ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Finset σ
q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
n : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }
e : { x // x ∈ s } ≃ Fin (Fintype.card { x // x ∈ s }) := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }
⊢ (rename Subtype.val) q = (rename (Subtype.val ∘ ⇑e.symm)) ((rename ⇑e) q)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ ↑(p ⊔ p') ↔ x✝ ∈ ↑p + ↑p'
R : Type u_1
S₁ : Type u_3
S₂ : Type u_5
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
Semiring S₁
Semiring S₂
Module S₁ N₂
Module S₂ N₂
SMulCommClass S₁ R N₂
SMulCommClass S₂ R N₂
SMulCommClass S₂ S₁ N₂
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
M : Matrix n m N₂
x : n → S₁
y : m → S₂
⊢ (((Matrix.toLinearMap₂' R) M) x) y = ∑ i : n, ∑ j : m, x i •> y j •> M i j
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u✝ : Finset α
P : Finpartition s
a✝ : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
hts : t ⊆ s
a : α
ha : a ∈ t
u : Finset α
hu : u ∈ (atomise s F).parts
hau : a ∈ u
⊢ ∃ a_1 ∈ filter (fun u => u ⊆ t ∧ u.Nonempty) (atomise s F).parts, a ∈ id a_1
M : Type u_1
Mul M
c d : Con M
H : ∀ (x y : M), c x y ↔ d x y
⊢ c = d
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
⊢ μ.toFinite s = (μ.toFiniteAux Set.univ)⁻¹ * μ.toFiniteAux s
α : Type u_2
Fintype α
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s \ t).dens + t.dens = (s ∪ t).dens
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
⊢ hausdorffDist s u ≤ hausdorffDist s t + hausdorffDist t u
α β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.246298}
a b c : Cardinal.{u}
⊢ a ^< b ≤ c ↔ ∀ x < b, a ^ x ≤ c
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ (MvPolynomial.eval P) W.polynomialX / P z ^ 4 =
  Polynomial.evalEval (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3) W.toAffine.polynomialX
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsRelPrime (x + z * y) y
⊢ IsRelPrime x y
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1
hg₁r : g₁ ∉ (φ i).range
⊢ False
a b : ℤ
⊢ a % |b| = a % b
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : α
⊢ toBoolAlg (a + b + a * b) = toBoolAlg a ⊔ toBoolAlg b
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
x u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ (G.incidenceFinset x).val = (Finset.filter (Membership.mem x) ⋯.edgesFinset).val
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ SameRay R x 0
G : Type u_2
DivisionMonoid G
⊢ ⇑(MulEquiv.inv' G).symm = Inv.inv ∘ MulOpposite.unop
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
x : M
⊢ Monoid.Coprod.fst (Monoid.Coprod.inl x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set α
f : α → β
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
⊢ UniformContinuous (s.restrict f)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : DecidableEq n
A : (Matrix n n R)ˣ
⊢ Fintype.card n ≤ (↑A).rank
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
⊢ ∀ {X Y : C ⥤ Mon_ D} (α : X ⟶ Y) (X_1 : C),
  (CategoryTheory.Monoidal.MonFunctorCategoryEquivalence.inverse.map α).hom.app X_1 = (α.app X_1).hom
d : Nat
n : Int
d0 : d ≠ 0
⊢ Rat.normalize n d d0 = 0 ↔ n = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
u : Filter ι
u.NeBot
u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hlim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun i => f i a) u (𝓝 (g a))
⊢ AEMeasurable g μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : OpensMeasurableSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : ℝ≥0∞
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ = ∫⁻ (a : β), ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ∂ν
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
TopologicalSpace β
k s : Set β
f : β → α
hk : IsCompact k
hf : ∀ x ∈ k, ContinuousWithinAt f s x
⊢ ∃ t, k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ Bornology.IsBounded (f '' (t ∩ s))
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
⊢ M.det = N.det
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (↑f) p μ
x y y' : SetTheory.PGame
ih :
  ∀ (a : Surreal.Multiplication.Args),
    Surreal.Multiplication.ArgsRel a (Surreal.Multiplication.Args.P1 x y) → Surreal.Multiplication.P124 a
h : y'.IsOption y
⊢ (x * y').Numeric
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hf_eq_ae : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x = f n x
x : α
hxf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x = f n x
hxg : g x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x
hxfg : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g hg x))
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_6
Q : Type u_7
NormedAddCommGroup V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedAddCommGroup W
MetricSpace Q
NormedAddTorsor W Q
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
f : P →ᴬ[R] Q
⊢ ⇑f.linear = ⇑f.contLinear
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
t : Set β
⊢ univ ×ˢ t = Prod.snd ⁻¹' t
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : ContinuousAdd M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Nontrivial M
inst✝¹ : (𝓝[≠] 0).NeBot
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
⊢ (𝓝[≠] x).NeBot
