ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
t : Set R
ht : Ideal.span t = ⊤
Mₚ : ↑t → Type u_1
inst✝⁵ : (g : ↑t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↑t → Type u
inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)
h₁ : ∀ (g : ↑t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝¹ : (g : ↑t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝ : ∀ (g : ↑t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g
h₂ : ∀ (g : ↑t), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
⊢ Finite R M
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < p ^ (n - i)
⊢ ↑p ^ (j + 1) * (↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * (↑p ^ i * (↑p ^ n)⁻¹)) = ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) / ↑(p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩)) * ↑(p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩)) * ↑p
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
m : M
a : R[M]
⊢ a ∈ grade R m ↔ a.support ⊆ {m}
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
⊢ ContDiff ℝ ⊤ (stereoInvFunAux v)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun a => max (-f a) 0) μ
R : Type u_2
M : Type u_5
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
c : R
hc : c ≠ 0
x y : M
⊢ c • x = c • y ↔ x = y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ = ‖g a‖
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p μ ↔ MeasureTheory.Memℒp g p μ
α : Type u_1
ι : Sort u_3
f : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ ⇑(⨆ i, f i) = ⨆ i, ⇑(f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
e : α ≃ β
v : α →₀ M
⊢ equivMapDomain (Equiv.refl α) v = v
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
⊢ HolderOnWith C r f ∅
X : Type u
TopologicalSpace X
f : ℕ → X
x : X
hf : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 x)
⊢ IsCompact (insert x (Set.range f))
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
⊢ ∀ (i' : Set X), IsCompact i' → ∃ i, (IsClosed i ∧ IsCompact i) ∧ iᶜ ⊆ i'ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain (α × β)
⊢ (Prod.ωSup c).2 = OmegaCompletePartialOrder.ωSup (c.map OrderHom.snd)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : CategoryTheory.Grothendieck (G.comp CategoryTheory.typeToCat)
⊢ ((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCatFunctor G).obj X).fst = X.base
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
hp_zero : ¬p = 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
hr_ne_zero : r ≠ 0
hq_top : ¬q = ⊤
hr_top : ¬r = ⊤
hpq : p < q
⊢ eLpNorm' (fun x => b (f x) (g x)) p.toReal μ ≤ eLpNorm' f q.toReal μ * eLpNorm' g r.toReal μ
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation K Γ₀
x y : K
γ : Γ₀ˣ
y_ne : y ≠ 0
h : v (x - y) < min (↑γ * (v y * v y)) (v y)
hyp1 : v (x - y) < ↑γ * (v y * v y)
hyp1' : v (x - y) * (v y * v y)⁻¹ < ↑γ
hyp2 : v (x - y) < v y
⊢ v (x⁻¹ - y⁻¹) < ↑γ
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), H ≤ Subgroup.comap ϕ.toMonoidHom H
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
x : M
y : ↥S
⊢ (k.toMap.comp g) x = (k.toMap.comp g) ↑y * k.mk' (g x) ⟨g ↑y, ⋯⟩
M : Type u_11
N : Type u_12
Monoid M
MulOneClass N
MulAction M N
IsScalarTower M N N
x : M
⊢ MonoidHom.smulOneHom x = x • 1
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
m : Multiset α
f f' : α → Multiset β
hf : ∀ a ∈ m, HEq (f a) (f' a)
⊢ HEq (m.bind f) (m.bind f')
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α
⊢ Cycle.Chain r ↑[a] ↔ r a a
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹
F : ℂ → E := fun z => (z - c) • f z
⊢ DifferentiableOn ℂ (update f c (limUnder (𝓝[≠] c) f)) s
G : Type u_1
LeftCancelMonoid G
x : G
h : orderOf x = 0
n m : ℕ
⊢ x ^ n = x ^ m ↔ n = m
X : Scheme
R : CommRingCat
inst✝ : IsDomain ↑R
⊢ IsGenericPoint ⊥ ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
r : R
f : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
⊢ cfc (fun x => r * f x) a = r • cfc f a
α : Type u_6
β : Type u_7
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
hβ : BorelSpace β
e : α → β
h'e : MeasurableEmbedding e
h''e : Inducing e
⊢ BorelSpace α
α β : Type u
n : ℕ
f : (Fin n → α) → β
⊢ (Function.OfArity.curry f).uncurry = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : NormedRing 𝕜
f✝ f g : α → 𝕜
