ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this : 0 < (μ.restrict s) ({a | (f a).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ} \ {x | f x = ⊤})
x : α
hfx : (f x).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ
hx : x ∉ {x | f x = ⊤}
⊢ (μ.restrict s) {a | f a = ⊤} = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
s : Set β
c : γ
f : β × γ → α
⊢ ∏' (x : ↑(s ×ˢ {c})), f ↑x = ∏' (b : ↑s), f (↑b, c)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
m : M
⊢ 1 m = m
α β : BddOrd
e : ↑α.toPartOrd ≃o ↑β.toPartOrd
x✝ : (forget BddOrd).obj α
⊢ (↑e ≫ ↑e.symm) x✝ = (𝟙 α) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
⊢ (a₁, b) ⩿ (a₂, b) ↔ a₁ ⩿ a₂
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
hdeg : ¬P.natDegree = 0
P₁ : R[X] := P.eraseLead
hP₁ : P₁ = P.eraseLead
⊢ IsUnit P
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
⊢ HasUnitSpeedOn (naturalParameterization f s a) (variationOnFromTo f s a '' s)
A : Type u_4
CommMonoid A
a b c : A
⊢ c ∈ Submonoid.closure {a, b} ↔ ∃ m n, a ^ m * b ^ n = c
V : Type u
x : { adj // (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true }
v : V
⊢ ¬(fun v w => ↑x v w = true) v v
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
self : H.FiniteIndex
⊢ H.index ≠ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsAddFreimanHom 2 (↑A) (↑B) f
hf' : Set.BijOn f ↑A ↑B
⊢ addRothNumber B ≤ addRothNumber A
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
c x : G
⊢ (IsometryEquiv.addRight c) x = x + c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
n : ℕ
⊢ MeasurableSet (⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯).symm ⁻¹' natGeneratingSequence α n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
CategoryTheory.IsIso h
⊢ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.inv h) (CategoryTheory.inv f)
G : Type u_3
Group G
c : G
⊢ Function.LeftInverse (fun x => x / c) fun x => x * c
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_6
M' : Type u_7
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
⊢ IsLocalizedModule.mk' f (-m) s = -IsLocalizedModule.mk' f m s
α : Sort u_1
DecidableEq α
a b : α
⊢ (Equiv.swap a b) a = b
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c d : Concept α β r
⊢ c.toProd.2 ⊂ d.toProd.2 ↔ d < c
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i ≤ n
hpi : ↑p ^ i = 0
⊢ i = n
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid β
AddCommMonoid γ
G : Type u_6
FunLike G β γ
AddMonoidHomClass G β γ
g : G
f : α → β
s : Finset α
⊢ g (∑ x ∈ s, f x) = ∑ x ∈ s, g (f x)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => RCLike.re (f x)) μ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
h : x ∈ pathComponent y
⊢ y ∈ pathComponent x
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Ioi a)
⊢ Subtype.val '' Set.Iic b = Set.Ioc a ↑b
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ ↑0 = 0
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
⊢ card {a} = 1
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
⊢ volume {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)} = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → α
g : α → β
⊢ Measurable g ↔ Measurable g ∧ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → g ∘ f ⁻¹' s = g ⁻¹' s
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∃ m, -x ≠ ↑m / ↑n ∧ |-x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center < s.radius
⊢ p' ≠ p
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
⊢ IsPreconnected (Set.Ioi a)
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
CommRing A
CommRing B
CommRing C
f : A →+* B
g : B →+* C
h : (g.comp f).Finite
⊢ g.Finite
K : Type u_3
Field K
a : K
b : K
c : K
d : K
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ a / b - c / d = (a * d - b * c) / (b * d)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
S : AddSubmonoid M
g : N →+ P
f : M →+ N
⊢ AddSubmonoid.map g (AddSubmonoid.map f S) = AddSubmonoid.map (g.comp f) S
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
h : ∀ (i : ι), (p i) x = 0
⊢ False
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
s : NonUnitalSubsemiring R
y : S
⊢ y ∈ NonUnitalSubsemiring.map f s ↔ ∃ x ∈ s, f x = y
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
p q : ℚ
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
⊢ ↑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x : L
