ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
this : ↑‖(a.toBasis.toMatrix ⇑b).det‖ ^ 2 = 1
⊢ ‖a.toBasis.det ⇑b‖ = 1
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
x✝ : b ∣ a
c : R
e : a = b * c
⊢ a % b = 0
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u✝ : Multiset α
a✝ b : α
s t u : Multiset α
h : ¬s ∩ t + u = (s + u) ∩ (t + u)
a : α
hl : a ::ₘ (s ∩ t + u) ≤ (s + u) ∩ (t + u)
⊢ False
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
p q r : R[X]
C : Type z
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A ≃ₐ[R] B
g : B ≃ₐ[R] C
⊢ (mapAlgEquiv f).trans (mapAlgEquiv g) = mapAlgEquiv (f.trans g)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
f : S → WithTop R
⊢ trop (sInf (f '' ↑∅)) = ∑ i ∈ ∅, trop (f i)
α : Type u_1
Sub α
x y : α
⊢ MulOpposite.op (x - y) = MulOpposite.op x - MulOpposite.op y
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
⊢ AffineIsometryEquiv.constVAdd 𝕜 P 0 = AffineIsometryEquiv.refl 𝕜 P
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ
hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ
hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior s
H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
ε : ℕ → ℝ
hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n
hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)
n : ℕ
this : 0 < ε n
⊢ 0 ≤ ε n / 4
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
ho : o.card < c.cof
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi < c
⊢ Cardinal.lift.{u, u} o.card < c.cof
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀
h1 : (fun x => (f x).proj) ⁻¹' (trivializationAt F E (f x₀).proj).baseSet ∈ 𝓝[s] x₀
x : M
hx : x ∈ (fun x => (f x).proj) ⁻¹' (trivializationAt F E (f x₀).proj).baseSet
⊢ (Prod.fst ∘ fun x => (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1, (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2)) x = (fun x => ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x).proj) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
k : ℤ
⊢ f (x + (2 * k + 1) • c) = ↑(2 * k + 1).negOnePow • f x
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
H : ∀ ε > 0, ∃ s, s.Countable ∧ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
ε' : ℝ≥0
ε'0 : 0 < ↑ε'
ε'ε : ↑ε' < ε
s : Set α
hsc : s.Countable
y : α → α
hys : ∀ (x : α), y x ∈ s
hyx : ∀ (x : α), dist x (y x) ≤ ↑ε'
x : α
⊢ edist x (y x) ≤ ↑ε'
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
ContinuousMul G
a : G
⊢ ⇑(Homeomorph.mulLeft a) = fun x => a * x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Perm α
f : α ↪ β
a : α
⊢ (e.extendDomain f.toEquivRange) (f a) = f (e a)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ IntegrableOn f (Ioc a b ∪ Ioc b c) μ
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X
⊢ EquicontinuousWithinAt F univ x₀ ↔ EquicontinuousAt F x₀
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
F : CategoryTheory.Functor B C
G : CategoryTheory.Functor C D
S : D
X : CategoryTheory.Comma (F.comp G) (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S)
⊢ ((CategoryTheory.CostructuredArrow.pre F G S).obj X).hom = X.hom
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
⊢ y ∈ cylinder x n ↔ x ∈ cylinder y n
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
⊢ Differentiable 𝕜 (f ∘ ⇑iso) ↔ Differentiable 𝕜 f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalSeminormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
x y : 𝕜'
⊢ ((ContinuousLinearMap.mul 𝕜 𝕜') x) y = x * y
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
⊢ modPart p r < ↑p
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₂
ι' : Type u_1
k l n : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : MultilinearMap R (fun x => M') M₂
x y : M'
⊢ (f fun i => Sum.elim (fun x_1 => x) (fun x => y) ((finSumEquivOfFinset hk hl).symm i)) = f (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
x : E
h : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ fderiv 𝕜 f₁ =ᶠ[𝓝 x] fderiv 𝕜 f
