ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁰ : Semifield R
inst✝¹⁹ : StarRing R
inst✝¹⁸ : MetricSpace R
inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁶ : ContinuousStar R
inst✝¹⁵ : Semifield S
inst✝¹⁴ : StarRing S
inst✝¹³ : MetricSpace S
inst✝¹² : TopologicalSemiring S
inst✝¹¹ : ContinuousStar S
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra S A
inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h0 : p 0
h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ SpectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(spectrum S a)
a : A
ha : p a
⊢ ∀ (f_1 : C(↑(spectrum R a), R)), spectrum R ((starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯) f_1) = range ⇑f_1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s : Set M
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : ChartedSpace.LiftProp P g
⊢ ChartedSpace.LiftPropOn P g s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_mono : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
s' : ℕ → Set ℝ := fun n => Iic ↑(s n)
⊢ Monotone s'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E ≃ₗ[𝕜] E'
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
hf : Orthonormal 𝕜 (⇑f ∘ ⇑v)
⊢ ⇑(f.isometryOfOrthonormal hv hf) = ⇑f
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁴ : Ring k
inst✝¹³ : AddCommGroup V1
inst✝¹² : AffineSpace V1 P1
inst✝¹¹ : AddCommGroup V2
inst✝¹⁰ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁹ : AddCommGroup V3
inst✝⁸ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁷ : Module k V1
inst✝⁶ : Module k V2
inst✝⁵ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝² : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
h₂ : f 0 = g 0
⊢ f ?p = g ?p
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J
⊢ 𝒰.gluedCoverT' x y z ≫ 𝒰.gluedCoverT' y z x ≫ 𝒰.gluedCoverT' z x y = 𝟙 (pullback (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)))
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Set α
⊢ IsSublattice s
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → β → σ
hf : Primrec₂ f
⊢ Computable₂ f
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Infinite
hf : MapsTo f s t
ht : t.Finite
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ f x = f y
M : Type u_1
Mul M
s : Set M
x : M
h_mul : ∀ {a b : M}, a ∈ s → b ∈ s → a * b ∈ s
⊢ x ∈ { carrier := s, mul_mem' := h_mul } ↔ x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
this✝ : {x | ¬κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1} ⊆ {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0}
this : {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0} ⊆ ⋃ u ∈ countablePartition γ n, ⋃ (_ : (κ.fst a) u = 0), u
⊢ ∑' (p : ↑(countablePartition γ n)), (κ.fst a) (⋃ (_ : (κ.fst a) ↑p = 0), ↑p) = 0
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence
⊢ N ⊨ φ ↔ M ⊨ φ
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
n : ℕ
⊢ Multiset.filter p (n • s) = n • Multiset.filter p s
M : Type u_5
F : Type u_6
Monoid M
FunLike F M M
MonoidHomClass F M M
f : F
n : ℕ
x : M
k : ℕ
⊢ (⇑f)^[n] (x ^ k) = (⇑f)^[n] x ^ k
α : Type u_1
Lattice α
IsWeakLowerModularLattice α
a b : α
⊢ a ⋖ a ⊔ b → b ⋖ a ⊔ b → a ⊓ b ⋖ b
α : Type u
β : Type v
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
⊢ s ∈ Ultrafilter.ofComapInfPrincipal h
α : Type u_1
DecidableEq α
Add α
t : Finset α
⊢ ∅.addEnergy t = 0
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V'
x : V'
⊢ (((map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o).rotation θ) x = f ((o.rotation θ) (f.symm x))
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
S₁ S₂ : Submodule K V
FiniteDimensional K ↥S₂
hle : S₁ ≤ S₂
hd : FiniteDimensional.finrank K ↥S₁ = FiniteDimensional.finrank K ↥S₂
⊢ S₁ = S₂
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hg : Function.Surjective ⇑g
this : Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map (AlgHom.id R A) g)) = LinearMap.ker (LinearMap.lTensor A g.toLinearMap)
⊢ Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map (AlgHom.id R A) g)) = Submodule.restrictScalars R (Ideal.map includeRight (RingHom.ker g))
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
