ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
f : α → β
p : β → Prop
DecidablePred p
h : ∀ (a : α), p (f a)
hp : PrimrecPred p
hf : Computable f
⊢ Computable fun a => ⟨f a, ⋯⟩
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex
rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n
rs_null : ∀ (n : ℕ), μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
Fthicks_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (Metric.thickening (rs n) F)
key : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs n) F)) L (𝓝 (μ (Metric.thickening (rs n) F)))
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
μF_finite : μ F < ⊤
keyB : Tendsto (fun r => μ (Metric.cthickening r F)) (𝓝 0) (𝓝 (μ F))
nhd : Iio (μ F + ↑ε) ∈ 𝓝 (μ F)
m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, μ (Metric.cthickening (rs b) F) < μ F + ↑ε
⊢ limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F + ↑ε
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
⊢ (f.rangeIcc g).support ⊆ f.support ∪ g.support
X : Type u_1
R : Type u_3
TopologicalSpace X
NormedRing R
CompleteSpace R
f : C(X, R)
h : ∀ (x : X), IsUnit (f x)
x : X
⊢ (ContinuousMap.unitsOfForallIsUnit h) x = ⋯.unit
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
GroupWithZero G
SmoothInv₀ I G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
a : M
hf : SmoothAt I' I f a
hg : SmoothAt I' I g a
h₀ : g a ≠ 0
⊢ SmoothAt I' I (f / g) a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
k : A ⟶ S.X₂
x : A ⟶ S.X₁
hx : k = x ≫ S.f
⊢ k ≫ S.g = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
α : Fin 2 → Type u
m : (i : Fin 2) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin 2) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin 2), SigmaFinite (μ i)
s : Set (α 0)
t : Set (α 1)
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : MeasurableSet t
⊢ (μ 0) (Fin.cons s (Fin.cons t finZeroElim) 0) * (μ 1) (Fin.cons s (Fin.cons t finZeroElim) 1) = (μ 0) s * (μ 1) t
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra K E
inst✝ : Algebra R F
pb : PowerBasis R S
hE : Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)
hfx : IsSeparable R pb.gen
this : DecidableEq F := Classical.decEq F
⊢ ((minpoly R pb.gen).aroots F).prod = ∏ x : { y // y ∈ (minpoly R pb.gen).aroots F }, ↑x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A : C
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
X : CategoryTheory.Subobject B
h : CategoryTheory.Subobject.mk f = X
⊢ (CategoryTheory.Subobject.isoOfMkEq f X h).inv = X.ofLEMk f ⋯
T : ℝ
Fact (0 < T)
n : ℤ
⊢ ‖fourier n‖ = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ ‖MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (toSimpleFunc f)‖ ≤ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc f))
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ a ≤ b + c
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
h : TotallyBounded s
⊢ TotallyBounded (closure s)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Metric.closedBall x ε) = ENNReal.ofReal (min T (2 * ε))
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
Semiring R
f :
  { f //
    f GradedMonoid.GOne.one = 1 ∧ ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), f (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = f ai * f aj }
⊢ DirectSum.liftRingHom f = DirectSum.toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
⊢ fderivWithin 𝕜 f Set.univ = fderiv 𝕜 f
ι : Type u
f : ι → Scheme
i : (disjointGlueData f).J
⊢ (disjointGlueData f).ι i ≫ ((disjointGlueData f).isoLocallyRingedSpace.hom ≫ (colimit.isoColimitCocone { cocone := toLocallyRingedSpaceCoproductCofan f, isColimit := toLocallyRingedSpaceCoproductCofanIsColimit f }).inv) ≫ sigmaComparison Scheme.forgetToLocallyRingedSpace f = Sigma.ι f i
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < p ^ (n - i)
⊢ C ↑p ^ i * (C ↑p ^ (j + 1) * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i) ^ (j + 1) * (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1))) * C ⅟↑p ^ n = C ↑p * ((X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i) ^ (j + 1) * C ((Int.castRingHom ℚ) ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩))))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x val✝ : α
property✝ : val✝ ∈ Ici a
⊢ projIci a ↑⟨val✝, property✝⟩ = ⟨val✝, property✝⟩
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝² : NonAssocSemiring α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
a b : ℕ
