ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
⊢ intrinsicInterior 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicInterior 𝕜 s
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : ((i : ι) → M₁ i) → M₂
h₁ :
  ∀ [inst : DecidableEq ι] (m : (i : ι) → M₁ i) (i : ι) (x y : M₁ i),
    f (Function.update m i (x + y)) = f (Function.update m i x) + f (Function.update m i y)
h₂ :
  ∀ [inst : DecidableEq ι] (m : (i : ι) → M₁ i) (i : ι) (c : R) (x : M₁ i),
    f (Function.update m i (c • x)) = c • f (Function.update m i x)
⊢ ⇑{ toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ } = f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
a : α
⊢ (l ++ [a]).sublists = l.sublists ++ map (fun x => x ++ [a]) l.sublists
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
q : Submodule R ↥p
x : ↥(Submodule.map p.subtype q)
⊢ ↑↑((p.equivSubtypeMap q).symm x) = ↑x
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
⊢ s.Disjoint t ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ≠ b
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ count True (map p s) = card (filter p s)
F : Type u_1
L : Type u_3
Field F
Field L
Algebra F L
Normal F L
K : IntermediateField F L
⊢ Normal F ↥K ↔ ∀ (σ : ↥K →ₐ[F] L), σ.fieldRange ≤ K
R : Type u_1
r : R
Semiring R
⊢ IsNilpotent (Polynomial.C r) ↔ IsNilpotent r
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hcf : ContinuousOn f (Ico a b)
hcg : ContinuousOn g (Ico a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : f a = 0
hga : g a = 0
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
R : Type u
S : Type v
NonUnitalRing R
NonUnitalRing S
g : S → R
f : R →ₙ+* S
h : Function.LeftInverse g ⇑f
x : ↥f.range
⊢ (RingEquiv.ofLeftInverse' h).symm x = g ↑x
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
f : M → N
g : N → P
Zero P
h : Function.Exact f g
x : M
⊢ g (f x) = 0
R : Type w
Ring R
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
F : J ⥤ ModuleCat R
CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)
⊢ (ModuleCat.HasColimit.colimitCocone F).pt = ModuleCat.mkOfSMul (ModuleCat.HasColimit.coconePointSMul F)
R : Type u
Ring R
S : Type v
Ring S
f : R →+* S
p : S[X]
⊢ p ∈ Polynomial.lifts f ↔ p ∈ Polynomial.liftsRing f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.forget F).map f = f.f
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
R' : Type u_7
CommSemiring R'
Algebra R' R
Module R' M
IsScalarTower R' R M
f : R →ₗ[R'] R'
B : LinearMap.BilinForm R M
⊢ ∀ (a m : M), ((f.compBilinForm B) a) m = f ((B a) m)
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
b c : α
PosMulStrictMono α
h : 0 < c
⊢ 0 ≤ c * b ↔ 0 ≤ b
M : Type u_5
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
x : M
hx : x ∈ S
n : ℕ
⊢ n • x ∈ S
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : IsEmpty ι
f : M ≃ₗ[R] M
g : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hg : g ≠ 0
⊢ (map ι f) (rayOfNeZero R g hg) = rayOfNeZero R g hg
α : Type u_2
β : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
f : Filter β
u : β → α
a : α
f.NeBot
h : Filter.Tendsto u f (𝓝 a)
⊢ Filter.liminf u f = a
α : Type u_2
SemilatticeSup α
⊢ SupClosed ∅
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
⊢ m.toFinset = ∅ ↔ m = 0
R : Type u
S : Type u_3
L : Type v
M : Type w
CommRing R
CommRing S
Field L
Field M
Algebra R M
NoZeroSMulDivisors R M
IsAlgClosure R M
Algebra S L
NoZeroSMulDivisors S L
IsAlgClosure S L
hSR : S ≃+* R
s : S
⊢ (IsAlgClosure.equivOfEquiv L M hSR) ((algebraMap S L) s) = (algebraMap R M) (hSR s)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e✝ : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
A₁ : Type u_2
A₂ : Type u_3
A₃ : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A₁
inst✝⁴ : CommSemiring A₂
inst✝³ : CommSemiring A₃
inst✝² : Algebra R A₁
inst✝¹ : Algebra R A₂
inst✝ : Algebra R A₃
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
f : A₂ ≃ₐ[R] A₃
a✝ : MvPolynomial σ A₁
m✝ : σ →₀ ℕ
⊢ coeff m✝ ((map ((↑f).comp ↑e)) a✝) = coeff m✝ ((map ↑(e.trans f)) a✝)
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
g : N →+ P
f : M →+ N
⊢ ⇑(g.comp f) = ⇑g ∘ ⇑f
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A B : Matrix n' n' R
h : Commute A B
i : ℤ
⊢ (A * B) ^ i = A ^ i * B ^ i
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ (↑p.toPath).darts ⊆ p.darts
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {f : α → β}, essInf f 0 = ⊤
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R L
inst✝³ : Module.Finite R L
I : LieIdeal R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsLieAbelian ↥↑I
x : L
hx : x ∈ I
