ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
l₁ l₂ : List α
⊢ ⟦l₁⟧ - ⟦l₂⟧ = foldl erase ⋯ ⟦l₁⟧ ⟦l₂⟧
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor B (CategoryTheory.Functor C D)
h : CategoryTheory.uncurry.obj F₁ = CategoryTheory.uncurry.obj F₂
⊢ F₁ = F₂
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : CharZero K
a b : ℕ
⊢ ↑(a.choose b) = Polynomial.eval (↑(a - (b - 1))) (ascPochhammer K b) / ↑b !
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace 𝕜 P
Nonempty ↥s
⊢ s.subtypeₐᵢ.toAffineMap = s.subtype
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝² : G.IsCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
W : C
i : G.obj W ⟶ X
⊢ ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁)) = ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂))
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
SeminormedAddCommGroup V₃
NormedSpace 𝕜 V₃
PseudoMetricSpace P₃
NormedAddTorsor V₃ P₃
g : P₂ →ᵃⁱ[𝕜] P₃
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ ⇑(g.comp f) = ⇑g ∘ ⇑f
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, f x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
R : Type u_1
Ring R
n : ℤ
m : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n m → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (↑n) m
α : Type u_1
a : Array α
⊢ List.toArray a.data = a
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ f.toLinearEquiv = (o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ a \ c ≤ b \ c
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
a b : A
n x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range n.succ
⊢ (algebraMap ℚ A) (1 / ↑x ! * (1 / ↑(n - x)!)) = (algebraMap ℚ A) (↑(n.choose x) * (1 / ↑n !))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : ennrealRatEmbed k ≤ f a), ennrealRatEmbed k = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, x < f l
z : R
hz : z ∈ f ⁻¹' {x | x < f l}
⊢ z < l
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
f : ↥(lp E p)
hp₀ : 0 < p
hp' : 0 < p.toReal
this : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : Finset α) in Filter.atTop, dist (∑ b ∈ x, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : Finset α) in Filter.atTop, dist (∑ b ∈ x, lp.single p b (↑f b)) f < ε
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
h : ∃ n, ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = 0
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)
α : Type u_2
ι : Type u_3
l : Combinatorics.Line α ι
i : ι
a x : α
h : l.idxFun i = some a
⊢ (fun x i => (l.idxFun i).getD x) x i = a
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring C
Star C
f : B →⋆ₙ+* C
g : A →⋆ₙ+* B
a : A
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
h : Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))
n : ℕ+
⊢ IsUnit ↑↑n
α : Sort u
a b : α
h : a ≠ b
⊢ a = b → False
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
⊢ range l.get? = insert none (range (some ∘ l.get))
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.LaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (F.map f)).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapId a) (F.map f))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) f)
      (F.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).hom))
K : Type u_2
Field K
NumberField K
x : NumberField.RingOfIntegers K
w : NumberField.InfinitePlace K
h₁ : x ≠ 0
h₂ : ∀ ⦃w' : NumberField.InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1
h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1
⊢ Algebra.adjoin ℚ {↑x} = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G H : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : C
σ : F ⟶ G
τ : G ⟶ H
x : F.obj X
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp σ τ).app X x = τ.app X (σ.app X x)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
f : α → γ
hf : LowerSemicontinuous f
y : γ
⊢ IsClosed (f ⁻¹' Set.Iic y)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
h : (Set.Iio a).Nonempty
⊢ closure (Set.Iio a) = Set.Iic a
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≥] f a
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Ici a) a
α : Type u_1
DecidableEq α
xs ys : List α
n : ℕ
h : xs.Perm ys
h' : ys.Nodup
⊢ (List.drop n xs).Perm (ys.inter (List.drop n xs))
α : Type u
β : Type v
