ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
s : Set α
⊢ Metric.diam (⇑f '' s) = ↑(ratio f) * Metric.diam s
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
u : AddUnits M
⊢ AddCommute (↑u) a → AddCommute (↑(-u)) a
a' : ℝ
⊢ ContinuousOn (fun x => ↑(cosKernel (↑a') x)) (Ioi 0)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
a : R
b : B
m d : ℤ
⊢ selfZPow x B m * mk' B a 1 * selfZPow x B (-d) = b ↔ selfZPow x B m * mk' B a 1 = selfZPow x B d * b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
f : α × β → StieltjesFunction
hf : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
⊢ ∫⁻ (b : β), ENNReal.ofReal (↑(f (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (Set.univ ×ˢ Set.Iic x)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
a✝ : Nontrivial R
h : eval a (p %ₘ (X - C a)) = eval a p
this : (p %ₘ (X - C a)).degree < 1
⊢ p %ₘ (X - C a) = C (eval a p)
M : Type u_4
AddMonoid M
l : List M
⊢ FreeAddMonoid.sumAux l = l.sum
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
inst✝ : Nonempty α
s : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
hs : s ∉ 𝒜
h𝒜₁ : (insert s 𝒜).Nonempty
h𝒜₂ : univ ∉ insert s 𝒜
h𝒜₃ : (insert s 𝒜).Nontrivial
ih : ∀ (𝒜_1 : Finset (Finset α)), 𝒜_1.card < 𝒜.card + 1 → 𝒜_1.Nonempty → univ ∉ 𝒜_1 → supSum 𝒜_1 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
hm : 𝒜.card + 1 = (insert s 𝒜).card
⊢ supSum (insert s 𝒜) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ ↑θ.expMapCircle ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c : Composition n
v : Fin n → E
i : Fin c.length
⊢ p.removeZero.applyComposition c v i = p.applyComposition c v i
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
n : ℕ
h : a ∉ s
m : (i : Fin (n + 1)) × { x // x ∈ s.sym (n - ↑i) }
⊢ ↑((Finset.symInsertEquiv h).symm m) = Sym.fill a m.fst ↑m.snd
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x
⊢ P (↑(f.symm ≫ₕ f') ∘ ↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a✝ b : R
n✝ : ℕ
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
q : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ q
p : R[X]
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
a : A
hq : q ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) q
n : ℕ
t : R
hmq : (fun f => (aeval a) f • m ∈ q) (C t * X ^ n)
⊢ (fun f => (aeval a) f • m ∈ q) (C t * X ^ (n + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ
⊢ f n ≤ f (n + 1)
a b : Ordinal.{u_1}
c : Ordinal.{u_1}
ab : a ≤ b
⊢ a ^ c ≤ b ^ c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Icc 0 1
⊢ x + (a✝¹ • y - a✝¹ • x) = x - a✝¹ • x + a✝¹ • y
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : L.Substructure M
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map (FirstOrder.Language.Hom.id L M) S = S
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
τ : MeasureTheory.Measure γ
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite τ
⊢ MeasureTheory.Measure.map (⇑MeasurableEquiv.prodAssoc) ((μ.prod ν).prod τ) = μ.prod (ν.prod τ)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p q : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
x : S
hf : ∀ (k : ℕ), Commute (f (q.coeff k)) x
⊢ Polynomial.eval₂ f x (p * q) = Polynomial.eval₂ f x p * Polynomial.eval₂ f x q
α : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
g : ℕ → ℝ
h : f =o[atTop] g
hg : 0 ≤ g
h'g : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, g i) atTop atTop
A : ∀ (i : ℕ), ‖g i‖ = g i
B : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ range n, g i‖ = ∑ i ∈ range n, g i
⊢ (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ∑ i ∈ range n, g i
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α
⊢ a⁻¹ ∈ s⁻¹ ↔ a ∈ s
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'
⊢ ⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v ≠ 0
α : Type u
β : Type v
K : Type u
inst✝ : DivisionSemiring K
I : Ideal K
⊢ I = ⊥ ∨ I = ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ⇑f'
⊢ Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x) ≤ Submodule.comap f' (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x)))
