ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
NonUnitalNonAssocRing α
⊢ IsCancelMulZero α ↔ NoZeroDivisors α
R : Type u_1
M : Type u_9
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
σ : R →+* R
RingHomId σ
x : M
⊢ LinearMap.id' x = x
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a : α
ha : IsMax a
⊢ ¬InfIrred a
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : f =O[atTop] fun n => ↑n ^ (x + 1 - 1)
H : ↑x + 1 < abscissaOfAbsConv f
⊢ False
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
p : K[X]
μ : K
x : V
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ ∀ (a : K), ((aeval f) (C a)) x = eval μ (C a) • x
n b m : ℕ
⊢ m < (b + 2) ^ ((b + 2).digits m).length
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
b c : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ b
a : α
⊢ a + b - c = a + (b - c)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
Fact (Nat.Prime p)
hG : Nat.card G = p ^ 2
a b : G
⊢ a * b = b * a
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
hu : ↑(addOrderOf u) ≠ 0
hu' : n = 0
⊢ u = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
i : ι
s : Set (α i)
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet ((fun b => b i) ⁻¹' s)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
Archimedean 𝕜
DiscreteTopology ↥(AddSubgroup.zmultiples p)
⊢ (AddCircle.partialHomeomorphCoe p a).source = Set.Ioo a (a + p)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMaxOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
this : (⋃ l ∈ s, ⋃ u ∈ s, ⋃ (_ : l < u), {Ico l u}).Countable
⊢ μ = ν
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x : X
h : 0 < s.length
⊢ (x ∈ range fun i => s.toFun ⟨↑i, ⋯⟩) ↔ x ≠ last s ∧ x ∈ range s.toFun
x : ℂ
⊢ Complex.exp (-x) = (Complex.exp x)⁻¹
Λ : ℂ → ℂ
hf : ∀ (s : ℂ), s ≠ 0 → s ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ Λ s
L : ℂ
h_lim : Tendsto (fun s => s * Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 L)
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
claim : ∀ (t : ℂ), t ≠ 0 → t ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ (fun u => Λ u / u.Gammaℝ) t
claim2 : Tendsto (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (L / 2))
hs : s ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) 0 (L / 2)) s
⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ 3 * Real.sin (π * ↑n / 2)) (π ^ 3 / 32)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose α).obj c).π = c.π ≫ α
α : Type u_1
f : α → α
x : α
g : α → α
h : Function.Commute f g
⊢ Function.minimalPeriod (f ∘ g) x ∣ (Function.minimalPeriod f x).lcm (Function.minimalPeriod g x)
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ (p.scaleRoots ↑(den A r)).natDegree
h : ¬j < (p.scaleRoots ↑(den A r)).natDegree
⊢ ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ (groupCohomology.dZeroArrowIso A).hom.left = ↑(groupCohomology.zeroCochainsLequiv A)
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Set.Icc ↑a ↑b)
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico a b, f ↑(i + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y : ℝ≥0∞
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
this : Tendsto (fun x_1 => x_1 * x) (𝓝[<] 1) (𝓝 (1 * x))
⊢ x ≤ y
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b v : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
⊢ (if j ∈ s → j < i then s.piecewise a v j else if i = j then s.piecewise a v j - b j else b j) = if j ∈ s then if j < i then a j else if j = i then a j - b j else b j else v j
a n m : Nat
h : 1 < a
w : n < m
⊢ a ^ n < a ^ m
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
⊢ I ≤ Ideal.comap f (Ideal.map f I)
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
⊢ ∃ m ∈ s, x ≤ m ∧ ∀ z ∈ s, m ≤ z → z = m
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
A : Matrix α β ℤ
DecidableEq α
DecidableEq β
v : β → ℤ
hv :
  v ∈
    Finset.Icc 0 fun x =>
      ↑⌊(↑(Fintype.card β) * max 1 ‖A‖) ^ (↑(Fintype.card α) / (↑(Fintype.card β) - ↑(Fintype.card α)))⌋₊
⊢ A *ᵥ v ∈
  Finset.Icc
    (fun i =>
      ∑ j : β,
        ↑⌊(↑(Fintype.card β) * max 1 ‖A‖) ^ (↑(Fintype.card α) / (↑(Fintype.card β) - ↑(Fintype.card α)))⌋₊ * -(A i j)⁻)
    fun i =>
    ∑ j : β,
