ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
⊢ p ∣ Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 }
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
x : β
ε : α
ε0 : ε > 0
j : ℕ
x✝ : j ≥ 0
⊢ abv ((fun x_1 => x) j - (fun x_1 => x) 0) < ε
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
Module S M
Module S M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S
f : M ≃ₗ[S] M₂
a : M
⊢ (LinearEquiv.restrictScalars R f) a = f a
α : Type u
β : Type v
Ring α
F : Type u_1
Ring β
FunLike F α β
RingHomClass F α β
f : F
⊢ (Units.map ↑f) (-1) = -1
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
n : ℕ
p : G.Walk u v
hnp : ¬p.Nil
⊢ (p.tail hnp).getVert n = p.getVert (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μa μa' : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
h : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μa μb
ha : μa'.AbsolutelyContinuous μa
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μa' μb
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
α : Type u_2
i : α → Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : (a : α) → Mul (i a)
⊢ ↑(Nat.card { p // ∀ (a : α), (p.1 * p.2) a = (p.2 * p.1) a }) / ↑(Nat.card ((a : α) → i a)) ^ 2 = ↑(Nat.card ((a : α) → { p // p.1 * p.2 = p.2 * p.1 })) / ↑(Nat.card ((a : α) → i a)) ^ 2
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ Filter.Tendsto f Filter.cofinite (Filter.cocompact Y) ↔ ∀ (K : Set Y), IsCompact K → (f ⁻¹' K).Finite
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
⊢ deriv (log ∘ Gamma) (↑n + 1) = -γ + ↑(harmonic n)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R M₂
module_M₃ : Module R M₃
module_M₄ : Module R M₄
e₁ : M ≃ₗ[R] M₂
e₂ : M₃ ≃ₗ[R] M₄
⊢ ↑(e₁.prod e₂) = (↑e₁).prodMap ↑e₂
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle (x + y) y).sin = ‖x‖ / ‖x + y‖
⊢ Ordinal.lift.{u_4, u_3} 1 = 1
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
NoZeroSMulDivisors R M
f : α → R
g : α → M
⊢ Function.support (f • g) = Function.support f ∩ Function.support g
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : R → R
⊢ cfc f 0 = (algebraMap R A) (f 0)
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
α : Type u_9
inst✝ : DecidableEq α
x : Multiset α
⊢ ((Finset.range (card x + 1)).sup fun k => powersetCard k x) = (range (card x + 1)).bind fun k => powersetCard k x
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
hr : IsUnit r
a b : R[X]
e : a * p + b * q = 1
s : R := ↑hr.unit⁻¹
⊢ IsCoprime (p.scaleRoots r) (q.scaleRoots r)
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : PropertyIsLocal P
R S : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
hs' : ∀ (r : ↑s), P (Localization.awayMap f ↑r)
hs : Ideal.span (⇑f '' s) = ⊤
⊢ P f
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x₁ x₂ : FamilyOfElements P (generate R).arrows
t₁ : x₁.Compatible
t₂ : x₂.Compatible
h : FamilyOfElements.restrict ⋯ x₁ = FamilyOfElements.restrict ⋯ x₂
⊢ (FamilyOfElements.restrict ⋯ x₁).sieveExtend = (FamilyOfElements.restrict ⋯ x₂).sieveExtend
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
b : Multiset β
⊢ Rel r 0 b ↔ b = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hf : AntitoneOn f s
hs : Convex 𝕜 s
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ r ≤ f x}
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
⊢ (F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul) ▷ F.obj A.X ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul = (α_ (F.obj A.X) (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom ≫ F.obj A.X ◁ (F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul) ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
⊢ F.Initial ↔ ∀ (d : D), IsCofiltered (CostructuredArrow F d)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
⊢ ∀ i2 ∈ univ, i2 ≠ circumcenterIndex → circumcenterWeightsWithCircumcenter n i2 = 0
α : Type u_6
⊢ Set.range some ∪ {none} = Set.univ
α : Type u_1
Max α
a : α
⊢ max (some a) none = some a
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
g₁ g₂ : CompleteLatticeHom β γ
f : CompleteLatticeHom α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : x ∉ closure s
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = 0
l m r : List Char
f : Char → Bool
⊢ { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.any f = m.any f
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
i' : ι
j' : κ
⊢ i ∉ Finset.univ → ∑ x : κ, (Finsupp.single x 1) j * (Finsupp.single i 1) i * ((Finsupp.single i' 1) i * (Finsupp.single j' 1) x) = 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ μ.withDensity (f * g) = (μ.withDensity f).withDensity g
