ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m : M
hm : ¬(weightedHomogeneousComponent w m) φ = 0
hm' : ∀ x ∈ ↑φ.support, ¬(weight w) x = m
⊢ (fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ) m = 0
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScott α
s : Set α
⊢ IsOpen s → IsUpperSet s
α : Type u_2
Lattice α
L : Sublattice α
a b : α
ha : a ∈ L
hb : b ∈ L
⊢ ⟨a, ha⟩ ⊓ ⟨b, hb⟩ = ⟨a ⊓ b, ⋯⟩
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l✝ : List ι
f✝ : (i : ι) → α i
i : ι
l : List ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
h : TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ i ∈ l, f i ∈ t i
⊢ f i ∈ t i → (TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ a ∈ l, f a ∈ t a)
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
h : AddCommute a b
⊢ a + (b + -a) = b
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
h : Dense s
⊢ interior sᶜ = ∅
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
⊢ f ≫ 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
x : α
y : Set α
hx : x ∈ s
hy : y ⊆ s
hxy : x ∉ y
⊢ Disjoint x (sSup y)
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
e : Sym2 V
h : a ≠ b
ha : e ∈ G.incidenceSet a
hb : e ∈ G.incidenceSet b
⊢ G.Adj a b
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hM : M.PosDef
⊢ 0 < M.det
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
E : Set β
e : ↑M.E ≃ ↑E
I : Set β
⊢ (M.mapSetEquiv e).Indep I ↔ M.Indep ↑(⇑e.symm '' E ↓∩ I) ∧ I ⊆ E
α : Type u_1
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
OrderTopology α
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom (Set.range Set.Ioi)
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t : Set α
h : 𝒜.Countable
ℬ : Set (Set α) := {s | s ∈ 𝒜} ∪ {s | sᶜ ∈ 𝒜}
count_ℬ : ℬ.Countable
f : Set (Set (Set α)) → Set α := fun A => ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
𝒞 : Set (Set (Set α)) := {a | a.Finite ∧ a ⊆ ℬ}
⊢ (generateSetAlgebra 𝒜).Countable
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers V
CategoryTheory.Limits.HasImages V
Z : V
i : B ≅ Z
w : (f ≫ i.hom) ≫ i.inv ≫ g = 0
⊢ imageToKernel (f ≫ i.hom) (i.inv ≫ g) w =
  (CategoryTheory.Limits.imageSubobjectCompIso f i.hom).hom ≫
    imageToKernel f g ⋯ ≫ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectIsoComp i.inv g).inv
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
hs : IsClosed s
⊢ intrinsicFrontier 𝕜 s ⊆ s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ (p.sum fun e a => (monomial e) a) = p
P : PartENat → Prop
⊢ ∀ (a : PartENat), P ⊤ → (∀ (n : ℕ), P ↑n) → P a
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ -(∡ p₁ p₂ p₃).sign = (∡ p₁ p₃ p₂).sign
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
h₁ : M ≃ₘ^n⟮I, I'⟯ M'
h₂ : M' ≃ₘ^n⟮I', J⟯ N
⊢ ⇑(h₁.trans h₂) = ⇑h₂ ∘ ⇑h₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hb : a ≠ b
⊢ (cons a s ha).erase b = cons a (s.erase b) ⋯
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
B : C
ι : Type w
X : ι → C
f : (j : ι) → X j ⟶ B
inst✝¹ : HasWidePullback B X f
inst✝ : PreservesLimit (wideCospan B X f) (forget C)
x y : (forget C).obj (widePullback B X f)
h₀ : (base f) x = (base f) y
h : ∀ (j : ι), (π f j) x = (π f j) y
⊢ x = y
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal S P
⊢ (fun I => ↑I) (spanSingleton S ((algebraMap R P) ↑I.den) * I) = (fun I => ↑I) ↑I.num
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Nonempty α
Preorder β
f : α → β
NoMaxOrder α
PredOrder β
IsPredArchimedean β
hf : StrictAnti f
⊢ ¬BddBelow (Set.range f)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
B : ∀ z ∈ closedBall b ε, g z ∈ closedBall b ε → dist (f (g z)) y ≤ ↑c * ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
⊢ y ∈ f '' closedBall b ε
α : Type u_1
N : Type u_2
Zero N
r : α → α → Prop
s : N → N → Prop
a b : α →₀ N
⊢ Pi.Lex r (fun {i} => s) ⇑a ⇑b = Finsupp.Lex r s a b
