ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
p : α → Bool
as : Array α
⊢ as.any p 0 = true ↔ ∃ i, p as[i] = true
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
l l' : Filter α
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f g
h' : Asymptotics.IsBigOWith c l' f g
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c (l ⊔ l') f g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
n : ℤ
⊢ (∃ b, (f ^ (Equiv.symm (Equiv.addRight n)) b) ((f ^ n) x) = y) ↔ f.SameCycle x y
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f : N ≃ₗ[R] N
n : ℤ
⊢ LinearEquiv.lTensor M f ^ n = LinearEquiv.lTensor M (f ^ n)
m✝ n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
m : ℕ
h : m.succ * n = n + m * n
⊢ ∀ (x : Fin (n + m * n)), repeat m.succ a (cast ⋯ x) = (append a (repeat m a) ∘ cast h) (cast ⋯ x)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a => ∀ (n : ℤ), t.GE (n + ↑a) ≤ t.GE n
H_zero : H 0
⊢ ∀ (a : ℕ), H a
Y : Type v
TopologicalSpace Y
t : Set Y
⊢ Inducing Subtype.val
α : Type u_1
Base : Set α → Prop
exch : Matroid.ExchangeProperty Base
B₁ B₂ : Set α
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
⊢ B₁.encard = B₂.encard
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (-a).toProd.2 = -a.toProd.2
M : Type u_3
AddMonoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
m n : ℕ
ha : 0 < a
⊢ m • a < n • a ↔ m < n
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
a₁ a₂ : α
h_anti : Antitone f
h_fa : f a₁ = f a₂
i : α
h₁ : a₁ ≤ i
h₂ : i ≤ a₂
⊢ f i ≤ f a₁
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁻ᵐ / a⁺ᵐ = a⁻¹
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
⊢ Iic a ∩ Iic b ∈ Iic '' s
ι : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace α
f : ι → TopologicalSpace.Closeds α
s : Finset ι
⊢ ↑(s.inf f) = s.inf (SetLike.coe ∘ f)
M : Type u_3
AddCommMonoid M
S : Submodule ℕ M
⊢ AddSubmonoid.toNatSubmodule S.toAddSubmonoid = S
A : Type u_1
Zero A
x : A
⊢ Multiplicative.ofAdd x = 1 ↔ x = 0
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ Finset.Iio a ⊆ Finset.Iic a
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
⊢ Nat.find ⋯ = 0
R : Type u
inst✝⁶ : Ring R
J : Type v
inst✝⁵ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : DecidableEq ι
x✝¹ x✝ : ι
hij : x✝¹ ⟶ x✝
⊢ (directLimitDiagram G f).map hij ≫ DirectLimit.of R ι G f x✝ = DirectLimit.of R ι G f x✝¹ ≫ ((Functor.const ι).obj (of R (DirectLimit G f))).map hij
n : Nat
a : Fin n
⊢ 1 < a.succ.succ
b : Bool
n : ℤ
⊢ (Int.bit b n).bodd = b
α : Type u_1
n : ℕ
Zero α
v : Fin n → α
x : α
⊢ Matrix.vecCons x v ≠ 0 ↔ x ≠ 0 ∨ v ≠ 0
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
hs : Dense s
⊢ s.Nonempty ↔ Nonempty X
b x : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
⊢ Real.logb b x ≤ 0 ↔ 1 ≤ x
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∃ N, ∀ {i : ℕ}, i ≥ N → ‖soln_gen hnorm - ↑(newton_cau_seq hnorm) i‖ < ε
a b c : UInt32
⊢ a < b → b < c → a < c
R : Type u
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₂
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), MvPolynomial.coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom f g) φ = 0
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
⊢ f.ofMulEquivOfDom ⋯ = f
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
s : Set α
⊢ m.trim s = ⨅ t, ⨅ (_ : MeasurableSet t), ⨅ (_ : s ⊆ t), m t
α : Type u
Semiring α
x : α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * 1 ^ (n - 1 - i) = ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i
α : Type u_1
f : α → α
H : ∀ (x : α), f x = x
o : Part α
⊢ Part.map f o = o
b : Ordinal.{u_1}
h : 1 < b
x : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.log b x = (sInf {o | x < b ^ o}).pred
q : ℚ
q_pos : 0 < q
q_num_pos : 0 < q.num
q_num_abs_eq_q_num : ↑q.num.natAbs = q.num
q_inv : ℚ := ↑q.den / ↑q.num
q_inv_def : q_inv = ↑q.den / ↑q.num
q_inv_eq : q⁻¹ = q_inv
⊢ ((↑q.den - ↑q.num * ↑⌊q_inv⌋) / ↑q.num).num < q.num
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a⁻¹ ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a
a b c : Int
⊢ a ∣ b → b ∣ c → a ∣ c
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
a x : α
⊢ x ∈ Multiset.Ioi a ↔ a < x
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
⊢ (homogeneousComponent n) φ = ∑ x ∈ Finset.filter (fun d => (weight 1) d = n) φ.support, (monomial x) (coeff x φ)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
h : IsClosed (range f)
t : Set Y
ht : IsClosed t
hs : IsClosed (f ⁻¹' t)
⊢ IsClosed (t ∩ range f)
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsPartialOrder α r
S : Set (α → α → Prop) := {s | IsPartialOrder α s}
hS : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
s : α → α → Prop
hs₁ : IsPartialOrder α s
rs : r ≤ s
hs₂ : ∀ z ∈ S, s ≤ z → z = s
this : IsPartialOrder α s
⊢ ∃ s, IsLinearOrder α s ∧ r ≤ s
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
Λ : Type u_2
Inhabited Λ
σ : Type u_3
Inhabited σ
M : Λ → Turing.TM1.Stmt Γ Λ σ
⊢ Turing.Respects (Turing.TM1.step M) (Turing.TM0.step (Turing.TM1to0.tr M)) fun c₁ c₂ => Turing.TM1to0.trCfg M c₁ = c₂
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A✝ : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A✝
inst✝¹² : Algebra R A✝
inst✝¹¹ : Module A✝ M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A✝
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A✝ M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
A : Type u_6
Aₛ : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommSemiring Aₛ
inst✝² : Algebra A Aₛ
inst✝¹ : Algebra R Aₛ
inst✝ : IsScalarTower R A Aₛ
x✝ : Aₛ
⊢ (∃ x, x.2 • x✝ = (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x.1) ↔ ∃ x, x✝ * (algebraMap A Aₛ) ↑x.2 = (algebraMap A Aₛ) x.1
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x : (i : Fin (n + 1)) → α i
s : (i : Fin (n + 1)) → Finset (α i)
⊢ x ∈ Fintype.piFinset s ↔ x 0 ∈ s 0 ∧ Fin.tail x ∈ Fintype.piFinset (Fin.tail s)
R : Type u
self : AddGroupWithOne R
n : ℕ
⊢ IntCast.intCast (Int.negSucc n) = -↑(n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
Semigroup α
Semigroup β
F : Type u_3
EquivLike F α β
MulEquivClass F α β
f : F
DecompositionMonoid β
⊢ DecompositionMonoid α
p : ℝ[X]
hp' : derivative p ≠ 0
⊢ p.roots.toFinset.card ≤ ((derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset).card + 1
β : Type u_2
α : Type u_1
VAdd β α
b : β
a : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (b +ᵥ a) = b +ᵥ OrderDual.ofDual a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
W X Y Z : C
f : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom 0 f = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
h : ∀ i ∈ u, Differentiable 𝕜 (A i)
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => ∑ i ∈ u, A i y
α : Type u
s : Set α
⊢ FreeCommRing.IsSupported 0 s
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
inst✝ : EssFiniteType R S
f g : S →ₐ[R] T
H : ∀ s ∈ finset R S, f s = g s
⊢ f = g
X : Type u_2
EMetricSpace X
μ : MeasureTheory.OuterMeasure X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
hm : μ.IsMetric
⊢ inst✝ ≤ μ.caratheodory
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
h : ∀ x ∈ [[a, b]], f x ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable (fun x => 1 / f x) μ a b
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Finite I
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : I → S
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : I), e i ∈ f.range
val✝ : Fintype I
