ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a b c d m n : ℤ
this : 1 ≠ -1
⊢ ∀ {m n : ℤ}, m.sign = n.sign → (m + n).sign = n.sign
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ b ≤ a ∧ d ≤ c → b / c ≤ a / d
α : Type u
β : Type v
Preorder α
SemilatticeSup β
f g : α → β
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
hg : MonotoneOn g s
⊢ MonotoneOn (f ⊔ g) s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hy : P y = W.negY P
⊢ W.Nonsingular P ↔ W.Equation P ∧ (eval P) W.polynomialX ≠ 0
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
⊢ (yoneda.map ((whiskerLeft G.op (sheafHom α)).app X)).app U a✝ = (yoneda.map (α.app X)).app U a✝
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
C : CochainComplex V ℕ
X : V
f : C ⟶ (CochainComplex.single₀ V).obj X
⊢ (C.toSingle₀Equiv X) f = f.f 0
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
g : ι → α
h : ∀ (i : ι), 0 ≤ g i
⊢ 0 ≤ ∑' (i : ι), g i
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MeasurableSpace M
inst✝¹ : MeasurableMul₂ M
μ : Measure M
inst✝ : SFinite μ
⊢ map ((fun x => x.1 * x.2) ∘ fun x => (x, 1)) μ = μ
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s t : Submodule K V
FiniteDimensional K ↥s
FiniteDimensional K ↥t
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥(s ⊔ t) ≤ FiniteDimensional.finrank K ↥s + FiniteDimensional.finrank K ↥t
P : EReal → EReal → Prop
neg_left : ∀ {x y : EReal}, P x y → P (-x) y
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
zero_top : P 0 ⊤
zero_bot : P 0 ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
x y : EReal
⊢ P x y
α : Type u
l₁ l₂ : List α
h' : ∀ (n : ℕ), n < max l₁.length l₂.length → l₁.get? n = l₂.get? n
⊢ l₁ = l₂
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
h_aJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
a₁ : R := choose ⋯
J₁ : Ideal R := choose ⋯
h_a₁J₁ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁)⁻¹ * ↑J₁
h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0
h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0
h_a_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
h_J_ne_zero : J ≠ 0
h_a₁' : spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁) ≠ 0
h_a' : spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
⊢ count K v I = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l✝ : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
l tl : List α
hd : α
ih : ∀ (a m : α), m ∈ foldl (argAux r) (some a) tl → m ∈ a :: tl
a m : α
⊢ m ∈ foldl (argAux r) (some a) (tl ++ [hd]) → m ∈ a :: (tl ++ [hd])
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
l : List (Sigma β)
⊢ List.kerase a (List.kerase a' l) = List.kerase a' (List.kerase a l)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
G : C ⥤ D
G.Additive
⊢ (G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.triangle φ).mor₃ ≫
    ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app K =
  (CochainComplex.mappingCone.mapHomologicalComplexIso φ G).hom ≫
    (CochainComplex.mappingCone.triangle ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).mor₃
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
I : Ideal A
x : A
⊢ I ∣ Ideal.span {x} ↔ x ∈ I
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.prehaar (↑K₀) U K₀.toCompacts = 1
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ I.lower ∈ BoxIntegral.Box.Icc I
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
⊢ HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α →o β
⊢ OrderHom.id.comp f = f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.setToL1 hT') f = c • (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f
α : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne α
n : PosNum
⊢ ↑n.succ = ↑n + 1
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hp1 : p.degree = 1
⊢ Prime p
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
AddMonoid A
DistribSMul M A
Monoid N
AddMonoid B
DistribMulAction N A
SMulCommClass M N A
DistribMulAction N B
c : M
f : A →+[N] B
a : A
