ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
SecondCountableTopology V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
μ : MeasureTheory.Measure V
μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → MeasureTheory.Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
⊢ ‖VectorFourier.fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)) w
      n‖ ≤
  (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
    ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ r < 0
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ normSq (-z) = normSq z
α : Type u
β : Type v
Preorder α
NoTopOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIciTopology α
a : α
l : Filter β
l.NeBot
f : β → α
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ ¬Filter.Tendsto f l Filter.atTop
X : Type u_1
R : Type u_3
Zero X
Zero R
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
T1Space R
⊢ ClosedEmbedding toContinuousMap
α : Type u_2
β : Type u_3
Top α
Top β
f : TopHom α β
⊢ (TopHom.id β).comp f = f
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : Limits.IsInitial X
M : PresheafOfModules R
c : Cᵒᵖ
x✝ : ↑({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.obj c)
⊢ ({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.map (𝟙 c)) x✝ = (𝟙 ({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.obj c)) x✝
α : Type u_2
Preorder α
Zero α
⊢ ↑0 = 0
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ
⊢ ((fun x => 1) =O[l] fun x => rexp (f x)) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l f
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
⊢ (fun i => (map (Int.castRingHom R)) (wittStructureInt p Φ i)) = fun i => (map (Int.castRingHom R)) (wittStructureInt p Φ i)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K K' : LieSubalgebra R L
⊢ (K ⊓ K').toSubmodule = K.toSubmodule ⊓ K'.toSubmodule
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
M₁ : Submodule R M
N₁ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
⊢ ∃ M' N',
  ∃ (hM : M' ≤ M₁) (hN : N' ≤ N₁),
    Module.Finite R ↥M' ∧
      Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (TensorProduct.map (Submodule.inclusion hM) (Submodule.inclusion hN)))
g : SL(2, ℝ)
hc : ↑↑g 1 0 ≠ 0
h_denom : ∀ (z : ℍ), denom (toGLPos g) z ≠ 0
⊢ ∃ u v w, (fun x => g • x) = (fun x => w +ᵥ x) ∘ (fun x => ModularGroup.S • x) ∘ (fun x => v +ᵥ x) ∘ fun x => u • x
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace K F
f : E ≃ₗ[K] F
⊢ ⇑f '' Zspan.fundamentalDomain b = Zspan.fundamentalDomain (b.map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h : x ⩿ y
hab : x.1 ≠ y.1 ∧ x.2 ≠ y.2
⊢ False
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
c : ↑(Set.Ioc a b)
⊢ Subtype.val '' Set.Ici c = Set.Icc (↑c) b
R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
AddCommMonoid M₂
(i : Fin n.succ) → Module R (M i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R (fun i => M i.castSucc) (M (Fin.last n) →ₗ[R] M₂)
m : (i : Fin n.succ) → M i
⊢ f.uncurryRight m = (f (Fin.init m)) (m (Fin.last n))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : y ∈ EMetric.ball x r
this✝ : ↑‖y - x‖₊ < r
this : HasFPowerSeriesOnBall f (p.changeOrigin (y - x)) y (r - ↑‖y - x‖₊)
⊢ AnalyticAt 𝕜 f y
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I
h' : ↑n ≠ 0
⊢ (∑ k : Fin (n + 1), (↑x - ↑(k/ₙ)) ^ 2 * (bernstein n ↑k) x) * ↑n * ↑n = ↑x * (1 - ↑x) / ↑n * ↑n * ↑n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
g : X ⟶ X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f = f ↔ g = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
s : Set α
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hG : G.CliqueFreeOn s m
⊢ G.CliqueFreeOn s n
m n : ℕ
⊢ max m n ^ 2 + min m n ≤ if m < n then n * n + m else m * m + m + n
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
⊢ ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X⟧ = ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y⟧ → Nonempty (X ≃ᵢ Y)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
⊢ h ≤ Filter.map₂ m f g ↔ ∀ ⦃s : Set α⦄, s ∈ f → ∀ ⦃t : Set β⦄, t ∈ g → Set.image2 m s t ∈ h
F : Type u_1
A : Type u_2
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
FunLike F A ℂ
hF : AlgHomClass F ℂ A ℂ
⊢ StarAlgHomClass F ℂ A ℂ