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s ∩ u = t ∩ u ↔ t ∩ u ⊆ s ∧ s ∩ u ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
⊢ f '' (s₁ ∩ s) ⊆ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
h₁ : IsMulFreimanHom n A B₁ f₁
h₂ : IsMulFreimanHom n A B₂ f₂
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod
⊢ (map (f₁ * f₂) s).prod = (map (f₁ * f₂) t).prod
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (Sigma σ)
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (i : ι), IsClosed (Sigma.mk i ⁻¹' s)
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 ≤ b
⊢ 1 ≤ a * b
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ ((toMatrix b b) f).trace = ((toMatrix b b) ((id ∘ₗ f) ∘ₗ id)).trace
M : Type u_2
AddMonoid M
a b c : M
hba : b + a = 0
hac : a + c = 0
⊢ b = c
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
this : Continuous fun p => (p.1⁻¹, p.2)
H : (Subtype.val ⁻¹' ((fun a => a.1⁻¹ * a.2) '' K ×ˢ L)).Finite
⊢ (⇑S.equivOp ⁻¹' {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅}).Finite
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)} (φ : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor.map φ).τ₄ = φ.right.right
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : D × C
⊢ (CategoryTheory.Prod.braiding C D).inverse.obj X = (X.2, X.1)
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y
g : ↑x.toTopObj
i : (CategoryTheory.forget SimplexCategory).obj y
⊢ ↑(SimplexCategory.toTopMap f g) i = ∑ j ∈ Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = i) Finset.univ, ↑g j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X : C
s : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ A
x : F.obj (Opposite.op (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk s))
⊢ (CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.mk s x).fst = s
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
i : Fin2 n
x y : α i
⊢ TypeVec.ofRepeat (α.repeatEq i (TypeVec.prod.mk i x y)) ↔ x = y
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ a ^ n ≤ Pell.xn a1 n
a b : ℂ
ha : a ∈ Complex.slitPlane
⊢ ContinuousAt (fun x => x ^ b) a
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : Type u_10
m : MeasurableSpace β
Mul β
MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (f i * f j) (f k) μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
t : Set M'
g : M' → M''
hg : SmoothOn I' I'' g t
hf : SmoothOn I I' f s
⊢ SmoothOn I I'' (g ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' t)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℤ
n : ℤ
⊢ l.prod % n = (map (fun x => x % n) l).prod % n
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ IsClosed (closure s ∩ closure sᶜ)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
p : TangentBundle I M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
⊢ tangentMapWithin I I id s p = p
a b : ℤ
h : ¬b ≤ a
⊢ a ≤ b - 1
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
α : Type u_2
f : OnePoint X → α
l : Filter α
⊢ Tendsto f (pure ∞) l ∧ Tendsto (f ∘ some) (coclosedCompact X) l ↔ ∀ s ∈ l, f ∞ ∈ s ∧ ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ MapsTo (f ∘ some) tᶜ s
α : Type u
s t : Set α
⊢ s \ t ∪ s ∩ t = s
α : Type u_2
β : Type u_5
LinearOrder α
Preorder β
a b : α
c d : β
H : a ≤ b → c ≤ d
h : d < c
⊢ b < a
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 a, x ≤ b
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
⊢ ((∡ p₂ p₁ s.center).tan / 2) • (EuclideanGeometry.o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂ = s.center
n d : ℤ
this : ∀ (m : ℕ), (↑m + 1).natAbs = m + 1
⊢ (n /. d).num = d.sign * n / ↑(n.gcd d)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hf : Integrable f μ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Integrable.toL1 f hf)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
⊢ [x-[𝕜]y] = ⇑(AffineMap.lineMap x y) '' Icc 0 1
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ = ∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (c ^ 2) * ↑‖X a - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ
K : Type u
Field K
s : Set K
x : K
⊢ x ∈ Subfield.closure s ↔ ∃ y ∈ Subring.closure s, ∃ z ∈ Subring.closure s, y / z = x
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n✝ : ℕ
⊢ (coeff R n✝) ((d⁄dX R) X) = (coeff R n✝) 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε.toReal / 3
hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal
hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)
δ₁ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ₁
heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
δ₂ : ℝ
hδ₂ : 0 < δ₂
heLpNorm₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
t : Set α
htm : MeasurableSet t
ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
ht₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f n x) < ε.toReal / (3 * ↑(measureUnivNNReal μ) ^ (1 / p.toReal))
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε.toReal / (3 * ↑(measureUnivNNReal μ) ^ (1 / p.toReal))
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
⊢ dist (f z) (f c) ≤ R₂ / R₁ * dist z c
q : ℝ≥0
⊢ 0 ≤ ↑q
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↥(pbo f)
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
⊢ f ∈ 𝒜 ?m
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
r : M →ₗ[R] M
