ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nontrivial α
f : α → β
hf : Injective f
y : β
x₁ x₂ : α
hx : x₁ ≠ x₂
⊢ ∃ x, f x ≠ y
ι✝ : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : Measure ℝ
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
F : ι → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (F n) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F n x‖ ≤ bound x
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
h_lim : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), Tendsto (fun n => F n x) l (𝓝 (f x))
⊢ Tendsto (fun n => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, F n x ∂μ) l (𝓝 ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
a₁ a₂ : α
inst✝ : T2Space α
⊢ HasProd f a₁ → HasProd f a₂ → a₁ = a₂
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cone F
X : C
h : yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones
s : Cone F
⊢ (limitCone h).extend (homOfCone h s) = s
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : s.Finite
⊢ IsCompact ((convexHull ℝ) s)
R : Type u
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring R
s : Set R
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V
this✝ : Nontrivial K
s : Type v
hs : Basis s K V
this : Finite s
⊢ lift.{u, v} #V = lift.{v, u} #K ^ lift.{u, v} (Module.rank K V)
F : PFunctor.{u}
n : ℕ
x : PFunctor.Approx.CofixA F (n + 1)
⊢ x = PFunctor.Approx.CofixA.intro (PFunctor.Approx.head' x) (PFunctor.Approx.children' x)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
⊢ inst✝ = UniformSpace.toTopologicalSpace ↔ inst✝ = UniformSpace.toTopologicalSpace
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : Monoid.PushoutI.NormalWord d
⊢ (Monoid.PushoutI.of i) g • w = g • w
x y : ℝ
hx : x ∈ Set.Ico (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ x < Real.arcsin y ↔ Real.sin x < y
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Lattice β
f : α → β
a b : α
hf : AntitoneOn f (Set.uIcc a b)
⊢ Set.MapsTo f (Set.uIcc a b) (Set.uIcc (f a) (f b))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
X Y : D
f : X ⟶ Y
this : L.mapArrow.EssSurj
φ : Arrow C
e : L.mapArrow.obj φ ≅ Arrow.mk f
Z : C
g : (𝟭 C).obj φ.right ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj ((𝟭 C).obj φ.left)
H : Triangle.mk φ.hom g h ∈ distinguishedTriangles
⊢ (L.map h ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app φ.left ≫ (shiftFunctor D 1).map e.hom.left) ≫ (shiftFunctor D 1).map e.inv.left = 𝟙 (L.obj Z) ≫ L.map h ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app φ.left
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a : α
ha : a ≠ 0
x : α
⊢ (OrderIso.mulLeft₀' ha) x = a * x
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X✝ : Scheme
U✝ : X✝.Opens
s : Type u_1
X : Scheme
U : s → X.Opens
hU : ⨆ i, U i = ⊤
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
this : x ∈ ⨆ i, U i
⊢ x ∈ ↑(U ((fun x => ⋯.choose) x))
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
h' : l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x)
this : l ⊓ 𝓟 s ⊔ 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
⊢ l ≤ comap f (𝓝 x)
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i j : ι
⊢ (b.toDual (b i)) (b j) = if i = j then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
X : α → β
Y : α → γ
μ : MeasureTheory.Measure α
hY : Measurable Y
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst = MeasureTheory.Measure.map X μ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
p : Submodule K V
f : ↥p →ₗ[K] V'
g : V →ₗ[K] ↥p
hg : g ∘ₗ p.subtype = id
⊢ (f ∘ₗ g) ∘ₗ p.subtype = f
α : Type u
TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → TopologicalSpace.Opens α
⊢ Set.range ⇑(TopCat.GlueData.fromOpenSubsetsGlue U) = ⋃ i, ↑(U i)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : DifferentiableOn ℝ f s
hs : μ s = 0
⊢ μ (f '' s) = 0
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Function.Surjective (Set.preimage f) ↔ Function.Injective f
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
p : Submodule R₂ M₂
h : ∀ (x : M₁), f x ∈ p
⊢ LinearMap.ker (f.codRestrict p h) = LinearMap.ker f
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ ⨆ i, LieSubmodule.map f (posFittingCompOf R M i) ≤ ⨆ x, posFittingCompOf R M₂ x
