ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
s : Set (ℚ × ℚ)
⊢ s ∈ uniformity ℚ ↔ s ∈ uniformity ℚ
m : Nat
xs ys : Lean.Omega.Coeffs
⊢ ↑m ∣ Lean.Omega.Coeffs.bmod_dot_sub_dot_bmod m xs ys
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g✝ : G
H K : Subgroup G
g : G
this : mk H K g = mk H K g ↔ ∃ h ∈ H, ∃ k ∈ K, g = h * Quotient.out' (mk H K g) * k
h : G
h_h : h ∈ H
k : G
hk : k ∈ K
T : g = h * Quotient.out' (mk H K g) * k
⊢ ∃ h k, h ∈ H ∧ k ∈ K ∧ Quotient.out' (mk H K g) = h * g * k
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIciTopology α
Nonempty β
Zero α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactSupport f
⊢ ∃ x, ∀ (y : β), f y ≤ f x
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
⊢ Computation.LiftRel R ca cb ↔ (ca.Terminates ↔ cb.Terminates) ∧ ∀ {a : α} {b : β}, a ∈ ca → b ∈ cb → R a b
α : Type u_2
Add α
IsLeftCancelAdd α
s t : Set α
⊢ (s.PairwiseDisjoint fun x => x +ᵥ t) ↔ Set.InjOn (fun p => p.1 + p.2) (s ×ˢ t)
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
s : Stream'.Seq (Pair K)
inst✝ : Field K
nth_partDen_ne_zero : ∀ {b : K}, g.partDens.get? n = some b → b ≠ 0
not_terminatedAt_n : ¬g.TerminatedAt n
⊢ g.convs (n + 1) = (g.squashGCF n).convs n
n : Type u_2
R : Type u_4
OrderedSemiring R
Fintype n
v w : n → R
hv : 0 ≤ v
hw : 0 ≤ w
⊢ 0 ≤ Matrix.dotProduct v w
α : Type u_2
Add α
g : Filter α
a : α
⊢ pure a + g = Filter.map (fun x => a + x) g
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s t : Multiset α
⊢ a ∉ s ∧ t.Disjoint s ↔ a ∉ s ∧ s.Disjoint t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
⊢ ∏ i : α, ↑(Icc (∑ j : β, ↑B * -(A i j)⁻) (∑ j : β, ↑B * (A i j)⁺)).card = ∏ i : α, (P i - N i + 1)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
h : Tendsto (fun n => log (b i * ↑n)) atTop atTop
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < log (b i * ↑x)
α : Type u_1
a : α
Inhabited α
l : List α
n : Nat
⊢ l[n]? = some a → l[n]! = a
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a b d : α
hda : d ∣ a
hdb : d ∣ b
hd : ∀ (e : α), e ∣ a → e ∣ b → e ∣ d
⊢ gcd a b = normalize d
f : ℝ → ℝ
p : ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : 0 < c₁
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hfnew : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => f x ^ p) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => f x ^ p) x) (c₂ * (fun x => f x ^ p) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
I : Set α
N : Matroid β
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' N.E)
⊢ (N.comap f).Indep I ↔ N.Indep (f '' I)
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
⊢ (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧ (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
G : Type u_3
Group G
a : G
⊢ Function.Surjective fun x => a * x
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
rhs : ℕ → ℕ →* ℤ := fun a => { toFun := fun x => qrSign x a * J(↑x | a), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
rhs_apply : ∀ (a b : ℕ), (rhs a) b = qrSign b a * J(↑b | a)
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
hp : p ≠ 2
hpo : Odd p
⊢ J(↑p | a) = qrSign a p * J(↑a | p)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
u_count : u.Countable
x : α
x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a
v : Set ι := {a | a ∈ u ∧ (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty}
vu : v ⊆ u
K : ℝ
μK : μ (closedBall x K) < ⊤
hK : ∀ a ∈ u, (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty → B a ⊆ closedBall x K
ε : ℝ≥0∞
εpos : 0 < ε
⊢ μ ((s \ ⋃ a ∈ u, B a) ∩ ball x (R x)) ≤ ε
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁵ : BorelSpace X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝² : OrderTopology X
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
hmono : MonotoneOn f s
a b : X
ha : IsLeast s a
hb : IsGreatest s b
hs : μ s ≠ ⊤
h's : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
h✝ : s.Nonempty
hbelow : BddBelow (f '' s)
habove : BddAbove (f '' s)
