ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R L : Type u
CommRing R
CommRing L
IsDomain L
Algebra R L
NoZeroSMulDivisors R L
Algebra.IsAlgebraic R L
⊢ #L ≤ #((p : R[X]) × { x // x ∈ p.aroots L })
R : Type u_1
MonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
m n : ℕ
h : m.Coprime n
⊢ f (m * n) = f m * f n
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
⊢ ∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hι : Nonempty ι
Is : ι → Set α
h : M.Indep (⋃ i, Is i)
⊢ M.closure (⋂ i, Is i) = ⋂ i, M.closure (Is i)
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
CommSemiring R
Semiring A₁
Algebra R A₁
ϕ ψ : A₁ ≃ₐ[R] A₁
⊢ ϕ * ψ = ψ.trans ϕ
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ⨅ i, ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i n) ≤ ε / ↑K), ∑' (i_1 : ℕ), ⨆ (_ : (i i_1).Nonempty), ↑K ^ d * diam (i i_1) ^ d
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
Fintype α
F : Finset (Finset α)
⊢ t ∈ (Finpartition.atomise s F).parts ↔ t.Nonempty ∧ ∃ Q ⊆ F, Finset.filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ Q ↔ i ∈ u) s = t
M : Type u_1
Add M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : AddSubsemigroup.closure s = ⊤
mem : ∀ x ∈ s, p x
mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
⊢ p x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝² : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
β✝¹ : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice β✝¹
β✝ : Type u_6
β : ι → Type u_7
⊢ α i
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a : α
q : ℚ≥0
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ q • a
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f g : A
⊢ ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 (f * g) ≤ ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 f
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
IsDedekindDomain S
Algebra R S
p : Ideal R
hp : Ideal.map (algebraMap R S) p ≠ ⊥
x : S
⊢ (Ideal.Factors.piQuotientEquiv p hp) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (algebraMap R S) p)) x) = fun x_1 =>
  (Ideal.Quotient.mk (↑x_1 ^ Ideal.ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑x_1)) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ
⊢ ↑(↑s).toSeq n = ↑s n
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : C(α, β)
x : α
⊢ ContinuousAt (⇑f) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : γ) in A, κ.densityProcess ν i a x s ∂ν a) Filter.atTop
  (𝓝 (∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t u : Set α
⊢ μ (symmDiff s u) ≤ μ (symmDiff s t) + μ (symmDiff t u)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
n : ℕ
I : FractionalIdeal S P
⊢ ↑(n • I) = n • ↑I
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
h : f.HasEigenvalue μ
n : ℕ
m : M
hm : f.HasEigenvector μ m
⊢ ∃ x ∈ (f ^ n).eigenspace (μ ^ n), x ≠ 0
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
b : R
c : S
hc : c • x ∈ span R (s • t)
⊢ (b • c) • x ∈ span R (s • t)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inl ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst = 𝟙 X
B : Type u
F : Type v
E : B → Type w₁
B' : Type w₂
TopologicalSpace B'
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
f : B' → B
x : B'
⊢ Continuous (Bundle.TotalSpace.mk x)
a b c d : Ordinal.{u}
⊢ (∃ a' < b, ∃ b' < c, ∃ c' < a, toOrdinal (toNatOrdinal d + toNatOrdinal (a' ⨳ b' ⨳ a) + toNatOrdinal (a' ⨳ c ⨳ c') + toNatOrdinal (b ⨳ b' ⨳ c')) ≤ toOrdinal (toNatOrdinal (a' ⨳ c ⨳ a) + toNatOrdinal (b ⨳ b' ⨳ a) + toNatOrdinal (b ⨳ c ⨳ c') + toNatOrdinal (a' ⨳ b' ⨳ c'))) ↔ ∃ a' < a, ∃ b' < b, ∃ c' < c, toOrdinal (toNatOrdinal d + toNatOrdinal (b' ⨳ c ⨳ a') + toNatOrdinal (b ⨳ c' ⨳ a') + toNatOrdinal (b' ⨳ c' ⨳ a)) ≤ toOrdinal (toNatOrdinal (b ⨳ c ⨳ a') + toNatOrdinal (b' ⨳ c ⨳ a) + toNatOrdinal (b ⨳ c' ⨳ a) + toNatOrdinal (b' ⨳ c' ⨳ a'))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (uncurry f)
F : ℕ → SimpleFunc (α × β) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (uncurry f)
h : ∀ (a : α) (b : β), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b
this : ∀ (a : α), ∫⁻ (b : β), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) ∂κ a = ⨆ n, ∫⁻ (b : β), ↑(F n) (a, b) ∂κ a
n : ℕ
⊢ ∀ ⦃f g : SimpleFunc (α × β) ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → (fun f => Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), ↑f (a, b) ∂κ a) f → (fun f => Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), ↑f (a, b) ∂κ a) g → (fun f => Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), ↑f (a, b) ∂κ a) (f + g)
