ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₄
⊢ ⇑(f.prodMap g) = Prod.map ⇑f ⇑g
α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
x : List α
⊢ M.toDFA.eval x ∈ M.toDFA.accept ↔ ∃ S ∈ M.accept, S ∈ M.evalFrom M.start x
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c : R
⊢ a₁ + a₂ + (b₁ + b₂) = a₁ + b₁ + (a₂ + b₂)
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Set α
ha : a ∈ s
x : α
hb : x ∉ s
hx : x ∈ insert x (s \ {a})
⊢ x ∈ ⇑(swap a x) '' s
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! - (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) * I / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)
k : ℕ
⊢ HasSum (fun c => ((-z * I) ^ (2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2) / ↑(2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2)! - (z * I) ^ (2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2) / ↑(2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2)!) * I / 2) ((z * I) ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1)! / I)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u✝ : Set α
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : Countable δ
l : Filter δ
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
l' : Filter γ
inst✝ : l'.IsCountablyGenerated
hl' : l'.IsMeasurablyGenerated
f : δ → β → γ
hf : ∀ (i : δ), Measurable (f i)
u : ℕ → Set δ
hu : l.HasAntitoneBasis u
v : ℕ → Set γ
v_meas : ∀ (i : ℕ), v i ∈ l' ∧ MeasurableSet (v i)
hv : l'.HasAntitoneBasis fun i => id (v i)
⊢ MeasurableSet (⋂ i, ⋃ i_1, ⋂ i_2 ∈ u i_1, {x | f i_2 x ∈ id (v i)})
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
le : ω.length ≤ j
⊢ cs.wordProd (take j ω ++ ω[j]?.toList ++ drop (j + 1) ω) * ((cs.wordProd (drop (j + 1) ω))⁻¹ * (Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * cs.wordProd (drop (j + 1) ω)) = cs.wordProd (take j ω ++ drop (j + 1) ω)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ BddAbove (Set.range f)
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.antidiagonal n, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = if n = 0 then 1 else 0
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : f =O[Filter.atTop] fun n => ↑n ^ x
⊢ LSeries.abscissaOfAbsConv f ≤ ↑x + 1
motive : Nat → Sort u_1
zero : motive 0
succ : (n : Nat) → motive n → motive (n + 1)
⊢ Nat.recAuxOn 0 zero succ = zero
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
hφ : φ.IsCovering
u : U
⊢ Function.Bijective (φ.pathStar u)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (z : β × γ) in s ×ˢ t, f z ∂(κ.compProd η) a = ∫⁻ (x : β) in s, ∫⁻ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
x : ℝ
n : ℕ
⊢ sin (π / 2 ^ (n + 2)) = √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
hc : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => Real.exp (f x)) x
R : Type u
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
⊢ LinearMap.ker ((Polynomial.aeval f) p) ⊔ LinearMap.ker ((Polynomial.aeval f) q) ≤
  LinearMap.ker ((Polynomial.aeval f) (p * q))
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
x✝ : { re := ↑z, im := ↑w }.Nonneg
⊢ ({ re := ↑x, im := -↑y } * { re := ↑z, im := ↑w }).Nonneg
a b c : ℕ
hbc : c ∣ b
⊢ a ∣ b / c ↔ c * a ∣ b
M₀ : Type u_1
MulZeroClass M₀
NoZeroDivisors M₀
a b : M₀
⊢ 0 = a * b ↔ a = 0 ∨ b = 0
α : Type u_1
a b c : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
h : b ≤ c
a0 : 0 ≤ a
⊢ a * b ≤ a * c
n : Nat
⊢ (↑n + 1).toNat = n + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ (∃ c, IsBigOWith c l f₁ g₁) ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f₂ g₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
F.IsEquivalence
G.Final
⊢ (F.comp G).Final
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
⊢ (trinomial k m n u v w).coeff m = v
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
TopologicalSpace α
h : TendstoUniformly F f p
⊢ TendstoLocallyUniformly F f p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
h : Injective f
x y : α
⊢ f x < f y ↔ x < y
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
TopologicalSpace ι
MeasurableSpace ι
BorelSpace ι
OrderTopology ι
SecondCountableTopology ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
hτ_le : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ i
⊢ Measurable τ
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
g✝ h✝ : b✝ ⟶ c✝
η✝ : g✝ ⟶ h✝
X : ↑(prelaxfunctor.obj a✝)
⊢ (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.whiskerLeft f✝ η✝)).app X = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ g✝).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) (prelaxfunctor.map₂ η✝) ≫ ((fun {a b c} => mapComp) f✝ h✝).inv).app X
a : ℝ
⊢ #↑(Set.Ioi a) = 𝔠
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Group G
hN : Nontrivial G
tG : IsTorsion G
x : G
hx : x ≠ 1
⊢ ∃ g, g ≠ 1 ∧ IsOfFinOrder g
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ∅ ^ n = ∅
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
IsDomain R
IsDomain S
Module.Free R S
Module.Finite R S
x : S
⊢ LinearMap.det ((LinearMap.mul R S) x) = 0 ↔ x = 0
⊢ ∀ {β : Type u_1} {b : β} {α : Type u_2} {a : α}, Sum.inr b ≠ Sum.inl a
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ IsSimpleOrder ↑(Set.Iic a) ↔ IsAtom a
n i : ℕ
h : i ≤ n
l₁ : ↑i + 1 ≠ 0
l₂ : ↑n - ↑i + 1 ≠ 0
h₁ : ↑(i + 1).centralBinom = (↑i + 1) * ↑(i + 1).centralBinom / (↑i + 1)
h₂ : ↑(n - i + 1).centralBinom = (↑n - ↑i + 1) * ↑(n - i + 1).centralBinom / (↑n - ↑i + 1)
h₃ : (↑i + 1) * ↑(i + 1).centralBinom = 2 * (2 * ↑i + 1) * ↑i.centralBinom
⊢ gosperCatalan (n + 1) (i + 1) - gosperCatalan (n + 1) i = ↑i.centralBinom / (↑i + 1) * ↑(n - i).centralBinom / (↑n - ↑i + 1)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor D E
τ τ' : F₁ ⟶ F₂
h : ∀ (X : C), τ.app (L.obj X) = τ'.app (L.obj X)
⊢ τ = τ'
ι : Type u_4
Fintype ι
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(WithLp.equiv 2 (ι → ℝ)).symm) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
⊢ (∃ a w, w.IsCycle ∧ G.egirth = ↑w.length) ↔ ¬G.IsAcyclic
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
⊢ yn a1 n ∣ t
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
a b : α
h : s ∈ 𝓝 b
⊢ op a • s ∈ 𝓝 (b * a)
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p q : Submodule R M
⊢ p + q = p ⊔ q
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommSemiring K
i : R →+* K
a✝ b : R
bi : K
N : ℕ
a : R
bu : bi * i b = 1
⊢ i 0 = i b ^ N * eval (i a * bi) (Polynomial.map i 0)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoDiv hp (a - p) b = toIcoDiv hp a b + 1
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsIntegrallyClosed R
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g ∣ Polynomial.map (algebraMap R K) f
⊢ ∃ g', Polynomial.map (algebraMap R K) g' * Polynomial.C g.leadingCoeff = g
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
f : ι → α
⊢ Disjoint (⨆ i, f i) a ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (f i) a
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : Valued K Γ₀
x : K
⊢ ContinuousAt (⇑v) x
ι : Sort u_1
α : ι → Sort u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
a b : (i : ι) ×' α i
⊢ PSigma.Lex r s a b ↔ r a.fst b.fst ∨ ∃ h, s b.fst (h ▸ a.snd) b.snd
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f σ : Perm α
l : List (Perm α)
hl : l.Nodup
⊢ σ.cycleFactorsFinset = l.toFinset ↔ (∀ f ∈ l.toFinset, f.IsCycle) ∧ ∃ (h : (↑l.toFinset).Pairwise Disjoint), l.toFinset.noncommProd id ⋯ = σ
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b✝ b' : β
c : γ
t : Finset β
hf : ∀ (b : β), Injective fun a => f a b
b : β
hb : b ∈ t
⊢ s.card ≤ (image₂ f s t).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : Fintype ↑t
⊢ s.toFinset ⊆ t.toFinset ↔ s ⊆ t
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : x i₀ ≤ m
this : Ioc m (y i₀) = Ioi m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)
⊢ ({x_1 | x_1 i₀ ∈ Ioi m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)} ∩ {i₀}ᶜ.pi fun j => Ioc (x j) (y j)) = {z | m < z i₀} ∩ {x_1 | x_1 i₀ ∈ Ioc (x i₀) (y i₀)} ∩ {i₀}ᶜ.pi fun j => Ioc (x j) (y j)
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → Zero (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a
⊢ f.neLocus g = g.neLocus f
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
⊢ 0 < Dilation.ratio f
α : Type u_7
β : Type u_8
DivInvMonoid β
SMul α β
IsScalarTower α β β
r : α
x y : β
⊢ r • x / y = r • (x / y)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝ : Finite α
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
hy : f y ≠ y
n : ℤ
hn : (f ^ n) x = y
⊢ ∃ i, (f ^ i) x = y
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
n : ℤ
hn : 0 ≤ n
⊢ ‖↑n‖ = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
π : α → Type u_11
i : Set α
s t : (a : α) → Set (π a)
x : (i : α) → π i
hx : x ∈ i.pi s \ ⋃ a ∈ i, eval a ⁻¹' (s a \ t a)
a : α
ha : a ∈ i
⊢ x a ∈ t a
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
CommSemiring R
StarRing R
AddCommMonoid α
StarAddMonoid α
Module R α
StarModule R α
⊢ (Matrix.conjTransposeLinearEquiv m n R α).symm = Matrix.conjTransposeLinearEquiv n m R α
