ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h✝ : finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0
b : Basis ι K V := basisUnique ι h✝
h : (b.repr v) default ≠ 0 := mt basisUnique_repr_eq_zero_iff.mp hv
w : V
⊢ (fun f => f default • v) ({ toFun := fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun w) = w
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
g : G
hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
hpk : p ^ k ∣ orderOf t
hpk' : orderOf (t ^ p ^ k) = orderOf t / p ^ k
⊢ orderOf t < orderOf (t ^ p ^ k * g)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
DecidableEq α
f : α → β
s : Finset α
a : α
⊢ (Finset.image f s).erase (f a) ⊆ Finset.image f (s.erase a)
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
⊢ Multiset.filterMap (some ∘ f) = Multiset.map f
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
hc : Differentiable ℝ c
hR : Differentiable ℝ R
hx : Differentiable ℝ x
hne : ∀ (a : E), x a ≠ c a
⊢ Differentiable ℝ fun a => EuclideanGeometry.inversion (c a) (R a) (x a)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)
⊢ IsUnit ↑↑r.den
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
a : α
c : γ
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).Adj (Sum3.in₀ a) (Sum3.in₂ c) ↔ ∃ x ∈ t, x.1 = a ∧ x.2.2 = c
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
l : Filter α
⊢ Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atTop ↔ Tendsto f l atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
e : γ ≃ β
⊢ HasSum (f ∘ ⇑e) a ↔ HasSum f a
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
CommSemiring R
Nontrivial R
LinearOrderedCommRing S
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
f : ι → R
s : Finset ι
⊢ abv (∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, abv (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
SecondCountableTopologyEither α β
hf : Continuous f
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ p.applyComposition (Composition.ones n) = fun v i => (p 1) fun x => v (Fin.castLE ⋯ i)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T T' : L.Theory
h : M ⊨ T
h' : M ⊨ T'
⊢ M ⊨ T ∪ T'
θ : Angle
h : 0 < θ.toReal
⊢ θ.toReal < 0 ↔ Real.sin θ.toReal < 0
R : Type u
S : Type v
A : Type w
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid A
Module R S
Module S A
Module R A
IsScalarTower R S A
ι : Type u_1
b : Basis ι S A
⊢ IsScalarTower R S (ι →₀ S)
a b : Prop
h : a = True
⊢ (a ∨ b) = True
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G
a : G
ha : a ∈ s
b : G
hb : b ∈ closure t
⊢ a * b ∈ s * t
α : Type u_2
Monoid α
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → Set.univ ^ n = Set.univ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
s : Set Y
⊢ IsClosed (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsClosed s
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
⊢ LocallyLipschitzOn ∅ f
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ P f ↔ ∀ (U : ↑Y.affineOpens) (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE f (↑U) (↑V) e)
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
T2Space β
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hc₂ : ∀ᶠ (t : τ) in f, Set.MapsTo (ϕ t) s c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : omegaLimit f ϕ s ⊆ n
⊢ ∀ᶠ (t : τ) in f, Set.MapsTo (ϕ t) s n
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
DecidableEq o
Zero α
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
⊢ (Matrix.blockDiagonal' M)ᵀ = Matrix.blockDiagonal' fun k => (M k)ᵀ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
⊢ ∀ (a a_1 : α ⊕ β ⊕ γ),
  SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.Rel t a a_1 ↔
    (∃ a_2 b c, (a_2, b, c) ∈ t ∧ a = Sum3.in₀ a_2 ∧ a_1 = Sum3.in₁ b) ∨
      (∃ a_2 b c, (a_2, b, c) ∈ t ∧ a = Sum3.in₁ b ∧ a_1 = Sum3.in₀ a_2) ∨
        (∃ a_2 b c, (a_2, b, c) ∈ t ∧ a = Sum3.in₀ a_2 ∧ a_1 = Sum3.in₂ c) ∨
          (∃ a_2 b c, (a_2, b, c) ∈ t ∧ a = Sum3.in₂ c ∧ a_1 = Sum3.in₀ a_2) ∨
            (∃ a_2 b c, (a_2, b, c) ∈ t ∧ a = Sum3.in₁ b ∧ a_1 = Sum3.in₂ c) ∨
