ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
p : (α →₀ M) → Prop
f : α →₀ M
h0 : p 0
ha : ∀ (a : α) (b : M) (f : α →₀ M), a ∉ f.support → b ≠ 0 → p f → p (Finsupp.single a b + f)
⊢ p f
α : Type u
L : List (α × Bool)
⊢ ¬FreeGroup.Red.Step [] L
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
p : J → Prop
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
DecidablePred p
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.toSubtype f p =
  if h : p j then CategoryTheory.Limits.biproduct.ι (Subtype.restrict p f) ⟨j, h⟩ else 0
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ b : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ 1 ≤ mabs a ^ 2
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
f : M →ₗ[R] P
g₁ g₂ : N →ₗ[R] Q
⊢ TensorProduct.map f (g₁ + g₂) = TensorProduct.map f g₁ + TensorProduct.map f g₂
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
c : β
s : Set α
⊢ AntitoneOn (fun x => c) s
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u4
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
m : M
⊢ (ExteriorAlgebra.map f) ((ExteriorAlgebra.ι R) m) = (ExteriorAlgebra.ι R) (f m)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
a : α
⊢ (UpperSet.map f) (UpperSet.Ici a) = UpperSet.Ici (f a)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
a : X
inst✝¹ : LinearOrder X
inst✝ : CompactIccSpace X
x✝ : IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ
s : Set X
hsl : s ∈ atBot
hs : IntegrableOn f s μ
h : LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ
this : Nonempty X
a' : X
ha' : ∀ b ≤ a', b ∈ s
⊢ IntegrableOn f (Iic a) μ
R : Type u_7
CommRing R
E : Type u_8
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_9
AddCommGroup F
Module R F
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
φ : ↥p →ₗ[R] F
ψ : ↥q →ₗ[R] F
c : R
⊢ LinearMap.ofIsCompl h (c • φ) (c • ψ) = c • LinearMap.ofIsCompl h φ ψ
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
this : (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D)) ⁻¹' univ.pi fun i => s i) = univ.pi fun i => (fun x => D i * x) ⁻¹' s i
B : ∀ (i : ι), ofReal |D i| * volume ((fun x => D i * x) ⁻¹' s i) = volume (s i)
⊢ ∏ x : ι, ofReal |D x| * volume ((fun x_1 => D x * x_1) ⁻¹' s x) = ∏ x : ι, volume (s x)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝⁴ : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
H : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
c : E → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H
c' : E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
u : (i : ι) → M i
m : E
⊢ (fderiv 𝕜 (fun y => (c y) u) x) m = ((fderiv 𝕜 c x) m) u
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : V ↪ W
G : SimpleGraph W
⊢ SimpleGraph.map f (SimpleGraph.comap (⇑f) G) ≤ G
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b • p - b = -toIocMod hp a b
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.moduleCatCyclesIso.inv S.iCycles = (LinearMap.ker S.g).subtype
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ Fin.last n
⊢ b < (a.castPred ha).succ ↔ b ≤ a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
inst✝¹ : Fintype n
b : Basis n R₃ M₃
J J₃ A A' : Matrix n n R₃
inst✝ : DecidableEq n
⊢ A ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSkewAdjoint A
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
P : Prop
Decidable P
x : P → α
y : ¬P → α
⊢ f (dite P x y) = if h : P then f (x h) else f (y h)
n : ℕ
m : ℕ
Fin2.IsLT m n
⊢ Dioph.DiophFn fun v => v (Fin2.ofNat' m)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s t : Set α
μ✝ ν : Measure α
l l' : Filter α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
μ : Measure β
⊢ (∃ s ∈ map e l, IntegrableOn f s μ) ↔ ∃ s ∈ map e l, IntegrableOn f s (μ.restrict (range e))
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
L R : Turing.ListBlank Γ
⊢ (Turing.Tape.mk' L R).head = R.head
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule.IsTrivial L M
⊢ ⁅I, N⁆ ≤ ⊥
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
x : α
H2 : x ∈ s
⊢ s.min' ⋯ ≤ x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a b : α
