ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommSemiring R
Mₗ : Type u_9
Nₗ : Type u_10
Pₗ : Type u_11
Qₗ : Type u_12
Qₗ' : Type u_13
AddCommMonoid Mₗ
AddCommMonoid Nₗ
AddCommMonoid Pₗ
AddCommMonoid Qₗ
AddCommMonoid Qₗ'
Module R Mₗ
Module R Nₗ
Module R Pₗ
Module R Qₗ
Module R Qₗ'
f : Mₗ →ₗ[R] Nₗ →ₗ[R] Pₗ
g : Qₗ →ₗ[R] Mₗ
g' : Qₗ' →ₗ[R] Nₗ
x : Qₗ
y : Qₗ'
⊢ ((f.compl₁₂ g g') x) y = (f (g x)) (g' y)
S : Finset Turing.PartrecToTM2.Λ'
c : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
H : Turing.PartrecToTM2.codeSupp c k ⊆ S
⊢ Turing.PartrecToTM2.Supports (Turing.PartrecToTM2.codeSupp c k) S
α : Type u_2
A B : LinearOrder α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ A = B
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
⊢ a * b = a * c ↔ b = c ∨ a = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ minimalPrimes R = minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) (setOf Ideal.IsPrime)
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule (↥K') M
_i4 : LieModule R (↥K') M
h : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)
I : LieIdeal R ↥K'
hI₁ : lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'
⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥K') M
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
a : α
s : Multiset α
ihs : s.lcm = 0 ↔ 0 ∈ s
⊢ (a ::ₘ s).lcm = 0 ↔ 0 ∈ a ::ₘ s
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s t : Set M
⊢ Submodule.span R (s ∪ t) = Submodule.span R s ⊔ Submodule.span R t
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
inst✝ : IsIso g
H : P (f ≫ g)
⊢ f = (asIso g).symm.commRingCatIsoToRingEquiv.toRingHom.comp (f ≫ g)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : StrictConvex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrictOrderedSemiring Γ
n : Γ
⊢ (embDomain { toFun := Nat.cast, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ } (toPowerSeries.symm PowerSeries.X)).coeff n = if n = 1 then 1 else 0
K : Type u
V : Type v
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
Module.Finite K V
⊢ FiniteDimensional.finrank K V ≤ 1 ↔ ⊤.IsPrincipal
f : StieltjesFunction
l : ℝ
hf : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 l)
x : ℝ
⊢ Tendsto (leftLim ↑f) atTop (𝓝 l)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
⊢ (∀ (i : ℝ≥0∞), 0 < i → ∃ y ∈ s, y ∈ ball x i) ↔ ∀ ε > 0, ∃ y ∈ s, edist x y < ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
r : 𝕜
hx : x ≠ 0
hr : r ≠ 0
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hr' : ‖r‖ ≠ 0
⊢ ‖r‖ * (‖x‖ * ‖x‖) / (‖x‖ * (‖r‖ * ‖x‖)) = 1
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
⊢ μ Eᶜ ≤ liminf (fun i => (μs i) Eᶜ) L
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
⊢ r.preimage ∅ = ∅
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
⊢ ⊥.fixingSubgroup = ⊤
x : ℕ
⊢ ↑x ≠ ⊤
X : Type u_1
TopologicalSpace X
ι : Type u_4
TopologicalSpace ι
a b : ι → X
γ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h : Continuous ↿γ
⊢ Continuous ↿fun t => (γ t).extend
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ S.toNonUnitalSubalgebra ↔ x ∈ S
⊢ ENNReal.logHomeomorph.symm = EReal.expHomeomorph
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f g : α → β
DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
⊢ s.piecewise f g =ᵐ[μ.restrict sᶜ] g
S : Finset Λ'
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q
k✝ : K'
s✝ : Option Γ' → Option Γ'
q : Λ'
q_ih : Λ'.Supports S q → trStmts₁ q ⊆ S → Supports (trStmts₁ q) S
H₁ : Λ'.Supports S (Λ'.push k✝ s✝ q)
HS₁ : insert (Λ'.push k✝ s✝ q) (trStmts₁ q) ⊆ S
⊢ Supports (insert (Λ'.push k✝ s✝ q) (trStmts₁ q)) S
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
x y : G
⊢ ↑x = ↑y ↔ x - y ∈ N
