ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ (∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f fun x => -g' x) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f g'
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : s ⊆ e.source
⊢ IsOpen (↑e '' s) ↔ IsOpen s
ι : Type u_2
α : Type u_3
AddCommMonoid α
m : Multiset ι
f : ι → α
n : ℕ
⊢ (Multiset.map (fun i => n • f i) m).sum = n • (Multiset.map f m).sum
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ (W.baseChange B).Ψ₂Sq = Polynomial.map (↑f) (W.baseChange A).Ψ₂Sq
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∏ x ∈ Ico 1 (p - succ 0).succ, ↑x = -1
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α β : TypeVec.{u_1} n
F' : TypeVec.{u_1} n → Type u
inst✝¹ : MvFunctor F'
inst✝ : LawfulMvFunctor F'
R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop
x : F' α
f g : α ⟹ β
h : α ⟹ Subtype_ R
hh : subtypeVal R ⊚ h = (f ⊗' g) ⊚ prod.diag
⊢ (f ⊚ TypeVec.id) <$$> x = f <$$> x ∧ (g ⊚ TypeVec.id) <$$> x = g <$$> x
K : Type u
V : Type v
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
s : Submodule K V
Module.Free K ↥s
⊢ Module.rank K ↥s ≤ 1 ↔ ∃ v₀, s ≤ Submodule.span K {v₀}
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f₁ f₂ : α → β
heq : Set.EqOn f₁ f₂ s
t : Set β
⊢ s ∩ f₁ ⁻¹' t = s ∩ f₂ ⁻¹' t
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }
⊢ ∀ (i : { r' // x < ↑r' }), MeasurableSet (s ×ˢ Iic ↑↑i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsScott α
s : Set α
a : α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsScott β
f : α → β
h : ScottContinuous f
u : Set β
hu : IsOpen u
⊢ IsOpen (f ⁻¹' u)
p : ℤ[X]
hp : p.IsUnitTrinomial
h : ∀ (z : ℂ), ¬((aeval z) p = 0 ∧ (aeval z) p.mirror = 0)
q : ℤ[X]
hq : q ∣ p
hq' : q ∣ p.mirror
hq'' : 0 < q.natDegree
⊢ False
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
StarRing A
TopologicalSemiring A
ContinuousStar A
Algebra R A
StarModule R A
x : A
⊢ star x ∈ elementalStarAlgebra R x
G : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
Group G
TopologicalGroup G
MulAction G X
SigmaCompactSpace G
BaireSpace X
T2Space X
ContinuousSMul G X
MulAction.IsPretransitive G X
x : X
⊢ IsOpenMap fun g => g • x
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E
⊢ ‖a‖ ≠ 0 → a ≠ 1
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
h : (∀ (a₁ : α₁) (b₁ : β₁), a = inl a₁ → b = inl b₁ → f₁ a₁ b₁ = ∅) ∧ (∀ (a₁ : α₁) (b₂ : β₂), a = inl a₁ → b = inr b₂ → g₁ a₁ b₂ = ∅ ∧ g₂ a₁ b₂ = ∅) ∧ ∀ (a₂ : α₂) (b₂ : β₂), a = inr a₂ → b = inr b₂ → f₂ a₂ b₂ = ∅
⊢ sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b = ∅
M : Type u_1
S T : Set M
a b✝ c✝ : M
inst✝ : Mul M
h : IsMulCentral a
b c : M
⊢ a * (b * c) = b * (a * c)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
s : Set (X × Y)
⊢ s ∈ 𝓝 (x, y) ↔ ∃ u ∈ 𝓝 x, ∃ v ∈ 𝓝 y, u ×ˢ v ⊆ s
m : ℕ
l : List ℕ
i : Fin l.length
⊢ (unbeta l).beta ↑i = l.get i
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.withDensity (r • f)) s = (r • μ.withDensity f) s
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
x : R
y : S
⊢ (Ideal.Quotient.mk p) x • (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map f p)) y = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map f p)) (f x * y)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
x : E
⊢ p x 0 = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t : Set α
a✝ b✝ : α
h : G.IsClique s
f : α ↪ β
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : f a ≠ f b
⊢ (SimpleGraph.map f G).Adj (f a) (f b)
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
f : ℕ → Set α
hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i
μ : OuterMeasure α := OuterMeasure.ofFunction m m_empty
he : ¬∃ i, (s ∩ f i).Nonempty ∧ (t ∩ f i).Nonempty
⊢ μ s + μ t ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
Fintype ι
Nonempty ι
f : ι → α
⊢ Finset.univ.inf' ⋯ f = ⨅ i, f i
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
⊢ LinearMap.range ↑b.repr = Finsupp.supported R R univ
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
x : ℚ_[p]
hx : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
⊢ padicNormE (↑f i - x) < ε
ι : Type u
γ : Type w
DecidableEq ι
p : ι → Prop
DecidablePred p
AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i =
  AddMonoidHom.mrange
    ((DFinsupp.sumAddHom fun i => (S i).subtype).comp (DFinsupp.filterAddMonoidHom (fun i => ↥(S i)) p))
