ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
x : G
hx : x ∈ comap f (map f H)
⊢ x ∈ H ⊔ f.ker
⊢ LinearEquiv.det conjAe.toLinearEquiv = -1
p : Prop
⊢ IsCoatom p ↔ ¬p
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
Y : Ω → F
inst✝³ : IsFiniteMeasure ℙ
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : HasPDF (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν)
this✝ : HasPDF X ℙ μ
this : HasPDF Y ℙ ν
h₀ : (map X ℙ).prod (map Y ℙ) = (μ.prod ν).withDensity fun z => pdf X ℙ μ z.1 * pdf Y ℙ ν z.2
⊢ IndepFun X Y ℙ ↔ pdf (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν) =ᶠ[ae (μ.prod ν)] fun z => pdf X ℙ μ z.1 * pdf Y ℙ ν z.2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
LinearOrderedCommRing 𝕜
LinearOrderedCommRing E
LinearOrderedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module E F
IsScalarTower 𝕜 E F
SMulCommClass 𝕜 E F
OrderedSMul 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 F
OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f • g)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
⊢ e.congrRight.unitIso =
  CategoryTheory.Equivalence.adjointifyη
    (CategoryTheory.NatIso.ofComponents
      (fun F => F.rightUnitor.symm ≪≫ CategoryTheory.isoWhiskerLeft F e.unitIso ≪≫ F.associator e.functor e.inverse) ⋯)
    (CategoryTheory.NatIso.ofComponents
      (fun F => F.associator e.inverse e.functor ≪≫ CategoryTheory.isoWhiskerLeft F e.counitIso ≪≫ F.rightUnitor) ⋯)
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
this : g = (range g).subtype ∘ₗ g.rangeRestrict
⊢ Function.Surjective ⇑g.rangeRestrict
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℂ
this✝ : b ≠ 0
h : (-↑π * b).re < 0
t : ℝ
this : ∀ (x : ℝ), ↑(-2 * π * x * t) * I + -↑π * b * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * c * ↑x = -↑π * b * ↑x ^ 2 + (-2 * ↑π * I * ↑t + 2 * ↑π * c) * ↑x + 0
⊢ ∫ (v : ℝ), cexp (↑(-2 * π * v * t) * I + -↑π * b * ↑v ^ 2 + 2 * ↑π * c * ↑v) = 1 / b ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / b * (↑t + I * c) ^ 2)
k : Type u_1
inst✝⁹ : Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
V₁ : Type u_4
P₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
v : V₁
s : AffineSubspace k P₁
p✝ : P₁
⊢ (f.comp ↑(AffineEquiv.constVAdd k P₁ v)) p✝ = ((↑(AffineEquiv.constVAdd k P₂ (f.linear v))).comp f) p✝
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
x✝ : ℕ
⊢ MeasurableSet (⋃ i, ⋂ i_1, ⋂ (_ : i_1 ≥ i), ⋂ i_2, ⋂ (_ : i_2 ≥ i), {x | x.2 ∈ B (f x.1) K ((1 / 2) ^ i_1) ((1 / 2) ^ i_2) ((1 / 2) ^ x✝)})
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p
⊢ Prime ↑↑p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomotopyEquiv.refl S).homotopyInvHomId = CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofEq ⋯
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsRefl α r
⊢ {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}.Nonempty
α : Sort u
self : Countable α
⊢ ∃ f, Function.Injective f
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
⊢ x +ᵥ p.closedBall y r = p.closedBall (x +ᵥ y) r
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ I * (1 / I) ≤ 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E) < r
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => (1 + ‖x‖) ^ (-r)) μ
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α →o β →o γ
x : α × β
⊢ ((RelIso.symm OrderHom.curry) f) x = (f x.1) x.2
R : Type u
CommRing R
⊢ ⊥.jacobson ≤ sInf (Ideal.map Polynomial.C '' {J | J.IsMaximal})
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
s : Set α
t : Set β
f : α → γ → δ
g : β → γ
⊢ Set.image2 f s (g '' t) = Set.image2 (fun a b => f a (g b)) s t
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w x : V
h : G.Adj v x
hn : ¬G.Adj w x
⊢ v ≠ w
S : LightProfinite
n : ℕ
⊢ S.proj n = (Profinite.asLimitCone (CompHausLike.of (fun X => TotallyDisconnectedSpace ↑X) ↑S.toTop)).π.app ((sequentialFunctor (DiscreteQuotient ↑S.toTop)).obj (Opposite.op n))
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
x : α × α
⊢ x ∈ s.diag ↔ x.1 ∈ s ∧ x.1 = x.2
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i j : ι
h_le : i ≤ j
hi_max : ¬IsMax i
hj_min : ¬IsMin j
hi : i < i0
hj : j < i0
⊢ toZ i0 i ≤ toZ i0 j
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ f + g = 0 ↔ f = 0 ∧ g = 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.im
hz_im : 0 ≤ z.re
⊢ ‖f (z * I)‖ ≤ C
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
⊢ 2 * (B (P.root i)) (P.root j) = P.pairing i j * (B (P.root j)) (P.root j)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t : Set (PrimeSpectrum R)
f : R
⊢ ∀ (a : PrimeSpectrum R), f ∈ ⨅ (_ : a ∈ t), a.asIdeal ↔ a ∈ t → f ∈ a.asIdeal
α : Type u
β : Type v
Group α
Group β
f : α → β
hf : IsGroupHom f
a b : α
⊢ f (a / b) = f a / f b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
i : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀'.map f).f i = f.f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'
h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)
this : κ = κ'.comapRight h_prod_embed
⊢ κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η = (κ'.fst ⊗ₖ η).comapRight h_prod_embed
p : Fin 0 → Type u
τ : Type u
a : Function.FromTypes p τ
⊢ (Function.fromTypes_zero_equiv p τ).symm a = a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
A B : PointedGaloisObject F
f : A ⟶ B
φ : Aut B.obj
⊢ ∃ a, ((autGaloisSystem F).map f) a = φ
K✝ : Type uK
inst✝⁸ : Field K✝
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K✝ V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K✝ V₂
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Subspace K (Dual K V)
inst✝ : FiniteDimensional K V
⊢ Submodule.map (Dual.eval K V) (Submodule.dualCoannihilator W) = Submodule.dualAnnihilator W
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex (Type u)
c : CategoryTheory.Limits.Multifork I
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit c) ↔ Function.Bijective c.toSections
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : CategoryWithHomology C
inst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
K L : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
⊢ quasiIso C c ((quotient C c).map f) ↔ (HomologicalComplex.quasiIso C c).map (quotient C c) ((quotient C c).map f)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
b₁ b₂ : P
⊢ (s.weightedVSubOfPoint p b₁) w = (s.weightedVSubOfPoint p b₂) w
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : R
s : ↥S
⊢ (algebraMap (Localization S) (LocalizedModule S A)) (IsLocalization.mk' (Localization S) a s) = mk ((algebraMap R A) a) s
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ MonoidHom.mrange (MonoidHom.inl M N) = Submonoid.comap (MonoidHom.snd M N) ⊥
α : Type u
self : UniformSpace α
x : α
⊢ 𝓝 x = Filter.comap (Prod.mk x) UniformSpace.uniformity
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
InfSet α
InfSet β
InfSet γ
g : sSupHom βᵒᵈ γᵒᵈ
f : sSupHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ sInfHom.dual.symm (g.comp f) = (sInfHom.dual.symm g).comp (sInfHom.dual.symm f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
hs : s.Nonempty
⊢ IsLeast s (sInf s)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
n : ι
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
⊢ Memℒp (∑ i ∈ Finset.filter (fun x => x < n) s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)) p μ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
⊢ W'.addX P Q * (P z * Q z) ^ 2 = (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) ^ 2
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
self : I.Filtration M
i : ℕ
⊢ I • self.N i ≤ self.N (i + 1)
ι : Type u_5
α : Type u_7
LinearOrder α
BoundedOrder α
Nontrivial α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ s.inf f = ⊥ ↔ ∃ b ∈ s, f b = ⊥
α : Type u_1
s₁ s₂ : List α
t : List α
⊢ s₁ ++ t = s₂ ++ t ↔ s₁ = s₂
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
⊢ b ⊔ aᶜ ≤ a ⇨ b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CommGroup β
s : Set α
t u : Finset α
d : ℕ
a : α
e : β ≃* α
⊢ MulDissociated (⇑e ⁻¹' s) ↔ MulDissociated s
ι : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
UniformSpace α
F : ι → X → α
TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_covers : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
⊢ Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ Inducing F
α : Type u_1
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
ha : a < 0