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n✝ : ℕ
⊢ nats.tail.get n✝ = (0 :: map succ nats).get (n✝ + 1)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.87350, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
hg : S.g = 0
⊢ S.opcycles ≅ S.rightHomology
α : Type u_1
ι : Sort u_4
LE α
f : ι → Set α
hf : ∀ (i : ι), IsUpperSet (f i)
⊢ IsUpperSet (⋃ i, f i)
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
U : TopologicalSpace.Opens ↑Y.toTopCat
x : ↥((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U)
⊢ Y.presheaf.germ ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩ ≫ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap f ↑x =
  f.val.c.app (Opposite.op U) ≫ X.presheaf.germ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
m : β → α
g : Set β → Set γ
hg : Monotone g
⊢ (Filter.comap m f).lift' g = f.lift' (g ∘ Set.preimage m)
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
s : Set E
x : E
h : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
⊢ ∃ g, f x = g x ∧ f =ᶠ[𝓝[s] x] g ∧ AnalyticAt 𝕜 g x
s : Set ℚ
hs : IsCompact s
⊢ Dense sᶜ
n : ℕ
Δ : SimplexCategory
θ : Δ ⟶ [n + 1]
hθ : ¬Function.Surjective ⇑(Hom.toOrderHom θ)
⊢ ∃ i θ', θ = θ' ≫ δ i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : α →ₘ[μ] β
g : α →ₘ[μ] γ
⊢ ↑(f.pair g) =ᵐ[μ] fun x => (↑f x, ↑g x)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
⊢ thickening ε (cthickening δ s) ⊆ thickening (ε + δ) s
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
LinearOrderedField R'
AddCommGroup E
Module R E
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
c : R'
Module R' R
Module R' E
SMulCommClass R' R R
IsScalarTower R' R R
SMulCommClass R R' E
IsScalarTower R' R E
hc : c ≠ 0
⊢ t.centerMass (c • w) z = t.centerMass w z
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l r : List α
h1 : (a :: l).length - 1 - 0 < ((a :: l).reverseAux r).length
x✝ : 0 < (a :: l).length
⊢ ((a :: l).reverseAux r)[(a :: l).length - 1 - 0] = (a :: l)[0]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f g : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Zero β
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hf_meas : StronglyMeasurable f
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hft_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ this : SigmaFinite (μ.restrict t)
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.restrict t)
hS_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)
f_approx : ℕ → α →ₛ β := hf_meas.approx
fs : ℕ → α →ₛ β := fun n => (f_approx n).restrict (S n ∩ t)
h_fs_t_compl : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∉ t, ↑(fs n) x = 0
⊢ FinStronglyMeasurable f μ
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ cexp (↑x * I) + cexp (-↑x * I) - (2 - ↑x ^ 2) = cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial + (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial)
c : ℝ
f : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1
⊢ Cardinal.cantorFunction c f = (bif f 0 then 1 else 0) + c * Cardinal.cantorFunction c fun n => f (n + 1)
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u
TopologicalSpace A
Ring A
Algebra R A
TopologicalRing A
x : A
⊢ x ∈ Algebra.elementalAlgebra R x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq₁ sq₂ : CategoryTheory.Square C
f g : sq₁ ⟶ sq₂
h₁ : f.τ₁ = g.τ₁
h₂ : f.τ₂ = g.τ₂
h₃ : f.τ₃ = g.τ₃
h₄ : f.τ₄ = g.τ₄
⊢ f = g
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w✝ : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
hw : w ∈ ball z R
⊢ Continuous fun x => f (circleMap z R x)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x₀ : α 0
x : (i : Fin n) → α i.succ
s₀ : Finset (α 0)
s : (i : Fin n) → Finset (α i.succ)
