ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Ring B
inst✝¹⁰ : CommRing S✝
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra A B
inst✝⁷ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁶ : Algebra R✝ A
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsField R
⊢ IsField S
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ (⨆ i, f i) - a = ⨆ i, f i - a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : FractionalIdeal S P
C : P → Prop
r : P
hr : r ∈ I * J
hm : ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, C (i * j)
ha : ∀ (x y : P), C x → C y → C (x + y)
⊢ C r
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : Nonempty α
r : α → β → Prop
⊢ (∃ x y, ∀ b ≤ x, r b y) ↔ ∃ a, ∀ b ≤ a, ∃ b_1, ∀ a ≤ b, r a b_1
α : Type u_1
β : Type u_2
hβ : Nonempty β
⊢ Set.range (Function.const α) = {f | ∀ (x y : α), f x = f y}
α : Type u_1
a : ℤ
ha : 0 < a
⊢ 0 < a / a
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
a b : ℝ
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
a✝ : a < b
g : ℝ → ℝ
hg : Monotone g
gf : EqOn f g (s ∩ Icc a b)
x : ℝ
hx : DifferentiableAt ℝ g x
h'x : x ∈ s ∩ Ioo a b
⊢ f =ᶠ[𝓝[s] x] g
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
h : s ⊆ t
⊢ Embedding (Set.inclusion h)
n : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ Fin.last n
⊢ i.castPred hi < j ↔ i < j.castSucc
α : Type u_1
a b c : α
Mul α
Zero α
Preorder α
MulPosReflectLT α
h : b * a < c * a
a0 : 0 ≤ a
⊢ b < c
d : ℤ
z : ℤ
a : ℤ√d
⊢ ↑z ∣ a ↔ z ∣ a.re ∧ z ∣ a.im
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMaxOrder α
a b : α
H : a ≤ b
⊢ (𝓝[Set.Ioi a] b).NeBot
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
W : Set γ
f : α × β → γ
⊢ s ×ˢ t ⊆ f ⁻¹' W ↔ ∀ (a : α) (b : β), a ∈ s → b ∈ t → f (a, b) ∈ W
⊢ Filter.Tendsto (fun s => riemannZeta ↑s - 1 / (↑s - 1)) (𝓝[>] 1) (𝓝 ↑γ)
α : Type u_1
DecidableEq α
x y x' y' : α
l l' : List α
hd : (x :: y :: l).Nodup
hd' : (x' :: y' :: l').Nodup
⊢ (x :: y :: l).formPerm = (x' :: y' :: l').formPerm ↔ (x :: y :: l) ~r (x' :: y' :: l')
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_12
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
x : ↥(LinearMap.ker f)
⊢ f ↑x = 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ |(o.oangle (y - x) y).toReal| < π / 2
m n : ℕ
⊢ m.gcd (n + m) = m.gcd (n + 1 * m)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ
h : evariance X μ < ⊤
this : Memℒp (fun ω => X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) 2 μ
ω : Ω
⊢ X ω = ((fun ω => X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) + fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ω
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
g : S →+* T
u : Set S
x : S
hx : ∀ (S_1 : Subring S), u ⊆ ↑S_1 → x ∈ S_1
T₁ : Subring T
h₁ : ⇑g '' u ⊆ ↑T₁
⊢ x ∈ Subring.comap g T₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
this : ∀ (x : α), ↑‖(f x).toReal‖₊ = ↑⟨(f x).toReal, ⋯⟩
⊢ HasFiniteIntegral (fun x => (f x).toReal) μ
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
a : Γ
l : List Γ
⊢ Turing.ListBlank.cons a (Turing.ListBlank.mk l) = Turing.ListBlank.mk (a :: l)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∡ p₁ p₂ (midpoint ℝ p₂ p₃) = ∡ p₁ p₂ p₃
d : ℤ
z w : ℤ√d
⊢ (z - w).re = z.re - w.re
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
H.IsCartanSubalgebra
IsNoetherian R L
⊢ LieAlgebra.rootSpace H 0 = H.toLieSubmodule
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ L : A
⊢ (baseChange W B).toAffine.addX (f x₁) (f x₂) (f L) = f ((baseChange W A).toAffine.addX x₁ x₂ L)
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : RankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
⊢ #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
R : Type u_1
