ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f) (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
l : ↑s →₀ R
hl : (Finsupp.total (↑s) R R Subtype.val) l = 1
⊢ x ∈ (Algebra.ofId R S).range
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S T : CategoryTheory.Subgroupoid C
⊢ S ≤ T ↔ ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ T.arrows c d
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
Y : C
S : CategoryTheory.Functor C D
f : S.obj Y ⟶ T
⊢ CategoryTheory.CostructuredArrow.mkPrecomp f (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y) = CategoryTheory.eqToHom ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : C
X Y : C
Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
P' : C
fst' : P' ⟶ X
snd' : P' ⟶ Y
h : CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
h' : CategoryTheory.IsPullback fst' snd' f g
⊢ (CategoryTheory.IsPullback.isoIsPullback X Y h h').hom ≫ fst' = fst
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s✝ : Set E
x✝ y✝ : E
a✝ b✝ : 𝕜
ι : Sort u_6
s : ι → Set E
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
hs : ∀ ⦃i : ι⦄, StrictConvex 𝕜 (s i)
x : E
hx : ∃ i, x ∈ s i
y : E
hy : ∃ i, y ∈ s i
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior (⋃ i, s i)
R : Type u
Monoid R
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
⊢ (NonUnitalAlgHom.fst R A B).prod (NonUnitalAlgHom.snd R A B) = 1
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
hm : ¬m = 0
⊢ IsAlgebraic F α
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a b : α
hab : a ≠ b
hb : b ∈ s
⊢ s.erase a \ s.erase b = {b}
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
n : ℕ
hnil : IsNilpotent r
⊢ IsNilpotent (X ^ n * C r)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
this : IsFiniteKernel κ
S : Finset (Set γ)
hS_subset : ↑S ⊆ countablePartition γ n
hA : MeasurableSet (⋃₀ ↑S)
⊢ ∫ (x : γ) in ⋃₀ ↑S, κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a = ((κ a) (⋃₀ ↑S ×ˢ s)).toReal
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y✝ z t : X ⊕ Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C Cf : ℝ
hCf : Cf ∈ upperBounds (range ⇑f)
y : Y
⊢ ⨅ x, f (inl x, inr y) + C ≤ Cf + C
M : Type u_11
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
T2Space M
R : Type u_12
DivisionRing R
Module R M
ContinuousConstSMul R M
G : Type u_13
Group G
Γ : Subgroup G
f : G → M
g : G ⧸ Γ → R
⊢ QuotientGroup.automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) = g • QuotientGroup.automorphize f
α : Type u
β : Type v
Semigroup β
f : α → β
x : α
⊢ (FreeSemigroup.lift f) (FreeSemigroup.of x) = f x
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a + b
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₂₁ X₂₂ X₂₃ : C
h₁₂ : X₁₂ ⟶ X₁₃
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₂₂ : X₂₂ ⟶ X₂₃
h₁₃ : X₁₁ ⟶ X₁₃
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₃ ⟶ X₂₃
s : IsPullback h₁₃ v₁₁ v₁₃ (h₂₁ ≫ h₂₂)
t : IsPullback h₁₂ v₁₂ v₁₃ h₂₂
⊢ h₁₃ ≫ v₁₃ = (v₁₁ ≫ h₂₁) ≫ h₂₂
α : Type u
f : Fin 0 → α
⊢ List.ofFn f = []
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
⊢ (MeasureTheory.Measure.dirac a) s = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
Mul γ
MeasurableMul γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
c : γ
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib (fun x => c * f x) (fun x => c * g x) μ ν
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ∀ (i : Fin 2), ↑(o.rotation θ).toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) i) = ((Matrix.toLin (o.basisRightAngleRotation x hx) (o.basisRightAngleRotation x hx)) !![θ.cos, -θ.sin; θ.sin, θ.cos]) ((o.basisRightAngleRotation x hx) i)
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α := {x | ¬∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a}
hs : s = {x | ∃ᶠ (x : Set α) in v.filterAt x, μ x = 0}
f : α → Set (Set α) := fun x => {a | μ a = 0}
h : v.FineSubfamilyOn f s
⊢ μ s ≤ 0
