ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
g : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
y : ↥(Submonoid.map (algebraMap R S) M) := commonDenomOfFinset (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s
y' : R
hy' : y' ∈ ↑M
e : (algebraMap R S) y' = ↑y
this : (algebraMap R S) y' • ↑s = y' • ↑s
hx₁ : y' • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))
x' : S
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))
hx'' : (algebraMap S S') x' = g (y' • x)
a : R
ha₁ : a ∈ ↑M
ha₂ : ↑⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ * x' = ↑⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ * y' • x
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
c : ℝ≥0∞
hG : CompleteSpace G
hc : c ≠ ⊤
hdfma : DominatedFinMeasAdditive μ (weightedSMul (c • μ)) c.toReal
hdfma_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) (weightedSMul (c • μ)) 1
⊢ setToFun μ (weightedSMul (c • μ)) hdfma f = setToFun μ (fun s => c.toReal • weightedSMul μ s) ⋯ f
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕂
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝² : CompleteSpace 𝔸
inst✝¹ : StarRing 𝔸
inst✝ : ContinuousStar 𝔸
x : 𝔸
h : x ∈ skewAdjoint 𝔸
⊢ exp 𝕂 x ∈ unitary 𝔸
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
δ : Type u_2
UniformSpace δ
g : C(β, δ)
hg : UniformEmbedding ⇑g
⊢ UniformEmbedding g.comp
M : Type u_4
N : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ Function.Injective MonoidHom.toOneHom
α : Type u
β : Type v
Top α
Top β
⊢ ⊤.2 = ⊤
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial σ S
d : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ (MvPolynomial.bind₂ f) ((MvPolynomial.monomial d) r) = f r * (MvPolynomial.monomial d) 1
c : ℝ
hc : 1 < c
cpos : 0 < c
⊢ (1 - c⁻¹) * c ^ 0 ≤ ↑⌊c ^ 0⌋₊
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
⊢ a.get i * a.get j ∈ FP a
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
D : Set E
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f D x < ε
S : ℝ → Set E := fun r => {x | ∃ a > r, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal a) ∩ D)) ≤ ε}
⊢ ∃ δ > 0, ∀ x ∈ K, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal δ) ∩ D)) ≤ ε
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
⊢ ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ + ⁅y, ⁅z, x⁆⁆ + ⁅z, ⁅x, y⁆⁆ = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r
f : Fin 3 → ℝ
hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0
hf0 : f 0 = 0
hfi : Function.Injective f
hsd : ∀ (i : Fin 3), f i = 0 ∨ f i = -2 * ⟪v, p 0 -ᵥ c⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ
hfn0 : ∀ (i : Fin 3), i ≠ 0 → f i ≠ 0
⊢ False
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
a : R
x : σ
⊢ MvPolynomial.degreeOf x (MvPolynomial.C a) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
⊢ (𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
DivisionRing K
gp : GenContFract.Pair K
ppredA predA : K
succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp
nth_num_eq : g.nums n = ppredA
succ_nth_num_eq : g.nums (n + 1) = predA
⊢ g.nums (n + 2) = gp.b * predA + gp.a * ppredA
a b : ℝ
⊢ (a + b).cauchy = a.cauchy + b.cauchy
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c p₁ p₂ : P
⊢ c ∈ AffineSubspace.perpBisector p₁ p₂ ↔ ⟪p₂ -ᵥ p₁, c -ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂⟫_ℝ = 0
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i : ι
m : M
⊢ (b.toDual (b i)) m = (b.repr m) i
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : ¬Prime p
⊢ n.factorization p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi : ¬MeasurableSet i
⊢ v.restrict i ≤ restrict 0 i
σ : Type u
K : Type v
Field K
I : Ideal (MvPolynomial σ K)
hI : I ≠ ⊤
⊢ Function.Injective ⇑((Ideal.Quotient.mk I).comp MvPolynomial.C)
R S : Type u
CommRing R
CommRing S
M : Submonoid R
S' : Type u
CommRing S'
Algebra S S'
Algebra R S
Algebra R S'
IsScalarTower R S S'
IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
⊢ ∃ m, m • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
inst✝ : Unique ι
f : ι → α
⊢ ⨅ i, f i = f default
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
z w : ℂ