NormedCommRing R
CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → Summable fun n => ‖f (p ^ n)‖
s : Finset ℕ
⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ Finset.filter Nat.Prime s, ∑' (n : ℕ), f (p ^ n))
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : n ≤ chainLength α β
hα : ¬α.IsZero
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α β)
⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ∈ rootSpace H (n • -⇑α + ⇑(chainTop (⇑α) β))), ¬x = 0
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ : A
b₃ : B
h₃ : b₃ = φ (a₁ + a₂)
⊢ (shiftFunctorAdd' (PullbackShift C φ) a₁ a₂ (a₁ + a₂) ⋯).inv.app X = (shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₂).map ((pullbackShiftIso C φ a₁ (φ a₁) ⋯).hom.app X) ≫ (pullbackShiftIso C φ a₂ (φ a₂) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C (φ a₁)).obj X) ≫ (shiftFunctorAdd' C (φ a₁) (φ a₂) b₃ ⋯).inv.app X ≫ (pullbackShiftIso C φ (a₁ + a₂) b₃ h₃).inv.app X
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
φ : (n : ℕ) × L.BoundedFormula α n
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.encoding.encode φ = φ.snd.listEncode
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
⊢ ↑|(-1) ^ ((↑3 - 1) / 2) * ↑↑3 ^ (↑3 - 2)| < (2 * (π / 4) ^ ((↑3 - 1) / 2) * (↑(↑3 - 1) ^ (↑3 - 1) / ↑(↑3 - 1)!)) ^ 2
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
a : α
r : ℝ
⊢ 0 ≤ ↑(ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f hf a) r
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
h : (f - const abv 0).LimZero
h₁ : f = f - const abv 0
⊢ f.lim = 0
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
⊢ J(↑a | b) = qrSign b a * J(↑b | a)
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
v : ι → E
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
⊢ 0 < ∑ i ∈ s, w i
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
Unique ι
F : ι → β → α
S : Set β
⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔ UniformContinuousOn (F default) S
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s t : Set V
hs : LinearIndependent K fun (x : ↑s) => ↑x
hst : s ⊆ t
⊢ s ⊆ hs.extend hst
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s₁ s₂ s₃ : CompositionSeries X
h₁ : s₁.Equivalent s₂
h₂ : s₂.Equivalent s₃
⊢ s₁.Equivalent s₃
α : Type u
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
⊢ ⊥ ≠ ↑n
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
a : α
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : a = i), f i = f a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
i : n
⊢ ((↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i) 1 = (((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i) 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : NumDenSameDeg 𝒜 x
h : f.den = 0
⊢ mk f = 0
R : Type u_1
Semiring R
x : LaurentSeries R
⊢ (HahnSeries.single (HahnSeries.order x)) 1 * (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) x.powerSeriesPart = x
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
S : Set (HeightOneSpectrum R) := {v | (fun v => ↑a v) v ∉ adicCompletionIntegers K v}
b : (v : HeightOneSpectrum R) → adicCompletion K v → R
hb : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), b v a ∈ R⁰
h : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), a * ↑(b v a) ∈ adicCompletionIntegers K v
p : R := ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) (_ : v ∈ S), b v ((fun v => ↑a v) v)
hp : p ∈ R⁰
⊢ ∃ b c, a * ↑↑b = ↑c
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → β → σ
hf : Computable₂ f
⊢ Partrec₂ fun a => ↑(f a)
α : Type u_1
E : Type u_3
G : Type u_5
F' : Type u_7
Norm E
Norm G
SeminormedAddCommGroup F'
l : Filter α
f : α → E
g : α → F'
k : α → G
h₁ : f =Θ[l] g
h₂ : g =Θ[l] k
⊢ f =Θ[l] k
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
