ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{v}
α : Type v
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
⊢ (lift.{u, v} (type r)).cof ≤ Cardinal.lift.{u, v} (type r).cof
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
f : (i : ι) → β i
support'✝ : Trunc { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }
s : Multiset ι
hf : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0
⊢ ∑ i ∈ (↑⟨s, hf⟩).toFinset, (φ i) ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i) = ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => { toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i ≠ 0) (↑⟨s, hf⟩).toFinset, (fun x => ⇑(φ x)) i ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i)
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
a b : R
⊢ EuclideanDomain.gcd a b = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
LinearOrder β
Nonempty β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
h : ∀ i ∈ s, Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f (F i)
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f fun a => s.inf' hs fun i => F i a
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
f : α → β → m (ForInStep β)
l : List α
init : β
⊢ forIn l init f = ForInStep.run <$> ForInStep.bindList f l (ForInStep.yield init)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃+ G), AddSubgroup.comap ϕ.toAddMonoidHom H = H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr₀ : r > 0
hr : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • u
x : E
hx : gauge s x < r⁻¹
⊢ x ∈ u
X : Type u_1
Y : Sort u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
⊢ IsSeparatedMap f ↔ IsClosedMap (toPullbackDiag f)
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
⊢ 𝓤 α = Filter.comap (fun x => x.2 - x.1) (𝓝 0)
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ : Type
f : α → σ → σ × β
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α), ∀ s ∈ S, (f a s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a s).2 = (f a s').2
⊢ (mapAccumr f xs s₀).2 = map (fun x => (f x s₀).2) xs
p : Prop
h : Decidable p
⊢ ((!decide p) = true) = ¬p
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
A : Splitting.IndexSet (op [n])
⊢ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ ((Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) ≫ PInfty.f n = ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ PInfty.f n
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
f : Module.End R M
i : ι
⊢ b i = 1 • b i
α : Type u
CompleteLattice α
h : α →o α →o α
⊢ OrderHom.lfp (OrderHom.lfp.comp h) = OrderHom.lfp h.onDiag
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (volume.restrict (Ioo 0 ε))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hf : ContinuousOn f (uIcc a b)
⊢ uIcc (f a) (f b) ⊆ f '' uIcc a b
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
α : Type u_2
f : M × ↥S → M × ↥S → α
wd : ∀ (p q p' q' : M × ↥S), p ≈ p' → q ≈ q' → f p q = f p' q'
m m' : M
s s' : ↥S
⊢ (mk m s).liftOn₂ (mk m' s') f wd = f (m, s) (m', s')
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, K * V ⊆ U
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
h : p ≤ q
⊢ ENNReal.ofReal p ≤ ENNReal.ofReal q
R : Type u_1
ι : Type u_2
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₂
Module R M₃
Finite ι
f g : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
ι₁ : Type u_6
e : Basis ι₁ R M₂
h : ∀ (v : ι → ι₁), (f fun i => e (v i)) = g fun i => e (v i)
⊢ f = g
M : Type u_1
MulOneClass M
x : M
⊢ x ∈ ⊥ ↔ x = 1
α : Type u_2
AddGroup α
s : Set α
h : s.Nonempty
⊢ 0 ∈ s - s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g✝ : α → β
μ ν : Measure α
g : β → γ
f : α → β
hg : AEMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ (Measure.map g (Measure.map f μ)) s = (Measure.map (g ∘ f) μ) s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : α → Prop
t : Finset α
h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)
s : Set α := {x | p x}
this : mulSupport (s.mulIndicator f) ⊆ ↑t
x : α
hx : x ∈ t
hxs : f x ≠ 1
⊢ x ∈ s
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
⊢ ∀ (s : S), ∃ t ∈ adjoin R ↑∅, IsUnit t ∧ s * t ∈ adjoin R ↑∅
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
n : ℕ
f : M →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M₃