      ↑⌊(↑(Fintype.card β) * max 1 ‖A‖) ^ (↑(Fintype.card α) / (↑(Fintype.card β) - ↑(Fintype.card α)))⌋₊ * (A i j)⁺
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ MeasureTheory.Measure.map Prod.swap (μ.prod ν) = ν.prod μ
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Preorder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
⊢ 0 ≤ a * b
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R
this✝ : IsPoly₂ p fun {R} [CommRing R] x y => verschiebung (x * frobenius y)
this : IsPoly₂ p fun {R} [CommRing R] x y => verschiebung x * y
⊢ verschiebung (x * frobenius y) = verschiebung x * y
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ [Module.Flat R M, ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype I)),
    ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {f : ι → R} {x : ι → M},
      ∑ i : ι, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → TensorProduct.VanishesTrivially R f x,
    ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {f : ι → R} {x : ι → M}, ∑ i : ι, f i • x i = 0 → Module.IsTrivialRelation f x,
    ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {f : ι →₀ R} {x : (ι →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0,
    ∀ {N : Type u} [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : Module R N] [inst_2 : Module.Free R N] [inst_3 : Module.Finite R N]
      {f : N} {x : N →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0].TFAE
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
h : M.IsMatching
hGG' : G ≤ G'
⊢ (SimpleGraph.Subgraph.map (SimpleGraph.Hom.ofLE hGG') M).IsMatching
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P : Fin 3 → F
hPz : P 2 ≠ 0
⊢ (fun m => m • ![P 0 / P 2, P 1 / P 2, 1]) (Units.mk0 (P 2) hPz) = P
X : Type u
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
hf : S.Finite
hc : ∀ s ∈ S, IsCompact s
⊢ IsCompact (⋃₀ S)
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
LPμν_finite : ¬levyProkhorovEDist μ ν = ⊤
LPνκ_finite : ¬levyProkhorovEDist ν κ = ⊤
ε : ℝ≥0∞
B : Set Ω
ε_pos : 0 < ε
ε_lt_top : ε < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
half_ε_pos : 0 < ε / 2
half_ε_lt_top : ε / 2 < ⊤
r : ℝ≥0∞ := levyProkhorovEDist μ ν + ε / 2
s : ℝ≥0∞ := levyProkhorovEDist ν κ + ε / 2
lt_r : levyProkhorovEDist μ ν < r
lt_s : levyProkhorovEDist ν κ < s
⊢ μ B ≤ κ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε ∧ κ B ≤ μ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s✝ t : Set α
a : α
s : UpperSet α
⊢ Set.Ici 1 * ↑s ⊆ ↑s
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : y ∈ (engel R x).normalizer
⊢ y ∈ engel R x
n m : ℕ
eq : n = m
⊢ Function.LeftInverse (Fin.cast ⋯) (Fin.cast eq)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(spectrum R a), R)
f' : C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)))
hff' : ∀ (x : ↑(spectrum R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R)
φ : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R) →⋆ₐ[R] A := (cfcHom ha).comp (ContinuousMap.compStarAlgHom' R R f')
⊢ Continuous ⇑φ
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W
⊢ cs.IsReflection t → (cs.length (w⁻¹ * t) < cs.length w⁻¹ ↔ cs.length (t * w) < cs.length w)
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : Module.End R M
a : M
⊢ f • a = f a
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
x : F
c : 𝕜
⊢ HasGradientAt (fun x => c) 0 x
σ : Type v
R : Type u_2
CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
⊢ ((MvPolynomial.aeval f) F).natDegree ≤ m * n
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
st : s ⊆ t
ht : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x
⊢ derivWithin f s x = derivWithin f t x
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (cocompact X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
hy : ¬ClusterPt y l
⊢ ∃ x ∈ insert y (range f), ClusterPt x l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain F K (-1)
β : G ⟶ K
eq : CochainComplex.HomComplex.δ (-1) 0 α = CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (φ ≫ β)
p q : ℤ
h : p + -1 = q
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inl φ).v p q h ≫ (CochainComplex.mappingCone.desc φ α β eq).f q = α.v p q h
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ o.oangle x (-y) + o.oangle y (-z) + o.oangle z (-x) = ↑π
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
