ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
f : R[X]
inst✝² : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
inst✝ : Algebra R T
hx' : (aeval x) f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : R[X]
⊢ (liftHom x hx' h) (h.map z) = (aeval x) z
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
L : Type u_1
f : ℕ × K → L
hf : ∀ (x y : ℕ × K), PerfectClosure.R K p x y → f x = f y
x : ℕ × K
⊢ (PerfectClosure.mk K p x).liftOn f hf = f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Add G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
a : G
⊢ Smooth I I fun b => b + a
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hp : p ≠ 0
⊢ p.natDegree < q.natDegree ↔ p.degree < q.degree
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x y : S
hxy : ∀ i < f.natDegree, h.coeff x i = h.coeff y i
⊢ x = y
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S
⊢ smeval 0 x = 0
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝² : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
hF : (W₁.prod W₂).IsInvertedBy F
inst✝¹ : W₁.ContainsIdentities
inst✝ : W₂.ContainsIdentities
⊢ W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ prodLift F hF = F
G : Type u_1
Monoid G
y : G
m : ℕ
h : (orderOf y).Coprime m
⊢ orderOf (y ^ m) = orderOf y
i : ℤ
⊢ i.lcm 0 = 0
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
ι : Type u_2
α : Type u_3
TopologicalSpace α
F : ι → α → G
f : α → G
p : Filter ι
⊢ TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ u ∈ 𝓝 1, ∀ (x : α), ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ a ∈ t, F i a / f a ∈ u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : LinearOrder β
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
hy : y < x
⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}
⊢ Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
E' : ?m.37693
h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
Y : D
X : CostructuredArrow L Y
⊢ (E.coconeAt Y).ι.app X ≫ f₁.right.app Y = (E.coconeAt Y).ι.app X ≫ f₂.right.app Y
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a ⨳ succ b = a ⨳ b ♯ a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
n' a : ℤ
γ : Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn : n + a = n'
x : Rˣ
⊢ (x • γ).leftUnshift n hn = x • γ.leftUnshift n hn
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hf : ¬DifferentiableWithinAt ℝ f s a
⊢ (fderivWithin ℝ f s a) y ≤ 0
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
this : Tendsto (fun ε => μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (f '' s)))
⊢ ∀ᶠ (c : ℝ≥0) in 𝓝[>] 0, ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑c * μ s
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ s(v, w) ∈ G.incidenceSet v ↔ G.Adj v w
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc0 : 0 < c
⊢ a + (b + (a % c + b % c)) = (a + b + if c ≤ a % c + b % c then c * 1 else c * 0) + (a + b) % c
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ closedBall 0 1 ∈ 𝓝 0
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ^ 1 ∣ Nat.card G
key : p ^ 1 ∣ Nat.card ↥↑P
⊢ p ∣ Nat.card ↥↑P
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ N, ∀ i ≥ N, (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm < ε
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
h : ¬DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ logDeriv f x = 0
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : α
⊢ toBoolAlg (a * b) = toBoolAlg a ⊓ toBoolAlg b
x : EReal
⊢ ↑(SignType.sign x) * ↑x.abs = x
n : ℕ
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulApplicative G
α β γ : Type u
f : β → F γ
g : α → G β
x : Mathlib.Vector α n
⊢ Mathlib.Vector.traverse (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map f ∘ g) x =
  Functor.Comp.mk (Mathlib.Vector.traverse f <$> Mathlib.Vector.traverse g x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : T2Space X
f : Filter X
inst✝ : CompactSpace X
U : Set X
⊢ IsOpen U ↔ ∀ (F : Ultrafilter X), F.lim ∈ U → U ∈ ↑F
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
a : PresentedGroup M.relationsSet
⊢ cs.mulEquiv.toMonoidHom (cs.mulEquiv.symm a) = a
