ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℝ[X]
hp' : derivative p ≠ 0
hp : p ≠ 0
x : ℝ
hx : p.IsRoot x
y : ℝ
hy : p.IsRoot y
hxy : x < y
hxy' : ∀ z ∈ p.roots.toFinset, z ∉ Set.Ioo x y
z : ℝ
hz1 : z ∈ Set.Ioo x y
hz2 : deriv (fun x => eval x p) z = 0
⊢ ∃ z ∈ (derivative p).roots.toFinset, x < z ∧ z < y
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
⊢ Odd (Nat.card V) ↔ Odd (Nat.card ↑{c | Odd (Nat.card ↑c.supp)})
x : Bool
l : List Bool
h : Chain (fun x x_1 => x ≠ x_1) (!x) (x :: l)
⊢ count (!!x) (x :: l) = count (!x) (x :: l) + (x :: l).length % 2
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : G ⊣ F
F.Full
F.Faithful
⊢ G.IsLocalization (CategoryTheory.Localization.LeftBousfield.W fun x => x ∈ Set.range F.obj)
f : ℕ → NNReal
k : ℕ
hf : Summable f
⊢ ∑' (i : ℕ), f i = ∑ i ∈ Finset.range k, f i + ∑' (i : ℕ), f (i + k)
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
f : α → β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable (Function.uncurry f) (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f x y ∂ν ∂μ = ∫⁻ (z : α × β), f z.1 z.2 ∂μ.prod ν
S : Type u_1
M : Type u_2
AddMonoid M
SetLike S M
AddSubmonoidClass S M
⊢ SMulMemClass S ℕ M
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
t : ℕ
ht : (image (fun v => G.degree v) univ).max = ↑t
⊢ ∃ v, G.maxDegree = G.degree v
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
r : R
⊢ AddOreLocalization.numeratorHom r = r -ₒ 0
α : Type u
s t : Set α
⊢ t ⊆ s ∪ t
X : Type u
PseudoMetricSpace X
x : X
E : Set X
hx : x ∈ E
δ : ℝ
⊢ Metric.ball x δ ⊆ Metric.thickening δ E
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
z : ℂ
h1 : (aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1) = 0
h2 : (aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1).mirror = 0
⊢ z ^ n = z + 1 ∧ z ^ n + z ^ 2 = 0
f g : SchwartzMap ℝ ℂ
hfg : 𝓕 ⇑f = ⇑g
x : ℝ
⊢ ∑' (n : ℤ), f (x + ↑n) = ∑' (n : ℤ), g ↑n * (fourier n) ↑x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
x₀ : E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
⊢ ‖lineDeriv 𝕜 f x₀ v‖ ≤ ↑C * ‖v‖
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ |OfNat.ofNat n| = OfNat.ofNat n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.right
K : CategoryTheory.Limits.Multicofork I
⊢ K.toSigmaCofork.pt = K.pt
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R
⊢ 1 + 1 + 1 = 3
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
U : (TopologicalSpace.Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(Opposite.unop U)) → HomogeneousLocalization.AtPrime 𝒜 (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal
ha : (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.StructureSheaf.isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.StructureSheaf.isLocallyFraction 𝒜).pred b
⊢ (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.StructureSheaf.isLocallyFraction 𝒜).pred (a * b)
β : Type u_2
CommMonoid β
n : ℕ
f : ℕ → β
⊢ ∏ i ∈ Finset.range n, f i = ∏ i : Fin n, f ↑i
m n✝¹ n✝ a✝ n : ℕ
a b : ZMod (n + 1)
⊢ (a + b).valMinAbs.natAbs ≤ n.succ / 2
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
S : Set α
⊢ compl ⁻¹' S = compl '' S
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
head✝ : Sigma β
l₁ : List (Sigma β)
l₂ : List (Sigma β)
h : ¬a = head✝.fst ∧ a ∉ l₁.keys
⊢ kerase a (head✝ :: l₁ ++ l₂) = head✝ :: l₁ ++ kerase a l₂
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
a b : X
⊢ orbit G a = orbit G b ∨ Disjoint (orbit G a) (orbit G b)
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
hci : μ (s ∩ t) ≠ 0
⊢ 0 < μ[|s] t
R : Type u_1
M : Type u_3
MonoidWithZero R
Zero M
MulActionWithZero R M
p : Prop
Decidable p
a : R
b : M
⊢ (if p then a else 0) • b = if p then a • b else 0
w₁ w₂ w₃ p₁ p₂ p₃ : ℝ≥0
⊢ w₁ + w₂ + w₃ = 1 → p₁ ^ ↑w₁ * p₂ ^ ↑w₂ * p₃ ^ ↑w₃ ≤ w₁ * p₁ + w₂ * p₂ + w₃ * p₃
