ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀ : H
bound✝ : α → ℝ
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ H
μ : Measure ℝ
F : H → ℝ → E
F' : H → ℝ → H →L[ℝ] E
a b : ℝ
bound : ℝ → ℝ
ε_pos : 0 < ε
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
h_bound : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧ AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Set.Ioc b a))
hF_meas : (∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc a b))) ∧ ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc b a))
⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0
hef : ⁅e, f'⁆ = ((killingForm K L) e) f' • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩
hh : α h ≠ 0
⊢ ∃ h e f, IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S S' : AddSubmonoid M
h : ∀ (c : R) {x : M}, x ∈ S.carrier → c • x ∈ S.carrier
h' : ∀ (c : R) {x : M}, x ∈ S'.carrier → c • x ∈ S'.carrier
⊢ { toAddSubmonoid := S, smul_mem' := h } ≤ { toAddSubmonoid := S', smul_mem' := h' } ↔ S ≤ S'
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ volume s = 0
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
X : Scheme
⊢ ∀ (a : ↑↑X.toPresheafedSpace) (u : Set ↑↑X.toPresheafedSpace), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ {x | ∃ a, x = Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map a).val.base}, a ∈ v ∧ v ⊆ u
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
c : Sigma β
l : List (Sigma β)
h : (c :: l).NodupKeys
⊢ { entries := c :: l, nodupKeys := h } = insert c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := ⋯ }
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
⊢ l.toFinset.card = l.length
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
⊢ (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) a.tails).minimum
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
hε : 0 ≤ ε
⊢ ↑((P.sparsePairs G ε).biUnion fun x => match x with | (U, V) => G.interedges U V).card ≤ ε * (↑A.card + ↑P.parts.card) ^ 2
α : Type u_1
DecidableEq α
a : Π₀ (x : α), ℕ
⊢ Multiset.equivDFinsupp.symm a = DFinsupp.toMultiset a
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, (1 / 2) ^ i ≤ 2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ map f (T R n) = T S n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
a x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NormedAddCommGroup 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
hh : DifferentiableAt 𝕜 h (x + a)
⊢ deriv (fun x => h (x + a)) x = deriv h (x + a)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
hB₀ : B.IsRefl
⊢ IsCompl W (B.orthogonal W) ↔ Disjoint W (B.orthogonal W)
α : Type u_2
LinearOrder α
DecidableEq α
p : Finset α → Prop
s : Finset α
h0 : p ∅
step : ∀ (a : α) (s : Finset α), (∀ x ∈ s, a < x) → p s → p (insert a s)
⊢ p s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
q : ℕ
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.natTransQ q).app X = AlgebraicTopology.DoldKan.Q q
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nat
h : 0 < n
⊢ (Batteries.HashMap.Imp.Buckets.mk n h).size = 0
α : Type u
s t : Set α
h : (s ∩ t).Nonempty
⊢ t.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hfg : f =o[l] g
k : β → α
l' : Filter β
hk : Filter.Tendsto k l' l
⊢ (f ∘ k) =o[l'] (g ∘ k)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
h✝ : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hx : 𝓟 {x} ≤ p'
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
i : ι
h : ∀ᶠ (y : α) in p', (f y, F i y) ∈ u
⊢ i ∈ (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) ⁻¹' u
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ a ≤ ⨅ i, ⨅ j, f i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), a ≤ f i j
R : Type u_2
Semiring R
M : Fin 2 → Type u_4
(i : Fin 2) → AddCommMonoid (M i)
(i : Fin 2) → Module R (M i)
(i : Fin 2) → TopologicalSpace (M i)
⊢ ⇑(ContinuousLinearEquiv.piFinTwo R M).symm = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ Disjoint s (insert a t) ↔ a ∉ s ∧ Disjoint s t
m n : ℕ
⊢ m ≤ n.succ ↔ m = n.succ ∨ m ≤ n
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α
⊢ generateFrom (range (natGeneratingSequence α)) = m
X : Type u_1
Y : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
μ : Measure X
E : Set X
E_mble : MeasurableSet E
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
x✝ : X
⊢ ↑((thickenedIndicator δ_pos E) x✝) = thickenedIndicatorAux δ E x✝
z τ : ℂ
