ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
hf : ∀ x ∈ s, {x_1 | x_1 ∈ s → x_1 ∈ f x} ∈ 𝓝 x
t : ℕ → Finset X
ht : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, x ∈ compactCovering X n ∩ s
hsub : ∀ (n : ℕ), compactCovering X n ∩ s ⊆ ⋃ x ∈ t n, {x_1 | x_1 ∈ s → x_1 ∈ f x}
x : X
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : x ∈ compactCovering X n
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ ⋃ n, ↑(t n)), x ∈ f i
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
CommRing A
CommRing B
CommRing C
f : A →+* B
g : B →+* C
h : (g.comp f).FiniteType
⊢ g.FiniteType
l m r : List Char
p : Nat
⊢ { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.atEnd { byteIdx := p } = true ↔ p = utf8Len m
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup γ
f g : α → γ
hf : Tendsto f atTop atTop
hg : Tendsto g atTop atTop
⊢ Tendsto (Prod.map f g) atTop atTop
G : Type u_1
X : Type u_2
Group G
MulAction G X
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
h_proper : ProperSMul G X
T2Space G
⊢ T2Space X
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ
⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map φ) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj J.cocomplex) = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain F K m
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inr φ).f p₁ ≫ (CochainComplex.mappingCone.descCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ = β.v p₁ p₂ h₁₂
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G
⊢ ∀ (n : ℕ), (∃ H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤) → ∃ H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
⊢ Finsupp.support 0 = ∅
G : Type u_1
AddCommGroup G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑(AddCommGroup.primaryComponent G p) = {g | ∃ n, addOrderOf g = p ^ n}
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype l
Fintype m
Fintype n
NonUnitalSeminormedRing α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
⊢ ‖A * B‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖B‖₊
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SupSet α
SupSet β
SupSet γ
g : sSupHom β γ
f₁ f₂ : sSupHom α β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s
hy : x ≠ x
⊢ ∃ a b, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s
𝕜 : Type u
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁸ : AddCommGroup F'
inst✝⁷ : Module 𝕜 F'
inst✝⁶ : TopologicalSpace F'
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁴ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝³ : CompleteSpace 𝕜
E' : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E'
⊢ 0 < lipschitzExtensionConstant E'
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
a : R
⊢ EuclideanDomain.gcd a 0 = a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
W : Submodule K V
this : finrank K ↥W + finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V + finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal ⊤)
⊢ finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V - finrank K ↥W
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k
x₀ : G
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀
k' : Set G := t • k⁻¹
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ) x₀
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
hi : Irreducible f
h : f.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
hf : f = X ^ q ^ n - C y
⊢ ∃ n y, (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = X ^ q ^ n - C y
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
⊢ toIcoDiv hp (a - c) b = toIcoDiv hp a (b + c)
n : Nat
a b : Fin n
h : a < b
⊢ a ≠ b
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
x : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R') (m : M) (n : N), r • m ⊗ₜ[R] n = (r • m) ⊗ₜ[R] n
m : M
n : N
⊢ 1 • m ⊗ₜ[R] n = m ⊗ₜ[R] n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Option α → β → γ
as : List α
⊢ List.map₂Right f as [] = []
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x
⊢ 0 < d * a.y ^ 2
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
⊢ (AlgebraicGeometry.stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ (f '' s).Nonempty → s.Nonempty
