ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
h2 : ∀ (t : G), ‖(L (f t)) (g (x₀ - t)) - (L (f t)) z₀‖ ≤ ‖L (f t)‖ * ε
⊢ ∫ (x : G), ‖L (f x)‖ * ε ∂μ ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Subsemiring R
x : R × S
⊢ x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (RingHom.fst R S) s
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁
b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂
fac✝ : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁
α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁
hα : a = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂
hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f
γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'
hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯
this✝ : IsIso (L.map β.s)
this : IsIso (L.map γ.s)
Z₂ : C
σ : γ.Y' ⟶ Z₂
hσ : W σ
fac : α.f ≫ β.f ≫ γ.s ≫ σ = T₁.mor₁ ≫ γ.f ≫ σ
Y₃ : C
g : Z₂ ⟶ Y₃
h : Y₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj α.Y'
T₃ : Triangle C := Triangle.mk (β.f ≫ γ.s ≫ σ) g h
hT₃ : T₃ ∈ distinguishedTriangles
hβγσ : W (β.s ≫ γ.s ≫ σ)
ψ₃ : T₂.obj₃ ⟶ T₃.obj₃
hψ₃ : W ψ₃
hψ₁ : T₂.mor₂ ≫ ψ₃ = (β.s ≫ γ.s ≫ σ) ≫ T₃.mor₂
hψ₂ : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map α.s = ψ₃ ≫ T₃.mor₃
ψ : T₂ ⟶ T₃ := T₂.homMk T₃ α.s (β.s ≫ γ.s ≫ σ) ψ₃ ⋯ hψ₁ hψ₂
⊢ ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0
a : ℝ≥0
ha : ↑a = ∑' (b : β), ↑(f b)
⊢ HasSum (fun a => ↑(f a)) (∑' (b : β), ↑(f b))
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C H
F₁' F₂' : CategoryTheory.Functor D H
α₁ : F₁ ⟶ L.comp F₁'
α₂ : F₂ ⟶ L.comp F₂'
e : F₁ ≅ F₂
e' : F₁' ≅ F₂'
h :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp α₁ (CategoryTheory.whiskerLeft L e'.hom) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp e.hom α₂
⊢ F₁'.IsLeftKanExtension α₁ ↔ F₂'.IsLeftKanExtension α₂
z τ : ℂ
n : ℤ
⊢ jacobiTheta₂_term n (z + 1) τ = jacobiTheta₂_term n z τ
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
MeasurableSpace X
BorelSpace X
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
d : ℝ
⊢ MeasureTheory.Measure.map ⇑e μH[d] = μH[d]
R : Type u_1
CommRing R
m : Type u_3
n : Type u_4
DecidableEq m
DecidableEq n
Fintype m
Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₂ : Matrix n n R
⊢ (Matrix.fromBlocks M₁₁ M₁₂ 0 M₂₂).charpoly = M₁₁.charpoly * M₂₂.charpoly
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ T1Space X ↔ ∀ ⦃x y : X⦄, x ⤳ y → x = y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Initial
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
⊢ (CategoryTheory.Functor.Initial.conesEquiv F G).inverse = CategoryTheory.Limits.Cones.whiskering F
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ deriv (L 1) s = deriv riemannZeta s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
A A' A'' : T.Algebra
f : A ⟶ A'
g : A' ⟶ A''
⊢ CategoryTheory.Monad.Algebra.Hom.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
x y : Nat
h : x ≤ y
⊢ ↑x ≤ ↑y
n : ℕ
a : PSet.Resp n
⊢ a.Equiv a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
rι : ι → ι → Prop
rπ : (i : ι) → π i → π i → Prop
f : γ → ι
g : (i : ι) → γ → π i
s : Set γ
hι : WellFounded (rι on f)
hπ : ∀ (i : ι), (f ⁻¹' {i}).WellFoundedOn (rπ i on g i)
c c' : γ
h : (Sigma.Lex rι rπ on fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c c'
h' : ((fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c).fst = ((fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c').fst
h'' : rπ ((fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c').fst (h' ▸ ((fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c).snd) ((fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c').snd
⊢ ((PSigma.Lex (fun a b => rι ↑a ↑b) fun a a_1 b => (rπ ↑a on g ↑a) ↑a_1 ↑b) on fun c => ⟨⟨f c, ⋯⟩, ⟨c, ⋯⟩⟩) c c'
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Function.Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g MeasureTheory.volume t₁ t₂
h₀ : ∀ (x : ℝ), 0 < g x
hT : 0 < T
⊢ Filter.Tendsto (fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) Filter.atTop Filter.atTop
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
⊢ a₁ ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁ * ↑a₂ ᵍ⊗ₜ[R] b₂ = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (a₁ * ↑a₂) ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂)
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
