ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
h : Wbtw R x y z
f : P →ᵃ[R] P'
⊢ f y ∈ ⇑f '' affineSegment R x z
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasTerminal C
ι : Type w
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Finite ι
X : C
j : ι
⊢ (limitIsoPi ι X).hom ≫ Pi.π (fun x => X) j = WidePullback.π (fun x => terminal.from X) j
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
this✝ : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
this : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
⊢ 0 < ↑p
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
k : 𝕜
⊢ ((algebraMap 𝕜 𝓜(𝕜, A)) k).toProd.1 = (algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) k
α : Type u_1
OrderedCancelCommMonoid α
s : Set α
hpos : ∀ x ∈ s, 1 ≤ x
h : s.IsPWO
⊢ (↑(Submonoid.closure s)).IsPWO
R : Type u_10
Semiring R
⊢ (Basis.finTwoProd R) 1 = (0, 1)
o o' : ONote
m : ℕ
o.NF
h : o.split = (o', m)
⊢ o'.NF ∧ o.repr = o'.repr + ↑m
k : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b : E
r : k
h : 0 < r
⊢ a < (AffineMap.lineMap a b) r ↔ a < b
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
l.NeBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / r) l Filter.atTop ↔
  0 < r ∧ Filter.Tendsto f l Filter.atTop ∨ r < 0 ∧ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
⊢ (CategoryTheory.Limits.Image.monoFactorisation f).e = CategoryTheory.Limits.factorThruImage f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
self : J.WEqualsLocallyBijective A
X Y : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
f : X ⟶ Y
⊢ J.W f ↔ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J f ∧ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → SimpleGraph V
⊢ (⨅ i, f i).Adj a b ↔ ∀ (i : ι), (f i).Adj a b
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
c : List ℕ
hc : c.sum ≤ Fintype.card α
klift : (n : ℕ) → n < Fintype.card α → Fin (Fintype.card α) := fun n hn => ⟨n, hn⟩
klift' : (l : List ℕ) → (∀ a ∈ l, a < Fintype.card α) → List (Fin (Fintype.card α)) := fun l hl => pmap klift l hl
hc'_lt : ∀ l ∈ c.ranges, ∀ n ∈ l, n < Fintype.card α
l : List (List (Fin (Fintype.card α))) := pmap klift' c.ranges hc'_lt
hl : ∀ (a : List ℕ) (ha : a ∈ c.ranges), map (⇑Fin.valEmbedding) (klift' a ⋯) = a
⊢ ∃ o, map length o = c ∧ (∀ s ∈ o, s.Nodup) ∧ Pairwise Disjoint o
α : Type u_1
M : Type u_5
R : Type u_11
Zero M
f : α →₀ M
CommSemiring R
g : α → M → ℕ
⊢ ↑(f.sum g) = f.sum fun a b => ↑(g a b)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ a • closedBall b r ↔ x✝ ∈ closedBall (a • b) r
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
n : ℤ
⊢ FractionalIdeal.count K v (↑v.asIdeal ^ n) = n
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
x : Fin n → R
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
q : MvPolynomial (Fin n) R
⊢ eval₂ ((eval x).comp ((Polynomial.evalRingHom q).comp (Polynomial.C.comp C))) (fun s => (eval x) (Polynomial.eval q (Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) s))) f = (eval fun i => Fin.cases ((eval x) q) x i) f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R₁ R₂ : CategoryTheory.Presieve X
h : R₁ ≤ R₂
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P R₂
⊢ x.Compatible → (CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.restrict h x).Compatible
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a d₁ : α
t₁ : List α
ih : a ∈ t₁ → indexOf a (t₁ ++ l₂) = indexOf a t₁
h : a ∈ d₁ :: t₁
hh : ¬d₁ = a
⊢ indexOf a (d₁ :: (t₁ ++ l₂)) = indexOf a (d₁ :: t₁)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasFilteredColimitsOfSize.{v₂, u₂, v₁, u₁} Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCofilteredLimitsOfSize.{v₂, u₂, v₁, u₁} C
θ : ℂ
⊢ cos θ = 0 ↔ ∃ k, θ = (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2
P : TopCat → Prop
X Y : CompHausLike P
f : X ≅ Y
⊢ CompHausLike.isoEquivHomeo f = CompHausLike.homeoOfIso f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x
B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x)
E : EqOn f g s
x y : α
z : ↑s
⊢ g x ≤ f ↑z + ↑K * dist y ↑z + ↑K * dist x y
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
LinearOrder α
f : ι → α
g : ι' → α
⊢ IsPiSystem {S | ∃ l u, f l < g u ∧ Set.Ioo (f l) (g u) = S}
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ
⊢ (∃ c, IsBigOWith c l (fun x => ‖f' x‖) g) ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f' g
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Group G
hN : Nontrivial G
tfG : IsTorsionFree G
x : G
hx : x ≠ 1
⊢ ∃ g, ¬IsOfFinOrder g
E : Type u_1
PE : Type u_2
F : Type u_3
PF : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MetricSpace PE
inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MetricSpace PF
