ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_11, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_12, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_13, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_14, u_4} C₄
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄))
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
∀ (X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂) (X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃),
    ((((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
X₂ Y₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
φ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
i : J
⊢ ((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorMapFunctorObj F p X₁).map φ).app X₃ i =
  CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorMapMap F p (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₁) φ
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₃) i
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
self : FloorDiv α β
a : α
⊢ a ≤ 0 → ∀ (b : β), b ⌊/⌋ a = 0
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : ∃ M, Infinite ↑M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
⊢ ∃ N, #↑N = κ
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
hp : Irreducible p
x y : ↑(p.rootSet E)
hx : p * C p.leadingCoeff⁻¹ = minpoly F ↑((rootsEquivRoots p E).symm x)
hy : p * C p.leadingCoeff⁻¹ = minpoly F ↑((rootsEquivRoots p E).symm y)
g : p.SplittingField ≃ₐ[F] p.SplittingField
hg : (fun m => m • ↑((rootsEquivRoots p E).symm x)) g = ↑((rootsEquivRoots p E).symm y)
⊢ ∃ g, g • x = y
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_5
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ StrictMono (IsLocalization.coeSubmodule K)
R : Type u
Ring R
G : Type u
AddCommGroup G
Module R G
H : FGModuleCat R
f : G →ₗ[R] ↑H
⊢ 𝟙 H ∘ₗ f = f
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a b c : α
h : a ≤ c
⊢ a ≤ b + c
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}
⊢ Tendsto (fun n => ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) (n + k)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
⊢ T ⊨ᵇ φ ↔ ∃ T0, ↑T0 ⊆ T ∧ ↑T0 ⊨ᵇ φ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
tγ : TopologicalSpace γ
f : α → β
g : β → γ
⊢ TopologicalSpace.induced f (TopologicalSpace.induced g tγ) = TopologicalSpace.induced (g ∘ f) tγ
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
AddGroup γ
TopologicalAddGroup γ
f : α → γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ -MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf = MeasureTheory.AEEqFun.mk (-f) ⋯
α : Type u_1
o p : Part α
⊢ (o.Dom ↔ p.Dom) → (∀ (h₁ : o.Dom) (h₂ : p.Dom), o.get h₁ = p.get h₂) → o = p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
⊢ 0 < (p.rightInv i).radius
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : C(β, γ)
g : C(α, β)
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
R✝ : Type u_1
R₂✝ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹³ : Semiring R✝
inst✝¹² : Semiring R₂✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R₂✝ M₂
τ₁₂✝ : R✝ →+* R₂✝
inst✝⁷ : RingHomSurjective τ₁₂✝
F : Type u_8
inst✝⁶ : FunLike F M M₂
inst✝⁵ : SemilinearMapClass F τ₁₂✝ M M₂
R : Type u_9
R₂ : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring R₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R₂ M₂
ι : Type u_11
s : Set ι
hs : s.Nonempty
p : ι → Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : LinearMap.range f = ⨆ i ∈ s, p i
⊢ ⨆ i ∈ s, comap f (p i) = ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 n fun x => 0) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s : Finset β
hf : Function.support f ⊆ ↑s
⊢ ∑' (b : β), f b = ∑ b ∈ s, f b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j₁ j₂ : J
h : CategoryTheory.Zigzag j₁ j₂
⊢ CategoryTheory.Zigzag j₂ j₁
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun y => c + f y) f' x L
F : Type v
Field F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
⊢ P ≈ Q
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Countable ι
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
f : ι → α → β → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : ι), Measurable (Function.uncurry (f i))
⊢ κ.withDensity (∑' (n : ι), f n) = ProbabilityTheory.Kernel.sum fun n => κ.withDensity (f n)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ
hστ : σ⁻¹ * τ ≠ 1
x : L
hx : (σ⁻¹ * τ) x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
this : FiniteDimensional K ↥K⟮x⟯
⊢ τ ∉ σ • ↑E.fixingSubgroup
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
