ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z : ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) ≤ (2 * (π * 1)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ 𝒜.card ≤ 𝒜.shatterer.card
G : Type u_1
Group G
g₁ g₂ : G
⊢ ⁅g₁, g₂⁆ = 1 ↔ g₁ * g₂ = g₂ * g₁
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
⊢ (o.kahler x) ((o.rotation θ) y) = ↑θ.expMapCircle * (o.kahler x) y
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
B : Set α
hB : M.Base B
f : α → β
hf : Set.InjOn f M.E
⊢ (M.map f hf).Base (f '' B)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ℕ → α
⊢ ⨅ i, ⨅ (_ : i > 0), f i = ⨅ i, f (i + 1)
X : Type u
α : Type v
TopologicalSpace X
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
a : X
l : Filter X
ha : a ∈ s
l.NeBot
hl : l ≤ 𝓟 s
f g : X → α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
ha' : f a ≤ g a
he : g ≤ᶠ[l] f
⊢ ∃ x ∈ s, f x = g x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
Φ : CategoryTheory.Functor (Fin (n + 1)) (Fin (m + 1))
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ComposableArrows C m} (f : X ⟶ Y) (X_1 : Fin (n + 1)),
  ((CategoryTheory.ComposableArrows.whiskerLeftFunctor Φ).map f).app X_1 = f.app (Φ.obj X_1)
x✝ : ℕ
hk : x✝ ≤ 0
⊢ 0 < choose 0 x✝
G : Type u
AddMonoid G
IsCancelAdd G
hG : AddMonoid.exponent G = 2
a b : G
⊢ a + b = b + a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ (CochainComplex.mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫
    (CochainComplex.mappingCone.triangle (CochainComplex.mappingConeCompTriangle f g).mor₁).mor₃ =
  (CochainComplex.mappingConeCompTriangle f g).mor₃
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
hc : P.c ≠ 0
⊢ P.toPoly ≠ 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
hs : IsOpen s
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun y => fderiv 𝕜 f y) s
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
h : insert a s ∈ Down.compression a 𝒜
⊢ s ∈ Down.compression a 𝒜
G : Type u_3
Group G
a b c d : G
H : a / b = c / d
⊢ a = b ↔ c = d
α : Type u_1
LinearOrder α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
p : α → Prop
hsucc : ∀ (a : α), p a ↔ p (Order.succ a)
a b : α
⊢ p a ↔ p b
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
xi : ι
xv : A xi
yi : ι
yv : A yi
⊢ ((((AddMonoidHom.mul.compr₂ (toAddMonoid f)).comp (of A xi)) xv).comp (of A yi)) yv = (((((AddMonoidHom.mul.comp (toAddMonoid f)).compl₂ (toAddMonoid f)).comp (of A xi)) xv).comp (of A yi)) yv
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
s t : Set β
⊢ ⨅ x ∈ s ∪ t, f x = (⨅ x ∈ s, f x) ⊓ ⨅ x ∈ t, f x
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
i : IsIso (frobeniusMorphism F h A)
⊢ IsIso (expComparison F A)
E : Type u_2
NormedRing E
StarRing E
CstarRing E
U : ↥(unitary E)
A : E
⊢ ‖↑U * A‖ = ‖A‖
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h : separableClosure E K = ⊥
⊢ IntermediateField.map (IsScalarTower.toAlgHom F E K) (separableClosure F E) = separableClosure F K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
X₁ X₂ Y : C
g : X₁ ⟶ Y
h : Y ⟶ X₂
mem : Triangle.mk g h 0 ∈ distinguishedTriangles
e : (Triangle.mk g h 0).obj₂ ≅ (Triangle.mk g h 0).obj₁ ⊞ (Triangle.mk g h 0).obj₃
he₁ : g ≫ e.hom = biprod.inl
he₂ : h = e.hom ≫ biprod.snd
⊢ Triangle.mk g h 0 ≅ binaryBiproductTriangle X₁ X₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
μc : MeasureTheory.Measure γ
g : α → β
e : γ ≃ᵐ α
h : MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑e) μc μa
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (g ∘ ⇑e) μc μb ↔ MeasureTheory.MeasurePreserving g μa μb
α : Type u_1
R : Type u_6
SMul R ENNReal
IsScalarTower R ENNReal ENNReal
_m : MeasurableSpace α
c : R
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ⇑(c • μ) = c • ⇑μ
V : Type u
G : SimpleGraph V
self : G.IsTree
⊢ G.Connected
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (A i) s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) s x
