ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
F G : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor C D
i : F.toLaxMonoidalFunctor ≅ G.toLaxMonoidalFunctor
⊢ (CategoryTheory.LaxBraidedFunctor.mkIso i).hom = i.hom
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
μ.IsAddLeftInvariant
μ.IsNegInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : Continuous f
hg : MeasureTheory.LocallyIntegrable g μ
⊢ MeasureTheory.ConvolutionExists f g L μ
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0
m : Γ
hm : ¬(ofSuppBddBelow f ⋯).coeff m = 0
⊢ n ≤ m
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
ι : Type u_2
DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, DifferentiableAt 𝕜 (f i) x
⊢ deriv (fun x => ∏ i ∈ u, f i x) x = ∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • deriv (f i) x
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
HasContinuousInv₀ R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ ↑(cfcUnits f a hf' hf ha)⁻¹ = cfc (fun x => (f x)⁻¹) a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
hμν : μ ≪ ν
⊢ μ ≪ μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
⊢ ⊥.prod ⊥ = ⊥
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
x : { x // x ∈ m.toEnumFinset }
⊢ ↑(m.coeEquiv.symm x).snd = (↑x).2
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
⊢ (leftShiftAddEquiv K L n a n' hn') 0 = 0
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b
⊢ b ≡ a [PMOD p] ∨ c ≡ b [PMOD p] ∨ a ≡ c [PMOD p]
α : Type u_1
a : WithBot αᵒᵈ
⊢ WithTop.toDual.symm a = WithBot.ofDual a
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
MeasurableSpace E
X : ℕ → Ω → E
h' : Measurable (X 0)
hindep : Pairwise fun i j => ProbabilityTheory.IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), ProbabilityTheory.IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
φ : MeasureTheory.SimpleFunc E E
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω),
  Filter.Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, ↑φ (X i ω)) Filter.atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (↑φ ∘ X 0) a))
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
k : K
hk : I = spanSingleton R⁰ k
n : R := choose ⋯
d : ↥R⁰ := choose ⋯
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑d})).factors)) = I
S : Type u_2
Semiring S
r n : ℕ
⊢ ↑r.factorial * Polynomial.eval (↑r + 1) (ascPochhammer S n) = ↑(r + n).factorial
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
⊢ IsLeast {t | s ⊆ ↑t} (Convex.toCone s hs)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ IsPreconnected (sphere x r)
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
Fintype σ
n : ℕ
DecidableEq σ
Nontrivial R
⊢ (MvPolynomial.esymm σ R n).support = (Finset.powersetCard n Finset.univ).biUnion fun t => {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasColimitsOfShape J D
H : C ⥤ D
j✝ : J
⊢ H.map (α.app j✝) ≫ H.map (ι G j✝) = ι (F ⋙ H) j✝ ≫ colim.map (whiskerRight α H) ≫ post G H
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
he : e ≠ 0
this✝¹ : NeZero e := { out := he }
this✝ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P) := Quotient.algebraQuotientOfRamificationIdxNeZero f p P
this : Field (R ⧸ p) := Quotient.field p
⊢ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ e) = e * finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
l : ℕ
v : α → M
xs : Fin l → M
⊢ ⊤.Realize v xs ↔ True
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l₁ l₂ : Filter α
⊢ 𝓝 (l₁ ⊓ l₂) = 𝓝 l₁ ⊓ 𝓝 l₂
α : Type u_1
LinearOrder α
DenselyOrdered α
NoMinOrder α
NoMaxOrder α
nonem : Nonempty α
lo hi : Finset α
lo_lt_hi : ∀ x ∈ lo, ∀ y ∈ hi, x < y
⊢ ∃ m, (∀ x ∈ lo, x < m) ∧ ∀ y ∈ hi, m < y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Group G
LieGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
x₀ : M
hf : SmoothAt I' I f x₀
hg : SmoothAt I' I g x₀
⊢ SmoothAt I' I (fun x => f x / g x) x₀
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
⊢ ⇑(frobeniusEquiv R p) = ⇑(frobenius R p)
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_3
PseudoMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
h : BoundedVariationOn f s
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ dist (f x) (f y) ≤ (eVariationOn f s).toReal
α : Type u
Bot α
⊢ OrderDual.ofDual ⊤ = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanCompIso F f g).hom.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left =
  𝟙 ((CategoryTheory.Limits.span f g ⋙ F).obj CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X : Type w'
inst✝² : TopologicalSpace X
Z B : C
π : Z ⟶ B
inst✝¹ : HasPullback π π
inst✝ : PreservesLimit (cospan π π) G
