ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
A : C
f₁ f₂ : A ⟶ S.rightHomology
⊢ f₁ = f₂ ↔
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₁ S.rightHomologyι = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₂ S.rightHomologyι
α : Type u
l : List α
⊢ List.sublistsLen 1 l = List.map (fun x => [x]) l.reverse
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b c : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c + d) = c • ∫ (x : ℝ) in a / c + d..b / c + d, f x
M : Type u_1
N : Type u_2
SeminormedAddCommGroup M
SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
self : f.IsQuotient
x : M
⊢ ‖f x‖ = sInf ((fun m => ‖x + m‖) '' ↑f.ker)
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
h : I ≤ J
⊢ (↑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLEₐ R h)).comp (DoubleQuot.quotQuotMkₐ R I J) = Ideal.Quotient.mkₐ R J
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)
x : α
⊢ (l.concat (some x)).reduceOption = l.reduceOption.concat x
α : Type u_1
Preorder α
x y : α
xy : x ≤ y
t : Ordnode α
o : WithBot α
⊢ t.Bounded o ↑x → t.Bounded o ↑y
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
P' X' Y' Z' : C
fst' : P' ⟶ X'
snd' : P' ⟶ Y'
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
e₁ : P ≅ P'
e₂ : X ≅ X'
e₃ : Y ≅ Y'
e₄ : Z ≅ Z'
commfst : fst ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ fst'
commsnd : snd ≫ e₃.hom = e₁.hom ≫ snd'
commf : f ≫ e₄.hom = e₂.hom ≫ f'
commg : g ≫ e₄.hom = e₃.hom ≫ g'
⊢ fst' ≫ f' = snd' ≫ g'
G H : AddCommGrp
⊢ (G.biprodIsoProd H).inv ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst = AddMonoidHom.fst ↑G ↑H
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
g : α → E'''
h : ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, c * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
⊢ f =O[l] g
x y : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
hy : y ∈ Set.Icc 0 1
⊢ dist x y ≤ 1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} D
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝² : Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
E₁ : Type u_3
E₂ : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_7, u_3} E₁
inst✝ : Category.{u_8, u_4} E₂
F₁ : C₁ ⥤ E₁
F₂ : C₂ ⥤ E₂
h₁ : W₁.IsInvertedBy F₁
h₂ : W₂.IsInvertedBy F₂
x✝¹ x✝ : C₁ × C₂
f : x✝¹ ⟶ x✝
hf : W₁.prod W₂ f
⊢ IsIso ((F₁.prod F₂).map f)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
⊢ ⊤.direction = ⊤
α : Type u_1
R : Type u_3
SMul R ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
c : R
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ ⇑(c • m) = c • ⇑m
α : Type u
β : Type v
e✝ : α ≃ β
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
e : α ≃ β
inst✝¹ : Semiring β
inst✝ : Algebra R β
r : R
semiring✝ : Semiring α := e.semiring
algebra✝ : Algebra R α := Equiv.algebra R e
⊢ e.symm (r • e 1) = e.symm (r • 1)
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
⊢ support ↑f = (chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (CliffordAlgebra.contractRight x) d =
  CliffordAlgebra.reverse ((CliffordAlgebra.contractLeft d) (CliffordAlgebra.reverse x))
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : a ∈ l.keys
⊢ ∃ b l₁ l₂, a ∉ l₁.keys ∧ l = l₁ ++ ⟨a, b⟩ :: l₂ ∧ List.kerase a l = l₁ ++ l₂
G H : AddCommGrp
⊢ (G.binaryProductLimitCone H).cone.pt = AddCommGrp.of (↑G × ↑H)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring R
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike.GradedMonoid A
Sub ι
OrderedSub ι
ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
n : ι
Decidable (i ≤ n)
⊢ ↑((r * (DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) r') n) = if i ≤ n then ↑(r (n - i)) * ↑r' else 0
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
⊢ dist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄) ≤ dist p₁ p₃ + dist p₂ p₄
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : F ≃ₗᵢ[𝕜] G
f : E → F
x : E
i : ℕ
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 i (⇑g ∘ f) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖
R : Type u
CommRing R
M N K : ModuleCat R
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.associator M N K = ModuleCat.MonoidalCategory.associator M N K
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
PartialOrder α
Preorder β
h₀ : ∀ (a : α), 0 < a → ∀ (b₁ b₂ : β), a • b₁ < a • b₂ → b₁ < b₂
⊢ PosSMulReflectLT α β
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
ψ₁ ψ₂ : S₂ ⟶ S₃
h' : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy ψ₁ ψ₂
⊢ (h.comp h').h₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.h₁ ψ₁.τ₁ + CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₂.τ₂ h'.h₁
m : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : UniformSpace 𝕜
