ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
⊢ ↑(mapL fun i => (g i).comp (f i)) = ↑((mapL g).comp (mapL f))
R : Type u_2
Add R
Mul R
c : RingCon R
w x y z : R
⊢ c w x → c y z → c (w + y) (x + z)
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
⊢ #((n : ℕ) × L.BoundedFormula Empty (n + 1)) ≤ max ℵ₀ L.card
n a : ℕ
⊢ Multiset.map (fun x => x % a) (Multiset.Ico n (n + a)) = Multiset.range a
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i✝ : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
l : Line α ι
v : ι' → α
x : α
i : ι ⊕ ι'
⊢ (fun x i => ((l.horizontal v).idxFun i).getD x) x i = Sum.elim ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) v i
R : Type u
CommRing R
x : ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
f : ↥x.asIdeal.primeCompl
⊢ IsUnit ((AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toStalk R x) ↑f)
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ I
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal I
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x : X
y : Y
⊢ Filter.map (Prod.map SeparationQuotient.mk SeparationQuotient.mk) (𝓝 (x, y)) =
  𝓝 (SeparationQuotient.mk x, SeparationQuotient.mk y)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R → ℤ
h_exps : ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, exps v = 0
⊢ ∏ i ∈ Finite.toFinset h_exps, ↑i.asIdeal ^ exps i = ∏ a ∈ { support := Finite.toFinset h_exps, toFun := exps, mem_support_toFun := ⋯ }.support, ↑a.asIdeal ^ { support := Finite.toFinset h_exps, toFun := exps, mem_support_toFun := ⋯ } a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.IsRefl
W : Submodule R₁ M₁
hW : Disjoint W (B.orthogonal W)
x : M₁
hx : x ∈ W
y : M₁
hy : y ∈ W
b₁ : ((B.restrict W) ⟨x, hx⟩) ⟨y, hy⟩ = 0
⊢ B.IsOrtho y x
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ IsAddSubmonoid Set.univ
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Zero M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
f : ι →₀ M
⊢ f.toDFinsupp.support = f.support
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
e : α
hB : M.Base B
heB : e ∉ B
⊢ ¬M.Base (insert e B)
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : CauchyFilter α
⊢ f ∈ closure (range pureCauchy)
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ (HomologicalComplex.HomologySequence.mapSnakeInput φ hS₁ hS₂ i j hij).f₃ =
  (HomologicalComplex.homologyFunctor C c j).mapShortComplex.map φ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β
⊢ ⊥.preimage s = ∅
R : Type u_1
Ring R
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
Fintype I
⊢ IsIdempotentElem (∑ i : I, e i)
z w : ℍ
⊢ dist z w ≤ dist ↑z ↑w / √(z.im * w.im)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
s : Finset ι
hv : Orthonormal 𝕜 v
h₂ : ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 * ⟪x, v j⟫_𝕜 * ⟪v j, v i⟫_𝕜 = ∑ k ∈ s, ⟪v k, x⟫_𝕜 * ⟪x, v k⟫_𝕜
h₃ : ∀ (z : 𝕜), re (z * (starRingEnd 𝕜) z) = ‖z‖ ^ 2
⊢ ‖x - ∑ i ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 • v i‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 - ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
s : Set α
f : α → M
a : α
⊢ ∏ᶠ (_ : a ∈ s), f a = s.mulIndicator f a
α : Type u_1
l : Batteries.RBNode α
v : α
r : Batteries.RBNode α
⊢ (l.balLeft v r).reverse = r.reverse.balRight v l.reverse
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
p : J → Prop
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j : Subtype p
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.fromSubtype f p ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.π f ↑j =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.π (Subtype.restrict p f) j
a b c : Int
⊢ a - c < b - c ↔ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ
hf : Summable f
⊢ Summable fun a => ↑(f a).toNNReal
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s
α : Type u
ι : Sort w
Order.Frame α
f : ι → α
a : α
⊢ (⨆ i, f i) ⊓ a = ⨆ i, f i ⊓ a
L : Type v
self : LieRing L
x y z : L
