ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ Type ?u.434146
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
hf : Measurable f
a✝¹ : α
s✝ : Set γ
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ (Measure.map f (0 a✝¹)) s✝ = (0 a✝¹) s✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
x : ↥U
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : ↑x ∈ V.carrier
iVU : V ⟶ U
f g : R
hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
s_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
h : R
hxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h
hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V
n : ℕ
c : R
hc : c * g = h ^ (n + 1)
basic_opens_eq : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen h
i_basic_open : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) ⟶ V
⊢ const R (f * c) (h ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (i_basic_open ≫ iVU).op) s
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (J.plusObj P) S
⊢ ∃ t, Meq.mk S t = s
α : Type u_8
CommSemigroup α
a : α × α
⊢ mulMulHom a = a.1 * a.2
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
ho : lift.{v, u} o.card < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c.ord, f i hi b < c.ord
a : Ordinal.{max u v}
⊢ lift.{v, u} #(Quotient.out o).α < c
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
a b : { x // p x }
⊢ Subtype.val ⁻¹' Set.Ico ↑a ↑b = Set.Ico a b
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
this : NormedSpace ℝ G := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 G
g : ℝ → E := ⇑(AffineMap.lineMap x y)
⊢ ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
inst✝ : Fintype ι
κ : ι → Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((Kernel.sum κ) a) s = ((∑ i : ι, κ i) a) s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯
⊢ ∃ f, f x₀ = 1 ∧ ∀ x ∈ s, f x < 1
n : ℕ
⊢ Integrable (fun x => (x - ↑(n + 1)) / x ^ 2) (volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)))
n : ℕ
F : Type u → Type u
Applicative F
α β : Type u
f : α → F β
x : α
xs : Mathlib.Vector α n
⊢ Mathlib.Vector.traverse f (x ::ᵥ xs) = Seq.seq (Mathlib.Vector.cons <$> f x) fun x => Mathlib.Vector.traverse f xs
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
f : (i : ι) → κ i → Set α
hf : ∀ (i : ι) (j : κ i), IsClopen (f i j)
⊢ IsClopen (⋃ i, ⋃ j, f i j)
w₁ w₂ p₁ p₂ : ℝ
hw₁ : 0 ≤ w₁
hw₂ : 0 ≤ w₂
hp₁ : 0 ≤ p₁
hp₂ : 0 ≤ p₂
hw : w₁ + w₂ = 1
⊢ p₁ ^ w₁ * p₂ ^ w₂ ≤ w₁ * p₁ + w₂ * p₂
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
SemilatticeSup α
NoMaxOrder α
Filter.atTop.IsCountablyGenerated
μ : MeasureTheory.Measure α
a : α
⊢ Filter.Tendsto (fun x => μ (Set.Ico a x)) Filter.atTop (nhds (μ (Set.Ici a)))
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
⊢ Matrix.UnitaryGroup.toLin' 1 = LinearMap.id
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsInitSeg 𝒜 r
h𝒜₀ : 𝒜.Nonempty
hs : 𝒜.sup' h𝒜₀ toColex ∈ ofColex ⁻¹' ↑𝒜
t : Finset α
⊢ t ∈ 𝒜 ↔ (𝒜.sup' h𝒜₀ toColex).ofColex.card = t.card ∧ { ofColex := t } ≤ { ofColex := (𝒜.sup' h𝒜₀ toColex).ofColex }
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ 𝓝 ↑x = Filter.map OnePoint.some (𝓝 x)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝¹ : CharZero k
inst✝ : Fintype ι
h : s.Nonempty
⊢ ∑ i : ι, centroidWeightsIndicator k s i = 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
AddMonoid β
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g.FinMeasSupp μ
⊢ (f + g).FinMeasSupp μ
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hinj : LinearMap.ker f = ⊥
hsurj : LinearMap.range f = ⊤
x : E
⊢ (ContinuousLinearEquiv.ofBijective f hinj hsurj).symm (f x) = x
x : ℝ≥0∞
y z : ℝ
hx : x ≠ 0
h'x : x ≠ ⊤
⊢ x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
h : MDifferentiableOn I I' f s
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ MDifferentiableAt I I' f x
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_10, u_2} C₁
CategoryTheory.Category.{u_11, u_3} C₂
CategoryTheory.Category.{u_8, u_5} D₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_6} D₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₁.IsLocalization W₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₂.IsLocalization W₂
X Y : C₁
G : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
e : Φ.functor.comp L₂ ≅ L₁.comp G
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
⊢ Φ.homMap L₁ L₂ f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.hom.app X) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map f) (e.inv.app Y))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
t : ι → Set α
inst✝ : Countable ι
ht : ∀ (i : ι), (t i).Countable
this : ∀ (i : ι), Countable ↑(t i)
⊢ (⋃ i, t i).Countable
α : Type u
β : Type v
PartialOrder β
f : α → β
s : Set α
h : s.Finite
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ a ∈ s, ∀ a' ∈ s, f a' ≤ f a → f a = f a'
α : Type u_1
Preorder α
NoMinOrder α
a : α
⊢ ¬IsMin a
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → α → α
hcomm : Commutative f
hassoc : Associative f
a b c : α
l : List α
⊢ foldl f a (b :: c :: l) = f b (foldl f a (c :: l))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
α β : F ⟶ G
h : α = β
X : C
⊢ α.app X = β.app X
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
x : α
hx : x ∈ (a :: b :: l).getLast?