h : a < b
s : Set α
⊢ [s ∈ 𝓝[<] b, s ∈ 𝓝[Set.Ico a b] b, s ∈ 𝓝[Set.Ioo a b] b, ∃ l ∈ Set.Ico a b, Set.Ioo l b ⊆ s,
    ∃ l ∈ Set.Iio b, Set.Ioo l b ⊆ s].TFAE
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ z₂' : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q
⊢ (z₁.comp (z₂ - z₂') h).v p q hpq = (z₁.comp z₂ h - z₁.comp z₂' h).v p q hpq
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
⊢ f =O[l] g ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x / g x‖
R : Type u
inst✝² : CommRing R
E : EllipticCurve R
F : Type u
inst✝¹ : Field F
j : F
inst✝ : DecidableEq F
h3 : 3 = 0
⊢ ofJ 1728 = ofJ1728 F
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 - W'.negY Q * P z ^ 3 = 0
⊢ P y ≠ W'.negY P
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : FinitePresentation R A
e : A ≃ₐ[R] B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
⊢ FinitePresentation R B
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (F.obj X) (F.obj Y)
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inr ≫ F.biprodComparison' X Y = F.map CategoryTheory.Limits.biprod.inr
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ (s.erase a).erase a = s.erase a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
x : R
y : R[X]
⊢ y ∈ RingHom.ker (evalRingHom x) ↔ y ∈ Ideal.span {X - C x}
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ (a ⇨ b) ⊓ a ≤ b
a b : ℝ
n : ℕ
C : ℝ := sin a ^ (n + 1) * cos a - sin b ^ (n + 1) * cos b
h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2) = (sin a ^ (n + 1) * cos a - sin b ^ (n + 1) * cos b + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ n) - (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2)
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α
⊢ l ~ replicate n a ↔ l = replicate n a
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
s : Set α
n : ℤ
hf : (f ^ n).IsCycleOn s
h : Set.BijOn (⇑f) s s
⊢ f.IsCycleOn s
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
Finite G
x : G
⊢ IsOfFinAddOrder x
α : Type u
β : Type v
a✝ b✝ : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)
IJ : I ≤ J
xJ : x ∈ J
left✝ : 1 ∉ I
oJ : 1 ∈ J
a b : α
h : b ∈ Submodule.span α ↑I
oe : 1 = a • x + b
F : y * 1 = y * (a • x + b)
⊢ a * (x * y) + y * b ∈ I
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
this : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
⊢ mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = mfderiv I I id x
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
a b : Complementeds α
⊢ ↑(a ⊓ b) = ↑a ⊓ ↑b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → Option σ
hf : Computable₂ f
this : Partrec fun a => Nat.casesOn (encode (decode a.2)) (Part.some Option.none) fun n => map (f a.1) ↑(decode n)
a : α × ℕ
⊢ Nat.rec (Part.some Option.none) (fun n n_ih => map (f a.1) ↑(decode n)) (encode (decode a.2)) = Part.some ((decode a.2).bind (f a.1))
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : α → α
a : α
⊢ Stream'.corec f g a = Stream'.cons (f a) (Stream'.corec f g (g a))
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
⊢ h = ↑(coroot α)
X : TopCat
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
V : TopologicalSpace.Opens ↥U
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map U.inclusion).obj (⋯.functor.obj V) = V
α : Sort u
b : PLift α
⊢ Eq { down := b.down } b
α : Type u_1
R : α → α → Prop
a b : α
l : List α
p : List.Chain R a (b :: l)
⊢ R a b
α : Type u_1
x✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable (fun x => rexp (f x)) μ
this : f = fun x => log (rexp (f x))
⊢ AEMeasurable f μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
⊢ (∀ t ⊆ s, t.OrdConnected → ∀ x ∈ t, ∀ x_1 ∈ t, ¬x < x_1) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → ∃ z ∉ s, z ∈ Ioo x y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ closure {x} = Set.Iic x
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
⊢ cyclotomic n R ∣ X ^ n - 1
R M : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
L : Type u
w✝¹ : AddCommGroup L
w✝ : Module R L
K : Submodule R L
ϕ : P ≃ₗ[R] L ⧸ K
left✝¹ : Free R L
