ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b a : α
⊢ Icc a a = {a}
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
⊢ {i | ε ≤ a i}.Finite
α : Type u_1
TopologicalSpace α
QuasiSober α
IrreducibleSpace α
x : α
⊢ genericPoint α ⤳ x
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : Irreducible f
h : derivative f ≠ 0
g : F[X]
hg1 : g ∈ nonunits F[X]
_hg2 : g ≠ 0
x✝ : g ∣ f
hg4 : g ∣ derivative f
p : F[X]
hg3 : f = g * p
u : F[X]ˣ
hu : ↑u = p
⊢ g * ↑u ∣ derivative f
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
⊢ μ.toFinite = 0 ↔ μ = 0
α : Type u
PartialOrder α
BoundedOrder α
Nontrivial α
⊢ ⊤ ≠ ⊥
α : Type u
β : Type v
Group α
Group β
f : α → β
hf : IsGroupHom f
x y : α
⊢ f (x * y) = f x * f y
β : Type u_4
CommMonoid β
f : ℕ → β
n m : ℕ
⊢ ∏ x ∈ Finset.range (n + m), f x = (∏ x ∈ Finset.range n, f x) * ∏ x ∈ Finset.range m, f (n + x)
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Inf β
f : InfHom α β
⊢ f.comp (InfHom.id α) = f
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₂' : Type u_10
n : Type u_12
m : Type u_13
m' : Type u_15
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
AddCommMonoid M₂'
Module R M₂'
b₂' : Basis m' R M₂'
Fintype m'
DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
f : M₂' →ₗ[R] M₂
⊢ (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂') (B.compl₂ f) = (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂) B * (LinearMap.toMatrix b₂' b₂) f
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
he : ¬e.IsPrimitive
hχ : gaussSum χ e ≠ 0
d : ℕ
hd₁ : d ∣ N
hd₂ : d < N
hed : e.mulShift ↑d = 1
⊢ ¬χ.IsPrimitive
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∃ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x = 0
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b x : α
h : (swap a b) x ≠ x
⊢ x = a ∨ x = b
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
⊢ EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃ < π
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R
⊢ φ =
  (PowerSeries.mk fun p => (PowerSeries.coeff R (p + 1)) φ) * PowerSeries.X +
    (PowerSeries.C R) ((PowerSeries.constantCoeff R) φ)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.632038
Bₘ : Type ?u.632041
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
⊢ (intNorm A B) x = 0 ↔ x = 0
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
n : σ
⊢ (MvPolynomial.X n).degrees ≤ {n}
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
x y : R
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s t : ↥S
⊢ (r₁ * ↑s /ₒ t) • (r₂ /ₒ s) = r₁ • r₂ /ₒ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
⊢ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u) = convexJoin 𝕜 t (convexJoin 𝕜 s u)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
p : L.Substructure N
f : L.Embedding M N
h : ∀ (c : M), f c ∈ p
x : M
⊢ (FirstOrder.Language.Embedding.codRestrict p f h) x = ⟨f x, ⋯⟩
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
⊢ ⊤.IsNormal
𝓕 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
FunLike 𝓕 E F
MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ LipschitzWith C.toNNReal ⇑f
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
h : ‖f n‖ ≤ ‖g n‖
⊢ ‖LSeries.term f s n‖ ≤ ‖LSeries.term g s n‖
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : IsLocalization M S
R' : Type u_4
inst✝ : CommRing R'
g : S →+* R'
p : S[X]
x : R'
hx : eval₂ g x p = 0
b : ↥M
hb : Polynomial.map (algebraMap R S) (integerNormalization M p) = ↑b • p
⊢ eval₂ g x (Polynomial.map (algebraMap R S) (integerNormalization M p)) = 0
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set α
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ Function.mulSupport f), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
m : ℕ
NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m
⊢ Summable ({n | ↑n = k}.indicator f) ↔ Summable f
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t : Set β
⊢ (s -ᵥ t).Nonempty → s.Nonempty
α : Type u_1
f : α → ℕ
⊢ Nat.multinomial ∅ f = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o o' : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
g : (a : Ordinal.{u}) → a < o' → Ordinal.{max u v}
h : o.brange f ⊆ o'.brange g
⊢ range (o.familyOfBFamily f) ⊆ range (o'.familyOfBFamily g)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
s : Set X
h : ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
x : X
ℱ : Filter X
hℱ₁ : ℱ.NeBot
hℱ₂ : ℱ ≤ 𝓟 s
hℱ₃ : ℱ ≤ 𝓝 x
⊢ x ∈ s
