ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
L : FirstOrder.Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
L.IsOrdered
L.Structure M
Preorder M
L.OrderedStructure M
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin n)
v : α → M
xs : Fin n → M
⊢ (t₁.lt t₂).Realize v xs ↔
  FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim v xs) t₁ < FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim v xs) t₂
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
⊢ Module.Injective R Q ↔
  ∀ ⦃X Y : Type v⦄ [inst : AddCommGroup X] [inst_1 : AddCommGroup Y] [inst_2 : Module R X] [inst_3 : Module R Y]
    (f : X →ₗ[R] Y), Function.Injective ⇑f → ∀ (g : X →ₗ[R] Q), ∃ h, ∀ (x : X), h (f x) = g x
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
⊢ (M + span A {x}) * (M + span A {y}) ≤ M
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
r : R
⊢ v.valuation r = Multiplicative.ofAdd (OrderDual.toDual (v r))
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
e : ι' ≃ ι
K : (ι' → ℝ) ≃ (ι → ℝ) := Equiv.piCongrLeft' (fun _a => ℝ) e
this✝ : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1
x : E
this : ∀ (z : ι' → ℝ), ∑ i : ι, z (e.symm i) • v (e (e.symm i)) = ∑ i : ι', z i • v (e i)
⊢ x ∈ (fun t => ∑ i : ι', t i • (v ∘ ⇑e) i) '' Icc 0 1 ↔ x ∈ (fun t => ∑ i : ι, t i • v i) ∘ ⇑K '' Icc 0 1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ -(Complex.I * (Complex.I * (o.kahler x) y)) = (o.kahler x) y
F : Type u_1
Field F
Fintype F
R : Type u_2
CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∃ χ, orderOf χ = n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
n : ℕ
t : Finset (Fin n)
this : ∀ (m : ℕ) (hm : n = m), (p n) (t.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) = (p m) ((Finset.map (finCongr hm).toEmbedding t).piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
⊢ (p n) (t.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) = (p ((changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, t⟩).fst + (changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, t⟩).snd.fst)) ((↑(changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, t⟩).snd.snd).piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
α : Type u
Add α
β : Type v
AddSemigroup β
f : AddHom α β
x : α
⊢ (AddMagma.FreeAddSemigroup.lift f) (AddMagma.FreeAddSemigroup.of x) = f x
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
⊢ Iio a ∩ Iio b ∈ Iio '' s
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
⊢ χ⁻¹ ↑x = χ ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
s : Multiset α
l : List α
⊢ (powersetAux' l).zip (List.map (cons a) (powersetAux' l)).reverse ++ (List.map (cons a) (powersetAux' l)).zip (powersetAux' l).reverse = (List.map id (powersetAux' l)).zip (List.map (cons a) (powersetAux' l).reverse) ++ (List.map (cons a) (powersetAux' l)).zip (List.map id (powersetAux' l).reverse)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
TopologicalSpace α
AddCommGroup α
TopologicalAddGroup α
TopologicalSpace β
AddCommGroup β
TopologicalSpace γ
AddCommGroup γ
TopologicalAddGroup γ
TopologicalSpace δ
AddCommGroup δ
UniformSpace G
AddCommGroup G
UniformAddGroup G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
⊢ ∃ U ∈ Filter.comap (⇑e) (𝓝 x₀),
  ∃ V ∈ Filter.comap (⇑f) (𝓝 y₀),
    ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
⊢ s ∈ 𝒜.shatterer ↔ 𝒜.Shatters s
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z : ℝ≥0∞
h1 : y ≠ 0
h2 : y ≠ ⊤
⊢ x * y⁻¹ ≤ z ↔ x ≤ z * y
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
x : X
y : Y
h : glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inr y) = 0
⊢ False
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
I : Ideal S
hI : Irreducible (Ideal.absNorm I)
⊢ I.IsPrime
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝² : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, μ t ≤ 0
⊢ μ s = 0
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
n : ℕ
f : ℕ → ℕ → M
⊢ ∀ (a b : ℕ), a < n → b ≤ a → b < n
