ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)
⊢ extendFrom (Ioo a b) f a = la
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ x.frobeniusFun.coeff n = (aeval x.coeff) (frobeniusPoly p n)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
hl : l.Subsingleton
⊢ l.IsCountablyGenerated
n k : ℕ
h : n < k
⊢ Ring.multichoose (-↑n) k = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
U : Submodule 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
CompleteSpace ↥U
⊢ (U.subtypeL.comp ((orthogonalProjection U).comp (T.comp (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))))).IsPositive
X : Type w
t : TopologicalSpace X
UCompactlyGeneratedSpace X
⊢ t = TopologicalSpace.compactlyGenerated X
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (a * t) = ↑a ^ (-s) • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f t
α : Type u_3
k : ℕ
Fintype α
Fintype (Sym α k)
⊢ Fintype.card (Sym α k) = (Fintype.card α).multichoose k
α : Type u_2
Add α
a : α
⊢ IsSquare (Multiplicative.ofAdd a) ↔ Even a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
F G : CategoryTheory.Functor C Dᵒᵖ
e : F ≅ G
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.hom.app X).unop (e.inv.app X).unop =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.unop (G.obj X))
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : f '' s ∈ 𝓝[≥] f a
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Ici a) a
α : Type u
m n : ℕ
a : α
⊢ List.replicate (m + n) a = List.replicate m a ++ List.replicate n a
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
I : Box ι
s✝ : Finset (ι × ℝ)
a : ι × ℝ
s : Finset (ι × ℝ)
x✝ : a ∉ s
hs : (splitMany I s).IsPartition
⊢ (splitMany I (insert a s)).IsPartition
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a c d : α
n : ℤ
⊢ 1 ≤ a / 0 ↔ 0 < 0 ∧ 0 ≤ a ∨ 0 < 0 ∧ a ≤ 0
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M.restrict M.E = M
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
⊢ Nonempty (IsInitial (F.obj X)) ↔ IsEmpty ↑(F.obj X)
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt Real.log x⁻¹ x
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
a b c : E
⊢ convexJoin 𝕜 (segment 𝕜 a b) {c} = (convexHull 𝕜) {a, b, c}
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
heq : ¬b = a
h' : (b :: l₁).erase b <+ l₂.erase b
⊢ ((l₂.erase b).erase a).diff (l₁.erase a) <+ (l₂.erase b).diff l₁
α : Type u_1
Fintype α
⊢ Nonempty (Field α) ↔ IsPrimePow ‖α‖
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℕ
⊢ ∃ a b, a ≤ p / 2 ∧ b ≤ p / 2 ∧ a ^ 2 + b ^ 2 ≡ x [MOD p]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
G : Type u
Group G
a : G
⊢ Quot.mk Setoid.r a = Abelianization.of a
K : Type u_1
Field K
⊢ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑(-1) = -1
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ (Fin.castLEOrderEmb h).toEmbedding = { toFun := Fin.castLE h, inj' := ⋯ }
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
Preorder ι'
Nonempty ι'
IsDirected ι' (Function.swap fun x x_1 => x ≤ x_1)
Order.Frame α
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → ι' → α
hf : ∀ i ∈ s, Antitone (f i)
⊢ ⨆ j, ⨅ i ∈ s, f i j = ⨅ i ∈ s, ⨆ j, f i j
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s
p' : ℕ → X := fun k => if h : k < n + 1 then p ⟨k, h⟩ else p ⟨0, ⋯⟩
γ : Path (p' 0) (p' n)
hγ : (∀ i ≤ n, p' i ∈ range ⇑γ) ∧ range ⇑γ ⊆ s
hpp' : ∀ k < n + 1, p ↑k = p' k
⊢ range ⇑γ ⊆ s ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ConditionallyCompleteLattice β
c : β
hμ : μ ≠ 0
⊢ essInf (fun x => c) μ = c
𝕜 : Type u
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
⊢ ‖f.uncurry0‖ = ‖f‖
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < p i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-p i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
i : ι
⊢ Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s = ∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, ↑a_1 ^ (s - 1) * (a i * ↑(rexp (-p i * a_1))) ∂volume
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}
hVo : IsOpen V
hVmem : (z, τ) ∈ V
hVp : IsPreconnected V
f : ℤ → ℂ × ℂ → ℂ := fun n p => jacobiTheta₂_term n p.1 p.2
f' : ℤ → ℂ × ℂ → ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ := fun n p => jacobiTheta₂_term_fderiv n p.1 p.2
hf : ∀ (n : ℤ), ∀ p ∈ V, HasFDerivAt (f n) (f' n p) p
