ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
⊢ ⨆ j, ⨆ i, ∑ i_1 ∈ j, (↑i).lintegral (μ i_1) = ⨆ s, ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s' s : Multiset α
t : Multiset α
⊢ Relation.CutExpand r (s' + t) (s + t) ↔ Relation.CutExpand r s' s
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
h : BddBelow t
⊢ BddBelow (s ∩ t)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : (ℕ → ℕ) → α
f_cont : Continuous f
g : (ℕ → ℕ) → α
g_cont : Continuous g
h : Disjoint (range f) (range g)
⊢ MeasurablySeparable (range f) (range g)
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
PartialOrder α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
b : α
hb : μ {b} ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ici b) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioi b) μ
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M
⊢ ‖↑x‖ = infDist x ↑S
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: MvQPF.Cofix F α)
⊢ (MvQPF.Cofix.mk x).dest = x
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (squareCylinders fun i => {s | MeasurableSet s}) = MeasurableSpace.pi
b : ℕ
⊢ Finset.Ioc b (b + 1) = {b + 1}
α : Type u_9
β : Type u_10
DivisionSemiring α
NeZero 2
Lattice β
AddCommGroup β
Module α β
CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : β
⊢ x ⊓ y = 2⁻¹ • (x + y - |y - x|)
x : ℂ
⊢ Complex.cos x ^ 2 + Complex.sin x ^ 2 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), f a ≤ 1
h'f : ∀ a ∈ sᶜ, f a = 0
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ μ s
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra K E
inst✝ : IsScalarTower F K E
h : Normal F E
x : E
hx : IsIntegral F x
hhx : Splits ((algebraMap K E).comp (algebraMap F K)) (minpoly F x)
⊢ IsIntegral K x ∧ Splits (algebraMap K E) (minpoly K x)
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra L A
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower K L A
L_alg : Algebra.IsIntegral K L
A_alg : Algebra.IsIntegral L A
⊢ Algebra.IsIntegral K A
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g x₁ : G
x₂ : X.V
⊢ ((leftRegular G ⊗ X).ρ g ≫ fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2)) (x₁, x₂) = ((fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2)) ≫ (leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 }).ρ g) (x₁, x₂)
M : Type u_1
Monoid M
n : M
m : ℕ
⊢ Submonoid.pow n m = ⟨n ^ m, ⋯⟩
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis = discr ℚ ⇑(subOnePowerBasis ℚ hζ).basis
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : Metric.closedBall b ε ⊆ s
⊢ Set.SurjOn f (Metric.closedBall b ε) (Metric.closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε))
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
x' : E
hx' : x' ∈ f.domain
h1 : x' = x
h2 : ↑f ⟨x', hx'⟩ = y
⊢ y = ↑f ⟨x, hx⟩
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ⇑f.normComp = norm ∘ ⇑f
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ (x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source) ↔ x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source
K : Type u_1
RCLike K
p : Polynomial ℝ
z : K
⊢ (Polynomial.aeval ((starRingEnd K) z)) p = (starRingEnd K) ((Polynomial.aeval z) p)
m n : ℕ
h : n < m
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i)) = 1
m : ℕ∞
hm : m ≠ 0
⊢ m * ⊤ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddGroup α
h : Function.Periodic f c
n : ℤ
⊢ f (n • c) = f 0
α : Type u
x : α
⊢ (FreeSemigroup.of x).head = x
x : ℝ
hx1 : -(3 * Real.pi / 2) ≤ x
hx2 : x ≤ 3 * Real.pi / 2
hx3 : x ≠ 0
⊢ Real.cos x < 1 / √(x ^ 2 + 1)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
⊢ ∀ a ∈ I, ((traceForm K L) ((algebraMap B L) b)) a ∈ (algebraMap A K).range
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
⊢ cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * (1 / (-I * (I * ↑x)) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * (↑a * I * ↑x) ^ 2 / (I * ↑x)) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x / (I * ↑x)) (-1 / (I * ↑x))) = ↑(1 / x ^ (1 / 2)) * jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑(1 / x))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℂ n f s
⊢ ContDiffOn ℂ n (fun x => Complex.cosh (f x)) s
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x✝ : Z
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Z
x : X
e : Trivialization F proj
hf_proj : ContinuousAt (proj ∘ f) x
he : proj (f x) ∈ e.baseSet
hf : ContinuousAt (↑e ∘ f) x
⊢ ContinuousAt (↑e.toPartialHomeomorph ∘ f) x
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module ℝ M
FiniteDimensional ℝ M
Q : QuadraticForm ℝ M
⊢ ∃ w, QuadraticMap.Equivalent Q (QuadraticMap.weightedSumSquares ℝ fun i => ↑(w i))
