ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : Z.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ ∀ (i : 𝒰.J), pullback.map (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd g (𝒰.map i)) f g (pullback.fst f (𝒰.map i)) (pullback.fst g (𝒰.map i)) (𝒰.map i) ⋯ ⋯ = (Iso.refl ((fun i => pullback (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd g (𝒰.map i))) i)).hom ≫ (openCoverOfBase' 𝒰 f g).map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i)
α : Type u_1
ι : Type u_11
s : Option ι → Set α
⊢ ⋃ o, s o = s none ∪ ⋃ i, s (some i)
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f g : C(X, Y)
⊢ ⇑f ⤳ ⇑g ↔ f ⤳ g
R : Type u
M : Type v
AddMonoidWithOne R
AddMonoid M
n : ℕ
⊢ (↑n).fst = ↑n
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f : α →. σ
⊢ (Partrec fun a => Part.map Encodable.encode (f a)) ↔ Partrec f
F : Type u_1
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
Field F
Field K₁
Field K₂
Algebra F K₁
Algebra F K₂
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
E : Type u_6
Field E
Algebra F E
Algebra E K₁
Algebra E K₂
IsScalarTower F E K₁
IsScalarTower F E K₂
Normal F E
x : E
⊢ (algebraMap E K₂) ((ϕ.restrictNormal E) x) = ϕ ((algebraMap E K₁) x)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
⊢ NullMeasurableSet (Set.univ.pi fun x => Set.Ico 0 1) volume
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y L : R
⊢ C (f L) * (X - C (f x)) + C (f y) = Polynomial.map f (C L * (X - C x) + C y)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
w : W
ha : HasFDerivAt (fun w' => (L v) w') (L v) w
⊢ HasFDerivAt (fun w' => 𝐞 (-(L v) w') • f v) (𝐞 (-(L v) w) • fourierSMulRight L f v) w
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : L₂ ⟶ L₁
β : L₁ ⟶ L₂
βα : CategoryTheory.CategoryStruct.comp β α = CategoryTheory.CategoryStruct.id L₁
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₁ adj₂) α)
    ((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₂ adj₁) β) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id R₁
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
this : map f g = (map f (AlgHom.id R D)).comp (map (AlgHom.id R A) g)
⊢ Ideal.comap (↑(map (AlgHom.id R A) g)) (RingHom.ker ↑(map f (AlgHom.id R D))) = Ideal.map includeLeft (RingHom.ker ↑f) ⊔ Ideal.map includeRight (RingHom.ker ↑g)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
⊢ ∑ p ∈ antidiagonal n, (coeff R p.1) φ * (coeff R p.2) ψ = ∑ p ∈ antidiagonal n, 0
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx1 : 0 ≤ x
hx2 : x < 1
hz : 0 < z
⊢ x ^ z < 1
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
⊢ IsAddUnit a ↔ Function.Bijective fun x => x + a
ι : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
κ : Type u_6
inst✝ : One α
f : ι → α
g : ι → α → β
s t : Finset ι
h : s ⊆ t
hg : ∀ (a : ι), g a 1 = 1
⊢ ∏ i ∈ t, g i ((↑s).mulIndicator f i) = ∏ i ∈ s, g i (f i)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (cokernelCoforkOfCofork (Cofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯))) ⋯) ≫ retraction f = 0
a b c : Nat
h₁ : a ∣ b
h₂ : a ∣ c
⊢ a ∣ b + c
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f g : α → M
x✝ : mulSupport f = mulSupport g ∧ ∀ x ∈ mulSupport f, f x = g x
h₁ : mulSupport f = mulSupport g
h₂ : ∀ x ∈ mulSupport f, f x = g x
x : α
⊢ f x = g x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Y
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W Y X
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W Y Y
f : Y ⟶ X
hf : W f
⊢ (CategoryTheory.Localization.SmallHom.mk W f).comp (CategoryTheory.Localization.SmallHom.mkInv f hf) =
  CategoryTheory.Localization.SmallHom.mk W (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)
L✝ : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L✝
inst✝⁶ : Algebra K L✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L✝
F : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : Algebra.IsSeparable K F
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : CharZero K
x : 𝓞 F
this : Algebra K (AlgebraicClosure K) := AlgebraicClosure.instAlgebra K
L : IntermediateField K (AlgebraicClosure F) := normalClosure K F (AlgebraicClosure F)
⊢ IsUnit ((norm K) x) ↔ IsUnit x
α : Type u
L : List (α × Bool)
β : Type v
f : α → β
⊢ (FreeGroup.map f) (FreeGroup.mk L) = FreeGroup.mk (List.map (fun x => (f x.1, x.2)) L)
α : Type u
s t : Set α
⊢ 𝓟 s ⊔ 𝓟 t = 𝓟 (s ∪ t)
S : SSet
inst✝ : S.Quasicategory
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h0 : 0 < i
hn : i < Fin.last n
σ₀ : Λ[n, i] ⟶ S
⊢ ∃ σ, σ₀ = hornInclusion n i ≫ σ
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
x : α
⊢ (𝓝 x).HasBasis p fun i => ball x (s i)
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : Module R M✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
f : M✝ →ₗ[R] P
ι : Type u_4
M : ι → Type u_5
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
p : (i : ι) → Submodule R (M i)
hsb : ∀ (i : ι), (p i).FG
⊢ (pi univ p).FG
K : Type u
DivisionRing K
self : Subfield K
x : K
⊢ x ∈ self.carrier → x⁻¹ ∈ self.carrier
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J f₂
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f₂
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂) ↔ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f₁
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = a + c
ha : a < ℵ₀
hb : ℵ₀ ≤ b
⊢ b = c
α β : Type u_4
f : Part α
g : α → Part β
⊢ f >>= g = f.bind g
p n k : ℕ
hp : Prime p
hk : k ≠ 0
hkp✝ : k ≠ p ^ n
hkp : k < p ^ n
h : multiplicity p ((p ^ n).choose k) = 0
⊢ p ^ n ∣ k
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set α
t₁ t₂ : Set β
⊢ s • (t₁ ∩ t₂) ⊆ s • t₁ ∩ s • t₂
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S.HasLeftHomology
F.PreservesLeftHomologyOf S
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.mapCyclesIso F).hom (F.map S.iCycles) = (S.map F).iCycles
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
hμν : μ ≤ ν
MeasureTheory.SigmaFinite ν
⊢ μ.rnDeriv ν ≤ᵐ[ν] 1
X : Scheme
R : CommRingCat
inst✝ : IsDomain ↑R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑⊥.asIdeal = ⊤
α : Type u_1
MetricSpace α
β : Type u
Nonempty β
p : Besicovitch.TauPackage β α
i : Ordinal.{u}
hi : i < p.lastStep
N : ℕ
hN : IsEmpty (Besicovitch.SatelliteConfig α N p.τ)
⊢ p.color i < N
R : Type u_2
CommSemiring R
n a b : ℕ
f g : PowerSeries R
ha : n < a
hb : n < b
⊢ (PowerSeries.coeff R n) (f * g) = (PowerSeries.coeff R n) (↑(PowerSeries.trunc a f) * ↑(PowerSeries.trunc b g))
a b : EReal
h : 0 ≤ a
h' : b ≤ 0
⊢ a / b ≤ 0
M : Type u_1
inst✝ : CommGroup M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
⊢ ↑((S.leftInvEquiv hS).symm x) = (↑x)⁻¹
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
H : μ.InnerRegularWRT p q
hU : q U
⊢ μ U = ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ U), ⨆ (_ : p K), μ K
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
⊢ I.radical ≤ MvPolynomial.vanishingIdeal (MvPolynomial.zeroLocus I)
G : Type u_3
P : Type u_4
VAdd G P
self : IsCancelVAdd G P
a : G
b c : P
⊢ a +ᵥ b = a +ᵥ c → b = c
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : CountableInterFilter f
fsub : f ≤ 𝓟 s
U : ↑s → Set X
hU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f
t : Set ↑s
ht : t.Countable
h : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
uinf : ⋃ i ∈ t, U i ∈ f.sets
uninf✝ : (⋃ i ∈ t, U i)ᶜ ∈ f
uninf : (⋃ i ∈ t, U i)ᶜᶜ ∉ f
⊢ False
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
LieRing L
LieAlgebra K L
Module.Finite K L
hLK : ↑(FiniteDimensional.finrank K L) ≤ Cardinal.mk K
U : LieSubalgebra K L
E : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, LieSubalgebra.engel K x_1 = x}
