ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
⊢ IsBigOWith ‖f‖ atTop (fun n => ‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖) fun n => ‖p n‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
A : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
⊢ (CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.forget F).obj A = A.a
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤
b : α
s : Set α
s_max : ∀ a ∈ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}, s ⊆ a → a = s
s_ind : CompleteLattice.SetIndependent s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a
a : α
ha : a ∈ {a | IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
⊢ ∀ x ∈ s ∪ {a}, IsAtom x
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
⊢ ⁅h, e⁆ = 2 • e
ι : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : f =O[Filter.cofinite] g
⊢ Summable f
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
hb : BddAbove s
hs : s.Nonempty
⊢ sSup s ≤ a ↔ ∀ b ∈ s, b ≤ a
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13, u_1} A
F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A
inst✝ : PreservesFiniteProducts F
hF : EqualizerCondition F
⊢ IsSheaf (coherentTopology LightProfinite) F
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
Ring R₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
s : Set M₂
h₀ : s.Nonempty
h₁ : s ⊆ ↑(LinearMap.range f)
⊢ Submodule.span R (⇑f ⁻¹' s) = Submodule.comap f (Submodule.span R₂ s)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.range = ⊤
⊢ f.idealRange = ⊤
B : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
f₁ : (TotalSpace (F₁ × F₂) fun x => E₁ x × E₂ x) → TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ := fun p => ({ proj := p.proj, snd := p.snd.1 }, { proj := p.proj, snd := p.snd.2 })
f₂ : TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ → (B × F₁) × B × F₂ := fun p => (↑e₁ p.1, ↑e₂ p.2)
f₃ : (B × F₁) × B × F₂ → B × F₁ × F₂ := fun p => (p.1.1, p.1.2, p.2.2)
hf₁ : Continuous f₁
hf₂ : ContinuousOn f₂ (e₁.source ×ˢ e₂.source)
hf₃ : Continuous f₃
b : B
v₁ : E₁ b
v₂ : E₂ b
hb₁ : { proj := b, snd := (v₁, v₂) }.proj ∈ e₁.baseSet
right✝ : { proj := b, snd := (v₁, v₂) }.proj ∈ e₂.baseSet
⊢ { proj := b, snd := v₁ } ∈ e₁.source
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ c \ a ∆ b = c ⊓ a ⊓ b ⊔ c \ (a ⊔ b)
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
x : K[X]
⊢ { toFractionRing := (algebraMap K[X] (FractionRing K[X])) x } = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
e : ι ≃ ι'
⊢ Set.range ⇑(b.reindex e) = Set.range ⇑b
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α} {α_1 : Type u_2} {f g : α → α_1},
  (∀ (a : α), a ∈ l → f a = g a) → List.map f l = List.map g l
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → α
b : β
h : ∀ (a : α), f a b = a
o : Option α
⊢ Option.map₂ f o (some b) = o
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
⊢ s.mongePoint ∈ s.mongePlane i₁ i₂
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
h : IsUpperSet s
⊢ s.OrdConnected
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
f : α → β → γ
x : Mathlib.Vector α n
y : Mathlib.Vector β n
⊢ (Mathlib.Vector.zipWith f x y).tail = Mathlib.Vector.zipWith f x.tail y.tail
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
ℐ : Set (HomogeneousIdeal 𝒜)
⊢ (sInf ℐ).toIdeal = ⨅ s ∈ ℐ, s.toIdeal
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
i : ι
h₁ : Epi (homologyMap φ.τ₁ i)
h₂ : IsIso (homologyMap φ.τ₂ i)
h₃ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → IsIso (homologyMap φ.τ₁ j)
h₄ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₂ j)
this✝ : Mono (homologyMap φ.τ₃ i)
this : Epi (homologyMap φ.τ₃ i)
⊢ IsIso (homologyMap φ.τ₃ i)
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
Applicative F
LawfulApplicative F
Applicative G
LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
⊢ traverse (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map h ∘ g) = Functor.Comp.mk ∘ Functor.map (traverse h) ∘ traverse g
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝⁴ : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝³ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this✝² : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))
