ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
IsEmpty ι
m : N
⊢ (ContinuousAlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι m).toContinuousMultilinearMap =
  ContinuousMultilinearMap.constOfIsEmpty R (fun x => M) m
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : AsBoolAlg α
⊢ ofBoolAlg (a ⊔ b) = ofBoolAlg a + ofBoolAlg b + ofBoolAlg a * ofBoolAlg b
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
h : p x = true
⊢ rtakeWhile p (l ++ [x]) = rtakeWhile p l ++ [x]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
E : CategoryTheory.Epi f
⊢ CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.image.ι f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : β → γ
⊢ Quiver.SingleObj.toPrefunctor (g ∘ f) = Quiver.SingleObj.toPrefunctor f ⋙q Quiver.SingleObj.toPrefunctor g
x y : ℝ*
⊢ ¬x.InfiniteNeg → y.InfinitePos → (x + y).InfinitePos
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
J : LieIdeal R L
k l : ℕ
⊢ D (k + l) (I + J) ≤ D k I + D l J
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
x y z : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y
⊢ min (f x) (f y) < f z
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
⊢ Matrix.PosSemidef 0
α : Type u_1
x : α
⊢ star (FreeMonoid.of x) = FreeMonoid.of x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Sort u_3
f : α ⊕ β → γ
⊢ Sum.elim (f ∘ Sum.inl) (f ∘ Sum.inr) = f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h₁ : p ∣ q
h₂ : q.natDegree < p.natDegree
⊢ q = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B : C
X Y : CategoryTheory.Subobject B
h : X = Y
⊢ (X.isoOfEq Y h).inv = Y.ofLE X ⋯
M : Type u_1
S : Set M
Add M
c : M
⊢ c ∈ S.addCentralizer ↔ ∀ m ∈ S, m + c = c + m
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
e : E
f : E → F
g : E → G
hf : AnalyticAt 𝕜 f e
hg : AnalyticAt 𝕜 g e
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (f x, g x)) e
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra R S
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ ((monomial n) a).rootSet S = {0}
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
I : Ideal S
inst✝¹¹ : Module.Finite R S
inst✝¹⁰ : Module.Free R S
M : Submonoid R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : Algebra R Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra S Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S
⊢ ↑I ⊆ ⇑(algebraMap R Rₘ) ∘ ⇑(Algebra.norm R) ⁻¹' ↑(Submodule.span Rₘ (⇑(Algebra.norm Rₘ) '' ↑(map (algebraMap S Sₘ) I)))
F✝ : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : CompactSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
s : Set β
hs : IsCompact s
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
in_s : ∀ (f : α →ᵇ β) (x : α), f ∈ A → f x ∈ s
H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
M : LipschitzWith 1 Subtype.val
F : (α →ᵇ ↑s) → α →ᵇ β := comp Subtype.val M
f : α →ᵇ β
hf : f ∈ A
⊢ f ∈ comp Subtype.val M '' (F ⁻¹' A)
c d : Char
⊢ Eq c.val d.val → Eq c d
V : SemiNormedGrp₁
⊢ ⇑(𝟙 V) = id
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T S : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
hS : S.IsSymmetric
x y : E
⊢ ⟪x, T y + S y⟫_𝕜 = ⟪x, (T + S) y⟫_𝕜
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
ih' :
  ∀ (a : Surreal.Multiplication.Args),
    Surreal.Multiplication.ArgsRel a (Surreal.Multiplication.Args.P24 x₁ x₂ y) → Surreal.Multiplication.P124 a
⊢ Surreal.Multiplication.IH24 x₂ x₁ y
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
Trivialization.IsLinear R e'
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
⊢ ⇑(Trivialization.coordChangeL R e e' b).symm =
  ⇑((Trivialization.linearEquivAt R e' b ⋯).symm ≪≫ₗ Trivialization.linearEquivAt R e b ⋯)
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hs : s.Nonempty
hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i
p_pos : 0 < ∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i
s_pos : 0 < ∑ i ∈ s, w i * (z i)⁻¹
this : (∑ i ∈ s, w i * (z i)⁻¹)⁻¹ ≤ (∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i)⁻¹
⊢ (∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i)⁻¹ ≤ ∏ i ∈ s, z i ^ w i
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
⊢ v.IsEquiv v' ↔ ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
hp : p.IsMaximal
hQ : Subsingleton (S ⧸ ⊤)
⊢ inertiaDeg f p ⊤ = 0
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
h : IsPreconnected s
t t' : Set α
ht : IsClosed t
ht' : IsClosed t'
htt' : s ⊆ t ∪ t'
