ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
α : Type u
Preorder α
s : Set α
⊢ MonotoneOn id s
α : Type u_1
r : Rel α α
x : RelSeries r
s : Rel α α
h : r ≤ s
⊢ (x.ofLE h).toFun = x.toFun
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
⊢ MvPowerSeries.C σ R = algebraMap R (MvPowerSeries σ R)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
n : ℕ
a : α
⊢ (replicate n a).prod = a ^ n
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
Preorder β
f : α → β
⊢ StrictAnti f ↔ ∀ (a b : α), a ⋖ b → f b < f a
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x : Option α} {α_1 : Type u_2} {f : α → α_1}, Option.map f x = none ↔ x = none
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : Set ι
hs : s.Finite
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (t i hi).Finite
⊢ (⋃ i, ⋃ (h : i ∈ s), t i h).Finite
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
BorelSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
hcg : Filter.Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
Fintype ι
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
⊢ (π₁.disjUnion π₂ h).distortion = max π₁.distortion π₂.distortion
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxU : x ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj ((structureSheaf R).presheaf.obj (op U))
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : x ∈ V
iVU : V ⟶ U
f g : R
hg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
hs : const R f g V hg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
⊢ ((structureSheaf R).presheaf.map (homOfLE hg).op) (const R f (↑⟨g, ⋯⟩) (PrimeSpectrum.basicOpen ↑⟨g, ⋯⟩) ⋯) = ((structureSheaf R).presheaf.map iVU.op) s
Ω : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} (s t : Set Ω) (μ : MeasureTheory.Measure Ω),
  ProbabilityTheory.IndepSet s t μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : Cᵒᵖ
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
h : CategoryTheory.HasLiftingProperty i p
⊢ CategoryTheory.HasLiftingProperty p.unop i.unop
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N P : Submodule R M
h : N ≤ P
⊢ P.annihilator ≤ N.annihilator
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T0Space X
⊢ diracProba ∘ ⇑diracProbaEquiv.symm = fun μ => ↑μ
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
x : Z
ex : proj x ∈ e.baseSet
⊢ Prod.fst ∘ ↑e =ᶠ[𝓝 x] proj
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⇑normalize = Associates.out ∘ Associates.mk
⊢ Multiset.map Associates.mk (normalizedFactors x + normalizedFactors y) = Multiset.map Associates.mk (normalizedFactors (x * y))
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hs : IsClosed s
x y : X
hys : y ∈ s
hxy : mk y = mk x
⊢ x ∈ s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X✝¹ : C
R✝ : Presieve X✝¹
S✝ : Sieve X✝¹
inst✝¹ : R✝.hasPullbacks
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
R : Presieve X✝
S : Sieve X✝
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
z₁ z₂ : FirstObj P X
h : ∀ (i : I), Pi.π (fun i => P.obj (op (X i))) i z₁ = Pi.π (fun i => P.obj (op (X i))) i z₂
⊢ ∀ (j : Discrete I), limit.π (Discrete.functor fun i => P.obj (op (X i))) j z₁ = limit.π (Discrete.functor fun i => P.obj (op (X i))) j z₂
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ n a : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot
⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ 0 < r
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
DecidableEq α
DecidableEq β
s : Finset (α × β)
f : α × β → M
⊢ ∑ᶠ (ab : α × β) (_ : ab ∈ s), f ab =
  ∑ᶠ (a : α) (b : β) (_ : b ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s)), f (a, b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α
this : Decidable (a ∈ s) := Classical.dec (a ∈ s)
⊢ a ∉ s → 1 = f a ↔ a ∉ s → f a = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
s : Finset S
f : S → WithTop R
h : s.Nonempty
⊢ trop (sInf (f '' ↑s)) = ∑ i ∈ s, trop (f i)
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
