ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
s t : Set α
hst : (comap f μ) {a | ¬s a = t a} = 0
h_eq_α : {a | ¬s a = t a} = s \ t ∪ t \ s
h_eq_β : {a | ¬(f '' s) a = (f '' t) a} = f '' s \ f '' t ∪ f '' t \ f '' s
⊢ μ {a | ¬(f '' s) a = (f '' t) a} = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ dist p₃ p₂ / Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → Tropical R
⊢ ∑ i ∈ s, untrop (f i) = (Multiset.map (fun i => untrop (f i)) s.val).sum
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Inv G
Zero G
SmoothInv₀ I G
⊢ SmoothOn I I Inv.inv {0}ᶜ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x y z : M
h : z ∈ (extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source
⊢ HasFDerivWithinAt (↑(extChartAt I y) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (tangentCoordChange I x y z) (Set.range ↑I)
  (↑(extChartAt I x) z)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
hikl : k + l ≤ i
h1 : l ≤ i
h2 : k ≤ i - l
h3 : k ≤ k + l
⊢ ↑((i - l).choose k) * ↑(i.choose l) = ↑((k + l).choose k) * ↑(i.choose (k + l))
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
M' : Submodule R M
w✝ : Submodule R N
hfin : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥w✝
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor N M'.subtype ∘ₗ LinearMap.lTensor (↥M') w✝.subtype))
⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor N M'.subtype))
R : Type u
CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
⊢ f.dualMap = LinearMap.lcomp R R f
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ Set.kernImage f (s ∪ f ⁻¹' t) = Set.kernImage f s ∪ t
α : Type u_1
M : Type u_4
MulOneClass M
f : α → M
s t : Set α
⊢ (s ∪ t).mulIndicator f * (s ∩ t).mulIndicator f = s.mulIndicator f * t.mulIndicator f
A B : TopCat
g : ↑(π.obj A) × ↑(π.obj B)
⊢ (FundamentalGroupoidFunctor.prodToProdTop A B).obj g = { as := (g.1.as, g.2.as) }
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : MulZeroOneClass α} {x_1 : MulZeroOneClass β} (f : α →*₀ β) (f' : α → β) (h : f' = ⇑f), ⇑(f.copy f' h) = f'
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
AddMonoid α
AddMonoid β
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
f : F
a : α
s : Finset α
⊢ Finset.image (⇑f) (a +ᵥ s) = f a +ᵥ Finset.image (⇑f) s
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
s : Set G
a : G
this : ↑a • QuotientGroup.mk '' s = QuotientGroup.mk '' (a • s)
h : QuotientGroup.mk '' (a • s) = QuotientGroup.mk '' s
⊢ a • s = s
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
hppos : p > 0
hqpos : q > 0
⊢ φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
a b : ℍ
⊢ ↑a = ↑b ↔ a = b
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C
⊢ (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ (M.one ⊗ N.one) ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (λ_ (M.X ⊗ N.X)).hom
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s t : Set M
x : M
n : ℕ∞
hst : 𝓝[s] x = 𝓝[t] x
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ContMDiffWithinAt I I' n f t x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
s : Set E
x : E
hs : UniqueMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) s x
⊢ mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') (⇑f) s x = f
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.6986, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ f.op ≫ (kernel.ι f).op = 0
M : Type u_4
AddMonoid M
l₁ l₂ : List M
⊢ (l₁ ++ l₂).sum = l₁.sum + l₂.sum
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ StrictMono (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) ↔ StrictMono f
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsUpperSet α
a : α
⊢ closure {a} = Set.Iic a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair C
X : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ (CategoryTheory.Limits.diagramIsoParallelPair F).hom.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ✝
f✝ g✝ : α → β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mα : MeasurableSpace α
f : γ → α
μ : Measure γ
hf : MeasurableEmbedding f
g : α → β
⊢ AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ) ↔ AEStronglyMeasurable (g ∘ f) μ
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (cocompact X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsCompact K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s