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ (¬¬IsMin a ∨ ¬∀ ⦃b c : α⦄, a ≤ b ⊔ c → a ≤ b ∨ a ≤ c) ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, a ≤ b ⊔ c ∧ ¬a ≤ b ∧ ¬a ≤ c
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y
⊢ F.map (adj.unit.app X ≫ G.map f) ≫ adj.counit.app Y = f
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ (p - 1) * q = p
l : Filter ℂ
hl : Complex.IsExpCmpFilter l
a : ℂ
b : ℝ
hb : b < 0
⊢ (fun z => Complex.exp (↑b * z)) =o[l] fun z => z ^ a
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
⊢ (TensorProduct.gradedComm R 𝒜 ℬ) (((TensorProduct.gradedMul R 𝒜 ℬ) x) y) =
  ((TensorProduct.gradedMul R ℬ 𝒜) ((TensorProduct.gradedComm R 𝒜 ℬ) x)) ((TensorProduct.gradedComm R 𝒜 ℬ) y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y Z : C
n : ℕ
α : CategoryTheory.Abelian.Ext X Y n
m : ℕ
β : CategoryTheory.Abelian.Ext Y Z m
p : ℕ
h : n + m = p
⊢ α.comp (-β) h = -α.comp β h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.degree < P.degree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0
⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop atBot
m n a b c d : ℕ
hm : 0 < m
h : a * c ≡ b * c [MOD m]
⊢ c * a ≡ c * b [MOD m]
x y : ℝ
hy₀ : 0 ≤ y
hy₁ : y ≤ π
hxy : x = cos y
⊢ arccos x = y
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤
b : α
s : Set α
s_max : ∀ a ∈ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}, s ⊆ a → a = s
s_ind : CompleteLattice.SetIndependent s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a
a : α
ha : a ∈ {a | IsAtom a}
con : a ⊓ (b ⊔ sSup s) = ⊥
⊢ a = ⊥
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
g : F ≃ₗᵢ[𝕜] G
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
p : γ → Prop
⊢ (∀ z ∈ Finset.image₂ f s t, p z) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, p (f x y)
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
SemilatticeSup β
f g : β → α
h : Antitone fun n => Set.Icc (f n) (g n)
h' : ∀ (n : β), f n ≤ g n
⊢ ⨆ n, f n ∈ ⋂ n, Set.Icc (f n) (g n)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {acc : Array α} (n : Nat) (l : List α),
  List.insertNthTR.go a n l acc = acc.data ++ List.insertNth n a l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ CategoryTheory.IsPushout 0 0 (𝟙 X) 0
p : ℕ+
K : Type u
Field K
CharZero K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
⊢ NumberField.discr K = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ CompletelyRegularSpace X ↔ ∀ (x : X) (K : Set X), IsClosed K → x ∉ K → ∃ f, Continuous f ∧ f x = 0 ∧ Set.EqOn f 1 K
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x₁ x₂ : Orientation R M ι
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank R M
⊢ x₁ = x₂ ∨ x₁ = -x₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a : X
x✝ : ↑I
⊢ { toFun := (fun t => a) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } x✝ = (refl a) x✝
R : Type u_1
CommSemiring R
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R N
Module R P
Module R Q
g : N ≃ₗ[R] P
⊢ TensorProduct.comm R N Q ≪≫ₗ LinearEquiv.lTensor Q g ≪≫ₗ TensorProduct.comm R Q P = LinearEquiv.rTensor Q g
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ (s₁ ∩ s₂).val = s₁.val ∩ s₂.val
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
Countable ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : ∀ (i : ι), MeasurableSet {ω | τ ω = i}
⊢ MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
m : Type u_1
Fintype m
K : Type u
Semifield K
DecidableEq m
w : m → K
⊢ LinearMap.range (Matrix.toLin' (Matrix.diagonal w)) =
  ⨆ i ∈ {i | w i ≠ 0}, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)
n m : ℕ
h : m ≤ n
⊢ n.dist m = n - m
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
OrderTop α
OrderTop β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
b : β
hb : IsCoatom (u b)
⊢ IsCoatom b
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
hp0 : p ≠ 0
⊢ ↑(Multiset.card p.roots) ≤ p.degree
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), AEStronglyMeasurable' m f μ → AEStronglyMeasurable' m g μ → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f : ↥(Lp F p μ)
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
f' : ↥(lpMeas F ℝ m p μ) := ⟨f, hf⟩
g : ↥(Lp F p (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm) f'
