ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
x : E
y : F
⊢ ‖(f x) y‖ ≤ ‖f.flip‖ * ‖y‖ * ‖x‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ (x - y + y) y
⊢ ‖x - y + y‖ - ‖y‖ < ‖x - y‖
α : Type u_5
CompleteLattice α
s : Set α
⊢ CompleteLattice.SetIndependent s ↔ CompleteLattice.Independent Subtype.val
X✝ : Scheme
P : {X : Scheme} → X.Opens → Prop
X : Scheme
U : X.Opens
h₁ : ∀ (X : Scheme) (U : X.Opens), (∀ (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ x, P V) → P U
h₂ : ∀ (X Y : Scheme) (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f], ∃ U V, ∃ (hU : U = ⊤) (hV : V = Set.range ⇑f.val.base), P { carrier := U, is_open' := ⋯ } → P { carrier := V, is_open' := ⋯ }
h₃ : ∀ (R : CommRingCat), P ⊤
x : ↥U
⊢ ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ x, P V
R : Type u
S✝ : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S✝
S : Type v
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
⊢ IsOpen (Set.range ⇑(comap (algebraMap R S)))
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
x : α
hx : x ∈ s → f x = g x
⊢ s.indicator f x = s.indicator g x
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
ExpChar R p
PerfectRing R p
⊢ pNilradical R p = ⊥
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h₁ : p.Monic
⊢ p = Polynomial.X ^ p.natDegree ↔ p.natDegree ≤ p.natTrailingDegree
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x y : ModP K v O hv p
hxy0 : x * y ≠ 0
hx0 : x ≠ 0
⊢ preVal K v O hv p (x * y) = preVal K v O hv p x * preVal K v O hv p y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.biprod.isoCoprod X Y).hom =
  CategoryTheory.Limits.biprod.desc CategoryTheory.Limits.coprod.inl CategoryTheory.Limits.coprod.inr
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TotallyDisconnectedSpace β
f✝ : α → β
S : Set α
hS : IsPreconnected S
T : Set β
inst✝ : DiscreteTopology ↑T
f : α → β
hc : ContinuousOn f S
hTm : MapsTo f S T
hne : T.Nonempty
x : α
hx : x ∈ S
⊢ ∃ y ∈ T, EqOn f (const α y) S
X : Type u
TopologicalSpace X
CompactSpace X
l : Filter X
y : X
h : ∀ (x : X), ClusterPt x l → x = y
⊢ l ≤ 𝓝 y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
F : CategoryTheory.Arrow C
G : X ⟶ F.augmentedCechNerve
⊢ (CategoryTheory.SimplicialObject.equivalenceRightToLeft X F G).left =
  G.left.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0)) ≫ CategoryTheory.Limits.WidePullback.π (fun x => F.hom) 0
α : Type u
Preorder α
f : α → α
hf : Monotone f
n : ℕ
⊢ Monotone f^[n]
d : ℤ
⊢ Zsqrtd.sqrtd.re = 0
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
p q : R[X]
⊢ Polynomial.map f (p.comp q) = (Polynomial.map f p).comp (Polynomial.map f q)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ₑ D
α : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.RightExactFunctor.ofExact C D).map α = α
R : Type u_5
Monoid R
HasDistribNeg R
n : ℕ
h : -1 ≠ 1
⊢ (-1) ^ n = 1 ↔ Even n
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
I : R →+* R
B F : M →ₗ[R] M →ₛₗ[I] M₃
B' : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₛₗ[I] M₃
B'' : M₂ →ₗ[R] M₂ →ₛₗ[I] M₃
f f' : M →ₗ[R] M₁
g g' : M₁ →ₗ[R] M
x✝¹ : M
x✝ : M₁
⊢ (B' (0 x✝¹)) x✝ = (B x✝¹) (0 x✝)
R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝ : Countable R
⊢ {x | IsAlgebraic R x}.Countable
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ s.einfsep = ⊤
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Add R
inst✝ : BoundedAdd R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
C : ℝ
hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ Set.range f + Set.range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ Set.range f + Set.range g → dist x y ≤ C
⊢ ∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f + g) x) ((f + g) y) ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
p : β → Prop
⊢ Filter.blimsup u f p = Filter.limsup (u ∘ Subtype.val) (Filter.comap Subtype.val f)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : C → Prop
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms P
⊢ isoClosure P = P
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i = ∑ i ∈ s, f i • g (σ⁻¹ i)
p : ℕ
idx : Type u_2
Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ
h : ∀ (n : ℕ), (MvPolynomial.bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n) = (MvPolynomial.bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
⊢ f = g
α : Type u
DivisionMonoid α
a : α
h : IsUnit a
