ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ ↑↑↑(-f) =ᶠ[ae μ] fun x => -↑↑↑f x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R✝ S✝ : Set G
inst✝ : DecidableEq G
R S : Finset G
hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure ↑S = ⊤
⊢ closure ↑(Finset.image (fun g => ⟨g * (↑(toFun hR g))⁻¹, ⋯⟩) (R * S)) = ⊤
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
a : α
⊢ a ∈ memPartitionSet f n a
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
A : Type u_3
CommRing A
Algebra R A
Algebra A S
IsScalarTower R A S
IsIntegralClosure A R S
I J : Ideal A
I.IsPrime
I_lt_J : I < J
⊢ Ideal.comap (algebraMap R A) I < Ideal.comap (algebraMap R A) J
G : Type u_1
Group G
t t' : TopologicalSpace G
tg : TopologicalGroup G
tg' : TopologicalGroup G
h : 𝓝 1 = 𝓝 1
⊢ t = t'
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
⊢ AddCommGrp.image.lift F' ≫ F'.m = AddCommGrp.image.ι f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : S
n : ℕ
x : R
⊢ eval₂ C X ((monomial n) x) = (monomial n) x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
β : Type u_5
MeasurableSpace β
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μb)
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ μb
⊢ ↑↑((MeasureTheory.Lp.compMeasurePreserving f hf) g) =ᵐ[μ] ↑↑g ∘ f
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
Zero α
⊢ Matrix.submatrix 0 = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝² : Add α
inst✝¹ : MulOneClass α
inst✝ : LeftDistribClass α
a b : α
⊢ a * (1 + b) = a + a * b
a b : Ordinal.{u_3}
⊢ a ≤ a + b
m n✝ a n : ℕ
⊢ (succ ∘ succ^[n]) a = (a + n).succ
p : ℕ+
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
h : p ≠ 2
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p
R : Type u_1
a : R
Monoid R
n : ℕ
n0 : 0 < n
⊢ IsRegular (a ^ n) ↔ IsRegular a
ι : Sort u_4
f : ι → Cardinal.{u_5}
hf : BddAbove (Set.range f)
⊢ (iSup f).ord = ⨆ i, (f i).ord
X : Compactum
A : Set X.A
F : Ultrafilter X.A
hF : F ∈ Compactum.basic (Compactum.cl A)
fsu : Type u_1 := Finset (Set (Ultrafilter X.A))
ssu : Type u_1 := Set (Set (Ultrafilter X.A))
ι : fsu → ssu := fun x => ↑x
C0 : ssu := {Z | ∃ B ∈ F, X.str ⁻¹' B = Z}
AA : Set (Ultrafilter X.A) := {G | A ∈ G}
C1 : ssu := insert AA C0
C2 : Set (Set (Ultrafilter X.A)) := finiteInterClosure C1
claim1 : ∀ B ∈ C0, ∀ C ∈ C0, B ∩ C ∈ C0
claim2 : ∀ B ∈ C0, B.Nonempty
claim3 : ∀ B ∈ C0, (AA ∩ B).Nonempty
claim4 : FiniteInter (finiteInterClosure C1)
⊢ ∀ (T : fsu), ι T ⊆ C1 → (⋂₀ ι T).Nonempty
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ pathComponentIn x Set.univ = pathComponent x
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun x => x * log x) (log x + 1) x
α : Type u
a : α
n : Nat
⊢ List.replicate (n + 1) a = a :: List.replicate n a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
self : Mon_ C
⊢ self.X ◁ self.one ≫ self.mul = (ρ_ self.X).hom
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
⊢ (⨆ i, f i) * c = ⨆ i, f i * c
⊢ Filter.Tendsto (fun s => riemannZeta s - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 ((↑γ - Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
a b : Prop
h : a = b
⊢ (a ∧ b) = a
a b : USize
h : a < b
⊢ ¬b < a
xs ys : Lean.Omega.Coeffs
⊢ xs - ys = xs + -ys
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R L
inst✝³ : Module.Finite R L
I : LieIdeal R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsLieAbelian ↥↑I
x : L
hx : x ∈ I
y : L
⊢ (trace R L) ((LieModule.toEnd R L L) y ∘ₗ (LieModule.toEnd R L L) x) = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h : ¬ε = ⊤
hεpow : ε ^ p.toReal ≠ 0
hεpow' : ε ^ p.toReal ≠ ⊤
⊢ ε ^ p.toReal * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊} ≤ eLpNorm f p μ ^ p.toReal
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E
X : Ω → E
hac : MeasureTheory.Measure.map X ℙ ≪ μ
hpdf : ¬MeasureTheory.pdf X ℙ μ =ᵐ[μ] 0
⊢ MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ
α : Type u_1
ι : Type u_2
s : Set ι
f : ι → Finset α
hs : s.PairwiseDisjoint f
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
a : α
hai : a ∈ f i
haj : a ∈ f j
⊢ i = j
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α
z : Sym2 α
⊢ z ∈ xs.sym2 ↔ ∀ y ∈ z, y ∈ xs
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X Y : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
hY : Memℒp Y 2 ℙ
h : IndepFun X Y ℙ
⊢ Integrable (fun a => X a ^ 2) ℙ
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
T : TopologicalSpace α
