ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
i : Fin (n + 1)
c : ℕ → ℝ
d : ℝ
hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)
hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
Hid : IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth d x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
H : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hvol_pos : ∀ (J : Box (Fin n)), 0 < ∏ j : Fin n, (J.upper j - J.lower j)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ∀ x ∈ Box.Icc I, ∀ y ∈ Box.Icc I, dist x y ≤ δ → dist (f x) (f y) ≤ ε / ∏ j : Fin n, ((I.face i).upper j - (I.face i).lower j)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, dist (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth d x) i) (∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth (c x) x_1) i) ∈ Metric.closedBall 0 ε
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring R
s : Set Rᵐᵒᵖ
⊢ (closure s).unop = closure (MulOpposite.op ⁻¹' s)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
r : α → α → Prop
f : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
h : ∀ (x : ι), DirectedOn r (f x)
⊢ DirectedOn r (⋃ x, f x)
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∃ T, ∀ (w : V), T ≤ ‖w‖ → ‖∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v‖ < ε
⊢ CategoryTheory.Limits.WalkingPair.equivBool.symm false = CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ
⊢ ↑n = 0 ↔ addOrderOf 1 ∣ n
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
s : Set X
hs : IsOpen s
t : Set Y
h : ⇑e '' s = t
⊢ (e.toPartialHomeomorphOfImageEq s hs t h).target = t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
xt : x ≠ ⊤
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun x => 0 < x) fun ε => Icc (x - ε) (x + ε)
z : ℂ
⊢ z.arg < π ↔ 0 ≤ z.re ∨ z.im ≠ 0
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : insert f (B \ {e}) ⊆ B'
hcard : (B' \ B).encard = (B \ B').encard
⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
f : Module.End K V
μ : K
n : ℕ
⊢ Submodule.map f (f.genEigenrange μ n) ≤ f.genEigenrange μ n
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x x₀ : M
y₀ : M'
⊢ (mfderiv I I id x₀).prod (mfderiv I I' (fun x => y₀) x₀) = ContinuousLinearMap.inl 𝕜 (TangentSpace I x₀) (TangentSpace I' y₀)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
f : α → β → γ
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β
⊢ Set.image2 f (⋂ i, ⋂ j, s i j) t ⊆ ⋂ i, ⋂ j, Set.image2 f (s i j) t
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f_int : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
g_int : MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
hfg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ (μ.prod MeasureTheory.volume) (regionBetween f g s) = ENNReal.ofReal (∫ (y : α) in s, (g - f) y ∂μ)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
⊢ sInf s ≤ a
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C
⊢ G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.δ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.map (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z) = (G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z ≫ F.δ X Y ▷ F.obj Z ≫ (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z)) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hf : AEMeasurable f μ
hN : μ N = 0
⊢ ∃ x ∉ N, f x ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
N : Matroid β
f : α → β
⊢ N.comapOn (f ⁻¹' N.E) f = N.comap f
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
n : ℕ
x : ↑(Ioi 0)
⊢ (volumeIoiPow n) (Iio x) = ENNReal.ofReal (↑x ^ (n + 1) / (↑n + 1))
M : Type u_1
CommMonoid M
Fintype M
DecidableEq M
R : Type u_2
CommMonoidWithZero R
ζ : Rˣ
hζ : ζ ∈ rootsOfUnity (MulChar.Monoid.orderUnits M) R
g : Mˣ
hg : ∀ (x : Mˣ), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ (MulChar.ofRootOfUnity hζ hg) ↑g = ↑ζ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
b b' : F
⊢ Trivialization.symmL 𝕜 (trivializationAt F (TangentSpace 𝓘(𝕜, F)) b) b' = 1
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
α' : TypeVec.{u_2} (n + 1)
f : α.drop.Arrow α'.drop
g : α.last → α'.last
⊢ TypeVec.lastFun (TypeVec.splitFun f g) = g
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
