ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ((↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x)))
this✝¹ : ↑I x = (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x))
this✝ : ↑I (↑e x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
this : ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
r : N → N → Prop
CovariantClass M N μ r
ContravariantClass M N μ r
m : M
a b : N
⊢ r (μ m a) (μ m b) ↔ r a b
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
⊢ Function.update f i '' Set.Ico a b = Set.Ico (Function.update f i a) (Function.update f i b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ { ofColex := s \ t } ≤ { ofColex := t \ s } ↔ { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
⊢ IsCodetector G ↔ (yoneda.obj G).ReflectsIsomorphisms
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s t : Set β
h : s = t
⊢ ∑' (x : ↑s), f ↑x = ∑' (x : ↑t), f ↑x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
⊢ IsFilteredOrEmpty Cᵒᵖ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p q : α
h : p ~ᵤ q
hp : Prime p
u : αˣ
hu : p * ↑u = q
⊢ ∀ (a b : α), p ∣ a * b → p ∣ a ∨ p ∣ b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).tan = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n' a : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cocycle ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn : n + a = n'
⊢ ↑(γ.leftUnshift n hn) = (↑γ).leftUnshift n hn
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a : α
⊢ ¬SupPrime a ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, a ≤ b ⊔ c ∧ ¬a ≤ b ∧ ¬a ≤ c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a b : α
z : ℤ
hz : a - b = ↑z
⊢ a - fract b = ↑(z + ⌊b⌋)
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
a b : G
h : ¬Disjoint (Doset.doset a ↑H ↑K) (Doset.doset b ↑H ↑K)
⊢ b ∈ Doset.doset a ↑H ↑K
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
a : ↥(selfAdjoint A) × ↥(skewAdjoint A)
⊢ (StarModule.decomposeProdAdjoint R A).symm a =
  (selfAdjoint.submodule R A).subtype a.1 + (skewAdjoint.submodule R A).subtype a.2
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
m n : ℕ
⊢ List.take (m + 1) (take (n + 1) s) = take (min (n + 1) (m + 1)) s
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
m n k : ℕ
h : m + k ≤ n
⊢ ↑(n - m) = ↑n - ↑m
β : Sort u_1
α : Sort u_2
y : β
x : α
⊢ Function.const α y x = y
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : 0 < x
hy : 0 < y
k : arctan (-((x⁻¹ + y⁻¹) / (1 - x⁻¹ * y⁻¹))) + π = arctan x + arctan y
⊢ (x + y) / (1 - x * y) = (-x + -y) / (x * y - 1)
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
Small.{u, max u v} ↑F.sections
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
v : s.pt
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.Small.limitConeIsLimit F).lift s v = (equivShrink ↑F.sections) ⟨fun j => s.π.app j v, ⋯⟩
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
e : R' →+* S' := (↑e₂).comp ((IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯).comp ↑e₁)
x : R
⊢ (IsLocalization.map S' (id S) ⋯) ((IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯) ((IsLocalization.map (Localization.Away r) (id R) ⋯) ((algebraMap R R') x))) = (IsLocalization.map S' f ⋯) ((algebraMap R R') x)
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Semifield S
Ring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
a : A
f : S → R
⊢ SpectrumRestricts a f ↔ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a) ∧ Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
μ : Measure G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K₀ : PositiveCompacts G
A : (interior (closure ↑K₀)).Nonempty
⊢ μ = μ ↑K₀ • haarMeasure K₀
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ.withDensity f) s = 0
⊢ μ s = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
p : ℕ
hp : ¬1 < p
⊢ pNilradical R p = ⊥
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R
n : ℕ
h : ↑n < φ.order
⊢ (PowerSeries.coeff R n) φ = 0
R : Type u_1
Semiring R
k : ℕ
f : Polynomial R
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.hasseDeriv k) f).coeff n = ↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
