ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL : L v = (0, 1)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ
L_emb : MeasurableEmbedding ⇑L
⊢ ∀ (x : E' × ℝ), HasLineDerivAt ℝ (fun x => f (L.symm x)) (f' (L.symm x)) x (0, 1)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝ : HasOuterApproxClosed Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ι → ProbabilityMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
⊢ limsup (fun i => ↑(μs i) F) L ≤ ↑μ F
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u_1
Q : β → Prop
u v : β → Cofix F α
h : ∀ (x : β), Q x → ∃ a f' f₀ f₁, (u x).dest = MvQPF.abs ⟨a, (P F).appendContents f' f₀⟩ ∧ (v x).dest = MvQPF.abs ⟨a, (P F).appendContents f' f₁⟩ ∧ ∀ (i : (P F).last.B a), ∃ x', Q x' ∧ f₀ i = u x' ∧ f₁ i = v x'
x✝¹ : β
Qx : Q x✝¹
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun w z => ∃ x', Q x' ∧ w = u x' ∧ z = v x'
x y : Cofix F α
x✝ : R x y
x' : β
Qx' : Q x'
xeq : x = u x'
yeq : y = v x'
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f₀ f₁ : (P F).last.B a → Cofix F α
ux'eq : (u x').dest = MvQPF.abs ⟨a, (P F).appendContents f' f₀⟩
vx'eq : (v x').dest = MvQPF.abs ⟨a, (P F).appendContents f' f₁⟩
h' : ∀ (i : (P F).last.B a), ∃ x', Q x' ∧ f₀ i = u x' ∧ f₁ i = v x'
⊢ ∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a i), α.RelLast R ((P F).appendContents f' f₀ i j) ((P F).appendContents f' f₁ i j)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p μ)
hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
g : α → F := Exists.choose hf
hg : StronglyMeasurable (Exists.choose hf)
hfg : ↑↑f =ᶠ[ae μ] Exists.choose hf
⊢ Memℒp g p (μ.trim hm)
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
h : p < ⊤
⊢ Nontrivial (M ⧸ p)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hs : (↑s).Finite
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ ↑s
hb : b ∈ ↑s
n : ℕ
hn : (f ^ n) a = b
⊢ ∃ n, (f ^ n) a = b
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
a b r : ℝ
hx : ‖x‖ ≤ r
hy : ‖y‖ ≤ r
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ ‖a • x + b • y‖ < r
p : ℕ →. Bool
n : ℕ
h : n ∈ Nat.rfind p
⊢ true ∈ p n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g : β → E
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm g p (Measure.map f μ) = eLpNorm (g ∘ f) p μ
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ ‖sinKernel (↑a) t‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 t
α : Type u
β : Type v
Semiring α
Semiring β
f : α → β
self : IsSemiringHom f
x y : α
⊢ f (x * y) = f x * f y
ε : Type u_1
p : ε → Prop
DecidablePred p
⊢ Equiv.Perm.subtypeCongr (Equiv.refl { a // p a }) (Equiv.refl { a // ¬p a }) = Equiv.refl ε
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : NonUnitalSeminormedRing α
β : Type u_5
inst✝¹ : NormedRing β
inst✝ : Nontrivial β
⊢ ‖1‖ ≤ ‖1‖ * ‖1‖
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K
⊢ cyclotomic n ℤ = minpoly ℤ μ
α : Type u
SemilatticeInf α
P : α → Prop
Pinf : ∀ ⦃x y : α⦄, P x → P y → P (x ⊓ y)
x y : Subtype P
⊢ ↑(x ⊓ y) = ↑x ⊓ ↑y
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
n : ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((F.mapTriangleCommShiftIso n).inv.app X).hom₁ = (F.commShiftIso n).inv.app X.obj₁
θ ψ : Real.Angle
⊢ θ.sin = ψ.sin ↔ θ = ψ ∨ θ + ψ = ↑π
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ : Triangle C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
T' : Triangle C
φ : (j : J) → T' ⟶ T j
⊢ T'.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => (φ j).hom₁) = (Pi.lift fun j => (φ j).hom₃) ≫ (Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ inv (piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁)
k : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t
⊢ s.card < t.card
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
a b : R ⟶ X✝
X Y Z A : C
g : Y ⟶ Z
a₁ a₂ : A ⟶ Y
h : IsKernelPair g a₁ a₂
f : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback f (a₁ ≫ g)
s : PullbackCone (pullback.fst f g) (pullback.fst f g)
⊢ (s.fst ≫ pullback.fst f g) ≫ f = h.lift (s.fst ≫ pullback.snd f g) (s.snd ≫ pullback.snd f g) ?refine_1 ≫ a₁ ≫ g
n : ℕ
m : ℝ
m2 : 2 ≤ m
⊢ LiouvilleNumber.remainder m n < 1 / (m ^ n !) ^ n
