ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
x : SetTheory.PGame
h : 0 ≤ x
j : x.RightMoves
⊢ 0 ≤ (x.moveRight j).moveLeft (SetTheory.PGame.leftResponse h j)
α β : Type u
f : α → β
x y : FreeMagma α
⊢ f <$> (x * y) = f <$> x * f <$> y
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
F : Type u_5
G : Type u_6
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
α : Type u_7
g : F →SL[σ₂₃] G
f : α → F
l : Filter α
⊢ Asymptotics.IsBigOWith ‖g‖ l (fun x' => g (f x')) f
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ✝ φ : R →+* A
hφ : Function.Injective ⇑φ
x✝¹ x✝ : EllipticCurve R
h : (fun E => E.map φ) x✝¹ = (fun E => E.map φ) x✝
h1 : x✝¹.map φ = x✝.map φ
h2 : ↑φ ↑x✝¹.Δ' = ↑φ ↑x✝.Δ'
⊢ x✝¹ = x✝
a b : ℝ
m n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x ^ (2 * m + 1) * Real.cos x ^ n =
  ∫ (u : ℝ) in Real.cos b..Real.cos a, u ^ n * (1 - u ^ 2) ^ m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z₁ z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (z₁ + z₂).v p q hpq = z₁.v p q hpq + z₂.v p q hpq
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f₁ : ι → κ
f₂ : (i : ι) → σ i → τ (f₁ i)
h₁ : Injective f₁
⊢ Inducing (Sigma.map f₁ f₂) ↔ ∀ (i : ι), Inducing (f₂ i)
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
x : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ
⊢ (GradedTensorProduct.auxEquiv R ℬ 𝒜) ((GradedTensorProduct.comm 𝒜 ℬ) x) =
  (TensorProduct.gradedComm R (fun x => ↥(𝒜 x)) fun x => ↥(ℬ x)) ((GradedTensorProduct.auxEquiv R 𝒜 ℬ) x)
a x✝ z x : ℂ
hr : 0 < x.re
hi : x.im < 0
⊢ (if 0 ≤ x.re then -Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ -x.im then Real.arcsin (x.im / abs x) + π else Real.arcsin (x.im / abs x) - π) = if x.re < 0 ∧ x.im = 0 then π else -if 0 ≤ x.re then Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ x.im then -Real.arcsin (x.im / abs x) + π else -Real.arcsin (x.im / abs x) - π
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
self : BundledCorePresheafOfModules R
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ self.map (f ≫ g) =
  self.map f ≫
    (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (self.map g) ≫
      (ModuleCat.restrictScalarsComp' (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯).inv.app (self.obj Z)
m k : ℕ+
⊢ ↑(m.mod k) = if ↑m % ↑k = 0 then ↑k else ↑m % ↑k
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
⊢ ¬IsSquare p
α : Type u_1
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
a b c d : α
h : b ≤ c
⊢ Multiset.Ico a b ∩ Multiset.Ico c d = 0
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlroot : IsPrimitiveRoot x l
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l
a : ℕ
ha : 2 * ↑n = l * a
⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : Sbtw R x y z
⊢ ¬Wbtw R z x y
R : Type v
CommRing R
n : ℕ
k : Fin (n + 1)
c : Fin n → R
_hc : ∀ (i : Fin n), k < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
_h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
_hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
⊢ M.det = N.det
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
f : X → Y
s : Set X
inj : Set.InjOn f s
sc : IsCompact s
fc : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
loc : ∀ x ∈ s, ∃ u ∈ 𝓝 x, Set.InjOn f u
⊢ ∃ t ∈ 𝓝ˢ s, Set.InjOn f t
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
CauSeq.IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv
h : f ≈ g
⊢ f.lim = g.lim
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
⊢ StrictMono ⇑toMultiset
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.InducedCategory AlgebraicGeometry.Scheme CategoryTheory.FullSubcategory.obj} (f : X ⟶ Y),
  AlgebraicGeometry.AffineScheme.forgetToScheme.map f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder β s
f : r ↪r s
a : α
⊢ f.collapse a = ↑(f.collapseF a)
α : Type u_1
DecidableEq α
xs : List α
h : xs.Nodup
n : ℕ
hn : n < xs.length
⊢ xs.formPerm (xs.nthLe n hn) = xs.nthLe ((n + 1) % xs.length) ⋯
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
A : Mon_ Cᵒᵖ
⊢ (ρ_ A.X).hom.unop = (ρ_ (unop A.X)).inv
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f g : α →o β
⊢ f ≤ g ↔ ∀ (x : α), f x ≤ g x
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
Nontrivial R
