ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
m : α → β
P : β → Prop
⊢ (∃ᶠ (b : β) in Filter.map m f, P b) ↔ ∃ᶠ (a : α) in f, P (m a)
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
huv : u ~[l] v
huw : u =ᶠ[l] w
⊢ w ~[l] v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Functor.mapSquare C F).map φ).τ₂ = F.map φ.τ₂
α : Type u_3
AddGroupWithOne α
CharZero α
m n : ℤ
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
hb : (1 / 2) • a + (1 / 2) • c ∈ frontier s
habc : a + c = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c + ((1 / 2) • a + (1 / 2) • c)
this : a = c
⊢ c = (2⁻¹ + 2⁻¹) • c
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
toFinsupp✝ : AddMonoidAlgebra R ℕ
⊢ ((opRingEquiv R) (op { toFinsupp := toFinsupp✝ })).support = (unop (op { toFinsupp := toFinsupp✝ })).support
p q : ℚ≥0
h : q ≤ p
⊢ ↑(p - q) = ↑p - ↑q
r : ℝ
⊢ 0 < r.toNNReal ↔ 0 < r
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
δ : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (δ i)
φ : (i : ι) → C(δ i, α)
h_proper : ∀ (i : ι), IsProperMap ⇑(φ i)
h_lf : LocallyFinite fun i => range ⇑(φ i)
h_cover : ⋃ i, range ⇑(φ i) = univ
𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i)) := fun i => {K | IsCompact K}
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => ⇑(φ i) '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => ⇑(φ i) ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
⊢ inferInstanceAs (UniformSpace C(α, β)) = ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x.comp (φ i)) inferInstance
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
⊢ ⇑(p + q) = ⇑p + ⇑q
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : Algebra S B
g : R →ₐ[S] A
y x✝ : σ → A
i✝ : σ
⊢ (aevalTower (Algebra.ofId S A) x✝) (X i✝) = (aeval x✝) (X i✝)
ι : Type u_1
DecidableEq ι
s : Finset ι
m : ℕ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Finset.map { toFun := fun x => n • x, inj' := ⋯ } (s.piAntidiag m) =
  Finset.filter (fun f => ∀ i ∈ s, n ∣ f i) (s.piAntidiag (n * m))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c✝ d e : α
m n : ℤ
a : α
h : 0 < a
b c : α
hc₀ : 0 < c
hc : b * c < a
⊢ b < c⁻¹ * a
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ : AddChar A M
f : A →+ B
hf : Surjective ⇑f
ψ χ : AddChar B M
h : (fun ψ => ψ.compAddMonoidHom f) ψ = (fun ψ => ψ.compAddMonoidHom f) χ
⊢ ψ = χ
α : Type u
UniformSpace α
⊢ T0Space α ↔ Pairwise fun x y => ∃ r ∈ 𝓤 α, (x, y) ∉ r
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ 2 < s.ncard ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, ∃ c ∈ s, a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
⊢ -⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧ = ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight (Sum.inl (i, j))⟧
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
⊢ ↥(Lp E 1 (μ.prod ν)) → ℝ≥0∞
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
self : CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite J K G
⊢ G.IsCoverDense K
M : Type u_3
f : ℕ → M
n : ℕ
AddCommGroup M
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), f i - f n = ∑ i ∈ Finset.range n, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α → β
a : α
m : M
hif : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑(Finsupp.single (f a) m).support)
⊢ Finsupp.comapDomain f (Finsupp.single (f a) m) hif = Finsupp.single a m
α : Type u_1
β : Type v
a : α
b : β
⊢ {a} ×ˢ {b} = {(a, b)}
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
δ K ε a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, (z - x)⁻¹ * (f z - f x) < r
ha : f a ≤ δ
bound : ∀ x ∈ Ico a b, f' x ≤ K * f x + ε
H : ∀ x ∈ Icc a b, ∀ ε' ∈ Ioi ε, f x ≤ gronwallBound δ K ε' (x - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
⊢ ε ∈ closure (Ioi ε)
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
⊢ ↑a.val = a.valMinAbs + ↑(if a.val ≤ n / 2 then 0 else n)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
f : (i : ι) → α i → Set β
⊢ ⋃ i ∈ s, ⋃ j ∈ t i, f i j = ⋃ ij ∈ s.sigma t, f ij.fst ij.snd
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 a, ApproximatesLinearOn f f' s c
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
hta : Absorbent ℝ t
x : E
⊢ ContinuousAt (gaugeRescale s t) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
a b : E
x : 𝕜
⊢ HasStrictDerivAt (⇑(AffineMap.lineMap a b)) (b - a) x
z : ℤ
h : 0 ≤ z
⊢ normalize z = z
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : 0 < s.length
⊢ s = (RelSeries.eraseLast s).snoc (RelSeries.last s) ⋯
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