⊢ Ideal.absNorm ⊤ = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ Composition.ones n ∉ Finset.univ → p.compAlongComposition (id 𝕜 E) (Composition.ones n) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
A : Set X
f : X → Y
x : X
y : Y
hx : x ∈ closure A
hf : Filter.Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
⊢ extendFrom A f x = y
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
⊢ 0 < minkowskiBound K I
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
⊢ normalClosure F (↥K) L = ⨆ f, map (↑f) K
R : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero R
UniqueFactorizationMonoid R
a : R
ha0 : a ≠ 0
ha1 : ¬IsUnit a
⊢ Function.Injective fun x => a ^ x
a b : Nat
⊢ compare a b = Ordering.lt ↔ a < b
Y : Scheme
U : Y.OpenCover
V : Y.OpenCover := { J := ↑↑Y.toPresheafedSpace, obj := fun y => U.obj (U.f y), map := fun y => U.map (U.f y), f := id, covers := ⋯, IsOpen := ⋯ }
⊢ Presieve.ofArrows V.obj V.map ≤ (Sieve.generate (Presieve.ofArrows U.obj U.map)).arrows
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → α
p : Finset ι → Prop
h0 : p ∅
step : ∀ (a : ι) (s : Finset ι), a ∉ s → (∀ x ∈ s, f x ≤ f a) → p s → p (insert a s)
s : Finset ι
ihs : ∀ t ⊂ s, p t
hne : (image f s).Nonempty
⊢ p s
α : Type u_1
l l₁ l₂ : List α
h : (l₁, l₂) ∈ l.sublists.revzip
⊢ (↑l₁, ↑l₂).1 + (↑l₁, ↑l₂).2 = ↑l
n m : Nat
h : ¬n < m
⊢ n ≥ m
R : Type u_3
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
⊢ ⇑(RingHom.snd R S) = Prod.snd
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ TopCat
Y : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace Y
α : Type
X : α → TopCat
⊢ (piComparison (yonedaPresheaf' Y) fun x => op (X x)) = (yonedaPresheaf' Y).map ((opCoproductIsoProduct X).inv ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma X).inv.op) ≫ (equivEquivIso (sigmaEquiv Y fun x => ↑(X x))).inv ≫ (Types.productIso fun i => C(↑(X i), Y)).inv
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
f : X → ℝ
m m0 : MeasurableSpace X
μ : Measure X
g : SimpleFunc X ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (↑g * f) μ
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝³ : MonoidWithZero R
inst✝² : MonoidWithZero S
r : R
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F R S
f : F
hf : Injective ⇑f
x✝ : IsNilpotent (f r)
k : ℕ
hk : f r ^ k = 0
⊢ f (r ^ k) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β → γ
a : Option α
b : Option β
α' : Type u_5
β' : Type u_6
g : γ → δ
f' : α' → β' → δ
g₁ : α → α'
g₂ : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ a) (g₂ b)
⊢ Option.map g (Option.map₂ f a b) = Option.map₂ f' (Option.map g₁ a) (Option.map g₂ b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ ↑↑f = AEEqFun.mk ↑(toSimpleFunc f) ⋯
α : Type u_1
M : Matroid α
I J X : Set α
hI : M.Basis' I X
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
⊢ I = J
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
p : α → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (⋃ i, s i), p x) ↔ ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (s i), p x
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => Real.arctan (f x)) (1 / (1 + f x ^ 2) * f') x
xs : Lean.Omega.IntList
⊢ (-xs).sum = -xs.sum
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f) f ⋯).Exact
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : F' ⟶ F
X : D
⊢ ((adj1.natTransEquiv adj2).symm f).app X = adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (f.app (G.obj X) ≫ adj1.counit.app X)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.440575, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ≅ g.obj' 5 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅.hom = app₄.hom ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯
⊢ g.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.inv = app₁.inv ≫ f.map' 1 2 ⋯ ⋯
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t : Set G
ht : IsOpen t
⊢ IsOpen (⋃ a ∈ s, (fun x => a / x) '' t)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
hs : IsLocallyClosed s
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsLocallyClosed (Set.range f)
⊢ IsLocallyClosed (f '' s)
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimitsOfShape J TopCat
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j₁ j₂ j₃ : J
f : j₁ ⟶ j₂
g : j₂ ⟶ j₃
⊢ { obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map (f ≫ g) = { obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map f ≫ { obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map g
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
f : ↑I → ↑I
hfcont : Continuous f
