ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_3
M : Type u_4
SeminormedRing R
SeminormedAddCommGroup M
m : M
⊢ ‖TrivSqZeroExt.inr m‖₊ = ‖m‖₊
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
E' : Type u_11
F' : Type u_12
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
𝕜₁' : Type u_13
𝕜₂' : Type u_14
NontriviallyNormedField 𝕜₁'
NontriviallyNormedField 𝕜₂'
NormedSpace 𝕜₁' E'
NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₁' : 𝕜₁' →+* 𝕜
σ₁₃' : 𝕜₁' →+* 𝕜₃
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
RingHomCompTriple σ₁' σ₁₃ σ₁₃'
RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
RingHomIsometric σ₂₃
RingHomIsometric σ₁₃'
RingHomIsometric σ₂₃'
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
gE : E' →SL[σ₁'] E
gF : F' →SL[σ₂'] F
x : E'
y : F'
⊢ ((f.bilinearComp gE gF) x) y = (f (gE x)) (gF y)
α : Type u_1
l l' : List α
x : α
h : l <+~ l'
⊢ l <+~ x :: l'
f : Bool → Bool → Bool
false_false_axiom : f false false = false
x y i : Nat
⊢ (Nat.bitwise f x y).testBit i = f (x.testBit i) (y.testBit i)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Function.Injective (Set.rangeSplitting f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
c : 𝕜
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ insert ((lineMap x y) c) (openSegment 𝕜 x ((lineMap x y) c) ∪ openSegment 𝕜 ((lineMap x y) c) y)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeInf α
inst✝⁵ : BoundedOrder α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ a ∈ upperClosure ↑(s ∪ t) ↔ a ∈ upperClosure ↑s ∨ a ∈ upperClosure ↑t
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
TopologicalRing 𝕜
a b : 𝕜
h : a < b
x : ↑(Set.Icc a b)
⊢ ↑((iccHomeoI a b h) x) = (↑x - a) / (b - a)
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
x : α
g : Set α → Filter β
hg : Monotone g
⊢ (𝓝 x).lift g = (𝓤 α).lift fun s => g {y | (y, x) ∈ s}
α : Type u_1
inst✝⁴ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
f✝ : α → β
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace γ
inst✝¹ : CompleteSpace γ
inst✝ : T0Space γ
f : β → γ
g : α → β
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
a : α
⊢ (pkg'.extend f ∘ pkg.map pkg' g) (pkg.coe a) = pkg.extend (f ∘ g) (pkg.coe a)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
self : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.π self.φH = CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.φK h₂.π
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n✝ : ℕ
hI0 : ¬I = ⊥
h : I ^ (n✝ + 1) ∣ span {a} * span {b}
⊢ I ∣ span {a} ∨ I ^ (n✝ + 1) ∣ span {b}
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
hs : s.Nonempty
ht : t = ∅
⊢ hausdorffDist s t ≤ r
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ (SimpleGraph.induce {v_1 | v_1 ∈ p.support} G).Connected
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
hr : Symmetric r
⊢ {a, b}.Pairwise r ↔ a ≠ b → r a b
a : Int
h : -a < 0
⊢ 0 < a
α : Type u
ι : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c : ι → α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
this : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun r => 0 < r ∧ r < R x) fun r => ball x r
⊢ ∃ ι c r r', (∀ (i : ι), c i ∈ s ∧ 0 < r i ∧ r i < r' i ∧ r' i < R (c i)) ∧ (LocallyFinite fun i => ball (c i) (r' i)) ∧ s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
n : ℕ
hR : ↑R ^ n ≠ 0
⊢ ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖) * (↑R)⁻¹ ^ n * ↑R ^ n ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖
⊢ Filter.Tendsto Complex.exp (Filter.comap Complex.re Filter.atBot) (𝓝[≠] 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ℕ → α
⊢ ⨅ i, ⨅ (_ : i > 0), f i = ⨅ b ∈ {i | 0 < i}, f b
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ (∃ x, (∀ ⦃x_1 : Set X⦄, x_1 ∈ x → IsClosed x_1 ∧ IsNowhereDense x_1) ∧ (compl '' x).Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ x) ↔ ∃ S, (∀ t ∈ S, IsNowhereDense t) ∧ S.Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ S
n : ℕ
α β : TypeVec.{u_1} n
⊢ TypeVec.prod.map TypeVec.id TypeVec.id = TypeVec.id
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
DecidableEq ι
Fintype ι
b : Basis ι R M
⊢ ↑(dualTensorHomEquivOfBasis b) = dualTensorHom R M N
α : Type u
s : Set α
p : α → Prop
