ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism
⊢ LieIdeal.comap f ⁅f.idealRange ⊓ J₁, f.idealRange ⊓ J₂⁆ = ⁅LieIdeal.comap f J₁, LieIdeal.comap f J₂⁆ ⊔ f.ker
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
⊢ Monoid.Coprod.fst.comp Monoid.Coprod.inl = MonoidHom.id M
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
Fintype n
Semiring R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
B : Matrix n m R
⊢ A₁.fromRows A₂ * B = (A₁ * B).fromRows (A₂ * B)
U : Type u_1
Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Quiver.Path u v
⊢ HEq (Quiver.Path.cast hu hv p) p
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S T : NonUnitalSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
DivisionMonoid β
f : α →* β
a : α
⊢ f a⁻¹ = (f a)⁻¹
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0∞
h : ν ⟂ₘ μ
⊢ r • ν ⟂ₘ μ
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑db * ⅟↑da * ⅟↑db + ↑nb * ⅟↑db = ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db
h₂ : (fun x => ↑nc * ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc)) (da * db) = (fun x => ↑nc * ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc)) (k * dc)
⊢ ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → F'
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ μ[f + g|m] =ᵐ[μ] μ[f|m] + μ[g|m]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
h : ofSet s = PEquiv.refl α
⊢ s = Set.univ
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
⊢ s * Metric.closedBall 1 δ = Metric.cthickening δ s
a b : Int
⊢ (a / b).natAbs ≤ a.natAbs
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
⊢ (pf 0) v = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Batteries.AssocList.nil.length = 0
x y : ℝ
hx : 0 < x
⊢ log x = expOrderIso.symm ⟨x, hx⟩
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
HasUpperLowerClosure α
s : Set α
h : IsLowerSet s
⊢ IsLowerSet (interior s)
P : Type u_1
Preorder P
I : Order.Ideal P
x : P
⊢ Order.Ideal.principal x ≤ I ↔ x ∈ I
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Inf β
f : InfHom α β
⊢ (InfHom.id β).comp f = f
U : Type u_1
Quiver U
Quiver.HasInvolutiveReverse U
u v : U
e : u ⟶ v
⊢ (Quiver.starEquivCostar v).symm (Quiver.Costar.mk e) = Quiver.Star.mk (Quiver.reverse e)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Sₘ✝
inst✝¹⁵ : Algebra S Sₘ✝
M : Submonoid R
inst✝¹⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹³ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ✝
inst✝¹² : Algebra Rₘ Sₘ✝
inst✝¹¹ : Algebra R Sₘ✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ✝
inst✝⁹ : IsScalarTower R S Sₘ✝
Sₘ : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
ι : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R S
this✝ : Module.Finite R S
this : Module.Free R S
⊢ traceMatrix Rₘ ⇑(Basis.localizationLocalization Rₘ M Sₘ b) = (algebraMap R Rₘ).mapMatrix (traceMatrix R ⇑b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 7 → β
⊢ f (castSucc 0) * f (castSucc 1) * f (castSucc 2) * f (castSucc 3) * f (castSucc 4) * f (castSucc 5) * f (last 6) = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4 * f 5 * f 6
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : φ i
j : ι
⊢ x = id x
ι₁ : Type u_3
ι₂ : Type u_4
α : Type u_5
SemilatticeSup ι₁
Preorder ι₂
Nonempty ι₁
TopologicalSpace α
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
NoMinOrder α
f : ι₂ → α
φ : ι₁ → ι₂
l : α
hf : Antitone f
hg : Filter.Tendsto φ Filter.atTop Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 l) ↔ Filter.Tendsto (f ∘ φ) Filter.atTop (𝓝 l)
α : Type u_1
f : α → ℕ
a b : α
⊢ (Levenshtein.weightCost f).substitute a b = max (f a) (f b)
x y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Icc ↑x ↑y = Icc x y
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set α
hs : BddAbove s
a : α
⊢ sSup s ≤ a ↔ ∀ x ∈ s, x ≤ a
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
hl : (ζ ^ i) ^ l = 1
⊢ ζ ^ (↑i * ↑l * i.gcdA k) * (ζ ^ (↑k * i.gcdB k)) ^ l = 1
p : ℚ[X]
⊢ (p.rootSet ℂ).toFinset.card =
  (p.rootSet ℝ).toFinset.card +
    ((Polynomial.Gal.galActionHom p ℂ)
          ((Polynomial.Gal.restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ Complex.conjAe))).support.card
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C✝ : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hB : ∃ c < π / 2 / b, ∃ B, f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
