ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.unitIso C).inv.app X =
  ((Opposite.unop X).homMk
      (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk (Opposite.unop X).mor₁ (Opposite.unop X).mor₂
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
          ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app
              (Opposite.op (Opposite.unop X).obj₃)).unop
          ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map
            (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map (Opposite.unop X).mor₃.op).unop
              ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app
                  (Opposite.op (Opposite.unop X).obj₁)).unop))))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.unop X).obj₁)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.unop X).obj₂)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.unop X).obj₃) ⋯ ⋯ ⋯).op
X : Type u
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
hS : Nonempty ↑S
hSd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊇ x_1) S
hSn : ∀ U ∈ S, U.Nonempty
hSc : ∀ U ∈ S, IsCompact U
hScl : ∀ U ∈ S, IsClosed U
⊢ (⋂₀ S).Nonempty
x✝ : PGame
inst✝ : x✝.Impartial
G : PGame := x✝
i : (x✝ + nim x✝.grundyValue).LeftMoves
⊢ (x✝ + nim x✝.grundyValue).moveLeft i ‖ 0
X Y Z : AddCommGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ f ≫ g = AddMonoidHom.comp g f
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
⊢ f x = f' x
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
s : Set α
a ε : α
h : IsGLB s a
hε : 0 < ε
⊢ ∃ b ∈ s, a ≤ b ∧ b < a + ε
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
l : Profinite.NobelingProof.Products I
J : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
(j : I) → Decidable (J j)
⊢ ⇑(Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.π C J) l) ∘ Profinite.NobelingProof.ProjRestrict C J =
  ⇑(Profinite.NobelingProof.Products.eval C l)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
hB : BddAbove (norm ∘ f '' Complex.HadamardThreeLines.verticalClosedStrip 0 1)
hd : DiffContOnCl ℂ f (Complex.HadamardThreeLines.verticalStrip 0 1)
hz : z ∈ Complex.HadamardThreeLines.verticalStrip 0 1
⊢ (fun x => ‖f z‖) ≤ᶠ[𝓝[>] 0] fun ε =>
  ‖(↑ε + ↑(Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f 0)) ^ (1 - z) *
      (↑ε + ↑(Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f 1)) ^ z‖
α : Type u_1
Inv α
x : αᵐᵒᵖ
⊢ MulOpposite.unop x⁻¹ = (MulOpposite.unop x)⁻¹
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u✝ v✝ u' v' : V
p✝ : G.Walk u✝ v✝
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
w : V
q : G.Walk v w
hpq : ∀ e ∈ (p.append q).edges, e ∈ H.edgeSet
⊢ (p.append q).transfer H hpq = (p.transfer H ⋯).append (q.transfer H ⋯)
B : Type u_1
F : Type u_2
E : B → Type u_3
B' : Type u_4
f : B' → B
TopologicalSpace B'
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
⊢ pullbackTopology F E f =
  TopologicalSpace.induced Bundle.TotalSpace.proj inst✝ ⊓ TopologicalSpace.induced (Bundle.Pullback.lift f) inst✝¹
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π ↔ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨆ g, ⨆ (_ : Measurable g), ⨆ (_ : g ≤ f), ∫⁻ (a : α), g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s t : Set α
f✝ g : α → G
a : α
h : s ⊆ t
f : α → G
⊢ Disjoint (t \ s) s
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
⊢ x ∉ s → (y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂))
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : LipschitzWith K f
x y : α
⊢ nndist (f x) (f y) ≤ K * nndist x y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
⊢ (laurent r) X = X + C r
p q : ℚ≥0
⊢ ↑p < ↑q ↔ p < q
a b c : Int
h : c ≤ a + b
⊢ -a ≤ b - c
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
hr : G.Reachable u v
⊢ ∃ p, ↑p.length = G.edist u v
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
⊢ gcd p.leadingCoeff (p * q).eraseLead.content = gcd p.leadingCoeff (p.eraseLead * q).content
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
WeaklyLocallyCompactSpace G
⊢ LocallyCompactSpace G
V : Type u
