ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
s t : Set E
⊢ Submodule.span 𝕜 s ⟂ Submodule.span 𝕜 t ↔ ∀ ⦃u : E⦄, u ∈ s → ∀ ⦃v : E⦄, v ∈ t → ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
α : Type u_1
ι : Type u_4
s : ι → Set α
⊢ Filter.liminf s Filter.cofinite = {x | {n | x ∉ s n}.Finite}
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ x + 1 < Real.exp x
m n : ℕ
hd : m ∣ n
hs : IsSquare (-1)
f : ZMod n →+* ZMod m := castHom hd (ZMod m)
⊢ IsSquare (f (-1))
R : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : Submodule R M
Q : Submodule R N
f : M ≃ₗ[R] N
hf : Submodule.map f P = Q
⊢ (Submodule.Quotient.equiv P Q f hf).symm = Submodule.Quotient.equiv Q P f.symm ⋯
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y✝ : R
inst✝ : CommSemiring R
x y : R
⊢ (∀ p ∈ {J | J.IsPrime}, x ∈ p) ↔ ∀ (J : Ideal R), J.IsPrime → x ∈ J
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
⊢ (∃ x y, ∃ (_ : x ≠ 0) (_ : y ≠ 0), Ideal.span {x} * ↑I = Ideal.span {y} * ↑J) → ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), spanSingleton R⁰ x * ↑↑I = ↑↑J
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
⊢ automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) x = (g • automorphize f) x
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
δ : ℝ
hδs : δ ∈ s
δ_nonpos : δ ≤ 0
⊢ ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E ⊆ closure E
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
⊢ angle x (x - y) = Real.arccos (‖x‖ / ‖x - y‖)
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
i : ι
⊢ b.repr (b i) = Finsupp.single i 1
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
⊢ ∃ k, 0 < k ∧ k ≤ n ∧ |↑k * ξ - ↑(round (↑k * ξ))| ≤ 1 / (↑n + 1)
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
AddCommGroup V₁
Module K V₁
AddCommGroup V₂
Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂
⊢ Function.Bijective ⇑f.dualMap ↔ Function.Bijective ⇑f
α : Type u
β : Type v
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
f : α → β
h : ∀ (x y : α), f (x ⊓ y) = f x ⊓ f y
⊢ Monotone f
𝓕 : Type u_11
R : outParam (Type u_12)
R₂ : outParam (Type u_13)
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : outParam (R →+* R₂)
σ₂₁ : outParam (R₂ →+* R)
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
E : outParam (Type u_14)
E₂ : outParam (Type u_15)
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
EquivLike 𝓕 E E₂
self : SemilinearIsometryEquivClass 𝓕 σ₁₂ E E₂
f : 𝓕
x : E
⊢ ‖f x‖ = ‖x‖
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ⊥.unop = ⊥
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s : Set V
Fintype ↑s
le_span : ⊤ ≤ Submodule.span K s
card_eq : s.toFinset.card = FiniteDimensional.finrank K V
⊢ ∀ (a : V),
  (setBasisOfTopLeSpanOfCardEqFinrank le_span card_eq).repr a =
    ⋯.repr ((LinearMap.codRestrict (Submodule.span K (Set.range Subtype.val)) LinearMap.id ⋯) a)
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
CategoryTheory.IsFiltered J
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
k : J
f : x.fst ⟶ k
g : y.fst ⟶ k
⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk F x * MonCat.FilteredColimits.M.mk F y =
  MonCat.FilteredColimits.M.mk F ⟨k, (F.map f) x.snd * (F.map g) y.snd⟩
α : Type u_2
CompleteLattice α
h : CompleteLattice.IsSupClosedCompact α
⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
n : ℕ
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
PartialOrder F
MeasureTheory.MeasureSpace F
BorelSpace F
eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ
he_ord : ∀ (x y : F), eL x ≤ eL y ↔ x ≤ y
he_vol : MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑eL) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
f : Fin (n + 1) → F → E
f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E
s : Set F
hs : s.Countable
a b : F
hle : a ≤ b
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x
DF : F → E