x : X
⊢ FreeAlgebra.ι R x ≠ 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Abelian.coimageImageComparison f)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasImages C
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
S : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ × τ → S
i : σ
p : MvPolynomial τ R
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g ((MvPolynomial.rename (Prod.mk i)) p) = MvPolynomial.eval₂ f (fun j => g (i, j)) p
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
⊢ s.toList = [] ↔ s = 0
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β
C : ℝ
Nonempty α
⊢ dist f g ≤ C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f g : a ⟶ b
β : f ⟶ g
h : G.obj b ⟶ a'
⊢ F.map₂ β ▷ η.app b ▷ h ≫ η.naturality g ▷ h = η.naturality f ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) h).hom ≫ η.app a ◁ G.map₂ β ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map g) h).inv
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
b : β
⊢ LipschitzWith 1 fun a => (a, b)
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
AddMonoid ι
Semiring M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
⊢ ⇑addMonoidAlgebraRingEquivDirectSum = AddMonoidAlgebra.toDirectSum
I : Type u
DecidableEq I
R : Type v
CommSemiring R
A : I → Type w
(i : I) → Semiring (A i)
(i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
Semiring B
Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
⊢ (LinearAlgebra.FreeProduct.lift R A) maps =
  (RingQuot.liftAlgHom R) ⟨(TensorAlgebra.lift R) (DirectSum.toModule R I B fun x => maps.toLinearMap), ⋯⟩
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x✝ y✝ ε x y : α
h : x < y
n : ℕ
nh : (y - x)⁻¹ < ↑n
z : ℤ
zh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n
⊢ x < ↑(↑(z + 1) / ↑n) ∧ ↑(↑(z + 1) / ↑n) < y
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
⊢ ⊤.fixingSubgroup = ⊥
a b : Ordinal.{u_1}
a1 : 1 < a
⊢ b.IsLimit → (a ^ b).IsLimit
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : FiniteDimensional k V
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
a✝ : Nontrivial ι
inhabited_h : Inhabited ι
⊢ _root_.Finite ι
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
r : 𝕜
X : LeftInvariantDerivation I G
⊢ ⇑(r • X) = r • ⇑X
n : ℕ
⊢ 2 * powHalf (n + 1) = powHalf n
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Group G
f g : MonoidAlgebra k G
x : G
⊢ (f * g) x = Finsupp.sum g fun a b => f (x * a⁻¹) * b
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕝
AddCommGroup E
Module 𝕝 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ∀ r > 0, p.ball 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ Continuous ⇑p
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.SOppSide x y
hyz : s.SOppSide y z
⊢ s.SSameSide x z
ι : Type u_1
E : Type u_3
Fintype ι
AddCommGroup E
Module ℝ E
v : ι → E
⊢ Convex ℝ (parallelepiped v)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
⊢ ∃ v ∈ 𝓝[insert x₀ s] x₀, v ⊆ insert x₀ s ∧ ∃ f', (∀ x ∈ v, HasFDerivWithinAt (f x) (f' x) t (g x)) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun x => f' x) s x₀
m n : ℤ
H : 0 < m.gcd n
⊢ ∃ g m' n', 0 < g ∧ m'.gcd n' = 1 ∧ m = m' * ↑g ∧ n = n' * ↑g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
n : ℕ
⊢ eapprox (f ∘ g) n = (eapprox f n).comp g hg
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
⊢ (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ = (Submodule.span ℝ {-↑v})ᗮ
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : SecondCountableTopology ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
h : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ
n : ι
hτ_le : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ n
this : stoppedValue u τ = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun ω => (⟨τ ω, ⋯⟩, ω)
⊢ Measurable fun ω => (⟨τ ω, ⋯⟩, ω)
a b : ℕ+
⊢ a.gcdZ b * a.gcdA' b = (a.gcdX b * ↑(a.gcdB' b)).succPNat
ctx : Nat.Linear.Context
fuel : Nat
m₁ m₂ r₁ r₂ : Nat.Linear.Poly
h : Nat.Linear.Poly.denote_eq ctx (List.reverse r₁ ++ m₁, List.reverse r₂ ++ m₂)
⊢ Nat.Linear.Poly.denote_eq ctx (Nat.Linear.Poly.cancelAux fuel m₁ m₂ r₁ r₂)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
⊢ (∀ x ∈ s, ∃ V ∈ 𝓤 α, ball x V ⊆ s) ↔ ∀ x ∈ s, ∃ V ∈ 𝓤 α, IsOpen V ∧ ball x V ⊆ s
