ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this✝² : ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x)))) (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this✝¹ : ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (fun x => fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))) x₀
this✝ : ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (fun x => fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm ∘ writtenInExtChartAt I I' (g x) (f x) ∘ ↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))) x₀
_inst✝ : (x : N) → NormedAddCommGroup (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedAddCommGroup E)
_inst : (x : N) → NormedSpace 𝕜 (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedSpace 𝕜 E)
this : ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (fun x => (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I') (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))))) x₀
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.IsComplement' ⊥ ↔ H = ⊤
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x
hder_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → deriv f (x + 1) = deriv f x + 1 / x
⊢ deriv (log ∘ Gamma) (↑n + 1) = -γ + ↑(harmonic n)
α : Type u_1
n : Nat
a : α
⊢ takeD n [] a = replicate n a
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α
⊢ a ∈ s ∩ t ↔ a ∈ s ∧ a ∈ t
n : ℕ
⊢ (Nat.unpair n).2 ≤ n
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : F ⟶ L.comp F'
⊢ (CategoryTheory.Functor.LeftExtension.mk F' α).hom = α
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
R : Type u_3
M : Type u_5
TopologicalSpace M
VAdd R M
ContinuousConstVAdd R M
r : R
f : C(β, M)
g : C(α, β)
⊢ (r +ᵥ f).comp g = r +ᵥ f.comp g
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 {0} = Set.univ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup α
a : α
⊢ [a].alternatingProd = a * [].alternatingProd⁻¹
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Comonad C
X : T.Coalgebra
⊢ (CategoryTheory.Comonad.CofreeEqualizer.ι X).f = X.a
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
TopologicalSpace β
a b : α
f : α → β
h : a < b
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Ioc a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Set.Ioi a) a
𝕜₁ : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁
inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂
inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'
h₁ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₂ F₂ σ (RingHom.id 𝕜₂))
h₂ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₁ F₂ (RingHom.id 𝕜₁) σ).flip
h₃ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₁ e₁' e₁ b)) (e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet)
h₄ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₂ e₂ e₂' b)) (e₂.baseSet ∩ e₂'.baseSet)
⊢ ContinuousOn (continuousLinearMapCoordChange σ e₁ e₁' e₂ e₂') (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet))
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
⊢ (∀ x ∈ s, f x ∈ t) ↔ s ⊆ t.preimage f hf
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
n : ℕ∞
c : E → F →L[𝕜] G
hc : ContDiffOn 𝕜 n c s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
x : E
hx : x ∈ s
u : F
m : Fin i → E
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun y => (c y) u) s x) m = ((iteratedFDerivWithin 𝕜 i c s x) m) u
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addCHaar K₀ K₀.toCompacts = 1
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n
⊢ j < i.castPred hi ↔ j.castSucc < i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a : α
⊢ ∃ b, a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
⊢ Nonempty (α ↪ β) ↔ Fintype.card α ≤ Fintype.card β
p x : ℝ
m : ℤ
⊢ LiouvilleWith p (x + ↑m) ↔ LiouvilleWith p x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
⊢ (pderiv y) (X y ^ 2 + C W'.a₁ * X x * X y * X z + C W'.a₃ * X y * X z ^ 3 - (X x ^ 3 + C W'.a₂ * X x ^ 2 * X z ^ 2 + C W'.a₄ * X x * X z ^ 4 + C W'.a₆ * X z ^ 6)) = C 2 * X y + C W'.a₁ * X x * X z + C W'.a₃ * X z ^ 3