c : ℝ
hg : Integrable g μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
x : α
hx : ‖f x‖ ≤ c
⊢ ‖f x * g x‖ ≤ c * ‖g x‖
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : Cauchy (Filter.map (fun n => f n x) l)
⊢ UniformCauchySeqOnFilter f l (𝓝 x)
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
X✝ : ActionCategory G X
z : X
γ₁ : G
f : X✝ ⟶ ⟨(), γ₁⁻¹ • z⟩
⊢ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (f ≫ eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯) = { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map f ≫ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯)
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : IsClosedMap f
⊢ IsClosed (Set.range f)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type u_3
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
i : ι
y : E i
⊢ HasFDerivAt (Pi.single i) (ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)))) y
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Supermartingale f ℱ μ
hg : Supermartingale g ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ ∀ (a : Ω), (μ[f j|↑ℱ i]) a ≤ f i a → (μ[g j|↑ℱ i]) a ≤ g i a → (μ[f j|↑ℱ i] + μ[g j|↑ℱ i]) a ≤ (f + g) i a
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
HasOuterApproxClosed Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
μs : ι → MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
μs_lim : Filter.Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
⊢ Filter.limsup (fun i => ↑(μs i) F) L ≤ ↑μ F
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
F : CategoryTheory.Functor D E
X : D
⊢ (e.invFunIdAssoc F).hom.app X = F.map (e.counit.app X)
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : Set (Subsemigroup M)
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
g : E → F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
B : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] F →L[𝕜] G := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G).flip
hB : ‖B‖ ≤ 1
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) (g y)) s x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
a b : ENNReal
⊢ a / b ≠ 0 ↔ a ≠ 0 ∧ b ≠ ⊤
X : Type u_5
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
Es : ℕ → Set X
Es_mble : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (Es i)
Es_disj : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
⊢ Filter.Tendsto (⇑μ ∘ fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i) Filter.atTop (𝓝 0)
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset
⊢ p ∣ Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 }
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
⊢ TensorProduct.lift (TensorProduct.mk R M N) = LinearMap.id
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
⊢ Partrec fun x => Part.none
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
f : Y ⟶ X
⊢ α.hom ≫ f = 𝟙 X ↔ f = α.inv
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsCoseparating 𝒢
X Y : StructuredArrow S T
f g : X ⟶ Y
hfg : ∀ G ∈ (proj S T).obj ⁻¹' 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = g ≫ h
G : C
hG : G ∈ 𝒢
h : Y.right ⟶ G
⊢ f.right ≫ h = g.right ≫ h
M : Type u
RightCancelMonoid M
a b : M
⊢ a * b ≠ b ↔ a ≠ 1
R : Type u
CommSemiring R
l : List R[X]
x : R
⊢ Polynomial.eval x l.prod = (List.map (Polynomial.eval x) l).prod
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
f g : M ↪ₑ[L] N
h : ∀ (x : M), f x = g x
⊢ f = g
C : Type u
X Y X✝ Y✝ : F C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
Z✝ : F C
a✝ : ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ f✝ ≫ (normalizeIsoApp' C Y✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ f✝ ▷ Z✝ ≫ (normalizeIsoApp' C (Y✝ ⊗ Z✝) n).hom = (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ Z✝) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ioo a b ⊆ Set.Ioc a b
α : Sort u_1
n : Nat
f : α → Fin n → α
x : α
⊢ Fin.foldr n (fun i x => f x i.rev) x = Fin.foldl n f x
R : Type u
Field R
q : R[X]
p : R[X]
hq : q ≠ 0
⊢ (p.mod q).degree < q.degree
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i✝ : ι
b : B
a : F
i : ι
⊢ ∃ i_1 i_2, IsOpen i_2 ∧ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source = (Z.localTrivAsPartialEquiv i_1).source ∩ ↑(Z.localTrivAsPartialEquiv i_1) ⁻¹' i_2
