ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧
    ∀ ⦃x : E⦄,
      x ∈ s →
        ∀ ⦃y : E⦄,
          y ∈ s →
            x ≠ y →
              ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
                0 < a → 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ 0 • closedBall x r = closedBall (0 • x) (‖0‖ * r)
α : Type u_5
self : NormedDivisionRing α
a b : α
⊢ ‖a * b‖ = ‖a‖ * ‖b‖
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
h : RingHom.ker f ≤ I
this : ∀ J ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}, RingHom.ker f ≤ J
⊢ map f (sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}) = sInf {J | map f I ≤ J ∧ J.IsMaximal}
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
F : Filter R
⊢ (∀ (U : Set R), (∃ i, U = ↑(v.ltAddSubgroup i)) → ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U) ↔ ∀ (γ : Γ₀ˣ), ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, v (y - x) < ↑γ
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ⋯ = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)
α : Type u_2
Group α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ s * Set.univ = Set.univ
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b : α
⊢ Codisjoint (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b) ↔ Disjoint a b
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
⊢ A.valuation.valuationSubring = A
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
G : Type u_10
AddGroup G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H' G
LieAddGroup I' G
f : C^⊤⟮I, N; I', G⟯
⊢ ⇑(-f) = -⇑f
a b : Nat
⊢ ¬a < b ↔ b ≤ a
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s₁ s₂ : Finmap β
⊢ a ∈ s₁ → Finmap.lookup a (s₁ ∪ s₂) = Finmap.lookup a s₁
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S
⊢ IsLocalization M S
α : Type u_1
x✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable (fun x => rexp (f x)) μ
⊢ AEMeasurable f μ
M : Type u_3
Monoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
x : M
hn : 0 < n
⊢ x ^ n < 1 ↔ x < 1
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
⊢ num A r ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x < y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] y ≠ ⊥
⊢ rightLim f x ≤ leftLim f y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β
x : α
⊢ x ∈ f.Dom ↔ ∃ y, y ∈ f x
n m : ℕ
⊢ m ^^^ n ^^^ n = m
σ₁ σ₂ : Type u_1
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
H : Turing.Respects f₁ f₂ fun a b => tr a = b
a₁ : σ₁
⊢ Turing.eval f₂ (tr a₁) = tr <$> Turing.eval f₁ a₁
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ a + b - ↑⌊a + b⌋ - (a - ↑⌊a⌋) - (b - ↑⌊b⌋) = ↑(⌊a⌋ + ⌊b⌋ - ⌊a + b⌋)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
n : ℕ
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => 0) x‖ ≤ 0 * (1 + ‖x‖) ^ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
ι : Type u_3
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this✝ : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
s : Set β
h1s : IsClosed s
h2s : s.Nonempty
h3s : s ≠ Set.univ
this : Measurable fun x => infNndist (g x) s
⊢ MeasurableSet (g ⁻¹' s)
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (closedBall 0 r)
hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
R : ℝ
f : ℕ → E
Rgt : 1 < R
fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R
lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
rRpos : 0 < r / R
c : 𝕜
hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R
g : ℕ → E := fun n => c • f n
A : ∀ (n : ℕ), g n ∈ closedBall 0 r
x : E
left✝ : x ∈ closedBall 0 r
φ : ℕ → ℕ
φmono : StrictMono φ
φlim : Tendsto (g ∘ φ) atTop (𝓝 x)
B : CauchySeq (g ∘ φ)
N : ℕ
hN : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → dist ((g ∘ φ) n) ((g ∘ φ) N) < ‖c‖
⊢ False
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K
⊢ ‖(starRingEnd K) x + x‖ ^ 2 = re ((starRingEnd K) x + x) ^ 2
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
e : σ ≃ τ
x✝ : Perm τ
⊢ (rename ⇑x✝) ((rename ⇑e) φ) = (rename ⇑e) φ
p' : ℕ
h : sZMod (p' + 2) (p' + 2 - 2) = 0
⊢ ∃ k, ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
n b : ℕ
l1 l2 : List ℕ
h : l1.length = l2.length
⊢ ofDigits b l1 + ofDigits b l2 = ofDigits b (List.zipWith (fun x x_1 => x + x_1) l1 l2)
α : Type u
β : Type v
Group α
Group β
f : α → β
hf : IsGroupHom f
a : α
⊢ f a⁻¹ = (f a)⁻¹
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
hb : b ∈ s
A : IsGreatest (s ∩ Icc a b) b
B : IsLeast (s ∩ Icc b c) b
⊢ eVariationOn f (s ∩ Icc a b) + eVariationOn f (s ∩ Icc b c) = eVariationOn f (s ∩ Icc a c)