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∠ p₃ p₂ p₁ = π / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
ε : α
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ i, abv (f j - f k) < ε
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n✝ m✝ : ℕ
F G : ComposableArrows C n✝
n m : ℕ
h : n + 1 ≤ m
f g : ComposableArrows C m
app : f.obj' n ⋯ ≅ g.obj' n ⋯
app' : f.obj' (n + 1) h ≅ g.obj' (n + 1) h
w : f.map' n (n + 1) ⋯ h ≫ app'.hom = app.hom ≫ g.map' n (n + 1) ⋯ h
⊢ g.map' n (n + 1) ⋯ h ≫ app'.inv = app.inv ≫ f.map' n (n + 1) ⋯ h
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
⊢ ¬G.Adj t u
G : Type u_1
AddGroup G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
⊢ ⇑↑H = Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u✝ u : Finset α
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ u.powerset
hℬ : ℬ ⊆ u.powerset
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
s : ℂ
hs : s ≠ 0
⊢ riemannZeta s = completedRiemannZeta s / s.Gammaℝ
n b : ℕ
h : n.ProbablePrime b
h₁ : 1 ≤ n
h₂ : 1 ≤ b
⊢ n.Coprime b
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hyz : s.WOppSide y z
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
⊢ s.WOppSide x z
M N : SemiNormedGrp
f : M ≅ N
i : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.hom
i' : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.inv
⊢ mkHom f.inv i' ≫ mkHom f.hom i = 𝟙 (of ↑N)
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≤ 0
hab : b ≤ a
⊢ |a| ≤ |b|
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ a.im.re = 0
α : Type u
l : List α
hl : l.Nodup
n : ℕ
⊢ l.rotate n = l ↔ n % l.length = 0 ∨ l = []
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
StarAddMonoid α
NormedStarGroup α
A : Matrix m n α
⊢ ‖Aᴴ‖ = ‖A‖
n : Nat
⊢ 0 < ↑n ↔ 0 < n
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
⊢ (b.smulTower c) (i, j) = b (i, j).1 • c (i, j).2
α : Type u_1
a : Bool
p : Prop
h : Decidable p
x y u v : α
⊢ ((bif a then x else y) = if p then u else v) ↔ (if a = true then x else y) = if p then u else v
n : ℕ
⊢ (Fin.last n).rev = ⊥
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
𝕜' : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => c y • f y) s x
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
ι : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
f : ι → X → M
h✝ : LocallyFinite fun i => support (f i)
s : ι → X → R
i : ι
x : X
h : f i x = 0
⊢ (s i • f i) x = 0
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : Field k
f : R →+* k
⊢ IsCoprime (map f p) (map f q) ↔ IsCoprime p q
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
e : ((F →ₗ[ℝ] ℝ) × ℝ) ≃ₗ[ℝ] F × ℝ →ₗ[ℝ] ℝ := (LinearEquiv.refl ℝ (F →ₗ[ℝ] ℝ)).prod (LinearMap.ringLmapEquivSelf ℝ ℝ ℝ).symm ≪≫ₗ LinearMap.coprodEquiv ℝ
Λ : F →ₗ[ℝ] ℝ
Λ₀ : ℝ
h0 : e (Λ, Λ₀) ≠ 0
hΛ' : LinearMap.range (f'.prod φ') ≤ LinearMap.ker (e (Λ, Λ₀))
x : E
⊢ Λ (f' x) + Λ₀ • φ' x = 0
x y : ℝ
⊢ √x ≤ 0 ↔ √x = 0
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ Disjoint s {a} ↔ a ∉ s
a : Ordinal.{u_3}
⊢ max 0 a = a
α : Type u_2
β : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
f : α →ₙ+* β
⊢ ⇑f.toAddMonoidHom = ⇑f
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c u a : αˣ
b : α
⊢ ↑a * (↑a⁻¹ * b) = b
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
f : α ≃ β
g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s
this✝ : IsWellOrder α (⇑f ⁻¹'o s)
this : lift.{v, u} (type (⇑f ⁻¹'o s)) = type s
⊢ ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
f g : Filter β
⊢ f -ᵥ g = ⊥ ↔ f = ⊥ ∨ g = ⊥
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
Monoid α
Monoid β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
f : F
a : α
s : Finset α
⊢ Finset.image (⇑f) (a • s) = f a • Finset.image (⇑f) s
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u_1
inst✝¹ : MvFunctor F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
pp : β → Prop
rr : β → β → Prop
x y : F (α ::: β)
⊢ (∃ u, (fun i t => (↑t).1) <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> u = y) ↔ ∃ u, (fun i t => (↑t).1) <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> u = y
