ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
x y z : ℝ
⊢ sinh x < 0 ↔ x < 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
m : ι → MeasurableSpace Ω
h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndep m' hm' m μ
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' (m i) (m j) hm' μ
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
s : Set α
a : α
h : f.IsCycleOn s
ha : a ∈ s
⊢ (Set.range fun n => (f ^ n) a) = s
G : Type u_2
Group G
x : Gᵐᵒᵖ
S : Subgroup G
⊢ x ∈ S.op ↔ MulOpposite.unop x ∈ S
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
z w : ℂ
⊢ ⟪Complex.orientation.rightAngleRotation z, w⟫_ℝ = ⟪I * z, w⟫_ℝ
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : C(X, E)
s : ι → Compacts X
hf : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal
i : ι
⊢ ‖∫ (x : X) in ↑(s i), ‖f x‖ ∂μ‖ ≤ ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
NormedAddCommGroup F₄
NormedSpace 𝕜 F₄
n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₃
f : M → F₂ →L[𝕜] F₄
x : M
hg : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₃) n g x
hf : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₄) n f x
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F₁ × F₂ →L[𝕜] F₃ × F₄) n (fun x => (g x).prodMap (f x)) x
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f g : α → α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ f ∘ g ⁻¹' s = s
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : β → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct fun b => G.obj (f b)
b : β
⊢ CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (fun b => G.obj (f b)) b ≫ CategoryTheory.Limits.sigmaComparison G f =
  G.map (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
P' : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P'
h : ∀ ⦃X : C⦄, P X → P' X
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.fullMonoidalSubcategory.map h).ε =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (𝟙_ (CategoryTheory.FullSubcategory P'))
n m : Nat
⊢ n ≤ m → n < m + 1
R✝ : Type u
M : Type v
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R✝ M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝⁷ : StrongRankCondition R✝
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : IsDomain S
inst✝² : Algebra R S
n : Type u_3
m : Type u_4
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
b : Basis n R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
c : Basis m R ↥I
a : ↥I
ha : a ≠ 0
⊢ Fintype.card m = Fintype.card n
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ K = (fun x => g⁻¹ * (g * x)) '' K
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s : Set β
⊢ ContinuousWithinAt f s b ↔ Filter.Tendsto (fun x => (f x, f b)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : PositiveCompacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ 0 < sInf (Finset.card '' {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V})
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u : U
⊢ (Function.support fun g' => A ((B.coeff g') u)) ⊆ Function.support ((of R).symm (B u)).coeff
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g a : α → ℝ≥0∞
tsum_ne_top : ∑' (i : α), a i ≠ ⊤
j : α
⊢ a j < ⊤
self : YoungDiagram
⊢ IsLowerSet ↑self.cells
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
hx₀ : x₀ ∈ s
⊢ ∑ i ∈ ρ.finsupport x₀, (ρ i) x₀ = 1
z : ℂ
⊢ Complex.sin z = ∑' (n : ℕ), (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)!
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ √x * √x = x
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S : Set F
p : F
hp : p ∈ Ring.closure S
q : F
hq : q ∈ Ring.closure S
ha : p / q ∈ closure S
r : F
hr : r ∈ Ring.closure S
s : F
hs : s ∈ Ring.closure S
hb : r / s ∈ closure S
hq0 : ¬q = 0
hs0 : ¬s = 0
⊢ p / q + r / s ∈ closure S
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ eLpNorm' f_lim p μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop
C₁ : Type u_2
D₁ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_2} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_5} D₁
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₁.IsLocalization W₁
X Y : C₁
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
⊢ (CategoryTheory.LocalizerMorphism.id W₁).homMap L₁ L₁ f = f
α : Type u_1
x y : α
z z' : Sym2 α
h : x ≠ y
h1 : x ∈ z
h2 : y ∈ z
h3 : x ∈ z'
h4 : y ∈ z'
⊢ z = z'
this : Tendsto (fun s => riemannZeta s - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (riemannZeta 1))
⊢ riemannZeta 1 = (↑γ - Complex.log (4 * ↑π)) / 2
