ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type v
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
⊢ ∀ {X Y : ι} (hij : X ⟶ Y), (ModuleCat.directLimitDiagram G f).map hij = f X Y ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X : C
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₁ (CategoryTheory.CategoryStruct.id F) = id
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
⊢ PiTensorProduct.injectiveSeminorm ≤ PiTensorProduct.projectiveSeminorm
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ x ∈ ⇑(mixedEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap '' ↑↑I ↔ x ∈ ⇑(mixedEmbedding K) '' ↑↑I
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
a : G
h : ∀ (b : Gᵐᵒᵖ), a • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s
this : 1 * op a ∈ s
⊢ a ∈ s.unop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ⨆ n, (eapprox f n).lintegral (Measure.map g μ) = ⨆ n, (eapprox (f ∘ g) n).lintegral μ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ W.Nonsingular x y ↔ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.Nonsingular 0 0
R : Type u_3
M : Type u_6
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
N O : Submodule R M
y : M
yO : y ∈ O
b : Basis (Fin n) R ↥N
hNO : N ≤ O
hli : ∀ (c : R), ∀ x ∈ N, c • y + x = 0 → c = 0
hsp : ∀ z ∈ O, ∃ c, z + c • y ∈ N
⊢ ⇑(Basis.mkFinConsOfLE y yO b hNO hli hsp) = Fin.cons ⟨y, yO⟩ (⇑(Submodule.inclusion hNO) ∘ ⇑b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
w✝¹ : Ordinal.{u}
w✝ : w✝¹ < o
hf : f w✝¹ w✝ = o.bsup f
⊢ f w✝¹ w✝ < o.blsub f
v i : Nat
x y : BitVec v
⊢ (x ^^^ y).getLsb i = xor (x.getLsb i) (y.getLsb i)
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero α
inst✝³ : GroupWithZero β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : SMulCommClass α β β
inst✝ : IsScalarTower α β β
c : α
hc : c ≠ 0
⊢ (c • 0)⁻¹ = c⁻¹ • 0⁻¹
α : Type u
β : Type v
LinearOrder β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsMaxOn f s a
hg : IsMaxOn g s a
⊢ IsMaxOn (fun x => max (f x) (g x)) s a
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c d : B
f f' : a ⟶ b
η : f ⟶ f'
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h))
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f' g h).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).inv
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η g) h)
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a : α
⊢ a ≤ Order.pred a → IsMin a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Sub β
ContinuousSub β
f g : C(α, β)
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → (i : α) → E i
this : DecidableEq ι
⊢ (∀ i ∈ s, Memℓp (f i) p) → Memℓp (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) p
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
⊢ ∃ M' N', Module.Finite R ↥M' ∧ Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (TensorProduct.mapIncl M' N'))
α : Type u_6
ι : Type u_7
CommMonoid α
f : ι → Multiset α
s : Finset ι
⊢ (∑ x ∈ s, f x).prod = ∏ x ∈ s, (f x).prod
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
M : Matrix m n R
i : m
⊢ (M.map ⇑f).toMvPolynomial i = (MvPolynomial.map f) (M.toMvPolynomial i)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommRing R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
hg : ContinuousOn g (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
⊢ cfc (fun x => f x - g x) a = cfc f a - cfc g a
a : ℝ≥0
b : ↑(Set.Iic a)
⊢ ↑(a.orderIsoIccZeroCoe.symm b) = ↑↑b
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSpace H
inst✝¹ : DivInvMonoid G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
⊢ Measure.map (fun x => x / g) μ = μ
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ (π.filter fun x => True) = π
α : Type u_1
l : List α
n : ℕ
h : n < l.inits.length
⊢ l.inits[n] = List.take n l
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
f : ι →₀ μ
⊢ f ∈ (insert a s).finsuppAntidiag n ↔ ∃ m ∈ antidiagonal n, ∃ g, f = g.update a m.1 ∧ g ∈ s.finsuppAntidiag m.2
R : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring R
M N P : AddSubmonoid R
⊢ M * N ≤ P ↔ ∀ m ∈ M, ∀ n ∈ N, m * n ∈ P
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => (f x)⁻¹) a * cfc f a = 1
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
S' : Type u_17
Monoid S'
DistribMulAction S' M
SMulCommClass R S' M
a : S'ᵈᵐᵃ
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