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
s : Set E
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn (fderiv 𝕜 ∘ f) g' l s
hf : ∀ (n : ι), DifferentiableOn 𝕜 (f n) s
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
n : ι
z : E
hz : z ∈ s
⊢ HasFDerivAt (f n) ((fderiv 𝕜 ∘ f) n z) z
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hsm : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0
⊢ μ s⁻¹ = 0
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → Zero (β i)
x : (i : ι) → β i
⊢ hammingNorm x < 1 ↔ x = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Semiring T
inst✝² : FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
inst✝¹ : FunLike G T S
rcg : RingHomClass G T S
f✝ : F
g : G
inst✝ : Nontrivial S
f : F
⊢ 1 ∉ ker f
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → E
hF_int : ∀ (i : ι), Integrable (F i) μ
hF_sum : Summable fun i => ∫ (a : α), ‖F i a‖ ∂μ
hE : CompleteSpace E
this : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖F i a‖₊ ∂μ = ↑‖∫ (a : α), ‖F i a‖ ∂μ‖₊
⊢ ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖F i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
k : ℕ
⊢ 1 / 2 ≤ ∑ p ∈ (4 ^ (k.primesBelow.card + 1)).succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f z - f x) / (z - x) < (f z - f y) / (z - y)
R : Type u
CommRing R
x : ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
f : R
s : ↥x.asIdeal.primeCompl
⊢ (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.localizationToStalk R x) (IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime x.asIdeal) f s) =
  ((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩)
    (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f (↑s) (PrimeSpectrum.basicOpen ↑s) ⋯)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
⊢ ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ Quaternion.normSq a = a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 + a.imK ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
a : α
b : β
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ List.Forall₂ R (a :: l₁) (b :: l₂) ↔ R a b ∧ List.Forall₂ R l₁ l₂
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
⊢ IsSimpleOrder (Submodule A V)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
e : E ≃L[𝕜] E'
⊢ ⇑e.toDiffeomorph.symm = ⇑e.symm
R : Type u
CommRing R
X Y Z : HopfAlgebraCat R
e : X ≅ Y
f : Y ≅ Z
⊢ (e ≪≫ f).toHopfAlgEquiv = e.toHopfAlgEquiv.trans f.toHopfAlgEquiv
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing α
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : BoundedSMul α β
s : α
x y : β
⊢ dist (s • x) (s • y) = ‖s‖ * dist x y
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : EnoughInjectives C
Z : C
⊢ Injective.ι Z ≫ (ofCocomplex Z).d 0 1 = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : S
f : R →+* Polynomial S
g : σ → Polynomial S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), Polynomial.eval x (eval₂ f g p) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s => Polynomial.eval x (g s)) p → Polynomial.eval x (eval₂ f g (p * X n)) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s => Polynomial.eval x (g s)) (p * X n)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
hg : MellinConvergent g s
⊢ HasMellin (fun t => f t + g t) s (mellin f s + mellin g s)
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
⊢ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : E × F
⊢ HasFDerivAt Prod.fst (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 E F) p
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
Nonempty ι
hf : BddAbove (Set.range f)
c : Cardinal.{v}
⊢ (⨆ i, f i) + c = ⨆ i, f i + c
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
DecidableEq α
a : α
ha : a ∉ s
⊢ insert a (insert a s)ᶜ = sᶜ
n : ℕ
NeZero n
h : 1 ≠ 0 := ⋯
⊢ Fin.pred 1 h = 0
⊢ Tendsto cos (𝓝[<] (π / 2)) (𝓝 0)
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
B : Type uB
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : EvenHom Q A
x : CliffordAlgebra Q
x_property : x ∈ even Q
val✝ : CliffordAlgebra Q
property✝ : val✝ ∈ even Q
⊢ (aux f) (⟨x, x_property⟩ * ⟨val✝, property✝⟩) = (aux f) ⟨x, x_property⟩ * (aux f) ⟨val✝, property✝⟩
n p : ℕ
⊢ p ∈ n.primeFactors ↔ Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ n ≠ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ T R n = 2 * X * T R (n - 1) - T R (n - 2)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