H : DifferentiableOn ℂ f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * Complex.I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * Complex.I)) +
      Complex.I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * Complex.I)) -
    Complex.I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * Complex.I) =
  0
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
f : β → α
x : Filter β
a : α
⊢ Filter.Tendsto f x (𝓝 a) ↔ Filter.Tendsto (fun b => dist (f b) a) x (𝓝 0)
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ (Submodule.equivOpposite.symm (MulOpposite.op M)).mulMap (Submodule.equivOpposite.symm (MulOpposite.op N)) =
  ↑(MulOpposite.opLinearEquiv R) ∘ₗ
    N.mulMap M ∘ₗ
      ↑(TensorProduct.congr ((MulOpposite.opLinearEquiv R).symm.ofSubmodule' M)
            ((MulOpposite.opLinearEquiv R).symm.ofSubmodule' N) ≪≫ₗ
          TensorProduct.comm R ↥M ↥N)
α : Type u_1
C : Multiset α → Sort u_3
C_0 : C 0
C_cons : (a : α) → (m : Multiset α) → C m → C (a ::ₘ m)
C_cons_heq :
  ∀ (a a' : α) (m : Multiset α) (b : C m),
    HEq (C_cons a (a' ::ₘ m) (C_cons a' m b)) (C_cons a' (a ::ₘ m) (C_cons a m b))
⊢ Multiset.recOn 0 C_0 C_cons C_cons_heq = C_0
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α
e : α ≃ α ⊕ β'
f g : α → β'
h : (fun f => ⟨fun a => Sum.elim f id (e a), ⋯⟩) f = (fun f => ⟨fun a => Sum.elim f id (e a), ⋯⟩) g
a : α
⊢ f a = g a
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
e : M ≃+ M₂
⊢ ⇑e.toIntLinearEquiv = ⇑e
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
X : CochainComplex C ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftShortComplexFunctorIso C n i i' hi).inv.app X).τ₂ = (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).inv
α : Type u
Preorder α
OrderBot α
s : Set α
⊢ BddBelow s
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Sigma σ → X
⊢ (∀ (i : ι), Continuous f) ↔ ∀ (i : ι), Continuous fun a => f ⟨i, a⟩
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Add A
Add B
Mul A
Mul B
SMul R A
SMul R B
Star A
Star B
e : A ≃⋆ₐ[R] B
⊢ e.toRingEquiv = ↑e
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℂ
s : Set α
b : ℂ
hf : ContinuousOn f s
h : b ≠ 0 ∨ ∀ a ∈ s, f a ≠ 0
⊢ ContinuousOn (fun x => b ^ f x) s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(r • μ).toSignedMeasure i = ↑(r • μ.toSignedMeasure) i
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : β → α → β
b : β
a : α
l : List α
⊢ (scanl f b l).get? 0 = some b
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ U
P : Type u_1
LE P
s : Order.Ideal P
⊢ (↑s).Nonempty
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]] volume
hG : CompleteSpace G
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
k : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range (k + 1), (monomial (k - x)) (_root_.bernoulli x * ↑((k + 1).choose x) * ↑(k + 1 - x)) = ∑ i ∈ range (k + 1), (↑k + 1) * (monomial (k - i)) (_root_.bernoulli i * ↑(k.choose i))
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
c₂ : α
c₂F : c₂ ∈ ↑F
c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂
b₁ : α
b₁J : b₁ ∈ J
cba₁ : c₁ ≤ b₁ ⊔ a₁
b₂ : α
b₂J : b₂ ∈ J
cba₂ : c₂ ≤ b₂ ⊔ a₂
⊢ a₁ ⊓ a₂ ∉ J
n : ℕ
⊢ n.MinSqFacProp n.minSqFac
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
this : FiniteDimensional 𝕜 M
hf : ¬range f < ⊤
⊢ ¬LinearMap.det f = 0
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
H : ↑f (stationaryPoint hf) = 0
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : n ≥ stationaryPoint hf
⊢ padicNorm p (↑f n) < ε
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
X₁✝ : C₁
a✝ : X₂ ⟶ T.obj X₁✝
b : L.obj X₁✝ ⟶ X₃
comm : R.map a✝ ≫ w.app X₁✝ ≫ B.map b = g
X₁ : C₁
a : X₂ ⟶ T.obj X₁
φ : (w.structuredArrowDownwards X₂).obj (StructuredArrow.mk a) ⟶ StructuredArrow.mk g
⊢ ∃ X₁_1 a_1 b, ∃ (comm : R.map a_1 ≫ w.app X₁_1 ≫ B.map b = g), CostructuredArrow.mk φ = mk w g X₁_1 a_1 b comm
m n k : ℤ
⊢ (m * n).lcm (m * k) = m.natAbs * n.lcm k
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
⊢ x.valMinAbs.natAbs ≤ n / 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor Y).inv)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X (𝟙_ C) Y).inv =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv Y
