ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : ∀ (x : E), finrank F ↥F⟮x⟯ ≤ 1
⊢ ⊥ = ⊤
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsModularLattice α
IsCompactlyGenerated α
IsAtomistic α
⊢ ComplementedLattice α
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
n : ℕ
m : M
a : α
⊢ m ^ (period m a + n) • a = m ^ n • a
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
⊢ ∀ (a : List R[X]), (prod ⟦a⟧).degree ≤ (Multiset.map degree ⟦a⟧).sum
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : Set α
a : ↑s
⊢ Subtype.val ⁻¹' t ∈ 𝓝 a ↔ t ∈ 𝓝[s] ↑a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
a b : E
s : Set 𝕜
x : 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt (⇑(AffineMap.lineMap a b)) (b - a) s x
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y✝ : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R f
⊢ FamilyOfElements.restrict ⋯ x.sieveExtend f hf = x f hf
m n k : Nat
⊢ m % (n * k) / n = m / n % k
n : ℕ
⊢ ((antidiagonal n).bind fun ni => [Fin.cons ni.1 ![ni.2]]) = (antidiagonal n).bind fun x => [![x.1, x.2]]
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
⊢ nim o₁ ≈ nim o₂ ↔ o₁ = o₂
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : a < Filter.liminf u f
hb : b < Filter.liminf v f
⊢ a + b < Filter.liminf (u + v) f
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
s : Subring R
t : Subring S
p : R × S
⊢ p ∈ s.prod t ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
a_pos : 0 < a
⊢ (a + b) * c = a * c + b * c
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : WfDvdMonoid R
f : R[X]
hf : f.degree ≤ 0
⊢ f.natDegree ≤ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedSpace ℝ F
L : E →L[𝕜] F
⊢ Continuous fun φ => ∫ (x : X), L (↑↑φ x) ∂μ
α : Type u_1
a : Array α
i j : Fin a.size
⊢ a.swap i j = a.swap j i
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : LinearOrder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : M
h : a ^ 2 < b * c
⊢ a < max b c
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((Norm.norm ∘ g) a) C
ε : ℝ
ε₀ : ε > 0
δ : ℝ
δ₀ : 0 < δ
hδ : A * C * δ < ε
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖op (f x) (g x)‖ < ε
a : ℤ
n : ℕ
h : J(a | n) = -1
hn₀ : n ≠ 0
⊢ ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ J(a | p) = -1
α' : Type u_6
TopologicalSpace α'
MeasurableSpace α'
μ : MeasureTheory.Measure α'
s : Set α'
h : μ (frontier s) = 0
⊢ closure s =ᵐ[μ] s
α : Type u
β : Type v
Group α
AddMonoid β
DistribMulAction α β
x : α
⊢ ∀ (a : β), (DistribMulAction.toAddEquiv β x).symm a = x⁻¹ • a
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μα : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
⊢ ∀ {α_1 : Type u_4} {p : Set ι → Prop} {f : Filter ι} {ns : α_1 → Set ι},
  (∀ (n : ι), s n ≤ m0) →
    ProbabilityTheory.Kernel.iIndep s κ μα →
      (∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f) →
        Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns →
          (∀ (a : α_1), p (ns a)) →
            (∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a) → ∀ {t : Set Ω}, MeasurableSet t → ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1
n : ℕ
h : 2 ≤ n
⊢ 1 < ↑2 ^ Nat.log 2 n
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ Finset.image l.get Finset.univ = l.toFinset
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
FiniteDimensional ℝ E
μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
g : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : MeasureTheory.Integrable (fun x => (B ((fderiv ℝ f x) v)) (g x)) μ
hfg' : MeasureTheory.Integrable (fun x => (B (f x)) ((fderiv ℝ g x) v)) μ
hfg : MeasureTheory.Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : Differentiable ℝ f
hg : Differentiable ℝ g
⊢ ∫ (x : E), (B (f x)) ((fderiv ℝ g x) v) ∂μ = -∫ (x : E), (B ((fderiv ℝ f x) v)) (g x) ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ✝ ε δ : ℝ
s : Set E
x : E
⊢ infEdist x (cthickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T1Space Y
f_cont : Continuous f
x✝ : IsClosedMap f
H : ∀ (x : Y), (f ⁻¹' {x})ᶜ ∈ cocompact X
y : Y
⊢ IsCompact (f ⁻¹' {y})
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ : V
d₀ : X₀ ⟶ X₁
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₀ ⟶ X₁) → (X₂ : V) ×' (d : X₁ ⟶ X₂) ×' f ≫ d = 0
⊢ (CochainComplex.mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} => succ').X 0 = X₀
x y : ℝ
⊢ mk 1 = { cauchy := 1 }
α : Type u_1
Mul α
a b : α
⊢ Part.some a * Part.some b = Part.some (a * b)
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'
x : ℝ
⊢ |c⁻¹| * (|c| * gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x) = gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hF_meas : AEMeasurable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
