ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
⊢ (match e.cmp e' with | Ordering.lt => e'.oadd n' a' | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a' | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
n : ℕ
k : Fin n
m : ℕ
⊢ finAddFlip (Fin.natAdd m k) = Fin.castAdd m k
z w : ℂ
⊢ Complex.normSq (z * w) = Complex.normSq z * Complex.normSq w
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
Fact (1 ≤ p)
L L' : E →L[𝕜] F
⊢ ContinuousLinearMap.compLpL p μ (L + L') = ContinuousLinearMap.compLpL p μ L + ContinuousLinearMap.compLpL p μ L'
R : Type u_1
MonoidWithZero R
Nontrivial R
m : R
hm : Squarefree m
⊢ m ≠ 0
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
g✝ : σ → S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
d : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ (eval₂Hom f g) ((monomial d) r) = f r * d.prod fun i k => g i ^ k
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : ∀ (y : ℝ), x < y → LSeriesSummable f ↑y
⊢ LSeries.abscissaOfAbsConv f ≤ ↑x
α✝ β α : Type u
h : Fintype α
⊢ ∀ (f : α → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : α, f i)
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hb : Acc r b
h : r a b
⊢ succ ⋯.rank ≤ hb.rank
α : Type u
β : Type v
Bot α
Bot β
⊢ ⊥.1 = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
p : α → Prop
⊢ EventuallyConst p l ↔ (p =ᶠ[l] fun x => False) ∨ p =ᶠ[l] fun x => True
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
c : M'
inst✝ : One M'
⊢ Smooth I I' 1
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : G × G
⊢ 0 = 0 x g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.AsSmall.equiv.unitIso = CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun X => CategoryTheory.eqToIso ⋯) ⋯
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, logGammaSeq x b ≤ f x - f 1
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
⊢ ‖f‖ ≤ C
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P
⊢ dist (e x) (e y) = dist x y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
c : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂c • μ = c * ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
⊢ Fintype.card ι ≤ Fintype.card ↑w
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
n : ℕ
⊢ 0 < a ^ n
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
⊢ (Matrix.toLinearMap₂ b₁ b₂).symm = LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂
y : ℝ≥0∞
h : ⊤ < y
⊢ (if ⊤ = 0 then ⊥ else if ⊤ = ⊤ then ⊤ else ↑(Real.log ⊤.toReal)) < if y = 0 then ⊥ else if y = ⊤ then ⊤ else ↑(Real.log y.toReal)
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f = 0
⊢ range f < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : IsBigOWith c l f₁ f₂
hc : c < 1
x : α
hx : ‖f₁ x‖ ≤ c * ‖f₂ x‖
⊢ ‖f₂ x‖ - c * ‖f₂ x‖ ≤ ‖f₂ x - f₁ x‖
α : Type u_1
M : Matroid α
h : M.RkPos
⊢ ¬M.Base ∅
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a✝¹ : i ∈ ↑s
j : ι
a✝ : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j
⊢ ∀ ⦃a : (x : ι) × α x⦄, a ∈ map (Embedding.sigmaMk i) (t i) → a ∉ map (Embedding.sigmaMk j) (t j)
x y : ℝ
⊢ sin (x - y) = sin x * cos y - cos x * sin y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₂.HasRightHomology
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ S₁.HasRightHomology
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
x u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ G.degree x = List.countP (fun e => decide (x ∈ e)) p.edges
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
Mul M
CommSemigroup N
CommSemigroup P
g : N →ₙ* P
f₁ f₂ : M →ₙ* N
⊢ g.comp (f₁ * f₂) = g.comp f₁ * g.comp f₂
α : Type u
x : Additive α
⊢ Additive.ofMul (Additive.toMul x) = x
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
t : Set ↑s
hs : NullMeasurableSet s μ
ht : MeasurableSet t
⊢ ∀ (t : Set ↑s), (fun t => NullMeasurableSet (Subtype.val '' t) μ) t → (fun t => NullMeasurableSet (Subtype.val '' t) μ) tᶜ
