ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∃ δ > 0, cthickening δ K ⊆ U ∧ TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F
s : Set E
x v : E
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ lineDerivWithin 𝕜 f₁ s x v = lineDerivWithin 𝕜 f s x v
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
γ : Type u_3
TopologicalSpace γ
AddZeroClass γ
ContinuousAdd γ
g : C(α, β)
f : C(β, γ)
⊢ g.compAddMonoidHom' f = f.comp g
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : IsOpenMap f
hfc : Continuous f
s : Set Y
⊢ f ⁻¹' closure s = closure (f ⁻¹' s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
⊢ (𝟙 M).hom = 𝟙 M.X
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w : ι✝ → R
z : ι✝ → E
inst✝ : Fintype ι✝
f : ι✝ → R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E
⊢ (convexHull R) (Set.range ⇑b) = {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
x : E
⊢ x ∈ closure {0} ↔ ‖x‖ = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
a b c : E
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' openSegment 𝕜 (a + b) (a + c) = openSegment 𝕜 b c
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
⊢ Finsupp.mapRange.addMonoidHom (AddMonoidHom.id M) = AddMonoidHom.id (α →₀ M)
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
β : Type u_1
MulAction M β
x y : α × β
h : x ∈ MulAction.orbit M y
⊢ x.1 ∈ MulAction.orbit M y.1
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s t : Finset β
⊢ ↑(s -ᵥ t) = ↑s -ᵥ ↑t
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
⊢ Algebra.adjoin R (Set.range (FreeAlgebra.ι R)) = ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (CochainComplex C ℤ)
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) 0).homologySequenceδ
    ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).mapTriangle.obj T) n₀ n₁ h =
  (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors C (ComplexShape.up ℤ) n₀).hom.app T.obj₃ ≫
    (HomologicalComplex.homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) 0).shiftMap T.mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫
      (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors C (ComplexShape.up ℤ) n₁).inv.app T.obj₁
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
I X : C
inst✝ : HasBinaryProduct I X
hI : IsInitial I
⊢ I ⨯ X ≅ I
α : Type u_3
DivisionRing α
q r : ℚ
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q + r) = ↑q + ↑r
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
⊢ (QuadraticMap.Isometry.fst M₂ Q₁).comp (QuadraticMap.Isometry.inr Q₁ 0) = 0
α : Type u
SubtractionCommMonoid α
a : α
h : IsAddUnit a
b : α
⊢ a - (a + b) = 0 - b
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
g f₁ f₂ : CentroidHom α
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.lintegral 0 = 0
α : Type u
ι : Sort w
Finite ι
f : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), (f i).Finite
⊢ (⋃ i, f i).Finite
⊢ @AlgebraicGeometry.Surjective =
  AlgebraicGeometry.topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => Function.Surjective
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
⊢ Prime (hζ.toInteger - 1)
C : CategoryTheory.Cat
X Y : ↑C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id C).map f = f
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hf : IntegrableOn f (↑I) μ
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
⊢ HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.coeff n ≠ 0
⊢ p ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : β × γ → δ
g : α → β
h : α → γ
x : α
s : Set α
y : β × γ
hf : ContinuousAt f (g x, h x)
hg : ContinuousWithinAt g s x
hh : ContinuousWithinAt h s x
e : (g x, h x) = y
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f (g x, h x)) s x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
σ τ : Type
Finite τ
S : σ → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct S
T : τ → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct T
s : σ
f : ⨁ S ⟶ ⨁ T
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (∀ (t : τ), CategoryTheory.Limits.biproduct.ι S s ≫ f ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.π T t = 0) → 𝟙 (S s) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
⊢ Primrec₂ fun x x_1 => x / x_1
α : Type u_1
MulOneClass α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b : α
h : 1 < b
⊢ a < a * b
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
NormedSpace ℝ E
hs : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