⊢ sign a = -1
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
ι : Type u_1
s : Finset ι
p : ι → R[X]
x : R
⊢ (∏ j ∈ s, p j).IsRoot x ↔ ∃ i ∈ s, (p i).IsRoot x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q p₁ p₂ q₁ q₂ : R[X]
hp₁ : p₁ ≠ 0
hq₁ : q₁ ≠ 0
hp₂ : p₂ ≠ 0
hq₂ : q₂ ≠ 0
h_eq : p₁ * q₂ = p₂ * q₁
⊢ ↑p₁.natDegree - ↑q₁.natDegree = ↑p₂.natDegree - ↑q₂.natDegree
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
x : X
⊢ ∑ᶠ (i : ι), f.toPOUFun i x = 1 - ∏ᶠ (i : ι), (1 - (f i) x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
g : N →ₙ* P
f₁ f₂ : M →ₙ* N
hg : Function.Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : M
⊢ g (f₁ x) = g (f₂ x)
E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' g : ℝ → ℝ
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) (Ici a) volume
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
⊢ (𝓝[≠] 0)⁻¹ = Bornology.cobounded α
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra F K
inst✝⁹ : Algebra F E
inst✝⁸ : Algebra K E
inst✝⁷ : IsScalarTower F K E
A₁ : Type u_4
B₁ : Type u_5
A₂ : Type u_6
B₂ : Type u_7
inst✝⁶ : Field A₁
inst✝⁵ : Field B₁
inst✝⁴ : Field A₂
inst✝³ : Field B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Algebra.IsSeparable A₁ B₁
this✝² : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝¹ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
this : Algebra.IsSeparable A₂ B₁
⊢ Algebra.IsSeparable A₂ B₂
R : CommRingCat
M : Submonoid ↑R
x : PrimeSpectrum (Localization M)
⊢ IsIso ((stalkIso (↑(unop (op (CommRingCat.of ↑R)))) ((PrimeSpectrum.comap (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop) x)).hom ≫ Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop) x).asIdeal x.asIdeal (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop ⋯ ≫ (stalkIso (↑(unop (op (CommRingCat.of (Localization M))))) x).inv)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
⊢ StructureSheaf.toStalk (↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))) ((toSpec 𝒜 f).val.base x) ≫ LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (toSpec 𝒜 f) x = awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
inst✝ : Preorder ι
l : Filter α
s : ι → Set α
hs : l.HasAntitoneBasis s
t : Set α
⊢ (∃ i, True ∧ s i ⊆ t) ↔ ∃ i, s i ⊆ t
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
m : ∀ {α : Type ?u.28006} {β : Type ?u.28005} {m : MeasurableSpace α} {mβ : MeasurableSpace β} {x : α}, Measurable (Prod.mk x)
⊢ ∀ {f : α × β → ℝ≥0∞}, Measurable f → Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
i : n
j : m
⊢ Matrix.fromBlocks A B C D (Sum.inl i) (Sum.inr j) = B i j
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁ ≤ N₂
⊢ N₁.normalizer ≤ N₂.normalizer
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.σ i ≫ X.δ i.castSucc = 𝟙 (X _[n])
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
νS : ν S ≠ ⊤
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : Field 𝕜
inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Algebra 𝕜 R
inst✝¹¹ : Module 𝕜 M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : MulOpposite.op x.fst • x.snd = x.fst • x.snd
e : R
h : HasSum (fun n => (expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst) e
⊢ HasSum (fun n => ((expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst) • x.snd) (e • x.snd - ∑ x_1 ∈ Finset.range 1, ((expSeries 𝕜 (tsze R M) x_1) fun x_2 => x).snd)
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
x y : R
nonzero : ¬(x = 0 ∧ y = 0)
H : ∀ (z : R), Irreducible z → z ∣ x → ¬z ∣ y
⊢ IsCoprime x y
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
x : A
⊢ star x ∈ NonUnitalStarAlgebra.adjoin R {x}
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
al : ∀ (a : α), count a s ≤ count a t
⊢ s ≤ s ∪ t
n : Nat
m : Nat
x : BitVec n
i : Nat
⊢ (BitVec.truncate m x).getLsb i = (decide (i < m) && x.getLsb i)
a : UInt16
b : Nat
⊢ (a.modn b).toNat = a.toNat % b
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommGroup M'
Module R M'
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
f : M →ₗ[R] M'
v : Basis ι R M
v' : Basis ι R M'
h : IsUnit ((LinearMap.toMatrix v v') f).det
a : M'
⊢ (LinearEquiv.ofIsUnitDet h).symm a = ((Matrix.toLin v' v) ((LinearMap.toMatrix v v') f)⁻¹) a
