ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
m n : ℕ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
⊢ m = n
α : Type u
a : α
l : List α
s : Stream' α
⊢ a ∈ s → a ∈ l ++ₛ s
C : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R : Sheaf J RingCat
inst✝² : HasWeakSheafify J AddCommGrp
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)
M N : SheafOfModules R
I : Type u
s : I → M.sections
p : M ⟶ N
x✝ : I
X✝ : Cᵒᵖ
⊢ ↑(N.freeHomEquiv (M.freeHomEquiv.symm s ≫ p) x✝) X✝ = ↑(N.freeHomEquiv (N.freeHomEquiv.symm fun i => sectionsMap p (s i)) x✝) X✝
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ (m_1 : ℕ), (nim ↑m + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(m ^^^ m_1)
m : ℕ
hm : ∀ m_1 < m, (nim ↑n + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(n ^^^ m_1)
⊢ (mex fun i => ((nim ↑n + nim ↑m).moveLeft i).grundyValue) = ↑(n ^^^ m)
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ p.succAbove i < p ↔ i.castSucc < p
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ _root_.fderiv 𝕜 f x = h.toContinuousLinearMap
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : s =ᶠ[ae μ] univ
⊢ s ∩ t =ᶠ[ae μ] t
s : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (-1) ^ k / ↑k.factorial
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ Finset.range (n + 1), (-1) ^ x * ↑((x + 1).ascFactorial (n - x)) / ↑n.factorial = (-1) ^ x / ↑x.factorial
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 2
⊢ FiniteDimensional.finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) ≤ n ↔ ¬AffineIndependent k p
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ (s₁ ∪ s₂) * t = s₁ * t ∪ s₂ * t
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ e.toLinearEquiv.symm = e.symm.toLinearEquiv
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
K : Compacts G
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ ⨅ t, ⨅ (ht : IsOpen t), ⨅ (_ : ↑K ⊆ t), μ.innerContent { carrier := t, is_open' := ht }
X Y : MonCat
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : ↑X), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
h₁ : a ≠ b
h₂ : ∀ (x : α), x ≠ a ∧ x ≠ b → f x = 1
⊢ ∏ x : α, f x = f a * f b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : MeasurableSpace β
ν : Measure β
f : α → β
g : β →ₘ[ν] γ
hf : QuasiMeasurePreserving f μ ν
⊢ g.compQuasiMeasurePreserving f hf = mk (↑g ∘ f) ⋯
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
α : Type u
a : (ofTypeFunctor m).obj ((ofTypeFunctor m ⋙ ofTypeFunctor m).obj α)
⊢ ((ofTypeFunctor m).map ({ app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app α) ≫ { app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app α) a = ({ app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app ((ofTypeFunctor m).obj α) ≫ { app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app α) a
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ (insert a s).erase a ⊆ s
a r x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ ProbabilityTheory.gammaPDF a r x = ENNReal.ofReal (r ^ a / Real.Gamma a * x ^ (a - 1) * rexp (-(r * x)))
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
hP : P.IsEquipartition
hu : u ∈ P.parts
⊢ 4 ^ P.parts.card * (Fintype.card α / P.parts.card / 4 ^ P.parts.card) ≤ u.card
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
⊢ IsConnected (connectedComponent x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
⊢ ⨆ x, ↑(f x) = ⊤ ↔ ¬BddAbove (range f)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{v}
⊢ Ordinal.lift.{u, v} c.ord = (lift.{u, v} c).ord
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hYdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (Y i) (Y j)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
inhabited_h : Inhabited ι
⊢ 3 < ℵ₀
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p : P
⊢ p -ᵥ p = 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
⊢ count K v I⁻¹ = -count K v I
n : PosNum
⊢ n.natSize = (↑n).size
a✝ b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a : ℕ
hb : 0 < b
⊢ a / b < a / b + 1
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
⊢ #(Perm α) = 2 ^ #α
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
x : ℝ
⊢ schnirelmannDensity A < x ↔ ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < x
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ≥0
⊢ EMetric.ball x ↑ε = Metric.ball x ↑ε
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
U : TopCat
X : PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑U
V : OpenNhds (f x)
