ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ ⋃ b ∈ t, (fun x => f x b) '' s = image2 f s t
R : Type u_1
Ring R
p : Polynomial R
⊢ (-p).mirror = -p.mirror
a b c : Ordinal.{u_4}
h : c.IsLimit
⊢ a < b * c ↔ ∃ c' < c, a < b * c'
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Balanced C
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
fmono : Mono f
fepi : Epi f
⊢ IsIso f
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f : End F
A : PointedGaloisObject F
⊢ F.map (↑(((sectionsFunctor (PointedGaloisObject F)).mapIso (autIsoFibers F)).symm.toEquiv ((endEquivSectionsFibers F) f)) A).hom A.pt = f.app A.obj A.pt
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
g : ↥⊤ →ₗ[ℝ] ℝ
hfg : ∀ ⦃x : ↥f.domain⦄ ⦃y : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑{ domain := ⊤, toFun := g } y
hgs : ∀ (x : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑{ domain := ⊤, toFun := g } x
⊢ ∀ (x : ↥f.domain), (g ∘ₗ LinearMap.codRestrict ⊤ LinearMap.id ⋯) ↑x = ↑f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
G.PreservesEpimorphisms
P : C
hP : CategoryTheory.Projective P
⊢ CategoryTheory.Projective (F.obj P)
a b : ℝ
h : b ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => a ^ x) b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
c : ℝ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p μ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.59011, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.59015, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ φ.τ₂.op ≫ S₁.f.op = S₂.f.op ≫ φ.τ₁.op
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
CompleteSpace A
a : A
IsStarNormal a
⊢ Function.Bijective (elementalStarAlgebra.characterSpaceToSpectrum a)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
SizeOf (Sigma β)
xs : List (Sigma β)
⊢ sizeOf xs.dedupKeys ≤ sizeOf xs
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₁
K : Type w₂
f : K → J
g : J → I
X : (i : I) → C i
b : K
⊢ (CategoryTheory.Pi.comapComp C f g).inv.app X b = CategoryTheory.CategoryStruct.id (X (g (f b)))
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ s t : Set (α → M)
hs : A.Definable L s
ht : A.Definable L t
⊢ A.Definable L (t ⊔ sᶜ)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ ν✝ : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
f : α → E
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ((μ univ).toReal / ((μ univ).toReal + (ν univ).toReal)) • ⨍ (x : α), f x ∂μ + ((ν univ).toReal / ((μ univ).toReal + (ν univ).toReal)) • ⨍ (x : α), f x ∂ν
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
Preorder β
⊢ (fun x x_1 => x < x_1) = Filter.Germ.LiftRel fun x x_1 => x < x_1
x : ℝ
k : ℤ
⊢ Real.arctan x ≠ (2 * ↑k + 1) * Real.pi / 2
X : Type u_1
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
A : X → Matrix l n R
hA : Continuous A
e₁ : l ≃ m
e₂ : n ≃ p
⊢ Continuous fun x => (Matrix.reindex e₁ e₂) (A x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
l : ι →₀ 𝕜
v : ι → E
x : E
⊢ (l.sum fun i a => (starRingEnd 𝕜) a • ⟪v i, x⟫_𝕜) = ∑ i ∈ l.support, ⟪l i • v i, x⟫_𝕜
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹⁴ : HasSolidNorm K
inst✝¹³ : FloorRing K
E✝ : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace K E✝
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K E✝
inst✝⁹ : ProperSpace E✝
L✝ : AddSubgroup E✝
inst✝⁸ : DiscreteTopology ↥L✝
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L✝
b✝ : Basis ι ℤ ↥L✝
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
inst✝² : _root_.Finite ι
b : Basis ι ℤ ↥L
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
x✝ : E
⊢ L = (span ℤ (Set.range ⇑(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b))).toAddSubgroup
α : Type u_1
CommMonoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b c : α
h : Associated a b
⊢ multiplicity b c = multiplicity a c
θ : Real.Angle
⊢ (2 • θ).toReal = 2 * θ.toReal - 2 * π ↔ π / 2 < θ.toReal
b✝ x y : ℝ
b : ℕ
r : ℝ
hb : 1 < b
hr✝ : 0 ≤ r
hr : 0 < r
⊢ ⌈logb (↑b) r⌉ = Int.clog b r
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : p ≠ 0
f : ↥(lp E p)
i : α
⊢ ‖↑f i‖ ≤ ‖f‖
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
StarAddMonoid α
ContinuousStar α
f : β → α
hf : Summable f
⊢ Summable fun b => star (f b)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
⊢ φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r') ⟨↑p ^ n * q', hq⟩ = ↑p ^ (↑m - ↑n) * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]
h : -1 < r.re
c : ℝ
⊢ ContinuousOn (fun c => ↑c ^ (r + 1) / (r + 1)) [[0, c]]
