ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
G : Type u_3
NormedAddCommGroup G
InnerProductSpace ℝ G
g : F →L[ℝ] G
f : E →L[ℝ] F
S : ProperCone ℝ G
⊢ ProperCone.comap f (ProperCone.comap g S) = ProperCone.comap (g.comp f) S
X : Compactum
A : Set X.A
F : Ultrafilter X.A
hF : F ∈ Compactum.basic (Compactum.cl A)
fsu : Type u_1 := Finset (Set (Ultrafilter X.A))
ssu : Type u_1 := Set (Set (Ultrafilter X.A))
ι : fsu → ssu := fun x => ↑x
C0 : ssu := {Z | ∃ B ∈ F, X.str ⁻¹' B = Z}
AA : Set (Ultrafilter X.A) := {G | A ∈ G}
C1 : ssu := insert AA C0
C2 : Set (Set (Ultrafilter X.A)) := finiteInterClosure C1
claim1 : ∀ B ∈ C0, ∀ C ∈ C0, B ∩ C ∈ C0
claim2 : ∀ B ∈ C0, B.Nonempty
claim3 : ∀ B ∈ C0, (AA ∩ B).Nonempty
claim4 : FiniteInter (finiteInterClosure C1)
claim5 : FiniteInter C0
⊢ ∀ (T : fsu), ι T ⊆ C1 → (⋂₀ ι T).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (a ⊓ b) * (a * b * (b⁻¹ ⊔ a⁻¹)) = (a ⊓ b) * (a * b * (a ⊓ b)⁻¹)
a b✝ c d m n✝ : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
hz : z ≤ b
n : ℕ
hn : z - 1 - b = -[n+1]
⊢ HEq (match z - 1 - b with | ofNat n => inductionOn'.pos b H0 Hs n | -[n+1] => inductionOn'.neg b H0 Hp n) (Hp z hz (z.inductionOn' b H0 Hs Hp))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p₂ : ι → P
p₁ : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ -ᵥ p₂ i) = -(s.weightedVSub p₂) w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : α ≃ β
e' : β ≃ γ
e : α ≃ β
f' : PartialEquiv β γ
f'' : PartialEquiv γ δ
⊢ (e.transPartialEquiv f').trans f'' = e.transPartialEquiv (f'.trans f'')
l : Filter ℂ
hl : Complex.IsExpCmpFilter l
n : ℕ
⊢ (fun z => z.im ^ n) =o[l] fun z => Real.exp z.re
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
b : Ordinal.{u}
a : Cardinal.{u}
H : ∀ {o : Ordinal.{u}} (f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}), o.blsub f = b → a ≤ o.card
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
r : ι → ι → Prop
hr : IsWellOrder ι r
hf : (type r).blsub (bfamilyOfFamily' r f) = b
hι' : (#ι).ord = type r
⊢ a ≤ #ι
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
h_fin : μ s ≠ ⊤
hs' : s ≤ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ] univ
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : _root_.Finite ι
b : Basis ι K V
⊢ lift.{uK, uV} (Module.rank K V) = Module.rank K (Dual K V)
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m * m = n * n ↔ m = n
H : Type u_4
AddGroup H
⊢ AddGroup.FG H ↔ Group.FG (Multiplicative H)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
z : S
inj : ∀ (x : R), (algebraMap R S) x = 0 → x = 0
p : R[X]
p_ne_zero : p ≠ 0
px : (aeval z) p = 0
a : R := p.leadingCoeff
a_ne_zero : a ≠ 0
x_integral : IsIntegral R (z * (algebraMap R S) a)
⊢ ∃ x y, y ≠ 0 ∧ z * (algebraMap R S) y = ↑x
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V1
inst✝ : Module k V2
c p : P1
⊢ (homothety c 1) p = (id k P1) p
α β : Type u
f : α → β
p : PMF α
⊢ f <$> p = PMF.map f p
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ t t' : TopologicalSpace X
H : ∀ (x : X), 𝓝 x = 𝓝 x
x✝ : Set X
⊢ IsOpen x✝ ↔ IsOpen x✝
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J A B : Matrix n n R
hA : Aᵀ * J = J * -A
hB : Bᵀ * J = J * -B
⊢ J * -B * -A - J * -A * -B = J * -(A * B - B * A)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t : Ordnode α
h : t.Valid
⊢ t.dual.eraseMin.Valid
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
f : A ⟶ I
this : Mono (prod.lift (𝟙 A) f ≫ (zeroMul t).hom)
⊢ IsIso f
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite E
α : Eˣ
hα : ∀ (x : Eˣ), x ∈ Subgroup.zpowers α
⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L