⊢ Fin.cons x₀ x ∈ Fintype.piFinset (Fin.cons s₀ s) ↔ x₀ ∈ s₀ ∧ x ∈ Fintype.piFinset s
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
⊢ f.symm.symm = f
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.237519}
α : Type u_1
h : 3 ≤ #α
x y : α
this✝¹ : ↑3 ≤ #α
this✝ : ↑2 < #α
this : ∃ z, z ∉ [x, y]
⊢ ∃ z, z ≠ x ∧ z ≠ y
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Affine.Triangle ℝ P
p : P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
⊢ p ∈ Affine.Simplex.circumsphere t
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
s : Set β
hθ : #↑s ≤ #β
h₁ : ℵ₀ ≤ #↑s
h₂ : #α < (#↑s).ord.cof
a : α
ha : #↑(f ∘ Subtype.val ⁻¹' {a}) = #↑s
⊢ #↑(Subtype.val ⁻¹' (f ⁻¹' {a})) ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
m : Type → Type u_1
α : Type u_2
Monad m
p : α → m Bool
as : Array α
start stop : Nat
⊢ Array.anyM p as start stop = Array.anyM.loop p as (min stop as.size) ⋯ start
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
⊢ ProbabilityTheory.gaussianReal μ v ≪ MeasureTheory.volume
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in μ.cofinite, p x) ↔ μ {x | ¬p x} < ⊤
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j j' : J
h : j ≠ j'
⊢ ι f j ≫ π f j' = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α →o β
⊢ Monotone ⇑f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)
⊢ ∀ (y : 𝕎 k × ↥(nonZeroDivisors (𝕎 k))), Localization.mk y.1 y.2 ≠ 0 → ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m, φ b * Localization.mk y.1 y.2 = ↑p ^ m * b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l x : Filter α
g : Filter (α → β)
h : Filter (β → γ)
s : Set (α → γ)
hs : s ∈ (map (fun x x_1 => x ∘ x_1) h).seq g
t : Set α
ht : t ∈ x
⊢ s.seq t ∈ h.seq (g.seq x)
x : ℝ
hx : x < 0
⊢ (↑x).arg = π
α : Type u_2
MetricSpace α
CompleteSpace α
SecondCountableTopology α
Nonempty α
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ Function.Surjective f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
h' : ∀ (x : α), l ≠ [x]
⊢ {x | l.formPerm x ≠ x} ≤ ↑l.toFinset
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
Preorder δ
f : α →o β
g : γ →o δ
⊢ ∀ (a : α × γ), (f.prodMap g) a = Prod.map (⇑f) (⇑g) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
c : α
H : ∀ (x : ι), f x ≤ c
⊢ ∀ b ∈ range f, b ≤ c
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c
⊢ ↑(m / m.gcd c) ∣ ↑b - ↑a
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
m : σ →₀ ℕ
s : σ
p : MvPolynomial σ R
⊢ coeff m (p * X s) = if s ∈ m.support then coeff (m - Finsupp.single s 1) p else 0
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
r s : A
hs : s ∈ nonZeroDivisors A
⊢ IsLocalization.mk' K r ⟨s, hs⟩ = (algebraMap A K) r / (algebraMap A K) s
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapComp f g).inv (F.map h))
    (F.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (F.mapComp g h).inv)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h)).inv
        (F.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).inv)))
a b : Int
h : a < b
c : Int
⊢ c + a < c + b
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsComplex
B : ℝ≥0
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLT'Factor K) * ↑B
this : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT' K (fun w => if w = w₀ then NNReal.sqrt B else 1) ⟨w₀, hw₀⟩)
a : 𝓞 K
h_nz : a ≠ 0
h_le : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑⟨w₀, hw₀⟩ → w ↑a < ↑(if w = w₀ then NNReal.sqrt B else 1)
h_le₀ : |((↑⟨w₀, hw₀⟩).embedding ↑a).re| < 1 ∧ |((↑⟨w₀, hw₀⟩).embedding ↑a).im| < ↑(if ↑⟨w₀, hw₀⟩ = w₀ then NNReal.sqrt B else 1) ^ 2
⊢ ∃ a, ℚ⟮↑a⟯ = ⊤ ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < √(1 + ↑B ^ 2)