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s t : Set E
x : E
hs : s ⊆ t
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFPowerSeriesWithinAt f p t x
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
⊢ IsUnit A.det
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
I : Ideal R
IsDomain R
IsIntegrallyClosed R
IsDedekindDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : Ideal.comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : IsIntegral R x
J : Ideal S
hJ : J ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)
⊢ multiplicity J (Ideal.map (algebraMap R S) I) =
  multiplicity (↑((KummerDedekind.normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩))
    (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E
r : ℝ
⊢ ⇑f ⁻¹' Metric.sphere (f x) r = Metric.sphere x r
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
f : A →⋆ₙₐ[R] B
f' : A → B
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
hs : 0 ≠ ∅
p_s : ∀ a ∈ 0, p a
⊢ p (prod 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f : G → E
s : Set G
x : G
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun y => ‖f y‖ ^ 2) s x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
⊢ ∀ (x : ↑M) (y : ↑(of R R)) (z : ↑N), ((associator M (of R R) N).hom ≫ tensorHom (𝟙 M) (leftUnitor N).hom) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) = (tensorHom (rightUnitor M).hom (𝟙 N)) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)
M : Type u_1
Add M
S : Set (AddCon M)
⊢ (sInf S).toSetoid = sInf (AddCon.toSetoid '' S)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
γ' : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ' h₁ h₂
⊢ (γ.add γ').φQ = γ.φQ + γ'.φQ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a : α
ha✝ : a ≠ 0
b c : α
ha : 0 < a
⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b / a, c / a]]
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
n : ℤ
⊢ sign ↑n = sign n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
⊢ m.trim s = ⨅ t, m ↑t
R : Type u
CommRing R
c : R
⊢ Polynomial.derivative ((Polynomial.X - Polynomial.C c) ^ 2) = Polynomial.C 2 * (Polynomial.X - Polynomial.C c)
M : Type u_3
AddCommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M
⊢ ∑ i : Fin (a + b), f i = ∑ i : Fin a, f (Fin.castAdd b i) + ∑ i : Fin b, f (Fin.natAdd a i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn id (Icc x₀ x)
gdiff : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, HasDerivAt id ((fun x => 1) x_1) x_1
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo x₀ x
h : f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - y) ^ n / ↑n ! * (id x - id x₀) / 1) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y
⊢ ((x - y) ^ n / ↑n ! * (id x - id x₀) / 1) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y * (x - y) ^ n / ↑n ! * (x - x₀)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
⊢ B.SeparatingRight
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
f : ↑(Set.Icc a b) → β
⊢ Set.IccExtend h f a = f ⟨a, ⋯⟩
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
hb : 0 ≤ b
⊢ ∃ c ∈ cutMap β (a * a), b < c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ≥0∞
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y
x : α
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α) in 𝓝 x, f x_1 ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε)
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
x : α
hs : IsClopen s
hx : x ∈ s
⊢ connectedComponent x ⊆ s
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g
ht : IsLimit t
inst✝ : Mono g
⊢ Mono t.fst
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
n : ℕ
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
pow_mem : k ^ (n + 1) ∈ σ (a ^ (n + 1))
nnnorm_pow_le : ↑(‖k‖₊ ^ (n + 1)) ≤ ↑‖a ^ (n + 1)‖₊ * ↑‖1‖₊
⊢ ↑‖k‖₊ ≤ ↑‖a ^ (n + 1)‖₊ ^ (1 / (↑n + 1)) * ↑‖1‖₊ ^ (1 / (↑n + 1))
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