F : Realizer α
s : Set α
a : α
this : s ∈ 𝓝 a ↔ ∃ b, a ∈ F.F.f b ∧ F.F.f b ⊆ s
⊢ s ∈ 𝓝 a ↔ ∃ b, a ∈ F.F.f b ∧ F.F.f b ⊆ s
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a
hf : ¬DifferentiableWithinAt ℝ f s a
⊢ 0 y = 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
⊢ ∀ (i : ℕ), ↑i < φ.order + ψ.order → (coeff R i) (φ * ψ) = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
R : Type u_2
PseudoMetricSpace R
Sub R
BoundedSub R
ContinuousSub R
f g : BoundedContinuousFunction α R
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g
a x✝ z x : ℂ
hx : x ≠ 0
hi : 0 < x.im
⊢ ↑(-x).arg = ↑x.arg + ↑π
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Cycle α
h : s.Nodup
x : α
hx : x ∉ s
⊢ (s.formPerm h) x = x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
⊢ μ.AbsolutelyContinuous (μ.withDensity f)
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
⊢ ∃ c, ∀ (f : G → ℝ), Continuous f → HasCompactSupport f → ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂c • μ
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
⊢ Pell.xn a1 (m + n) = Pell.xn a1 m * Pell.xn a1 n + Pell.d a1 * Pell.yn a1 m * Pell.yn a1 n
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
Group H
SMul G α
SMul G β
MulAction H α
SMul H β
SMulCommClass G H β
SMulCommClass G H α
s : Set α
b : β
g : H
h : MulAction.Supports G s b
⊢ MulAction.Supports G (g • s) (g • b)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
h : BddBelow s
hs : s.Nonempty
⊢ sSup (lowerBounds s) = sInf s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
c_ne_top : c ≠ ⊤
tsum_le_c : ∑' (i : ι), a i ≤ c
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
hf : {i | ε ≤ a i}.Finite
⊢ ↑hf.toFinset.card * ε ≤ c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ { unmop := CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y } =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj { unmop := Y } { unmop := X }
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ n k : ℕ
⊢ Fintype.card (Sym (Fin (n + 2)) (k + 1)) = (n + 2).multichoose (k + 1)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
g : G
h : g ∈ H.normalizer
n : G
⊢ n * g ∈ H ↔ g * n ∈ H
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
m : M
a : α
⊢ AddAction.period m a = Function.minimalPeriod (fun x => m +ᵥ x) a
R : Type u_1
R' : Type u_2
CommRing R
CommRing R'
StarRing R'
χ : MulChar R R'
a : R
⊢ (star χ) a = star (χ a)
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
n : ℕ
⊢ eval r (descPochhammer R n) = eval (r - ↑n + 1) (ascPochhammer R n)
ι : Type u_1
DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
t : (i : ι) → List (α i)
⊢ [].pi t = [List.Pi.nil α]
R : Type u
X : Type v
CommRing R
L : Type w
LieRing L
LieAlgebra R L
f : X → L
a b : lib R X
⊢ (FreeLieAlgebra.liftAux R f) (a * b) = ⁅(FreeLieAlgebra.liftAux R f) a, (FreeLieAlgebra.liftAux R f) b⁆
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ e ≈ e
R : Type u
CommRing R
X : Type v
AddCommGroup X
Module R X
Coalgebra R X
⊢ (CoalgebraCat.of R X).isAddCommGroup = inst✝
S : Finset Λ'
k : Cont'
H₁ : contSupp k ⊆ S
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q
⊢ TM2.SupportsStmt S (tr (Λ'.ret k))
α : Type u
SubtractionMonoid α
b : α
h : IsAddUnit b
a : α
⊢ a + -b + b = a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this : s ⊆ insert a u
⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
G : Type u
Monoid G
⊢ Monoid.exponent G = 0 ↔ ∀ n > 0, ∃ g, g ^ n ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x ≤ g x} → max (f x) (g x) = g x
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ p.trailingDegree = ↑n ↔ p.natTrailingDegree = n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
μs : ι → Measure α
hμs : ∀ (i : ι), μs i ≪ ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ν s = 0
⊢ (sum μs) s = 0
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
h : (s ∩ Icc x y).OrdConnected
z : α
hz : z ∈ Icc x y
hxy : x ≤ y
⊢ z ∈ s
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : Epi f
Z : D
g h : F.obj Y ⟶ Z
H : (adj.homEquiv X Z) (F.map f ≫ g) = (adj.homEquiv X Z) (F.map f ≫ h)
⊢ g = h
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F K : HomologicalComplex C c
DecidableRel c.Rel
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber (CategoryTheory.Limits.biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
φ₀ φ₁ : K ⟶ F
h : Homotopy φ₀ φ₁
