ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
f : P →ᵃ[𝕜] P₂
inhabited_h : Inhabited P
this : ⇑f.linear = ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 (f default)).toHomeomorph.symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 default).toHomeomorph
⊢ IsOpenMap (⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 (f default)).toHomeomorph.symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 default).toHomeomorph) ↔ IsOpenMap ⇑f
m k : Nat
⊢ m % k + k * (m / k) = m
R : Type u_4
CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
Ring A
Ring B
Ring C
Ring D
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ RingHom.ker (Algebra.TensorProduct.map f g) =
  Ideal.map Algebra.TensorProduct.includeLeft (RingHom.ker f) ⊔
    Ideal.map Algebra.TensorProduct.includeRight (RingHom.ker g)
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
L : Sublattice α
f : LatticeHom α β
M : Sublattice β
⊢ Sublattice.map f L ≤ M ↔ L ≤ Sublattice.comap f M
α : Type u
c₁ c₂ : Computation α
h : c₁.Equiv c₂
⊢ c₁.Terminates ↔ c₂.Terminates
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
T : AddSubmonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
z : N
⊢ (f.map hy k) z + k.toMap (g ↑(f.sec z).2) = k.toMap (g (f.sec z).1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ x ∈ (extChartAt I x).source
G : Type u_1
AddGroup G
H K L : AddSubgroup G
hHK : H ≤ K
hHL : H.relindex L ≠ 0
⊢ K.relindex L ≤ H.relindex L
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
⊢ ∀ u ∈ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b}, IsOpen u
R : Type u_2
LinearOrderedRing R
FloorRing R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
MeasurableSpace R
OpensMeasurableSpace R
⊢ Measurable Int.floor
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
B : Set X
hfB : IsBlock G B
⊢ ∀ (g : ↥H), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
f : ι → α
H : BddAbove (Set.range f)
c : ι
⊢ f c ≤ iSup f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
J.WEqualsLocallyBijective A
X Y : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
f : X ⟶ Y
⊢ J.W f ↔ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J f ∧ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 A A
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ a.toProdMulOpposite ∈ {lr | ∀ (x y : A), (unop lr.2) x * y = x * lr.1 y}
X : Type u_1
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0
⊢ ∫⁻ (x : X), ↑(f x) ∂μ < ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
o : CategoryTheory.HomOrthogonal s
α β : Type
Finite α
Finite β
f : α → ι
g : β → ι
z : (i : ι) → Matrix (↑(g ⁻¹' {i})) (↑(f ⁻¹' {i})) (CategoryTheory.End (s i))
⊢ o.matrixDecomposition.symm z =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.matrix fun j k =>
    if h : f j = g k then CategoryTheory.CategoryStruct.comp (z (f j) ⟨k, ⋯⟩ ⟨j, ⋯⟩) (CategoryTheory.eqToHom ⋯) else 0
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine X
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
⊢ Set.range ⇑f.val.base = Set.range ⇑(Y.ofRestrict ⋯).val.base
α : Type u_9
β : Type u_10
Semiring α
Invertible 2
Lattice β
AddCommGroup β
Module α β
CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : β
⊢ x ⊔ y = ⅟2 • (x + y + |y - x|)
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a b c : α
⊢ a ≤ b → a ≤ b + c
R : Type u
inst₁ inst₂ : CommSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
⊢ inst₁ = inst₂
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : Cospherical ps
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
CommRing A
Algebra R A
N : LieSubmodule R L M
a : A
m : M
hm : m ∈ N
⊢ a ⊗ₜ[R] m ∈ LieSubmodule.baseChange A N
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
F✝ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝⁴ : FunLike F✝ α✝ β✝
α : Type u_7
β : Type u_8
F : Type u_6
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α
r : ℝ≥0
hxy : dist x y ≠ 0
hr : dist (f x) (f y) = ↑r * dist x y
⊢ ↑(nndist (f x) (f y)) = ↑(r * nndist x y)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
hs : IsOpen s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ f₂ s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (deriv f₂) s₂
R : Type u_3
Rₛ : Type u_4
CommSemiring R
CommRing Rₛ
Algebra R Rₛ
S : Submonoid R
hT : IsLocalization S Rₛ
A : Type u_5
CommRing A
Algebra R A
Aₛ : Type u_6
CommRing Aₛ
Algebra A Aₛ
Algebra Rₛ Aₛ
Algebra R Aₛ
IsScalarTower R Rₛ Aₛ
IsScalarTower R A Aₛ
hA : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid A S) Aₛ
ι : Type u_7
b : Basis ι R A
⊢ Submodule.span R (Set.range ⇑(Basis.localizationLocalization Rₛ S Aₛ b)) =
  LinearMap.range (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ)
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hz : ¬0 < z
h' : PythagoreanTriple x y (-z)
⊢ h.IsPrimitiveClassified
G : Type w
TopologicalSpace G
Neg G
ContinuousNeg G
x y : G
h : Inseparable x y
⊢ Inseparable (-x) (-y)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f μ
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t ≠ 0 → μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
Pow α β
a : Lex α
b : β
⊢ ofLex (a ^ b) = ofLex a ^ b