⊢ (DomMulAct.mk c • f) a = f (c • a)
n k' : ℕ
e : n.minFac + 2 = k'
h : MinFacHelper n n.minFac
np : n.minFac ≠ n.minFac
⊢ n.minFac + 2 ≤ n.minFac
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
h : W = Y
h' : X = Z
⊢ f =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom h)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (CategoryTheory.eqToHom ⋯)) ↔
  HEq f g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
t : CategoryTheory.Limits.ColimitCocone (F.comp G)
⊢ (CategoryTheory.Functor.Final.colimitCoconeOfComp F t).isColimit =
  (CategoryTheory.Functor.Final.isColimitExtendCoconeEquiv F t.cocone).symm t.isColimit
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
Semigroup G₁
Semigroup G₂
x₁ y₁ : G₁
x₂ y₂ : G₂
⊢ (x₁, x₂) ∣ (y₁, y₂) ↔ x₁ ∣ y₁ ∧ x₂ ∣ y₂
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.comp a ⊔ Booleanisation.lift b = Booleanisation.comp (a \ b)
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
a : Rˣ
⊢ 1 ↑a = 1
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a₁ a₂ : Fin n
ha : ⟨a₁, a₂⟩ ∈ finPairsLT n
hxa : ¬f⁻¹ a₂ < f⁻¹ a₁
h : f⁻¹ a₁ = f⁻¹ a₂
⊢ False
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
x : N
⊢ AddMonoid.Coprod.snd (AddMonoid.Coprod.inr x) = x
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ p < p.succAbove i ↔ p ≤ i.castSucc
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : sin x ≤ x - x ^ 3 / 6 + x ^ 4 * (5 / 96)
⊢ x ^ 4 ≤ x ^ 3
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u✝ : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m₁ : α → γ → α'
m₂ : β → γ → β'
n' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m₁ a c) (m₂ b c)
s : Set ε
t₁ : Set α'
u : Set α
hu : u ∈ f
w₁ : Set γ
hw₁ : w₁ ∈ h
ht₁ : image2 m₁ u w₁ ⊆ t₁
t₂ : Set β'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
v : Set β
hv : v ∈ g
w₂ : Set γ
hw₂ : w₂ ∈ h
ht₂ : image2 m₂ v w₂ ⊆ t₂
⊢ s ∈ map₂ m (map₂ n f g) h
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
x : M
⊢ x ∈ f.eigenspace μ ↔ f x = μ • x
f g : ℝ → ℝ
hfg : f =ᶠ[atTop] g
hg : GrowsPolynomially g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
β : Sort v
r : β → β → Prop
h : Equivalence r
⊢ Symmetric r
R R' : Type u
M M' : Type v
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousConstSMul R M
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R' M'
inst✝ : ContinuousAdd M
s : Submodule R M
hs : IsCoatom s
⊢ s.topologicalClosure = s → IsClosed ↑s
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K S
x : S
h : IsIntegral K x
g : Fin (minpoly K x).natDegree → K
i : Fin (minpoly K x).natDegree
hg : (aeval x) (∑ x_1 : Fin (minpoly K x).natDegree, (monomial ↑x_1) (g x_1)) = 0
⊢ (∑ x_1 : Fin (minpoly K x).natDegree, (monomial ↑x_1) (g x_1)).degree < (minpoly K x).degree
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F G : A ⥤ B
H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
fst✝¹ : A
snd✝¹ : C
fst✝ : A
snd✝ : C
f : (fst✝¹, snd✝¹) ⟶ (fst✝, snd✝)
⊢ (F.prod H).map f ≫ (fun X => (α.app X.1, β.app X.2)) (fst✝, snd✝) = (fun X => (α.app X.1, β.app X.2)) (fst✝¹, snd✝¹) ≫ (G.prod I).map f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (fromPadicInt p).comp (toPadicInt p) = RingHom.id (𝕎 (ZMod p))
a b : EReal
⊢ -a < -b ↔ b < a
X : Type u_2
TopologicalSpace X
n : ℕ
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → X
I : BoxIntegral.Box (Fin (n + 1))
h : ContinuousOn f (BoxIntegral.Box.Icc I)
i : Fin (n + 1)
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
⊢ ContinuousOn (f ∘ i.insertNth x) (BoxIntegral.Box.Icc (I.face i))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : ℕ → ℕ
h1 : Monotone f
B : ℕ
h2 : ∀ (n : ℕ), f n ≤ B
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = f (n + 1) → f (n + 1) = f (n + 2)
key : ∃ n ≤ B, f n = f (n + 1)
⊢ ∀ (k : ℕ), B ≤ k → f k = f B
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
⊢ (coeff R 0) φ = (constantCoeff R) φ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
h : ∀ i ∈ s, (H i).FiniteIndex → s.card < (H i).index
