ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a < b
⊢ Ico a b \ Ioo a b = {a}
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Submodule.span R ↑s
g : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
y : ↥(Submonoid.map (algebraMap R S) M) := commonDenomOfFinset (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s
y' : R
hy' : y' ∈ ↑M
e : (algebraMap R S) y' = ↑y
this : (algebraMap R S) y' • ↑s = y' • ↑s
hx₁ : y' • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf (CategoryTheory.Sheaf.canonicalTopology C) (CategoryTheory.yoneda.obj X)
α : Type u_2
Fintype α
Encodable α
⊢ (Encodable.sortedUniv α).length = Fintype.card α
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ b - toIocDiv hp a b • p ∈ Set.Ioc a (a + p)
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
j : C ⥤ D
inst✝¹ : Coreflective j
A : D
inst✝ : IsSplitEpi ((coreflectorAdjunction j).counit.app A)
ε : coreflector j ⋙ j ⟶ 𝟭 D := (coreflectorAdjunction j).counit
this✝¹ : IsIso (ε.app (j.obj ((coreflector j).obj A)))
this✝ : Mono (ε.app A)
this : IsIso (ε.app A)
⊢ A ∈ j.essImage
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set α
p : α →₀ M
⊢ p ∈ Finsupp.supported M R s ↔ ↑p.support ⊆ s
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), z i < y i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), z i + δ < y i
⊢ y ∈ interior s
n : ℕ
⊢ (Finset.range n).Nonempty ↔ n ≠ 0
n : ℕ
⊢ 11 ∣ n ↔ 11 ∣ (List.map (fun n => ↑n) (Nat.digits 10 n)).alternatingSum
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s✝ : Set α
f✝ : α → β
f : α → β → γ
K₁ K₂ : ℝ≥0
s : Set α
t : Set β
hf₁ : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K₁ (fun x => f x b) s
hf₂ : ∀ a ∈ s, LipschitzOnWith K₂ (f a) t
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ∀ x_1 ∈ s, ∀ y_1 ∈ t, edist (f x y) (f x_1 y_1) ≤ ↑K₁ * EMetric.diam s + ↑K₂ * EMetric.diam t
x y : SetTheory.PGame
⊢ x.Fuzzy y ↔ SetTheory.Game.Fuzzy ⟦x⟧ ⟦y⟧
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
S : CategoryTheory.Sieve X
R : CategoryTheory.Presieve X
h : S.arrows ≤ R
hS : CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P S.arrows
trans :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R f → CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor P (CategoryTheory.Sieve.pullback f S).arrows
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P R
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ ∀ (a : ↥S.op), ↑(S.linearEquivOp.symm a) = MulOpposite.unop ↑a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
c : 𝕜
⊢ HasSum f c ↔ HasSum (fun x => RCLike.re (f x)) (RCLike.re c) ∧ HasSum (fun x => RCLike.im (f x)) (RCLike.im c)
G : Type u_3
P : Type u_4
LE G
LE P
SMul G P
self : IsOrderedSMul G P
a b : P
⊢ a ≤ b → ∀ (c : G), c • a ≤ c • b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
⊢ p.toOuterMeasure.caratheodory = ⊤
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
y : 𝕜'
hg : HasDerivAt g₁ g₁' y
hh : HasDerivAt h h' x
hy : y = h x
⊢ HasDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : T0Space α
s : Set α
h : IsComplete s
a : α
ha : ClusterPt a (𝓟 s)
f : Filter α := 𝓝[s] a
this : Cauchy f
y : α
ys : y ∈ s
fy : f ≤ 𝓝 y
⊢ a ∈ s
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ Function.Injective ⇑(Monoid.Coprod.swap M N)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
hz : z ∈ s
⊢ False
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
third_ε_pos : 0 < ε / 3
third_ε_pos' : 0 < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Es : ℕ → Set Ω
Es_mble : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Es n)
Es_bdd : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (Es n)
Es_diam : ∀ (n : ℕ), diam (Es n) ≤ ε / 3
Es_cover : ⋃ n, Es n = univ
