ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
S : Subalgebra R A
⊢ Subalgebra.comap f (Subalgebra.map f S) = S
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
H : Function.Injective f
s : Set α
⊢ Set.range f \ f '' s = f '' sᶜ
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
hP0 : ¬P = ⊥
P' : Submonoid S := Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
this✝³ : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S
this✝² : IsScalarTower R (Localization.AtPrime P) (Localization P')
h : P' ≤ S⁰
this✝¹ : IsDomain (Localization P')
this✝ : IsDedekindDomain (Localization P')
this : DecidableEq (Ideal (Localization P')) := Classical.decEq (Ideal (Localization P'))
⊢ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R (I * J)) = map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R I * spanNorm R J)
α : Type u
B : α → FilterBasis α
a : α
h₀ : ∀ (x : α), ∀ n ∈ B x, x ∈ n
h₁ : ∀ (x : α), ∀ n ∈ B x, ∃ n₁ ∈ B x, ∀ x' ∈ n₁, ∃ n₂ ∈ B x', n₂ ⊆ n
⊢ 𝓝 a = (B a).filter
α : Type u_1
p : WithBot α → Prop
⊢ (∃ x, p x) ↔ p ⊥ ∨ ∃ x, p ↑x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra
j : J
⊢ (CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesLimits.γ D).app j = (D.obj j).a
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
h' : -x < 1
⊢ x + 1 < rexp x
R✝ : Type u
inst✝³ : CommRing R✝
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
d : ℕ
hd : d ∣ N
u : ZMod N
hu : IsUnit u
hb_ne : u * ↑d ≠ 0
hb : e.mulShift (u * ↑d) = 1
⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ d < N ∧ e.mulShift ↑d = 1
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : ε ≤ 0
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i
H : x = y
⊢ hammingDist y y = 0
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x y : LocalizedModule S M
m m' : M
s s' : ↥S
⊢ mk m s + mk m' s' = mk m' s' + mk m s
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H
⊢ Tendsto Inv.inv (𝓝[>] a⁻¹) (𝓝[<] a)
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasCokernel f
inst✝² : HasCokernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasCokernel g
inst✝ : HasCokernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map (coequalizer.π f 0 ≫ cokernel.map f g p q hpq) = G.map (q ≫ coequalizer.π g 0)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G
⊢ x ^ minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1 = (fun x_1 => x ^ minimalPeriod (fun x_2 => x * x_2) 1 * x_1) 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hconv : Convex ℝ s
hne : s.Nonempty
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, JoinedIn s x y
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
C c : ℝ
hc_mem : c ∈ Set.Ioo 0 1
hc : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)
n : ℕ
hn₁ : ⌈C / c⌉₊ ≤ n
hn₂ : ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)
h₁ : 0 < c
i : α
⊢ C ≤ ↑(r i n)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : Countable ι
t : ι → TopologicalSpace α
ht₀ : ∃ t₀, T2Space α ∧ ∀ (i : ι), t i ≤ t₀
u : ι → UniformSpace α
hcomp : ∀ (i : ι), CompleteSpace α
hcount : ∀ (i : ι), (𝓤 α).IsCountablyGenerated
hut : ∀ (i : ι), UniformSpace.toTopologicalSpace = t i
⊢ ∃ u, CompleteSpace α ∧ (𝓤 α).IsCountablyGenerated ∧ UniformSpace.toTopologicalSpace = ⨅ i, t i
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMaxOrder α
S : Set α
hS : S.OrdConnected
x y : α
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
⊢ S ∈ 𝓝[≥] x
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderBot α
OrderTopology α
⊢ 𝓝 ⊥ = ⨅ l, ⨅ (_ : ⊥ < l), 𝓟 (Set.Iio l)
f : ℝ → ℝ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) (log ∘ f)
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = y * f y
hf_pos : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → 0 < f y
hf_one : f 1 = 1
⊢ EqOn (log ∘ f) (log ∘ Gamma) (Ioi 0)
p n : ℕ
R : Type u_1
x y : TruncatedWittVector p n R
h : ∀ (i : Fin n), TruncatedWittVector.coeff i x = TruncatedWittVector.coeff i y
⊢ x = y
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : R1Space X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : BorelSpace Y
inst✝² : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
l : Filter α
f : α → C(X, Y)
g : C(X, Y)
hfg : Tendsto f l (𝓝 g)
hf : ∀ᶠ (a : α) in l, MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν
this : ν.InnerRegularCompactLTTop
s : Set Y
hs : MeasurableSet s
hνs : ν s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hso : IsOpen s
hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤
K : Set X
hKg : MapsTo (⇑g) K s
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hKμ : μ (⇑g ⁻¹' s \ K) < ε / 2
hKm : MeasurableSet K
a : α
hfa : MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
ha : MapsTo (⇑(f a)) K s
⊢ μ ((⇑(f a) ⁻¹' s) ∆ (⇑g ⁻¹' s)) ≤ ε / 2 + ε / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a✝ a' : α
b✝ b' : β
c✝ c' : γ
ε : 𝕜
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : ExplicitDisjoint t
a : α
b : β
c : γ
habc : (a, b, c) ∈ t
x : α
y : β
z : γ
hxyz : (x, y, z) ∈ t
h' : ¬toTriangle (a, b, c) = toTriangle (x, y, z)
this : (a, b, c) ≠ (x, y, z)
⊢ (↑(toTriangle (a, b, c)) ∩ ↑(toTriangle (x, y, z))).Subsingleton
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : CochainComplex C ℤ
n i j : ℤ
⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K).d i j =
  n.negOnePow • K.d (i + { as := n }.as) (j + { as := n }.as)
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u_2} n
C : Type u_1
g : (a : P.A) → (f : P.last.B a → P.last.W) → TypeVec.Arrow (P.WPath (WType.mk a f)) α → (P.last.B a → C) → C
a : P.A
f : P.last.B a → P.last.W
f' : TypeVec.Arrow (P.WPath (WType.mk a f)) α
⊢ P.wpRec g (WType.mk a f) f' = g a f f' fun i => P.wpRec g (f i) (P.wPathDestRight f' i)
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
CategoryTheory.ConcreteCategory A
H.IsCocontinuous J K
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective K f
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J (CategoryTheory.whiskerLeft H.op f)
p : ENNReal
h : p ≤ 1
⊢ (PMF.bernoulli p h).support = {b | bif b then p ≠ 0 else p ≠ 1}
M : Type u_6
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
g : N →+ M
h₁ : g.comp f = AddMonoidHom.id M
h₂ : f.comp g = AddMonoidHom.id N
⊢ ⇑(f.toAddEquiv g h₁ h₂).symm = ⇑g
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
⊢ IsIso (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h0' : (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0
⊢ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ Cardinal.lift.{v, w} #ι ≤ Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank R M)
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a⁻¹ * b ≤ 1 ↔ b ≤ a
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ ∀ (a : ℕ), Nat.Prime a → (a ∣ n ^ k ↔ a ∣ n)
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
Yint : Integrable (Y 0) ℙ
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x : ↥I
⊢ x ∈ LinearMap.ker I.toCotangent ↔ ↑x ∈ Submodule.map (Submodule.subtype I) (LinearMap.ker I.toCotangent)
𝕜 : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
NormedField 𝕜
NormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₁
NormedSpace 𝕜 V₂
MetricSpace P₁
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₁ P₁
NormedAddTorsor V₂ P₂
FiniteDimensional 𝕜 V₁
FiniteDimensional 𝕜 V₂
Inhabited P₁
li : P₁ →ᵃⁱ[𝕜] P₂
h : FiniteDimensional.finrank 𝕜 V₁ = FiniteDimensional.finrank 𝕜 V₂
⊢ ⇑(li.toAffineIsometryEquiv h) = ⇑li
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ VectorMeasure.restrict 0 univ ≤ VectorMeasure.restrict μ.toSignedMeasure univ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n✝ : ℕ
C : ℝ
inst✝ : MetricSpace α
x : ℕ → α
a✝ b✝ a b : α
n : ℕ
⊢ ‖↑(embeddingOfSubset x a - embeddingOfSubset x b) n‖ ≤ dist a b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SOppSide p₃ p₄
⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = -(∡ p₁ p₃ p₂).sign
z : ℂ
⊢ (starRingEnd ℂ) z * z = ↑‖z‖ ^ 2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
⊢ ((toPadicInt p).comp (fromPadicInt p)) x = (RingHom.id ℤ_[p]) x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
p : ι → Prop
h : DecidablePred p
s : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (s.pi fun i => if p i then t₁ i else t₂ i) = {i | i ∈ s ∧ p i}.pi t₁ ∩ {i | i ∈ s ∧ ¬p i}.pi t₂
S : Type v
CommRing S
z p : S
f : S[X]
i : ℕ
dvd_eval : p ∣ Polynomial.eval z f
dvd_terms : ∀ (j : ℕ), j ≠ i → p ∣ f.coeff j * z ^ j
⊢ p ∣ f.coeff i * z ^ i
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
hf : MeasureTheory.Adapted ℱ f
⊢ MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ (MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n) ∧
  MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ (MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
G : V ⥤ W
inst✝ : G.Additive
hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
n : ι
⊢ (nullHomotopicMap fun i j => G.map (dite (c.Rel j i) (hom i j) fun x => 0)).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => G.map (hom i j hij)).f n
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ (-x).coeff n = peval (wittNeg p n) ![x.coeff]
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ (∏ x : Fin pb.dim, ∏ x ∈ Ioi x, -1) * ((∏ x : Fin pb.dim, ∏ x_1 ∈ Ioi x, ((e x_1) pb.gen - (e x) pb.gen)) * ∏ x : Fin pb.dim, ∏ x_1 ∈ Ioi x, ((e x) pb.gen - (e x_1) pb.gen)) = (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * ((∏ x : Fin pb.dim, ∏ x_1 ∈ Ioi x, ((e x_1) pb.gen - (e x) pb.gen)) * ∏ x : Fin pb.dim, ∏ x_1 ∈ Ioi x, ((e x) pb.gen - (e x_1) pb.gen))
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
γ₀ : Γ₀ˣ
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 ↑γ₀) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, f x = ↑γ₀
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ ∀ (a : (↑U).Opens), ↑↑((AlgebraicGeometry.opensRestrict U) a) = ⇑U.ι.val.base '' ↑a
α : Type u_1
σ : Type u_2
Zero α
LinearOrder α
IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
Finite σ
S : Set (σ →₀ α)
⊢ S.IsPWO
n : ℕ
⊢ Even n → n / 2 * 2 = n
α : Type u_1
n : Type u_2
m : Type u_3
Mul α
AddCommMonoid α
A : Matrix m n α
Fintype m
h : A.HasOrthogonalCols
⊢ A.transpose.HasOrthogonalRows
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i j k : ι
hij : i ≤ j
hjk : j ≤ k
x : G i
⊢ (f j k hjk) ((f i j hij) x) = (f i k ⋯) x
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
K : ℝ≥0
h : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
x y : E
⊢ dist x y ≤ ↑K * dist (f x) (f y)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
w₁ w₂ : MeasureTheory.VectorMeasure α N
T2Space M
ContinuousAdd N
h₁ : v ⟂ᵥ w₁
h₂ : v ⟂ᵥ w₂
⊢ v ⟂ᵥ w₁ + w₂
x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℂ
⊢ abs (↑x ^ y) = x ^ y.re
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hxy : x < y
hz : 0 < z
⊢ x ^ z < y ^ z
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝⁵ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝⁴ : FiberFunctor F
X A B : C
inst✝³ : IsConnected A
inst✝² : IsConnected B
a : ↑(F.obj A)
b : ↑(F.obj B)
i : A ⟶ X
j : B ⟶ X
h : F.map i a = F.map j b
inst✝¹ : Mono i
inst✝ : Mono j
Y : C := pullback i j
u : Y ⟶ A := pullback.fst i j
v : Y ⟶ B := pullback.snd i j
G : C ⥤ Type w := F ⋙ FintypeCat.incl
e : ↑(F.obj Y) ≃ { p // F.map i p.1 = F.map j p.2 } := fiberPullbackEquiv F i j
y : ↑(F.obj Y) := e.symm ⟨(a, b), h⟩
⊢ ∃ f, F.map f.hom a = b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x✝ : X
s : Set X
B : Set (Set X)
hB : IsTopologicalBasis B
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => x ∈ s ∧ s ∈ B) closure
R : Type u_2
CommSemiring R
A : Type u_3
Semiring A
P Q : Algebra R A
h : ∀ (r : R), (algebraMap R A) r = (algebraMap R A) r
⊢ P = Q
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : Cofork f g
⊢ s.ι.app zero = g ≫ s.π
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁸ : Ring K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommGroup V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''
⊢ lift.{v', v''} (f ∘ₗ g).rank ≤ lift.{v'', v'} g.rank
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁹ : Field A
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : Algebra A B
x : B
F : Type u_3
E : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Ring E
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : IsDomain K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F E
f g : E →ₐ[F] K
h : rootsOfMinPolyPiType F E K f = rootsOfMinPolyPiType F E K g
⊢ f = g
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
⊢ List.Lex r [a] [b] ↔ r a b
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs✝ : IsLindelof s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
r : Set ↑s
hr : r.Countable
hs : s ⊆ ⋃ i ∈ r, (fun x => interior (U ↑x ⋯)) i
i : ↑s
hi : i ∈ r
⊢ (fun x => interior (U ↑x ⋯)) i ⊆ ⋃ x ∈ r, U ↑x ⋯
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
g : B → A
f : F
h : Function.LeftInverse g ⇑f
x : A
⊢ ↑((StarAlgEquiv.ofLeftInverse' h) x) = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Function.Surjective f
a : α
⊢ Set.SurjOn f (Set.Ioi a) (Set.Ioi (f a))
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasWidePullback B objs arrows
X : C
g1 g2 : X ⟶ CategoryTheory.Limits.widePullback B objs arrows
⊢ (∀ (j : J), g1 ≫ CategoryTheory.Limits.WidePullback.π arrows j = g2 ≫ CategoryTheory.Limits.WidePullback.π arrows j) →
  g1 ≫ CategoryTheory.Limits.WidePullback.base arrows = g2 ≫ CategoryTheory.Limits.WidePullback.base arrows → g1 = g2
α : Type u_1
Ring α
f : α → α → α
a b : α
a' b' c : ℤ
⊢ f = HSub.hSub →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a a' →
    Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b b' → a'.sub b' = c → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (f a b) c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.EnoughInjectives C
G : C
hG : CategoryTheory.IsSeparator G
⊢ ∃ G, CategoryTheory.Injective G ∧ CategoryTheory.IsCoseparator G
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
β : Type u_4
u : ι ⊕ β → ↑S.X₂
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))
m : ↑S.X₂
a✝ : m ∈ ⊤
cm : β →₀ R
hm : (cm.sum fun i a => a • (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr) i) = S.g m
m' : ↑S.X₂ := cm.sum fun j a => a • u (Sum.inr j)
n : ↑S.X₁
cn : ι →₀ R
