ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u₁
S : Type u₂
Ring R
Ring S
f : R →+* S
M M' : ModuleCat R
g : M ⟶ M'
x : ↑((ModuleCat.coextendScalars f).obj M)
s : S
⊢ (((ModuleCat.coextendScalars f).map g) x).toFun s = g (x.toFun s)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
a : α
s : Set α
⊢ IsGreatest s a → IsLeast (f '' s) (f a)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.iCondIndepSet m' hm' s μ ↔ ProbabilityTheory.iCondIndepSets m' hm' (fun i => {s i}) μ
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
n : ℤ
hn : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = ↑n * π
⊢ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
h : m.Nodup
⊢ m.toFinset.card = Multiset.card m
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : ker f = ⊥
h✝ : Subsingleton E
⊢ ∃ K > 0, AntilipschitzWith K ⇑f
R : Type u
Ring R
q : ℕ
hR : ExpChar R q
n : ℕ
x y : R
h : Commute x y
⊢ (x - y) ^ q ^ n = x ^ q ^ n - y ^ q ^ n
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
⊢ F.ε.app ((F.obj n).obj X) = (F.map (ρ_ n).inv).app X ≫ (F.μIso n (𝟙_ M)).inv.app X
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
⊢ x ∈ idealizer I ↔ x ∈ normalizer I
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
s : Subring R
t : Subring S
⊢ ↑(s.prod t) = ↑s ×ˢ ↑t
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Set.Ioi a, g' x ≠ 0
hftop : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
hgtop : Filter.Tendsto g Filter.atTop (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => f' x / g' x) Filter.atTop l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) Filter.atTop l
R : Type u_1
CommSemiring R
r : R
⊢ (PowerSeries.derivative R) ((PowerSeries.C R) r) = 0
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
inst✝¹¹ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K✝ L✝ M K' L' : HomologicalComplex C c
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} C₁
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_3} C₂
inst✝⁸ : Preadditive C₁
inst✝⁷ : Preadditive C₂
K L : HomologicalComplex C₁ c
φ : K ⟶ L
F : C₁ ⥤ C₂
inst✝⁶ : F.Additive
inst✝⁵ : F.PreservesHomology
inst✝⁴ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝³ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝² : ∀ (i : ι), ((F.mapHomologicalComplex c).obj K).HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), ((F.mapHomologicalComplex c).obj L).HasHomology i
inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms
⊢ QuasiIso ((F.mapHomologicalComplex c).map φ) ↔ QuasiIso φ
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
i : ι
⊢ Function.Injective ⇑of
X : Type u_1
Y : Type u_2
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
f : X → Y
self : Inducing f
⊢ tX = TopologicalSpace.induced f tY
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ZNum
⊢ -(↑(-n) + ↑(-n) + 1) = ↑n + ↑n - 1
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
t : Set M'
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
ht : LinearIndependent R fun (x : ↑t) => ↑x
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(⇑(inl R M M') '' s ∪ ⇑(inr R M M') '' t)) => ↑x
d x y : ℤ
⊢ IsPell { re := x, im := y } ↔ { re := x, im := y } ∈ unitary (ℤ√d)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
h : A = B
⊢ (CategoryTheory.eqToHom h).hom₃ = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
p : Finset (Finset α) → Prop
𝒜 : Finset (Finset α)
empty : p ∅
singleton_empty : p {∅}
subfamily : ∀ (a : α) ⦃𝒜 : Finset (Finset α)⦄, p (nonMemberSubfamily a 𝒜) → p (memberSubfamily a 𝒜) → p 𝒜
u : Finset α
hu : ∀ s ∈ 𝒜, s ⊆ u
⊢ p 𝒜
α : Type u_1
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
⊢ (CategoryTheory.forget₂ AlexDisc TopCat).obj (AlexDisc.of α) = TopCat.of α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
hg : Multipliable g
hfg : Multipliable fun b => f b / g b
⊢ Multipliable f
α : Type u_1
l : List α
nd : l.Nodup
h : ∀ (x : α), x ∈ l
i : Fin l.length
⊢ ↑(List.Nodup.getBijectionOfForallMemList l nd h) i = l.get i
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
S : Set ℂ := {z | y < z.re}
h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖
h₁ : ∀ (n : ℕ), DifferentiableOn ℂ (fun x => term f x n) S
⊢ LSeriesSummable (logMul f) s ∧ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
f : F
⊢ {x | x ∈ map (⇑f) s}.Pairwise Commute
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S T : Seq (Seq1 α)
⊢ ∃ s S_1 T_1, (S.append T).join = s.append (S_1.append T_1).join ∧ S.join.append T.join = s.append (S_1.join.append T_1.join)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
⊢ restrictionApp (f ≫ g) (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j) = (whiskerLeft F (restriction R f)).app j ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map ((whiskerLeft F (restriction R g)).app j ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A : StructuredArrow S T
P : { P // ∃ q, q ≫ T.map P.arrow = A.hom }
⊢ ↑((fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩) ((fun P => liftSubobject ↑P ⋯) P)) = ↑P
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
isrfl : IsRefl (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
istrns : IsTrans (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n))
m n : ℕ
mn : m < n
h2' : (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n))
⊢ (Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m) = (Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n)
R : Type u
DivisionSemiring R
StarRing R
x : R
z : ℤ
⊢ star (x ^ z) = star x ^ z
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
MeasurableSpace X
BorelSpace X
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑C ^ d * μH[↑r * d] s
X : Type u
TopologicalSpace X
CompactSpace X
⊢ Filter.cocompact X = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
m : ℕ
f : Fin m → α → β
v : Fin m → α
⊢ FinVec.seq f v = fun i => f i (v i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (𝟙_ C) X Y).inv
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom Y)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
s : Set α
⊢ μ (f '' s) ≤ (((OuterMeasure.comap f) μ.toOuterMeasure).toMeasure ⋯) s
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
c : F
⊢ Function.HasTemperateGrowth fun x => c
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ (eval r) ((comp p) q) = (eval (Polynomial.eval r p)) q
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ
⊢ (IsLocalization.integerNormalization M p).coeff i = IsLocalization.coeffIntegerNormalization M p i
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
⊢ 0 ∉ σ a ↔ IsUnit a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
y : M
hy : y ∈ f.source
⊢ 𝓝[(f.extend I).target] ↑(f.extend I) y = 𝓝[Set.range ↑I] ↑(f.extend I) y
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ MeasureTheory.addFundamentalFrontier G s ↔ x ∈ s ∧ ∃ g, g ≠ 0 ∧ x ∈ g +ᵥ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
F : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor C D
A : CommMon_ C
⊢ (F.mapCommMon.obj A).one = F.ε ≫ F.map A.one
G : Type u_3
Group G
c : G
⊢ Function.LeftInverse (fun x => c⁻¹ * x) fun x => c * x
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
⊢ (⨅ s ∈ {s | x ∈ s ∧ IsOpen s}, 𝓟 s).HasBasis (fun s => x ∈ s ∧ IsOpen s) fun s => s
α : Type u_1
s : Set α
⊢ id '' s = s
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
self : CategoryTheory.Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget L W E
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor D E
⊢ L.comp F₁ = L.comp F₂ → F₁ = F₂
q : ℚ
n d : ℤ
hq : q ≠ 0
hqnd : q = Rat.divInt n d
⊢ d ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f1 f2 g1 g2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
hg : g1 ≈ g2
⊢ f1 * g1 ≈ f2 * g2
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
k : ℕ
hk : k.succ ≠ 0
⊢ hurwitzZetaOdd (↑x) (1 - 2 * ↑k.succ) = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype n
Finite m
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n
⊢ (LinearMap.toMatrix v₁ v₂) f i j = (v₂.repr (f (v₁ j))) i
n : Int
d : Nat
⊢ mkRat n d = if d0 : d = 0 then 0 else Rat.normalize n d d0
o : Ordinal.{u_4}
⊢ o.pred = o ↔ ∀ (a : Ordinal.{u_4}), o ≠ Order.succ a
R : Type u_2
LinearOrderedRing R
