ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} E
hW : W ≤ CategoryTheory.MorphismProperty.isomorphisms C
F : CategoryTheory.Functor C E
⊢ ∀ (x : W.IsInvertedBy F), (CategoryTheory.Localization.strictUniversalPropertyFixedTargetId W E hW).lift F x = F
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
this✝ : TopologicalAddGroup E
sr : Finset ι × ℝ
this : (sr.1.sup p).ball (x +ᵥ 0) sr.2 = x +ᵥ (sr.1.sup p).ball 0 sr.2
⊢ (sr.1.sup p).ball x sr.2 = (fun x_1 => x + x_1) '' (sr.1.sup p).ball 0 sr.2
a b c : ℕ
P : ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
base : ∃ n, ∀ m > n, P m
step : ∀ (n : ℕ), (∀ m > n, P m) → P n
n : ℕ
⊢ P n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
hxy : s(x, y) ∈ image Sym2.mk s.offDiag
⊢ (filter (fun x_1 => Sym2.mk x_1 = s(x, y)) s.offDiag).card = 2
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
i j : α
H1 : i ∈ s
H2 : j ∈ s
H3 : i ≠ j
⊢ s.min' ⋯ < s.max' ⋯
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ c.toCostructuredArrow.comp ((CategoryTheory.CostructuredArrow.toOver F c.pt).comp (CategoryTheory.Over.forget c.pt)) = F
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, deriv f a < (f y - f x) / (y - x)
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf (Type u) X
⊢ F.IsSheaf ↔ F.IsSheafUniqueGluing
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.cosZeta a s = (HurwitzZeta.expZeta a s + HurwitzZeta.expZeta (-a) s) / 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
self : CategoryTheory.Limits.IsZero X
Y : C
⊢ Nonempty (Unique (X ⟶ Y))
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ toDFinsupp s ≤ toDFinsupp t ↔ s ≤ t
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ cthickening (max 0 δ) E = cthickening δ E
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
R : Type u_1
S : Type u_2
AddZeroClass R
AddCommMonoid S
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
g : (i : ι) → β i →+ R →+ S
⊢ ⇑((DFinsupp.sumAddHom g) f) = (DFinsupp.sumAddHom fun i => (AddMonoidHom.coeFn R S).comp (g i)) f
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X✝ Y X : SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ (obj X).d (n + 1) n = ∑ i : Fin (n + 2), (-1) ^ ↑i • X.δ i
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ TopologicalSpace.coinduced (⇑h) inst✝ = inst✝¹
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Ι a b = Set.Ioc a b
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
x : ι
f : ι →₀ R
h : x ∉ ↑f.support
w : (Finsupp.total ι M R v) f = v x
p : ∀ x ∈ Finsupp.supported R R ↑f.support, ¬(Finsupp.total ι M R v) x = (Finsupp.total ι M R v) f
⊢ False
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f✝ : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
N : Type ?u.1048911
N' : Type ?u.1048914
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S g
f : M →ₗ[R] LocalizedModule S M := mkLinearMap S M
e : LocalizedModule S M →ₗ[R] LocalizedModule S M
left✝ : e ∘ₗ f = f
univ : ∀ (y : LocalizedModule S M →ₗ[R] LocalizedModule S M), (fun l => l ∘ₗ f = f) y → y = e
⊢ e = ↑(LinearEquiv.refl R (LocalizedModule S M))
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A / C⁻¹).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C⁻¹).card
α' β' : Type u_1
s : Multiset α'
f : α' → β'
⊢ f <$> s = Multiset.map f s
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S'
f : R →+* S
s : Set R
x : PrimeSpectrum S
⊢ x ∈ (fun y => { asIdeal := Ideal.comap f y.asIdeal, isPrime := ⋯ }) ⁻¹' zeroLocus s ↔ x ∈ zeroLocus (⇑f '' s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
n : ℕ
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
α : Type u_1
DecidableEq α
l l' : Multiset α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
h : l.toFinset = l'.toFinset
⊢ l = l'
q : ℚ
n₁ n₂ : ℤ
d₁ d₂ : ℕ
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0
hnd₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
hnd₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h₁₂ : n₁.natAbs.Coprime d₂
h₂₁ : n₂.natAbs.Coprime d₁
⊢ normalize ({ num := n₁, den := d₁, den_nz := hd₁, reduced := hnd₁ }.num * { num := n₂, den := d₂, den_nz := hd₂, reduced := hnd₂ }.num) ({ num := n₁, den := d₁, den_nz := hd₁, reduced := hnd₁ }.den * { num := n₂, den := d₂, den_nz := hd₂, reduced := hnd₂ }.den) ⋯ = { num := n₁ * n₂, den := d₁ * d₂, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }
α : Type u
g : Set (Set α)
a : α
this : TopologicalSpace α := generateFrom g
⊢ 𝓝 a = ⨅ s ∈ {s | a ∈ s ∧ s ∈ g}, 𝓟 s
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun x => μ ((fun y => y * x) ⁻¹' s)
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ (Filter.coLindelof X).NeBot ↔ NonLindelofSpace X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s t : Set α
⊢ Sum.inl ⁻¹' range Sum.inr = ∅
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasLimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair f 0)
w : CategoryTheory.Limits.kernel.ι f = 0
⊢ CategoryTheory.Mono f
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hc : ringChar (ZMod p) = 2
⊢ ↑(legendreSym p a) = ↑a ^ (p / 2)
K : Type u_1
LinearOrderedField K
a b c : K
h : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c
⊢ discrim a b c ≤ 0
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J → C
d : CategoryTheory.Limits.LimitBicone F
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBiproduct F
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ a⁻¹ * b = 1 ↔ a = b
R : Type u
NonAssocSemiring R
S : Set (Subsemiring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(sSup S) = ⋃ s ∈ S, ↑s
M : Type u_2
AddMonoid M
u : AddUnits Mᵃᵒᵖ
⊢ ↑(AddOpposite.unop (AddUnits.opEquiv u)) = AddOpposite.unop ↑u
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
⊢ Orthonormal 𝕜 fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)
n k : ℕ
⊢ n.succ * n.choose k = n.succ.choose k.succ * k.succ
α : Type u_1
OrderedSemiring α
a b : α
ha : a = 0
hb : b = 0
⊢ a + b = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (-f).op = -f.op
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
n : ℕ
⊢ (n + 1).factorial • multichoose (-↑n) (n + 1) = 0
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
c : ℝ≥0
h₀ : 0 < ε
⊢ l.RCond (⋯.choose c)
⊢ ↑Real.tanPartialHomeomorph.symm = Real.arctan
α : Type u_2
Mul α
s t₁ t₂ : Set α
⊢ s * (t₁ ∪ t₂) = s * t₁ ∪ s * t₂
n : Type u_2
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix n n ℝ
hM : M.IsSymm
hMq : M.toQuadraticMap'.PosDef
⊢ M.PosDef
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0
⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ a = -b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
x : R
hpq : p * q ≠ 0
⊢ rootMultiplicity x p + rootMultiplicity x q ≤ rootMultiplicity x (p * q)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
b : β
s : Stream'.WSeq α
⊢ b ∈ Stream'.WSeq.map f s → ∃ a, a ∈ s ∧ f a = b
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : Integrable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable' m (μ[f|m]) (μ.restrict s)
α : Type u
β : Type v
Nonempty α
Zero β
Infinite β
⊢ #(α →₀ β) = max (Cardinal.lift.{v, u} #α) (Cardinal.lift.{u, v} #β)
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
n : ℕ
⊢ multiplicity 2 (x ^ (n + 1) - y ^ (n + 1)) = multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(n + 1)
α : Type u_1
s : Set α
x : α
⊢ s ⊆ {x} ↔ ∀ y ∈ s, y = x
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
⊢ Perm ∘r Perm = Perm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ t
hst : _root_.Disjoint (s.erase a) t
⊢ a ∉ s.erase a ∧ _root_.Disjoint (s.erase a) t
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Finset α
a : α
⊢ { ofColex := s } ≤ { ofColex := {a} } ↔ ∀ b ∈ s, b ≤ a ∧ (a ∈ s → b = a)
R : Type u
Ring R
X₁ X₂ X₃ : Type v
AddCommGroup X₁
AddCommGroup X₂
AddCommGroup X₃
Module R X₁
Module R X₂
Module R X₃
f : X₁ →ₗ[R] X₂
g : X₂ →ₗ[R] X₃
hfg : g ∘ₗ f = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.moduleCatMk f g hfg).X₂ = ModuleCat.of R X₂
n : Nat
⊢ 0 ≠ Int.negSucc n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
B : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedCommRing B
NormedAlgebra 𝕜 B
σ : Type u_5
f : E →L[𝕜] σ → B
p : MvPolynomial σ B
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => (MvPolynomial.eval (f x)) p) Set.univ
X Y Z : CommGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ f ≫ g = MonoidHom.comp g f
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ZNum
⊢ ↑(ofZNum n) = ↑(↑n).toNat
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
t : (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U) ⊆ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts
hε : 0 ≤ ε
sp : ∀ (a b : Finset (Finset α)), a.product b = a ×ˢ b
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + ↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card / 16 ^ P.parts.card * (9 / 16) * ε ^ 2 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : CharZero 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ 𝕜
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ 𝕜
inst✝ : TopologicalDivisionRing 𝕜
x : 𝕜
⊢ Tendsto ?convert_2 atTop (𝓝 1)
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
Group α
LinearOrderedAddCommGroup β
GroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α
⊢ |f x - f y| ≤ f (x / y)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
g : β → γ
K : NNReal
h : Isometry g
⊢ LipschitzWith K (g ∘ f) ↔ LipschitzWith K f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X₁₁ X₁₂ X₂₁ X₂₂ X₃₁ X₃₂ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₃₁ : X₃₁ ⟶ X₃₂
v₃₁ : X₁₁ ⟶ X₃₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₂₁ : X₂₁ ⟶ X₃₁
v₂₂ : X₂₂ ⟶ X₃₂
s : CategoryTheory.IsPullback h₁₁ v₃₁ (v₁₂ ≫ v₂₂) h₃₁
t : CategoryTheory.IsPullback h₂₁ v₂₁ v₂₂ h₃₁
⊢ CategoryTheory.IsPullback h₁₁ (t.lift (h₁₁ ≫ v₁₂) v₃₁ ⋯) v₁₂ h₂₁
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
t : ℍ[R,c₂,c₁]
⊢ ((QuaternionAlgebra.swapEquiv c₁ c₂).symm t).imJ = t.imI
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor D T
X : T
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Comma (F.comp (CategoryTheory.Functor.id T)) (CategoryTheory.Functor.fromPUnit X)),
  ((CategoryTheory.CostructuredArrow.toOver F X).obj X_1).right = X_1.right
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : Fin n
c : Fin n →₀ R
hm : (c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i)) ∈ N
⊢ (snf.bM.repr ↑⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm⟩) (snf.f i) = (snf.bN.repr (snf.a i • ⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm⟩)) i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₁ * b₁ ≤ a₂ * b₂ → a₁ ≤ a₂ ∨ b₁ ≤ b₂
M : Type u_1
α : Type u_2
N : Type u_3
β : Type u_4
SMul M α
SMul N α
SMulCommClass M N α
SMul N β
c : M
f : α →ₑ[id] β
a : α
⊢ (DomMulAct.mk c • f) a = f (c • a)
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
AddCommMonoid M₁'
Module R M₁'
AddCommMonoid M₂'
Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
Fintype n'
Fintype m'
DecidableEq n'
DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R
N : Matrix m m' R
⊢ M * (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂) B * N =
  (LinearMap.toMatrix₂ b₁' b₂') (B.compl₁₂ ((Matrix.toLin b₁' b₁) Mᵀ) ((Matrix.toLin b₂' b₂) N))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalNatTrans.id F).app X = 𝟙 (F.obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).InnerRegularWRT p MeasurableSet
hs : univ ⊆ ⋃ n, s n
hmono : Monotone s
F : Set α
hF : MeasurableSet F
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ F
⊢ ∃ K ⊆ F, p K ∧ r < μ K
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
f : ℤ[X]
a b : ℤ
b0 : 0 < b
fab : eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f) ≠ 0
ev : ℤ
bi : K
bu : bi * (algebraMap ℤ K) b = 1
hF : (algebraMap ℤ K) ev = (algebraMap ℤ K) b ^ f.natDegree * eval ((algebraMap ℤ K) a * bi) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)
Fa : |↑ev| = ↑b ^ f.natDegree * |eval (↑a * (↑b)⁻¹) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)|
⊢ 1 ≤ ↑b ^ f.natDegree * |eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)|
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1
⊢ Continuous (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') ∧ ∀ (y : ↑(sphere 0 1)), ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) y) ∘ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) y).source)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : SemilatticeSup α
f : α → β
l : Filter β
⊢ Tendsto f atTop l ↔ ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, f b ∈ s
n : ℕ
h : 0 < n
NeZero n
⊢ Fin.ofNat' 0 h = 0
α : Type u_2
ι : Type u_5
LinearOrder α
DecidableEq ι
f : ι → α
p : Finset ι → Prop
s : Finset ι
h0 : p ∅
step : ∀ (a : ι) (s : Finset ι), a ∉ s → (∀ x ∈ s, f x ≤ f a) → p s → p (insert a s)
⊢ p s
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑(π / 2) ∨ o.oangle x y = ↑(-π / 2) ↔ x = 0 ∨ ∃ r, r • (o.rotation ↑(π / 2)) x = y
