ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : ι →₀ α
t : ι →₀ Finset α
ht : t.support ⊆ s
⊢ f ∈ s.finsupp ⇑t ↔ ∀ (i : ι), f i ∈ t i
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
f : α → β → γ
g : γ → δ
⊢ g '' image2 f ↑s ↑t = image2 (fun a b => g (f a b)) ↑s ↑t
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) ↔ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
⊢ T.μ.app c.pt ≫ lambda c t = T.map (lambda c t) ≫ lambda c t
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
x✝ y✝ : α
e : ∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ * y✝ ∈ I
hx : ¬∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ ∈ I
⊢ ∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → y✝ ∈ I
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : Integrable f μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
⊢ (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), f x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, f x ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
hg : AnalyticAt 𝕜 g x
⊢ AnalyticAt 𝕜 (f - g) x
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V
u v : V
⊢ (G'.induce s).Adj u v = (u ∈ s ∧ v ∈ s ∧ G'.Adj u v)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ ((traceForm R L M) ⁅x, y⁆) z = -((traceForm R L M) ⁅y, x⁆) z
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀
n : ℕ
hn : c = ↑n
⊢ succ c = c + 1
α : Type u_2
β : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsUpper α
TopologicalSpace β
f : β → α
⊢ Continuous f ↔ ∀ (a : α), IsClosed (f ⁻¹' Set.Iic a)
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
l : Profinite.NobelingProof.Products I
hl : Profinite.NobelingProof.Products.isGood (Profinite.NobelingProof.π C fun x => x ∈ s) l
⊢ Profinite.NobelingProof.Products.eval C l =
  (Profinite.NobelingProof.πJ C s)
    (Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.π C fun x => x ∈ s) l)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
n : ℤ
ha : a ≠ 0
⊢ a ^ (-n) * a ^ n = 1
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
v : Fin 2 → ℤ
hv : v ∈ gammaSet N a
γ : SL(2, ℤ)
this : ∀ (i : Fin 2), (Int.castRingHom (ZMod N)) ((v ᵥ* ↑γ) i) = (⇑(Int.castRingHom (ZMod N)) ∘ v ᵥ* (↑γ).map ⇑(Int.castRingHom (ZMod N))) i
⊢ Int.cast ∘ (v ᵥ* ↑γ) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
P Q : CochainComplex V ℕ
zero : P.X 0 ⟶ Q.X 0
one : P.X 1 ⟶ Q.X 1
one_zero_comm : zero ≫ Q.d 0 1 = P.d 0 1 ≫ one
succ :
  (n : ℕ) →
    (p : (f : P.X n ⟶ Q.X n) ×' (f' : P.X (n + 1) ⟶ Q.X (n + 1)) ×' f ≫ Q.d n (n + 1) = P.d n (n + 1) ≫ f') →
      (f'' : P.X (n + 2) ⟶ Q.X (n + 2)) ×' p.snd.fst ≫ Q.d (n + 1) (n + 2) = P.d (n + 1) (n + 2) ≫ f''
⊢ (P.mkHom Q zero one one_zero_comm succ).f 1 = one
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : Associates.mk a ⊓ Associates.mk b ≠ 1
hz : ↑(factors' a ⊓ factors' b) ≠ 0
p : α
p0_irr : Irreducible (Associates.mk p)
p0_mem : ⟨Associates.mk p, p0_irr⟩ ∈ factors' a ∩ factors' b
⊢ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ a ∧ p ∣ b
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasImage g
inst✝ : HasImage (f ≫ g)
⊢ lift (MonoFactorisation.mk (image g) (ι g) (f ≫ factorThruImage g) ⋯) ≫ ι g = ι (f ≫ g)
R : Type u
CommSemiring R
s : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ IsIrreducible s ↔ (PrimeSpectrum.vanishingIdeal s).IsPrime
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
n : ℤ
hn : ∀ (z : ℍ), g • z = T ^ n • z
⊢ z = g • z
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => c - f y) x = -fderiv 𝕜 f x
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
S : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
k : σ → τ
g : τ → S
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g ((MvPolynomial.rename k) p) = MvPolynomial.eval₂ f (g ∘ k) p
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a✝ b✝ : A
ha✝ : autoParam (0 ≤ a✝) _auto✝
hab✝ : a✝ ≤ b✝
a b : Unitization ℂ A
ha : 0 ≤ a
hab : a ≤ b
hb_nonneg : 0 ≤ b
this : 0 ≤ a
h₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, id x ≤ ‖b‖
⊢ ‖a‖ ≤ ‖b‖
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
S : Set F
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : F →+* K
⊢ IsSubfield (⇑f '' Set.univ)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α✝ → β✝
