ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
e p : Equiv.Perm α
⊢ (Equiv.permCongr e) p = e * p * e⁻¹
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
One G
⊢ 1 = MonoidAlgebra.single 1 1
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
a : α
⊢ Cauchy (𝓝 a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b => b (f ⁻¹' s)
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
w : Word H
h : (lift f) w.prod = 1
⊢ w = Word.empty
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
NormalSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
⊢ NormalSpace X
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C Dᵒᵖ
α : F ⟶ G
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.leftOp α).app X = (α.app (Opposite.unop X)).unop
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
⊢ 0 < a → 0 < ⌈a⌉₊
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
⊢ AddSubsemigroup.map f ⊥ = ⊥
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
⊢ (pullbackP1Iso 𝒰 f g i).hom ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫ p2 𝒰 f g
α : Type u_1
C : Set (Set α)
self : MeasureTheory.IsSetSemiring C
s : Set α
⊢ s ∈ C → ∀ t ∈ C, s ∩ t ∈ C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
⊢ s ∈ f ×ˢ g ↔ ∃ t ∈ g, ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ s
α : Type u_2
One α
s : Set α
⊢ 1 ⊆ s ↔ 1 ∈ s
α✝ : Type u
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℤ
d : ℕ
h : ↑d ≠ 0
this : Invertible ↑d
⊢ Rat.rawCast n d = ↑n * ⅟↑d
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)
this : Perfect (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ∧ (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)).Nonempty
⊢ EMetric.diam (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ≤ ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ ∀ (i : Finset ι), Measurable fun b => ∑ i ∈ i, f i b
ι : Type u_1
F : Type u_3
Fintype ι
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑b.repr) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
⊢ cos (3 * x) = 4 * cos x ^ 3 - 3 * cos x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
z : Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + m = q
q₁ q₂ : ℤ
hq₁ : q₁ = q - 1
hq₂ : p + 1 = q₂
⊢ q₂ + n = q
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0
a : Π₀ (i : ι), ↥(p i) := (mapRange.linearMap fun i => LinearMap.toSpanSingleton R ↥(p i) ⟨v i, ⋯⟩) l.toDFinsupp
ha : a = 0
i : ι
⊢ l i = 0 i
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : LocalRing R
T : Type u
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
x : PrimeSpectrum (ResidueField T)
⊢ ((PrimeSpectrum.comap (residue T)) ⊥).asIdeal = (closedPoint T).asIdeal
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
x : E
⊢ x ∈ perfectClosure F E ↔ (minpoly F x).natSepDegree = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ p
hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯
ι : Type u_2 := Module.Free.ChooseBasisIndex R M
n : ℕ
snf : Basis.SmithNormalForm p ι n
⊢ ((toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf')).trace = ((toMatrix snf.bM snf.bM) f).trace
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
h :
  ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X),
    (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → s ∩ ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, u.Countable ∧ s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
⊢ IsLindelof s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p ≤ r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hw : Wbtw ℝ p₃ p₁ p₂
⊢ Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
t : Type u → Type u
Traversable t
self : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
α β γ : Type u
f : β → F γ
g : α → G β
x : t α
⊢ traverse (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map f ∘ g) x = Functor.Comp.mk (traverse f <$> traverse g x)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ (f '' s).Nontrivial ↔ s.Nontrivial
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
a : α
f : (a' : α) → a' ∈ (pure a).support → PMF β
⊢ (pure a).bindOnSupport f = f a ⋯
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Ring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
⊢ RingHom.ker f = ⊥ ↔ ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b : α
c : α
h : Codisjoint a b
⊢ Codisjoint (c ⊔ a) b
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
s : Set α
f : α → M
g : M →+ N
hs : s.Finite
⊢ g (∑ᶠ (j : α) (_ : j ∈ s), f j) = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g (f i)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Supermartingale f ℱ μ
