ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
CompleteLattice α
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
t : ι → α
f : ι' → ι
ht : CompleteLattice.Independent (t ∘ f)
hf : Function.Surjective f
⊢ CompleteLattice.Independent t
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
n : ℕ+
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : B
hx : x ∈ {ζ}
⊢ x ∈ (cyclotomic (↑n) A).rootSet B
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
⊢ toIocMod hp a b = toIocMod hp a c ↔ ∃ n, c - b = n • p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b✝ : M
a x : α
b : M
⊢ (single a b) x ≠ 0 ↔ x = a ∧ b ≠ 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m n : ℕ
hn : n > 0
⊢ fract (↑m / ↑n) = ↑(m % n) / ↑n
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : DivInvMonoid G✝
a✝ b : G✝
G : Type u_2
inst✝ : SubNegMonoid G
a : G
n : ℕ
⊢ Int.negSucc n • a = -(↑(n + 1) • a)
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
X✝ Y✝ : StructuredArrow F (const J)
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J
e_1✝ : (F.obj j ⟶ ((fun c => { pt := c.right, ι := c.hom }) Y✝).pt) = (((fromPUnit F).obj X✝.left).obj j ⟶ ((const J).obj Y✝.right).obj j)
e_5✝ : F = (fromPUnit F).obj X✝.left
⊢ ((fun c => { pt := c.right, ι := c.hom }) Y✝).ι = (fromPUnit F).map f.left ≫ Y✝.hom
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
c : R
hac : 0 = a + c
d : R
hbd : 0 = b + d
hd : 0 ≤ d
⊢ d < c
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M
⊢ (e.map f).orientation = e.orientation ↔ 0 < LinearMap.det ↑f
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
x : (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
hst : Disjoint s t
y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i
z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i
e : { x // x ∈ s } ⊕ { x // x ∈ t } ≃ { x // x ∈ s ∪ t } := Finset.union s t hst
i : ι
⊢ updateFinset (updateFinset x s y) t z i = updateFinset x (s ∪ t) ((piFinsetUnion π hst) (y, z)) i
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hppos : p > 0
hqpos : q > 0
z : L := x ^ (p / p.factorizationLCMLeft q) * y ^ (q / p.factorizationLCMRight q)
k : ℕ+ := PNat.lcm ⟨p, hppos⟩ ⟨q, hqpos⟩
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑k) K)
this✝ : IsPrimitiveRoot z ↑k
this : IsCyclotomicExtension {k} K ↥(adjoin K {z})
⊢ φ (p.lcm q) = FiniteDimensional.finrank K ↥(Subalgebra.toSubmodule (adjoin K {z}))
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E
inst✝ : Preregular C
W X w✝ Y : C
f : Y ⟶ X
hf : EffectiveEpi f
hS : ∃ f_1, ((ofArrows (fun x => Y) fun x => f) = ofArrows (fun x => w✝) fun x => f_1) ∧ EffectiveEpi f_1
this : (ofArrows (fun x => Y) fun x => f).regular
h_colim : IsColimit (Sieve.generate (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)).arrows.cocone
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ⋖ b
⊢ a ⩿ b
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx2 : x ≤ 1
hz : 0 ≤ z
⊢ x ^ z ≤ 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
f : X → ℝ
hfi : Integrable f μ
h_meas : NullMeasurableSet {x | 0 ≤ f x} μ
⊢ ∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ - ∫ (x : X) in {a | ¬0 ≤ f a}, f x ∂μ = ∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ - ∫ (x : X) in {x | f x < 0}, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : f '' s ∈ 𝓝[≥] f a
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Ici a) a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
a : CategoryTheory.Arrow C
⊢ (F.mapArrow.obj a).hom = F.map a.hom
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
StarAddMonoid A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
StarAddMonoid B
x : A
⊢ (NonUnitalStarAlgHom.inl R A B) x = (x, 0)
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ¬∃ S, S.Finite ∧ Submodule.span R S = ⊤
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
⊢ W.Ψ ↑n = C (W.preΨ' n) * if Even n then W.ψ₂ else 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
⊢ ∀ {X Y : C ⥤ Comon_ D} (α : X ⟶ Y) (X_1 : C),
