ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
f : ℚ → ℚ → ℚ
f₁ f₂ : ℤ → ℤ → ℤ → ℤ → ℤ
fv :
  ∀ {n₁ : ℤ} {d₁ : ℕ} {h₁ : d₁ ≠ 0} {c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁} {n₂ : ℤ} {d₂ : ℕ} {h₂ : d₂ ≠ 0}
    {c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂},
    f { num := n₁, den := d₁, den_nz := h₁, reduced := c₁ } { num := n₂, den := d₂, den_nz := h₂, reduced := c₂ } =
      Rat.divInt (f₁ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂) (f₂ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂)
f0 : ∀ {n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ}, d₁ ≠ 0 → d₂ ≠ 0 → f₂ n₁ d₁ n₂ d₂ ≠ 0
a b c d : ℤ
b0 : b ≠ 0
d0 : d ≠ 0
H : ∀ {n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ}, a * d₁ = n₁ * b → c * d₂ = n₂ * d → f₁ n₁ d₁ n₂ d₂ * f₂ a b c d = f₁ a b c d * f₂ n₁ d₁ n₂ d₂
⊢ f (Rat.divInt a b) (Rat.divInt c d) = Rat.divInt (f₁ a b c d) (f₂ a b c d)
R : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial M
f : Module.End R M
hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
⊢ ∃ μ, f.HasEigenvalue μ
α : Type u
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) = fun x x_1 => x ⊆ x_1
n : ℕ∞
p : ℝ[X]
⊢ ContDiff ℝ n fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace Q
AddTorsor W Q
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n
⊢ (1 - ∑ x ∈ Finset.range n, C ↑p ^ x * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x)) * C ⅟↑p ^ n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : α → β × γ
s : Set α
x : α
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (Prod.fst ∘ f) s x ∧ ContinuousWithinAt (Prod.snd ∘ f) s x
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
f : G ≃ₜ G
h : ∀ ⦃K : Compacts G⦄, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map ⇑f ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
U : Opens G
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑((Opens.comap f.toContinuousMap) U)
⊢ ↑(μ.toFun (Compacts.map ⇑f ⋯ K)) = ↑(μ.toFun K)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
a : 𝕜
⊢ iteratedDeriv n (fun x => -f x) a = -iteratedDeriv n f a
G : Type u_2
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.opEquiv H = H.op
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X✝¹ : C
R✝ : Presieve X✝¹
S✝ : Sieve X✝¹
inst✝¹ : R✝.hasPullbacks
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
R : Presieve X✝
S : Sieve X✝
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
⊢ IsSheafFor P (Presieve.ofArrows X π) ↔ Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (forkMap P X π) ⋯))
F : Type u
Field F
f : F[X]
x : F
hx : x ≠ 0
⊢ (x • f).natSepDegree = f.natSepDegree
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
F✝ : LaxFunctor B C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : LaxFunctor B C
G : LaxFunctor C D
a✝ b✝ c✝ d✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g : b✝ ⟶ c✝
h : c✝ ⟶ d✝
⊢ (G.mapComp (F.map f) (F.map g) ≫ G.map₂ (F.mapComp f g)) ▷ G.map (F.map h) ≫ (G.mapComp (F.map (f ≫ g)) (F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp (f ≫ g) h)) ≫ G.map₂ (F.map₂ (α_ f g h).hom) = (G.mapComp (F.map f) (F.map g) ▷ G.map (F.map h) ≫ G.mapComp (F.map f ≫ F.map g) (F.map h) ≫ G.map₂ (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom ≫ G.map₂ (F.map f ◁ F.mapComp g h)) ≫ G.map₂ (F.mapComp f (g ≫ h))
α : Type u
β : Type v
⊢ Cardinal.mk (α ⊕' β) = Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk α) + Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk β)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
ha : a ∈ s
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, s ∈ 𝓝[>] x
x : α
hxs : x ∈ s
hxab : x ∈ Ico a b
y : α
hyxb : y ∈ Ioi x
⊢ (s ∩ Ioc x y).Nonempty
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹¹ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalSpace F
inst✝⁸ : AddCommMonoid E
inst✝⁷ : AddCommMonoid F
