ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
F : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J D
CategoryTheory.CreatesColimitsOfShape J F
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
hg : IsCauSeq abs fun n => ∑ i ∈ range n, a i
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
j : ℕ
ji : j ≥ max n i
hi₁ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
⊢ abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) (max n i)) < ε
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : M
⊢ (TrivSqZeroExt.inrCLM R M) m = TrivSqZeroExt.inr m
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type ?u.7325} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
⊢ False
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
α : Type u
x y : FreeAddSemigroup α
⊢ (Seq.seq ((fun x x_1 => x + x_1) <$> x) fun x => y) = x + y
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ p = mongePoint t
⊢ EReal.expOrderIso.symm = ENNReal.logOrderIso
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : ‖x‖ < 1 + D
⊢ 0 < y D x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
⊢ (Equiv.prodProdProdComm α β γ δ).symm = Equiv.prodProdProdComm α γ β δ
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
fd_ne_zero : (algebraMap R (FractionRing R)) ↑(↑I).den ≠ 0
⊢ spanSingleton R⁰ ((algebraMap R (FractionRing R)) ↑(↑I).den) * ↑I = ↑((FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) ⟨integralRep ↑I, ⋯⟩)
α : Sort u_1
f : α → α
⊢ Function.Involutive f ↔ f^[2] = id
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)
εK : 0 < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
hb₂ : abv b₂ < K₂
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
ha₁ : abv a₁ < max 1 (max K₁ K₂)
⊢ abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
α : Type u_1
a : Array α
i : Fin a.size
v v' : α
⊢ (a.set i v).set ⟨↑i, ⋯⟩ v' = a.set i v'
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
h1 : p1 ∈ map f B✝ ×ˢ map f A✝
p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
h2 : p2 ∈ map f B✝ ×ˢ map f A✝
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
⊢ ∃ p1 ∈ A✝ ×ˢ B✝, ∃ p2 ∈ A✝ ×ˢ B✝, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p2.1 p2.2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
x✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) 0 x✝).f = Coalgebra.Hom.f 0
A : Type u_4
AddGroup A
S : AddSubgroup A
⊢ ↑(AddSubgroup.toSubgroup S) = ⇑Multiplicative.toAdd ⁻¹' ↑S
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hm : Squarefree m
hn : n ≠ 0
p : ℕ
this : m / m.gcd n ≠ 0
⊢ Prime p ∧ m.gcd n * p ∣ m ↔ (Prime p ∧ p ∣ m) ∧ (Prime p → ¬p ∣ n)
R : Type u_5
CancelCommMonoidWithZero R
Unique Rˣ
p₁ p₂ : R
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₂
h : p₁ ^ k₁ = p₂ ^ k₂
⊢ p₁ = p₂
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
⊢ seminormFromBounded' f x = 0 ↔ f x = 0
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : Ring E
inst✝³ : Algebra F E
inst✝² : StrongRankCondition F
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors F E
inst✝ : Nontrivial E
this : Nontrivial F := Module.nontrivial F E
⊢ LinearIndependent F fun (x : ↑{1}) => ↑x
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
r : K[X]
hr : map (algebraMap R K) q = map (algebraMap R K) p * r
s : R
s0 : s ∈ R⁰
hs : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ r) = C ((algebraMap R K) s) * r
h : p ∣ q * (C s).primPart
⊢ Associated (q * (C s).primPart) ?m.90681
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r : ℝ
s : Set α
c : α
⊢ (∃ r, sᶜ ⊆ closedBall c r) ↔ ∃ r, (closedBall c r)ᶜ ⊆ s
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
Traversable t
LawfulTraversable t
α : Type u
x : t' α
⊢ Equiv.traverse eqv pure x = x
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ 𝒜.shatterer.shatterer = 𝒜.shatterer
x✝ : PGame
inst✝ : x✝.Impartial
G : PGame := x✝
i : (x✝ + nim x✝.grundyValue).LeftMoves
⊢ ∀ (i : (nim x✝.grundyValue).LeftMoves), (x✝ + nim x✝.grundyValue).moveLeft (toLeftMovesAdd (Sum.inr i)) ‖ 0
