ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
S : Set (NonUnitalSubsemiring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(sSup S) = ⋃ s ∈ S, ↑s
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
a b : α
h0 : f 0 = 0
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
⊢ f (a * b) = f a * f b
b : ℝ
h : IntegrableOn (fun x => rexp (-b * x ^ 2)) (Ioi 0) volume
hb : b ≤ 0
⊢ False
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
n : ℕ
⊢ ((Algebra.norm ℤ) ↑(seq K w₁ hB n)).natAbs ≤ B
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
⊢ (haarMeasure K₀) ↑K₀ = 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
w : G.Walk u v
i : ℕ
hi : w.length ≤ i
⊢ w.getVert i = v
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
f_surj : Surjective f
ℱ : Filter Y
z : Z
h : MapClusterPt z (comap f ℱ) (g ∘ f)
⊢ ∃ x, g x = z ∧ ClusterPt x ℱ
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ ((α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ (𝟙_ C)).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ ((ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom)
⊢ pointedToTwoPFst ⋙ TwoP.swap = pointedToTwoPSnd
p : ℕ
hp : p ≠ 0
i : ℕ
⊢ 0 ≤ LucasLehmer.sMod p i
J : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat
inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)
inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)
j : J
f : (componentwiseDiagram F U).obj (op j) ⟶ (F.obj j).presheaf.obj (op ((Opens.map (colimit.ι F j).base).obj U)) := (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯).inv.app (op j) ≫ (F.obj j).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ ((pushforward C (colimit.ι F j).base).obj (F.obj j).presheaf).map (eqToHom ⋯)
⊢ limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j) ≫ f = limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j)
⊢ √π = 2 * (√(π / 1) / 2)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
⊢ Set.range ContinuousAlternatingMap.toAlternatingMap = {f | Continuous ⇑f}
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝¹ : CompactSpace X
f : Filter X
inst✝ : f.NeBot
⊢ ∃ x, ClusterPt x f
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
f : M.V ≅ N.V
comm : ∀ (g : ↑G), M.ρ g ≫ f.hom = f.hom ≫ N.ρ g := by aesop_cat
⊢ (Action.mkIso f comm).inv.hom = f.inv
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : dist x z < ε + δ
⊢ ∃ y, dist x y < δ ∧ dist y z < ε
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η γ : CategoryTheory.sheafify J P ⟶ Q
hQ : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J Q
h :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.toSheafify J P) η =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.toSheafify J P) γ
⊢ η = γ
ι : Type u_1
M : Type u_4
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
f : ι → M
s t : Finset ι
h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0 → x ∈ t
⊢ ∑ x ∈ s, f x ≤ ∑ x ∈ t, f x
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
PartialOrder α
Preorder β
OrderBot α
OrderBot β
gi : GaloisCoinsertion l u
⊢ u ⊥ = ⊥
α : Type u
p : α → Prop
PartialOrder α
OrderTop α
OrderTop (Subtype p)
htop : p ⊤
x : α
hx : p x
⊢ ⟨x, hx⟩ = ⊤ ↔ x = ⊤
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
a₁ b₁ : M
a₂ b₂ : ↥S
H : b₁ + ↑a₂ = a₁ + ↑b₂
⊢ f.mk' a₁ a₂ = f.mk' b₁ b₂
n k : ℕ
⊢ (n ^ (k + 1)).primeFactors = n.primeFactors
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : IsOpenMap f
⊢ IsOpen (range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (t : Set β), IsClosed t → ∃ u, IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
α : Type u
f : Filter α
s t : Set α
⊢ s ∈ f ⊓ 𝓟 t ↔ tᶜ ∪ s ∈ f
G : Type u_2
AddGroup G
⊢ ⊥.unop = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
⊢ NoMaxOrder (α ⊕ β) ↔ NoMaxOrder α ∧ NoMaxOrder β
R : Type u_2
CommRing R
r : R
M : Type u_1
M' : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
x : M
⊢ (QuotSMulTop.equivQuotTensor r M') (((QuotSMulTop.map r) f) (Submodule.Quotient.mk x)) =
  (LinearMap.lTensor (R ⧸ Ideal.span {r}) f) ((QuotSMulTop.equivQuotTensor r M) (Submodule.Quotient.mk x))
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
CompactSpace ↑s
⊢ Dense ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id h0})
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
z : ℂ
hz : 1 ≤ z.re
h2 : 0 < √2
hz' : 1 ≤ abs z
hm₀ : 0 < max z.re |z.im|
⊢ Real.log (abs z) ≤ Real.log √2 + Real.log (max z.re |z.im|)
l m r : List Char
s : Substring
