ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
Q : QuadraticMap R (Mᵢ i) P
m : (i : ι) → Mᵢ i
⊢ Q (m i) = (pi (Pi.single i Q)) m
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
hs : IsCompact s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
hdt : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t
⊢ ∃ i, s ∩ t i = ∅
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X' : C
f : X' ⟶ X
CategoryTheory.IsIso f
g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel g
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectIsoComp f g).inv ≫ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (f ≫ g)).arrow =
  (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject g).arrow ≫ CategoryTheory.inv f
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
β : Ext 0 Y n := 0
hβ : β.hom = 0
this : 0 = comp 0 β ⋯
⊢ hom 0 = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
I : IsIso f
Z : C
g : X ⟶ Z
⊢ f ≫ inv f ≫ g = g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
h₃ : S₃.LeftHomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
ψ' : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ' h₂ h₃
⊢ (ψ.comp ψ').φK = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ψ.φK ψ'.φK
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
x : R
⊢ (↑x).imK = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : t.ncard ≤ s.ncard
ht : autoParam t.Finite _auto✝
b : β
hb : b ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩
finj : Function.Injective f'
hft : Fintype ↑t
hft' : Fintype ↑s
f'' : (a : α) → a ∈ s.toFinset → β := fun a h => f a ⋯
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ s ↔ x✝ ∈ s.toFinset
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : Nontrivial R
φ : R[X] →*₀ G₀
hφ : Function.Injective ⇑φ
hφ' : optParam (R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ G₀⁰) ⋯
y : FractionRing R[X]
a : R[X] × ↥R[X]⁰
⊢ (liftMonoidWithZeroHom φ hφ') { toFractionRing := Localization.mk a.1 a.2 } = (liftMonoidWithZeroHom φ hφ') { toFractionRing := y } → { toFractionRing := Localization.mk a.1 a.2 } = { toFractionRing := y }
α : Type u
AddGroup α
Finite α
⊢ IsAddCyclic α ↔ ∃ g, addOrderOf g = Nat.card α
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
a : ℕ → M
ha : ∀ (n : ℕ), Submodule.Quotient.mk (a n) = ↑x n
⊢ ∃ a, (mk I M) a = x
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
⊢ F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ 𝟙 (F.δ₀.obj ⟨0, ⋯⟩) = F.map' 0 1 ⋯ ⋯
n : ℕ∞
x : ℝ
⊢ ContDiffAt ℝ n Real.tan x ↔ Real.cos x ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
X : C
Y : D
f : Sum.inl X ⟶ Sum.inr Y
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
Neg γ
ContinuousNeg γ
f : C(β, γ)
g : C(α, β)
⊢ (-f).comp g = -f.comp g
R : Type uR
A : Type uA
M₂ : Type uM₂
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup M₂
Algebra R A
Module R M₂
Invertible 2
Q : QuadraticForm R M₂
a : A
m₂ : M₂
⊢ (QuadraticForm.baseChange A Q) (a ⊗ₜ[R] m₂) = Q m₂ • (a * a)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f g : (ℕ → ℕ) → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : Disjoint (range f) (range g)
hfg : ¬MeasurablySeparable (range f) (range g)
I : ∀ (n : ℕ) (x y : ℕ → ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n) → ∃ x' y', x' ∈ cylinder x n ∧ y' ∈ cylinder y n ∧ ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x' (n + 1)) (g '' cylinder y' (n + 1))
A : Type := { p // ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder p.2.1 p.1) (g '' cylinder p.2.2 p.1) }
F : A → A
hFn : ∀ (p : A), (↑(F p)).1 = (↑p).1 + 1
hFx : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.1 ∈ cylinder (↑p).2.1 (↑p).1
hFy : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.2 ∈ cylinder (↑p).2.2 (↑p).1
p0 : A := ⟨(0, fun x => 0, fun x => 0), ⋯⟩
p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0
prec : ∀ (n : ℕ), p (n + 1) = F (p n)
pn_fst : ∀ (n : ℕ), (↑(p n)).1 = n
Ix : ∀ (m n : ℕ), m + 1 ≤ n → (↑(p n)).2.1 m = (↑(p (m + 1))).2.1 m
Iy : ∀ (m n : ℕ), m + 1 ≤ n → (↑(p n)).2.2 m = (↑(p (m + 1))).2.2 m
x : ℕ → ℕ := fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n
hx : x = fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n
y : ℕ → ℕ := fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n
hy : y = fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n
M : ∀ (n : ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n)