⊢ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) (op V) ≫ (X.restrictStalkIso h x).inv = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) (op V) ≫ Hom.stalkMap (X.ofRestrict h) x
α : Type u_1
StrictOrderedSemiring α
x : ↑(Set.Ioc 0 1)
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
Ring 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup E
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 E
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ Continuous (p.partialSum n)
x y nx ny : ℤ
z : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt x nx →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsInt y ny → nx.lcm ny = z → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (x.lcm y) z
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
p : Submodule R M
⊢ ↑(LieSubmodule.lieSpan R L ↑p) = p ↔ ∃ N, ↑N = p
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y
⊢ Continuous (SeparationQuotient.lift f hf) ↔ Continuous f
n k : ℕ
⊢ n.descFactorial (k + 1) = (n - k) * n.descFactorial k
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s t : Finset α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → (∀ z ∈ s, z ∉ Set.Ioo x y) → ∃ z ∈ t, x < z ∧ z < y
⊢ s.card ≤ t.card + 1
α : Type u
LE α
self : OrderBot α
a : α
⊢ ⊥ ≤ a
R : Type u_1
AddSemigroup R
a : R
b : R
ha : IsAddRightRegular a
⊢ IsAddRightRegular (b + a) ↔ IsAddRightRegular b
s : ℝ
this : ∀ (r : ℝ), ↑r = ↑r
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (↑s - 1) = ↑(rexp (-x) * x ^ (s - 1))
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
f : M →ₗ[R] M'
hf_inj : ker f = ⊥
h : LinearIndependent R v
⊢ Disjoint (span R (Set.range v)) (ker f)
A : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra ℂ A
inst✝¹ : StarModule ℂ A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
x : ℂ
hx : x ∈ σ ℂ a
⊢ (algebraMap ℝ ℂ) (Complex.reCLM x) = x
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
⊢ Metric.ball 0 r₁ • p.ball 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)
α : Sort u_1
IsEmpty α
p : α → Prop
⊢ (∀ (a : α), p a) ↔ True
α : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Multiset.map (fun x => c + x) (Multiset.Icc a b) = Multiset.Icc (c + a) (c + b)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
⊢ ((fun p => Φ p.1 - Φ p.2 - Φ' (p.1 - p.2)) =o[𝓝 (x, x)] fun p => p.1 - p.2) ↔ ∀ (i : ι), (fun p => Φ p.1 i - Φ p.2 i - ((proj i).comp Φ') (p.1 - p.2)) =o[𝓝 (x, x)] fun p => p.1 - p.2
p : ℕ
hp : Prime p
this✝ : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
hm₁ : 1 < m
this : NeZero m
⊢ False
X : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : x ∈ ↑U
⊢ ∃ U' ∈ X.affineOpens, x ∈ U' ∧ U' ≤ U
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : Nontrivial R
φ : R[X] →*₀ G₀
hφ : Function.Injective ⇑φ
hφ' : optParam (R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ G₀⁰) ⋯
a a' : R[X] × ↥R[X]⁰
⊢ φ a.1 / φ ↑a.2 = φ a'.1 / φ ↑a'.2 → { toFractionRing := Localization.mk a.1 a.2 } = { toFractionRing := Localization.mk a'.1 a'.2 }
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
_h : (x :: y :: l).Nodup
h0 : 0 < (x :: y :: l).length
h₁ : (x :: y :: l).get ⟨0, h0⟩ = x
⊢ (x :: y :: l).next ((x :: y :: l).get ⟨0, h0⟩) ⋯ = (x :: y :: l).get ⟨(↑⟨0, h0⟩ + 1) % (x :: y :: l).length, ⋯⟩
ι : Type u_5
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
TopologicalSpace M
TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
f : ι → M
e : M ≃SL[σ] M₂
y : M₂
⊢ HasSum (fun b => e (f b)) y ↔ HasSum f (e.symm y)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : α
⊢ (𝓝[s] a).IsMeasurablyGenerated
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
c1✝ : Computation (WSeq α)
c2✝ : Computation (WSeq β)
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝
S : WSeq α → WSeq β → Prop := fun s t => ∃ c1 c2, s = flatten c1 ∧ t = flatten c2 ∧ Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : S s t
c1 : Computation (WSeq α)
c2 : Computation (WSeq β)
h : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
a✝ : WSeq α
b✝ : WSeq β
ab : LiftRel R a✝ b✝
a : Option (α × WSeq α)
b : Option (β × WSeq β)
⊢ ∀ (s : WSeq α) (t : WSeq β), LiftRel R s t → S s t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : Set β
⊢ (Prod.mk '' s).seq t = ((fun b a => (a, b)) '' t).seq s
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
Ring R
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
hx : v x < v y
⊢ v (x - y) = v x
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
m n : ℤ
⊢ (a ^ m).y < (a ^ n).y ↔ m < n
K : Type u_1
Field K
NumberField K
I : (FractionalIdeal (nonZeroDivisors (NumberField.RingOfIntegers K)) K)ˣ
e : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (NumberField.RingOfIntegers K) ≃ Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I
⊢ |(NumberField.mixedEmbedding.latticeBasis K).det
      (⇑(NumberField.mixedEmbedding K) ∘ ⇑(NumberField.basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e)| =
  ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c d : G
n : ℤ
a b : G
⊢ a / b * b = a
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
a : A
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NoZeroDivisors R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
p : R[X]
h : (aeval a) p = 0
h' : p ≠ 0
hp : p ∈ nonZeroDivisors R[X]
⊢ IsTorsion R[X] (AEval R M a)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c ^ n⌋₊
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((Norm.norm ∘ g) a) C
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖op (f x) (g x)‖ < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr : r < 1
⊢ Tendsto (fun a => ↑(r ^ a)) atTop (𝓝 ↑0)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
ht : v.t₀ ≤ t
⊢ |↑t - ↑v.t₀| ≤ v.tDist
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s
⊢ ∃ t ∈ P.parts, a ∈ t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
⊢ ∀ (X_1 : SimplexCategory), X.rightOp.hom.app X_1 = (X.hom.app (Opposite.op X_1)).op
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : ContinuousMul G
h : IsOpen {1}
g : G
⊢ {g} = (fun x => g⁻¹ * x) ⁻¹' {1}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X Y : C
f : X ≅ Y
y : F.obj Y
⊢ F.map f.hom (F.map f.inv y) = y
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
⊢ NonUnitalSubalgebra R A → Set A
α : Type u
p : α → Bool
x : α
xs : List α
⊢ List.splitOnP p (x :: xs) =
  if p x = true then [] :: List.splitOnP p xs else List.modifyHead (List.cons x) (List.splitOnP p xs)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r
inst✝ : Finite ι
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
x : (i : ι) → α i
this✝² : (i : ι) → Zero (α i) := fun i => { zero := ⋯.min ⊤ ⋯ }
this✝¹ : IsTrans ι (Function.swap r)
this✝ : IsIrrefl ι (Function.swap r)
this : Fintype ι
⊢ WellFounded (Function.swap r)
⊢ 2 * Real.arctan 3⁻¹ + Real.arctan 7⁻¹ = Real.pi / 4
Fq : Type u_1
Fintype Fq
Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Polynomial Fq
A : Fin m.succ → Polynomial Fq
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ (A i₁ - A i₀).degree < ↑(b.natDegree - d)
α : Type u_1
F : Type u_3
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
c : 𝕜
f : ↥(MeasureTheory.lpMeas F 𝕜 m p μ)
⊢ MeasureTheory.lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm (c • f) = c • MeasureTheory.lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
Zero β
f : α → β
hf : HasCompactSupport f
⊢ IsCompact (tsupport f)
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
t : G
p : G → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (x * t)) ↔ {x | p x} ∈ Filter.map (fun h => h * t) (ae μ)
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
Group α
MulDistribMulAction α G
a : α
S : Subgroup G
x : G
⊢ a • x ∈ a • S ↔ x ∈ S
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosMono α
hb : 0 ≤ b
h : 1 ≤ a
⊢ b ≤ a * b
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
⊢ (p * p.mirror).coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree) = p.sum fun n x => x ^ 2
R : Type u
Semiring R
RankCondition R
n m : ℕ
f : (Fin n → R) →ₗ[R] Fin m → R
⊢ Function.Surjective ⇑f → m ≤ n
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x
H : λ ∣ x - 1
⊢ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1 ∨ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
n : ℕ
⊢ { toFun := fun n => χ ↑n * ↑n ^ (-s), map_zero' := ⋯, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } n = if n = 0 then 0 else χ ↑n / ↑n ^ s
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
⊢ μ (closedBall x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 s)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_11, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_12, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_13, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_14, u_4} C₄
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄))
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ Y₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ Y₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
