ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : Nat
z : Int
h : 0 ≤ z
⊢ z.toNat < n ↔ z < ↑n
x✝ y z x : ℝ
⊢ |sinh x| = sinh |x|
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I : Ideal S
h : (⊤.prod I).IsPrime
⊢ I.IsPrime
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
LinearOrder ι
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ Monovary f g
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : J → C
G : C ⥤ D
G.PreservesZeroMorphisms
A : CategoryTheory.Limits.Bicone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Bicones.functoriality F G).obj A).pt = G.obj A.pt
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
a b : ℤ
n : ℕ
⊢ ↑a ≡ ↑b [PMOD ↑n] ↔ a ≡ b [PMOD ↑n]
α : Type u
β : Type v
Semigroup β
f : α → β
x : α
y : FreeSemigroup α
⊢ (FreeSemigroup.lift f) (FreeSemigroup.of x * y) = f x * (FreeSemigroup.lift f) y
R : Type u
Ring R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ LinearMap.ker f = ⊥
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
g : G
t : Set α
⊢ (μ.restrict t).restrict (g • s) = μ.restrict (g • s ∩ t)
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommSemiring R
Semiring α
Algebra R α
r : R
⊢ (algebraMap R (Matrix n n α)) r = Matrix.diagonal ((algebraMap R (n → α)) r)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
a : R
x : M
x✝ : x ∈ __src✝.carrier
b : S
h : b • x = 0
⊢ b • a • x = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
ha : IsGLB s a
hs : s.Nonempty
sc : IsClosed s
⊢ a ∈ s
α : Type u
m n : ℕ
h : m + 1 + 1 = n + 1 + (n + 1)
x y : α
u : Fin m → α
⊢ Matrix.vecAlt1 h (Matrix.vecCons x (Matrix.vecCons y u)) = Matrix.vecCons y (Matrix.vecAlt1 ⋯ u)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : CommGroup β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s t u : Finset α
a✝ : α
d : ℕ
a : α
ha : a ∈ s
b : α
⊢ Pi.single a 1 b = -1 ∨ Pi.single a 1 b = 0 ∨ Pi.single a 1 b = 1
q : ℚ≥0
⊢ 0 < q.num ↔ 0 < q
E : Type u_4
F : Type u_5
Group E
Group F
p q : GroupSeminorm E
f : F →* E
hp : p ≤ q
⊢ p.comp f ≤ q.comp f
a b c : Ordinal.{u_1}
a0 : a ≠ 0
a1 : 1 < a
⊢ a ^ (b + c) = a ^ b * a ^ c
α : Type u
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.Nodup → l₁.diff l₂ = List.filter (fun x => decide (x ∉ l₂)) l₁
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : J(a | p) = -1
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x ^ 2 - a * y ^ 2
⊢ ↑p ∣ x ∧ ↑p ∣ y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
i : ι
hi : i ∈ ↑t
j : ι
hj : j ∈ t
⊢ b j * (h j * a i) = a i * (b j * h j)
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
⊢ Function.Injective Projectivization.submodule
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ d x a b c : α
h : ∀ (x : α), x ∈ (fun b => Ι b a) b ↔ x ∈ (fun b => Ι b a) c
ha : b ≤ a
⊢ b = c
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯
this : FiniteDimensional F ↥F⟮x⟯
h : ¬n + 1 < finrank F ↥L'
⊢ False
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
⊢ {y | s.WOppSide x y} = Set.image2 (fun t q => t • (x -ᵥ p) +ᵥ q) (Set.Iic 0) ↑s
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
x : α
s : Set (Set α)
⊢ s ∈ v.filterAt x ↔ ∃ ε > 0, ∀ a ∈ v.setsAt x, a ⊆ closedBall x ε → a ∈ s
M : Type u_2
AddCommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableAdd₂ M
μ ν : MeasureTheory.Measure M
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν
⊢ μ.conv ν = ν.conv μ
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hse : s ⊆ (extChartAt I c).source
hsf : ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
⊢ closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s ⊆ ↑(extChartAt I c) '' s
a b : ENNReal
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ ⊤
⊢ 0 < a / b
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹) = 2 * ↑π * I
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceMap (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceMap g)
    (AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceMap f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
x : H
U : Set H
memU : x ∈ U
hU : IsOpen U
s : Set H
comp : IsCompact s
xs : x ∈ interior s
sU : s ⊆ U
u : Set ↑s := Subtype.val ⁻¹' interior s
⊢ ∃ v ∈ {s | IsClopen s}, x ∈ v ∧ v ⊆ U
s : Substring
n : Nat
⊢ s.prevn n 0 = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