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t
y : α
ys : y ∈ s
yt' : y ∈ t'
h' : s ⊆ tᶜ ∪ t'ᶜ
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_7
M : Type u_8
N : Type u_10
P : Type u_11
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
f : α →₀ M
g : α → M → β →₀ N
h : β → N → P
h_zero : ∀ (a : β), h a 0 = 0
h_add : ∀ (a : β) (b₁ b₂ : N), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ + h a b₂
⊢ (f.sum g).sum h = f.sum fun a b => (g a b).sum h
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯
⊢ z.proj ∈ s ∩ (a.pretrivializationAt z.proj).baseSet
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
P : α → α → Prop
h : ∀ (x : α), ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, P x y
h' : Transitive P
h'' : Symmetric P
x y z a : α
ha : P z a
⊢ P z a ∧ P a z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
CategoryTheory.Limits.HasKernel g
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelIsIsoComp f g).inv =
  CategoryTheory.Limits.kernel.lift (f ≫ g) (CategoryTheory.Limits.kernel.ι g ≫ CategoryTheory.inv f) ⋯
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
hp : 0 < p.toReal
⊢ Memℓp (f + g) p
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi
this✝² : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra
this✝¹ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul
this✝ : IsScalarTower F ↥M ↥L
this : IsPurelyInseparable ↥M ↥L
⊢ sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
A : Mon_ Cᵒᵖ
⊢ A.mul.unop ≫ unop A.X ◁ A.mul.unop = A.mul.unop ≫ A.mul.unop ▷ unop A.X ≫ (α_ (unop A.X) (unop A.X) (unop A.X)).hom
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p : R[X]
h : p.Monic
hp : Irreducible p
a b : K[X]
H : Polynomial.map (algebraMap R K) p = a * b
hₐ : ¬IsUnit a
a' : R[X]
ha : Polynomial.map (algebraMap R K) a' * C a.leadingCoeff = a
⊢ IsUnit b
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K✝ : Type u
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K✝ L
inst✝ : FiniteDimensional F E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
K : IntermediateField F E
g : E[X] := Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)
K' : IntermediateField F E := adjoin F ↑g.coeffs
hsub : K' ≤ K
dvd_g : minpoly (↥K') α ∣ g.toSubring K'.toSubring ⋯
finrank_eq : ∀ (K : IntermediateField F E), finrank (↥K) E = (minpoly (↥K) α).natDegree
⊢ finrank (↥K') E ≤ finrank (↥K) E
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
⊢ ∃ S, Set.Unbounded r S ∧ #↑S = (Ordinal.type r).cof
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
n : Type w
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticMap R (n → R) R
i j : n
⊢ Q.toMatrix'.transpose i j = Q.toMatrix' i j
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f p : R[X]
n : ℕ
ih : (p * X ^ n).reverse = p.reverse
⊢ (p * X ^ (n + 1)).reverse = p.reverse
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
LinearOrderedCommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
P.IsRootPositive B
i j : ι
⊢ 0 ≤ P.coxeterWeight i j
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t x✝¹ x✝ : V
⊢ (edge s s).Adj x✝¹ x✝ ↔ ⊥.Adj x✝¹ x✝
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
m : M
hm : m ∈ ↑N
⊢ ((LieModule.toEnd R L M) x ∘ₗ (↑N).subtype) ⟨m, hm⟩ ∈ ↑N
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₂
ι' : Type u_1
k l n : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : MultilinearMap R (fun x => M') (MultilinearMap R (fun x => M') M₂)
x y : M'
⊢ ((f fun i => s.piecewise (fun x_1 => x) (fun x => y) ((finSumEquivOfFinset hk hl) (Sum.inl i))) fun i => s.piecewise (fun x_1 => x) (fun x => y) ((finSumEquivOfFinset hk hl) (Sum.inr i))) = (f fun x_1 => x) fun x => y
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomIsometric σ₁₂
RingHomIsometric σ₂₃
h : F →SL[σ₂₃] G
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ‖h.comp f‖ ≤ ‖h‖ * ‖f‖
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
r' : Cofix F → Cofix F → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F
rxy : r x y
⊢ x = y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.GrothendieckTopology.discrete C = ⊤
α : Type u_1
le : α → α → Bool
n r : Nat
a : α
c : HeapNode α
s : Heap α
h : WF le n (cons r a c s)
before : Heap α → Heap α
val : α
node : HeapNode α
next : Heap α
rank✝ : Nat
hk : ∀ {s : Heap α}, WF le rank✝ s → WF le 0 ({ before := before, val := val, node := node, next := next }.before s)
ih₁ : HeapNode.WF le { before := before, val := val, node := node, next := next }.val { before := before, val := val, node := node, next := next }.node rank✝
