ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
h : ∀ x ∈ s, ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source
x : X
hx✝ : x ∈ s
e : PartialHomeomorph X Y
hx : x ∈ e.source
he : Set.EqOn f (↑e) e.source
⊢ ∃ e, x ∈ e.source ∧ f = ↑e
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Path v u
h : G.Adj u v
he : s(u, v) ∉ (↑p).edges
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h ↑p).IsCycle
R : Type u
Ring R
I : Ideal R
⊢ I.jacobson = ⊤ ↔ I = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
Norm E
Norm F
Norm G
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
l : Filter α
hfg : f =o[l] g
hgk : Asymptotics.IsBigOWith c l g k
hc : 0 < c
⊢ f =o[l] k
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
f : α → β
u : Set ↑t
⊢ t.restrictPreimage f ⁻¹' u = (fun a => f ↑a) ⁻¹' (Subtype.val '' u)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X A B : C
f : A ⟶ X
g : B ⟶ X
a : ↑(F.obj A)
b : ↑(F.obj B)
h : F.map f a = F.map g b
⊢ F.map (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g)
    ((CategoryTheory.PreGaloisCategory.fiberPullbackEquiv F f g).symm ⟨(a, b), h⟩) =
  b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x : E
hs : ball 0 r ⊆ s
⊢ r * gauge s x ≤ ‖x‖
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
g : B →+* C
hg : (g.comp f).FinitePresentation
hf : f.FiniteType
ins1 : Algebra A B := f.toAlgebra
ins2 : Algebra B C := g.toAlgebra
ins3 : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra
a : A
b : B
c : C
⊢ (a • b) • c = a • b • c
τ : Type u
⊢ Function.FromTypes ![] τ = τ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
x : α
IsAntisymm α r
P : α → Prop
⊢ x ∈ minimals r (setOf P) ↔ P x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, P y → r y x → x = y
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F₁ : Type u_3
F₂ : Type u_4
M : Type u_5
E₁ : B → Type u_6
E₂ : B → Type u_7
inst✝³⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³⁴ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝³³ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
inst✝³² : NormedAddCommGroup F₁
inst✝³¹ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝³⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
inst✝²⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝²⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝²⁷ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝²⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝²³ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
inst✝²² : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝²¹ : ∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜 (E₂ x)
EB : Type u_8
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_9
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁶ : ChartedSpace HB B
EM : Type u_10
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
inst✝¹⁰ : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝⁹ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁸ : VectorBundle 𝕜 F₁ E₁
inst✝⁷ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝⁶ : VectorBundle 𝕜 F₂ E₂
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁵ : SmoothVectorBundle F₁ E₁ IB
inst✝⁴ : SmoothVectorBundle F₂ E₂ IB
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁
inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂
inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'
h₁ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₁) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e₁' e₁ b)) (e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet)
h₂ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₂) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e₂ e₂' b)) (e₂.baseSet ∩ e₂'.baseSet)
⊢ SmoothOn IB 𝓘(𝕜, (F₁ →L[𝕜] F₂) →L[𝕜] F₁ →L[𝕜] F₂) (continuousLinearMapCoordChange (RingHom.id 𝕜) e₁ e₁' e₂ e₂') (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet))
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
x y : α ⊕ β
⊢ x.getLeft?.isSome = true ↔ x.isLeft = true
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
i : ι
xi : A i
⊢ ((mulHom A).flip ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one)) ((of A i) xi) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) xi)
R : Type u_1
Ring R
TopologicalSpace R
TopologicalRing R
c : R
n : ℕ
⊢ ContinuousLinearMap.smulRight 1 c ^ n = ContinuousLinearMap.smulRight 1 (c ^ n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x : E
⊢ ‖toSpanSingleton 𝕜 x‖ = ‖x‖
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
I : ↥(Ideal S)⁰
b : S
b_mem : b ∈ ↑I
b_ne_zero : b ≠ 0
min : ∀ (z : ℤ), (∃ b ∈ ↑I, b ≠ 0 ∧ abv ((Algebra.norm R) b) = z) → abv ((Algebra.norm R) b) ≤ z
