ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
e : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
K : Submodule R₂ M₂
⊢ Submodule.map e.symm K = p ↔ Submodule.map e p = K
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s✝ t : Set E
ι : Sort u_4
s : ι → Set E
hs : ∀ (i : ι), StarConvex 𝕜 x (s i)
y : E
hy : y ∈ ⋃ i, s i
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⋃ i, s i
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
β : Type u_4
s : SummableFamily Γ R α
f : α ↪ β
a : α
b : β
⊢ (s.embDomain f) (f a) = s a
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ
⊢ (IsBigOWith c l f fun x => ‖g' x‖) ↔ IsBigOWith c l f g'
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ nndist ((AffineMap.lineMap p₁ p₂) c) p₁ = ‖c‖₊ * nndist p₁ p₂
α : Type u_1
Preorder α
a₁ b₁ b₂ : α
h₁ : a₁ ≤ b₁
⊢ Set.Icc a₁ b₁ ⊆ Set.Iio b₂ ↔ b₁ < b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∃ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≠ 0
ho : f' =o[l] f'
⊢ False
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
⊢ (r • ν).rnDeriv μ =ᵐ[μ] r • ν.rnDeriv μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
x : E
h : DifferentiableAt 𝕜' f x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
hf : Injective f
g : α → γ
g' : β → γ
y : β
hy : y ∈ (range f)ᶜ
⊢ g' y ∈ range (extend f g g')
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0
x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (↑a, ⊤)) (𝓝 0)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u_1
inst✝¹ : MvFunctor F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
β✝ : Type u
pp : β✝ → Prop
β : Type u
P : β → Prop
x : F (α ::: β)
⊢ (∃ u, (fun i => Subtype.val) <$$> u = x) ↔ ∃ u, (fun i => Subtype.val) <$$> u = x
α : Sort u_1
β : Sort u_2
r : α → α → Prop
hr : Symmetric r
⊢ (∀ (a : α), ∃! b, r a b) ↔ ∃ f, Involutive f ∧ r = fun x x_1 => f x = x_1
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x : ↑(Profinite.NobelingProof.π C fun x => x ∈ s)
a : I
hx : ↑x a = true
⊢ Profinite.NobelingProof.e (Profinite.NobelingProof.π C fun x => x ∈ s) a ∈ Profinite.NobelingProof.factors C s x
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : PolishSpace G
ν : Measure G
Γ : Subgroup G
inst✝⁴ : Countable ↥Γ
inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝² : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
g : G
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
⊢ μ ((fun x => g • x) ⁻¹' A) = μ A
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
⊢ (M.restrictSubtype X).map Subtype.val ⋯ = M.restrict X
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g : widePushout B objs arrows ⟶ X
h1 : ∀ (j : J), ι arrows j ≫ g = fs j
h2 : head arrows ≫ g = f
⊢ ∀ (j : WidePushoutShape J), (colimit.cocone (WidePushoutShape.wideSpan B objs arrows)).ι.app j ≫ g = (WidePushoutShape.mkCocone f fs w).ι.app j
v : ℕ → ℝ
c : ℝ
h₀ : 0 < v 0
hc : 1 < c
hu : ∀ (n : ℕ), c * v n ≤ v (n + 1)
⊢ Filter.Tendsto v Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u
n : ℕ
⊢ Cardinal.mk (Mathlib.Vector α n) = Cardinal.mk α ^ n
ι : Type u
α : Option ι → Type v
(i : Option ι) → Zero (α i)
f : α none × Π₀ (i : ι), α (some i)
⊢ DFinsupp.equivProdDFinsupp.symm f = DFinsupp.extendWith f.1 f.2
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set β
⊢ e.trans ((PartialEquiv.refl β).restr s) = e.restr (↑e ⁻¹' s)
R : Type u_1
NonAssocRing R
Pow R ℕ
BinomialRing R
NatPowAssoc R
r : R
n k : ℕ
⊢ (n + k).choose k • Ring.choose (r + ↑k) (n + k) = Ring.choose (r + ↑k) k * Ring.choose r n
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
⊢ ↑↑I = ↑I
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
⊢ (H ⊓ K).subgroupOf K = H.subgroupOf K
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
CategoryTheory.Preadditive C
n : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n ≫ s.πSummand (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [n])) =
  s.πSummand (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [n]))
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝ : CompleteSpace F
