ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
m : ℕ
hpm : ¬p ∣ m
hm : f ↑m < 1
M : ℝ := f ↑p ⊔ f ↑m
hM : M = f ↑p ⊔ f ↑m
k : ℕ := ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1
hk : k = ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1
a b : ℤ
bezout : a * ↑p ^ k + b * ↑m ^ k = 1
le_half : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → x < 1 → x ≤ M → x ^ k < 1 / 2
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : StrictConvexSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : r ≤ 0
⊢ StrictConvex 𝕜 (closedBall x r)
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝³ : _root_.Finite ι
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x✝ : Nonempty (V ≃ₗ[K] Dual K V)
e : V ≃ₗ[K] Dual K V
⊢ FiniteDimensional K V
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁴ : StarRing A
inst✝¹³ : Module R A
inst✝¹² : IsScalarTower R A A
inst✝¹¹ : SMulCommClass R A A
inst✝¹⁰ : StarModule R A
inst✝⁹ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁸ : StarRing B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : IsScalarTower R B B
inst✝⁵ : SMulCommClass R B B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : FunLike F A B
inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝¹ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(K i)
h : K i ≤ iSup K
⊢ Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑(iSup K) ⋯ ((inclusion h) x) = (f i) x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
U : Set X
hxU : x ∈ U
U_op : IsOpen U
this : U ∈ 𝓝 x
V : Set X
hVU : V ⊆ U
hxV : x ∈ V
hV : IsClopen V
⊢ ∃ v ∈ fun U => IsClosed U ∧ IsOpen U, x ∈ v ∧ v ⊆ U
α : Type u
m : ℕ
h : 0 < m.succ
x : α
u : Fin m → α
⊢ Matrix.vecCons x u ⟨0, h⟩ = x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y : C
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), ((BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X 𝒯.cone.pt Y).hom ≫ (ℬ X Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X (ℬ 𝒯.cone.pt Y).cone.pt).cone ≫ 𝟙 X) (BinaryFan.snd (ℬ X (ℬ 𝒯.cone.pt Y).cone.pt).cone ≫ BinaryFan.snd (ℬ 𝒯.cone.pt Y).cone))) ≫ (ℬ X Y).cone.π.app j = (ℬ X Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X 𝒯.cone.pt).cone.pt Y).cone ≫ BinaryFan.fst (ℬ X 𝒯.cone.pt).cone) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X 𝒯.cone.pt).cone.pt Y).cone ≫ 𝟙 Y)) ≫ (ℬ X Y).cone.π.app j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
CommRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
AddCommGroup G
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module 𝕜 G
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
TopologicalAddGroup G
ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v : Fin 1 → E
⊢ (q.comp p 1) v = (q 1) fun _i => (p 1) v
ι : Type u_1
Fintype ι
a b : ι → ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Set.Icc a b) = ∏ i : ι, ENNReal.ofReal (b i - a i)
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
t : Finset ι'
ws : ι → R
zs : ι → E
wt : ι' → R
zt : ι' → E
hws : ∑ i ∈ s, ws i = 1
hwt : ∑ i ∈ t, wt i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
⊢ ∑ i ∈ s.disjSum t, Sum.elim (fun i => a * ws i) (fun j => b * wt j) i = 1
α : Sort u
p : α → Prop
⊢ (x : α) ×' p x → ∃ x, p x
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
⊢ ContinuousOn ↑{ toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ } { toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.source
α : Type u_1
DecidableEq α
r : α → α → Prop
l : List α
hl : (↑l.toFinset).Pairwise r
hn : l.Nodup
⊢ List.Pairwise r l
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : C(α, β)
x y : α
h : x ⤳ y
⊢ f x ⤳ f y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i
⊢ Function.update f i '' Set.Ioc (f i) b = Set.Ioc f (Function.update f i b)
α : Type u
L : List (α × Bool)
⊢ -FreeAddGroup.mk L = FreeAddGroup.mk (FreeAddGroup.negRev L)
α : Type u_1
DecidableEq α
xs ys : List α
h : xs ⊆ ys
⊢ (xs ++ ys).dedup = ys.dedup
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 (F 0)] f
⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f (x + t • v)
p : String.Pos
c : Char
⊢ p < p + c
M : Type u_1
Monoid M
⊢ ⊥.units = ⊥
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η✝ : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε✝ : g ≫ f ≅ 𝟙 b
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b
⊢ leftZigzagIso η (adjointifyCounit η ε) = λ_ f ≪≫ (ρ_ f).symm
