ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊
nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊
⊢ Integrable (X * Y) μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocRing α
a b : α
⊢ (1 - a) * b = b - a * b
X : Type u_4
TopologicalSpace X
self : SigmaCompactSpace X
⊢ IsSigmaCompact Set.univ
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
ι : Type u_5
s : Finset ι
φ : ι → MvPolynomial σ R
n : ι → ℕ
h : ∀ i ∈ s, (φ i).IsHomogeneous (n i)
⊢ (∏ i ∈ s, φ i).IsHomogeneous (∑ i ∈ s, n i)
ι : Type u_1
N : Type u_5
DecidableEq ι
AddCommGroup N
p : ι → AddSubgroup N
h : Function.Injective ⇑(DFinsupp.sumAddHom fun i => (p i).subtype)
⊢ CompleteLattice.Independent p
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
hE : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ).toReal ≤ ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q)).toReal
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q Q' : QuadraticForm R M
B : LinearMap.BilinForm R M
h : LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
r : R
⊢ (CliffordAlgebra.changeForm h) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q')) r
A : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing A
IsJordan A
a : A
⊢ Commute (R a) (R (a * a))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
⊢ StrictConvex 𝕜 (s ∩ t)
R : Type u
CommSemiring R
ι : Sort u_1
I : ι → Ideal R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(⨆ i, I i) = ⋂ i, PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(I i)
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
⊢ ∃! s, (↑s).formPerm ⋯ = f
s t : Finset ℕ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
⊢ ∑ k ∈ s, n ^ k ≤ ∑ k ∈ t, n ^ k ↔ { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ (a + 1) ⨳ b = a ⨳ b ♯ b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f g : Filter α
m : α → β
h : Injective m
⊢ map m f ⊓ map m g ≤ map m (f ⊓ g)
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ MeasureTheory.fundamentalFrontier G s ↔ x ∈ s ∧ ∃ g, g ≠ 1 ∧ x ∈ g • s
m n : ℕ
⊢ m.gcd (n + m) = m.gcd n
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
⊢ ∀ (i : ι × κ), (dualDistribInvOfBasis b c ∘ₗ dualDistrib R M N) ((b.dualBasis.tensorProduct c.dualBasis) i) = LinearMap.id ((b.dualBasis.tensorProduct c.dualBasis) i)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
t : Affine.Triangle R P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
this : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1 := LinearOrderedRing.decidableLT
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h3 : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
r₁ : R
hr₁0 : 0 < r₁
hr₁1 : r₁ < 1
h₁ : Sbtw R (t.points i₂) ((lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁) (t.points i₃)
r₂ : R
hr₂0 : 0 < r₂
hr₂1 : r₂ < 1
h₂ : Sbtw R (t.points i₁) ((lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂) (t.points i₃)
w : Fin (2 + 1) → R
hw : ∑ i : Fin (2 + 1), w i = 1
hp : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R (Set.range t.points)
h₁' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {(Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationSingleWeights R i₁), (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ r₁)}
h₂' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {t.points i₂, (lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂}
h₁s : SignType.sign (w i₂) = SignType.sign (w i₃)
h₂s : SignType.sign (w i₁) = SignType.sign (w i₃)
hs : ∀ (i : Fin 3), SignType.sign (w i) = SignType.sign (w i₃)
hss : SignType.sign (∑ i : Fin (2 + 1), w i) = 1
hs' : SignType.sign (∑ i : Fin 3, w i) = SignType.sign (w i₃)
⊢ w i₁ ∈ Set.Ioo 0 1
a b c : ℕ
p : Prop
b' c' : ℕ
h1 : Mathlib.Meta.NormNum.IsNatPowT p a b c
h2 : Mathlib.Meta.NormNum.IsNatPowT (a.pow b = c) a b' c'
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNatPowT p a b' c'
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ xᶜ = y ↔ IsCompl x y
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → ℝ≥0∞
hmf : AEMeasurable f μ
⊢ ℙ Set.univ ≠ ⊤
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
self : CategoryTheory.ShiftMkCore C A
n : A
X : C
⊢ (self.add 0 n).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯) ((self.F n).map (self.zero.inv.app X))
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f : ι →₀ α
⊢ (Iio f).card = ∏ i ∈ f.support, (Iic (f i)).card - 1
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
r b : ↥R⁰
c : R_hat R K
h : a * ↑↑b = ↑c
n : R_hat R K
⊢ ∃ a_1, a_1 • ↑↑r = (DistribMulAction.toLinearMap (R_hat R K) (FiniteAdeleRing R K) a) (n • ↑(↑r * ↑b))
α : Type u
β : α → Type v
l : List (Sigma β)
⊢ l.NodupKeys ↔ List.Pairwise (fun s s' => s.fst ≠ s'.fst) l
