ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ i, S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), μ (S i ∩ s) < ⊤
h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s
h_eq_forall : (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ) = fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ
h_right : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ))
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
f : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
i : ℕ
⊢ m (disjointed f i) ⋯ ≤ m (f i) ⋯
α : Type u_3
s : Set α
SemilatticeInf α
LocallyFiniteOrder α
OrderTop α
⊢ s.Finite ↔ BddBelow s
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer ≤ zeroRootSubalgebra R L H
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : AList β
⊢ ⟦AList.erase a s⟧.keys = ⟦s⟧.keys.erase a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
⊢ Injective f ↔ Bijective f
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ ⌈a + 1⌉ = ⌈a⌉ + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hf_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ε
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
BC : B ⊆ ⇑f ⁻¹' this.extend ⋯
hC : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V' := Basis.extend this
Vinh : Inhabited V
b : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ ((hC.constr ℕ) (C.restrict (invFun ⇑f)) ∘ₗ f) (hB b) = id (hB b)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ toIcoDiv hp a (a + p) = 1
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
s t : Set E
⊢ ⋃ i₂ ∈ t, ⋃ i₁ ∈ s, segment 𝕜 i₁ i₂ = convexJoin 𝕜 t s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ (↑‖x + y‖ * ↑‖x + y‖ - ↑‖x - y‖ * ↑‖x - y‖) / 4 + (↑‖x - I • y‖ * ↑‖x - I • y‖ - ↑‖x + I • y‖ * ↑‖x + I • y‖) / 4 * I = (↑‖x + y‖ ^ 2 - ↑‖x - y‖ ^ 2 + (↑‖x - I • y‖ ^ 2 - ↑‖x + I • y‖ ^ 2) * I) / 4
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.41266, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (F.shift n₀).map φ.hom₃ ≫ F.shiftMap T'.mor₃ n₀ n₁ ⋯ = F.shiftMap T.mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫ (F.shift n₁).map φ.hom₁
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω ≤ i}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
NormedSpace ℝ E
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : β), ∫ (y : γ), ↑↑f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h : HasDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt f (f' • 1) x
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
s : Stream' α
⊢ map f s = f s.head :: map f s.tail
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})
h : J = ⊤
hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * Submodule.span R {v}
⊢ (↑↑I).IsPrincipal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
⊢ CategoryTheory.GrothendieckTopology.imagePresheaf (𝟙 F) = ⊤
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E → F
C : ℝ≥0
⊢ LipschitzOnWith C f s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ‖f x / f y‖ ≤ ↑C * ‖x / y‖
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0
hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
⊢ (∀ (x : G), x ∈ ker f ↔ x ∈ IsSubgroup.trivial G) ↔ ∀ (x : G), f x = 1 → x = 1
M₀ : Type u_1
MulZeroClass M₀
NoZeroDivisors M₀
a b : M₀
⊢ a * b ≠ 0 ↔ b * a ≠ 0
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
⊢ ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Subsemiring.centralizer Set.univ = Subsemiring.center R
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
s : AddSubmonoid M
⊢ s.prod ⊤ = AddSubmonoid.comap (AddMonoidHom.fst M N) s
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
a b : α
⊢ G.IsClique {a, b} ↔ a ≠ b → G.Adj a b
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
⊢ f.eraseLead.natDegree + 1 = f.natDegree
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
⊢ CauSeq.Completion.ofRat 1 = 1
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedRing 𝕝
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a b : 𝕜
hA : Balanced 𝕜 A
ha : ‖1‖ ≤ ‖a‖
⊢ A ⊆ a • A
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
⊢ Integrable (fun x => 0) μ
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
gp_b_eq_b_n : gp.b = b
this : ∃ z, gp.b = ↑z
⊢ ∃ z, b = ↑z
S : Set Ordinal.{u}
o : Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.enumOrd S o = sInf (S ∩ Set.Ici (o.blsub fun a x => Ordinal.enumOrd S a))
α : Sort u
Nonempty α
⊢ Uncountable α ↔ ∀ (f : ℕ → α), ¬Function.Surjective f
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddGroup α
StarAddMonoid α
c : ℤ
M : Matrix m n α
⊢ (c • M)ᴴ = c • Mᴴ
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
⊢ ∃ m ∈ s, ∀ z ∈ s, m ≤ z → z = m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : CategoryTheory.Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : CategoryTheory.Presieve X
