ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s : Set α
t : Set β
f : γ → α
g : δ → β
⊢ (f ⁻¹' s) ×ˢ (g ⁻¹' t) = (fun p => (f p.1, g p.2)) ⁻¹' s ×ˢ t
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
this : Nontrivial 𝕜
l u : 𝕜
hxI : toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u
hIs : Ioo l u ⊆ s
d : 𝕜 := toIcoDiv hp a x • p
hd : toIcoMod hp a x ∈ Ico a (a + p)
⊢ ∃ u, (∃ l u_1, x ∈ Ioo l u_1 ∧ Ioo l u_1 ⊆ u) ∧ u ∩ Ici x ⊆ toIcoMod hp a ⁻¹' s
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h✝¹ : Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c < Cardinal.univ.{u, v}
S : Set Ordinal.{u}
H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
Se : #↑S = (type fun x x_1 => x < x_1).cof
h✝ : Cardinal.lift.{u + 1, u} c ≥ #↑S
a : Cardinal.{u}
e✝ : Cardinal.lift.{u + 1, u} a = #↑S
α : Type u
e : Cardinal.lift.{u + 1, u} ⟦α⟧ = #↑S
f✝ : ULift.{u + 1, u} α ≃ ↑S
f : α ≃ ↑S
g : α → Ordinal.{u} := fun a => ↑(f a)
o : Ordinal.{u} := succ (sup g)
b : Ordinal.{u}
h : b ∈ S
l : ¬(fun x x_1 => x < x_1) b o
⊢ b ≤ sup g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
hμf : μ {x | x ∈ s ∧ f x = ⊤} ≠ 0
⊢ μ ({a | f a = ⊤} ∩ s) ≤ (μ.restrict s) {x | f x = ⊤}
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
x : ℝ
s : ℂ
f : E
⊢ ↑(rexp (-x)) • cexp (-↑x) ^ (s - 1) • f = cexp (-s * ↑x) • f
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s ∩ ∅ = ∅
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
hu : ⋃ a, s a = univ
U : α → Set Y
hUo : ∀ (a : α), IsOpen (U a)
hU : ∀ (a : α), e ⁻¹' U a = s a
⊢ ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ s a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝¹ : TopologicalSpace F
hι : Nonempty ι
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
hq : WithSeminorms q
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Inducing ⇑f
⊢ WithSeminorms (q.comp f)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a : α
b : β
⊢ Set.Iic a ×ˢ Set.Iic b = Set.Iic (a, b)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : L.Substructure M
⊢ N.FG ↔ ∃ S, S.Finite ∧ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun S = N
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
A : Set G
hA : MeasurableSet A
a✝ : μ' A < ⊤
h3A : ν'.inv A < ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : G) ∂μ'.restrict A, ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s) < ⊤
c : CliffordAlgebra Q
this : toComplex (involute ((ι Q) 1)) = (starRingEnd ℂ) (toComplex ((ι Q) 1))
⊢ toComplex (involute c) = (starRingEnd ℂ) (toComplex c)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.opMap φ).τ₃ = φ.τ₁.op
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
inst✝ : f.NeBot
a : α
⊢ liminf u f \ a = liminf (fun b => u b \ a) f
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r
⊢ G.IsTuranMaximal r
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.260798, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ f ≫ g = 𝟙 X₁ ≫ f ≫ g
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)
M : Type u
N : Type v
Monoid M
Monoid N
f : M →* N
g : M → Nˣ
h : ∀ (x : M), ↑(g x) = f x
x : M
⊢ ↑((Units.liftRight f g h) x) = f x
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
e : f ≅ g
eq : (e.inv ≫ e.hom).right = (𝟙 g).right
⊢ g.hom = e.inv.left ≫ f.hom ≫ e.hom.right
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
k : Set β := closure (image2 ϕ v s)
hk : IsCompact (k \ n)
j : Set τ → Set β := fun u => (closure (image2 ϕ (u ∩ v) s))ᶜ
hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen (j u)
hj₂ : k \ n ⊆ ⋃ u ∈ f, j u
g : Set (Set τ)
