ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
hg : MDifferentiableOn I' I'' g u
hf : MDifferentiableOn I I' f s
st : s ⊆ f ⁻¹' u
⊢ MDifferentiableOn I I'' (g ∘ f) s
n : ℕ
⊢ 0 < 1 + (↑n + 1)⁻¹
α : Type ua
u₁ u₂ : UniformSpace.Core α
⊢ u₁.uniformity = u₂.uniformity → u₁ = u₂
R : Type u₁
L : Type u₂
M : Type u₄
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
N : LieSubmodule R L M
⊢ ↑⁅⊤, N⁆ = Submodule.map ((LieModule.toEnd R L M) x) ↑N ⊔ ↑⁅I, N⁆
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet s
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → SymmetricRel V → (s ∩ UniformSpace.ball x V).Nonempty
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSpace A
TopologicalSemiring A
p : Polynomial R
s : Set A
a : A
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => (Polynomial.aeval x) p) s a
H : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : InnerProductSpace ℂ H
inst✝ : CompleteSpace H
S : VonNeumannAlgebra H
z : H →L[ℂ] H
⊢ z ∈ S.commutant ↔ ∀ g ∈ S, g * z = z * g
α : Type u_1
a b : α
l : List α
⊢ ((List.permutations'Aux a l).bind (List.permutations'Aux b)).Perm
  ((List.permutations'Aux b l).bind (List.permutations'Aux a))
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
ι' : Type u_6
Fintype ι'
DecidableEq ι'
b : Basis ι R M
v : ι → M
e : ι' ≃ ι
⊢ (b.reindex e.symm).det (v ∘ ⇑e) = b.det v
α : Type u
f : Equiv.Perm α
x : α
⊢ f (f⁻¹ x) = x
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
F : Type u_6
FunLike F α β
OrderHomClass F α β
f : F
⊢ ⇑↑f = ⇑f
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
⊢ Tendsto (fun s => (s - ↑P.k) • P.Λ₀ s) (𝓝 ↑P.k) (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.Memℒp
  (MeasureTheory.Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s)
    (ProbabilityTheory.countableFiltration γ) (ν a))
  1 (ν a)
R : Type u
Monoid R
⊢ ↑(MonCat.of R) = R
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
j : K →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
PerfectRing M p
IsPRadical i p
IsPRadical j p
PerfectRing L p
⊢ (PerfectRing.lift j i p).comp (PerfectRing.lift i j p) = RingHom.id L
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ Multiset.powersetCardAux (n + 1) [] = []
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a : X
⊢ (Path.refl a).symm = Path.refl a
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
p : F[X]
⊢ Polynomial.IsSplittingField F E p ↔ Polynomial.Splits (algebraMap F E) p ∧ IntermediateField.adjoin F (p.rootSet E) = ⊤
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
g g' : R →+* ℤ_[p]
⊢ (∀ (n : ℕ), (PadicInt.toZModPow n).comp g = (PadicInt.toZModPow n).comp g') ↔ g = g'
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt g (Ici a) a
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioi a, 0 ≤ g' x
hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)
hcont : ContinuousOn g (Ici a)
⊢ IntegrableOn g' (Ioi a) volume
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
b : β
hf : ∀ (b' : β), b' ≠ b → f b' = 1
⊢ ∏' (b : β), f b = f b
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
⊢ (s.mulAntidiagonal t a).Finite
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R
u : Rˣ
this : ∀ (u : Rˣ) {P : Fin 3 → R}, W.Nonsingular (u • P) → W.Nonsingular P
h : W.Nonsingular P
⊢ W.Nonsingular (u⁻¹ • u • P)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
c : β
⊢ Monotone fun x => c
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
P P' : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
i : P ≅ P'
hP : CategoryTheory.regularTopology.EqualizerCondition P
⊢ CategoryTheory.regularTopology.EqualizerCondition P'
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
⊢ k + (n - m + k) ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMinOrder α
a : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝[<] a ↔ ∃ l ∈ Set.Iio a, Set.Ioo l a ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
DecidableEq α
DecidableEq β
DecidableEq γ
Fintype α
Fintype β
Fintype γ
SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.NoAccidental t
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).cliqueFinset 3 =
