ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZeta (↑x) (-(2 * ↑k)) =
  -1 / (2 * ↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
a : RBNode α
x : α
parent : Path α
b : RBNode α
hb : RBNode.Ordered cmp b
hp : Ordered cmp parent
ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a
xp : RootOrdered cmp parent x
ap : All (RootOrdered cmp parent) a
ha : RBNode.Ordered cmp a
H : All (RootOrdered cmp (right c✝ a x parent)) b
xb : All (cmpLT cmp x) b
bp : All (RootOrdered cmp parent) b
⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.del (node red a x b) c✝)
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
hax : 0 < a.x
hay : 0 < a.y
n : ℤ
hn : 0 < n
⊢ 0 < (a ^ n).y
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
ht : IsOpen t
h't : IsPreconnected t
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun n => g n y₀
hy : y ∈ t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)) y
⊢ ∀ (n : α), ∀ x ∈ t, ‖ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n x)‖ ≤ u n
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ Monotone NonUnitalSubring.toAddSubgroup
o : Ordinal.{u}
h : o ≤ o.cof.ord
⊢ o.IsFundamentalSequence o fun a x => a
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E i
⊢ PiTensorProduct.mapLMonoidHom f = PiTensorProduct.mapL f
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
S : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid S
inst✝² : Pow S ℕ
inst✝¹ : Module R✝ S
x : S
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
r : R
⊢ ∀ (x : R[X]), (leval r) x = (smeval.linearMap R r) x
n : Nat
⊢ (OfNat.ofNat n).toNat = n % USize.size
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
k l : ℕ
⊢ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L (k + l) (I + J) ≤
  LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k I + LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L l J
G : Type u_4
F : Type u_6
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup F
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableNeg G
μ.IsNegInvariant
f : G → F
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun t => f (-t)) μ
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z : Scheme
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) 0
⊢ ∃ n, f ^ n * x = 0
n : ℤ
⊢ Even n → n / 2 * 2 = n
α : Sort u
lt : α → α → Prop
self : IsTrichotomous α lt
a b : α
⊢ lt a b ∨ a = b ∨ lt b a
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'
x : ℝ
⊢ |c| ≠ 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
σ : ℝ
f : ℝ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hfx : ContinuousAt f x
g : ℝ → E := fun u => rexp (-σ * u) • f (rexp (-u))
hf : Integrable g volume
hFf : Integrable (𝓕 g) volume
⊢ mellinInv σ (mellin f) x = f x
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
hf : Measurable f
⊢ ∀ (a : δ), Measurable fun x => updateFinset x.1 s x.2 a
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
h : ∀ {ι : Type u} (U : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
⊢ IsLindelof s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hnqp : padicNorm p q ≥ 0
hnrp : padicNorm p r ≥ 0
hq : ¬q = 0
hr : r = 0
⊢ padicNorm p (q + r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p r)
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
x✝ : m ∣ n
k : ℕ
e : n = m * k
⊢ yn a1 m ∣ yn a1 (m * k)
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set R
p : R[X]
r : R
⊢ (toContinuousMapOnAlgHom s) (Polynomial.C r) ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
α : Type u_2
CompleteLattice α
⊢ CompleteLatticeHom.dual (CompleteLatticeHom.id α) = CompleteLatticeHom.id αᵒᵈ
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
I : Set α
⊢ I ∈ {I | M.Basis I X} ↔ I ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ({I | M.Indep I} ∩ Iic X)
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit F ↔ Small.{u, max u v} (CategoryTheory.Limits.Types.Quot F)
α : Type u_1
G : Type u_6
Group G
s : Set α
f g : α → G
⊢ s.mulIndicator (f / g) = s.mulIndicator f / s.mulIndicator g
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
h : α.IsZero
x✝ : ↥H
⊢ (-α) x✝ = 0 x✝
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
hf : f p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (Polynomial.map f p).degree = p.degree
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k : ℕ
h : k.succ ≠ 0
⊢ (X ^ k.succ + C a).Monic
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