α✝ : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace α'
inst✝³ : MeasurableSpace β✝
inst✝² : MeasurableSpace β'
inst✝¹ : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α✝
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝ : NormedAddCommGroup E
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
hg : MeasurableEmbedding g
hf : MeasurableEmbedding f
h_inj : Injective fun x => (g x.1, f x.2)
⊢ MeasurableEmbedding fun x => (g x.1, f x.2)
R : Type u_9
M : Type u_10
Semiring R
CharZero R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
v : M
⊢ -v ≠ v ↔ v ≠ 0
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ cs.leftInvSeq (List.take j ω) = List.take j (cs.leftInvSeq ω)
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ + (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) + (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆) = ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) + (2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsColimit (span f g) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ ((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯))).ι.app WalkingCospan.right ≫ ?refine_1.hom = H.cocone.ι.app WalkingCospan.right
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
TopologicalSpace δ
t : Set α
s : Set δ
g : δ → α
b : δ
hf : IsLocalMaxOn f t (g b)
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
hg : ContinuousOn g s
hb : b ∈ s
⊢ IsLocalMaxOn (f ∘ g) s b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ p
hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯
ι : Type u_2 := Module.Free.ChooseBasisIndex R M
n : ℕ
snf : Basis.SmithNormalForm p ι n
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := (toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf')
B : Matrix ι ι R := (toMatrix snf.bM snf.bM) f
⊢ A.trace = B.trace
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (g x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (ψ n)
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : ℕ → ℤ
h : (ghostComponent k) (f (mk p fun i => { down := x i })) = (ghostComponent k) (g (mk p fun i => { down := x i }))
⊢ (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k)
x : Int
⊢ x % 2 = 0 ∨ x % 2 = 1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ ζ ∈ rootsOfUnity ⟨n, ⋯⟩ R, ↑ζ = χ a
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
SemilatticeInf β
b : β
a : α
⊢ (InfHom.const α b) a = b
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
⊢ IsUnit ↑r.den
α : Type u
Preorder α
a b : α
⊢ BddBelow (Set.Icc a b)
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ⇑(-f) = -⇑f
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => h * g) μ μ
n : ℕ
h : ¬bit true 0 = 0
IH : shiftLeft' true 0 n ≠ 0 → (shiftLeft' true 0 n).size = size 0 + n
s0 : shiftLeft' true 0 n = 0
this : (0 + 1) * 2 ^ n = 1
⊢ (size 0).succ = (size 0 + n).succ
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n✝ m✝ n m : ℕ
hm : 0 < m
ha : a ^ m = 1
⊢ ∃ n_1, 0 < n_1 ∧ (a ^ n) ^ n_1 = 1
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i j : n
⊢ (cramer 1 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j = (1 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j
n m k : Nat
h₁ : n = m
h₂ : m = k
x : BitVec n
⊢ BitVec.cast h₂ (BitVec.cast h₁ x) = BitVec.cast ⋯ x
n : ℕ
e : Perm (Fin (n + 1))
p : Fin (n + 2)
⊢ (decomposeFin.symm (p, e)) 1 = (swap 0 p) (e 0).succ
α : Type u_1
CommMonoid α
x y : α
h : IsUnit y
⊢ IsRelPrime x y
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₂ - f K₁
this : Continuous eval
⊢ chaar K₀ K₁ ≤ chaar K₀ K₂
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
ihk : ∀ m < 0, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
h : IsPrimitiveRoot ζ 0
⊢ cyclotomic' 0 K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
⊢ (pi f ⊓ 𝓟 (univ.pi s)).NeBot ↔ ∀ (i : ι), (f i ⊓ 𝓟 (s i)).NeBot
α : Type u_1
Semiring α
h : ℕ
L : List ℕ
⊢ Nat.ofDigits 1 (h :: L) = ↑h + Nat.ofDigits 1 L
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
f : α ↪ β
t : Finset β
ht : t.Nontrivial
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique ↑t ↔ ∃ s, G.IsClique ↑s ∧ Finset.map f s = t
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasSum (fun n => (↑n.factorial)⁻¹ • x ^ n) (NormedSpace.exp 𝕂 x)
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : b ≤ c
⊢ Finset.Ioc a b ∪ Finset.Ioc b c = Finset.Ioc a c
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
G : SimpleGraph V
v w : V
vK : v ∉ K
wK : w ∉ K
a : G.Adj v w
⊢ (induce Kᶜ G).Adj ⟨v, vK⟩ ⟨w, wK⟩
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
c : C
⊢ ∀ (a : c ⟶ c), a⁻¹ = CategoryTheory.Groupoid.inv a
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing P
inst✝³ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝² : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
I : Submodule R₁ K
hI : I ≤ ↑0
⊢ I.FG
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
H₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
H₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ Metric.closedBall (g I) ε
K : Type u_3
DivisionRing K
a b c : K
⊢ a / c - b / c = (a - b) / c
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