hUle : U ≤ ↑E
hmin : IsMin E
⊢ IsBot E
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s t : Set E
x y✝ : E
r : ℝ≥0
c : 𝕜
y : E
hy : ‖y‖₊ ≤ r
⊢ ↑‖(fun x => c • x) y‖₊ / ↑r ≤ ↑‖c‖₊
α✝ : Type u
inst✝² : DecidableEq α✝
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
σ : α → Perm β
l : List α
hl : l.Nodup
mem_l : ∀ (a : α), a ∈ l
a : α
b : β
⊢ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (prodCongrRight σ) (a, b)
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal) ↔ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
⊢ Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal)
a : ℂ
r : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Metric.closedBall a r) = ENNReal.ofReal r ^ 2 * ↑NNReal.pi
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_6
NormedDivisionRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
h : E → R
hf : Differentiable 𝕜 h
hz : ∀ (x : E), h x ≠ 0
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => (h x)⁻¹
R : Type u
Semiring R
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → R[X]
⊢ (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ s.sup fun b => (f b).degree
R : Type u_1
MonoidWithZero R
⊢ ArithmeticFunction.IsMultiplicative 1
R : Type u
CommRing R
M : CoalgebraCat R
⊢ (𝟙 M).toCoalgHom = CoalgHom.id R ↑M.toModuleCat
α : Type u
β : Type v
f : α → β
H : Function.Injective f
a : α
l : List α
⊢ f a ∈ List.map f l ↔ a ∈ l
α : Type u_1
Lattice α
IsModularLattice α
a b : α
c : ↑(Set.Ioo (a ⊓ b) a)
⊢ ↑((infIooOrderIsoIooSup a b) c) = ↑c ⊔ b
γ : Type w
SemilatticeInf γ
DenselyOrdered γ
a b : γ
hab : a < b
⊢ upperBounds (Set.Ico a b) = Set.Ici b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ Coplanar k {p₁, p₂}
z : ℂ
hz : 0 < z.im
⊢ z.arg = Real.arccos (z.re / Complex.abs z)
a b c : Nat
h : a + b ≤ c
⊢ a ≤ c - b
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => -I * ↑↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) * ↑(rexp (-π * ↑↑n ^ 2 * t)) + -I * ↑(-↑n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑n) ^ 2 * t))) ↑(sinKernel (↑a) t)
n : ℕ
⊢ I * ↑n * cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑n * I)) - I * ↑n * cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑n * I) = I * ↑n * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) - I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddGroup (π i)
f : (i : ι) → π i
⊢ ∑ i : ι, ‖f i‖₊ ≤ Fintype.card ι • ‖f‖₊
α : Type u_1
a b : α
LT α
⊢ some a < some b ↔ a < b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.Full
X Y : C
⊢ Function.Surjective F.map
K : Type u
Field K
p : K[X]
q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ Polynomial.C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (p / gcd p q) ∣ p
⊢ ↑AlgebraicGeometry.Scheme.empty.toPresheafedSpace = TopCat.of PEmpty.{u_1 + 1}
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ d ∈ φ.support, (Finsupp.weight w) d ≠ n
⊢ (MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w n) φ = 0
n m : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
h✝ : i ≠ p.castSucc
h : i < p.castSucc
⊢ p.castSucc.succAbove (p.predAbove i) = i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
⊢ (r.comp s).inv = s.inv.comp r.inv
α : Type u
β : Type v
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set (α ⊕ β)
⊢ (M.sum N).Basis I X ↔ M.Basis (Sum.inl ⁻¹' I) (Sum.inl ⁻¹' X) ∧ N.Basis (Sum.inr ⁻¹' I) (Sum.inr ⁻¹' X)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ AffineIndependent k ![p₁, p₂, p₃] ↔ ¬Collinear k {p₁, p₂, p₃}
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Set.Ico (f p.1) (g p.1)} (μ.prod MeasureTheory.volume)
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddGroup (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
⊢ DFinsupp.mk s (-x) = -DFinsupp.mk s x
β : Type u_2
MeasurableSpace β
x : β
⊢ x ∈ measurableAtom x