s✝ t : Set α✝
α : Type u_6
β : Type u_7
f : α → β
s : Set α
⊢ (∀ (x : β), x ∉ f '' s) ↔ ∀ (x : α), x ∉ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0
r : ℝ≥0
hr : HasSum f r
⊢ ↑(tsum f) = ∑' (a : α), ↑(f a)
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F✝
inst✝¹⁰ : Field E✝
inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
inst✝¹ : Field A
inst✝ : Algebra F A
hA : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F A) (minpoly F x)
α : E
φ : E →ₐ[F] A
⊢ F⟮α⟯ = ⊤ ↔ ∀ (ψ : E →ₐ[F] A), φ α = ψ α → φ = ψ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.189232, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
h : n + 1 = m
m' : ℤ
hm' : m + 1 = m'
⊢ δ n m (α.comp (inl φ) ⋯ + β.comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯) = -(δ m m' α).comp (inl φ) ⋯ + (δ n m β + α.comp (Cochain.ofHom φ) ⋯).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ p.support ∆ q.support ⊆ (p + q).support
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
i : ι
l : List ι
f : (i_1 : ι) → i_1 ∈ i :: l → α i_1
h : i ∈ i :: l
⊢ cast ⋯ (f i ⋯) ≈ f i h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst✝² : Module.Finite R M
p : Ideal R
inst✝¹ : p.IsPrime
inst✝ : Subsingleton (LocalizedModule p.primeCompl M)
f : R
hf : f ∈ ↑(Module.annihilator R M)
hf' : { asIdeal := p, isPrime := ⋯ } ∈ (PrimeSpectrum.zeroLocus {f})ᶜ
⊢ ∃ f ∉ p, Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M)
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
a b : α
h : preStoneCechUnit a = preStoneCechUnit b
e : Ultrafilter.extend g ∘ pure = g
⊢ g a = g b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ f.coprod g = comap Prod.fst f ⊔ comap Prod.snd g
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
i j : ℕ
hi : i < k
hj : j < k
H : ζ ^ i = ζ ^ j
hij : i ≤ j
⊢ j - i = 0
M₀ : Type u_1
CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
hc : c ≠ 0
⊢ a * c = b * c ↔ a = b
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A[X]
hx : IsIntegral A x
hamonic : a.Monic
ha : (Polynomial.aeval x) a = 0
left✝ : a ≠ 0
c : A[X]
hu : ¬IsUnit c
he : minpoly A x = a * c
hcm : c.Monic
h : c.natDegree ≤ 0
⊢ IsUnit c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
⊢ CategoryTheory.IsPullback CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.snd
  (CategoryTheory.Limits.terminal.from X) (CategoryTheory.Limits.terminal.from Y)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a✝ b✝ : List α
h : Quot.mk Setoid.r a✝ ⊆ Quot.mk Setoid.r b✝
⊢ ndinter (Quot.mk Setoid.r a✝) (Quot.mk Setoid.r b✝) = Quot.mk Setoid.r a✝
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
⊢ Set.range ⇑(s.orderEmbOfFin h) = ↑s
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cone F
h : IsLimit t
W : C
f f' : W ⟶ t.pt
w : ∀ (j : J), f ≫ t.π.app j = f' ≫ t.π.app j
⊢ f = f'
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d
hbdc : b • d ≤ b • c
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
h : ¬Pairwise (Disjoint on f)
⊢ ∃ i j, i ≠ j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on f)
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (f i) μ
⊢ μ (⋃ i, f i) = ∑' (i : ι), μ (f i)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
⊢ ↑(-f) = -↑f
α : Type u_1
s : Set α
x : α
⊢ ({x} ∩ s).encard ≤ 1
R : Type u
Mul R
StarMul R
x y : R
⊢ Commute (star x) (star y) ↔ Commute x y
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a : α
⊢ ⊤ ⇨ a = a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
x : Sym2 α
a : α × α
ha : Quot.mk (Rel α) a = x
⊢ (∃ a ∈ univ, Sym2.mk a = x) ∧ x.IsDiag ↔ x.IsDiag
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_3
CommMonoid S
DistribMulAction S M
SMulCommClass S R M
⊢ ↑(Submodule.torsion' R M S) = {x | ∃ a, a • x = 0}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : LinearOrderedRing S
hR : ∀ (r : R), 0 ≤ r → ∃ s, s ^ 2 = r
f : R →+* S
s : R
h : 0 ≤ s ^ 2
⊢ 0 ≤ f s ^ 2
α : Type u_1
AddMonoid α
s : AddSubmonoid α
a : α
ha : AddOpposite.op a +ᵥ ↑s = ↑s
⊢ a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ 8 * 2 ≤ (8 - 2) * rexp 1
R : Type u_1
MonoidWithZero R
r u : R
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r u
⊢ IsNilpotent (r * u) ↔ IsNilpotent r
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
