ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃+ M₂
as : List R
bs : List S
h : List.Forall₂ (fun r s => ∀ (x : M), e (r • x) = s • e x) as bs
e' : (i : ℕ) → M ⧸ Ideal.ofList (List.take i as) • ⊤ ≃+ M₂ ⧸ Ideal.ofList (List.take i bs) • ⊤ := fun i => QuotientAddGroup.congr (Ideal.ofList (List.take i as) • ⊤).toAddSubgroup (Ideal.ofList (List.take i bs) • ⊤).toAddSubgroup e ⋯
⊢ (∀ (i : Fin as.length), IsSMulRegular (M ⧸ Ideal.ofList (List.take (↑i) as) • ⊤) (as.get i)) ↔ ∀ (i : Fin bs.length), IsSMulRegular (M₂ ⧸ Ideal.ofList (List.take (↑i) bs) • ⊤) (bs.get i)
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ ‖↑(p / 2)‖ = |p| / 2
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₂
inst✝¹ : Category.{u₁, u₂} C
inst✝ : IsPreconnected J
X Y : C
α : (Functor.const J).obj X ⟶ (Functor.const J).obj Y
x✝¹ x✝ : J
f : x✝¹ ⟶ x✝
⊢ (fun j => α.app j) x✝¹ = (fun j => α.app j) x✝
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
K : Set X
hK : IsCompact K
⊢ IsCompact (closure K)
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs : List ((_ : α) × α)
hperm : map Sigma.fst xs ~ map Sigma.snd xs
hnodup : (map Sigma.snd xs).Nodup
xs₀ : List α
h₀ : map Sigma.fst xs = xs₀
xs₁ : List α
h₁ : map Sigma.snd xs = xs₁
hxs : xs = List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)
⊢ Injective (mapToSelf xs hperm hnodup).apply
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : Presieve.IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), Presieve.IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
⊢ ∃! t, s.IsAmalgamation t
n : ℕ
⊢ Nat.count (fun x => True) n = n
M : Type u_1
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass P
c : Con M
f : c.Quotient →* P
⊢ c.lift (f.comp c.mk') ⋯ = f
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ b ⇨ c ≤ (a ⇨ b) ⇨ a ⇨ c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (g ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' t) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ι : Type u_3
F G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete ι) C
α : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.NatTrans.Equifibered α
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊
⊢ ‖f‖₊ ≤ c * ‖g‖₊
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (CategoryTheory.kernelUnopOp g).inv = CategoryTheory.Limits.cokernel.desc g (CategoryTheory.Limits.kernel.ι g.unop).op ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α →ᵈ β
⊢ f.toFun = ⇑f
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t : Multiset ι
f : ι → R[X]
⊢ (∀ i ∈ t, (f i).Monic) → (Multiset.map f t).prod.Monic
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁰ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace 𝕜
inst✝⁸ : OrderTopology 𝕜
inst✝⁷ : ProperSpace 𝕜
inst✝⁶ : CompactIccSpace 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : ContinuousAdd E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
x y : E
⊢ closure ((fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' Ioo 0 1) = (fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' closure (Ioo 0 1)
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
g : γ → α
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
pa : ι × ι → Prop
hpa : ∀ᶠ (x : ι × ι) in p ×ˢ p, pa x
pb : α → Prop
hpb : ∀ᶠ (y : α) in p', pb y
hpapb : ∀ {x : ι × ι}, pa x → ∀ {y : α}, pb y → (F (x, y).1.1 (x, y).2, F (x, y).1.2 (x, y).2) ∈ u
⊢ ∃ pa, (∀ᶠ (x : ι × ι) in p ×ˢ p, pa x) ∧ ∃ pb, (∀ᶠ (y : γ) in comap g p', pb y) ∧ ∀ {x : ι × ι}, pa x → ∀ {y : γ}, pb y → ((fun n => F n ∘ g) (x, y).1.1 (x, y).2, (fun n => F n ∘ g) (x, y).1.2 (x, y).2) ∈ u
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
g : C(Y, Z)
hg : Embedding ⇑g