α : Type u
f g : Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ f ⊔ g ↔ s ∈ f ∧ s ∈ g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball x r
⊢ ↑‖z - x‖₊ < r
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
⊢ liftAux hF α s f ≫ F.map a.op = liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A₁ : C
f : A₁ ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.Subobject.ofMkLEMk f f ⋯ = CategoryTheory.CategoryStruct.id A₁
α : Type u_1
a : Topology.WithUpperSet α
⊢ Topology.WithUpperSet.toUpperSet (Topology.WithUpperSet.ofUpperSet a) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
g : β → M
e : α → β
he₀ : Function.Bijective e
he₁ : ∀ (x : α), f x = g (e x)
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ᶠ (j : β), g j
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : ℍ → ℂ
A : SL(2, ℤ)
x : ℂ
this : (↑↑↑A).det = 1
⊢ Function.const ℍ x ∣[0] A = Function.const ℍ x
c : ℝ
f✝ g✝ : ℕ → Bool
n✝ : ℕ
h1 : 0 < c
h2 : c < 1 / 2
h3 : c < 1
n : ℕ
ih : ∀ {f g : ℕ → Bool}, (∀ k < n, f k = g k) → f n = false → g n = true → cantorFunction c f < cantorFunction c g
f g : ℕ → Bool
hn : ∀ k < n + 1, f k = g k
fn : f (n + 1) = false
gn : g (n + 1) = true
⊢ cantorFunction c f < cantorFunction c g
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l : Filter X
⊢ Tendsto pure l (𝓝 l)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrn : r.num ≠ 0
⊢ padicValRat p q ≤ padicValRat p (q + r)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
b : β
⊢ ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.const α b) = Function.const α b
R : Type u_4
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
⊢ f.toNonUnitalRingHom = ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : PartialOrder α
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Icc a b) = {a}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
⊢ ⟪x, (ContinuousLinearMap.adjoint A) y⟫_𝕜 = ⟪A x, y⟫_𝕜
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
v : E
⊢ v - ↑((orthogonalProjection K) v) ∈ Kᗮ
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
hf : Differentiable ℂ f
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℂ n f
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
h : Function.Injective fun x => 2 • x
y : P₁
⊢ Function.Injective fun x => (AffineEquiv.pointReflection k x) y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
hfp : map f p = 0
x : R
⊢ f x = f x * f p.leadingCoeff
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ a ∉ Ι b c ↔ a ≤ b ∧ a ≤ c ∨ c < a ∧ b < a
n a : ℕ
⊢ a ≡ a [MOD n]
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
TopologicalSpace X
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace A
Semiring A
TopologicalSemiring A
Star A
ContinuousStar A
Algebra 𝕜 A
TopologicalSpace B
Semiring B
TopologicalSemiring B
Star B
ContinuousStar B
Algebra 𝕜 B
TopologicalSpace C
Semiring C
TopologicalSemiring C
Star C
ContinuousStar C
Algebra 𝕜 C
φ : A →⋆ₐ[𝕜] B
ψ : B →⋆ₐ[𝕜] C
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
⊢ ContinuousMap.compStarAlgHom X (ψ.comp φ) ⋯ =
  (ContinuousMap.compStarAlgHom X ψ hψ).comp (ContinuousMap.compStarAlgHom X φ hφ)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (o.rotation (o.oangle x y)) x = y ↔ ‖x‖ = ‖y‖
X : CommGrp
⊢ CommGrp.toAddCommGrp.obj X = AddCommGrp.of (Additive ↑X)
G : Type u_2
AddGroup G
S : AddSubmonoid G
⊢ ↑(-S) = -↑S
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.2905, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
n : ℕ
j : Fin (n + 2)
inst✝ : Mono (SimplexCategory.δ j)
hi : j = 0
⊢ SimplexCategory.δ j = SimplexCategory.δ 0
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
CategoryTheory.Mono f
⊢ Function.Injective ⇑f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : MulOneClass M
l✝ : List M
a : M
l : List ι
⊢ (map (fun x => 1) l).prod = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
