ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
p : ℝ := (∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card)
q : ℝ := (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card)
r : ℝ := ↑(G.edgeDensity ((star hP G ε hU V).biUnion id) ((star hP G ε hV U).biUnion id))
s : ℝ := ↑(G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε U V) (G.nonuniformWitness ε V U))
t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)
hrs : |r - s| ≤ ε / 5
hst : ε ≤ |s - t|
hpr : |p - r| ≤ ε ^ 5 / 49
hqt : |q - t| ≤ ε ^ 5 / 49
hε' : ε ^ 5 ≤ ε
⊢ 3 / 4 * ε ≤ |p - q|
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
⊢ (e.restr s).source = e.source ∩ s
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
x : S
p q : R[X]
⊢ Polynomial.eval₂ (algebraMap R S) x (p.comp q) =
  Polynomial.eval₂ (algebraMap R S) (Polynomial.eval₂ (algebraMap R S) x q) p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Adhesive C
H : CategoryTheory.IsPushout f g h i
CategoryTheory.Mono g
⊢ CategoryTheory.IsPullback f g h i
α : Type u_1
ι : Type u_5
π : α → Type u_6
(x : α) → AddCommMonoid (π x)
(x : α) → TopologicalSpace (π x)
∀ (x : α), T2Space (π x)
f : ι → (x : α) → π x
x : α
hf : Summable f
⊢ tsum (fun i => f i) x = ∑' (i : ι), f i x
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
LieModule.LinearWeights R L M
χ : LieModule.Weight R L M
⊢ LieModule.Weight.toLinear R L M χ ≠ 0 ↔ χ.IsNonZero
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p : P
⊢ ⇑(AffineIsometryEquiv.constVSub 𝕜 p) = fun x => p -ᵥ x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
z : E
c : 𝕜
⊢ Convex 𝕜 ((fun x => z + c • x) '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
hG : G.Connected
hH : H.Connected
this✝ : Nonempty α
this : Nonempty β
⊢ (G □ H).Connected
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
⊢ μ (s ∪ t) + μ (s ∩ t) = μ s + μ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
s : Set α
a : α
di : DenseInducing i
U : Set β
sub : i ⁻¹' U ⊆ s
haU : i a ∈ U
hUo : IsOpen U
⊢ U ⊆ closure (i '' s)
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Ring α
⊢ NoZeroDivisors α ↔ IsDomain α ∨ Subsingleton α
z : ℂ
⊢ -(π / 2) < z.arg ↔ 0 < z.re ∨ 0 ≤ z.im
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
c : 𝕜
f : ↥(Lp F p μ)
s : Set X
⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB : M.Base B
h : B.Nonempty
he : M.Base ∅
⊢ False
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
ι : Type w
Finite ι
h : Basis ι K V
⊢ FiniteDimensional K V
G : Type u_1
Group G
Fintype G
x : G
DecidableEq G
⊢ Finset.image (fun i => x ^ i) (Finset.range (orderOf x)) = (↑(Subgroup.zpowers x)).toFinset
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ≥0
⊢ EMetric.closedBall x ↑ε = closedBall x ↑ε
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
x : Completion G
⊢ (id G).completion x = (id (Completion G)) x
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
h : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
W : C
m : W ⟶ t.pt
⊢ m = h.lift { pt := W, π := { app := fun b => m ≫ t.π.app b, naturality := ⋯ } }
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace α✝
π : β → Type u_3
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_4
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → PseudoMetricSpace (α i)
i : Fin (n + 1)
x y : α i
f g : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
⊢ dist (i.insertNth x f) (i.insertNth y g) = max (dist x y) (dist f g)
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
x : X
y : Y
⊢ 1 ≤ Metric.Sum.dist (Sum.inr y) (Sum.inl x)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
⊢ volume {x | ∑ i : ι, |x i| ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
R : Type u_3
OrderedSemiring R
a : R
h : 1 ≤ a
⊢ Monotone fun x => a ^ x
n✝ m n : ℕ
a : Fin n
b : Fin (n + 1)
h : a.castSucc < b
⊢ a.castSucc.predAbove b.castSucc = (a.predAbove b).castSucc
X Y : CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape CategoryTheory.Limits.WalkingPair
⊢ ∀ (a : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.Limits.walkingCospanOpEquiv.inverse.map a =
    CategoryTheory.Limits.widePushoutShapeOpMap CategoryTheory.Limits.WalkingPair X Y a
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_gt : ∀ x ∈ interior D, C < deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x < y
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
a : ℝ
a_mem : a ∈ Ioo x y
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
this : C < (f y - f x) / (y - x)
⊢ C * (y - x) < f y - f x
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit c
⊢ a * c⁻¹ = b * c⁻¹ ↔ a = b