x : M
⊢ (a • f) x = f (DomMulAct.mk.symm a • x)
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
p₁ p₂ : Path x₀ x₁
hp : ∀ (t : ↑I), p₁ t = p₂ t
⊢ HEq ⟦p₁⟧ ⟦p₂⟧
α : Type u
s₁ s₂ : Set α
t : Set α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₁ ∪ t ⊆ s₂ ∪ t
F : Type u → Type u
q : QPF F
x y : (QPF.P F).W
h : QPF.abs x.dest = QPF.abs y.dest
⊢ QPF.Wequiv x y
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ
g : E →ₗ[ℝ] ℝ
g_eq : ∀ (x : ↥{ domain := p, toFun := ↑f }.domain), g ↑x = ↑{ domain := p, toFun := ↑f } x
g_le : ∀ (x : E), g x ≤ ‖f‖ * ‖x‖
g' : E →L[ℝ] ℝ := g.mkContinuous ‖f‖ ⋯
⊢ ‖g'‖ = ‖f‖
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
h : y - z ≠ 0
⊢ x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ IsOpen (Set.range Sum.inl)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
self : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ ↑self.den ∈ x
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : X ≃ᵢ Y
f : ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ X
g : Y ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))
I : (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))) = (↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y))
⊢ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x✝ : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p✝ : (i : Fin n) → α i.succ
i✝ : Fin n
y : α i✝.succ
z : α 0
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
i : Fin (n + 1)
x : α i
q₁ q₂ : (j : Fin (n + 1)) → α j
hx : x ∉ Icc (q₁ i) (q₂ i)
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
⊢ p ∈ i.insertNth x ⁻¹' Icc q₁ q₂ ↔ p ∈ ∅
G : Type u
H : Type v
Add G
Add H
f : AddHom H G
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ UniqueSums G → UniqueSums H
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesColimit (Functor.empty C) (forget C)
X : C
h : Nonempty (IsInitial X)
⊢ Nonempty (IsInitial ((forget C).obj X))
β : Type u_2
E : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace E
NormedAddCommGroup E
OpensMeasurableSpace E
f : β → E
μ : MeasureTheory.Measure β
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
fmeas : Measurable f
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ Filter.Tendsto
  (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖₊ ∂μ)
  Filter.atTop (𝓝 0)
α : Sort u_1
x y : α
⊢ x ≠ y ∨ x = y
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
Group α
MulAction α β
a : α
Fintype β
⊢ a • Finset.univ = Finset.univ
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
φ : A →ₐc[R] B
R' : Type u_6
SMul R' A
SMul R' B
LinearMap.CompatibleSMul A B R' R
r : R'
x : A
⊢ φ (r • x) = r • φ x
α : Type u_2
Add α
g : Filter α
⊢ ⊥ + g = ⊥
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x y : R
⊢ (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y ↔ ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
x : SetTheory.PGame
i : x.LeftMoves
⊢ (x.moveLeft i).Subsequent x
p s b : ℝ
hs : -1 < s
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b
hib : 0 < b ^ (-p⁻¹)
⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ p)) (Ioi 0) volume
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
s : Set α
h : ∀ (x : ι), f x ∈ s
x : ι
⊢ ↑(Set.codRestrict f s h x) = f x
b m : ℕ
hm : m ≠ 0
⊢ (b + 2) ^ ((b + 2).digits m).length ≤ (b + 2) * m
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ closure s = (interior sᶜ)ᶜ
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle y (y - x)).sin = ‖x‖ / ‖y - x‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
Q : AffineSubspace 𝕜 E
x : E
hx : x ∈ ↑Q
y : E
hy : y ∈ ↑Q
a b : 𝕜
x✝¹ : 0 ≤ a
x✝ : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ↑Q
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
p₁ : α → Prop
⊢ ∀ {a : Type u_1} {p₂ : a → Prop} {y : m a} {q : α → Prop} [inst : Applicative m] [inst_1 : LawfulApplicative m]
  {x : m α},
  SatisfiesM p₁ x →
    SatisfiesM p₂ y → (∀ {a_1 : α} {b : a}, p₁ a_1 → p₂ b → q a_1) → SatisfiesM q (SeqLeft.seqLeft x fun x => y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
⊢ range f = s ↔ range f ⊆ s ∧ ∀ b ∈ s, ∃ a, f a = b
⊢ ↑π ^ (-1 / 2) * ↑π ^ (1 / 2) = 1
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.map f = f.val
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B
inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
hη : τ₀ = τ₁ hF hG η
Y : B
