ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
his : i ∈ s
hwi : w i = 1
hw0 : ∀ i2 ∈ s, i2 ≠ i → w i2 = 0
h1 : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ (affineCombination k s p) w = p i
ι : Type u_1
Fintype ι
⊢ MeasureTheory.Measure.addHaarMeasure (TopologicalSpace.PositiveCompacts.piIcc01 ι) = MeasureTheory.volume
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
hκs : ∀ (a : α), MeasureTheory.IsFiniteMeasure (κ a)
⊢ Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
X : Type u
TopologicalSpace X
ι : Sort u_2
f : ι → Set X
Countable ι
h : ∀ (i : ι), IsLindelof (f i)
⊢ IsLindelof (⋃ i, f i)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : σ → R
S : Type u_2
τ : Type u_3
x : τ → S
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p q : MvPolynomial σ R), (eval x) (eval₂ f g p) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) p → (eval x) (eval₂ f g q) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) q → (eval x) (eval₂ f g (p + q)) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) (p + q)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
⊢ (b.reindex e) i' = b (e.symm i')
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
S : Set (Ultrafilter M) := ⋂ n, {U | ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ FP (Stream'.drop n a)}
⊢ ∀ (r : Ultrafilter M), Continuous fun x => x * r
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
⊢ {p | ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y p.2 < r' → ∀ (z : E), dist z p.2 < r' → ‖f p.1 z - f p.1 y - (L z - L y)‖ < s * r} ∈ 𝓝 (a, x)
n : ℕ
a : Fin n
⊢ ↑(-a) = (n - ↑a) % n
α : Type u_2
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
m : Multiset α
a : α
ha : a ∈ m
⊢ a ≤ m.sum
a b c d m n : ℤ
h : 1 < a.natAbs
x✝ : ℕ
⊢ (natAbs ∘ fun x => a ^ x) x✝ = a.natAbs ^ x✝
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
r : R
n : ℕ
⊢ (teichmullerFun p r).coeff 0 ^ p ^ n = r ^ p ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r →r s
a b : α
⊢ r a b → s (f a) (f b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
hn : 0 < k.succ
x : ℕ
hx : x < k
⊢ 0 ≤ (↑x + 1 + 1) * (↑k + 1)⁻¹
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
self : CuspForm Γ k
A : SL(2, ℤ)
⊢ UpperHalfPlane.IsZeroAtImInfty (SlashAction.map ℂ k A ⇑self.toSlashInvariantForm)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ ↑(xn a1 (n + 2)) + ↑(xn a1 n) = ↑(2 * a) * ↑(xn a1 (n + 1))
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
c b : G
⊢ (IsometryEquiv.subRight c) b = b - c
A : Type u_1
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : PartialOrder A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarOrderedRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Module ℝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝³ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
⊢ IsSelfAdjoint a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal → 0 ≤ a
R : Type u_1
AddCommGroupWithOne R
PartialOrder R
CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass R
⊢ Monotone Int.cast
G : Type u_6
α : Type u_7
One G
SMul G α
MeasurableSpace α
ν : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝
self : MeasureTheory.HasFundamentalDomain G α ν
⊢ ∃ s, MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s ν
α : Type u
β : Type v
f g : α → Option β
l : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ l → f x = g x
⊢ List.filterMap f l = List.filterMap g l
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
p : α → Prop
DecidablePred p
CommMonoid β
f : (a : α) → p a → β
g : (a : α) → ¬p a → β
⊢ ∏ a : α, dite (p a) (f a) (g a) = (∏ a : { a // p a }, f ↑a ⋯) * ∏ a : { a // ¬p a }, g ↑a ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : α → β
h : Fintype.card β < Fintype.card α
⊢ ∃ x y, x ≠ y ∧ f x = f y
A : Type u_1
A' : Type u_2
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} B'
eA : A ≌ A'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₁ hF).inverse = e'.inverse ⋙ eA.inverse
p b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
ha : b * k ≠ 0
hb : b ≠ 0
hk : k ≠ 0
⊢ padicValNat p (b * k / b) = padicValNat p (b * k) - padicValNat p b
ι : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace α
f : ι → TopologicalSpace.Opens α
s : Finset ι
⊢ ↑(s.sup f) = s.sup (SetLike.coe ∘ f)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
f : (L ≃ₐ[K] L) → Lˣ
hf : groupCohomology.IsMulOneCocycle f
⊢ groupCohomology.IsMulOneCoboundary f
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f₁ f₂ : α → β
Preorder α
Preorder β
h₁ : MonotoneOn f₁ s
h : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ MonotoneOn f₂ s
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p : R[X]
x : R
⊢ (X - C x).Monic
α : Type ua
u₁ u₂ : UniformSpace α
