ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
f : Filter α
β : Sort v
s : β → Set α
Finite β
⊢ ⋂ i, s i ∈ f ↔ ∀ (i : β), s i ∈ f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m : M
⊢ (DirectSum.of (fun i => ↥(⋀[R]^i M)) (1 + 1)) (GradedMonoid.GMul.mul ⟨(ι R) m, ⋯⟩ ⟨(ι R) m, ⋯⟩) = 0
I : Type u
f : I → Type v₁
DecidableEq I
(i : I) → Zero (f i)
i i' : I
h : i' ≠ i
x : f i
⊢ Pi.single i x i' = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ (TopCat.Presheaf.SheafConditionEqualizerProducts.fork F U).π.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one =
  TopCat.Presheaf.SheafConditionEqualizerProducts.res F U ≫ TopCat.Presheaf.SheafConditionEqualizerProducts.leftRes F U
x : ℕ
⊢ (↑x).get ⋯ = x
R : Type u_1
d : R
Semiring R
⊢ { a := 0, b := 0, c := 0, d := d }.toPoly = Polynomial.C d
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
x : 𝕂
⊢ HasStrictDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) (NormedSpace.exp 𝕂 x) x
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun x => π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ ↑I
⊢ |(μ t).toReal - (μ (s ∩ ↑I)).toReal| ≤ ↑ε
α : Type u
β : α → Type v
a : α
b : β a
⊢ (AList.singleton a b).entries = [⟨a, b⟩]
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.tail ⊆ l
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest
⊢ (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> (TypeVec.id ::: corec fun x => (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> x) <$$> (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> y.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest
X : Scheme
R : CommRingCat
inst✝ : IsDomain ↑R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑⊥.asIdeal = PrimeSpectrum.zeroLocus {0}
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
u v : V
h : H.Adj u v
⊢ G.Adj u v
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s
c : ℝ≥0∞
hc : c < essSup f μ
⊢ c < essSup f (μ.restrict s)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
⊢ u (hitting u s n m ω) ω ∈ s
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
v : m → α
⊢ (Finset.univ.sup fun i => ∑ j : ι, ‖col ι v i j‖₊) = Finset.univ.sup fun b => ‖v b‖₊
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
ExistsAddOfLE α
MulPosMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a * b < 0
ha : a ≤ 0
⊢ 0 < b
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hσ : Finite σ
p : Polynomial (MvPolynomial σ R)
hp : ((optionEquivLeft R σ).symm p).IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
k : ℕ
e : σ ≃ Fin k
e' : Option σ ≃ Fin (k + 1) := e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv k).symm
F : MvPolynomial σ R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin k) R := renameEquiv R e
F' : MvPolynomial (Option σ) R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := renameEquiv R e'
φ : MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := F' ((optionEquivLeft R σ).symm p)
hφ : φ.IsHomogeneous n
⊢ (rename ⇑e) (p.coeff i) = (Polynomial.map (rename ⇑e).toRingHom p).coeff i
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.birthday = k
⊢ (lsub fun i => (typein (fun x x_1 => x < x_1) i).toPGame.birthday) = o
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
e : E ≃L[𝕜] E'
⊢ ⇑e.toDiffeomorph = ⇑e
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.202, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.206, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.210, u_3} D'
W : MorphismProperty C
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L'.IsLocalization W
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ StructuredArrow.mk ((homEquiv W L' L) ((homEquiv W L L') f)) = StructuredArrow.mk f
α : Type u
β : Type v
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
⊢ Ultrafilter.map m (Ultrafilter.ofComapInfPrincipal h) = g
α : Type u_1
σ : Type u_2
Primcodable α
Primcodable σ
c : α → Nat.Partrec.Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Nat.Partrec.Code × Nat.Partrec.Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Nat.Partrec.Code × Nat.Partrec.Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Nat.Partrec.Code × Nat.Partrec.Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Nat.Partrec.Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
⊢ let PR := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg);
let CO := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg);
let PC := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg);
