ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
S : J.Cover X
x : CategoryTheory.Meq P S
I : S.Arrow
⊢ ((J.toPlus P).app (Opposite.op I.Y)) (↑x I) = ((J.plusObj P).map I.f.op) (CategoryTheory.GrothendieckTopology.Plus.mk x)
R : Type u
M : Type v
N : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
S : Submodule R N
hI : (Submodule.comap f S).IsPrincipal
⊢ S.IsPrincipal
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G H : D ⥤ E
α : G ⟶ H
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (F ⋙ G).map f ≫ (fun X => α.app (F.obj X)) Y = (fun X => α.app (F.obj X)) X ≫ (F ⋙ H).map f
α : Type u_1
β : Type u_2
IsEmpty α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : TopologicalSpace β] (f : α → β), MeasureTheory.StronglyMeasurable f
β : Type u_2
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel Unit β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
⊢ MeasureTheory.Measure.dirac () ⊗ₘ κ = MeasureTheory.Measure.map (Prod.mk ()) (κ ())
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : Wbtw R x y z
⊢ Wbtw R z x y ↔ x = y
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
T : Type u_2
DistribSMul T R
AddCommMonoid S
p : R[X]
b : T
f : ℕ → R → S
hf : ∀ (i : ℕ), f i 0 = 0
⊢ (b • p).sum f = p.sum fun n a => f n (b • a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
a : Fin (m ^ (n + 1))
ih : ∀ i < m ^ n, ∑ x : Fin n, i / m ^ ↑x % m * m ^ ↑x = i
⊢ ↑a < m * m ^ n
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsClosed (Set.range f)
K : Set Y
hK : IsLindelof K
⊢ IsLindelof (f ⁻¹' K)
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
inst✝ : Ring R
v : AddValuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
hx : v x < v y
⊢ v (x - y) = v x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M (regular Y) ▷ N.X) ((α_ (TensorBimod.X M (regular Y)) Y.X N.X).hom ≫ TensorBimod.X M (regular Y) ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M (regular Y) N) ⋯ ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M (regular Y) ▷ N.X) ((α_ (TensorBimod.X M (regular Y)) Y.X N.X).hom ≫ TensorBimod.X M (regular Y) ◁ N.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M (regular Y) ▷ N.X) ((α_ (TensorBimod.X M (regular Y)) Y.X N.X).hom ≫ TensorBimod.X M (regular Y) ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (RightUnitorBimod.hom M ▷ Y.X ▷ N.X) (RightUnitorBimod.hom M ▷ N.X) ⋯ ⋯)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.Compacts α
⊢ IsCompact ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
h : (x :: xs).Nodup
⊢ Function.Injective fun p => x ::ₛ p
R : Type u_1
Ring R
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
n : ℕ
x y : R
h : Commute x y
⊢ (x - y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n - y ^ p ^ n
α : Type u
β : Type v
g : α → β
f : Filter α
⊢ (pure g).seq f = Filter.map g f
c : Cardinal.{u}
⊢ 0 < Cardinal.toNat c ↔ c ≠ 0 ∧ c < Cardinal.aleph0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝ : Fintype ι
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h's : Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
x✝ : ι
⊢ s x✝ = ⋃ (_ : x✝ ∈ Finset.univ), s x✝
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
p : R[X]
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ (Polynomial.map f p).support = p.support
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : OplaxFunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ F.mapComp f (g ≫ h) ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h = F.map₂ ((α_ f g h).inv ≫ (α_ f g h).hom) ≫ F.mapComp f (g ≫ h) ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CategoryTheory.CommSq f i p g
self : sq.LiftStruct
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.l p = g
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
s : Set α
M : Type w'
inst✝² : Nonempty M
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : M ⊨ T
h : lift.{w', w} #↑s ≤ lift.{w, w'} #M
this : Inhabited M
⊢ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory s).IsSatisfiable
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x : ↑s
⊢ s.ordConnectedProj x ∈ s.ordConnectedComponent ↑x
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : β → Sort v
f : α → β
g : β → α
h : Function.LeftInverse g f
C : (a : α) → γ (f a)
a : α
⊢ cast ⋯ (C (g (f a))) = C a
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
y : Y
⊢ IsLocallyConstant (Function.const X y)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
