ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o : Ordinal.{u}
hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o
f : LocallyConstant ↑C ℤ
m : Products I
hm : m < l
⊢ eval C m = f ↔ (πs C o) (eval (π C fun x => ord I x < o) m) = f
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : I ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type u₂)
A : C
i : I
⊢ (colimitHomIsoLimitYoneda F A).hom ≫ limit.π (F.op ⋙ yoneda.obj A) (op i) = (coyoneda.map (colimit.ι F i).op).app A
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialEquiv X Y
a : IsOpen e.source
b : IsOpen e.target
c : ContinuousOn (↑e) e.source
d : ContinuousOn e.invFun e.target
⊢ ↑{ toPartialEquiv := e, open_source := a, open_target := b, continuousOn_toFun := c, continuousOn_invFun := d } = ↑e
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
h3a : 3 ∣ a
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0
⊢ 3 ∣ {a, b, c}.gcd id
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_5
AddCommGroup N
Module R N
IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
h : f ≠ 0
⊢ Function.Surjective ⇑f
R : Type u
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
⊢ ⨅ i ∈ I, Submodule.comap (LinearMap.proj i) (p i) = Submodule.pi I p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
s : Set β
hs : MeasurableSet s
f : β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α) in g ⁻¹' s, f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β) in s, f b ∂ν
p b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
dvd : p ∣ b
⊢ padicValNat p (b / p) = padicValNat p b - 1
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a✝ : Nontrivial A
a : A
this : ↑‖star ((gelfandTransform ℂ A) a) * (gelfandTransform ℂ A) a‖₊ = ↑‖star a * a‖₊
⊢ ‖(gelfandTransform ℂ A) a‖ = ‖a‖
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
c : G
s t : Set α
⊢ c +ᵥ s =ᵐ[μ] c +ᵥ t ↔ s =ᵐ[μ] t
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
s : ↥M
⊢ ⅟(IsLocalization.mk' S 1 s) = (algebraMap R S) ↑s
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
F₁ F₁' F₂ F₂' : CategoryTheory.Functor J C
f : F₁ ⟶ F₁'
g : F₂ ⟶ F₂'
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g).app j)
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd (F₁'.obj j) (F₂'.obj j)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd (F₁.obj j) (F₂.obj j)) (g.app j)
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝² : FloorRing K
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Unique ι
k : K
x✝ : ?m.169717
⊢ (?m.169723.repr (fract (Basis.singleton ι K) k)) x✝ = (?m.169723.repr (Int.fract k)) x✝
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
m : M
a : α
⊢ AddAction.period m a = 1 ↔ m +ᵥ a = a
M : Type u_1
AddSemigroup M
TopologicalSpace M
T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x + r
s : Set M
snemp : s.Nonempty
s_compact : IsCompact s
s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x + y ∈ s
⊢ ∃ m ∈ s, m + m = m
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMulZeroClass α β
inst✝ : CeilDiv α β
f : ι →₀ β
a : α
⊢ (f ⌈/⌉ a).support ⊆ f.support
R : Type u_1
CommRing R
r : R
⊢ IsLocalization.Away r (AdjoinRoot (Polynomial.C r * Polynomial.X - 1))
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ Function.Injective fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
x : E
f' : E →L[ℝ] ℝ
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hx : f x ≠ 0
⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => √(f y)) ((1 / (2 * √(f x))) • f') s x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
t : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
X : C
n : ℤ
self : t.IsLE X n
⊢ t.LE n X
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
b : α
s t : Set α
x : α
hx : x ∈ mulSupport f
h : x ∉ s → f x = 1
⊢ x ∈ s
α : Type u_1
Semigroup α
a b : α
c : α
h : a * c = b
⊢ a ∣ b
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
⊢ primitiveRoots 0 R = ∅
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
he : e ≠ 0
this✝ : NeZero e := { out := he }
this : Module.rank (R ⧸ p) ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ 0)) = (e - 0) • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
⊢ Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ e) = e • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
⊢ (legendreSym.hom p) a = legendreSym p a
