ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), ↑fs x ≤ f x
int_fs : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑fs x) ∂μ + ε / 2
int_fs_lt_top : ∫⁻ (x : α), ↑(↑fs x) ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
x : ℤ
⊢ ↑x.natAbs ^ 2 = x ^ 2
α : Type u_2
Semiring α
a : α
ha : Even a
b : α
⊢ Even (a * b)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : x ≠ y
⊢ HasFDerivWithinAt f f' (insert y s) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
ι : Type u_3
f : ι → ℝ
c : ℝ
hf : 0 ≤ f
h : ∀ (u : Finset ι), ∑ x ∈ u, f x ≤ c
⊢ Summable f
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ 1 ≤ a⁻¹ ↔ a ≤ 1
α : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝³ : DecidableEq (Associates α)
inst✝² : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a : Associates α
ha : a ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
k : ℕ
⊢ k ∣ k * p.count a.factors
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ Disjoint xᶜ y ↔ y ≤ x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : E ≃ₗᵢ[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
⊢ (fun i => EquivLike.coe e.symm (EuclideanSpace.single i 1)) = fun i => EquivLike.coe e.symm (EuclideanSpace.single i 1)
A : Type u_1
α : Type u_2
AddMonoid A
SMul α A
Zero α
DivisibleBy A α
n : α
hn : n ≠ 0
⊢ Function.Surjective fun a => n • a
α : Type u_1
E : Set α
Base : Set α → Prop
exists_base : ∃ B, Base B
base_exchange : Matroid.ExchangeProperty Base
maximality : ∀ X ⊆ E, Matroid.ExistsMaximalSubsetProperty (fun x => ∃ B, Base B ∧ x ⊆ B) X
subset_ground : ∀ (B : Set α), Base B → B ⊆ E
⊢ (Matroid.ofBase E Base exists_base base_exchange maximality subset_ground).E = E
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
μ : MeasureTheory.Measure β
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun a => ‖f a‖) μ
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
TopologicalSpace A
TopologicalAddGroup A
ContinuousStar A
ContinuousConstSMul R A
i : A
⊢ (StarModule.decomposeProdAdjointL R A) i = ((selfAdjointPart R) i, (skewAdjointPart R) i)
K : Type u_1
NNRatCast K
m : ℕ
s : Bool
e : ℕ
⊢ ↑(OfScientific.ofScientific m s e) = OfScientific.ofScientific m s e
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
⊢ |edgeDensity r s₂ t₂ - edgeDensity r s₁ t₁| ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
α : Type u_1
inst✝¹⁴ : Ring α
inst✝¹³ : UniformSpace α
inst✝¹² : TopologicalRing α
inst✝¹¹ : UniformAddGroup α
β : Type u
inst✝¹⁰ : UniformSpace β
inst✝⁹ : Ring β
inst✝⁸ : UniformAddGroup β
inst✝⁷ : TopologicalRing β
f : α →+* β
hf : Continuous ⇑f
A : Type u_2
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : UniformSpace A
inst✝⁴ : UniformAddGroup A
inst✝³ : TopologicalRing A
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : UniformContinuousConstSMul R A
r : R
x : Completion A
⊢ Completion.map (fun x => r • x) x = ↑A ((algebraMap R A) r) * x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
H : μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen
hfin : ∀ {s : Set α}, μ s ≠ ⊤
⊢ μ.WeaklyRegular
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ min a b = a
α : Type u
L₁ L₂ L₃ : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.Red.Step L₂ L₃ → FreeGroup.Red.Step (L₁ ++ L₂) (L₁ ++ L₃)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂ (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
w₃ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 3 4 ⋯ ⋯) app₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₃ (g.map' 3 4 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₄ app₀ app₁ app₂ app₃ app₄ w₀ w₁ w₂ w₃).app ⟨3, ⋯⟩ = app₃
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a : α
⊢ |a| ^ 2 = a ^ 2
X : Type u
Y : Type v
PartialOrder X
PartialOrder Y
e : X ≌ Y
y : Y
⊢ e.toOrderIso.symm y = e.inverse.obj y
a n✝ n k : ℕ
ih : (2 ^ k * n).bitIndices = map (fun x => x + k) n.bitIndices
⊢ (2 ^ (k + 1) * n).bitIndices = map (fun x => x + (k + 1)) n.bitIndices
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
T2Space β
h : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ
⊢ T2Space (α →ᵤ[𝔖] β)
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
X : Cᵒᵖ
⊢ ∀ (a : (CategoryTheory.coyoneda ⋙ (CategoryTheory.whiskeringLeft J C (Type v)).obj F ⋙ CategoryTheory.Limits.lim).obj X)
  (j : J),
  ((CategoryTheory.Limits.coyonedaCompLimIsoCones F).hom.app X a).app j =
    CategoryTheory.Limits.limit.π (F ⋙ CategoryTheory.coyoneda.obj X) j a