n : ℤ
⊢ 2 * ↑π * I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑n * (z + 1) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ) = 2 * ↑π * I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Semiring M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
⊢ ⇑addMonoidAlgebraAddEquivDirectSum = AddMonoidAlgebra.toDirectSum
α : Type u_1
Ring α
LinearOrder α
a : α
⊢ |a| ∣ a
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ W'.dblY (u • P) = (u ^ 4) ^ 3 * W'.dblY P
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
inst✝ : DecidableEq α
p : Finset α → Prop
h0 : p ∅
step : ∀ (a : α) (s : Finset α), (∀ x ∈ s, x < a) → p s → p (insert a s)
s : Finset α
ihs : ∀ t ⊂ s, p t
⊢ p s
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
S : Set G
⊢ S ∈ Subgroup.rightTransversals ↑H ↔ Function.Bijective (S.restrict Quotient.mk'')
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
⊢ o.rightAngleRotation.symm = o.rightAngleRotation.trans (LinearIsometryEquiv.neg ℝ)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
s : Finset M
⊢ Set.finrank R ↑s ≤ s.card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasEqualizers C
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x : R
⊢ IsSelfAdjoint (x * star x)
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
DivisionRing k
Module k V
Finite ι
b : AffineBasis ι k P
⊢ FiniteDimensional k V
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsTrail
e : Sym2 V
he : e ∈ p.edges
⊢ List.count e p.edges = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
X Y : CategoryTheory.Sheaf J A
x y : X ⟶ Y
h : x.val = y.val
⊢ x = y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.N₂.map (CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.isoΓ₀.hom.app X)).f =
  AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
g : β → α
h : LeftInverse g f
s : Set α
⊢ g '' (f '' s) = s
α : Sort u_5
β : α → Type u_4
f : (x : α) → β x
p : α → Prop
x : Subtype p
⊢ Subtype.restrict p f x = f ↑x
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
⊢ sinh (3 * x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
p : R[X]
⊢ ∀ (a : PolynomialModule R M),
  (PolynomialModule.comp p) a = (PolynomialModule.eval p) ((PolynomialModule.map R[X] (PolynomialModule.lsingle R 0)) a)
α : Type u_1
DivisionRing α
m e : ℕ
n : ℤ
d : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (↑(mkRat (↑m) (10 ^ e))) n d →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (OfScientific.ofScientific m true e) n d
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ count a (a :: l) = count a l + 1
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f g : MultilinearMap R M₁ M₂
⊢ f = g ↔ ∀ (x : (i : ι) → M₁ i), f x = g x
⊢ cantorSet ⊆ Set.Icc 0 1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : Nonempty ι
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
this : TopologicalAddGroup E
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ p.basisSets) id
α : Type u_1
ι : Type u_4
s : Set α
hs : s.Nonempty
f : α → ι
⊢ (s.Pairwise fun x y => f x = f y) ↔ ∃ z, ∀ x ∈ s, f x = z
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)) ∧ ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)
i : β✝¹
j : α✝
⊢ ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight (Sum.inr (i, j))⟧ = -⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
⊢ IsLeftRegular (X n)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q Q' : QuadraticForm R M
h : Q' = -Q
m₁ m₂ : M
⊢ (CliffordAlgebra.evenToNeg Q Q' h) (((CliffordAlgebra.even.ι Q).bilin m₁) m₂) =
  -((CliffordAlgebra.even.ι Q').bilin m₁) m₂
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset (Fin 1)
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
h : ¬s.Nonempty
⊢ (normSeminorm 𝕜 E).ball 0 r ⊆ univ
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y : P
⊢ affineSegment R x y = affineSegment R y x
α : Type u_7
β : Type u_8
DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
x : β
⊢ x ∈ s.sup f ↔ ∃ v ∈ s, x ∈ f v
α : Type u
e : Equiv.Perm α
⊢ ∀ (a : α), ↑(Equiv.Perm.equivUnitsEnd e) a = e.toFun a
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
h : e = e'
x : M
⊢ e x = e' x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i✝ j✝ : Set α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : MeasurableSet i
hj : MeasurableSet j
hi' : (∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ i → ↑0 j ≤ ↑s j) ∧ ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ iᶜ → ↑s j ≤ ↑0 j