⊢ (diagonal fun mn => ↑a * ↑b) = ↑(a * b)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ Differentiable ℂ fun y => (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-y)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
⊢ (affineSpan k (insert p2 ↑s)).direction = Submodule.span k {p2 -ᵥ p1} ⊔ s.direction
R : Type u
CommSemigroup R
StarMul R
⊢ ∀ (a : R), starMulAut a = star a
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven (-a) s = HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven a s
G : Type u_1
AddGroup G
H : Set (AddSubgroup G)
⊢ ↑(sInf H) = ⋂ s ∈ H, ↑s
α : Type u_1
G : Type u_2
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
CommGroup G
MeasurableMul₂ G
MeasurableInv G
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → G
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (g * f) μ ↔ AEMeasurable g μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : p.NeBot
hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
hF' : ∀ᶠ (x : α) in p', Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ t → (b, a) ∈ t
htmem : t ○ t ⊆ u
hmc : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p', Tendsto (fun n => F n x.2) p (𝓝 (f x.2))
this✝ : ∀ᶠ (x : (α × ι) × ι) in (p' ×ˢ p) ×ˢ p, (F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.1 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2, F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.2 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) ∈ t ∧ Tendsto (fun n => F n ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) p (𝓝 (f ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2))
x : α
n : ι
hx : ∀ᶠ (x_1 : ι) in p, (F n x, F x_1 x) ∈ t
hm' : Tendsto (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) p (𝓤 β)
this : ∀ᶠ (x_1 : ι) in p, (F n x, F x_1 x) ∈ t ∧ (fun x_2 => (f x, F x_2 x)) x_1 ∈ t
m : ι
hm : (F n x, F m x) ∈ t ∧ (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) m ∈ t
⊢ ∃ z, (f x, z) ∈ t ∧ (z, F n x) ∈ t
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.12556, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i i' : I₂
w : ¬c₂.Rel i i'
j : I₁
⊢ ((fun i i' => { f := fun j => (K.X j).d i i', comm' := ⋯ }) i i').f j = Hom.f 0 j
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
S : Set R[M]
hS : adjoin R S = ⊤
⊢ of' R M '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support = ⋃ f ∈ S, of' R M '' ↑f.support
α : Type u_1
LE α
s t : NonemptyInterval α
⊢ s ≤ t ↔ t.toProd.1 ≤ s.toProd.1 ∧ s.toProd.2 ≤ t.toProd.2
x✝ y✝ z x y : ℝ
⊢ |x ^ y| ≤ rexp (log x * y)
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) const
⊢ toLoop i (fromLoop i p) = p
R : Type u
CommSemiring R
p : R[X]
hsep : p.Separable
⊢ Squarefree p
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f✝ : α → β
n : ℕ
f : (i : ℕ) → i < n → α
hf : ∀ a ∈ s, ∃ i, ∃ (h : i < n), f i h = a
hf' : ∀ (i : ℕ) (h : i < n), f i h ∈ s
f_inj : ∀ (i j : ℕ) (hi : i < n) (hj : j < n), f i hi = f j hj → i = j
f' : Fin n → α := fun i => f ↑i ⋯
⊢ s.ncard = n
a x✝ z x : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : 0 ≤ x.im
⊢ x.arg = Real.arcsin ((-x).im / abs x) + π
α : Type u_1
p : α → Bool
xs : List α
h : ∃ x, x ∈ xs ∧ p x = true
⊢ xs.get? (List.findIdx p xs) = some (xs.get ⟨List.findIdx p xs, ⋯⟩)
R : Type u_2
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
b : M
⊢ ↑n • b = n • b
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : τ → σ
hfi : Injective f
hf : ↑p.vars ⊆ range f
⊢ ∀ i ∈ p.vars, i ∈ p.vars → ((rename f).comp (aeval fun i => Option.elim' 0 X (partialInv f i)).toRingHom) (X i) = (RingHom.id (MvPolynomial σ R)) (X i)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
⊢ Finset.image (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((expand R (p ^ n)) f).roots.toFinset ⊆ f.roots.toFinset
f g : StieltjesFunction
l : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hfl : Filter.Tendsto (↑f) Filter.atBot (𝓝 l)
hgl : Filter.Tendsto (↑g) Filter.atBot (𝓝 l)
⊢ f = g
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ S.toNonUnitalSubsemiring = ⊤ ↔ S = ⊤
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s.dedup.lcm = s.lcm
b✝ : Game
b : PGame
c✝ : Game
c : PGame
h : Quot.mk Setoid.r b ⧏ Quot.mk Setoid.r c
a✝ : Game
a : PGame
⊢ Quot.mk Setoid.r b + Quot.mk Setoid.r a ⧏ Quot.mk Setoid.r c + Quot.mk Setoid.r a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i✝ : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
_i : Fact (finrank ℝ E = 0)
⊢ ¬-rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯ = rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : dist p₁ p₂ = dist p₁ p₃
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₂ p₃ p₁
