ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
P : Ideal R[X]
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff Rₘ
inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)) Sₘ
P' : Ideal R := comap C P
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
hφ' : φ.comp (Quotient.mk P') = (Quotient.mk P).comp C
p : Sₘ
p' q : R[X] ⧸ P
hq : q ∈ M'
hp : p * (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) q = (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) p'
⊢ (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) p' ∈ Subring.closure (⇑((algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ).comp (Quotient.mk P)) '' insert X {p | p.degree ≤ 0})
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
⊢ ↑(reindex R s (Equiv.refl ι)) = ↑(LinearEquiv.refl R (⨂[R] (i : ι), s i))
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ≥0
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ ∑ i ∈ s, w i * z i ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p) ^ (1 / p)
x y : ℝ
⊢ x ^ 2 < y ↔ -√y < x ∧ x < √y
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 < p
f : α → ℝ≥0∞
a : α
⊢ f a ^ p * ((∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ) ^ (1 / p))⁻¹ ^ p = f a ^ p * (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ)⁻¹
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ b ≤ a ↔ b = a
M : Type u_4
AddCommGroup M
R : Type u_6
CommRing R
Module R M
simple : IsSimpleModule R M
⊢ (Module.annihilator R M).IsMaximal
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
SeminormedRing 𝕜
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
AddCommGroup E
AddCommGroup E₂
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ E₂
p q : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
hp : p ≤ q
⊢ p.comp f ≤ q.comp f
m n : ℕ∞
hm : m ≠ ⊤
hn : n ≠ ⊤
⊢ (m + n).toNat = m.toNat + n.toNat
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
self : CategoryTheory.Limits.HasCountableLimits C
J : Type
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.CountableCategory J
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
s : Set X
h : ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
⊢ IsClosed s
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
⊢ (a, b, c) ∈ Corners.triangleIndices A ↔ (a, b) ∈ A ∧ c = a + b
m n h✝ : ℕ
h : ack (m + 1) n = h✝.succ
⊢ 1 < ack m (ack (m + 1) n)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
⊢ f.ppow 0 = ↑ζ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ
⊢ disjointed f (n + 1) ⊔ f n = f (n + 1)
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
M : ModuleCat (MonoidAlgebra k G)
⊢ (Rep.ofModuleMonoidAlgebra.obj M).ρ = Representation.ofModule ↑M
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
i : σ
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom f g) (MvPolynomial.X i) = g i
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
hb : n ≤ b
⊢ ↑b < a + ↑n ↔ b < ⌈a⌉₊ + n
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
⊢ 0 ≤ a ^ 2
α : Type u_1
s : Set α
h : s ⊆ s
⊢ Set.inclusion h = id
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.divX.natDegree ≤ p.natDegree
R : Type u
inst✝ : Ring R
G✝ H✝ : ModuleCat R
f✝ : G✝ ⟶ H✝
G H : ModuleCat R
f : G ⟶ H
⊢ (imageIsoRange f).hom ≫ ofHom (LinearMap.range f).subtype = Limits.image.ι f
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
x : Monoid.Coprod M N
⊢ Monoid.Coprod.fst ((Monoid.Coprod.swap M N) x) = Monoid.Coprod.snd x
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : CommSemiring S'
inst✝⁶ : Algebra S' R
inst✝⁵ : Algebra S S'
inst✝⁴ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ RingHom.ker f.kerSquareLift.toRingHom = (RingHom.ker f.toRingHom).cotangentIdeal
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
⊢ (f.map hy k).comp f.toMap = k.toMap.comp g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
⊢ P.universally ≤ P
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
this✝ : I.IsMaximal := hI
this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I
ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C
hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ
⊢ ∃ x, I = vanishingIdeal {x}
q : ℚ≥0
⊢ ↑q⁻¹ = (↑q)⁻¹
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x✝ : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
x : ActionCategory G X
⊢ left 1 x.back = 𝟙 ()
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hf_tendsto : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n) p μ) atTop (𝓝 0)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₂ y₂ : F
h✝ : W.Nonsingular x₂ y₂
⊢ zero + some h✝ = 0 ↔ zero = -some h✝
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ Metric.infDist x ∅ = 0
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Inhabited F.M
bisim : IsBisimulation R
ps : Path F
a : F.A
f f' : F.B a → F.M
h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)
hh : IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a, f'⟩)
⊢ iselect ps (M.mk ⟨a, f⟩) = iselect ps (M.mk ⟨a, f'⟩) ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
α : Type u
β : Type v
g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
h : Function.Surjective m
⊢ Disjoint (Filter.comap m g₁) (Filter.comap m g₂) ↔ Disjoint g₁ g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
⊢ f ×ˢ g = ⊥ ↔ f = ⊥ ∨ g = ⊥
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime x (z * y)
⊢ IsCoprime x z
R : Type u
CommRing R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
f : (x : ↥U) → AlgebraicGeometry.StructureSheaf.Localizations R ↑x
hf : AlgebraicGeometry.StructureSheaf.IsFraction f
⊢ ∃ r s, ∀ (x : ↥U), ∃ (hs : s ∉ (↑x).asIdeal), f x = IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime (↑x).asIdeal) r ⟨s, hs⟩
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ
f : α → ℝ
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + dist x y
⊢ ∀ (x y : α), f x ≤ f y + ↑1 * dist x y
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
this : ∀ (U : (Opens ↑↑(D.U i))ᵒᵖ), (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k) ≫ D.f i j).c.app U = (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k) ≫ D.f i k).c.app U ≫ (pullback (D.f i j) (D.f i k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
⊢ invApp (D.f i j) U ≫ (D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) (unop (op ((Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).toPrefunctor.1 (unop (op U))))) ≫ (D.V (i, k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N M' N' : Submodule R S
hM : M' ≤ M
hN : N' ≤ N
⊢ M.mulMap N ∘ₗ TensorProduct.map (Submodule.inclusion hM) (Submodule.inclusion hN) = M'.mulMap N'
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
h : HasSum f a
⊢ Summable f
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
p : Submodule R₃ M₃
⊢ Submodule.comap (g.comp f) p = Submodule.comap f (Submodule.comap g p)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ Disjoint (s ∪ t) u ↔ Disjoint s u ∧ Disjoint t u
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
hE : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
⊢ ∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ ≤ (∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), ‖g a‖ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) 0 ↔ 0 = 0 ∨ ∃ a, 0 = ω ^ a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p1 -ᵥ p2 - (p1 -ᵥ p3)) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p1 -ᵥ p3 - (p1 -ᵥ p2))
hpi : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p1 -ᵥ p3) ≠ π
⊢ ‖p1 -ᵥ p2‖ = ‖p1 -ᵥ p3‖
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
hs : ∀ (x y : α), exterior {x} ⊆ exterior {y} → y ∈ s → x ∈ s
⊢ IsOpen s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ f₃ : α → E'
h : (fun x => f₁ x - f₂ x) =o[l] g
⊢ (fun x => f₂ x - f₁ x) =o[l] g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospanCompIso F f g).inv.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.one =
  𝟙 ((CategoryTheory.Limits.cospan (F.map f) (F.map g)).obj CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.one)
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
i : F
his : i ∈ s
g g' : G
⊢ g • (∑ c ∈ s, l c • (toFun G F) c) (g⁻¹ * g') = (∑ c ∈ s, l c • (toFun G F) c) g'
G : Type v
X : Type w
PseudoMetricSpace X
AddGroup G
AddAction G X