hfg : f' = (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g
⊢ P f
D : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.GlueData
i : D.J
⊢ D.toSheafedSpaceGlueData.ι i ≫ D.isoSheafedSpace.inv = (D.ι i).val
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
⊢ ∃ a0 b0 c0, Fermat42.Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1 ∧ 0 < c0
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
h : ∃ M, Infinite ↑M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : Cardinal.lift.{w, max u v} L.card ≤ Cardinal.lift.{max u v, w} κ
⊢ ∃ N, #↑N = κ
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α HAdd.hAdd LE.le
h : c ≤ b
⊢ a - (b - c) = a + c - b
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
h : G.Adj u v
x✝ : V
⊢ x✝ ∈ (G.subgraphOfAdj h).support ↔ x✝ ∈ {u, v}
x : ℝ
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ HasDerivAt (fun x => |x| ^ p) (p * |x| ^ (p - 2) * x) x
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (g x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (ψ n)
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : ℕ → ℤ
h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
⊢ (eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (ψ i))) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, N i → Prop
hN : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ N i), C x ⋯
h0 : C 0 ⋯
hadd : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, N i) (hy : y ∈ ⨆ i, N i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, N i
⊢ (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, N i), C x hx) 0
P P' : TopCat → Prop
h : ∀ (X : CompHausLike P), P X.toTop → P' X.toTop
X : CompHausLike P
⊢ (CompHausLike.toCompHausLike h).obj X =
  let_fun this := ⋯;
  CompHausLike.of P' ↑X.toTop
X : Type u_1
R : Type u_5
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
NormedRing R
SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : ContinuousOn g K
hg' : MeasureTheory.IntegrableOn g' A μ
hK : IsCompact K
hA : MeasurableSet A
hAK : A ⊆ K
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => g x * g' x) A μ
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
CategoryTheory.Abelian A
X : CategoryTheory.SimplicialObject A
⊢ AlgebraicTopology.inclusionOfMooreComplexMap X ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty =
  AlgebraicTopology.inclusionOfMooreComplexMap X
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
h : ∀ (i : ι), p i → ∃ i', p' i' ∧ s' i' ⊆ s i
h' : ∀ (i' : ι'), p' i' → ∃ i, p i ∧ s i ⊆ s' i'
⊢ l = l'
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ∀ (x y : α), f x = f y
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
⊢ f = fun x => ?convert_3
X : Type u
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ Path.delayReflLeft 1 γ = γ
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun h => g - h) μ μ
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a ≠ 0
⊢ P.toPoly.natDegree = 3
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a b : α
hs : BddAbove s
ha : a ∈ s
h : b < a
⊢ b < sSup s
C : Type u_1
D : Type u_5
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_2, u_3} H
RF RF' RF'' : CategoryTheory.Functor D H
F F' F'' : CategoryTheory.Functor C H
L : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ L.comp RF
α' : F' ⟶ L.comp RF'
α'' : F'' ⟶ L.comp RF''
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
RF.IsRightDerivedFunctor α W
RF'.IsRightDerivedFunctor α' W
τ : F ⟶ F'
τ' : F' ⟶ F''
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (RF.rightDerivedNatTrans RF' α α' W τ) (RF'.rightDerivedNatTrans RF'' α' α'' W τ') =
  RF.rightDerivedNatTrans RF'' α α'' W (CategoryTheory.CategoryStruct.comp τ τ')
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.135628, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
x₃ : A ⟶ S.X₃.X i
hx₃ : x₃ ≫ S.X₃.d i j = 0
x₂ : A ⟶ S.X₂.X i
hx₂ : x₂ ≫ S.g.f i = x₃
x₁ : A ⟶ S.X₁.X j
hx₁ : x₁ ≫ S.f.f j = x₂ ≫ S.X₂.d i j
k : ι
hk : c.next j = k
⊢ x₁ ≫ S.X₁.d j k = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
⊢ [l].join = l
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s✝ t : Set α
a : α
s : LowerSet α
⊢ Set.Iic 1 * ↑s ⊆ ↑s
α : Type u_1
c₀ : Batteries.RBColor
n₀ : Nat
c : Batteries.RBColor
n : Nat
t : Batteries.RBNode α
path : Batteries.RBNode.Path α
