ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝³ : CommRing α
inst✝² : StarRing α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m α
hA : A.IsHermitian
⊢ A⁻¹.IsHermitian
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α β γ : ↥(solvableByRad F E)
hγ : γ ∈ F⟮α, β⟯
hα : P α
hβ : P β
p : F[X] := minpoly F α
q : F[X] := minpoly F β
hpq : Splits (algebraMap F (p * q).SplittingField) (minpoly F α) ∧ Splits (algebraMap F (p * q).SplittingField) (minpoly F β)
⊢ P γ
α : Type u_1
Monoid α
p : α
⊢ Irreducible p → p ≠ 1
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
hppos : p > 0
⊢ φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
DecidableEq α
⊢ a ∈ s → (s.erase a).card < s.card
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
hp : (setOf p).Infinite
n : ℕ
⊢ n ≤ Nat.nth p (Nat.count p n)
R : Type u_1
Semiring R
P : Cubic R
⊢ ↑(Cubic.equiv P) = P.toPoly
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
z : ℤ
⊢ CauSeq.Completion.ofRat ↑z = ↑z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ Filter.map (↑(extChartAt I x).symm) (𝓝[Set.range ↑I] ↑(extChartAt I x) x) = 𝓝 x
σ : Type u_1
inst✝¹ : Fintype σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
h : 0 < k
hesymm : ↑k * esymm σ R k = (-1) ^ (k + 1) * (∑ x ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2 + ∑ x ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2)
sub_both_sides✝ : ↑k * esymm σ R k - (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2 = (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2
sub_both_sides : (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2 = ∑ a ∈ filter (fun a => a.1 < k ∧ ¬0 < a.1) (antidiagonal k), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2
this : filter (fun a => a.1 < k ∧ ¬0 < a.1) (antidiagonal k) = {(0, k)}
⊢ psum σ R k = (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ x ∈ filter (fun a => a.1 < k ∧ 0 < a.1) (antidiagonal k), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2
R : Type u_4
R₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
ι : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
Module R M
Module R₂ M₂
γ : Type u_9
Zero γ
t : ι →₀ γ
g : ι → γ → M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
b : M
⊢ (t.sum g) b = t.sum fun i d => (g i d) b
x y : ℝ*
hx : ¬x.Infinitesimal
hy : y.Infinite
⊢ (y * x).Infinite
L R : List SetTheory.PGame
i : Fin L.length
⊢ (SetTheory.PGame.ofLists L R).moveLeft (SetTheory.PGame.toOfListsLeftMoves i) = L.get i
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
p : α → Prop
q : β → Prop
⊢ ManyOneEquiv p q → ManyOneEquiv q p
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
δ : Type u_3
MeasurableSpace δ
SemilatticeSup α
MeasurableSup₂ α
f : ℕ → δ → α
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Measurable (f k)
⊢ Measurable ((Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ f)
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Comma L R)
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (F.comp (CategoryTheory.Comma.fst L R)) L
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp (CategoryTheory.Comma.fst L R))
t₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp (CategoryTheory.Comma.snd L R))
⊢ (CategoryTheory.Comma.coconeOfPreserves F t₁ c₂).pt.left = c₁.pt
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
F : Set X
hF : IsPathConnected F
f : X → Y
hf : ContinuousOn f F
⊢ IsPathConnected (f '' F)
m n✝ k i n : ℕ
⊢ Nat.shiftLeft' true m i = Nat.shiftLeft' true m (n + i) >>> n
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
⊢ ‖↑(hf.approxBounded c n) x‖ ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
I : Set β
⊢ R.rightDual (R.leftDual (R.rightDual I)) ≤ R.rightDual I
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
h_nonempty : (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}).Nonempty
h_mem : sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) ∈ Set.Icc n m ∧ sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) ∈ {i | u i ω ∈ s}
⊢ u (sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s})) ω ∈ s
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι
⊢ Disjoint (span R {v i}) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), span R {v j})
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.costructuredArrowYonedaEquivalence F).counitIso.inv = CategoryTheory.eqToHom ⋯
S : CategoryTheory.Functor Type uᵒᵖ (Type u)
hs : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf CategoryTheory.typesGrothendieckTopology S
α : Type u
s : S.obj (Opposite.op α)
