ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a : ℝ≥0∞
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → ℝ≥0∞
⊢ a + ⨆ i ∈ s, f i = ⨆ i ∈ s, a + f i
a b : Prop
Decidable a
Decidable b
⊢ ¬a → b ↔ ¬b → a
K : Type u_1
Field K
NumberField K
k : ℕ+
hc : (↑k).Coprime ↑(NumberField.Units.torsionOrder K)
ζ : (𝓞 K)ˣ
⊢ ζ ∈ rootsOfUnity k (𝓞 K) ↔ ζ = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
hR : CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor P R
t₁ t₂ : P.obj (Opposite.op X)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R f → P.map f.op t₁ = P.map f.op t₂
⊢ t₁ = t₂
b : ℕ
⊢ Nat.ofDigits b [] = 0
M : Type u
PseudoMetricSpace M
Add M
IsometricVAdd Mᵃᵒᵖ M
a b c : M
⊢ nndist (a + c) (b + c) = nndist a b
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁵ : Module R N₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₁
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹¹ : Semiring S₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₂
inst✝⁹ : Module S₁ N₂
inst✝⁸ : Module S₂ N₂
inst✝⁷ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq m
T : Type u_17
inst✝ : CommSemiring T
M : Matrix n m T
v : n → T
w : m → T
x✝¹ : n
x✝ : x✝¹ ∈ univ
⊢ ∑ j : m, v x✝¹ •> w j •> M x✝¹ j = ∑ i : m, v x✝¹ * (M x✝¹ i * w i)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
x : α
⊢ x = ⊤ ∨ ∃ a, IsCoatom a ∧ x ≤ a
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
t : Set E
f : α → E
hf : ∀ (c : Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᶠ[ae μ] 0
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
d : Set E
d_count : d.Countable
hd : t ⊆ closure d
this : Encodable ↑d
s : ↑d → E →L[𝕜] 𝕜
hs : ∀ (x : ↑d), ‖s x‖ ≤ 1 ∧ (s x) ↑x = ↑‖↑x‖
A : ∀ a ∈ t, (∀ (x : ↑d), (s x) a = 0) → a = 0
hfs : ∀ (y : ↑d), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (s y) (f x) = 0
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (y : ↑d), (s y) (f x) = 0
x : α
hx : ∀ (y : ↑d), (s y) (f x) = 0
h'x : f x ∈ t
⊢ f x = 0 x
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α (n + 1)
⊢ ¬φ.all.IsQF
C : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝⁶ : S₁.HasHomology
inst✝⁵ : S₂.HasHomology
inst✝⁴ : S₃.HasHomology
inst✝³ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
⊢ QuasiIso φ
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
N₁ : Type u_4
G₁ : Type u_5
Group N₁
Group G₁
φ₁ : G₁ →* MulAut N₁
f₁ : N →* N₁
f₂ : G →* G₁
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (φ₁ (f₂ g))).comp f₁
g : N ⋊[φ] G
⊢ ((SemidirectProduct.map f₁ f₂ h) g).right = f₂ g.right
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ m n : ℕ
hm : m < minimalPeriod f x
hmn : f^[m] x = f^[n] x
⊢ m ≤ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 α
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g : β → α
hg : ConcaveOn 𝕜 (f '' s) g
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg' : MonotoneOn g (f '' s)
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (g ∘ f)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : ι → Submodule R M
DecidableEq ι
h : DirectSum.IsInternal N
∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
IsNoetherian R M
σ : ι → ι
hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), Set.MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))
⊢ (LinearMap.trace R M) f = 0
p q : Prop
hp : p
hq : q
⊢ HEq hp hq
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X Y : C
x : ↑(F.obj X)
y : ↑(F.obj Y)
⊢ ((Types.binaryProductIso ↑(F.obj X) ↑(F.obj Y)).inv ≫ (PreservesLimitPair.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) X Y).inv ≫ (F ⋙ FintypeCat.incl).map prod.fst) (x, y) = x
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
⊢ constantCoeff (wittStructureRat p Φ 0) = constantCoeff Φ
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
hc_lt_one : c < 1
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ Disjoint (Metric.sphere x ε) (Metric.ball x ε)
