ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type uι
inst✝⁷ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
this : Nonempty { a // a ∈ x.lifts } := nonempty_subtype.mpr (nonempty_lifts x)
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
hp : p ∈ x.lifts
⊢ ‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ (List.sum ∘ List.map fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ↑⟨p, hp⟩ * ‖f‖
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : CompleteLattice ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ι m
ω : Ω
h_nmem_s : ∀ (x : ι), ¬(x ∈ Set.univ ∧ u x ω ∈ s)
⊢ sInf {i | u i ω ∈ s} = ⊤
n : ℕ+
⊢ (↑n).primeFactorsList.prod = ↑n
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F✝ F : Sheaf J A
this : (compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t)) ≫ { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } = (constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)
⊢ (presheafToSheaf J B).map ((constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)) ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val = ((presheafToSheaf J B).map ((compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) ≫ (sheafCompose J U).map ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val))
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
x : hs.Quotient
⊢ hs.proj (hs.out x) = x
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x * Real.cos x = (Real.sin b ^ 2 - Real.sin a ^ 2) / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t✝ : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder γ t
f : r ≺i s
g : s ≺i t
h : r ≺i t
⊢ t (f.trans g).top g.top
f✝ f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
⊢ ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (-f) u ∈ Set.Icc (c₂ * (-f) x) (c₁ * (-f) x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Preorder Y
OrderClosedTopology Y
f : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
⊢ IsMaxOn f (closure s) a
u v m n : ℤ
⊢ Even (m - n) ↔ (Even m ↔ Even n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ℬ : (X Y : C) → CategoryTheory.Limits.LimitCone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
W X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorHom ℬ
      (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W X Y).hom (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W
          (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorObj ℬ X Y) Z).hom
      (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorHom ℬ (CategoryTheory.CategoryStruct.id W)
        (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).hom)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ
        (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorObj ℬ W X) Y Z).hom
    (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W X
        (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorObj ℬ Y Z)).hom
c : ℂ
R : ℝ
⊢ Set.range (circleMap c R) = Metric.sphere c |R|
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝ : MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
hab : a ≠ b
h : ¬G.Adj a b
⊢ incMatrix R G a e * incMatrix R G b e = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
f : X → ℝ
m m0 : MeasurableSpace X
μ : Measure X
hm : m ≤ m0
g : SimpleFunc X ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm g) * f) μ
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → β
Zero β
hs : MeasurableSet s
⊢ Filter.map f (MeasureTheory.ae (μ.restrict s)) ≤ Filter.map (s.indicator f) (MeasureTheory.ae μ)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
α : Type u_1
Zero α
ι : Type u_2
f : ι →₀ α
g : ι → α → A
⊢ φ (f.sum g) = f.sum fun i a => φ (g i a)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0
hmn : n ≤ m
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)
m n : ℕ
i : Fin n
⊢ (finSuccEquiv' (Fin.last n)) i.castSucc = some i
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
j : M.ι
⊢ ((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ f ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) PUnit.unit PUnit.unit = (embedding C).map (f j i) PUnit.unit PUnit.unit
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
H : IsCyclotomicExtension S K L
hS : n ∈ S
⊢ Splits (algebraMap K L) (X ^ ↑n - 1)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ ≃ᵐ ℝ
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
g : ℝ → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ ⇑f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : IntegrableOn g (⇑f '' s) volume
f' : ℝ → ℝ
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt (⇑f) (f' x) s x
⊢ (Measure.map (⇑f.symm) (volume.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (g x))) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : ↥(Lp G' 1 μ)
hf : 0 ≤ f
⊢ ∀ (f : { g // 0 ≤ g }), 0 ≤ (setToL1 hT) ↑f
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
hdeg : 0 < P.degree
hnps : P.leadingCoeff ≤ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Polynomial.eval x P) Filter.atTop Filter.atBot
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
x : ↑(π C fun x => x ∈ s)
⊢ (LocallyConstant.evalₗ ℤ x) ((Finsupp.onFinset Finset.univ f.toFun ⋯).sum fun i a => a • spanFinBasis C s i) = f x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
s : Set α
a : α
hsa : a ∈ lowerBounds s
hsf : a ∈ closure s
⊢ IsGLB s a
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J) C
t : CategoryTheory.Limits.Trident fun j => F.map (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.Hom.line j)
j : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cone.ofTrident t).π.app j =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (t.π.app j) (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
humeas : MeasurableSet u
hfinite : (s \ u).Finite
this : u ⊆ s
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b✝ c : α
n : ℤ
b : α
⊢ p = 0 + p
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → β → Bool
l : Batteries.AssocList α β
⊢ Batteries.AssocList.findEntryP? p l =
  List.find?