F_der_I : ∀ x ∈ Ioo 0 X, HasDerivAt (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) (-(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) x
cont : Continuous fun x => (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) x * ↑x ^ s
der_ible : IntervalIntegrable (fun x => -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) volume 0 X
int_eval : (∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + -∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1)) = -((ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s)
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)
t : ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) = s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)
⊢ s ≠ 0
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.flip.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
⊢ B.SeparatingRight
m✝ n✝ : ℕ∞
n m : ℕ
h : ↑m ≤ ↑n
⊢ (↑m).toNat ≤ n
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
μs : ℕ → MeasureTheory.Measure Ω
f : Ω → ℝ
f_cont : Continuous f
f_nn : 0 ≤ f
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ Filter.liminf (fun i => (μs i) G) Filter.atTop
⊢ ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ Filter.liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) Filter.atTop
α : Type u_1
l : List α
⊢ Set.range l.get = {x | x ∈ l}
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), IsLocalization.coeSubmodule (Localization.AtPrime J) I = ⊥
⊢ I = ⊥
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
NoZeroSMulDivisors α β
⊢ 0 ∈ s • t ↔ 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty
α β : BddDistLat
e : ↑α.toDistLat ≃o ↑β.toDistLat
x✝ : (forget BddDistLat).obj α
⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
H : ∀ (f : ℕ → α → E), (∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ) → ∀ (B : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), B i < ⊤ → (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N) → ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n
hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
f : ℕ → ↥(Lp E p μ)
M : ℝ
hB : HasSum B M
B1 : ℕ → ℝ≥0∞ := fun n => ENNReal.ofReal (B n)
hB1_has : HasSum B1 (ENNReal.ofReal M)
hB1 : ∑' (i : ℕ), B1 i < ⊤
f1 : ℕ → α → E := fun n => ↑↑(f n)
N n m : ℕ
hn : N ≤ n
hm : N ≤ m
hf : (eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑(f m)) p μ).toReal < B N
⊢ eLpNorm (↑↑(f n - f m)) p μ ≠ ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a b : α
s : Seq α
S : Seq (Seq1 α)
⊢ (match (Seq.cons b s).destruct with | none => (a, S.join) | some s' => (a, (Seq.cons s' S).join)) = (a, (Seq.cons (b, s) S).join)
α : Type u
DivisionRing α
x y : α
h : Commute x y
hxy : x ≠ y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = (x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m) / (x - y)
G : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
SubtractionMonoid G
AddAction G A
g : G
F : A → B
a : A
⊢ VAdd.vadd g F a = F (-g +ᵥ a)
α : Type u
c : Computation α
⊢ (HOrElse.hOrElse (Computation.empty α) fun x => c) = c
R : Type u_1
CommRing R
I J : Ideal R
h : I = J
x : R
⊢ (Ideal.quotEquivOfEq h) ((Ideal.Quotient.mk I) x) = (Ideal.Quotient.mk J) x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
a : R
⊢ a • y ∈ span R {y}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₂, v₁} I
F : CategoryTheory.Functor Iᵒᵖ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
i : I
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.limitRightOpIsoOpColimit F).hom
    (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F (Opposite.op i)).op =
  CategoryTheory.Limits.limit.π F.rightOp i
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hs : IsOpen s
hx : x ∈ s
⊢ derivWithin f s x = deriv f x
α : Type u
s : Set (Set α)
i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
IH : ∀ (y : (Quotient.out (aleph 1).ord).α), (Quotient.out (aleph 1).ord).r y i → #↑(generateMeasurableRec s y) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
A : ℵ₀ ≤ aleph 1
B : aleph 1 ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
C : ℵ₀ ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
J : #↑(⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
⊢ #↑{∅} ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ TopCat
Y : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace Y
α : Type
X : α → TopCat
a✝¹ : (yonedaPresheaf' Y).obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
x✝ : α
a✝ : ↑(X x✝)
⊢ a✝¹ ((Sigma.ι X x✝ ≫ (opCoproductIsoProduct X).inv.unop) a✝) = a✝¹ (((TopCat.sigmaIsoSigma X).inv ≫ (opCoproductIsoProduct X).inv.unop) ⟨x✝, a✝⟩)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