hg₁ : ∀ u ∈ g, u ∈ f
hg₂ : g.Finite
hg₃ : k \ n ⊆ ⋃ i ∈ g, j i
w : Set τ := (⋂ u ∈ g, u) ∩ v
hw₂ : w ∈ f
hw₃ : k \ n ⊆ (closure (image2 ϕ w s))ᶜ
hw₄ : kᶜ ⊆ (closure (image2 ϕ w s))ᶜ
⊢ ∃ u ∈ f, closure (image2 ϕ u s) ⊆ n
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : Nonempty α
h₀ : G.FarFromTriangleFree ε
h₁ : G.CliqueFree 3
⊢ ε ≤ 0
m n : ℕ
h : 1 < n ∨ 1 < m
⊢ n.factorial = m.factorial ↔ n = m
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
⊢ HasSum (fun n => (cauchyPowerSeries f c R n) fun x => w) ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - (c + w))⁻¹ • f z)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : EuclideanGeometry.Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∃ k₁, k₁ ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
hcpd : ∃ k₂, k₂ ≠ 1 ∧ d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)
⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
b' : Pseudoelement S.X₂
b : Over S.X₂
hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0
⊢ ∃ a, pseudoApply S.f a = ⟦b⟧
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Mul G
r : k
g g' : G
x : MonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = d * g
⊢ (x * MonoidAlgebra.single g r) g' = 0
R : Type u_1
CommRing R
P : Prop
IsDomain R
h_pos : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → CharP R p → P
h_equal : Algebra ℚ R → P
h_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P
⊢ P
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict s) l fun i => φ i ∩ s
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
a : WithBot α
h : a ≠ 0
⊢ a * ⊥ = ⊥
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : #α = succ c
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit
⊢ c < (type r).cof
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hN' : N < Nat.find ⋯
⊢ upperCrossingTime a b f N N ω = N
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
hi : I.radical.IsMaximal
⊢ I.IsPrimary
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 2 ≠ 0
⊢ W.preΨ₄.leadingCoeff = 2
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, EMetric.infEdist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, EMetric.infEdist x s ≤ r
⊢ EMetric.hausdorffEdist s t ≤ r
α : Type u_2
Zero α
Add α
Neg α
a b : α
l : List α
⊢ (a :: b :: l).alternatingSum = a + -b + l.alternatingSum
p q : Prop
⊢ p ∆ q = Xor' p q
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h_open : ∀ u ∈ s, IsOpen u
h_nhds : ∀ (a : α) (u : Set α), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ s, a ∈ v ∧ v ⊆ u
a : α
⊢ ∀ (i : Set α), a ∈ i ∧ IsOpen i → ∃ i', (i' ∈ s ∧ a ∈ i') ∧ id i' ⊆ i
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(image (fun x_1 => (x, x_1)) (filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u))).card
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
F : Realizer α
s : Set α
a : α
this : (a : Prop) → Decidable a
⊢ (¬∃ b, a ∈ F.F.f b ∧ ∀ z ∈ F.F.f b, z ∉ s) → a ∈ s ↔ (∀ (b : F.σ), a ∈ F.F.f b → ∃ z, z ∈ F.F.f b ∩ s) → a ∈ s
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ
Inhabited Γ'
f : Turing.PointedMap Γ Γ'
b : Γ
T : Turing.Tape Γ
⊢ Turing.Tape.map f (Turing.Tape.write b T) = Turing.Tape.write (f.f b) (Turing.Tape.map f T)
⊢ deriv Real.arcsin = fun x => 1 / √(1 - x ^ 2)
α : Type u_6
β : Type u_7
Preorder α
Preorder β
AddZeroClass α
AddZeroClass β
self : α →+o β
⊢ Monotone (↑self.toAddMonoidHom).toFun
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : CharZero K
a b : ℕ
h : a ≤ b
this : ∀ {n : ℕ}, ↑n ! ≠ 0
⊢ ↑(b.choose a) * (↑a ! * ↑(b - a)!) = ↑b !
