ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
A : Fintype ↑∅ := Fintype.ofIsEmpty
⊢ s.toFinset = ∅ ↔ s = ∅
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.Functor C D} (α : X_1 ⟶ Y), ((CategoryTheory.evaluation C D).obj X).map α = α.app X
P : ℝ → Prop
x₀ r : ℝ
hr : 1 < r
hx₀ : 0 < x₀
base : ∀ x ∈ Ico x₀ (r * x₀), P x
step : ∀ n ≥ 1, (∀ z ∈ Ico x₀ (r ^ n * x₀), P z) → ∀ z ∈ Ico (r ^ n * x₀) (r ^ (n + 1) * x₀), P z
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ Ico x₀ (r ^ (n + 1) * x₀), P x
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
l l' : List α
⊢ (List.zipWith Equiv.swap l l').prod.support ≤ l.toFinset ⊔ l'.toFinset
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β
⊢ f ⊓ 𝓟 (range m) ≤ map m (comap m f)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Module α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0
s : Set ℝ
⊢ sInf (a • s) = a • sSup s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a✝ a' : α
b✝ : M
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : M
⊢ ⇑(single a b) = update 0 a b
θ : ℝ
h0 : 0 ≤ θ
hpi : θ ≤ π
⊢ 0 ≤ (↑θ).sin
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
ℐ : Set (Ideal A)
h : ∀ I ∈ ℐ, IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ IsHomogeneous 𝒜 (⨅ a ∈ ℐ, a)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
B : C
α : Type v
X : α → C
f : (j : α) → B ⟶ X j
inst✝¹ : HasWidePushout B X f
inst✝ : PreservesColimit (wideSpan B X f) (forget C)
y : (forget C).obj ((wideSpan B X f).obj none)
⊢ (∃ y_1, (head f) y_1 = (colimit.ι (wideSpan B X f) none) y) ∨ ∃ i y_1, (ι f i) y_1 = (colimit.ι (wideSpan B X f) none) y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Adhesive C
H : CategoryTheory.IsPushout f g h i
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.Mono i
α : Type u_1
Preorder α
a : α
One α
⊢ ↑a ≤ 1 ↔ a ≤ 1
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ + t ⊆ s₂ + t
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
hc : Continuous f
⊢ Part.fix ⇑f = f (Part.fix ⇑f)
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : Module.End K V
k : ℕ
μ : K
hx : f.HasEigenvalue μ
hk : 0 < k
⊢ 0 < FiniteDimensional.finrank K ↥((f.genEigenspace μ) k)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ f₂
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₃ f₄
CategoryTheory.Limits.HasPullback (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₁ f₂ =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₁ (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst f₃ f₄
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
P✝ : Sylow p G
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
N : Subgroup G
P Q : Sylow p G
hP : ↑P ≤ N
hQ : ↑Q ≤ N
h : ∀ (x : ↥N), x ∈ P.subtype hP ↔ x ∈ Q.subtype hQ
⊢ ∀ (x : G), x ∈ P ↔ x ∈ Q
α : Type ua
⊢ 𝓤 α = ⊤
X : Type u_1
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → MeasureTheory.Measure X
∀ (i : ι), MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → Filter.limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A / C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B / C).card
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
r : A
hr : r = 0
⊢ ↑0 ∈ ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
f : α → E
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm f p μ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ (MvPolynomial.rename f) ((MvPolynomial.monomial d) r) = (MvPolynomial.monomial (Finsupp.mapDomain f d)) r
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s t : Set β
hf₀ : ∀ b ∈ t, f b = 1
⊢ ∏' (a : ↑s), f ↑a = ∏' (a : ↑(s \ t)), f ↑a
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
⊢ x ≤ y ↔ (∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i < y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), x < y.moveRight j
α : Type u_1
β : Type u_2
r : β → β → Prop
h : Symmetric r
f : α → β
⊢ Symmetric (r on f)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : x ∈ s
⊢ egauge 𝕜 s x ≤ 1
G : Type u
AddMonoid G
x y : G
h : AddCommute x y
hx : addOrderOf x ≠ 0
hy : addOrderOf y ≠ 0
⊢ addOrderOf
    ((addOrderOf x / (addOrderOf x).factorizationLCMLeft (addOrderOf y)) • x +
      (addOrderOf y / (addOrderOf x).factorizationLCMRight (addOrderOf y)) • y) =
  (addOrderOf x).lcm (addOrderOf y)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : R
u : n → R
⊢ ((s • M).updateColumn j u).det = s ^ (Fintype.card n - 1) * (M.updateColumn j u).det
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
f : k →+* R
g : G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G
⊢ (liftNC ↑f ⇑g).comp ((smulAddHom k (MonoidAlgebra k G)) c) = (AddMonoidHom.mulLeft (f c)).comp (liftNC ↑f ⇑g)