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.prehaar (↑K₀) U ∈ MeasureTheory.Measure.haar.haarProduct ↑K₀
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ (quadraticChar F) a = 1 ↔ IsSquare a
α : Type u_1
β : Type u_2
AddGroupWithOne β
CharZero β
n : ℤ
hn : n ≠ 1
⊢ Function.mulSupport ↑n = Set.univ
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ
this : ball 0 (r * s) = r • ball 0 s
⊢ μ (ball x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 s)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ
⊢ stereoInvFun hv w ≠ ⟨v, ⋯⟩
α : Type u
TopologicalSpace α
AddGroup α
ContinuousConstVAdd αᵃᵒᵖ α
s t : Set α
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (s + t)
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
⊢ ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
h : (Ordnode.node s l x r).Sized
⊢ Ordnode.node s l x r = l.node' x r
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Nontrivial ↥↑(LieModule.weightSpace M 0)
χ : LieModule.Weight R L M
⊢ χ.IsNonZero ↔ χ ≠ 0
R : Type u
x : Tropical R
y : R
⊢ Tropical.untrop x = y ↔ x = Tropical.trop y
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
inst✝ : ∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)
G : Finset J
H : Finset (TopCat.FiniteDiagramArrow G)
this : partialSections F H = ⋂ f ∈ H, {u | (F.map f.snd.snd.snd.snd) (u f.fst) = u f.snd.fst}
⊢ ∀ i ∈ fun i => i ∈ H.val, IsClosed {u | (F.map i.snd.snd.snd.snd) (u i.fst) = u i.snd.fst}
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
W : Type u₂
inst✝ : Quiver W
F_obj : V → W
map✝¹ map✝ : {X Y : V} → (X ⟶ Y) → (F_obj X ⟶ F_obj Y)
h_obj : ∀ (X : V), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.obj X = { obj := F_obj, map := map✝ }.obj X
h_map : ∀ (X Y : V) (f : X ⟶ Y), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ ({ obj := F_obj, map := map✝ }.map f))
X Y : V
f : X ⟶ Y
⊢ map✝¹ f = map✝ f
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t₁ t₂ : Set β
f : α → β
h₁ : Set.SurjOn f s t₁
h₂ : Set.SurjOn f s t₂
⊢ Set.SurjOn f s (t₁ ∪ t₂)
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ￢a ≤ b ↔ ￢b ≤ a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a b : F
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hab : a * b ≠ 0
⊢ quadraticCharFun F (a * b) = quadraticCharFun F a * quadraticCharFun F b
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)
x y z a : (i : ι) → α i
hay : a ∉ univ.pi fun i => Ioc (y i) (z i)
hax : x ≤ a
haz : a ≤ z
⊢ a ∈ ⋃ i, Icc x (update z i (y i))
α : Type u
⊢ Function.Bijective FreeGroup.invRev
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
k : α
⊢ 0 = (a *ᵥ NumberField.house.ξ K x) k
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹⁰ : HasShift C ℤ
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : HasZeroObject C
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : Pretriangulated C
inst✝⁵ : HasShift D ℤ
inst✝⁴ : L.CommShift ℤ
inst✝³ : L.EssSurj
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms
X : D
⊢ contractibleTriangle X ∈ L.essImageDistTriang
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
Star R
ContinuousStar R
A : X → Matrix m n R
hA : Continuous A
⊢ Continuous fun x => (A x)ᴴ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a b : α
⊢ interior (Icc a b) = Ioo a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : QuadraticMap 𝕜 E F
a b : E
⊢ LineDifferentiableAt 𝕜 (⇑f) a b
M : Type u_1
MulOneClass M
c d : Con M
h : c ≤ d
x : c.Quotient
⊢ (c.map d h) x = (c.lift d.mk' ⋯) x
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
⊢ (i ≫ φ.hom) ≫ φ.inv ≫ e = 𝟙 Y ∧ (φ.inv ≫ e) ≫ i ≫ φ.hom = p'
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
f' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
h₁ : HasFDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasFDerivAt (fun t => Complex.log (f t)) ((f x)⁻¹ • f') x
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s : Set α
t : ι → Set α
⊢ s ⊆ ⋂ i, t i ↔ ∀ (i : ι), s ⊆ t i
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
