ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.fromTransported e).toFunctor = e.inverse
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
f : ↥(affineSpan 𝕜 s) ≃ₜ ↥(map φ.toAffineMap (affineSpan 𝕜 s)) := (isometryEquivMap φ (affineSpan 𝕜 s)).toHomeomorph
⊢ intrinsicFrontier 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicFrontier 𝕜 s
R' : Type u'
R✝ : Type u
A✝ : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : Semiring A✝
inst✝⁷ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R✝ B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra R✝ C
S✝ : Subalgebra R✝ A✝
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
h : S.toSubring = T.toSubring
x : A
⊢ x ∈ S ↔ x ∈ T
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm ⋯ hμst x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x)
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Ico A B)) l fun i => Set.Ioo (a i) (b i)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
h : WithSeminorms p
⊢ 𝓝 0 = AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter
n : Type u_8
Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ Metric.closedBall 0 r = {x | ∑ i : n, x i ^ 2 ≤ r ^ 2}
x✝ y z a x : ℝ
ha : a < 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => a ^ x) (a ^ x * log a - rexp (log a * x) * sin (x * π) * π) x
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
F✝ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝⁴ : FunLike F✝ α✝ β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α
r : ℝ≥0
hxy : nndist x y ≠ 0
hr : nndist (f x) (f y) = r * nndist x y
⊢ edist (f x) (f y) = ↑r * edist x y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
⊢ map f ↑n = ↑n
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ (tensorLeft X.X).map (coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)) ≫ (M₁.tensorBimod N).actLeft ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) = (tensorLeft X.X).map (coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫ (M₂.tensorBimod N).actLeft
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s₁ s₂ t : Set α
⊢ (s₁ ∩ s₂) ⊼ t ⊆ s₁ ⊼ t ∩ s₂ ⊼ t
R : Type u_1
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ I.radical.minimalPrimes = I.minimalPrimes
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ ↑(lowerClosure s)
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
⊢ x ∈ ↑(lowerClosure s)
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U V : X.Opens
e : V ≤ (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor f).obj U)
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appIso f U).inv ≫
    AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor f).obj U) V e =
  X.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ (s ∩ t).ncard + (s ∪ t).ncard = s.ncard + t.ncard
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
β : Type u_1
s : Finset β
f : n → β → α
i : n
⊢ (∑ x ∈ s, A.cramer fun j => f j x) i = A.cramer (fun j => ∑ x ∈ s, f j x) i
S : Type u_1
R : Type u
M : Type v
CommSemiring S
Semiring R
AddCommMonoid M
Algebra S R
Module S M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
IsScalarTower S R M
IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
⊢ (TrivSqZeroExt.fstHom S R M) x = x.fst
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
hg : StrictMono g
hf : StrictMono f
⊢ StrictMono (g ∘ f)
𝕜✝ : Type u
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type v
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ E✝
F : Type w
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ F
F' : Type x
inst✝⁹ : AddCommGroup F'
inst✝⁸ : Module 𝕜✝ F'
inst✝⁷ : TopologicalSpace F'
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜✝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜✝
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : LocallyCompactSpace E
r : ℝ
rpos : 0 < r
hr : IsCompact (closedBall 0 r)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hC : ∀ (n : ℕ), IsCompact (closedBall 0 (‖c‖ ^ n * r))
hTop : Tendsto (fun n => ‖c‖ ^ n * r) atTop atTop
⊢ ProperSpace E
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : AddCommGroup G
f : α → α
g : α → G
n : ℕ
x : α
⊢ birkhoffSum f g n (f x) - birkhoffSum f g n x = g (f^[n] x) - g x
G : Type u_1
SubtractionMonoid G
a b : G
h : a + b = 0
⊢ a = -b
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
Du : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uE uF uG, uD} D
Eu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uF uG, uE} E
Fu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uG, uF} F
Gu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uF, uG} G
isoD : Du ≃ₗᵢ[𝕜] D
isoE : Eu ≃ₗᵢ[𝕜] E
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : Du → Eu := ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
hfu✝ : fu = ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
gu : Du → Fu := ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
hgu✝ : gu = ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
Bu₀ : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] G := ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
hBu₀ : Bu₀ = ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
Bu : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu := ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
hBu : Bu = ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
