ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
F_le_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ENNReal.ofReal ‖F i a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)
⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n x‖) atTop (𝓝 (ENNReal.ofReal ‖f x‖)) → (∀ (i : ℕ), ENNReal.ofReal ‖F i x‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound x)) → ENNReal.ofReal ‖f x‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound x)
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α
⊢ dite P A B = c ↔ (∃ h, A h = c) ∨ ∃ h, B h = c
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
h : DiffContOnCl ℂ f (Metric.ball c R)
hw : w ∈ Metric.ball c R
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * Complex.I) • f w
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : (multiplicity p (a * b)).Dom
hdiva : p ^ (multiplicity p a).get ⋯ ∣ a
hdivb : p ^ (multiplicity p b).get ⋯ ∣ b
hpoweq : p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) = p ^ (multiplicity p a).get ⋯ * p ^ (multiplicity p b).get ⋯
⊢ (multiplicity p (a * b)).get h = (multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯
α : Type u_1
M : Matroid α
Y : Set α
I X : Set ↑Y
⊢ (M.restrictSubtype Y).Basis I X ↔ M.Basis' ↑I ↑X
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j₁ j₂ j₃ : J
f₁₂ : j₁ ⟶ j₂
f₃₂ : j₃ ⟶ j₂
⊢ CategoryTheory.Zigzag j₁ j₃
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
F : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace F
f : E → F
C : ℝ≥0
t : Set E
h : LipschitzOnWith C f t
g : α → E
s : Set α
hg : MapsTo g s t
⊢ eVariationOn (f ∘ g) s ≤ ↑C * eVariationOn g s
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s✝¹ t : Set α✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι'
inst✝² : Nonempty ι'
inst✝¹ : IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Order.Frame α
s✝ : Set ι
f : ι → ι' → α
a : ι
s : Set ι
a✝ : a ∉ s
h✝ : s.Finite
ihs : (∀ i ∈ s, Monotone (f i)) → ⨆ j, ⨅ i ∈ s, f i j = ⨅ i ∈ s, ⨆ j, f i j
hf : ∀ i ∈ insert a s, Monotone (f i)
⊢ ⨆ j, ⨅ i ∈ insert a s, f i j = ⨅ i ∈ insert a s, ⨆ j, f i j
α : Type u_1
a b : α
cmp : α → α → Ordering
h : Batteries.RBNode.cmpEq cmp a b
t : Batteries.RBNode.Path α
⊢ Batteries.RBNode.Path.RootOrdered cmp t a ↔ Batteries.RBNode.Path.RootOrdered cmp t b
α : Type u
s : Set α
⊢ s.Nonempty → ¬s ⊆ ∅
s : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (-1) ^ k / ↑k.factorial
n : ℕ
⊢ (∑ x ∈ Finset.range (n + 1), (-1) ^ x * ↑((x + 1).ascFactorial (n - x))) / ↑n.factorial = s (n + 1)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ ↑v ∅ = 0
α : Type u
Subsingleton α
⊢ Function.Injective List.length
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))
⊢ ↑1 = 1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder β
l : Filter α
f₁ f₂ : α → β
h : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
⊢ Filter.Tendsto f₂ l Filter.atBot → Filter.Tendsto f₁ l Filter.atBot
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ leftHomologyMap' (-φ) h₁ h₂ = -leftHomologyMap' φ h₁ h₂
α : Type u
Group α
a : α
⊢ (Equiv.mulLeft a)⁻¹ = Equiv.mulLeft a⁻¹
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
a : R
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap (a • φ) = a • CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap φ
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
ι : Type u_2
α : Type u_3
F : ι → α → G
f : α → G
p : Filter ι
s : Set α
⊢ TendstoUniformlyOn F f p s ↔ ∀ u ∈ 𝓝 1, ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ a ∈ s, F i a / f a ∈ u
a b : ℝ≥0∞
⊢ a - b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∧ b ≠ ⊤
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
t : Affine.Triangle R P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
this : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1 := LinearOrderedRing.decidableLT