⊢ ‖f z‖ ≤ C
W : Type u
Group W
self : IsCoxeterGroup W
⊢ ∃ B M, Nonempty (CoxeterSystem M W)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m n : ℤ
a✝ b✝ : α
hn : 0 ≤ n
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ 1 ≤ (b / a) ^ n
α : Type u_2
x y : α
f : Equiv.Perm α
DecidableEq α
Fintype α
h : f.SameCycle x y
hx : x ∈ f.support
⊢ ∃ i < (f.cycleOf x).support.card, (f ^ i) x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : l.NeBot
d : E''
c : F''
⊢ ((fun _x => d) =o[l] fun _x => c) ↔ d = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : Disjoint s t
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ (s ∪ t).ncard = s.ncard + t.ncard
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
n m : ℕ
ha : ¬p ^ (n + 1) ∣ a
hb : ¬p ^ (m + 1) ∣ b
x✝ : p ^ (n + m + 1) ∣ a * b
s : α
hs : a * b = p ^ (n + m + 1) * s
⊢ a * b = p * (p ^ (n + m) * s)
n : ℤ
⊢ (n * n).negOnePow = n.negOnePow
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M α
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
g✝ : G
a✝ b : α
inst✝³ : Group H
inst✝² : MulAction G H
inst✝¹ : SMulCommClass G H H
inst✝ : IsScalarTower G H H
g : G
a : H
⊢ g • a * g⁻¹ • a⁻¹ = 1
n m : ℕ
h : m = n
⊢ (finCongr h).symm = finCongr ⋯
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
⊢ Set.range ContinuousMonoidHom.toContinuousMap = {f | f 1 = 1 ∧ ∀ (x y : A), f (x * y) = f x * f y}
M : Type u_4
AddCommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n + 2), (n + 1).choose i • f i (n + 1 - i) =
  ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), n.choose i • f i (n + 1 - i) + ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), n.choose i • f (i + 1) (n - i)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.73697, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift B
X : C
a b : B
eq : F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso (a + b)).hom.app X = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd D a b).inv.app (F.obj X)
⊢ F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C b a (a + b) ⋯).hom.app X) = F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso (a + b)).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd' D b a (a + b) ⋯).hom.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).inv.app ((shiftFunctor C b).obj X)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ -o.oangle ((o.rotation (o.oangle x y)) x) y = 0
a : ℝ
⊢ ¬MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ioi a) MeasureTheory.volume
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ (l.rotateR x r).dual = r.dual.rotateL x l.dual
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ioc a c ⊆ Set.Ioc a b ∪ Set.Icc b c
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
c : α
A : P → α
B : ¬P → α
⊢ dite P A B = c ↔ (∀ (h : P), A h = c) ∧ ∀ (h : ¬P), B h = c
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ
⊢ gaussianPDFReal μ v (c⁻¹ * x) = |c| * gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
n₁ : ℤ
x a₁ : α
n₂ : ℤ
a₂ : α
n' : ℤ
a' : α
h₁ : n₁ + n₂ = n'
h₂ : a₁ + a₂ = a'
⊢ n₁ • x + a₁ + (n₂ • x + a₂) = n₁ • x + n₂ • x + (a₁ + a₂)
R : Type uR
M : Type uM
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ TensorProduct.AlgebraTensorModule.rid R R M = TensorProduct.rid R M
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
A : C
B : D
e : MonoOver A ≌ MonoOver B
⊢ lower e.inverse ⋙ lower e.functor = 𝟭 (Subobject B)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
S : Set (Set α)
f : α → β
⊢ ⨆ x ∈ ⋃₀ S, f x = ⨆ s ∈ S, ⨆ x ∈ s, f x
G : Type u_2
AddGroup G
⊢ ⊤.unop = ⊤
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
l₁ : List α
l₂ : List α
h : ¬a ∈ l₁
⊢ (l₁ ++ l₂).erase a = l₁ ++ l₂.erase a
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval
⊢ closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' Ici 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ (x : Mon_ (CategoryTheory.Functor C C)),
  ((CategoryTheory.Monad.monadMonEquiv C).counitIso.inv.app x).hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.Functor.id (Mon_ (CategoryTheory.Functor C C))).obj x).X
n : ℕ
α : Type u
x : Mathlib.Vector α n
⊢ Mathlib.Vector.traverse pure x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
f : α → β
h₁ : Set.MapsTo f s₁ t₁
h₂ : Set.MapsTo f s₂ t₂
⊢ Set.MapsTo f (s₁ ∩ s₂) (t₁ ∩ t₂)
