ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑(CategoryTheory.Limits.colimit F)
j : Jᵒᵖ
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.componentwiseDiagram F U).obj j =
  (F.obj (Opposite.unop j)).presheaf.obj
    (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F (Opposite.unop j)).base).obj U))
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x : R
n : ℤ
hx : x ∈ I
⊢ n • x ∈ I
α : Type u
β : Type v
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hi : Set.InjOn f s
hm : Set.MapsTo f s t
hs : s.Infinite
⊢ t.Infinite
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
x : T
Algebra R T
hx' : (Polynomial.aeval x) f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
⊢ ↑(IsAdjoinRoot.liftHom x hx' h) = IsAdjoinRoot.lift (algebraMap R T) x hx' h
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f : C(X, ℝ≥0)
⊢ φ ({ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe }.comp f).toNNReal - φ (-{ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe }.comp f).toNNReal = φ f
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ f ◁ (ρ_ g).hom = (α_ f g (𝟙 c)).inv ≫ (ρ_ (f ≫ g)).hom
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.WeaklyRegular
U : Set α
hU : IsOpen U
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ U
⊢ ∃ F ⊆ U, IsClosed F ∧ r < μ F
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hd : M
tl : List M
ih : (∀ x ∈ tl, 1 ≤ x) → 1 ≤ tl.prod
hl₁ : ∀ x ∈ hd :: tl, 1 ≤ x
⊢ 1 ≤ (hd :: tl).prod
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
x : Filter β
x.NeBot
lim : Filter.Tendsto f x (𝓝 a)
h : ∀ᶠ (c : β) in x, f c ≤ b
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ Function.Injective ⇑Multiset.toDFinsupp
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
h : IsGLB s a
⊢ BddBelow s
R : Type u_1
p n : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
⊢ iterateFrobeniusEquiv R p n = frobeniusEquiv R p ^ n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b : α
inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set α
a : α
⊢ BddAbove (insert a s) ↔ BddAbove s
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
this : r ≠ 0
⊢ Prime (C r)
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : f z * (starRingEnd ℂ) (f z) - (starRingEnd ℂ) (f z) - (f z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1) = z * (starRingEnd ℂ) z - (starRingEnd ℂ) z - (z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1)
⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
a : α
f : β → α
⊢ ⨅ o, o.elim a f = a ⊓ ⨅ b, f b
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
TopologicalSpace X
CompactSpace X
T2Space X
RCLike 𝕜
⊢ Function.Bijective ⇑(WeakDual.CharacterSpace.continuousMapEval X 𝕜)
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 ≤ r ∧ r • x = y) ↔ SameRay R x y
M : Type u_2
AddMonoid M
a b : M
h : AddCommute a b
n : ℕ
⊢ AddCommute (n • a) b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
⊢ ⟪(ContinuousLinearMap.adjointAux A) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, A x⟫_𝕜
M : Type u_1
Monoid M
x y : M
⊢ y ∈ Submonoid.closure {x} ↔ ∃ n, x ^ n = y
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
Semiring S
f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁
s : S
⊢ (WittVector.truncate n) ((WittVector.lift f f_compat) s) = (f n) s
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i
v : F
⊢ b ∈ (Z.localTriv i).baseSet
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∀ f ∈ t, f.Monic
a✝ : Nontrivial R
⊢ Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t = replicate (Multiset.card t) 1
α : Type u
Preorder α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ BddBelow (upperBounds s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
hx : x ∈ f.source
s : Set M