x : ℝ
hx : x ≠ 0
p : ℝ
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ vectorSpan k (p '' s) = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p i) '' (p '' (s \ {i})))
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
f : A ⟶ I
⊢ IsIso f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
ConnectedSpace X
Nontrivial X
T1Space X
⊢ Infinite X
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
v : V
⊢ AffineIndependent k (v +ᵥ p) ↔ AffineIndependent k p
n : ℕ
⊢ n# ≤ 4 ^ n
A : Type u_4
M₁ : Type u_5
SetLike A M₁
Zero M₁
hA : ZeroMemClass A M₁
S' : A
x : ↥S'
⊢ ↑x = 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
a : α
⊢ ∅ ⊂ {a}
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
j42n : 4 * n - j ≤ 2 * n
⊢ xn a1 j ≡ xn a1 (4 * n - j) [MOD xn a1 n]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C
⊢ (HomologicalComplex.singleObjOpcyclesSelfIso c j A).hom =
  (HomologicalComplex.singleObjXSelf c j A).inv ≫ ((HomologicalComplex.single C c j).obj A).pOpcycles j
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
f : V → E
hf_int : MeasureTheory.Integrable f MeasureTheory.volume
hvf_int : MeasureTheory.Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) MeasureTheory.volume
x : V
⊢ HasFDerivAt (𝓕 f) (𝓕 (VectorFourier.fourierSMulRight (innerSL ℝ) f) x) x
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor D C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : G.obj A ⟶ X
v : G.obj B ⟶ Y
sq : CategoryTheory.CommSq u (G.map i) p v
adj : G ⊣ F
⊢ CategoryTheory.CommSq ((adj.homEquiv A X) u) i (F.map p) ((adj.homEquiv B Y) v)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₂ : 𝕜 → F
⊢ ContDiff 𝕜 1 f₂ ↔ Differentiable 𝕜 f₂ ∧ Continuous (deriv f₂)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
A B : Matrix n n R
⊢ (toLinAlgEquiv v₁) (A * B) = (toLinAlgEquiv v₁) A ∘ₗ (toLinAlgEquiv v₁) B
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
NonUnitalSemiring R
NonUnitalSemiring S
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
x : R
hx : IsQuasiregular x
⊢ IsQuasiregular (f x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
s : Set E
hf : CPolynomialOn 𝕜 f s
hg : CPolynomialOn 𝕜 g s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (f + g) s
k : Type u
inst✝ : Field k
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : Step k m
⊢ AlgebraicClosure.toStepOfLE' k m n.succ ⋯ x = (⇑(toStepSucc k n) ∘ AlgebraicClosure.toStepOfLE' k m n h) x
xs : List Int
⊢ xs.minNatAbs = 0 ↔ ∀ (y : Int), y ∈ xs → y = 0
α : Type u_1
DistribLattice α
a : α
⊢ Function.Injective fun b => Set.uIcc b a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ s' s : WSeq α
h : (map ret s).join = s'
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => (map ret s2).join = s1) (map ret s).join.destruct s.destruct
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
(CategoryTheory.constantSheaf J A).Faithful
(CategoryTheory.constantSheaf J A).Full
t : C
ht : CategoryTheory.Limits.IsTerminal t
F : CategoryTheory.Sheaf J A
⊢ CategoryTheory.Sheaf.IsDiscrete J ht F ↔ F ∈ (CategoryTheory.constantSheaf J A).essImage
B : Type u
F : Type v
E : B → Type w₁
B' : Type w₂
f✝ : B' → B
inst✝¹ : TopologicalSpace B'
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
f : B' → B
⊢ induced TotalSpace.proj inst✝¹ ⊓ induced (Pullback.lift f) inst✝ ≤ induced TotalSpace.proj inst✝¹
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ (F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯).hom.app X =
  (CategoryTheory.shiftFunctorAdd D m n).hom.app ((F.functor a'').obj X) ≫
    (CategoryTheory.shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app X
m n : ℕ
x y : ZMod n
⊢ (x + y).cast = (x.cast + y.cast) % ↑n
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n✝¹ n✝ x✝ : ℕ
h : x✝ = n✝¹.mul (10 ^ n✝)
⊢ ↑(↑(OfNat.ofNat n✝¹) * 10 ^ OfNat.ofNat n✝) = ↑n✝¹ * 10 ^ n✝
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]
⊢ I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f) =
  (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map Polynomial.C I)) f
a : ℤ
b : ℕ
inst✝ : NeZero b
⊢ 0 ∈ List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b.primeFactorsList ⋯ ↔ a.gcd ↑b ≠ 1
a b : Prop
Decidable a
Decidable b
h : ¬(a ↔ b)
⊢ a ∧ ¬b ∨ ¬a ∧ b
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ f * g
A : (fun x => (f x)⁻¹ * i x) ≤ g
⊢ ∫⁻ (a : α), i a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), (fun x => (f x)⁻¹ * i x) a ∂μ.withDensity f
k' : Cont
a✝¹ : Code
a✝ : Cont
