ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
this : A * (A.adjugate * A.adjugate.adjugate) = A * A.det ^ (Fintype.card n - 1) • 1
⊢ A.det • A.adjugate.adjugate = A.det ^ (Fintype.card n - 1) • A
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedRing 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ interior s
α : Type u
DivisionMonoid α
a b : α
h : IsUnit a
⊢ a⁻¹ * b = 1 ↔ a = b
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ dist a b ≤ r → ‖a‖ ≤ ‖b‖ + r
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A₀ : C
x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃
hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A₀
hπ₁ : Epi π₁
p : A₁ ⟶ S.P
hp : π₁ ≫ x₃ = p ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃
hp' : (p ≫ S.φ₁) ≫ S.v₂₃.τ₁ = 0
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₃ = x₁ ≫ S.L₁'.f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : (∡ p₁ p₂ p₃).sign = -1
⊢ p₃ ≠ p₂
n d : ℕ
⊢ ↑n / ↑d = Rat.divInt ↑n ↑d
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
n : ℕ
⊢ a ≡ b [PMOD p] → n • p + a ≡ b [PMOD p]
n : ℕ
hn : 1 < n
⊢ n.totient < n
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
⊢ (W.map f).Ψ₃ = Polynomial.map f W.Ψ₃
b n : ℕ
h : 1 < b
hn : b ≤ n
⊢ (if h : b ≤ n ∧ 1 < b then log b (n / b) + 1 else 0) = log b (n / b) + 1
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∀ i ∈ s, (f i).Monic
⊢ (∏ i ∈ s, f i).natDegree = ∑ i ∈ s, (f i).natDegree
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
m : ℕ
hn : 0 < n
⊢ m.gcd n * addOrderOf ↑(↑m / ↑n * p) = n
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts ys : List α
f : List α → β
⊢ List.map f (List.permutationsAux2 t ts [] ys id).2 = (List.permutationsAux2 t ts [] ys f).2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
hb : LinearIndependent ℝ b
hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction
hv : ∀ v ∈ s.direction, ∃ t₁ t₂, v = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
t₁ t₂ : ℝ
hop : t₁ = 0
hps : t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ ∈ s
hpc₁ : t₂ = 0 ∨ t₂ = -2 * ⟪p₂ -ᵥ p₁, p₁ -ᵥ c₁⟫_ℝ / ⟪p₂ -ᵥ p₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ
hpc₂ : dist (t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁) c₂ = r₂
hp' : p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0
hp₂ : 1 = -2 * ⟪p₂ -ᵥ p₁, p₁ -ᵥ c₁⟫_ℝ / ⟪p₂ -ᵥ p₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ
⊢ t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ = p₁ ∨ t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ = p₂
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
c d : R
x✝ y : M
b✝ : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R M
w : Set M
hi : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ w }) R Subtype.val
h : Set.range ⇑b ≤ w
x : M
p : x ∈ w
q : x ∉ Set.range ⇑b
e : (Finsupp.total ι M R ⇑b) (b.repr x) = x
⊢ False
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulBitraversable t
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
α₀ α₁ α₂ β : Type u
f : α₀ → F α₁
f' : α₁ → G α₂
x : t α₀ β
⊢ Functor.Comp.mk (Bitraversable.tfst f' <$> Bitraversable.tfst f x) =
  Bitraversable.tfst (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map f' ∘ f) x
X Y : Scheme
U✝ : X.Opens
hU : IsAffineOpen U✝
f✝ : ↑Γ(X, U✝)
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : { U // ↑U ≤ Scheme.Hom.opensRange f }
⊢ IsAffineOpen (f ''ᵁ f ⁻¹ᵁ ↑↑U)
p : ℝ
⊢ Measurable (ProbabilityTheory.geometricPMFReal p)
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
s : Set α
⊢ Measurable fun x => Metric.infDist x s
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} A'
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} B'
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} T'
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
L' : CategoryTheory.Functor A' T'
R' : CategoryTheory.Functor B' T'
F₁ : CategoryTheory.Functor A A'
F₂ : CategoryTheory.Functor B B'
F : CategoryTheory.Functor T T'
α : F₁.comp L' ⟶ L.comp F
β : R.comp F ⟶ F₂.comp R'
X : CategoryTheory.Comma L R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.map α β).obj X).left = F₁.obj X.left
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : D ⥤ C ⥤ D
Y : C
e : F.flip.obj Y ≅ 𝟭 D
inst✝² : (X : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.obj X)
p : J × I → J
hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j
X X' : GradedObject J D
