ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁸ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁴ : G.IsContinuous J K
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify K A
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A
adj₁ : (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op ⊣ G.op.ran := G.op.ranAdjunction A
adj₂ : presheafToSheaf J A ⊣ sheafToPresheaf J A := sheafificationAdjunction J A
adj₃ : presheafToSheaf K A ⊣ sheafToPresheaf K A := sheafificationAdjunction K A
adj₄ : G.sheafPushforwardContinuous A J K ⊣ G.sheafPushforwardCocontinuous A J K := G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K
eq : adj₁.unit.app F ≫ G.op.ran.map (adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F)) ≫ G.op.ran.map ((sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F)) = adj₃.unit.app F ≫ (sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F))
⊢ ((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F) ≫ ((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map ((sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F))) ≫ adj₁.counit.app ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj ((presheafToSheaf K A).obj F)).val = ((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F) ≫ ((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₁.unit.app ((presheafToSheaf K A ⋙ sheafToPresheaf K A).obj F)) ≫ adj₁.counit.app ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj ((presheafToSheaf K A).obj F)).val
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ ((MvPolynomial.map f) p).support = p.support
α : Type u_2
ι : Type u_5
DistribLattice α
OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ s.sup f ⊓ a = s.sup fun i => f i ⊓ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts D
A : C
∀ (B : C), CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.prodComparison F A B)
⊢ (CategoryTheory.Limits.prodComparisonNatIso F A).inv =
  (CategoryTheory.asIso { app := fun B => CategoryTheory.Limits.prodComparison F A B, naturality := ⋯ }).inv
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x z : M
f g : M → E'
f' g' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, E') (-f) z (-f')
⊢ HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, E') f z f'
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
NoZeroSMulDivisors R M
⊢ FiniteDimensional.finrank R M = 0 ↔ Subsingleton M
𝕜₁ : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
(x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
(x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
(x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
(x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ Bundle.TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ Bundle.TotalSpace.proj
(x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
FiberBundle F₁ E₁
(x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
FiberBundle F₂ E₂
Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁
Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁'
Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂
Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂'
b : B
hb : b ∈ e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet)
L : F₁ →SL[σ] F₂
⊢ (Pretrivialization.continuousLinearMapCoordChange σ e₁ e₁' e₂ e₂' b) L =
  (↑(Pretrivialization.continuousLinearMap σ e₁' e₂')
      { proj := b, snd := (Pretrivialization.continuousLinearMap σ e₁ e₂).symm b L }).2
α : Type u_1
SizeOf α
a : Thunk α
⊢ sizeOf a = 1 + sizeOf a.get
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
f : α → E
hf : Integrable f (Measure.sum fun a => μ {a} • Measure.dirac a)
⊢ ∑' (i : α), ∫ (a : α), f a ∂μ {i} • Measure.dirac i = ∑' (a : α), ((Measure.sum fun a => μ {a} • Measure.dirac a) {a}).toReal • f a
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
hs : LinearIndependent K fun (b : ↑s) => ↑b
hx : x ∉ span K s
x0 : x ≠ 0
⊢ LinearIndependent K fun (b : ↑(s ∪ {x})) => ↑b
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1
⊢ o.oangle y (y - x) = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖y - x‖))
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
J J₂ : GrothendieckTopology C
X : C
⊢ ∀ S ∈ ⊥.sieves X, IsSheafFor P S.arrows
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω) in Set.univ, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a
α : Type ua
ι : Sort u_1
UniformSpace α
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
x : α
⊢ (𝓝 x).HasBasis p fun i => {y | (y, x) ∈ s i}
G : Type u_1
Monoid G
x : G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hg : x ^ p = 1
hg1 : x ≠ 1
⊢ orderOf x = p
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
ι : Sort u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
⊢ LieSubmodule.map f (⨆ i, N i) = ⨆ i, LieSubmodule.map f (N i)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : E → F
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hg : HasFTaylorSeriesUpToOn n g q s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n (f + g) (p + q) s
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddCommMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
X : C
n : A
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorComm C n 0).hom.app X)
    ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).hom.app X))
α : Type u_1
NontriviallyNormedField α
⊢ (𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot
α : Type u
TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → TopologicalSpace.Opens α
⊢ OpenEmbedding ⇑(TopCat.GlueData.fromOpenSubsetsGlue U)
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ ball 0 (1 + D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 0
⊢ (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] φ) x = 0
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ Monotone LieSubmodule.normalizer
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ_[p]
hz2 : ‖z2‖ < 1
⊢ ‖z1 * z2‖ < 1
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝ : Monoid M
c : Con M
f : M → M
x y : M
hf : ∀ (x : M), ↑(f x) * ↑x = 1
h : ↑x = ↑y
⊢ ↑(f x) = ↑(f y)
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
⊢ fibRec.IsSolution fun x => φ ^ x
k : Type u
inst✝¹ : Field k
K : Type v
inst✝ : Field K
H : ∀ (p : k[X]), p.Monic → Irreducible p → p.Separable → ∃ x, eval x p = 0
p : k[X]
hsep : p.Separable
q : k[X]
hq : Irreducible q
hdvd : q ∣ p
hlc : IsUnit q.leadingCoeff⁻¹
hsep' : (q * C q.leadingCoeff⁻¹).Separable
⊢ q.degree = 1
a b c : Int
w : a * b < a * c
h : 0 ≤ a
⊢ b < c
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
Monoid R
Monoid S
FunLike F R S
MonoidHomClass F R S
FunLike G S R
MonoidHomClass G S R
f : F
g : G
r : R
h : Function.LeftInverse ⇑g ⇑f
⊢ ∀ (x : Invertible (f r)), (invertibleEquivOfLeftInverse f g r h) x = Invertible.ofLeftInverse (⇑f) g r h
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
AddMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
n : ℕ
⊢ Smooth I I fun a => n • a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
R : Type u_5
n : Type u_6
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : AddGroup n
inst✝ : Fintype n
a : α
i j : n
⊢ circulant (Pi.single 0 a) i j = (scalar n) a i j
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h'f : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
g : M' → M''
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
hg : HasMFDerivAt I' I'' g (f x) g'
hf : HasMFDerivAt I I' f x f'
⊢ HasMFDerivAt I I'' (g ∘ f) x (g'.comp f')
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
⊢ f.measure (Ioo a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - ↑f a)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
AddCommGroup N
Module R N
AddCommGroup P
Module R P
Module.Free R M
Module.Finite R M
Module.Free R P
Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : P →ₗ[R] M
⊢ (LinearMap.trace R P) ((g ∘ₗ f) ∘ₗ h) = (LinearMap.trace R M) ((h ∘ₗ g) ∘ₗ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
⊢ HasSum f (∑' (n : ℕ), f n)
R : CommRingCat
⊢ 𝟙 (sheafedSpaceObj R) = (𝟙 (locallyRingedSpaceObj R)).val
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ s t : Set α
⊢ s =ᶠ[ae μ] t ↔ μ (s \ t) = 0 ∧ μ (t \ s) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 E
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (i : ι) (y : F), ⟪A (b i), y⟫_𝕜 = ⟪b i, B y⟫_𝕜
i : ι
⊢ A (b i) = (adjoint B) (b i)
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
⊢ ∀ ⦃a a' : { x // x ∈ s }⦄, a ∈ univ → a' ∈ univ → (a ≤ a' ↔ ↑a ≤ ↑a')
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ -((CliffordAlgebra.EquivEven.v Q) m * CliffordAlgebra.EquivEven.e0 Q) =
  CliffordAlgebra.EquivEven.e0 Q * (CliffordAlgebra.EquivEven.v Q) m
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
⊢ ∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x) = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
hF : CategoryTheory.Limits.IsImage F
hF' : CategoryTheory.Limits.IsImage F'
⊢ (hF.isoExt hF').inv = hF'.lift F
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hn : 0 < n
han : orderOf a ^ 2 ∣ n
⊢ a • approxOrderOf A n δ = approxOrderOf A n δ
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
hf₂ : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
x : S ⊗[R] T
J : Ideal T
hJ : J.IsPrime
⊢ ∃ t r a, r • t ∉ J ∧ 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
i' : ι
j' : κ
⊢ (Finsupp.single j 1) j * (Finsupp.single i 1) i * ((Finsupp.single i' 1) i * (Finsupp.single j' 1) j) = (Finsupp.single j' 1) j * (Finsupp.single i' 1) i
G : Type u
AddCommMonoid G
h : ∀ (g : G), 0 < addOrderOf g
⊢ AddMonoid.exponent G = ⨆ g, addOrderOf g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
c : Fin n → β
⊢ ∏ i : Fin n, c i = ∏ i ∈ range n, if h : i < n then c ⟨i, h⟩ else 1
m : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
v : m → A
hv : M *ᵥ v = 0
⊢ Mᵀ.det ≠ 0
s t : ℝ
ht : 0 < t
h : -1 ≤ s
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Ioi t) volume
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Ioi (max 1 t)) volume
⊢ False
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : ∀ (n : ℕ), (derivative f).coeff n = coeff 0 n
hf : f ≠ 0
f_nat_degree_pos : 0 < f.natDegree
m : ℕ := f.natDegree - 1
hm : m + 1 = f.natDegree
h2 : (derivative f).coeff m = f.coeff (m + 1) * (↑m + 1)
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
hf : f.IsSemisimple
μ : R
⊢ f.maxGenEigenspace μ = f.eigenspace μ