c : S
hc : c ∈ ↑I
lt : abv ((Algebra.norm R) c) < abv ((Algebra.norm R) b)
⊢ c = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
eq : (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))
this : D.t i j ≫ D.t j i = (inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) ≫ 𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))) ≫ pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ a) (Prod.fst ⁻¹' s) = (κ a) {p | p.1 ∈ s}
c : Cardinal.{u_3}
i : (Quotient.out c.ord).α
⊢ #↑(Set.Iio i) < c
R : Type u
Ring R
L M N : ModuleCat R
f : L ⟶ M
CategoryTheory.Limits.HasImage f
g : CategoryTheory.Subobject.underlying.obj (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f) ⟶ N
CategoryTheory.Limits.HasCokernel g
x y : ↑N
l : ↑L
w : x = y + g ((CategoryTheory.Limits.factorThruImageSubobject f) l)
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernel.π g) x = (CategoryTheory.Limits.cokernel.π g) y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
⊢ e.congrLeft.unitIso =
  CategoryTheory.Equivalence.adjointifyη (CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun F => (e.funInvIdAssoc F).symm) ⋯)
    (CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun F => e.invFunIdAssoc F) ⋯)
M : Type u_4
N : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
f g : M →* N
h : ∀ (x : M), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized
hr : r.Sized
⊢ (l.node' x r).Sized
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
l : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hd : α
tl : List α
m a : α
ha : a ∈ hd :: tl
ham : f m ≤ f a
hm : Option.rec (some hd) (fun val => if f hd < f val then some val else some hd) (argmax f tl) = some m
⊢ (bif hd == m then 0 else indexOf m tl + 1) ≤ bif hd == a then 0 else indexOf a tl + 1
G₀ : Type u_2
GroupWithZero G₀
u : (↥(Submonoid.center G₀))ˣ
⊢ ↑↑((Subgroup.centerUnitsEquivUnitsCenter G₀).symm u) = ↑↑u
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
r : α → α → Prop
hr : ∀ (a : α), 1 < List.count a l → r a a
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b
⊢ List.Pairwise r l
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_8
(i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
i : Fin (n + 1)
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i) = fun f => (f i, i.removeNth f)
R : Type u
EuclideanDomain R
a : R
a0 : a ≠ 0
⊢ a / a = 1
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
α : Type u_12
DecidableEq o
NonUnitalNonAssocSemiring α
(i : o) → Fintype (n' i)
Fintype o
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
N : (i : o) → Matrix (n' i) (p' i) α
⊢ (Matrix.blockDiagonal' fun k => M k * N k) = Matrix.blockDiagonal' M * Matrix.blockDiagonal' N
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
b : β
hb : b ∈ LinearOrderedField.cutMap β (a * a)
⊢ b ≤ LinearOrderedField.inducedMap α β a * LinearOrderedField.inducedMap α β a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h_dir : Directed (fun x y => x ⊆ y) fun q => Iic ↑q
h_dir_prod : Directed (fun x y => x ⊆ y) fun q => s ×ˢ Iic ↑q
⊢ ⨆ b, ∫⁻ (a_1 : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, a_1)) (Iic ↑b) ∂ν a = ⨆ i, (κ a) (s ×ˢ Iic ↑i)
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F : C × D ⥤ E
fst✝² : C
snd✝² : D
fst✝¹ : C
snd✝¹ : D
fst✝ : (fst✝², snd✝²).1 ⟶ (fst✝¹, snd✝¹).1
snd✝ : (fst✝², snd✝²).2 ⟶ (fst✝¹, snd✝¹).2
⊢ F.map ((fst✝, 𝟙 snd✝²) ≫ (𝟙 fst✝¹, snd✝)) ≫ 𝟙 (F.obj (fst✝¹, snd✝¹)) = 𝟙 (F.obj (fst✝², snd✝²)) ≫ F.map (fst✝, snd✝)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0
⊢ dual A K I = dual A K 1 * I⁻¹
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
p : P
v : V
⊢ f (v +ᵥ p) = f.linearIsometry v +ᵥ f p
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s : AList β
⊢ (AList.insert a b s).keys = a :: s.keys.erase a
a b : Int
c : Int
H : c ≠ 0
⊢ (a + b * c) / c = a / c + b
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_3
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ Function.Injective fun I => ↑I
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : OrderedRing E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : OrderClosedTopology E
l : E
f : ℕ → E
hfl : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)
hfm : Monotone f
k : ℕ
hm : Monotone fun n => ∑ i ∈ Finset.range (2 * n + 1), (-1) ^ i * f i
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (2 * k + 1), (-1) ^ i * f i ≤ l
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f x) / (z - x)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
x y : (forget D).obj (P.obj (op X))
h : ∃ W h1 h2, (Meq.mk ⊤ x).refine h1 = (Meq.mk ⊤ y).refine h2
⊢ x = y
