ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Mul α
SemilatticeSup β
OrderBot β
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (s * t).sup f = t.sup fun y => s.sup fun x => f (x * y)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular ![P 0, P 1, 0]
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P 2 = 0
hQz : Q 2 = 0
⊢ ![P 0, P 1, 0] ≈ Q
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
δ : Sort u_4
e₁ : α ≃ β
e₂ : γ ≃ δ
x : PProd α γ
⊢ (e₁.pprodCongr e₂) x = ⟨e₁ x.fst, e₂ x.snd⟩
G : Type u_1
inst✝ : Group G
φ : G →* G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
x y : G
h : commutatorMap (⇑φ) x = commutatorMap (⇑φ) y
⊢ φ (x⁻¹ * y) = x⁻¹ * y
K : Type u_1
Field K
k : Type u_2
Field k
Algebra k K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
⊢ NumberField.ComplexEmbedding.IsConj φ σ.symm ↔ NumberField.ComplexEmbedding.IsConj φ σ
θ ψ : Real.Angle
⊢ θ = ψ ↔ θ.sign = ψ.sign ∧ |θ.toReal| = |ψ.toReal|
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
BF : ℝ
hBF : ∀ a ∈ verticalClosedStrip 0 1, ‖F f ε a‖ ≤ BF
⊢ ∃ B, (fun x => invInterpStrip f x ε • f x) =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo 0 1)] fun z => Real.exp (B * Real.exp (0 * |z.im|))
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
g' : G'
hg' : ∀ (x : G'), x ∈ Subgroup.zpowers g'
h : orderOf g = orderOf g'
⊢ (mulEquivOfOrderOfEq hg hg' h) g = g'
α : Type u
a : α
s t : Set α
ha : a ∈ s
⊢ s = {a} ∨ s.Nontrivial
γ : Type w
MetricSpace γ
x y : γ
⊢ dist x y = 0 ↔ x = y
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
M : Λ → Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
S : Finset Λ
q₁ q₂ : Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
h₁ : q₁ ∈ Turing.TM2.stmts₁ q₂
⊢ some q₂ ∈ Turing.TM2.stmts M S → some q₁ ∈ Turing.TM2.stmts M S
M : Type u_1
MulOneClass M
s t : Set M
h : s ⊆ t
⊢ Submonoid.closure s ≤ Submonoid.closure t
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
l : List α
⊢ ([a] ++ l).sublists = do let x ← l.sublists [x, a :: x]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).op =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (Opposite.op X) (Opposite.op Y) (Opposite.op Z)).symm
α : Type u_2
Preorder α
ι : Type u_6
π : ι → Type u_7
(i : ι) → Preorder (π i)
f : (i : ι) → α →o π i
x : α
i : ι
⊢ (OrderHom.pi f) x i = (f i) x
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
RCLike 𝕜
r : 𝕜
f : ℝ → 𝕜
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x * r ∂μ = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) * r
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
a : M₀
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
ha : a ^ m = 0
⊢ a ^ n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
l : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hd : α
tl : List α
m a : α
ha : a ∈ hd :: tl
ham : f m ≤ f a
val✝ : α
hm : (if f hd < f val✝ then some val✝ else some hd) = some m
h : argmax f tl = some val✝
⊢ (bif hd == m then 0 else indexOf m tl + 1) ≤ bif hd == a then 0 else indexOf a tl + 1
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W.negY Q * P z ^ 3
⊢ W.dblXYZ P = W.dblU P • ![1, 1, 0]
q : Λ'
s : Option Γ'
L : List ℕ
c d : List Γ'
o : Option Γ' := List.casesOn L none fun x x => some Γ'.cons
⊢ Option.elim' (elim (trList L) [] c d main = trNat L.headI ∧ trList L.tail = []) (fun a => natEnd a = true ∧ elim (trList L) [] c d main = trNat L.headI ++ a :: trList L.tail) o
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
X Y : T
f : X ⟶ Y
P Q : T
g : P ⟶ Q
u : X ⟶ P
v : Y ⟶ Q
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f v
⊢ (CategoryTheory.Arrow.homMk' w).left = u
R : Type u_8
S : Type u_9
CommRing R
Nontrivial R
CommRing S
Algebra R S
IsFractionRing R S
⊢ Nontrivial S
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
⊢ ∀ (u : ℕ → E), CauchySeq u → ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
t : TopologicalSpace F
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] F
this : TopologicalSpace E := induced (⇑f) t
x : E
⊢ (𝓝 x).HasBasis ((fun x s => s ∈ 𝓝 (f x) ∧ Convex 𝕜 s) x) ((fun x => preimage ⇑f) x)
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
f : α → E
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 1) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
b : Set (Set β)
f : α → β
⊢ TopologicalSpace.induced f (TopologicalSpace.generateFrom b) = TopologicalSpace.generateFrom (Set.preimage f '' b)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (o.oangle x y).cos = ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α✝
s t✝ : Set α✝
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
α : Type u_3
f : ι → Filter α
t : ι → Set α
