ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DistribLattice α
s : Finset ι
t : Finset κ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f✝ : ι → α
g : κ → α
a✝ : α
f : ι → α
a : α
⊢ s.sup' hs f ⊓ a = s.sup' hs fun i => f i ⊓ a
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
c : idx × ℕ →₀ ℕ
sum_induction_steps : (map (Int.castRingHom ℚ)) (∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i)) = ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)
⊢ ↑(p ^ n) ∣ coeff c ((bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A : CommMon_ C
⊢ ((CommMon_.forget₂Mon_ C).obj A).one = A.one
v : PrimeMultiset
p : ℕ+
h : p ∈ v.toPNatMultiset
⊢ p.Prime
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : I.IsPrime
⊢ ∀ {x y : A}, Homogeneous 𝒜 x → Homogeneous 𝒜 y → x * y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule → x ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule ∨ y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ ContMDiffWithinAt (I.prod J) I n Prod.fst s p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
self : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
n a n' : ℤ
h : a + n' = n
X : C
hX : self.LE n X
⊢ self.LE n' ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero α
Zero β
SMul α β
self : BoundedSMul α β
x : α
y₁ y₂ : β
⊢ dist (x • y₁) (x • y₂) ≤ dist x 0 * dist y₁ y₂
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y : limit (F ⋙ objects)
X : J
f : { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj X
this : Category.{v, v} (objects.obj (F.obj X)) := inferInstance
⊢ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map (𝟙 X) f = 𝟙 ({ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj X) f
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a : α
ZeroLEOneClass α
PosMulMono α
H : 0 ≤ a
n : ℕ
⊢ 0 ≤ a ^ n
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
h : TotallyBounded s
⊢ Bornology.IsBounded s
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.op.mapArrow.EssSurj
g : Arrow Cᵒᵖ
e : L.op.mapArrow.obj g ≅ Arrow.mk f.hom.op
⊢ f ∈ L.mapArrow.essImage
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
s : Set E
h' : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f₁ s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
pb : PowerBasis K L
f : K[X]
⊢ pb.equivAdjoinSimple.symm ((Polynomial.aeval pb.gen) f) =
  (Polynomial.aeval (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K pb.gen)) f
a b : Int
⊢ (-a).gcd b = a.gcd b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
x : M
⊢ ⇑e.symm ⁻¹' range ↑I ∩ ↑I.symm ∘ ⇑e.symm ⁻¹' (chartAt H x).target = ⇑e.symm ⁻¹' range ↑I ∩ (fun x => ↑I.symm (e.symm x)) ⁻¹' (chartAt H x).target
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
x y : α
⊢ f x ≠ f y ↔ x ≠ y
α✝ : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α✝
α : Type u
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : CompleteSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
x✝ : f ≤ 𝓟 univ
x : α
hx : f ≤ 𝓝 x
⊢ ∃ x ∈ univ, f ≤ 𝓝 x
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖
h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖(s n).indicator f a‖ ≤ bound a
a b : Int
⊢ a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
a✝ : coeff m p ≠ 0
⊢ (weight w) m = 0 ↔ ∀ (x : σ), m x = 0
ι : Type u_1
S : Type u_2
AddMonoid S
Mul S
t : RingCon S
l : List ι
f g : ι → S
h : ∀ i ∈ l, t (f i) (g i)
⊢ t (List.map f l).sum (List.map g l).sum
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
⊢ X n ^ p + C ((Int.castRingHom (ZMod p)) ↑p) * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom (ZMod p))) (frobeniusPolyAux p n) = X n ^ p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctorZero C).inv.app X).hom₂ =
  (CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).inv.app X.obj₂
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] N₂
i : n
j : m
