ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
⊢ DifferentiableWithinAtProp I I' (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x) ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
h : n < m
f : ℕ → ℚ := fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
hf : f = fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
i : ℕ
h₁ : i ∈ range (n + 1)
⊢ f i - f (i + 1) = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
⊢ Nonempty (Field α) ↔ IsPrimePow ‖α‖
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
f : ((a : ι) → A a) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
this : Nontrivial ι
h0 : 1 < ↑#ι
⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ (1 / (↑#ι - 1)) ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f✝ g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Zero β
s : Set α
f : α → β
hs : MeasurableSet s
hf : StronglyMeasurable f
hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0
g_seq_s : ℕ → α →ₛ β := fun n => (hf.approx n).restrict s
hg_eq : ∀ x ∈ s, ∀ (n : ℕ), ↑(g_seq_s n) x = ↑(hf.approx n) x
hg_zero : ∀ x ∉ s, ∀ (n : ℕ), ↑(g_seq_s n) x = 0
⊢ ∃ fs, (∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(fs n) x) atTop (𝓝 (f x))) ∧ ∀ x ∉ s, ∀ (n : ℕ), ↑(fs n) x = 0
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c d : α
h₁ : c ≤ b
h₂ : a ≤ d
⊢ Set.Icc a b ∪ Set.Icc c d = Set.Icc (min a c) (max b d)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (y : β), ∫⁻ (x : α), f (x, y) ∂μ ∂ν
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
s : Set A
⊢ (StarAlgebra.adjoin R s).toSubalgebra = Algebra.adjoin R (s ∪ star s)
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a : α
ha : IsMax a
⊢ ¬InfPrime a
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
s : Set α
⊢ TotallyBounded s ↔ ∀ U ∈ 𝓝 1, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, y • U
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
s : Stream'.WSeq α
t : Stream'.WSeq β
H : Stream'.WSeq.LiftRel R s t
b : β
h : b ∈ t
⊢ ∃ a, a ∈ s ∧ R a b
n : ℕ
A : Type u_2
AddGroup A
f : { f // f ↑n = 0 }
⊢ ((ZMod.lift n) f).comp (Int.castAddHom (ZMod n)) = ↑f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C (Type w)
τ₁ : F ⟶ F₁
τ₂ : F ⟶ F₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.FunctorToTypes.prod.lift τ₁ τ₂)
    CategoryTheory.FunctorToTypes.prod.fst =
  τ₁
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s t : Finset α
⊢ (s * t).Nonempty → t.Nonempty
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
⊢ CategoryTheory.Mono S.g
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocDiv hp a (b + p) = toIocDiv hp a b + 1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
l : List ι
x : ι → 𝔸'
⊢ ∑ i : Fin l.length, (List.map x (List.take (↑i) l)).prod • (proj (l.get i)).smulRight (List.map x (List.drop (↑i).succ l)).prod = (List.map (fun i => (List.map x (l.erase i)).prod • proj i) (List.map l.get (List.finRange l.length))).sum
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ Disjoint (a ⊓ b) (a ⊓ b)ᶜ
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↥(pbo f)
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
⊢ ℕ
M : Type u_4
Monoid M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : M
⊢ a ^ (n - 1) * a = a ^ n
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
g : C(X, E)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f
hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖
g' : X →ᵇ E := ofNormedAddCommGroup ⇑g ⋯ ‖f‖ hg_mem
⊢ ‖g'‖ = ‖f‖
α : Type u_1
s₁ s₂ : Set α
⊢ s₁ ×ˢ s₁ ⊂ s₂ ×ˢ s₂ ↔ s₁ ⊂ s₂
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
WfDvdMonoid R
r : R
hr : ∃ x, Irreducible x
⊢ Squarefree r ↔ ∀ (x : R), Irreducible x → ¬x * x ∣ r
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c * d y) (c * d') s x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
DecidableRel c.Rel
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber (CategoryTheory.Limits.biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
i : ι
⊢ HomologicalComplex.cylinder.inrX K i ≫ (HomologicalComplex.cylinder.π K).f i =
  (CategoryTheory.Limits.biprod.desc (𝟙 K) (𝟙 K)).f i
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ mapFun (⇑f) n.unaryCast = ↑n
