ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
⊢ (AddLocalization.addEquivOfQuotient f) ((AddLocalization.addMonoidOf S).toMap x) = f.toMap x
J : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} J
self : CategoryTheory.CountableCategory J
j j' : J
⊢ Countable (j ⟶ j')
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ I ∈ nonPrincipals R ↔ ¬Submodule.IsPrincipal I
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
⊢ Function.Injective LinearMap.toAddMonoidHom
α : Type u_1
r r' : α → α → Prop
hr₁ : Reflexive r'
hr₂ : Transitive r'
h : ∀ (x y : α), r x y → r' x y
x y : α
hxy : Relation.ReflTransGen r x y
⊢ r' x y
α : Type u_1
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Finset.filter (fun a => p a ∨ q a) s = Finset.filter p s ∪ Finset.filter q s
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
s : Set X
hs : IsClosed s
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsClosed t → t = s
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
U : Set X
hUo : IsOpen U
hU : Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)
⊢ False
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
inst✝⁷ : BorelSpace E
L✝ : AddSubgroup E
inst✝⁶ : DiscreteTopology ↥L✝
inst✝⁵ : IsZlattice ℝ L✝
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝⁴ : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
L : AddSubgroup (ι → ℝ)
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZlattice ℝ L
b : Basis ι ℤ ↥L
x✝ : ι
⊢ (Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b) x✝ = (Subtype.val ∘ ⇑b) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
⊢ (G □ H).Connected ↔ G.Connected ∧ H.Connected
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
⊢ CategoryTheory.Limits.BinaryCofan.inl c.toCocone = c.inl
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (fun x => ↑(gm x)) μ
gmint : ∫ (x : α), ↑(fm x) ∂μ - (fun a => ↑a) δ ≤ ∫ (x : α), ↑(gm x) ∂μ
g : α → EReal := fun x => ↑(gp x) - ↑↑(gm x)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x)).toReal - (↑↑(gm x)).toReal
⊢ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedRing A
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.ble 1 n = true
⊢ -↑n ≠ 0
p p' q : Prop
he : p = p'
h : p' → q
⊢ p → q
α : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
Semiring α
Algebra R A
Algebra A α
S : Subalgebra R A
⊢ algebraMap (↥S) α = (algebraMap A α).comp ↑S.val
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
⊢ mulRothNumber A = mulRothNumber B
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₂ m₂' : M₂
⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (comp Q₂ ↑(TensorProduct.lid R M₂)))) 1) m₂)) 1) m₂' = ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂))) 1) m₂)) 1) m₂'
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
s : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
n : ℕ
⊢ n • a ∈ n • s
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
t : ℕ → Set (α × α)
h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t
ht_mem : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets
hto : ∀ (i : ℕ), IsOpen (t i)
hts : ∀ (i : ℕ), SymmetricRel (t i)
⊢ ∀ u ∈ ⋃ x ∈ s, range fun k => ball x (t k), IsOpen u
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (μ : MeasureTheory.Measure α) (s : Set α), μ.completion s = μ s
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : L₃ ⟶ L₂
b : B
⊢ ((mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquareConjugate.vcomp α β)).app b = (rightAdjointSquareConjugate.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) α) ((conjugateEquiv adj₂ adj₃) β)).app b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx
hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ
hsxy : ∀ (n : ℕ), (⇑sxy)^[n] y = y + (2 * ↑n) • (x - y)
f' : ℕ → ↑Φ := fun n => ⟨(⇑sxy)^[n] y, ⋯⟩
this : x ≠ y
⊢ Injective f'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).symm ≪≫ β_ (X ⊗ Y) Z ≪≫ (α_ Z X Y).symm =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeftIso X (β_ Y Z) ≪≫
    (α_ X Z Y).symm ≪≫ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRightIso (β_ X Z) Y
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : ContinuousAdd 𝕜
inst✝³ : ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
φ ψ : ↑(characterSpace 𝕜 A)
h : RingHom.ker φ = RingHom.ker ψ
x : A
this : x - (algebraMap 𝕜 A) (ψ x) ∈ RingHom.ker φ
⊢ φ x = ψ x
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
⊢ M.E \ X ⊆ M.E
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
self : FiberBundle F E
b : B
⊢ Inducing (Bundle.TotalSpace.mk b)