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
AddCommMonoid α₁
AddCommMonoid α₂
AddCommMonoid β₁
AddCommMonoid β₂
A₁ : Set α₁
A₂ : Set α₂
B₁ : Set β₁
B₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
n : ℕ
h₁ : IsAddFreimanIso n A₁ B₁ f₁
h₂ : IsAddFreimanIso n A₂ B₂ f₂
⊢ IsAddFreimanIso n (A₁ ×ˢ A₂) (B₁ ×ˢ B₂) (Prod.map f₁ f₂)
α : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
NoMinOrder α
NoMaxOrder α
OrderClosedTopology α
⊢ Filter.atBot ⊔ Filter.atTop ≤ Filter.cocompact α
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
j : ι
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → toLex (update x i a) j_1 = toLex x j_1
h : update x i a j < x j
⊢ a < x i
K : Type u_1
Field K
nf : NumberField K
x : NumberField.RingOfIntegers K
i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (NumberField.RingOfIntegers K)
⊢ ((NumberField.integralBasis K).repr ((algebraMap (NumberField.RingOfIntegers K) K) x)) i =
  (algebraMap ℤ ℚ) (((NumberField.RingOfIntegers.basis K).repr x) i)
α : Type u_1
β : Type u_2
t a : α
ts : List α
ih : permutations'Aux t ts = (permutationsAux2 t [] [ts ++ [t]] ts id).2
⊢ map (cons a) (permutationsAux2 t [] [ts ++ [t]] ts id).2 = (permutationsAux2 t [] [a :: (ts ++ [t])] ts fun x => a :: x).2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommGroup β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg : StrictConcaveOn 𝕜 s g
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s (f - g)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
⊢ ∃ l, l.Nodup ∧ ∀ (x : α), x ∈ l
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
f : M → M'
s : Set M
x : M
self : ChartedSpace.LiftPropWithinAt P f s x
⊢ ContinuousWithinAt f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
b : β
f : (x : β) → b = x → α
⊢ ⨆ x, ⨆ (h : b = x), f x h = f b ⋯
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (spectralRadius 𝕜 a)⁻¹
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) (Metric.closedBall 0 ↑r)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
hs : BddAbove s
sne : s.Nonempty
⊢ sSup (insert a s) = a ⊔ sSup s
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
h : Nonempty α
⊢ (f '' s).encard ≤ s.encard
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
⊢ DiscreteValuationRing R ↔ IsPrincipalIdealRing R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : DivisionRing K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : AddCommGroup V'
inst✝⁶ : Module K V'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
db : V₂ →ₗ[K] V
eb : V₃ →ₗ[K] V
cd : V₁ →ₗ[K] V₂
ce : V₁ →ₗ[K] V₃
hde : ⊤ ≤ LinearMap.range db ⊔ LinearMap.range eb
hgd : ker cd = ⊥
eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce
eq₂ : ∀ (d : V₂) (e : V₃), db d = eb e → ∃ c, cd c = d ∧ ce c = e
⊢ Module.rank K V + Module.rank K V₁ = Module.rank K V₂ + Module.rank K V₃
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivAt c c' x
hu : HasDerivAt u u' x
this : HasDerivAt (fun y => (c y) (u y)) (((c x).comp (smulRight 1 u') + (smulRight 1 c').flip (u x)) 1) x
⊢ HasDerivAt (fun y => (c y) (u y)) (c' (u x) + (c x) u') x
M : Type u_1
S : Set M
AddSemigroup M
z : M
⊢ z ∈ AddSubsemigroup.centralizer S ↔ ∀ g ∈ S, g + z = z + g
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ ¬eval ν.succ (ascPochhammer ℕ (n - ν)) = 0
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) const
y : N → ↑I
j : N
Hj : y j = 0 ∨ y j = 1
Hne : j ≠ i
⊢ (↑(p.toContinuousMap (y i)) fun j => y ↑j) = x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
⊢ Set.range (derivWithin f s) ⊆ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
Semiring C
Algebra R C
Semiring D
Algebra R D
f : A ≃ₐ[S] B
g : C ≃ₐ[R] D
x : A ⊗[R] C
⊢ (Algebra.TensorProduct.congr f g) x = (Algebra.TensorProduct.map ↑f ↑g) x
M : Type u_2
Monoid M
a : M
n : ℕ
⊢ Commute a (a ^ n)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