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
f : PE ≃ᵢ PF
x y : PE
e : PE ≃ᵢ PE := ((f.trans (pointReflection ℝ (midpoint ℝ (f x) (f y))).toIsometryEquiv).trans f.symm).trans (pointReflection ℝ (midpoint ℝ x y)).toIsometryEquiv
hx : e x = x
hy : e y = y
hm : (pointReflection ℝ (midpoint ℝ x y)).toIsometryEquiv (f.symm ((pointReflection ℝ (midpoint ℝ (f x) (f y))).toIsometryEquiv (f (midpoint ℝ x y)))) = midpoint ℝ x y
⊢ f (midpoint ℝ x y) = midpoint ℝ (f x) (f y)
R : Type u_1
Semiring R
s t : Set R
h : s ⊆ t
⊢ Subsemiring.centralizer t ≤ Subsemiring.centralizer s
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
a b : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : a ⟶ b
⊢ ∀ (a_1 : B), (CategoryTheory.CategoryStruct.id η).app a_1 = CategoryTheory.CategoryStruct.id (η.app a_1)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
⊢ ∀ (P : Ideal R) (x : P.IsMaximal), map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R (I * J)) = map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R I * spanNorm R J)
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
hix : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
this : Nonempty ι
⊢ ∃ j, ∃ (hij : i ≤ j), (f' i j hij) x = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
s : Set M
⊢ ⇑h.symm '' (⇑h '' s) = s
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : ν ⟂ₘ μ
⊢ μ ⟂ₘ ν
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x => F⟮α + x • β⟯
x y : F
hneq : x ≠ y
heq : f x = f y
⊢ F⟮α + x • β⟯ ≤ F⟮α, β⟯
α : Type u_1
CompleteSemilatticeSup α
s : Set α
a : α
⊢ (∀ b ∈ s, b ≤ a) → sSup s ≤ a
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
⊢ x.order = ⋯.min ⋯
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s} ∈ 𝓤 α
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
⊢ Primrec₂ Prod.mk
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : K
⊢ ∑ x_1 : InfinitePlace K, ↑x_1.mult * x_1 x ≤ B ↔ ∑ w : InfinitePlace K, ↑w.mult * ↑w x ≤ B
G : Type u
Group G
B : GroupFilterBasis G
x₀ : G
⊢ 𝓝 x₀ = B.N x₀
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommRing R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalRing R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type ?u.1260451) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
a : A
ha : p a
f g : C(↑(σₙ R a), R)₀
⊢ (cfcₙHom ha) f ≤ (cfcₙHom ha) g ↔ f ≤ g
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
⊢ ¬⊥.Adj a b
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R⟦X⟧ˣ
⊢ (d⁄dX R) ↑f⁻¹ = -↑f⁻¹ ^ 2 * (d⁄dX R) ↑f
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ (ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x) ∧ ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n (↑(chartAt E' ((↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) x)) ∘ (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U
⊢ (Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (μ.restrict s)) U = μ (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
f : α →ᵤ[𝔖] β
h : 𝔖.Nonempty
h' : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis p s
⊢ (𝓝 f).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => {g | (g, f) ∈ UniformOnFun.gen 𝔖 Si.1 (s Si.2)}
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
⊢ Injective ⇑(fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
h : s.pi t₁ ⊆ s.pi t₂
hne : (s.pi t₁).Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ t₁ i ⊆ t₂ i
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
⊢ interior (⋂₀ S) = interior (⋂ s ∈ S, s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
h : Pairwise fun x y => T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ
⊢ ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.1 = setToSimpleFunc T (map Prod.snd (f.pair g))
m : ℕ
m.AtLeastTwo
n : ℕ∞
⊢ OfNat.ofNat m ≤ ↑n ↔ OfNat.ofNat m ≤ n
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
⊢ FractionalIdeal.dual A K I * I = FractionalIdeal.dual A K 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s✝ t s : Set α
⊢ ∏ᶠ (j : ↑s), f ↑j = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R
z : ↥N
eq₁ : ↑z * (algebraMap R S) x = ↑z * (algebraMap R S) y
⊢ ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0
⊢ ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂
X : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsReduced X
H : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ AlgebraicGeometry.IsIntegral X
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Finset.Colex α
⊢ s ≤ t ↔ ∀ (h : s ≠ t), (symmDiff s.ofColex t.ofColex).max' ⋯ ∈ t.ofColex
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → Option σ
hf : Computable₂ fun a n => (decode n).bind (f a)
n : ℕ