β : Type u_4
u : ι ⊕ β → ↑S.X₂
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))
m : ↑S.X₂
a✝ : m ∈ ⊤
⊢ m ∈ span R (range u)
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
⊢ Cardinal.mk ↑Set.univ = Cardinal.mk R ^ 4
K : Type u_1
inst✝ : Field K
ζ : K
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ Splits (RingHom.id K) (X ^ n - C 1)
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ (k + 1)).smeval (r + 1) = (ascPochhammer ℕ (k + 1)).smeval r + (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k
X : Type u_1
R : Type u_5
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
K : Set X
NormedRing R
SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
T2Space X
hg : MeasureTheory.IntegrableOn g K μ
hg' : ContinuousOn g' K
hK : IsCompact K
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => g x * g' x) K μ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
f : β → Finset α
h : Monotone f
h' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n
⊢ Tendsto f atTop atTop
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
⊢ limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limMap (whiskerLeft F (restriction R g))) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map ((ModuleCat.restrictScalars (R.map g)).map (limit.π (F ⋙ evaluation R Z) j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
NormalizationMonoid α
DecidableEq α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : factorization a = factorization b
⊢ a ~ᵤ b
b n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 0 ∣ b ^ n ↔ n.ceilRoot 0 ∣ b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : OrderedRing α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l atTop
this : Tendsto (fun x => -f x * g x) l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
f g₁ g₂ : CircleDeg1Lift
h : SemiconjBy f g₁ g₂
⊢ dist (g₁ 0) (g₂ 0) < 2
G : Type u_3
SubNegMonoid G
x : G
⊢ -x = 0 - x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
ho : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hpi : Function.Injective p
hs : Set.range p = Set.range t.points
⊢ ∃ c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points), ∀ p₁ ∈ Set.range p, dist p₁ c = Simplex.circumradius t
G : Type u_3
Group G
a b : G
⊢ a / b = a ↔ b = 1
R : Type u
X : Type v
Semiring R
A : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
f : X → A
⊢ ⇑((FreeNonUnitalNonAssocAlgebra.lift R) f) ∘ FreeNonUnitalNonAssocAlgebra.of R = f
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
⊢ Part.fix ⇑f ≤ ωSup (approxChain f)
α : Type u_3
Add α
LinearOrder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ cmp (a + c) (b + c) = cmp a b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
H : Type u_7
NormedAddCommGroup H
f : α → H
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ‖MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf‖ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
g : β → α
hg : Set.InjOn g (Function.support (f ∘ g))
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ Set.range g), f i = ∑ᶠ (j : β), f (g j)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
α' : Type u_8
tX : TopologicalSpace X
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → X → α'
S : Set X
x₀ : X
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ (k : κ), EquicontinuousWithinAt F S x₀
ctx : Nat.Linear.Context
p q : Nat.Linear.Poly
⊢ Nat.Linear.Poly.denote ctx (p ++ q) = Nat.Linear.Poly.denote ctx p + Nat.Linear.Poly.denote ctx q
A : Type u_5
AddGroupWithOne A
f : ℤ →+ A
h1 : f 1 = 1
⊢ f = Int.castAddHom A
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
hα' : Fintype.card α = p ^ 2
this : Nontrivial α
h_cyc : ¬IsCyclic α
g : α
hg : g ≠ 1
⊢ orderOf g = p
X Y Z : Type u
x : X ⊗ Y ⊗ Z
⊢ ((α_ X Y Z).inv x).2 = x.2.2
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
n : ℕ
⊢ (s.sym n).Nonempty ↔ n = 0 ∨ s.Nonempty
G : Type u_2
AddCommGroup G
g : G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
f : ℕ → G
k : ℕ
⊢ HasSum (fun n => f (n + k)) g ↔ HasSum f (g + ∑ i ∈ Finset.range k, f i)
p q : ℕ
⊢ mersenne p ≤ mersenne q ↔ p ≤ q
a : ℝ≥0∞
