ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : LinearOrder α
u : ι → α
h : Monotone u
H : ¬BddAbove (range u)
b : α
⊢ ∃ a, b ≤ u a
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den
⊢ normalize (num / ↑g) (den / g) den_nz = normalize num den ⋯
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ μ s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), μ t
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
v : E
i : ι
⊢ ↑(b.repr v) i = ⟪(fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i, v⟫_𝕜
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n i j : ℕ
hi : i ≤ n
hj : j < p ^ (n - i)
m : ℕ
h : v p ⟨j + 1, ⋯⟩ = m
⊢ j - m + n = i + j + (n - i - m)
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
⊢ c₁₂.next (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)) = c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂')
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
this : Tendsto (fun ε => ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ))
⊢ ∀ᶠ (c : ℝ≥0) in 𝓝[>] 0, μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑c * μ s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
LinearOrder X
OrderTopology X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
NoMaxOrder X
a : X
⊢ 0 < μ (Set.Ioi a)
α : Type u_1
s : Set α
a : α
⊢ s.ncard - 1 ≤ (s \ {a}).ncard
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ 1 < (2 * ↑k + 1).re
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
x : M
hx : x ∈ Submonoid.closure s
⊢ ∃ l, (∀ y ∈ l, y ∈ s) ∧ l.prod = x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
bound : ∀ x ∈ s, ‖fderivWithin 𝕜 f s x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
⊢ ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
X : CategoryTheory.Comma L₁ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).functor.obj X).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (i.inv.app X.left) X.hom
a b : ℝ
nb ne : ℕ
pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : IsNat (a ^ Int.negOfNat nb) ne
⊢ IsNat (a ^ b) ne
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ∀ i < n, (coeff R i) φ = 0
H : ¬↑n ≤ φ.order
⊢ False
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
ProperSpace E
f : SchwartzMap E F
⊢ f.toZeroAtInfty.toBCF = f.toBoundedContinuousFunction
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) l ↔ ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
hf : CircleIntegrable f c ↑R
hR : 0 < R
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun w => (2 * ↑π * Complex.I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - w)⁻¹ • f z)
  (cauchyPowerSeries f c ↑R) c ↑R
α : Type u
s : Set α
⊢ s ⊂ Set.univ ↔ s ≠ Set.univ
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h h' : α ≃ᵤ β
H : ∀ (x : α), h x = h' x
⊢ h = h'
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g
ℱ : Filter X
y : Y
hy : ClusterPt y (map f ℱ)
h : MapClusterPt (g y) (map f ℱ) g
⊢ ∃ x, (g ∘ f) x = g y ∧ ClusterPt x ℱ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
A : (CategoryTheory.coprodMonad X).Algebra
⊢ (CategoryTheory.algebraToUnder X).obj A =
  CategoryTheory.Under.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.coprod.inl A.a)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
conjeq : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) ((mateEquiv h h) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))) = (conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))
B : C
⊢ h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ F.map (prodComparison L (F.obj A) (F.obj B) ≫ prod.map (h.counit.app A) (𝟙 (L.obj (F.obj B))) ≫ prod.map (𝟙 A) (h.counit.app B)) = inv (prodComparison F A B)
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range n, ↑((n + 2).choose (i + 2)) * bernoulli (i + 2) = ↑n / 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
⊢ G.toPresheaf.obj U = ↑(G.obj U)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : CategoryTheory.Monad C
