ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : card (map f p).roots ≠ 0
z : K
hz : z ∈ (map f p).roots
⊢ 0 ≤ B
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ n ≥ N, u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k ∈ range (n + 1), v k
d : ℕ → E := fun n => ∏ k ∈ range (n + 1), u k / v k
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ ∀ n ≥ N + 1, u n / v n = 1
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x y : L
⊢ x ∈ S → y ∈ S → x - y ∈ S
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_5
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
f : FreeAddMonoid (M ⊕ N) →+ P
hM₁ : f (FreeAddMonoid.of (Sum.inl 0)) = 0
hN₁ : f (FreeAddMonoid.of (Sum.inr 0)) = 0
hM :
  ∀ (x y : M), f (FreeAddMonoid.of (Sum.inl (x + y))) = f (FreeAddMonoid.of (Sum.inl x) + FreeAddMonoid.of (Sum.inl y))
hN :
  ∀ (x y : N), f (FreeAddMonoid.of (Sum.inr (x + y))) = f (FreeAddMonoid.of (Sum.inr x) + FreeAddMonoid.of (Sum.inr y))
⊢ (AddMonoid.Coprod.clift f hM₁ hN₁ hM hN).comp AddMonoid.Coprod.mk = f
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : x ~ᵤ y
⊢ y ≠ 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Multiset α
⊢ Multiset.count a (s ∩ t) = min (Multiset.count a s) (Multiset.count a t)
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
⊢ nndist ‖a‖₊ ‖b‖₊ ≤ ‖a / b‖₊
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
ContinuousAdd G
a : G
⊢ IsClosedMap fun x => x + a
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeSup L
ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
x : X
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousAt (f i) x
⊢ ContinuousAt (s.sup' hne f) x
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
hz' : ↑z ≠ 0
⊢ (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, ↑z * (k_1 • p + ↑k • p * (↑z)⁻¹) = ↑z * r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
h : x ∈ f.source
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ t ∈ 𝓝 (↑(f.extend I).symm (↑(f.extend I) x))
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)
ψ₈ : PrimitiveAddChar (ZMod ↑8) F := primitiveZModChar 8 F ⋯
ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char
τ : FF := ψ₈char 1
τ_spec : τ ^ 4 = -1
χ : MulChar (ZMod 8) FF := χ₈.ringHomComp (Int.castRingHom FF)
hχ : χ (-1) = 1
hq : χ.IsQuadratic
h₁ : (fun a => ↑(χ₈ a) * τ ^ ↑a) = fun a => χ a * ψ₈char a
hg₁ : gaussSum χ ψ₈char = 2 * (τ - τ ^ 3)
hg : gaussSum χ ψ₈char ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card (ZMod 8))
h : ↑8 ^ (Fintype.card F / 2) = χ ↑(Fintype.card F)
⊢ (algebraMap F FF) (8 ^ (Fintype.card F / 2)) = (algebraMap F FF) ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ Φ(p, k) (b • F c) = b • F (Φ(p, k) c)
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
(i : ι) → Bornology (π i)
s : Set ((i : ι) → π i)
⊢ (∀ (i : ι), Bornology.IsBounded (Function.eval i '' s)) ↔ Bornology.IsBounded s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
hq : q.Monic
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree
this : ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux hq).2.degree < q.degree
⊢ (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2).2.degree < q.degree
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
z : ℍ
hk' : 2 < ↑k
⊢ Summable fun x => ‖eisSummand k x z‖
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : StarRing R
inst✝⁶ : TrivialStar R
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : StarAddMonoid A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : ContinuousStar A
r : R
a : A
⊢ { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun (r • a) = (starRingEnd R) r • { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : ℕ → ℝ
r : ℝ
hr : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, |f i|) atTop (𝓝 r)
⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, ‖f i‖) atTop (𝓝 r)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs_m : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
⊢ μ.restrict s[f|m] =ᶠ[ae (μ.restrict s)] μ[f|m]
G : Type u_1
Monoid G
x : G
Fintype G
⊢ orderOf x ≤ Fintype.card G
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • a * (b * c) = r • a * b * c
