ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type u₂
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
F : Discrete J ⥤ C
x : J
f : { as := x } ⟶ { as := x }
⊢ (({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun F => Discrete.functor F, map := fun {X Y} f => Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj F).map f ≫ ((fun j => Iso.refl ((({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun F => Discrete.functor F, map := fun {X Y} f => Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj F).obj j)) { as := x }).hom = ((fun j => Iso.refl ((({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun F => Discrete.functor F, map := fun {X Y} f => Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj F).obj j)) { as := x }).hom ≫ ((𝟭 (Discrete J ⥤ C)).obj F).map f
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
s : Set α
⊢ TendstoUniformlyOn F f p s ↔ Filter.Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (p ×ˢ 𝓟 s) (𝓤 β)
q : ℚ
⊢ ↑q.num < (q - fract q + 1) * ↑q.den
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i : ι
x : β i
⊢ DFinsupp.erase i (DFinsupp.single i x) = 0
R : Type u_3
M : Type u_4
AddCommMonoid M
Ring R
Finite R
Module R M
⊢ AddMonoid.IsTorsion M
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ a • Metric.closedBall b r = Metric.closedBall (a • b) r
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)), F.op.HasLeftKanExtension P
X : C
⊢ ((CategoryTheory.Presheaf.compYonedaIsoYonedaCompLan F).inv.app X).app (Opposite.op (F.obj X))
    ((F.op.lanUnit.app (CategoryTheory.yoneda.obj X)).app (Opposite.op X) (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj X)))
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
z : ℂ
⊢ -π < (log ↑x * ↑y).im
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
R : Type u_2
Zero R
SMulWithZero R β
ContinuousConstSMul R β
r : R
f : α →C₀ β
x : α
⊢ (r • f) x = r • f x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Option.map f none = none
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
ht0' : 0 < t
ht1' : t < 1
⊢ (1 - t) • (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x -ᵥ x) = t • (z -ᵥ (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
⊢ (toJordanDecomposition 0).toSignedMeasure = toSignedMeasure 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
hu : u = u'
hv : v = v'
⊢ (p.copy hu hv).IsPath ↔ p.IsPath
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
hk : addOrderOf ↑k = n
h0 : ∃ n_1, n_1 • p = n • k
⊢ ∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n * p) = ↑k
α β : Type u
f : α → FreeMagma β
x : α
⊢ pure x >>= f = f x
m : Type u
n : Type u'
DecidableEq n
R : Type u_2
Semiring R
Fintype m
Finite n
A : Matrix m n R
⊢ (Function.Surjective fun v => Matrix.vecMul v A) ↔ ∃ B, B * A = 1
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp_pos : 0 < p
⊢ (a + b) ^ p ≤ a ^ p + b ^ p
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
s : Cocone D
j : J
⊢ c.ι.app j ≫ t.desc (newCocone D c) ≫ T.map (t.desc (T.forget.mapCocone s)) = c.ι.app j ≫ t.desc (T.forget.mapCocone s) ≫ s.pt.a
α : Type u
UniformSpace α
β : Type v
UniformSpace β
CompleteSpace β
f : α → β
⊢ UniformContinuous (CauchyFilter.extend f)
G : Type u_1
Monoid G
x : G
n : ℕ
⊢ orderOf x ∣ n ↔ x ^ n = 1
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
hν : ν' = 0
⊢ ν' s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
⊢ e.source ∩ ↑e ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) = e.source ∩ s
α✝ : Type u
β✝ : Type v
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set β)
f : α → β
h : ∀ a ∈ b, IsOpen (f ⁻¹' a)
⊢ t ≤ induced f (generateFrom b)
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
val✝¹ : List α
property✝ : val✝¹.length = n
val✝ : ℕ
isLt✝ : val✝ < n