α : Type u_1
f : α → MultilinearMap R M₁ M₂
m : (i : ι) → M₁ i
s : Finset α
⊢ (∑ a ∈ s, f a) m = ∑ a ∈ s, (f a) m
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
g : ArithmeticFunction R
hg : g.IsMultiplicative
h : ∀ (p i : ℕ), Nat.Prime p → f (p ^ i) = g (p ^ i)
n : ℕ
hn : ¬n = 0
⊢ (n.factorization.prod fun p k => f (p ^ k)) = n.factorization.prod fun p k => g (p ^ k)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ : ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k = ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype n
Finite m
DecidableEq n
⊢ Matrix.toLin (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m) = Matrix.toLin'
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
𝕜 : Type u_3
CommSemiring 𝕜
A : Type u_4
TopologicalSpace A
Semiring A
TopologicalSemiring A
StarRing A
ContinuousStar A
Algebra 𝕜 A
f : X ≃ₜ Y
a : C(Y, A)
⊢ (Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 A f) a = (ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A f.toContinuousMap) a
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
hV : IsOpen V
⊢ IsOpen (UniformSpace.ball x V)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g univ (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f'
⊢ HasMFDerivWithinAt I I'' (g ∘ f) univ x (g'.comp f')
a s n step : Nat
⊢ map (fun x => a + x) (range' s (n + 1) step) = range' (a + s) (n + 1) step
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
⊢ Measurable fun x => liminf (fun x_1 => f x_1 x) v
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r : R
hr : ‖r‖ < 1
r' : ℝ
hrr' : ‖r‖ < r'
h : r' < 1
⊢ Summable fun n => ‖↑n ^ k * r ^ n‖
α : Type u
s : Set α
⊢ sᶜ = Set.univ ↔ s = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
a b : β
⊢ ⨅ x ∈ {a, b}, f x = f a ⊓ f b
p : ℕ
⊢ Nat.Prime p ↔ 2 ≤ p ∧ ∀ (m : ℕ), m < p → m ∣ p → m = 1
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
V : TopologicalSpace.Opens ↑Y.toTopCat
x : ↥((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj V)
a : ↑(Y.presheaf.obj (Opposite.op V))
⊢ (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.residueFieldMap f ↑x) ((Y.evaluation ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩) a) =
  (X.evaluation x) ((f.val.c.app (Opposite.op V)) a)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
⊢ List.Chain G.Adj u p.support
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : PartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
⊢ P (↑e' ∘ f) s x ↔ P f s x
p : Γ' → Bool
k₁ k₂ : K'
q : Λ'
s : Option Γ'
L₁ : List Γ'
o : Option Γ'
L₂ : List Γ'
S : K' → List Γ'
h₁ : k₁ ≠ rev ∧ k₂ ≠ rev ∧ k₁ ≠ k₂
h₂ : S rev = []
e : splitAtPred p (S k₁) = (L₁, o, L₂)
⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (move₂ p k₁ k₂ q), var := s, stk := S } { l := some q, var := none, stk := update (update S k₁ (o.elim id List.cons L₂)) k₂ (L₁ ++ S k₂) }
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f f' : α → E
s : Set α
h : Set.EqOn f f' s
⊢ eVariationOn f s = eVariationOn f' s
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
NoZeroDivisors α
s : Set α
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ ThreeGPFree (a • s) ↔ ThreeGPFree s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
cg : KernelFork S.g
hg : IsLimit cg
cf : CokernelCofork S.f
hf : IsColimit cf
e₁ : (Fork.ofι (kernel.ι S.g) ⋯).pt ≅ cg.pt := (kernelIsKernel S.g).conePointUniqueUpToIso hg
e₂ : (Cofork.ofπ (cokernel.π S.f) ⋯).pt ≅ cf.pt := (cokernelIsCokernel S.f).coconePointUniqueUpToIso hf
⊢ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0 ↔ Fork.ι cg ≫ Cofork.π cf = 0
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Function.Injective (ULift.map f) ↔ Function.Injective f
𝕜 : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
E : Type u_2
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
T1Space E
Module 𝕜 E
⊢ (↑↑0).Pointed
n : Type u_4
α : Type u_5
ι : Type u_7
Fintype n
Unique ι
SeminormedAddCommGroup α
v : n → α
⊢ ‖Matrix.row ι v‖₊ = ‖v‖₊