u : ℤ → ℝ := fun n => 3 * π * ↑|n| ^ 2 * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))
hu : ∀ (n : ℤ), ∀ x ∈ V, ‖f' n x‖ ≤ u n
⊢ HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂ p.1 p.2) (jacobiTheta₂_fderiv z τ) (z, τ)
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
hφ : T ⊨ᵇ φ
⊢ M ⊨ φ ↔ T ⊨ᵇ φ
α : Type u_1
l₁ l₂ l₃ : Lists' α true
h₁ : l₁ ⊆ l₂
h₂ : l₂ ⊆ l₃
⊢ l₁ ⊆ l₃
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε : ε ≤ 1
⊢ 0 < ε ^ 5
F : Type u → Type u
q : QPF F
a : (P F).A
f : (P F).B a → (P F).W
this : mk (abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦Wrepr (WType.mk a f)⟧
⊢ mk (abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦WType.mk a f⟧
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y S T S' : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
i' : S ⟶ S'
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
CategoryTheory.Limits.HasPullback (f ≫ i ≫ i') (g ≫ i ≫ i')
CategoryTheory.Limits.HasPullback ((f ≫ i) ≫ i') ((g ≫ i) ≫ i')
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.mapDesc f g (i ≫ i') =
  CategoryTheory.Limits.pullback.mapDesc f g i ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.mapDesc (f ≫ i) (g ≫ i) i' ≫ (CategoryTheory.Limits.pullback.congrHom ⋯ ⋯).hom
a : ℝ≥0∞
⊢ max 0 a = a
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A
F : C ⥤ A
G : Type u_4
AddGroup G
CategoryTheory.HasShift C G
F.ShiftSequence G
X Y : C
m : G
f : X ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C m).obj Y
n : G
hnm : n + m = 0
a a' : G
ha' : m + a = a'
⊢ (F.shiftIso n a' a ⋯).hom.app X ≫ F.shiftMap f a a' ha' =
  (F.shift a').map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f ≫ (CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C m n ⋯).hom.app Y)
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
n : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ (coeff R n) ((monomial R n) a) = a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MulHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
s t : Set β
w✝¹ : α
left✝¹ : w✝¹ ∈ ⇑m ⁻¹' s
w✝ : α
left✝ : w✝ ∈ ⇑m ⁻¹' t
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) w✝¹ w✝ ∈ ⇑m ⁻¹' (s * t)
m n : ℕ
⊢ m / n = m ↔ m = 0 ∨ n = 1
R : Type u
NonAssocSemiring R
S : Set (Subsemiring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
z : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
aux : ∀ (a b c d : ℂ), a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
this : ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) = ↑n
⊢ ↑n * ↑n ! ^ 2 / ((∏ x ∈ Finset.range n, (z + ↑(x + 1)) * (1 - z + ↑x)) * (z * (↑n + 1 - z))) = ↑n / (↑n + 1 - z) * (1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)))
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : DenselyOrdered α
⊢ Ioo a b = ∅ ↔ ¬a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : (𝓝 1).IsCountablyGenerated
⊢ (𝓤 α).IsCountablyGenerated
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommSemiring R
Semiring α
Algebra R α
d : n → α
⊢ (Matrix.diagonalAlgHom R) d = Matrix.diagonal d
R : Type u_1
NonUnitalSemiring R
x y : PreQuasiregular R
⊢ (x * y).val = y.val + x.val + x.val * y.val
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a : ℤ
x : R
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ ((x • γ).shift a).v p q hpq = (x • γ.shift a).v p q hpq
R : CommRingCat
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec R).toLocallyRingedSpace = AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj R
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r
⊢ 1 + ‖x‖ ≤ √2 * √(1 + ‖x‖ ^ 2)
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v (y - x) < v x
⊢ v y = v x
α : Type u_1
LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h₁ : a₁ < b₁
⊢ Set.Ioc a₁ b₁ ⊆ Set.Ioc a₂ b₂ ↔ b₁ ≤ b₂ ∧ a₂ ≤ a₁
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
hg : ∀ (y : ↥S), IsAddUnit (g ↑y)
x y : M × ↥S
⊢ (f.lift hg) (f.mk' x.1 x.2) = (f.lift hg) (f.mk' y.1 y.2) ↔ g (x.1 + ↑y.2) = g (y.1 + ↑x.2)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
OrderedAddCommMonoid M
OrderClosedTopology M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : v.restrict i ≤ w.restrict i
hj₁ : MeasurableSet j
hj₂ : v.restrict j ≤ w.restrict j
⊢ v.restrict (i ∪ j) ≤ w.restrict (i ∪ j)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => Real.arctan (f x)) ((1 / (1 + f x ^ 2)) • f') x