G : SimpleGraph V
Finite V
s : Set G.Finsubgraph
⊢ ↑(sSup s) = ⨆ G_1 ∈ s, ↑G_1
α : Type ua
r : Set (α × α)
⊢ idRel ○ r = r
x : ℤ[i]
⊢ ↑x.re = (GaussianInt.toComplex x).re
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology
⊢ (K.sc j).pOpcycles = K.pOpcycles j
F : Type u → Type v
Applicative F
G : Type u → Type w
Applicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α : Type u
x : α
⊢ (fun {α} => η.app α) (pure x) = pure x
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : (𝓞 K)ˣ
⊢ ζ ∈ rootsOfUnity (torsionOrder K) (𝓞 K) ↔ ζ ∈ torsion K
α : Type
Ring α
ds : List ℕ
x : Holor α ds
⊢ Holor.CPRankMax ds.prod x
n k : ℕ
hnk : Even (n + k)
⊢ (hermite n).coeff k = (-1) ^ ((n - k) / 2) * ↑(n - k - 1)‼ * ↑(n.choose k)
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
⊢ μ' = μ
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
x : K
f : E[X] := minpoly E x
hf : f = minpoly E x
E' : IntermediateField F E := adjoin F ↑f.coeffs
this✝ : FiniteDimensional F ↥E'
g : (↥E')[X]
h : Polynomial.map (algebraMap (↥E') E) g = f
hx : x ∈ restrictScalars F (↥E')⟮x⟯
hzero : (aeval x) g = 0
halg : IsIntegral (↥E') x
hsep : (minpoly (↥E') x).Separable
this : Algebra.IsSeparable F ↥E'
⊢ IsSeparable F x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor'.obj sq).hom.right = sq.f₂₄
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
x : ↑(Metric.sphere 0 1)
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ eval₂ f x 0 = 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
T : Subalgebra R B
hS : S.FG
hT : T.FG
s : Set A
hs : s.Finite ∧ Algebra.adjoin R s = S
⊢ (S.prod T).FG
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasImage f
CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.factorThruImageSubobject f)
h : f ≫ g = 0
⊢ (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).arrow ≫ g = 0
α : Type u
a✝ : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
a : α
b : ↥(zpowers a)
⊢ ↑b ^ orderOf a = 1
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Continuous (ContinuousMap.const X)
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
DecidableEq ι
j : ι
(i : ι) → Decidable (i ∈ insert j s)
⊢ (insert j s).piecewise f g j = f j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set (E × F)
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun p => p.2) s
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e e' : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
h : ∀ (x : E), e x = e' x
⊢ e = e'
R : Type u_5
Semiring R
η : Type u_7
Fintype η
M : Type u_9
ιs : η → Type u_10
AddCommMonoid M
Module R M
f : (j : η) × ιs j →₀ M
j : η
i : ιs j
⊢ ((Finsupp.sigmaFinsuppLEquivPiFinsupp R) f j) i = f ⟨j, i⟩
α : Type u_2
DecidableEq α
MulOneClass α
a : α
⊢ Finset.singletonMonoidHom a = {a}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β✝
μ ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Zero β
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
f_nn : ∀ᵐ (t : α) ∂μ, 0 ≤ f t
G : α → β
hG_meas : Measurable G
hG_mem : range G ⊆ Preorder.toLE.1 0
hG_ae_eq : f =ᶠ[ae μ] G
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ 0 ≤ g ∧ f =ᶠ[ae μ] g
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
α : Type u_4
x✝³ : α → α → Prop
x✝² : IsWellOrder α x✝³
β : Type u_4
x✝¹ : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β x✝¹
⊢ type x✝³ * type x✝¹ = 0 ↔ type x✝³ = 0 ∨ type x✝¹ = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
T S : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
hS : S.IsPositive
⊢ (T + S).IsPositive
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arctan (dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
L.IsLocalization W
X Y Z : C
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Y
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W Y Z
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Z
α : CategoryTheory.Localization.SmallHom W X Y
β : CategoryTheory.Localization.SmallHom W Y Z
⊢ (CategoryTheory.Localization.SmallHom.equiv W L) (α.comp β) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.Localization.SmallHom.equiv W L) α)
