ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : ℕ
h : ∑ x ∈ n.properDivisors, x ∣ n
⊢ ∑ x ∈ n.properDivisors, x = 1 ∨ ∑ x ∈ n.properDivisors, x = n
S : CategoryTheory.Functor Type uᵒᵖ (Type u)
hs : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf CategoryTheory.typesGrothendieckTopology S
X : Type uᵒᵖ
⊢ ∀ (a : S.obj X), (CategoryTheory.equivYoneda S hs).hom.app X a = (CategoryTheory.evalEquiv S hs (Opposite.unop X)) a
K : Type u
inst✝ : Field K
m : ℕ
hm' : m ≠ 1
b : K
k : ℕ
hn : m * k ≠ 0
q : K[X]
H : Irreducible ((X ^ k - C b) * q)
this : q.degree = 0
hq : m * k = k
⊢ False
x : ℂ
⊢ sin (x - ↑π / 2) = -cos x
M : Type u_5
N : Type u_6
One M
One N
⊢ 1 = (1, 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F F' : 𝕜 → ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1
⊢ IntervalIntegrable (F' x₀) μ a b ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z ↔ {x, y, z}.Nodup
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s : Subgroup G
t : Subgroup G
h : s ≤ t
ht : IsClosed ↑t
⊢ s.topologicalClosure ≤ t
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
f g : α →Co β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
ι : Type u_4
π : ι → Type u
i : ι
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (π i)
(i : ι) → OrderBot (π i)
a : π i
h : IsAtom a
⊢ IsAtom (Function.update ⊥ i a)
V : Type u
G : SimpleGraph V
Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
⊢ 0 < G.chromaticNumber
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
⊢ ⨆ x ∈ S, F⟮x⟯ = IntermediateField.adjoin F S
c : Char
cs₁ cs₂ : List Char
i₁ i₂ : String.Pos
⊢ String.ltb { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c } { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c } =
  String.ltb { s := { data := cs₁ }, i := i₁ } { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
CategoryTheory.Limits.HasCokernel (CategoryTheory.Limits.image.ι f)
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.factorThruImage f)
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernelImageι f).hom =
  CategoryTheory.Limits.cokernel.desc (CategoryTheory.Limits.image.ι f) (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f) ⋯
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
c : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
s t : Set ℝ
intervalIntegral.FTCFilter b (𝓝[s] b) (𝓝[t] b)
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝[t] b) MeasureTheory.volume
hb : Filter.Tendsto f (𝓝[t] b ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 c)
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in a..u, f x) c s b
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
p : α → Prop
hp : Measurable p
⊢ (∀ᵐ (a : α) ∂μ, p a) ↔ μ {a | p a} = 1
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
right : b ⟶ a
self : CategoryTheory.Bicategory.IsRightAdjoint right
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Bicategory.LeftAdjoint right)
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
S : Set α
f : (x : α) → x ∈ S → Set X
ho : ∀ (s : α) (H : s ∈ S), IsGδ (f s H)
hS : S.Countable
hd : ∀ (s : α) (H : s ∈ S), Dense (f s H)
⊢ Dense (⋂ s, ⋂ (h : s ∈ S), f s h)
x : ℂ
⊢ RCLike.normSq x = Complex.normSq x
α : Type u_1
a : Array α
i : Nat
h : a.size ≤ i
⊢ a[i]? = none
α : Type u_2
InvolutiveInv α
f g : Filter α
⊢ f⁻¹ ≤ g⁻¹ ↔ f ≤ g
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ ProbabilityTheory.variance (c • X) μ = c ^ 2 * ProbabilityTheory.variance X μ
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.268852, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.268859, u_2} D
X✝ Y✝ X Y : C
c : BinaryCofan X Y
cofans : (X Y : C) → BinaryCofan X Y
colimits : (X Y : C) → IsColimit (cofans X Y)
cones : {X Y Z : C} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → PullbackCone f g
limits : {X Y Z : C} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → IsLimit (cones f g)
h₁ : ∀ {X' Y' : C} (αX : X' ⟶ X) (αY : Y' ⟶ Y) (f : (cofans X' Y').pt ⟶ c.pt), αX ≫ c.inl = (cofans X' Y').inl ≫ f → αY ≫ c.inr = (cofans X' Y').inr ≫ f → IsPullback (cofans X' Y').inl αX f c.inl ∧ IsPullback (cofans X' Y').inr αY f c.inr
h₂ : {Z : C} → (f : Z ⟶ c.pt) → IsColimit (BinaryCofan.mk (cones f c.inl).fst (cones f c.inr).fst)