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Set α
t✝ t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → α → β
s t : Set α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a
⊢ image2 f (t ∩ s) (s ∪ t) ⊆ image2 f s t
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
φ : L.Sentence
⊢ M ⊨ FirstOrder.Language.Formula.not φ ↔ ¬M ⊨ φ
x y : ℂ
⊢ cosh x ^ 2 - sinh x ^ 2 = 1
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
k : α
n : ℤ
x a a' : α
h : k + a = a'
⊢ k + termg n x a = termg n x a'
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
x y z : α
h : IsCompl x y
⊢ y ≤ z ↔ Codisjoint z x
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
ι : Type w
h : Basis ι K V
⊢ ↑(FiniteDimensional.finrank K V) = #ι
α : Type u_1
β : Type v
s : Multiset α
t : Multiset β
p : α × β
⊢ p ∈ s.product t ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : p.Monic
q : R[X]
⊢ q * p = 0 ↔ q = 0
a b c : Ordinal.{u_4}
h : a ≤ b * c
⊢ a / b ≤ c
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsPartialOrder α r
S : Set (α → α → Prop) := {s | IsPartialOrder α s}
hS : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
⊢ ∃ s, IsLinearOrder α s ∧ r ≤ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsSimpleOrder α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ Finset.map { toFun := ⇑IsSimpleOrder.equivBool.symm, inj' := ⋯ } Finset.univ = {⊤, ⊥}
g : ℕ →. ℕ
hg : Partrec g
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
⊢ ∃ h, Partrec h ∧ ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ h a, x ∈ cf.eval a ∨ x ∈ g a) ∧ ((h a).Dom ↔ (cf.eval a).Dom ∨ (g a).Dom)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y X₁ Y₁ : C
α : X ≅ X₁
β : Y ≅ Y₁
f : X₁ ⟶ Y₁
⊢ (α.homCongr β).symm f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp α.hom (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f β.inv)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⇑↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm = MulOpposite.unop
α : Type u_2
Lattice α
s : Set α
self : IsSublattice s
⊢ SupClosed s
r p : ℝ≥0
⊢ r - p = (↑r - ↑p).toNNReal
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
m₁ m₂ m₁₂ : ℤ
h₁₂ : n₁₂ + 1 = m₁₂
h₁ : n₁ + 1 = m₁
h₂ : n₂ + 1 = m₂
⊢ m₁ + n₂ = m₁₂
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
A : C
i₁₂ : I₁₂
f g : (K.total c₁₂).X i₁₂ ⟶ A
h : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (hi : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂), K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ hi ≫ f = K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ hi ≫ g
⊢ ∀ (i : I₁ × I₂) (hij : c₁.π c₂ c₁₂ i = i₁₂), K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) i i₁₂ hij ≫ f = K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) i i₁₂ hij ≫ g
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Semigroup R
inst✝ : StarMul R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ Commute (star x) x
ι : Type uι
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module A M₁
inst✝³ : SMulCommClass R A M₁
inst✝² : SMulCommClass A R M₁
inst✝¹ : IsScalarTower R A M₁
inst✝ : Module R M₂
B₁ : BilinMap A M₁ A
B₂ : BilinMap R M₂ R
hB₁ : IsSymm B₁
hB₂ : IsSymm B₂
⊢ IsSymm (B₁.tmul B₂)
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ xᶜ \ yᶜ = y \ x
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ (NumberField.mixedEmbedding.matrixToStdBasis K).det = (2⁻¹ * Complex.I) ^ NumberField.InfinitePlace.NrComplexPlaces K
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
⊢ m ∈ p.support ↔ MvPolynomial.coeff m p ≠ 0
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
x : ↑S.X₁
⊢ ∃ y, S.moduleCatToCycles y = ((ModuleCat.kernelIsLimit S.g).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)) x
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