j : Fin (n + 1)
hp : Prime (c j.succ)
hp' : c j.succ ∣ r
hi : 1 < j.succ
⊢ DvdNotUnit (c ↑↑j) (c j.succ)
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Under.map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  (CategoryTheory.Under.map g).comp (CategoryTheory.Under.map f)
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ha : Irreducible a
p : α
a_assoc : a ~ᵤ p
hp : normalizedFactors a = {p}
⊢ normalizedFactors a = {normalize a}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nonempty α
⊢ ⊥.Subsingleton ↔ ∃ a, ⊥ ≤ pure a
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ Function.Injective RingHomClass.toRingHom
α : Type u_3
Ring α
a x y : α
h : SemiconjBy a x y
m n : ℤ
⊢ SemiconjBy (↑m * a) (↑n * x) (↑n * y)
V : Type u_2
Quiver V
h : Quiver.HasInvolutiveReverse V
a b : V
f : a ⟶ b
⊢ Quiver.reverse (Quiver.reverse f) = f
α : Type u_1
l : List α
n m : Nat
h : n ≤ m
⊢ (List.take n l)[m]? = none
a b c p q : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
d₁0 : 0 < ↑d₁
d₂0 : 0 < ↑d₂
⊢ 0 ≤ n₁ → 0 ≤ n₂ → 0 ≤ n₁ * n₂
R : Type u
Semiring R
f : R[X]
n : ℕ
⊢ f.degree < ↑n ↔ ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f.coeff m = 0
V : Type u_1
W : Type u_2
f : V ≃ W
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ (SimpleGraph.Iso.map f G) v = f v
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
this : log x ≠ 0
⊢ deriv (fun z => 1 / log z) x = -x⁻¹ / log x ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
ι : Type u_5
s : Finset ι
t : ι → Set β
a : ι → α
hs : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)
hf : ∀ i ∈ s, HasProd ((t i).mulIndicator f) (a i)
⊢ HasProd ((⋃ i ∈ s, t i).mulIndicator f) (∏ i ∈ s, a i)
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
a : A
⊢ (shiftFunctorComm C a 0).hom.app X = (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor C a).map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ y \ z ⊔ (z ⊓ x ⊔ x \ y) = x
α : Type u
⊢ (Types.monoOverEquivalenceSet α).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun f => CategoryTheory.MonoOver.isoMk (Equiv.ofInjective f.obj.hom ⋯).toIso ⋯) ⋯
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e✝ : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
h : (∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J) ∧ X ⊆ M.E
e : α
he : e ∈ X \ I
hi : M.Indep (insert e I)
⊢ e ∈ I
X : Type u_1
⊢ Subsingleton (FundamentalGroupoid X) ↔ Subsingleton X
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : ℕ → α → β
i : ℕ
h : i < l.length
h' : optParam (i < (mapIdx f l).length) ⋯
⊢ (mapIdx f l).nthLe i h' = f i (l.nthLe i h)
𝕜✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝³ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ polar 𝕜 (closedBall 0 r) = closedBall 0 r⁻¹
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
f : κ → α
j : κ
⊢ ∏ _i : { i // g i = j }, f j = ∏ _i ∈ filter (fun i => g i = j) univ, f j
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ T R ↑n.natAbs = T R n
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
a b : A
f g : End R M
⊢ ∀ (x : A ⊗[R] M), ((tensorProduct R A M M) ((a * b) ⊗ₜ[R] (f * g))) x = ((tensorProduct R A M M) (a ⊗ₜ[R] f) * (tensorProduct R A M M) (b ⊗ₜ[R] g)) x
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
m : Multiset M
comm : {x | x ∈ m}.Pairwise AddCommute
h : ∀ x ∈ m, x ∈ S
⊢ m.noncommSum comm ∈ S
u v : ℤˣ
⊢ u ≠ v ↔ u = -v
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
⊢ ∃ n, n • x = ⁅coroot α, x⁆
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R ≃+* R'
j : S ≃+* S'
hc : (algebraMap R' S').comp i.toRingHom = j.toRingHom.comp (algebraMap R S)
⊢ lift.{v', v} (Module.rank R S) = lift.{v, v'} (Module.rank R' S')
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
⊢ map Sigma.fst (eraseP (fun s => decide (a = s.fst)) l) = map Sigma.fst (eraseP (fun x => decide (a = x.fst)) l)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
j : J
k : K
⊢ (colimit.ι F j).app k = colimit.ι (F ⋙ (evaluation K C).obj k) j ≫ (preservesColimitIso ((evaluation K C).obj k) F).inv
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
Fintype ι
DecidableEq ι
i : ι
m : M i
⊢ (DirectSum.linearEquivFunOnFintype R ι M).symm (Pi.single i m) = (DirectSum.lof R ι M i) m
k m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hkmn : m * k ≤ n
⊢ k < n + 1
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ B' I J D X : Set α
e f : α
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
B : Set α
hB : M.Base B
hJB : J ⊆ B
⊢ M.Indep I
