ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m₁ s₁) + (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m₂ s₂) = (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (s₂ • m₁ + s₁ • m₂) (s₁ * s₂))
n a b : ℕ
h : n = a + b
⊢ n.choose a = n.choose b
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this✝¹ : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (range fun i => bK i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this✝ : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom K (RingHom.op L.subtype)
ιL : Type u
bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
t : Finset ℕ
g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ
i✝ : ℕ
hi✝ : i✝ ∈ t
hgi : g i✝ ≠ 0
s : Finset ιK
f : ℕ → { x // x ∈ s } → ↥L := fun i j => ⟨bK (↑j) i, ⋯⟩
this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
eq0 : ∑ i ∈ t, g i • f i = 0
c : ιK →₀ K
rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e
i : ιK
hi : i ∈ s
⊢ ∑ x ∈ t, g x • c i • bK i x = 0
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Sigma σ → X
h : Inducing f
i : ι
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ ∀ (x : Sigma σ), f x ∈ U ↔ x.fst = i
α : Type u
Finite α
f : Ultrafilter α
⊢ ∃ a, f = pure a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve α r' ⊓ Presheaf.imageSieve φ m
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
⊢ smul α φ (r + r') m = smul α φ r m + smul α φ r' m
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this : 4 = 2 * 2
⊢ stirlingSeq n ^ 4 / stirlingSeq (2 * n) ^ 2 * (↑n / (2 * ↑n + 1)) = Wallis.W n
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
⊢ IsCodetector (op G) ↔ IsDetector G
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a₁ a₂ : α
h : a₁ < a₂
⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ a₁ ∈ u ∧ a₂ ∈ v ∧ ∀ b₁ ∈ u, ∀ b₂ ∈ v, b₁ < b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → Option β
g : β → γ
l : List α
⊢ List.map g (List.filterMap f l) = List.filterMap (fun x => Option.map g (f x)) l
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
h₁ : π₁.IsPartition
π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
h₂ : π₂.IsPartition
⊢ (π₁.infPrepartition π₂).IsPartition
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
k₂ k₁ k₀ : ι
r₂₁ : c.Rel k₂ k₁
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
⊢ (Homotopy.nullHomotopicMap hom).f k₁ = C.d k₁ k₀ ≫ hom k₀ k₁ + hom k₁ k₂ ≫ D.d k₂ k₁
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
s : Finset ι
g : ι → K
eq : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0
j' : ι
hj's : j' ∈ s
hj'g : ¬g j' = 0
a : K
j : ι
hjs : j ∈ s
hgI : a * g j ∉ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))
g'' : (i : ι) → i ∈ s → R
hg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), (algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i
this : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable
g' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0
⊢ ∃ x, ∃ (_ : ∑ i ∈ s, x i • (⇑f' ∘ b) i = 0), ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ s), ¬x x_1 = 0
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticWithinOn 𝕜 f s
n : ℕ∞
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ ‖x‖₊ = univ.sup fun w => ⟨(normAtPlace w) x, ⋯⟩
m n : ℤ
hne : m ≠ n
⊢ 1 ≤ dist m n
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
⊢ cyclotomic 3 R = X ^ 2 + X + 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖ ≤ ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, ‖f x‖ ∂μ‖
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), IsTrichotomous (β i) s
wf : WellFounded r
a b : (i : ι) → β i
⊢ Pi.Lex r s a b ∨ a = b ∨ Pi.Lex r s b a
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsGδ s
ht : IsGδ t
⊢ IsGδ (⋂ b, bif b then s else t)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
supp : Set α
fin : supp.Finite
⊢ ∀ {f : Equiv.Perm α}, (∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x) → (fixedBy α f)ᶜ ⊆ ∅ → f ∈ closure S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
