ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C
Y : D
S : CategoryTheory.Sieve X
e : C ≌ D
f : Y ⟶ e.functor.obj X
⊢ (CategoryTheory.Sieve.functorPushforward e.functor S).arrows f ↔
  S.arrows (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.inverse.map f) (e.unitInv.app X))
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ (LieAlgebra.ad R L).ker = LieModule.ker R L L
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ Continuous ⇑Multiplicative.ofAdd
X : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
TopologicalSpace X
f : X → α
g : α → β
h : LocallyConstant X β
cond : g ∘ f = ⇑h
inj : Function.Injective g
⊢ ⇑(LocallyConstant.desc f h cond inj) = f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
s : Set α
t : Set β
u : α → β → γ
l₁ : β → γ → α
l₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (⇑OrderDual.toDual ∘ l₁ b) (Function.swap u b ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l₂ a) (u a)
⊢ sInf (Set.image2 u s t) = u (sSup s) (sInf t)
α : Type u_1
Monoid α
a b : α
⊢ multiplicity.Finite a b ↔ ∃ n, ¬a ^ (n + 1) ∣ b
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
hn : ¬G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : ¬x✝ = t
h✝ : ¬y✝ = t
⊢ G.Adj x✝ y✝ ↔ G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α × β → M
hf : (mulSupport f).Finite
h₁ : ∀ (a : α × β), ∏ᶠ (_ : a ∈ hf.toFinset), f a = f a
h₂ : ∏ᶠ (a : α × β), f a = ∏ᶠ (a : α × β) (_ : a ∈ hf.toFinset), f a
⊢ ∏ᶠ (ab : α × β), f ab = ∏ᶠ (a : α) (b : β), f (a, b)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
DiscreteTopology ↑s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ∃ ε > 0, Metric.closedBall x ε ∩ s = {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
⊢ ⇑e.symm = ⇑e.symm
E : ℕ → Type u_1
(n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
⊢ PiNat.firstDiff x y ≤ PiNat.longestPrefix x s
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
CommSemiring R
A : Type u_5
Semiring A
Algebra R A
Γ' : Type u_6
OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
f : Γ →+ Γ'
hfi : Function.Injective ⇑f
hf : ∀ (g g' : Γ), f g ≤ f g' ↔ g ≤ g'
⊢ ∀ (a : HahnSeries Γ A) (b : Γ'),
  ((HahnSeries.embDomainAlgHom f hfi hf) a).coeff b =
    if h : ∃ x, ¬a.coeff x = 0 ∧ f x = b then a.coeff (Classical.choose ⋯) else 0
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
hd : p ∣ a
⊢ Associates.mk p ∈ ↑(factors' a)
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ AddUnits.val ⁻¹' Set.addCenter M ⊆ Set.addCenter (AddUnits M)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasLimits C
inst✝⁴ : HasColimits C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
inst✝¹ : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
X Y : SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
hf : OpenEmbedding ⇑f.base
H : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), IsIso (PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x)
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ IsIso (f.c.app (op (⋯.functor.obj U)))
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ b a : α
s t : Multiset α
h : a ∉ t
⊢ (s + t).erase a = s.erase a + t
G : Type u_7
AddGroup G
self : AddGroupSeminorm G
⊢ self.toFun 0 = 0
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.castSucc ≠ 0
⊢ b ≤ a.castSucc.pred ha ↔ b < a
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
⊢ Subsingleton α ∨ Nontrivial α
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
f' : F
⊢ HasDerivWithinAt f f' s x ↔ HasFDerivWithinAt f (ContinuousLinearMap.smulRight 1 f') s x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4190, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.ShortExact
⊢ Mono S.op.f
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x * x_1) o ↔ o ≤ 2 ∨ ∃ a, o = Ordinal.omega ^ Ordinal.omega ^ a
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommRing R'
R'' : Type u_3
CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
f : R' →+* R''
⊢ (χ.ringHomComp f).IsQuadratic
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
⊢ ⇑ContinuousMap.snd = Prod.snd
G : Type u_1
X : Type u_2
SMul G X
B : Set X
⊢ MulAction.IsBlock G B ↔ ∀ (g g' : G), g • B = g' • B ∨ Disjoint (g • B) (g' • B)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
h : G ≤ G'
U : Cᵒᵖ
x : G.toPresheaf.obj U
⊢ ↑((CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf.homOfLe h).app U x) = ↑x
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∉ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
