ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_4
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_3
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
s : A → CategoryTheory.Functor D D
i : (a : A) → F.comp (s a) ≅ (CategoryTheory.shiftFunctor C a).comp F
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Full
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
a b : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd D a b).hom.app (F.obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((i (a + b)).hom.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a b).hom.app X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((i b).inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
        ((s b).map ((i a).inv.app X))))
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
⊢ ⌈a⌉₊ ≤ ⌊a⌋₊ + 1
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
h : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y
h' : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y'
⊢ y = y'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f g : β → α
a₁ a₂ : α
hf : HasSum f a₁
hg : HasSum g a₂
⊢ HasSum (fun b => f b - g b) (a₁ - a₂)
μ : YoungDiagram
j : ℕ
⊢ μ.colLen j = (μ.col j).card
G' : Type u_1
inst✝¹⁰ : AddGroup G'
inst✝⁹ : MeasurableSpace G'
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
inst✝⁷ : TopologicalAddGroup G'
inst✝⁶ : BorelSpace G'
μ' : Measure G'
Γ' : AddSubgroup G'
inst✝⁵ : Countable ↥Γ'
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G' ⧸ Γ')
inst✝³ : BorelSpace (G' ⧸ Γ')
𝓕' : Set G'
K : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : NormedSpace ℝ K
inst✝ : μ'.IsAddRightInvariant
f : G' → K
f_ℒ_1 : Integrable f μ'
g : G' ⧸ Γ' → K
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕'))
g_ℒ_infinity : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) (Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕')) ≠ ⊤
F_ae_measurable : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕'))
h𝓕 : IsAddFundamentalDomain (↥Γ'.op) 𝓕' μ'
π : G' → G' ⧸ Γ' := mk
⊢ ∫ (x : G'), g ↑x * f x ∂μ' = ∫ (x : G' ⧸ Γ'), g x * automorphize f x ∂Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕')
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
f : V₁ →ₗ[k] V₂
⊢ f.toAffineMap.linear = f
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
r : R
⊢ (algebraMap R (A ⊗[R] B)) r = 1 ⊗ₜ[R] (algebraMap R B) r
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ₁ φ₂ : W.LeftFraction X Y
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} E
L₁ : CategoryTheory.Functor C D
L₂ : CategoryTheory.Functor C E
L₁.IsLocalization W
L₂.IsLocalization W
h : φ₁.map L₁ ⋯ = φ₂.map L₁ ⋯
⊢ φ₁.map L₂ ⋯ = φ₂.map L₂ ⋯
α : Type u
SubtractionMonoid α
b : α
h : IsAddUnit b
a : α
⊢ a - b + b = a
m n k : ℕ
H : k.Coprime m
⊢ k ∣ m * n ↔ k ∣ n
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
t T : ℝ
ht₀ : t ∈ Ioo (-T) T
ht : t₀ ∈ Ioo (-T) T
⊢ γ t = γ' t
x y : ℝ
hx : 0 < x
h : x < y
⊢ log x < log y
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
a : α
⊢ g • a ∈ s ↔ a ∈ s
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
as bs cs : (i : ι) → X i
p : Homotopic.Quotient as bs
⊢ (pi fun i => proj i p) = p
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
FiniteDimensional F E
h : Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = FiniteDimensional.finrank F E
⊢ IsGalois F E
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
C₀ C₁ C₂ : Set X
h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z
f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁
hf : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f₁ ⟨x, ⋯⟩ = f₂ ⟨x, ⋯⟩
x : ↑C₀
hx : ↑x ∈ C₂
⊢ (piecewise' h₀ h₁ h₂ f₁ f₂ hf) x = f₂ ⟨↑x, hx⟩
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
s✝ t✝ : Set α
a b : α
s : Set α
t : Set β
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s
v : Finset β
hv : v.Nonempty
hvt : ↑v ⊆ t
⊢ (u.sup' hu id, v.sup' hv id) ∈ supClosure (s ×ˢ t)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
x u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
this : Fintype ↑G.edgeSet
⊢ (G.incidenceFinset x).val = (Finset.filter (Membership.mem x) ⋯.edgesFinset).val
α : Type u
TopologicalSpace α
β : Type u_2
PseudoMetricSpace β
NatCast β
n : ℕ
x : α
⊢ ↑n x = ↑n
R : Type u
S : Type u_1
CommSemiring R
Semiring S
f : R →+* S
⊢ LinearMap.ker (Polynomial.mapRingHom f).toSemilinearMap = Ideal.map Polynomial.C (RingHom.ker f)
