ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
a : R
n : ℕ
Semiring R
⊢ ((Polynomial.monomial (n + 1)) a).coeff 0 = 0
α : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
TopologicalSpace α
Preorder α
SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_anti : Antitone f
ha : IsLUB (Set.range f) a
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 a)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
n : PosNum
⊢ 1 ≤ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set β → Prop
HasCountableSeparatingOn β p Set.univ
h : ∀ (U : Set β), p U → f ⁻¹' U =ᶠ[l] g ⁻¹' U
⊢ f =ᶠ[l] g
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
⊢ f.withTopWithBot.toLatticeHom = f.withBot.withTop
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ AnalyticWithinOn 𝕜 f s → AnalyticOn 𝕜 f s
f g : Turing.ToPartrec.Code
⊢ (f.case g).eval = fun v => Nat.rec (f.eval v.tail) (fun y x => g.eval (y :: v.tail)) v.headI
θ ψ : Angle
hs : θ.sign = ψ.sign
hr : |θ.toReal| = |ψ.toReal|
⊢ θ = ψ
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
i : ℕ
IH : ∀ (h : i < c.boundaries.card), (take i c.blocks).sum = ↑(c.boundary ⟨i, h⟩)
h : i + 1 < c.boundaries.card
A : i < c.blocks.length
B : i < c.boundaries.card
⊢ ↑(c.boundary ⟨i, B⟩) + c.blocks[i] = ↑(c.boundary ⟨i + 1, h⟩)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
⊢ LinearMap.mulLeft R 0 = 0
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
h_int_X : MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ 0 < ProbabilityTheory.mgf X μ t
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
h : AddCommute a b
⊢ -a + b + a = b
β : Type u_1
AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : CategoryTheory.DifferentialObject ℤ (CategoryTheory.GradedObjectWithShift b V)
i j : β
⊢ ((HomologicalComplex.dgoToHomologicalComplex b V).obj X).d i j = if h : i + b = j then X.d i ≫ X.objEqToHom ⋯ else 0
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝¹ : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this✝ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime p) Sₚ
pid : IsPrincipalIdealRing (Localization.AtPrime p)
p' : Ideal (Localization.AtPrime p)
hpu : ∀ (y : Ideal (Localization.AtPrime p)), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = p'
hp'0 : p' ≠ ⊥
hp'p : p'.IsPrime
this : LocalRing.maximalIdeal (Localization.AtPrime p) ≠ ⊥
⊢ P ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ |a - b| ≤ c ↔ a - b ≤ c ∧ b - a ≤ c
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
F G : Filter X
h : AccPt x F
hFG : F ≤ G
⊢ AccPt x G
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
StarAddMonoid F
NormedSpace 𝕜 F
StarModule 𝕜 F
ContinuousStar F
f : E → F
x : E
s : Set E
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => star (f y)) s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
LE α
LE β
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
φ : α ↪o β
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (⇑φ '' s)
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrderBot α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, x ≤ a → p a → p x
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype p) (Finset.Iic a) = Finset.Iic ↑a
ι : Type u_1
self : ComplexShape ι
i j j' : ι
⊢ self.Rel i j → self.Rel i j' → j = j'
α : Type u
t : TopologicalSpace α
TopologicalSpace.SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
⊢ Countable ι
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
c : CategoryTheory.Limits.Fork I.fstPiMap I.sndPiMap
a : I.R
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multifork.ofPiFork I c).π.app (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.right a) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp c.ι
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp I.fstPiMap (CategoryTheory.Limits.Pi.π I.right a))
α : Type u_1
i : Nat
as bs : List α
h : i < as.length
h' : i < (as ++ bs).length
⊢ (as ++ bs).get ⟨i, h'⟩ = as.get ⟨i, h⟩
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α β : Type u
s : Set α
t : (a : α) → a ∈ s → Set β
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hs : #↑s < c
⊢ #↑(⋃ a, ⋃ (h : a ∈ s), t a h) < c ↔ ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), #↑(t a ha) < c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ✝ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g✝ : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype ι
s : Finset κ
g : ι → κ → α
⊢ ∑ f ∈ piFinset fun x => s, ∏ i : ι, g i (f i) = ∏ i : ι, ∑ j ∈ s, g i j
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
⊢ ⇑(PiTensorProduct.tprod R) = PiTensorProduct.tprodCoeff R 1
a b c d n : ℕ
z : ℝ
hz : z ≤ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : a ^ 2 * d ≤ (2 * d + c) * b ^ 2
hb' : 0 < ↑b
hd' : 0 < ↑d