⊢ x ∈ killingCompl R L ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin (n + 1)
p : Submodule R M
⊢ b.flag k ≤ p ↔ ∀ (i : Fin n), i.castSucc < k → b i ∈ p
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
PartialOrder α
a : α
⊢ Set.Iio a =ᵐ[μ] Set.Iic a
α✝ β✝ γ✝ : Type u
m✝ : ?m.14964
m : Type u → Type v
h : Applicative m
inst✝ : CommApplicative m
α β γ : Type u
a : m α
b : m β
f : α → β → γ
⊢ (Seq.seq (f <$> a) fun x => b) = (fun p => f p.fst p.snd) <$> Seq.seq (Prod.mk <$> a) fun x => b
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : x ∈ D f K
this : ∀ (e : ℕ), ∃ n, ∀ (p q : ℕ), n ≤ p → n ≤ q → ∃ L ∈ K, x ∈ A f L ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f L ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
⊢ x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : r a b
h₂ : ¬r c b
h₃ : r c b
⊢ r a c
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∉ MonoidHom.range f
r : fromCoset ⟨x • Set.range ⇑f, ⋯⟩ = τ ((↑g x) ((Equiv.symm τ) (fromCoset ⟨Set.range ⇑f, ⋯⟩)))
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsCoseparator (Opposite.op G) ↔ CategoryTheory.IsSeparator G
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z : C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ ∀ {X Y : D} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Prod.sectr Z D).map f = (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z, f)
α : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
hn : ∀ (a b c : R), a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → {a, b, c}.gcd id = 1 → a ^ n + b ^ n ≠ c ^ n
a b c : R
s : Finset R := {a, b, c}
d : R := s.gcd id
A : R
hA : a = d * A
B : R
hB : b = d * B
C : R
hC : c = d * C
ha : d ≠ 0 ∧ A ≠ 0
hb : d ≠ 0 ∧ B ≠ 0
hc : d ≠ 0 ∧ C ≠ 0
habc : A ^ n + B ^ n = C ^ n
u : Rˣ
hu : normalize d * ↑u = d
⊢ d = normalize d * {A, B, C}.gcd id
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
(X₁ : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C)
      ((CategoryTheory.MonoidalCategory.curriedTensor C).obj X₁)
X : CategoryTheory.GradedObject I C
i : I
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.rightUnitor X).inv i =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (X i)).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (X i) CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorUnit₀.inv)
      (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj X CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorUnit i 0 i ⋯))
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ f = g ↔ ⇑f = ⇑g
α : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSingletonClass α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : Fintype α
p : PMF α
f : α → E
x : α
⊢ p.toMeasure {x} = p x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
Φ : CategoryTheory.Functor C C
ε : CategoryTheory.Functor.id C ⟶ Φ
J : Type u
LinearOrder J
IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1
OrderBot J
j : J
self : CategoryTheory.Functor.Iteration ε j
i : J
hi : i < j
⊢ CategoryTheory.Functor.Iteration.mapSucc' self.F i hi =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft (self.F.obj ⟨i, ⋯⟩) ε) (self.isoSucc i hi).inv
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T1Space α
s : Opens α
⊢ IsAtom (toDual s.compl.compl) ↔ ∃ x, s.compl.compl = (Closeds.singleton x).compl
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : n ≠ 0
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => ↑T / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑y) ((fourier (-n)) ↑x) x
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
DecidableEq α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
hs : a ∈ lowerClosure ↑s
ht : a ∈ lowerClosure ↑t
⊢ (s ⊼ t).truncatedSup a = s.truncatedSup a ⊓ t.truncatedSup a
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p)
hr : 0 < r
⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) < r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a + b) ≤ f a + f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a + b)
s : Multiset α
hs_nonempty : s ≠ ∅
hs : ∀ a ∈ s, p a
⊢ f s.sum ≤ (Multiset.map f s).sum
R : Type u
Semiring R
NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ n ∈ (Polynomial.derivative p).support ↔ n + 1 ∈ p.support
α : Type u_3
TopologicalSpace α
PolishSpace α
s : Set α
hs : IsOpen s
⊢ PolishSpace ↑s
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
p : G.Walk u u
⊢ p.IsCycle ↔ p.IsTrail ∧ p ≠ SimpleGraph.Walk.nil ∧ p.support.tail.Nodup
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
⊢ x ∈ map (fst R M M₂) (p.prod q) ↔ x ∈ p
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
