ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hf : Integrable f volume
⊢ Integrable (fun v => 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) volume
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
⊢ finInsepDegree F ↥⊤ = finInsepDegree F K
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
P Q : ChainComplex V ℕ
zero : P.X 0 ⟶ Q.X 0
one : P.X 1 ⟶ Q.X 1
one_zero_comm : one ≫ Q.d 1 0 = P.d 1 0 ≫ zero
succ :
  (n : ℕ) →
    (p : (f : P.X n ⟶ Q.X n) ×' (f' : P.X (n + 1) ⟶ Q.X (n + 1)) ×' f' ≫ Q.d (n + 1) n = P.d (n + 1) n ≫ f) →
      (f'' : P.X (n + 2) ⟶ Q.X (n + 2)) ×' f'' ≫ Q.d (n + 2) (n + 1) = P.d (n + 2) (n + 1) ≫ p.snd.fst
n : ℕ
⊢ (P.mkHom Q zero one one_zero_comm succ).f (n + 2) =
  (succ n ⟨(P.mkHom Q zero one one_zero_comm succ).f n, ⟨(P.mkHom Q zero one one_zero_comm succ).f (n + 1), ⋯⟩⟩).fst
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ T R (n - 2) = 2 * X * T R (n - 1) - T R n
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : F.IsEquivalence
inst✝¹ : SplitEpiCategory C
X Y : D
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
⊢ IsSplitEpi f
R : Type u_1
CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
AddCommMonoid M₃
Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
Finite l
DecidableEq m
A : Matrix l m R
B : Matrix m n R
⊢ (Matrix.toLin v₁ v₃) (A * B) = (Matrix.toLin v₂ v₃) A ∘ₗ (Matrix.toLin v₁ v₂) B
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
s₁ s₂ : AddSubmonoid M
t₁ t₂ : AddSubmonoid N
hs : s₁ ≤ s₂
ht : t₁ ≤ t₂
⊢ s₁.prod t₁ ≤ s₂.prod t₂
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s : ↥S
⊢ 1 • (r /ₒ s) = r /ₒ s
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
Semiring B
Algebra R₁ B
f : A →ₐ[R₁] B
g : B → A
hf : Function.RightInverse g ⇑f
a : A ⧸ RingHom.ker f.toRingHom
⊢ (Ideal.quotientKerAlgEquivOfRightInverse hf) a = (↑f).kerLift a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η γ : J.sheafify P ⟶ Q
hQ : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J Q
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (J.toSheafify P) η = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (J.toSheafify P) γ
⊢ η = γ
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
a : α
s : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ Function.support f).Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = f a + ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ : Center C
f : X₁ ⟶ X₂
Y : Center C
U : C
⊢ f.f ▷ Y.fst ▷ U ≫ ((X₂.tensorObj Y).snd.β U).hom = ((X₁.tensorObj Y).snd.β U).hom ≫ U ◁ f.f ▷ Y.fst
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.IsPullback CategoryTheory.Limits.biprod.inl 0 CategoryTheory.Limits.biprod.snd 0
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
hψ : ψ.IsHomogeneous n
⊢ (φ + ψ).IsHomogeneous n
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : μ (s ∩ t) < ⊤
⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
S : Set (HeightOneSpectrum R)
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x✝ : Kˣ
⊢ x✝ ∈ {x | ∀ v ∉ S, v.valuation ↑x = 1} ↔ x✝ ∈ ↑(⨅ v, ⨅ (_ : v ∉ S), v.valuation.valuationSubring.unitGroup)
V : Type u
u v : V
G G' : SimpleGraph V
h : G ≤ G'
Guv : G.Reachable u v
⊢ G'.Reachable u v
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
hα : TopologicalSpace α
h'α : OrderTopology α
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a : α
y : β
h : 𝓝[<] a ≠ ⊥
h' : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)
h'' : ∃ y, Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)
this : (𝓝[<] a).NeBot
⊢ limUnder (𝓝[<] a) f = y
α : Type u_1
Fintype α
⊢ Finset.univ.powerset = Finset.univ
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
h : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
l₁' l₂' : List α
e : l.split = (l₁', l₂')
⊢ l₁.length < (a :: b :: l).length ∧ l₂.length < (a :: b :: l).length
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
b₁ : α
a : β
b₂ : α
hab : b₁ ≤ b₁ + b₂
d : β
hcd : a ≤ a + d
⊢ b₁ • (a + d) + (b₁ + b₂) • a ≤ b₁ • a + (b₁ + b₂) • (a + d)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b c : α
H : b ∈ Set.Ioo a c
⊢ Set.Ioo a c ∈ 𝓝[≤] b
