ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
ha : ∀ (i : ι), f i a ≤ a
⊢ ∃ o, derivFamily f o = a
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : F ⟶ G
a : B
⊢ (CategoryTheory.OplaxNatTrans.leftUnitor η).inv.app a = (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (η.app a)).inv
M : Type u_1
AddSemigroup M
s : Set M
⊢ AddSubsemigroup.centralizer s = ⊤ ↔ s ⊆ ↑(AddSubsemigroup.center M)
R : Type u_1
α : Type u_2
x : Finset α
h0 : x.Nonempty
⊢ ∑ m ∈ x.powerset, (-1) ^ m.card = 0
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
x : G
h : K ∈ 𝓝 x
⊢ LocallyCompactSpace G
q : ℚ
q_pos : 0 < q
⊢ (GenContFract.IntFractPair.of q⁻¹).fr.num < q.num
s : ℂ
⊢ (1 - s).Gammaℝ * (1 + s).Gammaℝ = ↑π ^ ((s - 1) / 2) * ↑π ^ ((-1 - s) / 2) * (Gamma ((1 - s) / 2) * Gamma (1 - (1 - s) / 2))
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x y : E
⊢ ∑ i : ι, ⟪x, b i⟫_𝕜 * ⟪b i, y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ
X : ℂ
HX2 : IsMaxOn (fun x => ‖f x‖) (sphere z R) X
y : ℝ
v : ℂ
hv : v ∈ ball x ε'
y1 : ℝ
hy1 : y1 ∈ Ico 0 (2 * π)
hfun : circleTransformDeriv R z v f y = circleTransformDeriv R z v f y1
⊢ ‖circleTransformDeriv R z v f y‖ ≤ abs (V b a) * abs (f X)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w' : InfinitePlace K
e : { w // w ≠ w' } ≃ Fin (rank K)
⊢ regulator K = |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(fundSystem K (e i))))).det|
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
q₁ : Path.Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Path.Homotopic.Quotient b₁ b₂
⊢ Path.Homotopic.projLeft (Path.Homotopic.prod q₁ q₂) = q₁
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
this : Tendsto (fun x => x.2.1 * x.1.2 * x.1.1⁻¹ * x.2.2⁻¹) (comap (fun p => (p.1.2 * p.1.1⁻¹, p.2.2 * p.2.1⁻¹)) ((𝓝 1).prod (𝓝 1))) (𝓝 1)
⊢ Tendsto (fun x => x.2.1 * x.1.2 * x.1.1⁻¹ * x.2.2⁻¹) (comap (fun p => (p.1.2 * p.1.1⁻¹, p.2.2 * p.2.1⁻¹)) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1)) (𝓝 1)
x y : ℝ*
⊢ x.InfinitePos → ¬y.Infinite → (x + y).InfinitePos
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.70958, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
this : Mono S.g
⊢ IsZero S.X₂
α : Type u_2
MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : MeasureTheory.Conservative f μ
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
h0 : μ s ≠ 0
⊢ ∃ᶠ (m : ℕ) in Filter.atTop, μ (s ∩ f^[m] ⁻¹' s) ≠ 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U V : (Opens ↑↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ X.presheaf.map i ≫ invApp f (unop V) = invApp f (unop U) ≫ Y.presheaf.map ((opensFunctor f).op.map i)
α : Type u
R : α → α → Prop
a : α
⊢ List.Chain' R [a]
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s t : Set M
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ t) x ↔ MDifferentiableWithinAt I I' f s x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} C'
D : CategoryTheory.GlueData C
F : CategoryTheory.Functor C C'
H : (i j k : D.J) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i : D.J
⊢ (D.mapGlueData F).U i = F.obj (D.U i)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
s : Set ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, AlgebraicGeometry.IsAffineOpen (X.basicOpen i)
⊢ QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : Center C
⊢ (ρ_ X).inv.f = (ρ_ X.fst).inv
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
T2Space M
ContinuousMul M
f : ℕ → M
k : ℕ
h : Multipliable fun n => f (n + k)
⊢ (∏ i ∈ Finset.range k, f i) * ∏' (i : ℕ), f (i + k) = ∏' (i : ℕ), f i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
n : ℕ∞
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ ContDiff 𝕜 n (f ∘ ⇑e) ↔ ContDiff 𝕜 n f
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
⊢ x ∈ H.normalizer ↔ ∀ y ∈ H, ⁅x, y⁆ ∈ H
α : Type u_1
x : α
xs : List α
i : Nat
h : i + 1 < (x :: xs).length
this : i < xs.length
⊢ (xs.eraseIdx i).length + 1 = xs.length
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
a b : GradedMonoid fun n => ⨂[R] (x : Fin n), M
h : a.fst = b.fst