e : toKaroubi (ChainComplex C ℕ) ⋙ Γ₂ ⋙ N₂ ≅ toKaroubi (ChainComplex C ℕ) ⋙ 𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ)) := N₂Γ₂ToKaroubiIso ≪≫ N₁Γ₀
⊢ whiskerLeft (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)) N₂Γ₂.hom = N₂Γ₂ToKaroubiIso.hom ≫ N₁Γ₀.hom
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
AddGroup γ
TopologicalAddGroup γ
f g : α → γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.mk (f - g) ⋯ = MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf - MeasureTheory.AEEqFun.mk g hg
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
n : Type u_19
CommSemiring R
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
AddCommMonoid M
Module R M
I₁ I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M
v : n → M₁
⊢ B.IsOrthoᵢ v ↔ ∀ (i j : n), i ≠ j → (B (v i)) (v j) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
s : Set β
hf : Function.support f ⊆ s
⊢ HasSum (f ∘ Subtype.val) a ↔ HasSum f a
α : Type u_1
p : αᵒᵈ → Prop
⊢ (∀ (a : αᵒᵈ), p a) ↔ ∀ (a : α), p (OrderDual.toDual a)
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : L₂ ⟶ L₁
CategoryTheory.IsIso ((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₁ adj₂) α)
⊢ CategoryTheory.IsIso α
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Surjective ⇑(LinearMap.range f).subtype.dualMap
⊢ LinearMap.range f.dualMap = (LinearMap.ker f).dualAnnihilator
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
⊢ map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Icc ↑a ↑b)) = Icc ↑a ↑b
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ : ℝ
s✝ t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ε : ℝ≥0
⊢ diam (cthickening (↑ε) s) ≤ diam s + 2 * ↑ε
n : ℕ
c✝ c : Composition n
⊢ c = ones n ↔ n ≤ c.length
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
this : StieltjesFunction.id.measure.IsAddLeftInvariant
A : StieltjesFunction.id.measure ↑(stdOrthonormalBasis ℝ ℝ).toBasis.parallelepiped = 1
⊢ volume = StieltjesFunction.id.measure
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J J' : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ' : J' ≠ 0
⊢ I ≤ J / J' ↔ I * J' ≤ J
a : ENNReal
h0 : a ≠ 0
hI : a ≠ ⊤
⊢ a / a = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α
⊢ IsBounded r ⊥ ↔ Nonempty α
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K
x : 𝓞 K
P : Polynomial ℤ
hPm : P.Monic
hP : Polynomial.eval₂ (algebraMap ℤ K) ((algebraMap (𝓞 K) K) x) P = 0
⊢ Polynomial.eval₂ (algebraMap ℤ (𝓞 K)) x P = 0
V : Type u_2
Quiver V
Quiver.HasReverse V
a b : V
f : a ⟶ b
⊢ f.toPath.reverse = (Quiver.reverse f).toPath
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁷ : DecidableEq α✝
inst✝⁶ : PartialOrder α✝
inst✝⁵ : BoundedOrder α✝
inst✝⁴ : IsSimpleOrder α✝
α : Type ?u.83175
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : IsSimpleOrder α
x : Bool
⊢ (fun x => decide (x = ⊤)) ((fun x => Bool.casesOn x ⊥ ⊤) x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
NatCast β
n : ℕ
⊢ ⇑↑n = ↑n
R : Type u_2
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a b : R
h : a + b = 1
x : M
⊢ a • x + b • x = x
α : Type u
p : α → Prop
f : Equiv.Perm α
n : ℕ
hf : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
⊢ f.subtypePerm hf ^ n = (f ^ n).subtypePerm ⋯
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ F.map f ≫ MonCat.Colimits.coconeMorphism F j' = MonCat.Colimits.coconeMorphism F j
α : Type u_1
CompleteLattice α
IsCoatomic α
a : α
h : a ⊔ Order.radical α = ⊤
⊢ a = ⊤
α : Type u
Monoid α
a b c : α
Invertible c
⊢ a * ⅟c = b ↔ a = b * c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
μ : Measure δ
s : Set ι
f : ι → δ → α
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
g : ι → δ → α := fun i => if hi : i ∈ s then AEMeasurable.mk (f i) ⋯ else fun _b => sSup ∅
this : ∀ i ∈ s, Measurable (g i)
⊢ (fun b => ⨆ i ∈ s, f i b) =ᶠ[ae μ] fun b => ⨆ i ∈ s, g i b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E
⊢ ‖(algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) x.fst + (mul 𝕜 E) x.snd‖ ≤ √‖(algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd‖
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
h : φ.order.Dom
n : ℕ
⊢ (coeff R n) φ = ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => x.1 = φ.order.get h) (antidiagonal n), (coeff R (x.2 + φ.order.get h)) φ
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparator (G ⨿ H)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G_1 ∈ {G, H}, ∀ (h : G_1 ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