⊢ IsVanKampenColimit c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ✝ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s : Set β
t : Set β := f '' toMeasurable μ (f ⁻¹' s) ∪ (range f)ᶜ
htm : MeasurableSet t
⊢ (Measure.map f μ) s ≤ μ (f ⁻¹' s)
⊢ Complex.exp (↑Real.pi * Complex.I) = -1
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : s.Nonempty
⊢ μ (0 • s) = ENNReal.ofReal |0 ^ finrank ℝ E| * μ s
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → M i
i : ι
⊢ univ.noncommProd (fun i_1 => (Pi.evalMonoidHom M i) ((MonoidHom.mulSingle M i_1) (x i_1))) ⋯ = x i
α : Type u_1
β : Type u_2
Lattice α
AddGroup α
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : Measurable f
MeasurableSup α
MeasurableNeg α
⊢ Measurable fun x => (f x)⁻
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : RestrictGermPredicate P A x ↑f
h : ∀ᶠ (z : X) in 𝓝ˢ A, g z = f z
hx : x ∈ A
⊢ ∀ (x : X), (P x ↑f ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, g x = f x) → P x ↑g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
i j : ι
⊢ Function.update x i (y i) j = if j = i then y j else x j
X : ℕ → Type u
(n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
x y : (n : ℕ) × X n
m : ℕ
hx : x.fst ≤ m
hy : y.fst ≤ m
⊢ Metric.inductiveLimitDist f x y = dist (Nat.leRecOn hx (fun {k} => f k) x.snd) (Nat.leRecOn hy (fun {k} => f k) y.snd)
α : Type u
f : α → α
n : ℕ
x : α
⊢ f^[n.succ] x = f (f^[n] x)
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
NonAssocSemiring R
⊢ HahnSeries.C 1 = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : C
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi C).obj X).decompId_i =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi C).obj X)
G : Type v
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
Group G
MulAction G X
IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ≥0∞
⊢ c • EMetric.closedBall x r = EMetric.closedBall (c • x) r
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
r r' : R₁ ⟶ R₂
h : r = r'
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightEq L r r' h).hom.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
u : R[X]ˣ
⊢ (↑u).coeff 0 ≠ 0
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace β
Preorder β
OrderTop β
OrderTopology β
l : Filter α
f g : α → β
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 ⊤)
hg : f ≤ g
⊢ Filter.Tendsto g l (𝓝 ⊤)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod
hs : a ::ₘ s ≠ ∅
p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
⊢ p (a ::ₘ s).prod
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c
⊢ (↑m / ↑d).gcd (↑c / ↑d) = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A → B
h : ∀ (x y : A), f (x + y) = f x + f y
h₀ :
  ∀ (m : R) (x : A),
    { toFun := f, map_add' := h }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := h }.toFun x
h₁ : Coalgebra.counit ∘ₗ { toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀ } = Coalgebra.counit
h₂ :
  TensorProduct.map { toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀ } { toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀ } ∘ₗ
      Coalgebra.comul =
    Coalgebra.comul ∘ₗ { toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀ }
h₃ : B → A
h₄ :
  Function.LeftInverse h₃ { toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀, counit_comp := h₁, map_comp_comul := h₂ }.toFun
h₅ :
  Function.RightInverse h₃
    { toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀, counit_comp := h₁, map_comp_comul := h₂ }.toFun
⊢ ⇑{ toFun := f, map_add' := h, map_smul' := h₀, counit_comp := h₁, map_comp_comul := h₂, invFun := h₃, left_inv := h₄,
      right_inv := h₅ } =
  f
α : Type u_1
DecidableEq α
x y : α
l : List α
⊢ (x :: y :: l).formPerm = Equiv.swap x y * (y :: l).formPerm
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G
⊢ a / b * (c / a) = c / b
G : Type u_1
AddGroup G
H₁ H₂ : AddSubgroup G
⊢ Disjoint H₁ H₂ ↔ ∀ {x : G}, x ∈ H₁ → x ∈ H₂ → x = 0
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.degree < q.degree
⊢ (p + q).leadingCoeff = q.leadingCoeff
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
H : G'.Subgraph
u v : V
⊢ (SimpleGraph.Subgraph.comap f H).Adj u v = (G.Adj u v ∧ H.Adj (f u) (f v))