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
g : P ≃ₐ[R] P'
I : FractionalIdeal S P
⊢ (FractionalIdeal.mapEquiv g) I = FractionalIdeal.map (↑g) I
cd : Fin 2 → ℝ
z : ℍ
h : ↑(cd 0) * ↑z + ↑(cd 1) = 0
this : cd 0 = 0
⊢ cd = 0
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype n
P : Matrix n n 𝕜 → Prop
M : Matrix n n 𝕜
hMdet : M.det ≠ 0
hdiag : ∀ (D : n → 𝕜), (diagonal D).det ≠ 0 → P (diagonal D)
htransvec : ∀ (t : TransvectionStruct n 𝕜), P t.toMatrix
hmul : ∀ (A B : Matrix n n 𝕜), A.det ≠ 0 → B.det ≠ 0 → P A → P B → P (A * B)
Q : Matrix n n 𝕜 → Prop := fun N => N.det ≠ 0 ∧ P N
this : Q M
⊢ P M
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : E
⊢ x +ᵥ r • Metric.ball 0 1 = Metric.ball x r
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommRing R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
hf : ContinuousOn f ((fun x => -x) '' spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => f (-x)) a = cfc f (-a)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasRightDual X
inst✝ : HasRightDual Y
f : X ⟶ Y
g : Xᘁ ⟶ Z
⊢ 𝟙 Yᘁ ⊗≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ⊗≫ (ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ 𝟙_ C ◁ g) ⊗≫ 𝟙 Z = (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ (f ⊗ g) ≫ (α_ Yᘁ Y Z).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Z ≫ (λ_ Z).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ι → α → β
p : ENNReal
hf : MeasureTheory.UnifTight f p μ
⊢ MeasureTheory.UnifTight (-f) p μ
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
m : Set X → ℝ≥0∞
⊢ (MeasureTheory.Measure.mkMetric' m).toOuterMeasure = (MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric' m).trim
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ M₁
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁
inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
this✝ : UniformSpace M₂ := TopologicalAddGroup.toUniformSpace M₂
this : UniformAddGroup M₂
⊢ Continuous ⇑f
M : Type u
m₁ m₂ : AddZeroClass M
⊢ Add.add = Add.add → m₁ = m₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
φ : A →+ B
CategoryTheory.HasShift C B
X : CategoryTheory.PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CategoryTheory.PullbackShift C φ) a₁ a₂ a₃ h).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.shiftFunctor (CategoryTheory.PullbackShift C φ) a₂).map
      ((CategoryTheory.pullbackShiftIso C φ a₁ b₁ h₁).hom.app X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((CategoryTheory.pullbackShiftIso C φ a₂ b₂ h₂).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C b₁).obj X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app X)
        ((CategoryTheory.pullbackShiftIso C φ a₃ b₃ h₃).inv.app X)))
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
c : ℝ≥0∞
h : levyProkhorovEDist μ ν < c
B : Set Ω
B_mble : MeasurableSet B
⊢ μ B ≤ ν (thickening c.toReal B) + c
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
v : M
h : v ≠ 0
r : R
hr : 0 < r
hrv : r • v ≠ 0
⊢ rayOfNeZero R (r • v) hrv = rayOfNeZero R v h
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ Real.cos (angle x (x - y)) = Real.cos (angle y (y - x))
a b : ℤ
r : ℕ
h : IsNat (a % -b) r
⊢ a % b = ↑r
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hf : DifferentiableOn ℝ f s
⊢ Convex ℝ (derivWithin f s '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring α
n : ℕ
x : α
⊢ Commute (↑n) x
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
x : S
a : Set R
⊢ (∃ y ∈ Submodule.span R (⇑(algebraMap R S) '' a), ∃ z, x = mk' S 1 z • y) ↔ ∃ y ∈ Ideal.span a, ∃ z, x = mk' S y z
ι : Type u
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
(i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
(i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
e : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
x : Π₀ (i : ι), β₁ i
⊢ (DFinsupp.mapRange.addEquiv e) x = DFinsupp.mapRange (fun i x => (e i) x) ⋯ x
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
T2Space M
SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate fun x => (chartAt H ↑x).source
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
