ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Add G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
hf : Smooth I' I f
hg : Smooth I' I g
⊢ Smooth I' I (f + g)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : S ∈ leftTransversals ↑H
⊢ Finite ↑S ↔ H.FiniteIndex
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsAddLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂μ'.addHaarScalarFactor μ • μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
S : J.Cover X
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
I : S.Relation
⊢ (S.index P).sndTo I = I.snd
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial M
f : End R M
hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
contra : ∀ (μ : R), ¬f.HasEigenvalue μ
⊢ False
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ
⊢ Summable fun n => ↑|n| ^ k * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
this : 𝒜ᶜ.card * ℬ.card ≤ 2 ^ Fintype.card α * (𝒜ᶜ ∩ ℬ).card
⊢ 2 ^ Fintype.card α * (𝒜 ∩ ℬ).card ≤ 𝒜.card * ℬ.card
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ |a| ≤ b ↔ -b ≤ a ∧ a ≤ b
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
R0Space X
TopologicalSpace Y
f : Y → X
hf : Inducing f
⊢ R0Space Y
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Submonoid M
x : M × N
⊢ x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (MonoidHom.fst M N) s
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f g : (ℕ → ℕ) → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : Disjoint (range f) (range g)
hfg : ¬MeasurablySeparable (range f) (range g)
I : ∀ (n : ℕ) (x y : ℕ → ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n) → ∃ x' y', x' ∈ cylinder x n ∧ y' ∈ cylinder y n ∧ ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x' (n + 1)) (g '' cylinder y' (n + 1))
A : Type := { p // ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder p.2.1 p.1) (g '' cylinder p.2.2 p.1) }
F : A → A
hFn : ∀ (p : A), (↑(F p)).1 = (↑p).1 + 1
hFx : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.1 ∈ cylinder (↑p).2.1 (↑p).1
hFy : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.2 ∈ cylinder (↑p).2.2 (↑p).1
p0 : A := ⟨(0, fun x => 0, fun x => 0), ⋯⟩
p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0
prec : ∀ (n : ℕ), p (n + 1) = F (p n)
pn_fst : ∀ (n : ℕ), (↑(p n)).1 = n
Ix : ∀ (m n : ℕ), m + 1 ≤ n → (↑(p n)).2.1 m = (↑(p (m + 1))).2.1 m
Iy : ∀ (m n : ℕ), m + 1 ≤ n → (↑(p n)).2.2 m = (↑(p (m + 1))).2.2 m
x : ℕ → ℕ := fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n
hx : x = fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n
y : ℕ → ℕ := fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n
hy : y = fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n
M : ∀ (n : ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n)
u v : Set α
u_open : IsOpen u
v_open : IsOpen v
xu : f x ∈ u
yv : g y ∈ v
huv : Disjoint u v
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
εx : ℝ
εxpos : εx > 0
hεx : ball x εx ⊆ f ⁻¹' u
⊢ False
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
x y z : R
inst✝ : IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
⊢ gcd x y ∈ Ideal.span {gcd x y}
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ Submodule.span R {x} = ⊥ ↔ x = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SupSet α
SupSet β
SupSet γ
g : sInfHom βᵒᵈ γᵒᵈ
f : sInfHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ sSupHom.dual.symm (g.comp f) = (sSupHom.dual.symm g).comp (sSupHom.dual.symm f)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
x : E
⊢ Balanced 𝕜 ((normSeminorm 𝕜 E).ball 0 r)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → β → γ
la : List α
lb : List β
⊢ List.zipWith3 f la lb lb = List.zipWith (fun a b => f a b b) la lb
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ (⋃ i, ⋃ j, s i j)ᶜ = ⋂ i, ⋂ j, (s i j)ᶜ
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hfμ : Integrable f μ
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
hfν : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν
⊢ Integrable (fun x => -f x + log (∫ (z : α), rexp (f z) ∂ν) + llr μ ν x) μ
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
C : ℝ≥0
⊢ ↑‖f‖₊ ≤ ↑C ↔ ∀ (m : (i : ι) → E i), ↑‖f m‖₊ ≤ ↑(C * ∏ i : ι, ‖m i‖₊)
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a b c d : α
PosMulMono α
PosMulStrictMono α
MulPosStrictMono α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
h1 : a < c
h2 : b < d
h3 : 0 ≤ a
