ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
ν : Measure α
⊢ AEStronglyMeasurable f (bif true then μ else ν) ∧ AEStronglyMeasurable f (bif false then μ else ν) ↔ AEStronglyMeasurable f μ ∧ AEStronglyMeasurable f ν
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c✝ : G₀
s✝ : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E
c : G₀
s : Set E
hc : c ≠ 0
⊢ closure (c • s) = c • closure s
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s : Set β
⊢ s ∩ r.codom ⊆ r.image (r.preimage s)
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
x : (↥S)ˣ
⊢ ↑↑x * ↑↑x⁻¹ = 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ ∀ (a a_1 : V), (G.singletonSubgraph v).Adj a a_1 = ⊥ a a_1
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
⊢ Measurable fun p => κ.rnDerivAux η p.1 p.2
α : Type u
a : α
⊢ (Stream'.const a).tail = Stream'.const a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
f : S₁.Hom S₂
g : S₂.Hom S₃
⊢ (f.comp g).f₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f₃ g.f₃
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
b : H
AddGroupWithOne G
AddGroup H
AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℤ
⊢ f (x - ↑n) = f x - n • b
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : PreservesColimit (span f f) F
inst✝ : Epi f
this : IsColimit (PushoutCocone.mk (𝟙 (F.obj Y)) (𝟙 (F.obj Y)) ⋯)
⊢ Epi (F.map f)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp : 0 ≠ ⊤
⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) 0 μ ≤ ε
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
b : β
hb : b ∉ t
⊢ (fun a => (a, b)) ⁻¹' s ×ˢ t = ∅
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : L₂.IsLocalization W₂
W₃ : MorphismProperty C₁
hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁
E₂ : C₂ ≌ W₁.Localization := uniq L₁ W₁.Q W₁
W₂' : MorphismProperty W₁.Localization := W₂.map E₂.functor
Φ : LocalizerMorphism W₂ W₂' := { functor := E₂.functor, map := ⋯ }
this : Φ.IsLocalizedEquivalence
E₃ : C₃ ≌ W₂'.Localization := (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q).asEquivalence
iso : (W₁.Q ⋙ W₂'.Q) ⋙ E₃.inverse ≅ L₁ ⋙ L₂ := Trans.trans (Trans.trans (W₁.Q.associator W₂'.Q E₃.inverse ≪≫ isoWhiskerRight (compUniqFunctor L₁ W₁.Q W₁).symm (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse) ≪≫ L₁.associator (uniq L₁ W₁.Q W₁).functor (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse)) (isoWhiskerLeft L₁ ((E₂.functor.associator W₂'.Q E₃.inverse).symm ≪≫ isoWhiskerRight (CatCommSq.iso Φ.functor L₂ W₂'.Q (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q)) E₃.inverse ≪≫ L₂.associator (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q) E₃.inverse))) (isoWhiskerLeft L₁ (isoWhiskerLeft L₂ E₃.unitIso.symm ≪≫ L₂.rightUnitor))
hW₃' : W₃.IsInvertedBy (W₁.Q ⋙ W₂'.Q)
hW₂₃' : W₂' ≤ W₃.map W₁.Q
⊢ (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
⊢ ↑(f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U) = ↑U
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ ⊤.relindex H = 1
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ) → Prop
h_ind :
  ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P (MeasureTheory.Lp.simpleFunc.indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : MeasureTheory.SimpleFunc α E⦄ (hf : MeasureTheory.Memℒp (↑f) p μ) (hg : MeasureTheory.Memℒp (↑g) p μ),
    Disjoint (Function.support ↑f) (Function.support ↑g) →
      P (MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp f hf) →
        P (MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp g hg) →
          P (MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp f hf + MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp g hg)
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ)
⊢ P f
m n : ℕ
⊢ m.psub n = none ↔ m < n
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Icc a c ⊆ Set.Icc a b ∪ Set.Ioc b c
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
α : Type u_4
r : α → α → Prop
x✝¹ : IsWellOrder α r
β : Type u_4
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
⊢ type r + type s = 0 ↔ type r = 0 ∧ type s = 0
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g g₁ g₂ : σ → S₁
h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i
⊢ ∀ x ∈ p.support, (fun s a => f a * s.prod fun n e => g₁ n ^ e) x (p x) = (fun s a => f a * s.prod fun n e => g₂ n ^ e) x (p x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
⊢ (∀ (x y : α), ↑(nndist x y) ≤ ↑K * ↑(nndist (f x) (f y))) ↔ ∀ (x y : α), nndist x y ≤ K * nndist (f x) (f y)
α : Type u_2
_m0 : MeasurableSpace α
s s' : Set α
hs : s ⊆ s'
μ ν : MeasureTheory.Measure α
hμν : μ ≤ ν
⊢ μ.restrict s ≤ ν.restrict s'
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid M
f : ι → M
s t : Finset ι
DecidableEq ι
⊢ ∑ i ∈ s \ t, f i ≤ ∑ i ∈ t \ s, f i ↔ ∑ i ∈ s, f i ≤ ∑ i ∈ t, f i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.op.L₁ = S.L₂.op
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
⊢ (HomologicalComplex₂.flipFunctor C c₁ c₂).obj K = K.flip
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
h_meas_f : AEMeasurable f μ
h_meas_g : AEMeasurable g μ
h_indep_fun : IndepFun f g μ
fg_ae : f * g =ᶠ[ae μ] AEMeasurable.mk f h_meas_f * AEMeasurable.mk g h_meas_g
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), (f * g) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
⊢ (¬∀ (m : M), ∃ r ∉ p.asIdeal, r • m = 0) ↔ ∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, r • m ≠ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
U : Set X
f g : X → Y
h : f =ᵐ[μ.restrict U] g
hU : IsOpen U
hf : ContinuousOn f U
hg : ContinuousOn g U
⊢ Set.EqOn f g U
α : Type u
TopologicalSpace α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, Relation.ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
⊢ IsPreconnected (⋃ n ∈ t, s n)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Presentation R S
self : P.IsFinite
⊢ Finite P.vars
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a
⊢ Filter.map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x z : P
hxz : x ≠ z
t : R
ht : t ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ (lineMap x z) t ≠ x ∧ (lineMap x z) t ≠ z
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing α
inst✝⁶ : CommRing β
inst✝⁵ : Algebra R α
inst✝⁴ : Algebra R β
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β
⊢ includeLeft A.det ^ Fintype.card n * includeRight B.det ^ Fintype.card m = (A.det ^ Fintype.card n) ⊗ₜ[R] (B.det ^ Fintype.card m)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : p.support.card ≤ 1
⊢ Polynomial.C p.leadingCoeff * Polynomial.X ^ p.natDegree = p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ ‖A x‖ = √(re ⟪((adjoint A).comp A) x, x⟫_𝕜)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b
⊢ ContinuousWithinAt f (Ioc a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ioi a) a
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hμν : μ.AbsolutelyContinuous ν
hf : MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
hfν : AEMeasurable f ν
⊢ MeasureTheory.llr (μ.tilted f) ν =ᵐ[μ] fun x => f x - Real.log (∫ (z : α), rexp (f z) ∂μ) + MeasureTheory.llr μ ν x
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_6
Aₛ : Type u_7
CommSemiring A
Algebra R A
CommSemiring Aₛ
Algebra A Aₛ
Algebra R Aₛ
IsScalarTower R A Aₛ
⊢ IsLocalizedModule S (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap ↔ IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid A S) Aₛ
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
x✝² : x ∈ s
y : E
x✝¹ : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
x✝ : a + b = 1
⊢ ‖a • x‖ + ‖b • y‖ = a * ‖x‖ + b * ‖y‖
α : Type u_1
c : Set (Set α)
H : ∀ (a : α), ∃! b, b ∈ c ∧ a ∈ b
x : α
b b' : Set α
hc : b ∈ c
hb : x ∈ b
hc' : b' ∈ c
hb' : x ∈ b'
⊢ b = b'
α : Type u_1
ι : Type u_9
InfSet α
f : ULift.{u_10, u_9} ι → α
⊢ ⨅ i, f i = ⨅ i, f { down := i }
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
Module.Free R M
Module.Finite R M
Module.Free R N
Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] M
g : N →ₗ[R] N
⊢ (LinearMap.trace R (TensorProduct R M N)) (TensorProduct.map f g) = (LinearMap.trace R M) f * (LinearMap.trace R N) g
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
S : Set G
inst✝ : Finite ↑S
x : G
h : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S
this✝ : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype ↑S
this : Fintype ↑((fun n => x * n * x⁻¹) '' S)
⊢ x ∈ setNormalizer S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Balanced C
⊢ CategoryTheory.Balanced Cᵒᵖ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι2 : Type u_5
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
⊢ AffineIndependent k (p ∘ ⇑f)
α : Type u
o : Option α
⊢ o.toList.Nodup
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
this : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ 0 - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ 0
⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
R✝ : Type u
a b : R✝
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : Ring R
toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ (-{ toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = -{ toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b c : α
⊢ Disjoint a (b ⊔ c) ↔ Disjoint a b ∧ Disjoint a c
m n : ℕ∞
⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hyo : y % 2 = 1
hzpos : 0 < z
h0 : ¬x = 0
v : ℚ := ↑x / ↑z
w : ℚ := ↑y / ↑z
hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1
hvz : v ≠ 0
hw1 : w ≠ -1
hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0
hp : (v, w) ∈ {p | p.1 ^ 2 + p.2 ^ 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1}
q : ℚ := (circleEquivGen hQ).symm ⟨(v, w), hp⟩
ht4 : v = 2 * q / (1 + q ^ 2) ∧ w = (1 - q ^ 2) / (1 + q ^ 2)
m : ℤ := ↑q.den
n : ℤ := q.num
hm0 : m ≠ 0
hq2 : q = ↑n / ↑m
hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2
hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0
hx1 : ∀ {j k : ℚ}, k ≠ 0 → k ^ 2 + j ^ 2 ≠ 0 → (1 - (j / k) ^ 2) / (1 + (j / k) ^ 2) = (k ^ 2 - j ^ 2) / (k ^ 2 + j ^ 2)
hw2 : w = (↑m ^ 2 - ↑n ^ 2) / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hx2 : ∀ {j k : ℚ}, k ≠ 0 → k ^ 2 + j ^ 2 ≠ 0 → 2 * (j / k) / (1 + (j / k) ^ 2) = 2 * k * j / (k ^ 2 + j ^ 2)
hv2 : v = 2 * ↑m * ↑n / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hnmcp : n.gcd m = 1
hmncp : m.gcd n = 1
⊢ h.IsPrimitiveClassified
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {y | ‖y‖ < ε}
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
⊢ ∀ (x : ℕ → F), (∀ (n : ℕ), ∃ x_1 ∈ K, f x_1 = x n) → Tendsto x atTop (nhds b) → ∀ (y : F), (∀ ⦃x : E⦄, x ∈ K → 0 ≤ ⟪f x, y⟫_ℝ) → 0 ≤ ⟪y, b⟫_ℝ
α : Type u_2
Preorder α
Mul α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : NonemptyInterval α
⊢ (s * t).toProd = s.toProd * t.toProd
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
OrderedRing S
abv : AbsoluteValue R S
IsDomain S
Nontrivial R
⊢ ⇑abv.toMonoidHom = ⇑abv
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
i j : ι
⊢ (HomologicalComplex.homotopyCofiber φ).d i j = HomologicalComplex.homotopyCofiber.d φ i j
M : Type u_1
MulOneClass M
s : Set M
⊢ s ⊆ ↑(Submonoid.closure s)
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Sort u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
a : α
⊢ (ofInjective f hf).symm ⟨f a, ⋯⟩ = a
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Top α
SemilatticeInf β
OrderTop β
⊢ ⇑⊤ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
v : Mathlib.Vector α 0
f : α → β
⊢ b ∉ (Mathlib.Vector.map f v).toList
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : b ≤ 1
r : R
⊢ clog b r = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
⊢ Continuous ⇑CofiniteTopology.of
α : Type u_5
β : Type u_6
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : TopologicalSpace β] [inst_1 : Zero β],
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable 0 μ
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
PartialOrder α
