ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
⊢ IsIntegralCurveAt γ v t₀ ↔ ∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Mul G
f g : MonoidAlgebra k G
x : G
s : Finset (G × G)
hs : ∀ {p : G × G}, p ∈ s ↔ p.1 * p.2 = x
⊢ (f * g) x = ∑ p ∈ s, f p.1 * g p.2
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
φ : ι → Type u_4
b : (i : ι) → Basis (φ i) R M
g : ι →₀ M
ix : (i : ι) × φ i
⊢ ((Finsupp.basis b).repr g) ix = ((b ix.fst).repr (g ix.fst)) ix.snd
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
⊢ CategoryTheory.Mono (ModuleCat.ofHom (Profinite.NobelingProof.πs C o))
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
⊢ a.NF
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0
this : LocallyCompactSpace G
q₀ : P
x₀ : G
hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀
k' : Set G := -k +ᵥ t
k'_comp : IsCompact k'
g' : P × G → G → E' := fun p x => g p.1 (p.2 - x)
s' : Set (P × G) := s ×ˢ t
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ) (q₀, x₀)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ ↑↑↑(-f) =ᶠ[ae μ] -↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
Nonempty X
MetricSpace Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C : ℝ
⊢ BddAbove (Set.range fun y => ⨅ x, f (Sum.inl x, Sum.inr y) + C)
R : Type u
CommRing R
f g₁ g₂ : R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hu₁ : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl
hu₂ : ∀ x ∈ U, g₂ ∈ x.asIdeal.primeCompl
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R g₁ g₂ U hu₂ * AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f g₁ U hu₁ =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f g₂ U hu₂
T : ℝ
n : ℤ
x : AddCircle T
⊢ ↑(-(n • x)).toCircle = (starRingEnd ℂ) ((fourier n) x)
M : Type u_1
Monoid M
A : Type u_3
Monoid A
f : M → A
hf : IsMonoidHom f
s : Set M
⊢ f '' Monoid.Closure s = Monoid.Closure (f '' s)
α : Type u_2
Monoid α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : NonemptyInterval α
n : ℕ
⊢ (s ^ n).toProd = s.toProd ^ n
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
⊢ (-a).val = (-a).val % n
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
ι' : Type u_8
φ : ι' → ι
⊢ Continuous fun f j => f (φ j)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.Nondegenerate
φ ψ₁ ψ₂ : M₁ →ₗ[R₁] M₁
hψ₁ : B.IsAdjointPair B ψ₁ φ
hψ₂ : B.IsAdjointPair B ψ₂ φ
v w : M₁
⊢ ((B.compLeft ψ₁) v) w = ((B.compLeft ψ₂) v) w
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Archimedean R
p : R → Prop
h : ∀ᶠ (x : R) in atBot, p x
⊢ ∀ᶠ (n : ℚ) in Filter.comap Rat.cast atBot, p ↑n
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
a : α
s : Set α
Decidable (a ∈ s)
⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂MeasureTheory.Measure.dirac a = if a ∈ s then f a else 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
DivisionMonoid β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
m : F
hm : Function.Injective ⇑m
s t : Set β
hs : s ⊆ Set.range ⇑m
ht : t ⊆ Set.range ⇑m
⊢ ⇑m ⁻¹' (s / t) = ⇑m ⁻¹' s / ⇑m ⁻¹' t
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat
⊢ w * z = (x * y).succPNat ∧ a = a' * d ∧ b = b' * d ∧ z * a' = (x * ↑b').succPNat ∧ w * b' = (y * ↑a').succPNat ∧ ↑z * ↑a = x * ↑b + ↑d ∧ ↑w * ↑b = y * ↑a + ↑d
a b c d : Int
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
⊢ a + c < b + d
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
t : Set ↑s
⊢ LipschitzOnWith K (s.restrict f) t ↔ LipschitzOnWith K f (s ∩ Subtype.val '' t)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A✝ : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
y : E
hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s
hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s
A : (c ^ n - c ^ m) • x ∈ s
⊢ False
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
inst✝ : Nonempty ι
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a b : Ordinal.{max u v}
⊢ (∃ i, nfpFamily f a ≤ f i b) ↔ nfpFamily f a ≤ b