s : Finset ℕ
m n✝ p n d : ℕ
h : n.minSqFac = some d
this : n.MinSqFacProp (some d)
⊢ Prime d
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ Injective R (CharacterModule M) ↔ ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N'] (L : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑L → Function.Injective ⇑(rTensor M L)
α : Type u_1
m n : ℕ
P : Matrix (Fin m) (Fin n) α → Prop
⊢ Matrix.Exists P ↔ ∃ x, P x
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P Q
hP' : Q.StableUnderBaseChange
⊢ P.StableUnderBaseChange
G : Type u_1
Group G
ι : Sort u_4
s : ι → Set G
hs : ∀ (y : ι), IsSubgroup (s y)
⊢ IsSubgroup (Set.iInter s)
α : Type u
⊢ FreeAddGroup.freeAddGroupCongr (Equiv.refl α) = AddEquiv.refl (FreeAddGroup α)
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ E
InnerProductSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
⊢ IsConformalMap f ↔ ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (u v : E), ⟪f u, f v⟫_ℝ = c * ⟪u, v⟫_ℝ
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
N✝ : Type w
inst✝⁸ : AddCommGroup N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : Small.{v, u} R
flat : Flat R M
N N' N'' : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup N''
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R N''
f : N →ₗ[R] N'
g : N' →ₗ[R] N''
exact : Function.Exact ⇑f ⇑g
π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ
ι : N' ⧸ range f →ₗ[R] N'' := (range g).subtype ∘ₗ ↑g.quotKerEquivRange ∘ₗ ↑((range f).quotEquivOfEq (ker g) ⋯)
⊢ Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M π)
R : Type u
S : Type v
M : Type w
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
AddCommGroup M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
Module.Flat R S
I : Ideal R
⊢ ↑R (Module.Flat.auxLTensor R S M I) = ↑(TensorProduct.rid R M) ∘ₗ LinearMap.lTensor M (Submodule.subtype I)
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toSemilatticeSup✝ : SemilatticeSup α
toInf✝ : Inf α
inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ mk inf_le_left✝¹ inf_le_right✝¹ le_inf✝¹ = mk inf_le_left✝ inf_le_right✝ le_inf✝
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j : N →* P
hj : ∀ (x : M), j (f.toMap x) = g x
x✝ : N
⊢ j (f.toMap (f.sec x✝).1) = j (f.toMap ↑(f.sec x✝).2 * x✝)
s : Set ℝ≥0
hs : s.Nonempty
⊢ ↑(sInf s) = ⨅ a ∈ s, ↑a
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
h : ‖f n‖ ≤ ‖g n‖
⊢ (if n = 0 then 0 else ‖f n‖ / ↑n ^ s.re) ≤ if n = 0 then 0 else ‖g n‖ / ↑n ^ s.re
R : Type u
Ring R
α : Type u_1
SMul R α
S : Subring R
g : ↥S
m : α
⊢ g • m = ↑g • m
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
m n : ℕ
⊢ x ^ m * x ^ n * p.smeval x = x ^ m * (x ^ n * p.smeval x)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ (s.erase a).Nonempty ↔ s.Nontrivial
G : Type u_3
Group G
g h : G
⊢ g ∈ MulAction.orbit (ConjAct G) h ↔ IsConj g h
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
self : InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ‖x‖ ^ 2 = RCLike.re ⟪x, x⟫_𝕜
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : ‖a‖₊ ≤ t
⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ ‖(algebraMap ℝ A) ↑t - a‖₊ ≤ t
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
x : (i : ι) → π i
DecidableEq ι
s : Finset ι
y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i
⊢ Function.updateFinset x s y = fun i => if hi : i ∈ s then y ⟨i, hi⟩ else x i
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g' : F[X]
m : ℕ
hg' : g'.Separable
s : ℕ
hm : m ≤ m + s
hg : ((expand F (q ^ s)) g').Separable
⊢ ((expand F (q ^ s)) g').natDegree = g'.natDegree
⊢ ∀ (x x_1 : ℝ),
  Real.add x x_1 =
    match x, x_1 with
    | { cauchy := a }, { cauchy := b } => { cauchy := a + b }
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure X
l : Filter X
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
f : X → E
b : E
h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
s : ι → Set X
li : Filter ι
hs : Tendsto s li l.smallSets
m : optParam (ι → ℝ) fun i => (μ (s i)).toReal
hsμ : autoParam ((fun i => (μ (s i)).toReal) =ᶠ[li] m) _auto✝
ε : ℝ
ε₀ : 0 < ε
this : ∀ᶠ (s : Set X) in l.smallSets, ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ∈ closedBall b ε
⊢ ∀ (a : Set X), μ a < ⊤ → IntegrableOn f a μ → AEStronglyMeasurable f (μ.restrict a) → (∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ a → f x ∈ closedBall b ε) → ‖∫ (x : X) in a, f x ∂μ - (μ a).toReal • b‖ ≤ ε * ‖(μ a).toReal‖
