ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
NormalizationMonoid R
⊢ normUnit Polynomial.X = 1
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x✝ y✝ ε x y : α
h : x < y
n : ℕ
nh : (y - x)⁻¹ < ↑n
⊢ ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < y
α : Type u_1
s : Multiset ℕ
h : ∀ x ∈ s, Irreducible x
⊢ Multiset.Rel (fun x x_1 => x ~ᵤ x_1) (normalizedFactors s.prod) s
q : Turing.PartrecToTM2.Λ'
⊢ Turing.PartrecToTM2.tr q.succ =
  Turing.PartrecToTM2.pop' Turing.PartrecToTM2.K'.main
    (Turing.TM2.Stmt.branch (fun s => decide (s = some Turing.PartrecToTM2.Γ'.bit1))
      (Turing.TM2.Stmt.push Turing.PartrecToTM2.K'.rev (fun x => Turing.PartrecToTM2.Γ'.bit0)
        (Turing.TM2.Stmt.goto fun x => q.succ))
      (Turing.TM2.Stmt.branch (fun s => decide (s = some Turing.PartrecToTM2.Γ'.cons))
        (Turing.TM2.Stmt.push Turing.PartrecToTM2.K'.main (fun x => Turing.PartrecToTM2.Γ'.cons)
          (Turing.TM2.Stmt.push Turing.PartrecToTM2.K'.main (fun x => Turing.PartrecToTM2.Γ'.bit1)
            (Turing.TM2.Stmt.goto fun x => Turing.PartrecToTM2.unrev q)))
        (Turing.TM2.Stmt.push Turing.PartrecToTM2.K'.main (fun x => Turing.PartrecToTM2.Γ'.bit1)
          (Turing.TM2.Stmt.goto fun x => Turing.PartrecToTM2.unrev q))))
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
I : Ideal R
x : R
hxI : x ∈ I
hx : ‖1 - x‖ < 1
⊢ I = ⊤
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
k : ℕ
hk : a ^ k ∣ b
hsucc : ¬a ^ (k + 1) ∣ b
⊢ k = (multiplicity a b).get ⋯
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁✝ b₂ b₃ c₁ c₂ b₁ : R
⊢ a + (b₁ + b₂) = b₁ + (a + b₂)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
hfc : ConcaveOn 𝕜 s f
hx : x ∈ s
⊢ AntitoneOn (slope f x) (s \ {x})
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
⊢ det 1 = 1
c : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.ToPartrec.Cont
v : List ℕ
⊢ ∃ k' v', Turing.ToPartrec.stepNormal c k v = Turing.ToPartrec.Cfg.ret k' v'
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hn : n ≠ 1
h0 : ¬n = 0
h : n % 2 = 1
⊢ (-1) ^ (n % 2) * bernoulli' n = bernoulli' n
n i : Nat
h : i < n
⊢ ⟨i, h⟩.castSucc = ⟨i, ⋯⟩
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsPartialOrder α r
S : Set (α → α → Prop) := {s | IsPartialOrder α s}
hS : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
s : α → α → Prop
hs₁ : IsPartialOrder α s
rs : r ≤ s
hs₂ : ∀ z ∈ S, s ≤ z → z = s
this : IsPartialOrder α s
x y : α
⊢ s x y ∨ s y x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ f '' (s ∩ f ⁻¹' t) ⊆ f '' s ∩ t
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsIso g
p : inv f = inv g
⊢ inv f ≫ f = inv f ≫ g
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
⊢ v ∈ f '' closedBall z₀ r
α : Type u_1
n : ZNum
⊢ -n.pred = (-n).succ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
SS : WSeq (WSeq (WSeq α))
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S SS, s1 = s.append (S.append SS.join).join ∧ s2 = s.append (S.join.append (map join SS).join)
⊢ ∀ {ca cb : Computation (Option (α × WSeq α))}, (fun c1 c2 => ∃ s S SS, c1 = (s.append (S.append SS.join).join).destruct ∧ c2 = (s.append (S.join.append (map join SS).join)).destruct) ca cb → LiftRelAux (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => ∃ s S SS, s1 = s.append (S.append SS.join).join ∧ s2 = s.append (S.join.append (map join SS).join)) (fun c1 c2 => ∃ s S SS, c1 = (s.append (S.append SS.join).join).destruct ∧ c2 = (s.append (S.join.append (map join SS).join)).destruct) ca.destruct cb.destruct
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S₁ S₂ : NonUnitalStarSubalgebra R A
f : F
⊢ S₁ ≤ S₂ → NonUnitalStarSubalgebra.map f S₁ ≤ NonUnitalStarSubalgebra.map f S₂
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace 𝕜 H
CompleteSpace H
K : Type u_6
NormedAddCommGroup K
InnerProductSpace 𝕜 K
CompleteSpace K
e : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
⊢ ContinuousLinearMap.adjoint ↑{ toLinearEquiv := e.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ } =
  ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ x ∈ t, g x ≠ 0
⊢ ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a✝ : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset ι
f : ι → Finset β
a : α × β
⊢ a.1 ∈ s ∧ (∃ a_1 ∈ t, a.2 ∈ f a_1) ∧ r a.1 a.2 ↔ ∃ a_1 ∈ t, a.1 ∈ s ∧ a.2 ∈ f a_1 ∧ r a.1 a.2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : CategoryTheory.Dial C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.associator Y Z).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.braiding (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)).hom
      (Y.associator Z X).hom) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Dial.tensorHom (X.braiding Y).hom (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (Y.associator X Z).hom
      (CategoryTheory.Dial.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y) (X.braiding Z).hom))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝⁹ : TopologicalSpace N
inst✝⁸ : ChartedSpace H N
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : ChartedSpace H A
inst✝³ : TopologicalSpace A'
inst✝² : ChartedSpace H' A'
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : ChartedSpace H R
x : M
n : N
⊢ ∃ U f, ∃ (_ : (StructureGroupoid.LocalInvariantProp.localPredicate M N ⋯).pred f), f ⟨x, ⋯⟩ = n
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
SMulCommClass ℝ 𝕜 E
c : 𝕜
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (c • f) = c • MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
f : CostructuredArrow S T
⊢ (f.homMk' (𝟙 f.left)).left = (eqToHom ⋯).left
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
y : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U)
hy : hU.fromSpec.val.base y ∈ U
⊢ (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.germ ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ⟨y, hy⟩) = StructureSheaf.toStalk (↑Γ(X, U)) y
a : ℕ
h : a % 2 = 0
⊢ a.minFac = ↑2
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
⊢ (b.equiv b' e).symm = b'.equiv b e.symm
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
⊢ ∃ π, v.intValuationDef π = ↑(ofAdd (-1))
M : Type u_1
Monoid M
a : M
n : ℕ
⊢ DomMulAct.mk (a ^ n) = DomMulAct.mk a ^ n
R : Type u
Semiring R
p : R[ℕ]
⊢ { toFinsupp := p }.coeff = ⇑p
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
A : Type u_4
AddMonoid A
DistribMulAction M A
B : Type u_5
AddMonoid B
DistribMulAction N B
f : A →ₑ+[φ] B
⊢ f.toFun = ⇑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hBC : IsExtreme 𝕜 B C
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxC : x ∈ C
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
hx₁B : x₁ ∈ B
hx₂B : x₂ ∈ B
⊢ x₁ ∈ C ∧ x₂ ∈ C
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
p : TangentBundle I M
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f p.proj)
hf : MDifferentiableAt I I' f p.proj
⊢ (mfderiv I I'' (g ∘ f) p.proj) p.snd = (mfderiv I' I'' g (f p.proj)) ((mfderiv I I' f p.proj) p.snd)
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonUnitalCommRing R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
⊢ inst₁ = inst₂
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
a b : Complementeds α
⊢ ↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
h : ∀ (x : α), 𝓝 x ≤ 𝓝 x
s : Set α
⊢ IsOpen s → IsOpen s
p : ℝ
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => x ^ p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
r : α → α → Prop
S : Set (Set α)
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
h : ∀ x ∈ S, DirectedOn r x
⊢ DirectedOn r (⋃₀ S)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
p : P
hr : ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r
⊢ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p) = s.circumcenter
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ (CategoryTheory.prod.rightUnitorEquivalence C).functor = CategoryTheory.prod.rightUnitor C
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ T0Space X ↔ Pairwise fun a b => a ∉ closure {b} ∨ b ∉ closure {a}
β : Type u_2
α : Type u_5
Nonempty β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ ∃ c, f = MeasureTheory.SimpleFunc.const α c
ι : Type u_1
R : Type u_2
Mᵢ : ι → Type u_8
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
(i : ι) → Module R (Mᵢ i)
P : Type u_10
Fintype ι
OrderedAddCommMonoid P
Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ (QuadraticMap.pi Q).PosDef ↔ ∀ (i : ι), (Q i).PosDef
α : Type u_1
Finite α
⊢ Monotone Set.ncard
α : Type u_1
x y : α
⊢ Disjoint (pure x) (pure y) ↔ x ≠ y
G : Type u_1
Group G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
a : G
h : IsLUB s a
⊢ IsGLB s⁻¹ a⁻¹
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
f : α → β
g : α' → β'
hf : Function.Bijective f
hg : Function.Bijective g
⊢ Function.Bijective (Sum.map f g)
J : Type u
inst✝³ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j k : J
s✝ : Set (F.obj i✝)
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J
inst✝¹ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
⊢ ∃ a, (fun s => ↑s i) a = x
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
H : ι → AddSubgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i +ᵥ ↑(H i) = Set.univ
⊢ ∃ k ∈ s, (H k).FiniteIndex
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N N₂ : LieSubmodule R L M
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ LieSubmodule.map f N ≤ LieSubmodule.map f N₂ ↔ N ≤ N₂
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤
iso : ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] E := { toFun := fun e => ↑e, invFun := fun e => ⟨e, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
H : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F E) (minpoly F α)
⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E
H : Type x
TopologicalSpace H
OrderedAddCommGroup H
ContinuousNeg H
a : H
⊢ Filter.Tendsto Neg.neg (𝓝[≤] (-a)) (𝓝[≥] a)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
c : ↑(Set.Icc a b)
⊢ Subtype.val '' Set.Ioi c = Set.Ioc (↑c) b
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
DecidableEq α
h : a < b
⊢ Finset.Ico a b \ Finset.Ioo a b = {a}
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (y + x * z)
⊢ IsCoprime x y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
self : BaireSpace X
f : ℕ → Set X
⊢ (∀ (n : ℕ), IsOpen (f n)) → (∀ (n : ℕ), Dense (f n)) → Dense (⋂ n, f n)
a c : Bool
⊢ a.atLeastTwo true c = (a || c)
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype m
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
M : Matrix n n R
e : m ≃ n
⊢ (M.submatrix ⇑e ⇑e).PosSemidef ↔ M.PosSemidef
α : Type u_2
β : Type u_3
SDiff α
SDiff β
a b : α × β
⊢ (a \ b).1 = a.1 \ b.1
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ Integrable (fun x => ‖∫ (y : Ω), f (x, y) ∂(Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel x‖) (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : yn a1 m ≤ yn a1 n
⊢ yn a1 m < xn a1 n + yn a1 n * a
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ p * q = p + q
k : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
DecidableEq k
DecidableEq m
Semiring α
b₁ b₂ : n
hb : b₁ ≠ b₂
a : m
c : k
⊢ (PEquiv.single a b₁).toMatrix * (PEquiv.single b₂ c).toMatrix = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
f : γ → α
g : γ → β
⊢ (fun x => (f x, g x)) ⁻¹' s ×ˢ t = f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.29733, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.29737, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ≌ C₃
R : C₂ ≌ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
h : CatCommSq T L.functor R.functor B
X : C₁
⊢ (R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ R.functor.map (R.unitIso.hom.app (T.obj (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map ((iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map (B.map (L.counitIso.hom.app (L.functor.obj X)))) ≫ R.counitIso.hom.app (B.obj (L.functor.obj X))) ≫ B.map (L.functor.map (L.unitIso.hom.app X)) = R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ (iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X))
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
⊢ IsRelPrime (-x) (-y) ↔ IsRelPrime x y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
⊢ Convex 𝕜 ↑K
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
NormedField 𝕜
Finite ι
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
TopologicalSpace F
AddCommGroup F
TopologicalAddGroup F
Module 𝕜 F
⊢ Continuous fun p => p.1 p.2
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Category.{v₃, u₃} C
U : B ⥤ C
F : C ⥤ B
R : A ⥤ B
F' : C ⥤ A
adj₁ : F ⊣ U
adj₂ : F' ⊣ R ⋙ U
inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A
inst✝ : (X : B) → RegularEpi (adj₁.counit.app X)
Y : A
X : B
f : F'.obj (U.obj X) ⟶ Y
⊢ F'.map (U.map (adj₁.counit.app X)) ≫ f = otherMap R F' adj₁ adj₂ X ≫ f ↔ U.map (F.map ((adj₂.homEquiv (U.obj X) Y) f) ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y)) = U.map (adj₁.counit.app X) ≫ (adj₂.homEquiv (U.obj X) Y) f
α : Type u
l✝ l' l : List α
h : l ≠ []
⊢ l.cyclicPermutations = (zipWith (fun x x_1 => x ++ x_1) l.tails l.inits).dropLast
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
ContinuousMul α
RegularSpace α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
g : β → α
a : α
ha : HasProd f a
hf : ∀ (b : β), HasProd (fun c => f ⟨b, c⟩) (g b)
⊢ HasProd g a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
inst✝¹ : HasProduct I.left
inst✝ : HasProduct I.right
K : Multifork I
⊢ ∀ (j : WalkingMulticospan I.fstTo I.sndTo), ((𝟭 (Multifork I)).obj K).π.app j = (Iso.refl ((𝟭 (Multifork I)).obj K).pt).hom ≫ ((I.toPiForkFunctor ⋙ I.ofPiForkFunctor).obj K).π.app j
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
δ : Type u_5
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
Zero δ
f : γ →C_c δ
g : CocompactMap β γ
h : CocompactMap α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ✝ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)
δ : ι → Type u_6
φ : (i : ι) → δ i → α
h_cover : ∃ I, I.Finite ∧ ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ
⊢ 𝓤 (α →ᵤ β) = 𝓤 (α →ᵤ β)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasStrictDerivAt h₂ h₂' (h x)
hh : HasStrictDerivAt h h' x
⊢ HasStrictDerivAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') x
⊢ cos (↑π / 2) = cos ↑(π / 2)
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ)
s : Finset ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
f : ι → ℕ
⊢ (∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f) ↔ s.sum f = n * m ∧ (∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ ∀ i ∈ s, n ∣ f i
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
r : R
s t : ↥S
⊢ 1 /ₒ t * (r /ₒ s) = r /ₒ (s * t)
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
f : α → ℝ
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), MeasureTheory.IntegrableOn f (φ i) μ
hnng : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, 0 ≤ f x
htendsto : Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in φ i, f x ∂μ) l (𝓝 I)
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a b : A
⊢ σ (a * b) \ {0} = σ (b * a) \ {0}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
K₁ K₂ : CategoryTheory.Limits.Fork I.fstPiMap I.sndPiMap
f : K₁ ⟶ K₂
⊢ (I.ofPiForkFunctor.map f).hom = f.hom
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ closure s
hy : y ∈ interior s
t : 𝕜
ht : t ∈ Set.Ioc 0 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ interior s
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p * Polynomial.X ^ n).leadingCoeff = p.leadingCoeff
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
⊢ x ^ card G = 1
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ
⊢ NullMeasurableSet (fun p => p.2 ≤ g p.1) (μ.prod volume)
C : Type u
n : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.NormalMonoidalObject C
X Y : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
f : X ⟶ Y
⊢ X.normalizeObj n = Y.normalizeObj n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p0 : P
s : Set ι
p : ι → P
⊢ (∃ fs, ↑fs ⊆ s ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 -ᵥ Classical.choice ⋯ = (fs.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w) ↔ ∃ fs w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 -ᵥ Classical.choice ⋯ = (fs.weightedVSubOfPoint (fun i => p ↑i) (Classical.choice ⋯)) w
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : 0 < a
d : ℕ
⊢ a * c = a * b * d ↔ c = b * d
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K
inst✝³¹ : Field L
inst✝³⁰ : Algebra A K
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K
inst✝²⁸ : Algebra B L
inst✝²⁷ : Algebra K L
inst✝²⁶ : Algebra A L
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K L
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝²² : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : 0 ∉ M
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
eq : cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w
length_mod_two : cs.length w % 2 = (cs.length w + 1) % 2
odd : cs.length w % 2 = 1
⊢ False
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
newLast : α
rel : r p.last newLast
x : α
⊢ (∃ y, Fin.append p.toFun (singleton r newLast).toFun y = x) ↔ (∃ y, p.toFun y = x) ∨ x = newLast
l : Filter ℂ
b₁ b₂ : ℝ
hl : IsExpCmpFilter l
hb : b₁ < b₂
m n : ℕ
⊢ (fun z => z ^ m * cexp (↑b₁ * z)) =o[l] fun z => z ^ n * cexp (↑b₂ * z)
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∃ m, x + ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧ |x + ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id n) ^ p
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
⊢ Module.Injective R Q ↔ CategoryTheory.Injective (ModuleCat.of R Q)
α : Type u
t s s' : Set α
⊢ t.ite s s' \ t = s' \ t