x : ℝ
h : x ≠ -1
⊢ HasDerivWithinAt Real.arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) (Set.Ici x) x
F : Type u → Type u
q : QPF F
x : F (Fix F)
⊢ (mk ∘ dest) <$> x = x
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.sin (x - ↑n * Real.pi) = (-1) ^ n * Real.sin x
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
⊢ (-a).y = -a.y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
c : ℝ≥0∞
hG : CompleteSpace G
hc : c ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α), f x ∂c • μ = c.toReal • ∫ (x : α), f x ∂μ
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommGroup M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
x y : M₁
⊢ -(B x) y = (B y) x
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (1 + x ^ 2)⁻¹ = arctan b - arctan a
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), ‖-x‖ = ‖x‖
⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
G : Type u_1
A : Type u_2
H : Type u_3
Group G
MulAction G A
Monoid H
x : G
⊢ ∀ (a : A → H) (a_1 : A), (mulAutArrow x) a a_1 = (x • a) a_1
z : ℂ
x : ℝ
⊢ z / ↑x = { re := z.re / x, im := z.im / x }
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
i : ι
hi : ‖F i‖ ≤ C
hC : 0 ≤ C
hp : p < ⊤
⊢ ‖f‖ ≤ C
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → σ →₀ ℕ
⊢ (MvPolynomial.monomial (∑ i ∈ s, f i)) 1 = ∏ i ∈ s, (MvPolynomial.monomial (f i)) 1
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : { x // x ∈ e.source }
⊢ map Subtype.val (comap (⇑e.toHomeomorphSourceTarget) (comap Subtype.val (𝓝 ↑(e.toHomeomorphSourceTarget x)))) = map Subtype.val (comap Subtype.val (comap (↑e) (𝓝 (↑e ↑x))))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ (fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s}) =ᶠ[ae (κ a)] 0 ↔ (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᶠ[ae (κ a)] 0
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
p : ι → Prop
DecidablePred p
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ (DFinsupp.subtypeDomain p f).support = Finset.subtype p f.support
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ ∈ s
n : Num
⊢ ↑n.pred = (↑n).pred
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b : α
H : a < b
⊢ Set.Icc a b ∈ 𝓝[≤] b
R : Type u
Ring R
DecidableEq R
p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R
⊢ Polynomial.rootMultiplicity a p = Nat.find ⋯
α : Type u
l : List α
a : α
n : ℕ
⊢ a ∈ l.rotate n ↔ a ∈ l
s : String
p : String.Pos
⊢ String.Pos.Valid s p → p ≤ s.endPos
G : Type v
Group G
PseudoMetricSpace G
IsometricSMul G G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
⊢ dist a⁻¹ b⁻¹ = dist a b
α : Type u_1
Mul α
i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
PartialOrder α
a : α
ha : MulLECancellable a
⊢ Function.Injective fun x => x * a
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
hab : a < b
⊢ ∫⁻ (x : Ω), upcrossings a b f x ∂μ ≠ ⊤
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
a : A
r : R
ha : (aeval a) p = 0
⊢ ∀ (s₁ s₂ : R), Commute ((algebraMap R A) s₁) ((algebraMap R A) s₂)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring A
Semiring B
Module A M
Module B M
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R B M
SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
a : A
m : M
hm : m ∈ p
⊢ a • m ∈ p
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
d : 𝕜'
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => c x / d) (c' / d) s x
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LeftCancelMonoid G
inst✝ : Finite G
x✝ y : G
n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, AEStronglyMeasurable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => (Multiset.map (fun f => f x) s).prod) μ
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
⊢ EMetric.closedBall x ⊤ = Set.univ
M : Type u_2
R : Type u_3
Ring R
Monoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : R →* M
x y : R
⊢ f (x - y) = f (y - x)
α : Type u_1
β : Type u_2
mβ : MeasurableSpace β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {f : ℕ → α → β} {p : ℕ → α → Prop} [inst : (n : ℕ) → DecidablePred (p n)],
  (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) →
    (∀ (n : ℕ), MeasurableSet {x | p n x}) → ∀ (h : ∀ (x : α), ∃ n, p n x), Measurable fun x => f (Nat.find ⋯) x
