ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsBounded s
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
m n✝ n : ℕ
x : ZMod (n + 1)
⊢ x.valMinAbs = valMinAbs 0 ↔ x = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
h : a ≤ c * b
hb' : 0 < b
⊢ a / b ≤ c
z : ℂ
⊢ (starRingEnd ℂ) z = z ↔ ↑z.re = z
G : Type u_1
DivisionMonoid G
a b c d : G
hcd : Commute c d
hbc : Commute b c⁻¹
⊢ a * b / (c * d) = a / c * (b / d)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
SemilatticeInf δ
OrderTop δ
g : γ → δ
⊢ (Finset.image₂ f s t).inf g = t.inf fun y => s.inf fun x => g (f x y)
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB : M.Base B
h : B.Nonempty
⊢ M.RkPos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g f' : α →ₘ[μ] β
hf : ↑f ≤ᶠ[ae μ] ↑f'
hg : ↑g ≤ᶠ[ae μ] ↑f'
⊢ ↑(f ⊔ g) ≤ᶠ[ae μ] ↑f'
K : Type u_1
RCLike K
⊢ ↑0 = 0
c : Cardinal.{u_1}
⊢ aleph' ω ≤ c ↔ ℵ₀ ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty α
s : Set α
f : α → β
b : β
h : ¬∃ a ∈ s, f a = b
⊢ Function.invFunOn f s b = Classical.choice inst✝
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
hx : x ≤ π / 2
⊢ 0 ≤ sin x - 2 / π * x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C m
Φ : CategoryTheory.Functor (Fin (n + 1)) (Fin (m + 1))
X : Fin (n + 1)
⊢ (F.whiskerLeft Φ).obj X = F.obj (Φ.obj X)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
h : ∀ (x : α), {x}ᶜ ∈ l
s : Set α
hs : sᶜ.Finite
⊢ ∀ i ∈ sᶜ, {i}ᶜ ∈ l
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : -(star c * c) = a_neg ^ 3
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
⊢ ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
α : Type u_1
E : Type u_3
F'' : Type u_10
Norm E
NormedAddCommGroup F''
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (‖c‖ / ‖c'‖) l (fun _x => c) fun _x => c'
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
R' : Type v
inst✝ : CommRing R'
p : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
χ : MulChar R R'
ψ : AddChar R R'
⊢ ∑ x : R, χ x ^ p * ψ x ^ p = ∑ x : R, χ x ^ p * (ψ ^ p) x
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
j : K →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
PerfectRing L p
IsPerfectClosure i p
PerfectRing M p
IsPerfectClosure j p
⊢ (IsPerfectClosure.equiv i j p).trans (IsPerfectClosure.equiv j i p) = RingEquiv.refl L
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R M₂
f : M ≃ₗ[R] M₂
p : Submodule R M
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥(Submodule.map (↑f) p) = FiniteDimensional.finrank R ↥p
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
γ : Type u_7
s : Finset (α × β × γ)
f : α × β × γ → M
⊢ ∏ᶠ (abc : α × β × γ) (_ : abc ∈ s), f abc = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (c : γ) (_ : (a, b, c) ∈ s), f (a, b, c)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
Ring S
Algebra R S
Ring T
Algebra R T
e : S ≃ₐ[R] T
x : S
⊢ (Algebra.norm R) (e x) = (Algebra.norm R) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : β) in f, ⊥ ≤ a} ≤ ⊥
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : ProjectiveResolution X
n : ℕ
⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ) ⋙ HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).inv.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ (CategoryTheory.Functor.opUnopEquiv C D).inverse = CategoryTheory.Functor.opInv C D
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
x : M
⊢ (AdicCompletion.transitionMap I M hmn) (Submodule.Quotient.mk x) = Submodule.Quotient.mk x
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
Z X : C
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
Y' : C
f' : (shiftFunctor C 1).obj X ⟶ Y'
g' : Y' ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z
mem : Triangle.mk h f' g' ∈ distinguishedTriangles
T' : Triangle C := (Triangle.mk h f' g').invRotate.invRotate
⊢ Triangle.mk (((shiftEquiv C 1).unitIso.app X).hom ≫ T'.mor₁) T'.mor₂ h ≅ (Triangle.mk h f' g').invRotate.invRotate
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym α n
a : α
⊢ ↑(a ::ₛ s) = a ::ₘ ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f g : β → Set α
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun x => f x ∩ g x
K : semiOutParam (Type u_1)
self : RCLike K
z : K
⊢ RCLike.im ((starRingEnd K) z) = -RCLike.im z
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
f : ↥(lp E p)
hp₀ : 0 < p
hp' : 0 < p.toReal
this : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : Finset α) in Filter.atTop, dist (∑ b ∈ x, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
s : Finset α
hs : |‖f‖ ^ p.toReal - ∑ b ∈ s, ‖↑f b‖ ^ p.toReal| < ε ^ p.toReal
H : ‖∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i) - f‖ ^ p.toReal = ‖f‖ ^ p.toReal - ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal
⊢ ‖∑ b ∈ s, lp.single p b (↑f b) - f‖ ^ p.toReal < ε ^ p.toReal
p q x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
hlt : q < p
⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : ↑(MonCat.of G)
⊢ ((ofMulAction k G G).ρ g ≫ (Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) = ((Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) ≫ A.ρ g
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
⊢ Injective ⇑f ↔ Surjective ⇑f
G : Type u_2
Group G
x y : Quandle.Conj G
⊢ x ◃ y = x * y * x⁻¹
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
ha : a ≠ 0
x : α
⊢ (DilationEquiv.mulRight a ha).symm x = x * a⁻¹
α : Type u_1
SemilatticeInf α
BoundedOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
DecidableEq α
hs : a ∉ upperClosure ↑s
ht : a ∉ upperClosure ↑t
⊢ (s ∪ t).truncatedInf a = ⊥
w z : ℂ
⊢ (Complex.orientation.areaForm w) z = ((starRingEnd ℂ) w * z).im
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
p : ι' → Prop
q : ι → ι' → Prop
s : (x : ι) → (y : ι') → p y ∧ q x y → Set α
⊢ ⋃ x, ⋃ y, ⋃ (h : p y ∧ q x y), s x y h = ⋃ y, ⋃ (hy : p y), ⋃ x, ⋃ (hx : q x y), s x y ⋯
R : Type u_2
CommSemiring R
IsDomain R
UniqueFactorizationMonoid R
I : Ideal R
hI₂ : I.IsPrime
hI : I ≠ ⊥
⊢ ∃ x ∈ I, Prime x
α : Type u
inst✝ : Ring α
num✝ : ℤ
denom✝ : ℕ
inv✝¹ inv✝ : Invertible ↑denom✝
⊢ inv✝¹ = inv✝
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n < b ^ n ↔ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Set α
t : Finset β
f : α → β
⊢ ↑t ⊆ f '' s ↔ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ Finset.image f s' = t
α : Type u_1
Primcodable α
p : α → Prop
⊢ p ≤₀ p
α : Type u_2
β : Type u_1
as : AssocList α β
⊢ as.toList = (List.foldl (fun d x => d.push (x.fst, x.snd)) #[] as.toList).data
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i j : ι
inst✝³ : K.HasHomology i
inst✝² : K.HasHomology j
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology j
⊢ K.pOpcycles i ≫ K.opcyclesToCycles i j = K.toCycles i j
B : Type u₁
Quiver B
(a b : B) → Quiver (a ⟶ b)
C : Type u₂
Quiver C
(a b : C) → Quiver (a ⟶ b)
F : B → C
F' : (a b : B) → (a ⟶ b) ⥤q (F a ⟶ F b)
a b : B
⊢ ∀ (a_1 : a ⟶ b), (CategoryTheory.PrelaxFunctorStruct.mkOfHomPrefunctors F F').map a_1 = (F' a b).obj a_1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E → F
R : ℝ
hR : 0 ≤ R
⊢ ∫ (x : E), f (R⁻¹ • x) ∂μ = R ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E • ∫ (x : E), f x ∂μ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' (s \ {p}))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
p : F.Elements
⊢ ↑(CategoryTheory.CategoryStruct.id p) = CategoryTheory.CategoryStruct.id p.fst
n : ℕ
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
h : NeZero ↑n
⊢ ↑n ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeSup α
inst✝⁵ : OrderTop α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeSup β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : a ∈ lowerClosure ↑s
ht : a ∉ lowerClosure ↑t
⊢ (s ∪ t).truncatedSup a = s.truncatedSup a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
π : α → β
s : Set β
a : α
hs : s ∈ 𝓝 (π a)
⊢ π ⁻¹' s ∈ 𝓝 a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α
x y : n → α
x✝ : m
⊢ (A *ᵥ (x - y)) x✝ = (A *ᵥ x - A *ᵥ y) x✝
f : Type u → Type v
Functor f
self : LawfulFunctor f
α β : Type u
⊢ Functor.mapConst = Functor.map ∘ Function.const β
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
a : α
⊢ Multiset.count a m.dedup = if a ∈ m then 1 else 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
P Q R : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.biprod.associator P Q R).hom =
  CategoryTheory.Limits.biprod.lift (CategoryTheory.Limits.biprod.fst ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst)
    (CategoryTheory.Limits.biprod.lift (CategoryTheory.Limits.biprod.fst ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd)
      CategoryTheory.Limits.biprod.snd)
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
⊢ w.GuitartExact ↔
