ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s₁ s₂ : Set (Set Ω)
h : ProbabilityTheory.IndepSets s₁ s₂ μ
⊢ ProbabilityTheory.IndepSets s₂ s₁ μ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s
n✝ : ℕ
hmn✝ : m ≤ n✝
ih : s ^ m ⊆ s ^ n✝
⊢ s ^ m ⊆ s ^ (n✝ + 1)
α : Type u
s t : Set α
⊢ 𝓟 s ⊓ 𝓟 t = 𝓟 (s ∩ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
AddZeroClass δ
Min δ
C : Levenshtein.Cost α β δ
y : β
ys : List β
⊢ levenshtein C [] (y :: ys) = C.insert y + levenshtein C [] ys
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : AntitoneOn f s
hg : AntitoneOn g s
⊢ AntitoneOn (fun x => f x * g x) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
F.Faithful
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ F.map f = 0 ↔ f = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
g : β → γ
f : α → β
⊢ CompleteLatticeHom.setPreimage (g ∘ f) = (CompleteLatticeHom.setPreimage f).comp (CompleteLatticeHom.setPreimage g)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
δ : Type u_7
s : δ → Set α
this : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ i, s i
⊢ ⊤ ≤ comap ((supported M R (⋃ i, s i)).subtype ∘ₗ restrictDom M R (⋃ i, s i)) (⨆ i, supported M R (s i))
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ ContMDiffWithinAt (I.prod J) J n Prod.snd s p
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h1 : Disjoint H K
h2 : ↑H * ↑K = univ
g h : G
hh : h ∈ ↑H
k : G
hk : k ∈ ↑K
hg : (fun x x_1 => x * x_1) h k = g
⊢ ∃ a, (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) a = g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hfg : Set.EqOn f g s
⊢ ConcaveOn 𝕜 s g
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsLocalExtrOn f s a
g : β → γ
hg : Antitone g
⊢ IsLocalExtrOn (g ∘ f) s a
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c x✝¹ x✝ : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x✝¹ + x✝) = { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝¹ + { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 2)
⊢ s.mongePoint =
  (Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.pointsWithCircumcenter) (Affine.Simplex.mongePointWeightsWithCircumcenter n)
C : Type u_1
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
⊢ S.Exact ↔ ∀ (i : ι), (S.map (HomologicalComplex.eval C c i)).Exact
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ ↑z.num ∈ carrier f_deg q ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ q.asIdeal
S : Type u_1
AddCommGroupWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
m n : S
X : CategoryTheory.DifferentialObject S C
⊢ ((CategoryTheory.DifferentialObject.shiftFunctorAdd C m n).inv.app X).f =
  (CategoryTheory.shiftFunctorAdd C m n).inv.app X.obj
R' : Type u
M : Type v
CommSemiring R'
AddCommMonoid M
Module R' M
Module R'ᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R' M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R' N
Module R'ᵐᵒᵖ N
IsCentralScalar R' N
f : M →ₗ[R'] N
⊢ (TrivSqZeroExt.fstHom R' R' N).comp (TrivSqZeroExt.map f) = TrivSqZeroExt.fstHom R' R' M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
g : β → α
x : β
s : Set β
h : LeftInvOn f g s
hx : f (g x) = x
hf : ContinuousWithinAt f (g '' s) (g x)
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ map g (𝓝[s] x) = 𝓝[g '' s] g x
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
⊢ p ≤ addOrderOf u • ‖u‖
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
⊢ A⁻¹.det * A.det = 1
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
this : ↥(H.subgroupOf H.normalizer) ≃ ↥H
⊢ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) * p ^ n ≡ Nat.card (G ⧸ H) * p ^ n [MOD p * p ^ n]
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ (OrderIso.dualAntisymmetrization α).symm (toAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) (OrderDual.toDual a)) =
  OrderDual.toDual (toAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) a)
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
x : RatFunc Fq
hx : x ≠ 0
⊢ inftyValuationDef Fq x = ↑(Multiplicative.ofAdd x.intDegree)
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝ : DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ s : Finset α