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f₁ : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
f₂ : M₂ →SL[σ₂₁] M₁
h₁ : Function.LeftInverse ⇑f₂ ⇑f₁
h₂ : Function.RightInverse ⇑f₂ ⇑f₁
⊢ (ContinuousLinearEquiv.equivOfInverse f₁ f₂ h₁ h₂).symm = ContinuousLinearEquiv.equivOfInverse f₂ f₁ h₂ h₁
α : Type ua
a b c : α
s t : Set (α × α)
h₁ : (a, c) ∈ s
h₂ : (c, b) ∈ t
⊢ (a, b) ∈ s ○ t
x y✝ z✝ : ZFSet
H : ∀ y ∈ x, y.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y
w : ZFSet
hw : w ∈ x
hw' : y ∈ w
⊢ z ∈ ⋃₀ x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
p : R[X]
m : ℕ
⊢ ((⇑derivative)^[k] p).coeff m = (m + k).descFactorial k • p.coeff (m + k)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
h : ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ dist x y
⊢ ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ ↑1 * dist x y
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
S₀ : Subalgebra R S
M : Submonoid ↥S₀
left✝ : FiniteType R ↥S₀
right✝ : IsLocalization M S
⊢ EssFiniteType R S
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousMul G
H : Subgroup G
g : G
hg : ↑H ∈ 𝓝 g
⊢ IsOpen ↑H
o₁ e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
h✝¹ : o₁ = e₁.oadd n₁ a₁
o₂ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
h✝ : o₂ = e₂.oadd n₂ a₂
h₁ : (namedPattern o₁ (e₁.oadd n₁ a₁) h✝¹).NF
h₂ : (namedPattern o₂ (e₂.oadd n₂ a₂) h✝).NF
⊢ (match Ordering.lt, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a) → (Ordering.lt.orElse ((_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂).orElse (a₁.cmp a₂))).Compares (namedPattern o₁ (e₁.oadd n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (e₂.oadd n₂ a₂) h✝)
α : Type u
β : Type v
l : List α
⊢ l.zip List.nil = List.nil
⊢ ⇑OrderIso.pnatIsoNat.symm = Nat.succPNat
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k✝ n✝ k n : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ addRothNumber (Iio ↑k) ≤ rothNumberNat k
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
δ : ℝ≥0∞
h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), 0 < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε
⊢ ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → δ < ⊤ → levyProkhorovEDist μ ν ≤ δ + ↑ε
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
⊢ (↑n / ↑0).num / ↑(↑n / ↑0).den = n / ↑0
a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ
⊢ a < b → a ≤ b
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 0
⊢ (-(m ^ 2 - n ^ 2)).natAbs.gcd (m ^ 2 + n ^ 2).natAbs = 1
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ b ≤ a ⊔ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
hf : S.f = 0
⊢ CategoryTheory.IsIso h.p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E
⊢ S.Blunt ↔ ¬S.Pointed
α : Type u_2
s : Set α
⊢ s ∈ Filter.cofinite ↔ sᶜ.Finite
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
adj : G ⊣ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ E
f : P ⟶ Q
hf : J.W f
this : F.IsRightAdjoint
R : Cᵒᵖ ⥤ D
hR : Presheaf.IsSheaf J R
⊢ Function.Bijective (⇑((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv P R) ∘ fun g => whiskerRight f G ≫ g)
Fq F : Type
inst✝⁴ : Field Fq
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] F)
⊢ ∀ (a : Fq[X]), (algebraMap Fq[X] ↥(ringOfIntegers Fq F)) a = 0 → a = 0
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Mono (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)
ψ : mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) ⟶ mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) := homMk₃ (𝟙 ((mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)).obj' 0 ⋯)) (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) ⋯ ⋯ ⋯
⊢ (ShortComplex.mk ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯) ⋯).Exact
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
MulZeroClass α
DecidableEq n
A : Matrix l m α
b : n → α
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A (Matrix.diagonal b) =
  Matrix.blockDiagonal fun i => MulOpposite.op (b i) • A
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
x : Mˣ
hx : ↑x ∈ S
⊢ ↑x⁻¹ ∈ S.leftInv
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
DivisionSemiring α
Neg β
h : Function.Antiperiodic f c
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ Function.Antiperiodic (fun x => f (x * a⁻¹)) (c * a)
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero α
Zero β
SMul α β
NoZeroSMulDivisors α β
a : α
b : β
Preorder β
ha : a ≠ 0
hb : 0 < b
⊢ a • b ≠ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