⊢ ↑a ^ 2 * ↑d ≤ (2 * ↑d + ↑c) * ↑b ^ 2
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
x : α
hx : (μ.tilted f).rnDeriv ν x = ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv ν x
⊢ ((μ.tilted f).rnDeriv ν x).toReal = (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
a x✝ z x y : ℂ
h₁ : abs x = abs y
h₂ : x.arg = y.arg
⊢ x = y
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
x : ι → ℝ
h : x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I
⊢ (BoxIntegral.TaggedPrepartition.single I I ⋯ x h).IsPartition
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun a => updateFinset a.1 s a.2
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd G G
a b : G
r : ℝ≥0∞
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' EMetric.ball b r = EMetric.ball (-a + b) r
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Semiring α
AddCommMonoid β
Module α β
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
hσ : σ.IsCycleOn ↑s
f : ι → α
g : ι → β
⊢ (∑ i ∈ s, f i) • ∑ i ∈ s, g i = ∑ k ∈ Finset.range s.card, ∑ i ∈ s, f i • g ((σ ^ k) i)
α : Type u
x : Set α
s : Set (Filter α)
⊢ x ∈ sSup s ↔ ∀ f ∈ s, x ∈ f
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M → N
hf : f 0 = 0
hf' : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
v₁ v₂ : α →₀ M
⊢ Finsupp.mapRange f hf (v₁ + v₂) = Finsupp.mapRange f hf v₁ + Finsupp.mapRange f hf v₂
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ ‖HurwitzKernelBounds.F_nat 0 0 t - 1‖ ≤ rexp (-π * t) / (1 - rexp (-π * t))
p n k : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ p ^ n
hk0 : k ≠ 0
hdisj : Disjoint (filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (p ^ n - k) % p ^ i) (Ico 1 n.succ)) (filter (fun i => p ^ i ∣ k) (Ico 1 n.succ))
filter_le_Ico : (filter (fun x => p ^ x ≤ k % p ^ x + (p ^ n - k) % p ^ x ∨ p ^ x ∣ k) (Ico 1 n.succ)).card ≤ (Ico 1 n.succ).card
⊢ (filter (fun x => p ^ x ≤ k % p ^ x + (p ^ n - k) % p ^ x ∨ p ^ x ∣ k) (Ico 1 n.succ)).card ≤ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_11
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
n : ℕ∞
g : F → F'
f : M → F
s : Set M
x : M
hg : ContDiff 𝕜 n g
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F') n (g ∘ f) s x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
hx₀ : x ≠ 0
t : 𝕜
ht : 1 < t
⊢ x ∈ t • interior s
α : Type u_1
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Finset ι
t : ι → Set α
h : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.NullMeasurableSet (t i) μ
H : (↑s).Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on t)
⊢ ∑ i ∈ s, μ (t i) ≤ μ Set.univ
R : Type u
Ring R
Γ₀ : Type v
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
⊢ (uniformity R).HasBasis (fun x => True) fun γ => {p | Valued.v (p.2 - p.1) < ↑γ}
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
ρ ν : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ ν a
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
x✝ : ν s < ⊤
⊢ ρ s ≤ ν s + ↑ε
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
⊢ B.IsAdjointPair B 1 1
b : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
⊢ StrictMono fun a => a / b
G : Type u_2
AddGroup G
S : Set (AddSubgroup G)
⊢ (sSup S).op = sSup (AddSubgroup.unop ⁻¹' S)
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
g : G
⊢ (MeasurableEquiv.mulLeft g).toEquiv = Equiv.mulLeft g
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
⊢ ∀ (n : ℕ) (a : R), trunc (toLaurent ((monomial n) a)) = (monomial n) a
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
a : α
⊢ a∗ * a ≤ a∗
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
⊢ RingHom.ker (DoubleQuot.quotLeftToQuotSup I J) = Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
x y z : R
inst✝ : IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
h : IsRelPrime x y
⊢ IsUnit (gcd x y)
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
s : Subsemiring R
⊢ Subsemiring.comap f (Subsemiring.map f s) = s
p : ℕ → Prop
h : p 0
⊢ Nat.nth p 0 = 0
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
⊢ (LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x) ↔ Disjoint (Finsupp.supported R R s) (LinearMap.ker (Finsupp.total M M R id))
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : Option α →₀ M
a : α
⊢ f.some a = f (some a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t✝ : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter γ
p : α × γ × γ → Prop
h : ∀ᶠ (x : α × γ × γ) in f ×ˢ g ×ˢ g, p x
t : α → Prop
ht : ∀ᶠ (x : α) in f, t x
s : γ × γ → Prop
hs : ∀ᶠ (y : γ × γ) in g ×ˢ g, s y
hst : ∀ {x : α}, t x → ∀ {y : γ × γ}, s y → p (x, y)
⊢ ∀ᶠ (x : α × γ) in f ×ˢ g, p (x.1, x.2, x.2)
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i : n
this : Nonempty n
n' : ℕ
hn' : Fintype.card n = n'.succ
x✝ : Trunc (n ≃ Fin n'.succ)