⊢ ¬(G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w ↔ ∀ (p : G.Walk v w), s(v, w) ∈ p.edges
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule
x : L
⊢ (ad R L) (D x) ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero N
UniqueFactorizationMonoid N
UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs' : p ^ s ≤ m
⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ^ s ≤ n
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A : C ⥤ ℰ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x₁ x₂ : P.Elementsᵒᵖ
f : x₁ ⟶ x₂
⊢ yonedaEquiv.symm (P.map (↑f.unop) (Opposite.unop x₂).snd) = yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x₁).snd
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
l : ι →₀ 𝕜
v : ι → E
x : E
⊢ ⟪x, l.sum fun i a => a • v i⟫_𝕜 = l.sum fun i a => a • ⟪x, v i⟫_𝕜
α : Type u_2
M : Type u_4
Zero M
SemilatticeInf M
f g : α → M
⊢ (Function.support fun x => f x ⊓ g x) ⊆ Function.support f ∪ Function.support g
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
⊢ ↑(toGL 1) = ↑1
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
⊢ principalSeg.top = type fun x x_1 => x < x_1
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, f x = B x → f' x < B' x
s : Set ℝ := {x | f x ≤ B x} ∩ Icc a b
A : ContinuousOn (fun x => (f x, B x)) (Icc a b)
⊢ Icc a b ⊆ {x | f x ≤ B x}
α : Type u_1
AddGroupWithOne α
n : ZNum
⊢ ↑↑n = ↑n
ι : Sort u_1
f✝ g : ι → ℝ≥0∞
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_2
f : ι → α → ℝ≥0∞
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (t : Finset α) (i j : ι), ∃ k, ∀ a ∈ t, f k a ≤ f i a ∧ f k a ≤ f j a
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ih : ⨅ i, ∑ a ∈ s, f i a = ∑ a ∈ s, ⨅ i, f i a
⊢ ⨅ i, ∑ a ∈ Finset.cons a s ha, f i a = ∑ a ∈ Finset.cons a s ha, ⨅ i, f i a
α : Type u_1
NormedLatticeAddCommGroup α
x y z : α
⊢ ‖x ⊓ z - y ⊓ z‖ ≤ ‖x - y‖
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
⊢ Irreducible (f.comp g)
z τ J J' : ℂ
⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ + -↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (J' - 2 * ↑π * I * J + (z * J + J) * (2 * ↑π * I)) = cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (J' + z * J * (2 * ↑π * I))
a : Cardinal.{u}
b : Cardinal.{max u v}
⊢ b ≤ Cardinal.lift.{v, u} a ↔ ∃ a', Cardinal.lift.{v, u} a' = b ∧ a' ≤ a
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
n : ℕ
⊢ ‖newton_seq_gen hnorm (n + 1) - newton_seq_gen hnorm n‖ =
  ‖Polynomial.eval (newton_seq_gen hnorm n) F‖ / ‖Polynomial.eval (newton_seq_gen hnorm n) (Polynomial.derivative F)‖
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ compare a b = Ordering.lt ↔ a < b
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
CoheytingAlgebra γ
f : CoheytingHom β γ
g : CoheytingHom α β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.IsPushout CategoryTheory.Limits.biprod.inl 0 CategoryTheory.Limits.biprod.snd 0
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Semiring S
Module S M
Module R M
SMul S R
IsScalarTower S R M
V : Submodule R M
⊢ ↑(Submodule.restrictScalars S V) = ↑V
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T₁ T₂ : (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C)ᵒᵖ
φ : T₁ ⟶ T₂
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.functor C).map φ).hom₂ = φ.unop.hom₂.op
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
a : α
s : Set β
⊢ Nat.card ↑(a • s) = Nat.card ↑s
f g : CircleDeg1Lift
⊢ f = g ↔ ∀ (x : ℝ), f x = g x
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd : d ∈ W
hd' : ∀ {ι : Type ?u.7325} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
⊢ False
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
f : Fin n → M
i : Fin n
⊢ (ExteriorAlgebra.ι R) (f i) * (List.ofFn fun i => (ExteriorAlgebra.ι R) (f i)).prod = 0
α : Type u
Preorder α
OrderBot α
s : Set α
⊢ ⊥ ∈ lowerBounds s
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
⊢ (ι →₀ R) →ₗ[R] ↑w →₀ R
ι : Type u_4
κ : Type u_5
G : Type u_8
SeminormedGroup G
f : ι → κ → G
l : Filter ι
l' : Filter κ
⊢ UniformCauchySeqOnFilter f l l' ↔ TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f n.1 z / f n.2 z) 1 (l ×ˢ l) l'
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅⊥, N⁆ = ⊥
