ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ (f ∘ ⇑σ) ∘ ⇑(sort (f ∘ ⇑σ)) = f ∘ ⇑(sort f)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
C : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C
L : CategoryTheory.Functor A T
F : CategoryTheory.Functor C B
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma L (F.comp R)
⊢ ((CategoryTheory.Comma.preRight L F R).obj X).left = X.left
n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n →. ℕ
g : Mathlib.Vector ℕ (n + 1) → ℕ
hf : Nat.Partrec' f
hg : Nat.Partrec' ↑g
⊢ Nat.Partrec' fun v => Part.map (fun a => g (a ::ᵥ v)) (f v)
n : ℕ
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
⊢ (Polynomial.cyclotomic' n R).roots = (primitiveRoots n R).val
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
t : ℝ
f : AddCircle T → ℝ≥0∞
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this : ∫⁻ (a : AddCircle T), f a ∂Measure.map (⇑(measurableEquivIoc T t).symm) volume = ∫⁻ (a : ↑(Ioc t (t + T))), f ((measurableEquivIoc T t).symm a)
⊢ ∫⁻ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫⁻ (b : AddCircle T), f b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Prop
s : Finset α
hP : ∀ ⦃s t : Finset α⦄, P t → s ⊆ t → P s
⊢ P s → ((∀ ⦃y : Finset α⦄, P y → s ⊆ y → s = y) ↔ ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s))
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
p : Fin n → Polynomial R
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree = ↑i
h_monic : ∀ (i : Fin n), (p i).Monic
⊢ (Matrix.vandermonde v).det = (Matrix.of fun i j => Polynomial.eval (v i) (p j)).det
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
I : Ideal R
h : ∀ (i j : n), M i j ∈ I
k : ℕ
c : Equiv.Perm n
⊢ (∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).coeff k ∈ I ^ (Fintype.card n - k)
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hp0 : p ≠ 0
hp0_lt : 0 < p
⊢ eLpNorm f p μ ≤ eLpNorm f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal - 1 / q.toReal)
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) := {u | u ⊆ t ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
uT : u ∈ T
a : ι
hat : a ∈ t
hu : ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → τ * δ b < δ a
a_disj : ∀ c ∈ u, Disjoint (B a) (B c)
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
⊢ ∃ v ∈ T, u ⊆ v ∧ v ≠ u
α : Type u_1
s : Finset α
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ (Finset.filter p s).card ≤ s.card
R : Type u_1
Ring R
R₂ : Type u_2
Ring R₂
M : Type u_4
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
TopologicalAddGroup M₂
f g : M →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g
k✝ : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring k✝
inst✝¹¹ : Monoid G
inst✝¹⁰ : Monoid H
A✝ : Type u₃
inst✝⁹ : Semiring A✝
inst✝⁸ : Algebra k✝ A✝
B : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra k✝ B
k : Type u_4
A : Type u_5
G₁ : Type u_6
G₂ : Type u_7
G₃ : Type u_8
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra k A
inst✝² : Monoid G₁
inst✝¹ : Monoid G₂
inst✝ : Monoid G₃
f : G₁ →* G₂
g : G₂ →* G₃
x✝ : MonoidAlgebra A G₁
⊢ (mapDomainAlgHom k A (g.comp f)) x✝ = ((mapDomainAlgHom k A g).comp (mapDomainAlgHom k A f)) x✝
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α
⊢ (∃ h, a ≠ b) ↔ P ∧ a ≠ b
p✝ p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hne : padicNorm p q ≠ padicNorm p r
hlt : padicNorm p r < padicNorm p q
this : padicNorm p q ≤ max (padicNorm p (q + r)) (padicNorm p r)
hnge : padicNorm p r ≤ padicNorm p (q + r)
⊢ padicNorm p (q + r) = max (padicNorm p q) (padicNorm p r)
K : Type u_1
RCLike K
f : CauSeq K norm
⊢ IsCauSeq abs fun n => RCLike.re (↑f n)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
p : CategoryTheory.Subobject X → Prop
h : ∀ ⦃A : C⦄ (f : A ⟶ X) [inst : CategoryTheory.Mono f], p (CategoryTheory.Subobject.mk f)
P : CategoryTheory.Subobject X
⊢ p P
α : Type u_1
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → α
i : Ordinal.{u_4}
hi : i < o
⊢ o.familyOfBFamily f (Ordinal.enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯) = f i hi
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
⊢ ∃! φ,
  ∀ (n : ℕ),
    (MvPolynomial.bind₁ φ) (W_ ℚ n) = (MvPolynomial.bind₁ fun i => (MvPolynomial.rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) Φ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
a : α
s : List α
ih : sublistsLen 1 s = map (fun x => [x]) s.reverse
⊢ sublistsLen 1 (a :: s) = map (fun x => [x]) (a :: s).reverse
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ E'
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
μ ν : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν
μ.IsAddRightInvariant
MeasureTheory.NoAtoms ν
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioi 0) ν
hg : MeasureTheory.IntegrableOn g (Set.Ioi 0) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
⊢ MeasureTheory.Integrable (MeasureTheory.posConvolution f g L ν) μ
α : Type u_1
x y : α
⊢ AddOpposite.op x = AddOpposite.op y ↔ x = y
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∀ (i : ι'), Continuous ⇑((q i).comp f)
this : TopologicalAddGroup F
i : ι'
⊢ 0 = ((q i).comp f) 0
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
f : α ≃ β
B : Set β
⊢ (M.mapEquiv f).Base B ↔ M.Base (⇑f.symm '' B)
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : b < a
hc : c < 0
⊢ c * a < c * b
α : Type u_1
β : Type v
f : α → Option β
⊢ Multiset.filterMap f 0 = 0
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℤ
⊢ f (n • a) = f 0 + n • b
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support
m : ℕ
⊢ ((C.comp (Quotient.mk I)) (a.coeff n)).coeff m = coeff 0 m
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
H : x ∈ S
⊢ f.mk' x ⟨x, H⟩ = 0
α : Type u_1
Add α
s : Set α
x : α
a : α
hxS : x ∈ s
⊢ a + x ∈ a +ᵥ s
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
f : ℕ → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors fun p => f p) n = ∏ p ∈ n.primeFactors, f p
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
IsNoetherianRing R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
Module.Finite R M
Module.Finite R N
⊢ TensorProduct.AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f =
  ↑(AdicCompletion.ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I N).symm ∘ₗ
    AdicCompletion.map I f ∘ₗ ↑(AdicCompletion.ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I M)
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R A
Module R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalSubalgebra R B
f : F
⊢ ↑(NonUnitalSubalgebra.comap f S) = ⇑f ⁻¹' ↑S
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
SemilatticeSup α
Filter.atTop.IsCountablyGenerated
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ Filter.Tendsto (fun x => μ (Set.Iic x)) Filter.atTop (nhds (μ Set.univ))
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
ps : List (MvPolynomial σ R)
⊢ (p * ps.prod).totalDegree ≤ p.totalDegree + (List.map totalDegree ps).sum
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
inst✝¹⁰ : BorelSpace V
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝⁷ : MeasurableSpace W
inst✝⁶ : BorelSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → F →L[ℝ] E
a : F
w : W
he : Continuous ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : V), (e (-(L.toLinearMap₂ x) w) • f x) a ∂μ = fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ (fun x => (f x) a) w
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : List Γ
i j : ℕ
h : (l ++ List.replicate i default).length ≤ (l ++ List.replicate j default).length
⊢ BlankExtends (l ++ List.replicate i default) (l ++ List.replicate j default)
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
Field F
Field K
Field L
Algebra F K
Algebra F L
Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Polynomial.Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
⊢ IsNormalClosure F K ↥(normalClosure F K L)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsRefl β s
x : α × β
⊢ Prod.Lex r s x x
α : Type u_1
c : Batteries.RBColor
n : Nat
cmp : α → α → Ordering
v : α
t : Batteries.RBNode α
h : t.Balanced c n
⊢ Batteries.RBNode.RedRed (t.isRed = Batteries.RBColor.red) (Batteries.RBNode.ins cmp v t) n
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ (HomologicalComplex.HomologySequence.mapSnakeInput φ hS₁ hS₂ i j hij).f₂ =
  (HomologicalComplex.cyclesFunctor C c j).mapShortComplex.map φ
k : ℕ
l : List ℕ