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
⊢ a ^ 2 < b ^ 2 ↔ |a| < |b|
α : Type u_1
PartialOrder α
BoundedOrder α
x y : α
h : IsCompl x y
⊢ IsCompl (OrderDual.toDual x) (OrderDual.toDual y)
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
r : R
s : Set A
x : A
hx : x ∈ Algebra.adjoin R s
⊢ ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, r ^ n • x ∈ Algebra.adjoin R (r • s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : FloorDiv α β
a : α
inst✝ : Nontrivial α
b c : β
⊢ c ≤ b ⌊/⌋ 1 ↔ c ≤ b
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
⊢ ↑{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c } = ↑a / ↑b
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
Hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
n : ℕ
hn : ∀ a ∈ t, n ≤ (Finset.filter (fun x => f x = a) s).card
⊢ n * t.card ≤ s.card
x z : ℝ
hx1 : 0 ≤ x
hx2 : x < 1
hz : 0 < z
⊢ x ^ z < 1
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
f : α → E
g' : α → F'
l : Filter α
⊢ (f =o[l] fun x => -g' x) ↔ f =o[l] g'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Monad C
h : T₂ ⟶ T₁
A : T₁.Algebra
⊢ ((CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHom h).obj A).A = A.A
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
s t : Set β
a : α
⊢ a • symmDiff s t = symmDiff (a • s) (a • t)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.80198, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
⊢ Epi S.g
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : IsCyclotomicExtension ∅ A B
⊢ ⊥ = ⊤
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hwf : WellFounded r
h : r a b
⊢ hwf.rank a < hwf.rank b
α : Type u_2
PartialOrder α
Zero α
⊢ 0 ∈ 0
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
⊢ ∃ n, ∀ y ∈ A (res x n), ∀ z ∈ A (res x n), dist y z < ε
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
x : M
⊢ (LinearMap.reduceModIdeal I f) (Submodule.Quotient.mk x) = Submodule.Quotient.mk (f x)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <:+ l₂ → l₁ <+ l₂
R : Type u
Semiring R
r : R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.C r).coeff (n + 1) = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℂ
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => Complex.sin (f x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
f g : ι → α
Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ (∑ i : ι, f i) * ∑ i : ι, g i ≤ ↑(Fintype.card ι) * ∑ i : ι, f i * g i
x y : ℝ
⊢ ↑(sin (x + y)) = ↑(sin x * cos y + cos x * sin y)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ⊤ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
L : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L' : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L'' : Tendsto (fun r => μ ({x} + r • t) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
k : ℕ
⊢ (2 * ↑k + 1) / (2 * ↑k + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k) = (↑(2 * k) + 1) / (↑(2 * k) + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k)
ι : Type u_1
W₁ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₁
c : ComplexShape ι
X : HomologicalComplex W₁ c
i : ι
⊢ ((CategoryTheory.Functor.mapHomologicalComplexIdIso W₁ c).inv.app X).f i = 𝟙 (X.X i)
p x : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (↑n * x) ↔ LiouvilleWith p x
α : Type u_2
OrderedCommMonoid α
s : Multiset α
⊢ (∀ x ∈ s, 1 ≤ x) → 1 ≤ s.prod
G : Type u_1
Monoid G
y : Gˣ
⊢ orderOf ↑y = orderOf y
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
a : M
inst✝ : Fintype ↥⊥
⊢ card ↥⊥ = 1
x : ℝ
h : 0 < x
⊢ π / 2 - arcsin x < π / 2
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
hf_sum : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)
hg_sum : HasSum (fun a => g a ^ q) (B ^ q)
C : ℝ≥0
hC : C ≤ A * B
H : HasSum (fun i => f i * g i) C
⊢ HasSum (fun i => ↑(f i) * ↑(g i)) ↑C
T : ℝ
hT : T ≠ 0
⊢ Function.Injective AddCircle.toCircle
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : α → ℝ
hint : Integrable g μ
ℱ : ι → MeasurableSpace α
hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0
A : MeasurableSpace α := m0
hmeas : ∀ (n : ι) (C : ℝ≥0), MeasurableSet {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}
hg : Memℒp g 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hne : ¬eLpNorm g 1 μ = 0
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator g) 1 μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : ℝ≥0 := ⟨δ, ⋯⟩⁻¹ * (eLpNorm g 1 μ).toNNReal
hC : C = ⟨δ, ⋯⟩⁻¹ * (eLpNorm g 1 μ).toNNReal
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ i]) x‖₊}.indicator (μ[g|ℱ i])) 1 μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
