ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_4
TopologicalSpace X
self : CompactExhaustion X
n : ℕ
⊢ self.toFun n ⊆ interior (self.toFun (n + 1))
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
c : Cardinal.{v}
this : Nontrivial K
⊢ c ≤ Module.rank K V ↔ ∃ s, #↑s = c ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap (φ - φ') =
  CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap φ - CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap φ'
Ω : Type u_1
β : Type u_6
β' : Type u_7
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun f g μ ↔
  ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → ProbabilityTheory.IndepSet (f ⁻¹' s) (g ⁻¹' t) μ
f g : ℂ → ℂ
f' g' x : ℂ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x
h0 : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => f x ^ g x) (g x * f x ^ (g x - 1) * f' + f x ^ g x * Complex.log (f x) * g') x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f : X → Y
s : Set X
hgf : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ f) s
hg : IsLocalHomeomorphOn g (f '' s)
cont : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
⊢ IsLocalHomeomorphOn f s
α : Type u_1
⊢ toBoolRing.symm = ofBoolRing
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, IsClosed V ∧ V⁻¹ = V ∧ V * V ⊆ U
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : ℕ → α
k : ℕ
⊢ liminf (f ∘ fun x => x + k) atTop = liminf f atTop
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ≅ Y
Z : C
⊢ f.inv ▷ Z ≫ f.hom ▷ Z = 𝟙 (Y ⊗ Z)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
n : ℤ
⊢ 0 ^ n = if n = 0 then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_5
Preorder ι
One β
s : ι → Set α
hs : Antitone s
f : α → β
a : α
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (s i).mulIndicator f a) Filter.atTop (pure ((⋂ i, s i).mulIndicator f a))
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₁.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₁.f ⋯)
hf' : f' ≫ i = S₁.f
hf'' : f' = φ.τ₁ ≫ h.f'
wπ : f' ≫ h.π = 0
hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ h.π wπ)
⊢ S₁.LeftHomologyData
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ Function.Injective ⇑(NumberField.canonicalEmbedding K)
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
f : α × β → E
⊢ MeasureTheory.Integrable (f ∘ Prod.swap) (ν.prod μ) ↔ MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν)
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕂
CharZero 𝕂
NormedCommRing 𝕊
NormedRing 𝔸
NormedSpace 𝕂 𝕊
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
Algebra 𝕊 𝔸
ContinuousSMul 𝕊 𝔸
IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasFDerivAt (fun u => NormedSpace.exp 𝕂 (u • x)) (NormedSpace.exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) t
x : EReal
⊢ x - ⊤ = ⊥
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
⊢ ∀ (a a_1 : ℕ × K), PerfectClosure.R K p a a_1 ↔ ∃ n x, a = (n, x) ∧ a_1 = (n + 1, (frobenius K p) x)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S T : L.Substructure M
h : ∀ (x : M), x ∈ S ↔ x ∈ T
⊢ S = T
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Mul γ
ContinuousMul γ
f g : α → γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf * MeasureTheory.AEEqFun.mk g hg = MeasureTheory.AEEqFun.mk (f * g) ⋯
K : Type u_2
Field K
x : K
r : ℝ
⊢ (∀ (w : NumberField.InfinitePlace K), w x ≤ r) ↔ ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ x‖ ≤ r
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
H : ∀ (a b : α), ∃ m, ∀ (c : α), r c a ∨ r c b → r c m
a : α
⊢ Set.Unbounded r (s ∩ {b | ¬r b a}) ↔ Set.Unbounded r s
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
⊢ (∫ (v : ℝ), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • (fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f v n) fun x => 1) = ∫ (v : ℝ), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • (-2 * ↑π * I * ↑v) ^ n • f v
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain R
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : Nontrivial L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsDomain S
s : S
hs : IsIntegral R s
⊢ minpoly K ((algebraMap S L) s) = map (algebraMap R K) (minpoly R s)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ
i j : ℕ
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
u : ℤ
hu : IsUnit u
⊢ u.natAbs = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : OrderedRing E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : OrderClosedTopology E
