ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ IsClosed (C0 C ho)
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ a
⊢ a - b ≤ a - c ↔ c ≤ b
R : Type u
CommRing R
X : CoalgebraCat R
⊢ X.toComonObj.X = ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V → K
h : ∑ i ∈ {x}, μ i • i ∈ Submodule.span K ↑{x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K ↑{x})
⊢ ∑ i ∈ {x}, μ i • i ∈ ⊥
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r
⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atBot ↔ Tendsto f l atBot
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
DecidableEq α
ha : a ∉ s
f : α → ℕ
⊢ Nat.multinomial (insert a s) f = (f a + ∑ i ∈ s, f i).choose (f a) * Nat.multinomial s f
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
x : R
hx : x ∈ I.jacobson
P : Ideal R
hP : P ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
⊢ x ∈ P
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
A : Set G
⊢ MeasurableSet A ↔
  ∀ (U : TopologicalSpace.Opens G), μ.outerMeasure (↑U ∩ A) + μ.outerMeasure (↑U \ A) ≤ μ.outerMeasure ↑U
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C c)
i j : ι
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.Functor.obj P).d i j).f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.p.f i) (P.X.d i j)
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
⊢ Polynomial.eval x (Polynomial.map (subfield G F).subtype (minpoly G F x)) = Polynomial.eval x (prodXSubSMul G F x)
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeInf α
Nonempty α
r : α → β → Prop
⊢ (∃ b, ∀ᶠ (a : α) in Filter.atBot, r a b) ↔ ∀ᶠ (a₀ : α) in Filter.atBot, ∃ b, ∀ a ≤ a₀, r a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g g' : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn g (Icc x₀ x)
gdiff : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, HasDerivAt g (g' x_1) x_1
g'_ne : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, g' x_1 ≠ 0
⊢ ∃ x' ∈ Ioo x₀ x, f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - x') ^ n / ↑n ! * (g x - g x₀) / g' x') • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) x'
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α
hg : g x = x
hf : g (f x) = f x
⊢ (f * g) x = (g * f) x
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
Module R₁ M₃
ContinuousAdd M₃
f₁ : M₁ →L[R₁] M₃
f₂ : M₂ →L[R₁] M₃
⊢ LinearMap.range (f₁.coprod f₂) = LinearMap.range f₁ ⊔ LinearMap.range f₂
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
x✝ : { x // x ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset }
p : M
⊢ p ∈ torsionBy R M (IsPrincipal.generator ↑x✝ ^ Multiset.count (↑x✝) (factors ⊤.annihilator)) ↔ p ∈ torsionBySet R M ↑(↑x✝ ^ Multiset.count (↑x✝) (factors ⊤.annihilator))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_5
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
OpensMeasurableSpace β
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
MeasurableSpace δ
SecondCountableTopologyEither α β
f : δ → α
g : δ → β
c : α → β → γ
μ : MeasureTheory.Measure δ
h : Continuous fun p => c p.1 p.2
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (fun a => c (f a) (g a)) μ
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
f : α → G
⊢ ∫ (x : α), f x ∂0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
⊢ ∫ (x : α), (preCDF ρ r x).toReal ∂ρ.fst = ((ρ.IicSnd ↑r) univ).toReal
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
⊢ b ∈ Interval.pure a ↔ b = a
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * x.1 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
k : ℕ
⊢ (-1) ^ k * z ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1) = ∑ b : Fin 2, -I / 2 * (((-1) ^ (2 * k + ↑b + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * k + ↑b) / ↑(2 * k + ↑b))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CommSemiring A
z : E
NormedRing B
NormedAlgebra 𝕜 B
Algebra A B
f : E → B
hf : AnalyticAt 𝕜 f z
p : Polynomial A
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (Polynomial.aeval (f x)) p) z
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ f.idealRange = ⊤
α : Type u
β : α → Type v
l l₁ l₂ : List (Sigma β)
L : List (List (Sigma β))
⊢ Pairwise (fun l₁ l₂ => ∀ x ∈ l₁, ∀ y ∈ l₂, x.fst ≠ y.fst) L = Pairwise (fun a b => a.keys.Disjoint b.keys) L
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
x y : R
⊢ (x - y) ^ p = x ^ p - y ^ p
α : Type u
LT α
WellFoundedGT α
a : α
⊢ Acc (fun x x_1 => x > x_1) a
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hα : IsIntegral F α
hβ : IsIntegral F β
f : F[X] := minpoly F α