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hst : ¬s ∩ t = ∅
⊢ Measure.count (s ∩ t) ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t✝ : Set α
t : Set β
h : t ⊆ f '' s
⊢ f '' (f ⁻¹' t ∩ s) = t
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
S : Submodule R M
⊢ ↑(-S) = -↑S
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ (g • z).im = (UpperHalfPlane.num g z / UpperHalfPlane.denom g z).im
ι : Type u_4
M : Type u_5
αs : ι → Type u_13
Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
i : ι
⊢ i ∈ l.splitSupport ↔ l.split i ≠ 0
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
LawfulBitraversable t
α β β' : Type u
f : β → β'
⊢ Bitraversable.tsnd (pure ∘ f) = pure ∘ Bifunctor.snd f
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
v w : V
h : w ∈ G.neighborSet v
⊢ f w ∈ G'.neighborSet (f v)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : G → H
f' : G → G →L[𝕜] H
x : G
hder : ∀ᶠ (y : G) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y
hcont : ContinuousAt f' x
c : ℝ
hc : 0 < c
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ {x | (fun y => HasFDerivAt f (f' y) y) x} ∩ f' ⁻¹' ball (f' x) c
⊢ ∃ ε > 0, ∀ y ∈ ball (x, x) ε, ‖f y.1 - f y.2 - (f' x) (y.1 - y.2)‖ ≤ c * ‖y.1 - y.2‖
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
AddGroup H
M : AddSubgroup H
M.Normal
f : G →+ H
h : N ≤ AddSubgroup.comap f M
x : G
⊢ (QuotientAddGroup.map N M f h) ((QuotientAddGroup.mk' N) x) = ↑(f x)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ s +ᵥ t = Finset.image (fun p => p.1 +ᵥ p.2) (s ×ˢ t)
x✝ : PGame
inst✝ : x✝.Impartial
G : PGame := x✝
⊢ ∀ (i : (x✝ + nim x✝.grundyValue).LeftMoves), (x✝ + nim x✝.grundyValue).moveLeft i ‖ 0
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
F_der_I : ∀ x ∈ Ioo 0 X, HasDerivAt (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) (-(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) x
cont : Continuous fun x => (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) x * ↑x ^ s
der_ible : IntervalIntegrable (fun x => -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) volume 0 X
int_eval : -∫ (y : ℝ) in 0 ..X, -(↑(rexp (-y)) * ↑y ^ s) + ↑(rexp (-y)) * (s * ↑y ^ (s - 1)) = -((ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s)
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s = (s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s
θ : Angle
h : θ.toReal = 0
⊢ 0 ≤ θ.toReal ↔ 0 ≤ θ.sign
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
M : Type u_5
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
l : Multiset (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable l.prod μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
f : (i : ι) → i ∈ s → α
⊢ (Finsupp.indicator s f) i = f i hi
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
a : αᵒᵈ
⊢ Finset.Ici (OrderDual.ofDual a) = Finset.map OrderDual.ofDual.toEmbedding (Finset.Iic a)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ Measurable MeasureTheory.Measure.dirac
M : Type u_1
Mul M
S : Subsemigroup M
⊢ ↑(Subsemigroup.toAddSubsemigroup S) = ⇑Additive.toMul ⁻¹' ↑S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a : α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
h : l.toFinset = l'.toFinset
⊢ ↑l = ↑l'
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
μ t : R
⊢ ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≤ ⨆ k, ((t • f).genEigenspace (t * μ)) k
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
f : α × α × α → (α × α) × α × α := fun x => ((x.1 * x.2.2, x.1 * x.2.1), x.2)
this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)
a : (α × α) × α × α
⊢ (∃ a_1 a_2 b, (a_2 ∈ t ∧ b ∈ t) ∧ f (a_1, a_2, b) = a) → (a.2.1 ∈ t ∧ a.2.2 ∈ t) ∧ a.1.1 * a.2.1 = a.1.2 * a.2.2
f : ℕ → ℂ
m : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → Complex.abs (f n) ≤ m
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ 1 < (↑s).re
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
⊢ EuclideanGeometry.Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G (-1)
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ (-1) 0 z =
  CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij => z.v i j ⋯)
C : Set Nat.Partrec.Code
H : ∀ (cf cg : Nat.Partrec.Code), cf.eval = cg.eval → (cf ∈ C ↔ cg ∈ C)
⊢ (ComputablePred fun c => c ∈ C) ↔ C = ∅ ∨ C = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
bddsup : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup' hs fun i => F i a