this : IsBounded (f '' s)
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ f '' s, ‖x‖ ≤ C
A : IntegrableOn (fun x => C) s μ
⊢ IntegrableOn f s μ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
H : DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, (|p| * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, g y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
p q : ℤ
hpq : p = q
⊢ HomologicalComplex.XIsoOfEq ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K) hpq =
  HomologicalComplex.XIsoOfEq K ⋯
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
δ : Type x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hle : g ≤ᶠ[l] f
hfga : f a = g a
h : IsMaxFilter f l a
x : α
hf : f x ≤ f a
hgf : g x ≤ f x
⊢ g x ≤ f a
a : UnitAddCircle
ha : a ≠ 0
⊢ Differentiable ℂ (HurwitzZeta.cosZeta a)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
s : Set A
hfs : s.Finite
his : ∀ x ∈ s, IsIntegral R x
x✝ : ∀ x ∈ ∅, IsIntegral R x
x : A
⊢ x ∈ span R ↑{1} ↔ x ∈ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R ∅)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
x y : R
⊢ (WeierstrassCurve.map W f).toAffine.negY (f x) (f y) = f (W.negY x y)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
X : C
⊢ Triangle.mk 0 0 (𝟙 ((shiftFunctor C 1).obj X)) ∈ distinguishedTriangles
α : Type u_2
x : α
⊢ IsCoatom {x}ᶜ
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x y : P
⊢ FractionalIdeal.spanSingleton S x * FractionalIdeal.spanSingleton S y = FractionalIdeal.spanSingleton S (x * y)
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
x : E
⊢ LinearIsometry.id x = x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
s.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ (-s).rnDeriv μ =ᵐ[μ] -s.rnDeriv μ
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hf : MonotoneOn f (Icc x₀ (x₀ + ↑a))
⊢ ∫ (x : ℝ) in x₀..x₀ + ↑a, f x ≤ ∑ i ∈ Finset.range a, f (x₀ + ↑(i + 1))
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn Set.univ)
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix l m R
B : Matrix m n R
x : M₁
⊢ ((toLin v₁ v₃) (A * B)) x = ((toLin v₂ v₃) A) (((toLin v₁ v₂) B) x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
p₂o : P
hp₂o : p₂o ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ p₂o
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
as : Array α
f : Fin as.size → α → β
motive : Nat → Prop
h0 : motive 0
p : Fin as.size → β → Prop
hs : ∀ (i : Fin as.size), motive ↑i → p i (f i as[i]) ∧ motive (↑i + 1)
⊢ motive as.size ∧ ∃ eq, ∀ (i : Nat) (h : i < as.size), p ⟨i, h⟩ (as.mapIdx f)[i]
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
s : Set E
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y - g y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
α : Type u_1
a : α
⊢ Quiver.SingleObj.toHom.symm a = a
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
x y : ℝ
left✝ : ⊥ < ↑y
hy : ↑y < liminf v f
a✝ : ↑x < ⊤
⊢ ↑(x - y) + ↑y ≤ liminf (u + v) f
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
PerfectField K
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ LieAlgebra.rootSpace H α
h : ↥H
⊢ ⁅h, x⁆ = α h • x
b : ℝ
⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (-b * x ^ 2)) (Ioi 0) volume ↔ 0 < b
α : Type u_3
Lattice α
⊢ (LatticeHom.id α).withBot = LatticeHom.id (WithBot α)
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
s t : Subring S
f : R →+* S
⊢ Subring.comap f (s ⊓ t) = Subring.comap f s ⊓ Subring.comap f t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set α
f : ι → α
a : α
hs : BddAbove ∅
⊢ IsLUB ∅ (sSup ∅)
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
p : P2
q : P1
⊢ (AffineMap.const k P1 p) q = p
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S : Set (StarSubalgebra R A)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
W : Type u_4
Q : Type u_5
NormedAddCommGroup W
MetricSpace Q
NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
⊢ ∀ᶠ (δ : 𝕜) in nhds 1, (AffineMap.homothety x δ) y ∈ s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
