ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
StrictOrderedSemiring Γ
S : Type u_4
CommSemiring S
Algebra S (PowerSeries R)
x : S
⊢ (algebraMap S (HahnSeries Γ R)) x = (HahnSeries.ofPowerSeries Γ R) ((algebraMap S (PowerSeries R)) x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
F : K ⥤ J ⥤ C
X : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimitFlipIsoCompColim F).hom.app X =
  (CategoryTheory.Limits.colimitObjIsoColimitCompEvaluation F.flip X).hom ≫
    (CategoryTheory.Limits.HasColimit.isoOfNatIso (CategoryTheory.flipCompEvaluation F X)).hom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f.symm x + b • f.symm y ≤ f.symm (a • x + b • y)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I
a : A
haI : a ∈ I
ha0 : a ≠ 0
J : Ideal A := span {a}
hJ0 : J ≠ ⊥
hJI : J ≤ I
Z : Multiset (PrimeSpectrum A)
hle : (I ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ J
hnle : ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ J
b : A
hbZ : b ∈ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod
hbJ : b ∉ J
hnz_fa : (algebraMap A K) a ≠ 0
⊢ ∀ y ∈ ↑I, (algebraMap A K) b * ((algebraMap A K) a)⁻¹ * y ∈ 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
s : Finset ι
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting
this : DecidableEq ι
⊢ (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' : C
iX : X ≅ X'
iY : Y ≅ Y'
iZ : Z ≅ Z'
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
f' : X' ⟶ Y'
g' : X' ⟶ Z'
wf : iX.hom ≫ f' = f ≫ iY.hom
wg : iX.hom ≫ g' = g ≫ iZ.hom
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanExt iX iY iZ wf wg).hom.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.zero = iX.hom
⊢ ∀ {type : Type u_1} {p : type → Prop} {x : Id type}, SatisfiesM p x ↔ p x
α : Type u_1
δ : α → Sort u_6
f g : (i : α) → δ i
(i : α) → Decidable (i ∈ ∅)
⊢ ∅.piecewise f g = g
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
r : ℝ
hf' : UniformCauchySeqOn f' l (Metric.ball x r)
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n y)) y
⊢ UniformCauchySeqOn f l (Metric.ball x r)
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ antidiagonal k
⊢ ∑ x ∈ powersetCard a.1 univ, ∑ x_1 : σ, ((-1) ^ x.card * ∏ a ∈ x, X a) * X x_1 ^ (k - x.card) = ∑ i : σ, (∑ i ∈ powersetCard a.1 univ, (-1) ^ a.1 * ∏ a ∈ i, X a) * X i ^ a.2
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ Summable fun n => ‖(NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x‖
M : Type u
AddZeroClass M
⊢ (fun x => 0 + x) = id
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
Fintype α
DecidablePred fun j => a ≤ j ∧ j < b
⊢ Finset.filter (fun j => a ≤ j ∧ j < b) Finset.univ = Finset.Ico a b
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
m : (i : ι) → MeasureTheory.OuterMeasure (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
h : s ⊆ t
⊢ MeasureTheory.piPremeasure m s ≤ MeasureTheory.piPremeasure m t
μ ν : YoungDiagram
⊢ μ.transpose ≤ ν.transpose ↔ μ ≤ ν
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
⊢ ¬1 - ↑K = ⊤
n : ℕ
⊢ 2 ^ (n + 1) * (n + 1)! ≤ (2 * (n + 1))!