⊢ ∃ h, x = (a :: b :: l).getLast h
a b c d : Prop
⊢ (a ∧ b) ∧ c ∧ d ↔ (a ∧ c) ∧ b ∧ d
α : Type u_1
S : Set (Set α)
h_pi : IsPiSystem S
⊢ generatePiSystem S = S
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d
⊢ a • c < b • d
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
CompleteLattice α
CompleteLattice β
gi : GaloisCoinsertion l u
ι : Sort x
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
⊢ u (⨆ i, ⨆ (hi : p i), l (f i hi)) = ⨆ i, ⨆ (hi : p i), f i hi
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
d : τ →₀ ℕ
h : ∀ (u : σ →₀ ℕ), Finsupp.mapDomain f u = d → MvPolynomial.coeff u φ = 0
⊢ MvPolynomial.coeff d ((MvPolynomial.rename f) φ) = 0
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
⊢ edgeDensity r s₂ t₂ - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) * edgeDensity r s₂ t₂ ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ (Finset.Ioo a b).card = (Finset.Ico a b).card - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹³ : TopologicalSpace α
inst✝¹² : MeasurableSpace α
inst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β
inst✝⁹ : MeasurableSpace β
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁷ : TopologicalSpace γ
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ₂
inst✝³ : MeasurableSpace γ₂
inst✝² : BorelSpace γ₂
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
inst✝ : R1Space γ
K : Set γ
hK : IsCompact K
μ : Measure γ
⊢ μ (closure K) = μ K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝¹ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
b : ℝ≥0
x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤
x : ℝ≥0
y : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞
hy : ↑(b + 1 + x) < y.1 ∧ y.2 ≤ ↑(b + 1)
⊢ ↑x < y.1 - y.2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
Z Z' : C
q : Z ⟶ Z'
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
k : t.pt ⟶ Z
⊢ ↑((CategoryTheory.Limits.Cofork.IsColimit.homIso ht Z') (CategoryTheory.CategoryStruct.comp k q)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (↑((CategoryTheory.Limits.Cofork.IsColimit.homIso ht Z) k)) q
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
⊢ 2 ^ Fintype.card α * (𝒜 ∩ ℬ).card ≤ 𝒜.card * ℬ.card
V✝ : Type u
G : SimpleGraph V✝
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V : Type u_3
inst✝ : Infinite V
n : ℕ
hn : ⊤.Coloring (Fin n)
⊢ False
n : ℕ
hnd : 0 ∣ n
⊢ φ (n / 0) = (filter (fun k => n.gcd k = 0) (range n)).card
F : Type w
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
ι : Sort u_2
f : F
s : ι → NonUnitalSubring R
⊢ NonUnitalSubring.map f (iSup s) = ⨆ i, NonUnitalSubring.map f (s i)
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G✝ : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G✝
F G : W.Localization ⥤ D
τ₁ τ₂ : F ⟶ G
h : 𝟙 W.Q ◫ τ₁ = 𝟙 W.Q ◫ τ₂
X : W.Localization
eq : (objEquiv W).toFun ((objEquiv W).invFun X) = X
⊢ τ₁.app X = τ₂.app X
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
r : R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0
J : Ideal R
hJ : J.IsMaximal
⊢ ∀ x ∈ ⇑(Algebra.linearMap R (Localization.AtPrime J)) '' {r}, x = 0
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsNat e n
w : Nat.blt 1 n = true
⊢ 0 < Real.log e
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n + 1), u k = u 0 ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), u (k + 1)
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
x : { x // x ∈ s }
t : Set { x // x ∈ s }
⊢ t ∈ 𝓝 x ↔ ∃ u ∈ 𝓝 ↑x, Subtype.val ⁻¹' u ⊆ t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → β
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
S : Set (Set β)
hSc : S.Countable
hc : MeasurableSpace.CountablyGenerated β
h : NullMeasurable f μ
T : Set β → Set α
hTf : ∀ s ∈ S, T s ⊆ f ⁻¹' s
hTm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (T s)
hTeq : ∀ s ∈ S, T s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
U : Set β → Set α
hUf : ∀ s ∈ S, U s ⊇ f ⁻¹' s
