ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivAtFilter (A i) (A' i) x L
⊢ HasFDerivAtFilter (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x L
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M✝ : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
M : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousMul R
inst✝ : ContinuousSMul R M
x✝ : ι → R
⊢ (ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι 0) x✝ = 0 x✝
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
hx : x ≠ 0
h : f.smulRight x = 0
⊢ f = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_3
Countable ι
LinearOrder ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
⊢ essSup (fun x => Filter.liminf (fun n => f n x) Filter.atTop) μ ≤
  Filter.liminf (fun n => essSup (fun x => f n x) μ) Filter.atTop
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}
t₁ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₂, p₄], independent := ⋯ }
t₂ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₃, p₄], independent := ⋯ }
⊢ p₂ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₁).center (Affine.Simplex.circumsphere t₁).radius
G : Type u_1
X : Type u_2
Group G
MulAction G X
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
T2Space X
FirstCountableTopology X
DiscreteTopology G
ContinuousConstSMul G X
⊢ ProperlyDiscontinuousSMul G X ↔ ProperSMul G X
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
o : ℕ
pn : p.natDegree ≤ n
mno : m * n ≤ o
⊢ (p ^ m).coeff o = if o = m * n then p.coeff n ^ m else 0
α : Type u_1
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ConditionallyCompleteLattice α
f : ι → α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasBasis p s
i : ι'
hi : p i
h'i : s i = ∅
⊢ Filter.liminf f v = sSup Set.univ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Subsingleton B
⊢ ∃ a, b ≡ (algebraMap A B) a [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
α : Type u_1
β : α → Type u_2
w : WType β
⊢ WType.ofSigma w.toSigma = w
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
b c : α
⊢ ∃! m, b - m • a ∈ Set.Ioc c (c + a)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
⊢ Setoid.r s t ↔ h.finpartition.part s = h.finpartition.part t
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
s : Set α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ edist x y ≤ EMetric.diam s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
m' : MeasurableSpace α
left✝¹ : CountablyGenerated α
left✝ : SeparatesPoints α
m'le : m' ≤ inst✝¹
⊢ ∃ f, Measurable f ∧ Injective f
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : ProjectiveResolution X
⊢ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app ((projectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (G.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).obj ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex)) = (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).obj ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex)) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (closedBall 0 r)
hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
R : ℝ
f : ℕ → E
Rgt : 1 < R
fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R
lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
rRpos : 0 < r / R
⊢ False
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0
h1 : √π ≠ 0
h2 : Gamma (s / 2) ≠ 0
⊢ (log ∘ doublingGamma) s = (fun s => log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + s * log 2 - log (2 * √π)) s
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : #K ≤ ℵ₀
⊢ #K ≤ Module.rank K (ℕ → K)
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ Z₁ Z₂ : C