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
e' : β → γ
hf : Function.FactorsThrough g f
⊢ Function.extend f g e' ∘ f = g
M : Type u_1
Monoid M
R' : Type u_2
Ring R'
MulSemiringAction M R'
U : Subring R'
IsInvariantSubring M U
⊢ (IsInvariantSubring.subtypeHom M U).toRingHom = U.subtype
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
X : J
⊢ c.toCostructuredArrowCompToOverCompForget.hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R
inst✝⁹ : Module.Free ℤ R
inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝³ : Algebra ℚ K
inst✝² : NoZeroDivisors K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ R
I : FractionalIdeal R⁰ K
bI : Basis ι ℤ ↥↑I
this : Nontrivial K
b₀ : Basis ι ℚ K := Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b
bI.num : Basis ι ℤ ↥I.num := bI.map (LinearEquiv.restrictScalars ℤ (equivNum ⋯))
⊢ |((Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).toMatrix (Subtype.val ∘ ⇑bI)).det| = |↑(b.toMatrix (Subtype.val ∘ ⇑bI.num)).det| / |↑((Algebra.norm ℤ) ↑I.den)|
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
n : N
⊢ n ∈ f.range ↔ ∃ m, f m = n
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
n : PosNum
⊢ 1 ≤ ↑↑n
R : Type u_1
inst✝⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
M₂ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
ι : Type u_4
φ : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M →L[R] φ i
⊢ pi f = 0 ↔ ∀ (i : ι), f i = 0
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra A R
m : A
⊢ mk ((algebraMap A R) m) 1 = (algebraMap A (Localization M)) m
α : Type u
Lattice α
a b : α
⊢ a ⊓ b = a ⊔ b ↔ a = b
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s : Set L
m : L
hm : m ∈ s
⊢ m ∈ ↑(lieSpan R L s)
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → AddMonoid (β i)
b : ℕ
v : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
⊢ (b • v) i = b • v i
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
⊢ ⇑(HeytingHom.id α) = id
n a b : ℕ
t : List ℕ
⊢ ↑a + -1 * (↑b + -1 * (List.map (fun n => ↑n) t).alternatingSum) = ↑a + -↑b + (List.map (fun n => ↑n) t).alternatingSum
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hc_pos : 0 < f c
⊢ f (x * c ^ m * c ^ (n - m)) / f c ^ n ≤ f (x * c ^ m) / f c ^ m
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Cardinal.continuum * ↑n = Cardinal.continuum
𝕜 : Type u
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
f' : ι → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, HasStrictDerivAt (f i) (f' i) x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => ∏ i ∈ u, f i x) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • f' i) x
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A B : Matrix.SpecialLinearGroup n R
⊢ A = B ↔ ∀ (i j : n), ↑A i j = ↑B i j
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
r : R
⊢ (X ^ n - C r).natDegree = n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.133956, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.133960, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cocycle G K n
h : m + 1 = n
eq : δ m n α = n.negOnePow • (Cochain.ofHom φ).comp ↑β ⋯
⊢ δ n (n + 1) (descCochain φ α (↑β) h) = 0
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ HasGradientAt f (∇ f x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f
⊢ Embedding f ∧ IsOpen (range f) ↔ (∀ (x : ι), Embedding ((U x).carrier.restrictPreimage f)) ∧ ∀ (x : ι), IsOpen (range ((U x).carrier.restrictPreimage f))
q : ℍ
hv : ‖q.im‖ = 0
⊢ normSq (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im) = Real.cos ‖q.im‖ ^ 2 + Real.sin ‖q.im‖ ^ 2
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih : ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V}, IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
this : Nontrivial V
hB₁ : B ≠ 0
x : V
hd : finrank K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) + 1 = d + 1
hx : ¬IsOrtho B x x
B' : ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] K := domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)
v' : Basis (Fin d) K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)
hv₁ : (domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)).IsOrthoᵢ ⇑v'
b : Basis (Fin (d + 1)) K V := Basis.mkFinCons x v' ⋯ ⋯
⊢ IsOrthoᵢ B (Fin.cons x (Subtype.val ∘ ⇑v'))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
