ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
g : E ≃ₜ E := Homeomorph.addLeft x
t : Set E := ⇑g ⁻¹' s
this : t ∈ 𝓝 0
⊢ #↑s = #E
α : Type u_1
β : Type u_2
Finite α
f : α → β
⊢ Function.Bijective f ↔ Function.Surjective f ∧ Nat.card α = Nat.card β
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ (if Even (2 * k) then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (2 * k / 2) = (if Even (↑(M.M i i') * 2 - 2 * k) then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - 2 * k) / 2)
G : Type u_1
AddGroup G
S T : Set G
h : AddSubgroup.IsComplement S T
g : G
⊢ ∃! x, ↑x.1 + ↑x.2 = g
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x y : ℝ
⊢ ↑x < ↑y ↔ x < y
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
⊢ ∑ i ∈ P.parts, i.card = s.card
α : Sort u_1
DecidableEq α
x y : α
⊢ Equiv.swap x y = Equiv.refl α ↔ x = y
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f : β → α
l : Filter β
a : α
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => max a (f i)) l (𝓝 a)
n a : ℕ
h : a < n
a' : ℕ
h' : a' < n
⊢ ⟨a, h⟩ = ⟨a', h'⟩ ↔ a = a'
α : Type u_1
G : Type u_9
SubtractionMonoid G
f : α → G
⊢ Function.support (-f) = Function.support f
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.rotateLeft 0 = l
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b c d : G
⊢ a - b = c - d ↔ a + d = c + b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
Ring α
h : Function.Periodic f c
n : ℤ
⊢ f (↑n * c - x) = f (-x)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure β
x : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∑' (n : ι), ((const α (μ n)) x) s = ∑' (i : ι), (μ i) s
b : ℂ
hb : 0 < b.re
hb' : b ≠ 0
⊢ ∫ (r : ℝ) in Ioi 0, ↑r * cexp (-b * ↑r ^ 2) = (2 * b)⁻¹
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
h₁ : f.comp g = LinearMap.id
h₂ : g.comp f = LinearMap.id
x : M
⊢ (LinearEquiv.ofLinear f g h₁ h₂) x = f x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ⩿ b → f a ≤ f b
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ f a ≤ f b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : FunLike F α β
inst✝¹ : Subsingleton α
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α
⊢ edist x y = 0 ∨ edist x y = ⊤
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)
i : ι
⊢ P (f ∣_ U i)
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb✝ : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
hb : { re := ↑z, im := -↑w }.Nonneg
⊢ ({ re := ↑x, im := -↑y } * { re := ↑z, im := -↑w }).Nonneg
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
b : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioc (b ^ n) (b ^ (n + 1)))
G : Type u_1
AddGroup G
a : G
x y : G
h : AddSemiconjBy a x y
⊢ x = 0 ↔ y = 0
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
⊢ ∃ n, Nat.card G = p ^ n
a b : EReal
h : ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (a, b)
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (-a, -b)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
this : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p
⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
α : Type u_4
LE α
BoundedOrder α
self : IsSimpleOrder α
a : α
⊢ a = ⊥ ∨ a = ⊤
R : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero R
UniqueFactorizationMonoid R
a b : R
ha : a ≠ 0
⊢ IsRelPrime a b ↔ ∀ ⦃d : R⦄, d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ ⊤.toOuterMeasure = ⊤
α : Type u
b : α
bs : List α
BEq α
a : α
⊢ List.elem a (b :: bs) =
  match a == b with
  | true => true
  | false => List.elem a bs
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f.op).unop =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f) (CategoryTheory.kernelOpUnop f).inv)
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts ys : List α
f : List α → β
⊢ map f (permutationsAux2 t ts [] ys id).2 = (permutationsAux2 t ts [] ys f).2
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ (fun x => b * x) ⁻¹' Metric.ball a r = Metric.ball (a / b) r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
Y : C
⊢ (CategoryTheory.coprodMonad X).μ.app Y =
  CategoryTheory.Limits.coprod.desc CategoryTheory.Limits.coprod.inl (CategoryTheory.CategoryStruct.id (X ⨿ Y))
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b = toIocDiv hp 0 (b - a)
m n a✝ b✝ c d : ℤ
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hgcd : a.gcd b = 1
⊢ ↑1 ≡ 1 [ZMOD ↑b]
R : Type u
a : R
Semiring R
n : ℕ