inst✝ : LinearOrder α
a b c d : α
⊢ a ≤ b ⊔ c ↔ a ≤ b ∨ a ≤ c
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : y ≠ 0
⊢ (x ^ y) ^ y⁻¹ = x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
Fintype ι
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
(i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → MeasureTheory.Measure (β i)
∀ (i : ι'), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
⊢ MeasureTheory.Measure.map (⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e))
    (MeasureTheory.Measure.pi fun i => μ (e i)) =
  MeasureTheory.Measure.pi μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct X X
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.codiag X ≫ f = CategoryTheory.Limits.coprod.desc f f
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ = Real.arccos (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
p : G.Walk u u
h : p.IsCircuit
⊢ p.IsTrail
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : List α
⊢ ↑s - ↑t = ↑(s.diff t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
F.Full
F.Faithful
f : F.obj X ≅ F.obj Y
⊢ (F.preimageIso f).inv = F.preimage f.inv
α : Type u_3
SemilatticeInf α
Nonempty α
p : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in Filter.atBot, p x) ↔ ∀ (a : α), ∃ b ≤ a, p b
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg : GrowsPolynomially g
hf : f =Θ[atTop] g
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_pos : 0 < b
⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
ℐ : Set (Ideal A)
h : ∀ I ∈ ℐ, Ideal.IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ Ideal.IsHomogeneous 𝒜 (sInf ℐ)
x : SetTheory.PGame
o : Ordinal.{u_1}
⊢ o < x.birthday ↔ (∃ i, o ≤ (x.moveLeft i).birthday) ∨ ∃ i, o ≤ (x.moveRight i).birthday
R : Type uR
Semiring R
r : R → R → Prop
a : R
n : ℕ
⊢ { toQuot := Quot.mk (RingQuot.Rel r) a } ^ n = { toQuot := Quot.mk (RingQuot.Rel r) (a ^ n) }
n : ℕ
α : TypeVec.{u} n
F : TypeVec.{u} n → Type v
MvFunctor F
R : α ⊗ α ⟹ TypeVec.repeat n Prop
LawfulMvFunctor F
x y : F α
⊢ MvFunctor.LiftR' R x y ↔
  ∃ u, (TypeVec.prod.fst ⊚ TypeVec.subtypeVal R) <$$> u = x ∧ (TypeVec.prod.snd ⊚ TypeVec.subtypeVal R) <$$> u = y
α : Sort u_1
⊢ IsEmpty α ∨ Nonempty α
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x
⊢ IsRelPrime y (x * z) ↔ IsRelPrime y z
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
f✝ : R[X]
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring S
i : R →+* S
x : S
inst✝ : Invertible x
N : ℕ
f : R[X]
hf : f.natDegree ≤ N
⊢ (fun f => eval₂ i (⅟x) (reflect N f) * x ^ N = eval₂ i x f) 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
⊢ ∀ {X Y : C ⥤ CommMon_ D} (α : X ⟶ Y) (X_1 : C),
  (CategoryTheory.Monoidal.CommMonFunctorCategoryEquivalence.inverse.map α).hom.app X_1 = (α.app X_1).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ Ico a b ∩ Ici c = Ico (a ⊔ c) b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
⊢ Orthonormal 𝕜 fun i => single i 1
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
⊢ ↑((fun f_1 => ⟨mk f.support fun i => ↑(f_1 i), ⋯⟩) ((fun x => match (motive := { f_1 // f_1.support = f.support } → (i : { x // x ∈ f.support }) → { x // x ≠ 0 }) x with | ⟨f_1, hf⟩ => fun x => match x with | ⟨i, hi⟩ => ⟨f_1 i, ⋯⟩) ⟨f, ⋯⟩)) i = ↑⟨f, ⋯⟩ i
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
a : α
b : β
⊢ Filter.map₂ m (pure a) (pure b) = pure (m a b)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
self : ENorm 𝕜 V
x y : V
⊢ ↑self (x + y) ≤ ↑self x + ↑self y
ι : Type u_7
R : ι → Type u_8
S : ι → Type u_9
T : ι → Type u_10
(i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (R i)
(i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (S i)
(i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (T i)
e : (i : ι) → R i ≃+* S i
f : (i : ι) → S i ≃+* T i
⊢ (RingEquiv.piCongrRight e).trans (RingEquiv.piCongrRight f) = RingEquiv.piCongrRight fun i => (e i).trans (f i)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
ι : Type w
Finite ι
IsDomain R
IsDomain S
b : Basis ι R S
x : S
⊢ (Algebra.norm R) x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
A : C
h : A ∈ i.essImage
⊢ IsIso ((reflectorAdjunction i).unit.app A)
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
AddCommGroup V₂
Module k V₁
Module k V₂
AddTorsor V₁ P₁
AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
