ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex
rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n
rs_null : ∀ (n : ℕ), μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
Fthicks_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (Metric.thickening (rs n) F)
key : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs n) F)) L (𝓝 (μ (Metric.thickening (rs n) F)))
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
μF_finite : μ F < ⊤
keyB : Tendsto (fun r => μ (Metric.cthickening r F)) (𝓝 0) (𝓝 (μ F))
nhd : Iio (μ F + ↑ε) ∈ 𝓝 (μ F)
m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, μ (Metric.cthickening (rs b) F) < μ F + ↑ε
aux' : ∀ (i : ι), (μs i) F ≤ (μs i) (Metric.thickening (rs m) F)
aux : (fun i => (μs i) F) ≤ᶠ[L] fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs m) F)
⊢ limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F + ↑ε
α : Type u_2
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Mul M
ContinuousMul M
b : M
c : M
f : α → M
l : Filter α
h : Filter.Tendsto (fun k => f k) l (𝓝 c)
⊢ Filter.Tendsto (fun k => b * f k) l (𝓝 (b * c))
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
X₁ X₂ S : C
f₁ : X₁ ⟶ S
f₂ : X₂ ⟶ S
inst✝¹ : HasPullback f₁ f₂
inst✝ : PreservesLimit (cospan f₁ f₂) (forget C)
x : (forget C).obj (pullback f₁ f₂)
⊢ ∃ x₁ x₂, ∃ (h : f₁ x₁ = f₂ x₂), x = pullbackMk f₁ f₂ x₁ x₂ h
α : Type u_1
AddMonoid α
Preorder α
a b : AddUnits α
⊢ ↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f g : (i : ι) → π i
⊢ (f ~ᵢ g) ↔ ∀ (i : ι), f i ~ᵢ g i
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hPy : P y - W.negY P ≠ 0
hx : P x / P z ^ 2 = Q x / Q z ^ 2
hy : ¬P y / P z ^ 3 = W.toAffine.negY (Q x / Q z ^ 2) (Q y / Q z ^ 3)
⊢ ((3 * P x ^ 2 * P z ^ 2 + 2 * W.toAffine.a₂ * P x * (P z ^ 2) ^ 2 + W.toAffine.a₄ * ((P z ^ 2) ^ 2 * P z ^ 2)) * P z ^ 3 - (P z ^ 2) ^ 2 * P z ^ 2 * (W.toAffine.a₁ * P y)) * P z ^ 3 * (P z * (P y - W.negY P)) = (3 * P x ^ 2 + 2 * W.a₂ * P x * P z ^ 2 + W.a₄ * P z ^ 4 - W.a₁ * P y * P z) * ((P z ^ 2) ^ 2 * P z ^ 2 * P z ^ 3 * (P y - W.negY P))
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
hcomp✝ : ∀ (i : ι), IsSigmaCompact (s i)
K : ι → ℕ → Set X
hcomp : ∀ (i : ι) (n : ℕ), IsCompact (K i n)
hcov : ∀ (i : ι), ⋃ n, K i n = s i
this : ⋃ i, s i = ⋃ x, Function.uncurry K x
⊢ IsSigmaCompact (⋃ i, s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : InjOn f s
⊢ (f '' s).encard = s.encard
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.integral f = ∫ (a : α), ↑↑f a ∂μ
c : Cardinal.{u_2}
H : c.IsStrongLimit
⊢ Order.IsSuccLimit c
m n : ℕ
⊢ m + n + 2 = (m + 1 + n).succ
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x y : 𝕎 R
⊢ WittVector.ghostFun (x - y) = WittVector.ghostFun x - WittVector.ghostFun y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
h : (map (⇑f) μ).Regular
⊢ μ.Regular
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' f₁' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
H : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : HasDerivWithinAt f f' s x
h₁ : HasDerivWithinAt f f₁' s x
⊢ f' = f₁'
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : CauchyFilter α
h_ex : ∀ s ∈ 𝓤 (CauchyFilter α), ∃ y, (f, pureCauchy y) ∈ s
⊢ Monotone fun t => range pureCauchy ∩ UniformSpace.ball f t
K : Type u
L : Type v
E : Type z
Field K
Field L
Field E
Algebra K L
Algebra K E
Module.Finite K L
IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
Algebra.IsSeparable K L
⊢ (algebraMap K E) (Algebra.discr K ⇑pb.basis) = ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Finset.Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2
ι : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
Unique ι
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⇑(LinearEquiv.funUnique ι R M) = Function.eval default
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : K
k : ℕ
hk : 2 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
x✝ : { w // w.IsReal }
w : NumberField.InfinitePlace K
hwreal : NumberField.ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
f : K →+* ℂ := w.embedding
hζ' : IsPrimitiveRoot (f ζ) k
him : (f ζ).im = 0
hre : (f ζ).re = 1 ∨ (f ζ).re = -1
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 α
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g : β → α
hg : StrictConcaveOn 𝕜 (f '' s) g
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