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
⊢ ∃ n, ((toEnd R L M) f ^ n) m = 0
R : Type
CommRing R
IsDomain R
K : Type
Field K
Algebra R[X] K
IsFractionRing R[X] K
f : R[X]
ι : Type u_1
g : ι → R[X]
s : Finset ι
hg : ∀ i ∈ s, (g i).Monic
hcop : (↑s).Pairwise fun i j => IsCoprime (g i) (g j)
⊢ ∃ q r, (∀ i ∈ s, (r i).degree < (g i).degree) ∧ ↑f / ∏ i ∈ s, ↑(g i) = ↑q + ∑ i ∈ s, ↑(r i) / ↑(g i)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S : Set (NonUnitalSubalgebra R A)
x : A
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ ∑ x : Perm ιa × Perm ιb, Perm.sign (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) x) • domDomCongr (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) x) (a.domCoprod b) = ∑ x : Perm ιa × Perm ιb, Perm.sign σ • (domDomCongrEquiv σ) (Perm.sign x.1 • Perm.sign x.2 • (domDomCongr x.1 a).domCoprod (domDomCongr x.2 b))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
CategoryTheory.HasRightDual X
⊢ 𝟙 Xᘁ = 𝟙 Xᘁ
ι : Type u_5
B : Type u_6
TopologicalSpace B
F : Type u_7
TopologicalSpace F
self : FiberBundleCore ι B F
i : ι
x : B
⊢ x ∈ self.baseSet i → ∀ (v : F), self.coordChange i i x v = v
α : Type u
l l' : List α
h : l'.Sublist l
⊢ l' ∈ List.sublistsLen l'.length l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
S : Set (Set α)
⊢ upperClosure (⋃₀ S) = ⨅ s ∈ S, upperClosure s
ι : Type u
β : ι → Type v
κ : Type u_1
(i : ι) → Zero (β i)
h : ι ≃ κ
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ (DFinsupp.equivCongrLeft h) f = DFinsupp.comapDomain' ⇑h.symm ⋯ f
I : Type u
f : I → Type v
i : I
DecidableEq I
(i : I) → AddGroup (f i)
g : (i : I) → f i
x : f i
⊢ Function.update g i x = g - Pi.single i (g i) + Pi.single i x
α : Type u_1
BEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ ∪ l₂ = List.foldr List.insert l₂ l₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h₀ : x ≠ 0
h₀' : ¬↑‖x‖ = 0
⊢ ⟪x, y⟫_𝕜 = ↑‖x‖ * ↑‖y‖ ↔ (↑‖y‖ / ↑‖x‖) • x = y
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
x_ne_zero : x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x => x⁻¹) s x = -(x ^ 2)⁻¹
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (W.preΨ n).natDegree ≤ (n.natAbs ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap R B) x) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1) = Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1)
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
v : ι → M
hv : Submodule.span R (Set.range v) = ⊤
inst✝ : Fintype ι
f : ι →₀ ↥I
⊢ ∀ (i : ι), ↑0 • v i = 0
α : Type u_2
Fintype α
Nonempty α
⊢ Finset.univ.dens = 1
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
ι α : Type u
t : ι → Set α
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
⊢ #↑(⋃ i, t i) < c ↔ ∀ (i : ι), #↑(t i) < c
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
AddGroup M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
f g : Π₀ (x : ι), M
⊢ (f - g).toFinsupp = f.toFinsupp - g.toFinsupp
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b = -⌊(a + p - b) / p⌋
α : Type u_1
f : α → α
⊢ Set.BijOn f (Function.periodicPts f) (Function.periodicPts f)
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
a : M
hs : IsSubmonoid s
h : a ∈ s
n : ℕ
⊢ a ^ (n + 1) ∈ s
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
g : γ → δ
f' : β' → α → δ
g' : β → β'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' b) a
⊢ image2 f' (g' '' t) ((fun a => a) '' s) = image2 f' (g' '' t) s
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h1 : g ∘ₗ f = 0
h2 : ∀ (x : N), g x = 0 → x ∈ LinearMap.range f
⊢ Function.Exact ⇑f ⇑g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty Cᵒᵖ
X Y : Cᵒᵖ
φ : W.LeftFraction X Y
⊢ φ.unop.X' = Opposite.unop φ.Y'
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
hA : A.det ≠ 0
B : E ≃L[ℝ] E := A.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hA
I : ENNReal.ofReal |(↑B.symm).det| < ↑m⁻¹
δ₀ : ℝ≥0
δ₀pos : 0 < δ₀
hδ₀ : ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g (↑B.symm) t δ₀ → μ (g '' t) ≤ ↑m⁻¹ * μ t
L1 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹
L2 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ < δ₀
⊢ ∀ (a : ℝ≥0), Subsingleton E ∨ a < ‖↑B.symm‖₊⁻¹ → ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - a)⁻¹ * a < δ₀ → ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s a → ↑m * μ s ≤ μ (f '' s)