ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
hG : ¬(center G).index = 0
this✝ : (center G).FiniteIndex
h1 : (center G).relindex (_root_.commutator G) ∣ (center G).index
this : ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).FiniteIndex
h2 : Group.rank ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) ≤ ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).index * Group.rank ↥(_root_.commutator G)
h3 : (center G).relindex (_root_.commutator G) * Group.rank ↥(_root_.commutator G) ≤ (center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G)
g : ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G))
⊢ g ^ (center G).index = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup G
n : ℕ
f : ℕ → G
h : ((fun x => x⁻¹) ∘ fun k => f (k + 1) / f k) = fun k => f k / f (k + 1)
⊢ (map (fun k => f (k + 1) / f k) (range n)).prod = f n / f 0
a : Int
b c : Int
H : 0 < a
⊢ a * b / (a * c) = b / c
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → LE (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ f ≤ g ↔ ∀ (i : ι), f i ≤ g i
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimit.toOver F).ι.app j = CategoryTheory.Over.homMk (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j) ⋯
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ b ⊓ c ≤ a ↔ b ≤ a ∨ c ≤ a
a b : USize
⊢ ¬a ≤ b ↔ b < a
G : Type u_2
α : Type u_3
Group G
TopologicalSpace α
MulAction G α
MulAction.IsMinimal G α
ContinuousConstSMul G α
K U : Set α
hK : IsCompact K
hUo : IsOpen U
hne : U.Nonempty
⊢ ∃ I, K ⊆ ⋃ g ∈ I, g • U
q : ℍ
⊢ normSq (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im) = Real.cos ‖q.im‖ ^ 2 + Real.sin ‖q.im‖ ^ 2
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Submodule R M
⊢ Module.Finite R ↥N ↔ N.FG
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set ι)
⊢ UniformSpace.comap (⋃₀ 𝔖).restrict (uniformSpace fun i => α ↑i) = ⨅ S ∈ 𝔖, UniformSpace.comap S.restrict (uniformSpace fun i => α ↑i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
H₁ : (Ioi a).Nonempty
H₂ : a ≤ b
⊢ b ∈ closure (Ioi a)
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ 0 = 1 ↔ I = ⊤
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
⊢ (update i f b) i = (single i b + erase i f) i
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq : ∀ (i j : ι), IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
⊢ ∃ a' h' iDh', U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧ (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧ ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s = const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
x : α
⊢ x ∈ r.inv.codom ↔ x ∈ r.dom
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖↑(f n) x - g x‖ ≤ ‖↑(f m) x - g x‖
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
ε0' : 0 < ↑ε
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ((μ ↑I).toReal + 1 + 1) * ↑ε
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a b : α
⊢ ‖a / b‖ = ‖a‖ / ‖b‖
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : ⟦x₁ * y₂⟧ + ⟦x₂ * y₁⟧ < ⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧
h₂ : ⟦x₂ * y₂⟧ + ⟦x₃ * y₁⟧ < ⟦x₂ * y₁⟧ + ⟦x₃ * y₂⟧
⊢ ⟦x₂ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ + (⟦x₁ * y₂⟧ + ⟦x₃ * y₁⟧) < ⟦x₂ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ + (⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₃ * y₂⟧)
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M
hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite
m : ℤ
hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite
⊢ ∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
ht : TopologicalSpace α
h : PolishSpace α
⊢ CompleteSpace α
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
AddCommGroup V₁
Module K V₁
AddCommGroup V₂
Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂
⊢ Function.Surjective ⇑f.dualMap ↔ Function.Injective ⇑f
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
t : Set α
⊢ (⨆ (_ : (t ∩ s).Nonempty), m (t ∩ s)) + ⨆ (_ : (t \ s).Nonempty), m (t \ s) ≤ ⨆ (_ : t.Nonempty), m t
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
h : u ≤ᶠ[f] v
⊢ Filter.liminf u f ≤ Filter.liminf v f
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime (y + z * x) x
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
ab : a ≠ b
l : List α
⊢ List.count a (l.erase b) = List.count a l
X : Type u
α : Type v
TopologicalSpace X
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
a : X
l : Filter X
ha : a ∈ s
l.NeBot
hl : l ≤ 𝓟 s
