ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
self : CategoryTheory.Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget L W E
⊢ W.IsInvertedBy L
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
f : α₁ → α₂
g : β₁ → β₂
F : Filter α₁
G : Filter β₁
⊢ Filter.map f F ×ˢ Filter.map g G = Filter.map (Prod.map f g) (F ×ˢ G)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
SecondCountableTopology E
MeasurableSpace F
BorelSpace F
hf : Continuous f
⊢ Measurable fun p => lineDeriv 𝕜 f p.1 p.2
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
motive : HNNExtension G A B φ → Prop
x : HNNExtension G A B φ
of : ∀ (g : G), motive (HNNExtension.of g)
t : motive HNNExtension.t
mul : ∀ (x y : HNNExtension G A B φ), motive x → motive y → motive (x * y)
inv : ∀ (x : HNNExtension G A B φ), motive x → motive x⁻¹
S : Subgroup (HNNExtension G A B φ) := { carrier := setOf motive, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, inv_mem' := ⋯ }
f : HNNExtension G A B φ →* ↥S := lift (HNNExtension.of.codRestrict S of) ⟨HNNExtension.t, t⟩ ⋯
⊢ motive x
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
∀ (a : B), CategoryTheory.IsIso (F.mapId a)
∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), CategoryTheory.IsIso (F.mapComp f g)
a : B
⊢ ((CategoryTheory.Pseudofunctor.mkOfOplax' F).mapId a).hom = F.mapId a
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
Zero δ
f : γ →C_c δ
g : CocompactMap β γ
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
a : αˣ
hp : p ≠ 0
hx : ¬IsUnit ↑a
hx' : p * ↑a = p * ↑a
⊢ False
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p)
⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) < r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
G : Type u_1
Group G
s : Set G
N : Subgroup G
N.Normal
h : s ⊆ ↑N
⊢ Subgroup.normalClosure s ≤ N
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
h₁ : Monovary f₁ g
h₂ : Monovary f₂ g
⊢ Monovary (f₁ + f₂) g
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
d : ℝ≥0∞
⊢ EMetric.diam s ≤ d ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, edist x y ≤ d
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ LinearMap.lTensor (Module.Dual K V) (coevaluation K V)) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] 1) = (↑(TensorProduct.lid K (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.rid K (Module.Dual K V))) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] 1)
α : Sort u_1
β : Type u_2
p : β → Prop
e : α ≃ Subtype p
⊢ Set.range ⇑e.asEmbedding = setOf p
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f g : SlashInvariantForm Γ k
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (∀ (x y : ↥K'), ↑y ∈ K → ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ K) ↔ ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ (-a).im = -a.im
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ ⋃ n, Ioo a ↑n = Ioi a \ {⊤}
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIciTopology α
s : Set β
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
⊢ ∃ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f y ≤ f x
F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
S✝ : Set E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
⊢ restrictScalars F (adjoin L S) = restrictScalars F (adjoin L' S)
α : Type u_1
l l' : List α
⊢ l.Sublist l' ↔ ∃ f, ∀ (ix : ℕ), l.get? ix = l'.get? (f ix)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
s : Set M
N : LieSubmodule R L M
⊢ LieSubmodule.lieSpan R L s ≤ N ↔ s ⊆ ↑N
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a⁻¹ < b⁻¹ ↔ b < a
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
g : α → ℝ
⊢ (μ.tilted f).tilted g = μ.tilted (f + g)
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})
h : J = ⊤
hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * Submodule.span R {v}
this : 1 ∈ ↑↑I * Submodule.span R {v}
w : A
hw : w ∈ ↑↑I
hvw : w * v = 1
⊢ ↑↑I = Submodule.span R {w}
α : Type u_1
β : Type u_2
s : α → Set β
⊢ ⋃ x ∈ Set.univ, s x = ⋃ x, s x
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
LawfulBitraversable t
α α' β : Type u
f : α → α'
⊢ Bitraversable.tfst (pure ∘ f) = pure ∘ Bifunctor.fst f
x y x' y' : ZFSet
⊢ x.pair y = x'.pair y' ↔ x = x' ∧ y = y'
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
⊢ IsRegular (X n)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.LeftHomologyData
⊢ h.unop.H = Opposite.unop h.H
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a b : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (a + b).toProd.1 = a.toProd.1 + b.toProd.1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
s : Finset α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ μ ↑s = 0