⊢ k.Coprime l.prod ↔ ∀ n ∈ l, k.Coprime n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n : ℤ
⊢ QuasiIso ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) n).map φ) ↔ QuasiIso φ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
b : ↥B
⊢ of ↑(φ.symm b) = t⁻¹ * of ↑b * t
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
s : Set A
⊢ Algebra.adjoin R (⇑f '' s) = Subalgebra.map f (Algebra.adjoin R s)
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
⊢ ⨅ i, p i = ∀ (i : ι), p i
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ 0 ≤ ⨅ r, f (a, t) ↑r
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : FractionalIdeal S P
x : P'
⊢ x ∈ (canonicalEquiv S P P') I ↔ ∃ y ∈ I, (IsLocalization.map P' (RingHom.id R) ⋯) y = x
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
⊢ Polynomial.map f Polynomial.X = Polynomial.X
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S₁ : Subalgebra R Aᵐᵒᵖ
S₂ : Subalgebra R A
⊢ S₁ ≤ S₂.op ↔ S₁.unop ≤ S₂
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
⊢ ∃ a aI, a ≠ 0 ∧ I = FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) a)⁻¹ * ↑aI
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
q : Associates N
hq : q ∈ normalizedFactors n
hq' : ↑(d ⟨p, ⋯⟩) = q
⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ∈ normalizedFactors n
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : sin x ≤ x - x ^ 3 / 6 + x ^ 4 * (5 / 96)
⊢ x ^ 4 * (5 / 96) < x ^ 3 * 6⁻¹
α : Type u_1
LE α
S : Set (UpperSet α)
⊢ ↑(sInf S) = ⋃ s ∈ S, ↑s
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
ι : Type u_2
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
⊢ 𝟙 ((quotient V c).obj C) = 0 ↔ Nonempty (Homotopy (𝟙 C) 0)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {r₁ r₂ : α → α → Prop} {β : Type u_2} {s : β → β → Prop} {x y : α ⊕ β},
  (∀ (a b : α), r₁ a b → r₂ a b) → Sum.Lex r₁ s x y → Sum.Lex r₂ s x y
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
c : R
μ : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω
⊢ (c • μ) s = c • μ s
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
⊢ (π.boxes.biUnion fun a => Option.toFinset (↑J ⊓ ↑a)) = π.boxes
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.LeftExtension F
X : C
h : E.IsPointwiseLeftKanExtensionAt (L.obj X)
L.Full
L.Faithful
⊢ CategoryTheory.IsIso (E.hom.app X)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
p : β → Type u_9
f : Sigma p → α
c : α
⊢ ⨆ x, f x ≤ c ↔ ⨆ i, ⨆ j, f ⟨i, j⟩ ≤ c
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing R
CharZero R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
a b : P
⊢ (AffineMap.lineMap a b) 2⁻¹ = midpoint R a b
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F'
⊢ (MeasureTheory.condexpL1CLM F' hm μ) ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.indicatorConst 1 hs hμs x) =
  (MeasureTheory.condexpInd F' hm μ s) x
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
ExpChar R p
x y : R
⊢ x - y ∈ pNilradical R p ↔ ∃ n, x ^ p ^ n = y ^ p ^ n
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
A : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} A
∀ (X : Dᵒᵖ), CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.StructuredArrow X G.op) A
CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite J K G
⊢ (CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite.sheafEquiv G J K A).functor = G.sheafPushforwardCocontinuous A J K
m : Type u → Type v
Monad m
LawfulMonad m
α β : Type u
f : α → m β
⊢ pure >=> f = f
α : Type u_1
a : α
l l' : List α
⊢ a :: l = a :: l' ↔ l = l'
a b : ℝ≥0∞
hb : b ≠ ⊤
h : a < b
⊢ a.toNNReal < b.toNNReal
R : Type u_2
AddGroup R
Mul R
c : RingCon R
x y : R
⊢ ↑(x - y) = ↑x - ↑y
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ℵ₀
hb : ↑n < ℵ₀
⊢ ↑m ^ ↑n < ℵ₀
x y z✝ : ℝ
n✝ : ℕ
hx : 0 ≤ x
n : ℕ
z : ℝ
⊢ x ^ (↑n * z) = (x ^ n) ^ z
G : Type u
Monoid G
⊢ Monoid.exponent ↥⊤ = Monoid.exponent G
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h.IsPreservedBy F
⊢ (h.map F).p = F.map h.p
α : Type u_1
β : α → Type u_2
⊢ ∀ (a : WType β), (WType.equivSigma β) a = a.toSigma
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f g : α → β
CommMonoid β
h : s₁ = s₂
⊢ (∀ x ∈ s₂, f x = g x) → s₁.prod f = s₂.prod g
