ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
ExistsAddOfLE α
PosMulMono α
MulPosMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Antitone f
hg : Monotone g
hf₀ : ∀ (x : β), f x ≤ 0
hg₀ : ∀ (x : β), 0 ≤ g x
⊢ Antitone (f * g)
R✝ : Type u
S : Type v
A✝ : Type w
B : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Semiring A✝
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R✝ B
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝ : Semiring A
P Q : Algebra R A
h : toRingHom = toRingHom
⊢ P = Q
m n✝ k i n : ℕ
⊢ ↑m <<< ↑i = ↑(Nat.shiftLeft' false m (n + i) >>> n)
n : Nat
p : Fin n → Prop
⊢ (∀ (i : Fin n), p i) ↔ ∀ (i : Nat) (h : i < n), p ⟨i, h⟩
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
⊢ D.t' j i i = (D.t' j i i ≫ pullback.snd (D.f i i) (D.f i j)) ≫ inv (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j))
α : Type u_3
AddGroupWithOne α
CharZero α
n : ℤ
⊢ ↑n ≠ 0 ↔ n ≠ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
hd : AEDisjoint μ s t
⊢ μ (s ∪ t) = μ s + μ t
α : Type u
Fintype α
a : α
Fintype ↑{x | x ≠ a}
⊢ Fintype.card ↑{x | x ≠ a} = Fintype.card α - 1
α : Type u
a : α
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
g' : G'
f₁ f₂ : G →* G'
H : f₁ g = f₂ g
x : G
⊢ f₁ x = f₂ x
x y z : SetTheory.PGame
⊢ ⟦(x + y) * z⟧ = ⟦x * z⟧ + ⟦y * z⟧
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
hposbdd : ∫ (ω : α), max (f ω) 0 ∂μ ≤ (μ univ).toReal • ↑r
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r
M : Type u_4
N : Type u_5
Add M
Add N
f : AddHom M N
⊢ f.comp (AddHom.id M) = f
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
this : StieltjesFunction.id.measure.IsAddLeftInvariant
A : StieltjesFunction.id.measure ↑(stdOrthonormalBasis ℝ ℝ).toBasis.parallelepiped = 1
⊢ volume = 1 • addHaarMeasure (stdOrthonormalBasis ℝ ℝ).toBasis.parallelepiped
α : Type u_1
F : Type u_4
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
NormedSpace ℝ F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ MeasureTheory.condexpIndSMul hm hs hμs (c • x) = c • MeasureTheory.condexpIndSMul hm hs hμs x
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
e : M ≃+ N
S : AddSubmonoid M
g : ↥(AddSubmonoid.map (↑e) S)
⊢ (e.addSubmonoidMap S).symm g = ⟨e.symm ↑g, ⋯⟩
R : Type u₁
S : Type u₂
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
s : S
g : X ⟶ (ModuleCat.restrictScalars f).obj Y
x : ↑X
⊢ (ModuleCat.ExtendRestrictScalarsAdj.HomEquiv.evalAt f s g) x = s • g x
α : Type u_1
Lattice α
a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
⊢ Set.Icc a b ∩ Set.Icc b c = {b}
X : AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace ↔ AlgebraicGeometry.QuasiCompact (CategoryTheory.Limits.terminal.from X)
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian (p.map φ) φ
inst✝ : IsIso (p.map φ)
φ' : b ⟶ a := map p (p.map φ) φ ⋯ (𝟙 b)
⊢ IsIso φ
R : Type u_1
CommRing R
u v w : Fin 3 → R
⊢ u ⬝ᵥ (crossProduct v) w = v ⬝ᵥ (crossProduct w) u
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
g : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso g
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.inv g) = CategoryTheory.CategoryStruct.id X ↔ f = g
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs_m : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
⊢ μ.restrict s[f|m] =ᶠ[ae (μ.restrict s)] μ[f|m]
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
self : PerfectPairing R M N
⊢ Function.Bijective ⇑self.toLin.flip
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
⊢ ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.unit.1 (e.inverse.obj Y)) ≫ (((𝟙 (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.toPrefunctor.1 (e.functor.obj (e.inverse.obj Y))))) ≫ (e.inverse.mapIso (e.counitIso.app (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))).inv) ≫ e.unitInv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
e : X ≃ᵈ X
⊢ Dilation.ratio e⁻¹ = (Dilation.ratio e)⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : OrderedRing S
abv : AbsoluteValue R S
a b : R