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑R
inst✝ : Algebra ↑R ↑S
y : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk p)
U : TopologicalSpace.Opens ↑(Spec.topObj R)
hp : p ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op U))
e : (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hp⟩) s = y
⊢ ∃ x, x.2 • y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) x.1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
hx : x ∈ f.range ∧ x ≠ 0
⊢ x ≠ 0
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
x y : c.pt
h₁ : c.fst x = c.fst y
h₂ : c.snd x = c.snd y
⊢ x = y
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
X : C
⊢ Triangle.mk 0 (𝟙 X) 0 ∈ distinguishedTriangles
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
⊢ ⊥.prod ⊥ = ⊥
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
h : v ≠ w
⊢ Fintype.card ↑(⊤.commonNeighbors v w) = Fintype.card V - 2
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
⊢ IsNoetherian A C
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
⊢ arccos (⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) = arccos (⟪y, x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖x‖))
α : Type u_1
StrictOrderedSemiring α
x : ↑(Set.Ioc 0 1)
⊢ ↑x ≤ 1
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
x : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ f ∈ (⨅ (_ : x ∈ t), x.asHomogeneousIdeal).toIdeal ↔ x ∈ t → f ∈ x.asHomogeneousIdeal
α : Type u_6
⊢ Set.range some ∩ {none} = ∅
x : ℝ
n : ℕ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hxr : x ^ n = ↑m
hv : (multiplicity (↑p) m).get ⋯ % n ≠ 0
hnpos : n > 0
⊢ ¬∃ y, x = ↑y
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
TopologicalSpace X
CompactSpace X
T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : IsClosed ↑I
⊢ ContinuousMap.idealOfSet 𝕜 (ContinuousMap.setOfIdeal I) = I
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : InitialMonoClass C
I X : C
hI : IsInitial I
f : I ⟶ X
⊢ Mono f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
A B : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
self : CategoryTheory.Limits.BinaryBiconeMorphism A B
⊢ A.inr ≫ self.hom = B.inr
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s : Finset ι
f : ι → Set α
⊢ (⋃ i ∈ s, f i).WellFoundedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).WellFoundedOn r
x : ℂ
⊢ Complex.log ((starRingEnd ℂ) x) = if x.arg = Real.pi then Complex.log x else (starRingEnd ℂ) (Complex.log x)
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
⊢ 0⁻¹ = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
f g : Equiv.Perm α
h : f.Disjoint g
⊢ Disjoint f.cycleFactorsFinset g.cycleFactorsFinset
n : Type u_2
R : Type u_4
Fintype n
CommSemiring R
DecidableEq n
⊢ Matrix.toMvPolynomial 1 = MvPolynomial.X
x y n m : ℕ
hx : x < 2 ^ n
hy : y < 2 ^ m
⊢ y <<< n ||| x < 2 ^ (n + m)
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ
⊢ filter (p ^ (n + 1)).Coprime (range (p ^ (n + 1))) = filter (fun x => x ∉ image (fun x => x * p) (range (p ^ n))) (range (p ^ (n + 1)))
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ Polynomial.mapAlgHom (AlgHom.id R A) = AlgHom.id R A[X]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{max v u, w} D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ
⊢ (J.diagramNatTrans (𝟙 P) X).app x✝ = (𝟙 (J.diagram P X)).app x✝
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i✝ i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑i) f univ
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑i) g univ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f + g) univ x = iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x + iteratedFDerivWithin 𝕜 i g univ x
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
D1 D2 : LieDerivation R L M
H : ∀ (a : L), D1 a = D2 a
⊢ D1 = D2
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B
⊢ adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ (R₃.map (H₂.map (𝟙 (L₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b)))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))
α : Type u_2
Fintype α
s : Finset α
⊢ s.dens ≠ 0 ↔ s.Nonempty
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
n k : ℕ
h : n ≤ Nat.nth p k