f : CircleDeg1Liftˣ
⊢ ⇑(CircleDeg1Lift.toOrderIso f).symm = ⇑↑f⁻¹
i j : ℤ
⊢ i.gcd j = 0 ↔ i = 0 ∧ j = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₃ ≠ p₂
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ < π / 2
c d x y z w : ℕ
xy : Zsqrtd.SqLe x c y d
zw : Zsqrtd.SqLe z c w d
⊢ c * (x * z) ≤ d * (y * w)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p : P
h₁ : p ∈ s₁
h₂ : p ∈ s₂
⊢ s₁ = s₂ ↔ s₁.direction = s₂.direction
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
X : C
F : C ⥤ D
⊢ ∀ (x : J),
  (CategoryTheory.Functor.constComp J X F).inv.app x = 𝟙 (((CategoryTheory.Functor.const J).obj (F.obj X)).obj x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖↑↑f a‖ ^ 2) ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α), ↑(‖↑↑f a‖₊ ^ 2) ∂μ).toReal
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hst : ¬s ∩ t = ∅
⊢ Measure.count (s ∩ t) ≠ 0
α : Type u
s : Set α
DivisionRing α
⊢ Cardinal.mk ↥(Subfield.closure s) ≤ max (Cardinal.mk ↑s) Cardinal.aleph0
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s : Set α
a : α
hs : s.OrdConnected
⊢ (a +ᵥ s).OrdConnected
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : Type u_5
m : MeasurableSpace β
Mul β
MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hij : i ≠ j
hik : i ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (f i) (f j * f k) μ
α✝ α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
⊢ ∃ β t sgn g, (∀ (b : β), g b ∈ s) ∧ t.card = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs ∧ ∀ a ∈ s, (∑ b ∈ t, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V →ₗ[K] V →ₗ[K] K
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
⊢ Submodule.span K {x} ⊔ (Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B = ⊤
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
i : I
⊢ Continuous fun x => x i
α : Type u_1
β : Type v
f : β → α → β
H : RightCommutative f
b : β
s t : Multiset α
⊢ Multiset.foldl f H b (s + t) = Multiset.foldl f H (Multiset.foldl f H b s) t
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ (F.mapComp (𝟙 a) f).inv = (F.mapId a).hom ▷ F.map f ≫ (λ_ (F.map f)).hom ≫ F.map₂ (λ_ f).inv
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.withDensity f) s ≤ (μ.withDensity g) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : CategoryTheory.Center C
f g : X ⟶ Y
w : f.f = g.f
⊢ f = g
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset α
x : α
h : x ∈ Finset.filter p s
⊢ x ∈ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A B : CommMon_ C
f g : A ⟶ B
h : f.hom = g.hom
⊢ f = g
K : Type u
Field K
x y : RatFunc K
hxy : x + y ≠ 0
⊢ (x + y).intDegree = ↑(x.num * y.denom + x.denom * y.num).natDegree - ↑(x.denom * y.denom).natDegree
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
h : π.IsPartition
hJ : J ≤ I
⊢ (π.restrict J).iUnion = ↑J
E : Type u_6
SeminormedGroup E
s : Subgroup E
x : ↥s
⊢ ‖↑x‖ = ‖x‖
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
f : ι →₀ μ
⊢ (∃ m ∈ antidiagonal n, ∃ g, f = g.update a m.1 ∧ g ∈ s.finsuppAntidiag m.2) ↔ ∃ a_1 ∈ antidiagonal n, f ∈ map { toFun := fun f => (↑f).update a a_1.1, inj' := ⋯ } (s.finsuppAntidiag a_1.2).attach
G : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup G
Archimedean G
H : AddSubgroup G
hbot : H ≠ ⊥
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Set.Ioo 0 a)
⊢ ∃ b, IsLeast {g | g ∈ H ∧ 0 < g} b
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
l : List I
a : I
hla : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: l)
⊢ Profinite.NobelingProof.Products.eval C ⟨a :: l, hla⟩ =
  Profinite.NobelingProof.e C a * Profinite.NobelingProof.Products.eval C ⟨l, ⋯⟩
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
y : E
ε : ℝ
⊢ Metric.ball y ε = {x | ‖x - y‖ < ε}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
t : Set E
x y : E
ht : Convex ℝ t
hs₁ : Convex ℝ ∅
hs₂ : IsOpen ∅
disj : Disjoint ∅ t
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ ∅, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u ≤ f b
r : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ProbabilityTheory.poissonPMFReal r n
α : Type u
x : α
s t : Set α
⊢ s \ {x} ⊆ t ↔ s ⊆ insert x t
b o✝ : Ordinal.{u}
x : Ordinal.{u} × Ordinal.{u}
o : Ordinal.{u}
ho : o ≠ 0
IH : x ∈ CNF b (o % b ^ log b o) → 0 < x.2