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ |sin x - (x - x ^ 3 / 6)| = Complex.abs (Complex.sin ↑x - ↑(x - x ^ 3 / 6))
m : Type u_2
n : Type u_3
𝕜 : Type u_5
CommRing 𝕜
StarRing 𝕜
Fintype m
DecidableEq m
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
⊢ (Matrix.fromBlocks A B B.conjTranspose D).IsHermitian ↔ (D - B.conjTranspose * A⁻¹ * B).IsHermitian
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
⊢ IsCompact (⇑toEuclidean.symm '' Metric.closedBall (toEuclidean x) r)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
⊢ Tendsto (fun s => s • P.Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (-P.f₀))
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
k : ℕ
a : α
⊢ map f (replicate k a) = replicate k (f a)
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 ≠ ⊤ → ∫⁻ (x_1 : α) in s_1, ↑‖↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : CommRing A
a : A
n✝ : ℕ
⊢ (coeff A n✝) ((rescale a) X) = (coeff A n✝) ((C A) a * X)
G : Type u_3
AddGroup G
a : G
⊢ Function.Surjective fun x => a + x
α : Type u_1
β : Type u_2
Monoid α
Monoid β
e : α ≃* β
γ : Type u_3
Monoid γ
g : α →* γ
⊢ (MonoidHom.precompEquiv e γ).symm g = g.comp ↑e.symm
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
⊢ ∃ v ∈ 𝓝[insert x₀ s] x₀, v ⊆ insert x₀ s ∧ ∃ f', (∀ x ∈ v, HasFDerivWithinAt (f x) (f' x) t (g x)) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun x => f' x) s x₀
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
τ : Ω → ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
PartialOrder ι
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
NormedAddCommGroup E
LocallyFiniteOrderBot ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), MeasureTheory.Integrable (u n) μ
N : ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ N
⊢ MeasureTheory.Integrable (MeasureTheory.stoppedValue u τ) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : ρ.fst s < ⊤
⊢ (ρ.IicSnd ↑r) s ≤ ∫⁻ (x : α) in s, 1 ∂ρ.fst
𝕜 : Type u
ι : Type v
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_1
NormedCommRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
NormOneClass A
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = 1
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α n
⊢ v.toList.Nodup ↔ Function.Injective v.get
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t : Set E
h : s ⊆ t
y : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
⊢ y ∈ tangentConeAt 𝕜 t x
α : Type u_1
M : Matroid α
self : M.FiniteRk
⊢ ∃ B, M.Base B ∧ B.Finite
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ a * star a = ↑(a * star a).re
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
⊢ (fun x => a - x) '' Iio b = Ioi (a - b)
m n✝ n : ℕ
hn : Odd n
a : ZMod n
ha : a ≠ 0
⊢ a ≠ -a
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
a : α
f : ↑(Set.Ici a) → β
hf : Monotone f
⊢ Monotone (Set.IciExtend f)
α : Type u_1
LinearOrder α
OrderBot α
l : List α
a x : α
hx : x ∈ l
h : a ≤ x
⊢ a ≤ List.foldr max ⊥ l
X : Type u
Preorder X
⊢ (CategoryTheory.orderDualEquivalence X).unitIso = CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Functor.id Xᵒᵈ)
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x
Z : ⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y) + dist f g
⊢ ⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y)) + dist f g
α : Type u_1
f : α → α
x : α
hf : Function.IsFixedPt f x
n : ℕ
⊢ Function.IsPeriodicPt f n x
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → List β
⊢ (l.bind f).length = Nat.sum (map (length ∘ f) l)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
⊢ ∃ J, M.Basis J Y ∧ J ∩ X = I
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
P : CategoryTheory.Subobject Y
f g : X ⟶ Y
w : P.Factors (f + g)
wf : P.Factors f
⊢ P.Factors g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, (fun p => A i p.1 - A i p.2 - (A' i) (p.1 - p.2)) =o[𝓝 (x, x)] fun p => p.1 - p.2
x✝ : E × E
⊢ ∑ i ∈ u, A i x✝.1 - ∑ i ∈ u, A i x✝.2 - (∑ i ∈ u, A' i) (x✝.1 - x✝.2) = ∑ i ∈ u, (A i x✝.1 - A i x✝.2 - (A' i) (x✝.1 - x✝.2))
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b c : α