⊢ ↑h.unit' = a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty Cᵒᵖ
X Y : Cᵒᵖ
φ : W.RightFraction X Y
⊢ φ.unop.s = φ.s.unop
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
P : ℕ → ℕ → Prop
ha : ∀ (a : ℕ), P (a + 1) (a + 1)
hb : ∀ (b : ℕ), P 0 (b + 1)
hd : ∀ (a b : ℕ), a < b → P (a + 1) b → P a (b + 1) → P (a + 1) (b + 1)
a b : ℕ
h : a + 1 < b + 1
⊢ P (a + 1) (b + 1)
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.rtakeWhile p l = l ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → p x = true
α : Type u_1
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
⊢ (l.balance2 v r).reverse = (l.reverse.reverse.balance2 v r.reverse.reverse).reverse
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ m.psub n = some (m - n)
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
h : IsSimpleOrder β
f : α ≃o β
⊢ IsSimpleOrder α
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
t : Subalgebra R A
h : s ≤ t
ht : IsClosed ↑t
⊢ s.topologicalClosure ≤ t
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ₁ θ₂ : Real.Angle
⊢ (o.rotation θ₁).trans (o.rotation θ₂) = o.rotation (θ₂ + θ₁)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
⊢ op (⋯.functor.obj (unop (op ((Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).toPrefunctor.1 (unop (op U)))))) = (Opens.map (D.f i k).base).op.obj (op (⋯.functor.obj U))
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
p : G.Walk v v
hp : p.IsCircuit
⊢ ¬p.Nil
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o₂) ℤ
m : Products I
hm : m < l
⊢ eval (π C fun x => ord I x < o₂) m = f ↔ (πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) m) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
t : Set β
s : β → Set α
ht : t.Countable
hm : ∀ i ∈ t, NullMeasurableSet (s i) μ
hd : t.Pairwise (AEDisjoint μ on s)
f : α → ℝ≥0∞
this : Encodable ↑t
⊢ ∫⁻ (a : α) in ⋃ i ∈ t, s i, f a ∂μ = ∑' (i : ↑t), ∫⁻ (a : α) in s ↑i, f a ∂μ
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
D : Type u₃
CategoryTheory.Bicategory D
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
G : CategoryTheory.Pseudofunctor C D
a : B
⊢ (F.comp G).mapId a = G.map₂Iso (F.mapId a) ≪≫ G.mapId (F.obj a)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
PseudoEMetricSpace Z
e₁ : X ≃ᵈ Y
e₂ : Y ≃ᵈ Z
⊢ ⇑(e₁.trans e₂) = ⇑e₂ ∘ ⇑e₁
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
⊢ c.symm.Rel i j = c.Rel j i
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b
⊢ Finset.card (moveRight b m) / 2 < Finset.card b / 2
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
t : (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U) ⊆ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts
hε : 0 ≤ ε
sp : ∀ (a b : Finset (Finset α)), a.product b = a ×ˢ b
⊢ 3 / 4 * ε ≤ |(∑ i ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), (fun x => ↑(G.edgeDensity x.1 x.2)) i) / ↑((star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U)).card - (∑ i ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, (fun x => ↑(G.edgeDensity x.1 x.2)) i) / ↑((chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts).card|
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
PosSMulReflectLT α β
h : a • b₁ < a • b₂
ha : 0 ≤ a
⊢ b₁ < b₂
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
I J : Ideal A
⊢ DvdNotUnit I J ↔ J < I
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
⊢ μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x ≤ σ x})] stoppedValue f τ
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
x : Z
ex : x ∈ e.source
⊢ ↑e.symm (proj x, (↑e x).2) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nontrivial β
f : α → β
hf : Surjective f
⊢ Nontrivial α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : 0 < n
⊢ Nat.log p n = padicValNat p n ↔ n < p ^ (padicValNat p n + 1)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0
h_spanx : spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≠ 0
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≤ I
s : Finset K
hs : span R₁ ↑s = ↑(J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x))
⊢ (↑J).FG
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ ↑⊥ = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
⊢ G.IsNClique n ∅ ↔ n = 0
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ
⊢ replicate n p ~ (p ^ n).primeFactorsList
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.natTrailingDegree 1 = 0
α : Type u_1
M : Type u_8
G : Type u_12
AddGroup G
CommMonoid M
