ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_6
N : Type u_7
F : Type u_8
Add M
Add N
FunLike F M N
AddHomClass F M N
TopologicalSpace M
TopologicalSpace N
ContinuousAdd N
f : F
hf : Inducing ⇑f
⊢ ContinuousAdd M
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → ProbabilityMeasure Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
⊢ Tendsto (toFiniteMeasure ∘ μs) F (𝓝 μ.toFiniteMeasure) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ))
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
E : Type u_11
E₂ : Type u_12
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
self : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E
⊢ ‖self.toLinearMap x‖ = ‖x‖
ι : Type u
α : Option ι → Type v
DecidableEq ι
(i : Option ι) → Zero (α i)
x : α none
⊢ DFinsupp.extendWith x 0 = DFinsupp.single none x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hαβ : s.IsPWO
a : α
f : Lex (α × β) → β := fun x => (ofLex x).2
h : {y | toLex (a, y) ∈ s} = f '' (s ∩ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a})
b c : Lex (α × β)
hbc : b ≤ c
hb : (ofLex b).1 = a
hc : (ofLex c).1 = a
this : (ofLex b).1 < (ofLex c).1 ∨ (ofLex b).1 = (ofLex c).1 ∧ f b ≤ f c
⊢ f b ≤ f c
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
⊢ ↑(f + g) = ↑f + ↑g
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : Set α
h : IsClopen s
⊢ ↑{ carrier := s, isClopen' := h } = s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
⊢ range ⇑(extend hs) = hs.extend ⋯
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hf : ¬IsField R
this : ¬∀ {a : R}, a ≠ 0 → ∃ b, a * b = 1
⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬IsUnit x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
r : HomRel C
A : Type w
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
self : r.IsCompatibleWithShift A
a : A
X Y : C
f g : X ⟶ Y
⊢ r f g → r ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).map f) ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).map g)
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f g : R[X] →+* S
h₁ : ∀ (a : R), f (C a) = g (C a)
h₂ : f X = g X
f' : AddMonoidAlgebra R ℕ →+* S := f.comp (toFinsuppIso R).symm.toRingHom
hf' : f' = f.comp (toFinsuppIso R).symm.toRingHom
g' : AddMonoidAlgebra R ℕ →+* S := g.comp (toFinsuppIso R).symm.toRingHom
hg' : g' = g.comp (toFinsuppIso R).symm.toRingHom
A : f' = g'
⊢ f = g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.transportedMonoidalUnitIso e).hom =
  CategoryTheory.inv (CategoryTheory.monoidalCounit (CategoryTheory.Monoidal.fromTransported e) e.symm.toAdjunction)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f✝ : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f✝
inst✝ : HasKernels C
X : C
A B : Cᵒᵖ
f : A ⟶ op X
g : B ⟶ op X
hf : Mono f
hg : Mono g
h : Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
⊢ kernel.ι f.unop ≫ g.unop = 0
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
inst✝⁷ : MeasurableSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
U : Set G
hUk : k ⊆ U
hU : IsOpen U
hμUk : μ U < μ k + ε
V : Set G
hV1 : V ∈ 𝓝 1
hVkU : V * k ⊆ U
⊢ ∀ᶠ (g : G) in 𝓝 1, μ (g • k \ k) < ε
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
g : α ≃ β
k : ℕ
φ : L.BoundedFormula α k
v : β → M
xs : Fin k → M
⊢ (mapTermRel (fun n => ⇑(Term.relabelEquiv (g.sumCongr (_root_.Equiv.refl (Fin n))))) (fun n => id) (fun x => id) φ).Realize v xs ↔ φ.Realize (v ∘ ⇑g) xs
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
⊢ Surreal.Multiplication.IH24 x₁ x₂ y → Surreal.Multiplication.IH24 (-x₂) (-x₁) y ∧ Surreal.Multiplication.IH24 x₁ x₂ (-y)
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)
has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'
this : μ'.IsMulLeftInvariant
⊢ μ U = (map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G)) (ν.restrict s)) U
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
f : R ≃+* S
⊢ f.toEquiv = ↑f
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra k A
inst✝ : Monoid G
r : k
x✝ : G
⊢ ((↑↑__src✝).toFun ((algebraMap k A) r)) x✝ = ((algebraMap k (MonoidAlgebra A G)) r) x✝
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ (∏ i ∈ range (2 * n), (2 * i + 1)!) ^ 2 * 2 ^ (2 * n) * (2 * n)! = ((∏ i ∈ range (2 * n), (2 * i + 1)!) * 2 ^ n) ^ 2 * (2 * n)!
