ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} E
CategoryTheory.Category.{u_9, u_4} E'
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
CategoryTheory.HasShift E A
CategoryTheory.HasShift E' A
F : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
G : D ⥤ E
G' : E ⥤ E'
G.CommShift A
G'.CommShift A
a : A
⊢ ∀ (x : C), ((F.postcompPostcompIso G G').hom.hom a).app x = 𝟙 (G'.obj (G.obj ((F.functor a).obj x)))
R : Type u_1
Ring R
R₂ : Type u_2
Ring R₂
M : Type u_4
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
TopologicalAddGroup M₂
f : M →SL[σ₁₂] M₂
x : M
⊢ (-f) x = -f x
x : ℝ
n : ℕ
m : ℤ
hxr : x ^ n = ↑m
hv : ¬∃ y, x = ↑y
hnpos : 0 < n
⊢ Irrational x
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommMonoid α
OrderedCommMonoid β
f g : α →*o β
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f * ⇑g
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a : α
IsPredArchimedean α
⊢ Order.IsPredLimit a ↔ IsMax a
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_1
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
r : R
⊢ IsSMulRegular M r ↔ IsSMulRegular N r
α : Type u
ι : Type v
a : Cardinal.{u}
Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
l.NeBot
ht : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) = a
⊢ #α = a
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ ⊥ = x ⊓ y ⊓ x \ y
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ✝ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝¹⁰ : DecidableEq α'
inst✝⁹ : DecidableEq β'
inst✝⁸ : DecidableEq γ✝
inst✝⁷ : DecidableEq γ'
inst✝⁶ : DecidableEq δ✝
inst✝⁵ : DecidableEq δ'
inst✝⁴ : DecidableEq ε
inst✝³ : DecidableEq ε'
f✝ f'✝ : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ✝
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
δ : Type u_15
u : Finset γ
v : Finset δ
inst✝² : DecidableEq ζ
inst✝¹ : DecidableEq ζ'
inst✝ : DecidableEq ν
f : ε → ζ → ν
g : α → β → ε
h : γ → δ → ζ
f' : ε' → ζ' → ν
g' : α → γ → ε'
h' : β → δ → ζ'
h_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ) (d : δ), f (g a b) (h c d) = f' (g' a c) (h' b d)
⊢ image2 f (image2 g ↑s ↑t) (image2 h ↑u ↑v) = image2 f' (image2 g' ↑s ↑u) (image2 h' ↑t ↑v)
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W U V : Submodule R M
⊢ U.dualAnnihilator ⊔ V.dualAnnihilator ≤ (U ⊓ V).dualAnnihilator
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h1 : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
h2 : f x = g x
⊢ P f s x ↔ P g s x
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
a : G
⊢ (↑(AddSubmonoid.multiples a)).Infinite ↔ ¬IsOfFinAddOrder a
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a✝ b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
a : ℕ
ha : n = orderOf x * a
⊢ orderOf x = n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ
hp : 0 ≤ p
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ eLpNorm' f p (c • μ) = c ^ (1 / p) * eLpNorm' f p μ
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t K : Set G
hK : IsCompact K
⊢ K * closure {1} = closure K
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
x : FamilyOfElements P (singleton (𝟙 X))
a✝ : x.Compatible
⊢ ∀ (y : P.obj (op X)), (fun t => x.IsAmalgamation t) y → y = x (𝟙 X) ⋯
α : Type u_2
DecidableEq α
Inv α
s : Finset α
⊢ Finset.image (fun x => x⁻¹) s = s⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
o : Ordinal.{u_5}
H : IsNormal f
p : Set Ordinal.{u_4}
p0 : p.Nonempty
b : Ordinal.{u_4}
H₂ : ∀ (o : Ordinal.{u_4}), b ≤ o ↔ ∀ a ∈ p, a ≤ o
h : ∀ a ∈ p, f a ≤ o
⊢ f b ≤ o
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)
this✝ : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))
this : SigmaFinite (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)))
h_add : (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) =ᶠ[ae (map f ν)] (map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)
⊢ (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
AddMonoid γ
ContinuousAdd γ
f : C(β, γ)
n : ℕ
g : C(α, β)
⊢ (n • f).comp g = n • f.comp g
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : CU P
x : X
h : x ∉ c.U
⊢ c.lim x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
⊢ PrimrecRel fun a b => (fun x x_1 => x / x_1) a.1 a.2 = b
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
x : ↥U
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : ↑x ∈ V.carrier