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∀ i ∈ s, f i ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ ∏ i ∈ s, (f i).leadingCoeff ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Filter β
g' : Filter γ
s : α → β × γ
⊢ Filter.Tendsto s f (g ×ˢ g') ↔ Filter.Tendsto (fun n => (s n).1) f g ∧ Filter.Tendsto (fun n => (s n).2) f g'
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
l.NeBot
h : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => r * f x) l Filter.atBot ↔ 0 < r
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
⊢ WellFoundedLT ↑s
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
s : Set Ω
⊢ MeasurableSet s ↔ MeasurableSet s ∧ MeasurableSet s
xl xr yl yr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
yL : yl → SetTheory.PGame
yR : yr → SetTheory.PGame
i : xr
j : yl
⊢ (-(SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR * SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR)).moveLeft (Sum.inr (i, j)) =
  -(xR i * SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR + SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR * yL j - xR i * yL j)
x : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
⊢ x.toENatAux = ↑n ↔ x = ↑n
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
r : ℝ
this : ∃ c, ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0, x ∈ Ioi 0 → ‖((fun x => P.g x - P.g₀) ∘ fun x => x⁻¹) x‖ ≤ c * ‖((fun x => x ^ (-(r + P.k))) ∘ fun x => x⁻¹) x‖
⊢ ∃ c, ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0, x ∈ Ioi 0 → ‖P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀‖ ≤ c * ‖x ^ r‖
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
ht : ∅.Finite
hst : Disjoint s ∅
⊢ (condCount s) u * (condCount (s ∪ ∅)) s + (condCount ∅) u * (condCount (s ∪ ∅)) ∅ = (condCount (s ∪ ∅)) u
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
c : Chain α
⊢ ⊤ (ωSup c) = ωSup (c.map ⊤)
m n : Num
x✝ : m ∣ n
k : Num
e : n = m * k
⊢ ↑n = ↑m * ↑k
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
CategoryTheory.Mono f
⊢ Equivalence (CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.Rel' f g)
p b : ℝ
hp : 0 < p
hb : 0 < b
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, rexp (-b * x ^ p) = b ^ (-1 / p) * Real.Gamma (1 / p + 1)
α : Type u
l l' : List α
⊢ l ~r l' ↔ ∃ n ≤ l.length, l.rotate n = l'
s : Finset ℕ
m n✝ p n d : ℕ
h : n.minSqFac = some d
⊢ Prime d
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
head₁ : G i
tail₁ : Word G
fstIdx_ne✝¹ : tail₁.fstIdx ≠ some i
normalized✝¹ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ { head := head₁, tail := tail₁, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝¹ }.tail.toList → g ∈ d.set i_1
head₂ : G i
h₁ : ↑(⋯.equiv head₁).2 = ↑(⋯.equiv head₂).2
h₃ : (⋯.equiv head₁).1 = (⋯.equiv head₂).1
fstIdx_ne✝ : tail₁.fstIdx ≠ some i
normalized✝ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ { head := head₂, tail := tail₁, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝ }.tail.toList → g ∈ d.set i_1
⊢ ↑(⋯.equiv head₂).1 * ↑(⋯.equiv head₂).2 = ↑(⋯.equiv head₂).1 * ↑(⋯.equiv head₂).2 ∧ tail₁ = tail₁
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
p : M → Prop
x : M
H : x ∈ I • N
smul : ∀ r ∈ I, ∀ n ∈ N, p (r • n)
add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
⊢ p x
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
p₁ p₂ x : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 ≤ t
⊢ SameRay R (t • (x -ᵥ p₁)) (x -ᵥ p₁)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
s : Set α
x : α
⊢ IsGLB (⇑f '' s) (f x) ↔ IsGLB s x
K : Type u_2
Field K
P : K[X]
⊢ (Polynomial.idealX K).intValuation P = (PowerSeries.idealX K).intValuation ↑P
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
c' : 𝕜
n : ℕ
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y ^ n) (↑n * c x ^ (n - 1) * c') s x
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemiring α
LinearOrderedSemiring β
FloorSemiring α
FloorSemiring β
a : α
b : β
h : ∀ (n : ℕ), a ≤ ↑n ↔ b ≤ ↑n
⊢ ⌈a⌉₊ = ⌈b⌉₊
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U V : Submodule 𝕜 E
h : U ⟂ V
⊢ Disjoint U V
R₃ : Type u_7
CommRing R₃
n : Type u_11
Fintype n
J A : Matrix n n R₃
DecidableEq n
⊢ A ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSkewAdjoint A
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} H
∀ (F : CategoryTheory.Functor C H), L.HasRightKanExtension F
⊢ (L.ranAdjunction H).counit = L.ranCounit
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ SzemerediRegularity.bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
x : ℝ
h : |x| < 1
n : ℕ
F : ℝ → ℝ := fun x => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)
F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)
A : ∀ y ∈ Set.Ioo (-1) 1, HasDerivAt F (F' y) y