hf : ¬f = 0
⊢ f.reverse.natDegree + f.natTrailingDegree ≤ f.natDegree
α : Type u
Preorder α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ
x : α
h1 : f n < x
h2 : x < f (n + 1)
a : ℕ
⊢ f a ≠ x
α : Type u_2
DecidableEq α
Monoid α
s t : Finset α
hs : ThreeGPFree ↑s
h : s ⊆ t
⊢ s.card ≤ mulRothNumber t
α : Sort u_1
a : α
motive : (a' : α) → a = a' → Sort u_2
x : motive a ⋯
a' : α
e : a = a'
⊢ HEq (e ▸ x) x
E✝ : Type u_1
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E✝
inst✝⁹ : BorelSpace E✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E✝
μ✝ : Measure E✝
inst✝⁷ : μ✝.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
s : Set E✝
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
this : closedBall 0 r = (fun x_1 => x + x_1) ⁻¹' closedBall x r
⊢ μ (closedBall x r) = μ (closedBall 0 r)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
Nonempty ↥s
n : ℕ
FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : EuclideanGeometry.Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Affine.Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
⊢ sx₁.circumcenter = sx₂.circumcenter
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
PartialOrder α
a b : α
hb : μ {b} = 0
⊢ Set.Ioo a b =ᵐ[μ] Set.Ioc a b
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a / b ≠ 0 ↔ a ≠ 0 ∧ b ≠ ⊤
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β
C : ℝ
Nonempty α
CompactSpace α
w : ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
⊢ dist f g < C
G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝³ : SigmaFinite ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
s : Set G
h : ν s = μ univ
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
finiteCovol : μ univ < ⊤
meas_s_ne_zero : ¬ν s = 0
⊢ μ univ = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' univ ∩ s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : (CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.simplicialToCosimplicialAugmented C).map f).right = CategoryTheory.NatTrans.rightOp f.unop.left
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure = univ
x : M
⊢ ‖S.normedMk x‖ ≤ 0 * ‖x‖
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y = 0 ↔ o.oangle y x = 0
M : Type u_1
AddSemigroup M
a : Stream' M
n : ℕ
⊢ Hindman.FS (Stream'.drop n a) ⊆ Hindman.FS a
R : Type w
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
CommRing R'
Ring S'
Algebra R' S'
i : R' →+* R
j : S →+* S'
hi : Function.Injective ⇑i
hj : Function.Injective ⇑j
hc : (j.comp (algebraMap R S)).comp i = algebraMap R' S'
⊢ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R S) ≤ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R' S')
α : Type u_1
a b : α
⊢ {a} = {b} ↔ a = b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.invRotCompRot.hom.app X).hom₃ =
  (CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C (-1) 1 ⋯).hom.app X.obj₃
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Initial
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
s : CategoryTheory.Limits.Cone (F.comp G)
j : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (s.π.app (CategoryTheory.Functor.Initial.lift F (F.obj j)))
    (G.map (CategoryTheory.Functor.Initial.homToLift F (F.obj j))) =
  s.π.app j
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
h : B.orthogonal W = ⊤
⊢ W = ⊥
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
α : Type u_1
LinearOrderedCommMonoidWithZero α
a : α
⊢ a ≤ 0 ↔ a = 0
α : Type u
β : Type v
e✝ : α ≃ β
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
e : α ≃ β
inst✝¹ : Semiring β
inst✝ : Algebra R β
r : R
semiring✝ : Semiring α := e.semiring
algebra✝ : Algebra R α := Equiv.algebra R e
⊢ (algebraMap R α) r = e.symm ((algebraMap R β) r)
X Y Z : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g)
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
Ω : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {X : Ω → E} {s : Set E},
  μ s ≠ 0 → μ s ≠ ⊤ → MeasureTheory.pdf.IsUniform X s ℙ μ → MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsCodetector G ↔
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ (h : X ⟶ G), ∃! h', CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h' = h) → CategoryTheory.IsIso f
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'
⊢ (uncurry.obj F).map (𝟙 j, f) ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k)
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
⊢ f.comp LinearMap.id = f
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
H : Valid' o₁ (Ordnode.node s l x r) o₂
⊢ Valid' (↑(l.findMin' x)) (l.node' x r).eraseMin o₂ ∧ (l.node' x r).size = (l.node' x r).eraseMin.size + 1