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
p r : R
s : ↥S
⊢ p -ₒ s + (r -ₒ 0) = p + r -ₒ s
α : Type u
One α
⊢ WithTop.untop 1 ⋯ = 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
u v u' v' : ℝ → A
hu : ContinuousOn u [[a, b]]
hv : ContinuousOn v [[a, b]]
huu' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt u (u' x) (Ioi x) x
hvv' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt v (v' x) (Ioi x) x
hu' : IntervalIntegrable u' volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' volume a b
⊢ IntervalIntegrable (fun x => u' x * v x + u x * v' x) volume a b
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s t : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), s i ⊆ t i
⊢ ⋃ i, s i ⊆ ⋃ i, t i
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
h : Isometry f
x : α
r : ℝ≥0∞
⊢ f ⁻¹' EMetric.ball (f x) r = EMetric.ball x r
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ a₂ + b₂ ≤ a₁ + b₁ ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂
α : Type u_1
ι : Type u_4
PartialOrder α
OrderBot α
s : Set ι
f : ι → α
i : ι
⊢ (insert i s).PairwiseDisjoint f ↔ s.PairwiseDisjoint f ∧ ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (f i) (f j)
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : MeasureTheory.Filtration ι m
g : Ω → ℝ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ MeasureTheory.UniformIntegrable (fun i => μ[g|↑f i]) 1 μ
M : Type u_3
N : Type u_4
G : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
CommGroup G
f g : N →* G
h : M →* N
⊢ (f / g).comp h = f.comp h / g.comp h
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a b : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (a + b).imI = a.imI + b.imI
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : ι → 𝕜
i : ι
y z : 𝕜
j : ι
⊢ (if j = i then z else 0 j) = (ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 𝕜))) z j
V : Type u_1
Quiver V
W : Type u_2
σ : V → W
W' : Type u_3
Quiver W'
φ : V ⥤q W'
τ : W → W'
h : ∀ (x : V), φ.obj x = τ (σ x)
⊢ Quiver.Push.of σ ⋙q Quiver.Push.lift σ φ τ h = φ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a : α
⊢ SurjOn f (Ioi a) (Ioi (f a))
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
⊢ EMetric.hausdorffEdist (closure s) t = EMetric.hausdorffEdist s t
α : Type u
β : Type v
DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
f : α → β
x : α
y : β
⊢ List.map (Function.update f x y) l = if x ∈ l then (List.map f l).set (List.indexOf x l) y else List.map f l
β : Type u_1
α : Type u_2
Unique β
x : α
⊢ (Equiv.uniqueProd α β).symm x = (default, x)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f g : ℝ → E
x : ℝ
f_diff : ∀ (y : ℝ), y ≠ x → HasDerivAt f (g y) y
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
y : ℝ
⊢ HasDerivAt f (g y) y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
f : P ⟶ Q
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P R
h : x.Compatible
⊢ (CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f x).Compatible
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
φ ψ : W.RightFraction X Y
⊢ φ.map L ⋯ = ψ.map L ⋯ ↔ RightFractionRel φ ψ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α
⊢ s ∪ insert a t = insert a (s ∪ t)
n : ℕ
⊢ (φ ^ (n + 1) - ψ ^ (n + 1)) / √5 - φ * ((φ ^ n - ψ ^ n) / √5) = ψ ^ n
α : Type u_5
self : KleeneAlgebra α
a b : α
⊢ a * b ≤ b → a∗ * b ≤ b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
s t : Set α
y : β
Zero β
hs : IsClosed s
hy : 0 ≤ y
⊢ UpperSemicontinuousOn (s.indicator fun _x => y) t
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
R₂ : Type u_3
Semiring R₂
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module S N
Module R₂ P
Module S₂ P
SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
f g : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
H : f.flip = g.flip
⊢ f = g
α : Type u_1
l : List α
⊢ map Prod.fst l.enum = range l.length
α : Type u
DecidableEq α
a : α
l : List α
d : l.Nodup
h : a ∈ l
⊢ List.count a l = 1
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
CharP R n
a b : ZMod n
⊢ (a * b).cast = a.cast * b.cast
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