iVU : V ⟶ U
f g : R
hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
s_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
h : R
hxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h
hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V
n : ℕ
c : R
hc : c * g = h ^ (n + 1)
basic_opens_eq : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen h
i_basic_open : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) ⟶ V
⊢ const R (f * c) (h ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ⋯ = const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ⋯
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
hx' : ∀ (z : E), ‖z‖ < r → ‖x' z‖ ≤ 1
⊢ ‖x'‖ ≤ ‖c‖ / r
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
s : Finset β
f : β → α
⊢ (s.sup fun b => {f b}) = Finset.image f s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
DecidableEq β
DecidableEq γ
s : Finset α
t : α → Finset β
f : β → γ
⊢ Finset.image f (s.biUnion t) = s.biUnion fun a => Finset.image f (t a)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : SFinite ν✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : SFinite μ✝
E' : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
X : Type u_8
Y : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
h'f : HasCompactSupport (uncurry f)
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
U : Set X := Prod.fst '' tsupport (uncurry f)
this : Fact (μ U < ⊤)
V : Set Y := Prod.snd '' tsupport (uncurry f)
⊢ ∫ (x : X), ∫ (y : Y), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (y : Y), ∫ (x : X), f x y ∂μ ∂ν
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
L R : ListBlank Γ
⊢ (Tape.move Dir.left)^[n] (trTape' enc0 L R) = trTape' enc0 L.tail (ListBlank.cons L.head R)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => ↑(f x)) μ
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
⊢ Integrable (f ⊔ g) μ
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
IsNoetherian R L
I : LieIdeal R L
⊢ LieAlgebra.IsSolvable R ↥↑I ↔ I ≤ LieAlgebra.radical R L
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit (CategoryTheory.Limits.Fork.ofι f w)) ↔ ∀ (y : Y), g y = h y → ∃! x, f x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
NormedSpace ℝ E
f : β × γ → E
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f (s ×ˢ t) ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (z : β × γ) in s ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β) in s, ∫ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁸ : Nonempty ι
inst✝⁷ : Nonempty ι'
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id
⊢ t = q.moduleFilterBasis.topology
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g : β → E
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm g p (MeasureTheory.Measure.map f μ) = MeasureTheory.eLpNorm (g ∘ f) p μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
h : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
hp_pos : 0 < p
h_tsum_1 : ∀ (g : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), g i = liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), g i) atTop
⊢ ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
⊢ 1 ≤ mabs (b / a)
V : Type u
G G' : SimpleGraph V
h : G ≤ G'
u : V
p : G.Walk u u
⊢ (SimpleGraph.Walk.mapLe h p).IsCycle ↔ p.IsCycle
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
f : ℕ → L → R := fun k => k • χ₁ + χ₂
⊢ Injective f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
k : ℕ
⊢ p.radius ≤ (p.changeOriginSeries k).radius
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
hr : v.intValuationDef r = ↑(ofAdd (-1))
⊢ ∃ π, v.valuation π = ↑(ofAdd (-1))
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
IsDomain R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Finite R M
Module.Free R M
IsNoetherian R M
φ : Module.End R M
⊢ LinearMap.charpoly φ = Polynomial.X ^ FiniteDimensional.finrank R M ↔ ∀ (m : M), ∃ n, (φ ^ n) m = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMinOrder α
S : Set α
hS : S.OrdConnected
x y : α
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
⊢ S ∈ 𝓝[≤] y
α : Type u_1
β : Type u_2
ks : Array α
vs : Array β
h : ks.size = vs.size
i : Fin ks.size
j : Fin vs.size
k : α
v : β
⊢ (ks.set i k).size = (vs.set j v).size
G : Type u
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M₁
inst✝ : Monoid M₂