⊢ {x | x ∈ s ∧ p x} = s ↔ ∀ x ∈ s, p x
α : Type u_4
h : 0 = 0 + 0
⊢ Matrix.vecAlt1 h ![] = ![]
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
X Y Z X' Y' : C
e : X ≅ X'
e' : Y ≅ Y'
⊢ HasSmallLocalizedHom W X Y ↔ HasSmallLocalizedHom W X' Y'
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F
hc : IsLimit c
s : Cocone F.leftOp
m : (coconeLeftOpOfCone c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : Jᵒᵖ), (coconeLeftOpOfCone c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
⊢ m = (fun s => (hc.lift (coneOfCoconeLeftOp s)).unop) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f : S ⟶ S'
f' : S' ⟶ S''
h : CategoryTheory.StructuredArrow S'' T
⊢ (CategoryTheory.StructuredArrow.map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f f')).obj h =
  (CategoryTheory.StructuredArrow.map f).obj ((CategoryTheory.StructuredArrow.map f').obj h)
m n : Num
⊢ ↑(m ||| n) = ↑m ||| ↑n
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
h✝ h : E.IsPointwiseRightKanExtension
G : L.RightExtension F
f₁ f₂ : G ⟶ E
Y : D
X : StructuredArrow Y L
eq₁ : f₁.left.app (L.obj X.right) ≫ E.hom.app X.right = G.hom.app X.right
eq₂ : f₂.left.app (L.obj X.right) ≫ E.hom.app X.right = G.hom.app X.right
⊢ f₁.left.app Y ≫ E.left.map X.hom ≫ E.hom.app X.right = f₂.left.app Y ≫ E.left.map X.hom ≫ E.hom.app X.right
α : Type u_1
s : Set (α × α)
⊢ Set.diagonal α ⊆ s ↔ ∀ (x : α), (x, x) ∈ s
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
self : 𝓜(𝕜, A)
⊢ DoubleCentralizer.toProdHom self = self.toProd
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
φ : L.Formula α
⊢ FirstOrder.Language.Formula.equivSentence φ.not =
  FirstOrder.Language.Formula.not (FirstOrder.Language.Formula.equivSentence φ)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
e : 𝕜 →L[𝕜] F
⊢ HasDerivAt (⇑e) (e 1) x
G : Type u_1
Group G
V : Set G
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.index ∅ V = 0
z τ : ℂ
⊢ ∑' (n : ℤ), 2 * ↑π * I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑n * (z + 1) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ) = ∑' (n : ℤ), 2 * ↑π * I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Finite ι
f : (i : ι) → α i
⊢ (Filter.pi fun x => pure (f x)) = pure f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : OrderedRing α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l atBot
this : Tendsto (fun x => -f x * -g x) l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
C✝ : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
C : ℝ≥0
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖₊ ≤ C
hs : Convex ℝ s
⊢ LipschitzOnWith C f s
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_4
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
(m : A) → Decidable (m ≠ 0)
⊢ ⇑addMonoidAlgebraAlgEquivDirectSum = AddMonoidAlgebra.toDirectSum
α : Type u_2
Sub α
a b : α
⊢ {a} - {b} = {a - b}
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → G
c : ℝ≥0
⊢ ∫ (x : α), f x ∂c • μ = c • ∫ (x : α), f x ∂μ
α : Type u_1
⊢ ∀ (a : α ⊕ α), (Equiv.boolProdEquivSum α).symm a = Sum.elim (Prod.mk false) (Prod.mk true) a
R : Type u
M : Type v
Zero R
⊢ TrivSqZeroExt.snd ∘ TrivSqZeroExt.inr = id
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h : ¬c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
⊢ c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ (c₁.next i₁)).f i₂ ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (c₁.next i₁, i₂) i₁₂ = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
a : α
⊢ ∫ (x : α), f a ∂Measure.dirac a = f a
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
⊢ ∃ R > 0, ∀ (m n : ℕ), dist (u m) (u n) < R
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : Disjoint p (ker f)
x : V
hx : x ∈ comap f p
y : V
hy : y ∈ p
hxy : f y = f x
⊢ x ∈ p ⊔ ker f
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_int_X : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
h_int_Y : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * (X + Y) ω)) μ
S : SSet
filler : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃i : Fin (n + 3)⦄ (σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S), 0 < i → i < Fin.last (n + 2) → ∃ σ, ∀ (j : Fin (n + 3)) (h : j ≠ i), SimplicialObject.δ S j σ = σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last (n + 2)
