ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
f : M → N
g : N → P
g' : P → P'
inst✝¹ : Zero P
inst✝ : Zero P'
exact : Exact f g
inj : Injective g'
h0 : g' 0 = 0
x : N
H : x ∈ Set.range f
⊢ (g' ∘ g) x = 0
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : r.gcd s = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : m.gcd (r * s) = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = m * (r * s)
⊢ False
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U = ⨆ i, ↑↑i
h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U
n : ↑s → ℕ
this : Finite ↑s
val✝ : Fintype ↑s
i : ↑s
hn : (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ (Finset.univ.sup n - n i + n i) * x) = 0
⊢ n i ≤ Finset.univ.sup n
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℕ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
s : R
n : ℕ
hn : s ≤ n • r
⊢ ∀ᶠ (a : α) in l, s ≤ f a • r
R : Type u_9
M : Type u_10
Semiring R
Subsingleton R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Subsingleton M
k : Type u₁
G : Type u₂
A : Type u_3
H : Type u_4
F : Type u_5
CommSemiring k
Semiring A
Algebra k A
AddMonoid G
AddMonoid H
FunLike F G H
AddMonoidHomClass F G H
f : F
r : k
⊢ AddMonoidAlgebra.mapDomain (⇑f) ((algebraMap k (AddMonoidAlgebra A G)) r) = (algebraMap k (AddMonoidAlgebra A H)) r
ctx : Nat.Linear.Context
a b c d : Nat.Linear.Expr
h : a.toNormPoly.cancel b.toNormPoly = (c.toPoly, d.toPoly)
⊢ (Nat.Linear.Expr.denote ctx a = Nat.Linear.Expr.denote ctx b) =
  (Nat.Linear.Expr.denote ctx c = Nat.Linear.Expr.denote ctx d)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
FunLike F α β
HeytingAlgebra α
HeytingAlgebra β
HeytingHomClass F α β
f : F
a : α
⊢ f aᶜ = (f a)ᶜ
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
e : M₁ ≃L[R₁] M₂
c : R₁
x : M₁
⊢ e (c • x) = c • e x
m : ℕ
h : m ≠ 0
n : ℕ
⊢ (m <<< n).size = m.size + n
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : D
⊢ i.essImageInclusion.map (i.toEssImage.map ((NatIso.ofComponents (fun X => (asIso ((reflectorAdjunction i).counit.app X)).symm) ⋯).hom.app X) ≫ (NatIso.ofComponents equivEssImageOfReflective_counitIso_app ⋯).hom.app (i.toEssImage.obj X)) = i.essImageInclusion.map (𝟙 (i.toEssImage.obj X))
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
r s : R
⊢ (Polynomial.monomial n) (r + s) = (Polynomial.monomial n) r + (Polynomial.monomial n) s
α : Type u
i j : ℕ
hj : 0 < j
xs : List α
hi : i < xs.length
⊢ (List.dropSlice i j xs).length < xs.length
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Memℒp (f n) p μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
⊢ MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f Filter.atTop g ∧ MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ ↔
  Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - g) p μ) Filter.atTop (𝓝 0)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
ih : ∀ (x : ℤ_[p]), ↑p ^ n ∣ x - ↑(x.appr n)
x : ℤ_[p]
h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0
c : ℤ_[p]
hc : x - ↑(x.appr n) = ↑p ^ n * c
⊢ ↑p ^ (n + 1) ∣ x - ↑(x.appr n) - ↑p ^ n * (toZMod ↑(unitCoeff h) * 0 ^ ((x - ↑(x.appr n)).valuation - ↑n).natAbs).cast
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
h : a * b ∣ c
⊢ b ∣ c / a
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addPrehaar (↑K₀) U (K₁ ⊔ K₂) ≤
  MeasureTheory.Measure.haar.addPrehaar (↑K₀) U K₁ + MeasureTheory.Measure.haar.addPrehaar (↑K₀) U K₂
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys : List α
f : α → List β
⊢ (xs ++ ys).bind f = xs.bind f ++ ys.bind f
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
I : Box ι
π : Prepartition I
p : ι × ℝ
s : Finset (ι × ℝ)
a✝ : p ∉ s
ihp : π ⊓ splitMany I s = π.biUnion fun J => splitMany J s
