ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
⊢ IsSheafFor P (generate (singleton (𝟙 X))).arrows
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
hz : IsUnit z
hx : IsUnit x
hy : IsUnit y
⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
A : Type u_3
CommRing A
Algebra R A
Algebra A S
IsScalarTower R A S
IsIntegralClosure A R S
IsDomain A
Nontrivial R
I : Ideal A
I_ne_bot : I ≠ ⊥
⊢ Ideal.comap (algebraMap R A) I ≠ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
⊢ (μ + ν).toENNRealVectorMeasure = μ.toENNRealVectorMeasure + ν.toENNRealVectorMeasure
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
adj3 : F'' ⊣ G''
f : F' ⟶ F
g : F'' ⟶ F'
⊢ (adj1.natTransEquiv adj2).symm f ≫ (adj2.natTransEquiv adj3).symm g = (adj1.natTransEquiv adj3).symm (g ≫ f)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
⊢ PseudoMetricSpace.toUniformSpace = ⊥ ↔ ∃ r, 0 < r ∧ Pairwise fun x x_1 => r ≤ dist x x_1
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W'.negY Q * P z ^ 3
⊢ P y ≠ W'.negY P
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
A B : Subalgebra R S
Module.Free R ↥B
Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
⊢ Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥B * Module.rank ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
α : Type
n : ℕ
⊢ Dioph.DiophFn (Function.const (α → ℕ) n)
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
f : α → β
x : t' α
⊢ (eqv β) (id.mk (f <$> (eqv α).symm x)) = Equiv.map eqv f x
S : Type u_1
UnitalShelf S
x y z : S
⊢ (x ◃ y) ◃ z = x ◃ y ◃ z
α : Type u_1
R : Type u_2
LinearOrderedField R
Archimedean R
f : α → ℚ
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑(f n)) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
y : ℝ
⊢ Measure.map (fun ω => X ω + y) ℙ = gaussianReal (μ + y) v
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
⊢ Squarefree (m * n) ↔ Squarefree m ∧ Squarefree n
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
⊢ I.IsMaximal ↔ IsCoatom I
α : Type u_2
s : Finset α
⊢ ∀ᶠ (x : α) in Filter.cofinite, x ∉ s
R : Type u
Ring R
s : Set R
⊢ s ⊆ Ring.closure s
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
f : K[X]
hf : f.degree = 1
⊢ Polynomial.Splits i f
α : Type u_2
Lattice α
⊢ IsSublattice ∅
r n : ℕ
h : r < n / 2
⊢ n.choose r * (n - r) ≤ n.choose (r + 1) * (n - r)
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hG : IsPGroup p G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
ϕ : G →* H
hϕ : Function.Surjective ⇑ϕ
h : H
g : G
hg : ϕ g = h
k : ℕ
hk : g ^ p ^ k = 1
⊢ h ^ p ^ k = 1
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
s : AddSubmonoid M
t : AddSubmonoid N
u : AddSubmonoid (M × N)
⊢ s.prod t ≤ u ↔ AddSubmonoid.map (AddMonoidHom.inl M N) s ≤ u ∧ AddSubmonoid.map (AddMonoidHom.inr M N) t ≤ u
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
s t : Set ℝ
intervalIntegral.FTCFilter b (𝓝[s] b) (𝓝[t] b)
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝[t] b) MeasureTheory.volume
hb : ContinuousWithinAt f t b
hs : UniqueDiffWithinAt ℝ s b := by uniqueDiffWithinAt_Ici_Iic_univ
⊢ derivWithin (fun u => ∫ (x : ℝ) in a..u, f x) s b = f b
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
f : X → Y
K : Set X
U : Set Y
hf : Continuous f
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : MapsTo f K U
⊢ ∃ L ∈ 𝓝ˢ K, IsCompact L ∧ MapsTo f L U
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
W X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.map (CategoryTheory.Limits.prod.associator W X Y).hom (𝟙 Z) ≫
    (CategoryTheory.Limits.prod.associator W (X ⨯ Y) Z).hom ≫
      CategoryTheory.Limits.prod.map (𝟙 W) (CategoryTheory.Limits.prod.associator X Y Z).hom =
  (CategoryTheory.Limits.prod.associator (W ⨯ X) Y Z).hom ≫ (CategoryTheory.Limits.prod.associator W X (Y ⨯ Z)).hom