B : Type u_1
F : Type u_2
E : B → Type u_3
b : B
⊢ range (mk b) ⊆ proj ⁻¹' {b}
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set X
F : ι → X → α
x₀ : X
hX : (𝓝 x₀).HasBasis p s
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ x ∈ s k, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ U
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
h : ¬y < x
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
p : ¬x < y → x = y := ⋯
⊢ ltByCases x y h₁ h₂ h₃ = if h' : x < y then h₁ h' else h₂ ⋯
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∃ x, ⨍ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
α : Type u_3
n : ℕ
β : Type u_2
γ : Type u_1
xs : Mathlib.Vector α n
f₁ : β → γ
f₂ : α → β
⊢ Mathlib.Vector.map f₁ (Mathlib.Vector.map f₂ xs) = Mathlib.Vector.map (fun x => f₁ (f₂ x)) xs
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
A : ∀ (ε N : ℝ≥0) (p : ℕ), 0 < ε → μ ({x | g x + ↑ε ≤ f x ∧ g x ≤ ↑N} ∩ spanningSets μ p) = 0
⊢ f ≤ᶠ[ae μ] g
x y : ℂ
⊢ (cexp ↑x.re * (cos ↑x.im + sin ↑x.im * I)).im = Real.exp x.re * Real.sin x.im
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Field R
p q : R[X]
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : DecidableEq R
ϕ : R →+* k
f g : R[X]
α : k
hα : eval₂ ϕ α (EuclideanDomain.gcd f g) = 0
⊢ eval₂ ϕ α g = 0
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommRing R'
R'' : Type u_3
CommRing R''
f : R' →+* R''
⊢ MulChar.ringHomComp 1 f = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
R : Type u_6
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
c : R
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => c • f y) x = c • fderiv 𝕜 f x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommMonoid M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
⊢ IsLocalizedModule.IsInteger f 0
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
⊢ ‖f‖ ≤ ‖f 0‖
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
r : M₀
⊢ inverse r ^ 0 = inverse (r ^ 0)
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
hz : a ≠ 0
⊢ 2 ≠ 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X : PresheafedSpace C
x : ↑↑X
e_1✝ : (X.presheaf.stalk x ⟶ X.presheaf.stalk x) = ((stalkFunctor C x).obj X.presheaf ⟶ (stalkFunctor C x).obj X.presheaf)
U✝ : Opens ↑↑X
⊢ 𝟙 (((pushforward C (𝟙 ↑X)).obj X.presheaf).obj (op U✝)) = (𝟙 X.presheaf).app (op U✝)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
h : Set.EqOn f g s
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, g x ∂μ
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
h : 0 < μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}
⊢ ∫ (x : α) in {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}, |f x| ∂μ ≤ ∫ (x : α) in {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}, ↑R ∂μ
α : Type u_1
rα : α → α → Prop
a₁ a₂ b : α
h : rα a₁ a₂
⊢ Sym2.GameAdd rα s(b, a₁) s(a₂, b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
UniformSpace β
f : γ → β
⊢ UniformFun.uniformSpace α γ = UniformSpace.comap (fun x => f ∘ x) (UniformFun.uniformSpace α β)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x₀ - y‖
K : Type u_3
V : Type u_4
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
⊢ ∃ s, Nonempty (Basis (↑s) K V)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
A : C
f₁ f₂ : S.opcycles ⟶ A
⊢ f₁ = f₂ ↔ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.pOpcycles f₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.pOpcycles f₂
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a✝ o✝ : Ordinal.{u}
f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}
a o o' : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}
hg : o.IsFundamentalSequence o' g
⊢ (o'.blsub fun i hi => f (g i hi) ⋯) = a
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ 0 < x⁻¹
R : Type u
Ring R
M : ModuleCat R
ι : Type u'
b : Basis ι R ↑M
⊢ CategoryTheory.Projective M
α β : BddLat
e : ↑α.toLat ≃o ↑β.toLat
x✝ : (forget BddLat).obj β
⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
l : List (Perm α)
h0 : l.prod = σ
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
hl : l.Nodup
⊢ l.toFinset.noncommProd id ⋯ = σ
s : Set ℕ
Infinite ↑s
DecidablePred fun x => x ∈ s
n : ℕ
⊢ (Nat.orderEmbeddingOfSet s) n = ↑(Nat.Subtype.ofNat s n)
J : Type v
F : J → Type u
Small.{u, v} J
j : J
x : ∏ᶜ F
⊢ (equivShrink ((j : J) → F j)).symm ((CategoryTheory.Limits.Types.Small.productIso F).hom x) j =
  CategoryTheory.Limits.Pi.π F j x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↥(ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 f)
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toStalk (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f)