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R M✝
M : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoidWithOne M
inst✝¹ : CharZero M
inst✝ : Module R M
m n : ℕ
h : ↑m = ↑n
⊢ ↑m = ↑n
C : Type u_4
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_4} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
a b : A
X : C
⊢ (add F s i a b).inv.app (F.obj X) = (s b).map ((i a).hom.app X) ≫ (i b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ (i (a + b)).inv.app X
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
this : ∀ {a : Y} {K : Set X} {U : Set (Y × X)}, MapsTo (⇑(coev X Y a)) K U ↔ {a} ×ˢ K ⊆ U
x : Y
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set (Y × X)
hU : IsOpen U
hKU : {x} ×ˢ K ⊆ U
V : Set Y
W : Set X
hV : IsOpen V
hxV : {x} ⊆ V
hKW : K ⊆ W
hVWU : V ×ˢ W ⊆ U
a : Y
ha : a ∈ V
⊢ {a} ×ˢ K ⊆ U
α : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
Mul α
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ s * ⋂ i, ⋂ j, t i j ⊆ ⋂ i, ⋂ j, s * t i j
R : Type u_1
Mul R
IsLeftCancelMul R
g : R
⊢ IsLeftRegular g
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
a b : R
h : a * x + b * y = 1
⊢ x * y ∣ z * (b * y)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[ℕ]
⊢ Polynomial.eval₂ f x { toFinsupp := p } = (AddMonoidAlgebra.liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) p
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
DecidableEq ι
(i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
x : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (∀ i ∈ x.support, Acc (DFinsupp.Lex r s) (DFinsupp.single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMinOrder α
a b : α
⊢ interior (Set.Ico a b) = Set.Ioo a b
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
ι : Type u_5
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S : ι → AddSubmonoid M
⊢ AddSubmonoid.comap f (⨅ i, AddSubmonoid.map f (S i)) = iInf S
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ
⊢ Option.map (GenContFract.Pair.map Rat.cast) ((GenContFract.of q).s.get? n) = (GenContFract.of v).s.get? n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalSingleObj.endMonoidalStarFunctorEquivalence C).unitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl
    (CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.EndMonoidal (CategoryTheory.MonoidalSingleObj.star C)))
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1
α : Type ua
f g h k : Set (α × α)
h₁ : f ⊆ h
h₂ : g ⊆ k
⊢ f ○ g ⊆ h ○ k
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
⊢ 1 < ↑r ↔ 1 < r
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ -Set.Ioc a b = Set.Ico (-b) (-a)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
hmn : m ≤ n
⊢ hitting u s n m ω = m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ ContinuousAt (↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) x)
G : Type u_1
Group G
Fintype G
g : G
Fintype ↑(ConjClasses.mk g).carrier
Fintype ↥(MulAction.stabilizer (ConjAct G) g)
⊢ Fintype.card ↑(ConjClasses.mk g).carrier = Fintype.card G / Fintype.card ↥(MulAction.stabilizer (ConjAct G) g)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
x₁ : M
x₂ : N
P : Prop
Decidable P
⊢ (x₁ ⊗ₜ[R] if P then x₂ else 0) = if P then x₁ ⊗ₜ[R] x₂ else 0
p : Char → Bool
c : Char
l r : List Char
h1 : { data := l.reverse ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l } = c
h2 : { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l }
⊢ (let_fun this := ⋯; let pos := { data := (c :: l).reverse ++ r }.prev { byteIdx := utf8Len (c :: l) }; if p ({ data := (c :: l).reverse ++ r }.get pos) = true then some pos else { data := (c :: l).reverse ++ r }.revFindAux p pos) = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (match !p c with | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l | false => c :: l).tail?