f : X → α
hf : ContinuousOn f s
v : α
ht : Filter.Tendsto f l (𝓝 v)
⊢ Set.Ioc v (f a) ⊆ f '' s
α : Type u_4
BooleanAlgebra α
IsAtomic α
x y : α
⊢ x ≤ y ↔ ∀ (a : α), IsAtom a → a ≤ x → a ≤ y
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ (s₁ ∪ s₂) ⊻ t = s₁ ⊻ t ∪ s₂ ⊻ t
R : Type u
L₁ : Type v
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
x : L₁
⊢ 1 x = x
ι : Type u_4
Fintype ι
IsEmpty ι
α : ι → Type u_5
(i : ι) → MeasureTheory.MeasureSpace (α i)
x : (a : ι) → α a := fun a => isEmptyElim a
⊢ MeasureTheory.volume = MeasureTheory.Measure.dirac x
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Nonempty
s : Set α
m : ι → OuterMeasure α
⊢ (restrict s) (⨅ i ∈ I, m i) = ⨅ i ∈ I, (restrict s) (m i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α
⊢ f a = 0 → 0 = f a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₃, p₄}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₃, p₄}
⊢ Collinear k {p₃, p₄}
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : DecidableEq n
v : n → α
s : Finset (n × n) := Finset.map { toFun := fun i => (i, i), inj' := ⋯ } Finset.univ
i : n × n
_hi : i ∈ Finset.univ
his : i ∉ s
⊢ ‖diagonal v i.1 i.2‖₊ ^ 2 = 0
α : Type u
R : α → α → Prop
t₁ t₂ : List α
h : List.Lex R t₁ t₂
s : List α
⊢ List.Lex R (s ++ t₁) (s ++ t₂)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Integrable (u n) μ
n : ι
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
⊢ Integrable (stoppedProcess u τ n) μ
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Fintype ι₁
Finite ι₂
DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
⊢ LinearMap.toMvPolynomial b₁ b₂ 0 = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
x : α
l₁ l₂ : List α
⊢ x ∈ l₁ ∩ l₂ ↔ x ∈ l₁ ∧ x ∈ l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
CommGroup β
TopologicalGroup β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (g * f) ↔ MeasureTheory.StronglyMeasurable g
R : Type u
CommSemiring R
ι₂ : Type v₂
DecidableEq ι₂
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
AddCommMonoid M₁'
(i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
Module R M₁'
(i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
x : M₁'
i : ι₂
y : M₂ i
⊢ (TensorProduct.directSumRight R M₁' M₂) (x ⊗ₜ[R] (DirectSum.lof R ι₂ M₂ i) y) =
  (DirectSum.lof R ι₂ (fun i => TensorProduct R M₁' (M₂ i)) i) (x ⊗ₜ[R] y)
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
ι : Sort u_2
hι : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ ↑(⨆ i, S i) ↔ x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
⊢ ∀ (a : X), ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a = ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ
z : ℝ
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 z)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Real.exp (f x)) l (𝓝 (Real.exp z))
α : Type u
PseudoMetricSpace α
Preorder α
CompactIccSpace α
a b : α
⊢ TotallyBounded (Set.Ico a b)
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x : α → DirectLimit G f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Quotient.out (x a)).fst)
a : α
⊢ x a = ⟦Structure.Sigma.mk f i (unify f (Quotient.out ∘ x) i hi a)⟧
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
Pb : P ≠ ⊥
hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
m : ↥P
hm : m ≠ 0
pp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) ↑m = 0
⊢ ↑m = 0
α : Type u_1
i : Nat
as bs : Array α
size start : Nat
hlt : i < bs.size
h : i < (Array.extract.loop as size start bs).size := ⋯
⊢ (Array.extract.loop as size start bs)[i] = bs[i]
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
x y : X
⊢ x ⤳ y ↔ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f✝ f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
ha : a ∉ s
𝒜 : Finset (Finset α)
f : Finset α → β
⊢ collapse 𝒜 a f s = (if s ∈ 𝒜 then f s else 0) + if insert a s ∈ 𝒜 then f (insert a s) else 0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
Nontrivial A
⊢ spectrum R 1 = {1}
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
CommSemiring A
Algebra R A
I J K : Submodule R A
⊢ I ≤ J / K ↔ I * K ≤ J
α : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSingletonClass α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : Fintype α
p : PMF α
f : α → E
⊢ ∑ x : α, (p.toMeasure {x}).toReal • f x = ∑ a : α, (p a).toReal • f a
ι : Type u_1
E : Type u_2
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
⊢ b.parallelepiped =
  TopologicalSpace.PositiveCompacts.map ⇑b.equivFun.symm ⋯ ⋯ (TopologicalSpace.PositiveCompacts.piIcc01 ι)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