⊢ Nat.count p n ≤ k
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
GroupWithZero α
Preorder α
Preorder β
MulAction α β
PosSMulStrictMono α β
PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a
⊢ b₁ < a⁻¹ • b₂ ↔ a • b₁ < b₂
P : ℤ → Prop
Hbdd : ∃ b, ∀ (z : ℤ), P z → b ≤ z
Hinh : ∃ z, P z
⊢ ∃ lb, P lb ∧ ∀ (z : ℤ), P z → lb ≤ z
α : Type u_2
MulZeroClass α
f : Filter α
hf : f.NeBot
⊢ 0 ≤ f * 0
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K
⊢ re ↑(‖x‖ ^ 2) = ‖↑(‖x‖ ^ 2)‖
a : UnitAddCircle
⊢ Differentiable ℂ (HurwitzZeta.sinZeta a)
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
A : Set G
⊢ μ.outerMeasure A = ⨅ U, ⨅ (hU : IsOpen U), ⨅ (_ : A ⊆ U), μ.innerContent { carrier := U, is_open' := hU }
x : ℝ
⊢ ↑x ≠ ⊤
α : Type u_1
M : Matroid α
I J : Set α
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
⊢ M.Indep I
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ Ioo (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map (Embedding.inl.trans toLex.toEmbedding) (Ioo a₁ a₂)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
h : Smooth I I' f
⊢ SmoothAt I I' f x
α : Type u_1
LT α
a b : α
⊢ Ordering.gt.Compares a b = (a > b)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0
h_diff : DifferentiableAt ℝ f z
⊢ ((∃ map, restrictScalars ℝ map = fderiv ℝ f z) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ↔ DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
Subsingleton α
hf : Function.Surjective f
⊢ Subsingleton β
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this✝
this : (Measure.map (⇑e.symm) volume).IsAddHaarMeasure
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
h0p : 0 ≤ p
c : ℝ≥0 := μ.addHaarScalarFactor (Measure.map (⇑e.symm) volume)
hc : 0 < c
h2c : μ = c • Measure.map (⇑e.symm) volume
⊢ ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂μ ≤ ↑C * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂μ) ^ p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cocycle F G 0
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n
m : ℤ
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n m ((↑z₁).comp z₂ ⋯) = (↑z₁).comp (CochainComplex.HomComplex.δ n m z₂) ⋯
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0
h1 : √π ≠ 0
h2 : Gamma (s / 2) ≠ 0
h3 : Gamma (s / 2 + 1 / 2) ≠ 0
h4 : 2 ^ (s - 1) ≠ 0
⊢ (log ∘ doublingGamma) s = (fun s => log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + s * log 2 - log (2 * √π)) s
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹² : Monoid A
inst✝¹¹ : Monoid B
inst✝¹⁰ : Monoid C
inst✝⁹ : Monoid D
inst✝⁸ : CommGroup E
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace C
inst✝⁴ : TopologicalSpace D
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalGroup E
inst✝¹ : ContinuousMul B
inst✝ : T2Space B
⊢ IsClosed (Set.range toContinuousMap)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
u : Rˣ
⊢ ↑u * ↑u = 1 ↔ ↑u = 1 ∨ ↑u = -1
α : Type u_1
R : Type u_2
SMul R α
c : R
a : α
⊢ SymAlg.sym (c • a) = c • SymAlg.sym a
α : Type u_1
β : Type u_2
Bornology α
Bornology β
⊢ Bornology.cobounded (α × β) = (Bornology.cobounded α).coprod (Bornology.cobounded β)
R S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FormallyUnramified R S
inst✝ : EssFiniteType R S
x : M
⊢ (_root_.TensorProduct.lift (↑R (↑R (lsmul S S M).toLinearMap.flip).flip)) ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.map LinearMap.id ((lsmul R R M).toLinearMap.flip x)) (elem R S)) = x
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
q : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | ↑q < v.limRatioMeas hρ x}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0
x : α
hx : x ∈ s ∩ t
⊢ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, (q • μ) a ≤ ρ a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T)
I : Type u
C : Set (I → Bool)
J : I → Prop
(i : I) → Decidable (J i)
⊢ Profinite.NobelingProof.ProjRestricts C ⋯ = id
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤
b : α
s : Set α
s_max : ∀ a ∈ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}, s ⊆ a → a = s
s_ind : CompleteLattice.SetIndependent s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a
a : α
ha : a ∈ {a | IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
⊢ a ∈ s