ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Periodic f T
t s : ℝ
hT : 0 < T
⊢ ∫ (x : ℝ) in t..t + T, f x = ∫ (x : ℝ) in s..s + T, f x
⊢ StrictAntiOn Real.log (Set.Iio 0)
ι : Type u_1
M : Type u_4
MulOneClass M
l : List ι
⊢ (List.map (fun x => 1) l).prod = 1
α : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
x : α × α
⊢ x.swap ∈ Finset.addAntidiagonal hs ht a ↔ x ∈ Finset.addAntidiagonal ht hs a
n : ℕ
⊢ Finset.antidiagonal (n + 1) =
  Finset.cons (n + 1, 0)
    (Finset.map ((Function.Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })
      (Finset.antidiagonal n))
    ⋯
I : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : (i : I) → C i ⥤ D
i : I
X : C i
⊢ { obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (𝟙 ⟨i, X⟩) = 𝟙 ({ obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.obj ⟨i, X⟩)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
a : C
x : F.obj a
y : G.obj a
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.fst.app a (CategoryTheory.FunctorToTypes.prodMk x y) = x
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
k : Rˣ
hk : ↑k = p.leadingCoeff
⊢ ↑(IsUnit.unit ⋯)⁻¹ • p.leadingCoeff = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : Cᵒᵖ
k : ℤ
f : X ⟶ Y
⊢ (k • f).unop = k • f.unop
α : Type u_2
TopologicalSpace α
T0Space α
s : TopologicalSpace.Closeds α
hs : IsAtom s
⊢ ∃ a, ↑s = {a}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
f : α → β
inst✝ : WellFoundedLT β
hf : StrictMono f
s : Set α
hne : s.Nonempty
hs' : (f '' s).Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
hex : f x = ⋯.min (f '' s) hs'
y : α
hy : y ∈ s
hlt : y < x
⊢ False
R : Type u_5
σ : Type u_6
CommRing R
IsDomain R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hG : G.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (MvPolynomial.eval r) F = (MvPolynomial.eval r) G
hnR : ↑n ≤ Cardinal.mk R
⊢ F = G
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β
t : ℕ → Set α
ht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t
⊢ s ⊆ ⋃ n, (range f)ᶜ ∪ f '' t n
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
⊢ (gradedComm R 𝒜 ℬ).symm = gradedComm R ℬ 𝒜
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ ‖(starRingEnd K) z‖ = ‖z‖
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : NormedRing 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝³ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 F
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
φ : α → 𝕜
hf : Memℒp f ⊤ μ
hφ : Memℒp φ p μ
⊢ 1 / p = 1 / p + 1 / ⊤
α : Type u
S T : Stream'.WSeq (Computation α)
a : α
h2 : ∀ (t : Computation α), t ∈ T → t.Promises a
H : Stream'.WSeq.LiftRel Computation.Equiv S T
⊢ (Computation.parallel S).Equiv (Computation.parallel T)
F : Type u_1
K : Type u_2
CommRing F
Ring K
Algebra F K
x : K
h : IsSeparable F x
⊢ IsIntegral F x
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.323542, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
⊢ 4 < 4 + 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hf : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hu : Tendsto u lt la
hv : Tendsto v lt la
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in v t..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
k : K
q : TM1.Stmt Γ' Λ' σ
v : σ
S : (k : K) → List (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
⊢ let v' := stVar v (S k) o; let Sk' := stWrite v (S k) o; let S' := update S k Sk'; ∃ L', (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S' k)).reverse) ∧ TM1.stepAux (trStAct q o) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) = TM1.stepAux q v' ((Tape.move Dir.right)^[(S' k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom L')))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
x : E
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T (MeasureTheory.Lp.simpleFunc.indicatorConst 1 hs ⋯ x) = (T s) x
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 ≤ RCLike.re ⟪x, T x⟫_𝕜
v : E
hv : HasEigenvector T (↑μ) v
hpos : 0 < ‖v‖ ^ 2
⊢ 0 ≤ μ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R[X]
x : ↥((Quotient.mk I).comp C).range
hx : C x ∈ map (mapRingHom ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict) I
i : R →+* ↥((Quotient.mk I).comp C).range := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I
