ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a⁻¹ ≤ 1 ↔ 1 ≤ a
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCones F
Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)
c : Cone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
⊢ (𝟙 c.pt ≫ (Q j').lift { pt := c.pt, π := { app := fun k => c.π.app (j', k), naturality := ⋯ } }) ≫ (D.obj j').π.app k = ((Q j).lift { pt := c.pt, π := { app := fun k => c.π.app (j, k), naturality := ⋯ } } ≫ (D.map f).hom) ≫ (D.obj j').π.app k
K : Type u_1
DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
Inhabited Λ
M : Λ → Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
S : Finset Λ
ss : Turing.TM2.Supports M S
c c' : Turing.TM2.Cfg Γ Λ σ
⊢ c' ∈ Turing.TM2.step M c → c.l ∈ Finset.insertNone S → c'.l ∈ Finset.insertNone S
a b : Prop
ha : ¬a
⊢ (a ↔ b) ↔ ¬b
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S : StarSubalgebra ℂ A
h✝ : Nontrivial A
⊢ spectrum ℂ (star a * a) ⊆ Set.Icc 0 ↑‖star a * a‖
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s₁ : Setoid α
s₂ : Setoid β
p : Quotient s₁ → Quotient s₂ → Prop
q₁ : Quotient s₁
q₂ : Quotient s₂
h : ∀ (a₁ : α) (a₂ : β), p (Quotient.mk'' a₁) (Quotient.mk'' a₂)
⊢ p q₁ q₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
P : CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation A
⊢ P.cocone.pt = A
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
s : Set α
h : s.Nonempty
a : α
as : a ∈ s
⊢ ⊤ ≤ (⊤ • dirac a) s
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j₁ j₂ : J
h : CategoryTheory.Zag j₁ j₂
⊢ CategoryTheory.Zag j₂ j₁
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s✝ : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
s : Set M
p : (x : M) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
mul : ∀ (x : M) (hx : x ∈ closure s) (y : M) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
x : M
hx : x ∈ closure s
⊢ ∃ (x_1 : x ∈ closure s), p x x_1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
n : ℕ
F : CategoryTheory.Functor (Fin (n + 1)) C
X : Fin (n + 1)
⊢ ((G.mapComposableArrows n).obj F).obj X = G.obj (F.obj X)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
p : ℝ
hf : DifferentiableAt ℝ f x
h : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => f x ^ p) x
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : SetLike σ R
inst✝⁵ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝⁴ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝³ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝² : Sub ι
inst✝¹ : OrderedSub ι
inst✝ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : i ≤ n
x : ι
⊢ i + x = n ↔ x = n - i
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
H.Normal
⊢ upperCentralSeriesStep H = Subgroup.comap (QuotientGroup.mk' H) (Subgroup.center (G ⧸ H))
M : Type u
Monoid M
N : Type v
Monoid N
f : M →* N
P : Type w
Monoid P
g : N →* P
⊢ (CategoryTheory.SingleObj.mapHom M P) (g.comp f) =
  (CategoryTheory.SingleObj.mapHom M N) f ⋙ (CategoryTheory.SingleObj.mapHom N P) g
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
H : normalizedFactors (normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod = normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J
this : (normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod ≠ 0
⊢ I ⊔ J ≤ (normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ (Submodule.span R {x}).FG
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup n R
v : n → R
⊢ (Matrix.SpecialLinearGroup.toLin' A).symm v = (Matrix.toLin' ↑A⁻¹) v
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h2f : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x y : α
xs : List α
h : (x :: y :: xs).Nodup
⊢ (x :: y :: xs).formPerm x = y
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, (↑↑(Equiv.Perm.sign i) * ∏ x : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if i x = x then Polynomial.X else 0) - X (some (i x, x)))).IsHomogeneous (0 + ∑ i : n, 1)
α : Type u_1
ι : Type u_4
f : ι → Set α
s t : Set ι
h₀ : Pairwise (Disjoint on f)
h₁ : ∀ i ∈ s, (f i).Nonempty
h : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i ∈ t, f i
⊢ s ⊆ t
α : Type u_1
s t : Multiset α
⊢ s ⊆ t ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
V : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ = (⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ - Complex.I * ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ + Complex.I * ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ) / 4
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set A
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val → Cardinal.mk ↑s ≤ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ ‖∑' (n : ℕ), x ^ n‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖x‖)⁻¹
