ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
⊢ UniformContinuous fun x => x.1 -ᵥ x.2
G : Type u_1
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
MeasurableMul G
μ.IsMulRightInvariant
f : G → ENNReal
g : G
⊢ ∫⁻ (x : G), f (x * g) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ
⊢ ∀ {α : Type u_1} {le : α → α → Bool} {n' : Nat} {s : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α} {n : Nat},
  s.rankGT n → Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le n' s → Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le (n + 1) s
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α
⊢ sInf {s | ∀ ⦃x y : α⦄, Setoid.r x y → s.Rel x y} ≤ r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X Y Z : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g).hom₃ = f.hom₃ ≫ g.hom₃
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : Grp
A : Action V (MonCat.of ↑G)
g : ↑G
⊢ A.ρ (g⁻¹ * g) = 𝟙 A.V
X : AlgebraicGeometry.RingedSpace
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
h : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
⊢ IsUnit f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
A B : CategoryTheory.StructuredArrow S T
f g : A ⟶ B
⊢ f.right = g.right → f = g
n k : ℕ
h1 : MinFacHelper n k
h2 : k ∣ n
⊢ IsNat n.minFac k
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
m n : α
hm : Even m
hn : Even n
⊢ Even (m - n)
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
H : IsVanKampenColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι
j : J
⊢ IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j ≫ 𝟙 (F.obj j)) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j) ↔ IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset γ
t : γ → Finset α
t' : Finset α
s' : α → Finset γ
h : ∀ (x : γ) (y : α), x ∈ s ∧ y ∈ t x ↔ x ∈ s' y ∧ y ∈ t'
f : γ → α → β
⊢ ∏ x ∈ s, ∏ y ∈ t x, f x y = ∏ y ∈ t', ∏ x ∈ s' y, f x y
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
h : IsCyclotomicExtension {1} A B
⊢ ⊥ = ⊤
A B : Grp
f : A ⟶ B
b : ↑B
⊢ b ∈ ↑(MonoidHom.range f) → b ∈ {x | h x = g x}
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
t : IsLimit (Fork.ofι f w)
y : Y
hy : g y = h y
y' : PUnit.{u + 1} ⟶ Y := fun x => y
⊢ ∃! x, f x = y
n m a b n✝ : ℕ
ha : a < n✝ + 1 + 1
hb : b < n✝ + 1 + 1
h : a < b
⊢ (a + 1) % (n✝ + 1 + 1) ≤ b
b₀ b₁ : Bool
h : b₀ ≤ b₁
⊢ b₀.toNat ≤ b₁.toNat
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
⊢ ((expand R p) f).natDegree = f.natDegree * p
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
LE β
l.NeBot
x y : β
⊢ ↑x ≤ ↑y ↔ x ≤ y
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ -(-a ⊓ a) ≤ - -b ⊔ -b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
n : ℕ∞
f : M → F₂ →L[𝕜] F₃
s : Set M
hf : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₃) n f s
⊢ ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, (F₁ →L[𝕜] F₂) →L[𝕜] F₁ →L[𝕜] F₃) n (fun y => ContinuousLinearMap.postcomp F₁ (f y)) s
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'
this✝³ : IsCompact s
this✝² : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance
this✝¹ : CompactSpace (Subtype s)
this✝ : Nonempty (Subtype s)
ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'
ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'
this : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter α
MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
⊢ MeasureTheory.IntegrableAtFilter f (Filter.map e l) (MeasureTheory.Measure.map e μ) ↔
  MeasureTheory.IntegrableAtFilter (f ∘ e) l μ
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
inst✝ : Subsingleton R
⊢ M.LinearDisjoint N
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
h : p.degree < q.degree
⊢ (p - q).leadingCoeff = -q.leadingCoeff
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : ι → 𝕜
i : ι
y : 𝕜
⊢ HasDerivAt (Function.update x i) (Pi.single i 1) y
α : Type u_4
β : Type u_5
BEq α
LawfulBEq α
BEq β
LawfulBEq β
f : α → β
I : Function.Injective f
a b : α
⊢ (f a == f b) = (a == b)
f : StieltjesFunction
l : ℝ
hf : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 l)
x : ℝ
h_le1 : ∀ (x : ℝ), ↑f (x - 1) ≤ leftLim (↑f) x
h_le2 : ∀ (x : ℝ), leftLim (↑f) x ≤ ↑f x
⊢ Tendsto (fun i => i - 1) atTop atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
