ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : TopologicalSpace β
⊢ ∀ (n : ℕ), μ (support ↑(0 n)) < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
n : ℕ
⊢ Tendsto (fun j => μ (s ∩ notConvergentSeq f g n j)) atTop (𝓝 0)
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
Sopen : ∀ t ∈ S, IsOpen t
Scount : S.Countable
T : Set (Set X)
Topen : ∀ t ∈ T, IsOpen t
Tcount : T.Countable
a b : Set X
ha : (a, b).1 ∈ S
hb : (a, b).2 ∈ T
⊢ IsOpen ((a, b).1 ∪ (a, b).2)
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁶ : Norm E
inst✝¹⁵ : Norm F
inst✝¹⁴ : Norm G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁷ : SeminormedRing R
inst✝⁶ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁵ : SeminormedRing R'
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
h : ∃ b, ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[≠] a, ‖f a‖ ≤ b
⊢ ∃ b, ∀ᶠ (a : α) in 𝓝 a, ‖f a‖ ≤ b
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
i : Fin k
⊢ (s.orderEmbOfFin h) i ∈ s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : ¬IsUnit ((aeval x) (derivative P))
⊢ P.newtonMap x = x
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
⊢ ↑(List.replicate n a) = Multiset.replicate n a
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
r : ℝ
hf' : UniformCauchySeqOn f' l (Metric.ball x r)
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
this✝ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
this : l.NeBot
⊢ UniformCauchySeqOn f l (Metric.ball x r)
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
⊢ LinearMap.range (p.linearProjOfIsCompl q h) = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
c : CategoryTheory.Limits.Cone ((CategoryTheory.Pairwise.diagram U).op ⋙ F)
Z : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ ((TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquivFunctor F U).obj c).π.app Z =
  CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.rec
    (CategoryTheory.Limits.Pi.lift fun i => c.π.app (Opposite.op (CategoryTheory.Pairwise.single i)))
    (CategoryTheory.Limits.Pi.lift fun b => c.π.app (Opposite.op (CategoryTheory.Pairwise.pair b.1 b.2))) Z
G : Type u_3
DivisionCommMonoid G
k : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
hi : i.gcd ↑k = 1
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
⊢ baseChange A (span R s) = span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
CompleteLattice β
s : ι → Set α
f : α → β
⊢ ⨅ a ∈ ⋃ i, s i, f a = ⨅ i, ⨅ a ∈ s i, f a
α : Type u_1
a : α
⊢ {a}.toList = [a]
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖ ↔ ‖f₂ x‖ ≤ c₁ * ‖g₂ x‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompletelyNormalSpace Y
e : X → Y
he : _root_.Embedding e
s t : Set X
hd₁ : Disjoint (closure s) t
hd₂ : Disjoint s (closure t)
⊢ Disjoint (e '' s) (closure (e '' t))
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K V
⊢ Submodule.map (Module.Dual.eval K V) W ≤ (Submodule.dualAnnihilator W).dualAnnihilator
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
s : σ
⊢ M.evalFrom s [] = s
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsFilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
this : IsFilteredOrEmpty C
d : D
c : C
s s' : d ⟶ F.obj c
⊢ ∃ c' t, s ≫ F.map t = s' ≫ F.map t
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
y : E
⊢ convexJoin 𝕜 s {y} = ⋃ x ∈ s, segment 𝕜 x y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
s : Set E
x : E
⊢ infEdist x s ≤ ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ → infEdist x s - ENNReal.ofReal δ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : μ.toFiniteAux s = 0 s
⊢ μ s = 0 s
s : ℂ
hs : 0 < s.re
f : ℕ → ℝ → ℂ := fun n => (Ioc 0 ↑n).indicator fun x => ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)
f_ible : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) (volume.restrict (Ioi 0))
f_tends : ∀ x ∈ Ioi 0, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)))
⊢ (fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)) = fun n => ∫ (a : ℝ) in Ioi 0, f n a