⊢ (s ∈ 𝒜 ∧ s.card = k ∨ ∃ s_1, ((∃ t ∈ 𝒜, s_1 ⊆ t) ∧ s_1.card = k + 1) ∧ ∃ a ∈ s_1, s_1.erase a = s) ↔ (∃ t ∈ 𝒜, s ⊆ t) ∧ s.card = k
α : Type u_1
a b : α
n : ℕ
⊢ b ∈ Multiset.replicate n a → b = a
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.filter p l ++ List.filter (fun x => !p x) l ~ l
o : Ordinal.{u}
⊢ (SetTheory.PGame.nim o).grundyValue = o
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α × β → σ
hf : Primrec f
⊢ Primrec₂ fun a b => f (a, b)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing α
a b : α
u₁ u₂ : αˣ
⊢ a * ↑u₁⁻¹ + b * ↑u₂⁻¹ = a * ↑u₂ * (↑u₂⁻¹ * ↑u₁⁻¹) + ↑u₁ * b * (↑u₂⁻¹ * ↑u₁⁻¹)
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
μ : R
hμ : f.HasEigenvalue μ
⊢ ∃ v, f.HasEigenvector μ v
G : Type u_4
E : Type u_5
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure G
f : G → E
g : G
Group G
MeasurableMul G
μ.IsMulLeftInvariant
hf' : ∀ (x : G), f (g * x) = -f x
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ = 0
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ hurwitzZetaOdd (↑x) (-(2 * ↑k)) = -1 / (2 * ↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
VAdd M α
ContinuousConstVAdd M α
TopologicalSpace β
g : β → α
b : β
s : Set β
hg : ContinuousWithinAt g s b
c : M
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => c +ᵥ g x) s b
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
n d : ℤ
hqz : q ≠ 0
qdf : q = n /. d
hd : d ≠ 0
c : ℤ
hc1 : n = c * q.num
hc2 : d = c * ↑q.den
⊢ padicValRat p q = ↑((multiplicity (↑p) n).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) d).get ⋯)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X✝ Y✝ : D
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (adj.homEquiv (G.obj X✝) ((𝟭 D).obj Y✝)).symm (G.map f✝ ≫ 𝟙 (G.obj Y✝)) = (adj.homEquiv (G.obj X✝) ((𝟭 D).obj Y✝)).symm (𝟙 (G.obj X✝) ≫ G.map ((𝟭 D).map f✝))
b x y : ℕ
hb : 1 < b
⊢ Nat.log b y < x → y < b ^ x
x : Nat
y n : Nat
right : y < 2 ^ n
⊢ x &&& y < 2 ^ n
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq m
DecidableEq n
Semiring α
i : m
j : n
a b : α
⊢ Matrix.stdBasisMatrix i j (a + b) = Matrix.stdBasisMatrix i j a + Matrix.stdBasisMatrix i j b
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ 0 ≤ (normAtPlace w) x
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 n
⊢ f ^ n ∈ 𝒜 (m * n)
l : ℝ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, (-1) ^ i / (2 * ↑i + 1)) atTop (𝓝 l)
m : 𝓝[<] 1 ≤ 𝓝 1
q : Tendsto (fun x => x ^ 2) (𝓝[<] 1) (𝓝[<] 1)
abel : Tendsto (fun x => ((fun x => ∑' (n : ℕ), (-1) ^ n / (2 * ↑n + 1) * x ^ n) ∘ fun x => x ^ 2) x * x) (𝓝[<] 1) (𝓝 (l * 1))
⊢ Tendsto (fun k => ∑ i ∈ range k, (-1) ^ i / (2 * ↑i + 1)) atTop (𝓝 (π / 4))
α : Type u_1
p q : α → Prop
f : Filter α
hq : ∀ (x : α), p x ↔ q x
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) ↔ ∃ᶠ (x : α) in f, q x
n : ℕ
a : UInt32
⊢ n • a = { val := n • a.val }
R : Type u_1
r : R
inst✝¹ : CommRing R
P : R[X]
inst✝ : IsReduced R
p : R[X]
a✝ : IsUnit (p.coeff 0)
hpl : p = 0
⊢ p.natDegree ≤ 0
α : Type u_1
ι : Type u_4
r : α → α → Prop
f : ι → α
hr : Pairwise (r on f)
⊢ (Set.range f).Pairwise r
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
⊢ count p n = Fintype.card { k // k < n ∧ p k }
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
i : ℕ
⊢ ∑ x ∈ (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i).range, (μ (↑(approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) ∘ φ ⁻¹' {x})).toReal • x = ∑ x ∈ (approxOn (f ∘ φ) ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i).range, (μ (↑(approxOn (f ∘ φ) ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) ⁻¹' {x})).toReal • x
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ Continuous (t2Quotient.lift hf)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
h_str_meas : StronglyMeasurable fun p => u (↑p.1) p.2
this : (fun p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2)
⊢ StronglyMeasurable (U n)
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
v w : V
⊢ f w ∈ G'.neighborSet (f v) ↔ w ∈ G.neighborSet v
n : ℕ
⊢ (2 * n)! ≤ (2 * n) ^ n * n !