⊢ a • Polynomial.X ^ n = (Polynomial.monomial n) a
R : Type uR
ι : Type uι
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
Fintype ι
z : M₂
m : ι → R
⊢ (MultilinearMap.mkPiRing R ι z) m = (∏ i : ι, m i) • z
β : Type v
π : β → Type u_2
Fintype β
(b : β) → EDist (π b)
f g : (b : β) → π b
b : β
⊢ edist (f b) (g b) ≤ edist f g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / ↑r' ^ n
⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ : R₁ →+* R₂
σ' : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ σ'
x : R₁
⊢ σ' (σ x) = x
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ ⇑(algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) = QuaternionAlgebra.coe
m : Nat
n : Nat
npos : 0 < n
⊢ 0 < m.gcd n
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
⊢ LinearEquiv.det (LinearEquiv.refl R M) = 1
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
NoMinOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioc (Order.pred a) b = Set.Icc a b
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
m₁ m₂ : M
⊢ (b.toDualFlip m₁) m₂ = (b.toDual m₂) m₁
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : ↑s i < 0
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∃ n, restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
k : ℕ := Nat.find hn
⊢ ∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ restrict s j ≤ restrict 0 j ∧ ↑s j < 0
R : Type u_1
Semiring R
N : ℕ
f : Polynomial R
i : ℕ
⊢ (Polynomial.reflect N f).coeff i = f.coeff ((Polynomial.revAt N) i)
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝ : Field R
A : Matrix n n R
hAps : Splits (RingHom.id R) A.charpoly
⊢ A.det = A.charpoly.roots.prod
R : Type u_2
K : Type ?u.6272
L : Type ?u.6275
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
i : ℕ
⊢ (minpolyDiv R x).coeff i = (minpolyDiv R x * (X - C x)).coeff (i + 1) + (minpolyDiv R x).coeff (i + 1) * x
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
⊢ M.conjTranspose.PosSemidef
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
f : E →L[𝕜] E
⊢ IsUnit f ↔ Function.Bijective ⇑f
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ IsClosed (Metric.closedBall x ε)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite α
f : (i : α) → E i
_h : 0 < p.toReal
⊢ Memℓp f p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.Equivalence.refl.unitIso = CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Functor.id C)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → P
⊢ (Finset.affineCombination k s p).linear = s.weightedVSub p
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S S₁ S₂ : ComposableArrows C n
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.IsComplex
i : ℕ
hi : autoParam (i + 2 ≤ n) _auto✝
⊢ S₂.map' i (i + 1) ⋯ ⋯ ≫ S₂.map' (i + 1) (i + 2) ⋯ hi = 0
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
(i : ι) → One (π i)
DecidableEq ι
i : ι
⊢ Continuous fun x => Pi.mulSingle i x
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, dist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, dist x y ≤ r
⊢ ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
α : Sort u_1
β : Sort u_2
Nonempty α
f : α → β
b : β
h : ∃ a, f a = b
⊢ f (Function.invFun f b) = b
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E
⊢ ‖u‖ = ‖u / v * v‖
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
s₁ : Setoid α
s₂ : Setoid β
f : α → β → γ
h : ∀ (a₁ : α) (a₂ : β) (b₁ : α) (b₂ : β), Setoid.r a₁ b₁ → Setoid.r a₂ b₂ → f a₁ a₂ = f b₁ b₂
a : α
b : β
⊢ (Quotient.mk'' a).liftOn₂' (Quotient.mk'' b) f h = f a b
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α
MeasurableSpace.SeparatesPoints α
⊢ ∃ s, Nonempty (α ≃ᵐ ↑s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
H : μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen
hfin : ∀ {s : Set α}, μ s ≠ ⊤
⊢ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → (∀ (ε : ℝ≥0∞), ε ≠ 0 → ∃ F ⊆ t, ∃ U ⊇ t, IsClosed F ∧ IsOpen U ∧ μ t ≤ μ F + ε ∧ μ U ≤ μ t + ε) → ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε ≠ 0 → ∃ F ⊆ tᶜ, ∃ U ⊇ tᶜ, IsClosed F ∧ IsOpen U ∧ μ tᶜ ≤ μ F + ε ∧ μ U ≤ μ tᶜ + ε
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
nH : H.Normal
n : G
hn : n ∈ H
g : G
⊢ g⁻¹ * n * g ∈ H
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ μ.rnDeriv ν =ᵐ[ν] 0 ↔ μ ⟂ₘ ν
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
a : G
b : H
AddCommGroup G
AddGroup H
AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℤ
x : G
⊢ f (n • a + x) = f x + n • b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
x : α × β
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x_1, x.2)) {a | (a, x.2) ∈ s} x.1
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero β
FunLike F α β
ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
f : F
⊢ ∃ C, ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ C
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
h₁ : Function.Injective ⇑f
h₂ : LieIdeal.map f I = ⊥
⊢ I = ⊥
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
X : Type u_8
f : (i : ι) → X → π i
⊢ Inducing fun x i => f i x
α : Type u
DecidableEq α
l : List α
⊢ l.Nodup ↔ ∀ (a : α), List.count a l ≤ 1
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c✝ : G₀
s : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E
c : G₀
hne : c ≠ 0
⊢ IsClosedMap fun x => c • x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hα : (𝓤 α).HasBasis p s
⊢ UniformEquicontinuous F ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β, ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ s k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f fab : α → β
fbc : β → γ
ga ga' : α → α
gb gb' : β → β
gc gc' : γ → γ
h : Semiconj f ga gb
h' : Semiconj f ga' gb'
x : α
⊢ f ((ga ∘ ga') x) = (gb ∘ gb') (f x)
m n : ℕ
⊢ m.succPNat ≤ n.succPNat ↔ m ≤ n
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : T ^ n • z ∈ 𝒟ᵒ
⊢ n = 0
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x : (i : δ) → π i
⊢ (∫⋯∫⁻_∅, f ∂μ) x = f x
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
e : M ≃+ N
⊢ Function.Surjective ⇑e
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
W : C
h : W ⟶ X
k : W ⟶ Y
w : h ≫ f = k ≫ g
⊢ CategoryTheory.Limits.PullbackCone.IsLimit.lift ht h k w ≫ t.snd = k
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
a b : E
⊢ ⟪↑E a, ↑E b⟫_𝕜 = ⟪a, b⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
c : Set (Set α)
⊢ ⋃₀ c = univ ↔ ∀ (a : α), ∃ b ∈ c, a ∈ b
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
x : M
hx : x ∈ N
⊢ ∃ y, ∃ (yN : y ∈ N), ϕ ⟨y, ⋯⟩ = ϕ ⟨x, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
p : Set γ
f : α → β
g : β → γ
h₁ : Set.MapsTo g t p
h₂ : Set.MapsTo f s t
⊢ Set.MapsTo (g ∘ f) s p
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
w : InfinitePlace K
⊢ (Finset.filter (fun φ => mk φ = w) Finset.univ).card = w.mult
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : comap (Prod.map f f) (𝓤 β) = 𝓤 γ
⊢ comap (fun x => ((⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.1, (⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.2)) (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)) = 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] γ)
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ MonoidHom.mker (MonoidHom.inl M N) = ⊥
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
n : ℕ
h : ∀ (i : η), Group.nilpotencyClass (Gs i) ≤ n
⊢ ∀ (i : η), lowerCentralSeries (Gs i) n = ⊥
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
f : X → Y
hf : Embedding f
⊢ T2Space X
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
⊢ 0 ≠ ∅ → (∀ a ∈ 0, p a) → f (prod 0) ≤ (map f 0).prod
α : Type u_1
L : List (List α)
⊢ L.sections = L.sectionsTR
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
self : IsLocalization M S
y : ↥M
⊢ IsUnit ((algebraMap R S) ↑y)
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), x • y • z = y • x • z
x : M
⊢ ∀ (n : N) (a : α), 1 • n • a = n • 1 • a
α : Type u_1
r c : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
h : IsBigOWith c l f g
hc : 0 ≤ c
hr : 0 ≤ r
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x ^ r‖ ≤ c ^ r * ‖g x ^ r‖
x : ℝ
⊢ √x = 1 ↔ x = 1
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.attach.card = s.card
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α x : E
⊢ x ∈ adjoin F {α} ↔ ∃ r s, x = (aeval α) r / (aeval α) s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
cc : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hcc : CategoryTheory.Limits.IsColimit cc
⊢ (hS.rightHomologyDataOfIsColimitCokernelCofork cc hcc).H = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
AddMonoidWithOne α
AddMonoidWithOne β
n : ℕ
⊢ (↑n).1 = ↑n
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z✝ : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB : ∃ c < π / (b - a), ∃ B, f =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * |z.im|))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z✝.re
