ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
Semiring B
Algebra R₁ B
f : A →ₐ[R₁] B
a : A
⊢ (Ideal.kerLiftAlg f) ((Ideal.Quotient.mk (RingHom.ker f)) a) = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : OrderBot α
n : α
φ : α → α
k : α
ih : StrictMonoOn φ (Iic k) → ∀ m ≤ k, m ≤ φ m
hφ : StrictMonoOn φ (Iic (succ k))
m : α
hm : m ≤ succ k
hk : ¬IsMax k
⊢ m ≤ φ m
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • interior s + b • s ⊆ interior s
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
a : α
hf : Injective f
⊢ f^[m + n] a = f^[n] a ↔ f^[n] (f^[m] a) = f^[n] a
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : b < a
⊢ a ≠ b
G : Type u_1
Group G
L : Subgroup G
ι : Type u_3
Fintype ι
f : ι → Subgroup G
⊢ (⨅ i, f i).relindex L ≤ ∏ i : ι, (f i).relindex L
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
C : ℝ≥0
x : E
⊢ ↑(s.sup fun i => ⟨((C • p) i) x, ⋯⟩) = C • ↑(s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩)
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 7
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
⊢ jacobiSymNat a b = r
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set α
t : Set β
hs : IsPreconnected s
ht : IsPreconnected t
⊢ IsPreconnected (s ×ˢ t)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
L.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
⊢ CategoryTheory.GradedObject.mapMap (HomologicalComplex₂.toGradedObjectMap φ) (c₁.π c₂ c₁₂) i₁₂ ≫ L.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' =
  K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ CategoryTheory.GradedObject.mapMap (HomologicalComplex₂.toGradedObjectMap φ) (c₁.π c₂ c₁₂) i₁₂'
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
α : Type u_2
DecidableEq σ
s : Finset α
f : α → MvPolynomial σ R
⊢ (∑ x ∈ s, f x).support ⊆ s.biUnion fun x => (f x).support
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
u : Nˣ
h : ↑u * f.toMap x = ↑u * f.toMap y
hu : ↑u = f.toMap ↑c
⊢ f.toMap x = f.toMap y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty
⊢ setToSimpleFunc T (piecewise s hs (const α x) (const α 0)) = (T s) x
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
m n : ℕ
⊢ s.drop (m + n) = (s.drop m).drop n
z τ : ℂ
⊢ ∑' (c : ℤ), jacobiTheta₂'_term ((Equiv.neg ℤ) c) (-z) τ = ∑' (b : ℤ), -jacobiTheta₂'_term b z τ
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
CategoryTheory.Limits.HasLimit G
w : F ≅ G
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.HasLimit.isoOfNatIso w).hom ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π G j =
  CategoryTheory.Limits.limit.π F j ≫ w.hom.app j
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T1Space Y
y : Y
⊢ IsClosedMap (Function.const X y)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup L
inst✝¹⁴ : Module R L
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ιM
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι'
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Module.Free R L
inst✝² : Nontrivial R
x : L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
⊢ ↑(finrank R M) ≤ Cardinal.mk R
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ (s ∪ t).encard ≤ s.encard + t.encard
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S
h1 : ¬Module.rank F ↥S = 1
this : IsEmpty κ
⊢ S = ⊥
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x : K
⊢ x ∈ s → x⁻¹ ∈ s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
R : Type u_3
Semiring R
Module R ℝ
ContinuousConstSMul R ℝ
ContinuousConstSMul R ℂ
⊢ ∀ (a : MeasureTheory.ComplexMeasure α),
  MeasureTheory.ComplexMeasure.equivSignedMeasureₗ a = MeasureTheory.ComplexMeasure.equivSignedMeasure.toFun a
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
x : E
hx : ‖r⁻¹ • x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖r⁻¹ • y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
this : ε / r ≤ ‖r⁻¹ • x - r⁻¹ • y‖ → ‖r⁻¹ • x + r⁻¹ • y‖ ≤ 2 - δ
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
⊢ (κ a).withDensity ((fun x => ↑(f a x)) * fun x => g a x) = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R : Sheaf J RingCat
inst✝³ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : J.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)
M N P : SheafOfModules R
σ : M.GeneratingSections
p : M ⟶ N
inst✝ : Epi p
⊢ Epi (N.freeHomEquiv.symm fun i => sectionsMap p (σ.s i))
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : LipschitzWith D g
h'g : HasCompactSupport g
v : E
A : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))
B : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (g (x + t • -v) - g x) * f x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ g x (-v) * f x ∂μ))
t : ℝ
S3 : ∫ (x : E), f (x + t • v) * g x ∂μ = ∫ (x : E), f x * g (x + t • -v) ∂μ
⊢ ∫ (x : E), f (x + t • v) * g x - f x * g x ∂μ = ∫ (x : E), f x * g (x + t • -v) - f x * g x ∂μ
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
⊢ IsUnramified k w ↔ Stab w = ⊥
a b c : Nat
⊢ a ≤ b → a ≤ c → a ≤ min b c
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
Inf L
ContinuousInf L
f g : X → L
s : Set X
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
⊢ ContinuousOn (f ⊓ g) s
R : Type u_2
Semiring R
f : RingInvo R
x : R
⊢ MulOpposite.unop (f (MulOpposite.unop (f x))) = x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hf : IsUnit f.leadingCoeff
H : IsUnit (map φ f)
dz : (map φ f).degree = 0
⊢ φ f.leadingCoeff ≠ 0
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
K : ℝ≥0
f : X → Y
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
⊢ dimH (f ⁻¹' s) ≤ dimH s
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
⊢ f.natDegree ∉ f.eraseLead.support
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => 1 + AkraBazziRecurrence.smoothingFn x
b x : Ordinal.{u_1}
hx : ¬x = 0
hb : ¬1 < b
⊢ log b x ≤ x
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
r R : ℝ
h0 : 0 < r
hle : r ≤ R
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hd : ∀ z ∈ (ball c R \ closedBall c r) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
A : Set ℂ := closedBall c R \ ball c r
hc : ContinuousOn f A
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) = ∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ • f z
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ StrictMono ⇑(Equiv.trans σ (graphEquiv₁ f)) ↔ Monotone (f ∘ ⇑σ) ∧ ∀ (i j : Fin n), i < j → f (σ i) = f (σ j) → σ i < σ j
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ 0 < x + π / 2
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l l' : List α
hl : l ~ l'
hR : List.Pairwise R l
hsymm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
⊢ List.Pairwise R l'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
P Q : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.biprod.braiding P Q).hom ≫ (CategoryTheory.Limits.biprod.braiding Q P).hom = 𝟙 (P ⊞ Q)
a b n : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
hb : b < n
⊢ a % n = b
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
⊢ Nat.card (α ⧸ s) ∣ Nat.card α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
⊢ reflection Kᗮ = (reflection K).trans (LinearIsometryEquiv.neg 𝕜)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
s' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
hh₂ : HasDerivWithinAt h₂ h₂' s' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hst : Set.MapsTo h s s'
⊢ HasDerivWithinAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') s x
n : ℕ
c : Char
s : String
⊢ (String.replicate (n - s.length) c).IsPrefix (String.leftpad n c s)
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
ι : Type u_3
α : ι → Sort u_4
s : (i : ι) → Setoid (α i)
p : ((i : ι) → Quotient (s i)) → Prop
f : (i : ι) → Quotient (s i)
h : ∀ (a : (i : ι) → α i), p fun i => ⟦a i⟧
⊢ p f
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar K q
l : ι →₀ E
hl : (Finsupp.total ι K E v) l = 0
i : ι
f : ι → ℕ
hf : ∀ (i : ι), l i ^ q ^ f i ∈ (algebraMap F E).range
⊢ l i = 0 i
α : Type u
l₁ l₂ : List α
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : l₂.Nodup
dj : l₁.Disjoint l₂
⊢ (l₁ ++ l₂).Nodup
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
x₀ : X
h₁ : Tendsto F l (𝓝 f)
h₂ : EquicontinuousAt F x₀
⊢ ContinuousAt f x₀
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g ≫ (CategoryTheory.Limits.pushoutSymmetry f g).hom =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inl g f
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
⊢ HasStrictDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) 1 0
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
p : ℕ
CharP R p
a b : ℕ
IsRightCancelAdd R
⊢ ↑a = ↑b ↔ a ≡ b [MOD p]
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
AddCommGroup E
UniformSpace E
UniformAddGroup E
AddCommGroup F
UniformSpace F
FirstCountableTopology E
RCLike 𝕜
Module 𝕜 E
ContinuousSMul 𝕜 E
RCLike 𝕜'
Module 𝕜' F
ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s → Bornology.IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
⊢ ContinuousAt (⇑f) 0
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.SingleObj ↑G ⥤ V} (f : X ⟶ Y),
  (Action.FunctorCategoryEquivalence.inverse.map f).hom = f.app PUnit.unit
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
hRp : 0 ≤ R₁
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * R₁ i ≤ R₂ i
hM' : M < 1
⊢ blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₁ i)) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₂ i)) (s i)) atTop p
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
H1 : b ∣ a
H2 : a / b = c
⊢ a = c * b
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : (ZMod p)ˣ
⊢ a ^ (p - 1) = 1
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
q n : ℕ
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
hnm : c.Rel (n + 1) n
⊢ f.app (op [n]) ≫ hσ q n = hσ q n ≫ f.app (op [n + 1])
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hq : q.natDegree ≠ 0
⊢ Function.Surjective ⇑(restrictComp p q hq)
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
f g : M →* N
s : Set M
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(Submonoid.closure s)
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
A B : V
f : A ⟶ B
⊢ ((single₀ V).map f).f 0 = f
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
⊢ dist (inversion c 0 x) y * dist x c = dist x (inversion c 0 y) * dist y c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
hA : A ≠ 0
⊢ ∃ t, t ≠ 0 ∧ A *ᵥ t = 0 ∧ ‖t‖ ≤ (↑n * ‖A‖) ^ e
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : NonUnitalNonAssocCommSemiring α
a : α
⊢ (L a = L a ∧ ∀ g ∈ Set.range ⇑L, g * L a = L a * g) ↔ ∀ (b : α), Commute (L b) (L a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : ULift.{u₂, u₁} C} (f : X ⟶ Y), CategoryTheory.ULift.downFunctor.map f = f
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter β
a : α
f.NeBot
⊢ (a • f).NeBot
R : Type u
Semiring R
I J : Ideal R
x : R
⊢ x ∈ I ⊓ J ↔ x ∈ I ∧ x ∈ J
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective (AddSubmonoid.comap f)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r K : ℝ
h : ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ K * dist x y
x y : α
⊢ K ≤ ↑K.toNNReal
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ a ∈ Finset.Ico a b ↔ a < b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
inst✝³ : CommMonoid α₁
inst✝² : CommMonoid α₂
inst✝¹ : CommMonoid β₁
inst✝ : CommMonoid β₂
A₁ : Set α₁
A₂ : Set α₂
B₁ : Set β₁
B₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
n : ℕ
h₁ : IsMulFreimanHom n A₁ B₁ f₁
h₂ : IsMulFreimanHom n A₂ B₂ f₂
s t : Multiset (α₁ × α₂)
hs : card s = n
ht : card t = n
hsA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → b ∈ A₂
htA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → b ∈ A₂
h : (map Prod.fst s).prod = (map Prod.fst t).prod ∧ (map Prod.snd s).prod = (map Prod.snd t).prod
⊢ (map (fun x => f₁ x.1) s).prod = (map (fun x => f₁ x.1) t).prod ∧ (map (fun x => f₂ x.2) s).prod = (map (fun x => f₂ x.2) t).prod
p q✝ q : ℚ
⊢ q⁻¹.toNNRat = q.toNNRat⁻¹
R : Type u
inst✝² : Ring R
P : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
ι : Type u_1
b : Basis ι R P
⊢ Projective R P
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s : Finset β
hf : ∀ b ∉ s, f b = 0
⊢ ∑' (b : β), f b = ∑ b ∈ s, f b
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ indexOf a (a :: l) = 0
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
⊢ ofLex ↑n = ↑n
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μs : ℕ → LevyProkhorov (ProbabilityMeasure Ω)
ν : LevyProkhorov (ProbabilityMeasure Ω)
hμs : Tendsto μs atTop (𝓝 ν)
P : ProbabilityMeasure Ω := ν.toProbabilityMeasure
Ps : ℕ → ProbabilityMeasure Ω := fun n => (μs n).toProbabilityMeasure
f✝ f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
f_zero : ¬‖f‖ = 0
norm_f_pos : 0 < ‖f‖
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑((toProbabilityMeasure ∘ μs) i)
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
⊢ eLpNormEssSup (f + g) μ ≤ eLpNormEssSup f μ + eLpNormEssSup g μ
R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Coalgebra R A
a : A
⊢ (TensorProduct.assoc R A A A).symm ((LinearMap.lTensor A comul) (comul a)) = (LinearMap.rTensor A comul) (comul a)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ -variationOnFromTo f s b a ≤ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
s : CategoryTheory.Limits.Cone F.unop
⊢ (CategoryTheory.Limits.isLimitConeUnopOfCocone F hc).lift s = (hc.desc (CategoryTheory.Limits.coconeOfConeUnop s)).unop
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
⊢ (CategoryTheory.OverPresheafAux.counitAux F).hom =
  { app := fun X => (CategoryTheory.OverPresheafAux.counitAuxAux F (Opposite.unop X)).hom, naturality := ⋯ }
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => x * c) (ProbabilityTheory.gaussianReal μ v) =
  ProbabilityTheory.gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
⊢ MeasureTheory.ae (MeasureTheory.Measure.pi μ) ≤ Filter.pi fun i => MeasureTheory.ae (μ i)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
r R : ℝ
h : r < R
⊢ Metric.sphere x r ⊆ Metric.ball x R
G : Type u_1
Group G
H : Set (Subgroup G)
⊢ ↑(sInf H) = ⋂ s ∈ H, ↑s
R : Type u
A : Type v
B : Type w
I✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
I : Type u_2
c : R
x✝ : I
⊢ (↑↑{ toFun := fun h => ⇑f ∘ h, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R (I → A)) c) x✝ = (algebraMap R (I → B)) c x✝
K : Type u_1
Field K
nf : NumberField K
x : K
⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(NumberField.integralBasis K)) ↔
  x ∈ (algebraMap (NumberField.RingOfIntegers K) K).range
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0
⊢ ‖x‖ / Real.cos (angle x (x - y)) = ‖x - y‖
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0
⊢ (W.preΨ n).leadingCoeff = ↑(if Even n then n / 2 else n)
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
⊢ levyProkhorovEDist μ ν = levyProkhorovEDist ν μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : D
Y : C
f f' : X ⟶ G.obj Y
⊢ f ≫ α.inv.app Y = f' ≫ α.inv.app Y ↔ f = f'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair f g) G
W : D
k : G.obj Y ⟶ W
wk : G.map f ≫ k = G.map g ≫ k
⊢ G.map (CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g) ≫
    (CategoryTheory.Limits.PreservesCoequalizer.iso G f g).inv ≫ CategoryTheory.Limits.coequalizer.desc k wk =
  k
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
⊢ Stream'.map f (Stream'.const a) = Stream'.const (f a)
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a
⊢ compress u v a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ compress u v a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = compress u v a
α : Sort u
β : Sort v
f : α → β
g : β → α
l : Function.LeftInverse g f
r : Function.RightInverse g f
⊢ ⇑{ toFun := f, invFun := g, left_inv := l, right_inv := r }.symm = g
t : ℝ
h₁ : Tendsto (fun h => h⁻¹ * log (1 + t * h)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 t)
h₂ : Tendsto (fun x => x⁻¹) atTop (𝓝[≠] 0)
⊢ Tendsto (fun x => x * log (1 + t / x)) atTop (𝓝 t)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ Antitone (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) ↔ Antitone f
α : Type u_1
M₁ M₂ : Matroid α
hE : M₁.E = M₂.E
h : ∀ I ⊆ M₁.E, M₁.Indep I ↔ M₂.Indep I
⊢ M₁ = M₂
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
f'' : Z ≃ₜ Z'
⊢ (e.trans e').transHomeomorph f'' = e.trans (e'.transHomeomorph f'')
α : Type u_1
β : Type u_2
G✝ H : SimpleGraph α
n✝ : ℕ
a b c : α
s : Finset α
G : SimpleGraph α
e : α ≃ β
n : ℕ
hn : n ≠ 1
⊢ (SimpleGraph.map e.toEmbedding G).cliqueSet n = map e.toEmbedding '' G.cliqueSet n
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
f_comp : HasCompactSupport f
ν : Measure G := μ.inv
A : (∫ (x : G), f x ∂μ) * (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ = ∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν
B : ∫ (x : G), f x ∂μ' = ((∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ') * ∫ (x : G), f x ∂μ
⊢ ((∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ') * ∫ (x : G), f x ∂μ = ⟨c, c_nonneg⟩ • ∫ (x : G), f x ∂μ
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : StarRing A
inst✝¹⁰ : StarModule R A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : StarModule R B
inst✝⁵ : FunLike F A B
inst✝⁴ : AlgHomClass F R A B
inst✝³ : StarAlgHomClass F R A B
f✝ g✝ : F
s : Set A
inst✝² : FunLike F (↥(adjoin R s)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(adjoin R s)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R s)) B
f g : F
h : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), ↑x ∈ s → f x = g x
a : ↥(adjoin R s)
x : A
hx : x ∈ s
⊢ (fun y => f y = g y) ⟨x, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun x => 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.opOp C).map f = f.op.op
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
h : a < b
⊢ 1 / b < 1 / a
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
f : α → β
Zero β
hst : s =ᵐ[μ] t
⊢ s.indicator f =ᵐ[μ] t.indicator f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
p : Set γ
f : α → β
g : β → γ
hg : Set.SurjOn g t p
hf : Set.SurjOn f s t
⊢ Set.SurjOn (g ∘ f) s p