ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card
aux1 : ((mulETransformLeft g (s, t)).1 * (mulETransformLeft g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
aux2 : ((mulETransformRight g (s, t)).1 * (mulETransformRight g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
hgt : (t ∩ g⁻¹ • t).Nonempty
hstg : (s, t).1.card + (s, t).2.card < (mulETransformRight g (s, t)).1.card + (mulETransformRight g (s, t)).2.card
⊢ minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
b : β
hf : ∀ (b' : β), b' ≠ b → f b' = 0
⊢ HasSum f (f b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
f✝ : α → β
l✝ : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
f : α → β
a : α
l hd : List α
tl : α
ih : argmax f (a :: hd) = Option.casesOn (argmax f hd) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a
m : α
h : argmax f hd = some m
⊢ Option.rec (some tl) (fun val => if f val < f tl then some tl else some val) (if f a < f m then some m else some a) = Option.rec (some a) (fun val => if f a < f val then some val else some a) (if f m < f tl then some tl else some m)
a' : ℝ
⊢ ContinuousOn (fun x => jacobiTheta₂ (↑a') (I * ↑x)) (Ioi 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁✝ c₂✝ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
c₁ c₂ : ℝ
h₁ : IsBigOWith c₁ l f₁ g₁
h₂ : IsBigOWith c₂ l f₂ g₂
⊢ IsBigOWith (c₁ * c₂) l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x
r p : ℝ≥0
⊢ ↑(p / r) ≤ ↑p / ↑r
α : Type u_1
Mul α
Zero α
LinearOrder α
PosMulMono α
⊢ PosMulReflectLT α
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
rpos : 0 < r
f : E → E := fun y => x + (r * ‖y‖⁻¹) • y
A : ContinuousOn f {0}ᶜ
⊢ IsPathConnected (sphere x r)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
i : ι
p : B × F
⊢ p ∈ (Z.localTriv i).target ↔ p.1 ∈ (Z.localTriv i).baseSet
A : Type u_1
NonUnitalNonAssocCommRing A
IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) +
        (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) +
      (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) +
    (2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆) =
  2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆
α : Type u_1
MeasurableSpace α
a : α
s : Subtype MeasurableSet
⊢ a ∈ ↑s ↔ a ∈ s
α β γ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : CommApplicative F
inst✝¹ : CommApplicative G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ traverse pure s = s
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
⊢ I.splitUpper i x = ↑I ↔ x ≤ I.lower i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
s : 𝕜 → 𝕜
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
n : ℤ
⊢ MeromorphicOn (s ^ n) U
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
hs : Balanced ℝ s
⊢ StarConvex ℝ 0 s
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ν
⊢ (μ.prod ν).fst = μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
b : Set (Set X)
hb : IsTopologicalBasis b
x y : X
h : x ≠ y
a : Set X
ab : a ∈ b
xa : x ∈ a
ha : a ⊆ {y_1 | y_1 ≠ y}
⊢ ∃ a ∈ b, x ∈ a ∧ y ∉ a
x y : ℚ≥0
⊢ ↑(max x y) = max ↑x ↑y
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
⊢ Icc 1 (n.factorization p) = Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Ico 1 n)
S : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike S R
s✝ : S
inst✝¹ : AddSubmonoidWithOneClass S R
s : S
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n ∈ s
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ≥0
x : α
key : nndist (f x) (0 x) ≤ nndist f 0
⊢ f x ≤ nndist f 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → P
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (affineCombination k s p) (affineCombinationSingleWeights k i) = p i
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s✝ : Set M
f✝ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s✝
n : ℕ∞
s : Set E
f : SmoothPartitionOfUnity ι 𝓘(ℝ, E) E s
x₀ : E
g : ι → E → F
hφ : ∀ (i : ι), x₀ ∈ tsupport ⇑(f i) → ContDiffAt ℝ n (g i) x₀
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x) x₀