hf₀ : f 0 = 0
hf₁ : f 1 = 1
⊢ Set.range ⇑(γ.reparam f hfcont hf₀ hf₁) = Set.range ⇑γ
α : Type u_2
Mul α
s : Set α
b : α
⊢ s * {b} = (fun x => x * b) '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝⁴ : GroupWithZero G₀
inst✝³ : TopologicalSpace G₀
inst✝² : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝¹ : ContinuousMul G₀
f✝ g✝ : α → G₀
inst✝ : T1Space G₀
f g : α → G₀
l : Filter α
x y : G₀
hg : Tendsto g l (𝓝 y)
hy : y ≠ 0
hfg : Tendsto (fun n => f n * g n) l (𝓝 (x * y))
⊢ (fun n => f n * g n) / g =ᶠ[l] f
K : Type u
Field K
G : Type u_1
Group G
MulSemiringAction G K
g : G
x : K
S : ValuationSubring K
⊢ x ∈ g • S ↔ ∃ s ∈ S, g • s = x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
⊢ IsLocalHomeomorph f
α : Type u
A : α → PSet
y : PSet
x✝ : y ∈ ⋃₀ mk α A
a : (mk α A).Type
c : ((mk α A).Func a).Type
e : y.Equiv ((A a).Func c)
this : (A a).Func c ∈ mk (A a).Type (A a).Func
⊢ (A a).Func c ∈ A (?m.17187 α A y x✝ a c e this)
x : UInt16
⊢ x.toUInt8.toNat = x.toNat % 2 ^ 8
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_6
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
μ : Measure α
A_mble : MeasurableSet A
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
B : Set α
B_mble : MeasurableSet B
B_finmeas : μ B ≠ ⊤
As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in L, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (As n).indicator 1 a ≤ B.indicator 1 a
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
f : α →Co β
⊢ ⇑f.toOrderHom = ⇑f
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0
⊢ x ^ (1 / z) = y ↔ x = y ^ z
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → G
f : α → G
bound : ι → α → ℝ
hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a
bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a
bound_integrable : Integrable (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a)
hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a
hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᶠ[ae μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a
hF_integrable : ∀ (n : ι), Integrable (F n) μ
⊢ ∀ᶠ (n : Finset ι) in atTop, AEStronglyMeasurable (fun a => ∑ i ∈ n, F i a) μ
n : ℕ
⊢ (n + 1).gcd (1 % (n + 1)) = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W X Y Z : Cᵒᵖ
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
p : CategoryTheory.CommSq f g h i
⊢ CategoryTheory.CommSq i.unop h.unop g.unop f.unop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = Set.univ
⊢ Filter.Tendsto (fun m => κ.densityProcess κ.fst n a x (seq m)) Filter.atTop (𝓝 (κ.densityProcess κ.fst n a x Set.univ))
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n => ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
L : R
hL : ∀ (n : ℕ), f n ≡ L [SMOD I ^ n • ⊤]
⊢ ∀ (n : ℕ), (1 + -(x * y)) * L - 1 ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecidableEq (Associates α)
(p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
p : Associates α
hp : Irreducible p
s : Multiset { a // Irreducible a }
⊢ p.count ↑s = Multiset.count ⟨p, hp⟩ s
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
p : β → Prop
f : β → ℝ≥0∞
hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x
hf : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun x => {p | edist p.1 p.2 ≤ f x}
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
⊢ ∀ a ∈ m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal, (match a with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)) ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal
μ : ℝ
v : ℝ≥0
⊢ Measurable (ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
m n k : ℕ
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
⊢ Disjoint (Ioc m n) (Ioc n k)
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
⊢ seminormFromBounded' f ⁻¹' {0} = f ⁻¹' {0}
a : ℤ
b : ℕ
hb : Odd b
⊢ jacobiSym a b = jacobiSym a (b % (4 * a.natAbs))
E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' g : ℝ → ℝ
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) (Ici a) volume
hg2' : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ici a) volume
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
z : ℂ
⊢ ((starRingEnd ℂ) z).im = -z.im
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommSemiring α
s : Finset ι
f : ι → ℕ
⊢ ↑(∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ↑(f i)
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ (W.map f).preΨ n = Polynomial.map f (W.preΨ n)