this : f '' K ∈ l
⊢ ∃ x ∈ insert y (range f), ClusterPt x l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ CategoryTheory.BicartesianSq 0 0 b.inl b.inr
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Module.support R N ⊆ Module.support R M
R : Type u
Ring R
M N : ModuleCat R
f₁ f₂ : M ⟶ N
h : ∀ (x : ↑M), f₁ x = f₂ x
⊢ f₁ = f₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ c.op.pt = Opposite.op c.pt
l m✝ n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
P : Matrix (Fin (m + 1)) (Fin n) α → Prop
⊢ (∃ r A, P (of (vecCons r A))) ↔ ∃ x, P x
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
s : S
n : ℕ
hzero : ¬s = 0
q : R[X]
hq : (map f q).coeff n = ((monomial n) s).coeff n
hcoeff : f (q.coeff n) = s
hqzero : q.coeff n ≠ 0
⊢ (C (q.coeff n) * X ^ n).degree = (C s * X ^ n).degree
M : Type u_1
Mul M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set M
⊢ upperBounds s * upperBounds t ⊆ upperBounds (s * t)
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ |a ⊔ b - c ⊔ d| ≤ |a - c| + |b - d|
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
z✝ : 𝕜
hx : ↑z✝ ≠ ↑a
⊢ Filter.map (⇑(equivIoc p a) ∘ QuotientAddGroup.mk) (𝓝 z✝) ≤ 𝓝 ((equivIoc p a) ↑z✝)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_ℝ = 0
this : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ v ∈ ↑K
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
m : M
⊢ ‖(QuotientAddGroup.mk' S) m‖ = 0 ↔ m ∈ closure ↑S
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
CategoryTheory.ConcreteCategory A
hH : CategoryTheory.CoverPreserving J K H
H.IsCocontinuous J K
H.IsCoverDense K
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J (CategoryTheory.whiskerLeft H.op f) ↔
  CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective K f
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → t₁ ⊆ t₂ → s₁ ⊼ t₁ ⊆ s₂ ⊼ t₂
a : SignType
⊢ a ≤ 0 ↔ a = -1 ∨ a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Tendsto (fun q => f (a, t) (-q)) atTop (𝓝 0)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : Algebra.IsSeparable K F
pb : PowerBasis K L
this : FiniteDimensional L F
⊢ ∑ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = finrank L F • ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ coborder s = s ∪ (frontier s)ᶜ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
X : I₁ ⊕ I₂ → C
c : CategoryTheory.Limits.Cofan X
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cofan (X ∘ Sum.inl)
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cofan (X ∘ Sum.inr)
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁
hc₂ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₂
CategoryTheory.Limits.MonoCoprod C
⊢ CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.Limits.MonoCoprod.binaryCofanSum c c₁ c₂ hc₁ hc₂).inr
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg
⊢ ({ re := ↑x, im := -↑y } + { re := -↑z, im := ↑w }).Nonneg
R : Type u
M : Type v
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
S : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
DecidableEq ι
Semiring S
Module S M
SMulCommClass R S M
f : (i : ι) → φ i →ₗ[R] M
⊢ (LinearMap.lsum R φ S) f = ∑ i : ι, f i ∘ₗ LinearMap.proj i
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
⊢ ∀ (s : ℕ → Set α), extend m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)
α : Type u
s t : Set α
u : Set α
H : s ⊆ t
⊢ s ∩ u ⊆ t ∩ u
M : Type u_1
CommMonoid M
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → M
⊢ ∏ p ∈ Finset.antidiagonal (n + 1), f p = f (n + 1, 0) * ∏ p ∈ Finset.antidiagonal n, f (p.1, p.2 + 1)
R : Type u
Semiring R
DecidableEq R
i : ℕ
r : R
⊢ ((Polynomial.monomial i) r).natDegree = if r = 0 then 0 else i
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
⊢ (Multiset.map (totalDegree ∘ f) s.val).sum ≤ ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree
α : Type u_1
Mul α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b c : α
⊢ b * a < c * a ↔ b < c
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
⊢ Function.Injective ⇑e
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
ii : o
ix : n' ii
ji : o
jx : m' ji
⊢ (if h : ji = ii then M ji jx (cast ⋯ ix) else 0) = if h : ii = ji then M ii (cast ⋯ jx) ix else 0