⊢ (set ⟨val✝¹, property✝⟩ ⟨val✝, isLt✝⟩ a).get ⟨val✝, isLt✝⟩ = a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : CategoryTheory.Adjunction.CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.Adjunction.mkOfUnitCounit adj).homEquiv X Y) f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj.unit.app X) (G.map f)
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
r : R
n : ℕ
⊢ (WittVector.ghostComponent n) ((WittVector.teichmuller p) r) = r ^ p ^ n
α : Type u_1
σ : α → Type u_3
l : List α
⊢ (l.sigma fun a => []) = []
α : Type u
β : α → Type v
l : List (Sigma β)
⊢ (↑l).keys = ↑l.keys
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s : Set M
hfs : s.Finite
⊢ (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ (lineMap p₀ p₁) c -ᵥ p₁ = (1 - c) • (p₀ -ᵥ p₁)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α × β → ℚ → ℝ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
q : ℚ
⊢ ∀ᵐ (c : β) ∂ν a, 0 ≤ f (a, c) q
α : Type u_1
TopologicalSpace α
TopologicalSpace.NoetherianSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
⊢ ∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsClosed t) ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible t) ∧ s = ⋃₀ S
R : Type u
S : Type v
A' : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring A'
CommSemiring S
Algebra S R
Algebra S A'
g : R →ₐ[S] A'
y : A'
⊢ (Polynomial.aevalTower g y).comp (IsScalarTower.toAlgHom S R R[X]) = g
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ (↑n).natTrailingDegree = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : derivative f = 0
hf : f ≠ 0
f_nat_degree_pos : 0 < f.degree
⊢ False
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this✝ : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : NoZeroSMulDivisors R L
x✝ : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hind : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → p ∣ Q.coeff m
⊢ j.succ ∈ range (Q.natDegree + 1) → p ∣ Q.coeff j.succ
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, (f i).IsPrime
I : Ideal R
⊢ ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) ↔ I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
x✝ y x : ℝ
hx : cos x ≠ 0
this : Complex.cos ↑x ≠ 0
⊢ ↑(1 + tan x ^ 2)⁻¹ = ↑(cos x ^ 2)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₕ Y
⊢ Continuous ↑h
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.L₀.Exact
α : Type u_2
β : Type u_3
hα : OrderedAddCommMonoid α
hβ : OrderedAddCommMonoid β
f : α →+o β
⊢ f.toOrderHom = ↑f
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
⊢ (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) =O[Filter.atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
f : A₁ →ₐ[R] A₂
hf : Function.Bijective ⇑f
a : A₁
⊢ (AlgEquiv.ofBijective f hf) a = f a
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
R : Type u_8
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
DecidableEq p
T2Space R
f : X → p → Matrix m n R
⊢ Matrix.blockDiagonal (∑' (x : X), f x) = ∑' (x : X), Matrix.blockDiagonal (f x)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' Set.Iic b = Set.Iic (b - a)
a : Int
n : Nat
⊢ (a / ↑n).natAbs ≤ a.natAbs
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : N ≤ N'
⊢ ⁅I, N⁆ ≤ ⁅I, N'⁆
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A : C
X : Subobject B
f : A ⟶ B
inst✝ : Mono f
Y : Subobject B
h₁ : X ≤ mk f
h₂ : mk f ≤ Y
⊢ X.ofLEMk f h₁ ≫ ofMkLE f Y h₂ = X.ofLE Y ⋯
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
n : ℕ
⊢ (MeasureTheory.sFiniteSeq μ n).AbsolutelyContinuous μ.toFiniteAux
α : Type u
AddGroup α
Fintype α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card α = p
⊢ IsSimpleAddGroup α
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
CommSemiring k
Monoid G
Monoid H
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
e : G ≃* H
⊢ ↑(MonoidAlgebra.domCongr k A e) = MonoidAlgebra.mapDomainAlgHom k A e
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