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
⊢ G.adj.counit = { app := fun Y => G.ε.app Y, naturality := ⋯ }
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0
⊢ (W.preΨ' n).coeff ((n ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2) ≠ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hx : f x ∈ s
⊢ x = f⁻¹ (f x)
p : Turing.PartrecToTM2.Γ' → Bool
k₁ k₂ : Turing.PartrecToTM2.K'
q : Turing.PartrecToTM2.Λ'
s : Option Turing.PartrecToTM2.Γ'
L₁ : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
o : Option Turing.PartrecToTM2.Γ'
L₂ : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
S : Turing.PartrecToTM2.K' → List Turing.PartrecToTM2.Γ'
h₁ : k₁ ≠ k₂
e : Turing.PartrecToTM2.splitAtPred p (S k₁) = (L₁, o, L₂)
⊢ Turing.Reaches₁ (Turing.TM2.step Turing.PartrecToTM2.tr)
  { l := some (Turing.PartrecToTM2.Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }
  { l := some q, var := o, stk := Function.update (Function.update S k₁ L₂) k₂ (L₁.reverseAux (S k₂)) }
ι : Type u_3
G : Type u_4
CommGroup G
H : Subgroup G
f : ι → ↥H
s : Finset ι
⊢ ↑(∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ↑(f i)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : AddZeroClass β
f g : Multiset α →+ β
h : ∀ (x : α), f {x} = g {x}
⊢ f 0 = g 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace α
S : Set ι
i : ι
hiS : i ∈ S
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ s ∈ piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) S
b o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
⊢ o % b ^ log b o < o
α : Type u_1
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ConditionallyCompleteLinearOrder α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
Countable (Subtype p)
Nonempty (Subtype p)
hv : v.HasBasis p s
f : ι → α
⊢ Filter.liminf f v =
  if ∃ j, s ↑j = ∅ then sSup Set.univ
  else if ∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (Set.range fun i => f ↑i) then sSup ∅ else ⨆ j, ⨅ i, f ↑i
F : Type u_1
L : Type u_3
Field F
Field L
Algebra F L
Normal F L
K : IntermediateField F L
⊢ Normal F ↥K ↔ ∀ (σ : L →ₐ[F] L), IntermediateField.map σ K ≤ K
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b c : α
⊢ (fun x => x / a) '' [[b, c]] = [[b / a, c / a]]
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
i j : ℕ
⊢ I ^ i • F.N j ≤ F.N (i + j)
a b : ℝ
h : b ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => ↑a ^ ↑x) b
R : Type u_1
Mul R
IsRightCancelMul R
g : R
⊢ IsRightRegular g
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y
hg : OpenEmbedding g
h : OpenEmbedding (g ∘ f)
⊢ OpenEmbedding f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
⊢ h.cocone.inl = inl
S : Set Ordinal.{u}
hS : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
o : Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.enumOrd S o ∈ S
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
⊢ ∠ p2 p3 p1 = 0
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q ≠ 0
⊢ p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
α : Type u
x : α
e : Equiv.Perm α
h : Function.IsFixedPt (⇑e) x
⊢ Function.IsFixedPt (⇑e⁻¹) x
α : Type u
β : Type v
t : List (α × β)
h : α × β
⊢ (h :: t).unzip =
  match t.unzip with
  | { fst := al, snd := bl } => { fst := h.fst :: al, snd := h.snd :: bl }
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
x y : ℚ
⊢ ↑(x / y) = ↑x / ↑y
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
H : Subsingleton R
⊢ False
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₁₂₄₅ : vectorSpan ℝ {p₁, p₂} = vectorSpan ℝ {p₄, p₅}
h₃₂₆₅ : vectorSpan ℝ {p₃, p₂} = vectorSpan ℝ {p₆, p₅}
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
Unique β
f : β → C
s : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Discrete.functor f)
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitConeOfUnique f).isLimit.lift s = s.π.app default
M : Type u
⊢ Function.Injective (@AddRightCancelMonoid.toAddMonoid M)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ NormedSpace.polar 𝕜 (Metric.closedBall 0 r) = Metric.closedBall 0 r⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
hl : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.get ⟨k, hk⟩ ∈ l
⊢ (↑⟨k, hk⟩ + 1) % l.length = k ↔ l.length ≤ 1
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module.Flat R M₂
rs : List R
h : IsWeaklyRegular M rs
⊢ IsWeaklyRegular (M ⊗[R] M₂) rs
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l l' : ℝ≥0
hl' : l' ≠ 0
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ s
hfφ : HasConstantSpeedOnWith (f ∘ φ) s l
hf : HasConstantSpeedOnWith f (φ '' s) l'
x : ℝ
xs : x ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s