hzb : z✝.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
z : ℂ
hz : z.im = b
⊢ (z * -I).re = b
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
self : RingHom.PropertyIsLocal P
⊢ RingHom.StableUnderComposition P
R : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero R
x : R
DecompositionMonoid R
⊢ IsRadical x ↔ Squarefree x ∨ x = 0
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
h : LinearIndependent R v
f : ι' → ι
hf : Injective f
l : ι' →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v ∘ₗ Finsupp.lmapDomain R R f) l = 0
⊢ l = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
h : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.CommSq f.hom h.left h.right g.hom
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasStrictDerivAt e e' ↑z
A : HasStrictFDerivAt ofReal' ofRealCLM z
B : HasStrictFDerivAt e (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM z)
C : HasStrictFDerivAt re reCLM (e (ofRealCLM z))
⊢ e'.re = reCLM ((ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM 1))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : Fintype ι
l : (i : ι) → G i
i : ι
v : G i
⊢ ⟪(V i) v, ∑ j : ι, (V j) (l j)⟫_𝕜 = ⟪v, l i⟫_𝕜
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : γ) in s, ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) ∂(κ + η) a = (κ a) s
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
⊢ 0 ≤ f (x, y)
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy : x ≡ y [SMOD U]
n : ℤ
⊢ n • x ≡ n • y [SMOD U]
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hpl : 0 < p.degree
h✝ : Nontrivial R
⊢ ¬IsUnit p
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x - y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
⊢ angle x y = π
x : ℂ
⊢ Complex.cos (x + ↑Real.pi) = -Complex.cos x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
s : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp G)
j : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map (CategoryTheory.Functor.Final.homToLift F (F.obj j)))
    (s.ι.app (CategoryTheory.Functor.Final.lift F (F.obj j))) =
  s.ι.app j
α : Type u_1
PartialOrder α
f : α → α
p : α → Prop
hf : ∀ (x : α), x ≤ f x
hfp : ∀ (x : α), p (f x)
hmin : ∀ ⦃x y : α⦄, x ≤ y → p y → f x ≤ y
⊢ ∀ (a : α), (ClosureOperator.ofPred f p hf hfp hmin).IsClosed a = p a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Abelian.OfCoimageImageComparisonIsIso.imageMonoFactorisation f).e =
  CategoryTheory.Limits.kernel.lift (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f) f ⋯
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
AddMonoid ι
Semiring M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
⊢ ⇑addMonoidAlgebraRingEquivDirectSum.symm = DirectSum.toAddMonoidAlgebra
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
⊢ ∃ c_1, ↑c_1 * (↑⟨d, hd⟩ * a) = ↑c_1 * (↑⟨b, hb⟩ * c)
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
⊢ Sublattice.map f ⊥ = ⊥
x : ℝ
this : ∃ k, arctan x = (2 * ↑k + 1) * π / 2
⊢ False
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J✝ : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J✝
D : J✝ ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
s : Cone D
m : s.pt ⟶ (liftedCone D c t).pt
J : ∀ (j : J✝), m ≫ (liftedCone D c t).π.app j = s.π.app j
⊢ ∀ (j : J✝), m.f ≫ c.π.app j = ((fun s => { f := t.lift (T.forget.mapCone s), h := ⋯ }) s).f ≫ c.π.app j
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
self : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
j : J
⊢ self.lift s ≫ t.π.app j = s.π.app j
z : ℍ
k : ℝ
hk : 2 < k
⊢ (∀ (j : ℕ), Summable fun i => ((fun x => ‖x‖ ^ (-k)) ∘ ⇑(finTwoArrowEquiv ℤ).symm) ↑i) ∧ Summable fun j => ∑' (i : ↑fun i => i ∈ (box j).val), ((fun x => ‖x‖ ^ (-k)) ∘ ⇑(finTwoArrowEquiv ℤ).symm) ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ ↑e '' e.source = e.target
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
G : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasLimit (F ⋙ G)
E : Type u''
CategoryTheory.Category.{v'', u''} E
H : D ⥤ E
h : CategoryTheory.Limits.HasLimit ((F ⋙ G) ⋙ H)
⊢ H.map (CategoryTheory.Limits.limit.post F G) ≫ CategoryTheory.Limits.limit.post (F ⋙ G) H =
  CategoryTheory.Limits.limit.post F (G ⋙ H)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
⊢ PrimeSpectrum.basicOpen f ≤ ⨆ i, PrimeSpectrum.basicOpen (h ↑i)