ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℤ
X✝ Y✝ : HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)
x✝ : X✝ ⟶ Y✝
i✝ : ℤ
⊢ F.map (x✝.f (i✝ + n)) ≫ 𝟙 (F.obj (Y✝.X (i✝ + n))) = 𝟙 (F.obj (X✝.X (i✝ + n))) ≫ F.map (x✝.f (i✝ + n))
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
E : Set α
⊢ cthickening 0 E = ⋂ δ, ⋂ (_ : 0 < δ), thickening δ E
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b a : α
⊢ ￢￢a ≤ a
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : SMulZeroClass R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
s : Set Γ'
hs : s.IsPWO
hys : ((of R).symm y).support ⊆ s
b : Γ × Γ'
hb : b ∈ VAddAntidiagonal ⋯ hs a \ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a
⊢ x.coeff b.1 • ((of R).symm y).coeff b.2 = 0
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Fintype ι₁
Finite ι₂
DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f g : M₁ →ₗ[R] M₂
⊢ LinearMap.toMvPolynomial b₁ b₂ (f + g) = LinearMap.toMvPolynomial b₁ b₂ f + LinearMap.toMvPolynomial b₁ b₂ g
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
h_eq_sum : κ.withDensity f = Kernel.sum fun i => (κ.seq i).withDensity f
⊢ IsSFiniteKernel (Kernel.sum fun i => (κ.seq i).withDensity f)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : LinearOrder ι
inst✝⁸ : MeasurableSpace ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : OrderTopology ι
inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
inst✝² : MetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
hf_prog : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ
h_str_meas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (stoppedValue u fun ω => min (τ ω) i)
t : Set β
ht : MeasurableSet t
i : ι
ω : Ω
⊢ ω ∈ stoppedValue u τ ⁻¹' t ∩ {ω | τ ω ≤ i} ↔ ω ∈ (stoppedValue u fun ω => min (τ ω) i) ⁻¹' t ∩ {ω | τ ω ≤ i}
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
A : Matrix m n α
i : n
⊢ (A.updateColumn i fun j => A j i) = A
β : Type u_2
MeasurableSpace β
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : MeasureTheory.Measure β
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, MeasureTheory.eLpNorm (f - ↑g) p μ < ε ∧ MeasureTheory.Memℒp (↑g) p μ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
M : R[X] → Prop
p : R[X]
h_add : ∀ (p q : R[X]), M p → M q → M (p + q)
h_monomial : ∀ (n : ℕ) (a : R), M ((monomial n) a)
n : ℕ
a : R
_h : M (C a * X ^ n)
⊢ M (C a * X ^ (n + 1))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
⊢ a < ↑⌊a⌋₊ + 1
α : Type u_1
PartialOrder α
a b c : α
h : a ⩿ b
⊢ a ≤ c ∧ c ≤ b ↔ c = a ∨ c = b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B₁ B₂ : BilinForm K V
b₂ : B₂.Nondegenerate
v : V
⊢ B₂ ((B₂.toDual b₂).symm (B₁ v)) = B₁ v
R : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsScalarTower R A B
inst✝² : FormallyUnramified R B
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra A Q
I : Ideal Q
e : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[A] Q
e' : (Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f₂
this✝ : Algebra R Q := ((algebraMap A Q).comp (algebraMap R A)).toAlgebra
this : IsScalarTower R A Q := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' rfl
x : B
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) ((AlgHom.restrictScalars R f₁) x) = (Ideal.Quotient.mk I) ((AlgHom.restrictScalars R f₂) x)
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
M : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid M
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
f : Box ι → M
⊢ ∑ J ∈ π.boxes.biUnion fun J => (πi J).boxes, f J = ∑ J ∈ π.boxes, ∑ J' ∈ (πi J).boxes, f J'
i : Int
xs : Lean.Omega.IntList
⊢ (i * xs).sum = i * xs.sum
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
⊢ N
α✝ β : Type u
α : Type u_1
n : ℕ
h : ↑n ≤ #α
hα : Finite α
⊢ ∃ s, n ≤ s.card
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.256266, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 3
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
⊢ g.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.inv = app₁.inv ≫ f.map' 1 2 ⋯ ⋯
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
t : Subring S
h : t ≤ f.range
⊢ Subring.map f (Subring.comap f t) = t
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
f : Equiv.Perm α