h : u₁ ≤ u₂
a : α
⊢ 𝓝 a ≤ 𝓝 a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
x : M
⊢ x ∈ ↑(torsion R M) ↔ x ∈ {x | (span R {x}).annihilator ≠ ⊥}
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
⊢ ¬IsSuccLimit a ↔ ∃ b, ¬IsMax b ∧ succ b = a
R : Type u_1
Semiring R
f : { p // p.degree ≤ 3 }
⊢ (Cubic.equiv.symm f).c = (↑f).coeff 1
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : toNat (Module.rank R M) = n
⊢ finrank R M = n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
s : S.Splitting
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.s s.r = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
F : Set α
hx : x ∈ F
⊢ x ∈ connectedComponentIn F x
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
t₁ : List α
h : l₁ ~ l₂
⊢ l₁ ∪ t₁ ~ l₂ ∪ t₁
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Sheaf C X
U V : Opens ↑X
s : PullbackCone (F.val.map (homOfLE ⋯).op) (F.val.map (homOfLE ⋯).op)
⊢ ⋯.some.lift { pt := s.pt, π := { app := fun X_1 => Opposite.casesOn X_1 fun unop => Pairwise.casesOn unop (fun a => ULift.casesOn a fun down => WalkingPair.casesOn down s.fst s.snd) fun a a_1 => ULift.casesOn a fun down => WalkingPair.casesOn down (s.fst ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op) (s.snd ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op), naturality := ⋯ } } ≫ F.val.map (eqToHom ⋯).op ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op = s.snd
α : Type u
a✝ : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
IH : ∀ m < d, m ∣ Fintype.card α → 0 < (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card → (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card = φ m
hd : d ∣ Fintype.card α
hpos : 0 < (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card
hd0 : d ≠ 0
a : α
ha' : a ∈ filter (fun a => orderOf a = d) univ
ha : orderOf a = d
h1 : ∑ m ∈ d.properDivisors, (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card = ∑ m ∈ d.properDivisors, φ m
h2 : ∑ m ∈ d.divisors, (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card = ∑ m ∈ d.divisors, φ m
⊢ (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card = φ d
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
s : Finset (α × β)
f : α × β → M
⊢ ∏ᶠ (ab : α × β) (_ : ab ∈ s), f ab = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (_ : (a, b) ∈ s), f (a, b)
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
m : M
hm : m ∈ span R s
⊢ ((TensorProduct.mk R A M) 1) m ∈ ↑(span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s))
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
n : ℕ
h : Squarefree (x ^ n)
h' : ¬IsUnit x
⊢ n = 0 ∨ n = 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m✝ : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
⊢ iIndep m μ ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (f i)) → μ (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, μ (f i)
R : Type u_1
Semiring R
m n : ℤ
⊢ LaurentPolynomial.T (m + n) = LaurentPolynomial.T m * LaurentPolynomial.T n
α : Type u_1
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
h : sign a = 1
hn : ¬0 < a
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y P Q : C
k : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage k
l : P ⟶ Q
CategoryTheory.Limits.HasImage l
m : X ⟶ P
n : Y ⟶ Q
w : m ≫ l = k ≫ n
CategoryTheory.Limits.HasImageMap (CategoryTheory.Arrow.homMk' w)
⊢ CategoryTheory.Limits.image.map (CategoryTheory.Arrow.homMk' w) ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι l =
  CategoryTheory.Limits.image.ι k ≫ n
R : Type u_1
NormedCommRing R
⊢ T0Space R
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → α
g : α → M
m n : ℕ
x : α
⊢ birkhoffSum f g (m + n) x = birkhoffSum f g m x + birkhoffSum f g n (f^[m] x)
G : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Group G
MulSemiringAction G A
SMulCommClass G R A
g : G
⊢ ∀ (a : A), (MulSemiringAction.toAlgEquiv R A g) a = g • a
α : Type u_4
β : Type u_5
f : α → Multiset β
S : Multiset α
x : α
hx : x ∈ S
⊢ f x ≤ S.bind f
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
f : N →* P
⊢ f.comp 1 = 1
R : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : CommRing R
N : Ideal R
inst✝ : TopologicalRing R
s : Set R
s_op : IsOpen s
⊢ IsOpen (⋃ x, (fun y => ↑x + y) '' s)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P✝ : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝³ : Module R P✝
P : Type u_10
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ (pi Q).PosDef ↔ ∀ (i : ι), (Q i).PosDef
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
f : G →+ G'
K : AddSubgroup G
⊢ f.ker.relindex K = Nat.card ↑(⇑f '' ↑K)
A : Type u_1
B : Type u_2
DecidableEq A
Zero B
a : A
⊢ Function.support (Pi.single a 0) = ∅
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