x : α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
⊢ IntegrableOn f {x} μ ↔ f x = 0 ∨ μ {x} < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a x : α
i : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑i)
hx : x ≠ a
⊢ count x ↑(fill a i s) = count x ↑s
K : Type u
inst✝ : Field K
k : K
⊢ (C k).intDegree = 0
F : Type u_1
Field F
p : F[X]
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
h : Fact (Polynomial.Splits (algebraMap F E) p)
⊢ Function.Bijective (Polynomial.Gal.mapRoots p E)
α : Type u
p : α → Prop
PartialOrder α
OrderBot α
OrderBot (Subtype p)
hbot : p ⊥
⊢ ↑⊥ = ⊥
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P : PresheafOfModules R₀
F : SheafOfModules R
g : P ⟶ (restrictScalars α).obj ((SheafOfModules.forget R).obj F)
⊢ (SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafificationHomEquiv α).symm g) = ((sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj F)).symm g.hom
R : Type u_1
StrictOrderedSemiring R
l : List R
h : ∀ a ∈ l, 0 < a
⊢ 0 < l.prod
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) l
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
⊢ (dualDistrib R M N ∘ₗ dualDistribInvOfBasis b c) ((b.tensorProduct c).dualBasis (i, j)) = LinearMap.id ((b.tensorProduct c).dualBasis (i, j))
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ map (snd R M M₂) (fst R M M₂) = ⊥
P Q : Prop
p : P
q : Q
⊢ HEq p q
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
self : I.IsLocal
⊢ I.jacobson.IsMaximal
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
⊢ s.Nonempty → lowerBounds s ⊆ s
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
F : ι → Set E
s : Finset ι
h_convex : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (F i)
h_inter : ∀ I ⊆ s, I.card ≤ FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
⊢ (⋂ i ∈ s, F i).Nonempty
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
r : R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0
J : Ideal R
hJ : J.IsMaximal
w✝ : R
h' : w✝ ∈ {r}
⊢ (Algebra.linearMap R (Localization.AtPrime J)) w✝ = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
hi : I.IsPrimary
x y : R
x✝ : x * y ∈ I.radical
m : ℕ
hxy : x ^ m * y ^ m ∈ I
h : x ^ m ∈ I
⊢ x ∈ I.radical ∨ y ∈ I.radical
a b c d n : ℕ
z : ℝ
hz : z ≤ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : a ^ 2 * d ≤ (2 * d + c) * b ^ 2
⊢ ↑a / ↑b ≤ √(2 + ↑c / ↑d)
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
f : (i : Fin 2) → (fun a => Fin 2 → ℝ) i
i : Fin 2
⊢ ∀ (a : Fin 2),
  (ModularGroup.lcRow0Extend hcd).symm f i a =
    (![(LinearMap.GeneralLinearGroup.generalLinearEquiv ℝ (Fin 2 → ℝ))
              (Matrix.GeneralLinearGroup.toLinear (Matrix.planeConformalMatrix (↑(cd 0)) (-↑(cd 1)) ⋯)),
            LinearEquiv.refl ℝ (Fin 2 → ℝ)]
          i).symm
      (f i) a
ι : Type u_1
DecidableEq ι
s : Finset ι
n : ℕ
⊢ Finset.map { toFun := fun m a => Multiset.count a ↑m, inj' := ⋯ } (s.sym n) = s.piAntidiag n
α : Sort u
β : α → Sort v
DecidableEq α
f : (a : α) → β a
a : α
b : β a
⊢ Function.update f a b ≠ f ↔ b ≠ f a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
this✝ : IsIso (pullback.snd f g)
this : (PreservesPullback.iso (forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat) f g).hom ≫ pullback.fst ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map f) ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map g) = (pullback.fst f g).val.base
⊢ Set.range ⇑(inv (pullback.snd f g) ≫ pullback.fst f g).val.base = ⇑f.val.base ⁻¹' Set.range ⇑g.val.base
α : Type u_1
Add α
a b : Thunk α
εa : Type u_3
εb : Type u_4
EstimatorData a εa
EstimatorData b εb
e : εa × εb
⊢ EstimatorData.bound (a + b) e = EstimatorData.bound a e.1 + EstimatorData.bound b e.2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_8
Semigroup G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
g h : G
⊢ smoothRightMul I (g * h) = (smoothRightMul I h).comp (smoothRightMul I g)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), F.rightOp.map f = (F.map f.op).op
