ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : (Finsupp.total ι R R h) b = f ^ (n + 1)
⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
X Y : R
⊢ W'.Equation ![X, Y, 1] ↔ W'.toAffine.Equation X Y
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
B : Type uB
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : EvenHom Q A
x : CliffordAlgebra Q
x_property : x ∈ even Q
val✝ : CliffordAlgebra Q
property✝ : val✝ ∈ even Q
⊢ (((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (1, 0)) ↑⟨val✝, property✝⟩)) ↑⟨x, x_property⟩).1 = (aux f) ⟨x, x_property⟩ * (aux f) ⟨val✝, property✝⟩
n : Nat
k : Fin (n + 1)
⊢ k + 1 ≤ k ↔ k = Fin.last n
α : Sort u_2
DecidableEq α
β : Sort u_1
DecidableEq β
a b : α
e : α ≃ β
⊢ (e.symm.trans (Equiv.swap a b)).trans e = Equiv.swap (e a) (e b)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
IsGalois F E
x : E
⊢ IsIntegral F x
η : Type u_12
Ms : η → Type u_13
(j : η) → Mul (Ms j)
⊢ (MulEquiv.piCongrRight fun j => MulEquiv.refl (Ms j)) = MulEquiv.refl ((j : η) → Ms j)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedDivisionRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E
⊢ EMetric.diam (c • s) = ‖c‖₊ • EMetric.diam s
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
f : β → γ
hf : AEMeasurable f ν
⊢ AEMeasurable (fun z => f z.2) (μ.prod ν)
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : riemannZeta s = ∑' (n : ℕ), 1 / ↑n ^ s
⊢ Summable fun n => 1 / ↑n ^ s
i : Nat
⊢ ∀ {α : Type u_1} {xs : List α} {j : Nat}, i < xs.length → xs.Nodup → xs[i]? = xs[j]? → i = j
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x₁ x₂ y : E
r : ℝ
⊢ x₁ - x₂ ∈ p.ball y r ↔ x₁ ∈ p.ball (x₂ + y) r
n : ℕ
⊢ Nat.Coprime 2 n ↔ Odd n
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ : List α
f : α → β
l : List α
ihl : map f l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f} → map f l ∈ range (map f)
a : α
hl : f a :: map f l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f}
⊢ f a :: map f l ∈ range (map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
h : ∀ k < n, u (k + 1) ≤ c * u k
⊢ u n ≤ c ^ n * u 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.FinitaryPreExtensive C
ι : Type u_1
Finite ι
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete ι) C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.IsUniversalColimit c
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.58445, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.58449, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
e : F ≅ G
n : A
X : C
⊢ (e.inv.hom n).app X ≫ (e.hom.hom n).app X = 𝟙 ((G.functor n).obj X)
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
s : Set α
t : Set β
⊢ (μ.prod ν) (s ×ˢ t) = μ s * ν t
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
h : 1 / a = 0
⊢ a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
l : Filter α
u v : α → β
hu : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l u
hv : u ≤ᶠ[l] v
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l v
q : ℚ≥0
hq : q ≠ 0
⊢ (↑q.den).natAbs.Coprime q.num
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set (E →L[𝕜] F)
hs : IsClosed s
this : fderiv 𝕜 f ⁻¹' s = {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ s} ∪ {x | ¬DifferentiableAt 𝕜 f x} ∩ {_x | 0 ∈ s}
⊢ MeasurableSet ({x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ s} ∪ {x | ¬DifferentiableAt 𝕜 f x} ∩ {_x | 0 ∈ s})
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{max v₁ v₂, max u₁ u₂, v, u} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{v₁, u₁, v, u} C
α : Type u_2
Bornology α
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
s : ι → Set α
l : Filter α
h : l.HasBasis p s
⊢ Disjoint l (Bornology.cobounded α) ↔ ∃ i, p i ∧ Bornology.IsBounded (s i)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f : β → α
l : Filter β
a : α
h : Filter.Tendsto f l (𝓝[<] a)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => min a (f i)) l (𝓝[<] a)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {p | dist p.1 p.2 < ε}
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a : E
r : ℝ
⊢ a ∈ Metric.ball 0 r ↔ ‖a‖ < r
p q r : ℕ+
H : 1 < sumInv {p, q, r}
S : List ℕ+ := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p, q, r}