hpos : 0 < n
hG : ∀ (g : G), g ^ n = 1
⊢ exponent G ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
a b : β
⊢ Sum.inr a < Sum.inr b ↔ a < b
R : Type u_1
S : Type ?u.189967
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.190432
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.191572
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : FinitePresentation R M
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
I : Type (max u_2 u_1) := Free.ChooseBasisIndex k (k ⊗[R] M)
b : Basis I k (k ⊗[R] M) := Free.chooseBasis k (k ⊗[R] M)
this✝² : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))
f : k ⊗[R] M → M
hf : ∀ (b : k ⊗[R] M), ((TensorProduct.mk R k M) 1) (f b) = b
i : (I →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total I M R (f ∘ ⇑b)
hi : Surjective ⇑i
this✝¹ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)
this✝ : Surjective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
hi' : Function.Bijective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
this : ∀ {g₁ : ↥(LinearMap.ker i) →ₗ[R] I →₀ R} {g₂ : (I →₀ R) →ₗ[R] M}, Exact ⇑(Submodule.subtype 𝔪) ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Surjective ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Exact ⇑g₁ ⇑g₂ → Surjective ⇑g₂ → Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪)) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor R g₁) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) g₁)
⊢ ∀ (y : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)), y = 0
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
h : p ≠ 0
⊢ 1 < rootMultiplicity t p ↔ p.IsRoot t ∧ (derivative p).IsRoot t
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(-π / 2)
⊢ x ≠ 0
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
Group H
f : G →* H
x : H
hx : ∀ (a : ↥A), x * f ↑a = f ↑(φ a) * x
g : G
⊢ (HNNExtension.lift f x hx) (HNNExtension.of g) = f g
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : n ≠ 0
x : ℝ
⊢ (fourier (-n)) ↑x = -2 * ↑π * I * ↑n / ↑T * (fourier (-n)) ↑x / (-2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set (Sym2 V)
⊢ (G'.deleteEdges s).spanningCoe ≤ G'.spanningCoe
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (cosZeta (↑a) s)
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
h : s₁.Equivalent s₂
i : Fin s₂.length
⊢ Iso (s₁.toFun ((Exists.choose h).symm i).castSucc, s₁.toFun ((Exists.choose h).symm i).succ) (s₂.toFun i.castSucc, s₂.toFun i.succ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : ChartedSpace H H'
x : M'
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
this : ChartedSpace H M' := ChartedSpace.comp H H' M'
⊢ writtenInExtChartAt I I x (↑(chartAt H' x)) y = y
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
h : ∀ (e e' : PartialHomeomorph M H), e ∈ atlas H M → e' ∈ atlas H M → ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(e.symm ≫ₕ e') ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ range ↑I)
⊢ ∀ {e e' : PartialHomeomorph M H}, e ∈ atlas H M → e' ∈ atlas H M → e.symm ≫ₕ e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
p : P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
t'p : Fin 3 → P := Function.update t.points i₂ p
h₁ : t'p i₁ = t.points i₁
h₂ : t'p i₂ = p
h₃ : t'p i₃ = t.points i₃
ha : AffineIndependent ℝ t'p
⊢ p ∈ Simplex.circumsphere t
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
n : ℕ
⊢ p.mirror.coeff n = p.coeff ((Polynomial.revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree)) n)
α : Type u
s t u : Set α
hts : t ⊆ s
hut : u ⊆ t
⊢ s \ t ∪ t \ u = s \ u
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
a b : R
n : ℕ
⊢ (coeff R n) ((rescale b) ((rescale a) f)) = (coeff R n) ((rescale (a * b)) f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
⊢ (∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0
⊢ (p.rootSet ℂ).toFinset.card = (p.rootSet ℝ).toFinset.card + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
x : P
s : Set P
p : P → Prop
h : x ∈ affineSpan k s
mem : ∀ x ∈ s, p x
smul_vsub_vadd : ∀ (c : k) (u v w : P), p u → p v → p w → p (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w)