⊢ x = 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
h : l.length = 1
n : ℕ
h₁ : n < l.length
h₂ : n < [l.nthLe 0 ⋯].length
⊢ l.get ⟨n, h₁⟩ = l.nthLe 0 ⋯
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f g : MonoidAlgebra R M
ihf : ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = f
ihg : ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = g
⊢ ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = f + g
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t : Set α
p : α → Prop
⊢ (∀ c ∈ s ⊼ t, p c) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, p (a ⊓ b)
S : Type u_5
OrderedRing S
R : Type u_6
Semiring R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
IsDomain S
Nontrivial R
⊢ abv 1 = 1
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
hn : IsPrimePow ↑n
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
h : n ≠ 2
⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = ↑(↑n).minFac
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
f : α → γ
⊢ UpperSemicontinuous f ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Set.Ici y)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
⊢ η =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) η)
      (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor g).hom)
α : Type u
Group α
g : GroupTopology α
⊢ Continuous fun p => p.1 * p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
One β
l : Filter α
f : α → β
s : Set α
hf : f =ᶠ[l] 1
⊢ s.mulIndicator f =ᶠ[l] 1
d : ℤ
h₀ : d ≠ 0
a : Solution₁ d
ha : a.x = 1
⊢ a = 1
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x y : L
hx : x ∈ H.normalizer
hy : y ∈ H
⊢ ⁅y, x⁆ ∈ H
n n✝ : ℕ
a✝ : Fin2 n✝
a_ih✝ : ∀ {α β : TypeVec.{u_1} n✝} (x : (α ⊗ β) a✝), (id ⊗' id) a✝ x = id a✝ x
α β : TypeVec.{u_1} (n✝ + 1)
x : (α ⊗ β) a✝.fs
⊢ id a✝ x = id a✝.fs x
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
⊢ ¬SameRay ℝ x y ↔ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ Nat.bit a m ||| Nat.bit b n = Nat.bit (a || b) (m ||| n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCancelCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
c : E
⊢ StrictConvexOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => z + c)
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℝ), i ≤ a → b ≤ a ^ y
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
(i : ι) → Field (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
p : Ring.DirectLimit G f
hp : p ≠ 0
⊢ Field.DirectLimit.inv G f p * p = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hg : StrictAntiOn g t
hf : StrictMonoOn f s
hs : Set.MapsTo f s t
⊢ StrictAntiOn (g ∘ f) s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j
⊢ X.map (SimplexCategory.δ i) ≫ X.map (SimplexCategory.δ j.succ) = X.map (SimplexCategory.δ j) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc)
n : ℕ
θ : [n] ⟶ [n + 1]
inst✝ : Mono θ
⊢ ∃ i, θ = δ i
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace F
f : E → F
hf : f =O[𝓝 0] id
g : ι → E
hg : Summable g
⊢ Summable (f ∘ g)
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : S[X]
f : S →+* A
a : A
s : S
hsa : Commute (f s) a
hf : ∀ (s₁ s₂ : S), Commute (f s₁) (f s₂)
⊢ eval₂ f (f s * a) (p.scaleRoots s) = f s ^ p.natDegree * eval₂ f a p
c : ℂ
⊢ circleMap c 0 = Function.const ℝ c
R : Type u_1
S : Type u_3
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
N₁ N₂ : Submodule R M
⊢ (∀ x ∈ N₁, x ∈ B.flip.dualSubmodule N₂) ↔ ∀ x ∈ N₂, x ∈ B.dualSubmodule N₁
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ (Mathlib.Vector.ofFn f).toList = List.ofFn f
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
⊢ (Surreal.Multiplication.Args.P24 x₁ x₂ y).Numeric ↔ x₁.Numeric ∧ x₂.Numeric ∧ y.Numeric
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
d : Transversal φ
⊢ Injective ⇑(base φ)
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
U W : Submodule K V
h : IsCompl U W
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥U + FiniteDimensional.finrank K ↥W = FiniteDimensional.finrank K V
V : Type u
⊢ SimpleGraph.IsSubgraph = fun x x_1 => x ≤ x_1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
W : MorphismProperty C
F : C ⥤ D
⊢ W.IsInvertedBy F ↔ W.map F ≤ isomorphisms D