self : CategoryTheory.IsConnected J
⊢ Nonempty J
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h0 : i ≠ 0
⊢ i.cycleRange.IsCycle
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
y : ↥T.adjointDomain
x : ↥T.domain
⊢ ⟪{ toFun := fun y => (InnerProductSpace.toDual 𝕜 E).symm (adjointDomainMkCLMExtend hT y), map_add' := ⋯ } y, ↑x⟫_𝕜 = ⟪↑y, ↑T x⟫_𝕜
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
n : ℕ
⊢ {p | p.length = n.succ} = ⋃ w, ⋃ (h : G.Adj u w), SimpleGraph.Walk.cons h '' {p' | p'.length = n}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctorZero C).inv.app X).hom₁ =
  (CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).inv.app X.obj₁
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F F' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
f : F' ⟶ G.toPresheaf
U V : Cᵒᵖ
i : U ⟶ V
x : F'.obj U
⊢ ↑(f.app V (F'.map i x)) = F.map i ↑(f.app U x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (D.comp T.forget) T.toFunctor
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (T.map (c.ι.app j)) (CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesColimits.lambda c t) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (D.obj j).a (c.ι.app j)
α : Sort u
β : Sort v
na : Nonempty α
Subsingleton β
f : α → β
⊢ Function.Surjective f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ : P
⊢ s.secondInter p₁ (p₂ -ᵥ p₁) ∈ affineSpan ℝ {p₁, p₂}
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
⊢ s₁ ⊆ s₂ → t₁ ⊆ t₂ → s₁ • t₁ ⊆ s₂ • t₂
X Y : AddCommGrp
f : X ⟶ Y
⊢ AddCommGrp.uliftFunctor.map f =
  AddCommGrp.ofHom (AddEquiv.ulift.symm.toAddMonoidHom.comp (AddMonoidHom.comp f AddEquiv.ulift.toAddMonoidHom))
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
s t : ℝ
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ (Icc 0 s)
φst : φ '' Icc 0 s = Icc 0 t
hfφ : HasUnitSpeedOn (f ∘ φ) (Icc 0 s)
hf : HasUnitSpeedOn f (φ '' Icc 0 s)
this : φ 0 = 0
⊢ id = fun y => y - 0 + φ 0
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R
a : Γ
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hys : y.support ⊆ s
⊢ (x * y).coeff a = ∑ ij ∈ Finset.addAntidiagonal ⋯ hs a, x.coeff ij.1 * y.coeff ij.2
f : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
⊢ GrowsPolynomially fun x => ‖f x‖
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝² : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝¹ : v \ u = v
this✝ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∉ (s ∪ v) \ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
⊢ False
c : Cardinal.{u_1}
co : ℵ₀ ≤ c
a : Ordinal.{u_1}
h : c.ord ≤ succ a
⊢ c.ord ≤ a
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type w
h : Basis ι R M
⊢ ↑(finrank R M) = #ι
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfi : Integrable (fun x => (f x).toReal) μ
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity f)
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal) i = ↑(μ.withDensity f).toSignedMeasure i
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
hm : ∃ a, a ∈ s
⊢ (map f s).prod = (map f t).prod
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G → H
hf : IsAddGroupHom f
s : Set H
hs : IsNormalAddSubgroup s
⊢ IsNormalAddSubgroup (f ⁻¹' s)
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ l₁✝ l₂✝ : List α✝
a : α✝
s : l₁✝ <+ l₂✝
h : (a :: l₁✝).length = (a :: l₂✝).length
⊢ a :: l₁✝ = a :: l₂✝
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ ￢￢(a \ b) ≤ ￢￢a \ ￢￢b
α : Type u_1
LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp x y = cmp x' y'
⊢ x = y ↔ x' = y'
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
⊢ SimpleGraph.Walk.nil.Nil
x y : USize
h1 : x ≤ y
h2 : y ≤ x
⊢ x = y
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ { str := { data := l ++ (m₁ ++ c :: m₂) ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (m₁ ++ c :: m₂) } }.get { byteIdx := utf8Len m₁ } = c
