ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ f : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
N : Submodule R M
hfn : (map f N).FG
t : Finset P
ht : span R ↑t = map f N
⊢ ↑t ⊆ range ⇑f
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
ι : Type u_5
κ : Type u_6
f : ι → Y
g : κ → Z
hf : DenseRange f
hg : DenseRange g
⊢ DenseRange (Prod.map f g)
α : Type u_2
M : Matroid α
e : α
I : Set α
hI : M.Indep I
⊢ M.Dep (insert e I) ↔ e ∈ M.closure I \ I
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ρ : MeasureTheory.Measure (α × β)
⊢ ρ.fst Set.univ = ρ Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α →ₘ[μ] β
⊢ f.toGerm = ↑↑f
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t u : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u) = convexJoin 𝕜 t (convexJoin 𝕜 s u)
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z : ℝ≥0∞
h1 : y ≠ 0
h2 : y ≠ ⊤
⊢ x / y ≤ z ↔ x ≤ y * z
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
DecidableEq ι
AddMonoid ι
GradedRing 𝒜
⊢ Monotone (Ideal.homogeneousCore 𝒜)
α : Type u
β : Type v
f : Filter (α → β)
g : Filter α
s : Set β
⊢ s ∈ f.seq g ↔ ∃ u ∈ f, ∃ t ∈ g, u.seq t ⊆ s
α : Type u
f g : Filter α
s t : Set α
h : ∀ (s : Set α), s ∈ f ↔ s ∈ g
⊢ f = g
S : Type u_1
AddCommGroupWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
m n : S
X : CategoryTheory.DifferentialObject S C
⊢ ((CategoryTheory.DifferentialObject.shiftFunctorAdd C m n).hom.app X).f =
  (CategoryTheory.shiftFunctorAdd C m n).hom.app X.obj
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
f : α → β
T2Space β
hf : UniformContinuous f
a : α
⊢ pkg.extend f (pkg.coe a) = f a
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
f u v : R⟦X⟧
hu : u * v = 1
hv : v * u = 1
hf : ↑{ val := u, inv := v, val_inv := hu, inv_val := hv } = f
⊢ (↑{ val := u, inv := v, val_inv := hu, inv_val := hv }).order + ?m.101103 ≤ (u * v).order
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ ⇑(addLeftEmbedding c) '' Set.Ioo a b = Set.Ioo (c + a) (c + b)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C
⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ F.map (G.map (ε.inv.app (F.obj X))) ≫ F.map (G.map (F.map (η.inv.app X))) ≫ ε.hom.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis p s
⊢ (𝓤 (α →ᵤ β)).HasBasis p (UniformFun.gen α β ∘ s)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
f✝ : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f✝ k₂) = f✝ k₁
f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
hf : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁
⊢ (fun g => ⟨fun k => (truncate k).comp g, ⋯⟩) ((fun f => lift ↑f ⋯) ⟨f, hf⟩) = ⟨f, hf⟩
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F E
p : Bundle.TotalSpace F E
⊢ SmoothAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB Bundle.TotalSpace.proj p
S : Type u_1
AddMonoidWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
X : CategoryTheory.DifferentialObject S C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.obj
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
CommMonoid γ
TopologicalSpace γ
hf : HasProd f a
G : Type u_5
FunLike G α γ
MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Continuous ⇑g
⊢ HasProd (⇑g ∘ f) (g a)
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
ι : Type u_3
L : Filter ι
νs : ι → ProbabilityMeasure Ω
ν : ProbabilityMeasure Ω
lim : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑(νs i)) L (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑ν))
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f
⊢ ∀ (f_1 : Ω' →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω'), ↑(f_1 ω) ∂↑((νs i).map ⋯)) L (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω'), ↑(f_1 ω) ∂↑(ν.map ⋯)))
R : Type u_1
R₃ : Type u_3
S₃ : Type u_5
Semiring R
Semiring R₃
Semiring S₃
M : Type u_6
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
M₃ : Type u_8