k : ℕ
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (bernoulliFun k) (↑k * bernoulliFun (k - 1) x) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.Factorisation f
⊢ CategoryTheory.Factorisation.forget.obj self = self.mid
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
self : CategoryTheory.Limits.DiagramOfCones F
j₁ j₂ j₃ : J
f : j₁ ⟶ j₂
g : j₂ ⟶ j₃
⊢ (self.map (f ≫ g)).hom = (self.map f).hom ≫ (self.map g).hom
R : Type u
CommRing R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
f : (x : ↥U) → AlgebraicGeometry.StructureSheaf.Localizations R ↑x
⊢ (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.isLocallyFraction R).pred f =
  ∀ (x : ↥U),
    ∃ V,
      ∃ (_ : ↑x ∈ V),
        ∃ i r s,
          ∀ (y : ↥V),
            s ∉ (↑y).asIdeal ∧
              f ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) y) *
                  (algebraMap R (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.Localizations R ↑((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) y))) s =
                (algebraMap R (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.Localizations R ↑((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) y))) r
m n : ℕ
⊢ (m + n).Coprime m ↔ n.Coprime m
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
F : C ⥤ D
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
CategoryTheory.CategoryWithHomology D
(HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
(HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization
F.Additive
F.PreservesHomology
c.QFactorsThroughHomotopy C
c.QFactorsThroughHomotopy D
(HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)
K : HomologicalComplex C c
⊢ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactorsh c).hom.app ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K) =
  (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map ((HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso C c).hom.app K) ≫
    (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫
      (HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso D c).inv.app ((F.mapHomologicalComplex c).obj K) ≫
        HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors c).inv.app K)
x ε : ℝ
⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε = ⋃ z, closedBall (x + z • 0) ε
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : Set.range v ⊆ ↑(Submodule.span R (Set.range (v ∘ ⇑f)))
⊢ Function.Surjective ⇑f
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 ≠ b
H : ∀ (d e : ℝ), 0 < d → Tendsto (fun x => x ^ n / (d * rexp x + e)) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun x => x ^ n / (b * rexp x + c)) atTop (𝓝 0)
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_left : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (cs.simple i * w)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
⊢ p w
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Generators R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
s : S
⊢ s * IsLocalization.mk' S r 1 ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 * IsLocalization.mk' S 1 (⟨r, ⋯⟩ ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2) = s
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : ι
hi : i ∉ range ⇑snf.f
c : Fin n →₀ R
hm : (c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i)) ∈ N
⊢ (snf.bM.repr ↑⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm⟩) i = 0
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Nontrivial M
s t : Set α
h : Disjoint (supported M R s) (supported M R t)
x : α
hx1 : x ∈ s
hx2 : x ∈ t
y : M
hy : y ≠ 0
this : y = 0
⊢ False
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
f : C ⟶ D
hom : (i j : ι) → D.X i ⟶ E.X j
n : ι
⊢ (f ≫ nullHomotopicMap hom).f n = (nullHomotopicMap fun i j => f.f i ≫ hom i j).f n
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, F⟮↑i⟯
s : Finset ↑S
hx' : x ∈ ⨆ i ∈ s, F⟮↑i⟯
⊢ ∀ i ∈ s, {↑i} ≤ ↑(adjoin F (Subtype.val '' ↑s))
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R P)
I : Ideal R
h : IsUnit ↑I
⊢ I.FG
α : Type u
σ : Type v
M : NFA α σ
S : Set σ
⊢ M.evalFrom S [] = S
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm ⋯ hμst x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x)
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hxb : x < b
hba : b < a
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, deriv f a < (f y - f x) / (y - x)
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hi : Irreducible p
a b : K[X]
hab : map (algebraMap R K) p = a * b
c : R
c0 : c ≠ 0
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ a) = C ((algebraMap R K) c) * a