  ∀ {X₂ : C₂} {X₃ : C₃} (g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃), CategoryTheory.IsConnected (w.StructuredArrowRightwards g)
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (closedBall 0 r)
hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ False
n : ℕ
⊢ n.floorRoot 0 = 0
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ioc a b \ Set.Ioi c = Set.Ioc a (min b c)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
t : Set β
⊢ f '' (f ⁻¹' t) = Set.range f ∩ t
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
ι : Type u_1
f : ι → A
s : Finset ι
⊢ φ (∑ x ∈ s, f x) = ∑ x ∈ s, φ (f x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
x y : E
⊢ ⟪T x, y⟫_𝕜 = (⟪T (x + y), x + y⟫_𝕜 - ⟪T (x - y), x - y⟫_𝕜 - I * ⟪T (x + I • y), x + I • y⟫_𝕜 + I * ⟪T (x - I • y), x - I • y⟫_𝕜) / 4
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝² : HasInitial C
inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F
this : HasCoproduct X
hi : ∀ (b : ∏ᶜ fun b => F.obj (op (X b))), ∃! a, (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b
b : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X
a✝ : Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj b = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj b
t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
ht₁ : (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) t = b
ht₂ : ∀ (y : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))), (fun a => (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b) y → y = t
y : F.obj (op c.pt)
hy : (fun x => Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = b) y
⊢ y = F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv t
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
Group α
DistribMulAction α A
a : α
S : AddSubmonoid A
x : A
⊢ x ∈ a⁻¹ • S ↔ a • x ∈ S
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : α → Option β
a : α
l : List α
ih : (∀ (x : α), x ∈ l → f x = g x) → filterMap f l = filterMap g l
h : ∀ (x : α), x ∈ a :: l → f x = g x
⊢ (match f a with | none => filterMap g l | some b => b :: filterMap g l) = match g a with | none => filterMap g l | some b => b :: filterMap g l
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.230696}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ range fun x => f ↑x
⊢ lift.{v, u} #↑{x | f ↑x ∈ t} = lift.{v, u} #↑((fun x => f ↑x) ⁻¹' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Append α
a b : Part α
hab : (a ++ b).Dom
⊢ (a ++ b).get hab = a.get ⋯ ++ b.get ⋯
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
hdvd : ∀ (i : ι), a ∣ (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩
⊢ ∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
m : ℤ
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ (m • x).coeff n = WittVector.peval (WittVector.wittZSMul p m n) ![x.coeff]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
⊢ ∀ (s : WSeq α) (S : WSeq (WSeq α)), s.append S.join = ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
x y z t : EReal
h1 : x < y
h2 : z < t
hx : x ≠ ⊥
⊢ x + z < y + t
α : Type u_1
⊢ (Equiv.refl α).toPartialEquiv = PartialEquiv.refl α
x : ℤ[i]
⊢ ↑x.re = (toComplex x).re
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝² : HasProducts A
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
⊢ forkMap R P ≫ firstMap R P = forkMap R P ≫ secondMap R P
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
L.Structure P
f : L.Hom M N
g : L.Hom N P
⊢ (g.comp f).range ≤ g.range
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in residual ℝ, Irrational x
n m : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : i < p
hp : optParam (p ≠ 0) ⋯
hi : optParam (i ≠ last n) ⋯
⊢ (p.pred hp).predAbove i = i.castPred hi
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Monoid S
AddCommMonoid M
Module R M
DistribMulAction S M
SMulCommClass S R M
s : Set S
N : Submodule R M
⊢ s • N = ⨆ a ∈ s, a • N
R : Type u
CommSemiring R
f g : R[X]
h : (f * g).Separable
⊢ IsCoprime f g
n : ℕ
⊢ n.sqrt * n.sqrt ≤ n
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this✝¹ : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
this✝ : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L
this : IsGalois K L := isGalois n K L
Hprod : ∏ σ : L →ₐ[K] E, (1 - σ ζ) = eval 1 (cyclotomic' (↑n) E)
⊢ ∏ x : L →ₐ[K] E, (1 - x ζ) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
