ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
p : Submodule R₁ M₁
⊢ LinearMap.ker p.subtypeL = ⊥
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
h : Presieve.IsSheaf J₁ (Functor.closedSieves J₂)
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X
⊢ J₂.close S = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f✝ g✝ : α →ₘ[μ] β
f : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
g : α → β
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hfi : (mk f hf).Integrable
hgi : (mk g hg).Integrable
⊢ (mk f hf + mk g hg).Integrable
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
this✝ : Fact (μ ↑I < ⊤)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : ℕ → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x ↑(r x) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
x✝ : π.IsPartition
n : ℕ
m : ℝ≥0∞ := μ (π.filter fun J => N (π.tag J) = n).iUnion
this : m < ↑(δ n) / ↑n
⊢ m.toReal * ↑n ≤ ↑(δ n)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : TopologicalSpace α
f : ℝ → α
c : ℝ
hp : Periodic f c
hc : c ≠ 0
hf : Continuous f
⊢ IsCompact (f '' [[0, 0 + c]])
x : ℝ
⊢ cos (π / 2 - π / 3) = cos (π / 6)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
H.IsCartanSubalgebra
IsNoetherian R L
hp : LieModule.weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : LieModule.weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : ↥H
hx : x ∈ LieAlgebra.corootSpace α
⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(LieModule.weightSpaceChain M α χ p q))
    ((LieModule.toEnd R ↥H ↥↑(LieModule.weightSpaceChain M α χ p q)) x) =
  0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
n : ℕ
f : Fin n → σ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ (x : σ → R), (eval x) ((rename f) p) = 0
x : Fin n → R
⊢ (eval x) p = 0
R : Type u_9
M : Type u_10
N : Type u_11
Zero R
Zero M
Zero N
SMul R M
SMul R N
NoZeroSMulDivisors R N
f : M → N
hf : Function.Injective f
h0 : f 0 = 0
hs : ∀ (c : R) (x : M), f (c • x) = c • f x
⊢ NoZeroSMulDivisors R M
R : Type u_2
Ring R
IsSemisimpleRing R
I : Ideal R
⊢ ∃ e, IsIdempotentElem e ∧ I = Ideal.span {e}
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
HasUpperLowerClosure α
s : Set α
⊢ IsOpen s → IsOpen ↑(lowerClosure s)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
h : MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f (c • μ)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
I : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
J : Finset ι
⊢ MeasureTheory.cylinder I S = MeasureTheory.cylinder (I ∪ J) ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x : R
⊢ (algebraMap R (TensorAlgebra R M)) x = 1 ↔ x = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
⊢ EssFiniteType R S ↔ ∃ σ, IsLocalization (Submonoid.comap (algebraMap (↥(adjoin R ↑σ)) S) (IsUnit.submonoid S)) S
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
⊢ yn a1 n ∣ xn a1 (n * k) * yn a1 n + yn a1 (n * k) * xn a1 n
x : ℝ
⊢ DifferentiableAt ℝ Real.arctan x
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ p / q = p - 1
m n : ℕ
h : m.Coprime n
hmn0 : ¬m * n = 0
this : NeZero (m * n)
⊢ φ (m * n) = φ m * φ n
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
e : Module.Dual R M ⊗[R] M ≃ₗ[R] M →ₗ[R] M := dualTensorHomEquiv R M M
h : Function.Surjective ⇑↑e
⊢ trace R (Module.Dual R M) ∘ₗ Module.Dual.transpose = trace R M
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ (a ⇨ b) ⊓ a ≤ (b ⇨ c) ⇨ c
n : PosNum
⊢ Num.ofNat' ↑n = Num.pos n
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
⊢ (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) M
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 ≤ 1 - ε ↑n
ι : Type u_3
s : Finset ι
n : ℕ
⊢ Finsupp.toMultiset (∑ i ∈ s, Finsupp.single i n) = n • s.val
r : ℝ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ENNReal.ofReal r ≤ OfNat.ofNat n ↔ r ≤ OfNat.ofNat n
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X✝ Y✝ : C
app : (X : C) → F.obj X ≅ G.obj X
naturality : autoParam (∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), F.map f ≫ (app Y).hom = (app X).hom ≫ G.map f) _auto✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : G.map f ≫ (app Y).inv = (app X).inv ≫ F.map f
⊢ G.map f ≫ (fun X => (app X).inv) Y = (fun X => (app X).inv) X ≫ F.map f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤
h's : IsClosed s
⊢ Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝 0) (𝓝 (μ s))
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hi : Irreducible p
a b : K[X]
hab : map (algebraMap R K) p = a * b
c : R
c0 : c ≠ 0
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ a) = C ((algebraMap R K) c) * a
d : R
d0 : d ≠ 0
hd : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ b) = C ((algebraMap R K) d) * b
hcd0 : ¬C (c * d) = 0
u : Rˣ
h1 : C (c * d) * (C ↑u * (integerNormalization R⁰ b).primPart * (integerNormalization R⁰ a).primPart) = C (c * d) * p
hu : c * d * ↑u = (integerNormalization R⁰ a).content * (integerNormalization R⁰ b).content
h0 : a ≠ 0 ∧ b ≠ 0
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddGroup G
⊢ MeasureTheory.convolution 0 g L μ = 0
α : Type u_1
x : Option (Option (Option α))
⊢ x.join.join = (Option.map Option.join x).join
α : Type u_1
LinearOrder α
MulOneClass α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
hb : 1 ≤ b
⊢ min a b ≤ a * b
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
e : (Module.Dual R M ⊗[R] M × Module.Dual R N ⊗[R] N) ≃ₗ[R] (M →ₗ[R] M) × (N →ₗ[R] N) := (dualTensorHomEquiv R M M).prod (dualTensorHomEquiv R N N)
h : Function.Surjective ⇑↑e
⊢ trace R (M × N) ∘ₗ prodMapLinear R M N M N R = id.coprod id ∘ₗ (trace R M).prodMap (trace R N)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ IsIso ((G ⋙ F).map f) ↔ IsIso (G.map f)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
⊢ derivative (p.comp q) = derivative q * (derivative p).comp q
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
f : α → E
⊢ (Summable fun x => ‖f x‖) ↔ Summable f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ p₁ ∈ affineSpan k {p₂} ↔ p₁ = p₂
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ TensorAlgebra.ofDirectSum.comp TensorAlgebra.toDirectSum = AlgHom.id R (TensorAlgebra R M)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ ⇑(D.ι j).base ⁻¹' (⇑(D.ι i).base '' ↑U) = ⇑(D.f j i).base '' (⇑(D.t j i).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base ⁻¹' ↑U))
R : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
L : Type u_6
CommRing R
CommRing S
Field K
CommRing L
Algebra R S
Algebra R K
Algebra S L
Algebra K L
Algebra R L
IsScalarTower R K L
IsScalarTower R S L
s : S
⊢ minpoly K ((algebraMap S L) s) ∣ Polynomial.map (algebraMap R K) (minpoly R s)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b n : ℤ
⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b (a + b) ⋯).inv.app K).f n = (XIsoOfEq K ⋯).hom
α : Type u
β : Type u_1
l : List α
l' : List β
lp : List (α × β)
hl : List.map Prod.fst lp = l
hr : List.map Prod.snd lp = l'
⊢ lp = l.zip l'
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
H : PGame
⊢ ⟦H + G⟧ = 0 ↔ ⟦H + G⟧ = ⟦0⟧
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
⊢ ‖derivWithin f s x‖ = ‖fderivWithin 𝕜 f s x‖
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
φ₀ : E →L[𝕜] F
hφ₀ : φ₀ ∈ {L | Injective ⇑L}
K : ℝ≥0
K_pos : K > 0
H : AntilipschitzWith K ⇑↑φ₀
this : ∀ᶠ (φ : E →L[𝕜] F) in 𝓝 φ₀, ‖φ - φ₀‖₊ < K⁻¹
⊢ ∀ᶠ (y : E →L[𝕜] F) in 𝓝 φ₀, y ∈ {L | Injective ⇑L}
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
γ : (a : α) → β a → Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
f : (i : (a : α) × β a) → γ i.fst i.snd
ia : α
ib : β ia
x : γ ⟨ia, ib⟩.fst ⟨ia, ib⟩.snd
ja : α
jb : β ja
ha : ia ≠ ja
⊢ update f ⟨ia, ib⟩ x ⟨ja, jb⟩ = update (fun x y => f ⟨x, y⟩) ⟨ia, ib⟩.fst (update (fun y => f ⟨⟨ia, ib⟩.fst, y⟩) ⟨ia, ib⟩.snd x) ja jb
R : Type u
CommSemiring R
r : R
⊢ (Polynomial.C r).Separable ↔ IsUnit r
α : Type u
L₁ L₂ L₃ : List (α × Bool)
⊢ FreeAddGroup.Red L₁ L₂ → FreeAddGroup.Red L₂ L₃ → FreeAddGroup.Red L₁ L₃
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
a b : R
x : ↥(Submodule.torsionBy R M a)
⊢ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {a})) b • x = b • x
α : Type u_1
a b c : α
⊢ Sym2.Mem a s(b, c) ↔ a = b ∨ a = c
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this✝¹ : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
this✝ : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L
this : IsGalois K L := isGalois n K L
⊢ ∏ σ : L →ₐ[K] E, σ (ζ - 1) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