⊢ ∃ e', OrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Zᘁ ◁ (f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ) = (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ Y Yᘁ ≫ Zᘁ ◁ (g ⊗ (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom)
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_6
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.StronglyMeasurable (f i)
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (∏ i ∈ s, f i)
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : ∃ n, 3 ∣ ↑u - ↑n
⊢ u = 1 ∨ u = -1
K : Type u_1
Field K
NumberField K
I : (FractionalIdeal (nonZeroDivisors (NumberField.RingOfIntegers K)) K)ˣ
i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I
⊢ (NumberField.basisOfFractionalIdeal K I) i = ↑((NumberField.fractionalIdealBasis K ↑I) i)
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
⊢ ⋃ a ∈ s, a • ↑(lowerClosure t) = ⋃ i ∈ s, ↑(i • lowerClosure t)
n : ℕ
i k : Fin (n + 3)
m : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ Set.range ⇑(asOrderHom (standardSimplex.const (n + 2) k m)) ∪ {i} ≠ Set.univ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s✝ : Set α
f✝ : α → β
f : α → β → γ
K₁ K₂ : ℝ≥0
s : Set α
t : Set β
hf₁ : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K₁ (fun x => f x b) s
hf₂ : ∀ a ∈ s, LipschitzOnWith K₂ (f a) t
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
b₁ : β
hb₁ : b₁ ∈ t
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
b₂ : β
hb₂ : b₂ ∈ t
⊢ edist (f a₁ b₁) (f a₂ b₂) ≤ ↑K₁ * EMetric.diam s + ↑K₂ * EMetric.diam t
a b c : Int
h : a - b ≤ c
⊢ a - c ≤ b
M : Type u_1
Monoid M
S : Subgroup Mˣ
x : M
h₁ : IsUnit x
h₂ : x ∈ S.ofUnits
⊢ h₁.unit = S.unit_of_mem_ofUnits h₂
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
⊢ IsLindelof (⋃ i ∈ s, f i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G G' : CategoryTheory.Functor D C
iso : G ≅ G'
X : C
Y : D
g : X ⟶ G'.obj Y
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.equivHomsetRightOfNatIso iso).symm g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (iso.inv.app Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
x y : α
⊢ inv Eq x y ↔ x = y
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s.ndinter t ⊆ s
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x : P
⊢ midpoint R x x = x
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
⊢ l.HasBasis p s ↔ ∀ (t : Set α), t ∈ l ↔ ∃ i, p i ∧ s i ⊆ t
α : Type u
Group α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
h : 1 < a
⊢ a⁻¹ < a
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
ι : Sort u_3
t : ι → TopologicalSpace X
h : ∀ (i : ι), SequentialSpace X
this : TopologicalSpace X := ⨆ i, t i
⊢ SequentialSpace X
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
g : α → β
v : β → M
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize v (FirstOrder.Language.Term.relabel g t) = FirstOrder.Language.Term.realize (v ∘ g) t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
P : CategoryTheory.Subobject Y
f g : X ⟶ Y
w : P.Factors (f + g)
wf : P.Factors f
wg : P.Factors g
⊢ P.factorThru (f + g) w = P.factorThru f wf + P.factorThru g wg
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
H : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
⊢ J ∈ π₁.disjUnion π₂ H ↔ J ∈ π₁ ∨ J ∈ π₂
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁ : p₁ + n₁ = p₂
h₂ : p₂ + n₂ = p₃
⊢ p₁ + n₁₂ = p₃
α : Type u
PartialOrder α
s : Set α
a b : α
Ha : IsGreatest s a
Hb : IsGreatest s b
⊢ a = b
M N : SemiNormedGrp
f : M ≅ N
i : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.hom
i' : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.inv
⊢ (SemiNormedGrp₁.mkIso f i i').hom = SemiNormedGrp₁.mkHom f.hom i
G : Type u_1
AddGroup G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
a : G
h : IsGLB s a
⊢ IsLUB (-s) (-a)
n : ℕ
⊢ (2 * (n + 1))‼ = 2 ^ (n + 1) * (n + 1)!
