ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p n : ℕ
pp : Nat.Prime p
⊢ p ∣ n ↔ ¬p.Coprime n
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
TopologicalSpace α
ContinuousConstVAdd G α
AddAction.IsMinimal G α
U : Set α
μ.Regular
hμ : μ ≠ 0
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
⊢ 0 < μ U
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
hint : IsIntegral ℤ B.gen
this : FiniteDimensional ℚ K := finiteDimensional {p ^ k} ℚ K
u : ℤˣ
n : ℕ
H : (↑↑u * ↑↑p ^ n) • x ∈ adjoin ℤ {B.gen}
hun : Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n
⊢ x ∈ adjoin ℤ {ζ}
α : Type u
UniformSpace α
self : AbstractCompletion α
⊢ CompleteSpace self.space
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
LinearOrder R
LinearOrder S
f : R → S
f_decr : Antitone f
F.NeBot
cobdd : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F
⊢ Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) F f
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
⊢ f ↑n = f 1 + log ↑(n - 1)!
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Mul β
⊢ commProb (α → β) = commProb β ^ card α
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Filter.IsBounded r ⊤ ↔ ∃ t, ∀ (x : α), r x t
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ map { toFun := fun x => n • x, inj' := ⋯ } (univ.piAntidiag m) = filter (fun f => ∀ (i : ι), n ∣ f i) (univ.piAntidiag (n * m))
⊢ RingHom.PropertyIsLocal @RingHom.FiniteType
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)
⊢ minimalPeriod f x * minimalPeriod g x ∣ minimalPeriod (f ∘ g) x
n : ℕ
h1 : 1 < n
h : ∀ (m : ℕ), m < n → m ≠ 0 → n.Coprime m
⊢ Nat.Prime n
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
hd : HasFDerivAt d d' x
⊢ d x • c' = c'.smulRight (d x)
x y : UInt16
⊢ (x / y).toNat = x.toNat / y.toNat
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
⊢ (i, j) ∈ μ ↔ i < μ.colLen j
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Symmetric r → Function.swap r = r
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
g : α ≃ β
k : ℕ
φ : L.BoundedFormula α k
v : β → M
xs : Fin k → M
⊢ ((FirstOrder.Language.BoundedFormula.relabelEquiv g) φ).Realize v xs ↔ φ.Realize (v ∘ ⇑g) xs
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
hg : MeromorphicAt g x
⊢ MeromorphicAt (f / g) x
α : Type u
β : Type v
f : Set (α → β)
s : Set α
hf : f.Finite
hs : s.Finite
⊢ (f.seq s).Finite
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
x : E
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ (y : E), HasFDerivAt f (f' y) y
hx : HasFDerivAt f' f'' x
v w : E
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
G : Type u_5
AddGroup G
Fintype G
S : Set G
(k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ k • S
k : ℕ
⊢ Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(k • S) = Fintype.card ↑(Fintype.card G • S)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ IsSigmaCompact ∅
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom.op =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (Opposite.op X) (Opposite.op Y) (Opposite.op Z)).inv
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
ha : Filter.Tendsto a l Filter.atBot
hb : Filter.Tendsto b l Filter.atTop
NoMinOrder α
⊢ MeasureTheory.AECover μ l fun i => Set.Ioc (a i) (b i)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i
⊢ update f i '' Ico a (f i) = Ico (update f i a) f
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑t
hx : ↑x ∉ s
⊢ x = inclusion ⋯ ⟨↑x, ⋯⟩
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
j : α
⊢ (c'.inj j ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv.unop ≫ (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom.unop).op = (c.ι.app { as := j }).op
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I I' : Ideal R
J J' : Ideal S
⊢ (map (RingHom.fst S R) (map (↑RingEquiv.prodComm) (I.prod J))).prod (map (RingHom.snd S R) (map (↑RingEquiv.prodComm) (I.prod J))) = J.prod I
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : ZMod (p ^ m)
⊢ (TruncatedWittVector.truncate hm) ((TruncatedWittVector.zmodEquivTrunc p m) x) =
  (TruncatedWittVector.zmodEquivTrunc p n) ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))) x)