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : 𝕜
x y : E
⊢ inner_ 𝕜 (r • x) y = (starRingEnd 𝕜) r * inner_ 𝕜 x y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f✝ f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
hx : f x ∈ closure s
this : Nonempty ↑s
⊢ Tendsto (fun n => ↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) atTop (𝓝 (f x))
α : Type u_2
AddMonoid α
⊢ ThreeAPFree ∅
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ a ∈ stabilizer G s ↔ ∀ (b : α), a • b ∈ s ↔ b ∈ s
R : Type u_1
Semigroup R
a b : R
lra : IsLeftRegular a
lrb : IsLeftRegular b
⊢ IsLeftRegular (a * b)
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : ℝ → α
⊢ Tendsto (fun x => f (rexp x)) atBot l ↔ Tendsto f (𝓝[>] 0) l
Fq : Type
Field Fq
DecidableEq (RatFunc Fq)
⊢ FunctionField.inftyValuationDef Fq RatFunc.X = ↑(Multiplicative.ofAdd 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s ⊆ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ (t \ s).ncard + s.ncard = t.ncard
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
p q : α → Prop
a : Subtype p
b : α
⊢ (∃ h, ⟨b, h⟩ = a) ↔ b = ↑a
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
p : R[X]
⊢ p ∈ RingHom.ker h.map ↔ f ∣ p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t✝ : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set α
t : Set β
⊢ Prod.fst ⁻¹' s ∩ Prod.snd ⁻¹' t = s.prod t
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ χ' : MulChar R R'
h : ∀ (a : Rˣ), χ ↑a = χ' ↑a
⊢ χ = χ'
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
x✝ : { x // x ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset }
⊢ torsionBy R M (IsPrincipal.generator ↑x✝ ^ Multiset.count (↑x✝) (factors ⊤.annihilator)) = torsionBySet R M ↑(↑x✝ ^ Multiset.count (↑x✝) (factors ⊤.annihilator))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ (λ_ (R.X ⊗ P.X)).inv ≫ R.one ▷ (R.X ⊗ P.X) ≫ (α_ R.X R.X P.X).inv ≫ R.mul ▷ P.X ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft))
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
f_intble : MeasureTheory.Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Set.Ioi 0, (μ {a | t ≤ f a}).toReal
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
p'' : Filter ι
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
hp : p'' ≤ p
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
⊢ ∀ᶠ (m : (ι × ι) × α) in (p'' ×ˢ p'') ×ˢ p', (F m.1.1 m.2, F m.1.2 m.2) ∈ u
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{vC, uC} C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{vD, uD} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsLocallyFull K
ℱ : CategoryTheory.SheafOfTypes K
X Y : C
i : G.obj X ⟶ G.obj Y
s t : ℱ.val.obj (Opposite.op (G.obj X))
h :
  ∀ ⦃Z : C⦄ (j : Z ⟶ X) (f : Z ⟶ Y),
    G.map f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map j) i → ℱ.val.map (G.map j).op s = ℱ.val.map (G.map j).op t
⊢ s = t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
X Y Z : C
a : M
f : CategoryTheory.ShiftedHom X Y a
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
g : Y ⟶ Z
⊢ f.comp (CategoryTheory.ShiftedHom.mk₀ m₀ hm₀ g) ⋯ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).map g)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
this : μ.restrict μ.sigmaFiniteSet = (μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSet
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : x ∈ s ∩ μ.sigmaFiniteSet
⊢ μ.densityToFinite x = if μ.densityToFinite x ≠ ⊤ then μ.densityToFinite x else 1
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ W.Nonsingular P ↔ W.Equation P ∧ ((MvPolynomial.eval P) W.polynomialX ≠ 0 ∨ (MvPolynomial.eval P) W.polynomialY ≠ 0)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 ≤ RCLike.re ⟪x, T x⟫_𝕜
