ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F E
x : Bundle.TotalSpace F E
y : EB × F
hy : y ∈ (extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) x).target
⊢ writtenInExtChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (↑(trivializationAt F E x.proj) x)
    (↑(trivializationAt F E x.proj).symm) y =
  y
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
ha : ¬(p a ∧ ContinuousOn f (σₙ R a) ∧ f 0 = 0)
⊢ cfcₙ f a = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
FiniteDimensional ℝ V
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ V = n
hc : EuclideanGeometry.Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Affine.Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
⊢ sx₁.circumcenter = sx₂.circumcenter
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
x : 𝓞 K
h : hζ.toInteger - 1 ∣ x + 1
⊢ (hζ.toInteger - 1) ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ Pell.xn a1 (2 * n + j) + Pell.xn a1 j ≡ 0 [MOD Pell.xn a1 n]
α : Type u_1
A : Set (Finset α)
r : ℕ
hA : Set.Sized r A
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) A
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ (orderIsoRpow y hy).symm = orderIsoRpow (1 / y) ⋯
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
j : J
⊢ (D.obj j).a ≫ T.ε.app (D.obj j).A ≫ c.ι.app j = c.ι.app j
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m p q : ℤ
hpq : p + 2 = q
⊢ (δ 1 2 (Cochain.diff K)).v p q hpq = Cochain.v 0 p q hpq
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → Zero (N a)
f✝ g✝ f g : Π₀ (a : α), N a
h : f = g
⊢ f.neLocus f = ∅
α : Type u_1
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
n : ℕ
hm : Filter.Tendsto m f (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => m x ^ n) f (𝓝 (a ^ n))
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
a : ℤ
b : ℕ
hb : 1 < b
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m
h : b < N
⊢ False
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hA : A₁ ⊆ A₂
hf : IsMulFreimanIso n A₂ B₂ f
hf' : BijOn f A₁ B₁
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A₁
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A₁
hs : card s = n
ht : card t = n
⊢ (map f s).prod = (map f t).prod ↔ s.prod = t.prod
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
self : CategoryTheory.IsPreconnected J
α : Type u₁
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Discrete α)
j : J
⊢ Nonempty (F ≅ (CategoryTheory.Functor.const J).obj (F.obj j))
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : Irreducible f
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
⊢ f.natSepDegree ∣ f.natDegree
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
⊢ AnalyticOn ℂ f univ ↔ Differentiable ℂ f
p : Polynomial ℝ
⊢ Multiset.card p.roots ≤ Multiset.card (Polynomial.derivative p).roots + 1
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor D n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Pretriangulated D
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C D
e : F₁ ≅ F₂
F₁.CommShift ℤ
F₂.CommShift ℤ
CategoryTheory.NatTrans.CommShift e.hom ℤ
F₁.IsTriangulated
⊢ F₂.IsTriangulated
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ((fun x => (ofLex x).1) '' s).IsPWO
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hf : MonotoneOn f s
hs : Convex 𝕜 s
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ f x ≤ r}
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ e.invFun = ⇑e.symm
R : Type u
ι : Type v
inst✝³ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
x : L i
y : L j
k : ι
⊢ ⁅((of L i) x) k, ((of L j) y) k⁆ = 0 k
α : Type u
a b : α
CommMonoid α
⊢ b ∈ nonunits α → a * b ∈ nonunits α
R : Type u_1
CommSemiring R
a₁ a₂ b₁ b₂ c : R
h : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a₁ + b₁) 0
h₄ : a₂ + b₂ = c
⊢ a₁ + a₂ + (b₁ + b₂) = c
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f g : α → β
CommMonoid β
⊢ ∏ x ∈ s, f x * g x = (∏ x ∈ s, f x) * ∏ x ∈ s, g x
R : Type u_1
Ring R
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Linear R C
CategoryTheory.EnoughProjectives C
X Y : C
CategoryTheory.Projective X
n : ℕ