FloorRing R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
MeasurableSpace R
OpensMeasurableSpace R
⊢ Measurable Int.ceil
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Sub G
self : MeasurableSub₂ G
⊢ Measurable fun p => p.1 - p.2
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (Set X)
⊢ (∀ t ∈ s, IsClosed t) → IsClosed (⋂₀ s)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
f g : Filter α
hf : Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) f := by isBoundedDefault
hg : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) g := by isBoundedDefault
h : ∀ (a : α), (∀ᶠ (n : α) in f, a ≤ n) → ∀ᶠ (n : α) in g, a ≤ n
⊢ f.limsInf ≤ g.limsInf
ds₁ ds₂ : List ℕ
α : Type
Ring α
x : Holor α ds₂
⊢ Holor.mul 0 x = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
K : CategoryTheory.Functor J C
E : CategoryTheory.Functor C D
E.IsEquivalence
CategoryTheory.Limits.HasColimit K
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit (K.comp E)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
⊢ f (-c) = -f 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f₁ f₂ : X ⟶ Y
⊢ L.map (f₁ + f₂) = L.map f₁ + L.map f₂
G : Type u_2
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddRightInvariant
t : G
p : G → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (x + t)) ↔ ∀ᵐ (x : G) ∂μ, p x
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
x : t.pt
⊢ ∃ j y, t.ι.app j y = x
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
⊢ (∀ (n : ℕ), (coeff R n) φ = 0) ↔ φ = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
r : 𝕜
x : α
hx : ↑↑(r • f) x = (r • ↑↑f) x
⊢ (fun a => ⟪↑↑(r • f) a, ↑↑g a⟫_𝕜) x = (fun a => (starRingEnd 𝕜) r • ⟪↑↑f a, ↑↑g a⟫_𝕜) x
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
S : Set (HeightOneSpectrum R)
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x✝ : K
⊢ x✝ ∈ {x | ∀ v ∉ S, v.valuation x ≤ 1} ↔ x✝ ∈ ↑(⨅ v, ⨅ (_ : v ∉ S), v.valuation.valuationSubring.toSubring)
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ
⊢ wittPolynomial p R n = ∑ i ∈ range (n + 1), C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n - i)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
f : β → α
⊢ (CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b) ↔ ∀ e ∈ 𝓝 0, ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b ∈ t, f b ∈ e
α : Type u_1
M : Type u_5
R : Type u_11
Zero M
SMulZeroClass R M
b : R
v : α →₀ M
⊢ ⇑(b • v) = b • ⇑v
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
⊢ Measurable fun x => derivWithin f (Ici x) x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
cf : ∀ (i : ℕ), C (f.coeff i) ∈ I
⊢ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)} ≤ I
α : Type u
l : List α
⊢ l.getLast? = none ↔ l = []
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
⊢ p.removeZero.rightInv i = p.rightInv i
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
MulAction G α
a : α
g : G
⊢ g⁻¹ • a ∈ MulAction.fixedBy α g ↔ a ∈ MulAction.fixedBy α g
x✝ : Iterator
h : x✝.Valid
hn : x✝.hasNext = true
⊢ x✝.next.Valid
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSingletonClass α
x : α
⊢ MeasurableEmbedding fun y => (y, x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : FirstCountableTopology α
f : Filter β
inst✝ : CountableInterFilter f
u : β → α
hf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
⊢ ∀ᶠ (b : β) in f, u b ≤ limsup u f
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X : D
⊢ (adj1.unit.app (G.obj X) ≫ G.map (adj1.counit.app X)) ≫ f.app ((𝟭 D).obj X) = f.app X
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ Integrable (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
⊢ Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₃ g₁)
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
n : Type w
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix n n A
⊢ (matrixEquivTensor R A n) M = ∑ p : n × n, M p.1 p.2 ⊗ₜ[R] Matrix.stdBasisMatrix p.1 p.2 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Inv G
Zero G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
self : SmoothInv₀ I G
x : G
⊢ x ≠ 0 → SmoothAt I I (fun y => y⁻¹) x
g g' : ℝ → ℝ