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p
⊢ (fun x => rexp (-b * x ^ p)) =o[atTop] fun x => rexp (-x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
m : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable (Set.range f)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H₁ : l.size = 0 → r.size ≤ 1
H₂ : 1 ≤ l.size → 1 ≤ r.size → r.size ≤ delta * l.size
H₃ : 2 * l.size ≤ 9 * r.size + 5 ∨ l.size ≤ 3
r0 : r.size > 0
l0 : l.size > 0
⊢ 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ ↑(RCLike.re z) + ↑(RCLike.im z) * RCLike.I = z
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
f g : Module.End R M
⊢ LinearMap.baseChange A (f * g) = LinearMap.baseChange A f * LinearMap.baseChange A g
α : Type u_4
self : DivisionRing α
⊢ 0⁻¹ = 0
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
α : Type u_3
l : List α
fι : α → ι
fA : (a : α) → A (fι a)
⊢ (DirectSum.of A (l.dProdIndex fι)) (l.dProd fι fA) = (List.map (fun a => (DirectSum.of A (fι a)) (fA a)) l).prod
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
i : ℕ
hi : i ∈ n.divisors
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
⊢ ζ ^ n = 1
P : PFunctor.{u}
p : P.W
⊢ PFunctor.W.mk p.dest = p
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ (LinearMap.lTensor M f) (m ⊗ₜ[R] n) = m ⊗ₜ[R] f n
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ o.oangle (-x) y + o.oangle (-y) z + o.oangle (-z) x = ↑π
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f g : α → β
p : α → Prop
inst✝ : (x : α) → Decidable (p x)
h₀ : Tendsto f (l₁ ⊓ 𝓟 {x | p x}) l₂
h₁ : Tendsto g (l₁ ⊓ 𝓟 {x | ¬p x}) l₂
⊢ Tendsto (fun x => if p x then f x else g x) l₁ l₂
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
x' : F.obj j'
j'' : J
f : j ⟶ j''
f' : j' ⟶ j''
w : F.map f x = F.map f' x'
⊢ (F.map f ≫ colimit.ι F j'') x = (F.map f' ≫ colimit.ι F j'') x'
a b : Bool
⊢ ¬(!a) = b ↔ a = b
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : L.SeparatesPointsStrongly
⊢ ⊤ ≤ closure L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
h : IsOpenMap (s.restrict f)
finv : β → α
hleft : LeftInvOn finv f s
t : Set α
ht : IsOpen t
⊢ finv ⁻¹' t ∩ f '' s = f '' (t ∩ s) ∩ f '' s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a < b
hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)
hf_i : InjOn f (Ioo a b)
⊢ StrictMonoOn f (Ioo a b) ∨ StrictAntiOn f (Ioo a b)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
h₀ : ContDiff ℝ ⊤ fun w => ‖w‖ ^ 2
h₁ : ContDiff ℝ ⊤ fun w => (‖w‖ ^ 2 + 4)⁻¹
h₂ : ContDiff ℝ ⊤ fun w => 4 • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v
⊢ ContDiff ℝ ⊤ (stereoInvFunAux v)
α : Type u_1
b : Bool
l : Lists' α b
⊢ 0 < sizeOf l
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.235675}
x : α
⊢ #α = 2 ↔ ∃! y, y ≠ x
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup N'
Module R M
Module R N
Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
⊢ (ExteriorAlgebra.liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) = g ∘ₗ ExteriorAlgebra.liftAlternating f
x y : ℤ[i]
⊢ GaussianInt.toComplex (x - y) = GaussianInt.toComplex x - GaussianInt.toComplex y
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : List α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s
⊢ ∏ m_1 ∈ m.toFinset, m_1 ^ count m_1 m = ∏ i ∈ s, i ^ count i m
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
i : ι
s : Set (α i)
hs : (μ i) s = 0
t : Set (α i)
hst : s ⊆ t
left✝ : MeasurableSet t
hμt : (μ i) t = 0
⊢ ∏ i_1 : ι, (μ i_1) (update (fun j => univ) i t i_1) = 0
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
m : ↥M
n : ↥N
⊢ ↑(H.mulMap (m ⊗ₜ[R] n)) = ↑m * ↑n
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
φ : X → E
φ_int : Integrable φ μ
⊢ ∀ ⦃f g : X → E⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Integrable f μ → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) f → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) g
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a + b ≤ b ↔ a + b = b
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
k n r : ℕ
⊢ u (k * n + r) ≤ ↑k * u n + u r
K : Type u_1
Field K
NumberField K
A : Type u_2
NormedField A
IsAlgClosed A
NormedAlgebra ℚ A
x : K
hxi : IsIntegral ℤ x
hx : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ = 1
⊢ ∃ n, ∃ (_ : 0 < n), x ^ n = 1
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑t
hx : ↑x ∉ s
⊢ (Set.sumDiffSubset h).symm x = Sum.inr ⟨↑x, ⋯⟩
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <+: l₂ → l₁.length ≤ l₂.length
