ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y
⊢ Continuous (lift f hf) ↔ Continuous f
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝ : S.HasRightHomology
⊢ S.g = S.g ≫ 𝟙 S.X₃
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
inst✝¹ : IsDomain β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
h : const abv 1 ≈ const abv 0
this : ∀ ε > 0, ∃ i, ∀ (k : ℕ), i ≤ k → abv (1 - 0) < ε
h2 : 0 < abv 1
i : ℕ
hi : ∀ (k : ℕ), i ≤ k → abv (1 - 0) < abv 1
⊢ abv 1 < abv 1
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a < b
h' : c ≤ d
⊢ Set.Ioc a d ∈ 𝓝ˢ (Set.Ico b c)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B
⊢ ((Mod_.comap f).obj M).X = M.X
ι : Type u_1
LinearOrder ι
SuccOrder ι
IsSuccArchimedean ι
PredOrder ι
i0 : ι
NoMaxOrder ι
n : ℕ
⊢ toZ i0 (Order.succ^[n] i0) = ↑n
J : Type w
⊢ ∀ {X Y : (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape J)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Limits.widePushoutShapeUnop J).map f =
    (CategoryTheory.Limits.widePushoutShapeOpMap J (Opposite.unop Y) (Opposite.unop X) f.unop).unop
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Fintype V
NonAssocSemiring α
d : ℕ
a : α
hd : G.IsRegularOfDegree d
v : V
⊢ (SimpleGraph.adjMatrix α G *ᵥ Function.const V a) v = ↑d * a
α : Type u
hα : Nonempty α
a : α
l : List α
h : ∀ (n : ℕ), (a :: l).rotate n = a :: l
n : ℕ
h₁ : n < (a :: l).length
h₂ : n < (replicate (a :: l).length a).length
⊢ (a :: l)[n] = (replicate (a :: l).length a)[n]
S : Set ℝ
hne : S.Nonempty
hbdd : BddBelow S
⊢ ∃ x, IsGLB S x
R : Type u_1
d : R
Semiring R
⊢ { a := 0, b := 0, c := 0, d := d }.toPoly.degree ≤ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type (max v u))
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
z₁ z₂ : CategoryTheory.Equalizer.FirstObj P R
h :
  ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : R f),
    CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun f => P.obj (Opposite.op f.fst)) ⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩ z₁ =
      CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun f => P.obj (Opposite.op f.fst)) ⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩ z₂
⊢ z₁ = z₂
K : Type u_1
R : Type u_2
x n : ℕ
h : x.Coprime n
x' : (ZMod n)ˣ := unitOfCoprime x h
⊢ ↑(x ^ φ n) = ↑1
α : Type u_1
LT α
a b : α
DenselyOrdered α
⊢ ¬a ⋖ b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
v : EuclideanSpace 𝕜 ι
⊢ ∑ i : ι, v i • b i = b.repr.symm v
R : Type u_2
CommSemiring R
φ : Polynomial R
⊢ ↑φ = PowerSeries.mk φ.coeff
α : Type u_1
DecidableEq α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
⊢ P a b
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
f : M →+ N →+ P
hf : ∀ (r : R) (m : M) (n : N), (f (r • m)) n = (f m) (r • n)
m : M
n : N
⊢ (TensorProduct.liftAddHom f hf) (m ⊗ₜ[R] n) = (f m) n
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤
y : M
h₃ : ∀ I ∈ {P | (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P ∧ P ≠ ⊤ ∧ ∃ y, P = (Submodule.span R {y}).annihilator}, ¬(Submodule.span R {y}).annihilator < I
l : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ (Submodule.span R {y}).annihilator
h₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≠ ⊤
a b : R
hab : (a * b) • y = 0
ha : ¬a • y = 0
H₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≤ (Submodule.span R {a • y}).annihilator
⊢ b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
⊢ ⇑LieModuleHom.id = id
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
⊢ Disjoint ↑I ↑J ↔ Disjoint ↑I ↑J
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
⊢ 0 ≤ ‖a‖
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : F
p : Submodule R₂ M₂
⊢ LinearMap.range f ≤ p ↔ Submodule.comap f p = ⊤
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
⊢ irreducibleComponent x ⊆ connectedComponent x
