ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t
x : ℝ
⊢ Ici x ⊆ closure (Ici x ∩ t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
u : ℕ → E
x y : E
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop (nhds x)
hTu : Filter.Tendsto (⇑T ∘ u) Filter.atTop (nhds y)
⊢ ⟪y - T x, y - T x⟫_𝕜 = 0
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
⊢ ¬∃ n, ↑↑p ∣ hζ.toInteger - ↑n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₃ p₁).tan = dist p₃ p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ → σ
g : α → List σ → Option σ
hg : Computable₂ g
H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = Option.some (f a n)
a : α × ℕ
n : ℕ
IH : Nat.rec (Option.some []) (fun y IH => (a, y, IH).2.2.bind fun b => Option.map (fun b_1 => (((a, y, IH), b), b_1).1.2 ++ [(((a, y, IH), b), b_1).2]) (g ((a, y, IH), b).1.1.1 ((a, y, IH), b).2)) n = Option.some ((fun a n => List.map (f a) (List.range n)) a.1 n)
⊢ Nat.rec (Option.some []) (fun y IH => (a, y, IH).2.2.bind fun b => Option.map (fun b_1 => (((a, y, IH), b), b_1).1.2 ++ [(((a, y, IH), b), b_1).2]) (g ((a, y, IH), b).1.1.1 ((a, y, IH), b).2)) (n + 1) = Option.some ((fun a n => List.map (f a) (List.range n)) a.1 (n + 1))
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : ∀ x ∈ Set.Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Icc a b) x
m : ℝ
hma : m < f' a
hmb : f' b < m
⊢ m ∈ f' '' Set.Ioo a b
E : Type u_6
SeminormedGroup E
x : E
⊢ Filter.Tendsto (fun a => ‖a‖) (𝓝 x) (𝓝 ‖x‖)
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : Nonempty α
hs : IsCompact ∅
⊢ BddBelow ∅
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s✝ t : Set E
x✝ y x : E
s : Set E
⊢ infEdist x⁻¹ s⁻¹ = infEdist x s
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
o : Ordering
⊢ o.Compares a b → a ≤ b ∨ b ≤ a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → ℝ
x : ℝ
h : HasSum (fun x => ↑(f x)) ↑x
⊢ HasSum f x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : TensorAlgebra R M
⊢ TensorAlgebra.equivDirectSum a = TensorAlgebra.toDirectSum a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (type r).IsLimit
x : α
⊢ ∀ b ∈ {x}, r b (enum r (succ (typein r x)) ⋯)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
l : fp.parts.card < univ.card ∧ fp.parts.card < r
⊢ False
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
z : ℍ
⊢ Summable fun x => ‖EisensteinSeries.eisSummand k x z‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
x : α
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
b : α
hb0 : 0 < ‖b‖
hbε : ‖b‖ < ε
⊢ dist x (x + b) < ε
β : Type u_4
s : β → β → Prop
IsTrans β s
⊢ WellFounded s ↔ ∀ (b : β), WellFounded (Subrel s {b' | s b' b})
β : Type u_2
LinearOrder β
a b : β
⊢ (¬a ≥ b) = (a < b)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 < y 0
hx : ∀ (k : ℕ), k < 0 → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < 0 → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x 0 < y 0
m n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : (Fin 0 → α) → Prop
⊢ Forall P ↔ ∀ (x : Fin 0 → α), P x
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
s : Set β
⊢ (0 • s).Subsingleton
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
⊢ univ • s ⊆ ↑(span R s).toAddSubmonoid
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
self : Algebra.Unramified R A
⊢ Algebra.FiniteType R A
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
hf : Function.Injective ⇑f
a : α
⊢ (f.toOrderIsoRangeOfInjective hf) a = ⟨f a, ⋯⟩
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (G i)
h : H
w : Monoid.PushoutI.NormalWord d
⊢ (Monoid.PushoutI.base φ) h • w = h • w
R : Type u_1
Ring R
CharP R 2
x y : R
⊢ x - y = x + y
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
Semiring R₂
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
⊢ LinearMap.range (f.domRestrict S) = LinearMap.range f ↔ S ⊔ LinearMap.ker f = ⊤
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsMeagre s ↔ ∃ S, (∀ t ∈ S, IsNowhereDense t) ∧ S.Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ S
α : Type u
AddMonoid α
u : AddUnits α
a : α
⊢ a + ↑u = 0 ↔ a = ↑(-u)
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
n : ℕ
⊢ (n % addOrderOf x) • x = n • x
M✝ : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Monoid M✝
inst✝² : TopologicalSpace X
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
f : M → M
hc : ContinuousOn f {x | IsUnit x}
hf : ∀ (u : Mˣ), f ↑u = ↑u⁻¹
⊢ Embedding val
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ (PInfty ≫ QInfty).f n = HomologicalComplex.Hom.f 0 n