ih₂ : WF le (rank✝ + 1) { before := before, val := val, node := node, next := next }.next
⊢ WF le 0 (Heap.merge le { before := before, val := val, node := node, next := next }.node.toHeap ({ before := before, val := val, node := node, next := next }.before { before := before, val := val, node := node, next := next }.next))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
U : Set X
hU : IsOpen U
⊢ μ U = 0 ↔ U = ∅
α : Type u
β : Type v
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
Nonempty α
I : Set β
S : β → Set α
H : I.Finite
⊢ BddBelow (⋃ i ∈ I, S i) ↔ ∀ i ∈ I, BddBelow (S i)
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G✝
inst✝¹ : Group G✝
s✝ : Set G✝
G : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
s t : Set G
x : G
⊢ x ∈ closure (s ∪ t) ↔ ∃ y ∈ closure s, ∃ z ∈ closure t, y * z = x
G : Type u
Group G
X : Type u
of : X → G
h : ∀ {H : Type u} [inst : Group H] (f : X → H), ∃! F, ∀ (a : X), F (of a) = f a
⊢ IsFreeGroup G
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : ℕ → Set α
m : ℕ → TopologicalSpace α
mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t
m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α
h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
⊢ IsClopenable (⋃ n, s n)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
⊢ IsQuasiSeparated ↑U
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i →ₗᵢ[𝕜] E₁ i
⊢ ‖g.compContinuousLinearMap fun i => (f i).toContinuousLinearMap‖ ≤ ‖g‖
A : Type u_1
inst✝³ : NormedCommRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
I : Ideal A
inst✝ : I.IsMaximal
a : A
ha : ¬IsUnit a
M : Ideal A
hM : M.IsMaximal
haM : span {a} ≤ M
⊢ ∃ f, f a = 0
a b c d : Nat
p : (a = b) = (c = d)
⊢ (a != b) = (c != d)
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
AddGroup α
M : Matrix ((i : o) × m' i) ((i : o) × n' i) α
⊢ (-M).blockDiag' = -M.blockDiag'
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α →ₛ E
hfi : Integrable (↑f) μ
⊢ integral μ f = integral μ (Lp.simpleFunc.toSimpleFunc (Lp.simpleFunc.toLp f ⋯))
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
⊢ (f ⋆[L, μ] g) x = ∫ (t : G), (L (f (x - t))) (g t) ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
TopologicalAddGroup E
s t : Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (s - t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ∧ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 t
α : Type u_2
Mul α
s₁ s₂ t : Set α
⊢ s₁ ∩ s₂ * t ⊆ s₁ * t ∩ (s₂ * t)
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun x => Complex.sin (f x)) (Complex.cos (f x) * f') x
α : Type u
p : α → Bool
l : List α
hlp : List.filter p l ≠ []
⊢ p (l.getLast ⋯) = true → (List.filter p l).getLast hlp = l.getLast ⋯
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
SemilatticeInf β
f : α → β
hf : Antitone f
x y : α
⊢ f (x ⊔ y) = f x ⊓ f y
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
⊢ ⇑0 = 0
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K✝ : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.119287, u_1} K✝
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.119294, u_2} D
K : Type u_3
inst✝ : Category.{u_4, u_3} K
e : J ≌ K
F : K ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ e.functor ⋙ F
f : c'.pt ⟶ (Cocone.whisker e.functor c).pt
e' : α ≫ (Cocone.whisker e.functor c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Cocone.whisker e.functor c).ι.app j)
⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔ Nonempty (IsColimit (Cocone.whisker e.inverse c'))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ
⊢ ((↑s).drop n).tail = ↑(s.drop n).tail
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsDetector (Opposite.op G) ↔ CategoryTheory.IsCodetector G
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
E : Epi f
⊢ Epi (image.ι f)
X : AlgebraicGeometry.RingedSpace
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ X.zeroLocus ∅ = Set.univ
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
f : R[X]
self : IsAdjoinRootMonic S f
⊢ f.Monic
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ l : List α
r : α → α → Prop
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → r a b
a b : α
hab : [a, b] <+ l
⊢ r a b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
t : Set α
a : α
h : t ∈ 𝓝 a
⊢ s ∩ t ∈ 𝓝[s] a
α : Type u_1
n : ℕ
x₀ : Fin 1 → α
x : Fin n → α
⊢ Fin.append x₀ x = Fin.cons (x₀ 0) x ∘ Fin.cast ⋯
