ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
⊢ AlgebraicGeometry.ΓSpec.locallyRingedSpaceAdjunction.counit =
  (CategoryTheory.NatIso.op AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.SpecΓIdentity).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a b : α × β
⊢ Set.Icc a b = Set.Icc a.1 b.1 ×ˢ Set.Icc a.2 b.2
α : Type u_1
op : α → α → α
IA : Std.Associative op
IC : Std.Commutative op
l₁ l₂ : List α
a : α
h : l₁.Perm l₂
⊢ List.foldl op a l₁ = List.foldl op a l₂
a b : ℕ+
⊢ Finset.Ico a b = Finset.subtype (fun n => 0 < n) (Finset.Ico ↑a ↑b)
α : Type u_2
DecidableEq α
Monoid α
t : Finset α
Fintype α
ht : 1 ∈ t
⊢ Finset.univ * t = Finset.univ
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, I ⊔ J i = ⊤
⊢ (fun J => I ⊔ J = ⊤) 1
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
self : GaloisInsertion l u
a : α
h : u (l a) ≤ a
⊢ self.choice a h = l a
β : Type u_2
CompleteLattice β
s : Set (Set β)
⊢ sInf (⋃₀ s) = ⨅ t ∈ s, sInf t
l r : List Char
it : String.Iterator
h : String.Iterator.ValidFor l r it
⊢ it.remainingToString = { data := r }
α : Type u
s₁ s₂ s₃ : Set α
hs₁s₂ : s₁ ⊆ s₂
hs₂s₃ : s₂ ⊂ s₃
⊢ s₁ ⊂ s₃
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
v : M
r : R
⊢ SameRay R (-v) (r • v) ↔ r ≤ 0 ∨ v = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
s : Finset α
⊢ insert a (insert b s) = insert b (insert a s)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M✝ : Type u_4
M : Type u
inst✝ : RightCancelMonoid M
a b : M
⊢ a * b = b ↔ a * b = 1 * b
a : UnitAddCircle
n : ℕ
⊢ hurwitzZetaOdd a (-2 * ↑n - 1) = 0
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Mul G
a₁ a₂ : G
b₁ b₂ : k
ha : Commute a₁ a₂
hb : Commute b₁ b₂
⊢ Commute (MonoidAlgebra.single a₁ b₁) (MonoidAlgebra.single a₂ b₂)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y : ↥S
⊢ f.toMap x₁ * f.mk' x₂ y = f.mk' (x₁ * x₂) y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F →L[𝕜] G
g : E → F
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : E
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => (f y) (g y)) x‖ ≤
  ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n - i) g x‖
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : 0 < p.degree
hmp : p.Monic
hq : q ≠ 0
zn0 : 0 ≠ 1
x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q
r : R[X]
hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r
hp0 : p ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
hpn1 : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) = 1
hpn0' : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) ≠ 0
hpnr0 : (p ^ (q.natDegree + 1)).leadingCoeff * r.leadingCoeff ≠ 0
hnp : 0 < p.natDegree
this : q.natDegree = (p ^ (q.natDegree + 1) * r).natDegree
⊢ False
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (i : n), 0 < ∑ j : n, A i j
⊢ Pairwise fun i j => Aᵀ i j < 0
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
f g : α × β → E
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν)
hg : MeasureTheory.Integrable g (μ.prod ν)
⊢ ∫ (x : α), ∫ (y : β), (f + g) (x, y) ∂ν ∂μ = ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ + ∫ (x : α), ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν ∂μ
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hf : S.Finite
hc : ∀ s ∈ S, IsCompact s
⊢ IsCompact (⋃ i ∈ S, i)
n : ℕ
hn : NeZero n
h : orderOf (a 1) < 2 * n
⊢ False
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
f g : AddChar A M
h : ∀ (x : A), f x = g x
⊢ f = g
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZeta (↑x) (1 - 2 * ↑k) =
  -1 / (2 * ↑k) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.EssSurj
X : C
eX : L.obj X ≅ f.left
Y : C
eY : L.obj Y ≅ f.right
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : eX.hom ≫ f.hom ≫ eY.inv = φ.map L ⋯
⊢ f ∈ L.mapArrow.essImage
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ (GenContFract.of v).convs' (n + 1) = ↑⌊v⌋ + 1 / (GenContFract.of (Int.fract v)⁻¹).convs' n
