ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
U₁ : Set β
U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
V₁ : Set δ
V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
H : ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W
x₁ : β
x₁_in : x₁ ∈ U₁
y₁ : δ
y₁_in : y₁ ∈ V₁
⊢ ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
σ : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
p₁ p₂ : MvPolynomial σ R
⊢ ∃ s q₁ q₂, p₁ = (MvPolynomial.rename Subtype.val) q₁ ∧ p₂ = (MvPolynomial.rename Subtype.val) q₂
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
⊢ ⊤.edgeFinset.card = (Fintype.card V).choose 2
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
f : β → α
s₁ s₂ : Finset β
h : s₁ ⊆ s₂
h₁ : s₁.Nonempty
h₂ : s₂.Nonempty
⊢ s₁.sup' h₁ f ≤ s₂.sup' h₂ f
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
h2 : cosh x * (2 * sinh x * cosh x) = 2 * sinh x * cosh x ^ 2
⊢ sinh x * (sinh x ^ 2 + 1 + sinh x ^ 2) + 2 * sinh x * (sinh x ^ 2 + 1) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
x : ℝ
hx0 : 0 < x
hx : x ≤ 2
⊢ 0 < Real.sin x
f : Bool → Bool → Bool
n : ℕ
⊢ (if n = 0 then if f false true = true then 0 else 0 else if 0 = 0 then if f true false = true then n else 0 else let n' := n / 2; let m' := 0 / 2; let b₁ := n % 2 = 1; let b₂ := 0 % 2 = 1; let r := bitwise f n' m'; if f (decide b₁) (decide b₂) = true then r + r + 1 else r + r) = if f true false = true then n else 0
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f✝ f : ι →₀ μ
⊢ f ∈ ∅.finsuppAntidiag 0 ↔ f ∈ {0}
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
I J : Ideal R
inst✝ : J.IsPrime
e : I ≤ J
⊢ OrderDual.toDual J ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ OrderDual.ofDual p}
x y : ℝ
f g : CauSeq ℚ abs
⊢ (match { cauchy := ⟦f⟧ }, { cauchy := ⟦g⟧ } with | { cauchy := x }, { cauchy := y } => Quotient.liftOn₂ x y (fun x x_1 => x < x_1) Real.definition.proof_1✝) ↔ f < g
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
prop : x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ≠ -1
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
h : i.succ ≤ p.rev
⊢ p.rev.succAbove i = (p.succAbove i.rev).rev
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = ϖ * (ϖ * (a * b))
⊢ ϖ = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Mul N
f : M →ₙ* N
g : N → M
h₁ : LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
x y : N
⊢ g (f (g x) * f (g y)) = g (f (g x * g y))
β : Type u
s : β → β → Prop
IsTrans β s
⊢ WellFounded s ↔ ∀ (α : Type u) (r : α → α → Prop), r ≺i s → WellFounded r
G : Type u_3
DivInvMonoid G
x : G
⊢ x⁻¹ = 1 / x
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_4
DecidableEq ι
i : ι
⊢ Finset.affineCombinationSingleWeights k i i = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.73697, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift B
X : C
a b : B
eq : F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso (a + b)).hom.app X = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd D a b).inv.app (F.obj X)
⊢ F.map ((shiftFunctorComm C a b).hom.app X) = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ ((shiftFunctorAdd' D a b (a + b) ⋯).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a (a + b) ⋯).hom.app (F.obj X)) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).inv.app ((shiftFunctor C b).obj X)
α : Type u_1
ι : Type u_2
E✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
p : ℝ≥0∞
f✝ : ι → α → E✝
g✝ : α → E✝
E : Type u_4
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ι → α → E
g : α → E
l : Filter ι
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hfg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, essSup (fun x_1 => ↑‖(f x - g) x_1‖₊) μ ≤ ε
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, μ {x_1 | δ ≤ dist (f x x_1) (g x_1)} ≤ ε
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
F_der_I : ∀ x ∈ Ioo 0 X, HasDerivAt (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) (-(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) x
cont : Continuous fun x => (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) x * ↑x ^ s
der_ible : IntervalIntegrable (fun x => -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) volume 0 X
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s = (s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