⊢ exponent (M₁ × M₂) = GCDMonoid.lcm (exponent M₁) (exponent M₂)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
e : { w // w ≠ NumberField.Units.dirichletUnitTheorem.w₀ } ≃ Fin (NumberField.Units.rank K)
⊢ NumberField.Units.regulator K =
  |(Matrix.of fun i => (NumberField.Units.logEmbedding K) (NumberField.Units.fundSystem K (e i))).det|
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
p : ℕ
IsDomain R
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
a : ℕ
⊢ multiplicity (↑p) (x ^ p ^ a - y ^ p ^ a) = multiplicity (↑p) (x - y) + ↑a
α : Type u_1
inst✝³ : CompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t s : Set α
⊢ ⨆ a ∈ s, a⁻¹ = (sInf s)⁻¹
α : Type u_1
E : Type u_2
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Zero E
hm : m ≤ m0
s : Set α
f : α → E
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t)
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0
h_ind_eq : s.indicator (mk f hf) =ᶠ[ae μ] f
⊢ StronglyMeasurable (s.indicator (mk f hf))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
h : s.attach.SupIndep fun a => f ↑a
t : Finset ι
ht : t ⊆ s
i : ι
his : i ∈ s
hit : i ∉ t
⊢ Disjoint (f i) (t.sup f)
n : Nat
⊢ Int.negSucc n = -(↑n + 1)
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H
ψ : H → G
hφ : Function.RightInverse ψ ⇑φ
x : G ⧸ φ.ker
⊢ (kerLift φ) ((mk ∘ ψ) ((kerLift φ) x)) = (kerLift φ) x
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set β
i : ι
⊢ ⋂ i, s i ⊆ s i
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{?u.66927, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{?u.66931, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.66935, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{?u.66939, u_4} C₄
inst✝² : Category.{?u.66943, u_5} C₁₂
inst✝¹ : Category.{?u.66947, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ : GradedObject I₁ C₁
inst✝ : ∀ (X₂ : GradedObject I₂ C₂) (X₃ : GradedObject I₃ C₃), ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
φ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ Y₃ : GradedObject I₃ C₃
ψ : X₃ ⟶ Y₃
j : J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) ψ j ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) φ (𝟙 Y₃) j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) φ (𝟙 X₃) j ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 Y₂) ψ j
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)
⊢ (mulSupport f).mulIndicator (f * g) = f
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hf : f ≤ᵐ[μ] 0
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ ≤ 0
α : Type u_1
n : Type u_3
A : Matrix n n α
h : A.IsSymm
⊢ A.transpose = A
α : Type u
β : α → Type v
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
s s' : Sigma β
h : s ∈ l
h' : s' ∈ l
⊢ s.fst = s'.fst → s = s'
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
TopologicalSpace E
T2Space E
F : Set (Set E)
h_card : ↑(FiniteDimensional.finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X
h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
⊢ (⋂₀ F).Nonempty
α : Type u
β : Type v
Infinite α
f : α → β
hi : Function.Injective f
⊢ (Set.range f).Infinite
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cone F.unop
⊢ (CategoryTheory.Limits.coconeOfConeUnop c).pt = Opposite.op c.pt
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝ : CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
s : Set (E →L[𝕜] F)
hs : IsClosed s
⊢ MeasurableSet ((fun p => fderiv 𝕜 (f p.1) p.2) ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
Std.Associative gb
h : Function.Semiconj₂ f ga gb
h_inj : Function.Injective f
⊢ Std.Associative ga
G : Type u
inst✝ : Monoid G
h : ∀ (g : G), 0 < orderOf g
this : exponent G ≠ 0 ↔ (Set.range orderOf).Finite
⊢ exponent G = 0 ↔ (Set.range orderOf).Infinite
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
hs : IsOpen s
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (↑I.symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I)
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
⊢ Profinite.NobelingProof.GoodProducts.smaller C o₁ ⊆ Profinite.NobelingProof.GoodProducts.smaller C o₂