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
⊢ (u ⊔ v).prod = n.lcm m
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
γ' : LeftHomologyMapData φ' h₁ h₂
⊢ leftHomologyMap' (φ + φ') h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ h₁ h₂ + leftHomologyMap' φ' h₁ h₂
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
h_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hg : 0 ≤ᵐ[μ] g
⊢ MeasureTheory.Integrable (f + g) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ ∧ MeasureTheory.Integrable g μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup G
L : List G
n : ℕ
a : G
⊢ (L.set n a).prod = L.prod * if hn : n < L.length then (L.get ⟨n, hn⟩)⁻¹ * a else 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
U : Set α
⊢ U ∈ ⋯.filter ↔ U ∈ l
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
x : ↥((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U)
y : ↑(Y.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f ↑x) ((Y.presheaf.germ ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩) y) =
  (X.presheaf.germ x) ((f.val.c.app (Opposite.op U)) y)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
iVU : V ⟶ U
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
p : ↥(unop (op V))
⊢ ↑((comap (RingHom.id R) U V ⋯) s) p = ↑(((structureSheaf R).val.map iVU.op) s) p
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
MonoidWithZero M₀
NoZeroDivisors M₀
n : ℕ
f : ι → M₀
hn : n ≠ 0
⊢ Function.support (f ^ n) = Function.support f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospan f g).obj CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.one = Z
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
f : Module.Dual R M
y : M
g : Module.Dual R M
NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : Φ.Finite
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : Set.MapsTo (⇑(Module.preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : Set.MapsTo (⇑(Module.preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
⊢ x = y
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ ‖cosKernel (↑a) t - 1‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t
R : Type u
CommSemiring R
⊢ GaloisConnection (fun s => PrimeSpectrum.zeroLocus s) fun t => ↑(PrimeSpectrum.vanishingIdeal t)
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
f : (Step k n)[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f
x : AdjoinMonic (Step k n)
hx : Polynomial.eval₂ (toAdjoinMonic (Step k n)) x f = 0
⊢ ∃ x, Polynomial.eval₂ (toStepSucc k n) x f = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ Continuous fun x' => NormedSpace.Dual.toWeakDual x'
α : Type u_1
n : ℕ
s : Multiset α
⊢ Multiset.card (Multiset.powersetCard n s) = (Multiset.card s).choose n
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
I : Ideal R
x : R
hxI : x ∈ I
hx : ‖1 - x‖ < 1
u : Rˣ := Units.oneSub (1 - x) hx
⊢ 1 ∈ I
p x : ℝ
r : ℚ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (↑r * x)
α : Type u_1
L : List (List α)
c : Composition L.join.length
h : List.map List.length L = c.blocks
⊢ L.join.splitWrtComposition c = L
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
CompleteSpace F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ AEMeasurable (fun x => derivWithin f (Set.Ioi x) x) μ
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≤ b
ht : b = ⊤ → a = ⊤
ha : a ≠ ⊤
⊢ a.toReal ≤ b.toReal
q : ℍ
hq : q.re = 0
⊢ HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • q ^ n) (↑(Real.cos ‖q‖) + (Real.sin ‖q‖ / ‖q‖) • q)
Ω : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {X : Ω → ℝ} {s : Set ℝ},
  IsCompact s →
    MeasureTheory.pdf.IsUniform X s ℙ MeasureTheory.volume →
      MeasureTheory.Integrable (fun x_1 => x_1 * (MeasureTheory.pdf X ℙ MeasureTheory.volume x_1).toReal)
        MeasureTheory.volume
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_4
F : Type u_5