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
Module R₁ M₃
ContinuousAdd M₃
f₁ : M₁ →L[R₁] M₃
f₂ : M₂ →L[R₁] M₃
⊢ ↑(f₁.coprod f₂) = (↑f₁).coprod ↑f₂
I : Type u
f : I → Type v₁
(i : I) → One (f i)
⊢ 1 = fun x => 1
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β}, (α →+* β) → ∀ [inst : Nontrivial β], Nontrivial α
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
h : (s ∪ t).Infinite
⊢ 0 ≤ s.ncard + t.ncard
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape K C
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.DiagramOfCones.mkOfHasLimits F).obj j = CategoryTheory.Limits.limit.cone (F.obj j)
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : R
u : n → R
⊢ ((s • M).updateRow j u).det = s ^ (Fintype.card n - 1) * (M.updateRow j u).det
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
∀ (x : X), (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : Dense s
t : Finset X
⊢ Dense (s \ ↑t)
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddBelow (range f)
i✝ : ι
⊢ Iio (f i✝) ⊆ Iic (f i✝)
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
z w : S
h : z * w = 0
⊢ z = 0 ∨ w = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π
⊢ InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p1 -ᵥ p3) + InnerProductGeometry.angle (p4 -ᵥ p3) (p1 -ᵥ p3) = π
R : Type u_1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : k ≠ 0
h : ¬k = 1
⊢ ¬Squarefree (p ^ k)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z1‖
hne : ¬‖z1‖ = ‖z2‖
⊢ ‖z1 + z2‖ ≥ ‖z1‖
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hf : (setOf p).Finite
hn : n < hf.toFinset.card
⊢ IsLeast {i | p i ∧ ∀ k < n, Nat.nth p k < i} (Nat.nth p n)
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
Inhabited I
l : ↑(Profinite.NobelingProof.GoodProducts.MaxProducts C ho)
⊢ (↑↑l).head! = Profinite.NobelingProof.term I ho
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
⊢ ⇑f.completion = UniformSpace.Completion.map ⇑f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
hx : fract x < 1 / 2
⊢ (if fract x < 1 / 2 then ⌊x⌋ else ⌈x⌉) = ⌊x + 1 / 2⌋
α : Type u_1
Mul α
self : HasDistribNeg α
x y : α
⊢ -x * y = -(x * y)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
r : R
⊢ star ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : H ≤ K
⊢ (Subgroup.inclusion h).ker = ⊥
R : Type u_2
S : Type u_3
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
hf : ∀ (x y : R), Commute (f x) (f y)
⊢ ⇑(f.fromOpposite hf) = ⇑f ∘ MulOpposite.unop
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : Filter α
y : Filter β
h : Filter.Tendsto f x y
hx : x.NeBot
⊢ y.NeBot
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
s : Set M
Fintype ↑s
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥(Submodule.span R s) ≤ s.toFinset.card
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
h_irr : Irreducible (map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b
⊢ IsUnit (map φ b) → IsUnit b
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hg : g ≠ 0
hf : ∀ i ∈ s, v (f i) < g
⊢ v (∑ i ∈ s, f i) < g
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : LocalizedModule S M
m : M
s : ↥S
⊢ ∃ u, u • s • s • m = u • (s * s) • m
M : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Bornology M
inst✝¹ : AddZeroClass E
inst✝ : DistribSMul M E
s₁ s₂ t : Set E
x : E
h₁ : Absorbent M s₁
h₂ : Absorbs M s₂ t
⊢ Absorbs M (s₁ + s₂) (x +ᵥ t)
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
⊢ ∃ ι f, f.IsSubordinate U
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ x y : List α
⊢ x = x ++ y ↔ y = []
R : Type u
Semiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
x : R
⊢ 1 < star x ↔ 1 < x
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ (∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₁ g₁) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₂ g₂
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Finite
ht : t.Finite
this : Finite ↑s
⊢ (s ×ˢ t).Finite
R : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
⊢ ∀ (a : A), (AlgEquiv.toOpposite R A) a = MulOpposite.op a
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : ↑(MonCat.of G)
y : G
⊢ (((ofMulAction k G G).ρ g ≫ (Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 = ((((Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) ≫ A.ρ g) ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1