ht : t ≠ 1
⊢ x ∈ s
x y : Bool
⊢ (!(x || y)) = (!x && !y)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f 0
hg : Memℓp g 0
⊢ Memℓp (f + g) 0
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝¹ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
r : R
x : M
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
⊢ r • x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f : α → M
⊢ s.indicator f = 0 ↔ Disjoint (Function.support f) s
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
eif : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a
uif : ∀ (f g : Multiset α), (∀ x ∈ f, Irreducible x) → (∀ x ∈ g, Irreducible x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g
p : α
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
hpi : Irreducible p
a b : α
x✝ : p ∣ a * b
x : α
hx : a * b = p * x
hab0 : ¬a * b = 0
hx0 : x ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
⊢ p ∣ a ∨ p ∣ b
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s t : Set V
hs : LinearIndependent K fun (x : ↑s) => ↑x
hst : s ⊆ t
⊢ hs.extend hst ⊆ t
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : Type w'
f : J → C
c : CategoryTheory.Limits.Bicone f
g : K ≃ J
⊢ (c.whisker g).pt = c.pt
θ : Angle
h : ↑π = ↑(2 • (π / 2))
⊢ 2 • θ = ↑(2 • (π / 2)) ↔ θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(-π / 2)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
⊢ g.toLinearMap ∘ₗ ι R = f ↔ g = (lift R) f
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
⊢ (∃ s, IsClosed s ∧ x ∈ s ∧ y ∉ s) ↔ ∃ S, IsClosed S ∧ x ∈ S ∧ y ∉ S
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
a : α
⊢ (List.map f l).getLastD (f a) = f (l.getLastD a)
F : Type u_1
R : outParam (Type u_2)
A : outParam (Type u_3)
B : outParam (Type u_4)
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
FunLike F A B
self : CoalgHomClass F R A B
f : F
⊢ Coalgebra.counit ∘ₗ ↑f = Coalgebra.counit
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Inducing f
⊢ {s | IsOpen s} = Set.preimage f '' {t | IsOpen t}
α : Type u_3
β : α → Type u_1
γ : (a : α) → β a → Type u_2
f : (x : (i : α) × β i) → γ x.fst x.snd
⊢ (Equiv.piCurry γ) f = Sigma.curry f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝 a, x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
⊢ f.prod (g₁ ⊔ g₂) = f.prod g₁ ⊔ f.prod g₂
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
⊢ Function.Surjective ⇑(f.lift hg) ↔ ∀ (v : P), ∃ x, v * g ↑x.2 = g x.1
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Opens X
⊢ IsCoatom (idealOfSet 𝕜 ↑s) ↔ IsCoatom s
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
GroupWithZero G₀
Zero α
MulActionWithZero G₀ α
MeasurableSpace G₀
MeasurableSpace α
MeasurableSMul G₀ α
MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : G₀
⊢ MeasurableSet (a • s)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
u : ℝ
⊢ ↑u * -↑s.im = ↑(u * (s.im / (2 * π)) * (-2 * π))
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
⊢ countP p l ≤ l.length
α : Type u_1
a : α
⊢ Topology.WithUpper.ofUpper (Topology.WithUpper.toUpper a) = a
α : Type u_1
s✝¹ t✝¹ : Finset α
n✝ : ?m.33453
s✝ t✝ : Finset α
β : Type u_2
f : α ↪ β
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ t ⊆ map f s ∧ t.card = n ↔ ∃ a, (a ⊆ s ∧ a.card = n) ∧ (mapEmbedding f).toEmbedding a = t
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
s : Set α
hs : s ∈ memPartition t n
⊢ MeasurableSet s
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ ∀ (a : Aᵐᵒᵖ ≃ₐ[R] B) (a_1 : Bᵐᵒᵖ),
  (AlgEquiv.opComm.symm a).symm a_1 =
    MulOpposite.unop ((↑↑(AlgEquiv.refl.trans (a.trans (AlgEquiv.opOp R B)))).symm (MulOpposite.op a_1))
α : Type u_3
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_5
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (β a)
(a : α) → (b : β a) → Zero (γ a b)
i : (a : α) × β a
x : γ i.fst i.snd
⊢ Sigma.curry (Pi.single i x) = Pi.single i.fst (Pi.single i.snd x)
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
f : α → m β
arr : Array α
⊢ Array.mapM f arr = do
  let __do_lift ← List.mapM f arr.data
  pure { data := __do_lift }
β : Type u_2
OrderedRing β
t : β
⊢ t ∈ Set.Ioo 0 1 ↔ 1 - t ∈ Set.Ioo 0 1
ctx : Nat.Linear.Context
p q : Nat.Linear.Poly
⊢ Nat.Linear.Poly.denote ctx (List.reverseAux p q) = Nat.Linear.Poly.denote ctx (p ++ q)
α : Type u_4
β : Type u_5
e : α ≃ β
⊢ TopologicalSpace.induced ⇑e.symm = TopologicalSpace.coinduced ⇑e