k_ih : ∀ {v : List ℕ}, (a✝.then k').eval v = a✝.eval v >>= k'.eval
v : List ℕ
⊢ a✝¹.eval v >>= (a✝.then k').eval = a✝¹.eval v >>= fun x => a✝.eval x >>= k'.eval
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
⊢ FirstOrder.Language.LHom.sumInl.Injective
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
⊢ HomogeneousLocalization.mk 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≤] a
hfs : ∀ b < f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Set.Ico b (f a)
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Iic a) a
R : Type u_1
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a✝ b a : ℤ
⊢ ↑a = 0 ↔ ↑p ∣ a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A B✝ X X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A
I B : C
t : IsInitial I
inst✝ : CartesianClosed C
Z✝ : C
g h : Z✝ ⟶ I
x✝ : g ≫ t.to B = h ≫ t.to B
⊢ g = h
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
ha : a ≤ c
⊢ a ∆ b = c ↔ c \ a = b
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
⊢ ⋃ a ∈ s, a • ↑(upperClosure t) = ⋃ i ∈ s, ↑(i • upperClosure t)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
x : ℝ
s : ℂ
f : E
⊢ cexp (-↑x * (1 + (s - 1))) • f = cexp (-s * ↑x) • f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
hf : CPolynomialAt 𝕜 f x
hg : CPolynomialAt 𝕜 g x
⊢ CPolynomialAt 𝕜 (f + g) x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : π / 2 = π
heq : p1 = p2
⊢ False
X✝ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : UCompactlyGeneratedSpace X✝
X Y : CompactlyGenerated
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget CompactlyGenerated).obj X
⊢ ({ toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 X) x
R : Type u_10
Semiring R
⊢ (Basis.finTwoProd R) 0 = (1, 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t✝ : Set α
f : α → β → M
s : Finset α
t : Finset β
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s) (j : β) (_ : j ∈ ↑t), f i j = ∏ᶠ (j : β) (_ : j ∈ ↑t) (i : α) (_ : i ∈ ↑s), f i j
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ p.mirror.trailingCoeff = p.leadingCoeff
G : Type u_1
inst✝¹³ : Group G
inst✝¹² : MeasurableSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁷ : Countable ↥Γ
inst✝⁶ : Γ.Normal
inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁴ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝³ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝² : ν.IsMulRightInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite ν
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
x : G ⧸ Γ
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
x₁ : G
h : ⟦x₁⟧ = x
⊢ (map (fun x_1 => x * x_1) μ) A = μ ((fun x => x₁ • x) ⁻¹' A)
x : ℝ
hx0 : x ≤ 0
hpx : -Real.pi ≤ x
⊢ Real.sin x ≤ 0
p : ℕ+
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
⊢ Prime hζ.subOneIntegralPowerBasis'.gen
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
hf₁ : 0 ≤ f₁
hf₂ : StrongLT 0 f₂
h₁ : Monovary f₁ g
h₂ : Antivary f₂ g
⊢ Monovary (f₁ / f₂) g
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : 1 < a
hb : 1 ≤ b
⊢ 1 < a * b
a b : ZNum
⊢ ↑(a.gcd b) = (↑a).gcd ↑b
𝕜 : Type u_1
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup D
NormedSpace ℝ D
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
K : ℝ≥0
g : D → E
hg : Function.HasTemperateGrowth g
h'g : AntilipschitzWith K g
f : SchwartzMap E F
⊢ ⇑((SchwartzMap.compCLMOfAntilipschitz 𝕜 hg h'g) f) = ⇑f ∘ g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.ShortExact
⊢ hS.singleTriangle.mor₂ = (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map S.g
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f✝ : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
N : Type ?u.1048911
N' : Type ?u.1048914
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S g
f : M →ₗ[R] LocalizedModule S M := mkLinearMap S M
⊢ iso S (mkLinearMap S M) = LinearEquiv.refl R (LocalizedModule S M)
ι : Type uι
inst✝⁷ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
this : Nonempty { a // a ∈ x.lifts } := nonempty_subtype.mpr (nonempty_lifts x)
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
hp✝ : p ∈ x.lifts
hp : (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p).sum = x
⊢ ∀ (a : 𝕜) (b : (i : ι) → E i), (a, b) ∈ p → ‖a • f fun i => b i‖ ≤ ‖f‖ * (‖a‖ * ∏ x : ι, ‖b x‖)
α : Type u_1
l : List α
i : Fin l.length
⊢ l.get i = l[↑i]
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a : α
ZeroLEOneClass α
PosMulMono α
MulPosMono α
h₀ : 0 ≤ a
h₁ : a ≤ 1
⊢ a ^ 2 ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u v : α → β