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set β
hs : s.OrdConnected
⊢ StrictConvex 𝕜 s
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace V
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : SeparatingDual R V
W : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module R W
inst✝ : FiniteDimensional R W
f : W →ₗ[R] V
hf : Injective ⇑f
this : Injective ⇑((ContinuousLinearMap.coeLM R).flip ∘ₗ f)
⊢ Surjective (⇑f.dualMap ∘ ContinuousLinearMap.toLinearMap)
R : Type u_1
n✝ x y : ℕ
hyx : y < x
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hneven : Even n
⊢ 0 < x - y
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n✝ : ℕ
h : (↑(powers a)).Finite
m n : ℕ
hmn : m < n
ha : a ^ m = a ^ n
⊢ a ^ (n - m) = 1
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ LieAlgebra.derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔
  IsLieAbelian ↥↑(LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k I) ∧ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
hε : 0 < ε
s' : Finset α
hs' : s' ⊆ {a}
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ {b}
hs : ↑{a}.card * ε ≤ ↑s'.card
ht : ↑{b}.card * ε ≤ ↑t'.card
⊢ |↑(G.edgeDensity s' t') - ↑(G.edgeDensity {a} {b})| < ε
ι : Sort u_1
α : Type u_2
f : ι → α
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
a : α
h : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
⊢ Disjoint a (⨆ i, f i) ↔ ∀ (i : ι), Disjoint a (f i)
c y : ℝ
x✝ : y ∈ Iic 0
⊢ 0 ≤ rexp (id y)
x : ℝ≥0
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ x ^ OfNat.ofNat n = x ^ OfNat.ofNat n
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ dist ((AffineMap.homothety p₁ c) p₂) p₂ = ‖1 - c‖ * dist p₁ p₂
X✝¹ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹
inst✝² : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝¹
X✝ : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)
X : ι → Type u_3
inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)
s : Set ((i : ι) → X i)
K : (i : ι) → Set (X i)
hKc : ∀ (i : ι), IsCompact (K i)
htK : ∀ (i : ι), s ⊆ eval i ⁻¹' K i
⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ s ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α →. σ ⊕ α
hf : Partrec f
F : α → ℕ →. σ ⊕ α := fun a n => Nat.rec (Part.some (Sum.inr a)) (fun x IH => IH.bind fun s => Sum.casesOn s (fun x => Part.some s) f) n
hF : Partrec₂ F
p : α → ℕ → Part Bool := fun a n => Part.map (fun s => Sum.casesOn s (fun x => true) fun x => false) (F a n)
⊢ Partrec f.fix
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
y : R
x : A
h : (algebraMap R A) y = x
⊢ (algebraMap R B) y = f x
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
L'' : FirstOrder.Language
ft : (n : ℕ) → L.Term (α ⊕ Fin n) → L'.Term (β ⊕ Fin n)
fr : (n : ℕ) → L.Relations n → L'.Relations n
ft' : (n : ℕ) → L'.Term (β ⊕ Fin n) → L''.Term (γ ⊕ Fin n)
fr' : (n : ℕ) → L'.Relations n → L''.Relations n
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.mapTermRel ft' fr' (fun x => id)
    (FirstOrder.Language.BoundedFormula.mapTermRel ft fr (fun x => id) φ) =
  FirstOrder.Language.BoundedFormula.mapTermRel (fun x => ft' x ∘ ft x) (fun x => fr' x ∘ fr x) (fun x => id) φ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
⊢ t ∈ ∂ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ (s \ t).card = k
α : Type u_1
dec : DecidableEq α
P Q : RegularExpression α
x : List α
⊢ (P * Q).rmatch x = true ↔ ∃ t u, x = t ++ u ∧ P.rmatch t = true ∧ Q.rmatch u = true
a b : EReal
⊢ a.exp < b.exp ↔ a < b
n : ℕ
⊢ ∃ p, n ≤ p ∧ Nat.Prime p
p q : NNReal
h : p.IsConjExponent q
⊢ 0 < p⁻¹
G : Type u
inst✝² : Group G
X : FintypeCat
inst✝¹ : MulAction G ↑X
inst✝ : MulAction.IsPretransitive G ↑X
h : Nonempty ↑X
Y : Action FintypeCat (MonCat.of G)
i : Y ⟶ Action.FintypeCat.ofMulAction G X
hm : Mono i
hni : IsInitial Y → False
⊢ IsIso i
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associated fx.prod x