a b c : Int
⊢ (a + b) * c = a * c + b * c
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ Finset.Ioo a₁ b₁ ⊆ Finset.Ioo a₂ b₂
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
⊢ (AffineSubspace.map f s).WOppSide (f x) (f y)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
Du : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uE uF uG, uD} D
Eu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uF uG, uE} E
Fu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uG, uF} F
Gu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uF, uG} G
isoD : Du ≃ₗᵢ[𝕜] D
isoE : Eu ≃ₗᵢ[𝕜] E
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : Du → Eu := ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
hfu✝ : fu = ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
gu : Du → Fu := ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
hgu✝ : gu = ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
Bu₀ : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] G := ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
hBu₀ : Bu₀ = ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
Bu : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu := ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
hBu : Bu = ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
Bu_eq : (fun y => (Bu (fu y)) (gu y)) = ⇑isoG.symm ∘ (fun y => (B (f y)) (g y)) ∘ ⇑isoD
Bu_le : ‖Bu‖ ≤ ‖B‖
su : Set Du := ⇑isoD ⁻¹' s
hsu : UniqueDiffOn 𝕜 su
xu : Du := isoD.symm x
hxu : xu ∈ su
xu_x : isoD xu = x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu su
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu su
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
α : Type u_1
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
DistribLattice α
OrderBot α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
hs : s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')
ht : t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
⊢ (s ×ˢ t).SupIndep f
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : BinomialRing R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s
⊢ k.factorial • choose (r + s) k = k.factorial • ∑ ij ∈ antidiagonal k, choose r ij.1 * choose s ij.2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
h : ∀ (x : ℝ), ∃ x_1 ∈ s.measureOfNegatives, x_1 < x
f : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s.measureOfNegatives ∧ f n < -↑n
B : ℕ → Set α
hmeas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)
hr : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)
h_lt : ∀ (n : ℕ), ↑s (B n) < -↑n
A : Set α := ⋃ n, B n
hA : A = ⋃ n, B n
hfalse : ∀ (n : ℕ), ↑s A ≤ -↑n
⊢ False
R : Type u
Ring R
M N : ModuleCat R
⊢ (M.binaryProductLimitCone N).cone.π.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left } = LinearMap.fst R ↑M ↑N
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ s • ⁅v, x⁆ + (t • ⁅x, w⁆ + ⁅v, w⁆) ∈ H
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
n : ℕ
a✝ : List R[X]
hl : ∀ p ∈ ⟦a✝⟧, p.natDegree ≤ n
⊢ (prod ⟦a✝⟧).coeff (Multiset.card ⟦a✝⟧ * n) = (Multiset.map (fun p => p.coeff n) ⟦a✝⟧).prod
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
k : ℕ
⊢ t ∈ Finset.upShadow^[k] 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ (t \ s).card = k
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
⊢ G'.IsSpanning ↔ G'.verts = Set.univ
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
f : F
this : HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c x • 0 + c' • f) s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c' • f) s x
n : ℕ
a : Fin n
⊢ max (↑a) n = n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : CommSemiring A'
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R A'
inst✝² : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x✝ : A
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Algebra R S
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : S
⊢ (aeval x) p = ∑ i ∈ range n, p.coeff i • x ^ i
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
self : OrderClosedTopology α
⊢ IsClosed {p | p.1 ≤ p.2}
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
ha : a ≠ 0
b c : α
⊢ (fun x => x / a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b * a, c * a]]
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