Γ : Type u_1
inst✝³ : Inhabited Γ
Γ' : Type u_2
inst✝² : Inhabited Γ'
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
Λ' : Type u_4
inst✝ : Inhabited Λ'
M : Machine Γ Λ
f₁ : PointedMap Γ Γ'
f₂ : PointedMap Γ' Γ
g₁ : Λ → Λ'
g₂ : Λ' → Λ
S : Set Λ
f₂₁ : Function.RightInverse f₁.f f₂.f
g₂₁ : ∀ q ∈ S, g₂ (g₁ q) = q
q : Λ
T : Tape Γ
h : { q := q, Tape := T }.q ∈ S
⊢ Option.map (fun x => { q := g₁ x.q, Tape := Tape.map f₁ x.Tape }) (Option.map (fun x => { q := x.1, Tape := match x.2 with | Stmt.move d => Tape.move d T | Stmt.write a => Tape.write a T }) (M q T.head)) = Option.map (fun x => { q := x.1, Tape := match x.2 with | Stmt.move d => Tape.move d (Tape.map f₁ T) | Stmt.write a => Tape.write a (Tape.map f₁ T) }) (Option.map (Prod.map g₁ (Stmt.map f₁)) (M q T.head))
R : Type u
ι : Type u_1
CommSemiring R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
⊢ s.inf f ≤ P ↔ ∃ i ∈ s, f i ≤ P
R : Type u_1
Semigroup R
a b : R
⊢ IsRegular (a * b) ∧ IsRegular (b * a) ↔ IsRegular a ∧ IsRegular b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
o : CategoryTheory.HomOrthogonal s
α β : Type
Finite α
Finite β
f : α → ι
g : β → ι
z : (i : ι) → Matrix (↑(g ⁻¹' {i})) (↑(f ⁻¹' {i})) (CategoryTheory.End (s i))
⊢ o.matrixDecompositionAddEquiv.symm z =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.matrix fun j k =>
    if h : f j = g k then CategoryTheory.CategoryStruct.comp (z (f j) ⟨k, ⋯⟩ ⟨j, ⋯⟩) (CategoryTheory.eqToHom ⋯) else 0
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0
hmn : m ≤ n
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ OrderDual.toDual (￢a) = (OrderDual.toDual a)ᶜ
n x y : ℕ
h✝ : ↑x + ↑y = ↑n
h : x + y = n
⊢ ↑x = ↑(n - (↑y).get ⋯)
θ : Angle
⊢ (θ + ↑π).tan = θ.tan
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.card ≤ 1 ↔ ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
δ : Type u_1
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
AddCommMonoid γ
AddCommMonoid δ
g : γ →+ δ
f : (i : ι) → β i →+ γ
⊢ g.comp (DFinsupp.liftAddHom f) = DFinsupp.liftAddHom fun a => g.comp (f a)
α : Type u_1
Bornology α
s : Set α
Preorder α
IsOrderBornology α
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ BddBelow s
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M.Indep M.E ↔ M.Base M.E
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
h : OnePoint.infty ∈ s
⊢ IsOpen s ↔ IsCompact (OnePoint.some ⁻¹' s)ᶜ ∧ IsOpen (OnePoint.some ⁻¹' s)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ r • j = r.toNNReal • j
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L₂ : Type w
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K : LieSubalgebra R L
x : L₂
⊢ x ∈ LieSubalgebra.map f K ↔ ∃ y ∈ K, f y = x
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
z w : S
h : z * w = 0
x : A × ↥M
hx : z * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1
y : A × ↥M
hy : w * (algebraMap A S) ↑y.2 = (algebraMap A S) y.1
this : 0 = (algebraMap A S) (x.1 * y.1)
H : y.1 = 0
⊢ z = 0 ∨ w = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
s : Set α
⊢ f.image s = ⇑f '' s
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0
⊢ I⁻¹ = spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
p : Finset α
hp : p ∈ ↑P.parts
x : α
hx : x ∈ p
hx' : x ∈ s
⊢ p ∈ P.part '' ↑s
K : Type u_1
Field K
NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
Fintype β
a : Matrix α β (NumberField.RingOfIntegers K)
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : (NumberField.house.asiegel K a).mulVec x = 0
⊢ a.mulVec (NumberField.house.ξ K x) = 0
R : Type u_4
S : Type u_5
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
r : R
hr : IsUnit r
H : Function.Bijective ⇑(algebraMap R S)
⊢ IsLocalization.Away r S
α : Type u_1
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ card α = card αˣ + 1
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} D
