ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
⊢ HasFDerivWithinAt f f' (s \ {y}) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a✝ : α
d : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ d n
hd : Summable d
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n m : ℕ
hnm : m ≥ n
⊢ ∑ i ∈ Ico n m, d i ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)
R : Type u_1
CommRing R
IsArtinianRing R
⊢ {I | I.IsPrime}.Finite
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
p₁ : Submodule R M
p₂ : Submodule R M₂
⊢ p₁.prod p₂ = ⊥ ↔ p₁ = ⊥ ∧ p₂ = ⊥
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
f : (x : 𝒰.J) → (𝒰.obj x).OpenCover
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ Set.range ⇑((fun x => (f x.fst).map x.snd ≫ 𝒰.map x.fst) ((fun x => ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose ⋯)⟩) x)).val.base
R : Type u
CommRing R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u
AddCommGroup N
Module R N
ι : Type u
Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Submodule.span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
⊢ TensorProduct.VanishesTrivially R m n
α : Type u_1
CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k < n + 1), u k = u 0 ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k < n), u (k + 1)
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddGroup β
f : α → β
hf : IsAddGroupHom f
⊢ IsGroupHom f
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PosMulStrictMono α
a0 : 0 < a
⊢ ∃ b, b * b ≤ a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
W X X' Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y
⊢ f ≫ g ≫ e.unit.app Y = f' ≫ g' ≫ e.unit.app Y ↔ f ≫ g = f' ≫ g'
α : Type u_2
Fintype α
s t : Finset α
DecidableEq α
h : s ⊆ t
⊢ (t \ s).dens = t.dens - s.dens
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
StarAddMonoid F
NormedSpace 𝕜 F
StarModule 𝕜 F
ContinuousStar F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => star (f x)) ((↑(starL' 𝕜)).comp f') s x
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ Polynomial.map f ↑n = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
p : Set β → Prop
⊢ (∃ t ⊆ f '' s, p t) ↔ ∃ t ⊆ s, p (f '' t)
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
x : ↑X.toTopCat
⊢ x ∈ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
p q : α × β
⊢ p.swap = q.swap ↔ p = q
G : Type u_1
Group G
s t : Set G
h : s ⊆ t
⊢ Group.closure s ⊆ Group.closure t
α : Type u_1
u : Unit
⊢ Filter.Realizer.bot.F.f u = ∅
p : ℝ × ℝ
⊢ ↑polarCoord.symm p = (p.1 * Real.cos p.2, p.1 * Real.sin p.2)
α : Type u
β : Type v
fs : Stream' (α → β)
a : α
⊢ fs ⊛ Stream'.pure a = (Stream'.pure fun f => f a) ⊛ fs
α : Type u_1
Fintype α
Unique α
⊢ Finset.univ = {default}
n : ℕ
f : ∀ x ∈ range n, ¬n + 1 - x = 1
x : ℕ
hx : x ∈ range n
g : (if n + 1 - x = 1 then 1 else 0) = 0
⊢ (if n + 1 - x = 1 then 1 else 0) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f g : (ℕ → ℕ) → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : Disjoint (range f) (range g)
hfg : ¬MeasurablySeparable (range f) (range g)
I : ∀ (n : ℕ) (x y : ℕ → ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n) → ∃ x' y', x' ∈ cylinder x n ∧ y' ∈ cylinder y n ∧ ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x' (n + 1)) (g '' cylinder y' (n + 1))
A : Type := { p // ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder p.2.1 p.1) (g '' cylinder p.2.2 p.1) }
F : A → A
hFn : ∀ (p : A), (↑(F p)).1 = (↑p).1 + 1
hFx : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.1 ∈ cylinder (↑p).2.1 (↑p).1
hFy : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.2 ∈ cylinder (↑p).2.2 (↑p).1
p0 : A := ⟨(0, fun x => 0, fun x => 0), ⋯⟩
p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0
prec : ∀ (n : ℕ), p (n + 1) = F (p n)
pn_fst : ∀ (n : ℕ), (↑(p n)).1 = n
Ix : ∀ (m n : ℕ), m + 1 ≤ n → (↑(p n)).2.1 m = (↑(p (m + 1))).2.1 m
Iy : ∀ (m n : ℕ), m + 1 ≤ n → (↑(p n)).2.2 m = (↑(p (m + 1))).2.2 m
x : ℕ → ℕ := fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n
hx : x = fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n
y : ℕ → ℕ := fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n
hy : y = fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n
M : ∀ (n : ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n)
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x x' : (CategoryTheory.forget C).obj X
h : x = x'
⊢ f x = f x'
a b c d : Ordinal.{u}
h₁✝ : a ≤ b
h₂✝ : 0 ≤ c
h₁ : a < b
h₂ : 0 < c
⊢ c ⨳ a ≤ c ⨳ b
α : Type u_1
s✝ t✝ u s t : Set α
h : s ⊆ t
h_surj : Surjective (inclusion h)
x : α
hx : x ∈ t
y : ↑s
hy : inclusion h y = ⟨x, hx⟩