B : ∀ y ∈ Set.Icc (-|x|) |x|, |F' y| ≤ |x| ^ n / (1 - |x|)
C : ‖F x - F 0‖ ≤ |x| ^ n / (1 - |x|) * ‖x - 0‖
⊢ |∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)| ≤ |x| ^ (n + 1) / (1 - |x|)
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
f : α → β → γ
a : α
b : β
⊢ ∃ x y, f x y = f a b
x y : PSet
⊢ x ∈ y → y ∉ x
R : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
Star R
self : NonUnitalStarSubsemiring R
a : R
_ha : a ∈ self.carrier
⊢ star a ∈ self.carrier
p : ℝ
hp₀✝ : 0 ≤ p
hp₁✝ : p ≤ 1
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
⊢ ConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
I : Ideal R
⊢ LocalRing.maximalIdeal R ≤ I.jacobson
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
i : DecidableRel fun x x_1 => x ⊆ x_1 := fun x x_1 => Classical.dec ((fun x x_2 => x ⊆ x_2) x x_1)
s : Finset α
hs : s ∈ ∂ 𝒜
⊢ (bipartiteAbove (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝒜 s).card ≤ (image (fun a => insert a s) sᶜ).card
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'
⊢ ((F.map (𝟙 j)).app k ≫ (F.obj j).map f) ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k)
α : Type u_1
E' : Type u_2
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
CompleteSpace E'
NormedSpace ℝ E'
hm : m ≤ m0
f : ↥(MeasureTheory.Lp E' p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn (↑↑f) s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = 0
hf_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
⊢ ↑↑f =ᵐ[μ] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α ≃ₜ β
a : α
⊢ f.toCocompactMap a = f a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Mono f
H : CategoryTheory.IsPushout f g h i
H' : H.IsVanKampen
⊢ CategoryTheory.IsPullback f g h i
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ e.symm.source = e.target
A : Type u₁
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Abelian A
CategoryTheory.Abelian B
L : A ⥤ B
L.PreservesZeroMorphisms
hL : ∀ (S : CategoryTheory.ShortComplex A), S.Exact → (S.map L).Exact
⊢ L.PreservesEpimorphisms
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a : α
ha : a ∈ s
has : ∀ b ∈ s, b ≤ a → b = a
⊢ Ici a ⊓ s.erase a = s
G : Type w
ι : Sort u_1
Group G
ts' : ι → TopologicalSpace G
h' : ∀ (i : ι), TopologicalGroup G
⊢ TopologicalGroup G
a b : ℕ
⊢ addRothNumber (Finset.Ico a b) = rothNumberNat (b - a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ (∑ i ∈ s, f i) * a = ∑ i ∈ s, f i * a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : CocompactMap α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
ι : Type u
α : Option ι → Type v
(i : Option ι) → Zero (α i)
f : Π₀ (i : Option ι), α i
⊢ DFinsupp.equivProdDFinsupp f = (f none, DFinsupp.comapDomain some ⋯ f)
R : Type u
Semiring R
k l m n : ℕ
u v : R
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
⊢ Polynomial.C u * Polynomial.X ^ k + Polynomial.C v * Polynomial.X ^ l =
    Polynomial.C u * Polynomial.X ^ m + Polynomial.C v * Polynomial.X ^ n ↔
  k = m ∧ l = n ∨ u = v ∧ k = n ∧ l = m ∨ u + v = 0 ∧ k = l ∧ m = n
α : Type u_1
A : Type u_3
AddGroup A
GroupWithZero α
DistribMulAction α A
a : α
ha : a ≠ 0
S : AddSubgroup A
x : A
⊢ x ∈ a⁻¹ • S ↔ a • x ∈ S
ι : Type u_9
E : Type u_10
SeminormedAddCommGroup E
s : Finset ι
f : ι → E
⊢ ‖∑ i ∈ s, f i‖ ≤ ∑ i ∈ s, ‖f i‖
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Group G
LieGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
x₀ : M
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s x₀
hg : ContMDiffWithinAt I' I n g s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => f x / g x) s x₀
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
I.Boundaryless
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
a b : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hpc : IsPreconnected U
hc : IsCompact U
ho : IsOpen U
ha : a ∈ U
hb : b ∈ U
⊢ f a = f b
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
⊢ t * ↑(upperClosure s) = ↑(upperClosure (t * s))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasFilteredColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCoproducts C
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
t : Set β
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s +ᵥ t).Nonempty
α : Type u_1
l l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l₁ l₂ : List α
⊢ (b :: l₁).bagInter l₂ <+ b :: l₁
F : Type u_1
Field F
p : F[X]
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
Fact (Polynomial.Splits (algebraMap F E) p)
⊢ Function.Injective ⇑(Polynomial.Gal.galActionHom p E)
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun x => π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ ↑I
⊢ (μ t).toReal - (μ (s ∩ ↑I)).toReal ≤ ↑ε
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherianRing R