⊢ x ∈ CNF b o → 0 < x.2
R : Type u_1
CommRing R
IsNoetherianRing R
LocalRing R
IsDomain R
⊢ FiniteDimensional.finrank (LocalRing.ResidueField R) (LocalRing.CotangentSpace R) = 1 ↔ DiscreteValuationRing R
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
s : Set α
⊢ ⇑e '' s = ⇑e.symm ⁻¹' s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
φ ψ : F
S T : Subalgebra R A
hS : Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑S
hT : Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑T
⊢ Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑(S ⊔ T)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
⊢ Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑r)) atBot (𝓝 0)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0
f : α →ₛ F
s : Finset F
hs : filter (fun x => x ≠ 0) f.range ⊆ s
x : F
hx✝ : x ∉ f.range ∨ x = 0
hx : ∀ (x_1 : α), ¬↑f x_1 = x
⊢ (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x = 0
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : n ≠ 0
⊢ (C a).coeff n = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk S.v₀₁.τ₂ S.v₁₂.τ₂ ⋯).Exact
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hxyne : x ≠ y
hxzne : x ≠ z
hxy : ‖x‖ = ‖y‖
hxz : ‖x‖ = ‖z‖
⊢ o.oangle y z = 2 • o.oangle (y - x) (z - x)
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
I : Ideal R
J : Ideal S
f : R ≃+* S
hIJ : J = Ideal.map (↑f) I
x : S
⊢ (I.quotientEquiv J f hIJ).symm ((Ideal.Quotient.mk J) x) = (Ideal.Quotient.mk I) (f.symm x)
α : Type u
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑MeasurableEquiv.finTwoArrow) (MeasureTheory.Measure.pi ![μ, ν]) (μ.prod ν)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddMonoid β
ContinuousAdd β
n : ℕ
f : C(α, β)
⊢ ⇑(n • f) = n • ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
UniformSpace β
UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformInducing f
⊢ UniformInducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑UniformFun.toFun)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
CategoryTheory.ExactPairing X Y
⊢ Y ◁ η_ X Y ≫ (α_ Y X Y).inv ≫ ε_ X Y ▷ Y = (ρ_ Y).hom ≫ (λ_ Y).inv
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
c : 𝕜
x : V
⊢ ↑‖c‖₊ * ↑e x ≤ ↑e (c • x)
R : Type u
S : Type v
DivisionRing R
p : R[X]
Semiring S
Nontrivial S
f : R →+* S
⊢ (Polynomial.map f p).leadingCoeff = f p.leadingCoeff
a b c : ℤ
⊢ Rat.divInt (a + b) c = Rat.divInt a c + Rat.divInt b c
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
⊢ c₁₂.prev (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂')) = c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a
⊢ Set.Icc (Order.succ a) b = Set.Ioc a b
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
i : Fin (n + 1)
c : ℕ → ℝ
d : ℝ
hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)
hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
⊢ Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b
⊢ (fun a_1 => (b - a) * ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1)) ≤ᶠ[ae μ] ∑ k ∈ Finset.range N, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)
i j : ℕ
⊢ i.succ.dist j.succ = i.dist j
α : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
Nonempty α
SemilatticeSup α
u : α → E
⊢ CauchySeq u ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ (m : α), N ≤ m → ∀ (n : α), N ≤ n → ‖u m - u n‖ < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0∞
hf0 : tsum f ≠ 0
hf : tsum f ≠ ⊤
a : α
⊢ a ∈ (normalize f hf0 hf).support ↔ a ∈ Function.support f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
S : PointedCone 𝕜 E
⊢ PointedCone.map LinearMap.id S = S
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n✝ : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
n : ℕ
hn : n < x.length
⊢ x.get ⟨n, hn⟩ = y.get ⟨n, ⋯⟩
⊢ Turing.PartrecToTM2.trNat 0 = []
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm α
hd : c.Disjoint g'
hc : c.IsCycle
hng : c.support.card ∈ (c * g').cycleType
g'1 : g' ≠ 1
⊢ c.support.card + 2 ≤ c.support.card + g'.support.card
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
Group G
TopologicalGroup G
k : Set G
hk : IsCompact k
μ : MeasureTheory.Measure G
⊢ μ (closure k) = μ k
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
⊢ (a ⊔ b) ^ 2 = a * b * mabs (b / a)
α : Type u_1
Primcodable α