g : α →₀ G
h : α → G → M
h0 : ∀ (a : α), h a 0 = 1
⊢ (-g).prod h = g.prod fun a b => h a (-b)
α : Type u
LT α
a : α
l : List α
⊢ [] < a :: l
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α
⊢ BijOn (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), BijOn (⇑f)^[n] s s
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (𝟙_ C) f)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor Y).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a✝ b : α
inst✝ : LE α
a : α
⊢ ⊤ ≤ ↑a ↔ ↑a = ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
F G : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
α : F ⟶ G
X : CategoryTheory.Grothendieck F
⊢ (CategoryTheory.Grothendieck.map α).obj X = { base := X.base, fiber := (α.app X.base).obj X.fiber }
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X✝¹ : C
R✝ : Presieve X✝¹
S✝ : Sieve X✝¹
inst✝¹ : R✝.hasPullbacks
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
R : Presieve X✝
S : Sieve X✝
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
x : P.obj (op B)
ij : I × I
⊢ Pi.π (fun ij => P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) ij ((forkMap P X π ≫ firstMap P X π) x) = Pi.π (fun ij => P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) ij ((forkMap P X π ≫ secondMap P X π) x)
C : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
⊢ F.Final ↔ ∀ (d : D), CategoryTheory.IsFiltered (CategoryTheory.StructuredArrow d F)
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
⊢ (Sum.inl x).isLeft = true
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
ι : Type u_2
f : ι → Filter α
⊢ (⨅ i, f i).sets = ⋃ t, (⨅ i ∈ t, f i).sets
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝⁸ : AddMonoid M
inst✝⁷ : HasShift C M
inst✝⁶ : HasShift D M
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithShift M
L : C ⥤ D
inst✝⁴ : L.IsLocalization W
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : L.CommShift M
X Y Z T : C
a : M
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Y
f : SmallShiftedHom W X Y a
n a' : M
h : a + n = a'
⊢ ((L.commShiftIso n).hom.app X ≫ (shiftFunctor D n).map ((SmallHom.equiv W L) f) ≫ (shiftFunctor D n).map ((L.commShiftIso a).hom.app Y) ≫ (shiftFunctorAdd' D a n a' h).inv.app (L.obj Y) ≫ (L.commShiftIso a').inv.app Y) ≫ ((L.commShiftIso a').app Y).hom = (L.commShiftIso n).hom.app X ≫ (shiftFunctor D n).map ((SmallHom.equiv W L) f ≫ ((L.commShiftIso a).app Y).hom) ≫ (shiftFunctorAdd' D a n a' h).inv.app (L.obj Y)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
hp : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
n : ι × ι
⊢ eLpNorm (↑↑(f n.1) - ↑↑(f n.2)) p μ ≠ ⊤
X Y : LightProfinite
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
q : Set ↑t → Prop
h : HasCountableSeparatingOn (↑t) q Set.univ
hpq : ∀ (U : Set ↑t), q U → ∃ V, p V ∧ Subtype.val ⁻¹' V = U
⊢ HasCountableSeparatingOn α p t
α : Type u
β : Type v
as : List α
⊢ as.zipRight [] = []
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
I : Ideal R
m x : M
hx : x ∈ I • span R {m}
m1 m2 : M
x✝¹ : ∃ y ∈ I, y • m = m1
x✝ : ∃ y ∈ I, y • m = m2
y1 : R
hyi1 : y1 ∈ I
hy1 : y1 • m = m1
y2 : R
hyi2 : y2 ∈ I
hy2 : y2 • m = m2
⊢ (y1 + y2) • m = m1 + m2
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
r : R
⊢ Represents b ((_root_.algebraMap R (Matrix ι ι R)) r) ((_root_.algebraMap R (Module.End R M)) r)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ e.trans 1 = e
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
s : Set β
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (fun x => κ.density ν a x s) 1 (ν a) ≤ (ν a) Set.univ
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
π : δ' → Type u_6
π' : δ' → Type u_7
inst✝² : (x : δ') → MeasurableSpace (π x)
inst✝¹ : (x : δ') → MeasurableSpace (π' x)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_8
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
i : Fin (n + 1)
⊢ Measurable fun x => (Equiv.piFinSuccAbove α i).symm x i
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
hn : Even n
⊢ Even ↑n
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ ClassGroup.mk (XYIdeal' h₁) * ClassGroup.mk (XYIdeal' h₂) = ClassGroup.mk (XYIdeal' ⋯)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
c : ℝ≥0
⊢ edist x y < ↑c ↔ nndist x y < c
α : Type u_1
l₁ l₂ l : List α
d : l.Nodup
s₁ : l₁ <+ l
s₂ : l₂ <+ l
h : l₁ ~ l₂
⊢ l₁ = l₂
m n i : ℕ
hi : 2 ≤ i
m✝ : ℕ
a✝ : Nat.le 1 m✝
⊢ i + m✝.succ ! < (i + m✝.succ)!
