ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ ∃ w b, ⇑b = Subtype.val
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
f : ι →₀ R
i : ι
val✝ : Fintype ι
⊢ ∀ (i : ι), 0 • b.dualBasis i = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
X Y Z : C
CategoryTheory.Preadditive C
a b c : M
α : CategoryTheory.ShiftedHom X Y a
β : CategoryTheory.ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
⊢ (-α).comp β h = -α.comp β h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ Set.InjOn (fun x => s ∪ x) ↑(t \ s).powerset
I : Type u
f : I → Type v₁
DecidableEq I
(i : I) → Zero (f i)
i : I
x : f i
⊢ Pi.single i x i = x
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
i : X.basicOpen f ⟶ U
⊢ IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
E' : ?m.37693
h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
Y : D
X : CostructuredArrow L Y
eq₁ : (E.hom ≫ ((whiskeringLeft C D H).obj L).map f₁.right).app X.left = G.hom.app X.left
eq₂ : (E.hom ≫ ((whiskeringLeft C D H).obj L).map f₂.right).app X.left = G.hom.app X.left
⊢ (E.coconeAt Y).ι.app X ≫ f₁.right.app Y = (E.coconeAt Y).ι.app X ≫ f₂.right.app Y
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∃ a, ∀ b ≥ a, ↑(rothNumberNat b) ≤ c * ↑b
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
Invertible ↑p
⊢ Function.Bijective ⇑WittVector.ghostMap
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ n • ↑(p / ↑n) = 0 ∧ ∀ m < n, 0 < m → m • ↑(p / ↑n) ≠ 0
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
Fintype n
CommRing R
Fintype m
e₁ e₂ : m ≃ n
A : Matrix m m R
⊢ ((Matrix.reindex e₁ e₂) A).rank = A.rank
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' s) x
⊢ fderivWithin 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x = (fderivWithin 𝕜 f s (iso x)).comp ↑iso
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι✝ I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun f => tsupport ↑f ⊆ U x) fun f => support ↑f
ι : Type uM
c : ι → M
f : (a : ι) → SmoothBumpFunction I (c a)
hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)
hfin : LocallyFinite fun a => support ↑(f a)
hcs : ∀ (a : ι), c a ∈ s
hfU : ∀ (a : ι), tsupport ↑(f a) ⊆ U (c a)
V : ι → Set M
hsV : s ⊆ iUnion V
hVc : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
hVf : ∀ (i : ι), V i ⊆ support ↑(f i)
⊢ ∃ ι f, f.IsSubordinate U
c : Char
it : Iterator
h : it.Valid
⊢ (it.setCurr c).Valid
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
n : ℕ
this : ∑ i ∈ Finset.range n, m (univ ∩ s i) = m (univ ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
⊢ ∑ a ∈ Finset.range n, m (s a) ≤ m (⋃ i, s i)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h : S.P T.obj₁
⊢ ∃ X f h, ∃ (_ : Triangle.mk f T.mor₂ h ∈ distinguishedTriangles), S.P X
α : Type u_1
β : Type u_2
Monoid β
p r : α → α → Prop
IsTotal α r
f : α → α → β
hsymm : Symmetric p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b c : α
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
⊢ f a c = f a b * f b c
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} E
CategoryTheory.Category.{v₆, u₆} F
CategoryTheory.Category.{v₇, u₇} X
CategoryTheory.Category.{v₈, u₈} Y
CategoryTheory.Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : CategoryTheory.Functor A D
H₁ : CategoryTheory.Functor B E
K₁ : CategoryTheory.Functor C F
G₂ : CategoryTheory.Functor D X
H₂ : CategoryTheory.Functor E Y
K₂ : CategoryTheory.Functor F Z
R₁ : CategoryTheory.Functor B A
R₂ : CategoryTheory.Functor C B
R₃ : CategoryTheory.Functor E D
R₄ : CategoryTheory.Functor F E
R₅ : CategoryTheory.Functor Y X
R₆ : CategoryTheory.Functor Z Y
α : R₁.comp G₁ ⟶ H₁.comp R₃
β : R₂.comp H₁ ⟶ K₁.comp R₄
γ : R₃.comp G₂ ⟶ H₂.comp R₅
δ : R₄.comp H₂ ⟶ K₂.comp R₆
⊢ CategoryTheory.rightAdjointSquare.comp α β γ δ =
  CategoryTheory.rightAdjointSquare.vcomp (CategoryTheory.rightAdjointSquare.hcomp α β)
    (CategoryTheory.rightAdjointSquare.hcomp γ δ)
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : p ∣ Nat.card α
a : α
ha : a ∈ fixedPoints G α
hpf : p ∣ Nat.card ↑(fixedPoints G α)
⊢ ∃ b ∈ fixedPoints G α, a ≠ b
α : Type u_1
β : Type u_2
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
f : α → β
⊢ TopologicalSpace.coinduced f (t₁ ⊔ t₂) = TopologicalSpace.coinduced f t₁ ⊔ TopologicalSpace.coinduced f t₂