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ x ⧏ 0 ↔ ∃ j, x.moveRight j ≤ 0
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
i : ι
x : M i
hne_one : x ≠ 1
⊢ (Monoid.CoprodI.NeWord.singleton x hne_one).prod = Monoid.CoprodI.of x
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
a : α
⊢ s < s.erase a ↔ a ∈ s
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M
⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T)
a b : ℝ
h : a ≤ b
⊢ Metric.diam (Set.Ioo a b) = b - a
α : Sort u_1
γ : Sort u_2
x x' : α
β : α → Sort u_3
f : (x : α) → β x → γ
h : x = x'
y : β x
⊢ f x' (h ▸ y) = f x y
f : ArithmeticFunction ℕ
x : ℕ
⊢ (ArithmeticFunction.zeta * f) x = ∑ i ∈ x.divisors, f i
α : Type u_1
s : Set α
h : s.encard ≠ 0
⊢ s.Nonempty
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : AddCommMonoid S
f : ℕ → R → S
h : ∀ (n : ℕ), f n 0 = 0
n : ℕ
toFinsupp✝ : AddMonoidAlgebra R ℕ
w : { toFinsupp := toFinsupp✝ }.natDegree < n
this : toFinsupp✝.support ⊆ range n
⊢ ∑ x ∈ toFinsupp✝.support, f x (toFinsupp✝ x) = ∑ x ∈ range n, f x (toFinsupp✝ x)
α : Type u
a : α
n : ℕ
⊢ (List.replicate n a).Nodup ↔ n ≤ 1
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra R B
f : R →+* S
g : S →+* T
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : T
h : (g.comp f).IsIntegralElem x
p : R[X]
hp : p.Monic
hp' : eval₂ (g.comp f) x p = 0
⊢ eval₂ g x (Polynomial.map f p) = 0
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝⁶ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝⁵ : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝⁴ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝³ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
M₀' : PresheafOfModules R₀
A' : Sheaf J AddCommGrp
φ' : M₀'.presheaf ⟶ A'.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ'
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ'
τ₀ : M₀ ⟶ M₀'
τ : A ⟶ A'
fac : τ₀.hom ≫ φ' = φ ≫ τ.val
⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.val.obj X)) (x : ↑((sheafify α φ).val.presheaf.obj X)), (τ.val.app X) (r • x) = r • (τ.val.app X) x
α : Type u
s : Set α
⊢ s \ Set.univ = ∅
α : Type u
β : α → Type u
κ : Cardinal.{u}
hκ : (Cardinal.sum fun a => κ ^ Cardinal.mk (β a)) ≤ κ
⊢ Cardinal.mk (WType β) ≤ κ
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
q : α → Prop
inst✝ : DecidablePred q
s : Multiset α
⊢ filter p (filter q s) = filter q (filter p s)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
⊢ diam (s ∪ t) ≤ diam s + edist x y + diam t
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f
m : M
hm : f m ∈ ↑↑(weightSpace M₂ χ)
⊢ f m ∈ LieSubmodule.map f (weightSpace M χ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
α : Type u_6
inst✝ : AddCommMonoid α
m M N : ℕ
f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α
g : (n : ℕ) × Composition n → α
h : ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource m M N), f e = g (compChangeOfVariables m M N e he)
⊢ ∀ (a : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (ha : a ∈ compPartialSumSource m M N), f a = g (compChangeOfVariables m M N a ha)
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
f : G →* G'
inst✝ : IsSimpleGroup G
n : ℕ
ih : derivedSeries G n.succ = _root_.commutator G
⊢ derivedSeries G (n + 1).succ = _root_.commutator G
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c : Set ι
c_count : c.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ c, U i
c_nonempty : c.Nonempty
⊢ ∃ f, s ⊆ ⋃ n, U (f n)
R : Type u_2
CommRing R
r : R
f : Polynomial R
s : R
⊢ Polynomial.eval (s - r) ((Polynomial.taylor r) f) = Polynomial.eval s f
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
f : α → M
⊢ (Function.mulSupport f)ᶜ = {x | f x = 1}
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
⊢ Prime hζ.subOneIntegralPowerBasis.gen
α : Type u_1
a b : α
l : List α
⊢ a ∈ b :: l → b ∈ l → a ∈ l
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
φ : α → H
L : H →L[𝕜] E
φ_int : MeasureTheory.Integrable φ μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun a => L (φ a)) μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) (c • f) = c • (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f