this : (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).IsLocal := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty P
⊢ (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).StableUnderBaseChange
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
⊢ (Monoid.Coprod.swap G H).range = ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P : C → Prop
CategoryTheory.ClosedUnderIsomorphisms P
X Y : C
e : X ≅ Y
hX : P X
⊢ P Y
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
p : Finset α
⊢ p ∈ filter (fun p => ¬p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts ↔ p ∈ filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.source
⊢ LiftPropAt Q (↑e) x
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
n m : ℕ
h : xs ~ ys
h' : ys.Nodup
this : n ≤ n + m
h₂ : xs.Nodup
⊢ (take n xs).Disjoint (drop (n + m) xs)
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
Fintype n
M : Matrix m n R
⊢ LinearMap.range M.mulVecLin = Submodule.span R (Set.range Mᵀ)
R : Type u
CommRing R
A : AlgebraCat R
⊢ ModuleCat.MonModuleEquivalenceAlgebra.inverse.obj A = ModuleCat.MonModuleEquivalenceAlgebra.inverseObj A
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X : C
G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ G
Y : C
f : X ⟶ Y
p : CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection F Y
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₂ G f (CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₁ η p) =
  CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₁ η (CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₂ F f p)
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x✝ : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p✝ : (i : Fin n) → α i.succ
i✝ : Fin n
y : α i✝.succ
z : α 0
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
i : Fin (n + 1)
x : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
q₁ q₂ : (j : Fin (n + 1)) → α j
⊢ i.insertNth x p ∈ Icc q₁ q₂ ↔ x ∈ Icc (q₁ i) (q₂ i) ∧ p ∈ Icc (fun j => q₁ (i.succAbove j)) fun j => q₂ (i.succAbove j)
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ s.encard ≤ (s \ t).encard + t.encard
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
f : G →* H
hN : N = f.ker
tH : IsTorsion H
tN : IsTorsion ↥N
g : G
ngn : ℕ
ngnpos : 0 < ngn
hngn : f g ^ ngn = 1
gn : ↥N
h : ↑gn = g ^ ngn
hmem✝ hmem : ↑gn ∈ f.ker
nn : ℕ
nnpos : 0 < nn
hnn : gn ^ nn = 1
⊢ IsOfFinOrder g
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
⊢ ↑(Fin.cast ⋯ (↑(p.length + ↑i) + 1)) = ↑(Fin.natAdd (p.length + 1) i)
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
i : ι
⊢ ↑⌊(b.repr m) i⌋ = (b.repr m) i
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C
this : (G ⋙ F).map (F.map (η.inv.app X)) ≫ ε.hom.app (F.obj ((𝟭 C).obj X)) = ε.hom.app (F.obj ((F ⋙ G).obj X)) ≫ (𝟭 D).map (F.map (η.inv.app X))
⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ F.map (G.map (ε.inv.app (F.obj X))) ≫ F.map (G.map (F.map (η.inv.app X))) ≫ ε.hom.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
n : ℕ
h_meas_n : MeasurableSet (S n)
⊢ μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ spanningSets μ n) = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
⊢ eval 1 (map f p) = f (eval 1 p)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
s : Cone D
j : J
⊢ (T.map (t.lift (T.forget.mapCone s)) ≫ t.lift (newCone D c)) ≫ c.π.app j = (s.pt.a ≫ t.lift (T.forget.mapCone s)) ≫ c.π.app j
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f f₁ : E → F
x : E
hs : Set.EqOn f₁ f s
hx : x ∈ s
n : ℕ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f₁ s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x
R : Type u
σ : Type u_1
τ : Type u_2
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
h : Function.Injective f
i : σ
⊢ MvPolynomial.degreeOf (f i) ((MvPolynomial.rename f) p) = MvPolynomial.degreeOf i p
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → β → α
S : Set β
hA : UniformEquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) S
hu : Continuous (S.restrict ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
⊢ ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), ∀ (i : ↑(closure A)), ((u ∘ Subtype.val) i xy.1, (u ∘ Subtype.val) i xy.2) ∈ U