n : ℕ := lineCount L p₂
hp₂ : lineCount L p₂ = n
hl₁ : pointCount P l₁ = n
hp₃ : lineCount L p₃ = n
hl₃ : pointCount P l₃ = n
hp₁ : lineCount L p₁ = n
hl₂ : pointCount P l₂ = n
⊢ ∀ (p : P), lineCount L p = n
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ W.Φ (-n) = W.Φ n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : p.NeBot
hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
hF' : ∀ᶠ (x : α) in p', Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ t → (b, a) ∈ t
htmem : t ○ t ⊆ u
hmc : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p', Tendsto (fun n => F n x.2) p (𝓝 (f x.2))
this✝ : ∀ᶠ (x : (α × ι) × ι) in (p' ×ˢ p) ×ˢ p, (F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.1 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2, F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.2 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) ∈ t ∧ Tendsto (fun n => F n ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) p (𝓝 (f ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2))
x : α
n : ι
hx : ∀ᶠ (x_1 : ι) in p, (F n x, F x_1 x) ∈ t
hm' : Tendsto (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) p (𝓤 β)
this : ∀ᶠ (x_1 : ι) in p, (F n x, F x_1 x) ∈ t ∧ (fun x_2 => (f x, F x_2 x)) x_1 ∈ t
⊢ ∃ z, (f x, z) ∈ t ∧ (z, F n x) ∈ t
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace X
⊢ ∀ (a : X) (u : Set X), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ fun U => IsClosed U ∧ IsOpen U, a ∈ v ∧ v ⊆ u
d x y z w : ℕ
xy : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
zw : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg
⊢ ({ re := ↑x, im := -↑y } + { re := -↑z, im := ↑w }).Nonneg
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
hs : IsOpen s
⊢ PartialHomeomorph.ofSet s hs ∈ analyticGroupoid I
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
S T : NonUnitalSubalgebra R A
h : ∀ (x : A), x ∈ S ↔ x ∈ T
⊢ S = T
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hdeg : finSepDegree F E = 1
x : E
hsep : IsSeparable F x
⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
x : β
y₁ y₂ : α ⧸ stabilizer α x
g₁ g₂ : α
H : g₁ • x = g₂ • x
⊢ g₁⁻¹ * g₂ ∈ stabilizer α x
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
C : ℝ
hs : (μ.restrict s) univ < ⊤
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C
this : IsFiniteMeasure (μ.restrict s)
⊢ ‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ‖ ≤ C * ((μ.restrict s) univ).toReal
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
v : E
⊢ orthogonalProjectionFn K v ∈ K
α : Type u
sep : α
⊢ List.intersperse sep List.nil = List.nil
p q : ℚ≥0
⊢ p - q = (↑p - ↑q).toNNRat
a b : ℤ
⊢ 0 ≤ a + b ↔ -b ≤ a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ CategoryTheory.Limits.pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ CategoryTheory.Limits.pullback f i
CategoryTheory.Limits.HasPullback i₁ i₂
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackDiagonalMapIso f i i₁ i₂).hom ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd i₁ i₂ =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f)
      (CategoryTheory.Limits.pullback.map (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
        (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i) f f (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i)
        (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i) i ⋯ ⋯) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
      (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
α : Type u
Semiring α
⊢ Ideal.span ∅ = ⊥
a : Cardinal.{u}
⊢ IsUnit a ↔ a = 1
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