⊢ s.str.data = l ++ m ++ r →
  s.startPos.byteIdx = String.utf8Len l →
    s.stopPos.byteIdx = String.utf8Len l + String.utf8Len m → Substring.ValidFor l m r s
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
x : R
⊢ (iterateFrobeniusEquiv R p 0) x = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
⊢ ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
n : ℤ
⊢ Even (n * (n - 1))
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b x : α
⊢ x ∈ Ioo a b ↔ a < x ∧ x < b
S : ℝ
T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ
⊢ Summable fun n => ↑|n| ^ k * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))
n d : PosNum
⊢ -[↑n.pred' / ↑d+1] = -[↑n.pred' / (↑d.pred' + 1)+1]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
j : I.R
⊢ colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ Sigma.desc (Multicofork.ofSigmaCofork I K).π ≫ 𝟙 K.pt = colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ K.π
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x₁ x₂ : M
x✝ : ∃ c, c • x₁ = c • x₂
c : ↥S
h : ((algebraMap R (Module.End R M')) ↑c) (f x₁) = ((algebraMap R (Module.End R M')) ↑c) (f x₂)
⊢ f x₁ = f x₂
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
f : α → β
hf : ↑e = f
g : β → α
hg : ↑e.symm = g
s : Set α
hs : e.source = s
t : Set β
ht : e.target = t
⊢ ↑(e.copy f hf g hg s hs t ht) = f
b : ℕ
h : 1 ≤ b
m : ℕ
⊢ ∃ n, n.FermatPsp b ∧ m ≤ n
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
b : HasDerivAt (fun y => Complex.cos (y * (2 * z))) (-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x
c : HasDerivAt (fun x => -(Complex.cos (↑x * (2 * z)) / (2 * z))) (-(-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z) / (2 * z))) x
⊢ HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(Lp E 1 μ)
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖(L1.setToL1 hT) f‖ ≤ C * ‖f‖
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ l.reverse.reverse.reverse.rotate n = (l.reverse.reverse.rotate (l.reverse.reverse.length - n % l.reverse.reverse.length)).reverse
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hz : 0 ≤ z
⊢ 1 ≤ x ^ z
α : Type u_1
hd : α
tl l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
w : f 0 < l'.length
h : l'[f 0] = hd
f' : ℕ ↪o ℕ := OrderEmbedding.ofMapLEIff (fun i => f (i + 1) - (f 0 + 1)) ⋯
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl)[ix]? = l'[f ix]?
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl[ix]? = l'[f ix]?) → tl <+ l'
this : ∀ (ix : ℕ), tl[ix]? = (drop (f 0 + 1) l')[f' ix]?
⊢ [hd] <+ take (f 0 + 1) l'
n : ℕ
i j : Fin n
h : ↑i ≠ ↑j
⊢ i ≠ j
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddAction α β
x : β
g : α
⊢ AddAction.ofQuotientStabilizer α x ↑g = g +ᵥ x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ (reflection s) p = p ↔ p ∈ s
R : Type uR
M : Type uM
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type uM'
AddCommMonoid M'
Module R M'
f : M × M' →ₗ[R] R
⊢ (Module.dualProdDualEquivDual R M M').symm f = (f ∘ₗ LinearMap.inl R M M', f ∘ₗ LinearMap.inr R M M')
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ : List α
f : α → β
a : β
l : List α
ihl : map f l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f} → map f l ∈ range (map f)
hl : a :: map f l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f}
⊢ a :: map f l ∈ range (map f)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
I J : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ ClassGroup.mk I = ClassGroup.mk J ↔ ∃ x, I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) x = J
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.82622, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
hg : S.g = 0
this : IsIso S.iCycles
⊢ S.cycles ≅ S.X₂
α : Type u_1
Ring α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p b < multiplicity p a
⊢ multiplicity p (a - b) = multiplicity p b
Ω : Type u_1
s : Set Ω
DecidablePred fun x => x ∈ s
ι' : Type u_4
i j : ι'
f : ι' → Ω → ℝ
⊢ MeasureTheory.stoppedValue f (s.piecewise (fun x => i) fun x => j) = s.piecewise (f i) (f j)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ (3 * X ^ 4 + C W.b₂ * X ^ 3 + 3 * C W.b₄ * X ^ 2 + 3 * C W.b₆ * X + C W.b₈).coeff 4 = 3
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, 0 < 1 + AkraBazziRecurrence.smoothingFn ↑n
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
⊢ (Set.Ioi a)ᶜ = Set.Iic a
⊢ ⇑Equiv.pnatEquivNat.symm = Nat.succPNat
α : Type u_3
Sup α
Bot α
