ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
S : Type uS
CommSemiring S
A : Type uA
Semiring A
Algebra S A
B : Type u₄
Semiring B
Algebra S B
f : A →ₐ[S] B
s : A → A → Prop
w : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y
g : RingQuot s →ₐ[S] B
h : g.comp (RingQuot.mkAlgHom S s) = f
⊢ g = (RingQuot.liftAlgHom S) ⟨f, w⟩
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y z : α
h : ¬(x = y ∨ x = z ∨ False) ∧ ¬(y = z ∨ False)
⊢ (swap x y * swap y z).support = {x, y, z}
R : Type u
M : Type v
Ring R
N : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Function.Injective ⇑f
n : ℕ
⊢ f.tailing i n ≤ OrderDual.ofDual ((f.tunnel i) n)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT (-f) = -MeasureTheory.setToFun μ T hT f
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ s.erase a ⊆ t.erase a
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : PolishSpace G
ν : Measure G
Γ : Subgroup G
inst✝⁴ : Countable ↥Γ
inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝² : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
g : G
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_translate_fundom : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) (g • 𝓕) ν
π_preA : Set G := QuotientGroup.mk ⁻¹' A
this✝ : QuotientGroup.mk ⁻¹' ((fun x => g • x) ⁻¹' A) = (fun x => g * x) ⁻¹' π_preA
this : ν ((fun x => g * x) ⁻¹' π_preA ∩ 𝓕) = ν (π_preA ∩ (fun x => g⁻¹ * x) ⁻¹' 𝓕)
⊢ ν ((fun x => g * x) ⁻¹' π_preA ∩ 𝓕) = ν (π_preA ∩ g • 𝓕)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y X : C
s : Cone (Functor.empty C)
P : IsLimit s
t : BinaryFan X s.pt
Q : IsLimit t
⊢ t.fst ≫ Q.lift (mk (𝟙 X) (P.lift { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } })) = 𝟙 t.pt
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
⊢ LSeriesSummable (logMul f) s ∧ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s
α : Type u
a : α
s t : Set α
ha : a ∈ t
hs : s ⊆ t
⊢ insert a s ⊆ t
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
⊢ ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i) = torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ ∀ (a : Aᵐᵒᵖ ≃ₐ[R] B) (a_1 : A), (AlgEquiv.opComm.symm a) a_1 = MulOpposite.op (a (MulOpposite.op a_1))
α : Type u
s : Set α
hs : s.Nontrivial
⊢ hs.choose.2 ∈ s
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
T2Space E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
hscomp : IsCompact s
hAconv : Convex ℝ s
⊢ closure ((convexHull ℝ) (Set.extremePoints ℝ s)) = s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
⊢ ∃ B ε, 0 < ε ∧ ball x ε ⊆ ball z R ∧ ∀ (t : ℝ), ∀ y ∈ ball x ε, ‖circleTransformDeriv R z y f t‖ ≤ B
C : Type u_4
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_3
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
s : A → CategoryTheory.Functor D D
i : (a : A) → F.comp (s a) ≅ (CategoryTheory.shiftFunctor C a).comp F
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Full
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
a b : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd D a b).inv.app (F.obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((s b).map ((i a).hom.app X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((i b).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a b).inv.app X))
        ((i (a + b)).inv.app X)))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
⊢ comap (fun x => (id x.1, id x.2)) (𝓤 α) = 𝓤 α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
f : G →* H
hN : N = f.ker
tH : IsTorsion H
tN : IsTorsion ↥N
g : G
ngn : ℕ
ngnpos : 0 < ngn
hngn : f g ^ ngn = 1
⊢ IsOfFinOrder g
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : Type u_10
m : MeasurableSpace β
Div β
MeasurableDiv₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (f i / f j) (f k) μ
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
DecidableEq n
DecidableEq p
CommRing R
Fintype n
Fintype p
e : n ≃ p
t : Matrix.TransvectionStruct n R
⊢ (Matrix.TransvectionStruct.reindexEquiv e t).toMatrix = (Matrix.reindexAlgEquiv R R e) t.toMatrix
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ ∀ (i : ℕ), ‖2 * Real.cos (2 * π * a * (↑i + 1)) * rexp (-π * (↑i + 1) ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.f_nat 0 1 t i
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
K : ℕ∞