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
y : Set β
⊢ minimals r (⇑f ⁻¹' y) = ⇑f ⁻¹' minimals s (y ∩ range ⇑f)
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M ≃ₗ[R] M'
⊢ lift.{v', v} (Module.rank R M) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R M')
l : ℝ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, (-1) ^ i / (2 * ↑i + 1)) atTop (𝓝 l)
⊢ Tendsto (fun k => ∑ i ∈ range k, (-1) ^ i / (2 * ↑i + 1)) atTop (𝓝 (π / 4))
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
⊢ Monotone Order.succ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
⊢ h.toHomeomorph.toEquiv = h.toEquiv
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ Set.SurjOn (↑e) e.source e.target
p : Prop
Decidable p
⊢ (decide p = true) = p
n : Nat
⊢ n ≠ 0 → Exists fun k => n = k + 1
α : Type u
ι : Sort x
π : α → Type u_1
(a : α) → Preorder (π a)
F : ι → (a : α) → π a
⊢ BddAbove (Set.range F) ↔ ∀ (a : α), BddAbove (Set.range fun i => F i a)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ ContinuousOn id s
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R
⊢ 0 ≤ x ↔ x ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (n : ℕ), 1 < c n
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
this : ∀ (k : ℕ), ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c k ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
j : α
⊢ (if j + 1 = j + 1 then 𝟙 (X (j + 1)) ≫ d j else 0) = d j
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
BoundedOrder α
BoundedOrder β
BoundedOrder γ
f : BoundedLatticeHom β γ
g : BoundedLatticeHom α β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
α : Type u_1
n : ℕ
x : α
val✝ : List α
property✝ : val✝.length = n
⊢ (x ::ᵥ ⟨val✝, property✝⟩).reverse = (reverse ⟨val✝, property✝⟩).snoc x
α : Type u
a : α
f : Filter α
t : TopologicalSpace α
⊢ t ≤ nhdsAdjoint a f ↔ 𝓝 a ≤ pure a ⊔ f ∧ ∀ (b : α), b ≠ a → 𝓝 b = pure b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓟 t) ↔ Disjoint s (closure t)
R : Type u
M : Type v
N : Type w
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
self : QuadraticMap R M N
a : R
x : M
⊢ self.toFun (a • x) = (a * a) • self.toFun x
G : Type u_1
Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : IsOfFinOrder x
hy : IsOfFinOrder y
⊢ IsOfFinOrder (x * y)
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
Fintype σ
x : List α
s t : σ
hlen : Fintype.card σ ≤ x.length
hx : M.evalFrom s x = t
⊢ ∃ q a b c,
  x = a ++ b ++ c ∧
    a.length + b.length ≤ Fintype.card σ ∧ b ≠ [] ∧ M.evalFrom s a = q ∧ M.evalFrom q b = q ∧ M.evalFrom q c = t
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Function.Injective f
hf' : Continuous f
T0Space Y
⊢ T0Space X
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₂₁ : p₂ = p₁
h₃₂ : p₃ = p₂
⊢ (K.XIsoOfEq h₂₁).inv ≫ (K.XIsoOfEq h₃₂).inv = (K.XIsoOfEq ⋯).hom
R : Type u
Semiring R
S : Type v
Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ Polynomial.X ^ n ∈ Polynomial.lifts f
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ Multiset.countP p 0 = 0
α : Type u_1
Div α
a b : α
⊢ Part.some a / Part.some b = Part.some (a / b)
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ (Prod.map (fun a => a) fun b => b) = fun x => x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
f₁ : ↥(Lp ℝ 1 μ) := Integrable.toL1 f hf
eq₁ : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ).toReal = ‖Lp.posPart f₁‖
eq₂ : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (-f a) ∂μ).toReal = ‖Lp.negPart f₁‖
⊢ Integrable (fun a => f a) μ
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝ : DecidableEq η
v : (j : η) → ιs j → Ms j
hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)
hs' : ∀ (j : η), LinearIndependent R fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)
⊢ LinearIndependent R fun ji => (stdBasis R Ms ji.fst) (v ji.fst ji.snd)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : PartialHomeomorph α β
b : β
hb : b ∈ e.target
f : β → E
g : β → F
⊢ f =O[𝓝 b] g ↔ (f ∘ ↑e) =O[𝓝 (↑e.symm b)] (g ∘ ↑e)
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ c * (a + b) = c * a + c * b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : C
⊢ (β_ X Y).hom.mop = (β_ { unmop := Y } { unmop := X }).hom
α : Type u
s t u : Set α
⊢ (s ∪ t) ∩ u = s ∩ u ∪ t ∩ u
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (α i)
this : Encodable ι
⊢ (Measure.pi μ) (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