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ ↑(f.extend I) ⁻¹' (↑(f.extend I) '' s) ∈ 𝓝 x
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Type u
τ : Type u
f : Function.FromTypes p τ
args : (i : Fin (n + 1)) → p i
⊢ f.uncurry args = (f (args 0)).uncurry (Fin.tail args)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
map_one : LinearMap.id 1 = 1
map_mul : ∀ (x y : A), LinearMap.id (x * y) = LinearMap.id x * LinearMap.id y
⊢ AlgHom.ofLinearMap LinearMap.id map_one map_mul = AlgHom.id R A
R : Type u_3
CommRing R
a b : ℍ[R]
⊢ (a + b).re = a.re + b.re
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
f : α → β → γ
A : Matrix l m α
B : Matrix n p β
⊢ Matrix.kroneckerMap f A.transpose B.transpose = (Matrix.kroneckerMap f A B).transpose
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
TopologicalSpace A
TopologicalAddGroup A
⊢ Continuous ⇑(StarModule.decomposeProdAdjoint R A).symm
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_4
M : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Subsingleton R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M
⊢ (fun x => 0) ({ toFun := fun x => 0, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun m) = m
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
s : Set M
Fintype ↑s
t : Submodule R M
subset : s ⊆ ↑t
card_lt : s.toFinset.card < FiniteDimensional.finrank R ↥t
⊢ Submodule.span R s < t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
h : CategoryTheory.Mono 0
⊢ (CategoryTheory.Limits.isoZeroOfMonoZero h).inv = 0
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ Submodule.map LinearMap.id p = p
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
p : P₁
hp : p ∈ s
⊢ map f (affineSpan k s) = affineSpan k (⇑f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
Subsingleton ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), MeasureTheory.Memℒp (f i) p μ
⊢ MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q R : C
f : Q ⟶ R
a : P ⟶ Q
h : a ≫ f = 0
⊢ pseudoApply f (Quot.mk (PseudoEqual Q) (Over.mk a)) = 0
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
H : last N ≤ i
⊢ dist (a.c i) (a.c (last N)) ≤ a.r i + a.r (last N)
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Projective F
P : Fin 3 → F
h : W.toAffine.Nonsingular (P 0 / P 2) (P 1 / P 2)
hPz : P 2 ≠ 0
⊢ W.Nonsingular P
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Iic x)
⊢ μ univ = ⨆ i, μ (Iic i)
x : USize
⊢ x.toNat < 2 ^ System.Platform.numBits
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P Q : C
i : P ≅ Q
⊢ CategoryTheory.Injective P ↔ CategoryTheory.Injective Q
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
L : List α
i : Nat
⊢ List.map f (List.take i L) = List.take i (List.map f L)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
c : F
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y - c) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
hRp : 0 ≤ R₁
⊢ blimsup (fun i => cthickening (r₁ i) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r₂ i) (s i)) atTop p
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : 2 ≤ n
⊢ clog b n = clog b ((n + b - 1) / b) + 1
α : Type u_1
s : List α
x : α
⊢ (List.permutations'Aux x s).Nodup ↔ x ∉ s
M : Type u_6
CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ i ∈ Finset.range n, f i / f (i + 1) = f 0 / f n
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ G.Connected ↔ G.Preconnected ∧ Nonempty V
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
⊢ (π.biUnion πi).distortion = π.boxes.sup fun J => (πi J).distortion
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsNormalSubgroup s
a b : G
hab : a * b ∈ s
⊢ b * a ∈ s
n : ℕ
⊢ n.sqrt ^ 2 ≤ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
m n : ℕ∞
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