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun i => W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun i => W) ℝ) := (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ k (fun v => (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L v)) (f v)) v‖ ≤ (2 * π) ^ n * (2 * ↑n + 2) ^ k * ‖L‖ ^ n * C
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Projective F
P : Fin 3 → F
h : W.Nonsingular P
hPz : P 2 = 0
⊢ P ≈ ![0, 1, 0]
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁✝ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB✝ : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
n : ℕ
⊢ Ideal.span {↑(seq K w₁ hB n)} ∈ {I | 1 ≤ Ideal.absNorm I ∧ Ideal.absNorm I ≤ B}
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ testAgainstNN 0 f = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, UV.IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
⊢ (UV.compression u v 𝒜).shadow ⊆ UV.compression u v 𝒜.shadow
X : BddLat
⊢ BddLat.dual.obj X = BddLat.of (↑X.toLat)ᵒᵈ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : min c d ≤ b
⊢ Iic b ∪ Icc c d = Iic (max b d)
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_10
Add M
Add N
Add P
Add Q
f : AddHom M N
g : AddHom N P
h : AddHom P Q
⊢ (h.comp g).comp f = h.comp (g.comp f)
α : Type u_1
CommMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
c : α
⊢ a * c ~ᵤ b * c
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ 𝒜.shatterer = 𝒜 ↔ IsLowerSet ↑𝒜
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s t : Multiset α
⊢ Rel (fun a b => f a = f b) s t ↔ Rel (fun x x_1 => x = x_1) s t
𝕜₁ : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁
inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂
inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'
h₁ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₂ F₂ σ (RingHom.id 𝕜₂))
⊢ ContinuousOn (continuousLinearMapCoordChange σ e₁ e₁' e₂ e₂') (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet))
g✝ : SL(2, ℤ)
z✝ : ℍ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
⊢ -g • z = g • z
m : Type u_1 → Type u_2
α ρ β : Type u_1
Monad m
a : α
x : ReaderT ρ m β
ctx : ρ
⊢ (Functor.mapConst a x).run ctx = Functor.mapConst a (x.run ctx)
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
H : (of R ι G f i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x), k ≤ j
hx0 : ¬x = 0
hij : i ≤ j
hxj : (totalize G f i j) x = 0
⊢ (f i j hij) x = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
R : CategoryTheory.Functor D C
self : CategoryTheory.MonadicRightAdjoint R
⊢ (CategoryTheory.Monad.comparison CategoryTheory.MonadicRightAdjoint.adj).IsEquivalence
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Topology.scottHausdorff α ≤ Topology.scott α
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
Ring 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
T2Space 𝔸
StarRing 𝔸
ContinuousStar 𝔸
x : 𝔸
⊢ star (NormedSpace.exp 𝕂 x) = NormedSpace.exp 𝕂 (star x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
self : SimplicialObject.Augmented.ExtraDegeneracy X
n : ℕ
⊢ self.s n ≫ X.left.δ 0 = 𝟙 (CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.drop.obj X _[n])
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
β : Type u_5
SeminormedAddCommGroup β
hp : p ≠ ⊤
b : β
⊢ ‖(WithLp.equiv p (ι → β)).symm (Function.const ι b)‖₊ = ↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖b‖₊
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
x' : M
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
hx'' : f x' = f (S.subtype y • x)
a : ↥S
ha : a • x' = a • S.subtype y • x
⊢ (a * y) • x = a • S.subtype y • x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 F
s : Set E
t : Set F
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
⊢ Convex 𝕜 (s ×ˢ t)
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y Z : Scheme
e : X ≅ Y
f : Y ⟶ Z
hf : stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
⊢ stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (e.hom ≫ f)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K
this : Continuous eval
⊢ chaar K₀ (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - chaar K₀ K = 0
x : SetTheory.PGame
h₁ : ∀ (i : x.LeftMoves) (j : x.RightMoves), x.moveLeft i < x.moveRight j
h₂ : ∀ (i : x.LeftMoves), (x.moveLeft i).Numeric
h₃ : ∀ (j : x.RightMoves), (x.moveRight j).Numeric
⊢ x.Numeric
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hc : 0 < c