⊢ mabs ((a ⊓ c) / (b ⊓ c)) ≤ mabs (a / b)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 1
a✝ : Nontrivial R
⊢ P.toPoly.Monic
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
h : IsLUB s a
⊢ a ≤ b ↔ b ∈ upperBounds s
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ 0 ≤ Metric.diam s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹¹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝¹⁰ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : Module E F
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝⁵ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝⁴ : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝³ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝² : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f✝ : 𝕜 → E
g✝ : 𝕜 → F
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 E E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
x : 𝕜
x✝¹ : x ∈ univ
y : 𝕜
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ 0 ≤ a • x ^ 2 + b • y ^ 2 - (a • x + b • y) ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset α
h : mulSupport f ⊆ ↑s
A : mulSupport (f ∘ PLift.down) = ⇑Equiv.plift.symm '' mulSupport f
this : mulSupport (f ∘ PLift.down) ⊆ ↑(Finset.map Equiv.plift.symm.toEmbedding s)
⊢ ∏ i ∈ Finset.map Equiv.plift.symm.toEmbedding s, f i.down = ∏ i ∈ s, f i
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
hS : S ≤ IsAddUnit.addSubmonoid M
⊢ S.leftNeg.leftNeg = S
x y : ℝ
h : x * y < 1
⊢ Real.arctan x + Real.arctan y = Real.arctan ((x + y) / (1 - x * y))
w : Nat
x : BitVec w
n m : Nat
⊢ x <<< (n + m) = x <<< n <<< m
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A₀ : C
x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃
hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A₀
hπ₁ : Epi π₁
p : A₁ ⟶ S.P
hp : π₁ ≫ x₃ = p ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃
hp' : (p ≫ S.φ₁) ≫ S.v₂₃.τ₁ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
hπ₂ : Epi π₂
x₁ : A₂ ⟶ (ShortComplex.mk S.v₁₂.τ₁ S.v₂₃.τ₁ ⋯).X₁
hx₁ : π₂ ≫ p ≫ S.φ₁ = x₁ ≫ (ShortComplex.mk S.v₁₂.τ₁ S.v₂₃.τ₁ ⋯).f
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₃ = x₁ ≫ S.L₁'.f
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
a : R
⊢ eval₂ f g (C a) = f a
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
σ : α → Type u_6
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (σ a)
f : Sigma σ → β
⊢ ∏ x ∈ s.sigma t, f x = ∏ a ∈ s, ∏ s ∈ t a, f ⟨a, s⟩
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
SequentialSpace X
s : Set X
⊢ IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s t : AffineSubspace k P₂
⊢ s ≤ t → AffineSubspace.comap f s ≤ AffineSubspace.comap f t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
hg : MeromorphicAt g x
⊢ MeromorphicAt (f + g) x
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : NonAssocRing R
v : V
vec : V → R
⊢ (lapMatrix R G *ᵥ vec) v = ↑(G.degree v) * vec v - ∑ u ∈ G.neighborFinset v, vec u
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ b ≤ a → c < b → a - b < a - c
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : a ≠ 0
hab : a ∣ b
⊢ a ≤ b → b ≠ 0
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
CommSemiring A
Algebra R A
I : Submodule R A
⊢ I * (1 / I) ≤ 1
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
C : ℝ
H : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
D : ℝ := max C 1
D_pos : 0 ≤ D
⊢ Continuous ⇑f
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : UpperSemicontinuousAt f x
hg : UpperSemicontinuousAt g x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (f x, g x)
⊢ UpperSemicontinuousAt (fun z => f z + g z) x
R : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero R
UniqueFactorizationMonoid R
NormalizationMonoid R
DecidableRel Dvd.dvd
DecidableEq R
a b : R
ha : Irreducible a
hb : b ≠ 0
⊢ multiplicity a b = ↑(Multiset.count (normalize a) (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors b))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
⊢ ∃ x₀, ∀ (x : α), f x ≤ f x₀
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_10, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : C₁ ≌ C₃
R : C₂ ≌ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