⊢ ↑e.toPartialHomeomorph = ↑e
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
leftSide : ∫⁻ (x : ℝ) in Iio 0, gammaPDF a r x = 0
rightSide : ∫⁻ (x : ℝ) in Ici 0, gammaPDF a r x = ∫⁻ (x : ℝ) in Ici 0, ENNReal.ofReal (r ^ a / Gamma a * x ^ (a - 1) * rexp (-(r * x)))
⊢ ∫ (a_1 : ℝ) in Ici 0, r ^ a / Gamma a * a_1 ^ (a - 1) * rexp (-(r * a_1)) = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
⊢ IsIntegrallyClosed A
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : a ∉ s
x✝ : (i : Fin (n + 1)) × { x // x ∈ s.sym (n - ↑i) }
i : Fin (n + 1)
m : Sym α (n - ↑i)
hm : m ∈ s.sym (n - ↑i)
⊢ (fun m => ⟨(Sym.filterNe a ↑m).fst, ⟨(Sym.filterNe a ↑m).snd, ⋯⟩⟩) ((fun m => ⟨Sym.fill a m.fst ↑m.snd, ⋯⟩) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩) = ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ ⇑(algebraMap R R[X][Y]) = Polynomial.CC
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_mono : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
s' : ℕ → Set ℝ := fun n => Iic ↑(s n)
⊢ Tendsto (fun m => ∫ (c : γ), κ.density κ.fst (a, c).1 (a, c).2 (Iic ↑(s m)) ∂κ.fst a) atTop (𝓝 ((κ a) {p | p.1 ∈ univ}).toReal)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y = ↑π ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
a0 : ¬a = 0
h₁ : a ∣ 0
h₂ : 0 ∣ a
⊢ a = 0
R : Type u_1
Semiring R
x : LaurentSeries R
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R n) x.powerSeriesPart = x.coeff (HahnSeries.order x + ↑n)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : δ + ε ≤ dist x y
⊢ ε + δ ≤ dist y x
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial σ S
⊢ MvPolynomial.eval₂Hom f MvPolynomial.X = MvPolynomial.bind₂ f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCokernel (f - g)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompleteSpace (α × β)
h : Nonempty α
f✝ : Filter β
hf : Cauchy f✝
x a : α
b : β
hab : pure x ×ˢ f✝ ≤ 𝓝 (a, b)
⊢ f✝ ≤ 𝓝 b
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f : C(X, ℝ≥0)₀
⊢ φ (-{ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe, map_zero' := ⋯ }.comp f).toNNReal = φ 0
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ ∃ conts, (of v).conts n = Pair.map Rat.cast conts
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : StrictConvexSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ StrictConvex 𝕜 (closedBall x r)
α : Type u_1
CommMonoid α
p : ℕ
f : ℕ → α
h : Nat.Prime p
⊢ ∏ x ∈ p.properDivisors, f x = f 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hμst : μ (s ∆ t) ≠ ⊤
⊢ μ s = ⊤ ↔ μ t = ⊤
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k✝ : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x x_1 => x * x_1) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n
⊢ x ∈ k
α : Type u_1
s : Sym α 0
⊢ s = Sym.nil
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
I : Ideal R
inst✝ : IsPrincipal I
x : R
hx : x ∈ I
⊢ x ∣ generator I ↔ x ∈ I ∧ x ∣ generator I
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite
A : {x} ⊆ s
B : IsClosed (s \ {x})
⊢ IsOpen {x}
α : Type u
self : Order.Frame.MinimalAxioms α
a : α
s : Set α
⊢ a ⊓ sSup s ≤ ⨆ b ∈ s, a ⊓ b
α : Type u_1
⊢ MeasurableSpace.generateFrom ∅ = ⊥
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
i : ι
⊢ {x | ∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x}ᶜ ⊆ toMeasurable μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ ↑(PartialHomeomorph.ofSet s hs) = id
x y : ℝ*
⊢ x.Infinite → y.Infinite → (x * y).Infinite
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
W : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory W
CategoryTheory.MonoidalCategory V
CategoryTheory.MonoidalCategory W
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor V W
G : MonCat
X Y : Action V G
⊢ (CategoryTheory.inv ((F.mapAction G).μ X Y)).hom = CategoryTheory.inv (F.μ X.V Y.V)
C : Type u
X Y : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
n : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.NormalMonoidalObject C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y).normalizeObj n = Y.normalizeObj (X.normalizeObj n)
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ ∏ᶠ (v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I = I
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ p ≠ ⊥ ↔ ∃ x ∈ p, x ≠ 0
r n : ℕ
⊢ (2 * n).choose (2 * n / 2) = (2 * n).choose n
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : Monoid α
x y : αˣ
⊢ { toFun := fun x => (↑x, op ↑x⁻¹), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => (↑x, op ↑x⁻¹), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => (↑x, op ↑x⁻¹), map_one' := ⋯ }.toFun y
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ
⊢ (Even (∑ x ∈ filter (fun x => Even (f x)) s, f x) ↔ Even (∑ x ∈ filter (fun x => ¬Even (f x)) s, f x)) ↔ Even (filter (fun x => Odd (f x)) s).card
α : Type u
f : α → Option α
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → f a = none
⊢ List.lookmap f l = l
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
p : L.Substructure M
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map f p ≤ f.range
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a✝ b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
a : ℕ
ha : n = orderOf x * a
h : ¬a = 1
⊢ False
V : Type u
G : SimpleGraph V
h : ∀ (v w : V) (p q : G.Path v w), p = q
v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsCycle
⊢ False
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
n : ℕ
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
m : M
⊢ (n • f) m = n • f m
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
⊢ ∃ T, ∀ (w : V), T ≤ ‖w‖ → ‖∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v‖ < ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x y : M
hy : y ∈ (extChartAt I x).source
⊢ Filter.map (↑(extChartAt I x).symm) (𝓝[Set.range ↑I] ↑(extChartAt I x) y) = 𝓝 y
α : Type u_1
Lattice α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a * mabs a = a⁺ᵐ ^ 2
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
t₁ t₂ : List α
p : t₁.Perm t₂
⊢ l.bagInter t₁ = l.bagInter t₂
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a < 1
⊢ mabs a = a⁻¹
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f✝ : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
f : M ⊗[R] N →ₗ[R] P
⊢ lift ((mk R M N).compr₂ f) = f
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ (∀ (n : ℕ), p.coeff n = q.coeff n) → p = q
⊢ CategoryTheory.Sheaf.Subcanonical AlgebraicGeometry.Scheme.zariskiTopology
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set α
t₁ t₂ : Set β
⊢ t₁ ⊆ t₂ → s • t₁ ⊆ s • t₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => -f y) x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a x✝¹ x✝ : α
⊢ x✝¹ ⊓ x✝ = a → x✝¹ = a ∨ x✝ = a
α : Type u_1
n : Type u_4
Zero α
A : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
⊢ A.transpose.IsDiag
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
⊢ ((X + ↑k) * ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k + (X * (ascPochhammer ℕ k).comp (X + 1)).smeval r
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j₁ j₂ j₃ : J
f₂₁ : j₂ ⟶ j₁
f₂₃ : j₂ ⟶ j₃
⊢ CategoryTheory.Zigzag j₁ j₃
a : SimplexCategory
⊢ SimplexCategory.skeletalFunctor.obj a = NonemptyFinLinOrd.of (Fin (a.len + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α →o β
a : α
⊢ NonemptyInterval.map f (NonemptyInterval.pure a) = NonemptyInterval.pure (f a)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
V : Type u
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
Fintype (Sym2 V)
⊢ Fintype.card G.Dart = 2 * G.edgeFinset.card
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : a ≠ 0
⊢ (factors a).prod ~ᵤ a
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : ContinuousAt f c
⊢ AnalyticAt ℂ f c
α : Type u_1
f : α → α
⊢ Function.Commute f f