hg' : StrictMonoOn g (f '' s)
hf' : Set.InjOn f s
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s (g ∘ f)
α : Type u
CommGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a / b < c / d ↔ a * d < c * b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
c : ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => c) a ∂μ = c * μ s
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
SeminormedAddCommGroup F'
NormedAddCommGroup E''
f'' : α → E''
l : Filter α
⊢ (f'' =Θ[l] fun x => 0) ↔ f'' =ᶠ[l] 0
k : Type u
Field k
⊢ IsAlgClosed (AlgebraicClosureAux k)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {f : α → α_1 → α_1} {b : α_1}, List.foldr f b List.nil = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
⊢ IsClosed {f | ∫ (z : β × γ), ↑↑f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), ↑↑f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a}
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
S : Set (Subring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ ↑(sSup S) ↔ x ∈ ⋃ s ∈ S, ↑s
ι : Type u_1
R : Type u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
F : Filter ι
F.NeBot
AddCommSemigroup R
Sub R
ContinuousSub R
OrderedSub R
CovariantClass R R (fun x y => x + y) fun x y => x ≤ y
f : ι → R
c : R
cobdd : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) F f
bdd_below : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) F f
⊢ Filter.limsup (fun i => c - f i) F = c - Filter.liminf f F
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
i✝ j : Set α
hs : VectorMeasure.restrict s univ ≤ VectorMeasure.restrict 0 univ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(s.toMeasureOfLEZero univ ⋯ hs).toSignedMeasure i = ↑(-s) i
p : ℝ≥0∞
V : Type uV
AddCommGroup V
x' y' : V
⊢ (WithLp.equiv p V).symm (x' + y') = (WithLp.equiv p V).symm x' + (WithLp.equiv p V).symm y'
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoid α
s t : Set α
a : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a)
h : (↑x).2 = (↑y).2
⊢ a = (↑x).1 * (↑x).2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
x₀ : G
h : HasCompactSupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
u : G ≃ₜ G := (Homeomorph.neg G).trans (Homeomorph.addRight x₀)
v : G ≃ₜ G := (Homeomorph.neg G).trans (Homeomorph.addLeft x₀)
A : AEStronglyMeasurable (g ∘ ⇑v) (μ.restrict (tsupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))))
⊢ AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => ↑(toAddUnits x₀) - t) (μ.restrict (tsupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t)))))
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w a b : K
r : ℝ
hr : 0 < r
hab : re a ≤ re b ∧ im a = im b
⊢ r • a ≤ r • b
α : Type u_2
β : Type u_3
One α
DecidableEq β
f : α → β
⊢ Finset.image f 1 = {f 1}
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A : C
X Y : Subobject B
f : A ⟶ B
inst✝ : Mono f
h₁ : X ≤ Y
h₂ : Y ≤ mk f
⊢ X.ofLE Y h₁ ≫ Y.ofLEMk f h₂ = X.ofLEMk f ⋯
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g s
n : ℕ
⊢ MonovaryOn (f ^ n) g s
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (E.map φ).toWeierstrassCurve = E.map φ
n : ℕ
⊢ toNatOrdinal ↑n = ↑n
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ -φ₂.τ₂ + -(S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f) = -S₁.g ≫ h.h₂ + -h.h₁ ≫ S₂.f + -φ₂.τ₂
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
⊢ ∀ (b : OuterMeasure X), (∀ (i : ℝ≥0∞), ⨆ (_ : i > 0), ⊤ ≤ b) → ⊤ ≤ b
α : Type u
A : α → PSet
β : Type u
B : β → PSet
H✝ : (mk α A).Equiv (mk β B)
γ : Type u
C : γ → PSet
b : (mk β B).Type
hc : (mk γ C).Equiv ((mk β B).Func b)
a : (mk α A).Type
ha : ((mk α A).Func a).Equiv ((mk β B).Func b)
H : ((mk α A).Func a).Equiv (mk γ C)
⊢ Acc (fun x x_1 => x ∈ x_1) (mk γ C)
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
⊢ DevosMulRel x y ↔ (x.1 * x.2).card < (y.1 * y.2).card ∨ (x.1 * x.2).card = (y.1 * y.2).card ∧ y.1.card + y.2.card < x.1.card + x.2.card ∨ (x.1 * x.2).card = (y.1 * y.2).card ∧ x.1.card + x.2.card = y.1.card + y.2.card ∧ x.1.card < y.1.card
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) s = (κ a) s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ W.polynomial.degree = 2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
s : Set α
⊢ kernMap m (𝓟 s) = 𝓟 (kernImage m s)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