α : Type u_1
ι : Sort u_4
Nonempty ι
f : ι → Set α
s : Set α
hf : ∀ (i : ι), f i = s
⊢ ⋃ i, f i = s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
h : IsOpenMap (s.restrict f)
finv : β → α
hleft : LeftInvOn finv f s
⊢ ContinuousOn finv (f '' s)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₂ - f K₁
this : Continuous eval
⊢ chaar K₀ ∈ eval ⁻¹' Ici 0
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
β : Type u_6
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
hs : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
ht : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g +ᵥ x) = f x
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s) ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t)
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Submodule.span R ↑s
g : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
y : ↥(Submonoid.map (algebraMap R S) M) := commonDenomOfFinset (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s
hx₁ : ↑y • ↑s = ⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
y' : R
hy' : y' ∈ ↑M
e : (algebraMap R S) y' = ↑y
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : CategoryTheory.Dial C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv.F =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.fst))
    (CategoryTheory.Limits.prod.lift
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.snd))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd))
α : Type u_6
PartialOrder α
OrderTop α
⊢ Filter.atTop = pure ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
⊢ range (t.restrictPreimage f) = Subtype.val ⁻¹' range f
𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
S : PointedCone ℝ E
y : E
⊢ y ∈ S.dual ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ S → 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
inst✝² : Div β
inst✝¹ : MeasurableDiv₂ β
f : ι → Ω → β
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_indep : iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ IndepFun (f i / f j) (f k) κ μ
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
c : Sigma β
l : List (Sigma β)
h : (c :: l).NodupKeys
⊢ { entries := c :: l, nodupKeys := h } = AList.insert c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := ⋯ }
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A[X]
hx : IsIntegral A x
hamonic : a.Monic
ha : (Polynomial.aeval x) a = 0
left✝ : a ≠ 0
c : A[X]
hu : ¬IsUnit c
he : minpoly A x = a * c
hcm : c.Monic
h : c.natDegree ≤ 0
⊢ IsUnit 1
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ Quot.mk Setoid.r I = ↑I
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
a b : α
h : f a < f b
⊢ b < a
x y : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ rexp (log x) = |x|
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ Function.Injective LowerSet.Iic
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
F : CategoryTheory.Functor D E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
(X : C) →
    (W : J.Cover X) →
      (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)
(CategoryTheory.forget D).ReflectsIsomorphisms
⊢ (J.sheafifyCompIso F P).inv = J.sheafifyLift (CategoryTheory.whiskerRight (J.toSheafify P) F) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ Multiset.map f univ.val = ↑(List.ofFn f)
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b : α
⊢ (a / b)⁻¹ = a⁻¹ / b⁻¹
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N
⊢ (f - g).neLocus f = g.support
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : ChainComplex C ℕ
Δ Δ' : SimplexCategory
i : Δ' ⟶ Δ
CategoryTheory.Mono i
h₁ : Δ ≠ Δ'
h₂ : ¬AlgebraicTopology.DoldKan.Isδ₀ i
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K i = 0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : DecidableEq L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K' : Type u_4
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R K'
inst✝ : IsFractionRing R K'
I : ↥(Ideal R)⁰
⊢ (canonicalEquiv R⁰ K K') ↑((mk0 K) I) = ↑((mk0 K') I)
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
k : ℕ
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ Summable fun n => ↑n ^ k * rexp (-r * ↑n)
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β : Type u_3
LE β
Zero β
v₁ : α₁ → β
v₂ : α₂ → β