⊢ limsup (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f = s.sup' hs fun i => limsup (F i) f
α : Type u_1
n : Type u_4
Star α
A : Matrix n n α
⊢ A.transpose.IsHermitian ↔ A.IsHermitian
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ↑ε
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X A B : C
f : A ⟶ X
g : B ⟶ X
a : ↑(F.obj A)
b : ↑(F.obj B)
h : F.map f a = F.map g b
⊢ ((Types.pullbackIsoPullback (F.map f) (F.map g)).inv ≫ (PreservesPullback.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) f g).inv ≫ (F ⋙ FintypeCat.incl).map (pullback.fst f g)) ⟨(a, b), h⟩ = a
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : IsAntisymm α r₂
h : ∀ (a b : α), r₁ a b → r₂ a b
a : α
ha : a ∈ minimals r₂ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r₁ b a
⊢ r₁ a b
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous OrderHom.id
p : True → Prop
⊢ (∃ x, p x) ↔ p True.intro
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' (-φ) h₁ h₂ = -CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' φ h₁ h₂
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
δ : Sort u_1
ab : α ≃ β
bc : β ≃ γ
cd : γ ≃ δ
⊢ (ab.trans bc).trans cd = ab.trans (bc.trans cd)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
self : FirstOrder.Language.Structure.CG L M
⊢ ⊤.CG
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
f : R[X] →ₐ[R] A
⊢ ∑ n ∈ p.support, (algebraMap R A) (p.coeff n) * f X ^ n = f (∑ n ∈ p.support, C (p.coeff n) * X ^ n)
α : Type u_1
DecidableEq α
Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.mulETransformLeft e x).1 = x.1 ∩ MulOpposite.op e • x.1
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
g : β → α
hg : Function.RightInverse g f
⊢ LipschitzWith K g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K₁ L₁ K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b) (a ≫ φ₂)
⊢ (CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H).hom₂ = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b
M : Type u_1
MulOneClass M
c d : Con M
H : ↑c = ↑d
⊢ c = d
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}
hVo : IsOpen V
u : ℤ → ℝ := fun n => 2 * π * ↑|n| * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))
hu : Summable u
⊢ ContinuousOn (fun p => jacobiTheta₂' p.1 p.2) V
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E ≃L[𝕜] E'
s : Set E
x : E
⊢ HasMFDerivWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') (⇑f) s x ↑f
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t : Set X
x : X
hS : RestrictGenTopology S
⊢ IsClosed t ↔ ∀ s ∈ S, IsClosed (Subtype.val ⁻¹' t)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
rk : α → ℕ
s : Set α
f0 : ℕ → α
hf0 : IsBadSeq r s f0
fs : (n : ℕ) → { f // IsBadSeq r s f ∧ IsMinBadSeq r rk s n f } := fun t => Nat.rec ⟨↑(minBadSeqOfBadSeq r rk s 0 f0 hf0), ⋯⟩ (fun n fn => ⟨↑(minBadSeqOfBadSeq r rk s (n + 1) ↑fn ⋯), ⋯⟩) t
h : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → ↑(fs m) m = ↑(fs n) m
n : ℕ
g : ℕ → α
hg1 : ∀ m < n, (fun n => ↑(fs n) n) m = g m
hg2 : rk (g n) < rk ((fun n => ↑(fs n) n) n)
⊢ ¬IsBadSeq r s g
α : Type u_1
Bornology α
p : α → Prop
⊢ BoundedSpace (Subtype p) ↔ Bornology.IsBounded {x | p x}
α : Type u_1
Mul α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h : a * b < c
hle : d ≤ a
⊢ d * b < c
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n k : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ n.factorial • n.choose k • choose r n = n.factorial • (choose r k * choose (r - ↑k) (n - k))
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ n ≤ l.length → l.rotate' n = List.drop n l ++ List.take n l
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)
⊢ mk' K x y = 1 ↔ x = ↑y
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F F' : CategoryTheory.Functor A B
G G' : CategoryTheory.Functor C D
e₁ : F ≅ F'
e₂ : G ≅ G'
⊢ (CategoryTheory.NatIso.prod e₁ e₂).inv = CategoryTheory.NatTrans.prod e₁.inv e₂.inv
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
CategoryTheory.IsIso f
CategoryTheory.IsIso inr
sq : CategoryTheory.CommSq f g inl inr
⊢ CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
r : S
⊢ Ideal.spanNorm R (Ideal.span {r}) = Ideal.span {(Algebra.norm R) r}
X : LocallyRingedSpace
⊢ Continuous X.toΓSpecFun
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.Opens α
⊢ s.compl.compl = s
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
⊢ μ (f '' s) = 0
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R
inst✝⁹ : Module.Free ℤ R
inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝³ : Algebra ℚ K