hDF : ∀ (x : F), DF x = ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (Pi.single i 1))
Hi : MeasureTheory.IntegrableOn DF (Set.Icc a b) MeasureTheory.volume
⊢ ∫ (x : F) in Set.Icc a b, DF x =
  ∑ i : Fin (n + 1),
    ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Set.Icc (eL a ∘ i.succAbove) (eL b ∘ i.succAbove), f i (eL.symm (i.insertNth (eL b i) x))) -
      ∫ (x : Fin n → ℝ) in Set.Icc (eL a ∘ i.succAbove) (eL b ∘ i.succAbove), f i (eL.symm (i.insertNth (eL a i) x)))
a x z✝ z : ℂ
⊢ (0 ≤ z.re ∨ 0 ≤ z.im) ∧ ¬(z.re = 0 ∧ z.im < 0) ↔ 0 < z.re ∨ 0 ≤ z.im
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
t : Finset ι
f : ι → M → G
h : ∀ i ∈ t, SmoothOn I' I (f i) s
⊢ SmoothOn I' I (fun x => ∑ i ∈ t, f i x) s
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
⊢ G.subgraphOfAdj hvw = ⊤.induce {v, w}
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K✝ : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
R : Type u_6
S : Type u_7
K : Type u_8
L : Type u_9
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : S
s : ↥S⁰
⊢ IsAlgebraic K (mk' L x s)
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
P : RatFunc K → Prop
x : RatFunc K
f : ∀ (p q : K[X]), q ≠ 0 → P ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q)
⊢ P x
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0
⊢ x ^ z = y ^ z ↔ x = y
α : Type u
β : Type v
f : α → β
hf : Function.Bijective f
s : Set β
t : Set α
⊢ f ⁻¹' s = t ↔ s = f '' t
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0
m : Γ
hm : m ∈ (ofSuppBddBelow f ⋯).support
⊢ n ≤ m
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G
⊢ Subgroup.map f H ≤ Subgroup.map f K ↔ H ⊔ f.ker ≤ K ⊔ f.ker
a b c : Ordinal.{u_1}
ab : a < b
⊢ a ^ c * a < b ^ c * b
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
Fintype n
RCLike 𝕜
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
⊢ (⋯ : (A ^ 2).PosSemidef).sqrt = A
α : Type u_1
M : Type u_2
PartialOrder α
CommMonoid M
f : α → M
LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ f a * ∏ x ∈ Finset.Ioi a, f x = ∏ x ∈ Finset.Ici a, f x
α : Type u
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ b ≤ a ⊔ b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R✝ : Sieve X
S : Presieve X
R : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → S f → Sieve Y
f : Y ⟶ X
h : S f
⊢ pushforward f (R h) ≤ bind S R
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ¬Nontrivial α ↔ Subsingleton α
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
g.NeBot
⊢ Filter.map Prod.fst (f ×ˢ g) = f
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq V
A : Matrix V V α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
h : A.IsSymm
i✝ j✝ : V
⊢ A.complᵀ i✝ j✝ = A.compl i✝ j✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Simple Y
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
w : f ≠ 0
⊢ CategoryTheory.IsIso f
α : Type u_1
CompleteLattice α
⊢ ⊤.limsInf = ⊥
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
f : E ≃ᵐ E
g : E → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ ⇑f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : IntegrableOn g (⇑f '' s) μ
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (⇑f) (f' x) s x
⊢ (Measure.map (⇑f.symm) (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (g x))) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| * g (f x) ∂μ)
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul α α
s t : Set α
a : α
h : s ∈ 𝓝 1
⊢ {a} * s ∈ 𝓝 a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
hla : la.HasBasis pa sa
hlb : lb.HasBasis pb sb
⊢ Filter.Tendsto f la lb ↔ ∀ (ib : ι'), pb ib → ∃ ia, pa ia ∧ ∀ x ∈ sa ia, f x ∈ sb ib
M : Type u_4
N : Type u_5
Zero M
Zero N
f : ZeroHom M N
⊢ f.comp (ZeroHom.id M) = f
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
f : Aut F
A : C
inst✝ : IsGalois A
a : ↑(F.obj A)