⊢ Function.support ↑f = Metric.ball c f.rOut
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α →ₛ E
hfi : Integrable (↑f) μ
⊢ setToSimpleFunc (weightedSMul μ) f = integral μ f
α : Type u
β' : Type v
Infinite α
lle : Cardinal.lift.{u, v} #β' ≤ Cardinal.lift.{v, u} #α
⊢ #↑{f | Function.Surjective f} = #(α → β')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
⊢ Kᗮᗮ ≤ K.topologicalClosure
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
⊢ H.relindex ⊤ = H.index
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_5
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
Union_As_finite : μ (⋃ i, As i) ≠ ⊤
posmeas : Set ι := {i | 0 < μ (As i)}
posmeas_def : posmeas = {i | 0 < μ (As i)}
as : ℕ → ℝ≥0∞
left✝ : StrictAnti as
as_mem : ∀ (n : ℕ), as n ∈ Ioo 0 1
as_lim : Tendsto as atTop (𝓝 0)
fairmeas : ℕ → Set ι := fun n => {i | as n ≤ μ (As i)}
⊢ posmeas.Countable
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑(⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
n : ℕ
IH : Continuous fun a => a ^ n
x : ℝ≥0∞
H : ¬x = 0
⊢ x ^ n ≠ 0 ∨ x ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
⊢ p ≤₀ r → q ≤₀ r → p ⊕' q ≤₀ r
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
n : ℕ
y : F
⊢ (X ^ q ^ n - C y).natSepDegree = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
a : α
t : Set β
⊢ (fun x => a⁻¹ • x) ⁻¹' t = a • t
α : Type u_1
p : Prop
o : p → α
a : α
⊢ a ∈ { Dom := p, get := o } ↔ ∃ (h : p), o h = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ < (⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ) + ε
⊢ ∃ φ, (∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x) ∧ ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
n : MeasurableSpace α
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(v.trim hle) i = ↑v i
R : Type u_1
IntCast R
n : ℤ
⊢ OrderDual.toDual ↑n = ↑n
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
α : Type u_4
f : α → M
⊢ mrange (FreeMonoid.lift f) = closure (Set.range f)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this✝ : ExpChar K q
l : ι →₀ E
hl : (Finsupp.total ι K E v) l = 0
i : ι
f : ι → ℕ
n : ℕ := l.support.sup f
this : q ^ n ≠ 0
lF : ι → F
hlF : ∀ (i : ι), (algebraMap F E) (lF i) = l i ^ q ^ n
lF₀ : ι →₀ F := Finsupp.onFinset l.support lF ⋯
h : lF₀ = 0
⊢ (algebraMap F E) (lF i) = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace Q
AddTorsor W Q
f : P →ᴬ[R] Q
h : Continuous f.toFun
⊢ { toAffineMap := f.toAffineMap, cont := h } = f
R : CommRingCat
⊢ ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R))).toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap (SpecΓIdentity.inv.app R).op.unop).val.base = (𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))).val.base
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
⊢ omegaLimit f ϕ s = ⋂ u, closure (Set.image2 ϕ (↑u) s)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
Xs : Set (Set α)
hne : Xs.Nonempty
h : ∀ X ∈ Xs, M.Basis I X
⊢ M.Basis I (⋃ i, ↑i)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
⊢ s = 0 → s ⊂ {a}
X Y : AddGrp
e : ↑X ≃+ ↑Y
⊢ e.toAddGrpIso.inv = e.symm.toAddMonoidHom
R : Type u_1
Ring R
p : ℕ
CharP R p
Fact (Nat.Prime p)
⊢ (-1) ^ p = -1
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
x : ℝ
⊢ (¬∀ (n : ℕ), 0 < n → x ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n) ↔ ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < x
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ : List α
h₁ : a ∈ l₁
h₂ : ¬a ∈ b :: l₂
⊢ a ∈ l₁.diff (b :: l₂)
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔
  ∀ (t : Set α),
    P t →
      (MeasureTheory.inducedOuterMeasure m P0 m0) (t ∩ s) + (MeasureTheory.inducedOuterMeasure m P0 m0) (t \ s) ≤
        (MeasureTheory.inducedOuterMeasure m P0 m0) t
R : Type u_1
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : CliffordAlgebra (CliffordAlgebraQuaternion.Q c₁ c₂)
⊢ CliffordAlgebraQuaternion.equiv a = CliffordAlgebraQuaternion.toQuaternion a
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
n : ℕ
IH : ∀ (ts : List α), ts.length < n → ts.permutations ~ ts.permutations'
ts✝ : List α
h✝ : ts✝.length < n + 1
ts : List α
t : α
x✝ : ts.length < n + 1 → ts.permutations ~ ts.permutations'
h : ts.length < n
