ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : ι → Set α
⊢ (⋂ i, f i).Nonempty ↔ ∃ x, ∀ (i : ι), x ∈ f i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
μ : G ⟶ A
X : C
s : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ A
u : CategoryTheory.OverPresheafAux.OverArrows η s
ε : F ⟶ G
hε : CategoryTheory.CategoryStruct.comp ε μ = η
⊢ (u.map₁ ε hε).val = ε.app (Opposite.op X) u.val
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
hf : Injective f
x : α →₀ M
a : α
⊢ ∀ (b : α), x b ≠ 0 → b ≠ a → (single (f b) (x b)) (f a) = 0
x y : ℝ
⊢ Real.toEReal '' Ioc x y = Ioc ↑x ↑y
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕝
inst✝⁹ : Module 𝕝 E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁴ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝² : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
p : SeminormFamily 𝕝 E ι
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
x✝¹ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
x✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : IsBounded p q f
this : TopologicalAddGroup E
i : ι'
s : Finset ι
C : ℝ≥0
hC : (q i).comp f ≤ s.sup (C • p)
⊢ Continuous ⇑((q i).comp f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
q : α
hq : ¬IsUnit q
hq' : q ≠ 0
n m : ℕ
h : n < m
⊢ q ^ m = q ^ n * q ^ (m - n)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
f : Module.Dual K V
v : V
⊢ ((B.toDual hB) ((B.toDual hB).symm f)) v = f v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X Y : F.Elements
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.structuredArrowEquivalence F).functor.map f =
  CategoryTheory.StructuredArrow.homMk ↑f ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ Monotone fun x => Set.Ici (f x)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
self : NonUnitalStarSubalgebra R A
a : A
_ha : a ∈ self.carrier
⊢ star a ∈ self.carrier
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} B
F : CategoryTheory.Functor A B
self : J.PreservesSheafification F
⊢ J.W ≤ J.W.inverseImage ((CategoryTheory.whiskeringRight Cᵒᵖ A B).obj F)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ
⊢ (Computable₂ fun a n => Option.map (f a) (decode n)) ↔ Computable₂ f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
β : ι → Type u_3
m : (i : ι) → α i → β i
⊢ Filter.map (fun k i => m i (k i)) (Filter.coprodᵢ f) ≤ Filter.coprodᵢ fun i => Filter.map (m i) (f i)
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Fintype.card (ZMod p)ˣ = p - 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
n : ℕ
hx : (σ ^ n) (Classical.choose hσ) ∈ ↑σ.support
⊢ τ ((τ ^ n) (Classical.choose hτ)) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ⟨τ ^ n, ⋯⟩)
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
s : Set β
h : b ∉ s
⊢ (fun x => b) ⁻¹' s = ∅
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
⊢ (φ.polyCharpoly b).coeff (φ.nilRankAux b') ≠ 0
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R✝
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
U U₁ U₂ : Submodule R✝ M
x✝ x₁ x₂ y✝ y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R✝ N
V V₁ V₂ : Submodule R✝ N
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x y : R
h : x ≡ y [SMOD I]
f : R[X]
⊢ Polynomial.eval x f ≡ Polynomial.eval y f [SMOD I]
α : Type u_2
DecidableEq α
BooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ (s ⊼ t).compls = s.compls ⊻ t.compls
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β
AddCommMonoid β
DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ ∑ x ∈ {a, b}, f x = f a + f b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
X : CategoryTheory.FullSubcategory P
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X.obj).inv
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α
⊢ {I | ∃ B, M.Base B ∧ I ⊆ B} = ↑(lowerClosure {B | M.Base B})
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs
⊢ a ≤ a ⊔ b
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
cg : Code
hg : Partrec cg.eval
this✝ : Partrec fun n => rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n
n : ℕ
this : ∀ x ∈ rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun _x => Code.evaln k cg n, x ∈ cf.eval n ∨ x ∈ cg.eval n
h : (cf.eval n).Dom ∨ (cg.eval n).Dom