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ κ.comap (fun a => a) ⋯ = κ
α : Type
ds : List ℕ
Ring α
β : Type u_1
n : ℕ
s : Finset β
f : β → Holor α ds
⊢ (∀ x ∈ s, Holor.CPRankMax n (f x)) → Holor.CPRankMax (s.card * n) (∑ x ∈ s, f x)
A : Type u_1
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsDomain A
IsIntegrallyClosed A
IsDomain B
IsIntegrallyClosed B
Module.Finite A B
NoZeroSMulDivisors A B
Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
⊢ (Algebra.intNorm A B) x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.FullyFaithful
X Y : C
f : F.obj X ⟶ F.obj Y
⊢ F.map (self.preimage f) = f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : lift.{v, u} #ι < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord
a : Ordinal.{max u v}
hω : ℵ₀ < c.ord.cof
⊢ a < c.ord → derivFamily f a < c.ord
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
i j : J
f g : i ⟶ j
⊢ F.map f = F.map g
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : { p // p ∣ I }
this : J ≤ comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X))
⊢ comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)) ∣ J
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
TopologicalSpace HB
ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
h :
  ∀ p ∈ e.source,
    ∃ s,
      IsOpen s ∧
        p ∈ s ∧
          ∃ φ u,
            ∃ (hu : IsOpen u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ :
              SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u),
              (e.restr s).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
⊢ ∃ U,
  e.source = U ×ˢ Set.univ ∧
    ∀ x ∈ U,
      ∃ φ u,
        ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ :
          SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u),
          (e.restr (u ×ˢ Set.univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
CommRing S
CommRing T
Algebra R S
Algebra R T
Algebra.EssFiniteType R S
f g : S →ₐ[R] T
H : ∀ s ∈ Algebra.EssFiniteType.finset R S, f s = g s
⊢ f = g
α : Type u_2
CompleteLinearOrder α
s : Set α
x : α
hs : IsGLB s x
hx : ¬Order.IsPredLimit x
⊢ x ∈ s
a b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
b : ℕ
hb2 : b + 2 > 1
⊢ (0 + 1) / (b + 2) = 0 / (b + 2) + if b + 2 ∣ 0 + 1 then 1 else 0
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Set.range Subtype.val = s
M : Type u_2
Monoid M
g : ConjAct Mˣ
h : M
⊢ g • h = ↑(ConjAct.ofConjAct g) * h * ↑(ConjAct.ofConjAct g)⁻¹
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
AddGroup α
OrderedAddCommMonoid β
AddGroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α
⊢ f x ≤ f y + f (y - x)
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a₁ a₂ : E
r₁ r₂ : ℝ
h₁ : ‖a₁‖ ≤ r₁
h₂ : ‖a₂‖ ≤ r₂
⊢ ‖a₁ * a₂‖ ≤ r₁ + r₂
K : Type u_1
Field K
NumberField K
h :
  ↑|NumberField.discr K| <
    (2 * (Real.pi / 4) ^ NumberField.InfinitePlace.NrComplexPlaces K *
        (↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K) ^ FiniteDimensional.finrank ℚ K /
          ↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K).factorial)) ^
      2
⊢ IsPrincipalIdealRing (NumberField.RingOfIntegers K)
α : Type u_6
f : Filter α
R : Type u_7
Preorder R
Add R
CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass R R (fun a b => b + a) fun x x_1 => x ≤ x_1
u v : α → R
u_bdd_ge : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u
v_bdd_ge : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f v
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f (u + v)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
b : α
hba : b ≤ a
hb_nhds : Icc b a ∈ 𝓝[≤] a
hbs : Icc b a ⊆ s
c : α
hac : a ≤ c
hc_nhds : Icc a c ∈ 𝓝[≥] a
hcs : Icc a c ⊆ s
⊢ Icc b c ∈ 𝓝 a ∧ Icc b c ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
⊢ MeasurableSet s
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
entries✝ : Multiset (Sigma β)
l : List (Sigma β)
hl : Multiset.NodupKeys (Quot.mk Setoid.r l)
⊢ b ∈ lookup a { entries := Quot.mk Setoid.r l, nodupKeys := hl } ↔ ⟨a, b⟩ ∈ { entries := Quot.mk Setoid.r l, nodupKeys := hl }.entries
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ s ×ˢ insert b t ↔ (x, y) ∈ (fun a => (a, b)) '' s ∪ s ×ˢ t
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
c : Cardinal.{v'}
f : V →ₗ[K] V'
g : ↥(range f) →ₗ[K] V
hg : f.rangeRestrict ∘ₗ g = id
⊢ c ≤ f.rank ↔ ∃ s, lift.{v', v} #↑s = lift.{v, v'} c ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑s) => f ↑x
R : Type u
a b : R
Semiring R