  Finset.map SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.toTriangle t
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
⊢ log y / y ^ a ≤ log x / x ^ a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = 0 ↔ μ ⟂ₘ ν
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.whiskeringEquivalence e).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun s =>
      CategoryTheory.Limits.Cocones.ext (CategoryTheory.Iso.refl ((𝟭 (CategoryTheory.Limits.Cocone F)).obj s).pt) ⋯)
    ⋯
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
A : Set X
h : derivedSet A ⊆ A
a : X
ha : ClusterPt a (𝓟 A)
nh : a ∉ A
⊢ False
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ -a ≤ b ↔ 0 ≤ a + b
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
x : α
⊢ x * ↑(SignType.sign x) = |x|
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
⊢ IsPathConnected F ↔ PathConnectedSpace ↑F
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hmg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hifg : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
s : Set α
hms : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
NonAssocSemiring R'
NonAssocSemiring S'
f : R →+* R'
g : S →+* S'
⊢ f.prodMap g = (f.comp (RingHom.fst R S)).prod (g.comp (RingHom.snd R S))
R : Type u
inst₁ inst₂ : AddGroupWithOne R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_one : One.one = One.one
this : toAddMonoidWithOne = toAddMonoidWithOne
⊢ inst₁ = inst₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
x : α
⊢ s ⊆ insert x t ↔ s ⊆ t ∨ x ∈ s ∧ s \ {x} ⊆ t
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s t : Set α
⊢ TotallyBounded (s ∪ t) ↔ TotallyBounded s ∧ TotallyBounded t
α : Type u
β : α → Type v
⊢ [].NodupKeys
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
a b : α
⊢ MeasurableSet (Set.Ioc a b)
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
⊢ CotangentSpace.map (g.comp f) = ↑S (CotangentSpace.map g) ∘ₗ CotangentSpace.map f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α
f g✝ : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α
inst✝ : CompleteLattice γ
g : sSupHom α γ
⊢ g (⨅ s ∈ f, ⨆ b, ⨆ (_ : p b ∧ b ∈ s), u b) ≤ ⨅ s ∈ f, ⨆ b, ⨆ (_ : p b ∧ b ∈ s), g (u b)
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
S₁ : Type u_6
S₂ : Type u_7
Ring S₁
Ring S₂
f : S₁ →+* S₂
g : S₂ →+* R
⊢ AddValuation.comap (g.comp f) v = AddValuation.comap f (AddValuation.comap g v)
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
p✝ : R[X]
⊢ g ∣ g * (p✝ /ₘ g)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
h : 1 ∈ s
x : PrimeSpectrum R
hx : s ⊆ ↑x.asIdeal
⊢ False
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
C : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
F : CategoryTheory.Functor T C
X : CategoryTheory.Comma L R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.post L R F).obj X).left = X.left
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J J' : Set α
h : J' ∈ R.leftFixedPoints
h₁ : J ≤ J'
⊢ R.rightDual (R.leftDual J) ≤ R.rightDual (R.leftDual J')
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulAction G M
f : G → M
hf : IsMulOneCocycle f
g : G
⊢ g • f g⁻¹ = (f g)⁻¹
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ : W.LeftFraction X Y
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.RightFractionRel z₁.op z₂.op ↔ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₁ z₂
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N✝ N₂ : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L M'
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M'
N : LieSubmodule R L M'
m✝ : M'
⊢ m✝ ∈ map e.toLieModuleHom (comap e.toLieModuleHom N) ↔ m✝ ∈ N
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
x y : ℝ
hy : 0 ≤ y
⊢ ‖x‖₊ * y.toNNReal = ‖x * y‖₊
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
s t : Set β
w✝¹ : α
left✝¹ : w✝¹ ∈ ⇑m ⁻¹' s
w✝ : α
left✝ : w✝ ∈ ⇑m ⁻¹' t
⊢ (fun x x_1 => x / x_1) w✝¹ w✝ ∈ ⇑m ⁻¹' (s / t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
r : α → β → Prop
f : α →ₛ β
h : ∀ (b : β), MeasurableSet {a | r a b}
this : {a | r a (↑f a)} = ⋃ b ∈ range ↑f, {a | r a b} ∩ ↑f ⁻¹' {b}
⊢ MeasurableSet (⋃ b ∈ range ↑f, {a | r a b} ∩ ↑f ⁻¹' {b})
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k
h's : IntegrableOn f s μ
A : ∀ (u : Set X), ∫ (x : X) in u ∩ k, f x ∂μ = 0
⊢ μ (t \ k) = 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype ι
x : EuclideanSpace 𝕜 ι
i : ι
⊢ (EuclideanSpace.basisFun ι 𝕜).repr x i = x i
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
s : Set M
⊢ AddSubmonoid.map f (AddSubmonoid.closure s) = AddSubmonoid.closure (⇑f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
f : α → β
A : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup A)
Mf : Monotone f
A_nonemp : A.Nonempty
A_bdd : BddAbove A := by bddDefault
⊢ f (sSup A) = sSup (f '' A)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
a : α
ha : a ∈ s
⊢ Finset.image (fun b => f a b) t ⊆ Finset.image₂ f s t
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this : Inhabited I
m : Products I →₀ ℤ
hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}
hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
hse : LinearMap.range (πs C o) = LinearMap.ker (Linear_CC' C hsC ho)
n : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ
hn : (πs C o) n = Products.eval C ↑l - m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod
⊢ False
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x
y : E × E
⊢ f y.1 - f y.2 - f' (y.1 - y.2) + (g y.1 - g y.2 - g' (y.1 - y.2)) = (fun y => f y + g y) y.1 - (fun y => f y + g y) y.2 - (f' + g') (y.1 - y.2)
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
CommSemiring S
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R S
f : A →ₐ[R] S
g : B →ₐ[R] S
⊢ Algebra.TensorProduct.productMap f g = (Algebra.TensorProduct.lmul' R).comp (Algebra.TensorProduct.map f g)
α : Type u_1
s t : Multiset α
a : α
h : s ⊆ t
⊢ a ∉ t → a ∉ s
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
ht : t.Infinite
hst : s ⊆ t
hs : s.Finite
k : ℕ
hsk : s.ncard ≤ k
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ⊆ t \ s
hs₁fin : s₁.Finite
hs₁card : s₁.ncard = k - s.ncard
⊢ ∃ s', s ⊆ s' ∧ s' ⊆ t ∧ s'.ncard = k
C : Type u_1
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
⊢ S.ShortExact ↔ ∀ (i : ι), (S.map (HomologicalComplex.eval C c i)).ShortExact
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hp0 : p ≠ 0
hp0_lt : 0 < p
hq0_lt : 0 < q
hq_top : ¬q = ⊤
hp_lt_top : p < ⊤
⊢ eLpNorm f p μ ≤ eLpNorm f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal - 1 / q.toReal)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η (CategoryTheory.CategoryStruct.id b))
    (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor g).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).hom η
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
r s : R
x y : (i : ι) → A i
⊢ r • (PiTensorProduct.tprod R) x * s • (PiTensorProduct.tprod R) y = (r * s) • (PiTensorProduct.tprod R) (x * y)
α : Type u_1
LE α
OrderBot α
s : Flag α
⊢ ⊥ ∈ s
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Semiring S
Module S M
Module R M
SMul S R
IsScalarTower S R M
p : Submodule R M
⊢ ∀ (a : ↥p), (Submodule.restrictScalarsEquiv S R M p) a = a
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensRange hU.fromSpec = U
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
s : S.Splitting
⊢ CategoryTheory.IsSplitEpi S.g
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
g : E → F
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : E
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => (f y) (g y)) x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n - i) g x‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : CorePresheafOfModules R
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), M.presheaf.map f = AddCommGrp.ofHom (M.map f).toAddMonoidHom
E : Type u_4
Group E
p q : GroupSeminorm E
⊢ ⇑(p ⊔ q) = ⇑p ⊔ ⇑q
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
⊢ range (uncurry Icc) ∪ range (uncurry Ico) ∪ range (uncurry Ioc) ∪ range (uncurry Ioo) ∪ (range Ici ∪ range Ioi ∪ range Iic ∪ range Iio ∪ {univ, ∅}) ⊆ {s | IsPreconnected s}
α : Type u
as : List α
⊢ as ++ List.nil = as
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
c d : β
h : ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d
this : Decidable (Finite a b) := Classical.dec (Finite a b)
hab : Finite a b
⊢ ↑((multiplicity a b).get ⋯) ≤ multiplicity c d
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
w : ι → k
p : ι → P
s₁ s₂ : Finset ι
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ (Finset.affineCombination k s₁ p) w = (Finset.affineCombination k s₂ p) ((↑s₁).indicator w)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
a b k : ℤ
⊢ (fun x => x • a) k = b ↔ b = a * k
α : Type u
DivisionMonoid α
a : α
h : IsUnit a
⊢ IsUnit a⁻¹
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
OrderedAddCommMonoid γ
g : β →+o γ
f₁ f₂ : α →+o β
⊢ g.comp (f₁ + f₂) = g.comp f₁ + g.comp f₂
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
⊢ ⇑cs.lengthParity ∘ cs.simple = fun x => Multiplicative.ofAdd 1
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁴ : CommRing R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
M : Matrix ι ι R₁
b : Basis ι R₁ M₁
⊢ ((toLinearMap₂ b b) M).SeparatingLeft ↔ M.Nondegenerate
a b c d x y z w : ℕ
⊢ ↑((↑a * ↑x - ↑b * ↑y - ↑c * ↑z - ↑d * ↑w).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑y + ↑b * ↑x + ↑c * ↑w - ↑d * ↑z).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑z - ↑b * ↑w + ↑c * ↑x + ↑d * ↑y).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑w + ↑b * ↑z - ↑c * ↑y + ↑d * ↑x).natAbs ^ 2) = ↑((a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2) * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
X : CommMon_ (C ⥤ D)
⊢ ∀ (x : C),
  (CategoryTheory.Monoidal.CommMonFunctorCategoryEquivalence.unitIso.inv.app X).hom.app x =
    𝟙 ((CommMon_.forget₂Mon_ D).obj ((CategoryTheory.Monoidal.CommMonFunctorCategoryEquivalence.functor.obj X).obj x)).X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
this : y - x ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (f y)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ 0 = default
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y P : C
π₁ : P ⟶ X
π₂ : P ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk π₁ π₂).pt = P
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
z : ℤ
⊢ (M ^ z).PosSemidef
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
t₁ : UniformSpace α
t₂ : UniformSpace β
a : Set (α × α)
b : Set (β × β)
ha : a ∈ 𝓤 α
hb : b ∈ 𝓤 β
⊢ {p | (p.1.1, p.2.1) ∈ a ∧ (p.1.2, p.2.2) ∈ b} ∈ 𝓤 (α × β)
α : Sort u_1
r p q : α → Prop
P Q : (x : α) → p x → Prop
b : Prop
a : α
⊢ (∃ x x_1, p x) ↔ p a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e₁ : S₁.X₁ ≅ S₂.X₁
e₂ : S₁.X₂ ≅ S₂.X₂
e₃ : S₁.X₃ ≅ S₂.X₃
comm₁₂ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp e₁.hom S₂.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.f e₂.hom := by
  aesop_cat
comm₂₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp e₂.hom S₂.g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g e₃.hom := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.isoMk e₁ e₂ e₃ comm₁₂ comm₂₃).inv =
  CategoryTheory.ShortComplex.homMk e₁.inv e₂.inv e₃.inv ⋯ ⋯
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
X : C
f : (CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op c.pt) ⋙ CategoryTheory.uliftFunctor.{u₁, v₃}).obj X
⊢ c.extensions.app X f = c.ι ≫ (CategoryTheory.Functor.const J).map f.down
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
hs : s.Finite
⊢ IsClosed s
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p
⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
S : Finset Λ
k : K
s : Turing.TM2to1.StAct k
q : Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
⊢ Turing.TM2.SupportsStmt S (Turing.TM2to1.stRun s q) ↔ Turing.TM2.SupportsStmt S q
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : J.plusObj P ⟶ Q
hγ : J.toPlus P ≫ γ = η
⊢ γ = J.plusMap η ≫ (J.isoToPlus Q hQ).inv
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
ih : p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m
h : ¬x - ↑(x.appr (m + k)) = 0
⊢ p ^ m ∣ p ^ (m + k)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ MeasureTheory.AnalyticSet ∅