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ w x y : K
hxy : re x ≤ re y ∧ im x = im y
z : K
⊢ re (z + x) ≤ re (z + y) ∧ im (z + x) = im (z + y)
F : Type u_1
Field F
g : F[X]
f : F[X]
hg : g.Separable
⊢ (EuclideanDomain.gcd f g).Separable
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
⊢ HasFDerivWithinAt (fun f => f i) ?f' s' f
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
⊢ ∑ k ∈ Finset.Ico 2 (n + 1),
    a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, p (c.blocksFun j) ≤
  ∑ j ∈ Finset.Ico 2 (n + 1), r ^ j * (∑ k ∈ Finset.Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j
K : Type u_1
Field K
NumberField K
w₁ : NumberField.InfinitePlace K
B : ℕ
hB : NumberField.mixedEmbedding.minkowskiBound K 1 < ↑(NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLTFactor K) * ↑B
n : ℕ
⊢ (Algebra.norm ℤ) ↑(NumberField.Units.dirichletUnitTheorem.seq K w₁ hB n) ≠ 0
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
hA : VanishingDiam A
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
n : ℕ
hn : ∀ y ∈ A (res x n), ∀ z ∈ A (res x n), dist y z < ε
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ↑(inducedMap A).fst) in 𝓝 ⟨x, hx⟩, dist ((inducedMap A).snd x_1) ((inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : ↑M.E ↪ β
I : Set β
⊢ (M.Indep ↑(⇑f ⁻¹' I) ∧ ∃ t, ⇑f '' t = I) ↔ ∃ I₀, M.Indep ↑I₀ ∧ I = ⇑f '' I₀
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A C : Set E
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
l : E →L[𝕜] 𝕜
hAB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
hxB : x ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
hl : ConvexOn 𝕜 univ ⇑l
⊢ x₁ ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} ∧ x₂ ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
f : M → M'
x : M
⊢ ContMDiffAt (I.transDiffeomorph e) I' n f x ↔ ContMDiffAt I I' n f x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
s : Set ↥(maximalIdeal R)
⊢ Submodule.span R (⇑(maximalIdeal R).toCotangent '' s) = Submodule.restrictScalars R ⊤ ↔ Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent (Submodule.span R s) = ⊤
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
f : A₁ →ₐ[R] A₂
g : A₂ →ₐ[R] A₁
h₁ : f.comp g = AlgHom.id R A₂
h₂ : g.comp f = AlgHom.id R A₁
⊢ (AlgEquiv.ofAlgHom f g h₁ h₂).symm = AlgEquiv.ofAlgHom g f h₂ h₁
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
⊢ ⇑(Trivialization.continuousLinearEquivAt R e b hb) = ⇑(Trivialization.continuousLinearMapAt R e b)
s : Finset ℕ
m : ℕ
⊢ (m ≠ 0 ∧ ∀ (p : ℕ), Prime p ∧ p ∣ m ∧ m ≠ 0 → p ∈ s) ↔ m ≠ 0 ∧ ∀ p ≤ m, Prime p → p ∣ m → p ∈ s
x y : PGame
k : (x * y).RightMoves
P : (x * y).RightMoves → Prop
hl : ∀ (ix : x.LeftMoves) (jy : y.RightMoves), P (toRightMovesMul (Sum.inl (ix, jy)))
hr : ∀ (jx : x.RightMoves) (iy : y.LeftMoves), P (toRightMovesMul (Sum.inr (jx, iy)))
⊢ P k
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
⊢ M.transpose.PosSemidef
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x‖₊ ∂μ = (∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ) * ↑‖x‖₊
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ x ∈ s, 0 ≤ g x
x y : SetTheory.PGame
h : x ⧏ y
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
⊢ x < y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : CategoryTheory.Adjunction.CoreHomEquiv F G
X : C
Y Y' : D
f : X ⟶ G.obj Y
g : Y ⟶ Y'
⊢ (adj.homEquiv X Y').symm (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (G.map g)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((adj.homEquiv X Y).symm f) g
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
Q : Type u_4
CommSemiring Q
Algebra P Q
h : Function.Injective ⇑g
IsLocalization (Submonoid.map g M) Q