l.NeBot
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E ⊤)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Filter.Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (nhds f)
a : α
⊢ ‖f a‖ ≤ C
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
f : BoxIntegral.Box ι → ι → ℝ
h : ∀ (J : BoxIntegral.Box ι), f J ∈ BoxIntegral.Box.Icc I
⊢ J ∈ { toPrepartition := π, tag := f, tag_mem_Icc := h } ↔ J ∈ π
α β γ✝ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (α ⊕ β → ℕ)
γ : Type u
p : Poly ((α ⊕ β) ⊕ γ)
pe : ∀ (v : α ⊕ β → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
x✝ : ∃ t, (Poly.map ((inl ⊗ inr ∘ inl) ⊗ inr ∘ inr) p) (v ⊗ t) = 0
t : β ⊕ γ → ℕ
ht : (Poly.map ((inl ⊗ inr ∘ inl) ⊗ inr ∘ inr) p) (v ⊗ t) = 0
⊢ p ((v ⊗ t ∘ inl) ⊗ t ∘ inr) = 0
α : Type u_1
r : Rel α α
x : RelSeries r
⊢ x.toList.length = x.length + 1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Infinite X
DiscreteTopology X
⊢ ¬Continuous ⇑CofiniteTopology.of.symm
c : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.trStmts₁ (Turing.PartrecToTM2.trNormal c k) ⊆ Turing.PartrecToTM2.codeSupp c k
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Comma L R)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (F.comp (CategoryTheory.Comma.snd L R)) R
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cone (F.comp (CategoryTheory.Comma.fst L R))
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cone (F.comp (CategoryTheory.Comma.snd L R))
t₂ : CategoryTheory.Limits.IsLimit c₂
⊢ (CategoryTheory.Comma.coneOfPreserves F c₁ t₂).pt.left = c₁.pt
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
a : α
as : Multiset α
bs : Multiset β
⊢ Multiset.Rel r (a ::ₘ as) bs ↔ ∃ b bs', r a b ∧ Multiset.Rel r as bs' ∧ bs = b ::ₘ bs'
n k : ℕ
⊢ (n + 1) * (n + 1) ^ (k + 1) < (n + 1 + (k + 1)) * (n + 1).ascFactorial (k + 1)
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
⊢ p ∣ a * b ↔ p ∣ a ∨ p ∣ b
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Submodule.torsionBy R M 1 = ⊥
R : Type u
k : Type y
Field R
p q : R[X]
Field k
f : R →+* k
⊢ IsCoprime (Polynomial.map f p) (Polynomial.map f q) ↔ IsCoprime p q
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
⊢ (∀ (hst : s ≠ t), (s ∆ t).max' ⋯ ∈ t) ∧ { ofColex := s } ≠ { ofColex := t } ↔ ∃ (hst : s ≠ t), (s ∆ t).max' ⋯ ∈ t
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
⊢ (∀ (x : Set Y), IsOpen xᶜ ↔ IsOpen (f ⁻¹' xᶜ)) ↔ ∀ (s : Set Y), IsClosed s ↔ IsClosed (f ⁻¹' s)
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
⊢ J.toSheafify (P ⋙ F) ≫ (J.sheafifyCompIso F P).inv = whiskerRight (J.toSheafify P) F
R : Type u
NonAssocSemiring R
s t : Set R
⊢ Subsemiring.closure (s ∪ t) = Subsemiring.closure s ⊔ Subsemiring.closure t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' φ h₁.right h₂.right = γ.right.φQ
α : Type u
a : Array α
v : α
⊢ (a.push v).size = a.size + 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : Type u_5
m : MeasurableSpace β
Sub β
MeasurableSub₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (f i - f j) (f k) μ
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ ((MvPolynomial.monomial s) a).degrees = Finsupp.toMultiset s
α : Type u
a : α
⊢ Fintype.card ↑{a} = 1
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma L R
⊢ (CategoryTheory.Comma.natTrans L R).app X = X.hom
a b c : ℕ
hc : c ≠ 0
h : c * a = b
⊢ a = b / c
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ s ⊆ closure s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → δ
hf : AEMeasurable f μ
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ t ∩ AEMeasurable.mk f hf ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] t ∩ f ⁻¹' s