h2 : (cast R M h) a.snd = b.snd
⊢ a = b
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ
hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ
hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior s
H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
ε : ℕ → ℝ
hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n
hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)
n : ℕ
this : 0 < ε n
⊢ 0 ≤ ε n
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
I : S.Arrow
e : (J.pullback I.f).obj (unop (op S)) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
⊢ ((J.diagram P I.Y).map e.op) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯) (↑x I)) = ((J.diagramPullback P I.f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
f : M ↪ₑ[L] N
α : Type u_5
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin n → M
⊢ φ.Realize (⇑f ∘ v) (⇑f ∘ xs) ↔ φ.Realize v xs
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x y : ↥M
⊢ mk' S (↑x) y * mk' S (↑y) x = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U V : Submodule 𝕜 E
h : U ⟂ V
u v : E
hu : u ∈ U
hv : v ∈ V
⊢ ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
s : ℕ
⊢ Nat.gcdB 0 s = 1
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
m : Multiset α
n : Multiset β
f : α → β → Multiset γ
⊢ (m.bind fun a => n.bind fun b => f a b) = n.bind fun b => m.bind fun a => f a b
M : Type u_2
α : Sort u_4
AddCommMonoid M
f : α → M
p : M → Prop
hp₀ : p 0
hp₁ : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)
⊢ p (∑ᶠ (i : α), f i)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
p : TangentBundle I M
hg : MDifferentiableWithinAt I' I'' g u (f p.proj)
hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s p.proj
h : s ⊆ f ⁻¹' u
hps : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
⊢ (mfderivWithin I I'' (g ∘ f) s p.proj) p.snd = (mfderivWithin I' I'' g u (f p.proj)) ((mfderivWithin I I' f s p.proj) p.snd)
n : ℕ
motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1
refl : motive n ⋯
le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯
⊢ Nat.leRec refl le_succ_of_le ⋯ = le_succ_of_le ⋯ refl
K : Type u_1
DivisionRing K
CharZero K
a b : ℕ
h : a ≤ b
⊢ ↑(b.choose a) = ↑b ! / (↑a ! * ↑(b - a)!)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s ≤ s.dedup ↔ s.Nodup
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f : G → E
x : G
hf : DifferentiableAt ℝ f x
h0 : f x ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun y => ‖f y‖) x
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ
⊢ ((-1 ≤ x.1 + ↑n ∧ -1 ≤ x.2 + ↑n) ∧ x.1 ≤ ↑n + 1 ∧ x.2 ≤ ↑n + 1) ∧ (-↑n ≤ x.1 → -↑n ≤ x.2 → x.1 ≤ ↑n → ↑n < x.2) ↔ max x.1.natAbs x.2.natAbs = n + 1
R : Type u
NonAssocSemiring R
⊢ StrictMono Subsemiring.toSubmonoid
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C ∈ A.powerset.erase ∅
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
⊢ ↑(B ^ m / B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ∏ i ∈ s \ t, f i < ∏ i ∈ t \ s, f i ↔ ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ t, f i
a b : ℤ
h : a < b
⊢ ↑(Fintype.card ↑(Set.Ioo a b)) = b - a - 1
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasStrictDerivAt h₂ h₂' (h x)
hh : HasStrictDerivAt h h' x
hy : y = h x
⊢ HasStrictDerivAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α
h : TendstoLocallyUniformly F f p
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
U : α → Set α
t : Finset ↑univ
ht : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x
hU : ∀ᶠ (x : ι) in p, ∀ (i : { x // x ∈ t }), ∀ y ∈ U ↑↑i, (f y, F x y) ∈ V
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : α), (f x, F n x) ∈ V
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
Γ' : Type u_5
OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
NonAssocSemiring R
f : Γ →+ Γ'
hfi : Function.Injective ⇑f
hf : ∀ (g g' : Γ), f g ≤ f g' ↔ g ≤ g'
r : R
⊢ (HahnSeries.embDomainRingHom f hfi hf) (HahnSeries.C r) = HahnSeries.C r
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t✝ : Multiset R[X]
a : R[X]
t : Multiset R[X]
