ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
⊢ (auxEquiv R 𝒜 ℬ) 1 = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₂.HasHomology
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ S₁.HasHomology
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Mul N✝
inst✝¹ : Mul P
S : Subsemigroup M
N : Type u_5
inst✝ : Mul N
f : M →ₙ* N
⊢ ↑f.srange = ↑⊤ ↔ Set.range ⇑f = Set.univ
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
U : OpenAddSubgroup G
⊢ IsOpen ↑U
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : CompleteLinearOrder R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
as : ι → R
x_lt : ∀ (i : ι), x < as i
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
as_lim : Tendsto as F (𝓝 x)
⊢ ⋃ i, Ici (as i) = Ioi x
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
h : Reflexive r
a b : α
hab : r a b
⊢ DirectedOn r {a, b}
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux : ∀ y ∈ s, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧ f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
t : ℝ
ht : t ∈ s
xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)
h : HasDerivAt f ((tangentCoordChange I xₜ x₀ xₜ) (v xₜ)) t
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t)))
α : Type u_1
f : α → α
x : α
hx : x ∈ Function.periodicPts f
n : ℕ
⊢ Function.periodicOrbit f (f^[n] x) = Function.periodicOrbit f x
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
l.NeBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atBot ↔
  0 < r ∧ Filter.Tendsto f l Filter.atBot ∨ r < 0 ∧ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
α : Type u_1
f : Equiv.Perm α
s : Set α
hf : Set.BijOn (⇑f) s s
n : ℤ
⊢ Set.BijOn (⇑(f ^ n)) s s
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SL(2, R)
⊢ ![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]] 1 1 * ![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]] 0 0 - ![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]] 0 1 * ![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]] 1 0 = 1
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : PMF α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : s ∩ p.support = t ∩ p.support
⊢ p.toMeasure s = p.toMeasure t
α : Type u_4
β : Type u_5
Monoid α
Monoid β
x : α × β
hx : IsOfFinOrder x
⊢ IsOfFinOrder x.1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LE α
⊢ ↑⊤ = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)
g : ↥(Lp F' 1 (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g
⊢ (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a' a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
h : a' = a
⊢ p.IsHomLift f (CategoryTheory.eqToHom h ≫ φ) ↔ p.IsHomLift f φ
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
⊢ UpperSemicontinuousOn f univ ↔ UpperSemicontinuous f
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
p : (Step k n)[X]
hfm : p.Monic
hfi : Irreducible (map (ofStep k n) p)
this : Irreducible p
x : Step k (n + 1)
hx : eval₂ (toStepSucc k n) x p = 0
⊢ eval ((ofStep k (n + 1)) x) (map (ofStep k n) p) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : α × β →₀ M
g : α → β → M → N
hg₀ : ∀ (a : α) (b : β), g a b 0 = 0
hg₁ : ∀ (a : α) (b : β) (c₀ c₁ : M), g a b (c₀ + c₁) = g a b c₀ + g a b c₁
⊢ (f.curry.sum fun a f => f.sum (g a)) = f.sum fun p c => g p.1 p.2 c
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
w✝¹ : Submodule R M
N' : Submodule R N
w✝ : w✝¹ ≤ M₁
hN : N' ≤ N₁
left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹
hfin : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion w✝) (inclusion hN)))
⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M₁) (inclusion hN)))
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ENNReal.ofReal r ≤ ↑‖r‖₊
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
ι : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
TopologicalSpace X
OpensMeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