l : Filter α
h : u ~[l] v
⊢ v ~[l] u
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
a : R
⊢ (vandermonde fun i => v i + a).det = (vandermonde v).det
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u) ⊆ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : L
φ₁ φ₂ : R
h : φ₁ ≠ φ₂
⊢ Disjoint (weightSpaceOf M φ₁ x) (weightSpaceOf M φ₂ x)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : ℕ
hk : ε⁻¹ < ↑k
⊢ 0 < ↑p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z₁ z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
h : ∀ (p q : ℤ) (hpq : p + n = q), z₁.v p q hpq = z₂.v p q hpq
⊢ z₁ = z₂
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ l : List α✝
h : l₁ ++ l <+ l₂ ++ l
this : l₁ <+ l₂
⊢ l₁ <+ l₂
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
h0 : 0 ∈ s
f : C(↑s, 𝕜)
hf : f ∈ ↑(adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})
⊢ f ∈ ↑(RingHom.ker (evalStarAlgHom 𝕜 𝕜 ⟨0, h0⟩))
n : ℤ
z τ : ℂ
hns : ∀ (a : ℂ) (f : ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ), ‖a • f‖ = ‖a‖ * ‖f‖
⊢ ‖cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ * ‖(2 * ↑π * I * ↑n) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + (↑π * I * ↑n ^ 2) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ‖ ≤ ‖cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ * (2 * π * ↑|n| ^ 2 + 1 * π * ↑|n| ^ 2)
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => Real.arctan (f x)) (1 / (1 + f x ^ 2) * f') s x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
s t : Set α
l : Filter α
⊢ t ∈ l ⊓ 𝓟 s ↔ l ⊓ 𝓟 s ≤ l ⊓ 𝓟 t
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
w : Word G
hw : Reduced φ w
h : ofCoprodI w.prod ∈ (base φ).range
d : Transversal φ
w' : NormalWord d
hw'prod : w'.prod = ofCoprodI w.prod
hw'map : List.map Sigma.fst w'.toList = List.map Sigma.fst w.toList
⊢ w = Word.empty
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
f : α → M
a : α
h : s.mulIndicator f a ≠ 1
⊢ a ∈ s
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
n : ℕ
⊢ 1 < ↑n ↔ 1 < n
X✝ X : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toRingedSpace.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ ↑(X.toRingedSpace.basicOpen 0) ↔ x ∈ ↑⊥
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R
⊢ (∀ n > 0, ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f n
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
s : Set Y
⊢ f ⁻¹' coborder s ⊆ coborder (f ⁻¹' s)
α : Type u
s : Set α
⊢ Infinite ↑s ↔ s.Infinite
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
x : M × N
⊢ toProd (inl x.1 * inr x.2) = x
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : L₂ ⟶ L₁
d : D
this : L₂.map (adj₂.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app d)) ≫ adj₂.counit.app d = (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ adj₁.counit.app d
⊢ (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ adj₁.counit.app d = α.app (R₁.obj d) ≫ adj₁.counit.app d
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
g : M' → M''
s : Set M
hg : Smooth I' I'' g
hf : SmoothOn I I' f s
⊢ SmoothOn I I'' (g ∘ f) s
a b c : Prop
h : a → b
⊢ c ∧ a → c ∧ b
α : Type u_3
self : Denumerable α
n : ℕ
⊢ ∃ a ∈ Encodable.decode n, Encodable.encode a = n
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt g (Ici a) a
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioi a, 0 ≤ g' x
hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)
hcont : ContinuousOn g (Ici a)
⊢ (fun x => g x - g a) =ᶠ[atTop] fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, ‖g' x‖
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
E : Type u_5
TopologicalSpace E
TopologicalSpace.MetrizableSpace E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ MeasurableSet {x | f x = g x}
ι : Type u_1
M : Type u_2
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
s : Multiset (ι →₀ M)
hs : Multiset.Pairwise (Disjoint on Finsupp.support) s
⊢ s.sum.support = (Multiset.map Finsupp.support s).sup
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a₁ b₁ a₂ b₂ : CauSeq α abs
ha : a₁ ≈ a₂
hb : b₁ ≈ b₂
⊢ a₁ ⊓ b₁ ≈ a₂ ⊓ b₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => 0
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
inst✝ : (j : Fin (n + 1)) → Group (α j)
i : Fin (n + 1)
x y : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
⊢ i.insertNth x p / i.insertNth y p = Pi.mulSingle i (x / y)
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq α
a : α
x : β
s : Finset α
⊢ ∏ a' ∈ s, Pi.mulSingle a x a' = if a ∈ s then x else 1