⊢ 𝓤 (Matrix m n 𝕜) = ⨅ i, ⨅ j, Filter.comap (fun a => (a.1 i j, a.2 i j)) (𝓤 𝕜)
m n k : ℕ
motive : (m : ℕ) → m ≤ k → Sort u_1
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
of_succ : (k_1 : ℕ) → (h : k_1 < k) → motive (k_1 + 1) h → motive k_1 ⋯
self : motive k ⋯
⊢ Nat.decreasingInduction of_succ self ⋯ =
  Nat.decreasingInduction (fun n_1 ih => of_succ n_1 ⋯) (Nat.decreasingInduction of_succ self hnk) hmn
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : α →₀ M
x✝ : f ∈ ⊤
⊢ f.sum single ∈ ⨆ a, LinearMap.range (lsingle a)
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
φ : F
⊢ ↑(NonUnitalAlgHom.range φ) = Set.range ⇑φ
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
hf0 : ¬f = 0
⊢ (val K v O hv p) f = 0 ↔ f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ M
h : Disjoint g₁.support g₂.support
a : α
ha✝ : a ∈ g₁.support ∪ g₂.support
ha : a ∈ g₁.support
this : a ∉ g₂.support
⊢ a ∈ (g₁ + g₂).support
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
h_mon : p.Monic
h_eval_p : eval₂ ↑ₐ a p = 0
nu : ¬IsUnit ((aeval a) (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod)
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
right✝ : eval k p = 0
⊢ (σ a).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
x : α
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ False
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Set N
h1 : t.Countable
h2 : (closure L).toFun t = Substructure.map f.toHom s
hf : Function.Injective ⇑f.toHom
⊢ Substructure.map f.toHom ((closure L).toFun (⇑f ⁻¹' t)) = Substructure.map f.toHom s
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : TaggedPrepartition I
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
hπi : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition
⊢ integralSum f vol (π.biUnionPrepartition πi) = integralSum f vol π
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h : Ioi b ⊆ Ici a
ba : ¬a ≤ b
⊢ False
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
path : Batteries.RBNode.Path α
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmp t →
  Batteries.RBNode.Path.Ordered cmp path →
    Batteries.RBNode.All (Batteries.RBNode.Path.RootOrdered cmp path) t → Batteries.RBNode.Ordered cmp (path.ins t)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
hr : Relator.BiUnique R
⊢ (R ⇒ List.Forall₂ R ⇒ Iff) (fun x x_1 => x ∈ x_1) fun x x_1 => x ∈ x_1
α : Type u_2
⊢ 1 = FirstOrder.Language.Constants.term FirstOrder.Ring.oneFunc
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
ζ : K
l : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ l
hl✝ : l ≠ 0
hl : NeZero l
hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n
r : ℕ
hr : GCDMonoid.lcm l ↑n = ↑n * r
ineq : φ ↑n * φ r ≤ φ (GCDMonoid.lcm l ↑n)
key : φ r ≤ 1
rpos : 0 < r
⊢ l ∣ 2 * ↑n
α : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommSemigroup α
inst✝⁶ : PartialOrder α
inst✝⁵ : ExistsAddOfLE α
inst✝⁴ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a c d✝ : α
inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α HAdd.hAdd LE.le
d : α
h : c ≤ c + d
⊢ a - (c + d - c) = a + c - (c + d)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
f : ℕ → R → R[X]
x : R
⊢ Polynomial.eval x (p.sum f) = p.sum fun n a => Polynomial.eval x (f n a)
X : Type u_2
TopologicalSpace X
S : DiscreteQuotient X
A : Set (Quotient S.toSetoid)
⊢ IsClosed (S.proj ⁻¹' A)
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.map Subtype.val s.attach = s
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k
h₂ : ∀ (x : S), ∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a = x
⊢ ∀ x_1 ∈ f.support, ∑ x ∈ (a x_1).support, ((a x_1) x • f x_1) ⊗ₜ[R] b x = ∑ x ∈ f.support.biUnion fun i => (b.repr (b i * x)).support, ((a x_1) x • f x_1) ⊗ₜ[R] b x
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsClosedMap ⇑OrderDual.ofDual
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char
h1 : { data := l ++ (c :: m ++ r) }.get { byteIdx := utf8Len l } = (c :: m ++ r).headD default
h2 : { data := l ++ c :: (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size }
⊢ (if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then { byteIdx := utf8Len l } else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.findAux p { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l })) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match !p c with | true => c :: List.takeWhile (fun x => !p x) m | false => []) }
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
f g : ι → M₀
x : ι
hfg : x ∈ support fun x => f x * g x
hg : g x = 0
⊢ (fun x => f x * g x) x = 0
α : Type u_1
r : Rel α α
a : α
⊢ ∀ (x : Fin (0 + 1)), (RelSeries.singleton r a).toFun x = a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
x : ℝ
s : ℂ
f : E