hs : s.Nonempty
hs' : 0 < s.card
hlt : ∀ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ < (↑s.card)⁻¹
⊢ ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ < 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
One M'
x : M
hx : x ∉ mulTSupport f
n : ℕ∞
⊢ ContMDiffAt I I' n f x
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁵ : ConcreteCategory D
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
⊢ IsIso ((forget D).map (S.toMultiequalizer (J.plusObj P)))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
cb : Computation β
x✝ : ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
b : β
mb : b ∈ cb
ab : R a b
b' : β
mb' : b' ∈ cb
⊢ R a b'
α : Type u_1
P : α → Prop
s : Set α
⊢ {x | ↑x ∈ s}.ncard = (s ∩ setOf P).ncard
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
⊢ μ ≤ 1 • (μ + μ')
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ S.toSubmodule ↔ x ∈ S
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ 0
⊢ ∑' (i : ι), f i ≤ 0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
m : Multiset A
h : ∀ x ∈ m, x ∈ S
⊢ m.sum ∈ S
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : a < 0
hb : b ≤ 0
⊢ a + b < 0
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m : ℕ
⊢ f^[m * 0] = f^[m]^[0]
p x : ℝ
r : ℚ
⊢ LiouvilleWith p (x - ↑r) ↔ LiouvilleWith p x
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ
⊢ ∀ x ∈ τ, ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • x ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
ε : ℝ
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
⊢ Metric.diam (Metric.thickening ε s) ≤ Metric.diam s + 2 * ε
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b c : Ordinal.{u}
h_init : x ≤ f x
h_ab : a < b
h_ac : a ≤ c
h_fab : lfpApprox f x a = lfpApprox f x b
lfpApprox_mem_fixedPoint : lfpApprox f x a ∈ fixedPoints ⇑f
⊢ lfpApprox f x ?m.12494 ∈ fixedPoints ⇑f
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f g
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
x : B
h : c ⟶ x
H : (t.whisker h).IsKan
i : t.whisker h ≅ (CategoryTheory.Bicategory.lanLeftExtension f g).whisker h
⊢ CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith f g h
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
⊢ ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
α : Type u_2
δ : Type u_4
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Countable
f g : α → δ
⊢ f =ᵐ[μ.restrict (⋃ i ∈ t, s i)] g ↔ ∀ i ∈ t, f =ᵐ[μ.restrict (s i)] g
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝ : ρ.IsCondKernel ρCond
hρ : ρ ≠ 0
⊢ IsSFiniteKernel ρCond
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ measurableCylinders α
ht : t ∈ measurableCylinders α
⊢ s ∪ t ∈ measurableCylinders α
R : Type u
ι : Type v
inst✝³ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
x : L i
y : L j
k : ι
⊢ ⁅(of L i) x, (of L j) y⁆ k = 0 k
ι : Type u_6
α : Type u_8
Fintype ι
CommMonoid α
DecidableEq ι
i : ι
f : ι → α
⊢ (∏ j : ι, if j = i then f j else 1) = f i
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t✝ : Multiset R[X]
a : R[X]
t : Multiset R[X]
ht : t.prod.coeff 0 = (Multiset.map (fun f => f.coeff 0) t).prod
⊢ (a ::ₘ t).prod.coeff 0 = (Multiset.map (fun f => f.coeff 0) (a ::ₘ t)).prod
α : Type u_1
LE α
S : Set (UpperSet α)
a : α
⊢ a ∈ sSup S ↔ ∀ s ∈ S, a ∈ s
a : ℝ
b : ℝ≥0∞
hb : b ≠ ⊤
⊢ ENNReal.ofReal a ≤ b ↔ a ≤ b.toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
Semiring α
Ring β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℕ
⊢ f (x + ↑n * c) = (-1) ^ n * f x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
self : CategoryTheory.Sieve X
Y Z : C
f : Y ⟶ X
⊢ self.arrows f → ∀ (g : Z ⟶ Y), self.arrows (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N
x : α
hxs : x ∈ s
hx : x ∉ notConvergentSeq f g N (notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N)
⊢ dist (g x) (f n x) < δ
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s → x ∈ t
R : Type u
σ : Type v
CommSemiring R
i : σ