((((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
((((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).HasMap p
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h)
    (CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorMapMap F p f₁ f₂ f₃ j) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃))
        (CategoryTheory.GradedObject.ιMapTrifunctorMapObj F p Y₁ Y₂ Y₃ i₁ i₂ i₃ j h)))
R : Type u
Ring R
T : Subring R
⊢ Polynomial.toSubring 0 T ⋯ = 0
α : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Multiset.map (fun x => x + c) (Multiset.Icc a b) = Multiset.Icc (a + c) (b + c)
R : Type
CommRing R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
a : ℤ√d
⊢ (Zsqrtd.lift r) a = ↑a.re + ↑a.im * ↑r
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
D₁ : Type u_1
D₂ : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} D₁
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : L₂.IsLocalization W₂
F : D₁ ⥤ D₂
h : Φ.IsRightDerivabilityStructure
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ F
⊢ TwoSquare.GuitartExact e.hom
α : Type u_1
r : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
hr : 0 ≤ r
hf : 0 ≤ᶠ[l] f
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
h : f =Θ[l] g
⊢ (fun x => f x ^ r) =Θ[l] fun x => g x ^ r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ✝ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)
δ : ι → Type u_6
φ : (i : ι) → δ i → α
I : Set ι
I_finite : I.Finite
I_cover : ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ
⊢ ⨅ i, comap (Prod.map (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun) (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun)) (𝓤 (δ i →ᵤ β)) ≤ 𝓤 (α →ᵤ β)
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
u v : E
⊢ ‖u‖ ≤ ‖v‖ + ‖u - v‖
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ : F
y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂
⊢ W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) =
  W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ (W.negY x₂ y₂)) - (y₁ - W.negY x₁ y₁) * (y₂ - W.negY x₂ y₂) / (x₂ - x₁) ^ 2
G : Type u_4
MeasurableSpace G
InvolutiveInv G
MeasurableInv G
⊢ (MeasurableEquiv.inv G).symm = MeasurableEquiv.inv G
cs : List Char
c : Char
cs' : List Char
⊢ { data := cs ++ c :: cs' }.prev { byteIdx := String.utf8Len cs + c.utf8Size } = { byteIdx := String.utf8Len cs }
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
s : Multiset (MvPolynomial σ R) := Multiset.map (fun i => X i) univ.val
this : Fintype.card σ = Multiset.card s
⊢ Multiset.map (fun i => Polynomial.X + Polynomial.C (X i)) univ.val = Multiset.map (fun r => Polynomial.X + Polynomial.C r) s
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n : ℕ
t : L[[α]].Term (β ⊕ Fin n)
v : β → M
xs : Fin n → M
⊢ realize (Sum.elim (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) xs ∘ ⇑(Equiv.sumAssoc α β (Fin n)).symm) t.constantsToVars = realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) (Sum.elim v xs)) t.constantsToVars
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
r : R
x : tsze R M
⊢ TrivSqZeroExt.inl r * x = r •> x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Ord α
inst✝² : Ord β
inst✝¹ : OrientedOrd α
inst✝ : OrientedOrd β
⊢ OrientedOrd (α × β)
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N' : Type u_6
AddCommGroup N'
Module R N'
ι : Type u_7
N'₂ : Type u_10
AddCommGroup N'₂
Module R N'₂
DecidableEq ι
Fintype ι
g : N' →ₗ[R] N'₂
f : MultilinearMap R (fun x => M) N'
⊢ MultilinearMap.alternatization (g.compMultilinearMap f) = g.compAlternatingMap (MultilinearMap.alternatization f)
α : Type u_1
l : List α
i j : Nat
h : i + j + 1 = l.length
⊢ l.reverse.get? i = l.get? j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
a' : E →L[𝕜] 𝔸
ha : HasFDerivWithinAt a a' s x
b : 𝔸
⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => a y * b) (a'.smulRight b) s x
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : FinitePresentation R A
e : A ≃ₐ[R] B
⊢ FinitePresentation R B
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ (Ioo s t).card = 2 ^ (t.card - s.card) - 2
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
h : ‖m‖ ≤ 1
⊢ ‖f m‖ ≤ ‖f‖
G : Type u_1
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
CompactSpace G
DivisibleBy G ℤ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
X : Type u_2
MeasurableSpace X
μ' : MeasureTheory.Measure X
f : X → G
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ' μ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun x => n • f x) μ' μ