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
x✝ y✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
h : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → f (x ⊓ y) = f x ⊓ f y
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
hxy : x ≤ y
⊢ f x ⊓ f y = f x
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
⊢ derivedSet (closure A) = derivedSet A
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
⊢ Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis =
  (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
M : Type u_1
inst✝⁴ : Mul M
inst✝³ : Finite M
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
⊢ commProb (G ⧸ H) ≤ commProb G * ↑(Nat.card ↥H)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d e f : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K d
he : 0 + d = e
hf : -1 + e = f
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inl φ).comp ((CochainComplex.mappingCone.snd φ).comp γ he) hf = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
h_deg_le : f.degree ≤ ↑s.card
h_deg_eq : f.degree = g.degree
hlc : f.leadingCoeff = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
⊢ f = g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
X : CochainComplex C ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftShortComplexFunctorIso C n i i' hi).hom.app X).τ₂ = (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).hom
M : Type u_1
S : Set M
Semigroup M
a b : M
ha : a ∈ S.centralizer
hb : b ∈ S.centralizer
⊢ a * b ∈ S.centralizer
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
x : G
⊢ ∃ i, ∃ x_1 ∈ H, ∃ y ∈ K, x = x_1 * Quotient.out' i * y
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
a : σ → K
a✝ : Nontrivial K
⊢ (eval a) (indicator a) = 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
EquivLike F α β
OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β
⊢ a ≤ EquivLike.inv f b ↔ f a ≤ b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, MeasureTheory.Integrable (fs i) μ
hfs : Filter.Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => MeasureTheory.setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (MeasureTheory.setToFun μ T hT f))
α : Type u
m n : ℕ
⊢ ∀ (n_1 : ℕ) (h₁ : n_1 < (take m (range n)).length) (h₂ : n_1 < (range (min m n)).length), (take m (range n))[n_1] = (range (min m n))[n_1]
α : Type u
Group α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
h : 1 ≤ a
⊢ a⁻¹ ≤ a
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
k : ℕ
h : LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)
m : ℕ
⊢ LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ (k + (m + 1)))
R : Type u_1
LinearOrderedSemiring R
u : Rˣ
⊢ u ∈ Units.posSubgroup R ↔ 0 < ↑u
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : HasContDiffBump G
inst✝⁴ : CompleteSpace E'
φ : ContDiffBump 0
x₀✝ : G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ G
x₀ : G
hg : ∀ x ∈ ball x₀ φ.rOut, g x = g x₀
⊢ ∫ (t : G), ((lsmul ℝ ℝ) (φ.normed μ t)) (g x₀) ∂μ = g x₀
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
h : f' =Θ[l] g'
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f') ↔ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ g')
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : C
g : X ⟶ Y
f₂ : Subobject Y
⊢ ∀ (f₁ : Subobject Y), (pullback g).obj (f₁ ⊓ f₂) = (pullback g).obj f₁ ⊓ (pullback g).obj f₂
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
x y z : R
inst✝ : IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
⊢ gcd x y ∈ Ideal.span {x, y}
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
⊢ 𝓤 (WithLp p (α × β)) = 𝓤 (α × β)
e : ℝ
n : ℕ
h : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
⊢ 0 ≤ Real.log e
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
⊢ c ∈ (P.avoid b).parts ↔ ∃ d ∈ P.parts, ¬d ≤ b ∧ d \ b = c
α : Type u
p q : α → Prop
f : Filter α
⊢ Filter.Eventually p f → Filter.Eventually q f → ∀ᶠ (x : α) in f, p x ∧ q x
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
⊢ x ∈ adjoin ℤ {ζ}
α : Type u_2
AddGroup α
b : α
⊢ (fun x => x + -b) ⁻¹' 0 = {b}
k l x : Nat
⊢ 0 < x → (x ^ k ∣ x ^ l ↔ x ^ k ≤ x ^ l)
α : Type u
a₁ a₂ : Set (Set α)
⊢ TopologicalSpace.generateFrom (a₁ ∪ a₂) = TopologicalSpace.generateFrom a₁ ⊓ TopologicalSpace.generateFrom a₂
i : ℕ
n : ℕ
n1 : 1 ≤ n
⊢ i + n.factorial ≤ (i + n).factorial
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : ¬r = 0
⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α
huv : u ~[l] v
⊢ (fun x => (u x)⁻¹) ~[l] fun x => (v x)⁻¹
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
j : (FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom)ᵒᵖ