l : E
f : ℕ → E
hfl : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)
hfa : Antitone f
k : ℕ
hm : Monotone fun n => ∑ i ∈ Finset.range (2 * n), (-1) ^ i * f i
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (2 * k), (-1) ^ i * f i ≤ l
σ : Type u_1
d : σ →₀ ℕ
⊢ d.degree = 0 ↔ d = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_5
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : BoundedContinuousFunction α E
⊢ ↑((lpBCFₗᵢ E 𝕜).symm f) = ⇑f
k : Type u_1
CommSemiring k
A : Type u_2
Semiring A
Algebra k A
M : Type u_3
AddCommMonoid M
Module k M
Module A M
IsScalarTower k A M
N : Type u_4
AddCommMonoid N
Module k N
Module A N
IsScalarTower k A N
fₗ : M →ₗ[A] N
⊢ (LinearMap.restrictScalarsLinearMap k A M N) fₗ = ↑k fₗ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
p q : R[X]
hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < (p * q).degree → (p * q).coeff n ∈ P
hfd0✝ : 0 < (p * q).degree
h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2
hu : (p * q).IsPrimitive
hf0 : p * q ≠ 0
hf : map (mk P) (p * q) = C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) * X ^ (p * q).natDegree
hfd0 : 0 < (p * q).natDegree
⊢ IsUnit p ∨ IsUnit q
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
⊢ Function.Surjective ⇑(Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S))
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ℝ
⊢ volume (Ico a b) = ofReal (b - a)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s t : Subtype MeasurableSet
⊢ ↑(s ∪ t) = ↑s ∪ ↑t
M G : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Group G
x y : SingleObj G
f : x ⟶ y
⊢ inv f = f⁻¹
α : Type u_2
γ : Type u_5
TopologicalSpace α
f : α → γ
TopologicalSpace γ
Zero γ
h : HasCompactSupport f
⊢ Filter.Tendsto f (Filter.cocompact α) (𝓝 0)
β : Type u_4
AddGroup β
f : ℤ →+ β
⊢ (zmultiplesHom β).symm f = f 1
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
v : V
⊢ ⇑(AffineIsometryEquiv.constVAdd 𝕜 P v) = fun x => v +ᵥ x
μ : YoungDiagram
j : ℕ
⊢ ∃ i, (i, j) ∉ μ.cells
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0
this : 1 ≤ ↑(Fintype.card Fq)
⊢ x - z = x - y + (y - z)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
h : 0 < multiplicity a b
⊢ a ∣ b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x : M
p : TangentBundle I M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
⊢ UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Functor.id C).obj X = X
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
⊢ s.ncard = s.toFinset.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
⊢ r.preimage ∅ = ∅
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b c : α
h : Codisjoint b c
⊢ a ⇔ b ⊓ a ⇔ c ≤ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
Nontrivial F
⊢ ‖ContinuousLinearMap.snd 𝕜 E F‖ = 1
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + c < b → a < b - c
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s : Set α
t : ι → Set α
i : ι
h : s ⊆ t i
⊢ s ⊆ ⋃ i, t i
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
k : α
lin_0 : ∀ (u : K →+* ℂ), ∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r)) = 0
this✝ : 0 = ∑ u : K →+* ℂ, (∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r))) * (NumberField.house.newBasis K) u
this : 0 = ∑ y : β, ∑ x_1 : K →+* ℂ, ↑(x (y, x_1)) * ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k y x_1 u) * (NumberField.house.newBasis K) u
l✝ : β
l : K →+* ℂ
⊢ ↑(x (l✝, l)) * (a k l✝ * (NumberField.house.newBasis K) l) = (fun j => a k j) l✝ * (↑(x (l✝, l)) * (NumberField.house.newBasis K) l)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - 1 ≠ 0
σ τ : (X ^ n - 1).Gal
a : (X ^ n - 1).SplittingField
ha : a ∈ (X ^ n - 1).rootSet (X ^ n - 1).SplittingField
⊢ (σ * τ) a = (τ * σ) a
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
AddCommGroup V
Ring k
Module k V
Fintype ι
b : AffineBasis ι k V
v : V
⊢ ∑ i : ι, (b.coord i) v • b i = v
α : Type u_1
x : α
⊢ {Opposite.op x}.unop = {x}
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
f : G → G → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable (uncurry f) (μ.prod ν)
h : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)
h2f : AEMeasurable (uncurry fun x y => f (y * x) x⁻¹) (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (z : G × G), f (z.2 * z.1) z.1⁻¹ ∂μ.prod ν = ∫⁻ (z : G × G), f z.1 z.2 ∂μ.prod ν
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
r : K[X]
