ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
f : R → R
n : ℕ
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict fun x => f x ^ n, continuous_toFun := ⋯ } = (cfcHom ha) ({ toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } ^ n)
R : Type u_1
n : ℕ
w✝ : ℤ
⊢ (1 + w✝ * 4 + w✝ ^ 2 * 4) % 4 = 1
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x✝ : m
m✝ : n →₀ ℕ
⊢ coeff m✝ (toMvPolynomial 0 x✝) = coeff m✝ (0 x✝)
n m : ℕ
⊢ n ∈ m.divisors ↔ n ∣ m ∧ m ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop
h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯
h₁ : ∀ ⦃s : Finset α⦄ (hs : s.Nontrivial), (∀ (t : Finset α) (ht : t.Nonempty), t ⊂ s → p t ht) → p s ⋯
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ p s hs
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x : 𝕎 R
⊢ (ghostComponent 0) x.verschiebungFun = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
⊢ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p1 𝒰 f g = s.fst
I : Type u
LinearOrder I
Inhabited I
i : I
l : Profinite.NobelingProof.Products I
hi : i ∈ ↑l
⊢ i ≤ (↑l).head!
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_4
Finite ι
⊢ Function.Bijective ⇑(AdicCompletion.ofTensorProduct I (ι → R))
G : Type u
AddMonoid G
⊢ AddMonoid.exponent Gᵃᵒᵖ = AddMonoid.exponent G
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
M : SheafOfModules R
s : M.sections
⊢ SheafOfModules.sectionsMap (𝟙 M) s = s
R : Type u_1
S : Type u_2
EuclideanDomain R
OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
x y : R
h : abv.IsEuclidean
⊢ abv x < abv y ↔ x ≺ y
o : Ordinal.{u_2}
⊢ ℵ₀ ≤ o.cof ↔ o.IsLimit
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝³ : Zero M
inst✝² : Zero M'
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ M
a : α
b : α → M → N
⊢ (∏ a_1 ∈ f.support, if a = a_1 then b a_1 (f a_1) else 1) = if a ∈ f.support then b a (f a) else 1
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.216946}
α : Type u
n : ℕ
t : Set α
H : ∀ (s : Finset α), ↑s ⊆ t → s.card ≤ n
s : Finset ↑t
u : Finset α := Finset.image Subtype.val s
this : u.card = s.card
⊢ s.card ≤ n
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f g : R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hu₁ : ∀ x ∈ U, g ∈ x.asIdeal.primeCompl
hu₂ : ∀ x ∈ U, f ∈ x.asIdeal.primeCompl
⊢ const R f g U hu₁ * const R g f U hu₂ = 1
p : Prop
inst : Decidable p
⊢ p → Eq (decide p) true
R : Type u
inst✝ : Ring R
hf : IsField R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ x_1, x * x_1 = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Finset.fold (fun x x_1 => x ∪ x_1) ∅ singleton s = s
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
y : R
⊢ seminormFromBounded' f (x * y) = f x * seminormFromBounded' f y
C : Type u
as : C
⊢ (CategoryTheory.LocallyDiscrete.locallyDiscreteEquiv.symm as).as = as
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a₁ a₂ a₃ : ℝ
h : a₂ ∈ Icc a₁ a₃
⊢ ∫ (x : ℝ) in a₁..a₃, {x | x ≤ a₂}.indicator f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a₁..a₂, f x ∂μ
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
⊢ {0}ᶜ ⊆ resolventSet 𝕜 0
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
hy : y ≠ ⊤
⊢ x.toReal = y.toReal ↔ x = y
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
⊢ ↑J < ↑⊤
𝕜 : Type v
RCLike 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ x = y ↔ ∀ (g : NormedSpace.Dual 𝕜 E), g x = g y
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x y : E
⊢ e (x + y) = e x + e y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ (e.trans e').target = ↑e' '' (e'.source ∩ e.target)
n m m' : ℕ
⊢ n ^^^ m = n ^^^ m' ↔ m = m'
I : Type u_1
DecidableEq I
Z : I → Type u_2
(i : I) → AddCommMonoid (Z i)
Finite I
G : Type u_3
AddCommMonoid G
g h : ((i : I) → Z i) →+ G
H : ∀ (i : I) (x : Z i), g (Pi.single i x) = h (Pi.single i x)
⊢ g = h
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
f g : Filter α
m : α → β
s : Set α
hsf : s ∈ f
hsg : s ∈ g
hm : InjOn m s
⊢ map m f = map m g ↔ f = g
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
h : K ≤ K'
