ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
k : ℕ
hk : 0 < k
p : ℕ
hp : Prime ↑p
hpk : ↑p ^ k = ↑a
key : ↑p ≤ ↑a
⊢ ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
f : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ f.den • f.val = (algebraMap A (at x)) f.num
n : ℕ
hn : ∀ m < n, powHalf (m + 1) + powHalf (m + 1) ≈ powHalf m
⊢ ∀ (i : (powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1)).LeftMoves), (powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1)).moveLeft i ⧏ powHalf n
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
k : ℕ
⊢ t ∈ Finset.upShadow^[k] 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ t.card = s.card + k
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Semiring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
hb : b.natDegree ≤ d
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff ↑j
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hbj : ¬b.degree ≤ ↑j
⊢ (A i₁).coeff j = (A i₀).coeff j
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c ≠ 0
⊢ P.toPoly.leadingCoeff = P.c
f : ℕ → ℕ
hf : Nat.Primrec f
⊢ Nat.Partrec ↑f
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
DecidableEq ι
Fintype ι
f : MultilinearMap R M₁ M₂
x y : (i : ι) → M₁ i
⊢ (f.linearDeriv x) y = ∑ i : ι, f (Function.update x i (y i))
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
U : Y.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsAffineHom f
⊢ AlgebraicGeometry.IsAffineOpen ((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U)
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
z : M
⊢ z ∈ center M ↔ ∀ (g : M), g * z = z * g
G : Type u_2
Group G
S₁ S₂ : Subgroup Gᵐᵒᵖ
⊢ S₁.unop ≤ S₂.unop ↔ S₁ ≤ S₂
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
d : ℕ
r : R
⊢ ((Polynomial.monomial 0) r * p).coeff d = r * p.coeff d
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
h : IsClosed (⇑Topology.WithLower.ofLower ⁻¹' s)
⊢ IsClosed (⇑Topology.WithLawson.ofLawson ⁻¹' s)
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a : k
⊢ (a - a) • slope f a a = f a -ᵥ f a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
PseudoEMetricSpace α
TopologicalSpace β
PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s : Set α
t : Set β
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s, ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
⊢ ContinuousOn f (s ×ˢ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
h1 : μ₁ ≪ ν
h2 : μ₂ ≪ ν'
s : Set α
hs : (ν + ν') s = 0
⊢ (μ₁ + μ₂) s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ε₂ : ℝ≥0∞
hε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ε : ε₂ < ε
ε₁ : ℝ≥0∞
hε₁0 : 0 < ε₁
hε₁₂ : ε₁ < ε₂
⊢ ∃ δ > 0, ∀ (s : Set α), μ s < δ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i
v : F
⊢ (Trivialization.symmL R (Z.localTriv i) b) v = (Z.coordChange i (Z.indexAt b) b) v
R : Type u
inst₁ inst₂ : Semiring R
⊢ inst₁ = inst₂ ↔ HAdd.hAdd = HAdd.hAdd ∧ HMul.hMul = HMul.hMul
E : Type u_2
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
TopologicalAddGroup E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
disj : x ∉ s
⊢ ∃ f, ∀ a ∈ s, f a < f x
R : Type uR
CommRing R
A : Type uA
AddCommGroup A
B : Type uB
AddCommGroup B
Module R A
Module R B
f : A →ₗ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(CharacterModule.dual f)
α : Type u
f : Ultrafilter α
s : Set α
hs : s ∈ f
⊢ s.Nonempty
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ Real.sin (EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃) = 0 ↔
  EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃ = π
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
self : CategoryTheory.HasSheafify J A
⊢ CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
s' : Set α
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p (𝓟 s)
hss' : s' ⊆ s
⊢ UniformCauchySeqOnFilter F p (𝓟 s')
α : Type u_3
AddCommMonoid α
n : ℕ
a : α
⊢ (Multiset.replicate n a).sum = n • a
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
s : Subsemiring S
f : R →+* S
x : R
⊢ x ∈ Subsemiring.comap f s ↔ f x ∈ s
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
X : J
hX : IsTerminal X
F : J ⥤ C
inst✝ : ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), IsIso (F.map f)
i j : J
f : i ⟶ j
⊢ 𝟙 (F.obj X) ≫ inv (F.map (hX.from j)) = inv (F.map (hX.from i)) ≫ F.map f
I : Type u
X : I → TopCat
⊢ (FundamentalGroupoidFunctor.piIso X).inv = CategoryTheory.Functor.pi' (FundamentalGroupoidFunctor.proj X)
a b : Prop
h : a = False
⊢ (a ∨ b) = b
x : ℝ≥0∞