NatCast α
m : ℕ
⊢ Matrix.diagonal ↑m = ↑m
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
ys : ℕ → α
h : Tendsto ys atTop atTop
xs : ℕ → α := fun n => (Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ ys
h_mono : Monotone xs
⊢ ∃ xs, Monotone xs ∧ Tendsto xs atTop atTop
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
h : μ ⟂ₘ ν
s : Set α
⊢ (μ.restrict s) h.nullSet = 0
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
b : m → α
Preorder α
DecidableEq m
i j : m
hij : b j ≤ b i
c : R
⊢ (Matrix.transvection i j c).BlockTriangular (⇑OrderDual.toDual ∘ b)
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
K : Type w'
f : J → C
c : Bicone f
g : K ≃ J
k k' : K
⊢ (fun k => c.ι (g k)) k ≫ (fun k => c.π (g k)) k' = if h : k = k' then eqToHom ⋯ else 0
α : Type u_1
F : Type u_3
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
h : ∀ (x : α), ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm g p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
n : ℕ
hn : ↑n ≤ s.chainHeight
ha : ⨆ l, ↑(↑l).length = ⊤
⊢ ∃ l ∈ s.subchain, l.length = n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α →ₛ ℝ≥0∞
⊢ (map Prod.fst (f.pair g)).lintegral μ ⊔ (map Prod.snd (f.pair g)).lintegral μ ≤ ∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 ⊔ x.2) * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})
p : String.Pos
s : String
⊢ p + s = { byteIdx := p.byteIdx + s.utf8ByteSize }
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : a ⊔ c ≤ b ⊔ c
⊢ (a ⊔ c) \ c ≤ (b ⊔ c) \ c
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
s : Set α
⊢ Disjoint s (mulSupport f) ↔ EqOn f 1 s
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
⊢ ∀ (a : LocalizedModule S M), (IsLocalizedModule.iso S f) a = IsLocalizedModule.fromLocalizedModule' S f a
M₀ : Type u_1
inst✝⁸ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁷ : MonoidWithZero M
inst✝⁶ : MonoidWithZero M'
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero M₁
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : FunLike F M M'
inst✝¹ : NoZeroDivisors M'
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F M M'
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S : Submonoid M
hS : S ≤ M⁰
h✝ : Subsingleton M
⊢ Submonoid.map f S ≤ M'⁰
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.mapTermRel (fun x => id) (fun x => id) (fun x => id) φ = φ
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s : Set α
hs : IsStrongAntichain r s
f : β → α
hf : Function.Injective f
h : ∀ (a b : β), r' a b → r (f a) (f b)
⊢ IsStrongAntichain r' (f ⁻¹' s)
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.25867, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.25874, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
c : M
h : 0 + 0 = c
⊢ (mk₀ 0 ⋯ f).comp (mk₀ 0 ⋯ g) h = mk₀ c ⋯ (f ≫ g)
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
⊢ a⁻ = -a ↔ 0 ≤ -a
α : Type u_2
LinearOrder α
x : α
s : Finset α
s0 : (s.erase x).Nonempty
⊢ (s.erase x).max' s0 ≠ x
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ Multiset.Ioo a b = 0
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
x : α
y : β
f : α ≃ β
⊢ f x = y ↔ x = f.symm y
α : Type u_1
Preorder α
⊢ krullDim αᵒᵈ = krullDim α
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
  ContinuousWithinAt f s x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f
p : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : ¬p = 0
⊢ f p.leadingCoeff ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a✝ b : α
s : Set α
x✝ : s.Nonempty
a : α
ha : a ∈ s
hfin : s.Finite
⊢ (s \ {a}).encard + 0 < (s \ {a}).encard + 1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
x : ↑s
⊢ 𝓝[Subtype.val ⁻¹' t] x = ⊥ ↔ 𝓝[t] ↑x ⊓ 𝓟 s = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
p : X = Y
⊢ (CategoryTheory.eqToIso p).inv = CategoryTheory.eqToHom ⋯
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ ∏ x ∈ s₁ ∪ s₂, f x = (∏ x ∈ s₁ ∪ s₂, f x) * ∏ x ∈ ∅, f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
I.Boundaryless
x : M
⊢ Filter.map (↑(extChartAt I x)) (𝓝 x) = 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : (RingHom.id R) (vi i) • (B (v i)) (v i) = 0
⊢ vi i = 0
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hn : p ^ n ≤ Nat.card ↥H
⊢ ∃ H' ≤ H, Nat.card ↥H' = p ^ n
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
ι : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
TopologicalSpace X
OpensMeasurableSpace X
SecondCountableTopologyEither X E
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
x : X
t : Set X
f : X → E
hft : ContinuousOn f t
hx : x ∈ t
ht : MeasurableSet t
s : ι → Set X
li : Filter ι
hs : Filter.Tendsto s li (𝓝[t] x).smallSets
m : ι → ℝ := fun i => (μ (s i)).toReal
hsμ : (fun i => (μ (s i)).toReal) =ᶠ[li] m := by rfl
⊢ (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ - m i • f x) =o[li] m
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
s : Y ⟶ X
hs : W s
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.ofInv s hs).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u
UniformSpace α
⊢ T0Space α ↔ (𝓤 α).ker = Set.diagonal α
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
hv : v ∈ M.verts
hvw : M.Adj v w
⊢ h.toEdge ⟨v, hv⟩ = ⟨s(v, w), hvw⟩
V : Type u
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
⊢ Gᶜ.IsRegularOfDegree (n - k - 1)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
φ φ' : B → F ≃L[𝕜] F
U U' : Set B
hU : IsOpen U
hφ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x)) U
h2φ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x).symm) U
hU' : IsOpen U'
hφ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x)) U'
h2φ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x).symm) U'
⊢ (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hU hφ h2φ ≫ₕ FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ' hU' hφ' h2φ').target =
  (U ∩ U') ×ˢ Set.univ
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
⊢ s(a, b) ∈ G.incidenceSet a ↔ G.Adj a b
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
m n : ZNum
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
hU : IsAffineOpen U
V : ↑X.affineOpens
h : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ U
this : (affineOpensRestrict (f ⁻¹ᵁ U)) ((affineOpensRestrict (f ⁻¹ᵁ U)).symm ⟨V, h⟩) = ⟨V, h⟩
⊢ P (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ ⊤) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ ↑((affineOpensRestrict (f ⁻¹ᵁ U)).symm ⟨V, h⟩)) ⋯) ↔ P (Hom.appLE f U (↑V) h)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ N
⊢ id 0 = 0
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
a : α
hf : Injective f
ha : f^[m] a = f^[n] a
h : m ≤ n
⊢ f^[m - n] a = a
α : Type u_1
L₁ L₂ : List (List α)
⊢ (L₁ ++ L₂).join = L₁.join ++ L₂.join
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Set.Ici a = Set.Iic (a / c)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
⊢ κ.compProd η = ProbabilityTheory.Kernel.sum fun n => (κ.seq n).compProd η
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hz_re : z.re ≤ 0
hz_im : 0 ≤ z.im
⊢ ‖f z‖ ≤ C
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.PreservesEpimorphisms
P : C
hP : Projective P
E✝ X✝ : D
f : F.obj P ⟶ X✝
g : E✝ ⟶ X✝
x✝ : Epi g
f' : P ⟶ G.obj E✝
hf' : f' ≫ G.map g = adj.unit.app P ≫ G.map f
⊢ (F.map f' ≫ adj.counit.app E✝) ≫ g = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
r' : α → α → Prop
hr₁ : Reflexive r'
hr₂ : Transitive r'
h : ∀ (x y : α), r x y → r' x y
x y : α
hxy : ReflTransGen r x y
⊢ r' x y
α : Type u_3
self : OrderedCommMonoid α
a b : α
⊢ a ≤ b → ∀ (c : α), c * a ≤ c * b
α : Type u_1
s✝ t : Set α
a : α
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : StarRing α
s : Set α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ s⁻¹⋆ ↔ x✝ ∈ s⋆⁻¹
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : ContinuousOn (fun t => (1 + t • z)⁻¹) (Set.Icc 0 1)
⊢ IntervalIntegrable (fun t => t ^ n * ‖(1 + ↑t * z)⁻¹‖) MeasureTheory.volume 0 1
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
s : Set (CategoryTheory.Subgroupoid C)
p : (c : C) × (d : C) × (c ⟶ d)
⊢ p ∈ sInf s ↔ ∀ S ∈ s, p ∈ S
α : Type u
x : FreeCommRing α
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
hxs : x.IsSupported s
⊢ (FreeCommRing.map Subtype.val) ((FreeCommRing.restriction s) x) = x
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ (fderiv 𝕜 f₁ x) 1 = (fderiv 𝕜 f x) 1
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
⊢ (p.support.sup fun s => toMultiset s) = p.degrees