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
i✝ j✝ : n
⊢ adjugate 1 i✝ j✝ = 1 i✝ j✝
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : AEMeasurable X μ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : α), ((condDistrib Y X μ) (X x)) s ∂μ ≠ ⊤
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : r.gcd s = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : m.gcd (r * s) = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = m * (r * s)
hrsz : r * s ≠ 0
⊢ False
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
s s' : σ
n : ℕ
⊢ coeff (Finsupp.single s' n) (X s) = if n = 1 ∧ s = s' then 1 else 0
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
y : ↥S
⊢ (Localization.r S) 1 (↑y, y)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
α : Type u_1
Preorder α
Subsingleton α
x y : α
⊢ x ≤ y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
self : CategoryTheory.NatTrans F G
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) (self.app Y) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.app X) (G.map f)
α : Type
d✝ : ℕ
ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
d : ℕ
ds : List ℕ
x : Holor α (d :: ds)
h_summands : ∀ (i : { x // x ∈ Finset.range d }), CPRankMax ds.prod (unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
h_dds_prod : (d :: ds).prod = (Finset.range d).card * ds.prod
this : CPRankMax ((Finset.range d).attach.card * ds.prod) (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
⊢ CPRankMax (d :: ds).prod x
J K : Type v
inst✝⁵ : SmallCategory J
inst✝⁴ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasColimit (uncurry.obj F)
inst✝ : HasColimit (F ⋙ colim)
j : J
k : K
⊢ (colimit.ι (uncurry.obj F) (j, k) ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F).hom) ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F).inv = (colimit.ι (F.obj j) k ≫ colimit.ι (F ⋙ colim) j) ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F).inv
x : EReal
hx : x ≠ ⊤
h'x : x ≠ ⊥
⊢ ↑x.toReal = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : Fintype α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ = ∑ x : α, f x * μ {x}
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : IsNormal f
a o : Ordinal.{u}
ha : a.IsLimit
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hg : a.IsFundamentalSequence o g
⊢ (f a).IsFundamentalSequence o fun b hb => f (g b hb)
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
hp : p ≠ 0
⊢ (p.pred hp).predAbove p = p.pred hp
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
i₁ : G
r₁ : k
i₂ : G
r₂ : k
⊢ ((((((AddMonoidHom.mul.compr₂ __src✝.toAddMonoidHom).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₁)) r₁).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₂)) r₂ = (((((((AddMonoidHom.mul.comp __src✝.toAddMonoidHom).compl₂ __src✝.toAddMonoidHom).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₁)) r₁).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₂)) r₂
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
⊢ (∀ n > 3, ((((if n = 3 then P.a else 0) + if n = 2 then P.b else 0) + if n = 1 then P.c else 0) + if n = 0 then P.d else 0) = 0) ∧ ((((if True then P.a else 0) + if 3 = 2 then P.b else 0) + if 3 = 1 then P.c else 0) + if False then P.d else 0) = P.a ∧ ((((if 2 = 3 then P.a else 0) + if True then P.b else 0) + if 2 = 1 then P.c else 0) + if False then P.d else 0) = P.b ∧ ((((if 1 = 3 then P.a else 0) + if 1 = 2 then P.b else 0) + if True then P.c else 0) + if False then P.d else 0) = P.c ∧ ((((if False then P.a else 0) + if False then P.b else 0) + if False then P.c else 0) + if True then P.d else 0) = P.d
α : Type u
s : List α
⊢ Function.Injective fun t => s ++ t
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)
ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)
sNu : Summable fun n => ‖u n‖
su : Summable u
x : E := tsum u
⊢ ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
n : ℕ
⊢ Nat.find h < n ↔ ∃ m, m < n ∧ p m
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
p : G.Walk v w
hp : ¬p.Nil
⊢ G.Adj v (p.sndOfNotNil hp)
A B : AddCommGrp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ Function.Injective ⇑f
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
