ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁸ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁴ : G.IsContinuous J K
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify K A
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A
adj₁ : (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op ⊣ G.op.ran := G.op.ranAdjunction A
adj₂ : presheafToSheaf J A ⊣ sheafToPresheaf J A := sheafificationAdjunction J A
adj₃ : presheafToSheaf K A ⊣ sheafToPresheaf K A := sheafificationAdjunction K A
adj₄ : G.sheafPushforwardContinuous A J K ⊣ G.sheafPushforwardCocontinuous A J K := G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K
eq : (adj₁.comp adj₂).unit.app F ≫ (sheafToPresheaf J A ⋙ G.op.ran).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F) = (adj₃.comp adj₄).unit.app F
⊢ (adj₁.homEquiv F ((sheafToPresheaf J A).obj ((presheafToSheaf K A ⋙ G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F))) (adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F) ≫ (sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F)) = (adj₁.homEquiv F ((sheafToPresheaf J A).obj ((presheafToSheaf K A ⋙ G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F))) (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F))
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
t : NonUnitalSubring S
⊢ Monotone fun s => s.prod t
K : Type u
Field K
L : Type u_1
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
a : K
α : L
ha : α ^ FiniteDimensional.finrank K L = (algebraMap K L) a
hα : K⟮α⟯ = ⊤
⊢ Irreducible (Polynomial.X ^ FiniteDimensional.finrank K L - Polynomial.C a)
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
s : Set (G ⧸ Γ)
s_meas : MeasurableSet s
hs : μ (π ⁻¹' s ∩ 𝓕) = 0
⊢ μ (π ⁻¹' s) = 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f ⊥
this : Continuous eval
⊢ chaar K₀ ∈ eval ⁻¹' {0}
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
f : (i : ι) → π i
⊢ IsAtom f → ∃ i a, IsAtom a ∧ f = Function.update ⊥ i a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
f_lim : α → E
h_f_lim_meas : StronglyMeasurable f_lim
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
s : Finset ℕ
m k : ℕ
h : m ∈ Nat.factoredNumbers s
h' : k ∣ m
⊢ k ∈ Nat.factoredNumbers s
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Bialgebra R A
x : A
⊢ (Bialgebra.counitBialgHom R A) x = Coalgebra.counit x
M : Type u_9
N : Type u_10
Add M
AddCommSemigroup N
f g : AddHom M N
x : M
⊢ (f + g) x = f x + g x
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
q : ℕ
hqa : q ∈ a.primeFactorsList
hqb : q ∈ b.primeFactorsList
⊢ False
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScott α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ IsUpperSet s ∧ IsOpen s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
σ : Perm α
h0 : n.Coprime (orderOf σ)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
m : ℕ
hm : (σ ^ n) ^ m = σ
h2' : (σ ^ n).support = ⊤
h1' : (σ ^ n).IsCycle
⊢ closure {σ, swap x ((σ ^ n) x)} = ⊤
l : List ℝ
hl : ∀ x ∈ l, 0 ≤ x
r : ℝ
⊢ (List.map (fun x => x ^ r) l).prod = l.prod ^ r
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomotopyEquiv.refl S).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id S
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
⊢ ∀ (x y : L), χ x = 0 → χ y = 0 → χ (x + y) = 0
n : ℤ
z τ : ℂ
⊢ π * ↑|n| ^ 2 * ‖jacobiTheta₂_term n z τ‖ ≤ ‖jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ‖
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
r : K[X]
hr : map (algebraMap R K) q = map (algebraMap R K) p * r
s : R
s0 : s ∈ R⁰
hs : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ r) = C ((algebraMap R K) s) * r
h : p ∣ (q * C s).primPart
⊢ q * C s ≠ 0
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ (-f) v = -f v
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
f : F →SL[σ₂₃] G
g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F
h✝ : Subsingleton F'
⊢ ‖f.comp g.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap‖ = ‖f‖
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
CommRing R
CommRing S
Ring A
Algebra R S
Algebra S A
Algebra R A
IsScalarTower R S A
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