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
⊢ f m * f n * ((g m)⁻¹ * (g n)⁻¹) = f m * (g m)⁻¹ * (f n * (g n)⁻¹)
α : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
⊢ μ[f|m] =ᵐ[μ.restrict s] μ[f|m₂]
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : y ∈ H
hx : ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
⊢ ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) x = 0
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
s t : CategoryTheory.Limits.Cotrident f
k : s.pt ⟶ t.pt
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.π k = t.π := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cotrident.mkHom k w).hom = k
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
h : (ghostComponent k) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })) = (ghostComponent k) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) }))
⊢ (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁷ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁶ : Countable ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : MeasurableSpace ι
inst✝³ : BorelSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j}
⊢ MeasurableSet {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j}
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
P : α → Prop
⊢ (∀ i ∈ List.ofFn f, P i) ↔ ∀ (j : Fin n), P (f j)
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 ≠ b
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x ^ n / (b * Real.exp x + c)) Filter.atTop (𝓝 0)
m n k : ℕ
⊢ (n * k + m).gcd n = m.gcd n
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
⊢ ∃ J, J.IsPrime ∧ I ≤ J ∧ Disjoint ↑F ↑J
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
ha : a ∈ frontier s
⊢ a.IsLimit
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ⊥.coprod ⊥ = ⊥
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
x : R
n : ℕ
hx : (x - x ^ 2) ^ n = 0
P : Polynomial ℤ := 1 - (1 - Polynomial.X ^ n) ^ n
⊢ IsIdempotentElem (1 - (1 - x ^ n) ^ n)
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
N : Subgroup G
Group H
f : G →* H
hN : N = f.ker
tH : Monoid.IsTorsion H
tN : Monoid.IsTorsion ↥N
⊢ Monoid.IsTorsion G
L : Type u_2
LieRing L
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
⊢ f ≠ 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.13014, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
this : S.HasHomology
⊢ IsZero h.left.H ↔ h.left.π ≫ h.iso.hom ≫ h.right.ι = 0
z✝ : ℂ
n✝ : ℕ
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
⊢ Complex.sin (↑π * z) = ((↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n))
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this✝ : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
bdA : ∀ v ∈ A, ‖‖f v - f (v + i w)‖‖ ≤ ε / ↑B
bdA2 : ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖ ≤ ε / ↑B * (volume A).toReal
this : ‖∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖‖ = ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖
⊢ volume A ≠ ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream'.Seq α
⊢ Stream'.Seq.map (g ∘ f) s = Stream'.Seq.map g (Stream'.Seq.map f s)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α
f : α → β
h : Setoid.ker f ≤ r
hf : Function.Surjective f
⊢ r.map f = r.mapOfSurjective f h hf
n m : Nat
⊢ ↑(n + m) = ↑n + ↑m
G : Type u_3
CommGroup G
a b : G
⊢ a / (a * b) = b⁻¹
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
⊢ 1 - x ∣ 1 ^ n - x ^ n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s t : Set α
ht : t ∈ f
hs : t * univ ⊆ s
⊢ s = univ
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f a : ι → E
d : ι → ℝ
h : ∀ b ∈ s, ‖f b / a b‖ ≤ d b