hf : ContDiffOn 𝕜 n f₂ s₂
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (derivWithin f₂ s₂) s₂
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
u : Set P
hu : IsOpen u
x : P
hx : x ∈ u
⊢ ∃ s ⊆ u, AffineIndependent ℝ Subtype.val ∧ affineSpan ℝ s = ⊤
n : ℕ
⊢ Real.tan (↑n * Real.pi) = 0
K : Type u_2
V : Type u_3
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
u v : ℙ K V
⊢ Projectivization.Independent ![u, v] ↔ u ≠ v
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ T0Space X ↔ Pairwise fun x y => ∃ U, IsOpen U ∧ Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s₁ s₂ : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
⊢ s₁.sigma t₁ \ s₂.sigma t₂ = s₁.sigma (t₁ \ t₂) ∪ (s₁ \ s₂).sigma t₁
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count ↑sa = p.count ↑sb
h_sb : b.factors = ↑sb
h_count : ∀ (p : Associates α) (hp : Irreducible p), Multiset.count ⟨p, hp⟩ sa = Multiset.count ⟨p, hp⟩ sb
⊢ sa = sb
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
t : Set R
ht : Ideal.span t = ⊤
H : ∀ (g : ↑t), (ker (Localization.awayMap f ↑g)).FG
⊢ ∀ (g : ↑t), (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑g)) (ker f)).FG
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.FinitaryPreExtensive C
α : Type
Finite α
B : C
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
⊢ CategoryTheory.EffectiveEpi (CategoryTheory.Limits.Sigma.desc π) ↔ CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π
α : Type u_1
l₁ l₂ : List (Option α)
h : l₁ <+: l₂
⊢ l₁.reduceOption <+: l₂.reduceOption
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
X : TopCat
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : ConcreteCategory C
F : Presheaf C X
U V W : Opens ↑X
e₁ : U ≤ V
e₂ : V ≤ W
x : (forget C).obj (F.obj (op W))
⊢ (F.map ((homOfLE e₂).op ≫ (homOfLE e₁).op)) x = (F.map (homOfLE ⋯).op) x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial R
y : R[X]
⊢ (Y - C y).natDegree < W.polynomial.natDegree
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K V
v : V
⊢ (∀ φ ∈ Submodule.dualAnnihilator W, φ v = 0) ↔ v ∈ W
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset α
a : α
⊢ a ∈ Finset.filter p s ↔ a ∈ s ∧ p a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_12
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)
(x : M) → TopologicalSpace (V x)
FiberBundle F V
s : Cₛ^⊤⟮I; F, V⟯
x : M
⊢ MDifferentiableAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (fun x => Bundle.TotalSpace.mk' F x (s x)) x
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ ((↑n).divisors.biUnion fun i => primitiveRoots i R) = nthRootsFinset (↑n) R
α : Type u_1
Denumerable α
⊢ Denumerable.ofNat (List α) 0 = []
a b : ℕ
⊢ Finset.Ico a.succ b = Finset.Ioo a b
n m k l : ℕ
h : n + m = k + l
⊢ n.dist k = (n + m).dist (k + m)
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
α : Type u_9
inst✝ : DecidableEq α
x : Multiset α
⊢ ((Finset.range (card x + 1)).sup fun k => powersetCard k x) = ∑ x_1 ∈ Finset.range (card x + 1), powersetCard x_1 x
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
h : IsClosed ↑A
f g : ↥A
⊢ A = A.topologicalClosure
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
Bifunctor F
LawfulBifunctor F
α₀ α₁ : Type u₀
β₀ β₁ : Type u₁
f : α₀ → α₁
f' : β₀ → β₁
x : F α₀ β₀
⊢ Bifunctor.snd f' (Bifunctor.fst f x) = bimap f f' x
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
b₁ : α
a : β
b₂ : α
hab : 0 ≤ b₂
d : β
hcd : 0 ≤ d
⊢ b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + b₁ • d ≤ b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + (b₁ • d + b₂ • d)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
LinearOrderedRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
i₁ i₂ i₃ : ι
h₁ : i₁ ∈ s
h₂ : i₂ ∈ s
h₃ : i₃ ∈ s