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
H : Type u_7
NormedAddCommGroup H
f : ↥(MeasureTheory.Lp H 1 μ)
⊢ ‖f‖ = ∫ (a : α), ‖↑↑f a‖ ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun _i => F) G
v : Fin n → E
⊢ (‖f‖ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖) * ∏ i : Fin c.length, ∏ j : Fin (c.blocksFun i), ‖(v ∘ ⇑(c.embedding i)) j‖ = (‖f‖ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖) * ∏ i : Fin n, ‖v i‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
self : CategoryTheory.Functor C D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ self.map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.map f) (self.map g)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
One β
s : Set α
c : β
⊢ Filter.EventuallyConst (s.mulIndicator fun x => c) l ↔ c = 1 ∨ Filter.EventuallyConst s l
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
ih : p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m
⊢ p ^ m ∣ x.appr (m + k + 1) - x.appr m
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
⊢ Filter.comap (⇑e) Filter.atTop = Filter.atTop
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
α : Type u_3
Nontrivial α
Subsingleton α
⊢ False
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
(x : B) → Zero (E x)
x : B
⊢ (Bundle.zeroSection F E x).proj = x
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ r • Metric.ball 0 1 = Metric.ball 0 r
α : Type u_1
Encodable α
a b : ULower α
⊢ a.up = b.up ↔ a = b
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
p : M → Prop
h_zero : p 0
h_homogeneous : ∀ {i : ι} (m : ↥(ℳ i)), p ↑m
h_add : ∀ (m m' : M), p m → p m' → p (m + m')
ℳ' : ι → AddSubmonoid M := fun i => { carrier := ↑(ℳ i), add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }
t : Decomposition ℳ'
mem : ∀ (m : M), m ∈ iSup ℳ'
⊢ ∀ (m : M), p m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanCompIso F f g).app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.right =
  CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.Limits.span f g ⋙ F).obj CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.right)
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
k : ℕ
⊢ (k + 1).factorial • multichoose 0 (k + 1) = (k + 1).factorial • 0
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
Field K
LieAlgebra K L
Module K M
LieModule K L M
FiniteDimensional K M
LieAlgebra.IsNilpotent K L
LieModule.LinearWeights K L M
LieModule.IsTriangularizable K L M
⊢ LinearMap.range (LieModule.traceForm K L M) ≤ Submodule.span K (Set.range (LieModule.Weight.toLinear K L M))
x y : EReal
⊢ (x * y).toReal = x.toReal * y.toReal
α : Type u_1
Fintype α
x : α
⊢ x ∈ Finset.univ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ = W.negY x₂ y₂
⊢ W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ = 0
R : Type u
A : Type u_1
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
Nontrivial A
NoZeroSMulDivisors R A
p : R[X]
hp : p.Monic
x y : R
z : A
h : (Polynomial.aeval z) p = 0
hz : z * (algebraMap R A) x = (algebraMap R A) y
⊢ x ∣ y ^ p.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
a : Subtype P
m : M
a' : α
⊢ (single a m).extendDomain a' = (single (↑a) m) a'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
f₃ : F₁ ⟶ F₃
fac : f₁ ≫ f₂ = f₃
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f₃
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f₂
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
as✝¹ : ι
U : Opens ↑↑(F.obj { as := as✝¹ }).toPresheafedSpace
y : ↑↑(F.obj { as := as✝¹ }).toPresheafedSpace
hy : y ∈ ↑U
as✝ : ι
x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj { as := as✝ })
h : { as := as✝¹ } ≠ { as := as✝ }
eq : (Discrete.natIsoFunctor.hom.app { as := as✝¹ } ≫ TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) as✝¹) y = (Discrete.natIsoFunctor.hom.app { as := as✝ } ≫ TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) as✝) x
⊢ False
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
⊢ ⇑(LinearIsometryEquiv.neg R) = fun x => -x
a b d : ℕ
hda : d ∣ a
hdb : d ∣ b
⊢ a / d = b / d ↔ a = b
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
TopologicalSpace α
ContinuousConstVAdd G α
AddAction.IsMinimal G α
U : Set α
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
hμU : μ U ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
⊢ Continuous ⇑f
Fq : Type u_1
Field Fq
Fintype Fq