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this✝¹ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
hL'U : ↑L' ⊆ U
hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'
this✝ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'
this : Nonempty { M // ↑M ⊆ ↑U' \ closure ↑L }
M : Compacts G
hM : ↑M ⊆ ↑U' \ ↑L'
⊢ ↑(μ.toFun L') + ↑(μ.toFun ↑⟨M, hM⟩) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
M : Type u
Monoid M
C : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} C
X : C
f : M →* CategoryTheory.End X
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.SingleObj M} (a : X_1 ⟶ Y), (CategoryTheory.SingleObj.functor f).map a = f a
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
Ω : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {X : Ω → E} {s : Set E},
  μ s ≠ 0 →
    μ s ≠ ⊤ → MeasureTheory.pdf.IsUniform X s ℙ μ → ∀ {A : Set E}, MeasurableSet A → ℙ (X ⁻¹' A) = μ (s ∩ A) / μ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace E
CompleteSpace (F × G)
f : E →L[𝕜] F
g : E →L[𝕜] G
hf : LinearMap.range f = ⊤
hg : LinearMap.range g = ⊤
hfg : IsCompl (LinearMap.ker f) (LinearMap.ker g)
⊢ ↑↑(f.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl g hf hg hfg) = ↑(f.prod g)
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : 0 < z
⊢ x ^ z⁻¹ < y ↔ x < y ^ z
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Embedding M N
x : M
⊢ ↑(f.equivRange x) = f x
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
⊢ p.closedBall 0 r = {y | p y ≤ r}
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ U.obj
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ V.obj
gV : F.obj (op V')
e : F.germ ⟨x, mU⟩ gU = F.germ ⟨x, mV⟩ gV
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gV
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)
R : Type u_1
CommSemiring R
b : ℕ
⊢ 0 < b → 0 ^ b = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n
⊢ ¬n = 1
⊢ riemannZeta 4 = ↑(∑' (b : ℕ), 1 / ↑b ^ 4)
R : Type u_1
G : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
Group G
Fintype G
DecidableEq G
f : G →* R
hf : Function.Injective ⇑f
n : ℕ
hn : 0 < n
g₀ : G
⊢ (Finset.filter (fun g => g ^ n = g₀) Finset.univ).card ≤ Multiset.card (Polynomial.nthRoots n (f g₀))
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
x y : G
⊢ y ∈ closure {x} ↔ ∃ n, x ^ n = y
α : Type u
β : Type v
AddCommGroup β
f : α → β
g : FreeAbelianGroup α →+ β
hg : ∀ (x : α), g (FreeAbelianGroup.of x) = f x
x : FreeAbelianGroup α
⊢ g x = (FreeAbelianGroup.lift f) x
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
SeminormedRing 𝕜₂
AddCommGroup E₂
Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
x : E
r : ℝ
⊢ (p.comp f).ball x r = ⇑f ⁻¹' p.ball (f x) r
u v : ℤ
h : u * v = 1
⊢ u = 1 ∧ v = 1 ∨ u = -1 ∧ v = -1
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α
h : ∃ r, 0 ≤ r ∧ 0 < ENNReal.ofReal r ∧ ENNReal.ofReal r < infEdist x E
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)
hsx : s ≤ x
hyt : y ≤ t
this : Icc x y ⊆ Icc s t
⊢ f x < f y
α : Type u_1
Inter α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ma ∩ mb ∈ a ∩ b
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
g : G
s : Set G
⊢ g ∈ centralizer s ↔ ∀ h ∈ s, h * g * h⁻¹ * g⁻¹ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k : α → β
f : α → β
TopologicalSpace β
LinearOrderedField β
OrderTopology β
hk : Filter.Tendsto k l Filter.atTop
n : ℕ
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k (k ^ n * f) ↔ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
this : Nonempty α
⊢ edist ((f ∘ Function.invFunOn (variationOnFromTo f s a) s) (variationOnFromTo f s a b)) (f b) = 0
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ Summable (norm ∘ fun n => (expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a' : α
s : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable α
h : MeasurableSingletonClass α
⊢ (Measure.dirac a).toPMF = pure a
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
m : M
a : α
⊢ m ^ MulAction.period m a • a = a
R : Type u
M₂ : Type w
ι : Type x
Semiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M₂ →ₗ[R] φ i
c : M₂
i : ι
⊢ (LinearMap.pi f) c i = (f i) c
R : Type u_2
M : Type u_5
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
NoZeroSMulDivisors R M
c : R
x : M
hc : c ≠ 0