⊢ (∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition} ×ˢ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, (integralSum f vol x.1, integralSum f vol x.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ib}) ↔ ∀ ε > 0, ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ → π₁.IsPartition → l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ → π₂.IsPartition → dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε
ι : Type u_1
α : Type u_2
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
⊢ Monotone Finsupp.support
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
ι : Type u_2
I : ι → TwoSidedIdeal R
⊢ (⨅ i, I i).ringCon = ⨅ i, (I i).ringCon
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
IsSemisimpleModule R M
Nontrivial M
⊢ ∃ m, IsSimpleModule R ↥m
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddCommMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor C j).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C i).map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.shiftComm X i j).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((CategoryTheory.shiftFunctor C i).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C j).map f))
      (CategoryTheory.shiftComm Y j i).hom)
x' : PGame
x'_num : x'.Numeric
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
h : (∀ (i : x'.LeftMoves), x'.moveLeft i < mk xl xr xL xR) ∧ ∀ (j : (mk xl xr xL xR).RightMoves), x' < (mk xl xr xL xR).moveRight j
x_num : match mk xl xr xL xR with | mk α β L R => (∀ (i : α) (j : β), L i < R j) ∧ (∀ (i : α), (L i).Numeric) ∧ ∀ (j : β), (R j).Numeric
⊢ match (mk xl xr xL xR).insertLeft x' with | mk α β L R => (∀ (i : α) (j : β), L i < R j) ∧ (∀ (i : α), (L i).Numeric) ∧ ∀ (j : β), (R j).Numeric
n : ℕ
β : Type u_1
q : Fin (n + 2) → β
⊢ Fin.tail (Fin.init q) = Fin.init (Fin.tail q)
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : X), s.indicator 1 x ∂μ = (μ s).toReal
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a : Γ
⊢ (x * (single 0) r).coeff a = x.coeff a * r
a b : ℝ
n : ℕ
h1 : ∀ (c : ℝ), (1 - c) / 2 * ((1 + c) / 2) = (1 - c ^ 2) / 4
h2 : Continuous fun x => cos (2 * x) ^ 2
h3 : ∀ (x : ℝ), cos x * sin x = sin (2 * x) / 2
h4 : ∀ (d : ℝ), 2 * (2 * d) = 4 * d
⊢ (b - a) / 8 - (sin (4 * b) - sin (4 * a)) / 32 = ∫ (x : ℝ) in a..b, ((1 - cos (2 * x)) / 2) ^ 1 * ((1 + cos (2 * x)) / 2) ^ 1
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
One β
f : α → β
x : α
⊢ x ∉ mulTSupport f ↔ f =ᶠ[𝓝 x] 1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
P : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
prime : ∀ i ∈ s, Prime (P i)
coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → P i ≠ P j
x : { x // x ∈ s } → R
⊢ ∃ y, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), y - x ⟨i, hi⟩ ∈ P i ^ e i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ ↑(toSimpleFunc f) =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)
f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }
t : Set G := f ⁻¹' {1}
t_closed : IsClosed t
t_comp : IsCompact t
st : s ⊆ t
A : ν (t \ s) ≤ μ' (t \ s)
B : μ' t = ν t
⊢ μ' s ≤ ν s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
v w : E
h : ⟪v, w⟫_𝕜 = 0
⊢ ‖w - v‖ = ‖w + v‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A B : Cᵒᵖ
g : Opposite.unop B ≅ Opposite.unop A
⊢ (CategoryTheory.isoOpEquiv A B).symm g = g.op
X : Type u_2
Y : Sort u_3
Z : Type u_1
f : X → Y
g : Z → Y
⊢ Function.PullbackSelf.map_fst ⁻¹' Function.pullbackDiagonal f = Function.pullbackDiagonal Function.Pullback.snd
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
ι : Sort u_5
S : ι → StarSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
b : ℂ
hb : b.re ≠ 0
c T : ℝ
⊢ ‖cexp (-b * (↑T + ↑c * Complex.I) ^ 2)‖ = rexp (-(b.re * (T - b.im * c / b.re) ^ 2 - c ^ 2 * (b.im ^ 2 / b.re + b.re)))
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
C : AList β → Sort u_1
H0 : C ∅
IH : (a : α) → (b : β a) → (l : AList β) → a ∉ l → C l → C (AList.insert a b l)
a : α
b : β a
l : AList β
h : a ∉ l
⊢ AList.insertRec H0 IH (AList.insert a b l) = IH a b l h (AList.insertRec H0 IH l)
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n * Cardinal.continuum = Cardinal.continuum
