ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f✝ : ℕ → Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
val✝ : Encodable β
⊢ HasSum (fun i => ↑v (f i)) (↑v (⋃ i, f i))
a b c : ℝ≥0
⊢ (a ⊔ b) * c = a * c ⊔ b * c
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
f : ℕ → R
g : ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, f i • g i =
  f (n - 1) • ∑ i ∈ Finset.range n, g i -
    ∑ i ∈ Finset.range (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ Finset.range (i + 1), g i
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[≠] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[≠] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[≠] a) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[≠] a) l
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k✝ : T.LocalizationMap Q
hg : Surjective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
y : P
s : M
hs : s ∈ ↑S
⊢ ∃ a, (f.map ⋯ k) a = k.mk' y ⟨g s, ⋯⟩
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
CommMonoid M
ψ : AddChar R M
r s : R
⊢ ψ.mulShift r * ψ.mulShift s = ψ.mulShift (r + s)
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
⊢ Monotone (Sublattice.comap f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X : C
p : CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection F X
⊢ p.yonedaEquivFst = CategoryTheory.yonedaEquiv p.fst
x₁ y₁ x₂ y₂ : SetTheory.PGame
hx : x₁ ≈ x₂
hy : y₁ ≈ y₂
⊢ x₁ < y₁ ↔ x₂ < y₂
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X ≃ᵢ Y
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.comap ⇑f) (MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m) = MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Submartingale f ℱ μ
hg : Submartingale g ℱ μ
⊢ Submartingale (f + g) ℱ μ
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
v : Fin n → M
⊢ (ExteriorAlgebra.ιMulti R n) v = (List.ofFn fun i => (ExteriorAlgebra.ι R) (v i)).prod
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b ∪ Ioc b a))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b ∪ Ioc b a))] 0
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
f : ((a : ι) → A a) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ (1 / (↑#ι - 1)) ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ p
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
⊢ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ K → 0 ≤ ⟪f x, y⟫_ℝ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
h : B.orthogonal W = ⊤
this : W ⊓ B.orthogonal W = ⊥
⊢ W = ⊥
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α
⊢ (vec ⬝ᵥ fun i => adjMatrix α G i v) = vec ⬝ᵥ adjMatrix α G v
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
x w : V
⊢ -(↑π ^ 2 * ↑‖x - w‖ ^ 2) / b = (2 * ↑π * I) ^ 2 * ↑‖x - w‖ ^ 2 / (4 * b)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Antivary (-f) (-g) ↔ Antivary f g
z : ℂ
⊢ ∃ c, ‖c‖ = 1 ∧ c * ↑‖z‖ = z
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ ⊥.addSubgroupOf H = ⊥
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
b : β
hb : b ∈ lowerBounds t
⊢ BddAbove (image2 f s t)
x y : SetTheory.PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
⊢ (x - y).Numeric
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E
this : FiniteDimensional F E
⊢ IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
⊢ (cs.leftInvSeq ω).prod = (cs.wordProd ω)⁻¹
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : Filter.limsup u f < a
hb : Filter.limsup v f ≤ b
⊢ Filter.limsup (u + v) f ≤ a + b
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m✝ : Multiset ι
f g : ι → α
m : Multiset α
⊢ (0 • m).prod = m.prod ^ 0
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
z : F
⊢ ↑e.symm (b, z) = { proj := b, snd := (continuousLinearEquivAt R e b hb).symm z }
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