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
⊢ ⋂ i, t i ∈ ⨅ i, f i
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
t : Set α
hf : IsLocalExtrOn f t a
h : s ⊆ t
⊢ IsLocalExtrOn f s a
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h✝ : Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c < Cardinal.univ.{u, v}
S : Set Ordinal.{u}
H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
Se : #↑S = (type fun x x_1 => x < x_1).cof
h : Cardinal.lift.{u + 1, u} c ≥ #↑S
a : Cardinal.{u}
e✝ : Cardinal.lift.{u + 1, u} a = #↑S
α : Type u
e : Cardinal.lift.{u + 1, u} ⟦α⟧ = #↑S
f : ULift.{u + 1, u} α ≃ ↑S
⊢ False
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : ↑{0}ᶜ
⊢ ↑((fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩) ((fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩)) x)) = ↑x
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedAddCommMonoid M
f : ι → M
hf : f ≤ 0
⊢ ∑ i : ι, f i = 0 ↔ f = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
this : MeasurePreserving (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' μ' ↔ MeasurePreserving f μ μ
h : PreErgodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' ↔ PreErgodic f μ
⊢ Ergodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' ↔ Ergodic f μ
α : Type u
β : Type v
Mul β
f : α → β
x : α
⊢ (FreeMagma.lift f) (FreeMagma.of x) = f x
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set G
hs : IsSubgroup s
a : H
x✝ : a ∈ f '' s
b : G
hb : b ∈ s
Eq : f b = a
⊢ (f b)⁻¹ = a⁻¹
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
y : L
x✝ : y ∈ {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
u v : L
huv : ⁅u, v⁆ = y
⊢ (fun x => (trace R M) (φ x) = 0) y
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : CG L M
f : M →[L] N
hs : f.range = ⊤
⊢ f.range.CG
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
μ : Measure α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ ((μ.trim hm).restrict s) t = ((μ.restrict s).trim hm) t
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
⊢ closedBall x ε \ sphere x ε = ball x ε
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K
⊢ x ∈ r • Ioc a b ↔ x ∈ Ioc (r • a) (r • b)
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1
hnx : 0 < n → 0 ≤ x + ↑n
hnx' : n < 0 → x + ↑n ≤ 0
⊢ 0 ≤ ↑n ∧ 0 ≤ x + ↑n ∨ ↑n ≤ 0 ∧ x + ↑n ≤ 0
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
b : G₀
h : b ≠ 0
a : G₀
⊢ a * b⁻¹ * b = a
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → β → Prop
⊢ (∃ x, p x.1 x.2) ↔ ∃ a b, p a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z
⊢ Mem.other h = Mem.other' h
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
⊢ SameRay R 0 (x -ᵥ y)
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
β : Type v
Group β
f : α → β
H : FreeGroup.Red.Step L₁ L₂
⊢ FreeGroup.Lift.aux f L₁ = FreeGroup.Lift.aux f L₂
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 0 < s
x : ℝ
hx : x ∈ Icc (↑n) (↑n + 1)
⊢ ContinuousAt (fun x => x ^ (s + 1)) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v₁, u_1} D
CategoryTheory.Preadditive D
E : Type u_2
CategoryTheory.Category.{v₁, u_2} E
CategoryTheory.Preadditive E
F : C ⥤ D
F.Additive
G : D ⥤ E
G.Additive
X : CategoryTheory.Mat_ C
⊢ (F.mapMatComp G).hom.app X = 𝟙 ((F ⋙ G).mapMat_.obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
f : ↥(simpleFunc G p μ)
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑↑f ↔ 0 ≤ f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
r : β → γ → Prop
f : α →ₘ[μ] β
g : α →ₘ[μ] γ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.LiftRel r f g ↔ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, r (↑f a) (↑g a)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
⊢ x ∈ closedBall y ε ↔ y ∈ closedBall x ε
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
C : AdjoinRoot f → Prop
x : AdjoinRoot f
ih : ∀ (p : R[X]), C ((AdjoinRoot.mk f) p)
⊢ C x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction Y Z
hβ : g = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.f ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f
⊢ (α.add.comp₀ β γ).map L ⋯ = (LeftFraction₂.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.s ≫ γ.s) ⋯).add.map L ⋯
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
h1 : IsPurelyInseparable F E
h2 : IsPurelyInseparable E K
⊢ IsPurelyInseparable F K
α : Type u_1
l✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
⊢ count a (b :: l) = count a l + if a = b then 1 else 0
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
h : IsLowerSet ↑𝒜
⊢ IsLowerSet ↑(Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜)
τ : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace τ
inst✝² : AddCommGroup τ
inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
hf : ∀ (t : τ), Tendsto (fun x => t + x) f f
x✝ : α
h : ∀ n ∈ 𝓝 x✝, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (ϕ.toFun x '' ω f ϕ.toFun s ∩ n).Nonempty
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝 x✝
u : Set τ
hu : u ∈ f
⊢ ∃ x ∈ u, (ϕ.toFun x '' s ∩ n).Nonempty
X : Compactum
uux : Ultrafilter (Ultrafilter X.A)
⊢ (β.μ.app X.A ≫ X.a) uux = X.str (Ultrafilter.map X.str uux)
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
⊢ J₁ ∈ π.restrict J ↔ ∃ J' ∈ π, ↑J₁ = ↑J ∩ ↑J'
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hw : cs.wordProd ω ≠ 1
h : ω.length = cs.length (cs.wordProd ω)
⊢ ∃ i, cs.IsLeftDescent (cs.wordProd ω) i
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ a * b = 1 ↔ a⁻¹ = b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ CategoryTheory.Sieve.pullback (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) S = S
p a b : ℕ
hp : p ≠ 1
hle : multiplicity p a ≤ multiplicity p b
hab : a.Coprime b
⊢ multiplicity p a = 0
k : ℕ
⊢ (π / 2)⁻¹ * W k ≤ 1
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
t : Set α
⊢ μ t = ∑' (g : G), μ ((g +ᵥ t) ∩ s)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : R
y : S
⊢ (y𝖣(algebraMap R S) x) = 0
x : ℝ
⊢ ↑(Real.expOrderIso x) = Real.exp x
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ a ∈ l₁ → ¬a ∈ l₂ → a ∈ l₁.diff l₂
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.bind₁ WittVector.verschiebungPoly) (wittPolynomial p ℤ n) =
  if n = 0 then 0 else ↑p * wittPolynomial p ℤ (n - 1)
α : Type u_1
s : Set α
m : MeasurableSpace α
h : MeasurableSet sᶜ
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_1
SeminormedAddCommGroup α
One α
NormOneClass α
⊢ ‖1‖₊ = 1
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
h : finrank K V₂ < finrank K V
h₁ : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
⊢ ker f ≠ ⊥
α : Type u_1
n : Nat
Inhabited α
a : Array α
⊢ a.get! n = (a.get? n).getD default
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
⊢ ⇑(Trivialization.symmL R e b) = e.symm b
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
⊢ (GenContFract.IntFractPair.seq1 v).1 = GenContFract.IntFractPair.of v
α : Type u_2
M : Matroid α
X Y I : Set α
hI : M.Basis I X
hY : I ⊆ Y
h : M.closure X = M.closure Y
hYE : Y ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M.Basis I Y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ₁ s = μ₂ s
⊢ μ₁.toOuterMeasure = μ₂.toOuterMeasure
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
this : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n - g) p μ = eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' (φ - φ') h₁ h₂ =
  CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' φ h₁ h₂ - CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' φ' h₁ h₂
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
hd : P.d = 1
⊢ P.toPoly.Monic
M : Type u_4
CommMonoid M
S : Submonoid M
m : Multiset M
hm : ∀ a ∈ m, a ∈ S
⊢ m.prod ∈ S
α : Type u
β : Type v
AddCommGroup β
f : α → β
x : α
⊢ (FreeAbelianGroup.lift f) (FreeAbelianGroup.of x) = f x
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
x : M
⊢ Quotient.mk'' x = Submodule.Quotient.mk x
a : Int
⊢ -a = 0 ↔ a = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ o.areaForm' x = LinearMap.toContinuousLinearMap (o.areaForm x)
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : ListBlank Γ
⊢ l.nth 0 = l.head
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hv : ContMDiffAt I I.tangent 1 (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hx : I.IsInteriorPoint x₀
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsIntegralCurveAt γ v t₀
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ IsSquare (-1) ↔ p % 4 ≠ 3
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a ≤ b
hp : f a ∈ Icc (f a) (f b)
⊢ f a ∈ f '' Icc a b
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
m_le_n : m ≤ n
one_le_n : 1 ≤ n
U' : UniqueDiffOn 𝕜 (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)
p : TangentBundle I H
q : TangentBundle I' H'
hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
A : ContDiffOn 𝕜 m (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)
B : ContDiffOn 𝕜 m ((↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) ∘ Prod.fst) ((range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s) ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun p => (↑I' (f (↑I.symm p.1)), (mfderivWithin I I' f s (↑I.symm p.1)) p.2)) ((range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s) ×ˢ univ)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b b' : β a
s : Finmap β