φ : X ⟶ X'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F J I).obj X).obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F J I).obj X').obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p
j : J
⊢ ιMapBifunctorMapObj F p X ((single₀ I).obj Y) j 0 j ⋯ ≫ (CofanMapObjFun.iso (mapBifunctorRightUnitorCofanIsColimit F Y e p hp X j)).inv = (F.obj (X j)).map (singleObjApplyIso 0 Y).hom ≫ e.hom.app (X j)
R : Type u
CommRing R
⊢ (CoalgebraCat.comonEquivalence R).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun x => CategoryTheory.Iso.refl (((CoalgebraCat.ofComon R).comp (CoalgebraCat.toComon R)).obj x)) ⋯
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing α
A : Matrix l m α
v : m → α
⊢ ‖A *ᵥ v‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖v‖₊
R : Type u_1
Semiring R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
AddCommMonoid X
Module R X
x : OreLocalization S X
⊢ 0 • x = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2
⊢ ↑C = Set.univ
α : Type u
ι : Type v
MetricSpace α
ProperSpace α
c : ι → α
s : Set α
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), 0 < r i
hs : IsClosed s
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ Metric.ball (c i) (r i)}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, Metric.ball (c i) (r i)
⊢ ∃ r', s ⊆ ⋃ i, Metric.ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i ∈ Set.Ioo 0 (r i)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
I : IsNoetherianRing R
hN : N.FG
s : Finset M
hs : span R ↑s = N
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq R
this : ∀ x ∈ s, x ∈ N
⊢ (↑↑s → R) →ₗ[R] ↥N
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
ι : Type u_5
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
S : ι → AddSubmonoid N
⊢ AddSubmonoid.map f (⨆ i, AddSubmonoid.comap f (S i)) = iSup S
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
X : CategoryTheory.Sheaf J D
⊢ ((CategoryTheory.sheafificationNatIso J D).inv.app X).val =
  CategoryTheory.sheafifyLift J (CategoryTheory.CategoryStruct.id X.val) ⋯
μ : YoungDiagram
⊢ μ.rowLens.length = μ.colLen 0
G : Type u_1
Monoid G
x y : G
DecidableEq G
hx : IsOfFinOrder x
⊢ y ∈ Submonoid.powers x ↔ y ∈ Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range (orderOf x))
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x✝ y✝ : α
Φ : α → β
h : IsCompact s
hne : s.Nonempty
x y : α
hys : y ∈ s
hy : infEdist x s = edist x y
⊢ infDist x s = dist x y
⊢ volume = Measure.map (⇑measurableEquivPi.symm) volume
ι : Sort u_4
x : ι → ℝ≥0∞
⊢ (iInf x)⁻¹ = ⨆ i, (x i)⁻¹
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A
⊢ (∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)) ↔ ∀ (x x_1 : M), (((LinearMap.mul R A).compl₂ f ∘ₗ f + (LinearMap.mul R A).flip.compl₂ f ∘ₗ f) x) x_1 = ((LinearMap.compr₂ (QuadraticMap.polarBilin Q) (Algebra.linearMap R A)) x) x_1
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
i : Function.Injective ⇑f
p : Submodule R M
x : ↥p
⊢ ↑((Submodule.equivMapOfInjective f i p) x) = f ↑x
x : ℝ
⊢ Real.arctan x = Real.arcsin (x / √(1 + x ^ 2))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n✝ : ℕ
ha : Even a
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
⊢ Even (a ^ (n + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
s : Sym2 α
h : ∀ x ∈ s, f x = g x
y : β
⊢ (∃ a ∈ s, f a = y) ↔ ∃ a ∈ s, g a = y
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Set α
IsRefl α r
hs : s.Finite
⊢ s.PartiallyWellOrderedOn r
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ Complex.abs ((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial + (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial)) / 2) ≤ Complex.abs ((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2) + Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2)
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => u ⌊c k ^ n⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 l)
⊢ Tendsto (fun n => u n / ↑n) atTop (𝓝 l)
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : ι → Submodule R M
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, ↑(p i) = Set.univ
⊢ ⋃ i ∈ s, 0 +ᵥ ↑(p i).toAddSubgroup = Set.univ
R : Type u_1
Semiring R
a : Rᵐᵒᵖ
⊢ (Polynomial.opRingEquiv R).symm (Polynomial.C a) = MulOpposite.op (Polynomial.C (MulOpposite.unop a))
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
⊢ f ≠ 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P Q : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
f : P ⟶ Q
X : C
p : yoneda.obj X ⟶ P