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ Disjoint (G.neighborSet v) (Gᶜ.neighborSet v)
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g (σ i) = ∑ i ∈ s, f i * g i ↔ MonovaryOn f (g ∘ ⇑σ) ↑s
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
⊢ span {↑(absNorm I)} ≤ I
k m n : Nat
kpos : 0 < k
H : k * m ∣ k * n
⊢ m ∣ n
β : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.7275, u_2} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X Y : DifferentialObject ℤ (GradedObjectWithShift b V)
f : X ⟶ Y
i : β
this : f.f i ≫ Y.d i = X.d i ≫ f.f ((fun b_1 => b_1 + { as := 1 }.as • b) i)
⊢ f.f i ≫ Y.d i ≫ Y.objEqToHom ⋯ = X.d i ≫ f.f (i + 1 • b) ≫ Y.objEqToHom ⋯
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a b c : α
h : a + -b = c
⊢ a - b = c
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
h : ‖0‖ ≤ 1
⊢ ⟨0, h⟩ = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
S₀ : Subalgebra R S
M : Submonoid ↥S₀
left✝ : FiniteType R ↥S₀
right✝ : IsLocalization M S
this : EssFiniteType (↥S₀) S := of_isLocalization S M
⊢ EssFiniteType R S
α : Type u_4
Mul α
a : αᵐᵒᵖ
a' : α
⊢ a • a' = a' * MulOpposite.unop a
a b : Prop
⊢ a ∧ b ↔ b ∧ a
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f✝ : X → ℝ
s✝ : Set X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, f x ≤ 1
h's : ∀ x ∈ sᶜ, f x ≤ 0
H : Integrable f μ
g : X → ℝ := fun x => max (f x) 0
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ) ≤ μ s
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
Semiring R'
SMul R' R
Module R' A
IsScalarTower R' R A
r : R'
x : ↥S
⊢ ↑(r • x) = r • ↑x
w : Nat
x : BitVec w
⊢ (BitVec.iunfoldr (fun i c => (c, !x.getLsb ↑i)) ()).snd + x = -1
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
inst✝ : Fintype V
C : ⊤.Coloring V
v w : V
⊢ C v = C w → v = w
R : Type u_1
MulZeroClass R
h : IsLeftRegular 0
⊢ Subsingleton R
M : Type u_1
Mul M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set M
hs : BddAbove s
ht : BddAbove t
⊢ BddAbove (s * t)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn f (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f 0 (Ici x) x
⊢ ∀ x ∈ Icc a b, f x = f a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
ε : 𝕜
Fintype α
DecidableRel G.Adj
Nonempty α
hG : G.FarFromTriangleFree ε
hε : 0 < ε
⊢ ¬G.CliqueFree 3
ξ q : ℚ
h : |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2
hq₀ : 0 < ↑q.den
⊢ q.den ≤ ξ.den ∧ ⌈ξ * ↑q.den⌉ - 1 ≤ q.num ∧ q.num ≤ ⌊ξ * ↑q.den⌋ + 1
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
L' L₁' L₂' : LieSubalgebra R L
h : ↑L₁'.toSubmodule = ↑L₂'.toSubmodule
⊢ L₁' = L₂'
f : ℕ → ℕ
hf : Function.Injective f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atTop
R : Type u_3
OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
ha : 1 ≤ a
h : n ≤ m
⊢ a ^ n ≤ a ^ m
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ : W.LeftFraction₂ X Y
h : CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction₂Rel z₁ z₂
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₁.snd z₂.snd
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone (CategoryTheory.Discrete.functor f)
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Bicone.ofColimitCocone ht).π j =
  ht.desc (CategoryTheory.Limits.Cofan.mk (f j) fun j' => if h : j' = j then CategoryTheory.eqToHom ⋯ else 0)
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
WeaklyLocallyCompactSpace α
h : Filter.Tendsto F p (𝓝 f)
⊢ TendstoLocallyUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)
ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)
sNu : Summable fun n => ‖u n‖
⊢ ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder β
SuccOrder β
IsSuccArchimedean β
s : β → Set α
t : Set β
hnt : t.Nonempty
ht : t.OrdConnected
H : ∀ n ∈ t, IsConnected (s n)
K : ∀ n ∈ t, Order.succ n ∈ t → (s n ∩ s (Order.succ n)).Nonempty
⊢ IsConnected (⋃ n ∈ t, s n)
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → β
Zero β
t : Set β