hx : x ≠ 0
v : M₁
h : f v = 0 ∨ x = 0
⊢ f v = 0 v
⊢ ∀ {β : Type u_1} {b : β} {α : Type u_2} {x : α ⊕ β}, x.getRight? = some b ↔ x = Sum.inr b
p : ℕ → Prop
n : ℕ
⊢ Nat.nth p n = 0 ↔ p 0 ∧ n = 0 ∨ ∃ (hf : (setOf p).Finite), hf.toFinset.card ≤ n
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
m n k : α
⊢ lcm m n ∣ lcm (k * m) n
M : Type u_12
N : Type u_13
P : Type u_14
Q : Type u_15
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
f : M ≃+ N
g : P ≃+ Q
h : M →+ P
⊢ (f.addMonoidHomCongr g) h = g.toAddMonoidHom.comp (h.comp f.symm.toAddMonoidHom)
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
⊢ σ ∈ l ↔ σ.IsCycle ∧ ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAnti f
c : α
⊢ StrictAnti fun x => f x * c
M : Type u_5
N : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ ⇑AddEquiv.prodComm.symm = Prod.swap
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (SignedMeasure.rnDeriv ((μ.withDensityᵥ f).trim hm) (μ.trim hm)) s μ
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a => ∀ (n : ℤ), t.LE n ≤ t.LE (n + ↑a)
⊢ Monotone t.LE
α : Type u_1
x y : Quiver.SingleObj α
⊢ x = y
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X Y : C
x : ↑(F.obj X)
y : ↑(F.obj Y)
⊢ F.map prod.fst ((PreservesLimitPair.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) X Y).inv ((Types.binaryProductIso ↑(F.obj X) ↑(F.obj Y)).inv (x, y))) = x
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
h : gcd a b = a
⊢ gcd a b ∣ b
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝² : CommSemiring S
p✝ q : ℕ
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : ℕ
P : R[X]
r : A
f g : R[X]
hf : (aeval r) ((expand R p) f) = (aeval (r ^ p)) f
hg : (aeval r) ((expand R p) g) = (aeval (r ^ p)) g
⊢ (aeval r) ((expand R p) (f + g)) = (aeval (r ^ p)) (f + g)
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
f : α ↪ β
a : α
⊢ f.toEquivRange.symm ⟨f a, ⋯⟩ = a
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : MeasurableSpace D
inst✝² : BorelSpace D
inst✝¹ : SecondCountableTopology D
inst✝ : FiniteDimensional ℝ D
C₁ C₂ : ℝ
k l : ℕ
x f : ℝ
hx : 0 ≤ x
hf : 0 ≤ f
h₁ : f ≤ C₁
h₂ : x ^ (k + l) * f ≤ C₂
this✝ : 0 ≤ C₂
this : 2 ^ l * (C₁ + C₂) * (1 + x) ^ (-↑l) = ((1 + x) / 2) ^ (-↑l) * (C₁ + C₂)
⊢ x ^ k * f ≤ ((1 + x) / 2) ^ (-↑l) * (C₁ + C₂)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s t : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
⊢ s.HaveLebesgueDecomposition μ
R : Type u
CommRing R
X : Type v
Ring X
Bialgebra R X
⊢ Coalgebra.comul = Coalgebra.comul
R : Type u
a b c d : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ 3 + Polynomial.C b * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C c * Polynomial.X +
      Polynomial.C d).degree =
  3
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
α : Type u_1
γ : Type u_3
ι : Type u_4
u : ι → UniformSpace γ
⊢ UniformFun.uniformSpace α γ = ⨅ i, UniformFun.uniformSpace α γ
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
m n : ℕ
⊢ IsUnit (A ^ ((m + 1) * (n + 1))).det
x y : ℝ*
hx : ¬x.Infinitesimal
hp : 0 < x
hy : y.InfiniteNeg
⊢ (y * x).InfiniteNeg
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
β : Type u_2
β' : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f : Ω → β
g : Ω → β'
hfm : Measurable f
hgm : Measurable g
⊢ IndepFun f g μ ↔ ∀ {φ : β → ℝ} {ψ : β' → ℝ}, Measurable φ → Measurable ψ → Integrable (φ ∘ f) μ → Integrable (ψ ∘ g) μ → integral μ (φ ∘ f * ψ ∘ g) = integral μ (φ ∘ f) * integral μ (ψ ∘ g)
m₁ m₂ n : ℕ
hm1 : m₁ ∈ factoredNumbers (Finset.range n)
hm2 : m₂ ∈ factoredNumbers (Finset.range n)
⊢ m₁ * m₂ ∈ factoredNumbers (Finset.range n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Group G
LieGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
x₀ : M
hf : SmoothWithinAt I' I f s x₀
hg : SmoothWithinAt I' I g s x₀
⊢ SmoothWithinAt I' I (fun x => f x / g x) s x₀
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