α : Sort u_1
f : Bool → α
H : f false ≠ f true
hxy : f false = f true
⊢ false = true
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
f : α → β
⊢ f '' ⋂ i, ⋂ j, s i j ⊆ ⋂ i, ⋂ j, f '' s i j
m n : ℕ
⊢ 0 < ack m (ack (m + 1) n)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
a : R
⊢ eval a (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
a : α
b : β
⊢ IsLocalMax (fun x => b) a
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this✝² : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
hL'U : ↑L' ⊆ U
hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'
this✝¹ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'
this✝ : Nonempty { M // ↑M ⊆ ↑U' \ closure ↑L }
M : Compacts G
hM : ↑M ⊆ ↑U' \ ↑L'
M' : Compacts G := { carrier := closure ↑M, isCompact' := ⋯ }
hM' : ↑M' ⊆ ↑U' \ ↑L'
this : ↑(L' ⊔ M') ⊆ ↑U'
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + (fun s => ↑(μ.toFun s)) M' ≤ μ.outerMeasure ↑U'
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
ι' : Type u_1
N : Type u_2
Fintype ι'
DecidableEq ι'
AddCommMonoid N
Module R N
A : Type u_3
CommSemiring A
Algebra R A
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R N
ij : ι × ι'
⊢ LinearMap.baseChange A ((b'.linearMap b) ij) =
  ((Algebra.TensorProduct.basis A b').linearMap (Algebra.TensorProduct.basis A b)) ij
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
⊢ (sc • (sa • r₁ + ra • r₂) + rc • r₃) /ₒ (sc * (sa * s₁)) = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
i j : ℕ
h : i = j
⊢ ⇑(TensorPower.cast R M h) = cast ⋯
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Mon_ C
Z : C
f : Z ⟶ M.X
⊢ (M.one ⊗ f) ≫ M.mul = (λ_ Z).hom ≫ f
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
R : Type u_2
S : Type u_3
CommRing R
IsDomain R
CommSemiring S
Algebra S K[X]
Algebra S R[X]
φ : K[X] →ₐ[S] R[X]
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰
⊢ ⇑(RatFunc.mapAlgHom φ hφ) = ⇑(RatFunc.map φ hφ)
α : Type u
ι : Sort u_2
Finite ι
l : Filter α
p : ι → α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (i : ι), p i x) ↔ ∀ (i : ι), ∀ᶠ (x : α) in l, p i x
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
x : α
r : ℝ
⊢ f ⁻¹' Metric.closedBall (f x) r = Metric.closedBall x r
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
x : α
n k : ℕ
hk' : n + k < l.length
hk : optParam (n + k + 1 < (insertNth n x l).length) ⋯
⊢ (insertNth n x l).get ⟨n + k + 1, hk⟩ = l.get ⟨n + k, hk'⟩
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
Subsingleton A
a : A
⊢ resolventSet R a = Set.univ
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
Group α
IsScalarTower G α α
a b : α
⊢ MulAction.stabilizer G (a * b) = MulAction.stabilizer G a
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
⊢ dlookup a l = none ↔ a ∉ l.keys
α : Type u
a : α
l : List α
s : Stream' α
⊢ a :: l ++ₛ s = Stream'.cons a (l ++ₛ s)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
a b : S
ha : IsLocalization.IsInteger R a
hb : IsLocalization.IsInteger R b
⊢ IsLocalization.IsInteger R (a + b)
γ : Type w
MetricSpace γ
x y : γ
⊢ dist x y = 0 → x = y
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
H : ∀ (x : S), IsUnit x → x ∈ N
⊢ N ⊔ Submonoid.map (algebraMap R S) M = N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
⊢ ∑ j ∈ Finset.range (card s + 1), (-1) ^ j * (C (s.esymm j) * X ^ (card s - j)) = ∑ j ∈ Finset.range (card (map (fun t => -t) s) + 1), C ((map (fun t => -t) s).esymm j) * X ^ (card (map (fun t => -t) s) - j)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₁₂ : Type u_3
C₂₃ : Type u_4
C₃ : Type u_5
C₄ : Type u_6
inst✝⁹ : Category.{u_15, u_1} C₁
inst✝⁸ : Category.{u_14, u_2} C₂
inst✝⁷ : Category.{u_12, u_5} C₃
inst✝⁶ : Category.{u_11, u_6} C₄
inst✝⁵ : Category.{u_13, u_3} C₁₂
inst✝⁴ : Category.{u_17, u_4} C₂₃
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄
G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃
associator : bifunctorComp₁₂ F₁₂ G ≅ bifunctorComp₂₃ F G₂₃
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r
ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝³ : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
inst✝² : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q
inst✝¹ : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
inst✝ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q
H₁₂ : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃
H₂₃ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
this✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r
this : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₂₃ F G₂₃) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r
⊢ ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (mapBifunctorAssociator associator ρ₁₂ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃).hom j = ((associator.hom.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
W : Submodule K V
this : finrank K ↥W + finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V
⊢ finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V - finrank K ↥W
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
g₁ g₂ : PreStoneCech α → β
h₁ : Continuous g₁
h₂ : Continuous g₂
h : g₁ ∘ preStoneCechUnit = g₂ ∘ preStoneCechUnit
⊢ EqOn g₁ g₂ (range preStoneCechUnit)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
t : Set α
⊢ (𝓝[t] a).HasBasis (fun u => a ∈ u ∧ IsOpen u) fun u => u ∩ t
R : Type u_2
S : Type u_4
Semiring R
NonAssocSemiring S
Module R S
IsScalarTower R S S
x : R
⊢ RingHom.smulOneHom x = x • 1
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
NoZeroSMulDivisors R P
x y : P
⊢ FractionalIdeal.spanSingleton S x = FractionalIdeal.spanSingleton S y ↔ ∃ z, z • x = y
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
E : Type u₅
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} E
F : CategoryTheory.Functor A B
G : CategoryTheory.Functor B C
H : CategoryTheory.Functor C D
K : CategoryTheory.Functor D E
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerRight (F.associator G H).hom K)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.associator (G.comp H) K).hom
      (CategoryTheory.whiskerLeft F (G.associator H K).hom)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.comp G).associator H K).hom (F.associator G (H.comp K)).hom
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
Us : Set (Opens α)
x : α
⊢ x ∈ sSup Us ↔ ∃ u ∈ Us, x ∈ u
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
m : M
⊢ torsionOf R M m = ⊥ ↔ m ≠ 0
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ
A : IsClosed (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)
B : x ∉ range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)ᶜ
⊢ ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝 0, ∀ (m : ℤ), ε ≤ dist x (↑m / ↑n)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this : Algebra.IsAlgebraic (↥(separableClosure F E)) E
h : finSepDegree F E = finSepDegree F ↥(separableClosure F E) * finSepDegree (↥(separableClosure F E)) E
⊢ finSepDegree F E = Cardinal.toNat (sepDegree F E)
h : Tendsto (fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
this : Tendsto ((fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) / Gammaℝ) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2 / Gammaℝ 1))
⊢ Tendsto (fun s => 1 / (s - 1) - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime x (y * z)
⊢ IsCoprime x y
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
SubNegMonoid G
SubNegMonoid H
AddMonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (a : G), f (-a) = -f a
a b : G
⊢ f (a - b) = f a - f b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X ⟶ G.obj Y
g : Y ⟶ Y'
⊢ (adj.homEquiv X Y').symm (f ≫ G.map g) = (adj.homEquiv X Y).symm f ≫ g
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
b : R
ha : b * 0 ≠ 0
⊢ b * 0 = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
⊢ P.parts = ∅ ↔ P.parts.sup id = ⊥
p n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Function.Surjective (WittVector.truncateFun n)
n p : ℕ
hn : Squarefree n
hp : Nat.Prime p
hpn : p ∣ n
⊢ n.factorization p = 1
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U = ⨆ i, ↑↑i
⊢ ∃ n, f ^ n * x = 0
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
e : E
r : ℝ
⊢ (p ⊔ q).closedBall e r = p.closedBall e r ∩ q.closedBall e r
b u v w : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hv : v ≠ 0
hvb : v < b
hw : w < b ^ u
hne' : b ^ u * v + w ≠ 0
⊢ log b (b ^ u * v + w) = u
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[>] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[>] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ab : a < b
sab : Ioc a b ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo a b
⊢ HasDerivWithinAt f e (Ici a) a
X : Type u_2
EMetricSpace X
⊢ dimH ∅ = 0
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
FiniteDimensional F E