ht : 0 ∈ t
hs : MeasurableSet s
⊢ t ∈ Filter.map (s.indicator f) (MeasureTheory.ae μ) ↔ t ∈ Filter.map f (MeasureTheory.ae (μ.restrict s))
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
cramer : (traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ (traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
⊢ discr K ⇑B.basis • z ∈ adjoin R {B.gen}
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ s
⊢ (Multiset.card ↑(fill x m s)).choose (Multiset.count x ↑(fill x m s)) * (Multiset.filter (fun x_1 => x ≠ x_1) ↑(fill x m s)).multinomial = n.choose ↑m * (↑s).multinomial
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
hp2 : p = 2
⊢ a ^ (p / 2) = 1 ∨ a ^ (p / 2) = -1
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsAffine Y
⊢ AlgebraicGeometry.QuasiCompact f ↔ CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝¹ : Monoid M
a : M
inst✝ : Invertible a
ha : a ∈ center M
⊢ ⅟a ∈ center M
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ : LieModule.Weight R L M
⊢ ∃ x ∈ LieModule.weightSpace M ⇑χ, x ≠ 0
α : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
A : Matrix m n α
MulZeroClass α
⊢ Matrix.hadamard 0 A = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
a b c : α
C : Type u_3
SetLike C (Equiv.Perm α)
SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : Equiv.swap a b ∈ M
hbc : Equiv.swap b c ∈ M
⊢ Equiv.swap a c ∈ M
α : Type u_1
CompleteLattice α
x y : α
⊢ x ⊔ y = ⨆ b, bif b then x else y
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal
⊢ p.1 ≠ 0 ∧ p.2 ≠ 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ (⇑(preservesColimitIso (forget C) D.diagram.multispan).inv ∘ ⇑(HasColimit.isoOfNatIso (D.diagramIso (forget C))).inv) ∘ ⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι j) ⁻¹' (⇑(D.gluedIso (forget C)).inv ∘ ⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι i) '' ↑U) = ⇑(D.f j i).base '' (⇑(D.t j i).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base ⁻¹' ↑U))
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
c : α
hc : 0 ≤ c
a b : α
⊢ min (a / c) (b / c) = min a b / c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
val✝ : Multiset α
l : List α
hs : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)
f : Equiv.Perm α
⊢ f ∈ permsOfFinset { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hs } ↔ ∀ {x : α}, f x ≠ x → x ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hs }
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
hs : (s ∩ Set.range f).Infinite
⊢ (f ⁻¹' s).Infinite
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
s : Set (Set X)
t : Set (Set Y)
hs : ⋃₀ s = univ
ht : ⋃₀ t = univ
G : TopologicalSpace (X × Y) := generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t)
v : Set Y
hv : v ∈ t
this : ⋃ u ∈ s, u ×ˢ v = Prod.snd ⁻¹' v
⊢ TopologicalSpace.IsOpen (⋃ u ∈ s, u ×ˢ v)
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
a b : α
⊢ |a| < b → a < b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a : α
z : ℤ
⊢ ↑z - ↑⌊↑z⌋ = 0
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
⊢ ∑ i ∈ f.support, f i ⊗ₜ[R] (Finsupp.total I S R ⇑b) (a i) = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => ((fun i => b.repr (b i * x)) i).support, (b.repr (f.sum fun i y => ((fun i => b.repr (b i * x)) i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
A : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected A
⊢ Nat.card (CategoryTheory.Aut A) ≤ Nat.card ↑(F.obj A)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝¹ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a✝ : ι → ℝ≥0∞
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
IH : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ i ∈ s, a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a✝ c))
h : ∀ i ∈ insert a s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))
h' : ∀ i ∈ insert a s, a✝ i ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun b => ∏ c ∈ insert a s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ insert a s, a✝ c))