x : X
f : X → E
hx : ContinuousAt f x
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 x) μ
s : ι → Set X
li : Filter ι
hs : Filter.Tendsto s li (𝓝 x).smallSets
m : ι → ℝ := fun i => (μ (s i)).toReal
hsμ : (fun i => (μ (s i)).toReal) =ᶠ[li] m := by rfl
⊢ (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ - m i • f x) =o[li] m
R : Type u
CommRing R
X Y : HopfAlgebraCat R
e : X ≅ Y
⊢ e.symm.toHopfAlgEquiv = e.toHopfAlgEquiv.symm
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
hs : s ⊆ s'
ht : t ⊆ t'
⊢ Finset.image₂ f s t ⊆ Finset.image₂ f s' t'
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
⊢ (SetTheory.PGame.nim o).Fuzzy 0
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s t : Set α
left✝¹ : s ⊆ t
left✝ : MeasurableSet t
hμt : (⨆ i, μ i.down) t = (⨆ i, μ i.down).trim s ∧ ∀ (x : PLift ι), ((μ ∘ PLift.down) x) t = ((μ ∘ PLift.down) x).trim s
⊢ (⨆ i, μ i.down).trim s = (⨆ i, (μ i.down).trim) s
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝² : G.IsCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ.val.map f.op (ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁)) = ℱ.val.map f.op (ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂))
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h : iIndepFun m f κ μ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, IsProbabilityMeasure (κ a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData.ofZeros φ hf₁ hg₁ hf₂ hg₂).right =
  CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.ofZeros φ hf₁ hg₁ hf₂ hg₂
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
Monoid γ
(i : ι) → AddMonoid (β i)
(i : ι) → DistribMulAction γ (β i)
s : Finset ι
c : γ
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
⊢ DFinsupp.mk s (c • x) = c • DFinsupp.mk s x
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderTop α
inst✝¹ : IsCoatomic α
inst✝ : OrderTop β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
h_coatom : ∀ (a : α), IsCoatom a → u (l a) = a
b : β
⊢ IsCoatom (u b) ↔ IsCoatom b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ ⋂ i, ⋂ j, s i j = ∅ ↔ ∀ (a : α), ∃ i j, a ∉ s i j
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁶ : GroupWithZero G₀
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : MulActionWithZero G₀ α
inst✝³ : MeasurableSpace G₀
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSMul G₀ α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (0 • s)
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.Integrable (s.indicator f) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s t : Set A
⊢ Algebra.adjoin R (s ∪ t) = Algebra.adjoin R s ⊔ Algebra.adjoin R t
S : Type u_2
CommRing S
w x y z : S
⊢ Polynomial.C w * (Polynomial.X - Polynomial.C x) * (Polynomial.X - Polynomial.C y) * (Polynomial.X - Polynomial.C z) =
  { a := w, b := w * -(x + y + z), c := w * (x * y + x * z + y * z), d := w * -(x * y * z) }.toPoly
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
AddCommGroup V₁
Module K V₁
AddCommGroup V₂
Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
FiniteDimensional K V₂
⊢ Function.Surjective ⇑B.flip ↔ Function.Injective ⇑B
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W a : Submodule R M
a✝ : Submodule R (Module.Dual R M)
⊢ (⇑OrderDual.toDual ∘ dualAnnihilator) a ≤ OrderDual.toDual a✝ ↔ a ≤ (dualCoannihilator ∘ ⇑OrderDual.ofDual) (OrderDual.toDual a✝)
α : Sort u
r : α → α → Prop
IsTrichotomous α r
a b : α
⊢ r a b ∨ a = b ∨ r b a
M : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
m : M
⊢ AddMonoidAlgebra.grade R m = LinearMap.range (Finsupp.lsingle m)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (ProbabilityTheory.truncation f A) μ
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝ : IsNoetherian R M
σ : ι → ι
hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
s : Finset ι := hN.toFinset
κ : ι → Type u_3 := fun i => Module.Free.ChooseBasisIndex R ↥(N i)