One M
One N
FunLike F M N
Subsingleton M
OneHomClass F M N
⊢ Subsingleton F
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
i : I
⊢ Continuous fun a => if ord I i = o then true else a i
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
u₀ : Set E
hu₀s : u₀ ⊇ v
hu₀ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
hu₀_max : (span 𝕜 u₀)ᗮ = ⊥
⊢ ∃ u b, v ⊆ ↑u ∧ ⇑b = Subtype.val
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : PolishSpace G
ν : Measure G
Γ : Subgroup G
inst✝⁴ : Countable ↥Γ
inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝² : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
g : G
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
⊢ μ ((fun x => g • x) ⁻¹' A) = μ A
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ < ⊤
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
f : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
i : ℕ
⊢ extend m (disjointed f i) ≤ extend m (f i)
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
x : ℕ × K
n : ℕ
⊢ PerfectClosure.mk K p x ^ n = PerfectClosure.mk K p (x.1, x.2 ^ n)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Ioc (f p.1) (g p.1)}
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype m
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix m n 𝕜
⊢ ‖A‖ = ‖(Matrix.toEuclideanLin ≪≫ₗ LinearMap.toContinuousLinearMap) A‖
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
CommRing R
CommRing S
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module S M₂
f : M →+ M₂
as : List R
bs : List S
hf : Function.Surjective ⇑f
h : List.Forall₂ (fun r s => ∀ (x : M), f (r • x) = s • f x) as bs
⊢ AddSubgroup.map f (Ideal.ofList as • ⊤).toAddSubgroup = (Ideal.ofList bs • ⊤).toAddSubgroup
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
⊢ p ⊔ Submodule.span R s = Submodule.span R (↑p ∪ s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a b c d : α
h : a * b ~ᵤ c * d
h₁ : a ~ᵤ c
ha : a ≠ 0
u : αˣ
hu : a * b * ↑u = c * d
v : αˣ
hv : c * ↑v = a
⊢ c * ↑v * (b * ↑(u * v)) = ↑v * (a * b * ↑u)
α : Type u_1
inst✝ : GroupWithZero α
a b : α
m n : ℕ
hab : Commute a b
hmn : m.Coprime n
⊢ a ^ m = b ^ n ↔ ∃ c, a = c ^ n ∧ b = c ^ m
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
f : F
x : A
⊢ map f (adjoin R {x}) = adjoin R {f x}
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ 1 ≤ ⌈a⌉ ↔ 0 < a
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
P : k[X]
hP : P ≠ 0
⊢ Multiset.count X (normalizedFactors ↑P) = Multiset.count Polynomial.X (normalizedFactors P)
M : Type u
AddMonoid M
TopologicalSpace M
hmul : Filter.Tendsto (Function.uncurry fun x x_1 => x + x_1) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x₀ + x) (𝓝 0)
hright : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x + x₀) (𝓝 0)
⊢ ContinuousAdd M
E : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
R' : Type u_12
Ring R'
Module R' E
p q : Submodule R' E
h : p = q
x : ↥p
⊢ ↑((LinearIsometryEquiv.ofEq p q h) x) = ↑x
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
hs : ∃ l, (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) l = 1
n : ℕ
⊢ 1 ∈ span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s)
x : ENNReal
h : ∀ (r : ℝ≥0), ↑r ≤ x
⊢ x = ⊤
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ : F ⟶ G
⊢ (-a✝ + a✝).f = Coalgebra.Hom.f 0
x : ℝ
h : Irrational (-x)
⊢ Irrational x
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
⊢ ↑(HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg.den 0) = 1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
c : P
hc : c ∈ s
r : ℝ
hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r
sx : Simplex ℝ P n
hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps
hsx : affineSpan ℝ (Set.range sx.points) = s
⊢ sx.circumcenter = c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length
H : s.Nonempty
l : List α := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨(sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1, h⟩ = s.max' H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β → γ
x : Option α
g : (a : α) → a ∈ x → Option β
⊢ Option.map f (x.pbind g) = x.pbind fun a H => Option.map f (g a H)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h : ∀ (v : E), ⟪x, v⟫_𝕜 = ⟪y, v⟫_𝕜
⊢ x = y
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
h2 : (fun x => a + a - x) '' Ioi a = Iio a
⊢ #↑{a} < 𝔠
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.sin (↑n * (2 * Real.pi) - x) = -Real.sin x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ (∀ s ∈ l₂, f.preimage s ∈ l₁) → ∀ s ∈ l₂, f.core s ∈ l₁
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
iso : E ≃L[𝕜] F
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (⇑iso) s x
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Precoherent C
W X : C
α : Type