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.Icc a b)
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ RatFunc.mk p q = { toFractionRing := Localization.mk p ⟨q, ⋯⟩ }
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ XIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (XYIdeal W x₁ (C y₁) * XYIdeal W x₂ (C y₂)) = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XYIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (C (W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ K) ↑(p ^ k)
this : NumberField K
pB₁ : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
⊢ NumberField.discr K = (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
a : α
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i = a), f i = f a
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
⊢ C (↑p ^ i) * (X i ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i)) ^ p ^ (n - i) * C (⅟↑p ^ n) - C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n + 1 - i) * C (⅟↑p ^ n) = ∑ i_1 ∈ range (p ^ (n - i)), C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (i_1 + 1)) * frobeniusPolyAux p i ^ (i_1 + 1) * C ↑((p ^ (n - i)).choose (i_1 + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨i_1 + 1, ⋯⟩) * p ^ (i_1 - v p ⟨i_1 + 1, ⋯⟩)))
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndep m κ μ
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep (m i) (m j) κ μ
z : ℂ
θ : Real.Angle
⊢ ↑z.arg = θ ↔ z.arg = θ.toReal
α : Type u_1
Primcodable α
n : ℕ
⊢ Computable Mathlib.Vector.ofFn
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).toNat = n
α : Type u
β : Type v
Preorder α
PartialOrder β
f : α → β
h₁ : Monotone f
h₂ : Function.Injective f
⊢ StrictMono f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
p : β → Prop
⊢ blimsup u f p = limsup (u ∘ Subtype.val) (comap Subtype.val f)
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S : B
s : Submonoid M
l : List ↥s
⊢ (List.map Subtype.val l).prod ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
α : X ⟶ Y
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑Y
x : ↥((TopologicalSpace.Opens.map α.base).obj U)
⊢ Y.presheaf.germ ⟨α.base ↑x, ⋯⟩ ≫ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap α ↑x =
  α.c.app (Opposite.op U) ≫ X.presheaf.germ x
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
⊢ ↑(MonoidHom.mker f) = ⇑f ⁻¹' {1}
α : Type u
σ : Type v
α' : Type u_1
f : α' → α
M : DFA α σ
s : σ
a : α'
⊢ (DFA.comap f M).step s a = M.step s (f a)
m : ℕ
⊢ shiftLeft' true m 0 + 1 = (m + 1) * 2 ^ 0
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x : F
⊢ ⟪0, x⟫_𝕜 = 0
ι : Type u_1
E : Type u_2
Fintype ι
SeminormedGroup E
Nonempty ι
a : E
⊢ ‖fun _i => a‖ = ‖a‖
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
T0Space E
a : E
⊢ 0 < ‖a‖ ↔ a ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v w : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
hw : ∀ (i : ι), w i = v i ∨ w i = -v i
⊢ Orthonormal 𝕜 w
α : Type u_1
CommMonoid α
DecompositionMonoid α
x y : α
m : ℕ
hm : 0 < m
⊢ IsRelPrime x (y ^ m) ↔ IsRelPrime x y
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
hd : d ∈ χ.conductorSet
⊢ χ = (changeLevel ⋯) ⋯.choose
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
AddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
hf : Summable f
G : Type u_5
FunLike G α γ
AddMonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Continuous ⇑g
⊢ Summable (⇑g ∘ f)
n : ℤ
⊢ Real.sin (↑n * Real.pi) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f i) μ
h :
  ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), MeasureTheory.eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
⊢ (↑(hHT.equiv g).1)⁻¹ * g * g⁻¹ ∈ H
o : Ordinal.{u_4}
⊢ o = 0 ∨ (∃ a, o = Order.succ a) ∨ o.IsLimit
n : ℕ
a b : PSet.Resp n
⊢ a.Equiv b → b.Equiv a
𝕜 : Type u_1
E : Type u
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