c : ℝ
f✝ g✝ : ℕ → Bool
n✝ : ℕ
h1 : 0 < c
h2 : c < 1 / 2
h3 : c < 1
n : ℕ
ih : ∀ {f g : ℕ → Bool}, (∀ k < n, f k = g k) → f n = false → g n = true → cantorFunction c f < cantorFunction c g
f g : ℕ → Bool
hn : ∀ k < n + 1, f k = g k
fn : f (n + 1) = false
gn : g (n + 1) = true
⊢ (cantorFunction c fun n => f (n + 1)) < cantorFunction c fun n => g (n + 1)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
⊢ mk0 I = mk0 J ↔ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), spanSingleton R⁰ x * ↑↑I = ↑↑J
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn✝ : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
this✝ : Fact (Irreducible (X ^ n - C a)) := { out := H }
this : Algebra K K[n√a] := inferInstance
hn : 0 < n
hn' : ¬n = 1
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ (X ^ n - C a).Separable
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ = Real.arcsin (dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs'✝ : s' ∈ p.basisSets
I : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r
r' : ℝ
left✝ : r' > 0
h' : ∀ x ∈ s, x ∈ (I.sup p).ball 0 r'
⊢ Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 r) ((I.sup p).ball 0 r')
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
hbc : b ≤ c
ha : 1 ≤ a
⊢ b ≤ c * a
α : Sort u_1
β : Sort u_2
cmpα : α → α → Ordering
cmpβ : β → β → Ordering
f : α → β
self : Batteries.RBSet.IsMonotone cmpα cmpβ f
x y : α
⊢ Batteries.RBNode.cmpLT cmpα x y → Batteries.RBNode.cmpLT cmpβ (f x) (f y)
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
⊢ (beckCofork A).π ≫ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = (beckCofork A).π ≫ (beckCoequalizer A).desc (unitCofork A)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s t : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
hfs : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
⊢ ∫ (x : X) in s ∩ t, f x ∂μ + ∫ (x : X) in s \ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex V c.symm} (f : X ⟶ Y),
  (HomologicalComplex.unopInverse V c).map f = Quiver.Hom.op { f := fun i => (f.f i).op, comm' := ⋯ }
p q : Prop
⊢ (¬(p → q)) = (p ∧ ¬q)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
h : P.IsPrime
I J : Ideal A
hIJ : P ∣ I * J
⊢ P ∣ I ∨ P ∣ J
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Monoid β
ContinuousMul β
f : C(α, β)
n : ℕ
⊢ ⇑(f ^ n) = ⇑f ^ n
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n m mn : ℤ
hmn : m + n = mn
a a' a'' : ℤ
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
K : CochainComplex C ℤ
⊢ (shiftShortComplexFunctorIso C mn a a'' ⋯).hom.app K = (shortComplexFunctor C (up ℤ) a).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) m n mn hmn).hom.app K) ≫ (shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) m).obj K) ≫ (shiftShortComplexFunctorIso C m a' a'' ha'').hom.app K
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lip : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound t)) (fun x => F x t) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → HasFDerivAt (fun x => F x t) (F' t) x₀
⊢ IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
n r : ℕ
hr : r ≤ n / 2
⊢ n.choose r ≤ n.choose (n / 2)
α : Type u_1
x : Option α
⊢ (x.orElse fun x => none) = x
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
c : ↑(Set.Ico a b)
⊢ Subtype.val '' Set.Iic c = Set.Icc a ↑c
α : Type u_1
MetricSpace α
s : Set α
Finite ↑s
⊢ 0 < s.infsep ↔ s.Nontrivial
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ E ⊆ Metric.cthickening δ E
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
⊢ S.LeftHomologyData
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.177771, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁✝ S₂✝ S₃ : ShortComplex C
φ₁✝ φ₂✝ φ₃ φ₄ : S₁✝ ⟶ S₂✝
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀ + φ₂.τ₁ = h.h₀ + S₁.f ≫ h.h₁ + φ₂.τ₁
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Finite ι
b : Basis ι R M
i : ι
f : ι → R
⊢ (b.coord i) (b.equivFun.symm f) = f i