e : n ≃ Fin n'.succ
A' : Matrix (Fin n'.succ) (Fin n'.succ) α := (reindex e e) A
⊢ A.det = ∑ j : n, A i j * A.adjugate j i
a b : ℤ
⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ a = b ∨ a = -b
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type u_3
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : φ.IsCovering
hφψ : (φ ⋙q ψ).IsCovering
φsur : Surjective φ.obj
u : U
⊢ Bijective (ψ.costar (φ.obj u))
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun x => Real.sinh (f x)) (Real.cosh (f x) * f') x
α : Type u
m n : ℕ
f : Fin (m * n) → α
⊢ List.ofFn f = (List.ofFn fun i => List.ofFn fun j => f ⟨m * ↑i + ↑j, ⋯⟩).join
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
⊢ Complex.Gamma s ≠ 0
α : Type u_1
n : Type u_4
AddGroup n
v : n → α
i : n
⊢ Matrix.circulant v i 0 = v i
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
Nontrivial α
⊢ ¬IsMax ⊥
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ X ◁ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
a : α
⊢ ⇑e '' Set.Iio a = Set.Iio (e a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Epi f
CategoryTheory.Limits.HasCokernel g
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernelEpiComp f g).inv =
  CategoryTheory.Limits.cokernel.desc g (CategoryTheory.Limits.cokernel.π (f ≫ g)) ⋯
m n : ℕ
⊢ Int.negSucc m >>> ↑n = Int.negSucc (m >>> n)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set X
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → X → α
x₀ : X
hX : (𝓝 x₀).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ x ∈ s₁ k₁, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s₂ k₂
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
sq : f ⟶ g
CategoryTheory.IsIso sq
⊢ (CategoryTheory.inv sq).left = CategoryTheory.inv sq.left
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝³ : GradedRing 𝒜
b : A
n i : ι
inst✝² : Sub ι
inst✝¹ : OrderedSub ι
inst✝ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : i ≤ n
a : ↥(𝒜 i)
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (↑a * b)) n) = ↑a * ↑(((decompose 𝒜) b) (n - i))
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
⊢ a ∣ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
f : CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleMorphism T₁ T₂
g : CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleMorphism T₂ T₃
⊢ (f.comp g).hom₃ = f.hom₃ ≫ g.hom₃
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I
b : R
x : M
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) b • x = b • x
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ ⨆ i, span (⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I) = ⨆ i, { toSubmodule := span (⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I), is_homogeneous' := ⋯ }.toIdeal
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
(i : ι) → DecidableEq (γ i)
f : (i : ι) → γ i → β i
x y : (i : ι) → γ i
⊢ (hammingDist (fun i => f i (x i)) fun i => f i (y i)) ≤ hammingDist x y
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
⊢ vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(Finset.univ.erase i)) ⟂ (s.altitude i).direction
α : Type u
m' : Type uₘ
A : Matrix m' (Fin 0) α
⊢ A.transpose = Matrix.of ![]
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
⊢ (e.restr s).source = e.source ∩ interior s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : PosSMulReflectLE α β
inst✝¹ : FloorDiv α β
inst✝ : CeilDiv α β
a : α
b c : β
ha : a ≤ 0
⊢ b ⌊/⌋ a ≤ b ⌈/⌉ a
a b c d✝ m n : ℤ
h : b ∣ a
hb : b ≠ 0
d : ℤ
this : b ∣ d * a
⊢ c = a / b * d ↔ b * c = a * d
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
Nonempty ι
a : α
⊢ ⨅ x, a = a
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
x y : FreeGroup α
⊢ (x * y).norm = (mk (x.toWord ++ y.toWord)).norm
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : R[X]
r : R
hr : IsUnit r
a : R[X]
⊢ p.scaleRoots r ∣ (p * a).scaleRoots r
x : ℝ
⊢ Real.tanh x = Real.sinh x / Real.cosh x
k : ℕ
hk0 : k ≠ 0
⊢ ∃ᶠ (p : ℕ) in atTop, Prime p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
x y : ℝ
h : 1 < -x * -y
hx : x < 0
k : arctan (-x) + arctan (-y) = arctan ((-x + -y) / (1 - -x * -y)) + π
⊢ arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y)) - π
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
x : Quotient G α
⊢ Set.MapsTo (fun x => g • x) x.orbit x.orbit
G : Type u
AddMonoid G
Fintype G
⊢ Finset.univ.lcm addOrderOf ∣ AddMonoid.exponent G
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
s : NonUnitalSubsemiring R
⊢ s.prod ⊤ = NonUnitalSubsemiring.comap (NonUnitalRingHom.fst R S) s
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
hpq : p ≠ q
hp₁ : p % 2 = 1
hq₁ : q % 2 = 1
hq₂ : ringChar (ZMod q) ≠ 2
h : (quadraticChar (ZMod p)) ↑q = (quadraticChar (ZMod q)) (↑(χ₄ ↑p) * ↑p)
nc : ∀ (n r : ℕ), ↑↑n = ↑n
nc' : ↑((-1) ^ (p / 2)) = (-1) ^ (p / 2)
⊢ legendreSym q ↑p * legendreSym p ↑q = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2))
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c : Chain (α →𝒄 β)
c' : Chain α
⊢ ∀ (c_1 : β), (ωSup (c.map toMono)) (ωSup c') ≤ c_1 ↔ ωSup (c'.map (ωSup (c.map toMono))) ≤ c_1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
N L : Submodule R M
h : N ≤ L
⊢ B.orthogonal L ≤ B.orthogonal N
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
s : Set G
MeasurableNeg G
μ' ν' : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite μ'
MeasureTheory.SigmaFinite ν'
μ'.IsAddLeftInvariant
ν'.IsAddLeftInvariant
hμs : μ' s ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : G) ∂μ', ν' ((fun x_1 => x_1 + x) ⁻¹' s) < ⊤
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L
hx : x ∈ I
⊢ f x ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule)
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv
h : const abv (f.lim * g.lim) - f * g = (const abv f.lim - f) * g + const abv f.lim * (const abv g.lim - g)
⊢ ((const abv f.lim - f) * g + const abv f.lim * (const abv g.lim - g)).LimZero
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (fun x => x + c) (Ioc a b) = Ioc (a + c) (b + c)
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ a + iInf f = ⨅ b, a + f b
ι : Type u_1
l : List ℕ
k : ℕ
⊢ l.prod.Coprime k ↔ ∀ n ∈ l, n.Coprime k
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
hM : Finite R M
f : M →ₗ[R] N
hf : Surjective ⇑f
⊢ (map f ⊤).FG
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
s : Finset β
H : s.Nonempty
t : Finset β
f g : β → α
h₁ : s = t
h₂ : ∀ x ∈ s, f x = g x
⊢ s.inf' H f = t.inf' ⋯ g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
f : P ⟶ Q
⊢ -f = { f := -f.f, comm := ⋯ }
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.karoubiCochainComplexEquivalence C α).counitIso.hom = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_2
ι : Type u_5
SemilatticeInf α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
⊢ OrderDual.toDual (s.inf' hs f) = s.sup' hs (⇑OrderDual.toDual ∘ f)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
x y : E
⊢ dist (f x) (f y) ≤ ‖f‖ * dist x y
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : Set (Set R)
⊢ NonUnitalSubring.closure (⋃₀ s) = ⨆ t ∈ s, NonUnitalSubring.closure t
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO : f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)
g : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => cexp (↑ε * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
⊢ ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[<] 0, ‖g ε z • f z‖ ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ s₂ : Set α
f : α → β
h : Set.InjOn f s
h₁ : s₁ ⊆ s
h₂ : s₂ ⊆ s
⊢ f '' s₁ ⊆ f '' s₂ ↔ s₁ ⊆ s₂
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
y : ℝ
hy : y ∈ Ico 0 1
⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ k * (fourier n) ↑y) (-(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k y))
a : UnitAddCircle
x : ℝ
⊢ oddKernel (-a) x = -oddKernel a x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Precoherent C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
X : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology D) A
⊢ ∀ (X_1 : Dᵒᵖ),
  ((e.sheafCongrPrecoherent A).counitIso.hom.app X).val.app X_1 = X.val.map (e.counitIso.inv.app (Opposite.unop X_1)).op
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
p : X → Prop
f : Y → Subtype p
hf : Continuous f
⊢ Continuous fun x => ↑(f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → β → σ
⊢ (Computable₂ fun a n => Option.map (f a) (Encodable.decode n)) ↔ Computable₂ f
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X✝ : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace X✝
X : TopCat
⊢ EqualizerCondition (yonedaPresheaf compHausToTop ↑X)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
W : Submodule R (Module.Dual R M)
m : M
w : ↥W
⊢ (W.quotDualCoannihilatorToDual (Submodule.Quotient.mk m)) w = ↑w m
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι)) volume volume
v : ι → ℝ
⊢ -(b * ↑‖(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm v‖ ^ 2) + c * ↑⟪w, (EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm v⟫_ℝ = -b * ∑ i : ι, ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c * ↑(w i) * ↑(v i)
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
⊢ ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
ι : W ⟶ X
q : IsSplitEqualizer f g ι
F : C ⥤ D
⊢ F.map ι ≫ F.map q.leftRetraction = 𝟙 (F.obj W)
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
this : listTransvecCol M = listTransvecCol (M * (listTransvecRow M).prod)
⊢ (M * (listTransvecRow M).prod) (inr ()) (inr ()) ≠ 0