ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
⊢ ⊤.prod = 0
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Group G
r : k
x : G
f : MonoidAlgebra k G
y : G
⊢ (MonoidAlgebra.single x r * f) y = r * f (x⁻¹ * y)
m n : ℕ
⊢ ↑m - ↑n ≤ ↑(m - n)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
se : SplitEpi f
Z✝ : C
g h : Y ⟶ Z✝
w : f ≫ g = f ≫ h
⊢ g = h
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S U : StarSubalgebra R A
⊢ S.toSubalgebra = U.toSubalgebra ↔ S = U
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : DenselyOrdered (α ⊕ β)
a b : α
h : a < b
c : β
ha : inl a < inr c
hb : inr c < inl b
⊢ ∃ a_1, a < a_1 ∧ a_1 < b
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
Zero α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactSupport f
⊢ BddBelow (Set.range f)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a✝ b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ (∏ x ∈ Iio a, f x) * f a = ∏ x ∈ Iic a, f x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : derivative f = 0
hf : f ≠ 0
f_nat_degree_pos : 0 < f.natDegree
m : ℕ := f.natDegree - 1
hm : m + 1 = f.natDegree
⊢ False
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c : Chain (α →𝒄 β)
c' : Chain α
⊢ (ωSup (c.map toMono)) (ωSup c') = ωSup (c'.map (ωSup (c.map toMono)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
hν : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
u : Set γ
hu : u ∈ countablePartition γ n
this : IsFiniteKernel κ
hu_meas : MeasurableSet u
⊢ (∫⁻ (a_1 : γ) in u, (κ a) (countablePartitionSet n a_1 ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n a_1) ∂ν a).toReal = ((κ a) (u ×ˢ s)).toReal
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
f g : Multiset α
⊢ (∀ x ∈ f, Prime x) → (∀ x ∈ g, Prime x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
CategoryTheory.StrongEpiCategory C
f : P ⟶ Q
CategoryTheory.Epi f
⊢ CategoryTheory.StrongEpi f
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
h₁ : m.IsCaratheodory s₁
h₂ : m.IsCaratheodory s₂
t : Set α
⊢ m t = m (t ∩ (s₁ ∪ s₂)) + m (t \ (s₁ ∪ s₂))
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
z : ℤ
⊢ ContinuousOn (fun x => z • f x) s
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
hx : x ≠ 0
hr : r < 0
⊢ ⟪x, r • x⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖r • x‖) = -1
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ((-o).oangle y (x + y)).sin * ‖x + y‖ = ‖x‖
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε
α : Type u_2
Inv α
f : Filter α
⊢ f⁻¹.NeBot ↔ f.NeBot
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
hB : ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ B
⊢ ∃ x, ∀ y ∈ (fun a => ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖) '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
⊢ Submodule.span K {x} ⊔ ker (B.toLinHomAux₁ x) = ⊤
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H₁ : l.size = 0 → r.size ≤ 1
H₂ : 1 ≤ l.size → 1 ≤ r.size → r.size ≤ delta * l.size
H₃ : 2 * l.size ≤ 9 * r.size + 5 ∨ l.size ≤ 3
r0 : r.size = 0
⊢ 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ ∅.card ≤ ∅.shatterer.card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
F : Set (Set E)
hF : F.Nonempty
hA : ∀ B ∈ F, IsExtreme 𝕜 A B
⊢ IsExtreme 𝕜 A (⋂ B ∈ F, B)
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
ι : Type u_5
f : M →ₙ* N
hf : Function.Surjective ⇑f
S : ι → Subsemigroup N
⊢ Subsemigroup.map f (⨅ i, Subsemigroup.comap f (S i)) = iInf S
n : ℤ
⊢ ZNum.ofInt' n = ↑n
α : Type u
a : α
⊢ (PEquiv.refl α) a = some a
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
Field F
Field K
Field L
Algebra F L
Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Polynomial.Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
⊢ (Set.range fun ψ => ψ x) = (minpoly F x).rootSet L
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ 0 ≈ -x ↔ 0 ≈ x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
n m : ℕ
h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a
h_lt : n < m
⊢ succ (succ^[n] a) ≤ succ^[m] a
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
i j : n
i_ne_j : i ≠ j
hij : ∀ (k : n), M k i = M k j
⊢ M.det = 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Set.Ioi a = Set.Ioi (a / c)
𝕜 : Type u