⊢ ((S.homologyData.right.map F).homologyIso ≪≫ F.mapIso S.homologyData.right.homologyIso.symm).hom = ((S.homologyData.left.map F).homologyIso ≪≫ F.mapIso S.homologyData.left.homologyIso.symm).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
t : Finset α
ht : ∑' (a : { x // x ∉ t }), u ↑a < ε
x : β
hx : x ∈ s
A : Summable fun n => ‖f n x‖
⊢ dist (∑' (n : α), f n x) (∑ n ∈ t, f n x) < ε
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → AddGroup (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a
⊢ f.neLocus (f + g) = g.support
s : Substring
self : s.Valid
⊢ String.Pos.Valid s.str s.stopPos
C : ℕ → Sort u_1
n : ℕ
h : n ≤ n + 1
next : {k : ℕ} → C k → C (k + 1)
x : C n
⊢ Nat.leRecOn h (fun {k} => next) x = next x
G : Type u_1
Group G
H : Type u_2
Group H
f : G ≃* H
K : Subgroup H
⊢ IsCoatom (Subgroup.comap (↑f) K) ↔ IsCoatom K
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
s t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ ((sum μ).restrict s) t = (sum fun i => (μ i).restrict s) t
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s : Set α
t : ι → Set α
hμt : ∀ (i : ι), (μ i) (t i) = (μ i).trim s
hst : s ⊆ ⋂ i, t i
ht : MeasurableSet (⋂ b, t b)
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ ∀ (i : ι), (μ i) t = (μ i).trim s
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
x✝ : ∃ a, ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}
a : R
ha : ↑I * ↑J = ⊥
this : a = 0
⊢ False
L : Type u_2
LieRing L
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
⊢ e ≠ 0
n : ℕ
f : ∀ x ∈ range n, ¬n + 1 - x = 1
x : ℕ
hx : x ∈ range n
⊢ (∑ i ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1 - x).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = 0
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : CategoryTheory.Functor A B
G : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X Y : A × C} (f : X ⟶ Y), (F.prod G).map f = (F.map f.1, G.map f.2)
r q : ℝ≥0
⊢ ↑r ≤ ↑q ↔ r ≤ q
a : ℝ
ha : a ∈ Set.Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => (1 / (↑n + ↑a) ^ s + 1 / (↑n + 1 - ↑a) ^ s) / 2) (HurwitzZeta.hurwitzZetaEven (↑a) s)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
x : A
⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((algebraMap A S) x) = (algebraMap A S') x
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
c : ↑(Set.Ico a b)
⊢ Subtype.val '' Set.Ioi c = Set.Ioo (↑c) b
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Inhabited F.M
bisim : IsBisimulation R
ps : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
a' : F.A
f' : F.B a' → F.M
h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a', f'⟩)
hh : IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a', f'⟩)
⊢ iselect ps (M.mk ⟨a, f⟩) = iselect ps (M.mk ⟨a', f'⟩) ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a', f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t c : ℝ
⊢ mgf (fun x => c) μ t = (μ Set.univ).toReal * rexp (t * c)
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
⊢ A.nonunits ≤ A.toSubsemigroup
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
mα : MeasurableSpace α
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
a : α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂Measure.dirac a = if a ∈ s then f a else 0
R : Type u_2
OrderedSemiring R
Archimedean R
⊢ Filter.Tendsto Nat.cast Filter.atTop Filter.atTop
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ x ∈ s, p x
⊢ ∀ x ∈ s, p x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ x y : E
⊢ dist (f x) (f y) ≤ ‖f‖ * dist x y
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s✝ : R
x y : M
s : Finset α
t : Finset β
f : α → R
g : β → M
⊢ (∑ i ∈ s, f i) • ∑ j ∈ t, g j = ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ t, f i • g j
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
Module R M
TopologicalRing R
TopologicalAddGroup M
hmul : Filter.Tendsto (fun p => p.1 • p.2) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
hmulleft : ∀ (m : M), Filter.Tendsto (fun a => a • m) (𝓝 0) (𝓝 0)