J : Type w
X : CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape J
⊢ (CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeOp J).obj X = Opposite.op X
α : Type u_1
β : Type u_2
MulOneClass α
MulOneClass β
f : α →* β
⊢ (WithZero.map' f) 0 = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ ν : Measure ((i : ι) → α i)
inst✝ : ∀ (i : Finset ι), IsFiniteMeasure (P i)
hμ : IsProjectiveLimit μ P
hν : IsProjectiveLimit ν P
this : IsFiniteMeasure μ
s : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ measurableCylinders α
⊢ μ s = ν s
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
t : α → Set β
⊢ ⋃ x ∈ insert a s, t x = t a ∪ ⋃ x ∈ s, t x
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
Pow β γ
self : MeasurablePow β γ
⊢ Measurable fun p => p.1 ^ p.2
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
f : G →* N
h : Surjective ⇑f
⊢ ⊤ ≤ map f ⊤
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
a : ℕ →o α
m : ℕ
⊢ a m ≤ monotonicSequenceLimit a
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L₁ : CategoryTheory.Functor A T
R₁ : CategoryTheory.Functor B T
X Y : CategoryTheory.Comma L₁ R₁
l : X.left ≅ Y.left
r : X.right ≅ Y.right
h :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L₁.map l.hom) Y.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp X.hom (R₁.map r.hom) := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Comma.isoMk l r h).hom.left = l.hom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
⊢ (q.removeZero.comp p n) v = (q.comp p n) v
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
φ : M ↪ₑ[L] N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
h : (Formula.graph f).Realize (⇑φ ∘ Fin.cons (funMap f x) x) ↔ (Formula.graph f).Realize (Fin.cons (funMap f x) x)
⊢ φ (funMap f x) = funMap f (⇑φ ∘ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
LinearOrderedCommSemiring β
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
f : Finset α → β
u : Finset α
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hu : a ∉ u
⊢ ∑ s ∈ u.powerset, collapse 𝒜 a f s = ∑ s ∈ 𝒜, f s
a b : Ordinal.{u_1}
h : a < Ordinal.omega ^ b
⊢ a + Ordinal.omega ^ b = Ordinal.omega ^ b
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ Filter.comap OnePoint.some (𝓝 OnePoint.infty) = Filter.coclosedCompact X
G : Type u
AddLeftCancelMonoid G
Finite G
⊢ AddMonoid.ExponentExists G
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
⊢ ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n
x : ℝ
⊢ ‖↑x‖ = |x|
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝³ : (i : ι✝) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι✝) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι✝
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n✝ : ℕ∞
x : (i : ι✝) → E i
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
n : ℕ
e : Fin (n + 1) ↪ ι
j : Fin (n + 1)
h'k : e j ∈ Set.range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
hj : j ≠ 0
⊢ (((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨e j, h'k⟩).succ = e.toEquivRange.symm ⟨e j, ⋯⟩
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
m : M
μ : R
self : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
⊢ ⁅e, m⁆ = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
self : CategoryTheory.MonoidalNatTrans F G
X Y : C
⊢ F.μ X Y ≫ self.app (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (self.app X) (self.app Y) ≫ G.μ X Y
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
A : C
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
hX : t.LE 0 X
hY : t.GE 1 Y
f : X ⟶ (shiftFunctor C n₀).obj A
g : (shiftFunctor C n₀).obj A ⟶ Y
h : Y ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
mem : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
T : Triangle C := (Triangle.shiftFunctor C (-n₀)).obj (Triangle.mk f g h)
e : ((shiftEquiv C n₀).functor ⋙ (shiftEquiv C n₀).inverse).obj A ≅ (𝟭 C).obj A := (shiftEquiv C n₀).unitIso.symm.app A
⊢ ∃ X Y, ∃ (_ : t.LE n₀ X) (_ : t.GE n₁ Y), ∃ f g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 id s x
a x✝ z x : ℂ
hr : x.re < 0
hi : 0 < x.im
⊢ (if 0 ≤ x.re then -Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ -x.im then Real.arcsin (x.im / abs x) + π else Real.arcsin (x.im / abs x) - π) = if x.re < 0 ∧ x.im = 0 then π else -if 0 ≤ x.re then Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ x.im then -Real.arcsin (x.im / abs x) + π else -Real.arcsin (x.im / abs x) - π