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I✝ : Ideal R
hf : Function.Bijective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsMaximal
h : map f I = ⊤
⊢ I = ⊤
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
⊢ MeasurableSpace.pi ≤ (OuterMeasure.pi fun i => (μ i).toOuterMeasure).caratheodory
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactorsList
⊢ p ∣ n
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.426465, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅ = app₄ ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯
⊢ 4 < 5 + 1
α : Type u_1
n : Type u_3
m : Type u_4
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hA : A.IsSymm
hBC : B.transpose = C
hD : D.IsSymm
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D).IsSymm
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a✝ : α
u : Set α
hu : u.IsPWO
x : α × α
a : α
x✝ : a ∈ {a | (mulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}
b : α × α
hb : b.1 ∈ s ∧ b.2 ∈ t ∧ b.1 * b.2 = a
⊢ a ∈ s * t
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : LaurentSeries R
n : ℤ
⊢ ((ofPowerSeries ℤ R) x.powerSeriesPart).coeff (n - order x) = x.coeff n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
⊢ (CochainComplex.mappingCone.triangleRotateShortComplex φ).f = (CochainComplex.mappingCone.triangle φ).rotate.mor₁
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ
⊢ Even a ↔ ∃ b, a = 2 * b
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S
⊢ f x₁ * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y₁)⁻¹ = f x₂ * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y₂)⁻¹ ↔ f (x₁ * ↑y₂) = f (x₂ * ↑y₁)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
h₁ : 0 ≤ b i
⊢ b i * ↑n - ↑(r i n) ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
⊢ (Algebra.adjoin R s).op = Algebra.adjoin R (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
α : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
NoMinOrder α
OrderTop α
ClosedIicTopology α
CompactIccSpace α
⊢ Filter.cocompact α = Filter.atBot
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).c₄ = ↑C.u⁻¹ ^ 4 * W.c₄
α : Type u_1
s t u : Multiset α
⊢ s ⊆ t → t ⊆ u → s ⊆ u
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ Continuous NumberField.mixedEmbedding.convexBodySumFun
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
e : M ≃+ N
⊢ Function.Injective fun f => (↑e).comp f
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
DivisionRing K
m : ℕ
m_lt_n : m < n
⊢ (g.squashGCF (n + 1)).s.get? m = g.s.get? m
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
s : Set E
hf : DifferentiableOn ℂ f s
hg : DifferentiableOn ℂ g s
h0 : Set.MapsTo f s Complex.slitPlane
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun x => f x ^ g x) s
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
degree_g_lt : g.degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g
⊢ f = g
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : S₁ → R
hg : g 0 = 0
φ : MvPolynomial σ S₁
⊢ (MvPolynomial.map f) (Finsupp.mapRange g hg φ) = φ ↔
  ∀ (d : σ →₀ ℕ), f (g (MvPolynomial.coeff d φ)) = MvPolynomial.coeff d φ
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : SMul G X
B : Set X
⊢ IsBlock G B ↔ ∀ (g g' : G), g • B = g' • B ∨ Disjoint (g • B) (g' • B)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
⊢ o ≤ lsub (typein fun x x_1 => x < x_1)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
CommSemiring R
f : σ → τ
g : τ → α
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.rename g) ((MvPolynomial.rename f) p) = (MvPolynomial.rename (g ∘ f)) p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι
x y : Set α
a : ι
hx : x ∈ (f a).sets
b : ι
hy : y ∈ (f b).sets
c : ι
ha : f a ≥ f c
hb : f b ≥ f c
⊢ ∃ i, x ∩ y ∈ (f i).sets
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft) ((TensorBimod.X M N ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (TensorBimod.X M N ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫ AssociatorBimod.hom M N P ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P') ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P')).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P') ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.inv M N P'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a✝ a₁ a₂ : α