⊢ ⁅x, y + z⁆ = ⁅x, y⁆ + ⁅x, z⁆
ι : Type u_4
α : Type u_5
Unique ι
UniformSpace α
⊢ ⇑(UniformEquiv.funUnique ι α).symm = uniqueElim
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
⊢ (if ↑x = 0 then if ↑y = 0 then 1 else 0 else Complex.exp (Complex.log ↑x * ↑y)).re = if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * y)
a : Ordinal.{u}
⊢ ∃ f, a.IsFundamentalSequence a.cof.ord f
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Field S
NonUnitalRing A
Module R A
Module S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
Algebra R S
a : A
f : S → R
IsScalarTower R S A
h : QuasispectrumRestricts a f
⊢ ⇑(algebraMap R S) '' quasispectrum R a = quasispectrum S a
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
⊢ IsPreconnected (Set.Iic a)
R : Type u
CommRing R
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
r : R
IsLocalization.Away r A
⊢ Algebra.Unramified R A
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f✝ : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
f : (i : ι) → s i ≃ₗ[R] t i
m : (i : ι) → s i
⊢ (congr f) ((tprod R) m) = ⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ convexBodyLT K f
⊢ -x ∈ convexBodyLT K f
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
⊢ LipschitzWith 2.toNNReal ⇑(addEquiv 𝕜 A)
I : Type u
f : I → Type v₁
x y : (i : I) → f i
i : I
(i : I) → Div (f i)
⊢ (x / y) i = x i / y i
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : n < p.natDegree
⊢ p ≠ 0
α : Type u
s : Set α
c : Cardinal.{u}
t : Set α
left✝ : t ⊆ s
h2t : #↑t ≤ c
⊢ { toFun := fun t => Subtype.val ⁻¹' ↑t, inj' := ⋯ } ⟨t, ⋯⟩ ∈ fun t => Quot.lift ((fun α β => Nonempty (α ↪ β)) ↑t) ⋯ c
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
v : MeasureTheory.VectorMeasure α ℂ
⊢ MeasureTheory.ComplexMeasure.im v = v.mapRange Complex.imLm.toAddMonoidHom Complex.continuous_im
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.cfcAux f = 0
h2 : diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = 0
x : ↑(spectrum ℝ A)
⊢ f x = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n : ℤ
⊢ (CochainComplex.mappingCone.triangleRotateShortComplexSplitting φ n).r = (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v n n ⋯
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
x : R
⊢ Polynomial.eval x (p.comp q) = Polynomial.eval (Polynomial.eval x q) p
R : Type w
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
CommRing R'
Ring S'
Algebra R' S'
i : R →+* R'
j : S →+* S'
hi : Function.Surjective ⇑i
hj : Function.Injective ⇑j
hc : (algebraMap R' S').comp i = j.comp (algebraMap R S)
⊢ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R S) ≤ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R' S')
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (fun x => ↑(gm x)) μ
gmint : ∫ (x : α), ↑(fm x) ∂μ - (fun a => ↑a) δ ≤ ∫ (x : α), ↑(gm x) ∂μ
g : α → EReal := fun x => ↑(gp x) - ↑↑(gm x)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x)).toReal - (↑↑(gm x)).toReal
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
n : Num
⊢ ↑n.succ = ↑n + 1
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven₀ 0 s = completedRiemannZeta₀ s
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hsm : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0
⊢ (map Inv.inv μ) s = 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝³ : DecidableEq (Associates α)
inst✝² : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
a p : Associates α
hp : Irreducible p
inst✝ : (n : ℕ) → Decidable (a ∣ p ^ n)
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
⊢ p.count a.factors ≤ Nat.find ⋯
α : Type u_5
self : ConditionallyCompleteLinearOrder α
a b : α
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
x : M
y : M'
hs : s ⊆ (extChartAt I x).source
h2s : Set.MapsTo f s (extChartAt I' y).source
⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔ ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) '' s)