⊢ (toMatrix₂Aux R ⇑b₁ ⇑b₂) B i j = (toMatrix₂ b₁ b₂) B i j
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
a : M
b : ↥S
a' : M
b' : ↥S
eq1 : (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk a b) = (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk a' b')
⊢ LocalizedModule.mk a b = LocalizedModule.mk a' b'
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
n : ℕ
f : R[A]
⊢ (List.replicate n f).prod.support.sup degb ≤ (List.replicate n (f.support.sup degb)).sum
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
f : M₁ →L[R₁] M₁
n : ℕ
⊢ ⇑(f ^ n) = (⇑f)^[n]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
𝔸 : Type u_3
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 n f
c : 𝕜'
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => f x / c
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
x : X
⊢ 𝓝[s] ↑x = Filter.map OnePoint.some (𝓝[OnePoint.some ⁻¹' s] x)
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
B : Set α
hB : M.Base (B ∩ M.E) ∧ N.Base (B ∩ N.E) ∧ B ⊆ M.E ∪ N.E
⊢ ∃ BM BN, M.Base BM ∧ N.Base BN ∧ Disjoint BM BN ∧ B = BM ∪ BN
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ evenKernel a x = 1 / x ^ (1 / 2) * cosKernel a (1 / x)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
h : H.index = 2
a b : G
⊢ a + b ∈ H ↔ (a ∈ H ↔ b ∈ H)
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : SimplexCategory.mk (n + 1) ⟶ Δ'
i : Fin (n + 1)
hi : (SimplexCategory.Hom.toOrderHom θ) i.castSucc = (SimplexCategory.Hom.toOrderHom θ) i.succ
⊢ ∃ θ', θ = SimplexCategory.σ i ≫ θ'
F : Type w
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
g : S✝ →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S✝
S : Set (NonUnitalSubring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : LocalRing R
h : I ≠ ⊤
x✝ : ℕ
⊢ I ^ x✝ = I ^ x✝ • ⊤
ι : Type u_1
a b : ℕ
s : ι → ℕ
l : List ι
co : List.Pairwise (Nat.Coprime on s) l
⊢ a ≡ b [MOD (List.map s l).prod] ↔ ∀ i ∈ l, a ≡ b [MOD s i]
o : Ordinal.{u_2}
⊢ (Cardinal.aleph (Order.succ o)).IsRegular
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X Y Z : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g).hom₁ = f.hom₁ ≫ g.hom₁
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : TopologicalSpace.Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
⊢ ∃ f, (∀ x ∈ K, 1 ≤ f x) ∧ Λ f < rieszContentAux Λ K + ε
X : Type u_1
x y : X
⊢ (((toFinsupp.comp toFreeAbelianGroup).comp (singleAddHom x)) 1) y = (((AddMonoidHom.id (X →₀ ℤ)).comp (singleAddHom x)) 1) y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
⊢ a < sup f ↔ ∃ i, a < f i
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
⊢ (s \ {a}).ncard ≤ s.ncard
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
⊢ (bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i)) (W_ ℚ n) = (bind₁ fun i => (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))) (W_ ℚ n)
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
f : (x : 𝒰.J) → (𝒰.obj x).OpenCover
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
y : ↑↑(𝒰.obj (𝒰.f x)).toPresheafedSpace := Exists.choose ⋯
hy : (𝒰.map (𝒰.f x)).val.base y = x
⊢ x ∈ Set.range ⇑((fun x => (f x.fst).map x.snd ≫ 𝒰.map x.fst) ((fun x => ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose ⋯)⟩) x)).val.base
M : Type u_1
Add M
S : Set (AddCon M)
⊢ sSup S = addConGen fun x y => ∃ c ∈ S, c x y
ι : Type u_7
Finite ι
X : ι → Type u_8
Y : ι → Type u_9
(i : ι) → TopologicalSpace (X i)
(i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
ei : (i : ι) → PartialHomeomorph (X i) (Y i)
⊢ (PartialHomeomorph.pi ei).toPartialEquiv = PartialEquiv.pi fun i => (ei i).toPartialEquiv
n : Nat
a : Fin (n + 1)
⊢ 0 ≤ a
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, μ.densityToFinite x < ⊤
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
Group H
MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : MulAction.IsBlock G B