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.62699, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
h₁₂ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
⊢ K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' + K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = 0
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)
⊢ ∀ (x y : M), (∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x) → (∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = y) → ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x + y
α : Type u_1
Preorder α
L S : TopologicalSpace α
Topology.IsLawson α
Topology.IsScott α
s : Set α
h : IsUpperSet s
⊢ IsOpen s ↔ IsOpen s
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
j k : ℕ
A : IndexSet (op [j])
hA : ¬A.EqId
⊢ (s.cofan (op [j])).inj A ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0
q : ℍ
hq : q.re = 0
c s : ℝ
hc : HasSum (fun n => (-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) c
hs : HasSum (fun n => (-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)!) s
⊢ HasSum (fun n => (expSeries ℝ ℍ n) fun x => q) (↑c + (s / ‖q‖) • q)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
⊢ AnalyticAt 𝕂 (NormedSpace.exp 𝕂) x
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0
⊢ (C a * X ^ 2 + C b * X + C c).degree = 2
α : Type u_2
Zero α
One α
NeZero 1
⊢ 1 ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
⊢ insert a s ∈ 𝓝 a ↔ s ∈ 𝓝[≠] a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : α.inv ≫ f = g
⊢ f = α.hom ≫ g
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
f : Filter α
⊢ Cauchy f ↔ f.NeBot ∧ ∀ (i : ι), p i → ∃ t ∈ f, ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ s i
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : CompleteLattice β
m : MeasurableSpace α
γ : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice γ
f : α → β
μ : Measure α
g : β ≃o γ
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasInitial C
X : C
f : X ⟶ ⊥_ C
⊢ f = default
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G F' : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ (α ▷ F').app X = α.app X ▷ F'.obj X
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
m : MeasurableSpace α
f : α → β
⊢ ⊥ ∈ {a | ∀ᶠ (n : β) in map f (ae 0), n ≤ a}
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : IntermediateField F E
IsNoetherian F E
⊢ S.FG
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Z → W
⊢ instTopologicalSpaceProd = TopologicalSpace.induced (fun p => (f p.1, g p.2)) instTopologicalSpaceProd
G : Type u_1
Monoid G
⊢ ¬Monoid.IsTorsion G ↔ ∃ g, ¬IsOfFinOrder g
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
inst✝¹ : Fintype ↑(G.neighborSet v)
inst✝ : DecidableEq V
⊢ (G.incidenceFinset v).card = Fintype.card ↑(G.incidenceSet v)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
⊢ Antitone (ContinuousOn f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
p : X = Y
q : Y = Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom p) (CategoryTheory.eqToHom q) = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_2
Mul α
Add α
LE α
x : α
⊢ (OrderRingIso.refl α) x = x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hp₁ : p₁ ∉ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
⊢ ![p₁, p₂, p₃] ∘ ⇑(Equiv.swap 0 2) = ![p₃, p₂, p₁]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
A✝ B✝ : C
f✝ g✝ : A✝ ⟶ B✝
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : HasReflexiveCoequalizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
r : B ⟶ A
rf : r ≫ f = 𝟙 B
rg : r ≫ g = 𝟙 B
⊢ HasCoequalizer f g
α : Type u
s t : Set α
⊢ s \ t ⊆ s
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
inst✝ : Nontrivial α
x : α
xs : List α
⊢ 0 < (x :: xs).prod ↔ ∀ x_1 ∈ x :: xs, 0 < x_1