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
p : k[G] → Prop
f : k[G]
hM : ∀ (g : G), p ((of k G) (Multiplicative.ofAdd g))
hadd : ∀ (f g : k[G]), p f → p g → p (f + g)
hsmul : ∀ (r : k) (f : k[G]), p f → p (r • f)
⊢ p f
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
⊢ (MvPowerSeries.monomial R 0) 1 = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
g : ℕ → A⁰_ f := fun j => (m + m).choose j • if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
j : ℕ
hj : j ∈ range (m + m + 1)
h2 : ¬m + m < j
h1 : j ≤ m
⊢ Localization.mk ((m + m).choose j • ((proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j))) ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = (m + m).choose j • HomogeneousLocalization.val (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ })
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
w z : P
t₁ : R
ht₁ : t₁ ∈ Set.Icc 0 1
t₂ : R
ht₂ : t₂ ∈ Set.Icc 0 1
⊢ (lineMap ((lineMap w ((lineMap w z) t₁)) t₂) z) ((t₁ - t₂ * t₁) / (1 - t₂ * t₁)) = (lineMap w z) t₁
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid β
s : Finset α
t : Finset γ
f : α ⊕ γ → β
⊢ ∏ x ∈ s.disjSum t, f x = (∏ x ∈ s, f (Sum.inl x)) * ∏ x ∈ t, f (Sum.inr x)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : IsClosed s
a : α
⊢ a ∈ s ↔ ∀ ε > 0, ∃ b ∈ s, dist a b < ε
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
ha : a < 0
k : ℕ
⊢ a ^ (2 * k + 1) < 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : (SimplexCategory ⥤ C)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.cosimplicialSimplicialEquiv C).unitIso.inv.app X = (Opposite.unop X).opUnopIso.inv.op
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ { unmop := 𝟙_ C } = 𝟙_ Cᴹᵒᵖ
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
b : Basis ι R M
u : M
⊢ ∑ i : ι, (b.repr u) i • b i = u
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ
⊢ a * ↑u ∣ b ↔ a ∣ b
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
⊢ R (f x) (f y)
R M : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤
x : M
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i • ⊤
r : ↥I
hr : ↑r • x = x
this : IsUnit (1 - ↑r)
⊢ (1 - ↑r) • x = (1 - ↑r) • 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
s : Set (Set α)
hs : s.Countable
h : ∀ t ∈ s, NullMeasurableSet t μ
⊢ NullMeasurableSet (⋃ i ∈ s, i) μ
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
b : M
h : p a
⊢ Finsupp.filter p (Finsupp.single a b) = Finsupp.single a b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M'
i : ι
⊢ ((b.prod b') (Sum.inl i)).1 = b i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
MetricSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : ι → α → β
g : α → β
SemilatticeSup ι
Nonempty ι
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
n : ℕ
⊢ μ (s ∩ ⋂ j, MeasureTheory.Egorov.notConvergentSeq f g n j) = 0
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
n : ℕ
⊢ P n → Nat.findGreatest P n = n
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun y => Real.log (f y)) (f' / f x) x
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
g : G
a : α
⊢ MulAction.stabilizer G (g • a) = Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) (MulAction.stabilizer G a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + 2 * re ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖
⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.84737, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n m mn : ℤ
hmn : m + n = mn
a a' a'' : ℤ
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
K : CochainComplex C ℤ
⊢ mn + a = a''
P : TopCat → Prop
self : CompHausLike P
⊢ T2Space ↑self.toTop
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ < 1
x : E
hx : x ∈ closedBall 0 1 \ interior (closedBall 0 1)
y : E
hy : y ∈ closedBall 0 1 \ interior (closedBall 0 1)
hne : x ≠ y
⊢ (fun x y => ∃ c, (AffineMap.lineMap x y) c ∈ interior (closedBall 0 1)) x y
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
C : ℝ≥0
f : E → ℝ
s : Set E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzOnWith C f s