⊢ eB.inverse.map (F.map (𝟙 (G.obj Y) ≫ eA.unitIso.hom.app (G.obj Y) ≫ eA.inverse.map (hG.inv.app Y) ≫ 𝟙 (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y))))) ≫ (equivalence₂ eB hF).counitIso.hom.app Y = (equivalenceCounitIso η).hom.app Y
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_eq_add : ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
⊢ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
U : Submodule R M
x y : M
hxy : x ≡ y [SMOD U]
n : ℕ
⊢ n • x ≡ n • y [SMOD U]
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
m : (i : ι) → E i
x y : G
⊢ (fun x => (f x) m) (x + y) = (fun x => (f x) m) x + (fun x => (f x) m) y
α : Type u_1
l : List (List α)
⊢ l.bind id = l.join
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ∈ normalizedFactors n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
x : E
⊢ 0 ≤ RCLike.re ⟪T x, x⟫_𝕜
z : ℍ
k : ℝ
hk : 0 ≤ k
x : Fin 2 → ℤ
⊢ Complex.abs (↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1)) ^ (-k) ≤ EisensteinSeries.r z ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (J.plusObj P) S
inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
Z : B.Arrow → C
e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I
e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X
he2 : ∀ (I : B.Arrow), S.sieve.arrows (e2 I)
h✝ : ∀ (I : B.Arrow), (fun Y f h => ((fun Y f hf => (T { Y := Y, f := f, hf := hf }).sieve) Y f h).arrows) (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)
a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f
w : Meq P B := meqOfSep P hsep X S s T t ht
I : S.Arrow
II : (T I).Arrow
e0 : (J.pullback II.f).obj (T I) ⟶ (J.pullback II.f).obj ((J.pullback I.f).obj B) := homOfLE ⋯
IV : ((J.pullback II.f).obj (T I)).Arrow
IA : B.Arrow := { Y := IV.Y, f := (IV.f ≫ II.f) ≫ I.f, hf := ⋯ }
IB : S.Arrow := IA.fromMiddle
IC : (T IB).Arrow := IA.toMiddle
ID : (T I).Arrow := { Y := IV.Y, f := IV.f ≫ II.f, hf := ⋯ }
IR : S.Relation := { fst := { Y := IB.Y, f := IB.f, hf := ⋯ }, snd := { Y := I.Y, f := I.f, hf := ⋯ }, r := { Z := IA.Y, g₁ := IA.toMiddleHom, g₂ := IV.f ≫ II.f, w := ⋯ } }
⊢ ((J.plusObj P).map IC.f.op) (↑s IB) = ((J.plusObj P).map ID.f.op) (↑s I)
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
⊢ Stream'.WSeq.map id s = s
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative
inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝² : W₂.ContainsIdentities
D : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D
L : C₂ ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W₂
X₂ : C₂
X₃ : D
y : L.obj X₂ ⟶ X₃
w : TwoSquare Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) := TwoSquare.mk Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) (Φ.functor ⋙ L).rightUnitor.inv
this : Nonempty (w.CostructuredArrowDownwards y)
c : C₁
g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c
x : L.obj (Φ.functor.obj c) ⟶ X₃
fac✝ : L.map g ≫ 𝟙 (L.obj (Φ.functor.obj c)) ≫ x = y
fac : L.map g ≫ x = y
ρ : Φ.arrow.RightResolution (Arrow.mk g) := Classical.arbitrary (Φ.arrow.RightResolution (Arrow.mk g))
⊢ ∃ Y, Zigzag (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards.mk w y c g x fac✝) ((fromRightResolution Φ L y).obj Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
⊢ Measurable fun y => ∫⁻ (x : β), f x y ∂κ y
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
NormedSpace ℝ F
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : MeasureTheory.Integrable f (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun a => ‖∫ (y : Ω), f (X a, y) ∂(ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) (X a)‖) μ
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
x : E
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement F⟮x⟯
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
u : Rˣ
v✝ : M
hv✝ : v✝ ≠ 0
⊢ -u • rayOfNeZero R v✝ hv✝ = -(u • rayOfNeZero R v✝ hv✝)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree = ↑i
h_monic : ∀ (i : Fin n), (p i).Monic
⊢ (vandermonde v).det = (of fun i j => eval (v i) (p j)).det
z : ℂ
s t : Set ℝ
⊢ z ∈ s ×ℂ t ↔ z.re ∈ s ∧ z.im ∈ t
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0
⊢ leftHomologyMap (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃) = 0
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
hc' : c ≠ ℵ₀
a : Ordinal.{u}
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord
⊢ a < c.ord → Ordinal.nfpFamily f a < c.ord
⊢ Or (Eq USize.size 4294967296) (Eq USize.size 18446744073709551616)
