ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
⊢ ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C / (1 - a) * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : ↥S
p : R[X]
h : Function.Injective ⇑S.val
⊢ (aeval ↑x) p = 0 ↔ (aeval x) p = 0
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf : Inducing ⇑f
hg : Inducing ⇑g
⊢ induced (⇑prod.fst) W.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str = induced (⇑prod.fst) W.topologicalSpace_coe ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.topologicalSpace_coe
X : AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace ↔ ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ ℙ {ω | c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ ENNReal.ofReal (variance X ℙ / c ^ 2)
H K : Subgroup SL(2, ℤ)
h : H ≤ K
h2 : CongruenceSubgroup.IsCongruenceSubgroup H
⊢ CongruenceSubgroup.IsCongruenceSubgroup K
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
MulPosStrictMono α
bc : b < c
ha : 1 ≤ a
a0 : 0 < a
b0 : 0 ≤ b
⊢ b < c * a
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : M' →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ f = g
⊢ LocalizedModule.lift S g h ∘ₗ ↑(iso S f).symm = l
n : ℕ
α β : TypeVec.{u} n
F : TypeVec.{u} n → Type v
MvFunctor F
LawfulMvFunctor F
P : F α → Prop
q : F β → Prop
f : α ⟹ β
g : β ⟹ α
h₀ : f ⊚ g = TypeVec.id
h₁ : ∀ (u : F α), P u ↔ q (f <$$> u)
⊢ (∃ u, P u) ↔ ∃ u, q u
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
this : TopologicalAddGroup E
sr : Finset ι × ℝ
⊢ (sr.1.sup p).ball x sr.2 = (fun x_1 => x + x_1) '' (sr.1.sup p).ball 0 sr.2
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_11
A : Type u_12
CommSemiring R
Fintype n
Fintype m
DecidableEq m
DecidableEq n
Semiring A
Algebra R A
e : m ≃ n
⊢ (Matrix.reindexAlgEquiv R A e).symm = Matrix.reindexAlgEquiv R A e.symm
α : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
One M
One N
s : Set α
c : M
f : M → N
hf : f 1 = 1
⊢ (fun x => f (s.mulIndicator (fun x => c) x)) = s.mulIndicator fun x => f c
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
⊢ ‖F f ε z‖ ≤ 1
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
P : C
π : Y ⟶ P
w : ∀ (j₁ j₂ : J), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f j₁) π = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f j₂) π
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cotrident.ofπ π w).pt = P
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
⊢ invOneSubPow d = (Units.mkOfMulEqOne (1 - X) (mk 1) ⋯)⁻¹ ^ (d + 1)
a b : ℝ
h : ↑a < ↑b
⊢ ∃ x, ↑a < ↑↑x ∧ ↑↑x < ↑b
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x (x + y) ≤ π / 2
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ
⊢ deriv (fun x => x ^ n) x = ↑n * x ^ (n - 1)
G : Type u_10
InvolutiveNeg G
⊢ ⇑(Equiv.neg G) = Neg.neg
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E
⊢ Function.Periodic (Complex.circleTransformDeriv R z w f) (2 * π)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.refl φ).h₃ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
Nonempty α
h : Set.SurjOn f s t
⊢ Set.InvOn (Function.invFunOn f s) f (Function.invFunOn f s '' t) t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ
c : β
h_le : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (g ∘ f) a ≤ c
⊢ ∀ᵐ (a : γ) ∂Measure.map f μ, g a ≤ c
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.116671, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ opcyclesMap' e.inv h₂ h₁ ≫ opcyclesMap' e.hom h₁ h₂ = 𝟙 h₂.Q
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedDivisionRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
⊢ ⇑(DilationEquiv.smulTorsor c hk) ⁻¹' Metric.ball c ‖k‖ = Metric.ball 0 1
α : Type u_1
PartialOrder α
s : NonemptyInterval α
⊢ ↑(NonemptyInterval.dual s) = ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' ↑s
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ frontier (closedBall x r) = sphere x r
α : Type u
Monoid α
a b : α
Invertible a
⊢ ⅟a * (a * b) = b
𝕜 : Type u
A : Type v
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
Nontrivial A
⊢ spectrum 𝕜 0 = {0}
F : Type u_1
inst✝⁸ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
p : F[X]
hFE : FiniteDimensional F E
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsScalarTower F K E
x : E
hx : x ∈ p.aroots E
inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)
inst✝ : Fintype (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E)
h : IsIntegral K x
h1 : p ≠ 0
⊢ Fintype.card (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E) = Fintype.card (K →ₐ[F] E) * finrank K ↥K⟮x⟯