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
hfin : Fintype ι
H : ι → AddSubgroup G
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → AddCommute x y
hind : CompleteLattice.Independent H
⊢ Function.Injective ⇑(AddSubgroup.noncommPiCoprod hcomm)
α : Type u
σ : Type v
σ' : Type u_2
g : σ ≃ σ'
M : DFA α σ
⊢ ((DFA.reindex g) M).accept = ⇑g.symm ⁻¹' M.accept
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
k : ℕ
⊢ posFittingCompOf R M x ≤ lowerCentralSeries R L M k
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
L : IntermediateField F E
Algebra.IsSeparable F ↥L
x : E
h : x ∈ L
⊢ IsSeparable F x
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
S : Finset Λ
k : K
s : StAct k
q : Stmt₂
⊢ TM2.SupportsStmt S (stRun s q) ↔ TM2.SupportsStmt S q
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
p p' : Submodule R M
q q' : Submodule R M'
⊢ p ≤ p' → q ≤ q' → p.prod q ≤ p'.prod q'
ι : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
CommMonoid M
ContinuousMul M
f : ι → X → M
s : Multiset ι
⊢ (∀ i ∈ s, Continuous (f i)) → Continuous fun a => (Multiset.map (fun i => f i a) s).prod
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
σ : Perm n
⊢ ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = ∏ i : m, A ((e.permCongr σ) i) i
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
h : J ≤ I
⊢ (BoxIntegral.Prepartition.single I J h).iUnion = ↑J
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
s : Set α
a : α
b : β
⊢ IsLocalMinOn (fun x => b) s a
x y : EReal
⊢ (∀ (z : ℝ), x < ↑z → y ≤ ↑z) ↔ y ≤ x
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S.leftInv
h : ∃ u, ↑u = ↑((↑S.fromCommLeftInv).toFun x)
⊢ (Classical.choose h).inv * ↑h.choose = ↑x * ↑((↑S.fromCommLeftInv).toFun x)
α : Type u_1
L : List (List α)
⊢ L.join.length = Nat.sum (List.map List.length L)
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
T2Space M
i : ι
x : M
h : ↑(fs.toFun i) x = 0
⊢ (fs.toSmoothPartitionOfUnity i) x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t s : Set α
⊢ μ (if h : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ t =ᶠ[ae μ] s then h.choose else if h' : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t ∩ u) = μ (s ∩ u) then h'.choose else ⋯.choose) = μ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
⊢ HomotopyCategory.quasiIso C c = (HomologicalComplex.quasiIso C c).map (HomotopyCategory.quotient C c)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
l.NeBot
a b : β
⊢ ((fun x => a) =ᶠ[l] fun x => b) ↔ a = b
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
⊢ f = g
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
⊢ (Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = x.pullback f
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G → H
hf : IsAddGroupHom f
h : IsAddGroupHom.ker f = IsAddSubgroup.trivial G
⊢ Function.Injective f
n : ZFSet
⊢ n ∈ ZFSet.omega → insert n n ∈ ZFSet.omega
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
⊢ w.IsComplex → ¬ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
hp : NeZero p
n : ℕ
⊢ (W_ R n).vars ⊆ range (n + 1)
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
⊢ Filter.Tendsto Inv.inv (Bornology.cobounded α) (𝓝[≠] 0)
V : Type u₁
Quiver V
X : V
⊢ CategoryTheory.Paths.of.obj X = X
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
G₂ : Type u_2
inst✝² : Group G₂
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ : Subgroup G
H₂ : Subgroup G₂
inst✝¹ : Finite ↥H₁
inst✝ : Finite ↥H₂
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
n₁ : ℕ
heq₁ : Nat.card ↥H₁ = p₁ ^ n₁
⊢ (Nat.card ↥H₁).Coprime (Nat.card ↥H₂)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork (f - g)
⊢ (CategoryTheory.Preadditive.forkOfKernelFork c).pt = c.pt
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ uncurry bit n.boddDiv2 = n
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
D' : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_9, u_6} D'
L : CategoryTheory.Functor C D
L' : CategoryTheory.Functor C D'
G : CategoryTheory.Functor D D'
G.IsEquivalence
e : L.comp G ≅ L'
F : CategoryTheory.Functor C H
⊢ L'.HasLeftKanExtension F ↔ L.HasLeftKanExtension F
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
z : M ⧸ torsion R M
x : M
x✝ : Quotient.mk'' x ∈ torsion R (M ⧸ torsion R M)
a : ↥R⁰
hax : a • Quotient.mk'' x = 0
⊢ Quotient.mk'' x ∈ ⊥
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
X✝ Y✝ Z✝ : ι
hij : X✝ ⟶ Y✝
hjk : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (hij ≫ hjk) = { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hij ≫ { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hjk
α : Type u_1
UniformSpace α
β : Type u_2
UniformSpace β
f : α → β
T0Space β
CompleteSpace β
hf : UniformContinuous f
g : UniformSpace.Completion α → β
hg : UniformContinuous g
h : ∀ (a : α), f a = g (↑α a)
⊢ UniformSpace.Completion.extension f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : β → γ → ℝ≥0∞ := Function.curry f
⊢ ∫⁻ (bc : β × γ), f bc ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.1 bc.2 ∂(κ ⊗ₖ η) a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
⊢ Convex 𝕜 0
c d : Cardinal.{u}
hc : c < Cardinal.aleph0
hd : d < Cardinal.aleph0
⊢ Cardinal.toNat c < Cardinal.toNat d ↔ c < d