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
c : k
hc0 : 0 < c
hc1 : c < 1
hs : (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k {p i₁, (AffineMap.lineMap (p i₂) (p i₃)) c}
⊢ SignType.sign (w i₂) = SignType.sign (w i₃)
n : ℕ
Hn : n ≠ 0
⊢ 0 < harmonic n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)
f g : (i : ι) → α i
⊢ (univ.pi fun i => Ioc (f i) (g i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] univ.pi fun i => Icc (f i) (g i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W E X Z : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan W E
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
f : W ⟶ X
h : X ⟶ Z
i : c.pt ⟶ Z
H : CategoryTheory.IsPushout f c.inl h i
⊢ H.IsVanKampen
A : Type u_1
𝕜 : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
StarRing A
⊢ WeakDual.CharacterSpace.compContinuousMap (StarAlgHom.id 𝕜 A) = ContinuousMap.id ↑(WeakDual.characterSpace 𝕜 A)
p a b n : ℕ
ha : Nat.Prime a
hb : b ≠ 0
⊢ n ≤ padicValNat a b ↔ replicate n a <+~ b.primeFactorsList
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx✝ : x ≠ 0
hx : x ⇑e ≠ 0
⊢ rayOfNeZero R x hx✝ = e.orientation ∨ rayOfNeZero R x hx✝ = -e.orientation
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
h : ∀ (B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R), B = B' ↔ (toMatrix₂' R) B = (toMatrix₂' R) B'
⊢ (toLinearMap₂' R) J' ∘ₗ toLin' A = ((toLinearMap₂' R) J).compl₂ (toLin' A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Membership P L
inst✝¹ : HasLines P L
p : P
l : L
h : p ∉ l
inst✝ : Finite { l // p ∈ l }
hf : ¬Infinite { p // p ∈ l }
this : Fintype { p // p ∈ l }
val✝ : Fintype { l // p ∈ l }
⊢ pointCount P l ≤ lineCount L p
x✝ y x : ℝ
⊢ √x⁻¹ = (√x)⁻¹
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ✝ : R →+* A
C : VariableChange R
φ : R →+* A
hφ : Function.Injective ⇑φ
x✝¹ x✝ : VariableChange R
h✝ : map φ x✝¹ = map φ x✝
left✝¹ : φ x✝¹.r = φ x✝.r
left✝ : φ x✝¹.s = φ x✝.s
right✝ : φ x✝¹.t = φ x✝.t
h : ↑φ ↑x✝¹.u = ↑φ ↑x✝.u
⊢ x✝¹ = x✝
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α
⊢ Nat.Prime (Fintype.card α)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
f : α → β
inst✝ : WellFoundedLT β
hf : StrictMono f
s : Set α
hne : s.Nonempty
hs' : (f '' s).Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
hex : f x = ⋯.min (f '' s) hs'
⊢ ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬x < m
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
⊢ ∃ s, x ∈ s ∧ IsOpen s ∧ μ s < ⊤
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
NoMinOrder α
a : α
⊢ Order.pred a < a
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
f g : R →+* S
s t : S
φ ψ : R[X]
⊢ f = g → s = t → φ = ψ → Polynomial.eval₂ f s φ = Polynomial.eval₂ g t ψ
α : Type u_1
a : α
DecidableEq α
R : Type u_4
AddGroupWithOne R
s : Finset α
hs : a ∈ s
⊢ ↑(s.erase a).card = ↑s.card - 1
s : Set Cardinal.{v}
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (sInf s) = sInf (Cardinal.lift.{u, v} '' s)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y L : R
⊢ (C (C L) * (C X - C (C x)) + C (C y)) ^ 2 + (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)) * (C (C L) * (C X - C (C x)) + C (C y)) - (C X ^ 3 + C (C W.a₂) * C X ^ 2 + C (C W.a₄) * C X + C (C W.a₆)) = (Y - (C (C L) * (C X - C (C x)) + C (C y))) * (-Y - (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)) - (C (C L) * (C X - C (C x)) + C (C y))) + (Y ^ 2 + (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)) * Y - (C X ^ 3 + C (C W.a₂) * C X ^ 2 + C (C W.a₄) * C X + C (C W.a₆)))
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
Nonempty α
h : s ⊆ Function.invFunOn f s '' (f '' s)
⊢ Set.LeftInvOn (Function.invFunOn f s) f s
α : Type u_1
a : α
n m : Nat
⊢ List.take n (List.replicate m a) = List.replicate (min n m) a