Algebra.IsAlgebraic R A
⊢ Algebra.IsAlgebraic S A
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
⊢ GaloisConnection (fun I => ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑I) fun t => ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal t
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ b ∆ a ∆ a = b
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : K
hx : x ≠ 0
⊢ spanSingleton R₁⁰ x * (spanSingleton R₁⁰ x)⁻¹ = 1
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
hG : IsPGroup p G
n : ℕ
hn : p.Coprime n
g : G
⊢ (hG.powEquiv hn).symm g = g ^ (orderOf g).gcdB n
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a : R
⊢ a % 0 = a
M : Type u_1
One M
⊢ DomMulAct.mk.symm 1 = 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
M : Type u_5
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => (Multiset.map (fun f => f x) s).prod) μ
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₁₂ : Type u_3
C₂₃ : Type u_4
C₃ : Type u_5
C₄ : Type u_6
inst✝⁹ : Category.{u_15, u_1} C₁
inst✝⁸ : Category.{u_14, u_2} C₂
inst✝⁷ : Category.{u_12, u_5} C₃
inst✝⁶ : Category.{u_11, u_6} C₄
inst✝⁵ : Category.{u_13, u_3} C₁₂
inst✝⁴ : Category.{u_17, u_4} C₂₃
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄
G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃
associator : bifunctorComp₁₂ F₁₂ G ≅ bifunctorComp₂₃ F G₂₃
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r
ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝³ : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
inst✝² : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q
inst✝¹ : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
inst✝ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q
H₁₂ : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃
H₂₃ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (mapBifunctorAssociator associator ρ₁₂ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃).hom j = ((associator.hom.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X ▷ L.X ≫ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ (R.X ◁ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ R.X ◁ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p q : ℤ
q1 : 1 < q
a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q
a1 : |↑a / ↑b - ↑p / ↑q| < 1 / ↑q ^ (b + 1)
qR0 : 0 < ↑q
b0 : ↑b ≠ 0
bq0 : 0 < ↑b * ↑q
⊢ False
J : Type u
inst✝³ : Preorder J
inst✝² : IsDirected J fun x x_1 => x ≤ x_1
F : Jᵒᵖ ⥤ Type v
inst✝¹ : ∀ (j : Jᵒᵖ), Finite (F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : Jᵒᵖ), Nonempty (F.obj j)
h✝ : Nonempty J
⊢ F.sections.Nonempty
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b : Ordinal.{u}
h_init : x ≤ f x
h_ab : a ≤ b
h : OrdinalApprox.lfpApprox f x a ∈ Function.fixedPoints ⇑f
⊢ OrdinalApprox.lfpApprox f x b = OrdinalApprox.lfpApprox f x a
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume
w : ℝ
⊢ HasDerivAt (𝓕 f) (𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) w) w
G : Type u
AddGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
U : Set G
⊢ U ∈ B → ∃ V ∈ B, V + V ⊆ U
α : Type u_1
l : Language α
x : List α
n : ℕ
⊢ x ∈ l ^ n ↔ ∃ S, x = S.join ∧ S.length = n ∧ ∀ y ∈ S, y ∈ l
α : Type u_1
a b c d : α
MulZeroClass α
Preorder α
PosMulStrictMono α
MulPosMono α
h₁ : a < b
h₂ : c < d
a0 : 0 ≤ a
c0 : 0 ≤ c
⊢ a * c < b * d
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ (Ioi 1).indicator (fun x => P.f x - P.f₀) x + (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) x - P.f x + P.f₀ = (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f₀ - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) x + {1}.indicator (fun x => P.f₀ - P.f 1) x
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
⊢ Pairwise fun x y => ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq α'
DecidableEq γ
DecidableEq δ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
g : γ → δ
f' : β → α' → δ
g' : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' b (g' a)
⊢ Finset.image g (Finset.image₂ f s t) = Finset.image₂ f' t (Finset.image g' s)
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
hx : nilpotencyClass x = 1
this : IsNilpotent x