Es_disjoint : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
N : ℕ
hN : ↑P (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite
Gs : Set (Set Ω) := (fun J => thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j)) '' {J | J ⊆ Iio N}
Gs_open : ∀ (J : Set ℕ), IsOpen (thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j))
mem_nhds_P : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → {Q | ↑P G < ↑Q G + ENNReal.ofReal (ε / 3)} ∈ 𝓝 P
Q : ProbabilityMeasure Ω
hQ : Q ∈ ⋂ i ∈ Js_finite.toFinset, {Q | ↑P (thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ i, Es j)) < ↑Q (thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ i, Es j)) + ENNReal.ofReal (ε / 3)}
⊢ dist Q.toLevyProkhorov P.toLevyProkhorov < ε
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
a : α ⧸ s
⊢ ↑(Quotient.out' a) = a
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
TopologicalSpace α
One β
One γ
One δ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
hf : HasCompactMulSupport f
hf₂ : HasCompactMulSupport f₂
hm : m 1 1 = 1
⊢ HasCompactMulSupport fun x => m (f x) (f₂ x)
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
Module S M
Module S M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S
fₗ : M →ₗ[S] M₂
x : M
⊢ (↑R fₗ) x = fₗ x
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c : α
h : a < b
⊢ Set.Ioi a ∈ 𝓝ˢ (Set.Icc b c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} D
E : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} E
X : E
⊢ (CategoryTheory.sum.associator C D E).obj (Sum.inr X) = Sum.inr (Sum.inr X)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : Associated a₁ a₂
hb : Associated b₁ b₂
⊢ Associated (lcm a₁ b₁) (lcm a₂ b₂)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
h : ¬ComplexEmbedding.IsReal φ
⊢ (mk φ).IsComplex
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
⊢ inr ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.left } = inr ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.left }
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ A⁻¹ * A = 1 ∧ A * A⁻¹ = 1 ∨ A⁻¹ = 0
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
x y : α
h : f.SameCycle x y
⊢ f.toList x ~r f.toList y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
n a a' : ℤ
ha' : n + a = a'
K : CochainComplex C ℤ
⊢ ((HomotopyCategory.homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) 0).shiftIso n a a' ha').hom.app
    ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K) =
  (HomotopyCategory.homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) a).map
      (((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso n).inv.app K) ≫
    (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors C (ComplexShape.up ℤ) a).hom.app
        ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) n).obj K) ≫
      ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) 0).shiftIso n a a' ha').hom.app K ≫
        (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors C (ComplexShape.up ℤ) a').inv.app K
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
DivisionSemiring α
h : Function.Periodic f c
a : α
⊢ Function.Periodic (fun x => f (x * a⁻¹)) (c * a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
wf : WellFounded r
x : α
h : ∃ y, r x y
⊢ r x (wf.min {y | r x y} h)
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)
i : Nat
x✝¹ : i + 1 ≤ as.size
x✝ : β
j : Nat
ij : j + (i + 1) = as.size
j_eq : j = as.size - 1 - i
⊢ (do let __do_lift ← f as[as.size - 1 - i] x✝ match __do_lift with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn.loop as f i ⋯ b) = forIn (List.drop j as.data) x✝ f
R : Type u
CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
h : f ≠ 0
⊢ ((MvPolynomial.finSuccEquiv R n) f).degree = ↑(MvPolynomial.degreeOf 0 f)