V : Type u
G : SimpleGraph V
Finite V
⊢ ↑⊤ = ⊤
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
x : α
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
w : Set α
w_nhds : w ∈ 𝓝 x
hw : IntegrableOn f w μ
a : Set α
ha : a ⊆ w
⊢ IntegrableOn f a μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ Continuous (Function.uncurry inner)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
L : G ≃L[𝕜] G'
f : E → F →L[𝕜] G
⊢ (fderiv 𝕜 fun x => (↑L).comp (f x)) = fun x => (↑((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F).arrowCongr L)).comp (fderiv 𝕜 f x)
a : ℤ
⊢ ↑a.natAbs ≤ ↑a.natAbs * ↑a.natAbs
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N
⊢ map₂ f.flip q p = map₂ f p q
x : EReal
⊢ ⊥ - x = ⊥
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B✝
inst✝⁴ : Algebra A B✝
x✝ : B✝
inst✝³ : Nontrivial B✝
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
S : Subalgebra A B
x : B
int : IsIntegral (↥S) x
⊢ 2 ≤ (minpoly (↥S) x).natDegree ↔ x ∉ S
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
n : ℤ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).counitIso.hom.app
    ((CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X) =
  (CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ n).map
    ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).unitIso.inv.app X)
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hf : Filter.liminf (fun i => ↑(Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤
hbdd : ¬Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => |x i|
⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G✝ : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
G : Type u_9
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup G
f : ι → G
s : Finset ι
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
⊢ |∑ i ∈ s, f i| = ∑ i ∈ s, f i
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
h : M.Indep (insert e I)
⊢ M.Basis (insert e I) (insert e X)
G : Type u_1
Add G
IsLeftCancelAdd G
g h : G
⊢ (addLeftEmbedding g) h = g + h
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
⊢ ∀ (a : MultilinearMap R M₁ M₂) (a_1 : (i : ι) → M₁ i), MultilinearMap.coeAddMonoidHom a a_1 = a a_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
x : E
s : Set (E × F)
fa : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun y => f (x, y)) {y | (x, y) ∈ s}
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
D : Matrix n n α
⊢ IsUnit (fromBlocks A B 0 D) ↔ IsUnit A ∧ IsUnit D
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
AddZeroClass β
ContinuousAdd β
l : Filter α
f g : α → β
hf : l.ZeroAtFilter f
hg : l.ZeroAtFilter g
⊢ l.ZeroAtFilter (f + g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : CocompactMap α β
s : Set β
hs : IsCompact s
h's : IsClosed s
t : Set α
ht : IsCompact t
hts : (⇑f ⁻¹' s)ᶜᶜ ⊆ t
⊢ IsCompact (⇑f ⁻¹' s)
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : ReflectsColimit (span f f) F
inst✝ : Epi (F.map f)
this : IsColimit (PushoutCocone.mk (𝟙 (F.obj Y)) (𝟙 (F.obj Y)) ⋯)
⊢ Epi f
u v : PrimeMultiset
⊢ (u + v).prod = u.prod * v.prod
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E ≃L[𝕜] E'
x : E
⊢ MDifferentiableAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') (⇑f) x
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C
⊢ prod.map ((reflectorAdjunction i).unit.app A) ((reflectorAdjunction i).unit.app B) ≫ prod.snd = ((reflectorAdjunction i).unit.app (A ⨯ B) ≫ i.map (prodComparison (reflector i) A B) ≫ prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)) ≫ prod.snd
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
h✝ : Nontrivial A
hf : ¬f %ₘ minpoly A pb.gen = 0
this : (f %ₘ minpoly A pb.gen).natDegree < pb.dim
i : ℕ
hi : i < pb.dim
⊢ (f %ₘ minpoly A pb.gen).coeff i • ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) (pb.gen ^ i) = (f %ₘ minpoly A pb.gen).coeff i • y ^ i
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ PartialFun ⥤ Pointed
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : RCLike 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
⊢ ⟪(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f, (ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g⟫_𝕜 = ∫ (x : α), (starRingEnd 𝕜) (f x) * g x ∂μ
α : Type u_1
AddCommGroup α
s : Set α
