ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
NonAssocSemiring α
n : α
⊢ n * 2 = n + n
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i✝ : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
_i : Fact (finrank ℝ E = 0)
⊢ Nat.casesAuxOn (motive := fun a => 0 = a → E [⋀^Fin 0]→ₗ[ℝ] ℝ) 0 (fun h => if hp : -rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯ = rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯ then AlternatingMap.constOfIsEmpty ℝ E (Fin 0) 1 else -AlternatingMap.constOfIsEmpty ℝ E (Fin 0) 1) (fun n h => Eq.rec (motive := fun x x_1 => [_i : Fact (finrank ℝ E = x)] → Orientation ℝ E (Fin x) → E [⋀^Fin x]→ₗ[ℝ] ℝ) (fun [Fact (finrank ℝ E = n + 1)] o => (Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o).toBasis.det) ⋯ (-rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯)) ⋯ = -AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid D
φ : CategoryTheory.Functor C D
c d : C
f : c ⟶ d
⊢ f ∈ (CategoryTheory.Subgroupoid.ker φ).arrows c d ↔ ∃ (h : φ.obj c = φ.obj d), φ.map f = CategoryTheory.eqToHom h
f g : Code
k : Cont'
⊢ trStmts₁ (trNormal g (Cont'.comp f k)) ∪ (codeSupp' g (Cont'.comp f k) ∪ (trStmts₁ (trNormal f k) ∪ (codeSupp' f k ∪ contSupp k))) = trStmts₁ (trNormal g (Cont'.comp f k)) ∪ (codeSupp' g (Cont'.comp f k) ∪ (codeSupp' f k ∪ contSupp k))
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
⊢ 0 ∈ PiTensorProduct.lifts 0
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := ↑w }.Nonneg
⊢ ({ re := ↑x, im := ↑y } + { re := ↑z, im := ↑w }).Nonneg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ‖f'‖ ≤ C
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f f) F
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.Mono (F.map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
hG : Primrec₂ G
⊢ Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ
q : ℤ := ⌈↑m₀ / ↑n⌉
m₁ : ℤ := q * ↑n - ↑m₀
hm₁ : 0 ≤ m₁
⊢ fract (-↑m₀ / ↑n) = fract (↑m₁ / ↑n)
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s t : Finset α
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s / t).Nonempty
α : Type u_1
l : Language α
⊢ l.reverse.reverse = l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : Tendsto (fun x => (m x)⁻¹) f (𝓝 a⁻¹)
⊢ Tendsto m f (𝓝 a)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A✝ : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
M : R[X] → Prop
p : R[X]
h_C : ∀ (a : R), M (C a)
h_add : ∀ (p q : R[X]), M p → M q → M (p + q)
h_monomial : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * X ^ n) → M (C a * X ^ (n + 1))
A : ∀ {n : ℕ} {a : R}, M (C a * X ^ n)
B : ∀ (s : Finset ℕ), M (∑ n ∈ s, C (p.coeff n) * X ^ n)
⊢ M (∑ n ∈ p.support, C (p.coeff n) * X ^ n)
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → Submodule R M
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ ↑(∅.inf p) = ⋂ i ∈ ∅, ↑(p i)
α : Type u_1
R : α → α → Prop
DecidableRel R
a : α
l : List α
h : ∀ (b : α), b ∈ List.pwFilter R l → R a b
⊢ List.pwFilter R (a :: l) = a :: List.pwFilter R l
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t u : Seq α
⊢ (s.append t).append u = s.append (t.append u)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0
⊢ j ≤ i.pred hi ↔ j.succ ≤ i
⊢ Filter.comap Complex.exp (𝓝 0) = Filter.comap Complex.re Filter.atBot
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
⊢ 0 ≤ f.norm
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
m : M
order_pos : 0 < orderOf m
a : α
⊢ 0 < MulAction.period m a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α →ₛ E
hfi : Memℒp (↑f) p μ
⊢ AEStronglyMeasurable (↑(toSimpleFunc (toLp f hfi))) μ
G : Type u_1
Group G
H : Type u_6
Group H
f : G ≃* H
⊢ ∀ (H_1 : Subgroup G), f.mapSubgroup H_1 = Subgroup.map (↑f) H_1
G : Type u_2
Group G
x : G
S : Subgroup Gᵐᵒᵖ
⊢ x ∈ S.unop ↔ MulOpposite.op x ∈ S
M : Type u_1
Add M
ι : Sort u_4
S : ι → AddSubsemigroup M
x : M
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
⊢ I * (1 / I) = 1 ↔ ∃ J, I * J = 1
a b : Nat
⊢ (¬a > b) = (a ≤ b)
k : Type u
CommRing k
G : Type u
Group G
V : Type v
AddCommGroup V
Module k V
Module (MonoidAlgebra k G) V
IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
AddCommGroup W
Module k W
Module (MonoidAlgebra k G) W
IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
h : ∀ (v : V), π (i v) = v
g : G
v : V
⊢ (π.conjugate g) (i v) = v
Ω : Type u_1
β : Type u_6
β' : Type u_7
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
_mβ : MeasurableSpace β
_mβ' : MeasurableSpace β'
Neg β'
MeasurableNeg β'
hfg : ProbabilityTheory.IndepFun f g μ