    (fun x =>
      match x with
      | (a, b) => p a b)
    l.toList
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ Setoid.r x y ↔ x⁻¹ * y ∈ s
α : Type u_2
M : Matroid α
F : Set α
hF : M.Flat F
⊢ M.closure F = F
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
x : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ DifferentiableAt 𝕜' f x ↔ ∃ g', ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 g' = fderiv 𝕜 f x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X
⊢ ∀ (a : X), ((((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1) a = ((((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1) a
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a b c : M
m n : ℕ
hba : b * a = 1
hac : a * c = 1
⊢ b = c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
h : f = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero X
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
hA : A.Nonempty
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hG : P.IsUniform G ε
⊢ ∑ i ∈ P.nonUniforms G ε, ↑i.1.card * ↑i.2.card < ε * (↑A.card + ↑P.parts.card) ^ 2
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ (Filter.coLindelof X).HasBasis IsLindelof compl
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))
⊢ (fun x => rexp (-x) * x ^ (s.re - 1)) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 Y))] fun a => abs ↑(rexp (-a)) * abs (↑a ^ (s - 1))
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
(S₁.map F).HasHomology
(S₂.map F).HasHomology
F.PreservesRightHomologyOf S₁
F.PreservesRightHomologyOf S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ)) (S₂.mapHomologyIso' F).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S₁.mapHomologyIso' F).inv
    (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap (F.mapShortComplex.map φ))
x y : ℝ
hy : y ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ Real.arcsin x = y ↔ x = Real.sin y
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} A
inst✝³ : ConcreteCategory A
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective A
X Y : Cᵒᵖ ⥤ A
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J f
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J f
⊢ Presheaf.IsLocallyInjective J f ∧ Presheaf.IsLocallySurjective J f
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ T.rotate.mor₁ = 0 ∧ T.rotate.mor₂ = 0 ↔ T.mor₂ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
m : Type u → Type v
Monad m
α β ε : Type u
x : ContT.Label (Except ε α) m β
i : α
⊢ ContT.goto (ExceptT.mkLabel x) i = ExceptT.mk (Except.ok <$> ContT.goto x (Except.ok i))
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ ↑⊤ = Set.univ
n : ℕ
⊢ Nat.fib n ≤ Nat.fib (n + 1)
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
⊢ ⇑f.withTopWithBot = Option.map (Option.map ⇑f)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ Ico a b - Ico a c = Ico (max a c) b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I.Boundaryless
⊢ ∀ (a : H), I.toHomeomorph a = ↑I a
G : Type u_1
inst✝ : Mul G
A B : Finset G
h : 1 < A.card * B.card → ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
hA : 0 < A.card
hB : 0 < B.card
hc : 1 < A.card ∨ 1 < B.card
p : G × G
hp : p ∈ A ×ˢ B
w✝ : G × G
left✝¹ : w✝ ∈ A ×ˢ B
left✝ : p ≠ w✝
hu : UniqueMul A B p.1 p.2
right✝ : UniqueMul A B w✝.1 w✝.2
⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueMul A B a b
R : Type u_1
Semiring R
s : R
⊢ (Module.moduleEndSelfOp R) s = DistribMulAction.toLinearMap Rᵐᵒᵖ R s
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : N ≃+ P
x : M
⊢ k.symm ((f.ofAddEquivOfLocalizations k).toMap x) = f.toMap x
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
l : List δ
⊢ Measurable (List.TProd.mk l)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
⊢ Continuous v.proj