⊢ (α_ ((X₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₁ ⊗ Y₂) Z₁ Z₂).inv ≫ (α_ X₁ X₂ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ▷ Z₁ ▷ Z₂ ≫ (α_ X₁ (X₂ ⊗ Y₁ ⊗ Y₂) Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ (α_ X₁ ((X₂ ⊗ Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ Z₁) Z₂).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ Y₁ Y₂).inv ▷ Z₁ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ Y₁).hom ▷ Y₂ ▷ Z₁ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ X₂ Y₂).hom ▷ Z₁ ▷ Z₂ ≫ (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂ ⊗ Y₂) ⊗ Z₁) Z₂).inv ≫ (α_ X₁ (Y₁ ⊗ X₂ ⊗ Y₂) Z₁).inv ▷ Z₂ ≫ (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).inv ▷ Z₁ ▷ Z₂ ≫ (α_ ((X₁ ⊗ Y₁) ⊗ X₂ ⊗ Y₂) Z₁ Z₂).hom ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ ((X₂ ⊗ Y₂) ⊗ Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ (X₂ ⊗ Y₂) Z₁ Z₂).inv ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ X₂ Y₂ Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ X₂ (Y₂ ⊗ Z₁) Z₂).hom ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ X₂ ◁ (β_ Y₂ Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ X₂ (Z₁ ⊗ Y₂) Z₂).inv ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ X₂ Z₁ Y₂).inv ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (β_ X₂ Z₁).hom ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ Z₁ X₂ Y₂).hom ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ Z₁ (X₂ ⊗ Y₂) Z₂).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ (Z₁ ⊗ (X₂ ⊗ Y₂) ⊗ Z₂)).inv ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) Z₁ ((X₂ ⊗ Y₂) ⊗ Z₂)).inv ≫ ((α_ X₁ Y₁ Z₁).hom ⊗ (α_ X₂ Y₂ Z₂).hom) = (α_ (X₁ ⊗ X₂) (Y₁ ⊗ Y₂) (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ (α_ X₁ X₂ ((Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ X₁ ◁ X₂ ◁ (α_ Y₁ Y₂ (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ X₁ ◁ X₂ ◁ Y₁ ◁ (α_ Y₂ Z₁ Z₂).inv ≫ X₁ ◁ X₂ ◁ Y₁ ◁ (β_ Y₂ Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ X₂ ◁ Y₁ ◁ (α_ Z₁ Y₂ Z₂).hom ≫ X₁ ◁ X₂ ◁ (α_ Y₁ Z₁ (Y₂ ⊗ Z₂)).inv ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (Y₁ ⊗ Z₁) (Y₂ ⊗ Z₂)).inv ≫ X₁ ◁ (α_ (X₂ ⊗ Y₁ ⊗ Z₁) Y₂ Z₂).inv ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ Y₁ Z₁).inv ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ Y₁).hom ▷ Z₁ ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ X₂ Z₁).hom ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ (X₂ ⊗ Z₁) Y₂).hom ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ ((X₂ ⊗ Z₁) ⊗ Y₂) Z₂).hom ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (β_ X₂ Z₁).hom ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ ((Z₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) Z₂).inv ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ (Z₁ ⊗ X₂) Y₂).inv ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ Z₁ X₂).inv ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ ((Y₁ ⊗ Z₁) ⊗ X₂) Y₂ Z₂).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (Y₁ ⊗ Z₁) X₂ (Y₂ ⊗ Z₂)).hom ≫ (α_ X₁ (Y₁ ⊗ Z₁) (X₂ ⊗ Y₂ ⊗ Z₂)).inv
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b x : α
h : IsCompl x ⊥
⊢ x = ⊤
R : Type u_1
Ring R
Fintype R
DecidableEq R
h : Fintype.card R ≤ 3
⊢ Finset.univ = {0, 1, -1}
M : Type u_1
Mul M
Pow M ℕ+
PNatPowAssoc M
x : M
⊢ x ^ 1 = x
α : Type u_1
b : α
LT α
x : WithBot α
⊢ x < ↑b ↔ ∀ (a : α), x = ↑a → a < b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (CommMon_.equivLaxBraidedFunctorPUnit C).counitIso = CommMon_.EquivLaxBraidedFunctorPUnit.counitIso C
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s t : Set E
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
st : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 t x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h h' : IsAdjoinRoot S f
eq : h.root = h'.root
x : R[X]
⊢ h.map x = h'.map x
X : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
TopologicalSpace X
CommSemiring S
CommSemiring R
Algebra S R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