inst✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : Limits.IsColimit (Sieve.generate (Presieve.ofArrows Y π)).arrows.cocone
⊢ Presieve.IsSheafFor (yoneda.obj W) (Presieve.ofArrows Y π)
𝓕 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
FunLike 𝓕 E F
AddMonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
K : ℝ≥0
h : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
⊢ AntilipschitzWith K ⇑f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ ν : Measure ((i : ι) → α i)
h : IsProjectiveLimit μ P
I : Finset ι
s : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
hs : MeasurableSet s
⊢ μ (cylinder I s) = (P I) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingCospan (CategoryTheory.forget C)
⊢ Function.Injective ⇑f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
⊢ IsLocallySurjective J f ↔ Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f) = ⊤
G : Type u_1
AddGroup G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
PolishSpace G
Γ : AddSubgroup G
Countable ↥Γ
Γ.Normal
T2Space (G ⧸ Γ)
SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : MeasureTheory.Measure (G ⧸ Γ)
ν : MeasureTheory.Measure G
ν.IsAddHaarMeasure
ν.IsAddRightInvariant
LocallyCompactSpace G
MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
i : MeasureTheory.HasAddFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ μ.IsAddHaarMeasure
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
M : MvPolynomial σ R → Prop
h_C : ∀ (a : R), M (C a)
h_X : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), M p → M (p * X n)
s : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ M ((monomial s) a)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : Summable fun n => ξ ^ n
k : ℕ
hk : ‖ξ‖ ^ k < 1
⊢ ‖ξ‖ < 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
x : E
e' : E ≃L[𝕜] F
h : HasFDerivWithinAt f (↑e') s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (f '' s) (f x)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
⊢ Collinear k s ↔ ∃ p₀ v, ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
q : K[X]
hq : q.degree = 1
⊢ f.eigenspace (-q.coeff 0 / q.leadingCoeff) = LinearMap.ker (q.leadingCoeff • f - (algebraMap K (End K V)) (-q.coeff 0))
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R T
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
b : Basis ι R S
inst✝³ : Module.Free R S
inst✝² : Module.Free R T
inst✝¹ : Module.Finite R S
inst✝ : Module.Finite R T
x : S × T
a✝ : Nontrivial R
f : S × T →ₗ[R] Module.End R S × Module.End R T := (lmul R S).toLinearMap.prodMap (lmul R T).toLinearMap
this : (lmul R (S × T)).toLinearMap = prodMapLinear R S T S T R ∘ₗ f
⊢ (trace R (S × T)) x = (trace R S) x.1 + (trace R T) x.2
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
x : E
⊢ x ∈ (convexHull R) ↑s ↔ ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
hU : π₂.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ (π₁.unionComplToSubordinate π₂ hU r).IsPartition
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
V : ℕ → Set (β × β)
K : CompactExhaustion α
hb : (𝓤 β).HasAntitoneBasis V
⊢ (𝓤 C(α, β)).HasAntitoneBasis fun n => {fg | ∀ x ∈ K n, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ V n}
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure α
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure β
⊢ ↑(μ.prod ν) = (↑μ).prod ↑ν
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
g : G
a b : α
h : g • a = b
⊢ a = g⁻¹ • b
R : Type v
CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
⊢ A.det = ∑ j : Fin n.succ, (-1) ^ ↑j * A 0 j * (A.submatrix Fin.succ j.succAbove).det
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S : CategoryTheory.ComposableArrows C n
self : S.Exact
i : ℕ
hi : i + 2 ≤ n := by omega
⊢ (S.sc ⋯ i ⋯).Exact
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
self : HNNExtension.NormalWord.ReducedWord G A B
⊢ List.Chain' (fun a b => a.2 ∈ HNNExtension.toSubgroup A B a.1 → a.1 = b.1) self.toList
α : Type u_2
AddMonoid α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : NonemptyInterval α
n : ℕ
⊢ (n • s).toProd.2 = n • s.toProd.2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : F
h0 : p ≠ 0
h_top : p ≠ ⊤
⊢ eLpNorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal)
G : Type u_1
AddGroup G
S T : AddSubgroup G
x : G
⊢ x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n + k
⊢ n + k - (p.digits (n + k)).sum - (k - (p.digits k).sum + (n + k - k - (p.digits (n + k - k)).sum)) = (p.digits k).sum + (p.digits n).sum - (p.digits (n + k)).sum
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ⌊a - OfNat.ofNat n⌋ = ⌊a⌋ - OfNat.ofNat n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
a✝ : StrongEpi g
⊢ StrongEpi f
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}
⊢ a ⨳ 0 = 0