ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
abv : AbsoluteValue R S
a b : R
⊢ abv b - abv a ≤ abv (a - b)
R : Type u
a b : R
Semiring R
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X + Polynomial.C b).degree ≤ 1
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_3
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I J : Ideal R
⊢ ↑I ≤ ↑J ↔ I ≤ J
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x
⊢ IsRelPrime (y * x) z ↔ IsRelPrime y z
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
Δ₁ Δ₂ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ₁
p : Δ₁ ⟶ Δ₂
CategoryTheory.Epi p.unop
⊢ (s.cofan Δ₁).inj A ≫ X.map p = (s.cofan Δ₂).inj (A.epiComp p)
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Functor.diag C).obj X = (X, X)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ SeparationQuotient.mk '' closure s = closure (SeparationQuotient.mk '' s)
x : ℝ
⊢ Real.toEReal '' Ioi x = Ioo ↑x ⊤
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
n m : ℕ
x✝ : m ∈ Finset.range (n + 1)
⊢ (if P m then X m else 0) ^ p ^ (n - m) + (if ¬P m then X m else 0) ^ p ^ (n - m) = X m ^ p ^ (n - m)
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S
⊢ Ideal.map f (Ideal.comap f I ⊓ Ideal.comap f J) = I ⊓ J
α : Type u
β : Type v
f : α → β
t : Set β
⊢ Set.MapsTo f (f ⁻¹' t) t
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
P : α → Prop
s : Set α
⊢ {x | ↑x ∈ s}.ncard = (s ∩ setOf P).ncard
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q : C
i : P ≅ Q
hP : Injective P
X✝ Y✝ : C
g : X✝ ⟶ Q
f : X✝ ⟶ Y✝
mono : Mono f
⊢ ∃ h, f ≫ h = g
α : Type u_4
s : Finset α
p : { x // x ∈ s } → Prop
⊢ (∀ (x : { x // x ∈ s }), p x) ↔ ∀ (x : α) (h : x ∈ s), p ⟨x, h⟩
n : Nat
⊢ (fun x => 1 + x) = succ
n : ℕ
h : Odd n
⊢ n / 2 * 2 + 1 = n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c x y z : β
⊢ min y z ≤ x ↔ x ≥ y ∨ x ≥ z
R : Type u
Semiring R
k m : ℕ
h : k ≠ m
x y : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (Polynomial.C x * Polynomial.X ^ k + Polynomial.C y * Polynomial.X ^ m).support.card = 2
α : Sort u
op : α → α → α
self : IsRightCancel α op
a b c : α
⊢ op a b = op c b → a = c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
α : X ⟶ Y
x x' : ↑↑X
h : x = x'
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap α x ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯ =
  CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap α x'
x y : ℝ
hx : 0 < x
hxy : x ≤ y
⊢ Real.log x ≤ Real.log y
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f p : R[X]
n : ℕ
⊢ (X ^ n * p).reverse = p.reverse
R✝ : Type u
A✝ : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R✝ B
S✝ : Subalgebra R✝ A✝
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ (algebraMap (↥S) A).rangeS = S.toSubsemiring
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
⊢ UniformEmbedding f ↔ Function.Injective f ∧ UniformContinuous f ∧ Filter.comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset ι
f : ι → ℕ
a : β
x✝³ : ι
x✝² : Finset ι
x✝¹ : x✝³ ∉ x✝²
x✝ : ∏ i ∈ x✝², a ^ f i = a ^ ∑ i ∈ x✝², f i
⊢ ∏ i ∈ cons x✝³ x✝² x✝¹, a ^ f i = a ^ ∑ i ∈ cons x✝³ x✝² x✝¹, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
s₁ s₂ : Finset α
⊢ Finset.map f s₁ = Finset.map f s₂ ↔ s₁ = s₂
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
H₁ : ‖fourierBasis.repr f‖ ^ 2 = ∑' (i : ℤ), ‖↑(fourierBasis.repr f) i‖ ^ 2
H₂ : ‖fourierBasis.repr f‖ ^ 2 = ‖f‖ ^ 2
H₃ : RCLike.re ⟪f, f⟫_ℂ = RCLike.re (∫ (a : AddCircle T), ⟪↑↑f a, ↑↑f a⟫_ℂ ∂haarAddCircle)
⊢ Integrable (fun a => ⟪↑↑f a, ↑↑f a⟫_ℂ) haarAddCircle
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
⊢ normalize (s.lcm f) = s.lcm f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
h₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.Iic n }) 𝕜 (f ∘ Subtype.val)
h : gramSchmidt 𝕜 f n = 0
h₁ : f n ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iio n)
h₂ : (f ∘ Subtype.val) ⟨n, ⋯⟩ ∈ span 𝕜 (f ∘ Subtype.val '' Set.Iio ⟨n, ⋯⟩)
⊢ ⟨n, ⋯⟩ ∉ Set.Iio ⟨n, ⋯⟩
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
i : Γ
hi : ↑i < orderTop 0
⊢ coeff 0 i = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
_h : ∀ (μ : MeasureTheory.Measure α) [inst : MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ], μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ μ.HaveLebesgueDecomposition ν
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
⊢ (-p).degrees = p.degrees
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ interior s