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun SV => Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ SV.1 ∧ SV.2 ∈ 𝓝 0) fun SV => {f | ∀ x ∈ SV.1, f x ∈ SV.2}
R : Type u
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
⊢ Submodule.pi ∅ p = ⊤
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hβ : (𝓤 β).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂
⊢ UniformEquicontinuous F ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
s₁ s₂ : S
y : ↑Y
⊢ (s₁ + s₂) • y = s₁ • y + s₂ • y
𝕜 : Type u_6
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Norm E
self : NormedSpace.Core 𝕜 E
x : E
⊢ ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : FirstCountableTopology X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
s : Set X
inj : InjOn f s
sc : IsCompact s
fc : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
loc : ∀ x ∈ s, ∃ u ∈ 𝓝 x, InjOn f u
this : ∀ x ∈ s ×ˢ s, ∀ᶠ (y : X × X) in 𝓝 x, f y.1 = f y.2 → y.1 = y.2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝ˢ s, InjOn f t
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hm : 0 < m
hmn : n.Coprime m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A n δ
b : A
hab : a ∈ ball b δ
hb : b ^ m ∈ {u | orderOf u = n}
⊢ ball (b ^ m) (↑m • δ) = ball (b ^ m) (m • δ)
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoid α
t : Multiset ι
f₁ f₂ : ι → Set α
hf : ∀ i ∈ t, f₁ i ⊆ f₂ i
⊢ (Multiset.map f₁ t).sum ⊆ (Multiset.map f₂ t).sum
α : Type u
inst✝ : EMetricSpace α
s✝ : Set α
x : α
s : Closeds α
y : α
t : Closeds α
⊢ infEdist (x, s).1 ↑(x, s).2 ≤ infEdist (y, t).1 ↑(y, t).2 + 2 * edist (x, s) (y, t)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
t : Set (α × α)
ht₁ : t ∈ 𝓤 α
ht₂ : t ○ t ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α, IsOpen t ∧ SymmetricRel t ∧ t ○ t ⊆ s
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm' f_lim p.toReal μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p.toReal μ) atTop
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
T : Turing.Tape Γ
⊢ T.nth 0 = T.head
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
⊢ Differentiable 𝕜 Prod.fst
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsClosedImmersion f
⊢ ClosedEmbedding ⇑f.val.base
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
μ' : Measure α := ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
h₁ : μ'.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv (ν.withDensity f)
⊢ μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsUpper α
⊢ inst✝ = Topology.upper α
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
r : R
n : ℕ
⊢ (C r).coeff (n + 1) = 0
f : CauSeq ℂ ⇑Complex.abs
⊢ (Complex.cauSeqRe f).lim = f.lim.re
R : Type u_1
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hn : ¬p ∣ n
this : Algebra (ZMod p) R := ZMod.algebra R p
⊢ cyclotomic (n * p) (ZMod p) * cyclotomic n (ZMod p) = (expand (ZMod p) p) (map (Int.castRingHom (ZMod p)) (cyclotomic n ℤ))
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
x y : ↥H
⊢ ↑(x - y) = ↑x - ↑y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ c • Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (c • x) (‖c‖ * r)
α : Type u_1
Encodable α
⊢ IsLinearOrder α Encodable.enle
k : Type u_2
Field k
⊢ normUnit PowerSeries.X = 1
n : ℕ
τ : Type u
p : Fin n → Type u
⊢ ∀ (a : ((i : Fin n) → p i) → τ), (Function.FromTypes.curryEquiv p) a = Function.FromTypes.curry a
R : Type u_2
CommSemiring R
n : ℕ
f g : PowerSeries R
⊢ PowerSeries.trunc n (↑(PowerSeries.trunc n f) * g) = PowerSeries.trunc n (f * g)
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α →ᵈ β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
⊢ y = (pointReflection R (midpoint R x y)) x
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
p : P
⊢ ltTrichotomy x y p p p = p
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
R : Type u_4
CommRing R
Algebra R K
Algebra R L