⊢ f ∈ closure S ↔ (fixedBy α f)ᶜ.Finite ∧ ∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s
⊢ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s, i x ≤ i y} = s
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
v : E
i : Fin n
w : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)
⊢ ∑ x : Fin n, w x • ↑(hT.eigenvalues hn x) • (hT.eigenvectorBasis hn) x = ∑ x : Fin n, (↑(hT.eigenvalues hn x) * w x) • (hT.eigenvectorBasis hn) x
α : Type u_1
LinearOrderedSemiring α
Archimedean α
ExistsAddOfLE α
x y : α
hx : 1 ≤ x
hy : 1 < y
⊢ ∃ n, y ^ n ≤ x ∧ x < y ^ (n + 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
⊢ ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 ((i : ι) → E i) F) (f.toFormalMultilinearSeries.changeOrigin x 1)) y = (f.linearDeriv x) y
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
Inhabited Λ
M : Λ → Turing.TM1.Stmt Γ Λ σ
S : Finset Λ
ss : Turing.TM1.Supports M S
c c' : Turing.TM1.Cfg Γ Λ σ
⊢ c' ∈ Turing.TM1.step M c → c.l ∈ Finset.insertNone S → c'.l ∈ Finset.insertNone S
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra A K
inst✝⁹ : IsFractionRing A K
inst✝⁸ : Algebra B L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A B L
inst✝⁴ : IsScalarTower A K L
inst✝³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : IsGalois K L
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B
⊢ ∏ σ : L ≃ₐ[K] L, ((galRestrict A K L B) σ) x = (algebraMap A B) (IsIntegralClosure.mk' A ((Algebra.norm K) ((algebraMap B L) x)) ⋯)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
ExistsAddOfLE α
MulPosStrictMono α
PosMulStrictMono α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 ≤ a * b ↔ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F' : Type x
AddCommGroup F'
Module 𝕜 F'
TopologicalSpace F'
TopologicalAddGroup F'
ContinuousSMul 𝕜 F'
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F'
⊢ LinearMap.range (LinearMap.toContinuousLinearMap f) = LinearMap.range f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : ν s < ⊤
⊢ ∫⁻ (a : β), (map f μ).rnDeriv (map f ν) a ∂map f (ν.restrict s) = μ s
R : Type u
CommRing R
R' : Type v
CommMonoid R'
R'' : Type u_1
CommMonoid R''
φ : AddChar R R'
f : R' →* R''
hφ : φ.IsPrimitive
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ (f.compAddChar φ).IsPrimitive
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ x ∈ s, p x
⊢ ∏ x ∈ Finset.subtype p s, f ↑x = ∏ x ∈ s, f x
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
DecidableEq β
DecidableEq γ
SMul αᵐᵒᵖ β
SMul β γ
SMul α γ
a : α
s : Finset β
t : Finset γ
h : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), (MulOpposite.op a • b) • c = b • a • c
⊢ (MulOpposite.op a • s) • t = s • a • t
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
l : Filter α
a : α
h : IsExtrFilter f l a
l' : Filter α
⊢ IsExtrFilter f (l ⊓ l') a
J : Type v₁
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c₁ c₂ : CategoryTheory.Limits.Cone F
X : CategoryTheory.Bicone J
⊢ (CategoryTheory.biconeMk J c₁ c₂).obj X = CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j
R : Type u
CommRing R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z = 0
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q = -(Q x * P z) * P z
α : Type u
l : List α
⊢ l.enum.unzip = (range l.length, l)
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ S.Exact ↔ ∀ (x₂ : ↑S.X₂), S.g x₂ = 0 → ∃ x₁, S.f x₁ = x₂
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
ι : Sort u_3
c : ι → Set α
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : s ⊆ ⋃ i, c i
⊢ ∃ δ > 0, ∀ x ∈ s, ∃ i, Metric.ball x δ ⊆ c i
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
⊢ P.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) ≫ Q.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) = 𝟙 t.pt
α : Type u
AddGroup α
a : α
⊢ (Equiv.addLeft a)⁻¹ = Equiv.addLeft (-a)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsLocalMinOn f s a
hg : IsLocalMinOn g s a
⊢ IsLocalMinOn (fun x => max (f x) (g x)) s a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k✝ n✝ k n : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ Set.MapsTo Nat.cast ↑(range k) ↑(Iio ↑k)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X : C
P : ProjectiveResolution X
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