hg : Supermartingale g ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ μ[(f + g) j|↑ℱ i] ≤ᶠ[ae μ] (f + g) i
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
N m n : ℕ
hm : N ≤ m
hn : N ≤ n
⊢ SequentiallyComplete.setSeq hf U_mem m ×ˢ SequentiallyComplete.setSeq hf U_mem n ⊆ U N
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ fract (-x) = 1 - fract x
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
⊢ x ∈ interior s ↔ x ∈ {x | s ∈ 𝓝 x}
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : G ≃ₗᵢ[𝕜] E
f : E → F
x : G
i : ℕ
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f ∘ ⇑g) univ x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ (g x)‖
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
DecidableEq κ
g : ι → κ
h : ∀ i ∈ s, g i ∈ t
f : κ → α
⊢ ∏ j ∈ t, ∏ _i ∈ Finset.filter (fun i => g i = j) s, f j = ∏ i ∈ s, f (g i)
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
f : α → β → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable (Function.uncurry f)
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun y => ∫ (x : α), f x y ∂μ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hab : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' volume
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
⊢ (fun t => ((∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x) - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x) - ((vb t - ub t) • cb - (va t - ua t) • ca)) =o[lt] fun t => ‖va t - ua t‖ + ‖vb t - ub t‖
α : Type u_1
EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
⊢ Function.IsFixedPt f (ContractingWith.efixedPoint f hf x hx)
n m : Int
⊢ max n m = if n ≤ m then m else n
A : Type u_1
R : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommSemiring A
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
self : IsIntegralClosure A R B
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap A B)
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
g : G.ConnectedComponent → ℝ
h0 : (fun i => g (G.connectedComponentMk i)) = ↑0
h : ↑(∑ c : G.ConnectedComponent, g c • G.lapMatrix_ker_basis_aux c) = fun i => g (G.connectedComponentMk i)
c : G.ConnectedComponent
i : V
h' : G.connectedComponentMk i = c
⊢ g c = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
P : C → Prop
A : Type u_2
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a : A
X : C
⊢ CategoryTheory.PredicateShift P a X ↔ P ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X)
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
AddAction α β
s : Set β
⊢ ⋃ g, g +ᵥ s = {a | ∃ g, g +ᵥ a ∈ s}
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x y : ℚ_[p]
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h_norm : ‖x * y‖ = ‖x‖ * ‖y‖
hp_ne_one : ↑p ≠ 1
hp_pos : 0 < ↑p
⊢ (x * y).valuation = x.valuation + y.valuation
a : ℝ≥0∞
⊢ ENNReal.ofReal a.toReal ≤ a
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
n : ℕ
⊢ (mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑n)⁻¹).trim = mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑n)⁻¹
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
⊢ ‖S.normedMk m‖ = sInf ((fun m_1 => ‖m + m_1‖) '' ↑S.normedMk.ker)
o : Ordinal.{u_3}
⊢ o < (Order.succ o.card).ord
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
s : Set E
x : E
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x s)
hs : Convex ℝ s
K : ℝ≥0
hK : ‖p x 1‖₊ < K
f' : E → E →L[ℝ] F := fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 ℝ E F) (p y 1)
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
α : Type u
i j : ℕ
xs : List α
⊢ (List.dropSlice i j xs).length = xs.length - min j (xs.length - i)
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
self : Algebra.FormallyEtale R A
B : Type u
CommRing B
Algebra R B
I : Ideal B
⊢ I ^ 2 = ⊥ → Function.Bijective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp
α : Type u_2
ι : Type u_5
LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
⊢ ∃ i ∈ s, s.sup' H f = f i
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝² : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
g : G
k : ℕ
g₀ : G
h✝ : g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ ∈ P
this : (↑P).IsCommutative
hg : g ^ k ∈ ↑P
n : G
hn : n ∈ (↑P).normalizer
h : g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ = n⁻¹ * g ^ k * n
⊢ g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ = g ^ k
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'
hc : 0 < c ^ 4
h₁ : 3 * 3 * c ^ 4 < 4 * (g • z).im ^ 2 * (4 * z.im ^ 2) * c ^ 4