v : V
hv : v ∈ Kᶜ
w : V
hw : w ∈ Kᶜ
h : supp ((induce Kᶜ G).connectedComponentMk ⟨v, hv⟩) = supp ((induce Kᶜ G).connectedComponentMk ⟨w, hw⟩)
⊢ (induce Kᶜ G).connectedComponentMk ⟨v, hv⟩ = (induce Kᶜ G).connectedComponentMk ⟨w, hw⟩
n : Type u_8
Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ Metric.ball 0 r = {x | ∑ i : n, x i ^ 2 < r ^ 2}
n : ℤ
⊢ ZMod.χ₈' ↑n = if n % 2 = 0 then 0 else if n % 8 = 1 ∨ n % 8 = 3 then 1 else -1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, I'⟯ M'
⊢ h.trans (Diffeomorph.refl I' M' n) = h
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
PosMulStrictMono α
h : 0 ≤ a * b
hb : b < 0
⊢ a ≤ 0
α : Type u
g : Ordinal.{u} → α
⊢ ¬Set.InjOn g (Set.Iio (SuccOrder.succ (Cardinal.mk α)).ord)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t u : Set α
f : α → β
h : Disjoint s t
hf : Set.InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
⊢ Disjoint (f '' s) (f '' t)
n : ℕ
⊢ bernoulli' n = (-1) ^ n * bernoulli n
J : Type w
⊢ (CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeOpEquiv J).unitIso = (CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeOpUnop J).symm
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)
K : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : IsGalois F E
⊢ IntermediateField.fixedField K.fixingSubgroup = K
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
i : ι
x : ↥(ℳ i)
⊢ (DirectSum.decompose ℳ) ↑x = (DirectSum.of (fun i => ↥(ℳ i)) i) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s✝ t s : Set α
h : (⇑ofDual ⁻¹' s).OrdConnected
⊢ s.OrdConnected
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
Algebra ℚ R
Algebra ℚ S
f : R →ₐ[ℚ] S
⊢ (↑f).toRatAlgHom = f
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
⊢ (↑↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun (star f) = star ((↑↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun f)
M : Type u_2
AddZeroClass M
⊢ Reflexive fun a b => ∃ c, AddSemiconjBy c a b
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
a b : X
⊢ nndist (Additive.ofMul a) (Additive.ofMul b) = nndist a b
α : Type u_2
Preorder α
Mul α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Interval α
⊢ s * ⊥ = ⊥
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype p
k : Subtype pᶜ
⊢ biproduct.ι (Subtype.restrict pᶜ f) k ≫ (biproduct.fromSubtype f pᶜ ≫ biproduct.toSubtype f p) ≫ biproduct.π (Subtype.restrict p f) j = biproduct.ι (Subtype.restrict pᶜ f) k ≫ 0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict p f) j
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
⊢ i ∈ p.vars ↔ ∃ d ∈ p.support, i ∈ d.support
X Y Z : Pointed
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z
⊢ ∀ (a : X.X), (f.comp g).toFun a = (g.toFun ∘ f.toFun) a
D : Type u_1
Finite D
Ring D
IsDomain D
⊢ IsField D
F : Type u_1
Field F
Finite F
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
χ : MulChar F R
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ (orderOf χ)
a : F
⊢ χ a ∈ Algebra.adjoin ℤ {μ}
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
hs : IsPreconnected s
hinj : Injective f
hf : IsOpenMap f
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hsuv : f ⁻¹' s ⊆ u ∪ v
hsu : (f ⁻¹' s ∩ u).Nonempty
hsv : (f ⁻¹' s ∩ v).Nonempty
hsf : f '' (f ⁻¹' s) = s
⊢ (f ⁻¹' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x y : M
f✝ : M →* P
f g : c.Quotient →* P
h : ∀ (a : M), f ↑a = g ↑a
⊢ f.comp c.mk' = g.comp c.mk'
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
ι : Type u_1
U : ι → Opens ↑Y
⊢ ↑((map f).obj (iSup U)) = ↑(iSup ((map f).obj ∘ U))
M : Type u_4
Monoid M
P : Prop
Decidable P
a : M
⊢ (a ^ if P then 1 else 0) = if P then a else 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a₁ a₂ a₃ : ℝ
