ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
hg : MellinConvergent g s
⊢ mellin (fun t => f t + g t) s = mellin f s + mellin g s
α : Type u
s₁ s₂ : Stream'.Seq α
⊢ s₁.head = s₂.head → (∀ (β : Type u) (fr : Stream'.Seq α → β), fr s₁ = fr s₂ → fr s₁.tail = fr s₂.tail) → s₁ = s₂
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
a b : α
DenselyOrdered α
h : a < b
⊢ sSup (Set.Ioo a b) = b
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddCommGroup G
μ.IsAddLeftInvariant
μ.IsNegInvariant
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : Continuous f
hg : MeasureTheory.LocallyIntegrable g μ
⊢ Continuous (MeasureTheory.convolution f g L μ)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W X Y Z : C
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
f : W ≅ X
i : Y ≅ Z
p : CategoryTheory.CommSq f.hom g h i.hom
⊢ CategoryTheory.CommSq f.inv h g i.inv
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
l : Filter ι
l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
S : Set β
h₁ : ∀ x ∈ S, Filter.Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (nhds (f x))
h₂ : UniformEquicontinuousOn F S
⊢ UniformContinuousOn f S
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ≫ (ρ_ P.X).inv ≫ P.X ◁ S.one ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ 𝟙 (coequalizer (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
s : Set E
⊢ Balanced 𝕜 s ↔ ∀ ⦃a : 𝕜⦄, ‖a‖ ≤ 1 → ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → a • x ∈ s
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace Z
proj : Z → B
self : Trivialization F proj
⊢ IsOpen self.baseSet
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
q : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hqs : q ∈ S
hpq : p ≤ q
hq : ∀ z ∈ S, q ≤ z → z = q
⊢ q.domain = ⊤
x✝ y x : ℝ
⊢ tan (arcsin x) = x / √(1 - x ^ 2)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
⊢ BddAbove (norm ∘ F f ε '' verticalClosedStrip 0 1)
X : Type u_4
TopologicalSpace X
self : CompactExhaustion X
⊢ ⋃ n, self.toFun n = Set.univ
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (n : ℕ), s.φ f n = s.φ g n
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ ∀ (A : IndexSet Δ), (s.cofan Δ).inj A ≫ f.app Δ = (s.cofan Δ).inj A ≫ g.app Δ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α ≃. β
g : β ≃. γ
⊢ (f.trans g).symm = g.symm.trans f.symm
α : Type u_1
OrderedRing α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
n : ℕ
⊢ Disjoint (Finset.box (n + 1)) (Finset.Icc (-↑n) ↑n)
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : (∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly + M.charpoly).leadingCoeff = 1
⊢ (M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < ↑(Fintype.card n)
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.coeff 1 0 = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
FirstCountableTopology α
f : Filter β
CountableInterFilter f
u : β → α
hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
⊢ ∀ᶠ (b : β) in f, u b ≤ Filter.limsup u f
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A✝ B X X' Y Y' Z : C
inst✝² : Closed A✝
inst✝¹ : Closed B
A : C
inst✝ : Closed A
⊢ pre (𝟙 A) = 𝟙 (ihom A)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
⊢ W'.dblU P = W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4)
α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → LightProfinite
B : LightProfinite
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (forget LightProfinite).obj (X a)
⊢ (ι X a ≫ desc X π) x = (π a) x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
hd : HasFDerivAt d d' x
⊢ HasFDerivAt (fun y => c y * d y) (c x • d' + d x • c') x
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.subtype.range = H
α : Type u_3
LinearOrder α
⊢ NoBotOrder α ↔ NoMinOrder α
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
Group G
TopologicalGroup G
h3 :
  ∀ (g : G) {K : TopologicalSpace.Compacts G},
    (fun s => ↑(μ.toFun s)) (TopologicalSpace.Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
K : TopologicalSpace.Compacts G
hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0
U : TopologicalSpace.Opens G
hU : (↑U).Nonempty
⊢ 0 < μ.innerContent U
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
⊢ J = 1 / I
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
ι'✝ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ' : ι'✝ → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g✝ s✝ t : ι✝ → α
a b : α
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
g : ι' → α
e : ι ≃ ι'
s : Set ι'
⊢ ⨆ i ∈ ⇑e.symm '' s, g (e i) = ⨆ i ∈ s, g i
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : StarRing A