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] G'
v : Fin 1 → G
⊢ ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 G G').symm f) v = f (v 0)
x y : ℝ
h₁ : Real.sin x = y
h₂ : x ∈ Set.Icc (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ Real.arcsin y = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
⊢ ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ b.factorization.support ⊆ (a.lcm b).factorization.support
R : Type u
CommRing R
IsDedekindDomain R
S : Set (IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R)
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
x : (↥(S.integer K))ˣ
⊢ ↑((S.unitEquivUnitsInteger K).symm x) = Units.mk0 ↑↑x ⋯
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : f.comp φ = g.comp φ
v₁ v₂ : V₁
⊢ ↑((fun v => ⟨φ v, ⋯⟩) (v₁ + v₂)) = ↑((fun v => ⟨φ v, ⋯⟩) v₁ + (fun v => ⟨φ v, ⋯⟩) v₂)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
h : ↑(2 * n) ≠ 0
⊢ (W.preΨ' (2 * n)).coeff (((2 * n) ^ 2 - if Even (2 * n) then 4 else 1) / 2) ≠ 0
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
MulAction R X
r : X
s t : ↥S
⊢ (↑s /ₒ t) • (r /ₒ s) = r /ₒ t
p : Nat.Primes
⊢ ↑↑p = ↑p
G : Type u_2
Group G
S : Set (Subgroup G)
⊢ (sInf S).op = sInf (Subgroup.unop ⁻¹' S)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
i j : ι
h : i ≠ j
s : Set (α j)
⊢ Sigma.mk i ⁻¹' (Sigma.mk j '' s) = ∅
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Z : C
f : X ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.IsPullback (𝟙 X) f f (𝟙 Z)
n : ℕ
⊢ aleph' (succ ↑n) = ↑n.succ
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : A →₀ A
⊢ (Finsupp.total A (Ω[B⁄S]) A (⇑(map R S A B) ∘ ⇑(D R A))) x = 0 ↔ (Finsupp.total B (Ω[B⁄S]) B ⇑(D S B)) ((Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) x) = 0
x✝ x : ℝ
hx : x < 0
⊢ x.smoothTransition = smoothTransition 0
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H1 : ¬l.size + r.size ≤ 1
H2 : delta * r.size < l.size
H3 : 2 * l.size ≤ 9 * r.size + 5 ∨ l.size ≤ 3
⊢ Valid' o₂ (l.rotateR x r).dual o₁
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ q) (B ^ q)
⊢ ∃ C ≤ A * B, HasSum (fun i => f i * g i) C
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MonoidWithZero M₀
l✝ : List M₀
a : M₀
l : List M₀
h : 0 ∈ a :: l
⊢ a * l.prod = 0
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ
a : 𝒜 0
b : ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ (TensorProduct.gradedComm R 𝒜 ℬ) ((DirectSum.lof R ι 𝒜 0) a ⊗ₜ[R] b) = b ⊗ₜ[R] (DirectSum.lof R ι 𝒜 0) a
α : Type u_1
a : α
⊢ IsAtom {a}
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
⊢ mk x ≤ mk f
G : Type u_1
Group G
g : G
⊢ g ∈ Subgroup.zpowers g
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞
⊢ (∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) ↔ ∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => f x i
α : Type u_1
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
T1Space α
f : α → γ
a : α
hf : ContinuousOn f {a}ᶜ
⊢ Measurable f
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
⊢ (0 < -a → 0 ≤ -b) ∧ (0 < -b → 0 ≤ -a) ↔ (a < 0 → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → a ≤ 0)
α β : Type u
f : α → FreeAddSemigroup β
x y : FreeAddSemigroup α
⊢ x + y >>= f = (x >>= f) + (y >>= f)
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ici 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ici 0
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : ℝ≥0 := ⟨x, hx⟩
y' : ℝ≥0 := ⟨y, hy⟩
a' : ℝ≥0 := ⟨a, ⋯⟩
b' : ℝ≥0 := ⟨b, ⋯⟩
⊢ a • (fun x => x ^ p) x + b • (fun x => x ^ p) y < (fun x => x ^ p) (a • x + b • y)
ι : Type u
s✝ : Finset ι
f✝ g : ι → ℝ
p✝ q : ℝ
s : Finset ι
p : ℝ
w f : ι → ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
⊢ ∑ a ∈ s, w a * f a ≤ (∑ a ∈ s, w a) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ a ∈ s, w a * f a ^ p) ^ p⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ i, S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), μ (S i ∩ s) < ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_3
Ring S
TopologicalSpace S
Algebra R S
B : Type u_4
Ring B
TopologicalSpace B
Algebra R B
f : S →A[R] B
x : S
⊢ f (-x) = -f x
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
LinearOrder α
PosMulMono α
h : a * b < 0
b0 : 0 ≤ b
⊢ a < 0
α : Type u
as : List α
⊢ List.nil ++ as = as