⊢ (G.map f).app (F.op.obj (Opposite.op X)) ((G.map p).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj X)))))) = (G.map f).app (Opposite.op (F.obj X)) ((G.map p).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj X))))))
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y x✝ s✝ t✝ s'✝ t'✝ : R
⊢ (xgcdAux 0 s✝ t✝ x✝ s'✝ t'✝).1 = gcd 0 x✝
m : Type u_1 → Type u_2
β : Type u_1
α : Type u_3
Monad m
f : β → α → m β
init : β
arr : Array α
⊢ Array.foldlM f init arr 0 = List.foldlM f init arr.data
n : ℕ
⊢ Odd ↑n ↔ Odd n
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝ : Field R
A : Matrix n n R
hAps : Splits (RingHom.id R) A.charpoly
⊢ A.trace = A.charpoly.roots.sum
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
x : L
hx : x ∈ H
hx' : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x)
⊢ (traceForm K (↥H) L) ⟨x, hx⟩ = 0
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
A : Type u_6
CommRing A
Algebra R A
⊢ (LinearMap.trace A (TensorProduct R A M)) (LinearMap.baseChange A f) = (algebraMap R A) ((LinearMap.trace R M) f)
α : Type u
Add α
a : WithBot α
y : α
⊢ a + ↑y = ⊥ ↔ a = ⊥
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
f : α → β
h : ∀ (x y : α), x < y → f x ≠ f y
⊢ Function.Injective f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ Set.range SeparationQuotient.mk = Set.univ
R : Type u_1
n : Type u_3
CommRing R
Fintype n
DecidableEq n
i j : ℕ
h : i + j = Fintype.card n
⊢ ((Matrix.charpoly.univ R n).coeff i).IsHomogeneous j
α : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
SMul M α
x : M
y : α
v : Fin n → α
⊢ x • Matrix.vecCons y v = Matrix.vecCons (x • y) (x • v)
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α → Finset β
⊢ ∅.disjiUnion t ⋯ = ∅
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
Preorder δ
AddZeroClass α
AddZeroClass β
AddZeroClass γ
AddZeroClass δ
f : γ →+o δ
g : β →+o γ
h : α →+o β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
this : e = 0
⊢ h = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
r : R
s t : ↥S
⊢ ↑s -ₒ t + (r -ₒ s) = r -ₒ t
m : Nat
m_pos : m > 0
x y : Nat
⊢ (m * x + y) / m = x + y / m
bs : List Bool
i : Nat
⊢ (BitVec.ofBoolListLE bs).getMsb i = (decide (i < bs.length) && bs.getD (bs.length - 1 - i) false)
R : Type u_2
S : Type u_3
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
s : Multiset R
⊢ f s.sum = (Multiset.map (⇑f) s).sum
x : ℝ
h : |x| < 1
term : ℕ → ℝ := fun n => -1 * ((-x) ^ (n + 1) / (↑n + 1)) + x ^ (n + 1) / (↑n + 1)
h_term_eq_goal : (term ∘ fun x => 2 * x) = fun k => 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * x ^ (2 * k + 1)
⊢ HasSum (fun k => 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * x ^ (2 * k + 1)) (log (1 + x) - log (1 - x))
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
⊢ ∀ (n : ℕ), x.appr n ≤ x.appr (n + 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
c : F
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => c + f y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0 → p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x ≠ 0} → p x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
ha : IsLeast s a
hb : IsLeast t b
⊢ IsGreatest (Set.image2 f s t) (f a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
a : α
⊢ ⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b) = ⨅ x, ⨅ (_ : x > 0), 𝓟 {a_1 | -x < a - a_1}
x : ℝ
h : -1 ≤ x
⊢ √(1 + x) ≤ 1 + x / 2
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
h : ⊥ = ⊤
⊢ IsCyclotomicExtension ∅ A B
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
x : ℝ
⊢ 0 < ProbabilityTheory.gaussianPDF μ v x
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f g : Function.End α
hf : LocallyLipschitz f
hg : LocallyLipschitz g
⊢ LocallyLipschitz (f * g)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
Archimedean 𝕜
TopologicalSpace B
f : 𝕜 → B
hf : f a = f (a + p)
hc : ContinuousOn f (Set.Icc a (a + p))
⊢ Continuous (AddCircle.liftIco p a f)
α : Type u
⊢ FreeAbelianGroup.map id = AddMonoidHom.id (FreeAbelianGroup α)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f✝ : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
f : X ⟶ Z
⊢ f ≫ 𝟙 Z = 𝟙 X ≫ f
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
⊢ CauSeq.Completion.mk f * CauSeq.Completion.mk g = CauSeq.Completion.mk (f * g)
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Finset.Colex α
⊢ s < t ↔ ∃ a ∈ t.ofColex, a ∉ s.ofColex ∧ ∀ b ∈ s.ofColex, b ∉ t.ofColex → b < a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j : 𝒰.J
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t 𝒰 f g i j ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