𝕜 : Type u_5
NormedAddCommGroup 𝕜
SMulZeroClass 𝕜 β
BoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (c • f) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedField β
u v : α → β
l : Filter α
hz : ∀ᶠ (x : α) in l, v x = 0 → u x = 0
huv : Filter.Tendsto (u / v) l (nhds 1)
⊢ u ~[l] v
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h' : Finite R N
hN : IsTorsion R N
I : Type u
fI : Fintype I
w✝ : DecidableEq I
p : I → R
hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)
e : I → ℕ
h : DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R N (p i ^ e i)
this✝ : Fintype I
this : ∀ (i : I), ∃ d k, Nonempty (↥(torsionBy R N (p i ^ e i)) ≃ₗ[R] ⨁ (j : Fin d), R ⧸ span R {p i ^ k j})
⊢ ∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : ι), R ⧸ span R {p i ^ e i})
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
h : a ≤ 1
⊢ ⌊a⌋₊ ≤ 1
V : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝¹ : MonoidalCategory V
H : Grp
X : Action V ((forget₂ Grp MonCat).obj H)
inst✝ : RightRigidCategory V
h : ↑H
⊢ SingleObj H.1
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
h : p.degree < q.degree
hlt : p.degree < (q * C q.leadingCoeff⁻¹).degree
hm : (q * C q.leadingCoeff⁻¹).Monic
⊢ p / q = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
φ : ι → Type u_4
f : (ι : ι) → φ ι → M
hf : ∀ (i : ι), LinearIndependent R (f i)
⊢ ∀ (j : ι), LinearIndependent R fun x => single j (f j x)
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
x y : X
⊢ dist x y ≤ ↑(d x y)
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => Real.sin (f x)) (Real.cos (f x) * f') x
α : Type u_1
f : Filter α
CountableInterFilter f
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ Filter.limsup (fun x => a * u x) f = a * Filter.limsup u f
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
x : X
y : Y
⊢ 1 ≤ Sum.dist (Sum.inr y) (Sum.inl x)
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
k₁ : ℝ
hab₁ : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
k₂ : ℝ
hcd₁ : d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)
⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
m n a b c d : ℕ
h₁ : a ≡ b [MOD n]
h₂ : a + c ≡ b + d [MOD n]
⊢ c ≡ d [MOD n]
R : Type u_1
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
Ring R
CharP R p
hn : p ∣ n
⊢ Polynomial.cyclotomic (n * p) R = Polynomial.cyclotomic n R ^ p
z : ℍ
⊢ ↑π * (↑π * ↑z).cot = ↑π * I - 2 * ↑π * I * ∑' (n : ℕ), cexp (2 * ↑π * I * ↑z) ^ n
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : i < c.length
⊢ c.sizeUpTo i < c.sizeUpTo (i + 1)
α : Type u_1
Lattice α
IsUpperModularLattice α
a b : α
⊢ a ⊓ b ⋖ b → a ⋖ a ⊔ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : α → γ
⊢ (Set.range fun x => (f x, g x)) ⊆ Set.range f ×ˢ Set.range g
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Semiring α
t : IsCancelMulZero α
⊢ Nontrivial α → IsDomain α
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t✝ : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t✝.Finite
t : Finset α
⊢ hs.toFinset ⊆ t ↔ s ⊆ ↑t
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ W.Ψ (2 * (↑m + 3)) * W.ψ₂ = W.Ψ (↑m + 2) ^ 2 * W.Ψ (↑m + 3) * W.Ψ (↑m + 5) - W.Ψ (↑m + 1) * W.Ψ (↑m + 3) * W.Ψ (↑m + 4) ^ 2
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
s' : Set X
t' : Set Y
h : e.IsImage s t
h' : e.IsImage s' t'
⊢ e.IsImage (s ∪ s') (t ∪ t')
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
s : Set α
n : ℕ
hf : (f ^ n).IsCycleOn s
h : Set.BijOn (⇑f) s s
⊢ f.IsCycleOn s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t A B : Set β
a : α
x : β
⊢ x ∈ a⁻¹ • A ↔ a • x ∈ A
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
X : Set R
x y : ↑X
h : x ≠ y
⊢ ¬eval (↑x) Polynomial.X = eval (↑y) Polynomial.X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Limits.BinaryBicones.functoriality P Q F).map f).hom = F.map f.hom
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a : B
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)).hom =
  (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)).hom
G : Type u_4
MeasurableSpace G
InvolutiveInv G
MeasurableInv G
⊢ (MeasurableEquiv.inv G).toEquiv = Equiv.inv G
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
i : F.obj 0 ≅ 0
⊢ F.PreservesZeroMorphisms