M : Type u_2
N : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
hf : ∀ (x y : M), AddCommute (f x) (f y)
⊢ ⇑(f.fromOpposite hf) = ⇑f ∘ AddOpposite.unop
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X : Cᵒᵖ
j : J
⊢ colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j ≫ colimMap (whiskerLeft F (restriction R (𝟙 X))) ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) (F ⋙ evaluation R X)).inv = colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j ≫ (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R X))).inv
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}
H : Ordinal.IsNormal f
o : Ordinal.{u}
h : o.IsLimit
⊢ (o.blsub fun x x_1 => f x) = f o
n : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
h : p.succ ≤ i
hi : i ≠ 0 := ⋯
⊢ p.predAbove i = i.pred hi
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : List α
h : t ⊆ s
⊢ (s ++ t).dedup.Perm s.dedup
R : Type u
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
⊢ ↑(Submodule.pi I p) = I.pi fun i => ↑(p i)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
s : Set M
p : (x : M) → x ∈ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s → Prop
Hs : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
Hfun :
  ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n),
    FirstOrder.Language.ClosedUnder f {x | ∃ (hx : x ∈ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s), p x hx}
x : M
hx : x ∈ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s
⊢ p x hx
α : Type u_1
DecidableEq α
AddCommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.addDysonETransform e x).2 = x.2 ∩ (-e +ᵥ x.1)
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddGroup (π i)
f : (i : ι) → π i
⊢ ∑ i : ι, ‖f i‖ ≤ Fintype.card ι • ‖f‖
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c : 𝕜 → 𝔸
c' : 𝔸
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y * d) (c' * d) s x
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
v : V
x : P
⊢ nndist x (v +ᵥ x) = ‖v‖₊
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
P.IsStableUnderComposition
hP : CategoryTheory.MorphismProperty.isomorphisms C ≤ P
⊢ P.RespectsIso
a b : ℤ
r : ℤ
v : ℤ
⊢ Finset.filter (fun x => x ≡ v [ZMOD r]) (Finset.Ioc a b) =
  Finset.map { toFun := fun x => x + v, inj' := ⋯ } (Finset.filter (fun x => r ∣ x) (Finset.Ioc (a - v) (b - v)))
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
Preorder α
a : α
Preorder β
f : β → α
PosMulMono α
hf : Monotone f
ha : 0 ≤ a
⊢ Monotone fun x => a * f x
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ (algebraMap ℚ A) (bernoulli (n + 1) / ((↑n + 1) * ↑n !)) * ((algebraMap ℚ A) (↑0 + 1)⁻¹ - 1) + (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal n, bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = if n + 1 = 1 then 1 else 0
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x)) = ∑ x_1 : L ≃ₐ[K] L, (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (x_1 x)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
x : ↥I
⊢ I.incl x = ↑x
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
⊢ DirichletCharacter.conductor 1 ∣ n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m : M
i : ℕ
a : R
a_in : a ∈ ↑(I ^ i • ⊤)
⊢ a ∈ (fun x => x • m) ⁻¹' ↑(I ^ i • ⊤)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
s : Sphere P
hs : p₁ ∈ s ∧ p₂ ∈ s ∧ p₃ ∈ s ∧ p₄ ∈ s
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.IsLeftDescent w i ↔ ¬cs.IsLeftDescent (cs.simple i * w) i
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hne : ∀ (i : ι), (f i).Nonempty
this : ∀ (n : ℕ), {i | (f i ∩ compactCovering X n).Nonempty}.Finite
i : ι
x✝ : i ∈ univ
x : X
hx : x ∈ f i
⊢ i ∈ ⋃ i, {i_1 | (f i_1 ∩ compactCovering X i).Nonempty}
α : Type u_1
ι : Sort u_2
p : ι → Set (Set α)
hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)
hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p
⊢ IsPiSystem (⋃ n, p n)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
FirstCountableTopology X
s : Set X
hs : IsCompact s
⊢ IsSeqCompact s
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : DecidableEq p
inst✝⁶ : DecidableEq q
inst✝⁵ : DecidableEq l
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype p
inst✝² : Fintype q
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : Invertible 2