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F E
p : Bundle.TotalSpace F E
⊢ ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n Bundle.TotalSpace.proj p
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeInf α
a : α
f : α → β
l : Filter β
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) Filter.atBot l ↔ Filter.Tendsto f Filter.atBot l
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
hRp : 0 ≤ R₁
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * R₁ i ≤ R₂ i
⊢ blimsup (fun i => cthickening (r₁ i) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r₂ i) (s i)) atTop p
x p : ℝ
hx_pos : 0 < x
⊢ ENNReal.ofReal x ^ p = ENNReal.ofReal (x ^ p)
a b c : Int
h : a - b ≤ c
⊢ a ≤ b + c
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
α : G ≅ F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.precomposeEquivalence α).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun s =>
      CategoryTheory.Limits.Cocones.ext (CategoryTheory.Iso.refl ((𝟭 (CategoryTheory.Limits.Cocone F)).obj s).pt) ⋯)
    ⋯
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J → C
c c' : CategoryTheory.Limits.Bicone F
φ : c.pt ≅ c'.pt
wι : ∀ (j : J), c.ι j ≫ φ.hom = c'.ι j := by aesop_cat
wπ : ∀ (j : J), φ.hom ≫ c'.π j = c.π j := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.Bicones.ext φ wι wπ).inv.hom = φ.inv
l : Filter ℂ
b₁ b₂ : ℝ
hl : Complex.IsExpCmpFilter l
hb : b₁ < b₂
m n : ℤ
⊢ (fun z => z ^ m * Complex.exp (↑b₁ * z)) =o[l] fun z => z ^ n * Complex.exp (↑b₂ * z)
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ r • Metric.closedBall 0 1 = Metric.closedBall 0 r
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
n : ℕ
hx : ¬x = 0
⊢ ‖x‖ ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ x ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ h₁ h₂
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h₁.left.IsPreservedBy F
h₁.right.IsPreservedBy F
h₂.left.IsPreservedBy F
h₂.right.IsPreservedBy F
⊢ (ψ.map F).left = ψ.left.map F
m : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : UniformSpace 𝕜
⊢ ⨅ i, Filter.comap (fun a => (a.1 i, a.2 i)) (𝓤 (n → 𝕜)) = ⨅ i, ⨅ j, Filter.comap (fun a => (a.1 i j, a.2 i j)) (𝓤 𝕜)
G : Type u_1
P : Type u_2
LE G
Preorder P
VAdd G P
IsOrderedCancelVAdd G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d
⊢ a +ᵥ c < b +ᵥ d
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ 1 < a⁻¹ ↔ a < 1
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (γ : G) (x : α), f (γ • x) = f x
a : ℝ≥0∞
ha : μ ({x | a < f x} ∩ s) = 0
⊢ a ∈ {a | μ {x | a < f x} = 0}
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
this : Nonempty X
F : ℕ → X → X
u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F
hu : ∀ (n : ℕ), d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ 2 ^ n * ϕ x ≤ ϕ (u n) → d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / 2 ^ n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / 2 ^ n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
⊢ False
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμνs : (μ + ν) s < ⊤
⊢ weightedSMul (μ + ν) s = weightedSMul μ s + weightedSMul ν s
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
L L' : Φ.LeftResolution X₂
self : L.Hom L'
⊢ W₁ self.f
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v✝ v : ι → R
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ nodal s v = (X - C (v i)) * ?m.116050
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
s : R
⊢ (p.scaleRoots s).support ≤ p.support
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f' f : ℝ → E
hderiv : deriv f = f'
hdiff : ∀ x ∈ [[a, b]], DifferentiableAt ℝ f x
hcont : ContinuousOn f' [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable f' volume a b
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
s : Finset α
h : (Finset.image f s).Nonempty
⊢ (Finset.image f s).max' h = f (s.max' ⋯)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
x : A ⟶ S.X₁
hx : k = x ≫ S.f
⊢ h.liftK k ⋯ = x ≫ h.f'
X : Type u_1
ι : Sort u_3
TopologicalSpace X
