ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x
B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x)
E : EqOn f g s
⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
r : P
hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = r
⊢ sx₁.circumcenter = sx₂.circumcenter
X : Scheme
inst✝¹ : IsIntegral X
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
inst✝ : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this✝ : IsAffine ↑U
this : IsIntegral ↑U
⊢ IsFractionRing ↑Γ(X, U) ↑X.functionField
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
⊢ y ∈ f '' closedBall b ε
α : Type u_1
Primcodable α
DecidableEq α
l : List α
⊢ Primrec fun a => List.indexOf a l
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
⊢ ⨆ r, ⨆ (_ : 0 < r), ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : 0 < i), ⨅ i_1, ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (i_1 i) ^ d
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : LinearOrder N
f : M → N
h0 : f 0 ≤ 0
hadd : ∀ (x y : M), f (x + y) ≤ max (f x) (f y)
hd : M
tl : List M
IH : f tl.sum ≤ foldr (fun x y => max (f x) y) 0 tl
⊢ f (hd + tl.sum) ≤ max (f hd) (foldr (fun x y => max (f x) y) 0 tl)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)
i : ι
this✝ : NormedSpace 𝕜 ↥(lp (fun _i => 𝕜) 2) := inferInstance
this : lp.single 2 i (↑f i) = ↑f i • lp.single 2 i 1
⊢ b.repr (↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) = b.repr (b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) i))
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
⊢ FreeMonoid.toList (foldMap FreeMonoid.of xs) = FreeMonoid.toList (List.reverse (foldMap FreeMonoid.of xs)).reverse
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
n : ℕ
⊢ (a + b) ^ (n + 2) ≤ 2 ^ (n + 2 - 1) * (a ^ (n + 2) + b ^ (n + 2))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : μ.OuterRegular
H : μ.InnerRegularWRT p IsOpen
hd : ∀ ⦃s U : Set α⦄, p s → IsOpen U → p (s \ U)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
h0 : p ∅
⊢ ∃ K ⊆ s, p K ∧ r < μ K
I : Type u_1
J : Type u_2
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
X : CategoryTheory.GradedObject I C
p : I → J
X.HasMap p
A : C
j : J
f g : X.mapObj p j ⟶ A
hfg :
  ∀ (i : I) (hij : p i = j),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.ιMapObj p i j hij) f =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.ιMapObj p i j hij) g
⊢ f = g
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
h : s = t
⊢ MeasurableSet t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)
this : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f
x : ℕ → { i // p i } := fun n => Nat.recOn n (hs.index (x' 0) ⋯) fun n xn => hs.index (x' (n + 1) ∩ s ↑xn) ⋯
x_anti : Antitone fun i => s ↑(x i)
x_subset : ∀ (i : ℕ), s ↑(x i) ⊆ x' i
⊢ f.HasAntitoneBasis fun i => s ((fun i => ↑(x i)) i)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : 1 ≤ a
hb : b < 1
⊢ mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
h_sup : sSup s = ⊥
hne : s.Nonempty
⊢ s = {⊥}
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c✝ u : αˣ
a c : α
h : a = ↑b⁻¹ * c
⊢ ↑b * a = c
f : ℕ → ℝ≥0
c : ℝ≥0
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
⊢ ∑' (n : ℕ), f n ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
s : Set β
x : β
⊢ IsLUB (⇑f ⁻¹' s) (f.symm x) ↔ IsLUB s x
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ StrictMonoOn (Real.logb b) (Set.Ioi 0)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
X : C
⊢ (CategoryTheory.Sum.inl_ C D).obj X = Sum.inl X
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
Xs : ι → Set α
⊢ M.closure (⋃ i, M.closure (Xs i)) = M.closure (⋃ i, Xs i)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
⊢ p.primPart ∣ p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ f (a • x' + b • y') ≤ a • f x' + b • f y'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
s : Set α
a : α
t : Set α
⊢ t ∈ 𝒫 insert a s ↔ t ∈ 𝒫 s ∪ insert a '' 𝒫 s
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ interior Set.univ = Set.univ
α : Type u
self : Subarray α
⊢ self.start ≤ self.stop
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
V : X.Opens
x : ↥V
h : ↑x ∈ U
this✝ : IsAffine ↑U
r : ↑Γ(↑U, ⊤)
h₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((↑U).basicOpen r)