α : Type u_1
f : α → Char → α
l : List Char
c : Char
m r : List Char
a : α
⊢ (let_fun this := ⋯; foldlAux f { data := l ++ c :: m ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) (f a ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }))) = List.foldl f a (c :: m)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ
⊢ ↑((k + 1) * k !) * (↑((n + k + 1).choose (k + 1)) * f.coeff (n + k + 1)) = ↑k ! * (↑((n + k + 1).choose (n + 1)) * (f.coeff (n + k + 1) * ↑(n + 1)))
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
n : ℕ
h : N ≤ n
⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1
a b m n✝ p✝ p n : ℕ
IH : (Finset.filter (fun x => p ∣ x) (Ioc 0 n)).card = n / p
h1 : Ioc 0 n.succ = insert n.succ (Ioc 0 n)
⊢ (Finset.filter (fun x => p ∣ x) (Ioc 0 (n + 1))).card = (n + 1) / p
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)
⊢ Disjoint G (fromEdgeSet s) ↔ Disjoint G.edgeSet (s \ {e | e.IsDiag} ∪ s ∩ {e | e.IsDiag})
R : Type u
CommRing R
Invertible 2
X Y Z : QuadraticModuleCat R
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (QuadraticModuleCat R) (ModuleCat R)).map (α_ X Y Z).inv =
  (α_ X.toModuleCat Y.toModuleCat Z.toModuleCat).inv
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℕ
⊢ fract (↑m / ↑0) = ↑(m % 0) / ↑0
X Y Z : Type u
x : (X ⊗ Y) ⊗ Z
⊢ ((α_ X Y Z).hom x).2.2 = x.2
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
ι : Type u_1
Fintype ι
E' : ι → Type u_2
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
φ : 𝕜 → (i : ι) → E' i
h : ∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x => φ x i) x
⊢ deriv φ x = fun i => deriv (fun x => φ x i) x
r s : ℤ
h2 : IsCoprime s r
⊢ IsCoprime (r * r + s * s) r
α : Sort u_1
ctx : Lean.Data.AC.Context α
h : Lean.Data.AC.ContextInformation.isComm ctx = true
e : List Nat
⊢ Lean.Data.AC.evalList α ctx (Lean.Data.AC.sort e) = Lean.Data.AC.evalList α ctx e
a b c : ℤ
habc : a ∣ c * b
hab : a.gcd b = 1
⊢ a ∣ c
a : Bool
⊢ (!decide (a = false)) = true → a = true
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
P : K[X]
hmo : P.Monic
hP : Splits (RingHom.id K) P
⊢ (Multiset.map (eval 0 ∘ fun a => X - C a) P.roots).prod = (-1) ^ P.natDegree * P.roots.prod
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
S : Multiset α
g1 g2 : α → β
h : ∀ a ∈ S, g1 a ∣ g2 a
⊢ ∀ {a : α} {s : Multiset α}, a ∈ S → s ⊆ S → (map g1 s).prod ∣ (map g2 s).prod → (map g1 (insert a s)).prod ∣ (map g2 (insert a s)).prod
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
e : X ≅ Y
⊢ e.inv.val.base ≫ e.hom.val.base = 𝟙 ↑Y.toPresheafedSpace
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommGroup M₁
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
TopologicalAddGroup M₁
ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁
TopologicalAddGroup M₂
ContinuousSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
⊢ ContinuousLinearMap.mkOfIsCompactOperator hf ∈ compactOperator σ₁₂ M₁ M₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Monoid M
S : Finset (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R ↑S = ⊤
this : DecidableEq M := Classical.decEq M
⊢ ∃ G, adjoin R (⇑(of R M) '' ↑G) = ⊤
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ a b : A
h : a * b = 1
⊢ D a = -a ^ 2 • D b
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ a < b ∨ a = b ∨ b < a
K : Type u_5
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
Semifield K
AddCommMonoid V
Module K V
AddCommMonoid V₂
Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
a : K
h : a ≠ 0
⊢ LinearMap.ker (a • f) = LinearMap.ker f
l : Filter ℂ
hl : Complex.IsExpCmpFilter l
n : ℕ
⊢ (fun z => |z.im| ^ n) ≤ᶠ[l] fun z => Real.exp z.re
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : ↥q
⊢ (p.linearProjOfIsCompl q h) ↑x = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongEpi f
⊢ Epi g
α : Type u_1
Encodable α
n : ℕ
⊢ Encodable.decode₂ α n ≠ none ↔ n ∈ Set.range Encodable.encode
α : Type u
inst✝ : Infinite α
K : Type u := FractionRing (MvPolynomial α (ULift.{u, 0} ℚ))
⊢ #α = #(MvPolynomial α (ULift.{u, 0} ℚ))
α : Type u
a : α
s t : Set α
ha : a ∉ s
⊢ s ⊆ insert a t ↔ s ⊆ t