Preorder β
f g : β → α
PosMulStrictMono α
MulPosStrictMono α
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hf₀ : ∀ (x : β), 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ (x : β), 0 ≤ g x
⊢ StrictMono (f * g)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
p : Prop → Prop
h1 : p True
h2 : p False
a : Prop
⊢ p a
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hα : IsIntegral F α
hβ : IsIntegral F β
f : F[X] := minpoly F α
g : F[X] := minpoly F β
ιFE : F →+* E := algebraMap F E
ιEE' : E →+* (Polynomial.map ιFE g).SplittingField := algebraMap E (Polynomial.map ιFE g).SplittingField
c : F
hc : ∀ α' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) g).roots, -(α' - ιEE' α) / (β' - ιEE' β) ≠ (ιEE'.comp ιFE) c
γ : E := α + c • β
p : (↥F⟮γ⟯)[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) f).comp (C (AdjoinSimple.gen F γ) - C ⟨(algebraMap F E) c, ⋯⟩ * X)) (Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) g)
h : E[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map ιFE f).comp (C γ - C (ιFE c) * X)) (Polynomial.map ιFE g)
map_g_ne_zero : Polynomial.map ιFE g ≠ 0
h_ne_zero : h ≠ 0
⊢ Polynomial.map (algebraMap (↥F⟮γ⟯) E) p = C h.leadingCoeff * (X - C β)
M : Type u
Monoid M
x : CategoryTheory.SingleObj M
⊢ 𝟙 x = 1
r : ℝ≥0
p : ℝ
⊢ r < p.toNNReal ↔ ↑r < p
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : y ∈ interior s
⊢ UniqueDiffWithinAt ℝ s x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
h : W.a₆ = 0
hΔ : W.a₆ = 0 → W.a₃ = 0 ∧ W.a₄ = 0
⊢ Δ W = 0
α : Type u_1
m : Num
n : ℕ
⊢ ↑(m <<< n) = ↑m <<< n
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R✝ N
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
s : Finset A
hs : span R ↑s = ⊤
t : Finset M
ht : span A ↑t = ⊤
⊢ span R (image2 (fun x x_1 => x • x_1) ↑s ↑t) = ⊤
X : CommGrp
⊢ CommGrp.uliftFunctor.obj X = CommGrp.of (ULift.{v, u} ↑X)
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char
⊢ (if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then true else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.anyAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l })) = (c :: m).any p
M : Type u_1
MulAction ℝ M
c : ℝ≥0
x : M
⊢ c • x = ↑c • x
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a : B
⊢ (CategoryTheory.Pseudofunctor.mkOfLax F F').mapId a = F'.mapIdIso a
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ edist x y = ↑(nndist x y)
c d : Char
h : Not (Eq c d)
⊢ Not (Eq c.val d.val)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
r : k
p₁ p₂ : P
⊢ (AffineMap.lineMap p₂ p₁) r ∈ affineSpan k {p₁, p₂}
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasLimits C
inst✝⁴ : HasColimits C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
inst✝¹ : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
X Y : SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
hf : OpenEmbedding ⇑f.base
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
y : ↑↑X.toPresheafedSpace
hy : y ∈ ↑U
H : IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C (f.base y)).map f.c ≫ TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y)
H' : IsIso (TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y)
⊢ IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C ↑⟨f.base y, ⋯⟩).map (let_fun this := { val := f.c }; this).val)
b : Ordinal.{u}
hb₁ : b ≠ 1
hb : Principal (fun x x_1 => x + x_1) b
⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) (0 * b)
b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
⊢ (b + 2) ^ l.length ≤ (b + 2) * Nat.ofDigits (b + 2) l
ι : Type u_1
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
I : BoxIntegral.Box ι
c : ℝ≥0
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
self : l.MemBaseSet I c r π
⊢ l.bDistortion = true → ∃ π', π'.iUnion = ↑I \ π.iUnion ∧ π'.distortion ≤ c
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i j : n
⊢ A.adjugateᵀ i j = Aᵀ.adjugate i j
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s t : Finset α
