ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
PE : Type u_2
F : Type u_3
PF : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MetricSpace PE
NormedAddTorsor E PE
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
MetricSpace PF
NormedAddTorsor F PF
f : PE ≃ᵢ PF
⊢ f.toRealAffineIsometryEquiv.toIsometryEquiv = f
I : Type u
LinearOrder I
⊢ LinearIndependent ℤ (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.eval ∅)
p : Prop
h : Decidable p
b c : Bool
⊢ (¬if p then b = false else c = true) ↔ if p then b = true else c = false
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
N' : Submonoid N
x : ↥(Submonoid.comap f N')
⊢ ↑((f.submonoidComap N') x) = f ↑x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
m n : ℕ∞
x₀ : M
f : M → M'
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (inTangentCoordinates I I' id f (mfderiv I I' f) x₀) x₀
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
n : ℕ∞
h : ContDiffWithinAt ℝ n f s x
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => Real.arctan (f x)) s x
x : ℝ
m : ℕ
h : Irrational (x * ↑m)
⊢ Irrational x
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
e : E
f : E → F
g : E → G
s : Set E
r t : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s e r
hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q s e t
y : E
m : e + y ∈ s
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r t)
⊢ y ∈ EMetric.ball 0 t
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
K : CochainComplex C ℤ
⊢ (subcategoryAcyclic C).P ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K) ↔ ∀ (n : ℤ), HomologicalComplex.ExactAt K n
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a d₁ : α
t₁ : List α
ih : ¬a ∈ t₁ → indexOf a (t₁ ++ l₂) = t₁.length + indexOf a l₂
h : ¬a ∈ d₁ :: t₁
⊢ indexOf a (d₁ :: t₁ ++ l₂) = (d₁ :: t₁).length + indexOf a l₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
x y : E
⊢ IsOpen {x | CPolynomialAt 𝕜 f x}
α : Type u_1
cut : α → Ordering
f : Option α → Option α
cmp : α → α → Ordering
t : Batteries.RBNode α
H :
  ∀ {x : α} {t' : Batteries.RBNode α} {p : Batteries.RBNode.Path α},
    Batteries.RBNode.zoom cut t = (t', p) →
      f t'.root? = some x →
        Batteries.RBNode.Path.RootOrdered cmp p x ∧ Batteries.RBNode.OnRoot (Batteries.RBNode.cmpEq cmp x) t'
h : Batteries.RBNode.Ordered cmp t
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmp (Batteries.RBNode.alter cut f t)
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
h_mono : StrictMono f
g : β → α
hg : Function.RightInverse g f
⊢ ⇑(StrictMono.orderIsoOfRightInverse f h_mono g hg) = f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
⊢ dist p1 p3 * dist p1 p3 = dist p1 p2 * dist p1 p2 + dist p3 p2 * dist p3 p2 ↔ ∠ p1 p2 p3 = π / 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : W ⟶ X
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback f' (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
CategoryTheory.Limits.HasPullback (f' ≫ f) g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackRightPullbackFstIso f g f').inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd f' (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (f' ≫ f) g ≫ f'
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
A : Type w
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
F : CategoryTheory.Functor C E
F' : CategoryTheory.Functor D E
CategoryTheory.Localization.Lifting L W F F'
CategoryTheory.HasShift D A
CategoryTheory.HasShift E A
L.CommShift A
F.CommShift A
a : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.Functor.commShiftOfLocalization.iso L W F F' a).inv.app (L.obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.shiftFunctor E a).map ((CategoryTheory.Localization.Lifting.iso L W F F').hom.app X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.commShiftIso a).inv.app X)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        ((CategoryTheory.Localization.Lifting.iso L W F F').inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
        (F'.map ((L.commShiftIso a).hom.app X))))
P : TopCat → Prop
X Y B : CompHausLike P
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
inst✝ : HasExplicitPullback f g
Z : CompHausLike P
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget (CompHausLike P)).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
⊢ (↑(a z)).1 = (↑(b z)).1
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ 0 < a - b ↔ ¬a ≤ b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
