ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a) μ
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f x ∂μ))
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
ν : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
⊢ ↑ν.toFiniteMeasure = ↑ν
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : R1Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : LocallyIntegrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
n : ℕ
⊢ ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ.restrict (closure (compactCovering β n)) = 0
α : Type u
Zero α
⊢ ⊤ ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
ι : Type u_3
U : ι → TopologicalSpace.Opens β
hU : iSup U = ⊤
⊢ IsOpenMap f ↔ ∀ (i : ι), IsOpenMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ maximalAtlas M G
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source
f : PartialHomeomorph M H := chartAt H (↑e.symm x)
s : Set H := e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' f.source
hs : IsOpen s
xs : x ∈ s
A : e.symm ≫ₕ f ∈ G
⊢ (e.symm ≫ₕ e').restr s ∈ G
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
a b : (i : ι) × α i
⊢ Sigma.Lex r s a b ↔ r a.fst b.fst ∨ ∃ h, s b.fst (h ▸ a.snd) b.snd
R : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace R
inst✝ : Sub R
K : ℝ≥0
lip : LipschitzWith K fun p => p.1 - p.2
s t : Set R
s_bdd : Bornology.IsBounded s
t_bdd : Bornology.IsBounded t
⊢ Bornology.IsBounded (s - t)
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
A : 0 < ↑m
⊢ f 1 + log ↑((m - 1)! * m) = f 1 + log ↑(m.pred ! * (m.pred + 1))
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y
Finite ι
(i : ι) → Fintype ↥(H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card ↥(H i)).Coprime (Fintype.card ↥(H j))
⊢ CompleteLattice.Independent H
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
hd : p ∣ a
q : α
hq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a
hpq : p ~ᵤ q
⊢ ∃ (h : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a), ⟨Associates.mk q, ⋯⟩ = ⟨Associates.mk p, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
f : α → γ
g : β → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) = f x
hg : ContinuousAt g b
⊢ di.extend f b = g b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
s : Set α
⊢ ∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = (μ s).toReal
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Γ.map (f ∣_ U).op =
  Y.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op ≫
    AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f U ≫ X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
P : W.Point
⊢ WeierstrassCurve.Affine.Point.toClass P = 0 ↔ P = 0
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
H : IsRelPrime (x * y) z
⊢ IsRelPrime y z
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I J : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ ↑(I ⊓ J) = ↑I ∩ ↑J
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.6986, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (cokernel.π f.op).unop ≫ f = 0
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
z : ℂ
hz : z ∈ spectrum ℂ a
⊢ (ofReal' ∘ re) z ∈ spectrum ℂ a
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder α r
IsWellOrder β s
⊢ Ordinal.lift.{max v w, u} (Ordinal.type r) ≤ Ordinal.lift.{max u w, v} (Ordinal.type s) ↔ Nonempty (r ≼i s)
⊢ ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → multiplicity 2 n ! < ↑n
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_2} A
inst✝⁸ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
D : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_3} D
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁴ : HasWeakSheafify K A
G : C ⥤ D
inst✝³ : ∀ (X : Dᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X G.op) A
inst✝² : IsDenseSubsite J K G
ht' : IsTerminal (G.obj t)
inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝ : (constantSheaf J A).Full
F : Sheaf K A
e : Sheaf J A ≌ Sheaf K A := sheafEquiv G J K A
this : (constantSheaf K A).Faithful
⊢ IsDiscrete J ht (e.inverse.obj F) ↔ IsDiscrete K ht' F
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
FiniteDimensional ℝ E
⊢ HasCompactSupport ↑f
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
h : ¬n ≤ m
⊢ False
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : HasDerivAtFilter f f' x L
hL : f₁ =ᶠ[L] f
hx : f₁ x = f x
⊢ HasDerivAtFilter f₁ f' x L
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1
