ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (P.actRight ▷ S.X ▷ S.X) (((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ((α_ (P.X ⊗ S.X) S.X S.X).hom ≫ (α_ P.X S.X (S.X ⊗ S.X)).hom ≫ P.X ◁ S.X ◁ S.mul ≫ (α_ P.X S.X S.X).inv) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s✝ s s' : Set (Sym2 V)
⊢ (G'.deleteEdges s).deleteEdges s' = G'.deleteEdges (s ∪ s')
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
f : ι → Set α
inst✝ : Finite ι
hf : ∀ (i : ι), ∀ t ⊆ f i, IsCompact t
⊢ ∀ t ⊆ ⋃ i, f i, IsCompact t
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
x : Rˣ
⊢ Ring.inverse (χ ↑x) * χ ↑x = 1 ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)
this✝ : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))
this : SigmaFinite (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)))
h_add : (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] fun x => ((map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)) (f x)
⊢ (μ.singularPart ν).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => (map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) (f x)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hq : q.Monic
h : ¬q.degree ≤ p.degree
⊢ (if h : q.Monic then (if h_1 : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0 then let z := C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree); let_fun _wf := ⋯; let dm := (p - q * z).divModByMonicAux ⋯; (z + dm.1, dm.2) else (0, p)).1 else 0).degree ≤ p.degree
α : Type u_3
AddCommMonoid α
s : Multiset α
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ (Multiset.filter p s).sum + (Multiset.filter (fun a => ¬p a) s).sum = s.sum
α : Type u_5
β : Type u_6
self : PartialEquiv α β
x : β
⊢ x ∈ self.target → self.invFun x ∈ self.source
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
U : WSeq α → WSeq β → Prop
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
HU : ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β), (∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) → U s1 s2
a : Option (α × WSeq α)
ma : a ∈ S.join.destruct
⊢ ∃ b, b ∈ T.join.destruct ∧ LiftRelO R U a b
M : Type u_3
OrderedAddCommMonoid M
l : List M
hl₁ : ∀ x ∈ l, 0 ≤ x
x : M
⊢ x ∈ l → x ≤ l.sum
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G
⊢ ⋃ i ∈ s, g i • ↑H = Set.univ ↔ Set.SurjOn (fun x => ↑(g x)) (↑s) Set.univ
α : Type u_2
Preorder α
s t : Set α
hs : s.IsWF
hsn : s.Nonempty
ht : t.IsWF
htn : t.Nonempty
hst : s ⊆ t
⊢ ¬hs.min hsn < ht.min htn
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
⊢ p %ₘ q = 0 ↔ q ∣ p
w : Nat
x : BitVec w
⊢ x.msb = false ↔ 2 * x.toNat < 2 ^ w
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
⊢ f ∈ alternatingGroup α ↔ Equiv.Perm.sign f = 1
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
CommRing A
LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : I.IsPrime
⊢ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toIdeal.IsPrime
n : ℕ
l : List ℕ
h₁ : l.prod = n
h₂ : ∀ p ∈ l, Prime p
⊢ l.prod = n.primeFactorsList.prod
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
p : ↑(Set.range f) → Prop
⊢ (∃ a, p a) ↔ ∃ i, p ⟨f i, ⋯⟩
s : ℂ
⊢ expZeta 0 s = riemannZeta s
G : Type u_1
P : Type u_2
LinearOrder G
LinearOrder P
SMul G P
IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty
⊢ ⋯.min ⋯ = hs.min hsn • ht.min htn
a : ↥circle
⊢ LinearMap.det ↑(rotation a).toLinearEquiv = 1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
a : (forget TopCat).obj ↑(X.restrictFunctor.obj U).left.toPresheafedSpace
⊢ ↑((X.restrictFunctor.map i).left.val.base a) = ↑(((Opens.toTopCat ↑X.toPresheafedSpace).map i) a)
X : Type u_2
TopologicalSpace X
A B C : DiscreteQuotient X
h₁ : A ≤ B
h₂ : B ≤ C
x : Quotient A.toSetoid
⊢ DiscreteQuotient.ofLE h₂ (DiscreteQuotient.ofLE h₁ x) = DiscreteQuotient.ofLE ⋯ x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
r : ℝ
v : V
p₁ p₂ : P
⊢ dist (r • v +ᵥ p₁) p₂ * dist (r • v +ᵥ p₁) p₂ = ⟪v, v⟫_ℝ * r * r + 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ * r + ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Splits i p
hp : ¬map i p = 0
⊢ (map i p).natDegree = Multiset.card (map i p).roots
α : Type u_1
DecidableEq α
CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.mulDysonETransform e x).1.card + (Finset.mulDysonETransform e x).2.card = x.1.card + x.2.card
G : Type u_2
AddGroup G
ι : Sort u_5
S : ι → AddSubgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 0 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
⊢ C x hx
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
this : ∀ J₁ ∈ π₁, ∀ J₂ ∈ π₂, J₁ ≠ J₂ → Disjoint ↑J₁ ↑J₂
