ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {as : List α} {b : α} {bs : List α} {eqv : α → α → Bool},
  (a :: as).isEqv (b :: bs) eqv = (eqv a b && as.isEqv bs eqv)
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
x y : ℕ × K
⊢ PerfectClosure.mk K p x + PerfectClosure.mk K p y =
  PerfectClosure.mk K p (x.1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] x.2 + (⇑(frobenius K p))^[x.1] y.2)
w : Nat
x : Nat
⊢ (BitVec.ofNat w x).toFin = Fin.ofNat' x ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hμ : Memℒp f 1 μ
hν : Memℒp f 1 ν
⊢ eLpNorm f 1 (μ + ν) < ⊤
α : Type u_1
SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f : ℕ → α
hr : r < 1
hf : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C * r ^ n
⊢ CauchySeq fun s => ∑ x ∈ s, f x
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → α
a : α
⊢ iterate f (f a) = map f (iterate f a)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' : Ideal S
I : Ideal R
h✝ : I.IsPrime
r₁ : R
s₁ : S
r₂ : R
s₂ : S
h₁ : ((r₁, s₁) * (r₂, s₂)).1 ∈ I
right✝ : ((r₁, s₁) * (r₂, s₂)).2 ∈ ⊤
h : (r₂, s₂).1 ∈ I
⊢ (r₁, s₁) ∈ I.prod ⊤ ∨ (r₂, s₂) ∈ I.prod ⊤
α : Type u_1
x : α
r l : List α
s : α → α → Bool
h : x ∈ r
⊢ x ∈ List.merge s l r
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
⊢ W.dblY P / W.dblZ P ^ 3 = W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²¹ : RCLike 𝕜
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : CompleteSpace E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁸ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁷ : RCLike 𝕜'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝⁴ : CompleteSpace E''
inst✝³ : NormedSpace ℝ E''
inst✝² : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ condexpIndSMul hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndSMul hm hs hμs x
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type s
CommRing S
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ L : A
⊢ (WeierstrassCurve.baseChange W B).toAffine.addX (f x₁) (f x₂) (f L) =
  f ((WeierstrassCurve.baseChange W A).toAffine.addX x₁ x₂ L)
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
h : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective (AddSubgroup.map f)
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l (m₁ ++ c :: m₂) r s → s.get { byteIdx := String.utf8Len m₁ } = c
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
TopologicalSpace β
r : Set (α × α)
s : Set β
f g : β → α
hf : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
hg : ∀ x ∈ s, ContinuousAt g x
hfg : Set.EqOn f g s
hr : r ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t, IsOpen t ∧ s ⊆ t ∧ ∀ x ∈ t, (f x, g x) ∈ r
R : Type u
σ : Type u_1
a : R
s : σ →₀ ℕ
CommSemiring R
h : Decidable (a = 0)
⊢ ((MvPolynomial.monomial s) a).support = if a = 0 then ∅ else {s}
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ (v i - v j)⁻¹ ≠ 0
num : Int
den : Nat
nz : den ≠ 0
c : num.natAbs.Coprime den
⊢ { num := num, den := den, den_nz := nz, reduced := c } = normalize num den nz
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
hmeas✝ : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
htendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun M => {x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x) atTop (𝓝 0)
hmeas : ∀ (M : ℕ), AEStronglyMeasurable ({x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ
hbound : HasFiniteIntegral (fun x => ‖f x‖) μ
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖{x | ↑n ≤ ‖f x‖₊}.indicator f a - 0‖ ∂μ ≤ ε
M : ℕ
hM : ∀ n ≥ M, ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖{x | ↑n ≤ ‖f x‖₊}.indicator f a‖ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
x✝ : α
⊢ ↑‖{x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x✝‖₊ = ENNReal.ofReal ‖{x | ↑M ≤ ‖f x‖₊}.indicator f x✝‖
τ : Type u_1
AddCommGroup τ
TopologicalSpace τ
TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
TopologicalSpace α
ϕ : Flow τ α
t : τ
s : Set α
⊢ ϕ.toFun t '' s = ϕ.toFun (-t) ⁻¹' s
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
x✝ : Mˣ
ha : x✝ ∈ Units.val ⁻¹' center M
⊢ x✝ ∈ center Mˣ
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
CommSemiring B
Algebra R A
Algebra A B
Algebra R B
IsScalarTower R A B
x : σ → B
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.aeval x) ((MvPolynomial.map (algebraMap R A)) p) = (MvPolynomial.aeval x) p
M : Type u_4
N : Type u_5
Mul M
Mul N
f : M → N
hmul : ∀ (x y : M), f (x * y) = f x * f y
⊢ ⇑{ toFun := f, map_mul' := hmul } = f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
d : ℝ≥0∞
⊢ s.einfsep < d ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ edist x y < d
