ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z W : C
CategoryTheory.MonoidalCoherence (X ⊗ Y ⊗ Z) W
⊢  ⊗𝟙 = (α_ X Y Z).hom ≫ ⊗𝟙
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictInitialObjects C
IsEmpty J
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
b : Basis m R (m → R) := Pi.basisFun R m
hA : IsUnit ((LinearMap.toMatrix b b) A.mulVecLin).det
⊢ (A * B).rank = B.rank
R : Type u
Field R
DecidableEq R
f g : R[X]
α : R
⊢ (EuclideanDomain.gcd f g).IsRoot α ↔ f.IsRoot α ∧ g.IsRoot α
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Ioi a ↔ x✝ ∈ Ioi ⌊a⌋
ι : Type u
DecidableEq ι
β : ι → Type u_1
(i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
⊢ DFinsupp.update i f b = f - DFinsupp.single i (f i) + DFinsupp.single i b
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup n R
⊢ (↑A).det = 1
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hrr' : (Lagrange.interpolate s v) r = (Lagrange.interpolate s v) r'
i : ι
⊢ i ∈ s → r i = r' i
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
f : Filter (OnePoint X)
⊢ f ≤ 𝓝 ∞ ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s → IsCompact s → some '' sᶜ ∪ {∞} ∈ f
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hG : G.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = (eval r) G
hnR : ↑n ≤ #R
⊢ F - G = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Sup α
Sup β
Sup γ
g : SupHom β γ
f : SupHom α β
⊢ SupHom.dual (g.comp f) = (SupHom.dual g).comp (SupHom.dual f)
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
Add M
AddCommSemigroup N
AddCommSemigroup P
g : AddHom N P
f₁ f₂ : AddHom M N
⊢ g.comp (f₁ + f₂) = g.comp f₁ + g.comp f₂
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Mul M
Mul N
Mul P
S : Subsemigroup P
g : N →ₙ* P
f : M →ₙ* N
⊢ Subsemigroup.comap f (Subsemigroup.comap g S) = Subsemigroup.comap (g.comp f) S
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
y₁ y₂ : α
hpy₁ : p y₁
hqy₁ : q y₁ hpy₁
hpy₂ : p y₂
hqy₂ : q y₂ hpy₂
h : ∃! x, ∃ hx, q x hx
⊢ y₁ = y₂
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
⊢ ∃ y, closedBall y (δ / 4) ⊆ closedBall x δ ∧ closedBall y (δ / 4) ⊆ interior s
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
s : Finset ι
f g : ι → α
hfg : AntivaryOn f g ↑s
⊢ ↑s.card * ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, g i
α : Type u
TopologicalSpace α
s t : Set α
H : IsConnected s
Kst : s ⊆ t
Ktcs : t ⊆ closure s
⊢ IsConnected t
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
FirstCountableTopology ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = i}
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
⊢ IntegrableAtFilter f l μ
α : Type u_1
E : Type u_3
F'' : Type u_10
Norm E
NormedAddCommGroup F''
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
⊢ (fun _x => c) =O[l] fun _x => c'
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
⊢ Function.Injective Heyting.Regular.val
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y P : C
ι₁ : X ⟶ P
ι₂ : Y ⟶ P
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryCofan.mk ι₁ ι₂).inl = ι₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Countable β
MeasurableSingletonClass β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace γ} {f : α × β → γ}, (∀ (y : β), Measurable fun x => f (x, y)) → Measurable f
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
⊢ t ∈ (Finpartition.ofSetoid h.setoid).part s ↔ h.finpartition.part s = h.finpartition.part t
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ |a| ≤ |b| + |b + a|
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
⊢ x ^ (-y) = (x ^ y)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
h : s ∈ 𝓝[t] a
⊢ 𝓝[t] a ≤ 𝓝[s] a
α : Type u_1
⊢ Finset.eraseNone ∅ = ∅
R : Type u_1
Semiring R
p q : Polynomial R
S : Type u_2
Semiring S
Module R S
IsScalarTower R S S
SMulCommClass R S S
x y : S
hc : Commute x y
⊢ Commute (p.smeval x) (q.smeval y)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
hap : a ≠ 0
he : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x ≠ 0 ∧ x ≤ p / 2
hep : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x < p
hpe : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → ¬p ∣ x
hmem : ∀ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * ↑x).valMinAbs.natAbs ∈ Ico 1 (p / 2).succ
⊢ Multiset.map (fun x => (a * ↑x).valMinAbs.natAbs) (Ico 1 (p / 2).succ).val = Multiset.map (fun a => a) (Ico 1 (p / 2).succ).val
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.monoFactorisationZero X Y).m = 0
α : Type u_3