u v : Set α
u_open : IsOpen u
v_open : IsOpen v
xu : f x ∈ u
yv : g y ∈ v
huv : Disjoint u v
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
⊢ False
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
h : c ≤ b
⊢ a - c ≤ b - c ↔ a ≤ b
α : Type u_1
Union α
a b : Part α
⊢ a ∪ b = do
  let y ← a
  Part.map (fun x => y ∪ x) b
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑(n.choose k) ≡ ↑((n % p).choose (k % p) * (n / p).choose (k / p)) [ZMOD ↑p]
n : ℕ
⊢ (Int.negOfNat n).bodd = n.bodd
α : Type u_1
Zero α
One α
Add α
Neg α
n : PosNum
⊢ ↑(ZNum.neg n) = -↑n
c : ℝ≥0
f : StieltjesFunction
⊢ (c • f).measure = c • f.measure
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
s t : Set M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ UniqueMDiffWithinAt I (s ∩ t) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → β → γ
Kα Kβ : ℝ≥0
hα : ∀ (b : β), LipschitzWith Kα fun a => f a b
hβ : ∀ (a : α), LipschitzWith Kβ (f a)
a₁ : α
b₁ : β
a₂ : α
b₂ : β
⊢ edist (f a₁ b₁) (f a₂ b₁) + edist (f a₂ b₁) (f a₂ b₂) ≤ ↑Kα * edist (a₁, b₁) (a₂, b₂) + ↑Kβ * edist (a₁, b₁) (a₂, b₂)
α : Type u_5
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
PseudoEMetricSpace α
Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
hf : LipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
⊢ LipschitzWith (Kf + Kg) fun x => f x * g x
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
a : { x // p x }
⊢ Subtype.val ⁻¹' Set.Iio ↑a = Set.Iio a
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
⊢ Q 0 = 0
n : ℕ
⊢ ¬n % 2 = 1 ↔ n % 2 = 0
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
⊢ Function.Injective LinearEquiv.toLinearMap
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / (o.oangle (x - y) x).sin = ‖x - y‖
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued
hs : ∀ (i : (ofOpenSubsets U).J), IsOpen (⇑((ofOpenSubsets U).ι i) ⁻¹' s)
i : (ofOpenSubsets U).J
x : ↑(of α)
hx' : x ∈ U i
hx : ((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩ ∈ s
⊢ IsOpen (⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s ∩ Set.range ⇑(U i).inclusion) ∧ (fromOpenSubsetsGlue U) (((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩) ∈ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s ∩ Set.range ⇑(U i).inclusion
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
⊢ FreeAddGroup.Red.Step L₁ L₂ → sizeOf L₂ < sizeOf L₁
R : Type u
CommRing R
⊢ (WeierstrassCurve.ofJ0 R).c₄ = 0
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
⊢ s.einfsep < ⊤ ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ edist x y < ⊤
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : Batteries.RBNode α} {v : α} {r : Batteries.RBNode α} {cr : Batteries.RBColor} {n : Nat},
  Batteries.RBNode.RedRed True l n →
    r.Balanced cr (n + 1) → Batteries.RBNode.RedRed (cr = Batteries.RBColor.red) (l.balLeft v r) (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∃ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≠ 0
ho : f' =o[l] f'
x : α
hle : ‖f' x‖ ≤ 1 / 2 * ‖f' x‖
hne : ‖f' x‖ ≠ 0
⊢ False
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hcont : ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (f x, g x)
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f univ x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g univ x
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun z => f z + g z) univ x
α : Type u_1
IdemSemiring α
a : α
⊢ a + a = a
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
z : ℕ
a✝ : IsUnit (A ^ (-↑z)).det ↔ IsUnit A.det ∨ -↑z = 0
⊢ IsUnit (A ^ (-↑z - 1)).det ↔ IsUnit A.det ∨ -↑z - 1 = 0
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a * b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜
⊢ ∀ u ∈ K, ⟪x - y, u⟫_𝕜 = 0
ι : Type u_1
LinearOrder ι
i j : ι
hij : i < j
⊢ LinearLocallyFiniteOrder.succFn i ≤ j
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I✝ : C
Fm : I✝ ⟶ Y
m_mono✝¹ : Mono Fm
e✝¹ : X ⟶ I✝
Ffac : e✝¹ ≫ Fm = f
Fm' : I✝ ⟶ Y
m_mono✝ : Mono Fm'
e✝ : X ⟶ I✝
Ffac' : e✝ ≫ Fm' = f
hm : (mk I✝ Fm e✝¹ Ffac).m = eqToHom ⋯ ≫ (mk I✝ Fm' e✝ Ffac').m
⊢ mk I✝ Fm e✝¹ Ffac = mk I✝ Fm' e✝ Ffac'
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsRelPrime x (y + x * z)
⊢ IsRelPrime x y
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
(i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