⊢ π ⊓ splitMany I (insert p s) = π.biUnion fun J => splitMany J (insert p s)
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
F : Set G
hF : IsClosed F
⊢ F + closure {0} = F
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
h_ne : gaussSum χ e ≠ 0
⊢ (ZMod.unitsMap hd).ker ≤ (MulChar.toUnitHom χ).ker
α : Type u_1
Preorder α
s : LowerSet α
a : α
⊢ s.sdiff {a} = s.erase a
R : Type u_1
CommRing R
x : R
B : Type u_2
CommRing B
Algebra R B
IsLocalization.Away x B
d : ℤ
⊢ selfZPow x B d * selfZPow x B (-d) = 1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {p | edist p.1 p.2 < ↑ε}
α : Type u_1
R : Type u_2
LinearOrderedField R
Archimedean R
f : α → ℚ
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑(f n)) l Filter.atBot ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x_fst : E
x_snd : F
hx : (x_fst, x_snd) ∈ g
hx_fst : x_fst ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑g.toLinearPMap y = (x_fst, x_snd).2
l : List ℤ
n : ℤ
⊢ l.sum % n = (List.map (fun x => x % n) l).sum % n
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
⊢ HasConstantSpeedOnWith f s 0 ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, edist (f x) (f y) = 0
α : Type u_1
le : α → α → Bool
a : α
res : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α
n : Nat
s : Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode α
⊢ Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode.WF le a s n →
  Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le s.rank res →
    Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le 0 (Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode.toHeap.go s s.rank res)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ⟪-x, y⟫_𝕜 = -⟪x, y⟫_𝕜
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
y : E
hy : y ∈ (convexHull ℝ) s
x' : E
hx' : x' ∈ s
y' : E
hy' : y' ∈ s
H : dist x y ≤ dist x' y'
⊢ ENNReal.ofReal (dist x' y') ≤ EMetric.diam s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = i₁ ≫ f'
e₂ : g = i₂ ≫ g'
⊢ P (pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
h : s.Finite
a : α
t : Set α
hat : a ∉ t
a✝ : t.Finite
ht' : t.encard < ⊤
⊢ t.encard + 1 < ⊤
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ (G.singletonSubgraph v).Connected
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁸ : OrderedRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : AddTorsor V P
inst✝⁴ : AddCommGroup V'
inst✝³ : Module R V'
inst✝² : AddTorsor V' P'
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
ι : Type u_6
p : ι → P
ha : AffineIndependent R p
w w₁ w₂ : ι → R
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
i : ι
his : i ∈ s
r : R
hs : w₁ i ≠ w₂ i ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1
hr : ∀ i ∈ s, w i = (r • (w₂ - w₁) + w₁) i
hz : (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂) = 0
hw₁w₂ : ∑ i ∈ s, (w₁ - w₂) i = 0
⊢ w₁ i = w₂ i
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬⊥ < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι
⊢ (b.repr x) i = (b.repr 0) i
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ Function.Surjective Submodule.Quotient.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ : Set ℕ
inst✝² : Infinite ↑s✝
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s✝
s : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑s
⊢ Nat.Subtype.toFunAux x = (Finset.filter (fun x => x ∈ s) (Finset.range ↑x)).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
a0 : a ≠ 0
b : Ordinal.{u_4}
⊢ a * (a * b / a) = a * b
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
Fintype σ
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.esymm σ R n).IsSymmetric
n : ℕ
x : Fin n
y : Fin (n + 1)
h : y ≤ x.castSucc