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
⊢ a ^ 0 = ⊤ ↔ a = ⊤ ∧ 0 ≠ 0
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
h : 1 * n = n
⊢ ∀ (x : Fin (1 * n)), repeat 1 a x = (a ∘ cast h) x
n : ℕ
⊢ Nontrivial (ZMod n) ↔ n ≠ 1
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ τ : Equiv.Perm α
⊢ IsConj σ τ ↔ σ.cycleType = τ.cycleType
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
i1 : ι
n1 : A
hn1 : n1 ∈ 𝒜 i1
d1 : A
hd1 : d1 ∈ 𝒜 i1
h1 : ↑⟨d1, hd1⟩ ∈ x
i2 : ι
n2 : A
hn2 : n2 ∈ 𝒜 i2
d2 : A
hd2 : d2 ∈ 𝒜 i2
h2 : ↑⟨d2, hd2⟩ ∈ x
hdeg : i1 = i2
hnum : n1 = n2
hden : d1 = d2
⊢ { deg := i1, num := ⟨n1, hn1⟩, den := ⟨d1, hd1⟩, den_mem := h1 } = { deg := i2, num := ⟨n2, hn2⟩, den := ⟨d2, hd2⟩, den_mem := h2 }
a : ℝ≥0
⊢ Continuous fun x => ↑a - x
n : ℕ
⊢ ∑ m ∈ filter (fun x => x ∣ n) (range n.succ), φ m = n.divisors.sum φ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hr : ↑0 < r
⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑0)] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
α : Type u_1
s : Set α
⊢ id ⁻¹' s = s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s : Set α
⊢ f.image s = {y | ∃ x ∈ s, y ∈ f x}
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → 𝕜
μ : MeasureTheory.Measure α
hre : AEMeasurable (fun x => RCLike.re (f x)) μ
him : AEMeasurable (fun x => RCLike.im (f x)) μ
x✝ : α
⊢ f x✝ = (RCLike.ofReal ∘ fun x => RCLike.re (f x)) x✝ + (RCLike.ofReal ∘ fun x => RCLike.im (f x)) x✝ * RCLike.I
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : z ≤ x
⊢ x \ (y \ z) = x \ y ⊔ z
α : Type u_1
L : List α
i j : Nat
h : j < (List.drop i L).length
⊢ (List.drop i L)[j] = L[i + j]
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α
s : Set α
s_compact : IsCompact s
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝 0, IsCompact (closedBall x r)
J : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} K
F : J ⥤ K ⥤ TypeMax
k : K
t : Cocone F
h : IsColimit t
x : t.pt.obj k
hev : IsColimit (((evaluation K TypeMax).obj k).mapCocone t) := isColimitOfPreserves ((evaluation K TypeMax).obj k) h
⊢ ∃ j y, x = (t.ι.app j).app k y
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
ha : p.obj a = R
hb : p.obj b = S
h : p.map φ = CategoryTheory.eqToHom ha ≫ f ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯
⊢ p.IsHomLift f φ
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ⊤.inv = ⊤
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
⊢ ∃ a b, (a, b) ≠ 0 ∧ a • f' + b • φ' = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
OrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hp : ∃ j ∈ t, ∃ k ∈ t, p j ≠ p k
⊢ f (∑ i ∈ t, w i • p i) < ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
x : Nat
⊢ (!decide (x % 2 = 1)) = decide (x % 2 = 0)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X : C
Y : D
f : X ⟶ G.obj Y
⊢ (adj.homEquiv X Y).symm f = F.map f ≫ { app := fun Y => (adj.homEquiv (G.obj Y) ((𝟭 D).obj Y)).invFun (𝟙 (G.obj Y)), naturality := ⋯ }.app Y
α : Type u_1
C : Poly α → Prop
H1 : ∀ (i : α), C (Poly.proj i)
H2 : ∀ (n : ℤ), C (Poly.const n)
H3 : ∀ (f g : Poly α), C f → C g → C (f - g)
H4 : ∀ (f g : Poly α), C f → C g → C (f * g)
f : Poly α
⊢ C f
G : Type u_1
Group G
⊢ Subgroup.zpowers 1 = ⊥
p : PosNum
⊢ Num.ofNat' ↑p.bit0 = Num.pos p.bit0
α : Type u
s t u : Stream'.Seq α
⊢ (s.append t).append u = s.append (t.append u)
α : Type u_2
β : Type u_3
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
f : CoheytingHom α β
⊢ f.comp (CoheytingHom.id α) = f
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
y : E
h : x ≠ y
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f (insert y s) x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
n : ℕ
a : α
⊢ ⌊↑n + a⌋ = ↑n + ⌊a⌋
R : Type u_1
Semiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
x y : R
h : Commute x y
⊢ (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
⊢ ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ
M : Type u_1
AddZeroClass M
c d : AddCon M