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
a b : E
r : ℝ
c : E
⊢ c ∈ (fun x => b * x) ⁻¹' ball a r ↔ c ∈ ball (a / b) r
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
t₁ t₂ : Set β
a : α
⊢ a +ᵥ (t₁ ∪ t₂) = a +ᵥ t₁ ∪ (a +ᵥ t₂)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
p : Seminorm ℝ E
x : E
hp : {r | 0 < r ∧ x ∈ r • p.ball 0 1}.Nonempty
r : ℝ
⊢ r ∈ {r | 0 < r ∧ x ∈ r • p.ball 0 1} → p x ≤ r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x : E
hs : ball 0 r ⊆ s
hr : r ≤ 0
⊢ r * gauge s x ≤ ‖x‖
α : Type u
x : α
⊢ Cardinal.mk ↑{x} = 1
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n A
⊢ ∑ i : n, ∑ j : n, stdBasisMatrix i j (M i j) = ∑ x : n, ∑ y : n, M (x, y).1 (x, y).2 • (stdBasisMatrix (x, y).1 (x, y).2 1).map ⇑(algebraMap R A)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ ⊥ = a
α : Type u_2
OrderedCommMonoid α
s : Multiset α
f : α → α
h : ∀ x ∈ s, x ≤ f x
⊢ s.prod ≤ (Multiset.map f s).prod
A : Type u_10
AddZeroClass A
f : AddMonoid.End A
n : ℕ
⊢ ⇑(f ^ n) = (⇑f)^[n]
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M₂
inst✝ : Module R M₃
σ : R →+* S
f g : M →ₑ+[↑σ] M₂
h : ↑f = ↑g
m : M
⊢ f m = g m
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
α : Type u
Monoid α
self : αˣ
⊢ ↑self * self.inv = 1
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
enc : Γ → Mathlib.Vector Bool n
dec : Mathlib.Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Mathlib.Vector.replicate n false
M : Λ → Turing.TM1.Stmt Γ Λ σ
encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
enc₀ : enc default = Mathlib.Vector.replicate n false
⊢ Turing.Respects (Turing.TM1.step M) (Turing.TM1.step (Turing.TM1to1.tr enc dec M)) fun c₁ c₂ =>
  Turing.TM1to1.trCfg enc enc₀ c₁ = c₂
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
⊢ 0 < eval (-1) (cyclotomic n R)
⊢ √2 * √2 ^ 3 = √2 * (2 * (√2)⁻¹ + 4 * ((√2)⁻¹ * 2⁻¹))
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
n p : ℕ
inst✝⁴ : Module.Free R ↑S.X₁
inst✝³ : Module.Free R ↑S.X₃
inst✝² : Module.Finite R ↑S.X₁
inst✝¹ : Module.Finite R ↑S.X₃
hN : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₁ = n
hP : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₃ = p
inst✝ : StrongRankCondition R
⊢ Module.rank R ↑S.X₁ + Module.rank R ↑S.X₃ = ↑(FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₁ + FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₃)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ upperClosure {a} = UpperSet.Ici a
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ : HomologicalComplex V c
i : ι
f : C₁ ⟶ C₂
⊢ (HomologicalComplex.Hom.fAddMonoidHom i) f = f.f i
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Sort u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
T : Set α
hT : T ⊆ iUnion S
hT' : T = iUnion S
c : ↑T
ci : (i : ι) → ↑(S i)
hci : ∀ (i : ι), ↑(ci i) = ↑c
cβ : β
h : ∀ (i : ι), f i (ci i) = cβ
i : ι
hi : ↑c ∈ S i
this : ci i = ⟨↑c, hi⟩
⊢ iUnionLift S f hf T hT c = cβ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_9
Preorder α
CompleteLattice β
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Antitone (f i)
⊢ Antitone (⨆ i, f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
p : Prop
f g : α → β
Decidable p
hf : p → Continuous f
hg : ¬p → Continuous g
⊢ Continuous fun a => if p then f a else g a
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ min (a - c) (b - c) = min a b - c
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) ⊤ = ⊤
α : Type u_1
Preorder α
a b x : α
h : x ∈ Set.Ioo a b
⊢ x ∈ Set.Icc a b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
R : Type u_2
CommSemiring R
A : Type u_3
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSemiring A
r : R
a : α
⊢ (ContinuousMap.C r) a = (algebraMap R A) r
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ (CategoryTheory.Subobject.mk f).factorThru f ⋯ = (CategoryTheory.Subobject.underlyingIso f).inv
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → X
⊢ ∃ γ, ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : L.comp F' ⟶ F
F'.IsRightKanExtension α
F'' : CategoryTheory.Functor D H
α' : L.comp F'' ⟶ F
F''.IsRightKanExtension α'
⊢ (F'.rightKanExtensionUnique α F'' α').hom = F''.liftOfIsRightKanExtension α' F' α
α : Type u_3
op : α → α → α
assoc : Std.Associative op
l : List α
comm : {x | x ∈ ↑l}.Pairwise fun x y => op x y = op y x
a : α
⊢ Multiset.noncommFold op (↑l) comm a = List.foldr op a l
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
PartialOrder α
Preorder β
a b : α
h : StrictAntiOn f (Set.Icc a b)