LinearOrder α
OrderTopology α
a b : α
h : a ≤ b
f : C(↑(Set.Icc a b), β)
⊢ ⇑(ContinuousMap.IccExtend h f) = Set.IccExtend h ⇑f
α : Type u_1
ι' : Sort u_5
Countable ι'
x : ι' → Set α
⊢ (⨅ i, 𝓟 (x i)).IsCountablyGenerated
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : ℕ → ℕ
h1 : Monotone f
B : ℕ
h2 : ∀ (n : ℕ), f n ≤ B
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = f (n + 1) → f (n + 1) = f (n + 2)
n : ℕ
hn1 : n ≤ B
hn2 : f n = f (n + 1)
key : ∀ (k : ℕ), f (n + k) = f (n + k + 1) ∧ f (n + k) = f n
⊢ ∀ (k : ℕ), B ≤ k → f k = f B
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hn : cornersTheoremBound (ε / 9) ≤ n
A : Finset (ℕ × ℕ)
hAn : ↑A ⊆ ↑(range n) ×ˢ ↑(range n)
hAε : ε * ↑n ^ 2 ≤ ↑A.card
hA : IsCornerFree (Prod.map Fin.val Fin.val '' (Prod.map Nat.cast Nat.cast '' ↑A))
this : ↑A = Prod.map Fin.val Fin.val '' (Prod.map Nat.cast Nat.cast '' ↑A)
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : ContinuousMultilinearMap R (fun x => M) N
h : ∀ (v : ι → M) (i j : ι), v i = v j → i ≠ j → f.toFun v = 0
⊢ ⇑{ toContinuousMultilinearMap := f, map_eq_zero_of_eq' := h } = ⇑f
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
r : R
hr : r ≠ 0
⊢ Function.Injective fun s => (MvPolynomial.monomial s) r
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
e : ℤ ≃ ℤ := Involutive.toPerm Neg.neg ⋯
⊢ ⨆ k ∈ Ioo (-q) (-p), weightSpace M (k • -χ₁ + χ₂) = ⨆ i ∈ ⇑e.symm '' Ioo p q, weightSpace M (e i • χ₁ + χ₂)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I M : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hIM : I ≤ M
hM : M.IsMaximal
⊢ ∃ Z, (M ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)
X : Dᵒᵖ
a b : (forget A).obj (F.obj X)
h : (f.app X) a = (f.app X) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ map = g
⊢ Sieve.pullback lift (Sieve.pullback map (equalizerSieve a b)) ∈ K.sieves Y
lc : Lean.Omega.LinearCombo
i : Int
v : Lean.Omega.Coeffs
⊢ (i * lc).eval v = lc.eval v * i
R : Type u
Ring R
B : RingFilterBasis R
U : Set R
hU : U ∈ B
⊢ ∃ V ∈ B, V * V ⊆ U
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
⊢ (↑(2 * n + 1)!)⁻¹ • q ^ (2 * n + 1) = ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / ‖q‖) • q
H : Type u_1
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
x : H
⊢ G.IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source x ↔
  x ∈ f.source → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ Set.EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source
α : Type u
x : α
⊢ Function.Injective (Stream'.cons x)
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Ring R'
inst✝⁵ : AddZeroClass A
inst✝⁴ : SemilatticeSup B
inst✝³ : Add B
inst✝² : OrderBot B
D : A → B
p q : R[A]
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
inst✝¹ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
s : R[A]
hs : s.support.Nonempty
⊢ s.support.sup (WithBot.some ∘ D) = ↑(s.support.sup D)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s✝ t : Multiset α
a : α
t' : Multiset α
h : s✝ ≤ t'
l₁ : List α
m₁ : a ∉ ↑l₁
r₁ r₂ : List α
s : l₁ <+ r₁ ++ a :: r₂
m₂ : a ∈ ↑(r₁ ++ a :: r₂)
⊢ a ::ₘ ↑l₁ ≤ ↑(r₁ ++ a :: r₂)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor C D
A : Comon_ C
⊢ (F.mapComon.obj A).counit = F.map A.counit ≫ F.η
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
hp : Irreducible p
x y : ↑(p.rootSet E)
hx : p * C p.leadingCoeff⁻¹ = minpoly F ↑((rootsEquivRoots p E).symm x)
hy : p * C p.leadingCoeff⁻¹ = minpoly F ↑((rootsEquivRoots p E).symm y)
⊢ ∃ g, g • x = y
b x y : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Real.logb b (x / y) = Real.logb b x - Real.logb b y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
l : Filter γ
u : γ → α
v : α → β
hv : Antitone v
hl : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l u
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (v ∘ u)
s : List Char
i✝ e n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
ih : go₂ cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }
h : ¬i = e
⊢ go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := e }
x y : Int
h : x ≥ y
⊢ y ≤ x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
⊢ μ.FiniteAtFilter (𝓝 x)
n : ℕ
G : Type u_6
AddGroup G
h : (Nat.card G).Coprime n
g : G
⊢ (nsmulCoprime h).symm g = (Nat.card G).gcdB n • g
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