⊢ B.comp LinearMap.id r = B.compRight r
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
simple : ∀ (i : B), p (cs.simple i)
one : p 1
mul : ∀ (w w' : W), p w → p w' → p (w * w')
⊢ p w
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤
N : ℕ := ι'.sup n
hN : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' (s' '' ↑ι')) = ⊤
i : ι
hi : i ∈ ↑ι'
⊢ s' i ^ (N - n i) • s' i ^ n i • x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : SheafOfTypes (J.over Y)
Z : Over X
T : Presieve Z
x : Presieve.FamilyOfElements ((Over.map f).op ⋙ F.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : Over X
W : Over Y
f₁ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₁
f₂ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
h : f₁ ≫ (Over.map f).map g₁ = f₂ ≫ (Over.map f).map g₂
W' : Over X := Over.mk (f₁.left ≫ Y₁.hom)
g₁' : W' ⟶ Y₁ := Over.homMk f₁.left ⋯
⊢ F.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = F.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
n : ℕ∞
h : ContDiffAt ℂ n e ↑z
A : ContDiffAt ℝ n ofReal' z
B : ContDiffAt ℝ n e ↑z
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => (e ↑x).re) z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
X : J
tX : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
F : J ⥤ C
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.coconeOfDiagramTerminal tX F).ι.app j = F.map (tX.from j)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Set.range ⇑(D S B) ⊆ ↑(LinearMap.range (map R S A B))
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
LinearOrder ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
(i : ι) → PartialOrder (β i)
x : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
⊢ toLex x ≤ toLex (Function.update x i a) ↔ x i ≤ a
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ Ideal.homogeneousHull 𝒜 I = sInf {J | I ≤ J.toIdeal}
G : Type u_1
Group G
⊢ Monotone Subgroup.toSubmonoid
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝³ : CommMonoid β
inst✝² : CommMonoid γ
G : Type u_6
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : MonoidHomClass G β γ
g : G
f : α → β
s : Finset α
⊢ (Multiset.map (⇑g ∘ f) s.val).prod = (Multiset.map (fun x => g (f x)) s.val).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrder α
DenselyOrdered α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
RegularSpace β
f : α → β
a b : α
lb : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Set.Ioo a b)
hb : Filter.Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)
⊢ ContinuousOn (extendFrom (Set.Ioo a b) f) (Set.Ioc a b)
x y : EReal
⊢ ⊥ < x + y ↔ ⊥ < x ∧ ⊥ < y
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
x : V
hx : ∀ (n : V), (B.flip x) n = 0
⊢ (Module.evalEquiv K V) x = (Module.evalEquiv K V) 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1
⊢ dist p₃ p₂ / (∡ p₂ p₃ p₁).cos = dist p₁ p₃
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.SimplicialCategory C
K K' K'' : C
f : K ⟶ K'
f' : K' ⟶ K''
L : C
⊢ CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomWhiskerRight (f ≫ f') L =
  CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomWhiskerRight f' L ≫ CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomWhiskerRight f L
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ
h : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)
hB : 0 ≤ B
h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹
h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
a : K
ha : a ∈ ↑↑I
hx : (mixedEmbedding K) a ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
h_nz : ⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ≠ 0
h_mem : ↑⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ∈ convexBodySum K B
⊢ ↑(finrank ℚ K) * ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ^ (↑(finrank ℚ K))⁻¹ ≤ ∑ w : InfinitePlace K, ↑w.mult * ↑w a
R : Type u
CommRing R
M : Type w
AddCommMonoid M
Module R M
t : Set R
ht : Ideal.span t = ⊤
H : ∀ (g : ↑t), Module.Finite (Localization.Away ↑g) (LocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) M)
⊢ Module.Finite R M
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup P
Module R M
Module R P
IsNoetherian R P
N : Submodule R M
f : M →ₗ[R] P
hf : LinearMap.ker f = ⊥
⊢ N.FG
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : StarRing A
inst✝¹⁰ : StarModule R A
inst✝⁹ : TopologicalSemiring A
inst✝⁸ : ContinuousStar A
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : T2Space B
F : Type u_4
S : StarSubalgebra R A
inst✝² : FunLike F (↥S.topologicalClosure) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥S.topologicalClosure) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥S.topologicalClosure) B
φ ψ : F
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : ∀ (x : ↥S), φ ((inclusion ⋯) x) = ψ ((inclusion ⋯) x)
⊢ φ = ψ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
NormedAddCommGroup D
NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : D
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hB : ‖B‖ ≤ 1
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) x‖ ≤
  ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n - i) g x‖
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
hy : y ∉ s
t : R
ht : 0 < t
⊢ s.SSameSide y ((AffineMap.lineMap x y) t)
a b : ℤ
⊢ 0 ≤ a + b ↔ -a ≤ b