IsometricVAdd G X
c : G
x : X
r : ℝ
⊢ (fun x => c +ᵥ x) ⁻¹' Metric.sphere x r = Metric.sphere (-c +ᵥ x) r
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Y → Z
⊢ IsOpenMap (f ∘ ⇑h) ↔ IsOpenMap f
M : Type u_1
SubNegMonoid M
a : Mᵈᵃᵃ
n : ℤ
⊢ DomAddAct.mk.symm (n • a) = n • DomAddAct.mk.symm a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set β
h : IsCompl s t
⊢ IsCompl (f ⁻¹' s) (f ⁻¹' t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.IsCoseparator (Opposite.unop G) ↔ CategoryTheory.IsSeparator G
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
⊢ (π₁.disjUnion π₂ h).boxes = π₁.boxes ∪ π₂.boxes
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
f : κ → Ideal A
h : ∀ (i : κ), ∃ S, f i = span (Subtype.val '' S)
⊢ ∃ S, ⨆ i, f i = span (Subtype.val '' S)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop α
a : α
⊢ a + ⊤ = ⊤
α : Type u_2
Mul α
s : Set α
⊢ ∅ * s = ∅
α : Type u_5
β : Type u_6
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
SecondCountableTopologyEither α β
f : α → β
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
x : α
⊢ StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝[s] x) μ
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i →+ β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i →+ β₁ i
⊢ ∀ (i : ι), (fun i x => (f₂ i) x) i 0 = 0
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
a : α
b : β
l : List (α × β)
⊢ ((a, b) :: l).unzip.1.zip ((a, b) :: l).unzip.2 = (a, b) :: l
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone S.arrows.diagram
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
Hs : ∀ ⦃X_1 Y : S.arrows.category⦄ (f : X_1 ⟶ Y), S.arrows.diagram.map f ≫ s.ι.app Y = s.ι.app X_1 ≫ ((Functor.const S.arrows.category).obj s.pt).map f
hgf₁ : S.arrows (g₁ ≫ f₁)
hgf₂ : S.arrows (g₂ ≫ f₂)
⊢ g₁ ≫ s.ι.app { obj := Over.mk f₁, property := hf₁ } = g₂ ≫ s.ι.app { obj := Over.mk f₂, property := hf₂ }
I : Type u
f : I → Type v₁
x : (i : I) → f i
(i : I) → Neg (f i)
⊢ -x = fun i => -x i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t✝ : ι✝ → α
ht✝ : Independent t✝
ι : Sort u_5
a : α
t : ι → ↑(Iic a)
i : ι
x : ↑(Iic a)
ht : Disjoint ((Subtype.val ∘ t) i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), (Subtype.val ∘ t) j)
⊢ x ≤ t i → x ≤ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j → x ≤ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Multiset β
⊢ Multiset.disjSum 0 t = Multiset.map Sum.inr t
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
x : R
⊢ IsLocalization.coeSubmodule S (Ideal.span {x}) = Submodule.span R {(algebraMap R S) x}
α : Type u_1
l₁ l₂ : Filter α
Ixx Ixx' : α → α → Set α
h : ∀ (a b : α), Ixx a b ⊆ Ixx' a b
h' : Filter.TendstoIxxClass Ixx' l₁ l₂
⊢ Filter.TendstoIxxClass Ixx l₁ l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
⊢ ∀ x ∈ univ, [].get x ^ (-1) ^ ↑x = 1
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b c : α
ha : Codisjoint a b
hb : Codisjoint a c
⊢ Codisjoint a (b ⇔ c)
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : MulZeroOneClass α} {x_1 : MulZeroOneClass β} (f : α →*₀ β) (f' : α → β) (h : f' = ⇑f), f.copy f' h = ↑f
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
hab : a ≠ b
h : ¬G.Adj a b
⊢ SimpleGraph.incMatrix R G a e * SimpleGraph.incMatrix R G b e = 0
x : ℝ≥0
y : ℝ
⊢ x ^ (-y) = (x ^ y)⁻¹
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ e.target
⊢ LiftPropWithinAt Q (↑e.symm) e.target x
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
M₁' : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
(i : ι) → Module R (M₁' i)
g : MultilinearMap R M₁' M₂
f : (i : ι) → M₁ i ≃ₗ[R] M₁' i
⊢ (g.compLinearMap fun i => ↑(f i)) = 0 ↔ g = 0
G : Type u
Group G
H : Subgroup G
g : G
q : MulAction.orbitRel.Quotient (↥(Subgroup.zpowers g)) (G ⧸ H)
k : ZMod (Function.minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q))
⊢ ↑((Subgroup.MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) (g ^ k.cast • Quotient.out' q)) =
  if k = 0 then g ^ Function.minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q) * Quotient.out' (Quotient.out' q)
  else g ^ k.cast * Quotient.out' (Quotient.out' q)
α : Type u
ι : Type u_2
I : Finset ι
l : Filter α
p : ι → α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ∀ i ∈ I, p i x) ↔ ∀ i ∈ I, ∀ᶠ (x : α) in l, p i x
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
S : AddSubmonoid M
a b : α
h : a ∈ AddAction.orbit (↥S) b
⊢ a ∈ AddAction.orbit M b
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
⊢ FirstOrder.Language.Term.encoding.Γ = (α ⊕ (i : ℕ) × L.Functions i)
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Polynomial.eraseLead 0 = 0
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)
y : M
z : M₂
h : (y, z) ∈ ker (f.coprod g)
⊢ (y, z) ∈ (ker f).prod (ker g)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
g : τ → S
h : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom f g) ((MvPolynomial.bind₁ h) φ) =
  (MvPolynomial.eval₂Hom f fun i => (MvPolynomial.eval₂Hom f g) (h i)) φ
α : Type u_6
β : Type u_7
CompleteLattice β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h : ∃ᶠ (a : α) in f, x ≤ u a
⊢ x ≤ Filter.limsup u f
α : Type u
β : Type v
Finite β
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Nat.card α ≤ Nat.card β
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
⊢ (J.toPlus P ≫ J.plusMap η) ≫ (J.isoToPlus Q hQ).inv = η
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t : Set α
i : ι✝
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
ι : Type u_6
s : ι → Set α
⊢ (⨅ i, 𝓟 (s i)).HasBasis (fun t => t.Finite) fun t => ⋂ i ∈ t, s i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
⊢ ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p
hm' : p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer)
x : ↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer
hx : orderOf x = p
hequiv : ↥H ≃ ↥(H.subgroupOf H.normalizer)
y : G
hy : y ∈ H
⊢ y ∈ Subgroup.map H.normalizer.subtype (comap (mk' (H.subgroupOf H.normalizer)) (zpowers x))
α : Type u_1
DistribLattice α
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s.card * t.card ≤ (s ⊼ t).card * (s ⊻ t).card
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
AddCommMonoid β
b : β
⊢ ∑ _x ∈ s, b = s.card • b
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 7
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
⊢ 2 ∣ 8
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
x y : E
s t : Set E
⊢ ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) ≠ 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
⊢ smul α φ r 0 = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : E
n : ℕ
z : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m => z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < n, a k = 0
⊢ ∃ t, z ^ n • t = s ∧ HasSum (fun m => z ^ m • a (m + n)) t
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ✝ : SheafOfTypes K
Z✝ : C
T✝ : Presieve Z✝
x✝ : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ✝.val) T✝
h : x✝.Compatible
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
hF : {c : C} → {d : D} → (d ⟶ F.obj c) → (c' : C) × (F.obj c' ≅ d)
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (F.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ F.obj Y₁
f₂ : X ⟶ F.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
he : f₁ ≫ F.map g₁ = f₂ ≫ F.map g₂
X' : C
e : F.obj X' ≅ X
⊢ ℱ.val.map (f₁.op ≫ e.hom.op) (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map (f₂.op ≫ e.hom.op) (x g₂ hg₂)
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
⊢ IsPreconnected (Set.Ioc a b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y✝ z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 < ε
h : dist x z < ε + δ
y : E
hy : dist x y = δ / (ε + δ) * dist x z ∧ dist y z = ε / (ε + δ) * dist x z
⊢ dist x y ≤ δ ∧ dist y z < ε
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
c : F'
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ μ[fun x => c|m] = fun x => c
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ LinearMap.mulRight R 1 = LinearMap.id
α : Type u_1
DivisionRing α
CharZero α
a : α
n d : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a (Int.negOfNat n.succ) d → Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a⁻¹ (Int.negOfNat d) n.succ