StarRing R
ContinuousStar R
x : X
f : C(X, R)
⊢ (ContinuousMap.evalStarAlgHom S R x) f = f x
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
⊢ σ.partition.parts = σ.cycleType + Multiset.replicate (Fintype.card α - σ.support.card) 1
a b c d m✝ n✝ m n k i : ℤ
H : m % n = k % n
⊢ (m + i) % n = (k + i) % n
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝¹ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b c a : α
h : 1 ≤ a
⊢ (mabs a)⁻¹ ≤ a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) ((ι Q) m * x)).2 = (f m) (x, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2)
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : BarrelledSpace 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
bdd : BddAbove (range p)
⊢ LowerSemicontinuous ⇑(⨆ i, p i)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ ¬eval (n - (ν - 1)) (ascPochhammer ℕ ν) = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : InfTopHom α β
hf : ∀ (s : Set α), f.toFun (sSup s) = sSup (f.toFun '' s)
⊢ ⇑{ toInfTopHom := f, map_sSup' := hf } = ⇑f
K : Type u_1
RCLike K
r s : ℝ
⊢ ↑(r / s) = ↑r / ↑s
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hk : 1 < k
⊢ (1 - ζ) * ∑ i ∈ range k, ζ ^ i = 0
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
v : ι ⊕ ι' → M
⊢ LinearIndependent R v ↔
  LinearIndependent R (v ∘ Sum.inl) ∧
    LinearIndependent R (v ∘ Sum.inr) ∧
      Disjoint (Submodule.span R (Set.range (v ∘ Sum.inl))) (Submodule.span R (Set.range (v ∘ Sum.inr)))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ ∀ (f : R[X]), f.natDegree < 1 → divX_hom f = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
⊢ Function.Injective MonoidWithZeroHom.toMonoidHom
C : ℕ → Sort u_1
h0 : C 0
h : (n : ℕ) → C n → C (n + 1)
⊢ Nat.rec h0 h 1 = h 0 h0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
hikl : k + l ≤ i
h1 : l ≤ i
h2 : k ≤ i - l
h3 : k ≤ k + l
⊢ ↑(i - l)! / (↑k ! * ↑(i - l - k)!) * (↑i ! / (↑l ! * ↑(i - l)!)) = ↑(k + l)! / (↑k ! * ↑(k + l - k)!) * (↑i ! / (↑(k + l)! * ↑(i - l - k)!))
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.range (LinearMap.inl R M M₂) = LinearMap.ker (LinearMap.snd R M M₂)
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁷ : HasZeroObject C
inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁵ : Preadditive C
inst✝¹⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹³ : Pretriangulated C
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹¹ : HasZeroObject D
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁷ : Pretriangulated D
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_3} A
inst✝⁵ : Abelian A
F✝ : C ⥤ A
inst✝⁴ : F✝.IsHomological
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.CommShift ℤ
inst✝² : L.IsTriangulated
inst✝¹ : L.mapArrow.EssSurj
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
inst✝ : G.IsHomological
this : F.PreservesZeroMorphisms
⊢ F.IsHomological
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid M
inst✝¹ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)
hf₂ : ∀ (b : β), v.restrict (f b) ≤ w.restrict (f b)
val✝ : Encodable β
⊢ v.restrict (⋃ i, ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b) ≤ w.restrict (⋃ i, ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b)
α : Type u_1
AddGroup α
s t : AddSubgroup α
H : AddSubgroup α
h : s ≤ t
g : ↥s
⊢ (AddSubgroup.quotientAddSubgroupOfEmbeddingOfLE H h) ↑g = ↑((AddSubgroup.inclusion h) g)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : Inducing g
h : Inducing (g ∘ f)
⊢ Inducing f
N : ℕ
NeZero N
j : ℤ
⊢ ZMod.stdAddChar ↑j = cexp (2 * ↑π * Complex.I * ↑j / ↑N)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℤ := modPart p r
⊢ ‖⟨↑r, h⟩ - ↑(modPart p r)‖ < 1
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