⊢ f '' Set.Ico a b ⊆ Set.Ioc (f b) (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((κ.compProd η) a) s = ∑' (n : ℕ) (m : ℕ), (((κ.seq n).compProd (η.seq m)) a) s
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
LocallyFiniteOrderBot α
⊢ Finset.Ico a b ⊆ Finset.Iic b
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
Invertible ↑p
k : ℕ
⊢ (MvPolynomial.bind₁ (xInTermsOfW p R)) (W_ R k) = MvPolynomial.X k
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor A (CategoryTheory.Functor B C)
a : A
X : B
⊢ (CategoryTheory.flipCompEvaluation F a).hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.obj a).obj X)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommSemiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : σ → B
p : MvPolynomial σ R
⊢ (aeval x) ((map (algebraMap R A)) p) = (aeval x) p
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set α)
h : SeparatesPoints α
this : MeasurableSpace α := generateFrom S
x y : α
hxy : ∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s
⊢ x = y
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
⊢ ValidFor (r.reverse ++ l) [] { s := { data := l.reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len r } }
α : Type u_2
DistribLattice α
s t u : Set α
⊢ s ⊻ t ⊼ u ⊆ (s ⊻ t) ⊼ (s ⊻ u)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
⊢ Fintype.card ι ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) + 1
R : Type uR
ι : Type uι
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
Fintype ι
⊢ MultilinearMap.mkPiRing R ι 0 = 0
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hμν : ν.AbsolutelyContinuous μ
⊢ (fun x => rexp (-MeasureTheory.llr μ ν x)) =ᵐ[ν] fun x => (ν.rnDeriv μ x).toReal
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
⊢ ∫ (x : E), f.normed μ x ∂μ = 1
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
a : X
LinearOrder X
CompactIccSpace X
NoMinOrder X
OrderTopology X
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Iio a) μ ↔
  MeasureTheory.IntegrableAtFilter f Filter.atBot μ ∧
    MeasureTheory.IntegrableAtFilter f (𝓝[<] a) μ ∧ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f (Set.Iio a) μ
α : Type u_1
⊢ ∀ (m n : Num), ↑(m &&& n) = ↑m &&& ↑n
α : Type u_1
inst✝³ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
f : α → β
inst✝¹ : CompleteSpace β
inst✝ : T0Space β
hf : UniformContinuous f
g : pkg.space → β
hg : UniformContinuous g
h : ∀ (a : α), f a = g (pkg.coe a)
⊢ ∀ (a : α), pkg.extend f (pkg.coe a) = g (pkg.coe a)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
⊢ ↑N = ↑N' ↔ N = N'
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
⊢ ∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
α : Type u_1
⊢ StrictMono ⇑Multiset.card
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
⊢ (Localization.algEquiv M S) (Localization.mk x y) = IsLocalization.mk' S x y
G : Type u_1
P : Type u_2
PartialOrder G
PartialOrder P
VAdd G P
IsOrderedCancelVAdd G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
x : G × P
⊢ x ∈ Finset.VAddAntidiagonal hs ht a ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t ∧ x.1 +ᵥ x.2 = a
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hyz : ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₂_1)
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
⊢ s.WSameSide x z
n : ℕ
this : π < (√(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2 + 1 / (2 ^ n) ^ 3 / 4) * 2 ^ (n + 2)
⊢ π < 2 ^ (n + 1) * √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) + 1 / 4 ^ n
d : ℕ
x y a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d
⊢ ↑(x.gcd y) ∣ x * a + y * b
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Free R M
x : L
a✝ : Nontrivial R
⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = charpoly (φ x)
C : Type u
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
self : CategoryTheory.HasForget₂ C D
⊢ CategoryTheory.HasForget₂.forget₂.comp (CategoryTheory.forget D) = CategoryTheory.forget C
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U₁ V₁ U₂ V₂ : Submodule 𝕜 E
hU : U₂ ≤ U₁
hV : V₂ ≤ V₁
h : U₁ ⟂ V₁
⊢ U₂ ⟂ V₂
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + y - z‖ * ‖x + y - z‖ =
  ‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖ + (‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ - ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2
α : Type u_2
β : Type u_3
BiheytingAlgebra α
BiheytingAlgebra β
f g : BiheytingHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
M : Type u_1
Monoid M
a : M
h : IsUnit a
⊢ a * ↑h.unit⁻¹ = 1