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x
⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
Finite G
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
t : Set α
ht : ∀ (g : G), g +ᵥ t =ᵐ[μ] t
⊢ μ t = Nat.card G • μ (t ∩ s)
R : Type u_1
S : Type u_2
MonoidWithZero R
MonoidWithZero S
MulActionWithZero R S
SMulCommClass R S S
IsScalarTower R S S
a : S
ha : IsNilpotent a
t : R
⊢ IsNilpotent (t • a)
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ count p 1 = if p 0 then 1 else 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Functor.leftOpRightOpEquiv C D).unitIso.inv.app X = (Opposite.unop X).rightOpLeftOpIso.inv.op
n : ℕ
⊢ { cauchy := ↑n } = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
T2Space α
ContinuousMul α
f : γ → β → α
s : Finset γ
hf : ∀ i ∈ s, Multipliable (f i)
⊢ ∏' (b : β), ∏ i ∈ s, f i b = ∏ i ∈ s, ∏' (b : β), f i b
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
⊢ ⇑f.tosSupHom = ⇑f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Initial
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
⊢ (CategoryTheory.Functor.Initial.conesEquiv F G).functor = CategoryTheory.Functor.Initial.extendCone
X : Type u_1
MeasurableSpace X
PseudoEMetricSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
E : Set X
E_mble : MeasurableSet E
δ : ℝ
⊢ μ E ≤ ∫⁻ (x : X), thickenedIndicatorAux δ E x ∂μ
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : LaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ (ρ_ (F.map f)).hom = F.map f ◁ F.mapId b ≫ F.mapComp f (𝟙 b) ≫ F.map₂ (ρ_ f).hom
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
⊢ p.IsMaximal
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W X Y Y' Z Z' : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
g' : Y ⟶ Y'
h : X ⟶ Z
h' : Z ⟶ Z'
i : Y ⟶ Z
i' : Y' ⟶ Z'
hsq₁ : CategoryTheory.CommSq f g h i
hsq₂ : CategoryTheory.CommSq i g' h' i'
⊢ CategoryTheory.CommSq f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g g') (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h h') i'
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N' : LieSubmodule R L M'
⊢ ↑(LieSubmodule.comap f N') = Submodule.comap ↑f ↑N'
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s t u : Set α
S : Set (Set α)
⊢ Absorbs G₀ (s ∩ t) u ↔ Absorbs G₀ s u ∧ Absorbs G₀ t u
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ Complex.normSq (UpperHalfPlane.denom g z) ≠ 0
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
a : α
ha : a ∈ l
⊢ l.minimum ≤ ↑a
k : Type u
Field k
H : ∀ (p : k[X]), p.Monic → Irreducible p → ∃ x, Polynomial.eval x p = 0
⊢ IsAlgClosed k
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1✝ : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f1 f2 : α →₀ M
g1 g2 : α → M → N
h1 : f1.support ⊆ f2.support
h2 : ∀ a ∈ f1.support, g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)
⊢ f1.prod g1 ∣ f2.prod g2
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
Finite ι
f : ι → E
hf : LinearIndependent 𝕜 f
⊢ ∀ᶠ (g : ι → E) in 𝓝 f, LinearIndependent 𝕜 g
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
G' : ℕ → Type w
inst✝ : (i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ ⇑(natLERec f' m n h) = fun a => Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) a
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsConnected (⇑h '' s) ↔ IsConnected s
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
i : ℕ
x : ↥(⋀[R]^i M)
⊢ (ExteriorAlgebra.GradedAlgebra.liftι R M) ↑x = (DirectSum.of (fun i => ↥(⋀[R]^i M)) i) x
x : ℂ
⊢ (Complex.exp x).im = Real.exp x.re * Real.sin x.im
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsBezout R
a b c : R
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
h : Associated (c ^ k) (a * b)
u : Rˣ
hu : a * b * ↑u = c ^ k
⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set 𝕜
n : ℕ
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => x ^ n) s
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
DecidableEq m
i' : m
⊢ M.updateRow i b i' j = if i' = i then b j else M i' j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x : E
𝕜' : Type u_4
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
CompleteSpace 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hx : f x ≠ 0
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => (f x)⁻¹) s x
L : List ℕ
⊢ Nat.ofDigits (-1) L = (List.map (fun n => ↑n) L).alternatingSum
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ (λ_ f).hom ▷ g = (α_ (𝟙 a) f g).hom ≫ (λ_ (f ≫ g)).hom