this✝¹ : ∀ (X : C), IsIso (Gl.map (adj.unit.app X))
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
hc'' : ∀ (j : J), α.app j ≫ Gl.map (c.ι.app j) = c'.ι.app j ≫ f
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
c'' : Cocone (F' ⋙ Gr) := { pt := pullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt), ι := { app := fun j => pullback.lift (Gr.map (c'.ι.app j)) (Gr.map (α'.app j) ≫ c.ι.app j) ⋯, naturality := ⋯ } }
cf : (Cocones.precompose β.hom).obj c' ⟶ Gl.mapCocone c'' := { hom := pullback.lift (inv (adj.counit.app c'.pt)) f ⋯ ≫ (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).inv, w := ⋯ }
this✝ : cf.hom ≫ (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).hom ≫ pullback.fst (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt)) ≫ adj.counit.app c'.pt = 𝟙 ((Cocones.precompose β.hom).obj c').pt
this : IsIso cf
⊢ Nonempty (IsColimit c')
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : EnoughProjectives C
G : C
hG : IsCoseparator G
⊢ ∃ G, Projective G ∧ IsSeparator G
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
F : ι → C(X, Y)
f : C(X, Y)
hFf : Filter.Tendsto F l (𝓝 f)
s : Set X
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ContinuousMap.restrict s (F i)) l (𝓝 (ContinuousMap.restrict s f))
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a / b < c / d ↔ a * d < c * b
b x✝ y✝ : ℝ
hb : 1 < b
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y
⊢ logb b y < logb b x
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
hBf : ∃ c < a, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hBg : ∃ c < a, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
⊢ ∃ c < a, ∃ B, (f - g) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t.toJordanDecomposition.posPart ⟂ₘ μ ∧ t.toJordanDecomposition.negPart ⟂ₘ μ
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
⊢ t.toJordanDecomposition.posPart.toSignedMeasure - t.toJordanDecomposition.negPart.toSignedMeasure = (s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure - (s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure
M : Type u_1
Monoid M
ι : Type u_2
Fintype ι
N : ι → Type u_3
(i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
⊢ MonoidHom.mrange (MonoidHom.noncommPiCoprod ϕ hcomm) = ⨆ i, MonoidHom.mrange (ϕ i)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ∞
c : E → F →L[𝕜] G
hc : ContDiff 𝕜 n c
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
x : E
u : F
m : Fin i → E
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 i (fun y => (c y) u) x) m = ((iteratedFDeriv 𝕜 i c x) m) u
α : Type u_1
Inhabited α
l : List α
a : α
⊢ (a :: l).get! 0 = a
η : Type u_6
Gs : η → Type u_7
(i : η) → AddMonoid (Gs i)
x : (i : η) → Gs i
h : IsOfFinAddOrder x
i : η
⊢ IsOfFinAddOrder (x i)
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocCommSemiring R
⊢ AddMonoid.End.mulRight = AddMonoid.End.mulLeft
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = fderiv 𝕜 f x
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
this : μ.restrict μ.sigmaFiniteSet = (μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSet
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α) in s ∩ μ.sigmaFiniteSet, if μ.densityToFinite a ≠ ⊤ then μ.densityToFinite a else 1 ∂μ.toFinite = ∫⁻ (a : α) in s ∩ μ.sigmaFiniteSet, μ.densityToFinite a ∂μ.toFinite
m n : ℕ
⊢ m ∣ m + n ↔ m ∣ n
a na b nb : ℕ
r : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a na →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b nb →
    Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat na nb = r → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat a b) r
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t : Triangle ℝ P
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
t₂ : Triangle ℝ P
ht₂ : Set.range t₂.points ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
ht₂s : Set.range t₂.points ⊆ s
c : P
hc : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
h : ∀ (i : Fin 3), dist (t₂.points i) c = Simplex.circumradius t
hs : Set.range t.points ⊆ s
⊢ Simplex.circumradius t₂ = Simplex.circumradius t
G : Type u_7
AddGroup G
self : AddGroupNorm G
x : G
⊢ self.toFun x = 0 → x = 0
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ : α → ℝ
μ : Measure α
f : α → ℝ
x : α