CategoryTheory.Preadditive C₁
CategoryTheory.Preadditive C₂
CategoryTheory.Preadditive D
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
f₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁
h₁ : Homotopy f₁ f₁'
K₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
f₂ : K₂ ⟶ L₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
F.Additive
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
c : ComplexShape J
DecidableEq J
TotalComplexShape c₁ c₂ c
K₁.HasMapBifunctor K₂ F c
L₁.HasMapBifunctor L₂ F c
i₁ i₁' : I₁
i₂ : I₂
j j' : J
h : c₁.π c₂ c (i₁', i₂) = j
h' : c₁.prev i₁' = i₁
⊢ K₁.ιMapBifunctor K₂ F c i₁' i₂ j h ≫ HomologicalComplex.mapBifunctorMapHomotopy.hom₁ h₁ f₂ F c j j' =
  c₁.ε₁ c₂ c (i₁, i₂) •
    (F.map (h₁.hom i₁' i₁)).app (K₂.X i₂) ≫ (F.obj (L₁.X i₁)).map (f₂.f i₂) ≫ L₁.ιMapBifunctorOrZero L₂ F c i₁ i₂ j'
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ Metric.cthickening δ E = ⋂ ε, ⋂ (_ : δ < ε), Metric.cthickening ε E
α : Type u
β : Type v
s : Set (α ⊕ β)
⊢ (Sum.inl ⁻¹' s).Finite ∧ (Sum.inr ⁻¹' s).Finite ↔ s.Finite
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Module.Baer R Q
y : N
⊢ Module.Baer.extensionOfMax i f ≤ Module.Baer.extensionOfMaxAdjoin i f h y
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
⊢ (B₁₁.fromRows B₂₁).fromColumns (B₁₂.fromRows B₂₂) = Matrix.fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
p : α
hp : p ≠ 0
⊢ (span {p}).IsPrime ↔ Prime p
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
S : Set (Set V)
Snd : ∀ {s t : Set V}, s ∈ S → t ∈ S → (s ∩ t).Nonempty
Sc : ∀ {s : Set V}, s ∈ S → (induce s G).Connected
s : Set V
sS : s ∈ S
v : V
vs : v ∈ s
⊢ ∀ {v_1 : V}, v_1 ∈ ⋃₀ S → ∃ s' ⊆ ⋃₀ S, ∃ (hu' : v ∈ s') (hv' : v_1 ∈ s'), (induce s' G).Reachable ⟨v, hu'⟩ ⟨v_1, hv'⟩
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : DecidableEq l
A : Matrix m n 𝕜
B : Matrix n l 𝕜
this : ‖((toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) A).comp ((toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) B)‖ ≤ ‖(toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) A‖ * ‖(toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) B‖
x : EuclideanSpace 𝕜 l
⊢ ((toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) (A * B)) x = (((toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) A).comp ((toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) B)) x
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hg : g ≠ 0
hf : ∀ i ∈ s, v (f i) < g
⊢ v (∑ i ∈ s, f i) < g
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
⊢ ↑f.range = Set.range ⇑f
V : Type u
G : SimpleGraph V
self : G.Subgraph
v w : V
⊢ self.Adj v w → v ∈ self.verts
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i j : ZMod 2
⊢ (⋃ i_1, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_1)) * ⋃ i, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i) ⊆ ⋃ i_1, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_1)
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W
ht : cs.IsReflection t
⊢ cs.length (w⁻¹ * t) < cs.length w⁻¹ ↔ cs.length (t * w) < cs.length w
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0
⊢ W'.addY P Q = (-(Q x * P z)) ^ 3 * P y
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × γ)
⊢ κ.swapRight.snd = κ.fst
R : Type u_1
Semiring R
p q : Polynomial R
S : Type u_2
NonAssocSemiring S
Module R S
IsScalarTower R S S
SMulCommClass R S S
Pow S ℕ
NatPowAssoc S
x : S
⊢ (p.comp q).smeval x = p.smeval (q.smeval x)
m n : ℕ
hl : m * m < n
hr : n < (m + 1) * (m + 1)
⊢ ¬∃ t, t * t = n
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
I b : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) b) μ
ha : Tendsto a l atBot
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
⊢ IntegrableOn f (Iic b) μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
f : α → ℝ
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f ∅
⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g ∅
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
h3 : K ≠ ⊤
h4 : (comap K.subtype N).index = N.index
h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G
h6 : (Nat.card ↥(comap K.subtype N)).Coprime (comap K.subtype N).index
H : Subgroup ↥K
hH : Nat.card ↥(map K.subtype H) = N.index
⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
⊢ ⊤ ≤ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
PartialOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioo a b =ᵐ[μ] Set.Ioc a b
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
⊢ ¬IsSquare ↑↑a ↔ ¬IsSquare ↑a
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁹ : DecidableEq ι
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Algebra A B
inst✝¹⁵ : CommRing C
inst✝¹⁴ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : Module.Finite K L
inst✝⁴ : IsAlgClosed E
b✝ : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
b : ι → L
h : ∀ (i : ι), IsIntegral R (b i)
⊢ IsIntegral R (discr K b)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.MapsTo f s t
⊢ Subtype.val ∘ Set.MapsTo.restrict f s t h = s.restrict f
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
ι : Sort u_3
CompleteLattice β
f : ι → α →o β
x : α
⊢ (⨅ i, f i) x = ⨅ i, (f i) x
A : Type u_3
ι : Type u_4
CommRing A
B : ι → AddSubgroup A
inter : ∀ (i j : ι), ∃ k, B k ≤ B i ⊓ B j
mul : ∀ (i : ι), ∃ j, ↑(B j) * ↑(B j) ⊆ ↑(B i)
leftMul : ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)
⊢ RingSubgroupsBasis B
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Abelian.imageIsoImage f).hom ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι f =
  CategoryTheory.Limits.kernel.ι (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f)
γ : Type w
MetricSpace γ
x y : γ
h : ∀ ε > 0, dist x y ≤ ε
⊢ x = y
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ.restrict s) t = μ (t ∩ s)
a x✝ z x : ℂ
⊢ (↑(normSq x)⁻¹ * (starRingEnd ℂ) x).arg = ((starRingEnd ℂ) x).arg
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hlim : Tendsto (fun n => seminormFromConst_seq c f x (n + 1)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' hf1 hc hpm x))
⊢ seminormFromConst' hf1 hc hpm (c * x) = f c * seminormFromConst' hf1 hc hpm x
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddMonoid ι
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
(i : ι) → (x : ↥(𝒜 i)) → Decidable (x ≠ 0)
r : A
i : ι
⊢ i ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.decompose 𝒜) r) ↔ (GradedRing.proj 𝒜 i) r ≠ 0
α : Type u_1
b : PosNum
⊢ 1 + b.succ = (1 + b).succ
n : ℕ
⊢ 2 ≤ n ↔ n ≠ 0 ∧ n ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a✝ a₁ a₂ : α
hf : HasProd f a₁
b : β
inst✝ : DecidableEq β
a : α
b' : β
⊢ Function.update f b a b' = (if b' = b then a / f b else 1) * f b'
X : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsIntegral X
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
H : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
⊢ Function.Injective ⇑(X.presheaf.map i.op)
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
⊢ ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1)) * z ^ ↑i = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * eval₂ f z p
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x y : ℚ_[p]
⊢ (x * y).addValuationDef = x.addValuationDef + y.addValuationDef
α : Type u_1
MeasurableSpace α
PseudoEMetricSpace α
OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.nearestPtInd e 0 = MeasureTheory.SimpleFunc.const α 0
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X : T
U V : Under X
f g : U ⟶ V
left✝¹ : U.left ⟶ V.left
b : U.right ⟶ V.right
w✝¹ : (Functor.fromPUnit X).map left✝¹ ≫ V.hom = U.hom ≫ (𝟭 T).map b
left✝ : U.left ⟶ V.left
e : U.right ⟶ V.right
w✝ : (Functor.fromPUnit X).map left✝ ≫ V.hom = U.hom ≫ (𝟭 T).map e
h : { left := left✝¹, right := b, w := w✝¹ }.right = { left := left✝, right := e, w := w✝ }.right