α : Type u_1
F : Type u_4
R : Type u_13
Norm F
SeminormedRing R
g : α → F
l : Filter α
f : α → R
h : f =o[l] g
c : R
⊢ (fun x => c * f x) =o[l] g
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) ≤ g
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, v (f i) ≤ g) → v (∑ i ∈ s, f i) ≤ g
hf : v (f a) ≤ g ∧ ∀ x ∈ s, v (f x) ≤ g
⊢ v (∑ i ∈ insert a s, f i) ≤ g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : ↑s i < 0
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∃ n, restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
k : ℕ := Nat.find hn
hk₂ : restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
hmeas : MeasurableSet (⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
⊢ ↑s i - ∑' (i_1 : ℕ), ↑s (⋃ (_ : i_1 < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i i_1) < 0
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
d : α
hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'
hd : Prime d
hdp : d ∣ p
q : α
q_mem' : q ∈ Multiset.map (fun p' => p' ^ i p') s.val
hdq : d ∣ q
⊢ p ∈ s
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.124213, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.124217, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S✝ : ShortComplex C
S : ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.Splitting
⊢ (h.s.unop ≫ S.unop.f + S.unop.g ≫ h.r.unop).op = (𝟙 S.unop.X₂).op
α : Type u_1
β : Type v
b : β
s : Multiset α
f : α → Multiset β
⊢ b ∈ s.bind f ↔ ∃ a ∈ s, b ∈ f a
α : Type u_1
Preorder α
SupSet α
s : Set α
hs : s.Nonempty
h's : BddAbove s
⊢ ↑(sSup s) = sSup ((fun a => ↑a) '' s)
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
inst✝ : Nonempty α
s : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
hs : s ∉ 𝒜
h𝒜₁ : (insert s 𝒜).Nonempty
h𝒜₂ : univ ∉ insert s 𝒜
h𝒜₃ : (insert s 𝒜).Nontrivial
ih : ∀ (𝒜_1 : Finset (Finset α)), 𝒜_1.card < 𝒜.card + 1 → 𝒜_1.Nonempty → univ ∉ 𝒜_1 → supSum 𝒜_1 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
hm : 𝒜.card + 1 = (insert s 𝒜).card
h𝒜 : 𝒜.Nonempty
⊢ 𝒜.card < 𝒜.card + 1
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
⊢ Finset.filter (fun x => x ≤ a) (s ⊻ t) = Finset.filter (fun x => x ≤ a) s ⊻ Finset.filter (fun x => x ≤ a) t
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
hab : a < b
h₀ : 0 < r
h₁ : r < 1
⊢ f ((lineMap a b) r) ≤ (lineMap (f a) (f b)) r ↔ slope f a ((lineMap a b) r) ≤ slope f ((lineMap a b) r) b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hf_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ε
ε : ℝ
hε : 0 < ε
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
F : Fin N → α → β := fun n => f ↑n
hF : ∀ (n : Fin N), Memℒp (F n) p μ
δ₁ : ℝ
hδpos₁ : 0 < δ₁
hδ₁ : ∀ (i : Fin N) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (F i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
⊢ -(a + b) = -a - b
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂
TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂
TotalComplexShapeSymmetry c₂ c₁ c₁₂
self : TotalComplexShapeSymmetrySymmetry c₁ c₂ c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
⊢ c₂.σ c₁ c₁₂ i₂ i₁ = c₁.σ c₂ c₁₂ i₁ i₂
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0
hw' : w₁ + w₂ = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (w₁ * z₁ + w₂ * z₂) ^ p ≤ w₁ * z₁ ^ p + w₂ * z₂ ^ p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.υ CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.isoN₁ = AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂N₁
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ ∃ c, ↑c + (↑(f.sec (f.mk' x y)).2 + x) = ↑c + (↑y + (f.sec (f.mk' x y)).1)
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
⊢ M.Basis I I ↔ M.Indep I
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.17551
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
y : Y
x : X
x✝ : ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn (fun x => y) U
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
inj : Set.InjOn (fun x => y) U
x' : X
⊢ x' ∈ {x} → x' ∈ U
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι
f✝ g✝ : α✝ → β
mα : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
α : Type u_5
E : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : ContinuousAdd E
inst✝¹ : ContinuousNeg E
inst✝ : PseudoMetrizableSpace E
g f : α → E
hg : Measurable g
hf : StronglyMeasurable f
⊢ Measurable (g + -f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
⊢ Embedding ⇑(inducingFn 𝕜 E F)
x : ℂ