hp1 : p ≠ 1
⊢ Irreducible p ↔ p.roots = 0
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
Fintype n
Semiring R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
B₁ : Matrix n n₁ R
B₂ : Matrix n n₂ R
⊢ A₁.fromRows A₂ * B₁.fromColumns B₂ = Matrix.fromBlocks (A₁ * B₁) (A₁ * B₂) (A₂ * B₁) (A₂ * B₂)
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
X : Set R
x y : ↑X
h : x ≠ y
⊢ (fun f => ⇑f) (↑(toContinuousMapOnAlgHom X) Polynomial.X) x ≠ (fun f => ⇑f) (↑(toContinuousMapOnAlgHom X) Polynomial.X) y
⊢ ⇑Cardinal.ord.orderEmbedding = Cardinal.ord
A : Type u'
inst✝¹² : Category.{v', u'} A
inst✝¹¹ : ConcreteCategory A
inst✝¹⁰ : HasFunctorialSurjectiveInjectiveFactorization A
inst✝⁹ : (coherentTopology CompHaus).WEqualsLocallyBijective A
inst✝⁸ : HasSheafify (coherentTopology CompHaus) A
inst✝⁷ : (coherentTopology CompHaus).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝⁶ : Balanced (Sheaf (coherentTopology CompHaus) A)
inst✝⁵ : PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget A)
inst✝⁴ : ∀ (X : CompHausᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X Stonean.toCompHaus.op) A
X Y : Condensed A
f : X ⟶ Y
inst✝³ : (extensiveTopology Stonean).WEqualsLocallyBijective A
inst✝² : HasSheafify (extensiveTopology Stonean) A
inst✝¹ : (extensiveTopology Stonean).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝ : Balanced (Sheaf (extensiveTopology Stonean) A)
⊢ IsLocallySurjective (Presheaf.coherentExtensiveEquivalence.functor.map ((StoneanCompHaus.equivalence A).inverse.map f)) ↔ ∀ (S : Stonean), Function.Surjective ⇑(f.val.app (op S.compHaus))
α : Type u_2
TopologicalSpace α
B : Set (TopologicalSpace.Opens α)
⊢ TopologicalSpace.Opens.IsBasis B ↔ ∀ {U : TopologicalSpace.Opens α} {x : α}, x ∈ U → ∃ U' ∈ B, x ∈ U' ∧ U' ≤ U
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
Module.Free R M
Module.Finite R M
Module.Free R N
Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] M
⊢ (LinearMap.trace R M) (g ∘ₗ f) = (LinearMap.trace R N) (f ∘ₗ g)
⊢ ¬LSeriesSummable (fun n => ↑(ArithmeticFunction.moebius n)) 1
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
B : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring B
inst✝ : Algebra R B
I J : Submodule R A
h : A ≃ₐ[R] B
x : B
⊢ (∃ y, (∀ y_1 ∈ J, y * y_1 ∈ I) ∧ h.toLinearMap y = x) ↔ ∀ (y : B), (∃ y_1 ∈ J, h.toLinearMap y_1 = y) → ∃ y_1 ∈ I, h.toLinearMap y_1 = x * y
n₁ n₂ : Int
d₁ d₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0
⊢ n₁ /. d₁ + n₂ /. d₂ = (n₁ * d₂ + n₂ * d₁) /. (d₁ * d₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
ConditionallyCompleteLattice γ
s : Set α
t : Set β
l : α → β → γ
u₁ : β → γ → α
u₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (Function.swap l b) (u₁ b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l a) (u₂ a)
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddAbove t
⊢ sSup (Set.image2 l s t) = l (sSup s) (sSup t)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : ↑(MonCat.of G)
y : G
⊢ ((Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) (((ofMulAction k G G).ρ g) (Finsupp.single y 1)) = (A.ρ g) (((Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) (Finsupp.single y 1))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ ∀ (x : C) (a : (CategoryTheory.FunctorToTypes.prod F G).obj x), CategoryTheory.FunctorToTypes.prod.fst.app x a = a.1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
hc : DifferentiableAt ℂ f x
⊢ fderiv ℂ (fun x => Complex.sinh (f x)) x = Complex.cosh (f x) • fderiv ℂ f x
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
p : Submodule R (CliffordAlgebra Q)
⊢ Submodule.map CliffordAlgebra.involute.toLinearMap p = Submodule.comap CliffordAlgebra.involute.toLinearMap p
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ ∑ b : Equiv.Perm n, (sign b • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (b i) i).coeff (Fintype.card n) = ∑ σ : Equiv.Perm n, sign σ • ∏ i : n, A (σ i) i
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
FunLike F α β
Preorder α
Zero α
Preorder β
Zero β
OrderHomClass F α β
ZeroHomClass F α β
f : F
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ f a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
P : D → Prop
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : ∀ (X : C), P (F.obj X)
X : C
⊢ (CategoryTheory.fullSubcategoryInclusion P).obj ((CategoryTheory.FullSubcategory.lift P F hF).obj X) = F.obj X
a b c p q : ℚ
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a1 : ℤ
hpa : p ∣ (↑p * a1).natAbs
b1 : ℤ
hpb : p ∣ (↑p * b1).natAbs
hab : ¬(↑p * a1).gcd (↑p * b1) = 1