K : Set X
a b : X
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hK : IsCompact K
h'K : MeasurableSet K
hf : ContinuousOn f K
this : Fact (μ K < ⊤)
⊢ HasFiniteIntegral f (μ.restrict K)
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesLimit F G
inst✝³ : HasLimit F
inst✝² : PreservesLimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J D
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (lim ⋙ G).map f ≫ ((fun F => preservesLimitIso G F) Y✝).hom = ((fun F => preservesLimitIso G F) X✝).hom ≫ ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ lim).map f
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
this : SmoothManifoldWithCorners 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ↑(sphere 0 1)
⊢ Continuous Subtype.val ∧ ∀ (x : { x // x ∈ sphere 0 1 }) (y : E), ContDiffOn ℝ ⊤ (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, E) y) ∘ Subtype.val ∘ ↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) x).symm) ((extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) x).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) x).symm ⁻¹' (Subtype.val ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, E) y).source))
α : Type u_2
Mul α
IsRightCancelMul α
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ s ∩ t * {a} = s * {a} ∩ (t * {a})
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
c : ℝ≥0
hc : Subsingleton E ∨ 0 < c
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 a, ApproximatesLinearOn f f' s c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝¹ : NonAssocSemiring α
x✝ : NonAssocSemiring β
f : α →+* β
x y✝ : α
h : ∀ (x : α), f x = 0
y : β
hy : y ∈ {0}
⊢ f 0 = y
R : Type u_1
CommRing R
v : Fin 2 → R
hab : IsCoprime (v 0) (v 1)
A : Matrix.SpecialLinearGroup (Fin 2) R
⊢ IsCoprime (Matrix.vecMul v (↑A) 0) (Matrix.vecMul v (↑A) 1)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x y : M
⊢ x ∈ p → (x + y ∈ p ↔ y ∈ p)
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : β → γ
f : α → β
⊢ Sym2.map (g ∘ f) = Sym2.map g ∘ Sym2.map f
R : Type u_1
CommSemiring R
p q : Polynomial R
r : R
h : p.natDegree = q.natDegree
⊢ r ^ (p.natDegree - (p + q).natDegree) • (p + q).scaleRoots r = p.scaleRoots r + q.scaleRoots r
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
a b : α
l : List α
⊢ a ∈ List.orderedInsert r b l ↔ a = b ∨ a ∈ l
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
⊢ μ.everywherePosSubset s =ᶠ[ae μ] s
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] E
h : IsProj p f
⊢ f = ↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯) ∘ₗ id.prodMap 0 ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯).symm
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R
⊢ (x ◃ x) ◃ y = x ◃ y
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
as✝ : List α
b : β
bs✝ : List β
as : List α
bs : List β
⊢ zipWithLeft Prod.mk as bs = (zipWithLeft' Prod.mk as bs).1
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
Inv β
f : α → β
⊢ (UniformOnFun.ofFun 𝔖) f⁻¹ = ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f)⁻¹
α β : Type
n✝ n : ℕ
S : Set (α ⊕ Fin2 n.succ → ℕ)
d : Dioph S
f✝ : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) n.succ
f : (α → ℕ) → ℕ
fl : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) n
⊢ VectorAllP DiophFn (f :: fl) → Dioph {v | (v ⊗ fun i => (f :: fl) i v) ∈ S}
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : FaithfulSMul G α
inst✝ : FaithfulSMul M α
m : M
⊢ (∀ (x : α), x ∈ fixedBy α m) ↔ (fun x => m • x) = fun x => 1 • x
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
h : 0 < x
h₁ : 0 < y
⊢ Real.logb b x ≤ Real.logb b y ↔ y ≤ x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → ↑↑(MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c) x = 0
a : UnitAddCircle
⊢ Differentiable ℂ (HurwitzZeta.hurwitzZetaOdd a)
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
M : Matrix V V α
v w : V
⊢ (adjMatrix α G * M) v w = ∑ u ∈ G.neighborFinset v, M u w
a b : UnitAddCircle
this : ∀ (s : ℂ), completedHurwitzZetaEven a s - completedHurwitzZetaEven b s = completedHurwitzZetaEven₀ a s - completedHurwitzZetaEven₀ b s - ((if a = 0 then 1 else 0) - if b = 0 then 1 else 0) / s
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun x => completedHurwitzZetaEven₀ a x - completedHurwitzZetaEven₀ b x) 1
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
this : HasPullback f i