hy : y ∈ closure s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
∀ (i : ι), (f i).NeBot
i : ι
⊢ Filter.map (Function.eval i) (Filter.pi f) = f i
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
⊢ (𝟙 X ⁻¹ᵁ U).ι = U.ι
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih : ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V}, IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
this : Nontrivial V
hB₁ : B ≠ 0
x : V
hd : finrank K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) + 1 = d + 1
hx : ¬IsOrtho B x x
B' : ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] K := domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)
v' : Basis (Fin d) K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)
hv₁ : (domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)).IsOrthoᵢ ⇑v'
b : Basis (Fin (d + 1)) K V := Basis.mkFinCons x v' ⋯ ⋯
j✝ i✝ : Fin (d + 1)
i j : Fin d
hij : j.succ ≠ i.succ
⊢ IsOrtho B ↑(v' j) ↑(v' i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
ε : ℝ≥0∞
h₀ : 0 < ε
x : α × α
hx : x ∈ Prod.map f f ⁻¹' {p | edist p.1 p.2 < (↑K)⁻¹ * ε}
⊢ ↑K * edist (f x.1) (f x.2) < ε
F : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)
E' : Submodule ℝ F
hE' : IsCompl E E'
⊢ 1 < Module.rank ℝ ↥E'
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ ⟪x, r • (o.rotation ↑(π / 2)) x⟫_ℝ = 0
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
x' : M
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
hx'' : f x' = f (S.subtype y • x)
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
AddAction G β
⊢ AddAction.orbitRel G (α × β) ≤ Setoid.comap Prod.fst (AddAction.orbitRel G α)
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
h : f =O[atTop] fun n => ↑n ^ (x - 1)
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ‖f x_1‖ ≤ C * ‖↑x_1 ^ (x - 1)‖
m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, ‖f b‖ ≤ C * ‖↑b ^ (x - 1)‖
C' : ℝ := max C ((insert 0 (image (fun n => ‖f n‖ / ↑n ^ (x - 1)) (range m))).max' ⋯)
hC'₀ : 0 ≤ C'
⊢ LSeriesSummable f s
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ ⋃ n, Ico (n • p) ((n + 1) • p) = univ
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
⊢ CauSeq.Completion.mk f = CauSeq.Completion.mk g ↔ f ≈ g
θ : Real.Angle
⊢ (↑π - θ).sign = θ.sign
a b : Nat
⊢ ¬a < b → b ≤ a
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
⊢ CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f (ε b) ≫ (CategoryTheory.Limits.Sigma.reindex ε f).inv =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (f ∘ ⇑ε) b
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
x : α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
this : f =ᶠ[ae (μ.restrict {x})] fun x_1 => f x
⊢ IntegrableOn f {x} μ ↔ f x = 0 ∨ μ {x} < ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : 0 ∈ s
⊢ 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
F : Type u → Type v
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
G : Type u → Type w
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
η η' : ApplicativeTransformation F G
h : ∀ (α : Type u) (x : F α), (fun {α} => η.app α) x = (fun {α} => η'.app α) x
α : Type u
⊢ η.app α = η'.app α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E
b : E
hb : b ∈ Metric.closedBall 0 1
⊢ ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) x.fst + (mul 𝕜 E) x.snd) b‖ ≤ √‖(algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd‖
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h₁ : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h0 : ¬p 0
hn : 0 < Nat.find h₂ + 1
⊢ ¬p 0
K : Type u_1
RCLike K
⊢ Continuous RCLike.ofReal
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
NoZeroSMulDivisors R M
⊢ Module.rank R M = 0 ↔ ∀ (x : M), x = 0
P : Type u_1
Preorder P
IF : Order.Ideal.PrimePair P
⊢ (↑IF.F)ᶜ = ↑IF.I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id S).τ₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₁
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra S A
t : Set A
⊢ Algebra.adjoin (↥⊤) t = Subalgebra.restrictScalars (↥⊤) (Algebra.adjoin S t)
α : Type u_2
β : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
f : Filter β
u : β → α
a : α
hinf : a ≤ Filter.liminf u f
hsup : Filter.limsup u f ≤ a
h : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
h' : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault
⊢ Filter.Tendsto u f (𝓝 a)
α : Sort u
β : α → Sort v
DecidableEq α
f : (a : α) → β a
a : α
b : β a
⊢ f ≠ Function.update f a b ↔ f a ≠ b