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
n m : ℕ
ha : 1 < a
h : n < m
⊢ a ^ n < a ^ m
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N P : Bimod X Y
f : M ⟶ N
g : N ⟶ P
Q : Bimod Y Z
⊢ (whiskerRight (f ≫ g) Q).hom = (whiskerRight f Q ≫ whiskerRight g Q).hom
s : Set ℝ
h : BddAbove s
h' : s.Nonempty
a : ℝ
⊢ (∀ (ε : ℝ), 0 < ε → a < sSup s + ε) ↔ ∀ ε < 0, ∃ x ∈ s, a + ε < x
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
s : Set L
x : L
⊢ x ∈ LieSubalgebra.lieSpan R L s ↔ ∀ (K : LieSubalgebra R L), s ⊆ ↑K → x ∈ K
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
h : a = c + b
⊢ c ≤ c + b - b
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ supp x ↔ x✝ ∈ {u | ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a → α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f '' univ}
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
x y : α
q : ℚ≥0
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ ↑q * a
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
f : M₂ →ₗ[R] M₃
g : M₁ →ₗ[R] M₂
⊢ (toMatrix v₁ v₃) (f ∘ₗ g) = (toMatrix v₂ v₃) f * (toMatrix v₁ v₂) g
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
⊢ diam {x, y, z} = max (max (dist x y) (dist x z)) (dist y z)
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t✝ : Set α
a b x✝¹ : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t
x✝ : P s
h : ∀ x ∈ s, ¬P (s \ {x})
t : Set α
ht : P t
hst : t ⊆ s
x : α
hxs : x ∈ s
⊢ x ∈ t
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A
h : ∀ (x x_1 : M), (((LinearMap.mul R A).compl₂ f ∘ₗ f + (LinearMap.mul R A).flip.compl₂ f ∘ₗ f) x) x_1 = ((LinearMap.compr₂ (QuadraticMap.polarBilin Q) (Algebra.linearMap R A)) x) x_1
x : M
⊢ f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ GradedMonoid.GOne.one = (PiTensorProduct.tprod R) Fin.elim0
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
t : ℝ
⊢ t ∈ Metric.ball (t₀ / a) (ε / |a|) ↔ t ∈ {t | t * a ∈ Metric.ball t₀ ε}
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → SeminormedGroup (π i)
inst✝¹ : SeminormedGroup E
f x : (i : ι) → π i
r : ℝ
inst✝ : Nonempty ι
a : E
⊢ ‖fun _i => a‖ = ‖a‖
E : Type u_2
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
TopologicalAddGroup E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s t
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u < f b
R : Type u
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
i : ι
b : (i : ι) → φ i
⊢ (LinearMap.proj i) b = b i
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
h : Function.Surjective ⇑f
x✝¹ : Ideal S
x✝ : x✝¹ ≠ ⊤
s : S
r : R
hr : f r = s
⊢ f 1 ∉ x✝¹
M : Type u_1
AddMonoid M
a b c : M
h : IsAddUnit a
⊢ b + a = c + a ↔ b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h_dir : Directed (fun x y => x ⊆ y) fun q => Iic ↑q
h_dir_prod : Directed (fun x y => x ⊆ y) fun q => s ×ˢ Iic ↑q
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ⨆ i, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (Iic ↑i) ∂ν a = ⨆ i, (κ a) (s ×ˢ Iic ↑i)
α : Type u_1
C : Set α → Prop
s : Set (Set α)
m : MeasurableSpace α
h_eq : m = MeasurableSpace.generateFrom s
h_inter : IsPiSystem s
h_empty : C ∅
h_basic : ∀ t ∈ s, C t
h_compl : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → C t → C tᶜ
h_union :
  ∀ (f : ℕ → Set α), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), C (f i)) → C (⋃ i, f i)
t : Set α
⊢ MeasurableSet t → C t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
⊢ X.toRestrictTop.c = CategoryTheory.eqToHom ⋯
E : Type u_4
F : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
Semiring R
Semiring S
AddCommGroup E
Module R E
AddCommGroup F
Module S F
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
MeasurableSpace E
BorelSpace E
MeasurableSpace F
BorelSpace F
L : E ≃SL[σ] F
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑L) μ).IsAddHaarMeasure