a₁ : α
b₁ b₂ : β
h : (a₁, b₁) < (a₁, b₂)
⊢ toLex (a₁, b₁) < toLex (a₁, b₂)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
hfi : Integrable (↑f) μ
i : G'
hi : i ∈ Set.range ↑f
h0 : ¬i = 0
y : α
hy : ↑f y = i
⊢ 0 ≤ i
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : αᵒᵈ
⊢ Finset.Icc (OrderDual.ofDual a) (OrderDual.ofDual b) = Finset.map OrderDual.ofDual.toEmbedding (Finset.Icc b a)
α : Type u_2
InvolutiveInv α
s : Set α
⊢ Nat.card ↑s⁻¹ = Nat.card ↑s
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
b : ℕ
x✝ : 2 ≤ b + 3
this : a + (b + 2) ≤ a * (b + 2)
⊢ a + (b + 3) ≤ a * (b + 2) + a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ GaloisConnection (MeasurableSpace.comap f) (MeasurableSpace.map f)
α : Type u_2
Preorder α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ NonemptyInterval.pure a / NonemptyInterval.pure b = NonemptyInterval.pure (a / b)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : Fix F α → β
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f i)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f i))
⊢ ((TypeVec.id ::: g₁) ⊚ (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧) = (TypeVec.id ::: g₂) ⊚ (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : X → E →L[𝕜] F
⊢ Continuous f ↔ ∀ (y : E), Continuous fun x => (f x) y
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
c : 𝕜
⊢ (∇ fun x => c) = fun x => 0
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type s
CommRing S
Algebra R S
F : Type u
Field F
Algebra R F
Algebra S F
IsScalarTower R S F
K : Type v
Field K
Algebra R K
Algebra S K
IsScalarTower R S K
f : F →ₐ[S] K
L : Type w
Field L
Algebra R L
Algebra S L
IsScalarTower R S L
g : K →ₐ[S] L
P : WeierstrassCurve.Affine.Point (WeierstrassCurve.baseChange W F)
⊢ (WeierstrassCurve.Affine.Point.map W g) ((WeierstrassCurve.Affine.Point.map W f) P) =
  (WeierstrassCurve.Affine.Point.map W (g.comp f)) P
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
h_inj : Function.Injective ⇑f
⊢ f * ↑(LinearEquiv.ofInjectiveEndo f h_inj).symm = 1
q✝ a b c q : ℚ
h : q.isInt = true
⊢ q = ↑q.num
R : Type u
M : Type v
Monoid R
AddMonoid M
DistribMulAction R M
DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n : ℕ
⊢ (x ^ n).fst = x.fst ^ n
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
⊢ ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), IsSolvable (minpoly F α).Gal → IsSolvable (minpoly F (-α)).Gal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
mf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.IsCofiltered.infTo O H mX) f =
  CategoryTheory.IsCofiltered.infTo O H mY
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
a : G
b : H
AddGroup G
AddGroup H
AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
n : ℕ
⊢ f (x - n • a) = f x - n • b
α : Type u_1
DecidableEq α
Add α
s₁ s₂ t : Finset α
hs : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₁.addEnergy t ≤ s₂.addEnergy t
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
val✝¹ : List I
property✝¹ : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) val✝¹
val✝ : List I
property✝ : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) val✝
⊢ ⟨val✝¹, property✝¹⟩ < ⟨val✝, property✝⟩ ↔ List.Lex (fun x x_1 => x < x_1) ↑⟨val✝¹, property✝¹⟩ ↑⟨val✝, property✝⟩
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
⊢ (ret s).join ~ʷ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α × β
⊢ sphere x 0 = sphere x.1 0 ×ˢ closedBall x.2 0 ∪ closedBall x.1 0 ×ˢ sphere x.2 0
X : Pointed
a : ((pointedToBipointed ⋙ bipointedToPointedFst).obj X).X
⊢ (pointedToBipointedCompBipointedToPointedFst.hom.app X).toFun a = a
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
H₁ : ‖fourierBasis.repr f‖ ^ 2 = ∑' (i : ℤ), ‖↑(fourierBasis.repr f) i‖ ^ 2
H₂ : ‖fourierBasis.repr f‖ ^ 2 = ‖f‖ ^ 2
⊢ ∑' (i : ℤ), ‖↑(fourierBasis.repr f) i‖ ^ 2 = ∫ (t : AddCircle T), ‖↑↑f t‖ ^ 2 ∂haarAddCircle
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : Ω → E
Countable ι
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