B : Type u_1
F : Type u_2
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
⊢ (Bundle.Trivial.trivialization B F).source = Set.univ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
n : ℕ
h : some a ∈ s.get? n
⊢ ∃ a', some a' ∈ s.head
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
CommRing R
Field K
Field L
Algebra R K
Algebra R L
x : L
int : IsIntegral R x
h : Polynomial.Splits (algebraMap R K) (minpoly R x)
f : K →ₐ[R] L
⊢ x ∈ f.range
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
x y : E
s t : Set E
⊢ ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) ≠ ⊤ ∨ μ t ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
H : J.OneHypercoverFamily
H.IsGenerating
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P ↔
  ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), H E → Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit (E.multifork P))
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
T2Space M
f : ℤ → M
hf : Multipliable f
⊢ ∏' (n : ℕ), f ↑n * f (-↑n) = (∏' (n : ℤ), f n) * f 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
c : F
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => f x - c) f' s x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
⊢ (if fract x < 1 / 2 then ⌊x⌋ else ⌈x⌉) = ⌊x + 1 / 2⌋
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic
⊢ ⊥ < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
Mul γ
MeasurableMul γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
c : γ
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib (fun x => f x * c) (fun x => g x * c) μ ν
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : R
hp : Irreducible p
I : Ideal R
hI : span R {p} < I
⊢ I = ⊤
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝¹ : Epi π₁
f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝ : Epi π₂
f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1
h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₄ : (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x, π ≫ g₁ = x ≫ app' φ 1 ⋯
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : K_hat R K
hx : {x_1 | x x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite
hy : {x | y x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
h_subset : {v | (x + y) v ∉ adicCompletionIntegers K v} ⊆ {v | x v ∉ adicCompletionIntegers K v} ∪ {v | y v ∉ adicCompletionIntegers K v}
⊢ {x_1 | (x + y) x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
n : ℕ
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖₊ ∂μ).toReal = (ENNReal.toReal ∘ fun n => ∫⁻ (x : α), ↑‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖₊ ∂μ) n
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
a : WithBot α
⊢ f.withBot a = WithBot.map (⇑f) a
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Set.Icc ↑a ↑b)
⊢ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x ≤ ∑ x ∈ Finset.Ico a b, f ↑x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y✝ : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ
y : ℕ
_hy : y ∈ range d
⊢ ↑d.succ * (↑(d.choose y) * y✝ ^ y) = ↑((d + 1).choose (y + 1)) * (↑(y + 1) * y✝ ^ (y + 1 - 1))
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
S : Set ℕ := {n | ∃ s, Fermat42 s.1 s.2.1 s.2.2 ∧ n = s.2.2.natAbs}
S_nonempty : S.Nonempty
m : ℕ := Nat.find S_nonempty
s0 : ℤ × ℤ × ℤ
hs0 : Fermat42 s0.1 s0.2.1 s0.2.2
hs1 : m = s0.2.2.natAbs
a1 b1 c1 : ℤ
h1 : Fermat42 a1 b1 c1
⊢ c1.natAbs ∈ S
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
x : (i : ι) → π i
DecidableEq ι
i : ι
y : π i
⊢ Function.update x i y = Function.updateFinset x {i} (uniqueElim y)
G : Type u
CommRing G
H : CommRingCat
f : G →+* ↑H
⊢ RingHom.comp (𝟙 H) f = f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
s₁ s₂ : Finset ι
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ (affineCombination k s₁ p) w = (affineCombination k s₂ p) ((↑s₁).indicator w)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
n : ℕ
h : 1 < n
⊢ (fun x => ‖x‖ ^ n) =o[𝓝 0] fun x => x
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G ≃* N
K : Subgroup G