x : SetTheory.PGame
⊢ x * 1 ≈ x
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
a₁ a₂ : G
b₁ b₂ : k
⊢ (sum (single a₁ b₁) fun a₁ b₁ => sum (single a₂ b₂) fun a₂ b₂ => single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)) = single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
M₂ : Type u_10
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g : M₂ →ₗ[R] M
v : ι → M₂
⊢ (f.compLinearMap g) v = f fun i => g (v i)
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ MeasurableSet {x | f x = g x}
R : Type u_1
Rack R
x y : R
⊢ (Rack.act' x).symm y = x ◃⁻¹ y
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
⊢ (conjugateEquiv adj₁ adj₁).symm (𝟙 R₁) = 𝟙 L₁
f g : ℕ → ℂ
h : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = g n
⊢ LSeries.abscissaOfAbsConv f = LSeries.abscissaOfAbsConv g
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ dist ((homothety p₁ c) p₂) p₂ = ‖1 - c‖ * dist p₁ p₂
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε x r' : ℝ
rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
⊢ ∃ u ∈ Ioi x, Ioo x u ⊆ A f L r ε
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ (groupCohomology.shortComplexH0 A).Exact
R : Type u_1
CommSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
a b c : R
hab : a ≤ b
hc : 0 ≤ c
⊢ c * a ≤ c * b
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type u_1
C : G.Coloring α
c : α
v w : V
hv : v ∈ C.colorClass c
hw : w ∈ C.colorClass c
⊢ ¬G.Adj v w
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
M : MvPolynomial σ R → Prop
p : MvPolynomial σ R
h_C : ∀ (a : R), M (MvPolynomial.C a)
h_add : ∀ (p q : MvPolynomial σ R), M p → M q → M (p + q)
h_X : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), M p → M (p * MvPolynomial.X n)
⊢ M p
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a b : α
ContinuousAdd α
s t : Set β
hs : IsCompl s t
ha : HasSum (f ∘ Subtype.val) a
hb : HasSum (f ∘ Subtype.val) b
⊢ HasSum f (a + b)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
⊢ IsOfFinOrder x ↔ ∃ n, 0 < n ∧ x ^ n = 1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
⊢ ∀ (s : Set (α × β)), MeasurableSet s → Measurable fun b => (map (fun x => (x, b)) μ) s
X : Type u
α : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
hb : ¬BddBelow s
ha : ¬BddAbove s
x : α
⊢ x ∈ s
α : Type u_1
E' : Type u_6
R : Type u_13
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedRing R
f' : α → E'
l : Filter α
Module R E'
BoundedSMul R E'
c' : R
⊢ (fun x => c' • f' x) =O[l] f'
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ≥0
hc : Convex ℝ s
hr : 0 < r
hs : Metric.ball 0 ↑r ⊆ s
⊢ LipschitzWith r⁻¹ (gauge s)
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
x : P.Ring
⊢ (g.comp f).toAlgHom x = g.toAlgHom (f.toAlgHom x)
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Monoid α
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : MulAction α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
hb : 0 < b
⊢ b < a • b ↔ 1 • b < a • b
α : Type u_1
GroupWithZero α
HasDistribNeg α
a : SignType
k : ℤ
⊢ ↑(a ^ k) = ↑a ^ k
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
⊢ Measure.count s ≠ 0
X Y : Type u_1
AddSemigroup X
AddSemigroup Y
e : X ≃+ Y
⊢ ⇑↑e = ⇑e
α : Type u_1
g : Set (Set α)
⊢ ∀ t ∈ generatePiSystem g, MeasurableSet t
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone S.arrows.diagram
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
Hs : ∀ ⦃X_1 Y : S.arrows.category⦄ (f : X_1 ⟶ Y), S.arrows.diagram.map f ≫ s.ι.app Y = s.ι.app X_1 ≫ ((Functor.const S.arrows.category).obj s.pt).map f
⊢ g₁ ≫ S.arrows.yonedaFamilyOfElements_fromCocone s f₁ hf₁ = g₂ ≫ S.arrows.yonedaFamilyOfElements_fromCocone s f₂ hf₂
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
⊢ (Polynomial.X * p).content = p.content
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
f : E → F
s : Set E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s ↔
  DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ∀ (y : E), ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun x => (fderivWithin 𝕜 f s x) y) s
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : StrictMono u
⊢ ⨆ i, ∑ a ∈ range (u i), f a ≤ ∑ k ∈ range (u 0), f k + ∑' (k : ℕ), (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)
x : ℂ
⊢ (cexp (x * I) + cexp (-x * I)) * 2⁻¹ = (cexp (-id x * I) * (-1 * I) - cexp (id x * I) * (1 * I)) * I * 2⁻¹
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
NonAssocSemiring R
r : R
⊢ (HahnSeries.C r).order = 0
x : ℂ
⊢ HasDerivAt Complex.cos (-Complex.sin x) x
θ : Angle
hpi : ¬θ = ↑π
⊢ (2 • θ).sign = θ.sign ↔ θ = ↑π ∨ |θ.toReal| < π / 2
x : ℝ
h0x : 0 < x
hxp : x < π / 2
⊢ 0 < sin x / cos x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
U V : Opens M
h : U ≤ V
x : M
hx : x ∈ U
y : H
⊢ ContDiffWithinAtProp I I n id univ y
G : Type u_1
Group G
g : G
⊢ Subgroup.zpowers g ≠ ⊥ ↔ g ≠ 1
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
s : Set α
NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
⊢ MeasureTheory.indicatorConstLp 2 hs hμs x =
  (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (MeasureTheory.indicatorConstLp 2 hs hμs 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α →ₛ E
hfi : Integrable (↑f) μ
⊢ ∫ (x : α), ↑f x ∂μ = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a ≤ b
⊢ Metric.diam (Ioo a b) = b - a
ctx : Nat.Linear.Context
p₁ p₂ : Nat.SOM.Poly
⊢ Nat.SOM.Poly.denote ctx (p₁.add p₂) = Nat.SOM.Poly.denote ctx p₁ + Nat.SOM.Poly.denote ctx p₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
hZ : CategoryTheory.Limits.IsTerminal Z
G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.WithTerminal C) D
h : CategoryTheory.WithTerminal.incl.comp G ≅ F
hG : G.obj CategoryTheory.WithTerminal.star ≅ Z
X : CategoryTheory.WithTerminal C
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.liftToTerminalUnique F hZ G h hG).inv.app X =
  (match X with
    | CategoryTheory.WithTerminal.of x => h.app x
    | CategoryTheory.WithTerminal.star => hG).inv
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
⊢ ∀ ⦃x : α →₀ M⦄, (∀ (i : α), x i = 0) → x = 0
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X \ B' ∩ M.E ⊆ J
⊢ J ⊆ X \ B'
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLinearOrder α
a : α
f : ι → α
⊢ a < iSup f ↔ ∃ i, a < f i
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
h : x ≤ f x
a : Ordinal.{u}
⊢ lfpApprox f x (a + 1) = f (lfpApprox f x a)
m : Type u_1 → Type u_2
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Prop} {a : α} [inst : Applicative m] [inst_1 : LawfulApplicative m],
  p a → SatisfiesM p (pure a)
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₂ ≡ b₂ [PMOD p] → (a₁ - a₂ ≡ b₁ - b₂ [PMOD p] ↔ a₁ ≡ b₁ [PMOD p])
X : Type u_1
inst✝ : UniformSpace X
i : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
s : Set X
this : PseudoEMetricSpace X := PseudoMetricSpace.toPseudoEMetricSpace
h : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, EMetric.ball y ε
h' : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, EMetric.closedBall y ε
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable s
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ✝ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
A : C
k : L.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
hk : L.d j i ≫ k = 0
φ : K ⟶ L
⊢ opcyclesMap φ i ≫ L.descOpcycles k j hj hk = K.descOpcycles (φ.f i ≫ k) j hj ⋯
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
h : Isometry f
x y : α
⊢ edist x y ≤ ↑1 * edist (f x) (f y)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun x => c) s x = 0
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Seminorm 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)
G : Type (max uι u𝕜 uE)
x✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
x✝ : NormedSpace 𝕜 G
hp : p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ (fun f => ⇑f) ((normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)) x ≤ (fun f => ⇑f) projectiveSeminorm x