⊢ (CategoryTheory.Monad.monadToMon C).obj M = M.toMon
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
x : ℂ
⊢ ⇑(ModularForm.const x) = Function.const ℍ x
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ (3 * S.multiplicity - 2 + 1 + 1) * λ ∣ (λ ^ S.multiplicity * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S) ^ 3
this : 2 ≤ S.multiplicity
⊢ False
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
Semiring C
Algebra R C
StarRing C
StarModule R C
φ : Unitization R A →⋆ₐ[R] C
⊢ Unitization.starLift.symm φ = φ.toNonUnitalStarAlgHom.comp (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom R A)
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℕ
⊢ (⇑↑(translate (Multiplicative.ofAdd x)))^[n] = ⇑↑(translate (Multiplicative.ofAdd (↑n * x)))
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
t : ℝ
ht₁ : t ≤ 1
ht₀ : t ∈ Ioi 0
⊢ x + t • y ∈ [x-[ℝ]x + y]
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : NonAssocSemiring α
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : NonAssocSemiring β
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : NonAssocSemiring γ
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : NonAssocSemiring δ
inst✝ : Preorder δ
f : β →+*o γ
g₁ g₂ : α →+*o β
hf : Injective ⇑f
h : f.comp g₁ = f.comp g₂
a : α
⊢ f (g₁ a) = f (g₂ a)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
⊢ f.graph = ∅ ↔ f = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
t : Set X
ht : IsLindelof t
⊢ ∃ i, IsLindelof i ∧ f ⁻¹' iᶜ ⊆ tᶜ
l m r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s → (s.isEmpty = true ↔ m = [])
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
self : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
⊢ A₁ * B₁ = B₁ * A₁
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nontrivial β
f : α → β
hf : Surjective f
x y : β
h : x ≠ y
⊢ Nontrivial α
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c : Chain ((α →𝒄 β) × α)
⊢ { toFun := fun f => f.1 f.2, monotone' := ⋯ } (ωSup c) ≤ ωSup (c.map { toFun := fun f => f.1 f.2, monotone' := ⋯ })
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
q : ℚ
⊢ Measurable fun t => f (a, t) q
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Limits.limit.isLimit F).conePointUniqueUpToIso hc).inv ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π F j = c.π.app j
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (setToL1 hT) (c • f) = c • (setToL1 hT) f
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ q.IsConjExponent p
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
c : 𝕜
f : α → 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ (fun x => c * f x) =Θ[l] g ↔ f =Θ[l] g
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
x y z : α
hxy : x ≠ y
hyz : y ≠ z
hxz : x ≠ z
⊢ {x, y, z}.einfsep = edist x y ⊓ edist x z ⊓ edist y z
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
⊢ List.take n l <+ l
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
s : Set E
x : E
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ∃ g, f =ᶠ[𝓝[s] x] g ∧ AnalyticAt 𝕜 g x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
motive : List α → Sort u_2
x : α
xs : List α
nil : motive []
append_singleton : (l : List α) → (a : α) → motive l → motive (l ++ [a])
⊢ ∀ (ys : List α) (h : xs.reverse.reverse = ys), reverseRecOn (xs ++ [x]) nil append_singleton = cast ⋯ (append_singleton ys x (reverseRecOn ys nil append_singleton))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
φ₁ : B →ₐc[R] C
φ₂ : A →ₐc[R] B
⊢ ∀ (a : A), (φ₁.comp φ₂) a = φ₁ (φ₂ a)
n : ℤ
⊢ Even n → 2 * (n / 2) = n
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
h : IsClosed t
⊢ 𝓝ˢ (s ∩ t ∪ s ∩ tᶜ) = 𝓝ˢ (s ∩ t) ⊔ 𝓝ˢ (s ∩ tᶜ)
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ l ∈ tl, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1) → C (List.map List.prod tl).sum
HL : ∀ l ∈ hd :: tl, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1
⊢ C (List.map List.prod (hd :: tl)).sum
α : Type u_1
CompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ sSup s ∈ closure s
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
a : α
b : β
⊢ toLex (Sum.inl a) < toLex (Sum.inr b)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
hY : AEMeasurable Y μ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ (∀ᵐ (a : β) ∂MeasureTheory.Measure.map X μ,
      MeasureTheory.Integrable (fun ω => f (a, ω)) ((ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) a)) ∧
    MeasureTheory.Integrable (fun a => ∫ (ω : Ω), ‖f (a, ω)‖ ∂(ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) a)
      (MeasureTheory.Measure.map X μ) ↔
  MeasureTheory.Integrable f (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
α✝ β✝ α : Type u
β : Type v
c : Cardinal.{max u v}
f : α → β
hf : ∀ (b : β), lift.{v, u} #↑(f ⁻¹' {b}) ≤ c
b : β
this : ⇑Equiv.ulift.symm = ULift.up
⊢ { x // f x = b } ≃ { x // f x = b }
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 E)) 𝕜 E
z : ℍ
n : ℤ
hz : z ∈ ModularGroup.fdo
hg : ModularGroup.T ^ n • z ∈ ModularGroup.fdo
⊢ n = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
⊢ Disjoint {a} s ↔ a ∉ s
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
x : E
⊢ Metric.ball x δ + s = x +ᵥ Metric.thickening δ s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ ¬(n + 1 = 0 ∨ p.coeff (n + 1) = 0) ↔ p.coeff (n + 1) ≠ 0
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix n n R₂
⊢ M.toBilin'Aux = Matrix.toBilin' M
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x₀ : X
K : Set Y
hK : IsCompact K
P : X → Y → Prop
hP : ∀ y ∈ K, ∀ᶠ (z : X × Y) in 𝓝 (x₀, y), P z.1 z.2
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ y ∈ K, P x y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
x : X
⊢ Filter.Tendsto (fun n => Urysohns.CU.approx n c x) Filter.atTop (𝓝 (c.lim x))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ s.indicator (Function.const α x) ⁻¹' {x} = s
n : ℕ
⊢ (Nat.nth Nat.Prime n).primeCounting' = n
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.comp a ⊓ Booleanisation.comp b = Booleanisation.comp (a ⊔ b)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
h₁ : normSq 4 = 16
h₂ : ‖x + x‖ = 2 * ‖x‖
⊢ ‖x‖ ^ 2 = re (4⁻¹ * (𝓚 ‖x + x‖ * 𝓚 ‖x + x‖ - 𝓚 ‖x - x‖ * 𝓚 ‖x - x‖ + I * 𝓚 ‖I • x + x‖ * 𝓚 ‖I • x + x‖ - I * 𝓚 ‖I • x - x‖ * 𝓚 ‖I • x - x‖))
α : Type u_5
self : ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
⊢ BddAbove s → a ∈ s → a ≤ sSup s
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun x => a
A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 a)
i : ι
hi : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
⊢ Integrable (φ i) (μ.restrict t)
α : Type u_1
l : Multiset α
a : α
⊢ l.Disjoint {a} ↔ a ∉ l
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
z : R
f : (i : ι) → s i
⊢ tprodCoeff R z f = z • (tprod R) f
z : ℍ
A B : ℝ
h : 0 < B
hz : z ∈ verticalStrip A B
⊢ z.re ^ 2 / z.im ^ 2 ≤ UpperHalfPlane.re ⟨{ re := A, im := B }, h⟩ ^ 2 / UpperHalfPlane.im ⟨{ re := A, im := B }, h⟩ ^ 2
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
R : Type u_1
CommSemiring R
Algebra R K[X]
x : R
⊢ (algebraMap R (RatFunc K)) x = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) ((algebraMap R K[X]) x) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) 1
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : Aᵐᵒᵖ ≃ₐ[R] Bᵐᵒᵖ
⊢ ∀ (a : A), (AlgEquiv.op.symm f) a = MulOpposite.unop (f (MulOpposite.op a))
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
u : ℕ → (n : ℕ) → E n
hu : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < (fun n => (1 / 2) ^ n) N
i n : ℕ
hn : n ∈ Ici i
⊢ u i i = u n i
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : Set ι
hs : s.Finite
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (t i hi).Finite
this : Finite ↑s
⊢ (⋃ i, ⋃ (h : i ∈ s), t i h).Finite
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
hJl_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).lower ∈ Box.Icc I