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
hν : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
u : Set γ
hu : u ∈ countablePartition γ n
this : IsFiniteKernel κ
hu_meas : MeasurableSet u
⊢ ∫ (x : γ) in u, κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a = ((κ a) (u ×ˢ s)).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
Hashable α
m : Batteries.HashMap.Imp α β
k : α
v : β
h : m.buckets.WF
⊢ (m.insert k v).buckets.WF
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x y : M
⊢ x ∈ Submodule.span R {y} ↔ ∃ a, a • y = x
x : ℤ
hx : x ≠ 0
n d : ℤ
⊢ Rat.divInt n x / Rat.divInt d x = Rat.divInt n d
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C → D
CategoryTheory.Functorial F
self : CategoryTheory.LaxMonoidal F
X Y : C
X' : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (F X') (CategoryTheory.map F f) ≫ CategoryTheory.LaxMonoidal.μ X' Y =
  CategoryTheory.LaxMonoidal.μ X' X ≫ CategoryTheory.map F (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X' f)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁵ : Module R N₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₁
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹¹ : Semiring S₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₂
inst✝⁹ : Module S₁ N₂
inst✝⁸ : Module S₂ N₂
inst✝⁷ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq m
T : Type u_17
inst✝ : CommSemiring T
M : Matrix n m T
v : n → T
w : m → T
⊢ ∑ i : n, ∑ j : m, v i •> w j •> M i j = ∑ x : n, v x * ∑ x_1 : m, M x x_1 * w x_1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
⊢ h.symm.trans h = Diffeomorph.refl J N n
G : Type u
self : DivInvMonoid G
n : ℕ
a : G
⊢ DivInvMonoid.zpow (Int.negSucc n) a = (DivInvMonoid.zpow (↑n.succ) a)⁻¹
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
n : ℤ
a : α
ha : 1 < a
hn : 0 < n
⊢ 1 < a ^ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C
X : CategoryTheory.ShrinkHoms.{u} C
⊢ (CategoryTheory.ShrinkHoms.equivalence C).inverse.obj X = X.fromShrinkHoms
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
DecidableEq ι
(i : ι) → Preorder (π i)
x : (i : ι) → π i
i : ι
a : π i
⊢ x < Function.update x i a ↔ x i < a
X : Type u
α : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
f : Set X → Set α
hf : ∀ (s t : Set X), s ⊆ t → f s ⊆ f t
l : Filter α
⊢ (∀ s ∈ 𝓝 x, f s ∈ l) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → x ∈ s → f s ∈ l
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.SSameSide x y
hyz : s.SOppSide y z
⊢ s.SOppSide x z
X : Type u
TopologicalSpace X
n : ℕ
f : ℕ → Set X
⊢ interior (⋂ m, ⋂ (_ : m < n), f m) = ⋂ m, ⋂ (_ : m < n), interior (f m)
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero β
⊢ UniformFun.ofFun 0 = 0
a b : Nat
⊢ a ≤ b → ¬b < a
a b : EReal
h : 0 ≤ a
h' : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a / b
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (s₂ • m) (s₁ * s₂)) = (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s₁)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z✝ z₀ : ℂ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁
g : ℂ → E := dslope f c
h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁
z : ℂ
hz : z ∈ ball c R₁
h : ¬z = c
⊢ f z = (fun z => f c + (z - c) • g z₀) z
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
Nontrivial R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
x : L
⊢ LieAlgebra.rank R L ≤ (LinearMap.charpoly ((LieAlgebra.ad R L) x)).natTrailingDegree
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)
hlo : (fun n => ↑n / log ↑n ^ 2) =o[atTop] fun n => ↑n
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Inv G
Zero G
SmoothInv₀ I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
s : Set M
hf : SmoothOn I' I f s
h0 : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ SmoothOn I' I (fun x => (f x)⁻¹) s
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : n ≃ o
e₂ : l → o
M : Matrix m n α
⊢ M * submatrix 1 (⇑e₁) e₂ = M.submatrix id (⇑e₁.symm ∘ e₂)