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
⊢ s.WOppSide x y ↔ ∃ a ≤ 0, ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : p.natDegree ≤ 1
⊢ ∃ a b, p = Polynomial.C a * Polynomial.X + Polynomial.C b
x : UInt32
⊢ ↑x.val = x.toNat
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x y : V
⊢ ↑e (x - y) = ↑e (y - x)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_nonneg : 0 ≤ r
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ‖(↑r * (↑‖x‖)⁻¹) • x‖ = r
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
SMul M α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure M α μ
MeasurableSMul M α
c : Mᵈᵐᵃ
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ↑(c • f) = c • ↑f
α : Type u
DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ List.indexOf a (a :: l) = 0
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule
x : L
⊢ ⁅x, D⁆ ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (LinearMap.range ↑(ad R L))
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B
⊢ A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = f.hom ▷ A.X ▷ M.X ≫ (α_ B.X A.X M.X).hom ≫ (((α_ B.X A.X M.X).inv ≫ (B.X ◁ f.hom) ▷ M.X) ≫ B.mul ▷ M.X) ≫ M.act
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)
⊢ (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor'.obj f).X₃ = f.right.left
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk u w
r : G.Walk w x
⊢ (p.reverseAux q).append r = p.reverseAux (q.append r)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hI : I.IsPrimary
hJ : J.IsPrime
x : R
this : (Ideal.Quotient.mkₐ R I) x ≠ 0
e : ∀ {y : R}, y ∈ J ↔ x * y ∈ I
⊢ I.radical ≤ J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented Cᵒᵖ
⊢ X.leftOp.right = Opposite.unop X.left
R : Type u
inst₁ inst₂ : Distrib R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
⊢ inst₁ = inst₂
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
⊢ ⊤ = ⊥
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist a (a / b) = ‖b‖
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ι'
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
b✝ b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
k : ℕ
B : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M × Module.Free.ChooseBasisIndex R M) R (Module.End R M) := (Module.Free.chooseBasis R M).end
g : ι → MvPolynomial ι' R := toMvPolynomial b' b id
H : (MvPolynomial.bind₁ g) (↑(MvPolynomial.bind₁ (toMvPolynomial b B φ)) ((charpoly.univ R (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)).coeff k)) = (MvPolynomial.bind₁ g) 0
this : toMvPolynomial b' B φ = fun i => (MvPolynomial.bind₁ g) (toMvPolynomial b B φ i)
⊢ ↑(MvPolynomial.bind₁ (toMvPolynomial b' B φ)) ((charpoly.univ R (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)).coeff k) = 0
K : Type u
CommRing K
p q : FractionRing K[X]
⊢ { toFractionRing := p + q } = { toFractionRing := p } + { toFractionRing := q }
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
inst✝ : Nonempty ι
a g : ℝ≥0
h : ι → ℝ≥0
H : ∀ (j : ι), a ≤ g * h j
⊢ a ≤ ⨅ i, g * h i
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace W
f : Z → X
g : W → Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun p => (f p.1, g p.2)
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
u : αˣ
⊢ a ∣ ↑u * b ↔ a ∣ b
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
i : ι
h : (∑ x ∈ s, if i = x then g x • v x else g x • v x) = 0
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ f (update v i (g i • v i)) = 0
α : Type u
t s s' : Set α
⊢ t.ite s s' ⊆ s ∪ s'
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 3
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
⊢ jacobiSym (↑a) b = -jacobiSym (↑a / 2) b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
A : C
f₁ f₂ : S.leftHomology ⟶ A
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.leftHomologyπ f₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.leftHomologyπ f₂
⊢ f₁ = f₂
a b c : Ordinal.{u_1}
a0 : a ≠ 0
⊢ a ^ (b + c) = a ^ b * a ^ c
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x : HahnSeries Γ R
⊢ x.support.Nonempty ↔ x ≠ 0
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
l : List (Equiv.Perm α)
hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap
⊢ l.prod ∈ alternatingGroup α ↔ Even l.length
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : Measurable f
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Cycle α
h : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s
⊢ (s.formPerm h) x = s.next h x hx
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
SeminormedAddCommGroup V₃
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ‖g.comp f‖ ≤ ‖g‖ * ‖f‖
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B
⊢ cyclesMap ((single C c j).map f) j ≫ (singleObjCyclesSelfIso c j B).hom = (singleObjCyclesSelfIso c j A).hom ≫ f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)
f : (i : ι) → α i
⊢ (univ.pi fun i => Ioi (f i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] univ.pi fun i => Ici (f i)
α : Type u_1
MulOneClass α
LE α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a * b ≤ a
⊢ b ≤ 1
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255346}
a : Cardinal.{u_1}
h : a ≠ 0
⊢ 0 ^< a = 1
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
⊢ let f := fun a x =>
  match x with
  | (n, acc) => (n - 1, (n - 1, a) :: acc);
List.foldr f (n + l.length, []) l = (n, List.enumFrom n l)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
⊢ MeasureTheory.Integrable (ProbabilityTheory.truncation f A) μ
α : Type u_2
M : Matroid α
I : Set α
x : α
hI : M.Indep I
⊢ x ∈ M.closure I ↔ x ∈ M.E ∧ (M.Indep (insert x I) → x ∈ I)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace γ
x : α
U : Set α
V : Set β
F : α → β → γ
hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)
hU : x ∈ U
φ : α × β → (α × β) × α × β := fun q => ((x, q.2), q)
⊢ Tendsto (fun q => (F x q.2, F q.1 q.2)) (𝓝[U] x ×ˢ 𝓟 V) (𝓤 γ)
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
n : ℕ
⊢ ↑n < 1 ↔ n = 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M N₁ ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ▷ Z.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M N₂
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G → H
hf : IsAddGroupHom f
a b : G
h : f a = f b
⊢ f (-a + b) = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
CommMonoid β
b : β
hf : ∀ a ∈ s, f a = b
⊢ ∏ a ∈ s, f a = b ^ s.card
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocRing α
Fintype n
A B : Matrix m n α
x : n → α
⊢ (A - B) *ᵥ x = A *ᵥ x - B *ᵥ x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
i : Fin n
⊢ TruncatedWittVector.coeff i 0 = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Subsingleton α
⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a x✝ : ℝ≥0
h : ↑a < ↑x✝
⊢ (↑x✝)⁻¹ < (↑a)⁻¹
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
H : ∀ s ∈ S, StableUnderGeneralization s
⊢ StableUnderGeneralization (⋃₀ S)
α : Type u_1
R : Type u_11
⊢ ∀ {x : Semiring R} (c : R) (a : α) (b : R), c • Finsupp.single a b = Finsupp.single a (c * b)
R : Type u
CommRing R
X : Type v
Ring X
HopfAlgebra R X
⊢ (HopfAlgebraCat.of R X).instHopfAlgebra = inferInstance
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
f g : ℕ → ℕ
hf : Tendsto f atTop atTop
hg : Tendsto g atTop atTop
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), ((u ∘ f ∘ φ) n, (u ∘ g ∘ φ) n) ∈ V n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.2467, u_2} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.RightHomologyData
⊢ IsZero S.homology ↔ IsZero h.H
α : Type u_1
X : Set α
M : Matroid α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ {I | M.Basis I X} = maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ({I | M.Indep I} ∩ Set.Iic X)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
LinearOrder β
f g : α → β
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun x => max (f x) (g x)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsDetecting 𝒢
X : C
P Q : Subobject X
h₁ : P ≤ Q
h₂ : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, Q.Factors f → P.Factors f
⊢ IsIso (P.ofLE Q h₁)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i j k : ι
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex C c} (f : X ⟶ Y), ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor' C c i j k).map f).τ₂ = f.f j