κ : Type u_6
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : DecidableEq κ
b : Basis ι A M
c : Basis κ A M
f : M →ₗ[A] M
⊢ ((toMatrix b b) f).det = ((toMatrix c c) f).det
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s : Set α
a : α
⊢ upperClosure (a +ᵥ s) = a +ᵥ upperClosure s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv.F =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd
R : Type u_3
A : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
a : A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
FaithfulSMul A M
⊢ Module.annihilator R[X] (Module.AEval R M a) = RingHom.ker (Polynomial.aeval a)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : AffineSubspace k P
⊢ affineSpan k ↑s = s
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : S.HasRightHomology
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
⊢ (S.map F).pOpcycles ≫ opcyclesMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (S.rightHomologyData.map F) = (S.map F).pOpcycles ≫ opcyclesMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (hr.map F) ≫ F.map (opcyclesMap' (𝟙 S) hr S.rightHomologyData)
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
I : Type u₁
F : I → C
X : CategoryTheory.Discrete I
⊢ (CategoryTheory.Discrete.functor F).obj X = F X.as
a : ZMod 8
⊢ ZMod.χ₈' a = ZMod.χ₄ a.cast * ZMod.χ₈ a
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ hurwitzZetaOdd a s = (hurwitzZeta a s - hurwitzZeta (-a) s) / 2
α : Type u_1
Mul α
IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
Zero α
Preorder α
⊢ PosMulMono α ↔ MulPosMono α
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : t.ncard ≤ s.ncard
ht : autoParam t.Finite _auto✝
b : β
hb : b ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩
⊢ ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), b = f a ha
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : MeasurableMul G
g : G
⊢ Measurable fun h => h / g
β : Sort u_1
α : Sort u_2
P : β → Sort w
e : α ≃ β
f : (a : α) → P (e a)
a : α
⊢ (Equiv.piCongrLeft P e) f (e a) = f a
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
this : η.withDensity (κ.rnDeriv η) = ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal).withDensity (κ.rnDeriv η)
⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type w
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
IsNoetherian R M
f : M × N →ₗ[R] M
i : Function.Injective ⇑f
⊢ ∀ (x : N), (IsNoetherian.equivPUnitOfProdInjective f i) x = 0
C✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.4955, u_1} C✝
inst✝⁴ : MonoidalCategory C✝
inst✝³ : BraidedCategory C✝
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y W Z : C
⊢ (tensor_μ C (X, W) (Y, Z)).op = tensor_μ Cᵒᵖ (op X, op Y) (op W, op Z)
α : Type u_2
ι : Type u_5
κ : Type u_6
DistribLattice α
s : Finset ι
t : Finset κ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f : ι → α
g : κ → α
⊢ s.sup' hs f ⊓ t.sup' ht g = (s ×ˢ t).sup' ⋯ fun i => f i.1 ⊓ g i.2
a b : UInt32
⊢ a % b = { val := a.val % b.val }
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
x✝ : R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ eval₂ f x (eval₂ C q (∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), (monomial i) (p.coeff i))) = eval₂ f (eval₂ f x q) (∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), (monomial i) (p.coeff i))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
X : C
P Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.homotopyEquiv Q).hom Q.π = P.π
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set β
hs : s.Finite
t : β → Set α
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (⋃ i ∈ s, t i) μ ↔ ∀ i ∈ s, MeasureTheory.IntegrableOn f (t i) μ
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1
⊢ IsFractional S I
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
u : ExteriorAlgebra R M
hu : u ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n
⊢ u ∈ Set.range ⇑(ιMulti R n)
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommGroup M₁
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
TopologicalAddGroup M₁
ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁
TopologicalAddGroup M₂
ContinuousSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.mkOfIsCompactOperator hf) = f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
hxf : x ∈ f.source
hxf' : x ∈ f'.source