⊢ ‖∏ x ∈ s, f x / a x‖ ≤ ∑ b ∈ s, d b
s : List Char
h : { data := s } ≠ ""
⊢ { data := s }.toList = { data := s }.head :: ({ data := s }.drop 1).toList
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
a : ℤ
b : ℕ
hb : 1 < b
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m
h : N ≤ b
⊢ False
α : Type u_1
M : Matroid α
B₁ B₂ : Set α
he hB : M.Base ∅
h : ∅.Nonempty
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hx : 𝓟 {x} ≤ p'
⊢ Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
V : Type u_1
G₁ G₂ : SimpleGraph V
Fintype ↑G₁.edgeSet
Fintype ↑G₂.edgeSet
⊢ G₁.edgeFinset = G₂.edgeFinset ↔ G₁ = G₂
ι : Sort u_1
f : ι → Cardinal.{u_2}
⊢ ⨅ i, f i = 0 ↔ IsEmpty ι ∨ ∃ i, f i = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hfi : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ f = ∫ (x : α), ↑f x ∂μ
G : Type u
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)
j : ι
hj : exponent (M j) = 0
⊢ exponent ((i : ι) → M i) = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
ι : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommGroup N
Module R N
TopologicalSpace N
TopologicalAddGroup N
Fintype ι
DecidableEq ι
f : ContinuousMultilinearMap R (fun x => M) N
v : ι → M
⊢ (ContinuousMultilinearMap.alternatization f) v = ∑ σ : Equiv.Perm ι, Equiv.Perm.sign σ • f (v ∘ ⇑σ)
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g (p ^ n) = MvPolynomial.eval₂ f g p ^ n
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : (fun x => f₁ x - f₂ x) =O[l] g
⊢ f₁ =O[l] g ↔ f₂ =O[l] g
ι : Type u_1
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} W₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₂
e : W₁ ≌ W₂
e.functor.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
⊢ (e.mapHomologicalComplex c).inverse = e.inverse.mapHomologicalComplex c
α : Type u_1
β : Type u_2
g : Set α → Filter β
⊢ ⊤.lift g = g Set.univ
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.ψ 3 = Polynomial.C W.Ψ₃
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
ih : ∀ c ⊆ Ici a, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hax : a ≤ x
⊢ ∃ m, x ≤ m ∧ ∀ (z : α), m ≤ z → z ≤ m
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ y = x ⊓ ⊥ ↔ Disjoint y x
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
π : Ω → ℕ
r : ℝ
n : ℕ
hπn : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ n
ω : Ω
⊢ f (leastGE f r (π ω) ω) ω = f (min (π ω) (leastGE f r n ω)) ω
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
i : ι
s : Set (α i)
⊢ Set.univ.pi (Function.update (fun j => Set.univ) i s) = Function.eval i ⁻¹' s
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
h : F.Stable
⊢ ∃ n₀, ∀ (k : ℕ), F.N (n₀ + k) = I ^ k • F.N n₀
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
⊢ (μ.withDensity f).rnDeriv ν =ᵐ[ν] fun x => f x * μ.rnDeriv ν x
n : ℕ
r : ℝ
⊢ ↑n ≤ r.toNNReal ↔ ↑n ≤ r ∨ n = 0
n b f : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ) (l1 l2 : List Char), l1.length = l2.length → (b.toDigitsCore f n l1).length = (b.toDigitsCore f n l2).length
R : Type u
CommSemiring R
U : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ IsOpen U ↔ ∃ s, Uᶜ = PrimeSpectrum.zeroLocus s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F F' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F' ⟶ F
U : Cᵒᵖ
x : F'.obj U
⊢ ↑((CategoryTheory.GrothendieckTopology.toImagePresheaf f).app U x) = f.app U x
R : Type u_1
M : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
⊢ IsSMulRegular M r ↔ ∀ (x : M), r • x = 0 → x = 0
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
p : α → Prop
h : a ∉ s
H : ∀ x ∈ Finset.cons a s h, p x
x : α
⊢ x ∈ s → p x