let RF := fun a cf hf => rf a (cf, hf);
let F := fun a c => Nat.Partrec.Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR a) (CO a) (PC a) (RF a);
Computable fun a => F a (c a)
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
i : ℕ
⊢ i ∈ p.restriction.support ↔ i ∈ p.support
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
⊢ v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.ker ((aeval f) q)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α →. β
g : α →. γ
x : α
y : β × γ
⊢ y ∈ f.prodLift g x ↔ y.1 ∈ f x ∧ y.2 ∈ g x
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
⊢ Measure.sum (sFiniteSeq μ) ≪ μ.toFinite
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ‖lineDeriv 𝕜 f x₀ v‖ ≤ C * ‖v‖
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
X Y : Ω → ℝ
hXY : ProbabilityTheory.IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
⊢ MeasureTheory.integral μ (X * Y) = MeasureTheory.integral μ X * MeasureTheory.integral μ Y
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
P' : Type uP'
Q' : Type uQ'
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : Semiring A
inst✝²⁹ : Semiring B
inst✝²⁸ : Algebra R A
inst✝²⁷ : Algebra R B
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : Module R M
inst✝²⁴ : Module A M
inst✝²³ : Module B M
inst✝²² : IsScalarTower R A M
inst✝²¹ : IsScalarTower R B M
inst✝²⁰ : SMulCommClass A B M
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁸ : Module R N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : Module R P
inst✝¹⁵ : Module A P
inst✝¹⁴ : Module B P
inst✝¹³ : IsScalarTower R A P
inst✝¹² : IsScalarTower R B P
inst✝¹¹ : SMulCommClass A B P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R Q
inst✝⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝⁷ : Module R P'
inst✝⁶ : Module A P'
inst✝⁵ : Module B P'
inst✝⁴ : IsScalarTower R A P'
inst✝³ : IsScalarTower R B P'
inst✝² : SMulCommClass A B P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
r : R
f : M →ₗ[A] P
g : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N
⊢ ((curry (map f (r • g))) x✝¹) x✝ = ((curry (r • map f g)) x✝¹) x✝
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank R M
⊢ (Orientation.map ι f) x = x ↔ 0 < LinearMap.det ↑f
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain (α →𝒄 β)
x : α
⊢ (OmegaCompletePartialOrder.ωSup c) x = (OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.ωSup c) x
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤
n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ
n₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ↑r ^ n₁ r • x ∈ M'
N : ℕ := s'.attach.sup n₁
hs' : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' ↑s') = ⊤
r : R
hr : r ∈ ↑s'
⊢ r ^ N • x = r ^ (N - n₁ ⟨r, hr⟩ + n₁ ⟨r, hr⟩) • x
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommSemiring L
inst✝¹ : Nontrivial L
inst✝ : Algebra K L
⊢ ringChar K = ringChar L
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ (c ∈ Set.Ico a (a + p) ∧ ∃ z, b = c + z • p) → toIcoMod hp a b = c
d : ℕ
a : ℤ√↑d
x y : ℕ
h : a ≤ { re := ↑x, im := ↑y }
⊢ ∃ n, a ≤ ↑n
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
⊢ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (Metric.ball (t₀ / a) (ε / |a|))
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ≠ p
hp₂ : p₂ ≠ p
hp₃ : p₃ ≠ p
⊢ ∡ p₂ p p₃ + ∡ p₁ p p₂ = ∡ p₁ p p₃
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
⊢ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule = ⊥
V : Type u
⊢ SimpleGraph.fromEdgeSet Set.univ = ⊤
s step : ℕ
⊢ List.range' s 1 step = [s]
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
h : c.Rel i j
⊢ ∃ j, c.Rel i j
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} J
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
∀ (n : ι), CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ HomologicalComplex.eval C c n)
j : J
n : ι
⊢ ((HomologicalComplex.coconeOfHasColimitEval F).ι.app j).f n =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F ⋙ HomologicalComplex.eval C c n) j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ Convex 𝕜 ((convexHull 𝕜) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set (α × β)
la : Filter α
lb : Filter β
⊢ sᶜ ∈ la.coprod lb ↔ (Prod.fst '' s)ᶜ ∈ la ∧ (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ lb
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
PartialOrder ι
τ : Ω → ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
Countable ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
a b : Multiplicative X