h4 : 0 ≤ b
⊢ a * b < c * d
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Iic c, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi (-c), f x
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
SetLike S R
Mul R
Add ι
A : ι → S
SetLike.GradedMul A
i j : ι
gi gj : R
hi : gi ∈ A i
hj : gj ∈ A j
⊢ gi * gj ∈ A (i + j)
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝ : MonoidalCategory V
A B : Action V G
⊢ (((functorCategoryMonoidalEquivalence V G).μIso A B).app PUnit.unit).hom ≫ 𝟙 (((functorCategoryMonoidalEquivalence V G).obj (A ⊗ B)).obj PUnit.unit) = 𝟙 (((functorCategoryMonoidalEquivalence V G).obj A ⊗ (functorCategoryMonoidalEquivalence V G).obj B).obj PUnit.unit)
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x ^ p) = Gamma (1 / p + 1)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 : P
p2 p3 p4 : P
h : EuclideanGeometry.angle p2 p3 p4 = π
⊢ EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3 = EuclideanGeometry.angle p1 p2 p4
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
v : Fin n → R
⊢ (vandermonde v).det ≠ 0 ↔ ∀ ⦃a₁ a₂ : Fin n⦄, v a₁ = v a₂ → a₁ = a₂
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P
⊢ dist (f x) (f y) = dist x y
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
⊢ LpAddConst 0 = 1
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f✝ g : ι → α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
s : Multiset ι
f : α → β → γ
hf : ∀ (a b : α) (c d : β), f (a * b) (c * d) = f a c * f b d
hf' : f 1 1 = 1
f₁ : ι → α
f₂ : ι → β
l : List ι
⊢ (map (fun i => f (f₁ i) (f₂ i)) ⟦l⟧).prod = f (map f₁ ⟦l⟧).prod (map f₂ ⟦l⟧).prod
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ ¬s.toList.isEmpty = true
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : Type u_5
m : MeasurableSpace β
Mul β
MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (f i * f j) (f k) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
⊢ (r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Filter.Tendsto (fun r => μ (s ∩ Metric.closedBall x r) / μ (Metric.closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ L (fun n => χ ↑n) s * L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(ArithmeticFunction.moebius n)) s = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
Add β
ContinuousAdd β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
c : β
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => f x + c) μ
α : Sort u
lt : α → α → Prop
IsStrictOrder α lt
a b : α
⊢ lt a b → ¬lt b a
a✝¹ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
a✝ : ℕ
⊢ (a.factorization + b.factorization) a✝ = (a.factorization ⊓ b.factorization + a.factorization ⊔ b.factorization) a✝
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
⊢ (0 < -a → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → 0 ≤ -a) ↔ (a < 0 → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → a ≤ 0)
x : ℂ
n : ℕ
h₀ : n ≠ 0
hlt : -(π / ↑n) < x.arg
hle : x.arg ≤ π / ↑n
⊢ -π < ↑n * x.arg
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace α
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
⊢ s.Nontrivial → 0 < s.einfsep
α : Type u_2
LE α
x y : α
h : x ≤ y
⊢ y ≥ x
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.nextCoeff ≠ 0 ↔ p.natDegree ≠ 0 ∧ p.coeff (p.natDegree - 1) ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
K₁ K₂ : CategoryTheory.Pretopology C
⊢ K₁ ≤ K₂ ↔ K₁.coverings ≤ K₂.coverings
M : Type u_1
a : M
Add M
h : IsAddCentral a
b c : M
⊢ a + (b + c) = b + (a + c)
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : ℕ →o Submodule R M
⊢ EventuallyConst (⇑f) atTop
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
AddMonoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : Multiplicative G →* A
f : MonoidAlgebra k G
⊢ ((AddMonoidAlgebra.lift k G A) F) f = Finsupp.sum f fun a b => b • F (Multiplicative.ofAdd a)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : HasLineDerivAt 𝕜 f (c • f') x (c • v)
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique t ↔ t.Subsingleton ∨ ∃ s, G.IsClique s ∧ ⇑f '' s = t
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : IsNormal f
a b : Ordinal.{u_1}
h : b ≤ nfp f a
⊢ f b ≤ nfp f a
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a ≤ b
hfab : f a ≤ f b
hf_c : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf_i : Set.InjOn f (Set.Icc a b)
⊢ StrictMonoOn f (Set.Icc a b)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X✝ : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