BaireSpace X
Countable ι
f : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (f i)
hd : ∀ (i : ι), Dense (f i)
⊢ Dense (⋂ s, f s)
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / r) l Filter.atTop
ι : Type u_1
α : Type u_2
π : ι → Type u_4
OrderedAddCommMonoid α
(i : ι) → OrderedAddCommMonoid (π i)
(i : ι) → SMulZeroClass α (π i)
(i : ι) → FloorDiv α (π i)
f : (i : ι) → π i
a : α
i : ι
⊢ (f ⌊/⌋ a) i = f i ⌊/⌋ a
α : Type u_1
a b c d : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
h : a < b * c
hle : c ≤ d
b0 : 0 ≤ b
⊢ a < b * d
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
this : ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V, index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card
g₁ : G
a✝ : g₁ ∈ s
g₂ : G
h1g₂ : g₂ ∈ (fun h => g₁ * h) ⁻¹' V
h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier
g₃ : G
h1g₃ : g₃ ∈ (fun h => g₁ * h) ⁻¹' V
h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier
⊢ False
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
A : Splitting.IndexSet (op [n])
⊢ 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ PInfty.f n = ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ PInfty.f n
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
n : ℕ
hn : lowerCentralSeries H n = ⊥
⊢ lowerCentralSeries G (n + 1) = ⊥
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i j : Discrete ι
h : i ≠ j
U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj j)
⊢ x ∉ ↑((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forgetToPresheafedSpace) j).base).obj ((Opens.map (preservesColimitIso forgetToPresheafedSpace F).inv.base).obj (⋯.functor.obj U)))
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommSemiring N
inst✝² : Algebra R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
p : MvPolynomial σ R
⊢ (algebraTensorAlgEquiv R A) (a ⊗ₜ[R] p) = a • (map (algebraMap R A)) p
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type u₂)
A : C
i : I
⊢ (colimitHomIsoLimitYoneda' F A).inv ≫ (coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op).app A = limit.π (F.rightOp ⋙ yoneda.obj A) i
a b : ℕ
c d n : ℕ
z : ℝ
hz : z ≤ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : a ^ 2 * d ≤ (2 * d + c) * b ^ 2
⊢ z ≤ (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries (n + 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
⊢ Memℒp f 0 μ ↔ AEStronglyMeasurable f μ
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
f : { f // C.d 1 0 ≫ f = 0 }
hi : (ComplexShape.down ℕ).Rel 1 0
⊢ C.d 1 0 ≫ ↑f = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ Multiset.erase 0 a = 0
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ toIcoDiv hp a a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b ≤ a + c + (b - c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
⊢ ∀ {X Y : C ⥤ D} (η : X ⟶ Y) (A : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented C),
  (((CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.whiskering C D).map η).app A).left =
    η.app (CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.point.obj A)
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K
⊢ x ∈ r • Icc a b ↔ x ∈ Icc (r • a) (r • b)
R : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero R
UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (J ⥤ C)} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Idempotents.karoubiFunctorCategoryEmbedding J C).map f =
    CategoryTheory.Idempotents.KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map f
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ u : Rˣ
P : Fin 3 → R
h : W.Equation P
⊢ W.Equation (u • P)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℕ
f : α → ℕ
⊢ (Multiset.map (fun x => x % n) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).prod % n = (∏ i ∈ s, f i % n) % n
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
hppos : p > 0
hqpos : q > 0
z : L := x ^ (p / p.factorizationLCMLeft q) * y ^ (q / p.factorizationLCMRight q)
k : ℕ+ := PNat.lcm ⟨p, hppos⟩ ⟨q, hqpos⟩