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero (((Ext R C (n + 1)).obj (Opposite.op X)).obj Y)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ▷ Q.X ≫ AssociatorBimod.homAux M (N.tensorBimod P) Q ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight (M.tensorBimod N) P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux (M.tensorBimod N) P Q) ⋯ ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N (P.tensorBimod Q)) ⋯
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
TotalComplexShape c₁ c₂ c
TotalComplexShape c₂ c₁ c
TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
K.HasTotal c
K.flip.HasTotal c
DecidableEq J
j j' : J
⊢ (K.totalFlipIsoX c j).hom ≫ K.D₂ c j j' = K.flip.D₁ c j j' ≫ (K.totalFlipIsoX c j').hom
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
⊢ clog b r⁻¹ = -log b r
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
y : β
⊢ y ∈ omegaLimit f ϕ s ↔ ∀ n ∈ 𝓝 y, ∃ᶠ (t : τ) in f, (s ∩ ϕ t ⁻¹' n).Nonempty
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
N : ℕ
h_B : B N ≤ ε
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → E
hf_int : Integrable f ρ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, ‖‖∫ (y : Ω), f (a, y) ∂ρ.condKernel a‖‖ ≤ ‖∫ (y : Ω), ‖f (a, y)‖ ∂ρ.condKernel a‖
a b c d m n e : ℤ
he : b = a * e
f : ℤ
hf : d = c * f
⊢ b * d = a * c * (e * f)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s
⊢ P.part a ∈ P.parts
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
Zero N
DecidableEq M
Zero M
f g : α →₀ N
F : N → M
F0 : F 0 = 0
⊢ (Finsupp.mapRange F F0 f).neLocus (Finsupp.mapRange F F0 g) ⊆ f.neLocus g
Ω : Type u_1
Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
μs_lim : Filter.Tendsto (fun i => (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize)
mass_lim : Filter.Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.testAgainstNN f))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hb : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
⊢ Differentiable 𝕜 b ∧ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => fderiv 𝕜 b y
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y < 1 ↔ x = y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
c : β → α
h : range c ∈ f
W : Set β
W_in : W ∈ comap c f
⊢ c '' W ∈ map c (comap c f)
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
f : R ≃+* S
⊢ f.toMulEquiv = ↑f
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : Finmap β
⊢ Finmap.lookup a s = none ↔ a ∉ s
x y : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc (-(π / 2)) (π / 2)
hy : y ∈ Set.Icc (-1) 1
⊢ x < Real.arcsin y ↔ Real.sin x < y
R : Type u_2
E : Type u_4
AddGroup E
SMul R ℝ
SMul R ℝ≥0
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p q : AddGroupSeminorm E
⊢ r • (p ⊔ q) = r • p ⊔ r • q
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
h : n < m
ha : a ≠ 0
⊢ a ^ (m - n) = a ^ m * (a ^ n)⁻¹
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S : WSeq (WSeq α)
⊢ Computation.IsBisimulation fun c1 c2 => c1 = c2 ∨ ∃ S, c1 = S.join.destruct ∧ c2 = S.destruct.bind destruct_join.aux
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hst : Disjoint s t
hs : (s ∩ Function.mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ Function.mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
h : MeasureTheory.Integrable f μ
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.Integrable f (c • μ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {x}
hx : x ∉ a • s
⊢ a ≤ gauge s x
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
e'' : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
l : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ LinearMap.ker ((↑e'').comp l) = LinearMap.ker l
ι : Sort u_1
c : ι → Set ↑unitInterval
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : Set.univ ⊆ ⋃ i, c i
⊢ ∃ t, t 0 = 0 ∧ Monotone t ∧ (∃ n, ∀ m ≥ n, t m = 1) ∧ ∀ (n : ℕ), ∃ i, Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ c i
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
hind : X.str = ⊤
F : Presheaf C X
it : IsTerminal (F.obj (op ⊥))
c : C
s : Sieve ⊥
hs : s ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves ⊥
⊢ Presieve.IsSheafFor (F ⋙ coyoneda.obj (op c)) s.arrows
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℂ → E
⊢ ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑Complex.polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℂ), f p
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ ⟦x.mulOption y i j⟧ < ⟦x * y⟧ ↔ P3 (x.moveLeft i) x (y.moveLeft j) y