G : Type u_2
AddCommGroup G
g g' : G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
f : ℤ → G
hf₁ : HasSum (fun n => f ↑n) g
hf₂ : HasSum (fun n => f (-↑n)) g'
⊢ HasSum f (g + g' - f 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
hl : l.Subsingleton
l' : Filter β
hl' : l'.Subsingleton
⊢ (l ×ˢ l').Subsingleton
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder β
l : Filter α
f : α → Filter β
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 Filter.atTop) ↔ ∀ (y : β), ∀ᶠ (a : α) in l, Set.Ici y ∈ f a
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_3
CommSemiring S
Algebra S R
Module S M
IsScalarTower S R M
B : LinearMap.BilinForm R M
r : S
x y : M
⊢ (B x) (r • y) = r • (B x) y
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g : β → E
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup g (MeasureTheory.Measure.map f μ) = MeasureTheory.eLpNormEssSup (g ∘ f) μ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a x y : R
h : x * y = 1
n : ℕ
⊢ eval (x + y) (dickson 1 1 (n + 2)) = x ^ (n + 2) + y ^ (n + 2)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.SimplicialCategory C
K : Cᵒᵖ
⊢ ∀ {X Y : C} (φ : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomFunctor C).obj K).map φ =
    CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomWhiskerLeft (Opposite.unop K) φ
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : Monoid γ
s : Finset α
a : α
f : α → β
ha : a ∉ s
comm : (↑(cons a s ha)).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
⊢ (cons a s ha).noncommProd f comm = f a * s.noncommProd f ⋯
N i : ℕ
⊢ Polynomial.revAtFun N (Polynomial.revAtFun N i) = i
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
a : A
⊢ ↑(LinearMap.mulLeft R a) = AddMonoidHom.mulLeft a
n : Type u_3
α : Type u_5
R : Type u_6
Fintype n
AddCommMonoid R
Semiring α
Module α R
A : Matrix n n R
⊢ (Matrix.traceLinearMap n α R) A = A.trace
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x y : X
h : Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)
⊢ {p | Disjoint (𝓝 p.1) (𝓝 p.2)} ∈ 𝓝 (x, y)
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
⊢ h.IsPrimitiveClassified
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
m : α → β
P : β → Prop
⊢ (∀ᶠ (b : β) in Filter.map m f, P b) ↔ ∀ᶠ (a : α) in f, P (m a)
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
a b : E
r : ℝ
n : ℕ
h : a ∈ Metric.closedBall b r
⊢ a ^ n ∈ Metric.closedBall (b ^ n) (n • r)
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : CompleteLatticeHom α α
a : α
⊢ f (Filter.limsup (fun n => (⇑f)^[n] a) Filter.atTop) = Filter.limsup (fun n => (⇑f)^[n] a) Filter.atTop
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
c : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.cgf (fun x => c) μ t = t * c
⊢ ADEInequality.Admissible ADEInequality.E7
M✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Monoid M✝
inst✝² : SetLike B M✝
inst✝¹ : SubmonoidClass B M✝
S✝ : B
s : Submonoid M✝
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
m : Multiset ↥S
⊢ ↑m.prod ∈ S
α : Type u_1
a b : α
⊢ Part.some a = Part.some b ↔ a = b
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
p q r : P
x' y' : α
p' q' r' : P
ltc : x < y ↔ x' < y'
gtc : y < x ↔ y' < x'
hh'₁ : x' < y' → p = p'
hh'₂ : x' = y' → q = q'
hh'₃ : y' < x' → r = r'
⊢ ltTrichotomy x y p q r = ltTrichotomy x' y' p' q' r'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
⊢ (⋃ i, ⋃ j, s i j) ∩ t = ⋃ i, ⋃ j, s i j ∩ t
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec₂ List.cons
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ h.neg.h₃ = -h.h₃
α : Type u_1
β : Type u_2
IsEmpty α
⊢ ∀ (a : β), (Equiv.emptySum α β).symm a = Sum.inr a
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedGroup (π i)
f : (i : ι) → π i
r : ℝ
Nonempty ι
⊢ ‖f‖ ≤ r ↔ ∀ (b : ι), ‖f b‖ ≤ r
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B✝ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : IsDomain B✝
inst✝¹ : Algebra A B✝
K : Type u_6
inst✝ : Field K
B : PowerBasis R S
x : S
hx : B.gen ∈ adjoin R {x}
⊢ adjoin R {x} = ⊤
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ ↑↑↑(lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm (lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)) =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty β
a b : α
⊢ const β a ≤ const β b ↔ a ≤ b