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
S : Submodule R E
⊢ (f.domRestrict S).domain = S ⊓ f.domain
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Finset.map Fin.valEmbedding (Finset.Ioo a b) = Finset.Ioo ↑a ↑b
α : Type u_2
LT α
DenselyOrdered α
a₁ a₂ : α
⊢ a₁ < a₂ → ∃ a, a₁ < a ∧ a < a₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
h : CategoryTheory.Limits.IsZero X
f : Y ⟶ X
⊢ h.from_ Y = f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
a : α
ha : a ∈ s
⊢ (map f s).prod = (map f t).prod
α : Type u
LinearOrder α
a b c d : α
h₁ : a < c
h₂ : b < d
⊢ min a b < min c d
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Epi (imageToKernel S.f S.g ⋯)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.31752, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : ↑X ≅ ↑Y
α : (Presheaf.pushforward C H.hom).obj X.presheaf ≅ Y.presheaf
U✝ : Opens ↑↑Y
⊢ (α.inv.app (op U✝) ≫ (Presheaf.toPushforwardOfIso H α.hom).app (op ((Opens.map H.hom).obj U✝))) ≫ Y.presheaf.map ((eqToHom ⋯).app (op U✝)) = (𝟙 Y).c.app (op U✝)
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : f ∈ B' ∧ (B \ B' = ∅ ∨ B \ B' = {e})
hcard : (B' \ B).encard = (B \ B').encard
⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrderTop (α i)
a : (i : ι) → α i
⊢ (Finset.Ioi a).card = ∏ i : ι, (Finset.Ici (a i)).card - 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.GlueData C
i j k : D.J
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑(D.V (i, j))
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp (D.f i j) U ≫
    (D.f i k).c.app (Opposite.op ((AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor (D.f i j)).obj U)) =
  (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (Opposite.op U) ≫
    AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp (CategoryTheory.Limits.pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))
        (Opposite.unop
          (Opposite.op
            ((TopologicalSpace.Opens.map (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).toPrefunctor.1
              (Opposite.unop (Opposite.op U))))) ≫
      (D.V (i, k)).presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
n : Nat
motive : Fin (n + 1) → Sort u_1
zero : motive (Fin.last n)
succ : (i : Fin n) → motive i.succ → motive i.castSucc
⊢ Fin.reverseInduction zero succ (Fin.last n) = zero
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M
hy : (algebraMap S S') y ∈ Subalgebra.map fₐ (Algebra.adjoin R ↑T)
⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T)
α : Type u
β : Type v
r : Rel α β
l : Filter β
s : Set α
⊢ s ∈ Filter.rcomap' r l ↔ ∃ t ∈ l, r.preimage t ⊆ s
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
k n : ℕ
⊢ (C x * X ^ k).coeff n = if n = k then x else 0
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
h : edist x y = 0
⊢ edist z x = edist z y
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
hq : ¬IsUnit q
hsep : p.Separable
⊢ multiplicity q p ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
⊢ ↑(f ⊓ g) ≤ᶠ[ae μ] ↑g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
hg : MDifferentiableWithinAt I' I'' g u (f x)
hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
h : s ⊆ f ⁻¹' u
hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x
⊢ mfderivWithin I I'' (g ∘ f) s x = (mfderivWithin I' I'' g u (f x)).comp (mfderivWithin I I' f s x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
X : CategoryTheory.Sheaf J D
⊢ ((CategoryTheory.sheafificationNatIso J D).hom.app X).val = CategoryTheory.toSheafify J X.val
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
SmoothManifoldWithCorners I M
SmoothManifoldWithCorners J N
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
hn : 1 ≤ n
s : Set M
⊢ UniqueMDiffOn J (⇑h '' s) ↔ UniqueMDiffOn I s
n : ℕ
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
⊢ ZMod.cast 0 = 0
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
⊢ 0 < T n
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.support.Nodup
⊢ p.IsPath
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
⊢ quadraticCharFun F 0 = 0
R : Type u_1
Semiring R
s : Subsemiring R
x : R
hx : x ∈ s
n : ℕ
⊢ x ^ n ∈ s
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsTrans α r
γ : Type u_3
Nonempty γ
f : γ → α
D : Directed r f
s : Set γ
hs : s.Finite
⊢ ∃ z, ∀ i ∈ s, r (f i) (f z)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
i : σ
c : R
⊢ MvPolynomial.degreeOf i (MvPolynomial.C c * p) ≤ MvPolynomial.degreeOf i p
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X : Type u
⊢ FreeAlgebra.ι R ∘ 𝟙 X = ⇑(𝟙 (mk (FreeAlgebra R X))) ∘ FreeAlgebra.ι R