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s * t).Nonempty
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → α → β
comm : ∀ (x y : α), f x y = f y x
l l' : List α
⊢ zipWith f l l' = zipWith f l' l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
t : Set γ
tmeas : MeasurableSet t
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂ν, g x ∈ t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Multiset ι
f g : ι → α
hs : s ≠ ∅
hfg : ∀ i ∈ s, f i < g i
⊢ (map f s).prod < (map g s).prod
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
inst✝ : J.WEqualsLocallyBijective A
X Y : Cᵒᵖ ⥤ A
f : X ⟶ Y
⊢ J.W f ↔ Presheaf.IsLocallyInjective J f ∧ Presheaf.IsLocallySurjective J f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteLattice β
f g : α → β
hfg : f ≤ᵐ[μ] g
⊢ essInf f μ ≤ essInf g μ
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : Completion α
⊢ IsClosed {a | dist a a = 0}
u : ℤˣ
⊢ u ^ 2 = 1
α : Type u
x : α
l : List α
k : Nat
⊢ x ∈ l.eraseIdx k ↔ ∃ i, ↑i ≠ k ∧ l.get i = x
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
a : Ω[S⁄R]
⊢ (KaehlerDifferential.quotKerTotalEquiv R S).symm a =
  (KaehlerDifferential.derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential a
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
ι : Type u_6
Mul α
AddCommMonoid α
Unique ι
w : m → α
v : n → α
⊢ Matrix.vecMulVec w v = Matrix.col ι w * Matrix.row ι v
i j : ℕ
hne : i ≠ j
h : i > j
⊢ 0 < i - j
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
h : ∀ (x : E), Module.rank F ↥F⟮x⟯ = 1
⊢ ⊥ = ⊤
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ Polynomial.mul p q = p * q
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
h : μ {x | (fun x => |(μ[f|m]) x| ≤ ↑R) x}ᶜ ≠ 0
⊢ False
n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}
⊢ Cardinal.toPartENat c < ↑n ↔ c < ↑n
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
⊢ ↑(S.fromLeftInv ⟨(Classical.choose ⋯).inv, ⋯⟩) = ↑x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
X : C
⊢ (λ_ F).inv.app X = (λ_ (F.obj X)).inv
α : Type u
CommSemiring α
a b : α
⊢ (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2 * a * b
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
hf : MeasureTheory.Adapted ℱ f
hab : a < b
⊢ Measurable (MeasureTheory.upcrossings a b f)
a b c : Int
ha : a ≤ 0
h : c ≤ b
⊢ a * b ≤ a * c
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b c : α
h : a ≤ c ⊔ b
hd : Disjoint a c
⊢ a ≤ b ⊔ c
G : Type u_1
DivInvMonoid G
a : G
⊢ a ^ 0 = 1
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hx : ¬↑p ∣ y
k : R
hk : x - y = ↑p * k
⊢ ¬↑p ^ 2 ∣ ↑p * y ^ (p - 1)
α : Type u_1
OrderedSemiring α
Nontrivial α
x : ↑(Set.Ico 0 1)
⊢ ↑x = 0 ↔ x = 0
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u
AddCommGroup N
Module R N
P : Type u
AddCommGroup P
Module R P
IsNoetherianRing R
Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ Function.Exact ⇑(AdicCompletion.map I f) ⇑(AdicCompletion.map I g)
R : Type u_1
MonoidWithZero R
⊢ IsRadical 0 ↔ IsReduced R
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
m n : ℤ
k l : ℕ
hpm : ↑(p ^ k) ∣ m
hpn : ↑(p ^ l) ∣ n
hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n
hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs
hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs
hpmn' : p ^ (k + l + 1) ∣ m.natAbs * n.natAbs
hsd : p ^ (k + 1) ∣ m.natAbs ∨ p ^ (l + 1) ∣ n.natAbs := Nat.succ_dvd_or_succ_dvd_of_succ_sum_dvd_mul p_prime hpm' hpn' hpmn'
hsd1 : p ^ (k + 1) ∣ m.natAbs
⊢ ↑(p ^ (k + 1)) ∣ ↑m.natAbs
M : Type u_1
Mul M
Finite M
⊢ commProb M ≤ 1
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S F : IntermediateField K L
E : IntermediateField K ↥F
x : ↥F
left✝ : x ∈ ↑E.toSubsemiring
⊢ ↑F.val x ∈ F
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ ¬a ≡ b [PMOD p] ∨ a ≡ b [PMOD p]
α : Type ua
UniformSpace α
x y : α
s : Set (α × α)
h : s ∈ 𝓤 α
hx : x = y
⊢ (x, y) ∈ s
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
Nonempty M
⊢ (AddHom.snd M N).srange = ⊤