⊢ MulAction.IsBlock H (⇑j '' B)
x y z : SetTheory.PGame
h₁ : x ≈ y
⊢ y ≤ z → x ≤ z
z : ℂ
n : ℕ
⊢ (z / ↑n).re = z.re / ↑n
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
x y : 𝕜
⊢ ⟪x, y⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) x * y
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ico a b ⊆ Set.Icc a b
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
s : Set G
g : G
S : Set G
hS : closure S = ⊤
⊢ center G = ⨅ g ∈ S, centralizer ↑(zpowers g)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : CommRing C
p : K[X]
b : A
nonzero : b ∈ nonZeroDivisors A
hb : ∀ (i : ℕ), (algebraMap A K) ((integerNormalization (nonZeroDivisors A) p).coeff i) = ↑⟨b, nonzero⟩ • p.coeff i
⊢ (∀ (n : ℕ), p.coeff n = coeff 0 n) ↔ ∀ (n : ℕ), (integerNormalization (nonZeroDivisors A) p).coeff n = coeff 0 n
R : Type u
CommRing R
U : (TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R))ᵒᵖ
⊢ (AlgebraicGeometry.structurePresheafInCommRing R).obj U =
  CommRingCat.of ((AlgebraicGeometry.structureSheafInType R).val.obj U)
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
a : G
b : H
AddZeroClass G
Add H
AddConstMapClass F G H a b
f : F
⊢ f a = f 0 + b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
ι : Type u_3
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
r : ι ↪ M
c : ι → Dual R M
hfin : (range ⇑r).Finite
h_two : ∀ (i : ι), (c i) (r i) = 2
h_mapsTo : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (r i) (c i))) (range ⇑r) (range ⇑r)
i j : ι
hij : (span R (range ⇑r)).subtype.dualMap (c i) = (span R (range ⇑r)).subtype.dualMap (c j)
k : ι
⊢ (c i) (r k) = (c j) (r k)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable (↑f) μ
hgi : Integrable (↑g) μ
hfg : f ≤ g
⊢ setToSimpleFunc T f ≤ setToSimpleFunc T g
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K : Multicofork I
a : I.L
⊢ K.ι.app (WalkingMultispan.left a) = I.fst a ≫ K.π (I.fstFrom a)
x y : SetTheory.PGame
⊢ -(x + y) ≤ -x + -y
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
hG : ¬(center G).index = 0
this : (center G).FiniteIndex
⊢ Nat.card ↥(_root_.commutator G) ∣ (center G).index ^ ((center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G) + 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hn : IsNilpotent f
hs : f.IsSemisimple
n : ℕ
h0 : (aeval f) (X ^ n) = 0
⊢ (aeval f) X = 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
X : Type u_7
Y : Type u_8
α : Type u_9
inst✝¹⁰ : Zero α
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PseudoMetrizableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
⊢ Measurable f
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
f : α ≃ β
g : β ≃ γ
a : γ
⊢ (f.trans g).symm a = f.symm (g.symm a)
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
⊢ ↑1 = 1
α : Type u
r s : α → α → Prop
ι : Sort u_1
f : ι → α
H : ∀ (a b : α), r a b → s a b
h : Directed r f
⊢ Directed s f
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
X : Type u_6
TopologicalSpace X
FirstCountableTopology X
F : X → α → G
bound : α → ℝ
hF_meas : ∀ (x : X), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F x) μ
h_bound : ∀ (x : X), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : MeasureTheory.Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Continuous fun x => F x a
⊢ Continuous fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ
R : CommRingCat
f : ↑R
x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace
⊢ IsUnit ((algebraMap (↑R) (Localization.AtPrime x.asIdeal)) f) ↔ f ∉ x.asIdeal
M : Type u_4
N : Type u_5
Monoid M
Monoid N
f : M →* N
h : ∀ (x : M), IsUnit (f x)
x : M
⊢ f x * ↑((IsUnit.liftRight f h) x)⁻¹ = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
C : WSeq α → WSeq β → Prop
⊢ Function.swap (LiftRelO R C) = LiftRelO (Function.swap R) (Function.swap C)
X : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