H : Infinite (α × β)
⊢ Nonempty β ∧ Infinite α ∨ Nonempty α ∧ Infinite β
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
s : Set α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
a : α
b : β
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → dist (f x) b < ε
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g : G
hne : ↑g ≠ 1
hfin : IsOfFinOrder ↑g
m : ℕ
mpos : 0 < m
hm : ↑g ^ m = 1
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : (fun x => x ^ m) g ^ n = 1
⊢ ↑g = 1
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
U : Type u_2
CommRing U
Algebra R U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
e : T ≃ₐ[R] U
⊢ h.aequiv (h'.ofEquiv e) = (h.aequiv h').trans e
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set 𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
q : R[X]
x : 𝕜
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => (Polynomial.aeval x) q)
  (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative q))) s x
R : Type u_1
CommRing R
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
e : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
a : CliffordAlgebra Q₁
⊢ (CliffordAlgebra.equivOfIsometry e) a = (CliffordAlgebra.map e.toIsometry) a
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hu : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}, y - u ∈ U
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set M₂
hV : V ∈ 𝓝 0
hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U
SV : Set M₁ × Set M₂ := (closedBall 0 1, -V)
v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}
huv : v - u ∈ {f | ∀ x ∈ SV.1, f x ∈ SV.2}
T : Set M₂
hT : T.Finite
hTv : closure (⇑↑v '' closedBall 0 1) ⊆ ⋃ y ∈ T, y +ᵥ V
x : M₁
hx : x ∈ closedBall 0 1
t : M₂
ht : t ∈ T
htx : v x - t ∈ V
⊢ u x - t = v x - t + -(v x - u x)
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_4
M : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Subsingleton R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M
this : Subsingleton M := Module.subsingleton R M
⊢ (fun x => 0) ({ toFun := fun x => 0, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun m) = m
V✝ : Type u
G : SimpleGraph V✝
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V : Type u_3
inst✝ : Infinite V
hc : ¬⊤.chromaticNumber = ⊤
⊢ False
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
f : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
s : Set P₁
⊢ ⇑f.symm ⁻¹' s = ⇑f '' s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : ↑s ⊆ ↑A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s
hfs : Set.InjOn f ↑s
⊢ mulRothNumber A ≤ mulRothNumber B
α : Type u
β : Type v
bs : List β
⊢ [].zipRight' bs = (List.map (fun b => (none, b)) bs, [])
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
⊢ Function.Injective2 Fin.cons
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ 0
hr_ne_top : r ≠ ⊤
⊢ ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
L : FirstOrder.Language
α : Type w
T : L.Theory
s : Set α
M : Type w'
L.Structure M
M ⊨ T
Infinite M
⊢ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory s).IsSatisfiable
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
B : C
m m' : CategoryTheory.Subobject B
⊢ m ⊓ m' = (CategoryTheory.Subobject.inf.obj m).obj m'
α : Type u_1
β : Type u_2
Group α
MulAction α β
g : α
⊢ Function.Bijective fun x => g • x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ (aleph 1).IsRegular
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
a : Set (α × α)
ha : a ∈ 𝓤 α
n : ℕ
hn : ∀ k ≥ n, ∀ l ≥ n, (s k, s l) ∈ a
m : ℕ
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ {k | k ≤ n}), s m ∈ {x | (x, s i) ∈ a}
α : Type u_1
DecidableEq α
AddCommMonoid α
s t : Finset α
⊢ s.addEnergy t = t.addEnergy s
M : Type u_1
MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → M
Sup M
MeasurableSup M
hf : AEMeasurable f μ
c : M
⊢ AEMeasurable (fun x => f x ⊔ c) μ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂
⊢ (y₁ * (x₂ * ((x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂)) - ((y₁ - y₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) + W.a₁ * (y₁ - y₂) * (x₁ - x₂) ^ 2 - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * W.a₂ - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * x₁ - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * x₂)) + y₂ * ((y₁ - y₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) + W.a₁ * (y₁ - y₂) * (x₁ - x₂) ^ 2 - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * W.a₂ - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * x₁ - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * x₂ - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * x₁)) * ((x₁ - x₂) * ((x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂))) + ((y₁ - y₂) * ((y₁ - y₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) + W.a₁ * (y₁ - y₂) * (x₁ - x₂) ^ 2 - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * W.a₂ - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * x₁ - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * x₂ - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * x₁) + y₁ * ((x₁ - x₂) * ((x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂)))) * (x₁ - x₂) * ((x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂)) = 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
ha : 0 < a
⊢ (Set.Ioo 0 a)⁻¹ = Set.Ioi a⁻¹
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y z : X
γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
⊢ (γ.trans γ') t = if h : ↑t ≤ 1 / 2 then γ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩ else γ' ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → α
g : α → γ → α
hfg : (Set.range fun a c => f c a) ⊆ Set.range fun b c => g c b
a : α
⊢ Set.range (List.foldl f a) ⊆ Set.range (List.foldl g a)
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
⊢ (∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => (μs i).toWeakDualBCNN f) F (𝓝 (μ.toWeakDualBCNN f))) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s
to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s
d_split : ∀ (s t : Set α), MeasurableSet t → d s = d (s \ t) + d (s ∩ t)
d_Union : ∀ (s : ℕ → Set α), Monotone s → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋃ n, s n)))
d_Inter : ∀ (s : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)) → (∀ (n m : ℕ), n ≤ m → s m ⊆ s n) → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋂ n, s n)))
bdd_c : BddAbove c
c_nonempty : c.Nonempty
d_le_γ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → d s ≤ γ
this : ∀ (n : ℕ), ∃ s, MeasurableSet s ∧ γ - (1 / 2) ^ n < d s
e : ℕ → Set α
he : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (e x) ∧ γ - (1 / 2) ^ x < d (e x)
he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)
he₂ : ∀ (n : ℕ), γ - (1 / 2) ^ n < d (e n)
f : ℕ → ℕ → Set α := fun n m => (Finset.Ico n (m + 1)).inf e
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
m n : ℕ
α : Type u_1
a : α
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
⊢ Fin.append (Fin.cons a as) bs = Fin.cons a (Fin.append as bs) ∘ Fin.cast ⋯
α : Type u
SubtractionMonoid α
a b c : α
h : IsAddUnit a
⊢ -a + b = c ↔ b = a + c
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
h₁ : ¬a ∈ l₁
h₂ : ¬a ∈ l₂
⊢ l₁.erase a ~ l₂.erase a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : γ), κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (Set.univ ×ˢ s)).toReal
G : Type u_3
DivInvMonoid G
a : G
⊢ 1 / a = a⁻¹
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (volume.restrict (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ z ∈ Metric.ball s v, ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0) volume
h6 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ y ∈ Metric.ball s v, HasDerivAt (fun z => F z t) (F' y t) y
main : Integrable (F' s) (volume.restrict (Ioi 0)) ∧ HasDerivAt (fun n => ∫ (a : ℝ) in Ioi 0, F n a) (∫ (a : ℝ) in Ioi 0, F' s a) s
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
a : ↥S.leftNeg
b : M
⊢ ↑(S.fromLeftNeg a) = b ↔ ↑a + b = 0
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
x : ι → α
f : Filter α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
hxy : ¬Tendsto x l f
s : Set α
hs : s ∈ f
hfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n ∉ s
y : ℕ → ι
hy_tendsto : Tendsto y atTop l
hy_freq : ∀ (n : ℕ), x (y n) ∉ s
⊢ ∃ ns, Tendsto ns atTop l ∧ ∀ (ms : ℕ → ℕ), ¬Tendsto (fun n => x (ns (ms n))) atTop f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : HeytingAlgebra α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
h : a = aᶜ
⊢ False
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
i : ℕ
⊢ f ^ i ∈ 𝒜 (m * i)
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →+* β), f.comp (RingHom.id α) = f
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s
p' : ℕ → X := fun k => if h : k < n + 1 then p ⟨k, h⟩ else p ⟨0, ⋯⟩
⊢ ∃ γ, range ⇑γ ⊆ s ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ
X : Type u
MetricSpace X
CompactSpace X
Nonempty X
Y : Type v
MetricSpace Y
CompactSpace Y
Nonempty Y
γ : Type w
MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
⊢ GromovHausdorff.ghDist X Y ≤ Metric.hausdorffDist (Set.range Φ) (Set.range Ψ)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ ((Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).hom).f.f n = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv.f.f n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ ContinuousOn (tangentMapWithin I I' f s) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
k : ℕ
x : R
⊢ stdBasisMatrix i j 1 ⊗ₜ[R] (monomial k) x = ↑includeLeft (stdBasisMatrix i j x) * 1 ⊗ₜ[R] X ^ k
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x ≠ y
⊢ (x - y)⁻¹ ≠ 0
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯
⊢ z.proj ∈ e.baseSet
k : Type u_2
Field k
φ ψ : PowerSeries k
h : (PowerSeries.constantCoeff k) ψ ≠ 0
⊢ ψ⁻¹ = φ ↔ φ * ψ = 1
α : Type u
β : α → Type v
s : Sigma β
l : List (Sigma β)
h : (s :: l).NodupKeys
⊢ s.fst ∉ l.keys
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
⊢ dist (a.c i) (a.c (last N)) ≤ a.r i + a.r (last N)
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p : β → Prop
u : β → α
⊢ (Filter.bliminf u f p ⊓ Filter.bliminf u f fun x => ¬p x) = Filter.liminf u f
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Ici 0) fun x => √x
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v x y : V
p : G.Walk u v
h : s(x, y) ∈ p.edges
⊢ G.Adj x y
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ s.toList = [] ↔ s = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
x₀ : E
n : ℕ
h : f =O[𝓝[s] x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : 1 < n
⊢ HasFDerivWithinAt f 0 s x₀
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝ : Preorder α
s : NonemptyInterval α
a : α
⊢ ↑s = Interval.pure a ↔ s = pure a
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
f : M → M'
x : M
⊢ ContinuousAt f x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) ↔ ContinuousAt f x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (CategoryTheory.Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : CategoryTheory.Limits.Multifork (S.index R)
i : S.Arrow
⊢ CategoryTheory.RanIsSheafOfIsCocontinuous.lift hF hR s ≫ R.map i.f.op = s.ι i
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ arctan x = arccos (√(1 + x ^ 2))⁻¹
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Z : Type u_6
Semiring Y
Semiring Z
e : Y ≃+* Z
g : LocallyConstant X Z
⊢ ∀ (a : X), ((LocallyConstant.congrRightRingEquiv e).symm g) a = (↑e).symm (g a)
α : Type u
β : α → Type v
a : α
s : AList β
⊢ a ∈ s ↔ a ∈ s.keys
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
One F
NormOneClass F
c : E
l : Filter α
⊢ Asymptotics.IsBigOWith ‖c‖ l (fun _x => c) fun _x => 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
⊢ IsOpen (↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target)
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ (∀ b ∈ s, f b ∣ a) → s.lcm f ∣ a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
D : Type u_3
inst✝ : Category.{u_4, u_3} D
F : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
⊢ ∀ (X : C), (functor r ⋙ lift r F H).obj X = F.obj X
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s
hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ
g' : α → β := invFun g
g'g : LeftInverse g' g
hg'ns : g' '' sᶜ = (f '' s)ᶜ
h : α → β := s.piecewise f g'
this : Surjective h
⊢ ∃ h, Bijective h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ ↑((toEven Q) ((ι Q) m)) = e0 Q * (v Q) m
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
i₁_lt_i : i₁ < ↑i
i₁_succ : i₁ + 1 = ↑i
this : ¬(↑j < c.sizeUpTo (i₁ + 1) ∧ i₁ < c.length)
⊢ False