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x
K : Type u
L : Type v
Field K
Field L
Algebra K L
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
IsCyclotomicExtension {2 ^ k} K L
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (2 ^ k) K)
⊢ (Algebra.norm K) (IsCyclotomicExtension.zeta (2 ^ k) K L - 1) = 2
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (Fin.last n)
p : (j : Fin n) → α ((Fin.last n).succAbove j)
⊢ (Fin.last n).insertNth x p = Fin.snoc (fun j => cast ⋯ (p j)) x
x y : ℂ
⊢ Complex.exp x = Complex.exp y ↔ ∃ n, x = y + ↑n * (2 * ↑Real.pi * Complex.I)
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set (α →o β)
hc : ∀ ⦃x : α →o β⦄, x ∈ s → Continuous x
⊢ Continuous' (sSup (DFunLike.coe '' s))
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
x y : R
⊢ x • ↑y = ↑(x * y)
x y : Nat
⊢ x / y = ite (0 < y ∧ y ≤ x) ((x - y) / y + 1) 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
PartialOrder α
PriestleySpace α
x y : α
h : x ≠ y
⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ (IsUpperSet U ∨ IsLowerSet U) ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : 0 ^ n ≠ 0
⊢ False
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C
⊢ G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.δ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.δ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom = (G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z ≫ F.δ X Y ▷ F.obj Z ≫ (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z)) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z)
α : Type u
L₁ : List (α × Bool)
x : α × Bool
⊢ FreeGroup.Red [x] L₁ ↔ L₁ = [x]
M : Type u_1
AddZeroClass M
s : Set M
p : M → M → Prop
x y : M
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure s
hy : y ∈ AddSubmonoid.closure s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
H1_left : ∀ (x : M), p 0 x
H1_right : ∀ (x : M), p x 0
Hmul_left : ∀ (x y z : M), p x z → p y z → p (x + y) z
Hmul_right : ∀ (x y z : M), p z x → p z y → p z (x + y)
⊢ p x y
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin n → α
i : Fin (n + 1)
⊢ vecCons x u (i + i) = vecAlt0 ⋯ (vecAppend ⋯ (vecCons x u) (vecCons x u)) i
α : Type u
Ring α
x : α
⊢ Ideal.span {-x} = Ideal.span {x}
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy m) s ≤ m s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : ¬i₁ = i₂
hs : ∑ i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) i = 0
fs : Finset (Fin (n + 3)) := {i₁, i₂}
hfs : ∀ i ∉ fs, i ≠ i₁ ∧ i ≠ i₂
⊢ ∀ x ∈ univ, x ∉ fs → ∑ x_1 : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), (if x = i₁ ∨ x = i₂ then (↑(n + 1))⁻¹ else 0) * (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) x_1 * (dist (s.points x) (s.pointsWithCircumcenter x_1) * dist (s.points x) (s.pointsWithCircumcenter x_1)) = 0
R : Type u
CommSemiring R
x y : R
⊢ IsCoprime (Ideal.span {x}) (Ideal.span {y}) ↔ IsCoprime x y
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
h : ¬G.IsAcyclic
w✝¹ : α
w✝ : G.Walk w✝¹ w✝¹
h✝ : w✝.IsCycle ∧ G.egirth = ↑w✝.length
⊢ ∃ a w, w.IsCycle ∧ w✝.length = w.length
R : Type u
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
x : K
⊢ IsAlgebraic R x⁻¹ ↔ IsAlgebraic R x
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : ι → E
val✝ : Fintype ι
hf : LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i)) = ⊥
K : ℝ≥0
K0 : K > 0
hK : AntilipschitzWith K ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))
this : Tendsto (fun g => ∑ i : ι, ‖g i - f i‖) (𝓝 f) (𝓝 0)
g : ι → E
hg : ∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊ < K⁻¹
v u : ι → 𝕜
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ‖v i - u i‖ ≤ ‖v - u‖
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Preregular C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
X : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.regularTopology C) A
⊢ ∀ (X_1 : Cᵒᵖ),
  ((e.sheafCongrPreregular A).unitIso.hom.app X).val.app X_1 = X.val.map (e.unitIso.inv.app (Opposite.unop X_1)).op
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : CategoryTheory.Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
⊢ Set.range ⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂) =
  ⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.fst g₁ g₂) ⁻¹' Set.range ⇑i₁ ∩
    ⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.snd g₁ g₂) ⁻¹' Set.range ⇑i₂
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ RCLike.re z ≤ ‖z‖
α : Type u_2
DecidableEq α
DivisionMonoid α
s : Finset α
n : ℤ
⊢ ↑(s ^ n) = ↑s ^ n
X : Type w
inst✝ : TopologicalSpace X
Y : Type u_1
t : TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : ∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)
⊢ Continuous f
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
⊢ ∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
Z : C
β : Y ≅ Z
f : Aut X
⊢ (α ≪≫ β).conjAut f = β.conjAut (α.conjAut f)
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
TopologicalAddGroup α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto Int.fract (𝓝[≥] ↑n) (𝓝 0)
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
hJl_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).lower ∈ Box.Icc I
hJu_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).upper ∈ Box.Icc I
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → γ
g : α → β
x : Filter α
y : Filter γ
⊢ Filter.Tendsto f (Filter.map g x) y ↔ Filter.Tendsto (f ∘ g) x y
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * U⁻¹) (K₂.carrier * U⁻¹)
⊢ ↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) / ↑(index (↑K₀) U) = ↑(index (↑K₁) U) / ↑(index (↑K₀) U) + ↑(index (↑K₂) U) / ↑(index (↑K₀) U)
⊢ Ordinal.lift.{w, max (u + 1) v} Ordinal.univ.{u, v} = Ordinal.univ.{u, max v w}
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : f ≈ g
h : padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
hlt : padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))
hpn : 0 < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, padicNorm p (↑(f - g) j) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
i : ℕ := max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)
hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x
this : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, v k < v l
N : ℕ → ℕ
hN : ∀ (k : ℕ), k < N k
hvN : ∀ (k : ℕ), v k < v (N k)
x✝ : ℕ
⊢ v (N^[x✝] 0) < v (N^[x✝ + 1] 0)
m : Type u_1 → Type u_2
σ : Type u_1
Monad m
s s' : σ
⊢ (set s').run s = pure (PUnit.unit, s')
α : Type u_1
β : Type u_2
rβ : β → β → Prop
f : α → β
dc : ∀ {a : α} {b : β}, rβ b (f a) → ∃ c, f c = b
a : α
ha : Acc (InvImage rβ f) a
⊢ Acc rβ (f a)
α : Type u_1
C : WithBot α → Sort u_5
d : C ⊥
f : (a : α) → C ↑a
x : α
⊢ WithBot.recBotCoe d f ↑x = f x
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a : ι → α
A : α
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Ioi A)) l fun i => Set.Ici (a i)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
f' : 𝕜 →L[𝕜] F
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x → HasStrictDerivAt f (f' 1) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤ ENNReal.ofReal ε ^ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : Filter α
g : ι → Filter β
⊢ ⨅ x, comap Prod.fst f ⊓ comap Prod.snd (g x) = ⨅ i, f.prod (g i)
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
⊢ (k + 1 ≠ 0 → R' < (ω ^ a0.repr) ^ succ ↑(k + 1)) ∧ (ω ^ a0.repr) ^ ↑(k + 1) * (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr) + R' = (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr + ↑m) ^ succ ↑(k + 1)
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
k a : ℕ
ha : a < nth p (k + 1) ∧ p a
⊢ a = nth p k ∨ a < nth p k ∧ p a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g).base = f.base ≫ g.base
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
⊢ IsOpen u
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
V : Set (X × X)
V_in : V ∈ 𝓤 X
h : ∀ (t : Set X), t.Finite → ¬s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) ∧ ∀ a ∈ s, ∀ (φ : ℕ → ℕ), StrictMono φ → ¬Tendsto (x ∘ φ) atTop (𝓝 a)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h : Nonempty ι
⊢ (Set.univ.pi fun x => ∅) = ∅
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
f : E → ℝ
⊢ UniformConvexOn s 0 f ↔ ConvexOn ℝ s f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
f : CategoryTheory.Arrow C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (data.i.app f) (data.p.app f) = f.hom
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
m : α → β
f : Filter α
g : Filter β
i : γ → α
h : Set.range i ∈ f
⊢ Filter.Tendsto (m ∘ i) (Filter.comap i f) g ↔ Filter.Tendsto m f g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
Subsingleton F
⊢ ContDiff 𝕜 n f
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Relation.Fibration (fun x x_1 => x < x_1) (fun x x_1 => x < x_1) (toAntisymmetrization fun x x_1 => x ≤ x_1)
α : Type u_2
x : α
f : ℕ → α → α
⊢ (Set.range fun n => Nat.rec x f n) = {x} ∪ Set.range fun n => Nat.rec (f 0 x) (f ∘ Nat.succ) n
M : Type u_1
Add M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set M
a b : M
ha : a ∈ lowerBounds s
hb : b ∈ lowerBounds t
⊢ a + b ∈ lowerBounds (s + t)
α β γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
d : Dioph S
f : (α → ℕ) →. ℕ
df : DiophPFun f
v : α → ℕ
x✝ : v ∈ {v | ∃ (h : f.Dom v), f.fn v h ::ₒ v ∈ S}
x : f.Dom v
hS : f.fn v x ::ₒ v ∈ S
⊢ ∃ (h : (f ((f.fn v x ::ₒ v) ∘ some, (f.fn v x ::ₒ v) none).1).Dom), (f ((f.fn v x ::ₒ v) ∘ some, (f.fn v x ::ₒ v) none).1).get h = ((f.fn v x ::ₒ v) ∘ some, (f.fn v x ::ₒ v) none).2
x y r : ℕ
hr : y * y + r = x
hle : r.ble (y + y) = true
⊢ (y ^ 2 + r).sqrt = y
x i : Nat
⊢ (2 ^ i + x).testBit i = !x.testBit i
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
I : Ideal B
C : Type u
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : FormallySmooth R A
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] C
hg : Function.Surjective ⇑g
hg' : IsNilpotent (RingHom.ker ↑g)
x : A
⊢ (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (g ((liftOfSurjective f g hg hg') x)) = (Ideal.Quotient.mk (RingHom.ker ↑g)) ((lift (RingHom.ker ↑g) hg' ((↑(Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm).comp f)) x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : C ⥤ D
CategoryTheory.RepresentablyFlat G
⊢ CategoryTheory.CompatiblePreserving K G
R : Type u_1
CommRing R
a : R[X]
⊢ a.wronskian 0 = 0
n k : ℕ
h : 0 < n
⊢ n.pred ! * n.ascFactorial k = (n.pred + k)!
n d : ℤ
⊢ (Rat.divInt n d).den = if d = 0 then 1 else d.natAbs / n.gcd d
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* MulAut N
f₁ : N →* H
f₂ : G →* H
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (f₂ g))).comp f₁
F : N ⋊[φ] G →* H
⊢ F = lift (F.comp inl) (F.comp inr) ⋯
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
R : Type u_17
S : Type u_18
Semiring S
SMul R M
Module S M
SMul R M₂
Module S M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S
fₗ : M →ₗ[S] M₂
c : R
x : M
⊢ fₗ (c • x) = c • fₗ x
α : Type u_1
LT α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
x y : α
⊢ cmp (OrderDual.toDual x) (OrderDual.toDual y) = cmp y x
α : Type u
m n o : ℕ
ho : o + 1 = m + 1 + n
x : α
u : Fin m → α
v : Fin n → α
⊢ Matrix.vecAppend ho (Matrix.vecCons x u) v = Matrix.vecCons x (Matrix.vecAppend ⋯ u v)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c₁ c₂ : α
AddGroup α
h1 : Function.Periodic f c₁
h2 : Function.Periodic f c₂
⊢ Function.Periodic f (c₁ - c₂)
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_1
U : ι → Submodule R (Module.Dual R M)
⊢ (⨆ i, U i).dualCoannihilator = ⨅ i, (U i).dualCoannihilator
α : Type u
DecidableEq α
xs ys : List α
h₀ : xs.Nodup
h₁ : xs ~ ys
⊢ Function.Injective (SlimCheck.InjectiveFunction.List.applyId (xs.zip ys))
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
h : ∀ (i j : n), i ≠ j → Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
t : TransvectionStruct n R
⊢ stdBasisMatrix t.i t.j t.c = t.c • stdBasisMatrix t.i t.j 1
a : ℕ+
⊢ a < (↑a).succPNat
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B' I✝ J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α
I B : Set α
hI : M.Indep I
hB : M.Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → B ⊆ y → B = y
hInotmax : ∃ x, M.Indep x ∧ I ⊆ x ∧ ¬I = x
⊢ ∃ x ∈ B \ I, M.Indep (insert x I)
F : Type u_2
Field F
p : F[X]
hsplit : Polynomial.Splits (RingHom.id F) p
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree
⊢ p.coeff k = p.leadingCoeff * (-1) ^ (p.natDegree - k) * p.roots.esymm (p.natDegree - k)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
⊢ ¬SimpleGraph.Walk.nil.IsCycle
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hx : 𝓟 {x} ≤ p'
⊢ Filter.Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
s t : Set α
⊢ EMetric.infEdist x t ≤ EMetric.infEdist x s + EMetric.hausdorffEdist s t
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : ℕ
h : 0 < a
n : ℤ
⊢ ↑a ^ n ≠ 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
h : finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i))) + finrank ℝ ↥((vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)))ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)) = finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ (Set.range s.points))
⊢ finrank ℝ ↥((vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)))ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)) = 1
s t : String
⊢ (s ++ t).length = s.length + t.length
R : Type u_1
S : Type u_2
q : R
n : ℕ
Ring R
Ring S
f : R →+* S
⊢ Polynomial.eval (f q) (Polynomial.cyclotomic n S) = f (Polynomial.eval q (Polynomial.cyclotomic n R))