g : M →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] Fin n → M₃
r : R
x : M
z : M₂
⊢ ({ toFun := fun m => (f m).vecCons (g m), map_add' := ⋯ }.toFun (r • x)) z = ((RingHom.id R) r • { toFun := fun m => (f m).vecCons (g m), map_add' := ⋯ }.toFun x) z
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
ι : Sort u_3
S : ι → IntermediateField F E
⊢ (iInf S).toSubalgebra = ⨅ i, (S i).toSubalgebra
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u_1
Q : β → Prop
u v : β → MvQPF.Cofix F α
h :
  ∀ (x : β),
    Q x →
      ∃ a f' f₀ f₁,
        (u x).dest = MvQPF.abs ⟨a, (MvQPF.P F).appendContents f' f₀⟩ ∧
          (v x).dest = MvQPF.abs ⟨a, (MvQPF.P F).appendContents f' f₁⟩ ∧
            ∀ (i : (MvQPF.P F).last.B a), ∃ x', Q x' ∧ f₀ i = u x' ∧ f₁ i = v x'
x : β
⊢ Q x → u x = v x
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) + (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1))) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
h : c ≤ b
⊢ a - c - (b - c) = a - b
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalRing A
Module R A
a : A
r : R
hr : ¬IsUnit r
⊢ r ∈ quasispectrum R a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ g a
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ IsSeparable (f '' s)
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t₁ t₂ : Set β
⊢ t₁ ⊆ t₂ → s -ᵥ t₁ ⊆ s -ᵥ t₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → Option γ
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
H : m.WF
g₁ : AssocList α β → List (α × γ) := fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList
H1 : ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ), filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })
g : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList
M : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id
H2 : ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat), List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n = (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })
H3 : ∀ (l : List (α × β)), (List.map (fun a => a.fst) (List.filterMap (fun x => match x with | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b)) l)).Sublist (List.map (fun x => x.fst) l)
⊢ ∀ (bk : List (AssocList α γ)) (sz : Nat) (h : 0 < bk.length), Array.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) m.buckets.val { down := 0 } = ({ data := bk }, { down := sz }) → { size := sz, buckets := ⟨{ data := bk }, h⟩ }.WF
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : 0 < a + b
⊢ a / (a + b) + b / (a + b) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
⊢ Function.Injective fun f => ⇑f
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
i : ℕ
⊢ (CochainComplex.truncate.obj C).X i = C.X (i + 1)
α : Type u
β : Type v
Bot α
Bot β
⊢ ⊥.2 = ⊥
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
⊢ s \ t = tᶜ ∩ s
X : Type u_1
ι : Type u_2
Y : ι → Type u_3
TopologicalSpace X
(i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
ConnectedSpace X
f : C(X, (i : ι) × Y i)
⊢ ∃ i g, f = (ContinuousMap.sigmaMk i).comp g
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
Preorder δ
BoundedOrder α
BoundedOrder β
BoundedOrder γ
BoundedOrder δ
f : BoundedOrderHom γ δ
g : BoundedOrderHom β γ
h : BoundedOrderHom α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Balanced C
hS : S.Exact
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.f k = 0
CategoryTheory.Epi S.g
⊢ ∃ l, CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.g l = k
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
inst✝¹ : Countable ι'
m : ι → Measure α
m' : ι' → Measure β
inst✝ : ∀ (n : ι'), SFinite (m' n)
⊢ (sum m).prod (sum m') = sum fun p => (m p.1).prod (m' p.2)
a : ℝ
⊢ Measurable QuotientAddGroup.mk
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ ∃ z, b = b + z • p
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝² : Pretriangulated C
inst✝¹ : HasShift D ℤ
inst✝ : L.CommShift ℤ
H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
T₁ T₂ : Triangle D
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
T₁' : Triangle C
e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'
hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles
T₂' : Triangle C
e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'
hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles
comm₁ : L.map T₁'.mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁
comm₁' : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ L.map T₂'.mor₁
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ = e₁.hom.hom₂ ≫ L.map T₁'.mor₂
comm₂' : T₂.mor₂ ≫ e₂.hom.hom₃ = e₂.hom.hom₂ ≫ L.map T₂'.mor₂
comm₃' : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₂.hom.hom₁ = e₂.hom.hom₃ ≫ L.map T₂'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₂'.obj₁
comm₃ : L.map T₁'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₁'.obj₁ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₁.inv.hom₁ = e₁.inv.hom₃ ≫ T₁.mor₃
φ : L.mapTriangle.obj T₁' ⟶ L.mapTriangle.obj T₂'
hφ₁ : φ.hom₁ = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
hφ₂ : φ.hom₂ = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
V : Type u
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ AntilipschitzWith C ⇑(InnerProductSpace.continuousLinearMapOfBilin B)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
⊢ Codisjoint N N' ↔ Codisjoint ↑N ↑N'
⊢ ⇑Real.Angle.coeHom = Real.Angle.coe
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
x : E
⊢ cthickening ε (Metric.closedBall x δ) = Metric.closedBall x (ε + δ)
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C
⊢ (λ_ X).hom ▷ Y = (α_ (𝟙_ C) X Y).hom ≫ (λ_ (X ⊗ Y)).hom
G : Type u_3
AddGroup G
g h : G
⊢ (AddEquiv.symm (AddAut.conj g)) h = -g + h + g
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter β
s : Set β
a : α
⊢ s ∈ a +ᵥ f ↔ (fun x => a +ᵥ x) ⁻¹' s ∈ f
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s₁ s₂ : UpperSet α
t : UpperSet β
⊢ (s₁ ⊔ s₂) ×ˢ t = s₁ ×ˢ t ⊔ s₂ ×ˢ t
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ι → Ω → β
i : ι
⊢ (MeasureTheory.stoppedValue u fun x => i) = u i
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝ : Algebra (ZMod p✝) K
f : K[X]
p : ℕ
hp : CharP K p
⊢ (expand K q) f = f ^ q
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hW : CompleteSpace W
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x 0
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x 0
⊢ ∫ (x : E), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E), (B (f' x)) (g x) ∂μ
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n j : ℕ
ij : i < j + 1
jn : j + 1 < n
⊢ xn a1 j < xn a1 (j + 1)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
S' : Type u_7
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : Algebra A S
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
e : S ≃ₐ[A] S'
h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A (pb.map e).gen) = 0
h₂ : (aeval (pb.map e).gen) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
⊢ (pb.equivOfRoot (pb.map e) h₁ h₂) ((aeval pb.gen) f) = e ((aeval pb.gen) f)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁴ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace R F
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle R F E
this✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
h₁ : Trivialization.IsLinear R (a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he)
h₂ : Trivialization.IsLinear R (a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he')
⊢ ↑(Trivialization.coordChangeL R (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') b) v = (a.coordChange he he' b) v
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (AdicCompletion.firstRow I M f).Exact
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : ℕ → β
hf : CauchySeq f
hf1 : (map f atTop).NeBot
hf2 : ∀ s ∈ uniformity β, ∃ t ∈ map f atTop, t ×ˢ t ⊆ s
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, ‖f j - f i‖ < ε
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
x : X
E : Set X
hx : x ∈ E
δ : ℝ
⊢ ball x δ ⊆ thickening δ {x}
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
⊢ count a s = card s ↔ ∀ x ∈ s, a = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedCommRing 𝕜
NoZeroDivisors 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
hs : s ≠ t
c : E
⊢ [c + x-[𝕜]c + t • y] ∩ [c + x-[𝕜]c + s • y] = {c + x}
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
hr : l ~r l.rotate ↑k
⊢ 2 ≤ (l.rotate ↑k).length
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
inst✝ : Monoid M
x : ↥(IsUnit.submonoid M)