⊢ φ y = (fun y => ↑l / ↑l' * (y - x) + φ x) y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
(i : ι) → MetricSpace (α i)
x : (i : ι) → α i
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ (MeasureTheory.Measure.pi μ) (Metric.closedBall x r) = ∏ i : ι, (μ i) (Metric.closedBall (x i) r)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : DecidableEq L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsFractionRing R K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
⊢ ↑((fun x => { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }) 1) = ↑1
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
⊢ Relation.TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
R : Type u_2
M₁ : Type u_4
N : Type u_8
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid N
Module R M₁
Module R N
Q : QuadraticMap R M₁ N
⊢ QuadraticMap.Isometry.ofEq ⋯ = QuadraticMap.Isometry.id Q
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = Submodule.span R (⇑↑(toModuleHom R L M) '' {t | ∃ m n, ↑(incl I) m ⊗ₜ[R] ↑N.incl n = t})
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : f ≈ g
h : padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
hlt : padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))
hpn : 0 < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, padicNorm p (↑(f - g) j) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
i : ℕ := max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))
hi : N ≤ i
hN' : padicNorm p (↑(f - g) i) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
⊢ False
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h : 𝒜 ⊆ ℬ
⊢ 𝒜.shatterer ⊆ ℬ.shatterer
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
i : ℕ
hi✝ : i ∈ Finset.Ico 1 (log p n + 1)
hi : 1 < i
⊢ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i < p ^ i
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q✝ : QuadraticMap R M N
Q : QuadraticMap R M R
x y : M
⊢ (RingHom.id R) ((((associatedHom S) Q) x) y) = (((associatedHom S) Q) y) x
α : Type u_1
PartialOrder α
BoundedOrder α
IsSimpleOrder α
DecidableEq α
⊢ Finset.univ = {⊤, ⊥}
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.exp (n • x) = Real.exp x ^ n
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
x y : ↥s
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
CompactSpace α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
Fact (1 ≤ p)
f g : C(α, E)
μ.IsOpenPosMeasure
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
⊢ (ContinuousMap.toLp p μ 𝕜) f = (ContinuousMap.toLp p μ 𝕜) g ↔ f = g
n m a : ℕ
h : n ≤ m
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1
this : p ∣ (m - n) * a
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : OpensMeasurableSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : ℝ≥0∞
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤
⊢ IdentDistrib (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal) (fun x => ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal) μ ν
R : Type u_1
S : Type u_4
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
x y : S
r : R
hr : f r * y = 1
hx : f.IsIntegralElem (x * y)
⊢ f.IsIntegralElem x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (F ⊗ G).map f = F.map f ⊗ G.map f
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
⊢ ↑b.repr.symm = Finsupp.total ι M R ⇑b
α : Type u_1
LinearOrder α
b c : α
⊢ c ∉ Set.Iio b ↔ b ≤ c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ comap m g ≤ f ↔ g ≤ kernMap m f
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0
this : 1 ≤ ↑(Fintype.card Fq)
⊢ (x - z).degree ≤ max (x - y).degree (y - z).degree
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ s.powerset = t.powerset ↔ s = t
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
y : E
r : ℝ
⊢ y ∈ p.closedBall 0 r ↔ p y ≤ r
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a : α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
CompactIccSpace α
Filter.atBot.IsMeasurablyGenerated
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f (Set.Iic a) μ
ho : f =O[Filter.atBot] g
hg : MeasureTheory.IntegrableAtFilter g Filter.atBot μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Iic a) μ
X : Type u
TopologicalSpace X
self : CompletelyRegularSpace X
x : X
K : Set X
⊢ IsClosed K → x ∉ K → ∃ f, Continuous f ∧ f x = 0 ∧ Set.EqOn f 1 K
x : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (↑m + x)
⊢ Irrational x
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ Scheme.Hom.app (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)) ⊤ ≫ (Spec (X.presheaf.obj (op (⋯.functor.obj ⊤)))).presheaf.map ((Opens.map (inv (ΓSpec.adjunction.unit.app ↑U)).val.base).map (eqToHom ⋯).op.unop).op ≫ Scheme.Hom.app (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)) ((Opens.map (inv (ΓSpec.adjunction.unit.app ↑U)).val.base).obj ((Opens.map U.ι.val.base).obj U)) = (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y) → P124 a