⊢ Field.finSepDegree F E = FiniteDimensional.finrank F E ↔ Algebra.IsSeparable F E
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v₁, u_1} D
CategoryTheory.Preadditive D
F : C ⥤ D
F.Additive
M : CategoryTheory.Mat_ C
i : M.ι
⊢ (F.mapMat_.obj M).X i = F.obj (M.X i)
R : Type u_1
a b : R
inst✝ : Monoid R
n : ℕ
n0 : 0 < n
⊢ IsLeftRegular (a ^ n) → IsLeftRegular a
m n : ℕ
⊢ valMinAbs 0 = 0
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
SecondCountableTopology α
⊢ Measurable fun p => dist p.1 p.2
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
⊢ ↑(tensorTensorTensorComm R (↑((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat) (↑((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat) P P) ∘ₗ map (↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) Coalgebra.comul = ↑(tensorTensorTensorComm R (M ⊗[R] N) (M ⊗[R] N) P P) ∘ₗ map (↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) Coalgebra.comul
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.π
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.homologyIso.inv
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ)
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₂.homologyIso.hom h₂.ι))) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.i (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.τ₂ h₂.p)
α : Type u_1
LT α
x : WithTop α
⊢ x < ⊤ ↔ x ≠ ⊤
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
i : Fin (n + 1)
hi : (Hom.toOrderHom θ) i.castSucc = (Hom.toOrderHom θ) i.succ
⊢ θ = σ i ≫ δ i.succ ≫ θ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
⊢ ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w) = ↑(‖v‖ ^ 2) • ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ I ≤ homogeneousCore' 𝒜 I
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
h : Subsingleton R⟦X⟧
⊢ Subsingleton R
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A B C : Set E
X : Finset E
x : E
hC : IsExposed 𝕜 B C
hCA : C ⊆ A
⊢ IsExposed 𝕜 (A ∩ B) C
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0
lead_unit : IsUnit ↑((Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 (C k - p).leadingCoeff lead_ne))
p_a_eq : (aeval a) (C k - p) = ↑ₐ k - (aeval a) p
r : 𝕜
r_mem : r ∈ σ a
r_ev : eval r (C k - p) = 0
⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
⊢ Liftp p x ↔ ∀ u ∈ supp x, p u
α : Type u
a : α
⊢ ↑a ≠ 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U
H : ∀ (i : ι), (V i ∩ Wᶜ).Nonempty
this✝ : (⋂ i, V i ∩ Wᶜ).Nonempty
this : ¬⋂ i, V i ⊆ W
⊢ False
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ W.Nonsingular P ↔
  W.Equation P ∧
    (W.a₁ * P 1 * P 2 ≠ 3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2 ∨
      P 1 * P 2 ≠ -P 1 * P 2 - W.a₁ * P 0 * P 2 - W.a₃ * P 2 ^ 2 ∨
        P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 ≠ W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2)
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subfield K
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K
s : Subfield K := let __spread.0 := (⨆ i, (S i).toSubring).copy (⋃ i, ↑(S i).toSubring) ⋯; { toSubring := __spread.0, inv_mem' := ⋯ }
⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ ∫ (x : α), (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = (μ Set.univ).toReal
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s t : Set X
hu : t ⊆ insert y s
h : x ≠ y
⊢ insert x s ∈ 𝓝[t] x
k : Type u
inst✝ : Field k
f : (AlgebraicClosureAux k)[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f
⊢ ∃ x, eval x f = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn id (Icc x₀ x)
gdiff : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, HasDerivAt id ((fun x => 1) x_1) x_1
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo x₀ x
h : f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - y) ^ n / ↑n ! * (id x - id x₀) / 1) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y
⊢ (x - y) ^ n * (x - x₀) * iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y * (x - y) ^ n * (x - x₀)
R : Type u_3
OrderedSemiring R
n : ℕ
⊢ 0 ^ n ≤ 1
n : ℕ
c : Cardinal.{u_1}
⊢ ↑n + 1 ≤ c ↔ ↑n < c
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
d : ℕ
hd : j = i.succ + d
this : (Stream'.drop i a).tail.get d ∈ FP (Stream'.drop i a).tail
⊢ a.get j ∈ FP (Stream'.drop i a).tail
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
⊢ (∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x) ↔ ∃ y ∈ p.toAddSubmonoid, ∃ z ∈ p'.toAddSubmonoid, y + z = x