⊢ Complex.sin (-x) = -Complex.sin x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₁
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring S₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁶ : Module S₁ N₂
inst✝⁵ : Module S₂ N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m N₂
i : n
j : m
⊢ ((toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂ f) ((LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1)) ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) = f i j
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
X Y X' Y' : C
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
f : X ≅ Y
g : X' ≅ Y'
⊢ (f.hom ⊗ g.hom) ≫ (f.inv ⊗ g.inv) = 𝟙 (X ⊗ X')
R : Type u
CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
g : Module.Dual R M₂
x : M₁
⊢ (f.dualMap g) x = g (f x)
α σ : Type u
m : Type u → Type v
Monad m
x : StateCpsT σ m α
s : σ
⊢ x.run' s = x.runK s fun a x => pure a
n : ℕ+
S : Set ℕ+
K : Type w
L : Type z
Field K
Field L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension S K L
hS : n ∈ S
⊢ Polynomial.Splits (algebraMap K L) (Polynomial.cyclotomic (↑n) K)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
h : μ.InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤
A s : Set α
s_meas : MeasurableSet s
hs : μ (s ∩ A) ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < (μ.restrict A) s
⊢ ∃ K ⊆ s, p K ∧ r < (μ.restrict A) K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e✝ : β → α
h_e : UniformInducing e✝
h_dense : DenseRange e✝
f✝ : β → γ
h_f : UniformContinuous f✝
inst✝ : CompleteSpace γ
p : α → Prop
e : α → β
f : α → γ
b : β
s : Set α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
he : UniformEmbedding e
hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)
hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b
hs : IsClosed s
hp : ∀ x ∈ s, p x
de : DenseEmbedding e
de' : DenseEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)
ue' : UniformEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)
this : b ∈ closure (e '' {x | p x})
c : γ
hc : Tendsto (f ∘ Subtype.val) (comap Subtype.val (comap e (𝓝 b))) (𝓝 c)
⊢ {x | p x} ∈ comap e (𝓝 b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
x : α
hfx : f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x
hgx : g x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x
⊢ {a | AEStronglyMeasurable.mk f hf a ≤ AEStronglyMeasurable.mk g hg a} x = {a | f a ≤ g a} x
M : Type u_1
N : Type u_2
One M
One N
f : OneHom M N
⊢ ⇑f.withBotMap = WithBot.map ⇑f
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
⊢ adjoin K ((cyclotomic (↑n) K).rootSet L) = ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCancelCommMonoid α
AddCancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsAddFreimanIso n A B f
⊢ IsAddFreimanIso m A B f
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
⊢ G.degree v < Fintype.card V
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : α → β → γ
a : α
B : Filter β
⊢ map (Function.uncurry f) (pure a ×ˢ B) = map (f a) B
R : Type u
Ring R
s : Set R
⊢ Subring.centralizer s = ⊤ ↔ s ⊆ ↑(Subring.center R)
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
this : ∀ i ∈ range (n + 1), i ≤ n
⊢ (∏ i ∈ range (n + 1), f i (n + 1 - i) ^ n.choose i) * ∏ i ∈ range (n + 1), f (i + 1) (n - i) ^ n.choose i = (∏ x ∈ range n.succ, f x (n - x + 1) ^ n.choose x) * ∏ x ∈ range n.succ, f (x + 1) (n - x) ^ n.choose (n - x)
α : Type u_1
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f n)
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
⊢ MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f Filter.atTop g
a : Ordinal.{u_1}
b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
⊢ 0 < a ^ b
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b : α
⊢ (a * b)⁻¹ = a⁻¹ * b⁻¹
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x₀ y₀ : α 0
x y : (i : Fin n) → α i.succ
⊢ Fin.cons x₀ x = Fin.cons y₀ y ↔ x₀ = y₀ ∧ x = y
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.37783, u_2} D
F : C ⥤ Cat
G : C ⥤ Cat
⊢ map (𝟙 F) = 𝟙 (Cat.of (Grothendieck F))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (adj.unit.app X)) (adj.counit.app (F.obj X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
E : Type u_3
SeminormedCommGroup E
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
r₁ r₂ : ℝ
h₁ : dist a₁ b₁ ≤ r₁
h₂ : dist a₂ b₂ ≤ r₂
⊢ dist (a₁ / a₂) (b₁ / b₂) ≤ r₁ + r₂
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
h : UniformContinuous (s.restrict f)
⊢ Continuous (s.restrict f)