⊢ HomologicalComplex.cylinder.ι₀ K ≫ HomologicalComplex.cylinder.desc φ₀ φ₁ h = φ₀
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α
h : ∃ i, p i
⊢ a ⊓ ⨅ i, ⨅ (h : p i), f i h = ⨅ i, ⨅ (h : p i), a ⊓ f i h
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : ℕ → MeasureTheory.Measure α
h : ∀ (n : ℕ), μ n = ν n
⊢ MeasureTheory.Measure.sum μ = MeasureTheory.Measure.sum ν
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
⊢ a / b < 1 ↔ b < a
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂
inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄
inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.158489 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄
inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.163940 ⟶ X₂) true ≫ f₂)
inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ pullback.lift (pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.snd f₁ f₂) (pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄) ⋯ ≫ pullback.snd f₃ f₄ = pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
f : α → β
hf : Set.InjOn f M.E
B : Set β
⊢ (M.map f hf).Base B ↔ ∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = f '' B₀
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
DecidableEq α
x : α
xs : List α
hx : x ∉ xs
⊢ (List.orderedInsert r x xs).erase x = xs
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
Preorder β
ψ : α → β
PredOrder α
IsPredArchimedean α
n : α
hψ : ∀ (m : α), n < m → ψ m < ψ (Order.pred m)
⊢ StrictAntiOn ψ (Set.Ici n)
R : Type u_1
Semiring R
s : Set R
⊢ Subsemiring.centralizer s.centralizer.centralizer = Subsemiring.centralizer s
G : Type u_10
AddGroup G
a b : G
⊢ (Equiv.subRight a) b = b - a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
n : ℤ
x : E
⊢ ‖n • x‖ = ‖↑n‖ * ‖x‖
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ (a₁ : (ZMod p)ˣ) (ha₁ : a₁ ∈ univ) (a₂ : (ZMod p)ˣ) (ha₂ : a₂ ∈ univ), (fun a x => (↑a).val) a₁ ha₁ = (fun a x => (↑a).val) a₂ ha₂ → a₁ = a₂
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts F
hF : CategoryTheory.regularTopology.EqualizerCondition F
⊢ (LightCondensed.ofSheafLightProfinite F hF).val = F
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
x : X
⊢ e.toDilationEquiv x = e x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
x : E
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
⊢ CPolynomialOn 𝕜 f (EMetric.ball x r)
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
x y : α × β
⊢ edist x y = max (edist x.1 y.1) (edist x.2 y.2)
α : Type u
ι : Type v
MetricSpace α
ProperSpace α
c : ι → α
r : ι → ℝ
uf : ∀ (x : α), {i | x ∈ Metric.ball (c i) (r i)}.Finite
uU : ⋃ i, Metric.ball (c i) (r i) = Set.univ
⊢ ∃ r', ⋃ i, Metric.ball (c i) (r' i) = Set.univ ∧ ∀ (i : ι), r' i < r i
p : ℕ → Prop
x : ℕ
h : p x
⊢ ∃ n, (∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card) ∧ Nat.nth p n = x
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x✝ : FractionRing K[X]
x : K[X] × ↥K[X]⁰
⊢ { toFractionRing := Localization.mk x.1 x.2 } = (IsLocalization.algEquiv K[X]⁰ (FractionRing K[X]) (RatFunc K)) (Localization.mk x.1 x.2)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
H : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {a | (∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨ (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨ (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨ ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a})) x = 0
this : (α : Sort ?u.611507) → DecidableEq α
⊢ ∀ (x y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)), (∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), x.IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0) → (∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), y.IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) y) = 0) → ∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), (x + y).IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (x + y)) = 0
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ
val✝ : Fintype Rˣ
⊢ star χ = χ⁻¹
x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℝ
⊢ Real.log (x ^ y) = y * Real.log x
α : Type u_1
β : Type u_2
AddGroup α
AddAction α β
g : α
x y : β
⊢ g +ᵥ x = y ↔ x = -g +ᵥ y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
sp : AffineSubspace k P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥sp.direction
hle : affineSpan k ↑(Finset.image p s) ≤ sp
hc : s.card = finrank k ↥sp.direction + 1
⊢ affineSpan k ↑(Finset.image p s) = sp