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
LieRingModule L M
LieRingModule L N
LieRingModule L P
e₁ : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
e₂ : N ≃ₗ⁅R,L⁆ P
⊢ (e₁.trans e₂).symm = e₂.symm.trans e₁.symm
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongEpi f
this : Epi (f ≫ e.hom.right)
⊢ Epi (e.inv.left ≫ f ≫ e.hom.right)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J✝ X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
J : Set α
hJ : M.Basis J Y
hIJ : I ⊆ J
⊢ J ∩ X ⊆ I
α β : Type u_1
f : α → β
s : Computation α
⊢ f <$> s.think = (f <$> s).think
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
x : α
⊢ (fun x => ↑‖(f + g) x‖₊) x ≤ ((fun x => ↑‖f x‖₊) + fun x => ↑‖g x‖₊) x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y
Y_rw : (Y - C (C y)) * (Y - C (C (W.negY x y))) - C (X - C x) * (C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y) = W.polynomial * 1
⊢ span {(mk W) (C (X - C x)), (mk W) (Y - C (C y)), (mk W) (Y - C (C (W.negY x y))), (AdjoinRoot.mk W.polynomial) (C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y)} = ⊤
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
⊢ IsPiSystem (MeasureTheory.measurableCylinders α)
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
i : Fin2 n
x : α i
p : Prop
⊢ TypeVec.ofRepeat (TypeVec.const p α i x) ↔ p
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
p : β → β → β → Prop
⊢ (∃ y₁ y₂ y₃, p y₁ y₂ y₃) ↔ ∃ x₁ x₂ x₃, p (f x₁) (f x₂) (f x₃)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
⊢ ∑ x : Perm n, ∑ i : n → n, ↑↑(sign x) * ∏ i_1 : n, M (x i_1) (i i_1) * N (i i_1) i_1 = ∑ p : n → n, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) (p i) * N (p i) i
M : Type u_1
CommMonoid M
R : Type u_2
CommMonoidWithZero R
Fintype Mˣ
χ : MulChar M R
⊢ χ ^ Fintype.card Mˣ = 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p q : Submodule R M
x✝¹ : IsSemisimpleModule R ↥p
x✝ : IsSemisimpleModule R ↥q
f : Bool → Submodule R M := fun t => Bool.rec q p t
⊢ IsSemisimpleModule R ↥(⨆ i ∈ Set.univ, f i)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g μ
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)
G : ℕ → SimpleFunc α E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (range g ∩ s) y₀ h₀
⊢ ∫ (a : α), g a ∂μ ∈ s
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
B : LinearMap.BilinForm R M
e : M ≃ₗ[R] M'
⊢ ((LinearMap.BilinForm.congr e) B).Nondegenerate ↔ B.Nondegenerate
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι✝ : Sort x
κ : ι✝ → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
ι : Sort x
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
hf : ∀ (i : ι) (hi : p i), u (l (f i hi)) = f i hi
⊢ l (⨅ i, ⨅ (hi : p i), f i hi) = ⨅ i, ⨅ (hi : p i), l (f i hi)
α : Type u_1
CommMonoid α
a : Associates α
⊢ IsUnit a ↔ a = ⊥
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ 0 /ₘ p = 0
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)
n b m : ℕ
⊢ m = ofDigits (b + 2) ((b + 2).digits m)
α : Type u
β : Type v
s : Finset α
f : Perm α
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
h0 : ∀ y ∈ s, ∃ x, ∃ (hx : x ∈ s), y = (fun i x => f i) x hx
⊢ f⁻¹ y ∈ s
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ Monotone (LieIdeal.map f)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_int : Integrable ({ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue (fun n => f n) τ)) μ
h_meas : AEStronglyMeasurable' hσ.measurableSpace ({ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue (fun n => f n) τ)) μ
⊢ μ[{ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue f τ)|hσ.measurableSpace] =ᶠ[ae μ] {ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue f τ)
α : Type u
m' : Type uₘ
o' : Type uₒ
NonUnitalNonAssocSemiring α
A : Matrix m' (Fin 0) α
B : Matrix (Fin 0) o' α
⊢ A * B = 0
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
inst✝ : Finite σ
val✝ : Fintype σ
⊢ Submodule.map (evalₗ K σ) (restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1)) = ⊤