hφ : Function.Injective ⇑φ
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
Nonempty ↥E
Nonempty ↥F
hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F
⊢ Function.Injective ⇑(φ.restrict hEF)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Option β
s : Finset α
f_inj : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'
b : β
⊢ b ∈ Finset.filterMap f s f_inj ↔ ∃ a ∈ s, f a = some b
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ_[p]
⊢ ‖q * r‖ = ‖q‖ * ‖r‖
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
⊢ Finite A₂ B₂
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
v : n → R
j : n
x : R
i : n
⊢ (Pi.single j x ᵥ* diagonal v) i = Pi.single j (x * v j) i
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.dirac a) s = s.indicator 1 a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X₁ X₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.binaryBiproductTriangle X₁ X₂).mor₁ = CategoryTheory.Limits.biprod.inl
x : PGame
IHl : ∀ (i : x.LeftMoves) {y : PGame}, x.moveLeft i ≡r y → (x.moveLeft i).Numeric → y.Numeric
IHr : ∀ (j : x.RightMoves) {y : PGame}, x.moveRight j ≡r y → (x.moveRight j).Numeric → y.Numeric
y : PGame
r : x ≡r y
ox : x.Numeric
i : y.LeftMoves
j : y.RightMoves
⊢ y.moveLeft i < y.moveRight j
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
h : n < m
f : ℕ → ℚ := fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
hf : f = fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
i : ℕ
h₁✝ : i < n + 1
h₁ : i ≤ n
h₂ : i < m
h₃ : i ≤ m
hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0
this : ↑(m.choose (i + 1)) * (↑i + 1) = ↑(m.choose i) * ↑(m - i)
⊢ ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹ - ↑(n.choose (i + 1)) * (↑(m.choose (i + 1)))⁻¹ = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
inst✝ : NoMinOrder α
⊢ pred a = pred b ↔ a = b
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeSup α
s : Finset β
t : Finset γ
h : (s ×ˢ t).Nonempty
f : β × γ → α
⊢ (s ×ˢ t).sup' h f = t.sup' ⋯ fun i' => s.sup' ⋯ fun i => f (i, i')
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a✝ b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ f a * ∏ x ∈ Iio a, f x = ∏ x ∈ Iic a, f x
α : Type u
Field α
x y : α
h : x ≠ y
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = (x ^ n - y ^ n) / (x - y)
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
⊢ b ≡ a [PMOD -p] ↔ a ≡ b [PMOD p]
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
a : α
x : ℝ
⊢ ↑(ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f hf a) x ≤ 1
R : Type u_1
Semiring R
f : PowerSeries R
⊢ PowerSeries.trunc 0 f = 0
V : Type u
Fintype V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
self : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
⊢ G.Adj v w → Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) = ℓ
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
ι : Sort u_2
U : ι → Set α
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hcover : K ⊆ ⋃ i, U i
ind : (x : α) → x ∈ K → ι
W : (x : α) → x ∈ K → Set (α × α)
hW : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), W x a ∈ 𝓤 α
hWU : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), ball x (W x a ○ W x a) ⊆ U (ind x a)
⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, ∀ x ∈ K, ∃ i, ball x V ⊆ U i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
I : Type u_1
X : C
Y : I → C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
W : C
g : W ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.Sieve.ofArrows Y f).arrows g ↔ ∃ i a, g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp a (f i)
α : Type u
m : ℕ
n' : Type uₙ
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n'
v : n' → α
A : Fin m → n' → α
w : n' → α
⊢ (Matrix.of (Matrix.vecCons v A)).mulVec w = Matrix.vecCons (Matrix.dotProduct v w) ((Matrix.of A).mulVec w)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_5
Nₗ : Type u_10
Pₗ : Type u_11
AddCommMonoid M
AddCommMonoid Nₗ
AddCommMonoid Pₗ
Module R M
Module R Nₗ
Module R Pₗ
f : M → Nₗ → Pₗ
H1 : ∀ (m₁ m₂ : M) (n : Nₗ), f (m₁ + m₂) n = f m₁ n + f m₂ n
H2 : ∀ (c : R) (m : M) (n : Nₗ), f (c • m) n = c • f m n
H3 : ∀ (m : M) (n₁ n₂ : Nₗ), f m (n₁ + n₂) = f m n₁ + f m n₂
H4 : ∀ (c : R) (m : M) (n : Nₗ), f m (c • n) = c • f m n
m : M
n : Nₗ