s : CategoryTheory.Limits.BinaryFan F G
⊢ (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryProductLimit F G).lift s = CategoryTheory.FunctorToTypes.prod.lift s.fst s.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G
h : a = b * c
⊢ a / b = c
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x ^ 3 = Real.cos a - Real.cos b - (Real.cos a ^ 3 - Real.cos b ^ 3) / 3
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
a : α
s : Finset β
⊢ HasSum (fun x => f ↑x) a ↔ HasSum f (a + ∑ i ∈ s, f i)
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g : W✝ ⟶ Y
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y ⟶ Z✝
W E X Z : C
c : BinaryCofan W E
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
inst✝ : HasPullbacks C
hc : IsColimit c
f : W ⟶ X
h : X ⟶ Z
i : c.pt ⟶ Z
H : IsPushout f c.inl h i
hc₁ : IsColimit (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ i) h)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ ((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj c.pt).obj { as := WalkingPair.left }
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY c.inl
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
hc₂ : IsColimit (BinaryCofan.mk g' (pullback.fst αY c.inr))
⊢ IsPullback (BinaryCofan.mk ((BinaryCofan.mk g' (pullback.fst αY c.inr)).inr ≫ i') h').inl (pullback.snd αY c.inr) αZ (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ i) h).inl ∧ IsPullback (BinaryCofan.mk ((BinaryCofan.mk g' (pullback.fst αY c.inr)).inr ≫ i') h').inr αX αZ (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ i) h).inr ↔ IsPullback h' αX αZ h ∧ IsPullback i' αY αZ i
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
F : CategoryTheory.Functor (B × C) D
⊢ CategoryTheory.uncurry.obj (CategoryTheory.curry.obj F) = F
α : Type u_1
G : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
g : G
j : ℤ
⊢ AddAction.fixedBy α g ⊆ AddAction.fixedBy α (j • g)
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
f : AddConstMap G H a b
⊢ AddConstMap.id.comp f = f
α : Type u_2
AddGroup α
s t : Set α
⊢ 0 ∉ s - t ↔ Disjoint s t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort uι
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Countable ι
t : ι → Set α
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
f : (i : ι) → ↑(t i) → β
hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ t i) (hxj : x ∈ t j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
htU : ⋃ i, t i = Set.univ
⊢ Measurable (Set.liftCover t f hf htU)
a b : ℕ
ha2 : a % 2 = 1
hb2 : b % 2 = 1
⊢ (if a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3 then -jacobiSym (↑b) a else jacobiSym (↑b) a) = jacobiSym (↑a) b
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
x : 𝕜
h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => x ^ m) s x
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
hd : ↑d ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hd' : d ≠ 0
e : a * d = n * b
⊢ Commute ↑d ↑b
I : Type u_5
A : Type u_6
X : I → Type u_7
TopologicalSpace A
(i : I) → TopologicalSpace (X i)
f : (i : I) → C(A, X i)
a : A
⊢ (ContinuousMap.pi f) a = fun i => (f i) a
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ s' : Cycle α
inst✝ : Fintype α
s : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r s)
hn : Nontrivial (Quot.mk Setoid.r s)
⊢ ∀ (x : α), s ≠ [x]
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (i : n), 0 < ∑ j : n, A i j
⊢ ∀ (j : n), 0 < ∑ i : n, Aᵀ i j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M N : Mon_ C
self : M.Hom N
⊢ M.one ≫ self.hom = N.one
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ] {x_1 y : G}
  {s : Set α}, x_1 +ᵥ s =ᵐ[μ] s → y ∈ AddSubgroup.zmultiples x_1 → y +ᵥ s =ᵐ[μ] s
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalAddGroup R
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
hmul_left : ∀ (x₀ : R), Tendsto (fun x => x₀ * x) (𝓝 0) (𝓝 0)
hmul_right : ∀ (x₀ : R), Tendsto (fun x => x * x₀) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ Continuous fun p => p.1 * p.2
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly (↥L) s)
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ
hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ
s : E
h : s ∈ S
this✝¹ : Algebra ↥{ carrier := L, emb := f }.carrier ↥φ.carrier := (inclusion ⋯).toAlgebra
this✝ : SMul ↥L ↥φ.carrier := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower (↥L) (↥φ.carrier) E
⊢ s ∈ ↑(extendScalars ⋯)
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
m n : ℤ
a : α
ha : 1 < a
h : m < n
⊢ a ^ m < a ^ n
α : Type u_1
LinearOrderedField α
CauSeq.IsComplete α abs
f : CauSeq α abs
x : α
h : CauSeq.const abs x ≤ f