m : M
⊢ ∃ k, ((toEnd R L M) x ^ k) m = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
DenselyOrdered 𝕜
NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A : Set E
⊢ Set.extremePoints 𝕜 ((convexHull 𝕜) A) ⊆ A
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
⊢ (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
x : L
h : (MvPolynomial.eval ⇑((chooseBasis R L).repr x)) ((φ.polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff (charpoly (φ x)).natTrailingDegree) = (MvPolynomial.eval ⇑((chooseBasis R L).repr x)) 0
⊢ False
p q : Prop
h : Decidable p
⊢ (if p then q else True) ↔ p → q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
MeasurableSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
BorelSpace β
MeasurableSpace γ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace γ
BorelSpace γ
SecondCountableTopologyEither β γ
MeasurableSpace δ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace δ
OpensMeasurableSpace δ
SecondCountableTopology δ
g : β → γ → δ
hg : Measurable (Function.uncurry g)
f₁ : α → β
f₂ : α → γ
hf₁ : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f₁ μ
hf₂ : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f₂ μ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.comp₂Measurable g hg (MeasureTheory.AEEqFun.mk f₁ hf₁) (MeasureTheory.AEEqFun.mk f₂ hf₂) =
  MeasureTheory.AEEqFun.mk (fun a => g (f₁ a) (f₂ a)) ⋯
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
i : ℕ
⊢ ↑((restriction 1).coeff i) = ↑(coeff 1 i)
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
m : ℕ
inst✝ : CharP R m
n✝ : ℕ
h : m ∣ n✝ + 1 + 1
⊢ ↑(1 % (n✝ + 1 + 1)) = 1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
x y : M
⊢ QuadraticMap.IsOrtho 0 x y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
M : CategoryTheory.Mat_ C
⊢ 𝟙 M = fun i j => if h : i = j then CategoryTheory.eqToHom ⋯ else 0
⊢ CategoryTheory.Limits.WalkingPair.swap.symm CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left =
  CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
f : (Step k n)[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f
⊢ ∃ x, Polynomial.eval₂ (toStepSucc k n) x f = 0
𝕜 : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
x : 𝕜
⊢ ContinuousAt (fun x => x ^ m) x ↔ x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
p : ℕ
q : ℚ
hp : p ≠ 1
hq : q ≠ 0
⊢ (multiplicity p q.den).Dom
α : Type u
β : Type v
f₁ f₂ : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : ∀ (x : α), f₁ x = f₂ x
⊢ Filter.Tendsto f₁ l₁ l₂ → Filter.Tendsto f₂ l₁ l₂
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ (α_ (R.X ⊗ R.X) P.X Q.X).inv ≫ ((α_ R.X R.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (R.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ R.X R.X (P.X ⊗ Q.X)).hom ≫ (R.X ◁ (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ R.X ◁ P.actLeft ▷ Q.X ≫ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ actLeft P Q
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.map t = s' ≫ F.map t
⊢ F.Final
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
m n : ℕ
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ spectrum R ↑a
α : Type u_1
Fintype α
h : Nonempty α
⊢ 0 < Fintype.card α
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : μ.FiniteSpanningSetsIn {U | IsOpen U ∧ (μ.restrict U).OuterRegular}
⊢ μ.OuterRegular
R : Type u
Ring R
hR : IsField R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsMaximal
x : R
hx : Polynomial.C x ∈ I
⊢ x = 0
E : Sort u_1
α : Sort u_3
β : Sort u_4
iE : EquivLike E α β
e : E
b : β
⊢ e (EquivLike.inv e b) = b
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊤, ↑a)
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ 0 = c * 0 ^ y
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Finset α
DecidableEq β
t : α → Finset β
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₁.biUnion t ⊆ s₂.biUnion t
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M
n : ℕ
⊢ (n + 1) • a = a + n • a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' (φ + φ') h₁ h₂ =
  CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' φ h₁ h₂ + CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' φ' h₁ h₂
n m k : Nat
np : 0 < n
h : n * m = n * k
⊢ m = k
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
⊢ MDifferentiableOn I 𝓘(𝕜, E) (↑I) s
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