h : c ≤ d
x : c.Quotient
⊢ (c.map d h) x = (c.lift d.mk' ⋯) x
R : Type u_1
A : Type u_2
K✝ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K✝
inst✝ : IsDedekindDomain R
J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ0 : ¬J = 0
I' : Ideal R
hJ : J ∣ K * I'
⊢ J * K ∣ K * I'
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤
x : α
hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop < ⊤
⊢ liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop < ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
γ : Sort u_3
I : γ → Ideal A
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑(⨆ i, I i) = ⋂ i, ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑(I i)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : c ≤ b
⊢ Set.Icc a b ∪ Set.Ici c = Set.Ici (min a c)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G_obj : D → C
e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)
he :
  ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y),
    (e X' Y) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) g) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((e X Y) g)
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G_obj Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) ((e X Y).symm g) = (e X' Y).symm (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : of' R M m ∈ span R ↑(Submonoid.closure (of' R M '' S))
S' : Submonoid (Multiplicative M) := Submonoid.closure S
h' : Submonoid.map (of R M) S' = Submonoid.closure ((fun x => (of R M) x) '' S)
⊢ Multiplicative.ofAdd m ∈ Submonoid.closure (⇑Multiplicative.toAdd ⁻¹' S)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Abelian D
X : C
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution X
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex).pOpcycles 0)
    (P.fromLeftDerivedZero' F) =
  F.map (P.π.f 0)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp a (-b) = p - toIocMod hp (-a) b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
h : AffineIndependent k fun p => ↑p
⊢ ∃ t, ∅ ⊆ t ∧ (AffineIndependent k fun p => ↑p) ∧ affineSpan k t = ⊤
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl K
⊢ K ∩ ↑C ⊆ ∅
α : Type u
Add α
a b : Thunk α
⊢ (a + b).get = a.get + b.get
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
i : Fin (n + 1)
⊢ (∀ (j : Fin (n + 1)), p j) ↔ p i ∧ ∀ (j : Fin n), p (i.succAbove j)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
β : Ext 0 Y n := 0
⊢ hom 0 = 0
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra 𝕜 A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : T2Space A
s : Set 𝕜
inst✝ : CompactSpace ↑s
φ ψ : C(↑s, 𝕜) →⋆ₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)
⊢ ⊤ ≤ StarAlgHom.equalizer φ ψ
F : Type u_2
E₁ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup E₁
R₁ : Type u_4
Field R₁
Module R₁ E₁
Module R₁ F
FiniteDimensional R₁ E₁
FiniteDimensional R₁ F
li : E₁ →ₗᵢ[R₁] F
h : FiniteDimensional.finrank R₁ E₁ = FiniteDimensional.finrank R₁ F
x : E₁
⊢ (li.toLinearIsometryEquiv h) x = li x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x
B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x)
E : EqOn f g s
x y : α
⊢ g x - ↑K * dist x y ≤ g y
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
h₁ : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
x : E
hx : x ∈ s
⊢ (p x 0).uncurry0 = f x
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv ≫ F.rightDerivedToHomotopyCategory.map f = (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map φ ≫ (J.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
ι' : Sort u_2
ι : Sort u_3
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (α × α)
U : ι → Set α
hbasis : (𝓤 α).HasBasis p V
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (j : ι), IsOpen (U j)
hcover : K ⊆ ⋃ j, U j
⊢ ∃ i, p i ∧ ∀ x ∈ K, ∃ j, ball x (V i) ⊆ U j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
x : E
⊢ (↑(HasStrictFDerivAt.implicitToPartialHomeomorphOfComplemented f f' hf hf' hker) x).1 = f x