hUm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (U s)
hUeq : ∀ s ∈ S, U s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
v : Set α := ⋃ s ∈ S, U s \ T s
hvm : MeasurableSet v
hvμ : μ v = 0
⊢ Measurable (vᶜ.restrict (v.piecewise (fun x => default) f))
α : Type u_1
CircularPreorder α
a b : α
⊢ ¬sbtw a a b
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ) μ
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) ((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, μ] fun x => ‖k x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) ν
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.1 - z.2, z.2)) (μ.prod ν) = μ.prod ν
⊢ Integrable (fun y => ∫ (x : G), ‖uncurry (fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, y)‖ ∂μ) ν
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p q : A
⊢ p = q ↔ ↑p = ↑q
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hq : q ≠ 0
r : R
hr : q = GCDMonoid.gcd p q * r
pq0 : GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
r0 : r ≠ 0
⊢ GCDMonoid.gcd p q * r / GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
⊢ Function.Injective fun φ => φ.snd.listEncode
α : Type u_1
xs : List α
⊢ xs.sym2 = [] ↔ xs = []
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι : Type u
R : ι → ι → Prop
x : F (α ::: ι)
f : ι → ι
hh : ∀ (x : ι), R (f x) x
⊢ MvFunctor.LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: f) <$$> x) x
r : ℝ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ r.toNNReal ≤ OfNat.ofNat n ↔ r ≤ ↑n
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i✝ : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
f : K →ₗ[ℚ] ↥(Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) := LinearMap.codRestrict (Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) (canonicalEmbedding K).toRatAlgHom.toLinearMap ⋯
i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
⊢ (↑(Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ∘ₗ f) ((integralBasis K) i) = ↑(integralBasis K).repr ((integralBasis K) i)
R : Type uR
CommSemiring R
⊢ Algebra.FiniteType R R[X]
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
MulZeroClass M₀
f g : ι → M₀
⊢ (Function.support fun x => f x * g x) ⊆ Function.support g
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' : ι'
hi'✝ : ∀ (i : ι), e.f i ≠ i'
hi' : e.r i' = none
⊢ e.r i' = none
s : Set ℝ
⊢ closure (Complex.im ⁻¹' s) = Complex.im ⁻¹' closure s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : M
hy : x ∈ f.source
⊢ Filter.map (↑(f.extend I)) (𝓝 x) = 𝓝[Set.range ↑I] ↑(f.extend I) x
a b c : ℝ≥0∞
h : 0 < c → c < b → a ≠ ⊤
⊢ a * (b - c) = a * b - a * c
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace δ
NormedAddCommGroup β
f : α → δ
hf : MeasurableEmbedding f
g : δ → β
⊢ MeasureTheory.Integrable g (MeasureTheory.Measure.map f μ) ↔ MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Basis I X
⊢ X ⊆ M.closure I
A : Type u_1
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra ℂ A
ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
u : A
hu : u ∈ unitary A
⊢ spectrum ℂ u ⊆ ↑circle
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ antidiagonal n, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli' k.1 = 1
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
IsNoetherianRing R
LocalRing R
h : I ≠ ⊤
⊢ ⨅ i, I ^ i = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
this : ∫⁻ (b : β), (Measure.sum fun n => (η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a = ∫⁻ (b : β), ∑' (n : ℕ), ((η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a
⊢ ∀ (i : ℕ), AEMeasurable (fun b => ((η.seq i) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s}) (κ a)
f : StieltjesFunction
l u : ℝ
hfl : Filter.Tendsto (↑f) Filter.atBot (𝓝 l)
hfu : Filter.Tendsto (↑f) Filter.atTop (𝓝 u)
⊢ MeasureTheory.IsFiniteMeasure f.measure
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) / μ univ
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
htendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (ENNReal.ofReal I))
⊢ ENNReal.ofReal I < ENNReal.ofReal (max 1 (I + 1))
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝² : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝¹ : v \ u = v
this✝ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∈ s ∪ v → w ∈ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∉ u
⊢ insert w s ∈ 𝒜
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
hs : Finite ↑s
ht : Finite ↑t
⊢ (s ∪ t).Finite
ι : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
UniformSpace α
F : ι → X → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
𝔖_covers : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
⊢ IsClosed (Set.range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)) ↔ IsClosed (Set.range F)
n : ℕ
self : n.Partition
⊢ self.parts.sum = n
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
hc : IsCompl p q
x : E
⊢ ∃! u, ↑u.1 + ↑u.2 = x
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
L : Φ.LeftResolution X₂
⊢ L.op.w = L.w.op
β : Type u_3
Finite β
f : Equiv.Perm β
hf : f.IsCycle
n : ℕ
⊢ f ^ n = 1 ↔ ∀ (x : β), f x ≠ x → (f ^ n) x = x
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
FirstCountableTopology ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
R : Type u
Ring R
f g : R[X]
⊢ Polynomial.derivative (f - g) = Polynomial.derivative f - Polynomial.derivative g
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : ¬q = 0
this : ¬const (padicNorm p) q ≈ 0
⊢ norm (const (padicNorm p) q) = padicNorm p q
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : Preorder ι
E : Type u_4
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
ℱ : Filtration ι m
f : ι → Ω → E
μ : Measure Ω
h : ∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω))
⊢ StronglyMeasurable (Classical.choose h)
n : Type u_3
R : Type u_7
S : Type u_8
Fintype n
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
v w : n → R
⊢ f (v ⬝ᵥ w) = ⇑f ∘ v ⬝ᵥ ⇑f ∘ w
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
Decidable (s = ⊥)
⊢ ⊤.IsEquipartition
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ p = match ↑{⟨p, hp⟩} with | none => 0 | some s => (Multiset.map Subtype.val s).prod
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
a : Γ₀
⊢ IsOpen (Set.Iio a)
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
⊢ ⨆ i, lift.{v, v'} #↑↑i ≤ lift.{v', v} (⨆ ι, #↑↑ι)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
⊢ Set.univ.pi t₁ ⊆ Set.univ.pi t₂ ↔ (∀ (i : ι), t₁ i ⊆ t₂ i) ∨ ∃ i, t₁ i = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set (α × β)
p : α × β
⊢ ContinuousWithinAt Prod.snd s p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
x y : α × β
⊢ (hasse (α × β)).Adj x y ↔ (hasse α □ hasse β).Adj x y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
⊢ ∑ i : ι, b.repr x i • b i = x
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (L : IntermediateField F E), FiniteDimensional F ↥L → IsPurelyInseparable F ↥L
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I = ∅ ↔ I = ⊤
m : ℤ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑m - x) ↔ Irrational x
α : Type u
LinearOrder α
OrderTop α
a b : α
⊢ max a b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∨ b = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
i : σ
⊢ (weight w) (Finsupp.single i 1) = w i
b x : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hx : x ≠ 0
t : Ordinal.{u_1} := sInf {o | x < b ^ o}
⊢ succ (log b x) = sInf {o | x < b ^ o}
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center ≤ s.radius
⊢ Wbtw ℝ p p' (s.secondInter p (p' -ᵥ p))
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
self : AffineBasis ι k P
⊢ AffineIndependent k self.toFun
X : Type u
TopologicalSpace X
l : Filter X
⊢ l.lift' interior ≤ l
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = a * b
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b