⊢ F.map (eqToHom ⋯) ≫ (Cone.whisker (generateEquivalenceOpensLe U hY).op.functor (Functor.mapCone F (opensLeCoverCocone U).op)).π.app j = (Functor.mapCone F (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op).π.app j
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
m : E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Set.Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : MeasureTheory.IntegrableOn f' (Set.Iic a) MeasureTheory.volume
hf : Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 m)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Iic a, f' x = f a - m
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ (CliffordAlgebra.ofProd Q₁ Q₂).comp (CliffordAlgebra.toProd Q₁ Q₂) =
  AlgHom.id R (CliffordAlgebra.evenOdd Q₁ ᵍ⊗[R] CliffordAlgebra.evenOdd Q₂)
n : ℕ
l : Multiset ℕ
hl : l.sum = n
i : ℕ
hi : i ≠ 0
⊢ Multiset.count i (Nat.Partition.ofSums n l hl).parts = Multiset.count i l
C : ℕ
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu_strict : StrictMono u
hC_nonzero : C ≠ 0
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
⊢ (Summable fun k => (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)) ↔ Summable f
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
s : Set E
h : AmpleSet s
y : E
⊢ AmpleSet (y +ᵥ s)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Antitone f
x y : α
h : x ≤ y
⊢ Function.rightLim f y ≤ Function.leftLim f x
M : Type u
m₁ m₂ : LeftCancelMonoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
⊢ m₁ = m₂
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ NumberField.mixedEmbedding.norm x =
  ∏ w : NumberField.InfinitePlace K, (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) x ^ w.mult
X : Compactum
x : X.A
⊢ X.str (X.incl x) = x
G : Type u_4
E : Type u_5
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
MeasurableMul G
μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
g : G
⊢ ∫ (x : G), f (x * g) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
K : CompactExhaustion X
x : X
⊢ x ∈ K (K.find x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
A B : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F
f : A ⟶ B
⊢ Function.Surjective ⇑((CategoryTheory.PreGaloisCategory.autGaloisSystem F).map f)
α : Type u
LinearOrderedCommGroup α
a : α
⊢ a⁻¹ < a ↔ 1 < a
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
AddCommGroup N
Module R N
AddCommGroup P
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ Module.support R N = Module.support R M ∪ Module.support R P
m n : Num
x✝ : ↑m ∣ ↑n
k : ℕ
e : ↑n = ↑m * k
⊢ n = m * ↑k
m n : Nat
⊢ ↑n - (↑m % ↑n + 1) - (↑n * (↑m / ↑n) + ↑n) = -[m+1]
G : Type u
AddGroup G
H₁ : AddSubgroup G
H₁.Normal
H₂ : AddSubgroup (G ⧸ H₁)
H₂.Normal
⊢ AddSubgroup.comap (QuotientAddGroup.mk' H₁)
    (AddSubgroup.comap (QuotientAddGroup.mk' H₂) (AddSubgroup.center ((G ⧸ H₁) ⧸ H₂))) =
  AddSubgroup.comap (QuotientAddGroup.mk' (AddSubgroup.comap (QuotientAddGroup.mk' H₁) H₂))
    (AddSubgroup.center (G ⧸ AddSubgroup.comap (QuotientAddGroup.mk' H₁) H₂))
x : ℂ
hx : ¬x = 0
⊢ (if x.arg = π then log x else (starRingEnd ℂ) (log x)) - ↑(Real.log (normSq x)) = if x.arg = π then -(starRingEnd ℂ) (log x) else -log x
R : Type u_1
Semiring R
T : Type u_2
Semiring T
r : R → R → Prop
f : R →+* T
h : ∀ ⦃x y : R⦄, r x y → f x = f y
⊢ RingQuot.preLift h =
  { toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
X : C ⥤ Comon_ D
⊢ ∀ (X_1 : C),
  ((CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.counitIso.inv.app X).app X_1).hom = 𝟙 (X.obj X_1).X
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
P : Ideal R
hPunique : ∀ (y : Ideal R), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = P
hPnonzero : P ≠ ⊥
hPnot_top : P ≠ ⊤
mem_or_mem'✝ : ∀ {x y : R}, x * y ∈ P → x ∈ P ∨ y ∈ P
⊢ ∃! I, I.IsMaximal
α : Type u
s : Computation α
_T : s.Terminates
⊢ s.Results s.get s.length
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
j : NormedAddGroupHom K H
hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : ∀ h ∈ j.range, ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖h‖
⊢ f.SurjectiveOnWith j.range.topologicalClosure (C + ε)
𝕜 : Type u_1
NormedField 𝕜
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ≥0
x : E
⊢ ↑‖x‖₊ / ↑r ≤ egauge 𝕜 (Metric.closedBall 0 ↑r) x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
s : Set β
x : α
⊢ IsLUB (⇑f ⁻¹' s) x ↔ IsLUB s (f x)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c c' : CategoryTheory.Limits.Cocone F
f g : c ⟶ c'
w : f.hom = g.hom
⊢ f = g
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
hε : 0 ≤ ε
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
⊢ ↑(G.interedges (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t).card / (↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card * ↑t.card) ≤ ↑(G.edgeDensity s t) - ε