r₀ : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements (R₀ ⋙ CategoryTheory.forget RingCat) P
m₀ : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ CategoryTheory.forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (CategoryTheory.whiskerRight α (CategoryTheory.forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (CategoryTheory.whiskerRight φ (CategoryTheory.forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
⊢ ((r₀.smul m₀).map (CategoryTheory.whiskerRight φ (CategoryTheory.forget AddCommGrp))).Compatible
R : Type u
X : Type v
inst✝ : CommRing R
a b : lib R X
h : Rel R X a b
⊢ Rel R X (-a) (-b)
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
⊢ 2 * (n / 2) = n - 1
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Computation α
⊢ Computation.map f s.think = (Computation.map f s).think
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ v.intValuationDef x ≠ 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (p.natDegree + p.natTrailingDegree).succ, p.coeff (k, p.natDegree + p.natTrailingDegree - k).1 * p.mirror.coeff (k, p.natDegree + p.natTrailingDegree - k).2 = p.sum fun n x => x ^ 2
𝕂 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n
this : hf.localInverse hf' hn (f a) = a
⊢ ContDiffAt 𝕂 n (hf.localInverse hf' hn) (f a)
R : Type u
Monoid R
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
⊢ ⇑(NonUnitalAlgHom.inl R A B) = fun x => (x, 0)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 4 ≠ 0
⊢ W.Ψ₂Sq.coeff 3 ≠ 0
G : Type u_3
CommGroup G
a b c : G
h : c * a = b
⊢ a = b / c
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p)
hr : 0 < r
⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) < r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
h : Monotone (f ∘ ⇑σ) ∧ ∀ (i j : Fin n), i < j → f (σ i) = f (σ j) → σ i < σ j
i j : Fin n
hij : i < j
⊢ (Equiv.trans σ (graphEquiv₁ f)) i < (Equiv.trans σ (graphEquiv₁ f)) j
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
⊢ (CochainComplex.mappingCone.rotateHomotopyEquiv φ).hom ≫
    (CochainComplex.mappingCone.triangle (CochainComplex.mappingCone.inr φ)).mor₃ =
  -(CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map φ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
this : f = 0
⊢ h = 0
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ Dense s ↔ ∀ (U : Set X), IsOpen U → U.Nonempty → (U ∩ s).Nonempty
α : Type u_1
LinearOrder α
b : α
⊢ Function.Surjective (Set.projIic b)
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x : ⨁ (i : ι), β i
⊢ ∑ i : ι, (of β i) (x i) = x
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel Dvd.dvd
inst✝ : DecidableEq R
p x : R
hp : Irreducible p
hnorm : normalize p = p
n : ℕ
hle : p ^ n ∣ x
hlt : ¬p ^ (n + 1) ∣ x
this : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1 := fun x x_1 => Classical.propDecidable ((fun x x_2 => x ∣ x_2) x x_1)
hx0 : ¬x = 0
⊢ count p (normalizedFactors x) = n
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
I : Ideal S
inst✝¹¹ : Module.Finite R S
inst✝¹⁰ : Module.Free R S
M : Submonoid R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : Algebra R Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra S Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S
⊢ spanNorm Rₘ (map (algebraMap S Sₘ) I) = map (algebraMap R Rₘ) (spanNorm R I)
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
κ' : Type u_7
b : Basis κ A B
f : κ ≃ κ'
⊢ Algebra.traceMatrix A ⇑(b.reindex f) = (Matrix.reindex f f) (Algebra.traceMatrix A ⇑b)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : ℕ × ℕ
k n : ℕ
hk : k ≤ m.1
hn : n ≤ m.2
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (k + 1), ‖x‖ ^ i * ↑(k.choose i) * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ (∑ x ∈ Finset.range (m.1 + 1), ↑(m.1.choose x)) * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
⊢ p ≠ 1
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a✝ b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
a : ℕ
ha : n = orderOf x * a
h : ¬a = 1
a_min_fac_dvd_p_sub_one : a.minFac ∣ n
⊢ IsOfFinOrder x
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p : P
⊢ Sbtw R (x -ᵥ p) (y -ᵥ p) (z -ᵥ p) ↔ Sbtw R x y z
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
Field F
Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (Cubic.map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ φ P.c = φ P.a * (x * y + x * z + y * z)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
h : μ ≪ ν
c : R
s : Set α
hνs : ν s = 0
⊢ (c • μ) s = 0
X : Pointed
a : ((𝟭 Pointed).obj X).X
⊢ (pointedToBipointedCompBipointedToPointedFst.inv.app X).toFun a = a
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t : Set α
a b : α
f : α ↪ β
⊢ (s.Subsingleton ∨ ∃ s_1, G.IsClique s_1 ∧ ⇑f '' s_1 = ⇑f '' s) ↔ G.IsClique s
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
h_meas : Measurable fun p => u (↑p.1) p.2
