ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
h : ¬MDifferentiableAt I I' f x
⊢ mfderiv I I' f x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Filter.Tendsto seq Filter.atTop Filter.atTop
⊢ ∀ᵐ (c : β) ∂ν a, Filter.Tendsto (fun m => f (a, c) (seq m)) Filter.atTop (𝓝 1)
α : Type u_3
DecidableEq α
AddCommMonoid α
s : Multiset α
⊢ s.sum = ∑ m ∈ s.toFinset, Multiset.count m s • m
x : SetTheory.PGame
j : x.RightMoves
⊢ (x.moveRight j).Subsequent x
𝕜 : Type u
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
SeminormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
k n : ℕ
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
z : G
⊢ ‖f.restr s hk z‖ ≤ ‖f‖ * ‖z‖ ^ (n - k)
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
⊢ IsLprojection X (P * Q)
R : Type u
CommRing R
P : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ u • P = ![↑u * P 0, ↑u * P 1, ↑u * P 2]
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
⊢ ↑(IntermediateField.AdjoinSimple.gen F α) = α
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝ : DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
m n : ℕ
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
s : Finset α
h₂ : s ∈ 𝒜 # m
h₁ : ∃ s_1, ((∃ t ∈ 𝒜, s_1 ⊆ t) ∧ s_1.card = n) ∧ ∃ a ∈ s_1, s_1.erase a = s
⊢ False
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx : x ≠ 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i = (x ^ m - x ^ n) / (1 - x)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
⊢ Measure.map (s.restrict f) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) = μ.restrict (f '' s)
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) := {u | u ⊆ t ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
uT : u ∈ T
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
⊢ (insert a' u).PairwiseDisjoint B
R : Type u_1
P : Cubic R
CommRing R
IsDomain R
h0 : P.toPoly ≠ 0
x : R
⊢ x ∈ P.roots ↔ P.a * x ^ 3 + P.b * x ^ 2 + P.c * x + P.d = 0
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
⊢ G.girth = 0 ↔ G.IsAcyclic
G : Type u_1
Group G
⊢ StrictMono Subgroup.toSubmonoid
R : Type u_1
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R M₂
Module.Flat R M₂
rs : List R
h : RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular (TensorProduct R M₂ M) rs
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
⊢ H.Connected ↔ H.Preconnected ∧ H.verts.Nonempty
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
h : p ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ False
R : Type u_1
Semigroup R
StarMul R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
z : R
⊢ IsSelfAdjoint (z * x * star z)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
sa : Setoid α
sb : Setoid β
f : α → β
h : ((fun x x_1 => x ≈ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ≈ x_1) f f
x : α
⊢ Quotient.map f h ⟦x⟧ = ⟦f x⟧
α : Type u_1
E : Type u_2
m✝ m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfg : μ.withDensity f = μ.withDensity g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : μ s < ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
n : ℕ
c : Char
s : String
⊢ (String.leftpad n c s).length = max n s.length
G₀ : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G₀
MeasurableSpace α
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
MeasurableSMul G₀ α
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.smul₀ c hc) = fun x => c • x
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
⊢ X.id.val = 𝟙 X.toSheafedSpace
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
⊢ Embedding MeasureTheory.ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : UniqueDiffOn ℝ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
⊢ ContinuousOn (fun t => ((↑i !)⁻¹ * (x - t) ^ i) • iteratedDerivWithin i f s t) s
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p : Submodule K V
⊢ p ⩿ span K {x} ⊔ p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ (∀ s ∈ l₂.sets, r.core s ∈ l₁) ↔ l₁ ≤ rcomap r l₂
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
u : Finset α
s t : Set α
⊢ ↑u ⊆ s ⊼ t → ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ s' ⊼ t'
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
A : C
i : ι
γ : A ⟶ K.homology i