inst✝¹⁰ : StarModule R A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : StarModule R B
inst✝⁵ : FunLike F A B
inst✝⁴ : AlgHomClass F R A B
inst✝³ : StarAlgHomClass F R A B
f✝ g✝ : F
s : Set A
inst✝² : FunLike F (↥(adjoin R s)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(adjoin R s)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R s)) B
f g : F
h : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), ↑x ∈ s → f x = g x
a x y : ↥(adjoin R s)
hx : (fun y => f y = g y) x
hy : (fun y => f y = g y) y
⊢ (fun y => f y = g y) (x * y)
n : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a.succ ≠ Fin.last (n + 1)
⊢ a < a.succ.castPred ha
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : f ≈ g
h : ¬padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
⊢ False
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
⊢ (𝓝ˢ K).HasBasis (fun δ => 0 < δ) fun δ => Metric.cthickening δ K
α : Type u_5
self : NormedDivisionRing α
x y : α
⊢ dist x y = ‖x - y‖
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(Metric.sphere 0 1)
x : EuclideanSpace ℝ (Fin n)
⊢ ↑(↑(stereographic' n v).symm x) =
  let U := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr;
  (‖↑(U.symm x)‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑(U.symm x) + (‖↑(U.symm x)‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖↑(U.symm x)‖ ^ 2 - 4) • ↑v
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
s : Finset M'
⊢ ⇑f '' ((fun t => integerMultiple S f s id t) '' ↑s.attach) = commonDenomOfFinset S f s • ↑s
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
⊢ n.factorial * n ^ (m - n) ≤ m.factorial
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : Cone F
hc : IsLimit c
s : Cocone F.rightOp
m : (coconeRightOpOfCone c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : J), (coconeRightOpOfCone c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
j : Jᵒᵖ
⊢ (m.unop ≫ c.π.app j).op = (((fun s => (hc.lift (coneOfCoconeRightOp s)).op) s).unop ≫ c.π.app j).op
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ Function.Injective ⇑DFinsupp.toMultiset
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜 + (⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜) = 2 * (⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y S T S' : C
f : T ⟶ X
g : T ⟶ Y
i : S ⟶ T
i' : S' ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.HasPushout (i ≫ f) (i ≫ g)
CategoryTheory.Limits.HasPushout (i' ≫ i ≫ f) (i' ≫ i ≫ g)
CategoryTheory.Limits.HasPushout ((i' ≫ i) ≫ f) ((i' ≫ i) ≫ g)
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.mapLift f g (i' ≫ i) =
  (CategoryTheory.Limits.pushout.congrHom ⋯ ⋯).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.pushout.mapLift (i ≫ f) (i ≫ g) i' ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.mapLift f g i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ ContinuousAt (dslope f a) a ↔ DifferentiableAt 𝕜 f a
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
heq : (fun n => ↑‖(a⋆ * a) ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) = (fun x => x ^ 2) ∘ fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)
h₂ : Tendsto (fun n => ↑‖(a⋆ * a) ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop (𝓝 (spectralRadius ℂ a ^ 2))
⊢ ↑‖a‖₊ ^ 2 = spectralRadius ℂ (a⋆ * a)
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
⊢ ((Finset.erase b m).erase (m.1, m.2 - 1)).card + 2 = Finset.card b
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor hU.fromSpec).obj (PrimeSpectrum.basicOpen f) = X.basicOpen f
a b : Ordinal.{u}
f : (c : Ordinal.{u}) → c < a ♯ b → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{u}} (hi : i < a ♯ b) (hj : j < a ♯ b), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
⊢ (a ♯ b).blsub f = max (a.blsub fun a' ha' => f (a' ♯ b) ⋯) (b.blsub fun b' hb' => f (a ♯ b') ⋯)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
ContinuousAdd γ
f g : α → γ
hf : UpperSemicontinuousOn f s
hg : UpperSemicontinuousOn g s
⊢ UpperSemicontinuousOn (fun z => f z + g z) s
α : Type u_1
L : List (List α)
⊢ (List.filter (fun l => !l.isEmpty) L).join = L.join
α : Type u_1
DecidableEq α
AddGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.addETransformLeft e x).1 = x.1 ∩ (AddOpposite.op e +ᵥ x.1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'
s : e.source = univ
t : e.target = univ
x : α
⊢ ↑e x = ↑e' x
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
r : R
i : ℕ
a✝ : Nontrivial R
⊢ ((X + C r) ^ i).leadingCoeff = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
Fact (1 ≤ p)
⊢ ‖MeasureTheory.Lp.constL p μ 𝕜‖ ≤ (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)
m : Type u_2
α : Type v
AddCommMonoid α
CommSemigroup α
Fintype m
M : Matrix m m α
⊢ (Matrix.transposeRingEquiv m α) M = MulOpposite.op Mᵀ
o : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit
a : Ordinal.{u_4}
⊢ a < o ↔ ∃ x < o, a < x
n m : Nat
⊢ LE.le n m → LE.le n.succ m.succ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
self : CategoryTheory.SheafOfTypes J
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J self.val
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s ∩ t = s ∩ u ↔ s ∩ u ⊆ t ∧ s ∩ t ⊆ u
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
m : MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
a : α
⊢ ∫ (a : α) in {a}, f a ∂μ = (μ {a}).toReal • f a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
⊢ LeftFractionRel z₁ z₃
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
⊢ (fun i => ∫⁻ (x : β), ↑‖∫ (y : γ), ↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y) ∂η (a, x)‖₊ ∂κ a) ≤ ?m.51003
α : Type u
β : Type v
f : α ↪ β
s : Finset β
t : Finset α
⊢ s ⊆ Finset.map f t ↔ ∃ u ⊆ t, s = Finset.map f u
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
f : α → β
h : Injective f
h2 : map f l₁ ⊆ map f l₂
x : α
hx : x ∈ l₁
⊢ x ∈ l₂
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ Odd (m - n) ↔ (Odd m ↔ Even n)
I : Type u_3
B : I → Type u_4
(i : I) → NormedRing (B i)
∀ (i : I), NormOneClass (B i)
f : (i : I) → B i
hf : Memℓp f ⊤
n : ℕ
⊢ Memℓp (f ^ n) ⊤
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ : Con M
r : M → M → Prop
c : Con M
h : ∀ (x y : M), r x y → c x y
⊢ sInf {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y} ≤ c
x ε : ℝ≥0∞
⊢ x ≠ ⊤ → ε ≠ 0 → x ∈ Set.Iio (x + ε)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ht : t ∈ 𝓝 x
A : 𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x = 𝓝[s \ {x}] x
⊢ fderivWithin 𝕜 f (s ∩ t) x = fderivWithin 𝕜 f s x
α : Type u_1
Lattice α
a b : α
⊢ b ∈ Set.uIcc a b
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ ∀ (A : Splitting.IndexSet (op [n])), (((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ (Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) = ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1) 1 + Finsupp.single ((algebraMap A B) x.2) 1 - Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1 + (algebraMap A B) x.2) 1) ⊔ (Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap A B) x.2) ((algebraMap A B) x.1) + Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1) ((algebraMap A B) x.2) - Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1 * (algebraMap A B) x.2) 1) ⊔ (Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap A B) ((algebraMap R A) x)) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1))) = Submodule.span A (Set.range ((fun x => Finsupp.single x.1 1 + Finsupp.single x.2 1 - Finsupp.single (x.1 + x.2) 1) ∘ Prod.map ⇑(algebraMap A B) ⇑(algebraMap A B))) ⊔ (Submodule.span A (Set.range ((fun x => Finsupp.single x.2 x.1 + Finsupp.single x.1 x.2 - Finsupp.single (x.1 * x.2) 1) ∘ Prod.map ⇑(algebraMap A B) ⇑(algebraMap A B))) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1))
α β : Type u
s : Set Cardinal.{u_1}
hs : BddAbove s
⊢ lift.{u, u_1} (sSup s) ∈ upperBounds (lift.{u, u_1} '' s)
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : U ⟶ X.toTopCat
h : OpenEmbedding ⇑f
V : TopologicalSpace.Opens ↑U
x : ↑U
hx : x ∈ V
y : ↑((X.restrict h).presheaf.obj (Opposite.op V))
⊢ (X.restrictStalkIso h x).hom (((X.restrict h).presheaf.germ ⟨x, hx⟩) y) = (X.presheaf.germ ⟨f x, ⋯⟩) y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x✝ x : α × α
⊢ x ∈ (s ∩ t).diag ↔ x ∈ s.diag ∩ t.diag
C₁ : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.MonoidalCategory C₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.MonoidalCategory C₂
X Y Z : C₁ × C₂
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X.1 Y.1 Z.1).prod (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X.2 Y.2 Z.2)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x : E × F
⊢ ‖(LinearMap.snd 𝕜 E F) x‖ ≤ ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
u : Set α
hu : u ∈ range t
⊢ MeasurableSet u
o : Ordinal.{u}
⊢ (∀ a < o, Order.succ a < o) → (o.bsup fun x x_1 => x) = o
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
x : R
⊢ x ∈ ⊥ ↔ x = 0
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
⊢ LieModule.chainTopCoeff (⇑α) β + LieModule.chainBotCoeff (⇑α) β = LieAlgebra.IsKilling.chainLength α β
n : ℕ
this : √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2 * 2 ^ (n + 2) < π
⊢ 2 ^ (n + 1) * √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) = √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2 * 2 ^ (n + 2)
ι : Type u_3