⊢ Associated x (ϖ ^ Multiset.card fx)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
a✝ : β
h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) (η (a, a✝))
h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) (η (a, a✝))
⊢ F (∫ (y : γ), f (a✝, y) - g (a✝, y) ∂η (a, a✝)) = F (∫ (y : γ), f (a✝, y) ∂η (a, a✝) - ∫ (y : γ), g (a✝, y) ∂η (a, a✝))
k : ℤ
a : Fin 2 → ℤ
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun z => (↑(a 0) * z + ↑(a 1)) ^ (-k)) {z | 0 < z.im}
a b : UnitAddCircle
⊢ Differentiable ℂ (hurwitzZetaOdd a)
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a : α
⊢ Finset.Icc a a = {a}
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
X : Type u_2
AddAction R X
r : X
s s' : ↥S
⊢ r -ₒ s = s' +ᵥ r -ₒ (s' + s)
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
⊢ I / 0 = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
HeytingAlgebra α
HeytingAlgebra β
f g : HeytingHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (↑m)⁻¹ ≤ ↑(filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)).card / ↑n
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cone (Discrete.functor f)
j : Discrete β
⊢ (fun s => s.π.app default) s ≫ { pt := f default, π := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.π.app j = s.π.app j
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
⊢ ↑2 * X 1 ^ (2 - 1) * 1 * X 2 + X 1 ^ 2 * 0 + (((0 * X 0 + C W.a₁ * 0) * X 1 + C W.a₁ * X 0 * 1) * X 2 + C W.a₁ * X 0 * X 1 * 0) + ((0 * X 1 + C W.a₃ * 1) * X 2 ^ 2 + C W.a₃ * X 1 * (↑2 * X 2 ^ (2 - 1) * 0)) - (↑3 * X 0 ^ (3 - 1) * 0 + ((0 * X 0 ^ 2 + C W.a₂ * (↑2 * X 0 ^ (2 - 1) * 0)) * X 2 + C W.a₂ * X 0 ^ 2 * 0) + ((0 * X 0 + C W.a₄ * 0) * X 2 ^ 2 + C W.a₄ * X 0 * (↑2 * X 2 ^ (2 - 1) * 0)) + (0 * X 2 ^ 3 + C W.a₆ * (↑3 * X 2 ^ (3 - 1) * 0))) = 2 * X 1 * X 2 + C W.a₁ * X 0 * X 2 + C W.a₃ * X 2 ^ 2
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
⊢ toIocMod hp a b = c ↔ c ∈ Set.Ioc a (a + p) ∧ ∃ z, b = c + z • p
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
x : M₁
⊢ (B x) x = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
h : a ∆ b = a ⊔ b
⊢ Disjoint a b
d : ℕ
x y z w : ℤ
xz : x ≤ z
yw : y ≤ w
⊢ { re := x, im := y } ≤ { re := z, im := w }
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y : R
⊢ -f y - (map W f).toAffine.a₁ * f x - (map W f).toAffine.a₃ = f (-y - W.a₁ * x - W.a₃)
⊢ Int.castRingHom ℤ = RingHom.id ℤ
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
a b c : List α
hx : x = a ++ b ++ c
hlen : a.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hnil : b ≠ []
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) b = M.evalFrom M.start a
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) c = M.evalFrom M.start x
c' : List α
hc' : c' ∈ {c}
a' : List α
ha' : a' ∈ {a}
b' : List α
hb' : b' ∈ {b}∗
⊢ a' ++ b' ++ c' ∈ M.accepts
a b : ℝ
n : ℕ
x✝ : ℝ
h : -(π / 2) < x✝ ∧ x✝ ≤ π / 2
⊢ √(1 - sin x✝ ^ 2) * cos x✝ = cos x✝ ^ 2
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
h : Disjoint a b
⊢ a \ b = a
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
h : ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)
⊢ ∃ ns, Tendsto ns atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (ns n)
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f U ≫ (AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion.ΓIso f U).hom =
  Y.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
u : ℕ → E
hu : Summable fun x => ‖u x‖
⊢ ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
⊢ OrderHom.lfp f ∈ Set.range (OrdinalApprox.lfpApprox f ⊥)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b c d : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hsub : Ι c d ⊆ Ι a b
⊢ IntervalIntegrable f μ c d
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
Yint : Integrable (Y 0) ℙ
C : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
ω : Ω
h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