⊢ μ[f|hτ.measurableSpace] =ᵐ[μ.restrict {x | τ x = i}] μ[f|↑ℱ i]
k : Type u
inst✝ : Field k
f : k[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f
⊢ Polynomial.eval₂ (toAdjoinMonic k) ((Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) (MvPolynomial.X ⟨f, ⋯⟩)) f = 0
α : Type u_1
b : Bool
n : PosNum
⊢ ↑(bit b n) = Nat.bit b ↑n
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
this : (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D)) ⁻¹' univ.pi fun i => s i) = univ.pi fun i => (fun x => D i * x) ⁻¹' s i
B : ∀ (i : ι), ofReal |D i| * volume ((fun x => D i * x) ⁻¹' s i) = volume (s i)
⊢ ofReal |∏ i : ι, D i| * volume (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D)) ⁻¹' univ.pi s) = ∏ x : ι, volume (s x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
hf' : f.FinMeasSupp μ
⊢ ∀ a ∈ f.range, g a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ ⊤
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type u_1
inst✝ : DecidableEq β
l : List α
f : α → β
x : α
⊢ ∀ (x_1 : α), x_1 ∈ l → (x_1 == x) = true → ((fun x_2 => x_2 == f x) ∘ f) x_1 = true
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃) = p₁ -ᵥ p₃
ι : Type u
X : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
C : Set ((i : ι) → X i)
J K : ι → Prop
a b : ↑C
i : ι
h : (π_app C fun x => x ∈ {i}) a = (π_app C fun x => x ∈ {i}) b
⊢ ↑a i = ↑b i
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
⊢ ⇑(ContinuousMap.equivBoundedOfCompact α β) = BoundedContinuousFunction.mkOfCompact
M : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
SMul M α
c : Mᵈᵐᵃ
f : α → β
a : α
⊢ (c • f) a = f (DomMulAct.mk.symm c • a)
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
j : ι
hj : ↑y ∈ S j
k : ι
hik : S i ≤ S k
hjk : S j ≤ S k
hx : x = inclusion ⋯ ⟨↑x, ⋯⟩
hy : y = inclusion ⋯ ⟨↑y, ⋯⟩
hxy : ↑(inclusion ⋯ (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)) ∈ S k
⊢ iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = f k (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
FiniteDimensional F E
IsGalois F E
⊢ ∃ p, p.Separable ∧ Polynomial.IsSplittingField F E p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
h : CategoryTheory.Limits.IsInitial Y
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsColimit c) ↔ CategoryTheory.IsIso c.inl
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t
⊢ (G.replaceVertex s t).edgeFinset = (G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s).toFinset
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
p : Sort u_4
f : M → ↥S → M → ↥S → p
H :
  ∀ {a a' : M} {b b' : ↥S} {c c' : M} {d d' : ↥S},
    (AddLocalization.r S) (a, b) (a', b') → (AddLocalization.r S) (c, d) (c', d') → f a b c d = f a' b' c' d'
a c : M
b d : ↥S
⊢ (AddLocalization.mk a b).liftOn₂ (AddLocalization.mk c d) f H = f a b c d
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
R : Type u_1
CommSemiring R
CharP R 2
x y : R
⊢ (x + y) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ (μ.withDensity f) s = ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C
⊢ ((single C c j).obj A).homologyι j ≫ (singleObjOpcyclesSelfIso c j A).inv = (singleObjHomologySelfIso c j A).hom
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : Y
h : x ∈ e.target
⊢ ↑e (↑e.symm x) = x
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
x y : P
⊢ (Equiv.pointReflection x) y -ᵥ y = 2 • (x -ᵥ y)
α : Type u
σ : Type v
M : εNFA α σ
x : List α
⊢ M.evalFrom ∅ x = ∅
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
X : CategoryTheory.Functor (C × D) E
⊢ ∀ (X_1 : C × D),
  (CategoryTheory.currying.counitIso.inv.app X).app X_1 = CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.obj (X_1.1, X_1.2))
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
g h : TensorProduct R M N →ₗ[R] P
H : ∀ (x : M) (y : N), g (x ⊗ₜ[R] y) = h (x ⊗ₜ[R] y)
⊢ g = h
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
h3 : K ≠ ⊤
h4 : (comap K.subtype N).index = N.index
h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G
⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hroots : card p.roots = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree
⊢ p.coeff k = p.leadingCoeff * (-1) ^ (p.natDegree - k) * p.roots.esymm (p.natDegree - k)
α : Type u
s : Stream' α
m n : ℕ
⊢ List.take m (Stream'.take n s) = Stream'.take (min n m) s
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g h : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
⊢ (h + g).comp f = h.comp f + g.comp f
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
Finite ι
q₁ q₂ : P
h : ∀ (i : ι), (b.coord i) q₁ = (b.coord i) q₂
⊢ q₁ = q₂
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ
⊢ essSup g (Measure.map f μ) ≤ essSup (g ∘ f) μ
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x : X
⊢ Embedding (Prod.mk x)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n✝ m n : ℕ
h : 0 < n
⊢ orderOf x = n ↔ x ^ n = 1 ∧ ∀ m < n, 0 < m → x ^ m ≠ 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
⊢ TopologicalAddGroup E
R : Type u_1
NonAssocRing R
Pow R ℕ
BinomialRing R
NatPowAssoc R
r : R
⊢ Ring.choose r 0 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
x : α
hx : ↑a ≤ x ∧ x ≤ ↑b
⊢ p x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
⊢ (Multiset.map (X * p).coeff (X * p).support.val).gcd = (Multiset.map p.coeff p.support.val).gcd
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
s : Set M
⊢ Subsemigroup.map f (Subsemigroup.closure s) = Subsemigroup.closure (⇑f '' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
P : C
π : (b : I.R) → I.right b ⟶ P
w :
  ∀ (a : I.L),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.fst a) (π (I.fstFrom a)) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.snd a) (π (I.sndFrom a))
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multicofork.ofπ I P π w).pt = P
x y : ℂ
n : ℕ
z : ℂ
⊢ cexp (z * I) ^ n = cexp (↑n * z * I)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq : ∀ (i j : ι), IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n
basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
⊢ ∃ a' h' iDh', U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧ (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧ ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s = const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
i : ℕ
hp : 1 ≤ p.natDegree
⊢ (if p.coeff i = 0 then 0 else if i = p.natDegree then p.leadingCoeff ^ i else p.coeff i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1 - i) * p.leadingCoeff ^ i) = p.coeff i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1)
G : Type u
inst✝ : Monoid G
⊢ (∀ (n : ℕ), 0 < n → ∃ g, g ^ n ≠ 1) ↔ ∀ n > 0, ∃ g, g ^ n ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s ⊆ t
h' : t.ncard ≤ s.ncard
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ t.encard ≤ s.encard
α : Type u_1
L : List (List α)
e : L.any isEmpty = false
⊢ L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ ⋃ n, Ioc (a + n • p) (a + (n + 1) • p) = univ
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₁
CategoryTheory.Preadditive C₂
CategoryTheory.Preadditive D
K₁ : CochainComplex C₁ ℤ
K₂ : CochainComplex C₂ ℤ
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
y i : ℤ
⊢ ∀ (i_1 : ℤ),
  ((K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F y).hom.f i).f i_1 = 𝟙 ((F.obj (K₁.X i)).obj (K₂.X (i_1 + y)))
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.tilted f) s = ENNReal.ofReal (∫ (a : α) in s, rexp (f a) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ ∂μ)
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
a : G
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ a ∈ MulAction.stabilizer G s ↔ ∀ (b : α), a • b ∈ s ↔ b ∈ s
⊢ ContinuousOn Complex.tan {x | Complex.cos x ≠ 0}
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
⊢ F.map 0 ≫ A₂.str = A₁.str ≫ 0
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
α : Type u_1
inst✝ : Field α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : ad ≠ 0
hbd : bd ≠ 0
hgcd : gcd ≠ 0
⊢ (a = b) = (1 / gcd * (bd * a') = 1 / gcd * (ad * b'))