⊢ 9 * c ^ 4 < 16
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : Frame α
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι × ι' → α
h : (s ×ˢ t).PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s
hij : i ≠ j
i' : ι'
hi' : i' ∈ t
j' : ι'
hj' : j' ∈ t
⊢ Disjoint (f (i, i')) (f (j, j'))
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hsf : s.Finite
h : Measure.count (s ∩ t) = (Measure.count s)⁻¹⁻¹
⊢ s ⊆ t
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
TopologicalSpace γ
Preorder γ
g : EsakiaHom β γ
f : EsakiaHom α β
a : α
⊢ (g.comp f) a = g (f a)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
hk : addOrderOf ↑k = n
a : ℤ
ha : a • p = n • k
⊢ ∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n * p) = ↑k
x y z : SetTheory.PGame
⊢ ⟦x * (y - z)⟧ = ⟦x * y⟧ - ⟦x * z⟧
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℕ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ∣ f i
⊢ (∑ i ∈ s, f i) / 0 = ∑ i ∈ s, f i / 0
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
g : C(X, E)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f
hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖
g' : X →ᵇ E := ofNormedAddCommGroup ⇑g ⋯ ‖f‖ hg_mem
x : ↑s
hx : f x = g' ↑x
⊢ ‖g' ↑x‖ ≤ ‖g'‖
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)
this✝¹ : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A Aₘ (FractionRing A)
this : IsFractionRing Aₘ (FractionRing A)
⊢ IsNoetherianRing Aₘ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
⊢ ContinuousOn f s
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
U U' : Y.Opens
V V' : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
i : op U' ⟶ op U
⊢ Y.presheaf.map i ≫ f.appLE U V e = f.appLE U' V ⋯
I : Type u
f : I → Type v
DecidableEq I
(i : I) → AddZeroClass (f i)
x : (i : I) → f i
i j : I
⊢ AddCommute (Pi.single i (x i)) (Pi.single j (x j))
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹² : Field F
inst✝¹¹ : Field K₁
inst✝¹⁰ : Field K₂
inst✝⁹ : Field K₃
inst✝⁸ : Algebra F K₁
inst✝⁷ : Algebra F K₂
inst✝⁶ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : Algebra K₁ E
inst✝² : Algebra K₂ E
inst✝¹ : IsScalarTower F K₁ E
inst✝ : IsScalarTower F K₂ E
h : Normal F E
x y : E
he : minpoly F x = minpoly F y
⊢ x ∈ MulAction.orbit (E ≃ₐ[F] E) y
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
k : ℤ
⊢ ⇑f =O[cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
⊢ s = s₁ ∧ t = t₁ ∨ (s = ∅ ∨ t = ∅) ∧ (s₁ = ∅ ∨ t₁ = ∅) ↔ s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t₁
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α
f : α → β
H : r ≤ Setoid.ker f
g : Quotient r → β
Hg : f = g ∘ Quotient.mk''
⊢ Quotient.lift f H = g
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
pb : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ (c Y) (Sieve.pullback f S) = ⊤ ↔ ((c X) S).arrows f
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s : Set V
x y : V
⊢ x ∈ Submodule.span K (insert y s) → x ∉ Submodule.span K s → y ∈ Submodule.span K (insert x s)
α : Type u
self : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ⊓ b ⊓ a \ b = ⊥
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : Language
inst✝ : (a : α) → L.Structure (M a)
β : Type u_3
x : β → (a : α) → M a
t : L.Term β
⊢ Term.realize (fun i => Quotient.mk' (x i)) t = Quotient.mk' fun a => Term.realize (fun i => x i a) t
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.37256, u_1} C
P : Karoubi C
⊢ P.p = P.p ≫ P.p ≫ { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ }.p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
NormedAddCommGroup E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : MeasureTheory.Measure E
ν : MeasureTheory.Measure F
μ.IsAddHaarMeasure
ν.IsAddHaarMeasure
LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
s : Set F
hs : MeasurableSet s
⊢ (∀ᵐ (x : E) ∂μ, L x ∈ s) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.45088, u_3} D₁
inst✝² : Category.{?u.45092, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
W : MorphismProperty C₁ := (MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G
hG : W.IsInvertedBy G
this✝ : ∀ (X : C₁), IsIso ((whiskerRight adj.unit W.Q).app X)
this : IsIso (whiskerRight adj.unit W.Q)
e : W.Localization ≌ C₂ := Equivalence.mk (lift G hG W.Q) (F ⋙ W.Q) (liftNatIso W.Q W W.Q (G ⋙ F ⋙ W.Q) (𝟭 W.Localization) (lift G hG W.Q ⋙ F ⋙ W.Q) (W.Q.leftUnitor.symm ≪≫ asIso (whiskerRight adj.unit W.Q))) (F.associator W.Q (lift G hG W.Q) ≪≫ isoWhiskerLeft F (fac G hG W.Q) ≪≫ asIso adj.counit)