d : R
d0 : d ≠ 0
hd : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ b) = C ((algebraMap R K) d) * b
hcd0 : ¬C (c * d) = 0
h1 : C c * C d * p = integerNormalization R⁰ a * integerNormalization R⁰ b
u : Rˣ
hu : c * d * ↑u = (integerNormalization R⁰ a).content * (integerNormalization R⁰ b).content
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
z : ℂ
⊢ IsCauSeq ⇑Complex.abs fun n => ∑ m ∈ Finset.range n, z ^ m / ↑m.factorial
α : Type u_1
Mul α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h : a ≤ b * c
hle : b ≤ d
⊢ a ≤ d * c
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y✝ : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y✝
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
Y : C
f : Y ⟶ Opposite.unop X
m₀ : (forget AddCommGrp).obj (M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m
⊢ (A.val.map f.op) (smul α φ 1 m) = (φ.app (Opposite.op Y)) m₀
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
a : α
l : Batteries.AssocList α β
⊢ Batteries.AssocList.findEntry? a l = List.find? (fun x => x.fst == a) l.toList
α : Type u
a : α
s : Stream'.WSeq α
n : ℕ
⊢ (Stream'.WSeq.cons a s).drop (n + 1) = s.drop n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
S : Seq (Seq1 α)
⊢ Seq.IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s S, s1 = s.append (Seq.map f S.join) ∧ s2 = s.append (Seq.map (map f) S).join
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel Dvd.dvd
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
ha : Irreducible a
hb : b ≠ 0
⊢ multiplicity a b = ↑(count (normalize a) (normalizedFactors b))
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
b : α → β
⊢ (∑ x ∈ s, if a = x then b x else 0) = if a ∈ s then b a else 0
G : Type u
Group G
⊢ Nat.card ↥(commutator ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) = Nat.card ↥(commutator G)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
E : Type u₃
ℰ : CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
H : CategoryTheory.Functor D E
I : CategoryTheory.Functor E D
adj₁ : F ⊣ G
adj₂ : H ⊣ I
X : E
⊢ (adj₁.comp adj₂).counit.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (H.map (adj₁.counit.app (I.obj X))) (adj₂.counit.app X)
α : Type u_1
M : Type u_4
Monoid M
f : α → M
l : List α
⊢ (FreeMonoid.lift f) (FreeMonoid.ofList l) = (List.map f l).prod
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
ContinuousAdd N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
⊢ ContinuousAlternatingMap.toMultilinearAddHom f = f.toContinuousMultilinearMap
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕝 : Type u_3
R : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
M : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : ContinuousAdd 𝕜
inst✝³ : ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
V : Set E
hV : IsOpen (⇑(continuousLinearMapToWeakSpace 𝕜 E) '' V)
⊢ IsOpen V
z τ : ℂ
hτ : τ ≠ 0
aux1 : -2 * ↑π / (2 * ↑π * I) = I
⊢ I * (cexp (-(↑π * I * z ^ 2 / τ)) * -(jacobiTheta₂' (z / τ) (-(1 / τ)) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-(1 / τ)))) = I * (cexp (-(↑π * I * z ^ 2 / τ)) * (-jacobiTheta₂' (z / τ) (-(1 / τ)) + z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-(1 / τ)) * (2 * ↑π * I)))
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
CommRing R
CommRing S
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Algebra R S
Module S N
IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
IsLocalizedModule p f
P : Type w
AddCommGroup P
Module R P
Q : Type w'
AddCommGroup Q
Module R Q
Module S Q
IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
⊢ LinearMap.ker ((IsLocalizedModule.map p f f') g) =
  Submodule.restrictScalars R (Submodule.localized' S p f (LinearMap.ker g))
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g ≅ h
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeftIso f η).hom = CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η.hom
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : CommSemigroup R
A : Matrix m n R
B : Matrix n m R
⊢ (A * B).trace = (B * A).trace
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R
inst✝⁹ : Module.Free ℤ R
inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝³ : Algebra ℚ K
inst✝² : NoZeroDivisors K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ R
I : FractionalIdeal R⁰ K
bI : Basis ι ℤ ↥↑I
this : Nontrivial K
b₀ : Basis ι ℚ K := Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b
bI.num : Basis ι ℤ ↥I.num := bI.map (LinearEquiv.restrictScalars ℤ (equivNum ⋯))
