ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ (extChartAt I x).target ⊆ Set.range ↑I
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : ℕ
h : 0 < a
n : ℤ
⊢ 0 < ↑a ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
⊢ Tendsto (fun m => ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ seq m) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal) atTop (𝓝 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ ∅) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal)
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : A⁻¹ = B⁻¹
h' : IsUnit A.det
⊢ A = B
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Preorder ι
G : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
i : ι
g : G i
m : M
⊢ (TensorProduct.toDirectLimit f M) ((Module.DirectLimit.of R ι G f i) g ⊗ₜ[R] m) =
  (Module.DirectLimit.of R ι (fun x => G x ⊗[R] M) (fun i j h => LinearMap.rTensor M (f i j h)) i) (g ⊗ₜ[R] m)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
⊢ hausdorffDist ∅ s = 0
S : CategoryTheory.ShortComplex Ab
⊢ S.Exact ↔ ∀ (x₂ : ↑S.X₂), S.g x₂ = 0 → ∃ x₁, S.f x₁ = x₂
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.powerset = (Finset.range (s.card + 1)).disjiUnion (fun i => Finset.powersetCard i s) ⋯
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α β γ : TypeVec.{u} n
f : α ⟹ β
g : β ⟹ γ
x : F α
⊢ (g ⊚ f) <$$> x = g <$$> f <$$> x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → ℝ
⊢ MeasureTheory.Integrable g (μ.withDensity f) ↔ MeasureTheory.Integrable (fun x => g x * (f x).toReal) μ
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
I : R →+* R
B F : M →ₗ[R] M →ₛₗ[I] M₃
B' : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₛₗ[I] M₃
B'' : M₂ →ₗ[R] M₂ →ₛₗ[I] M₃
f f' : M →ₗ[R] M₁
g g' : M₁ →ₗ[R] M
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B.IsAdjointPair B' f' g'
x : M
x✝ : M₁
⊢ (B' ((f + f') x)) x✝ = (B x) ((g + g') x✝)
a b : Prop
⊢ (¬a ↔ b) ↔ (¬b ↔ a)
R : Type u_4
k : ℕ
CommRing R
IsDomain R
ζ : R
h : ζ ∈ primitiveRoots k R
⊢ IsPrimitiveRoot ζ k
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : Rˣ
⊢ v.valuationOfNeZero ((Units.map ↑(algebraMap R K)) x) = 1
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
⊢ Subgroup.comap K.subtype H = H.subgroupOf K
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
h : TransGen (fun x x_1 => x ⩿ x_1) x y
⊢ x ≤ y
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I✝ I : Ideal R
r : R
h : r - 1 ∈ I.jacobson
⊢ ∃ s, s * r - 1 ∈ I
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x✝ : K
⊢ x✝ ∈ A.valuation.valuationSubring ↔ x✝ ∈ A
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
n : ℤ
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f
    ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).unitIso.hom.app Y) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).unitIso.hom.app X)
    ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map ((CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ n).map f).unop).op
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
p : α → Prop
e : α → β
ue : UniformEmbedding e
de : DenseEmbedding e
⊢ UniformEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝ : Group G
a b : G
⊢ (fun b => a / b) ((fun b => b⁻¹ * a) b) = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
b : β
⊢ b ∈ (p.bind f).support ↔ ∃ a ∈ p.support, b ∈ (f a).support
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing K
CommRing L
CommRing M
CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
ExpChar N p
PerfectRing M p
IsPRadical i p
PerfectRing N p
IsPRadical j p
x : L