R : Type u
CommSemiring R
f g : R
⊢ PrimeSpectrum.basicOpen (f * g) = PrimeSpectrum.basicOpen f ⊓ PrimeSpectrum.basicOpen g
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α
⊢ ↑(⨆ i, ⨆ j, f i j) = ⋃ i, ⋃ j, ↑(f i j)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts D
F : C ⥤ D
F.Additive
X : C
⊢ (CategoryTheory.Mat_.embeddingLiftIso F).hom.app X = CategoryTheory.Limits.biproduct.desc fun x => 𝟙 (F.obj X)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
g : G
P : Sylow p G
h : (↑P).Normal
⊢ g • P = P
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ ∀ (Z : Type u) [inst : TopologicalSpace Z], IsClosedMap (Prod.map f id)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ 0 = ⟦0⟧
b : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NFBelow b
h₂ : o.NFBelow b
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h' : (e'.oadd n' a').NFBelow b
⊢ (e.addAux n (e'.oadd n' a')).NFBelow b
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.Subperm [] ↔ l = []
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ comap norm atTop = cobounded E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s t : Set α
a : α
h : IsUpperSet sᶜ
⊢ IsLowerSet s
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y * (z - x) < (z - y) * f x + (y - x) * f z
⊢ f y * (z - y) + f y * (y - x) < f x * (z - y) + f z * (y - x)
C : Type u_6
AddCommGroup C
s t : AddSubgroup C
x : C
⊢ x ∈ s ⊔ t ↔ ∃ y z, ↑y + ↑z = x
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : Group H
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MulAction H β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
h : IsFundamentalDomain G s μ
g g' : G
x : α
⊢ (MulAction.toPerm g) ((fun x => { toFun := fun g' => g⁻¹ * g' * g, invFun := fun g' => g * g' * g⁻¹, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } g' • x) x) = (fun x => g' • x) ((MulAction.toPerm g) x)
α : Type u_1
a : α
⊢ a ∉ Sym.nil
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) X Y).hom ≫ (λ_ (X ⊗ Y)).hom = (λ_ X).hom ⊗ 𝟙 Y
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x✝ : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e₁ e₂ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
x : F
⊢ proj (↑e₁.symm (b, x)) ∈ e₁.baseSet
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight N.X) (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = RightUnitorBimod.hom M ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one
α : Type u_1
a b c d : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
MulPosMono α
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d
a0 : 0 ≤ a
d0 : 0 ≤ d
⊢ a * c ≤ b * d
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : Set α
hs : P s
⊢ (MeasureTheory.inducedOuterMeasure m P0 m0) s = MeasureTheory.extend m s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ S.Exact ↔
  ∀ ⦃A : C⦄ (x₂ : A ⟶ S.X₂),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp x₂ S.g = 0 →
      ∃ A' π,
        ∃ (_ : CategoryTheory.Epi π),
          ∃ x₁, CategoryTheory.CategoryStruct.comp π x₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp x₁ S.f
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Mon_ (C ⥤ C)
X : C
⊢ (whiskerRight M.mul M.X ≫ M.mul).app X = (whiskerLeft M.X M.mul).app X ≫ M.mul.app X
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsCoseparator G ↔ (CategoryTheory.yoneda.obj G).Faithful
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
RCLike 𝕜
p : A → Prop
NormedRing A
StarRing A
TopologicalRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (NormedSpace.exp 𝕜) a = NormedSpace.exp 𝕜 a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ ⋃ y ∈ Set.range f, f ⁻¹' {y} = Set.univ
n : ℕ
c : ℝ
⊢ (iteratedDeriv n fun s => rexp (c * s)) = fun s => c ^ n * rexp (c * s)
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
Aₙ : ℚ
nth_num_eq : (of v).nums n = ↑Aₙ
Bₙ : ℚ
nth_den_eq : (of v).dens n = ↑Bₙ
⊢ (of v).convs n = ↑(Aₙ / Bₙ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a b : α
s : Finset α
⊢ (∃ a, s = {a}) ↔ ∃! a, a ∈ s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
f : R →+* S
⊢ map f (dickson k a 1) = dickson k (f a) 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : (comap m g).NeBot
⊢ g.NeBot