⊢ (↑(π₁.boxes ∪ π₂.boxes)).Pairwise (Disjoint on Box.toSet)
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
⊢ LSeries.term (f ⍟ g) s n = ∑ p ∈ n.divisorsAntidiagonal, LSeries.term f s p.1 * LSeries.term g s p.2
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
A B : Set α
hB : MeasurableSet B
hAB : Disjoint A B
⊢ ∫⁻ (a : α) in A ∪ B, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in A, f a ∂μ + ∫⁻ (a : α) in B, f a ∂μ
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
sf : (i : ι) → (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (U i)))
h : IsCompatible F.val U sf
⊢ ∃! s, ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = sf i
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
Semiring R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ [∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id, ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id,
    ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ LinearMap.inl R M P ∧ g = LinearMap.snd R M P ∘ₗ ↑e].TFAE
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
f : (i : I) → CategoryTheory.Functor A (C i)
⊢ ∀ {X Y : A} (h : X ⟶ Y) (i : I), (CategoryTheory.Functor.pi' f).map h i = (f i).map h
J : Type w
X : (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape J)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Limits.widePushoutShapeUnop J).obj X = Opposite.unop X
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
x : α
y : Quotient s
⊢ ⟦x⟧ = y ↔ ⟦x⟧ = ⟦y.out⟧
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.lsub (o.familyOfBFamily f) = o.blsub f
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t
hne : s.Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
h : IsMinOn (fun x => infEdist x ?m.37155) s x
this : 0 < infEdist x t
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
h : A.primeSpectrumEquiv a✝ ≤ A.primeSpectrumEquiv b✝
⊢ A ≤ ↑(A.primeSpectrumEquiv b✝)
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
CommSemiring S
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R S
f : A →ₐ[R] S
g : B →ₐ[R] S
a : A
b : B
⊢ (Algebra.TensorProduct.productMap f g) (a ⊗ₜ[R] b) = f a * g b
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
hf : ¬f = 0
⊢ f.natDegree = f.reverse.natDegree + f.natTrailingDegree
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
Monoid γ
(i : ι) → AddMonoid (β i)
(i : ι) → DistribMulAction γ (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
r : γ
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.filter p (r • f) = r • DFinsupp.filter p f
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ ↑(Ideal.torsionOf R M x) = ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R M x) ⁻¹' {0}
α : Type u_1
l l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
⊢ l <+~ l₁ ↔ l <+~ l₂
X : Type u_1
TopologicalSpace X
SigmaCompactSpace X
⊢ ⋃ n, compactCovering X n = Set.univ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝² : Pretriangulated C
inst✝¹ : HasShift D ℤ
inst✝ : L.CommShift ℤ
H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
T₁ T₂ : Triangle D
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
T₁' : Triangle C
e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'
hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles
T₂' : Triangle C
e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'
hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles
comm₁ : (L.mapTriangle.obj T₁').mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
self : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
⊢ star A₁ = A₁
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
PG : Pregroupoid H
e e' : PartialHomeomorph H H
he' : e ≈ e'
he : PG.property (↑e) e.source
⊢ PG.property (↑e') e.source
m n b : ℕ
cop : m.Coprime n
hb : b ≠ 0
x : ℕ
ha : n * x ≠ 0
h : n * x * m + b * n = m * n
⊢ False
n : ℕ
⊢ (0, n + 1) :: (succ 0, n) :: map ((fun i => (i, n + 1 - i)) ∘ succ ∘ succ) (range n) = (0, n + 1) :: (succ 0, n) :: map (Prod.map succ id ∘ (fun i => (i, n - i)) ∘ succ) (range n)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ (R.one ▷ (P.X ⊗ Q.X) ≫ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ actLeft P Q = 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (λ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ⟂ₘ μ
A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a
u : ℕ → ℝ≥0
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a
x : α
hx : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
z : ℝ≥0∞
hz : z > 0
w : ℝ≥0
w_pos : 0 < ↑w
w_lt : ↑w < z
n : ℕ
hn : u n < w
⊢ ∀ᶠ (b : Set α) in v.filterAt x, ρ b / μ b < z