⊢ 0 < ↑x ↔ 0 < x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun a => ‖f a‖) μ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
DiscreteTopology X
f : OnePoint X → Y
⊢ Continuous f ↔ Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) Filter.cofinite (𝓝 (f OnePoint.infty))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
b0 : b ≠ 0
c : Ordinal.{u_4}
⊢ a + c / b ≤ (b * a + c) / b
P : Type u_1
Preorder P
p : P
ι : Type u_2
Encodable ι
𝒟 : ι → Order.Cofinal P
⊢ Monotone (Order.sequenceOfCofinals p 𝒟)
α : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp f 2 μ ↔ MeasureTheory.Integrable (fun x => ‖f x‖ ^ 2) μ
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ (s.diffs t).card = s.card * t.card ↔ Set.InjOn (fun x => x.1 \ x.2) (↑s ×ˢ ↑t)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : PartialHomeomorph E F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : F
ha : a ∈ f.target
htff' : HasStrictFDerivAt (↑f) (↑f') (↑f.symm a)
⊢ HasStrictFDerivAt (↑f.symm) (↑f'.symm) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β
s : Set β
t : Set α
⊢ s = ⇑e '' t ↔ ⇑e.symm '' s = t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Comonad C
X : T.Coalgebra
⊢ (CategoryTheory.Comonad.beckFork X).pt = X.A
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : OrderTopology α
⊢ 𝓝 ⊤ = ⨅ l, ⨅ (_ : l < ⊤), 𝓟 (Ioi l)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : ContinuousAdd M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : (𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot
s : Submodule R M
y : M
hy : y ∈ interior ↑s
x : M
⊢ x ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
hxf : x ∈ f.source
⊢ x ∈ (f.extend I).source
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.coeff 0 = 0
⊢ p.nextCoeffUp = p.coeff (p.natTrailingDegree + 1)
α β : Type u
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
hf : BddAbove (range f)
t : Cardinal.{max u w}
⊢ ⨆ i, lift.{u, w} (f i) ≤ t ↔ ∀ (i : ι), lift.{u, w} (f i) ≤ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
S : Submodule 𝕜 E
⊢ ↑S.toConvexCone = ↑S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
f g h i j : C
α : g ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f h
η : h ⟶ i
ηs : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f i ⟶ j
k : C
η₁ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj h k ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj i k
η₂ :
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj h k) ⟶
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj i k)
ηs₁ :
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f i) k ⟶
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj j k
ηs₂ :
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj i k) ⟶
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj j k
η₃ :
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj h k) ⟶
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj j k
η₄ :
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f h) k ⟶
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj j k
η₅ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj g k ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj j k
pf_η₁ :
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CategoryStruct.id h)
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η (CategoryTheory.CategoryStruct.id i)))
      k =
    η₁
pf_η₂ : CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft f η₁ = η₂
pf_ηs₁ : CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight ηs k = ηs₁
pf_ηs₂ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator f i k).inv ηs₁ = ηs₂
pf_η₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp η₂ ηs₂ = η₃
pf_η₄ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator f h k).hom η₃ = η₄
pf_η₅ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight α k) η₄ = η₅
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft f η) ηs))
    k =
  η₅
α : Type u_1
Fintype α
h : Nontrivial α
⊢ 1 < Fintype.card α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩
⊢ Injective f
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
g : CauSeq β abv
f : CauSeq β abv
hf : f ≈ 0
⊢ f * g ≈ 0
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
X Y : Set α
hX : X ⊆ S
hY : Y ⊆ S
h : sSup X ≤ sSup Y
a : α
ha : a ∈ X
⊢ IsAtom a
V : Type u_1
W : Type u_2
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
self : NormedAddGroupHom V W
⊢ ∃ C, ∀ (v : V), ‖self.toFun v‖ ≤ C * ‖v‖
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
h : MeasurableSpace.CountablyGenerated α
