ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
S : C
F : CategoryTheory.Functor B C
G : CategoryTheory.Functor C D
X : CategoryTheory.StructuredArrow S F
⊢ (CategoryTheory.StructuredArrow.post S F G).obj X = CategoryTheory.StructuredArrow.mk (G.map X.hom)
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
p q : ℝ
hp✝ : 0 ≤ p
hq✝ : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
hp : 0 < p
hq : 0 < q
h2p : 1 < 1 / p
h2pq : (1 / p)⁻¹ + (1 / q)⁻¹ = 1
this : ∫⁻ (a : α), ((fun x => f x ^ p) * fun x => g x ^ q) a ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), (f a ^ p) ^ (1 / p) ∂μ) ^ (1 / (1 / p)) * (∫⁻ (a : α), (g a ^ q) ^ (1 / q) ∂μ) ^ (1 / (1 / q))
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ^ p * g a ^ q ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) ^ p * (∫⁻ (a : α), g a ∂μ) ^ q
R : Type u_2
LinearOrderedRing R
a : R
n : ℕ
⊢ a ^ n = 1 ↔ n = 0 ∨ a = 1 ∨ a = -1 ∧ Even n
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M : ModuleCat R
N : ModuleCat R
⊢ tensorHom (𝟙 M) (𝟙 N) = 𝟙 (of R (↑M ⊗[R] ↑N))
α : Type u_1
Add α
Small.{u_2, u_1} α
x y : α
⊢ (equivShrink α) (x + y) = (equivShrink α) x + (equivShrink α) y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ ↑‖indicatorConstLp p hs hμs c‖₊ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
α : Sort u_1
h : Nonempty α
⊢ ¬IsEmpty α
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ 3 * (eval P) W.polynomial = P 0 * (eval P) W.polynomialX + P 1 * (eval P) W.polynomialY + P 2 * (eval P) W.polynomialZ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
⊢ f ×ˢ ⊥ = ⊥
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Div G
m : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
β : Type u_4
inst✝⁴ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : Sub β
inst✝² : OrderedSub β
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSub₂ β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
this : {a | f a = g a} = {a | (f - g) a = 0} ∩ {a | (g - f) a = 0}
⊢ MeasurableSet ({a | (f - g) a = 0} ∩ {a | (g - f) a = 0})
G : Type v
Group G
J : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.SingleObj G) (Type u)
a : Quot Setoid.r
⊢ (CategoryTheory.Limits.SingleObj.Types.Quot.equivOrbitRelQuotient J).symm a =
  Quot.lift (fun x => Quot.mk (CategoryTheory.Limits.Types.Quot.Rel J) ⟨CategoryTheory.SingleObj.star G, x⟩) ⋯ a
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
OrderedAddCommMonoid β
f g : α → β
a : α
hf : IsLocalMin f a
hg : IsLocalMin g a
⊢ IsLocalMin (fun x => f x + g x) a
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n✝ : ℕ+
g : L ≃+* L
n : ℕ+
t : ↥(rootsOfUnity n L)
⊢ ↑↑(t ^ ModularCyclotomicCharacter_aux g n) = ↑(↑t ^ (ModularCyclotomicCharacter_aux g n % ↑(Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L))))
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
x : ℝ
this : IsProbabilityMeasure (gammaMeasure a r)
⊢ ↑(gammaCDFReal a r) x = ∫ (x : ℝ) in Iic x, gammaPDFReal a r x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : Set.MapsTo f s s
n : ℕ
⊢ HasFDerivWithinAt f^[n] (f' ^ n) s x
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6279, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6283, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6287, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E✝ : L.LeftExtension F
Y : D
E E' : L.LeftExtension F
φ : E ⟶ E'
G : CostructuredArrow L Y
⊢ (E.hom.app G.left ≫ E.right.map G.hom) ≫ φ.right.app Y = (E.hom ≫ ((whiskeringLeft C D H).obj L).map φ.right).app G.left ≫ E'.right.map G.hom
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
i : IsZero X
⊢ IsZero Y
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