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
h : E → 𝕜
hf : Differentiable 𝕜 h
hz : ∀ (x : E), h x ≠ 0
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => (h x)⁻¹
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
h : u ≠ v
p : G.Walk u v
⊢ v ∈ p.support.tail
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s✝ t : Set α
ℬ : Set (Set α)
h : 𝒜 ⊆ ℬ
s : Set α
hs : s ∈ generateSetAlgebra 𝒜
⊢ s ∈ generateSetAlgebra ℬ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
b : CategoryTheory.Limits.Bicone (CategoryTheory.Limits.pairFunction X Y)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Bicone.toBinaryBiconeFunctor.obj b).pt = b.pt
α : Type u
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α
a b c : α
hb : a ≤ b
⊢ min a (b * c) = min a (min a b * min a c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable σ
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : PrimrecPred p
this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp
⊢ Primrec Subtype.val
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ∪ t = t ∪ s
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
h : {x} ∈ 𝓝[s] x
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Zero M
SMulZeroClass R M
s : Set α
r : R
f : α → M
⊢ (s.indicator fun x => r • f x) = fun x => r • s.indicator f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
⊢ liminf (fun n => (preimage f)^[n] s) atTop =ᵐ[μ] s
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
⊢ μ (t ∩ s) + μ (t ∩ sᶜ) = μ t
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
c : ℝ≥0
hf : AntilipschitzWith c ⇑f
⊢ (LinearMap.range f).topologicalClosure = LinearMap.range f
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
n : ℕ
h : ∀ (i : η), Group.nilpotencyClass (Gs i) ≤ n
⊢ lowerCentralSeries ((i : η) → Gs i) n ≤ ⊥
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
u : (Matrix n' n' R)ˣ
n : ℤ
⊢ ↑(u ^ n) = ↑u ^ n
R : Type u
Ring R
X₁ X₂ X₃ : ModuleCat R
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
hfg : LinearMap.range f ≤ LinearMap.ker g
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.moduleCatMkOfKerLERange f g hfg).X₁ = X₁
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
h : t ⊆ s
⊢ s.innerDualCone ≤ t.innerDualCone
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
⊢ Disjoint (⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i)) (⨆ i ∈ J, range (stdBasis R φ i))
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
hp : p.length = G.dist u v
⊢ p.IsPath
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
hl₁.IsPreservedBy F
hl₂.IsPreservedBy F
⊢ F.map (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ hl₁ hl₂) =
  CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (hl₁.map F) (hl₂.map F)
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
⊢ 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
α : Type v
G : Type u
Group G
MulAction G α
a : G
b : α
n : ℤ
⊢ a ^ n • b = b ↔ ↑(Function.minimalPeriod (fun x => a • x) b) ∣ n
α : Type u_1
LT α
a : α
⊢ Order.IsSuccLimit (OrderDual.toDual a) ↔ Order.IsPredLimit a
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ s.erase a ∩ t = s ∩ t.erase a
n : ℕ
⊢ ⇑(Fin.succOrderEmb n) = Fin.succ
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
⊢ lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(LinearMap.range f)) ≤ lift.{v', v} (Module.rank R M)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K₁.carrier V
t : Finset G
h1t : K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index K₂.carrier V
⊢ index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V ≤ index K₁.carrier V + index K₂.carrier V
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
hb : 0 ≤ b
⊢ |a| = b ↔ a = b ∨ a = -b
P : Type u_1
LE P
s t : Order.Ideal P
⊢ ↑s ⊂ ↑t ↔ s < t
q : ℚ
n : ℕ
⊢ q ^ n = mkRat (q.num ^ n) (q.den ^ n)
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_3
K' : Type u_4
Field K
Field K'
Algebra R K
IsFractionRing R K
Algebra R K'
IsFractionRing R K'
I : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
Nontrivial R
⊢ FractionalIdeal.map h I = 0 ↔ I = 0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S T : Subalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ S ⊓ T ↔ x ∈ S ∧ x ∈ T
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