h₁ : HomologicalComplex.opcyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map (lift (𝟙 X) P (projectiveResolution X))) 0 ≫ (projectiveResolution X).fromLeftDerivedZero' F = P.fromLeftDerivedZero' F ≫ F.map (𝟙 X)
h₂ : (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv = (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map (lift (𝟙 X) P (projectiveResolution X))
⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj ((projectiveResolutions C).obj X).as) ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj ((projectiveResolutions C).obj X).as).homologyι 0 ≫ (projectiveResolution X).fromLeftDerivedZero' F = ((HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) 0).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex)) ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex).homologyι 0 ≫ P.fromLeftDerivedZero' F
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : IsDomain A
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_5
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
i : ι
y : C
⊢ IsIntegral A ((trace K L) ((algebraMap C L) y * b i))
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L
r : ℕ
x✝ : r < n
A : Tendsto (fun x => (u n + u r / x) / (↑n + ↑r / x)) atTop (𝓝 ((u n + 0) / (↑n + 0)))
B : Tendsto (fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) atTop (𝓝 (u n / ↑n))
k : ℕ
hk : ((fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) ∘ Nat.cast) k < L
⊢ u (k * n + r) / ↑(k * n + r) ≤ ((fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) ∘ Nat.cast) k
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
DecidableEq α
x : α
t : Finset α
f : α → β
s : β
hx : x ∉ t
⊢ ⨆ i ∈ insert x t, Function.update f x s i = s ⊔ ⨆ i ∈ t, f i
α : Type u
β : Type v
f g : Filter α
m : α → β
t : Set α
htf : t ∈ f
htg : t ∈ g
h : Set.InjOn m t
⊢ Filter.map m (f ⊓ g) = Filter.map m f ⊓ Filter.map m g
α : Type u
σ : Type v
M : εNFA α σ
x : List α
a : α
⊢ M.eval (x ++ [a]) = M.stepSet (M.eval x) a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Set X
⊢ IsClosed S ∧ DiscreteTopology ↑S ↔ ∀ (x : X), Disjoint (𝓝[≠] x) (𝓟 S)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
CommSemiring α
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix m n α
a : α
⊢ a • M = M * Matrix.diagonal fun x => a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
hG :
  ⦃Y : C⦄ →
    (f : Y ⟶ X) → CategoryTheory.Limits.IsLimit (G.mapCone (CategoryTheory.Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements (CategoryTheory.presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
Y : C
g : Y ⟶ X
Z : C
p : Z ⟶ Y
hp : S.arrows (CategoryTheory.CategoryStruct.comp p g)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.PresheafHom.IsSheafFor.app hG x hx g) (G.map p.op) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map p.op)
    ((x (CategoryTheory.CategoryStruct.comp p g) hp).app
      (Opposite.op (CategoryTheory.Over.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z))))
G : Type u
Group G
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
h : (↑P).Normal
⊢ (↑P).Characteristic
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
m : ℤ
n : ℕ
ihn : a ^ (m + -↑n) = a ^ m * a ^ (-↑n)
⊢ a ^ (m + (-↑n - 1)) = a ^ m * a ^ (-↑n - 1)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}
a : Ordinal.{max u u_1}
h : ∀ (i : ι), f i a = a
⊢ Ordinal.nfpFamily f a = a
α : Type u_1
MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_2
L : Filter ι
L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
L.NeBot
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ Filter.Tendsto (fun i => μ (As i)) L (nhds (μ A))
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : σ → R
S : Type u_2
τ : Type u_3
x : τ → S
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
p : MvPolynomial σ R
⊢ (eval x) (eval₂ f g p) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) p
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Metric.closedBall 0 r)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
self : CategoryTheory.Bicategory.Strict B
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
f : α → β
comm : (↑(insert a s)).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
ha : a ∉ s
⊢ (insert a s).noncommProd f comm = f a * s.noncommProd f ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
