ∈ Finset.range 1, f k = f 0
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f
h' : CategoryTheory.Epi f.val.base
⊢ CategoryTheory.IsIso f
⊢ Nat.Primrec (Nat.unpaired fun x x_1 => x * x_1)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
⊢ Metric.cthickening ε (Metric.cthickening δ s) ⊆ Metric.cthickening (ε + δ) s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅⊥, N⁆ ≤ ⊥
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
self : Algebra.Generators R S
s : S
⊢ (MvPolynomial.aeval self.val) (self.σ' s) = s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤
t : Set V
hts : t ⊆ s
b : AffineBasis ↑t ℝ V
hb : ⇑b = Subtype.val
⊢ (interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))).Nonempty
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ degree 1
⊢ minpoly A x = 1
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
⊢ Function.Injective AlternatingMap.toMultilinearMap
α : Type u
f : Filter α
S : Set (Set α)
hmem : ∀ (s : Set α), s ∈ S ↔ s ∈ f
⊢ f.copy S hmem = f
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
h : (map f s).WSameSide (f x) (f y)
⊢ s.WSameSide x y
α : Type u_1
β : Type u_2
G✝ H : SimpleGraph α
n✝ : ℕ
a b c : α
s : Finset α
G : SimpleGraph α
e : α ≃ β
n : ℕ
⊢ (SimpleGraph.map e.toEmbedding G).cliqueSet n = map e.toEmbedding '' G.cliqueSet n
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
⊢ f.toAlgHom (x * y) - g.toAlgHom (x * y) - (P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)) ∈ P'.ker ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
γ : Type u_5
g : γ → β
hg : Injective g
f : γ → α
⊢ ∏' (y : β), extend g f 1 y = ∏' (x : γ), f x
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
cst : ℝ → ℝ := fun x => 1
cst_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable cst volume 0 t
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, 1) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
r : R
f : AdicCompletion I M
⊢ ↑(r • f) n = r • ↑f n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ ∀ {X₁ X₂ : D} (f : X₁ ⟶ X₂) (X : D), f ▷ X = e.functor.map (e.inverse.map f ▷ e.inverse.obj X)
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
⊢ ‖∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • (f v - f (v + i w))‖ < 2 * ε
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
e : α ≃ β
h₁ : Monotone ⇑e
h₂ : Monotone ⇑e.symm
⊢ (e.toOrderIso h₁ h₂).toEquiv = e