⊢ u = v
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b : α
⊢ Disjoint (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b) ↔ Codisjoint a b
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
t : Set α
x : α
Φ : α → β
hΦ : Isometry Φ
⊢ Metric.infDist (Φ x) (Φ '' t) = Metric.infDist x t
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁸ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
G : Type u_9
inst✝³ : Group G
inst✝² : SMul G R
inst✝¹ : MulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
g : G
x : M
⊢ span R {x} ≤ span R {g • x}
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
H : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsAffine Y] (𝒰 : X.OpenCover), Q f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), Q (𝒰.map i ≫ f)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : X.OpenCover
⊢ P f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), P (𝒰.map i ≫ f)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (nilradical R).IsPrime
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hm : f.Monic
R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R
ψ : R' →+* S := Ideal.Quotient.lift (nilradical R) φ ⋯
ι : R →+* R' := algebraMap R R'
hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)
⊢ Irreducible f
R : Type u_1
n : ℕ
⊢ Ω n = 1 ↔ Nat.Prime n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n y => p.partialSum n y) (fun y => f (x + y)) Filter.atTop (Metric.ball 0 ↑r')
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝ : InfConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
hbdd : BddBelow (range f)
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 (⨅ i, f i))
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.39620, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.39627, u_2} D
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
j : J
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j ≫ α.app j) (f ≫ 𝟙 ((Cocones.precompose α).obj c).pt) (c.ι.app j)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteSemilatticeSup α
s✝ t : Set α
a b : α
s : ι → α
⊢ a ≤ iSup s ↔ ∀ (b : α), (∀ (i : ι), s i ≤ b) → a ≤ b
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
i : { x // x ∈ s }
⊢ ∏ j ∈ s.attach.erase i, f ↑j = ∏ j ∈ s.erase ↑i, f j
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsLindelof s
U : X → Set X
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
t : Set ↑s
htc : t.Countable
htsub : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ (∀ x ∈ t, x ∈ s) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
w : List (α × Bool)
⊢ Red w (invRev (reduce (invRev w)))
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{?u.75509, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.75534, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{?u.75538, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
α : Type u_5
inst✝³ : AddRightCancelSemigroup α
inst✝² : One α
inst✝¹ : DecidableEq α
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X : α → W₁
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
n : α
⊢ (fun n => F.map (d n)) (n + 1) ≫ (fun n => F.map (d n)) n = 0
k : Type u_4
A : Type u_5
CommSemiring k
Semiring A
Algebra k A
G : Type u_6
H : Type u_7
F : Type u_8
Mul G
Mul H
FunLike F G H
MulHomClass F G H
f : F
⊢ ∀ (a : G →₀ A), (MonoidAlgebra.mapDomainNonUnitalAlgHom k A f) a = (↑(Finsupp.mapDomain.addMonoidHom ⇑f)).toFun a
G₀ : Type u
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
G₀' : Type u_3
inst✝¹ : MulZeroClass M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
a b : M₀
⊢ 0 = a * b ↔ a = 0 ∨ b = 0
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : 2 * ↑w * ↑u + 2 * ↑v * (↑w + ↑u) = 2 * ↑z * ↑x + 2 * ↑v * (↑z + ↑x)
⊢ q = p ∨ q = p.mirror
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f ≠ 0
c : ℕ := f.support.card
hc : c = f.support.card
h₁ : c = 0
⊢ f.eraseLead.support.card + 1 = 0
α : Type u_1
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Filter.Tendsto m f (𝓝 a)
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => m x / b) f (𝓝 (a / b))
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
n : ℕ
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n.succ A‖ ≤ 1
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
P : Type u_8
One M
One N
One P
op : M → N → P
op1 : op 1 1 = 1