⊢ nndist (Multiplicative.toAdd a) (Multiplicative.toAdd b) = nndist a b
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
A : Set α
B₁ B₂ : Set β
f : α → β
n : ℕ
hB : B₁ ⊆ B₂
hf : IsMulFreimanHom n A B₁ f
⊢ IsMulFreimanHom n A B₂ f
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesFilteredColimits (forget C)
F G : Presheaf C X
f : F ⟶ G
h : ∀ (U : Opens ↑X), Function.Injective ⇑(f.app (op U))
x : ↑X
s t : (forget C).obj ((stalkFunctor C x).obj F)
hst : ((stalkFunctor C x).map f) s = ((stalkFunctor C x).map f) t
⊢ s = t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν' : μ ⟂ₘ ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
h_ac : ν ≪ ν + ν'
h₁ : (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae (ν + ν')] (μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν')
h₂ : (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν).rnDeriv ν + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
h₃ : (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
h₄ : (μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] 0
⊢ (μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν).rnDeriv ν + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t : Set E
h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
y : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n => x + d n) atTop (𝓝[t] x)
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
⊢ (p * q).degree = p.degree + q.degree
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
Zero N
f : α →₀ N
⊢ Finsupp.neLocus 0 f = f.support
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
h : N ≤ N'
m : ↥N
⊢ ↑((LieSubmodule.inclusion h) m) = ↑m
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.reverse.reverse = p
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
p : ℝ≥0
hp : p ≠ 0
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f (↑p) μ = (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ↑p ∂μ) ^ (1 / ↑p)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op
⊢ pushout.inl f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op = (pullback.fst f g).op
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive (⊤ • μ) T C
f : α → E
⊢ MeasureTheory.setToFun (⊤ • μ) T hT f = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C × D
⊢ (CategoryTheory.prod.etaIso X).hom =
  (CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.1, X.2).1, CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.1, X.2).2)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
f : M →L[R] N
g : N →L[R] G
c✝ c : R
hc : c ≠ 0
li : M' →ₗᵢ[R] N
⊢ Injective ⇑(c • li.toContinuousLinearMap)
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ (W.map f).ΨSq n = Polynomial.map f (W.ΨSq n)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
k : κ
x : β (h k)
i : κ
⊢ (comapDomain' h hh' (single (h k) x)) i = (single k x) i
X : Type u_1
R : Type u_3
Zero X
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
Zero R
⊢ Function.Injective toContinuousMap
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedCommSemiring α
StrictOrderedSemiring β
Algebra α β
SMulPosStrictMono α β
⊢ StrictMono ⇑(algebraMap α β)
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
U : Set X
⊢ Perfect U ↔ U = derivedSet U
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ ‖a - b‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
LocallyCompactSpace Y
f : X → Y
hf : OpenEmbedding f
⊢ LocallyCompactSpace X
α : Type u_1
r : Rel α α
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
i : Fin p.length
⊢ (p.smash q h).toFun (Fin.castAdd q.length i).succ = p.toFun i.succ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
n d : ℤ
hqz : q ≠ 0
qdf : q = n /. d
⊢ padicValRat p q = ↑((multiplicity (↑p) n).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) d).get ⋯)
R : Type u_2
CommSemiring R
IsDomain R
GCDMonoid R
Unique Rˣ
a b c : R
n : ℕ
cp : IsCoprime a b
h : a * b = c ^ n
⊢ ∃ d, a = d ^ n
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
⊢ Tendsto (fun y => ‖y.2 - x‖⁻¹ * ‖g y.2 - g x - (g' x) (y.2 - x)‖) (l.curry (𝓝 x)) (𝓝 0)
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → ProbabilityMeasure Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
⊢ Tendsto (toFiniteMeasure ∘ μs) F (𝓝 μ.toFiniteMeasure) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (ω : Ω), f ω ∂↑μ))
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u_3
Field K
Algebra F K
L : IntermediateField F E
f : E →ₐ[F] K
⊢ (f.comp L.val).fieldRange = IntermediateField.map f L
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
IsDomain B
Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
y : A
h : (minpoly A x).IsRoot y
⊢ (algebraMap A B) y = x
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
e : R ≃+* S
f : S → R
h₁ : Function.LeftInverse (⇑e) f
h₂ : Function.RightInverse (⇑e) f
h₃ :
  ∀ (x y : S),
    { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x * y) =
      { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x *
        { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (x y : S),
    { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x + y) =
      { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x +
        { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
⊢ { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄ } = e.symm
α : Type u_5
F' : Type u_6
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m : MeasurableSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → F'
⊢ μ[f|m] =
  if hm : m ≤ m0 then
    if h : MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm) ∧ MeasureTheory.Integrable f μ then
      if MeasureTheory.StronglyMeasurable f then f
      else MeasureTheory.AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(MeasureTheory.condexpL1 hm μ f) ⋯
    else 0
  else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder β
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
⊢ essSup f μ = sInf {a | μ {x | a < f x} = 0}
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
e₁ e₂ : α ≃ᵢ α
⊢ ⇑(e₁ * e₂) = ⇑e₁ ∘ ⇑e₂
f : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
n : ℕ
⊢ Continuous ⇑(f ^ n)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ ⇑e.toLinearIsometry = ⇑e
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
m : Fin (n + 1) → E
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x) m = ((⇑(continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 n E F) ∘ iteratedFDeriv 𝕜 n fun y => fderiv 𝕜 f y) x) m
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ₁ δ₂ : ℝ
hle : δ₁ ≤ δ₂
E : Set α
⊢ Metric.thickening δ₁ E ⊆ Metric.thickening δ₂ E
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
inst✝³ : HasImage (g ≫ h)
inst✝² : HasImage (f ≫ g ≫ h)
inst✝¹ : HasImage h
inst✝ : HasImage ((f ≫ g) ≫ h)
⊢ preComp f (g ≫ h) ≫ preComp g h = eqToHom ⋯ ≫ preComp (f ≫ g) h
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * q) = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (p * x.denom) ↔ x * (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.op.δ = S.δ.op
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S
hr : ¬r = 0
this : Fintype (S ⧸ span {r}) := (span {r}).fintypeQuotientOfFreeOfNeBot ⋯
⊢ absNorm (span {r}) = (LinearMap.det ((Algebra.lmul ℤ S) r)).natAbs
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}
a : Ordinal.{max u_4 u_5}
H : ∀ b < a, ∃ i, ∃ (hi : i < o), f i hi = b
⊢ a ≤ o.bmex f
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
H.Normal
⊢ H.relindex K ∣ H.index
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosStrictMono α
MulPosReflectLT α
b0 : 0 < b
⊢ a * b < b ↔ a < 1
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
x : Aᵐᵒᵖ
x✝ : R
⊢ (algebraMap R A) x✝ = MulOpposite.unop x ↔ MulOpposite.op ((algebraMap R A) x✝) = x
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
i : F
his : i ∈ s
g g' : G
⊢ ∑ x ∈ s, g • l x * (toFun G F) x g' = ∑ x ∈ s, l x • (toFun G F) x g'
⊢ StrictMono (ord ∘ aleph) ∧ range (ord ∘ aleph) = {b | b.card.ord = b ∧ ω ≤ b}
α : Type u
β : Type u_1
l : List α
f : α → β
⊢ (ofFn fun i => f l[↑i]) = map f l
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
s : Set α
M : Type w'
inst✝² : Nonempty M
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : M ⊨ T
h : Nonempty (↑s ↪ M)
this✝¹ : Inhabited M
this✝ : (constantsOn α).Structure M := constantsOn.structure (Function.extend Subtype.val (⇑h.some) default)
this : M ⊨ (L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory s
⊢ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory s).IsSatisfiable
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
j : ℤ
a : α
a_in_fixedBy : a ∈ fixedBy α g
⊢ a ∈ fixedBy α (g ^ j)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsPartialOrder α r
⊢ IsPartialOrder α (Function.swap r)
G : Type u_3
Add G
IsLeftCancelAdd G
a : G
⊢ Function.Injective fun x => a + x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ e0 Q * (v Q) m * e0 Q = (v Q) m
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K
⊢ Prime (hζ.toInteger - 1)
α : Type u
σ : Type v
⊢ εNFA.accept 1 = Set.univ