⊢ normalClosure F (↥K) L ≤ normalClosure F (↥K') L
a b c : Int
h : a < c - b
⊢ a + b < c
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n => disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → Option β
g : β → Option γ
l : List α
⊢ List.filterMap g (List.filterMap f l) = List.filterMap (fun x => (f x).bind g) l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X Y : C
x : ↑(F.obj X)
y : ↑(F.obj Y)
⊢ F.map CategoryTheory.Limits.prod.snd ((CategoryTheory.PreGaloisCategory.fiberBinaryProductEquiv F X Y).symm (x, y)) = y
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
s : S
G : R →+* S
n : ℕ
f : R⟦X⟧
⊢ eval₂ G s (trunc n f) = ∑ i ∈ range n, G ((coeff R i) f) * s ^ i
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
x : E
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ fderiv ℝ (fun x => ‖x‖ ^ p) x = (p * ‖x‖ ^ (p - 2)) • (innerSL ℝ) x
α : Sort u
β : Sort v
F : Sort u_1
EquivLike F α β
e : F
x : β
⊢ e ((↑e).symm x) = x
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ t ∩ s = s ↔ s ⊆ t
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯
hf' : f' = kernel.lift γ f' ⋯ ≫ kernel.ι γ
wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0
e : Abelian.image S.f ≅ kernel γ := S.abelianImageToKernelIsKernel.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0))
he : e.hom ≫ kernel.ι γ = S.abelianImageToKernel
fac : f' = Abelian.factorThruImage S.f ≫ e.hom ≫ kernel.ι γ
hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (cokernel.π (kernel.ι γ)) wπ)
⊢ S.LeftHomologyData
α : Sort u_1
p q : α → Prop
H : ∀ (x : α), p x
⊢ (∃ x, q x) → ∃ x x_1, q x
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x✝ y : E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r
⊢ ∀ (x_1 : E), x_1 ∈ {y | 0 (y - x) < r}
α : Type u_1
CompleteLattice α
S : Set α
⊢ LowerSet.Iic (sInf S) = ⨅ a ∈ S, LowerSet.Iic a
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k✝ n : ℕ
h : IsPrimePow n
hn0 : n ≠ 0
p k : ℕ
hk0 : 0 < k
h1 : n.factorization = Finsupp.single p k
pp : Nat.Prime p
⊢ ∃ p, Nat.Prime p ∧ n / p ^ n.factorization p = 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
m : M
⊢ m ∈ f.ker ↔ f m = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set X
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∀ i ∈ K, {y | Inseparable i y} ⊆ U
α : Sort u
β : Sort v
f : α ≃ β
a : α
⊢ f.toEmbedding a = f a
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
U : CategoryTheory.Functor B C
F : CategoryTheory.Functor C B
R : CategoryTheory.Functor A B
F' : CategoryTheory.Functor C A
adj₁ : F ⊣ U
adj₂ : F' ⊣ R.comp U
CategoryTheory.Limits.HasReflexiveCoequalizers A
(X : B) → CategoryTheory.RegularEpi (adj₁.counit.app X)
Y : A
X : B
⊢ ∀ (a : CategoryTheory.LiftAdjoint.constructLeftAdjointObj R F' adj₁ adj₂ X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.LiftAdjoint.constructLeftAdjointEquiv R F' adj₁ adj₂ Y X) a =
    (CategoryTheory.Limits.Cofork.IsColimit.homIso (CategoryTheory.LiftAdjoint.counitCoequalises adj₁ X) (R.obj Y)).symm
      ⟨CategoryTheory.CategoryStruct.comp
          (F.map
            ((adj₂.homEquiv (U.obj X) Y)
              ↑((CategoryTheory.Limits.Cofork.IsColimit.homIso
                    (CategoryTheory.Limits.colimit.isColimit
                      (CategoryTheory.Limits.parallelPair (F'.map (U.map (adj₁.counit.app X)))
                        (CategoryTheory.LiftAdjoint.otherMap R F' adj₁ adj₂ X)))
                    Y)
                  a)))
          (adj₁.counit.app (R.obj Y)),
        ⋯⟩
α : Type u_1
EDist α
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (↑s).einfsep = s.offDiag.inf (Function.uncurry edist)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
⊢ AEMeasurable f (μ + ν) ↔ AEMeasurable f μ ∧ AEMeasurable f ν
n : ℕ
⊢ Finset.antidiagonal n = Finset.image (fun i => (i, n - i)) (Finset.range (n + 1))
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
m : ℕ
hmn : ↑m ≤ n
x : E
⊢ p x m = iteratedFDeriv 𝕜 m f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s✝ : Set α
f : ι → α
a : α
s : Set α