⊢ pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯ ≫ Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯ = 𝟙 (Limits.pullback f i)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
z : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hz : z ∈ s
m : Fin 2 → E
⊢ (((iteratedFDerivWithin 𝕜 0 (fun y => fderivWithin 𝕜 (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s y) s z) (init (init m))) (init m (last 0))) (m (last 1)) = ((fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s z) (m 0)) (m 1)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
v : M
h : P.pairing i j = 0 ∧ P.pairing j i = 0
⊢ (P.reflection i * P.reflection j) v = (P.reflection j * P.reflection i) v
G : Type u_1
Group G
a b : G
h : Commute a b
⊢ a * (b * a⁻¹) = b
α : Type u
LT α
WellFoundedLT α
a : α
⊢ Acc (fun x x_1 => x < x_1) a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
μ : Measure X
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
C : ℝ
hC : ∀ (x : X), ‖f x‖ ≤ C
⊢ AEStronglyMeasurable f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
g : γ → α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
hg : Measurable g
c : γ
⊢ (κ.comap g hg) c = κ (g c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
f : α → γ
g : β → δ
c : γ
d : δ
⊢ Relation.Map r f g c d ↔ ∃ a b, r a b ∧ f a = c ∧ g b = d
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
⊢ volume {x | ∑ i : ι, |x i| ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
⊢ IsLocalization.mk' S x y = (algebraMap R S) x * IsLocalization.mk' S 1 y
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : SMulPosReflectLE α γ
b : β
a₁ a₂ : α
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, True
smul : α → β → True
zero : True
hb : 0 < f b
h : a₁ • f b ≤ a₂ • f b
⊢ a₁ ≤ a₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.ShortExact
⊢ hS.singleTriangle.mor₁ = (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map S.f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ LipschitzWith C.toNNReal ⇑(MeasureTheory.L1.setToL1 hT)
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_4
Fintype n
CommSemiring R
M N : Matrix m n R
⊢ (M + N).toMvPolynomial = M.toMvPolynomial + N.toMvPolynomial
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
a : α
⊢ ContinuousWithinAt f {a}ᶜ a ↔ ContinuousAt f a
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s
to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s
d_split : ∀ (s t : Set α), MeasurableSet t → d s = d (s \ t) + d (s ∩ t)
d_Union : ∀ (s : ℕ → Set α), Monotone s → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋃ n, s n)))
d_Inter : ∀ (s : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)) → (∀ (n m : ℕ), n ≤ m → s m ⊆ s n) → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋂ n, s n)))
bdd_c : BddAbove c
c_nonempty : c.Nonempty
d_le_γ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → d s ≤ γ
this : ∀ (n : ℕ), ∃ s, MeasurableSet s ∧ γ - (1 / 2) ^ n < d s
e : ℕ → Set α
he : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (e x) ∧ γ - (1 / 2) ^ x < d (e x)
he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)
he₂ : ∀ (n : ℕ), γ - (1 / 2) ^ n < d (e n)
f : ℕ → ℕ → Set α := fun n m => (Finset.Ico n (m + 1)).inf e
hf : ∀ (n m : ℕ), MeasurableSet (f n m)
f_subset_f : ∀ {a b c d : ℕ}, a ≤ b → c ≤ d → f a d ⊆ f b c
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
hX : HasPDF X ℙ μ
s : Set E
hs : MeasurableSet s
⊢ (map X ℙ) s = ∫⁻ (x : E) in s, pdf X ℙ μ x ∂μ
α : Type u
A : Matrix (Fin 2) (Fin 2) α
⊢ A = !![A 0 0, A 0 1; A 1 0, A 1 1]
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
β : Type v'
n m : ℕ
φ : L.BoundedFormula α m
h : φ.IsQF
f : α → β ⊕ Fin n
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.relabel f φ).IsQF
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ R
⊢ (φ₁ + φ₂) * φ₃ = φ₁ * φ₃ + φ₂ * φ₃
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E
⊢ x⋆ * x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
h : (s ∩ t).Nonempty
⊢ EMetric.diam (s ∪ t) ≤ EMetric.diam s + EMetric.diam t
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ Function.Involutive (EuclideanGeometry.inversion c R)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : Preregular C
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
inst✝ : PreservesFiniteProducts G
U✝ : C
y : (forget (Type w)).obj (G.obj (op U✝))
h : ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y π, EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f y).arrows (π a)
⊢ Presheaf.imageSieve f y ∈ (regularTopology C).sieves U✝