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
e₁ e₂ : Trivialization F proj
p : Z
h : proj p ∈ e₁.baseSet
⊢ e₁.coordChange e₂ (proj p) (↑e₁ p).2 = (↑e₂ p).2
α : Type u
β : Type v
GroupWithZero α
MulAction α β
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ Function.Bijective fun x => a • x
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
LieAlgebra.IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α : LieModule.Weight K (↥H) L
⊢ (-α).IsZero ↔ α.IsZero
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
⊢ (¬∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0) ↔ ∃ s g, ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 ∧ ∃ i ∈ s, g i ≠ 0
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.countP p l = (List.filter p l).length
α : Sort u₁
β : Sort u₂
f : α → β
⊢ id ∘ f = f
k1 k2 : ℤ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
A : ↥Γ
f g : ℍ → ℂ
⊢ (f * g) ∣[k1 + k2] A = f ∣[k1] A * g ∣[k2] A
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_5
AddCommGroup N
Module R N
P : Submodule R M
Q : Submodule R N
f : M ≃ₗ[R] N
hf : Submodule.map f P = Q
a : M ⧸ P
⊢ (Submodule.Quotient.equiv P Q f hf) a = (P.mapQ Q ↑f ⋯) a
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
⊢ b ∈ adjoin S ↑s
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Continuous fun f i => if ord I i = o then true else f i
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ < q + 1
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0
⊢ ∀ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, Units.mk0 ‖↑q - ↑i‖₊ ⋯ ≤ ?convert_3 i
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
this : {0} ⊆ spectrum R ↑a
x : IsUnit r
⊢ ¬IsQuasiregular (-(x.unit⁻¹ • a)) ↔ ¬IsQuasiregular (-(x.unit⁻¹ • ↑a))
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
S : Set G
hS : S ∈ AddSubgroup.leftTransversals ↑H
g : G
⊢ -g + ↑(AddSubgroup.MemLeftTransversals.toFun hS g) ∈ H
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hs : MeasurableSet s
n : ℕ
⊢ Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), ((η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0
⊢ X ^ 2 - C (2 * z.re) * X + C (‖z‖ ^ 2) ∣ p
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ b ∉ Finset.Ico a b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}
h2 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)}
⊢ MeasurableSet {a | IsRatStieltjesPoint f a}
I : Type u
β : Type u_2
f : I → Type v₁
(i : I) → Pow (f i) β
x : (i : I) → f i
b : β
i : I
⊢ (x ^ b) i = x i ^ b
α : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
c : α
⊢ a ≤ c ∨ c ≤ b
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
hppos : p > 0
hqpos : q > 0
z : L := x ^ (p / p.factorizationLCMLeft q) * y ^ (q / p.factorizationLCMRight q)
k : ℕ+ := PNat.lcm ⟨p, hppos⟩ ⟨q, hqpos⟩
this✝ : IsPrimitiveRoot z ↑k
this : IsCyclotomicExtension {k} K ↥(adjoin K {z})
⊢ φ (p.lcm q) = FiniteDimensional.finrank K ↥(Subalgebra.toSubmodule (adjoin K {z}))
n₁ n₂ : ℕ
c₁ : Composition n₁
c₂ : Composition n₂
i₁ : Fin c₁.length
i₂ : Fin c₂.length
hn : n₁ = n₂
hc : c₁.blocks = c₂.blocks
hi : ↑i₁ = ↑i₂
⊢ c₁.blocksFun i₁ = c₂.blocksFun i₂
R : Type u₁
S : Type u₂
Ring R
Ring S
f : R →+* S
M : ModuleCat R
N : ModuleCat S
g : M ⟶ (ModuleCat.restrictScalars f).obj N
a : ↑M
⊢ ((ModuleCat.semilinearMapAddEquiv f M N).symm g) a = g a
R : Type u_4
R₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
ι : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
Module R M
Module R₂ M₂
γ : Type u_9
Zero γ
t : ι →₀ γ
g : ι → γ → M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑(t.sum g) = ⇑(t.sum fun i d => g i d)
α : Type u_2
TopologicalSpace α
⊢ ⇑(ContinuousOpenMap.id α) = id
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑n * x) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.34786, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.34793, u_2} D
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsVanKampenColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ x y