⊢ (PerfectRing.lift j k p) ((PerfectRing.lift i j p) x) = (PerfectRing.lift i k p) x
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
⊢ Measure.count s ≠ ⊤
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁷ : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝⁶ : NonAssocSemiring S
inst✝⁵ inst✝⁴ : NonAssocSemiring T
s : Subsemiring R
σR : Type u_1
σS : Type u_2
inst✝³ : SetLike σR R
inst✝² : SetLike σS S
inst✝¹ : SubsemiringClass σR R
inst✝ : SubsemiringClass σS S
f : R →+* S
⊢ ↑f.rangeS = ↑⊤ ↔ Set.range ⇑f = Set.univ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
AddCommGroup E
AddCommGroup F
AddCommGroup G
AddCommGroup H
NontriviallyNormedField 𝕜
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module 𝕜 G
Module 𝕜 H
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalSpace G
TopologicalSpace H
TopologicalAddGroup G
TopologicalAddGroup H
ContinuousConstSMul 𝕜 G
ContinuousConstSMul 𝕜 H
e₁ : E ≃L[𝕜] F
e₂ : H ≃L[𝕜] G
f : E →L[𝕜] H
x : F
⊢ ((e₁.arrowCongr e₂) f) x = e₂ (f (e₁.symm x))
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
a b : E
r : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : a ∈ Metric.ball b r
⊢ a ^ n ∈ Metric.ball (b ^ n) (n • r)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Sub α
inst✝² : Bot α
inst✝¹ : Sub β
inst✝ : Bot β
f : α → β
h : ∀ (x y : α), f (x - y) = f x - f y
h₀ : f ⊥ = ⊥
x y : α
⊢ map f (↑x - ↑y) = map f ↑x - map f ↑y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε a b r : ℝ
ha : 0 ≤ a
hr : 0 < r
this : EqOn (fun x => ‖x‖) id (Ioo a b)
x : E
⊢ x ∈ (fun x => ‖x‖) ⁻¹' Ioo (a * r) (b * r) ↔ x ∈ ball 0 (b * r) \ closedBall 0 (a * r)
α : Type u_2
Add α
f g : Filter α
s t : Set α
⊢ s ∈ f → t ∈ g → s + t ∈ f + g
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
Bifunctor F
LawfulBifunctor F
α : Type u₀
β : Type u₁
⊢ Bifunctor.fst id = id
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
⊢ fst ≫ inl + snd ≫ inr = 𝟙 (X ⊞ Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : Frame α
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι × ι' → α
⊢ (s ×ˢ t).PairwiseDisjoint f ↔ (s.PairwiseDisjoint fun i => ⨆ i' ∈ t, f (i, i')) ∧ t.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ s, f (i, i')
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesEffectiveEpis
F.ReflectsEffectiveEpis
F.Full
F.Faithful
F.EffectivelyEnough
CategoryTheory.Preregular D
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ (∃ Y π, CategoryTheory.EffectiveEpi π ∧ S.arrows π) ↔
  S ∈ (F.inducedTopology (CategoryTheory.regularTopology D)).sieves X
α : Type u_1
F : Type u_3
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T
    (MeasureTheory.SimpleFunc.piecewise s hs (MeasureTheory.SimpleFunc.const α x)
      (MeasureTheory.SimpleFunc.const α 0)) =
  (T s) x
R : Type u
inst✝¹¹ : Ring R
ι : Type v
inst✝¹⁰ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁷ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
g✝ : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) ((f i j hij) x) = (g✝ i) x
G' : ι → Type v'
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G' i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
G'' : ι → Type v''
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G'' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → G i ≃ₗ[R] G' i
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), ↑(e j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ ↑(e i)
i✝ : ι
g : G' i✝
i j : ι
h : i ≤ j
⊢ ↑(e j).symm ∘ₗ f' i j h = f i j h ∘ₗ ↑(e i).symm
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
y : F
⊢ SameRay ℝ 0 y ↔ 0 = 0 ∨ y = 0 ∨ ‖0‖⁻¹ • 0 = ‖y‖⁻¹ • y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