⊢ SupBotHom.dual (SupBotHom.id α) = InfTopHom.id αᵒᵈ
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (o.oangle x (y - x)).sign = (o.oangle x y).sign
x : ZFSet
⊢ ↑(⋃₀ x) = ⋃₀ ↑x
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
n : ℕ
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
this : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, x ≠ 0
ha₂' : ContinuousOn Real.log (spectrum ℝ a)
ha₂'' : ContinuousOn Real.log ((fun x => x ^ n) '' spectrum ℝ a)
⊢ cfc (fun x => Real.log (x ^ n)) a = n • cfc Real.log a
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p✝ p : α → Bool
l l' : List α
h : l ⊆ l'
x : α
hx : x ∈ filter p l
⊢ x ∈ filter p l'
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
self : v.FunSpace
⊢ self.toFun v.t₀ = v.x₀
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_3
m : Type u_4
R : Type u_5
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
h : A.IsSymm
k : ℕ
⊢ (A ^ k).IsSymm
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
AddZeroClass δ
Min δ
C : Levenshtein.Cost α β δ
x : α
xs : List α
ys : List β
⊢ (suffixLevenshtein C (x :: xs) ys).val = levenshtein C (x :: xs) ys :: (suffixLevenshtein C xs ys).val
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
x y : α × β
⊢ IsCompl x y ↔ IsCompl x.1 y.1 ∧ IsCompl x.2 y.2
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
hg : IsLocalHomeomorphOn g t
hf : IsLocalHomeomorphOn f s
h : Set.MapsTo f s t
⊢ IsLocalHomeomorphOn (g ∘ f) s
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
f : M →* N
g : M →* P
⊢ (MonoidHom.snd N P).comp (f.prod g) = g
k : ℕ
h : 0 < k
⊢ GaloisConnection (fun n => n * k) fun n => n / k
α : Type u_1
One α
⊢ SymAlg.unsym 1 = 1
G : Type u_1
Group G
⊢ IsSolvable G ↔ ∃ n, derivedSeries G n = ⊥
p : ZFSet → Prop
x y : ZFSet
⊢ ∀ (x : ZFSet), (∀ y ∈ x, Hereditarily p y → p ∅) → Hereditarily p x → p ∅
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
h₁ : s ≠ t
h₂ : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ ε ≤ ↑|G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε s t) (G.nonuniformWitness ε t s) - G.edgeDensity s t|
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
⊢ ∃ h e f, IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : MulOneClass M
inst✝ : ContinuousMul M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ 1 ∈ V ∧ ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v * w ∈ s
α : Type u
f : Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ f ↔ ∀ (g : Ultrafilter α), ↑g ≤ f → s ∈ g
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
n : ℕ
⊢ IsSelfAdjoint (x ^ n)
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
Fintype σ
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.esymm σ R n =
  ∑ t ∈ Finset.powersetCard n Finset.univ, (MvPolynomial.monomial (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1)) 1
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
β : Type u_3
ι : Sort u_4
f : α → β
m : ι → OuterMeasure α
s : Set β
⊢ ((map f) (⨆ i, m i)) s = (⨆ i, (map f) (m i)) s
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
hJ : M.Indep J
e : α
heJ : e ∈ M.closure J
heI : e ∈ I
⊢ e ∈ J
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0
hQ : Q ≠ 0
⊢ 0 < ↑P.natDegree - ↑Q.natDegree
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁷ : Countable ι
f✝ g✝ : α✝ → β
mα : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
α : Type u_5
E : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : AddGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : PseudoMetrizableSpace E
g f : α → E
hg : Measurable g
φ : ℕ → α →ₛ E
hφ : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(φ n) x) atTop (𝓝 (f x))
⊢ Measurable (g + f)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s
⊢ s ^ m ⊆ s ^ m
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι)) volume volume
v : ι → ℝ
⊢ 0 ≤ ∑ x : ι, v x ^ 2
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ 0 < -a ↔ a < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
l : Filter γ
u : γ → α
v : α → β
hv : Monotone v
hl : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l u
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l (v ∘ u)
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
h : ker f ⊔ ker g = ⊤
⊢ range (f.prod g) = (range f).prod (range g)
a m n : ℤ
ha : a ≠ 0
h : a * m ∣ a * n
⊢ m ∣ n
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ dist ((AffineMap.homothety p₁ c) p₂) p₁ = ‖c‖ * dist p₁ p₂
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