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
⊢ G.Partitionable n ↔ G.Colorable n
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
⊢ ((shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).hom.app K).f n = (XIsoOfEq K ⋯).hom
X : Type u_1
TopologicalSpace X
BaireSpace X
S : Set (Set X)
hc : ∀ s ∈ S, IsClosed s
hS : S.Countable
hU : ⋃₀ S = Set.univ
⊢ Dense (⋃ s ∈ S, interior s)
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (wittStructureRat p Φ 0) = MvPolynomial.constantCoeff Φ
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f₁ f₂ : α → β
Preorder α
Preorder β
h₁ : StrictAntiOn f₁ s
h : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ StrictAntiOn f₂ s
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
f : β → α
h : Inducing f
S : Set (Set β)
hS : ∀ s ∈ S, ∃ t, IsOpen t ∧ f ⁻¹' t = s
⊢ ∃ t, IsOpen t ∧ f ⁻¹' t = ⋂₀ S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
W X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
f : X ⟶ W
g : Y ⟶ W
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inr ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.desc f g = g
x y : ℝ
⊢ rexp (x * y) = rexp x ^ y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
⊢ DerivedCategory.triangleOfSES hS ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
s✝ t : Interval α
a b : α
s : Interval α
⊢ ↑(dual s) = ⇑ofDual ⁻¹' ↑s
G : Type u
Monoid G
g : G
⊢ g ^ Monoid.exponent G = 1
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
h0 : 0 ∈ s
inst✝ : CompactSpace ↑s
⊢ closure ↑(StarAlgebra.adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}) = Set.univ
a : ℝ
l : Filter ℝ
f g : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Filter.Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Filter.Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Small.{v, u} R
⊢ Module.Flat R M ↔ Module.Injective R (CharacterModule M)
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
v : ι → M
DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
m : M
⊢ f (Function.update (Function.update v i m) j m) = 0
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : C(AddCircle T, ℂ)
h : Summable (fourierCoeff ⇑f)
x : AddCircle T
⊢ HasSum (fun i => fourierCoeff (⇑f) i • (fourier i) x) (f x)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
⊢ (∀ (u : ℕ → α), CauchySeq u → ∃ a, Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 a)) → CompleteSpace α
X : Type u_1
R : Type u_2
Zero X
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
CommSemiring R
TopologicalSemiring R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → ContinuousMapZero X R
⊢ ⇑(s.sum f) = ∑ i ∈ s, ⇑(f i)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : FunLike 𝓕 E F
ι : Type u_11
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_12
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
C : ℝ
L : (i : ι) → E →L[𝕜] M i
hL : ∀ (i : ι), ‖L i‖ ≤ C
hC : 0 ≤ C
x : E
i : ι
⊢ ‖(pi L) x i‖ ≤ C * ‖x‖
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
⊢ G.chromaticNumber ≤ ↑n ↔ G.Colorable n
α : Type u_8
DivisionCommMonoid α
a : α × α
⊢ divMonoidHom a = a.1 / a.2
α : Type u_1
σ : α → Type u_4
s : Multiset α
t u : (a : α) → Multiset (σ a)
⊢ (s.sigma fun a => t a + u a) = s.sigma t + s.sigma u
α : Type u
PseudoMetricSpace α
CompleteSpace α
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
h's : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (s n)
h : ∀ (N : ℕ), (⋂ n, ⋂ (_ : n ≤ N), s n).Nonempty
h' : Filter.Tendsto (fun n => Metric.diam (s n)) Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ (⋂ n, s n).Nonempty
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
DecidableEq G
Add G
f g : AddMonoidAlgebra k G
x : G
⊢ (f * g) x = Finsupp.sum f fun a₁ b₁ => Finsupp.sum g fun a₂ b₂ => if a₁ + a₂ = x then b₁ * b₂ else 0
a b c : Int
h : -c + a ≤ b
⊢ a ≤ b + c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f n a ≤ f n.succ a
s : Set α
hs : {a | ¬∀ (i : ℕ), f i a ≤ f i.succ a} ⊆ s ∧ MeasurableSet s ∧ μ s = 0
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ n, f n a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ {x | IsTop x}.Countable
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
⊢ (∏ p ∈ a.primeFactors, p) * ∏ p ∈ b.primeFactors, p ∣ a * b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤ ENNReal.ofReal ε ^ (p.toReal * (1 / p.toReal))