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
⊢ Nat.card { u // addOrderOf u = 0 } = Nat.totient 0
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
third_ε_pos : 0 < ε / 3
third_ε_pos' : 0 < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Es : ℕ → Set Ω
Es_mble : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Es n)
Es_bdd : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (Es n)
Es_diam : ∀ (n : ℕ), diam (Es n) ≤ ε / 3
Es_cover : ⋃ n, Es n = univ
Es_disjoint : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
N : ℕ
hN : ↑P (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite
Gs : Set (Set Ω) := (fun J => thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j)) '' {J | J ⊆ Iio N}
Gs_open : ∀ (J : Set ℕ), IsOpen (thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j))
mem_nhds_P : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → {Q | ↑P G < ↑Q G + ENNReal.ofReal (ε / 3)} ∈ 𝓝 P
Q : ProbabilityMeasure Ω
hQ : ∀ i ⊆ Iio N, ↑P (⋃ i_2 ∈ i, thickening (ε / 3) (Es i_2)) < ↑Q (⋃ i_2 ∈ i, thickening (ε / 3) (Es i_2)) + ENNReal.ofReal (ε / 3)
δ : ℝ
B : Set Ω
δ_gt : 2 * (ε / 3) < δ
x✝ : MeasurableSet B
JB : Set ℕ := {i | B ∩ Es i ≠ ∅ ∧ i ∈ Iio N}
B_subset : B ⊆ (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) ∪ (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ
⊢ ↑P.toLevyProkhorov B ≤ ↑Q.toLevyProkhorov (thickening δ B) + ENNReal.ofReal δ
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : DivisionRing K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : AddCommGroup V'
inst✝⁶ : Module K V'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
db : V₂ →ₗ[K] V
eb : V₃ →ₗ[K] V
cd : V₁ →ₗ[K] V₂
ce : V₁ →ₗ[K] V₃
hde : ⊤ ≤ LinearMap.range db ⊔ LinearMap.range eb
hgd : ker cd = ⊥
eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce
eq₂ : ∀ (d : V₂) (e : V₃), db d = eb e → ∃ c, cd c = d ∧ ce c = e
hf : Surjective ⇑(db.coprod eb)
⊢ V₁ ≃ₗ[K] ↥(ker (db.coprod eb))
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
⊢ f default • eval {fun x => false} nil = f
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
h : f x ≤ x + ↑m
n : ℕ
⊢ (⇑f)^[n] x ≤ x + ↑n * ↑m
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F G : LaxMonoidalFunctor C D
H K : LaxMonoidalFunctor D E
α : MonoidalNatTrans F G
β : MonoidalNatTrans H K
X Y : C
⊢ (β.app (F.obj X) ⊗ β.app (F.obj Y)) ≫ K.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ K.map (F.μ X Y) ≫ K.map (α.app (X ⊗ Y)) = (β.app (F.obj X) ⊗ β.app (F.obj Y)) ≫ K.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ K.map (α.app X ⊗ α.app Y) ≫ K.map (G.μ X Y)
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
Zero ι
GradedMonoid.GOne A
⊢ Sigma.fst 1 = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X : C
p : Subobject X → Prop
h : ∀ ⦃A : C⦄ (f : A ⟶ X) [inst : Mono f], p (mk f)
P : Subobject X
⊢ p P
k✝ : Type u
inst✝³ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Field K
f : K →+* k
p : K[X]
⊢ Splits f p
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s : Finset α
⊢ s ⊆ s ⊼ s
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))
h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j
h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j
h₃ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, Disjoint (b j) (W ∩ B j)
h₄ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
j : ℕ
hj₀ : Disjoint (b j) (W ∩ B j) ∧ μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
hB : ↑C⁻¹ * μ (B j) ≠ ⊤
⊢ μ (W ∩ B j) ≤ μ (B j) - ↑C⁻¹ * μ (B j)
α : Type u_3
LinearOrderedAddCommGroup α
⊢ Filter.Tendsto abs Filter.atTop Filter.atTop
k : Type u_2
Field k
φ : PowerSeries k
h : (PowerSeries.constantCoeff k) φ ≠ 0
⊢ φ * φ⁻¹ = 1
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ↑e.symm (↑e y) = y
α : Type u
σ : Type v
σ' : Type u_2
g : σ ≃ σ'
M : DFA α σ
⊢ ((DFA.reindex g) M).start = g M.start
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
x✝ : M
f✝ : Dual R M
y : M
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
u : M ≃ₗ[R] M := reflection hg₁ * reflection hf₁
hu : ↑u = LinearMap.id + LinearMap.smulRight (f - g) x
⊢ f = g