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ (l.rotate n).reverse.rotate n = l.reverse
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h✝¹ : Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c < Cardinal.univ.{u, v}
S : Set Ordinal.{u}
H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
Se : #↑S = (type fun x x_1 => x < x_1).cof
h✝ : Cardinal.lift.{u + 1, u} c ≥ #↑S
a : Cardinal.{u}
e✝ : Cardinal.lift.{u + 1, u} a = #↑S
α : Type u
e : Cardinal.lift.{u + 1, u} ⟦α⟧ = #↑S
f✝ : ULift.{u + 1, u} α ≃ ↑S
f : α ≃ ↑S
g : α → Ordinal.{u} := fun a => ↑(f a)
o : Ordinal.{u} := succ (sup g)
b : Ordinal.{u}
h : b ∈ S
l : ¬(fun x x_1 => x < x_1) b o
⊢ g (f.symm ⟨b, h⟩) ≤ sup g
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
⊢ 𝒜.Shatters s ↔ Finset.image (fun t => s ∩ t) 𝒜 = s.powerset
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝ : Preorder M
⊢ M ⊨ Language.order.denselyOrderedSentence ↔ DenselyOrdered M
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : n < p.natTrailingDegree
⊢ p.coeff n = 0
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ {f | ∃ a b, f = Finsupp.single a b} ⊆ ⇑(toFinsuppIso R).symm.toAddEquiv ⁻¹' {p | ∃ n a, p = (monomial n) a}
d : ℤ
hd : d < 0
z : ℤ√d
⊢ z.norm = 0 ↔ z = 0
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) s = (κ a) s
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
Zero α
DecidableEq o
M N : o → Matrix m n α
⊢ Matrix.blockDiagonal M = Matrix.blockDiagonal N ↔ M = N
α : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀ : H
bound✝ : α → ℝ
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ H
μ : Measure ℝ
F : H → ℝ → E
F' : H → ℝ → H →L[ℝ] E
a b : ℝ
bound : ℝ → ℝ
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F' x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x => F x t) (F' x t) x
⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.30241, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ S.f ≫ 𝟙 S.X₂ = 0
q : ℝ
hq' : 1 < q
⊢ (q - 1) ^ φ 1 ≤ eval q (cyclotomic 1 ℝ)
m s step n : Nat
⊢ m ∈ List.range' s n step ↔ ∃ i, i < n ∧ m = s + step * i
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : P ≃* N
x : M
⊢ k ((f.ofMulEquivOfLocalizations k.symm).toMap x) = f.toMap x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
α : F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.equivOfNatIso α).inverse =
  CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.functorOfNatTrans α.inv
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hz : ¬0 < z
⊢ h.IsPrimitiveClassified
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' f₀' f₁' : F
s t : Set E
x v : E
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' univ x v ↔ HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsConnected J
B : C
F : J ⥤ CategoryTheory.Over B
c : CategoryTheory.Limits.Cone (F ⋙ CategoryTheory.Over.forget B)
⊢ (CategoryTheory.Over.forget B).mapCone (CategoryTheory.Over.CreatesConnected.raiseCone c) = c
α : Type u_3
β : Type u_4
Encodable α
e : β ≃ α
b : β
⊢ Encodable.encode b = Encodable.encode (e b)
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ
hn : n < (List.pmap f l h).length
⊢ (List.pmap f l h).nthLe n hn = f (l.nthLe n ⋯) ⋯
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Set.Iic n)
us : ∀ i ≤ n, u i ∈ s
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
mα : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hμ : μ ≠ 0
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
hf_int : ∀ (b : β), ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ ≠ ⊤
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ b, f b a ∂μ = ⨅ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ContractibleSpace X
hv : X ≃ₕ Unit
⊢ (ContinuousMap.id X).Homotopic (const X (hv.invFun ()))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
F : TopCat.Presheaf C X
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
x : ↑X
mU : x ∈ U
mV : x ∈ V
s : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj (Opposite.op U))
t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj (Opposite.op V))
h : (F.germ ⟨x, mU⟩) s = (F.germ ⟨x, mV⟩) t
⊢ ∃ W, ∃ (_ : x ∈ W), ∃ iU iV, (F.map iU.op) s = (F.map iV.op) t
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.25079, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.25131, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : C
i : G.obj X ⟶ G.obj Y
x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)
this : ∀ {X Y : C} (i : X ⟶ Y) (x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)), ℱ'.val.map (G.map i).op (α.app (op Y) x) = α.app (op X) (ℱ.map (G.map i).op x)
