ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p q : ℕ
pp : Nat.Prime p
qp : Nat.Prime q
⊢ p ∣ q ↔ p = q
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B₁ : LinearMap.BilinForm K V
B₂ : LinearMap.BilinForm K V
b₂ : B₂.Nondegenerate
v : V
⊢ B₂ ((B₁.symmCompOfNondegenerate B₂ b₂) v) = B₁ v
a : outParam ℝ
outer : Filter ℝ
inner : outParam (Filter ℝ)
self : intervalIntegral.FTCFilter a outer inner
⊢ Filter.IsMeasurablyGenerated inner
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b : α
inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
s : Set α
a : α
⊢ BddBelow (insert a s) ↔ BddBelow s
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
m : M
s : Submodule R N
⊢ map₂ f (span R {m}) s = map (f m) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
e : C ≌ D
⊢ CategoryTheory.EssentiallySmall.{w, v, u} C ↔ CategoryTheory.EssentiallySmall.{w, v', u'} D
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
i : m
j : n
i' : m
j' : n
⊢ (if j = j' ∧ i = i' then 1 else 0) = if j = j' then if i = i' then 1 else 0 else 0
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
A : 0 < ↑m
⊢ f ↑(m + 1) = f 1 + log ↑(m + 1 - 1)!
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' Y' Z' X'' Y'' Z'' : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
f'' : X'' ⟶ Z''
g'' : Y'' ⟶ Z''
i₁ : X ⟶ X'
j₁ : X' ⟶ X''
i₂ : Y ⟶ Y'
j₂ : Y' ⟶ Y''
i₃ : Z ⟶ Z'
j₃ : Z' ⟶ Z''
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback f' g'
inst✝ : HasPullback f'' g''
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
e₃ : f' ≫ j₃ = j₁ ≫ f''
e₄ : g' ≫ j₃ = j₂ ≫ g''
⊢ g ≫ i₃ ≫ j₃ = (i₂ ≫ j₂) ≫ g''
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsLocalAtTarget P
hP₂ : (AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty.of P).StableUnderBaseChange
⊢ P.StableUnderBaseChange
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
CommRing k
AddCommGroup V1
AffineSpace V1 P1
Module k V1
c : P1
r₁ r₂ : k
p : P1
⊢ (AffineMap.homothety c (r₁ * r₂)) p = (AffineMap.homothety c r₁) ((AffineMap.homothety c r₂) p)
Γ : Type u_4
Group Γ
T : Type u_5
TopologicalSpace T
MulAction Γ T
ContinuousConstSMul Γ T
⊢ IsOpenMap Quotient.mk'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ a₁ a₂ : α
b : β
inst✝ : DecidablePred fun x => x = b
a : α
⊢ ∀ (b' : β), b' ≠ b → (if b' = b then a else 1) = 1
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)
⊢ f ∈ ⊥
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
Bifunctor F
LawfulBifunctor F
α : Type u₀
β : Type u₁
⊢ Bifunctor.snd id = id
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S : Set (NonUnitalSubalgebra R A)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Γ.map f.op = f.c.app (Opposite.op ⊤)
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n✝ n : ℕ
h : fract v ≠ 0
⊢ (of v).s.get? (n + 1) = (of (fract v)⁻¹).s.get? n
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
e : Sym2 V
h : e ∈ G.incidenceSet v
⊢ G.otherVertexOfIncident h ∈ e
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
h3 : K ≠ ⊤
⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
R : Type u_1
CommRing R
IsNoetherianRing R
LocalRing R
IsDomain R
⊢ [IsPrincipalIdealRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R,
    IsIntegrallyClosed R ∧ ∀ (P : Ideal R), P ≠ ⊥ → P.IsPrime → P = LocalRing.maximalIdeal R,
    Submodule.IsPrincipal (LocalRing.maximalIdeal R),
    FiniteDimensional.finrank (LocalRing.ResidueField R) (LocalRing.CotangentSpace R) ≤ 1,
    ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = LocalRing.maximalIdeal R ^ n].TFAE
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
f : Filter X
H : f ≤ 𝓝 x
f.NeBot
⊢ ClusterPt x f
α : Type u
AddMonoid α
a : AddUnits α
⊢ AddCommute ↑(-a) ↑a
ι : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
hl : l ≠ []