⊢ p ∉ support R M ↔ ∀ (m : M), ∃ r ∉ p.asIdeal, r • m = 0
α : Type u
β : Type v
M✝ N✝ M : Matroid α
N : Matroid β
I : Set (α ⊕ β)
⊢ (M.sum N).Indep I ↔ M.Indep (Sum.inl ⁻¹' I) ∧ N.Indep (Sum.inr ⁻¹' I)
a b : UInt16
h : a.val = b.val
⊢ a = b
α : Type u_1
M : Matroid α
self : M.Finitary
I : Set α
⊢ (∀ J ⊆ I, J.Finite → M.Indep J) → M.Indep I
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ (Matroid.emptyOn α).map f ⋯ = Matroid.emptyOn β
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
decompose : (X + 1) ^ n = (X + 1) ^ (n % p) * (X ^ p + 1) ^ (n / p)
h_iff : ∀ x ∈ range (n % p + 1) ×ˢ range (n / p + 1), k = x.1 + p * x.2 ↔ (k % p, k / p) = x
⊢ (∑ x ∈ range (n % p + 1), ∑ x_1 ∈ range (n / p + 1), if k = x + p * x_1 then 1 * ↑((n % p).choose x * (n / p).choose x_1) else 0) = (Int.castRingHom (ZMod p)) ↑((n % p).choose (k % p) * (n / p).choose (k / p))
α : Type u_1
Preorder α
a₁ a₂ b₁ : α
h₁ : a₁ ≤ b₁
⊢ Set.Icc a₁ b₁ ⊆ Set.Ioi a₂ ↔ a₂ < a₁
K : Type u_1
NormedLinearOrderedField K
HasSolidNorm K
FloorRing K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
FiniteDimensional K E
ProperSpace E
L : AddSubgroup E
DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
x : ↥L
i : ι
⊢ ((Basis.ofZlatticeBasis K L b).repr ↑x) i = ↑((b.repr x) i)
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
F : Filter X
⊢ ClusterPt x F ↔ ¬Disjoint (𝓝 x) F
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_9
Monoid S
SMul S R
MulAction S M
IsScalarTower S R M
r : S
x : M
⊢ Submodule.span R {r • x} ≤ Submodule.span R {x}
M : Type u_2
AddCommGroup M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
A : Type u_5
CommRing A
Module A M
b : Trunc (Basis ι A M)
⊢ (LinearMap.detAux b) LinearMap.id = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : Monotone f
c : ℝ≥0 → ℝ≥0∞ := ofNNReal
F : α → ℝ≥0∞ := fun a => ⨆ n, f n a
s : α →ₛ ℝ≥0
hsf : ∀ (x : α), ↑(↑s x) ≤ ⨆ n, f n x
⊢ (SimpleFunc.map ofNNReal s).lintegral μ ≤ ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
⊢ sepDegree F F = 1
α : Type u
β : Type v
f₁ f₂ : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
hl : f₁ =ᶠ[l₁] f₂
⊢ Filter.Tendsto f₁ l₁ l₂ ↔ Filter.Tendsto f₂ l₁ l₂
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
⊢ G.IsClique ∅
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), f x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ + ε
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f g : (i : ι) → π i
⊢ f ⤳ g ↔ ∀ (i : ι), f i ⤳ g i
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulStrictMono α β
PosSMulReflectLT α β
ha : a < 0
⊢ 0 < a • b ↔ b < 0
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
dm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).natDegree ≤ m + n := fun {m n} {p q} => natDegree_mul_le_of_le
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
cm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).coeff (m + n) = p.coeff m * q.coeff n := fun {m n} {p q} => coeff_mul_of_natDegree_le
⊢ (W.Φ ↑n).natDegree ≤ n ^ 2 ∧ (W.Φ ↑n).coeff (n ^ 2) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddZeroClass α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c
⊢ f c = -f 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
⊢ { toFun := ⇑γ ∘ σ, continuous_toFun := ⋯ }.toFun 1 = x
R : Type u
⊢ Function.Injective (@NonUnitalSemiring.toNonUnitalNonAssocSemiring R)
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α₁ : Sort u_1
β₁ : Sort u_2
α₂ : Sort u_3
β₂ : Sort u_4
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₂ : β₁ ≃ β₂
f : α₁ → β₁
x : α₁
⊢ (fun f => ⇑e₂.symm ∘ f ∘ ⇑e₁) ((fun f => ⇑e₂ ∘ f ∘ ⇑e₁.symm) f) x = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ε₂ : ℝ≥0∞
hε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ε : ε₂ < ε
ε₁ : ℝ≥0∞
hε₁0 : 0 < ε₁
hε₁₂ : ε₁ < ε₂
φ : α →ₛ ℝ≥0
left✝ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
hφ : ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε₁
C : ℝ≥0
hC : ∀ (x : α), ↑φ x ≤ C
⊢ ∃ δ > 0, ∀ (s : Set α), μ s < δ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
u v : α → 𝕜
h : u =O[l] v
⊢ u / v * v =ᶠ[l] u
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
h : H = K
x : ↥H
⊢ ↑((AddEquiv.addSubgroupCongr h) x) = ↑x
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ L 1 s ≠ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval pb.gen) p = 0
⊢ pb.dim ≤ p.natDegree
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
z w : E
g : ℂ → F := f ∘ fun t => t • (w - z) + z