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
F : CategoryTheory.Functor D E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
(X : C) →
    (W : J.Cover X) →
      (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (Opposite.unop X))ᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (CategoryTheory.Limits.colimit.ι (J.diagram P (Opposite.unop X)) W))
    ((J.plusCompIso F P).hom.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((J.diagramCompIso F P (Opposite.unop X)).hom.app W)
    (CategoryTheory.Limits.colimit.ι (J.diagram (P.comp F) (Opposite.unop X)) W)
α : Type u_1
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ (s \ {a}).ncard = s.ncard - 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.π₁Toπ₂.app S = S.f
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasSum (fun n => (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) (NormedSpace.exp 𝕂 x)
α : Type u_1
cut : α → Ordering
f : Option α → Option α
cmp : α → α → Ordering
t : Batteries.RBNode α
H :
  ∀ {x : α} {t' : Batteries.RBNode α} {p : Batteries.RBNode.Path α},
    Batteries.RBNode.zoom cut t = (t', p) →
      f t'.root? = some x →
        Batteries.RBNode.Path.RootOrdered cmp p x ∧ Batteries.RBNode.OnRoot (Batteries.RBNode.cmpEq cmp x) t'
h : Batteries.RBNode.WF cmp t
⊢ Batteries.RBNode.WF cmp (Batteries.RBNode.alter cut f t)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ (∃ p, p.length = 0) ↔ u = v
α : Type u_5
Norm α
One α
self : NormOneClass α
⊢ ‖1‖ = 1
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ
n : ℕ
⊢ (map f l).nth n = f.f (l.nth n)
q₁ q₂ : Turing.PartrecToTM2.Λ'
⊢ Turing.PartrecToTM2.tr (q₁.pred q₂) =
  Turing.PartrecToTM2.pop' Turing.PartrecToTM2.K'.main
    (Turing.TM2.Stmt.branch (fun s => decide (s = some Turing.PartrecToTM2.Γ'.bit0))
      (Turing.TM2.Stmt.push Turing.PartrecToTM2.K'.rev (fun x => Turing.PartrecToTM2.Γ'.bit1)
        (Turing.TM2.Stmt.goto fun x => q₁.pred q₂))
      (Turing.TM2.Stmt.branch (fun s => Turing.PartrecToTM2.natEnd s.iget) (Turing.TM2.Stmt.goto fun x => q₁)
        (Turing.PartrecToTM2.peek' Turing.PartrecToTM2.K'.main
          (Turing.TM2.Stmt.branch (fun s => Turing.PartrecToTM2.natEnd s.iget)
            (Turing.TM2.Stmt.goto fun x => Turing.PartrecToTM2.unrev q₂)
            (Turing.TM2.Stmt.push Turing.PartrecToTM2.K'.rev (fun x => Turing.PartrecToTM2.Γ'.bit0)
              (Turing.TM2.Stmt.goto fun x => Turing.PartrecToTM2.unrev q₂))))))
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : Countable E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
this : {x | f x = g x} = ⋃ j, {x | f x = j} ∩ {x | g x = j}
⊢ MeasurableSet {x | f x = g x}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 E
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
⊢ A = adjoint B ↔ ∀ (i : ι) (y : F), ⟪A (b i), y⟫_𝕜 = ⟪b i, B y⟫_𝕜
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₁
m₂' : M₂
⊢ ((LinearMap.compl₁₂ ((associated Q₂).tmul (associated Q₁)) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂') = (((associated Q₁).tmul (associated Q₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂')
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Set (Subalgebra R A)
⊢ Subalgebra.toSubmodule (sInf S) = sInf (⇑Subalgebra.toSubmodule '' S)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
⊢ α ≪≫ α.symm = CategoryTheory.Iso.refl X
a b : ℤ
⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ a ^ 2 = b ^ 2
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s - 0 = s
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
x : { a // ¬p a }
⊢ (Equiv.sumCompl p) (Sum.inr x) = ↑x
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ y ⊓ x ⊓ y \ x ⊓ y \ z ⊔ y \ x ⊓ (y \ z ⊓ (y ⊓ z)) = ⊥
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
x y : α
⊢ swap x y ∈ closure S ↔ x ∈ orbit (↥(closure S)) y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
h : ∀ (i : ι), p i → ∃ i', p' i' ∧ s' i' ⊆ s i
h' : ∀ (i' : ι'), p' i' → s' i' ∈ l
⊢ l.HasBasis p' s'
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y : α
hy : x ≠ y
hx : x ∉ l
h : optParam (x ∈ y :: l ++ [x]) ⋯
⊢ (y :: l ++ [x]).get ⟨0, ⋯⟩ = y
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
Zero N
f : ZeroHom M N
g : α →₀ M
⊢ (Finsupp.mapRange.zeroHom f) g = Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ g
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u_1
MvFunctor F
LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
P : β → Prop
x : F (α ::: β)