⊢ p x
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
Fintype ι
DecidableEq ι
e : Basis ι R M
i : ι
⊢ (e.unitsSMul (Function.update 1 i (-1))).orientation = -e.orientation
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
this : 0 < c.blocks.sum
length_pos : 0 < c.blocks.length
⊢ ∃ i, j < c.sizeUpTo (i + 1) ∧ i < c.length
α : Type u_1
S : Set (Set α)
⊢ (⋃₀ S)ᶜ = ⋂₀ (compl '' S)
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x ^ (a / (b * x + c))) Filter.atTop (𝓝 1)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.equivCostructuredArrow F).functor.obj c).hom = c.π
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
AddMonoid M
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
f : M →+ ι
m : M
r : R
⊢ (AddMonoidAlgebra.decomposeAux f) (Finsupp.single m r) =
  (DirectSum.of (fun i => ↥(AddMonoidAlgebra.gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩
x y : SetTheory.PGame
k : (x * y).RightMoves
P : (x * y).RightMoves → Prop
hl : ∀ (ix : x.LeftMoves) (jy : y.RightMoves), P (SetTheory.PGame.toRightMovesMul (Sum.inl (ix, jy)))
hr : ∀ (jx : x.RightMoves) (iy : y.LeftMoves), P (SetTheory.PGame.toRightMovesMul (Sum.inr (jx, iy)))
⊢ P k
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
K : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
hs : s ∈ K.faces
ht : t ∈ K.faces
⊢ (convexHull 𝕜) ↑s ∩ (convexHull 𝕜) ↑t = (convexHull 𝕜) (↑s ∩ ↑t)
β : Type u_1
α : Type u_2
f : β → α → β
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
comm : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → ∀ (y : α), y ∈ l₁ → ∀ (z : β), f (f z x) y = f (f z y) x
init : β
⊢ foldl f init l₁ = foldl f init l₂
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
h : IsRelPrime x y
⊢ IsRelPrime (-x) y
R : Type u_1
CommRing R
self : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ self.asIdeal ≠ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
b : α
f : ↑(Set.Iic b) → β
hf : Monotone f
⊢ Monotone (Set.IicExtend f)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : V
k l : ι
⊢ ((HomologicalComplex.single V c j).obj A).d k l = 0
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
h : 0 < (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasFPowerSeriesAt (NormedSpace.exp 𝕂) (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸) 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
F : J ⥤ K ⥤ C
c : (k : K) → CategoryTheory.Limits.ColimitCocone (F.flip.obj k)
k₁ k₂ : K
f : k₁ ⟶ k₂
⊢ (CategoryTheory.Limits.combineCocones F c).pt.map f =
  (c k₁).isColimit.desc { pt := (c k₂).cocone.pt, ι := F.flip.map f ≫ (c k₂).cocone.ι }
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
hg : ContinuousWithinAt g t (f x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I' (f x)).symm) (↑(extChartAt I' (f x)).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I') (↑(extChartAt I' (f x)) (f x))
hf : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
st : MapsTo f s t
⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ f) s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a • f x + b • f y) • (a • g x + b • g y) = (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + (a * b) • (f x • g y + f y • g x)
k G : Type u
CommRing k
Group G
A B : Rep k G
⊢ ((CategoryTheory.ihom.coev A).app B).hom = (TensorProduct.mk k (CoeSort.coe A) ↑((𝟭 (Rep k G)).obj B).V).flip
cs : List Char
c : Char
cs' : List Char
⊢ utf8PrevAux (cs ++ c :: cs') 0 { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len cs }
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
f_seq : ℕ → β →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯
hf_seq_meas : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable ↑(f_seq n)
⊢ ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length
⊢ (List.map sum (a.blocks.splitWrtComposition b)).length = b.blocks.length
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
⊢ Measure.map (⇑e.symm) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
α : Type u_3
MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_4
L : Filter ι
L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