⊢ ((f.extend I).symm ≫ f'.extend I).source ∈ 𝓝[range ↑I] ↑(f.extend I) x
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝² y x✝¹ : E
x✝ : x✝¹ ∈ s
x : E
⊢ x ∈ ball x✝¹ δ ↔ x ∈ {x✝¹} * ball 1 δ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
hf : CPolynomialAt 𝕜 f x
hg : f =ᶠ[𝓝 x] g
⊢ CPolynomialAt 𝕜 g x
z y✝ x✝ r : ℝ
hr_nonneg : 0 ≤ r
hr_le : r ≤ 1
x y : ℂ
hyx : ‖y - x‖ < r
hy_eq : y = x + (y - x)
hyx_sq_le : ‖y - x‖ ^ 2 ≤ r * ‖y - x‖
h_sq : ∀ (z : ℂ), ‖z‖ ≤ 1 → ‖cexp (x + z) - cexp x‖ ≤ ‖z‖ * ‖cexp x‖ + ‖cexp x‖ * ‖z‖ ^ 2
⊢ ‖cexp y - cexp x‖ ≤ (1 + r) * ‖cexp x‖ * ‖y - x‖
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ ‖y‖ * ‖y‖ + ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
⊢ ∀ ⦃x : Finset α⦄, (∃ s ∈ 𝒜, x ⊆ s ∧ (s \ x).card = k) → x.card = r - k
M : Type u_1
inst✝⁴ : Nonempty M
inst✝³ : Semigroup M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CompactSpace M
inst✝ : T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r
S : Set (Set M) := {N | IsClosed N ∧ N.Nonempty ∧ ∀ m ∈ N, ∀ m' ∈ N, m * m' ∈ N}
⊢ ∃ N ∈ S, ∀ N' ∈ S, N' ⊆ N → N' = N
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
⊢ h.op.H = Opposite.op h.H
R : Type u_1
Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ (Polynomial.trinomial k m n u v w).support = {k, m, n}
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Bijective f
g : α → γ
⊢ (fun g => g ∘ f) (g ∘ surjInv ⋯) = g
S : Type u_4
M : Type u_5
Add M
SetLike S M
self : AddMemClass S M
s : S
a b : M
⊢ a ∈ s → b ∈ s → a + b ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y : C
n : ℕ
α : CategoryTheory.Abelian.Ext X Y n
⊢ α.comp (CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)) ⋯ = α
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ (CategoryTheory.Functor.opUnopEquiv C D).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun F => (Opposite.unop F).opUnopIso.op) ⋯
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
⊢ Set.InjOn (fun x_1 => x_1 • x) (Set.Iio (addOrderOf x))
n : ℕ
a : ZMod n
h : IsUnit a
⊢ a⁻¹ * a = 1
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasurableSpace ι
γ : Type u_4
CommMonoid β
ContinuousMul β
U : γ → ι → Ω → β
s : Finset γ
h : ∀ c ∈ s, MeasureTheory.ProgMeasurable f (U c)
⊢ MeasureTheory.ProgMeasurable f fun i a => ∏ c ∈ s, U c i a
l : Filter ℝ
f g : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, deriv g x ≠ 0
hftop : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
hgtop : Filter.Tendsto g Filter.atTop (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) Filter.atTop l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) Filter.atTop l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
⊢ x.Compatible ↔ x.SieveCompatible
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : Y
y : X
z : Y
⊢ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inr z) ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl y) + glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl y) (Sum.inr z)
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁)) y) = (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃)) y')
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → Part β
⊢ (Part.some a).bind f = f a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x : L
m : M
k : ℕ
⊢ (⇑((LieModule.toEnd R L M) x))^[k] m ∈ LieModule.lowerCentralSeries R L M k
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
P : Type u₁
inst✝¹ : CommRing P
g : (i : ι) → G i →+* P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) (f i j hij x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →+* P
x : DirectLimit G f
⊢ F x = (lift G f P (fun i => F.comp (of G f i)) ⋯) x
E : Type u_6
CommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalGroup E
⊢ ∀ (a : E), (ContinuousMonoidHom.inv E) a = a⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.homologyπ (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ) S₂.homologyπ
S : Type u_1
R : Type u
M : Type v
CommSemiring S
Semiring R
AddCommMonoid M
Algebra S R
Module S M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
IsScalarTower S R M
IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
A : Type u_2
Semiring A
Algebra S A
F : tsze R M →ₐ[S] A
⊢ ↑(TrivSqZeroExt.liftEquiv.symm F) =
  (F.comp (TrivSqZeroExt.inlAlgHom S R M), F.toLinearMap ∘ₗ ↑S (TrivSqZeroExt.inrHom R M))