⊢ x ≤ f.lim
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic
⊢ cyclotomic' n K = (cyclotomic' n K * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic' x K) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ pullback.fst f g = ((pullback.isLimit f g).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (cospan f g))).hom ≫ Limits.pullback.fst f g
M : Type u_1
Semigroup M
a : Stream' M
s : Set (Set M)
sfin : s.Finite
scov : Hindman.FP a ⊆ ⋃₀ s
⊢ ∃ c ∈ s, ∃ b, Hindman.FP b ⊆ c
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R
⊢ W'.negAddY (u • P) (v • Q) = ((u * v) ^ 2) ^ 3 * W'.negAddY P Q
α : Type u
x y : α
L1 L2 : List α
⊢ { head := x, tail := L1 } + { head := y, tail := L2 } = { head := x, tail := L1 ++ y :: L2 }
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R
⊢ Finsupp.single n a ∈ ⇑(toFinsuppIso R).symm.toAddEquiv ⁻¹' {p | ∃ n a, p = (monomial n) a}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ A
t : CategoryTheory.yoneda.obj Y ⟶ A
hst : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.yoneda.map f) t = s
u : F.obj (Opposite.op Y)
h : CategoryTheory.OverPresheafAux.MakesOverArrow η t u
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.MakesOverArrow η s (F.map f.op u)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : Group G
a : G
l : List G
n : ℕ
hl : (take (n % (a :: l).length) (a :: l) ++ drop (n % (a :: l).length) (a :: l)).prod = 1
this : n % (a :: l).length ≤ (a :: l).length
⊢ ((a :: l).rotate n).prod = 1
C : Type u_2
D : Type ?u.77901
inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝ : Category.{?u.77909, ?u.77901} D
K L : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
h : IsSheaf (toGrothendieck C K) P ∧ IsSheaf (toGrothendieck C L) P
⊢ IsSheaf (toGrothendieck C (K ⊔ L)) P
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K (Module.Dual K V)
FiniteDimensional K ↥W
⊢ (Submodule.dualCoannihilator W).dualAnnihilator = W
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K
⊢ b * -(1 / a) = -(b * (1 / a))
α : Type u_1
Add α
LE α
i : CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
b c : α
bc : b ≤ c
a : α
⊢ b + a ≤ c + a
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg pkg' : AbstractCompletion α
a : α
⊢ pkg.compare pkg' (pkg.coe a) = pkg'.coe a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : a ∉ s
x✝ : (i : Fin (n + 1)) × { x // x ∈ s.sym (n - ↑i) }
i : Fin (n + 1)
m : Sym α (n - ↑i)
hm : m ∈ s.sym (n - ↑i)
⊢ (a : Fin (n + 1)) → { x // x ∈ s.sym (n - ↑a) } → ?refine_1 (id a)
m n : ℕ+
⊢ m.Coprime n → n.Coprime m
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ T =O[Filter.atTop] fun n => (1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn ↑n) * AkraBazziRecurrence.asympBound g a b n
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
Zero β
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ AEMeasurable (s.indicator f) μ ↔ AEMeasurable f (μ.restrict s)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
ih : indexOf a l = l.length ↔ ¬a ∈ l
⊢ (if (b == a) = true then 0 else indexOf a l + 1) = l.length + 1 ↔ ¬(a = b ∨ a ∈ l)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproduct.isoProduct f).hom = CategoryTheory.Limits.Pi.lift (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a x y : α
h : ∀ (x_1 : Set α), MeasurableSet x_1 → x ∈ x_1 → y ∈ x_1
A : Set α
A_mble : MeasurableSet A
⊢ x ∈ A ↔ y ∈ A
a x z : ℂ
h : x ∈ slitPlane
h₀ : abs x ≠ 0
⊢ ContinuousAt arg x
n : Nat
⊢ (list (n + 1)).length = (0 :: List.map succ (list n)).length
n q : ℕ
hn' : 1 < n
hq : q ≠ 1
⊢ q - 1 < (Polynomial.eval (↑q) (Polynomial.cyclotomic n ℤ)).natAbs
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z)
      (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst X Y)) =
  CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
s : Set E
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hfi : Integrable f μ
hfm : Measurable f
hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
h₀i : Integrable (fun x => y₀) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(approxOn f hfm s y₀ h₀ n)) μ
⊢ Tendsto (fun n => if h : True then if hf : Integrable (fun x => ↑(approxOn f hfm s y₀ h₀ n) x) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => ↑(approxOn f hfm s y₀ h₀ n) x) hf) else 0 else 0) atTop (𝓝 (if h : True then if hf : Integrable (fun x => f x) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => f x) hf) else 0 else 0))
c a b : Prop
h : c → a = b
⊢ (a ∧ c) = (b ∧ c)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
M : Matrix m n α
j : n
c : m → α
DecidableEq n
f : α → β
⊢ (M.updateColumn j c).map f = (M.map f).updateColumn j (f ∘ c)