f g : ι → M
h : (List.map f l).prod ≤ (List.map g l).prod
⊢ ∃ x ∈ l, f x ≤ g x
R : Type u_1
CommRing R
P : Polynomial R
hunit : IsUnit P
⊢ IsUnit (P.coeff 0) ∧ ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2
hx' : x ≠ p / 2
hx₁ : -(p / 2) ≤ x
hx₂ : x < p / 2
⊢ p⁻¹ * x ∈ Ico (-(1 / 2)) (1 / 2)
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddCommMonoid P
f : M × N →+ P
⊢ (f.comp (AddMonoidHom.inl M N)).coprod (f.comp (AddMonoidHom.inr M N)) = f
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K V
φ : Module.Dual K ↥W
⊢ W.dualEquivDual φ = ⟨W.dualLift φ, ⋯⟩
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J → C
A B : CategoryTheory.Limits.Bicone F
self : CategoryTheory.Limits.BiconeMorphism A B
j : J
⊢ self.hom ≫ B.π j = A.π j
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R
⊢ PowerSeries.X ∣ φ ↔ (PowerSeries.constantCoeff R) φ = 0
G : Type u
Group G
Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
⊢ ∃ K, Nat.card ↥K = p ^ (n + 1) ∧ H ≤ K
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
g : R[X]
pb : PowerBasis R S
h₁ : (Polynomial.aeval (AdjoinRoot.root g)) (minpoly R pb.gen) = 0
h₂ : (Polynomial.aeval pb.gen) g = 0
⊢ ↑(AdjoinRoot.equiv' g pb h₁ h₂).symm = pb.lift (AdjoinRoot.root g) h₁
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f : Finset α → β
⊢ StrictMono f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄ (ha : a ∉ s), f s < f (Finset.cons a s ha)
α : Type u
DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ l.get? (List.indexOf a l) = some a
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
s : Set ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, AlgebraicGeometry.IsAffineOpen (X.basicOpen i)
⊢ AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMinOrder α
DenselyOrdered α
a : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝[≤] a ↔ ∃ l < a, Set.Icc l a ⊆ s
M : Type u_1
AddZeroClass M
⊢ AddSubmonoid.closure ∅ = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
⊢ ∑ x : Composition n, (q.removeZero x.length) (p.applyComposition x v) = ∑ x : Composition n, (q x.length) (p.applyComposition x v)
M : Type u_5
N : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
x : M
⊢ (AddMonoidHom.inl M N) x = (x, 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
s : Finset α
⊢ ↑(Finset.map f s) ⊆ Set.range ⇑f
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
s : Finset ι
⊢ Function.Injective ⇑(DirectSum.mk β s)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
b' : β a'
s : Finmap β
⊢ a ∈ Finmap.insert a' b' s ↔ a = a' ∨ a ∈ s
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose
hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s
hUo : ∀ (i : ↑S), IsOpen ((fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i)
hsU : U ⊆ ⋃ i, (fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i
G : Finset ↑S
hG : U ⊆ ⋃ i ∈ G, (fun s => ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i
⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0
⊢ ‖x‖ / Real.cos (angle x (x + y)) = ‖x + y‖
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
self : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
⊢ Function.RightInverse self.invFun (↑self.toLieHom).toFun
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
A : Set G
hA : μ.outerMeasure A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
U : Set G
hU : IsOpen U
h2U : A ⊆ U
h3U : (inducedOuterMeasure (fun s₁ hs₁ => μ.innerContent { carrier := s₁, is_open' := hs₁ }) ⋯ ⋯) U ≤ (inducedOuterMeasure (fun s₁ hs₁ => μ.innerContent { carrier := s₁, is_open' := hs₁ }) ⋯ ⋯) A + ↑ε
⊢ ∃ U, A ⊆ ↑U ∧ μ.outerMeasure ↑U ≤ μ.outerMeasure A + ↑ε
X : Scheme
