ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
d : Derivation R A ↥I
⊢ (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp (liftOfDerivationToSquareZero I hI d) = IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ↥(MeasureTheory.Lp β 1 μ)
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable ↑↑f
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
ι' : Type u_7
N : ι' → Type u_8
(i : ι') → AddCommMonoid (N i)
(i : ι') → TopologicalSpace (N i)
(i : ι') → Module R (N i)
f : (i : ι') → M [⋀^ι]→L[R] N i
⊢ ContinuousAlternatingMap.piEquiv f = ContinuousAlternatingMap.pi f
α : Type u
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
⊢ m.IsCaratheodory (⋃ i, s i)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
h : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ f x ≤ f y
⊢ StrictMono f
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
S : L.Substructure M
T : L.Substructure N
f : L.Hom M N
⊢ S ≤ FirstOrder.Language.Substructure.comap f T → FirstOrder.Language.Substructure.map f S ≤ T
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
X : J
tX : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
F : J ⥤ C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfDiagramInitial tX F).pt = F.obj X
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
adj : L ⊣ R
⊢ L.Initial
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
n : ℕ
a : α
⊢ ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.eapprox f n) a < ⊤
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
f : V → E
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → MeasureTheory.Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) MeasureTheory.volume
⊢ ContDiff ℝ N (𝓕 f)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝ : UniformSpace β
S : Set ι
⊢ UniformSpace.comap S.restrict (uniformSpace fun i => α ↑i) = ⨅ i ∈ S, UniformSpace.comap (eval i) (U i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
CategoryTheory.Epi g
⊢ CategoryTheory.Epi t.inl
α : Type u_1
LE α
s : UpperSet α
a : α
⊢ a ∈ s.compl ↔ a ∉ s
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
n : ℕ
h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom
⊢ multiplicity 2 (x ^ (n + 1) - y ^ (n + 1)) = multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(n + 1)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x : X
f : X → Y
hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y
s : Set (SeparationQuotient X)
⊢ ContinuousWithinAt (SeparationQuotient.lift f hf) s (SeparationQuotient.mk x) ↔
  ContinuousWithinAt f (SeparationQuotient.mk ⁻¹' s) x
α : Type u
β : Type v
m₁ m₂ : α → β
f : Filter α
h : m₁ =ᶠ[f] m₂
⊢ Filter.map m₁ f = Filter.map m₂ f
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
x y : α
⊢ {x, y}.infsep = (edist x y).toReal
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
a : α
x : ℝ
⊢ (ProbabilityTheory.condCDF ρ a).measure (Set.Iic x) = ENNReal.ofReal (↑(ProbabilityTheory.condCDF ρ a) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ : α
a d : β
hcd : a < d
b₂ : α
hab : b₁ < b₁ + b₂
⊢ b₁ • d + (b₁ + b₂) • a < b₁ • a + (b₁ + b₂) • d
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ (x + y).toNat = (x.toNat + y.toNat) % 2 ^ w
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
n : ℕ
x : α
⊢ (f ^ (n % (f.cycleOf x).support.card)) x = (f ^ n) x
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.isSublist l₂ = true ↔ l₁ <+ l₂
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i : δ
inst✝ : Fintype δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
e : { j // j ∈ Finset.univ } ≃ δ := subtypeUnivEquiv ⋯
x : (i : δ) → π i
⊢ (∫⋯∫⁻_Finset.univ, f ∂μ) x = ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ
Ω : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁹ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁸ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁷ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝⁶ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝⁵ : TopologicalSpace Ω
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : BoundedSMul R ℝ≥0
μ : FiniteMeasure Ω
c : R
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), c • 1 * ↑(f ω) ∂↑μ = c • 1 * ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β
h : x.isRight = true
⊢ Sum.inr (x.getRight h) = x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
F_obj : C → D
e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)
he : ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y), (e X Y') (h ≫ g) = (e X Y) h ≫ G.map g