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
⊢ o.rightAngleRotation = LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry o.rightAngleRotationAux₂ (-o.rightAngleRotationAux₁) ⋯ ⋯
θ : ℝ
h : 0 ≤ θ ∧ θ ≤ π
⊢ |(-↑θ).toReal| = θ
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
⊢ cs.length w⁻¹ ≤ cs.length w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : Prop
f : p → Part α
h : p
Dom✝ : Prop
get✝ : Dom✝ → α
h' : f h = { Dom := Dom✝, get := get✝ }
⊢ ∀ (a : ∃ (h : p), (f h).Dom) (a' : Dom✝), HEq a a' → HEq (get✝ ⋯) (get✝ a')
α : Type u_1
a : α
MulOneClass α
Zero α
LinearOrder α
PosMulStrictMono α
a0 : 0 < a
⊢ ∃ b, b * b ≤ a
ι : Type uι
R : Type uR
A : ι → Type uA
DecidableEq ι
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
self : DirectSum.GAlgebra R A
r : R
x : GradedMonoid A
⊢ GradedMonoid.mk 0 (DirectSum.GAlgebra.toFun r) * x = x * GradedMonoid.mk 0 (DirectSum.GAlgebra.toFun r)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : Multiset α
s : Finset α
l : List α
⊢ (↑l).toFinset ⊆ s → l.prod = ∏ x ∈ s, x ^ List.count x l
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.IsTrail ↔ p.edges.Nodup
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a✝ b : α
m n : ℕ
a d : α
⊢ a * (b * d) = a * b * d
R S : CommRingCat
f : R ≅ S
⊢ IsLocalRingHom f.hom
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f : CategoryTheory.Over X
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.Over f} (κ : X_1 ⟶ Y), f.iteratedSliceForward.map κ = CategoryTheory.Over.homMk κ.left.left ⋯
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
⊢ slope f x y ≤ f'
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
AddGroup γ
TopologicalAddGroup γ
f : α →ₘ[μ] γ
⊢ ↑(-f) =ᵐ[μ] -↑f
A : Type u_2
Ring A
UniformSpace A
UniformAddGroup A
TopologicalRing A
R : Type u_3
CommSemiring R
Algebra R A
UniformContinuousConstSMul R A
r : R
⊢ (algebraMap R (UniformSpace.Completion A)) r = ↑A ((algebraMap R A) r)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoMod hp a (b - m • p) = toIcoMod hp a b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ a ∈ Ioo a b ↔ False
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
n : Num
⊢ ↑n.bit1 = 2 * ↑n + 1
a : UnitAddCircle
n : ℕ
⊢ HurwitzZeta.cosZeta a (-2 * (↑n + 1)) = 0
M : Type u_1
S : Set M
AddZeroClass M
⊢ 0 ∈ S.addCentralizer
α : Type u_3
DivisionRing α
CharZero α
⊢ ⇑(Rat.castHom α) = Rat.cast
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
⊢ mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f (Set.uIcc a b)
hff' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' MeasureTheory.volume a b
⊢ fourierCoeffOn hab f n =
  1 / (-2 * ↑π * Complex.I * ↑n) * ((fourier (-n)) ↑a * (f b - f a) - (↑b - ↑a) * fourierCoeffOn hab f' n)
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → β i
s : Multiset ι
h : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0
⊢ { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨s, h⟩ }.support ⊆ s.toFinset
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝ : Mul γ
f : α → β
g₁ g₂ : α → γ
e₁ e₂ : β → γ
⊢ extend f (g₁ * g₂) (e₁ * e₂) = extend f g₁ e₁ * extend f g₂ e₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p : α → ℕ → Prop
inst✝ : (x : α) → DecidablePred (p x)
hp : ∀ (x : α), ∃ N, p x N
hm : ∀ (k : ℕ), MeasurableSet {x | p x k}
⊢ Measurable fun x => Nat.find ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : C
X Y : C
Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
P' : C
fst' : P' ⟶ X
snd' : P' ⟶ Y
h : CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
h' : CategoryTheory.IsPullback fst' snd' f g
⊢ (CategoryTheory.IsPullback.isoIsPullback X Y h h').hom ≫ snd' = snd
q : ℚ
n : ℕ
⊢ q ^ n = Rat.divInt (q.num ^ n) (↑q.den ^ n)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