⊢ |((Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).toMatrix (Subtype.val ∘ ⇑bI)).det| = |(b₀.toMatrix ((algebraMap R K) ↑I.den • Subtype.val ∘ ⇑bI)).det| / |↑((Algebra.norm ℤ) ↑I.den)|
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
l✝ : RBNode α
v✝ : α
parent✝ : Path α
x✝ : RBNode α
⊢ RBNode.Ordered cmp ((right c✝ l✝ v✝ parent✝).fill x✝) ↔ Ordered cmp (right c✝ l✝ v✝ parent✝) ∧ RBNode.Ordered cmp x✝ ∧ All (RootOrdered cmp (right c✝ l✝ v✝ parent✝)) x✝
n d : PosNum
⊢ ↑↑(n.div' d) = ↑(pos n) / ↑(pos d)
s : Finset ℕ
m : ℕ
hm : m ≠ 0
hp : m.primeFactors ⊆ s
⊢ m ∈ Nat.factoredNumbers s
J : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat
inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)
inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)
j : J
f : (componentwiseDiagram F U).obj (op j) ⟶ (F.obj j).presheaf.obj (op ((Opens.map (colimit.ι F j).base).obj U)) := (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯).inv.app (op j) ≫ (F.obj j).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ ((pushforward C (colimit.ι F j).base).obj (F.obj j).presheaf).map (eqToHom ⋯)
⊢ f = 𝟙 ((componentwiseDiagram F U).obj (op j))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
M : Matroid α
hf : Set.InjOn f M.E
I : Set α
hI : I ⊆ M.E
⊢ (M.map f hf).Indep (f '' I) ↔ M.Indep I
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
hx : x ∈ I
hy : y ∈ I
⊢ x - y ∈ I
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
k : ℕ
hk : k ∉ A
hk' : k > 0
⊢ schnirelmannDensity A ≤ 1 - (↑k)⁻¹
p₁ p₂ : String.Pos
⊢ (p₁ < p₂) = (p₁.byteIdx < p₂.byteIdx)
X Y : TopCat
x : ↑(X ⨯ Y)
⊢ (X.prodIsoProd Y).hom x = (CategoryTheory.Limits.prod.fst x, CategoryTheory.Limits.prod.snd x)
x : ℝ
⊢ x⁻¹.toNNReal = x.toNNReal⁻¹
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
Finite I
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : I → S
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : I), e i ∈ f.range
⊢ ∃ e', OrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
w : WellOrder
⊢ ⟦w⟧ = Ordinal.type w.r
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ (t.biUnion fun b => Finset.image (fun x => x \ b) s) = s.diffs t
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
hx : x ∉ s
⊢ y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
z : ℂ
⊢ Complex.exp (z - ↑Real.pi * Complex.I) = -Complex.exp z
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIcoMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIcoMod hp a b
h : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
⊢ False
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
hA : IsLeftRegular A.det
hB : IsLeftRegular B.det
hAB : IsLeftRegular (A * B).det
⊢ (fun x => A * B * x) (A * B).adjugate = (fun x => A * B * x) (B.adjugate * A.adjugate)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
f : P.Hom Q
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.p f.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f Q.p
R : Type u_1
B : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }
⊢ (DualNumber.lift fe) ε = (↑fe).2
α : Type u_4
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
⊢ G.edgeDensity s t ≤ 1
α : Type u_3
ht : TopologicalSpace α
h : PolishSpace α
⊢ CompleteSpace α
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
as bs cs : (i : ι) → X i
i : ι
a✝ : (i : ι) → Path (as i) (bs i)
⊢ proj i (pi fun i => ⟦a✝ i⟧) = (fun i => ⟦a✝ i⟧) i
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ IsGreatest {a} a
m n k : ℕ+
hm : k ∣ m
hn : k ∣ n
⊢ k ∣ m.gcd n
M : Type u_3
G : Type u_6
H : Type u_7
MulOneClass M
CommGroup G
CommGroup H
φ : G →* H
ψ : M →* G
⊢ φ.comp ψ⁻¹ = (φ.comp ψ)⁻¹
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : LinearOrder E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ
a✝ : α
⊢ 0 ≤ ↑f.posPart a✝
α : Type u
p : α → Bool
⊢ List.takeWhile p List.nil = List.nil
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
⊢ AffineIndependent ℝ p
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
Semiring R
AddCommMonoid α
StarAddMonoid α
Module R α
c : ℕ
c.AtLeastTwo
M : Matrix m n α
⊢ (OfNat.ofNat c • M)ᴴ = OfNat.ofNat c • Mᴴ
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra R B
f : R →+* S
g✝ : S →+* T
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A B
I : Ideal S
g : R →+* R ⧸ Ideal.comap f I := Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap f I)
⊢ (Ideal.quotientMap I f ⋯).IsIntegral ↔ ((Ideal.Quotient.mk I).comp f).IsIntegral
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C
⊢ Limits.BinaryFan.fst (product (product X Y).cone.pt Z).cone ≫ Limits.BinaryFan.snd (product X Y).cone = fst (X ⊗ Y) Z ≫ snd X Y