ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
u : ℕ → E
hu : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → u ia ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia
hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑n • u n) atTop (𝓝 0)
h_bounded : IsVonNBounded 𝕜 (Set.range fun n => ↑n • u n)
r : ℝ
hr : r > 0
h' : ∀ (c : 𝕜'), r ≤ ‖c‖ → (⇑f '' Set.range fun n => ↑n • u n) ⊆ c • V
n : ℕ
hn : r < ↑n
⊢ False
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
φ : K →+* ℂ
H : ∀ (σ : K ≃ₐ[k] K), ComplexEmbedding.IsConj φ σ → σ = 1
hφ : ¬ComplexEmbedding.IsConj φ 1 ∧ ComplexEmbedding.IsReal (φ.comp (algebraMap k K))
this✝² : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝¹ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower k K ℂ
φ' : K →ₐ[k] ℂ := let __src := star φ; { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }
this : ComplexEmbedding.IsConj φ (φ'.restrictNormal' K)
⊢ False
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X : C
n : ℕ
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
α : ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n), map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj X✝)
⊢ n + 0 + 0 = n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : GroupWithZero α
s✝ t s : Set α
⊢ s / 0 ⊆ 0
x y : ℂ
⊢ cos (2 * x) = 2 * cos x ^ 2 - 1
A : Type u_10
A₂ : Type u_11
AddCommGroup A
AddCommGroup A₂
f : A →+ A₂
s : AddSubgroup A₂
⊢ Submodule.comap f.toIntLinearMap (AddSubgroup.toIntSubmodule s) = AddSubgroup.toIntSubmodule (AddSubgroup.comap f s)
M : Type u_2
Monoid M
x : Mˣ
⊢ ∀ (a : ↥(MulAction.stabilizer (ConjAct Mˣ) x)), ↑↑((unitsCentralizerEquiv M x).symm a) = ↑(ConjAct.ofConjAct ↑a)
α : Type u
a : α
s t : Set α
ha : a ∈ s
⊢ s.Subsingleton ∨ s.Nontrivial
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
⊢ UniformInducing ⇑PicardLindelof.FunSpace.toContinuousMap
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : X ≃ₜ Y
f' : PartialHomeomorph Y Z
⊢ (e.transPartialHomeomorph f').target = f'.target
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hscv : Convex ℝ s
this : Nonempty ↑s
p : V
hp : p ∈ s
p' : ↥(_root_.affineSpan ℝ s) := ⟨p, ⋯⟩
⊢ Convex ℝ (⇑(AffineIsometryEquiv.constVSub ℝ p').symm.toHomeomorph ⁻¹' (Subtype.val ⁻¹' s))
α : Type u
β : α → Type v
f : Finmap β
⊢ f.entries.Nodup
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ {a} ⊻ {b} = {a ⊔ b}
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : PseudoMetricSpace X
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ
⊢ (fun x => c • x) ⁻¹' ball x r = ball (c⁻¹ • x) r
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f g : ↥A
⊢ |↑g - ↑f| ∈ A.topologicalClosure
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
y : F
w : E
hw : ∀ (x : ↥T.domain), ⟪w, ↑x⟫_𝕜 = ⟪y, ↑T x⟫_𝕜
this : Continuous ⇑(((innerSL 𝕜) w).comp T.domain.subtypeL)
⊢ ⇑((innerₛₗ 𝕜) y ∘ₗ T.toFun) = ⇑(((innerSL 𝕜) w).comp T.domain.subtypeL)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
h : IntegrableOn f s (μ.restrict t)
this : IntegrableOn f (s ∩ t) (μ.restrict t)
⊢ IntegrableOn f (s ∩ t) μ
γ : Type w
PartialOrder γ
OrderBot γ
⊢ lowerBounds Set.univ = {⊥}
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
h : IsUnit a
⊢ a / b / a = b⁻¹
α : Type u_1
_m : MeasurableSpace α
c : NNReal
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ (c • μ) s = ↑c * μ s
a b✝ c d m n : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
hz : z ≤ b
⊢ (z - 1).inductionOn' b H0 Hs Hp = Hp z hz (z.inductionOn' b H0 Hs Hp)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p✝ : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
l : Filter β
b : ι → Set β
q : ι → Prop
hl : l.HasBasis q b
u : β → Set α
p : β → Prop
x : α
g : (i : Set β) → i ∈ l → β
hg : ∀ (i : Set β) (i_1 : i ∈ l), p (g i i_1) ∧ g i i_1 ∈ i
hg' : ∀ (i : Set β) (i_1 : i ∈ l), x ∈ u (g i i_1)
i : ↑{i | q i}
⊢ x ∈ u ((fun i => g (b ↑i) ⋯) i)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
Semiring T
p : T[X]
g : ℕ → T → R[X]
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x (p.sum g) = p.sum fun n a => Polynomial.eval₂ f x (g n a)
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i j : ι
inst✝³ : K.HasHomology i
inst✝² : K.HasHomology j
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology j