a : C(↑(G.obj Z), X)
ha : ⇑a ∘ ⇑(G.map (pullback.fst π π)) = ⇑a ∘ ⇑(G.map (pullback.snd π π))
x y : ↑(G.obj Z)
hxy : (G.map π) x = (G.map π) y
xy : ↑(G.obj (pullback π π)) := (PreservesPullback.iso G π π).inv ((TopCat.pullbackIsoProdSubtype (G.map π) (G.map π)).inv ⟨(x, y), hxy⟩)
ha' : a (↑⟨(x, y), hxy⟩).1 = a (↑⟨(x, y), hxy⟩).2
h₁ : ∀ (y : ↑(pullback (G.map π) (G.map π))), (G.map (pullback.fst π π)) ((PreservesPullback.iso G π π).inv y) = (pullback.fst (G.map π) (G.map π)) y
h₂ : ∀ (y : ↑(pullback (G.map π) (G.map π))), (G.map (pullback.snd π π)) ((PreservesPullback.iso G π π).inv y) = (pullback.snd (G.map π) (G.map π)) y
⊢ a x = a y
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ Real.arcsin x = Real.arccos √(1 - x ^ 2)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : Set P
ho : EuclideanGeometry.OrthocentricSystem s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
⊢ AffineIndependent ℝ p
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosMono α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 < b
b0 : 0 ≤ b
⊢ 1 < a * b
p : Num
n : ℕ
⊢ p.shiftr n = p >>> n
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
⊢ (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
f✝ : Filter α
b : α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
inst✝¹ : Countable (Subtype p)
inst✝ : Nonempty (Subtype p)
hv : v.HasBasis p s
f : ι → α
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
H' : ¬∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i)
⊢ liminf f v = ⨆ j, ⨅ i, f ↑i
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α
⊢ sᶜ ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasLimit (F ⋙ G)
c : Cone F
j✝ : J
⊢ (G.map (lift F c) ≫ post F G) ≫ π (F ⋙ G) j✝ = lift (F ⋙ G) (G.mapCone c) ≫ π (F ⋙ G) j✝
y : ℝ
⊢ ⊤ ^ y = if 0 < y then ⊤ else if y = 0 then 1 else 0
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
PartialOrder X
x y : X
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ ∫ (t : X) in Set.Icc x y, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Set.Ioc x y, f t ∂μ
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
hM : Module.IsTorsionBy R M r
b : R
x : M
⊢ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r})) b • x = b • x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a (b + p) = toIcoMod hp a b
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.withDensity f)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α) in s, (f * g) a ∂μ
m n a b c d : ℤ
h₁ : a ≡ b [ZMOD n]
h₂ : c ≡ d [ZMOD n]
⊢ a - c ≡ b - d [ZMOD n]
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
I X : Set β
⊢ (M.mapEmbedding f).Basis I X ↔ M.Basis (⇑f ⁻¹' I) (⇑f ⁻¹' X) ∧ I ⊆ X ∧ X ⊆ range ⇑f
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Ici a)
⊢ Subtype.val '' Set.Ici b = Set.Ici ↑b
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
H : SimpleGraph W
f✝ : G →g G'
f : ⊤ →g G'
v w : V
h : v ≠ w
⊢ f v ≠ f w
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
γ σ₁ φ σ₂ : Type
s₂ : σ₂
s₁ : σ₁
f₁ : γ → β → σ₁ → σ₁ × φ
f₂ : α → β → σ₂ → σ₂ × γ
⊢ Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f₁ (Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f₂ xs ys s₂).2 ys s₁ =
  let m :=
    Mathlib.Vector.mapAccumr₂
      (fun x y x_1 =>
        match x_1 with
        | (s₁, s₂) =>
          let r₂ := f₂ x y s₂;
          let r₁ := f₁ r₂.2 y s₁;
          ((r₁.1, r₂.1), r₁.2))
      xs ys (s₁, s₂);
  (m.1.1, m.2)
α : Type u_9
β : Type u_10
CommMonoid β
IsEmpty α
Fintype α
f : α → β
⊢ ∏ x : α, f x = 1
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
p : ↥(closure s) → Prop
a : ↥(closure s)
mem : ∀ (x : R) (hx : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
zero : p 0
add : ∀ (x y : ↥(closure s)), p x → p y → p (x + y)
neg : ∀ (x : ↥(closure s)), p x → p (-x)
mul : ∀ (x y : ↥(closure s)), p x → p y → p (x * y)
b : R
hb : b ∈ closure s
⊢ ∀ (x y : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p ⟨x, x_1⟩) → (∃ (x : y ∈ closure s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x * y ∈ closure s), p ⟨x * y, x_1⟩
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
x y : G
⊢ Filter.map (fun x_1 => x * x_1) (𝓝 y) = 𝓝 (x * y)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₁ → R
hg : g 0 = 0
φ : MvPolynomial σ S₁
m : σ →₀ ℕ
⊢ f (coeff m (mapRange g hg φ)) = f (g (coeff m φ))
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : x✝ = t
h✝ : ¬y✝ = t
⊢ G.Adj s y✝ ↔ (G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) ∧ s(x✝, y✝) ∉ {s(t, t)}
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝¹ : TopologicalSpace ι