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ (∀ (i j : ι), f i • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) j + f j • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) i ≤ f i • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) i + f j • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) j) ↔ ∀ (i j : ι), f i • g i + f j • g j ≤ f i • g j + f j • g i
M : Type u_1
inst✝⁴ : Nonempty M
inst✝³ : Semigroup M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CompactSpace M
inst✝ : T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r
S : Set (Set M) := {N | IsClosed N ∧ N.Nonempty ∧ ∀ m ∈ N, ∀ m' ∈ N, m * m' ∈ N}
c : Set (Set M)
hcs : c ⊆ S
hc : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c
m : M
hm : m ∈ ⋂₀ c
m' : M
hm' : m' ∈ ⋂₀ c
⊢ m * m' ∈ ⋂₀ c
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
CommSemiring S₂
Algebra R S₁
Algebra R S₂
f : S₁ →ₐ[R] S₂
p : MvPolynomial σ S₁
⊢ (MvPolynomial.mapAlgHom f) p = MvPolynomial.eval₂ (MvPolynomial.C.comp ↑f) MvPolynomial.X p
a b : ℝ
hab : a < b
⊢ UniqueDiffOn ℝ (Set.Icc a b)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CategoryTheory.CommSq f i p g
l : sq.LiftStruct
⊢ l.op.l = l.l.op
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
⊢ 𝓤 α = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | edist p.1 p.2 < ε}
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k✝ r k : ℕ
⊢ ∂ ^[k] ∅ = ∅
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
I : Box ι
⊢ (match ↑I with | some val => true | none => false) = true ↔ (↑↑I).Nonempty
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ₗ D
α : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.LeftExactFunctor.forget C D).map α = α
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedCosZeta₀ 0 s = completedRiemannZeta₀ s
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
h : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a ≤ a
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
⊢ f i hi a = a
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d✝ k N : ℕ
x✝ : Fin n✝ → ℕ
n d : ℕ
x : Fin n → ℕ
hx : x ∈ box n d
⊢ ∑ i : Fin n, x i ^ 2 ∈ range (n * (d - 1) ^ 2 + 1)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
I✝ : Ideal R
y : R
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Away y S
inst✝ : IsJacobson R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
hy : y ∉ I
⊢ (map (algebraMap R S) I).IsMaximal
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : 2 ≤ n
⊢ 0 < Nat.clog b n
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂
inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄
inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.138915 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄
inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.144366 ⟶ X₂) true ≫ f₂)
inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ (pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).hom ≫ pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.fst f₃ f₄ = pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.snd f₁ f₂
ι : Type u_1
t : Finset ι
s : ι → ℕ
x : ℕ
⊢ (∏ i ∈ t, s i).Coprime x ↔ ∀ i ∈ t, (s i).Coprime x
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
x : Rˣ
⊢ (χ⁻¹ * χ) ↑x = 1 ↑x
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
r : R
φ : ⨂[R] (i : ι), s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i
x✝¹ : (i : ι) → s i
x✝ : (i : ι) → t i
⊢ ((((lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) (r • φ)))).compMultilinearMap (tprod R)) x✝¹).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((((r • lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) φ))).compMultilinearMap (tprod R)) x✝¹).compMultilinearMap (tprod R)) x✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
W X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inr ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.map f g = g ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.inr
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommRing R'
R'' : Type u_3
CommRing R''
χ φ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
⊢ (χ * φ).ringHomComp f = χ.ringHomComp f * φ.ringHomComp f
ι : Type uι
E✝ : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E✝
F : Type uF
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝⁸ : TopologicalSpace H✝
I✝ : ModelWithCorners ℝ E✝ H✝
M✝ : Type uM
inst✝⁷ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁶ : ChartedSpace H✝ M✝
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I✝ M✝
E : Type uE
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
f : BumpCovering ι M s
hf : ∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)
i : ι
⊢ LocallyFinite fun i => mulSupport ((fun x => 1) - ⇑(f i))
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
ε_top : ¬ε = ⊤
easy : ε ≤ ↑P G
aux : ↑P G - ε < liminf (fun Q => ↑Q G) (𝓝 P)
Q : ProbabilityMeasure Ω