p : ℝ≥0
h : a < ↑p
⊢ a.toNNReal < p
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
adj3 : F'' ⊣ G''
f : G ⟶ G'
g : G' ⟶ G''
⊢ (adj2.natTransEquiv adj3) g ≫ (adj1.natTransEquiv adj2) f = (adj1.natTransEquiv adj3) (f ≫ g)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasurableSpace ι
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
hu : MeasureTheory.ProgMeasurable f u
hv : MeasureTheory.ProgMeasurable f v
⊢ MeasureTheory.ProgMeasurable f fun i ω => u i ω - v i ω
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a✝ : A
ha✝ : p a✝
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
a : A
ha : p a
ψ : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀ →⋆ₙₐ[𝕜] A := (↑(inrRangeEquiv 𝕜 A).symm).comp (codRestrict (cfcₙAux ⋯ a ha) (NonUnitalStarAlgHom.range (inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)) ⋯)
coe_ψ : ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), ↑(ψ f) = (cfcₙAux ⋯ a ha) f
⊢ ∃ φ, ClosedEmbedding ⇑φ ∧ φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ 𝕜 a) (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := ⋯ } = a ∧ (∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), σₙ 𝕜 (φ f) = Set.range ⇑f) ∧ ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), p (φ f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ QuotientMap (Prod.map SeparationQuotient.mk SeparationQuotient.mk)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (volume.restrict (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ z ∈ Metric.ball s v, ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0) volume
h6 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ y ∈ Metric.ball s v, HasDerivAt (fun z => F z t) (F' y t) y
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T T' : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
e : T ≅ T'
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.shortComplexOfDistTriangleIsoOfIso e hT).inv.τ₂ = e.inv.hom₂
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h_meas : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
h_exists : ∀ (x : α), ∃! g, g +ᵥ x ∈ s
⊢ MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
g : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
y : ↥(Submonoid.map (algebraMap R S) M) := commonDenomOfFinset (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s
y' : R
hy' : y' ∈ ↑M
e : (algebraMap R S) y' = ↑y
this : (algebraMap R S) y' • ↑s = y' • ↑s
hx₁ : y' • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))
x' : S
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))
hx'' : (algebraMap S S') x' = g (y' • x)
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
ε : ℝ
C : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), ε / ‖c‖ ≤ p x → p x < ε → q x ≤ (C • p) x
x : E
hx : p x ≠ 0
⊢ q x ≤ (C • p) x
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
⊢ ⟦α⟧ < ⟦α⟧ ^ (ord ⟦α⟧).cof
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ f.comp LinearIsometry.id = f
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
⊢ dimH (⇑e '' s) ≤ ↑(finrank ℝ E)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s
⊢ sSup s = sSup Set.univ
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
g : M ≃[L] N
φ : L.Formula α
v : α → M
⊢ φ.Realize (⇑g ∘ v) ↔ φ.Realize v
a b : UInt32
h : 0 < b
⊢ a % b < b
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MeasurableSpace M
inst✝¹ : MeasurableMul₂ M
μ : Measure M
inst✝ : SFinite μ
⊢ map (fun x => x.1 * x.2) ((dirac 1).prod μ) = μ
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ (Set.range Sum.inl)ᶜ = Set.range Sum.inr
α β : Type u
Infinite α
⊢ #α + #β = max #α #β
m : Type u_2
n : Type u_3
m' : Type u_6
n' : Type u_7
m'' : Type u_9
n'' : Type u_10
R : Type u_11
A : Type u_12
Semiring R
AddCommMonoid A
Module R A
e₁ : m ≃ m'
e₂ : n ≃ n'
e₁' : m' ≃ m''
e₂' : n' ≃ n''
⊢ ⇑(Matrix.reindexLinearEquiv R A e₁' e₂') ∘ ⇑(Matrix.reindexLinearEquiv R A e₁ e₂) =
  ⇑(Matrix.reindexLinearEquiv R A (e₁.trans e₁') (e₂.trans e₂'))
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
⊢ (interpolate ∅ v) r = 0
α : Type u
p : α → Prop
f : Equiv.Perm α
hf : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