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
⊢ (e X' Y).symm (f ≫ g) = (leftAdjointOfEquiv e he).map f ≫ (e X Y).symm g
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
PartialOrder α
Preorder β
a b : α
h : StrictMono f
⊢ f '' Set.Ico a b ⊆ Set.Ico (f a) (f b)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => ↑(f x)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Γ' : Type u_3
PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x : HahnSeries Γ R
b : Γ'
hb : b ∉ ⇑f '' x.support
⊢ (HahnSeries.embDomain f x).coeff b = 0
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y✝ y : ι → ℝ
⊢ (∀ (x : ι), I.lower x < y x) ∧ y i ≤ x ∧ y ≤ I.upper ↔ (∀ (x : ι), I.lower x < y x) ∧ y ≤ I.upper ∧ y i ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : LinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
i : ι
i_s : i ∈ s
b : β
hb : ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a
⊢ ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in Filter.map (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommGroup W
inst✝¹³ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : FirstCountableTopology W
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
hf : Integrable f μ
⊢ ∀ (x : W), ∀ᵐ (a : V) ∂μ, ‖e (-(L a) x) • f a‖ ≤ ?bound a
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
f : F
S : NonUnitalSubalgebra R B
hf : ∀ (x : A), f x ∈ S
⊢ (NonUnitalSubalgebraClass.subtype S).comp (NonUnitalAlgHom.codRestrict f S hf) =
  NonUnitalAlgHomClass.toNonUnitalAlgHom f
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R 𝕜
p : 𝕜[X]
q : R[X]
x : 𝕜
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => (aeval x) q) ((aeval x) (derivative q)) x
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
g0 : α → ℝ≥0∞
f_lt_g0 : ∀ (x : α), ↑(AEMeasurable.mk f fmeas x) < g0 x
g0_cont : LowerSemicontinuous g0
g0_int : ∫⁻ (x : α), g0 x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(AEMeasurable.mk f fmeas x) ∂μ + ε / 2
s : Set α
hs : {x | (fun x => f x = AEMeasurable.mk f fmeas x) x}ᶜ ⊆ s
smeas : MeasurableSet s
μs : μ s = 0
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
⊢ ∀ (x : ↑M), (((TensorProduct.mk R ↑(of R R) ↑M).compr₂ (tensorHom (𝟙 (of R R)) f ≫ (leftUnitor N).hom)) 1) x = (((TensorProduct.mk R ↑(of R R) ↑M).compr₂ ((leftUnitor M).hom ≫ f)) 1) x
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E 2 μ)
c : E
⊢ ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) (Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜) ⋯)) =ᶠ[ae μ] fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_6
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Filter.Tendsto (fun n => ‖c n‖) l Filter.atTop
cdlim : Filter.Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
⊢ Filter.Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (f' v))
a✝ b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
a : Cardinal.{u_1}
h : ¬ℵ₀ ≤ a
⊢ IsPrimePow a ↔ ∃ n, a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
⊢ ⇑e.symm '' (⇑e '' s) = s
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
⊢ (Action.functorCategoryMonoidalEquivalence V G).ε.app PUnit.unit =
  𝟙 ((𝟙_ (CategoryTheory.SingleObj ↑G ⥤ V)).obj PUnit.unit)
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
X : CategoryTheory.Functor (C × D) E
⊢ ∀ (X_1 : C × D),
  (CategoryTheory.currying.counitIso.hom.app X).app X_1 = CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.obj (X_1.1, X_1.2))
E : Type u_3
SeminormedCommGroup E
a b : E
⊢ dist a (a * b) = ‖b‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom.unop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (Opposite.unop X)).inv
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : F
⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ fun x => c
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
H : ∀ (n : ℤ), 0 ≤ n → (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
⊢ StrictMono fun n => (a ^ n).y
G : Type u_1
Group G
n : ℕ
h : lowerCentralSeries G n ≤ Subgroup.center G
⊢ lowerCentralSeries G (n + 1) = ⊥
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ fst R M M₂ ⊔ snd R M M₂ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a₁ b₁ a₂ b₂ : CauSeq α abs
ha : a₁ ≈ a₂
hb : b₁ ≈ b₂
ε : α
ε0 : ε > 0
ai : ℕ
hai : ∀ j ≥ ai, |↑(a₁ - a₂) j| < ε
bi : ℕ
hbi : ∀ j ≥ bi, |↑(b₁ - b₂) j| < ε
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, |↑(a₁ ⊓ b₁ - a₂ ⊓ b₂) j| < ε
p q r : Prop
h : r → p → q