ht : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n f x
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal S
i : ℕ
a d d' e e' : S
a_mem : a ∈ P ^ i
e_mem : e ∈ P ^ (i + 1)
e'_mem : e' ∈ P ^ (i + 1)
h : d - d' ∈ P
this : a * d - a * d' ∈ P ^ (i + 1)
⊢ a * d + e - (a * d' + e') = a * d - a * d' + (e - e')
𝕜 : Type u_6
𝕜' : Type u_7
NormedField 𝕜
SeminormedRing 𝕜'
self : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
r : 𝕜
x : 𝕜'
⊢ ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder β
OrderBot β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
h₁ : ∀ i ∈ s, Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i) := by exact fun _ _ ↦ by isBoundedDefault
h₂ : ∀ i ∈ s, Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i) := by exact fun _ _ ↦ by isBoundedDefault
⊢ Filter.limsup (fun a => s.sup fun i => F i a) f = s.sup fun i => Filter.limsup (F i) f
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMap f
e₁ e₂ : E
he : f e₁ = f e₂
hne : e₁ ≠ e₂
left✝ : DiscreteTopology ↑(f ⁻¹' {f e₁})
t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f
he₁ : e₁ ∈ t.source
he₂ : e₂ ∈ t.source
⊢ ∃ s₁ s₂, IsOpen s₁ ∧ IsOpen s₂ ∧ e₁ ∈ s₁ ∧ e₂ ∈ s₂ ∧ Disjoint s₁ s₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
R X Y : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
S : C
k : CategoryTheory.IsKernelPair f a b
p q : S ⟶ X
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp p f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp q f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (k.lift p q w) a = p
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ InnerProductSpaceable E
k l : Nat
m n : Nat
H1 : k.Coprime l
⊢ (k ^ m).Coprime (l ^ n)
β : Type u_1
α : Type u_2
CommSemiring β
f : α → β
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (∅.prod f) 1
α : Type u_1
s t : Set α
h : (s ∩ t).Finite
⊢ s.encard ≤ t.encard ↔ (s \ t).encard ≤ (t \ s).encard
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b : α
⊢ a + a * b + a * (a * b) = a
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).unitIso.hom.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
a : L
⊢ (a ∈ Set.range fun ψ => ψ x) ↔ (aeval a) (minpoly F x) = 0
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ ↑f.ker = LinearMap.ker ↑f
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
E' : Type u_2
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 1 f x
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f t
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (z * x + y)
⊢ IsCoprime x y
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
S : Type u_2
NonAssocSemiring S
Module R S
SMulCommClass R S S
Pow S ℕ
NatPowAssoc S
x : S
⊢ (Polynomial.X * p).smeval x = x * p.smeval x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ga : α → α
gb : β → β
h : Function.Semiconj f ga gb
⊢ Function.Semiconj (Set.image f) (Set.image ga) (Set.image gb)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
CharZero R
NoZeroSMulDivisors R M
n : ℕ
hn : μ = ↑n
i : ℕ
hi : i ≤ n
⊢ ((LieModule.toEnd R L M) f ^ i) m ≠ 0
l : List ℕ+
h : ∀ p ∈ l, p.Prime
this : (ofPNatMultiset (↑l) h).prod = (↑l).prod
⊢ (ofPNatList l h).prod = l.prod
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
ν : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
⊢ ν Set.univ = 1
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
t : Set G
ht : IsOpen t
s : Set G
⊢ closure s + t = s + t
X : Type u
MetricSpace X
p q : TopologicalSpace.NonemptyCompacts X
⊢ dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
hG : G.Connected
hH : H.Connected
⊢ (G □ H).Connected
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
Nontrivial R
i j : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPolynomial.monomial i) 1 ∣ (MvPolynomial.monomial j) 1 ↔ i ≤ j
c : Char
cs : List Char
b e : Pos
⊢ (if e.byteIdx ≤ b.byteIdx then "" else { data := extract.go₁ (c :: cs) 0 (b + c) (e + c) }) = if e.byteIdx ≤ b.byteIdx then "" else { data := extract.go₁ cs 0 b e }
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ ∃ V ∈ 𝓤 α, UniformSpace.ball x V ⊆ s
α : Type u_2
Sub α
f g : Filter α
⊢ (f - g).NeBot → f.NeBot
R : Type u
CommRing R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u
AddCommGroup N
Module R N
ι : Type u
Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Submodule.span R (Set.range m) = ⊤
⊢ TensorProduct.VanishesTrivially R m n ↔ ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
