ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖f x‖ = a * ‖x‖
⊢ ‖f‖ = a
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
h : 0 < ↑n
m : ℕ
hn : m < n
h0 : 0 < m
⊢ ¬∃ n_1, n_1 • p = ↑m * (p / ↑n)
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
h₁ : Injective f₁
h₂ : ∀ (a : α₁), Injective (f₂ a)
i : α₁
x y : β₁ i
h : Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, x⟩ = Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, y⟩
⊢ ⟨i, x⟩ = ⟨i, y⟩
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B : LinearMap.BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
f : Module.Dual K V
v : V
⊢ (B ((B.toDual hB).symm f)) v = f v
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
⊢ 0 ≤ ‖x‖ ^ 2
α : Type u_1
f : α → α → α
b : Option α
⊢ Option.liftOrGet f none b = b
b : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < b, ∀ ⦃a : Ordinal.{u_1}⦄, a < k → beth a < beth k
a : Ordinal.{u_1}
h : a < b
hb : b.IsLimit
⊢ beth a < beth b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun z => f (z - y)) p (x + y) r
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
x y : ℤ_[p]
⊢ (∀ (n : ℕ), (PadicInt.toZModPow n) x = (PadicInt.toZModPow n) y) ↔ x = y
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ p x✝ : P
⊢ x✝ ∈ ↑⊤ → x✝ ∈ ↑(perpBisector p p)
n a b : ℕ
⊢ a ≡ b [MOD n] → b ≡ a [MOD n]
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
x : α
n : ℕ
⊢ dist (f^[n] x) (fixedPoint f hf) ≤ dist (f^[n] x) ((f ∘ f^[n]) x) / (1 - ↑K)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
⊢ 𝒜.shatterer = 𝒜 ↔ IsLowerSet ↑𝒜
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
⊢ AEStronglyMeasurable (ProbabilityTheory.truncation f A) μ
a b : EReal
h : ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (a, b)
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (b, a)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
⊢ f₁ + f₂ = add W eX eY f₁ f₂
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A
n : ℕ
⊢ (Polynomial.aeval x) ↑n = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a : β
⊢ ∃ b, a < b
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ (s ∪ t).Nonempty
R : Type u_3
Ring R
p : ℤ[X]
f : ℤ[X] →+* R
⊢ Polynomial.eval₂ (Int.castRingHom R) (f Polynomial.X) p = f p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
Z Z' : C
f : Z ⟶ Z'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft Y f))
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z').inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) f)
α : Type u_1
Preorder α
o : Ordering
a b : α
⊢ o.Compares a b → (o = Ordering.lt ↔ a < b)
α : Type u_1
A B : Set (Finset α)
r : ℕ
⊢ Set.Sized r (A ∪ B) ↔ Set.Sized r A ∧ Set.Sized r B
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
n : ℕ
⊢ 0 ≤ a ^ n
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictMono f
a b : α
o : Ordering
⊢ o.Compares (f a) (f b) ↔ o.Compares a b
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕝 : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕝
NormedAlgebra 𝕜 𝕝
f g : E → 𝕝
x : E
fa : AnalyticAt 𝕜 f x
ga : AnalyticAt 𝕜 g x
g0 : g x ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x / g x) x
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : T2Space β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
inst✝³ : OpensMeasurableSpace β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
⊢ MeasurableSet (f '' s)
α : Type u_1
f : α → α
x : α
⊢ Function.IsPeriodicPt f (Function.minimalPeriod f x) x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
self : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f
⊢ Measurable f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
⊢ (∀ {i : PProd ι ι'}, p i.fst ∧ p' i.snd → (s i.fst ∩ s' i.snd).Nonempty) ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, p i → ∀ ⦃i' : ι'⦄, p' i' → (s i ∩ s' i').Nonempty
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
⊢ (∑ σ : Perm.ModSumCongr ιa ιb, domCoprod.summand a b σ) v = 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
h' : ∀ (n : ℕ), n < max l₁.length l₂.length → l₁.get? n = l₂.get? n
n : ℕ
hn : n < max l₁.length l₂.length
⊢ l₁.get? n = l₂.get? n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.Full
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.EffectivelyEnough
inst✝ : Preregular D
X : C
S : Sieve X
⊢ S ∈ (regularTopology C).sieves X ↔ S ∈ (F.inducedTopology (regularTopology D)).sieves X
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
R' : Type u_10
Semiring R'
Module R' M
f : R ≃+* R'
h : ∀ (c : R) (x : M), f c • x = c • x
⊢ (b.mapCoeffs f h).repr =
  LinearEquiv.restrictScalars R' b.repr ≪≫ₗ Finsupp.mapRange.linearEquiv (Module.compHom.toLinearEquiv f.symm).symm
ι : Sort uι
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
s : ι → Submodule R A
t : Submodule R A
⊢ (⨆ i, s i) * t = ⨆ i, s i * t
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieRing L₃
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieAlgebra R L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₃
f_inv : L₂ → L₁
f : L₁ → L₂
map_add'✝¹ : ∀ (x y : L₁), f (x + y) = f x + f y
map_smul'✝¹ : ∀ (m : R) (x : L₁), { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun x
map_lie'✝¹ : ∀ {x y : L₁}, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun x, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun y⁆
left_inv✝¹ : LeftInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
right_inv✝¹ : Function.RightInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
g_inv : L₂ → L₁
g : L₁ → L₂
map_add'✝ : ∀ (x y : L₁), g (x + y) = g x + g y
map_smul'✝ : ∀ (m : R) (x : L₁), { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun x