⊢ opcyclesMap φ i ≫ L.opcyclesToCycles i j = K.opcyclesToCycles i j ≫ cyclesMap φ j
ι : Type u_1
Fintype ι
x y x' y' : ι → ℝ
hx : x ∈ Set.Icc x' y'
hy : y ∈ Set.Icc x' y'
⊢ dist x y ≤ dist x' y'
d : ℕ
dnsq : Zsqrtd.Nonsquare d
⊢ 0 < d
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ Function.Surjective (EuclideanGeometry.inversion c R)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
ι : Type u_9
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
t : Finset ι
f : ι → M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
b : M
⊢ (∑ d ∈ t, f d) b = ∑ d ∈ t, (f d) b
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
⊢ Module.rank R M ≤ ↑n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h₁ : x.1 ≤ y.1
h₂ : x.2 < y.2
⊢ x < y
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ (fun z => -(z ^ (p - 1) / log z ^ 2)) =o[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
h : g.comp f = 0
⊢ (NormedAddGroupHom.incl g.ker).comp (NormedAddGroupHom.ker.lift f g h) = f
θ ψ : ℝ
⊢ ∃ k, toIcoMod two_pi_pos ψ θ - θ = 2 * π * ↑k
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat
F : C ⥤ D
R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
M : PresheafOfModules (R ⋙ CategoryTheory.forget₂ CommRingCat RingCat)
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
d d' : M.Derivation φ
h : d = d'
X : Dᵒᵖ
b : ↑(R.obj X)
⊢ d.d b = d'.d b
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
⊢ ⨆ i, Weight.ker.dualAnnihilator = ⊤
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : Y
y : X
z : Y
⊢ ∀ (p q : Z), |dist (Ψ p) (Ψ q) - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * ε
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L L' : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ ↑↑((L + L').compLp f) =ᶠ[ae μ] ↑↑(L.compLp f + L'.compLp f)
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : i.Coprime n
⊢ IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n))) n
b : Bool
m n : ℕ
h : Nat.shiftLeft' b m n ≠ 0
⊢ (Nat.shiftLeft' b m n).size = m.size + n
α : Type u_2
Lattice α
⊢ ↑⊥ = ∅
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
FirstCountableTopology ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i j : ι
hle : i ≤ j
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = i}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : Convex 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ StarConvex 𝕜 x s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
s : Set ι
i : ι
hi : i ∉ s
l : ι →₀ 𝕜
hl : ∀ x ∉ s, l x = 0
⊢ ⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l, v i⟫_𝕜 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
b : α
h : StrictAntiOn f (Set.Iic b)
⊢ f '' Set.Iio b ⊆ Set.Ioi (f b)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
b : OrthonormalBasis (Fin (n + 1)) ℝ E
hb : b.toBasis.orientation ≠ o
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o
⊢ o.volumeForm = -b.toBasis.det
x : ℂ
h : cos x ≠ 0
⊢ 1 / cos x ^ 2 = (cos x * cos x - sin x * -sin x) / cos x ^ 2
m✝ n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
m : ℕ
h : m.succ * n = n + m * n
⊢ ∀ (x : Fin (m.succ * n)), repeat m.succ a x = (append a (repeat m a) ∘ cast h) x
α : Type u_1
p : α → Prop
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ p x
Fintype { x // p x }
⊢ Fintype.card { x // p x } = s.card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
⊢ (CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.whiskering C D).obj F =
  CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.whiskeringObj C D F
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : ω ≤ o
⊢ 1 + o = o
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PriestleySpace α
x y : α
h✝ : x ≠ y
h : ¬x ≤ y
⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ (IsUpperSet U ∨ IsLowerSet U) ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.num ≠ 0
⊢ ↑(p.num * ↑q.den) / ↑(↑p.den * q.num) = ↑p.num * ↑q.den / (↑p.den * ↑q.num)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n
⊢ ↑r ≤ p.radius
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (c + x)) volume (a - c) (b - c)
ι : Type u_4
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
LinearOrder ι
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
⊢ (Q.toBilin bm).toQuadraticMap = Q