⊢ Function.Surjective ⇑X.isoSpec.hom.val.base
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
IsNoetherian K V
⊢ Set.range ⇑(IsNoetherian.finsetBasis K V) = Basis.ofVectorSpaceIndex K V
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
L : F
r ε x : ℝ
hx : x ∈ RightDerivMeasurableAux.A f L r ε
⊢ RightDerivMeasurableAux.A f L r ε ∈ 𝓝[>] x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : δ' ≃ δ
i : δ
⊢ Measurable fun x => cast ⋯ (x (f.symm i))
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : x ∈ skewAdjoint R
z : R
⊢ star z * x * z ∈ skewAdjoint R
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : Cᵒᵖ ≌ Dᵒᵖ
X : C
⊢ (e.functor.unop.map ((NatIso.unop e.unitIso).symm.hom.app X) ≫ (NatIso.unop e.counitIso).symm.hom.app (e.functor.unop.obj X)).op = (𝟙 (e.functor.unop.obj X)).op
α : Type u_4
β : Type u_5
AddMonoid α
AddMonoid β
x : α × β
⊢ addOrderOf x = (addOrderOf x.1).lcm (addOrderOf x.2)
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
h : Function.Surjective ⇑(map f)
y : N
⊢ ∃ a, f a = y
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMaxOrder α
a : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝[≥] a ↔ ∃ u ∈ Set.Ioi a, Set.Ico a u ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L✝ L : CompleteSublattice α
t : Set α
ht : t ⊆ ↑L
hs : ⇑f '' t ⊆ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier
⊢ f (sInf t) ∈ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier
α : Type u_2
Neg α
a : α
⊢ -pure a = pure (-a)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih : ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V}, IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
this : Nontrivial V
hB₁ : B ≠ 0
x : V
hd : finrank K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) + 1 = d + 1
hx : ¬IsOrtho B x x
B' : ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] K := domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)
v' : Basis (Fin d) K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)
hv₁ : (domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)).IsOrthoᵢ ⇑v'
b : Basis (Fin (d + 1)) K V := Basis.mkFinCons x v' ⋯ ⋯
j i✝ : Fin (d + 1)
i : Fin d
hij : 0 ≠ i.succ
⊢ IsOrtho B x ↑(v' i)
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : J ≠ 0
⊢ IsFractional R₁⁰ (↑I / ↑J)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M''
Module R M'
Module R M''
e : M ≃ₗ[R] M'
f : M' ≃ₗ[R] M''
⊢ LinearMap.BilinForm.congr e ≪≫ₗ LinearMap.BilinForm.congr f = LinearMap.BilinForm.congr (e ≪≫ₗ f)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
α : F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.postcomposeEquivalence α).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun s => CategoryTheory.Limits.Cones.ext (CategoryTheory.Iso.refl ((𝟭 (CategoryTheory.Limits.Cone F)).obj s).pt) ⋯)
    ⋯
M : Type u_4
N : Type u_5
One M
One N
f : OneHom M N
h1 : f 1 = 1
⊢ { toFun := ⇑f, map_one' := h1 } = f
b : ℝ
hb : 0 < b
x✝ : ℝ
⊢ ↑(rexp (-b * x✝ ^ 2)) = cexp (-↑b * ↑x✝ ^ 2)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.factorThruImage g) (CategoryTheory.imageUnopOp g).inv =
  (CategoryTheory.Limits.image.ι g.unop).op
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ 2 • o.oangle x (r • x) = 0
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
⊢ a ^ n ≤ 0 ↔ a ≤ 0
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DecidableEq ι
G' : ι → Type v'
(i : ι) → AddCommGroup (G' i)
(i : ι) → Module R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → G i ≃ₗ[R] G' i
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), ↑(e j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ ↑(e i)
i : ι
g : G' i
⊢ (Module.DirectLimit.congr e he).symm ((Module.DirectLimit.of R ι G' f' i) g) =
  (Module.DirectLimit.of R ι G f i) ((e i).symm g)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X P (Q.tensorBimod L))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
S : D
F : CategoryTheory.Functor B C
G : CategoryTheory.Functor C D
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S) (F.comp G)
⊢ ((CategoryTheory.StructuredArrow.pre S F G).obj X).hom = X.hom
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (∑ i ∈ s, |f i + g i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, |f i| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, |g i| ^ p) ^ (1 / p)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → List α
hf1 : IsBadSeq (List.SublistForall₂ r) {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} f
hf2 : ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq (List.SublistForall₂ r) List.length {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} n f
hnil : ∀ (n : ℕ), f n ≠ []
this : ∀ (n : ℕ), (f n).headI ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → r (f (g m)).headI (f (g n)).headI
⊢ False
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : optParam (Set M) Set.univ
self : SmoothBumpCovering ι I M s
⊢ LocallyFinite fun i => Function.support ↑(self.toFun i)
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G →g G'
u : V
p : G.Walk u u
⊢ SimpleGraph.Walk.map f p = SimpleGraph.Walk.nil ↔ p = SimpleGraph.Walk.nil
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
H : z < 0
⊢ x.toNNReal ^ z = (x ^ z).toNNReal
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.KaroubiKaroubi.equivalence C).unitIso = CategoryTheory.Idempotents.KaroubiKaroubi.unitIso C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Bool
f g : α →. σ
hc : Computable c
hf : Partrec f
hg : Partrec g
cf : Code
ef : cf.eval = fun n => (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode (f a)
cg : Code
eg : cg.eval = fun n => (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode (g a)
a : α
⊢ (((bif c a then cf else cg).eval (encode a)).bind fun b => ↑(decode (a, b).2)) = bif c a then f a else g a
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
DivisionMonoid β
f : α →* β
g : α
n : ℤ
⊢ f (g ^ n) = f g ^ n
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C A
F₁.IsHomological
e : F₁ ≅ F₂
⊢ F₂.IsHomological
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ {y | ∃ x_1, (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))) x_1 = (forgetToTop.map f) y}
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
Sup α
Bot α
Sup β
Bot β
Sup γ
Bot γ
Sup δ
Bot δ
f : SupBotHom γ δ
g : SupBotHom β γ
h : SupBotHom α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
hXR : X ⊆ R
⊢ M.Basis' I (X ∩ R) ∧ I ⊆ R ↔ M.Basis' I X
n : ℕ
a b f g : Mathlib.Vector ℕ n → ℕ
ha : Nat.Primrec' a
hb : Nat.Primrec' b
hf : Nat.Primrec' f
hg : Nat.Primrec' g
⊢ Nat.Primrec' fun v => if a v < b v then f v else g v
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
⊢ l.set n a = List.take n l ++ a :: List.drop (n + 1) l
f : StieltjesFunction
l : ℝ
hf : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
x : ℝ
⊢ Tendsto (fun x_1 => ofReal (↑f x - ↑f x_1)) atBot (𝓝 (ofReal (↑f x - l)))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ (0 + a✝).f = a✝.f
X : Type u_3
Y : Type u_4
MeasurableSpace X
StandardBorelSpace X
TopologicalSpace Y
T0Space Y
MeasurableSpace Y
OpensMeasurableSpace Y
SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Measurable f
hsurj : Function.Surjective f
⊢ MeasurableSpace.map f inst✝ = borel Y
K : Type uK
V : Type uV
CommRing K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
Module.Finite K V
⊢ LinearMap.range (Module.Dual.eval K V) = ⊤
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ ⊤.ringCon = ⊤
m n : ℕ+
⊢ ↑(m + n) = ↑m + ↑n
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
⊢ (∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1) ↔ ∀ {x : K}, v (x - 1) < 1 ↔ v' (x - 1) < 1
G : Type u_1
AddMonoid G
x y : G
h : AddCommute x y
hy : IsOfFinAddOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ addOrderOf x → p * addOrderOf x ∣ addOrderOf y
⊢ addOrderOf (x + y) = addOrderOf y
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
⊢ (NonUnitalSubsemiring.center R).toSubsemigroup = Subsemigroup.center R
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
Nontrivial R
s : σ
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.X s ^ n).support = {Finsupp.single s n}
p : ℂ × ℂ
hp : p.1 ∈ slitPlane
A : p.1 ≠ 0
this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => cexp (log x.1 * x.2)
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) (p.1 ^ p.2 • (p.2 / p.1) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + p.1 ^ p.2 • log p.1 • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) p
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ : R⟦X⟧
⊢ (MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ = (MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ * 1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_9
Monoid α
DistribMulAction α R
SMulCommClass R α R
a : α
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : B.IsSymm
⊢ (a • B).IsSymm
ι : Type u_5
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = Set.univ
⊢ Pi.topologicalSpace = TopologicalSpace.generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = Set.univ.pi s}
X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
NormedSpace ℝ F
L : E →L[𝕜] F
φ : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
s : Set X
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : X) in s, ↑↑(L.compLp φ) x ∂μ = ∫ (x : X) in s, L (↑↑φ x) ∂μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support
key : ∀ (x : α), (f ^ n) x ≠ x ↔ f x ≠ x
x : α
hx1 : (f ^ n) x ≠ x
hx2 : ∀ ⦃y : α⦄, (f ^ n) y ≠ y → (f ^ n).SameCycle x y
y : α
hy : f y ≠ y
⊢ f.SameCycle x y
a x z : ℂ
θ : ℝ
⊢ toIocMod ⋯ (-π) θ ∈ Ioc (-π) π
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α : Type v
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
β : Type v
inst✝ : CommRing β
A : Matrix n n β
⊢ A ∈ orthogonalGroup n β ↔ star A * A = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
⊢ IsAddFreimanHom 2 A B f ↔ Set.MapsTo f A B ∧ ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ A, ∀ c ∈ A, ∀ d ∈ A, a + b = c + d → f a + f b = f c + f d
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h₁ : IsClosed s₁
h₂ : IsClosed s₂
⊢ IsClosed (s₁ ∩ s₂)
R : Type u
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : M →ₗ[R] M
v : M
⊢ (LinearIndependent R fun n => (f ^ n) v) ↔ ∀ (p : R[X]), ((Polynomial.aeval f) p) v = 0 → p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g f' : α →ₘ[μ] β
hf : ↑f ≤ᶠ[ae μ] ↑f'
hg : ↑g ≤ᶠ[ae μ] ↑f'
a✝ : α
haf : ↑f a✝ ≤ ↑f' a✝
hag : ↑g a✝ ≤ ↑f' a✝
ha_sup : ↑(f ⊔ g) a✝ = ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝
⊢ ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝ ≤ ↑f' a✝
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
y₁ y₂ : β
⊢ edist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₁)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₂)) = edist y₁ y₂
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c d : B
f : a ⟶ b
h : c ⟶ d
X : b ⟶ c
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.associatorNatIsoMiddle f h).inv.app X = (CategoryTheory.Bicategory.associator f X h).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
a : α
⊢ ↑‖f a + g a‖₊ ≤ ↑‖f a‖₊ + ↑‖g a‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
B : Set α
f : α → ℝ≥0∞
A : Set α
hB : MeasurableSet B
⊢ ∫⁻ (x : α) in A ∩ B, f x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in A \ B, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in A, f x ∂μ
n m : ℕ
⊢ m ≤ n + n.dist m
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Opens X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : I.IsMaximal
⊢ idealOfSet 𝕜 ↑(opensOfIdeal I) = I
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝¹ : BorelSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν
key : ∀ {F : Set Ω}, IsClosed F → μ F = ν F
⊢ inst✝⁴ = MeasurableSpace.generateFrom {s | IsClosed s}
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
h : Multiset.card s = n
⊢ a ∈ Sym.mk s h ↔ a ∈ s
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
X : C
S T : CategoryTheory.Presieve X
⊢ S.FactorsThruAlong T (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) ↔ S.FactorsThru T
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
f_sur : Surjective f
this : CompactSpace ↑Z
⊢ IsOpen (closure U)
α : Type u_1
a : Option α
⊢ a = none ∨ ∃ x, a = some x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m n : M
h₁ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m n ≅ 𝟙_ M
h₂ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj n m ≅ 𝟙_ M
H :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight h₁.hom m)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor m).hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator m n m).hom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft m h₂.hom)
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor m).hom)
⊢ (CategoryTheory.equivOfTensorIsoUnit F m n h₁ h₂ H).counitIso = CategoryTheory.unitOfTensorIsoUnit F n m h₂
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.mex f ∉ Set.range f
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ ε ≤ ↑|G.edgeDensity (G.nonuniformWitnesses ε s t).1 (G.nonuniformWitnesses ε s t).2 - G.edgeDensity s t|
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q + r) = ↑q + ↑r