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y < z \ x
hxz : x ≤ z
⊢ x ⊔ y < z
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : UniformSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
⊢ UniformInducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ UniformInducing F
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : ↑s i < 0
hn :
  ¬∀ (n : ℕ),
      ¬MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s
            (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤
          MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0
            (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
⊢ ∃ j,
  MeasurableSet j ∧
    j ⊆ i ∧ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s j ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 j ∧ ↑s j < 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h : ⟪x, y⟫_𝕜 = 0
⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] M
⊢ (trace R M) (g ∘ₗ f) = (trace R N) (f ∘ₗ g)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
j k : ι
⊢ IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).updateColumn i (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) j k)
r n : ℕ
⊢ n.choose r ≤ n.choose (n / 2)
B : Type u_1
B' : Type u_2
M : CoxeterMatrix B
e : B ≃ B'
M' : CoxeterMatrix B' := CoxeterMatrix.reindex e M
⊢ Set.range (uncurry M'.relation) = Set.range (uncurry M'.relation ∘ Prod.map ⇑e ⇑e)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.Initial
d : D
⊢ CategoryTheory.IsConnected (CategoryTheory.CostructuredArrow F d)
α : Type u_2
OrderedAddCommMonoid α
s : Multiset α
n : α
h : ∀ x ∈ s, x ≤ n
⊢ s.sum ≤ Multiset.card s • n
x✝ y✝ x y : ℝ≥0
⊢ sqrt (x * y) = sqrt x * sqrt y
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
Group α
OrderedAddCommMonoid β
FunLike F α β
self : GroupSeminormClass F α β
f : F
a : α
⊢ f a⁻¹ = f a
x : ℝ
⊢ HurwitzZeta.oddKernel 0 x = 0
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {cmp : α → α → Ordering} {x y : α},
  Batteries.RBNode.cmpLT cmp x y → Batteries.RBNode.cmpLT (flip cmp) y x
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ Function.Surjective ⇑(LinearMap.quotientInfToSupQuotient p p')
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝⁵ : atTop.IsCountablyGenerated
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
t : Set Ω
⊢ MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t) ↔ MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t)
α : Type u
Group α
Finite α
IsCyclic α
⊢ ∃ x, ∀ (y : α), y ∈ Submonoid.powers x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
⊢ a • balancedHull 𝕜 s ⊆ balancedHull 𝕜 s
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
x : E
⊢ ↑((p.linearProjOfIsCompl (ker f) ⋯) x) = ↑(f x)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
h_int_eq : ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ = ∫ (x : α), rexp (g x) ∂μ
⊢ μ.tilted f = μ.tilted g
α : Type u_2
Mul α
s t u : Set α
⊢ s * t ⊆ u ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x * y ∈ u
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
s : Finset α
⊢ G.IsNClique 1 s ↔ ∃ a, s = {a}
I : Type u
inst✝³ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ : GradedObject I C
inst✝ : X₁.HasTensor X₂
A : C
j : I
f g : tensorObj X₁ X₂ j ⟶ A
h : ∀ (i₁ i₂ : I) (hi : i₁ + i₂ = j), ιTensorObj X₁ X₂ i₁ i₂ j hi ≫ f = ιTensorObj X₁ X₂ i₁ i₂ j hi ≫ g
⊢ ∀ (i : I × I) (hij : (match i with | (i, j) => i + j) = j), (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₁).obj X₂).ιMapObj (fun x => match x with | (i, j) => i + j) i j hij ≫ f = (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₁).obj X₂).ιMapObj (fun x => match x with | (i, j) => i + j) i j hij ≫ g