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0
this : (I * ↑x).im ≤ 0
⊢ evenKernel a x = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : ∀ (x : α), f x ≤ g x
h2 : μ ≤ ν
⊢ MeasureTheory.lintegral μ f ≤ MeasureTheory.lintegral ν g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : α → β
g : α → γ
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
⊢ ContinuousOn (fun x => (f x, g x)) s
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Set R
⊢ Subsemiring.closure ↑(AddSubmonoid.closure s) = Subsemiring.closure s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
r : α → α → Prop
S : Set (Set α)
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
h : ∀ x ∈ S, DirectedOn r x
⊢ DirectedOn r (⋃ i, ↑i)
z : ℂ
hz : 1 + -z ∈ slitPlane
⊢ log (1 + -z)⁻¹ = z * ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, (1 - t • z)⁻¹
α : Type u_2
Zero α
⊢ Finset.Nonempty 0
n : ℕ
β : Type u
⊢ ⇑(Equiv.piFinCastSucc n β) = fun f => (f (Fin.last n), Fin.init f)
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ s.infsep = 0
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁
γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂
δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂
a : A
⊢ L₆.map (γ.app (G₁.obj a)) ≫ δ.app (L₃.obj (G₁.obj a)) ≫ K₂.map (L₄.map (α.app a)) ≫ K₂.map (β.app (L₁.obj a)) = L₆.map (γ.app (G₁.obj a)) ≫ L₆.map (H₂.map (α.app a)) ≫ δ.app (H₁.obj (L₁.obj a)) ≫ K₂.map (β.app (L₁.obj a))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y) (a : CategoryTheory.Subobject (Opposite.unop X)),
  (CategoryTheory.Subobject.functor C).map f a = (CategoryTheory.Subobject.pullback f.unop).obj a
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : SeparatingDual R V
inst✝ : T2Space R
x y : V
hxy : x ≠ y
⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
X : C
f : T.obj₂ ⟶ X
hf : T.mor₁ ≫ f = 0
⊢ ∃ g, f = T.mor₂ ≫ g
M : Type u_2
N : Type u_3
φ : M → N
X : Type u_5
SMul M X
Y : Type u_6
SMul N Y
f g : X →ₑ[φ] Y
⊢ f = g ↔ ∀ (x : X), f x = g x
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
i j : ι
b : M j
⊢ (DirectSum.component R ι M i) ((DirectSum.lof R ι M j) b) = if h : j = i then Eq.recOn h b else 0
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝⁴ : Fintype ι✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
ι : Type u_5
inst✝ : Fintype ι
⊢ dimH univ = ↑(Fintype.card ι)
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeSup α
Nonempty α
F : Filter β
u : α → β
⊢ (F ⊓ Filter.map u Filter.atTop).NeBot ↔ ∀ U ∈ F, ∀ (N : α), ∃ n ≥ N, u n ∈ U
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
ab : a ≤ b
⊢ variationOnFromTo f s a b = 0 ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s ∩ uIcc a b → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ uIcc a b → edist (f x) (f y) = 0
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I B X : Set α
M : Matroid α
⊢ ∀ (I : Set α), (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I → I ⊆ M.E
m n : ℤ
hm : 0 ≤ m
hmn : m < n
hnm : n ∣ m
⊢ m = 0
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
H : Subgroup G
a : G
h : a ∈ H.normalCore
⊢ 1 * a * 1⁻¹ ∈ H
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
(CategoryTheory.Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
z₁ z₂ : CategoryTheory.Equalizer.Presieve.Arrows.SecondObj P X π
h :
  ∀ (ij : I × I),
    CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun ij => P.obj (Opposite.op (CategoryTheory.Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) ij
        z₁ =
      CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun ij => P.obj (Opposite.op (CategoryTheory.Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) ij
        z₂
⊢ z₁ = z₂
α : Type u
R : α → α → Prop
IsTrans α R
l : List α
⊢ List.Chain' R l ↔ List.Pairwise R l
α : Type u
β : Type u_1
l : List α
f : α → β
⊢ (List.ofFn fun x => f (l.get x)) = List.map f l
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Finset E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ S, P K → P (restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
⊢ P (adjoin F ↑∅)
n : ℕ
a : Cardinal.{u_1}
h : n ≠ 0
⊢ n • a < Cardinal.aleph0 ↔ a < Cardinal.aleph0
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) (choose ⋯))⁻¹ * ↑(choose ⋯)
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ count K v I = I
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → EDist (β i)
f g : PiLp ⊤ β
⊢ edist f g = ⨆ i, edist (f i) (g i)
α : Type u_2
DecidableEq α