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ w * cs.simple i * cs.simple i = w
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α}, l.length = 0 ↔ l = []
α : Type u_1
DecidableEq α
Mul α
s t₁ t₂ : Finset α
ht : t₁ ⊆ t₂
⊢ s.mulEnergy t₁ ≤ s.mulEnergy t₂
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Sup β
f : SupHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
𝒜 : ι → σ
⊢ Monotone (Ideal.homogeneousCore' 𝒜)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
f : R
⊢ f ∈ vanishingIdeal (zeroLocus ↑I) ↔ f ∈ I.radical
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
Semiring R₂
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
ι : Type u_9
s : Set ι
hs : s.Nonempty
p : ι → Submodule R₂ M₂
hp : ⨆ i ∈ s, p i = ⊤
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ ⨆ i ∈ s, Submodule.comap f (p i) = ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
⊢ HasConstantSpeedOnWith (naturalParameterization f s a) (variationOnFromTo f s a '' s) 1
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitorNatIso C).hom.app X = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Padic.addValuationDef 1 = 0
X : Type u_3
E : Type u_1
A : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace A
p : E → X
sep : IsSeparatedMap p
inj : IsLocallyInjective p
s : Set A
hs : IsPreconnected s
g : A → E
cont : ContinuousOn g s
he : ∀ a ∈ s, ∀ a' ∈ s, p (g a) = p (g a')
a a' : A
ha : a ∈ s
ha' : a' ∈ s
⊢ g a = g a'
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
CommRing B
f : A →+* B
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ f.FiniteType
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = (∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ) / μ s
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y : 𝒰.J
⊢ 𝒰.gluedCover.t x y = (CategoryTheory.Limits.pullbackSymmetry (𝒰.map x) (𝒰.map y)).hom
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
z₁ z₂ : SecondObj P S
h : ∀ (Y Z : C) (g : Z ⟶ Y) (f : Y ⟶ X) (hf : S.arrows f), Pi.π (fun f => P.obj (op f.snd.fst)) ⟨Y, ⟨Z, ⟨g, ⟨f, hf⟩⟩⟩⟩ z₁ = Pi.π (fun f => P.obj (op f.snd.fst)) ⟨Y, ⟨Z, ⟨g, ⟨f, hf⟩⟩⟩⟩ z₂
⊢ z₁ = z₂
p x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
m : ℤ
⊢ LiouvilleWith p (↑m + x)
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t s : Set A
⊢ adjoin R (Subtype.val ⁻¹' s) = ⊤
n : ℕ
R : Type u_3
CommSemiring R
a b : R
⊢ ∑ s : Finset (Fin n), a ^ s.card * b ^ (n - s.card) = (a + b) ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
g : CauSeq β abv
f : CauSeq β abv
hf : f ≈ 0
⊢ g * f ≈ 0
d a b : ℤ
⊢ a ∣ (↑b).re ∧ a ∣ (↑b).im ↔ a ∣ b
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b : G₀
p : G₀ → Prop
⊢ (∃ u, p ↑u) ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ p x
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : InjectiveResolution X
Q : InjectiveResolution Y
g : P.cocomplex ⟶ Q.cocomplex
w : P.ι ≫ g = (CochainComplex.single₀ C).map f ≫ Q.ι
⊢ P.ι.f 0 ≫ g.f 0 = f ≫ Q.ι.f 0
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
W : C
f : ULift.{u₁, v} (CategoryTheory.Limits.colimit F ⟶ W)
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimit.homIso F W).hom f =
  (CategoryTheory.Limits.colimit.cocone F).ι ≫ (CategoryTheory.Functor.const J).map f.down
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
F✝ : Filter ι
inst✝⁷ : F✝.NeBot
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : OrderTopology R
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : OrderTopology S
F : Filter R
inst✝ : F.NeBot
f : R → S
f_decr : Antitone f
f_cont : ContinuousAt f F.limsSup
bdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝
cobdd : autoParam (IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝
⊢ f F.limsSup = liminf f F
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b x : A
p✝ q✝ : R[X]
a✝¹ : D ((aeval x) p✝) = (aeval x) (derivative p✝) • D x
a✝ : D ((aeval x) q✝) = (aeval x) (derivative q✝) • D x
⊢ D ((aeval x) (p✝ + q✝)) = (aeval x) (derivative (p✝ + q✝)) • D x
α : Type u
Ring α
I : Ideal α
a b : α
⊢ a ∈ I → b ∈ I → a - b ∈ I
α : Type u
f : Filter α
t : f.NeBot
p : Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in f, p) ↔ p
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
r : ℝ
⊢ re (z / ↑r) = re z / r
α : Type u_1
AddCommGroup α
x a : α
⊢ Mathlib.Tactic.Abel.termg 0 x a = a
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this : FiniteDimensional F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
f : F[X] := minpoly F α
G : Type u_2 := { g // g.Monic ∧ g ∣ Polynomial.map (algebraMap F E) f }
hfin : Finite G
g : IntermediateField F E → G := fun K => ⟨Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α), ⋯⟩
hinj : Function.Injective g
⊢ Finite (IntermediateField F E)
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
⊢ ↑n ^ c = 2 ^ c
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
hf : LocallyLipschitz f
hg : LocallyLipschitz g
⊢ LocallyLipschitz fun x => min (f x) (g x)
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type (max (max (max uE u𝕜) uι) (max uE uι) u𝕜) := (⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)
G' : Submodule 𝕜 F := LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)
e : ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) ≃ₗ[𝕜] ↥(LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)) := (lift f.toMultilinearMap).quotKerEquivRange
this✝ : SeminormedAddCommGroup G := SeminormedAddCommGroup.induced G (↥G') e
this : NormedSpace 𝕜 G := NormedSpace.induced 𝕜 G (↥G') e
f'₀ : MultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := lift.symm (↑e.symm ∘ₗ (lift f.toMultilinearMap).rangeRestrict)
hf'₀ : ∀ (x : (i : ι) → E i), ‖f'₀ x‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖
f' : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := f'₀.mkContinuous ‖f‖ hf'₀
hnorm : ‖f'‖ ≤ ‖f‖
⊢ ‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ ‖f‖ * injectiveSeminorm x
α : Type u_1
r : Rel α α
s : RelSeries r
irrefl : Irreflexive r
⊢ s.length ≠ 0 ↔ {x | x ∈ s}.Nontrivial
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
⊢ ⊤.out = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p : P
this : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (insert p s)) ≤ 2
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
α : E
halg : IsAlgebraic F α
⊢ Field.finSepDegree F ↥F⟮α⟯ = FiniteDimensional.finrank F ↥F⟮α⟯ ↔ IsSeparable F α
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
m : Submodule R M
IsSimpleModule R ↥m
⊢ IsAtom m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
𝒢 : Set C
∀ (A : C), CategoryTheory.Limits.HasProduct fun f => ↑f.fst
⊢ CategoryTheory.IsCoseparating 𝒢 ↔ ∀ (A : C), CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.Limits.Pi.lift Sigma.snd)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
p : (x : G) → x ∈ closure k → Prop
mem : ∀ (x : G) (h : x ∈ k), p x ⋯
one : p 1 ⋯
mul : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure k) (y : G) (hy : y ∈ closure k), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure k), p x hx → p x⁻¹ ⋯
x : G
hx : x ∈ closure k
⊢ p x hx
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₂
inst✝¹ : Category.{u₁, u₂} C
inst✝ : IsPreconnected J
X Y : C
α : (Functor.const J).obj X ⟶ (Functor.const J).obj Y
x✝¹ x✝ : J
f : x✝¹ ⟶ x✝
this : ((Functor.const J).obj X).map f ≫ α.app x✝ = α.app x✝¹ ≫ ((Functor.const J).obj Y).map f
⊢ (fun j => α.app j) x✝¹ = (fun j => α.app j) x✝
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
G : Type u_4
Monoid G
MulSemiringAction G 𝔸
ContinuousConstSMul G 𝔸
g : G
x : 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (g • x) = g • NormedSpace.exp 𝕂 x
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℂ n Complex.cos
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
PredOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ico (f n) (f (Order.pred n)))
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
f : α → β
f' : β → α
h : Set.RightInvOn f' f t
⊢ Set.EqOn (f ∘ f') id t
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁹ : StrictConvexSpace ℝ V
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝³ : MetricSpace PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor E PE
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
r : ℝ
f : PF → PE
x y : PE
hxy : dist x y = r * dist x x
hyz : dist y x = (1 - r) * dist x x
this : y -ᵥ x ∈ [0-[ℝ]x -ᵥ x]
⊢ y = (AffineMap.lineMap x x) r
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
s : Set α
h : Ici a ⊆ s
this✝ : Nonempty ↑s
this : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun x => 𝓟 (Ici x)
⊢ map Subtype.val atTop = atTop
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑H = Set.univ
⊢ H.index ≤ s.card