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
p : A → Prop
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (exp 𝕜) a = exp 𝕜 ((cfcHom ha) { toFun := (spectrum 𝕜 a).restrict id, continuous_toFun := ⋯ })
n k : ℕ
h : k ≤ n
⊢ n ! = (n - k)! * (n ! / (n - k)!)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
⊢ ↑((insert b s).sup' ⋯ f) = ↑(f b ⊔ s.sup' H f)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
⊢ ∀ i ∈ s, infEdist i s = 0
α : Type u_1
a : α
Preorder α
OrderBot α
⊢ ↑⊥ = ⊥
z : ℂ
hz : z ∈ Complex.slitPlane
⊢ z.arg ≠ π
X : AlgebraicGeometry.Scheme
V U : X.Opens
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
i : Opposite.op U ⟶ Opposite.op V
⊢ X.basicOpen ((X.presheaf.map i) f) = V ⊓ X.basicOpen f
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.5419, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K✝ : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
G : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCoverDense K
U : D
⊢ Sieve.coverByImage G U ∈ K.sieves U
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
p : β × γ → Prop
hp : MeasurableSet {x | p x}
h : (κ a) {a_1 | ¬(η (a, a_1)) {a | ¬p (a_1, a)} = 0} = 0
⊢ (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' {a | ¬p a})) =ᶠ[ae (κ a)] 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (β_ X (Y ⊗ Z)).hom = (α_ X Y Z).inv ≫ (β_ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ≫ (α_ Y Z X).inv
α : Type u
Group α
H : Subgroup α
g : α
⊢ (MulActionHom.toQuotient H) g = ↑g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
fst✝ snd✝ : α
⊢ Sym2.mk (fst✝, snd✝).swap = s(fst✝, snd✝)
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F G : A ⥤ B
H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
fst✝¹ : A
snd✝¹ : C
fst✝ : A
snd✝ : C
f : (fst✝¹, snd✝¹) ⟶ (fst✝, snd✝)
⊢ F.map f.1 ≫ α.app fst✝ = α.app fst✝¹ ≫ G.map f.1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : Computation α
a : α
h1 : a ∈ s
h2 : a ∈ t
a' : α
ma : a' ∈ t
⊢ a' ∈ s
R : Type u_1
Semiring R
f g : ArithmeticFunction R
⊢ (f * g) 1 = f 1 * g 1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type u₁
D : Type v₁
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Semiring C
Semiring D
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
Algebra R D
φ₁ : C →ₐ[R] D
φ₂ : B →ₐ[R] C
φ₃ : A →ₐ[R] B
⊢ (φ₁.comp φ₂).comp φ₃ = φ₁.comp (φ₂.comp φ₃)
α : Type u
inst✝² : DecidableEq α
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α
f : Perm α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x
l : { l // l.prod = f.subtypePerm h₁ ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap } := (f.subtypePerm h₁).truncSwapFactors.out
hl' : ∀ g' ∈ List.map ⇑ofSubtype ↑l, g'.IsSwap
hl'₂ : (List.map ⇑ofSubtype ↑l).prod = f
⊢ sign (f.subtypePerm h₁) = sign f
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν₁ ν₂ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ ⟂ₘ ν₁ + ν₂ ↔ μ ⟂ₘ ν₁ ∧ μ ⟂ₘ ν₂
n p : ℕ
p2 : 2 ≤ p
a : ∀ (m : ℕ), 2 ≤ m → m ≤ p.sqrt → ¬m ∣ p
this : ∀ {m k : ℕ}, m ≤ k → 1 < m → p ≠ m * k
m : ℕ
m2 : 2 ≤ m
l : m < p
x✝ : m ∣ p
k : ℕ
e : p = m * k
mk : m ≤ k
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
Y Z : C
g : Y ⟶ Z
⊢ ∃ X f h, CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk f g h ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformInducing g
f : α → β
⊢ UniformInducing (g ∘ f) ↔ UniformInducing f
R : Type u_1
CommRing R
IsArtinianRing R
p : Ideal R
⊢ p.IsPrime ↔ p.IsMaximal
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
k : ℕ
hk : k.succ ≠ 0
⊢ hurwitzZetaEven (↑x) (-(2 * ↑k.succ)) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
inst✝ : CompleteSpace H
K : ConvexCone ℝ H
ne : (↑K).Nonempty
hc : IsClosed ↑K
b : H
disj : b ∉ K
z : H
hzK : z ∈ ↑K
infi : ‖b - z‖ = ⨅ w, ‖b - ↑w‖