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
s t : Set α
f✝ : α → E
a✝ : α
h : s ⊆ t
f : α → E
a : α
⊢ ‖s.indicator f a‖ ≤ ‖t.indicator f a‖
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M✝ M N : Comon_ C
f : M.X ≅ N.X
f_counit : autoParam (f.hom ≫ N.counit = M.counit) _auto✝
f_comul : autoParam (f.hom ≫ N.comul = M.comul ≫ (f.hom ⊗ f.hom)) _auto✝
⊢ f.hom ≫ f.inv ≫ M.comul = f.hom ≫ N.comul ≫ (f.inv ⊗ f.inv)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω
inst✝ : Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
hμ : IsFiniteMeasure μ
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
h_indep : CondIndepSet m hm t t μ
this : ∀ (a : Ω), IsFiniteMeasure ((condexpKernel μ m) a)
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso fst
inst✝ : IsIso g
sq : CommSq fst snd f g
s : PullbackCone f g
⊢ (fun s => s.fst ≫ inv fst) s ≫ snd = s.snd
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
ι : Type u_3
Preorder ι
u : ι → α
h : CauchySeq u
⊢ CauchySeq u⁻¹
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → Prop
u : ℕ → ℕ
hu : ∀ (N : ℕ), u N > N
hu' : ∀ (N : ℕ), P (u N)
n : ℕ
⊢ u^[n + 1] 0 < u^[n + 1 + 1] 0
G₀ : Type u_8
GroupWithZero G₀
a : G₀
m n : ℕ
⊢ a⁻¹ ^ m * a ^ n = a ^ n * a⁻¹ ^ m
R : Type u
Semiring R
s : Set R[X]
s_fin : s.Finite
⊢ ∃ n, Submodule.span R s ≤ Polynomial.degreeLT R n
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E
⊢ RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => f.IsIntegral
G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M : Type x
inst✝³ : Monoid M
φ : G →* H
A B C : Type u
inst✝² : CommGroup A
inst✝¹ : CommGroup B
inst✝ : CommGroup C
f : A →* B
g : B →* A
e : A ≃* B
d : B ≃* C
n : ℤ
x : A ⧸ (zpowGroupHom n).range
⊢ ((equivQuotientZPowOfEquiv e n).trans (equivQuotientZPowOfEquiv d n)) (Quotient.mk'' (Quotient.out' x)) = (equivQuotientZPowOfEquiv (e.trans d) n) (Quotient.mk'' (Quotient.out' x))
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
x : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
h : ∀ i ∈ t, SmoothAt I' I (f i) x
⊢ SmoothAt I' I (fun x => ∑ i ∈ t, f i x) x
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
this : CompleteSpace ↑↑(range (continuousLinearMapOfBilin B))
⊢ (range (continuousLinearMapOfBilin B))ᗮᗮ = ⊤
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w₁ w₂ : ReducedWord G A B
hprod : ReducedWord.prod φ w₁ = ReducedWord.prod φ w₂
d : TransversalPair G A B
⊢ List.map Prod.fst w₁.toList = List.map Prod.fst w₂.toList ∧ ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁.head⁻¹ * w₂.head ∈ toSubgroup A B (-u)
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K✝ : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.138641, u_1} K✝
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.138648, u_2} D
K : Type u_3
inst✝ : Category.{u_4, u_3} K
e : J ≌ K
F : K ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsVanKampenColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ e.functor ⋙ F
f : c'.pt ⟶ (Cocone.whisker e.functor c).pt
e' : α ≫ (Cocone.whisker e.functor c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ (∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Cocone.whisker e.functor c).ι.app j)) ↔ ∀ (j : K), IsPullback ((Cocone.whisker e.inverse c').ι.app j) ((whiskerLeft e.inverse α ≫ (e.invFunIdAssoc F).hom).app j) f (c.ι.app j)
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
M₁' : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
(i : ι) → Module R (M₁' i)
M₁'' : ι → Type u_2
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁'' i)
(i : ι) → Module R (M₁'' i)
g : MultilinearMap R M₁'' M₂
f₁ : (i : ι) → M₁' i →ₗ[R] M₁'' i
f₂ : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
⊢ (g.compLinearMap f₁).compLinearMap f₂ = g.compLinearMap fun i => f₁ i ∘ₗ f₂ i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pushoutCoconeOfRightIso f g).pt = Y
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
hn : 1 < n
t : Finset β
f : α ↪ β
⊢ (∃ s, G.IsClique ↑s ∧ map f s = t) ∧ t.card = n ↔ ∃ s, G.IsNClique n s ∧ map f s = t
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h1 : ¬a < b
h2 : ¬b < a
⊢ a = b
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
r : N → N → Prop
self : CovariantClass M N μ r
⊢ Covariant M N μ r
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
⊢ Continuous fun p => f p.1 p.2
R : Type u
L₁ : Type v
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
x : L₁
⊢ LieHom.id x = x
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DiscreteTopology α
β : Type u_2
s : Set α
⊢ Dense s ↔ s = univ
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : A →₀ A
⊢ ∀ (b : B), (Algebra.linearMap A B) 0 • (D S B) b = 0
k p n : ℕ