n : ℕ
pos : 0 < n
np : ¬Nat.Prime n
⊢ n.minFac ≤ n / n.minFac
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrderBot α
a : Subtype p
⊢ Finset.Iic a = Finset.subtype p (Finset.Iic ↑a)
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f g : F
s : Set R
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(NonUnitalSubsemiring.closure s)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μa μb
h₂ : MeasurableEmbedding f
s : Set α
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving f (μa.restrict s) (μb.restrict (f '' s))
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype l
Fintype m
Fintype n
DecidableEq l
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix l m α
B : Matrix l n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
Invertible D
⊢ Matrix.fromBlocks A B C D =
  Matrix.fromBlocks 1 (B * ⅟D) 0 1 * Matrix.fromBlocks (A - B * ⅟D * C) 0 0 D * Matrix.fromBlocks 1 0 (⅟D * C) 1
α : Type u_1
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : ℕ → α
n : ℕ
x✝ : α
⊢ (partialSups f) n ≤ x✝ ↔ ⨆ i, f ↑i ≤ x✝
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
hI : I.FG
⊢ IsFractional S I
k : ℤ
a : Fin 2 → ℤ
⊢ DifferentiableOn ℂ (eisSummand k a ∘ ↑ofComplex) {z | 0 < z.im}
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y
hxy : orderOf x ∣ orderOf y
⊢ ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf y → ¬orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
f : α → β
hf : ∀ (i : ι), Set.InjOn f (s i)
⊢ Set.InjOn f (⋃ i, s i)
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : (↥A)ˣ
⊢ A.valuation ↑↑a = 1
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, deriv g x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atBot l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : -(star c * c) = a_neg ^ 3
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ a + star a = ↑(2 * a.re)
α : Type u_1
Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Ordnode.Valid' o₁ l ↑x
hr : Ordnode.Valid' (↑x) r o₂
H : ∃ l' r', Ordnode.BalancedSz l' r' ∧ (l.size.dist l' ≤ 1 ∧ r.size = r' ∨ r.size.dist r' ≤ 1 ∧ l.size = l')
⊢ Ordnode.Valid' o₁ (l.balance x r) o₂
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_6
DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommGroup (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
Fintype ι
⊢ AdicCompletion.sumInv I M ∘ₗ AdicCompletion.sum I M = LinearMap.id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
⊢ (∀ (i : α), s.indicator (⇑p) i = 0) ↔ Disjoint p.support s
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
F : CategoryTheory.Discrete J ⥤ CategoryTheory.Over B
CategoryTheory.Limits.HasLimit (CategoryTheory.Over.ConstructProducts.widePullbackDiagramOfDiagramOver B F)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit F
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
hsep : IsSeparable k x
⊢ (algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
P : C
ι : (a : I.L) → P ⟶ I.left a
w :
  ∀ (b : I.R),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (ι (I.fstTo b)) (I.fst b) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (ι (I.sndTo b)) (I.snd b)
x : CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan I.fstTo I.sndTo
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multifork.ofι I P ι w).π.app x =
  match x with
  | CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.left a => ι a
  | CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.right b => CategoryTheory.CategoryStruct.comp (ι (I.fstTo b)) (I.fst b)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
α : G ⟶ F
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose α).obj c).pt = c.pt
x y a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ 0 < Gamma x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_3
f : ι → Type u_2
g : (i : ι) → f i → C
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (g i)
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct fun i => ⨁ g i
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproductBiproductIso f g).inv =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.lift fun i =>
    CategoryTheory.Limits.biproduct.lift fun x => CategoryTheory.Limits.biproduct.π (fun p => g p.fst p.snd) ⟨i, x⟩
α : Type u_2
G : Type u_4
TopologicalSpace α
AddGroup G
AddAction G α
ContinuousConstVAdd G α
c : G
⊢ IsOpenMap fun x => c +ᵥ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
⊢ erase a (f.update a b) = erase a f
α : Type u_1
BEq α
n : Nat
a b : α
⊢ (List.replicate n b).contains a = (a == b && !n == 0)
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
a : α
⊢ s.max = ↑a → a ∈ s
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
ι : Type v
hι : Infinite ι
ιK : Type (max u v)
bK : Basis ιK K (ι → K)
e : ℕ ↪ ι
this : lift.{v, u} (Module.rank K (ℕ → K)) ≤ Module.rank K (ι → K)
key : lift.{v, u} (max ℵ₀ #K) ≤ Module.rank K (ι → K)
⊢ Module.rank K (ι → K) = #(ι → K)
M : Type u_5
N : Type u_6
Mul M
Mul N
x y z : M × N
⊢ SemiconjBy x y z ↔ SemiconjBy x.1 y.1 z.1 ∧ SemiconjBy x.2 y.2 z.2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X : C
πX : X ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX)) C
CategoryTheory.Limits.HasPushout (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTop f πX)
    (CategoryTheory.SmallObject.functorObjLeft f πX)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTop f πX)
    (CategoryTheory.SmallObject.ιFunctorObj f πX) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.SmallObject.functorObjLeft f πX)
    (CategoryTheory.SmallObject.ρFunctorObj f πX)
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
NonarchimedeanAddGroup G
U : Set (G × G)
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ V, ↑V ×ˢ ↑V ⊆ U
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
y : F
⊢ integral μ (const α y) = (μ Set.univ).toReal • y
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
p : α → Prop
hp : MeasureTheory.NullMeasurableSet {a | p a} μ
⊢ (∀ᵐ (a : α) ∂μ, p a) ↔ μ {a | p a} = μ Set.univ
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
hx : d x ≠ 0
⊢ (fun y => c y / d y) = fun y => c y * (Inv.inv ∘ d) y
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {l₁ l₂ : List α}, a :: l₁ <+ l₂ → l₁ <+ l₂
X : Type u_2
EMetricSpace X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X
⊢ Filter.Tendsto (fun n => (MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric'.pre m (↑n)⁻¹) s) Filter.atTop
  (𝓝 ((MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric' m) s))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
hm : ↑m ≤ n
⊢ ∃ u ∈ 𝓝 x, ContDiffOn 𝕜 (↑m) f u
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X →. Y
hf : ∀ {x : X} {y : Y}, y ∈ f x → PTendsto' f (𝓝 x) (𝓝 y)
s : Set Y
os : IsOpen s
x : X
y : Y
ys : y ∈ s
fxy : y ∈ f x
t : Set X
⊢ t ∈ 𝓟 (f.preimage s) → t ∈ 𝓝 x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
s : Set α
hs : IsPreconnected s
hne : s.Nonempty
⊢ s ∈ {Icc (sInf s) (sSup s), Ico (sInf s) (sSup s), Ioc (sInf s) (sSup s), Ioo (sInf s) (sSup s), Ici (sInf s), Ioi (sInf s), Iic (sSup s), Iio (sSup s), univ, ∅}
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
F.PreservesZeroMorphisms
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ K₁' : HomologicalComplex C₁ c₁
f : K₁ ⟶ K₁'
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
⊢ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).map f).app K₂).f i₁).f i₂ = (F.map (f.f i₁)).app (K₂.X i₂)
θ : Real.Angle
⊢ θ.toReal ∈ Set.Ioc (-π) π
α : Type u_1
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
⊢ κ.fst ⊗ₖ κ.condKernelBorel = κ
n : ℕ
⊢ logTaylor n 0 = 0
α : Type u_1
ι : Type u_3
PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
s : Set α
K : ℝ≥0
⊢ LipschitzOnWith K f s ↔ ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ⊤ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x
⊢ ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommGroup M₁
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
TopologicalAddGroup M₁
ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁
TopologicalAddGroup M₂
ContinuousSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
⊢ Continuous ⇑f
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
p : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
j : Fin n
i : ℕ
⊢ ∀ b ∈ (((finSuccEquiv R n) p).coeff i).support, b j ≤ p.support.sup fun m => m j.succ
f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
a : ↥circle := ⟨f 1, ⋯⟩
this : (f.trans (rotation a).symm) 1 = 1
h₂ : f.trans (rotation a).symm = conjLIE
⊢ f = conjLIE.trans (rotation a)
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype ↥(Equiv.Perm.sumCongrHom α β).range
Fintype (Equiv.Perm α × Equiv.Perm β)
⊢ Fintype.card ↥(Equiv.Perm.sumCongrHom α β).range = Fintype.card (Equiv.Perm α × Equiv.Perm β)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
⊢ IsOpen (s ×ˢ t) ↔ IsOpen s ∧ IsOpen t ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : ¬1 < p
⊢ pNilradical R p = ⊥
x✝ : ℝ
⊢ (↑x✝ + ↑π).tan = (↑x✝).tan