⊢ Coplanar k s
α : Type u_1
l m : Language α
a b : List α
⊢ a ∈ l → b ∈ m → a ++ b ∈ l * m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
A B : G.Coalgebra
h : A.A ≅ B.A
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp A.a (G.map h.hom) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.hom B.a := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Comonad.Coalgebra.isoMk h w).hom.f = h.hom
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
hr : G.Reachable u v
p : G.Walk u v
h : p.length = G.dist u v
⊢ ∃ p, p.IsPath ∧ p.length = G.dist u v
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1
⊢ Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
α : Type u_1
β : Type u_2
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
s : Finset α
f g : α → β
b₁ b₂ : β
⊢ Finset.fold op (op b₁ b₂) (fun x => op (f x) (g x)) s = op (Finset.fold op b₁ f s) (Finset.fold op b₂ g s)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t t' : Finset β
DecidableEq β
⊢ Finset.image₂ f s (t ∪ t') = Finset.image₂ f s t ∪ Finset.image₂ f s t'
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s t : Finset α
a : α
⊢ a ∈ s / t ↔ ∃ b ∈ s, ∃ c ∈ t, b / c = a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ f = default
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
e : PartialHomeomorph M H
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
he : e ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
hx : x ∈ e.source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I) (↑(e.extend I) x)
ψ θ : Real.Angle
z : ℤ
hz : z ≠ 0
⊢ z • ψ = z • θ ↔ ∃ k, ψ = θ + ↑k • ↑(2 * π / ↑z)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
le_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x ≤ C
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, -C ≤ deriv (fun y => -f y) x
⊢ f y - f x ≤ C * (y - x)
μ : YoungDiagram
i : ℕ
hi : i ∈ List.range (μ.colLen 0)
⊢ 0 < μ.rowLen i
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
hωb : (upperBounds (Set.range fun n => f n ω)).Nonempty
i : ℕ
hi : hωb.some < ↑i
hib : ∀ (n : ℕ), f n ω < ↑i
⊢ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
⊢ volume = StieltjesFunction.id.measure
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
this✝¹ : AffineTargetMorphismProperty.IsLocal fun X x x_1 x => CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty @QuasiCompact
X Y S : Scheme
inst✝¹ : IsAffine S
inst✝ : IsAffine X
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
h : CompactSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
𝒰 : (pullback f g).OpenCover := Scheme.Pullback.openCoverOfRight Y.affineCover.finiteSubcover f g
this✝ : Finite 𝒰.J
this : ∀ (i : 𝒰.J), CompactSpace ↑↑(𝒰.obj i).toPresheafedSpace
⊢ CompactSpace ↑↑(pullback f g).toPresheafedSpace
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
A : ∑' (j : ℕ), ℙ {ω | X j ω ∈ Set.Ioi ↑j} < ⊤
B : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => truncation (X n) (↑n) ω - X n ω) atTop (𝓝 0)
ω : Ω
hω : Tendsto (fun n => truncation (X n) (↑n) ω - X n ω) atTop (𝓝 0)
⊢ (fun n => ∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω) = fun n => ∑ i ∈ range n, (truncation (X i) (↑i) ω - X i ω)
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
x : α
P : Set α → Prop
⊢ (∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, P a) ↔ ∃ ε > 0, ∀ a ∈ v.setsAt x, a ⊆ Metric.closedBall x ε → P a
K : Type u₁
Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
CommRing O
Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
x y : ModP K v O hv p
hxy0 : x * y ≠ 0
⊢ ModP.preVal K v O hv p (x * y) = ModP.preVal K v O hv p x * ModP.preVal K v O hv p y
α : Type u
Zero α
LE α
a : α
⊢ ↑a ≤ 0 ↔ a ≤ 0
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
⊢ Measure.map (fun x => c * x) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ
⊢ (P.isoLeftDerivedObj F n).inv ≫ (F.leftDerived n).map f = (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ) ⋙ HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map φ ≫ (Q.isoLeftDerivedObj F n).inv
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
LocallyCompactPair Y Z
X' : Type u_6
TopologicalSpace X'
a : X'
g : X' → C(Y, Z)
f : X' → C(X, Y)
s : Set X'
hg : ContinuousWithinAt g s a
hf : ContinuousWithinAt f s a
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => (g x).comp (f x)) s a
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsIntegralClosure A R B
h : optParam (IsIntegral R 1) ⋯
⊢ (algebraMap A B) (mk' A 1 h) = (algebraMap A B) 1