R S : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
H : LocalizationPreserves P
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
hf : P f
⊢ P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - a) = p
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
k : ℤ
γ : SL(2, ℤ)
z : ℍ
⊢ denom (↑γ) z ^ k * ∑' (x : ↑(gammaSet N a)), eisSummand k (↑x ᵥ* ↑γ) z = denom (↑γ) z ^ k * ∑' (x : ↑(gammaSet N (a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)))), eisSummand k (↑x) z
G : Type u_1
Add G
A B : Finset G
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hA1 : A.card ≤ 1
hB1 : B.card ≤ 1
⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueAdd A B a b
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
b : G₀
hb : b ≠ 0
a : G₀
⊢ b / (a * b) = a⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
a' : List α
suff' : a' <:+ a
⊢ ∃ a, a <:+ xs ∧ levenshtein C a ys = levenshtein C a' ys
α : Type u_1
MulOneClass α
PartialOrder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 ≤ b
hab : a * b ≤ 1
⊢ b = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f
hs : TotallyBounded (f '' s)
⊢ TotallyBounded s
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∉ s → f x = 0
⊢ ∫ (x : X) in univ, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
A : Comon_ C
⊢ A.counit = CategoryTheory.Limits.terminal.from A.X
δ : Type u_1
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
∀ (i : δ), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq δ
s : Finset δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
i : δ
hi : i ∈ s
x : (i : δ) → π i
⊢ (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) x = ∫⁻ (xᵢ : π i), (∫⋯∫⁻_s.erase i, f ∂μ) (Function.update x i xᵢ) ∂μ i
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
h_ac : ν ≪ ν + ν'
h₁ : (μ.singularPart ν' + ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae (ν + ν')] (μ.singularPart ν').rnDeriv (ν + ν') + (ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv (ν + ν')
h₂ : (μ.singularPart ν' + ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν').rnDeriv ν + (ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv ν
⊢ (μ.singularPart ν' + ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν' + ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv ν
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
this✝¹ : MeasurableSpace (β × β) := borel (β × β)
this✝ : BorelSpace (β × β)
⊢ MeasurableSet {a | f a ≤ g a}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤
x : α
hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal < ⊤
hppos : 0 < p.toReal
this : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop = liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal
⊢ liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop < ⊤
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
s : Multiset (Associates α)
p : Associates α
hp : Prime p
⊢ p ≤ s.prod → ∃ a ∈ s, p ≤ a
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
p : β → Prop
μ : Measure α
⊢ (∀ᵐ (x : β) ∂Measure.map f μ, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
n : ℕ∞
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
hf : ContMDiffOn IM IB n f s
hg : ContMDiffOn IM 𝓘(𝕜, F) n g s
he : Set.MapsTo f s e.baseSet
he' : Set.MapsTo f s e'.baseSet
⊢ ContMDiffOn IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => e.coordChange e' (f y) (g y)) s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T3Space X
x y : X
h : x ≠ y
U₁ U₂ : Set X
U₁_op : IsOpen U₁
U₂_op : IsOpen U₂
x_in : x ∈ U₁
y_in : y ∈ U₂
H : Disjoint U₁ U₂
V₁ : Set X
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 x
V₁_closed : IsClosed V₁
h₁ : V₁ ⊆ U₁
⊢ ∃ U₁ ∈ 𝓝 x, ∃ V₁ ∈ 𝓝 x, ∃ U₂ ∈ 𝓝 y, ∃ V₂ ∈ 𝓝 y, IsClosed V₁ ∧ IsClosed V₂ ∧ IsOpen U₁ ∧ IsOpen U₂ ∧ V₁ ⊆ U₁ ∧ V₂ ⊆ U₂ ∧ Disjoint U₁ U₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ ⋃ i, ⋃ j, s i j = univ ↔ ∀ (a : α), ∃ i j, a ∈ s i j
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
P.RespectsIso
restrict : ∀ {X Y : AlgebraicGeometry.Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : Y.Opens), P f → P (f ∣_ U)
of_sSup_eq_top :
  ∀ {X Y : AlgebraicGeometry.Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens),
    iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