h' : y.succAbove x ≠ 0 := ⋯
⊢ (y.succAbove x).pred h' = x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : ¬C (p * q).content = 0
⊢ C (p * q).content * (p * q).primPart = C (p * q).content * (p.primPart * q.primPart)
I : Type u₁
J : Type u₂
e : I ≃ J
⊢ (CategoryTheory.Discrete.equivalence e).inverse = CategoryTheory.Discrete.functor (CategoryTheory.Discrete.mk ∘ ⇑e.symm)
a b c : Prop
⊢ (a ↔ (b ↔ c)) ↔ (b ↔ (a ↔ c))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x y : 𝕜
⊢ (fderiv 𝕜 f x) y = deriv f x * y
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ (f z - f x) / (z - x) < (f z - f y) / (z - y)
α : Type u_1
CommMonoid α
a : α
n : ℕ
⊢ Associates.mk (a ^ n) = Associates.mk a ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := B.toSeminormFamily
h : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' : (Filter.pi fun x => 𝓝 0).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun If => If.1.pi fun i => Metric.ball 0 (If.2 i)
h'' : (Filter.comap (fun x y => (B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun i => (fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)
U : Set E
s : Finset F
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
x : E
hx : ∀ i ∈ s, ‖(B x) i‖ < r
⊢ (s.sup p) x < r
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
x : α
y : ℤ
⊢ round (↑y + x) = y + round x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : 0 < a + b
⊢ a / (a + b) + b / (a + b) = 1
α : Type u
s : Set α
t : Set (Set α)
h₁ : Set.univ ∈ t
h₂ : ∀ {x y : Set α}, x ∈ t → x ⊆ y → y ∈ t
h₃ : ∀ {x y : Set α}, x ∈ t → y ∈ t → x ∩ y ∈ t
⊢ s ∈ { sets := t, univ_sets := h₁, sets_of_superset := h₂, inter_sets := h₃ } ↔ s ∈ t
α : Type u
Semiring α
x : α
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, (x + 1) ^ i) * x + 1 = (x + 1) ^ n
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
⊢ (Associates.mk 0).factors.prod = Associates.mk 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
ha : IsGreatest s a
hb : IsLeast t b
⊢ IsGreatest (Set.image2 f s t) (f a b)
μ : YoungDiagram
c : ℕ × ℕ
⊢ c ∈ μ.cells ↔ c ∈ μ
α : Type u
Preorder α
P : α → Prop
x₀ : α
hP : Monotone P
⊢ (∀ (x : α), x ≥ x₀ → P x) ↔ P x₀
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace β
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
OrderTopology β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r : β
⊢ StrictConvex 𝕜 (Set.Ioi r)
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)
intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)
half_pi_pos : 0 < π / 2
cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y
sin_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ interior U → 0 < sin y
tan_cts_U : ContinuousOn tan U
tan_minus_id_cts : ContinuousOn (fun y => tan y - y) U
deriv_pos : ∀ y ∈ interior U, 0 < deriv (fun y' => tan y' - y') y
mono : StrictMonoOn (fun y => tan y - y) (Ico 0 (π / 2))
⊢ x < tan x
θ : Real.Angle
⊢ (↑(π / 2) - θ).cos = θ.sin
α : Type u
s t : Set α
⊢ Disjoint s t ∨ (s ∩ t).Nonempty
X Y Z W : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ W
cond' : f ≫ g = 0
⊢ SemiNormedGrp.explicitCokernelDesc cond' ≫ h = SemiNormedGrp.explicitCokernelDesc ⋯
R : Type u
Semiring R
S : Type v
Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
r : R
hp : p ∈ Polynomial.lifts f
⊢ Polynomial.C (f r) * p ∈ Polynomial.lifts f
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
⊢ (CategoryTheory.Limits.limit F).str = ⨅ j, TopologicalSpace.induced (⇑(CategoryTheory.Limits.limit.π F j)) (F.obj j).str
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε} ∈ uniformity ↥(lp E p)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, F x ∈ Metric.closedBall f ε