  (CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.inverse.map α).hom.app X_1 = (α.app X_1).hom
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommSemiring K
i : R →+* K
a✝ b : R
bi : K
N : ℕ
a : R
bu : bi * i b = 1
n : ℕ
r : R
nN : n ≤ N
⊢ i b ^ (N - n) * (i r * i a ^ n) = i b ^ N * (i r * (i a * bi) ^ n)
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
this : DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ) 0 (if a = 0 then -1 / 2 else 0)) s
⊢ DifferentiableAt ℂ (hurwitzZetaEven a) s
G : Type u_3
AddGroup G
h : AddGroup.FG G
S : Finset G
hS : AddSubgroup.closure ↑S = ⊤
⊢ AddGroup.rank G ≤ S.card
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)
⊢ eval 1 (cyclotomic p R) = ↑p
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E → F
s t : Set E
hf : ContDiffOn ℝ 1 f s
hc : Convex ℝ s
ht : t ⊆ s
⊢ dimH (f '' t) ≤ dimH t
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h : NeZero μ
c : E
⊢ ⨍ (_x : α), c ∂μ = c
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n
⊢ False
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
T2Space M
SmoothManifoldWithCorners I M
⊢ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ↑f
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.202, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.206, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.210, u_3} D'
W : MorphismProperty C
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L'.IsLocalization W
X : C
f : StructuredArrow (L.obj X) L
⊢ (fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L' L) f.hom)) ((fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L L') f.hom)) f) = f
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Submodule.span (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
r : ↑↑s
n₁ : ℕ
hn₁ : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) ((algebraMap R S) ↑⟨↑r ^ n₁, ⋯⟩ * x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x y : α
S : Set α
h : IsGenericPoint x S
⊢ x ⤳ y ↔ y ∈ S
α : Type u
CommRing α
a b : α
u₁ u₂ : αˣ
⊢ a /ₚ u₁ - b /ₚ u₂ = (a * ↑u₂ - ↑u₁ * b) /ₚ (u₁ * u₂)
α : Type u
β : Type v
UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
TopologicalSpace α
L : ∀ x ∈ s, ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
⊢ ContinuousOn f s
x y : ℝ
h0 : x < 0
h1 : -1 < x
⊢ log (-x) < 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
CompactSpace X
S : Set X
hS : IsClosed S
hne : S.Nonempty
⊢ ∃ x ∈ S, IsClosed {x}
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
Q : R[T;T⁻¹] → Prop
f : R[T;T⁻¹]
Qf : ∀ {f : R[X]} {n : ℕ}, Q (toLaurent f * T (-↑n))
⊢ Q f
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
x : ℝ
⊢ Real.cos (Real.pi / 2 - x) = Real.sin x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
s : Set E
⊢ IsComplete (⇑f '' s) ↔ IsComplete s
α : Type u_2
Lattice α
S : Set (Set α)
hS : ∀ s ∈ S, IsSublattice s
⊢ IsSublattice (⋂₀ S)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R T
ι κ : Type w
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
x : R
this : DecidableEq ι
⊢ (trace R S) ((algebraMap R S) x) = Fintype.card ι • x
ι : Type u_2
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : C ⟶ D
⊢ Quot.mk (CategoryTheory.Quotient.CompClosure (homotopic V c)) f = (HomotopyCategory.quotient V c).map f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure α
ν : MeasureTheory.ProbabilityMeasure β
α' : Type u_3
MeasurableSpace α'
β' : Type u_4
MeasurableSpace β'
f : α → α'
g : β → β'
f_mble : Measurable f
g_mble : Measurable g
⊢ (μ.map ⋯).prod (ν.map ⋯) = (μ.prod ν).map ⋯
ι : Type u_1
Fintype ι
p : BoxIntegral.Box ι → Prop
I : BoxIntegral.Box ι
H_ind : ∀ J ≤ I, (∀ J' ∈ BoxIntegral.Prepartition.splitCenter J, p J') → p J
H_nhds :
  ∀ z ∈ BoxIntegral.Box.Icc I,
    ∃ U ∈ nhdsWithin z (BoxIntegral.Box.Icc I),
      ∀ J ≤ I,
        ∀ (m : ℕ),
          z ∈ BoxIntegral.Box.Icc J →
            BoxIntegral.Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
⊢ p I
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
h : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ f v = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : ι → Filter α
s : Set α
p : Set α → Prop
uni : p univ
ins : ∀ {i : ι} {s₁ s₂ : Set α}, s₁ ∈ f i → p s₂ → p (s₁ ∩ s₂)
hs : ∃ t, s ∈ t.inf fun a => f a.down
⊢ p s
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∀ (c : F') {s_1 : Set α} (hs : MeasurableSet s_1) (hμs : μ s_1 < ⊤), (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs ⋯ c)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
hab : a < b
this : (∫⁻ (ω : Ω), upcrossings a b f ω ∂μ) * ENNReal.ofReal (b - a) ≤ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ
⊢ ENNReal.ofReal (b - a) ≠ 0 ∨ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ ≠ 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
TopologicalSpace R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
TopologicalRing R
TopologicalSpace M
TopologicalAddGroup M
p : ι → Prop
b : ι → Set M
h : (𝓝 0).HasBasis p b
hsmul : ∀ {i : ι}, p i → ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ j, p j ∧ V • b j ⊆ b i
hsmul_left : ∀ (x₀ : R) {i : ι}, p i → ∃ j, p j ∧ Set.MapsTo (fun x => x₀ • x) (b j) (b i)
hsmul_right : ∀ (m₀ : M) {i : ι}, p i → ∀ᶠ (x : R) in 𝓝 0, x • m₀ ∈ b i
⊢ ContinuousSMul R M
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
⊢ map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Ico ↑a ↑b)) = Ico ↑a ↑b
α : Type u_1
r : α → α → Prop
h : Symmetric r
⊢ Symmetric (Relation.ReflTransGen r)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f✝ : ι → α → M
x : Filter α
a : ι → M
f : ι
l : List ι
h : ∀ i ∈ f :: l, Tendsto (f✝ i) x (𝓝 (a i))
⊢ Tendsto (fun b => f✝ f b * (List.map (fun c => f✝ c b) l).prod) x (𝓝 (a f * (List.map a l).prod))
X : Type u_1
R : Type u_3
TopologicalSpace X
NormedDivisionRing R
CompleteSpace R
f : C(X, R)
⊢ IsUnit f ↔ ∀ (x : X), f x ≠ 0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
b : P
hb : b ∈ I * J
⊢ ∀ m ∈ I, ∀ n ∈ J, IsInteger R ((aI * aJ) • (m * n))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
⊢ ↑⁅I, N⁆ = Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
α : Type u
r : α → α → Prop
IsAsymm α r
⊢ IsAsymm α (Function.swap r)
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
β : Type u_1
t : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β
b : Set (Set β)
hb : b.Countable
eq : t = generateFrom b
this : TopologicalSpace α := induced f t
⊢ SecondCountableTopology α
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Comma L R)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (F.comp (CategoryTheory.Comma.snd L R)) R
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cone (F.comp (CategoryTheory.Comma.fst L R))
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cone (F.comp (CategoryTheory.Comma.snd L R))
t₂ : CategoryTheory.Limits.IsLimit c₂
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Comma.coneOfPreserves F c₁ t₂).π.app j).right = c₂.π.app j
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
⊢ FractionalIdeal.dual A K I ≠ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
ι : Sort u_5
a : α
f : ι → β
⊢ a +ᵥ Set.range f = Set.range fun i => a +ᵥ f i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (n : ℕ), s.φ f n = s.φ g n
⊢ f = g
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ a * Order.succ b = a * b + a
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α
⊢ LinearMap.range (Finsupp.totalOn α M R v s) = ⊤
p✝ : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p✝)
inst✝² : Fintype ι
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
n : ℕ
h : p = ↑n
f : PiLp p β
this : 0 < p.toReal
⊢ ‖f‖ = (∑ i : ι, ‖f i‖ ^ n) ^ (1 / ↑n)
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
Zero β
TopologicalSpace β
T2Space β
hf : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ (∀ x ∈ tᶜ, f x = 0) ∧ MeasureTheory.SigmaFinite (μ.restrict t)
R : Type u_1
CommRing R
s : Subring R
ι : Type u_2
t : Finset ι
f : ι → R
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ s
⊢ ∏ i ∈ t, f i ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
C : ι → Set α