hs : BddAbove s
⊢ IsLUB s (sSup s)
l : List ℕ
a m n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n < fib (n.greatestFib + 1)
α✝ : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace α'
inst✝³ : MeasurableSpace β✝
inst✝² : MeasurableSpace β'
inst✝¹ : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α✝
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝ : NormedAddCommGroup E
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
hg : MeasurableEmbedding g
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ MeasurableEmbedding fun x => (g x.1, f x.2)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → E
x : α
⊢ s.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ≤ ‖f x‖₊
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
h : s ⊆ e.source
⊢ ↑e '' s = e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
⊢ (map f s).prod = (map f t).prod ↔ s.prod = t.prod
M : Type u_2
AddZeroClass M
⊢ ⊥.op = ⊥
V : Type u
K : Set V
G : SimpleGraph V
v w : V
vK : v ∉ K
wK : w ∉ K
a : G.Adj v w
⊢ G.componentComplMk vK = G.componentComplMk wK
α : Type u_1
⊢ SymAlg.sym.symm = SymAlg.unsym
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp 2 β
⊢ edist x y = (∑ i : ι, edist (x i) (y i) ^ 2) ^ (1 / 2)
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ none ∈ Finset.insertNone s
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.IsConnected Jᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.IsConnected J
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) (↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) + ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1)))) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : SemilatticeInf γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsGLB s b
⊢ IsGLB (insert a s) (a ⊓ b)
z : ℂ
⊢ z.re * z.re ≤ Complex.normSq z
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => Real.sin (f x)) x
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
h : ∀ (x : E), 0 < 1 + ‖x‖ ^ 2
⊢ ContDiff ℝ n fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
⊢ (extChartAt I c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ⊆ (extChartAt I c).source
α : Type u_1
β : Type u_2
m : α → β
f : Filter α
F : f.Realizer
s : (Filter.Realizer.map m F).σ
⊢ (Filter.Realizer.map m F).F.f s = m '' F.F.f s
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) const
y : N → ↑I
j : N
Hj : y j = 0 ∨ y j = 1
⊢ (↑(p.toContinuousMap (y i)) fun j => y ↑j) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Set.MapsTo (Prod.map f f) (Set.diagonal α) (Set.diagonal β)
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
⊢ ↑(DoubleQuot.quotQuotMkₐ R I J) = DoubleQuot.quotQuotMk I J
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁ ∪ s₂).gcd = GCDMonoid.gcd s₁.gcd s₂.gcd
α β γ : Type u
m : Type u → Type v
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
x : m α
g : β → m γ
f : α → β
⊢ f <$> x >>= g = x >>= g ∘ f
K : Type u_1
DivisionRing K
s : Stream'.Seq (GenContFract.Pair K)
⊢ GenContFract.convs'Aux s 0 = 0
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
hf : Differentiable ℂ f
c : F
hb : Tendsto f (cocompact E) (𝓝 c)
h_bdd : Bornology.IsBounded (range f)
⊢ f = const E c
α : Type u_1
R : Type u_13
SeminormedRing R
c : R
f : α → R
l : Filter α
⊢ Asymptotics.IsBigOWith ‖c‖ l (fun x => c * f x) f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
e : M ≃ₗ[R] M'
x✝¹ : BilinForm R M'
x✝ y✝ : M
⊢ (((congr e).symm x✝¹) x✝) y✝ = (((congr e.symm) x✝¹) x✝) y✝
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.comp a \ Booleanisation.lift b = Booleanisation.comp (a ⊔ b)
x : ℝ
hx : Liouville x
p : ℝ
b : ℕ
_hb : 1 < b
a : ℤ
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ ⌈p⌉₊
⊢ |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ ↑⌈p⌉₊
α β : PartOrd
e : ↑α ≃o ↑β
⊢ (PartOrd.Iso.mk e).hom = ↑e
M : Type u_1
Monoid M
a : M
h : IsUnit a
⊢ ↑h.unit⁻¹ * a = 1
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Module.Finite R M
⊢ Function.Surjective ⇑(AdicCompletion.ofTensorProduct I M)
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p : P
⊢ Function.Injective fun x => x +ᵥ p
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : IntermediateField F E
⊢ FiniteDimensional.finrank F ↥K = 1 ↔ K = ⊥
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
⊢ (contractLeft d) 1 = 0
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Semifield S
Ring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
a : A
f : S → R
hf : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h : spectrum S a ⊆ Set.range ⇑(algebraMap R S)
⊢ SpectrumRestricts a f
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a : α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ (insert a s).ncard ≤ s.ncard + 1
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v : ι → M
v' : ι → M'
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ update v i (v j) i = update v i (v j) j
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
φ₁ φ₂ : A →ₐc[R] B
H : ∀ (x : A), φ₁ x = φ₂ x
⊢ φ₁ = φ₂
α : Type u_2
β : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
s : Set β
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
⊢ ∃ x ∈ s, sInf (f '' s) = f x ∧ ∀ y ∈ s, f x ≤ f y
X Y : Type u
⊢ ↾Sum.inl ≫ (CategoryTheory.Limits.Types.binaryCoproductIso X Y).inv = CategoryTheory.Limits.coprod.inl
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
⊢ q * p %ₘ q = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a : α
hs : IsLowerSet s
f : α ≃o β
⊢ IsLowerSet (⇑↑f '' s)
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : Irreducible p
b : Associates M
x✝ : b < p
a : Associates M
hab : p = b * a
hb : ¬p ∣ b
ha : IsUnit a
⊢ b = p * ↑ha.unit⁻¹
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p : PrimeSpectrum R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial M
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ ∀ (x : PrimeSpectrum R), ∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, ¬r = 0 ∧ ¬m = 0
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
e f : C ⟶ D
h : Homotopy e f
g : D ⟶ E
i : ι
⊢ (e ≫ g).f i = (((dNext i) fun i j => h.hom i j ≫ g.f j) + (prevD i) fun i j => h.hom i j ≫ g.f j) + (f ≫ g).f i
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ G.commonNeighbors v w ⊆ G.neighborSet v
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
n k : ℕ
⊢ k.factorial • choose (↑n) k = k.factorial • ↑(n.choose k)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
hb : ∀ (p : G.Walk v w), s(v, w) ∈ p.edges
c : G.Walk u u
he : s(v, w) ∈ c.edges
hw : w ∈ (c.takeUntil v ⋯).support
hv : v ∈ c.support
puw : G.Walk u w := (c.takeUntil v hv).takeUntil w hw
pwv : G.Walk w v := (c.takeUntil v hv).dropUntil w hw
pvu : G.Walk v u := c.dropUntil v hv
hc : ((pvu.append puw).edges ++ pwv.edges).Nodup
this : c = (puw.append pwv).append pvu
hbq : s(v, w) ∈ (pvu.append puw).edges
hpq' : s(v, w) ∈ pwv.edges
⊢ False
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
h₂ : ¬G.IsUniform ε U V
hX : G.nonuniformWitness ε U V ∈ P.nonuniformWitnesses G ε U
q : G.nonuniformWitness ε U V \ (star hP G ε hU V).biUnion id ⊆ (filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).biUnion fun B => B \ (filter (fun x => x ⊆ B) (chunk hP G ε hU).parts).biUnion id
⊢ ∑ _i ∈ filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts, m ≤ 2 ^ (P.parts.card - 1) * m
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
f : 𝓢(D, V)
k : ℕ
⊢ Integrable (fun x => ‖x‖ ^ k * ‖f x‖) μ
ι : Type u_1
Fintype ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
b : ι → M
DecidableEq ι
A : Matrix ι ι R
j : ι
⊢ ((PiToModule.fromMatrix R b) A) (Pi.single j 1) = ∑ i : ι, A i j • b i
α : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq α
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : MulZeroOneClass R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : MulZeroOneClass S
inst✝¹ : DecidableEq S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : WithTop R
this : ∀ (z : WithTop R), map (⇑f) z = 0 ↔ z = 0
⊢ { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun x * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun y