ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
c : ∀ (a b : α), f a = f b
a : α
⊢ Trunc.lift f c (Trunc.mk a) = f a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
x₁ y₁ : I₁
h₁ : x₁ = y₁
x₂ y₂ : I₂
h₂ : x₂ = y₂
i₁₂ : I₁₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (x₁, x₂) = i₁₂
⊢ (HomologicalComplex₂.XXIsoOfEq C c₁ c₂ K h₁ h₂).inv ≫ K.ιTotal c₁₂ x₁ x₂ i₁₂ h = K.ιTotal c₁₂ y₁ y₂ i₁₂ ⋯
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x✝ y : 𝕎 R
m : ℕ
x : 𝕎 R
⊢ WittVector.ghostFun (m • x) = m • WittVector.ghostFun x
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
o₁ o₂ : Option α
⊢ o₁.toList ~ o₂.toList ↔ o₁ = o₂
α : Type u_1
I B X E : Set α
M : Matroid α
hM : ∃ M_1, E = M_1.E ∧ ∀ (I : Set α), M_1.Indep I ↔ M.Indep I
⊢ ∀ ⦃I B : Set α⦄, M.Indep I → I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I} → B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I} → ∃ x ∈ B \ I, M.Indep (insert x I)
a b : ℕ+
⊢ (Ioc a b).card = ↑b - ↑a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H
s : Set H
⊢ Filter.map (↑I.symm) (𝓝[↑I '' s] ↑I x) = 𝓝[s] x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
⊢ ∫ (a : α), f a * g a ∂μ ≤ (∫ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
h : 0 < |ξ - ↑q|
⊢ ∃ q', |ξ - ↑q'| < 1 / ↑q'.den ^ 2 ∧ |ξ - ↑q'| < |ξ - ↑q|
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₂ - f K₁
this : Continuous eval
⊢ closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' Ici 0
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
f : ι → Set α
⊢ intentClosure r (⋃ i, f i) = ⋂ i, intentClosure r (f i)
F : Type u
Field F
f g : RatFunc F
⊢ ↑(f + g) = ↑f + ↑g
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y z : E
⊢ ⟪x - y, z⟫_𝕜 = ⟪x, z⟫_𝕜 - ⟪y, z⟫_𝕜
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
h : (fun n => (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n)) = fun n => (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (f n) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (g n)
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
n : ℕ
m : M
a : α
⊢ m ^ (MulAction.period m a + n) • a = m ^ n • a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
⊢ borel α ≤ MeasurableSpace.generateFrom (range Iio)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ f =O[⊤] g ↔ ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h : Function.Injective ⇑f
x : L₁
⊢ ↑((LieEquiv.ofInjective f h) x) = f x
z w : ℂ
⊢ cexp (z * I) * cexp (z * I) + 1 - cexp (z * I) * 2 * w = cexp (z * I) ^ 2 - 2 * w * cexp (z * I) + 1
q : ℚ
⊢ 0 < q.toNNRat ↔ 0 < q
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_11
A : Type u_12
Semiring R
AddCommMonoid A
Module R A
⊢ Matrix.reindexLinearEquiv R A (Equiv.refl m) (Equiv.refl n) = LinearEquiv.refl R (Matrix m n A)
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
H₁ H₂ : Subgroup G
f : G →* G'
K₁ K₂ : Subgroup G'
h₁ : K₁ ≤ Subgroup.map f H₁
h₂ : K₂ ≤ Subgroup.map f H₂
⊢ ⁅K₁, K₂⁆ ≤ Subgroup.map f ⁅H₁, H₂⁆
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
s : Set β
x : α
⊢ IsGLB (⇑f ⁻¹' s) x ↔ IsGLB s (f x)
K : Type u_2
Field K
φ : { φ // NumberField.ComplexEmbedding.IsReal φ }
⊢ ↑(NumberField.InfinitePlace.mkReal φ) = NumberField.InfinitePlace.mk ↑φ
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : m.NeBot
s : Set α
t : Set β
⊢ (∀ᶠ (x : α × β) in l.curry m, x ∈ s ×ˢ t) ↔ s ∈ l ∧ t ∈ m
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 < y
⊢ x ^ y < 1 ↔ x < 1
x : EReal
⊢ ↑x.abs * ↑(SignType.sign x) = x
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
t✝ : Multiset α
b : α
t : Multiset α
IH : ∀ (s : Multiset α), count a (s - t) = count a s - count a t
s : Multiset α
⊢ count a (s - b ::ₘ t) = count a s - count a (b ::ₘ t)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
⊢ - -a = a
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
h : 1 / a ≤ 1 / b
⊢ b ≤ a
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
m : ℕ
m.AtLeastTwo
n : ℕ∞
⊢ OfNat.ofNat m < ↑n ↔ OfNat.ofNat m < n
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ (if H : i ∈ s then f i H else 0) = if hi : i ∈ s then f i hi else 0
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
CommRing R
CommRing Rₘ
M : Submonoid R
hM : 0 ∉ M
hR : IsField R
Algebra R Rₘ
IsLocalization M Rₘ
⊢ Function.Bijective ⇑(algebraMap R Rₘ)
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
⊢ ‖∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v‖ < ε
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
x : α
t : Set α
Φ : α → β
hΦ : Isometry Φ
⊢ EMetric.infEdist (Φ x) (Φ '' t) = EMetric.infEdist x t
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = xn a1 n * xn a1 n * xn a1 j
h2 : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1 = xn a1 n * xn a1 n
⊢ xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
α : Type u_1
CompleteLattice α
S : Set α
self : IsCompactlyGenerated.BooleanGenerators S
I : α
⊢ I ∈ S → IsAtom I
x y : ℕ
⊢ dist ↑x ↑y = dist x y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
⊢ IsOpen (Set.range ContinuousLinearEquiv.toContinuousLinearMap)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hR : 0 ≤ R
hf : ∀ z ∈ Metric.sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
⊢ ‖∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z‖ ≤ 2 * π * R * C
R : Type u
S : Type v
T : Type w
Ring R
Ring S
Ring T
g : S →+* T
f : R →+* S
⊢ Subring.map g f.range = (g.comp f).range
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ ∀ (a : ↑I), γ.symm a = (⇑γ ∘ σ) a
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.23191, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.23198, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
hc : IsUniversalColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)
this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι
j : J
⊢ IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j ≫ 𝟙 (F.obj j)) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : G
⊢ g⁻¹ * (g * h) = h
α : Type u_1
Mul α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h₁ : a < b
h₂ : c < d
⊢ a * c < b * d
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
⊢ ContinuousLinearMap.IsPositive 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
s : Finset ι
f : ι →₀ α
t : ι →₀ Finset α
ht : t.support ⊆ s
⊢ f ∈ s.finsupp ⇑t ↔ ∀ (i : ι), f i ∈ t i
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
f : α →. β
h : Partrec f
⊢ RePred fun a => (f a).Dom
β : Type w
α✝ : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
f : α✝ → C
g : β → C
inst✝ : HasProduct f
e : β ≃ α✝
iso : (j : β) → g j ≅ f (e j)
this : HasLimit ((Discrete.equivalence e).functor ⋙ Discrete.functor f)
α : Discrete.functor g ≅ (Discrete.equivalence e).functor ⋙ Discrete.functor f
⊢ HasProduct g
α : Type u
f g : α → α
h : Function.Commute f g
m n : ℕ
⊢ Function.Commute f^[m] g^[n]
K : Type u_3
DivisionMonoid K
HasDistribNeg K
a : K
⊢ -a⁻¹ = (-a)⁻¹
C : Type u_6
CommGroup C
s t : Subgroup C
x : C
⊢ x ∈ s ⊔ t ↔ ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x
n✝ n : ℕ
n1 : n ≠ 1
n0 : ¬n = 0
n2 : 2 ≤ n
⊢ Nat.minFacProp n n.minFac
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.132102, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
X Y : C
z₁ z₂ : W.RightFraction X Y
Z : C
t₁ : Z ⟶ z₁.X'
t₂ : Z ⟶ z₂.X'
hs : t₁ ≫ z₁.s = t₂ ≫ z₂.s
hf : t₁ ≫ z₁.f = t₂ ≫ z₂.f
ht : W (t₁ ≫ z₁.s)
⊢ LeftFractionRel z₁.op z₂.op
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
J : Type v₂
CategoryTheory.SmallCategory J
X : C
K : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone (K ⋙ CategoryTheory.Limits.prod.functor.obj X)
⊢ (CategoryTheory.ProdPreservesConnectedLimits.forgetCone s).π = s.π ≫ CategoryTheory.ProdPreservesConnectedLimits.γ₂ X
x : ℕ
h : (↑x).Dom
⊢ (↑x).get h = x
m : ℕ
⊢ HasSum (fun k => 1 / (2 * ↑(k + 1) + 1) * ((1 / (2 * ↑(m + 1) + 1)) ^ 2) ^ (k + 1))
  (Real.log (Stirling.stirlingSeq (m + 1)) - Real.log (Stirling.stirlingSeq (m + 2)))
α : Type u
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
Order.Frame α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α
⊢ a ⊓ ⨆ i, ⨆ j, f i j = ⨆ i, ⨆ j, a ⊓ f i j
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.23250, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.23254, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpi π
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
this : HasPullback π π
hP : Function.Bijective (MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯)
⊢ Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (P.map π.op) ⋯))
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ (p * Polynomial.X).coeff 0 = 0
ι : Type u_1
Fintype ι
f : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det f ≠ 0
⊢ MeasureTheory.Measure.map (⇑f) MeasureTheory.volume = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • MeasureTheory.volume
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ init n (m • x) = init n (m • init n x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))) ↔ ∀ᶠ (a : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => (z₀ + a - z₀) ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + a))
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
x : α
⊢ f x * (f x)⁻¹ ≤ 1
α : Type u_3
UniformSpace α
Zero α
⊢ ↑α 0 = 0
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
⊢ f.support = ∅ ↔ f = 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
⊢ (fun F => F.toLinearMap ∘ₗ ι R) ((⇑(RingQuot.liftAlgHom R) ∘ fun f => ⟨(FreeAlgebra.lift R) ⇑f, ⋯⟩) f) = f
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
this : ∀ (a : ↥s) (b : V), (_root_.orthogonalProjection s.direction) b = 0 → (reflection s) ((reflection s) (b +ᵥ ↑a)) = b +ᵥ ↑a
⊢ (reflection s) ((reflection s) p) = p
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a : α
⊢ LinearOrderedField.cutMap α a = Set.Iio a ∩ Set.range Rat.cast
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) + ↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1))) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a) ≤ p
⊢ toIcoMod hp 0 (b - c) ≤ toIocMod hp 0 (b - c)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝¹ : α
p : Finset (Finset α) → Prop
empty : p ∅
singleton_empty : p {∅}
subfamily : ∀ (a : α) ⦃𝒜 : Finset (Finset α)⦄, p (nonMemberSubfamily a 𝒜) → p (memberSubfamily a 𝒜) → p 𝒜
a : α
u : Finset α
a✝ : a ∉ u
ih : ∀ (𝒜 : Finset (Finset α)), (∀ s ∈ 𝒜, s ⊆ u) → p 𝒜
𝒜 : Finset (Finset α)
hu : ∀ s ∈ 𝒜, s ⊆ insert a u
⊢ p 𝒜
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
a : α
⊢ MeasureTheory.ae (MeasureTheory.Measure.dirac a) = pure a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H✝ : s✝.Nonempty
x a : α
s : Finset α
H : s.Nonempty
⊢ IsGreatest (↑(insert a s)) (max (s.max' H) a)
m n : ℕ
⊢ 0 = m * n ↔ m = 0 ∨ n = 0
ι : Type u_1
s : Finset ι
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
π : ι → Type u_3
f g f' g' : (i : ι) → π i
(i : ι) → Preorder (π i)
hf : f ∈ Set.Icc f' g'
hg : g ∈ Set.Icc f' g'
⊢ s.piecewise f g ∈ Set.Icc f' g'
n✝ n : ℕ
⊢ Fintype.card (Composition n) = 2 ^ (n - 1)
α : Type u_1
I B X : Set α
Indep : Set α → Prop
M : Matroid α
h : ∀ (I : Set α), M.Indep I ↔ Indep I
⊢ ∃ M_1, M.E = M_1.E ∧ M_1.Indep = Indep
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b c d : α
hbc : Commute b c
hbd : Commute b d
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ a / b + c / d = (a * d + b * c) / (b * d)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
⊢ H = ⊤
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b : α
hba : AddLECancellable (b - a)
h : a ≤ b
⊢ b - (b - a) = a
M : Type u_1
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass P
c : AddCon M
f : c.Quotient →+ P
⊢ c.lift (f.comp c.mk') ⋯ = f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
⊢ Disjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ t → a ≠ b
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
Fintype ι
IsEmpty ι
Nontrivial 𝕜
⊢ stdSimplex 𝕜 ι = ∅
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : p.last = q.head
i : Fin (p.length + q.length + 1)
H : ¬↑i < p.length
⊢ ↑i < p.length + q.length + 1
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
NonAssocSemiring R
⊢ HahnSeries.C 0 = 0
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
R : Type u_1
K : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : FunLike F R K
inst✝ : RingHomClass F R K
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
J : Ideal R
x : R
hJ : ker f ≤ J
hxf : x ∉ ker f
hxJ : x ∈ J
y : R