hr : map (algebraMap R K) q = map (algebraMap R K) p * r
s : R
s0 : s ∈ R⁰
hs : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ r) = C ((algebraMap R K) s) * r
h : p ∣ q * C s
⊢ p ∣ q
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
Zero N
g : M → N
hg : ∀ {x : M}, g x = 0 ↔ x = 0
f : α → M
⊢ Function.support (g ∘ f) = Function.support f
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
i : ι
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ S i → x ∈ iSup S
α : Sort u_2
DecidableEq α
β : Sort u_1
v : α → β
i j : α
hv : v i = v j
k : α
⊢ v ((Equiv.swap i j) k) = v k
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).hom.app K).f n = (HomologicalComplex.XIsoOfEq K ⋯).hom
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α β : TypeVec.{u_1} n
F' : TypeVec.{u_1} n → Type u
inst✝¹ : MvFunctor F'
inst✝ : LawfulMvFunctor F'
R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop
x : F' α
f g : α ⟹ β
h : α ⟹ Subtype_ R
hh : subtypeVal R ⊚ h = (f ⊗' g) ⊚ prod.diag
⊢ (prod.fst ⊚ subtypeVal R) <$$> h <$$> x = f <$$> x ∧ (prod.snd ⊚ subtypeVal R) <$$> h <$$> x = g <$$> x
α : Type u_1
MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
self : Besicovitch.SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
⊢ 0 < self.r i
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
h : x + ↑m ≤ f x
n : ℕ
⊢ x + ↑n * ↑m ≤ (⇑f)^[n] x
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop (𝓝 0)
r✝ : ℝ
hr : 0 < r✝
hg : Tendsto (fun x => -f x) atTop (𝓝 (-0))
⊢ -ofSeq f < ↑r✝
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.OplaxFunctor B C} (η : CategoryTheory.OplaxNatTrans X Y)
  (θ : CategoryTheory.OplaxNatTrans Y Z) (a : B),
  (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η θ).app a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (η.app a) (θ.app a)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hqd0 : q.natDegree ≠ 0
⊢ (p.sum fun a b => (C b * q ^ a).coeff (p.natDegree * q.natDegree)) = p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ^ p.natDegree
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite
this : Finite ↑(f '' s)
⊢ ¬InjOn f s
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
g : G
hg : g ≠ 1
hp : Fact (Nat.Prime (Fintype.card G))
this : zpowers g = ⊥ ∨ zpowers g = ⊤
⊢ zpowers g = ⊤
S : ShortComplex Ab
⊢ S.Exact ↔ Function.Exact ⇑S.f ⇑S.g
α : Type u
s t : Set α
⊢ (s ∪ t) \ t = s \ t
α : Type u_1
l : List α
⊢ (↑l).Nodup ↔ l.Nodup
this : Primrec' fun v => (fun a b => b - a) v.head v.tail.head
⊢ Primrec' fun v => v.head - v.tail.head
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {l : List α} {f : α → Bool}, (a :: l).any f = (f a || l.any f)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
n : ι
⊢ aeSeq hf p n =ᵐ[μ] f n
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
w z : ℂ
⊢ ↑⟪w, z⟫_ℝ + (Complex.orientation.areaForm w) z • I = (starRingEnd ℂ) w * z
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type w
StrongRankCondition R
h : Basis ι R M
⊢ FiniteDimensional.finrank R M = Nat.card ι
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S T : IntermediateField F E
h : S = T
x : ↥S.toSubalgebra
⊢ (IntermediateField.equivOfEq h) x = ⟨↑x, ⋯⟩
R : Type u
Semiring R
a : R
f : R[X]
⊢ (Polynomial.C a * f).natDegree ≤ f.natDegree
α : Type u_1
AddZeroClass α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : b ≤ 0
⊢ b + a ≤ a
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
PartialOrder α
a b : α
⊢ μ.restrict (Set.Ioo a b) = μ.restrict (Set.Ioc a b)
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), ↑(f x) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ↑δ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ↑ε
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
this : ∀ (ε : ℝ), mk '' ball 0 ε = {x | ‖x‖ < ε}
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {x | ‖x‖ < ε}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → G
⊢ ‖∫ (a : α), f a ∂μ‖ ≤ ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
⊢ Subsemiring.map (RingHom.id R) s = s
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
RegularNormedAlgebra 𝕜 A
a b : A
⊢ dist ↑a ↑b = dist a b
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
⊢ List.drop n l ⊆ l
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
TopologicalSpace HB
ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
⊢ e ∈
    ⋃ φ,
      ⋃ U,
        ⋃ (hU : IsOpen U),
          ⋃ (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) U),