⊢ ((Lagrange.interpolate s v) r).degree < ↑s.card
x y : ℝ*
r s : ℝ
hrx : x.IsSt r
hsy : y.IsSt s
hxy : x ≤ y
⊢ r ≤ s
bs : List Bool
i : Nat
⊢ (BitVec.ofBoolListLE bs).getLsb i = bs.getD i false
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op
⊢ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom ≫ (pushout.inr f.op g.op).unop = pullback.snd f g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
hs : s.Countable
f : α → β
hf : ∀ y ∈ s, MeasurableSet (f ⁻¹' {y})
⊢ ∑' (b : ↑s), μ (f ⁻¹' {↑b}) = μ (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
s✝ : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
s : Multiset α
ih : s.Nodup → (∀ a ∈ s, (t a).Nodup) → (s.pi t).Nodup
hs✝ : (a ::ₘ s).Nodup
ht : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, (t a_1).Nodup
has : a ∉ s
hs : s.Nodup
⊢ (∀ a_1 ∈ t a, (Multiset.map (Pi.cons s a a_1) (s.pi t)).Nodup) ∧ Pairwise (fun a_1 b => (Multiset.map (Pi.cons s a a_1) (s.pi t)).Disjoint (Multiset.map (Pi.cons s a b) (s.pi t))) (t a)
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a : α
OrderTop α
NoMinOrder α
⊢ Order.pred ⊤ < a ↔ a = ⊤
X : Type u_1
x : X
a : FreeAbelianGroup X
⊢ x ∉ a.support ↔ (FreeAbelianGroup.coeff x) a = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
NonAssocSemiring T
g : S →+* T
f : R →+* S
⊢ Subsemiring.map g f.rangeS = (g.comp f).rangeS
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ minimals r ∅ = ∅
α : Type u_1
l : Language α
⊢ l∗ = ⨆ i, l ^ i
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ ∀ {x : Fintype ↥⊥}, Fintype.card ↥⊥ = 1
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
⊢ m + k ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
h : a ~ᵤ 0
⊢ factors' a = factors' 0
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
g✝ : σ → S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
φ : S₁ →+* S₂
⊢ ∀ (i : σ), (φ.comp (eval₂Hom f g)) (X i) = (eval₂Hom (φ.comp f) fun i => φ (g i)) (X i)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
⊢ Tendsto (fun x => dist (Prod.map u u x).1 (Prod.map u u x).2) atTop (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => dist (u n.1) (u n.2)) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some ⁻¹' Ioo ⊥ ↑a = Iio a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Antivary f g ↔ ∀ (i j : ι), f i • g i + f j • g j ≤ f i • g j + f j • g i
X : TwoP
⊢ (TwoP.swapEquiv.inverse.obj X).toTwoPointing.toProd = (X.toTwoPointing.toProd.2, X.toTwoPointing.toProd.1)
ι : Type u_1
E : Type u_3
Fintype ι
AddCommGroup E
Module ℝ E
v : ι → E
x : E
⊢ x ∈ parallelepiped v ↔ ∃ t ∈ Set.Icc 0 1, x = ∑ i : ι, t i • v i
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F G H : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
α : F.Hom G
β : G.Hom H
a : A
⊢ (α.comp β).hom a = α.hom a ≫ β.hom a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
p : ℕ → Prop
⊢ (∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p n) ↔ {n | p n}.Infinite
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p q : Submodule R M
h : p = q
x : ↥p
⊢ ↑((LinearEquiv.ofEq p q h) x) = ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ κ.compProdFun η a s = ∑' (n : ℕ) (m : ℕ), (κ.seq n).compProdFun (η.seq m) a s
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
y : R
Algebra R S
IsLocalization.Away y S
H : Ideal.IsJacobson R
J : Ideal S
⊢ J.IsMaximal ↔ (Ideal.comap (algebraMap R S) J).IsMaximal ∧ y ∉ Ideal.comap (algebraMap R S) J
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
⊢ 𝔠 ≤ #↑(Iio a)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
x : L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ __spread✝⁻⁰.carrier
⊢ ⁅x, D⁆ ∈ __spread✝⁻⁰.carrier
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
a : R
⊢ a ∈ { val := (cyclotomic n R).roots, nodup := ⋯ } ↔ (cyclotomic n R).IsRoot a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set E