⊢ abv a ≤ abv (a - b) + abv b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x✝ : M
b : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial M
x y : M
ne : x ≠ y
i : ι
h✝ : ¬(b.repr x) i = (b.repr y) i
⊢ Nonempty ι
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
s : Set α
f g : α → β
a : α
h : IsLocalMinOn f s a
heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g
hmem : a ∈ s
⊢ IsLocalMinOn g s a
q : ℍ
⊢ normSq (exp ℝ q.re • (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im)) = exp ℝ q.re ^ 2 * normSq (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im)
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
x : ι → α
f : Filter α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
hxy : ¬Tendsto x l f
⊢ ∃ ns, Tendsto ns atTop l ∧ ∀ (ms : ℕ → ℕ), ¬Tendsto (fun n => x (ns (ms n))) atTop f
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ Set.univ), f i = ∑ᶠ (i : α), f i
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
this : 𝟙 ((F.obj n).obj X) = (F.obj n).map (F.ε.app X) ≫ (F.μ (𝟙_ M) n).app X ≫ (F.map (λ_ n).hom).app X
⊢ (F.obj n).map (F.ε.app X) ≫ (F.μ (𝟙_ M) n).app X ≫ (F.map (λ_ n).hom).app X = 𝟙 ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ LinearMap.id.IsSymmetric
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
⊢ TotallyBounded ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s.disjSum t).val = s.val.disjSum t.val
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s : Set α
φ : r ≃r r'
⊢ IsAntichain r' (⇑φ '' s) ↔ IsAntichain r s
i x : Nat
⊢ x.testBit i = decide (x / 2 ^ i % 2 = 1)
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
⊢ ∃ v', v < v'
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
NeZero ν
s : Set α
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (Prod.fst ⁻¹' s) (μ.prod ν) ↔ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q✝ : MvPolynomial σ R
f q : R →+* S₁
r : R
hr : ∀ (r' : R), q r' = 0 ↔ r ∣ r'
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (∀ (i : σ →₀ ℕ), r ∣ coeff i φ) ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m ((map q) φ) = coeff m 0
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
h : HasGradientAt f f' x
⊢ ContinuousAt f x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
DecidableEq P
p : ι → P
s : Finset ι
n : ℕ
hc : s.card = n + 1
⊢ FiniteDimensional.finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p s)) ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
f : α ≃ₜ β
⊢ MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ)
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : f x - f y ≠ 0
a : 𝕜 := v x
b : 𝕜 := v y
f' : ↥s := ((b - a) * (f x - f y)⁻¹) • ((algebraMap 𝕜 ↥s) (f x) - ⟨f, hf⟩) + (algebraMap 𝕜 ↥s) a
⊢ ∃ f ∈ ↑s, f x = v x ∧ f y = v y
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀✝ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀✝ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀✝ : (r₀✝.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀✝ : (m₀✝.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y Z : C
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ Y
r₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Y))
r₀' : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z))
m₀ : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
m₀' : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Z))
hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (R.map f.op) r
hr₀' : (α.app (Opposite.op Z)) r₀' = (R.map (f.op ≫ g.op)) r
hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.map f.op) m
hm₀' : (φ.app (Opposite.op Z)) m₀' = (A.map (f.op ≫ g.op)) m
⊢ (φ.app (Opposite.op Z)) ((M₀.presheaf.map g.op) (r₀ • m₀)) = (φ.app (Opposite.op Z)) (r₀' • m₀')
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
⊢ (∀ i ∈ t, IsCoprime (s i) x) → IsCoprime (∏ i ∈ t, s i) x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f
a : α
q : ℚ
⊢ 0 ≤ f a q
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a c d : α
n : ℤ
⊢ a / 0 < 1 ↔ 0 < 0 ∧ a < 0 ∨ 0 = 0 ∨ 0 < 0 ∧ 0 < a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ μ (⋃ i ∈ s, S i) ≠ ⊤
x : ℝ