⊢ MvFunctor.LiftP' (α.PredLast' P) x ↔ MvFunctor.LiftP (α.PredLast P) x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
h : s ⊆ t
ht : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
α : Type u_3
AddCommMonoid α
a : α
s : Multiset α
⊢ (a ::ₘ s).sum = a + s.sum
n : ℕ
h : n ≠ 0
d m : ℕ
⊢ ((fun a => a + d) ∘ fun x => n • id x) m ≡ d [MOD n]
R : Type u_1
inst✝ : Semigroup R
a b : R
ab : IsRightRegular (b * a)
x y : R
xy : (fun x => x * b) x = (fun x => x * b) y
⊢ x * (b * a) = y * (b * a)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
Fintype ι
p : ι → P
⊢ Finset.centroid k s p = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) (Finset.centroidWeightsIndicator k s)
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M
⊢ (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m) = { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } m
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ a ∈ s, f a ≠ ⊤
⊢ (∑ a ∈ s, f a).toReal = ∑ a ∈ s, (f a).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
s : Finset γ
f : γ → α
g : γ → β
⊢ (∏ x ∈ s, f x, ∏ x ∈ s, g x) = ∏ x ∈ s, (f x, g x)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
X : C
x : P.obj (Opposite.op X)
⊢ yonedaEquiv (yonedaEquiv.symm ((G.map (yonedaEquiv.symm x)).app (F.op.obj (Opposite.op X)) ((φ.app X).app (F.op.obj (Opposite.op X)) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op X))))))) = (G.map (yonedaEquiv.symm x)).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X)))
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
p : K[X]
⊢ RatFunc.mk p 1 = { toFractionRing := (algebraMap K[X] (FractionRing K[X])) p }
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
CommSemiring A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
Algebra A B
IsScalarTower R A B
d : Derivation R A ↥I
x : A
⊢ ↑((derivationToSquareZeroEquivLift I hI) d) x = ↑(d x) + (algebraMap A B) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
x : β
h_cont : Continuous f
hx : Tendsto f (cocompact α) (𝓝 x)
r : Set (β × β)
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
s : Set α
hs : IsCompact s
hst : sᶜ ⊆ f ⁻¹' {y | (x, y) ∈ t}
⊢ {x | (f x.1, f x.2) ∈ r} ∈ 𝓤 α
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
A : ↑c ≠ 0
B : AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (a : Ω), X a) ℙ
⊢ ℙ {ω | ↑c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ evariance X ℙ / ↑c ^ 2
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
StarRing R
StarRing A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
a : ↥S
⊢ spectrum R ↑a ⊆ spectrum R a
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
a : M₀
h : a * ↑u = 0
⊢ a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
f : α ≃o β
⊢ lowerClosure (⇑f '' s) = (LowerSet.map f) (lowerClosure s)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R A A
inst✝⁵ : SMulCommClass R A A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R B B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
S : NonUnitalSubalgebra R A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(K i)
h : K i ≤ iSup K
⊢ Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑(iSup K) ⋯ ((inclusion h) x) = (f i) x
α : Type u
s : Set (Set α)
hs : s.Countable
⊢ (⋃₀ s).Countable ↔ ∀ a ∈ s, a.Countable
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R[X] A
inst✝ : IsScalarTower R R[X] A
a : A
⊢ ((mkDerivation R) a) X = a
L : Type u_1
TopologicalSpace L
Inf L
ContinuousInf L
⊢ Continuous fun p => p.1 ⊓ p.2
R : Type u_1
CommRing R
a b c x : R
h : a * x * x + b * x + c = 0
⊢ discrim a b c = (2 * a * x + b) ^ 2
α : Type u_3
AddCommMonoid α
a : α
⊢ {a}.sum = a
α : Type u_1
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : a < 0
⊢ ∃ t, (∀ y ∈ t, -1 = SignType.sign y) ∧ IsOpen t ∧ a ∈ t
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e f : Pretrivialization F proj
⊢ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' e.source = (e.baseSet ∩ f.baseSet) ×ˢ univ
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ (l.node3L x m y r).size = l.size + m.size + r.size + 2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s t : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : HasMFDerivWithinAt I I' f t x f'
hst : s ⊆ t
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
x : ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))
⊢ (∀ (i : ι), |↑x i| < 1) ↔ ∀ (a : ι), ↑x a = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f✝ : E → F
hf_temperate : Function.HasTemperateGrowth f✝