⊢ Polynomial.cardPowDegree.IsEuclidean
a b c : Ordinal.{u_4}
b0 : b ≠ 0
⊢ a / b < c ↔ a < b * c
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x y : α
r : ℝ
h : dist x y ≤ K * r
rpos : 0 < r
R : ℝ := scalingScaleOf μ (max (4 * K + 3) 3)
H : closedBall y r ⊆ closedBall x (R / 4)
⊢ ∃ r_1, closedBall y r ⊆ closedBall x r_1 ∧ μ (closedBall x (3 * r_1)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ (max (4 * K + 3) 3)) * μ (closedBall y r)
V W : SemiNormedGrp₁
i : V ≅ W
⊢ Isometry ⇑i.hom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
h : StarConvex 𝕜 x s
y : E
hy : y ∈ s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ s
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K
⊢ (limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ limit.π (Prod.swap K J ⋙ G) ((Prod.braiding K J).inverse.obj (j, k)) ≫ (𝟙 ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G)).app ((Prod.braiding K J).inverse.obj (j, k)) ≫ G.map (𝟙 j, 𝟙 k) = limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
⊢ UniformEmbedding f ↔ Injective f ∧ UniformContinuous f ∧ comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
t : Finset ι
h : t.Nonempty
I : ι → Ideal R
⊢ ⨆ i ∈ t, ⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j = ⊤ ↔ (↑t).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤
α : Type u_1
TopologicalSpace α
R : Type u_2
CommSemiring R
A : Type u_3
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSemiring A
k : R
a : α
⊢ ((algebraMap R C(α, A)) k) a = k • 1
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b c : α
inst✝ : Invertible c
⊢ a * c = b ↔ a = b * ⅟c
x y z : ZFSet
hy : y ∈ z
hz : z ∈ x
⊢ y ∈ ⋃₀ x
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
this : mk f = 0 ↔ (f - 0).LimZero
⊢ mk f = 0 ↔ f.LimZero
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b : α
n : ℕ
⊢ (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n
α : Type u_1
OrderedAddCommMonoid α
A B : Set α
hA : BddAbove A
hB : BddAbove B
⊢ BddAbove (A + B)
α : Type u
Ring α
a : α
n : ℤ
self : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a n
⊢ a = ↑n
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y₁ Y₂ Y₃ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
f' : Y₂ ⟶ Y₃
j : StructuredArrow Y₃ L
⊢ (StructuredArrow.map (f ≫ f')).obj j = (StructuredArrow.map f).obj ((StructuredArrow.map f').obj j)
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l : List α
⊢ List.Sorted r (a :: l) → List.Sorted r l
a b c : Int
h₁ : a ≤ b
h₂ : 0 ≤ c
⊢ a * c ≤ b * c
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
hν : ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
hκν : κ ≤ ν
⊢ ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
α : Type u_2
AddGroup α
t : Set α
a : α
⊢ (fun x => a + x) '' t = (fun x => -a + x) ⁻¹' t
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : Type w
f : J → C
inst✝⁶ : HasProduct f
D : Type t
inst✝⁵ : Category.{r, t} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
F : C ⥤ D
inst✝³ : PreservesLimit (Discrete.functor f) F
inst✝² : HasProduct fun j => F.obj (f j)
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan (forget D)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun b => F.obj (f b)) (forget D)
x y : (forget D).obj (F.obj (∏ᶜ f))
h : ∀ (i : J), (F.map (Pi.π f i)) x = (F.map (Pi.π f i)) y
j : J
⊢ (forget D).map (F.map (Pi.π f j)) x = (forget D).map (F.map (Pi.π f j)) y
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
ι : Sort u_2
s : ι → Set R
⊢ NonUnitalSubring.closure (⋃ i, s i) = ⨆ i, NonUnitalSubring.closure (s i)
α : Type u
x : List α
h : x ≠ []
⊢ x.head h :: x.tail = x
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z (dist w z)) z
e : F →L[ℂ] F̂ := UniformSpace.Completion.toComplL
he : ∀ (x : F), ‖e x‖ = ‖x‖
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformEmbedding f
⊢ UniformEmbedding (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖))
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x : α
h : l.formPerm x ≠ x
⊢ x ∈ l
Ω : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝ : TopologicalSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ μ.testAgainstNN f = μ.mass * μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : ⋯.IsPrimitiveClassified
⊢ h.IsClassified
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
s t : Set α
a : α
x : α × α
⊢ x.swap ∈ s.addAntidiagonal t a ↔ x ∈ t.addAntidiagonal s a