⊢ ‖x‖ - ‖y‖ < ‖x - y‖
α : Type u_2
Zero α
p : Prop
Decidable p
a b : α
LE α
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
⊢ (if p then a else b) ≤ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
Z Z' : C → Prop
h : ∀ ⦃X : C⦄, Z X → Z' X
X : CategoryTheory.FullSubcategory Z
⊢ ((CategoryTheory.FullSubcategory.map h).obj X).obj = X.obj
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y z : V
h : angle x y = π
⊢ angle x z + angle y z = π
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
α : Type u_4
VAdd α X
IsometricVAdd α X
d : ℝ
c : α
h : 0 ≤ d ∨ Function.Surjective fun x => c +ᵥ x
s : Set X
⊢ μH[d] (c +ᵥ s) = μH[d] s
op : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
o a b : Ordinal.{u}
ha : a < nfp (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b) o
hb : b < nfp (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b) o
⊢ op a b < nfp (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b) o
a b c : Int
h : a ≤ b + c
⊢ -b + a ≤ c
α : Type u
AddGroup α
⊢ ∀ (a : ULift.{u, 0} ℤ →+ α), (AddMonoidHom.fromULiftIntEquiv α) a = a (AddEquiv.ulift.symm 1)
α : Type u_1
M₁ M₂ M₃ : Matroid α
h : M₁.Restriction M₂
h' : M₂.Restriction M₃
⊢ M₁.Restriction M₃
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring S
x : S
f : R →+* Polynomial S
g : σ → Polynomial S
p : MvPolynomial σ R
⊢ Polynomial.eval x (MvPolynomial.eval₂ f g p) =
  MvPolynomial.eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s => Polynomial.eval x (g s)) p
α : Type u_1
M : Matroid α
R I X : Set α
⊢ (M.restrict R).Basis' I X ↔ M.Basis' I (X ∩ R) ∧ I ⊆ R
α : Type u
Monoid α
HasDistribNeg α
a : α
⊢ IsUnit (-a) ↔ IsUnit a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictTerminalObjects C
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : CategoryTheory.Functor J C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
i : J
H : (j : J) → j ≠ i → CategoryTheory.Limits.IsTerminal (F.obj j)
Subsingleton (i ⟶ i)
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.limit.π F i)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
hdf : ∀ x ∈ Ioo a b, DifferentiableAt ℝ f x
hdg : ∀ x ∈ Ioo a b, DifferentiableAt ℝ g x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
⊢ o.rightAngleRotation.symm = o.rightAngleRotation.trans (LinearIsometryEquiv.neg ℝ)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
⊢ ContMDiffAt I I' (↑n) f x ↔ ∃ u ∈ 𝓝 x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f g : X ⟶ Y
hfg : f = g
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f x = Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap g x
s : ℂ
hs : s ≠ 0
⊢ ↑π ^ (-(s / 2)) * (↑π)⁻¹ * (s / 2 * Gamma (s / 2)) = ↑π ^ (-s / 2) * Gamma (s / 2) * s / 2 / ↑π
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g : α → E
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → α → E
this : DecidableEq ι
⊢ (∀ i ∈ s, Memℒp (f i) p μ) → Memℒp (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) p μ
α : Type u
β : Type v
Preorder α
P : β → α → Prop
hP : ∀ (x : β), Monotone (P x)
⊢ Monotone fun y => ∀ (x : β), P x y
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
⊢ qrSign m n = qrSign n m
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n✝² n✝¹ n : ℕ
h : n ≠ 0
n✝ : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))
g_poly : (ZMod (n✝ + 1))[X] := X ^ (n✝ + 1) ^ n - X
hp : 1 < n✝ + 1
aux : g_poly ≠ 0
key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField (n✝ + 1) n)) = (n✝ + 1) ^ n
nat_degree_eq : g_poly.natDegree = (n✝ + 1) ^ n
x : GaloisField (n✝ + 1) n
hx : x ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪ (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField)
⊢ x ∈ (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (GaloisField (n✝ + 1) n)
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
s : Subsemiring S
⊢ ⊤.prod s = Subsemiring.comap (RingHom.snd R S) s
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd b a)