⊢ Wbtw R x y z ↔ x = y ∨ z ∈ ⇑(AffineMap.lineMap x y) '' Set.Ici 1
α : Type u_2
AddMonoid α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
n : ℕ
⊢ n • NonemptyInterval.pure a = NonemptyInterval.pure (n • a)
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
s : Set E
x : E
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x s)
hs : Convex ℝ s
K : ℝ≥0
hK : ‖p x 1‖₊ < K
f' : E → E →L[ℝ] F := fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 ℝ E F) (p y 1)
hder : ∀ y ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y
hcont : ContinuousWithinAt f' s x
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E✝ I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
E : Set β
⊢ ((loopyOn E).comap f).E = f ⁻¹' E ∧ ∀ X ⊆ ((loopyOn E).comap f).E, ((loopyOn E).comap f).Indep X → X = ∅
R : Type u_1
InvolutiveStar R
x : R
⊢ IsSelfAdjoint (star x) ↔ IsSelfAdjoint x
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
h : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContMDiffWithinAt I I' (↑m) f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
⊢ ↑⊤ = ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f g : LocallyConstant X Y
h : ∀ (x : X), f x = g x
⊢ f = g
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.95146, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.95150, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ F.map S.f ≫ F.map s.r = 𝟙 (F.obj S.X₁)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
v : E
hv : v ∈ Kᗮ
⊢ (reflection K) v = -v
α : Type ua
UniformSpace α
a : α
⊢ Filter.Tendsto (fun a' => (a, a')) (𝓝 a) (𝓤 α)
X₁ X₂ Y : TopCat
f : C(↑X₁, ↑Y)
g : C(↑X₂, ↑Y)
x₀ x₁ : ↑X₁
x₂ x₃ : ↑X₂
p : Path x₀ x₁
q : Path x₂ x₃
hfg : ∀ (t : ↑I), f (p t) = g (q t)
⊢ HEq ((π.map f).map ⟦p⟧) ((π.map g).map ⟦q⟧)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
ha : DifferentiableOn 𝕜 a s
b : 𝔸
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => b * a y) s
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g : W✝ ⟶ Y
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y ⟶ Z✝
W E X Z : C
c : BinaryCofan W E
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
inst✝ : HasPullbacks C
hc : IsColimit c
f : W ⟶ X
h : X ⟶ Z
i : c.pt ⟶ Z
H : IsPushout f c.inl h i
hc₁ : IsColimit (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ i) h)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ ((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj c.pt).obj { as := WalkingPair.left }
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY c.inl
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ IsPushout f' g' h' i' ↔ IsPullback h' αX αZ h ∧ IsPullback i' αY αZ i
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝¹ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.restrict s).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] s.indicator (μ.rnDeriv ν)
k : Type u
inst✝¹¹ : CommRing k
G : Type u
inst✝¹⁰ : Group G
V : Type v
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module k V
inst✝⁷ : Module (MonoidAlgebra k G) V
inst✝⁶ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module k W
inst✝³ : Module (MonoidAlgebra k G) W
inst✝² : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
h : ∀ (v : V), π (i v) = v
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
v : V
⊢ (equivariantProjection G π) (i v) = v
k : ℕ
⊢ riemannZeta (-↑k) = -↑(bernoulli' (k + 1)) / (↑k + 1)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
⊢ ↑(if h : Finite (R ⧸ Submodule.toAddSubgroup I) then Fintype.card (R ⧸ Submodule.toAddSubgroup I) else 0) = 0
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re ∨ 0 ∉ [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) μ a b
α : Type u
f : Equiv.Perm α
p : α → Prop
Finite { x // p x }
h : ∀ (x : α), p x → p (f x)
x : α
hx : p x
⊢ p (f⁻¹ x)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℤ := modPart p r
⊢ ↑p ∣ (⟨↑r, h⟩ - ↑(modPart p r)) * ↑r.den
S : SSet
self : S.KanComplex
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
σ₀ : SSet.horn n i ⟶ S
⊢ ∃ σ, σ₀ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (SSet.hornInclusion n i) σ
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
s : Set α
⊢ Metric.diam (⇑h '' s) = Metric.diam s
T : Type uT
L : Language T
⊢ L.IsContextFree → L.reverse.IsContextFree
c d x y z w : ℕ
xz : z ≤ x
yw : y ≤ w
xy : Zsqrtd.SqLe x c y d