⊢ 0 ≤ μ
θ : Real.Angle
⊢ θ.cos ^ 2 + θ.sin ^ 2 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : AntitoneOn f s
hg : AntitoneOn g s
⊢ AntitoneOn (fun x => f x + g x) s
α : Type u_1
s : Set α
⊢ (Filter.Realizer.principal s).σ = Unit
n : ℕ∞
⊢ n < 1 ↔ n = 0
n i : ℕ
h : i ≤ n
l₁ : ↑i + 1 ≠ 0
l₂ : ↑n - ↑i + 1 ≠ 0
h₁ : ↑(i + 1).centralBinom = (↑i + 1) * ↑(i + 1).centralBinom / (↑i + 1)
h₂ : ↑(n - i + 1).centralBinom = (↑n - ↑i + 1) * ↑(n - i + 1).centralBinom / (↑n - ↑i + 1)
h₃ : (↑i + 1) * ↑(i + 1).centralBinom = 2 * (2 * ↑i + 1) * ↑i.centralBinom
h₄ : (↑n - ↑i + 1) * ↑(n - i + 1).centralBinom = 2 * (2 * (↑n - ↑i) + 1) * ↑(n - i).centralBinom
⊢ ↑(i + 1).centralBinom * ↑(n - i).centralBinom * (2 * (↑i + 1) - (↑n + 1)) / (2 * (↑n + 1) * (↑n + 1 + 1)) - ↑i.centralBinom * ↑(n - i + 1).centralBinom * (2 * ↑i - (↑n + 1)) / (2 * (↑n + 1) * (↑n + 1 + 1)) = ↑i.centralBinom / (↑i + 1) * ↑(n - i).centralBinom / (↑n - ↑i + 1)
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : Odd n
a : K
ha : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
⊢ Irreducible (X ^ n - C a)
α : Type u_1
CircularOrder α
a b c : α
⊢ btw a b c ↔ ¬sbtw c b a
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : UpperSet α
t : UpperSet β
⊢ s ×ˢ t = ⊤ ↔ s = ⊤ ∨ t = ⊤
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
B : D
⊢ coequalizer.π (F.map ((comparison adj).obj B).a) (adj.counit.app (F.obj ((comparison adj).obj B).A)) ≫ (comparisonAdjunction adj).counit.app B = coequalizer.π (F.map ((comparison adj).obj B).a) (adj.counit.app (F.obj ((comparison adj).obj B).A)) ≫ colimit.desc (parallelPair (F.map (G.map (adj.counit.app B))) (adj.counit.app (F.obj (G.obj B)))) (counitCofork adj B)
a m n : Nat
⊢ a ^ (m + n) = a ^ n * a ^ m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : Zero N
f : α ↪ β
l₁ l₂ : α →₀ M
h : embDomain f l₁ = embDomain f l₂
a : α
⊢ l₁ a = l₂ a
α : Type u_2
Fintype α
s t : Finset α
h : s ⊂ t
⊢ s.dens < t.dens
α : Type u_1
s : Multiset α
a : α
h : (a ::ₘ s).Nodup
⊢ s.Nodup
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x y : E
⊢ ∀ a ∈ closedBall 0 1, 0 ≤ 1
p q : Prop
⊢ (p ↔ p ∧ q) ↔ p → q
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
f₁ f₂ : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ comap f₁ q ⊓ comap f₂ q → x ∈ comap (f₁ + f₂) q
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ t =ᵐ[μ] s
ι : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
f : ι → E
hf : Summable fun i => ‖f i‖
⊢ ‖∑' (i : ι), f i‖ ≤ ∑' (i : ι), ‖f i‖
f : Num → Num → Num
g : Bool → Bool → Bool
p : PosNum → PosNum → Num
gff : g false false = false
f00 : f 0 0 = 0
f0n : ∀ (n : PosNum), f 0 (Num.pos n) = bif g false true then Num.pos n else 0
fn0 : ∀ (n : PosNum), f (Num.pos n) 0 = bif g true false then Num.pos n else 0
fnn : ∀ (m n : PosNum), f (Num.pos m) (Num.pos n) = p m n
p11 : p 1 1 = bif g true true then 1 else 0
p1b : ∀ (b : Bool) (n : PosNum), p 1 (PosNum.bit b n) = Num.bit (g true b) (bif g false true then Num.pos n else 0)
pb1 : ∀ (a : Bool) (m : PosNum), p (PosNum.bit a m) 1 = Num.bit (g a true) (bif g true false then Num.pos m else 0)
pbb : ∀ (a b : Bool) (m n : PosNum), p (PosNum.bit a m) (PosNum.bit b n) = Num.bit (g a b) (p m n)
m n : Num
⊢ ↑(f m n) = Nat.bitwise g ↑m ↑n
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
X : CategoryTheory.Comma L₁ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).unitIso.hom.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → List β
g : α → σ
h : α → β × σ → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
a : α
⊢ List.foldl (fun s b => h (a, s, b).1 ((a, s, b).2.2, (a, s, b).2.1)) (g a) (f a).reverse = List.foldr (fun b s => h a (b, s)) (g a) (f a)