hA' : MeasurableSet A
⊢ ∀ t ∈ {s | ∃ n, MeasurableSet s}, (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) t
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
StarAddMonoid E
self : NormedStarGroup E
x : E
⊢ ‖x⋆‖ = ‖x‖
x : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' (Ioi ↑x ∩ Iio ⊤) = Ioi x
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f g : CategoryTheory.Over X
hl : f.left ≅ g.left
hw : CategoryTheory.CategoryStruct.comp hl.hom g.hom = f.hom := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Over.isoMk hl hw).hom.left = hl.hom
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ ↑S.op = MulOpposite.unop ⁻¹' ↑S
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
h : (a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 = 0 ∧ a.imJ ^ 2 = 0) ∧ a.imK ^ 2 = 0
⊢ 0 ≤ a.re ^ 2
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
A s : Set M
h : A ⊆ ↑S
⊢ A ⊆ ↑((closure (L[[↑A]])).toFun s)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
p : NumberField.RingOfIntegers K
hp : Prime p
hpaηb : p ∣ S.a + ↑⋯.unit * S.b
hpaηsqb : p ∣ S.a + ↑⋯.unit ^ 2 * S.b
⊢ Associated p (hζ.toInteger - 1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 (E →WOT[𝕜]F) (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) := seminormFamily 𝕜 E F
h : (Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun i => ⇑(inducingFn 𝕜 E F) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)
⊢ (Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun i => 𝓝 0)).HasBasis (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets id
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s
⊢ ⋂ l, {x | ∃ y ∈ s, l x ≤ l y} = s
α : Type u
R : α → α → Prop
l : List α
a b : α
IsTrans α R
hl : List.Chain R a l
hb : b ∈ l
⊢ R a b
α : Type u
f : α → α
x : α
h : f x = x
n : ℕ
⊢ f^[n] x = x
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d : D
⊢ 𝟙 d ∈ (map φ hφ S).arrows d d
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ QuotientMap ⇑h
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f : N →ₗ[R] R
⊢ ↑(TensorProduct.lid R M) ∘ₗ LinearMap.rTensor M f = TensorProduct.lift (LinearMap.lsmul R M ∘ₗ f)
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
f : α →ᵈ α
n : ℕ
⊢ Dilation.ratio (f ^ n) = Dilation.ratio f ^ n
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
n k : ℕ
hk : k < n + 1
⊢ n + 1 - k = n - k + 1
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hfg : f =ᶠ[𝓝[≠] x] g
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z => z - x) x
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ (m + 1) • g z) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f✝ : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel α β
f : β → γ
g : β → δ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
x : α
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet {p | p.2 ∈ s}
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
x : ι → ℝ
⊢ x ∈ ↑I ↔ x ∈ I
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
p : y = x → x = y := ⋯
⊢ ltByCases x y h₁ h₂ h₃ = ltByCases y x h₃ (h₂ ∘ p) h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ setToFun μ T hT 0 = 0
a b : Int
h : b ≤ a
⊢ 0 ≤ a - b
α : Type u_1
⊢ (Matroid.emptyOn α).E = ∅
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HAdd.hAdd) LT.lt
a b c d : α
⊢ Set.Ico a b + Set.Icc c d ⊆ Set.Ico (a + c) (b + d)
α : Type u_1
a b c d : α
MulZeroClass α
PartialOrder α
PosMulStrictMono α
MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
⊢ a * c = b * d ↔ a = b ∧ c = d
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ ⊤.trim = ⊤
n : ℕ
i j : Fin n.succ
h : j ≤ i
⊢ i.cycleRange j = if j = i then 0 else j + 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
X Y : D
f : X ⟶ Y
this : L.mapArrow.EssSurj
φ : Arrow C
e : L.mapArrow.obj φ ≅ Arrow.mk f
⊢ ∃ Z g h, Triangle.mk f g h ∈ L.essImageDistTriang
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
H₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
H₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
⊢ HasIntegral I l f vol (g I)
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
CommRing S
IsDomain S
DecidableEq S
m : R →+* S
d : ℕ
U : Set R
h : U.Finite
⊢ (⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ d ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ U), ↑(Polynomial.map m f).roots.toFinset).Finite