⊢ Zsqrtd.SqLe z c w d
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ a < b ↔ a ≠ b
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : f ≤ 𝓟 s
h : ∀ x ∈ s, ¬ClusterPt x f
⊢ ∃ ι U, (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) ∧ s ⊆ ⋃ i, U i ∧ ∀ (t : Finset ι), ¬s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
G : Type u_3
CommGroup G
a b c : G
⊢ a / b = c / b * (a / c)
b : ℂ
hb : 0 < b.re
⊢ HasFiniteIntegral (fun x => cexp (-b * ↑x ^ 2)) volume
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = f w
m n : Nat
x : BitVec m
y : BitVec n
⊢ (x ++ y).toNat = x.toNat <<< n ||| y.toNat
α : Type u_1
SemilatticeInf α
BoundedOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
a : α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s
ha : a ∈ s
⊢ s.truncatedInf a = a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => Real.cos (f x)) (-Real.sin (f x) • f') x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂ (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
w₃ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 3 4 ⋯ ⋯) app₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₃ (g.map' 3 4 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₄ app₀ app₁ app₂ app₃ app₄ w₀ w₁ w₂ w₃).app ⟨2, ⋯⟩ = app₂
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
NonAssocSemiring R
⊢ Function.Injective ⇑HahnSeries.C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : ℕ → α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
g : α → β
left✝ : Measurable g
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
Hg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g Hg x))
a : EReal
h : a ≤ 0
⊢ a⁻¹ ≤ 0
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x ≤ y
hz : z ≤ 0
this : 0 < y
⊢ y ^ z ≤ x ^ z
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
⊢ ‖setToFun μ T hT f‖ ≤ max C 0 * ‖Integrable.toL1 f hf‖
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
g : ι → PGame
hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric
x : PGame := PGame.mk PEmpty.{u + 1} ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (g ((equivShrink ι).symm i)).RightMoves) PEmpty.elim fun x => (g ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveRight x.snd
i : ι
⊢ (∀ (i_1 : x.LeftMoves), x.moveLeft i_1 ⧏ g ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))) ∧ ∀ (j : (g ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).RightMoves), x ⧏ (g ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).moveRight j
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hp0 : ¬p = 0
hx : IsIntegral A x
hnz : ¬p %ₘ minpoly A x = 0
⊢ (p %ₘ minpoly A x).degree < (minpoly A x).degree
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
ϕ : L →ᴸ L'
self : ϕ.Injective
n : ℕ
⊢ Function.Injective fun f => ϕ.onFunction f
cs : List Char
⊢ { data := cs }.endPos = { byteIdx := String.utf8Len cs }
α : Type u
Zero α
d : α
⊢ WithTop.untop' d 0 = 0
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f g₁ g₂ : R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hu₁ : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl
hu₂ : ∀ x ∈ U, g₂ ∈ x.asIdeal.primeCompl
⊢ const R f g₁ U hu₁ * const R g₁ g₂ U hu₂ = const R f g₂ U hu₂
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s' s : ↥S
m : M
⊢ s • s' • m = s' • s • m
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
⊢ Nat.findGreatest P 0 = 0
K : Type u_1
Field K
nf : NumberField K
⊢ FiniteDimensional.finrank ℤ (NumberField.RingOfIntegers K) = FiniteDimensional.finrank ℚ K
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
h : IsAdjoinRoot S f
⊢ IsAdjoinRoot.lift (algebraMap R S) h.root ⋯ h = RingHom.id S
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → γ
g : β → γ
s : Multiset α
t : Multiset β
⊢ (map f s).Disjoint (map g t) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a ≠ g b
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : n ≠ 0
⊢ Nat.log b (n * b) = Nat.log b n + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
h : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
x : α
hx : ¬Acc r x
⊢ False
M : Type u_2
MulOneClass M
x : Submonoid M
⊢ Submonoid.opEquiv x = x.op
E : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_5
inst✝ : CompleteSpace E
g : ι → E →SL[σ₁₂] F
h : ∀ (x : E), ⨆ i, ↑‖(g i) x‖₊ < ⊤
x✝ : Fin 1
x : E