h : CategoryTheory.CatCommSq T L.functor R.functor B
⊢ CategoryTheory.CatCommSq.vInv B L.symm R.symm T (CategoryTheory.CatCommSq.vInv T L R B h) = h
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : Type
Finite K
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernelCoforkBiproductFromSubtype f p).isColimit =
  CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.IsColimit.ofπ (CategoryTheory.Limits.biproduct.toSubtype f pᶜ) ⋯
    (fun {W} g x => CategoryTheory.Limits.biproduct.fromSubtype f pᶜ ≫ g) ⋯ ⋯
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
⊢ LieSubmodule.lcs k N ≤ N
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
h : Isometry Φ
⊢ hausdorffEdist (Φ '' s) (Φ '' t) = hausdorffEdist s t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
s : Set α
ha : 0 ≤ a
hs : IsGLB s b
⊢ IsGLB ((fun b => a * b) '' s) (a * b)
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
⊢ ⊥ᶜ = ⊤
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ 2 * y + (W.a₁ * x + W.a₃) = 2 * y + W.a₁ * x + W.a₃
V : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : V → E
CompleteSpace E
hf : MeasureTheory.Integrable f MeasureTheory.volume
h'f : MeasureTheory.Integrable (𝓕 f) MeasureTheory.volume
v : V
hv : ContinuousAt f v
⊢ 𝓕⁻ (𝓕 f) v = f v
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
u : Set α
hu : MeasurableSet u
⊢ ((μ.restrict t).restrict s) u = (μ.restrict (s ∩ t)) u
ι : Type u_1
DecidableEq ι
α : ι → Sort u_2
i : ι
l : List ι
a : α i
f : (j : ι) → j ∈ l → α j
⊢ List.Pi.cons i l a f = fun j hj => if h : j = i then ⋯ ▸ a else f j ⋯
G : Type u_2
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddLeftInvariant
t : G
p : G → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (t + x)) ↔ ∀ᵐ (x : G) ∂μ, p x
p : Prop
h : Decidable p
h₁ : p → Sort u
h₂ : ¬p → Sort u
h₃ : ∀ (h : p), Subsingleton (h₁ h)
h₄ : ∀ (h : ¬p), Subsingleton (h₂ h)
⊢ Subsingleton (Decidable.recOn h h₂ h₁)
X : Type u
TopologicalSpace X
self : R0Space X
⊢ Symmetric Specializes
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
M : MeasurableSet (Set.Ioc (-A) A)
⊢ -A ≤ A
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
⊢ PadicInt.nthHomSeq f_compat (r + s) ≈ PadicInt.nthHomSeq f_compat r + PadicInt.nthHomSeq f_compat s
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Z.Opens
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map (f ≫ g).val.base).obj U =
  (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj ((TopologicalSpace.Opens.map g.val.base).obj U)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f
hs : TotallyBounded (f '' s)
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
u : Set α
hfin : u.Finite
h : f '' s ⊆ ⋃ y ∈ f '' u, {x | (x, y) ∈ t}
⊢ s ⊆ ⋃ y ∈ u, {x | (x, y) ∈ Prod.map f f ⁻¹' id t}
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ Pell.IsPell { re := ↑a, im := 1 }
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
⊢ MeasurableSet {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
n : ℕ
A : Type u_2
AddGroup A
f : { f // f ↑n = 0 }
x : ℤ
⊢ ((ZMod.lift n) f) ↑x = ↑f x
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α ↪o β
⊢ ⇑f.withTopMap = WithTop.map ⇑f
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, g u ≤ c₂ * g ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, g u ≤ c₂ * g ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
⊢ sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ max c₂ (c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) * g ↑n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hff' : ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ p', F n.1 n.2 = F' n.1 n.2
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
n : ι × α
h : (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u ∧ F n.1 n.2 = F' n.1 n.2
⊢ (f n.2, F' n.1 n.2) ∈ u
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n
S : ComposableArrows C (n + 2)
hS : S.δlast.Exact ∧ (mk₂ (S.map' n (n + 1) ⋯ ⋯) (S.map' (n + 1) (n + 2) ⋯ ⋯)).Exact
⊢ S.δlast.Exact
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
CompactSpace X
hs : s.Infinite
⊢ ∃ x, AccPt x (Filter.cofinite ⊓ 𝓟 s)