⊢ r ∧ p → r ∧ q
ι : Sort u_1
α : ι → Sort u_2
r : ι → ι → Prop
s₁ s₂ : (i : ι) → α i → α i → Prop
hs : ∀ (i : ι) (a b : α i), s₁ i a b → s₂ i a b
a b : (i : ι) ×' α i
h : PSigma.Lex r s₁ a b
⊢ PSigma.Lex r s₂ a b
β : Type u_4
CommMonoid β
f : ℕ → β
n : ℕ
⊢ ∏ k ∈ Finset.range (n + 1), f k = (∏ k ∈ Finset.range n, f (k + 1)) * f 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i✝ j✝ i j k : ι
hk : k = (P.reflection_perm i) j
⊢ P.coroot k = (P.coreflection i) (P.coroot j)
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n
⊢ 1 ≤ ifp_succ_n.b
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
x : M
hx : (f ^ m) x ∈ ↑(ker (f ^ n))
⊢ (f ^ m) x = 0
α : Type u_7
β : Type u_8
DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Multiset β
x : β
⊢ x ∈ s.sup f ↔ ∃ v ∈ s, x ∈ f v
α : Type u_2
β : Type u_3
HeytingAlgebra α
HeytingAlgebra β
f : HeytingHom α β
⊢ ⇑f.toLatticeHom = ⇑f
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S✝ : Set (Set α)
f : ι → Set α
S : Set (Set α)
⊢ interior (⋂₀ S) = ⋂ s ∈ S, interior s
G : Type u_1
Group G
⊢ Subgroup.closure {1} = ⊥
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
f : γ → β
g : α → γ
v : UniformSpace β
u : UniformSpace α
h : UniformContinuous (f ∘ g)
⊢ UniformContinuous g
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ zeroLocus ↑I ∈ irreducibleComponents (PrimeSpectrum R) ↔ vanishingIdeal (zeroLocus ↑I) ∈ minimalPrimes R
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)
⊢ (map (⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e)) (Measure.pi fun i => μ (e i))) (univ.pi s) = ∏ i : ι', (μ i) (s i)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
hf : OpenEmbedding ⇑f
this : Mono f
⊢ CompatiblePreserving (Opens.grothendieckTopology ↑Y) ⋯.functor
β : Type u
MetricSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
SecondCountableTopology β
HasBesicovitchCovering β
μ : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set β
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ.restrict s,
  Filter.Tendsto (fun r => μ (s ∩ Metric.closedBall x r) / μ (Metric.closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
a : α
val✝¹ : Multiset α
s : List α
nodup✝¹ : Nodup (Quot.mk Setoid.r s)
val✝ : Multiset α
t : List α
nodup✝ : Nodup (Quot.mk Setoid.r t)
h : _root_.Disjoint { val := Quot.mk Setoid.r s, nodup := nodup✝¹ } { val := Quot.mk Setoid.r t, nodup := nodup✝ }
⊢ a ∈ { val := Quot.mk Setoid.r s, nodup := nodup✝¹ }.disjUnion { val := Quot.mk Setoid.r t, nodup := nodup✝ } h ↔ a ∈ { val := Quot.mk Setoid.r s, nodup := nodup✝¹ } ∨ a ∈ { val := Quot.mk Setoid.r t, nodup := nodup✝ }
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
n n' : ℤ
hf : (a ^ n).x = (-a ^ n').x
H : 0 < (a ^ n).x
⊢ False
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p % 4 = 3
hq : q % 4 = 3
nop : ∀ {n : ℕ}, n % 4 = 3 → (-1) ^ (n / 2) = -1 := @neg_one_pow_div_two_of_three_mod_four
⊢ legendreSym q ↑p = -legendreSym p ↑q
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
H : IsTotallySeparated s
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : IsPreconnected t
x : α
x_in : x ∈ t
y : α
y_in : y ∈ t
h : ¬x = y
⊢ False
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
⊢ WittVector.ghostFun (x - y) = WittVector.ghostFun x - WittVector.ghostFun y
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasEqualizer f g
inst✝ : HasEqualizer (G.map f) (G.map g)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = h ≫ g
⊢ G.map (equalizer.lift h w) ≫ equalizerComparison f g G = equalizer.lift (G.map h) ⋯
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
CompleteSpace α
f : ℕ → α
z : α
h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i
hz : ‖z‖ < 1
⊢ Summable fun n => f n * z ^ n
a : SimplexCategory
⊢ SimplexCategory.Hom.toOrderHom (𝟙 a) = OrderHom.id
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
self : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E
y₁ y₂ : F
⊢ f (x, y₁ + y₂) = f (x, y₁) + f (x, y₂)
q : ℕ+
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).2 = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
z : M
f : M → E'
f' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, E') f z f'
⊢ HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, E') (-f) z (-f')
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
this✝ : Nontrivial ↥N
this : Fact (Nat.Prime (Nat.card ↥N).minFac)
⊢ N.IsCommutative
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
a : WithTop α
h : a ≠ 0
⊢ a * ⊤ = ⊤