b : (i : { x // x ∈ s }) → Basis (κ ↑i) R ↥(N ↑i) := fun i => Module.Free.chooseBasis R ↥(N ↑i)
h : IsInternal fun i => N ↑i
⊢ (trace R M) f = 0
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (β × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω), f x ∂ρ
n : ℕ
α : Type u_1
LinearOrder α
f : Fin n → α
i : Fin n
⊢ (Tuple.graphEquiv₂ f) i = (Tuple.graphEquiv₁ f) ((Tuple.sort f) i)
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y : ℕ
H : ↑x = ↑y
⊢ ↑x = ↑y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Reflexive R
s✝ s t : WSeq α
h : s = t
⊢ Reflexive (LiftRelO R fun x x_1 => x = x_1)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ f '' t ∈ 𝓝 (f x)
α : Type u
r : α → α → Prop
hwf : WellFounded r
⊢ ∃ s, r ≤ s ∧ IsWellOrder α s
α : Type u
HasSSubset α
IsTrans α fun x x_1 => x ⊂ x_1
a b c : α
⊢ a ⊂ b → b ⊂ c → a ⊂ c
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ
⊢ ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v) ∘ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v).source)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
α : Type u_3
self : OrderedCancelAddCommMonoid α
a b c : α
⊢ a + b ≤ a + c → b ≤ c
l r : List Char
⊢ { data := l ++ r }.offsetOfPos { byteIdx := String.utf8Len l } = l.length
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
P : Submodule R A
x y : A
⊢ x ∈ P * Submodule.span R {y} ↔ ∃ z ∈ P, z * y = x
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ 𝓝[I.pi s] x = ⨅ i, Filter.comap (fun x => x i) (𝓝 (x i) ⊓ ⨅ (_ : i ∈ I), 𝓟 (s i))
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ Function.Injective LieSubalgebra.toSubmodule
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ
⊢ y ∈ Metric.sphere x ε ↔ dist y x = ε
α : Type u
s t s' t' : Set α
l : Filter α
h : s ≤ᶠ[l] t
h' : t' ≤ᶠ[l] s'
⊢ s \ s' ≤ᶠ[l] t \ t'
⊢ Set.range Cardinal.ofENat = Set.Iic Cardinal.aleph0
m n : ℕ
⊢ m < n ↔ m + 1 ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
Fintype β
a b : α
⊢ (dist (fun x => a) fun x => b) ≤ dist a b
α : Type u_1
r : Setoid α
⊢ Setoid.mkClasses r.classes ⋯ = r
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
ι : Type u_2
f : ι → Set (α → M)
hf : ∀ (i : ι), A.Definable L (f i)
s : Finset ι
⊢ A.Definable L (s.sup f)
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : ↑(MaxProducts C ho)
⊢ ord I (↑↑l).head! = o
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝
ι : Sort u_6
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
f : Filter α
hf : f.HasBasis p s✝
β : ι → Type u_5
pg : (i : ι) → β i → Prop
sg : (i : ι) → β i → Set γ
g : Set α → Filter γ
hg : ∀ (i : ι), (g (s✝ i)).HasBasis (pg i) (sg i)
gm : Monotone g
s : Set γ
⊢ (∃ i ∈ f.sets, s ∈ g i) ↔ ∃ i, p i ∧ ∃ x, pg i x ∧ sg i x ⊆ s
n : ℕ
hn : Squarefree n
t : Finset ℕ
ht : t ⊆ n.primeFactors
⊢ ∏ a ∈ n.primeFactors \ t, a = n / ∏ a ∈ t, a
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ x ∉ s → y ∉ s → ((y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ Differentiable ℝ fun x => ‖x‖ ^ p
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U :
  (TopologicalSpace.Opens
      ↑↑((AlgebraicGeometry.Scheme.Γ.rightOp.comp AlgebraicGeometry.Scheme.Spec).obj X).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen (↑(Opposite.unop (AlgebraicGeometry.Scheme.Γ.rightOp.obj X)))
      (Opposite.unop U))
    ((AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.unit.app X).val.c.app U) =
  X.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
δ : α → Type u_3
t : (a : α) → Finset (δ a)
f : (a : α) → δ a
⊢ f ∈ Fintype.piFinset t ↔ ∀ (a : α), f a ∈ t a
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
x : α
⊢ ↑((Ordinal.enumIso r).symm x) = Ordinal.typein r x
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.index ∣ Nat.card G
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (HomologicalComplex.eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
⊢ (CochainComplex.triangleOfDegreewiseSplit S σ).obj₃ = S.X₃