⊢ Finmap.insert a b' (Finmap.insert a b s) = Finmap.insert a b' s
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set (X × X)
x : X
hx : s ∈ 𝓝 (x, x)
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ x ∈ U ∧ U ×ˢ U ⊆ s
B : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
f₁ : (TotalSpace (F₁ × F₂) fun x => E₁ x × E₂ x) → TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ := fun p => ({ proj := p.proj, snd := p.snd.1 }, { proj := p.proj, snd := p.snd.2 })
f₂ : TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ → (B × F₁) × B × F₂ := fun p => (↑e₁ p.1, ↑e₂ p.2)
f₃ : (B × F₁) × B × F₂ → B × F₁ × F₂ := fun p => (p.1.1, p.1.2, p.2.2)
hf₁ : Continuous f₁
⊢ ContinuousOn (toFun' e₁ e₂) (TotalSpace.proj ⁻¹' (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet))
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
h : f₁ =o[l] g₁
hf : ∀ (x : α), f₁ x = f₂ x
hg : ∀ (x : α), g₁ x = g₂ x
⊢ f₂ =o[l] g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LE α
inst✝¹ : Mul α
i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : MulLECancellable a
⊢ b * a ≤ c * a ↔ b ≤ c
C✝ : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C✝
C : Type u
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Final
⊢ IsConnected C ↔ IsConnected D
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Finite α
S : Set G
hS1 : ∀ σ ∈ S, ((toPermHom G α) σ).IsSwap
hS2 : closure S = ⊤
h : IsPretransitive G α
⊢ Function.Surjective ⇑(toPermHom G α)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
⊢ (Finsupp.mapDomain f s).support ⊆ Finset.image f s.support
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
AddCommGroup V₁
Module K V₁
AddCommGroup V₂
Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
FiniteDimensional K V₂
⊢ Function.Injective ⇑B.flip ↔ Function.Surjective ⇑B
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ a - b + min a b = a
I : Type u
f : I → Type v
α : Type u_1
(i : I) → SMul α (f i)
k : α
hk : ∀ (i : I), IsSMulRegular (f i) k
⊢ IsSMulRegular ((i : I) → f i) k
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
H : AddSubgroup G
a : α
⊢ AddAction.orbit (↥H) a ⊆ AddAction.orbit G a
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
I : Type u_3
B : I → Type u_4
inst✝ : (i : I) → NonUnitalNormedRing (B i)
f g : (i : I) → B i
hf : Memℓp f ⊤
hg : Memℓp g ⊤
Cf : ℝ
hCf : Cf ∈ upperBounds (Set.range fun i => ‖f i‖)
Cg : ℝ
hCg : Cg ∈ upperBounds (Set.range fun i => ‖g i‖)
⊢ BddAbove (Set.range fun i => ‖(f * g) i‖)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : CosimplicialObject.Augmented Cᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
x : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ (f.right.app (unop x)).unop ≫ (X✝.hom.app (unop x)).unop = (Y✝.hom.app (unop x)).unop ≫ f.left.unop
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0
i : ℕ
h : i = k ∨ i = m ∨ i = n
⊢ ↑k ≤ ↑i
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j k : ι
inst✝ : K.HasHomology i
⊢ K.fromOpcycles i j ≫ K.d j k = 0
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : NormedRing 𝔹
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
r : NNReal
⊢ Summable fun n => ‖expSeries 𝕂 𝔸 n‖ * ↑r ^ n
α : Type u_1
⊢ ∀ (a b : ZNum), a * b = b * a
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x✝¹ x✝ : α
⊢ (fun x y => x⁻¹ * y ∈ s) x✝¹ x✝ ↔ LeftCosetEquivalence (↑s) x✝¹ x✝
X Y : TopCat
⊢ (X.prodIsoProd Y).inv ≫ CategoryTheory.Limits.prod.fst = TopCat.prodFst
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
a : α
⊢ a∗ = 1 ↔ a ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : atBot.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Antitone fun x => μ (Ioc x a)
⊢ Tendsto (fun x => μ (Ioc x a)) atBot (𝓝 (μ (Iic a)))
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
r : R
⊢ 0 ≤ r * star r
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g✝ : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : HasCompactMulSupport f
g : α' → α
hg : ClosedEmbedding g
⊢ HasCompactMulSupport (f ∘ g)
M : Type u_1
MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → M
Sup M
MeasurableSup₂ M
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (f ⊔ g) μ
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
h : ¬P.IsUniform G ε
⊢ P.parts.Nonempty
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
CommSemiring R
S : Submonoid R
CommRing Rₛ
Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
AddCommGroup M
AddCommGroup Mₛ
Module R M
Module R Mₛ
Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
IsLocalizedModule S f
IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
m : M
i : ι
⊢ ((Basis.ofIsLocalizedModule Rₛ S f b).repr (f m)) i = (algebraMap R Rₛ) ((b.repr m) i)