            ⋃ (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) U),
              {e | e.EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)} ↔
  ∃ φ U,
    ∃ (hU : IsOpen U) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) U) (h2φ :
      SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) U), e.EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
J : Type w₁
C' : Option J → Type u₁
(i : Option J) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C' i)
⊢ (CategoryTheory.Pi.optionEquivalence C').unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.pi' fun i =>
    match i with
    | none =>
      CategoryTheory.Iso.refl
        ((CategoryTheory.Functor.id ((i : Option J) → C' i)).comp (CategoryTheory.Pi.eval C' none))
    | some i =>
      CategoryTheory.Iso.refl
        ((CategoryTheory.Functor.id ((i : Option J) → C' i)).comp (CategoryTheory.Pi.eval C' (some i)))
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
⊢ ∀ᶠ (n₀ : ℕ) in atTop, ∃ c, ∀ n ≥ n₀, ‖T n‖ ≤ c * ‖(1 - ε ↑n) * asympBound g a b n‖
α : Type u
β : Type u_1
AddGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
Preorder β
f : β → α
s : Set β
hf : StrictAntiOn f s
⊢ StrictMonoOn (fun x => -f x) s
α : Type u_1
OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
u : Set α
hu : u.IsPWO
h : u ⊆ t
⊢ Finset.mulAntidiagonal hs hu a ⊆ Finset.mulAntidiagonal hs ht a
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ≈ b → f a = f b
x : α
⊢ ⟦x⟧.liftOn f h = f x
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B✝ B : ℝ
hB✝ : B ≤ 0
hB : B = 0
⊢ volume (convexBodySum K B) = 0
n : ℕ
⊢ 0 < 1 / (↑n + 1)
α : Type u_1
Primcodable α
Inhabited α
⊢ Primrec List.headI
R : Type u_1
Ring R
Nontrivial R
OreLocalization.OreSet (nonZeroDivisors R)
NoZeroDivisors R
x : OreLocalization (nonZeroDivisors R) R
h : x ≠ 0
⊢ x * x⁻¹ = 1
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ StrictAntiOn (⇑OrderDual.toDual ∘ f) s ↔ StrictMonoOn f s
M : Type u_2
AddZeroClass M
S : Set (AddSubmonoid M)
⊢ (sInf S).op = sInf (AddSubmonoid.unop ⁻¹' S)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.prev hs x hx ∈ s
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
h : ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → s ∩ ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
ι✝ : Type u
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hsU : s ⊓ ⋂ i, (U i)ᶜ = ⊥
t : Finset ι✝
ht : s ∩ ⋂ i ∈ t, (U i)ᶜ = ∅
⊢ s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
Algebra K L
f : K[X]
Polynomial.IsSplittingField K L f
⊢ FiniteDimensional K L
x y a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ Gamma x ^ a ≠ 0
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → Zero (β i)
x : Hamming β
⊢ ‖x‖ = ↑(hammingNorm (Hamming.ofHamming x))
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_3
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : Away r S
⊢ ((IsLocalization.Away.auxHom S r).comp (IsLocalization.Away.auxInv S r)).comp (algebraMap R S) = (RingHom.id S).comp (algebraMap R S)
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f✝ : Perm α
inst✝ : DecidablePred p
a : α
f : Perm (Subtype p)
x : α
h : ¬p x
⊢ p x ↔ p ((ofSubtype f) x)
R : Type u
Ring R
p : R[X]
q : R[X]
hmo : q.Monic
⊢ q * p /ₘ q = p
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n m : ℕ
hc : G.Colorable n
hm : n < m
⊢ G.CliqueFree m
ι : Type u_1
N : Type u_4
TopologicalSpace N
AddMonoid N
ContinuousAdd N
T2Space N
f : ι → AddUnits N
r₁ r₂ : N
l : Filter ι
l.NeBot
h₁ : Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 r₁)
h₂ : Filter.Tendsto (fun x => ↑(-f x)) l (𝓝 r₂)
⊢ ↑(h₁.addUnits h₂) = r₁
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C c)
n : ι
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.unitIso.hom.app P).f.f n = P.p.f n
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, c * f x ≤ f u
I : Type u
f : I → Type v
γ : Type w
(i : I) → NonAssocSemiring (f i)
NonAssocSemiring γ
g : (i : I) → γ →+* f i
x : γ
b : I
⊢ (Pi.ringHom g) x b = (g b) x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.ord.cof
hf : ∀ (i : ι), f i < c
i : ι
⊢ f i < c
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (cyclotomic n ℤ).degree = ↑n.totient
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
h : p = ⊤
x : M
⊢ ↑((LinearEquiv.ofTop p h).symm x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (a : β), f a ∂Measure.map g μ = ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