ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : semiOutParam (Type u_1)
self : RCLike K
z : K
⊢ ‖z‖ ^ 2 = RCLike.re z * RCLike.re z + RCLike.im z * RCLike.im z
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
V : Set X
⊢ s ⊆ interior V ↔ ∀ x ∈ s, V ∈ 𝓝 x
α : Type u_1
I : Type u_2
CommMonoid α
DecompositionMonoid α
x : α
s : I → α
t : Finset I
⊢ IsRelPrime x (∏ i ∈ t, s i) ↔ ∀ i ∈ t, IsRelPrime x (s i)
α : Type u
β : Type v
Mul β
F : FreeMagma α →ₙ* β
⊢ ∀ (a : α), FreeMagma.lift.symm F a = (⇑F ∘ FreeMagma.of) a
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
x : B
h : x ⟶ c
⊢ (t.whisker h).lift = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h t.lift
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
point✝¹ : PointClass F
a✝¹ : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝¹)
point✝ : PointClass F
a✝ : Fin 3 → F
hQ : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝)
⊢ (mk hP + mk hQ).toAffineLift = (mk hP).toAffineLift + (mk hQ).toAffineLift
α : Type u_1
Monoid α
s : Set α
⊢ MulOpposite.op 1 • s = s
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
m : Fin 1 → E
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 1 f s x) m = (fderivWithin 𝕜 f s x) (m 0)
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length
⊢ j ∈ Set.range ⇑(c.embedding i) ↔ i = c.index j
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' (Set.Ici x) x
hr : ‖f'‖ < r
⊢ ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ : ℝ
⊢ taylorWithinEval f n s x₀ x₀ = f x₀
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
x : M
⊢ (extChartAt (I.transDiffeomorph e) x).target = ⇑e.symm ⁻¹' (extChartAt I x).target
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : G.obj c ⟶ a'
⊢ (F.mapComp f g ▷ η.app c ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (η.app c)).hom ≫ F.map f ◁ η.naturality g ≫ (α_ (F.map f) (η.app b) (G.map g)).inv ≫ η.naturality f ▷ G.map g ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (G.map g)).hom) ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f ≫ G.map g) h).hom = F.mapComp f g ▷ η.app c ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (η.app c)).hom ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g ≫ η.app c) h).hom ≫ F.map f ◁ η.naturality g ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (η.app b ≫ G.map g) h).inv ≫ (α_ (F.map f) (η.app b) (G.map g)).inv ▷ h ≫ η.naturality f ▷ G.map g ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (G.map g)).hom ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f ≫ G.map g) h).hom
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
ih : cardQuot (P ^ i) = cardQuot P ^ i
this : P ^ (i + 1) < P ^ i
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
f g : (c : S) → c ∈ P ^ i → S
hg : ∀ (c : S) (hc : c ∈ P ^ i), g c hc ∈ P ^ (i + 1)
hf : ∀ (c : S) (hc : c ∈ P ^ i), a * f c hc + g c hc = c
k : (c' : S ⧸ P ^ i.succ) → c' ∈ map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i) → S
hk_mem : ∀ (c' : S ⧸ P ^ i.succ) (hc' : c' ∈ map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i)), k c' hc' ∈ P ^ i
hk_eq : ∀ (c' : S ⧸ P ^ i.succ) (hc' : c' ∈ map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i)), (mkQ (P ^ i.succ)) (k c' hc') = c'
⊢ Function.Surjective fun c' => Quotient.mk'' (f (k ↑c' ⋯) ⋯)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x)) = (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (∑ σ : L ≃ₐ[K] L, σ x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (c • toSimpleFunc f)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L := let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J; { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' = ⊥
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
a : ℝ≥0
ha : 0 < ↑a
h : ∀ i ∈ s, (p i) x < ↑a
⊢ (s.sup p) x < ↑a
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M
hy : (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R (⇑fₐ '' ↑T)
⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ ⟪x, x⟫_𝕜 = 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ f '' s = (Function.graph f).image s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
hn : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