Zero β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable (s.indicator f) μ ↔ AEMeasurable f (μ.restrict s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : F.NeBot
t : R
ht : ∀ (a : R), (∀ᶠ (x : R) in F, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) t a
tbot : ¬IsBot t
⊢ ∃ l, ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
X : Type u_3
Y : Type u_4
MeasurableSpace X
StandardBorelSpace X
TopologicalSpace Y
T0Space Y
MeasurableSpace Y
OpensMeasurableSpace Y
SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Measurable f
hsurj : Function.Surjective f
⊢ BorelSpace Y
x : EReal
⊢ -x = 0 ↔ x = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
i j : ι
⊢ (HomologicalComplex.homotopyCofiber.inrCompHomotopy φ hc).hom i j ≫
    (HomologicalComplex.homotopyCofiber.desc φ α hα).f j =
  hα.hom i j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedDivisionRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
⊢ ∀ (x : P), (DilationEquiv.smulTorsor c hk).symm x = (k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c) x
σ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝² : Applicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α : Type u_1
β γ : Type u
g : α → G β
f : β → γ
x : σ ⊕ α
⊢ (fun x => f <$> x) <$> Sum.traverse g x = Sum.traverse (fun x => f <$> g x) x
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
p : Submodule R N
h : ∀ (v : ι → M), f v ∈ p
v : (i : ι) → (fun x => M) i
⊢ ↑((f.codRestrict p h) v) = f v
x : Int
n : Nat
⊢ (x - ↑n).bmod n = x.bmod n
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Div G
ContinuousDiv G
TopologicalSpace α
f g : α → G
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
⊢ ContinuousOn (fun x => f x / g x) s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ ((κ.withDensity (f + g)) a) s✝ = ((κ.withDensity f + κ.withDensity g) a) s✝
σ : Type u_1
Fintype σ
DecidableEq σ
R : Type u_2
CommRing R
k : ℕ
⊢ ∑ a ∈ Finset.filter (fun a => a.1 < k) (Finset.antidiagonal k),
    (-1) ^ a.1 * MvPolynomial.esymm σ R a.1 * MvPolynomial.psum σ R a.2 =
  ∑ t ∈ Finset.filter (fun t => t.1.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k),
    MvPolynomial.NewtonIdentities.weight σ R k t
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
⊢ IsPrimitiveRoot ζ⁻¹ k → IsPrimitiveRoot ζ k
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : α → ι
g : (↥(MulAction.stabilizer (Equiv.Perm α)ᵈᵐᵃ f))ᵐᵒᵖ
a : α
i : ι
h : f a = i
⊢ ↑(((DomMulAct.stabilizerMulEquiv f) g i) ⟨a, h⟩) = (DomMulAct.mk.symm ↑(MulOpposite.unop g)) a
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
N : Set α
f : α → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hN : μ N = 0
⊢ ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
LE α
a : WithBot α
⊢ a ≤ ⊥ ↔ a = ⊥
x : ℝ
hx : x ≤ -1
⊢ Real.arcsin x = -(π / 2)
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
DivisionCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
n : ℕ
hf : IsMulFreimanHom n A B f
⊢ IsMulFreimanHom n A B⁻¹ f⁻¹
ι : Type u_1
Fintype ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
DecidableEq ι
f : Module.End R M
I : Ideal R
hI : LinearMap.range f ≤ I • ⊤
⊢ ∃ M_1, (Matrix.isRepresentation.toEnd R b hb) M_1 = f ∧ ∀ (i j : ι), ↑M_1 i j ∈ I
α : Type u
Inhabited α
l l' : List α
n : ℕ
h : l.length ≤ n
⊢ (l ++ l').getI n = l'.getI (n - l.length)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
F_obj : C → D
e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)
he : ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y), (e X Y') (h ≫ g) = (e X Y) h ≫ G.map g
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
this : ∀ {X : C} {Y Y' : D} (f : X ⟶ G.obj Y) (g : Y ⟶ Y'), (e X Y').symm (f ≫ G.map g) = (e X Y).symm f ≫ g
⊢ (e X' Y).symm (f ≫ g) = (leftAdjointOfEquiv e he).map f ≫ (e X Y).symm g
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
⊢ l ×ˢ [] = []
