ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
⊢ (iInf f).lift g ≤ ⨅ i, (f i).lift g
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ ‖z‖ ^ 2 = RCLike.re z * RCLike.re z + RCLike.im z * RCLike.im z
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α × β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ Set.image2 (fun a b => f (a, b)) s t = f '' s ×ˢ t
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
hab : a ⩿ b
⊢ b ⩿ a ↔ b ≤ a
α : Type u
l' : List α
⊢ List.nil.tailD l' = l'
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
SMul ℝ β
ContinuousSMul ℝ β
c : ℝ
hu : MeasureTheory.Adapted f u
⊢ MeasureTheory.Adapted f (c • u)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
x : α
r : ι → ℝ
hr : Tendsto r l atTop
⊢ ∀ᵐ (x_1 : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in l, x_1 ∈ Metric.closedBall x (r i)
α : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero α
a✝ b : α
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
a : α
⊢ (a ^ m ∈ Set.range fun x => x ^ n) ↔ a ∈ Set.range fun x => x ^ n
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a x : E
ha : ¬a = 0
⊢ ∀ (i : Fin 2), (⟪a, x⟫_ℝ • o.areaForm a - (o.areaForm a) x • (innerₛₗ ℝ) a) ((o.basisRightAngleRotation a ha) i) = (‖a‖ ^ 2 • o.areaForm x) ((o.basisRightAngleRotation a ha) i)
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
⊢ Ideal.map f p ≤ P ^ Ideal.ramificationIdx f p P
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
s : Set α
t : Set β
x : β
y : α
⊢ (x, y) ∈ Prod.swap ⁻¹' s ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ t ×ˢ s
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_countable_range : (Set.range τ).Countable
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : Set.univ = ⋃ i ∈ Set.range τ, {x | τ x = i}
⊢ stoppedValue f τ =ᶠ[ae μ] μ[f n|hτ.measurableSpace]
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (map (f ≫ g) g f (𝟙 X₃) ⋯) ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mappingConeCompHomotopyEquiv f g).inv = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (inr (map f (f ≫ g) (𝟙 X₁) g ⋯)) ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mappingConeCompHomotopyEquiv f g).inv
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
⊢ Summable fun n => -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace α✝
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝⁵ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace δ
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
p : α → Prop
inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)
s : Set α
f g : α → β
hp : ∀ a ∈ s ∩ frontier {a | p a}, f a = g a
hf : ContinuousOn f (s ∩ closure {a | p a})
hg : ContinuousOn g (s ∩ closure {a | ¬p a})
⊢ ContinuousOn (fun a => if p a then f a else g a) s
α : Type u
s : Computation α
⊢ s.Terminates ↔ ∃ n, (↑s n).isSome = true
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
l8 : log 8 = ↑3 * log 2
⊢ (↑3 * log 2 * (69 / 50)) ^ 2 ≤ ↑12 * log 2
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : Group R
inst✝ : MulAction R M
p : SubMulAction R M
x y : ↥p
⊢ (MulAction.orbitRel R ↥p).Rel x y ↔ (Setoid.comap Subtype.val (MulAction.orbitRel R M)).Rel x y
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ ⌊a⌋.toNat = ⌊a⌋₊
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f : PiLp p β
⊢ edist f f = 0
α : Type u_1
Monoid α
x : αᵐᵒᵖ
n : ℕ
⊢ MulOpposite.unop (x ^ n) = MulOpposite.unop x ^ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support
⊢ (fun n a => eval₂ (C.comp (Quotient.mk I)) X ((monomial n) a)) n (a.coeff n) = 0
a b : ℤ
⊢ Fintype.card ↑(Set.Icc a b) = (b + 1 - a).toNat
F : PFunctor.{u}
x y : PFunctor.Approx.CofixA F 0
⊢ x = y
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
h : f x = 2
m : M
⊢ (preReflection ((preReflection x f) y) ((preReflection f ((Dual.eval R M) x)) g)) m = (preReflection x f ∘ₗ preReflection y g ∘ₗ preReflection x f) m
α : Type u_1
inst✝³ : AddGroup α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ (if a < 0 then 1 else if 0 < a then -1 else 0) = -if 0 < a then 1 else if a < 0 then -1 else 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
q : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | ↑q < v.limRatioMeas hρ x}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0
⊢ (q • μ) (s ∩ t) ≤ ρ (s ∩ t)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((r • μ).withDensity f) s = (r • μ.withDensity f) s
R : Type u_4
Ring R
f : MulRingNorm R
⊢ f.equiv f
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
x y : M
h : b.toDual x = b.toDual y
i : ι
⊢ (b.toDual x) (b i) = (b.toDual y) (b i)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle x (x + y)) * ‖x + y‖ = ‖y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
r : β → β → Prop
