ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
m n : ℕ
hn : 0 < n
h : m.gcd n = 1
⊢ addOrderOf ↑(↑m / ↑n * p) = m.gcd n * addOrderOf ↑(↑m / ↑n * p)
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
hk : 1 - X • M.map ⇑C ∣ 1
⊢ M.charpolyRev ∣ det 1
α : Type u
β : Type v
LinearOrder β
U : Filter (α × α)
z : β
D : α → α → β
H : ∀ (s : Set (α × α)), s ∈ U ↔ ∃ ε > z, ∀ {a b : α}, D a b < ε → (a, b) ∈ s
⊢ U = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > z), 𝓟 {p | D p.1 p.2 < ε}
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D
⊢ map φ hφ S ≤ T ↔ S ≤ comap φ T
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f : R →ₙ+* S
⊢ NonUnitalSubring.comap f ⊤ = ⊤
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
α : Type u_1
Monoid α
LE α
⊢ MulLECancellable 1
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field L
ζ : L
Field K
Algebra K L
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcyc : IsCyclotomicExtension {p} K L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑p) K)
h : p ≠ 2
⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = ↑↑p
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p n d : ℕ
h : n.minSqFac = some d
m : ℕ
m2 : 2 ≤ m
md : m * m ∣ n
this : n.MinSqFacProp (some d)
⊢ d ≤ m
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
x y : X
h : ¬(Disjoint on id) (orbit G x) (orbit G y)
⊢ orbit G x = orbit G y
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝ : DecidableEq η
v : (j : η) → ιs j → Ms j
hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)
hs' : ∀ (j : η), LinearIndependent R fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)
j : η
J : Set η
a✝ : J.Finite
hiJ : j ∉ J
h₀ : ∀ (j : η), span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ LinearMap.range (stdBasis R Ms j)
h₁ : span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ ⨆ i ∈ {j}, LinearMap.range (stdBasis R Ms i)
⊢ Disjoint (span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i))) (⨆ i ∈ J, span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1)))
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ x : Z
ex : x ∈ e.source
⊢ ↑e.symm (proj x, (↑e x).2) = x
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
this : 0 < ↑n + 1
⊢ dist ((f ^ (n + 1)) 0 / (↑n + 1)) (τ f) ≤ 1 / ↑(n + 1)
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
⊢ MvPolynomial.constantCoeff.comp (MvPolynomial.map f) = f.comp MvPolynomial.constantCoeff
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ p.removeZero (n + 1) = p (n + 1)
n : Nat
m : Nat
h : m < (List.range n).length
⊢ (List.range n)[m] = m
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f₁ f₂ : v.FunSpace
n : ℕ
⊢ dist (PicardLindelof.FunSpace.next^[n] f₁) (PicardLindelof.FunSpace.next^[n] f₂) ≤
  (↑v.L * v.tDist) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂
α : Type u_1
P : RegularExpression α
⊢ RegularExpression.map id P = P
z : ℂ
h₁ : z ≠ I
h₂ : z ≠ -I
z₁ : 1 + z * I ≠ 0
z₂ : 1 - z * I ≠ 0
key : cexp (2 * (z.arctan * I)) = (1 + z * I) / (1 - z * I)
⊢ (1 - cexp (2 * (z.arctan * I))) / (cexp (2 * (z.arctan * I)) + 1) * I = z
A : Type u_2
Ring A
UniformSpace A
UniformAddGroup A
TopologicalRing A
R : Type u_3
CommSemiring R
Algebra R A
UniformContinuousConstSMul R A
r : R
⊢ (UniformSpace.Completion.map fun x => r • x) = fun x => ↑A ((algebraMap R A) r) * x
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
se : SplitEpi f
Z✝ : C
g h : Y ⟶ Z✝
w : se.section_ ≫ f ≫ g = se.section_ ≫ f ≫ h
⊢ g = h
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
CompactSpace X
TotallyDisconnectedSpace X
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {s | IsClopen s}
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G
⊢ Nat.find ⋯ = Nat.find ⋯
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1✝ s2 : WSeq α
t1✝ t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1✝ t1✝
h2 : LiftRel R s2 t2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s t
s1 : WSeq α
t1 : WSeq β
h : LiftRel R s1 t1
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) (s1.append s2).destruct (t1.append t2).destruct
R : Type u
X : Type v
CommRing R
a : lib R X
b c : lib R X
h : FreeLieAlgebra.Rel R X b c
⊢ FreeLieAlgebra.Rel R X (a + b) (a + c)
s : ℝ
⊢ Filter.Tendsto s.GammaSeq Filter.atTop (𝓝 (Real.Gamma s))
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
