ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
⊢ p.radius - ↑‖x‖₊ ≤ (p.changeOrigin x).radius
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
c : R[X]ˣ
p : R[X]
⊢ (↑c).coeff 0 • p = ↑c * p
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a : α
⊢ Set.Iic (Order.succ a) = insert (Order.succ a) (Set.Iic a)
R : Type u_1
S : Type u_4
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M : Type u_2
N : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
f : M ≃ₗ[R] N
x : M
⊢ (LinearEquiv.extendScalarsOfSurjective h f) x = f x
a b : ℤ
⊢ a ≡ b [ZMOD a - b]
α : Type u_2
Preorder α
s : Set α
a : α
⊢ (insert a s).IsPWO ↔ s.IsPWO
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
P : Type u_4
AddCommGroup P
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Function.Surjective ⇑g
h : Function.Exact ⇑f ⇑g
Module.Finite R M
Module.Finite R N
Module.Free R N
hf : Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor (LocalRing.ResidueField R) f)
⊢ Module.Free R P
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)
has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'
this✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
this : SigmaFinite μ'
⊢ μ = (μ' V / ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)) • μ
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
c : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ mixedEmbedding.norm (c • x) = |c| ^ finrank ℚ K * mixedEmbedding.norm x
G : Type u_1
AddGroup G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
a : G
⊢ IsLUB (-s) (-a) ↔ IsGLB s a
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s
he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r
⊢ IsUnit ((algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r)
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ ⊤ ≤ AddSubmonoid.closure {p | ∃ n a, p = (monomial n) a}
α : Type u
s t : Set α
⊢ 𝒫 s ⊆ 𝒫 t ↔ s ⊆ t
α : Type u
⊢ Function.Injective List.cyclicPermutations
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
k : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : ¬k = 0
⊢ ∀ (a : ℕ) (ha : a ∈ filter k.Coprime (range k)), (fun i x => ζ ^ i) a ha ∈ primitiveRoots k R
R : Type u_1
M : Type u_2
OrderedSemiring R
OrderedAddCommMonoid M
SMulWithZero R M
self : OrderedSMul R M
a b : M
c : R
⊢ a < b → 0 < c → c • a < c • b
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
⊢ limsup (fun i => ↑(μs i) F) L ≤ ↑μ F
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.pullbackIsoPullback f g).inv ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g = fun p => (↑p).2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
⊢ Set.extremePoints 𝕜 {x} = {x}
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a b : α
⊢ (a == b) = false ↔ a ≠ b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
⊢ κ.withDensity 1 = κ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_one : f 1 = 1
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)
hs_nonempty : s.Nonempty
⊢ f (∏ i ∈ s, g i) ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
⊢ LinearEquiv.det Complex.conjLIE.toLinearEquiv = -1
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
⊢ (Algebra.TensorProduct.comm R A B).toLinearEquiv = TensorProduct.comm R A B
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
⊢ x ⩿ y → x.1 = y.1 ∨ x.2 = y.2
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
P : α → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsSymm α r
h✝ : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), P (f n)
hf' : ∀ (m n : ℕ), m < n → r (f m) (f n)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
h : n < m
⊢ r (f m) (f n)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝¹ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a✝ : α
n : ℕ
𝒜✝ : Finset (Finset α)
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
ih₀ : (nonMemberSubfamily a 𝒜).card ≤ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer.card
ih₁ : (memberSubfamily a 𝒜).card ≤ (memberSubfamily a 𝒜).shatterer.card
ℬ : Finset (Finset α) := image (insert a) ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∩ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer)
hℬ : ℬ.card = ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∩ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer).card
⊢ 𝒜.card ≤ 𝒜.shatterer.card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
CategoryTheory.Limits.HasImage f.hom
CategoryTheory.Limits.HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
CategoryTheory.Limits.HasImageMap sq
h : CategoryTheory.Arrow C
CategoryTheory.Limits.HasImage h.hom
sq' : g ⟶ h
CategoryTheory.Limits.HasImageMap sq'
CategoryTheory.Limits.HasImageMap (sq ≫ sq')
⊢ CategoryTheory.Limits.image.map (sq ≫ sq') = CategoryTheory.Limits.image.map sq ≫ CategoryTheory.Limits.image.map sq'
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|) < 2
this : 0 < finrank ℚ K
I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hI : ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)
⊢ ClassGroup.mk0 I = 1
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
⊢ p w
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
hI : I ≤ 1
⊢ I * 1 ≤ I * (1 / I)
R : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero R
x y d : R
DecompositionMonoid R
hy : Squarefree y
h : d * d ∣ x * y
⊢ d ∣ x
θ : Real.Angle
⊢ (θ - ↑π).cos = -θ.cos
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MonotoneOn f s
a : α
⊢ MonotoneOn (fun x => a + f x) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₂₁ X₂₂ X₂₃ : C
h₁₂ : X₁₂ ⟶ X₁₃
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₂₂ : X₂₂ ⟶ X₂₃
h₁₃ : X₁₁ ⟶ X₁₃
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₃ ⟶ X₂₃
s : CategoryTheory.IsPullback h₁₃ v₁₁ v₁₃ (h₂₁ ≫ h₂₂)
t : CategoryTheory.IsPullback h₁₂ v₁₂ v₁₃ h₂₂
⊢ CategoryTheory.IsPullback (t.lift h₁₃ (v₁₁ ≫ h₂₁) ⋯) v₁₁ v₁₂ h₂₁
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
M : Matrix n n R
i j : n
i_ne_j : i ≠ j
hij : M i = M j
⊢ M.det = 0
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ image2 f ↑s ↑t = image2 (fun a b => f b a) ↑t ↑s
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, (2 * x ^ (2 - 1)) • (rexp (-x ^ 2) * (x ^ 2) ^ (1 / 2 - 1)) = 2 * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-1 * x ^ 2)
x : ℝ
⊢ ContinuousAt Real.arctan x
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
self : Algebra.Transcendental R A
⊢ ∃ x, Transcendental R x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
inst✝ : PreservesFiniteProducts G
X : C
x : G.obj (op X)
h : ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y π, Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π)) ∧ ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f x).arrows (π a)
⊢ ∃ a, f.app (op X) a = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s : Set β
⊢ 0 ≤ κ.density ν a x s
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
⊢ s.max' H = s.sup' H id
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ toIocMod hp a b = b ↔ b ∈ Set.Ioc a (a + p)
R : Type u_1
CommRing R
q : Quaternion (DualNumber R)
⊢ (TrivSqZeroExt.fst (Quaternion.dualNumberEquiv q)).imK = TrivSqZeroExt.fst q.imK
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α
⊢ AntivaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → (f j - f i) * (g j - g i) ≤ 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
x : R
hpq : p * q ≠ 0
⊢ rootMultiplicity x (p * q) = rootMultiplicity x p + rootMultiplicity x q
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Preorder α
a✝ b c : α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
⊢ ⋃ b, Ico a b = Ici a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x y : α
S : Set α
T0Space α
h : IsGenericPoint x S
h' : IsGenericPoint y S
⊢ x = y
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
i : G
⊢ ‖g i‖ ≤ ⨆ i, ‖g i‖
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
⊢ ∃ a, (mk I M) a = x
x y : ℝ
⊢ sin (-(π / 2)) = -1
a x z : ℂ
θ : Real.Angle
⊢ ↑(↑θ.cos + ↑θ.sin * I).arg = θ
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
inst✝⁵ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → PseudoMetricSpace (α✝ i)
inst✝³ : (i : ι✝) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝² : Fintype ι✝
ι : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
α : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
f g : PiLp ⊤ α
val✝ : Fintype ι
M : { r // 0 ≤ r }
hM : ∀ (i : ι), ⟨dist (f i) (g i), ⋯⟩ ≤ M
⊢ ⨆ i, edist (f i) (g i) ≠ ⊤
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimitsOfShape J TopCat
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j₁ j₂ j₃ : J
f : j₁ ⟶ j₂
g : j₂ ⟶ j₃
⊢ (opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₁) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₃)) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map (f ≫ g)) = (opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₁) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₃)) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map f ≫ { obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map g)
α : Type u_1
LE α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : αᵒᵈ
⊢ cmpLE (OrderDual.ofDual x) (OrderDual.ofDual y) = cmpLE y x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
t : Set (SeparationQuotient X)
⊢ SeparationQuotient.mk ⁻¹' frontier t = frontier (SeparationQuotient.mk ⁻¹' t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
⊢ False
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ NonUnitalSubring.closure ∅ = ⊥
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle (x - y) x = ↑(Real.arcsin (‖y‖ / ‖x - y‖))
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y : C
f : J → C
g h : X ⟶ Y ⊗ ⨁ f
w : ∀ (j : J), g ≫ Y ◁ biproduct.π f j = h ≫ Y ◁ biproduct.π f j
⊢ g = h
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
⊢ ‖0‖ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformContinuous fun x => -f x
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
⊢ (fun F => F.toLinearMap ∘ₗ { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) ((⇑(RingQuot.liftAlgHom R) ∘ fun f => ⟨(FreeAlgebra.lift R) ⇑f, ⋯⟩) f) = f
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : z ≠ 0
⊢ x ^ z = y ^ z ↔ x = y
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
α' : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α'
β' : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace β'
f : α → α'
g : β → β'
f_mble : Measurable f
g_mble : Measurable g
⊢ (μ.map f).prod (ν.map g) = (μ.prod ν).map (Prod.map f g)
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β
⊢ s ⊆ ⇑e.symm '' t ↔ ⇑e.symm.symm '' s ⊆ t
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y : T
f : X ⟶ Y
⊢ ∀ (X_1 : Under Y), (map f ⋙ forget X).obj X_1 = (forget Y).obj X_1
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x y z : M
hxy : x ∈ Submodule.span R {y}
hyz : y ∈ Submodule.span R {z}
⊢ x ∈ Submodule.span R {z}
α : Type u
a b c : Set α
ab : a ⊆ b
bc : b ⊆ c
⊢ a ⊆ c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
t : Set α
a b : α
s : Finset α
h : (↑s).Nonempty
⊢ sSup ↑s ∈ ↑s
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p✝ p'✝ : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
p p' : Submodule R M
h : p ≤ p'
⊢ map p'.subtype (range (inclusion h)) = p
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
⊢ μ[|univ] = μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsScott α
s : Set α
a : α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsScott β
f : α → β
hf : Continuous f
x✝ b : α
hab : x✝ ≤ b
⊢ f x✝ ≤ f b
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
⊢ ∀ ⦃a : α ⊕ β⦄, (∃ a_1 ∈ s, Embedding.inl a_1 = a) → ¬∃ a_2 ∈ t, Embedding.inr a_2 = a
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
a c : M
b d : ↥S
⊢ AddLocalization.mk a b + AddLocalization.mk c d = AddLocalization.mk (a + c) (b + d)
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ∀ (X_1 : Under Z), (map (f ≫ g)).obj X_1 = (map g ⋙ map f).obj X_1
α : Type u_1
l₁ l₂ : Filter α
⊢ (Set.diagonal α)ᶜ ∈ l₁ ×ˢ l₂ ↔ Disjoint l₁ l₂
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
⊢ (eval P) W'.polynomialX = W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4)
k k₂ : ℕ
c : Code
n x : ℕ
hl : k + 1 ≤ k₂ + 1
h : x ∈ evaln (k + 1) c n
hl' : k ≤ k₂
this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂
⊢ x ∈ evaln (k₂ + 1) c n
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
this : ∀ (hfd : (X ^ n - C a).degree ≠ 0), rootOfSplits (algebraMap K L) ⋯ hfd ^ n = (algebraMap K L) a
⊢ rootOfSplitsXPowSubC hn a L ^ n = (algebraMap K L) a
α : Type u_1
s : Set α
a : α
Preorder α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ IsGreatest s a ↔ s = {a}
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hst : Convex ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
hx : x ∈ interior s
y : E
hy : y ∈ interior t
⊢ ∃ e, ⇑e '' interior s = interior t ∧ ⇑e '' closure s = closure t
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hΦ : Isometry Φ
⊢ infEdist (Φ x) (Φ '' t) = infEdist x t
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ addOrderOf x = n ↔ n • x = 0 ∧ ∀ m < n, 0 < m → m • x ≠ 0
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
hB : ∀ (y : M), (B (v.repr.symm vi)) y = 0
⊢ v.repr.symm vi = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
⊢ μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᵐ[ν] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x
α : Type u_1
β : Type u_2
MulOneClass α
MulZeroOneClass β
F : WithZero α →*₀ β
⊢ ∀ (a : α), (WithZero.lift'.symm F) a = F ↑a
α : Type u_1
OrderedRing α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ Finset.box n
⊢ x = 0 ↔ n = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
g : FrameHom β γ
f₁ f₂ : FrameHom α β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
AddMonoid β
BoundedAdd β
ContinuousAdd β
self : BoundedContinuousFunction α β
⊢ (BoundedContinuousFunction.toContinuousMapAddHom α β) self = self.toContinuousMap
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
j : J
⊢ ((Mon_.limitCone F).π.app j).hom = CategoryTheory.Limits.limit.π (F ⋙ Mon_.forget C) j
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ sSup {x | ∃ s ∈ range fun i => p i, ↑s = x} ↔ x✝ ∈ ⨆ i, ↑(p i)
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ
⊢ (Primrec fun p => f p.1 p.2) ↔ Primrec₂ f
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ≥0∞
⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' ball b r = ball (b * a⁻¹) r
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Type u_4
β : Sort u_5
f : α → β
I : Injective f
a : α
b : β
h : partialInv f b = some a
hpi : partialInv f b = if h : ∃ a, f a = b then some (Classical.choose h) else none
h' : ¬∃ a, f a = b
⊢ f a = b
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
⊢ ∀ u ∈ {s | ∃ x n, s = cylinder x n}, IsOpen u
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
h : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x ε)
R : ℝ
Rpos : R ∈ Ioi 0
hR : Ioc 0 R ⊆ {x | (fun ε => ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x ε)) x}
x : α
t : ℝ
ht : t ∈ Ioc 0 K
hr : 0 ≤ R
⊢ μ (closedBall x (t * 0)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K) * μ (closedBall x 0)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
ha : a ≠ 0
⊢ (a • s)⁻¹ = op a⁻¹ • s⁻¹