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing Rₘ
inst✝⁶ : CommRing Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Rₘ
inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝³ : Algebra S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝¹ : Algebra Rₘ S
inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S
x : S
hx : IsIntegral Rₘ x
nontriv : Nontrivial Rₘ
⊢ ∃ m, IsIntegral R (m • x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a
H : SimpleGraph β
f : G →g H
hf : Bijective ⇑f
hp : p.IsHamiltonianCycle
⊢ ((Walk.map f p).tail ⋯).IsHamiltonian
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : α → β
s : ι → Set β
⊢ f ⁻¹' ⋃ i, s i = ⋃ i, f ⁻¹' s i
a b : Nat
h : 0 < a * b
⊢ 0 < a
K : Type u
Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
m : ℕ
hm : m ∣ n
hm' : m ≠ 1
b : K
⊢ b ^ m ≠ a
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰
x✝ : x ∣ y
z : R'
h : y = x * z
⊢ y * r = x * r * z
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ
⊢ AddOpposite.unop ((fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }) ((fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }) x)) = AddOpposite.unop x
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : AddZeroClass α
M N : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
i✝ : (i : o) × m' i
j✝ : (i : o) × n' i
⊢ (if h : i✝.fst = j✝.fst then M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) + N i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) else 0) = (if h : i✝.fst = j✝.fst then M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) else 0) + if h : i✝.fst = j✝.fst then N i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) else 0
p : ℕ
z : ℤ
hp : p ≠ 1
hz : z ≠ 0
⊢ padicValRat p ↑z = ↑((multiplicity (↑p) z).get ⋯)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
h : s = j.toSignedMeasure
⊢ s.toJordanDecomposition = j
α : Type u_2
Fintype α
DecidableEq α
⊢ Fintype.card ↑(derangements α) = numDerangements (Fintype.card α)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
⊢ Function.Injective AddSubmonoid.LocalizationMap.toMap
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R \ s
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
F : ℂ → E := dslope f w
hws : (insert w s).Countable
hcF : ContinuousOn F (closedBall c R)
hdF : ∀ z ∈ ball c R \ insert w s, DifferentiableAt ℂ F z
HI : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), F z) = 0
hne : ∀ z ∈ sphere c R, z ≠ w
hFeq : EqOn F (fun z => (z - w)⁻¹ • f z - (z - w)⁻¹ • f w) (sphere c R)
hc' : ContinuousOn (fun z => (z - w)⁻¹) (sphere c R)
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f w
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
F E : IntermediateField K L
FiniteDimensional (↥F) L
h_le : F ≤ E
h_finrank : FiniteDimensional.finrank (↥F) L = FiniteDimensional.finrank (↥E) L
⊢ F = E
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial τ R
g : MvPolynomial τ R →ₐ[R] MvPolynomial υ R
x : υ → R
i : σ
⊢ comap (g.comp f) x i = comap f (comap g x) i
M : Type u_1
AddZeroClass M
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ AddSubmonoid.closure s ↔ ∀ (S : AddSubmonoid M), s ⊆ ↑S → x ∈ S
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
IsEmpty ι
x : G
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.constOfIsEmpty 𝕜 E x‖₊ = ‖x‖₊
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
f : G → E
⊢ fderiv 𝕜 (⇑iso ∘ f) = fun x =>
  (↑{ toLinearEquiv := iso.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp (fderiv 𝕜 f x)
α : Type u
SemilatticeSup α
OrderBot α
a : α
⊢ ⊥ ⊔ a = a
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hne : s.Nonempty
A : 0 < infDist x s
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < infDist x s
y : (n : ℕ) → E n
ys : y ∈ s
hy : y ∈ cylinder x n
⊢ False
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : (coeff R n) φ ≠ 0
⊢ φ.order ≤ ↑n
α : Type u_1
l : List α
i j : ℕ
⊢ (l.rdrop i).rdrop j = l.rdrop (i + j)
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
B : LinearMap.BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
⊢ Submodule.span K {x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K {x}) = ⊥
α : Type u_1
LinearOrderedField α
k n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ioo k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ 2 / (↑k + 1)
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
α' : Type u_1
f : α' → α
s : σ
x : List α'
⊢ (DFA.comap f M).evalFrom s x = M.evalFrom s (List.map f x)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