IH₂ : ts.reverse.permutations ~ ts.permutations'
⊢ (ts ++ [t]).permutations ~ (ts ++ [t]).permutations'
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ : MvPowerSeries σ k
h : (constantCoeff σ k) φ ≠ 0
⊢ φ * φ⁻¹ = 1
α : Type u_1
C : Set (Set α)
I : Finset (Set α)
m : MeasureTheory.AddContent C
h_ss : ↑I ⊆ C
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
h_mem : ⋃₀ ↑I ∈ C
⊢ m (⋃₀ ↑I) = ∑ u ∈ I, m u
θ : Angle
h : 0 ≤ Real.cos θ.toReal
hn : ¬(-(π / 2) ≤ θ.toReal ∧ θ.toReal ≤ π / 2)
⊢ False
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F✝ : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F✝
inst✝³ : HasMulticoequalizer D.diagram
inst✝² : PreservesColimit D.diagram.multispan F✝
F : C ⥤ Type v
inst✝¹ : PreservesColimit D.diagram.multispan F
inst✝ : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
x : F.obj D.glued
e : F.obj D.glued ≅ (D.mapGlueData F).glued := D.gluedIso F
⊢ ∃ i y, F.map (D.ι i) y = x
α : Type u_1
a : Array α
i j : Fin a.size
k : Nat
⊢ (a.swap i j)[k]? = if ↑j = k then some a[↑i] else if ↑i = k then some a[↑j] else a[k]?
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b✝ : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b✝ r
i : α
b : ℕ
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑b ≤ ↑(r i n)
⊢ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, b ≤ r i a
n : Nat
i j : Fin n
⊢ ¬i < j ↔ j ≤ i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
J : Type w
F : CategoryTheory.Discrete J ⥤ CategoryTheory.Over B
c : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Over.ConstructProducts.widePullbackDiagramOfDiagramOver B F)
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.Discrete J),
  ((CategoryTheory.Over.ConstructProducts.conesEquivFunctor B F).obj c).π.app x =
    match x with
    | { as := j } => CategoryTheory.Over.homMk (c.π.app (some j)) ⋯
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
HasOuterApproxClosed Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
μs : ι → MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
μs_lim : Filter.Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
⊢ Filter.limsup (fun i => ↑(μs i) F) L ≤ ↑μ F
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
μ : Measure α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.trim hm).restrict s = (μ.restrict s).trim hm
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
m m' : (i : ι) → M₁ i
t : Finset ι
⊢ f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
n : ℕ
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
hn : 0 < n
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n A‖ ≤ 1
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x : AdjoinRoot f
⊢ x ∈ Algebra.adjoin R {root f}
R : Type u_1
Semiring R
a : R
⊢ (PowerSeries.coeff R 0) ((PowerSeries.C R) a) = a
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
G : Comonad C
M N : Monad C
f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor
f_η : autoParam (∀ (X : C), M.η.app X ≫ f.hom.app X = N.η.app X) _auto✝
f_μ : autoParam (∀ (X : C), M.μ.app X ≫ f.hom.app X = (M.map (f.hom.app X) ≫ f.hom.app (N.obj X)) ≫ N.μ.app X) _auto✝
X : C
⊢ N.μ.app X = N.map (𝟙 (N.obj X)) ≫ N.μ.app X
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
hs : s.Subsingleton
ht : t.Subsingleton
f : α → β → γ
⊢ (Set.image2 f s t).Subsingleton
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : LocallyConstant X Y
⊢ ⇑↑f = ⇑f
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
s t : Set L
⊢ LieSubalgebra.lieSpan R L (s ∪ t) = LieSubalgebra.lieSpan R L s ⊔ LieSubalgebra.lieSpan R L t
R : Type u_1
k p i : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ (σ k) (p ^ i) = ∑ j ∈ range (i + 1), p ^ (j * k)
k : ℕ
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ ∑' (n : ℤ), f_int k a t n = ∑' (n : ℕ), f_nat k a t n + ∑' (n : ℕ), f_nat k (1 - a) t n
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x : α
⊢ (countP p) (of x) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else Multiplicative.ofAdd 0
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x + x_1) (Ordinal.omega ^ o)
G : Type u
Group G
hG : Monoid.exponent G = 2
x : G
⊢ x⁻¹ = x
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
MeasurableSpace X
BorelSpace X