𝒢 : Set C
h𝒢 : CategoryTheory.IsDetecting 𝒢
X : C
P Q : CategoryTheory.Subobject X
h : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, P.Factors f → Q.Factors f
⊢ P ⊓ Q = P
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)
f : (i : ι) → α i
⊢ (univ.pi fun i => Iio (f i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] Iic f
α : Type u_1
β : Type u_2
BooleanRing α
BooleanRing β
f : α →+* β
⊢ ∀ (a : AsBoolAlg α), f.asBoolAlg.toSupHom a = (⇑toBoolAlg ∘ ⇑f ∘ ⇑ofBoolAlg) a
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.bypass.edges ⊆ p.edges
n : ℕ
⊢ catalan (n + 1) = ∑ i : Fin n.succ, catalan ↑i * catalan (n - ↑i)
α : Type u
HasSubset α
a b : α
IsRefl α fun x x_1 => x ⊆ x_1
IsAntisymm α fun x x_1 => x ⊆ x_1
⊢ a = b ↔ a ⊆ b ∧ b ⊆ a
α : Type u_1
Add α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
b c : α
⊢ b + a ≤ c + a ↔ b ≤ c
R : Type u
σ : Type u_1
e : ℕ
n : σ
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.X n ^ e = (MvPolynomial.monomial (Finsupp.single n e)) 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter (α × β)
g : Filter α
g' : Filter β
⊢ f ≤ g ×ˢ g' ↔ Filter.Tendsto Prod.fst f g ∧ Filter.Tendsto Prod.snd f g'
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
⊢ (sumLift₂ f g a b).Nonempty ↔ (∃ a₁ b₁, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ (f a₁ b₁).Nonempty) ∨ ∃ a₂ b₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ (g a₂ b₂).Nonempty
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.obj X).obj Δ = AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.obj₂ X Δ
G : Type u_3
P : Type u_4
LE G
LE P
SMul G P
self : IsOrderedSMul G P
c d : G
⊢ c ≤ d → ∀ (a : P), c • a ≤ d • a
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
x x' : ↑X.toTopCat
h : x ⤳ x'
y : ↑(Y.presheaf.stalk (f.val.base x'))
⊢ (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap f x) ((Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯) y) =
  (X.presheaf.stalkSpecializes h) ((AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap f x') y)
G : Type u_1
AddGroup G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
a b : G
⊢ a - b ∈ H ↔ b - a ∈ H
α : Sort u_1
β : Sort u_2
h : Nonempty β
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Nonempty α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ g : ι → Set X
f : Option ι → Set X
⊢ LocallyFinite f ↔ LocallyFinite (f ∘ some)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Finset α
CommMonoid β
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → γ
k : γ → β
h : ∀ x ∈ s, ¬p x
⊢ ∏ x ∈ s, k (if p x then f x else g x) = ∏ x ∈ s, k (g x)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Set (Subalgebra R Aᵐᵒᵖ)
⊢ (sSup S).unop = sSup (Subalgebra.op ⁻¹' S)
ι : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
Unique ι
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⇑(LinearEquiv.funUnique ι R M).symm = uniqueElim
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0
⊢ rayOfNeZero R x hx = rayOfNeZero R (AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1) ⋯ ∨ rayOfNeZero R x hx = rayOfNeZero R (-AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1) ⋯
m n : ℕ
h1 : m ∣ n
h2 : 2 ≤ m
h3 : m < n
⊢ ¬Nat.Prime n
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ |a| ≠ 0 ↔ a ≠ 0
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
r : N → N → Prop
h : Contravariant M N μ r
⊢ Contravariant M N μ (flip r)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : AddCommMonoid M
g : G
f : α →₀ M
a : α
⊢ (g • f) a = f (g⁻¹ • a)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSMul G α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : G