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddZeroClass G
f : AddMonoidAlgebra k G
r : k
x : G
⊢ (f * AddMonoidAlgebra.single 0 r) x = f x * r
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s✝ t s : Set α
⊢ Injective Subtype.val
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
a : α
l : List α
⊢ (List.orderedInsert r a l).Perm (a :: l)
α : Type u
x : α
l : List α
⊢ (x :: l).cyclicPermutations = (List.zipWith (fun x x_1 => x ++ x_1) (x :: l).tails (x :: l).inits).dropLast
m n : ℕ
f : Fin n → Fin m
⊢ ↑(finFunctionFinEquiv f) = ∑ i : Fin n, ↑(f i) * m ^ ↑i
α : Type u
TopologicalSpace α
Group α
ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s : Set α
a : α
b : α
h : s ∈ 𝓝 b
⊢ s * {a} ∈ 𝓝 (b * a)
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
F : Type u_4
NormedLatticeAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : MeasureTheory.Supermartingale f ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Supermartingale (c • f) ℱ μ
a : ℤ
⊢ 0 < a ↔ 1 ≤ a
a : ℝ
ha : a < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi c, t ^ a = -c ^ (a + 1) / (a + 1)
R : Type u_1
m : Type u_2
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
A : Matrix m (n₁ ⊕ n₂) R
i : m
j : n₁
⊢ A.toColumns₁ i j = A i (Sum.inl j)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Ioi a)
⊢ Subtype.val '' Set.Iio b = Set.Ioo a ↑b
n : Nat
a : Fin (n + 1)
⊢ a.castSucc = 0 ↔ a = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
F : ℕ → R := fun n => ∑' (e : ℕ), f (n ^ e)
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (∏ b ∈ n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F b) (∑' (n : ℕ), f n) < ε
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0
x y : ℝ≥0∞
h : x < y
⊢ (fun x => ↑a * x) x < (fun x => ↑a * x) y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x₀ : M
y₀ : M'
⊢ mfderiv I' (I.prod I') (fun y => (x₀, y)) y₀ = ContinuousLinearMap.inr 𝕜 (TangentSpace I x₀) (TangentSpace I' y₀)
R : Type u
Ring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ ↑(p.restriction.coeff n) = p.coeff n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Finset β
f : β → α
⊢ ∏' (x : { x // x ∈ s }), f ↑x = ∏ x ∈ s, f x
x : EReal
⊢ x + ⊤ = ⊤ ↔ x ≠ ⊥
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x✝ : X
s✝ : Set X
x : X
s : Set X
h : s ∈ 𝓝 x
h' : RegularSpace X ↔ ∀ (x : X), ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ t ∈ 𝓝 x, IsClosed t ∧ t ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, IsClosed t ∧ t ⊆ s
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p : P1
v : V1
c : k
⊢ (lineMap p (v +ᵥ p)) c = c • v +ᵥ p
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h_deg_le : p.degree ≤ ⊥
coeff_ne_zero : p.coeff (WithBot.unbot' 0 ⊥) ≠ 0
⊢ p.degree = ⊥
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
f : ι → MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum f) s = ∑' (i : ι), (f i) s
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
SecondCountableTopology X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ ⋃ n, u n = Set.univ ∧ ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.IntegrableOn f (u n) μ
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
ι : Type u_5
TopologicalSpace ι
f : α → β
g : ι → α
hf : LowerSemicontinuous f
hg : Continuous g
⊢ LowerSemicontinuous fun x => f (g x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
CategoryTheory.BraidedCategory E
F : CategoryTheory.BraidedFunctor C D
G : CategoryTheory.BraidedFunctor D E
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (F.comp G).map f = G.map (F.map f)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
h : ∀ i ∈ s, (H i).FiniteIndex → s.card < (H i).index
⊢ False
α : Type u_1
f : α → α
x : α