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
⊢ ⇑↑f = ⇑f
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∉ e.baseSet
⊢ Pretrivialization.linearMapAt R e b = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₂ ≤ a₁ ∧ b₂ ≤ b₁ → a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁
ι : Sort u_1
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
f : ι → Set α
hf : ∀ (i : ι), IsClopen (f i)
⊢ IsClopen (⋂ i, f i)
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝ : DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
⊢ (∃ v ∈ 𝒜, s ⊆ v ∧ s.card = k) ↔ (∃ t ∈ 𝒜, s ⊆ t) ∧ s.card = k
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x : M
m n : ℕ∞
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : PartialHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid ⊤ I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
⊢ ∀ x ∈ f.source, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I ⊤ (↑f) (f.source ∩ u)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
f' : β → α
h : Set.LeftInvOn f' f s
⊢ Set.RightInvOn f' f (f '' s)
G : Type u_3
α : Type u_7
AddGroup G
AddAction G α
g : G
a b : α
⊢ a = -g +ᵥ b ↔ g +ᵥ a = b
α : Type u_1
CompleteLattice α
ι₁ : Sort u_9
ι₂ : Sort u_10
κ₁ : ι₁ → Sort u_11
κ₂ : ι₂ → Sort u_12
f : (i₁ : ι₁) → κ₁ i₁ → (i₂ : ι₂) → κ₂ i₂ → α
⊢ ⨅ i₁, ⨅ j₁, ⨅ i₂, ⨅ j₂, f i₁ j₁ i₂ j₂ = ⨅ i₂, ⨅ j₂, ⨅ i₁, ⨅ j₁, f i₁ j₁ i₂ j₂
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
c' : Fin N.succ → E := fun i => if ‖a.c i‖ ≤ 2 then a.c i else (2 / ‖a.c i‖) • a.c i
norm_c'_le : ∀ (i : Fin N.succ), ‖c' i‖ ≤ 2
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
⊢ 1 - δ ≤ ‖c' i - c' j‖
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (p₂ -ᵥ y) (z -ᵥ p₃)
⊢ p₂ -ᵥ y = 0 → x -ᵥ p₁ = 0 ∨ z -ᵥ p₃ = 0
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ Polynomial.Chebyshev.T R (n + 2) =
  Polynomial.X * Polynomial.Chebyshev.T R (n + 1) - (1 - Polynomial.X ^ 2) * Polynomial.Chebyshev.U R n
α : Type u
x y n : ℕ
h : y ≤ x
⊢ x - y ∣ x ^ n - y ^ n
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U : X.Opens
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj (f.opensFunctor.obj U) = U
G : Type u_3
AddSemigroup G
a b : G
h : AddCommute a b
⊢ Function.Commute (fun x => x + a) fun x => x + b
α : Type u_1
_m : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ (μ₁ + μ₂) s = μ₁ s + μ₂ s
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PriestleySpace α
x y : α
h : x ≠ y
⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ (IsUpperSet U ∨ IsLowerSet U) ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hu : u ∈ K
hv : v ∈ Kᗮ
⊢ ⟪v, u⟫_𝕜 = 0
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k + 1) / 2 / ↑(2 * k + 1)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1))) = (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k + 1) / (2 * ↑k + 1).Gammaℂ * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
⊢ normUnit 1 = 1
θ : ℝ
⊢ Real.tan θ = 0 ↔ ∃ k, ↑k * Real.pi / 2 = θ
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)
h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1
h : a ^ p / (a + b) ^ p + b ^ p / (a + b) ^ p ≤ 1
hab_0 : (a + b) ^ p ≠ 0
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ (J₁.closureOperator X).IsClosed S = J₁.IsClosed S
n : ℕ
a b : ZMod n
h : a.val * b.val < n
⊢ (a * b).val = a.val * b.val
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₃ : p₃ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
⊢ {p₁, p₂, p₃} ⊆ {p₁, p₂, p₃, p₄}
P : PFunctor.{u}
α : Type v₁
β : Type v₂
f : α → β
a : P.A
g : P.B a → α
⊢ P.map f ⟨a, g⟩ = ⟨a, f ∘ g⟩
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n✝ : ℕ
a : G₀
n : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ (a ^ (n + 1))⁻¹ ≠ 0
M : Type u_4
N : Type u_5
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ Function.Injective AddMonoidHom.toAddHom
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
m : M
⊢ (B (v i)) m = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
⊢ a * b = 1 ↔ a⁻¹ = b
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
⊢ p.IsPrimitive ↔ p.content = 1
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Ioi a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Ioi a) volume
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
a : α
Decidable (a = ⊥)
⊢ ⊤.parts ⊆ {a}
G : Type u_1
Group G
a : G
n : ℤ
⊢ a ^ (n % ↑(Nat.card G)) = a ^ n