a l : ℝ
hcont : ContinuousWithinAt g (Set.Ici a) a
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
g'pos : ∀ x ∈ Set.Ioi a, 0 ≤ g' x
hg : Filter.Tendsto g Filter.atTop (𝓝 l)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi a, g' x = l - g a
𝕜₁ : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
(x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
(x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
(x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
(x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
TopologicalSpace B
e₁ : Trivialization F₁ Bundle.TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ Bundle.TotalSpace.proj
(x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
FiberBundle F₁ E₁
(x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
FiberBundle F₂ E₂
Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁
Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂
p : B × (F₁ →SL[σ] F₂)
⊢ ↑(Pretrivialization.continuousLinearMap σ e₁ e₂).symm p =
  { proj := p.1,
    snd := (Trivialization.symmL 𝕜₂ e₂ p.1).comp (p.2.comp (Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜₁ e₁ p.1)) }
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
S T : Set X
H : EquicontinuousOn F T
hST : S ⊆ T
⊢ EquicontinuousOn F S
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n✝ n : ℕ
ih : ∀ {m : Sym α n}, m ∈ s.sym n ↔ ∀ a ∈ m, a ∈ s
m : Sym α (n + 1)
h : ∀ a ∈ m, a ∈ s
⊢ ∃ v ∈ s, m ∈ image (Sym.cons v) (s.sym n)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type u₁
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Semiring C
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
φ₁ : B →ₐ[R] C
φ₂ : A →ₐ[R] B
⊢ ↑(φ₁.comp φ₂) = (↑φ₁).comp ↑φ₂
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
F' : Type u_4
EquivLike F' R S
RingEquivClass F' R S
f : F'
I : Ideal R
I.IsPrime
⊢ (Ideal.map f I).IsPrime
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : Mon_ (C ⥤ C)
f : X✝ ⟶ Y
X : C
⊢ (ofMon X✝).η.app X ≫ __src✝.app X = (ofMon Y).η.app X
k : Type u_2
Field k
φ ψ : PowerSeries k
h : (PowerSeries.constantCoeff k) ψ ≠ 0
⊢ φ = ψ⁻¹ ↔ φ * ψ = 1
α : Type u₁
β : Type u₂
h : CategoryTheory.Discrete α ≌ CategoryTheory.Discrete β
⊢ ∀ (a : β),
  (CategoryTheory.Discrete.equivOfEquivalence h).symm a =
    (CategoryTheory.Discrete.as ∘ h.inverse.obj ∘ CategoryTheory.Discrete.mk) a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hna : IsNonarchimedean ⇑f
x y : R
⊢ ∀ (x_1 : ℕ), seminormFromConst_seq c f (x + y) x_1 ≤ max (seminormFromConst_seq c f x x_1) (seminormFromConst_seq c f y x_1)
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : i ∈ c.blocks
⊢ 1 ≤ i
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
j k : ι
hk : c.Rel j k
a✝ : c'.Rel (c'.prev (e.f k)) (e.f k)
⊢ ∃ x, c'.Rel (e.f x) (e.f k)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ IsChain r s
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
f : α →Co β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
hpq : IsCompl p q
x : E
⊢ ↑((LinearMap.fst R ↥p ↥q ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl q hpq).symm) x) + ↑((LinearMap.fst R ↥q ↥p ∘ₗ ↑(q.prodEquivOfIsCompl p ⋯).symm) x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : f ∈ measurableLE μ ν
hg : g ∈ measurableLE μ ν
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h₁ : MeasurableSet (A ∩ {a | f a ≤ g a})
h₂ : MeasurableSet (A ∩ {a | g a < f a})
⊢ ν (A ∩ {a | f a ≤ g a}) + ν (A \ {a | f a ≤ g a}) = ν A
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsKilling R L
IsNoetherian R L
IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
H.IsCartanSubalgebra
⊢ LinearMap.ker (LieModule.traceForm R (↥H) L) = ⊥
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
inst✝ : Invertible 2
⊢ (ofJ1728 R).j = 1728
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
x : α
n : ℕ
⊢ Multiset.Rel Associated (UniqueFactorizationMonoid.factors (x ^ n)) (n • UniqueFactorizationMonoid.factors x)
α : Type u_2
Zero α
p : Prop
Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
LE α
ha : ∀ (h : p), a h ≤ 0
hb : ∀ (h : ¬p), b h ≤ 0
⊢ dite p a b ≤ 0