g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (Function.minimalPeriod f x).Coprime (Function.minimalPeriod g x)
⊢ Function.minimalPeriod (f ∘ g) x = Function.minimalPeriod f x * Function.minimalPeriod g x
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra A B
Algebra R B
IsScalarTower R A B
x : A
p : R[X]
h : Function.Injective ⇑(algebraMap A B)
⊢ (Polynomial.aeval ((algebraMap A B) x)) p = 0 ↔ (Polynomial.aeval x) p = 0
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
C₁ C₂ : ℝ
hg : ‖g‖ ≤ C₂
hf : ‖f‖ ≤ C₁
⊢ ‖g.comp f‖ ≤ C₂ * C₁
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
r : ↑Γ(↑U, ⊤)
⊢ X.basicOpen ((Hom.appIso (X.ofRestrict ⋯) ⊤).inv r) = X.basicOpen ((𝟙 (X.presheaf.obj (op (⋯.functor.obj ⊤)))) r)
k n : ℕ
⊢ (∀ (a b : ℕ), a + b = n → Pairwise (fun a b => Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun i x x_1 => x < x_1) a b) (antidiagonalTuple k b)) ∧ Pairwise (fun a₁ a₂ => ∀ a ∈ antidiagonalTuple k a₁.2, ∀ a_2 ∈ antidiagonalTuple k a₂.2, a₁.1 < a₂.1 ∨ a₁.1 = a₂.1 ∧ Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun i x x_1 => x < x_1) a a_2) (antidiagonal n)
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
C : ℝ
f : ℕ → α
hu₂ : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 / 2 ^ n
a : α
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ dist (f n) a ≤ C / 2 ^ n
β : Type v
γ : Type u_3
OmegaCompletePartialOrder β
OmegaCompletePartialOrder γ
f : β →𝒄 γ
⊢ f.comp OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.id = f
b m n : ℕ
h : m ≠ 0 ∨ 1 < b ∧ n ≠ 0
hbn : ¬(1 < b ∧ n ≠ 0)
hm : m ≠ 0
⊢ log b n = m ↔ b ^ m ≤ n ∧ n < b ^ (m + 1)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
r : R
f : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
h0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
⊢ cfcₙ (fun x => r * f x) a = r • cfcₙ f a
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃+ M₂
as : List R
bs : List S
h : List.Forall₂ (fun r s => ∀ (x : M), e (r • x) = s • e x) as bs
⊢ IsRegular M as ↔ IsRegular M₂ bs
S : Type u_2
Ring S
K : Type u_6
Field K
Algebra K S
x : S
⊢ LinearIndependent K fun i => x ^ ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ≃ β
⊢ f.symm.toPEquiv = f.toPEquiv.symm
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⟶ R₂
CategoryTheory.IsIso ((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α)
⊢ CategoryTheory.IsIso α
θ ψ : ℝ
Hcos : Real.cos θ = Real.cos ψ
Hsin : Real.sin θ = Real.sin ψ
⊢ ↑θ = ↑ψ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
⊢ Smooth I I id
α : Type u
β : Type v
R : α → α → Prop
S : β → β → Prop
f : α → β
H : ∀ (a b : α), S (f a) (f b) → R a b
l : List α
p : List.Chain' S (List.map f l)
⊢ List.Chain' R l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ ∀ {X Y : Comon_ C} (f : X ⟶ Y), (Comon_.forget C).map f = f.hom
R : Type u_3
CommRing R
n : ℕ
⊢ (↑n).imI = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ContinuousAt f x
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun x => a
A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 (0 + 1 • a))
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)
x y : ℂ
⊢ Complex.exp (x + y * Complex.I) = Complex.exp x * (Complex.cos y + Complex.sin y * Complex.I)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (Comon_.forgetMonoidal C).toFunctor = Comon_.forget C
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a b : α
Subsingleton αˣ
h : ∀ (c : α), c ∣ a ↔ c ∣ b
⊢ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α
⊢ (-s).singularPart μ = -s.singularPart μ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x
n : N
x : CliffordAlgebra Q
⊢ ((CliffordAlgebra.foldr Q f hf) n) (CliffordAlgebra.reverse x) = ((CliffordAlgebra.foldl Q f hf) n) x