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s t : Set α
⊢ Metric.hausdorffDist (closure s) (closure t) = Metric.hausdorffDist s t
β : Type u_2
ι : Sort u_4
Nonempty ι
s : Set β
t : ι → Set β
⊢ s ∪ ⋃ i, t i = ⋃ i, s ∪ t i
α : Type u
a b : α
n : ℕ
⊢ List.replicate n a = List.replicate n b ↔ n = 0 ∨ a = b
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Finite m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
G : Type u_7
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G M₂
inst✝ : SMulCommClass G R M₂
g : G
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i✝ : m
j✝ : n
⊢ ((g • v₂).repr (f (v₁ j✝))) i✝ = (v₂.repr ((DistribMulAction.toLinearMap R M₂ g⁻¹ ∘ₗ f) (v₁ j✝))) i✝
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
⊢ δ₀Functor.map (homMkSucc α.inv β.inv ⋯ ≫ homMkSucc α.hom β.hom w) = δ₀Functor.map (𝟙 G)
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Projectivization.Subspace K V
⊢ Projectivization.Subspace.span ↑W = W
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))
n : ℕ+
⊢ ↑⋯.unit = ↑↑n
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative
inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝² : W₂.ContainsIdentities
D : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D
L : C₂ ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W₂
X₂ : C₂
X₃ : D
y : L.obj X₂ ⟶ X₃
w : TwoSquare Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) := TwoSquare.mk Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) (Φ.functor ⋙ L).rightUnitor.inv
this : Nonempty (w.CostructuredArrowDownwards y)
⊢ ∀ (X : w.CostructuredArrowDownwards y), ∃ Y, Zigzag X ((fromRightResolution Φ L y).obj Y)
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
(i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
(i : ι) → Module R (t' i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i
x : (i : ι) → s i
y : (i : ι) → t i
⊢ ((PiTensorProduct.map₂ f) ((PiTensorProduct.tprod R) x)) ((PiTensorProduct.tprod R) y) =
  ⨂ₜ[R] (i : ι), ((f i) (x i)) (y i)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
inst✝ : DecidableEq τ
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ ((bind₁ f) φ).vars ⊆ φ.vars.biUnion fun i => (f i).vars
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
⊢ ∃ b ∈ ↑I, dist f b < ↑ε
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type u_4
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜' (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜' (E i)
c : 𝕜
hp : 0 ≠ 0
f : ↥(lp E 0)
⊢ ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
x : ↥(Submodule.fst R M M₂)
⊢ (Submodule.fstEquiv R M M₂) x = (↑x).1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (x : F.obj X ⊕ G.obj X),
  (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductCocone F G).pt.map f x =
    Sum.rec (motive := fun t => x = t → F.obj Y ⊕ G.obj Y) (fun val h => Sum.inl (F.map f val))
      (fun val h => Sum.inr (G.map f val)) x ⋯
α : Type u_1
γ : Type u_3
u₁ u₂ : UniformSpace γ
⊢ UniformFun.uniformSpace α γ = UniformFun.uniformSpace α γ ⊓ UniformFun.uniformSpace α γ
R : Type u
Semiring R
k m : ℕ
x y : R
⊢ (Polynomial.C x * Polynomial.X ^ k + Polynomial.C y * Polynomial.X ^ m).support ⊆ {k, m}
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
self : InnerProductSpaceable E
x y : E
⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ + ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = 2 * (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.Regular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
⊢ (x • μ).Regular
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i
⊢ Function.update f i '' Set.Ico (f i) b = Set.Ico f (Function.update f i b)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} E
L.IsLocalization W
F : CategoryTheory.Functor C E
F' : CategoryTheory.Functor D E
h : CategoryTheory.Localization.Lifting L W F F'
⊢ CategoryTheory.Localization.liftNatTrans L W F F F' F' (CategoryTheory.CategoryStruct.id F) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id F'
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
n : ℕ
h : Squarefree (x ^ n)
h' : 2 ≤ n
⊢ IsUnit x
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ B' I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
hne : I.Nonempty
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
⊢ M.RkPos
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ l.dedup = [] ↔ l = []
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.pUnitCocone C).pt = PUnit.{w + 1}
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
B : Matrix m n R
hA : IsUnit A.det
⊢ (B * A).rank = B.rank
b x y : ℝ
hb : 1 < b
h : 0 < x
⊢ ℝ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : Summable fun n => ‖p n‖₊ * r ^ n
⊢ ↑r ≤ p.radius
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
X✝ Y✝ Z✝ : Arrow (J ⥤ C)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
j : J
⊢ data.mapZ { left := f.left.app j ≫ g.left.app j, right := f.right.app j ≫ g.right.app j, w := ⋯ } = data.mapZ { left := f.left.app j, right := f.right.app j, w := ⋯ } ≫ data.mapZ { left := g.left.app j, right := g.right.app j, w := ⋯ }
α : Type u_3
LinearOrder α
NoTopOrder α
⊢ NoMaxOrder α
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
⊢ QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : SuccOrder α
a : α
ha : a ≠ ⊤
⊢ ⨅ b, ⨅ (_ : a < b), b ≤ succ a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
hf : DifferentiableOn ℝ f s
hx : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun x => Real.log (f x)) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom.op = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (Opposite.op X)).inv
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)
ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)
sNu : Summable fun n => ‖u n‖
su : Summable u
x : E := tsum u
x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
fsumeq : ∀ (n : ℕ), f (∑ i ∈ Finset.range n, u i) = y - h^[n] y
this : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, u i) atTop (𝓝 x)
L₁ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (f x))
L₂ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (y - 0))
feq : f x = y
⊢ ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Zero 𝕜
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero 𝕜 β
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 β
l : Filter α
f : α → β
c : 𝕜
hf : l.ZeroAtFilter f
⊢ l.ZeroAtFilter (c • f)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f : α → E
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖MeasureTheory.setToFun μ T hT f‖ ≤ C * ‖MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf‖
α : Type u
β : Type v
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
⊢ Filter.map f (Filter.comap f G ⊓ F) = G ⊓ Filter.map f F
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
⊢ (algebraMap R₁ K) ↑I.den ∈ I⁻¹
R : Type u
S : Type u_1
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
Invertible x
h : IsAlgebraic R x
⊢ IsAlgebraic R ⅟x
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ (1 + Polynomial.X • M.map ⇑Polynomial.C).det =
  1 + M.trace • Polynomial.X + (1 + Polynomial.X • M.map ⇑Polynomial.C).det.divX.divX * Polynomial.X ^ 2
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, DifferentiableAt ℂ f x
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * I)) + I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)) - I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * I) = 0
α : Type u
s : Finset α
⊢ {a | a ∈ s}.Finite
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : QuadraticMap 𝕜 E F
a b : E
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 (⇑f) (QuadraticMap.polar (⇑f) a b) a b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a b : α
lb : β
hab : a < b
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)
⊢ extendFrom (Ioo a b) f b = lb
α : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
d : Dioph S
H : ∀ (v : α → ℕ), v ∈ S ↔ v ∈ S'
⊢ Dioph S'
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ m t = m.trim s
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
s₁ : Setoid α
s₂ : Setoid β
s₃ : Setoid γ
f : α → β → γ