hS : List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ (∃ q_1 r_1, A' q_1 r_1 = {p, q, r}) ∨ (∃ r_1, D' r_1 = {p, q, r}) ∨ E' 3 = {p, q, r} ∨ E' 4 = {p, q, r} ∨ E' 5 = {p, q, r}
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
i : Fin n
y : α i.castSucc
⊢ Fin.init (Function.update q i.castSucc y) = Function.update (Fin.init q) i y
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimitsOfShape J TopCat
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j : J
⊢ (opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j)) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map (𝟙 j)) = (opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j)) (𝟙 ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j))
o : Ordinal.{u_3}
h0 : 0 < o
a : (Quotient.out o).α
⊢ Ordinal.enum (fun x x_1 => x < x_1) 0 ⋯ ≤ a
R : Type u
CommRing R
r : R
p : Polynomial R
hp : p ∈ nonZeroDivisors (Polynomial R)
⊢ (Polynomial.taylor r) p ∈ nonZeroDivisors (Polynomial R)
α : Type u_1
β : Type u_4
SemilatticeSup α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
x y : α
⊢ u (l.toFun (x ⊔ u (l.toFun y))) = u (l.toFun (x ⊔ y))
V : Type u
G G' : SimpleGraph V
h : G ≤ G'
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ (SimpleGraph.Walk.mapLe h p).IsPath ↔ p.IsPath
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s : Set Ω
⊢ ProbabilityTheory.cond μ s ≪ μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.L₀'.f S.φ₁ = S.v₁₂.τ₁
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a : α
⊢ InfPrime (OrderDual.toDual a) ↔ SupPrime a
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : 1 ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
t : Set E
t_open : IsOpen t
xt : x ∈ t
tu : insert x s ∩ t ⊆ u
this : DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s ∩ t) x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s) x
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : IsCyclic α
⊢ ∃ x, ∀ (y : α), y ∈ zpowers x
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : Nonempty α
h₀ : G.FarFromTriangleFree ε
h₁ : G.CliqueFree 3
this : (fun H => H.CliqueFree 3) G → ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ 0
⊢ ε ≤ 0
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.yn a1 n ≡ n [MOD 2]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g
⊢ ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
IsUltrametricDist X
x y : X
r s : ℝ
⊢ Metric.closedBall x r ⊆ Metric.closedBall y s ∨
  Metric.closedBall y s ⊆ Metric.closedBall x r ∨ Disjoint (Metric.closedBall x r) (Metric.closedBall y s)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ : ℝ
hr₁ : r₁ ≠ 0
r₂ : ℝ
⊢ Metric.closedBall 0 r₁ • p.ball 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
u v : n → R
⊢ (M.updateColumn j (u + v)).det = (M.updateColumn j u).det + (M.updateColumn j v).det
α : Type u_1
M : Type u_5
R : Type u_11
Zero M
SMulZeroClass R M
c : R
a : α
b : M
⊢ c • Finsupp.single a b = Finsupp.single a (c • b)
α : Type u_3
β : α → Type u_6
DecidableEq α
(a : α) → CommMonoid (β a)
a : α
f : (a : α) → β a
s : Finset α
⊢ ∏ a' ∈ s, Pi.mulSingle a' (f a') a = if a ∈ s then f a else 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
⊢ EMetric.diam (Ioo a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
n : ℕ
f g : Mathlib.Vector ℕ n → ℕ
hf : Nat.Primrec' f
H : ∀ (i : Mathlib.Vector ℕ n), f i = g i
⊢ Nat.Primrec' g
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => Real.sin (f x)) s x
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ IsOpen (range Real.toEReal)
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
m n k : ℕ
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
⊢ AdicCompletion.transitionMap I M hmn ∘ₗ AdicCompletion.transitionMap I M hnk = AdicCompletion.transitionMap I M ⋯
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingParallelPairOpEquiv.counitIso.app
    (Opposite.op CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero) =
  CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ ¬a ⩿ b ↔ ∃ c, a < c ∧ c < b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategoryStruct D
F : D ⥤ C
F.Faithful
fData : CategoryTheory.Monoidal.InducingFunctorData F
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.fromInduced F fData).toFunctor = F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
