ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hne : ∀ (i : ι), (f i).Nonempty
this : ∀ (n : ℕ), {i | (f i ∩ compactCovering X n).Nonempty}.Finite
i : ι
x✝ : i ∈ univ
⊢ i ∈ ⋃ i, {i_1 | (f i_1 ∩ compactCovering X i).Nonempty}
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) (ENNReal.ofReal p) μ
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → γ
k : γ → β
h : ∀ x ∈ s, ¬p x
⊢ ∏ x ∈ s, k (if p x then f x else g x) = ∏ x ∈ s, k (g x)
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f | f (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f | f (inr x, inr y) = dist x y}
I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, y) = f (y, x)}
I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z)}
I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, x) = 0}
⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y)
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
⊢ IsQuasiregular x ↔ IsUnit (1 + x)
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
⊢ #↑(Ioi a) = 𝔠
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
f : (i : ι) → G i →* K
k : H →* K
hf : ∀ (i : ι), (f i).comp (φ i) = k
g : H
⊢ ((con φ).lift (Coprod.lift (CoprodI.lift f) k) ⋯) (((con φ).mk'.comp inr) g) = k g
α : Type u_1
PartialOrder α
s t : Finset.Colex α
⊢ s ≤ t ↔ ↑s.ofColex \ ↑t.ofColex ⊆ ↑(lowerClosure (↑t.ofColex \ ↑s.ofColex))
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_3
S : Finset ι
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
⊢ ⨆ i ∈ S, Submodule.torsionBy R M (q i) = Submodule.torsionBy R M (∏ i ∈ S, q i)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.27008, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A' A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
α : A' ⟶ A
⊢ (α ≫ k) ≫ K.d i j = 0
n : ℕ
⊢ (↑n).natAbs = n
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
⊢ Continuous (f.toPOUFun i)
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
x y : ℕ × K
⊢ PerfectClosure.mk K p x = PerfectClosure.mk K p y ↔
  ∃ z, (⇑(frobenius K p))^[y.1 + z] x.2 = (⇑(frobenius K p))^[x.1 + z] y.2
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ 𝒜.compls.shadow = 𝒜.upShadow.compls
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
hb : 0 < b
⊢ a = 1 * a
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
⊢ Topology.IsLowerSet αᵒᵈ ↔ Topology.IsUpperSet α
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hR : 0 < R
hc : ContinuousOn f (sphere c R)
hf : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
hlt : ∃ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ < C
⊢ ‖∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z‖ < 2 * π * R * C
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E
inst✝ : Preregular C
W X w✝ Y : C
f : Y ⟶ X
hf : EffectiveEpi f
hS : ∃ f_1, ((ofArrows (fun x => Y) fun x => f) = ofArrows (fun x => w✝) fun x => f_1) ∧ EffectiveEpi f_1
this : (ofArrows (fun x => Y) fun x => f).regular
h_colim : IsColimit (Sieve.generate (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)).arrows.cocone
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)
hx : x.Compatible
x_ext : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (Sieve.generate (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)).arrows := x.sieveExtend
hx_ext : x.sieveExtend.Compatible
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero β
self : SMulPosReflectLT α β
b : β
hb : 0 ≤ b
a₁ a₂ : α
⊢ a₁ • b < a₂ • b → a₁ < a₂
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
x y : Tropical R
⊢ x + y = x ↔ x ≤ y
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
Y : Over X
Z : C
g : Z ⟶ Y.left
⊢ ((overEquiv Y) ⊤).arrows g
α : Type u_1
I✝ B X✝ : Set α
P : Set α → Prop
X : Set α
n : ℕ
hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n
I : Set α
hI : P I
hIX : I ⊆ X
hfin : (ncard '' {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Finite
⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : ∀ (y : ℝ), x < y → LSeriesSummable f ↑y
y : EReal
hy : ∀ (a : ℝ), LSeriesSummable f ↑a → y ≤ ↑a
⊢ y ≤ ↑x
a b : Prop
h : (a ∨ b) = False
⊢ b = False
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : n ≠ 0
x : ℝ
⊢ (fun y => ↑T / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑y) = fun x => (fourier (-n)) ↑x / (-2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
p : α → Prop
s : Finset { x // p x }
f : { x // p x } → β
g : α → β
h : ∀ x ∈ s, g ↑x = f x
⊢ ∑ x ∈ Finset.map (Function.Embedding.subtype fun x => p x) s, g x = ∑ x ∈ s, f x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤
⊢ x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
k : ℕ
x : α
⊢ Order.pred^[k] x ≤ x
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
Q : Algebra.Generators S T
P : Algebra.Generators R S
⊢ (Q.comp P).vars = (Q.vars ⊕ P.vars)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
c : F
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => c - f y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
t : R
m : ↥N
⊢ ↑(t • m) = t • ↑m
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
s : Multiset α
l : List α
⊢ (powersetAux' l ++ List.map (cons a) (powersetAux' l)).zip ((List.map (cons a) (powersetAux' l)).reverse ++ (powersetAux' l).reverse) ~ List.map (fun x => Prod.map id (cons a) x) ((powersetAux' l).zip (powersetAux' l).reverse) ++ List.map (fun x => Prod.map (cons a) id x) ((powersetAux' l).zip (powersetAux' l).reverse)
E : Type u_4
OrderedRing E
TopologicalSpace E
OrderClosedTopology E
l : E
f : ℕ → E
hfl : Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) Filter.atTop (𝓝 l)
hfm : Monotone f
k : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (2 * k + 1), (-1) ^ i * f i ≤ l
f : ℕ → ℂ
n : ℕ
s : ℂ
⊢ HasDerivAt (fun z => term f z n) (-term (logMul f) s n) s
R₁ : Type u_2
ι : Type u_16
CommRing R₁
DecidableEq ι
Fintype ι
M : Matrix ι ι R₁
⊢ ((Matrix.toLinearMap₂' R₁) M).SeparatingLeft ↔ M.Nondegenerate
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
g₁ g₂ : PolynomialModule R M
a : ℕ
⊢ (g₁ + g₂) a = g₁ a + g₂ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
a b : α
⊢ r a b ↔ (⇑f ⁻¹'o s) a b
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.ProjectivePlane P L
Finite P
Finite L
l : L
⊢ Configuration.pointCount P l = Configuration.ProjectivePlane.order P L + 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat
F : C ⥤ D
R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
self : PresheafOfModules.HasDifferentials φ
⊢ ∃ M d, Nonempty d.Universal
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ Ordinal.sup f
a : Ordinal.{max u v}
hao : a < Ordinal.sup f
⊢ Order.succ a < Ordinal.sup f
x y z : ℤ
⊢ x * x + y * y = z * z ↔ y * y + x * x = z * z
a b : Int
Ha : 0 ≤ a
Hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a / b
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
One α
i j : n
⊢ i ≠ j → 1 i j = 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
⊢ (coeff R 0) ((C R) a) = a
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
S : Set ℂ := {z | y < z.re}
h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖
h₁ : ∀ (n : ℕ), DifferentiableOn ℂ (fun x => term f x n) S
h₂ : IsOpen S
h₃ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ S, ‖term f z n‖ ≤ ‖term f (↑x) n‖
H : HasSum (fun i => -term (logMul f) s i) (deriv (fun w => ∑' (i : ℕ), term f w i) s)
⊢ LSeriesSummable (logMul f) s ∧ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
s : Finset ι
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting
this : DecidableEq ι
hs : Fintype.card α ≤ s.card
⊢ (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
this : Fact (μ ↑I < ⊤)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : ℕ → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x ↑(r x) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
x✝ : π.IsPartition
n : ℕ
⊢ ‖∑ J ∈ (π.filter fun x => N (π.tag x) = n).boxes, (μ ↑J).toReal • f (π.tag J)‖ ≤ ↑(δ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
NormedSpace ℝ F
hY : AEMeasurable Y μ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (y : Ω), f (x, y) ∂(ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) x)
  (MeasureTheory.Measure.map X μ)
R : Type u_1
N : Type u_3
P : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R N
Module R P
g : N →ₗ[R] P
hg : Function.Surjective ⇑g
N' : Type u_7
P' : Type u_8
AddCommGroup N'
AddCommGroup P'
Module R N'
Module R P'
g' : N' →ₗ[R] P'
hg' : Function.Surjective ⇑g'
⊢ Function.Surjective ⇑(TensorProduct.map g g')
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : PointsWithCircumcenterIndex n
a✝ : j ∈ univ
⊢ pointWeightsWithCircumcenter i j = if j = pointIndex i then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 j else 0
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝³ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : Algebra K F
x : L
hx : ¬IsIntegral K x
⊢ ¬∃ s, Nonempty (Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯)
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M
hy : y ∈ Algebra.adjoin R ↑T
⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
T : Submodule 𝕜 E
hT : IsCompl S T
M : (↥S × ↥T) ≃ₗ[𝕜] E := S.prodEquivOfIsCompl T hT