(i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
⊢ (PiTensorProduct.map fun i => g i ∘ₗ f i) = PiTensorProduct.map g ∘ₗ PiTensorProduct.map f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
hx : x ∈ Icc a b
hC : ∀ y ∈ Icc a b, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ C
h : a < b
⊢ ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
y : ↥S
⊢ IsUnit (f.toMap ↑y)
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
TopologicalSpace β
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
hf : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.FinStronglyMeasurable (-f) μ
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A →ₗc[R] B
f' : A → B
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
S : Type u_1
Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Polynomial.eval₂ f (OfNat.ofNat n) p = f (Polynomial.eval (OfNat.ofNat n) p)
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
h : ⇑f ⁻¹' {0} ⊆ ↑S
⊢ comap f (map f S) = S
R : Type u
CommSemiring R
f : R
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ PrimeSpectrum.basicOpen (f ^ n) = PrimeSpectrum.basicOpen f
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → M
⊢ equivFunOnFinite.symm f = ∑ a : α, single a (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
f : α → ℕ → Bool
fmeas : Measurable f
finj : Injective f
x : α
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' {f x})
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E) (x : E), P K → P (restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
S : Finset E
⊢ P (adjoin F ↑S)
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_2
CommRing A
Algebra R A
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module A M
Module R M
D : Derivation R A M
a : A
⊢ D (-a) = -D a
τ : Type u_1
AddCommGroup τ
TopologicalSpace τ
TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
TopologicalSpace α
ϕ : Flow τ α
t : τ
⊢ Continuous (ϕ.toFun t)
M : Type u_5
F : Type u_6
AddGroup M
FunLike F M M
AddMonoidHomClass F M M
f : F
n : ℕ
x y : M
⊢ (⇑f)^[n] (x - y) = (⇑f)^[n] x - (⇑f)^[n] y
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
e : L ≃ₐ[K] L'
E : IntermediateField K L
a : ↥E
⊢ ↑((IntermediateField.intermediateFieldMap e E) a) = e ↑a
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ Pell.yn a1 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hxy : x ≠ y
⊢ {x, y}.einfsep ≤ edist y x
α : Type u_2
β : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
f : α →ₙ+* β
⊢ ⇑f.toMulHom = ⇑f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : ℕ → ℕ
h1 : Monotone f
B : ℕ
h2 : ∀ (n : ℕ), f n ≤ B
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = f (n + 1) → f (n + 1) = f (n + 2)
⊢ ∀ (k : ℕ), B ≤ k → f k = f B
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f g : M →ₛₗ[σ] M₃
h : ∀ (x : M), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α
⊢ x ∈ Icc a b ∪ Ici c ↔ x ∈ Ici (min a c)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha' : 0 < a'
fact1 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, x ≠ 0
fact2 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, a < x⁻¹
hdnf : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, HasDerivAt (f ∘ Inv.inv) (f' x⁻¹ * -(x ^ 2)⁻¹) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
Y : D
j : CostructuredArrow L Y
⊢ (CostructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj j = j
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
⊢ Algebra.Generators.CotangentSpace.map f ∘ₗ P.cotangentComplex =
  ↑S P'.cotangentComplex ∘ₗ Algebra.Generators.Cotangent.map f
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₀
D : J → Type u₁
(j : J) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (D j)
X X' : (i : I) → C i
f : X ⟶ X'
Y : (j : J) → D j
s : I ⊕ J
⊢ ((CategoryTheory.Pi.sum C).map f).app Y s =
  match s with
  | Sum.inl i => f i
  | Sum.inr j => CategoryTheory.CategoryStruct.id (Y j)
R : Type u_1
n : ℕ
CommRing R
x y p : R
h : p ∣ x - y
⊢ p ∣ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) ↔ p ∣ ↑n * x ^ (n - 1)
α : Type u_2
Lattice α
s : Set αᵒᵈ
⊢ InfClosed (⇑OrderDual.toDual ⁻¹' s) ↔ SupClosed s
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
⊢ Filter.map₂ m f (g₁ ⊓ g₂) ≤ Filter.map₂ m f g₁ ⊓ Filter.map₂ m f g₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
⊢ R.comp (CategoryTheory.Comonad.comparison h) = h.toComonad.cofree