E : Aᵒᵖ
π : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj E
X Y : C
f : X ⟶ X✝
g : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ 𝟙 (unop E) ≫ π.app (op { obj := Over.mk (g ≫ f), property := ⋯ }) = π.app (op { obj := Over.mk f, property := hf }) ≫ P.map g.op
F : Type u
K : Type v
A : Type w
Ring F
Ring K
AddCommGroup A
Module F K
Module K A
Module F A
IsScalarTower F K A
StrongRankCondition F
StrongRankCondition K
Module.Free F K
Module.Free K A
⊢ FiniteDimensional.finrank F K * FiniteDimensional.finrank K A = FiniteDimensional.finrank F A
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
p : α → Bool
a : List α
l : List (List α)
⊢ countP p (a :: l).join = (map (countP p) (a :: l)).sum
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ μ.toWeakDualBCNN f = (∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ).toNNReal
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ ↑I = ↑J ↔ I = J
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero β
f : α →C₀ β
a : α
⊢ f.toBCF a = f a
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝ : IsEmpty ι
x : G
⊢ ‖constOfIsEmpty 𝕜 E x‖ = ‖x‖
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
v : HeightOneSpectrum R
hv : v ∈ {v | v.maxPowDividing I ≠ 1}
h_zero : ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = 0
hv' : v.maxPowDividing I = 1
⊢ False
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
z w : S
h : z * w = 0
x : A × ↥M
hx : z * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1
y : A × ↥M
hy : w * (algebraMap A S) ↑y.2 = (algebraMap A S) y.1
this : 0 = (algebraMap A S) (x.1 * y.1)
⊢ z = 0 ∨ w = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
ν : Measure α
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) (μ + ν)
⊢ integral (μ + ν) f = integral μ f + integral ν f
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ Submodule.span R ↑p = p
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ IsClosed (Metric.cthickening δ E)
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
⊢ (a ^ p + b ^ p) ^ p⁻¹ ≤ a + b
z : ℂ
⊢ ∃ a, sin a = cos z
α : Sort u
β : Sort v
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β
h : ∀ (b : β), p (e.symm b) ↔ q b
⊢ (∀ (a : α), p a) ↔ ∀ (b : β), q b
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
hR : 0 < R
hwR : Complex.abs w / R ∈ Ico 0 1
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ι 0 (2 * π) → Summable fun n => (fun n θ => ‖f (circleMap c R θ)‖ * (Complex.abs w / R) ^ n) n t
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
⊢ ∀ (i : ι), ↑⌈(b.repr m) i⌉ = (b.repr m) i
v : Sat.Valuation
⊢ Sat.Clause.reify v Sat.Clause.nil True
R : Type u
CommSemiring R
Z : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ IsClosed Z ↔ ∃ I, Z = PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
⊢ ∑ i_1 ∈ range (p ^ (n - i)), C (↑p ^ i) * ((C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i)) ^ (i_1 + 1) * (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (i_1 + 1)) * ↑((p ^ (n - i)).choose (i_1 + 1))) * C (⅟↑p ^ n) = ∑ i_1 ∈ range (p ^ (n - i)), C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (i_1 + 1)) * frobeniusPolyAux p i ^ (i_1 + 1) * C ↑((p ^ (n - i)).choose (i_1 + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨i_1 + 1, ⋯⟩) * p ^ (i_1 - v p ⟨i_1 + 1, ⋯⟩)))
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
H : ι → AddSubgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i +ᵥ ↑(H i) = Set.univ
DecidablePred AddSubgroup.FiniteIndex
⊢ ⋃ k ∈ Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s, g k +ᵥ ↑(H k) = Set.univ ∧
  1 ≤ ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ ∧
    (∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ = 1 →
      (↑(Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s)).PairwiseDisjoint fun i => g i +ᵥ ↑(H i))
α : Type u_3
Preorder α
self : SuccOrder α
a : α
⊢ SuccOrder.succ a ≤ a → IsMax a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
f g : Filter α
s : Set α → Set β
hs : ∀ (t₁ t₂ : Set α), s (t₁ ∩ t₂) = s t₁ ∩ s t₂
⊢ (f ⊓ g).lift' s = f.lift' s ⊓ g.lift' s
α : Type u
r : α → α → Prop
⊢ Equivalence (EqvGen r)
R : Type u
CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom ((ModuleCat.free R).map f) ((ModuleCat.free R).map g) ≫
    (ModuleCat.Free.μ R Y Y').hom =
  (ModuleCat.Free.μ R X X').hom ≫ (ModuleCat.free R).map (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g)