⊢ ∃ ι x_1 z w, Set.range z ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 z ∧ (∀ (i : ι), 0 < w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ ∑ i : ι, w i • z i = x
ι : Type u_1
Fintype ι
x : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ dimH (Metric.ball x r) = ↑(Fintype.card ι)
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f g : Module.End R M
x : M
⊢ (f * g) x = f (g x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
s✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScottHausdorff α
s : Set α
h : IsOpen s
d : Set α
hd₁ : d.Nonempty
hd₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
a : α
hda : IsLUB d a
hd₃ : a ∈ s
⊢ (d ∩ s).Nonempty
R : Type u_2
DivisionRing R
a₁ : R
a₂ : ℕ
a₃ b₁ b₃ c : R
⊢ a₁⁻¹ = b₁ → a₃⁻¹ = b₃ → b₃ * (b₁ ^ a₂ * Nat.rawCast 1) = c → (a₁ ^ a₂ * a₃)⁻¹ = c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
f : β → β
hf : StrictMono f
⊢ ∀ (n : β), n ≤ f n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
q : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
q_zero : q ≠ 0
q_top : q ≠ ⊤
⊢ Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ ↔ Memℒp f p μ
s r : ℝ
hs : 0 < s
r' : ℝ := max r 1
hr : 0 < r'
H : 0 < s / r'
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ (fun x => (x ^ (s / r')) ^ r') x = (fun x => x ^ s) x
x y : ℝ
⊢ sinh (2 * x) = 2 * sinh x * cosh x
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
f₀ f₁ : F → 𝕜
f₀' f₁' x₀ x₁ : F
s₀ s₁ t : Set F
L₀ L₁ : Filter F
h : HasGradientWithinAt f f' s x
hs : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
hx : f₁ x = f x
⊢ s ⊆ s
R : Type u_1
A : Type u_4
Monoid R
AddCommMonoid A
DistribMulAction R A
r : R
f : AddMonoid.End A
x : A
⊢ (r • f) x = r • f x
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
h : e.toBasis.orientation ≠ f.toBasis.orientation
⊢ e.toBasis.det ⇑f = -1
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G
⊢ ((TensorProduct.uncurry k (CoeSort.coe (of (Representation.ofMulAction k G G))) (CoeSort.coe (of 1)) (CoeSort.coe A)) (((ihom (of 1)).obj A).leftRegularHom ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f)).hom) (((Representation.ofMulAction k G G).repOfTprodIso 1).hom.hom ((diagonalSucc k G n).hom.hom (Finsupp.single x 1))) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p q : R[X]
hy : Polynomial.map f p • 1 + Polynomial.map f q • (mk (WeierstrassCurve.map W f)) Y = 0
hp : Polynomial.map f p = 0
hq : Polynomial.map f q = 0
⊢ p • 1 + q • (mk W) Y = 0
α : Type u_1
S : Set α
⊢ IsPiSystem {S}
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
h : Irreducible (cyclotomic (p ^ n) R)
hmn : 0 ≤ n
⊢ Irreducible (cyclotomic (p ^ 0) R)
B : Type u_1
F : Type u_2
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
i : MemTrivializationAtlas e
⊢ e = Bundle.Trivial.trivialization B F
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofiltered C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
⊢ CategoryTheory.IsCofiltered D
R : Type u
CommRing R
M : Type w
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
m : M
⊢ ⁅f, m⁆ = f m
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
x y : X
h : f x ≠ f y
⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : BarrelledSpace 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
bdd : BddAbove (range p)
⊢ Continuous ⇑(⨆ i, p i)
m n : ℕ
⊢ Even (m * n) ↔ Even m ∨ Even n
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
⊢ (a * b).factorization = a.factorization + b.factorization
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝⁴ : MonoidWithZero R
inst✝³ : MonoidWithZero S
inst✝² : MulActionWithZero R S
inst✝¹ : SMulCommClass R S S
inst✝ : IsScalarTower R S S
a : S
t : R
k : ℕ
ha : a ^ k = 0
⊢ (t • a) ^ k = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroDivisors R
NoZeroSMulDivisors R V
ι : Type u_6
p : ι → P
ha : AffineIndependent R p
w w₁ w₂ : ι → R
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
h :