⊢ (Complex.sin ↑x).im = 0
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
inst✝² : ∀ (i : ι), InvariantBasisNumber (End (s i))
o : HomOrthogonal s
α β : Type
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
f : α → ι
g : β → ι
i : (⨁ fun a => s (f a)) ≅ ⨁ fun b => s (g b)
⊢ ∃ e, ∀ (a : α), g (e a) = f a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
self : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
X : C
n : ℤ
⊢ self.P X → self.P ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj X)
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Finset α
⊢ { ofColex := s } < { ofColex := t } ↔ ∃ w ∈ t \ s, Finset.filter (fun x => w < x) s = Finset.filter (fun x => w < x) t
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map (kernel.ι f) ≫ G.map p = G.map (kernel.map f g p q hpq) ≫ G.map (kernel.ι g)
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
hS : ∀ s ∈ S, IsClopen s
⊢ IsClopen (⋃₀ S)
b : ℝ
⊢ Real.logb b b = 1 ↔ b ≠ 0 ∧ b ≠ 1 ∧ b ≠ -1
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x y : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
n : ℕ
⊢ (fun i => g (![x.coeff, y.coeff] i.1 i.2)) = fun a => ![((WittVector.map g) x).coeff, ((WittVector.map g) y).coeff] a.1 a.2
μ ν : YoungDiagram
h_le : μ.transpose ≤ ν
c : ℕ × ℕ
hc : c ∈ μ.cells
⊢ c ∈ ν.transpose.cells
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
H : a ∈ s
⊢ insert a ∅ ∩ s = insert a ∅
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹
r0_pos : 0 < r0
r : ℝ≥0 := rp * rq * r0
r_pos : 0 < r
I : ∀ (i : (n : ℕ) × Composition n), ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst ≤ Cq / 4 ^ i.fst
this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun c => (4 ^ n)⁻¹) (2 ^ (n - 1) / 4 ^ n)
n : ℕ
⊢ ∑' (y : Composition (n + 1)), (4 ^ ⟨n + 1, y⟩.fst)⁻¹ = 1 / 4 * (1 / 2) ^ n
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }
v : { w // w ≠ w₀ } → { w // w ≠ w₀ } → ℝ := fun w => (logEmbedding K) ⋯.choose
w : { w // w ≠ w₀ }
⊢ 0 < |v w w| - v w w + ∑ x : { w // w ≠ w₀ }, v w x
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
h : Perfect (closure C)
x : α
xC : x ∈ C
H : ∃ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ≠ x ∧ y ∈ closure C
this : ∀ (y : α), y ≠ x ∧ y ∈ closure C → ∃ᶠ (z : α) in 𝓝 y, z ≠ x ∧ z ∈ C
⊢ ∃ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ≠ x ∧ y ∈ C
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
n m mn : A
hnm : m + n = mn
a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ (F.shiftIso mn a a'' ⋯).hom.app X =
  (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' D m n mn hnm).hom.app ((F.functor a'').obj X) ≫
    (CategoryTheory.shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
hf : HasFPowerSeriesAt f 0 x
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 x, f z = 0
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
h : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝ : IsDomain B
r : B
hr : IsPrimitiveRoot r ↑n
⊢ NeZero ↑↑n
I : Type u
f : I → Type v
DecidableEq I
(i : I) → SemilatticeInf (f i)
(i : I) → Zero (f i)
i : I
x y : f i
⊢ Pi.single i (x ⊓ y) = Pi.single i x ⊓ Pi.single i y
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset ℕ
n : ℕ
s : Finset ℕ
⊢ (∑ i ∈ s, 2 ^ i).bitIndices.toFinset = s
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
a : Fin (m ^ (n + 1))
ih : ∀ i < m ^ n, ∑ x : Fin n, i / m ^ ↑x % m * m ^ ↑x = i
⊢ ↑⟨∑ i : Fin (n + 1), ↑a / m ^ ↑i % m * m ^ ↑i, ⋯⟩ = ↑a
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ a - b + b = max a b
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c
cpos : 0 < c
⊢ ∑ i ∈ filter (fun x => j < ↑⌊c ^ x⌋₊) (range N), 1 / ↑⌊c ^ i⌋₊ ^ 2 ≤ c ^ 5 * (c - 1)⁻¹ ^ 3 / j ^ 2
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
hF' : ∀ (i : ℕ), (F.N i).FG
⊢ F.submodule.FG ↔ F.Stable
I : Type u
J K : I → Prop
(i : I) → Decidable (J i)
(i : I) → Decidable (K i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
⊢ Profinite.NobelingProof.Proj J ∘ Profinite.NobelingProof.Proj K = Profinite.NobelingProof.Proj J