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
L : Subalgebra ℝ C(X, ℝ) := A.topologicalClosure
⊢ ↑A.topologicalClosure = ↑⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctorZero C).hom.app X).hom₁ =
  (CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).hom.app X.obj₁
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝¹² : MeasurableSpace G
inst✝¹¹ : MeasurableSpace H✝
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
μ : Measure G
inst✝⁸ : μ.IsHaarMeasure
inst✝⁷ : BorelSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
H : Type u_4
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : BorelSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TopologicalGroup H
f : G →* H
hf : Continuous ⇑f
h_surj : Surjective ⇑f
h_prop : Tendsto (⇑f) (cocompact G) (cocompact H)
K : Set H
hK : IsCompact K
⊢ μ (⇑f ⁻¹' K) < ⊤
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
g : N →* P
f : M →* N
⊢ Submonoid.comap f (MonoidHom.mker g) = MonoidHom.mker (g.comp f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
hf : ∀ (x : X), f x ∈ 𝓝[univ] x
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ ⋃ x ∈ s, f x = univ
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
hs : LinearIndependent K fun (b : ↑s) => ↑b
hx : x ∉ span K s
⊢ LinearIndependent K fun (b : ↑(insert x s)) => ↑b
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
s t : Set V
sconn : (induce s G).Connected
tconn : (induce t G).Connected
hv : v ∈ s
hw : w ∈ t
ha : G.Adj v w
⊢ (induce (s ∪ t) G).Connected
I : Type u
DecidableEq I
R : Type v
CommSemiring R
A : I → Type w
(i : I) → Semiring (A i)
(i : I) → Algebra R (A i)
i : I
⊢ (LinearAlgebra.FreeProduct.ι' R A) ((DirectSum.lof R I A i) 1) = 1
α : Type u_2
L : List (List α)
i : Fin L.length
⊢ List.drop (List.take (↑i) (List.map List.length L)).sum
    (List.take (List.take (↑i + 1) (List.map List.length L)).sum L.join) =
  L.get i
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
x y : WithLp 1 (Unitization 𝕜 A)
⊢ (WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)) (x * y) = (WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)) x * (WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)) y
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
self : AlgebraicGeometry.IsLocalAtSource P
⊢ P.RespectsIso
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
m : Sym2 α
⊢ Sym2.diag a ∈ s.sym2 ↔ a ∈ s
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α
⊢ ⨆ n, ↑(ProbabilityTheory.countableFiltration α) n = m
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ |im z| / ‖z‖ ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ (Set.range ↑f).Finite
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop
⊢ (powers x hx).hsum - (powers x hx - ofFinsupp (Finsupp.single 0 1)).hsum = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ((fun x => (ofLex x).1) '' s).IsPWO
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
⊢ s.IsPWO
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
Ring 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
T2Space 𝔸
x y : 𝔸
h : Commute x y
⊢ Commute x (NormedSpace.exp 𝕂 y)
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x
⊢ a = b
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
CompleteLattice α
CompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ l (⨆ i, ⨆ j, f i j) = ⨆ i, ⨆ j, l (f i j)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : SemilatticeSup δ
g : γ → δ
h : (image₂ f s t).Nonempty
⊢ (t.sup' ⋯ fun i' => s.sup' ⋯ fun i => (g ∘ uncurry f) (i, i')) = t.sup' ⋯ fun y => s.sup' ⋯ fun x => g (f x y)
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
p : ℕ
self : CharP R p
x : ℕ
⊢ ↑x = 0 ↔ p ∣ x
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
z : (type r).cof = 1
S : Set α
hl : Unbounded r S
e : #↑S = 1
a : ↑S
⊢ ↑{b | r b ↑a} ⊕ PUnit.{u + 1} → α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s
x y : α
hy : y ∈ s
hy' : x < y
⊢ ∃ y ∈ s, x ≤ y
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
⊢ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, MeasureTheory.upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤
  ∫ (x : Ω), f n x ∂μ - ∫ (x : Ω), f 0 x ∂μ
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
⊢ Q.polarBilin.toQuadraticMap = 2 • Q
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ μ.withDensity f = 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0
ι : Type u_1
β : Type u_4
AddCommMonoid β
κ : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → κ → β
t : ι → Set κ
g : ι → κ
DecidablePred fun i => g i ∈ t i