              ∃ a_2 b c, (a_2, b, c) ∈ t ∧ a = Sum3.in₂ c ∧ a_1 = Sum3.in₁ b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
n : ℕ∞
g : M' → M''
x : M
y : M'
hg : ContMDiffAt I' I'' n g y
hf : ContMDiffAt I I' n f x
hx : f x = y
⊢ ContMDiffAt I I'' n (g ∘ f) x
S : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ S
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds S
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}
⊢ ∃ x, IsLUB S x
z : ℂ
⊢ z.im ≤ Complex.abs z
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑(x / ↑n * ↑n) ^ (s - 1) = ↑n • ∫ (x : ℝ) in 0 / ↑n..↑n / ↑n, ↑((1 - x) ^ n) * ↑(x * ↑n) ^ (s - 1)
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑n ^ s * (↑x ^ (s - 1) * (1 - ↑x) ^ ↑n) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑↑n * (↑((1 - x) ^ n) * ↑(x * ↑n) ^ (s - 1))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
K.HasHomology j
(K.sc' i j k).HasHomology
⊢ K.pOpcycles j ≫ (K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).hom = (K.sc' i j k).pOpcycles
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ s ⊆ insert a s
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
g : N →* P
f₁ f₂ : M →* N
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
r x : ℝ
hr : 0 < r
ε : ℝ
L₁ L₂ : F
h₁ : x ∈ A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ A f L₂ r ε
⊢ ‖L₁ - L₂‖ ≤ 4 * ε
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT) f = 0
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
S : Set (RingCon R)
x y : R
⊢ (∃ c ∈ S, c x y) ↔ (⨆ a ∈ S, ⇑a) x y
α : Type u_1
β : ?m.7267
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
⊢ IsTopologicalBasis (lowerBasis α)
R : Type u_3
OrderedSemiring R
a : R
n : ℕ
⊢ 0 ≤ a → a ≤ 1 → a ^ n ≤ 1
α : Type u_1
β : α → Type u_2
(a : α) → Monoid (β a)
a : α
l : List ((a : α) → β a)
⊢ l.prod a = (List.map (fun f => f a) l).prod
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
hs : s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset
c : ℕ
_hc : c ∈ Finset.range ((Multiset.card s + 1) * n + 1 + 1)
⊢ a ^ c * s.sum ^ ((Multiset.card s + 1) * n + 1 - c) * ↑(((Multiset.card s + 1) * n + 1).choose c) ∈ span (insert (a ^ (n + 1)) ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset)
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ B' I J D X : Set α
e f : α
B : Set α
⊢ B ∈ {B | M.Base B} ↔ B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T T' : Triangle C
φ : T ⟶ T'
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
h₁ : IsIso φ.hom₁
h₃ : IsIso φ.hom₃
this : Mono φ.hom₂
⊢ IsIso φ.hom₂
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
l8 : log 8 = ↑3 * log 2
⊢ (↑3 * (69 / 50)) ^ 2 * log 2 ≤ ↑12
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hfu : UniformIntegrable f p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)
hgunif : UniformIntegrable g p μ
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
⊢ {x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i) =ᶠ[ae μ] {x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)
α : Type u_2
Fintype α
SemilatticeInf α
OrderBot α
a : α
⊢ Finset.fold (fun x x_1 => x ⊓ x_1) a (fun x => x) Finset.univ = ⊥
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℂ f s x
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ (fun x => Complex.sinh (f x)) s x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
⊢ X.aroots S = {0}
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : ℕ → α → β
⊢ mapIdx f l = map (uncurry f) l.enum
n : Type u
R : Type v
DecidableEq n
Fintype n
LinearOrderedCommRing R
Fact (Even (Fintype.card n))
g : ↥(Matrix.GLPos n R)
i j : n
⊢ ↑↑(-g) i j = -↑↑g i j
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : SuccOrder β
inst✝¹ : IsSuccArchimedean β
inst✝ : Nonempty β
s : β → Set α
H : ∀ (n : β), IsConnected (s n)
K : ∀ (n : β), (s n ∩ s (succ n)).Nonempty
i✝ j i : β
x✝ : i ∈ Ico j i✝
⊢ (s (succ i) ∩ s i).Nonempty
G : Type u_10
Group G
a b : G
⊢ (Equiv.divRight a).symm b = b * a
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime
⊢ ⊥ ∈ I