⊢ MeasureTheory.volume = StieltjesFunction.id.measure
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
hs : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
htm : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
ht : μ s < μ t
⊢ ∃ x ∈ t, ∃ y ∈ t, ∃ g, g ≠ 0 ∧ g +ᵥ x = y
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
⊢ (if h : (const abv 0).LimZero then 0 else (const abv 0).inv h) = const abv 0
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f g : SlashInvariantForm Γ k
z : ℍ
⊢ (f - g) z = f z - g z
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P g
i : ((S.affineCover.pullbackCover f).pullbackCover (pullback.fst f g)).J
e : pullback (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≅ pullback (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) := pullbackSymmetry (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ pullbackRightPullbackFstIso f g ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ asIso (pullback.map ((S.affineCover.pullbackCover f).map i ≫ f) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i) ≫ S.affineCover.map i) g (𝟙 ((S.affineCover.pullbackCover f).obj i)) (𝟙 Y) (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≪≫ (pullbackRightPullbackFstIso (S.affineCover.map i) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i))).symm
this✝ : e.hom ≫ pullback.fst (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) = (S.affineCover.pullbackCover f).pullbackHom (pullback.fst f g) i
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
⊢ Q (pullback.fst (S.affineCover.map i) g)
R : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
⊢ ∀ (a : Aᵐᵒᵖ), (AlgEquiv.toOpposite R A).symm a = MulOpposite.unop a
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix m m' R
⊢ (toMatrix₂ b₁ b₂) B * M = (toMatrix₂ b₁ b₂') (B.compl₂ ((toLin b₂' b₂) M))
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
eval_fst_CLM : (ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ) →L[ℂ] ℂ := { toFun := fun f => f (1, 0), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, cont := ⋯ }
step1 : HasSum (fun n => (jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (1, 0)) ((jacobiTheta₂_fderiv z τ) (1, 0))
⊢ HasDerivAt (fun x => jacobiTheta₂ x τ) (jacobiTheta₂' z τ) z
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N
⊢ 0 < ↑(nValue N)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X : C
πX : X ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX)) C
CategoryTheory.Limits.HasPushout (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTop f πX)
    (CategoryTheory.SmallObject.functorObjLeft f πX)
x : CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f x.i)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTgtFamily f πX) x)
      (CategoryTheory.SmallObject.ρFunctorObj f πX)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp x.t (CategoryTheory.SmallObject.ιFunctorObj f πX)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁
hR₂ : 0 < R₂
hc : dslope f c z ≠ 0
g : E →L[ℂ] ℂ
hg : ‖g‖ = 1
hgf : g (dslope f c z) = ↑‖dslope f c z‖
hg' : ‖g‖₊ = 1
hg₀ : ‖g‖₊ ≠ 0
⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hX✝ : AEMeasurable X μ
hX : (fun ω => ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2) =ᶠ[ae μ] 0
ω : Ω
hω : ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 = 0 ω
⊢ X ω = ∫ (x : Ω), X x ∂μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
s : Set M
f : M → E'
g : M → E''
hf : MDifferentiableOn I 𝓘(𝕜, E') f s
hg : MDifferentiableOn I 𝓘(𝕜, E'') g s
⊢ MDifferentiableOn I 𝓘(𝕜, E' × E'') (fun x => (f x, g x)) s
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : σ → R
τ : Type u_2
f : σ → MvPolynomial τ R
g : τ → R
p : MvPolynomial σ R
⊢ eval₂ (RingHom.id R) (eval₂ (RingHom.id R) g ∘ f) p = eval₂ ((eval₂Hom (RingHom.id R) g).comp C) (eval₂ (RingHom.id R) g ∘ f) p
G : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G
Div G
m : MeasurableSpace α
f : α → G
MeasurableDiv G
hf : Measurable f
c : G
⊢ Measurable fun x => c / f x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₃ : A ⟶ S.L₀.X₃
x₂ : A ⟶ S.L₁.X₂
x₁ : A ⟶ S.L₂.X₁
h₂ : x₂ ≫ S.L₁.g = x₃ ≫ S.v₀₁.τ₃
h₁ : x₁ ≫ S.L₂.f = x₂ ≫ S.v₁₂.τ₂
⊢ x₃ ≫ S.δ = x₁ ≫ S.v₂₃.τ₁
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
e : r ≃r s
x : β
⊢ e (e.symm x) = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K L : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
HasOrthogonalProjection L
⊢ Kᗮ = Lᗮ ↔ K = L
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → γ
l : List α
l' : List β
i : ℕ
h : i < (List.zipWith f l l').length