n : ℕ
k : ℕ → ℕ
C : ℕ → ℝ
f : ∀ (n : ℕ) (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f✝ x‖ ≤ C n * (1 + ‖x‖) ^ k n
C' : ℝ := max 0 ((Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ C)
hC' : 0 ≤ C'
⊢ ∀ N ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ N f✝ x‖ ≤ C' * (1 + ‖x‖) ^ (Finset.range (n + 1)).sup k
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hn : 0 < a
hm : 1 < b
⊢ a = a * 1
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a a' : α
h : a ≠ a'
⊢ Finsupp.lapply a ∘ₗ Finsupp.lsingle a' = 0
cd : Fin 2 → ℝ
z : ℍ
h : ↑(cd 0) * ↑z + ↑(cd 1) = 0
⊢ cd = 0
f : ZFSet → ZFSet
H : Definable 1 f
x z : ZFSet
zx : z ∈ x
y : ZFSet
yx : (fun w => z.pair w ∈ map f x) y
⊢ y = f z
n : ℕ
⊢ ¬Even n ↔ n % 2 = 1
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_C : ∀ (a : R), M (C a)
h_add : ∀ {p q : R[T;T⁻¹]}, M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T ↑n) → M (C a * T (↑n + 1))
h_C_mul_T_Z : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T (-↑n)) → M (C a * T (-↑n - 1))
A : ∀ {n : ℤ} {a : R}, M (C a * T n)
B : ∀ (s : Finset ℤ), M (∑ n ∈ s, C (p.toFun n) * T n)
a : ℤ
⊢ p a = if a ∈ p.support then p.toFun a else 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = R.X ◁ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ (α_ R.X P.X (Q.X ⊗ L.X)).inv ≫ (P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft)
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
ι : Type u_3
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)
K : ∀ (i j : ι), ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty) i j
⊢ IsPreconnected (⋃ n, s n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
x : E
⊢ (↑(HasStrictFDerivAt.implicitToPartialHomeomorph f f' hf hf') x).1 = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : β → γ
s : Set β
t : Set γ
hf : Function.Surjective f
hg : Set.SurjOn g s t
⊢ Set.SurjOn (g ∘ f) (f ⁻¹' s) t
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
hc : ℵ₀ < c.cof
hc' : #ι < c.cof
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c, f i b < c
a : Ordinal.{u}
⊢ Cardinal.lift.{u, u} #ι < c.cof
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
hu : ¬liminf u f = ⊥
hv : ¬liminf v f = ⊥
h' : limsup (-(u + v)) f = limsup (-u + -v) f
⊢ -liminf (u + v) f ≤ -liminf u f + -liminf v f
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Set.Ioi x) x
φint : MeasureTheory.IntegrableOn φ (Set.Icc a b) MeasureTheory.volume
hφg : ∀ x ∈ Set.Ico a b, g' x ≤ φ x
⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
α : Type u
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
⊢ insert a s \ {a} = s
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω
h : ↑ε * (μ {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}).toReal ≤ ∫ (x : Ω) in {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) x ∂μ
⊢ ε • μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≤ ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ ‖setToL1S T f‖ ≤ C * ‖f‖
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
m : α → β
⊢ Set.MapsTo (Filter.map m) (Set.Iic (𝓟 s)) (Set.Iic (𝓟 t)) ↔ Set.MapsTo m s t
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0
⊢ angle x (x - y) = Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
⊢ Associated (gcd (a * b) (a * c)) (a * gcd b c)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
this : ∀ (p : ℕ → Prop) {r : ℕ → ℝ}, Tendsto r atTop (𝓝[>] 0) → blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p
r' : ℕ → ℝ := fun i => if 0 < r i then r i else 1 / (↑i + 1)
hr' : Tendsto r' atTop (𝓝[>] 0)
h₀ : ∀ (i : ℕ), p i ∧ 0 < r i → cthickening (r i) (s i) = cthickening (r' i) (s i)
⊢ blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p
N✝ : ℕ
N M : ℤ
hNM : N ∣ M
⊢ ↑N.natAbs ∣ M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj W X) Y Z).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X Y).hom Z)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z).hom) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)).hom
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft W (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv)
M : Type u_1
Zero M
l : List M
DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0
n : ℕ
hn : n < l.length
⊢ l.toFinsupp n = l.nthLe n hn
x : ℝ
⊢ Real.arcsin x = π / 2 - Real.arccos x
α : Sort u_1
p : α → Prop
a : α
⊢ (p a ∧ ∀ (b : α), b ≠ a → p b) ↔ ∀ (b : α), p b
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
hx : x₁ ≈ x₂
⊢ x₁.LF y ↔ x₂.LF y