hi : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
⊢ S.LeftHomologyData
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p : P
v : V
⊢ s.secondInter p (-v) = s.secondInter p v
α : Type u_1
⊢ (Equiv.refl α).optionCongr = Equiv.refl (Option α)
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
m : Multiset M
comm : {x | x ∈ m}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ m, x ∈ S
⊢ m.noncommProd comm ∈ S
α : Type u_1
MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
Nonempty α
CompleteSpace α
⊢ Function.IsFixedPt f (ContractingWith.fixedPoint f hf)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R
⊢ x ∈ selfAdjoint R ↔ star x = x
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
⊢ Splits φ P.toPoly ↔ ∃ x y z, (map φ P).roots = {x, y, z}
R : Type u
CommSemiring R
t : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ ↑(PrimeSpectrum.vanishingIdeal t) = {f | ∀ x ∈ t, f ∈ x.asIdeal}
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
F.PreservesLeftHomologyOf S₁
F.PreservesLeftHomologyOf S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ)) (S₂.mapCyclesIso F).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S₁.mapCyclesIso F).inv
    (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap (F.mapShortComplex.map φ))
this : Irrational √↑5
⊢ Irrational φ
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ Dense ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ)
V✝ : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V✝
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
⊢ p.support ⊆ (p.append q).support
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ (CategoryTheory.Abelian.coimageStrongEpiMonoFactorisation f).I = CategoryTheory.Abelian.coimage f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
φ : ℝ → ℝ
s : Set E
f : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
⊢ StrictConcaveOn ℝ s f
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I.jacobson
y : R
hxy : I ⊔ span {y * x + 1} = ⊤
p : R
hpi : p ∈ I
q : R
hq : q ∈ span {y * x + 1}
hpq : p + q = 1
r : R
hr : r * (y * x + 1) = q
⊢ -p ∈ I
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedCancelCommMonoid M
⊢ StrictMono fun f => ∏ x : ι, f x
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
h3a : 3 ∣ a
HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
hbc : IsCoprime (-b) (-c)
⊢ 3 ∣ b
R : Type u_1
CommRing R
x : R
B : Type u_2
CommRing B
Algebra R B
IsLocalization.Away x B
n m : ℤ
⊢ selfZPow x B (n + m) = selfZPow x B n * selfZPow x B m
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
h : 0 < μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}
⊢ (μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}).toReal * ↑R < (μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}).toReal * ↑R
n : Nat
h : n ≠ 0
⊢ 2 ^ n.log2 ≤ n
α : Type u_1
N : Type u_10
CommMonoid N
Fintype α
f : α →₀ ℕ
g : α → N
⊢ (f.prod fun a b => g a ^ b) = ∏ a : α, g a ^ f a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
A : CommMon_ (C ⥤ D)
X : C
⊢ ((CategoryTheory.Monoidal.CommMonFunctorCategoryEquivalence.functor.obj A).obj X).X = A.X.obj X
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
s : Subgroup G
hx : x ∈ s
⊢ orderOf x ∣ Nat.card ↥s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ p
hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯
ι : Type u_2 := Module.Free.ChooseBasisIndex R M
n : ℕ
snf : Basis.SmithNormalForm p ι n
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := (toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf')
B : Matrix ι ι R := (toMatrix snf.bM snf.bM) f
aux : ∀ (i : ι), B i i ≠ 0 → i ∈ Set.range ⇑snf.f
⊢ A.trace = B.trace
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atBot ↔ r < 0
α : Type u
SemilatticeInf α
a b c : α
⊢ a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
u_count : u.Countable
x : α
x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a
v : Set ι := {a | a ∈ u ∧ (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty}
vu : v ⊆ u
K : ℝ
μK : μ (closedBall x K) < ⊤
hK : ∀ a ∈ u, (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty → B a ⊆ closedBall x K
ε : ℝ≥0∞
εpos : 0 < ε
I : ∑' (a : ↑v), μ (B ↑a) < ⊤
w : Finset ↑v
hw : ∑' (a : { a // a ∉ w }), μ (B ↑↑a) < ε / ↑C
M : (s \ ⋃ a ∈ u, B a) ∩ ball x (R x) ⊆ ⋃ a, closedBall (c ↑↑a) (3 * r ↑↑a)
this : Countable ↑v
⊢ μ ((s \ ⋃ a ∈ u, B a) ∩ ball x (R x)) ≤ ε