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
a : α
h✝ : a ∈ fixedBy α g
⊢ g • a ∈ s ↔ a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g'✝ : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
g : α → E'
g' : α → F'
h : g x = 0
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ 0 ≤ c * ‖g' x‖
α : Type u_1
LE α
⊢ WithTop.orderIsoSumLexPUnit ⊤ = toLex (Sum.inr PUnit.unit)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a : α
hf : Multipliable f
⊢ ∏' (i : ι), f i ≠ 1 ↔ ∃ x, f x ≠ 1
s : List Char
i✝ p n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
ih : utf8GetAux cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := p }
h : ¬i = p
⊢ utf8GetAux cs { byteIdx := i + c.utf8Size + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := p }
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda F} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.CategoryOfElements.costructuredArrowYonedaEquivalence F).inverse.map f =
    ((CategoryTheory.CategoryOfElements.fromCostructuredArrow F).map f.op).op
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑H = Set.univ
hind : H.index = s.card
⊢ (↑s).PairwiseDisjoint fun x => g x • ↑H
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
S : Submonoid M
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
⊢ S ≤ Submonoid.comap f (Submonoid.map f S)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
j : Fin (n + 2)
i : Fin (n + 1)
H : j = i.succ
⊢ X.σ i ≫ X.δ j = 𝟙 (X.obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk n)))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a b c : X
γ₁ : Path a b
γ₂ : Path b c
⊢ Set.range ⇑(γ₁.trans γ₂) = Set.range ⇑γ₁ ∪ Set.range ⇑γ₂
X : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace X
b : ι → Set X
hb : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.range b)
hb' : ∀ (i : ι), IsLindelof (b i)
U : Set X
⊢ IsLindelof U ∧ IsOpen U ↔ ∃ s, s.Countable ∧ U = ⋃ i ∈ s, b i
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace β
Group α
MulAction α β
ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
TopologicalSpace α
⊢ interior s • interior t ⊆ interior (s • t)
⊢ Differentiable ℂ fun s => (Gamma (s / 2))⁻¹
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x✝ y z : α
t : Set α
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t
⊢ diam (s ∪ t) ≤ diam s + diam t
β : Type u_2
Group β
γ : Type u_3
Group γ
u : UniformSpace γ
UniformGroup γ
F : Type u_4
FunLike F β γ
MonoidHomClass F β γ
f : F
⊢ UniformGroup β
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
DecidableEq α
h : ∀ (x : α), x ∈ l₁ ∪ l₂ → p x
x : α
⊢ x ∈ l₁ → p x
α : Type u_1
p : α → Prop
cut : α → Ordering
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.All p t → Batteries.RBNode.All p (Batteries.RBNode.del cut t)
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace β
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
OrderTopology β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r s : β
⊢ StrictConvex 𝕜 (Set.uIcc r s)
a : ℕ
ha : a ≠ 0
n d : ℕ
⊢ NNRat.divNat (a * n) (a * d) = NNRat.divNat n d
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
q₁ : Submodule R M'
⊢ ↑(p.prod q₁) = ↑p ×ˢ ↑q₁
α : Type u_1
GroupWithZero α
a : { a // a ≠ 0 }
⊢ unitsEquivNeZero.symm a = Units.mk0 ↑a ⋯
P : Type u_1
SemilatticeSup P
OrderBot P
x : P
S : Set (Order.Ideal P)
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ s ∈ S, x ∈ s
α : Type u_1
l : List α
a : α
⊢ ↑(a :: l) = ↑(l ++ [a])
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
a : α
⊢ (⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b)) ⊓ ⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b) = (⨅ x, ⨅ (_ : x > 0), 𝓟 {a_1 | -x < a - a_1}) ⊓ ⨅ x, ⨅ (_ : x > 0), 𝓟 {a_1 | a - a_1 < x}
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f g : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g i
⊢ iSup f ≤ iSup g
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hst : Convex ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
hx : x ∈ interior s
y : E
hy : y ∈ interior t
h : E ≃ₜ E := gaugeRescaleHomeomorph (-x +ᵥ s) (-y +ᵥ t) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⊢ ∃ e, ⇑e '' interior s = interior t ∧ ⇑e '' closure s = closure t
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0
⊢ rayOfNeZero R x hx = positiveOrientation ∨ rayOfNeZero R x hx = -positiveOrientation
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ a ≤ 1 / b ↔ b ≤ 1 / a