m : Fin (n + 1) → E
⊢ ((iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s x) (init m)) (m (last n)) = ((⇑(continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 n E F) ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s) x) m
b : ℕ
hb : 1 < b
x : ℕ
⊢ x ≤ b ^ Nat.clog b x
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.50949, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.50953, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
e : F ≅ G
n : A
⊢ e.hom.hom n ≫ e.inv.hom n = 𝟙 (F.functor n)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
l : List ι
⊢ List.foldr f a l ≤ Ordinal.nfpFamily f a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
f_seq : ℕ → β →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯
hf_seq_meas : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable ↑(f_seq n)
hf_seq_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) μ
⊢ ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ F.rightDerivedToHomotopyCategory.map f = (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) ≫ (J.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv
X✝ : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace X✝
X : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints X
x y : X
x_eq_y : (fun x => diracProba x) x = (fun x => diracProba x) y
⊢ Measure.dirac x = Measure.dirac y
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
⊢ (f a).Dom
𝕂 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕂
CompleteSpace 𝕂
CharZero 𝕂
x : 𝕂
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝕂).radius
⊢ HasStrictDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) (NormedSpace.exp 𝕂 x) x
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
⊢ x.leadingCoeff = x.coeff (⋯.min ⋯)
m n k : Nat
h : n - m = k.succ
⊢ Int.subNatNat m n = Int.negSucc k
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = i}
R : Type u_1
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
Fintype ι
f : ι → R
hf : f ∈ stdSimplex R ι
x : ι
⊢ f x ∈ Set.Icc 0 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hs₀ : μ s ≠ 0
ht₀ : μ t ≠ 0
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝³ : CommRing α
inst✝² : StarRing α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m α
h : A.IsHermitian
k : ℤ
⊢ (A ^ k).IsHermitian
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁✝ G₂✝ : G.Subgraph
a b : V
G₁ G₂ : G.Subgraph
h : ((fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₁).1 = ((fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₂).1 ∧ ((fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₁).2 = ((fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₂).2
⊢ G₁ = G₂
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
AlgebraicGeometry.IsPreimmersion g
⊢ AlgebraicGeometry.IsPreimmersion (f ≫ g) ↔ AlgebraicGeometry.IsPreimmersion f
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
⊢ GaloisConnection MvPolynomial.zeroLocus MvPolynomial.vanishingIdeal
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
inst✝³ : CommMonoid α₁
inst✝² : CommMonoid α₂
inst✝¹ : CommMonoid β₁
inst✝ : CommMonoid β₂
A₁ : Set α₁
A₂ : Set α₂
B₁ : Set β₁
B₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
n : ℕ
h₁ : IsMulFreimanHom n A₁ B₁ f₁
h₂ : IsMulFreimanHom n A₂ B₂ f₂
s t : Multiset (α₁ × α₂)
hsA : ∀ ⦃x : α₁ × α₂⦄, x ∈ s → x ∈ A₁ ×ˢ A₂
htA : ∀ ⦃x : α₁ × α₂⦄, x ∈ t → x ∈ A₁ ×ˢ A₂
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod
⊢ (map (Prod.map f₁ f₂) s).prod = (map (Prod.map f₁ f₂) t).prod
α : Sort u
β : Sort v
f g : α ≃ β
H : ∀ (x : α), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
⊢ M.Base B ↔ M.Indep B ∧ ∀ (I : Set α), M.Indep I → B ⊆ I → B = I
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ ↑C.u ^ 12 * ↑E.Δ'⁻¹ * (↑C.u⁻¹ ^ 4 * E.c₄) ^ 3 = E.j
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (fun x => ↑(gm x)) μ
gmint : ∫ (x : α), ↑(fm x) ∂μ - (fun a => ↑a) δ ≤ ∫ (x : α), ↑(gm x) ∂μ
g : α → EReal := fun x => ↑(gp x) - ↑↑(gm x)
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
d : α
⊢ Primrec₂ fun l n => (l.get? n).getD d
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : Surjective fa
⊢ SurjOn fb (f '' univ) (f '' univ)
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a b : α
NoMinOrder α
⊢ a ≤ Order.pred b ↔ a < b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderedAddCommMonoid β
i : FunLike F α β
f : F
iamhc : AddMonoidHomClass F α β
h : ∀ (a : α), 0 ≤ a → 0 ≤ f a
a b : α
hl : a ≤ b
⊢ f a ≤ f b
R : Type u_3
CommRing R
a b : ℍ[R]
⊢ (a - b).imI = a.imI - b.imI
A : Type u_11
CommRing A
IsDomain A
ι : Type u_12
DecidableEq ι
Fintype ι
M : Matrix ι ι A
⊢ (Matrix.toBilin' M).Nondegenerate ↔ M.det ≠ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Nontrivial R
LinearOrderedCommRing S
n : Type u_3
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix n n R
abv : AbsoluteValue R S
x : S
hx : ∀ (i j : n), abv (A i j) ≤ x
⊢ abv A.det ≤ (Fintype.card n).factorial • x ^ Fintype.card n
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
IsDedekindDomain A
J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : J ≠ 0
I I' : FractionalIdeal A⁰ K
⊢ J * I ≤ J * I' ↔ I ≤ I'