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsMinOn f s a
⊢ IsLocalMinOn f s a
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
hf : f.natDegree ≠ 0
g : K[X]
hg : f = f.factor * g
⊢ (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * f.removeFactor = map (AdjoinRoot.of f.factor) f
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α →₀ M
CommMonoid N
g : α → M → N
⊢ (Finsupp.filter p f).prod g = ∏ x ∈ (Finsupp.filter p f).support, g x (f x)
𝕜 : Type u_1
n : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
⊢ ‖A‖₊ = ‖Matrix.toEuclideanCLM A‖₊
M : Type u_1
AddMonoid M
S T : AddSubgroup (AddUnits M)
⊢ (S ⊔ T).ofAddUnits = S.ofAddUnits ⊔ T.ofAddUnits
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : FundamentalGroupoid.fromTop x₀ ⟶ FundamentalGroupoid.fromTop x₁
⊢ (π.map f).map p ≫ ⟦H.evalAt x₁⟧ = H.diagonalPath' p ∧ ⟦H.evalAt x₀⟧ ≫ (π.map g).map p = H.diagonalPath' p
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
δ : Type u_2
TopologicalSpace δ
DiscreteTopology δ
f : α ↪ δ
g : BoundedContinuousFunction α β
h : BoundedContinuousFunction δ β
⊢ ⇑(BoundedContinuousFunction.extend f g h) ∘ ⇑f = ⇑g
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f₁ f₂ f₃ : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ CategoryTheory.Localization.Preadditive.add' W (CategoryTheory.Localization.Preadditive.add' W f₁ f₂) f₃ =
  CategoryTheory.Localization.Preadditive.add' W f₁ (CategoryTheory.Localization.Preadditive.add' W f₂ f₃)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompletePartialOrder α
inst✝ : Preorder β
f✝ : ι → α
d : Set α
a : α
f : α → β
⊢ ScottContinuous f ↔ ∀ ⦃d : Set α⦄, d.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d → IsLUB (f '' d) (f (sSup d))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
w : ι → k
p : ι → P
s₁ s₂ : Finset ι
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ (s₁.weightedVSub p) w = (s₂.weightedVSub p) ((↑s₁).indicator w)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : CategoryTheory.OplaxNatTrans F G
a b c : B
a' : C
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : G.obj c ⟶ a'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (η.naturality (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)) h)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (G.map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)) h).hom
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (η.app a) (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (G.mapComp f g) h))) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapComp f g) (η.app c)) h)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (F.map g) (η.app c)).hom
        h)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map g) (η.app c)) h).hom
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
          (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (η.naturality g) h))
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
            (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (η.app b) (G.map g))
                h).inv
            (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
              (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight
                (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (η.app b) (G.map g)).inv h)
              (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
                (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight
                  (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (η.naturality f) (G.map g)) h)
                (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
                  (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight
                    (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (G.map f) (G.map g)).hom h)
                  (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a)
                      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map f) (G.map g)) h).hom)))))))
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T1Space Y
⊢ (Continuous f ∧ IsClosedMap f ∧ ∀ (y : Y), IsCompact (f ⁻¹' {y})) ↔ Continuous f ∧ IsClosedMap f ∧ ∀ (x : Y), (f ⁻¹' {x})ᶜ ∈ cocompact X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv γ δ
⊢ ↑(e.prod e').symm = fun p => (↑e.symm p.1, ↑e'.symm p.2)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h1 : (f ^ n).IsCycle
h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support
key : ∀ (x : α), (f ^ n) x ≠ x ↔ f x ≠ x
⊢ f.IsCycle
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