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h3 : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
r₁ : R
hr₁0 : 0 < r₁
hr₁1 : r₁ < 1
h₁ : Sbtw R (t.points i₂) ((lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁) (t.points i₃)
r₂ : R
hr₂0 : 0 < r₂
hr₂1 : r₂ < 1
h₂ : Sbtw R (t.points i₁) ((lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂) (t.points i₃)
w : Fin (2 + 1) → R
hw : ∑ i : Fin (2 + 1), w i = 1
hp : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R (Set.range t.points)
h₁' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {t.points i₁, (lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁}
h₂' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {t.points i₂, (lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂}
⊢ Sbtw R (t.points i₁) ((Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w) ((lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N' : LieSubmodule R L M'
m : M
⊢ m ∈ LieSubmodule.comap f N' ↔ f m ∈ N'
p : ℝ × ℝ
⊢ Complex.measurableEquivRealProd.symm p = { re := p.1, im := p.2 }
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
Apos : 0 ≤ A
⊢ 0 ≤ NumberField.house.c₂ K * A
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
f : ι →₀ R
i : ι
val✝ : Fintype ι
⊢ ∑ d : ι, (f d • b.dualBasis d) (b i) = f i
n k : ℕ
hk : n + 1 < k + 1
hnk : n < k
hnk1 : n < k + 1
⊢ (n + 1).choose (k + 1) = 0
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
⊢ StrictMono fun a => a ^ n
F : Type u_1
Field F
⊢ IsSolvable (Polynomial.Gal 1)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
S : IntermediateField F K
Algebra.IsAlgebraic F ↥S
IsPurelyInseparable F E
⊢ Field.sepDegree E ↥(IntermediateField.adjoin E ↑S) = Field.sepDegree F ↥S
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.L₂'.f = S.δ
R : Type u
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₂
f : R →+* S₂
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom f 0) p = f (MvPolynomial.constantCoeff p)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u_1
Q : β → Prop
u v : β → Cofix F α
h : ∀ (x : β), Q x → ∃ a f' f₀ f₁, (u x).dest = MvQPF.abs ⟨a, (P F).appendContents f' f₀⟩ ∧ (v x).dest = MvQPF.abs ⟨a, (P F).appendContents f' f₁⟩ ∧ ∀ (i : (P F).last.B a), ∃ x', Q x' ∧ f₀ i = u x' ∧ f₁ i = v x'
x✝¹ : β
Qx : Q x✝¹
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun w z => ∃ x', Q x' ∧ w = u x' ∧ z = v x'
x y : Cofix F α
x✝ : R x y
x' : β
Qx' : Q x'
xeq : x = u x'
yeq : y = v x'
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f₀ f₁ : (P F).last.B a → Cofix F α
ux'eq : (u x').dest = MvQPF.abs ⟨a, (P F).appendContents f' f₀⟩
vx'eq : (v x').dest = MvQPF.abs ⟨a, (P F).appendContents f' f₁⟩
h' : ∀ (i : (P F).last.B a), ∃ x', Q x' ∧ f₀ i = u x' ∧ f₁ i = v x'
⊢ LiftR (fun {i} => α.RelLast R) x.dest y.dest
M : Type u
AddLeftCancelMonoid M
a b : M
⊢ a ≠ a + b ↔ b ≠ 0
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝²¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝²⁰ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹⁹ : Category.{?u.362828, u_3} E
inst✝¹⁸ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁷ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁶ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹⁵ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹⁴ : G.CommShift ℤ
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : HasZeroObject E
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : Preadditive E
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive
inst✝⁴ : Pretriangulated C
inst✝³ : Pretriangulated D
inst✝² : Pretriangulated E
inst✝¹ : F.IsTriangulated
inst✝ : F.mapArrow.EssSurj
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
X Y : C
f : X ⟶ Y
e₁ : F.obj X ≅ T.obj₁
e₂ : F.obj Y ≅ T.obj₂
w : F.map f ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ T.mor₁