⊢ Nat.maxPowDiv.go (k + 1) p n = Nat.maxPowDiv.go k p n + 1
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
⊢ ∀ u ∈ {U | IsOpen U}, IsOpen u
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
⊢ fderiv ℝ (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w = fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w
α : Type u_1
β : Type u_2
p a b : ℕ
hp : p ≠ 1
hle : ∀ (n : ℕ), p ^ n ∣ a → p ^ n ∣ b
hab : a.Coprime b
⊢ ¬p ^ 1 ∣ a
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
⊢ Continuous ⇑(Trivialization.linearMapAt R e b)
R : Type u
CommRing R
M : ModuleCat R
N : ModuleCat R
⊢ ModuleCat.MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 M) (𝟙 N) = 𝟙 (ModuleCat.of R (TensorProduct R ↑M ↑N))
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
s : ↥S
⊢ IsLocalizedModule.mk' f 0 s = 0
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
p q : α × β
⊢ Prod.Lex r s p q ↔ r p.fst q.fst ∨ p.fst = q.fst ∧ s p.snd q.snd
R : Type u_1
S : Type ?u.189967
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.190432
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.191572
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : FinitePresentation R M
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
I : Type (max u_2 u_1) := Free.ChooseBasisIndex k (k ⊗[R] M)
b : Basis I k (k ⊗[R] M) := Free.chooseBasis k (k ⊗[R] M)
this✝² : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))
f : k ⊗[R] M → M
hf : ∀ (b : k ⊗[R] M), ((TensorProduct.mk R k M) 1) (f b) = b
i : (I →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total I M R (f ∘ ⇑b)
hi : Surjective ⇑i
this✝¹ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)
this✝ : Surjective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
hi' : Function.Bijective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
this : ∀ {g₁ : ↥(LinearMap.ker i) →ₗ[R] I →₀ R} {g₂ : (I →₀ R) →ₗ[R] M}, Exact ⇑(Submodule.subtype 𝔪) ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Surjective ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Exact ⇑g₁ ⇑g₂ → Surjective ⇑g₂ → Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪)) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor R g₁) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) g₁)
x : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)
⊢ x = 0
α : Type u
CommSemiring α
I : Ideal α
x y : α
hy : IsUnit y
⊢ x * y ∈ I ↔ x ∈ I
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U : Submodule 𝕜 E
⊢ Uᗮ ⟂ U
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0
this : Associated (num A x⁻¹⁻¹) ↑(den A x⁻¹)
⊢ Associated (num A x) ↑(den A x⁻¹)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
s_nhd : s ∈ 𝓝 0
⊢ IsBounded (polar 𝕜 s)
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
t : Set α
h : t = ∅
⊢ (⨆ (_ : (t ∩ s).Nonempty), m (t ∩ s)) + ⨆ (_ : (t \ s).Nonempty), m (t \ s) ≤ ⨆ (_ : t.Nonempty), m t
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
⊢ ((fun x => rexp (f x)) =o[l] fun x => rexp (g x)) ↔ Tendsto (fun x => g x - f x) l atTop
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
⊢ Projectivization.Subspace.span ∅ = ⊥
M : Type u_1
α : Type u_3
VAdd M α
a : M
x : Option α
⊢ a +ᵥ x = Option.map (fun x => a +ᵥ x) x
x y : ℤ[i]
⊢ (GaussianInt.toComplex (x / y)).re = ↑(round (GaussianInt.toComplex x / GaussianInt.toComplex y).re)
M : Type u_2
Monoid M
a b : M
h : Commute a b
m n : ℕ
⊢ Commute (a ^ m) (b ^ n)
m : Type u_2
R : Type u_7
α : Type v
CommSemiring R
CommSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
Algebra R α
M : Matrix m m α
⊢ (Matrix.transposeAlgEquiv m R α) M = MulOpposite.op Mᵀ
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
m : α → EReal
f : Filter α
⊢ (∀ (i : ℝ), True → ∀ᶠ (x : α) in f, m x ∈ Iio ↑i) ↔ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : α) in f, m a < ↑x
c : Prop
d : Decidable c
α : Sort u
t e : α
h : c = True
⊢ (if c then t else e) = t
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
⊢ Heyting.IsRegular ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
Nontrivial E
c : 𝕜
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ c • Metric.sphere x r = Metric.sphere (c • x) (‖c‖ * r)
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
r : A
ht : Transcendental R r
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ Transcendental R (r ^ n)
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
t : Finset ι
ht : ∀ (j : ι), WellOrderingRel j i → (f j) x ≠ 0 → j ∈ t
j : ι
hj : 1 - (f j) x ≠ 1
⊢ WellOrderingRel j i ↔ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun _n => True) fun n => ↑(I ^ n)
ι : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
f g : ι → M