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun f (-g) μ
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T : Triangle Cᵒᵖ
⊢ Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles ↔ (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T.rotate)).rotate ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
LocalRing R
IsNoetherian R M
rs rs' : List R
h1 : RingTheory.Sequence.IsRegular M rs
h2 : rs.Perm rs'
⊢ RingTheory.Sequence.IsRegular M rs'
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
x : α
h : IsCompl x ⊥
⊢ x = ⊤
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
this : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ IsAffine X
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
a : σ →₀ ℕ
x : MvPolynomial σ R
⊢ (x * (MvPolynomial.monomial a) 1).divMonomial a = x
a x✝ z x : ℂ
⊢ x⁻¹.arg = if x.arg = π then π else -x.arg
x : ℝ
h : |x| < 1
n : ℕ
F : ℝ → ℝ := fun x => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)
F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)
A : ∀ y ∈ Set.Ioo (-1) 1, HasDerivAt F (F' y) y
⊢ |∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)| ≤ |x| ^ (n + 1) / (1 - |x|)
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex (Type u)
s : I.sections
i : CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan I.fstTo I.sndTo
⊢ ↑(I.sectionsEquiv s) i =
  match i with
  | CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.left i => s.val i
  | CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.right j => I.fst j (s.val (I.fstTo j))
α β : Type u
ι : Type u_1
f : ι → Cardinal.{u}
⊢ prod f = 0 ↔ ∃ i, f i = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
h : u ⊆ s ∪ t
⊢ s ∩ u ∪ t ∩ u = u
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
E : Type u_7
Field E
Algebra K E
IsAlgClosed E
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
x : L
⊢ (algebraMap K E) ((Algebra.trace K L) x) = ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ x
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
⊢ (lift L ι G f g Hg).toHom.range = ⨆ i, (g i).toHom.range
α : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
TopologicalSpace α
CompleteLattice α
SupConvergenceClass α
f : ι → α
h_anti : Antitone f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 (⨆ i, f i))
a : ℝ≥0∞
ha₀ : a ≠ 0
ha_top : a ≠ ⊤
⊢ 0 < a.toReal
α : Type u_1
LinearOrderedField α
Archimedean α
a : α
x : α
hx1 : |x| < 1
⊢ IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ Finset.range m, a * x ^ n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq0_lt : 0 < q
hfq : eLpNorm' f q μ < ⊤
⊢ eLpNorm' f q μ ^ q < ⊤
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
i : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
⊢ ((mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i).birthday < max (lsub fun i => (a✝¹ i).birthday) (lsub fun i => (a✝ i).birthday)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
U : Set 𝕜
⊢ MeromorphicOn id U
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
a : α
⊢ List.takeD (n + 1) l a = l.head?.getD a :: List.takeD n l.tail a
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Module (Polynomial R) A
D : Derivation R (Polynomial R) A
a : R
f : Polynomial R
⊢ Polynomial.C a • D f = a • D f
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
M : Type u_4
Zero M
f : α → M
s : Set α
⊢ s.indicator f =ᵐ[μ] 0 ↔ μ (s ∩ Function.support f) = 0
α : Type u_1
LinearOrder α
⊢ ↑(LinOrd.of α) = α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : OrderClosedTopology β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
a : α
hf : Measurable f
h_zero : 0 = ⊥
n : ℕ
⊢ ↑(approx i f n) a ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : i k ≤ f a), i k
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
t_ne_zero' : t ≠ 0
⊢ (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s ≤ ↑t ^ 2 * ρ s
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : (f a)⁻¹ * f b = 1
⊢ f a = f b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝² : T2Space α
α' : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α'
inst✝ : TopologicalSpace α'
e : α' → α
hes : Surjective e
h1 : e 1 = 1
f : β → α
g : γ → α'
h : ∀ {a : α'}, HasProd f (e a) ↔ HasProd g a
hg : ¬Multipliable g
⊢ ∏' (b : β), f b = e (∏' (c : γ), g c)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocMod hp a b ≤ a + p
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Setoid α
h : ∀ (x y : α), r x y → s.Rel x y
⊢ EqvGen.Setoid r ≤ s
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a b : M₀
h : Commute a b
hab : ¬IsUnit (a * b)
ha : ¬IsUnit a