hf : HasProd f a₁
b : β
inst✝ : DecidableEq β
a : α
⊢ HasProd (Function.update f b a) (a / f b * a₁)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ eval₂ f g p = (eval₂Hom (RingHom.id S₁) g) ((eval₂Hom (C.comp f) X) p)
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMap f
e₁ e₂ : E
he : f e₁ = f e₂
hne : e₁ ≠ e₂
left✝ : DiscreteTopology ↑(f ⁻¹' {f e₁})
t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f
he₁ : f e₁ ∈ t.baseSet
he₂ : f e₂ ∈ t.baseSet
⊢ ∃ s₁ s₂, IsOpen s₁ ∧ IsOpen s₂ ∧ e₁ ∈ s₁ ∧ e₂ ∈ s₂ ∧ Disjoint s₁ s₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
s : Injective ⇑f
n : ℕ
hn : Codisjoint (LinearMap.ker (f ^ (n + 1))) (LinearMap.range (f ^ (n + 1)))
⊢ Surjective ⇑f
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : ListBlank Γ
⊢ (cons l.head l.tail).nth 0 = l.head
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ : β
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
Preorder α
Preorder β
SMulPosMono α β
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b₁
⊢ 0 ≤ a • b₁
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
this : ‖curry0 𝕜 G f.uncurry0‖ ≤ ‖f.uncurry0‖
⊢ ‖f‖ ≤ ‖f 0‖
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
l₁ l₂ : List α
k : ℕ
⊢ (l₁ ++ l₂).rdrop (l₂.length + k) = l₁.rdrop k
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
H : Ordinal.IsNormal f
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ f a < f b ↔ a < b
α : Type u_8
AddCommMonoid α
⊢ ∀ (a : α × α), addAddMonoidHom a = addAddHom.toFun a
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
⊢ {I | I.IsMaximal}.Finite
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddMonoid ι
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
i : ι
r : A
⊢ (GradedRing.proj 𝒜 i) r = ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) r) i)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
⊢ (Finset.filter (fun v => Odd (G.degree v)) Finset.univ).card = 0 ∨ (Finset.filter (fun v => Odd (G.degree v)) Finset.univ).card = 2
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
x : X
⊢ {i | (f i) x ≠ 0}.Finite
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
f : M ↪ₑ[L] N
α : Type u_5
φ : L.Formula α
x : α → M
⊢ φ.Realize (⇑f ∘ x) ↔ φ.Realize x
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Set.Ioi (OrderDual.toDual a) = ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Set.Iio a
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} A
CategoryTheory.Abelian A
Y : CategoryTheory.SimplicialObject A
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.homotopyEquivNormalizedMooreComplexAlternatingFaceMapComplex.inv =
  AlgebraicTopology.DoldKan.PInftyToNormalizedMooreComplex Y
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
s : Set α
t : Set β
h : MeasureTheory.NullMeasurableSet (s ×ˢ t) (μ.prod ν)
hs : μ s ≠ 0
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet t ν
a b c : ℝ≥0∞
h : 0 < b → b < a → c ≠ ⊤
⊢ (a - b) * c = a * c - b * c
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
M : o → Matrix m n α
N : o → Matrix n p α
i : m
k : o
j : p
k' : o
⊢ blockDiagonal (fun k => M k * N k) (i, k) (j, k') = (blockDiagonal M * blockDiagonal N) (i, k) (j, k')
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
x y : α
⊢ (↑K)⁻¹ * edist x y ≤ edist (f x) (f y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
⊢ I.multiforkEquivPiFork.functor = I.toPiForkFunctor
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h✝ : Fintype.card R ≤ 3
h : Fintype.card R = 3
⊢ univ.card ≤ {0, 1, -1}.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁✝ s₂✝ t s₁ s₂ s₃ : Set α
h12 : s₁ ⊆ s₂
h23 : s₂ ⊆ s₃
h_nulldiff : μ (s₃ \ s₁) = 0
le12 : μ s₁ ≤ μ s₂
⊢ μ s₁ = μ s₂ ∧ μ s₂ = μ s₃
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ Set.Iic a ∪ Set.Ico a b = Set.Iio b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι : Type u_5
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
b : ℝ≥0∞
b_ne_top : b ≠ ⊤
xs : ι → ℝ≥0∞
le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b
liminf_le : liminf xs F ≤ b
aux : ∀ᶠ (i : ι) in F, (xs i).toReal = b.truncateToReal (xs i)
aux' : (liminf xs F).toReal = b.truncateToReal (liminf xs F)