p p' : NonUnitalSubring R
⊢ ↑(p ⊓ p') = ↑p ∩ ↑p'
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ c :: m₂
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
⊢ x✝.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E''
c' : F''
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
⊢ ((fun _x => c) =O[l] fun _x => c') ↔ c' = 0 → c = 0
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x : α✝ (last n✝)
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.castSucc
i✝ : Fin n✝
y : α✝ i✝.castSucc
z : α✝ (last n✝)
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
f : Fin n → α
i : Fin n
⊢ (snoc f a ∘ castSucc) i = f i
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} B
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
hη : AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.τ₀ = AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.τ₁ hF hG η
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence hF hG).counitIso =
  AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalenceCounitIso η
α : Type u
β : Type v
AddGroup β
f : α → β
s : AddSubgroup β
H : Set.range f ⊆ ↑s
⊢ (FreeAddGroup.lift f).range ≤ s
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L₂ : Type w
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
a : L
⊢ f.toNonUnitalAlgHom a = f a
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k
⊢ Continuous fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
h : 2 ≤ n
this : 1 ≤ n / 2
m : ℕ
e : n / 2 = m.succ
⊢ decodeSum n = none
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : R
hn : IsPrimePow n
k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ IsPrimePow (n ^ k)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
hG : ¬(center G).index = 0
this✝ : (center G).FiniteIndex
h1 : (center G).relindex (_root_.commutator G) ∣ (center G).index
this : ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).FiniteIndex
h2 : Group.rank ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) ≤ ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).index * Group.rank ↥(_root_.commutator G)
⊢ Nat.card ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) ∣ (center G).index ^ ((center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G))
α : Type u_1
LT α
DecidableRel LT.lt
DecidableEq α
LE α
lt_irrefl : ∀ (x : α), ¬x < x
lt_trans : ∀ {x y z : α}, x < y → y < z → x < z
not_lt : ∀ {x y : α}, ¬x < y → y ≤ x
le_antisymm : ∀ {x y : α}, x ≤ y → y ≤ x → x = y
⊢ Batteries.LTCmp fun x x_1 => compareOfLessAndEq x x_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
s t : Set α
l : Filter α
⊢ s ∩ t =ᶠ[l] t ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, x ∈ t → x ∈ s
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n k : ℕ
hk : k ∈ (xInTermsOfW p ℚ n).vars
i : idx
j : ℕ
hj : j ∈ (W_ ℚ k).vars
hx : (i, j) ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars
hx' : (i, j) ∈ ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ).vars
hx'' : (i, j) ∈ ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)).vars
⊢ (i, j).2 < n + 1
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
s t : Subsemiring R
f : R →+* S
⊢ Subsemiring.map f (s ⊔ t) = Subsemiring.map f s ⊔ Subsemiring.map f t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : DecidableEq α
f : α × β →₀ M
⊢ (f.support.biUnion fun a => (single a.1 (single a.2 (f a))).support) ⊆ f.support.biUnion fun a => {a.1}
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J
⊢ 𝒰.gluedCoverT' x y z ≫ 𝒰.gluedCoverT' y z x ≫ 𝒰.gluedCoverT' z x y ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)) = pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z))
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
h₁ : derivative (T R (n + 2)) = derivative (X * T R (n + 1) - (1 - X ^ 2) * U R n)
⊢ (↑n + 1) * T R (n + 1) = X * U R n - (1 - X ^ 2) * derivative (U R n)
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
X Y : Ω → ℝ
hXY : ProbabilityTheory.IndepFun X Y μ
hX : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable X μ
hY : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable Y μ
⊢ MeasureTheory.integral μ (X * Y) = MeasureTheory.integral μ X * MeasureTheory.integral μ Y