⊢ ∑ x : σ → K, ∏ i : σ, x i ^ d i = 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
u_count : u.Countable
x : α
x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a
⊢ ∃ u_1 ∈ 𝓝[s \ ⋃ a ∈ u, B a] x, μ u_1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : TopologicalSpace β] [inst_1 : Subsingleton α] {μ : MeasureTheory.Measure α}
  (f : α → β), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
n k : ℕ
⊢ n.descFactorial k ≤ n ^ k
α : Type u_7
β : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : α × β →₀ M
x : α
y : β
⊢ (((Finsupp.finsuppProdLEquiv R) f) x) y = f (x, y)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
h : ε₁ + ε₂ ≤ edist x y
⊢ Disjoint (EMetric.ball x ε₁) (EMetric.ball y ε₂)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
b : β
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f + fun x => b)
σ : Type u
K : Type v
inst✝ : Field K
I : Ideal (MvPolynomial σ K)
hI : I ≠ ⊤
x : K
hx : ((Ideal.Quotient.mk I).comp C) x = 0
⊢ x = 0
R : Type u_5
Ring R
x y : R
c : ↥R⁰
⊢ x * ↑c = y * ↑c ↔ x = y
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
f : AdicCompletion.AdicCauchySequence I M
⊢ Submodule.Quotient.mk (↑f n) = Submodule.Quotient.mk (↑f m)
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
h : 0 < a
b : α
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ b < c * a
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x✝ y✝ : S ⊗[R] S
x₁ x₂ x y : S
⊢ (x₁ * x) • (x₂ • D y + y • D x₂) = (x₁ * x₂) • x • D y + (x * y) • x₁ • D x₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ (f.comp g).Dom ↔ x✝ ∈ g.preimage f.Dom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p x : α
hx : ¬IsUnit x
⊢ ¬IsUnit (p * x)
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial S
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.natDegree = p.natDegree ∧ q.Monic
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
s : Set G
⊢ s ⊆ s * closure {1}
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
g : B →+* C
hf : f.FiniteType
hg : Surjective ⇑g
x✝¹ : Algebra A B := f.toAlgebra
x✝ : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra
⊢ (g.comp f).FiniteType
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Mul M
Mul N
Mul P
g : N →ₙ* P
f₁ f₂ : M →ₙ* N
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
x : α
⊢ x ∈ s → f x ∈ t ↔ x ∈ sᶜ ∪ f ⁻¹' t
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsLocalMaxOn f s a
g : β → γ
hg : Monotone g
⊢ IsLocalMaxOn (g ∘ f) s a
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
S' : Type u_7
CommRing S'
Algebra R S'
pb : PowerBasis R S
e : S ≃ₐ[R] S'
⊢ (pb.map e).dim = pb.dim
m n : Nat
⊢ Int.negSucc m >>> n = Int.negSucc (m >>> n)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (f_1 : ℕ → Set ℝ), Pairwise (Disjoint on f_1) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f_1 i)) → (∀ (i : ℕ), (fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) (f_1 i)) → (fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) (⋃ i, f_1 i)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
ι : Type u_2
Fintype ι
E : ι → Type u_3
f : (i : ι) → E i → 𝕜
(i : ι) → MeasureTheory.MeasureSpace (E i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite MeasureTheory.volume
⊢ ∫ (x : (i : ι) → E i), ∏ i : ι, f i (x i) = ∏ i : ι, ∫ (x : E i), f i x
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y z : α
h : [x, y, z].Nodup
⊢ (swap x y * swap y z).support = {x, y, z}
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
⊢ I.ringCon x y ↔ I.ringCon (x - y) 0
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑R
inst✝ : Algebra ↑R ↑S
y : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk p)
r : ↑R
hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r
s' : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen r)))
e : (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y
⊢ ∃ x, x.2 • y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) x.1
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset α
h : ∀ x ∈ s, p x
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype p) (Finset.subtype p s) = s
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
TopologicalSpace α
hs : IsCompact s
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ TendstoUniformlyOn F f p s
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n k : ℕ
hnk : n ≤ k
⊢ ‖newton_seq k - newton_seq n‖ ≤ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
x : M