G : Type u_3
H : Type u_4
Group G
Group H
MulAction G H
SMulCommClass G H H
IsScalarTower G H H
g : G
a : H
⊢ (g • a)⁻¹ = g⁻¹ • a⁻¹
c y : ℝ
x✝ : y ∈ Iic 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in id y..c, ‖rexp x‖ ≤ rexp c
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M
⊢ comap p.subtype (p ⊓ p') ≤ ker (subToSupQuotient p p')
R : Type u_3
CommRing R
n : ℕ
⊢ (↑n).imK = 0
α : Type u
AddCommMonoid α
Mul α
v w : Fin 2 → α
⊢ Matrix.dotProduct v w = v 0 * w 0 + v 1 * w 1
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f g✝ : K[X]
hfg : map i (f * g✝) ≠ 0
h : Splits i (f * g✝)
g : L[X]
hgi : Irreducible g
hg : g ∣ map i f
⊢ g ∣ map i (f * g✝)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
⊢ Function.Surjective ⇑(IsLocalizedModule.fromLocalizedModule S f)
θ ψ : Real.Angle
h : 2 • θ + 2 • ψ = ↑π
⊢ ψ.tan = θ.tan⁻¹
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
f : ℕ → R → S[X]
toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ ({ toFinsupp := toFinsupp✝ }.sum f).coeff n = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.sum fun a b => (f a b).coeff n
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
f : α → β
h_one : f 0 = 0
h_mul : ∀ (a b : α), f (a + b) ≤ f a + f b
s : Multiset α
⊢ f s.sum ≤ (Multiset.map f s).sum
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ (1 / z) ≤ y ^ 1 ↔ x ≤ y ^ z
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
⊢ dlookup a (kinsert a b l) = some b
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => abs x.1 ^ x.2.re * rexp (-(x.1.arg * x.2.im))) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)
z τ : ℂ
hτ : τ ≠ 0
⊢ jacobiTheta₂' z τ = -2 * ↑π / (-I * τ) ^ (3 / 2) * jacobiTheta₂'' z (-1 / τ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
x : E
m : ∃ w, (∀ y ∈ t, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t, w y = 1 ∧ t.centerMass w id = x
⊢ ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = x
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β
i : ℕ × ℕ
⊢ ((sFiniteSeq μ i.1).restrict s).prod ((sFiniteSeq ν i.2).restrict t) = ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2)).restrict (s ×ˢ t)
α : Type u_1
c : RBColor
n : Nat
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
hr : r.Balanced c n
⊢ (l.balance2 v r).reverse.reverse = node black l v r
f : ℝ → ℝ
hf : Monotone f
x : ℝ
hx : Tendsto (fun b => (↑hf.stieltjesFunction b - f x) / (b - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal) ∧ Tendsto (fun b => (↑hf.stieltjesFunction b - f x) / (b - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
h'x : ¬¬ContinuousAt f x
A : ↑hf.stieltjesFunction x = f x
L1 : Tendsto (fun y => (f y - f x) / (y - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
L2 : Tendsto (fun y => (f y - f x) / (y - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
⊢ HasDerivAt f (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ‖MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf‖ = (∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ).toReal
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β
⊢ ∀ {a b : Opens α}, { toFun := ⇑(comap f.symm.toContinuousMap), invFun := ⇑(comap f.toContinuousMap), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } a ≤ { toFun := ⇑(comap f.symm.toContinuousMap), invFun := ⇑(comap f.toContinuousMap), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } b ↔ a ≤ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G H K : CategoryTheory.Functor C C
α : F ⟶ G
β : H ⟶ K
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom α β).app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (β.app (F.obj X)) (K.map (α.app X))
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
⊢ Nat.nth p 0 = Nat.find h
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
p : PrimeSpectrum R
⊢ p ∉ Module.support R M ↔ Subsingleton (LocalizedModule p.asIdeal.primeCompl M)
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
Ring B
Algebra A B
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
⊢ (minpoly A x).degree ≤ p.degree
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n m (-z) = -CochainComplex.HomComplex.δ n m z
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ thickenedIndicatorAux δ (closure E) = thickenedIndicatorAux δ E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
⊢ o.pred = o ↔ ∀ (a : Ordinal.{u_4}), o ≠ succ a