R : Type u_3
Γ : Type u_5
LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R
⊢ x.orderTop + y.orderTop ≤ (x * y).orderTop
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝¹ : MonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R
hx : IsNilpotent x
hx' : nilpotencyClass x = 0
⊢ False
K : Type u_2
LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
⊢ r • Set.Ioc a b = Set.Ioc (r • a) (r • b)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℤ
⊢ normEDS b c d (-n) = -normEDS b c d n
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω
ω : Ω
hω : ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (μ (s (n + 1))).toReal
htends : ∀ (x : NNReal), ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, ↑x < ∑ k ∈ Finset.range a, μ (s (k + 1))
⊢ Monotone fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, (μ (s (x + 1))).toReal
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β
⊢ List.map₂Left f as bs = (List.map₂Left' f as bs).1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : E
hx : DifferentiableAt 𝕜 f x
δ : ℝ := ε / 2 / 2
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ y ∈ ball x R, ‖f y - f x - (fderiv 𝕜 f x) (y - x)‖ ≤ δ * ‖y - x‖
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 R
this : r ∈ Ioc (r / 2) r
⊢ x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ε
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
e : F ≃L[𝕜] G
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (⇑e ∘ f) s ↔ ContDiffOn 𝕜 n f s
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : R₁ ⟶ R₂
β : R₂ ⟶ R₃
⊢ (conjugateEquiv adj₁ adj₂) ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α) ≫ (conjugateEquiv adj₂ adj₃) ((conjugateEquiv adj₂ adj₃).symm β) = α ≫ β
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
α : Type u_12
DecidableEq o
Zero α
(i : o) → DecidableEq (m' i)
One α
⊢ Matrix.blockDiagonal' 1 = 1
α : Type u
S T : Set α
h : T ⊆ S
⊢ Cardinal.mk ↑(S \ T) + Cardinal.mk ↑T = Cardinal.mk ↑S
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
x✝ : A
⊢ x✝ ∈ LinearMap.range (toAlgHom R (↥S) A) ↔ x✝ ∈ toSubmodule S
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
⊢ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T ⊆ ⋂ r ∈ S ×ˢ T, r.1 ×ˢ r.2
X : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : SeparableSpace X
inst✝¹ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
h : 𝔠 ≤ #↑s
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
f : α → β
inst✝ : WellFoundedLT β
hf : StrictMono f
s : Set α
hne : s.Nonempty
hs' : (f '' s).Nonempty
⊢ ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬x < m
α : Type u
β : Type v
Add α
Add β
e : α ≃+ β
⊢ e.withZeroCongr.symm = e.symm.withZeroCongr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ re ⟪x, x⟫_𝕜 = ‖⟪x, x⟫_𝕜‖
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
hRA : Function.Injective ⇑(algebraMap R A)
⊢ integralClosure R A ≤ ⊥ ↔ IsIntegrallyClosedIn R A
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (a : (CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op F)).obj ((CategoryTheory.Functor.const J).obj X))
  (X_1 : J), (F.cocones.map f a).app X_1 = a.app X_1 ≫ f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
H : ∀ (f : ℕ → α → E), (∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ) → ∀ (B : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), B i < ⊤ → (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N) → ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n
hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
f : ℕ → ↥(Lp E p μ)
M : ℝ
hB : HasSum B M
B1 : ℕ → ℝ≥0∞ := fun n => ENNReal.ofReal (B n)
hB1_has : HasSum B1 (ENNReal.ofReal M)
hB1 : ∑' (i : ℕ), B1 i < ⊤
f1 : ℕ → α → E := fun n => ↑↑(f n)
N n m : ℕ
hn : N ≤ n
hm : N ≤ m
hf : dist (f n) (f m) < B N
⊢ eLpNorm (f1 n - f1 m) p μ < B1 N
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
M : Matrix n n R[X]
r : R
i j : n
⊢ eval ((scalar n) r) (matPolyEquiv M) i j = eval r (M i j)
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ map (fun x => g * x) μ ≪ map (fun x => g * x) (map Inv.inv μ)
α : Type u_2
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a b x : α
ha : a ≤ x
hb : x ≤ b
⊢ x ∈ [[a, b]]