ι : Type u_1
S : ι → L[[α]].Theory
x✝ : T.CompleteType α
⊢ x✝ ∈ ⋂ i, {p | S i ⊆ ↑p} ↔ x✝ ∈ {p | ⋃ i, S i ⊆ ↑p}
w k : Nat
x : BitVec w
h : k ≤ w
⊢ BitVec.truncate k (~~~x) = ~~~BitVec.truncate k x
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f : ι → E
⊢ Multiplicative.ofAdd ‖∏ i ∈ s, f i‖ ≤ ∏ i ∈ s, Multiplicative.ofAdd ‖f i‖
⊢ 1 * -1 - 0 * 0 = -1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
K : Type w₂
g : K ≃ J
f : J → C
c : CategoryTheory.Limits.Bicone f
⊢ F.mapBicone (c.whisker g) = (F.mapBicone c).whisker g
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : ℝ → E
a✝ b✝ c d : ℝ
μ✝ ν : Measure ℝ
f : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ι a b))
⊢ IntervalIntegrable (fun t => ‖f t‖) μ a b ↔ IntervalIntegrable f μ a b
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
⊢ ↑(b * b') • f a' = ↑b' • f (b • a')
G : Type u_1
H : Type u_2
Neg G
Neg H
TopologicalSpace G
TopologicalSpace H
ContinuousNeg H
f : G → H
hf : Inducing f
hf_inv : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
⊢ ContinuousNeg G
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
⊢ Function.Injective ContinuousMonoidHom.toContinuousMap
K : Type u_1
inst✝⁷ : Field K
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : IsAlgClosed K
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] (f : End K V), finrank K V = m → ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
h_dim : finrank K V = n
⊢ ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
e : Module.Dual R M ⊗[R] M ≃ₗ[R] M →ₗ[R] M := dualTensorHomEquiv R M M
⊢ trace R (Module.Dual R M) ∘ₗ Module.Dual.transpose = trace R M
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
x y z : α
h : [x, y, z].Nodup
⊢ (Equiv.swap x y * Equiv.swap y z).support = {x, y, z}
o₁ o₂ : Ordering
⊢ o₁.orElse o₂ = Ordering.lt ↔ o₁ = Ordering.lt ∨ o₁ = Ordering.eq ∧ o₂ = Ordering.lt
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b✝ b' : β
c : γ
t : Finset β
hf : ∀ (b : β), Injective fun a => f a b
b : β
hb : b ∈ t
⊢ (image₂ f s {b}).card ≤ (image₂ f s t).card
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
⊢ (Homotopy.nullHomotopicMap' h).f k₀ = h k₀ k₁ r₁₀ ≫ D.d k₁ k₀
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
t : Set β
⊢ t ⊆ intentClosure r (extentClosure r t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
h : Set.EqOn (g ∘ f₁) (g ∘ f₂) s
hg : Set.InjOn g t
hf₁ : Set.MapsTo f₁ s t
hf₂ : Set.MapsTo f₂ s t
⊢ Set.EqOn f₁ f₂ s
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
es : { x // x ∈ filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts } ≃ Fin (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).card := (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).equivFin
el : { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (s.card % P.parts.card)
⊢ ∃ f, ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(f t) < s.card % P.parts.card
E : Type u
F : Type v
PseudoEMetricSpace F
TopologicalSpace E
f : E → F
x : E
⊢ oscillationWithin f Set.univ x = oscillation f x
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : 0 < n
hx : IsPeriodicPt f n x
⊢ Nat.find ⋯ ≤ n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
⊢ (∀ (m : M), ∃ r ∈ p.asIdeal.primeCompl, r • m = 0) ↔ ∀ (m : M), ∃ r ∉ p.asIdeal, r • m = 0
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
s : Set ι
i : ι
⊢ (I.splitCenterBox s).upper i - (I.splitCenterBox s).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ∀ i < n, (coeff R i) φ = 0
H : φ.order < ↑n
this : φ.order.Dom
⊢ False
α : Type u_1
Preorder α
a : α
h : IsTop a
⊢ Set.Iic a = Set.univ
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
M₂ : Type u_5