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map ((CochainComplex.mappingCone.triangle g).mor₃ ≫ (shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map (CochainComplex.mappingCone.inr f)) ≫ ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app (CochainComplex.mappingCone f) = (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map ((CochainComplex.mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (CochainComplex.mappingCone.triangle (CochainComplex.mappingCone.map f (f ≫ g) (𝟙 X₁) g ⋯)).mor₃) ≫ ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app (CochainComplex.mappingCone f)
W : Type u_4
Q : Type u_5
NormedAddCommGroup W
MetricSpace Q
NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 W
s : AffineSubspace 𝕜 Q
⊢ IsClosed ↑s.direction ↔ IsClosed ↑s
l : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq l
Fintype l
CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ Matrix.symplecticGroup l R
⊢ A⁻¹ = -Matrix.J l R * Aᵀ * Matrix.J l R
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
a : α
s : Set (β × Ω)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : β), (κ.condKernel (a, x)) {y | (x, y) ∈ s} ∂κ.fst a = (κ a) s
α : Type u
β : α → Type u_1
DecidableEq α
s : Finset ((a : α) × β a)
t : Finset α
ht : Finset.image Sigma.fst s ⊆ t
⊢ (t.sigma fun a => s.preimage (Sigma.mk a) ⋯) = s
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
f₁ f₂ g : Filter β
⊢ f₁ ≤ f₂ → f₁ -ᵥ g ≤ f₂ -ᵥ g
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C
⊢ tensor_μ C (𝟙_ C, M.X) (𝟙_ C, M.X) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (M.X ⊗ M.X) ≫ (λ_ (M.X ⊗ M.X)).hom ≫ M.mul = ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul
R : Type u_2
Ring R
S : Subring R
⊢ ∀ (a : (↥S.toSubsemiring)ᵐᵒᵖ), ↑(S.mopRingEquivOp a) = MulOpposite.op ↑(MulOpposite.unop a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι ι' : Type u
r : ι → ι → Prop
r' : ι' → ι' → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder ι r
inst✝ : IsWellOrder ι' r'
o : Ordinal.{u}
ho : type r = o
ho' : type r' = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ lsub (familyOfBFamily' r ho f) = lsub (familyOfBFamily' r' ho' f)
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
⊢ DirectSum.IsInternal ℳ
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
S : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid S
inst✝² : Pow S ℕ
inst✝¹ : Module R✝ S
x : S
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
r : R
⊢ ∀ (a : R[X]), (leval r) a = a.smeval r
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : Balanced 𝕜 s
hx : egauge 𝕜 s x < 1
⊢ x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable (Function.uncurry f)
a : α
s : Set β
⊢ ((κ.withDensity f) a) s = ∫⁻ (b : β) in s, f a b ∂κ a
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a
h_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k
⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ (o.areaForm x) x = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : PreErgodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s = s
⊢ μ s = 0 ∨ μ sᶜ = 0
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : IsReduced B
n : ℕ
p : A[X]
dvd : (Polynomial.aeval x) p ^ n = 0
⊢ (Polynomial.aeval x) p = 0
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
⊢ ↑u * a = 1 ↔ ↑u⁻¹ = a
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
inst✝¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝ : J.WEqualsLocallyBijective A
P Q : Cᵒᵖ ⥤ A
φ : P ⟶ Q
⊢ Sheaf.IsLocallySurjective ((presheafToSheaf J A).map φ) ↔ IsLocallySurjective J φ
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : PreservesLimit (cospan f f) F
inst✝ : Mono f
this : let_fun this := ⋯; IsLimit (PullbackCone.mk (F.map (𝟙 X)) (F.map (𝟙 X)) this)
⊢ Mono (F.map f)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
ha : DifferentiableAt 𝕜 a x
b : 𝔸
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => a y * b) x = (fderiv 𝕜 a x).smulRight b
α : Type u_1
a : α
s : Finset α
⊢ a ∈ s ↔ a ∈ s.val
α : Type u_1
β : Type u_2
m m₁ m₂ : OuterMeasure α
s : Set α
⊢ (m₁ ⊔ m₂) s = m₁ s ⊔ m₂ s
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas
hg_meas : StronglyMeasurable g
hg_eq : g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_eq_restrict : g =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_nnnorm_eq : (fun x => ↑‖g x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊
⊢ IntegrableOn (↑↑f) s μ