hi : I.radical.IsMaximal
⊢ I.IsLocal
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝³ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
i j : ι
hij : c.Rel j i
⊢ inlX K i j hij ≫ (π K).f j = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥
⊢ LieIdeal.map f (derivedSeries R L' k) = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hf : AntitoneOn f s
hs : Convex 𝕜 s
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ f x < r}
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
f : σ → MvPolynomial τ R
⊢ MvPolynomial.eval₂Hom MvPolynomial.C f = ↑(MvPolynomial.bind₁ f)
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E2
this : Subalgebra.restrictScalars K (adjoin ↥E1 ↑E2).toSubalgebra = Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin ↥E1 ↑E2)
⊢ (E1 ⊔ E2).toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ
⊢ (fun n => ↑n ^ k * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑n))) =O[atTop] fun n => ↑n ^ k * rexp (-1 * ↑n)
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
⊢ descSet hc ∅ = ∅
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
CompleteSpace F
c : ℂ
R C : ℝ
f : ℂ → F
hR : 0 < R
hf : DiffContOnCl ℂ f (Metric.ball c R)
hC : ∀ z ∈ Metric.sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
⊢ ‖deriv f c‖ ≤ C / R
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : ¬M.Indep I
⊢ M.Indep (insert e I) ↔ M.Indep I ∧ (e ∉ I → e ∈ M.E \ M.closure I)
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
ι α : Type u
t : ι → Set α
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
h : ∀ (i : ι), #↑(t i) < c
⊢ ∀ (i : ↑(range fun i => t i)), #↑↑i < c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
e : E ≃L[𝕜] E'
⊢ e.symm.toDiffeomorph = e.toDiffeomorph.symm
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Surjective (AddSubmonoid.comap f)
M : Type u_3
AddMonoid M
s t : Set M
S : AddSubmonoid M
hs : s ⊆ ↑S
ht : t ⊆ ↑S
⊢ s + t ⊆ ↑S
M : Type u_4
AddMonoid M
a : M
⊢ a ∈ IsAddUnit.addSubmonoid M ↔ IsAddUnit a
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
f : ι → Set Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.iIndep (fun i => MeasurableSpace.comap (fun x => x ∈ f i) ⊤) κ μ ↔
  ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSet f κ μ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v✝ : ι → M
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing R₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M''
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
G : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G R
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → G
j : M
hj : ∀ (p : Submodule R M), Set.range v ⊆ ↑p → j ∈ p
p : Submodule R M
hp : Set.range (w • v) ⊆ ↑p
i : ι
⊢ v i ∈ ↑p
α : Type u_1
M : Matroid α
B I✝ J X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_2
X I : ι → Set α
hI : ∀ (i : ι), M.Basis (I i) (X i)
h_ind : M.Indep (⋃ i, I i)
⊢ ∀ e ∈ (⋃ i, X i) \ ⋃ i, I i, M.Dep (insert e (⋃ i, I i))
α : Type u_2
M : Type u_4
Preorder M
Zero M
s t : Set α
f : α → M
h : s ⊆ t
hf : ∀ (a : α), 0 ≤ f a
a : α
⊢ s.indicator f a ≤ t.indicator f a
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε x r' : ℝ
rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
⊢ A f L r ε ∈ 𝓝[>] x
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
h : 0 < a
x : ℝ
⊢ ∃ t, (∀ y ∈ t, ↑x < y.1 * y.2) ∧ IsOpen t ∧ (⊤, ↑a) ∈ t
α : Type u_3
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
⊢ (MeasureTheory.SignedMeasure.toJordanDecompositionEquiv α).symm j = j.toSignedMeasure
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
h : ∀ x ∈ s, Bounded r x
f : ↑s → α := fun x => ⋯.sup ↑x ⋯
x y : α
hxy : ¬r y x
c : Set α
hc : c ∈ s
hy : y ∈ c
⊢ ∃ b ∈ range f, swap rᶜ x b
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ X.X ◁ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ≫ TensorBimod.actLeft M N₁ ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = X.X ◁ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft M N₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f✝ g : C(α, β)
f : C(β, γ)
g₁ g₂ : C(α, β)
hf : Injective ⇑f
h : f.comp g₁ = f.comp g₂
a : α
⊢ f (g₁ a) = f (g₂ a)
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ min a c < min b c ↔ a < b ∧ a < c
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
DecidableEq α
a b : α
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