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L M₂
LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ LieSubmodule.map f (LieModule.posFittingComp R L M) ≤ LieModule.posFittingComp R L M₂
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
h1 : ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv '' ↑f.graph = ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv.symm ⁻¹' ↑f.graph
h2 : ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv '' _root_.closure ↑f.graph = ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv.symm ⁻¹' _root_.closure ↑f.graph
⊢ _root_.closure (Prod.swap '' ↑f.graph) ⊆ Prod.swap '' _root_.closure ↑f.graph
S : Type u_1
CommRing S
d : ℕ
⊢ (PowerSeries.invOneSubPow d).inv = (1 - PowerSeries.X) ^ (d + 1)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
n : ℕ
hn : Associated (ϖ ^ n) p
this : Irreducible (ϖ ^ n)
⊢ Associated p ϖ
F : Type u → Type v
Applicative F
G : Type u → Type w
Applicative G
η η' : ApplicativeTransformation F G
h : η = η'
α : Type u
x : F α
⊢ (fun {α} => η.app α) x = (fun {α} => η'.app α) x
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
AddMonoid β
BoundedAdd β
ContinuousAdd β
r : ℕ
f : BoundedContinuousFunction α β
v : α
⊢ (r • f) v = r • f v
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring T
inst✝³ : FunLike F R S
inst✝² : NonUnitalRingHomClass F R S
S' : Type u_2
inst✝¹ : SetLike S' S
inst✝ : NonUnitalSubsemiringClass S' S
s : NonUnitalSubsemiring R
f : F
⊢ ↑(srange f) = ↑⊤ ↔ Set.range ⇑f = Set.univ
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ WithBot.some '' Set.Ioc a b = Set.Ioc ↑a ↑b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
Y : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Y)
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst X₂ Y) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst X₁ Y) f
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
TopologicalSpace α
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
ContinuousConstSMul G₀ α
TopologicalSpace β
f : β → α
c : G₀
s : Set β
hc : c ≠ 0
⊢ ContinuousOn (fun x => c • f x) s ↔ ContinuousOn f s
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
NonUnitalSemiring B
StarRing B
Module R B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
S₁ : NonUnitalStarSubalgebra R B
⊢ ↑(S.prod S₁) = ↑S ×ˢ ↑S₁
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
⊢ φ.nilRank ≤ finrank R M
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
⊢ DirSupClosed s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g ≫ h.isoPushout.inv = inl
R : Type u_1
M : Type u_2
Monoid M
CommRing R
Nontrivial R
h : Algebra.FiniteType R (MonoidAlgebra R M)
⊢ Monoid.FG M
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
⊢ (IndepMatroid.ofFinitary E Indep indep_empty indep_subset indep_aug indep_compact subset_ground).Indep = Indep
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ 0 < ⌊a⌋₊ ↔ 1 ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
f₁' f₂' : β → α
h₁ : Set.LeftInvOn f₁' f s
h₂ : Set.RightInvOn f₂' f t
h : Set.MapsTo f₂' t s
⊢ Set.EqOn f₁' f₂' t
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring S₁
Semiring S₂
Module S₁ N₂
Module S₂ N₂
SMulCommClass S₁ R N₂
SMulCommClass S₂ R N₂
SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
⊢ (Matrix.toLinearMapₛₗ₂' R σ₁ σ₂).symm = LinearMap.toMatrixₛₗ₂' R
R : Type u_1
Semigroup R
a b : R
ab : IsLeftRegular (a * b)
⊢ IsLeftRegular b
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f t ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x => f x i) t
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ (e.restrOpen s hs).toPartialEquiv = e.restr s