⊢ fromBlocks (1 * ⅟2 • 1ᵀ + -1 * ⅟2 • (-1)ᵀ) (1 * ⅟2 • 1ᵀ + -1 * ⅟2 • 1ᵀ) (1 * ⅟2 • 1ᵀ + 1 * ⅟2 • (-1)ᵀ) (1 * ⅟2 • 1ᵀ + 1 * ⅟2 • 1ᵀ) = 1
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
h1 : ∀ (n : ℕ), 2 * ↑k + 1 ≠ -↑n
h3 : (2 * ↑k + 1).Gammaℂ ≠ 0
⊢ Complex.sin (↑π * (2 * ↑k + 1) / 2) * (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1))) = -1 / (2 * ↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Function.Injective fun M => M.map f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
I : Type u_7
inst✝ : Finite I
l : I → Filter α
ι : I → Sort u_6
p : (i : I) → ι i → Prop
s : (i : I) → ι i → Set α
hd✝ : Pairwise (Disjoint on l)
h : ∀ (i : I), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : I → Set α
htl : ∀ (i : I), t i ∈ l i
hd : Pairwise (Disjoint on t)
ind : (i : I) → ι i
hp : ∀ (i : I), p i (ind i)
ht : ∀ (i : I), s i (ind i) ⊆ t i
⊢ ∃ ind, (∀ (i : I), p i (ind i)) ∧ Pairwise (Disjoint on fun i => s i (ind i))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.NormalizedMooreComplex.objX X (n + 1) =
  Finset.univ.inf fun k => CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (X.δ k.succ)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
y : E b
⊢ (Trivialization.linearMapAt R e b) y = if b ∈ e.baseSet then (↑e { proj := b, snd := y }).2 else 0
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsReduced Y
U : X.Opens
⊢ _root_.IsReduced ↑Γ(X, U)
α : Sort u_2
a : α
β : Sort u_1
b : α
C : α → Sort u_1
x : C a
y : β
e : a = b
h : HEq x y
⊢ HEq (e ▸ x) y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
x : E
⊢ (setToL1SCLM α E μ hT) (indicatorConst 1 hs ⋯ x) = (T s) x
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
i j k : ι
hijk : (Algebra.leftMulMatrix bS) (bS i) j k ≠ 0
⊢ 0 < normBound abv bS
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
n : ℤ
hn : Even n
h : n ≠ 0
⊢ 0 < a ^ n ↔ a ≠ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
CompactSpace X
f : LocallyConstant X Y
⊢ (Set.range ⇑f).Finite
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0_lt : 0 < p
f : α → ℝ≥0∞
hf_nonzero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ 0
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
⊢ (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ)⁻¹ ≠ ⊤
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ (α_ (R.X ⊗ R.X) P.X Q.X).inv ≫ ((α_ R.X R.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (R.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ R.X R.X (P.X ⊗ Q.X)).hom ≫ R.X ◁ (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ (((α_ R.X (R.X ⊗ P.X) Q.X).inv ≫ (R.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X) ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
S' : Summable fun i => ⟨∫ (x : X) in s i, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩
⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
p : TangentBundle I M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
h : MDifferentiableWithinAt I I' f univ p.proj
⊢ tangentMapWithin I I' f s p = tangentMap I I' f p
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedCommGroup α
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ι → α
s : Set ι := {x | 1 ≤ f x}
h1 : ∀ (x : ↑s), mabs (f ↑x) = f ↑x
h2 : ∀ (x : ↑sᶜ), mabs (f ↑x) = (f ↑x)⁻¹
⊢ ((Multipliable fun x => f ↑x) ∧ Multipliable fun x => (f ↑x)⁻¹) ↔ Multipliable f
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
X Y : R
⊢ W.Nonsingular ![X, Y, 1] ↔ W.toAffine.Nonsingular X Y
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
m n : M
p : MvPolynomial σ R
hp : MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w p m
hn : n ≠ m
⊢ (MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w n) p = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
hs : Set.range t.points = Set.range t₀.points
⊢ s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
DistribMulAction 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f + g)
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ ∫ (v : V), rexp (-b * ‖v‖ ^ 2) = (π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2)
X✝ X : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toRingedSpace.toPresheafedSpace
hx : x ∈ U
⊢ 0 ≠ 1
R : Type u
CommRing R
P : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ (u • P) 0 = ↑u * P 0 ∧ (u • P) 1 = ↑u * P 1 ∧ (u • P) 2 = ↑u * P 2