ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommRing R
q : Quaternion (DualNumber R)
⊢ (TrivSqZeroExt.fst (Quaternion.dualNumberEquiv q)).re = TrivSqZeroExt.fst q.re
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
I : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
J : Finset ι
f : (i : ι) → α i
⊢ f ∈ cylinder I S ↔ f ∈ cylinder (I ∪ J) ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S)
K : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ (liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = φ p / φ q
E : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
mE : MeasurableSpace E
tE : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : T2Space E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
g : E → ℝ
h1 : g 0 = 0
h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x
h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y
h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0
h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x
p : ℝ
hp : 0 < p
F : Type u_1 := E
this✝⁴ : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯
this✝³ : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.mk ⋯
this✝² : TopologicalSpace F := UniformSpace.toTopologicalSpace
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
φ : E ≃L[ℝ] F := (LinearEquiv.refl ℝ E).toContinuousLinearEquiv
ν : Measure F := map (⇑φ) μ
this : ν.IsAddHaarMeasure
⊢ μ {x | g x < 1} = ENNReal.ofReal ((∫ (x : E), Real.exp (-g x ^ p) ∂μ) / Real.Gamma (↑(finrank ℝ E) / p + 1))
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ s / ball 1 δ = thickening δ s
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
f : β → α
CompleteSpace α
⊢ Summable f ↔ ∀ e ∈ 𝓝 0, ∃ s, ∀ (t : Set β), Disjoint t ↑s → ∑' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
ha : p.obj a = R
hb : p.obj b = S
h : CategoryTheory.CommSq (p.map φ) (CategoryTheory.eqToHom ha) (CategoryTheory.eqToHom hb) f
⊢ p.IsHomLift f φ
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
T : Type u_2
Monoid T
f : R →* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
φ : OreLocalization S R →* T
huniv : ∀ (r : R), φ (OreLocalization.numeratorHom r) = f r
⊢ φ = OreLocalization.universalMulHom f fS hf
X : Type u_1
EMetricSpace X
s t t' : Set X
⊢ IsMetricSeparated s (t ∪ t') ↔ IsMetricSeparated s t ∧ IsMetricSeparated s t'
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
R₂ : Type u_3
Semiring R₂
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module S N
Module R₂ P
Module S₂ P
SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
f : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
x₁ x₂ : M
y : N
⊢ (f (x₁ + x₂)) y = (f x₁) y + (f x₂) y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
⊢ Collinear k {p}
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
α : Option ι → Type w
(i : Option ι) → AddCommMonoid (α i)
(i : Option ι) → Module R (α i)
⊢ ∀ (a : DirectSum (Option ι) fun i => α i), (DirectSum.lequivProdDirectSum R) a = DirectSum.addEquivProdDirectSum.toFun a
R : Type u_2
Add R
Mul R
c : RingCon R
x y : R
⊢ c x y → c y x
M : Type u_5
AddCommGroup M
z : ℤ
⊢ ↑z = (DistribMulAction.toAddMonoidEnd ℤ M) z
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
module_M : Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ p.toAddSubgroup = p'.toAddSubgroup ↔ p = p'
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
Y Z : C
P Q : Subobject Y
f : Z ⟶ Y
h : P ≤ Q
⊢ P.Factors f → Q.Factors f
α : Type u_2
InfSet α
⊢ ⇑(sInfHom.id α) = id
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct X Y
f : X ⟶ W
g : Y ⟶ W
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.inr ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.desc f g = g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M ≃ N
hf : f 0 = 0
hf' : f.symm 0 = 0
x : α →₀ M
⊢ mapRange id ⋯ x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ multiplicity a b ≠ ⊤ ↔ Finite a b
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : Tendsto (fun p => a (max_bi b) * b (max_bi b) ^ p) atBot atTop
p : ℝ
i : α
x✝ : i ∈ univ
⊢ 0 ≤ (fun i => a i * b i ^ p) i
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
f : A →⋆ₙₐ[R] B
⊢ (NonUnitalStarAlgHom.id R B).comp f = f
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Subsingleton α
f : α → β
x y : α
⊢ f x = f y
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
⊢ t = s.singularPart μ
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
h : AddCommute a b
m n : ℤ
⊢ AddCommute (m • a) (n • b)
R : Type u
X : Type v
CommRing R
a : UniversalEnvelopingAlgebra R (FreeLieAlgebra R X)
⊢ (FreeLieAlgebra.universalEnvelopingEquivFreeAlgebra R X) a =
  ((UniversalEnvelopingAlgebra.lift R) ((FreeLieAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R))) a