hJu_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).upper ∈ Box.Icc I
hJlz : Tendsto (fun m => (J m).lower) atTop (𝓝 z)
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
self : CategoryTheory.HasInjectiveResolution Z
⊢ Nonempty (CategoryTheory.InjectiveResolution Z)
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJX : M.Basis J X
hXY : X ⊆ Y
hJY : M.Basis J Y
⊢ (M ↾ Y).Base I
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
⊢ Finset.univ = Finset.map Equiv.Perm.decomposeOption.symm.toEmbedding Finset.univ
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → Set X
⊢ closure (⋃ i ∈ s, f i) = ⋃ i ∈ s, closure (f i)
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
⊢ ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {Y | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) Y ∧ I' ⊆ Y ∧ Y ⊆ X} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (X \ B' ∩ M.E) b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b (X \ B' ∩ M.E)
n k : ℕ
hn : 0 < n
hk : 0 < k
⊢ ⟨n, hn⟩ ≤ ⟨k, hk⟩ ↔ n ≤ k
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
B : Type u_3
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
IsIntegrallyClosedIn A B
Algebra.IsIntegral R A
⊢ IsIntegralClosure A R B
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s t : Set E
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s ∩ t) x ↔ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
⊢ interior s ⊆ t ↔ ∀ (U : Set X), IsOpen U → U ⊆ s → U ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
K : TopologicalSpace.CompactOpens α
L : TopologicalSpace.CompactOpens β
⊢ ↑(K.prod L) = ↑K ×ˢ ↑L
α : Type u
β : Type v
MulOneClass α
AddZeroClass β
⊢ ∀ (a : α →* Multiplicative β) (a_1 : Additive α),
  (MonoidHom.toAdditive' a) a_1 = Multiplicative.toAdd (a (Additive.toMul a_1))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t
s : Set β
⊢ s ∈ (iInf f).lift g → s ∈ ⨅ i, (f i).lift g
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : DecidableEq L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : IsFractionRing R K
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
⊢ Fintype.card (ClassGroup R) = 1 → IsPrincipalIdealRing R
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
i : ℕ
this : (ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1) = i
⊢ f (i + 1) ((ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1)) ≫ Q.d ((ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1)) (i + 1) = f (i + 1) i ≫ Q.d i (i + 1)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
AddGroup G
AddGroup H
AddAction G α
MeasurableSpace α
AddAction H β
MeasurableSpace β
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
f : α ≃ β
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (⇑f.symm) ν μ
e : H ≃ G
hef : ∀ (g : H), Function.Semiconj (⇑f) (fun x => e g +ᵥ x) fun x => g +ᵥ x
⊢ MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain H (⇑f '' s) ν
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
⊢ WithBot.map (⇑toDual) s.max = (image (⇑toDual) s).min
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
x✝ y✝ x y : E
⊢ x ∈ segment 𝕜 x y ∧ y ∈ segment 𝕜 x y
R : Type u_2
S : Type u_1
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
⊢ minpolyDiv R x * (Polynomial.X - Polynomial.C x) = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : FinMeasAdditive μ T
⊢ FinMeasAdditive (c • μ) T
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω < i}ᶜ
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
hν_ac : ν ≪ ν.withDensity f
this : SigmaFinite (ν.withDensity f)
⊢ μ.singularPart ν ⟂ₘ ν.withDensity f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f g : G → E
n : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ n f
hg : ContDiff ℝ n g
⊢ ContDiff ℝ n fun x => ⟪f x, g x⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq β
l : List α
f : α → List β
x : β
⊢ List.count x (l.bind f) = Nat.sum (List.map (List.count x ∘ f) l)
X : Type u
TopologicalSpace X
LindelofSpace X
DiscreteTopology X
⊢ Countable X