⊢ (cexp (-↑x) ^ 1 * cexp (-↑x) ^ (s - 1)) • f = cexp (-s * ↑x) • f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 0)
⊢ (-positiveOrientation).volumeForm = -AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : i.Coprime n
⊢ cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) ^ n = 1 ∧ ∀ (l : ℕ), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) ^ l = 1 → n ∣ l
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t u : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u ⊆ convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝² : Pretriangulated C
inst✝¹ : HasShift D ℤ
inst✝ : L.CommShift ℤ
H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
T₁ T₂ : Triangle D
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
T₁' : Triangle C
e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'
hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles
T₂' : Triangle C
e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'
hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles
comm₁ : L.map T₁'.mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁
comm₁' : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ L.map T₂'.mor₁
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ = e₁.hom.hom₂ ≫ L.map T₁'.mor₂
comm₂' : T₂.mor₂ ≫ e₂.hom.hom₃ = e₂.hom.hom₂ ≫ L.map T₂'.mor₂
comm₃' : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₂.hom.hom₁ = e₂.hom.hom₃ ≫ L.map T₂'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₂'.obj₁
comm₃ : L.map T₁'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₁'.obj₁ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₁.inv.hom₁ = e₁.inv.hom₃ ≫ T₁.mor₃
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
a f' : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s a
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => Real.arsinh (f x)) ((√(1 + f a ^ 2))⁻¹ • f') s a
ι : Sort u_1
α : Type u_2
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ (𝓝 l).HasBasis p fun i => Set.Iic (𝓟 (s i))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
j : ℕ
L : List ℕ
IH : (∀ i ∈ L, 1 ≤ i) → L.length ≤ L.sum
h : ∀ i ∈ j :: L, 1 ≤ i
⊢ 1 + L.length ≤ j + L.sum
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NormedField 𝕜
SeminormedRing 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
⊢ ‖(algebraMap 𝕜 𝕜') x‖ = ‖x‖ * ‖1‖
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : NonAssocSemiring β
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
i : m
j : o
f : α →+* β
⊢ f ((M * N) i j) = (M.map ⇑f * N.map ⇑f) i j
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ ↑↑↑f + ↑↑↑g =ᶠ[ae μ] fun x => ↑↑↑f x + ↑↑↑g x
E : Type u_1
i : SeminormedAddCommGroup E
r : ℝ
v : ↑(Metric.closedBall 0 r)
⊢ ↑(-v) = -↑v
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
h_one : f 1 = 1
h_mul : ∀ (x y : M), f (x * y) ≤ f x * f y
s : Finset ι
g : ι → M
⊢ (Multiset.map (f ∘ fun i => g i) s.val).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Finset α
AddCommMonoid β
DecidableEq γ
f : γ → β
g : α → γ
⊢ ∑ a ∈ s, f (g a) = ∑ b ∈ Finset.image g s, (Finset.filter (fun a => g a = b) s).card • f b
a b : Cardinal.{u_1}
ha0 : a ≠ 0
⊢ a * b ≤ max (max a b) ℵ₀
α : Type u_2
M : Matroid α
⊢ M.Flat M.E
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
b : ι → M
inst✝¹ : _root_.Finite ι
s : ι → M
hs : span R (range s) = ⊤
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Free R M
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
hp_zero : ¬p = 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
hr_ne_zero : r ≠ 0
hq_top : ¬q = ⊤
hr_top : ¬r = ⊤
hpq : p < q
⊢ 0 < p.toReal
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix m n R
i : m
j : n
⊢ (M *ᵥ (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) j) 1) i = M i j
α : Type u_1
β : Type u_2
as : Array α
motive : Nat → β → Prop
init : β
h0 : motive 0 init
f : β → α → β
hf : ∀ (i : Fin as.size) (b : β), motive (↑i) b → motive (↑i + 1) (f b as[i])
⊢ motive as.size (Array.foldl f init as 0)
p q : NNReal
h : p.IsConjExponent q
⊢ p / q = p - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
h : IsMinFilter f l a
heq : f =ᶠ[l] g
hfga : f a = g a
⊢ IsMinFilter g l a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
⊢ Tendsto Int.cast Filter.cofinite (cocompact ℝ)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
⊢ map₂ m (f₁ ⊔ f₂) g = map₂ m f₁ g ⊔ map₂ m f₂ g
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
ϕ : p.Gal
hϕ : (galActionHom p E) ϕ = 1
x : p.SplittingField
hx : x ∈ p.rootSet p.SplittingField
⊢ ϕ x = 1 x
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, 1 ≤ f x
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ 1 ≤ cfc f a
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
m : Nat
⊢ (List.modifyNth f n l)[m]? = (fun a => if n = m then f a else a) <$> l[m]?