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hcovers : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤
⊢ ⋃ p ∈ s, ↑p ≠ Set.univ
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
CategoryTheory.Mono f
a b : X₁ ⊕ X₂
⊢ Quot.mk (CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.Rel f g) a = Quot.mk (CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.Rel f g) b ↔
  CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.Rel' f g a b
α : Type u_1
R : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
LinearOrder R
g : α → R
⊢ {t | μ {a | t ≤ g a} ≠ μ {a | t < g a}}.Countable
α : Sort u_1
a : α
P : Prop
Decidable P
B : ¬P → α
⊢ dite P (fun x => a) B = a ↔ ∀ (h : ¬P), B h = a
α : Type u_1
Fintype α
⊢ Finset.univ.Nontrivial ↔ Nontrivial α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
inst✝ : Finite G
p : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p ↥(frattini G)
frattini_argument : (map (frattini G).subtype ↑P).normalizer ⊔ frattini G = ⊤
normalizer_P : (map (frattini G).subtype ↑P).normalizer = ⊤
⊢ (↑P).Normal
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ ¬Sbtw R x y y
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ e • (x.2 ∩ e⁻¹ • x.1) ⊆ x.1 ∪ e • x.2
R : Type u_2
M : Type u_5
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
c : R
hc : c ≠ 0
⊢ Function.Injective fun x => c • x
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Add G
MeasurableAdd G
μ : MeasureTheory.Measure G
⊢ (∀ (g : G) (A : Set G), MeasurableSet A → μ ((fun h => g + h) ⁻¹' A) = μ A) ↔ μ.IsAddLeftInvariant
K : Type u
Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
L : Type u_1
Field L
Algebra K L
Polynomial.IsSplittingField K L (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
σ : L ≃ₐ[K] L
⊢ σ (rootOfSplitsXPowSubC hn a L) = (autEquivRootsOfUnity hζ hn H L) σ • rootOfSplitsXPowSubC hn a L
d x y a b : ℕ
hu : x % d = 0
hv : y % d = 0
h : y * b = x * a + d
⊢ x.gcd y = d
o : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
s₁ : a.NF
e : o.split' = (a, m)
s₂ : o.repr = ω * a.repr + ↑m
⊢ (scale 1 a).NF
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : ↑s), f ↑x ∂Measure.comap Subtype.val μ = ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot
h : Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) univ) atBot (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun m => ((ρ.IicSnd ↑(s m)) univ).toReal) atTop (𝓝 0)
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v : Option ι → V
⊢ LinearIndependent K v ↔ LinearIndependent K (v ∘ some) ∧ v none ∉ Submodule.span K (Set.range (v ∘ some))
α : Type u_1
s t : Set α
h : s.encard = t.encard
⊢ s.Infinite ↔ t.Infinite
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : PredOrder α
a : α
⊢ pred a ≤ ⨆ b, ⨆ (_ : b < a), b
V : Type u
G : SimpleGraph V
n m : ℕ
h : n ≤ m
hc : G.Colorable n
⊢ G.Colorable m
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
x : K
hsep : IsSeparable E x
f : E[X] := minpoly E x
hf : f = minpoly E x
E' : IntermediateField F E := adjoin F ↑f.coeffs
this : FiniteDimensional F ↥E'
g : (↥E')[X]
h : Polynomial.map (algebraMap (↥E') E) g = f
hx : x ∈ restrictScalars F (↥E')⟮x⟯
hzero : (aeval x) g = 0
⊢ IsSeparable F x
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
K : Set Y
Kf : K ⊆ range f
⊢ IsCompact (f ⁻¹' K) ↔ IsCompact K
R₄ : Type u_7
M₄ : Type u_8
CommRing R₄
IsDomain R₄
AddCommGroup M₄
Module R₄ M₄
G : LinearMap.BilinForm R₄ M₄
x y : M₄
a : R₄
ha : a ≠ 0
⊢ G.IsOrtho (a • x) y ↔ G.IsOrtho x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
this✝ : Countable (Subtype p)
hp : Nonempty (Subtype p)
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)
m : Subtype p → Set δ := fun j => {x | BddBelow (range fun i => f (↑i) x)}
m_meas : ∀ (j : Subtype p), MeasurableSet (m j)
mc_meas : MeasurableSet {x | ∀ (j : Subtype p), x ∉ m j}
⊢ Measurable fun x => if ∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f (↑i) x) then sSup ∅ else ⨆ j, ⨅ i, f (↑i) x