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
L : E →L[𝕜] F
r ε δ : ℝ
h : ε ≤ δ
x : E
r' : ℝ
r'r : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ ball x r', ∀ z ∈ ball x r', ‖f z - f y - L (z - y)‖ < ε * r
y : E
hy : y ∈ ball x r'
z : E
hz : z ∈ ball x r'
⊢ 0 ≤ r
G : Type u_1
M : Type u_2
AddGroup G
AddMonoid M
f : G →+ M
g : G
⊢ ↑(f.toHomAddUnits g) = f g
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
n : ℕ
⊢ PerfectClosure.mk K p (n, 0) = 0
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
f : E → F
s : Set E
z w : E
hd : DiffContOnCl ℂ f s
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) s z
hsub : Metric.ball z (dist w z) ⊆ s
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α → σ
hf : ∀ (i : Fin (n + 1)), Computable (f i)
⊢ Computable fun a => f 0 a :: List.ofFn fun i => f i.succ a
ι✝ : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype ι✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
⊢ volume = ((Pi.basisFun ℝ ι).map (PiLp.continuousLinearEquiv 2 ℝ fun a => ℝ).symm.toLinearEquiv).addHaar
ι : Type uι
inst✝⁷ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
this : Nonempty { a // a ∈ x.lifts } := nonempty_subtype.mpr (nonempty_lifts x)
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
hp✝ : p ∈ x.lifts
hp : (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p).sum = x
a : 𝕜
m : (i : ι) → E i
a✝ : (a, m) ∈ p
⊢ ‖a‖ * ‖f fun i => m i‖ ≤ ‖a‖ * (‖f‖ * ∏ x : ι, ‖m x‖)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ Antitone (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) ↔ Antitone f
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
H : HoldsForLocalizationAway fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hf : Function.Bijective ⇑f
this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝ : IsLocalization (Submonoid.powers 1) R
this : IsLocalization (Submonoid.powers 1) S
⊢ P f
n p : ℕ
pp : Prime p
m : ℕ
hn : p = m * 1
this : m = 1 ∨ 1 = 1
⊢ m = p
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ derivWithin (fun y => f y - c) s x = derivWithin f s x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
CoalgebraStruct R A
f g : R →ₗc[R] A
h : f 1 = g 1
⊢ f = g
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
this : ∫⁻ (a : E), ↑‖(1 + ‖a‖) ^ (-r)‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : E), ENNReal.ofReal ((1 + ‖a‖) ^ (-r)) ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : E), ENNReal.ofReal ((1 + ‖a‖) ^ (-r)) ∂μ < ⊤
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommGroup M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ associatedPrimes R M ⊆ associatedPrimes R M'
σ : Type u
R : Type v
CommSemiring R
Nonempty σ
Nontrivial R
⊢ #(MvPolynomial σ R) = max (max (Cardinal.lift.{u, v} #R) (Cardinal.lift.{v, u} #σ)) ℵ₀
X : Type u
PseudoMetricSpace X
δ : ℝ
E : Set X
h : Bornology.IsBounded E
⊢ Bornology.IsBounded (Metric.thickening δ E)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t
ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1
this : t'.OrdConnected
hFt : ∀ (x : X), F x ∈ t'
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v2 v3 : ℕ
⊢ padicNorm p (↑f (PadicSeq.stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑f (max (PadicSeq.stationaryPoint hf) (max v2 v3)))
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
⊢ lcm 0 = 0 ↔ 0 ∈ 0
R S : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommSemiring S
P A : Type u
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : CommRing P
inst✝³ : Algebra R P
I✝ : Ideal P
f : P →ₐ[R] A
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝² : FormallySmooth R P
g : A →ₐ[R] P ⧸ RingHom.ker f.toRingHom ^ 2
hg : f.kerSquareLift.comp g = AlgHom.id R A
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
i : A →ₐ[R] C ⧸ I
⊢ ∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = i
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r✝ s r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ IsOpen (closedBall x r)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc ℝ 1 μ)
⊢ ↑(MeasureTheory.L1.SimpleFunc.negPart f) = MeasureTheory.Lp.negPart ↑f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
⊢ Filter.coprodᵢ f = ⊥ ↔ f = ⊥
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
A : Continuous fun t => x + t • v
⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0] fun t => f (x + t • v)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
AddCommMonoid C
Module R A
Module R B
Module R C
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
e₁₂ : A ≃ₗc[R] B
e₂₃ : B ≃ₗc[R] C
⊢ (↑e₁₂).trans ↑e₂₃ = ↑(e₁₂.trans e₂₃)