⊢ F.map ((AutGalois.π F { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }) ((endEquivAutGalois F) ↑((Aut.unitsEndEquivAut F).symm f))).hom a = f.hom.app A a
α : Type u
f : Type u → Type v
Functor f
LawfulFunctor f
⊢ Functor.mapEquiv f (Equiv.refl α) = Equiv.refl (f α)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
F : CategoryTheory.Arrow C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented C
G : F.augmentedCechConerve ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.CosimplicialObject.equivalenceLeftToRight F X G).right =
  CategoryTheory.Limits.WidePushout.ι (fun x => F.hom) 0 ≫ G.right.app (SimplexCategory.mk 0)
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
a b : G
⊢ a * (b * a⁻¹) = b
α : Type u
β : Type v
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
n : ℕ
e : G ≃ Fin n
⊢ ∃ G' x x_1, Nonempty (G ≃* G')
a b c : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNatPowT (a.pow b = c) a (2 * b + 1) (c.mul (c.mul a))
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
⊢ (𝓤 E).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {p | ‖p.1 - p.2‖ < ε}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝¹ l₁ l₂ : List M
a✝ : M
l✝ : List ι
r : M → N → Prop
f : ι → M
g : ι → N
h₁ : r 1 1
h₂ : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : M⦄ ⦃b : N⦄, r a b → r (f i * a) (g i * b)
a : ι
l : List ι
hl : r (map f l).prod (map g l).prod
⊢ r (map f (a :: l)).prod (map g (a :: l)).prod
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
a : Γ
r : R
⊢ ↑a ≤ ((HahnSeries.single a) r).orderTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
μ ν : Measure α
s : Set α
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ μ t = μ s ∧ ν t = ν s
α : Type u_1
rα : α → α → Prop
a b₁ b₂ : α
h : rα b₁ b₂
⊢ Sym2.GameAdd rα s(a, b₁) s(a, b₂)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ≥0
hfi : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ < ⊤
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁹ : Ring R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M'
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : Module R M'
inst✝¹² : Module R M₁
inst✝¹¹ : StrongRankCondition R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition S
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module.Free S M
inst✝⁷ : Module S M'
inst✝⁶ : Module.Free S M'
inst✝⁵ : Module S M₁
inst✝⁴ : Module.Free S M₁
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : Module.Free R M
fst✝ : Type v
bM : Basis fst✝ R M
⊢ Module.rank R (M ⊗[S] M') = Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) * Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S M')
ι : Type u_4
π : ι → Type u
(i : ι) → Bot (π i)
f : (i : ι) → π i
⊢ f = ⊥ ↔ ∀ (i : ι), f i = ⊥
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p = 0 ↔ ∀ (d : σ →₀ ℕ), MvPolynomial.coeff d p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f (Matroid.freeOn E).E
⊢ (Matroid.freeOn E).map f hf = Matroid.freeOn (f '' E)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Monoid α
n : ℕ
f : Fin n → α
j : Fin n
⊢ partialProd f j.succ = partialProd f j.castSucc * f j
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : Iᵒᵖ ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.rightOp ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.rightOp ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
⊢ ((colimitCoyonedaHomIsoLimit D F).hom ≫ limit.π (D ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{u₁, u₂}) (op i)) f = { down := f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i)))) }
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g h : G
a : α
⊢ g • a ∈ orbit G (h • a)
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
⊢ (A.leftRegularHom x).hom = (Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : R
hp : Irreducible p
a : R
hI : span R {p} < span R {a}
⊢ span R {a} = ⊤
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯)
Z✝ : C
u v : Y ⟶ Z✝
huv : f ≫ u = f ≫ v