hj' : restrict 0 j ≤ restrict s j ∧ ∀ ⦃j_1 : Set α⦄, MeasurableSet j_1 → j_1 ⊆ jᶜ → ↑s j_1 ≤ ↑0 j_1
⊢ MeasurableSet j
α : Type u_2
Lattice α
L M : Sublattice α
⊢ (∀ (a : α), a ∈ L ↔ a ∈ M) → L = M
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
H : ∀ s ∈ S, StableUnderSpecialization s
⊢ StableUnderSpecialization (⋃₀ S)
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a✝ b✝ c d a b : α
hc : c ≠ 0
⊢ (a + b / c) * c = a * c + b
α : Type u_1
MulOneClass α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1
hab : 1 ≤ a * b
⊢ a = 1
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hs : NullMeasurableSet ∅ μ
⊢ NullMeasurableSet (r • ∅) μ
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
f : β → α
S : Finset β
⊢ S.sup f = ⊥ ↔ ∀ s ∈ S, f s = ⊥
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
h : -b + a = c
⊢ a = b + c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrderedSemifield 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid N
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 M
inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 N
h : ∀ ⦃a b : M⦄ ⦃c : 𝕜⦄, a < b → 0 < c → c • a ≤ c • b
hlt' : ∀ (a b : M) (c : 𝕜), a < b → 0 < c → c • a < c • b
a b : M
c : 𝕜ˣ
hab : ↑c • a < ↑c • b
hc : 0 < ↑c
⊢ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α × β → ℝ
hf : 0 ≤ f
⊢ Summable f ↔ (∀ (x : α), Summable fun y => f (x, y)) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β), f (x, y)
n d k : ℕ
⊢ (Behrend.sphere n d k).card ≤ rothNumberNat ((2 * d - 1) ^ n)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.2467, u_2} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.RightHomologyData
⊢ S.Exact ↔ IsZero h.H
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
⊢ (succ o).cof = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s t : Set α
⊢ (s ∪ t).encard ≤ (s ∪ t).encard + (s ∩ t).encard
R : Type u_1
Semiring R
⊢ ⇑(PowerSeries.map (RingHom.id R)) = id
α : Type u_1
f : Poly α
⊢ ⇑(-f) = -⇑f
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x₁ x₂ : X
y₁ y₂ : Y
hx : x₁ ~ᵢ x₂
hy : y₁ ~ᵢ y₂
⊢ (x₁, y₁) ~ᵢ (x₂, y₂)
R : Type u_1
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M ≃ₗ[R] M₂
f' : M₂ ≃ₗ[R] M₃
⊢ ↑f' ∘ₗ ↑f = ↑(f ≪≫ₗ f')
α : Type u_1
OrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : { r // 0 ≤ r }
⊢ ⌈↑a⌉₊ = ⌈a⌉₊
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ s' : Cycle α
inst✝ : Fintype α
s : Cycle α
h : s.Nodup
hn : s.Nontrivial
⊢ (s.formPerm h).support = s.toFinset
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : DivisionRing k
inst✝ : Module k V
t : Set P
ht : affineSpan k t = ⊤
s : Set P
hst : s ⊆ t
h_tot : affineSpan k s = affineSpan k t
h_ind : AffineIndependent k Subtype.val
⊢ affineSpan k (range Subtype.val) = ⊤
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
⊢ P24 x₁ x₂ y ↔ P24 x₁ x₂ (-y)
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (g x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (ψ n)
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : ℕ → ℤ
h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
⊢ (eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (φ i))) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (ψ i))) (wittPolynomial p ℤ k)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Ioc a b) μ
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
n k : ℕ
h : k ≤ n
⊢ replicate k a <+ replicate n a
α : Type u_1
a : α
as : List α
i : Fin as.length
⊢ (a :: as).get i.succ = as.get i
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ≤ t ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp' : p ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f g : α → β
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c
hp : ¬p = 0
this : ∀ (x : α), ‖s.indicator (f - g) x‖ ≤ ‖s.indicator (fun x => c) x‖
⊢ eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ENNReal.ofReal c * μ s ^ (1 / p.toReal)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
⊢ r.inv.dom = r.codom
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : normSq ↑z < 1
this : z.im < z.im / normSq ↑z
⊢ z.im < (S • z).im
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
h : a ∉ s
⊢ (insert a s).erase a = s
p q : ℝ
a b : ℝ≥0
hp_pos : 0 < p
hpq : p ≤ q
⊢ (a ^ q + b ^ q) ^ (1 / q) ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p)
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
A : ↥Γ
z : ℍ
⊢ A • z = ↑↑A • z
R : Type u_4
CommRing R
n : ℕ
hn : 1 < n
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ζ - 1 ≠ 0
M : Type u_2
AddZeroClass M
S : Set (AddSubmonoid M)
⊢ (sSup S).op = sSup (AddSubmonoid.unop ⁻¹' S)
R : Type u
A : Type z
B : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A ≃ₐ[R] B
⊢ ⇑(Polynomial.mapAlgEquiv f) = Polynomial.map ↑f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ y ∈ tl, y ∈ s ∨ y = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1
⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
⊢ Collinear k s ↔ ∃ p₀ v, ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
h : I ≤ J
⊢ (↑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLE h).symm).comp (Ideal.Quotient.mk J) = DoubleQuot.quotQuotMk I J
α : Type u_1
TopologicalSpace α
NormalSpace α
R1Space α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
WeaklyLocallyCompactSpace α
μ.Regular
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x - g x‖₊ ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ MeasureTheory.Integrable g μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ Ici (⨆ i, ⨆ j, f i j) = ⨆ i, ⨆ j, Ici (f i j)
⊢ ∀ {X Y : PartialFun} (f : X ⟶ Y),
  partialFunToPointed.map f = { toFun := Option.elim' none fun a => (f a).toOption, map_point := ⋯ }
α : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
Mul α
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
⊢ (⋂ i, ⋂ j, s i j) * t ⊆ ⋂ i, ⋂ j, s i j * t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.HasForget₂ C Ab
CategoryTheory.Preadditive C
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).Additive
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).PreservesHomology
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ Function.Injective ((CategoryTheory.forget C).map f)
α : Type u_1
DecidableEq α
xs : List α
x y d : α
⊢ (x :: y :: xs).nextOr x d = y
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
c : Cone F
⊢ (preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd) = (preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (liftedConeElement F)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
z z' : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
Φ : C ⥤ D
Φ.Additive
⊢ (z + z').map Φ = z.map Φ + z'.map Φ
α : Type u_1
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : Filter.IsBasis p s
⊢ h.filter = Filter.generate {U | ∃ i, p i ∧ s i = U}
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
W : Subspace K V
⊢ (Submodule.dualAnnihilator W).dualAnnihilator = (Module.mapEvalEquiv K V) W
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
m a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hm : m ≠ 0
⊢ (Finset.filter (fun u => u.card = m) (Finpartition.equitabilise h).parts).card = a
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hα : (𝓤 α).HasBasis p s
⊢ (∀ (i : κ), p i → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[S] x₀, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α (s i)}) ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[S] x₀, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s k
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hpl : 0 < p.degree
h✝ : Subsingleton R
⊢ ¬IsUnit p
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
i j : ι
x : β i
h : i ≠ j
⊢ ((DirectSum.of β i) x) j = 0
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
s : Set X
h : s.Nonempty
⊢ 1 ≤ μH[0] s
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
I J : Ideal R
⊢ IsLocalization.coeSubmodule S (I * J) = IsLocalization.coeSubmodule S I * IsLocalization.coeSubmodule S J
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : E
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ ((pderivCLM 𝕜 m) f) x = lineDeriv ℝ (⇑f) x m
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
n n₁ n₂ : ℤ
h : n₁ + n₂ = n
⊢ (n₁ * y + x * y).negOnePow • (K.shiftFunctor₂XXIso (n₁ + x) n₂ y (n₂ + y) ⋯).hom ≫ K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (K.total (up ℤ)) y (n + x) (n + x + y) ⋯).inv = (n₁ * y + x * y).negOnePow • ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) n₁ (n₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f (n + y) ≫ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).hom.app (K.total (up ℤ))).f n
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
⊢ { toMultilinearMap := 0, map_eq_zero_of_eq' := ⋯ } = 0