g : F[X] := minpoly F β
ιFE : F →+* E := algebraMap F E
ιEE' : E →+* (Polynomial.map ιFE g).SplittingField := algebraMap E (Polynomial.map ιFE g).SplittingField
c : F
hc : ∀ α' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) g).roots, -(α' - ιEE' α) / (β' - ιEE' β) ≠ (ιEE'.comp ιFE) c
γ : E := α + c • β
p : (↥F⟮γ⟯)[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) f).comp (C (AdjoinSimple.gen F γ) - C ⟨(algebraMap F E) c, ⋯⟩ * X)) (Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) g)
h : E[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map ιFE f).comp (C γ - C (ιFE c) * X)) (Polynomial.map ιFE g)
map_g_ne_zero : Polynomial.map ιFE g ≠ 0
h_ne_zero : h ≠ 0
⊢ β ∈ F⟮γ⟯
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂(κ + η) a, x ∈ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ → ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal * κ.rnDeriv η a x = 0 x
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
S S' : Set α
V V' : Set (β × β)
hS : S' ⊆ S
hV : V ⊆ V'
⊢ UniformOnFun.gen 𝔖 S V ⊆ UniformOnFun.gen 𝔖 S' V'
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
⊢ (exponent G).primeFactorsList.Subperm (orderOf t).primeFactorsList
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
e : A ≃ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
r : R
⊢ e.toRingEquiv ↑((algebraMap R ↥S) r) = ↑((algebraMap R ↥(Subalgebra.map (↑e) S)) r)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a b : α
lb : β
hab : a < b
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)
⊢ Tendsto f (𝓝[Ioo a b] b) (𝓝 lb)
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
β : Type u_1
t : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β
b : Set (Set β)
hb : b.Countable
eq : t = generateFrom b
⊢ SecondCountableTopology α
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.dropLast = List.take l.length.pred l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
K : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
s : Finset E
hs : s ∈ K.faces
⊢ (convexHull 𝕜) ↑s ⊆ K.space
a b d : ℕ
hdb : d ∣ b
h : a < b
⊢ a / d < b / d
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ z \ (x \ y ⊔ y \ x) = z ⊓ (z \ x ⊔ y) ⊓ (z \ y ⊔ x)
R : Type u_1
Field R
StarRing R
x y : ↥(selfAdjoint R)
⊢ ↑(x / y) = ↑x / ↑y
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ Monoid.Closure (Inv.inv ⁻¹' s) ⊆ Group.closure s
ι : Type u_1
M : Type u_2
DecidableEq ι
AddMonoid M
l : List (ι →₀ M)
⊢ l.sum.support ⊆ List.foldr (fun x x_1 => x.support ⊔ x_1) ∅ l
G : Type u_2
self : InvolutiveInv G
x : G
⊢ x⁻¹⁻¹ = x
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
self : Continuous f
s : Set Y
⊢ IsOpen s → IsOpen (f ⁻¹' s)
ι : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : LocallyFiniteOrder ι
i : ι
hi : succFn i ≤ i
j : ι
x✝ : i ≤ j
hij_lt : i < j
h_succFn_eq : succFn i = i
⊢ False
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
h1 : ¬f (f x) = x
h : (swap x (f x) * f).support.card + 1 = f.support.card
this : (swap x (f x) * f).support.card < f.support.card
⊢ Perm.sign (swap x (f x) * (swap x (f x) * f)) = -(-1) ^ f.support.card
α : Type u_2
A B : Set α
h : A ⊆ B
⊢ Subtype.val ⁻¹' B = Set.univ
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
⊢ IsNilpotent f
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
s : Set α
hs : s.IsPWO
f : α → β
hf : MonotoneOn f s
⊢ (f '' s).IsPWO
α : Type u_1
a : α
l : List α
f : α → α
⊢ List.modifyHead f (a :: l) = f a :: l
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
hS : S.Finite
⊢ interior (⋂₀ S) = ⋂ s ∈ S, interior s
α : Type u
DecidableEq α
a : α
f : Filter α
⊢ 𝓝 = Function.update pure a (pure a ⊔ f)
α : Sort u
x : α
⊢ (Classical.epsilon fun y => y = x) = x
n : ℕ
⊢ 2 ∣ (n + 1).centralBinom
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
dm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).natDegree ≤ m + n := fun {m n} {p q} => natDegree_mul_le_of_le
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
cm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).coeff (m + n) = p.coeff m * q.coeff n := fun {m n} {p q} => coeff_mul_of_natDegree_le
h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n
n : ℕ
hd : (n + 1 + 1) ^ 2 = 1 + 2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 2) + if Even (n + 1) then 0 else 3
⊢ (W.Φ ↑(n + 1 + 1)).natDegree ≤ (n + 1 + 1) ^ 2 ∧ (W.Φ ↑(n + 1 + 1)).coeff ((n + 1 + 1) ^ 2) = 1
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'
⊢ colimitMulAux F ⟨j₁, x⟩ ⟨j₂, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₃, x'⟩ ⟨j₂, y⟩