⊢ ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) = ↑⟨rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ, ⋯⟩
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ ((CategoryTheory.MonoidalCategory.curriedTensor C).obj X).obj Y = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
x : R
⊢ (LinearMap.toMatrix v₁ v₁) ((algebraMap R (Module.End R M₁)) x) = (Matrix.scalar n) x
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y✝ : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hs : Convex ℝ s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s
hs' : UniqueDiffOn 𝕜 s
hf' : ∀ x ∈ s, fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 g s x
hx : x ∈ s
hfgx : f x = g x
y : E
hy : y ∈ s
⊢ f y = g y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Stream'.Seq1 α
f : α → Stream'.Seq1 β
g : β → Stream'.Seq1 γ
⊢ (s.bind f).bind g = s.bind fun x => (f x).bind g
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
dim_pos : 0 < Fintype.card ι
ε : ℝ := ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
ε_eq : ε = ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
hε : 0 < ε
ε_le : ↑(normBound abv bS) * (abv b • ε) ^ ↑(Fintype.card ι) ≤ ↑(abv b) ^ ↑(Fintype.card ι)
μ : Fin (cardM bS adm).succ ↪ R := distinctElems bS adm
hμ : μ = distinctElems bS adm
s : ι →₀ R := bS.repr a
s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i
qs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i / b
rs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i % b
r_eq : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ) (i : ι), rs j i = μ j * s i % b
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - b • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b))
α : Type u_2
AddCommMonoid α
A : Set α
n : ℕ
β : Type u_5
SubtractionCommMonoid β
B₁ B₂ : Set β
f₁ f₂ : α → β
h₁ : IsAddFreimanHom n A B₁ f₁
h₂ : IsAddFreimanHom n A B₂ f₂
⊢ IsAddFreimanHom n A (B₁ - B₂) (f₁ - f₂)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
s : Set E
x : E
⊢ ContinuousWithinAt (⇑e) s x
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → NonUnitalSemiring (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
x y z : ⨂[R] (i : ι), A i
⊢ (PiTensorProduct.mul ((PiTensorProduct.mul x) y)) z = (PiTensorProduct.mul x) ((PiTensorProduct.mul y) z)
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
a : α
⊢ orbit G a = orbit G (g⁻¹ • g • a)
p q : Polynomial ℤ
h : p * p.mirror = q * q.mirror
⊢ p.IsUnitTrinomial ↔ q.IsUnitTrinomial
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i j : ι
h : i ≤ j
x : G i
⊢ (s.ι.app j) ((f i j h) x) = (s.ι.app i) x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{max (u + 1) v}
h : c < univ.{u, v}
⊢ 2 ^ c < univ.{u, v}
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a x y : R
h : x * y = 1
⊢ eval (x + y) (dickson 1 1 1) = x ^ 1 + y ^ 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ f.lintegral (μ.restrict s) = ∑ y ∈ f.range, y * μ (↑f ⁻¹' {y} ∩ s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategory ⥤ Cᵒᵖ} (η : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.simplicialCosimplicialEquiv C).inverse.map η = (CategoryTheory.NatTrans.leftOp η).op
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
w : Monoid.CoprodI.Word M
i : ι
⊢ w.fstIdx ≠ some i ↔ ∀ l ∈ w.toList.head?, i ≠ l.fst
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ ↑n ≠ 0
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 1 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)
⊢ Epi (app' φ 0 ⋯)
z : ℂ
⊢ z.arg = π ↔ z < 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : DistribMulAction α β
a : α
s : Set α
t : Set β
⊢ a • -t = -(a • t)
p : ℝ
⊢ ENNReal.ofReal p = 0 ↔ p ≤ 0
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : Aᵒᵖ
f : X ⟶ Y
U : Dᵒᵖ
x : ((coyoneda ⋙ (whiskeringLeft Dᵒᵖ A (Type ?u.72492)).obj ℱ).obj X).obj U
⊢ (pushforwardFamily (homOver α (unop Y)) (f.unop ≫ x)).Compatible
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c : α
hc : c ≠ 0
⊢ a / c ≤ b ↔ a ≤ b * c
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : MeasureTheory.Integrable f (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂MeasureTheory.Measure.map X μ,
  MeasureTheory.Integrable (fun ω => f (b, ω)) ((ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) b)
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.17678, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.17685, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.17692, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
f : X ⟶ Y
a : M
g : ShiftedHom Y Z a
⊢ a + m₀ = a
H₁ : Type u_6
TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
TopologicalSpace H₃
ChartedSpace H₁ H₂
ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
HasGroupoid H₂ G₁
ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, ChartedSpace.LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
⊢ HasGroupoid H₃ G₁
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : α) → StarAddMonoid (E i)
∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
⊢ ↑(star f) = star ↑f
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
⊢ (Multiset.map (⇑leadingCoeffHom) t).prod = (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod
α : Type u_1
r : Rel α α
x : RelSeries r
⊢ List.Chain' r x.toList
α : Type u_1
p : α → Prop
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
⊢ All p (match l, v, r with | node red (node red a x b) y c, z, d => node red (node black a x b) y (node black c z d) | node red a x (node red b y c), z, d => node red (node black a x b) y (node black c z d) | a, x, b => node black a x b) ↔ p v ∧ All p l ∧ All p r
X Y : FintypeCat
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (x : ↑X), f x = g x
x✝ : ↑X
⊢ f x✝ = g x✝
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
a : α
b : α
⊢ b ∈ I → a * b ∈ I
α : Type u
s t : Set α
⊢ s \ tᶜ = s ∩ t
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
m✝ : Multiset α
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
m : Multiset α
f : α → ℕ → β
⊢ ∏ x ∈ m.toEnumFinset, f x.1 x.2 = ∏ x : m.ToType, f x.fst ↑x.snd
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
inst✝⁸ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁶ : G.PreservesZeroMorphisms
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = 0
inst✝⁵ : HasCokernel f
inst✝⁴ : HasCokernel (G.map f)
inst✝³ : PreservesColimit (parallelPair f 0) G
X' Y' : C
g : X' ⟶ Y'
inst✝² : HasCokernel g
inst✝¹ : HasCokernel (G.map g)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair g 0) G
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map f ≫ G.map q = G.map p ≫ G.map g
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn✝ : n ≠ 0
hn : 0 < n
⊢ Injective fun x => x ^ n
n : ℕ
k : Fin (n + 1)
m : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ SimplexCategory.Hom.toOrderHom (SSet.standardSimplex.const n k m).down =
  (OrderHom.const (Fin ((Opposite.unop m).len + 1))) k
x y z : ℝ
h : y ∈ Set.uIcc x z
⊢ dist x y ≤ dist x z
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G
⊢ a / b = c ↔ a = b * c
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
t_bound : t ⊆ closedBall 0 1
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closedBall x 1) / μ ({x} + u)))
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
x : (b : β) → π b
r : ℝ
h : 0 < r ∨ Nonempty β
hr : r < 0
⊢ sphere x r = (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) r) ∩ closedBall x r
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b c : k
h : a ≠ c
⊢ (lineMap (slope f a b) (slope f b c)) ((c - b) / (c - a)) = slope f a c
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
o : Part α
⊢ (Part.map f o).Dom = o.Dom
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hsf : s.Finite
h : ⋯.toFinset.card = hsf.toFinset.card
⊢ s ∩ t = s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g f' : α →ₘ[μ] β
hf : f ≤ f'
hg : g ≤ f'
⊢ f ⊔ g ≤ f'
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
h₁₃ : x₁ + p < x₃'
⊢ x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁
α : Type u_1
i : Nat
a : Array α
h : i < a.size
⊢ a[i] = a.data[i]
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
⊢ exponent α = Fintype.card α
α : Type u_1
b : ℂ
hb : b ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 b, x ≠ 0
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : lcm a b = 0
⊢ a = 0 ∨ b = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : Nonempty ι
l : (i : ι) → Filter (α i)
hl : ∀ (i : ι), Cauchy (l i)
this : ∀ (i : ι), (l i).NeBot
⊢ Cauchy (Filter.pi l)