V : C
iVX : V ⟶ X
iVY : V ⟶ Y
e : G.map iVY = G.map iVX ≫ i
⊢ ℱ'.val.map (G.map iVX).op (ℱ'.val.map i.op (α.app (op Y) x)) = ℱ'.val.map (G.map iVX).op (α.app (op X) (ℱ.map i.op x))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
this✝ : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0
r : 𝕜
hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)
y : E
hy : y ∈ (fun x_1 => -x + x_1) ⁻¹' (r • s)
z : E
zs : z ∈ s
hz : r • z = -x + y
I : ‖r • z‖ ≤ ε
this : y = x + r • z
⊢ y ∈ closedBall x ε
α : Type u
CommSemiring α
LinearOrder α
ExistsAddOfLE α
MulPosStrictMono α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ 2 * a * b ≤ a ^ 2 + b ^ 2
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : PullbackCone f g
hc : IsLimit c
x : c.pt
⊢ c.fst ((equivPullbackObj hc).symm ((equivPullbackObj hc) x)) = (↑((equivPullbackObj hc) x)).1
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
s : Set N
⊢ AddSubmonoid.closure (⇑f ⁻¹' s) ≤ AddSubmonoid.comap f (AddSubmonoid.closure s)
α : Type w
CommRing α
A : Matrix (Fin 0) (Fin 0) α
⊢ A.adjugate = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
IsTrans α r
⊢ Cycle.Chain r s ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, r a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Discrete PUnit.{w + 1})
⊢ F = G
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasTwoOutOfThreeProperty
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hg : W g
⊢ W (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) ↔ W f
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₁ ∈ Icc a₂ b₂
hb : b₁ ∈ Icc a₂ b₂
⊢ [[a₁, b₁]] ⊆ Icc a₂ b₂
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
x : R
h : x ∈ Module.annihilator R M'
⊢ x ∈ Module.annihilator R M
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x y : α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LTCmp cmp
⊢ cmp x y = Ordering.gt ↔ y < x
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
this✝ : (a : Prop) → Decidable a
this : ∃ ub, ↑ub ≤ x ∧ ∀ (z : ℤ), ↑z ≤ x → z ≤ ub
fl : ℤ
h : ↑fl ≤ x ∧ ∀ (z : ℤ), ↑z ≤ x → z ≤ fl
z : ℤ
⊢ z ≤ fl ↔ ↑z ≤ x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
g'inv : G →L[𝕜] E
hg'inv : φ.rightDeriv.comp g'inv = ContinuousLinearMap.id 𝕜 G
hg'invf : φ.leftDeriv.comp g'inv = 0
this : HasStrictFDerivAt (HasStrictFDerivAt.localInverse φ.prodFun (φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯) φ.pt ⋯) ↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯).symm (φ.leftFun φ.pt, φ.rightFun φ.pt)
⊢ g'inv = (↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯).symm).comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G))
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ ((monomial n) a).degree = ↑n
N i : ℕ
⊢ (Polynomial.revAt N) ((Polynomial.revAt N) i) = i
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
SetLike S R
hSR : NonUnitalSubringClass S R
s : S
x : Unitization ℤ ↥s
⊢ (NonUnitalSubring.unitization s) x = ↑x.fst + ↑x.snd
α : Type u_1
Primcodable α
f : ℕ → ℕ → α
⊢ Primrec (Nat.unpaired f) ↔ Primrec₂ f
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ Set.InjOn (fun s => s.erase a) {s | a ∈ s}
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.ShortComplex C)
⊢ ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.inverse J C).obj F).f =
  CategoryTheory.whiskerLeft F CategoryTheory.ShortComplex.π₁Toπ₂
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Set α → Filter β
s : Set β
t : Set α
ht : t ∈ f
hs : s ∈ g t
⊢ s ∈ f.lift g
C : Ordinal.{u_2} → Sort u_1
b : Ordinal.{u_2}
H0 : C 0
H : (o : Ordinal.{u_2}) → o ≠ 0 → C (o % b ^ Ordinal.log b o) → C o
⊢ b.CNFRec H0 H 0 = H0
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF
⊢ (e₁.oadd n₁ a₁ * e₂.oadd n₂ a₂).repr = (e₁.oadd n₁ a₁).repr * (e₂.oadd n₂ a₂).repr
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
ht : s ⊆ t
⊢ (condCount s) t = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α × β
⊢ (Equiv.prodComm α β) x = x.swap
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
TopologicalSpace α
Zero β
Zero γ
Zero δ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
hf : HasCompactSupport f
hf₂ : HasCompactSupport f₂
hm : m 0 0 = 0
⊢ HasCompactSupport fun x => m (f x) (f₂ x)
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X
⊢ ClusterPt x f ↔ ∃ u, ↑u ≤ f ∧ ↑u ≤ 𝓝 x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g s
n : ℕ
⊢ AntivaryOn (f ^ n) g s
n d : ℕ
hn : 2 * (0 ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (0 ^ 2 + 1)
⊢ 0 ^ (2 * (0 ^ 2 + 1) + d) < (2 * (0 ^ 2 + 1) + d - 1)!