⊢ 4⁻¹ * (𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • I • x - y‖) = 4⁻¹ * (-I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
⊢ f ×ˢ (g₁ ⊔ g₂) = f ×ˢ g₁ ⊔ f ×ˢ g₂
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ ∅.erase a = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α
⊢ IsOpen s ↔ IsUpperSet s ∧ IsOpen s
X Y : TopCat
f : ↑X ≃ₜ ↑Y
⊢ (TopCat.isoOfHomeo f).hom = f.toContinuousMap
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w✝ : K
h_mem : w✝ ∈ ↑1
h_nz : w✝ ≠ 0
h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) w✝| ≤ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑1) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
a x z✝ z : ℂ
⊢ z ∈ slitPlane ↔ z.arg ≠ π ∧ z ≠ 0
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
s : Set E
⊢ ContinuousOn (⇑e) s
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
s : Set ℝ
hs : ∃ ε > 0, Metric.ball 0 ε ⊆ s
⊢ ∃ r, (Metric.closedBall 0 r)ᶜ ⊆ (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' s
α : Type u_1
BEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ ∩ l₂ = List.filter (fun x => List.elem x l₂) l₁
K : Type u_1
RCLike K
r : ℝ
z : K
⊢ RCLike.im (r • z) = r * RCLike.im z
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
n k : ℕ
hk : ∀ n_1 ≥ k, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n_1)‖ < ↑p ^ (-↑n)
this : limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r (max n k)) ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
⊢ ↑(nthHom f r (max n k)) - ↑((f n) r).val ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
R : Type u_2
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
c : R
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c • f y) (c • f') s x
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
A : Finset α
hA : A ∈ ↑(increment hP G ε).parts
⊢ A.card = m ∨ A.card = m + 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set V
⊢ (SimpleGraph.induce s G).Connected ↔ (⊤.induce s).Connected
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
self : CategoryTheory.Congruence r
X Y Z : C
f f' : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ r f f' → r (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' g)
u : PNat.XgcdType
⊢ u.flip.v = u.v.swap
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsArtinian R M
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hf : ¬s.Finite
f : ℕ ↪ ↑s
this : ∀ (n : ℕ), Subtype.val ∘ ⇑f '' {m | n ≤ m} ⊆ s
⊢ (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1
E : Type u_4
AddGroup E
p : AddGroupSeminorm E
⊢ p.comp (AddMonoidHom.id E) = p
θ₁ θ₂ : Real.Angle
⊢ (θ₁ + θ₂).sin = θ₁.sin * θ₂.cos + θ₁.cos * θ₂.sin
S : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ S
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds S
⊢ ∃ x, IsLUB S x
n : ℕ
G : Type u_6
AddGroup G
h : (Nat.card G).Coprime n
g : G
⊢ (nsmulCoprime h) g = n • g
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
hfg : f =ᵐ[μ] g
⊢ MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf = MeasureTheory.Memℒp.toLp g hg
M₀ : Type u_1
MonoidWithZero M₀
r : M₀
⊢ r ∉ nonZeroDivisorsLeft M₀ ↔ {s | s * r = 0 ∧ s ≠ 0}.Nonempty
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
X Y : SemilatSupCat
a : SupBotHom X.X Y.X
⊢ SemilatSupCat.dual.map a = SupBotHom.dual a
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b c d : G
⊢ a - b = c - d ↔ a - c = b - d
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b
hsum : Summable fun x => term f s x.1 * term g s x.2
⊢ HasSum (fun n => ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {n})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2) (a * b)
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation K Γ₀
x y : K
γ : Γ₀ˣ
y_ne : y ≠ 0
h : v (x - y) < min (↑γ * (v y * v y)) (v y)
hyp1 : v (x - y) < ↑γ * (v y * v y)
hyp1' : v (x - y) * (v y * v y)⁻¹ < ↑γ
hyp2 : v (x - y) < v y
key : v x = v y
x_ne : x ≠ 0
⊢ v (x⁻¹ - y⁻¹) < ↑γ
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
⊢ 𝓤 (Completion α) = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | dist p.1 p.2 < ε}
R : Type u_2
LinearOrder R
a b c : R
ha : a < b
hb : a ≤ c
⊢ a ≤ min b c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
Z : C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
f g : X.obj Δ ⟶ Z
h : ∀ (A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ), (s.cofan Δ).inj A ≫ f = (s.cofan Δ).inj A ≫ g