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b✝ : Basis ι R M
c : Basis κ R M
s : Finset M
b : Basis { x // x ∈ s } R M
f : M →ₗ[R] M
this : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R M)
⊢ (traceAux R ⋯.some) f = (traceAux R b) f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
hd : DifferentiableAt 𝕜 d x
hx : d x ≠ 0
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => c x / d x) x
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a \ b ≤ c ↔ a \ c ≤ b
ι : Type u
f : ι → Scheme
i : ι
x : ↑↑(f i).toPresheafedSpace
⊢ colimit.ι (Discrete.functor fun x => (f x).toTopCat) { as := i } ≫ (PreservesCoproduct.iso Scheme.forgetToTop f).symm.hom = Scheme.forgetToTop.map (Sigma.ι f i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
m : Type u_5
n : Type u_6
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
v₁ : OrthonormalBasis n 𝕜 E
v₂ : OrthonormalBasis m 𝕜 F
A : Matrix m n 𝕜
i : m
j : n
⊢ ⟪((toLin v₂.toBasis v₁.toBasis) Aᴴ) (v₂.toBasis i), v₁.toBasis j⟫_𝕜 = ⟪v₂.toBasis i, ((toLin v₁.toBasis v₂.toBasis) A) (v₁.toBasis j)⟫_𝕜
a b : Nat
⊢ (¬a ≤ b) = (b + 1 ≤ a)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
⊢ ((Basis.mk hli hsp).coord i) (v j) = if j = i then 1 else 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
LinearOrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g s
n : ℕ
⊢ MonovaryOn f (n • g) s
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : (RingHom.toMorphismProperty fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso
this : (stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso := stalkwise_respectsIso hP
⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (f ∣_ U i)) → stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝² : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝¹ : α → X
g✝ : X → Y
f✝ : α → X
s : Set X
g : Y → Z
f : α → Y
hg : DenseRange g
hf : DenseRange f
cg : Continuous g
⊢ DenseRange (g ∘ f)
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Module.annihilator R M' ≤ Module.annihilator R M
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝³ : HasCoproduct X
inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)
inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b
hg : g₁ ≫ Sigma.desc π = g₂ ≫ Sigma.desc π
a : α
⊢ (pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ Sigma.ι X a) ≫ Sigma.desc e = pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc e
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ Ici 1, ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)), ‖(a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)‖ ≤ (a - ↑(n + 1)) / a ^ 2
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R✝
M✝ : Submonoid R✝
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R✝ S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing Rₘ
M : Submonoid R
hR : IsField R
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
this : Field R := hR.toField
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
r m : R
hm : m ∈ M
n : R
hn : m * n = 1
⊢ ∃ a, (algebraMap R Rₘ) a = mk' Rₘ r ⟨m, hm⟩
X : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
Y Z : Type u
_tsY : TopologicalSpace Y
_tsZ : TopologicalSpace Z
_csY : CompactSpace Y
_t2Y : T2Space Y
_csZ✝ : CompactSpace Z
_csZ : T2Space Z
f : StoneCech X → Z
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
g_sur : Surjective g
s : Z → Y := fun z => Classical.choose ⋯
hs : g ∘ s = id
t : X → Y := s ∘ f ∘ stoneCechUnit
ht : Continuous t
h : StoneCech X → Y := stoneCechExtend ht
hh : Continuous h
⊢ ∃ h, Continuous h ∧ g ∘ h = f
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
IsSolvable G
⊢ IsSolvable G'
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (WittVector.wittSub p n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
α : Type u_1
a b : α
o : Part α
⊢ a ∈ o → b ∈ o → a = b
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