this : ∀ (n : ℕ), ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f n ∧ ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hf : Integrable f volume
⊢ ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v = (1 / 2) • ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v - 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + (1 / (2 * ‖w‖ ^ 2)) • w)
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
⊢ Function.Surjective ⇑f.rangeRestrict
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
⊢ volume {x | ∑ i : ι, |x i| ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
β : Type v
u v : UniformSpace β
F : Filter β
⊢ Cauchy F ↔ Cauchy F ∧ Cauchy F
α : Type u
a : α
s : Stream'.Seq α
S : Stream'.Seq (Stream'.Seq1 α)
⊢ (Stream'.Seq.cons (a, s) S).join = Stream'.Seq.cons a (s.append S.join)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* S
x✝ : R
⊢ ((map f).comp C) x✝ = (C.comp f) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
ab : α ≃ᵐ β
bc : β ≃ᵐ γ
⊢ ⇑(ab.trans bc) = ⇑bc ∘ ⇑ab
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
z : (filter (fun x => x.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).card + P.parts.card * (s.card / P.parts.card) = s.card
⊢ (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).card = s.card % P.parts.card
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
p q : ℕ
CharP R p
ExpChar R q
⊢ q = 1 ↔ p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) (ν a)
α : Type u_1
r : Rel α α
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
⊢ (p.append q connect).length = p.length + q.length + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.EdgeDisjointTriangles
⊢ ∀ a ∈ G.cliqueFinset 3, 3 ≤ (bipartiteAbove (fun s e => e ∈ s.sym2) G.edgeFinset a).card
C₁ : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X Y Z : C₁
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W₁ X Y
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W₁ Y Z
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W₁ X Z
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Y)
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj Y) (Φ.functor.obj Z)
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Z)
f : CategoryTheory.Localization.SmallHom W₁ X Y
g : CategoryTheory.Localization.SmallHom W₁ Y Z
⊢ Φ.smallHomMap (f.comp g) = (Φ.smallHomMap f).comp (Φ.smallHomMap g)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν μ : Measure α
⊢ μ.singularPart 0 = μ
α : Type u_1
C : Set (Set α)
m : MeasureTheory.AddContent C
⊢ m ∅ = 0
R : Type u_1
M : Type u
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M
⊢ Module.rank R ↥(s ⊔ t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t) = Module.rank R ↥s + Module.rank R ↥t
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
ι : Sort u_8
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : ι → AffineSubspace k P₁
⊢ AffineSubspace.map f (iSup s) = ⨆ i, AffineSubspace.map f (s i)
R : Type u_1
CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
Fintype l
DecidableEq l
e₁ : k ≃ m
e₂ : l ≃ n
M : Matrix k l R
⊢ Matrix.toLin' ((Matrix.reindex e₁ e₂) M) =
  ↑(LinearEquiv.funCongrLeft R R e₁.symm) ∘ₗ Matrix.toLin' M ∘ₗ ↑(LinearEquiv.funCongrLeft R R e₂)
q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (↑m - x)
⊢ Irrational (↑↑m - x)
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R
⊢ y = x ◃ x ◃⁻¹ y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
p : ι → Prop
q : ι → ι' → Prop
s : (x : ι) → (y : ι') → p x ∧ q x y → Set α
⊢ ⋃ x, ⋃ y, ⋃ (h : p x ∧ q x y), s x y h = ⋃ x, ⋃ (hx : p x), ⋃ y, ⋃ (hy : q x y), s x y ⋯
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
⊢ CNF 1 o = [(0, o)]
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ MonovaryOn f (⇑OrderDual.toDual ∘ g) s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → (f j - f i) • (g j - g i) ≤ 0
x : ℝ≥0
hx : x ≠ 0
y z : ℝ
⊢ x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : MonoidalCategory D
inst✝ : BraidedCategory D
F : C ⥤ CommMon_ D
X : C
⊢ ((β_ __src✝.X __src✝.X).hom ≫ __src✝.mul).app X = __src✝.mul.app X
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
parent : Path α
x : α
b a : RBNode α
ha : RBNode.Ordered cmp a
hp : Ordered cmp parent
xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b
xp : RootOrdered cmp parent x
bp : All (RootOrdered cmp parent) b
hb : RBNode.Ordered cmp b
H : All (RootOrdered cmp (left red parent x b)) a
ax : All (fun a => cmpLT cmp a x) a
ap : All (RootOrdered cmp parent) a
⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.ins (node red a x b))