⊢ AlgebraicGeometry.IsLocalAtTarget P
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
Pb : P ≠ ⊥
hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
m : ↥P
hm : m ≠ 0
pp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) ↑m = 0
⊢ Function.Injective ⇑(mapRingHom (Quotient.mk (comap C P)))
x✝ x y : ℝ
h : x ≤ y
n : ℕ
⊢ √(2 + x.sqrtTwoAddSeries n) ≤ √(2 + y.sqrtTwoAddSeries n)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
hr : 0 < r
k : ℕ
hk : m - n.succ = k
⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ PreconnectedSpace α ↔ IsPreconnected Set.univ
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
s : Set R
⊢ Ideal.map f (Ideal.span s) = Ideal.span (⇑f '' s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : Cᴹᵒᵖ
⊢ (β_ X Y).hom.unmop = (β_ Y.unmop X.unmop).hom
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Fintype F
inst✝³ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
F' : Type u_2
inst✝² : Field F'
inst✝¹ : Fintype F'
inst✝ : DecidableEq F'
hF' : ringChar F' ≠ 2
h : ringChar F' ≠ ringChar F
χ : MulChar F F' := (quadraticChar F).ringHomComp (algebraMap ℤ F')
⊢ (quadraticChar F) ↑(Fintype.card F') = (quadraticChar F') (↑((quadraticChar F) (-1)) * ↑(Fintype.card F))
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ (Set.range Sum.inr)ᶜ = Set.range Sum.inl
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
c : MeasureTheory.ComplexMeasure α
μ : MeasureTheory.VectorMeasure α ℝ≥0∞
⊢ c ≪ᵥ μ ↔ MeasureTheory.ComplexMeasure.re c ≪ᵥ μ ∧ MeasureTheory.ComplexMeasure.im c ≪ᵥ μ
ι : Type u_4
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M
⊢ (Q.toBilin bm).toQuadraticMap x = Q x
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
C : Set (Set P)
hidl : ∀ I ∈ C, IsIdeal I
hD : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) C
hNe : C.Nonempty
⊢ ∃ s ∈ C, s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
⊢ ContinuousAt (fun f => ∫ (x : β), ∫ (y : γ), ↑↑f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a) g
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
hs : IsCompact s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
hdt : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t
⊢ s ⊆ ⋃ i, (compl ∘ t) i
α : Type u
Fintype α
⊢ Cardinal.toPartENat (Cardinal.mk α) = ↑(Fintype.card α)
a b : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Set.Ioc a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
s : Finset β
f : β → α
⊢ ∏' (x : { x // x ∈ s }), f ↑x = ∏ x ∈ s, f x
R : Type u
Semiring R
q : ℕ
ExpChar R q
n : ℕ
⊢ 0 < q ^ n
x y : Bool
⊢ x ≤ y → y ≤ x → x = y
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
⊢ b ∈ Part.fix (⇑f) a ↔ ∃ i, b ∈ Part.Fix.approx (⇑f) i a
a b : Prop
⊢ Xor' a ¬b ↔ (a ↔ b)
α : Type u
β : Type u_1
w x✝ y✝ z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
x y : α
⊢ x \ y ⊓ (x ⊓ y) = ⊥
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
⊢ eval y (basisDivisor x y) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : CompleteLatticeHom α α
a : α
⊢ ∀ (i : ℕ), (⇑f)^[i + 1] a ≤ ⨆ i, (⇑f)^[i] a
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
h1 : (oneCochainsLequiv A).toModuleIso.hom ≫ ModuleCat.ofHom (dOne A) = (inhomogeneousCochains A).d 1 2 ≫ (twoCochainsLequiv A).toModuleIso.hom
h2 : (twoCochainsLequiv A).toModuleIso.hom ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = (inhomogeneousCochains A).d 2 3 ≫ (threeCochainsLequiv A).toModuleIso.hom
⊢ ModuleCat.ofHom (dOne A) ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = 0
𝕜 : Type u
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
SeminormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
k n : ℕ
f : MultilinearMap 𝕜 (fun x => G) G'
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
z : G
C : ℝ
H : ∀ (m : Fin n → G), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : Fin n, ‖m i‖
v : Fin k → G
⊢ ‖(f.restr s hk z) v‖ ≤ C * ‖z‖ ^ (n - k) * ∏ i : Fin k, ‖v i‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommMonoid E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.OrdConnected
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ Convex 𝕜 s
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
a : R
⊢ EuclideanDomain.gcd 0 a = a