⊢ MeasurableSet (a • s)
α : Type u_1
E : Type u_3
TopologicalSpace α
CompactSpace α
NormedAddCommGroup E
f : C(α, E)
C : ℝ
C0 : 0 ≤ C
⊢ ‖f‖ ≤ C ↔ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
x y : M₁
⊢ f (x + y) = f x + f y
F : Type u_1
Γ✝ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
inst✝¹ : FunLike F ℍ ℂ
k : ℤ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
inst✝ : SlashInvariantFormClass F Γ k
f : F
γ : ↥Γ
z : ℍ
⊢ f (γ • z) = (↑(↑↑↑γ 1 0) * ↑z + ↑(↑↑↑γ 1 1)) ^ k * f z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : c ≤ max a b
⊢ Ico a b ∪ Ici c = Ici (min a c)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
sm : CategoryTheory.SplitMono f
⊢ CategoryTheory.Mono f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α
ι : Type u_6
R : Type u_7
F : Filter ι
inst✝ : CompleteLattice R
a : ι → R
⊢ limsup a F = sInf ((fun I => sSup (a '' I)) '' F.sets)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X ⟶ G.obj Y
g : Y ⟶ Y'
⊢ f ≫ G.map g = (adj.homEquiv X Y') ((adj.homEquiv X Y).symm f ≫ g)
V : Type u_1
inst✝¹ : Quiver V
W : Type u_2
σ : V → W
W' : Type u_3
inst✝ : Quiver W'
φ : V ⥤q W'
τ : W → W'
h : ∀ (x : V), φ.obj x = τ (σ x)
Φ : Push σ ⥤q W'
Φ₀ : Φ.obj = τ
Φcomp : of σ ⋙q Φ = φ
⊢ ∀ (X Y : Push σ) (f : X ⟶ Y), Φ.map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ ({ obj := τ, map := @PushQuiver.rec V inst✝¹ W σ (fun X Y x => τ X ⟶ τ Y) fun X Y f => id (⋯.mpr (⋯.mpr (φ.map f))) }.map f))
S✝ : Set Ordinal.{u}
S T : Set Ordinal.{u_1}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
hST : S ⊆ T
a : Ordinal.{u_1}
⊢ enumOrd T a ≤ enumOrd S a
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
s : Stream' α
⊢ Stream'.map f (Stream'.cons a s) = Stream'.cons (f a) (Stream'.map f s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this✝ : (a : Prop) → Decidable a
ε : α
ε0 : ε > 0
nk : ∀ (x : α), 0 < x → ∀ (x_1 : ℕ), ∃ x_2, ∃ (_ : x_1 ≤ x_2), abv (↑f x_2) < x
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
j : ℕ
ij : i ≤ j
hj : abv (↑f j) < ε / 2
k : ℕ
jk : k ≥ j
this : abv (↑f k - ↑f j + ↑f j) < ε / 2 + ε / 2
⊢ abv (↑f k) < ε
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
UniqueFactorizationMonoid M
q r : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hr : r ∣ q
hq : q ≠ 0
⊢ ∃ i, r = c 1 ^ ↑i
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : IsKilling R L
⊢ LinearMap.ker (killingForm R L) = ⊥
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x z : P
hxz : x ≠ z
t : R
ht : t ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ Sbtw R x ((lineMap x z) t) z
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Finset.Icc a b = Finset.cons a (Finset.Ioc a b) ⋯
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Order.Frame α
a : α
ha : IsAtom a
f : ι → α
⊢ a ≤ iSup f ↔ ∃ i, a ≤ f i
α : Type u_1
PartialOrder α
h : ∀ (c : Set α), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → BddAbove c
⊢ ∃ m, ∀ (a : α), m ≤ a → a = m
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : ⇑f '' ↑I = ↑J
⊢ map f I = J
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
x : P₂
y : P₁
⊢ y = e.symm x ↔ e y = x
α : Type u_1
ι : Type u_4
r : α → α → Prop
f : ι → α
IsEquiv α r
s : Set ι
hs : s.Nonempty
⊢ s.Pairwise (r on f) ↔ ∃ z, ∀ x ∈ s, r (f x) z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
Subsingleton F
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
m n k : ℕ
⊢ (m * n).lcm (m * k) = m * n.lcm k
p : ℕ →. Bool
n : ℕ
x✝ : true ∈ p n ∧ ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
h₁ : true ∈ p n