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
ih : μ (s ∆ (f^[n] ⁻¹' s)) ≤ n • μ (s ∆ (f ⁻¹' s))
⊢ μ (s ∆ (f^[n + 1] ⁻¹' s)) ≤ (n + 1) • μ (s ∆ (f ⁻¹' s))
R : Type u_1
MulZeroClass R
h : IsRightRegular 0
⊢ Subsingleton R
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : 0 < a
⊢ a < a * b ↔ 1 < b
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
⊢ ↑⊥ = ⊥
α : Type u_1
M M' : Matroid.Matroidᵣ α
⊢ M < M' ↔ M.toMatroid.StrictRestriction M'.toMatroid
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
L : List (List α)
⊢ (l :: L).join = [] ↔ ∀ (l_1 : List α), l_1 ∈ l :: L → l_1 = []
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
F.ReflectsEpimorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : CategoryTheory.Epi (F.map f)
⊢ CategoryTheory.Epi f
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₃)
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
X₁ X₂ : CategoryTheory.GradedObject I C₁
f : X₁ ⟶ X₂
Y₁ Y₂ : CategoryTheory.GradedObject J C₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj X₁).obj Y₁).HasMap p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj X₂).obj Y₂).HasMap p
i : I
j : J
k : K
h : p (i, j) = k
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorMapObj F p X₁ Y₁ i j k h)
    (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapMap F p f g k) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map (f i)).app (Y₁ j))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.obj (X₂ i)).map (g j))
      (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorMapObj F p X₂ Y₂ i j k h))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
x : E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hx : f x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ fderivWithin ℝ (fun x => √(f x)) s x = (1 / (2 * √(f x))) • fderivWithin ℝ f s x
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x : P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ I ≤ FractionalIdeal.spanSingleton S x * J ↔ ∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zJ = zI
⊢ (deriv fun x => 1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn x) =o[Filter.atTop] fun x => x⁻¹
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑H = Set.univ
⊢ H.index ≤ s.card
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
k : ℕ
s t : Set ℝ
ht : UniqueDiffWithinAt ℝ t y
hs : s ∈ 𝓝[t] y
hf : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
⊢ HasDerivWithinAt (fun z => (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - z) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s z)
  ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 2) f s y -
    ((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y)
  t y
z w : ℂ
⊢ dist z w = Complex.abs (z - w)
G : Type u_1
Group G
⊢ Group.IsNilpotent G ↔ ∃ n, lowerCentralSeries G n = ⊥
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ
PartialOrder Γ'
VAdd Γ Γ'
IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
AddCommMonoid V
MulZeroClass R
SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
⊢ ((HahnModule.of R).symm (x • y)).support ⊆ x.support +ᵥ ((HahnModule.of R).symm y).support
α✝ : Type u_1
l : RBNode α✝
v : α✝
r : RBNode α✝
cl : RBColor
n : Nat
hl : l.Balanced cl (n + 1)
hr : RedRed True r n
⊢ RedRed (cl = red) (l.balRight v r) (n + 1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommGroup β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (-f) ↔ ConvexOn 𝕜 s f
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
E' : Type u_11
SeminormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
RingHomIsometric σ₁₂
ProperSpace F
s : Set (E' →SL[σ₁₂] F)
hb : Bornology.IsBounded s
⊢ IsCompact (closure (DFunLike.coe '' s))
M : Type u_1
AddMonoid M
γ : Type u_3
AddMonoid γ
f : M → γ
hf : IsAddMonoidHom f
⊢ IsAddSubmonoid (Set.range f)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
⊢ Function.Surjective HomogeneousLocalization.mk
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh : ∀ (I : S.Arrow), (x.pullback I.f).refine (h1 I) = (y.pullback I.f).refine (h2 I)
⊢ mk x = mk y
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ a
h2 : a < b
⊢ c + (a - c) < b
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hu : (p * q).IsPrimitive
hpm : p.natDegree = 0
⊢ IsUnit p
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite ν
MeasureTheory.SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