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
⊢ infEdist x s < r ↔ ∃ y ∈ s, edist x y < r
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h1 : IsPurelyInseparable F E
h2 : IsPurelyInseparable E K
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar E q
⊢ IsPurelyInseparable F K
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁹ : Ring R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M'
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : Module R M'
inst✝¹² : Module R M₁
inst✝¹¹ : StrongRankCondition R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition S
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module.Free S M
inst✝⁷ : Module S M'
inst✝⁶ : Module.Free S M'
inst✝⁵ : Module S M₁
inst✝⁴ : Module.Free S M₁
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : Module.Free R M
fst✝¹ : Type v
bM : Basis fst✝¹ R M
fst✝ : Type v'
bN : Basis fst✝ S M'
⊢ Module.rank R (M ⊗[S] M') = Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) * Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S M')
α : Type u
s t : Stream'.WSeq α
⊢ s ~ʷ t → s.head.Equiv t.head
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
a₁ : R := choose ⋯
J₁ : Ideal R := choose ⋯
h_aJ : ↑(J₁ * Ideal.span {a}) = ↑(J * Ideal.span {a₁})
h_a₁J₁ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁)⁻¹ * ↑J₁
h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0
h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0
h_a_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
h_J_ne_zero : J ≠ 0
h_a₁' : spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁) ≠ 0
h_a' : spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
⊢ Associates.mk (choose ⋯) ≠ 0
n : ℕ
h : n = n
⊢ Fin.cast h = id
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
⊢ w * z = (x * y).succPNat ∧ a = a' * d ∧ b = b' * d ∧ z * a' = (x * ↑b').succPNat ∧ w * b' = (y * ↑a').succPNat ∧ ↑z * ↑a = x * ↑b + ↑d ∧ ↑w * ↑b = y * ↑a + ↑d
m n : Nat
⊢ m >>> (n + 1) = m >>> n / 2
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
r : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
⊢ AlgebraicGeometry.IsAffineOpen ((TopologicalSpace.Opens.map (X.basicOpen r).ι.val.base).obj U)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
ss✝ : WSeq α
h : a ∈ ss✝
ss : WSeq α
IH : ∀ (s : WSeq α) (S : WSeq (WSeq α)), s.append S.join = ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
s : WSeq α
S : WSeq (WSeq α)
⊢ s.append S.join = ss.think → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
s : Set 𝕜
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
⊢ ‖f'‖ ≤ ↑C
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
t : (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U) ⊆ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts
hε : 0 ≤ ε
sp : ∀ (a b : Finset (Finset α)), a.product b = a ×ˢ b
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤ ((∑ i ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, (fun x => ↑(G.edgeDensity x.1 x.2)) i) / ↑((chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts).card) ^ 2
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝¹⁰ : Module R A
inst✝⁹ : Star A
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : Star B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : Module R C
inst✝³ : Star C
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
φ : F
x✝ : B
⊢ (∃ x, φ x = x✝) ↔ x✝ ∈ Set.range ⇑φ
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →A[R] B
⊢ f.toAlgHom = ↑f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
b : CategoryTheory.Limits.Bicone (CategoryTheory.Limits.pairFunction X Y)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Bicone.toBinaryBiconeFunctor.obj b).inr = b.ι CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
𝕜' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x : 𝕜'), ‖(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ N * ‖x‖
y : E
hy : y ≠ 0
⊢ 1 ≤ N