ih : (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod ≠ 0 → t.prod.natDegree = (Multiset.map (fun f => f.natDegree) t).sum
ht : a.leadingCoeff * (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod ≠ 0
⊢ a.leadingCoeff * t.prod.leadingCoeff ≠ 0
α : Type u_1
⊢ Topology.WithUpperSet.toUpperSet.symm = Topology.WithUpperSet.ofUpperSet
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
e : α → β
de : DenseEmbedding e
p : α → Prop
x : β
hx✝ : x ∈ closure (e '' {x | p x})
hx : x ∈ closure (range fun x => e ↑x)
⊢ ⟨x, hx✝⟩ ∈ closure (range (subtypeEmb p e)) ↔ ⟨x, hx✝⟩ ∈ univ
x : ℝ
⊢ 1 ≤ Real.exp x ↔ 0 ≤ x
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : (PreQuasiregular A)ˣ
⊢ (1 + ↑(equiv.symm ↑x)) * (1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹)) = 1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
⊢ (μ.restrict s).prod ν = (μ.prod ν).restrict (s ×ˢ univ)
G : Type u_3
H : Type u_4
Neg G
Neg H
p : G × H
⊢ (-p).2 = -p.2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
h : Nonempty ι
⊢ AffineIndependent k p
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
⊢ log (2 / (1 - 2 / rexp 1)) * (69 / 50) ≤ √(log ↑N)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
A : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C
⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
P : Finpartition Finset.univ
ε : ℝ
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
⊢ 0 < ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteColimits F
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp F.fromLeftDerivedZero F.leftDerivedZeroIsoSelf.inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.leftDerived 0)
n : Num
⊢ castNum <$> n.ppred = (↑n).ppred
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm ⋯ hμst x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm ht hμt x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv : ∀ (i : Fin 3), ∃ r, p i = r • v +ᵥ p 0
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
⊢ False
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 4 = 1
hr : Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat b a = r
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat a b = r
K : Type u_1
RCLike K
⊢ RCLike.normSq 1 = 1
n : Type u_3
α : Type v
Neg α
A : Matrix n n α
⊢ (-A).diag = -A.diag
G : Type u_4
MeasurableSpace G
InvolutiveNeg G
MeasurableNeg G
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.neg G) = Neg.neg
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F✝
F F' : Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ F'
⊢ Presheaf.IsSheaf J (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)).toPresheaf
a b : ℝ
h : a ≤ b
⊢ LipschitzWith 1 (Set.projIcc a b h)
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s : Set α
⊢ s ⊻ s ⊆ s ↔ SupClosed s
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V W : Set (β × β)
x y z : β
hV : SymmetricRel V
hx : x ∈ ball z V
hy : y ∈ ball z W
⊢ (x, y) ∈ V ○ W
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
⊢ { ofColex := {a} } ≤ { ofColex := {b} } ↔ a ≤ b
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α
⊢ (adjMatrix α G *ᵥ vec) v = ∑ u ∈ G.neighborFinset v, vec u
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
ha : a < 0
b s : ℝ
⊢ (fun x => rexp (a * x ^ 2 + b * x)) =o[atTop] fun x => rexp (-x)
α : Type u
Mul α
x y : α
⊢ Additive.ofMul (x * y) = Additive.ofMul x + Additive.ofMul y
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
x : T
Algebra R T
hx' : (Polynomial.aeval x) f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
⊢ (IsAdjoinRoot.liftHom x hx' h) h.root = x
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
m : M
⊢ h.equiv.symm (f m) = 1 ⊗ₜ[R] m
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
Invertible 2
m : M
h : IsUnit ((CliffordAlgebra.ι Q) m)
⊢ IsUnit (Q m)
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
Preorder α
PosMulMono α
MulPosMono α
ha : 0 ≤ a
hab : a ≤ b
⊢ a * a ≤ b * b
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₃
m₂' : M₁
m₁'' : M₂
m₂'' : M₃