⊢ IsNoetherianRing (MvPolynomial (Fin 0) R)
M : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
VAdd M α
VAdd M β
a : M
x : α ⊕ β
⊢ (a +ᵥ x).swap = a +ᵥ x.swap
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
t₁ t₂ : L.Term α
x : α → M
⊢ (t₁.equal t₂).Realize x ↔ FirstOrder.Language.Term.realize x t₁ = FirstOrder.Language.Term.realize x t₂
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
r : S
x : P.Cotangent
⊢ (r • x).val = P.σ r • x.val
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Fintype V
NonAssocSemiring α
a : α
v : V
⊢ (SimpleGraph.adjMatrix α G *ᵥ Function.const V a) v = ↑(G.degree v) * a
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
f g : ↥(Lp E p μ)
s : Set X
x : X
hx1 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) ⋯) x = ↑↑(f + g) x
hx2 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x = ↑↑g x
hx3 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x
hx4 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x = (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) + ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g ⋯)) x
hx5 : ↑↑(f + g) x = (↑↑f + ↑↑g) x
⊢ ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) ⋯) x = ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
a₁ : α
b₁ : β
a₂ : α
b₂ : β
h : (a₁, b₁) < (a₂, b₂)
ha : (a₁, b₁).1 < (a₂, b₂).1
⊢ toLex (a₁, b₁) < toLex (a₂, b₂)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ HasStrictFDerivAt (implicitFunctionOfComplemented f f' hf hf' hker (f a)) (LinearMap.ker f').subtypeL 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Comonad C
X : T.Coalgebra
⊢ (CategoryTheory.Comonad.CofreeEqualizer.bottomMap X).f = T.δ.app X.A
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F G : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
α β : F ⟶ G
h : α.toNatTrans = β.toNatTrans
⊢ α = β
α : Type u_1
ι : Sort u_5
InfSet α
f : PLift ι → α
⊢ ⨅ i, f { down := i } = ⨅ i, f i
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
⊢ Disjoint (⋃₀ ↑I) (⋃₀ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI))
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
⊢ ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly = minpoly R h.gen
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
x : A
⊢ x ∈ Submodule.span R ↑(NonUnitalSubsemiring.closure ∅) ↔ x = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ_[p]
⊢ ‖q‖ = ↑(padicNormE.ratNorm q)
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
⊢ (∀ (a : α), Irreducible a ↔ Prime a) ↔ ∀ (a : Associates α), Irreducible a ↔ Prime a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
α : W.LeftFraction X Y
this : IsIso (L.map α.s)
⊢ add' W (neg' W (α.map L ⋯)) (α.map L ⋯) = L.map 0
X Y : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernel.π f ≫ (SemiNormedGrp.explicitCokernelIso f).inv = SemiNormedGrp.explicitCokernelπ f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
⊢ s.sigma t = ∅ ↔ ∀ i ∈ s, t i = ∅
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ⩿ b
⊢ Set.Ioo a b = ∅
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : Ideal R
⊢ I • ⊥ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace β} {f : α × β → StieltjesFunction} {κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)}
  {ν : ProbabilityTheory.Kernel α β} {hf : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν} (p : α × β) (x_1 : ℝ),
  ((ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF.toKernel f hf) p) (Set.Iic x_1) = ENNReal.ofReal (↑(f p) x_1)
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
f g : M ≃* N
h : f = g
x : M
⊢ f x = g x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => c + f y) s x = fderivWithin 𝕜 f s x
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)
⊢ (fun x => (forget TopCat).map (D.f j i) ((forget TopCat).map (D.t i j) x)) '' (⇑(D.f i j) ⁻¹' U) = ⇑(D.f j i) '' (⇑(D.f i j) ∘ ⇑(D.t j i) ⁻¹' U)
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
r : K[X]
hr : map (algebraMap R K) q = map (algebraMap R K) p * r
⊢ p ∣ q
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
⊢ Monoid.Coprod.fst.prod Monoid.Coprod.snd = Monoid.Coprod.toProd
x : ℝ
⊢ -(π / 2) < x → x < π / 2 → ¬∃ k, x = (2 * ↑k + 1) * π / 2
α : Type u
β : Type v
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
s t : Finset β
hs : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)
ht : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
⊢ (s ∩ t).preimage f ⋯ = s.preimage f hs ∩ t.preimage f ht
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
x y : (i : ι) → M₁ i
h : x = y
⊢ f x = f y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
⊢ (f a).Dom
A B : AddGrp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f