x : E
c : Set (Set E)
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c
hc : ∀ ⦃A : Set E⦄, A ∈ c → Convex 𝕜 A
⊢ Convex 𝕜 (⋃ i, ↑i)
R : Type u
CommRing R
q : R[X]
p₁ p₂ : R[X]
⊢ (p₁ + p₂) %ₘ q = p₁ %ₘ q + p₂ %ₘ q
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Fintype R
R' : Type v
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : IsDomain R'
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
F' : Type u_2
inst✝¹ : Field F'
inst✝ : Fintype F'
χ : MulChar F F'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F
hch₂ : ringChar F' ≠ 2
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
n' : ℕ+
hp' : Nat.Prime (ringChar F')
hc' : Fintype.card F' = ringChar F' ^ ↑n'
ψ : PrimitiveAddChar F F' := FiniteField.primitiveChar F F' hch₁
FF' : Type u_2 := CyclotomicField ψ.n F'
⊢ (χ (-1) * ↑(Fintype.card F)) ^ (Fintype.card F' / 2) = χ ↑(Fintype.card F')
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F F' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F' ⟶ F
X : Cᵒᵖ
⊢ ∀ (a : F'.obj X), ↑((J.toImagePresheafSheafify f).app X a) = f.app X a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ κ : Kernel α β
h : IsSFiniteKernel κ
a : α
⊢ (Measure.sum fun n => (κ.seq n) a) = κ a
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∀ f ∈ t, f.Monic
a✝ : Nontrivial R
⊢ 1 = 1 ^ Multiset.card t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
Zero β
hf : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.FinStronglyMeasurable (MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable.mk f hf) μ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : UniformSpace.Completion α
h : dist x y = 0
⊢ x = y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
ι : Sort u_7
S : ι → Set X
H : ∀ (i : ι), StableUnderGeneralization (S i)
⊢ StableUnderGeneralization (⋂ i, S i)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
x : ℝ
⊢ Measurable fun a => ↑(ProbabilityTheory.condCDF ρ a) x
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ)
sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2
⊢ ENNReal.ofReal δ ≠ 0
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
β : Type u_3
TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
SigmaCompactSpace β
R1Space β
μ : MeasureTheory.Measure β
f : β → E
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
⊢ f =ᵐ[μ] 0
b : ℂ
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
hb : 0 < b.re
x w : V
⊢ 𝓕 (fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + 2 * ↑π * Complex.I * ↑⟪x, v⟫_ℝ)) w =
  (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑‖x - w‖ ^ 2 / b)
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
⊢ ∀ (x : Set α), M.Indep x → ¬insert (f e) (f '' I) = f '' x
α : Type u
r : α → α → Prop
l : List α
h : List.Sorted r l
a b : Fin l.length
hab : a < b
⊢ r (l.get a) (l.get b)
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_5
TopologicalSpace α
Zero β
Zero γ
g : β → γ
f : α → β
hg : ∀ {x : β}, g x = 0 ↔ x = 0
⊢ HasCompactSupport (g ∘ f) ↔ HasCompactSupport f
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
h : t ⊆ s
⊢ Finite ↑{x | x ∈ s ∧ x ∈ t}
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
u : PartialHomeomorph H H
a✝ : u ∈ ⊤.members
⊢ { property := fun f s => ContDiffOn 𝕜 0 (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I), comp := ⋯, id_mem := ⋯, locality := ⋯, congr := ⋯ }.property (↑u) u.source ∧ { property := fun f s => ContDiffOn 𝕜 0 (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I), comp := ⋯, id_mem := ⋯, locality := ⋯, congr := ⋯ }.property (↑u.symm) u.target
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' univ x v
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (c • f') univ x (c • v)
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
Semiring B
Algebra R B
StarRing B
StarModule R B
f : A →⋆ₐ[R] B
S : StarSubalgebra R B