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
d : ℝ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving ⇑e μH[d] μH[d]
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
hk : 1 < k
⊢ (hasseDeriv k) X = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder ι
s : Finset ι
f g : ι → α
⊢ -∑ x ∈ s, (g x * ∏ x ∈ filter (fun x_1 => x_1 < x) s, (f x + -g x)) * ∏ i ∈ filter (fun j => x < j) s, f i = ∑ i ∈ s, (-g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + -g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
Preorder α
OrderBot α
e : ι → β
f : ι → α
hf : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
he : Function.Injective e
⊢ Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Function.extend e f ⊥)
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl L
h : K ⊆ L
D : G.ComponentCompl K
⊢ hom h C = D ↔ ∃ x ∈ ↑C, x ∈ ↑D
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
t : ℚ
h_bdd : BddBelow (range fun r => if ↑r < 0 then 0 else 1)
⊢ (⨅ r, if ↑r < 0 then 0 else 1) = if t < 0 then 0 else 1
x : ℂ
⊢ Complex.sin (2 * x) = 2 * Complex.sin x * Complex.cos x
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ Tendsto (fun x => ↑x ^ (a + 1) / (a + 1) - ↑c ^ (a + 1) / (a + 1)) atTop (𝓝 (0 / (a + 1) - ↑c ^ (a + 1) / (a + 1)))
α : Type u_1
x : α
a : Array α
⊢ (a.push x).back? = some x
α : Type u
β : Type v
f : α → β
S : Stream'.WSeq (Computation α)
⊢ Computation.map f (Computation.parallel S) = Computation.parallel (Stream'.WSeq.map (Computation.map f) S)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y Z : C
⊢ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).inv ≫ ((ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z (tensorObj ℬ X Y)).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Z X Y).inv = (ℬ X (ℬ Z Y).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 X) (BinaryFan.snd (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone ≫ ((ℬ Y Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z Y).isLimit.swapBinaryFan).hom)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Z Y).inv ≫ (ℬ (ℬ Z X).cone.pt Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X Z).cone.pt Y).cone ≫ ((ℬ X Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z X).isLimit.swapBinaryFan).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X Z).cone.pt Y).cone ≫ 𝟙 Y))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
LE α
LE β
hf : Relation.Fibration (fun x x_1 => x ≥ x_1) (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
s : Set α
hs : IsUpperSet s
⊢ IsUpperSet (f '' s)
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t : Set β
⊢ Set.image2 VSub.vsub s t = s -ᵥ t
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_3}
⊢ a < 1 ↔ a = 0
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneRightOpOfCocone c).pt = Opposite.op c.pt
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
⊢ ∀ ⦃a : (i : ι) → α i⦄, (a ∈ univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)) → a ∉ univ.pi fun i => Ioc (update x i₀ m i) (y i)
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
a : A
i : ι
⊢ (basisAux A b).invFun (Finsupp.single i a) = a ⊗ₜ[R] b.repr.symm (Finsupp.single i 1)
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hn : x₁.Numeric
h : IH24 x₁ x₂ y
he : x₁ ≈ x₂
i : x₁.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ ⟦x₁.mulOption y i j⟧ = ⟦x₁.moveLeft i * y⟧ + ⟦x₂ * y.moveLeft j⟧ - ⟦x₁.moveLeft i * y.moveLeft j⟧
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K✝ : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : CommRing L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : Algebra K✝ L
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : Algebra K L
hodd : Odd ↑n
⊢ (Algebra.norm K) ζ = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
w : (fun {Z} h => CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h) = fun {Z} h => CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h
⊢ f = g
α : Type u_1
a : α
⊢ ¬a ∈ []
α : Type u_1
P : α → Prop
m : (s : α) → P s → ℝ≥0∞
s : α
h : ¬P s
⊢ MeasureTheory.extend m s = ⊤
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
D✝ D1 D2 : LieDerivation R L M
a✝ b✝ : L
D : LieDerivation R L L
a b : L
⊢ D ⁅a, b⁆ = ⁅a, D b⁆ + ⁅D a, b⁆