⊢ ((↑(decode n)).bind fun a => map encode ((fun a => (do let n ← (↑fun n => encode (decode n)) a.2 ↑n.ppred).bind ↑fun b => (fun a n => (decode n).bind (f a)) (a, b).1.1 (a, b).1.2) a)) = (↑(decode n)).bind fun a => map encode ((↑fun p => f p.1 p.2) a)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Mon_ (C ⥤ C)
f : X ⟶ Y
Z : C
⊢ (f.hom.app (X.X.obj Z) ≫ Y.X.map (f.hom.app Z)) ≫ Y.mul.app Z = ((ofMon X).map (f.hom.app Z) ≫ f.hom.app (Y.X.obj Z)) ≫ Y.mul.app Z
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y = ↑π ↔ o.oangle y x = ↑π
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : HasMFDerivAt I I' f x f'
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ+
f : Mˣ →* Nˣ
k : ℕ+
ζ : Mˣ
h : ζ ∈ ↑(rootsOfUnity k M)
⊢ f ζ ∈ rootsOfUnity k N
ι : Type u_1
LinearOrder ι
SuccOrder ι
IsSuccArchimedean ι
PredOrder ι
i0 : ι
n : ℕ
hn : ¬IsMax (Order.succ^[n] i0)
⊢ toZ i0 (Order.succ^[n] i0) = ↑n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝³ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x✝ : R
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S R
inst✝ : IsScalarTower S R R
s : S
p : R[X]
x : R
⊢ eval x (s • p) = s • eval x p
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b✝ c a b : α
⊢ a ^ 2 = b ^ 2 ↔ |a| = |b|
R : Type uR
S : Type uS
A✝ : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Semiring A✝
inst✝⁹ : Algebra R A✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
b✝ : Basis ι R M
inst✝⁶ : Fintype ι
ι' : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ι'
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R N
ij : ι × ι'
k : ι'
⊢ (baseChange A ((b'.linearMap b) ij)) ((basis A b') k) = (((basis A b').linearMap (basis A b)) ij) ((basis A b') k)
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Computable G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Computable₂ G
a : α
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
m1 : (unpair m).1 < n + 4
m2 : (unpair m).2 < n + 4
⊢ (bif n.bodd then bif n.div2.bodd then rf a (ofNat Code n.div2.div2, F a (ofNat Code n.div2.div2)) else pc a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1, ofNat Code (unpair n.div2.div2).2, F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1), F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).2)) else bif n.div2.bodd then co a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1, ofNat Code (unpair n.div2.div2).2, F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1), F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).2)) else pr a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1, ofNat Code (unpair n.div2.div2).2, F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1), F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).2))) = F a (ofNat Code (n + 4))
this : Set.univ = Set.Iio 0 ∪ Set.Ioi 0 ∪ {0}
⊢ Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[<] 0 ⊔ 𝓝[>] 0 ⊔ 𝓝[{0}] 0) (𝓝 0)
α : Type u
β : Type v
l : Filter α
f g h : α → β
H : f =ᶠ[l] g
⊢ f =ᶠ[l] h ↔ g =ᶠ[l] h
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
⊢ ↑e '' (e.trans e').source = e.target ∩ e'.source
i : Int
xs ys : Lean.Omega.IntList
⊢ i * xs * ys = i * (xs * ys)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Countable ι
κ η : ι → ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.sum fun n => κ n + η n) = ProbabilityTheory.Kernel.sum κ + ProbabilityTheory.Kernel.sum η
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_mem : a ∈ s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ Ici x ⊆ Ici a
A : Type u
B : Type v
C : Type z
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
CommRing C
Algebra A C
pb : PowerBasis A B
e : Fin pb.dim ≃ (B →ₐ[A] C)
⊢ Algebra.embeddingsMatrixReindex A C (⇑pb.basis) e = (Matrix.vandermonde fun i => (e i) pb.gen)ᵀ
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p : β → Prop
u v : β → α
h : ∀ᶠ (x : β) in f, p x → u x ≤ v x
⊢ Filter.bliminf u f p ≤ Filter.bliminf v f p
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0
h_contr : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I
hv_prime : Prime v.asIdeal
w : HeightOneSpectrum R
hw : w ∈ hf.toFinset.erase v
hvw' : v.asIdeal ∣ w.maxPowDividing I
hw_prime : Prime w.asIdeal
hvw : v.asIdeal ∣ w.asIdeal
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p b : α
hp : p ≠ 0
a : αˣ
ha : p * b * ↑a = p
⊢ p * (b * ↑a) = p * 1
α : Type ua
tt : Set (UniformSpace α)
t : UniformSpace α
h : ∀ t' ∈ tt, t ≤ t'
⊢ t ≤ sInf tt
α : Type u_1
Fintype ↑∅
⊢ ∅.toFinset = ∅
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
S : CategoryTheory.Presieve X
R : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → S f → CategoryTheory.Sieve Y
f : Y ⟶ X
h : S f
⊢ CategoryTheory.Sieve.pushforward f (R h) ≤ CategoryTheory.Sieve.bind S R