α : Type u_1
x : α
xs : List α
hl : (x :: xs).Nodup
n✝ : Nat
h : n✝ + 1 ≤ 0
⊢ ¬x ∈ x :: xs ∧ (take n✝ xs).Disjoint (x :: xs)
D : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
⊢ D.oneHypercover.I₀ = D.J
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ IsOpenMap Subtype.val
r : ℝ
⊢ r.sign = 0 ↔ r = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
Y : Over X
Z : C
f : Z ⟶ Y.left
S : Sieve Y.left
⊢ ((overEquiv Y) ((overEquiv Y).symm S)).arrows f ↔ ((overEquiv Y).symm S).arrows (Over.homMk f ⋯)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ ↑⌊a + b⌋ ≤ a + b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
s t : Set α
hd : Disjoint s t
⊢ Disjoint (f '' s) (f '' t)
α β : Type u
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
f : α → β → α
xs : t β
x : α
⊢ Traversable.foldl f x xs = List.foldl f x (Traversable.toList xs)
G : Type u_1
G' : Type u_2
P : Type u_3
P' : Type u_4
AddGroup G
AddGroup G'
AddTorsor G P
AddTorsor G' P'
p₁ p₂ : P
p₁' p₂' : P'
⊢ (p₁, p₁') -ᵥ (p₂, p₂') = (p₁ -ᵥ p₂, p₁' -ᵥ p₂')
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
⊢ diam univ + dist (inl default) (inr default) + diam univ = diam univ + (dist default default + 1 + dist default default) + diam univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
o : Ordinal.{u_5}
H : IsNormal f
p : Set α
p0 : p.Nonempty
g : α → Ordinal.{u_4}
b : Ordinal.{u_4}
H₂ : ∀ (o : Ordinal.{u_4}), b ≤ o ↔ ∀ a ∈ p, g a ≤ o
⊢ f b ≤ o ↔ ∀ a ∈ p, f (g a) ≤ o
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯
add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
zero : p 0 ⋯
mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
smul : ∀ (r : R) (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (r • x) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
x : A
hx✝ : x ∈ s ∪ Star.star s
hx : x ∈ s ∨ Star.star x ∈ s
⊢ p x ⋯
x : ℝ≥0∞
n : ℤ
⊢ x ^ ↑n = x ^ n
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_1
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
DecidableEq ι
i : ι
u v : E i →L[𝕜] E' i
⊢ PiTensorProduct.mapL (Function.update f i (u + v)) =
  PiTensorProduct.mapL (Function.update f i u) + PiTensorProduct.mapL (Function.update f i v)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
l r : M →ₗ[R] M
⊢ (B.compLeft l).compRight r = B.comp l r
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addPrehaar (↑K₀) U K₀.toCompacts = 1
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
i j : ι
AddLeftCancelMonoid ι
GradedRing 𝒜
a b : A
a_mem : a ∈ 𝒜 i
⊢ ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) (a * b)) (i + j)) = a * ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) b) j)
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
h : a < c
⊢ min a b < c
α : Type u_2
ι : Type u_5
κ : Type u_6
DistribLattice α
s : Finset ι
t : Finset κ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f : ι → α
g : κ → α
⊢ s.inf' hs f ⊔ t.inf' ht g = (s ×ˢ t).inf' ⋯ fun i => f i.1 ⊔ g i.2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
hg : ContMDiffOn I' I'' n g t
hf : ContMDiff I I' n f
ht : ∀ (x : M), f x ∈ t
⊢ ContMDiff I I'' n (g ∘ f)
p n : ℕ
hpp : Prime p
hp : p ∣ n
hs : IsSquare (-1)
y : ZMod p
h : -1 = y * y
⊢ p % 4 ≠ 3
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
ua1 ua2 : UniformSpace α
ub1 ub2 : UniformSpace β
uc1 : UniformSpace γ
h : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
α : Type u_1
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
h : α ≃ₜ γ
⊢ Measurable ⇑h
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.cfcAux f = 0
h2 : diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = 0
i : n
hx : hA.eigenvalues i ∈ spectrum ℝ A
⊢ f ⟨hA.eigenvalues i, hx⟩ = 0
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
U : TopologicalSpace.Opens G
K : TopologicalSpace.Compacts G
hUK : ↑U ⊆ ↑K
⊢ μ.outerMeasure ↑U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K