this : (fun p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2)
⊢ Measurable ((fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2))
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set Y
hs : StableUnderSpecialization s
hf : Continuous f
⊢ StableUnderSpecialization (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
a : α
ha : a ∈ x
⊢ f a ∈ maximals s (f '' x) ↔ a ∈ maximals r x
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : NormedDivisionRing α
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ α
inst✝ : CompleteSpace α
a : α
⊢ (a * if a = 0 then 1 else ‖a‖ • a⁻¹) = (algebraMap ℝ α) ‖a‖
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
hφ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.app X)
X : Cᵒᵖ
x y : (forget D).obj (F₁.obj X)
h : (φ.app X) x = (φ.app X) y
⊢ equalizerSieve x y = ⊤
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
hpq : Associated p q
⊢ p = q
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s t : Set α
⊢ TotallyBounded (s ∪ t) ↔ TotallyBounded s ∧ TotallyBounded t
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
Module R M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
f : MultilinearMap R M₁ M₂
⊢ ⇑(g.compMultilinearMap f) = ⇑g ∘ ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) + (condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1))) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1
α : Type u_1
s : Set α
e : α ≃ α
hs : s.Finite
⊢ ⇑e '' s = s ↔ ⇑e '' s ⊆ s
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0
ij : ℕ × ℕ
hij : ij ∈ Finset.antidiagonal (m + n)
h : n ≤ ij.2
⊢ (m + n).choose ij.1 • ⁅((ad R L) x ^ ij.1) y, ((ad R L) x ^ ij.2) z⁆ = 0
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
a : 𝕜
ha : 0 < a
⊢ Ioo 0 a = ((fun i => Inv.inv '' Ioi i) ∘ Inv.inv) a
α : Type u
SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ a ⊔ b ⊔ c = a ⊔ c ⊔ (b ⊔ c)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
b : β a
b' : β a'
s : AList β
h : a ≠ a'
⊢ (AList.insert a' b' (AList.insert a b s)).entries ~ (AList.insert a b (AList.insert a' b' s)).entries
⊢ Real.sin (Real.pi / 6) = 1 / 2
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'
S T : IntermediateField K L
h : S ≤ T
⊢ IntermediateField.map f S ≤ IntermediateField.map f T
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
⊢ χ.conductor ≠ 0
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p✝ : Set ℕ
⊢ of p✝ ≤ of p✝
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
𝕜' : Type u_2
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → 𝕜'
g : E → F
N : ℕ∞
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => f y • g y) s x‖ ≤
  ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
Norm α
Norm β
n : ℕ
h : p = ↑n
f : WithLp p (α × β)
⊢ ‖f‖ = (‖f.1‖ ^ n + ‖f.2‖ ^ n) ^ (1 / ↑n)
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
⊢ ⨅ y, dist (-m) ↑y = ⨅ a, ‖m + ↑a‖
α : Type u_1
a : α
l₁ l₂ : List α
d₁ : l₁.Nodup
h₁ : a ∉ l₁
h₂ : a ∈ l₂
s : l₁.Subperm l₂
⊢ (a :: l₁).Subperm l₂
K : Type u_1
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : T1Space 𝕜
inst✝¹ : Ring 𝕜
inst✝ : NoZeroDivisors 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hsq : EqOn (f ^ 2) 1 S
this : DiscreteTopology ↑{1, -1}
hmaps : MapsTo f S {1, -1}
⊢ EqOn f 1 S ∨ EqOn f (-1) S
Ω : Type u_1
_mΩ : MeasurableSpace Ω
s t : Set Ω
hs_meas : MeasurableSet s
ht_meas : MeasurableSet t
μ : MeasureTheory.Measure Ω := by volume_tac
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.IndepSet s t μ ↔ ProbabilityTheory.IndepSets {s} {t} μ
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : Weight K (↥H) L
⊢ ↑(corootSpace ⇑α) ≤ span K {(cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)}
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
hs : s₁ ⊆ s₂
h₂ : MeasurableSet s₂
this : extend m s₂ = extend m s₁ + extend m (s₂ \ s₁)
⊢ extend m s₁ ≤ m s₂ h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
e : α ≃o β
s : Set γ
f : γ → α
hf : BddAbove (f '' s)
hne : s.Nonempty
⊢ e (⨆ i, f ↑i) = ⨆ i, e (f ↑i)
𝒮 : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : BasedCategory 𝒮
𝒴 : BasedCategory 𝒮
𝒵 : BasedCategory 𝒮
F : 𝒳 ⥤ᵇ 𝒴
G : 𝒴 ⥤ᵇ 𝒵
⊢ (F.toFunctor ⋙ G.toFunctor) ⋙ 𝒵.p = 𝒳.p
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
x : X
⊢ ∀ (x_1 : G), ∀ s ∈ 𝓝 x_1, (fun g => g • x) '' s ∈ 𝓝 (x_1 • x)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I P : Ideal R
hP : P.IsPrime
n : ℕ
h : I ^ n ≤ P
hP0 : ¬P = ⊥
⊢ I ≤ P
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
r : k
hr : r ≠ 0
⊢ (constantCoeff σ k) ((C σ k) r) ≠ 0
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
f g : Filter X
H : ClusterPt x (f ⊓ g)
⊢ ClusterPt x f
p q : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
Fact (Nat.Prime q)
hp3 : p % 4 = 3
hq3 : q % 4 = 3
hpq : p ≠ q
⊢ IsSquare ↑q ↔ ¬IsSquare ↑p