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
⊢ map (Embedding.subtype p) (Ico a b) = Ico ↑a ↑b
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
a : S
⊢ ∃ b, IsInteger R (a * (algebraMap R S) ↑b)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_1
DecidableEq ι
i : ι
m : M
⊢ (finsuppLEquivDirectSum R M ι) (Finsupp.single i m) = (DirectSum.lof R ι (fun i => M) i) m
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b c : α
m n✝ : ℕ
hab : a ∣ b
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
⊢ a ∣ b * b ^ n
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
𝕜 : Type u_4
CommSemiring 𝕜
A : Type u_5
TopologicalSpace A
Semiring A
TopologicalSemiring A
Star A
ContinuousStar A
Algebra 𝕜 A
g : C(Y, Z)
f : C(X, Y)
⊢ ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A (g.comp f) =
  (ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A f).comp (ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
k : Filter δ
⊢ Filter.map (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ((f ×ˢ g) ×ˢ h ×ˢ k) = (f ×ˢ h) ×ˢ g ×ˢ k
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hu : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}, y - u ∈ U
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set M₂
hV : V ∈ 𝓝 0
hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U
SV : Set M₁ × Set M₂ := (closedBall 0 1, -V)
v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}
huv : v - u ∈ {f | ∀ x ∈ SV.1, f x ∈ SV.2}
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ ⇑u '' closedBall 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ t, y +ᵥ U
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
n : ℕ
hn : f ^ n = ↑z.den
this : f ^ n ≠ 0
⊢ ↑z.num ∈ carrier f_deg q ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ q.asIdeal
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f [[a, b]] μ
⊢ IntervalIntegrable f μ a b
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
n : ℕ
u : ℕ → β
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i)) ≤ eVariationOn f s
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
m : M
a : R[M]
⊢ ∀ (a_1 : R), a = Finsupp.single m a_1 ↔ (Finsupp.lsingle m) a_1 = a
L : Type u_1
K : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
x : 𝓞 L
⊢ ↑((RingOfIntegers.norm K) x) = (Algebra.norm K) ↑x
xl xr : Type u
L R : List PGame
⊢ -ofLists L R = ofLists (List.map (fun x => -x) R) (List.map (fun x => -x) L)
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ : Filter α
s : Set α
a : α
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ Tendsto f l₁ l₂ ↔ ∀ (g : Ultrafilter α), ↑g ≤ l₁ → Tendsto f (↑g) l₂
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ |‖a‖ - ‖b‖| ≤ ‖a / b‖
X : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ i, V i ⊆ U
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
⊢ Finsupp.erase a 0 = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
IsDomain R
Algebra R S
IsDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
⊢ RingHom.ker (Polynomial.aeval s).toRingHom = Ideal.span {minpoly R s}
τ : Type u_1
TopologicalSpace τ
AddMonoid τ
ContinuousAdd τ
α : Type u_2
TopologicalSpace α
self : Flow τ α
⊢ Continuous (Function.uncurry self.toFun)
R : Type u_1
CommSemiring R
E₁ : Type u_4
E₂ : Type u_5
UniformSpace E₁
UniformSpace E₂
Ring E₁
Ring E₂
Algebra R E₁
Algebra R E₂
UniformAddGroup E₁
UniformAddGroup E₂
f : E₁ →A[R] E₂
⊢ UniformContinuous ⇑f
n m k l : Nat
⊢ n + l - m - (k + l) = n - m - k
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ↑↑(f + g) =ᵐ[μ] ↑↑f + ↑↑g
a : Ordinal.{u}
⊢ 1 ♯ a = Order.succ a
α : Type u_1
l : Batteries.RBNode α
v : α
r : Batteries.RBNode α
⊢ (l.balRight v r).reverse = r.reverse.balLeft v l.reverse
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Add G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
a : G
⊢ Smooth I I fun b => a + b
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x : A
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
a✝ : Nontrivial A
⊢ (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)) → ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)