S : Set X
h : IsPreirreducible S
x : X
hx : x ∈ S
y : X
hy : y ∈ S
e : ¬x = y
⊢ False
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0
this : LocallyCompactSpace G
q₀ : P
x₀ : G
hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀
k' : Set G := -k +ᵥ t
k'_comp : IsCompact k'
g' : P × G → G → E' := fun p x => g p.1 (p.2 - x)
s' : Set (P × G) := s ×ˢ t
A : ContinuousOn (uncurry g') (s' ×ˢ univ)
B : ContinuousOn (fun a => ∫ (x : G), (L (f x)) (g' a x) ∂μ) s'
⊢ s' ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] (q₀, x₀)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hsub : MeasureTheory.Submartingale f 𝒢 μ
hnonneg : 0 ≤ f
ε : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ ε • μ {ω | ↑ε ≤ (Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≤
  ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, f n ω ∂μ)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
s : Set A
⊢ StarAlgebra.adjoin R ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s) = StarAlgebra.adjoin R s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arctan (dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂))
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝[s] a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
⊢ f ⁻¹' s ∈ cocompact E
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nonempty ι
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m‖ < ε → ‖f m‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
this : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι
m : (i : ι) → E i
hcm : ∀ (i : ι), ε / ‖c‖ ≤ ‖m i‖
hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε
⊢ 1 ≤ (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι * ∏ i : ι, ‖m i‖
x y : ℂ
⊢ x.cpow y = x ^ y
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
f : α → β
hf : Set.MapsTo f s₁ t₁
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₁ ⊆ t₂
⊢ Set.MapsTo f s₂ t₂
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
n : ℕ
m : M
a : α
⊢ m ^ n • a = a ↔ MulAction.period m a ∣ n
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
⊢ Γ₂N₁.natTrans.app X = (Γ₂N₂ToKaroubiIso.app X).inv ≫ Γ₂N₂.natTrans.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.L₁'.Exact
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
⊢ rTensor N f ^ n = rTensor N (f ^ n)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
s₁ s₂ : Set Ω
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ μ s₁ ≤ μ s₂
a b : Nat
⊢ ↑(a + b) = ↑a + ↑b
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
R' : Type u_4
S✝ : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
R : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain (R × S)
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Nontrivial S
this : (0, 1) = 0 ∨ (1, 0) = 0
⊢ False
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
h : (l :: L).any isEmpty = true
⊢ (l :: L).sections = []
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : List α → β
r : List β
⊢ List.sublistsLenAux 0 l f r = f [] :: r
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : f'.NonlinearRightInverse := f'.nonlinearRightInverseOfSurjective h
c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm
cpos : 0 < c
⊢ map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.P 0 = 𝟙 K[X]
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 (f x))
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
φ : L[[α]].Sentence
⊢ (BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (fun x => ↑(L.con ((Equiv.sumEmpty α Empty) x))) default = (BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) default) default
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
adj3 : F'' ⊣ G
x : C
⊢ (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app x ≫ (adj2.leftAdjointUniq adj3).hom.app x = ((adj1.leftAdjointUniq adj2).hom ≫ (adj2.leftAdjointUniq adj3).hom).app x
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
hε : 0 < ε
⊢ ∀ (x : Finset α × Finset α), x ∉ ⊥.nonUniforms G ε
a : ℝ≥0∞
⊢ (⊤ * a).toNNReal = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
K : Type u_2
inst✝ : DivisionRing K
q : ℚ≥0
⊢ 0 < ↑q.den
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape ℕᵒᵖ (CategoryTheory.forget C)
F : ℕᵒᵖ ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