i : ι
s : Multiset ι
h : derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum
⊢ (Multiset.map (fun x => f i * ((Multiset.map f (s.erase x)).prod * derivative (f x))) s).sum = (Multiset.map (fun i_1 => (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase i_1)).prod * derivative (f i_1)) s).sum
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}
⊢ sInf {c | ∀ a' < a, a' ⨳ 1 < c} = a
A B : FintypeCat
e : ↑A ≃ ↑B
a : ↑B
⊢ (FintypeCat.equivEquivIso e).inv a = e.symm a
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
l : List (Sigma β)
l' : List (Sigma β)
hl : [] = l'
this : l'.NodupKeys
⊢ (foldr (fun x => kinsert x.fst x.snd) l' l).NodupKeys
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s t : Set G
⊢ s / interior t ⊆ interior (s / t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
x✝ y✝ x y : E
⊢ (convexHull 𝕜) {x, y} = segment 𝕜 x y
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ J > M, (fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) J
h_prM : ¬M.IsPrime
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}
x : R
hx : x ∉ M
y : R
hy : y ∉ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span R {x}
Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wy : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span R {y}
⊢ (Multiset.map asIdeal (Wx + Wy)).prod ≤ M
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ 0 ≤ P.energy G
R : Type u
Ring R
IsDomain R
q : ℕ
⊢ ringExpChar R = q ↔ ExpChar R q
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c : α
hab : a ≤ b * c
⊢ a * c⁻¹ ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
s : Finset ι
i✝ : ι
⊢ ⋃ (_ : i✝ ∈ s), As i✝ ⊆ As i✝
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x
hder_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → deriv f (x + 1) = deriv f x + 1 / x
hder_nat : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) = deriv f 1 + ↑(harmonic n)
⊢ deriv (log ∘ Gamma) (↑n + 1) = -γ + ↑(harmonic n)
α : Type u_1
n : ℕ
xs : List α
a : α
z : Sym α n
ha : a ∈ z
hz : z ∈ List.sym n xs
⊢ a ∈ xs
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x y : L
h : x ∈ I
⊢ x ∈ I
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
ι : Type u_5
Nonempty ι
SemilatticeSup ι
hp : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ CauchySeq f ↔ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (↑↑(f n.1) - ↑↑(f n.2)) p μ) Filter.atTop (𝓝 0)
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : R
x y : L
m : M
hy : y ∈ 𝕎(L, χ₁, x)
hm : m ∈ 𝕎(M, χ₂, x)
⊢ ∃ y_1, (toModuleHom R L M) ((TensorProduct.map 𝕎(L, χ₁, x).subtype 𝕎(M, χ₂, x).subtype) y_1) = ⁅y, m⁆
α : Type u_1
⊢ Function.Bijective MulOpposite.op
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
a b : ℤ
h : a ≤ b
⊢ ↑(Finset.Ico a b).card = b - a
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
g : N →* P
f : M →* N
x : M
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : x + 1 ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), x ^ i ≠ 0
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 0 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, f i ≤ a₂
⊢ ∑' (i : ι), f i ≤ a₂
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
SecondCountableTopology α
f g : β → α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable fun b => dist (f b) (g b)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
⊢ sign σ = (Multiset.map (fun n => -(-1) ^ n) σ.cycleType).prod
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K L : Ideal S
⊢ Ideal.comap f K ⊔ Ideal.comap f L ≤ Ideal.comap f (K ⊔ L)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a : α
⊢ p a = 1 ↔ p.support = {a}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
hg : S.g = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.cyclesIsoX₂ hg).inv S.iCycles = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₂
α : Type u_4
β : Type u_5
UniformSpace α
UniformSpace β
self : α ≃ᵤ β
⊢ UniformContinuous self.toFun
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainLength α β ≤ chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ AddSubgroup.zmultiples g
g' : G'
hg' : ∀ (x : G'), x ∈ AddSubgroup.zmultiples g'
h : addOrderOf g = addOrderOf g'
⊢ (addEquivOfAddOrderOfEq hg hg' h).symm g' = g