hmulright : ∀ (a : R), Filter.Tendsto (fun m => a • m) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ ContinuousSMul R M
R : Type u₁
S : Type u₂
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (ModuleCat.restrictScalars f).obj Y
z : ↑((ModuleCat.extendScalars f).obj X)
⊢ (ModuleCat.ExtendRestrictScalarsAdj.HomEquiv.fromExtendScalars f g) z =
  (TensorProduct.lift
      { toFun := fun s => ModuleCat.ExtendRestrictScalarsAdj.HomEquiv.evalAt f s g, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
    z
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
h : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
hp_pos : 0 < p
h_tsum_1 : ∀ (g : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), g i = liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), g i) atTop
h_liminf_pow : ∫⁻ (a : α), liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) atTop ^ p ∂μ = ∫⁻ (a : α), liminf (fun n => (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p) atTop ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), liminf (fun n => (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p) atTop ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
hf : (↑s).PairwiseDisjoint f
⊢ s.disjiUnion f hf = s.biUnion f
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Z : Type u_6
R : Type u_7
CommSemiring R
Semiring Y
Algebra R Y
Semiring Z
Algebra R Z
f : Y →ₐ[R] Z
g : LocallyConstant X Y
⊢ ∀ (a : X), ((LocallyConstant.mapₐ R f) g) a = f (g a)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp (a - p) b = toIcoMod hp a b - p
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
⊢ HasFDerivWithinAt (fun f => f i) (proj i) s' f
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
T2Space M
NormalSpace M
SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 0) ∧ (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Set.Icc 0 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc
⊢ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc) ≫ X.map (SimplexCategory.σ j.succ) = X.map (SimplexCategory.σ j) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
hy : ∃ x, ∃ (_ : x ∈ 𝓝 y), ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ l), Disjoint x x_1
⊢ ∃ x ∈ insert y (range f), ClusterPt x l
m : Type u_1 → Type u_2
α β ε : Type u_1
Monad m
f : α → β
x : ExceptT ε m α
⊢ x >>= pure ∘ f = f <$> x
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
M : SheafOfModules R
∀ (X : C), (J.over X).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
∀ (X : C), CategoryTheory.HasWeakSheafify (J.over X) AddCommGrp
∀ (X : C), (J.over X).WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
self : M.QuasicoherentData
⊢ J.CoversTop self.X
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ x ∈ f.domain, x ∈ g.domain → x = 0
x : ↥f.domain
y : ↥g.domain
hxy : ↑x = ↑y
⊢ ↑f x = ↑g y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
faces : Set (Finset E)
indep : ∀ s ∈ faces, AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
down_closed : ∀ s ∈ faces, ∀ t ⊆ s, t ∈ faces
inter_subset_convexHull : ∀ s ∈ faces, ∀ t ∈ faces, (convexHull 𝕜) ↑s ∩ (convexHull 𝕜) ↑t ⊆ (convexHull 𝕜) (↑s ∩ ↑t)
⊢ (Geometry.SimplicialComplex.ofErase faces indep down_closed inter_subset_convexHull).faces = faces \ {∅}
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h : s - 1 ≠ 0
h' : ∀ (n : ℕ), s - 1 ≠ -↑n
A : ℂ
⊢ (s - 1).Gammaℂ * sin (↑π * (s / 2)) * A = (s - 1).Gammaℂ * ((s - 1) / 2 / ↑π) * sin (↑π * (s / 2)) * (A * ((s - 1) / 2 / ↑π)⁻¹)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (Mon_.trivial C).X = 𝟙_ C
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
rk : α → ℕ
s : Set α
⊢ s.PartiallyWellOrderedOn r ↔ ¬∃ f, IsBadSeq r s f ∧ ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq r rk s n f
α : Type u_1
n : Num
⊢ ↑n.succ'.pred' = ↑n
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
⊢ IsPathConnected sᶜ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : ∑ x ∈ vi.support, vi x * (B (v x)) (v i) = 0
⊢ vi i = 0