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).inv.app (mappingCone S.f) ≫ (homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceδ (Triangle.mk ((quotient C (up ℤ)).map S.f) ((quotient C (up ℤ)).map (inr S.f)) ((quotient C (up ℤ)).map (triangle S.f).mor₃ ≫ ((quotient C (up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app S.X₁)) n₀ n₁ h ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).hom.app S.X₁ = HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h ≫ 𝟙 ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₁).obj S.X₁)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
⊢ ∀ (a : E), ∃ i, ∃ (_ : 1 ≤ ‖i‖), a ∉ ∅
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 F
AddCommMonoid G
Module 𝕜 G
g : F →ₗ[𝕜] G
f : E →ₗ[𝕜] F
S : PointedCone 𝕜 G
⊢ PointedCone.comap f (PointedCone.comap g S) = PointedCone.comap (g ∘ₗ f) S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
a : δ
inst✝ : DecidableEq δ
⊢ ∀ (a_1 : δ), Measurable fun x => update x.1 a x.2 a_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
VAdd α β
VAdd α γ
f : β → γ
a : α
s : Set β
⊢ (∀ (b : β), f (a +ᵥ b) = a +ᵥ f b) → f '' (a +ᵥ s) = a +ᵥ f '' s
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
S₂ : Type u_9
Monoid S₂
DistribMulAction S₂ M₂
SMulCommClass R₂ S₂ M₂
ContinuousConstSMul S₂ M₂
c : S₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑(c • f) = c • ⇑f
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
this : TopologicalAddGroup E
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun sr => 0 < sr.2) fun sr => (sr.1.sup p).ball x sr.2
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
h0 : p ∅
hU : q U
hμU : μ U ≠ ⊤
hε : ε ≠ 0
h₀ : μ U ≠ 0
⊢ ∃ K ⊆ U, p K ∧ μ U < μ K + ε
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder Γ
V : Type u_3
inst✝² : Zero V
inst✝¹ : SMulZeroClass R V
inst✝ : Zero Γ
r : R
x : HahnSeries Γ V
h : r • x ≠ 0
hx : x ≠ 0
⊢ ¬⋯.min ⋯ < ⋯.min ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : BorelSpace E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace E
inst✝ : LocallyCompactSpace F
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
this✝ : ProperSpace E
this : ProperSpace F
M : F × E →ₗ[𝕜] F := LinearMap.id.coprod L
M_cont : Continuous ⇑M
hM : Function.Surjective ⇑M
A : ∀ (x : F × E), M x ∈ s ↔ x ∈ ⇑M ⁻¹' s
⊢ (∀ᵐ (y : F) ∂ν, ∀ᵐ (x : E) ∂μ, y + L x ∈ s) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
⊢ Irreducible (f.comp g)
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : Kˣ
⊢ ↑(v.valuationOfNeZeroToFun x) = (if ((IsLocalization.toLocalizationMap R⁰ K).sec ↑x).1 = 0 then 0 else ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {((IsLocalization.toLocalizationMap R⁰ K).sec ↑x).1})).factors)))) * (if (SubmonoidClass.subtype R⁰) ((IsLocalization.toLocalizationMap R⁰ K).sec ↑x).2 = 0 then 0 else ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {(SubmonoidClass.subtype R⁰) ((IsLocalization.toLocalizationMap R⁰ K).sec ↑x).2})).factors))))⁻¹
X Y : Profinite
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
q : ℤ[X]
k✝ k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hk : k✝ ∈ (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).support
this : k✝ = k ∨ k✝ = m ∨ k✝ = n
⊢ IsUnit ((trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).coeff k✝)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
⊢ SimpleGraph.Walk.nil.reverse = SimpleGraph.Walk.nil
α : Type u_1
r : Rel α α
p : RelSeries r
newLast : α
rel : r p.last newLast
⊢ (p.snoc newLast rel).toFun (Fin.last (p.length + 1)) = newLast
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsLindelof s
hc₁ : ∀ i ∈ b, IsOpen (c i)
hc₂ : s ⊆ ⋃ i ∈ b, c i
⊢ ∃ b' ⊆ b, b'.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ b', c i
n k : ℕ
x : Fin k → ℕ
⊢ x ∈ Multiset.Nat.antidiagonalTuple k n ↔ ∑ i : Fin k, x i = n
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
one_mem : 0 ∈ s
div_mem : ∀ {a b : G}, a ∈ s → b ∈ s → a + -b ∈ s
⊢ IsAddSubgroup s
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
hn'' : 1 < n
this : eval x (cyclotomic n R) * eval x (∏ x ∈ n.properDivisors.erase 1, cyclotomic x R) = ∑ i ∈ range n, x ^ i
h : 0 = ∑ i ∈ range n, x ^ i
⊢ 0 < eval x (cyclotomic n R)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → Preorder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ ⇑f < ⇑g ↔ f < g
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ min (min a b) c = min a (min b c)
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
⊢ Function.Injective AddAction.orbitRel.Quotient.orbit