⊢ Sum.elim v₁ v₂ ≤ 0 ↔ v₁ ≤ 0 ∧ v₂ ≤ 0
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
i : J
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (Subtype.restrict (fun j => j ≠ i) f)
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelBiproductπIso f i).inv =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift (CategoryTheory.Limits.parallelPair (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f i) 0)
    (CategoryTheory.Limits.KernelFork.ofι (CategoryTheory.Limits.biproduct.fromSubtype f fun j => ¬j = i) ⋯)
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a : α
C : α → Sort u_2
WellFoundedGT α
H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (Order.pred a)
H_lim : (a : α) → Order.IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a
ha : ¬IsMin a
⊢ PredOrder.limitRecOn (Order.pred a) H_pred H_lim = H_pred a ha (PredOrder.limitRecOn a H_pred H_lim)
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
⊢ ℙ ≪ gaussianReal μ v
p : ℝ × ℝ
⊢ HasFDerivAt (↑polarCoord.symm)
  (LinearMap.toContinuousLinearMap
    ((Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))
      !![Real.cos p.2, -p.1 * Real.sin p.2; Real.sin p.2, p.1 * Real.cos p.2]))
  p
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
L R : Turing.ListBlank Γ
⊢ (Turing.Tape.mk' L R).right₀ = R
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
a : α
b₁ b₂ : β
PosSMulMono α β
h : a < 0
⊢ a⁻¹ • b₁ ≤ b₂ ↔ a • b₂ ≤ b₁
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
S : Submonoid M
a : α
⊢ MulAction.orbit (↥S) a ⊆ MulAction.orbit M a
M : Type u_2
Add M
S T : AddSubsemigroup M
x y : M
hx : x ∈ S
hy : y ∈ T
⊢ x + y ∈ S ⊔ T
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
⊢ ↑(⨆ i, p i) = ⨆ i, ↑(p i)
k : Type u
inst✝¹⁵ : Field k
K : Type u
inst✝¹⁴ : Field K
L : Type v
M : Type w
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Field M
inst✝¹⁰ : Algebra K M
inst✝⁹ : IsAlgClosed M
inst✝⁸ : Algebra.IsAlgebraic K L
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R S
⊢ S →ₐ[R] M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
⊢ t \ s =ᵐ[μ] t
T : ℝ
n : ℤ
x : AddCircle T
⊢ (fourier (-n)) x = (starRingEnd ℂ) ((fourier n) x)
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime x y
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
⊢ x * y ∣ z
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
h : Pairwise fun x y => T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ
a : α
hp : ↑(f.pair g) a ∈ (f.pair g).range
⊢ (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {↑(f.pair g) a})) (↑(f.pair g) a).1 = (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {↑(f.pair g) a})) (↑(f.pair g) a).2
α : Type u_1
l : Filter α
p : α → Prop
⊢ Filter.EventuallyConst p l ↔ (∀ᶠ (x : α) in l, p x) ∨ ∀ᶠ (x : α) in l, ¬p x
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
x y : αᵐᵒᵖ
⊢ nndist (MulOpposite.unop x) (MulOpposite.unop y) = nndist x y
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
t₁ t₂ : TopologicalSpace E
h₁ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
h₂ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
⊢ LocallyConvexSpace 𝕜 E
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
V : Type u_8
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace 𝕜 V
FiniteDimensional 𝕜 V
S : Submodule 𝕜 V
L : ↥S →ₗᵢ[𝕜] V
s : ↥S
⊢ L.extend ↑s = L s
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
e : Sym2 V
h : e ∈ G.incidenceSet v
⊢ e ∈ G.incidenceSet (G.otherVertexOfIncident h)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : ⨁ (n : ℕ), ⨂[R]^n M
⊢ TensorAlgebra.toDirectSum (TensorAlgebra.ofDirectSum x) = x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : C
f g : A ⟶ B
CategoryTheory.IsCoreflexivePair f g
⊢ CategoryTheory.IsCoreflexivePair g f
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
K K' : Subgroup G
⊢ K ≤ K' → Subgroup.map f K ≤ Subgroup.map f K'
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
U_le : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s
a : α
ha : Tendsto (seq hf U_mem) atTop (𝓝 a)
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
m : ℕ
hm : U m ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ f, t ×ˢ t ⊆ s ∧ ∃ y, (a, y) ∈ s ∧ y ∈ t
α : Type u_1
f : SignType → α
⊢ Set.range f = {f zero, f neg, f pos}