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ (Monoid.Coprod.swap M N).comp (Monoid.Coprod.swap N M) = MonoidHom.id (Monoid.Coprod N M)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
p : P
h : p ∈ affineSpan k s
⊢ Coplanar k (insert p s) ↔ Coplanar k s
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : DivisionRing R
p q : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S
⊢ map f p = 0 ↔ p = 0
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
l : List α
⊢ List.countP p (a :: l) = List.countP p l + if p a = true then 1 else 0
R : Type u
Ring R
q : R[X]
p : R[X]
hq : ¬q.Monic
⊢ p /ₘ q = 0
n : ℕ
f : ℕ →. ℕ
g : Vector ℕ n → ℕ
hf : Partrec' fun v => f v.head
hg : Partrec' ↑g
⊢ Partrec' fun v => f (g v)
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
hdeg : ¬P.natDegree = 0
⊢ IsUnit P
v : Vector ℕ (Nat.succ 0 + 1)
⊢ Nat.rec 0 (fun y IH => v.tail.head + IH) v.head = v.head * v.tail.head
α : Type u
x y z : α
BooleanAlgebra α
⊢ x ⇨ y ≤ z ↔ y ≤ z ∧ Codisjoint x z
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι
hi : i ∈ Finset.image g s
hit : i ∉ t
⊢ Disjoint (f i) (t.sup f)
n : ℕ
ζ : ℂ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n ≠ 0
⊢ ζ.arg = Real.pi ↔ ζ = -1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ffmE : Fact (μ E < ⊤)
hInner : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε
N : ℕ
hfngε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε / 3
n : ℕ
hn : n ≥ N
hmfngE : AEStronglyMeasurable (E.indicator (f n - g)) μ
hfngEε : eLpNorm (E.indicator (f n - g)) p μ ≤ ε / 3
hmgEc : AEStronglyMeasurable (Eᶜ.indicator g) μ
hgEcε : eLpNorm (Eᶜ.indicator g) p μ ≤ ε / 3
hmfnEc : AEStronglyMeasurable (Eᶜ.indicator (f n)) μ
⊢ eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
⊢ range v ≤ ↑⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑n) Filter.atTop (𝓝 ⊤)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ S.toComposableArrows.IsComplex
α : Type u_1
G : Type u_2
p : ℝ≥0∞
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup G
f : α → G
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
S₁ S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
⊢ cylinder s S₁ ∪ cylinder s S₂ = cylinder s (S₁ ∪ S₂)
⊢ 0 ^ 0 = if 0 < 0 then 0 else if 0 = 0 then 1 else ⊤
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
β : Type u_1
s : Finset β
f : n → β → α
i : n
⊢ (A.updateColumn i (∑ x ∈ s, fun j => f j x)).det = (A.updateColumn i fun j => ∑ x ∈ s, f j x).det
R : Type u_4
S : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
AddCommMonoid M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
r : R
N : Submodule S M
⊢ Submodule.restrictScalars R ((algebraMap R S) r • N) = r • Submodule.restrictScalars R N
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
n : σ →₀ ℕ
hnn : n ≠ 0
⊢ (MvPowerSeries.trunc R n) 1 = 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' : 𝕜'
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
L'' : Filter E
hh₂ : HasDerivAtFilter h₂ h₂' y L'
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L''
hL : Filter.Tendsto f L'' L'
hy : y = f x
⊢ HasFDerivAtFilter (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x L''
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
s : Set Ω
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSet s ∅ κ μ
G : Type u_1
AddCommGroup G
Fintype G
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound ε ≤ Fintype.card G
A : Finset G
hAε : ε * ↑(Fintype.card G) ≤ ↑A.card
⊢ ¬ThreeAPFree ↑A
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ Y
R : Sieve Z
W : C
h : W ⟶ X
x✝ : (pushforward f (pushforward g R)).arrows h
y : W ⟶ Y
hy : y ≫ f = h
z : W ⟶ Z
hR : z ≫ g = y
hz : R.arrows z
⊢ z ≫ g ≫ f = h ∧ R.arrows z
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Semiring R
MulSemiringAction M R
m : M
S : Subsemiring R
⊢ (m • S).toAddSubmonoid = m • S.toAddSubmonoid
G : Type u_3
AddGroup G
⊢ AddGroup.FG G ↔ ∃ S, AddSubgroup.closure S = ⊤ ∧ S.Finite
R : Type u_1
NonAssocRing R
Pow R ℕ
NatPowAssoc R
n k : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ k).smeval ↑n = ↑((ascPochhammer ℕ k).smeval n)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hc : ringChar (ZMod p) ≠ 2
⊢ ↑(legendreSym p a) = ↑a ^ (p / 2)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ star a * a = ↑(star a * a).re
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x y : ℚ_[p]
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h_norm : ‖x * y‖ = ‖x‖ * ‖y‖
⊢ (x * y).valuation = x.valuation + y.valuation
α : Type u
x : WithZero α
⊢ x ≠ 0 ↔ ∃ a, ↑a = x