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C✝ : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO : f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
⊢ ‖f z‖ ≤ C
a b : ℤ
⊢ Associated a b ↔ a.natAbs = b.natAbs
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Bool} {a : α} {l : List α}, List.find? p l = some a → p a = true
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
α β : X ⟶ Y
h : α = β
U : (TopologicalSpace.Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ α.c.app U = β.c.app U ≫ X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ
⊢ ⇑h '' Metric.sphere x r = Metric.sphere (h x) r
R : Type u_1
σ : Type u_2
CommSemiring R
Fintype σ
k : ℕ
h : k ≤ Fintype.card σ
⊢ (∏ i : σ, (Polynomial.X + Polynomial.C (MvPolynomial.X i))).coeff k = MvPolynomial.esymm σ R (Fintype.card σ - k)
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), F x ∂μ))
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t : Finset α
⊢ (s ⊼ t).card ≤ s.card * t.card
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
⊢ ((f₁ ⊗ f₂) ⊗ g₁ ⊗ g₂) ≫ (α_ Y₁ Y₂ (V₁ ⊗ V₂)).hom ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ Y₂ V₁ V₂).inv) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (β_ Y₂ V₁).hom ⊗ 𝟙 V₂) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ ↑2 * -[n+1] = -[n+1] + -[n+1]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
s : Set (CategoryTheory.GrothendieckTopology C)
⊢ IsGLB s (sInf s)
p n k : ℕ
hp : Prime p
hk : k ≠ 0
hkp : k ≠ p ^ n
⊢ p ∣ (p ^ n).choose k
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
Add α
Add β
Add γ
f : α ≃+ β
g : β ≃+ γ
⊢ f.mapMatrix.trans g.mapMatrix = (f.trans g).mapMatrix
ι : Type u_2
α✝ : ι → Type ?u.4974
α : ι → Type u_1
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
i : ι
S : Set ((x : ι) → α x)
⊢ ∀ (x : Set (α i)), MeasurableSet x → Function.eval i ⁻¹' x = S → ∃ x, (∀ (i : ι), MeasurableSet (x i)) ∧ Function.eval i ⁻¹' x i = S
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans F G
θ : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans G H
⊢ ∀ {a b : B} (f : a ⟶ b),
  ((η.vcomp θ).naturality f).inv =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (θ.app a) (H.map f)).hom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (η.app a) (θ.naturality f).inv)
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (G.map f) (θ.app b)).inv
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (η.naturality f).inv (θ.app b))
            (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (η.app b) (θ.app b)).hom)))
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Module.rank R ↥⊤ = Module.rank R M
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
A : W ≃ₗᵢ[ℝ] V
f : V → E
w : W
⊢ 𝓕 (f ∘ ⇑A) w = 𝓕 f (A w)
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace Q
AddTorsor W Q
f g : P →ᴬ[R] Q
h : ↑f = ↑g
⊢ f = g
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X
⊢ IsClosed {x | ClusterPt x f}
⊢ NonemptyFinLinOrd.dual ⋙ CategoryTheory.forget₂ NonemptyFinLinOrd LinOrd =
  CategoryTheory.forget₂ NonemptyFinLinOrd LinOrd ⋙ LinOrd.dual
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
C : ℝ≥0
⊢ ‖f‖₊ ≤ C ↔ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖₊ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖₊
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
⊢ ↑f.completion.ker = closure ↑(NormedAddCommGroup.toCompl.comp (NormedAddGroupHom.incl f.ker)).range
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
hle : ‖x‖ ≤ ‖y‖
h : re ⟪x, y⟫_𝕜 = ‖y‖ ^ 2
H₁ : ‖x‖ ^ 2 ≤ ‖y‖ ^ 2
H₂ : re ⟪y, x⟫_𝕜 = ‖y‖ ^ 2
⊢ re ⟪x - y, x - y⟫_𝕜 ≤ 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
hH : ∃ n, lowerCentralSeries H n = ⊥
⊢ ∃ n, lowerCentralSeries G n = ⊥
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Field K
Field L
Algebra A K
IsFractionRing A K
Algebra B L
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A B L