L.NeBot
μ : MeasureTheory.Measure α
As_mble : ∀ (i : ι), MeasureTheory.NullMeasurableSet (As i) μ
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet A μ
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ (ghostComponent (n + 1)) x.verschiebungFun = ↑p * (ghostComponent n) x
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
n : ℕ
I : FractionalIdeal R⁰ K
⊢ FractionalIdeal.count K v (I ^ n) = ↑n * FractionalIdeal.count K v I
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : SuccOrder α
h : IsSuccLimit (succ a)
H : ¬IsMax a
⊢ False
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → G
h : ¬MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
R : Presieve X
f : Y ⟶ X
inst✝ : IsSplitEpi f
hf : R f
⊢ generate R = ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
h : Measurable f
⊢ MeasureTheory.NullMeasurable f μ
α : Type u_1
ι : Sort u_2
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ μ ∈ range fun i => m i, μ (t n) = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (t n)
α : Type u_1
Semiring α
m n : ℕ
h : m ∣ n
⊢ ↑m ∣ ↑n
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero β
⊢ Function.Injective ZeroAtInftyContinuousMap.toBCF
α : Type u_2
One α
Mul α
Inv α
⊢ [].alternatingProd = 1
s : String
p : String.Pos
⊢ s.atEnd p = true ↔ s.endPos ≤ p
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}
hVo : IsOpen V
hVmem : (z, τ) ∈ V
hVp : IsPreconnected V
⊢ HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂ p.1 p.2) (jacobiTheta₂_fderiv z τ) (z, τ)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s : Finmap β
⊢ (↑(Finmap.keysLookupEquiv s)).1 = s.keys
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedGroup (π i)
f : (i : ι) → π i
⊢ ‖f‖ = ↑(Finset.univ.sup fun b => ‖f b‖₊)
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
hn : ¬G.Adj s t
e : Sym2 V
⊢ ∀ (x y : V), (if x = t then if y = t then False else G.Adj s y else if y = t then G.Adj x s else G.Adj x y) ↔ G.Adj x y ∧ ¬(G.Adj x y ∧ (t = x ∨ t = y)) ∨ s(x, y) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : Unique Mˣ
inst✝ : Unique Nˣ
m : M
n : N
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
x : Associates N
hx : x ∈ Set.Iic (Associates.mk n)
⊢ x ≤ Associates.mk n
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulLeftInvariant
⊢ μ ≪ μ.inv
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
Countable ι
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ f.lintegral (μ.restrict (⋃ i, s i)) = ⨆ i, f.lintegral (μ.restrict (s i))
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1
⊢ ↑((s.face h).orthogonalProjectionSpan s.circumcenter) = (s.face h).circumcenter
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ Set.MapsTo f s t ↔ ∃ g, ∀ (x : ↑s), f ↑x = ↑(g x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z✝ : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
e : X ≃ Y
he : ∀ (s : Set Y), IsOpen (⇑e ⁻¹' s) ↔ IsOpen s
s : Set X
⊢ s = ⇑e ⁻¹' (e.invFun ⁻¹' s)
x : ℝ
⊢ Real.arctan (-x) = -Real.arctan x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a✝ o✝ : Ordinal.{u}
f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}
a o o' : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}
hg : o.IsFundamentalSequence o' g
⊢ a.IsFundamentalSequence o' fun i hi => f (g i hi) ⋯
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g μ
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this✝ : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)
G : ℕ → SimpleFunc α E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (range g ∩ s) y₀ h₀
this : Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (G n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), g x ∂μ))
⊢ ∫ (a : α), g a ∂μ ∈ s
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : o
⊢ (M * 0) i✝ j✝ = 0 i✝ j✝
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
⊢ Continuous fun x => ⟨‖↑x‖, ⋯⟩
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
R R' : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M' : PresheafOfModules R'
α : R ⟶ R'
X : Cᵒᵖ
⊢ (M'.restrictScalarsBundledCore α).obj X = (ModuleCat.restrictScalars (α.app X)).obj (M'.obj X)