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y✝ : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x y : E
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F := fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)
G : Type u
H : Type v
Add G
Add H
f : AddHom H G
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ TwoUniqueSums G → TwoUniqueSums H
x : SetTheory.PGame
o : x.Numeric
j : x.RightMoves
⊢ x < x.moveRight j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
s : Set E
hf : CPolynomialOn 𝕜 f s
hg : CPolynomialOn 𝕜 g s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (f - g) s
a b : ℕ
ha : a % 4 = 3
hb : b % 4 = 3
⊢ jacobiSym (↑a) b = -jacobiSym (↑b) a
Γ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
StrictOrderedSemiring Γ
⊢ ∀ (a : PowerSeries A) (b : Γ),
  ((HahnSeries.ofPowerSeriesAlg Γ R) a).coeff b =
    if h : ∃ x, ¬(PowerSeries.coeff A x) a = 0 ∧ ↑x = b then (PowerSeries.coeff A (Classical.choose ⋯)) a else 0
x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ↑(abs x) * y = ↑(abs y) * x ↔ ↑(abs y) * x = y * ↑(abs x)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
f : R →+* S
⊢ map f (dickson k a 0) = dickson k (f a) 0
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
a₁ a₂ : α
b : β
⊢ (a₁, b) ⋖ (a₂, b) ↔ a₁ ⋖ a₂
Fq : Type
Field Fq
DecidableEq (RatFunc Fq)
⊢ FunctionField.inftyValuationDef Fq 1 = 1
A : Type u_1
Ring A
StarRing A
TopologicalSpace A
Algebra ℝ A
ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
a : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ ∃ x, IsSelfAdjoint x ∧ SpectrumRestricts x ⇑ContinuousMap.realToNNReal ∧ x ^ 2 = a
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
b : ↥B
⊢ of ↑b * t = t * of ↑(φ.symm b)
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
⊢ (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖rexp (f x)‖ / ‖rexp (g x)‖) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (f - g)
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →A[R] B
p : Subalgebra R B
h : ∀ (x : A), f x ∈ p
⊢ ↑(f.codRestrict p h) = (↑f).codRestrict p h
X : Type u_1
MeasurableSpace X
MeasurableSingletonClass X
x : X
A : Set X
⊢ ↑(MeasureTheory.diracProba x) A = A.indicator 1 x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
η : Type u_5
ε : Type u_6
e : PartialEquiv α β
f : PartialEquiv β γ
e' : PartialEquiv δ η
f' : PartialEquiv η ε
⊢ (e.prod e').trans (f.prod f') = (e.trans f).prod (e'.trans f')
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
h : x ^ n.gcd (card G) = 1
⊢ x ^ n = 1
α : Type u_1
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s : Set α
hs : IsOpen s
h : t₁ ≤ t₂
⊢ IsOpen s
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
f g : Filter α
hf : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) f := by isBoundedDefault
hg : Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) g := by isBoundedDefault
h : ∀ (a : α), (∀ᶠ (n : α) in g, n ≤ a) → ∀ᶠ (n : α) in f, n ≤ a
⊢ f.limsSup ≤ g.limsSup
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g (s ∩ u)
x : M
hx : x ∈ s
u : Set M
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : LiftPropOn P g (s ∩ u)
this : LiftPropWithinAt P g (s ∩ u) x
⊢ LiftPropWithinAt P g s x
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizationMonoid R
this : ↑(normUnit X) = C ↑(normUnit X.leadingCoeff)
⊢ normUnit X = 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
⊢ Even (a + -b)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat
F : C ⥤ D
S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
M N : PresheafOfModules (R ⋙ forget₂ CommRingCat RingCat)
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
φ' : S' ⟶ R
X Y : Dᵒᵖ
f : X ⟶ Y
x : ↑(R.obj X)
⊢ ((relativeDifferentials' φ').map f) (CommRingCat.KaehlerDifferential.d x) = CommRingCat.KaehlerDifferential.d ((R.map f) x)
α : Type u
L : List (α × Bool)
p : α × Bool
⊢ ¬FreeAddGroup.Red.Step [p] L
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hV).parts
⊢ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤
  (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card)
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ e.toFun = ⇑e
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β
⊢ b ∈ (p.bindOnSupport f).support ↔ ∃ a, ∃ (h : a ∈ p.support), b ∈ (f a h).support
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : NoMaxOrder α
hs : IsUpperSet s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ upperBounds s
c : α
hc : b < c
⊢ False
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
x y : R
⊢ v.intValuationDef (x * y) = v.intValuationDef x * v.intValuationDef y
n k s : ℕ
hkn : k ≤ n
hsk : s ≤ k
h : 0 < (n - k)! * (k - s)! * s !