𝕜 : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Ring A✝
A : Type u_4
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ha : (spectrum ℝ a).Nonempty
x : ℝ
hx₁ : x ∈ spectrum ℝ a
hx₂ : ↑‖x‖₊ = spectralRadius ℝ a
⊢ |x| ∈ spectrum ℝ a ∨ -|x| ∈ spectrum ℝ a
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ ε : ℝ≥0∞
B : Set Ω
ε_gt : δ < ε
ε_lt_top : ε < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
B_subset : B ⊆ (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ)ᶜ
Tc_mble : MeasurableSet (thickening ε.toReal B)ᶜ
h : μ (thickening ε.toReal B)ᶜ ≤ ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) + ε
⊢ 1 - ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0
⊢ (C a * X + C b).natDegree = 1
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
U : Submodule R M
x y : M
hxy : x ≡ y [SMOD U]
n : ℤ
⊢ n • x ≡ n • y [SMOD U]
k G : Type u
CommRing k
Group G
A B C : Rep k G
f : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj A B ⟶ C
⊢ ((Rep.MonoidalClosed.linearHomEquivComm A B C) f).hom = TensorProduct.curry f.hom
R : Type u
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : M →ₗ[R] M
v : M
p : R[X]
⊢ ((Polynomial.aeval f) p) v = p.sum fun n b => b • (f ^ n) v
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_3
CompleteLinearOrder γ
DenselyOrdered γ
f : α → γ
⊢ UpperSemicontinuous f ↔ ∀ (x : α), Filter.limsup f (𝓝 x) ≤ f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ (r.comp q).comp p = r.comp (q.comp p)
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
s : Set α
p : Filter ι
⊢ UniformCauchySeqOn F p s ↔ UniformCauchySeqOnFilter F p (𝓟 s)
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
h : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective (Subgroup.map f)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : Cᵒᵖ
⊢ IsCoseparator (unop G) ↔ IsSeparator G
p x : ℝ
hp : p ≠ 0
hx : |x| ≤ |p| / 2
⊢ ‖↑x‖ = |x|
n : ℕ
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
S : Type u_2
AddGroupWithOne S
a : ZMod n
⊢ a.cast.2 = a.cast
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
⊢ Wbtw R x y z ↔ Wbtw R z y x
p : String.Pos
s : String
⊢ (p + s).byteIdx = p.byteIdx + s.utf8ByteSize
F : Type u_2
Γ : outParam (Subgroup SL(2, ℤ))
k : outParam ℤ
FunLike F ℍ ℂ
self : ModularFormClass F Γ k
f : F
A : SL(2, ℤ)
⊢ UpperHalfPlane.IsBoundedAtImInfty (SlashAction.map ℂ k A ⇑f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hg : AEMeasurable g μ
hgf : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < f x + (↑n)⁻¹
x : α
hlt : ∀ (i : ℕ), g x < f x + (↑i)⁻¹
hle : f x ≤ g x
⊢ Tendsto (fun n => f x + (↑n)⁻¹) atTop (𝓝 (f x))
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsMulRightInvariant
x y : G
⊢ ((x, y).1 * (x, y).2, (x, y).1⁻¹) = ((fun z => (z.2, z.1 / z.2)) ∘ fun z => (z.2, z.1 * z.2)) (x, y)
α₁ : Type u_3
β₁ : Type u_2
β₂ : Type u_1
e : α₁ → β₁ ≃ β₂
⊢ (Equiv.prodCongrRight e).trans (Equiv.prodComm α₁ β₂) = (Equiv.prodComm α₁ β₁).trans (Equiv.prodCongrLeft e)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
⊢ f x < f y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMinOrder (α ⊕ β)
a b : α
h : inl b < inl a
⊢ ∃ b, b < a
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯
this : FiniteDimensional F ↥F⟮x⟯
⊢ ∃ L, FiniteDimensional F ↥L ∧ n + 1 < finrank F ↥L
α : Type u_1
l : Filter α
Nonempty α
⊢ l.Subsingleton ↔ ∃ a, {a} ∈ l
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
x : K
⊢ Valued.v x = v.valuation x
α : Type u
s : Computation α
⊢ s.Terminates ↔ ∃ a, a ∈ s
X : Type u
Y : Type v
Preorder X
Preorder Y
e : X ≃o Y
⊢ e.equivalence.functor = ⋯.functor
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
⊢ SimplexCategory.δ i ≫ SimplexCategory.δ j = SimplexCategory.δ (j.pred ⋯) ≫ SimplexCategory.δ i.castSucc
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
r : ℝ≥0
hr : 0 < ↑r
⊢ dist f g = ↑r ↔ (∃ i, dist (f i) (g i) = ↑r) ∧ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) ≤ ↑r
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ : CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ (Type v)
ℱ' : CategoryTheory.SheafOfTypes K
α : G.op.comp ℱ ⟶ G.op.comp ℱ'.val
X : D
Y : C
f : Opposite.op X ⟶ Opposite.op (G.obj Y)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.appHom α X) (ℱ'.val.map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (ℱ.map f) (α.app (Opposite.op Y))
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
h0K : K.Nonempty
hf : ContinuousOn f K
y : α
⊢ sSup (f '' K) < y ↔ ∀ x ∈ K, f x < y
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsIrrefl α r
p : α → Prop
h : ∀ {a' a : α}, r a' a → p a → p a'
s' s : Multiset α
⊢ Relation.CutExpand r s' s → (∀ a ∈ s, p a) → ∀ a ∈ s', p a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ k₁ k₂ : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
g₁ : j₁ ⟶ k₂
f₂ : j₂ ⟶ k₁
g₂ : j₂ ⟶ k₂
t : C
k₁t : k₁ ⟶ t
k₂t : k₂ ⟶ t
ht : f₁ ≫ k₁t = g₁ ≫ k₂t
s : C
ts : t ⟶ s
hs : f₂ ≫ k₁t ≫ ts = g₂ ≫ k₂t ≫ ts
⊢ ∃ s α β, f₁ ≫ α = g₁ ≫ β ∧ f₂ ≫ α = g₂ ≫ β
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
a : R
⊢ (Matrix.vandermonde fun i => v i - a).det = (Matrix.vandermonde v).det
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ ∀ (X_1 : Cᴹᵒᵖ),
  ((CategoryTheory.MonoidalOpposite.tensorLeftMopIso X).inv.app X_1).unmop =
    𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X_1.unmop X)
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : 1 < A.card * B.card
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
α : Type u_3
⊢ 1 < PartENat.card α ↔ Nontrivial α
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : BorelSpace β✝
β : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : BorelSpace β
μ : Measure α
g : α → β
hf : ∀ ε > 0, ∃ f, AEMeasurable f μ ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, dist (f x) (g x) ≤ ε
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
⊢ AEMeasurable g μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasMulticoequalizer I
b : I.R
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multicoequalizer.multicofork I).π b = CategoryTheory.Limits.Multicoequalizer.π I b
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
b : α
f : ι → α
h₁ : ∀ (i : ι), f i ≤ b
h₂ : ∀ w < b, ∃ i, w < f i
⊢ ⨆ i, f i = b
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : LocalRing R
a b : R
u : Rˣ
hu : ↑u = a + b
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
inst✝ : Module.Finite R M
v : ι → M
h : LinearIndependent R v
⊢ #ι < ℵ₀
α : Type u_1
Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ
hn : 0 < n
h₀ : x 0 ≤ y 0
hx : ∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) ≤ f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) < y (k + 1)
⊢ x n < y n
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
⊢ MapsTo (⇑(preReflection (root k) (p.toLin.flip ((preReflection α' (p.toLin α)) β')))) (range ⇑root) (range ⇑root)
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁴ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
a✝ b✝ c : α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a * (b - 1) = a * b - a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
CategoryTheory.ExactPairing X Y
⊢ Y ◁ η_ X Y ⊗≫ ε_ X Y ▷ Y = ⊗𝟙
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
h : ‖f n‖ ≤ ‖g n‖
⊢ ‖term f s n‖ ≤ ‖term g s n‖
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
HasContinuousInv₀ R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : Aˣ
ha : p ↑a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => x⁻¹) ↑a = ↑a⁻¹
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
inst✝² : Module.Free R ↑S.X₁
inst✝¹ : Module.Free R ↑S.X₃
inst✝ : StrongRankCondition R
this : Module.Free R ↑S.X₂
⊢ Module.rank R ↑S.X₂ = Module.rank R ↑S.X₁ + Module.rank R ↑S.X₃
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∈ s
f : (j : ι) → α j
a : α i
t : (j : ι) → α j → Set (β j)
⊢ (({i} ∪ s \ {i}).pi fun j => t j (update f i a j)) = {x | x i ∈ t i a} ∩ (s \ {i}).pi fun j => t j (f j)
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Finite L
val✝ : Fintype L
p : P
ϕ : { q // q ≠ p } ≃ (l : { l // p ∈ l }) × { q // q ∈ ↑l ∧ q ≠ p } := { toFun := fun q => ⟨⟨mkLine ⋯, ⋯⟩, ⟨↑q, ⋯⟩⟩, invFun := fun lq => ⟨↑lq.snd, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
⊢ Fintype.card P = order P L ^ 2 + order P L + 1
k : Type u_1
DivisionRing k
ι : Type u_4
s : Finset ι
CharZero k
h : s.card ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights k s i = 1
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