c1 : ℤ
h : Minimal (↑p * a1) (↑p * b1) (↑p ^ 2 * c1)
hf : Fermat42 a1 b1 c1
⊢ c1.natAbs < (↑p ^ 2 * c1).natAbs
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
⊢ 2 ^ NrRealPlaces K * (NNReal.pi / 2) ^ NrComplexPlaces K ≠ 0
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
⊢ Polynomial.nthRootsFinset 0 R = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
d : ℝ
hs : s.Nontrivial
⊢ d ≤ s.infsep ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → d ≤ dist x y
α : Type u_1
n : Type u_4
RCLike α
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
i : n
⊢ ↑(RCLike.re (A i i)) = A i i
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
⊢ ∀ (i i_1 : ℕ), Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) i) ((f.genEigenspace μ₂) i_1)
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ (CoheytingHom.id α) a = a
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ
h : a ≤ b
⊢ (volume (univ.pi fun i => Ioc (a i) (b i))).toReal = ∏ i : ι, (b i - a i)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : StarRing α
d : ℤ
⊢ (↑d)ᴴ = ↑d
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Icc a c ⊆ Set.Icc a b ∪ Set.Icc b c
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
h : l₁ <+: l₂
⊢ List.filter p l₁ <+: List.filter p l₂
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
y : G
⊢ QuasiMeasurePreserving (fun x => (x, y).1 / (x, y).2) μ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMinOrder (α ⊕ β)
a : β
⊢ ∃ b, b < a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R ↑s) = span R {1} ⊔ s.toSubmodule
R : Type u_1
Semiring R
f : Polynomial R
⊢ (Polynomial.taylor 0) f = f
m n✝ n : ℕ
a : ZMod n
ha : 2 * a.val ≠ n
h : NeZero n
⊢ (-a).valMinAbs = -a.valMinAbs
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ h).i = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.i φ.τ₂
α : Type u_1
M : Type u_13
Zero M
P : α → Prop
DecidablePred P
a : Subtype P
m : M
⊢ (Finsupp.single a m).extendDomain = Finsupp.single (↑a) m
k : Type u_1
V1 : Type u_2
V2 : Type u_4
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AddCommGroup V2
Module k V2
f : V1 →ᵃ[k] V2
⊢ ⇑f = ⇑f.linear + fun x => f 0
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
x : M₂ ⊗[R] N₁
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₂) x) = 0
this✝ : (LinearMap.rTensor N₂ f₂) ((LinearMap.lTensor M₂ g₁) x) = 0
z : M₁ ⊗[R] N₁
hy : (LinearMap.rTensor N₂ f₁) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = (LinearMap.lTensor M₂ g₁) x
this : (LinearMap.lTensor M₁ g₂) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = 0
⊢ (LinearMap.rTensor N₁ f₂) x = 0
x y : Nat
⊢ x % y = ite (0 < y ∧ y ≤ x) ((x - y) % y) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : E × F
s : Set (E × F)
⊢ HasFDerivWithinAt Prod.snd (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 E F) s p
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
b : β
f : (x : β) → b = x → α
⊢ ⨅ x, ⨅ (h : b = x), f x h = f b ⋯
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
x : G
hx : x ∈ tᶜ
g : G
hg : g ∈ closure {1}
H : (fun x x_1 => x * x_1) x g ∉ tᶜ
this : x ∈ t * closure {1}
⊢ False
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ¬MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ ↔ μ Set.univ = ⊤
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
⊢ lift.{v', v} (Module.rank R M) + lift.{v, v'} (Module.rank R M') ≤ Module.rank R (M × M')
α : Type u_2
A B : Preorder α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ A = B
d : ℤ
n x y : ℤ
⊢ Zsqrtd.sqrtd * ↑n * { re := x, im := y } = { re := d * n * y, im := n * x }
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w x : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
q : G.Walk w x
⊢ (p.concat h).append q = p.append (SimpleGraph.Walk.cons h q)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁
b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂
fac : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁
α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁
hα : a = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂
hβ : (MorphismProperty.RightFraction.mk α.s ⋯ T₂.mor₁).f ≫ β.s = (MorphismProperty.RightFraction.mk α.s ⋯ T₂.mor₁).s ≫ β.f
⊢ ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
z w : ℂ
⊢ cos z - w = 0 ↔ cexp (z * I) ^ 2 - 2 * w * cexp (z * I) + 1 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
X : D
⊢ (adj.homEquiv (G.obj X) X).symm (CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.obj X)) = adj.counit.app X
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs : BddAbove (DFunLike.coe '' s)
⊢ ⇑(sSup s) = ⨆ p, ⇑↑p