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
x : α
z : β
⊢ UpperSemicontinuousAt (fun _x => z) x
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S T : Subalgebra R A
⊢ ↑(S ⊓ T) = ↑S ∩ ↑T
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
t : Set ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
hS : MeasurableSet S
⊢ (cylinder s S)ᶜ = cylinder s Sᶜ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
L : ℝ≥0∞
hL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ f x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
X : Type u_4
TopologicalSpace X
self : PathConnectedSpace X
⊢ Nonempty X
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
s : UpperSet α
⊢ ((UpperSet.map f) s).compl = (LowerSet.map f) s.compl
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}
⊢ o.bsup f = 0 ↔ ∀ (i : Ordinal.{u_4}) (hi : i < o), f i hi = 0
k : Type u_1
G : Type u_3
Monoid G
Semiring k
s : Set G
x : MonoidAlgebra k G
⊢ x ∈ Ideal.span (⇑(MonoidAlgebra.of k G) '' s) ↔ ∀ m ∈ x.support, ∃ m' ∈ s, ∃ d, m = d * m'
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ ContDiff 𝕜 n f
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
FiniteDimensional ℝ E
μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : MeasureTheory.Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : MeasureTheory.Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : MeasureTheory.Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
⊢ ∫ (x : E), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E), (B (f' x)) (g x) ∂μ
α : Type u_1
⊢ Ordnode.nil.size = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
p : R[X]
m : ℕ
i j : n
⊢ (if i = j then p else 0).coeff m = if i = j then p.coeff m else 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List ℕ
⊢ L.tail.sum = L.sum - L.headI
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
q : ℝ≥0∞
q_top : ¬q = ⊤
q_zero : ¬q = 0
⊢ eLpNorm f (p / q * ENNReal.ofReal q.toReal) μ ^ q.toReal < ⊤
α : Type u
p : α → Bool
⊢ List.filter p List.nil = List.nil
X : Type u_1
TopologicalSpace X
PreconnectedSpace X
DiscreteTopology X
⊢ Subsingleton X
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
j : J
⊢ s.π.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ w.inv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ (e.functor ⋙ G).map (e.unitInv.app j) ≫ w.hom.app j = s.π.app j
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
⊢ e.trans e.symm = MeasurableEquiv.refl α
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
f : PartialHomeomorph E F
f₀' : E ≃L[𝕜] F
a : F
ha : a ∈ f.target
hf₀' : HasFDerivAt (↑f) (↑f₀') (↑f.symm a)
hf : ContDiffAt 𝕜 n (↑f) (↑f.symm a)
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (↑f.symm) a
α : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid R
AddCommMonoid M
f : α → M
a : M
h : HasSum f a
⊢ HasSum (fun x => TrivSqZeroExt.inr (f x)) (TrivSqZeroExt.inr a)
K : Type u_1
DivisionRing K
CharZero K
a b : ℕ
⊢ ↑((a + b).choose a) = ↑(a + b)! / (↑a ! * ↑b !)
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ Algebra.adjoin R ↑S = S
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
a : α
h2 : ∀ (g : G), ∃ h, h • g • a = a
h : ↥H
h' : ↑↑H
g : G
hg : g • a = a
hh : h • (↑(h', ⟨g, hg⟩).1 * ↑(h', ⟨g, hg⟩).2) • a = a
hh' : (↑h * (↑(h', ⟨g, hg⟩).1 * ↑(h', ⟨g, hg⟩).2)) • a = a
h1 : h * h' = 1
⊢ (h', ⟨g, hg⟩) = (h⁻¹, ⟨↑h * (↑(h', ⟨g, hg⟩).1 * ↑(h', ⟨g, hg⟩).2), hh'⟩)
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
AddGroup α
M : Matrix (m × o) (n × o) α
⊢ (-M).blockDiag = -M.blockDiag
a' : ℝ
⊢ ContinuousOn (fun x => cexp (-↑π * ↑a' ^ 2 * ↑x) * jacobiTheta₂ (↑a' * I * ↑x) (I * ↑x)) (Ioi 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a✝ b : α
s : Set α
x✝ : s.Nonempty
a : α
ha : a ∈ s
hfin : s.Finite
⊢ (s \ {a}).encard < s.encard
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ ↑(toSimpleFunc (c • f)) =ᶠ[ae μ] ↑(c • toSimpleFunc f)
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
S T : Set R
⊢ Submodule.span R S * Submodule.span R T = Submodule.span R (S * T)
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
⊢ f.toAddMonoidHom.range = f.range
n : Nat
⊢ range n.succ = range n ++ [n]