a b : Γ
r : R
⊢ ((HahnSeries.single a) r).coeff b = if b = a then r else 0
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
F E : IntermediateField K L
FiniteDimensional K ↥E
h_le : F ≤ E
h_finrank : FiniteDimensional.finrank K ↥F = FiniteDimensional.finrank K ↥E
⊢ F = E
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ Disjoint l l' ↔ ∃ i, p i ∧ (s i)ᶜ ∈ l'
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : ℝ
⊢ ∀ (x : 𝕜) (x_1 : (i : ι) → E i), (x, x_1) ∈ p → ‖x‖ * ∏ x : ι, ‖x_1 x‖ = a → 0 ≤ a
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
G₁ G₂ : W.Localization ⥤ D
h : W.Q ⋙ G₁ = W.Q ⋙ G₂
⊢ Quotient.functor (relations W) ⋙ G₁ = Quotient.functor (relations W) ⋙ G₂
R : Type u_1
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
AddCommGroup M₂
Module R M₂
f : M →ₗ[R] M₂
⊢ Submodule.map (-f) p = Submodule.map f p
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
D : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid D
φ : CategoryTheory.Functor C D
hφ : Function.Injective φ.obj
d : D
⊢ d ∈ (CategoryTheory.Subgroupoid.map φ hφ S).objs ↔ ∃ c ∈ S.objs, φ.obj c = d
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommRing R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
NonnegSpectrumClass R A
f g : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hg : ContinuousOn g (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
hg0 : g 0 = 0 := by cfc_zero_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfcₙ f a ≤ cfcₙ g a ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, f x ≤ g x
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
b c d : B
a : B
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
X : a ⟶ b
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.associatorNatIsoLeft a g h).hom.app X = (CategoryTheory.Bicategory.associator X g h).hom
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
⊢ Function.Surjective fun g => g * a
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝⁴ : HasPullbacks C
S T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
inst✝³ : HasPullback i i
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
⊢ (pullbackDiagonalMapIdIso f g i).inv ≫ snd (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫ fst (f ≫ i) (g ≫ i) = fst f g
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
m : M
⊢ m ∈ f.maxGenEigenspace μ ↔ ∃ k, ((f - μ • 1) ^ k) m = 0
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ ({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ } * { toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.toFinsupp * { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
⊢ J ∈ π₁ ⊓ π₂ ↔ ∃ J₁ ∈ π₁, ∃ J₂ ∈ π₂, ↑J = ↑J₁ ⊓ ↑J₂
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
x : 𝕜
h : HasSum f x
⊢ HasSum (fun x => RCLike.re (f x)) (RCLike.re x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
𝕜' : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
f : F
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => c y • f) s x = (fderivWithin 𝕜 c s x).smulRight f
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommGroup M₄
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R M₂
module_M₃ : Module R M₃
module_M₄ : Module R M₄
e₁ : M ≃ₗ[R] M₂
e₂ : M₃ ≃ₗ[R] M₄
f : M →ₗ[R] M₄
x : M₂ × M₄
⊢ (e₁.skewProd e₂ f).symm x = (e₁.symm x.1, e₂.symm (x.2 - f (e₁.symm x.1)))
a b : ℕ+
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype fun n => 0 < n) (Finset.Ioo a b) = Finset.Ioo ↑a ↑b
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
φ : G ≃g G'
φ' : G' ≃g G''
⊢ SimpleGraph.Iso.connectedComponentEquiv (RelIso.trans φ φ') = φ.connectedComponentEquiv.trans φ'.connectedComponentEquiv
u : PNat.XgcdType
h : u.r ≠ 0
⊢ u.reduce = u.step.reduce.flip
α : Type u
a : α
p : α → Prop
⊢ a ∈ {x | p x} ↔ p a