hnm : (cn.sum fun a b => S.f (b • v a)) = m - m'
hn : (cn.sum fun i a => a • v i) = n
hn' : (cn.sum fun a b => b • S.f (v a)) = cn.sum fun a b => b • u (Sum.inl a)
⊢ (cn.sum fun a b => b • u (Sum.inl a)) + m' ∈ span R (range u)
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
f' : α → E'
l : Filter α
⊢ (fun x => ‖f' x‖) =o[l] g ↔ f' =o[l] g
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P 2 = 0
hQz : Q 2 = 0
⊢ P ≈ Q
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter α
a : α
hf : Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) f := by isBoundedDefault
h : ∀ (b : α), (∀ᶠ (n : α) in f, b ≤ n) → b ≤ a
⊢ f.limsInf ≤ a
N : ℕ
x✝ : SL(2, ℤ)
⊢ x✝ ∈ Gamma 0 ↔ x✝ ∈ ⊥
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i : 𝒰.J
⊢ t 𝒰 f g i i ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map i) = pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map i)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : Preorder ι✝
f✝ : Filtration ι✝ m
τ✝ π : Ω → ι✝
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime f τ
h✝ : Nonempty ι
⊢ hτ.measurableSpace ≤ m
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Nat.card α ≠ 0 ↔ Nonempty α ∧ Finite α
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
K x : ℝ
⊢ gronwallBound 0 K 0 x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set α
b : β
⊢ b ∈ f '' s ↔ b ∈ ⋃ i ∈ s, {f i}
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
p : R[X]
⊢ p ∈ RingHom.ker h.map ↔ f ∣ p
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
⊢ Continuous fun f => MeasureTheory.L1.integral f
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ p i), C x ⋯
zero : C 0 ⋯
add : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, p i) (hy : y ∈ ⨆ i, p i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, p i
⊢ C x hx
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement S univ
a : G
ha : a ∈ S
b : G
hb : b ∈ S
⊢ a = b
α : Type u_1
CompleteSemilatticeInf α
s : Set α
a : α
⊢ a ≤ sInf s ↔ ∀ b ∈ s, a ≤ b
G : Type u_1
LeftCancelMonoid G
x : G
hx : IsOfFinOrder x
n : ℕ
hn : ∃ m, x ^ m = x ^ n
⊢ (finEquivPowers x hx).symm ⟨x ^ n, hn⟩ = ⟨n % orderOf x, ⋯⟩
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Functor.mapSquare C F).map φ).τ₄ = F.map φ.τ₄
P Q : Prop
⊢ ¬(P ∧ Q) ∧ (P ∨ Q) ↔ (¬P ↔ Q)
G : Type u_1
AddGroup G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
⊢ BddAbove (-s) ↔ BddBelow s
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
MeasurableSpace Y
TopologicalSpace Y
NormedAddCommGroup E
BorelSpace X
BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : MeasureTheory.Measure X
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrable f (MeasureTheory.Measure.map (⇑e) μ) ↔ MeasureTheory.LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a ≤ b ⇨ c ↔ b ⊓ a ≤ c
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ : ℕ
T : L.Theory
n : ℕ
⊢ (∃ xs, ∀ (φ : L.BoundedFormula Empty n) (x x_1 : Fin n), (decide ¬x = x_1) = true → ∼(var (Sum.inr x) =' var (Sum.inr x_1)) = φ → φ.Realize default xs) ↔ Nonempty (Fin n ↪ M)
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommMonoidWithZero R
PartialOrder R
ZeroLEOneClass R
PosMulMono R
f : ι → R
s : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1
⊢ ∏ i ∈ s, f i ≤ 1
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
x✝ : Sym2 V
x y : V
⊢ Quot.mk (Sym2.Rel V) (x, y) ∈ (G₁ ⊔ G₂).edgeSet ↔ Quot.mk (Sym2.Rel V) (x, y) ∈ G₁.edgeSet ∪ G₂.edgeSet
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
A B : ↥(Matrix.unitaryGroup n α)
⊢ (∀ (i j : n), ↑A i j = ↑B i j) → A = B