f : α → β
⊢ Pairwise (r on fun x => f ↑x) ↔ (↑s).Pairwise (r on f)
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜.upShadow
⊢ ∃ t ∈ 𝒜, t ⊆ s
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : (algebraMap R S) p.content * (aeval s) p.primPart = 0
hcont : p.content ≠ 0
⊢ (aeval s) p.primPart = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
h : 0 < a
b : Ordinal.{u_4}
⊢ a * b < a * b + a
G : Type v
Group G
J : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.SingleObj G) (Type u)
x y : J.obj (CategoryTheory.SingleObj.star G)
⊢ CategoryTheory.Limits.Types.Quot.Rel J ⟨CategoryTheory.SingleObj.star G, x⟩ ⟨CategoryTheory.SingleObj.star G, y⟩ ↔
  (MulAction.orbitRel G (J.obj (CategoryTheory.SingleObj.star G))).Rel x y
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : SubMulAction R M
r : R
x y : M
hx : x ∈ p
⊢ -1 • x ∈ p
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hm : p ∈ a.factors
⊢ p ∣ a
α : Type u_6
SemilatticeInf α
Nonempty α
h2 : Filter.atBot.IsCountablyGenerated
⊢ ∃ xs, Antitone xs ∧ Filter.Tendsto xs Filter.atTop Filter.atBot
C : Type u
X Y X✝ Y✝ Z✝ : F C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
a✝¹ : ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ f✝ ≫ (normalizeIsoApp' C Y✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
a✝ : ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ g✝ ≫ (normalizeIsoApp' C Z✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C Y✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (f✝ ≫ g✝) ≫ (normalizeIsoApp' C Z✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
ContinuousAdd α
RegularSpace α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
g : β → α
a : α
ha : HasSum f a
hf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f ⟨b, c⟩) (g b)
⊢ HasSum g a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
b₁ b₂ : β
⊢ op (Multiset.fold op b₁ (Multiset.map f (s₁ ∪ s₂).val)) (Multiset.fold op b₂ (Multiset.map f (s₁ ∩ s₂).val)) = op (Multiset.fold op b₂ (Multiset.map f s₁.val)) (Multiset.fold op b₁ (Multiset.map f s₂.val))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
F : Type u_4
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
φ ψ : F
S : Subalgebra R A
⊢ S ≤ AlgHom.equalizer φ ψ ↔ Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑S
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
b : E × F → G
u : Set (E × F)
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
p : E × F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 u p
⊢ fderivWithin 𝕜 b u p = h.deriv p
α : Type u_1
n : Type u_4
AddGroup n
⊢ Function.Injective Matrix.circulant
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.FG L M ↔ ⊤.FG
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α → Set β
h : Pairwise fun i j => Disjoint (t i) (t j)
⊢ Function.Injective (Set.sigmaToiUnion t)
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
⊢ {a}.max = ↑a
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
this : Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator (fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) i) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
F : ℕ → R := fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)
H : ∀ (n : ℕ), ∏ i ∈ range n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F i = ∏ p ∈ n.primesBelow, ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)
⊢ Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 3
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀.hom (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁.hom (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂.hom (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.isoMk₃ app₀ app₁ app₂ app₃ w₀ w₁ w₂).inv =
  CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₃ app₀.inv app₁.inv app₂.inv app₃.inv ⋯ ⋯ ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f g : LocallyConstant X Y
⊢ f = g ↔ ∀ (x : X), f x = g x
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
S' : Type u_7
Ring S'
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
f : S →ₐ[A] S'
⊢ ↑(pb.liftEquiv f) = f pb.gen
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
hc : DifferentiableAt ℂ f x
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun x => Complex.cos (f x)) x
X : Type v
TopologicalSpace X
self : ParacompactSpace X
α : Type v
s : α → Set X
⊢ (∀ (a : α), IsOpen (s a)) →
  ⋃ a, s a = Set.univ →
    ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = Set.univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ s a
p : ℝ≥0 → Prop
⊢ (∀ (x : ℝ≥0), p x) ↔ ∀ (x : ℝ) (hx : 0 ≤ x), p ⟨x, hx⟩
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommRing α
LinearOrder ι
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ ∏ i ∈ s, (1 - f i) = 1 - ∑ i ∈ s, f i * ∏ j ∈ Finset.filter (fun x => x < i) s, (1 - f j)