IsScalarTower A K L
IsIntegralClosure B A L
FiniteDimensional K L
IsIntegrallyClosed A
Algebra.IsSeparable K L
x : B
⊢ (algebraMap A K) ((Algebra.intNormAux A K L B) x) = (Algebra.norm K) ((algebraMap B L) x)
A : Type u_2
CommRing A
IsDomain A
self : IsDedekindDomainDvr A
P : Ideal A
⊢ P ≠ ⊥ → ∀ (x : P.IsPrime), DiscreteValuationRing (Localization.AtPrime P)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace β
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : β), f a ∂MeasureTheory.Measure.map g μ = ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : p.edges.Nodup ∧ q.edges.Nodup ∧ p.edges.Disjoint q.edges
⊢ p.IsTrail
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
ι : Type u_5
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
S : ι → AddSubmonoid N
⊢ AddSubmonoid.map f (⨅ i, AddSubmonoid.comap f (S i)) = iInf S
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedDivisionRing α
SeminormedAddGroup β
MulActionWithZero α β
BoundedSMul α β
r : α
x : β
⊢ ‖r • x‖₊ = ‖r‖₊ * ‖x‖₊
α : Type u_1
Ω✝ : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω✝
κ✝ : Kernel α Ω✝
μ✝ : Measure α
Ω : Type u_4
m : ι → MeasurableSpace Ω
m' m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0
h_le' : m' ≤ m0
hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m
p : ι → Set (Set Ω) := fun n => {t | MeasurableSet t}
hp : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)
⊢ Indep (⨆ i, m i) m' κ μ
a b : ℤ
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ico a b) = (b - a).toNat
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
t : Finset σ × σ
h : t.1.card ≤ k ∧ (t.1.card = k → t.2 ∈ t.1)
⊢ (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1.card ≤ k ∧ ((MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1.card = k → (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).2 ∈ (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1)
α : Type u_2
M : Matroid α
X : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ X ⊆ M.closure X
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T1Space α
s : Closeds α
t : Set α
ht : IsAtom t
⊢ ↑(Closeds.closure t) = t
ι : Type u_1
Fintype ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
b : ι → M
DecidableEq ι
A : Matrix ι ι R
f : Module.End R M
h : Matrix.Represents b A f
r : R
⊢ Matrix.Represents b (r • A) (r • f)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
a b : α
h0 : f 0 = 0
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α
ha0 : ¬a = 0
hb0 : ¬b = 0
hf1 : ¬f 1 = 0
this✝ : Nontrivial α
this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid
⊢ ∀ p ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, Prime p
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i✝ : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E := fun y J => integral J GP (fun x => f (i.insertNth y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : ↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I.face i)] E := fun x => ⋯.toBoxAdditive
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[↑I] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
⊢ ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ closedBall x δ → x ∈ Box.Icc J → (GP.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((BoxAdditiveMap.volume J) ((f' x) (Pi.single i 1))) (F J) ≤ ε * ?refine_1 J
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E' p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f) s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = 0
hf_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
f_meas : ↥(lpMeas E' 𝕜 m p μ) := ⟨f, hf_meas⟩
⊢ ↑↑f =ᶠ[ae μ] 0
o : Ordinal.{u_3}
⊢ 1 ≤ o ↔ o ≠ 0
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
p : α → Prop
⊢ (∀ᵐ (a : α) ∂μ, p a) ↔ μ {a | ¬p a} = 0
M : Type u_2
AddCommMonoid M
a b : ℕ
hab : a ≤ b
f : ℕ → M
⊢ ∑ k ∈ Finset.Ico a (b + 1), f k = ∑ k ∈ Finset.Ico a b, f k + f b
σ : Type u
m : Type u → Type v
α : Type u
f : σ → m (α × σ)
st : σ
⊢ (StateT.mk f).run st = f st