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x : α
⊢ (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s).ordConnectedComponent (OrderDual.toDual x) = ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s.ordConnectedComponent x
α : Type u_1
Preorder α
s t : Set α
hs : IsLowerSet s
⊢ Disjoint s ↑(upperClosure t) ↔ Disjoint s t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit F.op
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
i : ι
a : A i
n : ℕ
⊢ (DirectSum.of A i) a ^ n = (DirectSum.of A (n • i)) (GradedMonoid.GMonoid.gnpow n a)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
f : β → α
CompleteSpace α
s : Set β
⊢ ((Summable fun x => f ↑x) ∧ Summable fun x => f ↑x) ↔ Summable f
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
f : ι → E
hf : Summable fun a => ‖f a‖
s : α → Finset ι
p : Filter α
p.NeBot
hs : Filter.Tendsto s p Filter.atTop
a : E
ha : Filter.Tendsto (fun b => ∑ i ∈ s b, f i) p (𝓝 a)
⊢ HasSum f a
I : Type u
f : I → Type v
DecidableEq I
(i : I) → Zero (f i)
i : I
x : f i
⊢ (ZeroHom.single f i) x = Pi.single i x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ ψ.op.φH = ψ.φH.op
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set ℝ
ht : MeasurableSet t
⊢ ∀ (t : Set ℝ), MeasurableSet t → ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) t ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ t) → ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) tᶜ ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ tᶜ)
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a✝ b✝ : α
n a b : ℕ
⊢ multinomial univ ![a, b] = (a + b)! / (a ! * b !)
x : ℝ
⊢ sin (x + π / 2) = cos x
R : Type u
Field R
p q : R[X]
⊢ (p / q).degree ≤ p.degree
R : Type u_3
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_4
CommRing P
Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ I.mul J = ⟨↑I * ↑J, ⋯⟩
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hnm : n ≤ m
⊢ ∀ (n_1 : α), n ≤ n_1 → ((∀ i ∈ Ico n n_1, r i (succ i)) → ReflTransGen r n n_1) → (∀ i ∈ Ico n (succ n_1), r i (succ i)) → ReflTransGen r n (succ n_1)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
⊢ Filter.atTop⁻¹ = 𝓝[>] 0
ι : Type u_1
R : Type u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
F : Filter ι
F.NeBot
Add R
ContinuousAdd R
CovariantClass R R (Function.swap fun x y => x + y) fun x y => x ≤ y
f : ι → R
c : R
cobdd : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) F f
bdd_below : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) F f
⊢ Filter.liminf (fun i => f i + c) F = Filter.liminf f F + c
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f✝ s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
h : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (⇑g ∘ f✝) s x‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f✝ s x‖
f : F →L[𝕜] G
⊢ ‖g f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
a✝ : Nontrivial α
⊢ ((a.factors ⊔ b.factors).prod * (a.factors ⊓ b.factors).prod).factors = (a * b).factors
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p
⊢ (fun x => rexp (-b * x ^ p)) =o[Filter.atTop] fun x => rexp (-x)
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
z : ℤ
v : V₁
⊢ AffineEquiv.constVAdd k P₁ (z • v) = AffineEquiv.constVAdd k P₁ v ^ z
Ω : Type u_1
β : Type u_3
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace β} {f g : Ω → β},
  ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' f g μ → ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' g f μ
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
Zero δ
g : CocompactMap β γ
⊢ CompactlySupportedContinuousMap.comp 0 g = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ ↑u ^ 3 * Q y * Q z ^ 3 = Q y * (↑u * Q z) ^ 3
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ K, dist (Complex.cderiv δ f x) ((Complex.cderiv δ ∘ F) n x) < ε
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q ≠ 0
⊢ ¬(CauSeq.const (padicNorm p) q).LimZero
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
Fintype ι
DecidableEq ι
e : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M
⊢ (e.map f).orientation = e.orientation ↔ 0 < LinearMap.det ↑f
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_nonneg : 0 ≤ r
x : E
hx : x ≠ 0
this : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ‖(↑r * (↑‖x‖)⁻¹) • x‖ = r
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
i : ℕ
h : i < c.boundaries.card
⊢ (List.take i c.blocks).sum = ↑(c.boundary ⟨i, h⟩)
⊢ 3⁻¹ + 3⁻¹ + 3⁻¹ = 1