h₂ : ↑((↑U).basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map (Opens.inclusion U)).obj V)
this : U.ι ''ᵁ (↑U).basicOpen r = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)
⊢ ∃ f, X.basicOpen f ≤ V ∧ ↑x ∈ X.basicOpen f
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ n)
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
c : Con M
f : M → N
H : ∀ (x y : M), f (x * y) = f x * f y
h : Con.mulKer f H ≤ c
hf : Function.Surjective f
⊢ c.mapGen f = c.mapOfSurjective f H h hf
α : Type u_3
Inf α
⊢ InfHom.dual (InfHom.id α) = SupHom.id αᵒᵈ
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
⊢ a⁻¹ < b ↔ 1 < b * a
α : Type u_2
LE α
a : α
⊢ (OrderIso.dualDual α) a = OrderDual.toDual (OrderDual.toDual a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mul α
x y : WithZero α
hxy : x * y ≠ 0
⊢ unzero hxy = unzero ⋯ * unzero ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
Primcodable σ
f : β → γ → σ
g : α → β
h : α → γ
hf : Primrec₂ f
hg : Primrec g
hh : Primrec h
⊢ Primrec fun a => f (g a) (h a)
⊢ 1 / 2 / (√3 / 2) = 1 / √3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
f : β → α
b : β
hf : ∀ (b' : β), b' ≠ b → f b' = 1
⊢ ∀ b_1 ∉ {b}, f b_1 = 1
R : Type u_1
CommSemiring R
p q : Polynomial R
r : R
hr : IsUnit r
h : IsCoprime p q
⊢ IsCoprime (p.scaleRoots r) (q.scaleRoots r)
α : Type u_1
PartialOrder α
BoundedOrder α
a b : α
h : Codisjoint a b
hb : b ≠ ⊤
⊢ a ≠ ⊥
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
c : α → β
h : ∀ (a b : α), c a = c b
this : (fun x => (c x.1, c x.2)) ⁻¹' idRel = univ
⊢ 𝓤 α ≤ comap (fun x => (c x.1, c x.2)) (𝓟 idRel)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
ι : Type u_1
Finite ι
a' x' : ι → α
Nonempty ι
ha : ∀ (i : ι), a' i < x' i
⊢ Set.Ioi a' ∈ 𝓝 x'
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : ℚ
x y : E
this : ↑r.den ≠ 0
⊢ inner_ 𝕜 ((↑r.den * (↑r.num / ↑r.den)) • x) y = ↑r.den * (↑r.num / ↑r.den * inner_ 𝕜 x y)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.18276, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S✝ S₁ S₂ : ShortComplex C
S : ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.HomologyData
z : IsZero h.left.H
⊢ S.unop.Exact
α : Type u
CanonicallyOrderedCommMonoid α
a : α
⊢ a ≤ 1 ↔ a = 1
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
h_meas : Measurable fun p => u (↑p.1) p.2
⊢ Measurable (U n)
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
x : L
hx : ¬IsIntegral K x
⊢ (Algebra.trace K ↥K⟮x⟯) (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K x) = 0
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ Filter.IsBasis p s
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ {x | IsTop x}.Finite
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ (p + q).natDegree ≤ max p.natDegree q.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Injective f
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) ((MeasureTheory.OuterMeasure.map f) m) = m
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n := lt_of_add_lt_add_right (let_fun this := Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (tsub_add_cancel_of_le k2n))) (Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (two_mul n))) (add_lt_add_left kn n)); this)
xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n
t : xn a1 (2 * n - (2 * n - k)) + xn a1 (2 * n - k) ≡ 0 [MOD xn a1 n]
⊢ xn a1 k + xn a1 (2 * n - k) ≡ xn a1 n [MOD xn a1 n]
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s✝ t : ι✝ → α
a✝ b : α
ι : Type u_9
a : α
s : Set ι
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
⊢ ⨆ i ∈ s, a = a
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
i : ι
hi : x ∈ K i
R : ℝ≥0∞
hR₀ : 0 < R
hR : closedBall x R ⊆ U i
r : ℝ≥0
hr₀ : 0 < ↑r
hrR : ↑r < R
p : ℝ≥0∞ × X
hp : p ∈ {x | x < ↑r} ×ˢ closedBall x (R - ↑r)
z : X
hz : z ∈ closedBall p.2 p.1
⊢ z ∈ U i
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
hg₁ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ g₁ i
hg₂ : ∀ i ∈ s, 0 < g₂ i
h₁ : AntivaryOn f g₁ s
h₂ : MonovaryOn f g₂ s
⊢ AntivaryOn f (g₁ / g₂) s
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → Semiring (A i)
(i : ι) → Algebra R (A i)
DecidableEq ι
i : ι
a : A i
⊢ (PiTensorProduct.singleAlgHom i) a = (PiTensorProduct.tprod R) ((MonoidHom.mulSingle A i) a)