U : (Opens ↑↑((Scheme.Γ.rightOp ⋙ Scheme.Spec).obj X).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ (𝟙 (Scheme.Γ.rightOp.obj X)).unop ≫ ((pushforward CommRingCat (adjunction.unit.app X).val.base).obj ((𝟭 Scheme).obj X).presheaf).map (homOfLE ⋯).op = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
M : Type u_2
α : Type u_3
AddMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableAdd₂ M
m : MeasurableSpace α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, Measurable f
⊢ Measurable fun x => (List.map (fun f => f x) l).sum
ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
TopologicalSpace G
UniformSpace M
Group G
Group M
TopologicalGroup G
UniformGroup M
FunLike hom G M
MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ F) 1
⊢ Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ F)
α : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
g : ℕ → ℝ
h : f =o[atTop] g
hg : 0 ≤ g
h'g : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, g i) atTop atTop
A : ∀ (i : ℕ), ‖g i‖ = g i
B : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ range n, g i‖ = ∑ i ∈ range n, g i
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
N : ℕ
hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → ‖f b‖ ≤ ε / 2 * g b
this : (fun x => ∑ i ∈ range N, f i) =o[atTop] fun n => ∑ i ∈ range n, g i
n : ℕ
hn : ‖∑ i ∈ range N, f i‖ ≤ ε / 2 * ‖∑ i ∈ range n, g i‖
Nn : n ∈ Set.Ici N
⊢ ‖∑ i ∈ range n, f i‖ ≤ ε * ‖∑ i ∈ range n, g i‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ₁ : Type u_5
δ₂ : Type u_6
φ₁ : δ₁ → α
φ₂ : δ₂ → α
𝔗₁ : Set (Set δ₁)
𝔗₂ : Set (Set δ₂)
h_image₁ : MapsTo (fun x => φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖
h_image₂ : MapsTo (fun x => φ₂ '' x) 𝔗₂ 𝔖
h_preimage₁ : MapsTo (fun x => φ₁ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₁
h_preimage₂ : MapsTo (fun x => φ₂ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₂
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, S ⊆ range φ₁ ∪ range φ₂
ψ₁ : (S : Set α) → ↑(φ₁ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₁
ψ₂ : (S : Set α) → ↑(φ₂ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₂
this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₁ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₁ ⁻¹' S)) β) ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₂ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₂ ⁻¹' S)) β)
⊢ uniformSpace α β 𝔖 = UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₁) ∘ (fun x => x ∘ φ₁) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₁ β 𝔗₁) ⊓ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₂) ∘ (fun x => x ∘ φ₂) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₂ β 𝔗₂)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Bool} (q : α → Bool) (l : List α),
  List.filter p (List.filter q l) = List.filter (fun a => decide (p a = true ∧ q a = true)) l
F : Type u
Field F
⊢ Field.finInsepDegree F F = 1
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
x x' : (i : I) → C i
h : x = x'
i : I
⊢ CategoryTheory.eqToHom h i = CategoryTheory.eqToHom ⋯
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
x : ℂ
f' : E
h : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt f (Complex.reCLM.smulRight f' + Complex.I • Complex.imCLM.smulRight f') x
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
⊢ {i | x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)}.Finite
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
inst✝¹ : HasMulticoequalizer D.diagram
inst✝ : PreservesColimit D.diagram.multispan F
i : D.J
this : HasColimit (D.mapGlueData F).diagram.multispan
⊢ colimit.ι (D.mapGlueData F).diagram.multispan (WalkingMultispan.right i) = (D.mapGlueData F).ι i
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : AddSubmonoid M
hA : ∀ (a : A) {m : M}, m ∈ p → a • m ∈ p
hB : ∀ (b : B) {m : M}, m ∈ p → b • m ∈ p
ab : A ⊗[R] B
m : M
z w : A ⊗[R] B