⊢ φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
ι : Sort u_1
S : ι → Subalgebra R A
⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a : α
n : ℤ
⊢ n • -a = -(n • a)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
⊢ B.SeparatingRight ↔ LinearMap.ker B.flip = ⊥
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
α : Type u
a : m (m α)
⊢ (CategoryTheory.ofTypeMonad m).μ.app α a = joinM a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F
⊢ re ↑(normSq x) = re ⟪x, x⟫_𝕜 ∧ im ↑(normSq x) = im ⟪x, x⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
⊢ UnifIntegrable f p μ
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
⊢ (AffineEquiv.refl k P₁).linear = LinearEquiv.refl k V₁
P : Type u_1
LE P
IsDirected P fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty P
I : Order.Ideal P
⊢ I.IsMaximal → IsCoatom I
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
hf : f.IsCycle
⊢ (f.toCycle hf).Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
b : β
⊢ ⇑e ⁻¹' Set.Ici b = Set.Ici (e.symm b)
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
⊢ G.IsNClique n s ↔ G.IsClique ↑s ∧ s.card = n
k : ℕ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ fourierCoeffOn bernoulliFourierCoeff.proof_1 (fun x => ↑(bernoulliFun k x)) n = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((if k = 1 then 1 else 0) - ↑k * fourierCoeffOn bernoulliFourierCoeff.proof_1 (fun x => ↑(bernoulliFun (k - 1) x)) n)
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α
⊢ xs.sym2.length = (xs.length + 1).choose 2
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
⊢ x ≡ 0 [SMOD U] ↔ x ∈ U
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.encoding.Γ = ((k : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin k) ⊕ (n : ℕ) × L.Relations n ⊕ ℕ)
a b : Nat
⊢ 0 < a → 0 < b → a - 1 = b - 1 → a = b
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddMonoid P
f : M →+ P
g : N →+ P
x : N
⊢ (AddMonoid.Coprod.lift f g) (AddMonoid.Coprod.inr x) = g x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
hxy : x ≠ y
⊢ {x, y}.infsep ≤ (edist x y ⊓ edist y x).toReal
q✝ : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
q : ℚ
hq : q ≠ 0
⊢ Irrational (x * ↑q * ↑q⁻¹)
α : Type u_1
Preorder α
DenselyOrdered α
a b : α
h : a < b
⊢ Infinite ↑(Set.Ico a b)
α : Type u_2
Div α
f g : Filter α
⊢ Filter.map₂ (fun x x_1 => x / x_1) f g = f / g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
⊢ α.symm.hom = α.inv
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsArtinian R M
f : ℕ → Submodule R M
h : ∀ (n : ℕ), Disjoint ((partialSups (⇑OrderDual.toDual ∘ f)) n) (OrderDual.toDual (f (n + 1)))
⊢ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f m = ⊤
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
⊢ (∃ u v, u • 1 = v • 0 ∧ ↑u * ↑1 = v * ↑1) ↔ 0 ∈ S
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : R1Space α
⊢ (∃ K, IsCompact K ∧ ∀ x ∉ K, f x = 1) ↔ HasCompactMulSupport f
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℕ
h : f x ≤ x + ↑m
⊢ f.translationNumber ≤ ↑m
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ StrictMono Finset.Colex.toColex
α : Type u_1
LinearOrder α
Mul α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₁ * b₁ ≤ a₂ * b₂ → a₁ ≤ a₂ ∨ b₁ ≤ b₂
ι : Type u_1
Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
⊢ parallelepiped ⇑b = Set.Icc 0 1 ∨ parallelepiped ⇑b = Set.Icc (-1) 0
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace β
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
H : ∀ (x₀ : α), ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ↑A), dist (↑i x) (↑i x') < ε
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
εε₁ : ε₁ < ε
ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2
ε₂0 : ε₂ > 0
U : α → Set α
hU : ∀ (x : α), x ∈ U x ∧ IsOpen (U x) ∧ ∀ y ∈ U x, ∀ z ∈ U x, ∀ {f : α →ᵇ β}, f ∈ A → dist (f y) (f z) < ε₂
tα : Set α
left✝ : tα ⊆ univ
hfin : tα.Finite
htα : univ ⊆ ⋃ x ∈ tα, U x
val✝ : Fintype ↑tα
⊢ ∃ β_1 x F, ∀ (x y : ↑A), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε