ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : R →ₗ[R] M
⊢ (smulRight 1 ({ toFun := fun f => f 1, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f)) 1 = f 1
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLinearOrder α
f : ι → α
⊢ iInf f = ⊥ ↔ ∀ b > ⊥, ∃ i, f i < b
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
h : n ≤ n
φ : L.BoundedFormula α n
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.castLE h φ = φ
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
⊢ AlgebraicIndependent R x ↔ Function.Injective ⇑(MvPolynomial.aeval x)
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
m : M
⊢ 0 ≤ ‖(QuotientAddGroup.mk' S) m‖
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : DivisionRing R
p q : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S
⊢ (∀ (n : ℕ), (map f p).coeff n = coeff 0 n) ↔ ∀ (n : ℕ), p.coeff n = coeff 0 n
α β : Type u
f : α → FreeAddSemigroup β
x : α
⊢ pure x >>= f = f x
α : Type u_2
a b : α
DecidableEq α
hab : a ≠ b
⊢ (Equiv.swap a b).IsCycleOn {a, b}
G : Type u_3
Group G
b : G
⊢ Function.Injective fun a => b / a
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Field K
a b : σ → K
h : a ≠ b
i : σ
hi : a i ≠ b i
⊢ ∃ a_1 ∈ Finset.univ, 1 - (a a_1 - b a_1) ^ (Fintype.card K - 1) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
x : X
h : e.IsImage s t
hx : x ∈ e.source
⊢ ↑e x ∈ t ↔ x ∈ s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
CommRing k
CharP k p
n : ℕ
⊢ ∃ f,
  ∀ (x y : WittVector p k),
    (x * y).coeff (n + 1) =
      x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) +
        f (WittVector.truncateFun (n + 1) x) (WittVector.truncateFun (n + 1) y)
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
N : Submodule R M
h : ∀ s ≤ N, s.FG
s : Submodule R ↥N
f : ↥(Submodule.map N.subtype s) ≃ₗ[R] ↥s
⊢ s.FG
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : α → β
U : ι → Set β
hU : Set.iUnion U = Set.univ
⊢ Function.Injective f ↔ ∀ (i : ι), Function.Injective ((U i).restrictPreimage f)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
hI : ker f ≤ I
u : R ⧸ I
hu : (Ideal.Quotient.lift I f H) u = 0
⊢ u = 0
α : Type u
Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ (y - x) * ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = y ^ n - x ^ n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
ψ₁ ψ₂ : S₂ ⟶ S₃
h' : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy ψ₁ ψ₂
⊢ (h.comp h').h₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.h₂ ψ₁.τ₂ + CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₂.τ₃ h'.h₂
n : ℕ
⊢ FermatLastTheoremFor n ↔ FermatLastTheoremWith ℕ n
f : ℕ → ℝ
hfa : Monotone f
hf0 : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ ∃ l, Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) Filter.atTop (𝓝 l)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ContinuousAt (⇑p) 0
⊢ UniformContinuous ⇑p
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ min a b = b ↔ b ≤ a
X : Type u
Y✝ : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y✝
inst✝ : TopologicalSpace Z
p✝ : X → Prop
Y : Type u_5
p : X → Prop
l : Filter Y
f : Y → Subtype p
a : X
ha : p a
⊢ Tendsto f l (𝓝 ⟨a, ha⟩) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 ↑⟨a, ha⟩)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
z : ℝ≥0
⊢ nndist z 0 = z
ι : Type u_6
α : ι → Type u_7
(i : ι) → Monoid (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : ∀ (i : ι), ThreeGPFree (s i)
⊢ ThreeGPFree (Set.univ.pi s)
t : Set ℝ≥0
h : t.OrdConnected
⊢ (ENNReal.ofNNReal '' t).OrdConnected
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
A B : Set β
a : α
⊢ a • A ⊆ B ↔ A ⊆ a⁻¹ • B
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
fst✝¹ : Perm { a // p a }
snd✝¹ : Perm { a // ¬p a }
fst✝ : Perm { a // p a }
snd✝ : Perm { a // ¬p a }
h : (subtypeCongrHom p) (fst✝¹, snd✝¹) = (subtypeCongrHom p) (fst✝, snd✝)
⊢ (fst✝¹, snd✝¹) = (fst✝, snd✝)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
a : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
⊢ rootMultiplicity a (p * (X - C a) ^ n) = rootMultiplicity a p + n
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ((f ^ (n + 1)) x - x) / (↑n + 1)) Filter.atTop (𝓝 f.translationNumber)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy' : y ∈ H
hy : S = (ad K L) y
⊢ _root_.IsNilpotent ((ad K L) (x - y))
α : Type u
β : Type v
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f : α → β
⊢ Filter.Tendsto f l₁ l₂ ↔ Filter.PTendsto (PFun.res f Set.univ) l₁ l₂
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : NonAssocSemiring α
inst✝² : NonAssocSemiring β
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : NonAssocSemiring S
f : R →+* S
M : Matrix n m R
v : n → R
i : m
⊢ f ((v ᵥ* M) i) = (⇑f ∘ v ᵥ* M.map ⇑f) i
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ ∫ (x : α), (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = (μ Set.univ).toReal
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f : α → E → F
c : E
a : α
B : Finset α
aB : a ∉ B
hB : (∀ n ∈ B, AnalyticAt 𝕜 (f n) c) → AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∑ n ∈ B, f n z) c
h : ∀ n ∈ insert a B, AnalyticAt 𝕜 (f n) c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∑ n ∈ insert a B, f n z) c
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ W X X' Y Z : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y
h : Y ≅ Z
⊢ f ≫ g ≫ h.hom = f' ≫ g' ≫ h.hom ↔ f ≫ g = f' ≫ g'
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun x => Real.arctan (f x)) (1 / (1 + f x ^ 2) * f') x
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ f univ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f univ ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun y => fderivWithin 𝕜 f univ y) univ
α : Type u_2
M : Type u_4
AddCommMonoid M
DecidableEq α
f : α → M
a : α
l : List α
⊢ a ∈ l → f a + (List.map f (l.erase a)).sum = (List.map f l).sum
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : X → E →L[𝕜] F
s : Set X
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (y : E), ContinuousOn (fun x => (f x) y) s
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
⊢ multiplicity 2 (x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i) = ↑1
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure G
f✝ : G → E
g : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → E
μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
x' : G
⊢ ∫ (x : G), f (x' / x) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
⊢ P.Λ (↑P.k - s) = P.ε • P.symm.Λ s
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁵ : Semiring R₁
inst✝²⁴ : Semiring R₂
inst✝²³ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝²² : TopologicalSpace M₁
inst✝²¹ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₄
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹² : Module R₁ M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M'₁
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
inst✝⁹ : Module R₃ M₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝⁷ : Module R₁ M₂
inst✝⁶ : TopologicalSpace R₁
inst✝⁵ : ContinuousSMul R₁ M₂
inst✝⁴ : ContinuousSMul R₁ M₁
α : Type u_10
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : DistribMulAction α M₁
inst✝¹ : ContinuousConstSMul α M₁
inst✝ : SMulCommClass R₁ α M₁
c : α
x : M₁
⊢ (toSpanSingleton R₁ (c • x)) 1 = (c • toSpanSingleton R₁ x) 1
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
p : Submodule R L
h : ∀ {x y : L}, x ∈ p.carrier → y ∈ p.carrier → ⁅x, y⁆ ∈ p.carrier
⊢ { toSubmodule := p, lie_mem' := h }.toSubmodule = p
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y z : X
h₁ : x ~ᵢ y
h₂ : y ~ᵢ z
⊢ x ~ᵢ z
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
DenselyOrdered β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Function.Surjective f
⊢ Continuous f
α : Type u_1
G : Type u_2
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → G
hf : Memℒp f p μ
hf_meas : StronglyMeasurable f
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
⊢ FinStronglyMeasurable f μ
α : Type u_2
Preorder α
NoMaxOrder α
⊢ Filter.atTop ≤ Filter.cofinite
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0
a_mble : Measurable a
a_summable : Summable a
c : ℝ≥0
tsum_le_c : ∑' (i : α), a i ≤ c
ε : ℝ≥0
ε_ne_zero : ε ≠ 0
⊢ ∑' (i : α), ↑(a i) = ↑(∑' (i : α), a i)
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace H
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
ChartedSpace H R
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
Semiring R
SmoothRing I R
⊢ TopologicalSemiring R
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
f : α → β
e : β ≃ γ
⊢ Function.Injective (⇑e ∘ f) ↔ Function.Injective f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
s : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
⊢ fderiv 𝕜 f x ∈ s ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ s ∨ ¬DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ 0 ∈ s
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
M : Type u_8
AddCommMonoid M
Module R M
Subsingleton ι
i : ι
f : ι → M
⊢ (PiTensorProduct.subsingletonEquiv i) ((PiTensorProduct.tprod R) f) = f i
K : Type u_2
V : Type u_3
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
u v : ℙ K V
⊢ Projectivization.Dependent ![u, v] ↔ u = v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
⊢ f ⁻¹' (f '' (f ⁻¹' s)) = f ⁻¹' s
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module.Finite A (A ⊗[R] M)
inst✝ : Module.Free A (A ⊗[R] M)
x : ι → A
⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.aeval x).toRingHom (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = Polynomial.map ((MvPolynomial.eval x).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R A))) (φ.polyCharpolyAux b bₘ)
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K
⊢ K = Complex.ofReal.fieldRange ∨ K = ⊤
R : Type u
A : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
r : R
x : A
⊢ Commute ((algebraMap R A) r) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
f : γ → β
x✝ : List α
⊢ Forall₂ R x✝ (map f []) ↔ Forall₂ (fun a c => R a (f c)) x✝ []
α : Type u_1
β β' : Type u_2
γ : Type u_3
l₁ : List α
l₂ : List β
f : β → β'
g : Option α → Option β' → γ
⊢ List.zipWithAll g l₁ (List.map f l₂) = List.zipWithAll (fun a b => g a (f <$> b)) l₁ l₂
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
hc : ContinuousSMul G X
⊢ (∀ (𝒰 : Ultrafilter (G × X)) (x₁ x₂ : X), Tendsto (fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)) (↑𝒰) (𝓝 (x₁, x₂)) → ∃ g, g • x₂ = x₁ ∧ Tendsto fst (↑𝒰) (𝓝 g)) ↔ ∀ (𝒰 : Ultrafilter (G × X)) (x₁ x₂ : X), Tendsto (fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)) (↑𝒰) (𝓝 (x₁, x₂)) → ∃ g, Tendsto fst (↑𝒰) (𝓝 g)
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun x => √x) (1 / (2 * √x)) x
a b c d✝ m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n d : ℕ
⊢ d * (n / d) = n ↔ d * (n / d) = d * (n / d) + n % d
a b c : ℝ≥0∞
h : a ≠ ⊤ ∨ c ≠ ⊤
⊢ a - c < b → a < b + c
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℂ n f s x
⊢ ContDiffWithinAt ℂ n (fun x => Complex.cos (f x)) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hnt : n ≤ t.ncard
ht : t.Finite
s : Finset α
hst : ↑s ⊆ t
hsn : (↑s).ncard ≤ n
⊢ ∃ u, ↑s ⊆ u ∧ u ⊆ t ∧ u.ncard = n
α : Type u
BEq α
a : α
⊢ List.nil.erase a = List.nil
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x / c) = ∫ (x : ℝ) in d - b / c..d - a / c, f x
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ (erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = Finsupp.erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
self : CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp w₁₃ ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map u₁₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.m₃ w₂₃
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
R X Y Z : C
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Mono f₂
big_k : CategoryTheory.IsKernelPair (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₁ f₂) a b
⊢ CategoryTheory.IsKernelPair f₁ a b
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
(X₁ : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C)
      ((CategoryTheory.MonoidalCategory.curriedTensor C).obj X₁)
(X₂ : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C)
      ((CategoryTheory.MonoidalCategory.curriedTensor C).flip.obj X₂)
X₁ X₃ : CategoryTheory.GradedObject I C
X₁.HasTensor X₃
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorUnit).HasTensor X₃
X₁.HasTensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorUnit X₃)
X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorUnit X₃
X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorUnit X₃
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.associator X₁ CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorUnit X₃).hom
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₁)
      (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.leftUnitor X₃).hom) =
  CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.rightUnitor X₁).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₃)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
i : σ
m : σ →₀ ℕ
⊢ MvPolynomial.coeff m (MvPolynomial.X i) = if Finsupp.single i 1 = m then 1 else 0
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_12
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ (s.sup p).closedBall x r = s.inf fun i => (p i).closedBall x r
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
t : Set L
ht : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
this : #↑s = #↑t
e : ↑s ≃ ↑t
⊢ Nonempty (K ≃+* L)
R : Type u
CommRing R
S : Type u
CommRing S
f : R →+* S
x : R
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.comap f (PrimeSpectrum.basicOpen x) (PrimeSpectrum.basicOpen (f x)) ⋯ =
  IsLocalization.map
    (↑((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf S).val.obj (Opposite.op (PrimeSpectrum.basicOpen (f x))))) f ⋯
R : Type u
⊢ Function.Injective (@NonUnitalNonAssocSemiring.toDistrib R)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ MeasureTheory.FiniteMeasure.testAgainstNN 0 f = 0
b n : ℕ
hb : 1 < b
h : n < b
⊢ log b (n / b * b) = log b n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hM : eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
x✝ x : α
hx : x ∈ {x | max M 1 ≤ ↑‖f x‖₊}
⊢ x ∈ {x | M ≤ ↑‖f x‖₊}
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
i : ι
hxy : x i - y i ≤ δ / 4 ∧ y i - x i ≤ δ / 4
hz : x i - 3 / 4 * δ - z i ≤ δ / 4 ∧ z i - (x i - 3 / 4 * δ) ≤ δ / 4
⊢ z i < y i
α : Type u_2
Fintype α
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∩ t).dens + (s \ t).dens = s.dens
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ HasFiniteIntegral f ((κ ⊗ₖ η) a) ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) (η (a, x))) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝¹ : F.Initial
inst✝ : (F ⋙ G).Initial
⊢ G.op.Final
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsLocalMinOn f s a
g : β → γ
hg : Monotone g
⊢ IsLocalMinOn (g ∘ f) s a
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝¹ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a✝ : α
n : ℕ
𝒜✝ : Finset (Finset α)
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
ih₀ : (nonMemberSubfamily a 𝒜).card ≤ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer.card
ih₁ : (memberSubfamily a 𝒜).card ≤ (memberSubfamily a 𝒜).shatterer.card
ℬ : Finset (Finset α) := image (insert a) ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∩ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer)
⊢ 𝒜.card ≤ 𝒜.shatterer.card
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
⊢ IsUnit ↑x ↔ IsUnit x
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
s t : Set V
sconn : (H.induce s).Connected
tconn : (H.induce t).Connected
sintert : (s ⊓ t).Nonempty
⊢ H.induce s ⊔ H.induce t ≤ H.induce (s ∪ t)
p : ℕ
n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ padicValNat p (p * (n / p))! = padicValNat p n !
ι : Type u_1
M : Type u_4
AddZeroClass M
l : List ι
⊢ (List.map (fun x => 0) l).sum = 0
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
q₂ : ℚ
hx₂ : max x 0 < ↑q₂
hy₂ : ↑q₂ < y
q₁ : ℚ
hx₁ : max x 0 < ↑q₁
hq₁₂ : ↑q₁ < ↑q₂
⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
x x' : SetTheory.PGame
⊢ x ≤ x.insertLeft x'
a b : USize
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
K : Type u
inst✝ : Field K
p : K[X]
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p).denom = 1
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommMonoid β
l : Filter α
f g : α → β
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atTop
X : Type u_1
TopologicalSpace X
α : Type u_4
f : α → X
hf : Function.Surjective f
⊢ DenseRange f
x y : ℝ
hxy : x < y
⊢ dist y ((x + y) / 2) ≤ 1 * ((y - x) / 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
a : Fin (m ^ (n + 1))
ih : ∀ i < m ^ n, ∑ x : Fin n, i / m ^ ↑x % m * m ^ ↑x = i
⊢ ↑a % m + m * ∑ i : Fin n, ↑a / m / m ^ ↑i % m * m ^ ↑i = ↑a
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a✝ a : ℕ
⊢ ↑((n / p ^ a).choose (k / p ^ a)) ≡ ↑((n / p ^ a.succ).choose (k / p ^ a.succ)) * ↑((n / p ^ a % p).choose (k / p ^ a % p)) [ZMOD ↑p]
x y : PartENat
hx : x.Dom
hy : y.Dom
⊢ x.get hx ≤ y.get hy ↔ x ≤ y
H : Type u_1
H' : Type u_3
TopologicalSpace H
TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
self : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
⊢ IsOpen u → x ∈ u → (P f s x ↔ P f (s ∩ u) x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
S : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover S
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
j : E.I₁'
⊢ (E.multicospanIndex F).fst j = F.map (E.p₁ j.snd).op
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MetricSpace β
μ : Measure α
inst✝⁴ : SemilatticeSup ι
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : Countable ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f : ι → α → β
g : α → β
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