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ z, ∃ (hz : z ≫ K.d i (c.next i) = 0), π ≫ γ = K.liftCycles z (c.next i) ⋯ hz ≫ K.homologyπ i
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ SimpleGraph.hasseDualIso.symm a = OrderDual.toDual a
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
hdvd : map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ) ∣ X ^ n - 1
⊢ (map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ)).Separable
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L L' : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)
x : α
⊢ (L + L') (↑↑f x) = L (↑↑f x) + L' (↑↑f x)
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
a : α
⊢ IsAddUnit a → IsAddUnit {a}
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → G
x : G
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
z : ℤ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => z • f x) l (𝓝 (z • x))
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a b : ℝ
h : a < b
⊢ #↑(Ioo a b) = 𝔠
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ Real.sin x ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : min c d ≤ b
⊢ Iio b ∪ Ico c d = Iio (max b d)
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
self : CuspForm Γ k
⊢ MDifferentiable 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) ⇑self.toSlashInvariantForm
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
J : Submodule R P
b : P
hb : b ∈ I ⊓ J
⊢ IsInteger R (aI • b)
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
⊢ generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
α : Type u
a : α
as : List α
bs : List α
⊢ a ∈ as → a ∈ as ++ bs
R : Type u_1
Semiring R
f g : ArithmeticFunction R
⊢ ⇑f ⍟ ⇑g = ⇑(f * g)
n : ℕ
a : Fin n
⊢ -a = ⟨(n - ↑a) % n, ⋯⟩
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
CompleteSpace E'
NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ ↑↑↑((MeasureTheory.condexpL2 E' 𝕜 hm) (MeasureTheory.indicatorConstLp 2 hs hμs x)) =ᵐ[μ] fun a =>
  ↑↑↑((MeasureTheory.condexpL2 ℝ ℝ hm) (MeasureTheory.indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
g : β → γ
⊢ ∀ (a : β), single (g a) 0 = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this : Nonempty { x // x ∈ s }
⊢ s.card ≤ t.card
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : DecidableEq L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsFractionRing R K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
⊢ (∃ x, spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I) ↔ ∃ x, spanSingleton R⁰ x = ↑I
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b a : K
⊢ 1 / -a = 1 / (-1 * a)
M : Type u_4
AddMonoid M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : M
⊢ a + (n - 1) • a = n • a
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
a✝¹ b✝¹ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c : α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ max a b / min a b = mabs (a / b)
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
C : ChainComplex V ℕ
i : ℕ
⊢ C.d (i + 2) 0 = 0
α : Type u
PseudoMetricSpace α
⊢ 𝓤 (UniformSpace.Completion α) = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | dist p.1 p.2 < ε}
α : Type u
l₁ l₂ : List α
s₁ : l₁.Sublist l₂
s₂ : l₂.Sublist l₁
⊢ l₁ = l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α
⊢ x ∈ Ioc a b ∪ Ioi c ↔ x ∈ Ioi (min a c)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a✝ b c a : α
⊢ ∀ (x : α), x ∈ Icc a a ↔ x ∈ {a}
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
⊢ a₁ ⊓ a₂ ∉ J
k n m : ℕ
⊢ (k * n).dist (k * m) = k * n.dist m
G : Type u_1
AddGroup G
Fintype G
IsAddKleinFour G
⊢ Fintype.card G = 4
m : Type u_2
R : Type u_5
α : Type v
ι : Type u_6
SMul R α
x : R
v : m → α
⊢ Matrix.col ι (x • v) = x • Matrix.col ι v
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁵ : Linear 𝕜 C
inst✝⁴ : HasKernels C
X Y : C
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ Y)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : ¬finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 1
⊢ finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ (s.diffs t).card ≤ s.card * t.card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution Y
Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ProjectiveResolution.liftFOne f P Q) (Q.complex.d 1 0) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.complex.d 1 0) (CategoryTheory.ProjectiveResolution.liftFZero f P Q)
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : MeasureTheory.Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (μ.prod MeasureTheory.volume)
hfg' : MeasureTheory.Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (μ.prod MeasureTheory.volume)
hfg : MeasureTheory.Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) (μ.prod MeasureTheory.volume)
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
⊢ ∫ (x : E × ℝ), (B (f x)) (g' x) ∂μ.prod MeasureTheory.volume =
  -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ.prod MeasureTheory.volume
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
y : Y
⊢ h (h.symm y) = y
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
y : β
⊢ y ∈ f '' s ↔ ∃ x, x ∈ s ∧ f x = y
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.AbsolutelyContinuous μ
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
hf : Antitone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun x => Set.Ioc (f x) (g x)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f g : Function.End α
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
⊢ LipschitzWith (Kf * Kg) (f * g)
α : Type u_1
β : Type u_2
g : β → α
⊢ Monotone (MeasurableSpace.comap g)
α : Type u_1
β : Type u_2
IsEmpty α
b : β
⊢ (Equiv.emptySum α β) (Sum.inr b) = b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.compatibilityOfZerosOfIsColimitCokernelCofork S hf hg c hc).φH =
  CategoryTheory.Limits.Cofork.π c
s : Type u_1
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : s → X.Opens
hU : ⨆ i, U i = ⊤
i : s
⊢ (X.openCoverOfISupEqTop U hU).map i = (U i).ι
b x : ℝ
hb : 1 < b
hx : 1 ≤ x
⊢ 0 ≤ Real.logb b x
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α → ℝ≥0∞
g : β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g ν
⊢ ∫⁻ (z : α × β), f z.1 * g z.2 ∂μ.prod ν = (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) * ∫⁻ (y : β), g y ∂ν
N k : ℕ
⊢ (N.smoothNumbersUpTo k).card ≤ 2 ^ k.primesBelow.card * N.sqrt
θ : ℝ
⊢ (↑θ).toReal = θ + 2 * π ↔ θ ∈ Set.Ioc (-3 * π) (-π)
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n
𝒜 : Finset (Finset ℕ) := image (fun n => (f n).primeFactors) (Iio n)
hf'' : ∀ i < n, ∀ (j : ℕ), Squarefree (f i / (f i).gcd (f j))
⊢ n = 𝒜.card
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
AddZeroClass β
f f' : α → β
hf : HasCompactSupport f
hf' : HasCompactSupport f'
⊢ HasCompactSupport (f + f')
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
hI : M.Indep I
⊢ M ↾ I = freeOn I
n a b c : ℤ
⊢ a ≡ b [ZMOD n] → b ≡ c [ZMOD n] → a ≡ c [ZMOD n]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
T0Space β
f : α → β
h : UniformContinuous f
a : α
⊢ SeparationQuotient.lift' f (SeparationQuotient.mk a) = f a
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
⊢ ∀ (z : ℍ), 2 ≤ z.im → Complex.abs ((eisensteinSeries a k ∣[k] A) z) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t₁ t₂ : Set β
f : α → β
⊢ Set.MapsTo f s (t₁ ∩ t₂) ↔ Set.MapsTo f s t₁ ∧ Set.MapsTo f s t₂
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a a' : α
b : M
h : a ≠ a'
⊢ Finsupp.erase a (Finsupp.single a' b) = Finsupp.single a' b
m n k : ℕ
⊢ m.Coprime (m * k + n) ↔ m.Coprime n
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : CompleteLattice β
m : MeasurableSpace α
γ : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice γ
f : α → β
μ : Measure α
g : β ≃o γ
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) fun x => g (f x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → ℂ
n : ℕ∞
h : ContDiff 𝕜 n f
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => Complex.exp (f x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
h : ∠ b p c = π
⊢ (dist a p * dist a p + dist b p * dist b p - 2 * dist a p * dist b p * -Real.cos (∠ a p c)) * dist c p + (dist a p * dist a p + dist c p * dist c p - 2 * dist a p * dist c p * Real.cos (∠ a p c)) * dist b p = (dist b p + dist c p) * (dist a p ^ 2 + dist b p * dist c p)
p q : Num
⊢ p.lxor q = p ^^^ q
α : Type u_1
LinearOrderedField α
⊢ Archimedean α ↔ ∀ (x : α), ∃ n, x ≤ ↑n
a b c : Cardinal.{u_1}
hc : ℵ₀ ≤ c
h1 : a < c
h2 : b < c
h : ℵ₀ ≤ max a b
⊢ max a b < c