hQ : ↑P G - ε < ↑Q G
⊢ ↑P G < ↑Q G + ε
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
τ : Type u_9
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁸ : DecidableEq ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq κ
inst✝¹⁶ : DecidableEq τ
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype κ
inst✝¹³ : Fintype τ
inst✝¹² : Finite ι'
inst✝¹¹ : Finite κ'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bP : Basis τ R P
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
f : M →ₗ[R] M'
g : N →ₗ[R] N'
i : ι'
j : κ'
i' : ι
j' : κ
⊢ (toMatrix (bM.tensorProduct bN) (bM'.tensorProduct bN')) (map f g) (i, j) (i', j') = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) ((toMatrix bM bM') f) ((toMatrix bN bN') g) (i, j) (i', j')
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f₀ f₁ : E → F
s : Set E
x v : E
h : f₀ =ᶠ[𝓝[s] x] f₁
hx : x ∈ s
⊢ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f₀ s x v ↔ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f₁ s x v
α : Type u'
⊢ (FirstOrder.Language.constantsOn α).Constants = α
α : Type u
G : Type u_1
Group G
f : G →* Function.End α
⊢ ∀ (a : G), ⇑(Equiv.symm (f.toHomPerm a)) = ↑(f.toHomUnits a)⁻¹
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
i : ι
f : (i : ι) → β i
s : { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }
⊢ i ∈ Finset.filter (fun i => { toFun := f, support' := Trunc.mk s } i ≠ 0) (↑s).toFinset ↔ { toFun := f, support' := Trunc.mk s } i ≠ 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
a : α
hf : IsLocalExtr f a
g : β → γ
hg : Antitone g
⊢ IsLocalExtr (g ∘ f) a
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
⊢ Finset.univ = Finset.cons p (Finset.map p.succAboveEmb Finset.univ) ⋯
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
h1 : 1 ∈ T
hg : g ∈ S
⊢ ↑(hST.equiv g).2 = ↑⟨1, h1⟩
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ Real.cos (InnerProductGeometry.angle x y) = ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
⊢ p.scaleRoots 1 = p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β
μ : Measure α
⊢ ∑ y ∈ f.range, μ (↑f ⁻¹' {y}) = μ univ
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / (o.oangle y (y - x)).cos = ‖y - x‖
T : ℝ
hT : T ≠ 0
a b : AddCircle T
h : a.toCircle = b.toCircle
⊢ a = b
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
⊢ LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap 0 = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : OrderedCommGroup α
inst✝ : OrderedCommGroup β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
⊢ Monovary f g⁻¹ ↔ Antivary f g
n a b : ℕ
a1 : a ≠ 1
b1 : b ≠ 1
⊢ ¬Prime (a * b)
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
⊢ max (max a b) c = max a (max b c)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝ : Category.{?u.5749, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K✝ : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
G : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
h✝ : ∀ (B : D), ∃ X f, Sieve.generate (Presieve.singleton f) ∈ K.sieves B
B : D
X : C
f : G.obj X ⟶ B
h : Sieve.generate (Presieve.singleton f) ∈ K.sieves B
⊢ Sieve.generate (Presieve.singleton f) ≤ Sieve.coverByImage G B
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝¹ : CharZero k
inst✝ : Fintype ι
h : s.card ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ s, centroidWeights k s i = 1
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
Preorder α
PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
hb : b < 0
⊢ a * b < 0
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
Z : LocallyRingedSpace
g : Y ⟶ Z
x : ↑X.toTopCat
this : IsLocalRingHom (Hom.stalkMap g (f.val.base x))
⊢ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap g (f.val.base x) ≫ Hom.stalkMap f x) = LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap g (f.val.base x)) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f x)
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
⊢ ∀ (i : ι) (y : A i), ((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A i) y) = ((mulHom A).flip ((of A ai) ax)) ((of A i) y)
m n : Nat
⊢ ↑m * ↑n = ↑(m * n)
i j k : ℤ
⊢ i.gcd j ∣ i.gcd (k * j)
x y : ℝ
a b : Cauchy abs
⊢ (Real.add { cauchy := a } { cauchy := b }).cauchy = { cauchy := a }.cauchy + { cauchy := b }.cauchy
s : Set Ordinal.{u}
hs : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s
⊢ Ordinal.IsNormal (Ordinal.enumOrd s) ↔ IsClosed s
α : Type u
a : α
s✝ t s : Set α
⊢ s.Subsingleton ∨ s.Nontrivial
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
m n k : α
⊢ k ∣ gcd k m * n ↔ k ∣ m * n
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
h : ∀ i ∈ Set.Ico n m, r i (Order.succ i)
hnm : n ≤ m
⊢ Relation.ReflTransGen r n m
R : Type u