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
i : ℕ
⊢ 0 i = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s : Finset α
a : α
⊢ s / {a} = Finset.image (fun x => x / a) s
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ b = (a ⊔ b) \ (a ⊓ b)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
hf : Injective f
i : σ
⊢ (killCompl hf) ((rename f) (X i)) = X i
n m : ℕ
h : n.dist m = 0
⊢ n = m
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ LinearIsometry.id.comp f = f
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
f : α → β
g : α → γ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
⊢ Primrec fun a => (f a, g a)
M : Type u_1
Add M
c : AddCon M
a b : M
⊢ ↑a = ↑b ↔ c a b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
a✝ : Nontrivial E
O₁ : (E →L[𝕜] E) → F →L[𝕜] E := fun f => f.comp ↑e.symm
O₂ : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => (↑e.symm).comp f
this : inverse = O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂
⊢ ContDiffAt 𝕜 n inverse ↑e
ι : Sort u_1
V : Type u
a b : V
Nonempty ι
f : ι → SimpleGraph V
⊢ (⨅ i, f i).Adj a b ↔ ∀ (i : ι), (f i).Adj a b
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} ⦃f g : α →+* β⦄, (∀ (x_2 : α), f x_2 = g x_2) → f = g
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
i : ι
⊢ MeasureTheory.Integrable (f i) μ
ψ θ : ℝ
⊢ ↑ψ = ↑θ ↔ ∃ k, θ - ψ = 2 * π * ↑k
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedField α
s : Finset β
f : β → α
⊢ ‖∏ b ∈ s, f b‖₊ = ∏ b ∈ s, ‖f b‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
sigma_finite_sets : ℕ → Set α := spanningSets μ
norm_sets : ℕ → Set α := fun n => {x | f x ≤ ↑n}
⊢ ∃ s, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ μ (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, f x ≤ ↑n) ∧ ⋃ i, s i = univ
X : Type u
x : X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id X x = x
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k K
x : K
⊢ (algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x
n : ℕ
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
x : R
⊢ (1 < x → 0 < Polynomial.eval x (Polynomial.cyclotomic n R)) ∧
  (1 ≤ x → 0 ≤ Polynomial.eval x (Polynomial.cyclotomic n R))
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ ∀ {g : E → F}, Integrable g μ → ∀ {S : ℝ}, S ≠ 0 → Integrable (fun x => g (S • x)) μ
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l (fun x => 0) vol 0
R : Type u
N : Type w
CommSemiring R
σ : Type u_1
DecidableEq σ
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
AddCommMonoid N
Module R N
t : TensorProduct R (MvPolynomial σ S) N
d : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPolynomial.rTensor t) d = (LinearMap.rTensor N (↑R (MvPolynomial.lcoeff S d))) t
V : Type u
Quiver V
a b c : V
p₁ p₂ : Quiver.Path a b
q₁ q₂ : Quiver.Path b c
hq : q₁.length = q₂.length
⊢ p₁.comp q₁ = p₂.comp q₂ ↔ p₁ = p₂ ∧ q₁ = q₂
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
rlt : α → α → Prop
inst✝ : IsNonstrictStrictOrder α r rlt
⊢ x ∈ minimals r s ↔ x ∈ s ∧ ∀ ⦃y : α⦄, rlt y x → y ∉ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
⊢ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f a), g_1.lintegral (Measure.map g μ) = ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f (g a)), g_1.lintegral μ
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
⊢ BijOn (fun x => x + d) (Ioc a b) (Ioc (a + d) (b + d))
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), R)
h : ⇑f = (spectrum R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g)
hg : ContinuousOn (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) (spectrum R a)
⊢ (cfcHom ha) f = (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g), continuous_toFun := ⋯ }
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
n : ℕ
⊢ ((monomial n) r * p).smeval x = r • (x ^ n * p.smeval x)
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
x✝ : D
⊢ 𝟙 (R₁.obj x✝) ≫ (adj₁.unit.app (R₁.obj x✝) ≫ R₁.map (𝟙 (L₁.obj (R₁.obj x✝)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj x✝)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj x✝))) ≫ R₁.map (adj₁.counit.app x✝)) ≫ 𝟙 (R₁.obj x✝) = 𝟙 (R₁.obj x✝)
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
⊢ algebraMap R (AdjoinRoot f) = AdjoinRoot.of f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o o' : Ordinal.{max u v}
f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ordinal.{max u v}
hg : o'.blsub g = o
i : Ordinal.{max u v}
hi : i < o
⊢ f i hi ≤ o'.bsup fun a ha => f (g a ha) ⋯
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
⊢ RingHom.ker PadicInt.toZMod = LocalRing.maximalIdeal ℤ_[p]
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Add M
Add N
Add P
f : AddHom M N
g : AddHom M P