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder G
inst✝² : LinearOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty
⊢ ∀ b ∈ s • t, hs.min hsn • ht.min htn ≤ b
G : Type u_1
AddGroup G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
a : G
⊢ IsLUB (-s) a ↔ IsGLB s (-a)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
BoundedOrder α
Lattice β
BoundedOrder β
Lattice γ
BoundedOrder γ
g : BoundedLatticeHom β γ
f : BoundedLatticeHom α β
⊢ BoundedLatticeHom.dual (g.comp f) = (BoundedLatticeHom.dual g).comp (BoundedLatticeHom.dual f)
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
h : ¬q = 0
⊢ q.leadingCoeff * p.leadingCoeff ≠ 0
α : Type u_2
LE α
⊢ ⇑WithTop.toDualBotEquiv = ⇑OrderDual.toDual ∘ ⇑WithTop.ofDual
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : ↑u = a
⊢ a * ↑u⁻¹ = 1
m n : ℕ+
k l : ℕ
h : (↑m).Coprime ↑n
⊢ (↑m).Coprime ↑n
α : Type u_1
inst✝ : OrderedRing α
a : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Ico (↑n) (↑n + 1))
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Add (f i)
s : Set I
(i : I) → Decidable (i ∈ s)
f₁ f₂ g₁ g₂ : (i : I) → f i
⊢ s.piecewise (f₁ + f₂) (g₁ + g₂) = s.piecewise f₁ g₁ + s.piecewise f₂ g₂
α : Type u_1
AddSemigroup α
x y : α
⊢ ((fun x_1 => x_1 + x) ∘ fun x => x + y) = fun x_1 => x_1 + (y + x)
R : Type u_1
Ring R
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
v.RankOne
x : Γ₀
⊢ (Valuation.RankOne.hom v) x = 0 ↔ x = 0
R : Type u_1
Ring R
R₂ : Type u_2
Ring R₂
M : Type u_4
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
TopologicalAddGroup M₂
f g : M →SL[σ₁₂] M₂
x : M
⊢ (f - g) x = f x - g x
R : Type u_4
S : Type u_5
Add R
Add S
Mul R
Mul S
e : R ≃+* S
⊢ e.trans e.symm = RingEquiv.refl R
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
x : E
⊢ ‖f x‖₊ ≤ ‖f‖₊ * ‖x‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
s : Set γ
hs : IsOpen s
⊢ IsClosed sᶜ
α : Type u
l : List α
n k : ℕ
hk : k < (l.rotate n).length
⊢ (l.rotate n).nthLe k hk = l.nthLe ((k + n) % l.length) ⋯
X : Type u_5
TopologicalSpace X
f g : LocallyConstant X (Fin 2)
h : ⇑f ⁻¹' {0} = ⇑g ⁻¹' {0}
⊢ f = g
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ↑(fs.toFun (fs.ind x hx)) =ᶠ[𝓝 x] 1
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
h : lowerCentralSeries G n ≤ center G
⊢ ∀ y ∈ {x | ∃ p ∈ lowerCentralSeries G n, ∃ q ∈ ⊤, p * q * p⁻¹ * q⁻¹ = x}, y = 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t : Set α
I : Set ι
μ : F
hI : I.Countable
s : ι → Set α
this : Countable ↑I
⊢ μ (⋃ i ∈ I, s i) ≤ ∑' (i : ↑I), μ (s ↑i)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Add G
IsLeftCancelAdd G
f : AddMonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0
x : G
⊢ (AddMonoidAlgebra.single x r * f).support = Finset.map (addLeftEmbedding x) f.support
α : Type u_1
f : α → ℝ
A : ℝ
x : α
h : |f x| < A
⊢ ProbabilityTheory.truncation f A x = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
⊢ G.IsNClique 1 s ↔ ∃ a, s = {a}
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b : α
f : ι → α
a : α
⊢ (⨅ i, f i) ⊔ a = ⨅ i, f i ⊔ a
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
φ.IsExpansionOn M
T : L.Theory
⊢ M ⊨ φ.onTheory T ↔ M ⊨ T
v i : Nat
x y : BitVec v
⊢ (x ||| y).getLsb i = (x.getLsb i || y.getLsb i)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
x y : E
h : [x-[ℝ]y] ⊆ s
⊢ y - x ∈ posTangentConeAt s x
α : Type u_1
cut : α → Ordering
cmp : α → α → Ordering
f : α → α
t : Batteries.RBNode α
H : Batteries.RBNode.OnRoot (fun x => Batteries.RBNode.cmpEq cmp (f x) x) (Batteries.RBNode.zoom cut t).fst
h : Batteries.RBNode.WF cmp t
⊢ Batteries.RBNode.WF cmp (Batteries.RBNode.modify cut f t)
R : Type u_1
S : Type ?u.189967
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.190432
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.191572