⊢ CategoryTheory.typesGlue S hs α (CategoryTheory.eval S α s) = s
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → E
hF_int : ∀ (i : ι), Integrable (F i) μ
hF_sum : Summable fun i => ∫ (a : α), ‖F i a‖ ∂μ
hE : CompleteSpace E
this : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖F i a‖₊ ∂μ = ↑‖∫ (a : α), ‖F i a‖ ∂μ‖₊
⊢ ↑(∑' (x : ι), ‖∫ (a : α), ‖F x a‖ ∂μ‖₊) ≠ ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp₁ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_5
l : Filter β
t : β → Set α
ht : ∀ (b : β), MeasurableSet (t b)
hμt : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤
hp : p ≠ ⊤
h : Tendsto (fun b => μ (t b ∆ s)) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun b => dist (indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c) (indicatorConstLp p hs hμs c)) l (𝓝 0)
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
K : Type u_3
VAdd K H
VAddAssocClass K H H
c : K
f : AddConstMap G H a b
⊢ ⇑(c +ᵥ f) = c +ᵥ ⇑f
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : μ s = 0
⊢ (fun x => if x ∈ s then f x else g x) =ᵐ[μ] g
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
⊢ n + 1 + (n + 1 - 1) = 2 * (n + 1) - 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
Z : Type u_6
TopologicalSpace Z
h : IsProperMap f
⊢ IsClosedMap (Prod.map f id)
m n : ℕ
m0 : m ≠ 0
n0 : n ≠ 0
⊢ ArithmeticFunction.cardFactors (m * n) = ArithmeticFunction.cardFactors m + ArithmeticFunction.cardFactors n
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
p : PerfectPairing R M N
⊢ ↑p.toDualRight.symm.dualMap ∘ₗ ↑p.toDualLeft = Module.Dual.eval R M
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ (CompHaus.pullback.cone f g).π =
  {
    app := fun j =>
      Option.rec (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHaus.pullback.fst f g) f)
        (fun val => CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (CompHaus.pullback.fst f g) (CompHaus.pullback.snd f g) val)
        j,
    naturality := ⋯ }
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
p : α → Prop
step : ∀ (a : α), p a → a ≤ lfp f → p (f a)
s : Set α := {a | a ≤ lfp f ∧ p a}
hSup : p (sSup s)
⊢ p (lfp f)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a b c : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a b ∈ M
hbc : swap b c ∈ M
hab' : a ≠ b
hac : a ≠ c
⊢ swap b c * swap a b * swap b c ∈ M
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : μ s = 0
⊢ μ.restrict s = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ (D.f i i).c.app (op U) ≫ (D.V (i, i)).presheaf.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U))) ≫ (D.V (i, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ invApp (D.f i i) ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 (unop ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)))) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
α : Type u_2
M : Type u_4
LE M
Zero M
s : Set α
f g : α → M
hfg : ∀ a ∈ s, f a ≤ g a
hf : ∀ a ∉ s, f a ≤ 0
⊢ f ≤ s.indicator g
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
FunLike β M N
AddMonoidHomClass β M N
f : β
v₁ v₂ : α →₀ M
⊢ Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ (v₁ + v₂) = Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ v₁ + Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ v₂
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
u : R[X]ˣ
n : ℕ
⊢ (1 / if n = 0 then (↑u).coeff 0 else 0) = if n = 0 then (↑u⁻¹).coeff 0 else 0
α : Type u
s : Stream'.Seq α
⊢ (Stream'.Seq.map Stream'.Seq1.ret s).join = s
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
⊢ (p.comp q).smeval x = p.smeval (q.smeval x)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ CondIndepSets m' hm' {s} {t} μ ↔ μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
h : c.Rel i j
⊢ c.Rel (c.prev j) j
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit z
⊢ x = y * Ring.inverse z ↔ x * z = y
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
ps : Set P
self : EuclideanGeometry.Concyclic ps
⊢ Coplanar ℝ ps
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
Fintype α₁
Fintype α₂
CommMonoid γ
f : α₁ × α₂ → γ
⊢ ∏ x : α₁ × α₂, f x = ∏ y : α₂, ∏ x : α₁, f (x, y)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : 1 ≤ n
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s) x
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
b : β
v : Mathlib.Vector α (n + 1)
f : α → β
⊢ b ∈ (Mathlib.Vector.map f v).toList ↔ f v.head = b ∨ ∃ a ∈ v.tail.toList, f a = b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
⊢ ¬Odd n ↔ n % 2 = 0