⊢ ((LinearMap.mk₂ R f H1 H2 H3 H4) m) n = f m n
G : Type u_1
H : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : AddMonoid M
⊢ (∀ (y : ℕ) (x : M), x ≠ 0 → y ≠ 0 → ¬y • x = 0) ↔ ∀ {c : ℕ} {x : M}, c • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
⊢ Even (Finset.filter (fun v => Odd (G.degree v)) Finset.univ).card
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : CommMonoid α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
f✝ g : β✝ → α✝
a✝ b✝ : α✝
s : Finset β✝
inst✝⁵ : ContinuousMul α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a a' : α
hf : HasProd f a
b : β
x : α
hf' : HasProd (update f b x) a'
this : ∀ (b' : β), (f b' * if b' = b then x else 1) = update f b x b' * if b' = b then f b else 1
⊢ a * x = a' * f b
x : ℝ
⊢ Real.cos (2 * x) = 2 * Real.cos x ^ 2 - 1
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x✝ y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
x : Finset α × Finset α
hx : x = (s, t)
⊢ min (minOrder α) ↑(s.card + t.card - 1) ≤ ↑(s * t).card
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ setToL1S T (indicatorConst 1 hs ⋯ x) = (T s) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
γ : Type u_6
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : Filter α
u : α → β
g : β ≃o γ
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
hu_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
hgu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x)) _auto✝
hgu_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x)) _auto✝
hf : u = fun i => g.symm (g (u i))
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => u x
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x ^ y) (𝓝 ⊤) (𝓝 ⊤)
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ b₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝¹ : b₁ ∈ eval f₁ a₁
ab✝ : Reaches f₁ a₁ b₁
b0 : f₁ b₁ = none
b₂ : σ₂
bb : tr b₁ b₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
⊢ f₂ b₂ = none
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ a ⊓ (a ⇨ b) ≤ b
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : BoundedOrder β
f : α ≃o β
⊢ IsSimpleOrder α ↔ IsSimpleOrder β
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id F).naturality f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (F.map f)).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (F.map f)).inv
J : Type u₁
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
Small.{v, u₁} J
Small.{v, u₂} K
F : J × K ⥤ Type v
j : J
k : K
f : (CategoryTheory.curry.obj (CategoryTheory.Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ CategoryTheory.Limits.lim).obj k
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.π (CategoryTheory.curry.obj F ⋙ CategoryTheory.Limits.colim) j
    (CategoryTheory.Limits.colimitLimitToLimitColimit F
      (CategoryTheory.Limits.colimit.ι
        (CategoryTheory.curry.obj (CategoryTheory.Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ CategoryTheory.Limits.lim) k f)) =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι ((CategoryTheory.curry.obj F).obj j) k
    (CategoryTheory.Limits.limit.π ((CategoryTheory.curry.obj (CategoryTheory.Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
⊢ LinearMap.adjoint (LinearMap.adjoint A) = A
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), ‖f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
⊢ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) ≫ (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = PInfty.f n
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b✝ x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (a : α), μ (Iic a) = ν (Iic a)
a b : α
hlt : a < b
⊢ μ (Iic a) ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
TopologicalSpace β
Nonempty β
T2Space β
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable f ↔ ∃ c, f = fun x => c
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ ProbabilityTheory.iIndep m μ ↔ ProbabilityTheory.iIndepSets (fun x => {s | MeasurableSet s}) μ
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ f.ker = ⊥ ↔ Function.Injective ⇑f
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → One (α i)
i : ι
b : α i
⊢ Pi.mulSingle i '' Set.Icc 1 b = Set.Icc 1 (Pi.mulSingle i b)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e e' : PartialHomeomorph X Y
h : e ≈ e'
⊢ e.target = e'.target