h : a₂ ∈ Icc a₁ a₃
this : {x | x ≤ a₂} ∩ Ioc a₁ a₃ = Ioc a₁ a₂
⊢ MeasurableSet {x | x ≤ a₂}
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count ↑sa = p.count ↑sb
h_sb : b.factors = ↑sb
h_count : ∀ (p : Associates α) (hp : Irreducible p), Multiset.count ⟨p, hp⟩ sa = Multiset.count ⟨p, hp⟩ sb
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ (toFinsupp sa) ⟨p, hp⟩ = (toFinsupp sb) ⟨p, hp⟩
z : ℂ
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) Filter.atTop
  (𝓝 (Complex.sin (↑π * z)))
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
p q : R[X]
qn : q.natDegree ≤ n
⊢ (p + q).natDegree ≤ n ↔ p.natDegree ≤ n
x y : SetTheory.PGame
r : x ≡r y
⊢ x.Numeric ↔ y.Numeric
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn : Odd n
⊢ filter Nat.Prime (range (n + 1 + 1)) = filter Nat.Prime (range (n + 1))
R : Type u_1
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a b : ℤ
⊢ ↑0 = 0 ↔ ↑p ∣ 0
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
this : completedRiemannZeta 1 = completedRiemannZeta₀ 1 - 1 / 1 - 1 / (1 - 1)
⊢ completedRiemannZeta₀ 1 = (↑γ - Complex.log (4 * ↑π)) / 2 + 1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Ι a b) μ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : Cardinal.{u_2}
ha : ℵ₀ ≤ a
b1 : 1 < b
b0 : b ≠ 0
⊢ b ^ a < (b ^ a) ^ (b ^ a).ord.cof
K : Type v
Field K
f : K[X]
⊢ Irreducible f.factor
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
Fintype ι
Fintype ι'
π : ι ⊕ ι' → Type u_4
_m : (i : ι ⊕ ι') → MeasurableSpace (π i)
μ : (i : ι ⊕ ι') → MeasureTheory.Measure (π i)
∀ (i : ι ⊕ ι'), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.sumPiEquivProdPi π)) (MeasureTheory.Measure.pi μ)
  ((MeasureTheory.Measure.pi fun i => μ (Sum.inl i)).prod (MeasureTheory.Measure.pi fun i => μ (Sum.inr i)))
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
f : CentroidHom α
f' : α → α
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
h₁ : a ^ (Fintype.card F - 1) = 1
⊢ a ^ (Fintype.card F / 2) = 1 ∨ a ^ (Fintype.card F / 2) = -1
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ
⊢ a < (a.sqrt + 1) ^ 2
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
H : ν.IsEverywherePos s
x : α
hx : x ∈ s
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝 x
h't : ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, μ u = ν u
x : ℂ
h : cos x = 0
⊢ deriv tan x = 1 / cos x ^ 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ a * ∑ i ∈ s, f i = ∑ i ∈ s, a * f i
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y * (z - x) ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
⊢ (f y * (z - y) + f y * (y - x)) / ((y - x) * (z - y)) ≤ (f x * (z - y) + f z * (y - x)) / ((y - x) * (z - y))
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
hn : ∃ j, G.moveRight j ≤ 0
⊢ ∃ j, G.moveRight j ≈ 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : (SimplicialObject.Augmented C)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((unop Y✝).rightOpLeftOpIso.hom ≫ f.unop).op = ({ left := NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp f.unop.op.unop.left), right := f.unop.op.unop.right, w := ⋯ } ≫ (unop X✝).rightOpLeftOpIso.hom).op
a b c : Int
h : a % b = c
⊢ b ∣ a - c
α : Type u_2
Sup α
SDiff α
a b : α
⊢ a ∆ b = a \ b ⊔ b \ a
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℝ
⊢ ((fun x => Real.exp (f x)) =O[l] fun x => Real.exp (g x)) ↔ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (f - g)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
HU : ∀ (u : ℕ → α), (∀ (N m n : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → (u m, u n) ∈ U N) → ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)
U' : ℕ → Set (α × α)
hU' : ∀ {s : Set (α × α)}, s ∈ 𝓤 α ↔ ∃ i, U' i ⊆ s