DecidableEq ι
⊢ ⇑Finsupp.orderIsoMultiset.symm = ⇑Multiset.toFinsupp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝[>] a ↔ ∃ u ∈ Ioi a, Ioc a u ⊆ s
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a + b ≤ b ↔ a * Ordinal.omega ≤ b
α : Type u_1
s₁ s₂ : Finset α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₁ ⊂ s₂ ↔ ∃ x ∈ s₂, x ∉ s₁
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing T
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁷ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : Algebra R F
inst✝² : IsScalarTower R L F
pb : PowerBasis K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
⊢ ¬range (trace K L) = ⊥
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CommSemiring S
Algebra S A
SMulCommClass R S A
a : A
⊢ Algebra.TensorProduct.includeLeft a = a ⊗ₜ[R] 1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝² : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
a : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X
i j : α
⊢ Pi.π (fun ij => F.obj (op (pullback (c.inj ij.1) (c.inj ij.2)))) (i, j) (Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj a) = Pi.π (fun ij => F.obj (op (pullback (c.inj ij.1) (c.inj ij.2)))) (i, j) (Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj a)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite J K G
⊢ G.IsLocallyFaithful K
R : Type u_1
CommSemiring R
LocalRing R
J : Ideal R
hJ : J ≠ ⊤
⊢ J ≤ LocalRing.maximalIdeal R
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
P : M
self : IsMprojection X P
x : X
⊢ ‖x‖ = max ‖P • x‖ ‖(1 - P) • x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α
a : α
⊢ (∀ (y : Quotient s), Quotient.mk' a = y) ↔ ∀ {y : α}, ⊤ → s.Rel a y
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : sin x ≤ x - x ^ 3 / 6 + x ^ 4 * (5 / 96)
⊢ 3 ≤ 4
R : Type u
n m : ℕ
Ring R
p q : R[X]
hp : p.natDegree ≤ m
hq : q.natDegree ≤ n
⊢ (p - q).natDegree ≤ max m n
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
p : κ → Prop
s : κ → Set X
F : ι → X → α
x₀ : X
hX : (nhds x₀).HasBasis p s
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ U ∈ uniformity α, ∃ k, p k ∧ ∀ x ∈ s k, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ U
α : Type u_3
β : Type u_4
Group α
a : α
MulAction α β
b : β
k : ZMod (Function.minimalPeriod (fun x => a • x) b)
⊢ (MulAction.orbitZPowersEquiv a b).symm k = ⟨a, ⋯⟩ ^ k.cast • ⟨b, ⋯⟩
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ (NonemptyInterval.pure a).toProd.2 = a
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
h : p.Separable
f : R →+* S
a b : R[X]
H : a * p + b * derivative p = 1
⊢ Polynomial.map f a * Polynomial.map f p + Polynomial.map f b * derivative (Polynomial.map f p) = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
xs : List α
x d d' : α
x_mem : x ∈ xs
x_ne : x ≠ xs.getLast ⋯
⊢ xs.nextOr x d = xs.nextOr x d'
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
SuccOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioc (f (Order.succ n)) (f n))
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α : Type u
x : F α
p : α → Prop
⊢ Liftp p x ↔ ∀ u ∈ supp x, p u
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ
⊢ LinearMap.charpoly φ - X ^ finrank R M = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
Xs : ι → Set α
A : Set ι
⊢ M.closure (⋃ i ∈ A, M.closure (Xs i)) = M.closure (⋃ i ∈ A, Xs i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s t : Set E
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s ∩ t) x
R : Type u
Ring R
n : ℕ
hn : 0 < n
r : R
⊢ (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C r).leadingCoeff = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Function.Injective v
⊢ Orthonormal 𝕜 Subtype.val ↔ Orthonormal 𝕜 v
β : Type u_1
α : Type u_2
R : β → β → Prop
l : List α
f : α → List β
⊢ List.Pairwise R (l.bind f) ↔
  (∀ (a : α), a ∈ l → List.Pairwise R (f a)) ∧
    List.Pairwise (fun a₁ a₂ => ∀ (x : β), x ∈ f a₁ → ∀ (y : β), y ∈ f a₂ → R x y) l
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsUpperModularLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a : α
s : Set α
h : ∀ a ∈ s, IsAtom a
hab : a < sSup s
⊢ ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ sSup s
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
ms : ∀ (x : G), Measurable fun y => ((fun z => z * x) ⁻¹' s).indicator (fun x => 1) y
this : ∀ (x y : G), s.indicator (fun x => 1) (y * x) = ((fun z => z * x) ⁻¹' s).indicator (fun b => 1) y
⊢ ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), s.indicator (fun x => 1) (y * x) * f x⁻¹ ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ν ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * f x⁻¹ ∂μ