      ((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.toSpec 𝒜 f).val.base x))
    (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.specStalkEquiv 𝒜 f x f_deg hm).hom =
  HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯
α : Type u
Monoid α
x : α
u : αˣ
y : α
⊢ x /ₚ u = y ↔ y * ↑u = x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable (↑f) μ
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ x ∈ f.range, x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq : (T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) = (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a))
h_left_eq' : (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a)) = (T (⋃ y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
⊢ ∀ i ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, ∀ j ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, i ≠ j → Disjoint (↑f ⁻¹' {i}) (↑f ⁻¹' {j})
x : ℝ≥0∞
⊢ x ^ (-1) = x⁻¹
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
p : α → Prop
step : ∀ (a : α), p a → a ≤ lfp f → p (f a)
s : Set α := {a | a ≤ lfp f ∧ p a}
hSup : p (sSup s)
h : sSup s ≤ lfp f
⊢ sSup s = lfp f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
s t : Finset α
⊢ filter p s = ∅ ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ¬p x
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ s.einfsep ≠ ⊤ ↔ s.Nontrivial
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
m : ℕ
CharP R m
h : m ∣ n
a : ZMod n
⊢ (-a).cast = -a.cast
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
size✝ : ℕ
l✝ : Ordnode α
x✝ : α
r✝ : Ordnode α
⊢ All P (if l✝.size < ratio * r✝.size then l.node3L x l✝ x✝ r✝ else l.node4L x l✝ x✝ r✝) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P (node size✝ l✝ x✝ r✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
H : ∃ m ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, ∀ z ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, m ≤ z → z ≤ m
⊢ ∃ m ∈ s, x ≤ m ∧ ∀ z ∈ s, m ≤ z → z ≤ m
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
R : Type u_17
CommSemiring R
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
Fintype n'
DecidableEq n'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R
⊢ M * (LinearMap.toMatrix₂' R) B = (LinearMap.toMatrix₂' R) (B ∘ₗ Matrix.toLin' Mᵀ)
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
a : A
M : Matrix n n A
⊢ MatrixEquivTensor.invFun R A n (a • M) = a ⊗ₜ[R] 1 * MatrixEquivTensor.invFun R A n M
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
⊢ (FreeAddGroup.freeAddGroupCongr e).symm = FreeAddGroup.freeAddGroupCongr e.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
x : α ⊕ β ⊕ γ
⊢ ¬SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.Rel t x x
x y z : Nat
⊢ (x + y * z) % y = x % y
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑X.toTopCat
⊢ op U = (Opens.map f.val.base).op.obj (op ((opensFunctor f).obj U))
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
q : PolynomialModule R M
r : R
i : ℕ
m : M
n✝ : ℕ
a✝ : R
⊢ (eval r) ((monomial n✝) a✝ • (single R i) m) = Polynomial.eval r ((monomial n✝) a✝) • (eval r) ((single R i) m)
X : Type u_1
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
A : Type u_6
inst✝¹³ : CommRing K
inst✝¹² : Ring A
inst✝¹¹ : Algebra K A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace K
inst✝⁹ : T1Space K
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : ContinuousSub A
inst✝⁶ : ContinuousSMul K A
inst✝⁵ : FunLike F A K
inst✝⁴ : AlgHomClass F K A K
inst✝³ : SetLike S A
inst✝² : OneMemClass S A
inst✝¹ : AddSubgroupClass S A
inst✝ : SMulMemClass S K A
φ : F
hφ : Continuous ⇑φ
s : S
⊢ closure (↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ)) ⊆ closure ↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
T2Space M
ContinuousAdd M
f : ℕ → M
he : Summable fun k => f (2 * k)
ho : Summable fun k => f (2 * k + 1)
⊢ ∑' (k : ℕ), f (2 * k) + ∑' (k : ℕ), f (2 * k + 1) = ∑' (k : ℕ), f k
α : Type u
Preorder α
⊢ Transitive LT.lt
α : Type u
x y : FreeSemigroup α
⊢ (Seq.seq ((fun x x_1 => x * x_1) <$> x) fun x => y) = x * y
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
x y : R
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ x - y ∈ s
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
a b c d : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d
⊢ Codisjoint a c → Codisjoint b d
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ coequalizer.π (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft) ((X.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (X.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) ≫ LeftUnitorBimod.hom M ≫ f.hom ≫ LeftUnitorBimod.inv N