hy : f y = (f x)⁻¹
H : 1 = y * x - (y * x - 1)
⊢ f (y * x - 1) = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
p q : Polynomial R
r : R
hr : IsUnit r
hpq : p ∣ q
⊢ p.scaleRoots r ∣ q.scaleRoots r
G : Type u_1
AddGroup G
k : Set G
⊢ k ⊆ ↑(AddSubgroup.closure k)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp1 : p.degree = 1
hm : p.Monic
⊢ p = X - C (-p.coeff 0)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
hsp : ⊤ ≤ (span 𝕜 (Set.range v)).topologicalClosure
⊢ (fun i => (HilbertBasis.mk hv hsp).repr.symm (lp.single 2 i 1)) = v
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₁
⊢ AffineSubspace.map f s = ⊥ ↔ s = ⊥
α : Type u
x : FreeRing α
L : FreeMonoid α
⊢ ↑(FreeAbelianGroup.lift ⇑(FreeMonoid.lift FreeCommRing.of)) (FreeAbelianGroup.of L) = ((fun α_1 => FreeAbelianGroup.of α_1) ∘ fun l => ↑l) L
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_1
DecidableEq ι
i : ι
m : M
⊢ (finsuppLEquivDirectSum R M ι).symm ((DirectSum.lof R ι (fun x => M) i) m) = Finsupp.single i m
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : CategoryTheory.Functor J CategoryTheory.Cat
⊢ (CategoryTheory.Cat.HasLimits.limitConeX F).str = inferInstance
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
CompactSpace X
T2Space Y
f : X → Y
h : Continuous f
hf : Function.Injective f
⊢ ClosedEmbedding f
α : Type u
h : Fintype α
f : α → Cardinal.{v}
⊢ Cardinal.prod f = Cardinal.lift.{u, v} (∏ i : α, f i)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
F : Type u_2
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
Module ℝ F
IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →ₗ[ℝ] ℝ
x : F
⊢ ‖fr.extendTo𝕜' x‖ ^ 2 = fr ((starRingEnd 𝕜) (fr.extendTo𝕜' x) • x)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
ν : Measure β
h : IsFundamentalDomain G s μ
f : β → α
hf : QuasiMeasurePreserving f ν μ
e : G → H
he : Bijective e
hef : ∀ (g : G), Semiconj f (fun x => e g • x) fun x => g • x
x : β
x✝ : ∃ g, g • f x ∈ s
g : G
hg : g • f x ∈ s
⊢ e g • x ∈ f ⁻¹' s
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
⊢ (whiskerLeft G.op (sheafHom α)).app X = α.app X
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
⊢ ↑𝒜.card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ ↑(∂ 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (r - 1))
α : Type u
β : Type v
b₁ b₂ : β
s : β → β → Prop
a₁ a₂ : α
h : s b₁ b₂
⊢ PSigma.SkipLeft α s ⟨a₁, b₁⟩ ⟨a₂, b₂⟩
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
NoZeroSMulDivisors R M
h : Nontrivial M
⊢ 0 < FiniteDimensional.finrank R M
n : ℕ
⊢ Cardinal.aleph0 + ↑n = Cardinal.aleph0
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ b⁻¹ * a < c ↔ a < b * c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.HomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).right =
  CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h.right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 E
⊢ Submodule.map f U ⟂ Submodule.map f V ↔ U ⟂ V
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ ∀ (x : A ⊗[R] M), ((tensorProduct R A M M) (1 ⊗ₜ[R] 1)) x = 1 x
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
⊢ ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial R n ν = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y Z : C
p : X = Y
q : Y = Z
⊢ F.mapIso (CategoryTheory.eqToIso p) ≪≫ F.mapIso (CategoryTheory.eqToIso q) = F.mapIso (CategoryTheory.eqToIso ⋯)
n : ℕ
⊢ Tree.treesOfNumNodesEq (n + 1) =
  (Finset.antidiagonal n).biUnion fun ij =>
    Tree.pairwiseNode (Tree.treesOfNumNodesEq ij.1) (Tree.treesOfNumNodesEq ij.2)
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K✝ : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : CommRing L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : Algebra K✝ L
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : Algebra K L
hodd : Odd ↑n
hz : (Algebra.norm K) ζ ^ ↑n = 1 ^ ↑n
⊢ (Algebra.norm K) ζ = 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ : α
z a : ℤ
⊢ ⌈↑z⌉ ≤ a ↔ z ≤ a
N✝ N : ℕ
x : SL(2, ℤ)
HA : ↑(↑x 0 0) = 1 ∧ ↑(↑x 1 1) = 1 ∧ ↑(↑x 1 0) = 0
⊢ ↑(↑x 1 0) = 0
n n' : Nat
i : Fin n
h : n.succ = n'.succ
⊢ Fin.cast h i.succ = (Fin.cast ⋯ i).succ