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
ht : IsUpperSet t
⊢ IsUpperSet (s * t)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsAffine X
⊢ AlgebraicGeometry.IsAffineOpen ⊤
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f i : N →ₗ[R] M
K : Submodule R N
h : map f K ≤ map i K
n : ℕ
⊢ map f (f.iterateMapComap i n K) ≤ map i (f.iterateMapComap i n K)
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
CategoryTheory.HasWeakSheafify J AddCommGrp
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
M N : SheafOfModules R
σ : M.GeneratingSections
p : M ⟶ N
CategoryTheory.Epi p
⊢ (σ.ofEpi p).I = σ.I
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
QuasiIsoAt f i
⊢ HomologicalComplex.homologyMap f i ≫ (isoOfQuasiIsoAt f i).inv = 𝟙 (K.homology i)
K : Type u_1
inst✝ : Field K
k : ℤ
⊢ ↑↑(2 * k + 1).negOnePow = (-1) ^ (2 * k + 1)
n : ℕ
⊢ (n + 2)‼ = (n + 2) * n‼
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x y : M
h : SameRay R x y
⊢ SameRay R y x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => 0) s x
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
x : ↥s
hxe : ↑x ∈ e.source
⊢ ↑e ↑x ∈ ↑e.symm ⁻¹' (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).target
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hX : MeasureTheory.Memℒp X 2 μ
⊢ ProbabilityTheory.centralMoment X 2 μ = ProbabilityTheory.variance X μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
x : ⨁ (i : ι), ↥(V i)
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) x) = x i
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_5
β : Type u_6
f : α → M
g : β → M
a : α
⊢ (LinearEquiv.sumArrowLequivProdArrow α β R M).symm (f, g) (Sum.inl a) = f a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬Irreducible W.polynomial
⊢ False
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b c : α
⊢ a ≡ b - c [PMOD p] ↔ c + a ≡ b [PMOD p]
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
⊢ ConvexOn 𝕜 s f
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b x y : α
⊢ x ⊔ y = ⨆ b, bif b then x else y
α : Type u
f g : Filter α
⊢ Disjoint f g ↔ ∃ s ∈ f, ∃ t ∈ g, Disjoint s t
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a / b = 0 ↔ a = 0 ∨ b = ⊤
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ Function.Surjective ⇑(Monoid.Coprod.swap M N)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
hx : (x, y).1 ∈ s
hy : (x, y).2 ∈ t
hst : MeasurableSet (s ×ˢ t)
this : MeasurableSet ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s ×ˢ t)
⊢ MeasurableSet s ∧ MeasurableSet t
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
⊢ legendreSym p 2 = ZMod.χ₈ ↑p
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
f : α → β
⊢ Set.BijOn f ∅ t ↔ t = ∅
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
e : ι ≃ ι₂
⊢ PiTensorProduct.map f ∘ₗ ↑(PiTensorProduct.reindex R s e).symm =
  ↑(PiTensorProduct.reindex R t e).symm ∘ₗ PiTensorProduct.map fun i => f (e.symm i)
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
⊢ W.addX P Q / WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q ^ 2 =
  W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2)
    (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
s_nhd : s ∈ 𝓝 0
⊢ Bornology.IsBounded (NormedSpace.polar 𝕜 s)
α : Type u_1
L : List α
i j : Nat
hi : i < L.length
hj : i < j
⊢ L.get ⟨i, hi⟩ = (List.take j L).get ⟨i, ⋯⟩
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : y ∈ s ∩ closedBall x (dist y x)
⊢ infDist x (s ∩ closedBall x (dist y x)) = infDist x s
α : Type u_1
CommMonoid α
a : α
⊢ IsPrimal (Associates.mk a) ↔ IsPrimal a
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≺i s
a : α
⊢ f.subrelIso ⟨f.toRelEmbedding a, ⋯⟩ = a
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
AddMonoidWithOne α
M : Matrix n n α
d : ℕ
d.AtLeastTwo
⊢ Mᵀ = OfNat.ofNat d ↔ M = OfNat.ofNat d
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b
⊢ ContinuousWithinAt f (Ico a b) b ↔ ContinuousWithinAt f (Iio b) b
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t✝ : Set α
a b x✝¹ : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P t → s ⊆ t → P s
x✝ : P s
h : ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s)
t : Set α
ht : P t
hst : s ⊆ t
x : α
hxt : x ∈ t
⊢ x ∈ s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp (a + m • p) b = toIocMod hp a b + m • p
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
c : R
⊢ derivative ((X - C c) ^ 2) = C 2 * (X - C c)