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Semifield S
Ring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
a : A
f : S → R
IsScalarTower R S A
h : SpectrumRestricts a f
⊢ f '' spectrum S a = spectrum R a
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
⊢ {a, b} = {b, a}
ι : Type u_1
n : ℕ
s : Finset ι
a : ι → ZMod n
hs : 2 * n - 1 ≤ s.card
⊢ ∃ t ⊆ s, t.card = n ∧ ∑ i ∈ t, a i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
ha : s ⊆ Ioi a
hs : s.Nonempty → ∃ b > a, Ioo a b ⊆ s
h : (⇑ofDual ⁻¹' s).Nonempty
⊢ ∃ a_1 < toDual a, Ioo a_1 (toDual a) ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R) (hP : P.IsMaximal), map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) I ≤ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) J
x : R
hx : x ∈ I
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
le : Submodule.colon J (span {x}) ≤ P
a : R
ha : a ∈ J
s : R
hs : s ∈ P.primeCompl
eq : (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) x * (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).2 = (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).1
⊢ False
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
IsSymm α r
⊢ minimals r s = s
x : ℝ
⊢ Filter.comap Real.exp (𝓝 (Real.exp x)) = 𝓝 x
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ (π.toSubordinate r).toPrepartition ≤ π
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
μ : Measure E
s : Set ↑(sphere 0 1)
r : ↑(Ioi 0)
⊢ μ (Subtype.val '' (⇑(homeomorphUnitSphereProd E) ⁻¹' s ×ˢ Iio r)) = μ (Ioo 0 ↑r • Subtype.val '' s)
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α (n + 1)
⊢ T.SemanticallyEquivalent (∃'φ) ∼(∀'∼φ)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : x ≤ z
⊢ y ≤ z ⊔ y \ x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
hb : 0 < dist b a
hc : 0 < dist c a
hd : 0 < dist d a
H : 1 / (dist b a * dist d a) * dist b d ≤ 1 / (dist b a * dist c a) * dist b c + 1 / (dist c a * dist d a) * dist c d
⊢ dist a c * dist b d / (dist b a * (dist c a * dist d a)) ≤ (dist a b * dist c d + dist b c * dist a d) / (dist b a * (dist c a * dist d a))
p : Prop
q : p → Prop
h : ∀ (h : p), q h
⊢ (∃ h, q h) ↔ p
G : Type u_1
Mul G
A B : Finset G
a0 b0 : G
h :
  UniqueMul (Finset.map { toFun := MulOpposite.op, inj' := ⋯ } B) (Finset.map { toFun := MulOpposite.op, inj' := ⋯ } A)
    (MulOpposite.op b0) (MulOpposite.op a0)
⊢ UniqueMul A B a0 b0
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m : Type v
n : Type w
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
⊢ Module.rank R (Matrix m n R) = lift.{max v w u, v} #m * lift.{max v w u, w} #n
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0
hf : Continuous f
x : α
U : Set α
hμU : μ U < ⊤
hUf : U ⊆ {x_1 | (fun a => f a ≤ f x + 1) x_1}
hUx : U ∈ nhds x
hUo : IsOpen U
⊢ ∫⁻ (a : α) in U, ↑(f a) ∂μ < ⊤
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
z : (type r).cof = 1
⊢ ∃ a, type r = succ a
s : ℝ
n : ℕ
hn : s < ↑n
⊢ Tendsto (fun x => rexp x / x ^ s) atTop atTop
α : Type u_2
Neg α
f : Filter α
⊢ -f = ⊥ ↔ f = ⊥
x : ℝ
h0 : x < 0
h1 : -1 < x
⊢ Real.log x < 0
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ ¬M.Dep X ↔ M.Indep X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{v', u', v, u} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteLimits C
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ G.grundyValue = 0 ↔ G ≈ 0
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : IsIntegral F α
x : { x // x ∈ (minpoly F α).aroots K }
⊢ (aeval ↑x) (minpoly F α) = 0
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} C₂
CategoryTheory.Preadditive C₁
CategoryTheory.Preadditive C₂
K L : HomologicalComplex C₁ c
φ : K ⟶ L
F : C₁ ⥤ C₂