a : Cardinal.{u_1}
b : Ordinal.{u_1}
⊢ b < a.alephIdx → ∃ c, c.alephIdx = b
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
⊢ (Polynomial.quotientSpanXSubCAlgEquiv x).symm y = (algebraMap R (R[X] ⧸ Ideal.span {Polynomial.X - Polynomial.C x})) y
ι : Type u_1
I J Js : BoxIntegral.Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
H : ∀ (i : ι), {(i, J.lower i), (i, J.upper i)} ⊆ s
HJs : Js ∈ BoxIntegral.Prepartition.splitMany I s
Hn : ¬Disjoint ↑J ↑Js
⊢ Js ≤ J
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
w : ι → Rˣ
⊢ LinearIndependent R (w • v)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
hp : p ∈ R[X]⁰
x : R[X]
hx : x * (taylor r) p = 0
this : x = (taylor (r - r)) x
⊢ x = 0
α : Type u_1
l₁ : List α
a : α
l₂ : List α
n : Nat
l : List α
eq : l = l₁ ++ a :: l₂
h : l₁.length = n
⊢ n < l.length
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
R : CategoryTheory.Sieve X
⊢ CategoryTheory.Sieve.pushforward f (CategoryTheory.Sieve.pullback f R) ≤ R
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
TopologicalSpace R
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
ContinuousSMul R M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ R
z : M₂
⊢ (f.smulRight z).toMultilinearMap = f.smulRight z
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => a * x) (Bornology.cobounded α) (Bornology.cobounded α)
i : ℕ
⊢ Nat.succ^[i] i = i + i
γ : Type w
α : Type u_2
β : Type u_3
m : β → γ
f : Filter α
g : α → Filter β
⊢ Filter.map m (f.bind g) = f.bind (Filter.map m ∘ g)
α : Type u
s : Set α
hs : s.Nontrivial
⊢ hs.choose.1 ≠ hs.choose.2
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
x : σ → R
⊢ comap (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) x = x
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
IsAlgClosure F E
⊢ IsSepClosed F ↔ IsPurelyInseparable F E
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a * b
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
NonUnitalSemiring B
StarRing B
Module R B
IsScalarTower R B B
SMulCommClass R B B
StarModule R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
f : F
⊢ NonUnitalStarSubalgebra.map f ⊥ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
inst✝ : F.NeBot
cobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F
l : R
hl : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) F f
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f g : β → α
b : Filter β
a₁ a₂ : α
hf : Filter.Tendsto f b (𝓝 a₁)
hg : Filter.Tendsto g b (𝓝 a₂)
⊢ Filter.Tendsto (fun b => max (f b) (g b)) b (𝓝 (max a₁ a₂))
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝ : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : ⋃ x ∈ T, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x)) = ⋃ x, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x))
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → ↑T → Set E := fun n z => {x | x ∈ s ∧ ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n), ‖f y - f x - (f' ↑↑z) (y - x)‖ ≤ ↑(r (f' ↑↑z)) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z
closure_M_subset : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T), s ∩ closure (M n z) ⊆ M n z
d : ℕ → E
hd : DenseRange d
K : ℕ → ↑T → ℕ → Set E := fun n z p => closure (M n z) ∩ closedBall (d p) (u n / 3)
⊢ ∃ t A, (∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, t n ∧ (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))) ∧ (s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y)
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
⊢ Dilation.ratio (Dilation.id α) = 1
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : L ≃ₐ[K] L
x✝ : f ∈ ⊤
x : L
hx✝ : x ∈ ⊥
hx : x ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L)
⊢ f • ↑⟨x, hx✝⟩ = ↑⟨x, hx✝⟩
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp (a + p) b = toIcoDiv hp a b - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
E : Type u_3
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α × β → E
hf : AEStronglyMeasurable f (μ ⊗ₘ κ)
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂(Kernel.const Unit μ) (), Integrable (fun y => f (x, y)) ((Kernel.prodMkLeft Unit κ) ((), x))) ∧ Integrable (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂(Kernel.prodMkLeft Unit κ) ((), x)) ((Kernel.const Unit μ) ()) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, Integrable (fun y => f (x, y)) (κ x)) ∧ Integrable (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂κ x) μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasCoreflexiveEqualizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
r : B ⟶ A
fr : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f r = CategoryTheory.CategoryStruct.id A