hp : Batteries.RBNode.Path.Balanced c₀ n₀ path c n
ht : Batteries.RBNode.RedRed (c = Batteries.RBColor.red) t n
⊢ ∃ n, (path.ins t).Balanced Batteries.RBColor.black n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
AddCommMonoid G
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module 𝕜 G
g : F →ₗ[𝕜] G
f : E →ₗ[𝕜] F
S : ConvexCone 𝕜 E
⊢ ConvexCone.map g (ConvexCone.map f S) = ConvexCone.map (g ∘ₗ f) S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
X₁ X₂ : CategoryTheory.FullSubcategory P
f : X₁.obj ⟶ X₂.obj
Y : CategoryTheory.FullSubcategory P
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Y = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Y.obj
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ 0 < p⁻¹
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α, IsOpen t ∧ SymmetricRel t ∧ t ○ t ⊆ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
A : E →ₗ[𝕜] E
⊢ IsSelfAdjoint A ↔ LinearMap.adjoint A = A
x : ℕ
r : ℝ
⊢ closedBall x r = Icc ⌈↑x - r⌉₊ ⌊↑x + r⌋₊
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : M
⊢ ιInv ((ι R) x) = x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ (D.f i i).c.app (op U) ≫ (D.V (i, i)).presheaf.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ eqToHom ⋯) ≫ invApp (D.f i i) ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 (unop ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)))) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : p1 -ᵥ p2 ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)
⊢ ∠ p2 p1 p3 = 0
X : Type u_2
EMetricSpace X
SecondCountableTopology X
s : Set X
⊢ ⨆ x ∈ s, Filter.limsup dimH (𝓝[s] x).smallSets = dimH s
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : L.Substructure M
c : L.Constants
⊢ ↑c ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α
⊢ (∃ u, toDual a < toDual u ∧ ⇑ofDual ⁻¹' Icc u a ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s) ↔ ∃ l < a, Icc l a ⊆ s
p : ℝ≥0∞
h : p ≤ 1
⊢ ∫ (b : Bool), bif b then 1 else 0 ∂(bernoulli p h).toMeasure = p.toReal
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : TopCat.LocalPredicate T
x : ↑X
w :
  ∀ (U V : TopologicalSpace.OpenNhds x) (fU : (y : ↥U.obj) → T ↑y),
    P.pred fU →
      ∀ (fV : (y : ↥V.obj) → T ↑y),
        P.pred fV →
          fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩ →
            ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w)
⊢ Function.Injective (TopCat.stalkToFiber P x)
A : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
Ring A
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module A M
Module A M₂
TopologicalSpace M
TopologicalSpace M₂
R : Type u_4
Ring R
Module R M
Module R M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R A
TopologicalAddGroup M₂
f : M →L[A] M₂
⊢ ContinuousLinearMap.restrictScalars R (-f) = -ContinuousLinearMap.restrictScalars R f
c d : ℝ
hc : 1 ≤ c ^ 2
z : ℂ
hz : 0 < z.im
H1 : z.im ≤ √((c * z.re + d) ^ 2 + (↑c * z).im ^ 2)
⊢ r ⟨z, hz⟩ ≤ Complex.abs (↑c * ↑⟨z, hz⟩ + ↑d)
R : Type u_4
NormedRing R
CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ ∑' (i : ℕ), x ^ (i + 1) = ∑' (i : ℕ), x ^ i - 1
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
this : ContDiffWithinAt 𝕜 n id (range ↑I) (↑I x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure (Measure (Measure α))
ν : Measure (Measure α)
⊢ ν.join = (id ν).bind id
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
S : Set G
hS : S ∈ AddSubgroup.rightTransversals ↑H
g : G
⊢ ↑(AddSubgroup.MemRightTransversals.toFun hS g) + -g ∈ H
α : Type u_1
Semifield α
LinearOrder α
PosMulReflectLT α
ZeroLEOneClass α
a : α
⊢ 0 < 1 / a ↔ 0 < a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
e : α ≃ β
f : Filter β
⊢ map (⇑e) (map (⇑e.symm) f) = map (⇑e) (comap (⇑e) f)
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ MeasurePreserving (⇑b.measurableEquiv) volume volume
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (coyoneda.map f.op).app Y (𝟙 Y) = f
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
⊢ IsOpen {x} ↔ 𝓝 x = pure x
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
b : β
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
⊢ ¬b ≤ limsup u f → ∀ᶠ (x : α) in f, ¬b ≤ u x
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x p = p.sum fun e a => f a * x ^ e