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₃ M₃
Module S₃ M₃
SMulCommClass R₃ S₃ M₃
ContinuousConstSMul S₃ M₃
σ₁₃ : R →+* R₃
ContinuousAdd M₃
self : M →SL[σ₁₃] M₃
⊢ (ContinuousLinearMap.coeLMₛₗ σ₁₃) self = ↑self
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ ¬p.coeff (n + 1) * ↑(n + 1) = 0 ↔ p.coeff (n + 1) ≠ 0
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
x : AddMonoid.Coprod M N
⊢ (AddMonoid.Coprod.toSum x).2 = AddMonoid.Coprod.snd x
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
hn : x₁.Numeric
h : Surreal.Multiplication.IH24 x₁ x₂ y
he : x₁ ≈ x₂
i : x₁.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ ⟦x₁.mulOption y i j⟧ < ⟦x₂ * y⟧
ι : Type u
X : Type v
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝¹ : NormalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hsV : s ⊆ ⋃ i, V i
hVf : LocallyFinite V
hVU : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
⊢ ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
n m : ℕ
hnm : n < m
⊢ filter (fun x => decide (x < n + 1)) (Ico n m) = [n]
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ ¬Inseparable OnePoint.infty ↑x
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
v : Vector3 α n
i : Fin2 n
⊢ Vector3.cons a v i.fs = v i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
x₀ : β
b : β → ℝ
b_lim : Tendsto b (𝓝 x₀) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) ≤ b x
⊢ EquicontinuousAt F x₀
ι : Type u_1
Fintype ι
A : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (A i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Antitone fun s => MeasureTheory.GridLines.T μ p (∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ) s
p q : ℝ≥0
⊢ ↑p ≠ ↑q ↔ p ≠ q
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F G : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
T : F ⟶ G
Z : D
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map f).app Z) ((T.app Y).app Z) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((T.app X).app Z) ((G.map f).app Z)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s t : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
⊢ ∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
R✝ : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : Semiring A✝
inst✝¹⁸ : Algebra R✝ A✝
M✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module A✝ M✝
inst✝¹⁵ : Module R✝ M✝
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ M✝
N : Type u_4
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module A✝ N
inst✝¹¹ : Module R✝ N
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ N
R : Type u_5
A : Type u_6
M : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring A
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module A M
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M
r : R
m : M
h : (algebraMap R A) r • m = 0
H : (algebraMap R A) r = 0
⊢ r = 0 ∨ m = 0
X : AlgebraicGeometry.Scheme
f g : ∅ ⟶ X
⊢ f = g
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ (p * X ^ n).degree = p.degree + ↑n
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
x : α × α
x✝ : x ∈ (A / B) ×ˢ (B / C)
a✝ b✝ : α
hu : a✝ ∈ bipartiteBelow (fun b ac => ac.1 * ac.2 = b) (A / C) x
hv : b✝ ∈ bipartiteBelow (fun b ac => ac.1 * ac.2 = b) (A / C) x
⊢ x.1 * x.2 = b✝
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
x : R
h : a = ↑x
⊢ a = ↑a.re
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
A : Type u_4
AddMonoid A
DistribMulAction M A
B : Type u_5
AddMonoid B
DistribMulAction N B
f g : A →ₑ+[φ] B
⊢ f = g ↔ ∀ (x : A), f x = g x
R : Type u_10
S : Type u_11
F : Type u_12
Zero R
Zero S
FunLike F R S
ZeroHomClass F R S
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
x : R
⊢ f x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
α : Type u_1
l : List α
⊢ ↑l = 0 ↔ l = []
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : LindelofSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