⊢ (fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ((fun x => IsUnit.unit ⋯) x) = x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Sieve X
Y✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
⊢ (functorPullback (𝟭 C) R).arrows f✝ ↔ R.arrows f✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
hP : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P
⊢ CategoryTheory.IsIso (J.toSheafify P)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
Top β
⊢ ↑⊤ = ⊤
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ Sigma.mk i ⁻¹' s.sigma t = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Nontrivial α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
P : α → Prop
h : ∀ (i : α), P (succ i)
j : ℕ
hi : Order.succ^[j] ⊥ ≠ ⊥
hj : 0 < j
⊢ P (Order.succ^[j] ⊥)
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
i : ι
x : M i
hne_one : x ≠ 1
⊢ (Monoid.CoprodI.NeWord.singleton x hne_one).head = x
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ (∀ (f : ℕ →o (Submodule R M)ᵒᵈ), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m) ↔ IsArtinian R M
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
⊢ a⁻¹ ≠ 0
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ n.bitIndices.toFinset, 2 ^ i = n
α : Type u_1
t₁ t₂ : Ordnode α
h₁ : t₁.Sized
h₂ : t₂.Sized
⊢ t₁.Equiv t₂ ↔ t₁.toList = t₂.toList
E : Type u_4
Group E
p q : GroupNorm E
⊢ ⇑(p + q) = ⇑p + ⇑q
R : Type u
CommRing R
X : Type v
Ring X
HopfAlgebra R X
⊢ (HopfAlgebraCat.of R X).str = inferInstance
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{?u.377006, u_1} C
inst✝¹² : Category.{?u.377010, u_2} D
inst✝¹¹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : HasZeroObject C
inst✝⁸ : HasZeroObject D
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : Pretriangulated C
inst✝² : Pretriangulated D
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
⊢ F.map (Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂).mor₂ ≫ F.map h.m₁ = F.map (Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃).mor₁ ≫ F.map (Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃).mor₂
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
G M N : Comonad C
f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor
f_ε : autoParam (∀ (X : C), f.hom.app X ≫ N.ε.app X = M.ε.app X) _auto✝
f_δ : autoParam (∀ (X : C), f.hom.app X ≫ N.δ.app X = M.δ.app X ≫ f.hom.app (M.obj X) ≫ N.map (f.hom.app X)) _auto✝
X : C
⊢ M.δ.app X = M.δ.app X ≫ 𝟙 (M.obj (M.obj X))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
x : E
⊢ ‖(p.changeOriginSeries k l) fun x_1 => x‖₊ ≤ (∑' (x : { s // s.card = l }), ‖p (k + l)‖₊) * ∏ _i : Fin l, ‖x‖₊
R : Type u_1
CommRing R
f : R[X]
⊢ IsOpen (AlgebraicGeometry.Polynomial.imageOfDf f)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
s : Set α
hs : Dense s
⊢ inst✝ = TopologicalSpace.generateFrom (Set.Ioi '' s ∪ Set.Iio '' s)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (WittVector.wittPolyProdRemainder p n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range n
α : Sort u_1
β : Type u_2
f : α → β
f_inv : Nonempty α → β → α
hf : ∀ (h : Nonempty α), Function.LeftInverse (f_inv h) f
a : α
⊢ ↑((Equiv.ofLeftInverse f f_inv hf) a) = f a
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ HasSum (fun n => cexp (↑π * Complex.I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)) ((jacobiTheta τ - 1) / 2)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_3
f : (i : ι) → E i → 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → MeasureSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite volume
hf : ∀ (i : ι), Integrable (f i) volume
e : Fin (card ι) ≃ ι := (equivFin ι).symm
⊢ Integrable (fun x => ∏ x_1 : Fin (card ι), f (e x_1) (x x_1)) volume
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
DivisionRing 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
x : 𝔸
n : ℕ
⊢ ((NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) = x ^ n / ↑n.factorial
α : Type u_1
Mul α
P : Prop
Decidable P
a b c : α
⊢ (a * if P then b else c) = if P then a * b else a * c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
U V : Opens α
i : U ≤ V
⊢ IsOpen (range (inclusion ⋯))
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : ↥(groupCohomology.twoCocycles A)
h : f ∈ groupCohomology.twoCoboundaries A
⊢ (groupCohomology.twoCocycles A).subtype f ∈ LinearMap.range (groupCohomology.dOne A)