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℤ
hm : 0 ≤ m
hn : 0 ≤ n
⊢ A ^ (m + n) = A ^ m * A ^ n
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk ↑(f '' s)) ≤ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk ↑s)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
F.Full
F.Faithful
F.EffectivelyEnough
CategoryTheory.Precoherent D
⊢ CategoryTheory.CoverPreserving (CategoryTheory.coherentTopology C) (CategoryTheory.coherentTopology D) F
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a b : α
a' b' : β
h : ∀ {o : Ordering}, o.Compares a b → o.Compares a' b'
o : Ordering
ho : o.Compares a' b'
hab : a < b
⊢ o.Compares a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
s : ι → Finset α
hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i
⊢ ∑' (a : α), f a = ⨆ i, ∑ a ∈ s i, f a
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : Real.Angle
⊢ ↑(↑r * (↑θ.cos + ↑θ.sin * I)).arg = θ
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ
Qₚ_max : (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ).IsMaximal
⊢ comap (algebraMap R S) (comap (algebraMap S Sₚ) Qₚ) = P
B : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
f₁ : (TotalSpace (F₁ × F₂) fun x => E₁ x × E₂ x) → TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ := fun p => ({ proj := p.proj, snd := p.snd.1 }, { proj := p.proj, snd := p.snd.2 })
f₂ : TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ → (B × F₁) × B × F₂ := fun p => (↑e₁ p.1, ↑e₂ p.2)
f₃ : (B × F₁) × B × F₂ → B × F₁ × F₂ := fun p => (p.1.1, p.1.2, p.2.2)
hf₁ : Continuous f₁
hf₂ : ContinuousOn f₂ (e₁.source ×ˢ e₂.source)
hf₃ : Continuous f₃
⊢ ContinuousOn (toFun' e₁ e₂) (TotalSpace.proj ⁻¹' (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet))
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
h : f =O[Filter.atTop] fun n => ↑n ^ (x - 1)
⊢ LSeriesSummable f s
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Mul (f i)
s : Set I
(i : I) → Decidable (i ∈ s)
f₁ f₂ g₁ g₂ : (i : I) → f i
⊢ s.piecewise (f₁ * f₂) (g₁ * g₂) = s.piecewise f₁ g₁ * s.piecewise f₂ g₂
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
hf : Function.Injective ⇑f
S T : AddSubsemigroup M
⊢ AddSubsemigroup.comap f (AddSubsemigroup.map f S ⊓ AddSubsemigroup.map f T) = S ⊓ T
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Sort u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
T : Set α
hT : T ⊆ Set.iUnion S
c : ↑T
ci : (i : ι) → ↑(S i)
hci : ∀ (i : ι), ↑(ci i) = ↑c
cβ : β
h : ∀ (i : ι), f i (ci i) = cβ
⊢ Set.iUnionLift S f hf T hT c = cβ
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α × β
⊢ p.swap.2 = p.1
α : Type u_1
Preorder α
a : α
h : IsBot a
⊢ Set.Ici a = Set.univ
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
⊢ Function.support ↑f = ↑(extChartAt I c).symm '' (Metric.ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ Set.range ↑I)
α : Type u
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
⊢ List.Chain R a l ↔ l = [] ∨ List.Forall₂ R (a :: l.dropLast) l
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ m : OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)
h0 : ∑' (k : ℕ), m (s (k + 1) \ s k) ≠ ⊤
⊢ m (⋃ n, s n) = ⨆ n, m (s n)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, (r • f) a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, r * f a ∂μ
I : Type u
β : Type u_2
f : I → Type v₁
(i : I) → Pow (f i) β
x : (i : I) → f i
b : β
⊢ x ^ b = fun i => x i ^ b
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i✝ : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E := fun y J => integral J GP (fun x => f (i.insertNth y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : ↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I.face i)] E := fun x => ⋯.toBoxAdditive
