ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
g✝ : σ → S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
φ : S₁ →+* S₂
p : MvPolynomial σ R
⊢ φ ((eval₂Hom f g) p) = (φ.comp (eval₂Hom f g)) p
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
M' : Type u_6
N' : Type u_7
AddZeroClass M'
AddZeroClass N'
f : M →+ N
g : M' →+ N'
⊢ AddMonoidHom.mker (f.prodMap g) = (AddMonoidHom.mker f).prod (AddMonoidHom.mker g)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : r ≠ 0
f : E →ₗ[ℝ] E := r • 1
hf : LinearMap.det f ≠ 0
⊢ map (⇑f) μ = ENNReal.ofReal |(r ^ finrank ℝ E)⁻¹| • μ
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
BorelSpace β
One β
f : α → β
hf : Continuous f
h'f : HasCompactMulSupport f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable f
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ unop U
f₂ : Y₂ ⟶ unop U
h₁ : (G.sieveOfSection s).arrows f₁
h₂ : (G.sieveOfSection s).arrows f₂
e : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ ↑(G.toPresheaf.map g₁.op (G.familyOfElementsOfSection s f₁ h₁)) = ↑(G.toPresheaf.map g₂.op (G.familyOfElementsOfSection s f₂ h₂))
G : Type u_2
Group G
N H : Subgroup G
N.Normal
⊢ ↑(N ⊔ H) = ↑N * ↑H
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
g : G
hgS : g ∈ S
hg0 : 0 < g
hg : g < b - a
⊢ ∃ c ∈ ↑S, a < c ∧ c < b
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset α
h : s.Nonempty
f : α → β
⊢ (Finset.image f s).Nonempty
R : Type u
A : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A
r : R
y : A
⊢ x * (algebraMap R A) r * y = x * y * (algebraMap R A) r
x : ℝ
⊢ (↑x).cos = Real.cos x
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
⊢ (π.restrict J).iUnion = ↑J ∩ π.iUnion
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F
g : E →L[𝕜] G
x : E
⊢ ‖(f.prod g) x‖ ≤ ‖(f, g)‖ * ‖x‖
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I
a : A
haI : a ∈ I
ha0 : a ≠ 0
J : Ideal A := span {a}
hJ0 : J ≠ ⊥
hJI : J ≤ I
Z : Multiset (PrimeSpectrum A)
hle : (I ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ J
hnle : ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ J
b : A
hbZ : b ∈ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod
hbJ : b ∉ J
hnz_fa : (algebraMap A K) a ≠ 0
⊢ (algebraMap A K) b * ((algebraMap A K) a)⁻¹ ∉ ↑((fun a => ↑a) 1)
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hxy : x ≤ y
hz : z ≤ 0
⊢ y ^ z ≤ x ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
a b : α
ab : b = a
c : α
ac : c = a
⊢ b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝¹ : Countable ι
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : ι → α → β → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : ι), Measurable (Function.uncurry (f i))
h_sum_a : ∀ (a : α), Summable fun n => f n a
h_sum : Summable fun n => f n
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
this : ∫⁻ (b : β) in s, tsum (fun n => f n) a b ∂κ a = ∫⁻ (b : β) in s, ∑' (n : ι), (fun b => f n a b) b ∂κ a
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, tsum (fun n => f n) a b ∂κ a = ∑' (n : ι), ((κ.withDensity (f n)) a) s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ op U = (Opens.map f.base).op.obj (op ((opensFunctor f).obj U))
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hI' : M✶.Basis (M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E)) (M.E \ (R ∩ M.E))
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'
hss : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) ⊆ M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
a b c : ℕ
⊢ a * (b % c) % c = a * b % c
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι'
m : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
i : ι'
this : DecidableEq ι := σ.decidableEq
⊢ ∀ (x y : M₁ (σ.symm (σ (σ.symm i)))), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) y)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
a : R
⊢ (starRingEnd ℂ) (φ a) = φ⁻¹ a
α : Type u_1
PartialOrder α
s : NonemptyInterval α
⊢ ↑↑s = ↑s
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
x : L
⊢ ↑((LieDerivation.ad R L) x) = (LieAlgebra.ad R L) x
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
σ' : Type u_2
g : σ ≃ σ'
⊢ ((DFA.reindex g) M).accepts = M.accepts
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → F'
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (μ[f|m])
x : ℝ
⊢ Summable fun n => x ^ n / ↑n !