M_cont : Continuous ⇑M.symm
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
a : α
⊢ (List.map f l).headD (f a) = f (l.headD a)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X ≃ᵢ Y
⊢ (map ⇑f) (mkMetric m) = mkMetric m
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y
this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
this : ∀ (i : (Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).J), IsAffine ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).obj i)
⊢ Q (pullback.snd f (𝟙 Y)) ↔ Q f
α : Type u
s : Set α
DecidableEq α
Fintype α
hs : s.Finite
h : sᶜ.Finite
⊢ h.toFinset = hs.toFinsetᶜ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0
N : ℕ → ℕ
hN : ∀ k < n, ∀ b ≥ N k, p (n * b + k)
b : ℕ
hb : b ≥ (Finset.range n).sup fun x => n * N x
⊢ p (n * (b / n) + b % n)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ -((↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)) ^ 2 + 4 * (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2))) ^ 2 * ((↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)) ^ 2 * (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) + 4 * (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)) * (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) - ↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s) * (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)) * (↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)) + ↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2) * (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)) ^ 2 - (↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)) ^ 2) - 8 * (2 * (↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)) + ↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s) * (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t))) ^ 3 - 27 * ((↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)) ^ 2 + 4 * (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁))) ^ 2 + 9 * ((↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)) ^ 2 + 4 * (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2))) * (2 * (↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)) + ↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s) * (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t))) * ((↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)) ^ 2 + 4 * (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁))) = ↑C.u⁻¹ ^ 12 * (-(W.a₁ ^ 2 + 4 * W.a₂) ^ 2 * (W.a₁ ^ 2 * W.a₆ + 4 * W.a₂ * W.a₆ - W.a₁ * W.a₃ * W.a₄ + W.a₂ * W.a₃ ^ 2 - W.a₄ ^ 2) - 8 * (2 * W.a₄ + W.a₁ * W.a₃) ^ 3 - 27 * (W.a₃ ^ 2 + 4 * W.a₆) ^ 2 + 9 * (W.a₁ ^ 2 + 4 * W.a₂) * (2 * W.a₄ + W.a₁ * W.a₃) * (W.a₃ ^ 2 + 4 * W.a₆))
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.48051, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.48055, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.48059, u_3} E
G : Karoubi C ⥤ Karoubi D
P : Karoubi C
⊢ (({ app := fun P => { f := (G.map P.decompId_p).f, comm := ⋯ }, naturality := ⋯ } ≫ { app := fun P => { f := (G.map P.decompId_i).f, comm := ⋯ }, naturality := ⋯ }).app P).f = ((𝟙 (((whiskeringLeft C (Karoubi C) (Karoubi D)).obj (toKaroubi C) ⋙ functorExtension₁ C D).obj G)).app P).f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r : ℝ
hr : 1 < r
⊢ (fun n => ↑n ^ k) =o[atTop] fun n => r ^ n
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
⊢ ∑ i_1 : Fin (n + 1), (cons i σ) i_1 = i + ∑ i : Fin n, σ i
R : Type u
Monoid R
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
self : A × B
⊢ (NonUnitalAlgHom.fst R A B) self = self.1
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
x : X
L : Filter X
h : ¬Tendsto id L (𝓝 x)
U : Set X
U_nhd : U ∈ 𝓝 x
hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U
Uint_nhd : interior U ∈ 𝓝 x
f : X →ᵇ ℝ≥0
fx_eq_one : f x = 1
f_vanishes_outside : ∀ y ∈ (interior U)ᶜ, f y = 0
⊢ ¬Tendsto (fun i => ↑(f i)) L (𝓝 ↑1)
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : 0 ∉ t
a✝ : Nontrivial R
⊢ (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod ≠ 0
x y z : ZFSet
hy : y ∉ z
hz : z ∈ x
⊢ y ∉ ⋂₀ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), AEMeasurable (f b) μ
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
p : α → (β → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Directed LE.le f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_directed : Directed LE.le (aeSeq hf p)
⊢ ∫⁻ (a : α), (⨆ i, f i) a ∂μ = ∫⁻ (a : α), ⨆ b, aeSeq hf p b a ∂?m.329415
R : Type u_1
Ring R
CharP R 2
⊢ Neg.neg = id
R : Type u_1
B : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }
a : A
⊢ (DualNumber.lift fe) (TrivSqZeroExt.inl a) = (↑fe).1 a
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
v : n → α
⊢ IsUnit (Matrix.diagonal v) ↔ IsUnit v
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x : α} {α_1 : Type u_2} {y : α_1}, (x, y).snd = y
S : Type u_1
R : Type u
M : Type v
CommSemiring S
Semiring R
AddCommMonoid M
Algebra S R
Module S M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
IsScalarTower S R M
IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
A : Type u_2
Semiring A
Algebra S A
f : R →ₐ[S] A
g : M →ₗ[S] A
hg : ∀ (x y : M), g x * g y = 0
hfg : ∀ (r : R) (x : M), g (r •> x) = f r * g x
hgf : ∀ (r : R) (x : M), g (x <• r) = g x * f r
⊢ (TrivSqZeroExt.lift f g hg hfg hgf).comp (TrivSqZeroExt.inlAlgHom S R M) = f
A : Finset ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
n : ℕ := ⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1
hn : 0 < n
⊢ ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ε < ↑⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
hg : ∀ (y : ↥S), IsAddUnit (g ↑y)
z : N
v : P
⊢ (f.lift hg) z = v ↔ g (f.sec z).1 = g ↑(f.sec z).2 + v
α : Type u_1
a : α
⊢ SymAlg.unsym (SymAlg.sym a) = a
G : Type u_2
MeasurableSpace G
SubtractionMonoid G
MeasurableAdd G
MeasurableNeg G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsNegInvariant
μ.IsAddLeftInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun t => g - t) μ = μ
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Sort u_5
Countable ι
f : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasureTheory.NullMeasurableSet (f i) μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (⋂ i, f i) μ
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ⊂ t ↔ ∃ a ∉ s, insert a s ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
⊢ insert a s \ s = {a}
n : ℕ
⊢ Num.ofNat' n = ↑n
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
hf : Function.Injective ⇑f
K : AddSubgroup G
x : G
⊢ f x ∈ AddSubgroup.map f K ↔ x ∈ K
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K
h : (minpoly K f).IsRoot μ
p : K[X]
hp : minpoly K f = (X - C μ) * p
con : LinearMap.ker (f - (algebraMap K (End K V)) μ) = ⊥
u : (V →ₗ[K] V)ˣ
hu : ↑u = f - (algebraMap K (End K V)) μ
p_ne_0 : p ≠ 0
this : (aeval f) p = 0
⊢ False
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
n : ℕ
h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom
hpn : ¬2 ^ ((multiplicity 2 (n + 1)).get h + 1) ∣ n + 1
k : ℕ
hk : n + 1 = 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * k
⊢ ¬2 ∣ x ^ 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x : α
hx : x ≠ 0
h : ¬IsUnit x
⊢ ∃ p, p ∈ factors x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
f : α → 𝕜
h : MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
c : 𝕜
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun x => f x * c) μ
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: (Cofix F α ⊕ β))
x : β
⊢ (TypeVec.id ::: corec (Sum.elim (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: Sum.inl) ∘ dest) g)) <$$> Sum.elim (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: Sum.inl) ∘ dest) g (Sum.inr x) = (TypeVec.id ::: Sum.elim _root_.id (corec' g)) <$$> g x
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Semigroup α
x y z : α
⊢ ((fun x_1 => x * x_1) ∘ fun x => y * x) z = x * y * z
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
x : L
m n : M
⊢ ⁅x, m - n⁆ = ⁅x, m⁆ - ⁅x, n⁆
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
⊢ ↑⌊x + 1 / 2⌋ ≤ x + 1 / 2
G : Type u
Group G
F : Type v
Field F
MulSemiringAction G F
Fintype G
x : F
⊢ Polynomial.eval₂ (FixedPoints.subfield G F).subtype x (FixedPoints.minpoly G F x) = 0
c : WType.Natα
⊢ WType.NatαEquivPUnitSumPUnit c =
  match c with
  | WType.Natα.zero => Sum.inl PUnit.unit
  | WType.Natα.succ => Sum.inr PUnit.unit
α : Type u_3
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ ∑ a ∈ s.toFinset, Multiset.count a s = Multiset.card s
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
y : ↥H
hx : x ∈ weightSpaceOf L (χ₁ y) y
hm : m ∈ weightSpaceOf M (χ₂ y) y
⊢ ⁅x, m⁆ ∈ weightSpaceOf M ((χ₁ + χ₂) y) y
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x : E
⊢ ‖x‖⁻¹ • x ∈ Metric.closedBall 0 1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : ChartedSpace.LiftPropAt P g x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝 x] g
⊢ ChartedSpace.LiftPropAt P g' x
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
FirstCountableTopology ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}