h : (List.map f l).prod < (List.map g l).prod
⊢ ∃ i ∈ l, f i < g i
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ ∃ t ⊆ s, MeasurableSet t ∧ t =ᵐ[μ] s
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Semiring B
Algebra R S
Algebra R A
Algebra R B
Algebra S A
IsScalarTower R S A
a : A
b : B
⊢ (Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R S A B).symm (MulOpposite.op (a ⊗ₜ[R] b)) = MulOpposite.op a ⊗ₜ[R] MulOpposite.op b
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁸ : Category.{u_14, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_13, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_12, u_3} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄
inst✝⁴ : Category.{u_15, u_5} C₁₂
inst✝³ : Category.{?u.187592, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝² : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
inst✝¹ : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q
H : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃
inst✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ιMapTrifunctorMapObj (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) r X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (CofanMapObjFun.iso (isColimitCofan₃MapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ j)).inv = ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ dist p₃ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).tan = dist p₁ p₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i✝ j✝ : ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hr : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hc : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (coroot i) (p.toLin (root i)))) (range ⇑coroot) (range ⇑coroot)
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
l : ι
hl : coroot l = (preReflection (coroot i) (p.toLin (root i))) (coroot j)
⊢ coroot k = (preReflection α' (p.toLin α)) β'
α : Type u_2
Mul α
f g h : Filter α
⊢ h ≤ f * g ↔ ∀ ⦃s : Set α⦄, s ∈ f → ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ g → s * t ∈ h
V : Type u
G G' : SimpleGraph V
h : G ≤ G'
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ (SimpleGraph.Walk.mapLe h p).IsTrail ↔ p.IsTrail
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : I ⊔ K = ⊤
⊢ I ⊔ J * K = I ⊔ J
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
F : Set X
h : JoinedIn F x y
⊢ JoinedIn F y x
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
this✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
i : ↑s
⊢ IsAffine ↑(ΓSpec.adjunction.unit.app X ⁻¹ᵁ ↑((fun i => ⟨PrimeSpectrum.basicOpen ↑i, ⋯⟩) i))
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
G : K ⥤ C
e : K ≌ J
α : e.functor ⋙ F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.equivalenceOfReindexing e α).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun s => CategoryTheory.Limits.Cones.ext (CategoryTheory.Iso.refl s.pt) ⋯) ⋯ ≪≫
    CategoryTheory.isoWhiskerLeft (CategoryTheory.Limits.Cones.whiskering e.functor)
      (CategoryTheory.isoWhiskerRight
        (CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun s => CategoryTheory.Limits.Cones.ext (CategoryTheory.Iso.refl s.pt) ⋯)
          ⋯)
        (CategoryTheory.Limits.Cones.whiskering e.inverse ⋙
          CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose (e.invFunIdAssoc F).hom))
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s
to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ (const α c).lintegral (μ.restrict s) = c * μ s
a b c d m n : ℤ
P : ℤ → Sort u_1
lt : (n : ℤ) → n < m → P n
ge : (n : ℤ) → n ≥ m → ((k : ℤ) → k < n → P k) → P n
⊢ ∀ (hn : m ≤ n), Int.strongRec lt ge n = ge n hn fun k x => Int.strongRec lt ge k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s✝ : Finset α
f : α ↪ β
g : β ↪ γ
s : Finset α
⊢ (map g (map f s)).val = (map (f.trans g) s).val
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.map (f ≫ g) = AlgebraicGeometry.Spec.map g ≫ AlgebraicGeometry.Spec.map f
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
⊢ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)) = F.submodule.toAddSubmonoid
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : Set α → Prop
h : μ.InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤
A : Set α
⊢ (μ.restrict A).InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s ∧ (μ.restrict A) s ≠ ⊤
R : Type u
L₁ : Type v
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
⊢ ⇑1 = id
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ (ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ρ ({x} ×ˢ s)
x : ℝ
⊢ ContinuousAt tan x ↔ cos x ≠ 0
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
g₁ g₂ : G
p : P
h : g₁ +ᵥ p = g₂ +ᵥ p
⊢ g₁ = g₂