IsScalarTower R K L
x : ↥S
P : R[X]
⊢ (Polynomial.aeval ↑x) P = ↑((Polynomial.aeval x) P)
X : Type u_4
Y : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
self : X ≃ₜ Y
⊢ Continuous self.invFun
α β γ : Sort u_1
ha : α = β
hb : β = γ
a : α
⊢ cast hb (cast ha a) = cast ⋯ a
α : Type u_1
I✝ B X : Set α
inst✝ : DecidableEq α
E : Set α
Indep : Finset α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep I → Indep J → I.card < J.card → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
subset_ground : ∀ ⦃I : Finset α⦄, Indep I → ↑I ⊆ E
I : Set α
⊢ (IndepMatroid.ofFinset E Indep indep_empty indep_subset indep_aug subset_ground).Indep I ↔ ∀ (J : Finset α), ↑J ⊆ I → Indep J
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : ProperSpace α
K s : Set α
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
hK : IsBounded K
hs : IsClosed s
⊢ DiscreteTopology ↑(closure K ∩ s)
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
TopologicalSpace G₂
T2Space G₂
Inv G₁
Inv G₂
ContinuousInv G₂
⊢ IsClosed {f | ∀ (x : G₁), f x⁻¹ = (f x)⁻¹}
p : ZFSet → Prop
x y : ZFSet
IH : ∀ y ∈ ∅, Hereditarily p y → p ∅
h : Hereditarily p ∅
⊢ p ∅
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ
hc : c < 0
p : ℝ≥0∞
h : f =ᶠ[ae μ] 0 ∧ g =ᶠ[ae μ] 0
⊢ eLpNorm f p μ = 0 ∧ eLpNorm g p μ = 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
H : J.OneHypercoverFamily
inst✝ : H.IsGenerating
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), H E → Nonempty (IsLimit (E.multifork P))
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
T : A
x y : T ⟶ P.obj (Opposite.op X)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), S.arrows f → x ≫ P.map f.op = y ≫ P.map f.op
E : J.OneHypercover X
hE : H E
le : E.sieve₀ ≤ S
⊢ x = y
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α ι
i✝ : ι
a✝ x : α
inst✝ : Nontrivial α
l m : Line α ι
i : ι
a b : α
hba : b ≠ a
hlm : ∀ (a : α) (a_1 : ι), (l.idxFun a_1).getD a = (m.idxFun a_1).getD a
⊢ l.idxFun i = some a ↔ m.idxFun i = some a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
u : Aˣ
⊢ spectrum R (↑u⁻¹ * a * ↑u) = spectrum R a
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ I • J = I * J
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p 0)
⊢ ‖f‖ = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a b : E → 𝔸
ha : DifferentiableAt 𝕜 a x
hb : DifferentiableAt 𝕜 b x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => a y * b y) x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecidableEq (Associates α)
a b : Associates.FactorSet α
⊢ a ⊔ b + a ⊓ b = a + b
α : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {f : α → ℝ}, (Measurable fun x => Real.exp (f x)) → Measurable f
s : ℝ
⊢ (∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m) → Gamma s ≠ 0
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
S : Set (Subfield K)
⊢ IsGLB S (sInf S)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a✝ b : α
hι : Nonempty ι
a : α
⊢ ⨆ x, a = a
θ : Angle
h : θ ≠ ↑π
ht : θ.toReal < 0
⊢ SignType.sign θ.toReal = θ.sign
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
m n : ℕ
m.AtLeastTwo
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat m < OfNat.ofNat n ↔ OfNat.ofNat m < OfNat.ofNat n
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (algebraMap F K) f
⊢ Fintype.card ↑(f.rootSet K) = f.natDegree ↔ f.Separable
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
i : ι
⊢ ((toDualMap 𝕜 E) x) (b i) = ((toDualMap 𝕜 E) y) (b i)
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ Sublattice.map f ⊤ = ⊤
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
⊢ Tendsto (fun π => (integralSum f vol π.1, integralSum f vol π.2)) (l.toFilter I ×ˢ l.toFilter I ⊓ 𝓟 {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}) (𝓤 F)
Ω : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} (s t : Set Ω) (μ : MeasureTheory.Measure Ω),
  ProbabilityTheory.IndepSet s t μ ↔