α : Type u
β : Type v
DecidableEq α
DecidableEq β
a : α
b : β
⊢ (PEquiv.single a b) a = some b
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
ha : ¬a = 0
hb0 : p.count b.factors = 0
⊢ p.count a.factors = 0 ∨ p.count a.factors = p.count (a * b).factors
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ e.invFun = ↑e.symm
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Ψ 0 = 0
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ
⊢ a ∣ p ^ k ∧ a < p ^ k ↔ ∃ a_1 < k, p ^ a_1 = a
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
x y : X
hxz : IsMaximal x (x ⊔ y)
hyz : IsMaximal y (x ⊔ y)
⊢ IsMaximal (x ⊓ y) y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
CategoryTheory.Epi (φ.f i)
hi : ∀ (j : ι), ¬c.Rel i j
⊢ CategoryTheory.Epi (HomologicalComplex.homologyMap φ i)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.bind₁ (WittVector.frobeniusPolyRat p)) (wittPolynomial p ℚ n) = wittPolynomial p ℚ (n + 1)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : E → ℝ
n : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ n f
hg : ContDiff ℝ n g
h : ∀ (x : E), f x ≠ 0
⊢ ContDiff ℝ n fun x => f x ^ g x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t✝ : Set α
inst✝ : BooleanAlgebra α
t : α
S : Set α
⊢ t ∈ compl '' S ↔ tᶜ ∈ S
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A : Set X
hA : Dense A
hf : ∀ (x : X), ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
⊢ ContinuousOn (extendFrom A f) univ
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
Nontrivial S
P : R[X]
hmo : P.Monic
f : R →+* S
⊢ (Polynomial.map f P).degree = P.degree
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
A : Set G
hA : μ.outerMeasure A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ U, A ⊆ ↑U ∧ μ.outerMeasure ↑U ≤ μ.outerMeasure A + ↑ε
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
this✝ : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε
this : ε ≤ ↑(G.interedges (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)).card / (↑(filter (G.Adj x) t).card * ↑(filter (G.Adj x) u).card)
⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u)).card
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x✝ : E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
x₀ x : E
hx₀ : x₀ ∈ s
hx : x ∈ s
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)
⊢ Cauchy (map (fun n => f n x) l)
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
⊢ {x | 0 x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
p : ℕ → Prop
H' : ¬p 0
H : ∃ n, p n
⊢ ∃ n, ¬p n ∧ p (n + 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha✝ : 0 < a
hb✝ : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
ha : (z - y) / (z - x) = a
hb : (y - x) / (z - x) = b
⊢ f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s : LowerSet α
⊢ 1 * s = s
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ LowerSet.Iic (⨅ i, ⨅ j, f i j) = ⨅ i, ⨅ j, LowerSet.Iic (f i j)
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
⊢ Algebra.FiniteType R (AdjoinRoot f)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
⊢ Mathlib.Vector.scanl f b Mathlib.Vector.nil = b ::ᵥ Mathlib.Vector.nil
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ x • Metric.ball 1 δ = Metric.ball x δ
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulLeftInvariant
t : G
p : G → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (t * x)) ↔ ∀ᵐ (x : G) ∂μ, p x
x y : Nat
h : x < y
⊢ ↑x < ↑y
R : Type u_6
R₂ : Type u_8
M : Type u_14
M₂ : Type u_17
ι : Type u_22
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
Module R M
Module R₂ M₂
γ : ι → Type u_25
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (γ i)
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
t : Π₀ (i : ι), γ i
g : (i : ι) → γ i →+ M
⊢ f ((DFinsupp.sumAddHom g) t) = (DFinsupp.sumAddHom fun i => f.toAddMonoidHom.comp (g i)) t
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : α
l : List α
⊢ List.map f (l.concat a) = (List.map f l).concat (f a)
R : Type u
X : Type v
CommRing R
L : Type w
LieRing L
LieAlgebra R L
f : X → L
x : X
⊢ ((FreeLieAlgebra.lift R) f) (FreeLieAlgebra.of R x) = f x
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ s = 0 ↔ ∀ (a : α), a ∉ s
α : Type u_2
DecidableEq α
DistribLattice α
s t u : Finset α
⊢ t ⊼ u ⊻ s ⊆ (t ⊻ s) ⊼ (u ⊻ s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
Z : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z).unop =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f.unop (Opposite.unop Z)
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Fintype V
NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α
⊢ (SimpleGraph.adjMatrix α G *ᵥ vec) v = ∑ u ∈ G.neighborFinset v, vec u
self : IncidenceGeometry
a b : IncidenceGeometry.Point
⊢ a ≠ b → ∃ C, IncidenceGeometry.centerCircle a C ∧ IncidenceGeometry.onCircle b C
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf
hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.obj X)
y : ↑(M₂.presheaf.obj X)
Y : C
p : Y ⟶ Opposite.unop X
x : (forget AddCommGrp).obj (M₁.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hx : (f.hom.app (Opposite.op Y)) x = (M₂.presheaf.map p.op) y
eq : (φ.app (Opposite.op Y)) ((f.hom.app (Opposite.op Y)) ((R.map p.op) r • x)) = (R.map p.op) r • (φ.app (Opposite.op Y)) ((f.hom.app (Opposite.op Y)) x)
⊢ (φ.app (Opposite.op Y)) ((R.map p.op) r • (f.hom.app (Opposite.op Y)) x) = (φ.app (Opposite.op Y)) ((R.map p.op) r • (f.hom.app (Opposite.op Y)) x)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ZNum
this : ↑(-1 + ↑n + ↑n) = ↑(↑n + ↑n + -1)
⊢ -(↑(-n) + ↑(-n) + 1) = ↑n + ↑n - 1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
h : Y✝ ⟶ Z✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso g
inst✝ : IsIso (f ≫ g)
⊢ IsIso f
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
F : CategoryTheory.Functor A B
G : CategoryTheory.Functor C D
c : C
⊢ (F.sum G).obj (Sum.inr c) = Sum.inr (G.obj c)
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
t₁ t₂ : TopologicalSpace β
B₁ B₂ : Set (Set β)
h₁ : IsTopologicalBasis B₁
h₂ : IsTopologicalBasis B₂
a : β
x✝ : Set β
⊢ x✝ ∈ image2 (fun x x_1 => x ∩ x_1) B₁ B₂ ∧ a ∈ x✝ ↔ x✝ ∈ (fun i => i.1 ∩ i.2) '' {i | (i.1 ∈ B₁ ∧ a ∈ i.1) ∧ i.2 ∈ B₂ ∧ a ∈ i.2}
G : Type u_3
InvolutiveNeg G
⊢ Function.Surjective Neg.neg
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
a : R
⊢ a ∈ { val := (cyclotomic n R).roots, nodup := ⋯ } ↔ a ∈ primitiveRoots n R
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
self : PartialDiffeomorph I J M N n
⊢ ContMDiffOn J I n self.invFun self.target
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
x y : α
⊢ ∃ x' y', x = gcd x y * x' ∧ y = gcd x y * y' ∧ IsUnit (gcd x' y')
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P x = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P y
x y : P.M α
r : R x y
⊢ ∀ (x y : P.M α), EqvGen R x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk (EqvGen R)) <$$> dest P x = (TypeVec.id ::: Quot.mk (EqvGen R)) <$$> dest P y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
𝕜' : Type u_4
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
CompleteSpace 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x)⁻¹) s
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
n : v ≠ 0
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
this : Nontrivial R
b : Basis PUnit.{u + 1} R M
⊢ Module.rank R M = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasRightHomology
inst✝² : S₂.HasRightHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂
⊢ F.map (rightHomologyMap φ) ≫ (S₂.mapRightHomologyIso F).inv = (S₁.mapRightHomologyIso F).inv ≫ rightHomologyMap (F.mapShortComplex.map φ)
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0
hc : a0 % 2 = 1
h1 : c0 < 0
⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1 ∧ 0 < c0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
g : TensorProduct R M N →ₗ[R] P
H : ∀ (x : M) (y : N), g (x ⊗ₜ[R] y) = (f x) y
⊢ g = TensorProduct.lift f
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
s : R
⊢ (p.scaleRoots s).degree = p.degree
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ X.one ▷ (X.X ⊗ N.X) ≫ (α_ X.X X.X N.X).inv ≫ X.mul ▷ N.X ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)