h : FreeAddGroup.Red.Step L₁ L₂
⊢ Relation.Join FreeAddGroup.Red L₁ L₂
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
h0 : P.toPoly = 0
⊢ Cubic.a 0 = 0 ∧ Cubic.b 0 = 0 ∧ Cubic.c 0 = 0 ∧ Cubic.d 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (uncurry f)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun a => ∫⁻ (b : β) in s, f a b ∂κ a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
GroupWithZero G
SmoothInv₀ I G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
a : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffAt I' I n f a
hg : ContMDiffAt I' I n g a
h₀ : g a ≠ 0
⊢ ContMDiffAt I' I n (f / g) a
k n : ℕ
hk : n.gcd k < k
hk' : ↑k ≠ 0
key : n.gcd k = (↑n * n.gcdA k % ↑k).toNat
⊢ ∃ m, n * m % k = n.gcd k
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
⊢ MeasurableSet {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
H : Function.Injective f
hs : s ⊆ Set.range f
⊢ (f ⁻¹' s).ncard = s.ncard
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : α
⊢ Quot.out (Associates.mk a) ~ᵤ a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = ((∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ (1 / (p * q))) ^ q
α : Type u
β : Type v
SemilatticeInf β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hf : IsMinFilter f l a
hg : IsMinFilter g l a
⊢ IsMinFilter (fun x => f x ⊓ g x) l a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : a ∉ s
x✝ : (i : Fin (n + 1)) × { x // x ∈ s.sym (n - ↑i) }
i : Fin (n + 1)
m : Sym α (n - ↑i)
hm : m ∈ s.sym (n - ↑i)
⊢ Fin (n + 1) → Type ?u.79991
G : Type u_3
SubNegZeroMonoid G
⊢ 0 - 0 = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x : P.Cotangent
⊢ (CotangentSpace.map f) (P.cotangentComplex x) = P'.cotangentComplex ((Cotangent.map f) x)
M : Type uM
N : Type uN
MulOneClass M
CommMonoid N
y : M
x : M →* N
⊢ (MonoidHom.eval y) x = x y
a b c : EReal
h : b > 0
h' : b ≠ ⊤
⊢ a ≤ c / b ↔ a * b ≤ c
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
f : α →*₀o β
⊢ ⇑↑f = ⇑f
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ ∀ ⦃A : C⦄ (x₂ : A ⟶ S.L₁'.X₂), x₂ ≫ S.L₁'.g = 0 → ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₁'.f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
a₂ : 𝕎 k
this : solution p a₁ a₂ ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0
q : ℕ
hq : p = q.succ
hq' : q = p - 1
⊢ solution p a₁ a₂ ^ p * a₁.coeff 0 = solution p a₁ a₂ * a₂.coeff 0
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
⊢ IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.range b.flag)
R : Type u
I : Type v
CommSemiring R
x : R
s : I → R
t : Finset I
H1 : IsCoprime (∏ i ∈ t, s i) x
i : I
hit : i ∈ t
⊢ IsCoprime (s i) x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
g : { g // Function.FactorsThrough ⇑g ⇑f }
⊢ hf.liftEquiv g = hf.lift ↑g ⋯
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
h_opens : μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
aux : ↑(liminf (fun i => (μs i) G) atTop) = liminf (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) atTop
⊢ ↑μ G ≤ liminf (fun i => ↑(μs i) G) atTop
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p q : Submodule R M
hpq : Disjoint p q
a : ↥p
ha : ↑a ∈ q
⊢ a = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
T : Set (Set X)
To : ∀ t ∈ T, IsOpen t
Tct : T.Countable
hd : Dense (⋂₀ T)
⊢ ⋂₀ T ∈ residual X
⊢ rexp ∘ Neg.neg '' Set.univ = Set.Ioi 0
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
κ : Type u_6
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : DecidableEq M
x✝ : M →ₗ[A] M
⊢ (if H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A M) then detAux (Trunc.mk ⋯.some) else 1) x✝ = (if H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A M) then detAux (Trunc.mk ⋯.some) else 1) x✝
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