t : ℝ
⊢ 0 ≤ t ∧ t ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1 - t ∧ 1 - t ≤ 1
R : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
Fintype n₁
Fintype n₂
Semiring R
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
B₁ : Matrix n₁ n R
B₂ : Matrix n₂ n R
⊢ A₁.fromColumns A₂ * B₁.fromRows B₂ = A₁ * B₁ + A₂ * B₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M N : Mon_ C
self : M.Hom N
⊢ M.mul ≫ self.hom = (self.hom ⊗ self.hom) ≫ N.mul
d : ℤ
b : ℤ√d
⊢ Pell.IsPell b ↔ b * star b = 1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f₀ f₁ : C(X, Y)
g₀ g₁ : C(Y, Z)
h₀ : f₀.Homotopic f₁
h₁ : g₀.Homotopic g₁
⊢ (g₀.comp f₀).Homotopic (g₁.comp f₁)
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
f : α → M
⊢ Function.mulSupport f = f ⁻¹' {1}ᶜ
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v
⊢ v ∈ p.toSubgraph.verts
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ SameRay ℝ x y ↔ ‖x‖⁻¹ • x = ‖y‖⁻¹ • y
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
⊢ Group.IsNilpotent G ↔ ∃ n, lowerCentralSeries G n = ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup V
Algebra R A
Module R V
Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
⊢ (CliffordAlgebra.toBaseChange A Q) (CliffordAlgebra.reverse x) =
  (TensorProduct.map LinearMap.id CliffordAlgebra.reverse) ((CliffordAlgebra.toBaseChange A Q) x)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
X : C
s t : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ
f : t ⟶ s
x : F.obj t
this : (CostructuredArrow.mkPrecomp (unop t).hom f.unop.left).op = f ≫ eqToHom ⋯
⊢ F.map (eqToHom ⋯) (YonedaCollection.snd ((counitForward F (unop t) x).map₂ f.unop.left ⋯).val) = YonedaCollection.snd (counitForward F (unop s) (F.map f x)).val
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, p n = 0
⊢ p.radius = ⊤
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
⊢ LinearMap.range (AdicCompletion.eval I M n) = ⊤
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a : R ⧸ I
⊢ a ≠ 0 → ∃ b, a * b = 1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData
⊢ h.π ≫ (S.leftHomologyIso.symm ≪≫ h.leftHomologyIso).inv = h.cyclesIso.inv ≫ S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t s : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ μ (s ∪ t) + μ (s ∩ t) = μ s + μ t
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
E : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : UniformSpace E
f : α → β → E
s : Set α
k : Set β
q : α
u : Set (E × E)
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (Function.uncurry f) (s ×ˢ k)
hq : q ∈ s
hu : u ∈ 𝓤 E
⊢ ∀ ⦃s_1 t : Set β⦄, s_1 ⊆ t → (∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ t, (f p x, f q x) ∈ u) → ∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ s_1, (f p x, f q x) ∈ u
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
this : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i : ι
his : i ∈ s
hi : w i ≠ 0
⊢ 0 ≤ x
α : Type u_2
AddGroup α
s t : Set α
x : α
⊢ (x +ᵥ s) ∩ t ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a ∈ t ∧ b ∈ s) ∧ a - b = x
α : Type u
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set α)
hb : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis b
s : Set α
⊢ Dense s ↔ ∀ o ∈ b, o.Nonempty → (o ∩ s).Nonempty
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
⊢ a * ⨆ i, f i = ⨆ i, a * f i
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
i : ℤ
⊢ a ^ (1 + i) = a * a ^ i
S : Type u_3
Mul S
a b : S
⊢ Commute a b ↔ a * b = b * a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0
⊢ fract a = a + 1 - ↑⌈a⌉
S : ShortComplex Ab
⊢ S.Exact ↔ Function.Surjective ⇑S.abToCycles
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
⊢ ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal