ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L := let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J; { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' < I
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
κCond : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) Ω
self : κ.IsCondKernel κCond
⊢ κ.fst ⊗ₖ κCond = κ
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : ∀ (p : ℕ), ↑p = 0 → p = 0
x : ℕ
⊢ ↑x = 0 ↔ 0 ∣ x
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf : f ⊤ ≤ f ⊥
hf_i : Function.Injective f
⊢ StrictAnti f
A : Type u_1
inst✝⁶ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
inst✝⁵ : Sub A
inst✝⁴ : OrderedSub A
inst✝³ : ContravariantClass A A (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : HasAntidiagonal A
n m : A
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x = m
inst✝ : Decidable (m ≤ n)
this : (fun x => x.2 = m) ∘ Prod.swap = fun x => x.1 = m
⊢ filter (fun x => x.2 = m) (antidiagonal n) = if m ≤ n then {(n - m, m)} else ∅
α : Type u
L L₁ L₂ : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.Red L (L₁ ++ L₂) ↔ ∃ L₃ L₄, L = L₃ ++ L₄ ∧ FreeGroup.Red L₃ L₁ ∧ FreeGroup.Red L₄ L₂
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
h : UniformEmbedding f
⊢ (∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {a b : α}, edist a b < δ → edist (f a) (f b) < ε) ∧
  ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, edist (f a) (f b) < ε → edist a b < δ
α : Type u_1
Mul α
Zero α
LinearOrder α
⊢ MulPosStrictMono α ↔ MulPosReflectLE α
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
x : α
P : Set α → Prop
⊢ (∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, P a) ↔ ∀ ε > 0, ∃ a ∈ v.setsAt x, a ⊆ closedBall x ε ∧ P a
a : Ordinal.{u_3}
o o' : Ordinal.{u_3}
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
ho' : o' < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Ordinal.enum (fun x x_1 => x < x_1) o ho ≤ Ordinal.enum (fun x x_1 => x < x_1) o' ho' ↔ o ≤ o'
F : Type u_10
M : outParam (Type u_11)
N : outParam (Type u_12)
Zero M
Zero N
FunLike F M N
self : ZeroHomClass F M N
f : F
⊢ f 0 = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
⊢ s.card ≤ Besicovitch.multiplicity E
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
s : Finset α
⊢ ∃ t ⊆ s, t.card = addRothNumber s ∧ ThreeAPFree ↑t
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.41105, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
inst✝ : ∀ (X : C), Projective X
⊢ IsSheaf (coherentTopology C) F ↔ Nonempty (PreservesFiniteProducts F)
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
⊢ insert a s = a ::ₘ s
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Norm α
inst✝ : Norm β
f : WithLp 0 (α × β)
⊢ ‖f‖ = (if ‖f.1‖ = 0 then 0 else 1) + if ‖f.2‖ = 0 then 0 else 1
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume volume
⊢ c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 = ∑ i : ι, (c * ↑(w i)) ^ 2
M₃ : Type u_8
AddCommGroup M₃
A : Type u_11
CommRing A
IsDomain A
Module A M₃
ι : Type u_12
DecidableEq ι
Fintype ι
B : LinearMap.BilinForm A M₃
b : Basis ι A M₃
⊢ B.Nondegenerate ↔ ((BilinForm.toMatrix b) B).det ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
⊢ ↑S.card = ∏ i : α, (P i - N i + 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
hP : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P
⊢ (CategoryTheory.isoSheafify J hP).inv = CategoryTheory.sheafifyLift J (CategoryTheory.CategoryStruct.id P) hP
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
g✝ : σ → S₁
inst✝ : Fintype σ
g : R →+* S₁
X : σ → S₁
f : MvPolynomial σ R
⊢ eval₂ g X f = ∑ d ∈ f.support, g (coeff d f) * ∏ i : σ, X i ^ d i
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
n : ℕ
A : Set α
B : Set β
f : α → β
self : IsAddFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : Multiset.card s = n
ht : Multiset.card t = n
h : s.sum = t.sum
⊢ (Multiset.map f s).sum = (Multiset.map f t).sum
V : Type u_1
TopologicalSpace V
AddCommGroup V
Module ℝ V
ContinuousAdd V
n : ℕ
K : ConvexBody V
⊢ ↑(n • K) = n • ↑K
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type u_1
C : G.Coloring α
v : V
⊢ v ∈ C.colorClass (C v)
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
⊢ ∃ n, MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω = N
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
A : ↥(so' p q R)
⊢ ↑((soIndefiniteEquiv p q R hi) A) = (Pso p q R i)⁻¹ * ↑A * Pso p q R i
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
UniformSpace β
f : Filter α
m : α → β
hf : Cauchy f
hm : UniformContinuous m
⊢ Cauchy (Filter.map m f)
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
n d : F
hPz : P z ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ W.toAffine.negAddY (P x / P z ^ 2) (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (-n / (P z * d)) =
  (-n * (n ^ 2 - W.a₁ * n * P z * d - W.a₂ * P z ^ 2 * d ^ 2 - 2 * P x * d ^ 2 - P x * d ^ 2) + P y * d ^ 3) /
    (P z * d) ^ 3
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
m n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
hf₁' : ∀ (k : ℕ), MeasurableSet (f k)
⊢ (fun i => if MeasurableSet (f i) then ↑v (f i) else 0) = fun i => ↑v (f i)
I : Type w₀
J : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝² : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
D : I → Type u₂
inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₂, u₂} (D i)
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
f f' : A ⥤ ((i : I) → C i)
h : ∀ (i : I), f ⋙ Pi.eval C i = f' ⋙ Pi.eval C i
⊢ ∀ (X : A), f.obj X = f'.obj X
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
m₁ m₁' : M₁
⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (comp Q₁ ↑(TensorProduct.rid R M₁)))) m₁) 1)) m₁') 1 = ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (Q₁.tmul QuadraticMap.sq))) m₁) 1)) m₁') 1
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
r s : CategoryTheory.Limits.Cone F
t : CategoryTheory.Limits.Cone G
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
w : F ≅ G
⊢ P.lift r ≫ (P.conePointsIsoOfNatIso Q w).hom = CategoryTheory.Limits.IsLimit.map r Q w.hom
q a b c : ℚ
n : ℤ
d : ℕ
hd : d ≠ 0
hn : n /. ↑d ≠ 0
⊢ n /. ↑d * (n /. ↑d)⁻¹ = 1
G : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G
Sub G
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSub G
hf : AEMeasurable f μ
c : G
⊢ AEMeasurable (fun x => f x - c) μ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : Fin 3 → R
u✝ : R
hu✝ : IsUnit u✝
u : R
hu : IsUnit u
P : Fin 3 → R
hP✝ : W'.Nonsingular (u • P)
hP : W'.Equation (u • P)
hP' : W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4) = 0 ∧ 2 * P y + W'.a₁ * P x * P z + W'.a₃ * P z ^ 3 = 0 ∧ W'.a₁ * P x * P y + 3 * W'.a₃ * P y * P z ^ 2 - (2 * W'.a₂ * P x ^ 2 * P z + 4 * W'.a₄ * P x * P z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * P z ^ 5) = 0
⊢ W'.a₁ * (u • P) y * (u • P) z - (3 * (u • P) x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * (u • P) x * (u • P) z ^ 2 + W'.a₄ * (u • P) z ^ 4) = 0 ∧ 2 * (u • P) y + W'.a₁ * (u • P) x * (u • P) z + W'.a₃ * (u • P) z ^ 3 = 0 ∧ W'.a₁ * (u • P) x * (u • P) y + 3 * W'.a₃ * (u • P) y * (u • P) z ^ 2 - (2 * W'.a₂ * (u • P) x ^ 2 * (u • P) z + 4 * W'.a₄ * (u • P) x * (u • P) z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * (u • P) z ^ 5) = 0
I : Type u_1
J : Type u_2
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
X : CategoryTheory.GradedObject I C
p : I → J
X.HasMap p
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
DecidableEq J
i : I
j : J
h : p i ≠ j
⊢ X.ιMapObjOrZero p i j = 0
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ frontier s = closure s ∩ closure sᶜ
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
h's : IsGδ s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
U : ℕ → Set X
U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hU : s = ⋂ n, U n
m : Set X
m_comp : IsCompact m
sm : s ⊆ interior m
mt : m ⊆ tᶜ
f : ℕ → C(X, ℝ)
fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s
fm : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 0 (U n ∩ interior m)ᶜ
_hf : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport ⇑(f n)
f_range : ∀ (n : ℕ) (x : X), (f n) x ∈ Icc 0 1
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i
u_sum : Summable u
hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1
g : X → ℝ := fun x => ∑' (n : ℕ), u n * (f n) x
hgmc : EqOn g 0 mᶜ
⊢ ∃ f, s = ⇑f ⁻¹' {1} ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : LE α
x : α
z : β
⊢ z ∈ Accumulate s x ↔ ∃ y ≤ x, z ∈ s y
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ ⌊a⌋ ≤ ⌈a⌉
α : Type u_17
E : Type u_18
𝕜 : Type u_19
NormedAddCommGroup E
NormedField 𝕜
u : α → E
v : α → 𝕜
l : Filter α
y : 𝕜
huv : u =o[l] v
hv : Filter.Tendsto v l (𝓝 y)
⊢ Filter.Tendsto u l (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
f : α → β
hs : s₁ ⊆ s₂
ht : t₁ ⊆ t₂
hf : Set.SurjOn f s₁ t₂
⊢ Set.SurjOn f s₂ t₁
G✝ : PGame
inst✝ : G✝.Impartial
a✝ : ∀ (y : (G : PGame) ×' G.Impartial), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun G inst => G) instWellFoundedRelation).1 y ⟨G✝, inst✝⟩ → y.1 ≈ nim y.1.grundyValue
G : PGame := G✝
i₂ : (mk (Quotient.out G✝.grundyValue).α (Quotient.out G✝.grundyValue).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).LeftMoves
h' : ∃ i, (G.moveLeft i).grundyValue = typein (Quotient.out G.grundyValue).r i₂
i : G.LeftMoves
hi : (G.moveLeft i).grundyValue = typein (Quotient.out G.grundyValue).r i₂
h✝ : h' = ⋯
⊢ (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun G inst => G) instWellFoundedRelation).1 ⟨G.moveLeft i, ⋯⟩ ⟨G✝, inst✝⟩
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
⊢ 1 ≤ (2 * π) ^ n
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a✝ b : WithTop α
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ ⊤ = Option.bind ⊤ fun b => Option.some (a * b)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : dist z c < R₁
hR₁ : 0 < R₁
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo (dist z c) R₁
hr₀ : 0 < r
⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / r
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
⊢ Continuous (MeasureTheory.convolution f g L μ)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hne : ∀ (i : ι), (f i).Nonempty
⊢ univ.Finite
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.LeftHomologyData
⊢ h.unop.g' = h.f'.unop
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
R : Type u_6
Ring R
TopologicalSpace R
Module R V
ContinuousSMul R V
Invertible 2
l : Filter α
f₁ f₂ : α → P
p₁ p₂ : P
h₁ : Filter.Tendsto f₁ l (𝓝 p₁)
h₂ : Filter.Tendsto f₂ l (𝓝 p₂)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => midpoint R (f₁ x) (f₂ x)) l (𝓝 (midpoint R p₁ p₂))
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
hroots : Multiset.card p.roots = p.natDegree
⊢ Polynomial.C p.leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => Polynomial.X - Polynomial.C a) p.roots).prod = p
o : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit
a : Ordinal.{u_4}
⊢ o ≤ a ↔ ∀ x < o, x ≤ a
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
⊢ Function.Injective ⇑f.rangeRestrict ↔ Function.Injective ⇑f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
s : S.Splitting
⊢ s.leftHomologyData.π = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
h : (↑s).PairwiseDisjoint t
⊢ ↑(s.disjiUnion t h) = ⋃ x ∈ ↑s, ↑(t x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
OrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : v + ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hv : 0 ≤ v
hq : q ∈ s
⊢ f (v • q + ∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ v • f q + ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
α : Type u_1
a : α
⊢ a ∉ Part.none
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
h₁ : Monovary f₁ g
h₂ : Antivary f₂ g
⊢ Monovary (f₁ - f₂) g
α : Type u_6
β : Type u_7
PartialOrder α
PartialOrder β
e : (fun x x_1 => x < x_1) ≃r fun x x_1 => x < x_1
⊢ (OrderIso.ofRelIsoLT e).toRelIsoLT = e
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α), (0 a) s ∂m = 0
C : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C
r : HomRel C
D : Type u_4
inst✝ : Category.{u_2, u_4} D
F : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
F₁ F₂ : Quotient r ⥤ D
h : functor r ⋙ F₁ = functor r ⋙ F₂
⊢ functor r ⋙ F₁ = functor r ⋙ F₂
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
p : MonoidAlgebra k G → Prop
f : MonoidAlgebra k G
hM : ∀ (g : G), p ((of k G) g)
hadd : ∀ (f g : MonoidAlgebra k G), p f → p g → p (f + g)
hsmul : ∀ (r : k) (f : MonoidAlgebra k G), p f → p (r • f)
g : G
r : k
⊢ p (Finsupp.single g r)
xl xr yl yr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
yL : yl → SetTheory.PGame
yR : yr → SetTheory.PGame
i : xr
j : yr
⊢ (-(SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR * SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR)).moveRight (Sum.inr (i, j)) =
  -(xR i * SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR + SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR * yR j - xR i * yR j)
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf (Type v) X
x : ↑X
⊢ Function.Injective (F.stalkToFiber x)
p q : NNReal
h : p.IsConjExponent q
⊢ 1 ≤ p
H : Type u
TopologicalSpace H
α : Type u_5
TopologicalSpace α
Nonempty α
f : α → H
h : OpenEmbedding f
x : α
⊢ ↑(chartAt H x) = f
E : Type u_3
SeminormedCommGroup E
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ nndist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂) ≤ nndist a₁ b₁ + nndist a₂ b₂
R : Type u
a : R
n : ℕ
Semiring R
⊢ ((Polynomial.monomial n) a).natTrailingDegree ≤ n
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ ∃ q, (of v).nums n = ↑q
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x y + InnerProductGeometry.angle x (x - y) + InnerProductGeometry.angle y (y - x) = π
R : Type u_1
Semiring R
x : R
hx : IsQuasiregular x
⊢ IsUnit (1 + x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.Square.arrowArrowEquivalence.functor = CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
⊢ WittVector.ghostFun 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
k : α
h : m.size = m.buckets.size
⊢ m.size = (m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val (AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).size
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f ∅
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s✝ : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
f : (i : ι) → Filter (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
i : ι
s : Set (α i)
hs : s ∈ map (eval i) (pi f)
I : Set ι
hIf : I.Finite
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hI : eval i '' I.pi t ⊆ s
⊢ s ∈ f i
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
s : Set M₁
⊢ ⇑e '' s = ⇑e.symm ⁻¹' s
𝕜 : Type v
RCLike 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ 1 ∧ g x = ↑‖x‖
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ p.trailingDegree + q.trailingDegree ≤ (p * q).trailingDegree
R : Type u
CommRing R
L : Type v
M : Type w
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x : L
m : M
⊢ (LieModule.toModuleHom R L M) (x ⊗ₜ[R] m) = ⁅x, m⁆
n✝ : ℕ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : DecidableEq τ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (indiscrete n).parts = {n}
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
CategoryTheory.HasShift E ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
G : CategoryTheory.Functor D E
G.CommShift ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((F.mapTriangleCompIso G).inv.app X).hom₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.obj (F.obj X.obj₃))
α : Type u_1
M : Type u_6
N : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
s : Set α
g : α → M
x : α
⊢ f (s.mulIndicator g x) = s.mulIndicator (⇑f ∘ g) x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → G
s : Set E
C : ℝ≥0
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
bound : ∀ x ∈ s, ‖fderivWithin 𝕜 f s x‖₊ ≤ C
hs : Convex ℝ s
⊢ LipschitzOnWith C f s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
i : CategoryTheory.Limits.IsZero Y
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero X
X Y : Type u
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductLimitCone X Y).isLimit = CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductLimit X Y
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
D : Derivation R A M
a : A
n : ℕ
⊢ D (a ^ n) = n • a ^ (n - 1) • D a
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I B : Set α⦄,
    Indep I →
      I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | Indep I} →
        B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | Indep I} → ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
h_bdd : ∃ n, ∀ (I : Set α), Indep I → I.encard ≤ ↑n
⊢ (IndepMatroid.ofBdd E Indep indep_empty indep_subset indep_aug subset_ground h_bdd).Indep = Indep
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : α → β
e : γ ≃ᵐ α
h : MeasurePreserving (⇑e) μc μa
hg : MeasurePreserving (g ∘ ⇑e) μc μb
⊢ g = (g ∘ ⇑e) ∘ ⇑e.symm
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤
⊢ Submodule.span F (Set.range fun x => v x ^ q ^ n) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
⊢ ¬s.sym2.Nonempty ↔ ¬s.Nonempty
α : Type u
β : Type v
a : α
as : List α
⊢ (a :: as).zipLeft' [] = ((a, none) :: List.map (fun a => (a, none)) as, [])
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
⊢ a ∈ a ::ₘ 0
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K✝ : Type u
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K✝ L
inst✝ : FiniteDimensional F E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
K : IntermediateField F E
g : E[X] := Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)
K' : IntermediateField F E := adjoin F ↑g.coeffs
hsub : K' ≤ K
dvd_g : minpoly (↥K') α ∣ g.toSubring K'.toSubring ⋯
finrank_eq : ∀ (K : IntermediateField F E), finrank (↥K) E = (minpoly (↥K) α).natDegree
⊢ (minpoly (↥K') α).natDegree ≤ (minpoly (↥K) α).natDegree
ι : Sort u_1
R : Type u_2
Ring R
S : ι → Subring R
⊢ (iSup S).op = ⨆ i, (S i).op
M : Type u
inst✝ : Monoid M
X₁✝ X₂✝ : Discrete M
f : X₁✝ ⟶ X₂✝
X : Discrete M
⊢ { as := X₁✝.as * X.as } = { as := X₂✝.as * X.as }
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
⊢ a⁻ ≤ 0 ↔ -a ≤ 0
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : IntermediateField F E
⊢ S.FG ↔ ∃ t, t.Finite ∧ IntermediateField.adjoin F t = S
α : Type u
e : Encoding α
⊢ Function.Injective e.encode
𝕜 : Type u_8
RCLike 𝕜
n : Type u_9
Fintype n
x y : EuclideanSpace 𝕜 n
⊢ edist x y = (∑ i : n, edist (x i) (y i) ^ 2) ^ (1 / 2)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
inst✝ : SemilatticeSup β
l : Filter α
f₁ f₂ g₁ g₂ : α → β
hf : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[l] g₂
⊢ f₁ ⊔ g₁ ≤ᶠ[l] f₂ ⊔ g₂
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfcₙ f a = (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := hf0 }
b✝ x y : ℝ
b : ℕ
r : ℝ
hb : 1 < b
hr✝ : 0 ≤ r
hr : 0 < r
hb1' : 1 < ↑b
⊢ ⌊logb (↑b) r⌋ ≤ Int.log b r
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
h₂ :
  ∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c),
    ∃ c' t, CategoryTheory.CategoryStruct.comp s (F.map t) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp s' (F.map t)
⊢ F.Final
ι : Type u_2
π : ι → Type u_5
(i : ι) → IntCast (π i)
n : ℤ
⊢ ↑n = fun x => ↑n
G : Type u
Add G
UniqueSums G
⊢ IsCancelAdd G
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
⊢ (adj.natTransEquiv adj) (𝟙 G) = 𝟙 F