A D E : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : TopologicalSpace D
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : ExtremallyDisconnected A
inst✝² : T2Space A
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : CompactSpace E
ρ : E → A
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Surjective ρ
zorn_subset : ∀ (E₀ : Set E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → ρ '' E₀ ≠ univ
x₁ x₂ : E
hρx : ρ x₁ = ρ x₂
hx : ¬x₁ = x₂
⊢ False
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
n : ℤ
⊢ ‖x‖ < ↑p ^ n ↔ ‖x‖ ≤ ↑p ^ (n - 1)
E : Type u
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.Countable
H : ¬interior s = ∅
⊢ False
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), if j = x then (Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] 1 else 0) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1
α : Type u_3
DivisionRing α
CharZero α
n : ℚ
⊢ ↑n = 0 ↔ n = 0
⊢ ∀ (a : ℤ × ℤ), SetTheory.PGame.Domineering.shiftRight a = Prod.map (fun x => x + 1) id a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring A
f : R →+* A
H : Function.Injective ⇑f
p : ℕ
inst✝ : CharP A p
⊢ CharP R p
c : ℝ
⊢ Metric.ball 0 c = Set.Ico 0 c.toNNReal
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type ?u.5630
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
x x' : X
x✝ : f x = f x'
⊢ (x ≠ x' → ∃ s₁ s₂, IsOpen s₁ ∧ IsOpen s₂ ∧ x ∈ s₁ ∧ x' ∈ s₂ ∧ Disjoint s₁ s₂) ↔ x ≠ x' → Disjoint (𝓝 x) (𝓝 x')
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : ∃ a, o = succ a
a : Ordinal.{u_4}
e : o = succ a
⊢ o.pred ≤ o
α : Type u_1
p : PMF α
⊢ (p.bindOnSupport fun a x => PMF.pure a) = p
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
⊢ univ.WellFoundedOn r ↔ WellFounded r
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : Nontrivial k
a b : G
h : (of k G) a = (of k G) b
⊢ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
E : Set α
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hδε : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ (toMeasurable μ (s ∩ E)) ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p (μ.restrict E) ≤ ENNReal.ofReal ε
M : Type u_5
N : Type u_6
Zero M
Zero N
⊢ 0.1 = 0
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝ : L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h2 : lift.{max w u v, w'} #M ≤ lift.{max w' u v, w} κ
N0 : (L.elementaryDiagram M).ModelType
hN0 : lift.{max (max u w') v w, w} κ ≤ #↑N0
N : Bundled L[[M]].Structure
hN : #↑N = κ
NN0 : ↑N ↪ₑ[L[[M]]] ↑N0
⊢ ∃ N, Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
α : Type u_1
R S : α → α → Prop
H : ∀ (a b : α), R a b → S a b
a : α
l : List α
p : List.Chain R a l
⊢ List.Chain S a l
m a b c d : ℕ
hm : 0 < m
hcd : c ≡ d [MOD m]
h : c * a ≡ d * b [MOD m]
⊢ a ≡ b [MOD m / m.gcd c]
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ f₁ =O[l] g₁ ↔ f₂ =O[l] g₂
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
f : PartialHomeomorph 𝕜 𝕜
a f' : 𝕜
ha : a ∈ f.target
hf' : f' ≠ 0
htff' : HasDerivAt (↑f) f' (↑f.symm a)
⊢ HasDerivAt (↑f.symm) f'⁻¹ a
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p q : Submodule R M
⊢ (∀ (x y : ↥p), x = y) ↔ ∀ x ∈ p, x = 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
𝕜₁ : Type u_4
𝕜₂ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
inst✝¹⁴ : Nonempty κ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁶ : UniformSpace E
inst✝⁵ : UniformSpace F
inst✝⁴ : UniformAddGroup E
inst✝³ : UniformAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜₁ E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
inst✝ : BarrelledSpace 𝕜₁ E
𝓕 : ι → E →SL[σ₁₂] F
q : SeminormFamily 𝕜₂ F κ
hq : WithSeminorms q
H : ∀ (k : κ) (x : E), BddAbove (range fun i => (q k) ((𝓕 i) x))
k : κ
this : BddAbove (range fun i => (q k).comp ↑(𝓕 i))
⊢ BddAbove (range fun k_1 => (q k).comp ((toLinearMap ∘ 𝓕) k_1)) ∧ Continuous (⨆ k_1, ⇑((q k).comp ((toLinearMap ∘ 𝓕) k_1)))