α : Type u_1
p : PosNum
⊢ (↑↑p).natAbs = (-↑p).natAbs
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
S : Set ℂ := {z | y < z.re}
h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖
h₁ : ∀ (n : ℕ), DifferentiableOn ℂ (fun x => term f x n) S
h₂ : IsOpen S
h₃ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ S, ‖term f z n‖ ≤ ‖term f (↑x) n‖
⊢ LSeriesSummable (logMul f) s ∧ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W W' : Subspace K V
⊢ Submodule.dualAnnihilator W = Submodule.dualAnnihilator W' ↔ W = W'
α : Type u
Semiring α
s : Set α
x y : α
⊢ x ∈ Ideal.span (insert y s) ↔ ∃ a, ∃ z ∈ Ideal.span s, x = a * y + z
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
x : ℝ
this : (fun a => ↑(hf.stieltjesFunction a) x) = fun a => ⨅ r, f a ↑r
⊢ Measurable fun a => ↑(hf.stieltjesFunction a) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
⊢ Disjoint l l' ↔ ∃ i, p i ∧ (s i)ᶜ ∈ l'
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FiniteType
α : Type u_1
b c d : ℝ≥0∞
r✝ p✝ q✝ p : ℝ≥0
right✝¹ h : ↑p < b
r : ℝ≥0
right✝ : ↑r < b
pc : ↑p < ↑r
cb : ↑r < b
q : ℚ
hq0 : 0 ≤ q
pq : p < (↑q).toNNReal
qr : (↑q).toNNReal < r
⊢ ∃ q, 0 ≤ q ∧ ↑p < ↑(↑q).toNNReal ∧ ↑(↑q).toNNReal < b
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hs : (s ∩ Function.support f).Finite
ht : (t ∩ Function.support f).Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i + ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i =
  ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i + ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
x y : SetTheory.PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
⊢ ((∃ i, x ≤ y.moveLeft i) ∨ ∃ j, x.moveRight j ≤ y) → x < y
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
x : β
e : { e // e none = x }
b : { y // y ≠ x }
⊢ some (((Equiv.optionSubtype x) e).symm b) = (↑e).symm ↑b
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
LinearOrderedSemifield β
f : α → β
a : α
h1 : IsLocalMin f a
h2 : ∀ᶠ (z : α) in nhds a, 0 < f z
⊢ IsLocalMax f⁻¹ a
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hY : AEMeasurable Y μ
hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (y : Ω), f (x, y) ∂(Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel x) (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
x : ↑(M F)
⊢ ∀ (a : (j : J) × ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat).obj j), 1 • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a
n m : WithBot ℕ
⊢ n + m = 1 ↔ n = 0 ∧ m = 1 ∨ n = 1 ∧ m = 0
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ x ∈ closure s ↔ ∃ᶠ (x : X) in 𝓝 x, x ∈ s
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ↑(MeasureTheory.measureUnivNNReal μ) = μ Set.univ
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
T2Space M
ContinuousMul M
f : ℕ → M
hf : Multipliable fun n => f (n + 1)
⊢ ∏' (b : ℕ), f b = f 0 * ∏' (b : ℕ), f (b + 1)
a b : ℤ
h : a ≤ b
⊢ a.toNat ≤ b.toNat
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
f : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
f' : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli' i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
hle : 1 ≤ n + 1
hne : ↑p + 1 + 1 ≠ 0
h1 : ∀ (r : ℚ), r * (↑p + 1 + 1) * ↑n ^ p.succ / (↑p + 1 + 1) = r * ↑n ^ p.succ
h2 : f 1 + ↑n ^ p.succ = 1 / 2 * ↑n ^ p.succ
this : ∑ i ∈ range p, bernoulli (i + 2) * ↑((p + 2).choose (i + 2)) * ↑n ^ (p - i) / ↑(p + 2) = ∑ i ∈ range p, bernoulli' (i + 2) * ↑((p + 2).choose (i + 2)) * ↑n ^ (p - i) / ↑(p + 2)
⊢ ∑ k ∈ Ico 1 n.succ, ↑k ^ p.succ = ∑ i ∈ range p.succ.succ, f' i
α : Type u_4
β : Type u_5
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
⊢ IsClosed {f | LipschitzOnWith K f s}
z : ℝ
hz : 0 ≤ z
x : ℝ≥0
hx : ↑x ≤ 1
⊢ ↑x ^ z ≤ 1
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.pellZd a1 (n + 1) = Pell.pellZd a1 n * { re := ↑a, im := 1 }
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Inv β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ ↑f⁻¹ = (↑f)⁻¹
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ := if p.toReal < 1 then 1 else 2 ^ (p.toReal - 1)
i : α
⊢ ‖(f + g) i‖ ^ p.toReal ≤ C * (‖f i‖ ^ p.toReal + ‖g i‖ ^ p.toReal)
n : Nat
⊢ (OfNat.ofNat n).toNat = n % UInt16.size
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