R : Type u_1
CommRing R
m n : ℤ
⊢ Polynomial.Chebyshev.T R (m * n) = (Polynomial.Chebyshev.T R m).comp (Polynomial.Chebyshev.T R n)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : s ∈ ae μ
⊢ (fun x => if x ∈ s then f x else g x) =ᶠ[ae μ] f
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
⊢ Algebra.Generators.Cotangent.val 0 = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s₁ s₂ : Set α
t : Set β
⊢ (s₁ ∪ s₂) • t = s₁ • t ∪ s₂ • t
α : Type u_1
I : Type ?u.57896
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
m n : ℕ
H : IsRelPrime x y
⊢ IsRelPrime (∏ _x ∈ Finset.range m, x) y
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
s : S
x : M
⊢ s • 1 ⊗ₜ[R] x = s ⊗ₜ[R] x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
⊢ a ≤ b ∧ b ≤ succ a ↔ b = a ∨ b = succ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
⊢ r.comp ⊤ = fun x x_1 => x ∈ r.dom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
x✝ y x : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hr : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
⊢ {x | CPolynomialAt 𝕜 f x} ∈ 𝓝 x
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ eulerMascheroniSeq' (n + 1) < eulerMascheroniSeq' n
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
s : Multiset α
hs : 0 ∉ s
⊢ normalizedFactors s.prod = (Multiset.map normalizedFactors s).sum
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ (P.X ⊗ Q.X) L.X U.X).hom ≫ (((α_ P.X Q.X (L.X ⊗ U.X)).hom ≫ P.X ◁ Q.X ◁ L.actRight) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = ((α_ P.X Q.X L.X).hom ▷ U.X ≫ (P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ▷ U.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) ▷ U.X) ≫ TensorBimod.actRight P (Q.tensorBimod L)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Subsingleton S
⊢ ∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
⊢ 0 ≤ schnirelmannDensity A
x y : ℚ
⊢ ↑x < ↑y ↔ x < y
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : LinearOrder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : R →* M
x y : R
⊢ f (x - y) = f (y - x)
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
a : R
f : R[X]
⊢ (a • f).coeff n = a * f.coeff n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e✝ : β → α
h_e : UniformInducing e✝
h_dense : DenseRange e✝
f✝ : β → γ
h_f : UniformContinuous f✝
inst✝ : CompleteSpace γ
p : α → Prop
e : α → β
f : α → γ
b : β
s : Set α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
he : UniformEmbedding e
hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)
hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b
hs : IsClosed s
hp : ∀ x ∈ s, p x
de : DenseEmbedding e
de' : DenseEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)
⊢ ∃ c, Tendsto f (comap e (𝓝 b)) (𝓝 c)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
n : ℕ
hg : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ n • g z) x
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ max m n • (f + g) z) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a - x⁻¹) atTop (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun x => ↑⌊a * x⌋₊ / x) atTop (𝓝 a)
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
A : Subalgebra R S
a : ↥A
⊢ A.lTensorBot (1 ⊗ₜ[R] a) = a
b : ℂ
hb : 0 < b.re
⊢ Integrable (fun x => cexp (-b * ↑x ^ 2)) volume
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂(Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst, Integrable (fun ω => f (b, ω)) ((Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n : ℤ
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C) n).obj T ∈
  CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
ι : Type u_1
f : ι → M
h : LinearIndependent R f
⊢ Finite ι
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedCancelAddCommMonoid M
f : ι → M
hf : 0 < f
⊢ 0 < ∑ i : ι, f i
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ ⇑(Fin.castLEEmb hmn) = Fin.castLE hmn
n : ℕ
⊢ n ≠ 1 → 1 % n = 1
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
r : ℝ
⊢ φ ((algebraMap ℝ C(X, ℝ)) r).toNNReal - φ (-(algebraMap ℝ C(X, ℝ)) r).toNNReal = (algebraMap ℝ A) r