map_lie'✝ : ∀ {x y : L₁}, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun x, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun y⁆
left_inv✝ : LeftInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
right_inv✝ : Function.RightInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
h : f = g ∧ f_inv = g_inv
⊢ { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹, invFun := f_inv, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ } = { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝, invFun := g_inv, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ }
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.34786, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.34793, u_2} D
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsVanKampenColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
⊢ (∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) ((α' ≫ α).app j) f (c.ι.app j)) ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i j : Fin (toList s).length
h : i < j
⊢ s.toFun (Fin.cast ⋯ i) < s.toFun (Fin.cast ⋯ j)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ cthickening δ E = ⋂ ε ∈ s, thickening ε E
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝³ : Traversable t
inst✝² : LawfulTraversable t
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m α
x : α
xs : t β
⊢ unop ((foldlM.ofFreeMonoid f) (FreeMonoid.ofList (toList xs))) x = List.foldlM f x (toList xs)
α : Type u_1
_m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.AbsolutelyContinuous μ
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑(n + 1)) f s x ↔
  ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    u ⊆ insert x s ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' s x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁
⊢ (h.compLeft ψ).h₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ψ.τ₃ h.h₃
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
h : l ≠ []
⊢ l.minimum ≠ ⊤
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
⊢ ∀ (x x_1 : F ⟶ G) (Γ : x ⟶ x_1) (η : G ⟶ H) (a : B),
  (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight Γ η).app a = CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (Γ.app a) (η.app a)
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
one : C 1 ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, S i
i : ι
x : M
hx : x ∈ S i
⊢ (fun m => ∃ (hm : m ∈ ⨆ i, S i), C m hm) x
α : Type u
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a < b * ε
⊢ a ≤ b
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K✝
inst✝³¹ : Field L✝
inst✝³⁰ : Algebra A K✝
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝
inst✝²⁸ : Algebra B L✝
inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝³ : IsIntegralClosure B A L
this✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝¹ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A Aₘ K
this : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
α : Type u_1
AddCommGroup α
n₁ : ℤ
x a₁ : α
n₂ : ℤ
a₂ : α
n' : ℤ
a' : α
h₁ : n₁ + n₂ = n'
h₂ : a₁ + a₂ = a'
⊢ Mathlib.Tactic.Abel.termg n₁ x a₁ + Mathlib.Tactic.Abel.termg n₂ x a₂ = Mathlib.Tactic.Abel.termg n' x a'
M : Type u_3
α : Type u_5
AddMonoid M
VAdd M α
m : AddUnits M
a : α
⊢ m +ᵥ a = ↑m +ᵥ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
n : Type u_6
Fintype n
DecidableEq n
FiniteDimensional 𝕜 E
v₁ : OrthonormalBasis n 𝕜 E
⊢ ∀ (a : Matrix n n 𝕜), (LinearMap.toMatrixOrthonormal v₁).symm a = (LinearMap.toMatrix v₁.toBasis v₁.toBasis).invFun a
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
⊢ Function.Bijective (MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
Ring R₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
h : p ≤ Submodule.comap 0 q := ⋯
⊢ p.mapQ q 0 h = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
p : α → Prop
g : β → γ
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
⊢ List.map g (List.pmap f l H) = List.pmap (fun a h => g (f a h)) l H
α β : Sort u_1
h : α = β
a : α
b : β
⊢ (Equiv.cast h) a = b ↔ HEq a b
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n
n : ℕ
hd : (n + 1) ^ 2 - 1 = 2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0
hc : (↑n + 1) ^ 2 = WeierstrassCurve.expCoeff (n + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then 4 else 1
⊢ (W.ΨSq ↑(n + 1)).natDegree ≤ (n + 1) ^ 2 - 1 ∧ (W.ΨSq ↑(n + 1)).coeff ((n + 1) ^ 2 - 1) = ↑(↑(n + 1) ^ 2)
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0
⊢ 0 ^ ↑n = 0
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ ((𝓤 α).lift' fun s => s ○ s) ≤ 𝓤 α
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
⊢ (∀ i ∈ s, 1 ≤ f i) → (∏ i ∈ s, f i = 1 ↔ ∀ i ∈ s, f i = 1)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B = -B.flip
x : M₁
⊢ (B x) x = 0
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖↑(f n) x - g x‖ ≤ ‖↑(f m) x - g x‖
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
ε0' : 0 < ↑ε
N₀ : ℕ
hN₀ : ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, ‖↑(f N₀) x - g x‖ ∂μ ≤ ↑ε
Nx : (ι → ℝ) → ℕ
hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x
hNxε : ∀ (x : ι → ℝ), dist (↑(f (Nx x)) x) (g x) ≤ ↑ε
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ((μ ↑I).toReal + 1 + 1) * ↑ε
α β : Lat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget Lat).obj β
⊢ ({ toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
h : F ≅ G
F.IsRightAdjoint
⊢ G.IsRightAdjoint
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
x y : α
⊢ Inseparable x y ↔ ClusterPt (x, y) (𝓤 α)
m : ℝ
hm : 1 < m
k : ℕ
⊢ Summable fun i => 1 / m ^ (i + (k + 1))!
H : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id Set.univ y
U : TopologicalSpace.Opens M
⊢ ChartedSpace.LiftProp Q Subtype.val
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V
⊢ G'.deleteVerts s ≤ G'
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ↔ ∫⁻ (a : α) in t, ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : NonAssocSemiring α
inst✝² : NonAssocSemiring β
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : NonAssocSemiring S
f : R →+* S
v w : n → R
⊢ f (v ⬝ᵥ w) = ⇑f ∘ v ⬝ᵥ ⇑f ∘ w
G : Type u_3
Monoid G
n j : ℕ
⊢ (fun x => x ^ n)^[j] = fun x => x ^ n ^ j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelZeroIsoSource.inv = CategoryTheory.Limits.kernel.lift 0 (𝟙 X) ⋯
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
AlgebraicGeometry.IsPreimmersion g
AlgebraicGeometry.IsPreimmersion (f ≫ g)
⊢ AlgebraicGeometry.IsPreimmersion f
x : ℝ*
⊢ x.Infinite → x⁻¹.Infinitesimal
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.InitialMonoClass C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ (CategoryTheory.Subobject.map f).obj ⊥ = ⊥
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ x + π / 2 < π
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ StrictMono (f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) ↔ StrictAnti f
z : ℂ
⊢ HasSum (fun n => (z * Complex.I) ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / Complex.I) (Complex.sin z)
A : Type u
B : Type v
ι : Type w
DecidableEq ι
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
ι' : Type u_1
Fintype ι'
Fintype ι
DecidableEq ι'
b : Basis ι A B
f : ι ≃ ι'
⊢ Algebra.discr A (⇑b ∘ ⇑f.symm) = Algebra.discr A ⇑b
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
a : E
b : F
ha : a ∈ f.domain
h1 : ↑f ⟨a, ⋯⟩ = 0
hv' : b = 0
⊢ a = 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
⊢ SimpleGraph.Walk.nil.length = 0
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
⊢ LipschitzWith K f ↔ ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F
x v : E
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ LineDifferentiableAt 𝕜 f₁ x v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this✝¹ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this✝¹
this✝ : (Measure.map (⇑e.symm) volume).IsAddHaarMeasure
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
h0p : 0 ≤ p
c : ℝ≥0 := μ.addHaarScalarFactor (Measure.map (⇑e.symm) volume)
hc : 0 < c
h2c : μ = c • Measure.map (⇑e.symm) volume
h3c : ↑c ≠ 0
h0C : C = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p * (c ^ p)⁻¹
hC : C * c ^ p = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p
v : (ι → ℝ) → F := u ∘ ⇑e.symm
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂Measure.map (⇑e.symm) volume ≤ ↑(‖↑e.symm‖₊ ^ p) * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂Measure.map (⇑e.symm) volume) ^ p
⊢ ↑c * ∫⁻ (a : E), ↑‖u a‖₊ ^ p ∂Measure.map (⇑e.symm) volume ≤ ↑C * (↑c * ∫⁻ (a : E), ↑‖fderiv ℝ u a‖₊ ∂Measure.map (⇑e.symm) volume) ^ p
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝¹ y✝ z : X
r✝ s : ℝ
x y : X
r : ℝ
h : y ∈ closedBall x r
x✝ : X
⊢ x✝ ∈ closedBall x r ↔ x✝ ∈ closedBall y r
a b : Rat
⊢ a + b = mkRat (a.num * ↑b.den + b.num * ↑a.den) (a.den * b.den)