Bu_eq : (fun y => (Bu (fu y)) (gu y)) = ⇑isoG.symm ∘ (fun y => (B (f y)) (g y)) ∘ ⇑isoD
Bu_le : ‖Bu‖ ≤ ‖B‖
su : Set Du := ⇑isoD ⁻¹' s
hsu : UniqueDiffOn 𝕜 su
xu : Du := isoD.symm x
hxu : xu ∈ su
xu_x : isoD xu = x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu su
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu su
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu su xu‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
Ngu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu su xu‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g s x‖
NBu : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (Bu (fu y)) (gu y)) su xu‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
h : p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ
⊢ ↑(⟨p, hp⟩ -ᵥ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) = ↑0
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra F K
S : Set E
L : Type u_4
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra L E
inst✝ : IsScalarTower F L E
f : L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral L s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly L s)
L' : IntermediateField F E := (IsScalarTower.toAlgHom F L E).fieldRange
f' : ↥L' →ₐ[F] K := f.comp ↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).symm
s : E
hs : s ∈ S
this✝ : Algebra L ↥L' := (AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).toRingEquiv.toRingHom.toAlgebra
this : IsScalarTower L (↥L') E
⊢ Splits (f'.comp (algebraMap L ↥L')) (minpoly L s)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
CompleteLattice α
a : α
h : ι → ι'
⊢ ⨆ x, a ≤ ⨆ x, a
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx : v ↑p ^ (1 / ↑p) < v ((algebraMap O K) r)
s : O
hy : v ↑p ^ (1 / ↑p) < v ((algebraMap O K) s)
h1p : 0 < 1 / ↑p
⊢ v ↑p ≤ v ↑p ^ (1 / ↑p) * v ↑p ^ (1 / ↑p)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : (α →o β) × (α →o γ)
⊢ (RelIso.symm OrderHom.prodIso) f = f.1.prod f.2
R : Type uR
Semiring R
T : Type uT
Semiring T
f : R →+* T
r : R → R → Prop
w : ∀ ⦃x y : R⦄, r x y → f x = f y
g : RingQuot r →+* T
h : g.comp (RingQuot.mkRingHom r) = f
⊢ g = RingQuot.lift ⟨f, w⟩
α : Type u_1
β : α → Type u
DecidableEq α
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
⊢ (s.pi t).Nonempty ↔ ∀ a ∈ s, (t a).Nonempty
R : Type u_1
B : Type u_3
CommRing R
Ring B
Algebra R B
r : B
⊢ IsIntegral R r ↔ ∃ s, s.Finite ∧ IsIntegral (↥(Subring.closure s)) r
a b n : ℕ
h : a * b = n
h₁ : a.ble 1 = false
h₂ : b.ble 1 = false
⊢ ¬Nat.Prime n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.IsPushout CategoryTheory.Limits.biprod.inr 0 CategoryTheory.Limits.biprod.fst 0
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v w : V
h : w ∈ G.neighborSet v
h' : v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w
⊢ w ∈ ∅
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
r : R
m : ↥M
⊢ r • ↑((toInvSubmonoid M S) m) ∈ Submodule.span R ↑(invSubmonoid M S)
α : Type u_1
s : Set α
k : ℕ∞
⊢ s.encard = k + 1 ↔ ∃ a t, a ∉ t ∧ insert a t = s ∧ t.encard = k
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤
b : α
c : Set (Set α)
hc1 : c ⊆ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}
hc2 : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c
⊢ Disjoint b (sSup (⋃₀ c))
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕝
inst✝⁹ : Module 𝕝 E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁴ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝² : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
p : SeminormFamily 𝕝 E ι
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
x✝¹ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
x✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : IsBounded p q f
this : TopologicalAddGroup E
⊢ Continuous ⇑f
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SupSet α
inst✝ : Inhabited ↑s
t : Set ↑s
h' : t.Nonempty
h'' : BddAbove t
h : sSup (Subtype.val '' t) ∈ s
⊢ sSup (Subtype.val '' t) = ↑(sSup t)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝¹ y✝ z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hsurj : Surjective (Prod.map mk mk)
s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)
hs : IsOpen (Prod.map mk mk ⁻¹' s)
x✝ : X × Y
x : X
y : Y
h : Prod.map mk mk (x, y) ∈ s
⊢ Prod.map mk mk ⁻¹' s ∈ 𝓝 (x, y)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 p4 p5 : P
hapc : EuclideanGeometry.angle p1 p5 p3 = π
hbpd : EuclideanGeometry.angle p2 p5 p4 = π
⊢ EuclideanGeometry.angle p1 p5 p2 = EuclideanGeometry.angle p3 p5 p4
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
hU : π₂.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ (π₁.unionComplToSubordinate π₂ hU r).boxes = π₁.boxes ∪ (π₂.toSubordinate r).boxes
n✝ n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n ≤ n.divisors.sup id
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ : ℕ
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
⊢ ⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n
α : Type u_1
Mul α
LE α
i : ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
bc : b * a ≤ c * a
⊢ b ≤ c
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
h : Function.Injective ⇑(algebraMap R A)
q : ℕ
ExpChar R q
⊢ ExpChar A q
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.RightHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ h).φH = CategoryTheory.CategoryStruct.id h.H