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : FinitePresentation R M
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
I : Type (max u_2 u_1) := Free.ChooseBasisIndex k (k ⊗[R] M)
b : Basis I k (k ⊗[R] M) := Free.chooseBasis k (k ⊗[R] M)
this✝² : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))
f : k ⊗[R] M → M
hf : ∀ (b : k ⊗[R] M), ((TensorProduct.mk R k M) 1) (f b) = b
i : (I →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total I M R (f ∘ ⇑b)
hi : Surjective ⇑i
this✝¹ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)
this✝ : Surjective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
hi' : Function.Bijective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
this : ∀ {g₁ : ↥(LinearMap.ker i) →ₗ[R] I →₀ R} {g₂ : (I →₀ R) →ₗ[R] M}, Exact ⇑(Submodule.subtype 𝔪) ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Surjective ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Exact ⇑g₁ ⇑g₂ → Surjective ⇑g₂ → Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪)) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor R g₁) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) g₁)
x : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)
⊢ (LinearMap.lTensor k 0) x = (LinearMap.lTensor k i) ((LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) 0)
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
h : m ≤ n
f : H → H
s : Set H
hfs : (contDiffPregroupoid n I).property f s
⊢ (contDiffPregroupoid m I).property f s
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : LaxFunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ F.mapComp f g ▷ F.map h ≫ F.mapComp (f ≫ g) h = (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h ≫ F.mapComp f (g ≫ h) ≫ F.map₂ (α_ f g h).inv
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s₁ s₂ : Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)
⊢ ∃ S, span (Subtype.val '' s₁) * span (Subtype.val '' s₂) = span (Subtype.val '' S)
ι : Type u_5
B : Type u_6
TopologicalSpace B
F : Type u_7
TopologicalSpace F
self : FiberBundleCore ι B F
i : ι
⊢ IsOpen (self.baseSet i)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
a₁ a₂ : α
b : β
h₁ : b ∈ f a₁
h₂ : b ∈ f a₂
⊢ a₁ = a₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
h : s.Finite
a : α
t : Set α
hat : a ∉ t
a✝ : t.Finite
ht' : t.encard < ⊤
⊢ (insert a t).encard < ⊤
I : Type u
f : I → Type v₁
x y : (i : I) → f i
i : I
(i : I) → Add (f i)
⊢ (x + y) i = x i + y i
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : (ball x ε₁ ∩ closedBall y ε₂).Nonempty
⊢ dist x y < ε₁ + ε₂
n p : ℕ
hp : Prime p
⊢ (p - 1) * (multiplicity p n !).get ⋯ = n - (p.digits n).sum
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset β
a : α
x : β
⊢ x ∈ a • s ↔ ∃ y ∈ s, a • y = x
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, ‖f i‖ ≤ g i
ε : ℝ
hε : ε > 0
s : Finset ι
hs : ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, g i‖ < ε
⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, f i‖ < ε
R : Type x
NonUnitalNonAssocRing R
a b : R
h : Commute a b
⊢ a * a - b * b = (a + b) * (a - b)
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ interior (interior s) = interior s
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ ((liftLie R L M N P) f) (m ⊗ₜ[R] n) = (f m) n
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u v : α → β
h₁ : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault
h₂ : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f v := by isBoundedDefault
h₃ : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault
h₄ : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f v := by isBoundedDefault
⊢ Filter.liminf (fun a => min (u a) (v a)) f = min (Filter.liminf u f) (Filter.liminf v f)