⊢ Function.Injective ⇑(IsLocalization.map Q g ⋯)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M'' : Type u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M''
Module R M
Module R M''
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
r : R
m : LocalizedModule S M
⊢ r • LocalizedModule.lift' S g h m = LocalizedModule.lift' S g h (r • m)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ ⇑UniformSpace.Completion.toComplL = ↑E
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G → H
hf : IsAddGroupHom f
a b : G
h : f (-a + b) = 0
⊢ f a = f b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
f : β → Set α
hs : s.Finite
hfin : ∀ i ∈ s, μ (f i) ≠ ⊤
⊢ μ (⋃ i ∈ s, f i) < ⊤
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
⊢ ∀ t ∈ {s | IsOpen s}, MeasurableSet t
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial R
y : R[X]
⊢ 1 < 2
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace 𝕜 P
Nonempty ↥s
⊢ s.subtypeₐᵢ.linearIsometry = s.direction.subtypeₗᵢ
R K : Type u
CommRing R
Field K
Algebra R K
IsAlgClosed K
ι : Type u
v : ι → K
Nontrivial R
hv : IsTranscendenceBasis R v
hR : #R ≤ ℵ₀
hK : ℵ₀ < #K
⊢ #K = #ι
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
y : β
⊢ (f ⁻¹' {y}).Nonempty ↔ y ∈ Set.range f
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.ncard ≠ 0
⊢ s ≠ ∅
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ x ~ᵢ x
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
⊢ k + k ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)
α : Type u
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
⊢ BddAbove s → BddAbove t → BddAbove (s ∪ t)
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char
⊢ (if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then let_fun this := ⋯; Substring.takeWhileAux { data := l ++ c :: m ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) else { byteIdx := utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match p c with | true => c :: List.takeWhile p m | false => []) }
α : Type u
minAx : Order.Coframe.MinimalAxioms α
s : Set α
a : α
⊢ a ⊔ sInf s = ⨅ b ∈ s, a ⊔ b
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : Submodule 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] F
FiniteDimensional 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
⊢ ∃ g, f = g.comp p.subtypeL
α : Type u
β : Type v
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
s : Set α
f : α → β
⊢ Filter.Tendsto f (l₁ ⊓ Filter.principal s) l₂ ↔ Filter.PTendsto (PFun.res f s) l₁ l₂
a b : UInt8
⊢ ¬a < b ↔ b ≤ a
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
S : SSet
σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S
h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)
⊢ σ₁.app = σ₂.app
K : Type u
L : Type v
E : Type z
Field K
Field L
Field E
Algebra K L
Algebra K E
Module.Finite K L
IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ (algebraMap K E) (Algebra.discr K ⇑pb.basis) =
  ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Finset.Ioi i, -(((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
f : γ → α
g : α → β
s : Finset γ
⊢ ⨆ x ∈ image f s, g x = ⨆ y ∈ s, g (f y)
s : ℂ
hs : 0 < s.re
this : (fun X => s * s.partialGamma X - ↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) =ᶠ[atTop] (s + 1).partialGamma
⊢ Tendsto (fun X => -↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) atTop (𝓝 0)
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
f : LocallyConstant ↑(Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o) ℤ
⊢ ⇑((Profinite.NobelingProof.πs C o) f) =
  ⇑f ∘ Profinite.NobelingProof.ProjRestrict C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated
inst✝ : atTop.NeBot
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
seq : ℕ → ι
h_seq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
⊢ MeasurableSet s