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
h₀ : t ∈ 𝓝 0
hc : Convex ℝ t
⊢ Set.MapsTo (gaugeRescale s t) (interior s) (interior t)
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
A B : Set (Finset α)
s : Finset α
r : ℕ
f : ι → Set (Finset α)
⊢ (∀ ⦃x : Finset α⦄ (x_1 : ι), x ∈ f x_1 → x.card = r) ↔ ∀ (i : ι) ⦃x : Finset α⦄, x ∈ f i → x.card = r
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ⋖ b
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ pure (IntCast.intCast (n - 1)) ≤ 𝓝[≤] ↑(n - 1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
n : ℤ
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f
    ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).counitIso.inv.app Y) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).counitIso.inv.app X)
    ((CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ n).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.unop).op)
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hb : AddLECancellable b
h : b ≤ a
⊢ a - b = c ↔ a = c + b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i j : Set α
s : SignedMeasure α
f : ℕ → ℝ
left✝ : Antitone f
hf₂ : Tendsto f atTop (nhds (sInf s.measureOfNegatives))
B : ℕ → Set α
hB : ∀ (n : ℕ), B n ∈ {B | MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B} ∧ ↑s (B n) = f n
hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)
hB₂ : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)
A : Set α := ⋃ n, B n
hA : A = ⋃ n, B n
hA₁ : MeasurableSet A
hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A
hA₃ : ↑s A = sInf s.measureOfNegatives
C : Set α
a✝ : MeasurableSet C
hC₁ : C ⊆ Aᶜ
hC₂ : ↑s C < ↑0 C
D : Set α
hD₁ : MeasurableSet D
hD : D ⊆ C
hD₂ : restrict s D ≤ restrict 0 D
hD₃ : ↑s D < 0
this : ↑s (A ∪ D) < sInf s.measureOfNegatives
⊢ False
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
h' : rootMultiplicity t p ≤ n
hroot : (rootMultiplicity t p).factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = 0
q : R
hnzd : ↑(rootMultiplicity t p).factorial ∈ nonZeroDivisors R ∧ q ∈ nonZeroDivisors R
hq : ↑n.factorial = ↑(rootMultiplicity t p).factorial * q
⊢ False
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a : G
n : ℤ
⊢ a ^ |n| = 1 ↔ a ^ n = 1
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
self : W'.Point
⊢ W'.NonsingularLift self.point
R : Type u
Ring R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
⊢ LinearMap.range f = ⊤
M : Type u_6
N : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
h : M ≃* N
⊢ h 1 = 1
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → M i) →* γ
h : ∀ (i : ι) (x : M i), f (Pi.mulSingle i x) = g (Pi.mulSingle i x)
val✝ : Fintype ι
x : (i : ι) → M i
⊢ f x = g x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
⊢ finrank 𝕜 ↥K + finrank 𝕜 ↥Kᗮ = finrank 𝕜 E
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
i : ι
f g : ι →₀ α
⊢ (f.rangeIcc g) i = Finset.Icc (f i) (g i)
E : Sort u_1
α : Sort u_3
β : Sort u_4
iE : EquivLike E α β
⊢ Function.Injective EquivLike.inv
x : ℂ
⊢ cexp x ∈ {0}ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
n : ℕ
⊢ a ^ (Int.negSucc (n + 1) + 1) = a ^ Int.negSucc (n + 1) * a
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
⊢ (∃ s, G.IsNClique 3 s) ↔ ∃ u w, w.IsCycle ∧ w.length = 3
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1
A : Tendsto (fun n => x + c ^ n) atTop (𝓝 x)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + c ^ n ∈ U
n : ℕ
hn : x + c ^ n ∈ U
⊢ x + c ^ n ≠ x
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
⊢ s.erase a = ∅ ↔ s = ∅ ∨ s = {a}
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ (Multiset.toDFinsupp s).support = s.toFinset
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
hfs : Function.Surjective f.toFun
a b : LocallyConstant Y Z
h : comap f a = comap f b
y : Y
x : X
hx : f.toFun x = y
⊢ a y = b y
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.207600, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : Cocycle K F 1
β : Cochain K G 0
eq : δ 0 1 β + (↑α).comp (Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0
⊢ Cochain.ofHom (lift φ α β eq) = liftCochain φ (↑α) β ⋯
α : Type u_1
t : Set α
s : Finset α
Fintype ↑t
⊢ s ⊆ t.toFinset ↔ ↑s ⊆ t
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
h : IsConnected s
⊢ IsPreconnected s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
W : C
h : W ⟶ X
w : (kernelSubobject f).Factors h
⊢ h ≫ f = 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n.succ A‖ ≤ 1