f : α → ℕ
p : α → ℕ → Prop
(x : α) → (n : ℕ) → Decidable (p x n)
hf : Primrec f
hp : PrimrecRel p
⊢ Primrec fun x => Nat.findGreatest (p x) (f x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id sq).τ₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id sq.X₁
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g✝ : α → F β
h : β → G γ
f✝ : β → γ
x✝ : t β
f : β → F γ
g : α → β
x : t α
⊢ Comp.instApplicativeComp = inst✝³
R : Type u
L₁ : Type v
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
x : L₁
⊢ LieEquiv.refl x = x
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
p : ι → Prop
f : Exists p → α
⊢ ⨅ (x : Exists p), f x = ⨅ i, ⨅ (h : p i), f ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
hαβ : Fintype.card α ≤ Fintype.card β
f : α → β
g : β → α
h : Function.RightInverse g f
⊢ ∀ (a : β), (Equiv.ofRightInverseOfCardLE hαβ f g h).symm a = g a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ IsGδ Set.univ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
inst✝ : SemilatticeSup β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
hg : QuasiconvexOn 𝕜 s g
r : β
⊢ Convex 𝕜 ({x | x ∈ s ∧ f x ≤ r} ∩ {x | x ∈ s ∧ g x ≤ r})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ fun φ => ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), ∃ b < (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ + ε, ∀ (i : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ ≤ b
⊢ ∃ φ, (∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x) ∧ ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
self : HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (F.X j) (G.X i)
s : List Char
⊢ String.extract.go₁ s 0 0 { byteIdx := String.utf8Len s } = s
α : Type u_1
ι : Type u_2
SemilatticeInf α
OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint f
⊢ (↑s.attach).PairwiseDisjoint (f ∘ Subtype.val)
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}
⊢ ⨆ i, f i + c = ⨆ i, c + f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Topology.IsUpperSet α
inst✝ : IsUpper β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ ∀ (s : Set β), IsOpen s → IsUpperSet (f ⁻¹' s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] F
⊢ ContMDiff 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) n ⇑L
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
⊢ (p * q).natDegree = (q * p).natDegree
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ [[a, b]], DifferentiableAt ℝ rexp x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap (-φ) = -CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ
α : Type u
σ : Type v
M : NFA α σ
s : σ
S : Set σ
a : α
⊢ s ∈ M.stepSet S a ↔ ∃ t ∈ S, s ∈ M.step t a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : Besicovitch.SatelliteConfig E N τ
⊢ a.centerAndRescale.r (Fin.last N) = 1
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
hG : ¬(center G).index = 0
this : (center G).FiniteIndex
h1 : (center G).relindex (_root_.commutator G) ∣ (center G).index
⊢ Nat.card ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) ∣ (center G).index ^ ((center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G))
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M✝ M N : Mon_ C
f : M.X ≅ N.X
one_f : autoParam (M.one ≫ f.hom = N.one) _auto✝
mul_f : autoParam (M.mul ≫ f.hom = (f.hom ⊗ f.hom) ≫ N.mul) _auto✝
⊢ N.mul ≫ f.inv = (f.inv ⊗ f.inv) ≫ M.mul
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ ∃ V ∈ p.basisSets, V + V ⊆ U
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β
⊢ s ⊆ ⇑e.symm '' t ↔ ⇑e '' s ⊆ t
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v₂ : M
r : Rˣ
hr : 0 < ↑r
⊢ SameRay R (r • v₂) v₂
x y : ENNReal
h1 : x ≠ ⊤
h2 : y ≠ 0
⊢ x / y < ⊤
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Group G
f : α → G
rels : Set (FreeGroup α)
h : ∀ r ∈ rels, (FreeGroup.lift f) r = 1
g : PresentedGroup rels →* G
hg : ∀ (x : α), g (PresentedGroup.of x) = f x
x : PresentedGroup rels
⊢ ∀ (z : FreeGroup α), g ↑z = (toGroup h) ↑z
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
Decidable s.Nontrivial
hsf : s.Finite
⊢ s.infsep = if hs : s.Nontrivial then ⋯.toFinset.inf' ⋯ (Function.uncurry dist) else 0
α : Type u_1
ι : Sort u_4
Preorder α
f : ι → α
⊢ (⋂ i, Set.Ici (f i)).Nonempty ↔ BddAbove (Set.range f)