W : C
g : Y ⟶ W
h : W ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
H : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
⊢ ∃ T', ∃ (_ : T' ∈ distinguishedTriangles), Nonempty (F.mapTriangle.obj T' ≅ T)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
⊢ ↑(Set.projIcc a b h x) = max a (min b x)
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ha : AddLECancellable a
hc : AddLECancellable c
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ b
⊢ a ≤ b - c ↔ c ≤ b - a
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b : α
⊢ b ∣ lcm a b
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
⊢ (algebraMap K L).fieldRange ≤ S.toSubfield
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n ℝ
hM : M.PosDef
x : n → ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < x ⬝ᵥ M *ᵥ x
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i : ι
r : c.Rel i (c.next i)
⊢ C.dFrom i = C.d i (c.next i) ≫ (C.xNextIso r).inv
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec₂ fun x x_1 => HOrElse.hOrElse x fun x => x_1
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
⊢ f₁ ≤ f₂ → g₁ ≤ g₂ → f₁ • g₁ ≤ f₂ • g₂
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ IsLieAbelian ↥↑(D k I) ↔ D (k + 1) I = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
K : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
s : Finset E
hs : s ∈ K.faces
⊢ ↑s ⊆ K.space
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
⊢ IsLocalDiffeomorph I J n f ↔ ∀ (x : M), IsLocalDiffeomorphAt I J n f x
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ (b - a) / 8 - (sin (4 * b) - sin (4 * a)) / 32 = ∫ (x : ℝ) in a..b, ((1 - cos (2 * x)) / 2) ^ 1 * ((1 + cos (2 * x)) / 2) ^ 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
⊢ ⇑0 = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
q p : R[X]
hp : (q * q * p).Separable
⊢ IsCoprime q q
R : CommRingCat
⊢ ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec R).toPresheafedSpace = PrimeSpectrum ↑R
x : ℝ≥0
⊢ x ^ 2 = x ^ 2
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor D T
X : T
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.Comma (F.comp (CategoryTheory.Functor.id T)) (CategoryTheory.Functor.fromPUnit X)}
  (f : X_1 ⟶ Y), ((CategoryTheory.CostructuredArrow.toOver F X).map f).left = F.map f.left
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ
a : ℝ
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Real.arsinh (f x)) l (𝓝 (Real.arsinh a))
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
f : F
S : NonUnitalSubalgebra R B
hf : ∀ (x : A), f x ∈ S
⊢ Function.Injective ⇑(NonUnitalAlgHom.codRestrict f S hf) ↔ Function.Injective ⇑f
J : Type u
inst✝ : Category.{?u.10050, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
X✝ Y✝ : J
g : X✝ ⟶ Y✝
x : F.obj X✝
h : ∀ (i_1 : X✝ ⟶ i), x ∈ F.map i_1 ⁻¹' s
⊢ ∀ (i_1 : Y✝ ⟶ i), F.map g x ∈ F.map i_1 ⁻¹' s
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α
f : α → β
hf : ∀ (a : α), ‖f a‖₊ = ‖a‖₊
⊢ ‖A.map f‖₊ = ‖A‖₊
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X
Qs : (Q : DiscreteQuotient X) → Quotient Q.toSetoid
compat : ∀ (A B : DiscreteQuotient X) (h : A ≤ B), ofLE h (Qs A) = Qs B
H₁ : ∀ (Q₁ Q₂ : DiscreteQuotient X), Q₁ ≤ Q₂ → Q₁.proj ⁻¹' {Qs Q₁} ⊆ Q₂.proj ⁻¹' {Qs Q₂}
x : X
hx : x ∈ ⋂ Q, Q.proj ⁻¹' {Qs Q}
⊢ ∃ x, ∀ (Q : DiscreteQuotient X), Q.proj x = Qs Q
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
⊢ (AlgHom.id R A).FinitePresentation
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x y : M × ↥S
⊢ (f.lift hg) (f.mk' x.1 x.2) = (f.lift hg) (f.mk' y.1 y.2) ↔ g (x.1 * ↑y.2) = g (y.1 * ↑x.2)
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
m n : ℕ
h : m ≠ 0 → n ≠ 0 → m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hmn : m.Coprime n
hm : m ≠ 0
⊢ f (m * n) = f m * f n
α : Sort u
r : α → α → Prop
self : IsIrrefl α r