⊢ ∑' (i : ι), extend (fun t _ht => μ t) (f i) = ∑' (i : ι), μ (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
IsRefl β s
⊢ IsRefl α r
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k ≃+* K
φ : K →+* ℂ
H : IsReal (φ.comp ↑f)
⊢ IsReal φ
step s m n : Nat
⊢ List.range' s m step <+ List.range' s n step ↔ m ≤ n
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
AddMonoid M
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
f : M →+ ι
⊢ ⇑(AddMonoidAlgebra.decomposeAux f) = ⇑(DirectSum.decompose (AddMonoidAlgebra.gradeBy R ⇑f))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
A X : C
CategoryTheory.Exponentiable A
⊢ CategoryTheory.CartesianClosed.curry (CategoryTheory.CategoryStruct.id (A ⨯ (CategoryTheory.Functor.id C).obj X)) =
  (CategoryTheory.exp.coev A).app X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor'.obj sq).right.right = sq.X₄
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₄
D₂ : Type u₅
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D₁
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} D₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₁.IsLocalization W₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₂.IsLocalization W₂
G : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
CategoryTheory.CatCommSq Φ.functor L₁ L₂ G
D₁' : Type u₄'
D₂' : Type u₅'
CategoryTheory.Category.{v₄', u₄'} D₁'
CategoryTheory.Category.{v₅', u₅'} D₂'
L₁' : CategoryTheory.Functor C₁ D₁'
L₂' : CategoryTheory.Functor C₂ D₂'
L₁'.IsLocalization W₁
L₂'.IsLocalization W₂
G' : CategoryTheory.Functor D₁' D₂'
CategoryTheory.CatCommSq Φ.functor L₁' L₂' G'
G.IsEquivalence
⊢ G'.IsEquivalence
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝ : Group G
a b : G
⊢ (fun b => b⁻¹ * a) ((fun b => a / b) b) = b
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
⊢ f⁻¹.IsCycle ↔ f.IsCycle
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
a : α
b : β
⊢ Set.image2 f {a} {b} = {f a b}
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p2 -ᵥ p1 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)
⊢ p2 -ᵥ p1 ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ p3 -ᵥ p1 = r • (p2 -ᵥ p1)
d : ℤ
⊢ Zsqrtd.norm 1 = 1
a b m n✝ p✝ n p k : ℕ
hn : n ≠ 0
h : n.factorization = single p k
⊢ p ^ 0 = 1
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
a : X
⊢ Continuous fun f => f a
α : Type u
self : EMetricSpace α
x y : α
⊢ edist x y = 0 → x = y
M : Type u_2
X : Type u_5
SMul M X
x : X
⊢ (MulActionHom.id M) x = x
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
⊢ ∀ (z : ℂ), ¬((aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1) = 0 ∧ (aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1).mirror = 0)
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
M : Matrix m m R
b : m → α
DecidableEq m
Fintype m
LinearOrder α
Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
c₁ : CategoryTheory.Limits.KernelFork S₁.g
hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsLimit c₁
hf₂ : S₂.f = 0
c₂ : CategoryTheory.Limits.KernelFork S₂.g
hc₂ : CategoryTheory.Limits.IsLimit c₂
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
comm :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Fork.ι c₁) φ.τ₂ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.Limits.Fork.ι c₂)
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData.ofIsLimitKernelFork φ hf₁ c₁ hc₁ hf₂ c₂ hc₂ f comm).right =
  CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.ofIsLimitKernelFork φ hf₁ c₁ hc₁ hf₂ c₂ hc₂ f comm
α : Type u_1
a : Array α
i j : Fin a.size
⊢ (a.swap i j).data = (a.data.set (↑i) (a.get j)).set (↑j) (a.get i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → Option γ
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
H : m.WF
g₁ : AssocList α β → List (α × γ) := fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList
H1 : ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ), filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })
⊢ (Imp.filterMap f m).WF
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
β : Type v'
n m : ℕ
φ : L.BoundedFormula α m
h : φ.IsPrenex
f : α → β ⊕ Fin n
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.relabel f φ).IsPrenex
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set (E × F)