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
r : R
M : Type u_1
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.123295
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
hf : Surjective ⇑f
H₁ : Surjective (⇑(r • ⊤).mkQ ∘ ⇑f)
⊢ Surjective (⇑((map r) f) ∘ ⇑(r • ⊤).mkQ)
X : Type u
G : Type u_2
Group G
MulAction G X
H : Type u_3
Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
⊢ ∀ {x b : CategoryTheory.ActionCategory G X} (f : x ⟶ b),
  (CategoryTheory.ActionCategory.uncurry F sane).map f = (F ↑f).left b.back
op : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a o : Ordinal.{u}
hao : a < o
H : IsNormal (op a)
ho : Principal op o
ho' : o.IsLimit
⊢ ∀ i < o, op a i ≤ o
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
hA' : MeasurableSet A
⊢ ∀ (t : Set γ), MeasurableSet t → (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) t → (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) tᶜ
R : Type u
CommRing R
X : Type v
AddCommGroup X
Module R X
Coalgebra R X
⊢ (CoalgebraCat.of R X).instCoalgebra = inferInstance
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
f : G ≃ₜ G
h : ∀ ⦃K : Compacts G⦄, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map ⇑f ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
A s : Set G
hs : IsOpen s
⊢ μ.innerContent { carrier := ⇑f.toEquiv ⁻¹' s, is_open' := ⋯ } = μ.innerContent { carrier := s, is_open' := hs }
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ λ ^ 2 ∣ S'.c
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
⊢ Continuous fun x => a * x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
⊢ f₂ = 0
α : Type u_2
LinearOrder α
s t : Set α
hs : s.IsWF
hsn : s.Nonempty
ht : t.IsWF
htn : t.Nonempty
⊢ ⋯.min ⋯ = min (hs.min hsn) (ht.min htn)
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
hp : Odd p
h1 : ∀ (i : ℕ), ↑p ^ 2 ∣ (a + ↑p * b) ^ i - (a ^ (i - 1) * (↑p * b) * ↑i + a ^ i)
⊢ ↑p ^ 2 ∣ ∑ i ∈ range p, (a + ↑p * b) ^ i * a ^ (p - 1 - i) - ↑p * a ^ (p - 1)
n : ℕ
i : ZMod n
⊢ sr i ≠ 1
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : ℕ
hp : p ≠ 0
f : R[X]
n : ℕ
⊢ Irreducible ((Polynomial.expand R (p ^ n)) f) → Irreducible f
𝕜 : Type u
E : Type v
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nontrivial E
⊢ 𝔠 ≤ #E
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
⊢ (QuotientAddGroup.mk' N).ker = N
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α → β
g : M →+ N
x✝¹ : α
x✝ : M
a✝ : β
⊢ ((((addMonoidHom f).comp (mapRange.addMonoidHom g)).comp (singleAddHom x✝¹)) x✝) a✝ = ((((mapRange.addMonoidHom g).comp (addMonoidHom f)).comp (singleAddHom x✝¹)) x✝) a✝
α : Type u_2
ι' : Sort u_7
CompleteLattice α
s : ι' → α
⊢ ⨅ i, s i = ⨅ t, ⨅ i ∈ t, s i.down
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X Y : CategoryTheory.Comma L R
f g : X ⟶ Y
h₁ : f.left = g.left
h₂ : f.right = g.right
⊢ f = g
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
C : M → Prop
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, (p i).toAddSubmonoid
hp : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ p i, C x
h0 : C 0
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
⊢ C x
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
h : LieAlgebra.center R L = ⊥
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R L (LieDerivation R L L)
x : L
this : D x = 0
⊢ D x = 0 x
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ p.natTrailingDegree = 0 ↔ p = 0 ∨ p.coeff 0 ≠ 0
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b c : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x / c) = c • ∫ (x : ℝ) in d - b / c..d - a / c, f x
i : ℕ
⊢ i ∈ Set.range Nat.succ ↔ 0 < i
α : Type u
s : Computation α
a : α
n : ℕ
⊢ s.Results a n → a ∈ s
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulLeftInvariant
x : G
⊢ Filter.map (fun h => x * h) (MeasureTheory.ae μ) = MeasureTheory.ae μ