  (Finset.affineCombination R s p) w ∈
    affineSpan R {(Finset.affineCombination R s p) w₁, (Finset.affineCombination R s p) w₂}
i : ι
his : i ∈ s
hs : Sbtw R (w₁ i) (w i) (w₂ i)
⊢ Sbtw R ((Finset.affineCombination R s p) w₁) ((Finset.affineCombination R s p) w) ((Finset.affineCombination R s p) w₂)
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
ht : t.Nonempty
hb : ∑ a ∈ s, 1 ≤ t.card • b
⊢ ∃ y ∈ t, ∑ a ∈ filter (fun x => f x = y) s, 1 ≤ b
α : Type u
UniformSpace α
f g : CauchyFilter α
a b : α
ha : ↑f ≤ 𝓝 a
hb : ↑g ≤ 𝓝 b
⊢ Inseparable a b ↔ Inseparable f g
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
n : ℕ
inst✝ : Fintype α
P : α → ℕ
hP : ∑ i : α, P i = n
a : α
⊢ Multiset.count a (Finsupp.toMultiset (Finsupp.equivFunOnFinite.symm P)) = Multiset.count a (Multiset.map (fun a => ↑⟨P, hP⟩ a • {a}) univ.val).sum
x✝ y✝ z✝ : PGame
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
x : PGame := mk xl xr xL xR
y : PGame := mk yl yr yL yR
z : PGame := mk zl zr zL zR
⊢ ⟦mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR⟧ = ⟦mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR)⟧
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
R : Type u_3
CommMonoidWithZero R
Nontrivial R
χ : MulChar R R'
⊢ χ 0 = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Fintype I
e : I → R
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
⊢ Function.Bijective ⇑(Pi.ringHom fun i => Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {1 - e i}))
Ω : Type u_1
m' m₁ m₂ mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' m₁ m₂ hm' μ ↔
  ∀ (s t : Set Ω), MeasurableSet s → MeasurableSet t → ProbabilityTheory.CondIndepSet m' hm' s t μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFiltered C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
L : CategoryTheory.Functor D C
R : CategoryTheory.Functor C D
h : L ⊣ R
⊢ CategoryTheory.IsFiltered D
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra.IsAlgebraic F E
IsAlgClosed K
⊢ Field.finSepDegree F E = Nat.card (E →ₐ[F] K)
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
f : G →+ G'
H' : AddSubgroup G'
x : ↥(AddSubmonoid.comap f H'.toAddSubmonoid)
⊢ ↑((f.addSubgroupComap H') x) = f ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a b : α
f : α ↪o β
hab : a ⋖ b
h : (Set.range ⇑f).OrdConnected
⊢ f a ⋖ f b
i : String.Pos
c : Char
cs : List Char
a : String.Pos
b₁ b₂ : Nat
⊢ (String.utf8GetAux cs a i).utf8Size + b₁ = String.utf8ByteSize.go cs + b₂ →
  (String.utf8GetAux (String.utf8SetAux c cs a i) a i).utf8Size + b₁ =
    String.utf8ByteSize.go (String.utf8SetAux c cs a i) + b₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Group G
LieGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
hf : SmoothOn I' I f s
hg : SmoothOn I' I g s
⊢ SmoothOn I' I (f / g) s
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x3 : α
b3 : Bool
tl x✝⁵ : List (α × Bool)
x4 : α
b4 : Bool
tl2 x✝⁴ : List (α × Bool)
x✝³ : α
x✝² : Bool
x✝¹ : α
x✝ : Bool
H : (x3, b3) :: tl ++ (x✝³, x✝²) :: (x✝³, !x✝²) :: x✝⁵ = (x4, b4) :: tl2 ++ (x✝¹, x✝) :: (x✝¹, !x✝) :: x✝⁴
H1 : (x3, b3) = (x4, b4)
H2 : tl.append ((x✝³, x✝²) :: (x✝³, !x✝²) :: x✝⁵) = tl2.append ((x✝¹, x✝) :: (x✝¹, !x✝) :: x✝⁴)
L₅ : List (α × Bool)
H3 : Step (tl ++ x✝⁵) L₅
H4 : Step (tl2 ++ x✝⁴) L₅
⊢ Step ((x4, b4) :: tl2 ++ x✝⁴) ((x3, b3) :: L₅)
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e : α' ≃ β'
⊢ e.permCongr (Equiv.refl α') = Equiv.refl β'
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
l m : Profinite.NobelingProof.Products I
o : Ordinal.{u}
h₁ : m < l
h₂ : ∀ i ∈ ↑l, Profinite.NobelingProof.ord I i < o
i : I
⊢ i ∈ ↑m → Profinite.NobelingProof.ord I i < o
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₀ f₁ : 𝕜 → F
f₀' f₁' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
h₀ : f₀ =ᶠ[L] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
h₁ : f₀' = f₁'
⊢ HasDerivAtFilter f₀ f₀' x L ↔ HasDerivAtFilter f₁ f₁' x L