δ' : Type u_5
π : δ' → Type u_6
(x : δ') → MeasurableSpace (π x)
DecidableEq δ'
l : List δ'
hnd : l.Nodup
h : ∀ (i : δ'), i ∈ l
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.piMeasurableEquivTProd hnd h) = List.TProd.mk l
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n ℝ
hM : M.PosDef
x : n → ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < M.toQuadraticMap' x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype α
h₁ : image f univ = univ
⊢ ∃ a, f a = x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ ⟂ₘ 0
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
h e f : L
NoZeroSMulDivisors ℤ M
t : IsSl2Triple h e f
m : M
μ ρ : R
hm : m ≠ 0
hm' : ⁅h, m⁆ = μ • m
he : ⁅e, m⁆ = ρ • m
⊢ t.HasPrimitiveVectorWith m μ
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ≥0∞
⊢ y ∈ EMetric.closedBall x ε ↔ edist y x ≤ ε
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
q r : ℚ
hqr : q ≤ r
x : ℝ
hx : x ∈ Iic ↑(-r)
⊢ x ∈ Iic ↑(-q)
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ GromovHausdorff.candidates X Y
⊢ f (x, y) - f (z, t) ≤ 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.arccos (‖x‖ * ‖x‖ / (‖x‖ * ‖x + y‖)) = Real.arccos (‖x‖ / ‖x + y‖)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.opMap φ).τ₁ = φ.τ₃.op
b : Cardinal.{u_1}
⊢ 0 * b ≤ max (max 0 b) ℵ₀
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
hb : n ≤ b
⊢ ↑b ≤ a + ↑n ↔ b ≤ ⌊a⌋₊ + n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSpace.SeparatesPoints α ↔ ∀ (x y : α), (∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)) → x = y
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set (Sym2 V)
⊢ G'.deleteEdges (G'.edgeSet ∩ s) = G'.deleteEdges s
P : Type u_1
Preorder P
IF : Order.Ideal.PrimePair P
⊢ ↑IF.I ∪ ↑IF.F = Set.univ
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
h : x ∈ span R (↑p ∪ ↑p')
⊢ ∀ (a : R) (x : M), (∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x) → ∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = a • x
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : x.Compatible
⊢ FamilyOfElements.restrict ⋯ x.sieveExtend = x
ctx : Nat.Linear.Context
p : Nat.SOM.Poly
k : Nat
m : Nat.SOM.Mon
⊢ Nat.SOM.Poly.denote ctx (p.mulMon k m) = Nat.SOM.Poly.denote ctx p * k * Nat.SOM.Mon.denote ctx m
M : Type u_1
AddMonoid M
a : AddUnits M
h : IsAddUnit ↑a
⊢ h.addUnit = a
n m k : ℕ
i j : Fin k
⊢ HEq i j ↔ ↑i = ↑j
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : S = ⊤
x : A
⊢ x ∈ ⊤
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s₁ s₂ : Set α
hd : Disjoint s₁ s₂
h : MeasurableSet s₁
⊢ μ (s₁ ∪ s₂) = μ s₁ + μ s₂
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedRing α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * g x) l Filter.atTop
α : Type u
β : α → Type v
l l₁ l₂ : List (Sigma β)
L : List (List (Sigma β))
⊢ Pairwise (fun l₁ l₂ => ∀ x ∈ l₁, ∀ y ∈ l₂, x.fst ≠ y.fst) L ↔ Pairwise (fun a b => a.keys.Disjoint b.keys) L
obj : Type u
self : CategoryTheory.Groupoid obj
X Y : obj
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Groupoid.inv f) f = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ (fun ω => (((ProbabilityTheory.condexpKernel μ m) ω) s).toReal) =ᵐ[μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m ⊓ mΩ]
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
⊢ a⁻¹ < b ↔ 1 < b * a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulZeroClass α β
s✝ : Set α
t : Set β
a : α
s : Set α
⊢ s • 0 ⊆ 0
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ (p - q).degrees ≤ p.degrees ⊔ q.degrees
a : ℤ
b : ℕ
⊢ jacobiSym a b = 0 ∨ jacobiSym a b = 1 ∨ jacobiSym a b = -1
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
h : π.IsPartition
π₁ : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ π₁.iUnion ⊆ π.iUnion
α : Type u
c₁ c₂ : Computation α
⊢ (HOrElse.hOrElse c₁.think fun x => c₂.think) = (HOrElse.hOrElse c₁ fun x => c₂).think
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SSameSide x y
⊢ y ∉ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
⊢ l.sublists' = map reverse l.reverse.sublists
R : Type u
Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : CategoryTheory.Limits.Fan f
⊢ (ModuleCat.HasLimit.productLimitCone f).isLimit.lift s = ModuleCat.HasLimit.lift f s