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid β
s : Finset α
t : Finset γ
f : α → β
g : γ → β
⊢ ∏ x ∈ s.disjSum t, Sum.elim f g x = (∏ x ∈ s, f x) * ∏ x ∈ t, g x
a b : ℤ
⊢ a ≤ b ↔ ↑a ≤ ↑b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c R₁)
h_maps : Set.MapsTo f (Metric.ball c R₁) (Metric.ball (f c) R₂)
hz : z ∈ Metric.ball c R₁
⊢ dist (f z) (f c) ≤ R₂ / R₁ * dist z c
α : Type u_1
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
f : C(α, γ)
⊢ Measurable ⇑f
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallyInjective J f₂
inst✝ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
⊢ IsLocallySurjective J f₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : 𝕜
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
⊢ ‖c • T s‖ ≤ ‖c‖ * C * (μ s).toReal
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
n : ℤ
f0 : ¬f n = 0 n
h : ∀ (s : ℤ), ¬f s = 0 → False
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
CategoryTheory.MonoidalCoherence (𝟙_ C) Y
⊢  ⊗𝟙 = (ρ_ X).inv ≫ X ◁ ⊗𝟙
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : C → Prop
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms P
⊢ isoClosure P ≤ P
α : Type u_2
BEq α
LawfulBEq α
n : Nat
a : α
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {b : α_1} {k : α},
  List.lookup k (List.replicate n (a, b)) = if n = 0 then none else if (k == a) = true then some b else none
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp 2 (α × β)
⊢ ‖x‖₊ = NNReal.sqrt (‖x.1‖₊ ^ 2 + ‖x.2‖₊ ^ 2)
α : Type u
Inhabited α
l : List α
h : l ≠ []
⊢ l.head! :: l.tail = l
α : Type u_2
AddMonoid α
⊢ Set.univ + Set.univ = Set.univ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : CategoryTheory.Core C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom g.hom
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ
x : σ
⊢ x ∈ m.support → m x • w x = 0 ↔ m x = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
OrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
⊢ f (∑ i ∈ t, w i • p i) = ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ↔ ∀ j ∈ t, w j ≠ 0 → p j = ∑ i ∈ t, w i • p i
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
s : ↥S
m : M
⊢ LocalizedModule.mk (s • m) s = LocalizedModule.mk m 1
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
p q : ℚ≥0
⊢ ↑p ≤ ↑q ↔ p ≤ q
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
H : PGame
⊢ 0 = ⟦G + H⟧ ↔ ⟦G + H⟧ = ⟦0⟧
C : Type (u₁ + 1)
CategoryTheory.LargeCategory C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
⊢ (CategoryTheory.Mat_.equivalenceSelfOfHasFiniteBiproducts C).inverse = CategoryTheory.Mat_.embedding C
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y ∧ P y x
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ P x y
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s t₁ t₂ : Finset β
DecidableEq β
⊢ s -ᵥ (t₁ ∪ t₂) = s -ᵥ t₁ ∪ (s -ᵥ t₂)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → MeasureTheory.Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ : MeasureTheory.Measure ((i : ι) → α i)
h : MeasureTheory.IsProjectiveLimit μ P
I : Finset ι
s : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
hs : MeasurableSet s
⊢ μ (MeasureTheory.cylinder I s) = (P I) s
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
⊢ cos x * (2 * (cos x * cos x)) - cos x - sin x * (2 * sin x * cos x) = 4 * cos x ^ 3 - 3 * cos x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.ShortExact
⊢ hS.singleTriangleIso.inv.hom₁ = ((DerivedCategory.singleFunctorsPostcompQIso C).inv.hom 0).app S.X₁
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
X : σ → R
f : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.eval X) f = ∑ d ∈ f.support, MvPolynomial.coeff d f * ∏ i ∈ d.support, X i ^ d i