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Turing.Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ : σ₂
ab : Turing.Reaches f₂ a₂ b₂
⊢ ∃ c₁ c₂, Turing.Reaches f₂ b₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Turing.Reaches f₁ a₁ c₁
X : Type u_2
PartialOrder X
Y : Type u_3
Preorder Y
Z : Type u_4
Preorder Z
W : Type u_5
Preorder W
lYX : X → Y
uXY : Y → X
hXY : GaloisConnection lYX uXY
lWZ : Z → W
uZW : W → Z
hZW : GaloisConnection lWZ uZW
lWY : Y → W
uYW : W → Y
hWY : GaloisConnection lWY uYW
lZX : X → Z
uXZ : Z → X
hXZ : GaloisConnection lZX uXZ
h : ∀ (x : X), lWZ (lZX x) = lWY (lYX x)
w : W
⊢ uXZ (uZW w) = uXY (uYW w)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => (L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
hK' : IsCompact K'
⊢ ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ 1, ‖(L' (f a)) (fderiv 𝕜 g (x - a))‖ ≤ ?m.1390320 a
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ : R
a✝ : μ₁ ∈ {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}
μ₂ : R
hμ₂ : μ₂ ∈ {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}
hμ₁₂ : ⨆ k, (f.genEigenspace μ₁) k = ⨆ k, (f.genEigenspace μ₂) k
⊢ μ₁ = μ₂
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : 0 < G
⊢ G ≈ 0 ∨ G ‖ 0
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ
⊢ (A * A ^ n)⁻¹ * A = A ^ (-(↑n + 1)) * A
R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Field R
d : n → R
μ : R
⊢ HasEigenvalue ((toLinAlgEquiv (Pi.basisFun R n)) (diagonal d)) μ ↔ μ ∈ Set.range d
⊢ StrictMonoOn Real.tan (Set.Ioo (-(Real.pi / 2)) (Real.pi / 2))
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c.sizeUpTo c.length = n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
⊢ affineSpan k {p₁, p₂} ∥ affineSpan k {p₃, p₄} ↔ vectorSpan k {p₁, p₂} = vectorSpan k {p₃, p₄}
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
G' : Type u_8
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
c : ℝ
f : α → E
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f g'
hc : 0 ≤ c
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l f fun x => (g' x, k' x)
R : Type u_1
Mul R
Add R
Zero R
⊢ ∀ (a : R), isSumSq a ↔ a = 0 ∨ ∃ a_1 S, isSumSq S ∧ a = a_1 * a_1 + S
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a : α
⊢ Finset.Ioc a a = ∅
x y✝ z✝ : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ x.powerset
z : ZFSet
hz : z ∈ y
⊢ z ∈ x.powerset
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
CompactSpace X
Nonempty X
MetricSpace Y
CompactSpace Y
Nonempty Y
⊢ ∃ f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y,
  ∀ g ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y, GromovHausdorff.HD f ≤ GromovHausdorff.HD g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hxy : x ≠ y
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
⊢ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I) ≤ reesAlgebra I
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
S : Set (LieSubmodule R L M)
⊢ ↑(sSup S) = sSup {x | ∃ s ∈ S, ↑s = x}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
H : ∀ a < o, succ a < o
a' : Ordinal.{v}
h : lift.{u, v} a' < lift.{u, v} o
⊢ succ (lift.{u, v} a') < lift.{u, v} o
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hf : ∀ (l : ι →₀ R), (Finsupp.total ι M R v) l = 0 → l = 0
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
his : i ∈ s
h : ∑ i ∈ s, Finsupp.single i (g i) = 0
j : ι
_hjs : j ∈ s
hji : j ≠ i
⊢ (Finsupp.lapply i) (Finsupp.single j (g j)) = 0
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
x y : P
⊢ y -ᵥ (Equiv.pointReflection x) y = 2 • (y -ᵥ x)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
a : α
DecidableEq α
⊢ Finset.image₂ f (insert a s) t = Finset.image (fun b => f a b) t ∪ Finset.image₂ f s t
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i →ₗᵢ[𝕜] E₁ i
⊢ ‖g.compContinuousLinearMap fun i => (f i).toContinuousLinearMap‖ ≤ ‖g‖
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
U V : CategoryTheory.Over X
e : U = V
⊢ (CategoryTheory.eqToHom e).left = CategoryTheory.eqToHom ⋯