f : α → M
g : α → N
⊢ (Function.mulSupport fun x => op (f x) (g x)) ⊆ Function.mulSupport f ∪ Function.mulSupport g
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
hf : f p.leadingCoeff ≠ 0
hp0 : p ≠ 0
⊢ (map f p).coeff p.natDegree ≠ 0
α : Type u_1
AddGroup α
s t : AddSubgroup α
h : s ≤ t
g : α
⊢ AddSubgroup.quotientMapOfLE h ↑g = ↑g
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b : α
⊢ Disjoint a b → a ⊓ b ≤ ⊥
α : Sort u_1
r : α → α → Prop
motive : (a : α) → Acc r a → Sort u_2
intro : (x : α) → (h : ∀ (y : α), r y x → Acc r y) → ((y : α) → (a : r y x) → motive y ⋯) → motive x ⋯
a : α
t : Acc r a
⊢ rec intro t = Acc.recC intro t
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0
hf : BddAbove (range f)
this : ∀ (i : ι), f i * c ≤ (⨆ i, f i) * c
bdd : BddAbove (range fun x => f x * c)
hs : ℵ₀ ≤ ⨆ i, f i
i : ι
hi : 1 < f i
⊢ ⨆ i, f i ≤ ⨆ i, f i * c ∧ c ≤ ⨆ i, f i * c
α : Type u_3
f : Filter α
f.IsCountablyGenerated
u : ℕ → α
hx : (f ⊓ Filter.map u Filter.atTop).NeBot
⊢ ∃ θ, StrictMono θ ∧ Filter.Tendsto (u ∘ θ) Filter.atTop f
α : Type u
DecidableEq α
i j : α
σ : Equiv.Perm α
⊢ Equiv.swap i j * σ = σ ↔ i = j
α : Type u_1
p : TwoPointing α
⊢ p.swap.fst = p.snd
α : Type u_1
r : α → α → Prop
n : ℕ
hx : ↑n < ℵ₀
⊢ 2 ^ ↑n < ℵ₀
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range
⊢ T'' (↑f ⁻¹' {x}) = T (↑f ⁻¹' {x}) + T' (↑f ⁻¹' {x})
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ ↑(⨆ i, S i) ↔ x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
g : E → F
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hg : ContDiffOn 𝕜 n g s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) (g x)) s
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
n : ℕ
b : Basis (Fin n) K V
i : Fin n
⊢ b.flag i.castSucc ⋖ b.flag i.succ
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
i j : ι
w : Monoid.CoprodI.NeWord M i j
⊢ w.toList ≠ []
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
M' : Submodule R M
s : Set M
hs : s ⊆ ↑M'
hs' : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
t : Set M
ht : LinearIndependent (ι := ↑t) R (Submodule.Quotient.mk ∘ Subtype.val)
⊢ LinearIndependent (ι := ↑(s ∪ t)) R Subtype.val
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁵ : BorelSpace X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝² : OrderTopology X
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
hmono : MonotoneOn f s
a b : X
ha : IsLeast s a
hb : IsGreatest s b
hs : μ s ≠ ⊤
h's : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
h✝ : s.Nonempty
⊢ IntegrableOn f s μ
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : m → R
⊢ (toLin' M) ({ toFun := ⇑(toLin' M'), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
s : Stream'.Seq (Pair K)
inst✝ : DivisionRing K
m : ℕ
m_lt_n : m < n
⊢ (squashSeq s n).get? m = s.get? m
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
o : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).Numeric
j : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves
⊢ ((PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight j).Numeric
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D E : Set C
h : D ≤ E
⊢ CategoryTheory.Subgroupoid.full D ≤ CategoryTheory.Subgroupoid.full E
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P : PresheafOfModules R₀
F : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P ⟶ F
⊢ (SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafificationHomEquiv α).symm ((sheafificationHomEquiv α) f)) = ((sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj F)).symm ((sheafificationHomEquiv α) f).hom
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
l₃ : ListBlank Γ
l : List Γ
⊢ append (l₁ ++ l₂) (mk l) = append l₁ (append l₂ (mk l))
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
⊢ 1 = Submodule.span R {1}
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : L.Substructure M
s : Set M
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
h : DifferentiableAt 𝕜 (fun f i' => f i') f → ∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x => x i) f
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun f i' => f i') f
R : Type u_1
Semiring R
p q : R[X]
pq : q.natDegree < p.natDegree
⊢ (p + q).eraseLead = p.eraseLead + q
R : Type u_3
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
⊢ ⇑(RingHom.fst R S) = Prod.fst
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
x : L
m : M
⊢ f ⁅x, m⁆ = ⁅x, f m⁆