ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
pos : 0 < p
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
s : Set M₂
⊢ ⇑e.symm '' s = ⇑e ⁻¹' s
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
a : α
b : β
⊢ toLex (Sum.inl a) ≤ toLex (Sum.inr b)
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → F
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
h : Integrable (fun t => f (g / t)) μ
x✝ : G
⊢ x✝ = g / (g⁻¹ * x✝)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
x y : α
h : Set.InjOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ f x = f y ↔ x = y
α : Type u_1
s : Set αᵒᵖ
⊢ Set.opEquiv.symm s = s.unop
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
l : List α
pa : p a = true
⊢ List.filter p (a :: l) = a :: List.filter p l
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s t : Set R
h : s ⊆ t
⊢ NonUnitalSubring.closure s ≤ NonUnitalSubring.closure t
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a b : α
⊢ ‖a * b‖ = ‖a‖ * ‖b‖
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)
inst✝ : DecidableEq V
v : V
⊢ (filter (fun d => d.toProd.1 = v) univ).card = G.degree v
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Polynomial.map f p = 0 ↔ p = 0
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
IsPurelyInseparable F E
⊢ Algebra.IsAlgebraic F E
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
⊢ Computation.LiftRel R ca cb → ∀ {a : α} {b : β}, a ∈ ca → b ∈ cb → R a b
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F : Sheaf C X
U : Opens ↑X
s t : (forget C).obj (F.val.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.germ x) s = (F.presheaf.germ x) t
V : ↥U → Opens ↑X
m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
i₁ i₂ : (x : ↥U) → V x ⟶ U
heq : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.map (i₁ x).op) s = (F.presheaf.map (i₂ x).op) t
⊢ s = t
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0
⊢ W.neg P = -(P y / P x) • ![1, 1, 0]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ e.symm.trans e = LinearIsometryEquiv.refl R₂ E₂
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : y ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1 ∧ x ≠ z
⊢ Sbtw R x y z
f : Type u₀ → Type u₁
g : Type (max u₀ v₀) → Type v₁
ULiftable f g
α : Type u₀
x : f α
⊢ ULiftable.down (ULiftable.up x) = x
α : Type u_1
DecidableEq α
f g : Π₀ (_a : α), ℕ
⊢ DFinsupp.toMultiset f < DFinsupp.toMultiset g ↔ f < g
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
⊢ Even (m + n) ↔ (Odd m ↔ Odd n)
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
⊢ ∃ a < (succ #α).ord, ∃ b < (succ #α).ord, a ≠ b ∧ lfpApprox f x a = lfpApprox f x b
I : Type w₀
J : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
e : J ≃ I
⊢ (CategoryTheory.Pi.equivalenceOfEquiv C e).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.pi' fun i' =>
    (CategoryTheory.Pi.eval (fun i => C (e i)) i').leftUnitor ≪≫
      (CategoryTheory.Pi.evalCompEqToEquivalenceFunctor (fun j => C (e j)) ⋯).symm ≪≫
        CategoryTheory.isoWhiskerLeft (CategoryTheory.Pi.eval (fun j => C (e j)) (e.symm (e i')))
            (CategoryTheory.Pi.eqToEquivalenceFunctorIso C ⇑e ⋯).symm ≪≫
          (CategoryTheory.Functor.pi'CompEval (CategoryTheory.Pi.eval (fun j => C (e j)) (e.symm (e i'))).comp
                (CategoryTheory.Pi.eqToEquivalence C ⋯).functor).symm ≪≫
            CategoryTheory.isoWhiskerLeft
                (CategoryTheory.Functor.pi' (CategoryTheory.Pi.eval (fun j => C (e j)) (e.symm (e i'))).comp)
                (CategoryTheory.Functor.pi'CompEval (CategoryTheory.Pi.eval fun i => C (e i'))
                    (CategoryTheory.Pi.eqToEquivalence C ⋯).functor).symm ≪≫
              ((CategoryTheory.Functor.pi' (CategoryTheory.Pi.eval (fun j => C (e j)) (e.symm (e i'))).comp).associator
                  (CategoryTheory.Functor.pi' (CategoryTheory.Pi.eval fun i => C (e i')))
                  (CategoryTheory.Pi.eval (fun i => C (e i')) (CategoryTheory.Pi.eqToEquivalence C ⋯).functor)).symm
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ (P.toLin.flip (P.coroot i)) (P.root i) = 2
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ ⇑(AddMonoid.MulEquiv.coprodComm M N).symm = ⇑(AddMonoid.Coprod.swap N M)
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
g : R[X]
pb : PowerBasis R S
h₁ : (aeval (root g)) (minpoly R pb.gen) = 0
h₂ : (aeval pb.gen) g = 0
p✝ : R[X]