G : Type v
X : Type w
PseudoMetricSpace X
AddGroup G
AddAction G X
IsometricVAdd G X
c : G
x : X
r : ℝ
⊢ (fun x => c +ᵥ x) ⁻¹' Metric.ball x r = Metric.ball (-c +ᵥ x) r
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < ε
⊢ {x} ⊆ ⋃ n, (fun x_1 => {x}) n
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
self : NormalizationMonoid α
⊢ normUnit 0 = 1
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
h : Epi f
y : (forget Stonean).obj Y
⊢ ∃ a, f a = y
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
⊢ S₁.LeftHomologyData
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
U : (TopologicalSpace.Opens ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceMap f).c.app U =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.comap f (Opposite.unop U)
    ((TopologicalSpace.Opens.map (AlgebraicGeometry.Spec.topMap f)).obj (Opposite.unop U)) ⋯
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
f g : ι → R
s t : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
⊢ ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
s t : Multiset α
h : s < t
H : map f t ≤ map f s
⊢ card t ≤ card s
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
a : α
h : a ∈ lowerClosure ↑s
⊢ s.truncatedSup a = (Finset.filter (fun b => a ≤ b) s).sup' ⋯ id
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ W'.dblZ (u • P) = u ^ 4 * W'.dblZ P
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
h4 : ∀ m ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1)), multiplicity p m = 0
⊢ multiplicity p (p * n)! ≠ ⊤ → multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
B : Type u
self : CategoryTheory.Bicategory B
a b c d : B
f f' : a ⟶ b
η : f ⟶ f'
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η g) h)
      (CategoryTheory.Bicategory.associator f' g h).hom)
α : Type u_1
M : Type u_2
PartialOrder α
CommMonoid M
f : α → M
LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ f a * ∏ x ∈ Finset.Iio a, f x = ∏ x ∈ Finset.Iic a, f x
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ weightSpace M ((-↑(chainBotCoeff α β) - 1) • α + ⇑β) = ⊥
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
hp : ¬p = 0
h0 : ¬C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p) = 0
⊢ (C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p)).natDegree < q.natDegree
M : Type u_1
Add M
c : AddCon M
x : M
⊢ c x x
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ Set.LeftInvOn (↑e.symm) (↑e) e.source
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
x y : 𝕜
⊢ [x-[𝕜]y] = Set.uIcc x y
m n : Nat
h : m < n
⊢ 0 < n - m
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
⊢ f ∈ closure {σ | σ.IsSwap} ↔ (fixedBy α f)ᶜ.Finite
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
r : R
x✝ : IsUnit (X - C r)
g : R[X]
_hfg : (X - C r) * g = 1
hgf : g * (X - C r) = 1
⊢ 0 = 1
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : IsNormal f
a : Ordinal.{u_1}
⊢ f a = a ↔ ∃ o, deriv f o = a
α : Type u_1
LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h : a₁ < b₁ ∨ a₂ < b₂
⊢ Set.Ico a₁ b₁ = Set.Ico a₂ b₂ ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
S : Type w
CategoryTheory.SmallCategory S
e : C ≌ S
⊢ CategoryTheory.EssentiallySmall.{w, v, u} C
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddGroup G
f : AddMonoidAlgebra k G
r : k
x y : G
⊢ (f * AddMonoidAlgebra.single x r) y = f (y - x) * r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Y
g₁ g₂ : X ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
CategoryTheory.Limits.HasPushout f₁ g₁
CategoryTheory.Limits.HasPushout f₂ g₂
⊢ (CategoryTheory.Limits.pushout.congrHom h₁ h₂).inv = CategoryTheory.Limits.pushout.map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 Y) (𝟙 Z) (𝟙 X) ⋯ ⋯