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => Real.cosh (f x)) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η : P ⟶ Q
hQ : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J Q
γ : J.sheafify P ⟶ Q
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (J.toSheafify P) γ = η → γ = J.sheafifyLift η hQ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
⊢ (map (fun x => count x l) l.dedup).sum = l.length
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
LinearOrderedCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : AntivaryOn f g₁ s
h₂ : MonovaryOn f g₂ s
⊢ AntivaryOn f (g₁ / g₂) s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ (eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ).toReal ≤ ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
m : ℤ
hm : ∀ (g_1 : ↥(rootsOfUnity n L)), ((↑g).restrictRootsOfUnity n).toMonoidHom g_1 = g_1 ^ m
⊢ ∃ m, ∀ (t : ↥(rootsOfUnity n L)), g ↑↑t = ↑(↑t ^ m)
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝ : Monoid M
x : Mˣ
u : (↥(Submonoid.centralizer {↑x}))ˣ
⊢ ConjAct.toConjAct ((Units.map (Submonoid.centralizer {↑x}).subtype) u) • x = x
α : Type u_1
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : LinearOrder α
a✝ b✝ a b : α
⊢ |a| ∣ b ↔ a ∣ b
α : Type u_1
ι✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t : Set α
ι : Type u_4
μ : F
s : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
S : Set α := ⋃ n, s n
h0 : Tendsto (fun k => μ (S \ s k)) l (𝓝 0)
M : ℝ≥0∞ := ⨆ n, μ (s n)
A : ∀ (k : ι), μ S ≤ M + μ (S \ s k)
⊢ μ S ≤ M
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
h : c ∈ [[a, b]]
⊢ |c - a| ≤ |b - a|
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
f : β → α
a : α
b : β
hb : b ∈ s
h : f b ≤ a
⊢ s.inf f ≤ a
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : Inhabited α
l : List α
h : l ≠ []
h' : l.head! ∈ l.head! :: l.tail
⊢ l.head! ∈ l
α : Type u_1
β : Type v
a : α
b : α → β
⊢ ({a}.sigma fun a => {b a}) = {⟨a, b a⟩}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f✝ : F
g✝ : G
x✝ y✝ z : α
s : Set α
g : β →ᵈ γ
f : α →ᵈ β
x y : α
hα : edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤
⊢ ratio (g.comp f) = ratio g * ratio f
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hs : IsOpen s
⊢ mk ⁻¹' (mk '' s) ⊆ s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_3
TopologicalSpace β
γ : Type u_4
UniformSpace γ
CompleteSpace γ
T0Space γ
e : α → β
f : α → γ
de : DenseInducing e
h : ∀ (b : β), Cauchy (Filter.map f (Filter.comap e (𝓝 b)))
⊢ Continuous (de.extend f)
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
φ ψ : L.Formula α
⊢ T.SemanticallyEquivalent (φ.imp ψ) (φ.not ⊔ ψ)
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f g : M →ₛₗ[σ] M₃
⊢ f = g ↔ ∀ (x : M), f x = g x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
CompactSpace α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
Fact (1 ≤ p)
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
f : C(α, E)
⊢ (ContinuousMap.toLp p μ 𝕜) f =
  (BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜) ((ContinuousMap.linearIsometryBoundedOfCompact α E 𝕜) f)
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
q : ℕ
q1 : 1 < ↑q
qR0 : 0 < ↑↑q
bq0 : 0 < ↑b * ↑↑q
a1 : |a * ↑q - ↑b * p| * ↑q ^ (b + 1) < ↑b * ↑q
a0 : a * ↑q - ↑b * p ≠ 0
ap : 0 < |a * ↑q - ↑b * p|
⊢ False
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
inst✝ : CompactSpace α
⊢ Tendsto F p (𝓝 f) ↔ TendstoUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ ofFn f = map (fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩) (range n).attach
α : Type u_1
DecidableEq α
x y d : α
⊢ [y].nextOr x d = d
n p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
h : p % 2 = 1
hf : p = 2
⊢ False
G : Type u_1
AddGroup G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Γ : AddSubgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
Countable ↥Γ
MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
BorelSpace (G ⧸ Γ)
μ.IsAddRightInvariant
⊢ MeasureTheory.Measure.map QuotientAddGroup.mk μ ≪ MeasureTheory.Measure.map QuotientAddGroup.mk (μ.restrict 𝓕)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ ↑S.starClosure = ⋂ s, ⋂ (_ : ↑(NonUnitalSubsemiring.closure (↑S ∪ star ↑S)) ⊆ ↑s), ↑s
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Semiring α
f : m ≃ m
M : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ (f.toPEquiv.toMatrix * M) i j = M.submatrix (⇑f) id i j
M₀ : Type u_1
CommSemigroup M₀
Zero M₀
IsRightCancelMulZero M₀
⊢ IsCancelMulZero M₀