t : Set X
tc : t.Countable
s : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
⊢ ⋃ x ∈ t, U x = univ
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s✝ : Rel β β
s : RelSeries r
x : α
irrefl : Irreflexive r
⊢ s.length = 0 ↔ {x | x ∈ s}.Subsingleton
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ maximalAtlas M G
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source
⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ (e.symm ≫ₕ e').restr s ∈ G
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
f : E →ᵃ[𝕜] F
a b : E
⊢ ⇑f '' [a-[𝕜]b] = [f a-[𝕜]f b]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s✝ : Set α
hs✝ : MeasurableSet s✝
hμs✝ : μ s✝ ≠ ⊤
c✝ : E
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
c : E
⊢ ((s ∪ t).indicator fun x => c) =ᶠ[ae μ] fun x => s.indicator (fun x => c) x + t.indicator (fun x => c) x
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ
h : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)
hB : 0 ≤ B
h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹
h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K
α : Type u_1
r : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
hr : 0 < r
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
h : f =o[l] g
⊢ (fun x => f x ^ r) =o[l] fun x => g x ^ r
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
⊢ ¬(x ~ᵢ y) ↔ ∃ s, IsOpen s ∧ Xor' (x ∈ s) (y ∈ s)
K : Type u_1
S : Type u_2
Field K
CommRing S
Algebra K S
x : S
B : PowerBasis K S
hint : IsIntegral K x
hx : B.gen ∈ Algebra.adjoin K {x}
⊢ (B.ofGenMemAdjoin hint hx).dim = (minpoly K x).natDegree
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
inst✝ : HasPullback f g
⊢ h.isoPullback.inv ≫ fst = pullback.fst f g
R : Type u
CommSemiring R
⊢ PrimeSpectrum.basicOpen 0 = ⊥
F : Type u_3
Field F
E : Type u_4
Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Polynomial.Splits i (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
⊢ Polynomial.Splits i (Polynomial.X ^ n - 1)
x : PSet
⊢ (ZFSet.mk x).Nonempty ↔ x.Nonempty
K : Type u_1
DivisionRing K
p : K[X]
hp0 : p ≠ 0
⊢ (Polynomial.C p.leadingCoeff⁻¹).degree = 0
R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
d : n → R
μ : R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
b : Basis n R M
this : ∀ (i : n), HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) (d i)
⊢ HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) μ ↔ ∃ i, d i = μ
α : Type u_1
β : Type u_4
PartialOrder α
PartialOrder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
⊢ l.closed = Set.range (u ∘ l.toFun)
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a b : α
NoMinOrder α
⊢ Order.pred a ≤ Order.pred b ↔ a ≤ b
R : Type u_2
Ring R
x : R
S : Subring Rᵐᵒᵖ
⊢ x ∈ S.unop ↔ MulOpposite.op x ∈ S
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂ (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
w₃ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 3 4 ⋯ ⋯) app₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₃ (g.map' 3 4 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₄ app₀ app₁ app₂ app₃ app₄ w₀ w₁ w₂ w₃).app 1 = app₁
α : Type u_1
TopologicalSpace α
F : Ctop.Realizer α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ ∀ a ∈ s, ∃ b, a ∈ F.F.f b ∧ F.F.f b ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g g₁ g₂ : Perm α
s t : Set α
h : SurjOn (⇑g) s t
b : α
hb : b ∈ s
ha : g b ∈ t
⊢ (Subtype.val ∘ ⇑f) (g b) ∈ ⇑(g.extendDomain f) '' (Subtype.val ∘ ⇑f '' s)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
h_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {x | p x fun n => f n x}
hx' : x ∈ {x | p x fun n => f n x}
⊢ p x fun n => f n x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ IsCountablySpanning {s | MeasurableSet s}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