hx : x ∈ f.source
⊢ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I =ᶠ[𝓝 (↑(f.extend I) x)] (f.extend I).target ∩ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' s
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
S : L.ElementarySubstructure M
⊢ ↥S ≅[L] M
x y : SetTheory.PGame
⊢ (x + y).LeftMoves = (x.LeftMoves ⊕ y.LeftMoves)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
inst✝² : SetLike S M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass S M
inst✝ : SMulMemClass S R M
s : S
⊢ ↑(span R ↑s) ≤ ↑s
α : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
p : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in Filter.cocardinal α hreg, p x) ↔ c ≤ #↑{x | p x}
⊢ Set.range Real.toEReal = {⊥, ⊤}ᶜ
V : Type u_1
G₁ G₂ : SimpleGraph V
h : G₁ ≤ G₂
⊢ ⇑(SimpleGraph.Hom.ofLE h) = id
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
hn' : 0 < ↑n
⊢ f (↑n + x) ≤ f ↑n + x * log ↑n
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : Irreducible f
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
hf : HasSeparableContraction q f
⊢ f.natSepDegree ∣ f.natDegree
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
P : k[X]
hP : P ≠ 0
⊢ ∀ (c : ℕ), ↑c ≤ ↑(Multiset.count X (normalizedFactors ↑P)) ↔ ↑c ≤ ↑(Multiset.count Polynomial.X (normalizedFactors P))
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hsurj : LinearMap.range f = ⊤
⊢ 0 < (f.nonlinearRightInverseOfSurjective hsurj).nnnorm
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
K : ConvexCone ℝ H
hc : IsClosed ↑K
x : H
hx : x ∈ ↑K
f : ℝ → H := fun x_1 => x_1 • x
fI : f '' Ioi 0 ⊆ ↑K
clf : closure (f '' Ioi 0) ⊆ ↑K
fc : ContinuousWithinAt f (Ioi 0) 0
mem₀ : f 0 ∈ closure (f '' Ioi 0)
f₀ : f 0 = 0
⊢ K.Pointed
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
⊢ ¬Injective f ↔ ∃ a b, f a = f b ∧ a ≠ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C n
X : C
f : X ⟶ F.left
i j : ℕ
hi : i + 1 < n + 1 + 1
hj : j + 1 < n + 1 + 1
hij : i + 1 ≤ j + 1
⊢ CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.map F f ⟨i + 1, hi⟩ ⟨j + 1, hj⟩ hij = F.map' i j ⋯ ⋯
⊢ CategoryTheory.IsSkeletonOf FintypeCat FintypeCat.Skeleton FintypeCat.Skeleton.incl
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M N : Matrix m n R
i : m
⊢ (M + N).toMvPolynomial i = (M.toMvPolynomial + N.toMvPolynomial) i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hCg : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
x : α
⊢ {x | max C 1 ≤ ‖Exists.choose ⋯ x‖₊}.indicator (fun a => ‖Exists.choose ⋯ a‖) x ≤ {x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (fun a => ‖g i a‖) x
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Polynomial R
x : S
h : IsNilpotent ((Polynomial.aeval x) P)
h' : IsUnit ((Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative P))
⊢ ∃! r, IsNilpotent (x - r) ∧ (Polynomial.aeval r) P = 0
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ hU.fromSpec ⁻¹ᵁ X.basicOpen f = PrimeSpectrum.basicOpen f
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hAB : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
hA : A.Nonempty
n : ℕ
ih : ↑(A * B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card
⊢ ↑(A * B).card * ↑(A * B ^ n).card ≤ ↑(A * B).card * ((↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 2
h✝ : Subsingleton R
⊢ ¬Irreducible p ↔ ∃ c₁ c₂, p.coeff 0 = c₁ * c₂ ∧ p.coeff 1 = c₁ + c₂
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
hP : AlgebraicGeometry.IsLocalAtTarget P
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
UX UY : AlgebraicGeometry.Scheme
iY : UY ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion iY
iX : UX ⟶ X
f' : UX ⟶ UY
h : CategoryTheory.IsPullback iX f' f iY
H : P f
⊢ P f'
ι : Type u_1
F : Filter ι
f : ι → ℝ
h : Bornology.IsBounded (range f)
⊢ IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (map f F)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lip : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
this : Integrable F' (μ.restrict (Ι a b)) ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : ℝ) in Ι a b, F x a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Ι a b, F' a ∂μ) x₀
⊢ IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧ HasFDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ) ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' t ∂μ) x₀
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s₁ s₂ : Finmap β
a₁ a₂ : AList β
⊢ insert a b (⟦a₁⟧ ∪ ⟦a₂⟧) = insert a b ⟦a₁⟧ ∪ ⟦a₂⟧
x : ℝ
⊢ Real.log (Real.exp x) = x
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v
⊢ √((2 * π * ↑v)⁻¹ * (π / ((↑v)⁻¹ * 2⁻¹))) = 1
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
n : ℕ
⊢ (a + b) ^ (n + 1) * (a + b) ≤ 2 ^ (n + 2 - 1) * (a ^ (n + 2) + b ^ (n + 2))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.map f g ≫ CategoryTheory.Limits.prod.snd = CategoryTheory.Limits.prod.snd ≫ g
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
r : ↥⊥
m : ↥M
x : R
h : (algebraMap R S) x = ↑r
⊢ ↑(TensorProduct.comm R ↥⊥ ↥M ≪≫ₗ M.rTensorOne) (r ⊗ₜ[R] m) = ↑M.lTensorOne (r ⊗ₜ[R] m)
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x y : WittVector p R
⊢ WittVector.verschiebung (x * WittVector.frobenius y) = WittVector.verschiebung x * y
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
One β
f : α → β
E : Set α
x : α
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ) in 𝓝[>] 0, (Metric.thickening δ E).mulIndicator f x = (closure E).mulIndicator f x
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Ioo A B)) l fun i => Set.Ioc (a i) (b i)
a b k m n p : ℕ
hmn : m ∣ n
hn : n ≠ 0
⊢ ∀ ⦃x : ℕ⦄, Prime x → x ∣ m → m ≠ 0 → Prime x ∧ x ∣ n ∧ n ≠ 0
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf : Inducing ⇑f
hg : Inducing ⇑g
⊢ (W ⨯ Y).topologicalSpace_coe = induced (⇑(prod.map f g)) (X ⨯ Z).topologicalSpace_coe
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List (List α)
i : ℕ
h : i < L.length
⊢ drop (take i (map length L)).sum (take (take (i + 1) (map length L)).sum L.join) = L[i]
R : Type u_1
One R
Neg R
Infinite R
⊢ Cardinal.mk ℍ[R] = Cardinal.mk R
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1
hyz : z < y
⊢ log x * y < log x * z
α : Type u_1
γ : Type u_3
u : γ → α
l : Filter γ
Preorder α
l.NeBot
h : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l u
⊢ Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l u
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y
⊢ Continuous (toTopMap f)
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ cyclotomic' n K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P (CategoryTheory.Presieve.ofArrows X π)
t : P.obj (Opposite.op B)
⊢ x.IsAmalgamation t ↔ ∀ (i : I), P.map (π i).op t = x (π i) ⋯
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : Disjoint s t
⊢ (s ∪ t) \ t = s
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
⊢ 1 ∈ S
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
n : ℕ
x : ℤ_[p]
a b : ℕ
ha : x - ↑a ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
hb : x - ↑b ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
⊢ ↑a = ↑b
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Group G
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
BorelSpace G
TopologicalGroup G
H : Type u_4
Group H
TopologicalSpace H
MeasurableSpace H
BorelSpace H
T2Space H
TopologicalGroup H
f : G →* H
hf : Continuous ⇑f
h_surj : Function.Surjective ⇑f
h_prop : Filter.Tendsto (⇑f) (Filter.cocompact G) (Filter.cocompact H)
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ).IsHaarMeasure
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 ≠ 0
n : ℕ∞
hpos : 0 < p.1
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun p => p.1 ^ p.2) p
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
x : V
hx : ∀ (n : V), (B.flip x) n = 0
⊢ x = 0
r : List Char
it : String.Iterator
⊢ String.Iterator.ValidFor [] r it → String.Iterator.ValidFor [] r it.prev
a : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Cardinal.toENat a ≤ OfNat.ofNat n ↔ a ≤ OfNat.ofNat n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s
⊢ ↑s = {a} ∨ s.Nontrivial
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
pn : p.degree ≤ ↑n
p1 : p.coeff n = 1
⊢ p.Monic
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
r : R
IsLocalization.Away r S
⊢ ∀ (x : Unit), (Algebra.Presentation.localizationAway r).relation x = MvPolynomial.C r * MvPolynomial.X () - 1
α : Type u_2
M : Type u_4
CommMonoid M
p : α → Prop
DecidablePred p
f g : α → M
l : List α
⊢ (List.map (fun a => if p a then f a else g a) l).prod =
  (List.map f (List.filter (fun b => decide (p b)) l)).prod * (List.map g (List.filter (fun a => decide ¬p a) l)).prod
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
⊢ Set.range (o.derivBFamily f) = ⋂ i, ⋂ (hi : i < o), fixedPoints (f i hi)