⊢ (f.subtypePerm hf)⁻¹ = f⁻¹.subtypePerm ⋯
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e : ι ≃ Fin n
⊢ o.volumeForm.measure (parallelepiped ⇑b) = 1
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
le : adjoin R ↑s ≤ Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S ↑s)
⊢ b ∈ adjoin S ↑s
α : Type u
f : Filter α
s : Set α
S : Set (Set α)
hmem : ∀ (s : Set α), s ∈ S ↔ s ∈ f
⊢ s ∈ f.copy S hmem ↔ s ∈ S
α : Type u_2
ι : Type u_5
SemilatticeSup α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
⊢ OrderDual.toDual (s.sup' hs f) = s.inf' hs (⇑OrderDual.toDual ∘ f)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ ↔
  MeasureTheory.IntegrableAtFilter f (Filter.cocompact X) μ ∧ MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
CategoryTheory.Mono t.π
⊢ f = g
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R✝ J : Set α
h : I ⊆ E
R : Set α
⊢ uniqueBaseOn I E ↾ R = uniqueBaseOn (I ∩ R) R
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
x : α
r : ℝ
⊢ μ (Metric.ball x r) < ⊤
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
ϕ : τ → α → β
s : Set α
m : τ → τ
f₁ f₂ : Filter τ
hf : Filter.Tendsto m f₁ f₂
⊢ omegaLimit f₁ (fun t x => ϕ (m t) x) s ⊆ omegaLimit f₂ ϕ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
h : S.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.homologyIso.hom h.ι =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.homologyι h.opcyclesIso.hom
f : CircleDeg1Lift
n : ℤ
h : ↑n < f.translationNumber
x : ℝ
⊢ x + ↑n < f x
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < Order.succ o → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{u}} (hi : i < Order.succ o) (hj : j < Order.succ o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
⊢ (Order.succ o).blsub f = Order.succ (f o ⋯)
α : Type u_1
G : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Group G
𝔖✝ : Set (Set α)
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : UniformGroup G
𝔖 : Set (Set α)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set G
h : (𝓝 1).HasBasis p b
⊢ (𝓝 1).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => {f | ∀ x ∈ Si.1, (toFun 𝔖) f x ∈ b Si.2}
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
VAdd M α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ
MeasurableVAdd M α
c : Mᵈᵃᵃ
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ‖c +ᵥ f‖ = ‖f‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : LipschitzMul β
⊢ LipschitzWith (LipschitzMul.C β) fun p => p.1 * p.2
s : Finset ℕ
m n✝ p✝ n p : ℕ
hn : ∀ (x : ℕ), multiplicity x n ≤ 1 ∨ IsUnit x
hn' : n ≠ 0
⊢ n.factorization p ≤ 1
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
hf : Function.Injective ⇑f
x : G
⊢ ↑((MonoidHom.ofInjective hf) x) = f x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
inst✝¹ : f.IsCountablyGenerated
inst✝ : f.NeBot
B : ℕ → Set α
h : f.HasAntitoneBasis B
x : ℕ → α
hx : ∀ (n : ℕ), x n ∈ B n
⊢ ∃ x, Tendsto x atTop f
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
x : α
h : x ∉ xs
y : α
hy : (x, y) ∈ xs.zip ys
⊢ False
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
h : e.IsImage s t
⊢ e.IsImage sᶜ tᶜ
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2
⊢ Submodule.map CliffordAlgebra.reverse (CliffordAlgebra.evenOdd Q n) = CliffordAlgebra.evenOdd Q n
x : ℂ
⊢ Real.tan x.arg = x.im / x.re
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
H : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m0 : MeasurableSpace α
μ' : Measure α
f : α → H
hm : m ≤ m0
hf_meas_ae : AEStronglyMeasurable f (μ'.trim hm)
hf : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ'.trim hm < ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ' < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : PredOrder α
a : α
⊢ pred a = ⨆ b, ⨆ (_ : b < a), b
R : Type u
AddGroupWithOne R
⊢ ↑4 = 4
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
a : α
⊢ MeasurableSet {x | x = a}
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
s : S
G : R →+* S
n : ℕ
f : PowerSeries R
⊢ Polynomial.eval₂ G s (PowerSeries.trunc n f) = ∑ i ∈ Finset.range n, G ((PowerSeries.coeff R i) f) * s ^ i