⊢ left✝¹ = left✝
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ (∃ a, y * x⁻¹ = ↑a⁻¹) ↔ y * x⁻¹ ∈ s
α : Type u_1
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ a :: l₁ ⊆ l₂ → l₁ ⊆ l₂
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖f y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹
hy' : ‖y‖₊ ≠ 0
hfy : ‖f y‖₊ ≠ 0
⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖f x‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
⊢ limsup s cofinite = {x | {n | x ∈ s n}.Infinite}
α : Type u_1
m n : PosNum
h : Ordering.casesOn Ordering.gt (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)
⊢ ↑m < ↑n ↔ Ordering.gt = Ordering.lt
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
⊢ (opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv = (hf.conePointUniqueUpToIso hf').op.inv
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : (x : P) → x ∈ affineSpan k s → Prop
mem : ∀ (y : P) (hys : y ∈ s), p y ⋯
smul_vsub_vadd : ∀ (c : k) (u : P) (hu : u ∈ affineSpan k s) (v : P) (hv : v ∈ affineSpan k s) (w : P) (hw : w ∈ affineSpan k s), p u hu → p v hv → p w hw → p (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w) ⋯
x : P
h : x ∈ affineSpan k s
⊢ ∀ x ∈ s, (fun y => ∃ (z : y ∈ affineSpan k s), p y z) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
f : CategoryTheory.Functor C D
hf : f.FullyFaithful
X : C
e : f.obj X ≅ f.obj X
⊢ ((hf.autMulEquivOfFullyFaithful X).symm e).hom = hf.preimage e.hom
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
b : α
⊢ a ≤ a - b ↔ b ≤ 0
F : Type u_3
Field F
Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : Fˣ
⊢ IsSquare a ↔ a ^ (Fintype.card F / 2) = 1
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
a : G₀
b : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ a / (a * b) = 1 / b
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : (MvQPF.P F).W α
⊢ MvQPF.WEquiv (MvQPF.wrepr x) x
o : Ordinal.{u_1}
ho✝ : o ≤ 2
ho : o < 2
⊢ Principal (fun x x_1 => x * x_1) o
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
d : 𝕜 → 𝔸
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : 𝔸
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 d s x
⊢ derivWithin (fun y => c * d y) s x = c * derivWithin d s x
k : Type u_1
DivisionRing k
ι : Type u_4
s : Finset ι
⊢ Finset.centroidWeights k s = Function.const ι (↑s.card)⁻¹
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
P : Sort v
p q : K[X]
f : K[X] → K[X] → P
f0 : ∀ (p : K[X]), f p 0 = f 0 1
H : ∀ {p q a : K[X]}, q ≠ 0 → a ≠ 0 → f (a * p) (a * q) = f p q
⊢ (RatFunc.mk p q).liftOn' f H = f p q
α : Type u
c : Cardinal.{u_1}
⊢ ↑(toENat c) = PartENat.withTopEquiv.symm ⊤ ↔ PartENat.withTopEquiv.symm (toENat c) = PartENat.withTopEquiv.symm ⊤
α : Type u_1
arr : Array α
l : List α
⊢ arr.toListAppend l = arr.data ++ l
R : Type u
Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
⊢ p % q = p ↔ p.degree < q.degree
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ ↑(lowerClosure s) = ⋃ a ∈ s, Set.Iic a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
⊢ Setoid.r a b ↔ ∃ h ∈ H, ∃ k ∈ K, b = h * a * k
x y nx ny z : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat x nx →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsNat y ny → nx.lcm ny = z → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (x.lcm y) z
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
p : β → Prop
x : β
hx : p x
⊢ Filter.Germ.LiftPred p ↑x
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R S
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
p q : PrimeSpectrum S
h : Ideal.map (algebraMap R S) (Ideal.comap (algebraMap R S) p.asIdeal) = Ideal.map (algebraMap R S) (Ideal.comap (algebraMap R S) q.asIdeal)
⊢ p = q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
U : Cᵒᵖ
⊢ ⊤.obj U = ⊤
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
⊢ Subring.map f ⊥ = ⊥