S₁ : AffineSubspace k P₁
Nonempty ↥S₁
⊢ AffineSubspace.inclusion ⋯ = AffineMap.id k ↥S₁
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
enc : Γ → Mathlib.Vector Bool n
enc0 : enc default = Mathlib.Vector.replicate n false
q : Turing.TM1.Stmt Bool Turing.TM1to1.Λ' σ
v : σ
a b : Γ
L R : Turing.ListBlank Γ
⊢ Turing.TM1.stepAux (Turing.TM1to1.write (enc a).toList q) v (Turing.TM1to1.trTape' enc0 L (Turing.ListBlank.cons b R)) =
  Turing.TM1.stepAux q v (Turing.TM1to1.trTape' enc0 (Turing.ListBlank.cons a L) R)
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
i : I
ho : Profinite.NobelingProof.ord I i < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Profinite.NobelingProof.term I ho = i
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
⊢ homologyMap' e.hom h₁ h₂ ≫ homologyMap' e.inv h₂ h₁ = 𝟙 h₁.left.H
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : Preorder ι✝
f✝ : Filtration ι✝ m
τ✝ π : Ω → ι✝
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime f τ
⊢ hτ.measurableSpace ≤ m
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen V
h'V : μ V < ⊤
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : μ v < ⊤
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p μ
R : Type u
a : R
CommRing R
b : R[X]
P : R[X][X]
⊢ P ∈ Ideal.span {Polynomial.C (Polynomial.X - Polynomial.C a), Polynomial.X - Polynomial.C b} ↔
  Polynomial.eval a (Polynomial.eval b P) = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
hx : x ∈ nonunits R
h₁ : x ∈ Metric.ball 1 1
⊢ ‖1 - x‖ < 1
α : Sort u_1
n : Nat
f : α → Fin n → α
x : α
⊢ foldr n (fun i x => f x i.rev) x = foldl n f x
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
q : ℚ
⊢ re ↑q = ↑q
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s t : Submodule K V
FiniteDimensional K ↥t
hst : s < t
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥s < FiniteDimensional.finrank K ↥t
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
F : Type u_3
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
NormOneClass A
FunLike F A 𝕜
AlgHomClass F 𝕜 A 𝕜
f : F
a : A
⊢ ‖f a‖ ≤ ‖a‖
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ ↑N.incl = (↑N).subtype
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
s t : Set α
⊢ s ∈ 𝓝[t] x ↔ ∃ ε > 0, EMetric.ball x ε ∩ t ⊆ s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ |(2 * π)⁻¹| • ∫ (y : ℝ), ↑x ^ (-(↑σ + ↑y * I)) • f (↑σ + ↑y * I) = ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
⊢ ∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B
⊢ ∃ y, (algebraMap B L) y = (Algebra.linearMap B L) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u''
CategoryTheory.Category.{v'', u''} D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts D
CategoryTheory.HasPullbacksOfInclusions D
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
Gl : CategoryTheory.Functor C D
Gr : CategoryTheory.Functor D C
adj : Gl ⊣ Gr
Gr.Full
Gr.Faithful
∀ (X : D) (Y : C) (f : X ⟶ Gl.obj Y), CategoryTheory.Limits.HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app Y)
(X : D) →
    (Y : C) →
      (f : X ⟶ Gl.obj Y) →
        CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (Gr.map f) (adj.unit.app Y)) Gl
CategoryTheory.PreservesPullbacksOfInclusions Gl
⊢ CategoryTheory.FinitaryExtensive D
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
D : Matrix n n α
⊢ IsUnit (Matrix.fromBlocks A B 0 D) ↔ IsUnit A ∧ IsUnit D
M : Type u_1
Add M
self : AddCon M
w x y z : M
⊢ Setoid.r w x → Setoid.r y z → Setoid.r (w + y) (x + z)
α : Type u_1
Preorder α
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Ordnode.Valid' o₁ l ↑x
hm : Ordnode.Valid' (↑x) m ↑y
hr : Ordnode.Valid' (↑y) r o₂
H1 : Ordnode.BalancedSz l.size m.size
H2 : Ordnode.BalancedSz (l.size + m.size + 1) r.size
⊢ Ordnode.Valid' o₁ (l.node3L x m y r) o₂