⊢ (rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n).Dom
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k✝ n : ℕ
h : IsPrimePow n
hn0 : n ≠ 0
p k : ℕ
hk0 : 0 < k
h1 : n.factorization = Finsupp.single p k
pp : Nat.Prime p
⊢ n / p ^ n.factorization p = 1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
⊢ HomologicalComplex.complexOfFunctorsToFunctorToComplex.obj C = C.asFunctor
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor U.ι).obj
    ((TopologicalSpace.Opens.map (X.restrictFunctor.map i).left.val.base).obj W) ≤
  (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor V.ι).obj W
α : Type u_1
Fintype α
Fintype ↑Set.univ
⊢ Set.univ.toFinset = Finset.univ
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c u : αˣ
⊢ Commute ↑a ↑a⁻¹
x : ℝ
h : Irrational x
q : ℚ
hq : q ≠ 0
⊢ Irrational (x * ↑q)
k : Type u_1
K : Type u_2
Field k
CommRing K
IsDomain K
IsAlgClosed k
f : k →+* K
hf : f.IsIntegral
⊢ Function.Surjective ⇑f
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
⊢ eval₂ (PowerSeries.C R) PowerSeries.X φ = ↑(eval₂ C X φ)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Zero X
r : NNReal
f : ContinuousMapZero X ℝ
⊢ (-(r • f)).toNNReal = r • (-f).toNNReal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (y : β) in s, f y ∂Measure.map g μ = ∫⁻ (x : α) in g ⁻¹' s, f (g x) ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
K L : CochainComplex C ℤ
n' a : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
x : R
⊢ (x • γ).rightUnshift n hn = x • γ.rightUnshift n hn
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
∀ (i : δ), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq δ
DecidableEq δ'
e : δ' → δ
he : Function.Injective e
s : Finset δ'
f : ((i : δ') → π (e i)) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
x : (i : δ) → π i
⊢ (∫⋯∫⁻_Finset.image e s, f ∘ fun x => (fun {x_1} => x) ∘' e ∂μ) x =
  (∫⋯∫⁻_s, f ∂(fun {x} => μ) ∘' e) ((fun {x_1} => x) ∘' e)
α : Type u
x y : List α
⊢ x ++ y = x ↔ y = []
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w✝¹ : V
h : M.IsMatching
hGG' : G ≤ G'
v✝ : V
hv✝ : v✝ ∈ (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).verts
w✝ : V
hv : w✝ ∈ M.verts
hv' : (Hom.ofLE hGG') w✝ = v✝
w : V
hw : (fun w => M.Adj w✝ w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => M.Adj w✝ w) y → y = w
⊢ (fun w => (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).Adj v✝ w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).Adj v✝ w) y → y = w
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Mul G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun x => g * x) μ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
f : β → α
s : Cycle β
⊢ Cycle.Chain r (Cycle.map f s) ↔ Cycle.Chain (fun a b => r (f a) (f b)) s
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
P : Finpartition Finset.univ
ε : ℝ
Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
⊢ 100 / ε ^ 5 ≤ ↑m
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
y : Y
f : X → Y
h : Continuous f
h' : Set.EqOn f (fun x => y) s
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝ˢ s) (𝓝 y)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (chartAt H x).source
hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x' ↔
  ContinuousWithinAt f s x' ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I)
      (↑(extChartAt I x) x')
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s t : Set M
h : s ⊆ t
⊢ lieSpan R L s ≤ lieSpan R L t
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α
⊢ s⁻¹ = ∅ ↔ s = ∅
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
⊢ ∀ (x y : B), { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } (x * y) = { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x * { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } y
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hM : Disjoint ↑M ↑I
a : R
ha : a ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I)
b : ↥I
s : ↥M
h : (algebraMap R S) (↑s * a) = (algebraMap R S) ↑b
c : ↥M
hc : ↑c * (↑s * a) = ↑c * ↑b
⊢ a ∈ I
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a : α
⊢ Multiset.map Subtype.val (Associates.factors' a) = Multiset.map Associates.mk (UniqueFactorizationMonoid.factors a)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ
⊢ NullMeasurableSet (fun p => f p.1 < p.2) (μ.prod volume)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X : C
f : X ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.IsPushout f (𝟙 X) (𝟙 Z) f
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
hn' : 0 < ↑n
this : f ↑n + x * log ↑n = (1 - x) * f ↑n + x * f (↑n + 1)
⊢ f ((1 - x) * ↑n + x * (↑n + 1)) ≤ (1 - x) * f ↑n + x * f (↑n + 1)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
⊢ ∠ p1 (midpoint ℝ p1 p2) p2 = π
k : Type u
CommRing k
G : Type u
n : ℕ
c : Fin (n + 1) → G
⊢ (groupCohomology.resolution.d k G n) (Finsupp.single c 1) =
  ∑ p : Fin (n + 1), Finsupp.single (c ∘ p.succAbove) ((-1) ^ ↑p)
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0
⊢ MeasurableSet (i ⁻¹' s)
G : Type u_1
Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
⊢ s ⊆ IsSubgroup.normalizer s
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
zero_mem : 0 ∈ {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
β : Sort u_1
α : Type u_2
x : β
f : α → β
a : α
⊢ (some a).elim x f = f a
n : ℕ
⊢ antidiagonal (n + 2) = (0, n + 2) ::ₘ (n + 2, 0) ::ₘ map (Prod.map Nat.succ Nat.succ) (antidiagonal n)
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : ∀ (p : ℕ), n.factorization p ≤ 1
⊢ Squarefree n
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : G
⊢ g ^ (n % exponent G + exponent G * (n / exponent G)) = g ^ (n % exponent G)
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
s : Set R
⊢ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) ⁻¹' PrimeSpectrum.zeroLocus s = PrimeSpectrum.zeroLocus (⇑f '' s)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α 0
p : (i : Fin n) → α i.succ
⊢ Fin.tail (Fin.cons x p) = p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C} (f : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.composableArrowsFunctor.map f =
    CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₅ f.f₀.τ₁ f.f₀.τ₂ f.f₀.τ₃ f.f₃.τ₁ f.f₃.τ₂ f.f₃.τ₃ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
⊢ (hasseDeriv 0) f = f
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
x : G
⊢ (∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), x ∈ conjugatesOf i) ↔ ∃ a ∈ s, IsConj a x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x y : α
S U Z : Set α
h : IsGenericPoint x S
hZ : IsClosed Z
⊢ x ∈ Z ↔ S ⊆ Z
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
h : ¬ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
⊢ μ ⊗ₘ κ = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
MeasurableSpace M
BorelSpace M
T2Space M
f : M → F
μ : MeasureTheory.Measure M
U : Set M
hU : IsOpen U
hSig : IsSigmaCompact U
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f U μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, x ∈ U → f x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
⊢ Nat.card ↑(s ∪ t) ≤ Nat.card ↑s + Nat.card ↑t
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi f
this : Epi (F.map f ≫ (α.app Y).hom)
⊢ G.map f = (α.app X).inv ≫ F.map f ≫ (α.app Y).hom
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C Dᵒᵖ
X : Cᵒᵖ
⊢ F.leftOp.obj X = Opposite.unop (F.obj (Opposite.unop X))
α : Type u
β : α → Type v
l₁ l₂ : List (Sigma β)
DecidableEq α
nd₁ : l₁.NodupKeys
nd₂ : l₂.NodupKeys
⊢ (l₁.kunion l₂).NodupKeys
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
Finite ι
(i : ι) → LinearOrder (π i)
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
∀ (i : ι), OrderTopology (π i)
a x : (i : ι) → π i
ha : ∀ (i : ι), a i < x i
⊢ Set.Ici a ∈ 𝓝 x
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
b : A
n i : ι
h : ¬i ≤ n
a : ↥(𝒜 i)
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (↑a * b)) n) = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] F
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ‖L.compLp f‖ ≤ ‖L‖ * ‖f‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X E
f : X → 𝕜
hf : IntegrableOn f K μ
g : X → E
hg : ContinuousOn g K
hK : IsCompact K
⊢ IntegrableOn (fun x => f x • g x) K μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
b : β
s : Computation α
h : b ∈ s.bind (pure ∘ f)
a : α
as : a ∈ s
fb : b ∈ (pure ∘ f) a
⊢ ∃ a, a ∈ s ∧ f a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