⊢ x = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
⊢ MeasureTheory.cylinder s ∅ = ∅
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
Fintype ιM
DecidableEq ι
DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
x : L
⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = ((LinearMap.toMatrix bₘ bₘ) (φ x)).charpoly
K : Type u
Field K
n : ℕ
hn : Odd n
a : K
ha : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
⊢ Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
α : Type u
l : List α
n : Fin l.reverse.length
hn' : l.length - 1 - ↑n < l.length
⊢ l.reverse.get n = l.get ⟨l.length - 1 - ↑n, hn'⟩
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {f : α → Option α_1} {n : Nat} {a : α},
  (f a).isNone = true → List.findSome? f (List.replicate n a) = none
α : Type u_1
m n : Nat
l : List α
⊢ List.drop n (List.take m l) = List.take (m - n) (List.drop n l)
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
Module R M₃
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
TopologicalSpace M₃
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
g : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₃
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ (f.prod g) m = (f m, g m)
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R
⊢ (PowerSeries.coeff R 0) (φ * PowerSeries.X) = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f
⊢ ∀ (l : ℕ), f ζ ^ l = 1 → orderOf ζ ∣ l
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
f : α → Multiset γ
g : β → Multiset δ
h : (r ⇒ Multiset.Rel p) f g
hst : Multiset.Rel r s t
⊢ Multiset.Rel p (s.bind f) (t.bind g)
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
z : ℂ
h1 : z ^ n = z + 1
h2 : (1 * z ^ 0 + -1 * z ^ (n - 1 + 0) + -1 * z ^ n) * z = 0
⊢ z ^ n = z + 1 ∧ z ^ n + z ^ 2 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'
⊢ e.symm ≈ e'.symm
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sᶜ → f x = 0 x
⊢ s.indicator f =ᶠ[ae μ] f
a b : Ordinal.{u}
hb : 0 < b
hba : b ≤ a ^ ω
⊢ nfp (fun x => a * x) b = a ^ ω
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp (a + p) b = toIocDiv hp a b - 1
M : Type u_1
Add M
ι : Sort u_4
f : ι → AddCon M
⊢ ⇑(iInf f) = ⨅ i, ⇑(f i)
ι✝ : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype p
ι : Type u_8
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
a b : n → R
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, (col ι a * row ι b).diag x = a x * b x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Union α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ma ∪ mb ∈ a ∪ b
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q :
  ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj
          (CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f))).toPresheafedSpace
⊢ (AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier.asIdeal f_deg hm q).IsPrime
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
x : Filter α
y : Filter β
z : Filter γ
hg : Filter.Tendsto g y z
hf : Filter.Tendsto f x y
⊢ Filter.Tendsto (g ∘ f) x z
α : Type u_1
Mul α
a b : α
⊢ toLex (a * b) = toLex a * toLex b
m s n : Nat
⊢ m ∈ range' s n ↔ s ≤ m ∧ m < s + n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
⊢ MeasurableSingletonClass α
R : Type uR
Semiring R
r : R → R → Prop
⊢ EqvGen (RingQuot.Rel r) = RingConGen.Rel r
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
F G : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
G.PreservesZeroMorphisms
F.PreservesRightHomologyOf S
G.PreservesRightHomologyOf S
h : S.RightHomologyData
τ : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.natTransApp h τ).φQ = τ.app h.Q
m : Type u → Type u_1
α β σ : Type u
Monad m
x : StateT σ m α
y : StateT σ m β
s : σ
⊢ (SeqLeft.seqLeft x fun x => y).run s = do
  let p ← x.run s
  let p' ← y.run p.snd
  pure (p.fst, p'.snd)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝¹ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
n✝ n : ℕ
ih : derivative (p ^ (n + 1)) = C (↑n + 1) * p ^ n * derivative p
⊢ (C ↑n * p ^ n * p + p ^ n * p) * derivative p + p ^ n * p * derivative p = C (↑n.succ + 1) * p ^ n * p * derivative p
L₁ : FirstOrder.Language
L₂ : FirstOrder.Language
S : Type u_3
L₁.Structure S
L₂.Structure S