n : ℕ
b : Fin n
⊢ (Finset.Iic b).card = ↑b + 1
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
y : L
hyU : y ∈ U
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hxU : 0 ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K 0, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K 0; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
⊢ Ex ≤ Ey
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Function.Injective fun a => f a b
⊢ (t.PairwiseDisjoint fun b => (fun a => f a b) '' s) ↔ Set.InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β : Type u_1
X Y : CategoryTheory.GradedObject β C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (i : β), CategoryTheory.IsIso (f i)
⊢ CategoryTheory.IsIso f
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
⊢ Surreal.Multiplication.P24 x₁ x₂ y ↔ Surreal.Multiplication.P24 (-x₂) (-x₁) y
X : AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ ∀ (X_1 : X.Opensᵒᵖ), AlgebraicGeometry.Scheme.restrictFunctorΓ.inv.app X_1 = X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y Z : C
⊢ F.map (prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd)) ≫ prodComparison F X (Y ⨯ Z) = prod.lift (F.map prod.fst ≫ F.map prod.fst) (prodComparison F (X ⨯ Y) Z ≫ prod.map (prodComparison F X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F Y Z))
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R₁
inst✝¹⁵ : Semiring R₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : Module R₁ M'₁
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
f : M₁ →L[R₁] M₁
⊢ ↑f = LinearMap.id ↔ f = id R₁ M₁
α : Type u_1
s : Finset α
DecidableEq α
⊢ Finset.image id s = s
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
κ : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (κ i)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite
val✝ : Fintype ι
⊢ (univ.pi t).Finite
α : Type u
Monoid α
a b c : α
Invertible c
⊢ ⅟c * a = b ↔ a = c * b
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedAddCommMonoid N
f : ι → N
s : Finset ι
⊢ (∀ i ∈ s, f i ≤ 0) → (∑ i ∈ s, f i = 0 ↔ ∀ i ∈ s, f i = 0)
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : X → E →L[𝕜] F
s : Set X
h : ∀ (y : E), ContinuousOn (fun x => (f x) y) s
d : ℕ := finrank 𝕜 E
hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)
e₁ : E ≃L[𝕜] Fin d → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq hd
e₂ : (E →L[𝕜] F) ≃L[𝕜] Fin d → F := (e₁.arrowCongr 1).trans (ContinuousLinearEquiv.piRing (Fin d))
⊢ ContinuousOn f s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
n m : ℕ
ha : ¬p ^ (n + 1) ∣ a
hb : ¬p ^ (m + 1) ∣ b
x✝¹ : p ^ (n + m + 1) ∣ a * b
s : α
hs : a * b = p ^ (n + m + 1) * s
this✝ : p ∣ a * b
x✝ : p ∣ a
x : α
hx : a = p * x
hn0 : 0 < n
hpx : ¬p ^ (n - 1 + 1) ∣ x
this : 1 ≤ n + m
⊢ x * b * p = p ^ (n + m) * s * p
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ ψ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
h : φ.realContinuousMapZeroOfNNReal = ψ.realContinuousMapZeroOfNNReal
f : C(X, ℝ≥0)₀
⊢ φ f = ψ f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
K L : CochainComplex C ℤ
n' a : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn : n + a = n'
x : Rˣ
⊢ (x • γ).leftUnshift n hn = x • γ.leftUnshift n hn
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : J.sheafify P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : J.toSheafify P ≫ η = J.toSheafify P ≫ γ
⊢ η = γ
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a✝ b✝ c a b : R
x✝ : a ≠ 0
IH : c ∣ b % a → c ∣ a → c ∣ gcd (b % a) a
ca : c ∣ a
cb : c ∣ b
⊢ c ∣ gcd (b % a) a
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x y : α
⊢ ↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) + ↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y) ≤ 1 + 1
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
CompleteSpace F
h : BoxIntegral.Integrable I l f vol
J : BoxIntegral.Box ι
⊢ h.toBoxAdditive J = BoxIntegral.integral J l f vol
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} V
inst✝⁷ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.23606, u_2} W
inst✝⁵ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Category.{?u.23631, u_3} W₁
inst✝³ : Category.{?u.23635, u_4} W₂
inst✝² : HasZeroMorphisms W₁
inst✝¹ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C✝ D E : HomologicalComplex V c✝
f g : C✝ ⟶ D
h k✝ : D ⟶ E
i✝ : ι