⊢ Stream'.pure f ⊛ Stream'.pure a = Stream'.pure (f a)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m1 m2 m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h1 : m1 ≤ m
h2 : m2 ≤ m
hp1 : IsPiSystem p1
hp2 : IsPiSystem p2
hpm1 : m1 = generateFrom p1
hpm2 : m2 = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ {s | MeasurableSet s}
ht2 : t2 ∈ {s | MeasurableSet s}
⊢ (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t ∩ t2) = (κ a) t * (κ a) t2) ∅
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
AddCommGroup E
UniformSpace E
T2Space E
UniformAddGroup E
Module 𝕜 E
ContinuousSMul 𝕜 E
s : Submodule 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 ↥s
⊢ IsComplete ↑s
α : Type u_1
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
NormedField 𝕜
NormedField 𝕜'
l : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : f =Θ[l] g
n : ℤ
⊢ (fun x => f x ^ n) =Θ[l] fun x => g x ^ n
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
⊢ BddAbove {n | MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω < N}
K : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : LinearOrderedField K
c : ContFract K
n : ℕ
⊢ (↑↑c).convs.get n = Stream'.get (↑↑c).convs' n
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : IsDomain R
h : I ≠ ⊤
x : R
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i
hx' : x ∉ ⊥
⊢ False
z w : ℍ
r : ℝ
⊢ dist z w ≤ r ↔ dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im)) ≤ Real.sinh (r / 2)
n✝ n : ℕ
this : Fintype.card (Finset (Fin (n - 1))) = 2 ^ (n - 1)
⊢ Fintype.card (CompositionAsSet n) = Fintype.card (Finset (Fin (n - 1)))
D : GlueData
i : D.J
U : Opens ↑(D.U i)
j : D.J
⊢ IsOpen (⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' ↑U))
n : Nat
x : BitVec n
p : x.msb = true
⊢ x.toNat ≥ 2 ^ (n - 1)
a b : Bool
⊢ (a = false ↔ b = false) ↔ (!a) = !b
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
Nontrivial R
s : σ
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.X s ^ n).totalDegree = n
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : ℕ → ℕ → R
n : ℕ
⊢ ∑ ij ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((n + 1).choose ij.1) * f ij.1 ij.2 = ∑ ij ∈ antidiagonal n, ↑(n.choose ij.1) * f ij.1 (ij.2 + 1) + ∑ ij ∈ antidiagonal n, ↑(n.choose ij.2) * f (ij.1 + 1) ij.2
α : Type u_2
Mul α
IsLeftCancelMul α
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ {a} * (s ∩ t) = {a} * s ∩ ({a} * t)
β : Type u_2
PseudoMetricSpace β
AddMonoid β
LipschitzAdd β
p q : β × β
⊢ dist (p.1 + p.2) (q.1 + q.2) ≤ ↑(LipschitzAdd.C β) * dist p q
G : Type u_1
Group G
M : Type u_7
MulOneClass M
⊢ MonoidHom.ker 1 = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
h : Monotone f
⊢ Monotone (Set.rangeFactorization f)
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / Real.log ↑n ^ 2
α : Type u_1
Sub α
P : Prop
Decidable P
a b c d : α
⊢ ((if P then a else b) - if P then c else d) = if P then a - c else b - d
X : TopCat
Y : TopologicalSpace.Opens ↑X
R : CategoryTheory.Presieve Y
⊢ TopCat.Presheaf.presieveOfCoveringAux (TopCat.Presheaf.coveringOfPresieve Y R) Y = R
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
this✝ : Fact (Nat.Prime (Nat.card ↥N).minFac)
P : Sylow (Nat.card ↥N).minFac ↥N
this : (map N.subtype ↑P).Normal
⊢ ↑P = ⊤
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.eraseP p l ⊆ l
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p : β → Prop
u : β → α
⊢ (Filter.blimsup u f p ⊔ Filter.blimsup u f fun x => ¬p x) = Filter.limsup u f
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
⊢ (p * p.mirror).natTrailingDegree = 2 * p.natTrailingDegree
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s s' : Set α
t : Set β
⊢ Set.image2 f (s ∪ s') t = Set.image2 f s t ∪ Set.image2 f s' t
H : Type u_5
TopologicalSpace H
x : H
⊢ chartAt H x = PartialHomeomorph.refl H
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
self : AlgebraicGeometry.IsAffineHom f
U : Y.Opens