gr : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g r = CategoryTheory.CategoryStruct.id A
⊢ CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ
⊢ (gaussianReal μ v) s = ∫⁻ (x : ℝ) in s, gaussianPDF μ v x
R : Type u_1
S : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : CommSemiring P
inst✝⁴ : CommSemiring Q
M : Submonoid R
T : Submonoid P
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization T Q
g : R →+* P
hT : Submonoid.map g M = T
e : ↥(Ideal.map (algebraMap R S) (ker g)) ≃ₛₗ[id S] ↥(ker (IsLocalization.map Q g ⋯)) := LinearEquiv.ofEq (Ideal.map (algebraMap R S) (ker g)) (ker (IsLocalization.map Q g ⋯)) ⋯
⊢ IsLocalizedModule M (toKerIsLocalization S Q g ⋯)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
(nilradical R).IsPrime
CommRing S
IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hm : f.Monic
hi : Irreducible (Polynomial.map φ f)
⊢ Irreducible f
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'
R : Type u_3
S : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_1
Semiring R
Semiring S
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module S N
e : M ≃ₛₗ[σ] N
r : R
⊢ IsSMulRegular M r ↔ IsSMulRegular N (σ r)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
v : V
n : f v ≠ 0 v
⊢ Surjective ⇑(↑K f)
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * U⁻¹) (K₂.carrier * U⁻¹)
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.prehaar (↑K₀) U (K₁ ⊔ K₂) =
  MeasureTheory.Measure.haar.prehaar (↑K₀) U K₁ + MeasureTheory.Measure.haar.prehaar (↑K₀) U K₂
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x : α
hf : Monotone f
hx : x ≤ f x
n : ℕ
⊢ f^[n] x ≤ f^[n + 1] x
F : Type u
inst✝³ : Field F
K : Type v
inst✝² : Field K
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Nontrivial S
f : F →+* S
p : F[X]
H : (map f p).Separable
m : Ideal S
hm : m.IsMaximal
this : (map (Ideal.Quotient.mk m) (map f p)).Separable
⊢ p.Separable
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
⊢ u ⊆ s ∩ t ↔ ∃ a ⊆ s, ∃ b ⊆ t, a ∩ b = u
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α
⊢ TotallyBounded (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), TotallyBounded (s i)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s ∪ s = s
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ : Weight K (↥H) L
hα : α✝.IsNonZero
α β : { α // α.IsNonZero }
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L ↑α = Weight.toLinear K (↥H) L ↑β
h : ↑β = ↑α
⊢ (rootSystem H).root α = (rootSystem H).root β ∨ (rootSystem H).root α = -(rootSystem H).root β
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n✝ : ℕ
hst : s ⊆ t
n : ℕ
⊢ s ^ n * s ⊆ t ^ (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : α → F'
⊢ condexpL1 hm μ (c • f) = c • condexpL1 hm μ f
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
i : ι
⊢ (K.biprodXIso L i).hom ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd = CategoryTheory.Limits.biprod.snd.f i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn id (Icc x₀ x)
⊢ ∃ x' ∈ Ioo x₀ x, f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) x' * (x - x') ^ n / ↑n ! * (x - x₀)
⊢ isomorphisms Scheme = (isomorphisms TopCat).inverseImage Scheme.forgetToTop ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Bijective ⇑f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
e_1✝ : ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X) ⟶ (F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X)) = ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X) ⟶ (F.obj n).obj X)
e_5✝ : (F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X) = (F.obj n).obj X
⊢ inv ((F.map (λ_ n).inv).app X) = (F.map (λ_ n).hom).app X
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
β₁ : ι₁ → Type u_6
β₂ : ι₂ → Type u_7
(i₁ : ι₁) → UniformSpace (β₁ i₁)
(i₂ : ι₂) → UniformSpace (β₂ i₂)
e : ι₁ ≃ ι₂
F : (i₁ : ι₁) → β₁ i₁ ≃ᵤ β₂ (e i₁)
⊢ ∀ (a : (i : ι₁) → β₁ i) (i₂ : ι₂),
  (UniformEquiv.piCongr e F) a i₂ = ⋯ ▸ (Equiv.piCongrRight fun i => (F i).toEquiv) a (e.symm i₂)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
n : ℕ
⊢ (↑n).imJ = 0
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
h : Module.rank R M < ↑n
⊢ FiniteDimensional.finrank R M < n
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)
x : X
hx : x ∈ F
y : X
hy : y ∈ F
γ : Path (f x) (f y)
γ' : ↑I → X
hγ' : ∀ (t : ↑I), γ' t ∈ F
hγγ' : ∀ (t : ↑I), f (γ' t) = γ t
key₁ : Inseparable x (γ' 0)
key₂ : Inseparable (γ' 1) y
⊢ JoinedIn F x y
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
LocalRing S
IsLocalRingHom f
⊢ f.SurjectiveOnStalks ↔ Function.Surjective ⇑f
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : Type u_5
AddCommGroup Q
Module R Q
N : Submodule R M
⊢ LinearMap.ker (LinearMap.rTensor Q N.mkQ) = LinearMap.range (LinearMap.rTensor Q N.subtype)