⊢ n.choose k * (k.choose s * s ! * (k - s)!) * (n - k)! = n !
α : Type u_1
n : ℕ
v : Fin n → α
⊢ (Matrix.circulant v).transpose = Matrix.circulant fun i => v (-i)
a b : Prop
h : a = False
⊢ (a ∧ b) = False
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
he : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s1
p2 : P
hp2 : p2 ∈ ↑s2
v1 : V
hv1 : v1 ∈ s1.direction
v2 : V
hv2 : v2 ∈ s2.direction
hv1v2 : v1 +ᵥ p1 = -v2 +ᵥ p2
⊢ v1 +ᵥ p1 ∈ ↑s2
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧
⊢ (coeff R n) (inv.aux a φ) = if n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (inv.aux a φ) else 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
A B : C
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelSubobject 0 = ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₀ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g h₃ = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofNullHomotopic S₁ S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃).h₂ = h₂
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ deriv (fun x => x) x * log x + x * deriv log x = log x + 1
C : Type uC
inst✝² : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
⊢ P = ⊤
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
n : ℕ
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ d ∈ φ.support, d.degree ≠ n
⊢ (MvPolynomial.homogeneousComponent n) φ = 0
α : Type u_1
AddZeroClass α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : b ≤ 0
⊢ a + b ≤ a
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
⊢ IsNoetherian K V ↔ Module.rank K V < ℵ₀
α : Type u
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.Sublist l₂ → l₁.tail.Sublist l₂.tail
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s ∩ s = s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
mα : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hμ : μ ≠ 0
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
hf_int : ∀ (b : β), ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ ≠ ⊤
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
val✝ : Encodable β
h✝ : Nonempty β
inhabited_h : Inhabited β
this : ∀ (a : α), ⨅ b, f b a = ⨅ n, f (Directed.sequence f h_directed n) a
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ b, f b a ∂μ = ⨅ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
H : IsTotallySeparated s
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : IsPreconnected t
x : α
x_in : x ∈ t
y : α
y_in : y ∈ t
⊢ x = y
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ |a - b| < c ↔ a - b < c ∧ b - a < c
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ frontier (s ∩ t) ⊆ frontier s ∩ closure t ∪ closure s ∩ frontier t
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ : CategoryTheory.GradedObject I C
X₁.HasTensor X₂
X₂.HasTensor X₃
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
X₁.HasTensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃)
X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃
X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
i₁ i₂ i₃ j : I
h : i₁ + i₂ + i₃ = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h)
    ((CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.associator X₁ X₂ X₃).inv j) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (X₁ i₁) (X₂ i₂) (X₃ i₃)).inv
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h)
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
F : Type u_3
Semiring S
FunLike F R[X] S[X]
AddMonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
p : R[X]
k : ℕ
fu : ℕ → ℕ
fu0 : ∀ {n : ℕ}, n ≤ k → fu n = 0
fc : ∀ {n m : ℕ}, k ≤ n → n < m → fu n < fu m
φ_k : ∀ {f : R[X]}, f.natDegree < k → φ f = 0
φ_mon_nat : ∀ (n : ℕ) (c : R), c ≠ 0 → (φ ((Polynomial.monomial n) c)).natDegree = fu n
⊢ (φ p).natDegree = fu p.natDegree