⊢ ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), ν • bernsteinPolynomial R n ν = n • Polynomial.X
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
FiniteDimensional 𝕜 F
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s ↔ ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₂₃ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_11, u_6} C₂₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂₃ C₄)
G₂₃ : CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₂₃)
X₁ Y₁ : C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ : C₂
X₃ : C₃
⊢ (((CategoryTheory.bifunctorComp₂₃ F G₂₃).map φ).app X₂).app X₃ = (F.map φ).app ((G₂₃.obj X₂).obj X₃)
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
i : ι
m : M
r : R
⊢ r ∣ (b.coord i) (r • m)
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
⊢ FractionalIdeal.count K v J ≤ FractionalIdeal.count K v I
u : PNat.XgcdType
hs : u.IsSpecial
⊢ u.step.IsSpecial
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : FG L M
f : M →[L] N
hs : Function.Surjective ⇑f
⊢ FG L N
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : α → β
⊢ Function.Bijective f ↔ Function.Surjective f ∧ Fintype.card α = Fintype.card β
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hf : AEFinStronglyMeasurable f μ
hg : AEFinStronglyMeasurable g μ
⊢ f - g =ᶠ[ae μ] 0
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
f g : End K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
p : K[X]
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {minpoly K f}
this✝ : Finite K R
this : IsReduced R
⊢ (aeval ((aeval f) p)) (minpoly K ((Ideal.Quotient.mkₐ K (Ideal.span {minpoly K f})) p)) = 0
ι : Type u_2
α✝ : ι → Type ?u.4974
α : ι → Type u_1
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
i : ι
⊢ MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ s, MeasurableSet s ∧ Function.eval i ⁻¹' s = t} ≤ MeasurableSpace.generateFrom ((fun a => Function.eval i ⁻¹' a i) '' univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s})
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S✝
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S✝
S T : Subalgebra R A
⊢ Algebra.IsIntegral R ↥(S ⊔ T) ↔ Algebra.IsIntegral R ↥S ∧ Algebra.IsIntegral R ↥T
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q Q' : QuadraticMap R M N
H : ∀ (x : M), Q x = Q' x
⊢ Q = Q'
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
⊢ f =O[l] g ↔ ∃ c, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
⊢ X ◁ f ≫ (β_ Z X).inv = (β_ Y X).inv ≫ f ▷ X
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
this : {b | ∃ n ∈ S ∪ T, b ^ ↑n = 1} = {b | ∃ n ∈ S, b ^ ↑n = 1} ∪ {b | ∃ n ∈ T, b ^ ↑n = 1}
b : B
h : b ∈ adjoin A {b | ∃ n ∈ S ∪ T, b ^ ↑n = 1}
⊢ b ∈ adjoin ↥(adjoin A {b | ∃ a ∈ S, b ^ ↑a = 1}) {b | ∃ n ∈ T, b ^ ↑n = 1}
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b n : ℤ
⊢ n + (a + b) = n + b + a
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.StructuredArrow F (CategoryTheory.Functor.const J)
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cocone.equivStructuredArrow F).inverse.obj c).pt = c.right
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
m n✝ : ℕ
⊢ ↑(m / (n✝ + 1)) ≤ ↑m / ↑(n✝ + 1)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
P : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, P x) ↔ ∀ {U : Set α}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, P x
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
h : IsUnit A.det
⊢ A.det • A⁻¹.mulVec b = A.cramer b
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → p.natDegree = m → ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hdeg : p.natDegree = n
erase_zero : ¬p.eraseLead = 0
deg_erase : p.eraseLead.natDegree < n
pzero : p ≠ 0
lead_zero : p.coeff p.natDegree ≠ 0
lead : R[X]
hlead : map f lead = (monomial p.natDegree) (p.coeff p.natDegree) ∧ lead.degree = ((monomial p.natDegree) (p.coeff p.natDegree)).degree
deg_lead : lead.degree = ↑p.natDegree
erase : R[X]
herase : map f erase = Polynomial.erase p.natDegree p ∧ erase.degree = (Polynomial.erase p.natDegree p).degree
⊢ erase.degree < lead.degree
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) I = ⊥
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x z : M
v : E
h : z ∈ (extChartAt I x).source
⊢ z ∈ (extChartAt I x).source