⊢ DifferentiableOn 𝕜 Prod.snd s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U₁ U₂ V : Submodule 𝕜 E
hU : U₂ ≤ U₁
h : U₁ ⟂ V
⊢ U₂ ⟂ V
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_2
hfin : Fintype ι
H : ι → Subgroup G
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y
hind : CompleteLattice.Independent H
⊢ Function.Injective ⇑(Subgroup.noncommPiCoprod hcomm)
p : ℝ≥0∞
K : Type uK
V : Type uV
Semiring K
AddCommGroup V
Module K V
⊢ ⇑(WithLp.linearEquiv p K V) = ⇑(WithLp.equiv p V)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a
⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
a b : Prop
Decidable a
h : ¬(a → b)
⊢ a
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a ^ 2 = ↑(normSq a) ↔ a = ↑a.re
M : Type u_3
A : Type u_4
Monoid M
AddMonoid A
DistribMulAction M A
c : M
⊢ ⇑(AddMonoidHom.smulLeft c) = fun x => c • x
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
a : α
f g : α → G₀
h : α → G₀ → β
hf : ContinuousAt f a
hg : ContinuousAt g a
hh : g a ≠ 0 → ContinuousAt (↿h) (a, f a / g a)
h2h : g a = 0 → Filter.Tendsto (↿h) (𝓝 a ×ˢ ⊤) (𝓝 (h a 0))
⊢ ContinuousAt (fun x => h x (f x / g x)) a
α : Type u_1
σ : α → Type u_4
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (σ a)
⊢ ((↑l₁).sigma fun a => ↑(l₂ a)) = ↑(l₁.sigma l₂)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.76625, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
p : ℤ
r_f : (σ (p + 1 + 1)).r ≫ (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (p + 1 + 1))).f = 𝟙 (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (p + 1 + 1))).X₂ - (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (p + 1 + 1))).g ≫ (σ (p + 1 + 1)).s
⊢ ((fun p => mappingConeHomOfDegreewiseSplitXIso S σ p (p + { as := 1 }.as) ⋯) p).hom ≫ ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) 1).obj S.X₂).d p (p + 1) = (mappingCone (homOfDegreewiseSplit S σ)).d p (p + 1) ≫ ((fun p => mappingConeHomOfDegreewiseSplitXIso S σ p (p + { as := 1 }.as) ⋯) (p + 1)).hom
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p q : ℕ
hpq : p < q
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x ^ p / x ^ q) Filter.atTop (𝓝 0)
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
f g : R ≃+* S
⊢ f = g ↔ ∀ (x : R), f x = g x
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s \ t).dens + (s ∩ t).dens = s.dens
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : H → G
j : Y →ₑ[φ] X
B : Set X
hB : IsBlock G B
⊢ IsBlock H (⇑j ⁻¹' B)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : (_ : α) × β
⊢ (Equiv.sigmaEquivProd α β) a = (a.fst, a.snd)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hn : 0 < n
hs : n ≤ s.card
this : (n - s.card % n) * (s.card / n) + s.card % n * (s.card / n + 1) = s.card
⊢ (equitabilise this).parts.card = n
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
ψ : AddChar A M
⊢ ⇑ψ.toAddMonoidHom = ⇑Additive.ofMul ∘ ⇑ψ
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
IsEmpty ι
f : (i : ι) → s i
⊢ (PiTensorProduct.isEmptyEquiv ι) ((PiTensorProduct.tprod R) f) = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
∀ (X : Cᵒᵖ),
    Small.{v, max u₂ v}
      ↑((F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R X) ⋙ CategoryTheory.forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
⊢ (PresheafOfModules.limitCone F).pt = (PresheafOfModules.limitBundledCore F).toPresheafOfModules
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : Embedding ⇑f
H₂ : Embedding ⇑g
e_2✝ : ↑((cospan f g).obj WalkingCospan.one) = ↑S
⊢ ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one) = ⇑(pullback.snd f g ≫ g)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithTop.some '' Set.Iio a = Set.Iio ↑a
k : ℕ
n m : ℕ
H : Ordnode.Raised n m
⊢ Ordnode.Raised (n + k) (m + k)
a : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Set.Ioi a) = ⊤
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
LinearOrderedCommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
P.IsRootPositive B
i j : ι
⊢ 0 < P.pairing i j ↔ 0 < P.pairing j i
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
c : σ → K
⊢ (∏ n : σ, (1 - (X n - C (c n)) ^ (Fintype.card K - 1))).degrees ≤ ∑ s : σ, (Fintype.card K - 1) • {s}
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c✝ d c : M
h : a + d + c ∈ Ici (a + d)
⊢ a + d + c ∈ (fun x => x + d) '' Ici a
R : Type u_1
Semiring R
r : R
⊢ Finsupp.single 0 r = LaurentPolynomial.C r
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n
⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) (hA.eigenvalues i) ∈ spectrum 𝕜 A
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y✝ z✝ : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x z : E
hz : z ∈ s
hxz : dist x z < δ + ε
y : E
hxy : dist x y < ε
hyz : dist y z < δ
⊢ ∃ z, (∃ z_1 ∈ s, dist z z_1 < δ) ∧ dist x z < ε
p q✝ : ℤ[X]
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
m' : ℕ
x y z : ℤˣ
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑y ↑z
h1 : ↑y = -↑v
⊢ q = p ∨ q = -p ∨ q = p.mirror ∨ q = -p.mirror
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p q : Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ p ⊓ q ↔ x ∈ p ∧ x ∈ q
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial R
⊢ (p * q).reverse.coeff 1 = p.reverse.coeff 1 + q.reverse.coeff 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
R : Type u_3
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
f : E → F
x : E
c : R
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun y => c • f y) x
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.IsLimit
⊢ aleph o = ⨆ a, aleph ↑a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
X : CategoryTheory.OppositeShift C A
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorZero (CategoryTheory.OppositeShift C A) A).hom.app X =
  ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).inv.app (Opposite.unop X)).op
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
⊢ Function.Bijective ⇑e
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
α : Type u_1
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
Preorder γ
TopologicalSpace γ
OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
ha : IsLUB s a
hb : Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
⊢ b ∈ upperBounds (f '' s)
G : Type u
Group G
H : Subgroup G
g : G
q : MulAction.orbitRel.Quotient (↥(Subgroup.zpowers g)) (G ⧸ H)
k : ℤ
⊢ (H.quotientEquivSigmaZMod g) (g ^ k • Quotient.out' q) = ⟨q, ↑k⟩
α : TypeVec.{u_1} 0
β : TypeVec.{u_2} 0
f : α.Arrow β
⊢ f = TypeVec.nilFun
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
p : ℕ
CharP R p
k : ℕ
h : NeZero ↑k
⊢ ¬p ∣ k
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : OpenEmbedding ⇑f
H₂ : OpenEmbedding ⇑g
e_2✝ : ↑((cospan f g).obj WalkingCospan.one) = ↑S
⊢ ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one) = ⇑g ∘ ⇑(pullback.snd f g)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
Du : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uE uF uG, uD} D
Eu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uF uG, uE} E
Fu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uG, uF} F
Gu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uF, uG} G
isoD : Du ≃ₗᵢ[𝕜] D
isoE : Eu ≃ₗᵢ[𝕜] E
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : Du → Eu := ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
hfu : fu = ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
gu : Du → Fu := ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
hgu : gu = ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
Bu₀ : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] G := ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
hBu₀ : Bu₀ = ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
Bu : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu := ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
hBu : Bu = ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
Bu_eq : (fun y => (Bu (fu y)) (gu y)) = ⇑isoG.symm ∘ (fun y => (B (f y)) (g y)) ∘ ⇑isoD
Bu_le : ‖Bu‖ ≤ ‖B‖
su : Set Du := ⇑isoD ⁻¹' s
hsu : UniqueDiffOn 𝕜 su
xu : Du := isoD.symm x
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
DecidableEq ι
(i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
⊢ Monotone DFinsupp.support
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : EuclideanGeometry.Cospherical s
p₁ p₂ p₃ : P
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
h₃ : p₃ ∈ s
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
h₁₃ : p₁ ≠ p₃
h₂₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]