α : Type u
⊢ Infinite α ↔ Cardinal.aleph0 ≤ Cardinal.mk α
xl xr : Type u
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
j : (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR).RightMoves
⊢ (xR j).Subsequent (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR)
α : Type u
OrderedCommGroup α
a : α
⊢ a ≤ 1 → 1 ≤ a⁻¹
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
h : Relation.ReflTransGen r a b
⊢ a = b ∨ ∃ c, r a c ∧ Relation.ReflTransGen r c b
G : AddCommGrp
Subsingleton ↑G
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero G
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ 1 < s.ncard ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
y : H
hy : y ∈ f.target
hy' : ↑I y ∈ interior (Set.range ↑I)
⊢ ↑I y ∈ interior (f.extend I).target
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (n : SimplexCategoryᵒᵖ), f.app n = g.app n
⊢ f = g
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
s : Finset α
r : ℝ≥0
⊢ s.sup f / r = s.sup fun a => f a / r
α : Type u_1
M : Matroid α
B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
⊢ (B₁ \ B₂).ncard = (B₂ \ B₁).ncard
α : Type u_1
Preorder α
a : WithZero α
⊢ 0 ≤ a
o : Ordinal.{u_3}
h : IsEmpty (Quotient.out o).α
⊢ o = 0
M : Type u
N : Type v
Monoid M
Monoid N
f : M →* N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑(Units.map f)
R : Type u
CommSemiring R
t : Multiset R[X]
⊢ t.prod.degree ≤ (Multiset.map Polynomial.degree t).sum
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
d : G.Dart
p : V × V
⊢ d.edge = Sym2.mk p ↔ d.toProd = p ∨ d.toProd = p.swap
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s t : Finset α
⊢ ↑(s - t) = ↑s - ↑t
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
⊢ MeasurableSet {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x}
X : Type u
TopologicalSpace X
s K : Set X
hs : s.Infinite
hK : IsCompact K
hsub : s ⊆ K
⊢ ∃ x ∈ K, AccPt x (𝓟 s)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiff I I' n f ↔ Continuous f ∧ ∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
X : Type u_1
R : Type u_3
TopologicalSpace X
NormedRing R
CompleteSpace R
f : C(X, R)
⊢ IsUnit f ↔ ∀ (x : X), IsUnit (f x)
R : Type u
a : R
CommRing R
p : R[X]
⊢ Polynomial.X - Polynomial.C a ∣ p - Polynomial.C (Polynomial.eval a p)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
b : E × F → G
u : Set (E × F)
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
p : E × F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 u p
⊢ fderiv 𝕜 b p = h.deriv p
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
⊢ Small.{v, u} α ↔ lift.{v + 1, u} #α < univ.{v, max u (v + 1)}
s : Set ℕ
Infinite ↑s
DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ℕ
hx : x ∈ s
⊢ ∃ n, Nat.Subtype.ofNat s n = ⟨x, hx⟩
X : Type u_5
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsMeagre s
hts : t ⊆ s
⊢ IsMeagre t
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha_pos : a ≠ 0
hb_pos : b ≠ 0
dfac : ℕ →₀ ℕ := a.factorization ⊓ b.factorization
d : ℕ := dfac.prod fun x x_1 => x ^ x_1
dfac_prime : ∀ p ∈ dfac.support, Prime p
⊢ (a.gcd b).factorization = a.factorization ⊓ b.factorization
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s (μ + ν) ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ ∧ MeasureTheory.IntegrableOn f s ν
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ J > M, (fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) J
h_prM : ¬M.IsPrime
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}
x : R
hx : x ∉ M
y : R
hy : y ∉ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span R {x}
Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wy : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span R {y}
⊢ (fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) M
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ pellZd a1 (n + 2) + pellZd a1 n = ↑(2 * a) * pellZd a1 (n + 1)