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
⊢ μ'.haarScalarFactor μ • μ s ≤ μ' s
M : Type u_1
G : Type u_2
Monoid M
CommGroup G
MulDistribMulAction M G
g : M
a : Additive G
⊢ ((Representation.ofMulDistribMulAction M G) g) a = Additive.ofMul (g • Additive.toMul a)
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
y : R
hI : I.IsRadical
⊢ Disjoint ↑(Submonoid.powers y) ↑I ↔ y ∉ I.toAddSubmonoid
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb volume
ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this : (fun t => ((∫ (x : ℝ) in t.1 ..t.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((t.2 - b) • cb - (t.1 - a) • ca)) =o[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b] fun t => ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖
⊢ (fun t => ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖) =O[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b] fun x' => x' - (a, b)
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y : X
⊢ dist x y = Sum.dist (inl x) (inl y)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap (↑c + x) = f.toMap (↑c + y)
⊢ f.toMap x = f.toMap y
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] 0, ‖f (x + x_1 • v + x_1 • w) - f (x + x_1 • v) - x_1 • (f' x) w - x_1 ^ 2 • (f'' v) w - (x_1 ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * x_1 ^ 2‖
α : Type u
UniformSpace α
⊢ DenseRange CauchyFilter.pureCauchy
x y : ℝ
a b : CauSeq ℚ abs
⊢ { cauchy := ⟦a ⊔ b⟧ } = match { cauchy := ⟦a⟧ }, { cauchy := ⟦b⟧ } with | { cauchy := x }, { cauchy := y } => { cauchy := Quotient.map₂ (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⋯ x y }
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Surjective (preimage f)
x x' : α
hx : f x = f x'
s : Set β
hs : f ⁻¹' s = {x}
⊢ x = x'
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
Countable ι
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ i)
⊢ AEMeasurable f (MeasureTheory.Measure.sum μ)
C : Ordinal.{u_4} → Sort u_5
o : Ordinal.{u_4}
H₁ : C 0
H₂ : (o : Ordinal.{u_4}) → C o → C (Order.succ o)
H₃ : (o : Ordinal.{u_4}) → o.IsLimit → ((o' : Ordinal.{u_4}) → o' < o → C o') → C o
⊢ (Order.succ o).limitRecOn H₁ H₂ H₃ = H₂ o (o.limitRecOn H₁ H₂ H₃)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀✝ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁✝ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
b : β
hb : b ∈ lowerBounds t
⊢ BddBelow (image2 f s t)
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
l : ℕ
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : ι → ι → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s t : Finset ι
x : 𝕜
hst : s ⊆ t
f : ι → 𝕜
d : 𝕜
hx : 0 ≤ x
hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|
ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
hscard : 0 < ↑s.card
htcard : 0 < ↑t.card
h₁ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
⊢ d + ↑s.card / ↑t.card * x ^ 2 ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) / ↑t.card
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
p' : Filter ι'
h : TendstoUniformlyOn F f p univ
h' : TendstoUniformlyOn F' f' p' univ
⊢ TendstoUniformlyOn (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ p') (univ ×ˢ univ)
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₁
h : J → I
⊢ ∀ {X Y : (i : I) → C i} (α : X ⟶ Y) (i : J), (CategoryTheory.Pi.comap C h).map α i = α (h i)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
hK : IsPGroup p ↥K
hHK : H ≤ K
⊢ IsPGroup p ↥H
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans F G
a : B
a' : C
f : G.obj a ⟶ a'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (η.naturality (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)).hom f)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (G.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)) f).hom
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (η.app a) (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (G.mapId a) f))) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapId a) (η.app a)) f)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (η.app a)).hom f)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (η.app a)).inv f)
        (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.obj a)) f).hom))
α : Type u_1
x : α
xs : List α
a : α
⊢ (x :: xs).set 0 a = a :: xs
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔
  CategoryTheory.IsPushout f f (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y) (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)
m n : ℕ
h : m < n - 1
⊢ m < n