⊢ ∑ i ∈ s, (t i).indicator (f i) (g i) = ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => g i ∈ t i) s, f i (g i)
ι : Type u_1
I J : Box ι
p : (ι → ℝ) → Box ι → Prop
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
⊢ (∀ (J : Box ι), (∃ J' ∈ π, J ∈ πi J') → p ((π.biUnionTagged πi).tag J) J) ↔ ∀ J ∈ π, ∀ J' ∈ πi J, p ((πi J).tag J') J'
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesMonomorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Mono f
this : Mono (F.map f ≫ (α.app Y).hom)
⊢ Mono (G.map f)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ f (x * c ^ m * c ^ (n - m)) / f c ^ n ≤ f (x * c ^ m) / f c ^ m
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : L ≃ₐ[K] L
⊢ f ∈ ⊥.fixingSubgroup ↔ f ∈ ⊤
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : P.k < s.re
⊢ mellin (fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀) s = (1 / s) • P.f₀ + (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
P Q R : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
⊢ CategoryTheory.sheafifyMap J (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η γ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.sheafifyMap J η) (CategoryTheory.sheafifyMap J γ)
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Monoid G
AddCommMonoid V
Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
r : k
⊢ ρ.asAlgebraHom (Finsupp.single g r) = r • ρ g
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
hS : (c X) S = ⊤
R : Sieve X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ ((c X) R).arrows f
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
i : ι
h₁ : Epi (homologyMap φ.τ₁ i)
h₂ : IsIso (homologyMap φ.τ₂ i)
h₃ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → IsIso (homologyMap φ.τ₁ j)
h₄ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₂ j)
this : Mono (homologyMap φ.τ₃ i)
⊢ IsIso (homologyMap φ.τ₃ i)
M : Type u_1
MulOneClass M
S T : Submonoid M
h : ∀ (x : M), x ∈ S ↔ x ∈ T
⊢ S = T
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u_1
Q : α → Prop
u v : α → Cofix F
h : ∀ (x : α), Q x → ∃ a f f', (u x).dest = abs ⟨a, f⟩ ∧ (v x).dest = abs ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'
x✝¹ : α
Qx : Q x✝¹
R : Cofix F → Cofix F → Prop := fun w z => ∃ x', Q x' ∧ w = u x' ∧ z = v x'
x y : Cofix F
x✝ : R x y
x' : α
Qx' : Q x'
xeq : x = u x'
yeq : y = v x'
a : (P F).A
f f' : (P F).B a → Cofix F
ux'eq : (u x').dest = abs ⟨a, f⟩
vx'eq : (v x').dest = abs ⟨a, f'⟩
h' : ∀ (i : (P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'
⊢ ∃ a f₀ f₁, x.dest = abs ⟨a, f₀⟩ ∧ y.dest = abs ⟨a, f₁⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), R (f₀ i) (f₁ i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f
⊢ Embedding f ∧ IsOpen (range f) ↔ ∀ (i : ι), Embedding ((U i).carrier.restrictPreimage f) ∧ IsOpen (range ((U i).carrier.restrictPreimage f))
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : SMul R S
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : R
h : IsUnit ((algebraMap R (End S M)) x)
m m' : M
H : m = x • m'
⊢ ↑h.unit⁻¹ (x • m') = m'
M : Type u
α : Type v
Monoid M
AddGroup α
DistribMulAction M α
⊢ (α^+M).toAddSubmonoid = FixedPoints.addSubmonoid M α
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
v : Basis ι 𝕜 E
⊢ ∃ C > 0, ∀ {u : E →L[𝕜] F} (M : ℝ≥0), (∀ (i : ι), ‖u (v i)‖₊ ≤ M) → ‖u‖₊ ≤ C * M
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : 0 ≤ y
⊢ √(x / y) = √x / √y
R : Type u_1
S : Type u_2
CommSemiring R
LocalRing R
CommSemiring S
LocalRing S
f : R →+* S
⊢ [IsLocalRingHom f, ⇑f '' ↑(LocalRing.maximalIdeal R).toAddSubmonoid ⊆ ↑(LocalRing.maximalIdeal S),
    Ideal.map f (LocalRing.maximalIdeal R) ≤ LocalRing.maximalIdeal S,
    LocalRing.maximalIdeal R ≤ Ideal.comap f (LocalRing.maximalIdeal S),
    Ideal.comap f (LocalRing.maximalIdeal S) = LocalRing.maximalIdeal R].TFAE
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f
hg : S.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofHasCokernel S hg).K = S.X₂
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S x
⊢ S ∈ 𝓝[>] x
G : Type u
Group G
⊢ Monoid.exponent G ∣ Nat.card G
α β : Type
n : ℕ
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
⊢ ∀ {α_1 β_1 : Type} {f : α → β → α_1 → α_1 × β_1} {x : α} {y : β} {s : α_1},
  Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f (x ::ᵥ xs) (y ::ᵥ ys) s =
    let r := Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f xs ys s;
    let q := f x y r.1;
    (q.1, q.2 ::ᵥ r.2)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
s : Set E
⊢ Metric.diam (⇑f '' s) = Metric.diam s