n : ℕ
R : L₂.Relations n
⊢ FirstOrder.Language.Structure.RelMap (Sum.inr R) = FirstOrder.Language.Structure.RelMap R
α : Type u
β : Type v
s : Computation α
f : α → Computation β
b : β
h : b ∈ s.bind f
⊢ ∃ a, a ∈ s ∧ b ∈ f a
S : Type v
T : Type w
CommRing T
p : Polynomial T
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
a : S
h : a ∈ p.rootSet S
⊢ p ≠ 0
α : Type u_1
s : Finset α
Fintype ↑↑s
⊢ (↑s).toFinset = s
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)
⊢ Type ?u.23430
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Submodule.span A (Set.range (⇑(Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) ∘ fun x => Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1)) = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
μ : Measure (Measure α)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (map (map f) μ).join s = (map f μ.join) s
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
⊢ {x | p x ∧ ∀ k < count p n, nth p k < x} = {i | p i ∧ n ≤ i}
α : Type u
a : α
s : Stream' α
⊢ (Stream'.cons a s).get 0 = a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r
inst✝ : Finite ι
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
h : IsEmpty ((i : ι) → α i)
⊢ WellFounded (Pi.Lex r fun {i} => s i)
b : ℕ
h : 1 ≤ b
⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, n.FermatPsp b
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
s t : Set α
f : α → E
a : α
⊢ ‖s.indicator f a‖ ≤ ‖f a‖
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (β × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂ρ
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.trim hm)
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Module S M
Module S N
Algebra S R
IsScalarTower S R M
IsScalarTower S R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ Q.restrictScalars x = Q x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
l l' : Filter α
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
h : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
h' : l' ≤ l
⊢ StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
m : Nat
u : UInt16
⊢ m > 0 → (u % m).toNat < m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
x : E
⊢ (reflection K) x = x ↔ x ∈ K
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
self : WeakFEPair E
r : ℝ
⊢ (fun x => self.f x - self.f₀) =O[Filter.atTop] fun x => x ^ r
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
⊢ angle x y = 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
s : Set α
⊢ Metric.diam (f '' s) = Metric.diam s
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hf : ∀ (i' : ι), i' ≠ i → i' ∈ m → f i' = 1
⊢ (map f m).prod = f i ^ count i m
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
⊢ Finsupp.mapDomain f (v₁ + v₂) = Finsupp.mapDomain f v₁ + Finsupp.mapDomain f v₂
w : Nat
x y : BitVec w
h : x.msb = y.msb
⊢ x.slt y = x.ult y
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
x y : V
he : s(x, y) ∈ M.edgeSet
⊢ ∃ a, h.toEdge a = ⟨s(x, y), he⟩
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ : Type u
X Y : AlgebraCat R
i : X ≅ Y
x : ↑Y
⊢ (𝟙 Y) x = x
G : Type u
Group G
X : Action FintypeCat (MonCat.of G)
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected X
⊢ MulAction.IsPretransitive G ↑X.V
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ iteratedDerivWithin (n + 1) f s x = derivWithin (iteratedDerivWithin n f s) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
x : α
hx : x ∈ Icc ↑a ↑b
⊢ p x
N : ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096
⊢ ↑N * rexp (-4 * √(Real.log ↑N)) ≤ 1
x : Int
n : Nat
y : Int
⊢ (x.bmod n + y).bmod n = (x + y).bmod n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 < a + b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) ≤ (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module 𝕜₁ M₁
inst✝¹ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
S : Set M₁
hS : IsVonNBounded 𝕜₁ S
K : Set M₂
hK : IsCompact K
hKf : ⇑f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr : r > 0
hrS : ∀ (c : 𝕜₁), r ≤ ‖c‖ → S ⊆ c • ⇑f ⁻¹' K
c : 𝕜₁
hc : r < ‖c‖
this : c ≠ 0 := ne_zero_of_norm_ne_zero (Ne.symm (LT.lt.ne (LT.lt.trans hr hc)))
⊢ ⇑f '' S ⊆ σ₁₂ c • K