⊢ x ∈ s
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
DecidableEq n
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
z : ℤ
⊢ (M ^ z).PosSemidef
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
j : (mk xl xr xL xR).RightMoves
⊢ (xR j).Subsequent (mk xl xr xL xR)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ Disjoint (Ioc a b ∪ Ioc b c) (Ioc c a)
α : Type u_1
LT α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ ¬Acc (fun x x_1 => x > x_1) a
M : Type u_7
α : Sort u_8
AddCommMonoid M
f : α → M
⊢ finsum f = if h : (Function.support (f ∘ PLift.down)).Finite then ∑ i ∈ h.toFinset, f i.down else 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
hZ : CategoryTheory.Limits.IsInitial Z
G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.WithInitial C) D
h : CategoryTheory.WithInitial.incl.comp G ≅ F
hG : G.obj CategoryTheory.WithInitial.star ≅ Z
X : CategoryTheory.WithInitial C
⊢ (CategoryTheory.WithInitial.liftToInitialUnique F hZ G h hG).hom.app X =
  (match X with
    | CategoryTheory.WithInitial.of x => h.app x
    | CategoryTheory.WithInitial.star => hG).hom
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 0).HasBasis p U
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | x.2 - x.1 ∈ U i}
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : 1 / ε < ↑n
⊢ ∃ n, 1 / (↑n + 1) < ε
z : ℂ
⊢ Complex.abs z ^ 2 - z.re ^ 2 = z.im ^ 2
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ✝ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ : swap i j • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ
⊢ (Perm.sign σ • (↑a fun i => v (σ (Sum.inl i))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i => v (σ (Sum.inr i))) = 0
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
H.IsCartanSubalgebra
IsNoetherian R L
⊢ LieAlgebra.zeroRootSubalgebra R L H = H
x : ℂ
⊢ Complex.sin (↑Real.pi / 2 - x) = Complex.cos x
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this : ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card
⊢ 2 * ↑(G.edgeDensity U V) * (ε ^ 5 / 50) - (ε ^ 5 / 50) ^ 2 ≤ ε ^ 5 / 25
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
x_r : R
x_a : A
y_r : R
y_a : A
⊢ (algebraMap R C) x_r * (algebraMap R C) y_r + (x_r • φ y_a + y_r • φ x_a + φ x_a * φ y_a) = (algebraMap R C) x_r * (algebraMap R C) y_r + (algebraMap R C) x_r * φ y_a + (φ x_a * (algebraMap R C) y_r + φ x_a * φ y_a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)
(x : M) → AddCommGroup (V x)
(x : M) → Module 𝕜 (V x)
(x : M) → TopologicalSpace (V x)
FiberBundle F V
VectorBundle 𝕜 F V
s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ⇑(s + t) = ⇑s + ⇑t
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
⊢ image (fun x => c + x) (Icc a b) = Icc (c + a) (c + b)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
DecidableEq α
DecidableEq N
Zero M
DecidableEq P
Zero P
Zero N
F : M → N → P
F0 : F 0 0 = 0
f : α →₀ M
g₁ g₂ : α →₀ N
hF : ∀ (f : M), Function.Injective fun g => F f g
⊢ (Finsupp.zipWith F F0 f g₁).neLocus (Finsupp.zipWith F F0 f g₂) = g₁.neLocus g₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
s : Set X
H : StableUnderSpecialization s
⊢ ∀ s_1 ∈ (fun x => closure {x}) '' s, IsClosed s_1
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ (map f s).WSameSide (f x) (f y) ↔ s.WSameSide x y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
f : P ⟶ Q
self : CategoryTheory.StrongMono f
X Y : C
z : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi z
⊢ CategoryTheory.HasLiftingProperty z f
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure β
s : Set β
⊢ (Measure.comap f μ) (f ⁻¹' s) = μ (s ∩ range f)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ 0 < ↑n + 1
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : LocalPredicate T
x : ↑X
w : ∀ (U V : OpenNhds x) (fU : (y : ↥U.obj) → T ↑y), P.pred fU → ∀ (fV : (y : ↥V.obj) → T ↑y), P.pred fV → fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩ → ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w)
tU tV : (subsheafToTypes P).presheaf.stalk x
h : stalkToFiber P x tU = stalkToFiber P x tV
⊢ ∃ W s, ∃ (hW : P.pred s), tU = (subsheafToTypes P).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩ ∧ tV = (subsheafToTypes P).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩
h : Tendsto (fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
this : Tendsto ((fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) / Gammaℝ) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
⊢ Tendsto (fun s => 1 / (s - 1) - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι
f✝ g : α → β