⊢ (AddHom.fst N P).comp (f.prod g) = f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor.obj sq).left.hom = sq.f₁₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
α : Type w
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasFilteredColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
F : Discrete α ⥤ C
s : Cocone F
m : { pt := colimit (liftToFinset F), ι := Discrete.natTrans fun j => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨j, ⋯⟩ ≫ colimit.ι (liftToFinset F) {j} }.pt ⟶ s.pt
h : ∀ (j : Discrete α), { pt := colimit (liftToFinset F), ι := Discrete.natTrans fun j => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨j, ⋯⟩ ≫ colimit.ι (liftToFinset F) {j} }.ι.app j ≫ m = s.ι.app j
t : Finset (Discrete α)
⊢ ∀ (j : Discrete { x // x ∈ t }), colimit.ι (Discrete.functor fun x => F.obj ↑x) j ≫ colimit.ι { obj := fun s => ∐ fun x => F.obj ↑x, map := fun {x Y} h => Sigma.desc fun y => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨↑y, ⋯⟩, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } t ≫ m = colimit.ι (Discrete.functor fun x => F.obj ↑x) j ≫ colimit.ι { obj := fun s => ∐ fun x => F.obj ↑x, map := fun {x Y} h => Sigma.desc fun y => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨↑y, ⋯⟩, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } t ≫ colimit.desc { obj := fun s => ∐ fun x => F.obj ↑x, map := fun {x Y} h => Sigma.desc fun y => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨↑y, ⋯⟩, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } { pt := s.pt, ι := { app := fun t => Sigma.desc fun x => s.ι.app ↑x, naturality := ⋯ } }
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i j✝ : Fin n✝
n : ℕ
j : Fin n
⊢ succAbove 1 j.succ = j.succ.succ
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ : IsIso (homologyMap φ)
hφφ' : IsIso (homologyMap φ ≫ homologyMap φ')
⊢ IsIso (homologyMap φ')
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (tensorRight (T.X ⊗ T.X)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ X P Q ◁ T.mul ≫ actRight P Q = (tensorRight (T.X ⊗ T.X)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (α_ (X P Q) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure Ω
μs : ι → MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
∀ (i : ι), MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : Filter.limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
⊢ μ Eᶜ ≤ Filter.liminf (fun i => (μs i) Eᶜ) L
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
f : Fin n → α
i : Fin (n + 1)
⊢ Fin.cons a f i.rev = Fin.snoc (f ∘ Fin.rev) a i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hp : 0 < p.toReal
hμ : ¬μ = 0
hc : ¬c = 0
⊢ eLpNorm (fun x => c) p μ < ⊤ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
EM : Type u_10
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
n : ℕ∞
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F E
f : M → Bundle.TotalSpace F E
x₀ : M
⊢ ContMDiffAt IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n f x₀ ↔
  ContMDiffAt IM IB n (fun x => (f x).proj) x₀ ∧
    ContMDiffAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) x₀
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y Z : C
p : X = Y
q : Y = Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (CategoryTheory.eqToHom p)) (F.map (CategoryTheory.eqToHom q)) =
  F.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (s.indicator f) p μ = MeasureTheory.eLpNorm f p (μ.restrict s)
a : ℕ
a1 : 1 < a
y n : ℕ
this : 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ ↑(y ^ (n + 2)) - ↑(2 * a) * ↑(y ^ (n + 1)) + ↑(y ^ n)
⊢ 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ yz a1 (n + 2) * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ (n + 2)) - xz a1 (n + 2)
α : Type u_1
MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
self : Besicovitch.SatelliteConfig α N τ
⊢ Pairwise fun i j =>
  self.r i ≤ dist (self.c i) (self.c j) ∧ self.r j ≤ τ * self.r i ∨
    self.r j ≤ dist (self.c j) (self.c i) ∧ self.r i ≤ τ * self.r j
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
this : q * r = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0
hr' : r.num /. ↑r.den ≠ 0
hp' : _root_.Prime ↑p
⊢ ↑((multiplicity (↑p) (q.num * r.num)).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) (↑q.den * ↑r.den)).get ⋯) = padicValRat p q + padicValRat p r
R : Type u_4
NonAssocSemiring R
⊢ ↑(RingEquiv.refl R) = RingHom.id R
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsFiltered J
F : J ⥤ Grp
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
h : ∃ k f g, (F.map f) x.snd = (F.map g) y.snd
⊢ Grp.FilteredColimits.G.mk F x = Grp.FilteredColimits.G.mk F y
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ (p * q).support.card ≤ p.support.card * q.support.card