⊢ liminf (fun a => b.truncateToReal (xs a)) F = b.truncateToReal (liminf xs F)
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
⊢ (s + t).card ≤ s.card * t.card
n k : ℕ
⊢ (n ^ k).factorization = k • n.factorization
a b : Prop
⊢ (a → b) → ¬a ∨ b
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E
h : f₁ =o[l] g
hf : ∀ (x : α), f₁ x = f₂ x
⊢ f₂ =o[l] g
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → ε' → ε
g' : β → γ → ε'
h_assoc : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = f' a (g' b c)
⊢ Set.image2 f (Set.image2 g s t) u = Set.image2 f' s (Set.image2 g' t u)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : σ → τ
r : R
⊢ (MvPolynomial.rename f) (MvPolynomial.C r) = MvPolynomial.C r
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t✝ s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝¹ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : t.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ s + t = s.singularPart μ + t.singularPart μ + μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ + t.rnDeriv μ)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
q : Submodule R₂ M₂
⊢ Submodule.map f (Submodule.comap f q) ≤ q
q : ℚ
⊢ 0 ≤ ProbabilityTheory.defaultRatCDF q
α : Type u_1
G : Type u_2
AddCommGroup G
f : α → α
g : α → G
n : ℕ
x : α
⊢ birkhoffSum f g n (f x) - birkhoffSum f g n x = g (f^[n] x) - g x
α β : Type u
f : Set (α → β)
s : Set α
hf : f.Finite
hs : s.Finite
⊢ (Seq.seq f fun x => s).Finite
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
e : ℕ
⊢ ∃ x ∈ I ^ e, x ∉ I ^ (e + 1)
n : ℕ
a : Ordinal.{u_4}
⊢ n • a = a * ↑n
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
i : n
A : ↥(center (SpecialLinearGroup n R))
⊢ ↑↑((fun a => ⟨⟨a • 1, ⋯⟩, ⋯⟩) ((fun A => rootsOfUnity.mkOfPowEq (↑↑A i i) ⋯) A)) = ↑↑A
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
d : (i : o) → m' i → α
i : o
k k' : m' i
⊢ (if h : i = i then of (fun i_1 j => if i_1 = j then d i i_1 else 0) k (cast ⋯ k') else 0) = of (fun i j => if i = j then d i.fst i.snd else 0) ⟨i, k⟩ ⟨i, k'⟩
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : y ≤ x
u : ℕ → α := fun n => if n = 0 then y else x
hu : Monotone u
⊢ edist (f x) (f y) ≤ eVariationOn f s
n : ℕ
⊢ Fintype.card (Composition n) = 2 ^ (n - 1)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace ι
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
fltr : Filter γ
inst✝¹ : fltr.NeBot
inst✝ : fltr.IsCountablyGenerated
U : γ → ι → Ω → β
h : ∀ (l : γ), ProgMeasurable f (U l)
h_tendsto : Tendsto U fltr (𝓝 u)
i : ι
⊢ Tendsto (fun l p => U l (↑p.1) p.2) fltr (𝓝 fun p => u (↑p.1) p.2)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a : α
hs : s.Pairwise r
hr : Symmetric r
h : ∀ b ∈ s, a ≠ b → r a b
⊢ (insert a s).Pairwise r
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hJ : J ≠ 0
⊢ I ≤ FractionalIdeal.dual A K J ↔ I * J ≤ FractionalIdeal.dual A K 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Add α
Add β
Add γ
e₁ : α ≃+ β
e₂ : β ≃+ γ
⊢ e₁.withZeroCongr.trans e₂.withZeroCongr = (e₁.trans e₂).withZeroCongr
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ max a b = if a ≤ b then b else a
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : InjectiveResolution X
⊢ (NatTrans.rightDerivedToHomotopyCategory α).app X ≫ (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj G).hom = (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex)
α : Type u_4
β : Sort u_5
f : α → β
I : Function.Injective f
⊢ Function.IsPartialInv f (Function.partialInv f)
k G : Type u
CommRing k
Group G
A B : Rep k G
g : G
x : CoeSort.coe A →ₗ[k] CoeSort.coe B
⊢ ((A.ihom.obj B).ρ g) x = B.ρ g ∘ₗ x ∘ₗ A.ρ g⁻¹
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f
n : ℕ
hn : (a - a ^ 2) ^ n = 0
⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
x : Sigma γ
i : ι
a : α i
j : ι
b : β j
⊢ x ∈ sigmaLift f ⟨i, a⟩ ⟨j, b⟩ ↔ ∃ (ha : ⟨i, a⟩.fst = x.fst) (hb : ⟨j, b⟩.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ ⟨i, a⟩.snd) (hb ▸ ⟨j, b⟩.snd)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : CommGroup β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s t u : Finset α
a✝ : α
d : ℕ
a : α
ha : a ∈ s
⊢ ∏ a_1 ∈ s, a_1 ^ Pi.single a 1 a_1 = a