    ((CategoryTheory.Localization.SmallHom.equiv W L) β)
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a : ℝ
c : E
l l' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v : ι → ℝ
CompleteSpace E
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
intervalIntegral.FTCFilter a l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Filter.Tendsto f (l' ⊓ MeasureTheory.ae μ) (𝓝 c)
hu : Filter.Tendsto u lt l
hv : Filter.Tendsto v lt l
huv : v ≤ᶠ[lt] u
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ + (μ (Set.Ioc (v t) (u t))).toReal • c) =o[lt] fun t =>
  (μ (Set.Ioc (v t) (u t))).toReal
m n : Nat
⊢ m.gcd n ∣ m ∧ m.gcd n ∣ n
X : Type u_1
Y : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder X
DenselyOrdered X
TopologicalSpace X
OrderTopology X
LinearOrder Y
TopologicalSpace Y
OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Set.Ioo a b)
ha : Filter.Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 l)
hb : Filter.Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 l)
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo a b, IsLocalExtr f c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict (⋃ i, s i)) ↔ ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ.restrict (s i))
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
k : ℕ
⊢ ⊤.lcs M k = LieModule.lowerCentralSeries R L M k
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
⊢ χ ≠ 1 ↔ ∃ a, χ ↑a ≠ 1
α : Type u_5
β : Type u_6
self : PartialEquiv α β
x : α
⊢ x ∈ self.source → self.invFun (↑self x) = x
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
⊢ (u (0 + 1) - u 0) • f (u 0) + ∑ k ∈ range n, (u (k + 1 + 1) - u (k + 1)) • f (u (k + 1)) ≤ (u 1 - u 0) • f (u 0) + C • ∑ k ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f k
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
s : Stream'.Seq (Pair K)
inst✝ : Field K
nth_partDen_ne_zero : ∀ {b : K}, g.partDens.get? n = some b → b ≠ 0
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.convs (n + 1) = (g.squashGCF n).convs n
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ 0 < deriv^[2] (fun x => x ^ m) x
α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → LightProfinite
a : α
x y : (forget LightProfinite).obj (X a)
hxy : (ι X a) x = (ι X a) y
⊢ x = y
R : Type u
M : Type v
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
Finite ι
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
Module R M
f g : ((i : ι) → φ i) →ₗ[R] M
h : ∀ (i : ι) (x : φ i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
⊢ f = g
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
x : ℝ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (a : α) in s, ↑(ProbabilityTheory.condCDF ρ a) x ∂ρ.fst = (ρ (s ×ˢ Set.Iic x)).toReal
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : M → ι
m : M
r : R
⊢ Finsupp.single m r ∈ AddMonoidAlgebra.gradeBy R f (f m)
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
⊢ ↑n ≤ o.card ↔ ↑n ≤ o
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
R : Type u_10
Semiring R
MulSemiringAction M R
S : Type u_12
Semiring S
MulSemiringAction N S
f : R →ₑ+*[φ] S
⊢ (MulSemiringActionHom.id N).comp f = f
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
⊢ padicNormE ↑q = padicNorm p q
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ HasMFDerivAt I I' f x f'
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
v v₁ v₂ : ℕ
e : unpair v = (v₁, v₂)
h : (v₁, v₂).2 ≤ v
a : List α
h₁ : a ∈ decodeList v₂
h₂ : encodeList a = v₂
⊢ ∃ a ∈ decodeList v.succ, encodeList a = v.succ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
h : Reflexive r
hab : r a b
⊢ Relation.Join r a b
α : Type u_2
Monoid α
f : Filter α
hf : 1 ≤ f
⊢ f * ⊤ = ⊤
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : n ∈ (derivative p).support
h1 : p.coeff (n + 1) = 0
⊢ (derivative p).coeff n = 0
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ 0 < MeasureTheory.Measure.haar.addIndex (↑K) V
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
⊢ ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) I n (↑(extChartAt I x).symm) (extChartAt I x).target