⊢ a / b < a / c ↔ c < b
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
⊢ (((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) ⍟ fun n => χ ↑n) = (fun n => χ ↑n) * fun n => Complex.log ↑n
a : Cardinal.{u_1}
⊢ Cardinal.toENat a ≤ 1 ↔ a ≤ 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
⊢ OpensMeasurableSpace α ↔ ∀ (s : Set α), IsOpen s → MeasurableSet s
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condexpKernel μ m) ω) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ f ⁻¹' Set.range f = Set.univ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s t : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
s.HaveLebesgueDecomposition μ
t.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ (s - t).singularPart μ = s.singularPart μ - t.singularPart μ
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((κ.compProd η) a) s = 0 ↔ (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᵐ[κ a] 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
J : Type v₁
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.FinCategory J
F : C ⥤ D
CategoryTheory.RepresentablyFlat F
K : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone K
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
s : CategoryTheory.Limits.Cone (K ⋙ F)
f₁ f₂ : s.pt ⟶ F.obj c.pt
h₁ : ∀ (j : J), f₁ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
h₂ : ∀ (j : J), f₂ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
⊢ f₁ = f₂
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ↪o β
x : α
⊢ ⇑e ⁻¹' Set.Iio (e x) = Set.Iio x
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Set α
⊢ InfClosed s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤
f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ t ⊆ u ∧ AffineIndependent ℝ Subtype.val ∧ affineSpan ℝ t = ⊤
P : PFunctor.{u}
α : Type u
a : P.A
f : P.B a → α
x : α
⊢ (∀ ⦃p : α → Prop⦄, Liftp p ⟨a, f⟩ → p x) ↔ ∃ y, f y = x
A : Type u_3
F : Type u_4
MulZeroOneClass A
FunLike F ℕ A
MonoidWithZeroHomClass F ℕ A
f g : F
h_pos : ∀ {n : ℕ}, 0 < n → f n = g n
⊢ f = g
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
w z : N
⊢ z = w * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y)⁻¹ ↔ z * f ↑y = w
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List (List α)
s : List α
hs : s ∈ L
⊢ s <+ L.join
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
H : Subgroup G
B : Set X
hfB : MulAction.IsBlock G B
⊢ MulAction.IsBlock (↥H) B
β : Type u_1
α : Type u_2
Unique β
x : β × α
⊢ (Equiv.uniqueProd α β) x = x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
h : ↑e.symm '' (e.target ∩ t) = e.source ∩ s
⊢ e.IsImage s t
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
n : ℕ
Fintype α
hn : n ≠ 0
⊢ n • Finset.univ = Finset.univ
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul G G
a b : G
r : ℝ≥0∞
⊢ (fun x => a * x) ⁻¹' EMetric.ball b r = EMetric.ball (a⁻¹ * b) r
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b : αᵒᵈ
⊢ Disjoint (OrderDual.ofDual a) (OrderDual.ofDual b) ↔ Codisjoint a b
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
u : Rˣ
v : Module.Ray R M
⊢ u • v = v ↔ 0 < ↑u
p : Polynomial ℝ
⊢ p.roots.toFinset.card ≤ (Polynomial.derivative p).roots.toFinset.card + 1
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} B
CategoryTheory.Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
X : A
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₂UnitIso eB hF).hom.app X =
  eA.unitIso.hom.app X ≫
    eA.inverse.map (e'.unitIso.hom.app (eA.functor.obj X)) ≫
      eA.inverse.map (e'.inverse.map (hF.hom.app X)) ≫ eA.inverse.map (e'.inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X)))
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ (BoxIntegral.Prepartition.split I i x).iUnion = ↑I
⊢ Set.SurjOn Real.cos (Set.Icc 0 Real.pi) (Set.Icc (-1) 1)
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SL(2, R)
⊢ ↑A 0 0 * ↑A 1 1 - ↑A 0 1 * ↑A 1 0 = 1
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
(i : η) → Group (Gs i)
n : ℕ
⊢ lowerCentralSeries ((i : η) → Gs i) n ≤ Subgroup.pi Set.univ fun i => lowerCentralSeries (Gs i) n
α : Type u_6
⊢ insert none (Set.range some) = Set.univ
S : Type u'
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x : M
SMul S R
SMul S M
IsScalarTower S R M
r : S
h : x ∈ p
⊢ r • x ∈ p
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑b) ≤ ε⁻¹