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : R[X]
x : R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
p q : R[X]
H : p.IsRoot a
⊢ (p * q).IsRoot a
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ
h : (fun n => (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n)) = fun n => (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (f n) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (g n)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (W.map φ).a₂ = φ W.a₂
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆
⊢ ⁅I, N ⊔ N'⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆
R : Type u
Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hne : q ≠ r
⊢ p ≠ 0
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
IsNoetherian R M
f : ℕ →o Submodule R M
⊢ Filter.EventuallyConst (⇑f) Filter.atTop
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
CategoryTheory.Limits.HasWideEqualizer f
Nonempty J
W : C
k l : W ⟶ CategoryTheory.Limits.wideEqualizer f
h :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp k (CategoryTheory.Limits.wideEqualizer.ι f) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp l (CategoryTheory.Limits.wideEqualizer.ι f)
⊢ k = l
a b : Ordinal.{u_1}
hba : b ≤ a * ω
⊢ a * ω ≤ nfp (fun x => a + x) b
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
𝕜 : Type u_3
inst✝ : NormedField 𝕜
v : 𝕜
this : ContinuousLinearMap.smulRight 1 v = v • 1
⊢ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 v).det = v
α : Type u
β : Type v
Ring α
Ring β
f : α → β
x : α
hf : IsRingHom f
⊢ f (-x) = -f x
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K
⊢ chaar K₀ (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = chaar K₀ K
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
⊢ Filter.map mk (𝓝ˢ s) = 𝓝ˢ (mk '' s)
a b n : ℕ
h : a < b + n
⊢ n ∣ a → n ∣ b → a ≤ b
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : CommRing B
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : Algebra B L
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra A L
inst✝³ : IsScalarTower A B L
inst✝² : IsScalarTower A K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝ : FiniteDimensional K L
σ : B →ₐ[A] B
x : B
this✝ : IsDomain A
this : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid B A⁰) L
⊢ ((galRestrictHom A K L B).symm σ) ((algebraMap B L) x) = (algebraMap B L) (σ x)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
self : A →⋆ₐ[R] B
x : A
⊢ (↑↑self.toRingHom).toFun (star x) = star ((↑↑self.toRingHom).toFun x)
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : a * ↑u = 1
⊢ 1 * ↑u⁻¹ = a
v : PrimeMultiset
l : List Nat.Primes
l' : List ℕ := List.map Coe.coe l
this : ∀ p ∈ l', Nat.Prime p
⊢ ↑(List.map Coe.coe l).prod.primeFactorsList = ↑(List.map Coe.coe l)
n m : ℕ
hm : NeZero m
h : n ∣ m
x : ℕ
hx : x.Coprime n
ps : Finset ℕ := Finset.filter (fun p => ¬p ∣ x) m.primeFactors
⊢ ∀ (k : ℕ), Nat.Prime k → k ∣ x + ps.prod id * n → ¬k ∣ m
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : AEMeasurable f (MeasureTheory.Measure.map g μ)
hg : AEMeasurable g μ
⊢ ∫⁻ (a : β), f a ∂MeasureTheory.Measure.map g μ = ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ
M : Type u_1
Mul M
ι : Sort u_4
S : ι → Subsemigroup M
x : M
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
M : Type u_4
N : Type u_5
Zero M
Zero N
f : ZeroHom M N
⊢ f.toFun = ⇑f
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
FirstCountableTopology α
OrderTopology α
f : Filter β
CountableInterFilter f
u : β → α
⊢ Filter.liminf u f = ⊤ ↔ u =ᶠ[f] ⊤
S : CategoryTheory.Functor Type uᵒᵖ (Type u)
hs : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf CategoryTheory.typesGrothendieckTopology S
X : Type uᵒᵖ
⊢ ∀ (a : (CategoryTheory.yoneda.obj (S.obj (Opposite.op PUnit.{u + 1}))).obj X),
  (CategoryTheory.equivYoneda S hs).inv.app X a = (CategoryTheory.evalEquiv S hs (Opposite.unop X)).symm a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ (P.X ⊗ Q.X) L.X U.X).hom ≫ (((α_ P.X Q.X (L.X ⊗ U.X)).hom ≫ P.X ◁ Q.X ◁ L.actRight) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = (α_ P.X Q.X L.X).hom ▷ U.X ≫ (α_ P.X (Q.X ⊗ L.X) U.X).hom ≫ (P.X ◁ (α_ Q.X L.X U.X).hom ≫ P.X ◁ Q.X ◁ L.actRight ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)
α : Type u_1
Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
⊢ t.Bounded o₁ o₂ → t.dual.Bounded o₂ o₁
γ : Type w
LinearOrder γ
i : γ
⊢ ∃ j, IsLUB (Set.Iio i) j
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
⊢ (eval P) (C W'.a₁ * X y * X z - (C 3 * X x ^ 2 + C (2 * W'.a₂) * X x * X z ^ 2 + C W'.a₄ * X z ^ 4)) = W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a b : E
⊢ ⟪a, b⟫_ℝ ^ 2 + (o.areaForm a) b ^ 2 = ‖a‖ ^ 2 * ‖b‖ ^ 2
X Y : Type u
CommSemiring X
CommSemiring Y
e : X ≃+* Y
⊢ e.toCommSemiRingCatIso.hom = e.toRingHom
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℤ
n : ℕ
this : ↑p ^ (-↑n) = ↑↑p ^ (-↑n)
⊢ ‖↑k‖ ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑p ^ n ∣ k
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × γ)
δ : Type u_6
MeasurableSpace δ
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.prodMkRight δ κ).snd = ProbabilityTheory.Kernel.prodMkRight δ κ.snd
x y z t : EReal
h : x < y
h' : z ≤ t
hbot : t ≠ ⊥
htop : t = ⊤ → z = ⊤ → x = ⊥
⊢ x + z < y + t
n c d : ℕ
hn : 2 * (c ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)
c0 : c > 0
⊢ 1 * (c ^ 2) ^ (c ^ 2 + d + 1) < (c ^ 2)! * (c ^ 2 + 1) ^ (c ^ 2 + d + 1)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
i : ι
s : Multiset ι
h : derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum
⊢ derivative (Multiset.map f (i ::ₘ s)).prod = (Multiset.map (fun i_1 => (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase i_1)).prod * derivative (f i_1)) (i ::ₘ s)).sum
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
X₁ X₂ : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct X₁ X₂
inst✝ : PreservesLimit (pair X₁ X₂) (forget C)
y : (forget C).obj (X₁ ⨯ X₂)
⊢ prod.snd ((prodEquiv X₁ X₂).symm ((prodEquiv X₁ X₂) y)) = ((prodEquiv X₁ X₂) y).2
α : Type u
inst✝ : Infinite α
K : Type u := FractionRing (MvPolynomial α (ULift.{u, 0} ℚ))
⊢ #(MvPolynomial α (ULift.{u, 0} ℚ)) ≤ #α
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
⊢ ∀ (a : R), (algebraMap R S) a = 0 → a = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
a : ℝ≥0∞
⊢ Monotone fun x => x * a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : SimplicialObject C
n : ℕ
P : Type := Fin (n + 2) × Fin (n + 3)
S : Finset P := Finset.filter (fun ij => ↑ij.2 ≤ ↑ij.1) Finset.univ
φ : (ij : P) → ij ∈ S → P := fun ij hij => (ij.2.castLT ⋯, ij.1.succ)
⊢ ∀ (a : P) (ha : a ∈ S), φ a ha ∈ Sᶜ
α : Type u_1
Neg α
a : αˢʸᵐ
⊢ SymAlg.unsym (-a) = -SymAlg.unsym a
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : y - 1 ≠ 0
⊢ x ^ (y - 1) = x ^ y / x
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)
⊢ ∃ x ∈ f '' s, ClusterPt x l
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : PartialHomeomorph H₃ H₂
he : e ∈ atlas H₂ H₃
f : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : PartialHomeomorph H₃ H₂
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
f' : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx : (x ∈ f.target ∧ ↑f.symm x ∈ e.target) ∧ ↑e.symm (↑f.symm x) ∈ e'.source ∧ ↑e' (↑e.symm (↑f.symm x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source
hxs' : x ∈ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ((e.symm ≫ₕ e').source ∩ ↑(e.symm ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : PartialHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ : EqOn (↑(f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toPartialEquiv) (↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ φ.source)
⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr s ∈ G₁
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : P
⊢ vectorSpan k {p} = ⊥
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : Filter α
f f' : α → β
hf : f =ᶠ[l] f'
g g' : α → γ
hg : g =ᶠ[l] g'
⊢ (fun x => (f x, g x)) =ᶠ[l] fun x => (f' x, g' x)
R : Type u_1
inst✝ : MulZeroClass R
a b : R
hb : IsRightRegular b
⊢ a * b = 0 * b ↔ a = 0
ι : Type u_4
f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4}
a : Ordinal.{max u_5 u_4}
⊢ (∀ (i : ι), f i < a) → Ordinal.lsub f ≤ a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_7
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ (∅.inf fun i => (t i).sup (f i)) = (∅.pi t).sup fun g => ∅.attach.inf fun i => f (↑i) (g ↑i ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
x : Option α