⊢ Q.IsOrtho x y ↔ Q (x + y) = Q x + Q y
α : Type u_1
Mul α
Zero α
LinearOrder α
PosMulReflectLE α
⊢ PosMulStrictMono α
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
g : S → R
f : R →+* S
h : Function.LeftInverse g ⇑f
x : R
⊢ ↑((RingEquiv.ofLeftInverse h) x) = f x
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
⊢ ∀ ⦃Y_1 : D⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ G.obj Y⦄, (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑⟨Sieve.pullback (G.map iYX) (Sieve.functorPushforward G S), ⋯⟩)).arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)) ∈ K.sieves Y_1
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁', i₂) ≠ i₁₂
⊢ K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = 0
n : ℕ
kl : ℕ × ℕ
hlk : kl ∈ Finset.antidiagonal n
⊢ kl.1 < n + 1
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K
h : IsUnit A
⊢ Function.Injective ⇑A.vecMulLinear
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (TopCat.pullbackIsoProdSubtype f g).inv ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g = TopCat.pullbackSnd f g
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : Limits.IsInitial X
M : PresheafOfModules R
c₁ c₂ : Cᵒᵖ
f : c₁ ⟶ c₂
r : ↑(R.obj X)
m : ↑((ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c₁))).obj (M.obj c₁))
⊢ { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • m) = (RingHom.id ↑(R.obj X)) r • { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯ }.toFun m
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
f : E → F
g : E → G
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
v : Set E
hv : v ∈ 𝓝[insert x s] x
q : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) g q v
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (fun x => (f x, g x)) p u
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : LipschitzWith D g
h'g : HasCompactSupport g
v : E
A : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))
B : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (g (x + t • -v) - g x) * f x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ g x (-v) * f x ∂μ))
t : ℝ
S3 : ∫ (x : E), f (x + t • v) * g x ∂μ = ∫ (x : E), f x * g (x + t • -v) ∂μ
⊢ ∫ (x : E), (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ = ∫ (x : E), f x * (g (x + t • -v) - g x) ∂μ
M : Type u_1
MulOneClass M
m : M
p : Submonoid M
⊢ Submonoid.closure {m} ≤ p ↔ m ∈ p
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
⊢ AnalyticSet (f '' s)
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C✝ : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝
D : Type u''
inst✝³ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C
T : C
HT : IsTerminal T
c₀ : BinaryCofan T T
hc₀ : IsColimit c₀
H : ∀ {X' Y' : C} (c' : BinaryCofan X' Y') (αX : X' ⟶ T) (αY : Y' ⟶ T) (f : c'.pt ⟶ c₀.pt), αX ≫ c₀.inl = c'.inl ≫ f → αY ≫ c₀.inr = c'.inr ≫ f → (Nonempty (IsColimit c') ↔ IsPullback c'.inl αX f c₀.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c₀.inr)
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
X' Y' : C
c' : BinaryCofan X' Y'
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
f : c'.pt ⟶ c.pt
hX : αX ≫ c.inl = c'.inl ≫ f
hY : αY ≫ c.inr = c'.inr ≫ f
d : c.pt ⟶ ((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj c₀.pt).obj { as := WalkingPair.left }
hd : c.inl ≫ d = HT.from X ≫ c₀.inl
hd' : c.inr ≫ d = HT.from Y ≫ c₀.inr
hl : IsPullback c.inl (HT.from X) d c₀.inl
hr : IsPullback c.inr (HT.from Y) d c₀.inr
⊢ IsPullback c'.inl (αX ≫ HT.from X) (f ≫ d) c₀.inl ∧ IsPullback c'.inr (αY ≫ HT.from Y) (f ≫ d) c₀.inr ↔ IsPullback c'.inl αX f c.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c.inr
M : Type u_1
Monoid M
Subsingleton M
a : M
⊢ IsUnit a
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b✝ c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
ha : a ∈ s
hmem : tᶜ ∈ 𝓝[≥] a
b : X
hab : a ≤ b
hmem' : Icc a b ∈ 𝓝[≥] a
hsub : Icc a b ⊆ tᶜ
⊢ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝[≥] a
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ IsCompact ↑U
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
IsArtinianRing R
Module.Finite R S
⊢ IsArtinianRing S
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
X : Type u_7
Y : Type u_8
α : Type u_9
inst✝¹⁰ : Zero α
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PseudoMetrizableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
g : ℕ → SimpleFunc (X × Y) α
hg : ∀ (n : ℕ) (x : X × Y), dist (f x) (↑(g n) x) < u n
⊢ Measurable f