n m : Nat
⊢ n.succ < m → n < m.pred
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) * g i ≤ ∑ i ∈ s, f i * g i
R : Type u_2
Add R
Mul R
c d : RingCon R
⊢ c ≤ d ↔ ∀ {x y : R}, c x y → d x y
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : Differentiable 𝕜 f
⊢ (Differentiable 𝕜 fun y => f y - g y) ↔ Differentiable 𝕜 g
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
⊢ ⅟2 • ((mul R R).compl₁₂ LinearMap.id LinearMap.id + (mul R R).compl₁₂ LinearMap.id LinearMap.id) = mul R R
R : Type u_1
x : R
MonoidWithZero R
Nontrivial R
hx : IsNilpotent x
⊢ x ^ (nilpotencyClass x - 1) ≠ 0
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
δ : Quot r → Quot s → Quot t → Prop
q₁ : Quot r
q₂ : Quot s
q₃ : Quot t
h : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), δ (Quot.mk r a) (Quot.mk s b) (Quot.mk t c)
⊢ δ q₁ q₂ q₃
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
this : DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ) 0 ((if a = 0 then -1 else 0) / 2)) s
⊢ DifferentiableAt ℂ (hurwitzZetaEven a) s
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Sub G
ContinuousSub G
TopologicalSpace α
f g : α → G
s : Set α
x : α
hf : ContinuousWithinAt f s x
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x - g x) s x
α : Type u
f : α → Option α
⊢ List.lookmap f [] = []
α : Type u_1
β : Type u_2
ts : List α
t : α
is : List α
ih : ∀ (is' : List α), (is ++ ts).permutationsAux is' = map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux is') ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ is')
is' : List α
⊢ (is'.permutations.bind fun y => (permutationsAux2 t (is ++ ts) [] y id).2) ++ (map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux (t :: is')) ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ t :: is')) = (is'.permutations.bind fun a => map (fun x => x ++ ts) (permutationsAux2 t is [] a id).2) ++ (map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux (t :: is')) ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ t :: ([] ++ is')))
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
⊢ x.coeff x.order ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α (β × ℝ)
ν✝ : Kernel α β
x✝ : MeasurableSpace β
f : α × β → StieltjesFunction
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
p : α × β
x : ℝ
⊢ ENNReal.ofReal (↑(f p) x - 0) = ENNReal.ofReal (↑(f p) x)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
m k : ℤ
⊢ 2 * T R m * T R k = T R (m + k) + T R (m - k)
cf cg : Code
this✝ : Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode ≤ 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode)
this : Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4
⊢ cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧ cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ (p⁻¹ * q⁻¹ * q)
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
p : P
⊢ ⇑(Equiv.vaddConst p) = fun v => v +ᵥ p
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
f : Π₀ (i : ι), Finset (α i)
⊢ f.pi.card = f.prod fun i => ↑(f i).card
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ CliffordAlgebra.reverse ∘ₗ CliffordAlgebra.involute.toLinearMap =
  CliffordAlgebra.involute.toLinearMap ∘ₗ CliffordAlgebra.reverse
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.42681, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
e f : ℤ
hf : -1 + e = f
γ : Cochain G K e
he : 0 + e = e
⊢ (inl φ).comp ((snd φ).comp γ he) hf = 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
⊢ (Subobject.pullback (π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
f : K[X]
hf : f.natDegree = 1
⊢ Polynomial.Splits i f
α : Type u_3
Encodable α
Inhabited α
⊢ Function.Surjective fun n => (Encodable.decode n).iget
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
f : α → β
hf : Set.InjOn f M.E
⊢ (M.map f hf).E = f '' M.E
n p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hnpos : n > 0
y : ℤ
hm : y ^ n ≠ 0
this : y ≠ 0
hv : 0 ≠ 0
⊢ False
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : Module R' M₁
inst✝ : Subsingleton R
⊢ Module.rank R M = 1