    ProbabilityTheory.Indep (MeasurableSpace.generateFrom {s}) (MeasurableSpace.generateFrom {t}) μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr₀ : r > 0
hr : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • u
c : ℝ
hc₀ : 0 < c
hcr : c < r⁻¹
y : E
hy : y ∈ s
hx : gauge s ((fun x => c • x) y) < r⁻¹
hrc : r < c⁻¹
⊢ (fun x => c • x) y ∈ u
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
x y : G
⊢ (QuotientGroup.mk' N) x = (QuotientGroup.mk' N) y ↔ ∃ z ∈ N, x * z = y
n i : ℕ
h : i < (List.finRange n).length
⊢ (List.finRange n).get ⟨i, h⟩ = ⟨i, ⋯⟩
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b c : α
hc : c < 0
⊢ a ≤ b / c ↔ b ≤ c * a
M : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing M
a : M
ha : a ∈ center M
x✝¹ x✝ : M
⊢ x✝¹ * x✝ * -a = x✝¹ * (x✝ * -a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₀ f₁ : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : f₀ =ᶠ[𝓝[s] x] f₁
hx : x ∈ s
⊢ HasFDerivWithinAt f₀ f' s x ↔ HasFDerivWithinAt f₁ f' s x
α : Type u_1
M : Type u_13
Zero M
P : α → Prop
DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
g : { a // ¬P a } →₀ M
⊢ (f.piecewise g).support =
  (Finset.map (Function.Embedding.subtype P) f.support).disjUnion
    (Finset.map (Function.Embedding.subtype fun a => ¬P a) g.support) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
⊢ (s ×ˢ t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')
hq'' : (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q' ≠ 0
⊢ (algebraMap (𝕎 k) (Localization (nonZeroDivisors (𝕎 k)))) ((frobeniusEquiv p k) b) * (↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) r') * ↑p ^ n = ↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b * (↑p ^ n * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q')
α : Type u_1
f : α → α
s : Set α
h : Set.SurjOn f s s
n : ℕ
⊢ Set.SurjOn f^[n] s s
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
T : Set α
a : α
hS : ∀ g ∈ S, g⁻¹ ∈ S
subset : T ⊆ orbit (↥(closure S)) a
not_mem : a ∉ T
nonempty : T.Nonempty
⊢ ∃ σ ∈ S, ∃ a ∈ T, σ • a ∉ T
α : Type u_2
PartialOrder α
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
⊢ IsStronglyAtomic α
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
m✝ : L'
⊢ m✝ ∈ LieSubmodule.lieSpan R L' ↑(LieSubalgebra.map f ⊤) ↔ m✝ ∈ LieIdeal.map f ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
f g : α →ᵇ E
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
h : (toLp p μ 𝕜) f = (toLp p μ 𝕜) g
⊢ f = g
n : ℕ
hn : n ≤ 1
b : ℕ
⊢ Nat.clog b n = 0
q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (↑m + x)
⊢ Irrational x
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x y : X
h : Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)
U : Set X
hU : x ∈ U ∧ IsOpen U
V : Set X
hV : y ∈ V ∧ IsOpen V
hd : Disjoint U V
⊢ {p | Disjoint (𝓝 p.1) (𝓝 p.2)} ∈ 𝓝 (x, y)
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ￢a ≤ ￢(a ⊔ b) ⊔ ￢(a ⊓ b)
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'
e : α ≃ β'
e₁ : lift.{max u v, u} #(α ≃ α) = lift.{u, max u v} #(α ≃ β')
e₂ : lift.{max u v, u} #(α → α) = lift.{u, max u v} #(α → β')
⊢ #(α ≃ β') = #(α → β')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
f : (i : ι) → κ i → Set E
h : ∀ (i : ι) (j : κ i), Balanced 𝕜 (f i j)
⊢ Balanced 𝕜 (⋃ i, ⋃ j, f i j)
α : Sort u_1
p : α → Prop
⊢ (∃ x, ¬p x) → ¬∀ (x : α), p x
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ WithBot.some '' Set.Icc a b = Set.Icc ↑a ↑b
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
LE α
OrderBot α
LE β
OrderBot β
LE γ
OrderBot γ
g : TopHom βᵒᵈ γᵒᵈ
f : TopHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ BotHom.dual.symm (g.comp f) = (BotHom.dual.symm g).comp (BotHom.dual.symm f)
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
⊢ e.toHomeomorph.symm = e.symm.toHomeomorph
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
h : e.IsImage s t
⊢ Set.MapsTo (↑e) (e.source ∩ s) (e.target ∩ t)