k : ℕ
⊢ ((⇑derivative)^[k] p).natDegree ≤ p.natDegree - k
x y : ℝ≥0∞
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
R : Type u
Semiring R
t : R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.monomial n) t = 0 ↔ t = 0
b : Bool
n : Nat
x : BitVec n
i : Nat
⊢ (BitVec.cons b x).getLsb i = if i = n then b else x.getLsb i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
T : CategoryTheory.Monad C
T.Additive
F G : T.Algebra
n : ℕ
α : F ⟶ G
⊢ (n • α).f = n • α.f
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.karoubiUniversal₁ C D).counitIso =
  CategoryTheory.Idempotents.KaroubiUniversal₁.counitIso C D
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ
h : r > 0
h✝ : (↑⌈(↑j + 1) / r⌉ - 1) * r ≥ ↑j
⊢ j ∈ {x | ∃ k, beattySeq r k = x} ∨ ∃ k, ↑k < ↑j / r ∧ (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝³ : K.HasHomology j
inst✝² : L.HasHomology j
inst✝¹ : (K.sc' i j k).HasHomology
inst✝ : (L.sc' i j k).HasHomology
⊢ QuasiIsoAt f j ↔ ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor' C c i j k).map f)
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
h : Fintype.card n = 0
M : Matrix n n R
⊢ M.det = 1
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
GCDMonoid R[X]
p : R[X]
t : R
h : p ≠ 0
⊢ 1 < Polynomial.rootMultiplicity t p ↔ (gcd p (Polynomial.derivative p)).IsRoot t
α : Type u
s : Set (Set α)
U : Set α
h : U ∈ s
⊢ U ∈ Filter.generate s
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : PolishSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
Z : Type
w✝¹ : TopologicalSpace Z
w✝ : PolishSpace Z
g : Z → Y
hg : Continuous g
hs : AnalyticSet (range g)
⊢ AnalyticSet (f ⁻¹' range g)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
hl₂ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R t
this : l₁ = 0
⊢ (Finsupp.total ι M R v) l₁ = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
i : ι
⊢ v i ≠ 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → X → α'
x₀ : X
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ (k : κ), EquicontinuousAt F x₀
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Set.Icc a b = Set.Icc (a / c) (b / c)
p : ℕ → Prop
n n' : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n n' → p n' → p n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁸ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁴ : G.IsContinuous J K
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify K A
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A
⊢ ((G.pushforwardContinuousSheafificationCompatibility A J K).hom.app F).val = sheafifyLift J (whiskerLeft G.op (toSheafify K F)) ⋯
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ 4 * W.b₈ = W.b₂ * W.b₆ - W.b₄ ^ 2
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
⊢ (m.sum fun x e => e) = Multiset.card (toMultiset m)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A : C ⥤ ℰ
P₁ P₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
α : P₁ ⟶ P₂
j : P₁.Elementsᵒᵖ
T : Cᵒᵖ
f : ((functorToRepresentables P₁).obj j).obj T
⊢ ((coconeOfRepresentable P₁).ι.app j ≫ α).app T f = ((coconeOfRepresentable P₂).ι.app ((CategoryOfElements.map α).op.obj j)).app T f
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → γ
l : List α
l' : List β
i : ℕ
h : i < (List.zipWith f l l').length
⊢ (List.zipWith f l l').nthLe i h = f (l.nthLe i ⋯) (l'.nthLe i ⋯)
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
LinearOrder ι
hf : Antitone f
hg : Monotone g
⊢ Antivary f g
R : Type u
CommSemiring R
⊢ Algebra.adjoin R {Polynomial.X} = ⊤
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
⊢ Set.range ⇑(hf.toFinset.orderEmbOfFin ⋯) = setOf p
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.Monic ↔ p.leadingCoeff = 1
α✝ : Type u_1
G✝ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Inv G✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace G✝
inst✝³ : MeasurableInv G✝
m : MeasurableSpace α
f✝ : α → G✝
μ : Measure α
G : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : MeasurableInv G
f : α → G
h : Measurable fun x => (f x)⁻¹
⊢ Measurable f
α : Type u_2
OrderedAddCommMonoid α
s : Multiset α
f : α → α
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ x
⊢ (Multiset.map f s).sum ≤ s.sum
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
⊢ (eLpNorm (↑0) p μ).toNNReal = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (x + y)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm hs hμs y)
l m r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s → ∀ (n : Nat), s.nextn n { byteIdx := String.utf8Len m } = { byteIdx := String.utf8Len m }
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
s : LowerSet α
⊢ ((LowerSet.map f) s).compl = (UpperSet.map f) s.compl
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x₁ x₂ : S
y₁ : R
s₁ : ↥M
e₁ : x₁ * (algebraMap R S) ↑(y₁, s₁).2 = (algebraMap R S) (y₁, s₁).1
⊢ (algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂ → ∃ c, ↑c * x₁ = ↑c * x₂
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
⊢ ⊥ < affineSpan k s ↔ s.Nonempty
G : Type u
AddMonoid G
H : Type u_1
AddMonoid H
e : G ≃+ H
⊢ AddMonoid.exponent G = AddMonoid.exponent H
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
N : Type u_1
Pow β N
n : N
x : α
⊢ x ^ n = e.symm (e x ^ n)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖ε x‖ ≤ c * ‖1‖
x : ℝ
a✝ : ‖ε x‖ ≤ 1 / 2 * ‖1‖
hx' : 1 < x
⊢ 0 < 1 + ε x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U V : (Opens ↑↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ (X.presheaf.map i ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ inv (f.c.app (op ((opensFunctor f).obj (unop V)))) = (X.presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ inv (f.c.app (op ((opensFunctor f).obj (unop U))))) ≫ Y.presheaf.map ((opensFunctor f).op.map i)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : 0 < p.degree
hmp : p.Monic
hq : q ≠ 0
zn0 : 0 ≠ 1
x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q
r : R[X]
hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r
hp0 : p ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
hpn1 : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) = 1
hpn0' : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) ≠ 0
hpnr0 : (p ^ (q.natDegree + 1)).leadingCoeff * r.leadingCoeff ≠ 0
⊢ False
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ ball x δ / s = x • thickening δ s⁻¹
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
SigmaCompactSpace G
H : Type u_3
Group H
TopologicalSpace H
BaireSpace H
T2Space H
ContinuousMul H
f : G →* H
hf : Function.Surjective ⇑f
h'f : Continuous ⇑f
⊢ IsOpenMap ⇑f
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
i i' : α
⊢ update f i 0 i' ≤ f i'
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
IsPredArchimedean α
P : α → Prop
m : α
h0 : P m
h1 : ∀ n ≤ m, P n → P (Order.pred n)
n : α
hmn : n ≤ m
⊢ P n
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
D_comp : CompactSpace ↑D
π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val
⊢ ∃ h, Continuous h ∧ f ∘ h = φ
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this✝¹ : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)
this✝ : (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)).NeBot
this : Tendsto f (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)) (𝓝 (f x) ⊓ l)
⊢ ClusterPt (f x) l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b : α
⊢ a * (a + b + a * b) = a
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
CommSemiring S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₂
φ : S₁ →+* S₂
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.eval₂ φ g ((MvPolynomial.map f) p) = MvPolynomial.eval₂ (φ.comp f) g p
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd G G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
c b : G
⊢ (IsometryEquiv.subLeft c) b = c - b
α : Type u
⊢ Set.univ.Countable ↔ Countable α
α : Type u_1
self : CircularPreorder α
a : α
⊢ btw a a a
M : Type u
N : Type v
AddMonoid M
AddMonoid N
f : M →+ N
u : AddUnits M
⊢ ↑(-(AddUnits.map f) u) = f ↑(-u)