f : α → Option β
b : β
⊢ x.bind f = some b ↔ ∃ a, x = some a ∧ f a = some b
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B
inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
hη : τ₀ = τ₁ hF hG η
Y : B
⊢ eB.inverse.map (F.map (eA.unitIso.hom.app (G.obj Y)) ≫ F.map (eA.inverse.map (hG.inv.app Y)) ≫ hF.inv.app (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y))) ≫ e'.functor.map (eA.counitIso.hom.app (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y))) ≫ e'.functor.map (hG.hom.app Y) ≫ hF.hom.app (G.obj Y) ≫ η.hom.app Y) ≫ eB.unitIso.inv.app Y = eB.inverse.map (η.hom.app Y) ≫ eB.unitIso.inv.app Y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ha : Absorbent ℝ s
ε : ℝ
hε₀ : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 0, gauge s (x + a) ∈ Icc (gauge s x - ε) (gauge s x + ε)
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_5
OrderedCommSemiring S
Algebra S R
Module S M
SMulPosMono S R
IsScalarTower S R M
a : S
v : M
ha : 0 < a
⊢ SameRay R (a • v) v
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}
⊢ ∀ a' < a, ∀ b' < 0, a' ⨳ 0 ♯ a ⨳ b' < 0 ♯ a' ⨳ b'
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup Fₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜 Fₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ⇑e
h_e : UniformInducing ⇑e
⊢ ContinuousLinearMap.extend 0 e h_dense h_e = 0
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
S S₁ S₂ : ShortComplex C
A : C
γ : A ⟶ S.homology
A' : C
π : A' ⟶ A
hπ : Epi π
z : A' ⟶ S.cycles
hz : π ≫ γ = z ≫ S.homologyπ
⊢ z = S.liftCycles (z ≫ S.iCycles) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
f : α → β → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable (Function.uncurry f)
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f x y ∂κ x
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : BumpCovering ι M s
U : ι → Set M
h : f.IsSubordinate U
hf : ∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)
⊢ (f.toSmoothPartitionOfUnity hf).IsSubordinate U
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
a b : α
⊢ ↑a = ↑b ↔ -a + b ∈ s
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q r : ℚ≥0
⊢ ↑(q * r) = ↑(divNat (q.num * r.num) (q.den * r.den))
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ o.oangle x (-y) = o.oangle x y + ↑π
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
MeasurableSpace α
f : α → 𝕜
hre : Measurable fun x => RCLike.re (f x)
him : Measurable fun x => RCLike.im (f x)
⊢ Measurable f
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
f : α ↪ β
s : Finset α
h : G.IsClique ↑s
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique ↑(Finset.map f s)
α : Type u_1
p : PMF α
⊢ ∑' (a : α), p a = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
f : α → β
a : α
h : a ∈ f ⁻¹' t
⊢ t.restrictPreimage f ⟨a, h⟩ = ⟨f a, h⟩
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderBot α
f : ℕ → α
n : ℕ
⊢ (partialSups f) n = (Finset.range (n + 1)).sup f
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
ih : indexOf a l ≤ l.length
⊢ indexOf a (b :: l) ≤ (b :: l).length
α : Type ua
UniformSpace α
y : α
s : Set (α × α)
h : s ∈ 𝓤 α
⊢ {x | (x, y) ∈ s} ∈ 𝓝 y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
⊢ Filter.Tendsto (fun m => ∫ (x : γ), κ.density ν a x (seq m) ∂ν a) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
m : γ → β
l : Filter γ
⊢ Tendsto m l (f.lift' h) ↔ ∀ s ∈ f, ∀ᶠ (a : γ) in l, m a ∈ h s
R : Type u
Monoid R
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
x : B
⊢ (NonUnitalAlgHom.inr R A B) x = (0, x)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : TopologicalSpace β] {μ : MeasureTheory.Measure α} {f : α → β},
  MeasureTheory.StronglyMeasurable f → MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
i j : J
⊢ Continuous fun x => ↑↑x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : BorelSpace E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace E
inst✝ : LocallyCompactSpace F
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
this✝ : ProperSpace E
this : ProperSpace F
M : F × E →ₗ[𝕜] F := LinearMap.id.coprod L
M_cont : Continuous ⇑M
hM : Function.Surjective ⇑M
A : ∀ (x : F × E), M x ∈ s ↔ x ∈ ⇑M ⁻¹' s
⊢ (∀ᵐ (y : F) ∂ν, ∀ᵐ (x : E) ∂μ, y + L x ∈ s) ↔ ∀ᵐ (x : F × E) ∂ν.prod μ, x ∈ ⇑M ⁻¹' s