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : BorelSpace X
inst✝⁸ : R1Space X
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
inst✝⁴ : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ν
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
hp₀ : p ≠ 0
⊢ Continuous fun gf => (compMeasurePreserving ⇑↑gf.2 ⋯) gf.1
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring k
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Module k V
ρ : Representation k G V
H : Type u_4
inst✝ : MulAction G H
g : G
f : H →₀ k
h : H
⊢ (((ofMulAction k G H) g) f) (g • g⁻¹ • h) = f (g⁻¹ • h)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Nontrivial k
AddZeroClass G
⊢ Function.Injective ⇑(AddMonoidAlgebra.of k G)
α : Type u_2
InvolutiveNeg α
f g : Filter α
⊢ -f ≤ g ↔ f ≤ -g
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α
f : α → β
h : ker f ≤ r
hf : Surjective f
⊢ r.map f = r.mapOfSurjective f h hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ t
⊢ a ∉ s \ t
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
CommRing B
IsDedekindDomain B
L : Ideal B
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
g : A ⧸ J →+* B ⧸ L
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ (idealFactorsFunOfQuotHom hg).comp (idealFactorsFunOfQuotHom hf) = idealFactorsFunOfQuotHom ⋯
α : Type u_1
DecidableEq α
f g : Π₀ (_a : α), ℕ
⊢ DFinsupp.toMultiset f = DFinsupp.toMultiset g ↔ f = g
a b c d d' : List Γ'
x : K'
⊢ update (elim a b c d) stack d' x = elim a b c d' x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
x : M
s : Set M
f : M → E'
g : M → E''
hf : MDifferentiableWithinAt I 𝓘(𝕜, E') f s x
hg : MDifferentiableWithinAt I 𝓘(𝕜, E'') g s x
⊢ MDifferentiableWithinAt I 𝓘(𝕜, E' × E'') (fun x => (f x, g x)) s x
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : IsKleinFour G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y
⊢ {x * y, x, y, 1} = univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
carrier : TopCat
presheaf : TopCat.Presheaf C carrier
h : { carrier := carrier, presheaf := presheaf }.presheaf.IsSheaf
⊢ ↑{ carrier := carrier, presheaf := presheaf, IsSheaf := h }.toPresheafedSpace = carrier
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Add M
Add N
Add P
g₁ g₂ : AddHom N P
f : AddHom M N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
s : Set M₁
x : M₁
⊢ ContinuousWithinAt (⇑e) s x
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
hs : LinearIndependent K fun (b : ↑s) => ↑b
hx : x ∉ span K s
⊢ LinearIndependent K fun (b : ↑(s ∪ {x})) => ↑b
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter α
g : Filter β
t : Set β
⊢ t ∈ f • g ↔ ∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ g, t₁ • t₂ ⊆ t
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
IsIntegralClosure A R B
Algebra R A
IsScalarTower R A B
⊢ Algebra.IsIntegral R A
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E✝ : EllipticCurve R
C✝ C C' : WeierstrassCurve.VariableChange R
E : EllipticCurve R
⊢ { toWeierstrassCurve := (E.variableChange C').variableChange C, Δ' := (C.comp C').u⁻¹ ^ 12 * E.Δ', coe_Δ' := ⋯ } = { toWeierstrassCurve := (E.variableChange C').variableChange C, Δ' := C.u⁻¹ ^ 12 * (C'.u⁻¹ ^ 12 * E.Δ'), coe_Δ' := ⋯ }
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ
h : ContMDiffOn I I' (↑n.succ) f s
⊢ ContMDiffOn I I' (↑n) f s
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Finset α
⊢ { ofColex := s } < { ofColex := t } ↔ ∃ (hst : s ≠ t), (symmDiff s t).max' ⋯ ∈ t
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s t : Set E
⊢ (convexHull R) (s + t) = (convexHull R) s + (convexHull R) t
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
B₁ : ℤ[X]
hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B
left✝ : B₁.degree = B.degree
hB₁mo : B₁.Monic
Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁
huniq : (X ^ k - 1) /ₘ B = cyclotomic' k K ∧ (X ^ k - 1) %ₘ B = 0
⊢ ∃ x, (mapRingHom (Int.castRingHom K)) x = cyclotomic' k K
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
inst✝³ : Functor F
inst✝² : Functor G
inst✝¹ : LawfulFunctor F
inst✝ : LawfulFunctor G
α β γ : Type v
g' : α → β
h : β → γ
x : F (G α)
⊢ Comp.map (h ∘ g') (mk x) = Comp.map h (Comp.map g' (mk x))