f : (x : ι) → β → ↑(C x)
hf : ∀ (x : ι), Surjective (f x)
x : α
⊢ (x ∈ ⋃ y, range fun x => ↑(f x y)) ↔ x ∈ ⋃ x, C x
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →A[R] B
⊢ ↑f.rangeRestrict = (↑f).rangeRestrict
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hfg : g =o[atTop] f
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => f x + g x) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => f x + g x) x) (c₂ * (fun x => f x + g x) x)
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
⊢ IsIrreducible (PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I) ↔ I.IsPrime
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
R : Type u_3
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
f : E → F
c : R
hf : ContDiff 𝕜 n f
⊢ ContDiff 𝕜 n fun y => c • f y
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
a : G
⊢ ↑a⁻¹ = (↑a)⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α
⊢ d ≤ a ⇨ b ⊓ c ↔ d ≤ (a ⇨ b) ⊓ (a ⇨ c)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
⊢ ∃ b, ∀ i ∈ s, IsLocalization.IsInteger R (↑b • f i)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜' g₁ t' (h x)
hh : DifferentiableWithinAt 𝕜 h s x
hs : Set.MapsTo h s t'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (g₁ ∘ h) s x = derivWithin h s x • derivWithin g₁ t' (h x)
α : Type u
L : List (α × Bool)
DecidableEq α
⊢ FreeAddGroup.reduce (FreeAddGroup.reduce L) = FreeAddGroup.reduce L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
a : α
⊢ (insert a s).diag = insert (a, a) s.diag
p n k : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ p ^ n
hk0 : k ≠ 0
⊢ multiplicity p ((p ^ n).choose k) + multiplicity p k ≤ ↑n
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : CountablySeparated Z
f : X → Z
hf : Measurable f
hsurj : Surjective f
s : Set Z
h : MeasurableSet (f ⁻¹' s)
τ : TopologicalSpace Z
left✝¹ : SecondCountableTopology Z
left✝ : T4Space Z
right✝ : OpensMeasurableSpace Z
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).inits = [] :: List.map (fun t => a :: t) l.inits
x y : ℂ
⊢ cos ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (cos x)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type w
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type v'
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type w'
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
⊢ (I.prod I').target = (I.prod I'.toPartialEquiv).target
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
s : Set A
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝¹ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this✝ : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ : Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) = minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
key₂' : finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = g.natDegree
this : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ * finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = finrank K Kx
⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
h : C r = 0
⊢ r = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
U : Opens α
⊢ U ≠ ⊥ ↔ (↑U).Nonempty
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n k : ℕ
⊢ (↑p ^ k)⁻¹ ≤ (↑p ^ n)⁻¹ ↔ n ≤ k
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
Fintype ↥G
⊢ Lagrange.nodal (↑G).toFinset Units.val = Polynomial.X ^ Fintype.card ↥G - 1
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i k₂ k₁ k₀ : ι
r₂₁ : c.Rel k₂ k₁
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
⊢ (dNext k₁) hom + (prevD k₁) hom = C.d k₁ k₀ ≫ hom k₀ k₁ + hom k₁ k₂ ≫ D.d k₂ k₁
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
t : Set β
⊢ ((ProbabilityTheory.Kernel.piecewise hs κ η) a) t = if a ∈ s then (κ a) t else (η a) t
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
j : J
x : K.obj j
⊢ lc.ι.app j { down := x } ∈ Set.univ ↔ c.ι.app j x ∈ ⋃ x, descSet hc {x}
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ AddMonoidHom.mrange (AddMonoidHom.inr M N) = AddSubmonoid.comap (AddMonoidHom.fst M N) ⊥