left✝ : Finite R L
hK : K.FG
this : Finite R ↥K
⊢ ∃ κ x h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂
ι : Type u
f : ι → AlgebraicGeometry.Scheme
i : ι
⊢ CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f i ≫ (AlgebraicGeometry.sigmaIsoGlued f).hom = (AlgebraicGeometry.disjointGlueData f).ι i
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
hs : x ∈ (chartAt H c).source
hd : dist (↑(extChartAt I c) x) (↑(extChartAt I c) c) < f.rIn
⊢ ↑f =ᶠ[𝓝 x] 1
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial M
f : End R M
hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
μ : R
contra : ∀ (k : ℕ), (f.genEigenspace μ) k = ⊥
⊢ ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊥
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
ν' : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
⊢ μ.rnDeriv ν' =ᵐ[ν] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
⊢ i = j
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ HasDerivAt Complex.GammaIntegral (∫ (t : ℝ) in Set.Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) * (↑(Real.log t) * ↑(rexp (-t)))) s
I : Type u
inst✝¹⁰ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
Z : C
X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C
inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂
inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃
inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃
inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
i₁ i₂ i₃ j : I
h : i₁ + i₂ + i₃ = j
⊢ ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ tensorHom (tensorHom f₁ f₂) f₃ j = ((f₁ i₁ ⊗ f₂ i₂) ⊗ f₃ i₃) ≫ ιTensorObj₃' Y₁ Y₂ Y₃ i₁ i₂ i₃ j h
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : ∀ (f : α → Bool), ContinuousOn f s → ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y
⊢ ∀ (u v : Set α), IsOpen u → IsOpen v → s ⊆ u ∪ v → (s ∩ u).Nonempty → (s ∩ v).Nonempty → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
n n✝ : ℕ
ih : ∀ (f : Fin n → Fin (n✝ + 1)), ∑ i : Fin n, ↑(f i) * (n✝ + 1) ^ ↑i < (n✝ + 1) ^ n
f : Fin (n + 1) → Fin (n✝ + 1)
⊢ ∑ i : Fin (n + 1), ↑(f i) * (n✝ + 1) ^ ↑i < (n✝ + 1) ^ (n + 1)
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
One M
One N
One P
g : OneHom N P
f : OneHom M N
x : M
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
⊢ image2 f (insert a s) t = (fun b => f a b) '' t ∪ image2 f s t
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S : AddSubmonoid M
x : M
⊢ f x ∈ AddSubmonoid.map f S ↔ x ∈ S
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
⊢ Set.Iic ⊥ = {⊥}
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
⊢ Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : β → α
h : ∀ (y : β), MeasurableSet (f ⁻¹' {f y})
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s)
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
X_emp : Nonempty Ω
xs : ℕ → Ω
xs_dense : DenseRange xs
half_ε_pos : 0 < ε / 2
⊢ ∃ As, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), diam (As n) ≤ ε) ∧ ⋃ n, As n = univ ∧ Pairwise fun n m => Disjoint (As n) (As m)
α : Type u
self : CompletelyDistribLattice.MinimalAxioms α
ι : Type u
κ : ι → Type u
f : (a : ι) → κ a → α
⊢ ⨅ a, ⨆ b, f a b = ⨆ g, ⨅ a, f a (g a)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
l : ∀ {a : α}, a ∈ ca → ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
right✝ : ∀ {b : β}, b ∈ cb → ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b
a : α
b : β
ma : a ∈ ca
mb : b ∈ cb
b' : β
mb' : b' ∈ cb
ab' : R a b'
⊢ R a b
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
hs : ∀ (x y : α), x ⤳ y → y ∈ s → x ∈ s
⊢ IsOpen s
f : ℕ → ℂ
c s : ℂ
n : ℕ
⊢ LSeries.term (c • f) s n = c * LSeries.term f s n
n : ℕ
⊢ Set.range Fin.succ = {0}ᶜ
R✝ : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
inst✝ : CommRing S
f✝ : R✝ →+* S
g : σ → S
R : Type u
c : ℤ →+* S
f : MvPolynomial R ℤ →+* S
x : MvPolynomial R ℤ
⊢ eval₂ c (⇑f ∘ X) x = f x
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ∀ (a : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F),
  ((PiTensorProduct.toDualContinuousMultilinearMap F) x) a = (PiTensorProduct.lift a.toMultilinearMap) x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
x : TensorProduct R N M
⊢ (TensorProduct.map f g) ((TensorProduct.comm R N M) x) = (TensorProduct.comm R Q P) ((TensorProduct.map g f) x)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
this : μ.restrict μ.sigmaFiniteSet = (μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSet
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((μ.toFinite.withDensity fun x => if μ.densityToFinite x ≠ ⊤ then μ.densityToFinite x else 1).restrict μ.sigmaFiniteSet) s = ((μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSet) s
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
⊢ Conservative f^[n + 1] μ
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
h : Monovary f g
s : Set ι
⊢ MonovaryOn f g s
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1
refl : motive n ⋯
le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯
⊢ leRec refl le_succ_of_le ⋯ = refl
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
ε : 𝕜
Fintype α
DecidableRel G.Adj
Nonempty α
hG : G.FarFromTriangleFree ε
⊢ ε < 1
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : SMul M X
inst✝² : ContinuousSMul M X
f✝ : Y → M
g : Y → X
b : Y
s : Set Y
N : Type u_5
inst✝¹ : SMul N Y
inst✝ : TopologicalSpace N
f : N → M
hg : Inducing g
hf : Continuous f
hsmul : ∀ {c : N} {x : Y}, g (c • x) = f c • g x
⊢ Continuous fun p => p.1 • p.2
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
f : M →+ N
g : M →+ P
x : M
⊢ (f.prod g) x = (f x, g x)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set X
⊢ DiscreteTopology ↑S ↔ ∀ x ∈ S, 𝓝[≠] x ⊓ 𝓟 S = ⊥
α : Type u_2
OrderedAddCommMonoid α
s : NonemptyInterval α
n : ℕ
⊢ ↑(n • s) = n • ↑s
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
r : R
⊢ (C r * X).eraseLead = 0
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
⊢ PartialHomeomorph.univUnitBall.source = Set.univ
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
x : PrimeSpectrum R
⊢ (PrimeSpectrum.primeSpectrumProd R S).symm (Sum.inl x) = (PrimeSpectrum.comap (RingHom.fst R S)) x
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖) atTop (𝓝 ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖)
R : Type u
CommSemiring R
m : Multiset R
⊢ (Multiset.map (fun x => Ideal.span {x}) m).prod = Ideal.span {m.prod}
ι : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
AddMonoid ι
Monoid R
l : List α
fι : α → ι
fA : α → R
⊢ l.dProd fι fA = (List.map fA l).prod
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn : N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
c : R
hc1 : c - 1 ∈ I
hci : c • i ∈ I • span R s
⊢ c * r - 1 ∈ I
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : DecidableEq α
x : α
⊢ ∃ y, y ≠ x
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
⊢ ↑1 = 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
U : Comonad C
X Y x✝ : Cokleisli U
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ x✝
⊢ U.δ.app X ≫ U.map (U.δ.app X ≫ U.map f ≫ g) = (U.δ.app X ≫ U.map f) ≫ U.δ.app Y ≫ U.map g
α : Sort u_1
⊢ Nonempty (Erased α) ↔ Nonempty α
α : Type u
CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c : α
h : a ≤ c
⊢ a ≤ b * c
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → Prop
h : MeasurableSet (f ⁻¹' {True})
⊢ Measurable f
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set β
hf : Function.Surjective f
⊢ f ⁻¹' s ⊆ f ⁻¹' t ↔ s ⊆ t
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → One (α i)
i : ι
b : α i
⊢ Pi.mulSingle i '' Set.Ioo 1 b = Set.Ioo 1 (Pi.mulSingle i b)
M : Type u_2
N : Type u_3
φ : M → N
X : Type u_5
SMul M X
Y : Type u_6
SMul N Y
φ' : N → M
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : Y), (f.inverse' g k h₁ h₂) a = g a
α : Type u_1
⊢ Subsingleton α ↔ ∀ (x y : α), x = y
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
MulZeroClass α
DecidableEq l
a : l → α
B : Matrix m n α
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) (Matrix.diagonal a) B =
  (Matrix.reindex (Equiv.prodComm m l) (Equiv.prodComm n l)) (Matrix.blockDiagonal fun i => a i • B)