⊢ 2 ^ finrank ℝ (({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)) ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : x ∉ tsupport f
⊢ HasStrictFDerivAt f 0 x
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ support (w D) = ball 0 D
α β✝ : Type u
c b : Cardinal.{u}
β γ : Type u
this✝ : {c' | Quot.mk Setoid.r γ < c'}.Nonempty
hlt : Quot.mk Setoid.r γ < Quot.mk Setoid.r β
f : γ ↪ β
this : ¬Surjective ⇑f
⊢ Quot.mk Setoid.r γ + 1 ≤ Quot.mk Setoid.r β
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
h : CategoryTheory.Limits.IsZero X
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero (Opposite.op X)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset β
a : α
⊢ a +ᵥ s = Finset.image (fun x => a +ᵥ x) s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.addY P (W'.neg P) = -W'.dblZ P ^ 3
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : F ≃ₗᵢ[𝕜] G
f : E → F
x : E
i : ℕ
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) univ x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x‖
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : -1 < r.re
⊢ ∀ (c : ℝ), IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) volume 0 c
⊢ BddLat.dual ⋙ CategoryTheory.forget₂ BddLat SemilatSupCat =
  CategoryTheory.forget₂ BddLat SemilatInfCat ⋙ SemilatInfCat.dual
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
⊢ (((Equiv.symm τ).trans (g x)).trans τ) (fromCoset ⟨b • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) = fromCoset ⟨(x * b) • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} A
G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A) (CategoryTheory.Sheaf J A)
adj : G ⊣ CategoryTheory.sheafToPresheaf J A
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
⊢ J.W (adj.unit.app P)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)
⊢ (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor'.obj f).f₁₂ = f.left.hom
R : Type u_1
Semiring R
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
self : CategoryTheory.MonoidalLinear R C
X : C
Y Z : C
r : R
f : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (r • f) = r • CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β), (Measure.sum fun n => (η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a = ∑' (n : ℕ), ∫⁻ (b : β), ((η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff + q.leadingCoeff ≠ 0
hlt : q.degree < p.degree
⊢ max p.degree q.degree ≤ (p + q).degree
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
k : ℕ
hk : k ∉ A
⊢ schnirelmannDensity A ≤ 1 - (↑k)⁻¹
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ x ∈ ⊥ → ∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
NormedSpace 𝕜 E
SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
CompleteSpace E
f : SchwartzMap V E
⊢ ⇑((SchwartzMap.fourierTransformCLE 𝕜).symm f) = 𝓕⁻ ⇑f
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : C(X, E)
s : ι → Compacts X
hf : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal
hs : ⋃ i, ↑(s i) = univ
⊢ Integrable (⇑f) μ
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_8
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
z : A × A
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => x.1 * x.2) z
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
a : A
J : Ideal A
ha : a ≠ 0
hne : spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a)⁻¹ * ↑J ≠ 0
⊢ spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a)⁻¹ * ↑J * (spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a) * (↑J)⁻¹) = 1
α : Sort u_1
p : α → Prop
a : Subtype p
b : α
⊢ (∃ h, a = ⟨b, h⟩) ↔ ↑a = b
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ (CliffordAlgebra.ι Q) m ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrderedAddCommGroup α
OrderTopology α
a : α
⊢ 𝓝 a = ⨅ r, ⨅ (_ : r > 0), 𝓟 {b | |a - b| < r}
n k : ℕ
h : k ≤ n
i j : ℕ
⊢ (∃ a, a + j = n - k ∧ a + k = i) → i + j = n ∧ k ≤ i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : MonotoneOn f (Set.Icc a b)
⊢ f '' Set.Icc a b ⊆ Set.Icc (f a) (f b)