a : α
⊢ ¬r a a
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
inst✝⁵ : Fintype α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
n✝ : ℕ
a b c : α
s : Finset α
inst✝² : DecidableRel H.Adj
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : DecidableEq β
e : α ≃ β
n : ℕ
⊢ (SimpleGraph.map e.toEmbedding G).cliqueSet n = ⇑{ toFun := map e.toEmbedding, inj' := ⋯ } '' G.cliqueSet n
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.IsRightDescent w i ↔ cs.length (w * cs.simple i) + 1 = cs.length w
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
i : ℕ
IH : ∀ (h : i < c.boundaries.card), (take i c.blocks).sum = ↑(c.boundary ⟨i, h⟩)
h : i + 1 < c.boundaries.card
⊢ (take (i + 1) c.blocks).sum = ↑(c.boundary ⟨i + 1, h⟩)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
⊢ StrictMono (⇑toLex ∘ Sum.inl)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : μ.Regular
⊢ μ.InnerRegularWRT IsCompact IsOpen
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ a < toIocMod hp a b
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Semiring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0
x✝ : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : i + j = p
⊢ x ^ m ∣ x ^ (i, j).1 * y ^ (i, j).2
k : Type u
inst✝² : Field k
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsAlgClosed k
f : R →+* k
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
x : k
hx : (map f p).IsRoot x
⊢ eval₂ f x p = 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ o.oangle (r • x) y = o.oangle (-x) y
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
h : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ μ sᶜ = 1 - μ s
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ multiplicity (Associates.mk a) (Associates.mk b) = multiplicity a b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : E × F
L : Filter (E × F)
⊢ HasFDerivAtFilter Prod.fst (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 E F) p L
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
s : Set E
⊢ (ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • μ) s = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| * μ s
x✝ y x : ℝ
⊢ arccos x = π ↔ x ≤ -1
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
X : C
f : X ≅ s.pt
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.extendIso s f).inv.hom = f.inv
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
⊢ Irreducible p ↔ p ≠ 1 ∧ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → g.natDegree ∉ Ioc 0 (p.natDegree / 2)
G : Type u_1
AddGroup G
Fintype G
x : G
n : ℕ
⊢ n • x = 0 ↔ n.gcd (Fintype.card G) • x = 0
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Iio a ∩ Set.Ioo b c = Set.Ioo b (min a c)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
R : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
x : α
_hx : x ∈ s
⊢ ∏ y ∈ filter (fun x_1 => ⟦x_1⟧ = Quotient.mk'' x) s, f y = ∏ x ∈ filter (fun c' => Quotient.mk'' c' = Quotient.mk'' x) s, f x
Ω : Type u_1
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Fintype α
MeasurableSpace α
DiscreteMeasurableSpace α
X : Ω → α
hX : Measurable X
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ∑ x : α, μ (X ⁻¹' {x}) • ProbabilityTheory.cond μ (X ⁻¹' {x}) = μ
b o : Ordinal.{u}
x : Ordinal.{u} × Ordinal.{u}
⊢ x ∈ Ordinal.CNF b o → x.1 ≤ Ordinal.log b o
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I I' : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
hI' : I' ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
a : R
J : Ideal R
ha : a ≠ 0
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
ha_ne_zero : Associates.mk (Ideal.span {a}) ≠ 0
hJ_ne_zero : Associates.mk J ≠ 0
a' : R
J' : Ideal R
ha' : a' ≠ 0
haJ' : I' = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a')⁻¹ * ↑J'
ha'_ne_zero : Associates.mk (Ideal.span {a'}) ≠ 0
hJ'_ne_zero : Associates.mk J' ≠ 0
⊢ count K v (I * I') = count K v I + count K v I'
ι : Type u
α : ι → Type v
i : ι
l : List ι
f : (i : ι) → α i
⊢ (List.TProd.mk (i :: l) f).2 = List.TProd.mk l f
R : Type u_1
CommRing R
u v w x : Fin 3 → R
⊢ (crossProduct u) v ⬝ᵥ (crossProduct w) x = u ⬝ᵥ w * v ⬝ᵥ x - u ⬝ᵥ x * v ⬝ᵥ w
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
⊢ ⟪↑r • x, y⟫_𝕜 = r • ⟪x, y⟫_𝕜
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
n : ℕ
h : p.natDegree < n
⊢ p.content = (Finset.range n).gcd p.coeff
α : Type u
s : Set α
⊢ IsOpen {u | s ∈ u}ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
hg : Memℒp (↑g) p μ
⊢ toLp (f - g) ⋯ = toLp f hf - toLp g hg
α : Type u_2
l : Filter α
⊢ l ≤ Filter.cofinite ↔ ∀ (x : α), ∀ᶠ (y : α) in l, y ≠ x
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
n : ℕ
hn : n ≤ LieAlgebra.IsKilling.chainLength α β
⊢ LieAlgebra.rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(LieModule.chainTop (⇑α) β)) ≠ ⊥
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s
d : ℕ := finrank 𝕜 F
hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)
e₁ : F ≃L[𝕜] Fin d → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq hd
e₂ : (F →L[𝕜] G) ≃L[𝕜] Fin d → G := (e₁.arrowCongr 1).trans (ContinuousLinearEquiv.piRing (Fin d))
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
h₁ : m.IsCaratheodory s₁
h₂ : m.IsCaratheodory s₂
t : Set α
⊢ m (t ∩ s₁ ∩ s₂) + m ((t ∩ s₁) \ s₂) + (m (t \ s₁ ∩ s₂) + m ((t \ s₁) \ s₂)) = m (t ∩ s₁ ∩ s₂) + m ((t ∩ s₁) \ s₂) + m (t ∩ (s₂ \ s₁)) + m (t \ (s₁ ∪ s₂))
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
Preorder β
f : α → β
l : Filter α
g : δ → α
l' : Filter δ
b : δ
hf : IsExtrFilter f l (g b)
hg : Filter.Tendsto g l' l
⊢ IsExtrFilter (f ∘ g) l' b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
self : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X
⊢ CategoryTheory.IsIso (f.c.app (Opposite.op (⋯.functor.obj U)))
f g : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.codeSupp (f.case g) k =
  Turing.PartrecToTM2.trStmts₁ (Turing.PartrecToTM2.trNormal (f.case g) k) ∪
    (Turing.PartrecToTM2.codeSupp f k ∪ Turing.PartrecToTM2.codeSupp g k)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
⊢ Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : (MvQPF.P F).W α
h : MvQPF.abs ((MvQPF.P F).wDest' x) = MvQPF.abs ((MvQPF.P F).wDest' y)
⊢ MvQPF.WEquiv x y
b x y : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ logb b (x * y) = logb b x + logb b y
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y
this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
this : ∀ (i : (Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).J), IsAffine ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).obj i)
⊢ P f ↔ Q f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) Filter.atTop (𝓝 0)
him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * Complex.I)‖ ≤ C
hz : 0 ≤ z.re
⊢ ‖f z‖ ≤ C
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
k : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ k f
n : ℕ
⊢ ContDiff ℝ k fun y => ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L y)) (f y)
α : Type u_1
a : Part α
ha : a.Dom
⊢ Part.some (a.get ha) = a
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ f = g ↔ ↑↑f =ᵐ[μ] ↑↑g
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
h : AffineIndependent k fun p => ↑p
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ (AffineIndependent k fun p => ↑p) ∧ affineSpan k t = ⊤
α : Type u_1
s : Finset α
r : ℕ
⊢ Set.Sized r {s} ↔ s.card = r
ι : Type u_1
Small.{u, u_1} ι
f : ι → Surreal
⊢ BddBelow (Set.range f)
α : Type u_1
n : ℕ
val : α
⊢ replicate (n + 1) val = (replicate n val).snoc val
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ Filter.Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) s) Filter.atTop (𝓝 (ρ.fst s))