hU : (𝓤 α).HasBasis p s
A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
⊢ ∃ i, p i ∧ Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x (s i)) (⋃ x ∈ B, ball x (s i))
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x✝ : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hcb : c ≤ b
x : α
⊢ x ∈ filter (fun x => x < c) (Ico a b) ↔ x ∈ Ico a c
K : Type u_1
L : Type u_2
CommSemiring K
CommSemiring L
i : K →+* L
p : ℕ
IsPRadical i p
x : L
⊢ ∃ y, i y.2 = x ^ p ^ y.1
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : OpenEmbedding f
s : Set Y
hs : s ⊆ range f
⊢ IsOpen s ↔ IsOpen (f ⁻¹' s)
x : ℂ
n : ℤ
⊢ Complex.sin (↑n * (2 * ↑Real.pi) - x) = -Complex.sin x
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
u : Set α
huI : u ∈ I
hu_diffFinset₀ : u ∈ hC.diffFinset₀ hs hI
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
e : α ≃ β
v : β →₀ M
⊢ equivMapDomain e (equivMapDomain e.symm v) = v
M : Type u_10
A : Type u_11
Monoid M
Monoid A
self : MulDistribMulAction M A
r : M
x y : A
⊢ r • (x * y) = r • x * r • y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → ℂ
s : Set E
hc : DifferentiableOn 𝕜 f s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => Complex.exp (f x)) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
fi : Filter ι
f : ι → ℝ≥0
x : ℝ≥0
⊢ Tendsto (fun n => ((fun i => ↑(f i)) n).toReal) fi (𝓝 (↑x).toReal) ↔ Tendsto (fun i => ↑(f i)) fi (𝓝 ↑x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X
⊢ IsClosed s ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ f ⁻¹' t = s
m n✝ n : ℕ
a : ZMod (n + 1)
h : ¬a.val ≤ n.succ / 2
⊢ a.valMinAbs * 2 = ↑(n + 1) ↔ 2 * a.val = n + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_5
One β
s : ι → Set α
f : α → β
a : α
⊢ (fun n => (⋃ i ∈ n, s i).mulIndicator f a) =ᶠ[Filter.atTop] fun x => (Set.iUnion s).mulIndicator f a
M : Type u_1
c : M
Add M
h : IsAddCentral c
a b : M
⊢ a + b + c = a + c + b
motive : Nat → Nat → Sort u_1
zero_left : (n : Nat) → motive 0 n
zero_right : (m : Nat) → motive m 0
succ_succ : (m n : Nat) → motive m n → motive (m + 1) (n + 1)
m n : Nat
⊢ Nat.recDiagAux zero_left zero_right succ_succ (m + 1) (n + 1) =
  succ_succ m n (Nat.recDiagAux zero_left zero_right succ_succ m n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
⊢ Periodic f (2 • c)
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
V : Rep k G
g : G
x : CoeSort.coe V
⊢ Rep.unitIsoAddEquiv ((V.ρ g).toFun x) =
  ((Rep.ofModuleMonoidAlgebra.obj (Rep.toModuleMonoidAlgebra.obj V)).ρ g).toFun (Rep.unitIsoAddEquiv x)
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x : PiLp 2 β
⊢ ‖x‖₊ ^ 2 = ∑ i : ι, ‖x i‖₊ ^ 2
R : Type u_3
A : Type u_4
CommRing R
Ring A
Algebra R A
a : A
⊢ quasispectrum R a = spectrum R ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ IsSFiniteKernel κ ∧ IsSFiniteKernel η
R : Type u
CommSemiring R
t : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ t ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(PrimeSpectrum.vanishingIdeal t)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → E
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in min a b..max a b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Add β
ContinuousAdd β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
c : β
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => c + f x
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ PiTensorProduct.projectiveSeminorm x = ⨅ p, PiTensorProduct.projectiveSeminormAux ↑p
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_6
CommMonoid M
CommMonoid N
f : α → M
g : M →* N
hf : (Function.mulSupport f).Finite
⊢ g (∏ᶠ (i : α), f i) = ∏ᶠ (i : α), g (f i)
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ
h : (closedBall x r ∩ closedBall y r).Nonempty
h₁ : closedBall x r = closedBall h.some r
h₂ : closedBall y r = closedBall h.some r
⊢ closedBall x r = closedBall y r
⊢ 1 ≤ Classical.choose exists_cos_eq_zero
G : Type u_2
MeasurableSpace G
AddGroup G
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
c : ℝ≥0∞
cpos : c ≠ 0
ctop : c ≠ ⊤
⊢ (c • μ).IsAddHaarMeasure
R : Type u_1
Semiring R
f : { p // p.degree ≤ 3 }
⊢ (Cubic.equiv.symm f).b = (↑f).coeff 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap (φ + φ') =
  CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ + CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Grp
I : Type w'
U : I → C
γ₁ γ₂ : CategoryTheory.PresheafOfGroups.ZeroCochain G U
i : I
⊢ (γ₁ * γ₂) i = γ₁ i * γ₂ i