⊢ Nat.card (PLift α) = Nat.card α
α : Type u
Inhabited α
h : α
t : List α
⊢ (h :: t).headI = h
α β✝ : Type u
c b : Cardinal.{u}
β γ : Type u
this : {c' | Quot.mk Setoid.r γ < c'}.Nonempty
hlt : Quot.mk Setoid.r γ < Quot.mk Setoid.r β
f : γ ↪ β
⊢ Quot.mk Setoid.r γ + 1 ≤ Quot.mk Setoid.r β
α : Type u_1
s t u : Multiset α
h : t ⊆ u
d : s.Disjoint u
⊢ s.Disjoint t
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
e : R
⊢ IsIdempotentElem (toSpanSingleton R R e) ↔ IsIdempotentElem e
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
⊢ ∑' (x : ↑(Function.support f)), f ↑x = ∑' (x : β), f x
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
hite2 : (if n.succ = 0 then 1 else 0) = 0
x : ℕ × ℕ
h : x.1 + x.2 = n.succ
⊢ bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹ * ↑(x.1 + x.2)! = ↑(x.1 + x.2)! / ↑(x.1! * x.2!) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I✝ : Ideal R
F F' : I✝.Filtration M
I : Ideal R
N : Submodule R M
i : ℕ
⊢ I • I ^ i • N ≤ I ^ (i + 1) • N
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0
⊢ σ.IsThreeCycle
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this✝ : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)
this : HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..x, f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑(v.proj x), f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : E × F
s : Set (E × F)
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s p
⊢ fderivWithin 𝕜 Prod.fst s p = ContinuousLinearMap.fst 𝕜 E F
α β γ : Type u
f : β → Filter α
s : γ → Set α
fs : List β
us : List γ
⊢ List.Forall₂ (fun b c => s c ∈ f b) fs us → traverse s us ∈ traverse f fs
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₁
k : ℕ
⊢ (toMatrix v₁ v₁) f ^ k = (toMatrix v₁ v₁) (f ^ k)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ o.oangle y x = ↑π - 2 • o.oangle (y - x) y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
⊢ (P.tensorBimod (Bimod.regular S)).actLeft ≫ Bimod.RightUnitorBimod.hom P =
  R.X ◁ Bimod.RightUnitorBimod.hom P ≫ P.actLeft
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝⁴ : LocallyCompactSpace H
this✝³ : LocallyCompactSpace M
this✝² : SecondCountableTopology H
this✝¹ : SecondCountableTopology M
this✝ : MetrizableSpace M
x✝ : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun n => thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : ℕ → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
L : Tendsto (fun n => ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : M) in s, f x ∂μ))
this : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ = 0
⊢ 0 = ∫ (x : M) in s, f x ∂μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Option α → β → γ
b : β
bs : List β
⊢ List.map₂Right f [] (b :: bs) = f none b :: List.map (f none) bs
Γ : Type u_1
i✝ : Inhabited Γ
L₁ L₂ : ListBlank Γ
l₁ l₂ : List Γ
H : ∀ (i : ℕ), l₁.getI i = l₂.getI i
h✝ : l₁.length ≤ l₂.length
i : ℕ
h : i < l₂.length
h₂ : i < (l₁ ++ List.replicate (l₂.length - l₁.length) default).length
h' : i < l₁.length
⊢ (l₁ ++ List.replicate (l₂.length - l₁.length) default).get ⟨i, h₂⟩ = l₂.get ⟨i, h⟩
R : Type u_1
Ring R
R₂ : Type u_2
Ring R₂
R₃ : Type u_3
Ring R₃
M : Type u_4
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
M₃ : Type u_6
TopologicalSpace M₃
AddCommGroup M₃
Module R M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
TopologicalAddGroup M₃
g₁ g₂ : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
f : M →SL[σ₁₂] M₂
⊢ (g₁ - g₂).comp f = g₁.comp f - g₂.comp f
α : Sort u
c : Prop
⊢ ∀ {x : Decidable c} {t : c → α} {e : ¬c → α} (h : c = True), dite c t e = t ⋯
G : Type u_1
Group G
a b : G
m : ℤ
⊢ a * b * b ^ m = a * b ^ (m + 1)
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
⊢ Continuous TrivSqZeroExt.fst
R : Type u
Mul R
StarMul R
x y : R
⊢ star (x * star y) = y * star x
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
x y : (forget D).obj (P.obj (op X))
h : ((J.toPlus P).app (op X)) x = ((J.toPlus P).app (op X)) y
⊢ x = y
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n + 1
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
ha : ∀ (s : Finset ι), s.Nonempty → s ≠ univ → s.card < (s.biUnion t).card
this✝ : Nonempty ι
this : DecidableEq ι
x : ι := Classical.arbitrary ι
y : α
hy : y ∈ t x
ι' : Set ι := {x' | x' ≠ x}
t' : ↑ι' → Finset α := fun x' => (t ↑x').erase y
card_ι' : Fintype.card ↑ι' = n
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
⊢ lowerCentralSeries R L M (k + 1) = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
⊢ ∀ (x y : α), s(x, y) ∉ fromRel ⋯
α : Sort u_2
β : Sort u_1
f : α → β
p : β → Prop
⊢ (∀ (b : β) (a : α), f a = b → p b) ↔ ∀ (a : α), p (f a)
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
s : Set Z
x : Z
hx : f x ∈ e.source
h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝[s] x
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (↑e ∘ f) s x
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α : ↥(solvableByRad F E)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hα : P (α ^ n)
p : F[X] := minpoly F (α ^ n)
hp : p.comp (X ^ n) ≠ 0
⊢ Fact (Splits (algebraMap F ?q.SplittingField) (minpoly F α))
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
n : Type u_8
inst✝ : Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : EuclideanSpace ℝ n
this : 0 ≤ ∑ i : n, x i ^ 2
⊢ x ∈ Metric.ball 0 r ↔ x ∈ {x | ∑ i : n, x i ^ 2 < r ^ 2}
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hf : EqOn f 1 s
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = 1
p b : ℕ
hb : b ≠ 0
hpa : p ∈ primeFactorsList 0
⊢ p ∈ (0 * b).primeFactorsList
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
⊢ (∀ n > 3, P.toPoly.coeff n = 0) ∧ P.toPoly.coeff 3 = P.a ∧ P.toPoly.coeff 2 = P.b ∧ P.toPoly.coeff 1 = P.c ∧ P.toPoly.coeff 0 = P.d
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : DecompositionMonoid R
x : R
hx : Squarefree x
y : R
hy : x ∣ y ^ 2
⊢ x ∣ y
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
TopologicalSpace X
CompactSpace X
T2Space X
s : TopologicalSpace.Opens X
⊢ (ContinuousMap.idealOfSet 𝕜 ↑s).IsMaximal ↔ IsCoatom s
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α
h0 : 0 < Fintype.card α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ 2 ≤ Fintype.card α ∧ ∀ (m : ℕ), m ∣ Fintype.card α → m = 1 ∨ m = Fintype.card α
α : Type u
β : Type v
AddSemigroup β
f : AddHom (FreeAddSemigroup α) β
⊢ FreeAddSemigroup.lift (⇑f ∘ FreeAddSemigroup.of) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
b : β
s : Cycle α
⊢ b ∈ Cycle.map f s ↔ ∃ a ∈ s, f a = b
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
p q : ℚ≥0
⊢ ↑(max p q) = max ↑p ↑q
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
assoc : Std.Associative op
s : Multiset α
inst✝ : Std.Commutative op
a : α
⊢ noncommFold op s ⋯ a = fold op a s
α : Type u_2
Monoid α
s : Set α
hs : 1 ∈ s
⊢ s * Set.univ = Set.univ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
f : α →ᵤ[{s}] E
this : Tendsto id (𝓝 f) (𝓝 f)
⊢ ∀ x ∈ s, Tendsto (fun i => id i x) (𝓝 f) (𝓝 (f x))
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝ : L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h2 : lift.{max w u v, w'} #M ≤ lift.{max w' u v, w} κ
N0 : (L.elementaryDiagram M).ModelType
hN0 : lift.{max (max u w') v w, w} κ ≤ #↑N0
N : Bundled L[[M]].Structure
hN : #↑N = κ
NN0 : ↑N ↪ₑ[L[[M]]] ↑N0
this : L.Structure ↑N := (L.lhomWithConstants M).reduct ↑N
⊢ ∃ N, Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
x : ℝ
⊢ WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Ici ↑↑x = Ici x
p' : ℕ
k : ℤ
h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) + 1 = ω ^ 2 ^ p' * ↑((2 ^ (p' + 2) - 1) * k)
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)
⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β → β
H : LeftCommutative f
b : β
l : List α
⊢ Multiset.foldr f H b ↑l = List.foldl (fun x y => f y x) b l
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Profinite.NobelingProof.contained
  (Profinite.NobelingProof.π (Profinite.NobelingProof.C1 C ho) fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o) o
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Set β → Filter γ
m : α → β
⊢ (Filter.map m f).lift g ≤ f.lift (g ∘ Set.image m)
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Module R V
k : ℕ
f g : LaurentSeries V
x✝ : ℤ
⊢ ((fun f => ofSuppBddBelow (fun n => Ring.choose (n + ↑k) k • f.coeff (n + ↑k)) ⋯) (f + g)).coeff x✝ = ((fun f => ofSuppBddBelow (fun n => Ring.choose (n + ↑k) k • f.coeff (n + ↑k)) ⋯) f + (fun f => ofSuppBddBelow (fun n => Ring.choose (n + ↑k) k • f.coeff (n + ↑k)) ⋯) g).coeff x✝
α : Type u_1
OrderedRing α
Nontrivial α
a b : α
a' b' : ℤ
ha : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a a'
hb : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b b'
h : decide (b' < a') = true
⊢ ¬a ≤ b
a b : Int
h : a ≤ b
c : Int
⊢ a - c ≤ b - c
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x ^ (-1 / x)) Filter.atTop (𝓝 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'
⊢ e.source = e'.source
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f✝ : X → Y
s : Set X
f : X → Y
hf : Embedding f
⊢ IsLocallyClosed s ↔ ∃ s', IsLocallyClosed s' ∧ s' ∩ range f = f '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α
⊢ x ∈ antidiagonal ⟦l⟧ ↔ x.1 + x.2 = ⟦l⟧
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
a : α
⊢ 𝓝[>] a ≤ 𝓝[≠] a
R : Type u_1
Semiring R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
r : R
⊢ OreLocalization.numeratorRingHom r = r /ₒ 1
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
u w : List (Symbol T g.NT)
huw : g.Derives u w
⊢ u = w ∨ ∃ v, g.Produces u v ∧ g.Derives v w
β : Type u_2
ι : Sort u_4
Nonempty ι
s : Set β
⊢ ⋃ x, s = s
α : Type u_1
l : List α
⊢ 0 < l.length → ∃ h t, l = h :: t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ≅ Y
g g' : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom g' ↔ g = g'
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hαβ : s.IsPWO
a : α
f : Lex (α × β) → β := fun x => (ofLex x).2
h : {y | toLex (a, y) ∈ s} = f '' (s ∩ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a})
b : Lex (α × β)
hb : b ∈ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a}
c : Lex (α × β)
hc : c ∈ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a}
hbc : b ≤ c
⊢ f b ≤ f c
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' : Set α
e : α
hB : M.Base B
hB' : M.Base B'
h : B \ B' = {e}
⊢ ∃ f ∈ B' \ B, B' = insert f B \ {e}
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
p q : R[X]
hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < (p * q).degree → (p * q).coeff n ∈ P
hfd0✝ : 0 < (p * q).degree
h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2
hu : (p * q).IsPrimitive
hf0 : p * q ≠ 0
hf : map (mk P) p * map (mk P) q = C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) * X ^ (p * q).natDegree
hfd0 : 0 < (p * q).natDegree
m n : ℕ
b c : (R ⧸ P)[X]
hmnd : m + n = (p * q).natDegree
hbc : C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) = b * c
hp : map (mk P) p = b * X ^ m
hq : map (mk P) q = c * X ^ n
hmn : 0 < m → 0 < n → False
hpql0 : (mk P) (p * q).leadingCoeff ≠ 0
hp0 : p ≠ 0
hq0 : q ≠ 0
hbc0 : b.degree = 0 ∧ c.degree = 0
⊢ IsUnit p ∨ IsUnit q
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A✝ : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A✝
inst✝¹² : Algebra R A✝
inst✝¹¹ : Module A✝ M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A✝
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A✝ M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
A : Type u_6
Aₛ : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommSemiring Aₛ
inst✝² : Algebra A Aₛ
inst✝¹ : Algebra R Aₛ
inst✝ : IsScalarTower R A Aₛ
⊢ (∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R Aₛ)) ↑x)) ↔ ∀ (y : ↥(Algebra.algebraMapSubmonoid A S)), IsUnit ((algebraMap A Aₛ) ↑y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS :
  ∀ (b : CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement S.X₂),
    CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply S.g b = 0 →
      ∃ a, CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply S.f a = b
⊢ S.Exact
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius
r : ℝ≥0
r0 : 0 < ↑r
rlt : ↑r < p.radius
⊢ ∃ C r, ∃ (_ : 0 < C) (_ : 0 < r), ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
β : TypeVec.{u_2} n
f g : α.Arrow β
⊢ (∀ (i : Fin2 n), f i = g i) → f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ + ν) ↔
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ ∧ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f ν
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
OpensMeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (μ.everywherePosSubset s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
s : Finset γ
f : γ → α × β
⊢ (∏ c ∈ s, f c).1 = ∏ c ∈ s, (f c).1
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f g : α → β
a✝ : List α
h : ∀ x ∈ Quot.mk Setoid.r a✝, f x = g x
⊢ map f (Quot.mk Setoid.r a✝) = map g (Quot.mk Setoid.r a✝)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ <+: l₂ ↔ l₁ = List.take l₁.length l₂
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
hp : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
⊢ CauchySeq f ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n.1) - ↑↑(f n.2)) p μ) atTop (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Inv G
Zero G
SmoothInv₀ I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
a : M
hf : SmoothAt I' I f a
ha : f a ≠ 0
⊢ SmoothAt I' I (fun x => (f x)⁻¹) a