β : Type u_2
LinearOrder β
a b : β
⊢ (¬a < b) = (b ≤ a)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddBelow s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddBelow t
⊢ sInf (s * t) = sInf s * sInf t
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 E''
NormedSpace ℝ F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
MeasurableSpace G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
NormedSpace 𝕜 F'
CompleteSpace F'
NormedAddCommGroup F''
NormedSpace ℝ F''
NormedSpace 𝕜 F''
CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
AddGroup G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν
μ.IsAddRightInvariant
MeasurableAdd₂ G
ν.IsAddRightInvariant
MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f ν
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
hk : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, MeasureTheory.ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk :
  ∀ᵐ (x : G) ∂ν, MeasureTheory.ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (ContinuousLinearMap.mul ℝ ℝ) μ
hfgk :
  MeasureTheory.ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖)
    (MeasureTheory.convolution (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (ContinuousLinearMap.mul ℝ ℝ) μ) x₀
    (ContinuousLinearMap.mul ℝ ℝ) ν
⊢ MeasureTheory.convolution (MeasureTheory.convolution f g L ν) k L₂ μ x₀ =
  MeasureTheory.convolution f (MeasureTheory.convolution g k L₄ μ) L₃ ν x₀
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
⊢ (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
x : F α
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
h' : ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp (abs ⟨a, f⟩) i, p i u
x✝ : Fin2 n
i : (P F).B a x✝
⊢ f x✝ i ∈ f x✝ '' univ
α : Type u
β : Type v
AddZeroClass α
AddZeroClass β
f : α →+ β
⊢ ⇑(AddMonoidHom.toMultiplicative f) = ⇑Multiplicative.ofAdd ∘ ⇑f ∘ ⇑Multiplicative.toAdd
α : Type u_1
M : Matroid α
B I✝ J X Y : Set α
e : α
I : Set α
⊢ I ∈ {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X ∩ M.E} ↔ I ∈ {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X}
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : Fin 3 → R
u✝ : R
hu✝ : IsUnit u✝
u : R
hu : IsUnit u
P : Fin 3 → R
hP✝ : W'.Nonsingular (u • P)
hP : W'.Equation (u • P)
hP' : W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4) = 0 ∧ 2 * P y + W'.a₁ * P x * P z + W'.a₃ * P z ^ 3 = 0 ∧ W'.a₁ * P x * P y + 3 * W'.a₃ * P y * P z ^ 2 - (2 * W'.a₂ * P x ^ 2 * P z + 4 * W'.a₄ * P x * P z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * P z ^ 5) = 0
⊢ W'.a₁ * (u ^ 3 * P y) * (u * P z) - (3 * (u ^ 2 * P x) ^ 2 + 2 * W'.a₂ * (u ^ 2 * P x) * (u * P z) ^ 2 + W'.a₄ * (u * P z) ^ 4) = 0 ∧ 2 * (u ^ 3 * P y) + W'.a₁ * (u ^ 2 * P x) * (u * P z) + W'.a₃ * (u * P z) ^ 3 = 0 ∧ W'.a₁ * (u ^ 2 * P x) * (u ^ 3 * P y) + 3 * W'.a₃ * (u ^ 3 * P y) * (u * P z) ^ 2 - (2 * W'.a₂ * (u ^ 2 * P x) ^ 2 * (u * P z) + 4 * W'.a₄ * (u ^ 2 * P x) * (u * P z) ^ 3 + 6 * W'.a₆ * (u * P z) ^ 5) = 0
z : ℤ
a : UInt64
⊢ z • a = { val := z • a.val }
a : ZMod 8
⊢ ZMod.χ₈ a =
  match a with
  | 0 => 0
  | 2 => 0
  | 4 => 0
  | 6 => 0
  | 1 => 1
  | 7 => 1
  | 3 => -1
  | 5 => -1
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
CommGroup β
TopologicalGroup β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (f * g) ↔ MeasureTheory.StronglyMeasurable g
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
g : G
⊢ g ∈ H.normalizer ↔ ∀ (h : G), h ∈ H ↔ g * h * g⁻¹ ∈ H
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
h_aJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
a₁ : R := choose ⋯
⊢ count K v I = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ
hw : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
⊢ ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