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
IsEmpty n
⊢ Matrix.det = Function.const (Matrix n n R) 1
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
f g : α → ℝ≥0∞
Hle : ∑ i ∈ s, f i ≤ ∑ i ∈ s, g i
⊢ ∃ i ∈ s, f i ≤ g i
α : Type
ds : List ℕ
Monoid α
x : Holor α []
y : Holor α ds
⊢ x.mul y = x ⟨[], ⋯⟩ • y
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
ht_finite : μ t ≠ ⊤
⊢ μ (s ∩ t) < ⊤
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Set.Icc a b)
ha : a ∈ s
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Set.Ico a b, s ∈ 𝓝[>] x
⊢ Set.Icc a b ⊆ s
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : Iᵒᵖ ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.rightOp ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.rightOp ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
⊢ Equiv.ulift.symm (f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i))))) = { down := f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i)))) }
F : Type u → Type v
Applicative F
G : Type u → Type w
Applicative G
η η' : ApplicativeTransformation F G
⊢ η = η' ↔ ∀ (α : Type u) (x : F α), (fun {α} => η.app α) x = (fun {α} => η'.app α) x
a b : Nat
⊢ a.succ ≤ b.succ ↔ a ≤ b
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app U.ι U = X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ ↑(implicitToPartialHomeomorphOfComplemented f f' hf hf' hker) a = (f a, 0)
α : Type u_1
p : PosNum
⊢ (↑p.pred').succ = ↑(pos p)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
g h : G
key : φ (g * h) = φ g * φ h
⊢ Commute g h
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
g : G
n : N
⊢ { left := n, right := g } = SemidirectProduct.inl n * SemidirectProduct.inr g
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : LipschitzWith K f
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
⊢ CauchySeq (f ∘ u)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ f y ≤ ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
α : Type u
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
h : ∃ y ∈ s, y ≠ x
⊢ s.Nontrivial
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, deriv g x ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atTop l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, DifferentiableAt ℝ g x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : Mon_ C
f g : X ⟶ Y
w : f.hom = g.hom
⊢ f = g
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B D : LinearMap.BilinForm R M
H : ∀ (x y : M), (B x) y = (D x) y
⊢ B = D
w x✝ y z✝ : ℝ
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : x ≤ 1
h_one_le : 1 ≤ z
h : 0 < x
⊢ x ^ z ≤ x
α : Type u_1
DivisionRing α
a : α
b : ℤ
nb : ℕ
num : ℤ
den : ℕ
pb : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (a ^ nb)⁻¹ num den
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (a ^ b) num den
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ L.map φ.left.right ≫ f₂.hom.right = f₁.hom.right
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
d : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom f g) ((MvPolynomial.monomial d) r) = f r * d.prod fun i k => g i ^ k
α : Type u_3
Nonempty α
SemilatticeSup α
s : Set α
⊢ s ∈ Filter.atTop ↔ ∃ a, ∀ b ≥ a, b ∈ s
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝² : Encodable ↑s
this✝¹ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this✝ : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
this : ∀ (UV : ↑s), ∃ f, EqOn (⇑f) 0 (↑UV).1 ∧ EqOn (⇑f) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 (ε UV)
⊢ ∃ f, Inducing f
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
c : AddCon M
f : M → N
H : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
h : AddCon.addKer f H ≤ c
hf : Function.Surjective f
⊢ c.mapGen f = c.mapOfSurjective f H h hf
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
⊢ o.oangle (x - r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) x = ↑(Real.arctan r)
α β ι : Type u
hι : Nonempty ι
f : ι → Cardinal.{v}
hf : BddAbove (range f)
hω : ¬IsLimit 0
h : ⨆ i, f i = 0
e : ¬0 ≠ 0
⊢ f hι.some = 0
S : Type v
T : Type w
CommRing T
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
NoZeroSMulDivisors T S
p q : Polynomial T
hpq : p * q ≠ 0