⊢ (λ_ (𝟙_ C)).inv = (ρ_ (𝟙_ C)).inv
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A B : Matrix (Fin (n + 1)) (Fin (n + 1)) R
c : Fin n → R
A_zero : ∀ (i : Fin (n + 1)), A i 0 = B i 0
A_succ : ∀ (i : Fin (n + 1)) (j : Fin n), A i j.succ = B i j.succ + c j * A i j.castSucc
⊢ Aᵀ.det = Bᵀ.det
x : ℝ
⊢ (Complex.cos ↑x).im = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
hf : ¬ContinuousOn f (σₙ R a)
⊢ cfcₙ f a = 0
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
s : Finset ι
x y : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
⊢ (if H : i ∈ s then (x - y) ⟨i, H⟩ else 0) = (if H : i ∈ s then x ⟨i, H⟩ else 0) - if H : i ∈ s then y ⟨i, H⟩ else 0
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
⊢ eval₂ f x p = eval₂ (f.comp (Subring.closure ↑p.coeffs).subtype) x p.restriction
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b✝ : α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
⊢ P a b
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
⊢ Absorbs 𝕜 (p.ball 0 r₁) (p.ball 0 r₂)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ W.polynomial.natDegree = 2
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
Archimedean 𝕜
⊢ Continuous ⇑(AddCircle.equivIoc p a).symm
l m : ℕ
α : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring α
v : Fin l → α
A : Matrix (Fin l) (Fin m) α
⊢ Matrix.vecMulᵣ v A = v ᵥ* A
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
t : ℝ
x : ↑I
⊢ γ.extend (if (if ↑x ≤ t then t else ↑x) ≤ t then if ↑x ≤ t then t else ↑x else t) = γ.extend t
α : Type u_1
β : Type u_2
x : Option α
⊢ (x.bind fun x => none) = none
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y
⊢ ∃ l ∈ Iio y, Ico l y ⊆ S
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ derivWithin (fun y => c + f y) s x = derivWithin f s x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
φ φ₀ : W.LeftFraction X Y
hφ₀ : neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ₀.neg.map L ⋯
Y' : C
t₁ : φ₀.Y' ⟶ Y'
t₂ : φ.Y' ⟶ Y'
hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂
hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂
ht : W (φ₀.s ≫ t₁)
this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))
⊢ neg' W (φ₀.map L ⋯) ≫ L.map φ₀.s ≫ L.map t₁ = φ.neg.map L ⋯ ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ hc.descCoconeMorphism s = (c.isColimitEquivIsInitial hc).to s
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
f : Module.Dual R M
⊢ (p.toDualLeft x) (p.toDualRight.symm f) = f x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Mon_ C
⊢ ((Mon_.EquivLaxMonoidalFunctorPUnit.counitIso C).inv.app X).hom = 𝟙 X.X
w : List ℕ
c : ℕ × ℕ
⊢ c ∈ YoungDiagram.cellsOfRowLens w ↔ ∃ (h : c.1 < w.length), c.2 < w.get ⟨c.1, h⟩
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ IsIntegralCurve γ v ↔ IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x * a) (a • v)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
hi : c.prev j = i
h : K.d i j = 0
K.HasHomology j
⊢ (K.isoHomologyπ i j hi h).hom = K.homologyπ j
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hsep : p.Separable
hq : 1 < multiplicity q p
⊢ q ^ 2 ∣ p
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Finite ι
CharZero R
NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hr :
  ∀ (i : ι),
    Set.MapsTo (⇑(Module.preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (Set.range ⇑root) (Set.range ⇑root)
hc :
  ∀ (i : ι), Set.MapsTo (⇑(Module.preReflection (coroot i) (p.toLin (root i)))) (Set.range ⇑coroot) (Set.range ⇑coroot)
i j k : ι
hk : root k = (Module.preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i))) (root j)
⊢ coroot k = (Module.preReflection (coroot i) (p.toLin (root i))) (coroot j)
n : ℕ
⊢ Nat.digits 1 (n + 1) = 1 :: Nat.digits 1 n
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderBot α
a x : α
⊢ x ∈ Finset.Iio a ↔ x < a
n k : ℕ
h : n ∣ k
h' : k ≠ 0
⊢ n.primeFactorsList.Sublist k.primeFactorsList
α : Type u_1
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ ∃ x, x ∈ s
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v
d : G.Dart
h : d ∈ p.darts
⊢ d.toProd.2 ∈ p.support
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set β
hs : s.Nonempty
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ (f ⁻¹' s).Nonempty