⊢ Embedding g.comp
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
⊢ ↑S.toSubfield = ↑S
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
y : ↥N
m : R
hm : m * ↑y ∈ M
this : IsUnit ((algebraMap R S) ↑⟨m * ↑y, hm⟩)
⊢ IsUnit ((algebraMap R S) ↑y)
K : Type u
Field K
x : RatFunc K
⊢ x.denom.Monic
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Type u_8
N : Type u_10
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
s : Finset ι
g : ι → α →₀ M
h : α → M → N
h_zero : ∀ (a : α), h a 0 = 0
h_add : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ + h a b₂
⊢ ∑ i ∈ s, (g i).sum h = (∑ i ∈ s, g i).sum h
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
M : Type u_11
N : Type u_12
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : SMul M N
inst✝² : MulAction N α
inst✝¹ : SMul M α
inst✝ : IsScalarTower M N α
x : M
y : α
⊢ (x • 1) • y = x • y
α : Type u_1
M : Type u_8
G : Type u_12
AddGroup G
AddCommMonoid M
g : α →₀ G
h : α → G → M
h0 : ∀ (a : α), h a 0 = 0
⊢ (-g).sum h = g.sum fun a b => h a (-b)
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a b c : M
h : IsUnit a
⊢ a * ↑h.unit⁻¹ = ↑h.unit * ↑h.unit⁻¹
r : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ ↑n < ↑r ↔ ↑n < r
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : r₂ ≤ 0
⊢ Wbtw R (r₁ • v +ᵥ x) x (r₂ • v +ᵥ x)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
a b c d y z : F
r R : ℝ
x : F
hx : (fun x => c + x) x ≠ c
this : HasFDerivAt (inversion c R) ((R ^ 2 * ((fun y => y⁻¹) ∘ fun x => ‖_root_.id x - c‖ ^ 2) (c + x)) • ContinuousLinearMap.id ℝ F + (R ^ 2 • -((‖_root_.id (c + x) - c‖ ^ 2) ^ 2)⁻¹ • 2 • ((innerSL ℝ) (_root_.id (c + x) - c)).comp (ContinuousLinearMap.id ℝ F)).smulRight (_root_.id (c + x) - c)) (c + x)
⊢ EqOn ⇑((R ^ 2 * ((fun y => y⁻¹) ∘ fun x => ‖_root_.id x - c‖ ^ 2) (c + x)) • ContinuousLinearMap.id ℝ F + (R ^ 2 • -((‖_root_.id (c + x) - c‖ ^ 2) ^ 2)⁻¹ • 2 • ((innerSL ℝ) (_root_.id (c + x) - c)).comp (ContinuousLinearMap.id ℝ F)).smulRight (_root_.id (c + x) - c)) ⇑((R / dist ((fun x => c + x) x) c) ^ 2 • ↑{ toLinearEquiv := (reflection (Submodule.span ℝ {(fun x => c + x) x - c})ᗮ).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }) {x}
x : PartENat
n : ℕ
⊢ x ≤ ↑n ↔ ∃ (h : x.Dom), x.get h ≤ n
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
h : ∀ (x : E), Module.rank F ↥F⟮x⟯ = 1
y : E
⊢ y ∈ ⊥ ↔ y ∈ ⊤
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
⊢ Tendsto rexp atTop atTop
n : ℕ
⊢ SimpleGraph.turanGraph n 0 = ⊤
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
hα' : Fintype.card α = p ^ 2
⊢ ¬IsCyclic α ↔ exponent α = p
β : Type u_4
CommMonoid β
f s : ℕ → β
base : s 0 = 1
step : ∀ (n : ℕ), s (n + 1) = s n * f n
n : ℕ
⊢ ∏ k ∈ Finset.range n, f k = s n
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
χ₁ χ₂ : L → R
h : χ₁ ≠ χ₂
x : L
hx : χ₁ x ≠ χ₂ x
⊢ Disjoint (weightSpace M χ₁) (weightSpace M χ₂)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
hBf : ∃ c < a, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hBg : ∃ c < a, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
⊢ ∃ c < a, ∃ B, (f - g) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
n : ℕ
⊢ normalize ↑n = ↑n
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : ℵ₀ ≤ #α
⊢ ∃ a, succ #α ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
ι : Type u_1
X : Type u_5
TopologicalSpace X
M : Type u_6
AddCommMonoid M
f : ι → X → M
hf : LocallyFinite fun i => Function.support (f i)
x₀ : X
⊢ ∃ I, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (Function.support fun i => f i x) ⊆ ↑I
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
⊢ b = a ∨ b = succ a → a ≤ b ∧ b ≤ succ a
α : Type u_1
s : Set α