hnm : ¬n + 1 = m
z : Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + m = q
⊢ ¬(ComplexShape.up ℤ).Rel p (p + m - n)
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
NonUnitalSemiring B
Module R B
SMulCommClass R B B
IsScalarTower R B B
x y z : A ⊗[R] B
⊢ (Algebra.TensorProduct.mul ((Algebra.TensorProduct.mul x) y)) z =
  (Algebra.TensorProduct.mul x) ((Algebra.TensorProduct.mul y) z)
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
NormedLatticeAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ↑↑|f| =ᵐ[μ] fun x => |↑↑f x|
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ χ' : MulChar R R'
h : ∀ (a : Rˣ), χ ↑a = χ' ↑a
⊢ ∀ (a : R), χ a = χ' a
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
φ : ι → Type u_4
f : (ι : ι) → φ ι → M
hf : ∀ (i : ι), LinearIndependent R (f i)
⊢ LinearIndependent R fun ix => Finsupp.single ix.fst (f ix.fst ix.snd)
α : Type u_1
inst✝³ : CompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
⊢ sSup (s / t) = sSup s / sInf t
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
s : Set β
b : β
⊢ ⨆ x ∈ insert b s, f x = f b ⊔ ⨆ x ∈ s, f x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
⊢ CategoryTheory.CoverPreserving J J (𝟭 C)
n : ℕ
⊢ fib n ≤ fib (n + 1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.karoubiChainComplexEquivalence C α).counitIso.hom = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ ↑s ⋖ ↑t ↔ s ⋖ t
p m : ℕ
pp : Nat.Prime p
⊢ m ∣ p ↔ m = 1 ∨ m = p
z : ℂ
⊢ jacobiTheta₂' z 0 = -2 * ↑π / (-I * 0) ^ (3 / 2) * jacobiTheta₂'' z (-1 / 0)
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ interior s = s ↔ IsOpen s
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
DecidableEq σ
m : σ →₀ ℕ
s : σ
n : ℕ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R m) (MvPowerSeries.X s ^ n) = if m = Finsupp.single s n then 1 else 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
t : Multiset α
⊢ a ∉ t → (a ::ₘ s) ∩ t = s ∩ t
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
f : β → α
l : Filter β
x : α
h : Filter.Tendsto (fun y => dist (f y) x) l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto f l (Filter.cocompact α)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h : x ⩿ y
hab : ¬(x.1 = y.1 ∨ x.2 = y.2)
⊢ False
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
⊢ H.relindex K = 1 ↔ K ≤ H
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
⊢ W.Nonsingular 0 0 ↔ W.a₆ = 0 ∧ (W.a₃ ≠ 0 ∨ W.a₄ ≠ 0)
G : Type u_3
Group G
g h : G
⊢ (MulAut.conj g) h = g * h * g⁻¹
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
f : ℕ → Set α
hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)
mU : m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
⊢ MeasureTheory.extend m (⋃ i, f i) = ∑' (i : ℕ), MeasureTheory.extend m (f i)
α : Type u_1
m : Multiset α
⊢ grade ℕ m = Multiset.card m
α : Type u_1
Zero α
p : Prop
Decidable p
a b : α
Preorder α
ha : 0 < a
hb : b ≠ 0
⊢ (if p then a else b) ≠ 0
R : Type u_2
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
n.AtLeastTwo
b : M
⊢ OfNat.ofNat n • b = OfNat.ofNat n • b
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝² : Group N
P : Type u_6
inst✝¹ : Group P
η : Type u_7
f : η → Type u_8
inst✝ : (i : η) → Group (f i)
I : Set η
x : (i : η) → f i
⊢ (x ∈ pi I fun i => ⊤) ↔ x ∈ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
g : γ → α
x : Option γ
H : ∀ (a : α), a ∈ Option.map g x → p a
⊢ Option.pmap f (Option.map g x) H = Option.pmap (fun a h => f (g a) h) x ⋯
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a : α
q : ℚ≥0
⊢ 0 ≤ ↑q
α : Type u_13
M : Type u_14
Zero M
⊢ Function.Injective Finsupp.graph
x y : ℂ
⊢ Complex.sin (x + y) = Complex.sin x * Complex.cos y + Complex.cos x * Complex.sin y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
x : β
h_cont : Continuous f
hx : Tendsto f (cocompact α) (𝓝 x)
r : Set (β × β)
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
s : Set α
hs : IsCompact s
hst : sᶜ ⊆ f ⁻¹' {y | (x, y) ∈ t}
b₁ b₂ : α
h : (b₁, b₂) ∈ symmetrizeRel {x | x.1 ∈ s → (f x.1, f x.2) ∈ symmetrizeRel r}
h₁ : b₁ ∉ s
h₂ : b₂ ∉ s
⊢ (f (b₁, b₂).1, f (b₁, b₂).2) ∈ t ○ t
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ ∀ (x : PrimeSpectrum R), (∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, r • m ≠ 0) → ∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, r • m ≠ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