hinner : ∀ w ∈ ↑K, ⟪b - z, w - z⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ∃ y, (∀ x ∈ K, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ) ∧ ⟪y, b⟫_ℝ < 0
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
CommSemiring Rₚ
Algebra R Rₚ
IsLocalization S Rₚ
M : Type w
AddCommMonoid M
Module R M
Mₚ : Type t
AddCommMonoid Mₚ
Module R Mₚ
Module Rₚ Mₚ
IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
IsLocalizedModule S f
Module.Finite R M
⊢ Module.Finite Rₚ Mₚ
K : Type u_1
σ : Type u_2
Field K
Fintype K
Finite σ
⊢ Submodule.map (MvPolynomial.evalₗ K σ) (MvPolynomial.restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1)) = ⊤
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V)) (∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x)) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
l l' : Filter α
⊢ MeasureTheory.IntegrableAtFilter f (l ⊔ l') μ ↔
  MeasureTheory.IntegrableAtFilter f l μ ∧ MeasureTheory.IntegrableAtFilter f l' μ
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝¹ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n✝ n : ℕ
h : n ≠ 0
g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X
⊢ FiniteDimensional.finrank (ZMod p) (GaloisField p n) = n
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
⊢ (convexHull R) s = {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x}
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ (F.mapId a).hom ▷ F.map f = (F.mapComp (𝟙 a) f).inv ≫ F.map₂ (λ_ f).hom ≫ (λ_ (F.map f)).inv
a b c : ℝ≥0∞
⊢ a ≠ ⊤ → (a + b ≤ a + c ↔ b ≤ c)
n : ℕ∞
⊢ Cardinal.toENat ↑n = n
α : Type u
Unique α
⊢ Set.univ = {default}
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
x : G
⊢ Filter.comap (fun x_1 => x_1 * x⁻¹) (𝓝 1) = 𝓝 x
x : ℝ
h : sin x = 0
h₃ : x - ↑⌊x / π⌋ * π > 0
⊢ 0 = sin (x - ↑⌊x / π⌋ * π)
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range (n + 1), 2 ^ k • f (2 ^ k) = f 1 + 2 • ∑ k ∈ range n, 2 ^ k • f (2 ^ (k + 1))
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DistribLattice α
a b✝ c✝ : α
h : ∀ ⦃b c : α⦄, b ⊔ c = a → b = a ∨ c = a
b c : α
⊢ a ≤ b ⊔ c → a ≤ b ∨ a ≤ c
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
eₘ : m ≃ l
eₙ : n ≃ o
M : Matrix m n α
⊢ ((Matrix.reindex eₘ eₙ) M)ᵀ = (Matrix.reindex eₙ eₘ) Mᵀ
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.functorialityEquivalence F e).functor =
  CategoryTheory.Limits.Cocones.functoriality F e.functor
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
γ : Type u_7
s : Finset (α × β × γ)
f : α × β × γ → M
⊢ ∏ᶠ (abc : α × β × γ) (_ : abc ∈ s), f abc = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (c : γ) (_ : (a, b, c) ∈ s), f (a, b, c)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
x : ZMod m
hψ : ψ (-1) = -1
⊢ ψ (-1) * ψ x = -ψ x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
x : α
⊢ normalize x = 1 ↔ IsUnit x
α : Type u_3
Nonempty α
SemilatticeSup α
NoMaxOrder α
⊢ Filter.atTop.HasBasis (fun x => True) Set.Ioi
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
SecondCountableTopology V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
μ : MeasureTheory.Measure V
μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → MeasureTheory.Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
⊢ |(L v) w| ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w‖ ≤
  ‖v‖ ^ n * (2 * π * ‖L‖) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
    ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
R : Type u
S : Type v
A : Type w
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid A
Module R S
Module S A
Module R A
IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ Submodule.span R s
x : A
hx : x ∈ t
⊢ k • x ∈ Submodule.span R (s • t)
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f
⊢ OpenEmbedding ((forget TopCat).map f ≫ (forget TopCat).map g) ↔ OpenEmbedding ⇑g