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommMonoidWithZero R
PartialOrder R
ZeroLEOneClass R
PosMulMono R
f g : ι → R
s : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
⊢ ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
hFn : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
hs : s.Nonempty
j : J
⊢ Nonempty ((F.toPreimages s).obj j)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
A : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} A
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ ℱ' : CategoryTheory.Sheaf K A
i : G.op.comp ℱ.val ≅ G.op.comp ℱ'.val
⊢ (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.presheafIso i).inv =
  CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.sheafHom i.hom)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝² : s ⊆ insert a u
this✝¹ : t ⊆ insert a u
this✝ : insert a s ⊆ insert a u
this : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s κ μ
i : ι
⊢ {s i} = {t | ∃ n ∈ {i}, s n = t}
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
f : ℕ → L
hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
⊢ p ^ n.succ ∣ Q.coeff 0 ^ n.succ * ((-1) ^ (n.succ * n) * (minpoly R B.gen).coeff 0 ^ n)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0
⊢ b / c ≤ a ↔ c * a ≤ b
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), σ pb.gen ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E
⊢ discr K ⇑pb.basis = (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * (norm K) ((aeval pb.gen) (derivative (minpoly K pb.gen)))
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ Finset.Ico a b = ∅
s : String
p : Char → Bool
⊢ s.split p = List.map mk (List.splitOnP p s.data)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : MulActionWithZero α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
ha' : 0 < a
x : E
r : ℝ
⊢ (r ∈ Ioi 0 ∧ ∃ y ∈ s, a • y = r⁻¹ • x) ↔ ∃ y, (y ∈ Ioi 0 ∧ y⁻¹ • x ∈ s) ∧ a⁻¹ • y = r
α : Type u_1
Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
⊢ t.Bounded o₁ o₂ → t.Bounded o₁ ⊤
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
hlead : f.eraseLead ≠ 0
hnext : f.nextCoeff = 0
⊢ 2 ≤ f.natDegree
M : Type u_3
AddMonoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : M
h : 2 • a ≤ b + c
⊢ a ≤ max b c
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
t : Finset β
⊢ Rel.edgeDensity r ∅ t = 0
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n✝¹ : ℕ
a : α
g : α → α
hg : LeftInverse g f
n✝ n : ℕ
ihn : LeftInverse g^[n] f^[n]
⊢ LeftInverse g^[n.succ] f^[n.succ]
α : Type u
s : Set α
c : Cardinal.{u}
⊢ #{ t // t ⊆ s ∧ #↑t ≤ c } ≤ #{ t // #↑t ≤ c }
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
S₁ : AffineSubspace k P₁
Nonempty ↥S₁
⊢ AffineEquiv.ofEq S₁ S₁ ⋯ = AffineEquiv.refl k ↥S₁
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g i
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
⊢ a₁ ≤ a₂
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
U : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
hxU : x ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.obj (op U))
V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
hxV : ↑⟨x, hxU⟩ ∈ V
i : V ⟶ unop (op U)
n : ℕ
a b : ↥(𝒜 n)
h : ∀ (x : ↥V), ↑b ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
e : ∀ (x : ↥V), ↑s ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ }
⊢ ↑(((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (sectionInBasicOpen 𝒜 x { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ })) = ↑(((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.map i.op) s)
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsRightCancelAdd α
a b : α
⊢ ↑b + ↑a = c + ↑a ↔ ↑b = c
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
s : Set B
⊢ e.IsImage (proj ⁻¹' s) (s ×ˢ Set.univ)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ IsBigOWith c l (fun x => -f' x) g ↔ IsBigOWith c l f' g
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Finset.Ioo a b ⊆ Finset.Ico a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ (TopCat.Presheaf.SheafConditionEqualizerProducts.fork F U).pt = F.obj (Opposite.op (iSup U))
K : Type uK
V : Type uV
CommRing K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
⊢ Function.Injective ⇑(Module.Dual.eval K V)