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[↑I] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
⊢ Fin (n + 1) →ᵇᵃ[↑I] ℝ
x x' y y' : ZFSet
H : x.pair y = x'.pair y'
ae : ∀ (z : ZFSet), z ∈ x.pair y ↔ z ∈ x'.pair y'
⊢ x = x' ∧ y = y'
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubgroup (AddUnits M)
x : AddUnits M
h : ↑x ∈ S.ofAddUnits
⊢ S.addUnit_of_mem_ofAddUnits h = x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
S : Type u_2
inst✝ : Field S
f : R[X] →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
this : (RingHom.ker f).IsMaximal
g : R[X] ⧸ RingHom.ker f →+* S := Quotient.lift (RingHom.ker f) f ⋯
hfg : g.comp (Quotient.mk (RingHom.ker f)) = f
⊢ Function.Surjective ⇑g
S : Type u_1
AddMonoidWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
CategoryTheory.HasShift D S
F : CategoryTheory.Functor C D
η : (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).comp F ⟶ F.comp (CategoryTheory.shiftFunctor D 1)
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X : CategoryTheory.DifferentialObject S C
⊢ ((CategoryTheory.Functor.mapDifferentialObject D F η hF).obj X).obj = F.obj X.obj
α : Type u_3
β : Type u_4
PartialOrder α
OrderTop α
f : α → β
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (pure (f ⊤))
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H K : AddSubgroup N
f : G →+ N
⊢ AddSubgroup.comap f (H ⊓ K) = AddSubgroup.comap f H ⊓ AddSubgroup.comap f K
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ IsPGroup p G ↔ ∀ (g : G), ∃ k, orderOf g = p ^ k
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
X : C
hX : IsTerminal X
I : Type u_1
Y : I → C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
⊢ ofArrows Y f = ofObjects Y X
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
c : M'
x : M
⊢ HasMFDerivAt I I' (fun x => c) x 0
R : Type u_2
Ring R
a b c d : R
⊢ -b = c → a + c = d → a - b = d
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
m : Fin n → 𝕜
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) m = (∏ i : Fin n, m i) • iteratedDerivWithin n f s x
α : Type u
β : Type v
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f g : α → β
s : Set α
(x : α) → Decidable (x ∈ s)
h₀ : Filter.Tendsto f (l₁ ⊓ 𝓟 s) l₂
h₁ : Filter.Tendsto g (l₁ ⊓ 𝓟 sᶜ) l₂
⊢ Filter.Tendsto (s.piecewise f g) l₁ l₂
α : Type u_2
DecidableEq α
InvolutiveNeg α
s : Finset α
⊢ ↑(-s) = -↑s
α : Type u
β : Type v
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
⊢ (a :: as).zipRight (b :: bs) = (some a, b) :: as.zipRight bs
α : Type u_2
t t' : Bornology α
⊢ t = t' ↔ Bornology.cobounded α = Bornology.cobounded α
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
X : CategoryTheory.GradedObject (I₁ × I₂) C
d₁ : (i₁ i₁' : I₁) → (i₂ : I₂) → X (i₁, i₂) ⟶ X (i₁', i₂)
d₂ : (i₁ : I₁) → (i₂ i₂' : I₂) → X (i₁, i₂) ⟶ X (i₁, i₂')
shape₁ : ∀ (i₁ i₁' : I₁), ¬c₁.Rel i₁ i₁' → ∀ (i₂ : I₂), d₁ i₁ i₁' i₂ = 0
shape₂ : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ i₂' : I₂), ¬c₂.Rel i₂ i₂' → d₂ i₁ i₂ i₂' = 0
d₁_comp_d₁ : ∀ (i₁ i₁' i₁'' : I₁) (i₂ : I₂), d₁ i₁ i₁' i₂ ≫ d₁ i₁' i₁'' i₂ = 0
d₂_comp_d₂ : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ i₂' i₂'' : I₂), d₂ i₁ i₂ i₂' ≫ d₂ i₁ i₂' i₂'' = 0
comm : ∀ (i₁ i₁' : I₁) (i₂ i₂' : I₂), d₁ i₁ i₁' i₂ ≫ d₂ i₁' i₂ i₂' = d₂ i₁ i₂ i₂' ≫ d₁ i₁ i₁' i₂'
i₁ : I₁
i₂ : I₂
⊢ ((HomologicalComplex₂.ofGradedObject c₁ c₂ X d₁ d₂ shape₁ shape₂ d₁_comp_d₁ d₂_comp_d₂ comm).X i₁).X i₂ = X (i₁, i₂)
b c d a' b' : Ordinal.{u}
hb : b' ≤ b
ha : a' ≤ a'
⊢ a' ⨳ b ♯ a' ⨳ b' ≤ a' ⨳ b ♯ a' ⨳ b'
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
P X Y Z : C
f : P ⟶ X
g : P ⟶ Y
inst✝² : HasBinaryProduct X Y
inst✝¹ : HasBinaryProduct (G.obj X) (G.obj Y)
inst✝ : PreservesLimit (pair X Y) G