⊢ Polynomial.C a = Polynomial.C b ↔ a = b
α : Type u
Monoid α
a b : α
u : αˣ
⊢ a * b /ₚ u = a * (b /ₚ u)
x : ℂ
y : ℝ
⊢ x ^ ↑y = ↑(Complex.abs x ^ y) * (↑(Real.cos (x.arg * y)) + ↑(Real.sin (x.arg * y)) * Complex.I)
n : ℕ
f : Vector ℕ n →. ℕ
hf : Partrec' f
v : Vector ℕ n.succ
⊢ f (ofFn fun i => v.get i.succ) = f v.tail
M : Type u_3
Monoid M
s t : Set M
S : Submonoid M
hs : s ⊆ ↑S
ht : t ⊆ ↑S
⊢ s * t ⊆ ↑S
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ (whiskerRight (𝟙 M) N).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ (𝟙 (M.tensorBimod N)).hom
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u4
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ (ExteriorAlgebra.map f).toLinearMap ∘ₗ ExteriorAlgebra.ι R = ExteriorAlgebra.ι R ∘ₗ f
s : ℝ
hs : 0 < s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ Complex.exp (-↑x) * ↑x ^ (↑s - 1) = Complex.exp (-↑x) * ↑x ^ ↑(s - 1)
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : X'
y : ↑(Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f))
⊢ fromCoset ⟨1 • ↑y, ⋯⟩ = fromCoset y
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
(i : ι) → (x : M i) → Decidable (x ≠ 0)
c : R
v : DirectSum ι fun i => M i
⊢ DFinsupp.support (c • v) ⊆ DFinsupp.support v
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' insert x s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hf : MeromorphicOn f U
hg : MeromorphicOn g U
⊢ MeromorphicOn (f + g) U
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b✝ : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → M
g : α → β
b : β
h : b ∈ mulSupport fun b => (filter (fun a => g a = b) s).prod f
⊢ b ∈ g '' ↑s
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
IsEmpty ι
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Measure.sum μ = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f g : LatticeHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
LieAlgebra.IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α : LieModule.Weight K (↥H) L
⊢ LieModule.Weight.toLinear K (↥H) L (-α) = -LieModule.Weight.toLinear K (↥H) L α
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥M
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.total κ (↥M) R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι (↥N) R n)
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] ↥M ⊗[R] (ι →₀ R) := LinearMap.rTensor (ι →₀ R) (Finsupp.total κ (↥M) R m)
i2 : ↥M ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] ↥M ⊗[R] ↥N := LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.total ι (↥N) R n)
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ i2 ∘ₗ i1 ∘ₗ ↑i0
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x y : α
⊢ dist ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y) ≤ 2
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
⊢ (x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
h : Continuous f
⊢ ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := h } = f
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Set M
h : S.Finite
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement (Submodule.span R S)
α : Type u
β : Type v
LE α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
f : α → β
r : β → β → Prop
H : ∀ ⦃i j : α⦄, i ≤ j → r (f i) (f j)
⊢ Directed r f
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ ‖log (1 + -z) - logTaylor (n + 1) (-z)‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : (algebraMap R S) M ≠ 0
b : S
b_mem : b ∈ ↑I
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min : ∀ c ∈ ↑I, abv ((Algebra.norm R) c) < abv ((Algebra.norm R) b) → c = 0
r' : S
hr' : r' ∈ Ideal.span {(algebraMap R S) M}
a : S
ha : a ∈ ↑I
⊢ r' * a ∈ Ideal.span {b}
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), x + z < f x
x : ℝ
hx : ∀ y ∈ Icc 0 1, f x - x ≤ f y - y
⊢ f x - x ≤ τ f
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f f' : α → E
s : Set α
h : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → edist (f x) (f' x) = 0
⊢ eVariationOn f s = eVariationOn f' s
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x y : β
⊢ CauSeq.const abv x ≈ CauSeq.const abv y ↔ x = y
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
h : 0 < p.degree
⊢ ⊥ < 0
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
k : α
n : ℕ
x a a' : α
h : k + a = a'
⊢ k + term n x a = term n x a'
α : Type u_2
DecidableEq α
MulOneClass α
⊢ ⇑Finset.coeMonoidHom = CoeTC.coe
α : Type u_1
b : Bool
t e : α
⊢ (bif b then t else e) = if b = true then t else e