⊢ g 0 = g 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : OpenEmbedding f
⊢ IsOpenMap f
p : ℕ
hp : 1 < p
Fintype (ZMod p)ˣ
⊢ Fintype.card (ZMod p)ˣ ≤ p - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
c : β
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => c) μ = μ Set.univ • MeasureTheory.Measure.dirac c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hg : DifferentiableAt ℝ g x
y : G
⊢ (fderiv ℝ (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) x) y = ⟪f x, (fderiv ℝ g x) y⟫_𝕜 + ⟪(fderiv ℝ f x) y, g x⟫_𝕜
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n : ℕ
X Y : CategoryTheory.SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
⊢ f.app (Opposite.op [n]) ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.QInfty.f n =
  AlgebraicTopology.DoldKan.QInfty.f n ≫ f.app (Opposite.op [n])
m n a b c d : ℤ
h₁ : c ≡ d [ZMOD n]
h₂ : c + a ≡ d + b [ZMOD n]
⊢ a ≡ b [ZMOD n]
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
⊢ (p + q).natDegree ≤ max p.natDegree q.natDegree
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
f g₁ g₂ : Filter β
⊢ g₁ ≤ g₂ → f -ᵥ g₁ ≤ f -ᵥ g₂
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R
⊢ ∑ i ∈ range k, ∑ x ∈ powersetCard i univ, ∑ y : σ, f (x, y) = ∑ a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k), ∑ A ∈ powersetCard a.1 univ, ∑ j : σ, f (A, j)
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime (x * y) z
a b : R
h : a * (x * y) + b * z = 1
⊢ a * y * x + b * z = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
S : J.Cover X
x : CategoryTheory.Meq P S
f : Y ⟶ X
⊢ ((J.plusObj P).map f.op) (CategoryTheory.GrothendieckTopology.Plus.mk x) =
  CategoryTheory.GrothendieckTopology.Plus.mk (x.pullback f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
l₁ l₂ : (i : ι) → G i
s : Finset ι
⊢ ⟪∑ i ∈ s, (V i) (l₁ i), ∑ j ∈ s, (V j) (l₂ j)⟫_𝕜 = ∑ i ∈ s, ⟪l₁ i, l₂ i⟫_𝕜
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra L A
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower K L A
L_alg : Algebra.IsAlgebraic K L
A_alg : Algebra.IsAlgebraic L A
⊢ Algebra.IsAlgebraic K A
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
⊢ List.dlookup a [] = none
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree ≠ 0
hp' : derivative p ≠ 0
⊢ (derivative p).natDegree < p.natDegree
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
n : ℕ∞
⊢ ⇑(Diffeomorph.refl I M n) = id
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ Measurable fun a => ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
self : A ≃ₐ[R] B
r : R
⊢ self.toFun ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R B) r
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (Rel.interedges r s t).card + (Rel.interedges (fun x y => ¬r x y) s t).card = s.card * t.card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ Convex 𝕜 s ↔ s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct Y Y
f : X ⟶ Y
⊢ f ≫ CategoryTheory.Limits.diag Y = CategoryTheory.Limits.prod.lift f f
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ
⊢ Supermartingale (- -f) 𝒢 μ
α : Type u_1
UniformSpace α
CompleteSpace α
T0Space α
f g : CauchyFilter α
⊢ lim ↑f = lim ↑g ↔ Inseparable f g
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.map (↑(LinearEquiv.refl A A)) (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) ((toBaseChange A Q) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) ((toBaseChange A Q) x)
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u4
N' : Type u5
AddCommGroup N
Module R N
AddCommGroup N'
Module R N'
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] N'
⊢ (ExteriorAlgebra.map g).comp (ExteriorAlgebra.map f) = ExteriorAlgebra.map (g ∘ₗ f)
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
k a : ℕ
ha : a ∈ filter p (range (nth p (k + 1)))
⊢ a ∈ insert (nth p k) (filter p (range (nth p k)))
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := fun g => toFun hR g
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
⊢ ∀ x ∈ closure S, ∀ y ∈ S, x ∈ ↑(closure U) * R → x * y⁻¹ ∈ ↑(closure U) * R
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
w : ↥(lp G 2)
⊢ HasSum (fun i => (V i) (↑w i)) (hV.linearIsometryEquiv.symm w)
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
h : x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
this : ↑(mkSpanSingleton' x y H) ⟨1 • x, ⋯⟩ = 1 • y
⊢ ↑(mkSpanSingleton' x y H) ⟨x, h⟩ = y
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
x : ↑(Metric.sphere 0 1)
⊢ ↑x ≠ 0
α : Type u_1
M : Matroid α