a : ℝ
ha : (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hb : deriv f b < (f z - f y) / (z - y)
hyb : y < b
hbz : b < z
⊢ deriv f a < deriv f b
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
⊢ (CategoryTheory.Pseudofunctor.id B).toPrelaxFunctor = CategoryTheory.PrelaxFunctor.id B
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁷ : F.PreservesZeroMorphisms
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
ψl : LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂
ψr : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂
inst✝⁶ : S₁.HasHomology
inst✝⁵ : S₂.HasHomology
inst✝⁴ : (F.mapShortComplex.obj S₁).HasHomology
inst✝³ : (F.mapShortComplex.obj S₂).HasHomology
inst✝² : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₂
inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms
γ : RightHomologyMapData φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData
⊢ QuasiIso (F.mapShortComplex.map φ) ↔ QuasiIso φ
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f₁ : R →+* S
g₁ g₂ : σ → S
p₁ : MvPolynomial σ R
h : ∀ i ∈ p₁.vars, i ∈ p₁.vars → g₁ i = g₂ i
⊢ (eval₂Hom f₁ g₁) (∑ v ∈ p₁.support, (monomial v) (coeff v p₁)) = (eval₂Hom f₁ g₂) (∑ v ∈ p₁.support, (monomial v) (coeff v p₁))
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ s t : Set α
⊢ sᶜ =ᶠ[ae μ] t ↔ s =ᶠ[ae μ] tᶜ
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommMonoid β
n : ℕ
this : {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) = {a | n + 1 ≤ τ a}.indicator (u n) + {a | τ a = n}.indicator (u n)
⊢ stoppedProcess u τ n = {a | n + 1 ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), {a | τ a = i}.indicator (u i)
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
self : DirectSum.Decomposition ℳ
⊢ Function.LeftInverse (⇑(DirectSum.coeAddMonoidHom ℳ)) DirectSum.Decomposition.decompose'
α : Type u_1
s : Finset α
h : Disjoint s ∅ := ⋯
⊢ s.disjUnion ∅ h = s
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
T : AddSubmonoid P
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
hg : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
k : T.LocalizationMap Q
x y : M
h : f.toMap x = f.toMap y
⊢ k.toMap (g x) = k.toMap (g y)
n : Nat
⊢ n ≥ 2 → n / 2 < n
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
r : ι → F
⊢ (Lagrange.interpolate s v) r =
  ∑ i ∈ s,
    Polynomial.C (Lagrange.nodalWeight s v i) * (Lagrange.nodal s v / (Polynomial.X - Polynomial.C (v i))) *
      Polynomial.C (r i)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
⊢ W.addY P Q / addZ P Q ^ 3 = W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Finset P
⊢ Finset.centroid k Finset.univ Subtype.val = Finset.centroid k s id
x✝ y✝ x y : ℂ
⊢ sin (x + y * I) = sin x * cosh y + cos x * sinh y * I
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : r ≤ 0
hb : 1 < b
⊢ ⌊r⁻¹⌋₊ < b ∨ b ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
this : t n = ⋃ u ∈ memPartition t n, u ∩ t n
v : Set α
hv : v ∈ memPartition t n
⊢ v ∩ t n ∈ memPartition t (n + 1)
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
hf_int : Integrable f μ
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Integrable f (((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : C
hA : CategoryTheory.IsSubterminal A
T : C
hT : CategoryTheory.Limits.IsTerminal T
⊢ CategoryTheory.Mono (hT.from A)
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α →CO β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
⊢ LipschitzWith μ.mass fun f => μ.testAgainstNN f
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : (i : ι) → LT (β i)
i : ι
inst✝ : NoMaxOrder (β i)
a : Lex ((i : ι) → β i)
b : β i
hb : a i < b
⊢ ∃ b, a < b
p : ℝ≥0∞
V : Type uV
AddCommGroup V
x y : WithLp p V
⊢ (WithLp.equiv p V) (x - y) = (WithLp.equiv p V) x - (WithLp.equiv p V) y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
h_mon : f.Monic
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)
⊢ Irreducible f
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
this : Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
⊢ Nat.card (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1}) = ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1)).natAbs
x : SetTheory.PGame