Hmem : ∀ (n : ℕ), U n ∩ U' n ∈ 𝓤 α
f✝ : Filter α
hf : Cauchy f✝
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ n, U n ∩ U' n ⊆ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
g : Y ⟶ X
inv_hom_id : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y
⊢ CategoryTheory.inv f = g
K : Type u
Field K
⊢ RatFunc.denom 1 = 1
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰X : X.OpenCover
𝒰Y : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight 𝒰X 𝒰Y f g).J = (𝒰X.J × 𝒰Y.J)
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b b' : β a
s : AList β
⊢ (insert a b' (insert a b s)).entries = (insert a b' s).entries
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
P✝ Q✝ R✝ : U.Coalgebra
f✝ f'✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ : Q✝ ⟶ R✝
⊢ ((f✝ + f'✝) ≫ g✝).f = (f✝ ≫ g✝ + f'✝ ≫ g✝).f
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
⊢ Continuous f ↔ ∀ (x : X) (g : Ultrafilter X), ↑g ≤ 𝓝 x → Tendsto f (↑g) (𝓝 (f x))
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ Monotone Finset.Colex.toColex
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
⊢ SameRay R (x + y) z
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
i : ι
⊢ aeSeq hf p i x = f i x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this : SigmaFinite (map f ν)
⊢ (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ M
⊢ id 0 = 0
s : Finset ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Nat.Prime p
⊢ (∏ p ∈ s, p).primeFactors = s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} C
V W X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct X Y
f : V ⟶ W
g : X ⟶ V
h : Y ⟶ V
Z : C
l : W ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.desc g h ≫ f ≫ l = CategoryTheory.Limits.coprod.desc (g ≫ f) (h ≫ f) ≫ l
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderTop α
Finite α
s : { s // InfIrred s }
Fintype ↥↑s
⊢ OrderIso.infIrredUpperSet.symm s = (↑↑s).toFinset.inf id
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁷ : HasZeroObject C
inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁵ : Preadditive C
inst✝¹⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹³ : Pretriangulated C
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹¹ : HasZeroObject D
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁷ : Pretriangulated D
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_3} A
inst✝⁵ : Abelian A
F✝ : C ⥤ A
inst✝⁴ : F✝.IsHomological
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.CommShift ℤ
inst✝² : L.IsTriangulated
inst✝¹ : L.mapArrow.EssSurj
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
inst✝ : G.IsHomological
this✝ : F.PreservesZeroMorphisms
this : (L ⋙ F).IsHomological
T : Triangle D
hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles
hT : T ∈ L.essImageDistTriang
⊢ ∃ T' e, ((shortComplexOfDistTriangle T' ⋯).map F).Exact
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
h : s₁.Equivalent s₂
⊢ s₁.length = s₂.length
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
SecondCountableTopology E
f : α → E
hf : ∀ (c : E), (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) =ᵐ[μ] 0
⊢ f =ᵐ[μ] 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
hz : z ∈ Complex.HadamardThreeLines.verticalClosedStrip 0 1
hd : DiffContOnCl ℂ f (Complex.HadamardThreeLines.verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' Complex.HadamardThreeLines.verticalClosedStrip 0 1)
⊢ ‖f z‖ ≤ ‖Complex.HadamardThreeLines.interpStrip f z‖
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
T : Type u_5
AddCommGroup T
Module (AdicCompletion I R) T
f g : AdicCompletion I M →ₗ[AdicCompletion I R] T
h : ∀ (a : AdicCompletion.AdicCauchySequence I M), f ((AdicCompletion.mk I M) a) = g ((AdicCompletion.mk I M) a)
⊢ f = g