W : C
w : Y ⟶ W
hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0
hl : IsLimit (KernelFork.ofι (equalizer.ι u v) hw)
m : X ⟶ equalizer u v
hm : m ≫ equalizer.ι u v = f
hwf : f ≫ w = 0
n : (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯).pt ⟶ W
hn : 0 = w
this : IsIso (equalizer.ι u v)
⊢ equalizer.ι u v ≫ u = equalizer.ι u v ≫ v
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))) ∧ (x, y) ∈ closure s ×ˢ closure t
α : Type u_1
r : Rel α α
IsTrans α r
x : RelSeries r
i j : Fin (x.length + 1)
h : i ≤ j
⊢ r (x.toFun i) (x.toFun j) ∨ x.toFun i = x.toFun j
x y : ℂ
s1 : sin ((x + y) / 2 + (x - y) / 2) = sin ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) + cos ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)
⊢ sin x - sin y = 2 * sin ((x - y) / 2) * cos ((x + y) / 2)
n : ℤ
z τ : ℂ
⊢ ‖jacobiTheta₂_term n z τ‖ = rexp (-π * ↑n ^ 2 * τ.im - 2 * π * ↑n * z.im)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
⊢ Monotone f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hnqp : padicNorm p q ≥ 0
hnrp : padicNorm p r ≥ 0
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqr : ¬q + r = 0
⊢ 1 ≤ ↑p
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set (α × β)
⊢ ContinuousOn Prod.fst s
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
T : Turing.Tape Γ
i : ℕ
⊢ ((Turing.Tape.move Turing.Dir.right)^[i] T).head = T.nth ↑i
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
g : G
hB : IsBlock (↥⊤) B
⊢ IsBlock (↥⊤) (g • B)
m n✝ a n : ℕ
⊢ pred^[n + 1] a = a - (n + 1)
R : Type u_1
x y : R
Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : IsNilpotent x
hy : IsNilpotent y
⊢ IsNilpotent (x + y)
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
r : R
⊢ (((taylor r) f).sum fun i a => C a * (X - C r) ^ i) = f
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}
hVo : IsOpen V
hVmem : (z, τ) ∈ V
hVp : IsPreconnected V
f : ℤ → ℂ × ℂ → ℂ := fun n p => jacobiTheta₂_term n p.1 p.2
f' : ℤ → ℂ × ℂ → ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ := fun n p => jacobiTheta₂_term_fderiv n p.1 p.2
hf : ∀ (n : ℤ), ∀ p ∈ V, HasFDerivAt (f n) (f' n p) p
u : ℤ → ℝ := fun n => 3 * π * ↑|n| ^ 2 * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))
⊢ HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂ p.1 p.2) (jacobiTheta₂_fderiv z τ) (z, τ)
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
Rₗ : Type u_10
Mₗ : Type u_11
Nₗ : Type u_12
Pₗ : Type u_13
CommSemiring Rₗ
AddCommMonoid Mₗ
AddCommMonoid Nₗ
AddCommMonoid Pₗ
Module Rₗ Mₗ
Module Rₗ Nₗ
Module Rₗ Pₗ
b₁' : Basis ι₁ Rₗ Mₗ
b₂' : Basis ι₂ Rₗ Nₗ
B : Mₗ →ₗ[Rₗ] Nₗ →ₗ[Rₗ] Pₗ
x : Mₗ
y : Nₗ
⊢ ((b₁'.repr x).sum fun i xi => (b₂'.repr y).sum fun j yj => xi • yj • (B (b₁' i)) (b₂' j)) = (B x) y
α : Type u_4
f : Sym2 α → Prop
⊢ (∃ x, f x) ↔ ∃ x y, f s(x, y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ h₁' : S.LeftHomologyData
h₂ h₂' : S.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' (CategoryTheory.CategoryStruct.id S) h₁ h₁')
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁' h₂')
      (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' (CategoryTheory.CategoryStruct.id S) h₂' h₂))
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
S : Submonoid M
x y : M
z : ↥S
h₁ : y * ↑z = 1
h₂ : x * y = 1
⊢ x = ↑z
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
inst✝⁵ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor D C
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
X✝ Y✝ Z✝ : D
f✝ g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ F.map (X✝ ◁ (f✝ + g✝)) = F.map (X✝ ◁ f✝ + X✝ ◁ g✝)
α : Type u_2
Preorder α
s : Set α
hs : s.IsWF
hn : s.Nonempty
⊢ hs.min hn ∈ s
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
W : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory W
CategoryTheory.MonoidalCategory V
CategoryTheory.MonoidalCategory W
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor V W