⊢ (r • ν).rnDeriv μ =ᵐ[μ] r • ν.rnDeriv μ
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.bind₂ MvPolynomial.C = RingHom.id (MvPolynomial σ R)
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
⊢ Continuous pkg.coe
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
s : Set α
(x : α) → Decidable (x ∈ s)
⊢ (s.restrict fun a => if a ∈ s then f a else g a) = s.restrict f
α : Type u
Mul α
One α
a : α
Invertible a
⊢ ⅟a * a = 1
g✝ : SL(2, ℤ)
z✝ z : ℍ
g₀ : SL(2, ℤ)
hg₀ : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), (g' • z).im ≤ (g₀ • z).im
g : SL(2, ℤ)
hg : ↑g 1 = ↑g₀ 1
hg' : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), ↑g 1 = ↑g' 1 → |(g • z).re| ≤ |(g' • z).re|
⊢ g • z ∈ 𝒟
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
H : t.IsKan
⊢ CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift f g
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
s : Set Ω
_s_mble : MeasurableSet s
⊢ ↑μ.mass⁻¹ * ↑μ s = (μ.mass⁻¹ • ↑μ) s
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : p.Monic
q : R[X]
⊢ q * p = 0 ↔ q = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
ht : t.Nonempty
i : α
⊢ i ∈ image Prod.fst (s ×ˢ t) ↔ i ∈ s
α : Type u_1
S : Set (Set α)
⊢ (⋃₀ S).Nonempty ↔ ∃ s ∈ S, s.Nonempty
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
m : M
hB : ∀ (n : M), (B m) n = 0
⊢ m = 0
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ f'' x
this : EqOn (deriv f) f' (interior D)
⊢ ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ deriv^[2] f x
α : Type u
Add α
a b c : WithBot α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ha : a ≠ ⊥
⊢ b + a < c + a ↔ b < c
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
x : α
⊢ IsOpen (connectedComponent x)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
h : c ∈ [[a, b]]
⊢ |b - c| ≤ |b - a|
R : Type u
S : Type v
CommRing R
f : R[X]
CommRing S
a : S
Algebra R S
hfx : (Polynomial.aeval a) f = 0
g : R[X]
⊢ (AdjoinRoot.liftHom f a hfx) ((AdjoinRoot.mk f) g) = (Polynomial.aeval a) g
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
hx : IsTop x
⊢ IsTop x.1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
FrechetUrysohnSpace X
f : X → Y
a : X
b : Y
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 b) ↔
  ∀ (u : ℕ → X), Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 a) → Filter.Tendsto (f ∘ u) Filter.atTop (𝓝 b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑r < p.radius - ↑‖x‖₊
⊢ ↑r ≤ (p.changeOrigin x).radius
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
f : CategoryTheory.Functor C D
hf : f.FullyFaithful
X : C
⊢ ∀ (f_1 : f.obj X ⟶ f.obj X), (hf.mulEquivEnd X).symm f_1 = hf.preimage f_1
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (iInf f).toNNReal = ⨅ i, (f i).toNNReal
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p✝ : ℝ
s : Set ℝ
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ (deriv fun x => x ^ p) =Θ[atTop] fun x => x ^ (p - 1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
e : K ≅ L
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
⊢ L.HasTotal c₁₂
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
⊢ ↑(index (↑K) U) / ↑(index (↑K₀) U) ≤ ↑(index ↑K ↑K₀)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s✝ : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x y z : E
s : Finset E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) ↑s) f
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑s
⊢ f x ≤ s.sup' ⋯ f
α : Type u_1
DecidableEq α
PartialOrder α
OrderBot α
PredOrder α
⊢ Order.pred ↑⊥ = ⊥
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
s : Ideal R
hs : s ≠ ⊥
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
⊢ ∃ n, s = span {ϖ ^ n}
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
F : Type u_5
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : DivisionRing R
inst✝² : DivisionRing S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module S M₂
x : M
n : ℕ
⊢ f ((↑(-↑n))⁻¹ • x) = (↑(-↑n))⁻¹ • f x
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
CstarRing A
CompleteSpace A
NormedAlgebra ℂ A
StarModule ℂ A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
a : A
⊢ a * star a ≤ (algebraMap ℝ A) (‖a‖ ^ 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Set β₁
g₂ : Set α₂ → Set β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
⊢ (f₁.lift fun s => f₂.lift fun t => 𝓟 (g₁ s) ×ˢ 𝓟 (g₂ t)) = f₁.lift fun s => f₂.lift fun t => 𝓟 (g₁ s ×ˢ g₂ t)