R : Type u
inst✝² : Ring R
Q : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
inj : CategoryTheory.Injective (ModuleCat.of R Q)
X Y : Type v
x✝³ : AddCommGroup X
x✝² : AddCommGroup Y
x✝¹ : Module R X
x✝ : Module R Y
f : X →ₗ[R] Y
hf : Function.Injective ⇑f
g : X →ₗ[R] Q
⊢ ∃ h, ∀ (x : X), h (f x) = g x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S : CategoryTheory.Presieve X
R : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → S f → CategoryTheory.Presieve Y
g : Z ⟶ Y
h₁ : S f
h₂ : R h₁ g
⊢ S.bind R (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f)
m : Nat
n : Nat
i : Fin m
⊢ ↑(Fin.castAdd n i) < m
α : Type u_1
l : List α
a : α
⊢ (l.concat a).reverse = a :: l.reverse
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ multiplicity p (p ^ n) = ↑n
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n.succ → α
⊢ List.ofFn f = (List.ofFn fun i => f i.castSucc).concat (f (Fin.last n))
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ Measurable fun b => ⨆ i, f i b
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : DecidableEq (Ideal A)
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
⊢ multiplicity (↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨↑⟨L, hL⟩, ⋯⟩)) J = multiplicity L I
f : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ ⇑(f ^ n) = (⇑f)^[n]
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x a : α
⊢ Injective (Ι a)
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p
M : Type u_1
Mul M
r : M → M → Prop
⊢ conGen ⇑(conGen r) = conGen r
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ MonovaryOn f g s → AntivaryOn f (⇑OrderDual.toDual ∘ g) s
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : (algebraMap R S) M ≠ 0
b : S
b_mem : b ∈ ↑I
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min : ∀ c ∈ ↑I, abv ((Algebra.norm R) c) < abv ((Algebra.norm R) b) → c = 0
r' : S
hr' : (algebraMap R S) M ∣ r'
a : S
ha : a ∈ ↑I
q : S
r : R
r_mem : r ∈ finsetApprox bS adm
lt : abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
⊢ q * b ∣ r' * a
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : insert f (B \ {e}) ⊆ B'
⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ (if a < b then Ordering.lt else if a = b then Ordering.eq else Ordering.gt) = Ordering.eq ↔ a = b
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : α → Prop
⊢ Measurable Subtype.val
n : Nat
i : Fin (n + 1)
⊢ i = 0 ∨ ∃ j, i = j.succ
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
f : A₁ ≃ₐ[R] A₂
g : A₂ →ₐ[R] A₁
h₁ : (↑f).comp g = AlgHom.id R A₂
h₂ : g.comp ↑f = AlgHom.id R A₁
⊢ AlgEquiv.ofAlgHom (↑f) g h₁ h₂ = f
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
mnmn : (M × M₂) × M₃ × M₄
⊢ (LinearEquiv.prodProdProdComm R M M₂ M₃ M₄) mnmn = ((mnmn.1.1, mnmn.2.1), mnmn.1.2, mnmn.2.2)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ (∀ ⦃s_1 : Set X⦄, s_1 ∈ 𝓝 x → ∀ ⦃s' : Set X⦄, s' ∈ 𝓟 s → (s_1 ∩ s').Nonempty) ↔ ∀ ⦃t : Set X⦄, t ∈ 𝓝 x → (t ∩ s).Nonempty
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
P : G → Prop
⊢ (∃ x ∈ K, P x⁻¹) ↔ ∃ x ∈ K, P x
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
x y : Set E
⊢ EMetric.diam (x * y) ≤ EMetric.diam x + EMetric.diam y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
AddCommGroup M
TopologicalSpace M
T2Space M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
A B : Set α
hA : MeasurableSet A
hB : MeasurableSet B
h : A ⊆ B
⊢ ↑v (B \ A) = ↑v B - ↑v A
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
this : (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) = fun b => (ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x)).toReal
⊢ AEMeasurable (fun b => ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x)) (ν a)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : M
⊢ a * a ^ (n - 1) = a ^ n
α : Type u_1
l : List α
s : Multiset α
⊢ ∀ (a : List α), ⟦a⟧ ∈ powersetAux l ↔ ⟦a⟧ ≤ ↑l
G : Type u_3
H : Type u_4
AddMonoid G
a : G
n : ℕ
AddAction G H
⊢ (fun x => a +ᵥ x)^[n] = fun x => n • a +ᵥ x