m : Multiset (Multiset α)
⊢ m.sup.Nodup ↔ ∀ a ∈ m, a.Nodup
a : outParam ℝ
outer : Filter ℝ
inner : outParam (Filter ℝ)
self : intervalIntegral.FTCFilter a outer inner
⊢ pure a ≤ outer
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
X Y Z : Action V G
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom.hom =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X.V Y.V Z.V).hom
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this✝ : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0
H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)
H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty
x₀ : E
hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖
hTx₀ : IsMaxOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x‖) x₀
hx₀ : ‖x₀‖ = ‖x‖
this : IsMaxOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀_ne : x₀ ≠ 0
⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
a : α
ha : MeasurableSet {a}
⊢ MeasureTheory.Measure.count {a} = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
s : ℕ → Set α
ω : α
⊢ (∀ (i : ℕ), ∃ i_1 ≥ i, ω ∈ s i_1) ↔ ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop}
G : Type u_1
AddGroup G
UniqueSums G
⊢ TwoUniqueSums G
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq β
hf : Injective2 f
⊢ image2 f (↑s) (↑t ∩ ↑t') = image2 f ↑s ↑t ∩ image2 f ↑s ↑t'
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ (canonicalEmbedding K) ((integralBasis K) i) ∈ Set.range ⇑(latticeBasis K)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ L₃ : CategoryTheory.Functor A T
l : L₁ ⟶ L₂
l' : L₂ ⟶ L₃
X : CategoryTheory.Comma L₃ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftComp R l l').hom.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
U : Comonad C
X Y x✝ : Cokleisli U
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ x✝
⊢ ((U.δ.app X ≫ U.map (U.δ.app X)) ≫ U.map (U.map f)) ≫ U.map g = ((U.δ.app X ≫ U.map f) ≫ U.δ.app Y) ≫ U.map g
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
h₁₂ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
⊢ K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
⊢ s.diag.card + s.offDiag.card = s.card * s.card
m n k : Nat
⊢ m.gcd n ∣ m.gcd (n * k)
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : WithLp p (α × β)
⊢ edist x y ≤ ↑(2 ^ (1 / p).toReal) * edist ((WithLp.equiv p (α × β)) x) ((WithLp.equiv p (α × β)) y)
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : Field 𝕜
inst✝⁵ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁴ : Linear 𝕜 C
inst✝³ : HasKernels C
X Y : C
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : Subsingleton (X ⟶ Y)
⊢ finrank 𝕜 (X ⟶ Y) ≤ 1
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF
IH : ((e₁.oadd n₁ a₁).mul a₂).repr = (e₁.oadd n₁ a₁).repr * a₂.repr
⊢ (Mul.mul (e₁.oadd n₁ a₁) (e₂.oadd n₂ a₂)).repr = (e₁.oadd n₁ a₁).repr * (e₂.oadd n₂ a₂).repr
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_4
β : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup β
InnerProductSpace 𝕜 β
f : α → β
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
c : β
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) μ
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
f : α → M
B : Set M
⊢ s.mulIndicator f ⁻¹' B = s.ite (f ⁻¹' B) (1 ⁻¹' B)
G : Type u_1
P : Type u_2
LinearOrder G
LinearOrder P
SMul G P
IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
⊢ (s • t).IsWF
s : Finset ℕ
m n : ℕ
hm : m ∈ factoredNumbers s
hn : n ∈ factoredNumbers s
hm' : m.primeFactors ⊆ s
⊢ m * n ∈ factoredNumbers s
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ (-G).grundyValue = G.grundyValue
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t : Set X
hS : RestrictGenTopology S
⊢ IsClosed t ↔ ∀ s ∈ S, IsClosed (Subtype.val ⁻¹' t)
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀✝ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
x₀ : F
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g x₀
f : F → E := fun x => g (x₀ - x)
If : Integrable f μ
⊢ Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • (x₀ - x))) • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a✝ b : Γ
r✝ : R
a : Γ
r s : R
rs : (single a) r = (single a) s
⊢ r = s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm K V
b₁ : B.Nondegenerate
b₂ : B.IsRefl
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
m : ↥(B.orthogonal (Submodule.span K {x}))
hm : ∀ (n : ↥(B.orthogonal (Submodule.span K {x}))), ((B.restrict (B.orthogonal (Submodule.span K {x}))) m) n = 0
n : V
⊢ (B ↑m) n = 0