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
a✝ b a : α
hb : b ∈ s
⊢ ↑(a * b) = ↑a
α : Type u
Monoid α
a b : α
Invertible a
⊢ a * (⅟a * b) = b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℝ n f s x
hx : f x ≠ 0
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => Real.log (f x)) s x
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : IsOpen s
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 f y) s
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ dist x y = ↑(nndist x y)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : Presieve.IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), Presieve.IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → Presieve.FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg => s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : Presieve.FamilyOfElements P U.arrows := fun Y f hf => ⋯.amalgamate (y hf) ⋯
⊢ ∃! t, s.IsAmalgamation t
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s s₁ s₂ : Set α
t✝ : Finset α
a b : α
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hG : G.CliqueFreeOn s m
t : Finset α
hts : ↑t ⊆ s
ht : G.IsNClique n t
u : Finset α
hut : u ⊆ t
hu : u.card = m
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
hs : s.Subsingleton
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a✝ b : α
a : α × α
h : a ∈ s.offDiag
⊢ ¬(Sym2.mk a).IsDiag
p : ZFSet → Prop
x : ZFSet
⊢ ZFSet.Hereditarily p x ↔ p x ∧ ∀ y ∈ x, ZFSet.Hereditarily p y
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
h : Differentiable ℝ f
⊢ Differentiable ℝ fun x => Real.arsinh (f x)
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t✝ : Multiset R[X]
a : R[X]
t : Multiset R[X]
ih : (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod ≠ 0 → t.prod.natDegree = (Multiset.map (fun f => f.natDegree) t).sum
ht : (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) (a ::ₘ t)).prod ≠ 0
⊢ (a ::ₘ t).prod.natDegree = (Multiset.map (fun f => f.natDegree) (a ::ₘ t)).sum
η : Type u_7
f : η → Type u_8
(i : η) → AddGroup (f i)
I : Set η
H : (i : η) → AddSubgroup (f i)
J : AddSubgroup ((i : η) → f i)
⊢ J ≤ AddSubgroup.pi I H ↔ ∀ i ∈ I, AddSubgroup.map (Pi.evalAddMonoidHom f i) J ≤ H i
α : Type u_1
β : Type u_2
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
s t : Set α
h : Function.Semiconj f fa fb
ha : Set.BijOn fa s t
hf : Set.InjOn f t
⊢ Set.BijOn fb (f '' s) (f '' t)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
p : Fin (n + 1)
a : α p
f : (i : Fin n) → α (p.succAbove i)
g : (j : Fin (n + 1)) → α j
⊢ p.insertNth a f = g ↔ a = g p ∧ f = p.removeNth g
α : Type u
l : List α
h : l.Nodup
i j : Fin l.length
⊢ l.get i = l.get j ↔ i = j
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
ha : a ≠ 0
⊢ a * b = a ↔ b = 1
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
R : Type u
Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
⊢ (ModuleCat.HasLimit.productLimitCone f).cone.pt = ModuleCat.of R ((j : J) → ↑(f j))
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.withDensity f)
f' : α → ℝ≥0∞ := AEMeasurable.mk f hf
⊢ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ
r : ℝ
p : ℝ≥0
⊢ r.toNNReal ≤ p ↔ r ≤ ↑p
a : Ordinal.{u}
n : ℕ
⊢ a ♯ ↑n = a + ↑n
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
hu : ↑(addOrderOf u) ≠ 0
⊢ n ≠ 0
c : Cardinal.{u}
⊢ 𝔠 ≤ lift.{v, u} c ↔ 𝔠 ≤ c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α
⊢ s \\ tᶜˢ = s ⊼ t
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Ring R
(i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
AddCommGroup M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
x y : M₁ i
⊢ f (Function.update m i (x - y)) = f (Function.update m i x) - f (Function.update m i y)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
⊢ Metric.ball 0 r₁ • p.ball 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
DecidablePred fun x => b ≤ x
⊢ Multiset.filter (fun x => b ≤ x) (Multiset.Ico a b) = ∅
L : FirstOrder.Language
K : Set (CategoryTheory.Bundled L.Structure)
self : FirstOrder.Language.IsFraisse K
⊢ FirstOrder.Language.Amalgamation K
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v✝ : K
n : ℕ
v : K
⊢ Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) ((IntFractPair.stream v).tail.get 0) = (IntFractPair.stream v 1).bind (some ∘ fun p => { a := 1, b := ↑p.b })
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ s : Set α
h : s₁ ∩ s = s₂ ∩ s
⊢ t.ite s₁ s₂ ∩ s = s₁ ∩ s
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0
⊢ x ≤ y ^ z⁻¹ ↔ y ≤ x ^ z
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ : P
⊢ p₁ -ᵥ p₂ = 0 ↔ p₁ = p₂
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : ¬MDifferentiableAt I I' f x
⊢ mfderiv I I' f x = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
RCLike 𝕜
Module 𝕜 E
IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
r : 𝕜
x : E
⊢ gauge s (r • x) = ‖r‖ * gauge s x
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
hx' : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖x' z‖ ≤ 1
⊢ x' ∈ closedBall 0 (‖c‖ / r)
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_4
inst✝³ : Monoid S
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s : Set S
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ s • ⊥
⊢ x ∈ ⊥
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α ≃. β
⊢ f.trans ⊥ = ⊥