n : ℕ
a : α
s : Set α
hs : s ∈ MeasurableSpace.countablePartition α n
ha : a ∈ s
⊢ MeasurableSpace.countablePartitionSet n a = s
f : CircleDeg1Liftˣ
⊢ (↑f⁻¹).translationNumber = -(↑f).translationNumber
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteSemilatticeInf α
s✝ t : Set α
a b : α
s : ι → α
⊢ iInf s ≤ a ↔ ∀ (b : α), (∀ (i : ι), b ≤ s i) → b ≤ a
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
f : ℂ → ℂ
z₀ : ℂ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
⊢ (∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀) ∨ 𝓝 (f z₀) ≤ Filter.map f (𝓝 z₀)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hF : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ t → (b, a) ∈ t
htmem : t ○ t ⊆ u
this : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × α × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p' ×ˢ p', (f ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.2, F ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.1 ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.2) ∈ t ∧ (f ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.2, F ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.1 ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.2) ∈ t
n1 n2 : ι
x : α
hl : (f x, F n1 x) ∈ t
hr : (f x, F n2 x) ∈ t
⊢ (F n1 x, F n2 x) ∈ u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
ι : Type u_3
μ : Measure α
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
hu : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ
p : α → (ℕ → β) → Prop := fun x f' => Tendsto (fun n => f' n) atTop (𝓝 (g x))
⊢ AEMeasurable g μ
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
p : β × γ → Prop
hp : MeasurableSet {x | p x}
⊢ (∀ᵐ (bc : β × γ) ∂(κ.compProd η) a, p bc) ↔ ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, ∀ᵐ (c : γ) ∂η (a, b), p (b, c)
G : Type u_1
s : Set G
Group G
⊢ IsNormalSubgroup (Group.normalClosure s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
⊢ HomologicalComplex.homotopyCofiber.inr φ ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.desc φ α hα = α
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
w✝ : α
l₁ l₂ : List α
h₁ : ∀ (b : α), b ∈ l₁ → ¬(a == b) = true
e : (a == w✝) = true
h₂ : l = l₁ ++ w✝ :: l₂
h₃ : eraseP (BEq.beq a) l = l₁ ++ l₂
⊢ ∃ l₁ l₂, ¬a ∈ l₁ ∧ l = l₁ ++ a :: l₂ ∧ l.erase a = l₁ ++ l₂
α : Sort u_1
p q : α → Prop
e : ∀ (x : α), p x ↔ q x
z : { x // q x }
⊢ (Equiv.subtypeEquivRight e).symm z = ⟨↑z, ⋯⟩
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ Ideal.homogeneousCore' 𝒜 I = sSup {J | Ideal.IsHomogeneous 𝒜 J ∧ J ≤ I}
step a s n : Nat
h : a ≤ s
x : Nat
⊢ ((fun x => x - a) ∘ fun x => a + x) x = id x
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
s : σ
p : MvPolynomial σ R
⊢ (p * MvPolynomial.X s).support = Finset.map (addRightEmbedding (Finsupp.single s 1)) p.support
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G → H
hf : IsAddGroupHom f
s : Set G
⊢ f '' AddGroup.closure s = AddGroup.closure (f '' s)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
z : ℂ
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
⊢ 0 < (ε + sSupNormIm f 1) ^ z.re
⊢ Set.InjOn Nat.factorization {x | x ≠ 0}
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
f g : V →ₗ[K] V'
⊢ (f + g).rank ≤ Module.rank K ↥(range f ⊔ range g)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
self : S₁.Hom S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.f₁ S₂.v₁₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.v₁₂ self.f₂
α : Type u_1
M : Matroid α
M.Finite
⊢ {N | N.Restriction M}.Finite
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ M.X ◁ (Y.X ◁ f.hom ≫ N₂.actLeft) = M.X ◁ Y.X ◁ f.hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
⊢ (o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x)).tan = r
α : Type u
Infinite α
⊢ Cardinal.aleph0 ≤ Cardinal.mk α
G : Type u_4
MeasurableSpace G
InvolutiveNeg G
MeasurableNeg G
⊢ (MeasurableEquiv.neg G).symm = MeasurableEquiv.neg G
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
M' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'
⊢ x ∈ ϕ.submoduleImage N ↔ ∃ y, ∃ (yO : y ∈ O), y ∈ N ∧ ϕ ⟨y, yO⟩ = x
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ Finset.filter (fun x => x ∣ n) (Finset.range n) = n.properDivisors
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
Y : D
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Over Y) (CategoryTheory.Over X)
h : ∀ (f : CategoryTheory.MonoOver Y), CategoryTheory.Mono (F.obj ((CategoryTheory.MonoOver.forget Y).obj f)).hom