B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
⊢ B₁.ncard = B₂.ncard
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S.leftInv
⊢ ↑((S.leftInvEquiv hS) x) * ↑x = 1
n : Nat
a b : Fin n
⊢ ↑(a - b) = ↑a - ↑b ↔ b ≤ a
o : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit
⊢ 1 < o
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace X
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : MulAction G X
inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G
inst✝⁸ : BaireSpace X
inst✝⁷ : T2Space X
inst✝⁶ : ContinuousSMul G X
inst✝⁵ : IsPretransitive G X
H : Type u_3
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : BaireSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : ContinuousMul H
f : G →* H
hf : Surjective ⇑f
h'f : Continuous ⇑f
A : MulAction G H := MulAction.compHom H f
this✝¹ : ContinuousSMul G H
this✝ : IsPretransitive G H
this : ⇑f = fun g => g • 1
⊢ IsOpenMap ⇑f
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E
⊢ (↑‖a‖₊).toReal = ‖a‖
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ : β
q : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a b : α
⊢ cutMap β (a + b) = cutMap β a + cutMap β b
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
S : Submonoid A
hS✝ : S ≤ A⁰
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
hS : S ≤ A⁰
s : ↥S
⊢ IsUnit ((algebraMap A K) ↑s)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℤ
⊢ a⁻¹ ^ n = a ^ (-n)
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x => ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Nontrivial S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain S
inst✝³ : Module.Free ℤ S
inst✝² : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
E : Type u_2
inst✝¹ : EquivLike E S ↥I
inst✝ : AddEquivClass E S ↥I
e : E
hI : ¬I = ⊥
ι : Type u_1 := Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S
h✝ : Nonempty ι
this✝¹ : Fintype (S ⧸ I) := I.fintypeQuotientOfFreeOfNeBot hI
this✝ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S → ℤ := smithCoeffs b I hI
b' : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := ringBasis b I hI
ab : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ ↥I := selfBasis b I hI
ab_eq : ∀ (i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S), ↑((selfBasis b I hI) i) = smithCoeffs b I hI i • (ringBasis b I hI) i
e' : S ≃ₗ[ℤ] ↥I := b'.equiv ab (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S))
f : S →ₗ[ℤ] S := ↑ℤ (Submodule.subtype I) ∘ₗ ↑e'
f_apply : ∀ (x : S), f x = ↑((b'.equiv ab (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S))) x) := fun x => rfl
ha : ∀ (i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S), f (b' i) = a i • b' i
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ (LinearMap.det f).natAbs = absNorm I
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor D C
self : CategoryTheory.IsSkeletonOf C D F
⊢ F.IsEquivalence
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s1 s2 : Computation α
f : α → β
h1 : s1 ~ s2
⊢ map f s1 ~ map f s2
α : Type u
β : Type v
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
finj : Function.Injective f
l₁ l₂ : List α
⊢ List.map f (l₁.diff l₂) = (List.map f l₁).diff (List.map f l₂)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
A B : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois A
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois B
f : A ⟶ B
⊢ Function.Surjective (CategoryTheory.PreGaloisCategory.autMap f)
ι : Type u_6
X : Type u_7
Unique ι
TopologicalSpace X
⊢ ⇑(Homeomorph.funUnique ι X) = fun f => f default
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : C(β, γ)
g : C(α, β)
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
α : Type u_1
f : α → α
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ Set.BijOn f (Function.ptsOfPeriod f n) (Function.ptsOfPeriod f n)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
I : (d : D) → colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
d : D
this : Nonempty (StructuredArrow d F)
⊢ ∀ (j₁ j₂ : StructuredArrow d F), Zigzag j₁ j₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : G.Elements
⊢ ((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCat G).inverse.obj X).fiber.as = X.snd
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
a : α
s : Set α
hs : s ⊆ S
hs' : a = sSup s
⊢ ∃ s, a = sSup s ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
t : Cardinal.{max u w}
hf : BddAbove (Set.range f)
w : ∀ (i : ι), Cardinal.lift.{u, w} (f i) ≤ t
⊢ Cardinal.lift.{u, w} (iSup f) ≤ t