⊢ (pb.lift (root g) h₁) ((liftHom g pb.gen h₂) ((mk g) p✝)) = (mk g) p✝
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
i : LinearIndependent R v
⊢ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ range v }) R Subtype.val
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b c d : G₀
h : b = 0 → a = 0
⊢ b * (a / b) = a
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommGroup α
AddCommGroup β
x y : WithLp p (α × β)
⊢ (x + y).2 = x.2 + y.2
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalAddGroup G
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
L : E →SL[σ] F
this✝ : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G
this : UniformAddGroup G
⊢ Continuous ((⇑(UniformOnFun.ofFun {S | Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ S}) ∘ DFunLike.coe) ∘ { toFun := fun f => f.comp L, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun)
α : Type u
TopologicalSpace α
f : BoundedContinuousFunction α ℝ
x : α
⊢ -‖f‖ ≤ f x
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m v : E
h : v ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
⊢ fract b (v + m) = fract b m
n : ℕ
θ : [n + 1] ⟶ [n]
inst✝ : Epi θ
i : Fin (n + 1)
θ' : [n] ⟶ [n]
h : θ = σ i ≫ θ'
this : Epi (σ i ≫ θ')
⊢ θ = σ i
a✝ b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a : ℕ
hb : 0 < b
⊢ a < b * (a / b + 1)
α : Type u_1
β : Type u_4
SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
s : Set β
S : α
⊢ l.toFun s ≤ S ↔ s ⊆ ↑S
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
e : M ≃ₗ[R] M'
x✝¹ : BilinForm R M'
x✝ y✝ : M
⊢ (((congr e).symm x✝¹) x✝) y✝ = (x✝¹ (e x✝)) (e y✝)
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass M'
AddZeroClass N'
f : M →+ M'
g : N →+ N'
⊢ (AddMonoid.Coprod.swap M' N').comp (AddMonoid.Coprod.map f g) =
  (AddMonoid.Coprod.map g f).comp (AddMonoid.Coprod.swap M N)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑x
⊢ ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (b : AddCircle T), f b ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (volume.restrict (Ioc t (t + T)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : ℝ
f : ℕ → ℝ≥0
⊢ HasSum (fun i => ↑(f i)) r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (fun i => ↑(f i)) i) atTop (𝓝 r)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ f ⁻¹' ∅ = ∅
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
x : ℕ
s : ι → ℕ
⊢ x.Coprime (∏ i : ι, s i) ↔ ∀ (i : ι), x.Coprime (s i)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ∀ m ∈ ⁅I, ⊥⁆, m = 0
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a : ℝ
⊢ Continuous fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H :
  (∃ l', Ordnode.Raised l.size l' ∧ Ordnode.BalancedSz l' r.size) ∨
    ∃ r', Ordnode.Raised r' r.size ∧ Ordnode.BalancedSz l.size r'
⊢ l.balanceR x r = l.balance' x r
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
n : ℕ
u : ℕ → β
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t
x : ℕ
hx : x < (n, ⟨u, ⋯⟩).1
⊢ edist (f (φ (u (n - 1 - x)))) (f (φ (u (n - 1 - x + 1)))) = edist (f (φ (u (n - (x + 1))))) (f (φ (u (n - x))))
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
⊢ G.edist u v ≠ ⊤ ↔ G.Reachable u v
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
f : ℕ → ℝ≥0
⊢ (¬Summable fun i => ↑(f i)) ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, (fun i => ↑(f i)) i) atTop atTop
p x : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)
⊢ ‖↑(0 * x)‖ = |0| * ‖↑x‖
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
this✝ : (↑(P.subtype ⋯)).Normal
this : (↑(P.subtype ⋯)).FiniteIndex
hP : ¬p ∣ (↑(P.subtype ⋯)).index
⊢ ¬p ∣ (↑P).relindex (↑P).normalizer * Nat.card (Sylow p G)
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β → β
H : LeftCommutative f
b : β
⊢ Multiset.foldr f H b 0 = b
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β → δ
s₁ : Stream' α
s₂ : Stream' β
⊢ (Stream'.zip f s₁ s₂).tail = Stream'.zip f s₁.tail s₂.tail
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
b : β
z : Sym2 α
⊢ b ∈ Sym2.map f z ↔ ∃ a ∈ z, f a = b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_5
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
⊢ IsBoundedBilinearMap 𝕜 fun p => p.1 • p.2
𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E✝
inst✝⁵ : HasOrthogonalProjection K
E : Type u_4
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] E'
p : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection p
x : E'
⊢ ↑((orthogonalProjection (Submodule.map (↑f.toLinearEquiv) p)) x) = f ↑((orthogonalProjection p) (f.symm x))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R : Type u_5
Zero R
U : Set X
f : LocallyConstant X R
hU : IsClopen U
x : X
⊢ (f.indicator hU) x = U.indicator (⇑f) x
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit x
h1 : y = x * z
⊢ inverse x * y = z
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)
hab : a ≤ b
⊢ ⇑(SimplexCategory.Hom.toOrderHom (SSet.standardSimplex.edge n a b hab).down) = ![a, b]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card
degree_g_lt : g ∈ degreeLT R s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
⊢ f - g ∈ degreeLT R s.card
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
hp : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
hc : c ≠ 0
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖c • f‖
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
SeminormedAddCommGroup E₃
Module R E
Module R₂ E₂
Module R₃ E₃
e₁ : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
e₂ : E₂ ≃ₛₗᵢ[σ₂₃] E₃
⊢ (e₁.trans e₂).symm = e₂.symm.trans e₁.symm
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set (M × M')
⊢ MDifferentiableOn (I.prod I') I' Prod.snd s
r : ℚ
⊢ ‖↑r‖ = |↑r|
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X'
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y'
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace Z'
f : X → Y
h : OpenEmbedding f
inst✝ : Nonempty X
x : X
⊢ x ∈ (toPartialHomeomorph f h).source
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)
K : IntermediateField F E
inst✝² : DecidablePred fun x => x ∈ K.fixingSubgroup
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
⊢ Fintype.card ↥K.fixingSubgroup = finrank (↥K) E
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
h : W.op.IsInvertedBy L
⊢ W.IsInvertedBy L.rightOp
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
⊢ 0 ≤ dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im))
l : List ℕ
n : ℕ
⊢ List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) (n :: l) → Denumerable.raise (Denumerable.lower l n) n = l
n : ℕ
⊢ Rat.sqrt ↑n = ↑n.sqrt
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid α✝
s✝ t✝ : Set α✝
hs✝ : s✝.IsPWO
ht✝ : t✝.IsPWO
a✝ : α✝
u : Set α✝
hu : u.IsPWO
x : α✝ × α✝
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
a b : α
⊢ (a, b) ∈ mulAntidiagonal ⋯ ⋯ (hs.min hns * ht.min hnt) ↔ (a, b) ∈ {(hs.min hns, ht.min hnt)}
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : x ≤ 1
n : ℕ
⊢ x ^ n ≤ 1
G : Type u_1
M : Type u_2
Monoid G
CommGroup M
MulAction G M
f : G → M
hf : groupCohomology.IsMulOneCocycle f
⊢ f 1 = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : NonUnitalSemiring α
h : ∀ i ∈ s, a ∣ f i
y : α
hy : y ∈ Multiset.map (fun i => f i) s.val
⊢ a ∣ y
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Top α
Inf β
Top β
f : InfTopHom α β
⊢ f.comp (InfTopHom.id α) = f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : NeZero μ
c : ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (_x : α), c ∂μ = c
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G
z : ℤ
⊢ x ^ (z % ↑(orderOf x)) = x ^ (z % ↑(orderOf x) + ↑(orderOf x) * (z / ↑(orderOf x)))
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
U : TopologicalSpace.Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
x : ↥U
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ x)
    (AlgebraicGeometry.stalkToFiberRingHom 𝒜 ↑x) =
  AlgebraicGeometry.openToLocalization 𝒜 U ↑x ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)) (CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ (Type v₁))
φ : F.comp CategoryTheory.yoneda ⟶ CategoryTheory.yoneda.comp G
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
x y : P.Elements
f : x ⟶ y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.yoneda.map (↑f).unop)
    (CategoryTheory.Presheaf.compYonedaIsoYonedaCompLan.coconeApp φ x) =
  CategoryTheory.Presheaf.compYonedaIsoYonedaCompLan.coconeApp φ y
n : ℕ
h : IsPrimePow n
⊢ 1 < n
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
Group G
Group H
MulAction G α
MeasurableSpace α
MulAction H β
MeasurableSpace β
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
f : α ≃ β
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (⇑f.symm) ν μ
e : H ≃ G
hef : ∀ (g : H), Function.Semiconj (⇑f) (fun x => e g • x) fun x => g • x
⊢ MeasureTheory.IsFundamentalDomain H (⇑f '' s) ν
n : ℕ
P : Fin (n + 1) → Prop
⊢ (∃ i, P i) ↔ (∃ i, P i.castSucc) ∨ P (Fin.last n)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ (0 ^ 1) x = 0
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α ι
i : ι
a x : α
l : Line (η → α) ι
C : (ι × η → α) → κ
⊢ Subspace.IsMono C l.toSubspace ↔ IsMono (fun x => C fun x_1 => match x_1 with | (i, e) => x i e) l
p x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
⊢ LiouvilleWith p (↑r + x)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
CategoryTheory.Limits.HasKernels V
i j : ι
r : c.Rel i j
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (C.dFrom i) = CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (C.d i j)
α : Type u
Group α
IsCyclic α
Fintype α
⊢ Monoid.exponent α = Fintype.card α
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
h : Equivalence r
⊢ EqvGen r a b ↔ r a b
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
g : G
a : α
⊢ g • MulAction.orbit G a = MulAction.orbit G a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A₀ : C
x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃
hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A₀
hπ₁ : Epi π₁
p : A₁ ⟶ S.P
hp : π₁ ≫ x₃ = p ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃
hp' : (p ≫ S.φ₁) ≫ S.v₂₃.τ₁ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
hπ₂ : Epi π₂
x₁ : A₂ ⟶ S.L₁.X₁
hx₁ : π₂ ≫ p ≫ S.φ₁ = x₁ ≫ S.v₁₂.τ₁
x₂' : A₂ ⟶ S.L₁.X₂ := x₁ ≫ S.L₁.f
x₂ : A₂ ⟶ S.L₁.X₂ := π₂ ≫ p ≫ pullback.fst S.L₁.g S.v₀₁.τ₃
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₃ = x₁ ≫ S.L₁'.f
x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x ≤ 1
⊢ 0 ≤ x.negMulLog
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝¹ : Reflective i
A : C
inst✝ : IsSplitMono ((reflectorAdjunction i).unit.app A)
η : 𝟭 C ⟶ reflector i ⋙ i := (reflectorAdjunction i).unit
this✝ : IsIso (η.app (i.obj ((reflector i).obj A)))
this : Epi (η.app A)
⊢ A ∈ i.essImage
X : Type u_1
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
OpensMeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ
c : ℝ
⊢ ∫ (x : X), (f + BoundedContinuousFunction.const X c) x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ + (μ Set.univ).toReal • c
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
x y : R
⊢ EuclideanDomain.lcm x y = 0 ↔ x = 0 ∨ y = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
x✝ : ↑m ≤ n
⊢ Differentiable 𝕜 0
s : String
⊢ 0 + s = { byteIdx := s.utf8ByteSize }
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid M
f : ι → M
s t : Finset ι
h : s ⊆ t
i : ι
ht : i ∈ t
hs : i ∉ s
hlt : 0 < f i
hle : ∀ j ∈ t, j ∉ s → 0 ≤ f j
⊢ ∑ j ∈ s, f j < ∑ j ∈ t, f j
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ -(-a ⊓ a) ≤ |b|
R : Type u_2
LinearOrderedRing R
FloorRing R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
MeasurableSpace R
BorelSpace R
s : Set R
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (Int.fract '' s)
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ NonUnitalSubring.closure Set.univ = ⊤
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
L L₂ : List (Γ k)
H₂ : L₂ ∈ TM2.eval M k L
c₁ : TM1.Cfg Γ' Λ' σ
h₁ : c₁ ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
H₁ : c₁.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
⊢ ∃ S L', addBottom L' = c₁.Tape.right₀ ∧ (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = L₂
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0
h0 : a = 0 → Nonempty ι
⊢ ⨅ i, f i * a = (⨅ i, f i) * a
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x
y : MvPolynomial (Option ι) R
⊢ hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin y =
  Polynomial.map (↑hx.aevalEquiv)
    ((MvPolynomial.aeval fun o => o.elim Polynomial.X fun s => Polynomial.C (MvPolynomial.X s)) y)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
x : A
⊢ ↑((AlgEquiv.ofInjective f hf) x) = f x
I : Type u_3
B : I → Type u_4
(i : I) → NormedRing (B i)
∀ (i : I), NormOneClass (B i)
z : ℤ
⊢ Memℓp ↑z ⊤
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, -(((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen)) = (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R✝ : α → β → Prop
C✝ : Computation α → Computation β → Prop
R : α → β → Prop
C : Computation α → Computation β → Prop
b : β
ca : Computation α
⊢ LiftRelAux R C ca.destruct (Sum.inl b) ↔ ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b
n : ℕ
⊢ n < n.sqrt.succ ^ 2