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
a b c : ℕ
hb0 : 0 < b
hc : a / b ≤ c
⊢ a / b = (Finset.filter (fun x => x * b ≤ a) (Finset.Ico 1 c.succ)).card
m M N : ℕ
i : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)
⊢ i ∈ FormalMultilinearSeries.compPartialSumSource m M N ↔
  (m ≤ i.fst ∧ i.fst < M) ∧ ∀ (a : Fin i.fst), 1 ≤ i.snd a ∧ i.snd a < N
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
𝒜 : Finset (Finset α)
Fintype α
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
⊢ ∑ r ∈ Finset.range (Fintype.card α + 1), ↑(𝒜 # r).card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ 1
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv
h : const abv (f.lim * g.lim) - f * g = (const abv f.lim - f) * g + const abv f.lim * (const abv g.lim - g)
⊢ (const abv (f.lim * g.lim) - f * g).LimZero
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ
Qₚ_max : (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ).IsMaximal
⊢ comap ((IsLocalization.map Sₚ (algebraMap R S) ⋯).comp (algebraMap R Rₚ)) Qₚ = comap (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ)
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
m : ℝ≥0
hm : ↑m = μ i
⊢ (μ.toSignedMeasure.toMeasureOfZeroLE univ ⋯ ⋯) i = ↑m
R : Type u_1
M : Type u_3
a b : R
SMul R M
Mul R
IsScalarTower R R M
ab : IsSMulRegular M (a * b)
⊢ IsSMulRegular M b
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
x y z : α
hxz : IsCompl x z
hyz : IsCompl y z
⊢ x = y
α : Type u_1
S : Set (Set α)
self : FiniteInter S
⊢ Set.univ ∈ S
α : Type u
x : α
⊢ Additive.toMul (Additive.ofMul x) = x
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
⊢ Nat.card ↥H * H.index = Nat.card G
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddCommGroup H
a : G
b : H
f : G →+c[a, b] H
x✝ : G
⊢ (fun x => -f (-x)) (x✝ + a) = (fun x => -f (-x)) x✝ + b
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddZeroClass M
f : α → β
v₁ v₂ : β →₀ M
hv₁ : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑v₁.support)
hv₂ : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑v₂.support)
hv₁₂ : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑(v₁ + v₂).support)
⊢ Finsupp.comapDomain f (v₁ + v₂) hv₁₂ = Finsupp.comapDomain f v₁ hv₁ + Finsupp.comapDomain f v₂ hv₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.EnoughInjectives C
Z : C
n : ℕ
⊢ HomologicalComplex.ExactAt (CategoryTheory.InjectiveResolution.ofCocomplex Z) (n + 1)
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
F : Set α
⊢ IsPreconnected (connectedComponentIn F x)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
F' : Type u_4
inst✝² : EquivLike F' R S
inst✝¹ : RingEquivClass F' R S
f : F'
I : Ideal R
inst✝ : I.IsPrime
h : map f I = map (↑↑f) I
⊢ (map f I).IsPrime
R : Type u_1
S : Type u_6
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M₃
Module S M₃
σ : Rᵐᵒᵖ →+* S
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
⊢ f = g
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
⊢ (((Basis.singleton Unit K).constr K) fun x => ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i) 1 = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(b - a) j
εc : α
εc0 : εc > 0
ic : ℕ
hc : ∀ j ≥ ic, εc ≤ ↑(c - a) j
⊢ a < b ⊓ c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
hf : LipschitzWith K f
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
b : ℕ → ℝ
b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) ≤ b N
blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ (fun n => ↑K * b n) n
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι
⊢ ((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) PUnit.unit PUnit.unit = (if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) PUnit.unit PUnit.unit
α : Type u_2
TopologicalSpace α
x : α
U : Set α
h : IsOpen U
⊢ x ∈ { carrier := U, is_open' := h } ↔ x ∈ U
x : ℝ
⊢ tan (2 * x) = 2 * tan x / (1 - tan x ^ 2)
α : Type u_2
One α
p : Prop
Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
LE α
ha : ∀ (h : p), a h ≤ 1
hb : ∀ (h : ¬p), b h ≤ 1
⊢ dite p a b ≤ 1