g : GenContFract K := of v
⊢ (of v).dens n ≤ (of v).dens (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
N : Matroid β
E : Set α
⊢ (N.comapOn E f).E = E
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ↑↑(-f) =ᵐ[μ] -↑↑f
α : Type u_2
DivisionMonoid α
a : α
⊢ IsSquare a⁻¹ ↔ IsSquare a
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a r : ℝ
x✝ : EReal × EReal
h : ↑(r - (a - 1)) < x✝.1 ∧ ↑(a - 1) < x✝.2
⊢ ↑r < x✝.1 + x✝.2
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
Monoid A
Monoid B
Monoid C
Monoid D
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
TopologicalSpace C
TopologicalSpace D
f : ContinuousMonoidHom A C
g : ContinuousMonoidHom B D
i : A × B
⊢ (f.prod_map g) i = (f.toMonoidHom i.1, g.toMonoidHom i.2)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
OrderTop α
h : ⊤ ∈ s
⊢ sSup s = ⊤
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F ↥⊥
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥⊥
⊢ Module.rank F ↥⊥ = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g✝ : Filter α
s t : Set α
f g : Filter α
⊢ (f ⊔ g).NeBot ↔ f.NeBot ∨ g.NeBot
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
hfg : Monovary f g
n : ℕ
⊢ Monovary (n • f) g
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ L (fun n => χ ↑n) s ≠ 0
α : Type u_1
rα : α → α → Prop
x y : α × α
⊢ Sym2.GameAdd rα (Sym2.mk x) (Sym2.mk y) ↔ Prod.GameAdd rα rα x y ∨ Prod.GameAdd rα rα x.swap y
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
m : M
n : M
p : MvPolynomial σ R
hp : MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w p m
⊢ n ≠ m → (MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w n) p = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : μ.IsEverywherePos s
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
⊢ (c • μ).IsEverywherePos s
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.60069, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
F : J ⥤ C
c : Cocone F
inst✝ : G.IsEquivalence
hc : IsVanKampenColimit c
e : F ⋙ G ⋙ G.inv ≅ F := NatIso.hcomp (Iso.refl F) G.asEquivalence.unitIso.symm
⊢ IsVanKampenColimit (G.inv.mapCocone (G.mapCocone c))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle Cᵒᵖ
⊢ T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.distinguishedTriangles C ↔
  ∃ T',
    ∃ (_ : T' ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles),
      Nonempty (T ≅ (CategoryTheory.Pretriangulated.triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T'))
X : Type u_1
EDist X
a b : X
⊢ edist (Multiplicative.ofAdd a) (Multiplicative.ofAdd b) = edist a b
α : Type u_1
CompleteLinearOrder α
s : Set α
⊢ sSup s = ⊤ ↔ ∀ b < ⊤, ∃ a ∈ s, b < a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X : C
n : ℕ
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
α : ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n), map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj X✝)
⊢ Ext.comp α (Ext.mk₀ (f ≫ f')) ⋯ = (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
⊢ AffineIndependent k fun x => ↑x
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
⊢ dist a b ≤ ‖a‖ + ‖b‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
h : ManyOneEquiv p q
⊢ ManyOneEquiv p r ↔ ManyOneEquiv q r
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0
⊢ ∃ x ∉ N, ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Multiset α
⊢ s ≤ t → Multiset.count a s ≤ Multiset.count a t
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
u : ↥(center G₀ˣ)
⊢ 0 * ↑↑u = ↑↑u * 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖₊ ≤ ↑‖f x - y₀‖₊ + ↑‖f x - y₀‖₊
⊢ ‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
⊢ (Finset.image f s).sym2 = Finset.image (Sym2.map f) s.sym2
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
c : ℝ
hXm : AEMeasurable X ℙ
⊢ Measure.map (fun ω => c * X ω) ℙ = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)