inst✝ : T2Space α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_clemb : ClosedEmbedding (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
s : Set ι
s_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn (F ∘ Subtype.val) K
s_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ i ∈ s, F i x ∈ Q
this : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, Continuous (eval x ∘ F)
⊢ CompactSpace ↑(closure s)
n : ℕ
b : ℕ
l : List ℕ
⊢ n * Nat.ofDigits b l = Nat.ofDigits b (List.map (fun x => n * x) l)
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
s : Set X
f : X → Y
x : ↑s
hf : (↑f).IsConstant
⊢ (↑(f ∘ Subtype.val)).IsConstant
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : ↑J₁ ⊆ ↑J₂
⊢ ↑(comap f J₁) ⊆ ↑(comap f J₂)
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
r : HomRel C
D : Type u_4
inst✝ : Category.{u_3, u_4} D
F : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (lift r F H).map ((functor r).map f) = (lift.isLift r F H).inv.app X ≫ (functor r ⋙ lift r F H).map f ≫ (lift.isLift r F H).hom.app Y
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
⊢ legendreSym p (-1) = ZMod.χ₄ ↑p
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
E : Type u_3
EquivLike E ι ι'
α : Type u_4
f : ι' → α
e : E
⊢ Set.range (f ∘ ⇑e) = Set.range f
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
⊢ x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasLimits C
inst✝⁴ : HasColimits C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
inst✝¹ : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
X Y : SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
hf : OpenEmbedding ⇑f.base
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
y : ↑↑X.toPresheafedSpace
hy : y ∈ ↑U
H : IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C (f.base y)).map f.c ≫ TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y)
⊢ IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C ↑⟨f.base y, ⋯⟩).map (let_fun this := { val := f.c }; this).val)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : δ < 1
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
⊢ |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a) ≤ p
⊢ toIcoMod hp 0 (b - a) ≤ toIocMod hp 0 (b - a)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ I.splitLower i x ≠ I.splitUpper i x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
X₁ X₂ : C
α β : Ext (X₁ ⊞ X₂) Y n
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
h₁ : (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inl ≫ α.hom = (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inl ≫ β.hom
h₂ : (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inr ≫ α.hom = (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inr ≫ β.hom
⊢ BinaryCofan.inr ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).mapBinaryBicone (BinaryBiproduct.bicone X₁ X₂)).toCocone ≫ α.hom = BinaryCofan.inr ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).mapBinaryBicone (BinaryBiproduct.bicone X₁ X₂)).toCocone ≫ β.hom
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
hconst : Tendsto (fun _n => ↑‖a‖₊) atTop (𝓝 ↑‖a‖₊)
⊢ (fun _n => ↑‖a‖₊) = (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ∘ fun n => 2 ^ n
R : Type u_4
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
⊢ Function.Injective RingEquiv.toRingHom
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Type u_4
β : Sort u_5
f : α → β
I : Injective f
b : β
hpi : partialInv f b = if h : ∃ a, f a = b then some (Classical.choose h) else none
h' : ∃ a, f a = b
⊢ f (Classical.choose h') = b
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
hE : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ‖f a‖ ^ p
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
hs : IsClosed s
⊢ closure s ⊆ s
A B : Grp
f : A ⟶ B
b : ↑B
hb : h b = g b
r : b ∉ ↑(MonoidHom.range f)
⊢ False
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
⊢ IsAddSubmonoid ↑S
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
⊢ (adjoinRootXPowSubCEquiv hζ H hα).symm α = root (X ^ n - C a)
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (g_nat 0 a t) (rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t)))
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsDomain R
IsDomain S
IsDedekindDomain R
IsDedekindDomain S
Module.Finite R S
Module.Free R S
I J : Ideal S
h : I ≤ J
⊢ (Ideal.relNorm R) I ≤ (Ideal.relNorm R) J
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain F K (-1)
β : G ⟶ K
eq : CochainComplex.HomComplex.δ (-1) 0 α = CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (φ ≫ β)
⊢ CochainComplex.mappingCone.inr φ ≫ CochainComplex.mappingCone.desc φ α β eq = β