⊢ (p * q).aroots S = p.aroots S + q.aroots S
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
p : Fin (n + 1)
a : α p
f : (i : Fin n) → α (p.succAbove i)
⊢ p.removeNth (p.insertNth a f) = f
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : Y ⟶ (coextendScalars f).obj X
r : R
y : ↑Y
⊢ (g (f r • y)) 1 = (g y) (r • 1)
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
p : ℝ := (∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card)
q : ℝ := (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card)
r : ℝ := ↑(G.edgeDensity ((star hP G ε hU V).biUnion id) ((star hP G ε hV U).biUnion id))
s : ℝ := ↑(G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε U V) (G.nonuniformWitness ε V U))
t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)
⊢ 3 / 4 * ε ≤ |p - q|
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
⊢ ⇑(-Q) = -⇑Q
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}
ht : IsClosed t
htI : Disjoint t (setOfIdeal I)ᶜ
g' : C(X, ℝ≥0)
hI' : (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g' ∈ I
hgt' : ∀ x ∈ t, 0 < g' x
c : ℝ≥0
hc : c > 0
hgc' : ∀ y ∈ t, c ≤ g' y
g : C(X, ℝ≥0)
hg : ∀ (x : X), (g * g') x ≤ 1
hgc : Set.EqOn (⇑(g * g')) 1 {x | c ≤ g' x}
⊢ ∃ g, (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g ∈ I ∧ (∀ (x : X), g x ≤ 1) ∧ Set.EqOn (⇑g) 1 t
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p q : AffineSubspace k P
h : ∀ (x : P), x ∈ p ↔ x ∈ q
⊢ p = q
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hc : 0 < c
h : c < b
⊢ a / b < a / c
a : ℤ
b : ℕ
hb : Odd b
⊢ J(-a | b) = χ₄ ↑b * J(a | b)
E : Type u_1
p : ℝ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hp : 0 < p
hE : Nontrivial E
⊢ μ (Metric.ball 0 1) = ENNReal.ofReal ((∫ (x : E), Real.exp (-‖x‖ ^ p) ∂μ) / Real.Gamma (↑(finrank ℝ E) / p + 1))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
⊢ ∀ {X Y : D} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Monad.comparison h).map f).f = R.map f
X✝ X : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toRingedSpace.toPresheafedSpace
hx : x ∈ U
⊢ ¬IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩) 0)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preregular C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ (∃ Y π, CategoryTheory.EffectiveEpi π ∧ S.arrows π) → S ∈ (CategoryTheory.regularTopology C).sieves X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
SecondCountableTopologyEither (E →L[𝕜] F) E
MeasurableSpace F
BorelSpace F
⊢ Measurable fun p => p.1 p.2
E : Type u_6
NormedAddGroup E
a : E
⊢ 0 < ‖a‖₊ ↔ a ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
⊢ ⊥.image s = ∅
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
CompactSpace α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
Fact (1 ≤ p)
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
⊢ ‖ContinuousMap.toLp p μ 𝕜‖ = ‖BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜‖
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this✝ : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
this : ⇑(fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0) = ⇑((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv)
⊢ Injective (⇑(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL ∘ ⇑U.symm.toContinuousLinearEquiv)
α : Type u_2
Mul α
s t u : Set α
⊢ s * t ⊆ u ↔ ∀ b ∈ t, MulOpposite.op b • s ⊆ u
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
Preorder α
Preorder β
gi : GaloisCoinsertion l u
⊢ StrictMono l
ι : Type u_1
G : Type u_2
AddGroup G
ConditionallyCompleteLattice G
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty ι
f : ι → G
hf : BddBelow (Set.range f)
a : G
⊢ (⨅ i, f i) - a = ⨅ i, f i - a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
s : A ⥤ B
inst✝ : PreservesLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, v₂, v₃, u₂, u₃} s
h : IsSheaf J P
⊢ IsSheaf J (P ⋙ s)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
⊢ (monomial s) a = C a * s.prod fun n e => X n ^ e
R : Type u
Semiring R
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X).natDegree = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
A : Set E
F : Set (Set E)
hF : F.Nonempty
hAF : ∀ B ∈ F, IsExtreme 𝕜 A B
⊢ IsExtreme 𝕜 A (⋂₀ F)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s₁ : Finmap β
⊢ ∅ ∪ s₁ = s₁