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
f : A ⨯ Y ⟶ X
⊢ ((CategoryTheory.exp.adjunction A).homEquiv Y X) f = CategoryTheory.CartesianClosed.curry f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
R : Type u_3
M : Type u_5
TopologicalSpace M
VAdd R M
ContinuousConstVAdd R M
c : R
f : C(α, M)
a : α
⊢ (c +ᵥ f) a = c +ᵥ f a
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
hR : ¬IsField R
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → x ∈ ⊥
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioi 0
a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
⊢ log (Gamma (a * x + (1 - a) * y)) ≤ a * log (Gamma x) + (1 - a) * log (Gamma y)
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : u.r = 0
⊢ x✝.reduce.IsReduced
V : Type u
G : SimpleGraph V
Gpc : G.Preconnected
t : Finset V
tn : t.Nonempty
⊢ ∃ t', t ⊆ t' ∧ (SimpleGraph.induce (↑t') G).Connected
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
h₀ : z ≠ 0
⊢ z⁻¹ = (starRingEnd K) z * ↑(‖z‖ ^ 2)⁻¹
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
h : M.Basis I X
⊢ (M ↾ X).Base I
α : Type u
⊢ 𝓟 ∅ = ⊥
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
s : Substring
⊢ s.Valid → s.toString.data = m₁ ++ c :: m₂ → s.get { byteIdx := String.utf8Len m₁ } = c
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
n : ℕ
x : ℤ_[p]
a b : ℤ
ha : ↑p ^ n ∣ x - ↑a
hb : ↑p ^ n ∣ x - ↑b
⊢ ↑p ^ n ∣ a - b
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a b✝ : α
hs : IsAntichain r s
f : α → β
h : ∀ ⦃a b : α⦄, r' (f a) (f b) → r a b
b : α
hb : b ∈ s
c : α
hc : c ∈ s
hbc : f b ≠ f c
hr : r' (f b) (f c)
⊢ False
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : α → F'
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
x : α
hx1 : ↑↑(c • condexpL1 hm μ f) x = (c • ↑↑(condexpL1 hm μ f)) x
hx2 : (μ[f|m]) x = ↑↑(condexpL1 hm μ f) x
⊢ ↑↑(c • condexpL1 hm μ f) x = (c • μ[f|m]) x
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
n : ℤ
⊢ ↑n / ↑1 = ↑n
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x : L
⊢ x ∈ (ad R L).ker ↔ x ∈ LieAlgebra.center R L
C : Type u₁
Quiver C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ f.op.unop = f
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a b : α
ExistsAddOfLE α
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hb : b < 0
h : 1 < a
⊢ a * b < b
α : Type u_1
a : Array α
⊢ a.pop.size = a.size - 1
C : Type u_1
C' : Type ?u.14347
D : Type u_6
D' : Type ?u.14353
H : Type u_3
H' : Type ?u.14359
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.14367, ?u.14347} C'
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_6} D
inst✝³ : Category.{?u.14375, ?u.14353} D'
inst✝² : Category.{u_2, u_3} H
inst✝¹ : Category.{?u.14383, ?u.14359} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e✝ : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α'✝ : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W✝ : MorphismProperty C
α' : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
e : RF ≅ RF'
comm : α ≫ whiskerLeft L e.hom = α'
⊢ RF.IsLeftKanExtension α ↔ RF'.IsLeftKanExtension α'
α : Type u_1
DecidableEq α
Mul α
s t : Finset α
⊢ s.mulEnergy t = 0 ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
h : Real.log (∏ w : InfinitePlace K, w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) ^ w.mult) = 0
⊢ ∀ x_1 ∈ univ, x_1 ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) ^ x_1.mult ≠ 0
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
h : f.LimZero
h₁ : f = f - const abv 0
⊢ f.lim = 0
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
x : RelSeries r
i : ℕ
h : i < x.toList.length - 1
⊢ r (x.toList.get ⟨i, ⋯⟩) (x.toList.get ⟨i + 1, ⋯⟩)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
c : ↑(Set.Icc a b)
⊢ Subtype.val '' Set.Ici c = Set.Icc (↑c) b
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteKernel ρ
κ : Kernel (α × β) Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ.fst ⊗ₖ κ = ρ
a : α
this : ρ a = (ρ a).fst ⊗ₘ κ.comap (fun b => (a, b)) ⋯
h : ∀ᵐ (x : β) ∂(ρ a).fst, (κ.comap (fun b => (a, b)) ⋯) x = (ρ a).condKernel x
⊢ (fun b => κ (a, b)) =ᶠ[ae (Measure.map Prod.fst (ρ a))] ⇑(ρ a).condKernel
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.158173, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.158177, u_2} D
inst✝ : Abelian C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
⊢ φ.τ₂ ≫ S₂.g = 0
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∃ P, map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' n K ∧ P.degree = (cyclotomic' n K).degree ∧ P.Monic