⊢ AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U → AlgebraicGeometry.IsAffineOpen ((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U)
α : Type u_1
G : Type u_9
AddGroup G
a : α
b₁ b₂ : G
⊢ Finsupp.single a (b₁ - b₂) = Finsupp.single a b₁ - Finsupp.single a b₂
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑X
⊢ invApp f U ≫ f.c.app (op ((opensFunctor f).obj U)) = X.presheaf.map (eqToHom ⋯)
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
s₁ : α
hs₁ : s₁ ∈ S
i₁ : α
hi₁ : i₁ ∈ I
r₁ : α
hr₁ : i₁ + x * r₁ = s₁
s₂ : α
hs₂ : s₂ ∈ S
i₂ : α
hi₂ : i₂ ∈ I
r₂ : α
hr₂ : i₂ + y * r₂ = s₂
⊢ False
E : Type u_1
ι : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
Finite ι
b : Basis ι ℝ E
⊢ IsZlattice ℝ (Submodule.span ℤ (Set.range ⇑b)).toAddSubgroup
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ IntegrableOn (fun x => f (a * x)) (Ioi c) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi (a * c)) volume
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : ∀ x ∈ s, f x ≠ 1 → p x
x : α
⊢ x ∈ s → x ∉ filter p s → f x = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
z : M
F' : Type u_11
NormedCommRing F'
NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, F') p z p'
hq : HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, F') q z q'
⊢ HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, F') (p * q) z (p z • q' + q z • p')
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
⊢ ULift.map f { down := a } = { down := f a }
M : Type u
Monoid M
N : Type u'
Monoid N
F : M →* N
⊢ (CategoryTheory.Discrete.monoidalFunctor F).ε = CategoryTheory.Discrete.eqToHom ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
⊢ MonotoneOn (fun x => Set.Iic (f x)) s
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ default = ⊥
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
a₁ a₂ : Fin n
ha : ⟨a₁, a₂⟩.snd < ⟨a₁, a₂⟩.fst
b₁ b₂ : Fin n
hb : ⟨b₁, b₂⟩.snd < ⟨b₁, b₂⟩.fst
h : (if f a₂ < f a₁ then ⟨f a₁, f a₂⟩ else ⟨f a₂, f a₁⟩) = if f b₂ < f b₁ then ⟨f b₁, f b₂⟩ else ⟨f b₂, f b₁⟩
this : ¬b₁ < b₂
⊢ ⟨a₁, a₂⟩ = ⟨b₁, b₂⟩
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
x y : ℝ≥0∞
h : x < y
⊢ (fun x => x ^ (n + 2)) x < (fun x => x ^ (n + 2)) y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : y ∈ EMetric.ball x r
⊢ AnalyticAt 𝕜 f y
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
t₁ t₂ : TopologicalSpace E
h₁ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
h₂ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
⊢ LocallyConvexSpace 𝕜 E
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ cof 0 ≤ 0
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
s : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g (p * (MvPolynomial.monomial s) a) = MvPolynomial.eval₂ f g p * f a * s.prod fun n e => g n ^ e
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
α : Type u
x : FreeRing α
⊢ (FreeAbelianGroup.lift ⇑(FreeMonoid.lift FreeCommRing.of)) x = (fun l => ↑l) <$> x
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set (Set M)
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, LinearIndependent (ι := { x // x ∈ a }) R Subtype.val
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(⋃₀ s)) => ↑x
α : Type u
l : List α
n : ℕ
h : n < l.length
⊢ l.nthLe n h ∈ l
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℚ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z1‖
hne : ¬‖z1‖ = ‖z2‖
⊢ max ‖z1‖ ‖z2‖ ≥ ‖z1‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
s s' t : Set α
f f' : α → β
inst✝ : (x : α) → Decidable (x ∈ t)
h : ContinuousOn f (s ∩ closure t)
h' : ContinuousOn f' (s' ∩ closure tᶜ)
H : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t
Heq : EqOn f f' (s ∩ frontier t)
⊢ ContinuousOn (t.piecewise f f') (t.ite s s')
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
n✝ : ℕ
x : M
hn : 0 < n✝
h : x < 1
n : ℕ
x✝ : Nat.succ 0 ≤ n
ih : x ^ n < 1
⊢ x ^ (n + 1) < 1