σ : S _[n + 2]
h : ∀ (j : Fin (n + 3)) (h : j ≠ i), SimplicialObject.δ S j σ = σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)
⊢ ∀ (j : Fin (n + 1 + 2)) (h : j ≠ i), σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h) = (hornInclusion (n + 2) i ≫ (S.yonedaEquiv [n + 2]).symm σ).app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝¹ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a✝ : ι → ℝ≥0∞
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
IH : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ i ∈ s, a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a✝ c))
h : ∀ i ∈ insert a s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))
h' : ∀ i ∈ insert a s, a✝ i ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun a => ∏ c ∈ s, f c a) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a✝ c))
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a b : R
dvd : a ∣ b
⊢ Submodule.torsionBy R M a ≤ Submodule.torsionBy R M b
k✝ p✝ n✝ : ℕ
h✝ : ¬(1 < p✝ ∧ 0 < n✝ ∧ n✝ % p✝ = 0)
⊢ go (k✝ + 1) p✝ n✝ = go k✝ p✝ n✝ + 1
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧
⊢ (if single () n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal (single () n), if x.2 < single () n then (MvPowerSeries.coeff R x.1) φ * (MvPowerSeries.coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0) = if n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := B.toSeminormFamily
⊢ (𝓝 0).HasBasis B.toSeminormFamily.basisSets _root_.id
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
⊢ ∀ (i j : ℕ), ∃ k, I ^ k • ⊤ ≤ I ^ i • ⊤ ⊓ I ^ j • ⊤
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
k : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ k f
n : ℕ
⊢ ContDiff ℝ k fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
b : Ordinal.{0}
h : (e.oadd n a).NFBelow b
⊢ a.NFBelow e.repr
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
h : ¬a = 0
⊢ n - a.val < n
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
hψ : ψ.Even
⊢ ψ ↑(-1) = ↑1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor C D} (τ : X ⟶ Y) (f : CategoryTheory.Arrow C),
  (((CategoryTheory.Functor.mapArrowFunctor C D).map τ).app f).left = τ.app f.left
α : Type u
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ b = a ⊔ b ↔ a ≤ b
a b c : ℕ
h : c + b = a
⊢ c = a - b
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Inv G
MeasurableInv G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsInvInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving Inv.inv μ μ
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
A B : Grp
f : A ⟶ B
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
b' : ↑B := b
r : b'⁻¹ ∈ MonoidHom.range f
⊢ False
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
a : E
h : IsLocalExtr f a
⊢ fderiv ℝ f a = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card
aux1 : ((mulETransformLeft g (s, t)).1 * (mulETransformLeft g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
aux2 : ((mulETransformRight g (s, t)).1 * (mulETransformRight g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
hgt : Disjoint t (g⁻¹ • t)
⊢ minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
hsur : Function.Surjective ⇑(algebraMap R A)
X : Set M
m : M
hm : m ∈ restrictScalars R (span A X)
⊢ m ∈ span R X
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : Countable ↥L
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h_cpt : IsCompact s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s
h_mes : μ s ≠ 0
h_nemp : s.Nonempty
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
α : Type u_2
Inv α
s : Set α
a : α
⊢ a ∈ s⁻¹ ↔ a⁻¹ ∈ s
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄ μ
hi : Integrable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)
t : G
⊢ ∫ (t_1 : G), (L₃ (f t)) ((L₄ (g (t_1 - t))) (k (x₀ - t_1))) ∂μ = ∫ (u : G), (L₃ (f t)) ((L₄ (g u)) (k (x₀ - t - u))) ∂μ
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Sort u_5
hι : Nonempty ι
K : ι → AddSubgroup G
hK : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
⊢ x ∈ iSup K ↔ ∃ i, x ∈ K i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
DecidableEq α
DecidableEq β
DecidableEq γ
SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.NoAccidental t