⊢ ∀ (f : ℕ →o Submodule R R), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CommMonoidWithZero α
s✝ : Multiset α
inst✝¹ : NoZeroDivisors α
inst✝ : Nontrivial α
s : Multiset α
l : List α
⊢ prod ⟦l⟧ = 0 ↔ 0 ∈ ⟦l⟧
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
⊢ ((fun x' => f x' - f x - f' (x' - x)) ∘ fun x_1 => x + x_1) =o[𝓝 0] ((fun x' => x' - x) ∘ fun x_1 => x + x_1) ↔ (fun h => f (x + h) - f x - f' h) =o[𝓝 0] fun h => h
n : ℕ
h : ↑(n - 1)! = -1
h0 : n ≠ 0
h1 : 1 < n
h2 : ¬Prime n
m : ℕ
hm1 : m ∣ n
hm2 : 1 < m
hm3 : m < n
⊢ False
μ : ℝ
v : ℝ≥0
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ⌊a⌋₊ = n ↔ ↑n ≤ a ∧ a < ↑n + 1
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ OrderDual.toDual (a ∆ b) = OrderDual.toDual a ⇔ OrderDual.toDual b
α : Type u
R S : α → α → Prop
H : ∀ (a b : α), R a b ↔ S a b
l : List α
⊢ List.Chain' R l ↔ List.Chain' S l
α : Type u
p : α → Prop
⊢ (Subtype fun x => p x) → Exists fun x => p x
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
DecidableEq ι
AddCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
AddCommMonoid μ'
Finset.HasAntidiagonal μ'
DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
⊢ Finset.map (Finsupp.mapRange.addEquiv e).toEmbedding (s.finsuppAntidiag n) ⊆ s.finsuppAntidiag (e n)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y z : Y
⊢ (⨅ p, dist x (Φ p) + dist z (Ψ p)) + ε ≤ (⨅ p, dist x (Φ p) + dist y (Ψ p)) + ε + dist y z
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
h : ¬∃ s, Nonempty (Basis (↑↑s) R M)
⊢ FiniteDimensional.finrank R M = 0
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ HomologicalComplex.opcyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) 0 ≫ Q.fromLeftDerivedZero' F = P.fromLeftDerivedZero' F ≫ F.map f
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S✝ : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r
n₁ : ℕ
hn₁ : ⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • IsLocalizedModule.mk' (f r) x 1 ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
PseudoEMetricSpace X
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : X → X
g : X → E
hf : LipschitzWith 1 f
hg : UniformContinuous g
⊢ UniformEquicontinuous (birkhoffAverage 𝕜 f g)
x : ℝ
⊢ Real.exp x < 1 ↔ x < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ Set.MapsTo f s (Set.range f)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hroots : Multiset.card p.roots = p.natDegree
⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod = p
a b c : Int
h : c ≠ 0
⊢ c * a = c * b ↔ a = b
x y : ℝ
⊢ Real.sinh x < Real.sinh y ↔ x < y
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.sup f = Ordinal.lsub f ↔ ∀ (i : ι), f i < Ordinal.sup f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a
B : ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), AEMeasurable.mk f hf (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
⊢ ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
α : Type u_1
a b : ℂ
ha : a ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => a ^ x) b
n : ℕ
m : Fin n
⊢ (finSuccEquiv n) m.succ = some m
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ Profinite.pullback.snd f g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (Profinite.pullbackIsoPullback f g).hom (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g)
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ((ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure ∘ fun i => (μs i).normalize) i).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
h_mass : ¬μ.mass = 0
⊢ Tendsto (fun i => (μs i).mass * (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.mass * μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3
this : 2 ≤ S.multiplicity
⊢ False
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f₁ g₁ : C₁ ⟶ C₂
f₂ g₂ : C₂ ⟶ C₃
h₁ : Homotopy f₁ g₁
h₂ : Homotopy f₂ g₂
i j : ι
⊢ (h₁.comp h₂).hom i j = h₁.hom i j ≫ f₂.f j + g₁.f i ≫ h₂.hom i j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
v : E
MeasurableSpace F
BorelSpace F
hf : Continuous f
μ : MeasureTheory.Measure E
⊢ AEMeasurable (fun x => lineDeriv 𝕜 f x v) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
a b : α
⊢ Sum.inl a = Sum.inl b ↔ a = b
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ x
⊢ LSeries.abscissaOfAbsConv f ≤ ↑x + 1
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι✝ : Type uι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι✝
b✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
⊢ ∀ (m : M), (Dual.eval R M) m = 0 → m = 0
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf (x ^ (orderOf x / (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y))) * orderOf (y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))) = (orderOf x).lcm (orderOf y)
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ι : Sort u_2
f : ι → ℝ≥0
s : Set ℝ≥0
⊢ ↑r ∈ upperBounds (ofNNReal '' s) ↔ r ∈ upperBounds s
n : ℕ
⊢ riemannZeta (-2 * (↑n + 1)) = 0
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
h : a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 + a.imK ^ 2 = 0
⊢ 0 ≤ a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2
α : Type u
SubtractionMonoid α
u : AddUnits α
⊢ ↑(-u) = -↑u
V : Type u
Fintype V
ℓ : ℕ
⊢ ⊥.IsSRGWith (Fintype.card V) 0 ℓ 0
α : Sort u_2
β : Sort u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (a : α) → P a
b : β
x : P (e.symm b)
b' : β
h : b' ≠ b
⊢ (Equiv.piCongrLeft' P e) (update f (e.symm b) x) b' = update ((Equiv.piCongrLeft' P e) f) b x b'
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
Zero M
Zero N
FunLike F M N
Subsingleton M
ZeroHomClass F M N
⊢ Subsingleton F
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.705515
S' : Type ?u.705518
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.707949
S'' : Type ?u.707952
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
r : P.Ring
x : P.Cotangent
⊢ (P.σ ((algebraMap P.Ring S) r) - r) • x.val = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
R₁ : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁴ : CommRing R₁
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R₁ S
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : S
b : Basis ι R₁ S
w : ι → S
i✝ j✝ : ι
⊢ b.toMatrix (x • w) i✝ j✝ = ((Algebra.leftMulMatrix b) x * b.toMatrix w) i✝ j✝
a b : UInt32
⊢ (a % b).toNat = a.toNat % b.toNat
X : Type u_1
ι : Type u_3
TopologicalSpace X
Countable ι
s : ι → Set X
hcomp : ∀ (i : ι), IsSigmaCompact (s i)
⊢ IsSigmaCompact (⋃ i, s i)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => RCLike.re (f x)) μ ∧ MeasureTheory.Integrable (fun x => RCLike.im (f x)) μ ↔
  MeasureTheory.Integrable f μ
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
⊢ x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
j : n
⊢ star ↑hA.eigenvectorUnitary *ᵥ (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j) = Pi.single j 1
α : Type u
f : Ultrafilter α
s : Set α
⊢ s ∈ ↑f ↔ s ∈ f
α : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
⊢ {a | (Finset.addAntidiagonal hs ht a).Nonempty}.IsPWO
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
c : G₀
a b : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ c * a / (c * b) = a / b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
DecidableRel c.Rel
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber (CategoryTheory.Limits.biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
⊢ HomologicalComplex.cylinder.πCompι₀Homotopy.nullHomotopicMap K =
  HomologicalComplex.cylinder.π K ≫ HomologicalComplex.cylinder.ι₀ K - 𝟙 K.cylinder
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
CommRing k
AddCommGroup V1
AffineSpace V1 P1
Module k V1
c : P1
⊢ AffineMap.homothety c 1 = AffineMap.id k P1
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) Y ∧ I' ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
n : Type u'
Fintype n
DecidableEq n
α : Type u_2
Semiring α
v : n → α
Invertible v
Invertible (Matrix.diagonal v)
⊢ ⅟(Matrix.diagonal v) = Matrix.diagonal ⅟v
x : ℝ
hx₁ : -(2 * π) < x
hx₂ : x < 2 * π
h : cos x = 1
⊢ x = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : α → α
x : α
⊢ Cycle.Chain r (Function.periodicOrbit f x) ↔ ∀ n < Function.minimalPeriod f x, r (f^[n] x) (f^[n + 1] x)
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
⊢ ∀ (U V : OpenNhds x) (fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y), (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU → ∀ (fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y), (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV → fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩ → ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w)
M : Type u_6
N : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
h : M ≃* N
x : M
⊢ h x = 1 ↔ x = 1