n : ℤ
⊢ (n • f) ≫ g = n • f ≫ g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork (f - g)
i : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
s : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
⊢ (CategoryTheory.Preadditive.isColimitCoforkOfCokernelCofork i).desc s =
  i.desc (CategoryTheory.Preadditive.cokernelCoforkOfCofork s)
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hda : d ∣ a
hdb : d ∣ b
⊢ a / d = b / d ↔ a = b
ι : Type u_2
Fintype ι
β : ι → Type u_5
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp 2 β
⊢ edist x y = (∑ i : ι, edist (x i) (y i) ^ 2) ^ (1 / 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
g : α → β
H : ∀ x ∈ s, f x = g x
⊢ fold op b f s = fold op b g s
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
A : Set X
h : derivedSet A ⊆ A
⊢ ∀ (a : X), ClusterPt a (𝓟 A) → a ∈ A
X : TopCat
x : ↑X.toCondensedSet.toTopCat
⊢ (CondensedSet.topCatAdjunctionCounit X) x = x.toFun PUnit.unit
a b c : Ordinal.{u}
n : ℕ
⊢ ↑n ♯ a = a + ↑n
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
⊢ { h := ↑(GenContFract.of q).h, s := Stream'.Seq.map (GenContFract.Pair.map Rat.cast) (GenContFract.of q).s } =
  GenContFract.of v
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (F.obj X) (F.obj Y)
F.PreservesZeroMorphisms
⊢ (F.splitEpiBiprodComparison X Y).section_ = F.biprodComparison' X Y
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)
ht : #↑t = Module.rank R (M ⧸ Submodule.span R s)
ht' : LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
sec : M ⧸ Submodule.span R s → M
hsec : ∀ (b : M ⧸ Submodule.span R s), Submodule.Quotient.mk (sec b) = b
hsec' : Submodule.Quotient.mk ∘ sec = id
hst : Disjoint s (sec '' t)
⊢ #↑(s ∪ sec '' t) = Module.rank R M
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
e : α ≃o β
⊢ ∀ s ∈ {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a}, IsOpen (⇑e ⁻¹' s)
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) (MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction m m_empty) ≤
  MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f ⁻¹' s)) m_empty
α : Type u_1
PartialOrder α
BoundedOrder α
a : α
⊢ Codisjoint ⊥ a ↔ a = ⊤
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (𝟙_ C) f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor Y).inv)
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ b ⇔ a ⇔ a = b
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
x y : α
x✝¹ : x ∣ y ∧ ¬y ∣ x
d : α
hd : y = x * d
hyx : ¬y ∣ x
x✝ : d ∣ 1
e : α
he : 1 = d * e
⊢ x = y * e
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
x✝² x✝¹ : Scheme
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
⊢ IsSeparated x✝ ↔ MorphismProperty.diagonal (@IsClosedImmersion) x✝
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
F : Set α
⊢ (connectedComponentIn F x).Nonempty ↔ x ∈ F
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
δ : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
hf : Isometry f
hg : Isometry g
x y : α × γ
⊢ edist (Prod.map f g x) (Prod.map f g y) = edist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
MeasureTheory.SFinite μ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α × β → E
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ ⊗ₘ κ)
⊢ ∫ (x : α × β), f x ∂μ ⊗ₘ κ = ∫ (a : α), ∫ (b : β), f (a, b) ∂κ a ∂μ
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
⊢ IsFractional S I → IsFractional S (Submodule.map g.toLinearMap I)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
Mul β
MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
hf_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (f i * f j) (f k) κ μ
R : Type u_1
CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.localizationToStalk R y ≫
    (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h =
  CommRingCat.ofHom (PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h) ≫
    AlgebraicGeometry.StructureSheaf.localizationToStalk R x
R : Type u
Semiring R
a : R
⊢ (Polynomial.C a).natTrailingDegree = 0
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → HasCompl (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ xᶜ = fun i => (x i)ᶜ
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
h_ne : gaussSum χ e ≠ 0
u : (ZMod N)ˣ
hu : u ∈ (ZMod.unitsMap hd).ker
⊢ u ∈ (MulChar.toUnitHom χ).ker