hF : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective ⇑(F.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op)
⊢ Function.Surjective ⇑(c.π.app (Opposite.op 0))
α : Type u_1
l : List α
⊢ ↑l = 0 ↔ l.isEmpty = true
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
DecidableEq ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
i : ι
⊢ b.repr (b i) = EuclideanSpace.single i 1
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
Mul M
Mul N
x y : M
FunLike F M N
MulHomClass F M N
h : Commute x y
f : F
⊢ Commute (f x) (f y)
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
x₀ : X
⊢ EquicontinuousWithinAt F Set.univ x₀ ↔ EquicontinuousAt F x₀
α : Type u
β : Type v
EMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
h : Isometry f
⊢ h.isometryEquivOnRange.toEquiv = Equiv.ofInjective f ⋯
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : Group R
inst✝ : MulAction R M
p : SubMulAction R M
x y : ↥p
⊢ (MulAction.orbitRel R ↥p).Rel x y ↔ (MulAction.orbitRel R M).Rel ↑x ↑y
y : ℝ
x : ℝ≥0∞
hy : y < 0
⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ y) x
b x c : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hx : x ≠ 0
⊢ b ^ c ≤ x ↔ c ≤ Ordinal.log b x
R : Type u
Ring R
f : R[X]
⊢ Polynomial.derivative (-f) = -Polynomial.derivative f
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hn : cornersTheoremBound (ε / 9) ≤ n
A : Finset (ℕ × ℕ)
hAn : A ⊆ Finset.range n ×ˢ Finset.range n
hAε : ε * ↑n ^ 2 ≤ ↑A.card
⊢ ¬IsCornerFree ↑A
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
R : Type u_1
CommRing R
a b c d x y z w : R
⊢ (a * x - b * y - c * z - d * w) ^ 2 + (a * y + b * x + c * w - d * z) ^ 2 + (a * z - b * w + c * x + d * y) ^ 2 +
    (a * w + b * z - c * y + d * x) ^ 2 =
  (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2) * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2)
K : Type u_1
Field K
f : K[X]
a : K
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C a) * (f /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C a)) = f - f %ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C a)
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsUpperSet α
s : Set α
⊢ closure s = ↑(lowerClosure s)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s t : Set α
μ✝ ν : Measure α
l l' : Filter α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
μ : Measure β
⊢ IntegrableAtFilter f (map e l) μ ↔ IntegrableAtFilter (f ∘ e) l (Measure.comap e μ)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y z : α
h : x ∈ y :: z :: l
hx : x = y
⊢ (y :: z :: l).prev x h = (z :: l).getLast ⋯
n : ℕ
α : Type u_1
LinearOrder α
f : Fin n → α
P : (Fin n → α) → Prop
hf : P f
h : ∀ (g : Fin n → α) (i j : Fin n), i < j → g j < g i → P g → P (g ∘ ⇑(Equiv.swap i j))
⊢ P (f ∘ ⇑(Tuple.sort f))
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
b : ℝ
hb_neg : b < 0
s : Set α := {x | f x ≤ b}
hs : NullMeasurableSet s μ
mus : μ s < ⊤
H : μ {x | f x ≤ b} ≠ 0
⊢ b * (μ s).toReal < ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
y : Set β
x : Set α
f : r ↪r s
h : y ⊆ ⇑f '' x
⊢ ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
d : ℕ
r : R
⊢ (p * (Polynomial.monomial 0) r).coeff d = p.coeff d * r
⊢ Real.toEReal ⁻¹' (Ioi ⊥ ∩ Iio ⊤) = univ
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
n : ℕ
x : WittVector p R
⊢ (WittVector.ghostComponent n) x.frobeniusFun = (WittVector.ghostComponent (n + 1)) x
x : Nat
⊢ (x + 1).testBit 0 = !x.testBit 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : Nonempty α
r : α → β → Prop
⊢ (∃ b, ∀ᶠ (a : α) in atBot, r a b) ↔ ∀ᶠ (a₀ : α) in atBot, ∃ b, ∀ a ≤ a₀, r a b
I : Type u
inst✝³ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ : GradedObject I C
inst✝ : X₁.HasTensor X₂
A : C
k : I
f : (i₁ i₂ : I) → i₁ + i₂ = k → (X₁ i₁ ⊗ X₂ i₂ ⟶ A)
i₁ i₂ : I
hi : i₁ + i₂ = k
⊢ ιTensorObj X₁ X₂ i₁ i₂ k hi ≫ tensorObjDesc f = f i₁ i₂ hi
α : Type u_1
r : α → α → Prop
hr : WellFounded r
⊢ WellFounded (Relation.CutExpand r)
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype n
Finite m
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
⊢ (LinearMap.toMatrix v₁ v₂).symm = Matrix.toLin v₁ v₂
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : Disjoint z (y \ x)
⊢ z ⊔ y \ x ≤ x ⊔ y \ x