h₂ : ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
m : ℕ
hm : m ∈ rfind p
⊢ n ∈ rfind p
α : Type u_1
Preorder α
a : α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
NoMaxOrder α
h : Order.IsSuccLimit a
⊢ IsMin a
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∠ a p b = π
hcpd : ∠ c p d = π
k₁ : ℝ
left✝ : k₁ < 0
hab : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
One M
f : α × β → M
⊢ (Function.mulSupport fun a b => f (a, b)) = Prod.fst '' Function.mulSupport f
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ
⊢ 1 ≤ ENNReal.ofReal p ↔ 1 ≤ p
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : Perm α
hf : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
n : ℕ
⊢ ∀ (x : α), p x ↔ p ((f ^ Int.negSucc n) x)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
h : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) a
ι : Type (u + 1) := { c // ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c }
f : ι → Cardinal.{u} := Subtype.val
hι : Nonempty ι
c : Cardinal.{u}
hc : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c
h_1 : (j : ι) → Quotient.out (f ⟨c, hc⟩) ↪ Quotient.out (f j)
⊢ False
n : ℕ
⊢ (hermite (n + 1)).coeff 0 = -(hermite n).coeff 1
z : ℍ
⊢ 0 < EisensteinSeries.r z
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
SecondCountableTopology α
f g : β → α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable fun b => edist (f b) (g b)
α : Type u_2
AddGroup α
s : Set α
⊢ IsAddUnit s ↔ ∃ a, s = {a}
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
⊢ ∀ b ∈ antidiagonal (p.natDegree + q.natDegree), b ≠ (p.natDegree, q.natDegree) → p.coeff b.1 * q.coeff b.2 = 0
a : Cardinal.{v}
⊢ Cardinal.toENat (Cardinal.lift.{u, v} a) = Cardinal.toENat a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable (fun x => (G' x).toReal) (volume.restrict (Icc a b))
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, (G' x).toReal ∂volume < ∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x ∂volume + ε
⊢ g b - g a ≤ (∫ (y : ℝ) in a..b, φ y) + ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
F : CategoryTheory.Functor D E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
(X : C) →
    (W : J.Cover X) →
      (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerRight (J.toSheafify P) F) (J.sheafifyCompIso F P).hom =
  J.toSheafify (P.comp F)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
𝔸 : Type u_3
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : E → 𝔸
hf : ContDiff 𝕜 n f
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => f x ^ 0
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
f : (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)) ⟶ X.presheaf.obj (op (X.toΓSpecMapBasicOpen r))
loc_inst : IsLocalization.Away r ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))
⊢ toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r) ≫ f = X.toToΓSpecMapBasicOpen r ↔ f = X.toΓSpecCApp r
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
e : 𝕜 →L[𝕜] F
⊢ HasStrictDerivAt (⇑e) (e 1) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : α → γ
g' : β → γ
⊢ (Set.range f).restrict (Function.extend f g g') = fun x => g (Exists.choose ⋯)
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
b : ↑B
this✝⁴ : Algebra ↑A ↑B := RingHom.toAlgebra f
this✝³ : Algebra ↑A' ↑B' := RingHom.toAlgebra f'
this✝² : Algebra ↑A ↑A' := RingHom.toAlgebra g
this✝¹ : Algebra ↑B ↑B' := RingHom.toAlgebra g'
this✝ : Algebra ↑A ↑B' := (RingHom.comp f' g).toAlgebra
this : IsScalarTower ↑A ↑A' ↑B'
⊢ (map fac) (d b) = d (g' b)
n : ℕ
G : Type u_6
Group G
h : (Nat.card G).Coprime n
⊢ (powCoprime h) 1 = 1