h₂ : Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
this : ∫ (a : Ω), X 0 a = ∫ (a : Ω), Y 0 a
⊢ Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
α : Type u_1
SeminormedAddCommGroup α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
⊢ CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → MeasureTheory.Integrable (iteratedDeriv n f) MeasureTheory.volume
hn : ↑n ≤ N
⊢ 𝓕 (iteratedDeriv n f) = fun x => (2 * ↑π * Complex.I * ↑x) ^ n • 𝓕 f x
G : Type v
Group G
J : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.SingleObj G) (Type u)
⊢ ∀ (a : MulAction.orbitRel.Quotient G (J.obj (CategoryTheory.SingleObj.star G))),
  (CategoryTheory.Limits.SingleObj.Types.colimitEquivQuotient J).symm a =
    (CategoryTheory.Limits.Types.colimitEquivQuot J).symm
      (Quot.lift (fun x => Quot.mk (CategoryTheory.Limits.Types.Quot.Rel J) ⟨CategoryTheory.SingleObj.star G, x⟩) ⋯ a)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q : α → Prop
a' : α
⊢ (∃ a, p a ∧ a' = a) ↔ p a'
R : Type u_1
S : Type v₃
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
CommSemiring R'
CommSemiring S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R' S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
h : Algebra.IsPushout R S R' S'
⊢ Algebra.IsPushout R R' S S'
M₀ : Type u_6
CommMonoidWithZero M₀
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ⇑(powMonoidWithZeroHom hn) = fun x => x ^ n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ CategoryTheory.WellPowered C ↔ CategoryTheory.WellPowered D
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p ^ n).natDegree = n * p.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
⊢ (⨅ r, ⨅ (_ : r > 0), 𝓟 {b | |b - a| < r}).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {b | |b - a| < ε}
cf cg : Code
a k : ℕ
⊢ Nat.rec (cf.eval (a, k.succ).1) (fun y IH => do let i ← IH cg.eval (Nat.pair (a, k.succ).1 (Nat.pair y i))) (a, k.succ).2 = (unpaired (fun a n => Nat.rec (cf.eval a) (fun y IH => do let i ← IH cg.eval (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n) (Nat.pair a k)).bind fun ih => cg.eval (Nat.pair a (Nat.pair k ih))
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ LinearMap.range I.cotangentToQuotientSquare = Submodule.restrictScalars R I.cotangentIdeal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.ShortExact
⊢ hS.singleTriangle.obj₁ = (DerivedCategory.singleFunctor C 0).obj S.X₁
A : Type u_1
Ring A
Algebra ℝ A
TopologicalSpace A
T2Space A
s : Set ℝ
CompactSpace ↑s
φ ψ : C(↑s, ℝ) →ₐ[ℝ] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ((Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom s) Polynomial.X) = ψ ((Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom s) Polynomial.X)
⊢ φ = ψ
R : Type u_1
CommRing R
I : Type u_3
Fintype I
e : I → R
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
⊢ ∏ i : I, (1 - e i) = 0
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizationMonoid R
⊢ normUnit X = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
inst✝ : J.Boundaryless
this : univ.prod ∅ = ∅
⊢ univ.prod ∅ ∪ (I.boundary M).prod univ = (I.boundary M).prod univ
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₂
inst✝² : Category.{u₁, u₂} C
G : Type u_1
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsPreconnected G
⊢ _root_.Equivalence fun x y => Nonempty (x ⟶ y)
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
μ' : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ'
⊢ (μ + μ').prod ν = μ.prod ν + μ'.prod ν
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Nontrivial R
this : Nontrivial S
⊢ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) ≤ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S N)
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