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).cliqueSet 3 = ⇑SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.toTriangle '' ↑t
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : ¬c = 0 ∧ μ s = ⊤
⊢ μ s = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hf✝ : f =O[l] g
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hg✝ : IntegrableAtFilter g l μ
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖
s : Set α
hsl : s ∈ l
hsm : MeasurableSet s
hfg : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hg : IntegrableOn g s μ
⊢ IntegrableAtFilter f l μ
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
i : σ
hi : i ∈ d.support
hgi : g i = 0
⊢ g i ^ d i = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → List α
hf1 : IsBadSeq (List.SublistForall₂ r) {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} f
hf2 : ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq (List.SublistForall₂ r) List.length {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} n f
hnil : ∀ (n : ℕ), f n ≠ []
this : ∀ (n : ℕ), (f n).headI ∈ s
⊢ False
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
hr : Valid' (↑x) (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
H1 : ¬l.size + (Ordnode.node rs rl rx rr).size ≤ 1
H2 : delta * l.size ≤ rl.size + rr.size
H3 : 2 * (rl.size + rr.size + 1) ≤ 9 * l.size + 5 ∨ rl.size + rr.size + 1 ≤ 3
⊢ Valid' o₁ (l.rotateL x (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
⊢ X.restrictTopIso.inv = X.toRestrictTop
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
⊢ OrderDual.ofDual ↑n = ↑n
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
hne : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
h_cauchy : ((PowerSeries.mk fun p => bernoulli p / ↑p !) * PowerSeries.mk fun q => (coeff ℚ (q + 1)) (exp ℚ ^ n)) = PowerSeries.mk fun p => ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!
hps : ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = (∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!) * ↑p !
x : ℕ
x✝ : x ∈ range (p + 1)
⊢ bernoulli x * ↑((p + 1).choose x) * ↑n ^ (p + 1 - x) / ↑(p + 1)! * ↑p ! = bernoulli x * ↑((p + 1).choose x) * ↑n ^ (p + 1 - x) / (↑p + 1)
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.WithInitial C
⊢ (CategoryTheory.WithInitial.mapId C).inv.app X =
  (match X with
    | CategoryTheory.WithInitial.of x => CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.WithInitial.of x)
    | CategoryTheory.WithInitial.star => CategoryTheory.Iso.refl CategoryTheory.WithInitial.star).inv
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Nat.card α ∣ p
⊢ IsCyclic α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
s : Sym2 α
h : ∀ x ∈ s, f x = g x
y : β
⊢ y ∈ map f s ↔ y ∈ map g s
α : Type u_1
Bornology α
ConditionallyCompleteLattice α
IsOrderBornology α
s : Set α
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ s ⊆ Set.Icc (sInf s) (sSup s)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.34532, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.34536, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : HasPullback π π
⊢ MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ = equalizer.lift (P.map π.op) ⋯ ≫ (Types.equalizerIso (P.map (pullback.fst π π).op) (P.map (pullback.snd π π).op)).hom
r : ℝ≥0∞
⊢ Filter.Tendsto (fun n => r ^ n) Filter.atTop (𝓝 0) ↔ r < 1
V : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} V
CategoryTheory.MonoidalCategory V
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
CategoryTheory.EnrichedCategory V C
CategoryTheory.EnrichedCategory V D
CategoryTheory.EnrichedCategory V E
F : CategoryTheory.EnrichedFunctor V C D
G : CategoryTheory.EnrichedFunctor V D E
X : C
⊢ (CategoryTheory.EnrichedFunctor.comp V F G).obj X = G.obj (F.obj X)
R : Type u
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
i : ι
⊢ ⇑(LinearMap.proj i) = Function.eval i
α : Type u_5
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
PseudoEMetricSpace α
Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
hf : LipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
⊢ LipschitzWith (Kf + Kg) fun x => f x + g x
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E B I X R J : Set α
M : Matroid α
⊢ M.Base ∅ ∨ ¬M.Base ∅