F.Additive
F.PreservesHomology
∀ (i : ι), K.HasHomology i
∀ (i : ι), L.HasHomology i
∀ (i : ι), ((F.mapHomologicalComplex c).obj K).HasHomology i
∀ (i : ι), ((F.mapHomologicalComplex c).obj L).HasHomology i
F.ReflectsIsomorphisms
⊢ QuasiIso ((F.mapHomologicalComplex c).map φ) ↔ QuasiIso φ
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
f : Module.Dual R M
h : f x = 2
⊢ (Module.reflection h) x = -x
x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hxy : p ∣ x + y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ padicValNat p (x ^ n + y ^ n) = padicValNat p (x + y) + padicValNat p n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this✝ : HasSum (fun i => x ^ i * (1 - x)) ((∑' (b : ℕ), x ^ b) * (1 - x))
this : Tendsto (fun n => 1 - x ^ n) atTop (𝓝 1)
x✝ : ℕ
⊢ 1 - x ^ x✝ = ∑ i ∈ Finset.range x✝, x ^ i * (1 - x)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
⊢ ⇑(Trivialization.continuousLinearMapAt R e b) = ⇑(Trivialization.linearMapAt R e b)
α : Type u_1
β : Type u_3
f : α → β → α
b : β
h : ∀ (a : α), f a b = a
l : Filter α
⊢ Filter.map₂ f l (pure b) = l
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
φ : (CokernelCofork.ofπ h.π ⋯).pt ⟶ h.K
hφ : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ h.π ⋯) ≫ φ = 𝟙 h.K
⊢ IsIso h.π
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
p : Fq[X]
hp : p ≠ 0
⊢ inftyValuationDef Fq ((algebraMap Fq[X] (RatFunc Fq)) p) = ↑(Multiplicative.ofAdd ↑p.natDegree)
α : Type u_1
BooleanRing α
⊢ ↑(BoolRing.of α) = α
G : Type u_1
AddGroup G
x y : G
hx : IsOfFinAddOrder x
⊢ y ∈ AddSubmonoid.multiples x ↔ y ∈ AddSubgroup.zmultiples x
α : Sort u
⊢ ⇑Opposite.equivToOpposite.symm = Opposite.unop
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
FiniteDimensional ℝ V
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ V = n
hc : EuclideanGeometry.Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Affine.Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
⊢ sx₁.circumradius = sx₂.circumradius
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
γ : Type u_9
f : β → γ
g : γ → α
t : Set β
⊢ ⨅ c ∈ f '' t, g c = ⨅ b ∈ t, g (f b)
α : Type u_2
LT α
s t : Set α
h : t.IsWF
st : s ⊆ t
⊢ s.IsWF
α : Type u
Preorder α
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
x : α
⊢ Scott.IsωSup c x ↔ IsLUB (Set.range ⇑c) x
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t : Set α
⊢ ⋃ b ∈ t, (fun x => x ⊓ b) '' s = s ⊼ t
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
q : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
⊢ q.k * q.i = -c₁ • q.j
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t
⊢ s.Productive ↔ t.Productive
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ -x - (1 - fract x) = ↑(-⌊x⌋ - 1)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Lattice (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i
⊢ update f i '' uIcc (f i) b = uIcc f (update f i b)
f g : StieltjesFunction
⊢ (f + g).measure = f.measure + g.measure
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x + 1 - 1)
H : ↑x + 1 < abscissaOfAbsConv f
⊢ False
α : Type u_1
p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop
h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯
h₁ : ∀ ⦃s : Finset α⦄ (hs : s.Nontrivial), (∀ (t : Finset α) (ht : t.Nonempty), t ⊂ s → p t ht) → p s ⋯
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ p s hs
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ s.einfsep = ⋯.toFinset.inf (Function.uncurry edist)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : ∀ (x : α), ↑e x = ↑e' x
hsymm : ∀ (x : β), ↑e.symm x = ↑e'.symm x
hs : e.source = e'.source
A : ↑e = ↑e'
B : ↑e.symm = ↑e'.symm
⊢ e = e'