⊢ c • x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑j).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑j).extend I) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ 𝓝[I.pi s] x = (⨅ i ∈ I, comap (fun x => x i) (𝓝[s i] x i)) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ∉ I), comap (fun x => x i) (𝓝 (x i))
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
z : ℂ
⊢ (Complex.orientation.rotation θ) z = ↑θ.expMapCircle * z
α : Type u_1
s : Multiset α
a : α
⊢ s < a ::ₘ s
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ AddMonoid.Coprod.lift AddMonoid.Coprod.inr AddMonoid.Coprod.inl = AddMonoid.Coprod.swap M N
p : Prop
h : Decidable p
⊢ ¬p ∨ p
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommRing R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => -x) a = -a
α : Type u
SemilatticeInf α
a b c : α
⊢ a ⊓ b ⊓ c = c ⊓ b ⊓ a
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Finite R L
Module.Free R L
Module.Finite R M
Module.Free R M
x y : L
r : R
⊢ Polynomial.map (Polynomial.evalRingHom r) (LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly R M x y) =
  LinearMap.charpoly ((LieModule.toEnd R L M) (r • y + x))
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
⊢ ↑{ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ } = { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
M : Type u_2
AddMonoid M
a b : M
h : AddCommute a b
m n : ℕ
⊢ AddCommute (m • a) (n • b)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
⊢ f ⊗ 0 = 0
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G
⊢ ↑(map K.subtype (H.subgroupOf K)) = ↑(H ⊓ K)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
⊢ Measurable fun a => (condCDF ρ a).measure
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a b : α
⊢ f '' {a, b} = {f a, f b}
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
a : α
hs : {a}.Nonempty
ih : ∀ (a_1 b : Finset α), a_1.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a_1, b) ({a}, t) → minOrder α ≤ ↑(a_1 * b).card ∨ a_1.card + b.card ≤ (a_1 * b).card + 1
hst : {a}.card ≤ t.card
⊢ minOrder α ≤ ↑({a} * t).card ∨ {a}.card + t.card ≤ ({a} * t).card + 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
X : CochainComplex C ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftShortComplexFunctorIso C n i i' hi).inv.app X).τ₃ =
  n.negOnePow • (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).inv
R : Type u_1
S : Type ?u.268667
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
inst✝² : Finite R M
inst✝¹ : Finite R N
inst✝ : Free R N
hf : Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor k f)
this : FinitePresentation R P
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor P (Submodule.subtype 𝔪))
m n : Nat
⊢ ↑m % ↑n = ↑(m % n)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h_ac : μ ≪ ν
h_ms : μ ⟂ₘ ν
⊢ μ = 0
β✝¹ : Type u_1
β✝ : Type u_2
s : β✝¹ → β✝ → Prop
α✝¹ : Type u_3
α✝ : Type u_4
r : α✝¹ → α✝ → Prop
x : α✝¹ ⊕ β✝¹
y : α✝ ⊕ β✝
h : LiftRel s r x.swap y.swap
⊢ LiftRel r s x y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d : α
n : ℤ
a : α
⊢ |1 / a| = 1 / |a|
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : Type u_5
m : MeasurableSpace β
Div β
MeasurableDiv₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hij : i ≠ j
hik : i ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (f i) (f j / f k) μ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : CommRing B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
a : A
⊢ (X - C (f a)) ^ rootMultiplicity a p ∣ (mapRingHom f) ((X - C a) ^ rootMultiplicity a p)
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : A⁻¹ = B⁻¹
h' : IsUnit A.det
⊢ B * A⁻¹ = 1
M : Type u_2
CommMonoid M
a b : ℕ
hab : a ≤ b + 1
f : ℕ → M
⊢ ∏ k ∈ Finset.Icc a (b + 1), f k = (∏ k ∈ Finset.Icc a b, f k) * f (b + 1)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
α : Type u'
n : ℕ
g : L.Equiv M N
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin n → M
⊢ φ.Realize (⇑g ∘ v) (⇑g ∘ xs) ↔ φ.Realize v xs
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ
⊢ S₁.Exact ↔ S₂.Exact
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M × M'
⊢ (chartAt H x.1).prod (chartAt H' x.2).toPartialEquiv ≫ I.prod I'.toPartialEquiv = ((chartAt H x.1).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).prod ((chartAt H' x.2).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
p : α → Prop
s : Set α
⊢ (∃ᶠ (a : α) in comap f l, p a) ↔ ∃ᶠ (b : β) in l, ∃ a, f a = b ∧ p a