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ],
  AddAction.aestabilizer G μ Set.univ = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
X Y : C
f : X ⟶ Y
p : CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection (CategoryTheory.OverPresheafAux.restrictedYonedaObj η) Y
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.unitForward η X
    (CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₂ (CategoryTheory.OverPresheafAux.restrictedYonedaObj η) f p) =
  F.map f.op (CategoryTheory.OverPresheafAux.unitForward η Y p)
α : Type u
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf CategoryTheory.typesGrothendieckTopology (CategoryTheory.yoneda.obj α)
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall f p Set.univ x r ↔ HasFPowerSeriesOnBall f p x r
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b : α
⊢ 1 / a * (1 / b) = 1 / (a * b)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I * J ≤ 1
x : L
hx : x ∈ (fun a => ↑a) J
y : L
hy : y ∈ restrictScalars A ↑I
⊢ IsIntegral A (((traceForm K L) x) y)
a b c d m n : ℤ
h : 1 < a.natAbs
⊢ Function.Injective (natAbs ∘ fun x => a ^ x)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
ω : Ω
hω : (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
⊢ (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
M : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁸ : UniformSpace α
inst✝⁷ : AddGroup α
inst✝⁶ : UniformAddGroup α
inst✝⁵ : UniformSpace β
inst✝⁴ : AddGroup β
inst✝³ : UniformAddGroup β
γ : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup γ
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : UniformAddGroup γ
f g : α →+ γ
hf : Continuous ⇑f
hg : Continuous ⇑g
hfg : Continuous fun x => f x + g x
x : Completion α
⊢ IsClosed {a | ((f + g).completion ⋯) a = (f.completion hf + g.completion hg) a}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s
⊢ essSup f (μ.restrict s) = essSup f μ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hu : HasDerivWithinAt u u' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => (c y) (u y)) (c' (u x) + (c x) u') s x
α : Type u
r : α → α → Prop
IsRefl α r
Subsingleton α
x y : α
⊢ r x y
n : ℤ
⊢ (ComplexShape.up ℤ).ε n = n.negOnePow
α : Type u
CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c : α
⊢ a ≤ c → a ≤ b * c
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.IsPreconnected J
α : Type u₂
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Discrete α)
j j' : J
⊢ F.obj j = F.obj j'
α : Type u
x y : ULift.{u_1, u} α
h : x.down = y.down
⊢ x = y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C)
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.KaroubiKaroubi.counitIso C).inv.app P).f.f = P.p.f
α : Type u
PartialOrder α
OrderTop α
a : α
h : a ≠ ⊤
⊢ a < ⊤
α : Type u_2
Add α
s t : Set α
⊢ (s + t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
hr : 0 < r
⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ Tendsto f l atTop
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s t : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ mfderivWithin I I' f (s ∩ t) x = mfderivWithin I I' f s x
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
x : M × M₂
⊢ (f.coprod g) x = f x.1 + g x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
b : α
f : ↑(Set.Iic b) → β
hf : StrictMono f
⊢ StrictMonoOn (Set.IicExtend f) (Set.Iic b)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ ⋯.measurableSpace = hτ.measurableSpace ⊓ ↑f i
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)
⊢ p.comp (↑f).attachBound ∈ A.topologicalClosure
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
i : ℕ
⊢ WittVector.ghostFun i.unaryCast = ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
P Q : β → Prop
h : ∀ (x : β), P x ↔ Q x
⊢ ∑' (x : { x // P x }), f ↑x = ∑' (x : { x // Q x }), f ↑x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₁₂₄₅ : affineSpan ℝ {p₁, p₂} ∥ affineSpan ℝ {p₄, p₅}
h₃₂₆₅ : affineSpan ℝ {p₃, p₂} ∥ affineSpan ℝ {p₆, p₅}
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