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
F : BraidedFunctor C D
X Y : C
⊢ F.μ X Y ≫ inv (F.μ X Y) ≫ (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ F.μ Y X = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ F.μ Y X
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
x : (i : I) → f i
i j : I
⊢ Commute (mulSingle i (x i)) (mulSingle j (x j))
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ
X : ℂ
HX2 : IsMaxOn (fun x => ‖f x‖) (sphere z R) X
y : ℝ
v : ℂ
hv : v ∈ ball x ε'
⊢ ‖circleTransformDeriv R z v f y‖ ≤ abs (V b a) * abs (f X)
R : Type u
inst✝¹⁷ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁶ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra S L
inst✝⁷ : IsFractionRing S L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsNoetherian R S
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : p.IsMaximal
hp0 : p ≠ ⊥
e : Ideal S → ℕ := ramificationIdx (algebraMap R S) p
f : Ideal S → [inst : p.IsMaximal] → ℕ := inertiaDeg (algebraMap R S) p
inj_RL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
inj_RS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) = finrank K L
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
sne : s.Nonempty
hsb : b ∈ upperBounds s
sbd : BddAbove s
c : B := sSup s
hsc : IsLUB s c
hc : c ∈ Icc a b
ec : Trivialization F TotalSpace.proj
hec : Icc a c ⊆ ec.baseSet
hlt : c < b
⊢ ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
a b : Prop
self : a ↔ b
⊢ a → b
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
τ : Ω → ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
PartialOrder ι
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
NormedAddCommGroup E
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), MeasureTheory.Integrable (u n) μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
⊢ MeasureTheory.Integrable (MeasureTheory.stoppedValue u τ) μ
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝ : Inhabited Λ
M : Machine₀
⊢ Supports M Set.univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ (∀ (a : CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement P), CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f a = 0) → f = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : N → M × M'
x : N
hf : ContMDiffAt J (I.prod I') n f x
⊢ ContMDiffAt J I n (fun x => (f x).1) x
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Set.Ico 0 ↑n
⊢ 0 < ∏ k ∈ Finset.range n, (m - ↑k)
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
m : M
⊢ ∀ (a : L), ∃ k, ((toEnd R L M) a ^ k) m = 0
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n : ℕ
⊢ 0 < n → ‖newton_seq_gen hnorm n - a‖ = ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
motive : Nat → Nat → Sort u_1
zero_zero : motive 0 0
zero_succ : (n : Nat) → motive 0 n → motive 0 (n + 1)
succ_zero : (m : Nat) → motive m 0 → motive (m + 1) 0
succ_succ : (m n : Nat) → motive m n → motive (m + 1) (n + 1)
n : Nat
⊢ Nat.recDiag zero_zero zero_succ succ_zero succ_succ 0 (n + 1) =
  zero_succ n (Nat.recDiag zero_zero zero_succ succ_zero succ_succ 0 n)
α : Type u_2
InvolutiveInv α
f : Filter α
⊢ f⁻¹ ≤ f ↔ f⁻¹ = f
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
m : Set (MeasureTheory.Measure α)
h : ∀ μ' ∈ m, μ ≤ μ'
⊢ μ ≤ sInf m
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
e : α ≃ᵤ β
⊢ ⇑e.toHomeomorph = ⇑e
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
a b : ℝ
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
a✝ : a < b
g : ℝ → ℝ
hg : Monotone g
gf : EqOn f g (s ∩ Icc a b)
x : ℝ
hx : DifferentiableAt ℝ g x
h'x : x ∈ s ∩ Ioo a b
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ f s x
M : Type u_4
Monoid M
l : List M
⊢ (l.get? 0).getD 1 * l.tail.prod = l.prod
l : Filter ℂ
hl : Complex.IsExpCmpFilter l
⊢ Filter.Tendsto (⇑Complex.abs) l Filter.atTop
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
⊢ ∀ (f g_1 : ι →₀ M), ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (f ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = f i ⊗ₜ[R] g k → ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (g_1 ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = g_1 i ⊗ₜ[R] g k → ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) ((f + g_1) ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = (f + g_1) i ⊗ₜ[R] g k
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n.succ → α
⊢ (ofFn f).head = f 0