inst✝² : NoZeroDivisors K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ R
I : FractionalIdeal R⁰ K
bI : Basis ι ℤ ↥↑I
this : Nontrivial K
⊢ |(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).det (Subtype.val ∘ ⇑bI)| = absNorm I
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
inst✝³ : CommMonoidWithZero M₀
p : ι → Prop
inst✝² : DecidablePred p
f✝ : ι → M₀
s✝ : Finset ι
i : ι
inst✝¹ : Nontrivial M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
s : Finset ι
f : ι → κ → M₀
x : κ
⊢ (x ∈ support fun j => ∏ i ∈ s, f i j) ↔ x ∈ ⋂ i ∈ s, support (f i)
α : Type u_1
a : WithTop αᵒᵈ
⊢ WithBot.toDual.symm a = WithTop.ofDual a
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
X Y : CategoryTheory.GradedObject J C
e : X ≅ Y
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
j : J
⊢ ∀ (Y_1 : D),
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map (e.inv j)).app Y_1) ((F.map (e.hom j)).app Y_1) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.obj (Y j)).obj Y_1)
α : Type u_1
p q : α → Prop
DecidablePred p
h : Disjoint p q
a : { x // p x ∨ q x }
⊢ (subtypeOrEquiv p q h) a = (subtypeOrLeftEmbedding p q) a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : Function.End α
h : LocallyLipschitz f
n : ℕ
⊢ LocallyLipschitz (f ^ n * f)
α : Type u_1
DecidableEq α
p : α → Prop
a : α
s : Finset α
H : ∀ x ∈ insert a s, p x
x : α
h : x ∈ s
⊢ p x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X : C
inst✝ : Simple X
Y Z : C
i : X ≅ Y ⊞ Z
h : biprod.inl ≠ 0
⊢ IsZero Z
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R
⊢ (X ^ p - C y).roots = p • {(frobeniusEquiv R p).symm y}
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
U : C
iUY : U ⟶ Y
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX
U₁ : C
iU₁U : U₁ ⟶ U
iU₁W : U₁ ⟶ W
e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW
⊢ Sieve.functorPushforward G (Sieve.equalizer (iU₁U ≫ iUY ≫ iYX) (iU₁W ≫ iWX)) ≤ Sieve.pullback (G.map iU₁U) (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)))
X : Type u_1
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
OpensMeasurableSpace X
f : X →ᵇ ℝ≥0
⊢ Measurable fun x => ↑(f x)
K : Type u
Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp' : p ≠ 2
n : ℕ
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
⊢ Irreducible (Polynomial.X ^ p ^ n - Polynomial.C a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ↑((‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 4) + ↑((‖x - I • y‖ * ‖x - I • y‖ - ‖x + I • y‖ * ‖x + I • y‖) / 4) * I = (↑‖x + y‖ ^ 2 - ↑‖x - y‖ ^ 2 + (↑‖x - I • y‖ ^ 2 - ↑‖x + I • y‖ ^ 2) * I) / 4
I : Type u_1
DecidableEq I
R : Type u_2
CommSemiring R
A : I → Type u_3
(i : I) → Semiring (A i)
(i : I) → Algebra R (A i)
i : I
⊢ LinearAlgebra.FreeProduct.of R A = LinearAlgebra.FreeProduct.ι R A i
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
A : 0 < ↑m
⊢ f 1 + log ↑((m - 1)! * m) = f 1 + log ↑m !
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ (convexHull 𝕜) (-s) = -(convexHull 𝕜) s
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
⊢ Polynomial.roots 0 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
⊢ (CategoryTheory.Limits.pushoutSymmetry f f).hom = 𝟙 (CategoryTheory.Limits.pushout f f)
R Rₘ Sₘ : Type u
CommRing R
CommRing Rₘ
CommRing Sₘ
M : Submonoid R
Algebra R Sₘ
Algebra R Rₘ
Algebra Rₘ Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsLocalization M Rₘ
Algebra.FormallySmooth R Sₘ
⊢ Algebra.FormallySmooth Rₘ Sₘ
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.IsLeftInversion w (cs.simple i) ↔ cs.IsLeftDescent w i
M : Type u_2
N : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
hf : ∀ (x y : M), AddCommute (f x) (f y)
⊢ ⇑(f.toOpposite hf) = AddOpposite.op ∘ ⇑f
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
hpl : 0 < p.degree
⊢ ¬IsUnit p
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Monoid M
Monoid N
Monoid P
φ : M →* N
ψ : N →* P
χ : outParam (M →* P)
self : φ.CompTriple ψ χ
⊢ ψ.comp φ = χ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a : α
⊢ (∀ (a_1 a_2 : α), a ∣ a_1 * a_2 → ∃ x x_1, x ∣ a_1 ∧ x_1 ∣ a_2 ∧ Associates.mk a = Associates.mk (x * x_1)) ↔ ∀ ⦃b c : α⦄, a ∣ b * c → ∃ a₁ a₂, a₁ ∣ b ∧ a₂ ∣ c ∧ a = a₁ * a₂
V : Type u
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
hna : ¬Gᶜ.Adj v w
⊢ Fintype.card ↑(Gᶜ.commonNeighbors v w) = n - (2 * k - ℓ)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ ⇑{ toFun := f, monotone' := hf } = f
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
h : Irreducible ϖ
n : ℕ
⊢ (addVal R) (ϖ ^ n) = ↑n