⊢ (Prod.map (fun x => ↑x) fun x => ↑x) ⁻¹' Set.diagonal α = Set.diagonal ↑s
M : Type u_1
inst✝⁴ : Mul M
inst✝³ : Finite M
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
⊢ ↑(Nat.card G) ≠ 0
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
G : Type u_10
Group G
DistribMulAction G R
DistribMulAction G M
IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : Submodule.span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → G
⊢ Submodule.span R (Set.range (w • v)) = ⊤
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁵ : NormedField 𝕜
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²² : PseudoMetricSpace P
inst✝²¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁸ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁷ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹⁴ : MetricSpace P₁'
inst✝¹³ : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹⁰ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁹ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝² : PseudoMetricSpace P₄
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₄ P₄
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
inst✝ : TopologicalSpace α
x y : P
⊢ dist ((pointReflection 𝕜 x) y) y = ‖2 • (x -ᵥ y)‖
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
⊢ Stream'.Seq.destruct s.think = some (none, s)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.24510, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ w₁₂ ≫ (shiftFunctor C 1).map (𝟙 X₁) = h.m₁ ≫ w₁₃
M : Type u_5
N : Type u_6
Monoid M
Monoid N
F : Type u_7
FunLike F M N
MonoidHomClass F M N
f : F
x y : M
ha : x ~ᵤ y
⊢ f x ~ᵤ f y
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : SemilatticeSup M
w : σ → M
⊢ weightedTotalDegree' w 0 = ⊥
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.CompactOpens α
⊢ ↑s.toOpens = ↑s
α : Type u_1
s t : Multiset α
a : α
⊢ s ≤ t → a ::ₘ s ≤ a ::ₘ t
n : ℕ
⊢ AntitoneOn (fun b => Nat.log b n) (Set.Ioi 1)
ι α : Type u
A : ι → Set α
s : Set ι
⊢ Cardinal.mk ↑(⋃ x ∈ s, A x) ≤ Cardinal.mk ↑s * ⨆ x, Cardinal.mk ↑(A ↑x)
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
l : ℕ
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : ι → ι → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s t : Finset ι
x : 𝕜
hst : s ⊆ t
f : ι → 𝕜
d : 𝕜
hx : 0 ≤ x
hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|
ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
hscard : 0 < ↑s.card
htcard : 0 < ↑t.card
h₁ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
h₂ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, (f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card)) / ↑s.card) ^ 2
⊢ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2 + ↑s.card / ↑t.card * x ^ 2 ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) / ↑t.card
G : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup G
TopologicalSpace G
OrderTopology G
Archimedean G
S : AddSubgroup G
⊢ Dense ↑S ∨ ∃ a, S = AddSubgroup.closure {a}
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
c : C
cS : c ∈ S.objs
⊢ (S.vertexSubgroup cS).Normal
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
i j : ι
hi : e.f i = i'
hj : e.f j = j'
⊢ (K.extend e).d i' j' = (K.extendXIso e hi).hom ≫ K.d i j ≫ (K.extendXIso e hj).inv
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
⊢ IsRelPrime (p ^ i p) (∏ p' ∈ s, p' ^ i p')
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ (PartialHomeomorph.refl X).prod (PartialHomeomorph.refl Y) = PartialHomeomorph.refl (X × Y)
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
⊢ φ.comp ↑σ.symm = φ ∨ ComplexEmbedding.conjugate (φ.comp ↑σ.symm) = φ ↔ σ = 1 ∨ ComplexEmbedding.IsConj φ σ