⊢ inverse (a * b) = inverse b * inverse a
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f : ι → Ω → ℝ
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m n : ι →₀ ℕ
h : m < n
⊢ (m.sum fun x => id) < n.sum fun x => id
M : Type u_1
TopologicalSpace M
x : M
⊢ Filter.comap (⇑DomAddAct.mk.symm) (𝓝 x) = 𝓝 (DomAddAct.mk x)
a b : Int
Ha : 0 ≤ a
Hb : b ≤ 0
⊢ a / b ≤ 0
k : ℕ
x✝ : k + 2 ≠ 0
m : ℕ := (k + 2).minFac
this : (k + 2) / m < k + 2
⊢ (k + 2).primeFactorsList.prod = k + 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.ι h.g' = 0
α : Type u_1
CircularPreorder α
a b x : α
⊢ x ∈ Set.cIoo a b ↔ sbtw a x b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor D C
self : CategoryTheory.IsSkeletonOf C D F
⊢ CategoryTheory.Skeletal D
α : Type u_2
One α
p : Prop
Decidable p
a b : α
LE α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 ≤ b
⊢ 1 ≤ if p then a else b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
h : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
⊢ False
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hc : 0 < c
⊢ b / c < a ↔ b < c * a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
C : Set α
SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable
⊢ ∃ D, Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C
α : Sort u
β : Sort v
r : β → β → Prop
a : α
f : α → β
ac : Acc r (f a)
⊢ Acc (InvImage r f) a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : UniformSpace α
inst✝⁶ : Group α
inst✝⁵ : UniformGroup α
hom : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace β
inst✝³ : Group β
inst✝² : UniformGroup β
inst✝¹ : FunLike hom α β
inst✝ : MonoidHomClass hom α β
f : hom
h : Tendsto (⇑f) (𝓝 1) (𝓝 1)
this : ((fun x => x.2 / x.1) ∘ fun x => (f x.1, f x.2)) = fun x => f (x.2 / x.1)
⊢ Tendsto (fun x => f (x.2 / x.1)) (comap (fun x => x.2 / x.1) (𝓝 1)) (𝓝 1)
n : ℕ
f g : Vector ℕ n → ℕ
h : Vector ℕ (n + 2) → ℕ
hf : Primrec' f
hg : Primrec' g
hh : Primrec' h
⊢ Primrec' fun v => Nat.rec (g v) (fun y IH => h (y ::ᵥ IH ::ᵥ v)) (f v)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
x : α
hs : ContinuousWithinAt f s x
ht : ContinuousWithinAt f t x
⊢ ContinuousWithinAt f (s ∪ t) x
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
f₁ f₂ : α → α
⊢ e.conj (f₁ ∘ f₂) = e.conj f₁ ∘ e.conj f₂
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ℂ
a : A
⊢ ℑ (z • a) = z.re • ℑ a + z.im • ℜ a
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set α
a : α
h : a ∈ upperBounds s
⊢ sSup s ≤ a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℤ
n : ℕ
⊢ fract (↑m / ↑n) = ↑(m % ↑n) / ↑n
α : Type u_1
a : ℝ≥0∞
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ m.caratheodory ≤ (a • m).caratheodory
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
⊢ finrank k ↥(affineSpan k s).direction ≤ finrank k ↥(vectorSpan k s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
Xs : ι → Set α
⊢ M.subtypeClosure ⟨⋃ i, ↑(M.subtypeClosure ⟨Xs i ∩ M.E, ⋯⟩) ∩ M.E, ⋯⟩ = M.subtypeClosure ⟨⋃ i, Xs i ∩ M.E, ⋯⟩
α : Type u_6
AddMonoid α
a : α
⊢ orderOf (Multiplicative.ofAdd a) = addOrderOf a
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
e : r ≃r s
⊢ Function.Surjective ⇑e
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
a : A
n : ℕ
⊢ spectralRadius 𝕜 a ≤ ↑‖a ^ (n + 1)‖₊ ^ (1 / (↑n + 1)) * ↑‖1‖₊ ^ (1 / (↑n + 1))
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s t : Multiset α
⊢ map f s ≤ map f t ↔ s ≤ t
⊢ |rexp 1 - expNear 21 1 (36295539 / 44271641)| ≤ |1| ^ 21 / ↑(Nat.factorial 21) * (311834363841 / 610351562500)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1 : Stream'.WSeq α
s2 : Stream'.WSeq β
f1 : α → Stream'.WSeq γ
f2 : β → Stream'.WSeq δ
h1 : Stream'.WSeq.LiftRel R s1 s2
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → Stream'.WSeq.LiftRel S (f1 a) (f2 b)
⊢ Stream'.WSeq.LiftRel S (s1.bind f1) (s2.bind f2)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : Disjoint s t
⊢ (s ∪ t).offDiag = s.offDiag ∪ t.offDiag ∪ s ×ˢ t ∪ t ×ˢ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
h₃ : S₃.LeftHomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
ψ' : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ' h₂ h₃
⊢ (ψ.comp ψ').φH = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ψ.φH ψ'.φH
α : Type u_1
DecidableEq α
a : Array α
i : Nat
⊢ a.isEqvAux a ⋯ (fun x y => decide (x = y)) i = true
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
x : TruncatedWittVector p n R
i : Fin n
⊢ coeff i (mk p fun i => coeff i x) = coeff i x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝ : LT α
s t : Set α