x : α
h : ∃ x_1, s \ {x} = {x_1}
hx : x ∈ s
⊢ ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝¹ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
inst✝ : PreservesFiniteLimits G
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ HasKernel f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
f' x : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x
hf' : f' ≠ 0
⊢ HasFDerivAt f (↑((ContinuousLinearEquiv.unitsEquivAut 𝕜) (Units.mk0 f' hf'))) x
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype m
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix m n 𝕜
x : EuclideanSpace 𝕜 n
⊢ ‖(EuclideanSpace.equiv m 𝕜).symm (A *ᵥ x)‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖x‖₊
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
AddMonoid X
DistribMulAction R X
s : ↥S
⊢ 0 /ₒ s = 0
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
⊢ G.map (F.map A.a) ≫ G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))) = G.map (adj.counit.app (F.obj A.A)) ≫ G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A)))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K) = CategoryTheory.Limits.biprod.inl - CategoryTheory.Limits.biprod.inr
M : Type u_6
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
e : M ≃+ N
⊢ ⇑e.toAddMonoidHom = ⇑e
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
Finite (G ⧸ H)
hH : H ≠ ⊤
⊢ 1 < H.index
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
CategoryTheory.Simple X
⊢ ¬CategoryTheory.Limits.IsZero X
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
μ : MeasureTheory.Measure (Quotient (MulAction.orbitRel G α))
i : MeasureTheory.QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
t : Set α
fund_dom_t : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G t ν
⊢ μ = MeasureTheory.Measure.map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel G α)) (ν.restrict t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
⊢ c.op.snd = c.inr.op
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : F
c : F
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => x - c) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 F) x
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℤ → G
hf₁ : HasProd (fun n => f ↑n) g
hf₂ : HasProd (fun n => f (-↑n)) g'
⊢ HasProd (fun n => f (-(↑n + 1))) (g' / f 0)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝[>] 0, ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → μ (f '' s) ≤ ↑m * μ s
R : Type uR
CommSemiring R
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
⊢ LinearMap.ker f.dualMap = (LinearMap.range f).dualAnnihilator
R : Type u
inst✝⁶ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup Q
inst✝⁴ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
c : Set (ExtensionOf i f)
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
a : ExtensionOf i f
a_mem : a ∈ c
b : ExtensionOf i f
b_mem : b ∈ c
neq : (fun x => x.toLinearPMap) a ≠ (fun x => x.toLinearPMap) b
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun x => x.toLinearPMap) a) ((fun x => x.toLinearPMap) b) ∨ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun x => x.toLinearPMap) b) ((fun x => x.toLinearPMap) a)
α : Type u
Group α
a : α
⊢ (Equiv.mulRight a)⁻¹ = Equiv.mulRight a⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
K : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
⊢ K.vertices = ⋃ k ∈ K.faces, ↑k
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Zero X
A : Type u_2
NonUnitalRing A
StarRing A
Module ℝ A
φ : ContinuousMapZero X NNReal →⋆ₙₐ[NNReal] A
f : ContinuousMapZero X ℝ
⊢ φ.realContinuousMapZeroOfNNReal f = φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
⊢ ∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ (t : Set β), IsOpen t → f x ∈ t → ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ u ∩ s ⊆ f ⁻¹' t
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ a.y * a₁.x * a₁.x < a₁.y * (d * (a.y * a₁.y) + a.x)
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
e : M ≃ₗ[R] M'
⊢ Module.annihilator R M = Module.annihilator R M'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Countable
hd : DirectedOn ((fun x x_1 => x ⊆ x_1) on s) t
this : Encodable ↑t
⊢ μ (⋃ i ∈ t, s i) = ⨆ i ∈ t, μ (s i)