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace ℝ F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup G
BorelSpace G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup P
NormedSpace 𝕜 P
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddLeftInvariant
μ.IsNegInvariant
L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ Set.univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => MeasureTheory.convolution (g q.1) f L μ q.2) (s ×ˢ Set.univ)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₁ → R
hg : g 0 = 0
φ : MvPolynomial σ S₁
⊢ (∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m ((map f) (mapRange g hg φ)) = coeff m φ) ↔ ∀ (d : σ →₀ ℕ), f (g (coeff d φ)) = coeff d φ
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α 0
p : (j : Fin n) → α (succAbove 0 j)
j : Fin n
⊢ p j = removeNth 0 (cons x fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) j
M : Type u_5
N : Type u_6
M' : Type u_8
N' : Type u_9
Mul M
Mul N
Mul M'
Mul N'
f : M →ₙ* M'
g : N →ₙ* N'
⊢ ⇑(f.prodMap g) = Prod.map ⇑f ⇑g
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ (1 + z).arg ∈ Set.Ioo (-(Real.pi / 2)) (Real.pi / 2)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π
⊢ p₁ ≠ p₂
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
r : R
n : ℕ
⊢ ∀ b ∈ Finset.range (n + 1), b ≠ 0 → ↑p ^ b * (teichmullerFun p r).coeff b ^ p ^ (n - b) = 0
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
a b : α
hab : a ≤ b
f : α → δ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
⊢ Set.Ico (f b) (f a) ⊆ f '' Set.Ioc a b
α : Type u
β : Type v
Add α
Add β
f : α → β
hf : IsAddHom f
⊢ IsMulHom f
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a + star a = ↑(2 * a.re)
⊢ @AlgebraicGeometry.QuasiSeparated = CategoryTheory.MorphismProperty.diagonal @AlgebraicGeometry.QuasiCompact
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c x : P
R : ℝ
⊢ c = EuclideanGeometry.inversion c R x ↔ x = c ∨ R = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
F G : Filter α
f : α → β
h : Disjoint (Filter.map f F) (Filter.map f G)
⊢ Disjoint F G
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ w x y : K
hxy : x ≤ y
z : K
⊢ z + x ≤ z + y
ι : Type u_1
R : Type u_5
One R
AddRightCancelMonoid R
f : ι → R
⊢ Function.mulSupport (f + 1) = Function.support f
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
SeminormedAddCommGroup W₁
SeminormedAddCommGroup W₂
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
hf : ψ.comp f₁ = f₂.comp φ
hg : ψ.comp g₁ = g₂.comp φ
hφ : φ.NormNoninc
⊢ (NormedAddGroupHom.Equalizer.map φ ψ hf hg).NormNoninc
α : Type u_1
β : Type u_2
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain (α × β)
⊢ (OmegaCompletePartialOrder.ωSup c).1 = OmegaCompletePartialOrder.ωSup (c.map OrderHom.fst)
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft W g)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Y)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X g)
α : Type u_1
β : Type u_2
Finite β
Nonempty α
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
f : β → α
⊢ BddBelow (Set.range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
TopologicalSpace γ
T2Space γ
f : α → γ
g : β → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ (x : α), g (i x) = f x
hg : Continuous g
⊢ di.extend f = g
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a
⊢ 1 < a
α : Type u
a : α
s t : Set α
x : Prop
⊢ x = True ∨ x = False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
c c' : γ
⊢ ¬(SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).Adj (Sum3.in₂ c) (Sum3.in₂ c')
a b✝ c d m n : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
hz : b ≤ z
⊢ (z + 1).inductionOn' b H0 Hs Hp = Hs z hz (z.inductionOn' b H0 Hs Hp)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f g : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h1 : g.Separable
m : ℕ
h2 : (expand F (q ^ m)) g = f
⊢ f.natSepDegree = g.natDegree
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : ↑(TopCat.of { p // f p.1 = g p.2 })
⊢ (TopCat.pullbackSnd f g) x = (↑x).2
m n : ℕ
h : m ∈ n.properDivisors
⊢ 1 < n
x : ZFSet
h : x.Nonempty
⊢ ↑(⋂₀ x) = ⋂₀ ↑x
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
⊢ AddMonoidHom.range 0 = ⊥
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : c ≤ 0
hf : Submartingale f ℱ μ
⊢ Supermartingale (c • f) ℱ μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
o : CategoryTheory.Limits.IsZero Y
f : X ⟶ Y
⊢ f = 0
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
x y : Mˣ
h₁ : x ∈ S.units
h₂ : y ∈ S.units
⊢ x * y ∈ S.units
b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x y : ℕ
⊢ b * x / b * (d * y / d) = b * x * (d * y) / (b * d)
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph X
f : V → W
g : W → X
⊢ SimpleGraph.comap f (SimpleGraph.comap g G) = SimpleGraph.comap (g ∘ f) G
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J × K ⥤ C
inst✝³ : HasLimitsOfShape J C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : Small.{v, u₁} J
inst✝ : Small.{v, u₂} K
F : J × K ⥤ Type v
j : J
k : K
f : (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim).obj k
⊢ limit.π (curry.obj F ⋙ colim) j (limit.lift (curry.obj F ⋙ colim) { pt := colimit (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim), π := { app := fun j => colimit.desc (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) { pt := colimit ((curry.obj F).obj j), ι := { app := fun k => limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j ≫ colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k, naturality := ⋯ } }, naturality := ⋯ } } (colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) k f)) = colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k (limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j f)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
x y : M
⊢ Setoid.r x y ↔ x - y ∈ p
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f g : Ω →ᵇ ℝ≥0
le_dist : ∀ (ω : Ω), dist (f ω) (g ω) ≤ ↑(nndist f g)
ω : Ω
le' : f ω ≤ g ω + nndist f g
le : ↑(f ω) ≤ ↑(g ω) + ↑(nndist f g)
⊢ (fun a => ↑(f a)) ω ≤ (fun a => ↑(g a) + edist f g) ω
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
hs✝ : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
inst✝ : DecidableEq ι
i✝ i : ι
h✝ : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y
ih : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → ∀ (a : α y), Acc (DFinsupp.Lex r s) (single y a)
a✝ a : α i
ha : ∀ (y : α i), s i y a → (fun x => Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i x)) y
x : Π₀ (i : ι), α i
k : ι
hr : ∀ (j : ι), r j k → x j = (single i a) j
hs : s k (x k) ((single i a) k)
⊢ Acc (DFinsupp.Lex r s) x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
h : α.IsNonZero
e : (-α).IsZero
⊢ α.IsZero
T z✝¹ z✝ : ℝ
⊢ (↑z✝¹ + ↑z✝).toCircle = toCircle ↑z✝¹ * toCircle ↑z✝
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ι a b, |x - a| ^ n = |b - a| ^ (n + 1) / (↑n + 1)
n : ℕ
au : Additive ℤˣ
⊢ ↑n • au = n • au
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
CategoryTheory.Limits.HasWidePushout B objs arrows
X : C
g1 g2 : CategoryTheory.Limits.widePushout B objs arrows ⟶ X
⊢ (∀ (j : J), CategoryTheory.Limits.WidePushout.ι arrows j ≫ g1 = CategoryTheory.Limits.WidePushout.ι arrows j ≫ g2) →
  CategoryTheory.Limits.WidePushout.head arrows ≫ g1 = CategoryTheory.Limits.WidePushout.head arrows ≫ g2 → g1 = g2
R : Type u_1
Mul R
c : R
self : IsRegular c
⊢ IsLeftRegular c