⊢ univ.IsWF ↔ WellFounded fun x x_1 => x < x_1
K : Type u
DivisionRing K
s : Set K
t : Subfield K
h₁ : s ⊆ ↑t
h₂ : t ≤ Subfield.closure s
⊢ Subfield.closure s = t
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ 0 + ↑⌊f 0⌋ ≤ f 0
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑(padicValNat p (p * n)!) = ↑(padicValNat p n ! + n)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι
h : i ≠ j
⊢ 𝟙 M i j = 0
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hg : AEMeasurable g μ
hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤
h_add_zero : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ 0
h_add_top : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hp_not_nonpos : ¬p ≤ 0
htop_rpow : (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ ⊤
h0_rpow : (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ 0
h : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≤ ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) * (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / q)
h_one_div_q : 1 / q = 1 - 1 / p
⊢ 1 ≤ (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (-(1 / p)) * ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p))
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : eval (W.addX x₁ x₂ L) (derivative (W.addPolynomial x₁ y₁ L)) ≠ 0
⊢ W.a₁ * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - (3 * W.addX x₁ x₂ L ^ 2 + 2 * W.a₂ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₄) ≠ 0 ∨ 2 * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) + (W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₃) ≠ 0
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
x : L
⊢ x ^ ↑n = 1 → X ^ ↑n - 1 ≠ 0
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
q n : ℕ
x y : R
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)
⊢ (x + y) ^ q ^ n = x ^ q ^ n + y ^ q ^ n
a b c : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
⊢ a / b ≤ c ↔ a ≤ b * c
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂
x✝³ : G
x✝² : k
x✝¹ : G
x✝ : k
⊢ sum (single (x✝³ * x✝¹) (x✝² * x✝)) g = (x✝² * x✝) • f (x✝³ * x✝¹)
G : Type u
AddGroup G
TopologicalSpace G
hmul : Filter.Tendsto (Function.uncurry fun x x_1 => x + x_1) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
hinv : Filter.Tendsto (fun x => -x) (𝓝 0) (𝓝 0)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x₀ + x) (𝓝 0)
hright : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x + x₀) (𝓝 0)
⊢ TopologicalAddGroup G
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (o.oangle x y).cos = ‖x‖ * ‖y‖ * (o.oangle x y).cos / (‖x‖ * ‖y‖)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (p.append q).IsPath
⊢ q.IsPath
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h : c < max a b
⊢ Set.Ioo a b ∪ Set.Ioi c = Set.Ioi (min a c)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
q : Semiquot α
b : β
⊢ b ∈ Semiquot.map f q ↔ ∃ a ∈ q, f a = b
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
i : ι
⊢ MeasurableSpace.comap (Function.eval i) (m i) ≤
  MeasurableSpace.generateFrom ((fun t => {i}.pi t) '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s})
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
h : IsUnit (C r)
⊢ IsUnit (constantCoeff (C r))
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Affine.Triangle ℝ P
h : Set.range t₁.points = Set.range t₂.points
⊢ t₁.orthocenter = t₂.orthocenter
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
Module.Finite ℤ S
I : ↥(Ideal S)⁰
⊢ Ideal.absNorm ↑I ≠ 0
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
K : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} K
e : J ≌ K
F : CategoryTheory.Functor K C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.IsUniversalColimit c
⊢ CategoryTheory.IsUniversalColimit (CategoryTheory.Limits.Cocone.whisker e.functor c)
c : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), c ≤ Real.log (stirlingSeq (n + 1))
n : ℕ
⊢ rexp c ≤ stirlingSeq (n + 1)
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
IsNoetherianRing R
s : Set ↥(LocalRing.maximalIdeal R)
⊢ Submodule.span (LocalRing.ResidueField R) (⇑(LocalRing.maximalIdeal R).toCotangent '' s) = ⊤ ↔ Submodule.span R s = ⊤
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedCosZeta (↑a) s / s.Gammaℝ)
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
i j : ι
a : 𝒜 i
b : ℬ j
⊢ (TensorProduct.directSum R R ℬ 𝒜).symm ((gradedCommAux R 𝒜 ℬ) ((TensorProduct.directSum R R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j) b))) = (-1) ^ (j * i) • (lof R ι ℬ j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i) a