h : (Setoid.r ⇒ Setoid.r ⇒ Setoid.r) f f
x : α
⊢ Quotient.map₂' f h (Quotient.mk'' x) = Quotient.map' (f x) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α (β × ℝ)
ν✝ : Kernel α β
x✝ : MeasurableSpace β
f : α × β → StieltjesFunction
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
p : α × β
x : ℝ
⊢ ((toKernel f hf) p) (Iic x) = ENNReal.ofReal (↑(f p) x)
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
hf : Function.Injective f
⊢ (ofFn f).Nodup
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ (ι (Q c₁ c₂)) (1, 0) * (ι (Q c₁ c₂)) (1, 0) = c₁ • 1
S : Type v
Ring S
p : S[X]
a : ℤ
k : ℕ
⊢ (↑a * p).coeff k = ↑a * p.coeff k
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x y : α
h4 : x ≠ y
h5 : τ = swap x y
i : ℕ
hi : (σ ^ i) x = y
⊢ closure {σ, τ} = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X Y : C
f : X ⟶ Y
g g' : CategoryTheory.yoneda.obj Y ⟶ A
h : g = g'
x : F.obj (Opposite.op (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk g'))
⊢ F.map (CategoryTheory.CostructuredArrow.mkPrecomp g f).op (F.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯) x) =
  F.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯) (F.map (CategoryTheory.CostructuredArrow.mkPrecomp g' f).op x)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.512830
Bₘ : Type ?u.512833
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this✝² : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝¹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : IsFractionRing B L
⊢ (FractionRing.algEquiv A K).symm ((algebraMap A K) ((intNorm A B) x)) = (FractionRing.algEquiv A K).symm ((norm K) ((algebraMap B L) x))
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
u : αˣ
⊢ a ∣ b * ↑u ↔ a ∣ b
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ Gᶜ.Adj v w ↔ v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Module.Flat R M ↔
  ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {f : ι →₀ R} {x : (ι →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ f ⁻¹' s = Set.univ ↔ Set.range f ⊆ s
n : Nat
a : Fin n
⊢ a.succ.succ ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
⊢ Function.Surjective ⇑e
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ HasStrictFDerivAt.implicitFunctionOfComplemented f f' hf hf' hker (f a) 0 = a
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
q : ℚ≥0
⊢ ↑q ≤ 0 ↔ q ≤ 0
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
a : α
x : AddAction.orbitRel.Quotient G α
⊢ a ∈ x.orbit ↔ Quotient.mk'' a = x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
hn : 1 ≤ n
⊢ Differentiable 𝕜 f
x : ℂ
⊢ ↑(Complex.abs x) * (Complex.cos ↑x.arg + Complex.sin ↑x.arg * Complex.I) = x
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : N ≃+ M
K : AddSubsemigroup M
⊢ AddSubsemigroup.comap (↑f) K = AddSubsemigroup.map (↑f.symm) K
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
f : α ≃o β
⊢ f.toFun = ⇑f
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
self : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
a : A
⊢ self.shiftIso 0 a a ⋯ = CategoryTheory.isoWhiskerLeft (self.functor a) (CategoryTheory.shiftFunctorZero D A)
α : Type u_1
f : α → ENNReal
hf0 : tsum f ≠ 0
hf : tsum f ≠ ⊤
a : α
⊢ a ∈ (PMF.normalize f hf0 hf).support ↔ f a ≠ 0
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b
⊢ {b}ᶜ ∈ 𝓝 0
k : Type u
CommRing k
G : Type u
Group G
A : Rep k G
g : G
x : CoeSort.coe A
⊢ (A.ρ g⁻¹) ((A.ρ g) x) = x
α : Type u
β : Type v
C : β → Sort u_2
x : α
l : List α
op : α → β → β
b : β
hb : C b
hl : (b : β) → C b → (a : α) → a ∈ x :: l → C (op a b)
⊢ (x :: l).foldrRecOn op b hb hl = hl (List.foldr op b l) (l.foldrRecOn op b hb fun b hb a ha => hl b hb a ⋯) x ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a), g.lintegral μ ≤ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral (μ.restrict s)
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : RankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
⊢ (↑w →₀ R) →ₗ[R] ι →₀ R
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
⊢ (extChartAt I x).target = ↑I '' (chartAt H x).target