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ (match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := toFinsupp✝¹ - toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n = (match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := toFinsupp✝¹ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n - (match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
v : Basis ι 𝕜 E
val✝ : Fintype ι
⊢ ∃ C > 0, ∀ {u : E →L[𝕜] F} (M : ℝ≥0), (∀ (i : ι), ‖u (v i)‖₊ ≤ M) → ‖u‖₊ ≤ C * M
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
x y : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ
⊢ (GradedTensorProduct.auxEquiv R 𝒜 ℬ) (x * y) =
  ((TensorProduct.gradedMul R (fun x => ↥(𝒜 x)) fun x => ↥(ℬ x)) ((GradedTensorProduct.auxEquiv R 𝒜 ℬ) x))
    ((GradedTensorProduct.auxEquiv R 𝒜 ℬ) y)
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (a ∆ b) = OrderDual.ofDual a ⇔ OrderDual.ofDual b
x : ℝ
x_large : 512 ≤ x
f : ℝ → ℝ := fun x => log x + √(2 * x) * log (2 * x) - log 4 / 3 * x
hf' : ∀ (x : ℝ), 0 < x → 0 < x * (2 * x) ^ √(2 * x) / 4 ^ (x / 3)
hf : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f x = log (x * (2 * x) ^ √(2 * x) / 4 ^ (x / 3))
h5 : 0 < x
⊢ f x ≤ 0
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
g : α → ℝ
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ g x
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm g p μ
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y
g : Z → W
hf : IsOpenMap f
hg : IsOpenMap g
a : X
b : Z
⊢ 𝓝 (f (a, b).1) ×ˢ 𝓝 (g (a, b).2) ≤ map f (𝓝 a) ×ˢ map g (𝓝 b)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s t : Set α
⊢ (s ∪ t).Countable ↔ s.Countable ∧ t.Countable
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
p : Filter ι
p' : Filter α
c : β
⊢ Filter.Tendsto (↿F) (p ×ˢ p') (𝓝 c) ↔ TendstoUniformlyOnFilter F (fun x => c) p p'
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
Finite ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
h : π.IsPartition
⊢ π.compl = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f < g
gh : g ≈ h
⊢ h - f = g - f + -(g - h)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ι → Ω → ℝ
hadp : Adapted ℱ f
hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i j : ι), i ≤ j → 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[f j - f i|↑ℱ i]
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[f j|↑ℱ i] - μ[f i|↑ℱ i]
A : Type u
CommRing A
IsDomain A
IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I : Ideal A
h_nzI : I ≠ ⊥
⊢ ∃ Z, (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
h : a ≤ n + n
⊢ n * n + a < (n * n + (n + n)).succ
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ max a b < c ↔ a < c ∧ b < c
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
f g : ι → α
⊢ Monovary f g ↔ ∀ (i j : ι), f i * g j + f j * g i ≤ f i * g i + f j * g j
z w : ℍ
h : z.re = w.re
⊢ dist z w = dist (Real.log z.im) (Real.log w.im)
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ frontier (closure s) ⊆ frontier s
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
x y : R
⊢ star x < y ↔ x < star y
α : Type u
x : FreeAbelianGroup α
⊢ (FreeAbelianGroup.map id) x = x
K V : Type u
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
Module.Finite K V
⊢ #V = #K ^ Module.rank K V
X Y : Type u_1
Ring X
Ring Y
e : X ≃+* Y
⊢ ⇑↑e = ⇑e
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
PartialOrder α
a : α
Preorder β
f : β → α
PosMulStrictMono α
hf : StrictAnti f
ha : 0 < a
⊢ StrictAnti fun x => a * f x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
x y : ℚ
hxy : x ≤ y
h_1 : ¬x < 0
h_2 : y < 0
⊢ 1 ≤ 0
n : ℕ
⊢ ‖∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i‖ ≤ 1
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.C ↑n = ↑n
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
LieModule.LinearWeights R L M
IsNoetherian R M
χ : LieModule.Weight R L M
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h : IntegrableAtFilter f l μ
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
⊢ False
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ (inv f ⊗ g) ≫ (f ⊗ h) = (𝟙 W ⊗ g) ≫ (𝟙 W ⊗ h)
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
⊢ ∀ x ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k, x.1.card < k → ¬x.1.card = k
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius
hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius
⊢ Summable fun n => ‖p.changeOrigin x n‖₊ * r ^ n
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoidWithOne β
s : Finset α
f : α → ℕ
⊢ ↑(∑ x ∈ s, f x) = ∑ x ∈ s, ↑(f x)
K : Type u
DivisionRing K
V : Type v
AddCommGroup V
Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (Module.rank K V) < Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K)