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
x : F
hx : x ≠ 0
⊢ (C x * f).natSepDegree = f.natSepDegree
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
a : α
⊢ period g⁻¹ a = period g a
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x y : ↥S
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : 0 = Fintype.card n
⊢ 0⁻¹ = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.SOppSide x y
hyz : s.WSameSide y z
⊢ s.WOppSide x z
a b r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ a / r < b ↔ a < r * b
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Finset α
⊢ insert a s ∪ t = insert a (s ∪ t)
R : Type u_1
Semiring R
N : ℕ
f : Polynomial R
⊢ (Polynomial.reflect N f).support = Finset.image (⇑(Polynomial.revAt N)) f.support
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
a : R
⊢ derivative (C a * X) = C a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
u v : F
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
⊢ addU (u • P) (v • Q) = (u * v) ^ 2 * addU P Q
R : Type u
CommRing R
Fintype R
R' : Type v
CommRing R'
p : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
hp : IsUnit ↑p
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
⊢ gaussSum χ ψ ^ p = χ ↑p * gaussSum χ ψ
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
x g : G
hx : x ∈ centralizer ↑P
hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P
h1 : ↑P ≤ centralizer ↑(zpowers x)
h2 : ↑(g • P) ≤ centralizer ↑(zpowers x)
h : ↥(centralizer ↑(zpowers x))
hh : h • (g • P).subtype h2 = P.subtype h1
⊢ ∃ n ∈ (↑P).normalizer, g⁻¹ * x * g = n⁻¹ * x * n
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
AddCommGroup V
TopologicalSpace V
TopologicalSpace R
Module R V
SeparatingDual R V
x y : V
h : x ≠ y
⊢ ∃ f, f x ≠ f y
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : Module.End K V
μ : K
⊢ ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = (f.genEigenspace μ) (FiniteDimensional.finrank K V)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ComposableArrows C 2
⊢ S.IsComplex ↔ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map' 0 1 ⋯ ⋯) (S.map' 1 2 ⋯ ⋯) = 0
m : Type u_2
α : Type v
NonAssocSemiring α
DecidableEq m
a : α
⊢ MulOpposite.op a • 1 = Matrix.diagonal fun x => a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m✝ n✝ : ℤ
a1 : 1 ≤ a
m n : ℕ
mn : m ≤ n
⊢ 1 / a ^ n ≤ 1 / a ^ m
s : ℂ
⊢ ↑π ^ ((s - 1) / 2 + (-1 - s) / 2 + 1) / cos (↑π * s / 2) = (cos (↑π * s / 2))⁻¹
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
α : F ⟶ G
⊢ T.map (-α.f) ≫ G.a = F.a ≫ (-α.f)
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ dist ((f ^ (n + 1)) 0 / (↑n + 1)) (τ f) ≤ ((fun n => 1 / ↑n) ∘ fun a => a + 1) n
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
R : Type u_4
S : Type u_5
TopologicalSpace M₂
T2Space M₂
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module S M₂
ContinuousConstSMul S M₂
ContinuousAdd M₂
σ : R →+* S
f : M₁ → M₂
hf : f ∈ closure (Set.range DFunLike.coe)
⊢ ⇑(linearMapOfMemClosureRangeCoe f hf) = (↑(addMonoidHomOfMemClosureRangeCoe f hf)).toFun
ι : Type u_3
L : Filter ι
β : Type u_4
p : ι → Prop
DecidablePred p
q : Prop
Decidable q
a b : β
F G : Filter β
haG : {a}ᶜ ∈ G
hbF : {b}ᶜ ∈ F
haF : 𝓟 {a} ≤ F
hbG : 𝓟 {b} ≤ G
⊢ Filter.Tendsto (fun i => if p i then a else b) L (if q then F else G) ↔ ∀ᶠ (i : ι) in L, p i ↔ q
q r : ℚ
⊢ q + r = Rat.divInt (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) (↑q.den * ↑r.den)
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
⊢ TypeVec.dropFun TypeVec.prod.diag = TypeVec.prod.diag
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
⊢ (Set.range f).Nonempty ↔ Nonempty ι
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)
εK : 0 < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
ha₁ : abv a₁ < K₁
hb₂ : abv b₂ < K₂
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
⊢ abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerRight adj.unit F) (CategoryTheory.whiskerLeft F adj.counit) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.Functor.id C).comp F)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : PreservesFiniteLimits F
inst✝ : PreservesFiniteColimits F
⊢ (S.map F).ShortExact
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
Module 𝕜 β
BoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
c : β
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => f x • c) μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
CategoryTheory.Limits.HasKernel f'
X'' Y'' : C
f'' : X'' ⟶ Y''
CategoryTheory.Limits.HasKernel f''
sq : CategoryTheory.Arrow.mk f ⟶ CategoryTheory.Arrow.mk f'
sq' : CategoryTheory.Arrow.mk f' ⟶ CategoryTheory.Arrow.mk f''
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectMap (sq ≫ sq') =
  CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectMap sq ≫ CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectMap sq'
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
⊢ card α ≤ 1 ↔ toPartENat #α ≤ ↑1
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ 1 - ↑n
hs' : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
⊢ 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * ((cexp (↑π * s / 2 * I) + cexp (-(↑π * s / 2) * I)) / 2) * hurwitzZetaEven a s + I * (2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * ((cexp (-(↑π * s / 2) * I) - cexp (↑π * s / 2 * I)) * I / 2) * hurwitzZetaOdd a s) = (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * (cexp (↑π * I * s / 2) * (hurwitzZetaEven a s + hurwitzZetaOdd a s) + cexp (-↑π * I * s / 2) * (hurwitzZetaEven a s + -hurwitzZetaOdd a s))
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (E.map φ).a₆ = φ E.a₆
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : ¬IsIso f
hlt : ¬Nat.card ↑(F.obj X) < Nat.card ↑(F.obj Y)
⊢ Nat.card ↑(F.obj X) = Nat.card ↑(F.obj Y)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h'f : 0 ≤ f
M : MeasurableSet (Set.Ioc 0 A)
M' : MeasurableSet (Set.Ioc A 0)
⊢ ∫ (x : α), (fun z => (Set.Ioc 0 A).indicator id z ^ n) (f x) ∂μ = ∫ (y : ℝ) in 0 ..A, y ^ n ∂Measure.map f μ
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i✝ : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E := fun y J => integral J GP (fun x => f (i.insertNth y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : ↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I.face i)] E := fun x => ⋯.toBoxAdditive
⊢ HasIntegral I GP (fun x => (f' x) (Pi.single i 1)) BoxAdditiveMap.volume (integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x)) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x)) BoxAdditiveMap.volume)
M : Type u
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
VAdd M X
IsometricVAdd M X
c : M
x y : X
⊢ edist (c +ᵥ x) (c +ᵥ y) = edist x y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
x : ↥U
f : R
⊢ ((structureSheaf R).presheaf.germ x) ((toOpen R U) f) = (toOpen R U ≫ (structureSheaf R).presheaf.germ x) f
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E
A : MeasurableEmbedding fun x => -x
this : ∫ (y : ℝ) in Ici (-c), f y ∂Measure.map (fun x => -x) volume = ∫ (x : ℝ) in (fun x => -x) ⁻¹' Ici (-c), f (-x)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic c, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in Ioi (-c), f x
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
⊢ ↑(⋃₀ T) = ⋃₀ {x | ∃ B ∈ T, ↑B = x}
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
J' : Box ι
hJ' : J' ∈ π.boxes
⊢ ↑J' ≤ ↑J
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
Preorder E
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Supermartingale f ℱ μ
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
n : ℕ
⊢ F⟮↑n⟯ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
f : α → β → γ
K₁ : ℝ≥0
hf : ∀ (b : β), AntilipschitzWith K₁ fun a => f a b
s : Set α
t : Set β
hst : IsBounded (image2 f s t)
⊢ IsBounded s ∨ IsBounded t
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊
hk : -↑k ≤ s
⊢ (fun x => x ^ (-↑k)) =O[atTop] fun x => x ^ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.leftUnshift 0 n hn' = 0
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
⊢ ↑f = (chartAt H c).source.indicator (↑f.toContDiffBump ∘ ↑(extChartAt I c))
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
⊢ ↑(Fintype.card { x // x.length = 2 }) = (k • 1 v w + ℓ • if G.Adj v w then 1 else 0) + μ • if v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w then 1 else 0
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y) → P124 a
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
ihxyn : IH1 (-x) (-y)
ihyxn : IH1 (-y) (-x)
⊢ ∀ (i : (x * y).LeftMoves) (j : (x * y).RightMoves), (x * y).moveLeft i < (x * y).moveRight j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ = ‖x‖ * ‖y‖ ↔ ∃ r, r ≠ 0 ∧ y = r • x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b✝ : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b✝ r
i : α
b : ℕ
this : ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑b ≤ ↑(r i x)
⊢ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, b ≤ r i a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : DivisionRing k
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : CharZero k
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (b.coord i) (Finset.centroid k s ⇑b) = (↑s.card)⁻¹
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ⟨r, hr⟩ = ‖r‖₊