G : MonCat
X Y : Action V G
⊢ ((F.mapAction G).μ X Y).hom = F.μ X.V Y.V
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlroot : (cyclotomic l K).IsRoot x
hlzero : NeZero l
⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
α : Type u
β : Type v
PartialOrder α
Preorder β
OrderTop α
OrderTop β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
⊢ u ⊤ = ⊤
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s t : Set α
⊢ Metric.thickening δ (s ∪ t) = Metric.thickening δ s ∪ Metric.thickening δ t
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
i : ℕ
w : i < l.length
h : 0 < l.length := ⋯
⊢ List.minimum_of_length_pos h ≤ l[i]
α : Type u_2
SupSet α
⊢ ⇑(sSupHom.id α) = id
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
l : Filter ι
h : TendstoUniformlyOn F f l s
u : ℕ → ι
hu : Tendsto u atTop l
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f atTop s
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MulZeroClass β
f f' : α → β
x : α
hf : f' =ᶠ[coclosedCompact α] 0
⊢ f * f' =ᶠ[coclosedCompact α] 0
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
v : Multiplicative V₁
⊢ (AffineEquiv.constVAddHom k P₁) v = AffineEquiv.constVAdd k P₁ (Multiplicative.toAdd v)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
x : α
⊢ ContinuousWithinAt f {x} x
α : Type u_2
⊢ ⊤.ker = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Topology.IsUpperSet α
inst✝ : IsUpper β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Continuous f
G : Type u
Group G
A' A B' B : Subgroup G
_hAN : (A'.subgroupOf A).Normal
_hBN : (B'.subgroupOf B).Normal
h' : A' ≤ B'
h : A ≤ B
x : ↥A
⊢ (QuotientGroup.quotientMapSubgroupOfOfLe h' h) ↑x = ↑((Subgroup.inclusion h) x)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
hA : A.det ≠ 0
B : E ≃L[ℝ] E := A.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hA
I : ENNReal.ofReal |(↑B.symm).det| < ↑m⁻¹
⊢ {x | (fun δ => ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → ↑m * μ s ≤ μ (f '' s)) x} ∈ 𝓝 0
α : Type u_4
Fintype α
l : List α
h : l.Nodup
⊢ l.length ≤ Fintype.card α
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 0 f x‖ = ‖f x‖
x : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (x + ↑m)
⊢ Irrational x
α : Type u_1
self : Filter α
x y : Set α
⊢ x ∈ self.sets → y ∈ self.sets → x ∩ y ∈ self.sets
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g
ht : IsLimit t
inst✝ : Mono g
W : C
h k : W ⟶ t.pt
i : h ≫ t.fst = k ≫ t.fst
⊢ h ≫ t.fst ≫ f = k ≫ t.fst ≫ f
n : ℝ≥0
⊢ ↑n = ↑n
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s ∩ (t ∩ u) = s ∩ t ∩ (s ∩ u)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'
h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)
h_fst : κ'.fst = κ.fst
a : α
t : Set (β × Ω)
ht : MeasurableSet t
⊢ ((κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η) a) t = ((κ.fst ⊗ₖ η.comapRight he) a) t
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
m : Type u_8
n : Type u_9
Fintype n
DecidableEq n
Finite m
⊢ Matrix.toEuclideanLin = Matrix.toLin (PiLp.basisFun 2 𝕜 n) (PiLp.basisFun 2 𝕜 m)
α : Type u_1
AddCommGroup α
a b : α
⊢ a ≡ b [PMOD 0] ↔ a = b
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
AddZeroClass α
AddZeroClass β
f g : α →+o β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ ∀ x ∈ f' '' s, ∀ y ∈ f' '' s, x < y → Ioo x y ⊆ f' '' s
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
⊢ LowerSet.Iic 1 = 1
G : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Group G
MulAction G β
g : G
f : α ↪ β
a : α
⊢ (g • f) a = g • f a
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
L : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing L
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
σ : K →+* L
τ : L →+* K
inst✝ : RingHomInvPair σ τ
f : V →ₛₗ[σ] W
hf : Function.Injective ⇑f
u : V
hu : u ≠ 0
v : V
hv : v ≠ 0
h : map f hf (mk K u hu) = map f hf (mk K v hv)
⊢ mk K u hu = mk K v hv