N : Type u_6
AddCommGroup N
TopologicalSpace N
TopologicalAddGroup N
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
w : MeasureTheory.VectorMeasure α N
h : v ≪ᵥ w
⊢ v ≪ᵥ -w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
β : X ≅ Z
⊢ α ≪≫ α.symm ≪≫ β = β
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : Differentiable 𝕜 fun y => -f y
⊢ Differentiable 𝕜 f
f : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
⊢ ∃! p, ∃ (hp : Fact (Nat.Prime p)), f.equiv (Rat.MulRingNorm.mulRingNorm_padic p)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a : α
ha : 0 < a
⊢ (Ioi a)⁻¹ = Ioo 0 a⁻¹
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₂ l l₁ : List α}, l₂ ⊆ l → l₁.Disjoint l → l₁.Disjoint l₂
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
h : s ∈ 𝓝[t] a
⊢ 𝓝[t] a ≤ 𝓝[s] a
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
B : ι → Submodule R A
self : SubmodulesRingBasis B
i : ι
⊢ ∃ j, ↑(B j) * ↑(B j) ⊆ ↑(B i)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
e : A ≅ B
⊢ e.inv.hom₁ ≫ e.hom.hom₁ = 𝟙 B.obj₁
α : Type u_1
s✝ : HeapNode α
n : Nat
res : Heap α
a : α
c s : HeapNode α
⊢ (toHeap.go (node a c s) n res).realSize = (node a c s).realSize + res.realSize
P : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : P.toProperty.RespectsIso
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsAffine Z
⊢ P (f ≫ g) ↔ P g
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
⊢ AffineSubspace.directionOfNonempty h = s.direction
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖ ≤ |∫ (x : ℝ) in a..b, ‖f x‖ ∂μ|
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
s : NonUnitalSubring R
t : NonUnitalSubring S
⊢ ↑(s.prod t) = ↑s ×ˢ ↑t
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
x y : αᵐᵒᵖ
⊢ dist (MulOpposite.unop x) (MulOpposite.unop y) = dist x y
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1
g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)
obs : ∀ (x : ℝ), intervalIntegral g 0 x volume = x ^ p / p
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
Ω : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁹ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁸ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁷ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝⁶ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝⁵ : TopologicalSpace Ω
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : BoundedSMul R ℝ≥0
μ : FiniteMeasure Ω
c : R
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), c • ↑(f ω) ∂↑μ = c • ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ
α : Type u_1
Nontrivial α
DecidableEq α
x : α
⊢ ∃ y, y ≠ x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ DenseEmbedding Subtype.val
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
s : S.obj (op α)
β : Type u
f : β ⟶ α
hf : discretePresieve α f
⊢ S.map f.op (typesGlue S hs α (eval S α s)) = S.map f.op s
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
H : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
⊢ ∃ x ∈ s, ClusterPt x l
D : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
i : D.J
⊢ D.oneHypercover.f i = D.ι i
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b
x : α
⊢ {b}ᶜ ∈ 𝓝 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →L[𝕜] E
hT : (↑T).IsSymmetric
x : E
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪T x, x⟫_𝕜 = ⟪T x, x⟫_𝕜
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h₁ : k ∣ m
h₂ : k ∣ n
H : m ≤ n
⊢ k ∣ m - n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
π : α → β
s : Set β
t : Set α
a : { x // x ∈ t }
hs : s ∈ 𝓝 (π ↑a)
⊢ π ⁻¹' s ∈ 𝓝[t] ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ s ⊆ f ⁻¹' Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
One β
l : Filter α
c : β
hc : c ≠ 1
s t : Set α
⊢ ((s.mulIndicator fun x => c) =ᶠ[l] t.mulIndicator fun x => c) ↔ s =ᶠ[l] t
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : DifferentiableOn ℝ f s
hs : μ s = 0
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t (δ A) → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + 1) * μ t
⊢ μ (f '' s) ≤ 0
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hst : f =ᵐ[μ.restrict s] g
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
α : Type u
R : α → α → Prop
l₁ l₂ : List α
⊢ List.Chain' R (l₁ ++ l₂) ↔
  List.Chain' R l₁ ∧ List.Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
Nontrivial ι
i : ι
⊢ Function.Surjective ⇑(b.coord i)