⊢ (List.zipWith f l l')[i] = f l[i] l'[i]
α : Type u
β : α → Type v
∀ (a : α), Finite (β a)
⊢ Cardinal.mk (WType β) ≤ max (Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk α)) Cardinal.aleph0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C
X Y : CategoryTheory.ShrinkHoms.{u} C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.ShrinkHoms.inverse C).map f = (equivShrink (X.fromShrinkHoms ⟶ Y.fromShrinkHoms)).symm f
α : Type u_1
MetricSpace α
SecondCountableTopology α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Filter.Tendsto r₁ Filter.atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in Filter.atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
⊢ Filter.blimsup (fun i => Metric.cthickening (r₁ i) (s i)) Filter.atTop p ≤ᵐ[μ]
  Filter.blimsup (fun i => Metric.cthickening (r₂ i) (s i)) Filter.atTop p
α : Type u_1
Preorder α
a b : Additive α
⊢ Additive.toMul a < Additive.toMul b ↔ a < b
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), f a ≠ ⊤
⊢ (∑' (a : α), f a).toNNReal = ∑' (a : α), (f a).toNNReal
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.Epi h.f'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
h : S.RightHomologyData
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero h.H
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
⊢ ∃ r, ∀ (i : ℕ), abv (↑f i) < r
α : Type u
β : Type v
l : List β
⊢ List.nil.zip l = List.nil
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ measurableCylinders α
ht : t ∈ measurableCylinders α
⊢ s \ t ∈ measurableCylinders α
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim : ∀ (a : ℝ), 1 < a → ∃ c, (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧ Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n => u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
⊢ Tendsto (fun n => u n / ↑n) atTop (𝓝 l)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
u₀ : Set E
hu₀s : u₀ ⊇ v
hu₀ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
hu₀_max : (span 𝕜 u₀)ᗮ = ⊥
hu₀_finite : u₀.Finite
u : Finset E := hu₀_finite.toFinset
fu : { x // x ∈ u } ≃ ↑u₀ := hu₀_finite.subtypeEquivToFinset.symm
hu : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
⊢ ∃ u b, v ⊆ ↑u ∧ ⇑b = Subtype.val
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Semiring S
Module S M
Module R M
SMul S R
IsScalarTower S R M
V : Submodule R M
⊢ (Submodule.restrictScalarsEmbedding S R M) V = Submodule.restrictScalars S V
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
⊢ IsPrimitiveRoot μ n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ a ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a⁻¹
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ groupCohomology.toCocycles A 0 1 ≫ (groupCohomology.isoOneCocycles A).hom =
  (groupCohomology.zeroCochainsLequiv A).toModuleIso.hom ≫
    ModuleCat.ofHom (groupCohomology.shortComplexH1 A).moduleCatToCycles
a b : ℝ
n : ℕ
this : ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ 2 * cos x ^ (2 * 0 + 1) = ∫ (u : ℝ) in sin a..sin b, u ^ 2 * (1 - u ^ 2) ^ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ 2 * cos x = (sin b ^ 3 - sin a ^ 3) / 3
R : Type u_2
Semiring R
σ : Type u_3
Finite σ
f : HahnSeries (σ →₀ ℕ) R
⊢ ∀ (a : σ →₀ ℕ), HahnSeries.toMvPowerSeries f a = f.coeff a
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
h : ∀ x ∈ H, H ≤ LieSubalgebra.engel R x
⊢ LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R
inst✝⁹ : Module.Free ℤ R
inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝³ : Algebra ℚ K
inst✝² : NoZeroDivisors K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ R
I : FractionalIdeal R⁰ K
bI : Basis ι ℤ ↥↑I
this : Nontrivial K
b₀ : Basis ι ℚ K := Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b
bI.num : Basis ι ℤ ↥I.num := bI.map (LinearEquiv.restrictScalars ℤ (equivNum ⋯))
⊢ |((Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).toMatrix (Subtype.val ∘ ⇑bI)).det| = |(algebraMap ℤ ℚ) (b.toMatrix (Subtype.val ∘ ⇑bI.num)).det| / |↑((Algebra.norm ℤ) ↑I.den)|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
q : ι → Prop
hq : ∀ (i : ι), p i → ∃ j, p j ∧ q j ∧ s j ⊆ s i
⊢ l.HasBasis (fun i => p i ∧ q i) s
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
PartialOrder α
a b : α
ha : μ {a} = 0
hb : μ {b} = 0
⊢ Set.Ioo a b =ᵐ[μ] Set.Icc a b
α : Type u_2
β : Type u_3
GeneralizedHeytingAlgebra α
GeneralizedHeytingAlgebra β
a b : α × β
⊢ (a ⇔ b).2 = a.2 ⇔ b.2
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R P)
I : Ideal R
h : IsUnit ↑I
⊢ I.FG
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t : Set α
⊢ s.Pairwise G.Adj ↔ induce s G = ⊤