⊢ ((∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' ⧏ y.moveLeft i) ∧ ∀ (j : (y.moveLeft i).RightMoves), x ⧏ (y.moveLeft i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ y) ∧ ∀ (j' : y.RightMoves), x.moveRight j ⧏ y.moveRight j') ↔ (∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' < y.moveLeft i) ∧ ∀ (j : (y.moveLeft i).RightMoves), x < (y.moveLeft i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i < y) ∧ ∀ (j' : y.RightMoves), x.moveRight j < y.moveRight j'
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : ¬Irreducible ↑p
⊢ ∃ a b, a ^ 2 + b ^ 2 = p
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
s t : Set V
sconn : (H.induce s).Connected
tconn : (H.induce t).Connected
sintert : (s ⊓ t).Nonempty
⊢ (H.induce s ⊔ H.induce t).verts = (H.induce (s ∪ t)).verts
a b : ℕ
⊢ a.factorizationLCMLeft b ∣ a
α : Type u_2
β : Type u_3
Top α
SemilatticeInf β
OrderTop β
f g : TopHom α β
a : α
⊢ (f ⊓ g) a = f a ⊓ g a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
f : δ → γ
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ (κ.compProd η).comapRight ⋯ = κ.compProd (η.comapRight hf)
n : Nat
i : Fin (n + 1)
⊢ i ≠ Fin.last n → ↑i < n
A B C : Type u
CommGroup A
CommGroup B
CommGroup C
e : A ≃* B
d : B ≃* C
n : ℤ
⊢ (QuotientGroup.equivQuotientZPowOfEquiv e n).trans (QuotientGroup.equivQuotientZPowOfEquiv d n) =
  QuotientGroup.equivQuotientZPowOfEquiv (e.trans d) n
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieRing L'
inst✝² : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝¹ : IsSolvable R L
inst✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : derivedSeries R L n = ⊥
contra : derivedSeries R L 1 = ⊤
⊢ False
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
⊢ ↑x * ↑((S.leftInvEquiv hS).symm x) = 1
γ : Type w
EMetricSpace γ
s : Set γ
⊢ EMetric.diam s = 0 ↔ s.Subsingleton
a b c : Ordinal.{u_1}
hb : b < a
hc : c < a
H : a ≤ b + c
⊢ ∃ b c, b < a ∧ c < a ∧ b + c = a
R : Type u_1
inst✝ : MulZeroClass R
a b : R
⊢ ¬IsRightRegular 0 ↔ Nontrivial R
f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
a : ↥circle := ⟨f 1, ⋯⟩
⊢ ∃ a, f = rotation a ∨ f = conjLIE.trans (rotation a)
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
SMul G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
h : μ s = 0
c : G
⊢ μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) = 0
a : Int
⊢ ↑a.natAbs * ↑a.natAbs = a * a
α : Type u_1
y : α
Fintype { x // x = y }
⊢ Fintype.card { x // x = y } = 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ π : Ω → ι
TopologicalSpace ι
SecondCountableTopology ι
OrderTopology ι
MeasurableSpace ι
BorelSpace ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
hπ : MeasureTheory.IsStoppingTime f π
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ π ω})
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
⊢ f.Pos → g.Pos → (f + g).Pos
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ Set.Ioo a b), p x
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict s, p x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ M' ≤ M, M'.FG → M'.LinearDisjoint N
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
⊢ x = y
A : Type u_3
F : Type u_5
FunLike F ℕ A
AddMonoidWithOne A
AddMonoidHomClass F ℕ A
f : F
h1 : f 1 = 1
n : ℕ
⊢ f n = ↑n
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
n : ℕ
p : Fin n → Prop
DecidablePred p
⊢ Fin.find p = none ↔ ∀ (i : Fin n), ¬p i
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ m -ᵥ p + (m -ᵥ a) = k • (m -ᵥ p - (m -ᵥ a))
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q
h : ∀ (r : P), b -ᵥ r = m -ᵥ r + (m -ᵥ a)
⊢ ‖m -ᵥ p - (m -ᵥ a)‖ * ‖m -ᵥ p + (m -ᵥ a)‖ = |‖m -ᵥ q + (m -ᵥ a)‖ ^ 2 - ‖m -ᵥ q - (m -ᵥ p)‖ ^ 2|
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : IsDomain A
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_5
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
i : ι
y : C
⊢ (trace K L) ((algebraMap C L) y * b i) ∈ 1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
⊢ map Prod.swap (μ.prod ν) = ν.prod μ