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
inst✝ : One β
f : α → β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
⊢ StronglyMeasurable f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ eLpNorm (fun x => κ.density ν a x s) 1 (ν a) < ⊤
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι✝ I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun f => tsupport ↑f ⊆ U x) fun f => support ↑f
ι : Type uM
c : ι → M
f : (a : ι) → SmoothBumpFunction I (c a)
hf : ∀ (a : ι), c a ∈ s ∧ tsupport ↑(f a) ⊆ U (c a)
hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)
hfin : LocallyFinite fun a => support ↑(f a)
⊢ ∃ ι f, f.IsSubordinate U
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ
hF_norm : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), ‖F f‖ ≤ ‖f‖ / 3
hF_dist : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), dist ((F f).compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
g : ℕ → Y →ᵇ ℝ := fun n => (fun g => g + F (f - g.compContinuous e))^[n] 0
g0 : g 0 = 0
g_succ : ∀ (n : ℕ), g (n + 1) = g n + F (f - (g n).compContinuous e)
hgf : ∀ (n : ℕ), dist ((g n).compContinuous e) f ≤ (2 / 3) ^ n * ‖f‖
hg_dist : ∀ (n : ℕ), dist (g n) (g (n + 1)) ≤ 1 / 3 * ‖f‖ * (2 / 3) ^ n
hg_cau : CauchySeq g
this : Tendsto (fun n => (g n).compContinuous e) atTop (𝓝 ((limUnder atTop g).compContinuous e))
hge : (limUnder atTop g).compContinuous e = f
⊢ ‖limUnder atTop g‖ ≤ ‖f‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
U : Set X
hU_nhds : U ∈ 𝓝 x
hU_inter : U ∩ s = {x}
t : Set X
ht_sub : t ⊆ U
ht_open : IsOpen t
ht_x : x ∈ t
⊢ t ∩ s ⊆ {x}
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
g : Set (Set α)
s : Set α
hreg : c.IsRegular
S : Set (Set α)
Sg : S ⊆ g
Sct : #↑S < c
hS : ⋂₀ S ⊆ s
⊢ s ∈ cardinalGenerate g ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.Mono f
Z : C
g h : Z ⟶ X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h f → g = h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0
⊢ I / J * J ≤ I * J⁻¹ * J
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
α : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsEmpty α
β : α → Type u_5
m : (α : α) → MeasurableSpace (β α)
μ : (a : α) → Measure (β a)
⊢ (Measure.pi μ) univ = 1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
Ring k
AddCommGroup V1
AffineSpace V1 P1
Module k V1
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
(i : ι) → AddCommGroup (φv i)
(i : ι) → Module k (φv i)
⊢ (AffineMap.pi fun x => 0) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.SurjOn f s t
ht : t.Nonempty
⊢ s.Nonempty
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s : Finset α
a b : α
h₁ : s ≠ s
h₂ : ¬G.IsUniform ε s s
⊢ ε ≤ ↑|G.edgeDensity (if WellOrderingRel s s then (G.nonuniformWitnesses ε s s).1 else (G.nonuniformWitnesses ε s s).2) (if WellOrderingRel s s then (G.nonuniformWitnesses ε s s).1 else (G.nonuniformWitnesses ε s s).2) - G.edgeDensity s s|
α : Type u_1
⊢ Measurable fun x => xᶜ
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
⊢ cyclesMap φ ≫ h₂.cyclesIso.hom = h₁.cyclesIso.hom ≫ γ.φK
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
x : α
E : Set α
hx : x ∈ E
δ : ℝ
⊢ Metric.closedBall x δ ⊆ Metric.cthickening δ E
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair C
zero : F.obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero ≅ G.obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero
one : F.obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one ≅ G.obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one
left :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.left) one.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp zero.hom (G.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.left)
right :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.right) one.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp zero.hom (G.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.right)
X : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ (CategoryTheory.Limits.parallelPair.ext zero one left right).hom.app X =
  (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.rec zero one X).hom
α : Type u_2
Preorder α
s : Set α
h : s.IsPWO
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
⊢ ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Function.Injective Function.graph
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
⊢ blimsup (fun i => cthickening (r₁ i) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r₂ i) (s i)) atTop p
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens
e₁ : Hom.app ((X.restrictFunctor.map i).left ≫ V.ι) (V.ι ''ᵁ W) = Hom.app U.ι (V.ι ''ᵁ W) ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
this : V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W = W
e₂ : (X.restrictFunctor.obj V).left.presheaf.map (eqToIso this).hom.op ≫ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left (V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W) = Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map ((Opens.map (X.restrictFunctor.map i).left.val.base).map (eqToIso this).hom.op.unop).op
⊢ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
a b : Int
h : a < b
⊢ a - b < 0
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
v : E
hv : v ∈ (⨆ μ, Module.End.eigenspace T μ)ᗮ
⊢ T v ∈ (⨆ μ, Module.End.eigenspace T μ)ᗮ
a b : Int
⊢ -(a + b) = -a + -b
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Sub α
s : Set α
t : ι → Set α
⊢ s - ⋂ i, t i ⊆ ⋂ i, s - t i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U✝ : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
h : μ.InnerRegular
U : Set α
hU : IsOpen U
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ U
⊢ ∃ K ⊆ U, IsClosed K ∧ r < μ K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (T : C),
  (CategoryTheory.Limits.prod.functor.map f).app T = CategoryTheory.Limits.prod.map f (𝟙 T)
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
Fintype ↥S
h : Fintype.card ↥S = 1
⊢ S = ⊥
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ (C 1).degree ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
f g h : α → β
h₁ : f =ᵐ[μ] g
h₂ : g =ᵐ[μ] h
⊢ f =ᵐ[μ] h
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
self : F.Representable
⊢ ∃ X, Nonempty (CategoryTheory.yoneda.obj X ≅ F)
p : ℕ → Prop
⊢ (∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, p n) ↔ {n | p n}.Infinite
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
CommSemiring S
f : R →+* S
⊢ ((MvPolynomial.map f) p).vars ⊆ p.vars
n d k : ℕ
x : Fin n → ℕ
hx : x ∈ Behrend.sphere n d k
⊢ ‖(WithLp.equiv 2 (Fin n → ℝ)).symm (Nat.cast ∘ x)‖ = √↑k
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a c d : α
⊢ -a ∈ Set.Ico c d ↔ a ∈ Set.Ioc (-d) (-c)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
c : γ
⊢ c ∈ Set.image2 f s t ↔ ∃ a, a ∈ s ∧ ∃ b, b ∈ t ∧ f a b = c
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace 𝕜 P
Nonempty ↥s
⊢ ⇑s.subtypeₐᵢ = ⇑s.subtype
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R✝ : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : Integrable g μ
hgmeas : StronglyMeasurable g
hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0
hunif : UniformIntegrable (fun n => μ[g|↑ℱ n]) 1 μ
R : ℝ≥0
hR : ∀ (i : ℕ), eLpNorm ((fun n => μ[g|↑ℱ n]) i) 1 μ ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 (g x))
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g : widePushout B objs arrows ⟶ X
⊢ head arrows ≫ g = head arrows ≫ g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
⊢ ∀ (x : { x // x ∈ s }), x ∈ {x | (f.subtypePerm ⋯) x ≠ x}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq0_lt : 0 < q
hfq : eLpNorm' f q μ < ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ < ⊤
n k s : ℕ
hkn : k ≤ n
hsk : s ≤ k
h : 0 < (n - k)! * (k - s)! * s !
⊢ n.choose k * k.choose s * ((n - k)! * (k - s)! * s !) = n.choose k * (k.choose s * s ! * (k - s)!) * (n - k)!
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
⊢ (CategoryTheory.BasedNatTrans.forgetful 𝒳 𝒴).obj F = F.toFunctor
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : (i : ↑↑s) → β ↑i
n : ι
hn : n ∈ s
⊢ ((mk β s) f) n = f ⟨n, hn⟩
⊢ alexDiscEquivPreord.functor = CategoryTheory.forget₂ AlexDisc TopCat ⋙ topToPreord
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
⊢ Function.Injective CoalgEquiv.toCoalgHom
R : Type u_1
CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ Multiset.card s
⊢ (Multiset.map (fun r => Polynomial.X + Polynomial.C r) s).prod.coeff k = s.esymm (Multiset.card s - k)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T1Space β
inst✝¹ : SecondCountableTopology β
inst✝ : Nonempty β
f : α → β
m : OuterMeasure β := (OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure
h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0
inhabited_h : Inhabited β
this : m univ ≠ 0
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (∀ s ∈ 𝓝 a, 0 < μ (f ⁻¹' s)) ∧ ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < μ (f ⁻¹' t)
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
SeminormedRing 𝕜
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
AddCommGroup E
AddCommGroup E₂
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
⊢ (Seminorm.pullback f) p = p.comp f