⊢ AddDissociated s ↔ ∀ (a : α), {t | ↑t ⊆ s ∧ ∑ x ∈ t, x = a}.Subsingleton
R : Type v
NonAssocSemiring R
StarRing R
S : Subsemiring R
h : ∀ {a : R}, a ∈ S.carrier → star a ∈ S.carrier
⊢ ↑{ toSubsemiring := S, star_mem' := h } = ↑S
K : Type u
inst✝ : Field K
V W : FGModuleCat K
⊢ FGModuleCatDual K V ◁ FGModuleCatCoevaluation K V ≫ (α_ (FGModuleCatDual K V) V (FGModuleCatDual K V)).inv ≫ FGModuleCatEvaluation K V ▷ FGModuleCatDual K V = (ρ_ (FGModuleCatDual K V)).hom ≫ (λ_ (FGModuleCatDual K V)).inv
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' Set.Iio b = Set.Iio (b - a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f✝ : ℕ → Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
val✝ : Encodable β
g : ℕ → Set α := fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg : g = fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (g i)
hg₂ : Pairwise (Disjoint on g)
this : ↑v (⋃ b, f b) = ∑' (i : ℕ), ↑v ((fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b) i)
hg₃ : (fun i => ↑v (f i)) = fun i => ↑v (g (Encodable.encode i))
⊢ HasSum (fun i => ↑v (f i)) (↑v (⋃ i, f i))
a b c : ℕ
H2 : 3 * a ≤ b + c
hb₂ : c ≤ 3 * b
⊢ a ≤ 3 * b
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
n : ℕ∞
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
f : M → B
x : M
hf : ContMDiffAt IM IB n f x
he : f x ∈ e.baseSet
he' : f x ∈ e'.baseSet
⊢ ContMDiffAt IM 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun y => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' (f y))) x
α : Type u
Order.Frame α
ι : Type u_1
Preorder ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → α
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ ⨆ i, f i ⊓ g i = (⨆ i, f i) ⊓ ⨆ i, g i
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
w : W
⊢ ∫ (a : V), ‖e (-(L a) w) • f a‖ ∂μ = ∫ (v : V), ‖f v‖ ∂μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Jᵒᵖ Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.Comma (𝟭 (CategoryTheory.SimplicialObject C)) (CategoryTheory.SimplicialObject.const C)
⊢ CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.point.obj X = X.right
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype m'
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring β
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring γ
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : Module R β
inst✝ : Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
A' : Matrix l' m' β
B' : Matrix m' n' β
i : l
i' : l'
j : n
j' : n'
⊢ ((kroneckerMapBilinear f) (A * B)) (A' * B') (i, i') (j, j') = (((kroneckerMapBilinear f) A) A' * ((kroneckerMapBilinear f) B) B') (i, i') (j, j')
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
u : ℕ → (n : ℕ) → E n
hu : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < (fun n => (1 / 2) ^ n) N
⊢ ∃ x, Tendsto u atTop (𝓝 x)
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume) * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume
hst : 0 < (s + t).re
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) = ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-x)) * (↑x_1 ^ (s - 1) * (↑x - ↑x_1) ^ (t - 1))
X : Type u_2
E : Type u_3
TopologicalSpace X
AddCommGroup E
Module ℝ E
NormalSpace X
ParacompactSpace X
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
t : X → Set E
ht : ∀ (x : X), Convex ℝ (t x)
H : ∀ (x : X), ∃ U ∈ 𝓝 x, ∃ g, ContinuousOn g U ∧ ∀ y ∈ U, g y ∈ t y
⊢ ∃ g, ∀ (x : X), g x ∈ t x
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ (𝓝 ⊤).HasBasis (fun x => True) fun x => Ioi ↑x
α : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
⊢ ¬a < b ↔ a = b ∨ b < a
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra K E
inst✝³ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝² : Field E'
inst✝¹ : Algebra F E'
f : E →ₐ[F] E'
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E'
this : Algebra E E' := f.toAlgebra
⊢ Algebra.IsSeparable F E
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoMod hp (m • p + a) b = m • p + toIcoMod hp a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
⊢ ∃ (h : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a), b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β
h : ∀ (a : α), e a ∈ t ↔ a ∈ s
b : β
hb : b ∈ t
⊢ e (e.symm b) ∈ t
n : Nat
k : Fin (n + 1)
⊢ 1 * k = k