R : Type x
Distrib R
a b c : R
⊢ Commute a c → Commute b c → Commute (a + b) c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
n : ℕ
X : C
CategoryTheory.Projective X
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero ((F.leftDerived (n + 1)).obj X)
b : Bool
⊢ ¬b = true ↔ b = false
α : Type u_1
t : TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.induced id t = t
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
⊢ ∀ (t x_1 : ↑I), x_1 ∈ {0, 1} → { toFun := fun x_2 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2, map_zero_left := ?refine_3, map_one_left := ?refine_4 }.toFun (t, x_2), continuous_toFun := ⋯ } x_1 = (toLoop i p).toContinuousMap x_1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
t : ↑(F.obj X)
⊢ Pi.π (fun b => F.obj X) t ((Concrete.productEquiv fun x => F.obj X).symm id) = t
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
x : ℝ
⊢ ↑(ProbabilityTheory.cdf μ) x = (μ (Set.Iic x)).toReal
P : EReal → EReal → Prop
symm : ∀ {x y : EReal}, P x y → P y x
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_bot : P ⊥ ⊥
x y : EReal
⊢ P x y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor C D
X : C
⊢ F.δ X (𝟙_ C) ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X) F.η ≫
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (F.obj X)).hom =
  F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ b ≤ a ∆ b ⊔ a
α : Type u_1
⊢ FreeMonoid.toList.symm = FreeMonoid.ofList
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.topMap (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.Spec.topMap g) (AlgebraicGeometry.Spec.topMap f)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 1
⊢ p = Polynomial.X + Polynomial.C (p.coeff 0)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hfB : IsInvariantBlock G B
g : G
⊢ B ≤ g • B
α : Type u_1
a b c d : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
MulPosMono α
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d
a0 : 0 < a
d0 : 0 ≤ d
⊢ a * c < b * d
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
t : Set E
x y : E
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
hs₁ : Convex ℝ ∅
hs₂ : IsOpen ∅
disj : Disjoint ∅ t
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ ∅, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u < f b
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
f : α → E
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
M' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'
⊢ (∃ y, ∃ (yO : y ∈ O), y ∈ N ∧ ϕ ⟨y, yO⟩ = x) → ∃ y, O.subtype y ∈ N ∧ ϕ y = x
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
n : ℕ
⊢ (X ^ n - 1).Separable ↔ ↑n ≠ 0
α : Type u_1
a : Part α
h : a.Dom
Decidable a.Dom
d : α
⊢ a.getOrElse d = a.get h
R : Type u
S : Type v
a b c✝ d : R
n m : ℕ
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
c : S
a✝ : Nontrivial S
⊢ (X + C c).nextCoeff = c
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝¹ : IsIntegral Y
inst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
⊢ IsDomain ↑Γ(X, U)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
M : ℕ
hNM : N ≤ M
h : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω < N
this : lowerCrossingTime a b f M n ω = lowerCrossingTime a b f N n ω
⊢ hitting f (Set.Ici b) (lowerCrossingTime a b f N n ω) N ω = hitting f (Set.Ici b) (lowerCrossingTime a b f N n ω) M ω
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ Filter.map (⇑h) (Filter.cocompact X) = Filter.cocompact Y
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ (s ∪ t) ∩ u = s ∩ u ∪ t ∩ u
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid P
Module R M
Module R P
IsNoetherian R P
f : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ IsNoetherian R M