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''
⊢ ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m'') = ∑ t ∈ t.powerset, f ((insert i t).piecewise m m')
R : Type u
CommRing R
U V : (TopologicalSpace.Opens ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj (CommRingCat.of R)).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj (CommRingCat.of R)).presheaf.map i =
  (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.map i
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
b : OrthonormalBasis (Fin n) ℝ E
hb : b.toBasis.orientation = o
⊢ o.volumeForm = b.toBasis.det
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
a : α
p : Prop
⊢ IsLocalExtr f a → (IsLocalMin f a → p) → (IsLocalMax f a → p) → p
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r : R
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
h : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget (ModuleCat R)) x y
⊢ ∃ k f g, (F.map f) ⟨x.fst, r • x.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, r • y.snd⟩.snd
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
ε : ℝ≥0∞
⊢ IsOpen (EMetric.ball x ε)
α β : Type u_4
f : α → β
o : Part α
⊢ f <$> o = Part.map f o
a : ℤ
n : ℕ
h : J(a | n) = -1
hn₀ : n ≠ 0
hf₀ : ∀ p ∈ n.primeFactorsList, p ≠ 0
⊢ ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ J(a | p) = -1
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
⊢ StrictConvexOn ℝ D f
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
Preorder β
f : α → β
⊢ Antitone f ↔ ∀ (a b : α), a ⩿ b → f b ≤ f a
α : Type u
UniformSpace α
self : AbstractCompletion α
⊢ UniformInducing self.coe
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
N : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module A N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsScalarTower R A N
r : R
m : M
⊢ r • m = (algebraMap R A) r • m
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i j : ι
h : j ≠ i
⊢ (hli.repr ⟨v j, ⋯⟩) i = 0
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w
f : ℤ[X] → ℤ[X] := fun p => { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) p.toFinsupp }
h : m + n = m' + n ∧ n - m + k + n = n - m' + k + n ∨ ↑u = ↑w ∧ m + n = n - m' + k + n ∧ n - m + k + n = m' + n ∨ ↑u + ↑w = 0 ∧ m + n = n - m + k + n ∧ m' + n = n - m' + k + n
⊢ q = p ∨ q = p.mirror
R : Type u_1
DivisionRing R
StarRing R
r : ℚ
⊢ star ↑r = ↑r
α : Type u
s t : Set α
⊢ (symmDiff s t).Nonempty ↔ s ≠ t
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
x✝ : S
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : Algebra S L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R S L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S L
x : S
y : L
h✝ : Nontrivial L
⊢ y ∈ coeSubmodule L (conductor R x) ↔ ∀ (z : S), y * (algebraMap S L) z ∈ adjoin R {(algebraMap S L) x}
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ StrictMono (Submonoid.map f)
N k : ℕ
⊢ N.smoothNumbersUpTo k ⊆
  Finset.image
    (fun x =>
      match x with
      | (s, m) => m ^ 2 * s.prod id)
    (k.primesBelow.powerset ×ˢ (Finset.range N.sqrt.succ).erase 0)
S : Type u_5
Semiring S
M : Type u_6
AddCommMonoid M
Module S M
m : Submodule S M
f : M →ₗ[S] M
h : LinearMap.IsProj m f
⊢ LinearMap.ker h.codRestrict = LinearMap.ker f
P : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop
(AlgebraicGeometry.topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P).RespectsIso
hP₂ :
  ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) (s : Set β),
    P f → P (s.restrictPreimage f)
hP₃ :
  ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) {ι : Type u}
    (U : ι → TopologicalSpace.Opens β),
    iSup U = ⊤ → Continuous f → (∀ (i : ι), P ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → P f
⊢ AlgebraicGeometry.IsLocalAtTarget
  (AlgebraicGeometry.topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, dist (f x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (f x, F n x) ∈ u