⊢ (((associatedHom R) (comp (Q₁.tmul (Q₂.tmul Q₃)) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃))) ((m₁ ⊗ₜ[R] m₂) ⊗ₜ[R] m₁')) ((m₂' ⊗ₜ[R] m₁'') ⊗ₜ[R] m₂'') = (((associatedHom R) ((Q₁.tmul Q₂).tmul Q₃)) ((m₁ ⊗ₜ[R] m₂) ⊗ₜ[R] m₁')) ((m₂' ⊗ₜ[R] m₁'') ⊗ₜ[R] m₂'')
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
⊢ MeasureTheory.Memℒp (↑f) p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
s : Finset α
f : α → Finset β
g : β → Finset γ
h1 : (↑s).PairwiseDisjoint f
h2 : (↑(s.disjiUnion f h1)).PairwiseDisjoint g
a : { x // x ∈ s }
x✝¹ : a ∈ ↑s.attach
b : { x // x ∈ s }
x✝ : b ∈ ↑s.attach
hab : a ≠ b
x : γ
hxa : x ∈ (fun a => (f ↑a).disjiUnion g ⋯) a
hxb : x ∈ (fun a => (f ↑a).disjiUnion g ⋯) b
xa : β
hfa : xa ∈ f ↑a
hga : x ∈ g xa
xb : β
hfb : xb ∈ f ↑b
hgb : x ∈ g xb
⊢ False
α : Type u_1
Lattice α
s t : NonemptyInterval α
⊢ ↑(s ⊔ t) = ↑s ⊔ ↑t
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
X : Type u_2
m : X
⊢ Quot.mk (Rel R X) (Pre.of m) = ι R m
α : Type u_1
p q : Equiv.Perm α
⊢ {x | (p * q) x ≠ x} ⊆ {x | p x ≠ x} ∪ {x | q x ≠ x}
α : Type u_1
InfSet α
s : Set (ULift.{v, u_1} α)
⊢ (sInf s).down = sInf (ULift.up ⁻¹' s)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → EReal
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => (f x).toReal) μ
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q : α → Prop
a' : α
⊢ ∃! a, a = a'
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂)
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
⊢ (map₂ m f g).NeBot ↔ f.NeBot ∧ g.NeBot
α : Type u_1
M₁ M₂ : Matroid α
hE : M₁.E = M₂.E
h : ∀ ⦃B : Set α⦄, B ⊆ M₁.E → (M₁.Base B ↔ M₂.Base B)
⊢ M₁ = M₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
P : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q 1 → Prop
ι : ∀ (v : M), P ((CliffordAlgebra.ι Q) v) ⋯
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1) (hy : y ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P y hy → P (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul : ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ evenOdd Q 1
ιv : CliffordAlgebra Q
h : ιv ∈ LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q) ^ ZMod.val 1
⊢ P ιv ⋯
α : Type u
DecidableEq α
x : FreeGroup α
⊢ x.norm = 0 ↔ x = 1
a b : Int
H : a - 1 < b
⊢ a ≤ b
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n k : ℕ
⊢ n ≤ n + k
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
n : ℕ
hn : (⇑φ)^[n] = _root_.id
g : G
⊢ (List.map (fun k => (⇑φ)^[k] (commutatorMap (⇑φ) g)) (List.range n)).prod = 1
s : Set ℕ
k : ℕ
h : sInf s = k + 1
⊢ s.Nonempty
b : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
x : Ordinal.{u_1}
⊢ x < b ^ Order.succ (Ordinal.log b x)
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
DecidableEq R
p : R[X]
⊢ p ≠ 0 → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ p.degree ∧ ∀ (a : R), Multiset.count a s = Polynomial.rootMultiplicity a p
a b c : ℤ
h : b ∣ a
hdiv : a / b ∣ c
⊢ a ∣ b * c
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u_4
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
h : ∀ a < type r, succ a < type r
x : α
⊢ x = enum r (typein r x) ⋯
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : A
p : R[X]
⊢ ((PolyEquivTensor.toFunBilinear R A) a) p = p.sum fun n r => (Polynomial.monomial n) (a * (algebraMap R A) r)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
f : (i : α) → E i
hp : 0 < p.toReal
hfq : Memℓp f 0
hpq : 0 ≤ p
⊢ Memℓp f p
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s : ι → Set (Set α)
⊢ ⋃₀ ⋃ i, s i = ⋃ i, ⋃₀ s i
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
n : ℕ
⊢ x ^ n * x ∈ S
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Finset.image Subtype.val s.attach = s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℂ n f x
⊢ ContDiffAt ℂ n (fun x => Complex.sinh (f x)) x
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
r : R
⊢ x * TrivSqZeroExt.inl r = x <• r
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : C
hA : CategoryTheory.IsSubterminal A
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct A A
⊢ hA.isoDiag.inv = CategoryTheory.Limits.diag A