⊢ dualDistrib R M N ∘ₗ dualDistribInvOfBasis b c = LinearMap.id
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
h : ∞ ∈ s
⊢ IsOpen s ↔ IsClosed (some ⁻¹' s)ᶜ ∧ IsCompact (some ⁻¹' s)ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
q : PMF (α → β)
p : PMF α
b✝ b : β
⊢ b ∈ (q.seq p).support ↔ b ∈ ⋃ f ∈ q.support, f '' p.support
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field L'
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
h_le : F ≤ E
h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L
h1 : finrank K ↥F * finrank (↥F) L = finrank K L
⊢ finrank K ↥E ≤ finrank K ↥F
M : Type u_6
Monoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
a b : M
h : a ⤳ b
n : ℕ
⊢ (a ^ n) ⤳ (b ^ n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f g : G → E
hf : Differentiable ℝ f
hg : Differentiable ℝ g
⊢ Differentiable ℝ fun x => ⟪f x, g x⟫_𝕜
α : Type u_1
MulOneClass α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ ∃ b, b * b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
ι : Type u_4
F : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace β
h : Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F)
⊢ UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F)
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation K Γ₀
x y : K
γ : Γ₀ˣ
y_ne : y ≠ 0
h : v (x - y) < min (↑γ * (v y * v y)) (v y)
hyp1 : v (x - y) < ↑γ * (v y * v y)
hyp1' : v (x - y) * (v y * v y)⁻¹ < ↑γ
⊢ v (x⁻¹ - y⁻¹) < ↑γ
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedSemiring α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x z : α
hz : 0 < z
hy1 : 1 < 1 + z
⊢ ∃ n, x < (1 + z) ^ n
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f✝ : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
W : ι → Set X
hsW : s ⊆ iUnion W
hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)
hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i
f : ι → C(X, ℝ)
hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)
hf0 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 0 (V i)ᶜ
hf1 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 1 (closure (W i))
hf01 : ∀ (i : ι) (x : X), (f i) x ∈ Icc 0 1
⊢ ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x₁ y₁ x₂ y₂ : α
⊢ dist x₁ y₁ ≤ dist x₁ x₂ + dist y₁ y₂ + dist x₂ y₂
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
⊢ gaugeRescale s s 0 = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hpi : Function.Injective p
t : Triangle ℝ P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hst : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
⊢ AffineIndependent ℝ p
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
⊢ f - g =ᶠ[ae μ] 0
R : Type u
AddMonoid R
self : StarAddMonoid R
r s : R
⊢ star (r + s) = star r + star s
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
⊢ B.flip.SeparatingLeft ↔ B.SeparatingRight
s : Set ℝ≥0
⊢ BddAbove (NNReal.toReal '' s) ↔ BddAbove s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : BorelSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
⊢ Prod.instMeasurableSpace ≤ borel (α × β)
Fq F : Type
inst✝⁴ : Field Fq
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] ↥(ringOfIntegers Fq F))
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
ha : a ≤ b ⊔ c
hb : b ≤ a ⊔ c
⊢ a ∆ b ≤ c
t : ↑I
⊢ Path.Homotopy.transReflReparamAux t ∈ I
P : Type u_1
LE P
IsDirected P fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty P
⊢ ↑⊤ = Set.univ
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hu : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}, y - u ∈ U
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set M₂
hV : V ∈ 𝓝 0
hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U
SV : Set M₁ × Set M₂ := (closedBall 0 1, -V)
v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}
huv : v - u ∈ {f | ∀ x ∈ SV.1, f x ∈ SV.2}
T : Set M₂
hT : T.Finite
hTv : closure (⇑↑v '' closedBall 0 1) ⊆ ⋃ y ∈ T, y +ᵥ V
x : M₁
hx : x ∈ closedBall 0 1
t : M₂
ht : t ∈ T
htx : x ∈ ⇑v ⁻¹' (t +ᵥ V)
⊢ x ∈ ⇑u ⁻¹' (t +ᵥ U)
α : Type u_3
AddGroupWithOne α
CharZero α
n : ℤ
⊢ ↑n ≠ 1 ↔ n ≠ 1
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid M
f : ι → M
s : Finset ι
i j : ι
hij : j ≠ i
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hlt : 0 < f j
hle : ∀ k ∈ s, k ≠ i → 0 ≤ f k
⊢ f i < ∑ k ∈ s, f k
α : Type u_1
r r' : α → α → Prop
hr' : Transitive r'
h : ∀ (x y : α), r x y → r' x y
x y : α
hxy : Relation.TransGen r x y
⊢ r' x y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset ι
f : ι → Finset α
a : α
⊢ a ∈ s.inf f ↔ ∀ i ∈ s, a ∈ f i
a b : ℕ+
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype fun n => 0 < n) (Finset.Ioc a b) = Finset.Ioc ↑a ↑b
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Fix F α)
⊢ rec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: mk)) (mk x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f g : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
m m0 : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m0
hf : StronglyMeasurable f
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ (μ.trim hm) (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, ‖f x‖₊ ≤ ↑n
hs_univ : ⋃ i, s i = univ
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
hx_nnnorm : ‖f x‖₊ ≤ ↑n
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ↑n
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R
⊢ ↑(φ + ψ) = ↑φ + ↑ψ
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
NormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
DenselyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖f x‖₊
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h✝ : Nontrivial L
⊢ rootSpace H (2 • ⇑α) = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n✝ m l n : ℕ
hn : 1 < n
⊢ (range n).Nontrivial
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => |(μ[f|m]) x|) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s : Set α
h : s ⊆ f.Dom
a : α
b : β
⊢ b ∈ f.restrict h a ↔ a ∈ s ∧ b ∈ f a
S : Type u
Semiring S
n : ℕ
⊢ ascPochhammer S (n + 1) = ascPochhammer S n * (Polynomial.X + ↑n)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ (ν.rnDeriv μ)⁻¹ =ᶠ[ae μ] μ.rnDeriv ν
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
⊢ P.IsEquipartition ↔ ∀ a ∈ P.parts, a.card = s.card / P.parts.card ∨ a.card = s.card / P.parts.card + 1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
⊢ Function.Injective ⇑(Seminorm.coeFnAddMonoidHom 𝕜 E)
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ CommRingCat
x y : CommRingCat.Colimits.Prequotient F
⊢ Quot.mk Setoid.r (x.add y) = Quot.mk Setoid.r x + Quot.mk Setoid.r y
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
x y : α
hf : x ∈ orbit (↥(closure S)) y
h : swap x y ∉ closure S
this : ∃ σ ∈ S, ∃ a ∈ {x | swap x y ∈ closure S}, σ • a ∉ {x | swap x y ∈ closure S}
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
h : IsUnit (Q m)
val✝ : Invertible (Q m)
this : Invertible ((ι Q) m) := invertibleιOfInvertible Q m
⊢ IsUnit ((ι Q) m)
n : Nat
motive : Fin (n + 1) → Sort u_1
zero : motive 0
hs : (i : Fin n) → motive i.castSucc → motive i.succ
⊢ (fun i => Fin.induction zero hs i) 0 = zero
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
⊢ Functor.Liftr r x y ↔ ∃ a f₀ f₁, x = QPF.abs ⟨a, f₀⟩ ∧ y = QPF.abs ⟨a, f₁⟩ ∧ ∀ (i : (QPF.P F).B a), r (f₀ i) (f₁ i)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.60827, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝³ : Preregular C
inst✝² : FinitaryExtensive C
inst✝¹ : ∀ (X : C), Projective X
inst✝ : PreservesFiniteProducts s
hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts F)
⊢ Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ s))
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l✝ : Subspace η α ι
x : η → α
i✝ : ι
a : α
e : η
inst✝ : Nontrivial α
l m : Subspace η α ι
i : ι
hlm : ∀ (a : η → α) (a_1 : ι), ↑l a a_1 = ↑m a a_1
⊢ l.idxFun i = m.idxFun i
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s t : Finset α
⊢ (s.disjSups t).card ≤ s.card * t.card
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : ModularForm Γ k
a : ℍ
⊢ ModularForm.coeHom f a = f a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
z : ℂ
hD : z ∈ Complex.HadamardThreeLines.verticalClosedStrip 0 1
hB : BddAbove (norm ∘ f '' Complex.HadamardThreeLines.verticalClosedStrip 0 1)
⊢ ‖f z‖ < ε + Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f z.re
R : Type u
S : Type u'
M✝ : Type v
N : Type w
K : Type u_1
M : Type u_2
L : Type v
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Ring M
inst✝⁵ : Algebra K M
inst✝⁴ : Module.Free K M
inst✝³ : Module.Finite K M
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
⊢ lift.{v, u_2} (Module.rank K M) < ℵ₀
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
h : Tendsto (HPow.hPow r) atTop (𝓝 0)
⊢ r < 1