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S
r : ℝ
⊢ (∃ x_1 ∈ {m | (mk' S) m = x}, ‖x_1‖ < r) ↔ ∃ m, ↑m = x ∧ ‖m‖ < r
α : Type u_1
β : Type v
s : Multiset α
f : α → Multiset β
⊢ Multiset.card (s.bind f) = (Multiset.map (⇑Multiset.card ∘ f) s).sum
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
hg : Continuous g
hf : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn (g ∘ f) s
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
DecidableEq α
L : List α
a b : α
⊢ List.count a (List.orderedInsert r b L) = List.count a L + if a = b then 1 else 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
n : ℕ∞
f : E → F
g : F →L[𝕜] G
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x = g.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_11
AddCommMonoid M'
Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'
⊢ x ∈ ϕ.submoduleImage N ↔ ∃ y, ∃ (yO : y ∈ O), y ∈ N ∧ ϕ ⟨y, yO⟩ = x
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
m n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ↑m ≤ OfNat.ofNat n ↔ m ≤ OfNat.ofNat n
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x✝ : ↥A.unitGroup
⊢ x✝ ∈ A.unitGroupToResidueFieldUnits.ker ↔ x✝ ∈ Subgroup.comap A.unitGroup.subtype A.principalUnitGroup
n m : ℕ
⊢ (range' n (m - n)).Nodup
α : Type u
DistribLattice α
a b c : α
⊢ a ⊓ b ⊔ c = (a ⊔ c) ⊓ (b ⊔ c)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M
x : α → R
⊢ ((linearEquivFunOnFinite R R α).symm x).support ⊆ Finset.univ
n r : ℕ
hr : 0 < r
⊢ (SimpleGraph.turanGraph n r).IsTuranMaximal r
a✝ b✝ : ℤ
n✝ a b n : ℕ
a_le_n : a ≤ n
b_le_n : b ≤ n
⊢ (↑a - ↑b).natAbs ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
hf : ContinuousOn f s
h : t ⊆ s
⊢ ContinuousOn f t
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
i : ι
DecidableEq ι
s : Set (α i)
⊢ Function.eval i ⁻¹' s = {i}.pi (Function.update (fun i => Set.univ) i s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α
i : ι
⊢ (f.rangeIcc g) i = Finset.Icc (f i) (g i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
f : X → Y
a : X
b : Y
⊢ Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 b) ↔ ∀ (u : ℕ → X), Tendsto u atTop (𝓝 a) → Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 b)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint (a ⊓ b) (a ⊔ b)
⊢ Disjoint a b
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
x y : α
⊢ cmpLE x y = cmp x y
m : ℕ
n : ℕ∞
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ ↑m ≤ n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n
⊢ ↑(m % n) / ↑n < 1
a b : ℕ
ha : 2 ≤ a
hb : 2 ≤ b
⊢ 2 ≤ (a ^ b - 1) / (a - 1)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f < g
gh : g < h
⊢ f < h
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : AddZeroClass δ
inst✝ : Min δ
C : Cost α β δ
x : α
xs : List α
y : β
ys : List β
w : 0 < (suffixLevenshtein C (x :: xs) (y :: ys)).val.length
⊢ (impl C (x :: xs) y (suffixLevenshtein C (x :: xs) ys)).val[0] = match suffixLevenshtein C xs (y :: ys) with | ⟨dx, property⟩ => match suffixLevenshtein C (x :: xs) ys with | ⟨dy, property_1⟩ => match suffixLevenshtein C xs ys with | ⟨dxy, property_2⟩ => min (C.delete x + dx[0]) (min (C.insert y + dy[0]) (C.substitute x y + dxy[0]))
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
f : α × β → E
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν)
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂ν) μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
⊢ ∀ {X Y : F.Elementsᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.CategoryOfElements.costructuredArrowYonedaEquivalence F).functor.map f =
    CategoryTheory.CostructuredArrow.homMk (↑f.unop).unop ⋯
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
hL'U : ↑L' ⊆ U
hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
M : Type u_1
Monoid M
a : M
x y : Mˣ
h : SemiconjBy a ↑x ↑y
m : ℤ
⊢ SemiconjBy a ↑(x ^ m) ↑(y ^ m)
α : Type u_1
β : Type u_3
δ : Type u_7
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
DecidableEq δ
DecidableEq ε
DecidableEq ε'
s : Finset α
t : Finset β
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → ε' → ε
g' : β → γ → ε'
h_assoc : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = f' a (g' b c)
⊢ Finset.image₂ f (Finset.image₂ g s t) u = Finset.image₂ f' s (Finset.image₂ g' t u)
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
S T : LightProfiniteᵒᵖ
g : S ⟶ T
x : X.val.obj S
⊢ f.val.app T (X.val.map g x) = Y.val.map g (f.val.app S x)
R : Type u
CommSemiring R
ι : Type u_1
f : ι → R
⊢ ⨆ i, PrimeSpectrum.basicOpen (f i) = ⊤ ↔ Ideal.span (Set.range f) = ⊤