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex W₁ c
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k
⊢ (fun i j => F.map (C.d i j)) i j ≫ (fun i j => F.map (C.d i j)) j k = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ
x0 : ¬x = 0
h : {(1, x)} ⊆ x.divisorsAntidiagonal
⊢ ∀ x_1 ∈ x.divisorsAntidiagonal, x_1 ∉ {(1, x)} → 1 x_1.1 • b x_1.2 = 0
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.7311
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
u : U
⊢ φ.symmetrify.costar u = ⇑(symmetrifyCostar (φ.obj u)).symm ∘ Sum.map (φ.costar u) (φ.star u) ∘ ⇑(symmetrifyCostar u)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
hv : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_ℝ = 0
⊢ |o.volumeForm v| = ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
m n✝ n : ℕ
⊢ 1⁻¹ = 1
y z : ℤ
h : PythagoreanTriple 0 y z
hc : y.natAbs = 1
hy : y = ↑y.natAbs
⊢ h.IsPrimitiveClassified
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r✝ r : R → R → Prop
⊢ (↑{ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0 = 0
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
⊢ support ↑f = ball c f.rOut
α : Type u_1
f : α → α
a : α
n i : ℕ
h : i < n
⊢ (List.iterate f a n).get? i = some (f^[i] a)
R : Type u_2
S : Type u_3
CanonicallyOrderedCommSemiring R
DecidableEq R
Nontrivial R
CanonicallyOrderedCommSemiring S
DecidableEq S
Nontrivial S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ ⇑(f.withTopMap hf) = (↑(f.toMonoidWithZeroHom.withTopMap hf)).toFun
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
AddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
G : Type u_5
EquivLike G α γ
AddEquivClass G α γ
g : G
hg : Continuous ⇑g
hg' : Continuous (EquivLike.inv g)
⊢ Summable (⇑g ∘ f) ↔ Summable f
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
inst✝ : Nontrivial n
i j j' : n
hj' : j' ≠ j
⊢ ∀ (i_1 : n), updateColumn 0 j ((LinearMap.single i) 1) i_1 j' = 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ toIocMod hp a (a + p) = a + p
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
s : Set (α → β → Prop)
a : α
b : β
⊢ sSup s a b ↔ ∃ r ∈ s, r a b
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α n.succ
i : Fin n
⊢ v.tail.get i = v.get i.succ
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
h : ∀ (b : α), ¬b < a
⊢ a = ⊥
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a : E
l : Filter α
f : α → E
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ‖f x‖₊) l (𝓝 ‖a‖₊)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : 𝒰.J
⊢ pullback.map f (𝒰.map i ≫ g) f g (𝟙 X) (𝒰.map i) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (pullbackSymmetry f (𝒰.map i ≫ g)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map i ≫ g) f g f (𝒰.map i) (𝟙 X) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ ≫ (pullbackSymmetry g f).hom
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Quiv} (F : X ⟶ Y) {X_1 Y_1 : ↑((fun V => CategoryTheory.Cat.of (CategoryTheory.Paths ↑V)) X)}
  (f : X_1 ⟶ Y_1), (CategoryTheory.Cat.free.map F).map f = Prefunctor.mapPath F f
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
AddCommGroup V'
Module R V'
AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ (AffineSubspace.map f s).WOppSide (f x) (f y) ↔ s.WOppSide x y
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
⊢ G.map (𝟙 (X _[n])) = 𝟙 (((whiskering C D).obj G).obj X _[n])
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
f : α → β
h : Filter.EventuallyConst f l
g : β → γ
⊢ Filter.EventuallyConst (g ∘ f) l
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R → ℤ
⊢ count K v 1 = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
t s : Set (SeparationQuotient X)
x : X
⊢ Filter.map mk (𝓝[mk ⁻¹' s] x) = 𝓝[s] mk x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
U : C
s : (CategoryTheory.forget A).obj (F.obj (Opposite.op U))
⊢ CategoryTheory.Presheaf.imageSieve f ((f.app (Opposite.op U)) s) = ⊤
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.31876, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.31880, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : h.IsPreservedBy F
this✝ : PreservesColimit (parallelPair S.f 0) F
this : PreservesLimit (parallelPair h.g' 0) F
wp : F.map S.f ≫ F.map h.p = 0
hp : IsColimit ((CokernelCofork.ofπ h.p ⋯).map F)
g' : F.obj h.Q ⟶ F.obj S.X₃ := hp.desc (CokernelCofork.ofπ (S.map F).g ⋯)
⊢ (S.map F).RightHomologyData