⊢ BddAbove (range fun i => (normSeminorm 𝕜₂ F) ((g i) x))
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : A
⊢ r • resolvent a ↑r = resolvent (r⁻¹ • a) 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
NormedAddCommGroup E
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), MeasureTheory.IntegrableOn f (φ i) μ
htendsto : Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in φ i, ‖f x‖ ∂μ) l (𝓝 I)
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
r : ℝ
h0 : 0 < r
h1 : r < 1
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun x => True) fun n => {p | dist p.1 p.2 < r ^ n}
G : Type u_1
Group G
ι : Sort u_5
s : ι → Set G
⊢ Subgroup.closure (⋃ i, s i) = ⨆ i, Subgroup.closure (s i)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
hq : q.Monic
h : p.degree < q.degree
⊢ p /ₘ q = 0
k : Type u
inst✝ : Field k
f : k[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f
⊢ Polynomial.eval₂ MvPolynomial.C (MvPolynomial.X ⟨f, ⋯⟩) f ∈ maxIdeal k
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ MDifferentiable 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f ↔ Differentiable 𝕜 f
z : ℂ
h₀ : z ≠ ↑Real.pi / 2
h₁ : -(Real.pi / 2) < z.re
h₂ : z.re ≤ Real.pi / 2
⊢ (Complex.tan z).arctan = z
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
D' : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_10, u_6} D'
L : CategoryTheory.Functor C D
L' : CategoryTheory.Functor C D'
G : CategoryTheory.Functor D D'
f : L.comp G ⟶ L'
F : CategoryTheory.Functor C H
X : CategoryTheory.Comma ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D' H).obj L') (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F)
⊢ ((CategoryTheory.Functor.RightExtension.postcomp₁ G f F).obj X).right = X.right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
LocallyConvexSpace 𝕜 E
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 0 ∧ Convex 𝕜 s) id
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (p - 1) * padicValNat p n ! = n - (p.digits n).sum
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSpace Ω'
ν : ProbabilityMeasure Ω
f : Ω → Ω'
f_aemble : AEMeasurable f ↑ν
A : Set Ω'
A_mble : MeasurableSet A
⊢ (ν.map f_aemble) A = ν (f ⁻¹' A)
α : Type u_1
xs : List (FreeAddMonoid α)
⊢ FreeAddMonoid.toList xs.sum = (List.map (⇑FreeAddMonoid.toList) xs).join
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTopology γ
inst✝ : ContinuousAdd γ
f : ι → α → γ
a : Finset ι
ha : ∀ i ∈ a, UpperSemicontinuousWithinAt (f i) univ x
⊢ UpperSemicontinuousWithinAt (fun z => ∑ i ∈ a, f i z) univ x
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
⊢ f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ I = ⊤ ↔ I.toIdeal = ⊤
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
x : α
h : x ∉ s
t : Finset α
⊢ s \ insert x t = s \ t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ι : Type u_1
f : ι → Type u_2
g : (i : ι) → f i → C
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasProduct (g i)
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun i => ∏ᶜ g i
⊢ (CategoryTheory.Limits.piPiIso f g).hom =
  CategoryTheory.Limits.Pi.lift fun x =>
    match x with
    | ⟨i, x⟩ => CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun i => ∏ᶜ g i) i ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.π (g i) x
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
f : α → β → m β
init : β
arr : Array α
⊢ Array.foldrM f init arr arr.size = List.foldrM f init arr.data
n : ℕ
⊢ χ₄ ↑n = χ₄ ↑(n % 4)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
⊢ (∃ y, (algebraMap (↥(adjoin ℤ {ζ})) K) y = x) → IsIntegral ℤ x
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ (Set.Ici a).Finite
R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
a b : R
h : b * a = 1
⊢ IsLeftRegular 1
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x y : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 < ε
⊢ Disjoint (Metric.closedBall x δ) (Metric.ball y ε) ↔ δ + ε ≤ dist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f₁ f₂ : α → β
H : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ Set.MapsTo f₁ s t ↔ Set.MapsTo f₂ s t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α
⊢ (∃ u ∈ Ioi a, Ioo a u ⊆ s) ↔ ∃ u ∈ Ioi a, Ioc a u ⊆ s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT ↑↑f = (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f