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (Nat.Partition.indiscrete n).parts = {n}
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
⊢ ∅ ×ˢ t = ∅
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
d : G.Dart
⊢ d.symm ≠ d
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
⊢ ((TensorAlgebra.lift R) f).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R = f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
MeasurableSpace 𝕜
BorelSpace 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
f : α → 𝕜
c : E
hc : c ≠ 0
⊢ (Measurable fun x => f x • c) ↔ Measurable f
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeSup ι
Nonempty ι
u : ι → X
i₀ : ι
h : ∀ i ≥ i₀, u i = x
⊢ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x)
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a✝ : Finset σ × σ
⊢ a✝ ∈ filter (fun x => match x with | (s, snd) => s.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k) ↔ a✝ ∈ (range k).disjiUnion (fun x => powersetCard x univ) ⋯ ×ˢ univ
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype m
M : Matrix m n α
⊢ 0 * M = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
c : M'
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n (fun x => c) s x
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Semigroup P
f : M →ₙ* P
g : N →ₙ* P
comm : ∀ (m : M) (n : N), Commute (f m) (g n)
mn mn' : M × N
⊢ (fun mn => f mn.1 * g mn.2) (mn * mn') = (fun mn => f mn.1 * g mn.2) mn * (fun mn => f mn.1 * g mn.2) mn'
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : _root_.IsIntegral R x
hf : Irreducible (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
mem_norm_factors : normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)) ∈ normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
⊢ normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)) = {normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))}
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
hl : (ζ ^ i) ^ l = 1
⊢ ζ ^ l = 1
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Bot α
Sup β
Bot β
f g : SupBotHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E B I X R J : Set α
M : Matroid α
⊢ M.E = ∅ ∨ M.Nonempty
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
mB : ℝ → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun t => of ![![t, -↑1], Int.cast ∘ cd]
hmB : Continuous mB
f₁ : SL(2, ℤ) → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun g => (↑g).map Int.cast
cocompact_ℝ_to_cofinite_ℤ_matrix : Tendsto (fun m => m.map Int.cast) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
hf₁ : Tendsto f₁ cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
hf₂ : ClosedEmbedding ⇑(lcRow0Extend hcd)
⊢ (mB ∘ fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) = ⇑(lcRow0Extend hcd) ∘ f₁ ∘ fun a => ↑a
α : Type u
DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit b
⊢ a = c * b → a / b = c
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
this : DecidableEq V
k : ℕ
hg : (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card = 2 * k + 1
hg' : (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card > 0
w : V
hw : ¬w = v ∧ Odd (G.degree w)
⊢ ∃ w, w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
v w : V
⊢ G'.Adj v w ↔ G'.Adj w v
α : Type u
SubtractionMonoid α
a : α
h : IsAddUnit a
⊢ ↑(-h.addUnit') = -a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
l : Filter β
inst✝ : l.NeBot
f g : β → α
a b : α
ha : Tendsto f l (𝓝 a)
hb : Tendsto g l (𝓝 b)
⊢ Inseparable a b ↔ Tendsto (fun x => (f x, g x)) l (𝓤 α)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius
hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius
this : ∀ (k : ℕ), ‖p.changeOrigin x k‖₊ * r ^ k ≤ (∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst) * r ^ k
⊢ Summable fun b => (∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (b + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst) * r ^ b
x : ℝ
⊢ Real.cos x ≤ 1
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ v.intValuationDef 0 = 0
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
n : ℕ
⊢ (fun x => (n + 1).factorial • x) (multichoose (-↑n) (n + 1)) = (fun x => (n + 1).factorial • x) 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
e : ((i : Subtype p) → α ↑i) × ((i : { i // ¬p i }) → α ↑i) ≃ᵐ ((i : ι) → α i) := (MeasurableEquiv.piEquivPiSubtypeProd α p).symm
⊢ MeasurePreserving (⇑e) ((Measure.pi fun i => μ ↑i).prod (Measure.pi fun i => μ ↑i)) (Measure.pi μ)