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ ↑⌊a⌋ + ↑⌊b⌋ ≤ a + b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
A B : T.Algebra
h : A.A ≅ B.A
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (T.map h.hom) B.a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp A.a h.hom := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Monad.Algebra.isoMk h w).hom.f = h.hom
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
c : Cone F
⊢ A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd = liftedConeElement F
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
t : Set α
⊢ ∑' (x : α), t.indicator (⇑(ofMultiset s hs)) x = ∑' (i : α), ↑(Multiset.count i (Multiset.filter (fun x => x ∈ t) s)) * (↑(Multiset.card s))⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
c : CategoryTheory.Limits.Fork I.fstPiMap I.sndPiMap
a : I.L
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multifork.ofPiFork I c).ι a =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp c.ι (CategoryTheory.Limits.Pi.π I.left a)
α : Type u_3
CommMonoid α
s : Multiset α
DecidableEq α
a : α
h : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ s → a' = 1
⊢ s.prod = a ^ Multiset.count a s
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace Ω
m1 _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
h_indep : ∀ (i : ι), ProbabilityTheory.Indep (m i) m1 μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ _mΩ
h_le' : m1 ≤ _mΩ
hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m
⊢ ProbabilityTheory.Indep (⨆ i, m i) m1 μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
x : α
⊢ ContinuousWithinAt f univ x ↔ ContinuousAt f x
q✝ q : ℚ
n : ℕ
⊢ q ^ n = mkRat (q.num ^ n) (q.den ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μ) s = μ (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
a as : Array α
i j : Nat
hj : j < as.size
h : i + j + 1 = a.size
h₂ : as.size = a.size
H : ∀ (k : Nat), as.data.get? k = if i ≤ k ∧ k ≤ j then a.data.get? k else a.data.reverse.get? k
k : Nat
⊢ (Array.reverse.loop as i ⟨j, hj⟩).data.get? k = a.data.reverse.get? k
f : Char → Char
cs cs' : List Char
⊢ { data := cs ++ cs' }.modify { byteIdx := utf8Len cs } f = { data := cs ++ List.modifyHead f cs' }
G : Type v
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
AddGroup G
AddAction G X
IsometricVAdd G X
c : G
x : X
r : ℝ≥0∞
⊢ c +ᵥ EMetric.ball x r = EMetric.ball (c +ᵥ x) r
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ Metric.ball x 0 = ∅
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
d : Set (Submodule R M)
hemp : d.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
hsup : span R {x} ≤ sSup d
this : x ∈ sSup d
⊢ ∃ x_1 ∈ d, span R {x} ≤ x_1
ι : Sort u
R : Type u_1
CompleteLinearOrder R
f : ι → R
no_least_elem : ⨅ i, f i ∉ Set.range f
⊢ ⋃ i, Set.Ici (f i) = Set.Ioi (⨅ i, f i)
K : Type u_1
Field K
p : Polynomial K
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
⊢ Irreducible p ↔ p.roots = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
T'_ne : T'.Nonempty
u : ℕ → Set X
hu : T' = range u
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
p : R[X]
x : A
⊢ (Polynomial.aeval x) p ∈ Algebra.adjoin R {x}
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
o : StAct k
q : Stmt₂
v : σ
S : List (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse
n : ℕ
IH : n ≤ S.length → Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
H : n + 1 ≤ S.length
⊢ { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n + 1] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) } ∈ TM1.step (tr M) { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
α : Type u
β : Type v
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk α) ≤ Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk β)
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
h : (node s l x r).Sized
⊢ 0 < l.size + r.size + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h : x ∉ l
⊢ l.formPerm x ∉ l
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
⊢ Module.End.HasEigenvector T (↑(hT.eigenvalues hn i)) ((hT.eigenvectorBasis hn) i)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ a < a + p ∧ ∃ z, a + p = a + p + z • p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
e : α ≃ᵐ β
⊢ Measure.map (⇑e.symm) (Measure.map (⇑e) μ) = μ
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ (α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ M.actLeft ▷ N₁.X ≫ M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ M.X ◁ f.hom ≫ (α_ X.X M.X N₂.X).inv ≫ M.actLeft ▷ N₂.X ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)