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
x : ℕ
hx : x ≤ 2 * n
h2x : 2 * n < 3 * x
⊢ x ^ n.centralBinom.factorization x = 1
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
⊢ ∃ k, (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) t)) = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : ↑n ≤ multiplicity J I
hI : ¬I = ⊥
⊢ J ^ n ⊔ I = J ^ n
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
ι : Sort u_4
p : ι → Submonoid M
⊢ ⨆ i, p i = closure (⋃ i, ↑(p i))
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
f : β → α
hf : Cauchy (Filter.map f Filter.cofinite)
⊢ Bornology.IsBounded (Set.range f)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a₁ a₂ a₃ : ℝ
h : a₂ ∈ Icc a₁ a₃
this : {x | x ≤ a₂} ∩ Ioc a₁ a₃ = Ioc a₁ a₂
⊢ ∫ (x : ℝ) in a₁..a₃, {x | x ≤ a₂}.indicator f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a₁..a₂, f x ∂μ
α : Type u_1
F : Type u_3
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m0
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : F
⊢ MeasureTheory.indicatorConstLp p ⋯ hμs c ∈ MeasureTheory.lpMeas F 𝕜 m p μ
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
σR : Type u_1
σS : Type u_2
SetLike σR R
SetLike σS S
SubsemiringClass σR R
SubsemiringClass σS S
f : R →+* S
s' : σR
s : σS
h : ∀ x ∈ s', f x ∈ s
⊢ (SubsemiringClass.subtype s).comp (f.restrict s' s h) = f.comp (SubsemiringClass.subtype s')
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : V1 →ᵃ[k] V2
x : V1
⊢ f x = (⇑f.linear + fun x => f 0) x
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s✝ : Rel β β
s : RelSeries r
x : α
irrefl : Irreflexive r
h : s.length ≠ 0
rid : s.toFun 0 = s.toFun 1
⊢ r (s.toFun 0) (s.toFun 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
h₀ : LinearIndependent 𝕜 f
⊢ gramSchmidt 𝕜 f n ≠ 0
α : Sort u
f : α → α
h : Function.Involutive f
P : Prop
Decidable P
x : α
⊢ f (if P then x else f x) = if ¬P then x else f x
c a b : Prop
h : ¬c → (a ↔ b)
⊢ a ∨ c ↔ b ∨ c
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
this : ∀ (e : ℕ), ∃ n, ∀ (p q : ℕ), n ≤ p → n ≤ q → ∃ L ∈ K, x ∈ A f L ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f L ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
⊢ x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
μ' : Measure α := ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
h₁ : μ'.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv (ν.withDensity f)
h₂ : μ.rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] μ'.rnDeriv ν
⊢ μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x
α : Type u_3
op : α → α → α
assoc : Std.Associative op
s : Multiset α
a : α
h : {x | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise fun x y => op x y = op y x
h' : {x | x ∈ s}.Pairwise fun x y => op x y = op y x
x : α
⊢ Multiset.noncommFold op (a ::ₘ s) h x = op a (Multiset.noncommFold op s h' x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing E
StarRing E
NormedStarGroup E
NormedSpace 𝕜 E
IsScalarTower 𝕜 E E
SMulCommClass 𝕜 E E
RegularNormedAlgebra 𝕜 E
a : E
⊢ ‖(ContinuousLinearMap.mul 𝕜 E).flip a‖ = ‖a‖
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
as : Array α
⊢ as.contains a = true ↔ a ∈ as
a b : UnitAddCircle
this : ∀ (s : ℂ), completedHurwitzZetaEven a s - completedHurwitzZetaEven b s = completedHurwitzZetaEven₀ a s - completedHurwitzZetaEven₀ b s - ((if a = 0 then 1 else 0) - if b = 0 then 1 else 0) / s
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven a s - completedHurwitzZetaEven b s) 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬Irreducible W.polynomial
f g : R[X]
h0 : 3 = f.degree + g.degree
h1 : { a := 0, b := 0, c := W.a₁, d := W.a₃ }.toPoly.degree = (f + g).degree
⊢ False
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
x : F
s : Set F
c : 𝕜
⊢ HasGradientWithinAt (fun x => c) 0 s x