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
ihxyn : IH1 (-x) (-y)
ihyxn : IH1 (-y) (-x)
⊢ (x * y).Numeric
x : SetTheory.PGame
⊢ x + 0 ≈ x
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α β : LieModule.Weight R L M
hα : α.IsNonZero
⊢ (LieModule.chainTop (⇑α) β).IsNonZero
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
l : ↥(supported M R s)
a : α
h : a ∉ s
⊢ ↑((restrictDom M R s ∘ₗ (supported M R s).subtype) l) a = ↑(LinearMap.id l) a
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym α n
⊢ ↑s.attach = (↑s).attach
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
⊢ (liftAux φ) ((tprod R) f) = φ f
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
⊢ Quot.mk Setoid.r MonCat.Colimits.Prequotient.one = 1
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
⊢ (List.ofFn f).get? i = List.ofFnNthVal f i
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
⊢ ∀ {X Y : J ⥤ C} (α : X ⟶ Y), CategoryTheory.Limits.colim.map α = CategoryTheory.Limits.colimMap α
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : DistribMulAction R M
inst✝ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
r : R
n : ℕ
⊢ (inl r ^ n).snd = (inl (r ^ n)).snd
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ Y₁ X₂ Y₂ : C
f : X₁ ≅ X₂
g : Y₁ ≅ Y₂
h : X₂ ≅ Y₂
⊢ (f.isoCongr g).symm h = f ≪≫ h ≪≫ g.symm
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cocone.equivStructuredArrow F).functor.obj c).right = c.pt
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
⊢ ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') 0 = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) 0
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
C : Hausdorffification I M → Prop
x : Hausdorffification I M
ih : ∀ (x : M), C ((Hausdorffification.of I M) x)
⊢ C x
a : ℝ
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * Complex.I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ↑(HurwitzZeta.cosKernel (↑a) t)
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
AddCommGroup P
g : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
injective : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(g i)
⊢ Function.Injective ⇑(AddCommGroup.DirectLimit.lift G f P g Hg)
c : Cardinal.{u_1}
⊢ 0 < Order.succ c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
inst✝ : Nonempty ι
l : ι → Filter α
s : (i : ι) → ι' i → Set α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
t : Set α
⊢ t ∈ ⨅ i, l i ↔ ∃ i, p i.fst i.snd ∧ s i.fst i.snd ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Set α → Filter β
h : Set β → Set γ
hg : Monotone g
⊢ (f.lift g).lift' h = f.lift fun s => (g s).lift' h
F : Type u_1
Field F
K : Type u_2
Field K
f : F →+* K
s : Set K
hs : IsSubfield s
⊢ IsSubfield (⇑f ⁻¹' s)
α : Type u_1
Subsingleton α
⊢ Set.diagonal α = Set.univ
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
φ : ℕ → Set α
hφ : AECover μ atTop φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
lim₁ : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in ⋂ k ∈ Ici i, φ k, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
⊢ Tendsto (fun x => ∫⁻ (x : α) in φ x, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
⊢ Set.EqOn f (Function.const E (f c)) (closure U)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
⊢ map (fun p => m p.1 p.2) (f ×ˢ g) = map₂ m f g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.L₁'.g = S.δ
x y : ENNReal
h : ∀ (r : ℝ≥0), ↑r < x → ↑r ≤ y
⊢ x ≤ y
α : Type u_2
β : Type u_3
One α
f : α ↪ β
⊢ Finset.map f 1 = {f 1}
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ List.Chain' G.DartAdj p.darts
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = ↑I
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ≤ d
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ‖x‖ ^ ↑k * ‖f x‖ ≤ d
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
a b c : E
⊢ (fun x => a + x) '' [b-[𝕜]c] = [a + b-[𝕜]a + c]
α : Type u
c : Cardinal.{u}
g : Set (Set α)
f : Filter α
CardinalInterFilter f c
hc : 2 < c
⊢ f ≤ Filter.cardinalGenerate g hc ↔ g ⊆ f.sets
⊢ Tendsto sin (𝓝[>] (-(π / 2))) (𝓝 (-1))
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
x : Z
h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝 x
⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (↑e ∘ f) x
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
ι : Sort u_1
f : R →+* S
s : ι → Subring R
⊢ Subring.map f (iSup s) = ⨆ i, Subring.map f (s i)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
⊢ f.norm = 0 ↔ f ≈ 0