n : ℕ∞
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
n a b : ℕ
⊢ a ≡ b [MOD n] ↔ ↑n ∣ ↑b - ↑a
s t : ℝ
ht : 0 < t
h : -1 ≤ s
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Ioi t) volume
⊢ False
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
⊢ S = ⊤
α : Type u
β : Type v
s1 s2 : Computation α
f : α → β
h1 : s1.Equiv s2
⊢ (Computation.map f s1).Equiv (Computation.map f s2)
Fq : Type
Field Fq
DecidableEq (RatFunc Fq)
x : RatFunc Fq
⊢ Valued.v x = FunctionField.inftyValuationDef Fq x
a b : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
⊢ a - b ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
One β
l : Filter α
f : α → β
hf : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ 1
s t : Set α
h : s.mulIndicator f =ᶠ[l] t.mulIndicator f
⊢ s =ᶠ[l] t
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ Antitone fun x => Set.Iic (f x)
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : Module R' M₁
inst✝ : Subsingleton R
this✝ : Subsingleton M
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
⊢ ∀ (i : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }), #↑↑i ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
FunLike F α β
Group α
Group β
MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
ContinuousInv β
f : F
⊢ ContinuousInv α
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
d : l.Nodup
⊢ a ∈ l.erase b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ l
n : ℤ
⊢ Odd n → 1 + n / 2 * 2 = n
w n : Nat
⊢ BitVec.ofInt w ↑n = BitVec.ofNat w n
α : Type u
s : Set α
⊢ IsOpen {u | s ∈ u}
α : Type u_1
ι✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t : Set α
ι : Type u_4
μ : F
s : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
h0 : Tendsto (fun k => μ ((⋃ n, s n) \ s k)) l (𝓝 0)
⊢ μ (⋃ n, s n) ≤ ⨆ n, μ (s n)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (Ideal.comap f I).minimalPrimes
⊢ ∃ p', p'.IsPrime ∧ I ≤ p' ∧ Ideal.comap f p' = p
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝ : CompleteSpace F
ε : ℝ
x✝ : 0 < ε
r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ ((∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (a b : TaggedPrepartition I) (x : ℝ≥0), l.MemBaseSet I x (r x) a → a.IsPartition → ∀ (x : ℝ≥0), l.MemBaseSet I x (r x) b → b.IsPartition → dist (integralSum f vol a) (integralSum f vol b) ≤ ε) ↔ (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ → π₁.IsPartition → l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ → π₂.IsPartition → dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε
H : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id Set.univ y
⊢ ChartedSpace.LiftPropAt Q (↑(chartAt H x)) x
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
l : List (Perm α)
hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap
h₁ : List.map (⇑sign) l = List.replicate l.length (-1)
⊢ sign l.prod = (-1) ^ l.length
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i : ι), β i
this : (f.sum fun x => ⇑(singleAddHom β x)) = (AddMonoidHom.id (Π₀ (i : ι), β i)) f
⊢ f.sum single = f
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : ↑(TopCat.of M)
U : (OpenNhds x)ᵒᵖ
⊢ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ (smoothSheaf IM I M R).presheaf) U ≫ smoothSheaf.evalHom IM I R x = (forget CommRingCat).map (evalAt IM I M R x (unop U))
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 2 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
⊢ (q - 1) ^ φ n < eval q (cyclotomic n ℝ)
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
r : K[X]
hr : map (algebraMap R K) q = map (algebraMap R K) p * r
s : R
s0 : s ∈ R⁰
hs : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ r) = C ((algebraMap R K) s) * r
h✝ : p ∣ q * (C s).primPart
h : p ∣ ?m.90681
⊢ p ∣ q
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ s.encard ≤ t.encard
α : Type u_1
p : α → Prop
Encodable α
DecidablePred p
h : ∃ x, p x
⊢ p (Encodable.choose h)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (WittVector.wittPolyProd p n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
x : ℝ
⊢ Real.arsinh x = 0 ↔ x = 0
E : Type u_6
NormedGroup E
a : E
⊢ ‖a‖₊ = 0 ↔ a = 1
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
this : IsWellOrder α r
⊢ #α ≤ #{ s // #↑s < (#α).ord.cof }
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.extendId s).inv.hom = 𝟙 s.pt