f g : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.pderiv i) (f * g) = (MvPolynomial.pderiv i) f * g + f * (MvPolynomial.pderiv i) g
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
D₁ : Type u₄
D₂ : Type u₅
D₃ : Type u₆
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D₁
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} D₂
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
G : D₁ ⥤ D₂
h : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝ : CatCommSq Φ.functor L₁ L₂ G
⊢ G.IsEquivalence
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Submodule R M
⊢ N.FG ↔ ∃ n s, Submodule.span R (Set.range s) = N
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
n : ℕ
r : R
ih : derivative (eval₂ C q (C r * X ^ n)) = eval₂ C q (derivative (C r * X ^ n)) * derivative q
⊢ derivative (eval₂ C q (C r * X ^ (n + 1))) = eval₂ C q (derivative (C r * X ^ (n + 1))) * derivative q
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ x✝¹ : ℝ
x✝ : E
⊢ x✝ = x✝ / 1
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
x y : AddUnits M
h : AddSemiconjBy a ↑x ↑y
⊢ AddSemiconjBy a ↑(-x) ↑(-y)
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
hst : G.IsUniform ε s t
⊢ ↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card ≤ ↑s.card * ε
𝕜 : Type u
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
inst✝⁴ : StarRing 𝕜
inst✝³ : TrivialStar 𝕜
inst✝² : StarAddMonoid F
inst✝¹ : ContinuousStar F
inst✝ : StarModule 𝕜 F
f' : F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
h : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => star (f x)) (star f') x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
h : Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂
⊢ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
c : F''
⊢ (fun x => c) =o[Bornology.cobounded E''] id
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
⊢ (HomologicalComplex.cyclesIsoSc' (inhomogeneousCochains A) 0 1 2 isoOneCocycles.proof_2 isoOneCocycles.proof_3).hom ≫ cyclesMap { τ₁ := ↑(zeroCochainsLequiv A), τ₂ := ↑(oneCochainsLequiv A), τ₃ := ↑(twoCochainsLequiv A), comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ≫ (shortComplexH1 A).moduleCatCyclesIso.hom ≫ ModuleCat.ofHom (oneCocycles A).subtype = iCocycles A 1 ≫ ↑(oneCochainsLequiv A)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g'✝ : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
g : α → E'
g' : α → F'
h : g x = 0
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ IsBigOWith c (𝓝[insert x s] x) g g' ↔ IsBigOWith c (𝓝[s] x) g g'
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
x : X
hxs : x ∈ s
y : X
hyt : y ∈ t
hne : x ≠ y
⊢ 𝓝 x ⊓ 𝓝 y ≤ ⨆ a ∈ s ∩ t, 𝓝 a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
hs : i ∈ s
⊢ Function.eval i '' s.pi t ⊆ t i
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ WellFounded r ↔ ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
⊢ ↑1 = 1
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
M' : Type u_5
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
hv : LinearIndependent R v
f : M →ₗ[R] M'
hf_inj : LinearMap.ker f = ⊥
⊢ LinearIndependent R (⇑f ∘ v)
K : Type u
Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
L : Type u_1
Field L
Algebra K L
Polynomial.IsSplittingField K L (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
m : ℤ
⊢ ((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) α = ζ ^ m • α
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f
CategoryTheory.Limits.HasKernel (CategoryTheory.Limits.cokernel.desc S.f S.g ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofHasCokernelOfHasKernel S).Q = CategoryTheory.Limits.cokernel S.f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
hF₁ : CategoryTheory.CompatiblePreserving K F
hF₂ : CategoryTheory.CoverPreserving J K F
⊢ F.IsContinuous J K
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : NumberField k
inst✝ : IsGalois k K
⊢ (filter (IsUnramified k) univ).card = (filter (IsUnramifiedIn K) univ).card * finrank k K