hf : ∀ (x : A), f x ∈ S
⊢ Function.Injective ⇑(f.codRestrict S hf) ↔ Function.Injective ⇑f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan),
  c.op.ι.app X_1 =
    (Option.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Z))
          (fun val =>
            CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op X))
              (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Y)) val)
          X_1).hom ≫
      (c.π.app X_1).op
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X : PresheafedSpace C
⊢ (Opens.map (Opens.inclusionTopIso ↑X).inv).op ⋙ X.presheaf = (Presheaf.pushforward C (Opens.inclusionTopIso ↑X).inv).obj X.presheaf
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ] (s : Set α),
  MulAction.stabilizer G s ≤ MulAction.aestabilizer G μ s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
s : Set X
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsClosed t → t = s
⊢ ∃ x, s = {x}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackConeOfLeftIso f g).fst = g ≫ CategoryTheory.inv f
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ SimpleGraph.Walk.nil.append p = p
S : Type v
T : Type w
CommRing T
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
NoZeroSMulDivisors T S
a : T
p : Polynomial T
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * p).aroots S = p.aroots S
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
l : ℕ
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : ι → ι → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s t : Finset ι
x : 𝕜
hst : s ⊆ t
f : ι → 𝕜
d : 𝕜
hx : 0 ≤ x
hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|
ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
hscard : 0 < ↑s.card
htcard : 0 < ↑t.card
h₁ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
h₂ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, (f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card)) / ↑s.card) ^ 2
⊢ d + ↑s.card / ↑t.card * x ^ 2 ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) / ↑t.card
n : ℕ∞
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
⊢ ContDiff ℝ n fun x => ↑(Homeomorph.unitBall x)
a : UnitAddCircle
⊢ (HurwitzZeta.hurwitzOddFEPair a).f₀ = 0
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
S : Set (I.Filtration M)
⊢ (sSup S).N = sSup (Ideal.Filtration.N '' S)
α : Type u_3
SemilatticeInf α
Nonempty α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in Filter.atBot, p x) ↔ ∃ a, ∀ b ≤ a, p b
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.16894, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.16898, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m mn : A
hnm : m + n = mn
a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ (F.shiftIso mn a a'' ⋯).hom.app X = (shiftFunctorAdd' D m n mn hnm).hom.app ((F.functor a'').obj X) ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app X
α : Type u_2
CompleteLattice α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
⊢ CompleteLattice.IsSupFiniteCompact α
C : ℕ∞ → Sort u_1
d : C ⊤
f : (a : ℕ) → C ↑a
⊢ ENat.recTopCoe d f 1 = f 1
α : Type u_1
CompleteLattice α
a : α
h : IsCoatom a
⊢ Order.radical α ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
⊢ s ×ˢ t ⊆ Prod.snd ⁻¹' t
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
⊢ supported R R s = span R ((fun i => single i 1) '' s)
z : ℂ
h₁ : z ≠ I
h₂ : z ≠ -I
⊢ (1 - cexp (2 * (z.arctan * I))) / (cexp (2 * (z.arctan * I)) + 1) * I = z
α : Type u
β : Type v
x : α ⊕ β
a : α
⊢ x = Sum.inl a ↔ ∃ h, x.getLeft h = a
α β : Type u_5
a : α
f : α → β
⊢ f <$> some a = some (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Div γ
f : α → β
g₁ g₂ : α → γ
e₁ e₂ : β → γ
⊢ Function.extend f (g₁ / g₂) (e₁ / e₂) = Function.extend f g₁ e₁ / Function.extend f g₂ e₂
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
⊢ φ.comp (AlgHom.id R A) = φ