f g : CircleDeg1Lift
G : Type u_1
inst✝ : Group G
f₁ f₂ : G →* CircleDeg1Lift
h : ∀ (g : G), τ (f₁ g) = τ (f₂ g)
this : ∀ (x : ℝ), BddAbove (range fun g => (f₂ g⁻¹) ((f₁ g) x))
F₁ : G →* ℝ ≃o ℝ := toOrderIso.comp f₁.toHomUnits
F₂ : G →* ℝ ≃o ℝ := toOrderIso.comp f₂.toHomUnits
hF₁ : ∀ (g : G), ⇑(F₁ g) = ⇑(f₁ g)
hF₂ : ∀ (g : G), ⇑(F₂ g) = ⇑(f₂ g)
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ sSup (range fun g' => (f₂ g'⁻¹) ((f₁ g') x)) ≤ sSup (range fun g' => (f₂ g'⁻¹) ((f₁ g') y))
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
⊢ angle x y = π / 2 ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
X : (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda F)ᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.CategoryOfElements.fromCostructuredArrow F).obj X).snd =
  CategoryTheory.yonedaEquiv.toFun (Opposite.unop X).hom
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 7
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
⊢ b % 2 = 1
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
motive : (u v : V) → G.Walk u v → Sort u_1
Hnil : {u : V} → motive u u nil
Hconcat : {u v w : V} → (p : G.Walk u v) → (h : G.Adj v w) → motive u v p → motive u w (p.concat h)
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
⊢ ⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat (p.concat h).reverse = Hconcat p h (⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat p.reverse)
k : ℕ
i : Fin k
⊢ List.indexOf i (List.finRange k) = ↑i
α : Type u_1
l : Array (Array α)
⊢ (foldl (fun x x_1 => x ++ x_1) #[] l 0).data = (List.map data l.data).join
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Monoid G
a : G
b : k
n : ℕ
⊢ MonoidAlgebra.single a b ^ n = MonoidAlgebra.single (a ^ n) (b ^ n)
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t : Finset α
⊢ (s ⊻ t).Nonempty → t.Nonempty
ι : Sort u_1
M : Type u_2
X : Type u_3
TopologicalSpace M
SMul M X
ts' : ι → TopologicalSpace X
h : ∀ (i : ι), ContinuousSMul M X
⊢ ContinuousSMul M X
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
X Y : Skeleton C
h : X ≅ Y
this : Quotient.out X ≈ Quotient.out Y
⊢ X = Y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝² : (i : ι) → Lattice (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (uIcc f g).card = ∏ i ∈ (f ⊓ g).support ∪ (f ⊔ g).support, (uIcc (f i) (g i)).card
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Mul M
Mul N
Mul P
f : M →ₙ* N
g : M →ₙ* P
⊢ ⇑(f.prod g) = Pi.prod ⇑f ⇑g
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
⊢ ¬(↑I)⁻¹ ≤ 1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a / b = ⊤ ↔ a ≠ 0 ∧ b = 0 ∨ a = ⊤ ∧ b ≠ ⊤
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}
this : ∀ (i : ι), f i + c ≤ (⨆ i, f i) + c
bdd : BddAbove (range fun x => f x + c)
⊢ (⨆ i, f i) + c ≤ ⨆ i, f i + c
α : Type u
Inf α
a b : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (a ⊔ b) = OrderDual.ofDual a ⊓ OrderDual.ofDual b
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i k₂ k₁ k₀ : ι
r₂₁ : c.Rel k₂ k₁
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
⊢ (C.d k₁ k₀ ≫ dite (c.Rel k₁ k₀) (h k₀ k₁) fun x => 0) + (dite (c.Rel k₂ k₁) (h k₁ k₂) fun x => 0) ≫ D.d k₂ k₁ = C.d k₁ k₀ ≫ h k₀ k₁ r₁₀ + h k₁ k₂ r₂₁ ≫ D.d k₂ k₁
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * Complex.I)‖ ≤ C
hz_re : 0 ≤ z.re
hz_im : 0 ≤ z.im
⊢ ‖f z‖ ≤ C
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ evenKernel a x = 0
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : L₂ ⟶ L₁
c : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj₁.unit.app c) (((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₁ adj₂) α).app (L₁.obj c)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj₂.unit.app c) (R₂.map (α.app c))
α : Type u_2
β : Type u_3
GroupWithZero α
MulAction α β
s t : Set β
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ a • (s ∩ t) = a • s ∩ a • t
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ Polynomial.Chebyshev.U R (n + 1) = 2 * Polynomial.X * Polynomial.Chebyshev.U R n - Polynomial.Chebyshev.U R (n - 1)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
i : Set α
⊢ ↑0 i = 0
α : Type u_2
l : Set (Set α)
hl : ∀ (S : Set (Set α)), S.Countable → S ⊆ l → ⋂₀ S ∈ l
h_mono : ∀ (s t : Set α), s ∈ l → s ⊆ t → t ∈ l
s : Set α
⊢ s ∈ Filter.ofCountableInter l hl h_mono ↔ s ∈ l
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
x : Mˣ
h₁ : ↑x ∈ S
h₂ : ↑x⁻¹ ∈ S
⊢ x ∈ S.units
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (posFittingComp R L M) = posFittingComp R L M₂