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b : α
⊢ Disjoint a b ↔ a ⊓ b = ⊥
x y : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ rexp (log (x * y)) = rexp (log x + log y)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p.update n 0).support = p.support.erase n
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
AddMonoid M
AddAction M β
MeasurableVAdd M β
MeasurableSpace α
f : α → β
c : M
hc : IsAddUnit c
⊢ (Measurable fun x => c +ᵥ f x) ↔ Measurable f
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
⊢ (∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B) → IsBlock G B
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.prev hs x hx ∈ s
X : AlgebraicGeometry.Scheme
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ X.basicOpen f ↔ IsUnit ((X.presheaf.germ ⟨x, trivial⟩) f)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
h : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ G.nonuniformWitness ε s t ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
A✝ : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : AddMonoidWithOne B
inst✝² : FunLike F ℕ A✝
inst✝¹ : AddMonoidWithOne A✝
A : Type u_6
inst✝ : AddMonoidWithOne A
f : ℕ →+ A := { toFun := fun n => n • 1, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
⊢ ∀ (n : ℕ), n • 1 = ↑n
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
θ : Real.Angle
⊢ x = (o.rotation θ) x ↔ x = 0 ∨ θ = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
⊢ ↑⊤ = Set.univ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
x y : WithLp 2 (E × F)
⊢ ⟪x, y⟫_𝕜 = ⟪x.1, y.1⟫_𝕜 + ⟪x.2, y.2⟫_𝕜
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝² : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
x✝¹ : x ∈ s
e : PartialHomeomorph H H
x✝ : e ∈ G
h2e : e.source ⊆ f.source
⊢ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source ↔ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
⊢ Nat.ceil ⁻¹' {0} = Set.Iic 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α✝
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α✝
α : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
a : α
⊢ (Icc a a).OrdConnected
R : Type u_1
Semiring R
r : R
p : Polynomial R
S : Type u_2
NonAssocSemiring S
Module R S
Pow S ℕ
x : S
⊢ (Polynomial.C r * p).smeval x = r • p.smeval x
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Div G
ContinuousDiv G
b : G
c : G
f : α → G
l : Filter α
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 c)
⊢ Filter.Tendsto (fun k => b / f k) l (𝓝 (b / c))
α₁ : Type u_3
β₁ : Type u_1
β₂ : Type u_2
e : β₁ ≃ β₂
⊢ e.prodCongr (Equiv.refl α₁) = Equiv.prodCongrLeft fun x => e
α : Type u
Sup α
a b : α
⊢ OrderDual.toDual (a ⊔ b) = OrderDual.toDual a ⊓ OrderDual.toDual b
α : Type u_1
ι : Sort u_4
Preorder α
f : ι → α
⊢ (⋂ i, Set.Iic (f i)).Nonempty ↔ BddBelow (Set.range f)
α : Type u_6
NonUnitalNonAssocSemiring α
self : CentroidHom α
a b : α
⊢ (↑self.toAddMonoidHom).toFun (a * b) = (↑self.toAddMonoidHom).toFun a * b
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
⊢ ⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y)) + dist f g
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
β : Type u_5
MeasurableSpace β
μb : MeasureTheory.Measure β
𝕜 : Type u_6
NormedRing 𝕜
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
Fact (1 ≤ p)
f : α → β
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ μb
⊢ ∀ (a : ↥(MeasureTheory.Lp E p μb)),
  ↑((MeasureTheory.Lp.compMeasurePreservingₗᵢ 𝕜 f hf) a) = (↑a).compMeasurePreserving f hf
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
x y : ↑(ofOpenSubsets U).glued
e : (fromOpenSubsetsGlue U) x = (fromOpenSubsetsGlue U) y
⊢ x = y
⊢ Real.sin (Real.pi / 3) = √3 / 2
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ
⊢ f.support ⊆ s → (s.sum ⇑f = n ↔ (f.sum fun x x => x) = n)