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ o.oangle (-x) y + o.oangle (-y) z + o.oangle (-z) x = ↑π
C : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} C
R R' : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M' : PresheafOfModules R'
α : R ⟶ R'
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
r : ↑(R.obj X)
x : ↑((fun X => (ModuleCat.restrictScalars (α.app X)).obj (M'.obj X)) X)
eq : (R.map f ≫ α.app Y) r = (α.app X ≫ R'.map f) r
⊢ (R'.map f) ((α.app X) r) • (M'.presheaf.map f) x = (RingHom.id ↑(R.obj X)) r • { toFun := ⇑(M'.map f), map_add' := ⋯ }.toFun x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
⊢ Function.Injective Associates.out
x✝ y x : ℝ
⊢ cosh (arsinh x) = √(1 + x ^ 2)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f✝ f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f'✝ f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)
g' : TangentSpace I' (f✝ x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f✝ x✝))
f : M → M'
s : Set M
x : M
f' : E →L[𝕜] E'
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) ↔ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ {x | ∃ p > 2, LiouvilleWith p x} ⊆
  ⋃ m,
    (fun x => x + ↑m) ⁻¹'
      ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in Filter.atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
σ : ι ≃ ι'
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
⊢ (AlternatingMap.domDomCongrEquiv σ) f = AlternatingMap.domDomCongr σ f
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f : Function.End α
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
n : ℕ
⊢ LipschitzWith (K ^ n) (f ^ n)
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
⊢ Int.log b r⁻¹ = -Int.clog b r
G : Type u_1
X : Type u_2
Group G
MulAction G X
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
ProperSMul G X
⊢ T2Space (Quotient (MulAction.orbitRel G X))
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
g_intble' : ∀ (t : ℝ), 0 ≤ t → IntervalIntegrable g volume 0 t
integrand_eq : ∀ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioc 0 (f ω), ENNReal.ofReal (g t)
⊢ ∫⁻ (a : α), ∫⁻ (t : ℝ) in Ioc 0 (f a), ENNReal.ofReal (g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : Prop
Decidable P
X Y : C
f : P → (X ⟶ Y)
f' : ¬P → (X ⟶ Y)
Z : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (if h : P then f h else f' h) Z =
  if h : P then CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (f h) Z
  else CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (f' h) Z
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : Presieve.IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), Presieve.IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → Presieve.FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg => s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : Presieve.FamilyOfElements P U.arrows := fun Y f hf => ⋯.amalgamate (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
⊢ ∃! t, s.IsAmalgamation t
α : Type u_1
β : Type u_2
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
h : Function.Semiconj f fa fb
ha : Function.Bijective fa
hf : Function.Injective f
⊢ Set.BijOn fb (Set.range f) (Set.range f)
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
⊢ H ≤ Subgroup.comap f (Subgroup.map f H)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.172711, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ φ₁.τ₃ = h.h₂ ≫ S₂.g + h.h₃ + φ₂.τ₃
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
Invertible 2
⊢ (QuadraticMap.associated (-Q)).toQuadraticMap = 0 - Q
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : FinallySmall J
i : J
f : StructuredArrow i (fromFinalModel J)
⊢ ∃ j ∈ Set.range (fromFinalModel J).obj, Nonempty (i ⟶ j)
α : Type u_1
E : Type u_3
Norm E
f : α → E
l : Filter α
⊢ f =O[l] f
R : Type u_3
S : Type u_5
T : Type u_7
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
NonUnitalNonAssocSemiring T
f : R →ₙ+* S
g : R →ₙ+* T
x : R
⊢ (f.prod g) x = (f x, g x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
s : S.Splitting
⊢ s.homologyData.right = s.rightHomologyData