x : ℝ
⊢ Complex.selfAdjointEquiv.symm x = ⟨↑x, ⋯⟩
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
Semiring 𝕜
ι' : Type u_5
Fintype ι'
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
DecidableEq ι
DecidableEq ι'
e : ι ≃ ι'
i : ι
v : E
⊢ (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e) ((WithLp.equiv p (ι → E)).symm (Pi.single i v)) =
  (WithLp.equiv p (ι' → E)).symm (Pi.single (e i) v)
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hx : x ∈ s ∧ ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card ∧ ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(image (fun x_1 => (x, x_1)) (filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u))).card
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
m : M
a : α
⊢ m ^ period m a • a = a
M : Type u_1
AddSemigroup M
a : Stream' M
i : ℕ
⊢ a.get i ∈ Hindman.FS a
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → α → Prop
l : List α
hl : List.Pairwise R l
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
h : ∀ (x : α), x ∈ l → p x
S : β → β → Prop
hS : ∀ ⦃x : α⦄ (hx : p x) ⦃y : α⦄ (hy : p y), R x y → S (f x hx) (f y hy)
⊢ List.Pairwise S (List.pmap f l h)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Mul X
ContinuousMul X
a₁ b₁ a₂ b₂ : X
γ₁ : Path a₁ b₁
γ₂ : Path a₂ b₂
t : ↑I
⊢ (γ₁.mul γ₂) t = γ₁ t * γ₂ t
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a b = toIcoDiv hp 0 (b - a)
a b c : Int
H : b ≠ 0
H' : b ∣ a
⊢ a / b = c ↔ a = b * c
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
n : ℕ
f : L.Functions n
⊢ FirstOrder.Language.ClosedUnder f Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
n : γ → δ
m' : α → β' → δ
n' : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), n (m a b) = m' a (n' b)
⊢ Filter.map n (Filter.map₂ m f g) = Filter.map₂ m' f (Filter.map n' g)
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
CommSemiring A
Algebra R A
I : Submodule R A
hI : I ≤ 1
⊢ I ≤ I * (1 / I)
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
h₁ : Surjective f₁
h₂ : ∀ (a : α₁), Surjective (f₂ a)
⊢ ∀ (x : α₁) (b : β₂ (f₁ x)), ∃ a, Sigma.map f₁ f₂ a = ⟨f₁ x, b⟩
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = fderiv 𝕜 f x
V : Type u
G : SimpleGraph V
Finite V
h : G.chromaticNumber = 0
⊢ IsEmpty V
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P✝ : Ideal S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : p.IsMaximal
P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }
⊢ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ ↑P ^ ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑P) = ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑P * inertiaDeg (algebraMap R S) p ↑P
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α
f✝ : α → β
n : ℕ
s : Finset α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq β
y : β
⊢ (filter (fun x => f x = y) s).card ≠ 0 ↔ y ∈ image f s
ι : Type u_1
α : Type u_3
CommMonoid α
DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
i : { x // x ∈ s }
⊢ ∏ j ∈ s.attach.erase i, f ↑j = ∏ j ∈ s.erase ↑i, f j
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a b : ℕ
this : Disjoint (filter p (range a)) (filter p (map (addLeftEmbedding a) (range b)))
⊢ (filter p (range a)).card + (filter (p ∘ ⇑{ toFun := fun h => a + h, inj' := ⋯ }) (range b)).card = (filter p (range a)).card + (filter (fun k => p (a + k)) (range b)).card
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
a b : ℝ
h : Set.EqOn f g [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
l : List α
hl : l ≠ []
⊢ Cycle.Chain r ↑l ↔ List.Chain r (l.getLast hl) l
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
⊢ o.blsub f ≤ a ↔ ∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h < a
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => r * f x) l Filter.atTop