n : ℕ
⊢ ↑‖a ^ (n + N + 1)‖₊ ^ (1 / ↑(n + N + 1)) * ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑(n + N + 1)) ≤ ↑‖a ^ (n + N + 1)‖₊ ^ (1 / ↑(n + N + 1)) * ε⁻¹
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
x : R
⊢ (iterateFrobeniusEquiv R p 1) x = x ^ p
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
⊢ ∀ i' ∈ 𝓤 α, Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α i' ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : C
⊢ ∀ (x : Fin 1), (CategoryTheory.ComposableArrows.mk₀ X).obj x = X
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f univ x = iteratedFDeriv 𝕜 n f x
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
⊢ (∏ i ∈ s, z i ^ w i) ^ (∑ i ∈ s, w i)⁻¹ = ∏ i ∈ s, z i ^ (w i / ∑ i ∈ s, w i)
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : M
⊢ (contractLeft d) ((ι Q) x) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) (d x)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_4
DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N
⊢ (TensorProduct.finsuppLeft R M N ι) (p ⊗ₜ[R] n) = p.sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
𝕜 : Type u_4
Semiring 𝕜
Algebra ℝ 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousSMul ℝ 𝕜
⊢ Filter.Tendsto (⇑(algebraMap ℝ 𝕜) ∘ fun n => (↑n)⁻¹) Filter.atTop (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
⊢ IsLeast {t | s ⊆ ↑t} (toCone s hs)
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
f : Q₂ →qᵢ Q₃
g : Q₁ →qᵢ Q₂
m : M₁
⊢ (((map f).comp (map g)).toLinearMap ∘ₗ ι Q₁) m = ((map (f.comp g)).toLinearMap ∘ₗ ι Q₁) m
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
r : R
n : ℕ
⊢ 0 < n → ((WittVector.teichmuller p) r).coeff n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p μ → Memℒp g p μ → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f p μ → P f → P g
this✝¹ : ∀ (f : α →ₛ E), Memℒp (↑f) p μ → P ↑f
this✝ : ∀ (f : ↥(Lp.simpleFunc E p μ)), P ↑↑↑f
this : ∀ (f : ↥(Lp E p μ)), P ↑↑f
⊢ ∀ ⦃f : α → E⦄, Memℒp f p μ → P f
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α : L → R
β : LieModule.Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ LieModule.weightSpace M ((↑(LieModule.chainTopCoeff α β) + 1) • α + ⇑β) = ⊥
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
hri : r ∉ I.radical
hrm : r ∉ ⊤
him : I ≤ ⊤
hm : ∀ z ∈ {K | r ∉ K.radical}, ⊤ ≤ z → z = ⊤
this : ∀ x ∉ ⊤, r ∈ (⊤ ⊔ span {x}).radical
⊢ False
α : Type u_2
DistribLattice α
a : α
⊢ SupPrime a ↔ SupIrred a
x : ℝ
k : ℤ
h : arctan x = (2 * ↑k + 1) * π / 2
lb : -1 < 2 * ↑k + 1
ub : 2 * ↑k + 1 < 1
⊢ False
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
t₁ t₂ : Set α
h : ↑s ⊆ t₁ ∪ t₂
⊢ ∃ s₁ s₂, s₁ ∪ s₂ = s ∧ ↑s₁ ⊆ t₁ ∧ ↑s₂ ⊆ t₂ \ t₁
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
⊢ ∏' (p : Nat.Primes), (1 - χ ↑↑p * ↑↑p ^ (-s))⁻¹ = L (fun n => χ ↑n) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → γ
g : β → δ
⊢ Prod.snd ∘ Prod.map f g = g ∘ Prod.snd
a b : Nat
⊢ ↑(min a b) = min ↑a ↑b
G : Type u_4
F : Type u_6
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup F
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
MeasurableMul G
f : G → F
μ.IsMulRightInvariant
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
g : G
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun t => f (t * g)) μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E
hvm : v ∈ K
hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0
⊢ ⟪orthogonalProjectionFn K u - v, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {f : α → Option α_1} {a : α} (l : List α),
  (f a).isSome = true → List.findSome? f (a :: l) = f a
R : Type u_4
S : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
I : Ideal R
⊢ I • ⊤ = Submodule.restrictScalars R (Ideal.map (algebraMap R S) I)
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hMin : I ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) (setOf Ideal.IsPrime)
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsLocalization.AtPrime S I
J K : Ideal S
inst✝¹ : J.IsPrime
inst✝ : K.IsPrime
i₁ i₂ : { i // i.IsPrime ∧ i ≤ I }
⊢ ↑i₁ = ↑i₂
G : Type u_3
Group G
H : Subgroup G
H.Normal
g : ConjAct G
h : ↥H
⊢ ↑(g • h) = g • ↑h
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Mono f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Mono g
Z : C
a b : Z ⟶ X
w : a ≫ f ≫ g = b ≫ f ≫ g
⊢ a ≫ f = b ≫ f