⊢ 𝟙 (G.obj (X ⨯ Y)) ≫ G.map prod.fst = (iso G X Y).hom ≫ prod.fst
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
⊢ (quadraticChar (ZMod p)) (↑a ^ 2) = 1
K : Type u_1
S : Type u_2
Field K
CommRing S
Algebra K S
x : S
hx : IsIntegral K x
⊢ (Algebra.adjoin.powerBasis hx).gen = ⟨x, ⋯⟩
a b : Cardinal.{u_1}
ha : a < Cardinal.aleph0
hb : b < Cardinal.aleph0
⊢ a ^ b < Cardinal.aleph0
z x✝ y x p : ℝ
hx : x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ x ≠ 0 ∨ ↑One.one ≤ p
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n₁ n₂ d₁ d₂ : ℤ
hn₁ : n₁ ≠ 0
hn₂ : n₂ ≠ 0
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0
hf1 : multiplicity.Finite (↑p) (n₁ * d₂)
⊢ padicValRat p (n₁ /. d₁) ≤ padicValRat p (n₂ /. d₂) ↔ ∀ (n : ℕ), ↑p ^ n ∣ n₁ * d₂ → ↑p ^ n ∣ n₂ * d₁
α : Type u
l₁ l₂ : List α
DecidableEq α
a : α
h : a ∈ l₁
⊢ List.indexOf a (l₁ ++ l₂) = List.indexOf a l₁
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ ∀ {x y : L}, x ∈ __src✝.carrier → y ∈ __src✝.carrier → ⁅x, y⁆ ∈ __src✝.carrier
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hs : NullMeasurableSet s μ
x : α
⊢ x ∈ {x | p x}ᶜ ∩ s ↔ x ∈ {x | x ∈ s → p x}ᶜ
F : Type u
Field F
K : Type v
Field K
Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Polynomial.Splits (algebraMap F K) f
⊢ Fintype.card ↑(f.rootSet K) = f.natDegree ↔ f.Separable
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R0Space X
⊢ Filter.coclosedCompact X ≤ Filter.cofinite
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x
⊢ x ∈ u
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
f✝ : α → G
s : Set α
x✝¹ : α
H : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ContinuousMul M
inst✝² : Group H
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalGroup H
f : G →* H →* M
hl : ∀ (x : G), Tendsto (⇑(f x)) (𝓝 1) (𝓝 ((f x) 1))
hr : ∀ (y : H), Tendsto (fun x => (f x) y) (𝓝 1) (𝓝 ((f 1) y))
x✝ : G × H
x : G
y : H
hf : Tendsto (fun x => (f x.1) x.2) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 ((f 1) 1))
⊢ 𝓝 ((f x) y * (f 1) y * ((f x) 1 * (f 1) 1)) = 𝓝 ((f x) y)
α : Type u_1
s : Setoid α
⊢ s = ⊤ ↔ ∀ (x y : α), s.Rel x y
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω✝ : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
ω : Ω
⊢ upcrossingsBefore a b f 0 ω = 0 ω
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
CommSemiring R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
N : Type u_4
Semiring N
Module N S
SMulCommClass R N S
b : Basis ι R S
x : S
hx : x ≠ 0
⊢ (↑(b.constr N)).toFun (Subtype.val ∘ ⇑(Ideal.basisSpanSingleton b hx)) = (Algebra.lmul R S) x
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hfi' : (μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊) S < ⊤
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Grp
I : Type w'
U : I → C
⊢ Equivalence CategoryTheory.PresheafOfGroups.OneCocycle.IsCohomologous
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₗ[R] M
n c : ℕ
w : n ≤ n + c
m : M
⊢ (f ^ n) ((f ^ c) m) = (f ^ (n + c)) m
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
S : Type u_8
SetLike S N
SubmonoidClass S N
f : G →* N
s : S
h : ∀ (x : G), f x ∈ s
⊢ (f.codRestrict s h).ker = f.ker
n : ℕ
⊢ cons (0, n + 1 + 1) (cons (({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ)) (n + 1, 0)) (map (((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }).trans ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ))) (antidiagonal n)) ⋯) ⋯ = cons (0, n + 2) (cons (n + 2, 0) (map ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) (antidiagonal n)) ⋯) ⋯
R : Type u
M : Type v
Monoid R
AddMonoid M
DistribMulAction R M
DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
r₁ r₂ : R
⊢ TrivSqZeroExt.inl (r₁ * r₂) = TrivSqZeroExt.inl r₁ * TrivSqZeroExt.inl r₂