⊢ b ∈ (P.bind Q).parts ↔ ∃ A, ∃ (hA : A ∈ P.parts), b ∈ (Q A hA).parts
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hf : Injective (f a)
⊢ (image₂ f {a} t).card = t.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)
⊢ Monotone fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i
n m k l : ℕ
h : n + m = k + l
⊢ (k + l).dist (k + m) = l.dist m
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
⊢ (s₁ ∪ s₂) * (t₁ ∩ t₂) ⊆ s₁ * t₁ ∪ s₂ * t₂
n : Nat
i : Fin (n + 1)
⊢ i ≤ Fin.last n
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsUnit ((aeval x) (derivative P))
⊢ P.newtonMap x = x - ↑h.unit⁻¹ * (aeval x) P
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddZeroClass G
a : Multiplicative G
⊢ (AddMonoidAlgebra.of k G) a = AddMonoidAlgebra.single (Multiplicative.toAdd a) 1
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
A : C
B : D
e : MonoOver A ≌ MonoOver B
⊢ 𝟭 (Subobject B) = ThinSkeleton.map (𝟭 (MonoOver B))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
⊢ ∏' (x : β), 1 = 1
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
ha : (∀ (o : Set Ordinal.{u}), IsOpen o → a ∈ o → (o ∩ s).Nonempty) ∧ ∀ (o : Set Ordinal.{u}), IsOpen o → a ∈ o → (o ∩ sᶜ).Nonempty
h : IsOpen {a}
⊢ False
M : Type u_1
CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoidWithZero N
f : S.LocalizationWithZeroMap N
IsCancelMulZero M
h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsRegular x
⊢ IsCancelMulZero N
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
f : α ≃ β
⊢ M.mapEquiv f = M.map ⇑f ⋯
α : Type u_1
Zero α
⊢ ofLex 0 = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E ≃ₗ[𝕜] E'
h : ∀ (x y : E), ⟪f x, f y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
⊢ (f.isometryOfInner h).toLinearEquiv = f
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
D1 D2 : Derivation R A M
h : D1 = D2
a : A
⊢ D1 a = D2 a
M : Type u_4
N : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
⊢ (MonoidHom.id N).comp f = f
Γ : Type u_1
R : Type u_2
LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
CommRing R
IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop
⊢ ⇑(HahnSeries.SummableFamily.powers x hx) = HPow.hPow x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
NormedLatticeAddCommGroup G'
NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α G'
hfi : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
hgi : MeasureTheory.Integrable (↑g) μ
hfg : f ≤ g
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f ≤ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T g
α : Type u
β : Type v
t : Set β
f : α → β
g : β → α
hfg : Set.RightInvOn g f t
⊢ Set.RightInvOn (Filter.map g) (Filter.map f) (Set.Iic (𝓟 t))
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a / b * c = a * c / b
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝ : DecidableEq η
v : (j : η) → ιs j → Ms j
hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)
hs' : ∀ (j : η), LinearIndependent R fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)
j : η
J : Set η
a✝ : J.Finite
hiJ : j ∉ J
h₀ : ∀ (j : η), span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ LinearMap.range (stdBasis R Ms j)
h₁ : span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ ⨆ i ∈ {j}, LinearMap.range (stdBasis R Ms i)
h₂ : ⨆ j ∈ J, span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ ⨆ j ∈ J, LinearMap.range (stdBasis R (fun j => Ms j) j)
h₃ : Disjoint (fun i => i ∈ {j}) J
⊢ Disjoint (span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i))) (⨆ i ∈ J, span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1)))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.flip.f₂₄ = sq.f₃₄
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation.yoneda X).F = CategoryTheory.Functor.fromPUnit X
⊢ map cexp (comap re atTop) = cobounded ℂ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
f : PartialHomeomorph E F
f₀' : E ≃L[𝕜] F
a : F
ha : a ∈ f.target
hf₀' : HasFDerivAt (↑f) (↑f₀') (↑f.symm a)
hf : ContDiffAt 𝕜 0 (↑f) (↑f.symm a)
⊢ ContDiffAt 𝕜 0 (↑f.symm) a
R : Type u
CommRing R
M N P : Type u
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
Coalgebra R M
Coalgebra R N
Coalgebra R P
⊢ Coalgebra.comul = Coalgebra.comul
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
⊢ (φ - φ').τ₁ = φ.τ₁ - φ'.τ₁
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
i : α
⊢ (fun y => y ^ p.toReal) ‖lp.single p i (f i)‖ = (fun y => y ^ p.toReal) ‖f i‖