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
⊢ Measurable RCLike.ofReal
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
IH : s.dedup.gcd = s.gcd
h : a ∈ s
⊢ GCDMonoid.gcd a (fold GCDMonoid.gcd 0 (s.erase a)) = GCDMonoid.gcd (normalize a) (fold GCDMonoid.gcd 0 (s.erase a))
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
CompleteSpace α
hf : AntilipschitzWith K f
hfc : UniformContinuous f
⊢ IsComplete (Set.range f)
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
γ : TypeVec.{u_2} n
β : Type u_1
δ : Type u_2
ε : TypeVec.{u_3} (n + 1)
f₀ : ε.drop.Arrow α
f₁ : α.Arrow γ
g₀ : ε.last → β
g₁ : β → δ
⊢ TypeVec.comp (f₁ ::: g₁) (TypeVec.splitFun f₀ g₀) = TypeVec.splitFun (TypeVec.comp f₁ f₀) (g₁ ∘ g₀)
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
a b : α
h : a ≠ b
⊢ (if P then a else b) ≠ b ↔ P
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
u : b ⟶ a
⊢ [CategoryTheory.Bicategory.IsRightAdjoint u,
    CategoryTheory.Bicategory.HasAbsLeftKanLift u (CategoryTheory.CategoryStruct.id a),
    ∃ (x : CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift u (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)),
      CategoryTheory.Bicategory.LanLift.CommuteWith u (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) u].TFAE
F : Type u_2
α : outParam (Type u_3)
β : outParam (Type u_4)
TopologicalSpace α
Zero β
TopologicalSpace β
FunLike F α β
self : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
f : F
⊢ Filter.Tendsto (⇑f) (Filter.cocompact α) (𝓝 0)
n : Nat
⊢ n = 0 ∨ n = n.pred.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace γ} {x_1 : MeasurableSpace δ} {f : α → β} {g : γ → δ},
  Measurable f → Measurable g → Measurable (Sum.map f g)
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a : R
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n ≤ 1 ↔ a ≤ 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
CategoryTheory.IsIso h.unit
X : C
⊢ h.whiskerLeftLCounitIsoOfIsIsoUnit.hom.app X = h.counit.app (L.obj X)
α : Type u_1
Preorder α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (Set.Iic a)
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 y, x_1 ∈ Iio y → (f x - f y) / (x - y) ≤ (f x_1 - f y) / (x_1 - y)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hq : q.Monic
⊢ p * q %ₘ q = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a a₁ a₂ : α
h₁ : r a₁ a
h₂ : r a₂ a
⊢ ∀ x' ∈ {a₁, a₂}, r x' a
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ p.minFac = p
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a x y : G
h : SemiconjBy a x y
⊢ x = 1 ↔ y = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X Y : C
⊢ β_ X Y = CategoryTheory.Limits.prod.braiding X Y
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
α : K
⊢ house α = ↑(univ.sup' ⋯ fun φ => ‖φ α‖₊)
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hp0 : p ≠ 0
hp0_lt : 0 < p
hq0_lt : 0 < q
⊢ eLpNorm f p μ ≤ eLpNorm f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal - 1 / q.toReal)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
f : α → β
⊢ (map f l).zip (map (fun x => x) l) = (map f l).zip l
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ
ha' : [[a, x]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ
hb' : [[b, x]] ⊆ (t.ordSeparatingSet s).ordConnectedSectionᶜ
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
⊢ x ∈ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Monotone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgb : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ Finset.range n, z i‖ ≤ b
⊢ CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), f i • z i
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
this : 0 < |2 ^ (n + 1)|
⊢ dist (f.transnumAuxSeq n) (f.transnumAuxSeq (n + 1)) < 1 / |2 ^ (n + 1)|
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
⊢ LocallyLipschitz id
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hj✝ : b.natDegree - d ≤ j
hbj✝ : ↑j < ↑b.natDegree
hbj : j < b.natDegree
hj : b.natDegree - j.succ < d
⊢ (A i₁).coeff j = (A i₀).coeff j
⊢ rexp 1 < 0.36787944116⁻¹
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
S : Type u_6
SetLike S N
SubmonoidClass S N
f : M →* N
s : S
h : ∀ (x : M), f x ∈ s
n : M
⊢ (f.codRestrict s h) n = ⟨f n, ⋯⟩
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c : 𝕜 → 𝕜'
hc : DifferentiableOn 𝕜 c s
d : 𝕜'
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => c x / d) s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
r : 𝕜
⊢ ⟪r • x, y⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) r * ⟪x, y⟫_𝕜
G : Type u_1
Monoid G
x : G
n : ℕ
⊢ orderOf (x ^ n) ∣ orderOf x