x : N
⊢ x ∈ Subgroup.map f.toMonoidHom K ↔ f.symm x ∈ K
n : Nat
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0
j : Fin n
⊢ i.pred hi = j ↔ i = j.succ
n : Nat
motive : Fin (n + 1) → Sort u_1
last : motive (Fin.last n)
cast : (i : Fin n) → motive i.castSucc
i : Fin n
⊢ Fin.lastCases last cast i.castSucc = cast i
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝¹ : G.IsEquivalence
inst✝ : (F ⋙ G).IsEquivalence
⊢ F.IsEquivalence
n : ℕ+
m : ℕ
u : PrimeMultiset := n.factorMultiset
this : n = u.prod
⊢ (n ^ m).factorMultiset = m • n.factorMultiset
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle x (x + y)).cos * ‖x + y‖ = ‖x‖
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hne : y ≠ x
⊢ (∀ i < n, y i = x i) ↔ n ≤ firstDiff y x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
hst : Disjoint s t
S : Set (Set E) := {C | Convex 𝕜 C ∧ Disjoint C t}
C : Set E
hC : C ∈ S
hsC : s ⊆ C
hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C
x : E
hx : x ∈ Cᶜ
y : E
hy : y ∈ Cᶜ
z : E
hz : z ∈ segment 𝕜 x y
hzC : z ∈ C
c : E
hc : c ∈ Cᶜ
h : ∀ a ∈ C, segment 𝕜 c a ∩ t = ∅
⊢ Disjoint ((convexHull 𝕜) (insert c C)) t
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
hf : (Function.support f).Infinite
⊢ ∑ᶠ (i : α), f i = 0
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Algebra R A
Module R M₁
Module A M₁
SMulCommClass R A M₁
IsScalarTower R A M₁
Module R M₂
B₁ : LinearMap.BilinMap A M₁ A
B₂ : LinearMap.BilinMap R M₂ R
hB₁ : LinearMap.IsSymm B₁
hB₂ : LinearMap.IsSymm B₂
⊢ LinearMap.IsSymm (B₁.tmul B₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulZeroClass α β
Preorder α
Preorder β
PosSMulStrictMono α β
ha : 0 < a
hb : b < 0
⊢ a • b < 0
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
m : Multiset E
⊢ ‖m.prod‖ ≤ (Multiset.map (fun x => ‖x‖) m).sum
α : Type u_1
AddCancelCommMonoid α
s t : Set α
a : α
x y : ↑(s.addAntidiagonal t a)
⊢ (↑x).1 = (↑y).1 ↔ (↑x).2 = (↑y).2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
s' : Set ((i : ι) → F' i)
h : DifferentiableOn 𝕜 (fun f i' => f i') s' → ∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x => x i) s'
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun f => f i) s'
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsum : Summable fun n => ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ ‖term f s n‖ ≤ ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
⊢ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s ⊆ f '' (s₁ ∩ s)
r✝ r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
s : Finset α
r : ℝ≥0
⊢ s.sup f / r = s.sup fun a => f a / r
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
f : F
⊢ HasDerivAt (fun y => c y • f) (c' • f) x
α : Type u_1
s : Cycle α
⊢ s.reverse.Subsingleton ↔ s.Subsingleton
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X ≃ Y
hf : Continuous ⇑f
⊢ Continuous ⇑f.symm
f : ℝ → ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ), f |x| = 2 * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a
h' : b ≠ 0
hb : b < ℵ₀
this : b ≤ a
⊢ a = a * 1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s).Pairwise (Disjoint on fun c => ball c δ)
⊢ s.card ≤ 5 ^ finrank ℝ E
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
p q : Submodule R (CliffordAlgebra Q)
⊢ Submodule.map reverse (p * q) = Submodule.map reverse q * Submodule.map reverse p
G : Type u_3
CommGroup G
a b : G
⊢ a * (b * a⁻¹) = b
x : ℝ
h : 0 < x
⊢ ⊤ * ↑x = ⊤
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
h : Real.log (∏ w : InfinitePlace K, w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) ^ w.mult) = Real.log ↑|(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)|
⊢ ∑ w : { w // w ≠ w₀ }, (logEmbedding K) x w = -↑w₀.mult * Real.log (w₀ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x))
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
h : ¬∃ s x, s.Finite
⊢ FiniteDimensional.finrank R M = 0
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l l' : Filter α
h : f =Θ[l] g
hl : l' ≤ l
⊢ f =Θ[l'] g
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : ℕ → α → β
⊢ List.mapIdx f l = List.map (Function.uncurry f) l.enum