⊢ G.IsLocalization ((MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G)
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
a : α ⧸ s
⊢ ↑(Quotient.out' a) = a
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ' μ ν : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : ν.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
hG : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
Z : ∫ (x : G), g x ∂μ' = ∫ (x : G), g x ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
⊢ μ'.haarScalarFactor ν = μ'.haarScalarFactor μ * μ.haarScalarFactor ν
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ LieModule.maxTrivEquiv LieModuleEquiv.refl = LieModuleEquiv.refl
u v : Level
n nn n' : ℕ
pn : NormNum.IsNat n nn
pn' : nn = n'.succ
⊢ List.range n = 0 :: List.map Nat.succ (List.range n')
xs : Lean.Omega.IntList
i : Int
⊢ i * xs = List.map (fun x => i * x) xs
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
x : α × β
⊢ Function.IsFixedPt (Prod.map f g) x ↔ Function.IsFixedPt f x.1 ∧ Function.IsFixedPt g x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hμst : μ (s ∆ t) ≠ ⊤
u v : Set α
hμuv : μ (u ∆ v) ≠ ⊤
hμu : μ u = ⊤
hμv : μ v ≠ ⊤
⊢ ⊤ ≤ μ (u \ v ∪ v \ u)
α : Type u
σ : Type v
σ' : Type u_2
g : σ ≃ σ'
⊢ (DFA.reindex g).symm = DFA.reindex g.symm
ι : Type u_7
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
N'' : Type u_13
CommSemiring R'
AddCommMonoid M''
AddCommMonoid N''
Module R' M''
Module R' N''
IsEmpty ι
f : M'' [⋀^ι]→ₗ[R'] N''
⊢ AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty.symm f = f 0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
b : P
hb : b ∈ I ⊔ J
⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • b)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : (x : P) → x ∈ affineSpan k s → Prop
mem : ∀ (y : P) (hys : y ∈ s), p y ⋯
smul_vsub_vadd : ∀ (c : k) (u : P) (hu : u ∈ affineSpan k s) (v : P) (hv : v ∈ affineSpan k s) (w : P) (hw : w ∈ affineSpan k s), p u hu → p v hv → p w hw → p (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w) ⋯
x : P
h : x ∈ affineSpan k s
⊢ ∃ (x_1 : x ∈ affineSpan k s), p x x_1
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
δ : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (δ i)
φ : (i : ι) → C(δ i, α)
h_proper : ∀ (i : ι), IsProperMap ⇑(φ i)
h_lf : LocallyFinite fun i => range ⇑(φ i)
h_cover : ⋃ i, range ⇑(φ i) = univ
𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i)) := fun i => {K | IsCompact K}
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => ⇑(φ i) '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => ⇑(φ i) ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover' : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range ⇑(φ i)
⊢ inferInstanceAs (UniformSpace C(α, β)) = ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x.comp (φ i)) inferInstance
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, deriv g x ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atTop l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, DifferentiableAt ℝ g x
hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, HasDerivAt f (deriv f x) x
hdg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, HasDerivAt g (deriv g x) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
hx : ¬‖x‖ = 0
⊢ Real.arccos (‖x‖ * ‖x‖ / (‖x‖ * ‖x + y‖)) = Real.arccos (‖x‖ / ‖x + y‖)
a b : ℝ
n : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, 1 / x = Real.log (b / a)
M : Type u_1
N : Type u_2
One M
One N
f : OneHom M N
⊢ ⇑f.withTopMap = WithTop.map ⇑f
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y : Y
⊢ dist x y = dist (inr x) (inr y)
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
Field k
AddCommGroup E
Module k E
AddTorsor E PE
f : k → PE
⊢ slope f = fun a b => (b - a)⁻¹ • (f b -ᵥ f a)
R : Type u_2
Ring R
S : Subring R
⊢ ↑S.op = MulOpposite.unop ⁻¹' ↑S
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
⊢ log y / y ^ a ≤ log x / x ^ a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α
h : TendstoLocallyUniformly F f p
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
U : α → Set α
hU : ∀ (x : α), U x ∈ 𝓝 x ∧ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ U x, (f y, F n y) ∈ V
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : α), (f x, F n x) ∈ V
k G : Type u
CommRing k
Group G
A B C : Rep k G
f : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj A B ⟶ C
⊢ ((A.homEquiv B C) f).hom = (TensorProduct.curry f.hom).flip
m : Type u → Type u_1
α : Type u
Monad m
LawfulMonad m
x : m α
⊢ (ExceptCpsT.lift x).runCatch = x