hz : m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier → z • m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier
hw : m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier → w • m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier
hm : m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier
⊢ (z + w) • m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : Module k W
ρV : Representation k G V
ρW : Representation k G W
g : G
x✝² : Module.Dual k V
x✝¹ : W
x✝ : V
⊢ (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (dualTensorHom k V W ∘ₗ TensorProduct.map (ρV.dual g) (ρW g))) x✝²) x✝¹) x✝ = (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((ρV.linHom ρW) g ∘ₗ dualTensorHom k V W)) x✝²) x✝¹) x✝
α : Type u_1
l : Language α
⊢ 1 + l * l∗ = l∗
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
⊢ -Bornology.cobounded E = Bornology.cobounded E
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
Fintype α
f : ⊤ ↪g G
⊢ ¬G.CliqueFree (Fintype.card α)
ι : Type u_5
Finite ι
H : ι → Type u_6
(i : ι) → TopologicalSpace (H i)
M : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (M i)
(i : ι) → ChartedSpace (H i) (M i)
f : (i : ι) → M i
⊢ chartAt (ModelPi H) f = PartialHomeomorph.pi fun i => chartAt (H i) (f i)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
inst✝ : IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)
⊢ P = span {x}
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
b₁ b₂ : β
a : α
ha : a ∈ s
h : f a * b₁ = f a * b₂
⊢ (∏ a ∈ s, f a) * b₁ = (∏ a ∈ s, f a) * b₂
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F.op
⊢ c.unop.pt = Opposite.unop c.pt
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal) ↔ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
lip : LipschitzWith 1 NNReal.toReal
f₀ : Ω →ᵇ ℝ := comp NNReal.toReal lip f
_def_f₀ : f₀ = comp NNReal.toReal lip f
f₀_eq : ⇑f₀ = NNReal.toReal ∘ ⇑f
f₀_nn : 0 ≤ ⇑f₀
f₀_ae_nn : 0 ≤ᶠ[ae ↑μ] ⇑f₀
⊢ Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal)
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
Add ι
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
self : DirectSum.GNonUnitalNonAssocSemiring A
i j : ι
b : A j
⊢ GradedMonoid.GMul.mul 0 b = 0
I : Type u_3
B : I → Type u_4
(i : I) → NonUnitalNormedRing (B i)
f g : ↥(lp B ⊤)
⊢ ↑(f * g) = ↑f * ↑g
R : Type u
S : Type v
DivisionRing R
p : R[X]
Semiring S
Nontrivial S
f : R →+* S
hp : p ≠ 0
⊢ Polynomial.map f p ≠ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
⊢ coborder s = univ ↔ IsClosed s
g : ℝ → ℝ
g' u : ℝ
h : HasGradientAt g g' u
⊢ HasDerivAt g g' u
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.36381, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
h : S.RightHomologyData
this : S.HasHomology
⊢ IsZero (KernelFork.ofι h.ι ⋯).pt
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : PseudoEpimorphism α β
⊢ f.comp (PseudoEpimorphism.id α) = f
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
x : α
y : Quotient s
⊢ ⟦x⟧ = y ↔ x ≈ y.out
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => -f y) x = -fderiv 𝕜 f x
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
⊢ sInf s ∈ s
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasColimit F
E : K ⥤ J
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
L : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} L
D : L ⥤ K
h : HasColimit (D ⋙ E ⋙ F)
j : L
this : HasColimit ((D ⋙ E) ⋙ F)
⊢ ι F (E.obj (D.obj j)) = ι (D ⋙ E ⋙ F) j ≫ pre F (D ⋙ E)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ ¬⊥.WSameSide x y
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k l : ℕ
I J : LieIdeal R L
hI : derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥
hJ : derivedSeriesOfIdeal R L l J = ⊥
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L (k + l) (I + J) ≤ ⊥
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : OpenEmbedding f