IsEmpty x.LeftMoves
⊢ (∀ (j : x.RightMoves), (x.moveRight j).Numeric) → x.Numeric
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
z : ℂ
hz : z ∈ spectrum ℂ a
hu : NormedSpace.exp ℂ (I • a) ∈ unitary A
Iu : ℂˣ := Units.mk0 I I_ne_zero
⊢ z = ↑z.re
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.expand R p) f).coeff (p * n) = f.coeff n
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R[X]ᵐᵒᵖ
⊢ ((opRingEquiv R) p).leadingCoeff = op (unop p).leadingCoeff
T : Type u_4
CommRing T
IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
⊢ I ⊔ J = (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors I ∩ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors J).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
f : α → Finset β
H : (↑(Finset.cons a s ha)).PairwiseDisjoint f
⊢ (Finset.cons a s ha).disjiUnion f H = (f a).disjUnion (s.disjiUnion f ⋯) ⋯
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
hne : s.Nonempty
x : α
A : Continuous fun y => edist x y
⊢ ∃ y ∈ s, infEdist x s = edist x y
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
p : α → Prop
⊢ (∃ x ∈ insert a s, p x) ↔ p a ∨ ∃ x ∈ s, p x
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
I : Ideal S
IsDomain S
r : S
r_ne_zero : r ≠ 0
hr : r ∈ I
p : Polynomial R
p_ne_zero : p ≠ 0
hp : Polynomial.eval₂ f r p = 0
⊢ Ideal.comap f I ≠ ⊥
α : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
CompactIccSpace α
a b : α
⊢ IsCompact (Set.uIcc a b)
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
⊢ (if h : f.LimZero then 0 else f.inv h) = f.inv hf
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤
iso : ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] E := { toFun := fun e => ↑e, invFun := fun e => ⟨e, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
H : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : (s ∩ t).Finite
⊢ s.encard ≤ t.encard ↔ (s \ t).encard ≤ (t \ s).encard
ι : Type u_7
α : ι → Type u_8
(i : ι) → Lattice (α i)
i : ι
⊢ ⇑(Pi.evalLatticeHom i) = Function.eval i
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
DenselyOrdered α
h : a < b
⊢ Nonempty ↑(Set.Ioo a b)
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this : ∀ (M : Type ?u.10523) (N : Type ?u.10522) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
y : α
hya : y ∈ Iio a
z : α
hzb : z ∈ Iic b
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Iio (a * b)
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
i : m
j : n
⊢ (Finsupp.single j 1).degree = 1
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ ↑f.range ⊆ ↑f.idealRange
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : CommMonoid α
f : α →₀ ℕ
⊢ (toMultiset 0).prod = prod 0 fun a n => a ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
⊢ Nonempty (α ↪o β)
α : Type u_1
f : α → ℝ
⊢ ↑(∑' (a : α), f a) = ∑' (a : α), ↑(f a)
α : Type u_1
s : Set α
a : α
PartialOrder α
h : IsGreatest s a
⊢ maximals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s = {a}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → β
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
S : Set (Set β)
hSc : S.Countable
hc : MeasurableSpace.CountablyGenerated β
h : NullMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable f μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
R : Type u_6
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
c : R
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => c • f y) s x
x : ℝ
⊢ Real.arcsin x = π / 2 ↔ 1 ≤ x
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
this : ∀ (x : Fin pb.dim), ↑x + 1 ≤ pb.dim
hn : n = pb.dim
⊢ ↑pb.dim * ↑pb.dim - (↑(pb.dim * (pb.dim - 1) / 2) + ↑pb.dim) = ↑(n * (n - 1) / 2)
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
⊢ FreeAddGroup.Red.Step (FreeAddGroup.negRev L₁) (FreeAddGroup.negRev L₂) ↔ FreeAddGroup.Red.Step L₁ L₂
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : Nontrivial E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → F
⊢ Measurable fun r => (↑r ^ (dim E - 1)).toNNReal
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1 : Computation α
s2 : Computation β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1 s2
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
⊢ LiftRel S (s1.bind (pure ∘ f1)) (s2.bind (pure ∘ f2))