k : ℕ
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₂ * d₁
h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0
a' : α
ha' : a = d₁ ^ k * a'
h0₂ : d₂ ^ k ≠ 0
b' : α
h : d₂ ^ k * b' * (d₁ ^ k * a') = d₂ ^ k * d₁ ^ k
hb' : b = d₂ ^ k * b'
h' : a' * b' = 1
⊢ Associated (d₁ ^ k) a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
⊢ ∃ x ∈ f '' s, ClusterPt x l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p✝ : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
p : Set α → Prop
h : l.HasBasis (fun s => s ∈ l ∧ p s) id
V : Set α
hV : V ∈ l
⊢ l.HasBasis (fun s => s ∈ l ∧ p s ∧ s ⊆ V) id
R : Type u
CommRing R
X Y : BialgebraCat R
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (BialgebraCat R) (CoalgebraCat R)).map f = CoalgebraCat.ofHom ↑f.toBialgHom
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
F : ℕ → α → ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable (F n)
h_bound : ∀ (n : ℕ), F n ≤ᵐ[μ] bound
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => F n a) Filter.atTop (𝓝 (f a))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i
x y : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≠ 1
h : log x ≠ 0
⊢ log x < x - 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn f [[a, b]]
hderiv : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : a ≤ b
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
M : Type u_1
Mul M
r : M → M → Prop
⊢ conGen r = sInf {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y}
a b c p q : ℚ
⊢ p.num /. ↑p.den ≤ q.num /. ↑q.den ↔ p.num * ↑q.den ≤ q.num * ↑p.den
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u
CategoryTheory.Category.{t, u} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
F.IsContinuous J K
X : CategoryTheory.Sheaf K A
⊢ ∀ (X_1 : Cᵒᵖ),
  ((F.sheafPushforwardContinuousCompSheafToPresheafIso A J K).inv.app X).app X_1 =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.val.obj (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop X_1))))
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a✝ : A
u✝ : Aˣ
a : A
u : Aˣ
μ : R
hμ : ¬IsUnit ((algebraMap R A) μ - ↑u * a * ↑u⁻¹)
⊢ ¬IsUnit ((algebraMap R A) μ - a)
M : Type u_4
N : Type u_5
Zero M
Zero N
x : M
⊢ 0 x = 0
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
L : List α
h : IsUnit L.prod
⊢ ∀ m ∈ L, IsUnit m
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
⊢ ∃ x ∈ f '' s, ClusterPt x l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
p : α → Prop
this : Fintype α
⊢ Nat.card { x // p x } ≤ Nat.card α
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
α β : Type u
inst✝ : LawfulMonad m
f : β → α → m β
x✝ y✝ : FreeMonoid α
⊢ { toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝ * y✝) = { toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun x✝ * { toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun y✝
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
⊢ (univ R n).coeff (Fintype.card n) = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝ : IsRefl α r
hs : s.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
m n : ℕ
hmn : m < n
h : f m = f n
⊢ ∃ m n, m < n ∧ r (f m) (f n)
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁴ : Algebra S Sₘ
i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝³ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝² : Algebra R Sₘ
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝ : IsScalarTower R S Sₘ
x : R
⊢ (algebraMap Rₘ Sₘ) ((algebraMap R Rₘ) x) = (algebraMap S Sₘ) ((algebraMap R S) x)
n : ℕ
l : List ℕ
⊢ commProb (DihedralGroup.Product (n :: l)) = commProb (DihedralGroup n) * commProb (DihedralGroup.Product l)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
j : ι
A : V
f g : (HomologicalComplex.single V c j).obj A ⟶ K
hfg : f.f j = g.f j
⊢ f = g
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
AddCommMonoid S
n : ℕ
a : R
f : ℕ → R → S
hf : f n 0 = 0
⊢ ((Polynomial.monomial n) a).sum f = f n a