Nonempty X
⊢ (OpenEmbedding.toPartialHomeomorph f h).target = Set.range f
a b a' b' c : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a a' → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b b' → a'.sub b' = c → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a - b) c
M₀✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀✝
M₀ : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
a : M₀
⊢ (¬∀ (x : Associates M₀), x * Associates.mk a = 0 → x = 0) ↔ ¬∀ (x : M₀), x * a = 0 → x = 0
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : ⋯.IsPrimitiveClassified
⊢ ↑(x.gcd y) ∣ z
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
AddCommGroup U
Module R U
AddCommGroup V
Module R V
AddCommGroup W
Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u v : U
⊢ A.compHahnSeries B (u + v) = A.compHahnSeries B u + A.compHahnSeries B v
l : List ℕ
i : Fin l.length
⊢ (Nat.unbeta l).beta ↑i = l.get i
α : Type u_1
n : Type u_4
Add α
Sub n
v w : n → α
⊢ Matrix.circulant (v + w) = Matrix.circulant v + Matrix.circulant w
a : Ordinal.{u_1}
⊢ 𝓝[≤] a = 𝓝 a
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
m : M
n : M₂
⊢ (0, n) ∈ fst R M M₂ ⊔ snd R M M₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : Set.MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
F G : J ⥤ C
⊢ CategoryTheory.LaxMonoidal.μ F G =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift (F ⊗ G)
    { pt := CategoryTheory.Limits.limit F ⊗ CategoryTheory.Limits.limit G,
      π := { app := fun j => CategoryTheory.Limits.limit.π F j ⊗ CategoryTheory.Limits.limit.π G j, naturality := ⋯ } }
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Semiring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0
x✝ : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : i + j = p
⊢ x ^ m ∣ p.choose (i, j).1 • (x ^ (i, j).1 * y ^ (i, j).2)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
x : X
f : Y → Z
⊢ (Inducing fun x' => (x, f x')) ↔ Inducing f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
⊢ ∀ (e : Sym2 α), e ∉ fromRel ⋯
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b : Ordinal.{u}
h_init : x ≤ f x
h_ab : a ≤ b
h : f (lfpApprox f x a) = lfpApprox f x a
⊢ lfpApprox f x b = lfpApprox f x a
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t
⊢ (t ∪ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})) ∩ s ⊆ s
z : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ z.GammaSeq n * (1 - z).GammaSeq n = ↑n / (↑n + 1 - z) * (1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α
inst✝³ : ProperSpace α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a z : α
r : ℝ
hf : ContinuousOn f (closedBall a r)
hz : z ∈ closedBall a r
hf1 : ∀ z' ∈ sphere a r, f z < f z'
⊢ ∃ z ∈ ball a r, IsLocalMin f z
α : Type u_1
n : ℕ
DecidableEq α
s : Sym (Option α) n.succ
h : none ∉ s
⊢ SymOptionSuccEquiv.encode s = Sum.inr (Sym.map (fun o => (↑o).get ⋯) s.attach)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn id (Icc x₀ x)
gdiff : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, HasDerivAt id ((fun x => 1) x_1) x_1
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo x₀ x
h : f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - y) ^ n / ↑n ! * (id x - id x₀) / 1) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y
⊢ f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y * (x - y) ^ n / ↑n ! * (x - x₀)
k : Type u
Field k
IsSepClosed k
p : k[X]
hp : Irreducible p
hsep : p.Separable
⊢ p.degree = 1
α : Type u_2
Preorder α
TopologicalSpace α
self : PriestleySpace α
x y : α
⊢ ¬x ≤ y → ∃ U, IsClopen U ∧ IsUpperSet U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
l : List ℕ
h : ∀ p ∈ l, Nat.Prime p
⊢ ↑(ofNatList l h).prod = l.prod
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q) ∂ν a =
  (κ a) (s ×ˢ Set.Iic ↑q)