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
ι : Type u_2
α : Type u_3
F : ι → α → G
f : α → G
p : Filter ι
s : Set α
⊢ TendstoUniformlyOn F f p s ↔ ∀ u ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ a ∈ s, F i a - f a ∈ u
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : CategoryTheory.Grothendieck (G.comp CategoryTheory.typeToCat)
⊢ ((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCat G).unitIso.hom.app X).fiber = CategoryTheory.eqToHom ⋯
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : EnoughInjectives C
Z : C
n : ℕ
⊢ HomologicalComplex.ExactAt (ofCocomplex Z) (n + 1)
m n₁ n₂ : ℕ
h : n₁ + 1 < n₂ + 1
⊢ n₁ < n₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
CommRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
AddCommGroup G
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module 𝕜 G
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
TopologicalAddGroup G
ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ q.removeZero.comp p n = q.comp p n
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, -nim k = nim k
⊢ (mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun j => -nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) j)) fun i => -nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)) = mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)
i j : ℤ
H : 0 < i.gcd j
⊢ (i / ↑(i.gcd j)).gcd (j / ↑(i.gcd j)) = 1
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
NonUnitalNonAssocSemiring R
ContinuousAdd R
ContinuousMul R
Fintype n
A : X → Matrix m n R
B : X → n → R
hA : Continuous A
hB : Continuous B
⊢ Continuous fun x => A x *ᵥ B x
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
S0 : Set α
hS0 : S0 ⊆ S
H0 : C ↑⟨S0, hS0⟩
H1 : ∀ s ⊂ S, C s → ∃ a ∈ S \ s, C (insert a s)
this✝ : Finite ↑S
this : Finite { T // T ⊆ S }
s : { x // x ⊆ S }
hs : ↑s ≠ ↑⟨S, ⋯⟩
hs' : C ↑s
⊢ ∃ c > s, C ↑c
α : Type u_1
Add α
s t₁ t₂ : Set α
a : α
h : t₁ ⊆ t₂
⊢ s.addAntidiagonal t₁ a ⊆ s.addAntidiagonal t₂ a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g j k) (fV 𝒰 f g j i) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) ≫ pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryProductIso F G).hom
    CategoryTheory.FunctorToTypes.prod.fst =
  CategoryTheory.Limits.prod.fst
x y : PartENat
hx : x ≠ ⊤
h : x ≤ y
⊢ x < y + 1
r p : ℝ≥0
h : 1 ≤ r * p
⊢ r⁻¹ ≤ p
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
⊢ Nat.card ↑↑(Stab (mk w.embedding)) = 1 ∨ Nat.card ↑↑(Stab (mk w.embedding)) = 2
α : Type u_1
Lattice α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a / mabs a = (a⁻ᵐ ^ 2)⁻¹
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
⊢ List.count a [b] = if a = b then 1 else 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
adj3 : F ⊣ G''
x : D
⊢ (adj1.rightAdjointUniq adj2).hom.app x ≫ (adj2.rightAdjointUniq adj3).hom.app x = (adj1.rightAdjointUniq adj3).hom.app x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
⊢ sublistsLen 1 [] = map (fun x => [x]) [].reverse
ι : Type u
f : ι → Scheme
x : ↑↑(∐ f).toPresheafedSpace
⊢ ∃ i y, (Sigma.ι f i).val.base y = x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β : Type w
b : β
X : CategoryTheory.GradedObject β C
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.eval b).obj X = X b
α : Type u
l : List α
n : ℕ
h : ¬l.length = 0
⊢ l.rotate n = l.rotate' n
K : Type u
Field K
⊢ RatFunc.denom 0 = 1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : IsPiSystem C
hD : IsPiSystem D
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ C
t₁ : Set β
ht₁ : t₁ ∈ D
s₂ : Set α
hs₂ : s₂ ∈ C
t₂ : Set β
ht₂ : t₂ ∈ D
hst : ((s₁ ∩ s₂) ×ˢ (t₁ ∩ t₂)).Nonempty
⊢ (s₁ ∩ s₂) ×ˢ (t₁ ∩ t₂) ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Finite M
h : Nonempty M
this : Fintype M
⊢ ↑(card ↑{x | Commute x.1 x.2}) / ↑(card M) ^ 2 = 1 ↔ Commutative fun x x_1 => x * x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
x : Set α
⊢ ⇑f '' maximals r x = maximals s (⇑f '' x)
α : Type u
⊢ Cardinal.mk α < Cardinal.aleph0 ↔ Nonempty (Fintype α)
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ Function.Surjective ⇑e
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
a : α
s : List α
ih : sublistsLen 1 s = map (fun x => [x]) s.reverse
⊢ map (fun x => [x]) s.reverse ++ map (cons a) [[]] = map (fun x => [x]) s.reverse ++ map (fun x => [x]) [a]