f : CategoryTheory.MonoOver Y
⊢ ((CategoryTheory.MonoOver.lift F h).obj f).obj = F.obj ((CategoryTheory.MonoOver.forget Y).obj f)
step s m n : Nat
h : m ≤ n
⊢ range' s m step <+ range' s m step ++ range' (s + step * m) (n - m) step
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f : Y → Set X
e : U = ⋃ i, f i
f' : Y → ι
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = f i
⊢ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, b i
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝² : Fintype ι'
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
ν : (i : ι) → Measure (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)
hf : ∀ (i : ι), MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)
this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
⊢ Measure.map (fun a i => f i (a i)) (Measure.pi μ) = Measure.pi ν
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NonAssocSemiring R✝
inst✝⁴ : NoZeroDivisors R✝
inst✝³ : Nontrivial R✝
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
p : ℕ
hchar : CharP R p
⊢ CharZero R ∨ ∃ p, Fact (Nat.Prime p) ∧ CharP R p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ Icc (a - ib) (a + ib)) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ∈ Icc (a - ε) (a + ε)
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ 1 < b⁻¹ * a ↔ b < a
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NonAssocSemiring R✝
inst✝⁴ : NoZeroDivisors R✝
inst✝³ : Nontrivial R✝
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
hchar : CharP R 0
⊢ CharZero R ∨ ∃ p, Fact (Nat.Prime p) ∧ CharP R p
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑⊤ ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), ⊤ < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
this : 1 ∈ ↑S
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Comonad C
X : T.Coalgebra
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair),
  (CategoryTheory.Comonad.beckCoalgebraFork X).π.app X_1 =
    CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.rec (motive := fun t =>
      X_1 = t →
        (X ⟶
          (CategoryTheory.Limits.parallelPair (CategoryTheory.Comonad.CofreeEqualizer.topMap X)
                (CategoryTheory.Comonad.CofreeEqualizer.bottomMap X)).obj
            X_1))
      (fun h => ⋯ ▸ CategoryTheory.Comonad.CofreeEqualizer.ι X)
      (fun h =>
        ⋯ ▸
          CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Comonad.CofreeEqualizer.ι X)
            (CategoryTheory.Comonad.CofreeEqualizer.topMap X))
      X_1 ⋯
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ],
  MulAction.aestabilizer G μ Set.univ = ⊤
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ z
H : firstDiff x z < min (firstDiff x y) (firstDiff y z)
⊢ False
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ ∑ y ∈ Finset.filter (fun x => ⟦x⟧ = Quotient.mk'' σ) Finset.univ, Perm.sign y • domDomCongr y (a.domCoprod b) = domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) (Quotient.mk'' σ)
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
lim_mass : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
aux : {0}ᶜ ∈ 𝓝 μ.mass
eventually_nonzero : ∀ᶠ (i : γ) in F, μs i ≠ 0
⊢ Tendsto (fun i => (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M ≃* N
K : Submonoid M
⊢ Submonoid.map f.toMonoidHom K = Submonoid.comap f.symm.toMonoidHom K
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∉ s
ha : AffineIndependent k fun x => ![p₁, p₂, p₃] ↑x
⊢ ![p₁, p₂, p₃] 2 ∉ affineSpan k (![p₁, p₂, p₃] '' {x | x ≠ 2})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
g : γ → α
e : ↑(Function.support f) ≃ ↑(Function.support g)
he : ∀ (x : ↑(Function.support f)), g ↑(e x) = f ↑x
⊢ Summable f ↔ Summable g
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
x : ↥(Submodule.snd R M M₂)
⊢ (Submodule.sndEquiv R M M₂) x = (↑x).2
x y : ℤ[i]
⊢ GaussianInt.toComplex x = GaussianInt.toComplex y ↔ x = y
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ
x : (𝓞 K)ˣ
hr : 0 ≤ r
h : ‖(logEmbedding K) x‖ ≤ r
w : InfinitePlace K
tool : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ ↑w.mult * x
⊢ |Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x))| ≤ ↑(Fintype.card (InfinitePlace K)) * r
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ List.enumFrom n l = (List.range' n l.length).zip l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.Limits.imageSubobject f = CategoryTheory.Subobject.mk f
p : ℕ+
pp : p.Prime
contra : p = 1
⊢ p = 1
p : Prop
q : p → Prop
hn : ¬p
⊢ (∀ (h' : p), q h') ↔ True