CommRing R
X : Type v
AddCommGroup X
Module R X
Q : QuadraticForm R X
⊢ (QuadraticModuleCat.of Q).form = Q
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
b : B
h : b ∈ e.baseSet
x : F
⊢ e.coordChange e b x = x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSpace A
TopologicalSemiring A
p : Polynomial R
s : Set A
⊢ ContinuousOn (fun x => (Polynomial.aeval x) p) s
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
a b : R
hab : a ≤ b
c : R
⊢ c * a * star c ≤ c * b * star c
R : Type u
Ring R
n : ℕ
⊢ Polynomial.eval 0 (descPochhammer R n) = if n = 0 then 1 else 0
G' : Type u_1
AddGroup G'
MeasurableSpace G'
TopologicalSpace G'
TopologicalAddGroup G'
BorelSpace G'
μ' : MeasureTheory.Measure G'
Γ' : AddSubgroup G'
Countable ↥Γ'
MeasurableSpace (G' ⧸ Γ')
BorelSpace (G' ⧸ Γ')
𝓕' : Set G'
K : Type u_2
NormedField K
NormedSpace ℝ K
μ'.IsAddRightInvariant
f : G' → K
f_ℒ_1 : MeasureTheory.Integrable f μ'
g : G' ⧸ Γ' → K
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map QuotientAddGroup.mk (μ'.restrict 𝓕'))
g_ℒ_infinity : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) (MeasureTheory.Measure.map QuotientAddGroup.mk (μ'.restrict 𝓕')) ≠ ⊤
F_ae_measurable :
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (QuotientAddGroup.automorphize f)
    (MeasureTheory.Measure.map QuotientAddGroup.mk (μ'.restrict 𝓕'))
h𝓕 : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥Γ'.op) 𝓕' μ'
⊢ ∫ (x : G'), g ↑x * f x ∂μ' =
  ∫ (x : G' ⧸ Γ'),
    g x * QuotientAddGroup.automorphize f x ∂MeasureTheory.Measure.map QuotientAddGroup.mk (μ'.restrict 𝓕')
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
ht : μ t = 0
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (s ∪ t) μ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
⊢ (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ V, clPrehaar (↑K₀) V).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Div β
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
x : α
⊢ ↑(f / g) x = ↑f x / ↑g x
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ |↑(μ.testAgainstNN f₁) - ↑(μ.testAgainstNN f₂)| ≤ ↑μ.mass * dist f₁ f₂
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r✝ C✝ : ℝ
f : ℕ → α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n
hC : 0 ≤ C
⊢ CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.67791, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.67795, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s
⊢ homMk ((ofInv s hs).comp₀ (ofHom W s) (ofHom W (𝟙 Y))) = 𝟙 ((Q W).obj Y)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
f : β → Set α
hf : Pairwise (Disjoint on f)
s : Set α
h'f : ∀ (t : β), f t ⊆ s
hs : Countable ↑s
F : { t // (f t).Nonempty } → ↑s
hF : ∀ (t : { t // (f t).Nonempty }), ↑(F t) ∈ f ↑t
A : Injective F
⊢ Countable ↑{t | (f t).Nonempty}
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.17685, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.17692, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
a : M
g : ShiftedHom Y Z a
⊢ (mk₀ 0 ⋯ f).comp g ⋯ = f ≫ g
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ F.leftDerivedToHomotopyCategory.map f ≫ (Q.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom = (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
h : G.Adj u v
⊢ G.singletonSubgraph v ≤ G.subgraphOfAdj h
R : Type u
CommRing R
b c d : R
m : ℕ
⊢ preNormEDS' b c d (2 * (m + 2) + 1) =
  (preNormEDS' b c d (m + 4) * preNormEDS' b c d (m + 2) ^ 3 * if Even m then b else 1) -
    preNormEDS' b c d (m + 1) * preNormEDS' b c d (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else b
α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
hpi : ∀ (x : ι), IsPiSystem (π x)
S : Set ι
⊢ IsPiSystem (piiUnionInter π S)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Surjective ⇑(range f).subtype.dualMap
⊢ range f.dualMap = (ker f).dualAnnihilator
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hn : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N
h : lowerCrossingTime a b f N n ω = upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω
⊢ stoppedValue f (upperCrossingTime a b f N (n + 1)) ω ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
CompleteSpace α
T2Space α
f : β → α
a : α
hf : HasProd f a
g : β → γ
⊢ HasProd (fun c => ∏' (b : ↑(g ⁻¹' {c})), f ↑b) a
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
⊢ map₂ m f g = map₂ (fun a b => m b a) g f
a : Ordinal.{u}
⊢ deriv (fun x => a + x) 0 = a * ω + 0 ∧ ∀ (a_1 : Ordinal.{u}), deriv (fun x => a + x) a_1 = a * ω + a_1 → deriv (fun x => a + x) (succ a_1) = a * ω + succ a_1
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
CompactSpace α
f : C(α, β)
⊢ BoundedContinuousFunction.mkOfCompact (-f) = -BoundedContinuousFunction.mkOfCompact f